菱形十二面體

在幾何學中，**菱形十二面體**（Rhombic dodecahedron）是一個由菱形構成的十二面體，屬於卡塔蘭立體，由 12 個全等的菱形組成，具有 24 條邊和 14 個頂點，其對偶多面體為截半立方體。

## 性質

菱形十二面體是一個卡塔蘭立體，由 12 個面、24 條邊和 14 個頂點，其中 12 面為 12 個全等的個菱形，且具有 180 度旋轉對稱性和點對稱性，因此是一個環帶多面體，其對偶多面體為截半立方體。

菱形十二面體能獨立密鋪三維空間，因此是一種空間填充多面體，其所形成的堆砌體可以視為是面心立方晶格的沃羅諾伊鑲嵌。這種堆砌體是體心立方晶格（bcc）的布里元區，部分礦物可以形成於菱形十二面體的晶體慣態，如石榴石。蜜蜂築巢時也是使用菱形十二面體空間填充的幾何結構來築巢，其每個蜂房皆是以半個菱形十二面體為上蓋之六角柱的空間填充構成。菱形十二面體也出現在鑽石和金剛石的單位晶格中，但實際上少了 4 個頂點，而化學鍵位於剩餘的稜上。

菱形十二面體可以從中心分割成 4 個三方偏方面體，若將菱形十二面體空間填充的每一個菱形十二面體都分割成三方偏方面體則可以形成三方偏方面體的空間填充，這意味著三方偏方面體也可以獨立密鋪三維空間。這種切割就好像將正六邊形鑲嵌的六邊形切割成 3 個菱形而形成菱形鑲嵌。

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### 對稱性

菱形十二面體的對偶多面體 —— 截半立方體是一個阿基米德立體，具有點可遞的性質，因此菱形十二面體具有面可遞的性質，這意味著這個幾何形狀的對稱群可在各個面上遞移，換句話說，這立體上的任意兩個面 A 和 B，若透過旋轉或鏡射這個立體，使 A 移動到 B 原來的位置時，而兩個面仍然佔據了相同的空間區域。

同理，菱形十二面體具有邊可遞的特性，這意味著，這立體上的任意兩條稜 A 和 B，透過旋轉或鏡射這個立體，使 A 移動到 B 原來的位置時，其稜以及其二面角仍然佔據了相同的空間區域。菱形十二面體是 9 個邊可遞的凸多面體之一，其他 8 個分別是五個柏拉圖立體、截半立方體、截半二十面體和菱形三十面體。

### 面的組成

菱形十二面體由 12 個全等的菱形組成，這個菱形的長對角線都是短對角線的√2 倍，其中鋭角的角度則為 arccos (1/3) 約為 70.53°，鈍角的角度則為 109.47°，兩條對角線長度與一邊長的比為 ${\sqrt {2}}:1:{\sqrt {3}}/2$ 。

　
:

### 尺寸

若菱形十二面體的邊長為 _a_，則其內切球半徑為：

　
: $r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816\,496\,5809a\,$ （OEIS 數列 A157697）

邊心距為：

　
: $r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.942\,809\,041\,58a\,$ （OEIS 數列 A179587）

外接球半徑為：

　
: $r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}a\approx 1.154\,700\,538a\,$ （OEIS 數列 A020832）

### 體積和表面積

若菱形十二面體的邊長為 _a_，則其表面積 _A_ 及體積 _V_ 為：

　
: ${\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11.313\,7085a^{2}\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3.079\,201\,44a^{3}\end{aligned}}$

若令其對偶多面體 —— 截半立方體邊長為單位長，則菱形十二面體的邊長為 ${\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}$ ，則其體積 _V_ 為：

　
: $V={\frac {27{\sqrt {2}}}{16}}\approx 2.386\,485\,386\,5$

### 頂點坐標

三個菱形之公共頂點（共 8 個）其頂點坐標為：

　
: (±1, ±1, ±1)

另外 6 個頂點為四個菱形之公共頂點，其頂點坐標為：

　
: (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2)

菱形十二面體可以是為五角十二面體的退化限制，其頂點坐標可表示為 (±1, ±1, ±1) 與 (0, 1 + _h_, 1 − _h_2)，其中 _h_ = 1。

## 正交投影

菱形十二面體有 4 個特殊的正交投影，分別為於四個菱形的公共頂點投影、於三個菱形的公共頂點投影、於稜上投影和於面上投影，其中「於稜上投影」以及「於面上投影」其對稱性對應於 B2 和 A2 的考克斯特平面。

## 其他菱形十二面體

亦有一些十二面體也是由菱形組成，例如比林斯基十二面體。

### 平行十二面體

菱形十二面體是一種平行多面體，具有可以獨立填滿三維空間填充，所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌或平行十二面體堆砌，其對偶可能為半立方體堆砌或由四面體和八面體組成的堆砌。

常見的由菱形組成的平行十二面體有二面體群菱形十二面體。

#### 二面體群菱形十二面體

**二面體群菱形十二面體**是一種具有與一般菱形十二面體不同對稱性的平行十二面體，同樣可以獨立填滿三維空間，其所形成的幾何結構類似於截角八面體堆砌的一個變種。

其中一個二面體群菱形十二面體例子，例如由 4 個正方形和 8 個 60 度菱形所組成的平行十二面體，其具有 D4h 二面體群對稱，且階數為 16，其外型看起來與頂面和底面擺入正四角錐的截半立方體類似。

#### 比林斯基十二面體

**比林斯基十二面體**（Bilinski dodecahedron）又稱為**第二種菱形十二面體**（菱形十二面体第 2 種），是菱形十二面體的另一種基於平行十二面體的變種，由斯坦科・比林斯基於 1960 年發現。

比林斯基十二面體同樣由 12 個菱形組成，但構成此幾何體的菱形有兩種：其中一種菱形對角線比為 2 個平方根，另一種菱形對角線比為黃金比例。

## 使用

由於菱形十二面體每個面全等，且十分均勻，因此有時會被拿來做成骰子（但大多數都會使用正十二面體作為骰子）。亦有部分的魔術方塊是設計成菱形十二面體的形狀。

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## 相關多面體與鑲嵌

菱形十二面體可以經由立方體透過會合變換構造，即將立方體每個面貼上角錐，並用適當的錐高，使角錐側面與鄰近面上貼的角錐之測面共面來獲得。其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

菱形十二面體可以切割成截半立方體。在切割過程可以得到一些不同的多面體，例如：

菱形十二面體與小斜方截半四面體（等價於截半立方體）的對偶多面體等價，其他與正四面體相關的多面體為：

菱形十二面體可以視為由菱形組成的球面鑲嵌圖，一般菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是 3 個菱形的公共頂點，有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括：

另一種菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是 4 個菱形的公共頂點，而菱形十二面體也屬於這類鑲嵌。有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括：

此外，菱形十二面體也可以對應到面布局為 V3.2n.3.2n 的鑲嵌圖系列中。這個系列的第一種形狀時平面鑲嵌，其餘皆為雙曲鑲嵌：

### 拓樸同構的多面體

部分多面體與菱形十二面體拓樸同構，例如平行十二面體，亦有一些非菱形組成的十二面體與菱形十二面體拓樸同構，例如鳶形十二面體。

#### 鳶形十二面體

**鳶形十二面體**是一種由 24 個全等的鳶形組成的十二面體，具有面可遞的性質，並具 24 階四面體群對稱性。

鳶形十二面體可以視為將菱形十二面體的菱形面變形成鳶形的結果。形變的方式是透過調整菱形十二面體的 8 個頂點，另外四個頂點保持正四面體的布局位置。其形變數可透過一個數組 (a,b) 來表示，當 a 和 b 皆為 1 時則為菱形十二面體，a 表示保持著正四面體的布局位置的頂點，可以逐漸向 1/2 趨近，向 1/2 趨近的意義表示其頂點逐漸移向幾何中心；而 b 的值取決於 a，需要使移動時能夠成平面的鳶形而非扭歪多邊形，其值會向正無窮大逼近。這種情形下，其頂點坐標可以表示為：

　
: (±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

　
: (_a_, _a_, _a_), (−_a_, −_a_, _a_), (−_a_, _a_, −_a_), (_a_, −_a_, −_a_)

　
: (−_b_, −_b_, −_b_), (−_b_, _b_, _b_), (_b_, −_b_, _b_), (_b_, _b_, −_b_)

下表列出部分數組 (a,b) 所形成的鳶形十二面體圖像：

### 星形化體

如同其他的凸多面體，菱形十二面體也可以透過延伸面或邊，直到它們相遇形成新的多面體來進行星形化。多爾曼・露可（Dorman Luke）在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體。較廣為人知的是他提出的第一種多面體，其名稱可以簡略地稱為「第一種星形菱形十二面體」。這種多面體可以視為將適當錐高的菱形錐（底面為菱形的四角錐）疊在菱形十二面體的每一個菱形面上，並且讓錐高高於鄰近的面來構造：

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### 對偶複合體

對偶複合體是由一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形。菱形十二面體與其對偶的複合體為**複合截半立方體菱形十二面體**。其共有 26 個面、48 條邊和 26 個頂點，其尤拉示性數為 4，虧格為 - 1。

　
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### 截角菱形十二面體

截去所有頂點後的菱形十二面體稱為截角菱形十二面體。

若將菱形十二面體的六個發出四條棱的頂點截去可以獲得倒角立方體。

另外若將菱形十二面體的八個發出三條棱的頂點截去可以獲得倒角八面體。

### 菱形十二面體堆砌

菱形十二面體可以獨立填滿三維空間，其所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌。

　
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## 菱形十二面體圖

在圖論的數學領域中，與菱形十二面體相關的圖為**菱形十二面體圖**，是菱形十二面體之邊與頂點的圖，是一個非哈密頓圖。

### 性質

菱形十二面體圖有 24 條邊和 14 個頂點，其中度為 3 的頂點有 8 個；度為 4 的頂點有 6 個。

　
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* 菱形十二面體圖的特徵多項式為：

　
: $(x-2)^{3}x^{6}(x+2)^{3}(x^{2}-12)$
* 色多項式為

　
: (x-1) x (x12-23 x11+253 x10-1759 x9+8615 x8-31361 x7+87205 x6-187127 x5+308232 x4-380364 x3+333138 x2-184963 x+48831)

## 參見

* 卡塔蘭立體
* 對偶多面體

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
* Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983 [2018-08-26]. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208. doi:10.1017/CBO9780511569371. （原始內容存檔於 2021-04-30）.  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron)
* _The Symmetries of Things_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic dodecahedron )

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，菱形十二面體 （參閱卡塔蘭立體） 於 MathWorld（英文）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – The Encyclopedia of Polyhedra

**電腦模型**

* Relating a Rhombic Triacontahedron and a Rhombic Dodecahedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Rhombic Dodecahedron 5-Compound （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and Rhombic Dodecahedron 5-Compound （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Sándor Kabai, Wolfram 演示項目.

**紙模型**

* Rhombic Dodecahedron Calendar：不須使用膠水製作一個菱形十二面體月曆
* Another Rhombic Dodecahedron Calendar：由編織紙條製成的菱形十二面體

**實際應用**

* Archimede Institute （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 使用此菱形十二面體的實際住房建設項目的示例