线性微分方程

**線性微分方程**（英語：Linear differential equation）是數學中常見的一類微分方程。指以下形式的微分方程：

　
: ${\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)$

其中方程左側的微分算子 ${\mathcal {L}}$ 是線性算子，y 是要解的未知函數，方程的右側是一個已知函數。如果 f(x) = 0，那麼方程 (\*) 的解的線性組合仍然是解，所有的解構成一個向量空間，稱為**解空間**。這樣的方程稱為**齊次線性微分方程**。當 f 不是零函數時，所有的解構成一個仿射空間，由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。這樣的方程稱為**非齊次線性微分方程**。線性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

## 簡介

線性微分方程是一類特殊的微分方程。一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間，因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。線性微分方程的普遍形式為：

　
: ${\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)$

其中的 ${\mathcal {L}}$ 是一個線性的微分算子，也就是說，設有兩個函數 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 以及兩個常數 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ ，那麼：

　
: ${\mathcal {L}}(\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2})=\lambda _{1}{\mathcal {L}}(y_{1})+\lambda _{2}{\mathcal {L}}(y_{2}).$

如果 f 是零函數，那麼給定若干個方程 (\*) 的解函數： $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}$ 以及同樣多的常數係數： $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}$ ，線性組合 $\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\cdots +\lambda _{m}y_{m}$ 仍然是方程 (\*) 的解函數。這說明所有方程 (\*) 的解函數構成一個線性空間 V，稱為方程的解空間。如果 f 不是零函數，那麼考慮相應的齊次線性微分方程：

　
: ${\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(**)$

設 $y^{s}$ 是方程 (\*) 的一個解函數。 $y$ 方程 (\*\*) 的任意一個解函數。則它們的和 $y^{s}+y$ 仍然是 (\*) 的解函數。另一方面，給定方程 (\*) 的兩個解函數： $y_{1}^{s}$ 和 $y_{2}^{s}$ 。則它們的差 $y_{1}^{s}-y_{2}^{s}$ 會是方程 (\*\*) 的解函數。這說明方程 (\*) 的所有解函數都可以寫成 $y^{s}+y,\;y\in V$ 的形式。其中 V 是方程 (\*\*) 的解空間。所以方程 (\*) 的所有解函數構成一個仿射空間 V'，並且 $V'=y^{s}+V$ 。

## 常係數齊次線性微分方程

一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的，他意識到這類方程的解都具有 $e^{zx}$ 的形式，其中 $z$ 是某個複數。因此，對於以下方程：

　
: ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0$

我們設 $y=e^{zx}$ ，可得：

　
: $z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.$

兩邊除以 _e__zx_，便得到了一個 _n_ 次方程：

　
: $F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,$

這個方程 _F_(_z_) = 0 稱為**特徵方程**。

一般地，把微分方程中以下的項

　
: ${\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).$

換成 _z_k，便可得到特徵方程。這個方程有 _n_ 個解：_z_1, ..., _z_n。把任何一個解代入 _e__zx_，便可以得到微分方程的一個解：_e__z_i_x_。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理，因此這些函數的任意線性組合仍然滿足微分方程。

如果特徵方程的根都不重複，我們便得到了微分方程的 _n_ 個解。可以證明，這些解是線性獨立的。於是，微分方程的通解就是 _y_ = _C_1_e__z_1_x_ + _C_2_e__z_2_x_ + …… + _C_n_e__z_n_x_，其中 _C_1、_C_2、……、_C_n 是常數。

以上討論了 _n_ 個根全不相同的情形。如果這 _n_ 個根中有兩個（或多個）相同，用上面的方法就無法得出 _n_ 個線性獨立的解。但是，可以驗證，如果 _z_ 是特徵方程的 _m_z 重根，那麼，對於 $k\in \{0,1,\dots ,m_{z}-1\}\,$ ， $y=x^{k}e^{zx}\,$ 就是微分方程的一個解。對每個特徵根 _z_，都能得到 _m_z 個解，所有這些解的線性組合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的係數 _Ai_ 都是實數，那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如特徵方程有複數根，那麼它一定是成對的，也就是說，如果 _a_ + _bi_ 是特徵方程的根，那麼 _a_ - _bi_ 也是一個根。於是，_y_ = _e_(_a_ + _bi_)_x_ 和 _y_ = _e_(_a_ - _bi_)_x_ 都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解，我們可以把這兩個解相加，再除以 2，利用歐拉公式，便得到一個實數形式的解：_y_ = _e__ax_cos_bx_。如果把兩個解相減，再除以 2i，便得到另一個實數形式的解：_y_ = _e__ax_sin_bx_。於是，_y_ = _C_1_e__ax_cos_bx_ + _C_2_e__ax_sin_bx_ 就是微分方程的通解。

### 例子

求微分方程 $y''-4y'+5y=0\,$ 的通解。特徵方程是 $z^{2}-4z+5=0\,$ ，它的根是 2+_i_ 和 2−_i_。於是， $y=C_{1}e^{2x}\cos {x}+C_{2}e^{2x}\sin {x}$ 就是微分方程的通解。

## 常係數非齊次線性微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定係數法或常數變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。

### 待定係數法

考慮以下的微分方程：

　
: ${\frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!$

對應的齊次方程是：

　
: ${\frac {dy}{dx}}=y.$

它的通解是：

　
: $y=ce^{x}.\!$

由於非齊次的部分是 ( $e^{2x}$ )，我們猜測特解的形式是：

　
: $y_{p}=Ae^{2x}.\!$

把這個函數以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出 _A_：

　
: ${\frac {d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!$

　
: $2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!$

　
: $2A=A+1\,\!$

　
: $A=1.\,\!$

因此，原微分方程的解是：

　
: $y=ce^{x}+e^{2x}.\!$ ( $c\in R$ )

### 常數變易法

假設有以下的微分方程：

　
: $y^{\prime \prime }+py^{\prime }+qy=f(x)$

我們首先求出對應的齊次方程的通解 $\ y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ ，其中 _C_1、_C_2 是常數，_y_1、_y_2 是 _x_ 的函數。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數 _C_1、_C_2 換成 _x_ 的未知函數 _u_1、_u_2，也就是：

　
: $y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm {(1)} $

兩邊求導數，可得：

　
: $y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.$

我們把函數 _u_1、_u_2 加上一條限制：

　
: $u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm {(2)} $

於是：

　
: $y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm {(3)} $

兩邊再求導數，可得：

　
: $y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm {(4)} $

把 (1)、(3)、(4) 代入原微分方程中，可得：

　
: $u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).$

整理，得：

　
: $u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).$

由於 _y_1 和 _y_2 都是齊次方程的通解，因此 $u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}$ 和 $u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}$ 都變為零，故方程化為：

　
: $u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm {(5)} $

(2) 和 (5) 聯立起來，便得到了一個 $u_{1}'$ 和 $u_{2}'$ 的方程組，便可得到 $u_{1}'$ 和 $u_{2}'$ 的表達式；再積分，便可得到 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

　
: $u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.$

其中 W 表示朗斯基行列式。

## 變係數線性微分方程

_n_ 階的變係數微分方程具有以下形式：

　
: $p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).$

一個例子是柯西 - 歐拉方程：

　
: $x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解，但一階的變係數線性微分方程是例外。設有以下的一階變係數線性微分方程：

　
: $\ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).$

這個方程可以用積分因子求解，方法是把兩邊乘以 $e^{\int f(x)\,dx}$ ：

　
: $Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},$

用乘法定則，可以簡化為：

　
: $D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

兩邊積分，得：

　
: $y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,$

　
: $y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.$

也就是說，一階線性微分方程 $y'(x)+p(x)y(x)=r(x)$ 的解是：

　
: $y=e^{-a(x)}\left(\int r(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)$

其中 $\kappa $ 是積分常數，且

　
: $a(x)=\int {p(x)\,dx}.$

### 例子

考慮以下一階線性微分方程：

　
: ${\frac {dy}{dx}}+by=1.$

_p_(_x_) = b，_r_(_x_) = 1，因此微分方程的解為：

　
: $y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.$

## 拉普拉斯變換解微分方程

應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。

首先有以下關係：

　
: ${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

　
: ${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

　
: ${\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).$

有如下微分方程：

　
: $\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t).$

該方程可變換為：

　
: $\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

則：

$$
{\mathcal {L}}\{f(t)\}={{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.
$$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始條件。

_f_(_t_) 通過拉普拉斯反變換 ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ 求得。

 

## 參見

* 拉普拉斯變換
* 傅立葉變換
* 里卡蒂方程
* 伯努利微分方程
* 柯西 - 歐拉方程
* 克萊羅方程
* 全微分方程

## 參考文獻

* Stanley J. Farlow(1994). _An introduction to differential equations and their applications_. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.