解析表示

在數學和訊號處理中，**解析訊號**（英語：**analytic signal**）是沒有負頻率分量的複值函數。 解析訊號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。

實值函數的**解析表示**是_解析訊號_，包含原始函數和它的希爾伯特轉換。這種表示促進了許多數學轉換的發展。基本的想法是，由於頻譜的埃爾米特對稱，實值函數的傅立葉轉換（或頻譜）的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理複值函數的話，這些負頻率分量可以丟棄而不損失訊息。這使得函數的特定屬性更易理解，並促進了調變和解調技術的衍生，如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量（也就是它仍是「解析函數」），從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣： 向量限制在非時變的振幅、相位和頻率，解析訊號允許有時變參數。

## 定義

若 $s(t)$ 是一個_實值_函數，其傅立葉轉換為 $S(f)$ ， $S(f)$ 為一於 $f=0$ 埃爾米特對稱之函數：

　
: $S(-f)=S(f)^{*},$ 其中， $S(f)^{*}$ 為 $S(f)$ 的複共軛。

函數：

　
: ${\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}$

> 
> 其中：
> 
>  * $\operatorname {u} (f)$ 是單位階躍函數，
> * $\operatorname {sgn}(f)$ 是符號函數，
> 

僅包含 $S(f)$ 的_非負頻率_分量。而且由於 $S(f)$ 的埃爾米特對稱性，該運算是可逆的：

　
: ${\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}$

 
 $s(t)$ 的**解析訊號**是 $S_{\mathrm {a} }(f)$ 的傅立葉反轉換：

　
: ${\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}$

其中

 * ${\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]$ 是 $s(t)$ 的希爾伯特轉換；
* $*$ 是摺積符號；
* $j$ 是虛數單位。

## 例子

### 例 1

　
: $s(t)=\cos(\omega t),$ 其中 $\omega >0.$

於是：

　
: ${\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),$

　
: $s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.$ 第三個等式為歐拉公式。

 
歐拉公式的一個推論是 $\cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).$ 一般來說，簡單正弦曲線的解析表示是通過用複指數表示它，丟棄負頻率分量，並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。

### 例 2

這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。

　
: $s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})$

於是：

　
: $s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}$

### 例 3

這是使用希爾伯特轉換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到，對於複值函數 $s(t)$ ，沒有什麼能阻止我們計算 $s_{\mathrm {a} }(t)$ 。但它可能不是一種可逆的表示，因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外，一般討論都假設 $s(t)$ 為實值函數。

　
: $s(t)=e^{-j\omega t}$ , 其中 $\omega >0$ .

於是：

　
: ${\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},$

　
: $s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.$

## 負頻率分量

由於 $s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]$ ，恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄 $\operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]$ 這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到複共軛 $s_{\mathrm {a} }^{*}(t)$ _僅_由負頻率分量構成。因此 $\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]$ 恢復了被減弱的正頻率分量。

## 應用

### 包絡和瞬時相位

解析訊號也可以表示在其隨時間變化的振幅和相位（極坐標）：

　
: $s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},$

其中：

 * $s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|$ 稱作_瞬時振幅_或_包絡_；
* $\phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]$ 稱作_瞬時相位_。

在附圖中，藍色曲線描繪 $s(t)$ ，紅色曲線描繪對應的 $s_{\mathrm {m} }(t)$ 。

解纏的瞬時相位的時間導數的單位為 rad/s，稱作_瞬時角頻率_：

　
: $\omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).$

因此，_瞬時頻率_（單位赫茲）為：

　
: $f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).$

瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的訊號的局部特徵。訊號的解析表示的另一個應用與調變訊號的解調有關。極坐標方便將振幅調變和相位（或頻率）調變的影響分開，對解調某些種類的訊號很有效。

###  復包絡 / 基帶

解析訊號通常都會在頻率上移位（下轉換）到 0 Hz，可能會產生 [非對稱] 負頻率分量：

　
: ${\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},$

其中 $\omega _{0}$ 是任意參考角頻率。

這個函數有不同的名稱，如_復包絡_和_復基帶_。復包絡不是唯一的；它是由 $\omega _{0}$ 的選取決定的。這個概念通常用於處理帶通訊號。如果 $s(t)$ 是調變訊號， $\omega _{0}$ 可能會等於它的載波頻率。

在其他情況下， $\omega _{0}$ 選在所需通帶的中間。因此簡單的實係數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率，從而降低最小的無混疊取樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說，下轉換的訊號仍然是_解析訊號_。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換，若訊號已被（離散時間）取樣，還可能需要插值（升採樣）。

若選取的 $\omega _{0}$ 大於 $s_{\mathrm {a} }(t)$ 的最高頻率，則 ${\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)$ 沒有正頻率。在這種情況下，提取實部並恢復它們，但順序要相反；低分頻量現在變為高分頻量，反之亦然。這可用於解調一種叫做_下邊帶_的單邊帶訊號。

**參考頻率的其他選擇：**

有時 $\omega _{0}$ 的選取是要最小化

　
: $\int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .$

另外， $\omega _{0}$ 選取還可以是要最小化線性逼近_解纏的_瞬時相位 $\phi (t)$ 的均方誤差：

　
: $\int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt$

再或者（對最佳 $\theta $ ）：

　
: $\int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.$

在訊號處理領域，維格納–威利分布定義中需要解析訊號，因此該方法在實際應用中具有理想特性。

有時復包絡與復振幅同義；
其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。 它們的關係並不像實值的情形那樣；變化的包絡產生恆定的振幅。

## 參見

* 希爾伯特轉換
* 負頻率

### 應用

* 單邊帶調變
* 正交濾波器
* 因果濾波器

## 注釋

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Leon Cohen, _Time-frequency analysis_, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
* Frederick W. King, _Hilbert Transforms_, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
* B. Boashash, _Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference_, Elsevier Science, Oxford, 2003.

## 外部連結

* Analytic Signals and Hilbert Transform Filters （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）