調和數列

**等諧數列**，又名**調和數列**（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是數列的一種。在等諧數列中，任何相鄰兩項倒數的差相等，該差值的倒數稱為**公諧差**（common harmonic difference）。

例如數列：

　
: 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...

就是一個等諧數列。 在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公諧差都等於 1/2。

## 性質

如果一個等諧數列的首項記作 _a_，公諧差記作 _h_，那麼該等諧數列第 _n_ 項 _an_ 的一般項為：

　
: $a_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}$

換句話說，任意一個等諧數列 {_an_} 都可以寫成

　
: $\{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}$

 
在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 _a_n+1 和 _an_ ，可知公諧差

　
: $h={\frac {1}{{\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

給定任意兩項 _am_ 和 _an_ ，則有公諧差

　
: $h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a_{m}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

 
此外，在一個等諧數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說， ${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{3}}}={\frac {2}{a_{2}}}$ 。

更一般地說，有：

　
: ${\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a_{n}}}\\\end{aligned}}$

證畢。

 
從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

　
: $a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}}}$

此結果從上面直接可得。

 
如果有正整數 _m_, _n_, _p_, _q_，使得 $m+n=p+q$ ，那麼則有：

　
: ${\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}\\\end{aligned}}$

 
由此可將上面的性質一般化成：

　
: ${\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

　
: $a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}}}$

其中 _k_ 是一個小於 _n_ 的正整數。

 
給定一個等諧數列 $\{a_{n}\}$ ，則有：

 * $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等諧數列。
* $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等差數列。

## 等諧數列和

一個等諧數列的首 _n_ 項之和，稱為**等諧數列和**（sum of harmonic sequence）或**調和級數**（harmonic series），記作 _Sn_。

舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。

 
等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

　
: $S_{n}=a\int _{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x$

公式證明如下：

　
: ${\begin{aligned}S_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]_{x=0}^{x=1}\\&=a\int _{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

 
使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ：

　
: ${\begin{aligned}S_{4}&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}$

結果相等。

 
從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

## 等諧數列積

一個等諧數列的首 _n_ 項之積，稱為**等諧數列積**（product of harmonic sequence），記作 _Pn_。

舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。

 
等諧數列積的公式可以 Γ 函數表示：

　
: $P_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}$

這裡使用了等差數列的求積公式。

 
使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ：

　
: ${\begin{aligned}P_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}$

結果相等。

## 參見

* 序列
* 數列
* 級數
* 調和級數
* 調和平均
* 等差數列
* 等比數列

## 參考文獻

* Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.