貝西科維奇覆蓋定理

數學上，**貝西科維奇 (Besicovitch) 覆蓋定理**是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

## 定理敘述

若 ${\mathcal {F}}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

　
: : $\sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty $

而 _A_ 為當中的球的中心組成的集合。那麼 ${\mathcal {F}}$ 中存在子集 ${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}$ ，每個 ${\mathcal {G}}_{i}$ 是可數多個互不相交的球的集合，而且

　
: : $A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

其中 $N_{n}$ 是一個僅依賴於 _n_ 的常數。

## 證明大概

先假設 _A_ 是有界集合。依次選取球 $B_{i}$

1. 選擇 $B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}$ 為 $B_{1}$ ，適合條件 $r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}$
2. 若已選取 $B_{1},\cdots ,B_{j-1}$ ， $j\geq 2$ 。令 $A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}$ 。若 $A_{j}=\varnothing $ ，就停止；若否，選擇 $B(a_{j},r_{j})$ 為 $B_{j}$ ，適合條件 $r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}$

球 $B_{i}$ 有以下性質

1. 以 $B_{i}$ 的選取方法可知，若 _j_ > _i_，則 $r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}$ ， $\left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}$ 。
2. 將全部球 $B_{i}$ 的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 互不相交。
3. 若有可數無限多球 $B_{i}$ ，因 _A_ 有界，及縮小的球不交的性質，所以球 $B_{i}$ 的半徑趨向 0。
4. $A\subset \cup _{i}B_{i}$ 。若 $B_{i}$ 數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有 $a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}$ ，那麼 ${\mathcal {F}}$ 中有球 $B(a,r)$ ，而從上一性質知，對足夠大的 _j_，有 $r_{j}<(3/4)r$ ，與 $B_{j}$ 的選取條件矛盾。

對 _k_ > 1，估算 $B_{k}$ 和多少個之前選擇的球 $B_{i}$ 相交。先將這樣的 $B_{i}$ 按半徑 $r_{i}$ 分成兩組： $r_{i}\leq 3r_{k}$ 為第一組， $r_{i}>3r_{k}$ 為第二組。

對第一組的球 $B_{i}=B(a_{i},r_{i})$ ，將其縮小成 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 後包含在 $B(a_{k},5r_{k})$ 中。 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 之間互不相交，故總體積不超過 $B(a_{k},5r_{k})$ 的體積。又因 $r_{i}\geq (3/4)r_{k}$ ，因此 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 相對 $B(a_{k},5r_{k})$ 的比例有一個下限，而這下限僅由維數 _n_ 決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於 _n_ 的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球 $B_{i}$ , $B_{j}$ 。考慮以 $a_{i}$ , $a_{j}$ , $a_{k}$ 作頂點的三角形。因 $B_{i}$ , $B_{j}$ 都和 $B_{k}$ 相交，又 $a_{k}$ 不在 $B_{i}$ , $B_{j}$ 之內，故有不等式

　
: : $r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}$

　
: $r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}$

欲證出此三角形以 $a_{k}$ 為頂點的角 $\theta $ ，不小於一常數。可以假設 $a_{i}a_{k}$ 邊長不大於 $a_{j}a_{k}$ 邊長。如果 $a_{i}$ 不在 $B_{j}$ 內，則 $a_{i}a_{j}$ 邊長大於 $r_{j}$ 。若 $a_{i}a_{j}$ 邊長不小於 $a_{j}a_{k}$ 邊長，則 $a_{i}a_{j}$ 為三角形中最長的邊，所以 $\theta $ 不小於 $\pi /3$ 。若 $a_{i}a_{j}$ 邊長小於 $a_{j}a_{k}$ 邊長，以平面幾何可證得這情形時 $\theta $ 不小於 arccos (5/6)。如果 $a_{i}$ 在 $B_{j}$ 內，必有 _i_ < _j_，故 $r_{j}\leq (4/3)r_{i}$ ，且 $a_{j}$ 不在 $B_{i}$ 內，因此 $a_{i}a_{j}$ 邊長大於 $r_{i}$ 。可證得這情形時 $\theta $ 不小於 arccos (61/64)。取上述下限的最小者，得出 $\theta $ 的下限為 arccos (61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和 $a_{k}$ 之間連成直線，則任意兩條直線之間在 $a_{k}$ 的夾角不小於 arccos (61/64)。 $a_{k}$ 為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數 _n_ 的上限，這也就是第二組球的數目上限。

 $B_{k}$ 和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數 _n_。這個上限加 1 設為 $M_{n}$ 。現在從 $B_{1}$ 開始依次把球放到子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ 內。輪到 $B_{k}$ 時，因為之前的球中最多有 $M_{n}-1$ 個和 $B_{k}$ 相交，因此在 $M_{n}$ 個子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ 中，必定有至少一個所包含的球都不和 $B_{k}$ 相交，於是可以把 $B_{k}$ 加進這個子集。這樣就得出了子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ ，滿足條件

　
: : $A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

對一般的 _A_，設

　
: : $R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}$

對每個正整數 _l_，設

　
: : $A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}$

　
: ${\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}$

將以上結果用到 $A_{l}$ 和 ${\mathcal {F}}^{l}$ 上，得到子集 ${\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}$ ，滿足條件

　
: : $A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B$

對 $1\leq j\leq M_{n}$ ，設 ${\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}$ ， ${\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}$ ，並設 $N_{n}=2M_{n}$ 。那麼 ${\mathcal {G}}_{i}$ 的球互不相交，且有

　
: : $A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

因此定理得證。

## 參見

* 維塔利覆蓋引理

## 參考

* Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). _Measure Theory and Fine Properties of Functions_. CRC Press.