計算尺

**算尺**，也稱**計算尺**、**對數計算尺**或**滑尺**（英語：Slide rule），是一種類比計算機，通常由三個互相鎖定的有刻度的長條和一個滑動窗口（稱為游標）組成。在 1970 年代之前廣泛使用於對數計算，之後被電子計算機所取代，成為過時技術。

## 基本概念

在其最基本的形式中，算尺用兩個對數標度來作乘法除法這種在紙上進行既費時又易出錯的常見運算。算尺本身只提供結果的數字序列，使用者通過估計決定小數點在結果中的位置來獲得最終結果。在包含加減乘除的計算中，加減通常在紙上進行，而非算尺上。

實際上，就是最基本的學生用算尺也遠遠不止兩個標度。多數算尺由三個直條組成，平行對齊，互相鎖定，使得中間的條能夠沿長度方向相對於其他兩條滑動。外側的兩條是固定的，使得它們的相對位置不變。有些算尺（"雙面" 型）在尺和滑杆的兩面都有刻度，有些在外條的單面和滑杆的兩面有刻度，其餘的只有一面有刻度（"單面" 型）。一個滑動標記有一個或多個豎直的對齊線用於在任何一個刻度上記錄中間結果，也可用來找出不相鄰的刻度上的對應點。

更複雜的算尺可以進行其他計算，例如平方根，指數，對數，和三角函式。

通常，數學計算通過把滑動杆上的記號和其他固定杆上的的記號對齊來進行，結果通過觀察杆子上的其他記號的相對位置來讀出。

## 運算

### 乘法

下圖顯示了一把有兩個對數刻度的簡化算尺。也就是說，一個數字 $x$ 印在每把尺的離 "索引"(用數字 1 標記) 的距離和 $\log x$ 成正比的地方。

根據 $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ 和 $\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\log(x)-\log(y)$ 這兩個法則，對數把乘法和除法操作變為加法和減法。
把頂部刻度向右滑動 $\log(x)$ 的距離把每個數字 $y$ （位於頂部刻度 $\log(y)$ 的位置）和底部刻度 $\log(x)+\log(y)$ 位置對齊了。因為 $\log(x)+\log(y)=\log(xy)$ ，底部刻度的這個位置標記為 $xy$ ，也就是 $x$ 和 $y$ 的積。

下面的圖示顯示了 2 乘其它任何數字。上面刻度的索引（1）和下面刻度的 2 對齊了。這把整個上刻度右移了 $\log(2)$ 的距離。上刻度的數字（乘數）和下刻度上的乘積對應。例如，上刻度的 3.5 和下刻度的乘積 7 對齊，而 4 和 8 對齊，等等，如圖所示:

操作可能會 "超出範圍"。例如上圖顯示上刻度的 7 沒有任何下刻度的數字對齊，所以它沒有給出 $2\times 7$ 的答案。在這種情況下，使用者可以把上刻度往左移一點，乘以 0.2 而不是 2，如下圖所示:

這裡，算尺的使用者必須記得相應的調整小數點以得到最後答案。我們要找到 $2\times 7$ ，但是我們實際上計算了 $0.2\times 7=1.4$ 。所以真正的答案是 14 而不是 1.4.[1]

### 除法

下圖展示了運算 5.5÷2 的過程。上面的 2 與下面的 5.5 對齊，而上面的「1」刻度線則對應商 2.75。做除法的方式不止一種，但此處展現的方法不會導致最終結果越界（最終結果不在尺上）。使用者可以選擇使用兩端的兩個「1」刻度中的任意一個。

### 其他運算

除了對數刻度，有些算尺還有其他數學函式燒錄在輔助刻度上。最常見的有三角函式，通常有正弦和正切，常用對數（log10，用於取一個乘數刻度上的值的對數)，自然對數（ln）和指數函式（_ex_）刻度。有些尺包含一個畢達哥拉斯刻度，用來算三角形的邊，還有一個算圓的刻度。其它的有計算雙曲函式的刻度。在直尺上，刻度和它們的標示是高度標準化的，主要的變化在於哪些刻度被包括進來以及出現的次序。:

#### 求根和冪

有單 - 十（C 和 D）、雙 - 十（A 和 B）和三 - 十（K）刻度。例如，要計算 $x^{2}$ ，我們可以在 D 上找到 x，從 A 上讀出它的平方。把這個過程反過來，我們可以計算平方根，同樣 3、1/3、2/3 和 3/2 次冪都可以這樣算。在刻度上找底 x 的時候必須小心，有時候會有不只一個地方出現 x。例如，A 刻度上有兩個 9，要找 9 的平方根，我們必須使用第一個 9；用第二個 9 就會給出 90 的平方根。

#### 三角函式

對於 5.7（即 $\sin ^{-1}(0.1)$ ）到 90 度之間的角度，正弦可以通過比較 S 刻度和 C 或 D 找到。S 刻度有第二套角度（有時會用不同的顏色），從反方向增大，這是用來算餘弦的。正切可以通過比較 T 刻度和 C, D 刻度，或者，對於大於 45 的角，可以比較 CI 刻度。小於 5.7 度的角的正弦和正切可以使用 ST 刻度找到。反三角函式可以用相反的過程找。

#### 對數和指數

以 10 為底的對數和指數可以用 L 刻度找到，它是線性的。底是 e 的時候要用 LL 刻度。

#### 加法和減法

計算尺通常不用做計算加法和減法，但也並非不可能。做加減法需要用到兩種獨特的方法。

第一種方法是將加減法變為乘除法。做加法時，將兩數之商加 1，然後乘以除數即得結果；做減法時，將兩數之商減 1，然後乘以除數即得結果。

$$
x+y=\left({\frac {x}{y}}+1\right)y.
$$

$$
x-y=\left({\frac {x}{y}}-1\right)y.
$$

這種方法類似於帶有高速對數運算電路的專用電腦（比如 GRAPE 超級電腦）和隱藏式馬可夫模型的計算方式。

第二種方法利用可滑動的 L 刻度（線性刻度）。L 刻度上的數字線性分布，計算式只需將尺向左（減）或向右（加）滑動即可讀出結果。

## 物理設計

### 標準直算尺

算尺的長度以刻度的長度而論，不是一整個裝置的長度而論。最常見的高端算尺是 10 英寸雙工尺，而學生尺經常是 10 英寸單工。袖珍尺通常是 5 英寸長。

通常分隔記號標到兩位有效數字的精度，然後使用者估算第三位數字。有些高端尺子有帶放大鏡的游標，能使精度加倍，使得 10 英寸尺和 20 英寸尺一樣好用。

有一些小技巧可以用來增加方便性。三角刻度有時候有兩個標記，一個黑一個紅，標著互補的角度，這就是所謂 "Darmstadt" 風格。雙工算尺經常在背面複製有些刻度。刻度經常被 "分裂" 以取得更高的精度。

特殊的算尺被設計用來適合不同的工程，商業和銀行的用途。這些經常把常用計算直接用特殊刻度表示，例如，貸款計算，最佳買入數量，或者特殊的工程方程式。

### 圓算尺

**圓算尺**有兩種基本類型，一種有兩個游標，另外一種有一個活動圓盤和一個游標。圓算尺的基本優點在於最長的尺寸縮小到大約 3 倍（也就是 π 倍）。例如，一把 10 cm 圓算尺和一把 30 cm 普通算尺的精度相當。圓算尺也消除了 "越界" 計算，因為刻度被設計為 "環繞" 的；它們從不需要在結果接近 1.0 的時候重新導向 —— 尺子總是在界內的。

圓算尺在機械方面更為強壯，活動更平滑而且比直算尺更精確，因為他們只依賴於一個中央軸承。中央支撐很少脫開。軸承也避免了劃傷表面和游標。只有最昂貴的直算尺才提供這些特性。

最高精度的刻度放在最外環。高端的圓算尺不用 "割裂" 式刻度，而是對比較困難的刻度（如雙對數刻度）採用螺線刻度。一個八英寸進階圓算尺可以有一個 50 英寸雙對數刻度！

技術上來講，圓算尺的真正缺點在於不那麼重要的刻度離中心比較近，所以精度較差。歷史上，圓算尺的主要缺點只是它們不是標準的。多數學生在直算尺上學習算尺使用方法，然後沒有發現有換到圓算尺的必要。

今天還在全球日常使用的算尺是 E6B。這是 1930 年代第一次製造的一把圓算尺，用於幫助飛機飛行員進行航位推演算法計算。這在所有飛行商店依然可以買到，並仍被廣泛使用。當全球定位系統減少了航位推算在航空中的使用的同時，E6B 仍然被用作首選或被用航位推算儀器並且大部分飛行學校將它的某種程度的掌握作為學習要求。

1952 年、瑞士表公司百年靈（Breitling）引入了一款飛行員腕錶，帶有整合圓算尺用於飛行時間計算：Breitling Navitimer（百年靈航時計算機）。Navitimer 圓算尺，被百年靈稱為 "航空計算機"，其特色在於飛行速度，爬升速度，飛行時間，距離，和燃料消耗函式，以及公里–海里和加侖–升燃料容量轉換函式。

### 柱狀算尺

柱狀算尺（Cylindrical slide rules）主要有兩種：螺旋刻度柱狀算尺（比如 Fuller 算尺，Otis King 算尺和 Bygrave 算尺）、滾軸式柱狀算尺（比如 Thacher 和部分型號的 Loga 算尺）。柱狀算尺與普通算尺相比，好處是：更長的刻度以及更高的準確性。

### 材料

傳統上，算尺由硬木製成，例如桃花心木或黃楊木，再加上玻璃或金屬滑槽。1895 年，日本公司逸見計算尺開始用竹子製作算尺，其優點是對溫度和濕度不那麼敏感。這些竹算尺於 1933 年秋引入瑞典 [2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）， 可能只比引入德國早一點點。

最好的早期算尺是竹子作的，它尺寸穩定，堅固並且自然的自潤滑。它們採用賽璐珞或塑料刻度。有些採用桃花心木製作。由來的算尺由塑料製成，或者漆了塑料的鋁。

所有進階算尺都刻了數字和刻度，然後填上漆或其他樹脂。漆或烙的算尺品質差一點，因為刻度容易磨掉。

早期的游標是帶金屬框的玻璃。後來的游標是在聚四氟乙烯軸承上滑動的丙烯酸樹脂或聚碳酸酯。

帶放大鏡的游標可以幫助視力差的工程師，也可以把算尺的精度加倍。

進階的算尺帶有精巧的勾點，使得尺子不會意外脫開，還有緩衝區，使得把尺子扔到桌子上時不會把刻度或游標滑傷。

推薦的雕刻刻度的清理方式是用鋼絲絨輕輕的擦洗。對於漆算尺，保險的方法是用商用窗戶清潔液和一塊軟布。

## 歷史

計算尺發明於大約 1620–1630 年，在約翰・納皮爾對數概念發表後不久。牛津的埃德蒙・甘特（Edmund Gunter）發明了一種使用單個對數刻度的計算工具，當和另外的測量工具配合使用時，可以用來做乘除法。1630 年，劍橋的威廉・歐垂發明了圓算尺，1632 年，他組合兩把甘特式計算尺，用手合起來成為可以視為現代的計算尺的裝置。和與他同時代的牛頓一樣，歐垂將他的想法私下傳授給他的學生，卻延遲發表它們，也和牛頓一樣，他捲入了發明優先權的糾紛，是和他曾經的學生 Richard Delamain。歐垂的想法只在他學生 William Forster 在 1632 和 1653 年的出版物中公開過。

1722 年，Warner 引入了 2 - 和 3 - 十進刻度，1755 年 Everard 匯入倒數刻度；包含所有這些刻度的算尺通常稱為「多相」算尺。

更現代的形式是由法國炮兵中尉 Amédée Mannheim 於 1859 年引入，「他很幸運，因為他的算尺由全國聞名的公司製作並被法國炮兵採用。」大約也就是在那個時間，隨著工程成為受到承認的一種職業活動，算尺在歐洲開始廣泛使用。直到 Edwin Thacher 在那裡引入了圓算尺，算尺才變得普遍起來。雙工尺於 1891 年由 William Cox 發明，由紐約的 Keuffel&Esser 公司生產。[3][4]

第二次世界大戰中，需要進行快速計算的投彈者和航行者經常使用專用算尺。美國海軍的一個辦公室實際上設計了一個通用算尺「底盤」，它由一個鋁主體和塑料游標，可以把賽璐珞卡片（兩面印刷）插到裡面以進行特定的計算。這個過程被發明來用於計算射程，燃料使用和飛行器高度，然後用於很多目的。參與曼哈頓計劃的原子物理學家恩里科・費米就常隨身攜帶一把計算尺。費米在當時基礎科學落後的義大利長大，靠自學掌握了難度很大的量子物理學與廣義相對論知識，是 20 世紀少見的在實驗物理學與理論物理學都做出過巨大成就的科學家。

從 1950 年代到 1960 年代，計算尺是工程師身分的象徵，如同聽診器代表了醫學行業一樣。列舉一則軼事：德國火箭專家沃納・馮・布勞恩，在二戰後到美國從事航天計劃工作時隨身帶了兩把三十年代的老式「Nestler」算尺。終其一生，他沒有用過任何其他袖珍計算儀器；顯然計算尺在他進行火箭設計的參數估算，和其他計算中，完美的完成任務。

有些工程系的學生和工程師常把 10 - 英寸算尺別在皮帶上，或者把一把 10 - 或 20 - 英寸算尺安放在家中或辦公室里做精確運算用（當然，再精確運算，計算尺就不行了，需要一本厚厚的八位對數表），而隨身攜帶一把 5 - 英寸袖珍算尺。所有這一切在 1970 年代告終，因為微型計算機頓使算尺過時。袖珍科學計算機（即帶有三角和對數函式的計算機）的誕生為計算尺敲響了最後的喪鐘。1972 年的惠普 HP-35 是最早的科學計算機。

2004 年，教育研究者 David B. Sher 和 Dean C. Nataro 構想了基於加減化法的新型算尺，一個比對數更老的快速計算乘積的演算法。但是除了最初的原型，並沒有人有製造該算尺的實際興趣。

## 優缺點

* 算尺趨向於使 "假精度" 和有效數字的錯誤得到糾正。通常算尺使用者的精度是 3 位。這和多數工程公式所用的資料是相符合的（例如材料強度，精確到 2 到 3 位精度，有大量的安全係數 — 典型值為 1.5 倍以上 — 存在，作為對建築水平的誤差，變化和材料的變化的附加修正）。當使用現代的袖珍計算機時，精度顯示為 7 到 10 位，而實際上，結果不可能比輸入數字有更多的精度。
* 算尺_需要_一直估算結果的數量級。在算尺上，1.5 × 30（等於 **45**）和 1,500,000 × 0.03（等於 **45,000**）結果相同。這取決於工程師來持續的估算結果的 "有效性"：這在電腦程式或計算機的使用中經常不存在，例如可能是一個沒有能力判斷數字的合理性的職員在操作計算機。
* 當計算一系列乘法或除法，而因子相同的話，答案可以直接從算尺上掃到，而不用任何操作。例如，在上圖的算尺上，你可以計算任何乘 2 的運算，只要看，不用手。這在計算百分比的時候很有用，例如考試成績。
* 算尺不用電池。
* 計算尺十分輕便。
* 考場不允許帶電腦和電子計算機，可以帶計算尺。
* 算尺，不像電子計算機，是高度標準化的，所以當換另一把尺的時候，沒必要重新學習。

在使用電子計算機之餘再使用算尺的好處是：一個重要的計算可以通過算兩遍來校對；因為兩個儀器區別太大，不大可能兩次犯同樣的錯誤。

缺點：計算尺最大的缺點是不能進行加法和減法運算，必須用算盤或其他輔助工具進行加減運算。

## 計算尺在中國

中國歷史上最早使用計算尺的是康熙皇帝，他使用的是一把象牙制的甘特式計算尺，當時稱為假數尺。康熙時代的假數尺有四種類型：假數尺、正弦假數尺、切線假數尺、割線假數尺。故宮博物院現藏多把康熙御製的銅質和象牙假數尺。

70 年代以前中國的理工科學生，人手一把，是必不可少的計算工具。上海計算尺廠製造的「向量自然對數計算尺」是仿 Keuffel & Esser 式的，另有一型短計算尺則是仿德國 Faber-Castell，製造精確美觀。

KE 型計算尺不帶厘米、毫米刻度；德國 Faber-Castell 計算尺的優點是帶厘米、毫米刻度尺，既可用於計算，又可用於劃線製圖。

## 尋找和收藏算尺

由於上面給出的原因，有些人依然喜歡使用計算尺而不是電子計算機作為實用的計算工具。很多其他人則出於懷舊保留了他們的老算尺，或者作為愛好收集算尺，或作為別開生面的擺設品。

很流行的型號有 Keuffel & Esser 的 _Deci-Lon_，進階科學和工程計算尺，分為 10 - 英寸 "普通" 型（_Deci-Lon 10_）和 5 - 英寸 "袖珍" 型（_Deci-Lon 5_）。另一個流行的美國型號是 8 - 英寸科學儀器圓算尺。歐洲的型號中，Faber-Castell 的高端型號在收藏者中最為流行。

雖然有大量算尺在市場上流通，儲存良好的標本經常令人吃驚的昂貴。很多在線上拍賣網站上賣的算尺由破損或缺零件。替換部件很稀缺，所以很貴，通常只在個人收藏者的網站上有零星出售。Keuffel&Esser1950 年以前的型號特別有問題，因為游標的末端隨著時間會被化學反應損毀。很多情況下，最經濟的獲得可以用的算尺的辦法是購買多把同一型號的算尺，再把他們的部件組裝起來。

獵尋計算尺的最佳去處是「跳蚤市場」，常可不期而遇地花 2 美元買到儲存良好的 KE 或 Faber-Castell 計算尺。

## 附註

1. **^** 重設刻度不是處理像 $2\times 7$ 這樣的超範圍乘法的唯一辦法；其他方法有: (1) 使用雙 - 十刻度。(2) 使用摺疊刻度。在這個例子中，把 C 刻度的 1 對準 D 刻度的 2 就可以了。把游標移動到 CF 的 7，再從 DF 讀取結果。(3) 使用 CI 刻度。把 CI 上的 7 放到 D 刻度的 2 上面，然後從 D 刻度的對準 CI 刻度的 1 的地方讀取結果。因為 1 在 CI 上出現兩次，總有一個在範圍內。方法 1 很容易理解，但會帶來精度的損失。方法 3 的優點在於它只用兩個刻度。
2. **^** _雙對數雙工 Decitrig 算尺 4081 號：手冊_, Keuffel & Esser, Kells, Kern，和 Bland, 1943, p. 92.
3. **^** _多相雙工算尺，自學手冊_, Breckenridge, 1922, p. 20.

## 參見

* 算盤
* 常用對數
* 對數
* 算籌
* 納皮爾的骨頭
* 諾模圖（Nomogram）
* E6B
* 史密斯圖
* 計算機
* 英文維基百科上的 Slide rule（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參考資料

## 外部連結

* 大量計算尺訊息（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 惠普計算機博物館的算尺訊息（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _製作你自己的算尺_（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（PDF）
* ASA 微型 E-6B 飛行電腦–特殊用途圓計算尺
* ASA E-6B 金屬飛行電腦– E-6B 的金屬型
* _製作你自己的圓算尺_（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 算尺世界（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）–完全算尺參考和買賣網站
  * 算尺如何工作（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * Pickett 算尺
* Breitling Navitimer 資訊頁–帶圓算尺的腕錶
* Sag Milling 線上算尺 算尺的全功能線上版本
* Oughtred 協會網頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 關於算尺的儲存和歷史 dedicated to preservation and history of slide rules
* 艾里克算尺網站 — 購買和清理算尺和其他主題的資訊
* 算尺價格 — 各種算尺的型號在 ebay 賣掉的價格的統計
* Clark McCoy—K&E 算尺的詳細資訊：目錄，掃描的手冊，各種型號的歷史資訊
* hand-made cylindrical slide rule（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.giovannipastore.it/index\_chinese.htm（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.giovannipastore.it/ANTIKYTHERA.htm（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Giovanni Pastore - Antikythera e i regoli calcolatori - Rome 2006（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）