薛丁格繪景

**薛丁格繪景**（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫・薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從 $t_{0}$ 流易到 $t$ ，而經過這段時間間隔，態向量 $|\psi (t_{0})\rangle $ 演化為態向量 $|\psi (t)\rangle $ ，這時間演化過程以方程式表示為

　
: $|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ ；

其中， $U(t,t_{0})$ 是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量 $H$ 不含時，則時間演化算符為

　
: $U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數，指數函數 $e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$ 必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

## 時間演化算符

### 定義

時間演化算符 $U(t,\,t_{0})$ 定義為

　
: $|\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ ；

其中，括量 $|\psi (t)\rangle $ 表示時間為 $t$ 的態向量， $U(t,\,t_{0})$ 是時間演化算符，從時間 $t$ 演化到時間 $t_{0}$ 。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符 $U(t,\,t_{0})$ 作用於時間是 $t_{0}$ 的態向量 $|\psi (t_{0})\rangle $ ，則會得到時間是 $t$ 的態向量 $|\psi (t)\rangle $ 。

類似地，也可以用包量 $\langle \psi |$ 來定義：

　
: $\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})$ ；

其中，算符 $U^{\dagger }$ 是算符 $U$ 的厄米共軛。

### 性質

#### 么正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：

　
: $\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ 。

可是，

　
: $\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ 。

所以，

　
: $U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I$  ;

其中， $I$ 是單位算符。

#### 單位性

時間演化算符 $U(t_{0},\,t_{0})$ 必須是單位算符 $U(t_{0},\,t_{0})=I$ ，因為，

　
: $|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ 。

#### 閉包性

從初始時間 $t_{0}$ 到最後時間 $t$ 的時間演化算符，可以視為從中途時間 $t_{1}$ 到最後時間 $t$ 的時間演化算符，乘以從初始時間 $t_{0}$ 到中途時間 $t_{1}$ 的時間演化算符：

　
: $U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$ 。

根據時間演化算符的定義，

　
: $|\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ ，

　
: $|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle $ 。

所以，

　
: $|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ 。

可是，再根據定義，

　
: $|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle $ 。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

　
: $U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$ 。

### 時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定 $t_{0}=0$ ，初始時間 $t_{0}$ 永遠是 $0$ ，則可忽略時間演化算符的 $t_{0}$ 參數，改寫為 $U(t)$ 。含時薛丁格方程式為

　
: $i\hbar {\partial  \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle $ ；

其中， $H$ 是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

　
: $i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle $ 。

由於 $|\psi (0)\rangle $ 可以是任意恆定態向量（處於 $t=0$ 的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

　
: $i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)=HU(t)$ 。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

　
: $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ 。

注意到在時間 $t=0$ ，時間演化算符必須約化為單位算符 $U(0)=I$ 。由於 $H$ 是算符，指數函數 $e^{-iHt}$ 必須通過其泰勒級數計算：

　
: $e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots $ 。

按照時間演化算符的定義，在時間 $t$ ，態向量為

　
: $|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle $ 。

注意到 $|\psi (0)\rangle $ 可以是任意態向量。假設初始態向量 $|\psi (0)\rangle $ 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是 $E$ ，則在時間 $t$ ，態向量為

　
: $|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle $ 。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

　
: $U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$ 。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

　
: $U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$ ；

其中， $T$ 是時間排序算符。

必須用戴森級數來表示，

　
: $U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})$ 。

## 各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號 ${\mathcal {H}}$ 、 ${\mathcal {I}}$ 、 ${\mathcal {S}}$ 分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

## 參閱

* 哈密頓 - 亞可比方程式

## 參考文獻