貝索方程式

**貝索函數**（Bessel functions），是數學上的一類特殊函數的總稱。通常單說的**貝索函數**指**第一類貝索函數**（Bessel function of the first kind）。一般貝索函數是下列常微分方程式（一般稱為**貝塞爾方程式**）的標準解函數 $y(x)$ ：

　
: $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

該方程式的通解無法用初等函數表示。

由於貝塞爾微分方程式是二階常微分方程式，需要由兩個獨立的函數來表示其標準解函數。典型的是使用第一類貝索函數和第二類貝索函數來表示標準解函數：

　
: $y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}Y_{\alpha }(x)$

注意，由於 $Y_{\alpha }(x)$ 在 x=0 時候是發散的（無窮），當取 x=0 時，相關係數 $c_{2}$ 必須為 0 時，才能獲得有物理意義的結果。

貝索函數的具體形式隨上述方程式中任意實數或複數 α 變化而變化（相應地，α 被稱為其對應貝索函數的**階數**）。實際應用中最常見的情形為 α 是整數 _n_，對應解稱為**_n_ 階貝索函數**。

儘管在上述微分方程式中，α 本身的正負號不改變方程式的形式，但實際應用中仍習慣針對 α 和−α 定義兩種不同的貝索函數（這樣做能帶來好處，比如消除了函數在 α=0 點的不光滑性）。

貝塞爾函數也被稱為**柱諧函數**、**圓柱函數**或**圓柱諧波**，因為他們是於拉普拉斯方程式在圓柱坐標上的求解過程中被發現的。

## 歷史

貝索函數的幾個正整數階特例早在 18 世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾・伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布・伯努利，歐拉、拉格朗日等數學大師對貝索函數的研究作出過重要貢獻。1817 年，德國數學家貝塞爾在研究克卜勒提出的三體引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝索函數的母體理論框架，後人以他的名字來命名了這種函數 [1] [2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

## 現實背景和應用範圍

貝塞爾方程式是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變數法求解拉普拉斯方程式和亥姆霍茲方程式時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = _n_；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α = _n_+½），因此貝索函數在波的傳播問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

* 在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；
* 圓柱體中的熱傳導問題；
* 圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題；

在其他一些領域，貝索函數也相當有用。譬如在 ttf 字體文件壓縮，信號處理中的調頻合成或凱澤窗的定義中，都要用到貝索函數。

## 定義

貝塞爾方程式是一個二階常微分方程式，必然存在兩個線性獨立的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。下面分別介紹這些不同類型的貝索函數。

### 第一類貝索函數

**第一類貝索函數**（Bessel function of the first kind），又稱**貝索函數**（Bessel function），下文中有時會簡稱為 **J 函數**，記作 _J_α。

第一類 α 階貝索函數 _J_α(_x_) 是貝塞爾方程式當 α 為整數或 α 非負時的解，須滿足在 _x_ = 0 時有限。這樣選取和處理 _J_α 的原因見本主題下面的性質介紹；另一種定義方法是通過它在 _x_ = 0 點的泰勒級數展開（或者更一般地通過冪級數展開，這適用於 α 為非整數）：

　
: $J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

上式中 $\Gamma (z)$ 為 Γ 函數（它可視為階乘函數向非整型自變數的推廣）。第一類貝索函數的形狀大致與按 $1/{\sqrt {x}}$ 速率衰減的正弦或餘弦函數類似（參見本頁下面對它們漸近形式的介紹），但它們的零點並不是週期性的，另外隨著 _x_ 的增加，零點的間隔會越來越接近週期性。圖 2 所示為 0 階、1 階和 2 階第一類貝索函數 $J_{\alpha }(x)$ 的曲線（ $\alpha =0,1,2$ ）。

如果 α 不為整數，則 $J_{\alpha }(x)$ 和 $J_{-\alpha }(x)$ 線性獨立，可以構成微分方程式的一個**解系**。反之若 $\alpha $ 是整數，那麼上面兩個函數之間滿足如下關係：

　
: $J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)\,$

於是兩函數之間已不滿足線性獨立條件。為尋找在此情況下微分方程式與 $J_{\alpha }(x)$ 線性獨立的另一解，需要定義**第二類貝索函數**，定義過程將在後面的小節中給出。

#### 貝塞爾積分

 $\alpha $ 為整數時貝索函數的另一種定義方法由下面的積分給出：

　
: $J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau .$

（ $\alpha $ 為任意實數時的表達式見參考文獻 [2] 第 360 頁）

這個積分式就是貝塞爾當年提出的定義，而且他還從該定義中推出了函數的一些性質。另一種積分表達式為：

　
: $J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau $

#### 和超幾何級數的關係

貝索函數可以用超幾何級數表示成下面的形式：

　
: $J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).$

ɑ為整數。由於函數線性相依的特性 (用了一個就少了一個，所以要再構造一個)，才需定義如下詳細介紹的第二類貝塞爾函數。

### 第二類貝索函數（諾依曼函數）

**第二類貝索函數**（Bessel function of the second kind），又稱**諾伊曼函數**（Neumann function），下文中有時會簡稱為 **Y 函數**，記作 _Y_α。

第二類貝索函數也許比第一類更為常用。
這種函數通常用 _Y_α(_x_) 表示，它們是貝塞爾方程式的另一類解。_x_ = 0 點是第二類貝索函數的（無窮）奇異點。

_Y_α(_x_) 又被稱為**諾依曼函數**（Neumann function），有時也記作 _N_α(_x_)。它和 _J_α(_x_) 存在如下關係：

　
: $Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},$

若 α 為整數（此時上式是 ${\frac {0}{0}}$ 型未定式）則取右端的極限值。

從前面對 _J_α(_x_) 的定義可以知道，若 α 不為整數時，定義 _Y_α 是多餘的（因為貝塞爾方程式的兩個線性獨立解都已經用 J 函數表示出來了）。另一方面，若 α 為整數，_Y_α 便可以和 _J_α 構成貝塞爾方程式的一個解系。與 J 函數類似，Y 函數正負整數階之間也存在如下關係：

　
: $Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)\,$

_J_α(_x_) 和 _Y_α(_x_) 均為沿負實半軸割開的複數平面內關於 _x_ 的全純函數。當 α 為整數時，複數平面內不存在貝索函數的支點，所以 _J_ 和 _Y_ 均為 _x_ 的整函數。若將 _x_ 固定，則貝索函數是 α 的整函數。圖 3 所示為 0 階、1 階和 2 階第二類貝索函數 $Y_{\alpha }(x)$ 的曲線（ $\alpha =0,1,2$ ）：

### 第三類貝索函數（漢克爾函數）

**第三類貝索函數**（Bessel function of the third kind），又稱**漢克爾函數**（Hankel function）。

貝塞爾方程式的另外一對重要的線性獨立解稱為**漢克爾函數**（Hankel functions）_H_α(1)(_x_) 和 _H_α(2)(_x_)，分別定義為：

　
: $H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)$

　
: $H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)$

其中 _i_ 為虛數單位 ${\sqrt {-1}}$ 。以上的線性組合也成為**第三類貝索函數**；它們描述了二維波動方程式的外向行柱面波解和內向行柱面波解（"行" 與在 "行動" 中同音）。

利用前面推出的關係可將漢克爾函數表示成：

　
: $H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}$

　
: $H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}$

若 α 為整數，則須對等號右邊取極限值。另外，無論 α 是不是整數，下面的關係都成立：

　
: $H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)$

　
: $H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x)$

### 修正貝索函數

貝索函數當變數 _x_ 為複數時同樣成立，並且當 _x_ 為純虛數時能得到一類重要情形 —— 它們被稱為**第一類修正貝索函數**（modified Bessel function of the first kind）和**第二類修正貝索函數**（modified Bessel function of the second kind），或**虛變數的貝索函數**（有時還稱為**雙曲型貝索函數**），定義為：

　
: $I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)\!$

　
: $K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)\!$

以上形式保證了當變數 _x_ 為實數時，函數值亦為實數。這兩個函數構成了下列**修正貝塞爾方程式**（與一般貝塞爾方程式的差別僅在兩個正負號）的一個相互線性獨立的解系：

　
: $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.$

修正貝索函數與一般貝索函數的差別在於：一般貝索函數隨實變數是振盪型的，而修正貝索函數 _I_α 和 _K_α 則分別是指數增長和指數衰減型的。和第一類貝索函數 _J_α 一樣，函數 _I_α 當 α > 0 時在 _x_=0 點等於 0，當 α=0 時在 _x_=0 點趨於有限值。類似地，_K_α 在 _x_=0 點發散（趨於無窮）。

 
_複數變數的貝索函數之零值_： $J_{\alpha }(x)=0$ 的解在 α≥-1 的情況下都是實數；階數 - 2>α>-1 的情況下，除了實數之外還有且僅有一對共軛的純虛數解（G.N Watson 參考文獻 [5]）。

第二類修正貝索函數有時候被稱為**第三類修正貝索函數**（modified Bessel function of the third kind）。

### 球貝索函數

若使用分離變數法求解球坐標下的三維亥姆霍茲方程式，則可得到如下形式關於徑向（_r_ 方向）分量的常微分方程式：

　
: $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.$

關於上述方程式的一對線性獨立解稱為**球貝索函數**，分別用 _j_n 和 _y_n 表示（有時也記為 _n_n）。這兩個函數與一般貝索函數 _J_n 和 _Y_n 存在關係：

　
: $j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),$

　
: $y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).$

球貝索函數也可寫成：

　
: $j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},$

　
: $y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.$

0 階第一類球貝索函數 $j_{0}(x)$ 又稱為 sinc 函數。頭幾階整階球貝索函數的表達式分別為：

第一類：

　
: $j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}$

　
: $j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}$

　
: $j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}$

第二類：

　
: $y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}$

　
: $y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}$

　
: $y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}.$

還可以依照前面構造漢克爾函數相同的步驟構造所謂**球漢克爾函數**：

　
: $h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)$

　
: $h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).$

事實上，所有半奇數階貝索函數都可以寫成由三角函數組成的封閉形式的表達式，球貝索函數也同樣可以。特別地，對所有非負整數 _n_，存在：

　
: $h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!!}{(n-m)!!}}$

而對實自變數 _x_，_h_n(2) 是上面 _h_n(1) 的複共軛（!! 表示**雙階乘**）。由此我們可以通過得到 _h_，再分離實部虛部，求出相應階 _j_ 和 _h_ 的表達式，譬如 _j_0(_x_) = sin(_x_)/_x_，_y_0(_x_) = -cos(_x_)/_x_，等等。

球貝索函數的生成函數為：

　
: ${\frac {1}{z}}\cos({\sqrt {z^{2}-2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),$

　
: ${\frac {1}{z}}\sin({\sqrt {z^{2}-2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).$

### 黎卡提 - 貝索函數：_Sn_, _Cn_, _ξn_, _ζn_

黎卡提 - 貝索函數（Riccati-Bessel functions）和球貝索函數比較類似：

　
: $S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\pi x/2}}J_{n+1/2}(x)$

　
: $C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\pi x/2}}Y_{n+1/2}(x)$

　
: $\zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi x/2}}H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)$

該函數滿足方程式：

　
: $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0$

這個方程式以及相應的黎卡提 - 貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫・米（Gustav Mie）於 1908 年研究電磁波在球狀顆粒表面散射問題時提出的，後人將這種散射稱為米氏散射（Mie scattering）。這個問題近幾年的進展可參見文獻 Du (2004)。

後人有時會遵從德拜（Debye）在 1909 年的論文中的記法，用 $\psi _{n},\chi _{n}$ 代替前面的 $S_{n},C_{n}$ 。

## 漸近形式

貝索函數在 α 非負時具有下面的漸近形式。當自變數 _x_ 為小量，即 $0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}$ 時，有：

　
: $J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }$

　
: $Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{if }}\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >0\end{matrix}}\right.$

式中 γ 為歐拉 - 馬歇羅尼常數（也叫歐拉常數，等於 0.5772156649...），Γ 為 Γ 函數。對於很大的 _x_，即 $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$ 時，漸近形式為：

　
: $J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$

　
: $Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$

（α=1/2 時漸近號兩邊嚴格相等；參見前面對球貝索函數的介紹）。其他形式貝索函數的漸近形式可以從上面的式子直接推得。譬如，對大自變數 $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$ ，修正貝索函數的漸近形式為：

　
: $I_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{x},$

　
: $K_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}.$

對小自變數 $0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}$ ：

　
: $I_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }$

　
: $K_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}-\ln(x/2)-\gamma &{\mbox{if }}\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{if }}\alpha >0\end{matrix}}\right.$

## 性質

整階（α = _n_）第一類貝索函數 _J_n 常通過對其**母函數**（_generating function_）的羅朗級數（Laurent series）展開來定義：

　
: $e^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n},$

上式得左邊即為整階第一類貝索函數的母函數，這是丹麥天文學家漢森於 1843 年提出的。（這種定義也可以通過路徑積分或其他方法推廣到非整數階）。整階函數的另一個重要性質是下列**雅可比 - 安格爾恆等式**（_Jacobi-Anger identity_）：

　
: $e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi },$

利用這一等式可以將平面波展開成一系列柱面波的疊加，或者將調頻信號分解成傅立葉級數的疊加。

函數 _J_α、_Y_α、_H_α(1) 和 _H_α(2) 均滿足遞迴關係：

　
: $Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)$

　
: $Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x)=2{\frac {dZ_{\alpha }}{dx}}$

其中 _Z_ 代表 _J_, _Y_, _H_(1) 或 _H_(2)。（常將這兩個恆等式聯立推出其他關係）。從這組遞迴關係可以通過低階貝索函數（或它們的低階導數）計算高階貝索函數（或它們的高階導數）。特別地，有：

　
: $\left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x)$

　
: $\left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}$

由於貝塞爾方程式對應的作用算符除以 _x_ 後便是一個（自伴隨的）厄米算符（Hermitian），所以它的解在適當的邊界條件下須滿足正交性關係。特別地，可推得：

　
: $\int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})J_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})^{2},$

其中 α > -1，δm,_n_ 為克羅內克 δ，_u_α,m 表示 _J_α(_x_) 的第 _m_ 級零點。這個正交性關係可用於計算傅立葉 - 貝塞爾級數中各項的係數，以利用該級數將任意函數寫成 α 固定、_m_ 變化的函數 _J_α(_x_ _u_α,m) 的無窮疊加形式。（可以立即得到球貝索函數相應的關係）。

另一個正交性關係是下列在 α > -1/2 時成立的「封閉方程式」（_closure equation_）：

　
: $\int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)$

其中 δ 為狄拉克 δ 函數。球貝索函數的正交性條件為（當 α > 0）：

　
: $\int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)$

貝塞爾方程式的另一個重要性質與其朗斯基行列式（Wronskian）相關，由阿貝爾恆等式（Abel's identity）得到：

　
: $A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}},$

其中 _A_α 和 _B_α 是貝塞爾方程式的任意兩個解，_C_α 是與 _x_ 無關的常數（由 α 和貝索函數的種類決定）。譬如，若 _A_α = _J_α、_B_α = _Y_α，則 _C_α is 2/π。該性質在修正貝索函數中同樣適用，譬如，若 _A_α = _I_α、_B_α = _K_α，則 _C_α 為 - 1。

## 參見

* Hankel 變換 —— 以貝塞爾函數作展開。

## 參考文獻

* [1] 嚴鎮軍編，《數學物理方程式》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，第 82 頁～第 123 頁，ISBN 7-312-00799-6
* [2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., _Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables_ (Dover: New York, 1972) （英文）
  * Chapter 9（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 整階貝索函數
    * Section 9.1（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） J, Y （韋伯） and H （漢開爾）
    * Section 9.6（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 修正貝索函數（I 和 K）
    * Section 9.9（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 開爾文函數
  * Chapter 10（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 分數階貝索函數
    * Section 10.1（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 球貝索函數（j、y 和 h）
    * Section 10.2（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 修正球貝索函數（I 和 K）
    * Section 10.3（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 黎卡提 - 貝索函數
    * Section 10.4（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 艾里函數（Airy functions）
* [3] George B. Arfken and Hans J. Weber, _Mathematical Methods for Physicists_ (Harcourt: San Diego, 2001).
* [4] Frank Bowman, _Introduction to Bessel Functions_ (Dover: New York, 1958) ISBN 0-486-60462-4.
* [5] G. N. Watson, _A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition_, (1966) Cambridge University Press.
* [6] G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", _Ann. Phys. Leipzig_ **25**(1908), p.377.
* [7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," _Applied Optics_ **43** (9), 1951-1956 (2004).

## 外部連結

* Engineering Fundamentals - Bessel Function（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）