置信區間

在統計學中，一個機率樣本的**信賴區間**（英語：confidence interval，CI），是對產生這個樣本的母體的**母數分布**（parametric distribution）中的某一個未知母數值，以**區間**形式給出的估計。相對於**點估計**（point estimation）用**一個**樣本統計量來估計母數值，信賴區間還蘊含了估計的精確度的訊息。在現代機器學習中越來越常用的**信賴集合**（confidence set）概念是信賴區間在多維分析的推廣。

信賴區間在頻率學派中間使用，其在貝氏統計中的對應概念是可信區間（credible interval）。兩者建立在不同的概念基礎上的，貝氏統計將分布的位置母數視為隨機變數，並對給定觀測到的數據之後未知母數的事後分布進行描述，故無論對隨機樣本還是已觀測數據，構造出來的可信區間，其可信水準都**是**一個合法的機率；而信賴區間的信心水準，只在考慮隨機樣本時可以被理解為一個機率。

## 定義

### 對隨機樣本的定義

定義信賴區間最清晰的方式是從一個**隨機樣本**出發。考慮一個一維隨機變數 ${\cal {X}}$ 服從分布 ${\cal {F}}$ ，又假設 $\theta $ 是 ${\cal {F}}$ 的母數之一。假設我們的數據採集計劃將要獨立地抽樣 $n$ 次，得到一個隨機樣本 $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ ，注意這裡所有的 $X_{i}$ 都是隨機的，我們是在討論一個尚未被觀測的數據集。如果存在**統計量**（統計量定義為樣本 $X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ 的一個函數，且不得依賴於任何未知母數） $u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 滿足 $u(X_{1},\ldots ,X_{n})<v(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 使得：

　
: $\mathbb {P} \left(\theta \in \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)\right)=1-\alpha $

則稱 $\left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)$ 為一個用於估計母數 $\theta $ 的 $1-\alpha $ 信賴區間，其中的， $1-\alpha $ 稱為**信心水準**， $\alpha $ 在假說檢定中也稱為**顯著水準**。

### 對觀測到的數據的定義

接續隨機樣本版本的定義，現在，對於隨機變數 ${\cal {X}}$ 的一個已經觀測到的樣本 $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ，注意這裡用小寫 x 表記的 $x_{i}$ 都是已經觀測到的數字，沒有隨機性了，定義基於數據的 $1-\alpha $ 信賴區間為：

　
: $\left(u(x_{1},\ldots ,x_{n}),v(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)$

注意，信賴區間可以是單尾或者雙尾的，單尾的信賴區間中設定 $u=-\infty $ 或者 $v=+\infty $ ，具體前者還是後者取決於所構造的信賴區間的方向。

初學者常犯一個概念性錯誤，是將基於觀測到的數據所同樣構造的信賴區間的信心水準，誤認為是它包含真實未知母數的真實值的機率。正確的理解是：信心水準只有在描述這個同樣構造信賴區間的**過程**（或稱**方法**）的意義下才能被視為一個機率。一個基於已經觀測到的數據所構造出來的信賴區間，其兩個端點已經不再具有隨機性，因此，類似的構造的間隔將會包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知母數的真實值的機率是 **0 或者 1**，但我們**不能知道**是前者還是後者。

## 例子

### 例 1：常態分布，已知母體變異數 $\sigma ^{2}$

 $1-\alpha $ 水準的常態信賴區間為：

　
: $\left({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$ (雙尾)

　
: $\left(-\infty ,{\bar {x}}+z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$ (單尾)

　
: $\left({\bar {x}}-z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},+\infty \right)$ (單尾)

以下為方便起見，只列出**雙尾**信賴區間的例子，且區間中用 " $\pm $ " 進行簡記：

### 例 2：常態分布，未知母體變異數 $\sigma ^{2}$

 $1-\alpha $ 水準的**雙尾**常態信賴區間為：

　
: $\left({\bar {x}}\pm t_{n-1;\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)$

### 例 3：兩個獨立常態樣本

設有兩個獨立常態樣本 $x$ 和 $y$ ，樣本大小為 $m$ 和 $n$ ，估計母體均值之差 $\mu _{1}-\mu _{2}$ ，假設母體變異數**未知但相等： $\sigma _{1}=\sigma _{2}$** (如果未知且不等就要應用 Welch 公式來確定 t 分布的自由度) $1-\alpha $ 水準的**雙尾**常態信賴區間為：

　
: $\left({\bar {x}}-{\bar {y}}\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}\right)$ ，其中 $s_{p}={\sqrt {\frac {(m-1)s_{x}^{2}+(n-1)s_{y}^{2}}{m+n-2}}}$ 且 $s_{x},s_{y}$ 分別表示 $x$ 和 $y$ 的樣本標準差。

## 常見誤解

信賴區間及信心水準常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。

* 以 95% 的信賴區間來說，建構出一個信賴區間，不代表分布的母數有 95% 的機率會落在該信賴區間內（也就是說該區間有 95% 的機率涵蓋了分布母數）。 依照嚴格的頻率學派詮釋，一旦信賴區間被建構完全，此區間不是涵蓋了母數就是沒涵蓋母數，已經沒有機率可言。95% 機率指的是建構信賴區間步驟的可靠性，不是針對一個特定的區間。內曼本人（信賴區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：
> 「在上面的敘述中可以注意到，機率是指統計學家在未來關心的估計問題。事實上，我已多次說明，正確結果的頻率會趨向於 _α_。考慮到一個樣本已被抽取，[特定端點] 也已被計算完成。我們能說在這個特定的例子裡真值 [落到端點中] 的機率等於 _α_ 嗎？答案明顯是否定的。母數是未知的常數，無法做出對其值的機率敘述……」
> 
>

　
: Deborah Mayo 針對此點進一步說道：
> 「無論如何必須強調，在看到 [資料的] 數值後，Neyman–Pearson 理論從不允許做出以下結論，特定產生的信賴區間涵蓋了真值的機率或信心為 (1 −_α_) 100%。Seidenfeld 的評論似乎源於一種（並非不尋常的）期望，Neyman–Pearson 信賴區間能提供他們無法合理提供的，也就是未知母數落入特定區間的機率大小、信心高低或支持程度的測度。隨著 Savage (1962) 之後，母數落入特定區間的機率可能是指最終精密度的測度。最終精密度的測度令人嚮往而且信賴區間又常被 (錯誤地) 解釋成可提供此測度，然而此解釋是不被保證的。無可否認的，『信賴』二字助長了此誤解。」
> 
>

* 95% 信賴區間不代表有 95% 的樣本資料落在此信賴區間。
* 信賴區間不是樣本母數的可能值的確定範圍，雖然它常被啟發為可能值的範圍。
* 從一個實驗中算出的一個 95% 信賴區間，不代表從不同實驗得到的樣本母數有 95% 落在該區間中

## 構造法

一般來說，信賴區間的構造需要先找到一個**樞軸變數**（pivotal quantity，或稱 pivot），其表達式依賴於樣本以及待估計的未知母數 (但**不能**依賴於母體的其它未知母數)，其分布**不依賴於**任何未知母數。

下面以上述例 2 為例，說明如何利用樞軸變數構造信賴區間。對於一個常態分布的隨機樣本 ${X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ，可以證明 (此證明對初學者並不容易) 如下統計量**互相獨立**：

　
: ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ 和 $S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$

它們的分布是：

　
: ${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)$ 和 $(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$

所以根據 t 分布的定義，有

　
: $t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$

於是反解如下等式左邊括號中的不等式

　
: $\mathbb {P} \left(-t_{n-1;\alpha /2}<t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S{\sqrt {n}}}}<t_{n-1;\alpha /2}\right)=1-\alpha $

就得到了例 2 中雙尾信賴區間的表達式。

## 與母數檢定的聯繫

有時，信賴區間可以用來進行母數檢定。例如在上面的例 1 中構造的**雙尾** $1-\alpha $ 水準信賴區間，可以用來檢定具有相應的**顯著水準為 $\alpha $** 的**雙尾**對立假說，具體地說是如下檢定：
常態分布母體，知道母體變異數 $\sigma ^{2}$ ，**在 $\alpha $ 顯著水準下**檢定：

　
: $H_{0}:\mu =\mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$

檢定方法是：當（且唯若）相應的 $1-\alpha $ 水準信賴區間不包含 $\mu _{0}$ 時拒絕虛無假說 $H_{0}$

例 1 中構造的**雙尾** $1-\alpha $ 水準信賴區間也可以用來檢定如下兩個顯著水準為 **$\alpha /2$** 的**單尾**對立假設：

　
: $H_{0}:\mu \leq \mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu >\mu _{0}$

和

　
: $H_{0}:\mu \geq \mu _{0}$ vs $H_{1}:\mu <\mu _{0}$

檢定方法是完全類似的，比如對於上述第一個單尾檢定 $H_{1}:\mu >\mu _{0}$ ，若且唯若雙尾信賴區間的左端點大於 $\mu _{0}$ 時拒絕虛無假說。

## 參考文獻

## 參考書目