赫尔维茨ζ函数

**赫爾維茨 ζ 函數**(Hurwitz zeta function) 定義如下

　
: $\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.$

其中 $q$ 、 $s$ 都是複數，並且有 $Re(q)>0$ , $Re(s)>0$

對於給定的 q,s, 此函數可以擴展到 _s_≠1 的亞純函數.

黎曼 ζ 函數 = $\zeta (s,1)$

## 級數展開

赫爾維茨 ζ 函數可以展開成級數：:

 

　
: $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

此級數在 S 空間的緊空間子集中均勻收斂成為一個整函數。

## 積分式

赫爾維茨 ζ 函數可以表示為下列梅林變換

　
: $\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt$

其中 $\Re s>1$ 及 $\Re q>0.$

## 赫爾維茨公式

　
: $\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

其中

　
: $\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

對於 $0\leq x\leq 1$ and s > 1 成立，其中 ${\text{Li}}_{s}(z)$ 代表 多重對數.

## 泰勒展開

赫爾維茨 ζ 函數的導數是平移：

 

　
: ${\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

因此赫爾維茨 ζ 函數的泰勒級數可表示為:

　
: $\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

或

　
: $\zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),$

其中 $|q|<1$ .

## 與 Θ 函數的關係

```
令$\vartheta (z,\tau )$ 代表 雅可比 Θ函數, 则
```

　
: $\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$

對於 $\Re s>0$ and 複數 _z_ 成立，但對於 _z_=_n_ 整數，則有

　
: $\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

其中 ζ 代表黎曼 ζ 函數.

## 推廣

正整數 m 的赫爾維茨 ζ 函數與 多伽瑪函數有下列關係:

　
: $\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

For negative integer −_n_ the values are related to the Bernoulli polynomials:

　
: $\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .$

The 巴恩斯 ζ 函數是赫爾維茨 ζ 函數的推廣。

The 勒奇超越函數也是赫爾維茨 ζ 函數的推廣:

　
: $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

即：

　
: $\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,$

赫爾維茨 ζ 函數與超幾何函數的關係：

　
: $\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$ 其中 $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.$

Meijer G 函數

　
: $\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics **1**. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303.
* Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, **100**: 201–206 [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. （原始內容存檔於 2010-03-16）.
* Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF). [2015-02-04]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-03-10）.
* Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, **130** (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.