联络_(主丛)

在數學中，叢上一個聯絡是定義了一種平行移動概念的裝置；即將鄰近點上的纖維「連接」或等價的一種方法。光滑流形 _M_ 上主 G - 叢 _P_ 上一個**主**_G_-**聯絡**是一類特殊的聯絡，它與群 _G_ 的作用相容。

主聯絡可以視為是埃雷斯曼聯絡概念的一類特例，經常稱為主埃雷斯曼聯絡。它給出了通過配叢構造相配於 _P_ 的任何纖維叢上一個（埃雷斯曼）聯絡。特別地，在任何配向量叢上主聯絡誘導了一個共變導數，一個能對這個叢的光滑截面關於沿著底流形上切方向微分的算子。主聯絡將光滑流形標架叢上的線性聯絡推廣到任何主叢上。

## 正式定義

設 _π_:_P_→_M_ 是光滑流形 _M_ 上一個光滑主 _G_- 叢。則 _P_ 上一個**主 _G_- 聯絡**是 _P_ 上一個取值於 _G_ 的李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的微分 1 - 形式，並滿足 _G_- 等變以及產生 _P_ 上的基本向量場的李代數生成集。

換句話說，它是 $\Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P)\otimes {\mathfrak {g}}$ 中一個元素 _ω_ 使得

 1. ${\hbox{Ad}}(g)(R_{g}^{*}\omega )=\omega $ 這裡 _R_g 表示用 _g_ 右乘；
2. 如果 $\xi \in {\mathfrak {g}}$ 和 _X_ξ 是 _P_ 上的向量場關聯於 _ξ_ 利用 _G_ 在 _P_ 作用的微分，則 _ω_(_X_ξ) = _ξ_（在 _P_ 上等同）。

有時術語「主 G - 聯絡」表示二元組 (_P_,_ω_)，而 _ω_ 自己稱為這個主聯絡的**聯絡形式**或**聯絡 1 - 形式**。

### 與埃雷斯曼聯絡的關係

_P_ 上一個主 G - 聯絡以如下方式確定了 _P_ 上一個埃雷斯曼聯絡。首先注意到基本向量場生成了 _G_ 在 _P_ 上的作用給出了從 _P_ 的鉛直叢 _V_（滿足 _V_p=_T_p(_P_π(_p_)) 到 $P\times {\mathfrak {g}}$ 的一個叢同構。從而 _ω_ 定義了惟一的叢映射 _v_:_TP_→_V_，在 _V_ 上是恆同。這個投影 _v_ 由它的核惟一確定，它是 _TP_ 的一個光滑子叢 _H_（稱為水平叢）使得 _TP_=_V_⊕_H_。這是一個埃雷斯曼聯絡。

反之，_P_ 上一個埃雷斯曼聯絡 _H_⊂_TP_（或 _v_:_TP_→_V_）定義了一個主 _G_- 聯絡 _ω_ 若且唯若它在 $H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})$ 的意義下 _G_- 等變。

### 局部平凡化中的形式

主叢 _P_ 的一個局部平凡化由 _P_ 在一個 _M_ 的開子集 _U_ 上的一個截面 _s_ 給出。則主聯絡的拉回 _s_\*_ω_ 是一個 _U_ 上一個取值於 ${\mathfrak {g}}$ 的 1 - 形式。如果截面 _s_ 被由 (_sg_，_x_) = _s_(_x_)_g_(_x_) 定義的一個新截面 _sg_ 代替，這裡 _g_:_M_→_G_ 是一個光滑映射，則 (_sg_)\*_ω_ = _s_\*_ω_+_g_-1d_g_。主聯絡惟一地由這樣一族 ${\mathfrak {g}}$ - 值 1 - 形式確定，這些 1 - 形式也稱為**聯絡形式**或**聯絡 1 - 形式**，特別是在比較舊或以物理為中心的文獻中。

### 主聯絡叢

群 _G_ 通過右平移作用在切叢 _TP_。商空間 _TP_/_G_ 也是一個流形，繼承了 _TM_ 上一個纖維叢結構，可記作 _dπ_:_TP_/_G_→_TM_。設 ρ:_TP_/_G_→_M_ 是到 _M_ 的投影映射。叢 _TP_/_G_ 的纖維在投影 ρ 下攜帶一個加法結構。

叢 _TP_/_G_ 稱為**主聯絡叢**（Kobayashi 1957）。dπ:_TP_/_G_→_TM_ A 的一個截面 Γ 使得 Γ : _TM_ → _TP_/_G_ 是 _M_ 上向量叢的一個線性同態，可與 _P_ 中一個主聯絡等同。反之，如上定義的一個主聯絡給出了這樣 _TP_/_G_ 的一個截面 Γ。

最後，設 Γ 是這樣意義的一個主聯絡。令 _q_:_TP_→_TP_/_G_ 是其商映射。聯絡的水平分布是叢

　
: $H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP$ 。

### 仿射性質

如果 _ω_ 與 _ω'_ 是主叢 _P_ 上兩個主聯絡，則差 _ω'_ - _ω_ 是 _P_ 上一個 ${\mathfrak {g}}$ - 值 1 - 形式，它不僅 _G_- 等變，也是**水平的**。這裡所謂水平是指在 _P_ 的任何鉛直叢 _V_ 上為零。從而它是**基本的**，因此能被 _M_ 上取值於伴隨叢

　
: ${\mathfrak {g}}_{P}:=P\times _{G}{\mathfrak {g}}$

一個 1－形式確定。反之，任何這樣的形式定義了（通過拉回）_P_ 上一個 _G_- 等變水平 1 - 形式。所以主 _G_- 聯絡的空間是關於這個 1 - 形式空間的一個仿射空間。

## 誘導的共變外導數

對 _G_ 的任何線性表示 _W_，有一個 _M_ 上的配向量叢 $P\times _{G}W$ ，一個主聯絡誘導了這個向量叢上一個共變導數。這個共變導數可利用 $P\times _{G}W$ 在 _M_ 上截面的空間同構於 _P_ 上 _G_- 等變 _W_- 值函數的事實來定義。更一般地，取值於 $P\times _{G}W$ 的 _k_- 形式之空間等同於 _P_ 上 _G_- 等變且水平的 _W_- 值 _k_- 形式之空間。如果 _α_ 是這樣一個 _k_- 形式，則其外導數 d_α_，儘管 _G_- 等變，但不再水平。不過，複合 d_α_+_ω_Λ_α_ 卻是。這樣定義了一個外共變導數 dω 從 _M_ 上 $P\times _{G}W$ - 值 _k_- 形式到 _M_ 上 $P\times _{G}W$ - 值 (_k_+1)- 形式。特別地，當 _k_=0，我們得到了 $P\times _{G}W$ 上一個共變導數。

## 曲率形式

主 _G_- 聯絡 _ω_ 的曲率形式是 ${\mathfrak {g}}$ - 值 2 - 形式 Ω 定義為

　
: $\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]$ 。

它是 _G_- 等變以及水平的，從而對應於一個 _M_ 上取值為 ${\mathfrak {g}}_{M}$ 的 2 - 形式。曲率與這個量相等也稱為「第二結構方程」。

## 標架叢上的聯絡及其撓率

如果主叢 _P_ 是標架叢，或更一般地如果他有一個焊接形式（solder form），則此聯絡是仿射聯絡的一個例子，曲率不僅不變，由焊接形式 _θ_ 的加法結構，也要考慮到它是 _P_ 上一個 **R**n- 值 1 - 形式。特別地，_P_ 上的撓率形式，是一個 **R**n- 值 2 - 形式 Θ 定義為

　
: $\Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta $ 。

Θ 是 _G_- 等變及水平的，從而它下降為 _M_ 上一個切值 2 - 形式，稱為撓率。這個等式也稱為「第一結構方程」。

## 參考文獻

* Kobayashi, Shoshichi, Theory of Connections, Ann. Mat. Pura Appl., 1957, **43**: 119–194
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry **Vol. 1** New edition, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0471157333  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Kollár, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993 [2008-12-13], （原始內容 (PDF) 存檔於 2017-03-30）