累積量

在機率論和統計學中，一個機率分布的**累積量** κn(英語：Cumulant) 是指一系列能夠提供和動差一樣的訊息的量。累積量和隨機變數的動差密切相關。如果兩個隨機變數的各階動差都一樣，那麼它們的累積量也都一樣，反之亦然。

對於隨機變數 $X$ 而言，一階累積量等於期望值 $E(x)$ ，二階累積量等於變異數 $V(x)$ ，三階累積量等於三階主動差 $S(x)$ ，但是四階以及更高階的累積量與同階的主動差並不相等。在某些理論推導中，使用累積量更加方便。特別是當兩個或者更多的隨機變數相互獨立時，它們的 $n$ 階累積量的和等於它們和的 $n$ 階累積量。另外，服從常態分布的隨機變數的三階及以上的累積量為 $0$ 。

## 定義

一個隨機變數 $X$ 的 $n$ 階累積量 $\kappa _{n}$ 可以用所謂的**累積生成函數**來定義

　
: $K(t)=\log \mathbb {E} e^{tX}=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=:g(t).$

從上面的觀察可知，累積量可以通過對生成函數 $g(t)$ （在 0 處）進行求導得到。也就是說，累積量是 $g(t)$ 的麥克勞林級數的係數。

　
: ${\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

如果使用 $X$ （沒有中心化）的 $n$ 階動差 $\mu _{n}^{\prime }=\mathbb {E} (X^{n})$ 和動差生成函數則可以定義：

　
: $\mathbb {E} (e^{tX})=1+\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=e^{g(t)}.$

使用形式冪級數定義的對數函數：

　
: ${\begin{aligned}g(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(1-\operatorname {E} (e^{tX})\right)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(-\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)^{n}\\&=\mu '_{1}t+\left(\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\right){\frac {t^{2}}{2!}}+\left(\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\right){\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots .\end{aligned}}$

隨機變數的累積量和隨機變數的動差密切相關。比如說，隨機變數 X 有期望 $\scriptstyle \mu =\mathbb {E} (X)$ 和變異數 $\scriptstyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)$ ，那麼它們也是前兩階的累積量： $\scriptstyle \mu =\kappa _{1},\,\sigma ^{2}=\kappa _{2}$ 。

要注意有時候 $n$ 階動差會用角括號來表示： $\mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\langle X^{n}\rangle \,$ ，累積量則用下標 $c$ 的角括號表示： $\kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,$ 。

 
如果隨機變數的動差生成函數不存在，那麼可以通過後面對於累積量與動差之間的關係的討論定義累積量。

 
有些作者偏向於定義累積生成函數為隨機變數的特徵函數誘導的自然對數。這種定義下的累積生成函數也被稱為隨機變數的**第二類特徵函數**。

　
: $h(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\log(\operatorname {E} (e^{itX}))=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,$

## 統計數學中的應用

使用累積量的一個優勢是它對應的生成函數是加性函數。比如說對兩個獨立的隨機變數 $X$ 和 $Y$ ，

　
: ${\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{t(X+Y)}))=\log(\operatorname {E} (e^{tX})\operatorname {E} (e^{tY}))\\&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))+\log(\operatorname {E} (e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}$

它們的和的累積量是各自的累積量的和。

## 一些具體機率分布的累積量

* 常數 $X=\mu $ 的累積生成函數是 $K(t)=\mu t$ 。 一階累積量是 $\kappa _{1}=K'(0)=\mu $ , 其他階的累積量均為 0， $\kappa _{2}=\kappa _{3}=\kappa _{4}=...=0$ 。
* 服從伯努利分布的隨機變數的累積生成函數是 $K(t)=log(1-p+pe^{t})$ 。一階累積量是 $\kappa _{1}=K'(0)=p$ ，二階累積量是 $\kappa _{2}=K''(0)=p(1-p)$ , 累積量滿足遞推公式

　
: : $\kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.$

* 服從幾何分布的隨機變數的累積生成函數是 $K(t)=log({\frac {p}{1+(p-1)e^{t}}})$ 。 一階累積量是 $\kappa _{1}=K'(0)=p^{-1}-1$ ，二階累積量是 $\kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}$ 。
* 服從卜瓦松分布的隨機變數的累積生成函數是 $K(t)=\mu {e^{t}-1}$ 。所有的累積量軍等於母數 $\mu $ : $\kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=...=\kappa _{n}=\mu $ 。
* 服從二項分布的隨機變數的累積生成函數是 $K(t)=nlog(1-p+pe^{t})$ 。 一階累積量是 $\kappa _{1}=K'(0)=np$ ，二階累積量是 $\kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}(1-p)$ 。
* 服從負二項分布的隨機變數的累積生成函數的導數是 $K'(t)={\frac {n}{{\frac {1}{(1-p)e^{t}}}-1}}$ 。一階累積量是 $\kappa _{1}=K'(0)=n({\frac {1}{p}}-1)$ ，二階累積量是 $\kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}$ 。

## 相關條目

* 累積量生成函數

## 參考來源

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Cumulant. MathWorld.
* （英文）累積量 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：一些數學術語的早期使用