譜圖理論

數學上，**譜圖論**（英語：spectral graph theory）是圖論的分支，研究圖的性質與其鄰接矩陣、調和矩陣等的特徵多項式、特徵值和特徵向量有何關聯。 $n$ 個頂點的圖，其鄰接矩陣是 $n\times n$ 矩陣，各分量分別以 $0$ 或 $1$ 表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可正交對角化，其特徵值皆是實代數整數。

雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩陣的譜是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。）

譜圖論亦關注藉圖的矩陣特徵值重數定義的參數，如科蘭・德韋迪耶爾數。

## 共譜圖

兩幅圖稱為「共譜」（cospectral）或「等譜」（isospectral），意思是兩者的鄰接矩陣等譜，特徵值不僅數值相等，連重數也一樣，即組成的多重集相等。

共譜圖不必同構，但同構圖必然共譜。

### 獨有的譜

圖 $G$ 由譜決定（determined by its spectrum），意思是具有該譜的圖必與 $G$ 同構。簡單例子包括：

* 完全圖
* 有限星狀樹，即恰有一個頂點度數大於 $2$ 的樹。

### 共譜配偶

若一對圖具有相同的譜，但是不同構，則稱為「共譜配偶」（cospectral mates）。最小一對共譜配偶是 $\{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}$ ，前者是五個頂點的星，而後者是四個頂點的環，與獨一個頂點的不交並，如科拉茨和西諾戈維茨於 1957 年所述。最小一對多面體共譜配偶是兩個八頂點的九面體。

### 尋找共譜圖

幾乎所有樹皆會與另一樹共譜。換言之，隨頂點數增加，有共譜樹的樹所佔比率趨於 $1$ 。一對正則圖共譜當且僅當其補圖亦共譜。一對距離正則圖共譜，當且僅當其相交陣列相等。

共譜圖亦可藉砂田方法構造。尚有另一類共譜圖，來自各種點線幾何。此種幾何中，以各點為頂點，有直線過兩點則連邊，可得「點共線圖」（point-collinearity graph）。反之，以直線為頂點，兩直線相交則連邊，可得「線相交圖」（line-intersection graph）。兩幅圖必共譜，但經常不同構。

## 奇格不等式

黎曼幾何中，對於緊黎曼流形 $M$ ，有等周定理的推廣，稱為奇格不等式。其斷言， $n$ 維區域 $A\subseteq M$ 的體積一定時，邊界 $\partial A$ 的面積不能太小，相比 $A$ 的體積，比例常數有某個下界，與拉普拉斯－貝爾特拉米算子的特徵值有關。此不等式在圖論的離散情況下有類比，拉－貝二氏算子對應的概念是拉氏矩陣。譜圖論的奇格不等式在算法方面有應用，因為藉由拉氏算子的第二特徵值，可以估算圖的最小割之值。

### 奇格常數

圖的奇格常數（Cheeger constant），或作奇格數（Cheeger number）、等周數（isoperimetric number），直觀理解是用作衡量該圖是否有「瓶頸」。多個學科需要衡量瓶頸程度，所以其用途包括：建造非常連通的計算機網絡、洗牌、低維拓撲（尤其研究雙曲 3 流形時）。

對於一幅 $n$ 個頂點的圖 $G$ ，奇格常數 $h(G)$ 的定義，可用符號寫成：

　
: $h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.$

式中的最小值取遍一切大小不過半的非空頂點集合 $S$ ，而 $\partial (S)$ 表示 $S$ 的邊邊界（edge boundary），即恰有一端屬 $S$ 的邊所組成的集。

### 不等式敍述

當 $G$ 為 $d$ 正則時， $h(G)$ 與度數及第二特徵值之差 $d-\lambda _{2}$ （又稱「譜隙」）有關。多久克及阿隆、米爾曼二人分別獨立證出以下不等式：

　
: ${\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.$

此不等式與馬爾可夫鏈的奇格界密切相關，亦是黎曼幾何中，奇格不等式的離散變式。

更一般情況，可考慮連通圖 $G$ ，不必正則，此時金芳蓉的書中有另一條不等式：

　
: ${\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},$

式中 $\lambda $ 是（未歸一的）拉氏算子最小非平凡特徵值， $\Delta $ 是最大度，而 ${\boldsymbol {h}}(G)$ 是經歸一化的奇格常數：

　
: ${\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},$

其中 ${\mathrm {vol} }(Y)$ 表示 $Y$ 中各頂點的度數和。

## 霍夫曼 - 德爾薩特不等式

對正則圖的獨立集大小，可用特徵值計算出一個上界，最先由艾倫・霍夫曼和菲利浦・德爾薩特（Philippe Delsarte）證明。不等式的敍述如下：

> 
> 設 $G$ 是 $n$ 個頂點的 $k$ 正則圖，且最小一個特徵值為 $\lambda _{\mathrm {min} }$ ，則 $G$ 的獨立數
> 
> 　
> : $\alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda _{\mathrm {min} }}}}}.$
> 
> 

此上界應用在合適的圖上，就能以代數方式證明艾狄胥 - 柯 - 雷多定理，以及有關有限域上子空間相交族的類似定理。

對於一般不必正則的圖，考慮歸一化拉氏矩陣的最大特徵值 $\lambda '_{\mathrm {max} }$ ，也能推導出類似的結論：

　
: $\alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},$

式中 $\Delta (G)$ 和 $\delta (G)$ 分別表示 $G$ 的最大度和最小度。此為另一不等式的特例：對於任意獨立集 $X$ ，有

　
: ${\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),$

其中 ${\mathrm {vol} }(Y)$ 代表集合 $Y$ 中所有頂點的度數之和。

## 沿革

譜圖論在 1950 年代至 1960 年代逐漸出現。圖論有研究圖的結構與譜性質之間有何聯繫，除此之外，量子化學研究亦是另一源頭，但兩個方向的研究互不流通，要到很後期才合而為一。1980 年茨維特科維奇、杜布、薩克斯的專著《圖之譜》概括了當時本領域的多數研究，其後由 1988 年《圖譜論之近期成果》和《圖之譜》1995 年第三版再次更新。2000 年代，砂田利一開創離散幾何分析，並加以發展。此領域處理譜圖論的方式，是利用加權圖的離散拉氏算子，在形狀分析等領域有應用。近來，譜圖論應用廣泛，用於分析一些現實（如信號處理時）可能會遇到的圖。

## 參見

* 強正則圖
* 代數連通度
* 代數圖論
* 譜聚類
* 譜形分析
* 埃斯特拉達指標
* 洛瓦茲數 ϑ
* 擴展圖

## 參考文獻

* Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Wigderson, Avi. Expander graphs and their applications [擴展圖及其應用] (PDF). Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 2006-10, **43** (4): 439–561 [2022-02-18]. doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8. （原始內容 (PDF) 存檔於 2022-01-13） （英語）.