自旋算符

在量子力學中，**自旋**（英語：Spin）是粒子所具有的內稟性質，其運算規則類似於古典力學的角動量，並因此產生一個磁場。雖然有時會與古典力學中的自轉（例如行星公轉時同時進行的自轉）相類比，但實際上本質是迥異的。古典概念中的自轉，是物體對於其質心的旋轉，比如地球每日的自轉是順著一個通過地心的極軸所作的轉動。

首先對基本粒子提出自轉與相應角動量概念的是 1925 年由拉爾夫・克勒尼希、喬治・烏倫貝克與塞繆爾・古德斯米特三人所開創。他們在處理電子的磁場理論時，把電子想像為一個帶電的球體，自轉因而產生磁場。後來在量子力學中，透過理論以及實驗驗證發現基本粒子可視為是不可分割的點粒子，所以物體自轉無法直接套用到自旋角動量上來，因此僅能將自旋視為一種內稟性質，為粒子與生俱來帶有的一種角動量，並且其量值是量子化的，無法被改變（但自旋角動量的指向可以通過操作來改變）。

自旋對原子尺度的系統格外重要，諸如單一原子、質子、電子甚至是光子，都帶有正半奇數（1/2、3/2 等等）或含零正整數（0、1、2）的自旋；半整數自旋的粒子被稱為費米子（如電子），整數的則稱為玻色子（如光子）。複合粒子也帶有自旋，其由組成粒子（可能是基本粒子）之自旋透過加法所得；例如質子的自旋可以從夸克自旋得到。

## 概論

自旋角動量是系統的一個可觀測量，它在空間中的三個分量和軌道角動量一樣滿足相同的對易關係。每個粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角動量遵從角動量的普遍規律，p=[J (J+1)]0.5h，此為自旋角動量量子數 ，J ＝ 0，1/2，1，3/2，……。自旋為半奇數的粒子稱為費米子，服從費米 - 狄拉克統計；自旋為 0 或整數的粒子稱為玻色子，服從玻色 - 愛因斯坦統計。複合粒子的自旋是其內部各組成部分之間相對軌道角動量和各組成部分自旋的矢量和，即按量子力學中角動量相加法則求和。已發現的粒子中，自旋為整數的，最大自旋為 4；自旋為半奇數的，最大自旋為 3/2。

自旋是微觀粒子的一種性質，沒有古典對應，是一種全新的內稟自由度。自旋為半奇數的物質粒子服從包立不相容原理。

## 發展史

自旋的發現，首先出現在鹼金屬元素的發射光譜課題中。於 1924 年，包立首先引入他稱為是「雙值量子自由度」（two-valued quantum degree of freedom），與最外殼層的電子有關。這使他可以形式化地表述包立不相容原理，即沒有兩個電子可以在同一時間共享相同的量子態。

包立的「自由度」的物理解釋最初是未知的。拉爾夫・克勒尼希，朗德的一位助手，於 1925 年初提出它是由電子的自轉產生的。當包立聽到這個想法時，他予以嚴厲的批駁，他指出為了產生足夠的角動量，電子的假想表面必須以超過光速運動。這將違反相對論。很大程度上由於包立的批評，克勒尼希決定不發表他的想法。

當年秋天，兩個年輕的荷蘭物理學家產生同樣的想法，它們是烏倫貝克和塞繆爾・古德斯米特。在保羅・埃倫費斯特的建議下，他們以一個小篇幅發表了他們的結果。它得到了正面的反應，特別是在雷沃林・托馬斯消除了實驗結果與烏倫貝克和古德施密特的（以及克勒尼希未發表的）計算之間的兩個矛盾的係數之後。這個矛盾是由於電子指向的切向結構必須納入計算，附加到它的位置上；以數學語言來說，需要一個纖維叢描述。切向叢效應是相加性的和相對論性的（比如在 c 趨近於無限時它消失了）；在沒有考慮切向空間朝向時其值只有一半，而且符號相反。因此這個複合效應與後來的相差一個係數 2（參見：湯瑪斯進動）。

儘管他最初反對這個想法，包立還是在 1927 年形式化自旋理論，運用埃爾文・薛丁格和沃納・海森堡發現的現代量子力學理論。他開拓性地使用包立矩陣作為一個自旋算子的群表述，並且引入一個二元旋量波函數。

包立的自旋理論是非相對論性的。然而，在 1928 年，保羅・狄拉克發表狄拉克方程式，描述相對論性的電子。在狄拉克方程式中，一個四元旋量（所謂的「狄拉克旋量」）被用於電子波函數。在 1940 年，包立證明「自旋統計定理」，它表述費米子具有半整數自旋，玻色子具有整數自旋。

## 自旋量子數

### 基本粒子的自旋

對於像光子、電子、各種夸克這樣的基本粒子，理論和實驗研究都已經發現它們所具有的自旋無法解釋為它們所包含的更小單元圍繞質心的自轉（即使使用古典電子半徑，電子「赤道」處的速度也需要超光速才能解釋其自旋角動量）。由於這些不可再分的基本粒子可以認為是真正的點粒子，因此自旋與質量、電量一樣，是基本粒子的內稟性質。

在量子力學中，任何體系的角動量都是量子化的，其值只能為：

　
: $S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}},$

其中 $\hbar $ 是約化普朗克常數，而自旋量子數是整數或者半整數（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子數可以取半整數的值，這是自旋量子數與軌道量子數的主要區別，後者的量子數取值只能為整數。自旋量子數的取值只依賴於粒子的種類，無法用現有的手段去改變其取值（不要與自旋的方向混淆，見下文）。

例如，所有電子具有 $s=1/2$ 的自旋，自旋為 1/2 的基本粒子還包括正電子、微中子和夸克，光子是自旋為 1 的粒子，理論假設的引力子是自旋為 2 的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比較特殊，它的自旋為 0。

### 次原子粒子的自旋

對於像質子、中子及原子核這樣的次原子粒子，自旋通常是指總的角動量，即次原子粒子的自旋角動量和軌道角動量的總和。次原子粒子的自旋與其它角動量都遵循同樣的量子化條件。

通常認為次原子粒子與基本粒子一樣具有確定的自旋，例如，質子是自旋為 1/2 的粒子，可以理解為這是該次原子粒子能量量低的自旋態，該自旋態由次原子粒子內部自旋角動量和軌道角動量的結構決定。

利用第一性原理推導出次原子粒子的自旋是比較困難的，例如，儘管我們知道質子是自旋為 1/2 的粒子，但是原子核自旋結構的問題仍然是一個活躍的研究領域。

### 原子和分子的自旋

原子的自旋是原子核自旋與核外電子自旋的疊加。分子的自旋是分子中未成對電子自旋之和，未成對電子的自旋導致原子和分子具有順磁性。

### 自旋與統計

粒子的自旋對於其在統計力學中的性質具有深刻的影響，具有半整數自旋的粒子遵循費米 - 狄拉克統計，稱為費米子，它們必須占據反對稱的量子態（參閱全同粒子），這種性質要求費米子不能占據相同的量子態，這被稱為包立不相容原理。另一方面，具有整數自旋的粒子遵循玻色 - 愛因斯坦統計，稱為玻色子，這些粒子可以占據對稱的量子態，因此可以占據相同的量子態。對此的證明稱為自旋統計定理，依據的是量子力學以及狹義相對論。事實上，自旋與統計的聯繫是狹義相對論的一個重要結論。

## 自旋的方向

### 自旋投影量子數與自旋多重態

在古典力學中，一個粒子的角動量不僅有大小（取決於粒子轉動的快慢），而且有方向（取決於粒子的旋轉軸）。量子力學中的自旋同樣有方向，但是是以一種更加微妙的形式出現的。

在量子力學中，對任意方向的角動量分量的測量只能取 $S_{i}=\hbar s_{i}$ ，其中

　
: $s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$

s 是之前章節討論過的自旋量子數。可以看出對於給定的 s， $s_{z}$ 可以取「2s+1」個不同的值，此即為自旋多重態。例如：對於自旋為 1/2 的粒子，"sz"只能取兩個不同的值，+1/2 或 - 1/2。相應的量子態為粒子自旋分別指向 + z 或 - z 方向，一般我們把這兩個量子態叫做"spin-up"和"spin-down"。
對於一個給定的量子態，可以給出一個自旋矢量 $\langle S\rangle $ ，它的各個分量是自旋沿著各坐標軸分量的數學期望值，即 $\langle S\rangle =[\langle s_{x}\rangle ,\langle s_{y}\rangle ,\langle s_{z}\rangle ]$ . 這個矢量描述自旋所指的「方向」，對應於古典物理下旋轉軸的概念。這個矢量在實際做量子力學計算時並不十分有用，因為它不能被直接精準測量：根據不確定性原理，_sx_、_sy_ 和 _sz_ 不能同時有確定值。但是對於被置於同一個量子態的大量粒子，例如使用斯特恩－革拉赫儀器得到的粒子，自旋矢量確實有良好定義的實驗意義。

### 自旋矢量

## 自旋與磁矩

具有自旋的粒子具有磁偶極矩，就如同古典電動力學中轉動的帶電物體。磁矩可以通過多種實驗手段觀察，例如，在斯特恩 - 革拉赫實驗中受到不均勻磁場的偏轉，或者測量粒子自身產生的磁場。

一個基本粒子，電量為 q，質量為 m，自旋為 S，則其內稟磁矩 $\mu $ 為

　
: $\mu =g\,{\frac {q}{2m}}\,S$

其中無因次量 g 稱為 g - 因數（g-factor），當僅有軌道角動量時，g=1。

電子是帶電荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子電動力學理論成功以預測了電子的 g - 因數，其實驗測量值為−2.002 319 304 3622（15），括號中的兩位數字為測量的不確定度，來源於標準差，整數部分 2 來源於狄拉克方程式（狄拉克方程式是與將電子自旋與其電磁性質聯繫起來的基本方程式），小數部分（0.002 319 304…）來源於電子與周圍電磁場的交互作用，其中也包括電子自身的產生的電磁場。

## 量子力學中關於自旋的數學表示

### 自旋算符

與角動量算符類似，自旋滿足對易關係：

　
: $[S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}$

其中 $\epsilon _{ijk}$ 為列維 - 奇維塔符號。 $S^{2}$ 與 $S_{z}$ 的本徵值（用狄拉克符號表示）為：

　
: $S^{2}|s,m\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle $

　
: $S_{z}|s,m\rangle =\hbar m|s,m\rangle .$

自旋產生及湮沒算符作用於本徵矢量上可以得到：

　
: $S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle ,$

其中 $S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}$ 。

然而與軌道角動量所不同的是，自旋的本徵矢量不是球諧函數，它們不是 $\theta $ 和 $\phi $ 的函數，而且 $s$ 與 $m$ 不能取半整數值也只是一種約定，沒有具體的含義。

除了其它性質以外，量子力學描述的所有粒子具有內稟自旋（儘管可能出現量子數 $S=0$ 的情況）。自旋量子數的取值為約化普朗克常數 $\hbar $ 的整數倍或半整數倍，因此波函數可以寫為 $\psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,,$ 而不是 $\psi =\psi (\mathbf {r} )$ ，其中 $\sigma $ 可以取值的集合為： $\sigma \in \{-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar \}$ ，由此可以區分玻色子（S=0, 1 , 2 , ...）和費米子（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自旋角動量與軌道角動量之和為總角動量，在交互作用過程中總角動量守恆。

### 自旋與包立不相容原理

包立不相容原理指出，對於可分辨的 N 粒子體系，交換其中任意兩個粒子，則有：

： $\psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...){\stackrel {!}{=}}(-1)^{2S}\cdot \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...)\,.$

因此，對於玻色子，前置因子 $(-1)^{2S}$ 可簡化為 + 1，而對於費米子為 - 1。在量子力學中，所有的粒子不是玻色子就是費米子，而在相對論量子場論中存在「超對稱」粒子，它們是玻色子成分和費米子成分的線性組合。對於二維體系，前置因子 $(-1)^{2S}$ 可以取為任何模為 1 的複數。

電子是自旋量子數 S=1/2 的費米子；光子是自旋量子數 S=1 的玻色子。這充分說明自旋這一特性無法完全用古典的內稟軌道角動量來解釋，也就是不能認為自旋是像陀螺一樣的自轉運動，因為軌道角動量只能導致 s 取整數值。電子一般情況下可以不考慮相對論效應，光子必須採用相對論來處理，而用來描述這些粒子的馬克士威方程組，也是滿足相對論關係的。

包立不相容原理非常重要，例如，化學家和生物學家常用的元素週期表就是遵循包立不相容原理制訂的。

### 自旋與旋轉

如上所述，量子力學指出角動量沿任意方向的分量只能取一系列離散值，量子力學中最普遍的描述粒子自旋的方法是，用一個歸一完備的複數集來表示內稟角動量在給定坐標軸方向投影出現的機率。例如，對於自旋 1/2 的粒子，用 $a_{\pm 1/2}$ 表示角動量投影出現的機率為 $\hbar /2$ 和 $-\hbar /2$ ，它們滿足：

　
: $|a_{1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}\,=1.$

由於這些複數的取值依賴於坐標軸的選取，坐標軸轉動變換可以是非平凡的，因此要求採用線性的變換法則，以便將所有的轉動通過一個矩陣聯繫起來，這要求變換必須滿足乘法運算，而且必須保持內積不變，因此變換矩陣應當滿足：

　
: $\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n})^{*}(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k})$

　
: $\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.$

用數學語言表述，這些矩陣是 SO (3) 群的么正表示，每一個這樣的表示對應於 SU (2) 群的一個表示（SO (3) 群是 SU (2) 群的子群），SU (2) 群的每一個不可約表示對應一個維度。例如，自旋 1/2 的粒子在二維表示下作轉動變換，可以用包立矩陣表示為：

　
: ${\begin{pmatrix}a_{1/2}'\\a_{-1/2}'\end{pmatrix}}=\exp {(i\sigma _{z}\gamma /2)}\exp {(i\sigma _{y}\beta /2)}\exp {(i\sigma _{x}\alpha /2)}{\begin{pmatrix}a_{1/2}\\a_{-1/2}\end{pmatrix}}$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma $ 為歐拉角。

同樣地，可以用高維群表示描述粒子的高階自旋變換，參見包立矩陣相關章節。

### 自旋與勞侖茲變換

我們可以在勞侖茲變換下研究自旋的行為，但與 SO (3) 群不同，勞侖茲群 SO (3,1) 是非緊緻的，不存在有限維么正表示。

對於自旋 1/2 的粒子，有可能構造出保持內積不變的有限維表示。將每個粒子用一個四元狄拉克自旋量 $\psi $ 來表示，這些旋量在勞侖茲變換下遵守如下規則：

　
: $\psi '=\exp {\left({\frac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi $

其中 $\gamma _{\mu }$ 為伽瑪矩陣， $\omega _{\mu \nu }$ 是一個反對稱的 $4\times 4$ 矩陣，它將勞侖茲變換參數化。我們可以看到內積表示

　
: $\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi $

保持不變。由於表示矩陣是非正定的，因此不是么正表示。

### 包立矩陣和自旋算符

量子力學中表示自旋這個可觀測量的算符為：

　
: $S_{x}={\hbar  \over 2}\sigma _{x}$

　
: $S_{y}={\hbar  \over 2}\sigma _{y}$

　
: $S_{z}={\hbar  \over 2}\sigma _{z}$

對於自旋為 - 1/2 的情形， $\sigma _{x}$ , $\sigma _{y}$ 和 $\sigma _{z}$ 為三個包立矩陣，表示為

　
: $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

　
: $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

　
: $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

### 沿 x, y 和 z 軸的自旋測量

每個包立矩陣的哈密頓量有兩個本徵值：+1 和 - 1。相應的歸一化本徵矢量為：

　
: $\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}}$ ,

　
: $\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}}$ ,

　
: $\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ .

根據量子力學基本假設，測量沿 x，y 或 z 軸的電子自旋的實驗只能得到相應坐標軸上自旋算符（ $S_{x}$ , $S_{y}$ , $S_{z}$ ）的本徵值： ${\hbar  \over 2}$ 和 ${-\hbar  \over 2}$ 粒子的量子態可以用一個具有兩個分量的自旋量來表示：

　
: $\psi ={\begin{pmatrix}{a+bi}\\{c+di}\end{pmatrix}}$

當測量給定坐標軸方向（這裡取為 x 軸）的自旋時，測量到自旋為 ${\hbar  \over 2}$ 的機率恰好為 $\mid \langle \psi \mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}$ 。相應的測量到自旋為 ${-\hbar  \over 2}$ 的機率恰好為 $\mid \langle \psi \mid \psi _{x-}\rangle \mid ^{2}$ 。經過測量，粒子的自旋將塌縮到相應的本徵態。結果導致，如果粒子在給定坐標軸方向的自旋已經被測量出確定的值，所有的測量將得到相同的本徵值（因為 $\mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}=1$ ，依此類推），只要其它坐標軸方向的自旋還沒有被測量。

### 沿任意方向的自旋測量

沿任意方向的自旋算符很容易從包立矩陣導出，令 $u=(u_{x},u_{y},u_{z})$ 為任意單位矢量，則沿該方向的自旋算符為 $\sigma _{u}=\hbar (u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z})/2$ ，算符 $\sigma _{u}$ 具有本徵值 $\pm \hbar /2$ 。對於高自旋態，沿任意方向的自旋算符可以通過它與 x,y,z 軸三個方向的矢量的內積來確定。

對於自旋 - 1/2 的粒子，一個沿 $(u_{x},u_{y},u_{z})$ 方向的正交的自旋子為（除了導致 0/0 的自旋態）：

　
: ${\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{bmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{bmatrix}}.$

確定上述自旋子的一般方法：將矩陣 $\sigma _{u}$ 對角化，求取與本徵值相應的本徵矢量，這樣的本徵矢量就可以作為自旋子。

### 自旋測量的相容性

由於包立矩陣是不對易的，因此沿不同方向測量的自旋是不相容的，例如，在我們已知 x 軸方向的自旋的情況下，測量沿 y 軸方向的自旋，這樣會將我們先前在 x 軸方向的測量結果否定。這可以從包立矩陣的本徵矢量（本徵態）中看出來：

　
: $\mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{y+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{y+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}={\frac {1}{2}}$

因此，假如我們測量到沿 x 軸方向的自旋是 ${\hbar  \over 2}$ ，這個粒子的自旋將塌縮為本徵態 $\mid \psi _{x+}\rangle $ ；當我們接著測量 y 軸方向的自旋時，自旋本徵態將塌縮到 $\mid \psi _{y+}\rangle $ 或者 $\mid \psi _{y-}\rangle $ ，塌縮到這兩個本徵態的機率都是 ${\frac {1}{2}}$ ，可以認為這是測量到了 ${-\hbar  \over 2}$ 。當我們再次測量沿 x 軸的自旋，測量到 ${\hbar  \over 2}$ 或者 ${-\hbar  \over 2}$ 的機率各為 ${\frac {1}{2}}$ （ $\mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}$ 和 $\mid \langle \psi _{x-}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}$ ），這說明我們最初沿 x 軸方向的測量不再正確，因為此時沿 x 軸方向測量的自旋得到兩種本徵值的機率是相等的。

## 應用

自旋的直接的應用包括：核磁共振譜、電子順磁共振譜、質子密度的磁共振成像，以及巨磁電阻硬碟磁頭。自旋可能的應用有自旋場效應電晶體等。以電子自旋為研究對象，發展創新磁性材料和器件的學科分支稱為自旋電子學。

* 旋磁共振
* 核磁共振
* 電子順磁共振

## 相關條目

* 自旋 ½
* 包立矩陣
* 反常塞曼效應
* 自轉
* 進動
* 章動
* 自旋 - 軌道作用

## 參考資料

## 外部連結

* 聖地牙哥加州大學物理系視聽教學：自旋。