菲涅尔方程

**菲涅耳方程式**（或稱**菲涅耳條件**）是由法國物理學家奧古斯丁・菲涅耳推導出的一組光學方程式，用於描述光在兩種不同折射率的介質中傳播時的反射和折射。方程式中所描述的反射因此還被稱作「菲涅耳反射」。

## 簡介

當光從一種折射率為 $n_{1}\,$ 的介質向另一種折射率為 $n_{2}\,$ 的介質傳播時，在兩者的交界處（通常稱作界面）可能會同時發生光的反射和折射。菲涅爾方程式描述了光波的不同分量被折射和反射的情況，也描述了波反射時的相變。

方程式成立的條件是：界面是光滑平面，入射光是平面波，邊際效應可被忽略。

### s 和 p 偏振

計算結果取決於入射光的偏振態。以下是兩種情況（由於電場分量、磁場分量、光的傳播方向由右手螺旋關係確定，所以僅討論電場方向的偏振）

1. 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互垂直。此時的入射光狀態稱為「s 偏振態」，源於德語「_senkrecht_」。
2. 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互平行。此時的入射光狀態稱為「p 偏振態」，源於德語「_parallel_」。

## 光強方程式

在右圖中，入射光線 **PO** 到達兩種介質交界面上的點 **O** 時，部分光線被反射，反射光為 **OQ**，而另一部分被折射，折射光為 **OS**。定義入射光線、反射光線和折射光線各自與法線形成的夾角分別為 $\theta _{i}\,$ 、 $\theta _{r}\,$ 和 $\theta _{t}\,$ 。

入射光線與反射光線的方向由反射定律約束：

$$
\theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} }
$$

入射光線與折射光線的方向由司乃耳定律約束：

$$
{\frac {\sin \theta _{\mathrm {i} }}{\sin \theta _{\mathrm {t} }}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}
$$

一定功率的入射光被界面反射的比例稱為反射比 $R\,$ ；折射的比例稱為透射比 $T\,$ 。對反射比和透射比的計算需要用到電動力學中的電磁波傳播理論，具體方法可參考玻恩的《光學原理：光的傳播、干涉和繞射的電磁理論》以及傑克遜的《古典電動力學》。

反射比和透射比的具體形式還與入射光的偏振有關。如果入射光的電矢量垂直於右圖所在平面（即 s 偏振），反射比為

　
: $R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}$

其中 $\theta _{t}\,$ 是由司乃耳定律從 $\theta _{i}\,$ 導出的，並可用三角恆等式化簡。

如果入射光的電矢量位於右圖所在平面內（即 p 偏振），反射比為

　
: $R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right]^{2}$

透射比無論在哪種情況下，都有 $T=1-R\,$ 。

如果入射光是無偏振的（含有等量的 s 偏振和 p 偏振），反射比是兩者的算數平均值： $R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}\,$ 。

反射和折射光波的振幅與入射光波振幅的比值（通常稱為反射率和透射率）也可用類似的方程式給出，這些方程式也稱作菲涅耳方程式。根據不同的體系和符號習慣，它們可以有不同形式。反射率和透射率通常用小寫的 $r\,$ 和 $t\,$ 表示。在某些體系中，它們滿足條件：

　
: $R=r^{2}\ \mathrm {and} \ T=\left({\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}\right)t^{2}$

對於給定的折射率 $n_{1}\,$ 和 $n_{2}\,$ 且入射光為 p 偏振光時，當入射角為某一定值時 $R_{p}\,$ 為零，此時 p 偏振光被完全透射而無反射光出射。這個角度被稱作布魯斯特角，對於空氣或真空中的玻璃介質約為 56°。注意這個定義只是對於兩種折射率都為實數的介質才有意義，對於會吸光的物質，例如金屬和半導體，折射率是一個複數，從而 $R_{p}\,$ 一般不為零。

當光從光密介質向光疏介質傳播時（即 $n_{1}\ >n_{2}\,$ 時），存在一個臨界的入射角，對於大於此入射角的入射光 $R_{s}=R_{p}=1\,$ ，此時入射光完全被界面反射。這種現象稱作全內反射，臨界角被稱作全反射臨界角，對於空氣中的玻璃約為 41°。

當光線以近法線入射（ $\theta _{i}\approx \theta _{t}\approx 0\,$ ）時，反射比和透射比分別為：

　
: $R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}$

　
: $T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}$

對於普通的玻璃，反射比大約為 4%。注意窗戶對光波的反射包括前面一層以及後面一層，因而少量光波會在兩層之間來回振盪形成干涉。如忽略這種干涉效應，這兩層合併後的反射比為 ${\frac {2R}{1+R}}\,$ （見下）。

需要指出的是這裡所有的討論都假設介質的磁導率 $\mu \,$ 都等於真空磁導率 $\mu _{0}\,$ 。對於大多數介電質而言這是近似正確的，但對其他類型的物質來說不正確，因而若考慮這一點則菲涅耳方程式的形式會更加複雜。

## 多重界面的效應

當光在兩層以上平行表面發生多重反射時，多列反射光波往往會互相發生干涉，從而有可能會使系統總的透射光和反射光振幅表達起來相當複雜，這通常是波長（或頻率）的函數。一個例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下會產生多種色彩；其他例子還包括法布立－培若干涉儀、透鏡等光學儀器表面所用的能極大降低反射率的鍍膜（增透膜），以及各種光學濾波器。對這些效應的定量計算仍然是基於菲涅耳方程式的，但也要考慮額外產生的干涉所帶來的影響，通常可以採用光學中的傳遞矩陣方法來計算這些問題。

## 參見

* 菲涅耳稜鏡，菲涅耳用於產生圓偏光的儀器。
* 鏡面反射
* 反射係數
* 透射係數

## 參考文獻

* Hecht, Eugene. Optics 2nd. Addison Wesley. 1987. ISBN 0-201-11609-X.
* Hecht, Eugene. Optics 4th. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-321-18878-0.

## 外部連結

* Fresnel Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Wolfram Research
* FreeSnell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – 免費的計算機軟體，用於計算多層材料的光學性質
* Thinfilm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – 計算薄膜以及多層材料光學性質（反射和透射係數等）的 Web 網頁
* 計算單界面的反射和折射角、以及光強的 Web 網頁. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* ReflectionCoefficient.INFO – 光學反射率計算器
* Reflection and transmittance for two dielectrics - 用 Mathematica 編寫的演示折射率與反射關係的工具