虛功

在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為**虛功**（英語：**virtual work**）。以方程式表達，虛功 $\delta W$ 是

　
: $\delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} $ ；

其中， $\mathbf {F} $ 是作用力， $\delta \mathbf {r} $ 是虛位移。

在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（independent variable），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：

　
: $\mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q} $ ；

其中， $\mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q} $ 都是向量， $\mathbf {B} $ 是方塊矩陣。

假若， $\mathbf {R} $ 是個任意非零向量，則可以將任意項目 $\mathbf {R} $ 從方程式中除去，得到 $\mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q} $ 。

## 虛功原理

**虛功原理**闡明，一個物理系統處於靜態平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零。以方程式表達，

　
: $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ 。

考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點 $P_{i}$ 可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和 $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ 等於零：

　
: $\mathbf {F} _{i}^{(T)}=0$ 。

給予這質點 $P_{i}$ 虛位移 $\delta \mathbf {r} _{i}$ ，則淨力 $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ 所做的虛功 $\delta W_{i}$ 為零：

　
: $\delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ 。

總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：

　
: $\delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ 。

將淨力細分為外力 $\mathbf {F} _{i}$ 與約束力 $\mathbf {C} _{i}$ ：

　
: $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ 。

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零：

　
: $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ ，

則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：

　
: $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ 。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為**反作用力的虛功假設**：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。

在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

### 適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

* 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達， $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}$ ；其中，剛體內部的質點 $P_{i}$ 、 $P_{j}$ 的位置分別為 $\mathbf {r} _{i}$ 、 $\mathbf {r} _{j}$ ，它們之間的距離 $L_{ij}$ 是個常數。所以，兩個質點的虛位移 $\delta \mathbf {r} _{i}$ 、 $\delta \mathbf {r} _{j}$ 之間的關係為

　
: $\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$ 。

　
: 在這裏，有兩種可能的狀況：

　
: 1、 $\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}$ ：

　
: 對於這狀況，由於 $\mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}$ ，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，

　
: $\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0$ ，

　
: 所以，約束力所做的虛功的總合是零。

　
: 2、 $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})$  :

　
: 由於 $\mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})$ ，

　
: $\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$ 。

　
: : : 所以，約束力所做的虛功的總合是零。

　
: 所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。

* 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。。

### 在位形空間的意義

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力 ${\mathcal {F}}_{i}$ 和廣義坐標 $q_{i}$ 表達，

　
: $\delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0$ 。

設定一個 $N$ 維位形空間，其坐標為 $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$ ，其內中表示位置的點稱為**位形點**。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力 ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})$ 垂直於符合約束條件的虛位移 $\delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})$ 。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力 ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$ 不可能垂直於 $N$ 維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力 ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$ 必須等於零。

假設，這物理系統有 $L$ 個約束條件，則自由度為 $N-L$ ，位形點必需處於位形空間的某 $N-L$ 維子空間，而廣義力 ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$ 必須垂直於這子空間，因此必需使用 $N-L$ 個運動方程式來表達這物理系統。

### 保守系統

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數 $V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$ 的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：

　
: $F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}$ 。

虛功與廣義位勢的關係為

　
: $\delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0$ 。

由於位勢的變分 $\delta V$ 等於零，一個靜態平衡系統的位勢 $V$ 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢 $V$ 必須是個局域極小值。

## 參見

* 柔度法
* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學

## 參考文獻

## 外部連結

* 虛功原理的應用實例 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）