解析容度

在複分析中，複平面的緊子集 K 的**解析容度**（analytic capacity）是一個標誌了 $\mathbb {C} \setminus K$ 上的有界解析函數可以有「多大」的數。粗略地說，解析容度 $\gamma (K)$ 測量了 $\mathbb {C} \setminus K$ 上的有界解析函數所組成的空間的單位球的大小。

這個概念最早由阿爾福斯在 1940 年代研究有界解析函數的奇點的可去性時引入。

## 定義

緊集 $K\subset \mathbb {C} $ 的解析容度定義為

$$
\gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}
$$

其中， ${\mathcal {H}}^{\infty }(U)$ 表示有界解析函數 $f:U\to \mathbb {C} $ 組成的集合。此外，

$$
f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}
$$

$$
f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}
$$

注意如果令 $g(z)=f(1/z)$ ，則有 $f'(\infty )=g'(0)$ 。但是，一般來說 $f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}$ 。

對任意集合 $A\subset \mathbb {C} $ ，定義

$$
\gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}
$$

其中 K 取遍所有包含於 A 的緊集。

## 可去集與潘勒韋問題

設 K 是緊集，若對任意包含 K 的開集 $\Omega $ ，集合 $\Omega \setminus K$ 上的有界全純函數都可以解析延拓到整個 $\Omega $ 上，則稱 K 是可去集。根據黎曼可去奇點定理，單點集都是可去的。這啟發保羅・潘勒韋於 1880 年提出了一個更一般的問題：「 $\mathbb {C} $ 的哪些子集是可去的？」

容易看出，K 是可去的若且唯若 $\gamma (K)=0$ 。然而，解析容度是純複分析的概念，要得到更多的幾何特性描述還有許多工作要做。

## 阿爾福斯函數

對緊集 $K\subset \mathbb {C} $ ，存在唯一的極值函數，即 $f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)$ 使得 $\|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)$ 。這個函數稱為 K 的**阿爾福斯函數**。

## 解析容度與豪斯多夫維數

用 $\dim _{H}$ 表示豪斯多夫維數， ${\mathcal {H}}^{1}$ 表示 1 維豪斯多夫測度。則 ${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$ 蘊含 $\gamma (K)=0$ ，而 $\dim _{H}(K)>1$ 保證了 $\gamma (K)>0$ 。然而， $\dim _{H}(K)=1$

與 ${\mathcal {H}}^{1}(K)>0$ 的情況要複雜得多。

### 長度大於 0 而解析容度等於 0 的例子

之前給出了緊集的 1 維豪斯多夫測度與解析容度的部分對應關係，據此可以猜想 $\gamma (K)=0$ 蘊含 ${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$ 。然而，這個猜想是錯的。A. G. Vitushkin 首先給出了反例，J. Garnett 又給出了簡單得多的例子。後者給出的構造如下：

設 $K_{0}:=[0,1]\times [0,1]$ 是單位正方形。然後 $K_{1}$ 是 4 個邊長 1/4 的正方形的並，這 4 個小正方形分別位於 $K_{0}$ 的四個角。以此類推， $K_{n}$ 是 $4^{n}$ 個邊長為 $4^{-n}$ 的正方形（記做 $Q_{n}^{j}$ ）的並，每個 $Q_{n}^{j}$ 位於某個 $Q_{n-1}^{k}$ 的一角。令 K 是所有 $K_{n}$ 的交，則 ${\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}$ ，但是 $\gamma (K)=0$ 。

### Vitushkin 猜想

設 $K\subset \mathbb {C} $ 是緊集，Vitushkin 猜想敘述為

$$
\gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0
$$

其中 $\operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta $ 表示在方向 $\theta $ 上的正交投影。根據上面的結果，當 $\dim _{H}(K)\neq 1$ 時，Vitushkin 猜想為真。

Guy David 於 1998 年證明了 Vitushkin 猜想在 $\dim _{H}(K)=1$ 且 ${\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty $ 的情況。2002 年，Xavier Tolsa 證明了解析容度是半可數可加的（countably semiadditive）。即，存在常數 $C>0$ 使得對緊集 $K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}$ （其中 $K_{i}$ 是博雷爾集）， $\gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}$

David 與 Tolsa 的定理合起來能推導出，當 K 關於 ${\mathcal {H}}^{1}$ 是 σ 有限的時，Vitushkin 猜想為真。可是，對於不是 ${\mathcal {H}}^{1}$ σ 有限的 1 維的 K，這個猜想仍然有待解決。

## 參考資料

* Mattila, Pertti (1995). _Geometry of sets and measures in Euclidean spaces_. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
* Pajot, Hervé (2002). _Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral_. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
* J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, _Proc. Amer. Math. Soc._ **21** (1970), 696–699
* G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, _Rev. Math. Iberoam._ **14** (1998) 269–479
* Dudziak, James J. (2010). _Vitushkin's Conjecture for Removable Sets_. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
* Tolsa, Xavier (2014). _Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory_. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.