簡諧波

**簡諧運動**，或稱**簡諧振動**、**諧振**、**SHM**（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力（或物體的加速度）的大小與位移的大小成正比，並且力（或物體的加速度）總是指向平衡位置。

如果用 $F$ 表示物體受到的回復力，用 $x$ 表示物體對於平衡位置的位移，根據虎克定律， $F$ 和 $x$ 成正比，它們之間的關係可用下式來表示：

　
: $F=-kx$

式中的 $k$ 是回復力與位移成正比的比例係數；負號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律「 $F=ma$ 」當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受淨力的大小成正比，跟淨力的方向相同，且系統的機械能守恆。

## 動力學方程式

對於一維的簡諧振動，其動力學方程式是二階微分方程式，可由牛頓第二運動定律得到

　
: $F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}$

回復力又可表示為 $F=-kx$

所以有 ${\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

求解上述方程式，得到的的解含有正弦函數

　
: $x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)$ ，其中

　
: $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},$

　
: $A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},$

　
: $\tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),$

 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點，每項都有物理意義： $A$ 是振幅， $\omega =2\pi f$ 是角頻率，
加速度可以作為時間的函數得到

　
: $v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )$

　
: $v_{max}=\omega A$ （在平衡位置）

　
: $a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )$

　
: $a_{max}=\omega ^{2}A$ （在最大位移處）

加速度也可以通過位移的函數得到

　
: $a(x)=-\omega ^{2}x\!$ 。

因為 $\omega =2\pi f$ ，

　
: $f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ，

又因為週期 $T={\frac {1}{f}}$ ，所以： $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ 。

以上方程式說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動週期和振幅以及相位無關。

## 線性回復力

在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。

## 彈簧子

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一在運動過程中，物體所受力的大小與它的位移的大小成正比，而力的方向與位移的方向相反。具有這種性質的力稱為線性回復力。平杆穿入小球體，使球體可以在水平杆上左右滑動，而球體與水平杆的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的位能轉換為振子的動能，位能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作位能，動能降低，位能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為位能，振子速度為零，停止運動。位能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，位能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

## 振幅、週期和頻率

**1. 振幅**

振幅 $A$ 代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於 ${\sqrt {E}}$ ，即它的平方正比於系統的機械能 E。

**2. 角頻率**

角頻率： $\omega =2\pi f$ , 頻率 f 為週期 T 的倒數。

其中 $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ 。推導過程：

　
: $x=A\cos({\omega t+\phi })$

　
: 對於時間 t 求導， $v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })$

　
: 再關於時間 t 求導， $a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })$

　
: 由牛頓第二定律得 $a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}$

　
: 兩式聯立得 $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ 。

下圖為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦或餘弦曲綫。

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於 4 倍振幅。完成一次全振動的時間叫週期，單位時間內完成全振動的次數叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。

## 簡諧振動的判定

應該說明：

1. 以上各判定方法是完全等價的；
2. 以上各表達式中的 $x$ 既可以是線量（線位移），又可以是角量（角位移），相應的，速度可以為線速度和角速度，對應的加速度是線加速度和角加速度。

## 例子

### 彈簧

把質量為 $M$ 的物體懸掛在彈力常數為 _k_ 的彈簧的底端，則物體將進行簡諧運動，其方程式為：

　
: $\omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,$

如果要計算它的週期，可以用以下的公式：

　
: $T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}$ 。

總能量是常數，由方程式 $E={\frac {kA^{2}}{2}}$ 給出。

### 等速率圓周運動

等速率圓周運動的一維投影是簡諧運動。如果物體以 $\omega $ 的角速率沿著半徑為 $R$ 的圓移動，則它在 **x** 軸、**y** 軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅為 $R$ ，角速率為 $\omega $ 。

### 單擺

在偏角不太大的情況（一般認為小於 5°）下，單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。如果單擺的長度為 $\ell $ ，重力加速度為 $g$ ，則週期為：

　
: $T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

這個公式僅當偏角很小時才成立，因為角加速度的表達式是與位置的正弦成正比的：

　
: $\ell mg\sin(\theta )=I\alpha $

其中 I 是轉動慣量，在這種情況下 $I=m\ell ^{2}$ 。當 $\theta $ 很小時， $\sin(\theta )\approx \theta $ ，因此上式變為：

　
: $\ell mg\theta =I\alpha $

這使得角加速度與 $\theta $ 成正比，滿足了簡諧運動的定義。單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。

## 參閱

* 平移運動
* 等速運動
* 平拋運動
* 曲線運動

## 參考資料

## 外部連結

* 彈簧震動 Java 模擬 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）