线性变换

**線性映射**（**英語：linear map**）是於向量空間之間，保持向量加法和純量乘法的函數，所以線性映射也是向量空間間的同態。

**線性算子**（**英語：linear operator**）與**線性變換**（**英語：linear transformation**）是與線性映射相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。

## 正式定義

這等價於要求 $f$ 對任意向量 $x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\in V$ 和任意純量 $a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}\in K$ 須滿足

　
: $f(a_{1}\cdot x_{1}+\ldots +a_{m}\cdot x_{m})=a_{1}\cdot f(x_{1})+\ldots +a_{m}\cdot f(x_{m})$

若要特別強調純量所在的母集合是域 $K$ ，會特稱 $f$ 為 _$K$_ - 線性映射。如對複數的共軛運算 ${\bar {\,\,}}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} $ 是 $\mathbb {R} $ - 線性映射（因為取實數為純量才會有齊次性）。

### 線性泛函

域本身就是定義在自己之上（也就是以自己為純量母集合）的向量空間，所以如 $f:V\rightarrow K$ 的線性映射被特稱為線性泛函。線性泛函分析就是不預先假設基底存在性的的高等線性代數（也就是直觀來說，無窮維或是不可數維度的向量空間）。線性泛函分析是泛函分析最成熟的分支，但泛函分析最早研究的是有關向量空間 _$V$_ 上的實值函數（它們一般是非線性映射）的變分問題。

### 注意事項

* 本條目所定義的「線性」與「函數圖像是條直線」間有根本的區別（可見下文的舉例說明），請勿混淆。
* 線性映射可以複合，但一般不能隨便交換複合的先後順序；如「給函數乘上 $x^{2}$ 」和「對函數進行微分」都是線性算子（可見下文的舉例說明），但對一個函數「先乘上 $x^{2}$ 再進行微分」和「先進行微分再乘上 $x^{2}$ 」所得到的結果一般是不一樣的。
* 由「可加性」不可能推導出「齊次性」，由「齊次性」也不可能推導出「可加性」，所以這 2 條件對於「線性」的定義缺一不可。

## 相關名詞

**線性變換**和**線性算子**與本條目的**線性映射**密切相關，但不同作者對它們有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如 $f:V\rightarrow V$ 這樣，定義域和值域落在同個向量空間的**特殊線性映射**，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。

比如 Axler 和龔昇就稱這種特殊線性映射為**線性算子**，但另一方面將**線性映射**和**線性變換**視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性映射稱為**線性變換**；而泛函分析的書籍一般將三者都視為同義詞。

但為清晰起見，本條目一律以**線性映射**稱呼，其他的細節都以函數的慣用符號表達。

## 例子

* 恆等映射和零映射是線性的。
* 對於實數，映射 $x\mapsto x^{2}$ 不是線性的。
* 如果 _$A$_ 是 $m\times n$ 實矩陣，則 _$A$_ 定義了一個從 $R^{n}$ 到 $R^{m}$ 的線性映射，這個映射將列向量 $x\in R^{n}$ 映射到列向量 $Ax\in R^{m}$ 。反過來說，在有限維向量空間之間的任何線性映射都可以用這種方式表示；參見後面章節。
* 積分生成從在某個區間上所有可積分實函數的空間到 $R$ 的線性映射。這只是把積分的基本性質（「積分的可加性」和「可從積分號內提出常數倍數」）用另一種說法表述出來。
* 微分是從所有可微分函數的空間到所有函數的空間的線性映射。
* 「給函數乘上 $x^{2}$ 」是一種線性映射。設 $C$ 是由全體連續函數所組成的函數空間，則此運算也是空間 $C$ 中的算子。
* 後向移位（backward shift）運算是一種線性映射。即把無窮維向量 $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)$ 的第一個坐標划去： $\operatorname {T} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)=(x_{2},x_{3},x_{4},...)$ 。
* 如果 _$V$_ 和 _$W$_ 為在域 $F$ 上的有限維向量空間，則從線性映射 $f:V\rightarrow W$ 到在後面所描述的 $\dim _{F}(W)\times \dim _{F}(V)$ 矩陣的函數也是線性映射。
* 一次函數 $y=f(x)=x+b$ 僅在 $b=0$ 時才是一種線性變換。容易驗證一次函數僅在 $b=0$ 時，線性變換的基本性質 $f(0)=0$ 才能成立。（儘管 $b\neq 0$ 時其圖像也是一條直線，但**這裡所說的線性不是指函數圖像為直線**。）同理，平移變換一般也不是線性變換（平移距離為零時才是線性變換）。

## 矩陣

若向量空間 _$V$_ 和 _$W$_ 都是有限維的，且它們定義在**同個**純量域 $K$ 上，則從 _$V$_ 到 _$W$_ 的所有線性映射可以用矩陣表示。反之亦然，下面將詳述如何表示。

### 以矩陣表示線性映射

假設 $T:V\to W$ 是個線性映射，且

　
: ${\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}$

　
: ${\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}$

分別是 _$V$_ 和 _$W$_ 的基底。

根據基底 ${\mathfrak {B}}_{W}$ 的基本定義，對於每個基向量 $\alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}$ ，存在唯一一組純量 $t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K$ 使得

　
: $T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}$

直觀上，純量 $t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K$ 就是對基向量 $\alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}$ 的作用結果 $T(\alpha _{i})\in W$ ，在基底 ${\mathfrak {B}}_{W}$ 下的諸分量。

現在任取一個 _$V$_ 裡的向量 _$v\in V$_ ，因為基底 ${\mathfrak {B}}_{V}$ 的基本定義，存在唯一一組純量 $v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K$ 使得

　
: $v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}$

這樣根據求和符號的性質，可以得到

　
: $T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}$

然後考慮到 $T(v)\in W$ ，所以根據基底 ${\mathfrak {B}}_{W}$ 的基本定義，存在唯一一組純量 $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K$ 使得

　
: $T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}$

因為這樣的純量 $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K$ 是唯一存在的，所以對 $j=1,\,2,\,\ldots ,\,m$ 有

　
: $\lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}$

考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為

　
: ${\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$

也就是說，只要知道 $T(\alpha _{i})$ 在 ${\mathfrak {B}}_{W}$ 下的諸分量 $t_{ji}$ ，任意向量 _$v\in V$_ 的作用結果 $T(v)$ ，都可以表示為矩陣 $\mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}$ 與行向量 $\mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}$ 的乘積。更直觀的來說，矩陣 $\mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}$ 就是把 $T(\alpha _{i})$ 的諸分量沿**行**（**column**）擺放所構成的。

由上面的推導可以知道，**不同的基底** ${\mathfrak {B}}_{V}$ 和 ${\mathfrak {B}}_{W}$ 下，矩陣 $\mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}$ 也**不同**，為了強調這點，也會將矩陣 $\mathbf {T} $ 記為

　
: $\mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}$

來強調這種關聯性。

若 $T:V\to V$ ，在同個向量空間 _$V$_ 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 ${\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}$ 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為

　
: $\mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}$

### 以線性映射表示矩陣

若有由 $m\times n$ 個純量構成的矩陣 $\mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}$ ，如果取 $f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}$ 為

　
: $f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} $

其中

　
: $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}$

因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函數定義的基本要求。然後考慮 $K^{n\times 1}$ 和 $K^{m\times 1}$ 都可以視為定義在**同個**純量域 $K$ 上的向量空間，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數 $f$ 的確符合線性映射的基本定義。

### 用矩陣表示線性映射的原因和好處

1. 把線性映射寫成具體而簡明的 2 維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和複合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。當空間的基變化（坐標系變換）時，線性映射的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性映射，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程式表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以通過適當的變換以「解耦」（把複雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
2. 遇到 $y=x+3$ 這樣的加上了 1 個常數的非線性映射可以通過增加 1 個維度的方法，把變換映射寫成 2×2 維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性映射轉化為線性映射。這個辦法也適用於處理在高維線性變換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械製造和機器人學）中都有大量應用。
3. 對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化（不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的准對角矩陣），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變數）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣 _$A$_ ，要求出 _$A$_ 自乘 $n$ 次後的結果 $A^{n}$ ，一個一個慢慢地乘是很麻煩的事情。而知道對角化技巧的人會發現，在將這矩陣對角化後，其乘法運算會變得格外簡單。實際應用中有很多有意思的問題或解題方法都會涉及到矩陣自乘 n 次的計算，如 1 階非齊次線性遞推數列通項公式的線性代數求解法和馬可夫鏈的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個 0 的條件，以便簡化計算（這是主要原因之一）。

## 線性映射的矩陣的例子

二維空間 $R^{2}$ 的線性變換的一些特殊情況有：

* 逆時針旋轉 90 度：

　
: $A={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$
* 逆時針旋轉 $\theta $ 度：

　
: $A={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$
* 針對 _y_ 軸反射：

　
: $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$
* 在所有方向上放大 2 倍：

　
: $A={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}$
* 水平錯切：

　
: $A={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}$
* 擠壓：

　
: $A={\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}$
* 向 _y_ 軸投影：

　
: $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}$

## 從給定線性映射構造新的線性映射

兩個線性映射的複合映射是線性的：如果 $f:V\rightarrow W$ 和 $g:W\rightarrow Z$ 是線性的，則 $g\circ f:V\rightarrow Z$ 也是線性的。

若線性映射可逆，則該線性映射的逆也是線性映射。

如果 $f_{1}:V\rightarrow W$ 和 $f_{2}:V\rightarrow W$ 是線性的，則它們的和 $f_{1}+f_{2}$ 也是線性的 (這是由 $\left(f_{1}+f_{2}\right)\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right)$ 定義的)。

如果 $f:V\rightarrow W$ 是線性的，而 _a_ 是基礎域 _K_ 的一個元素，則定義自 (_af_)(_x_) = _a_ (_f_(_x_)) 的映射 _af_ 也是線性的。

所以從 $V$ 到 $W$ 的線性映射的集合 $L\left(V,W\right)$ 自身形成在 $K$ 上的向量空間，有時指示為 $\mathrm {Hom} \left(V,W\right)$ 。進一步的說，在 $V=W$ 的情況中，這個向量空間 (指示為 $\mathrm {End} (V)$ ) 是在映射複合下的結合代數，因為兩個線性映射的複合再次是線性映射，所以映射的複合總是結合律的。

給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性映射的複合對應於矩陣乘法，線性映射的加法對應於矩陣加法，而線性映射與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。

## 自同態線性映射

自同態的線性映射在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定，我們用「線性算子」來簡稱它。（注意泛函分析中所說的「線性算子」不一定是自同態 (endomorphism) 映射，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用「線性算子」來稱呼這種自同態。）

### 自同態和自同構

自同態是一個數學物件到它本身的保持結構的映射（同態），例如群 $G$ 的自同態則是群同態 $f:G\to G$ 。對於向量空間 $V$ ，其自同態是線性算子 $f:V\rightarrow V$ ；所有這種自同態的集合 $\mathrm {End} (V)$ 與如上定義的加法、複合和純量乘法一起形成一個結合代數，帶有在域 $K$ 上的單位元素 (特別是一個環)。這個代數的乘法單位元素是恆等映射 $\mathrm {id} :V\rightarrow V$ 。

若 _$V$_ 的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的複合再次是自同構，所以 _$V$_ 的所有的自同構的集合形成一個群， _$V$_ 的自同構群可表為 $\mathrm {Aut} (V)$ 或 $\mathrm {GL} (V)$ 。因為自同構正好是那些在複合運算下擁有反元素的自同態，所以 $\mathrm {Aut} (V)$ 也就是在環 $\mathrm {End} (V)$ 中的可逆元素群。

如果 _$V$_ 之維度 $n$ 有限 $\mathrm {End} (V)$ 同構於帶有在 _$K$_ 中元素的所有 $n\times n$ 矩陣構成的結合代數，且 _$V$_ 的自同態群同構於帶有在 _$K$_ 中元素的所有 $n\times n$ 可逆矩陣構成的一般線性群 $\mathrm {GL} (n,K)$ 。

### 量子力學應用

## 核、像和秩 - 零化度定理

如果 $f:V\rightarrow W$ 是線性的，我們定義 $f$ 的**核**和**像**（或稱**值域**）為

　
: $\operatorname {\ker } (f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}$

　
: $\operatorname {Im} (f)=\{\,f(x):x\in V\,\}$

 $\operatorname {\ker } (f)$ 是 _$V$_ 的子空間，而 $\operatorname {Im} (f)$ 是 _$W$_ 的子空間。下面的叫做秩 - 零化度定理的維度公式經常是有用的：

　
: $\dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(V)\,$

 $\dim(\mathrm {Im} (f))$ 的數也叫做「 $f$ 的秩」(rank) 並寫為 $\mathrm {rk} (f)$ ，有時寫為 $\rho (f)$ ； $\dim(\ker(f))$ 的數也叫做「 $f$ 的零化度」(nullity) 並寫為 $v(f)$ 。如果 _$V$_ 和 _$W$_ 是有限維的，基已經選擇好並且 _$f$_ 被表示為矩陣 _$A$_ ，則 _$f$_ 的秩和零化度分別等於矩陣 _$A$_ 的秩和零化度。

## 推廣

多重線性映射是線性映射最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性映射。

## 參見

* 線性方程式
* 反線性映射
* 變換矩陣
* 連續線性算子
* 人工神經網路
* 計算機圖形學
* 線性系統

## 腳註與參考資料

### 腳註

### 腳註所引資料

* Michael Artin. _Algebra_ [代數] 2. Pearson. 2010. ISBN 978-0132413770.
* Sheldon Axler. _Linear Algebra Done Right_ [線性代數應該這樣學]. 圖靈數學・統計學叢書。杜現昆 (漢譯者); 馬晶 (漢譯者). 人民郵電出版社. 2009. ISBN 9787115206145 （中文（中國大陸））.
* Peter D. Lax. _Functional Analysis_ [泛函分析]. 圖靈數學・統計學叢書。侯成軍 (翻譯); 王利廣 (翻譯). 人民郵電出版社. 2010. ISBN 978-7-115-23174-1.
* Richard Feynman. _The Feynman Lectures on Physics_ [費曼物理學講義] **1**. Addison-Wesley. 1999. ISBN 978-0201021165.

### 其它參考資料

* Halmos, Paul R., _Finite-Dimensional Vector Spaces_, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.