第二次數學危機

**無窮小量**（英語：Infinitesimal）或稱「不可分量」是數學分析中的一個概念，用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現。

## 定義

一個序列 $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 若滿足如下性質：

* 對任意的預先給定的正實數 $\varepsilon >0$ ，存在正整數 $\displaystyle N$ 使得

　
: $|a_{k}|<\varepsilon $

在 $\displaystyle k>N$ 時必定成立；或用極限符號把上述性質簡記為

　
: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

則序列 $a$ 被稱為 $n\to \infty $ 時的無窮小量。

## 歷史

無窮小量對應英語的 **Infinitesimals**，用於表達一種極其微小的對象，人們根本無從看見它們或者量度它們。在日常生活中，_Infinitesimal_ 作為形容詞可以指「非常小」，但不一定是「無窮的小」。而中文的「無窮小量」僅是技術用語。

「無窮小的量」這個概念最初在埃利亞學派有所討論。柏克萊指出這種無窮小量的特性「既不是有限量，也不是無限小，又不是零」。而阿基米德在他的《機械原理方法論》（The Method of Mechanical Theorems）初次提出過一種和無窮量有關的邏輯上嚴密的敍述。不過在古希臘的數學系統裡，實數並沒有獨立的存在地位，而是用幾何上的長度來表示：1 是代表某條線段的規定長度，用來給出測量所需的長度單位，數的加減法用線段的延長和截短來表示。阿基米德所說的是：對任意兩個長度不等（無論長度相差多少）的線段，在長線段裡不斷截去短線段的長度，在有限次之後就不能再截下去，因為那些短線段長度的「和」超過了原本較長的那一條。如果把線段長度理解成數的話，則反映了實數集的阿基米德性質：沒有任何實數 _x_ 可以滿足條件 |_x_|>1，|_x_|>1+1，|_x_|>1+1+1……，也就是說，無窮大的實數並不存在。儘管如此，阿基米德還是把無窮大量和無窮小量用於啟發式的論證中，但在完整的數學證明裡則拒絕使用它們，而致力於使用「窮竭法」, 類似於現在的「ε-δ 語言」。

牛頓和萊布尼茲發展微積分學時使用過無窮小量，但這樣的不嚴格使用引來一些批評者的攻擊。貝克萊主教就是其中之一。儘管數學家、科學家、工程師等不斷使用無窮小量來得到正確的結果，微積分卻一直到後半十九世紀才等到了更嚴謹的，使用了 ε-δ 語言和集合論描述的形式，這項工作由奧古斯丁・路易・柯西，伯納德・波爾查諾、卡爾・魏爾施特拉斯、格奧爾格・康托爾、理察・戴德金等人完成。隨著數學的發展及康托、戴德金、魏爾施特拉斯等人及他們的追隨者的探索，他們的哲學家好友伯特蘭・羅素、魯道夫・卡爾納普等人認為無窮小事實上是偽概念；但同時，赫爾曼・科恩等新康德主義者希望能找到一個保留無窮小的邏輯系統。在二十世紀，無窮小量才得到了嚴格的處理，成為一種「數」。以上任何一種處理辦法都不是錯誤的 —— 如果正確地使用的話。

在一份 HPM（數學史與數學教學，History and Pedagogy of Mathematics）的研究中，對無窮小量在一些數學家眼裡的認識有一個總結：

就目前所知，在十九世紀以前沒有任何形式上定義好的數學概念是直接把無窮小量當作「正常」的數來處理的，但很多想法其實已經出現。微積分的奠基人 —— 牛頓、萊布尼茲、歐拉，以及很多其他人 —— 以一種不嚴格的方式使用無窮小量，卻也能得到正確而深刻的結果（類似地，實數在當時也沒有正式的定義）。

### 關鍵字

* 窮竭法
* 無窮乘積
* 牛頓的流數法
* 萊布尼茲的「 $\mathrm {d} x$ 」記號
* 歐拉對級數的處理
* 一致收斂
* 嚴格的極限概念
* 非標準分析

## 經典分析中的處理

### 階的比較

設 $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ， $b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 為兩個序列，而且都是 $n\to \infty $ 時的無窮小量。雖然它們在 $n$ 趨於無窮時都趨於零，但趨於零的**速度**是有區別的。可以用如下方式比較它們的速度：

* 若對於任意正實數 $\displaystyle c>0$ ，存在正整數 $\displaystyle N$ 使得

　
: $a_{k}<c\cdot b_{k}$

在 $\displaystyle k>N$ 時總是成立，則稱 $\displaystyle a$ 是 $\displaystyle b$ 的**高階無窮小**，記作

　
: $\displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )$

其中的 $n\to \infty $ 有時也被省略不寫。

在上述定義中，也可以說無窮小量 $a$ 的階要比 $b$ 的要高，或者說 $a$ 比 $b$ 更快地趨於零，儘管在此時「**階**」或者「速度」本身其實都沒有明確的定義。

### 性質

1. 若 $\{a_{n}\}$ 是無窮小量，改變 $\{a_{n}\}$ 中的某有限項之後，它仍是無窮小量。
2. 若 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 都是無窮小量， $\{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}$ 也是無窮小量。
3. 若 $\{a_{n}\}$ 是無窮小量， $\{b_{n}\}$ 是有界數列，則 $\{a_{n}b_{n}\}$ 也是無窮小量。
4. 若 $\{a_{n}\}$ 是無窮小量， $|b_{n}|\leq |a_{n}|$ ，則 $\{b_{n}\}$ 也是無窮小量。
5. 若 $\{a_{n}\}$ 是無窮小量，從 $\{a_{n}\}$ 中取出無窮多的一部分，按原來的次序排成的數列（這叫做 $\{a_{n}\}$ 的**子列**）也是無窮小量。
6. 把 $\{a_{n}\}$ 的次序打亂重新得到的數列 $\{b_{n}\}$ 。若 $\{a_{n}\}$ 是無窮小量，則 $\{b_{n}\}$ 也是無窮小量。
7. 無窮小量是有界列。
8. 若 $\{a_{n}\}$ 的各項相等， $\{a_{n}\}$ 是無窮小量則必有 $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0$ 。

## 非標準分析中的處理

設 _F_ 為有序域，_a_ 為 _F_ 中的一個非零元素。若對 _F_ 中任意正整數 _n_，_a_ < 1/_n_ 和 -_a_ > -1/_n_ 都成立（換句話說，即 _a_ 的絕對值小於 1/_n_），則稱 _a_ 為無窮小量。

### 一階性質

在把擴充實數系使其能包含無窮大量和無窮小量時，人們希望能夠盡量保持原系統的各種基本的性質，這樣的好處是，那些使用基本性質證明過的命題能夠在新的系統裡自動成立。這裡的「基本」通常是指不對集合使用量詞，但可以對集合的元素使用（有限次），比如以下公理「對任意的 _x_，_x_+0=_x_」仍然應該成立；使用兩次也行：「對任意的 _x_ 和 _y_，_xy_=_yx_」，而如果出現「對任意集合 _S_」則不能算基本性質，在新系統中可能不成立，比如「任何形如 {_k_∈**Z**|_xk_>_y_} 都不是空集」就是一例（其實這就是阿基米德性質）。對命題量詞的這種限制，叫做一階邏輯。類似於阿基米德性質，實數集的完備性也不能在新的系統裡成立，因為實數集是**唯一**的完備有序域。

## 註解

## 參考資料