莱恩－埃姆登方程

**萊恩－埃姆登方程式**（**Lane–Emden equation**）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次帕松方程式。此方程式名字由來於強納生・荷馬・萊恩與羅伯特・埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 $r$ 時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 $\xi $ 和重構溫度變數 $\theta $ ：

　
: ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

當

　
: $\xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

以及

　
: $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,$

下標 _c_ 代表核心的壓力與密度。 $n$ 是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

　
: $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$

 $P$ 是代表壓力， $\rho $ 則是密度，而 $K$ 則是比例常數。標準的邊界條件則是 $\theta (0)=1$ 和 $\theta '(0)=0$ 。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 $n$ 也是多方球的多方指數 $n$ 。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；帕松方程式與位能、密度有關。

## 應用

在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而帕松方程式則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了萊恩－埃姆登方程式。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

## 推導

### 以流體靜力平衡推導

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

　
: ${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho $

這裡 $\rho $ 是 $r$ 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

　
: ${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}$

 $m$ 也是 $r$ 的公式。再一次求導數可得：

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}$

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 $r^{2}$ ，並將帶有 $P$ 的導數的項置於左側，方程式成為：

　
: $r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho $

方程式兩側除以 $r^{2}$ ，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程式 $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ 和 $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ 代入，可得到：

　
: ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}$

將常數聚集並以 $r=\alpha \xi $ 取代：

　
: $\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G$ ,

最後得到萊恩－埃姆登方程式：

　
: ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

### 以帕松方程式推導

同樣地，也可以使用帕松方程式進行推導：

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho $

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

　
: ${\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}$

最後也可以得到萊恩－埃姆登方程式。

## 方程式解

### 解析解

 $n$ 只在 3 個值時有解析解

####  $n=0$

如果 $n=0$ ，方程式成為：

　
: ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0$

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

　
: $\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}$

公式兩側都除以 $\xi ^{2}$ ，並且再積分一次後得到：

　
: $\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$

邊界條件 $\theta (0)=1$ 和 $\theta '(0)=0$ 暗示積分常數是 $C_{0}=1$ 和 $C_{1}=0$ 。

####  $n=1$

當 $n=1$ ，方程式可展開如下：

　
: ${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0$

兩端都乘以 $\xi ^{2}$ 可得到 $k=1$ 和 $n=0$ 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

　
: $\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}$

####  $n=5$

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

　
: $\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$

當 $n=5$ ，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

### 數值解

一般情形下萊恩－埃姆登方程式的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程式表示，例如：

　
: ${\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}$

　
: ${\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}$

在這裡 $\phi (\xi )$ 被視為無因次質量，而質量可使用 $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$ 表示。相關的邊界條件是 $\phi (0)=0$ 和 $\theta (0)=1$ 。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

## 同調變數

### 同調不變方程式

已知如果 $\theta (\xi )$ 是萊恩－埃姆登方程式的解，那麼完整的解方程式將是 $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$ 。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將萊恩－埃姆登方程式降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

　
: $U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}$

和

　
: $V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}$

我們可以將相對於 $\xi $ 的變數的對數微分，得到：

　
: ${\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$

和

　
: ${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$ .

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變數 $\xi $ ，留下：

　
: ${\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)$

以上即為單一一階方程式。

### 拓撲結構不變的同調方程式

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

　
: ${\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$

和

　
: ${\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)$

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$ ）和雅可比矩陣的特徵值、特徵向量如下表所示：

## 相關條目

* 恆星結構
* 埃姆登－錢德拉塞卡方程式
* 錢德拉塞卡白矮星方程式

## 延伸閱讀

* Lane, Jonathan Homer, On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment, The American Journal of Science and Arts, 2nd series, 1870, **50**: 57–74 .

## 參考資料

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Lane-Emden Differential Equation. MathWorld.
* Horedt, George Paul ( 1986 ) 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions' PDF ( 5.9MB ), _Astrophysics and Space Science_ vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.