群的呈示

在數學中，**展示**是定義群的一種方法。通過指定**生成元**的集合 _S_ 使得這個群的所有元素都可以寫為某些這種生成元的乘積，和這些生成元之間的**關係**的集合 _R_。稱 _G_ 有展示

　
: $\langle S\mid R\rangle $ 。

非正式的說，_G_ 有上述展示如果它是 S 所生成的只服從關係 _R_ 的「最自由的群」。正式的說，群 _G_ 被稱為有上述展示如果它同構於 _S_ 上的自由群模以關係 _R_ 生成的正規子群的商群。

作為一個簡單的例子，_n_ 階循環群有展示

　
: $\langle a\mid a^{n}=e\rangle $ 。

這里的 $e$ 是群單位元。它可以等價的寫為

　
: $\langle a\mid a^{n}\rangle $ ，

因為把不包括等號的項認為是等於群單位元。這種項叫做關係元 (relator)，區別於包括等號的關係。

所有群都有一個展示，並且事實上有很多不同的展示；展示經常是描述群結構的最簡潔方式。

一個密切關聯但不同的概念是群的絕對展示。

## 背景

集合 _S_ 上的自由群是其每個元素都可以唯一描述為如下形式的有限長度的乘積的群:

　
: $s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\ldots s_{n}^{a_{n}}$

這里的每個 _s_i 是 S 的一個元素，對於任何 _i_ 有 _s_i ≠ _s_i+1；而每個 _a_i 是非零整數。用不太正式的術語，群由在生成元和它們的逆元中的字組成，只服從用其逆元消除生成元的規則。

如果 _G_ 是任何群，而 _S_ 是 _G_ 的生成子集，則 _G_ 的所有元素也有如上形式；但是一般的說，這些乘積不能唯一的描述 _G_ 的一個元素。

例如，二面體群 _D_8 可以生成自 8 階的旋轉 _r_ 和 2 階的翻轉 _f_；而 _D_8 的任何特定元素都是若干 _r_ 和 _f_ 的乘積。

但是，比如有 _r f r_ = _f_， _r_ 7 = _r_ −1 等；所以這種乘積在 _D_8 中不是唯一的。每個這種乘積等價可以表達為等於單位元的等式；比如

　
: _r f r f_ = 1

　
: _r_ 8 = 1

　
: _f_ 2 = 1

非正式的，我們可以認為在左側的乘積是自由群 _F_ = <_r_,_f_> 的元素，並認為是這些字串生成 _F_ 的子集 _R_；其中每個在被當作在 _D_8 中的乘積的時候還等價於 1。

如果我們接著讓 _N_ 是由 _R_ 的所有共軛的集合 _x_ −1 _R x_ 生成的 _F_ 的子群，則 _N_ 是 _F_ 的正規子群；而 _N_ 的每個元素，在被當作在 _D_8 中的乘積的時候，也被求值為 1。因此 _D_8 同構於商群 _F_ /_N_。我們接著稱 _D_8 有展示

　
: $\langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle $ 。

## 形式定義

設 _S_ 是集合併設 <_S_> 是在 _S_ 上的自由群。設 _R_ 是在 _S_ 上的字的集合，所以 _R_ 自然的給出了一個 <_S_> 的子集。要形成帶有展示的 <_S_|_R_> 的群，想法是選取最小的 <_S_> 的商群，使得 _R_ 的每個元素被當作同單位元一樣。注意 _R_ 可能不是子群也就更不是 <_S_> 的正規子群了，所以我們不能用 _R_ 天真的求商。解決方式是在 <_S_> 選取 _R_ 的正規閉包 _N_，它被定義為包含 _R_ 的 <_S_> 的最小正規子群。群 <_S_|_R_> 接著被定義為商群

　
: $\langle S\mid R\rangle =\langle S\rangle /N$ 。

_S_ 的元素叫做 <_S_|_R_> 的**生成元**而 _R_ 的元素叫做**關係元**。群 _G_ 被稱為有展示 <_S_|_R_> 如果 _G_ 同構於 <_S_|_R_>。

實踐中經常把關係元寫為 $x$ = $y$ 形式，這里的 $x$ 和 $y$ 是在 $S$ 上的字。這意味著 $y^{-1}x\in R$ 。還有一個直覺意義是 _x_ 和 _y_ 的像被假定在商群中是相等的。因此比如在關係元列表中的 $r^{n}$ 等價於 $r^{n}=1$ 。另一個常用簡寫是把交換子 $xyx^{-1}y^{-1}$ 寫為 $[x,y]$ 。

一個展示被稱為**有限生成**的，如果 $S$ 是有限的並且是**有限關聯**的即 $R$ 是有限的。如果二者都是有限的它被稱為**有限展示**。群是**有限生成**的 (亦或是**有限關聯**的，**有限展現**的)，如果它有有限生成的 (亦或是有限關聯的，有限展示的) 的展示。

如果 $S$ 用所有自然數 $\mathbb {N} $ 或它的有限子集構成的集合 $I$ 來索引 (index)，則容易建立一種簡單的從在 $S$ 上的自由群到自然數的一對一的編碼 (或哥德爾數) $f:\langle S\rangle \rightarrow \mathbb {N} $ ，使得我們可以找到算法從給定 $f(w)$ 計算 $w$ 或反之。我們可以稱 $<S>\ $ 的子集 $U$ 是遞歸的 (亦或是遞歸可枚舉) 的，如果 $f(U)$ 是遞歸的 (亦或是遞歸可枚舉的)。如果 $S$ 是如上索引的而 $R$ 是遞歸可枚舉的，則這個展示是**遞歸展示**而對應的群是**遞歸展現**的。這種用法好像很奇怪，但是有可能證明如何群有帶有 $R$ 遞歸可枚舉的展示則它還有另一個帶有 $R$ 遞歸的展示。

對於有限群 $G$ ，乘法表提供了一種展示。我們選取 $S$ 為 $G$ 的元素 $g_{i}$ ， $R$ 為形如 $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ 的所有字，這里的 $g_{i}g_{j}=g_{k}\ $ 是在乘法表是中的一個表項。展示可以被認為是乘法表的推廣。

所有有限展現的群是遞歸展現的，但是有不能有限展現的遞歸展現的群。但是 Graham Higman 的一個定理聲稱有限生成的群有遞歸展現，當且僅當它可以被嵌入到有限展現的群中。從它我們可以得出只有 (不別同構之異) 可數多個有限生成的遞歸展現的群。Bernhard Neumann 已經證明了有不可數多個不同構的兩生成元的群。所以有不能遞歸展現的有限生成群。

## 例子

下表列出了經常研究的群的表示的一些例子。注意在每種情況下都有多種可能的其他展示。列出的展示不必然是最有效的那種可能。

## 一些定理

**所有群 _G_ 都有表示**。要得出這個結論請考慮在 _G_ 上的自由群 <_G_>。因為 _G_ 明顯的生成自身它應當可以通過 <_G_> 的商群得到。實際上，通過自由群的泛性質，存在唯一一個覆蓋了恆等映射的群同態 φ : <_G_> → _G_。設 _K_ 是這個同態的核。則 _G_ 明顯的有展示 <_G_|_K_>。注意這個展示是高度低效的，因為 _G_ 和 _K_ 二者都比所需要的大很多。

所有有限群都有限展示。

群的字問題的否定解答聲稱有一個有限展示 <_S_|_R_>，它沒有算法能對給出的兩個字 _u_, _v_ 確定 _u_ 和 _v_ 是否描述了群中的同一個元素。

## 自由積

如果 _G_ 有展示 <_S_|_R_> 而 _H_ 有展示 <_T_|_Q_>，並有著 _S_ 和 _T_ 是不相交的，則自由積 _G \* H_ 有展示 <_S,T_|_R,Q_>。

## 直積

如果 _G_ 有展示 <_S_|_R_> 而 _H_ 有展示 <_T_|_Q_>，並有著 _S_ 和 _T_ 是不相交的，則 _G_ 和 _H_ 的直積有展示 <_S,T_|_R,Q, [S,T]_>。這里 [_S,T_] 意味著來自 _S_ 的所有元素與來自 _T_ 的所有元素的交換子集合。

## 參見

* 凱萊圖

## 引用

* Johnson, D. L. Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-37824-9.  Schreier's method, Nielsen's method, free presentations, subgroups and HNN extensions, Golod-Shafarevich theorem, etc.
* Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9.  This useful reference has tables of presentations of all small finite groups, the reflection groups, and so forth.