质量矩阵

在分析力學中，**質量矩陣**是質量到廣義坐標概念上的推廣，它給出了系統廣義坐標 _q_ 的變化率和系統動能 _T_ 的關係，即

　
: $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$

其中 ${\dot {q}}^{\mathrm {T} }$ 是向量 ${\dot {q}}$ 的 轉置 。若粒子質量 $m$ ，速度 _v_, 那麼單個粒子的動能 _T_ 為

　
: $T\;=\;{\frac {1}{2}}m|v|^{2}\;=\;{\frac {1}{2}}v\cdot mv$

將系統中每個粒子的位置用 _q_ 表示，可推導出上述的一般關係式。

例如，在一維中討論兩體粒子系統。這樣一個系統的位置具有 2 個自由度，每個粒子的位置都可由廣義位置矢量描述：

　
: $\mathbf {x} =[x_{1}\,x_{2}]^{\mathrm {T} }$

假設粒子具有質量 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ，系統的動能為

　
: $E=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}$

將質量列寫成矩陣

　
: $M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}$

那麼總動能由下列公式給出：

　
: $E={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}^{\mathrm {T} }M{\dot {\mathbf {x} }}$

在多維情況下，質量矩陣會變得更為複雜。例如，在二維情況下，一個給定的粒子具有兩個自由度，因此，如果第 _i_ 個粒子對應自由度 _j_ 和 _j_+1，那麼

　
: $M_{j,j}=M_{j+1,j+1}=m_{i}$

在如剛體動力學之類質量是分布式的情況下的應用中，非對角線元素非零的情況也是存在的。

一般地，質量矩陣 _M_ 依賴於位置矢量 _q_，且隨時間變化。拉格朗日力學中，常微分方程（組）描述了在系統中由粒子的位置所定義的廣義坐標矢量隨時間的變化。方程中的動能公式表示所有粒子的總動能。

## 示例

### 二體線性系統

考慮由僅限於直線軌道的兩個點狀物體。這樣一個系統的位置具有 2 個自由度，每個粒子的位置都可由廣義位置矢量 _q_ 描述，即兩個粒子沿著軌道的位置：

　
: $q=[x_{1}\,x_{2}]^{\mathrm {T} }$ .

設粒子的質量分別為 _m_1, _m_2, 系統的總動能是

　
: $T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x}}_{i}{}^{2}$

也可以寫為

　
: $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$

其中

　
: $M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}$

### N 體系統

更一般地，考慮一個 N 個粒子的系統，記標號分別為 _i_=1, 2, ..., _N_，其中粒子 _i_ 的位置是 _Ni_ 個自由直角坐標（其中 _Ni_ 是 1，2，或 3）。令 _q_ 是由坐標形成的列向量。質量矩陣 _M_ 是對角塊矩陣，每個塊中的對角元素是對應的粒子的質量:

　
: $M=\mathrm {diag} [m_{1}I_{n_{1}},m_{2}I_{n_{2}},\cdots ,m_{N}I_{n_{N}}]$

其中 **I**n i 是 _ni_ × _ni_ 單位陣，更具體地:

$$
M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}
$$

### 轉動系統

考慮兩個點狀的物體，質量分別為 _m_1，_m_2，連接到一個長度為 2_R_ 的剛性無質量棒的兩端。該組件可以自由旋轉且在一個固定的平面上。該系統的狀態可以由廣義坐標向量描述如下：

　
: $q=[x,y,\alpha ]$

其中 _x_, _y_ 是以棒中點為原點的直角坐標系，角度 _α_ 是棒轉動的角度。兩個粒子的位置和速度是：

　
: ${\begin{array}{ll}p_{1}=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}=({\dot {x}},{\dot {y}})+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\p_{2}=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}=({\dot {x}},{\dot {y}})-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{array}}$

它們的總動能是:

　
: $T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}+2Rd\cos \alpha {\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\sin \alpha {\dot {y}}{\dot {\alpha }}$

其中 $m=m_{1}+m_{2}$ ， $d=m_{1}-m_{2}$ 。 這個公式寫成矩陣形式為：

　
: $T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\mathrm {T} }M{\dot {q}}$

其中

　
: $M={\begin{bmatrix}m&0&Rd\cos \alpha \\0&m&Rd\sin \alpha \\Rd\cos \alpha &Rd\sin \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}$

這裡矩陣依賴於棒的當前角度 _α_。

對於連續介質力學的離散近似，如在有限元分析中，有多種方法可以構造質量方程，這取決於所期望的計算和精度性能。例如，利用忽略每一有限元變形的集中質量法可以構建一個對角質量矩陣並且不需要通過變形元來累積質量。

## 參考文獻

## 參見

* 剛度矩陣
* 慣性力矩
* 應力 - 能量張量