莱布尼茨积分定理

**積分符號內取微分**（英語：Leibniz integral rule，萊布尼茨積分法則）是一個在數學的微積分領域中很有用的運算。它是說，給定如下積分

　
: $F(x,a(x),b(x))=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$ ,

如果在 $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,$ 時

 $f(x,t)\,$ 與 ${\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,$ 對 $t\,$ 和 $x\,$ 在 $(t,x)\,$ 平面連續， $a(x)\leq t\leq b(x)\,$ , $x_{0}\leq x\leq x_{1}\,$ , 且若對於 $x_{0}\leq x\leq x_{1}\,$ , $a(x)\,$ 與 $b(x)\,$ 及其導數連續，

那麼當 $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,$ 時，
根據全微分公式和微積分基本定理，
該積分對 $x$ 的導數為

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\,F(x,a(x),b(x))&=\left({\frac {\partial F}{\partial b}}\right){\frac {db}{dx}}+\left({\frac {\partial F}{\partial a}}\right){\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}\\&=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,\end{aligned}}$

注意 $-f(x,a(x))\,a'(x)$ 項的負號來源於對積分下限求導。

如果 $a(x)$ 和 $b(x)$ 是常數而不是 $x$ 的 函數，那麼此時的特殊情況可看做交換積分和求導的順序：

　
: ${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$

 

## 高維情況

$$
{\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,{\vec {\textbf {v}}}\cdot {\vec {\textbf {n}}}\,dA,\,
$$

## 定理的證明

**引理 1**:

　
: : ${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=-f(a).$

**證明**: 由微積分基本定理的第一部分，加上實際的推導上，偏微分相當於將其他變數視為常數做微分，這樣就有

　
: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=f(b)\\{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=-{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{b}^{a}f(x)\;\mathrm {d} x\right)\\&=-f(a)\\\end{aligned}}$

　
: _$\Box $_

 
**引理 2**:

　
: : 假設 _a_ 和 _b_ 是常數， _f_(_x_) 涉及常參數 α 的積分，但會形成不同積分。假設函數 _f_(_x_, α) 在緊緻集 {(_x_, α) : α0 ≤ α ≤ α1 and _a_ ≤ _x_ ≤ _b_} 上連續， _f_ 對 _α_ 的偏導 _f_α(_x_, α) 存在且連續，定義函數 $\psi (\alpha )$ (這裡將 a 和 b 看做是與 α 無關的常數，即 a 和 b 不隨 α 的增大而增大):

　
: $\psi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x.$

　
: $\psi $ 可以對 $\alpha $ 在積分符號內取微分，即

　
: ${\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,$

**證明**: 由海涅－康托爾定理，函數 $f(x,\alpha )$ 在集合中一致連續。即對任意 ε > 0 ，存在 Δα 使得對任意 _x_ ∈ [_a_, _b_]，均有:

　
: $|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$

另一方面:

　
: ${\begin{aligned}\Delta \psi &=\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )\\&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\;\mathrm {d} x\\&\leq \varepsilon (b-a)\end{aligned}}$

因此 $\psi (\alpha )$ 是連續函數.

同理， 如果 ${\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )$ 存在且連續，則對任意 ε > 0 存在 Δα ，使得:

　
: $\forall x\in [a,b]\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$

因此，

　
: ${\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\;\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \,f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,\mathrm {d} x+R$

這裡

　
: $|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \;\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a).$

令 ε → 0 且 Δα → 0, 從而有，

　
: $\lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}={\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,$

證畢.

現在給出定理的證明.

　
: **證明**:

　
: 定義函數 $\varphi (\alpha )$ ，有

　
: $\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x=\varphi (\alpha ),$

這裡 _a_ 與 _b_ 是關於 α 的函數，隨 α 的增加分別增加 Δ_a_ 和 Δ_b_, 即當 α 增加 Δα 時，有

　
: ${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x\,-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\,\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

由積分中值定理得 $\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi ),$ 這裡 _a_ < ξ < _b_, 從而上式變為

　
: $\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )$

　
: $=-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )$ .

上式除以 Δα, 令 Δα → 0, 此時 ξ1 → _a_ 且 ξ2 → _b_, 由**引理 2**：

　
: ${\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x$

和**引理 1**，得

　
: ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$

定理得證.

## 由富比尼定理證明

由富比尼定理，

　
: ${\frac {d}{dy}}\left(\int _{c}^{y}\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dxdz\right)={\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}\int _{c}^{y}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dzdx\right)$

由微積分基本定理的第一形式，左邊等於

　
: $\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx.$

由微積分基本定理的第二形式，右邊等於

　
: ${\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}(f(x,y)-f(x,c))dx\right).$

被積函數的第二部分 $f(x,c)$ 不含 _y_，所以它對 _y_ 的導數是 0，所以右邊等於

　
: ${\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)dx\right).$

證畢

## 大眾文化

積分符號內取微分曾在已故的物理學家理察・費曼的最暢銷的回憶錄《別鬧了，費曼先生！》（在「一個不同的工具箱」一章中）中提到過，他提到他是高中時從一本舊書《高等微積分》（1926 年）中學到的，書的作者是弗雷德里克・S・伍茲（美國麻省理工學院數學系教授）。這種方法在費恩曼以後接受正規教育時很少被教授。而因為知道這種方法，使得費恩曼在普林斯頓大學讀研究生時能夠用其解一些困難的積分問題。《別鬧了，費曼先生！》中關於在積分符號內取微分方法的原文如下：

## 另見

## 參考文獻

 
費曼積分法 —— 積分符號內取微分：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）