表皮效應

**集膚效應**（又稱**趨膚效應**或直譯作**表皮效應**，英語：**Skin effect**）是指導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內部的電流分布不均勻的一種現象。隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度呈指數衰減，即導體內的電流會集中在導體的表面。從與電流方向垂直的橫切面來看，導體的中心部分幾乎沒有電流流過，只在導體邊緣的部分會有電流。簡單而言就是電流集中在導體的「皮膚」部分，所以稱為**集膚效應**。產生這種效應的原因主要是變化的電磁場在導體內部產生渦旋電場，與原來的電流相抵消。

## 簡介

集膚效應最早在英國應用數學家賀拉斯・蘭姆（Horace Lamb）1883 年發表的一份論文中提及，只限於球殼狀的導體。1885 年，英國物理學家奧利弗・赫維賽德（Oliver Heaviside）將其推廣到任何形狀的導體。集膚效應使得導體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，並導致導線傳輸電流時效率減低，耗費金屬資源。在無線電頻率的設計、微波線路和電力傳輸系統方面都要考慮到集膚效應的影響。

## 理論

當單色平面電磁波從真空垂直射入表面為平面的無限大導體中時，隨著與導體表面的距離逐漸增加，導體內的電流密度 _J_ 呈指數衰減

　
: $J=J_{s}\exp(-{x \over \delta })$

其中， $J_{s}$ 是導體表面的電流密度， $x$ 表示電流與導體表面的距離， $\delta $ 是一個和導體的電阻率以及交流電的頻率有關的係數，稱為**集膚深度**（skin depth）。

　
: $\delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}$

其中：

　
: ρ = 導體的電阻率

　
: ω = 交流電的角頻率 = 2π × 頻率

　
: μ = 導體的絕對磁導率 = $\mu _{0}\cdot \mu _{r}$ ，其中 $\mu _{0}$ 是真空磁導率， $\mu _{r}$ 是導體的相對磁導率

對於很長的圓柱形導體，比如導線來說，如果它的直徑 $D$ 比 $\delta $ 大很多的話，它對於交流電的電阻將會相當於一個中空的厚度為 $\delta $ 的圓柱導體對直流電的電阻。

　
: $R={{\rho  \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho  \over \delta }\left({L \over {\pi D}}\right)}$

其中：

　
: L = 導線的長度

　
: D = 導線直徑

具體來說，假設 $I(r)$ 是從離導線中心 _r_ 處到導線表面的截面上通過的電流， $I$ 為截面上的總電流，那麼有：

　
: ${\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}$

其中 _Ber_ 和 _Bei_ 為 0 階的克耳文 - 貝索函數的相應原函數（具體見下）。

### 圓柱形導體的模型

考慮一個半徑為 _a_，長度無限大的圓柱形導體。假設電磁場是時變場，則在圓柱中有頻率為 _ω_ 的正弦交流電流。由馬克士威方程組，

馬克士威 - 法拉第方程式：

　
: $\nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} $

馬克士威 - 安培方程式：

　
: $\nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} $

其中：

* **E** 是電場強度
* **B** 是磁感應強度
* **J** 是電流密度
* **μ** 是導體的磁導率

在導體中，歐姆定律的微分形式為：

　
: $\mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} $

**σ** 是導體的電導率。

我們假設導體是均勻的，於是導體各處的 **μ** 和 **σ** 都相同。於是有：

　
: $\nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} $

　
: $\nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} $

在圓柱坐標系 (_r_, θ, _z_)（_z_ 為圓柱導體的軸心）中，設電磁波隨 _z_ 軸前進，由對稱性，電流密度是一個只和 _r_ 有關的函數：

　
: $\mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}$

取馬克士威 - 法拉第方程式兩邊的旋度，就有：

　
: $\nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )$

也就是：

　
: $\nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} $

由之前對電流密度的假設， $\mathrm {div} \,\mathbf {J} =0$ ，因此有：

　
: $\Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} $

在圓柱坐標系中，拉普拉斯算子 $\Delta $ 寫作：

　
: ${\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)$

令 $k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu $ ，再將方程式兩邊乘上 _r_2 就得到電流密度應該滿足的方程式：

　
: $r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0$

在進行代換 $\xi =i\,k\,r$ 後，方程式變為一個齊次的貝塞爾方程式：

　
: $\xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0$

由電流密度在 _r_ = 0 的連續性，方程式的解具有 $J_{0}(\xi )$ 的形式，其中 _J_0 是零階的第一類貝索函數。於是：

　
: $j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)$

其中 _j_0 是一個常數，_k_ 為：

　
: $k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}$

其中 _δ_ 是集膚深度， $\delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}$ ，

　
: $i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}$

最後，電流密度為：

　
: ${\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}$

其中 _ber_ 和 _bei_ 是 0 階的克耳文 - 貝索函數。

於是通過整個截面的電流總和就是：

　
: ${\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}$

記 _Ber_ 和 _Bei_ 為相應的原函數：

　
: $Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }$

便有如下更簡潔的形式：

　
: $I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)$

我們還可以計算從圓柱表面到離軸心距離 _r_ 處的電流總和：

　
: ${\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}$

於是有電流的分布函數：

　
: ${\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}$

一般來說，在給定的頻率下，使得導線對交流電的電阻增加百分之十的直徑大約是：

　
: $D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}$

以上的導線對交流電的電阻只對於孤立的導線成立。對於兩根鄰近的導線，交流電阻會受到鄰近效應的影響而顯著增大。

## 減緩集膚效應的方法

一種減緩集膚效應的方法是採用所謂的利茲線（源自德語：_Litzendraht_，意為「編織起來的線」）。利茲線採用將多條金屬導線相互纏繞的方法，使得電磁場能夠比較均勻地分布，這樣各導線上的電流分布就會較為平均。使用利茲線後，產生顯著集膚效應的頻率可以從數千赫茲提高到數兆赫茲。利茲線一般應用在高頻交流電的傳輸中，可以同時減緩集膚效應和鄰近效應。

高電壓大電流的架空電力線路通常使用鋼芯鋁絞線，這樣能使鋁質部分的工作部分溫度降低，減低電阻率，並且由於集膚效應，電阻率較大的鋼芯上承載極少的電流，因而無關緊要。

還有將實心導線換成空心導線管，中間補上絕緣材料的方法，這樣可以減輕導線的重量。

在傳輸的頻率在甚高頻或微波級別時，一般會使用鍍銀（已知的除超導體外最好的導體）的導線，因為這時集膚深度非常的淺，使用更厚的銀層已是浪費。

## 其它應用

集膚效應使得交變電流只通過導體的表面，因此電流只在其表面產生熱效應。鋼鐵工業中利用集膚效應來為鋼進行表面淬火，使鋼材表面的硬度增大。

集膚效應也可以描述為：導體中交變電磁場的強度隨著進入導體的深度而呈指數遞減，因此在防曬霜中混入導體微粒（一般是氧化鋅和氧化鈦），就能使陽光中的紫外線（高頻電磁波）的強度減低。這便是物理防曬的原理之一。此外，集膚效應也是電磁屏蔽的方法之一，利用集膚效應可以阻止高頻電磁波透入良導體而作成電磁屏蔽裝置，這也是電梯裡手機信號不好的原因。

## 舉例

頻率為 10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：

在銅質導線中，集膚深度和頻率的關係大致如下：

## 參見

* 鄰近效應
* 馬克士威方程組
* 渦旋電場
* 漸逝波

## 外部連結

* Skin Effect and HiFi Cables （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* More on the "skin effect" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 相關參考

* http://group.ednchina.com/250/4713.aspx （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* William Hart Hayt, _Engineering Electromagnetics Seventh Edition_, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
* Paul J. Nahin, _Oliver Heaviside: Sage in Solitude_, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
* Terman, F.E. _Radio Engineers' Handbook_, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above