艾里函数

**艾里函數**（Ai(_x_)），英國英格蘭天文學家、數學家喬治・比德爾・艾里命名的特殊函數，他在 1838 年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai (_x_) 的記法是 Harold Jeffreys 引進的。Ai (_x_) 與相關函數 Bi (_x_)（也稱為艾里函數），是以下微分方程的解：

　
: $y''-xy=0,\,\!$

這個方程稱為**艾里方程**或**斯托克斯方程**。這是最簡單的二階線性微分方程，它有一個轉折點，在這一點函數由周期性的振動轉變為指數增長（或衰減）。

## 定義

對於實數 _x_，艾里函數由以下的積分定義：

　
: $\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.$

雖然這個函數不是絕對可積的（當 _t_ 趨於 +∞時積分表達式不趨於零），這個廣義積分還是收斂的，因為它快速振動的正數和負數部分傾向於互相抵消（這可以用分部積分法來檢驗）。

把: $y=Ai(x)$ 求導，我們可以發現它滿足以下的微分方程：

　
: $y''-xy=0.\,\!$

這個方程有兩個線性獨立的解。除了: $Ai(x)$ 以外，另外一個解稱為第二艾里函數，記為 $Bi(x)$ 。它定義為當 _x_ 趨於−∞時，振幅與 $Ai(x)$ 相等，但相位與 $Ai(x)$ 相差 ${\frac {\pi }{2}}$ 的函數：

　
: $\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.$

## 性質

　
: $x=0$ 時， $\mathrm {Ai} (x)$ 和 $\mathrm {Bi} (x)$ 以及它們的導數的值為：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}$

在這裡， ${\Gamma }$ 表示伽瑪函數。可以推出 Ai (_x_) 和 Bi (_x_) 的朗斯基行列式是 ${\frac {1}{\pi }}$
。

當 _x_ 是正數時，Ai (_x_) 是正的凸函數，指數衰減為零，Bi (_x_) 也是正的凸函數，但呈指數增長。當 _x_ 是負數時，Ai (_x_) 和 Bi (_x_) 在零附近振動，其頻率逐漸上升，振幅逐漸下降。這可以由以下艾里函數的漸近公式推出。

## 漸近公式

當 _x_ 趨於 +∞時，艾里函數的漸近表現為：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

而對於負數方向的極限，則有：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

這些極限的漸近展開式也是可以得到的。

## 自變量是複數時的情形

我們可以把艾里函數的定義擴展到整個複平面：

　
: $\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

其中積分路徑 $C$ 從輻角為 -(1/3)π 的無窮遠處的點開始，在輻角為 (1/3)π 的無窮遠處的點結束。此外，我們也可以用微分方程 $y''-xy=0$ 來把 Ai (_x_) 和 Bi (_x_) 延拓為複平面上的整函數。

以上 Ai (_x_) 的漸近公式在複平面上也是正確的，如果取主值為 _x_2/3，且 _x_ 不在負的實數軸上。Bi (_x_) 的公式也是正確的，只要 _x_ 位於扇形 {_x_∈**C** : |arg _x_| <(1/3)π−δ} 內，對於某個正數 δ。最後，Ai (−_x_) 和 Bi (−_x_) 是正確的，如果 _x_ 位於扇形 {_x_∈**C** : |arg _x_| <(2/3)π−δ} 內。

從艾里函數的漸近表現可以推出，Ai (_x_) 和 Bi (_x_) 在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai (_x_) 在複平面內沒有其它零點，而 Bi (_x_) 在扇形 {_z_∈**C** : (1/3)π < |arg _z_| <(1/2)π} 內還有無窮多個零點。

### 圖像

 

## 與其它特殊函數的關係

當自變量是正數時，艾里函數與變形貝索函數之間有以下的關係：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}$

在這裡，_I_±1/3 和 _K_1/3 是方程 $x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$ 的解。

當自變量是負數時，艾里函數與貝索函數之間有以下的關係：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}$

在這裡，_J_±1/3 是方程 $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$ 的解。

Scorer 函數是 $y''-xy=1/\pi $ 的解，它也可以用艾里函數來表示：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

或是利用超幾何函數，

　
: $\operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)$

　
: $\operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)$

## 參考文獻

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). _Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables_, (See §10.4) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. National Bureau of Standards.
* Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. _Transactions of the Cambridge Philosophical Society,_ **6**, 379–402.
* Olver (1974). _Asymptotics and Special Functions,_ Chapter 11. Academic Press, New York.
* Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6. （含有許多圖像 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Airy Functions. MathWorld.