行空間與列空間

## 定義

矩陣的列空間和行空間均為特殊的子空間，均屬矩陣的**四大基本子空間**之一。

### 列空間定義

設一 _m_ 列 _n_ 行實元素 矩陣為 **A**（_m_ × _n_ 矩陣），則其**列空間**（英文：**Row Space**）是由矩陣 **A** 的所有**列向量**所生成的 **R**n 上的子空間，記作 C (**A**T) 或 R (**A**)。其中，矩陣 **A**T（_n_ × _m_ 矩陣 ）被稱為矩陣 **A** 的轉置。

列空間 C (**A**T) 中的所有向量均為矩陣 **A** 的**列向量**的某種**線性組合**，都為 **R**n 上的向量（即 _n_ 維向量）。

C(**A**T) 的維度等於矩陣 **A** 的列秩，最大為 min (_m_,_n_)。即：

dim C(**A**T) = dim R(**A**) = rank(**A**T) ≤ min(_m_,_n_)
列空間 C (**A**T) 的一組自然基底是矩陣 **A** 的列向量的最大線性無關組。

### 行空間定義

行空間的定義非常類似於列空間。

設一 _m_ 列 _n_ 行實元素 矩陣為 **A**（_m_ × _n_ 矩陣），則其**行空間**（英文：**Column Space**）是由矩陣 **A** 的所有**行向量**生成的 **R**m 上的子空間，記作 C (**A**)。

矩陣 **A** 的行空間 C (**A**) 中的所有向量均為矩陣 **A** 中**行向量**的某種**線性組合**，都為 **R**m 上的向量（即 _m_ 維向量）。

C(**A**) 的維度等於矩陣 **A** 的行秩，最大為 min (_m_,_n_)。即：

dim C(**A**) = rank(**A**) ≤ min(_m_,_n_)
行空間 C (**A**) 的一組自然基底是矩陣 **A** 的行向量的最大線性無關組。

### 推廣

**列空間**與**行空間**的概念均可推廣到在任何域上，特別是複數域 **C**。

## 列空間、行空間的解釋

### 線性變換解釋

如果把矩陣 **A** 當作從 **R**n 到 **R**m 的線性變換，則矩陣的行空間等於這個線性變換的像，一種對向量 **x**（原像）的運算、坐標變換。列空間則是從 **R**m 到 **R**n 的線性變換。

以列空間為例，設 **A** 為一 _n_ 階可逆方陣，給定一個線性方程組 **Ax**=**b**，則該方程可理解為一種坐標變換：

某個 n 維向量在某個坐標系下（實際是以 **A** 的行向量的最大線性無關組為基底的坐標系，稱為**原坐標系**) 被稱為（描述為）**x**，則 **x** 的各個分量值即該 _n_ 維向量在原坐標系下的**坐標值**。矩陣 **A** 作用於 **x** 是指對該向量在由 **A** 的列向量所確定的一組基下作**投影**。矩陣 **A** 可逆，則列向量線性無關，每個列向量實際是一個基向量，需要對 **x** 作 _n_ 次投影。

**x** 在每個基向量上投影都會得到一個投影值，則一共得到 _n_ 個投影值。將各個投影值按相應的順序從上到下排行寫成向量形式後即得到結果向量 **b**—— 在**新坐標系**下的描述，其各個分量即該向量在以 **A** 的列向量為基的坐標系下的坐標值。換言之，**x** 和 **b** 只是同一個向量在不同坐標系下的坐標（描述），矩陣 **A** 則是進列描述轉換的（坐標變換）的媒介。

由於已假設 **A** 可逆，若在上述基礎上對方程 **Ax**=**b** 兩邊同時右乘 **A** 的逆矩陣 **A**-1，則是進列了一次**逆變換**，相當於將 **b** 投影在以 **A** 的行向量為基底的坐標系（即原坐標系），返回到原坐標系下的坐標表示 **x**，即：將向量在新坐標系下的坐標表示 **b** 還原為在原坐標系下的坐標表示 **x**。

上述的兩次變化可形式化表示為：

**AxA**-1=**x**
且上式以矩陣乘法的角度看是顯然的。兩次變換簡言之：

1. 首先投影 **x** 到 A 的**列空間**，得到在新坐標下的坐標描述 **b**；
2. 進列可逆的變換；
3. 把結果向量 **b** 放置到 **A** 的**行空間**中。所以結果的 **Ax**=**b** 必定居留在 A 的行空間中。

### 幾何解釋

#### 行空間

矩陣 **A** 的行空間 C (**A**) 是所有 **A** 的縱行的所有線性組合。設 **A** 為 _m_ × _n_ 矩陣，其第 _i_ 個行向量為 **a**i, 則 C (**A**) 的形式化表述為：

如果 **A** = [**a**1, ...., **a**n]，則 C (**A**) = Span {**a**1, ...., **a**n}。

#### 列空間

矩陣 **A** 的列空間 R (**A**) 或 C (**A**T) 是所有 **A** 的橫列的所有線性組合。

由於矩陣 **A** 的列向量經轉置後成為行向量，則矩陣 **A**T 的行空間即矩陣 **A** 的列空間。同理，**A** 的行空間也是 **A**T 的列空間。相應地，設矩陣 **A** 為 _m_ × _n_ 矩陣，則其轉置 **A**T 為 _n_ × _m_ 矩陣，其第 _i_ 個行向量為 **a**Ti，則 C (**A**T) 的形式化表述為：

如果 **A**T = [**a**T1, ...., **a**Tn]，則 C (**A**T)=R(**A**) = Span {**a**T1, ...., **a**Tn}。

## 例子

給定矩陣 J:

　
: $J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$

橫列是 **r**1 = (2,4,1,3,2),
**r**2 = (−1,−2,1,0,5),
**r**3 = (1,6,2,2,2),
**r**4 = (3,6,2,5,1)。
結果的 J 的列空間是 { **r**1, **r**2, **r**3, **r**4 } 張成的 **R**5 的子空間。因為這 4 個列向量是線性無關的，列空間是 4 維的。此外，在這種情況下，可以被看出它們都正交於向量 **n** = (6,−1,4,−4,0)，所以可以推出列空間由正交於 **n** 的所有 **R**5 中的向量組成。

## 參見

* 零空間

## 外部連結

* MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, from MIT OpenCourseWare

## 參考文獻

* Strang,G.(2009)_Introduction to Linear Algebra_. 4th Edition.Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, pp.120-189.
* 3Blue1Brown.(2016)_Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3_. Available from: https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&index=4&t=0s&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE\_ab （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [Assessed 17th April 2018].