费米子场

在量子場論中，**狄拉克場**用於描述自旋 - 1/2 的費米子，如：電子、質子、夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋 - 1/2 的費米子，其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

## 基本性質

自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上使用到反交換子 $\{a,b\}=ab+ba$ 而非交換子 $[a,b]=ab-ba$ 。其中的反對易關係就暗示了費米 - 狄拉克統計，並且也能推導出泡利不相容原理：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

## 數學公式

狄拉克場表示成 $\psi (x)$ 。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式：

　
: $(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,$

其中 $\gamma ^{\mu }\,$ 為 γ 矩陣（或稱作狄拉克矩陣），_m_ 代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波 $\psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,$ 和 $\psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,$ 。平面波組成了一個 $\psi (x)$ 的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下：

$$
\psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,
$$

 $a\,$ 、 $b\,$ 標示了旋量的指標， $s\,$ 表示自旋，s = +1/2 或 s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於 $\psi (x)\,$ 可以視作一個算符，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此， $a_{\textbf {p}}^{s}$ 以及 $b_{\textbf {p}}^{s\dagger }$ 為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。 $\psi (x)\,$ 和 $\psi (y)^{\dagger }$ 遵守反對易關係：

　
: $\{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},$

藉由將 $\psi (x)\,$ 和 $\psi (y)\,$ 作展開，我們可以得到係數間的反對易關係：

　
: $\{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,$

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋： $a_{\textbf {p}}^{s\dagger }$ 產生一個動量 ${\textbf {p}}\,$ 自旋為 s 的粒子，而 $b_{\textbf {q}}^{r\dagger }$ 產生一個動量 ${\textbf {q}}\,$ 自旋為 r 的反粒子。因此，廣義的 $\psi (x)\,$ 現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛 ${\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為 ${\overline {\psi }}\psi \,$ ，當中 ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 。其他可能的勞侖茲協變性量 ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi $ 。

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度，並且其歐拉－拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式。

　
: ${\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,$

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：

　
: ${\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,$

由 $\psi (x)$ ，我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子：

　
: $D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle $

我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：

　
: $T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)$ 。

對上列的式子作平面波的展開，得到：

　
: $D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}$

在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理，因為係數

　
: ${\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}$

即為狄拉克方程式中作用在 $\psi (x)\,$ 的相反算符。
純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性，並維持了因果律。

而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論（Yukawa theory）或量子電動力學）同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中，狄拉克場扮演很重要的要素。

## 參閱

* 狄拉克方程式
* 狄拉克旋量

## 參考資料

* Edwards, D. (1981). _The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories,_ International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
* Peskin, M and Schroeder, D. (1995). _An Introduction to Quantum Field Theory,_ Westview Press. (See pages 35-63.)
* Srednicki, Mark (2007). _Quantum Field Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
* Weinberg, Steven (1995). _The Quantum Theory of Fields,_ (3 volumes) Cambridge University Press.