群論

在數學和抽象代數中，**群論**（英語：Group theory）研究名為群的代數結構。

群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、體和向量空間等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。線性代數群和李群作為群論的分支，在經歷了重大的發展之後，已經形成相對獨立的研究領域。

群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。

群論中的重要結果，有限單純群分類是 20 世紀數學最重要的結果之一。該定理的證明是集體努力的結果，它的證明出現在 1960 年和 1980 年之間出版的超過 10,000 頁的期刊上。

## 歷史

群論在歷史上主要有三個來源：數論，代數方程式理論和幾何學。數論中出現的對群的研究始於萊昂哈德・歐拉，之後由卡爾・弗里德里希・高斯在對模算術和與二次體相關的乘法和加法的研究中進行了發展。群論的概念在代數數論中首先被隱含地使用，後來才顯式地運用它們。

關於置換群的早期結果出現在約瑟夫・拉格朗日、保羅・魯菲尼和尼爾斯・阿貝爾等人關於高次方程式一般解的工作中。1830 年，埃瓦里斯特・伽羅瓦第一個用群的觀點來確定多項式方程式的可解性。伽羅瓦首次使用了術語「群」，並在新生的群的理論與體論之間建立起了聯繫。這套理論現在被稱為伽羅瓦理論。阿瑟・凱萊和奧古斯丁・路易・柯西進一步發展了這些研究，創立了置換群理論。

群論的第三個主要歷史淵源來自幾何。群論在射影幾何中首次顯示出它的重要性，並在之後的非歐幾何中起到了作用。菲利克斯・克萊因用群論的觀點，在不同的幾何學（如歐幾里德幾何、雙曲幾何、射影幾何）之間建立了聯繫，即愛爾蘭根綱領。1884 年，索菲斯・李開始研究分析學問題中出現的群（現在稱為李群）。

屬於不同領域的來源導致了群的不同記法。群的理論從約 1880 年起開始統一。在那之後，群論的影響一直在擴大，在 20 世紀早期促進了抽象代數、表示論和其他許多有影響力的子領域的建立。有限單純群分類是 20 世紀中葉一項規模龐大的工作，對一切的有限單純群進行了分類。

## 分類

群論考慮的群的類型從有限置換群和一些特殊的矩陣群逐漸進展到抽象群。這些抽象群可以由生成元和關係給定。

### 置換群

**置換群**是第一類被系統研究的群。對給定的集合 $X$ ， $X$ 到自身的一些對射（通常叫做_置換_）的集合 $G$ 如果在複合運算和求逆運算下封閉，那麼稱 $G$ 是一個作用於 $X$ 上的群。如果 $X$ 包含 $n$ 個元素而 $G$ 包含所有可能的置換，那麼 $G$ 被稱為對稱群 $S_{n}$ 。一般地，任何置換群都是 $X$ 的對稱群的子群。凱萊定理表明，通過構造**左正規表示**，任何一個群都可以視作自身上的一個轉換群。

### 矩陣群

例子：李群

### 變換群

如果集合 $A$ 的所有一一轉換作成群，則稱為 $A$ 的一一轉換群或對稱群。
設 $G$ 是一個非空集合， $G$ 的元素間定義一種運算「 $\circ $ 」。如果 $G$ 滿足以下的條件：
1.（運算封閉性）對於 $G$ 中的任意兩個元素 $a$ 、 $b$ ，恆有 $a\circ b\in G$ ；
2.（結合律）對於 $G$ 中的任意三個元素 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，恆有 $\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ \left(b\circ c\right)$ ；
3.（單位元素）存在單位元素 $e\in G$ ，使得對於 $G$ 中的任意元素 $a$ ，都有 $e\circ a=a$ ；
4.（反元素）對於 $G$ 中的任意元素 $a$ ，存在 $a$ 的反元素 $b\in G$ ，使得 $b\circ a=e$ 。
則稱 $G$ 關於運算「 $\circ $ 」作為一個群。簡稱 $G$ 是一個群。
設 $A$ 是一個非空集合， $A$ 的若干個一一轉換對於轉換的乘法所作成的群稱為 $A$ 的一個轉換群。

### 抽象群

一個集 $G$ ，如果它不是空集，而且滿足以下四個條件，就叫做群：
① $G$ 中有一個閉合的結合法。這就是說， $G$ 中任意兩元 $a,b$ 的結合 $c$ 仍然是 $G$ 中元。結合法通常寫成乘法，這時 $c$ 又叫做 $a,b$ 的積。一般用記號 $ab=c$ 或 $a\cdot b=c$ 表示。要注意，積 $ab$ 雖然是由 $a,b$ 唯一決定的，但一般它還與 $a,b$ 的順序有關。即 $ab$ 不一定等於 $ba$ 。
② $G$ 的結合法滿足結合律。也就是說，對於 $G$ 中任意三元 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，有 $\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$ 。
③ $G$ 中有一個（左）單位元素 $e$ ，對 $G$ 中任意元 $a$ ，有 $ea=a$ 。事實上由於可以證明群的左單位元素也是右單位元素，因而一般把 $e$ 就叫做單位元素。
④對於 $G$ 中任意元 $a$ ，在 $G$ 中有一個滿足 $a^{-1}a=e$ 的（左反元素） $a^{-1}$ ，此處 $e$ 就是上面的（左）單位元素。實際上，可以證明，在群中， $a$ 的左反元素也是右反元素。因此，一般把 $a^{-1}$ 就叫 $a$ 的反元素。

### 拓撲群／代數群

設 $G$ 是拓撲空間，又是一個群，而且群的乘積運算與求逆按此拓撲是連續的，即從拓撲空間 $G\times G$ 到拓撲空間 $G$ 上的映射 $m:\left(x,y\right)\rightarrow x\cdot y$ 及從 $G$ 到 $G$ 上的映射 $f:x\rightarrow x$ 都是連續映射，則稱 $G$ 為拓撲群。如果 $G$ 作為拓撲空間是局部緊 (或緊、連通、單連通) 的，則稱 G 為局部緊 (或緊、連通、單連通) 拓撲群。例如， $n$ 維歐氏空間中所有向量所成的加群，再加上通常的拓撲，就是一個交換拓撲群；實數體 R 上所有 n 階非奇異方陣所成的乘法群 $GL(n,R)$ ，再加上通常的拓撲，是一個局部緊拓撲群；而所有行列式為 1 的正交矩陣所成的群 $SO(n,R)$ 是一個緊連通拓撲群。
從拓撲群 $G$ 到拓撲群 H 內的映射 $f:G\rightarrow H$ ，如果作為群結構它是群同態，作為拓撲空間的映射它是連續的，那麼 $f$ 稱為從拓撲群 $G$ 到拓撲群 H 的同態，簡稱同態。如果同態 f 是對射，而且逆映射 $f$ 也是連續的，那麼 f 稱為拓撲群 $G$ 到拓撲群 H 上的同構映射，簡稱「同構」。拓撲群全體帶上拓撲群間的同態，構成一個範疇。這個範疇就是拓撲群論研究的物件。
在數學中，拓撲群概念最初是由連續轉換群的研究所引起，人們發現在處理許多連續轉換群的問題中所出現的群，往往不必考慮作轉換群，而只需研究這些群本身，於是產生了連續群的概念。M.S. 李是最初對連續群進行系統研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

## 應用

群論在數學上被廣泛地運用，通常以自同構群的形式體現某些結構的內部對稱性。結構的內部對稱性常常和一種不變式性質同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱為一個對稱群。

阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環、體、模。

在代數拓撲中，群用於描述拓撲空間轉換中不變的性質，例如基本群和透射群。

李群的概念在微分方程式和流形中都有很重要的角色，因其結合了群論和分析學，李群能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類群的分析又叫調和分析。

在組合數學中，交換群和群作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。

後來群論廣泛應用於各個科學領域。凡是有對稱性出現的地方，就會有它的影子，例如物理學的超弦理論。

## 參考資料

* Borel, Armand, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics **126** 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6
* Carter, Nathan C., Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, 2009 [2022-03-12], ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193, （原始內容存檔於 2021-12-19）
* Cannon, John J., Computers in group theory: A survey, Communications of the ACM, 1969, **12**: 3–12, MR 0290613, S2CID 18226463, doi:10.1145/362835.362837

## 外部連結

* 稱對的對稱 —— 遊走於科學與藝術間 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）