色散关系

在物理科學和電機工程學中，**色散關係**描述波在介質中傳播的色散現象的性質。色散關係將波的波長或波數與其頻率建立了聯繫。由這組關係，波的相速度和群速度有了方便的確定介質中折射率的表達式。克拉莫 - 克若尼關係式可以描述波的傳播、衰減的頻率依賴性，這關係比與幾何相關和與材料相關的色散關係更具一般性。

色散的原因可能是幾何邊界條件（波導、淺水）或是波與傳輸介質間的交互作用。基本粒子（被認為是物質波）即使在沒有集合約束和其他介質存在下也會有非平凡的色散關係。

在存在色散的情況下，波速不再唯一定義，從而產生了相速度和群速度的區別。

## 色散

當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時，色散會發生，如此造成混合各種波長的波包漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率 _v_ 為波長 $\lambda $ 的函數：

　
: $v=v(\lambda )\,$ 。

波速、波長、頻率 _f_ 之間具有恆等式：

　
: $v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda )\,$ 。

函數 _f_(_λ_) 指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角頻率 $\omega =2\pi f$ 與波數 $k=2\pi /\lambda $ 來表示。上述式子可改寫為

　
: $\omega (k)=v(k)\ k\,$ 。

在此 _ω_ 成為 _k_ 的函數。使用 ω(_k_) 來描述色散關係已經成為一種標準寫法，因為相速度 ω/_k_ 與群速度 ∂ω/∂_k_ 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。

因此所關注的平面波可寫為如下數學式：

　
: $A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}$ ，

其中

　
: _A_ 是波的振幅，

　
: _A_0 = _A_(0,0)，

　
: _x_ 是波傳遞方向上的任一特定位置，以及

　
: _t_ 是描述波的任一特定時間。

## 真空中的平面波

真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子：無幾何上的限制，無傳導介質的交互作用。

### 電磁波

對真空中的電磁波而言，角頻率與波數呈正比：

　
: $\omega =ck\,$ 。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：

　
: $v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c$ ；

兩者皆為 _c_，真空中的光速，為與頻率無關的常數。

### 德布羅意色散關係

粒子的總能量、動量與質量透過如下相對論關係連結：

　
: $E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\,$

其中 $m$ 是靜質量。

當靜質量 _m_ 為零時，比如光子的例子：

　
: $E=pc\,$ 。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，_pc_ 項遠大於 _mc_2 項，因此關係式可趨近於 _E_ = _pc_。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速 _c_ 的情形，可趨近於如下關係式：

　
: $E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}$

此情形下， $mc^{2}$ 是常數，而 $p^{2}/2m$ 是常見的動能，可以動量 $p=mv$ 來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到 _E_ 與 _p_ 的關係是從 _p_ 轉成 _p_2，在垂直軸跟水平軸皆取對數 log 的色散關係圖中可看出斜率的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量 _E_ 與角頻率 _ω_ 之間以及動量 _p_ 與波數 _k_ 之間皆為正比關係，比值為約化普朗克常數ħ：

　
: $E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k$ 。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的牛頓力學）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：

　
: $E={\frac {p^{2}}{2m}}$

此處省去常數 _mc_2 的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：

　
: $\omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$ 。

　
:

## 頻率與波數的關係

當討論到介質的折射性質而不是吸收性質，亦即關注焦點為折射率的實部，則常會提及「色散關係」— 角頻率與波數的函數關係。在粒子的情形，改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。

### 波動與光學

「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如波導。在此情形下，波形會隨著時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中， ${\frac {\partial \omega }{\partial k}}$ 為群速度，對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度，並與相速度 ${\frac {\omega }{k}}$ 不同。

### 深水波

深水波的色散關係常寫為

　
: $\omega ={\sqrt {gk}}$ ，

其中 _g_ 是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半。在此情形下，相速度為

　
: $v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}$ ，

而群速度為

　
: $v_{g}={\frac {d{\omega }}{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.$

### 弦波

對一條理想弦而言，色散關係可寫為

　
: $\omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$ ，

其中 _T_ 為弦的張力，_μ_ 為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到硬度的影響，色散關係變為

　
: $\omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}$ ，

其中 $\alpha $ 是與弦有關的常數。

### 固態物理

在固態物理領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著：對一給定的動量存在有多種可能的能階，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能帶結構。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半導體，抑或是導體。

### 聲子

聲子之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

### 電子顯微術

關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子（例如 200 keV），收斂束電子繞射（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型態在高階勞厄區（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」。這種動態效應可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。

## 歷史

艾薩克・牛頓研究過稜鏡的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性；假使有認出，他則可能發明出消色差透鏡。

水波的色散關係是由皮埃爾 - 西蒙・拉普拉斯於 1776 年研究得到。

在幾篇舉足輕重的論文中，色散關係與各種波及粒子散射理論中的因果律被連繫了起來，使得克拉莫 - 克若尼關係式（1926 年－1927 年間）的通則變得重要。

## 參見

* 橢圓偏振技術
* 超短脈衝

## 參考文獻

## 外部連結

* Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
* Angular frequency calculator