算數

**算術**（英語：arithmetic）是數學最古老且最簡單的一個分支，幾乎被每個人使用著，從日常生活上簡單的算數到高深的科學及工商業計算都會用到。一般而言，算術這一詞指的是記錄數字某些運算基本性質的數學分支。常用的運算有加法、減法、乘法、除法，有時候，更複雜的運算如平方和平方根，也包括在算術運算的範疇內。算術運算要按照特定規則來進行。

自然數、整數、有理數（以分數的形式）和實數（以十進位指數的形式）的運算主要是在國小和中學的時候學習。用百分比形式進行運算也主要是在這個時候學習。然而，在成人中，很多人使用計算器，計算機或者算盤來進行數學計算。

專業數學家有時會使用**高等算術**來指數論，但這不應該和初等算術相搞混。另外，算術也是初等代數的重要部份之一。

## 十進位計數法

在基數（前十個非負整數 0，1，2，……，9）的基礎上構建所有實數。一個十進位數由一個基數序列組成，每一位數字的命名取決於其相對於小數點的位置。例如：517.36 表示 5 個 100（102），加 1 個 10（101），加 7 個最小整數單位 1（100），加 3 個 0.1（10-1），加 6 個 0.01（10-2）。該計數法的一個要點（也是其實現的難點）是對 0 與其它基數一視同仁。

## 算術運算

算術運算指加法、減法、乘法和除法，但有時也包括較高級的運算（例如百分比、平方根、取冪和對數)。算術按運算次序進行，只要集合可以進行加減乘除四則運算（除以零除外），而四則運算合乎基本公理，都可稱之為一個域（Field）。

### 加法 (+)

加法是基本算術運算。簡單來說，加法將兩個數字結合，成為一個數字，稱之為「和」。把多於兩個數相加，可以視為重複的加法；這個過程稱為求和，包括在級數中把無窮多個數相加。1 的重複加法是計數的最基本的形式。

加法滿足交換律和結合律。加法的單位元是 0，也就是說，把任何數加上 0 都得到相同的數。另外，加法的逆元素就是相反數，也就是說，把任何數加上它的相反數都得出單位元 0。例如，7 的相反數是 (-7)，所以 7 + (-7) = 0。

### 減法 (−)

減法是加法的逆運算。減法是求出兩個數（被減數和減數）的差。如果被減數大於減數，那麼差為正數；如果被減數小於減數，那麼差為負數；如果它們相等，那麼差為 0。

減法既不滿足交換律又不滿足結合律。由於這個原因，把減法視為被減數和減數的相反數的加法通常是很有幫助的，也就是說，_a_ − _b_ = _a_ + (−_b_)。當寫成加法時，所有加法的性質都成立。

### 乘法 (× 或・)

乘法本質上是一組相同數字的重複累加或總和。乘法運算可得出**乘數**與**被乘數**（有時被通稱為**因數**）的**乘積**。

乘法運算（由於其本質是重複累加）具有交換性和結合性；進而，它對加法和減法運算具有分配性。乘法單位元為 1，即，用 1 乘以任意數的結果仍為該數。並且，任意數字的乘法逆元素是其倒數，即，用一個數的倒數乘以該數，其結果為乘法單位：1。

### 除法 (÷ 或 /)

除法是乘法的逆運算。除法運算得到兩個數的**商**＝**被除數**除以**除數**。任何被除數被零除是沒有定義的。對於正數，如果被除數大於除數，其商大於 1，否則商小於 1（對於負數和 - 1 有類似的規則）。商乘以除數其結果總是被除數。

除法運算不具有交換性和結合性。正如可以將減法視為加法，除法亦可被視作被除數和除數的倒數之間的乘法運算，即，_a_ ÷ _b_ = _a_ × 1⁄b。當被寫為乘積形式，運算遵循乘法的所有特性。

### 例子

## 數論

在十九世紀以前，數論（number theory）是算術的同義詞。數論後來演變成研究整數的性質，以及一些有關質數、因數以及變數為整數的方程，例如費馬最後定理。其中一些問題很容易陳述，但問題的本質相當困難，需要用到許多其他數學分支的定理才能證明。

數論中的問題也帶來一些新的數學分支，例如解析數論、代數數論、丟番圖幾何及算術代數數論（arithmetic algebraic geometry）。像費馬最後定理就是這類的複雜問題，問題可以用基本的算術來描述，可是其證明遠超過傳統算術的方法。從原始猜想提出到安德魯・懷爾斯證明經過了三百多年的時間，證明中用到代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和黑克代數等。

## 歷史

史前時代的算術只能用少部份人造物品來確認當時有加法與減法等明確概念，最著名的一件是在非洲發現的伊尚戈骨頭，距今約有兩萬年的時間。

最早的歷史記載埃及人及巴比倫人在西元前二千年就已使用到所有的四則運算。留下來的人造物品不一定能看出求解某一特定問題的方式，但可以看出其使用的記數系統的特徵。像古埃及數字的象形系統，像羅馬數字一様，是由計數符號演變而來。二種系統都是用十進位的數字，但不是採用進位制。複雜的羅馬數字計算需要計數板或羅馬算盤的輔助才能計算結果。

比較清楚的是，巴比倫尼亞在西元前 1850 年已有關於各方面初等算術的堅實知識，但歷史學家也只能依其算術成果來推斷其使用的方式（例如巴比倫楔形泥版 322）。同樣地，乘法和單位分數的運用的可靠演算法也在古埃及的萊因德數學紙草書中被發現，其約在西元前 1650 年的時期。

早期的記數系統也包括一些非十進制的進位制，例如巴比倫數字的六十進位及瑪雅數字的二十進位。因為使用進位制，可以將同一個數字放在不同位置表示不同數值，可以簡化計算，也可以較有效率的進行計算。

西元前六世紀中葉，畢達哥拉斯學派的時代，算術已被視為學問的四種分類（算術、音樂、幾何、天文）中的一類了。但古希臘數學也和許多哲學及神秘的信仰重疊，尼各馬可就在《算術簡介》中整理了畢達哥拉斯學派對數字的研究，和其他學科的關係。

阿基米德及丟番圖使用的希臘數字是採用進位制，已經和現代的十進制有些接近。古希臘沒有代表零的符號（一直到希臘化時代才加入），當時有三組不同的數字符號，分別表示個位數、十位數及百位數。萬位數則會重覆使用個位數那一組的符號，以此類推。希臘數字的加法算法和現在的相同，乘法算法只和現在的有一點不同，當時開平方根的方法只在學校教授，可能是由阿基米德發明的，他沒有使用希羅提出的佚迭代法，阿基米德作法的好處是在計算後，高位數的數字不會再變化，而且完全平方數（例如 7485696）的平方根，可以直接算出是 2736。針對有小數的數字，其小數部份會用 1/60 的各次方和表示 0.934，而不是用 1/10 的各次方和。

古代中國也用類似的進位制，當時也沒有代表零的數字，因此有一組表示個位數的數字，一組表示十位數的數字，百位數則再重複使用表示個位數的那一組數字，以此類推，其符號來自古代的算籌。有關中國開始使用進位制計算的問題相當複雜，但確定是在西元前四百年。

敘利亞的主教 Severus Sebokht（650 AD）說 「印度人有一個計算方式是沒有言語足以稱讚的，他的的數學系統或是計算方式中只用到九個符號。」而十二世紀的斐波那契在《計算書》中提到：「印度人的計算方式比任何已知的方式都好，他們的系統用九個符號以及符號 0。」

逐漸發展的印度 - 阿拉伯數字系統是由位值（place-value）及進位制的概念而來，再加上十進制下比較簡單的計算方式，以及表示 0 的數字。因此可以用此系統以較一致的方式表示很大的數字及很小的數字，這種數字系統最後取代了其他數字系統，在第六世紀早期，印度數學家阿耶波多在著作中使用這樣的數字系統，並且嘗試許多不同的標示方式。第七世紀的婆羅摩笈多將 0 用來表示一個數字，並且定義此數字和其他數字加減乘除的結果（但不包括除以零）。當時敘利亞主教 Severus Sebokht 描述此系統是「一種超越任何說明的寶貴方式」。阿拉伯人也學了這種新的方式，稱為 hesab。

## 算術教育

國小時的數學通常專注在自然數、整數、有理數、分數和實數（使用十進位法）等算術的演算法。此一學習有時被稱為 _**algorism**_。

這種演算法的困難性及無目的性的樣貌已讓教育學家們很長時間地去思考其課程內容，主張早期應該教導較中心且直覺的數學概念。在此一方向上的著名進展為 1960 年代至 1970 年代的「新數學運動」，它試圖以集合論中公理化（高等數學的主流）的精神來教導算術。

烏理瑪（伊斯蘭教學者）也用算術來教導有關天課有關的規則。在 Abd-al-Fattah-al-Dumyati 所著的 The Best of Arithmetic 中有相關的介紹，從基礎的算術開始，到後面的應用。

當能比人腦更有效地執行運算的電子計算機被發明後，有影響力的學校的教育家們開始聲稱標準算術演化法的機械化熟練已不再是必須的了。在他們的觀點，一年級的數學可以花更多在了解更高等的概念上，如數字被使用來哪裡和數字、數量和度量之間的關係等。但無論如何，許多的數學家依然認為手算的熟練會是學習代數和電腦科學的必要基礎。這一爭論主要集中在加州 1990 年代國小課程上頭），稱為數學戰爭，並且延續至今日。

台灣的教育改革在 1999 年起一度採用引起自北美，強調手算的建構式數學，當時對於算術教育要採「建構式數學」，亦或採中國傳統的「九九乘法表」也有一段的爭議。

## 參考文獻

## 參見