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线性动态系统

**線性動態系統**是指其評價函數為線性的動態系統。一般的動態系統不一定存在解析解，但某些簡單的線性動態系統（如線性非時變動態系統），解為解析解，而且存在很多的數學性質。可以計算動態系統在某一平衡點附近的行為，將其近似為線性動態系統，就可以用近似的線性動態系統了解此動態系統的一些特性。

## 導論

在線性動態系統中，狀態向量（一個 N 維向量，稱為 $\mathbf {x} $ ）的變化等於常數矩陣（稱為 $\mathbf {A} $ ）乘以 $\mathbf {x} $ 。變化可以用二種形式出現：可能是流，是指 $\mathbf {x} $ 隨著時間連續的變化

　
: ${\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)$

或者是映射，其中 $\mathbf {x} $ 以離散的方式變化

　
: $\mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m}$

因為符合以下的原則，上述的系統是線性系統。若 $\mathbf {x} (t)$ and $\mathbf {y} (t)$ 是二個有效的解，則二個解的任意線性組合，例如 $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ 其中 $\alpha $ and $\beta $ 為二個純量。向量 $\mathbf {A} $ 不一定要是對稱矩陣。

大部份的非線性動態系統無法找到解析解，不過線性動態系統可以找到解析解。偶爾有些非線性系統可以用變數變換的方式變換為線性系統，因此也可以求解。而且，大部份非線性系統的解可以在其不動點附近用等效的線性系統進行很好的近似。因此若要瞭解複雜的非線性系統，第一步驟是瞭解較簡單的線性系統及其解。

## 相關條目

* 線性系統
* 動力系統
* 動力系統及微分方程主題列表
线性包

在數學分支線性代數之中，向量空間中一個向量集合的**線性生成空間**（linear span，也稱為**線性包** linear hull），是所有包含這個集合的線性子空間的交集，從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。

## 定義

給定域 _K_ 上的向量空間 _V_，集合 _S_（不必有限）的生成空間定義為所有包含 _S_ 的線性子空間 _V_ 的交集 _W_，稱 _W_ 為由 _S_（或 _S_ 中的向量）生成的子空間。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 是 _V_ 的有限子集，則生成空間為

　
: ${\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.$

## 解釋

_S_ 的生成空間也可定義為 _S_ 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證：_S_ 中向量的有限線性組合的集合是包含 _S_ 的一個向量空間，反之任何包含 _S_ 的向量空間必然都包含 _S_ 中向量的有限組合，故兩個定義是等價的。

如果 _S_ 的生成空間是 _V_，則 _S_ 稱為 _V_ 的**生成集合**（spanning set）。_V_ 的一個生成集合不必是 _V_ 的一組基，因其不必是線性無關的。但是，對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說，_V_ 的生成集合是一組基若且唯若 _V_ 的任何向量可以唯一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 _V_ 是無限維向量空間，_S_ 是無窮集合，則 _S_ 中的無限個向量的線性組合（如果收斂的話）不一定屬於 _S_ 的生成空間。

## 例子

* 實向量空間 **R**3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合，這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基，因為它們不是線性獨立的。
* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 **R**3 的生成集合；它的生成空間是 **R**3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。
* 設 _V_={ (x,y,z) ∈**R**3 |_x_+_y_-_z_=0 }，則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 _V_ 的一個生成集合，也是一組基。

## 定理

**定理 1**：向量空間 _V_ 的非空集合 _S_ 生成的子空間是 _S_ 中向量的所有有限線性組合；

　
: 如注釋中所說，這個定理如此熟知，以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。

**定理 2**：設 _V_ 是一個有限維向量空間，則 _V_ 的任何生成集合 _S_ 去掉一些向量（如果必要的話）可以簡化為 _V_ 的一組基。

　
: 取 _V_ 任意一組基（有限集），將這組基表示為 _S_ 中一些向量的有限組合，只用到 _S_ 中有限個向量，這有限個向量的生成集合包含這組基，從而包含 _V_，故第一步可將 _S_ 簡化為有限集；如果 _S_ 中向量不是線性無關的，則至少有一個向量能寫成其他向量的組合，去掉這個向量剩下的也能生成 _V_。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關，這便簡化為一組基了。

　
: 這也說明當 _V_ 是有限維時，一組基是極小生成集合。

## 性質

* 假設 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 是向量空間 _V_ 中 _n_ 個向量，那麼

　
: ${\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).$

* _n_ 個向量生成空間的維數不大於 _n_，等於 _n_ 若且唯若這些向量線性無關。
* 假設 $S$ 與 $S'$ 是向量空間 $V$ 中兩個集合，則有：
   * $S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');$
  * ${\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').$

## 線性生成空間與直和

設 $U$ 與 $V$ 是線性空間 $W$ 的兩個線性包，線性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle $ 稱為 $U$ 與 $V$ 的**和**,
 $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ , 如果 $U\cap V=0$ ，則稱 $U+V$ 為直和，記為 $U\oplus V$

## 參考文獻

* M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 藍以中，《高等代數簡明教程》（上冊），北京大學出版社，2002 年 8 月。
* 《代數學引論（第二卷）》/（俄）A.H. 柯斯特利金著；牛鳳文譯.- 北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8
线性反馈移位寄存器

**線性反饋移位暫存器**（英語：Linear feedback shift register，LFSR）是指給定前一狀態的輸出，將該輸出的線性函數再用作輸入的移位暫存器。異或運算是最常見的單比特線性函數：對暫存器的某些位進行異或操作後作為輸入，再對暫存器中的各比特進行整體移位。

賦給暫存器的初始值叫做「種子」，因為線性反饋移位暫存器的運算是確定性的，所以，由暫存器所生成的數據流完全決定於暫存器當時或者之前的狀態。而且，由於暫存器的狀態是有限的，它最終肯定會是一個重複的循環。然而，通過本原多項式，線性反饋移位暫存器可以生成看起來是隨機的且循環周期非常長的序列。

線性反饋移位暫存器的應用包括生成偽隨機數，偽隨機噪聲序列，快速數字計數器，還有擾頻器。線性反饋移位暫存器在硬體和軟體方面的應用都非常得普遍。

循環冗餘校驗中用於快速校驗傳輸錯誤的數學原理，就與線性反饋移位暫存器密切相關。

## Fibonacci LFSRs

影響下一個狀態的比特位叫做抽頭。圖中，抽頭序列為 [16,14,13,11]。LFSR 最右端的比特為輸出比特。抽頭依次與輸出比特進行異或運算，然後反饋回最左端的位。最右端位置所生成的序列被稱為輸出流。

* 影響 LFSR 下一個狀態的比特位叫做抽頭（圖中黑色數字）
* 最大長度的 LFSR 生成一個 M 序列（例如，只有與有一定抽序列的 LFSR 才能通過所有 2n− 1 個內部狀態，不包括全零狀態），除非它本身為全零，亦即狀態永不改變
* 作為基於異或運算的 LFSR 的替換，LFSR 也可以給予同或運算。與使用異或門的 LFSR 全零狀態下為無效狀態相應的，使用同或門的 LFSR 在全「1」狀態下也是無效的。

有 LFSR 或者基於同或門的 LFSR 生成的序列可以被認為是同格雷碼或者自然二進位碼同樣有效的二進位序列。

在 LFSR 中，抽頭的設定可以用有限域算數中模 2 的多項式來表示。這就意味著，多項式中的所有係數必須是「1」或者「0」。這個多項式被稱作回授多項式或特徵多項式。例如圖中的抽頭為在第 16，14，13，11 個比特，則相應的特徵多項式為：

　
: $x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+1.\,$

多項式中常數「1」並不代表某一個抽頭，它所指的是一個比特位的輸入（例如 _x0_, 等效為 1 ）。多項式中的指數代表從左至右的抽頭位。第一個和最後一個比特一般相應的是輸入和輸出位。

若且唯若相應的回授多項式是本原多項式時，LFSR 才能達到最大長度。這表示以下條件是必須的：

* 抽頭的數量必須為偶數。
* 抽頭之間不能成對出現，必須是互質的。

生成最長 LFSRs 的本原多項式表可通過下部的連結找到。
這類型 LFSR 也被成為**標準**，**多對一**或**外部異或門**的 LFSR。下一節將會介紹 Galois 型的 LFSR。

## Galois LFSRs

以法國數學家埃瓦里斯特・伽羅瓦命名，是 LFSRs 的 Galois 型結構。

## 參見

* 梅森旋轉演算法
* M-sequence

## 外部連結

* LFSR Reference （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） LFSR theory and implementation, maximal length sequences, and comprehensive feedback tables for lengths from 7 to 16,777,215 (3 to 24 stages), and partial tables for lengths up to 4,294,967,295 (25 to 32 stages).
* International Telecommunications Union Recommendation O.151 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (August 1992)
* Maximal Length LFSR table （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） with length from 2 to 67. (Error detected: period are (2^n)-1 not 2^n)
* Pseudo-Random Number Generation Routine （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.ece.ualberta.ca/~elliott/ee552/studentAppNotes/1999f/Drivers\_Ed/lfsr.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.quadibloc.com/crypto/co040801.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Simple explanation of LFSRs for Engineers
* Feedback terms （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* General LFSR Theory
* An implementation of LFSR in VHDL. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Simple VHDL coding for Galois and Fibonacci LFSR. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
线性变参数控制

**線性變參數控制**（LPV control）是一種用於處理線性變參數系統的控制方法。

## 增益規劃

在為動態系統設計反饋控制器時，人們應用了眾多種類的現代，多變量控制的控制器。通常來講，這些控制器經常設計在系統動態的不同操作點上，並且使用了線性化的模型，並且被設計為一個或者多個參數在中間狀態上的函數。這是一種可以在非線性系統上使用一類線性控制器的方法，並且這些線性控制器中每個都可以在不同的操作點上獲得令人滿意的控制效果。調度變量是一個或者多個可以觀測的變量。人們使用調度變量來確定系統當前的操作點和合適當前使用的控制器。比如在飛行器的控制中，一系列的控制器被設計在由攻角，馬赫數，動壓與重心張成網格的不同位置上。簡單來說，增益規劃是通過整合一系列線性控制器來為非線性系統設計非線性控制器的方法。這些線性系統實時的通過切換或者插值的方法混合。

對多變量的控制器進行規劃有時候是一個乏味且費時的工作。而新的方法是使用線性變參數技術來對自動規劃的多變量控制器進行整合。

### 經典增益規劃方法的缺點

* 增益規劃有個重大的缺點：在設計操作點外的操作條件，不一定可以獲得足夠的性能，甚至有些連穩定性都無法保證。
* 多變量控制器的規劃常常是乏味且費時的工作，尤其是在航空航天的控制中更是如此。在航空航天中，為了在更高的氣動包線上獲得更好的性能，參數的改變十分巨大。
* 另一點很重要的是，選定的規劃變數反映了在飛行條件變化時，飛行動力學上的變化，有可能利用增益規劃將線性魯棒控制的方法論整合到非線性控制設計中，不過設計過程不會明確的提到全域穩定性、魯棒性以及其性能特性。

增益規劃的方式很簡單，而且線性化增益規劃的計算量遠小於其他的非線性設計方式，不過其先天的缺點超過其優點，因此需要一個動態系統控制的新作法。像以人工神經網絡（ANN）及模糊邏輯為基礎的適應控制試圖要解決這些問題，不過因為缺乏針對整個操作參數範圍內，租定性以及性能的證明，因此需要一種可以確保其特性的，和參數相關的控制器。

## 線性變參數系統

線性變參數系統（LPV）是很特殊的非線性系統，其系統特性很適合用參數的變化來表示。一般而言，LPV 技巧可以提供增益規劃多變數系統的系統化作法。此方式可以允許在單一架構內整合性能、強健性及帶寬限制，以下是線性變參數系統的簡介，以及其術語的說明。

### 參數相依系統

在控制工程中，狀態空間表示法是物理系統的數學模型，由有許多輸入 $u$ 、輸出 $y$ 、狀態變數 $x$ 的一階微分方程所組成。一個非線性、非自主系統的動態演進可以由下式表示

　
: : ${\dot {x}}=f(x,u,t)$

若系統是時變系統，則

　
: : ${\dot {x}}=f(x(t),u(t),t),x(t_{0})$

　
: $x(t_{0})=x_{0},u(t_{0})=u_{0}$

狀態變數描述動力系統的數學狀態，在針對大而複雜的非線性系統建模時，若因為簡化系統及實務考量而選了一些變數來描述系統狀態，模式中可能不會包括一些系統的動態。狀態空間表示方程中可能會包括一些變數（稱為外源性變數），這些變數的動態可能還不清楚，或是太複雜無法建模，但是確定這些會以一些已知的方程影響狀態變數的變化，而且可以用傳感器實時量測到這些訊號。
若實際系統使用了一些傳感器來實際量測訊號，這些訊號是模型狀態及時間的非線性函數，另外也有些外源性變數的準確估測值。因此這個系統會是一個時變的非線性系統，不知道未來時間的變化，但可以用感測器實時量測。
在此例中，若 $w(t)$ 是外源性變數向量，且 $x(t)$ 為建模的狀態，則狀態方程可以寫成下式：

　
: : ${\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))$

參數 $w$ 未知，但可以實時量測，且用在控制系統中。若上述參數相依系統對時間線性，則稱為線性參數相依系統。雖然其中有時變的參數，不過仍可以寫成類似線性時不變系統的型式

　
: : ${\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)$

　
: $y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)$

參數相依系統是線性系統，其狀態空間描述是時變參數的已知函數。這些參數隨著時間的變化無法事先預測，但假設是在實時系統中可量測的數據。控制器受限成為一線性系統，其狀態空間的進入點和參數的歷史之間有因果關係。有三種不同的設計：線性變參數控制的方法。

1. 線性分數轉換，主要是小增益定理來找性能及強健性的範圍。
2. 單一二次李亞普諾夫函數（SQLF）
3. 參數相依二次李亞普諾夫函數（PDQLF），限制其可達到的性能水準。

這些問題的解法是重新將控制設計轉換為有限維凸函數的可行性問題（可以有準確的結果），若是無限維的可行性問題，可以用近似的方式求解。
此公式建構了一種新的增益規劃問題，此方式是考慮在確保穩定性及性能的前提下，參數變異的影響。

## 參考資料

## 延伸閱讀
线性变参数系统

**線性變參數系統**（Linear parameter-varying System, LPV）是一種特殊的非線性系統，其參數是時間的函數，會隨時間而變化。考慮一個時變的非線性系統，不確定未來的變化，但可以用感測器即時量測其變化，假設 $w(t),w$ 為感測器量到的訊號，且 $x(t)$ 為模型中的狀態，則狀態方程式為

　
: : ${\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))$

狀態 $w$ 未知，但會即時量測其變化，而且將此訊號用來控制上。若上述參數相關的系統是對時間線性的，即稱為線性參數相關系統，可以用類似線性非時變系統的方式寫出，但其參數會隨時間變化，也是參數 $w$ 的函數。

　
: : ${\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)$

　
: $y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)$

線性變參數系統常用在非線性系統的建模中，用參數隨著狀態而改變的特性來模擬非線性的行為。

## 外部連結

* Analysis and Control of Linear Parameter-varying Systems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
线性同余

**線性同餘方法**（LCG）是個產生偽隨機數的方法。

它是根據以下的遞迴關係式：

　
: $N_{j+1}\equiv (A\times N_{j}+B){\pmod {M}}$

其中 $A,B,M$ 是產生器設定的常數。

LCG 的週期最大為 $M$ ，但大部分情況都會少於 M。要令 LCG 達到最大週期，應符合以下條件：

 1. $B,M$ 互質；
2. $M$ 的所有質因數都能整除 $A-1$ ；
3. 若 $M$ 是 4 的倍數， $A-1$ 也是；
4. $A,B,N_{0}$ 都比 $M$ 小；
5. $A,B$ 是正整數。

## 隨機性

因為通過線性同餘方法構建的偽隨機數生成器的內部狀態可以輕易地由其輸出演算得知，所以此種偽隨機數生成器屬於統計學偽隨機數生成器。

設計密碼學的應用必須至少使用密碼學安全偽隨機數生成器，故需要避免由線性同餘方法獲得的隨機數在密碼學中的應用。

## 參見

* Mersenne Twister

## 參考文獻

## 外部連結

* The simulation Linear Congruential Generator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） visualizes the correlations between the pseudo-random numbers when manipulating the parameters.
* Security of Random Number Generation: An Annotated Bibliography
* Linear Congruential Generators post to sci.math
* The "Death of Art" computer art project at Goldstein Technologies LLC, uses an LCG to generate 33,554,432 images （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* P. L'Ecuyer and R. Simard, ``TestU01: A C Library for Empirical Testing of Random Number Generators_, May 2006, Revised November 2006, ACM Transactions on Mathematical Software, 33, 4, Article 22, August 2007._ _（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_
* Additive Congruential Method : maths and logic behind its spread
线性同余方程

在數論中，**線性同餘方程**是最基本的同餘方程，「線性」表示方程的未知數次數是一次，即形如：

　
: $ax\equiv b\ {\pmod {n}}\ \ \ \ (1)$

的方程。此方程有解若且唯若 $b$ 能夠被 $a$ 與 $n$ 的最大公約數整除（記作 $\gcd(a,n)|b$ ）。這時，如果 $x_{0}$ 是方程的一個解，那麼所有的解可以表示為：

　
: $\{x_{0}+k{\frac {n}{d}}\mid k\in \mathbb {Z} \}.$

其中 $d$ 是 $a$ 與 $n$ 的最大公約數。在模 $n$ 的完全剩餘系 $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ 中，恰有 $d$ 個解。

## 例子

* 在方程

　
: $3x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(3,6)=3$ ，3 不整除 2，因此方程無解。

* 在方程

　
: $5x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(5,6)=1$ ，1 整除 2，因此方程在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 中恰有一個解： $x=4$ 。

* 在方程

　
: $4x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(4,6)=2$ ，2 整除 2，因此方程在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 中恰有兩個解： $x=2$ 以及 $x=5$ 。

## 求特殊解

對於線性同餘方程

　
: $ax\equiv b{\pmod {n}}$       **(1)**

若 $d=\gcd(a,n)$ 整除 $b$ ，那麼 ${b \over d}$ 為整數。由裴蜀定理，存在整數對 $(r,s)$ （可用擴展歐幾里得算法求得）使得 $ar+sn=d$ ，因此 $x={rb \over d}$ 是方程 (1) 的一個解。其他的解都關於 ${n \over d}$ 與 $x$ 同餘。

舉例來說，方程

　
: $12x\equiv 20{\pmod {28}}$

中 $d=\gcd(12,28)=4$ 。注意到 $4=12\times (-2)+28\times 1$ ，因此 $x\equiv 5\times (-2)\equiv -10\equiv 4\ {\pmod {7}}$ 是一個解。對模 28 來說，所有的解就是 $\{4,11,18,25\}$ 。

## 與線性丟番圖方程的關係

考慮 $ax\equiv {b}{\pmod {n}}$ ，其等價於 $ax=b+yn$ （ $y$ 是整數），也就是線性丟番圖方程。運用輾轉相除法可以求得該方程的解，有無限多個；但是在原同餘方程中，解的個數受到 $\gcd(a,n)$ 限制，因此正如上面例子所示，只能選取前面的幾個解。

## 線性同餘方程組

線性同餘方程組的求解可以分解為求若干個線性同餘方程。比如，對於線性同餘方程組：

　
: $2x\equiv 2{\pmod {6}}$

　
: $3x\equiv 2{\pmod {7}}$

　
: $2x\equiv 4{\pmod {8}}$

首先求解第一個方程，得到 $x\equiv 1{\pmod {3}}$ ，於是令 $x=3k+1$ ，第二個方程就變為：

　
: $9k\equiv -1{\pmod {7}}$

解得 $k\equiv 3{\pmod {7}}$ 。於是，再令 $k=7l+3$ ，第三個方程就可以化為：

　
: $42l\equiv -16{\pmod {8}}$

解出： $l\equiv 0{\pmod {4}}$ ，即 $l=4m$ 。代入原來的表達式就有 $x=21(4m)+10=84m+10$ ，即解為：

　
: $x\equiv 10{\pmod {84}}$

對於一般情況下是否有解，以及解得情況，則需用到數論中的中國剩餘定理。

## 參見

* 同餘方程
* 二次剩餘
* 中國剩餘定理
* 線性同餘方法
线性城市

**線形城市**（西班牙語：Ciudad lineal，英語：Linear city），亦稱為**線性城市**、**帶形城市**、**帶狀城市**，簡而言之是城市形態呈線型分布的規則或理念，通常與組團式城市、放射型城市相對。西班牙工程師阿圖羅・索里亞 - 馬塔於 1882 年首先基於此形態提出了城市與區域規劃理念。同時，有一些城市由於地理條件的限制，本身規模分布即為線型。

2010 年 6 月 3 日，烏克蘭著名建築設計師伊格爾・斯維斯頓在上海世博會期間展示了他關於未來城市的設計理念「線性城市」。

## 背景

索里亞 - 馬塔提出線型城市的背景是，適逢鐵路交通大規模發展的時期，鐵路是安全、高效和經濟的交通工具，把遙遠的城市連接了起來，並使這些城市得到了很快的發展，在各個大城市內部及其周圍，地鐵線和有軌電車線的建設改善了城市地區的交通狀況，加強了城市內部及與其腹地之間的聯繫，從整體上促進了城市的發展。

按照索里亞 - 馬塔的理念，從核心向外擴展的城市形態已經過時，它們只會導致城市擁擠和衛生惡化，在新的集約運輸方式的影響下，城市將依賴交通運輸線組成城市的網絡。而線形城市就是沿交通運輸線布置的長條形的建築地帶，他認為未來的城市是「只有一條寬 500 米的街區，要多長就有多長」。其核心目的是似城市中的居民既可以享受城市型的設施又不脫離自然。

## 線形城市的基本原則

索里亞 - 馬塔提認為線形城市的基本原則中最重要的一條原則是「城市建設的一切其他問題，均以城市運輸問題為前提」。這樣的城市結構使城市中的人從一個地點到其他任何地點在路程上耗費的時間陽少。城市平面應當呈規矩的幾何形狀，在具體布置時要保證結構對稱，街坊呈矩形或梯形，建築用地應當至多只占 1/5，要留有發展的餘地，要公正地分配土地等原則。

城市擴張時，可以增加新的街坊，因此城市只會伸長，而不會展寬。

## 具體實踐

19 世紀時，按照索里亞・馬塔的設想，線形城市首次在馬德里的線型之都區（Ciudad Lineal）落成，它規劃佈置於阿圖羅・索里亞（Arturo Soria）大道兩側，但是在 1920 年代末由蘇聯規劃師尼古拉・亞歷山德羅維奇・米利廷提倡。

儘管線形城市理論有很多問題，但是它對現代的都市計畫建設產生了深遠影響。後來的一些都市計畫理論沿襲了沿交通線進行組團帶狀發展的思想。例如哥本哈根的指狀布局就是城市沿交通線建設的例子。

### 中國

其重要特徵為城市（或城市的一部分）由一條橫穿整個城市的街道構成，其他重要道路與街道和設施以平行與該中心街道而成，而與此垂直的街道長度較短，城市以長方形或帶狀形狀特徵為主。這類城市往往受到地理和其他政策條件的限制，修建成此種格局。但是，它們尺度遠遠大於阿圖羅・索里亞設想的 500 米，不屬於其「線形城市」的範疇。

* 廣東省深圳市，由於深圳河阻隔，深圳以深南路為主幹道，從東向西成帶狀分布，南北狹窄。
* 廣東省廣州市白雲區東側同和街道附近區域，以廣州大道為中心街道，從南向北成帶狀分布，東西狹窄。
* 甘肅省蘭州市，全城街道沿黃河方向建設，從東向西成帶狀分布，南北狹窄。
* 陝西省寶雞市
* 湖北省荊州市
* 安徽省淮南市，全城街道沿淮河以南的 206 國道方向建設，從西向東成帶狀分佈，南北狹窄。
* 四川省攀枝花市

### 沙烏地阿拉伯

* The Line，2021 年沙烏地阿拉伯宣布將投資 1000－2000 億美元，在沙漠中新建一座智慧城市「線城」（The Line），屬於新未來城的組成部分之一，東西長約 170 公里，南北寬僅 200 米，海拔 500 米，規劃可容納 900 萬人口，占地面積僅 34 平方千米。

## 參考文獻

## 參見

* 帶狀聚落
线性子空间

**線性子空間**（或**向量子空間**）在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。

## 定義

在線性代數和其他數學相關領域，一個**線性子空間**（或**向量子空間**）U 是給定域 ${\mathfrak {R}}$ 向量空間 V 的一個子集，並且它還是 V 的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V 上運算在 U 上的限制導出 U 的向量空間結構，我們把 U 稱為 V 上的**向量**（或**線性**）**子空間**。

## 定理

設 _V_ 是在域 _K_ 上的向量空間，並設 _W_ 是 _V_ 的子集。則若且唯若它滿足下列三個條件時，_W_ 是個子空間:

1. 零向量 0 在 _W_ 中。
2. 如果 **u** 和 **v** 是 _W_ 的元素，則向量和 **u** + **v** 是 _W_ 的元素。
3. 如果 **u** 是 _W_ 的元素而 _c_ 是來自 _K_ 的純量，則純量積 _c_**u** 是 _W_ 的元素。

## 性質

* 對於所有向量空間 _V_，集合 {**0**} 和 _V_ 自身是 _V_ 的子空間。
* 如果 _V_ 是內積空間，則任何 _V_ 的子空間的正交補也是子空間。
* 任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。_注意：兩個子空間的併集未必是子空間。例如 $e_{1},e_{2}$ 是_ V _中任意兩個線性無關的向量且 $U_{1}=<e_{1}>,U_{2}=<e_{2}>$ ，那麼， $U_{1}$ ∪ $U_{2}$ 不包含 $e_{1}+e_{2}$ 。_
* 特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說，_W_ 是子空間，若且唯若所有 _W_ 的 (有限多個) 元素的線性組合也屬於 _W_。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。

## 例子

**例子 I:**設域 _K_ 是實數的集合 **R**，並設向量空間 _V_ 是歐幾里得空間 **R**3。
取 _W_ 為最後的分量是 0 的 _V_ 中所有向量的集合。則 _W_ 是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 給定 _W_ 中 **u** 和 **v**，它們可以表達為 **u** = (_u_1,_u_2,0) 和 **v** = (_v_1,_v_2,0)。則 **u** + **v** = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0+0) = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0)。因此 **u** + **v** 也是 _W_ 的元素。
2. 給定 _W_ 中 **u** 和 **R** 中純量 _c_，如果 **u** = (_u_1,_u_2,0)，則 _c_**u** = (_cu_1, _cu_2, _c_0) = (_cu_1,_cu_2,0)。因此 _c_**u** 也 是 _W_ 的元素。

**例子 II:**設域是 **R**，設向量空間是歐幾里得幾何 **R**2。取 _W_ 為 **R**2 的使得 _x_ = _y_ 的所有點 (_x_,_y_) 的集合。則 _W_ 是 **R**2 的子空間。

_證明:_

1. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 且 **q** = (_q_1,_q_2) 是 _W_ 的元素，就是說，在平面上的點使得 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2。則 **p** + **q** = (_p_1+_q_1,_p_2+_q_2)；因為 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2，則 _p_1 + _q_1 = _p_2 + _q_2，所以 **p** + **q** 是 _W_ 的元素。
2. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 是 _W_ 的元素，就是在平面中點使得 _p_1 = _p_2，並設 _c_ 是 **R** 中的純量。則 _c_**p** = (_cp_1,_cp_2)；因為 _p_1 = _p_2，則 _cp_1 = _cp_2，所以 _c_**p** 是 _W_ 的元素。

一般的說，歐幾里得空間 **R**n 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說，這些子空間是穿過點 **0** 的一些點、直線、平面。

 

## 子空間上的運算

給定向量空間 _V_ 的子空間 _U_ 和 _W_，則它們的交集 _U_ ∩ _W_ := {**v**∈_V_: **v** ∈ _U_ 且 **v** ∈ _W_} 也是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 設 **v** 和 **w** 是 _U_ ∩ _W_ 的元素。則 **v** 和 **w** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _U_。類似的，因為 _W_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _W_。所以 **v** + **w** 屬於 _U_ ∩ _W_。
2. 設 **v** 屬於 _U_ ∩ _W_，並設 _c_ 是純量。則 **v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 和 _W_ 是子空間，_c_**v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。

進一步的，和

　
: $U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}$

是一個 _V_ 的子空間。_U_ ∩ _W_ 和 _U_ + _W_ 的維度滿足

　
: $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ 。

## 外部連結

* MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* Vector subspace. PlanetMath.
线性探测

**線性探測**是電腦程式解決散列表衝突時所採取的一種策略。散列表這種資料結構用於保存鍵值對，並且能通過給出的鍵來查找表中對應的值。線性探測這種策略是在 1954 年由 Gene Amdahl,Elaine M. McGraw, 和亞瑟・李・塞謬爾所發明，並且最早於 1963 年由 Donald Knuth 對其進行分析。

與二次探測和雙散列一樣，線性探測是一種開放尋址的策略。在這些策略里，散列表的每個單元都存儲一對鍵值對。當散列函數對一個給定值產生一個鍵，並且這個鍵指向散列表中某個已經被另一個鍵值對所占用的單元時，線性探測用於解決此時產生的衝突：查找散列表中離衝突單元最近的空閒單元，並且把新的鍵插入這個空閒單元。同樣的，查找也同插入如出一轍：從散列函數給出的散列值對應的單元開始查找，直到找到與鍵對應的值或者是找到空單元。

正如 Thorup 和張寅在 2012 年所寫，…「散列表是最常用的普通資料結構，它在硬體上的標準實現中最流行的方法就是使用線性探測。線性探測又快又簡單。」線性探測能夠提供高性能的原因是因為它的良好的引用局部性，然而它與其他解決散列衝突的策略相比對於散列函數的質量更為敏感。當使用隨機散列函數， 5-independent 散列函數或 tabulation 散列函數，其用於搜索，插入或刪除的預期時間是常數。不過，藉由其他像是私語雜湊的散列函數可以在實作中達到較好的結果。

## 操作

雜湊衝突一般發生於雜湊函數將一個鍵丟進已經含有另一個不同鍵的單元中的時候。線性探測是一個用來解決衝突的策略，其將新鍵丟進最靠近的下一個空單元中。

### 搜索

為了搜索給定的鍵 x，散列表中由 h (x) 對應的單元開始的相鄰單元 _h_(_x_) + 1, _h_(_x_) + 2, ..., 都將被檢查，直到找到了內容為空的單元或是找到了存儲給定鍵為 x 的單元。其中，h 是散列函數。如果找到了存儲給定鍵的單元，搜索將會返回單元中存儲的鍵對應的值。否則，如果搜索遇到了空的單元，鍵在表中就不存在，因為鍵應當被存放在所有未被搜索的單元之前。此時，搜索返回表中無此鍵的結果。

### 插入

為了在表中插入一對鍵值對 (_x_,_v_) （有可能會替換有著相同鍵的鍵值對），插入算法也會訪問搜索算法訪問的同一系列單元，直到找到一個空的單元，或是找到了存儲給定鍵為 x 的單元。新的鍵值對將會存儲在此單元中。

如果插入將導致表（占用單元的比例）增長高於某個預設的閾值的負載係數，整個表可以通過一個新的表（規模大於本表規模）和一個新的散列函數來代替，如使用動態數組。設置這個的閾值接近於零，並使用表大小的高增長率來帶來更快速的哈希表的操作，但相比於接近一個閾值與低增長率，它會帶來更高的內存使用情況。一個常見的選擇是表規模擴大一倍，當負載係數將超過 1/2，導致負載係數保持在 1/4 和 1/2 之間。

### 刪除

散列表應當提供刪除鍵值對的功能。然而，單純地清空對應的單元是不夠的。這會影響到對於儲存時間早於該單元、但儲存位置在該單元之後的其他鍵。此單元會造成搜索獲得錯誤的結果，告訴使用者這些鍵並不存在。

相較於直接清空對應單元 i，更好的做法是先清空，然後把它之後所有會造成問題的單元向前移動，來避免搜索出錯。重複直到出現空單元，則刪除動作安全完成。但是，如果有發現後續有鍵可以移到這個位置上的話，直接將該鍵取代欲刪除的單元可以加速後續的其他行為，當然，這樣也會造成後面多出一個新的空單元。搜索可用來取代的單元的動作會持續到搜索到原本就空白的單元為止。在這個將鍵移到前面的過程中，所有的鍵都會被算過一遍。因此，完成這整個過程所需的時間與該儲存位置的單元數量呈正比，與雜湊表的其他運算相符。

有一種可行的替代方案是懶惰刪除，用指向欲刪除鍵的特殊的**標誌值**（flag value）取代原本的鍵值配對。不過，這些標誌值在搜索上會當作非空。因此，如果一個陣列中有過多的被刪除鍵，那麼就需要清除所有的標誌值並且重新雜湊整個表。

## 註解與參考文獻
线性插值

**線性插值**是數學、計算機圖形學等領域廣泛使用的一種簡單插值方法。

## 如何進行線性插值

假設我們已知坐標 (_x_0, _y_0) 與 (_x_1, _y_1)，要得到 [_x_0, _x_1] 區間內某一位置 _x_ 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到

　
: ${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.\,\!$

由於 _x_ 值已知，所以可以從公式得到 y 的值

　
: $y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}=y_{0}+{\frac {(x-x_{0})y_{1}-(x-x_{0})y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

已知 _y_ 求 _x_ 的過程與以上過程相同，只是 _x_ 與 _y_ 要進行交換。

## 線性插值近似法

線性插值經常用於已知函數 _f_ 在兩點的值要近似獲得其它點數值的方法，這種近似方法的_誤差_定義為

　
: $R_{T}=f(x)-p(x)\,\!$

其中 _p_ 表示上面定義的線性插值多項式

　
: $p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!$

根據羅爾定理，我們可以證明：如果 _f_ 有二階連續導數，那麼誤差範圍是

　
: $|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!$

正如所看到的，函數上兩點之間的近似隨著所近似的函數的二階導數的增大而逐漸變差。從直觀上來看也是這樣：函數的曲率越大，簡單線性插值近似的誤差也越大。

## 應用

線性插值經常用於補充表格中的間隔部分。假設一個表格列出了一個國家 1970 年、1980 年、1990 年以及 2000 年的人口，那麼如果需要估計 1994 年的人口的話，線性插值就是一種簡便的方法。

兩值之間的線性插值基本運算在計算機圖形學中的應用非常普遍，以至於在計算機圖形學領域的行話中人們將它稱為 **lerp**。所有當今計算機圖形處理器的硬體中都集成了線性插值運算，並且經常用來組成更為複雜的運算：例如，可以通過三步線性插值完成一次雙線性插值運算。由於這種運算成本較低，所以對於沒有足夠數量條目的光滑函數來說，它是實現精確快速查找表的一種非常好的方法。

## 歷史

線性插值從遠古以來就一直用於補充表格中的間隔，它經常用於天文學數據。人們相信公元前最後三個世紀的塞琉西王朝、公元前 2 世紀的希臘天文學家與數學家喜帕恰斯就曾經使用了這種方法。在托勒密於公元 2 世紀所作的《天文學大成》（Almagest）中亦可以見到對於線性插值的描述。

## 其它

在一些要求較高的場合，線性插值經常無法滿足要求。在這種場合，可以使用多項式插值或者樣條插值來代替。

線性插值可以擴展到有兩個變量的函數的雙線性插值。雙線性插值經常作為一種粗略的抗混疊濾波器使用，三線性插值用於三個變量的函數的插值。線性插值的其它擴展形勢可以用於三角形與四面體等其它類型的網格運算。

## 參考文獻

* E. Meijering (2002). 插值年表：從古代天文學到現代信號與圖像處理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. _Proceedings of the IEEE_ **9** (3), 319–342.

## 參見

* 雙線性插值
* De Casteljau 算法

## 外部連結

* cut-the-knot 上的 直線方程 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* cut-the-knot 上的 拉格朗日多項式與插值 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
线性搜索

在計算機科學中，**線性搜索**或**順序搜索**是一種尋找某一特定值的搜索算法，指按一定的順序檢查數組中每一個元素，直到找到所要尋找的特定值為止。是最簡單的一種搜索算法。

## 分析

假設一個數組中有 $n$ 個元素，最好的情況就是要尋找的特定值就是數組裡的第一個元素，這樣僅需要 1 次比較就可以。而最壞的情況是要尋找的特定值不在這個數組或者是數組裡的最後一個元素，這就需要進行 $n$ 次比較。

## 實作範例

### Julia (程式語言)

## 參考

* * Sahni, Sartaj. _Data Structures,Algorithms,and Applications in C++_. McGraw2-Hill. 1998. ISBN 978-7-11-07645-2.

## 外部連結

* C++ Program - Linear Search （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* C Program - Linear Search Dead link
线性散列

**線性散列**是由 Witold Litwin（1980） 發明並被 Paul Larson 推廣的一種動態散列（dynamic hash）算法。線性散列表的每次擴張僅增加一個槽（slot、bucket），
頻繁的單槽擴張可以非常有效控制的衝突鏈的長度，從而哈希表擴展的代價攤還在每一次插入操作中。 因此非常適合用於交互式應用程式。

## 算法細節

散列表初始化時，先分配任意的數目的散列槽，並在運行過程中檢測以下的值：

 * $N$ : 最初分配的散列槽數目。
* $L$ : 它是一個整數，用於表徵當前散列表增長至的數量，這個整數是以對數來表示的。初始化數目為 0。
* $S$ ：一個指向散列槽的迭代指針，最初指向表中的第一個散列槽。

衝突（Collision）可以通過不同的方式來處理，最典型的處理方法是，每當發生溢出（overflow）插入操作後，與之對應創建一個新的散列槽，表的地址可以用以下的策略進行計算：

* 使用散列函數 進行地址計算，並把這個計算結果記為 $H$ 中。
* 如果 $H{\bmod {(}}N\times 2^{L})$ 是位於 $S$ 之前的地址，那麼訪問的地址為 $H{\bmod {(}}N\times 2^{L+1})$ 。
* 如果 $H{\bmod {(}}N\times 2^{L})$ 是位於 $S$ 指向或之後的地址，那麼地址為 $H{\bmod {(}}N\times 2^{L})$ 。

添加一個散列槽時：

* 在散列表的末尾分配一個新的散列槽。
* 如果 $S$ 指向第 $N\times 2^{L}$ 散列槽中，重置 $S$ 並自增 $L$ 。
* 否則自增 $S$ 中。

所有這一切的是，該表分為三個部分；該部分之前 $$ 該科從 $$ 要 $$ 和之後 $$ 中。 第一個和最後一個部分都存儲使用 $$ 與中部分儲存使用 $$ 中。 每個時間 $$ 到達 $$ 表增加了一倍的大小。

 

## 在語言系統中的應用

Griswold 和 Townsend 討論了線性散列在 Icon language 中的應用。 他們討論了使用線性散列作為動態數組的一種實現的效果，並得出了相關的性能比較。

## 在資料庫系統中的應用

線性散列用於在 Berkely DB 中，而 Berkerly DB 又用於許多的軟體中（例如 OpenLDAP)。它由 C 語言實現，原理基於一篇發表於 CACM 的文章。

## 參考文獻
线性整流函数

**整流線性單位函式**（Rectified Linear Unit, **ReLU**），又稱**修正線性單元**，是一種人工神經網路中常用的激勵函式（activation function），通常指代以斜坡函式及其變種為代表的非線性函式。

比較常用的線性整流函式有斜坡函式 $f(x)=\max(0,x)$ ，以及帶泄露整流函式（Leaky ReLU），其中 $x$ 為神經元（Neuron）的輸入。線性整流被認為有一定的生物學原理，並且由於在實踐中通常有著比其他常用激勵函式（譬如邏輯函式）更好的效果，而被如今的深度神經網路廣泛使用於諸如圖像辨識等電腦視覺人工智慧領域。

## 定義

通常意義下，線性整流函式指代數學中的斜坡函式，即

　
: $f(x)=\max(0,x)$

而在神經網路中，線性整流作為神經元的啟用功能，定義了該神經元線上性變換 $\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b$ 之後的非線性輸出結果。換言之，對於進入神經元的來自上一層神經網路的輸入向量 $x$ ，使用線性整流啟用功能的神經元會輸出

　
: $\max(0,\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b)$

至下一層神經元或作為整個神經網路的輸出（取決現神經元在網路結構中所處位置）。

## 變種

線性整流函式在基於斜坡函式的基礎上有其他同樣被廣泛應用於深度學習的變種，譬如帶泄露線性整流（Leaky ReLU）， 帶泄露隨機線性整流（Randomized Leaky ReLU），以及噪聲線性整流（Noisy ReLU）.

### 帶泄露線性整流

在輸入值 $x$ 為負的時候，**帶泄露線性整流函式**（Leaky ReLU）的梯度為一個常數 $\lambda \in (0,1)$ ，而不是 0。在輸入值為正的時候，帶泄露線性整流函式和普通斜坡函式保持一致。換言之，

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

在深度學習中，如果設定 $\lambda $ 為一個可通過反向傳播演算法（Backpropagation）學習的變數，那麼帶泄露線性整流又被稱為**參數線性整流**（Parametric ReLU）。

### 帶泄露隨機線性整流

**帶泄露隨機線性整流**（Randomized Leaky ReLU, **RReLU**）最早是在 Kaggle 全美資料科學大賽（NDSB）中被首先提出並使用的。相比於普通帶泄露線性整流函式，帶泄露隨機線性整流在負輸入值段的函式梯度 $\lambda $ 是一個取自連續性均勻分布 $U(l,u)$ 概率模型的隨機變數，即

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

其中 $\lambda \sim U(l,u),l<u$ 且 $l,u\in [0,1)$ 。

### 噪聲線性整流

**噪聲線性整流**（Noisy ReLU）是修正線性單元在考慮高斯噪聲的基礎上進行改進的變種啟用功能。對於神經元的輸入值 $x$ ，噪聲線性整流加上了一定程度的常態分布的不確定性，即

　
: $f(x)=\max(0,x+Y)$

其中隨機變數 $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma (x))$ 。目前，噪聲線性整流函式在受限玻爾茲曼機（Restricted Boltzmann Machine）在電腦圖學的應用中取得了比較好的成果。

## 優勢

相比於傳統的神經網路啟用功能，諸如邏輯函式（Logistic sigmoid）和 tanh 等雙曲函式，線性整流函式有著以下幾方面的優勢：

* 仿生物學原理：相關大腦方面的研究表明生物神經元的訊息編碼通常是比較分散及稀疏的。通常情況下，大腦中在同一時間大概只有 1%-4% 的神經元處於活躍狀態。使用線性修正以及正規化（regularization）可以對機器神經網路中神經元的活躍度（即輸出為正值）進行除錯；相比之下，邏輯函式在輸入為 0 時達到 ${\frac {1}{2}}$ ，即已經是半飽和的穩定狀態，不夠符合實際生物學對類比神經網路的期望。不過需要指出的是，一般情況下，在一個使用修正線性單元（即線性整流）的神經網路中大概有 50% 的神經元處於啟用態。
* 更加有效率的梯度下降以及反向傳播：避免了梯度爆炸和梯度消失問題
* 簡化計算過程：沒有了其他複雜啟用功能中諸如指數函式的影響；同時活躍度的分散性使得神經網路整體計算成本下降

## 參考資料

## 外部連結

* Quora: What is special about rectifier neural units used in NN learning?
线性整流器

**線性電壓調節器**（英語：Linear regulator），又稱**線性穩壓器**、**線性調節器**，是一種元件，作用是保持電壓穩定。穩壓器的電阻會因應負載及輸入電壓的變化，以達至輸出電壓穩定不變。其動作尤如一不停自動調節阻值的可變電阻，使之與負載得出的分壓保持固定，而過程中因輸出與輸入電壓差而多出的能量則以發熱的形式消散掉。而開關式穩壓器是不停高速地在導通 / 斷開之間切換，使得輸出的平均值保持在所需電壓值。輸入線性穩壓器的電壓必須高於輸出電壓，好讓穩壓器內能作出降壓作用以達至輸出穩定，因此效率受限制。

線性穩壓器可以是置於電源和負載之間（串聯穩壓器），或與負載並聯（並聯穩壓器）。簡單的線性穩壓器可以只包含稽納二極體和一枚串聯電阻器；更複雜的線性穩壓器包含多個組成部份：參考電壓、誤差放大器和功率傳輸元件。由於線性穩壓器被廣泛應用，因此多被製成積體電路，但也可以固態電子元件或真空管等分立元件構成。

## 總述

以電晶體（或其它元件）調節流過負載的電流，負載所得的電壓就是穩壓器的輸出電壓。比較輸出電壓與穩壓器內部的參考電壓，所產生的差動訊號用作控制電晶體，形成一個負回饋迴路，加上適當的補償，輸出電壓就能調整下降至目標電壓，不受輸入電壓或負載變動影響，並保持合理地穩定。

線性穩壓器必須在輸入電壓高於輸出不少於某電壓值時輸出才能穩定至目標電壓，這個最少的電壓稱為壓降電壓、下壓降、電壓差 (dropout)。例如常用的 7805，作用是把輸出保持在 5V，但輸入必須保持在 7V 以上，否則輸出就會低於目標電壓 5V 以下，故其壓降電壓就是 7V-5V=2V。由於須有壓差的存在，線性穩壓器效率大都很低：因為其原理就是要將多於穩定電壓下負載所需的能量，在電晶體內以散發熱能的形式消耗掉。而電晶體發熱所造成的功率損失就是電流乘以電晶體兩端壓降。

這個問題在低輸出電壓的情況尤其嚴重，假若輸出要求為 2V，而壓降電壓同是 2V，效率就必是在 2V/(2V+2V)=50% 或以下，這樣低的效率，在實際應用上多不為接受。這情況下就需使用低壓差穩壓器（LDO），其壓降電壓特別低，一般都在 300mV (0.3V) 或以下，這種情況在微處理器的電源中常遇見。這也是為何幾乎所有低輸出電壓的線性穩壓 IC 都是低壓差穩壓器。

開關電源可以更有效地達至相同的功能，但成本較高及有開關噪聲，在輕負載、輸出電壓較高或輸出電壓接近電源電壓的情況下，線性調節器的效率也不俗，有可能是合適的選擇。線性調節器還具有的優點是：不需要磁性元件（電感器或變壓器），磁性元件可能相對昂貴或占空間；設計更簡單，雜訊也更低。線性調節器的一些設計僅使用電晶體、二極體和電阻器，這就更容易製造到積體電路中，進一步減小它們的質量、在 PCB 上的占位面積和成本。

線性調節器有兩種基本形式：**串聯調節器**和**並聯調節器**。

* **串聯調節器**：更常用的形式。串聯調節器通過提供經由可變電阻的從電源電壓到負載的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「上半」部中）。由調節元件所耗散的功率等於電源輸出電路乘以在調節元件中的壓降。
* **並聯調節器**：通過提供經由可變電阻的從電源電壓到地的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「下半」部中）。將流經並聯調節器的電流從負載轉向出來，並且無用地流向接地，使其比串聯調節器更沒效率。然而，該形式更簡單，有時僅由參考電壓二極體組成；並且用於很低功率的電路，其中耗費電流很小可以忽略。這種形式常用於電壓參考電路。

## 保護功能

若負載超出線性穩壓器設計的承受能力時，可能會導致穩壓器永久損壞，為了避免損壞穩壓器，線性穩壓器可以 (但不一定) 俱備以下保護功能，包括：

* 電流限制，例如恆流限制（constant current limiting）及遞減電流限制（foldback current limiting）
* 過溫度保護（或稱熱關斷）
* 安全工作區保護，即限制功率晶體運作於預定的電流及電壓的工作條件之內，以確保能正常工作及不會導致損壞。這些工作條件包括連續及瞬間脈衝狀態下的最高電壓、電流、溫度、功率。

## 參見

* 78xx - 一種常見的線性調節器類型。
* LM317 - 與 78xx 類似的線性穩壓器晶片可配置輸出電壓。
* 低壓差穩壓器 (LDO)
* 開關電源
线性文字A

**線形文字 A** 是一種古代克里特島上使用的未解讀文字。它的破解是考古學上的「聖杯」。它的一種關聯文字，線形文字 B 於 1950 年被英國語言學家麥可・文特里斯破譯，證明其為希臘語的一種古代書寫形式。

## 演進歷史

儘管這兩種文字共用許多符號，使用線形文字 B 所表達的音節來套用線形文字 A 所得到的結果和任何已知的語言都沒有關係。這種語言被命名為米諾斯語 (Minoan language)，或真克里特語。使用時間對應於前 1800 年至前 1450 年之米諾斯文明，先於約前 1450 年邁錫尼人入侵的階段。

由於米諾斯語言已經失傳，所以很難判斷對它的破譯是正確的，或只是因為錯誤的符號 - 聲音轉換而導致的無意義的語言。然而，最簡單的途徑可能就是假設線性文字 A 的音等同於已經解讀了的線性文字 B。一個由 John Younger 維護的網站 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）保留了所有已知的線形文字 A 的聲音轉寫。一些宗教套路已經被識別出來，有些甚至顯現出與埃特魯里亞語相近的語法結構。

由於未被解讀，這種文字的特點很難界定。不過可以列舉一些粗略的特徵。它是一種意音文字，包括 60 個表示音節的符號，以及 60 個表意符號表達聲音、物體或抽象概念。它通常從左向右書寫在泥版上。

對線形文字 A 有爭議的解讀包括：將它與閃米特文字進行聯繫 [2][3]，或者將它界定為 aeolic 方言的希臘語字母 [4]。

## Unicode 編碼

Unicode 7.0 編碼線性文字 A 於 U+10600 - U+1077F 範圍內。

## 參見

* 米諾斯文明
* 線形文字 B（書寫邁錫尼希臘語的文字）
* 費斯托斯圓盤
* 克里特象形文字
* 愛琴數字
* 賽普勒斯音節文字
* 自源文字

## 參考

## 外部連結

* Omniglot （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 線性文字 A 字母 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 線性文字 A 文本 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
线性文字B

**線形文字 B** 是希臘邁錫尼文明時期的一種音節文字。線形文字 B 出現於青銅時代晚期，早於希臘字母（約公元前 15 世紀）數個世紀，隨著邁錫尼文明的衰落而消逝。寫有線形文字 B 的泥板大部分發現於克諾索斯、科多尼亞、皮洛斯、底比斯、邁錫尼等地。後繼的希臘黑暗時代，目前尚未發現線形文字 B 的實物。

1952 年，麥可・文特里斯成功釋讀線形文字 B。線形文字 B 主要在克里特島和希臘本土南部地區使用，時間大約為西元前 1500 年 - 西元前 1200 年。 線形文字 B 似乎與更早的線形文字 A 有某種聯繫。

## 文字

### 音節符號

### 特殊和未知符號

### 表意符號

### 線形文字 B 的 Unicode 編碼

Unicode4.0 之後的為線形文字 B 提供了編碼碼位，其中音節符號碼位為 10000–1007F，表意符號碼位為 10080–100FF。

## 參見

* 線形文字 A
* 賽普勒斯音節文字

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結
线性时序逻辑

**線性時序邏輯**（英語：linear temporal logic，LTL），或稱**線性時態邏輯**，是一種模態時態邏輯。其時態運算符限定於描述從一個給定的狀態開始的某一條路徑上的事件。線性時序邏輯由阿米爾・伯努利在 1977 年提出。線性時序邏輯和計算樹邏輯兩者可以歸入更廣義的 CTL\* 中。

## 語法和語義

一個線性時序邏輯公式由以下三種要素構成：

* 原子命題變量
* 邏輯運算符：「非」（¬）、「與」（∧）、「或」（∨）、「條件」（→）、「雙條件」（↔）。
* 時態運算符：**X**，**F**，**G**，**U**，**R** 等

時態運算符的語義如下表所示，其中 _φ_ 和 _ψ_ 為原子命題變量：

其中，時態運算符「釋放」**R**，「最終」**F**，「總是」**G** 可分別定義為：

* ψ **R** φ ≡ ¬(¬ψ **U** ¬φ)
* **F** ψ ≡ **true** **U** ψ
* **G** ψ ≡ **false** **R** ψ ≡ ¬**F** ¬ψ

此外，時態運算符「弱直到」**W** 和「強釋放」**M** 為對偶關係，可分別定義為：

* _ψ_ **W** _φ_ ≡ (_ψ_ **U** _φ_) ∨ **G** _ψ_ ≡ _ψ_ **U** (_φ_ ∨ **G** _ψ_) ≡ _φ_ **R** (_φ_ ∨ _ψ_)
* _ψ_ **M** _φ_ ≡ ¬(¬_ψ_ **W** ¬_φ_) ≡ (_ψ_ **R** _φ_) ∧ **F** _ψ_ ≡ _ψ_ **R** (_φ_ ∧ **F** _ψ_) ≡ _φ_ **U** (_ψ_ ∧ _φ_)

## 等價變換

* 分配律
* 邏輯「非」運算
* 特殊時態屬性

## 特性表達

有兩種主要特性可以使用線性時序邏輯來表達：

* 安全性（safety）：即某種不良性質 _φ_ 永不出現，**G**¬_ϕ_
* 活性（liveness）<：即某種良好的性質 _ψ_ 一直保持，**GF**_ψ_ 或 **G**(_ϕ_ →**F**_ψ_)

## 參見

* 克里普克結構
* 時間邏輯

## 參考文獻
线性有界自动机

**線性有界自動機**（英文：Linear bounded automaton，簡寫： **LBA**）是受限形式的非確定圖靈機。它擁有由包含來自有限字母表的符號的單元構成的磁帶，可以一次讀取和寫入磁帶上一個單元的並可以移動的磁頭，和有限數目個狀態。它區別於更為普遍的圖靈機在於儘管磁帶最初被認為是無限的，只有其長度是初始輸入的線性函數的有限臨近部分可以被讀寫磁頭訪問。這個限制使 LBA 成為在某些方面比圖靈機更接近實際存在的計算機的精確模型。

## 結構

線性有界自動機是一個非確定型圖靈機，並遵循以下三個條件：

* 其輸入字母表中包括兩個特殊符號「[」「]」，作為左右端點的標記。
* 左右端點標記所在的單元不能被重寫。
* 讀寫頭不能移動到左端點的左邊或右端點的右邊。

也就是說，雖然線性有界自動機如其他圖靈機一樣擁有一條無限長的帶，但是帶上能夠使用的部分是有限的：介於左右端點之間。

## 語言

線性有界自動機是上下文有關語言的接受器。對這種語言在文法上的唯一限制是沒有把字符串映射成更短字符串的產生式。所以在上下文有關語言中沒有字符串的推導可以包含比字符串自身更長的句子形式。因為在線性有界自動機和這種文法之間的一一對應，對於要被自動機識別的字符串不需要比原始字符串所占用的更多的磁帶。

## 線性有界自動機問題

在 1964 年的一篇論文中，S.Y.Kuroda（黒田成幸） 提出了兩個問題，即著名的「LBA Problem」：

1. 線性有界自動機接受的語言是否與確定型線性有界自動機接受的語言等價？
2. 能被線性有界自動機接受的語言是否在補運算下具有封閉性？

在這篇論文中，Kuroda 表示，若問題 2 的答案是否定的，則問題 1 的答案也是否定的。然而，在 1987 年，N.Immerman 與 R.Szelepcsényi 證明了問題 2 的答案是肯定的。至今，問題 1 仍然沒有被證明或證偽。

## 定理

* 波斯特定理
* 克萊尼–波斯特定理
* 弗里德堡–穆奇尼克定理
* 波斯納–羅賓遜定理
* 跳躍逆轉定理

## 參考文獻

## 外部連結

* Linear Bounded Automata by Forbes D. Lewis
* Linear Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） slides, part of Context-sensitive Languages （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Arthur C. Fleck （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Linear-Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） , part of Theory of Computation syllabus, by David Matuszek
线性村

**帶狀聚落**或稱**線性聚落**（英語：linear settlement），是一類地理學概念，指一個中小型聚落或房屋群落是以一段長線分布。大多數沿主要交通道路、河流、運河等，其形成原因有物理限制特徵，比如山脈、海岸線、峽谷等，比如香港的維多利亞港。帶狀聚落通常沒有一個明顯的中心，比如三叉路或綠色帶，呈現狹長的特徵。

## 概述

在道路沿線形成的聚落，道路往往預示著聚落形成，聚落並隨後與交通道路同時發展，形成一些特點。通常，單行道路會產生一側的聚落。其中英格蘭諾福克的米勒堡即是一個例子。隨後聚落會逐步擴大，增加從原來的主要街道而生的側轉彎區。比如英格蘭的紹斯波特。

一個帶狀聚落通常與帶狀發展有區別，後者是由一個已成型的城鎮及主幹線向外擴散而生。

線性村（linear village），或稱「鏈村」（chain village）也是一類帶狀聚落。

## 參考
线性构造

**線性構造**(lineament) 為陸地景觀中的線狀地貌，是一種深層地質結構（如斷層）的表現。典型的線性構造將表現為斷層線對齊的山谷、一系列斷層或褶皺對齊的山丘、筆直的海岸線或這些特徵的組合。斷裂帶、剪切帶和岩脈等火成岩侵入體也可以表示為線狀結構地貌。

線性構造通常在地質或地形圖中都很明顯，在航空或衛星拍攝照片上可能也很顯眼。例如在英國有幾個示例：蘇格蘭大峽谷斷層和高地邊界斷層抬升產生的線性構造以及英格蘭西部的馬爾文線 (Malvern Line) 和南威爾斯的尼思擾動 (Neath Disturbance) 等也都是如此。

「巨線性構造」一詞曾被用來描述大陸範圍內的此類特徵，聖安德烈亞斯斷層的蹤跡可被視為一個案例，橫貫巴西的線性構造與撒哈拉貫穿帶一起構成了地球上可能最長的連貫剪切帶，延伸約 4000 公里。

在其他行星及其衛星上也發現了線線構造，由於所涉及的地質構造過程不同，它們的起源可能與陸相線性構造完全截然不同。

## 參考文獻
线性步兵

**線列步兵**（英語：Line Infantry、法語：Infanterie de ligne），或譯**戰列步兵**、**線性步兵**，在 17 至 19 世紀間，歐洲國家在野戰時主要的步兵運用形態。

同樣的兵種在當時的歐洲各國、中國、印度、新大陸 (大陸軍)，世界各地都有所編制。

## 創立

線列步兵最早出現在 17 世紀。在 17 世紀初，瑞典國王古斯塔夫二世決定以簧輪式火器武裝他的陸軍，但只有騎兵裝備了這種結構複雜的武器。他在三十年戰爭期間的優異戰績使得線式戰術得到全歐洲的矚目。在他逝世後的一段時間，瑞典步兵便以新式簧輪式火槍（Musket）武裝，與舊式火槍相比，新式火槍比較輕，更加容易發射，不需要額外幫助。另外，製作新式火槍，需要的鐵更少，意味著在大量生產時，更加便宜。這種火器的出現，使得需要大量裝備火槍的線列步兵的創立變得可能。

## 戰術

線列步兵在大多數時候，使用這三種陣型：線列（Line），方陣（Square）與縱陣（Column）。

從 17 世紀中期開始，步兵廣泛採用了手持槍械，占主導地位的戰術是線式戰術，將步兵排成寬而淺的線列，然後齊射。一條線列，有二至四排士兵。

因為在近距離內，火槍的準確度能夠相對地提高，加上裝彈速度的緩慢，所以，只有密集陣型的射擊才能最大限度地造成敵軍的傷亡。線列以發揮最猛烈的火力為目的排列。以鬆散（Skirmish）陣型排列的步兵，雖然能夠尋找掩護，而且相對地靈活，但是，在對抗騎兵時十分脆弱，也不能守住陣地，抗擊前進中的步兵縱陣。線列步兵向受到威脅撤退的散兵與騎兵提供了支持。

在遭到騎兵包圍時，線列步兵能夠迅速轉變為方陣。這種方陣中間是空的，不同於長矛兵與舊式火槍手的方陣。

即使是訓練有素的步兵，以線列陣型行進時，速度仍然會非常緩慢，而且，在行進時，陣型很容易裂開，特別是在通過灌木、森林時。因此，在固定時，步兵通常採用線列陣型，而在行進時，通常採用縱陣。在衝鋒、近戰時，也會採用縱陣。

## 訓練

線列步兵以步兵操典（Manual of arms）為訓練指南，主要內容是快速排成一列，快速射擊與機動。

線式戰術需要嚴明的紀律與簡單的移動，需要士兵熟練指令到下意識的程度。在訓練中，演習與體罰經常進行。

線列步兵很快成為了歐洲國家的常見步兵兵種。火槍手（Musketeers）與精銳部隊，擲彈兵，逐漸變為線列步兵的一部分，採用起線列戰術。

## 武器裝備

在 17 世紀中期，線列步兵的火槍加上了刺刀。刺刀掛在火槍的槍口，在近戰時使用。它對抗騎兵時也有幫助。

在 17 世紀晚期，火槍手被更輕更便宜的、燧發槍兵（Fusilier）代替，他們裝備了燧發槍，重五千克，口徑 17.5 毫米，出現在法國，後來傳播到其他國家。在很多國家，燧發槍仍然稱為火槍。但是，無論是火槍抑或是燧發槍，都是無膛線的，這使得兩者的準確度低、射程短。但是，相應地，由於無膛線，彈丸對人體的創傷比有膛線槍的彈丸高。

線列步兵沒有任何防護裝備。只有一些精銳部隊，能夠保留一些有傳統元素的防護裝備，比如擲彈兵的銅帽。

## 同時代的其他步兵兵種

起初，線列步兵只是步兵的一小部分，因為，它在對抗敵軍騎兵時，顯得很脆弱。長矛兵（Pikiner）是主力步兵，也被稱為重步兵。舊式火槍手是步兵中具有重大意義的部分，但是，當時並未使用線式戰術。然而，到了 17 世紀中葉，在大多數歐洲國家的陸軍中，已經有一半是線列步兵。在發明了刺刀後，線列步兵能保護自己，對抗敵軍騎兵。長矛兵在陸軍中所占的比例大幅下降。在 1689 年，奧地利陸軍廢除了長矛兵。在 1703 年，法國陸軍也效仿前者，廢除長矛兵。在 1721 至 1769 年間，彼得大帝幾乎將所有俄國步兵轉為線列步兵。線列步兵成為了歐洲陸軍的主力步兵。

當時的兵種，除了線列步兵外，還有精銳部隊與輕步兵。與線列步兵的緊密陣型相反，輕步兵採用鬆散陣型。在 18 世紀後期開始，大多數歐洲國家的陸軍都有來福槍兵，以昂貴的線膛卡賓槍武裝，接受精確射擊、尋找掩護的訓練。線列步兵裝上刺刀的火槍比起卡賓槍重，被稱為重步兵，用作主力部隊。

法國在大革命與拿破崙戰爭時期，將步兵分為衛隊、線列步兵與輕步兵，但是，線列步兵與輕步兵的武器與戰術相同。拿破崙不信任線膛火器。然而，線列步兵與輕步兵都有引入了散兵（Tirailleurs）或尖兵（Voltigeurs），既能以散兵方式作戰又能以線列步兵方式作戰。

在 1853 年，俄國步兵由 110 個團組成。其中 52 個團是線列步兵團，10 個團是衛隊，另外 46 個團是輕步兵團。然而，只有部分俄國輕步兵裝備了來福槍。

在 19 世紀，來福槍兵在歐洲各國陸軍中占的比例提升，而裝備火槍的線列步兵的比例下降。在美國內戰中的南北雙方只有幾個線列步兵團。然而，在法國，因為崇拜拿破崙一世的拿破崙三世的干預，在 1870 年仍有 300 個線列步兵團。即使法國線列步兵在 1866 年裝備了夏塞波來福槍（Chassepot Rifle），他們仍被教導以緊密陣型作戰：線列、縱陣與方陣，直到拿破崙三世退位後，才改變戰術。

## 廢除

拿破崙戰爭後，線列步兵仍然是主力部隊，而輕步兵則提供火力支援、掩護行進中的部隊。俄國、英國、法國等國家，在 19 世紀晚期仍使用線式戰術，例如克里米亞戰爭、普法戰爭。

在新武器發明後，線列步兵學說開始衰落。米尼彈大大增加了槍械的射程和精確度。緊密陣型中的士兵成為了顯著的目標，南北戰爭就證明了這一點。這場戰爭後，後膛裝填步槍被採用，使得步兵的射程大大提高，射擊的速度也大大加快。在 19 世紀 60 年代，大多數德意志國家與俄國都將自己的線列步兵與來福槍兵結合在一起，使用來復槍與散兵戰術。在普法戰爭後，德國、法國也效法前者。然而，英國保留了「線列步兵」的名字，即使他們在 1853 年開始使用來福槍，在 1867 年開始使用後膛裝填步槍，在布爾戰爭時由緊密線列改用鬆散陣型。

來復槍不斷提升的射速與在 1883 年發明的馬克沁機槍使得步兵在接近敵軍前就會承受巨大的傷亡。騎兵也因為步兵武器的改進而衰落。在 20 世紀初，步兵開始慢慢接受以輕步兵散兵陣型作戰，但是，仍然以線列步兵戰術訓練。

## 「線列步兵」名稱的保留

雖然，線式戰術在 19 世紀晚期已經變得過時，但是，在歐洲一些陸軍中，步兵團繼續歸類為「線列步兵」。這一名稱意味著這個團是正規軍，而不是特種或精銳部隊。以 1914 年的比利時陸軍為例，有 14 個線列步兵團（Infanterie de Ligne），三個輕步兵團（Chasseurs a pied），一個擲彈兵團（Grenadiers）與一個卡賓槍兵團（Carabiniers）。同時期的歐洲陸軍也類似於比利時陸軍。現代的英國陸軍保留了傳統名稱，如「線列步兵」與「來福槍兵」，即使他們都已現代步槍裝備，不採用線式戰術。同樣地，大多數 21 世紀的陸軍仍然會操練鑽型陣型，作為灌輸紀律與提高單位凝聚力的一種方式。

## 註腳

## 參考書籍

* Guy Derie, _Les Soldats de Leopold ler et Leopold II_.
* R. Pawly, P. Lierneux, _The Belgian Army in World War I_, ISBN 978 84603 448 0

## 相關條目

* 步兵
  * 散兵
  * 重裝步兵
  * 輕裝步兵
  * 線列步兵
  * 摩托化步兵
  * 機械化步兵
  * 空降部隊
线性涡流制动

**渦電流剎車**（英語：Eddy current brake，縮寫：**ECB**）是一種非摩擦制軔方式。渦電流剎車是基於法國物理學家萊昂・傅科發現的渦電流現象，基本原理是將磁鐵按照 N、S 極交替布置，並與金屬導體保持一定的間隙，當磁鐵與導體相對運動時產生電磁感應，導體內產生閉合的漩渦狀感應電流（渦電流），由渦電流產生的磁場使主磁場發生畸變，磁力線發生偏轉，產生與運動方向相反的切向分力，亦即是制軔力，阻力的
方向可由弗萊明左手法則判定，同時渦電流在具有一定電阻的導體內部流動時將電磁能轉化為熱能而導致導體發熱。渦電流剎車的主要優點是無機械磨損、制軔力在很大速度範圍內保持穩定，因此適用於重型汽車、高速列車、起重機械等場合。

## 應用範圍

### 汽車

為減輕傳統的摩擦式軔機（例如鼓式制軔和碟式軔機）的制軔負擔，越來越多的大型客車及載重貨車裝備了渦電流緩速器作為輔助制軔裝置。早於 1903 年，法國工程師斯泰克爾（Steckel）根據渦電流原理申報了世界上第一個汽車用電渦軔機專利。1936 年，法國工程師勞爾・沙拉林（Raoul Roland Raymond Sarazin）研製出世界上第一台渦電流緩速軔機。第二次世界大戰結束後，法國泰樂瑪（Telma S.A.）公司正式購買了沙拉林的另一項渦電流緩速器專利，並且先後推出了裝在傳動軸上的 A 系列緩速器和裝在變速箱和後橋上的 F 系列緩速器。

### 鐵路

鐵路機車車輛使用渦電流剎車可分為軌道渦電流剎車和旋轉渦電流剎車。旋轉渦電流剎車是在車軸上設置金屬圓盤作為磁感應體，磁鐵安裝在金屬盤的一側或兩側，金屬圓盤在磁場中轉動時可感應出渦電流，從而產生制軔力；制軔力和圓盤轉速與勵磁強度成比例，制軔時在圓盤中儲存和散發熱能 。與屬於非粘著制軔的軌道渦電流剎車相比，旋轉渦電流剎車的制軔力必須經輪軌粘著傳遞到軌道，這種特性與同屬粘著制軔的碟式軔機沒有分別，但單靠渦電流剎車只能減速而無法作為停車制軔使用，這是因為只有圓盤轉動時才會產生渦電流，因此在低速時制軔力會急劇衰減。旋轉渦電流剎車最初應用於 1972 年面世的 TGV 001 高速燃氣輪列車組，後來日本在新幹線 100 系、300 系、700 系電聯車的拖車上亦使用了旋轉渦電流剎車。

軌道渦電流剎車又稱為線性渦電流剎車，和旋轉渦電流剎車一樣都是利用渦電流原理，只是軌道渦電流剎車用鋼軌作為磁感應體，電磁鐵安裝在轉向架上距離軌面約 7～10 毫米的高度，當列車行駛時電磁鐵與鋼軌產生相對運動，在鋼軌上感應出渦電流並形成制軔力。與旋轉渦電流剎車相比，軌道渦電流剎車與上述的磁軌制軔同屬非粘著制軔，制軔力不受輪軌間粘著係數的限制，有利於縮短列車制軔距離。與磁軌制軔相比，軌道渦電流剎車不會與鋼軌產生機械摩擦，因此不會產生噪音。然而，它亦有一些缺點使其應用範圍受到限制。軌道渦電流剎車的電磁場容易對軌道電路造成干擾，尤其對於直流電氣化鐵路更甚；而使用軌道渦電流剎車時，車輛動能轉變成渦電流損耗而導致鋼軌發熱，如果在同一路段連續使用軌道渦電流剎車，鋼軌溫度有可能超過規定的極限值。此外，雖然軌道渦電流剎車可產生強大的制軔力，但同時耗電量也比磁軌制軔大得多，根據德國聯邦鐵路 ICE-V 列車的試驗，產生每千牛頓頓制軔力約需 4 千瓦功率。

1960 年代末，日本國有鐵道曾經在新幹線 951 型電聯車試用軌道渦電流剎車，但由於簧下重量增加和鋼軌發熱等原因未被其他新幹線車輛所採用。1970 年代，軌道渦電流剎車被法國國家鐵路和德國聯邦鐵路列入 TGV、ICE 高速列車的開發計劃，克諾爾集團也參與了軌道渦電流剎車的研製計畫。1974 年，法國國鐵在 Z 7001 型試驗性電動力車上進行了軌道渦電流剎車試驗。1985 年，德國聯邦鐵路開始利用 ICE-V 列車進行大量的軌道渦電流剎車試驗，但當局考慮到電磁干擾和設備重量等因素，後繼的 ICE-1、ICE-2 列車選用傳統的磁軌制軔。1998 年，經過克諾爾集團長時間的研究和改良，新一代的軌道渦電流剎車裝置開始在 ICE-S 列車上投入試驗。2002 年，德國鐵路 ICE-3 高速列車投入服務，這是第一款採用軌道渦電流剎車的量產鐵路車輛。

## 參考文獻
线性滤波器

**線性濾波器**（英語：Linear filter）用於時變輸入信號的線性運算。線性濾波器在電子學和數位訊號處理中應用非常普遍（參見電子濾波器中的文章），它們也用於機械工程和其它技術領域。

線性濾波器經常用於剔除輸入信號中不想要的頻率或者從許多頻率中選擇一個想要的頻率。濾波器和濾波器技術類型非常廣泛，這篇文章將給出一個總的描述。

不論它們是電子的、電力的還是機械的，也不論它們的頻率範圍或者時間尺度有多大，線性濾波器的數學理論都是通用的。

## 按照傳遞函數分類

### 脈衝響應

線性濾波器可以分為兩類：無限脈衝響應（IIR）和有限脈衝響應（FIR）濾波器。通常，一個窄頻率響應的濾波器有無限脈衝響應，一個窄脈衝響應的濾波器有無限頻率響應。直到，人們才能夠實現模擬 IIR 濾波器，但是，如模擬延時線和數字濾波器這樣的技術都已經實現了 FIR 濾波器。

### 頻率響應

幾種常見的線性濾波器：

* 允許低頻率通過的低通濾波器。
* 允許高頻率通過的高通濾波器。
* 允許一定範圍頻率通過的帶通濾波器。
* 阻止一定範圍頻率通過並且允許其它頻率通過的帶阻濾波器。
* 允許所有頻率通過、僅僅改變相位關係的全通濾波器。
* 阻止一個狹窄頻率範圍通過的特殊帶阻濾波器帶阻濾波器。
* 有些濾波器不是為了阻止任何頻率的通過，而是為了在不同頻率稍微調整幅度響應，預加重濾波器、均衡器或者音調控制等等都是這些濾波器的例子。

帶阻和帶通濾波器都可以通過低通和高通濾波器組合構建出來。一個流行的雙極點濾波器是 Sallen-Key 型，它有低通、帶通和高通等多種類型。

## 濾波器設計所用數學工具

所有類型的線性濾波器都可以完全用頻率響應和相位響應來描述，它們唯一地定義了脈衝響應，反之亦然。從數學的觀點來看，連續時間脈衝衝激響應可以用線性微分方程描述，它們的脈衝響應是方程的格林函數（Green's function）。連續時間濾波器可以用脈衝響應的拉普拉斯變換表示，這種方法根據複平面內拉普拉斯變換極點和零點的樣式就可以很容易地分析濾波器的所有特性。對於離散時間信號，也可以類似地分析脈衝響應的 Z 變換。

在濾波器的計算機合成工具出現之前，類似於波特圖和 Nyquist 圖這樣的圖形工具大量地用作設計工具，即使如今，它們也是理解濾波器行為的無價之寶。

人們開發出了許多不同的模擬濾波器設計方法，每種都儘量優化系統響應的某些特性。對於實用的濾波器來說，一個定製的所要濾波器經常需要在不同的設計原則之間進行折衷，可能要考慮元件個數、成本以及濾波器響應特性等。

經典的無限脈衝響應濾波器的類型有：

* 貝塞耳濾波器（Bessel filter）
* 巴特沃斯濾波器（Butterworth filter）
* 切比雪夫濾波器（Chebyshev filter）
* 橢圓函數濾波器（elliptic filter）

這些描述都是指濾波器的_數學_特性，也就是頻率和相位響應，它們都可以用模擬電路實現，例如，使用有源濾波器 Sallen Key 濾波器布局。它們也可以用作數位訊號處理系統中的算法。

數字濾波器比模擬濾波器的合成更加靈活，模擬濾波器的設計約束限制了它們的應用。很顯然，數字濾波器無需考慮元件的公差，也可以實現非常高的 Q 值。

有限脈衝響應數字濾波器可以用所期望的衝激響應與輸入信號直接作卷積實現。

無限脈衝響應數字濾波器也容易設計，然而，無限脈衝響應濾波器有它們自身的數學設計上的問題，尤其是關於動態範圍和完善非線性問題。

## 參見

* 濾波器設計
* 拉普拉斯變換
* 格林函數
* Z 變換
* 系統理論
  * 線性時不變系統理論
* 非線性濾波器
* 維納濾波器

## 外部連結和參考文獻

* Williams, Arthur B & Taylor, Fred J. 电子滤波器设计手册. McGraw-Hill. 1995. ISBN 978-0-07-070441-1. 實用電子濾波器設計中的聖經。
* National Semiconductor AN-779 說明模擬濾波器理論的應用筆記
线性炔碳

**直鏈乙炔碳**（Linear Acetylenic Carbon），也稱**卡拜**（Carbyne）、**線型碳**（Linear carbon），碳的一種同素異形體，具有 -(C $\equiv $ C)n- 類型的結構。其中每個碳都是 sp 雜化，碳碳單鍵和三鍵交替。這種類型卡拜的楊氏模量是已知天然最硬材料 —— 鑽石的 40 倍，同時也是奈米碳管的兩倍，因此將是很好的奈米材料。

## 參考資料
线性热膨胀系数

**熱脹冷縮**是指物體受熱時會膨脹，遇冷時會收縮的特性，其形狀、體積、密度可能因此改變。由於物體內的粒子的平均動能是溫度的遞增函數，當溫度上升時，粒子的振動幅度加大，令物體膨脹；但當溫度下降時，粒子的振動幅度便會減少，使物體收縮。

熱脹冷縮是一般物體的特性，但是也有反例：4 度以下的水、銻、鉍、鎵和青銅等物質，在某些溫度範圍內受熱時收縮，遇冷時會膨脹，恰與一般物體特性相反。因此，水結冰時，冰是先在水面出現。由於鐵軌有熱脹冷縮的特性，因此鐵軌連結時須保持一定距離，避免軌道間互相擠壓導致變形。

每上升單位溫度的相對膨脹率（膨脹幅度與原大小之比）稱為**熱膨脹係數**（英語：coefficient of thermal expansion，簡稱 CTE），數值越大代表熱膨脹效應越顯著。此系數亦會隨溫度改變。

## 概述

### 估計膨脹

若系統的狀態方程已知，則可推導出任意溫度和壓強下熱膨脹的數值，還可計出其他態函數。

### 熱縮冷脹（負熱膨脹）

若干材料在特定溫度範圍內，加熱反而收縮，謂之熱縮冷脹、熱收縮、負熱膨脹。舉例，水的熱膨脹系數，在 3.983 °C 已跌至零，再降溫則系數變為負。換言之，水在該溫度時，密度取得最大值，傾向下沉。其效果是，即使在長時間零下的季節中，水體較深處仍能保持此溫度。同樣，較純的矽在 18 至 120 開爾文之間，熱膨脹系數為負。

### 膨脹的因素

不同於氣體或液體，固體傾向在熱膨脹期間保持自身形狀。

鍵較強時，熱膨脹的效果較弱。同時，高鍵能意味著高熔點，所以高熔點的物料一般膨脹得較不明顯。作為一般規律，液體略比固體膨脹得多，而玻璃又略比晶體膨張得多。於玻璃相變溫度，無定形物料出現重組，使熱膨脹系數和比熱出現獨有的間斷點。此種間斷點使學者得以量度過冷液體變為玻璃的相變溫度。液體轉變成玻璃時，若從外界加熱，深入液體內部的溫度或反而下降，即有一種「加熱反而降溫」的現象。

吸附或脫附水（或其他溶劑）亦可改變一些常見物體的體積。對許多有機物料而言，此效應遠大於熱膨脹。常見塑膠若暴露於水，長遠可膨脹多個百分點。

### 對密度的影響

熱膨脹改變物質粒子間的空間大小，所以會改變其體積，而對質量的影響則可以忽略（若考慮質能等價則不必為零）。如此，物質的密度亦會改變，影響所受浮力。不均勻受熱液體中，前述因素是對流的重要成因，所以說熱膨脹是風和洋流的成因之一。

## 熱膨脹系數

**熱膨脹係數**是溫度每升高一個單位時，物體較原先膨脹的比率。由於物體的大小可以用一個方向的尺寸（長度）或體積衡量，實際應用中，有兩種主要的熱膨脹係數，分別是：

線性熱膨脹係數（coefficient of linear thermal expansion，簡稱 CLTE，線脹係數）

　
: $\alpha ={\frac {1}{L}}\cdot {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} T}}\approx {\frac {1}{L}}\cdot {\frac {\Delta L}{\Delta T}},$

和體積熱膨脹係數：

　
: $\gamma ={\frac {1}{V_{0}}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p},$

其中下標 $p$ 表示保持壓強不變。線脹係數是指固態物質當溫度改變 1 K（°C 亦同）時，其長度的變化和原長度的比值。各物體的線脹係數不同，一般金屬的線脹係數約在 10-6 K-1 的量級。

大多數情況之下，此係數為正值。也就是說溫度升高體積擴大。但是也有例外，當水在 0 到 4 攝氏度之間，會出現反膨脹。而一些陶瓷材料在溫度升高情況下，幾乎不發生幾何特性變化，其熱膨脹係數接近 0。

對各向同性物料，線膨脹系數 $\alpha $ 與體膨脹系數 $\gamma $ 的關係為 $\gamma =3\alpha $ 。

對常見物料如金屬和化合物，熱膨脹系數與熔點 $T_{\mathrm {m} }$ 大致成反比。舉例對金屬有

　
: $\alpha \approx {\frac {0.020}{T_{\mathrm {m} }}},$

而對鹵化物和氧化物則有

　
: $\alpha \approx {\frac {0.038}{T_{\mathrm {m} }}}-7.0\cdot 10^{-6}\,\mathrm {K} ^{-1}.$

## 例子

氣體為理想氣體。

## 參考文獻

## 外部連結

* Glass Thermal Expansion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Thermal expansion measurement, definitions, thermal expansion calculation from the glass composition
* Water thermal expansion calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* DoITPoMS Teaching and Learning Package on Thermal Expansion and the Bi-material Strip （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Engineering Toolbox – List of coefficients of Linear Expansion for some common materials （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Article on how αV is determined （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MatWeb: Free database of engineering properties for over 79,000 materials （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* USA NIST Website – Temperature and Dimensional Measurement workshop （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperphysics: Thermal expansion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Understanding Thermal Expansion in Ceramic Glazes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
线性生成

在數學分支線性代數之中，向量空間中一個向量集合的**線性生成空間**（linear span，也稱為**線性包** linear hull），是所有包含這個集合的線性子空間的交集，從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。

## 定義

給定域 _K_ 上的向量空間 _V_，集合 _S_（不必有限）的生成空間定義為所有包含 _S_ 的線性子空間 _V_ 的交集 _W_，稱 _W_ 為由 _S_（或 _S_ 中的向量）生成的子空間。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 是 _V_ 的有限子集，則生成空間為

　
: ${\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.$

## 解釋

_S_ 的生成空間也可定義為 _S_ 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證：_S_ 中向量的有限線性組合的集合是包含 _S_ 的一個向量空間，反之任何包含 _S_ 的向量空間必然都包含 _S_ 中向量的有限組合，故兩個定義是等價的。

如果 _S_ 的生成空間是 _V_，則 _S_ 稱為 _V_ 的**生成集合**（spanning set）。_V_ 的一個生成集合不必是 _V_ 的一組基，因其不必是線性無關的。但是，對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說，_V_ 的生成集合是一組基若且唯若 _V_ 的任何向量可以唯一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 _V_ 是無限維向量空間，_S_ 是無窮集合，則 _S_ 中的無限個向量的線性組合（如果收斂的話）不一定屬於 _S_ 的生成空間。

## 例子

* 實向量空間 **R**3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合，這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基，因為它們不是線性獨立的。
* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 **R**3 的生成集合；它的生成空間是 **R**3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。
* 設 _V_={ (x,y,z) ∈**R**3 |_x_+_y_-_z_=0 }，則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 _V_ 的一個生成集合，也是一組基。

## 定理

**定理 1**：向量空間 _V_ 的非空集合 _S_ 生成的子空間是 _S_ 中向量的所有有限線性組合；

　
: 如注釋中所說，這個定理如此熟知，以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。

**定理 2**：設 _V_ 是一個有限維向量空間，則 _V_ 的任何生成集合 _S_ 去掉一些向量（如果必要的話）可以簡化為 _V_ 的一組基。

　
: 取 _V_ 任意一組基（有限集），將這組基表示為 _S_ 中一些向量的有限組合，只用到 _S_ 中有限個向量，這有限個向量的生成集合包含這組基，從而包含 _V_，故第一步可將 _S_ 簡化為有限集；如果 _S_ 中向量不是線性無關的，則至少有一個向量能寫成其他向量的組合，去掉這個向量剩下的也能生成 _V_。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關，這便簡化為一組基了。

　
: 這也說明當 _V_ 是有限維時，一組基是極小生成集合。

## 性質

* 假設 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 是向量空間 _V_ 中 _n_ 個向量，那麼

　
: ${\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).$

* _n_ 個向量生成空間的維數不大於 _n_，等於 _n_ 若且唯若這些向量線性無關。
* 假設 $S$ 與 $S'$ 是向量空間 $V$ 中兩個集合，則有：
   * $S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');$
  * ${\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').$

## 線性生成空間與直和

設 $U$ 與 $V$ 是線性空間 $W$ 的兩個線性包，線性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle $ 稱為 $U$ 與 $V$ 的**和**,
 $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ , 如果 $U\cap V=0$ ，則稱 $U+V$ 為直和，記為 $U\oplus V$

## 參考文獻

* M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 藍以中，《高等代數簡明教程》（上冊），北京大學出版社，2002 年 8 月。
* 《代數學引論（第二卷）》/（俄）A.H. 柯斯特利金著；牛鳳文譯.- 北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8
线性电源

**線性電壓調節器**（英語：Linear regulator），又稱**線性穩壓器**、**線性調節器**，是一種元件，作用是保持電壓穩定。穩壓器的電阻會因應負載及輸入電壓的變化，以達至輸出電壓穩定不變。其動作尤如一不停自動調節阻值的可變電阻，使之與負載得出的分壓保持固定，而過程中因輸出與輸入電壓差而多出的能量則以發熱的形式消散掉。而開關式穩壓器是不停高速地在導通 / 斷開之間切換，使得輸出的平均值保持在所需電壓值。輸入線性穩壓器的電壓必須高於輸出電壓，好讓穩壓器內能作出降壓作用以達至輸出穩定，因此效率受限制。

線性穩壓器可以是置於電源和負載之間（串聯穩壓器），或與負載並聯（並聯穩壓器）。簡單的線性穩壓器可以只包含稽納二極體和一枚串聯電阻器；更複雜的線性穩壓器包含多個組成部份：參考電壓、誤差放大器和功率傳輸元件。由於線性穩壓器被廣泛應用，因此多被製成積體電路，但也可以固態電子元件或真空管等分立元件構成。

## 總述

以電晶體（或其它元件）調節流過負載的電流，負載所得的電壓就是穩壓器的輸出電壓。比較輸出電壓與穩壓器內部的參考電壓，所產生的差動訊號用作控制電晶體，形成一個負回饋迴路，加上適當的補償，輸出電壓就能調整下降至目標電壓，不受輸入電壓或負載變動影響，並保持合理地穩定。

線性穩壓器必須在輸入電壓高於輸出不少於某電壓值時輸出才能穩定至目標電壓，這個最少的電壓稱為壓降電壓、下壓降、電壓差 (dropout)。例如常用的 7805，作用是把輸出保持在 5V，但輸入必須保持在 7V 以上，否則輸出就會低於目標電壓 5V 以下，故其壓降電壓就是 7V-5V=2V。由於須有壓差的存在，線性穩壓器效率大都很低：因為其原理就是要將多於穩定電壓下負載所需的能量，在電晶體內以散發熱能的形式消耗掉。而電晶體發熱所造成的功率損失就是電流乘以電晶體兩端壓降。

這個問題在低輸出電壓的情況尤其嚴重，假若輸出要求為 2V，而壓降電壓同是 2V，效率就必是在 2V/(2V+2V)=50% 或以下，這樣低的效率，在實際應用上多不為接受。這情況下就需使用低壓差穩壓器（LDO），其壓降電壓特別低，一般都在 300mV (0.3V) 或以下，這種情況在微處理器的電源中常遇見。這也是為何幾乎所有低輸出電壓的線性穩壓 IC 都是低壓差穩壓器。

開關電源可以更有效地達至相同的功能，但成本較高及有開關噪聲，在輕負載、輸出電壓較高或輸出電壓接近電源電壓的情況下，線性調節器的效率也不俗，有可能是合適的選擇。線性調節器還具有的優點是：不需要磁性元件（電感器或變壓器），磁性元件可能相對昂貴或占空間；設計更簡單，雜訊也更低。線性調節器的一些設計僅使用電晶體、二極體和電阻器，這就更容易製造到積體電路中，進一步減小它們的質量、在 PCB 上的占位面積和成本。

線性調節器有兩種基本形式：**串聯調節器**和**並聯調節器**。

* **串聯調節器**：更常用的形式。串聯調節器通過提供經由可變電阻的從電源電壓到負載的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「上半」部中）。由調節元件所耗散的功率等於電源輸出電路乘以在調節元件中的壓降。
* **並聯調節器**：通過提供經由可變電阻的從電源電壓到地的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「下半」部中）。將流經並聯調節器的電流從負載轉向出來，並且無用地流向接地，使其比串聯調節器更沒效率。然而，該形式更簡單，有時僅由參考電壓二極體組成；並且用於很低功率的電路，其中耗費電流很小可以忽略。這種形式常用於電壓參考電路。

## 保護功能

若負載超出線性穩壓器設計的承受能力時，可能會導致穩壓器永久損壞，為了避免損壞穩壓器，線性穩壓器可以 (但不一定) 俱備以下保護功能，包括：

* 電流限制，例如恆流限制（constant current limiting）及遞減電流限制（foldback current limiting）
* 過溫度保護（或稱熱關斷）
* 安全工作區保護，即限制功率晶體運作於預定的電流及電壓的工作條件之內，以確保能正常工作及不會導致損壞。這些工作條件包括連續及瞬間脈衝狀態下的最高電壓、電流、溫度、功率。

## 參見

* 78xx - 一種常見的線性調節器類型。
* LM317 - 與 78xx 類似的線性穩壓器晶片可配置輸出電壓。
* 低壓差穩壓器 (LDO)
* 開關電源
线性病毒科

**線性病毒科**（學名：_Flexiviridae_），也稱**彎曲病毒科**，曾在 2004 年成為一個病毒的新科，但是從 2009 年開始被分入甲型線形病毒科（_Alphaflexiviridae_）、乙型線形病毒科（_Betaflexiviridae_）和丙型線形病毒科（_Gammaflexiviridae_）之中，這三個科都和蕪菁發黃鑲嵌病毒科（_Tymoviridae_）歸屬於一個叫蕪菁黃花葉病毒目（_Tymovirales_）的新目下。因為國際病毒分類委員會（ICTV）基於這些病毒蛋白質（衣殼和 RNA 聚合酶）的分子系統發生學關係。彎曲病毒科的病毒是單鏈的正義 RNA 病毒，因此按照巴爾的摩病毒分類系統被分到第四組裡。這些病毒是絲狀的，它們被命名為彎曲病毒是因為它們的形態極度彎曲。該類病毒很容易能自動的轉錄，同時它們也有其它的病媒載體可以幫助傳播。單一物種傾向於感染一個宿主植物，許多種類喜歡感染木本植物。這些病毒經常聚集在細胞質里。

## 下級分類

本科包括以下屬：

* 蔥屬 X 病毒屬 _Allexivirus_ ，代表種：青蔥病毒 X (Shallot virus X)
* 柑橘病毒屬 _Mandarivirus_ ，代表種：印第安柑橘屬環斑病毒 (Indian citrus ringspot virus)
* 康乃馨潛伏病毒屬 _Carlavirus_ 香石竹潛伏病毒屬，代表種：康乃馨潛伏病毒 (Carnation latent virus)
* 髮狀病毒屬 _Capillovirus_ ，代表種：蘋果樹幹溝槽病毒 (Apple stem grooving virus)
* 小窩病毒屬 _Foveavirus)_ ，凹洞病毒屬，代表種：蘋果樹幹表面腐凹病毒 (Apple stem pitting virus 蘋果樹幹表瘡病毒)
* 馬鈴薯 X 病毒屬 _Potexvirus_ ，代表種：馬鈴薯病毒 X (Potato virus X)
* 毛髮狀病毒屬 _Trichovirus_ ，毛絲狀病毒屬，代表種：蘋果萎黃葉點病毒 (Apple chlorotic leaf spot virus)
* 葡萄屬病毒屬 _Vitivirus_ ，代表種：葡萄藤 A 病毒 (Grap vine virus A)

## 參考文獻

* ICTV 病毒分類 2009、ICTV 病毒分類 2011 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* UniProt Taxonomy [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* **Viralzone**: Flexiviridae
线性矩阵不等式

**線性矩陣不等式**是凸優化中，具有形式：

$$
\operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\geq 0\,
$$

的表達式，其中，

 * $y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]$ 是一個實向量，
* $A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}$ 是 $n\times n$ 的實對稱矩陣 $\mathbb {S} ^{n}$ ,
* $B\geq 0$ 是廣義的不等式，意思是在 $\mathbb {S} ^{n}$ 的半正定子空間 $\mathbb {S} _{+}$ 內， $B$ 是半正定矩陣。

線性矩陣不等式表示 _y_ 的凸集限制條件。

## 應用

有一些有效率的數值方法可以判斷線性矩陣不等式是否可行（是否存在向量 _y_ 使得 LMI (_y_) ≥ 0），或解出有 LMI 限制條件的凸優化問題。
許多控制理論、系統識別及信號處理的最佳化問題都可以表示為線性矩陣不等式。線性矩陣不等式也可以應用在 Polynomial SOS 中。原型的原始半定規劃及對偶半定規劃都是實線性函數的最小化，分別屬於控制此 LMI 的原始凸錐及對偶凸錐。

## 求解

凸優化的主要突破是導入了內點法。這個方法是在一系列的論文中發展的。在尤里・涅斯捷羅夫及阿爾卡迪・內米羅夫斯基探討 LMI 問題的論文中引起學術界的注意。

## 參考資料

* Y. Nesterov and A. Nemirovsky, _Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming._ SIAM, 1994.

## 外部連結

* S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (book in pdf)
* C. Scherer and S. Weiland Course on Linear Matrix Inequalities in Control, Dutch Institute of Systems and Control (DISC).
线性系统

**線性系統**是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統：

　
: ${\frac {d^{2}{y}}{dx^{2}}}+y=3x$

由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲 τ 秒，那麼得到的輸出除了這 τ 秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。

## 線性系統的特性

若將一決定性系統視為黑箱系統，可以用一個將輸入 $x(t)$ 映射到輸出 $y(t)$ 的運算子 $H$ 來表示。一線性系統的運算子滿足疊加原理及齊次性（homogeneity）。假設有以下二個輸入

　
: $x_{1}(t)\,$

　
: $x_{2}(t)\,$

及其對應的輸出

　
: $y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}$

　
: $y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}$

則線性系統會滿足以下的特性

　
: $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$

其中 $\alpha \,$ 及 $\beta \,$ 為任意純量。

因此，若線性系統有一個複雜的輸入，可將輸入分解為許多較簡單輸入的和，針對簡單輸入個別計算輸出，其輸出相加，就是系統對應複雜輸入的輸出。這是非線性系統沒有的特性，上述的數學特性也使得線性系統的解比非線性系統的解要來的簡單許多。

對於線性時不變系統，疊加原理也是脈衝響應或頻率響應等分析方式的基礎。若是連續、線性時不變系統的微分方程，可以利用拉普拉斯轉換來求解；而離散系統中，可以利用 Z 轉換來求解。

線性模式常在非線性系統的線性化時使用，以便於後續的數學運算或處理。

## 時變脈衝響應

一線性系統的**時變脈衝響應** _h_(_t_2,_t_1) 定義為系統對於在 _t_ = _t_1 時間的單一脈衝，在 _t_ = _t_2 時間的響應。若系統的輸入為

　
: $x(t)=\delta (t-t_{1})\,$

其中 δ(_t_) 表示狄拉克 δ 函數，而其對應的系統輸出為

　
: $y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})\,$

則函數 _h_(_t_2,_t_1) 則為系統的時變脈衝響應。

## 時變卷積

### 連續時間系統

任何連續時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷積（convolution integral）：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,s)x(s)ds$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t-\tau )x(t-\tau )d\tau $

其中

　
: $\tau =t-s\,$

表示輸入的時間 _s_ 和響應的時間 _t_ 之間的時間差。

### 離散時間系統

任何離散時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷和（convolution sum）：

　
: $y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n,k]x[k]}$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,n-m]x[n-m]}$

其中

　
: $m=n-k\,$

表示輸入的時間 _k_ 和響應的時間 _n_ 之間的時間差。

## 因果性

一個線性系統滿足**因果性**是指滿足以下特性的系統：只要時間 _t_ 在輸入時間 _s_ 之前，其脈脈衝響應 $h(t,s)$ 均為零，也就是以下的式子一定會成立：

　
: 若 $t<s$ , 則 $h(t,s)=0$

表示在時間 _s_ 時的脈衝其響應只會在時間 _s_ 之後出現，在時間 _s_ 之前脈衝響應為零。

一個滿足因果性的系統稱為因果系統。在因果系統中，時間 _s_ 時的輸入信號只會影響時間 _s_ 之後的輸出信號，不會影響時間 _s_ 之前的輸出信號。

## 參照

* 代數幾何中的 Linear system of divisors
* 線性時不變系統理論
* 系統分析
* 線性方程組
* 非線性系統

## 參考資料
线性组合

**線性組合**（英語：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表達式。其中 $v_{i}$ 為任意類型的項， $a_{i}$ 為純量。這些純量稱為線性組合的**係數**或權。

　
: $w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$

## 定義

 $S$ 為一向量空間 $V$ （附於體 $F$ ）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於 $S$ ，和對應的純量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}$ 屬於 $F$ ，使得 $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$ ，則稱 $v$ 是 $S$ 的線性組合。

規定： $0$ 向量是空集合的線性組合。

## 線性生成

_S_ 為域 _F_ 上向量空間 _V_ 的子集合。

所有 _S_ 的有限線性組合構成的集合，稱為 _S_ 所生成的空間，記作 span (S)。

任何 _S_ 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 _V_ 的子空間（所以包含 0 向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span (S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span (S) 上）

## 線性無關

對於一個向量集 S =｛_v_1,...,_v_n｝,
若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合，

　
: $v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).$

另一種表述方式是，如果將它們相減 ( $c_{i}:=a_{i}-b_{i}$ ) ，得到一個純量不全等於零的線性組合，而它的值為零：

　
: $0=\sum c_{i}v_{i}.$

那麼 _v_1,...,_v_n 稱為「線性相關」；否則它們為線性無關。

若 _S_ 是線性無關，而 S 的生成空間等於 _V_，那麼 _S_ 是 _V_ 的基。

## 仿射組合，錐組合及凸組合

仿射組合，錐組合和凸組合對線性組合的係數有一定的限制。

因為這些組合的限制更加嚴格，所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此，仿射子集，凸錐，和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間，凸錐，也是凸集，但凸集不一定是向量子空間，仿射子空間，或凸錐。

這些概念的產生是由於對於一些特定的數學對象，人們可以採用某些線性組合，但並非任何線性組合：例如，概率分布在凸組合下是閉合的，並且它們形成一個凸集；但在錐組合，仿射組合，或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的，但在仿射或線性組合下不是。因此，我們將帶正負符號的測度定義為它的線性閉包。

線性和仿射組合可以在任何域或環上定義，但錐組合和凸組合需要「正數」的概念，因此只能在有序域或有序環上定義，最常見的例子是實數。

如果僅允許乘以純量而不允許相加，則我們得到一個（不一定是凸的）圓錐；通常來說，定義中只允許乘以正純量。

所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集，而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外，因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。

## 另見

* 凸組合
* 仿射組合：係數之和為 1 的線性組合
线性编辑

**線性剪輯**（英語：**Linear Editing**），是在影像中進行最後階段後期製作的編輯過程，是指利用錄影帶按時序進行順時剪輯。

在**線性剪輯**中必須有兩、三部放影機（內含 TBC）、一部錄放影機、影像特效機、混音器、控制盤、信號產生器及示波器等設備，由於花費昂貴，故一般只會由電視台使用。

**線性剪輯**需利用錄影帶進行，會先使用母帶（Master）錄製另一部錄影機的畫面，然後根據母帶時間，順次序將片段放入。

## 歷史

影音尚未數位化的時代，影片剪輯採用線性剪輯方式，也就是拍攝的母帶和成品帶必須同步邊放邊錄。而過去的影帶上通常會有三個主要軌道：影像軌（Video Track）、音軌（Sound Track）和控制軌（Control Track）。其中控制軌是用來紀錄 TimeCode 和影音同步的軌道。由於控制軌的存在，就產生了 Assemble 和 Insert 兩種剪輯方式。

## 相關條目

* 非線性剪輯