角動量圖

在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，**角動量圖**是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。

此方法是由立陶宛物理學家阿朵發斯・朱西斯於 20 世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。

## 狄拉克符號與朱西斯角動量圖的等價

### 角動量量子態

單一粒子帶有總角動量量子數 _j_ 與總磁量子數 _m_ = _j_, _j_ − 1, ..., −_j_ + 1, −_j_，其量子態向量以狄拉克符號的括量（Ket）標記為 |_j_, _m_⟩，其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的包量（Bra）為⟨_j_, _m_|，其圖形為雙箭頭的箭號，指向與括量相反。

例子中

* 量子數 _j_、_m_ 常標記在箭頭附近，以表示特定的角動量量子態，
* 箭頭常在線段的中間
* 等號 "=" 置於等價的圖樣之間，如同相應的代數運算。

最基本的包量與括量圖形符號為：

箭號指向頂點或從頂點指出，分別為

* 標準表象（standard representation）以一條離開頂點的指向線段表示，
* 反標準表象（contrastandard representation）則是以一條進入頂點的指向線段表示。

箭號一個一個相接續。在反標準表象中，採用時間反轉算符 _T_。_T_ 算符是么正的，也就是其厄米伴算符 _T_†等於其反算符 _T_−1，即 _T_† = _T_−1。其作用在位置算符時，結果保持不變：

　
: $T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}$

線動量算符則變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}$

自旋算符也變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}$

既然軌域角動量算符 **L** = **x** × **p**，在 _T_ 算符作用後也會變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}$

也因此總角動量算符 **J** = **L** + **S** 也變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}$

作用在角動量算符本徵態 |_j_, _m_⟩，可得：（見註釋）

　
: $T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle $

時間反轉的圖形符號為：

將頂點標記在正確位置相當重要，否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。

### 內積

狀態 |_j_1, _m_1⟩與狀態 |_j_2, _m_2⟩的內積：

　
: $\langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}$

相應的圖形符號為：

將內積加總，也就是縮併的計算：

　
: $\sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1$

習慣上會以一封閉圓來表示，並且標上 _j_：

　
:

### 外積

狀態 |_j_1, _m_1⟩與狀態 |_j_2, _m_2⟩的外積是一算符：

　
: $\left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|$

相對應的圖形符號為：

將外積加總，也就是縮併的計算：

　
: ${\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}$

時間反轉算符 _T_ 的結果可見於上式 _T_|_j_, _m_⟩。對外積縮併計算來縮，正向時間與反向時間沒有差別，因此圖形符號表示是相同的，皆為一無指向的線段，其上僅標示 _j_：

### 張量積

_n_ 狀態 |_j_1, _m_1⟩, |_j_2, _m_2⟩, ... |_j_n, _m_n⟩的張量積⊗可寫為：

　
: ${\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}$

圖形符號則呈扇形 ——_n_ 項個別態的線段匯聚於一共同頂點。

頂點附近標有一正負號，以表示張量積的順序：

* 負號 **(−)** 表示順序為順時針走向 $\circlearrowright $ ，
* 正號 **(+)** 表示順序為逆時針走向 $\circlearrowleft $ .

有時候會在正負號之外，加上彎箭頭來表示上述的走向。

兩張量積態的內積：

　
: ${\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}$

## 相關條目

* 角動量
* 狄拉克符號
* 克萊布希－高登係數
* 角動量算符
* 階梯算符
* 費曼圖

## 參考資料

### 註釋

* P.E.S. Wormer, J. Paldus. Angular Momentum Diagrams **51**. Elsevier. 2006: 59–124 [2015-03-18]. ISSN 0065-3276. doi:10.1016/S0065-3276(06)51002-0. （原始內容存檔於 2019-04-11）.  These authors use the theta variant _ϑ_ for the time reversal operator, here we use _T_.
* I. Lindgren, J. Morrison. Atomic Many-Body Theory. Chemical Physics **13** 2nd. Springer-Verlag. 1986 [2015-03-18]. ISBN3-540-166-491. （原始內容存檔於 2015-04-02）.

### 延伸閱讀

* G.W.F. Drake. Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics 2nd. springer. 2006: 60 [2015-03-18]. ISBN0-3872-6308-X. （原始內容存檔於 2015-04-09）.
* U. Kaldor, S. Wilson. Theoretical Chemistry and Physics of Heavy and Superheavy Elements. Progress in Theoretical Chemistry and Physics **11**. springer. 2003: 183 [2015-03-18]. ISBN1-4020-1371-X. （原始內容存檔於 2015-04-11）.
* E.J. Brändas, P.O. Löwdin, E. Brändas, E.S. Kryachko. Fundamental World of Quantum Chemistry: A Tribute to the Memory of Per-Olov Löwdin **3**. Springer. 2004: 385 [2015-03-18]. ISBN1-402-025-831. （原始內容存檔於 2015-04-07）.
* P. Schwerdtfeger. Relativistic Electronic Structure Theory: Part 2. Applications. Theoretical and Computational Chemistry **14**. Elsevier. 2004: 97 [2015-03-18]. ISBN008-054-047-3. （原始內容存檔於 2015-04-07）.
* M. Barysz, Y. Ishikawa. Relativistic Methods for Chemists. Challenges and advances in computational chemistry and physics **10**. Springer. 2010: 311 [2015-03-18]. ISBN1-402-099-754. （原始內容存檔於 2015-04-06）.
* G.H.F. Diercksen, S. Wilson. Methods in Computational Molecular Physics. Nato Science Series C **113**. Springer. 1983 [2015-03-18]. ISBN9-027-716-382. （原始內容存檔於 2015-04-10）.
* Zenonas Rudzikas. 8. Theoretical Atomic Spectroscopy. Cambridge Monographs on Atomic, Molecular and Chemical Physics **7**. University of Chicago: Cambridge University Press. 2007 [2015-03-18]. ISBN0-521-026-229. （原始內容存檔於 2015-04-05）.
* Lietuvos Fizikų draugija. Lietuvos fizikos žurnalas **44**. University of Chicago: Draugija. 2004 [2015-03-18]. （原始內容存檔於 2014-08-19）.
* P.E.T. Jorgensen. Operators and Representation Theory: Canonical Models for Algebras of Operators Arising in Quantum Mechanics. University of Chicago: Elsevier. 1987 [2015-03-18]. ISBN008-087-258-1. （原始內容存檔於 2015-04-10）.