质能公式

**E = mc²**，即**質能等價**（mass-energy equivalence）、**質能守恆**、**質能互換**，亦稱為**質能轉換公式**、**質能方程**，是一種闡述能量（**E**）與質量（**m**）間相互關係的理論物理學公式，公式中的 **c** 是物理學中代表光速的常數。

## 方程式的含義

該公式表明物體相對於一個參照系靜止時仍然有能量，這是違反牛頓系統的，因為在牛頓系統中，靜止物體是沒有能量的。這就是為什麼物體的質量被稱為靜止質量。公式中的 _E_ 可以看成是物體總能量，它與物體總質量（該質量包括靜止質量和運動所帶來的質量）成正比，只有當物體靜止時，它才與物體的（靜止）質量（牛頓系統中的**質量**）成正比。這也表明物體的總質量和靜止質量不同。

反過來講，一束光子在真空中傳播，其靜止質量是 0，但由於它們有運動能量，因此它們也有質量。

### 術語的不同

注意：有些術語使用中，質量單指靜止質量，因為總質量和能量是等價的概念。若 $m$ 指代靜止質量，則公式應改寫為

　
: $E_{0}=mc^{2}\,$

而

　
: $E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=\gamma mc^{2}$

因此， $\gamma m\,$ 也就是運動質量的表達式，其中 $\gamma $ 為洛倫茲因子。

## 方程的證明

以一外力 $\mathbf {F} $ 對物體作功，根據功 - 動能定理，物體的微小動能變化為

$$
\mathrm {d} K=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {p}
$$

式中， $\mathbf {p} $ 為物體的動量 $\gamma m\mathbf {u} $ (此處的 $m$ 為靜止質量)，而 ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}$ 為物體的速度 $\mathbf {u} $ 。因此此式可改寫為

 $\mathrm {d} K=\mathbf {u} \cdot \mathrm {d} \left(\gamma m\mathbf {u} \right)=m\mathbf {u} \cdot \mathrm {d} \left(\gamma \mathbf {u} \right)$ 。

根據以下等式 (詳見四維速度)，

$$
U_{\mu }U^{\mu }=-\gamma ^{2}c^{2}+\gamma \mathbf {u} \cdot \gamma \mathbf {u} =-c^{2}=\operatorname {constant}
$$

將等式的兩側取微小量並重新整理，

$$
-2c^{2}\gamma \,\mathrm {d} \gamma +2\gamma \mathbf {u} \cdot \mathrm {d} \left(\gamma \mathbf {u} \right)=0
$$

 $\mathbf {u} \cdot \mathrm {d} \left(\gamma \mathbf {u} \right)=c^{2}\mathrm {d} \gamma $ 。

以此等式代入上方的 $\mathrm {d} K$ 關係式得

$$
\mathrm {d} K=mc^{2}\mathrm {d} \gamma
$$

$$
K=\int _{\mathbf {u} =\mathbf {0} }^{\mathbf {u} =\mathbf {u} }mc^{2}\mathrm {d} \gamma \left(\mathbf {u} \right)=\gamma mc^{2}-mc^{2}
$$

此即為相對論下的動能表達式，注意式中 $\gamma mc^{2}$ 僅與四維動量的時間分量相差一比例常數 $c$ 。若以此定義物體的能量，

$$
E\equiv P^{0}c=\gamma mc^{2}
$$

則 $E=K+mc^{2}$ 。其中 $mc^{2}$ 為物體因具有質量而具有的能量，即

 $E_{0}=mc^{2}$ 。

註：若改以 $m_{0}$ 表示內秉質量， $m=\gamma m_{0}$ 表示相對論質量，則亦有 $E=mc^{2}$ 之關係。

### 意義

在「狹義相對論」裡，這一公式表明能量和質量有比例關係，可等價描述，現今夸克等物質即以 eV（電子伏特）此能量單位為常用單位。雖然很多人並不確切的知道這個公式的真實含義，但它已經成為人類歷史上最有名的公式之一，並成為文化的一部分。有人認為這一公式直接導致了原子彈的設計和製造，但事實上質能轉換公式對於原子理論和原子彈的設計和製造並無任何的直接或間接促進作用，而僅僅是後人用來解釋原子彈原理的解釋工具之一。而愛因斯坦本人對於原子彈製造的貢獻在於：

## 背景及其影響

這個等式源於阿爾伯特・愛因斯坦對於物體慣性和它自身能量關係的研究。研究的著名結論就是物體質量實際上就是它自身能量的量度。為了便於理解此關係的重要性，可以比較一下電磁力和引力。電磁學理論認為，能量包含於與力相關而與電荷無關的場（電場和磁場）中。在萬有引力理論中，能量包含於物質本身。因此物質質量能夠使時空扭曲，但其它三種基本相互作用（電磁相互作用，強相互作用，弱相互作用）的粒子卻不能，這並不是偶然的。

這個方程對於原子彈的發展是關鍵性的。通過測量不同原子核的質量和那個數量的獨立質子和中子的質量和的差，可以得到原子核所包含的結合能的估計值。這不僅顯示可能通過輕核的核融合和重核的核分裂釋放這個結合能，也可用於估算會釋放的結合能的量。注意質子和中子的質量還在那裡，它們也代表了一個能量值。

一個著名的花絮是愛因斯坦最初將方程寫為 _dm = L/c²_（用了一個「_L_」，而不是「_E_」來表示能量，而 E 在其它地方也用來表示能量）。

一千克物質完全等價於

* 89,875,517,873,681,764 焦耳或
* 大約 21,470,501,160,000 卡路里
* 24,965,421,632 千瓦時
* 21.48076431 百萬噸 TNT
* 大約 0.0851900643 Quads（千兆英熱單位）

重要的是要注意實際的靜質量到能量的轉換不大可能是百分之百有效的。一個理論上完美的轉化是物質和反物質的湮滅；對於多數情況，轉換會有很多含靜質量的副產品，因而只有少量的靜質量真正被轉換成能量。在該方程中，質量_就是_能量，但是為了簡明起見，轉換這個詞常常被用於代替質能等價關係，實際上通常所指的一般是靜質量和能量的轉換。

## 方程的可應用性

E=mc² 適用於所有有質量的物體，因為它是質量由能量導出的斷言，或者說能量由質量導出的論斷，而兩者可以互相取代。它對運動物體的應用依賴於方程中使用的質量的定義。

通常，該方程用於相對於物體不動的參考點。但是同樣的物體從另外一個參照系來看可以是運動的，所以，對於這個參照系，該方程表示質量是不同的。

從現代物理的觀點來看，這個方程表示物質和能量是同一個概念。

### 使用相對論質量

洛倫茲（Hendrik Lorentz，1853-1928） 在他的電子理論裡以力和加速度的比（代替動量和速率的比）來定義質量。他發現當外力平行或垂直與運動方向時的有效質量不一樣：平行時 $m_{\parallel }=\gamma ^{3}m_{0}$ 而垂直時 $m_{\perp }=\gamma m_{0}$ 。只有在力垂直於運動方向時 Lorentz 質量才是等同於後來的_相對論質量_。愛因斯坦在最初的論文（[1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））內計算了以上兩個質量（原文內垂直質量有錯）。文內他用的 _m_ 指的是_靜質量_。

現在稱為_相對論質量_的概念最初由 R.C. Tolman 在 1912 年提出。這和_靜質量_ m0 (也即物體在它在其中靜止的參照系中的質量) 關係如下：

　
: : $m=\gamma m_{0}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

但要得到 $E=mc^{2}$ 方程，必須從方程 E² = p²c² + m²c4 出發然後置 p = 0，這表示置速度 v = 0。也就是說，我們現在有一個特殊情況，物體不在移動，且 E² 只等於 m²c4，或 E = mc²。只是在這種特殊情況下，E = mc² 成立。在任何其它的速度，我們必須把 p²c² 放回一般的方程中。

如果我們把 v = 0 代入方程 $m=\gamma m_{0}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ，便得 m = $m_{0}$ 。所以，當物體靜止時，也就是說，速度 v = 0 時，靜止質量和相對論質量是相同，方程 E = mc² 就可以寫為 E = $m_{0}c^{2}$ ，兩者沒有不同。

然後，使用相對論質量，方程 $E=mc^{2}$ 必須寫為 E = $m_{0}c^{2}$ ，它不適用於以任何速度移動的物體，只適用於速度為零的物體，因為 $m_{0}$ 只適用於 v = 0，當 v = 0 時，m = $m_{0}$ 。

### 使用靜止質量

現代的物理學家已很少使用相對論質量了，有人後來指出愛因斯坦本身也不喜歡「相對論質量」此概念：

作者如 Taylor 和 Wheeler 完全避開它因為：

現代的物理學家都用 m 來表示靜止質量，它是四維動量和四維速率的比：

　
: : $p^{\mu }=mv^{\mu }$

而相對論質量就指物體的能量或四元動量的時間部：

　
: : $E\equiv p^{0}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=\gamma mc^{2}$

其中 $p=\gamma mv$ 是物體的相對論動量。當速度為零時，便化為 E = mc²。以下仍用 m 來表示相對論質量，用 mo 來表示靜止質量。

## 低能量的略計

假設在靜止時的能量為 _moc²_，而總能量是動能加上靜止時的能量，其相對性的動能就是：

　
: : $E_{\mathrm {kinetic} }=E_{\mathrm {total} }-E_{\mathrm {rest} }=\gamma m_{o}c^{2}-m_{o}c^{2}=\left(\gamma -1\right)m_{o}c^{2}$

當低速度的情況時，與動能的古典表達式仍然基本吻合，因此：

　
: : $E_{\mathrm {kinetic} }={\frac {1}{2}}m_{o}v^{2}$ .

兩個公式可以通過用泰勒級數展開 $\gamma $ 來證明一致，

　
: : $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}\approx \left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)$ .

將上式代回原始的方程有，

　
: : $E_{\mathrm {kinetic} }\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}m_{o}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{o}v^{2}$ ,

因此有

　
: : ${\frac {1}{2}}m_{o}v^{2}=E_{\mathrm {total} }-E_{\mathrm {rest} }$ ,

或者

　
: : $E_{\mathrm {total} }=E_{\mathrm {rest} }+{\frac {1}{2}}m_{o}v^{2}$ ,

也就是能量的相對論表達式，這和只有動能的經典牛頓表達式不同。

這表示相對論是對經典力學的高階修正而且在低能或者說經典領域牛頓和相對論力學不是等價的。

那麼什麼是等價的？僅僅是動能的表達式，而不是總能量。

在從經典力學到高速情形的外推中，愛因斯坦證明了經典力學是錯誤的。在低速物體的情形，例如用於建立經典力學的那些，經典力學是相對論力學的一個子集。兩個理論僅在經典領域之外導致矛盾。

## 愛因斯坦和他 1905 年的論文

阿爾伯特・愛因斯坦沒有在他的 1905 年論文中精確地表述這個方程 _"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?"_（「_一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎？_」，發表於《物理學年鑑》9 月 27 日），這是他現在被稱為《奇蹟年論文》的文章之一。

該論文所說的確切內容是：『若一個物體以輻射形式發射能量 L，它的質量減少 L/c²。』，這個情況下輻射的是動能，而質量是那時候通常所指的質量，也就是今天我們根據情況稱為靜能量或者不變質量。這是在發射能量前後的質量差，它等於 L/c²，而不是物體的整個質量。在那時它僅僅是理論上的還未被實驗證明。

## 其他貢獻

愛因斯坦不是唯一將能量聯繫到質量的人，但他是第一個將這個作為更大的理論的一部分推出的，而且，是根據這個理論的前提所導出的結果。

根據 Umberto Bartocci（佩魯賈大學數學史家），該方程早在兩年之前就由 Olinto De Pretto 發表了，他是一個義大利維琴查的工業家。但是沒有主流史學家認為這個結論是真實的或者是重要的，他們認為即便 De Pretto 是首位發現該公式的人，但是只有在愛因斯坦真正將它和相對論建立聯繫之後，該公式才真正顯示出價值。

## 電視傳記

_E=mc²_ 也是一部在 2005 年時播放的愛因斯坦電視傳記之名稱，該傳記主要集中在講述 1905 年間的事情。

## 相關條目

* 真空中光速 _c_：來自於拉丁文 Celeritas，為速度或迅捷的意思。
* 相對性質量
* 四維動量
* 狹義相對論
* 慣性
* 核融合
* 核分裂
* 核衰變

## 參考文獻

* 大衛・波戴尼 (Bodanis, David). 《E＝mc²：等式列传》（E=mc²: A Biography of the World's Most Famous Equation）. Berkley Trade. 2001. ISBN 0-425-18164-2.
* 保羅・迪普勒；拉爾夫・盧埃林 (Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph). 《现代物理（第四版）》（Modern Physics (4th ed.)）. W.H. 弗里曼出版社 (W. H. Freeman). 2002. ISBN 0-7167-4345-0.
* James A. Richards, Jr.; Francis Weston Sears; M. Russel Wehr; Mark W. Zemansky. Modern College Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1962.

## 外部連結

* E=mc² 100 歲誕辰 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）BBC
* 愛因斯坦的 E=mc² 啟發了芭蕾舞 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）BBC
* 蘭伯特舞團：Constant Speed E=mc²
* 愛德華・馬勒的主頁 > 反物質計算器
* 核爆的能量 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 愛因斯坦在 1905 年 9 月 27 日發表的論文 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 愛因斯坦在 1912 年的手稿顯示了 E=mc² （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NOVA - 愛因斯坦的偉大構想 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（PBS Television）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《E=mc²》的資料（英文）