谱_(泛函分析)

在數學中，特別是在泛函分析中，有界算子的**譜**是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說，對於有界線性算子 _T_，如果 _T_-λ_I_ 不可逆，其中 _I_ 是恆等算子，則複數 λ 會被認為屬於 _T_ 的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論，其具有許多應用，最值得注意的是量子力學的數學表述。

有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。例如，考慮希爾伯特空間ℓ2 上的右移算子 _R_，

　
: $(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$ 。

該算子沒有特徵值，因為如果 _Rx_=λ_x_，則通過展開表達式可以得到 _x_1=0，_x_2=0……另一方面，0 在譜中，因為算子 _R_-0（即 _R_ 自身）不可逆：因為第一項非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是滿射。事實上，複巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜。

譜的概念可以擴展到稠定無界算子。在這種情況下，複數 λ 被認為是在算子 _T_:_D_→_X_（其中 _D_ 在 _X_ 中稠密）的譜中，如果沒有有界逆 (λ_I_-_T_)−1:_X_→_D_。如果 T 是閉算子（包括 T 是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空間 _X_ 上的有界線性算子 _B_(_X_) 是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外，譜的定義沒有涉及 _B_(_X_) 的任何性質，所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。

## 有界算子的譜

### 定義

作用在巴拿赫空間 $X$ 上的 $T$ 是純量域 $\mathbb {K} $ 上的有界線性算子，且 $I$ 是 $X$ 上的恆等算子。 $T$ 的**譜**是所有使得算子 $\lambda I-T$ 沒有有界線性逆的 $\lambda \in \mathbb {K} $ 的集合。

由於 $\lambda I-T$ 是一個線性算子，所以如果它的逆存在，則一定是線性的；並且，通過有界逆定理可知，它的逆是有界的。 因此，譜正好由那些使得 $\lambda I-T$ 不是雙射的純量 $\lambda $ 組成。

給定算子 $T$ 的譜通常記為 $\sigma (T)$ ，而它的補集，也即預解集，記為 $\rho (T)=\mathbb {K} \setminus \sigma (T)$ 。

### 譜和特徵值

如果 $\lambda $ 是 $T$ 的特徵值，則算子 $T-\lambda I$ 不是一一映射，因此其逆 $(T-\lambda I)^{-1}$ 沒有定義。但否命題是不對的：即使 $\lambda $ 不是特徵值，算子 $T-\lambda I$ 可能也沒有逆。因此，算子的譜總是包含其所有特徵值，但卻不限於此。

例如考慮希爾伯特空間 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ，它由所有雙向無限實數序列

　
: $v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )$

構成，這些序列須滿足平方和 $\sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}$ 有限。雙向移位算子 $T$ 簡單地將序列的每個元素移動一個位置；即如果 $u=T(v)$ 則對所有整數 $i$ 有 $u_{i}=v_{i-1}$ 。特徵值方程 $T(v)=\lambda v$ 在該空間中無解，因為如果有解則意味著所有 $v_{i}$ 擁有相同的絕對值（如果 $\lambda =1$ ）或者是等比數列（如果 $\lambda \neq 1$ ）；無論哪種情形，它們的平方和都不可能有限。然而，算子 $T-\lambda I$ 在 $|\lambda |=1$ 時不可逆。例如滿足 $u_{i}=1/(|i|+1)$ 的序列 $u$ 屬於 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ；但是不存在 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ 中的序列 $v$ 使得 $(T-I)v=u$ （即對所有 $i$ 有 $v_{i-1}=u_{i}+v_{i}$ ）。

### 基本性質

有界算子 _T_ 的譜總是複平面的非空閉有界子集。

如果譜是空的，那麼預解函數

　
: $R(\lambda )=(\lambda I-T)^{-1}$ ，

在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明，預解函數 _R_ 在其定義域是全純的。通過向量值情形的劉維爾定理可知這個函數是常數。因為它在無窮遠處為零，所以恆為零。產生矛盾。

譜的有界性由關於 _λ_ 的諾伊曼級數展開得出；頻譜 _σ_(_T_) 有界 ||_T_||。類似的，可以證出譜是閉集。

譜的界 ||_T_|| 可以稍作改進。_T_ 的譜半徑 _r_(_T_) 是複平面上最小的包含譜 σ(_T_) 以原點為圓心的圓的半徑，即

　
: $r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}$ 。

譜半徑公式指出，對於巴拿赫代數的任何元素 _T_ 有

　
: $r(T)=\lim _{n\to \infty }\|T^{n}\|^{1/n}$ 。

## 算子譜點分類

巴拿赫空間上的有界算子 _T_ 可逆（即有有界逆），若且唯若 _T_ 有正下界且值域稠密。 因此，T 的譜可以分為以下部分：

1. 如果 λ_I_-_T_ 沒有正下界，則 λ∈σ(_T_)。特别地，这包含 λ_I_-_T_ 不是單射即 λ 是特徵值的情形。特徵值集合被稱為 _T_ 的**點譜**，記為 σp(_T_)。 另一情形，λ_I_-_T_ 是一一映射但沒有正下界。这样的 λ 不是特徵值，而是 _T_ 的近似特徵值（特徵值本身也是近似特徵值）。近似特徵值集合（包含點譜）被稱為 _T_ 的**近似點譜**，記為 σap(_T_)。
2. 如果 λ_I_-_T_ 值域不稠密，則 λ∈σ(_T_)。这样的 λ 的集合被稱為**壓縮譜**，記為 σcp(_T_)。它的子集，使得 λ_I_-_T_ 值域不稠密但是單射的 λ 的集合，被稱為 _T_ 的**剩餘譜**，記為 σr(_T_)。

注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交（但點譜和剩餘譜不相交）。

以下小節提供了關於上述 σ(_T_) 分類的更多細節。

### 點譜

如果一個算子不是單射（因此有某個非零的 _x_ 滿足 _T_(_x_)=0），那它顯然是不可逆的。 因此，如果 λ 是 _T_ 的特徵值，則必有 λ∈σ(_T_)。_T_ 的特徵值集合被稱為 _T_ 的**點譜**，記為 σp(_T_)。

### 近似點譜

更一般地，_T_ 如果沒有正下界，則不可逆； 也就是說，不存在 _c_>0 滿足 ||_Tx_||≥_c_||_x_|| 對所有 _x_ ∈ _X_。因此，譜包括**近似特徵值**集合，即使得 _T_ -λ_I_ 沒有正下界的 λ； 等價地，它是滿足如下條件的 λ 的集合，存在單位向量 _x_1, _x_2, ... 使得

　
: $\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0$ 。

近似特徵值集合被稱為**近似點譜**，記為 **σap(_T_)**。

容易看出特徵值屬於近似點譜。

**例子**考慮 _l_2(**Z**) 上雙向移位算子 _T_ 定義如下

　
: $T(\cdots ,a_{-1},{\hat {a}}_{0},a_{1},\cdots )=(\cdots ,{\hat {a}}_{-1},a_{0},a_{1},\cdots )$

其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知 _T_ 沒有特徵值，但滿足 |λ|=1 的每個 λ 都是近似特徵值；令 _x_n 表示向量

　
: ${\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )$

則對所有 _n_ 有 ||_x_n||=1，但

　
: $\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0$ 。

由於 _T_ 是酉算子，所以它的譜位於單位圓上。 因此 _T_ 的近似點譜是其整個譜。 這對於更一般的一類算子也是正確的。

酉算子是正規的。由譜定理可知，希爾伯特空間 H 上的有界算子是正規的，若且唯若其等價於（將 H 等價為 L^2 空間）乘法算子。 可以證出，有界乘法算子的譜與它的近似點譜相等。

### 剩餘譜

算子可以是單射甚至有正下界，但不可逆。_l_ 2(**N**) 上的單向移位算子就是一例。這個移位算子是一個等距同構，因此下界為 1。但是它不可逆，因為它不是滿射。滿足 λ_I_-_T_ 是單射但值域不稠密的 λ 的集合被稱為**剩餘譜**，記為 **σr(_T_)**。

### 連續譜

滿足 λ_I_-_T_ 是單射且值域稠密但不是滿射的 λ 的集合，被稱為 _T_ 的**連續譜**，記為 **σc(_T_)**。 因此，連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即

　
: $\sigma _{c}(T)=\sigma _{ap}(T)\setminus (\sigma _{r}(T)\cup \sigma _{p}(T))$ 。

### 邊緣譜

算子的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。

### 例子

氫原子提供了這種分解的例子。氫原子的哈密頓算子的特徵函數被稱為**本徵態**，並被分為兩類。 氫原子的束縛態對應於譜的離散部分（它們具有離散的特徵值集合，可由里德伯公式計算得到），而電離過程的最終結果由連續部分描述（碰撞 / 電離的能量不是「量子化的」）。

## 進一步結果

如果 _T_ 是一個緊算子，則可以證明譜中任意非零 λ 是特徵值。 換句話說，這種算子的譜，被定義為特徵值概念的推廣，在這種情形下僅包括通常的特徵值和 0（可能有）。

如果 _X_ 是希爾伯特空間且 _T_ 是正規算子，則有被稱為譜定理的顯著結果，給出了正規有限維算子的對角化定理的類比（例如埃爾米特矩陣）。

## 無界算子的譜

可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間 _X_ 上的無界算子，這些算子不再是巴拿赫代數 _B_(X) 中的元素。 推廣類似於有界情形。 複數 λ 被稱為在**預解集**中，即線性算子 _T_

　
: $T:D\subset X\to X$

的譜的補集，如果算子

　
: $T-\lambda I:D\to X$

有有界逆，即如果存在有界算子

　
: $S:X\rightarrow D$

使得

　
: $S(T-I\lambda )=I_{D},\,(T-I\lambda )S=I_{X}$ 。

如果該性質不滿足，則複數 λ 在**譜**中。 可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。

無界算子的譜通常是複平面的閉子集，可能為空集。

對於預解集中的 _λ_（即不在譜中），與有界情形相同，λ_I_-_T_ 必須是雙射，因為它必須有雙邊逆。 如前所述，如果逆存在，則其線性直接可得，但一般來說，它可能無界，因此必須單獨檢驗該條件。

然而如果引入了 _T_ 是閉算子的附加假設，由閉圖像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，與有界情情形相同，複數 _λ_ 位於閉算子 _T_ 的譜中，若且唯若 λ_I_-_T_ 不是雙射。 注意到閉算子包括所有有界算子。

通過其譜測度，可以定義任何自伴算子的譜分解，有界或其他類型分解為絕對連續、純點和奇異部分。

## 有單位的巴拿赫代數的譜

令 _B_ 為包含單位 _e_ 的復巴拿赫代數。我們定義 _B_ 的元素 _x_ 的譜 σ(_x_)（或更明確地 σB(_x_)）為使 λ_e_-_x_ 在 _B_ 中不可逆的那些複數 λ 的集合。這推廣了巴拿赫空間 _X_ 上有界線性算子 _B_(_X_) 的譜的定義，因為 _B_(_X_) 是一個巴拿赫代數。

## 參見

* 本性譜
* 自伴算子
* 偽譜
* 預解集

## 參考文獻

* Dales et al., _Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis_, ISBN 0-521-53584-0
* Hazewinkel, Michiel (編), Spectrum of an operator, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4