羅倫茲的蝴蝶

**蝴蝶效應**（英語：Butterfly effect）在混沌學中，是指系統的演變，對初始條件有非常敏感的特性（sensitive dependence of solutions on initial conditions, SDIC）。也就是說，在一個動態系統中，初始條件的細微變化，會導致不同事件發展的順序，有顯著差異。常見延伸的看法是：初始條件的微小變化，能帶動整個系統長期且巨大的連鎖反應。

## 由來

1961 年冬天，美國氣象學家愛德華・羅倫茲在使用電腦程式計算他所設計來模擬大氣中空氣流動的數學模型，在進行第二次計算時，想要節省計算資源，直接從程式的中段開始執行，並輸入前一次模擬結果列印出來的數據，計算出來的結果卻與第一次完全不同。經檢查後發現原因是出在列印的數據是 0.506，精準度只有小數後 3 位，但該數據正確的值為 0.506127，到小數後 6 位。

1963 年，羅倫茲發表論文〈決定性的非週期流〉（_Deterministic Nonperiodic Flow_），分析了這個效應。這篇論文後來被廣泛引用。他也在另一篇期刊文章寫道，「一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一隻海鷗扇動翅膀能夠永遠改變天氣變化。」在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的闡述是「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍捲風。」等於一個小事情會影響很大

在 1993 年出版的《混沌的本質》一書中，勞倫茲將蝴蝶效應定義為：「動力系統狀態的微小變化，將導致後續的狀態，與原本可能演變的狀態有很大的不同。」此一描述和「對初始條件的敏感依存」相同。在同一本書中，勞倫茲應用了滑雪活動，來揭示「隨時間變化的滑雪路徑對初始位置的敏感性」。而所謂的預報度，可藉由系統中的連續依存和敏感依存之間，來加以決定。簡單地說，當兩個初始相鄰的路徑出現明顯分歧之前，我們可以決定有限的預報度。

## 含義

延伸的「蝴蝶效應」是連鎖效應的其中一種，其意思即一件表面上看來毫無關係、非常微小的事情，可能帶來巨大的改變。此效應說明事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的改變，將會有引起結果的極大差異。小事情會有巨大的反應。

蝴蝶效應一詞的出處，現有的文獻已有很多的討論。而其函義也有所不同。單就勞倫茲的研究文章和報告中的討論（如），基本可以有以下三種不同類型。第一類型的蝴蝶效應是指：系統中解的演變，對初始條件有敏感的依存。第二類型的蝴蝶效應是指：微小擾動能在遠距離產生有組織的環流。第三類型的蝴蝶效應是指：小尺度的加入，透過非線性交互作用，能導致有限的預報度。

## 圖示

　
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## 連續依存和敏感依存

圖一和圖三說明初始條件敏感依存（即 SDIC）的特性。在圖一中，X-Z 二維相位空間的圖案近似展翼的蝴蝶。而在圖三中，控制組和平行對照組顯示，在初始時段內（例如 t < 20），他們的軌跡幾乎相同。此特徵稱為對初始條件的連續依存（continuous dependence of solutions on initial conditions, CDIC）。因此，在混沌系統中，連續依存（CDIC）和敏感依存（SDIC）可以先後發生。連續依存和敏感依存的組合，決定了可預報度的範圍。即，可預報度的上限，是由敏感依存開始發生之前所決定。當兩個軌跡的初始位置相近時，他們的軌跡在短時間間隔內，會保持接近。但隨著時間的推移，兩個軌跡不會保持接近。前者代表連續依存代表，而後者是敏感依存。

## 數學定義

除了解的存在性和唯一性，連續依存是平滑微分方程式另一個重要的特性。設函數 G 定義在 Rn 中的開放集合 U 上，假 G 在 U 上的變數 **V** 中有利普希茨 (Lipschitz) 常數 L。設 **V** 和 **W** 為微分方程式 dV/dt=G (**V**) 的解，和 [to, t1] 代表兩個解存在的時間間隔。則，在時間間隔內 (to ≤ t ≤ t1)，以下關係顯示連續依存: $|{\mathbf {V}}(t)-{\mathbf {W}}(t)|\leq |{\mathbf {V}}(t_{o})-{\mathbf {W}}(t_{o})|e^{L(t-t_{o})}$ 。

上述說明：兩個（附近的）軌跡可能會發散，但在有限的時間間隔內，不會比指數更快地分開。在這裡，**V** 和 **W** 可以是純量或向量。

 
若 _t_ 增加時，任意接近的點分離，則具有向量場（演變映射） $f^{t}$ 的動態系統表現出初始條件的敏感依賴性。若 _M_ 是映射 $f^{t}$ 的狀態空間，那麼當滿足以下條件時，稱 $f^{t}$ 表現出初始條件的（弱）敏感依賴性：

* 存在 δ>0，使得對 _M_ 中每點 _x_ 和包含 _x_ 的任意鄰域 _N_：
* 都存在來自這一鄰域 _N_ 的一點 _y_ 和時間 τ，使得：
* 距離 $d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\delta \,.$

定義不要求來自一個鄰域的全部點都與基點 _x_ 分離。

另一種較強的敏感依賴性，涉及系統的最大李亞普諾夫指數。

## 李亞普諾夫指數

李亞普諾夫指數代表著兩個軌跡發散速率（rate of divergence）長時間的平均值。在既有的文獻中，有研究學者，使用下列數學式子: exp (Lt) 來說明兩個軌跡收縮或發散的特性。這裡，指數函數的參數 L 代表李亞普諾夫指數。當 L 是負的，指數函數隨時間非線性遞減。當 L 是正的，指數函數隨時間非線性遞增。後者意味著，兩個軌跡發散的「長時間平均值」呈指數增長。然而，既有的文獻中，也顯示，在一個混沌系統中，儘管兩個軌跡發散速率長時間平均值是正的，但在給定的任一時間，兩個軌跡可以是隨著時間發散或收縮的。

 
李亞普諾夫指數的數學定義為：

 $\lambda _{LE}=\lim _{T\to \infty }{1 \over T}\log \left|{\delta s(T) \over \delta s(0)}\right|$ 。

T 是積分時間長度， $T=N\Delta t$ , $N$ 是整數， $N\rightarrow \infty $ 。s 表示解的向量，例如 $s=(X,Y,Z)$ 。 $|\delta s|$ 代表控制組和平行對照組兩個軌跡之間的距離。 $|\delta s(0)|$ 代表兩個軌跡最初的的距離。

 
有限時間（finite-time）李亞普諾夫指數的定義為：

 $\lambda _{FTLE}(s(k\triangle t))={1 \over \triangle t}\log \left|{\delta s((k+1)\triangle t) \over \delta s(k\triangle t)}\right|$ 。

它與時間積分間隔 $\Delta t$ 、初始位置 $k\Delta t$ ，以及初始軌跡的差異 $\delta s(k\Delta t)$ 相關。

 
而以上，我們可以獲得 $\lambda _{LE}$ 和 $\lambda _{FTLE}$ 的關係如下：

 $\lambda _{LE}=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}\lambda _{FTLE}(s(k\triangle t))$ 。

 
沿不穩定軌跡位移的最大的擴展方向，通過有限時間李亞普諾夫指數和 $\Delta t\rightarrow 0$ ，我們可以定義局部（local）李亞普諾夫指數：

 $\lambda _{LLE}(s(t))=\lim _{\triangle t\to 0}{1 \over \triangle t}log\left|{\delta s((k+1)\triangle t) \over \delta s(k\triangle t)}\right|$ 。

## 有界性

一個混沌系統，至少擁有一個正的李亞普諾夫指數。但是一個正的李亞普諾夫指數，只是混沌系統的必要條件之一。另一個必要條件是，解有上限（即，有界的，bounded）。舉例來說，圖一到圖三，所有的的解均是有界的。因此，兩條軌跡的差異是有界的（圖三）。另一個簡單的例子如下。考慮最單純的線性常微分方程式，y'= a y 和 a > 0，再加上初始條件 y (t = 0) = yo。這個系統的解，y = yo exp (at)，是指數函數。因此，系統的解隨時間非線性增加。雖然李亞普諾夫指數是正的 ，然而，由於系統是線性的，解不可能是混沌的。而一個簡單的驗證是，這個解不是有界的。

## 復發性

在以下討論中，我們介紹不僅超越週期性、而且包括準週期性和混沌的復發性 (recurrence) 概念。當相位空間中兩個狀態在時刻 i 和 j 的距離低於一個特定的臨界值 ε，復發性可以被定義。所謂的復發時間，是指軌跡回到先前訪問過的狀態附近所需的時間。而非零的臨界值 (non-zero ε) 的存在，表明系統經歷了復發，但不一定是到先前造訪過的同一個狀態。混沌系統中的復發性，源自於解的有界性和兩兩軌跡的發散性。

## 通俗但不準確的比喻

蝴蝶效應中最主要的特性是，對初始條件的敏感依賴性。長久以來，人們使用民謠《只因少了一顆釘》，進行了說明：

基於以上所述，許多人錯誤地認為：初始微小擾動的影響，會隨時間單調增加，以致於，任何微小的擾動最終都會產生巨大影響。然而，在 2008 年，混沌理論之父勞倫茲表示，他並不認為以上民謠足以描述真正的混沌。事實上，民謠只是說明了較為簡單的不穩定現象。而且，這民謠暗示後續的小事件不會逆轉結果（Lorenz，2008 )。據分析，該詩句只展示軌跡的發散特性，而並未掌握軌跡只在有限的範圍內的特性。軌跡在有限範圍內的特性，可由蝴蝶有限的雙翼所顯示。在最近的一項研究中，上述民謠的特徵被稱為「有限時間的敏感依存」

## 參見

* 非線性物理學
* 數值穩定性
* 敏感度分析
* 多米諾骨牌效應

## 參考文獻

## 延伸閱讀

## 外部連結

* 其他語言版本
* The meaning of the butterfly: Why pop culture loves the 'butterfly effect,' and gets it totally wrong （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Peter Dizikes, _Boston Globe_, June 8, 2008
* New England Complex Systems Institute - Concepts: Butterfly Effect （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Chaos Hypertextbook （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. An introductory primer on chaos and fractals
* ChaosBook.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
* 埃里克・韋斯坦因. Butterfly Effect. MathWorld.