自旋-軌道耦合

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為**自旋 - 軌道作用**（英語：**Spin–orbit interaction**），也稱作**自旋 - 軌道效應**或**自旋 - 軌道耦合**。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋 - 軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋 - 軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋 - 軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

## 電子的自旋 - 軌道作用

在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋 - 軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋 - 軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

### 磁場

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame) ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場 $\mathbf {B} \,\!$ 是

　
: $\mathbf {B} =-\,{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\,\!$ ；(1)

其中， $\mathbf {v} \,\!$ 是電子的速度， $\mathbf {E} \,\!$ 是電子運動經過的電場， $c\,\!$ 是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

　
: $\mathbf {E} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\mathbf {r} \,\!$ ；

其中， $Z\,\!$ 是質子數量（原子序數）， $e\,\!$ 是單位電荷量， $\epsilon _{0}\,\!$ 是真空電容率， ${\hat {r}}\,\!$ 是徑向單位向量， $r\,\!$ 是徑向距離，徑向向量 $\mathbf {r} \,\!$ 是電子的位置。

電子的動量 $\mathbf {p} \,\!$ 是

　
: $\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!$ ；

其中， $m\,\!$ 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是

　
: $\mathbf {B} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {L} \,\!$ ；(2)

其中， $\mathbf {L} \,\!$ 是角動量， $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ 。

 $\mathbf {B} \,\!$ 是一個正值因子乘以 $\mathbf {L} \,\!$ ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

### 磁矩

電子自旋的磁矩 ${\boldsymbol {\mu }}\,\!$ 是

　
: ${\boldsymbol {\mu }}=\gamma \,\mathbf {S} \,\!$ ；

其中， $\gamma ={\frac {g_{s}q_{e}}{2m}}\,\!$ 是迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio) ， $\mathbf {S} \,\!$ 是自旋角動量， $g_{s}\,\!$ 是電子自旋 g 因數， $q_{e}\,\!$ 是電荷量。

電子的 g - 因數（g-factor）是 $2\,\!$ ，電荷量是 $-e\,\!$ 。所以，

　
: ${\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e}{m}}\mathbf {S} \,\!$ 。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

### 哈密頓量微擾項目

自旋 - 軌道作用的哈密頓量微擾項目是

　
: $H'=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!$ 。

代入 ${\boldsymbol {\mu }}\,\!$ 的公式 (3) 和 $\mathbf {B} \,\!$ 的公式 (2)，經過一番運算，可以得到

　
: $H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!$

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession) 。因為這效應，必須添加因子 $1/2\,\!$ 在公式裏。所以，

　
: $H'={\frac {Ze^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!$ 。

### 能級位移

在準備好了自旋 - 軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 $H_{0}\,\!$ 的本徵函數形成的基底，使 $H'\,\!$ 能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 $\mathbf {J} \,\!$ ：

　
: $\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!$ 。

總角動量算符與自己的內積是

　
: $\mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!$ 。

所以，

　
: $\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})\,\!$ 。

請注意 $H'\,\!$ 與 $\mathbf {L} \,\!$ 互相不對易， $H'\,\!$ 與 $\mathbf {S} \,\!$ 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實， $H_{0}\,\!$ 與 $\mathbf {L} \,\!$ 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}\,\!$ 。 $H_{0}\,\!$ 與 $\mathbf {S} \,\!$ 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E^{(1)}\,\!$ 。可是， $H'\,\!$ 、 $J^{2}\,\!$ 、 $L^{2}\,\!$ 、 $S^{2}\,\!$ ，這四個算符都互相對易。 $H_{0}\,\!$ 、 $J^{2}\,\!$ 、 $L^{2}\,\!$ 、 $S^{2}\,\!$ ，這四個算符也都互相對易。所以， $H_{0}\,\!$ 、 $J^{2}\,\!$ 、 $L^{2}\,\!$ 、 $S^{2}\,\!$ ，這四個算符的共同本徵函數 $|n,j,l,s\rangle \,\!$ 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 $E_{n}^{(1)}\,\!$ ；其中， $n\,\!$ 是主量子數， $j\,\!$ 是總角量子數， $l\,\!$ 是角量子數， $s\,\!$ 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 $|n,j,l,s\rangle \,\!$ 的 $\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!$ 的期望值是

　
: ${\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!$ ；

其中，電子的自旋 $s=1/2\,\!$ 。

經過一番繁瑣的運算，可以得到 $r^{-3}\,\!$ 的期望值

　
: $\langle n,j,l,s\,|\,r^{-3}\,|\,n,j,l,s\rangle ={\frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}\,\!$ ；

其中， $a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\,\!$ 是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

　
: $E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!$ 。

經過一番運算，可以得到

　
: $E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!$ ；

其中， $E_{n}^{(0)}={\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}}\,\!$ 是主量子數為 $n\,\!$ 的零微擾能級。

特別注意，當 $l=0\,\!$ 時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 $j(j+1)-l(l+1)-3/4=0\,\!$ 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 $l=0\,\!$ 時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來， $l=0\,\!$ 球諧函數是

　
: $Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,\!$ ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 $l=0\,\!$ 軌道沒有自旋 - 軌道作用。

## 參閱

* 史塔克效應
* 塞曼效應
* 超精細結構
* 蘭姆位移

## 參考文獻

* E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. 1935. ISBN 0-521-09209-4.

## 外部連結

* 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學： 自旋 - 軌道作用