謝爾賓斯基空間

在數學上，**謝爾賓斯基空間**（Sierpiński space，又稱**兩點連通空間**（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。這個空間是所有非密著且非離散的拓樸空間中最小的，而這空間以瓦茨瓦夫・謝爾賓斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可計算性理論和語意處理上有重要的應用。

## 定義及基本性質

謝爾賓斯基空間 $S$ 是一個其點集合為 $\{0,1\}$ 的拓樸空間，其所有的開集如下：

　
: $\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.$

其所有的閉集如下：

　
: $\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.$

也就是說，其單點集 $\{0\}$ 是閉集，而其單點集 $\{1\}$ 是開集，另外此處的 $\varnothing $ 代表空集合。

此空間的閉包如下：

　
: ${\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.$

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化預序唯一定義，當中，這預序是一個偏序，其形式如下：

　
: $0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.$

## 拓樸性質

謝爾賓斯基空間 $S$ 是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為 1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為 0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

### 分離性

* 在謝爾賓斯基空間中，0 和 1 這兩點是拓撲可區分的，這是因為 $\{1\}$ 是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（ $T_{0}$ 空間）。
* 然而謝爾賓斯基空間不是一個 $T_{1}$ 空間，這是因為 $\{1\}$ 這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或 $T_{n}$ 空間（其中 $n\geq 1$ ）。
* 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正則空間，這是因為 1 這個點及其不相交集合 $\{0\}$ 不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的 $T_{0}$ 空間是豪斯多夫空間）。
* 然而謝爾賓斯基空間可視為正規空間和完全正規空間，這是因為這空間中沒有非空的分離集合所致。
* 然而謝爾賓斯基空間不是完美正規空間，這是因為其彼此不相交的閉合 $\varnothing $ 和 $\{0\}$ 無法由函數完全分離所致。事實上，謝爾賓斯基空間的 $\{0\}$ 不能是任何連續函數 $S\to R$ 的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

### 連通性

* 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含 1 所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含 0 所致）。
* 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路連通空間。
* 一條連通謝爾賓斯基空間當中的 0 和 1 的道路 $f:I\to S$ 可定義如次： $f(0)=0$ 且對於所有的 $t>0$ 而言 $f(t)=1$ ，這個函數是連續的，因為 $f^{-1}(1)=(0,1]$ 在 $I$ 是開集。
* 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
* 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

### 緊緻性

* 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
* 謝爾賓斯基空間的緊子集 $\{1\}$ 不是閉集，而這顯示了 $T_{0}$ 空間的緊集不必然是閉集。
* 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為 0 的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是 $\{S\}$ 。
* 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿緊空間的一個子類）。

### 收斂性

* 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至 0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0 唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
* 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至 1，當且僅當該序列僅有有限多項為 0。
* 在謝爾賓斯基空間當中，1 是某序列的一個聚集點，當且僅當該序列包含無限多項的 1。
* 例子如下：
  * 1 不是 $(0,0,0,0,...)$ 這序列的聚集點。
  * 1 是 $(0,1,0,1,0,1,...)$ 這序列的聚集點 1，但並非極限點。
  * $(1,1,1,1,...)$ 這序列同時收斂至 0 和 1。

### 度量化可能性

* 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正則空間，而謝爾賓斯基空間就連正則空間都不是之故。
* 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中 $d(0,1)=0$ 且 $d(1,0)=1$ 。

### 其他性質

* 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至 0 和 1 的常函數。
* 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英語：homeomorphism group）是當然群。

## 映至謝爾賓斯基空間的連續函數

設 $X$ 是一個任意集合，那麼一般會將所有從 $X$ 映至 $\{0,1\}$ 的函數的集合給記做 $2^{X}$ ，這些函數即是 $X$ 的指示函數，所有的指示函數都有如下的形式：

　
: $\chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}$

在其中 $U$ 是 $X$ 的一個子集。換句話說 $2^{X}$ 這個函數的集合和 $X$ 的冪集 $P(X)$ 間，有著雙射的關係。每個 $X$ 的子集 $U$ 都有自己的指示函數 $\chi _{U}$ ，而每個從 $X$ 映至 $\{0,1\}$ 的函數都有如此的形式。

現在假定 $X$ 是個拓樸空間，而 $\{0,1\}$ 有著謝爾賓斯基拓樸，那麼 $\chi _{U}:X\to S$ 是個連續函數，當且僅當 $\chi _{U}^{-1}(U):X\to S$ 在 $X$ 中是個開集；然而根據定義，我們有

　
: $\chi _{U}^{-1}(1)=U.$

因此 $\chi _{U}$ 是個連續函數，當且僅當 $U$ 在 $X$ 中是個開集。

假定 $C(X,S)$ 是所有從 $X$ 映至 $S$ 的連續函數的集合，並假定 $T(X)$ 是 $X$ 的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從 $T(X)$ 映至 $C(X,S)$ 的雙射，這映射會將 $U$ 映至 $\chi _{U}$ 之上。

　
: $C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)$

也就是說，假若將 $2^{X}$ 和 $P(X)$ 對等，那麼其連續映射的子集 $C(X,S)\subset 2^{X}$ 會是 $T(X)\subset P(X)$ 的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函數保持定向連接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。

### 範疇論的描述

上述的結構可以用範疇論的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合範疇的反變函子 $T:Top\to Set$ 將每個拓樸空間 $X$ 給指派給其開集的集合 $T(X)$ ，並將每個連續函數 $f:X\to Y$ 給指派給其原像：

　
: $f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).$

而相關敘述如下： $T$ 這個函子由 $(S,\{1\})$ 表示，其中 $S$ 為謝爾賓斯基空間，也就是說， $T$ 和同態函子（Hom functor） $Hom(-,S)$ 間有著自然同構，而這自然同構由泛元素 $\{1\}\in T(S)$ 決定，而這可由預層的概念一般化。

### 初拓撲

任何的拓樸空間 $X$ 都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族 $C(X,S)$ 所引致的初拓撲。事實上，若要將 $X$ 的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集 $U$ 給移除，那麼 $\chi _{U}$ 這個函數就會變得不連續，因此在 $C(X,S)$ 當中的每個函數都連續的情況下， $X$ 有著最粗糙的拓樸。

函數的集族 $C(X,S)$ 區分 $X$ 上的點，當且僅當 $X$ 是個 $T_{0}$ 空間。 $x$ 和 $y$ 這兩點可由指示函數 $\chi _{U}$ 區分，當且僅當開集 $U$ 包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是 $x$ 和 $y$ 拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若 $X$ 是個 $T_{0}$ 空間，那就可以將 $X$ 給嵌入謝爾賓斯基空間的積空間中，在其中對於每個 $X$ 的開集 $U$ 而言，都有一個 $S$ 的複本與之對應。其嵌入函數

　
: $e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}$

可由下列函數得出：

　
: $e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,$

由於 $T_{0}$ 空間的子空間和積空間還是 $T_{0}$ 空間之故，因此一個拓樸空間是 $T_{0}$ 空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的積空間的某個子空間同胚。

## 在代數幾何中

在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為 $\mathbb {Z} _{p}$ （整數在質數 $p$ 生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring） $R$ 的譜 $Spec(R)$ 出現。其中 $Spec(R)$ 起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點 1；而 $Spec(R)$ 起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點 0。

## 參見

* 有限拓樸空間（Finite topological space）
* 拓樸列表（List of topologies）
* 偽圓（Pseudocircle）

## 註解

## 參考

* Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
* Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505