費馬點

在幾何學中，**費馬點**是位於三角形內的一個點。給定一個三角形△ABC 的話，從這個三角形的費馬點 P 到三角形的三個頂點 A、B、C 的距離之和

 $PA+PB+PC$
比從其它點算起的都要小。這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾・德・費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔・托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而 19 世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為**托里拆利點**或**斯坦納點**，相關的問題也被稱作**費馬 - 托里拆利 - 斯坦納問題**。

## 源起：費馬的問題

1638 年，勒內・笛卡兒邀請費馬思考關於到四個頂點距離為定值的函數的問題。這大概也是 1643 年，費馬寫信向埃萬傑利斯塔・托里拆利詢問關於費馬點的問題的原因。費馬的問題是這樣的：

　
: 平面上有三個不在同一條直線上的點 A, B, C，對平面上的另一個點 P，考慮點 P 到原來的三個點的距離之和：PA + PB + PC。是否有這樣一個點 P0，使得它到點 A, B, C 的距離之和 P0A + P0B + P0C 比任何其它的 PA + PB + PC 都要小？

這個問題首先被托里拆利解決，但他生前並沒有發表。托里拆利的學生溫琴佐・維維亞尼在 1659 年將他的遺作整理發表，其中包括了費馬點問題的證明。他的解法中用到了橢圓的焦點的性質。

## 費馬 - 托里拆利點

托里拆利的解法中對這個點的描述是：對於每一個角都小於 120° 的三角形 ABC 的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然後作這三個正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。

1647 年，博納文圖拉・卡瓦列里在他的著作《幾何學題集》（_Exerciones Geometricae_）中也探討了這個問題。他發現，將作正三角形時作出的三個點與對面的頂點連接，可以得出三條線段。這三條線段交於托里拆利點，而且托里拆利點對每條邊張的角都是 120°。

## 作法及證明

下面是三角形的費馬點的作法：

* 當有一個內角不小於 120° 時，費馬點為此角對應頂點。
* 當三角形的內角都小於 120° 時
  * 以三角形的每一邊為底邊，向外做三個正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
  * 連接 CC'、BB'、AA'，則三條線段的交點就是所求的點。

### 幾何證明

**三角形的內角都小於 120° 的情況：**
**首先證明 CC'、BB'、AA' 三條線交於一點。**

設 P 為線段 CC' 和 BB' 的交點。注意到三角形 C'AC 和三角形 BAB' 是全等的，三角形 C'AC 可以看做是三角形 B'AB 以 A 點為軸心順時針旋轉 60 度得到的，所以角 $\angle \mathrm {C'PB} $ 等於 60 度，和 $\angle \mathrm {C'AB} $ 相等。因此，A、B、C'、P 四點共圓。同樣地，可以證明 A、B'、C、P 四點共圓。於是：

　
: $\angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }$

從而 $\angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }$ 。於是可以得出：A'、B、C、P 四點共圓，即

　
: $\angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }$

　
: $\angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }$

A、A'、P 三點共線。也就是說 CC'、BB'、AA' 三條線交於一點。

**接下來證明交點 P 就是到三個頂點距離之和最小的點。**

在線段 AA' 上選擇一點 Q，使得 QP = PC。由於 $\angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }$ ，所以等腰三角形 PQC 是正三角形。於是 $\angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} $ 。同時 QC = PC、BC = A'C，於是可以得出三角形 BPC 和三角形 A'QC 是全等三角形。所以 QA' = PB。綜上可得出：

　
: PA + PB + PC = AA'

對於平面上另外一個點 P'，以 P'C 為底邊，向下作正三角形 P'Q'C。運用類似以上的推理可以證明三角形 BP'C 和三角形 A'Q'C 是全等三角形。因此也有：

　
: P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A

平面上兩點之間以直線長度最短。因此

　
: P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC.

也就是說，點 P 是平面上到點 A、B、C 距離的和最短的一點。

**最後證明唯一性。**

如果有另外一點 P' 使得 P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC，那麼

　
: AA' = AP' + P'Q' + Q'A'

因此點 P' 和 Q' 也在線段 AA' 之上。依照 P' 和 Q' 的定義，可以推出

　
: $\angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }$

因此 P' 也是 CC'、BB'、AA' 三條線的交點。因此 P' 點也就是 P 點。因此點 P 是唯一的。

**有一內角大於 120° 的情況。**

如右圖， $\angle \mathrm {BAC} $ 大於 120°，P 為三角形內一點。以 BA 為底邊，向上作正三角形 BAF；以 PA 為底邊，向上作正三角形 PAQ。於是三角形 AQF 和三角形 APB 是全等三角形。FQ = PB。所以

　
: PA + PB + PC = FQ + QP + PC.

延長 FA 交 QC 於 D 點，則

　
: FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC.

　
: 即 PA + PB + PC > AB + AC.

所以 A 點到三頂點的距離比三角形內任意一點到三頂點的距離都小，即 A 點為費馬點。

## 物理學解釋

費馬的問題也可以用物理的方法來解決。將平面上所給的三個給定點鑽出洞來，再設有三條繩子系在一起，每條繩子各穿過一個洞口，而繩子的末端都綁有一個固定重量 **m** 的重物。假設摩擦力可以忽略，那麼繩子會被拉緊，而繩結最後會停在平面一點的上方。可以證明，這個點就是三個給定點所對應的費馬點。首先，由於繩長是固定的，而繩子豎直下垂的部分越長，重物的位置也就越低，勢能越低。在平衡態的時候，系統的勢能達到最小值，也就是繩子豎直下垂的部分的長度達到最大值，因此水平的部分的長度達到最小值。而繩子的水平部分的長度就是 PA + PB + PC，因此這時 PA + PB + PC 最小，也就是達到費馬點。

在系統處於平衡態時，由力學原理可知繩子兩兩之間張成的角度 $\angle \mathrm {APB} $ 、 $\angle \mathrm {BPC} $ 和 $\angle \mathrm {APC} $ 之間滿足合力公式：

　
: ${\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}$

也就是說這三個角相等，即都是 120°。

## 推廣

費馬點的定義可以推廣到更多點的情況。設平面上有 m 個點：_P_1 , _P_2 , ... , _P_m，又有正實數：λ1 , λ2 , ... , λm。費馬問題可以推廣為：尋找一個點 X，使得它到這 m 個點的距離在加權後之和:

　
: $\lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}$

是最小的。

### 高維的情況

費馬點問題還可以推廣到高維空間中。比如說在 _n_ 維實向量空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，給定 m 個點：_p_1 , _p_2 , ... , _p_m，對空間中另一點 _x_，設它到前述 m 個點的歐幾里德距離之和為函數 Dist(_x_)：

　
: $\operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|$

則費馬點問題就變成尋找使得 Dist(_x_) 最小的一點 _p_min ∈ $\mathbb {R} ^{n}$ 。與平面費馬點問題相似，高維情況下的費馬點問題也有由林德羅夫和斯圖姆證明的類似結論：

1. 使得 Dist(_x_) 最小點 _p_min 並且是唯一的。
2. 如果從任何一點 _p_i 到剩下的 m-1 點方向上的 m-1 個單位向量的向量和長度都大於 1，那麼：
  * _p_min 不是 _p_1 , _p_2 , ... , _p_m 中任何一點，
  * 從 _p_min 到 _p_1 , _p_2 , ... , _p_m 方向上的 m 個單位向量的向量和是 0。
3. 如果從某一點 _p_i 到剩下的 m-1 點方向上的 m-1 個單位向量的向量和長度小於等於 1，那麼 _p_min 就是這個點。

對於加權的費馬點問題，也有類似的結論，只需將上述結論中的向量和替換為加權向量和，條件中的 1 也要替換為對應點的權重。

## 參見

* 西姆松定理
* 九點圓
* 斯坦納樹

## 參考來源

* Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba. The parsimonious universe: shape and form in the natural world. Springer. 1996. ISBN 978-0387979915.
* 一个实际的例子，费马点. [2013-03-19]. （原始內容存檔於 2020-01-30） （英語）.