莫雷角三分線定理

在歐幾里得幾何中，**莫雷角三分線定理**（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個內角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克・莫雷在 1899 年發現。對外角作外角三分線，也會有類似的性質，可以再作出 4 個等邊三角形。

此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。

## 證明

### 引理

由三倍角公式及和差公式可得出：

　
: $\sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$

### 引理證明

　
: $\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta $

　
: $=\sin \theta (3-4\sin ^{2}\theta )=\sin \theta (3\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$

　
: $=\sin \theta ({\sqrt {3}}\cos \theta +\sin \theta )({\sqrt {3}}\cos \theta -\sin \theta )$

　
: $=4\sin \theta ({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta -{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )$

　
: $=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$

### 定理證明

在 $\triangle ABC$ 中：

　
: $\alpha $ 是 $\angle A$ 的三等分角

　
: $\beta $ 是 $\angle B$ 的三等分角

　
: $\gamma $ 是 $\angle C$ 的三等分角

作 6 條角三分線分別為 ${\overline {BX}}$ 、 ${\overline {XC}}$ 、 ${\overline {CY}}$ 、 ${\overline {YA}}$ 、 ${\overline {AZ}}$ 、 ${\overline {ZB}}$ ，作 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 在 ${\overline {BC}}$ 上，且 ${\overline {BC}}\bot {\overline {XD}}$ 、 $\angle BXE=\angle CXF=60^{\circ }$

容易得出 $\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$ ，由此等式還可以得出以下三式：

　
: $\angle BXC=120^{\circ }+\alpha $

　
: $\angle CYA=120^{\circ }+\beta $

　
: $\angle AZB=120^{\circ }+\gamma $

由正弦定理可得出：

　
: $\sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}$

　
: $\sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}$

從這裡可以得出 $\triangle XEF$ 的三個內角，計算出 $\angle XEF$ 和 $\angle XFE$ 的正弦值：

　
: $\angle EXF=\alpha $

　
: $\angle XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\beta )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}$

　
: $\angle XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\gamma )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}$

我們知道：

　
: ${\overline {AB}}\sin 3\beta ={\overline {AC}}\sin 3\gamma $

從引理我們可以得出：

　
: ${\overline {AB}}4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )={\overline {AC}}4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma )$

　
: ${\overline {AB}}\sin \beta {\frac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}{\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}={\overline {AC}}\sin \gamma {\frac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}{\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}$

化簡後得出：

　
: ${\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}\Rightarrow \triangle XEF\approx \triangle AZY$

因為 $\triangle XEF$ 和 $\triangle AYZ$ 相似，所以可得出：

　
: $\angle AZY=\angle XEF=60^{\circ }+\beta $

　
: $\angle AYZ=\angle XFE=60^{\circ }+\gamma $

同理可得出：

　
: $\angle BZX=60^{\circ }+\alpha $

　
: $\angle CYX=60^{\circ }+\alpha $

綜合以上結果，可得出 $\angle XZY=\angle XYZ=60^{\circ }$ ，因此 $\triangle XYZ$ 是等邊三角形

## 推廣

更一般的莫雷角三分線定理由 Taylor 和 Marr 於 1914 年發表，將 6 條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉 120°，其交點共可得出 27 個不同的等邊三角形。

## 參見

* 三等分角
* 三角恆等式

## 參考資料

* Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
* Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Morleys Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） MathWorld
* Morley's Trisection Theorem MathPages