西罗定理

在數學裡，尤其是在群論內，**西羅（Sylow）定理**（以彼得・盧德維格・梅德爾・西羅來命名，或稱**西洛定理**）為一系列定理的總稱。這些定理關於給定的有限群包含的固定階子群的數目給出了詳細的訊息。這些定理在有限群論中起到了基礎的作用，並且在有限單群分類中有重要應用。西羅定理假設了拉格朗日定理部份反面的情況。拉格朗日定理敘述了若 _H_ 是一個有限群 _G_ 的子群，則 _H_ 的階會整除 _G_ 的階。西洛定理則保證，對於 _G_ 之目的某些因數，會有對應此些因數的子群存在著，且會給出有關此類子群之數目的相關訊息。

## 定義

設 _p_ 是一個質數；則可定義 _G_ 的**西羅 _p_- 子群**（或者稱為**_p_- 西羅子群**），其為 _G_ 的 _p_- 子群中最大的一個 (即其為 _G_ 的 p - 群，且不為其他 _G_ 的 _p_- 子群的真子群)。

西羅 _p_- 子群所組成的集合記為 Sylp(_G_)。
Sylp(_G_) 之中群的差異在群論的討論中是可以忽略的。更明確地說，在 Sylp(_G_) 內的每個群彼此間同構；這性質也同時回過頭來決定了 _G_ 的其他性質。

## 西羅定理

以下定理由挪威數學家彼得・盧德維格・梅德爾・西羅首次於 1872 年提出並證明，刊載於《Mathematische Annalen》中。

給定一有限群 _G_，則可以將 |_G_| 可以寫成 _p_n $\cdot $ _s_ 的形式

其中 |_G_| 表示 _G_ 的階，_n_ 為正整數，且 _p_ 不為 _s_ 的質因數。

```
**定理1**：**存在一個階為_p_n的子群H，使得_H_為G的西羅_p_-子群。**
```

下面的推論比起定理 1 較為狹義

```
**推論**：**對任意有限群_G_，及任意|_G_|的質因數_p_，則在_G_之中，存在一個階為_p_的元素。**
```

上述推論又稱作柯西定理，由柯西首次證明

```
**定理2**：**若_H_是_G_的子群，_I_為_G_的p-西羅子群，其中|_H_|=_p_k，_k_ 為正整數，則存在一個_G_中的元素_a_使得_a_H_a-1_為_I_的子群**。
```

從這可以推論出，所有 _G_ 的西羅 _p_- 子群彼此共軛（且因共軛可得到同構），即若 _H_、_K_ 皆為 _G_ 的西羅 _p_- 子群，則存在一個於 _G_ 內的元素 _g_，使得 _g_−1_Hg_ = _K_。

```
**定理3**：**設np為G的西羅p-子群的数量且有$n_{p}\equiv 1\;(mod\;p)\;\;and\;\;n_{p}|s$**
```

特別地是，上述表示著每個西羅 _p_- 子群都會有相同的目 _p_n；相反地，若一個子群有 _p_n 目，則其為一個西羅 _p_- 子群，且會同構於每個其他的西羅 _p_- 子群。基於質數最大次方的條件，若 _H_ 為 _G_ 的任一個 _p_- 子群，則 _H_ 會為一個有 _p_n 目之 _p_- 子群的子群。

定理 3 的一個很重要結論為 _np_=1 的條件會等價於描述此一 _G_ 的西羅 _p_- 子群是一個正規子群。（存在沒有正規西羅子群但有正規子群的群，如 _S_4。）

### 無限群的西羅定理

西羅定理有個對無限群的類比。可定義一個於無限群中的西羅 _p_- 子群為一個在所有群內之 _p_- 子群的內含關係內為極大的 _p_- 子群。因佐恩引理，這種子群存在。

**定理**：若 _K_ 為一個 _G_ 的西羅 _p_- 子群，且 _n_p = |Cl(_K_)| 為有限的，則每一個西羅 _p_- 子群都會共軛於 _K_，且 _n_p = 1 mod _p_，其中 Cl (_K_) 表示為 _K_ 的共軛類。

## 應用例子

設 _G_ 為一個其目為 15 = 3・5 的群，則 _n_3 必須整除 5，且 _n_3=1 mod 3。其中唯一滿足上述限制的值只有 1；因此，只存在一個其目為 3 的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。相似地，_n_5 會整除 3，且 _n_5=1 mod 5；因此亦只有一個其目為 5 的正規子群。當 3 和 5 為互質時，此兩個子群的交集為平凡群 {e}，所以 _G_ 必須要是個循環群。因此，只存在一個其目為 15 的群（以同構來分），標記為 **Z**/15**Z**。

舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個其目為 350 的簡單群。若 |_G_| = 350 = 2 · 52 ・7，則 _n_5 必須整除 14=2・7，且 _n_5 = 1 mod 5。因此，_n_5=1（因為 6 和 11 都不會整除 14），而因此 _G_ 必然會有一個其目為 52 的正規子群，故不可能為簡單群。

## 西羅定理的證明

西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群 _G_ 會以許多種方式作用在其自身或其 _p_- 子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於 1959 年 H.Wielandt 所發表之整合的論述。在下面的論述中，用 _a_|_b_ 來表示「a 會整除 b」，而 _a_ $\nmid $ _b_ 則用來表示「a 不可整除 b」。

**定理 1**：一個其目 |_G_| 可以被一質數次方 _pk_ 整除的有限群 _G_ 會有一個其目為 _pk_ 的子群。

證明：設 |_G_|=_pkm_，_p_r $\mid $ m 且 _p_r+1 $\nmid $ m 。記 Ω 為 _G_ 的元素個數為 _pk_ 之子集所組成的集合，可知 |Ω| = ${p^{k}m \choose p^{k}}$ 及 _p_r+1 $\nmid $ ${p^{k}m \choose p^{k}}$ ，基於之前 _r_ 的選定。令 _G_ 以左乘積作用於 Ω 上，則基於 _r_ 之選定，會存在一個於 Ω 內的 _A_，其具有一個會使 _p_r+1 $\nmid $ |θ| 之軌道 θ=_AG_。這裡會有 |θ| = |_AG_| = [_G_ : _GA_] 的關係，其中 _GA_ 標示為集合 _A_ 的穩定子子群，因此 _pk_ | |_GA_|，故 _pk_ ≤ |_GA_|。注意在 _GA_ 的作用下之於 _A_ 內的兩個元素 _a_ 和 _ga_ 可能為不同個的，所以 |_A_| ≥ |_GA_|。由上述 _pk_ ≤ |_GA_| 和 |_A_| ≥ |_GA_| 兩個結果，故知 |_GA_| = _pk_。然後，_GA_ 即為此一想要的群。

**引論**: 設 _G_ 為一個有限 _p_- 群，將 _G_ 作用於一個有限集合 Ω 上，及令 Ω0 為在 _G_ 的作用下為固定之 Ω 內的點所組成之集合。然後可知 |Ω| ≡ |Ω0| mod _p_。

證明：將 Ω 寫成在 _G_ 下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在 Ω 內的元素 _x_ 若在 _G_ 的作用下不固定的話，其將會在其目為 |_G_|/|_Gx_| 之軌道上（其中 _Gx_ 為穩定子），此目依題目的假設會是 _p_ 的倍數（不可能為 1，因為其目為 1 的軌道即為在 _G_ 的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。

**定理 2**：若 _H_ 是 _G_ 的子群且 |_H_|=_ps_，以及 _P_ 為 _G_ 的 p - 西羅子群，則存在一個在 _G_ 內的元素 _a_ 會使得 _a_H_a-1_ 為 _P_ 的子群。特別地是，所有 _G_ 的西羅 _p_- 子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若 _H_ 和 _K_ 為 _G_ 的西羅 _p_- 子群，則存在一個 _G_ 內的元素 _g_ 會使得 _g_−1_Hg_ = _K_。

證明：設 Ω 為 _G_ 內 _P_ 的左陪集所組成的集合，及 _H_ 以左乘積作用在 Ω 上。應用 _H_ 於 Ω 上的引理，可知 |Ω0| ≡ |Ω| = [_G_ : _P_] mod _p_。由定義可知 _p_ $\nmid $ [_G_ : _P_]，所以 _p_ $\nmid $ |Ω0|，且因為 |Ω0| ≠ 0，故會存在一些 _gP_ ∈ Ω0。因此對每個於 _H_ 內的元素 _h_，_hgP_ = _gP_，故 _g_−1_hgP_ = _P_ 且 _g_−1_hg_ ∈ _P_，且因此 _h_ ∈ _gPg_−1，故 _H_ 會包含於某些 _G_ 內元素 _g_ 之 _gPg_−1 內。若 _H_ 為一個西羅 _p_- 子群，則 |_H_| = |_P_| = |_gPg_−1|，因此對某些在 _G_ 內的 _g_，_H_ = _gPg_−1。

**定理 3**：設 _q_ 為一有限群 _G_ 的任一西羅 _p_- 子群的目，則 _np_ | |_G_|/_q_ 且 _np_ ≡ 1 mod _p_。

證明：依定理 2，_np_ = [_G_ : _N_G(_P_)]，其中 _P_ 為任一個子群且 _N_G(_P_) 為於 _G_ 內 _P_ 的正規化子，可知此數為 |_G_|/_q_ 的因數。令 Ω 為所有 _G_ 的西羅 _p_- 子群所組成的集合，且 _P_ 以共軛作用於 Ω 上。設 _Q_ ∈ Ω0 並可知對所有 _x_ ∈ _P_，_Q_ = _xQx_−1，因此 _P_ ⊆ _N_G(_Q_)。依定理 2，_P_ 和 _Q_ 會於 _N_G(_Q_) 內共軛，尤其是 _Q_ 會在 _N_G(_Q_) 為正規，故可知 _P_ = _Q_。由上可知 Ω0 = {_P_}，因此由引理可知 |Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod _p_。

## 算法

由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由 William Kantor 證明出一個西羅 _p_- 子群可以在輸入數量的多項式時間內被找到。

## 參考資料

* Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
* H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". _Archiv der Mathematik_, 10:401-402, 1959.

## 注釋