背景场方法

在量子場論中，**背景場方法**是通過將場系統中一些量子場寫成古典場（稱為背景場）和量子場的疊加，從而計算原來的量子場的有效作用量的方法。由於該方法能給出保持規範對稱性的結果，它常被用於規範場的量子化。

## 原理

量子場的格林函數可以由其生成泛函 $Z[J]$ 對外源 $J$ 的泛函微商給出：

　
: $Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J^{a}(x)\phi ^{a}(x))\right)$

連通格林函數的生成泛函 $W[J]$ 為：

　
: $W[J]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J])$

有效作用量 $\Gamma [\phi ]$ 為 $W[J]$ 的勒壤得轉換：

　
: $\Gamma [\phi ]=W[J]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\phi ^{a}(x)$ ，其中 $J$ 由方程式 $\phi ={\frac {\delta W[J]}{\delta J}}$ 決定。 $\Gamma [\phi ]$ 也是單粒子不可約格林函數的生成泛函。

如果將 $\phi $ 寫成古典場 $B$ （稱為背景場）和量子場 $\eta $ 的疊加：

　
: $\phi (x)=B(x)+\eta (x)$ .

則同樣可以定義背景場存在下量子場 $\eta $ 的生成泛函 $Z[J,B]$ ， $W[J,B]$ 和有效作用量 $\Gamma [\eta ,B]$ ：

　
: $Z[J,B]=\int {\mathcal {D}}\eta \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\eta (x)+B(x)]+J^{a}(x)\eta ^{a}(x))\right)$

　
: $W[J,B]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J,B])$

　
: $\Gamma [\eta ,B]=W[J,B]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\eta ^{a}(x)$ ， $\eta ^{a}={\frac {\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}}$

對 $Z[J,B]$ 的路徑積分表達式作 $\eta \to \phi -B$ 的變量代換，可以證明：

　
: $\Gamma [\eta ,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =\eta +B}$ ，特別地， $\Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =B}$

因此，為計算量子場 $\phi $ 的有效作用量 $\Gamma [\phi ]$ ，只需計算 $\Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{B=\phi }$ ，此方法即為背景場方法。實際計算通常會使用微擾方法：將作用量 $S[\eta +B]$ 中 $\eta $ 的二次項當作無擾的作用量，用以構建 $\eta $ 場的傳播子，包含 $\eta $ 更高階次的項則視為交互作用項，並以微擾展開的方法處理。在這種處理下， $\Gamma [0,B]$ 是背景場存在時，所有單粒子不可約的真空圖的貢獻之和。量子場只出現在這些圖的內線中，而背景場只出現在這些圖的外線中。進行重整化時，背景場的場強需要重整化，但量子場的場強不需要重整化。

## 應用

背景場方法常被用於規範場的量子化。描述規範場論時，通常會從一個規範對稱的作用量出發。然而為了量子化規範場，需要向作用量中引入規範固定項（對於非阿貝爾規範場還需引入鬼場），如下所示：

　
: $Z[J]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)$

其中 ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ 是規範場， ${\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})$ 是引入的規範固定項， $\theta $ 是規範群的參數。

規範固定後的作用量失去了原有的規範對稱性。選取特定的規範並不會對可觀測量的計算帶來影響，這些量仍然具有規範對稱性。但是不可觀測的量，如格林函數、有效作用量以及重整化時引入的抵消項，通常不再具有規範對稱性。

如果使用背景場方法，在規範場上疊加一個古典場 ${\mathcal {B}}_{\mu }^{a}$ ，並選取如下的規範固定項（這種規範也被稱為背景場規範）：

　
: $Z[J,{\mathcal {B}}]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {B}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)$

　
: ${\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}^{a\mu }+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{b}^{\mu }{\mathcal {B}}_{c\mu }$

那麼生成泛函 $Z[J,{\mathcal {B}}]$ 在如下的無窮小規範變換下保持不變：

　
: ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {A}}_{\mu }^{c}$ ； ${\mathcal {B}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}+{\frac {1}{g}}\partial _{\mu }\theta ^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {B}}_{\mu }^{c}$ ； $J_{\mu }^{a}\to J_{\mu }^{a}+f^{abc}\theta ^{b}J_{\mu }^{c}$

因此，有效作用量 $\Gamma [0,{\mathcal {B}}]$ 具有規範對稱性。由它生成的所有單粒子不可約的格林函數也都是規範不變的，並且滿足瓦德恆等式（在一般的規範下，格林函數只滿足更為複雜的斯拉夫諾夫－泰勒恆等式）。運用背景場方法令規範場論變得更易於理解，同時也大大簡化了計算。

背景場方法也可用來處理電弱標準模型，這種情況下，除了要為規範場引入背景場，也要為希格斯場引入背景場，並將對稱性破缺帶來的希場真空期望值放入背景場中，以避免樹圖水平上規範場和希場自由度的混合（參見 Rξ 規範）。此外，背景場方法亦被用於處理引力和超引力相關的理論。

## 參考文獻