角動量算符

在量子力學裏，**角動量算符**（英語：**angular momentum operator**）是一種算符，類比於古典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。

## 簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是古典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性 (deterministic) 行為。

## 數學定義

在古典力學裏，角動量 $\mathbf {L} =(L_{x},\ L_{y},\ L_{z})\,\!$ 定義為位置 $\mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!$ 與動量 $\mathbf {p} =(p_{x},\ p_{y},\ p_{z})\,\!$ 的叉積：

　
: $\mathbf {L} \ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ 。

在量子力學裏，對應的角動量算符 ${\hat {\mathbf {L} }}\,\!$ 定義為位置算符 ${\hat {\mathbf {r} }}\,\!$ 與動量算符 ${\hat {\mathbf {p} }}\,\!$ 的叉積：

　
: ${\hat {\mathbf {L} }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,\!$ 。

由於動量算符的形式為

　
: ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,\!$ 。

角動量算符的形式為

　
: ${\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar ({\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla )\,\!$ 。

其中， $\nabla \,\!$ 是梯度算符。

## 角動量是厄米算符

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x - 分量 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ ：

　
: ${\hat {L}}_{x}={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}\,\!$ 。

其伴隨算符 $L_{x}^{\dagger }\,\!$ 為

　
: ${\hat {L}}_{x}^{\dagger }=({\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y})^{\dagger }={\hat {p}}_{z}^{\dagger }{\hat {y}}^{\dagger }-{\hat {p}}_{y}^{+}{\hat {z}}^{\dagger }\,\!$ 。

由於 ${\hat {y}}\,\!$ 、 ${\hat {z}}\,\!$ 、 ${\hat {p}}_{y}\,\!$ 、 ${\hat {p}}_{z}\,\!$ ，都是厄米算符，

　
: ${\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {p}}_{z}{\hat {y}}-{\hat {p}}_{y}{\hat {z}}\,\!$ 。

由於 ${\hat {p}}_{z}\,\!$ 與 ${\hat {y}}\,\!$ 之間、 ${\hat {p}}_{y}\,\!$ 與 ${\hat {z}}\,\!$ 之間分別相互對易，所以，

　
: ${\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}={\hat {L}}_{x}\,\!$ 。

因此， ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 是一個厄米算符。類似地， ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 算符，

　
: ${\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!$ 。

其伴隨算符 $({\hat {L}}^{2})^{\dagger }\,\!$ 為

　
: $({\hat {L}}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{y}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }\,\!$ 。

由於 ${\hat {L}}_{x}^{2}\,\!$ 算符、 ${\hat {L}}_{y}^{2}\,\!$ 算符、 ${\hat {L}}_{z}^{2}\,\!$ 算符，都是厄米算符，

　
: $({\hat {L}}^{2})^{\dagger }={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}={\hat {L}}^{2}\,\!$ 。

所以， ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 算符是厄米算符。

## 對易關係

兩個算符 ${\hat {A}}\,\!$ 與 ${\hat {B}}\,\!$ 的交換算符 $[{\hat {A}},\ {\hat {B}}]\,\!$ ，表示出它們之間的對易關係。

### 角動量算符與自己的對易關係

思考 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 的交換算符，

　
: ${\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})\\&=i\hbar {\hat {L}}_{z}\\\end{aligned}}\,\!$ 。

由於兩者的對易關係不等於 0 ， $L_{x}\,\!$ 與 $L_{y}\,\!$ 彼此是不相容可觀察量。 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 的本徵態與 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 $|\psi \rangle \,\!$ 。對於可觀察量算符 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ ，所有本徵值為 $\ell _{xi}\,\!$ 的本徵態 $|f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!$ ，形成了一組基底量子態。量子態 $|\psi \rangle \,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合： $|\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle \,\!$ 。對於可觀察量算符 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ ，所有本徵值為 $\ell _{yi}\,\!$ 的本徵態 $|g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!$ ，形成了另外一組基底量子態。量子態 $|\psi \rangle \,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合： $|\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle \,\!$ 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 $L_{x}\,\!$ ，得到的測量值為其本徵值 $\ell _{xi}\,\!$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|f_{i}\rangle \,\!$ 。假若，我們立刻再測量可觀察量 $L_{x}\,\!$ ，得到的答案必定是 $\ell _{xi}\,\!$ ，量子態仍舊處於 $|f_{i}\rangle \,\!$ 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 $L_{y}\,\!$ ，則量子態不會停留於本徵態 $|f_{i}\rangle \,\!$ ，而會塌縮為 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 $\ell _{yj}\,\!$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|g_{j}\rangle \,\!$ 。

根據不確定性原理，

　
: $\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}\,\!$ 。

 $L_{x}\,\!$ 的不確定性與 $L_{y}\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\,\!$ ，必定大於或等於 ${\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}\,\!$ 。

 $L_{x}\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 之間， $L_{y}\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 之間，也有類似的特性。

### 角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 的交換算符，

　
: ${\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]&=[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]\\&={\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}\\&={\hat {L}}_{x}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y})-({\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}+i\hbar {\hat {L}}_{y}){\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{x})-({\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-i\hbar {\hat {L}}_{x}){\hat {L}}_{y}\\&=0\\\end{aligned}}\,\!$ 。

 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 是對易的， $L^{2}\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 $L^{2}\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 的本徵值。

類似地，

　
: $[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!$ 、

　
: $[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!$ 。

 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 之間、 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 之間，都分別擁有類似的物理特性。

### 哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係

思考哈密頓算符 ${\hat {H}}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 的交換算符，

　
: $[{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{z}]=\left[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x}\right]=0\,\!$ ，

 ${\hat {H}}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 是對易的， $H\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 $H\,\!$ 與 $L_{z}\,\!$ 的同樣的本徵值。

類似地，

　
: $[{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!$ ，

　
: $[{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!$ 。

 ${\hat {H}}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 之間， ${\hat {H}}\,\!$ 與 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 之間，都分別擁有類似的物理特性。

### 在古典力學裏的對易關係

在古典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

　
: $\{L_{i},\ L_{j}\}=\epsilon _{ijk}L_{k}\,\!$ ；

其中， $\{\ ,\ \}\,\!$ 是帕松括號， $\epsilon _{ijk}\,\!$ 是列維 - 奇維塔符號， $i\,\!$ 、 $j\,\!$ 、 $k\,\!$ ，代表直角坐標 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 。

## 本徵值與本徵函數

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

　
: ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}&={\frac {\hbar }{i}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla \\&={\frac {\hbar }{i}}r\mathbf {e} _{r}\times \left(\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&={\frac {\hbar }{i}}\left(-\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\\end{aligned}}\,\!$ ；

其中， $\mathbf {e} _{r}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{\theta }\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{\phi }\,\!$ ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，

　
: ${\hat {\mathbf {L} }}={\frac {\hbar }{i}}\left[\mathbf {e} _{x}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{y}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right]\,\!$ 。

其中， $\mathbf {e} _{x}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{y}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{z}\,\!$ ，分別為 x - 單位向量、y - 單位向量、與 z - 單位向量。

所以， ${\hat {L}}_{x}\,\!$ 、 ${\hat {L}}_{y}\,\!$ 、 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 分別是

　
: ${\hat {L}}_{x}={\frac {\hbar }{i}}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!$ 、

　
: ${\hat {L}}_{y}={\frac {\hbar }{i}}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!$ 、

　
: ${\hat {L}}_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\,\!$ 。

角動量平方算符是

　
: ${\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!$ ；

其中，

　
: ${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!$

　
: : $\left.+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!$ 、

　
: ${\begin{aligned}{\hat {L}}_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!$

　
: : $\left.-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!$ 、

　
: ${\hat {L}}_{z}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\,\!$ 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式

　
: ${\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+(1+\cot ^{2}\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!$ 。

滿足算符 ${\hat {L}}^{2}\,\!$ 的本徵函數是球諧函數 $Y_{\ell m}\,\!$ ：

　
: ${\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)\hbar ^{2}Y_{\ell m}\,\!$ ；

其中，本徵值 $\ell \,\!$ 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 ${\hat {L}}_{z}\,\!$ 微分方程式的本徵函數：

　
: ${\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}=m\hbar Y_{\ell m}\,\!$ ；

其中，本徵值 $m\,\!$ 是整數， $-\ell \leq m\leq 0\,\!$ 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 $Y_{\ell m}\,\!$ 表達為

　
: $Y_{\ell m}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }\,\!$ ；

其中， $i\,\!$ 是虛數單位， $P_{\ell m}(\cos {\theta })\,\!$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

　
: $P_{\ell m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,$ ；

而 $P_{\ell }(x)\,\!$ 是 $\ell $ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

　
: $P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{\ell }$ 。

球諧函數滿足正交歸一性：

　
: $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell _{1}m_{1}}Y_{\ell _{2}m_{2}}\sin(\theta )d\theta d\phi =\delta _{\ell _{1}\ell _{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}\,\!$ 。

這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 $\psi (\theta ,\,\phi )\,\!$ 都可以表達為這單範正交基的線性組合：

　
: $\psi (\theta ,\,\phi )=\sum _{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\,\phi )\,\!$ ；

其中， $A_{\ell m}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\,\phi )\psi (\theta ,\,\phi )\sin(\theta )d\theta d\phi \,\!$ 。

## 參閱

* 氫原子
* 球對稱位勢
* 拉普拉斯 - 龍格 - 冷次向量

## 參考文獻

## 外部連結

* 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學：角動量加法