線性泛函

在線性代數中，**線性泛函**（英語：linear form）是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 **ℝ**n 中，向量空間的向量以行向量表示；線性泛函則會以列向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 $V$ 是域 $k$ 上的向量空間，線性泛函 $f$ 是一個從 $V$ 到 $k$ 的函數，它有以下的線性特性：

　
: $f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})\quad \forall \ {\vec {v}},{\vec {w}}\in V$

　
: $f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})\quad \forall \ {\vec {v}}\in V,a\in k$

所有從 $V$ 到 $k$ 的線性泛函集合，記為 $\operatorname {Hom} _{k}(V,k)$ , 本身即為一向量空間，稱為 $V$ 的對偶空間（或稱為 $V$ 的**代數對偶空間**，以和連續對偶空間區分）。

## 連續線性泛函

若 V 是一拓撲向量空間，所有連續線性泛函的集稱為連續對偶，有時也簡稱為對偶空間。若 $V$ 是巴拿赫空間，其對偶空間也是。為了把普通的對偶空間與連續對偶空間區別，有時把前一個稱為_代數對偶_。在有限維空間中，每一個線性泛函都是連續的，因此連續對偶與代數對偶相同；但在無限維空間的情況下，連續對偶是代數對偶的真子空間。

## 例子和應用

### **R**n 內的線性泛函

假設實坐標空間 **R**n 內的向量用列向量來表示：

　
: ${\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

那麼這些坐標中的任何線性泛函都可以用以下形式的和來表示：

　
: $f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}.$

這僅僅是行向量 [_a_1 ... _a_n] 與列向量 ${\vec {x}}$ 的矩陣乘積：

　
: $f({\vec {x}})=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

### 積分

線性泛函首先出現在泛函分析 —— 函數的向量空間的研究中。線性泛函的一個典型的例子是積分：由黎曼積分所定義的線性變換

　
: $f\mapsto I(f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

是由 $C[a,b]$ （在 $[a,b]$ 上定義的連續函數）的向量空間映射到 $\mathbb {R} $ 線性泛函。_I_(ƒ) 的線性可以從積分的基本事實推出：

　
: $I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx$

　
: $=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)$

　
: $I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx$

　
: $=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)$

### 計值泛函

以 $P_{n}$ 表示定義在區間 $[a,b]$ 上的不超過 $n$ 次的實值多項式。 若 $c\in [a,b]$ ，則設**計值泛函**（英語：evaluation functional） $ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R} $ ：

　
: $ev_{c}f=f(c).$

映射ƒ → ƒ(_c_) 是線性的，因為：

　
: $(f+g)(c)=f(c)+g(c)$

　
: $(\alpha f)(c)=\alpha f(c).$

若 $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ 是 $[a,b]$ 上的不同點，那麼 $ev_{x_{i}}$ 是 $P_{n}$ 對偶空間的一個基。（Lax (1996) 以拉格朗日插值法證明此。）

### 在數值積分的應用

以上定義的積分泛函 _I_ 定義了次數不超過 _n_ 的多項式的子空間 _P_n 上的線性泛函。如果 _x_0，……，_x_n 是 [_a_,_b_] 內 _n_+1 個不同的點，那麼存在係數 _a_0，……，_a_n，使得對於所有的ƒ $\in $ _P_n，都有：

　
: $I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})$

這形成了數值積分理論的基礎。

這可以從以上定義的線性泛函 _P_n 的對偶空間的基的事實推出（Lax 1996）。

### 量子力學中的線性泛函

線性泛函在量子力學中特別重要。量子力學系統以跟其對偶空間共軛同構的希爾伯特空間表示。系統的一個態可以一線性泛函表示。詳見狄拉克符號。

### 統計學上的分佈

在廣義函數的理論，分佈可以視為測試函數空間的線性泛函。

## 性質

* 任何線性泛函要麼是平凡的（處處為 0），要麼是到純量域的滿射。這是由於向量子空間在線性變換下的像是一個子空間，因此是 _V_ 在 _L_ 下的像。但 _k_ 唯一的子空間（也就是說，_k_- 子空間）是 {0} 和 _k_ 本身。
* 一個線性泛函是連續的，若且唯若它的核是封閉的（Rudin 1991，Theorem 1.18）。
* 具有相同核的線性泛函是成正比的。
* 線性泛函是 (0 1) 類型的張量。它是非純量協變張量的最簡單的一種。

## 對偶向量和雙線性形式

從有限維空間內的每一個非退化的雙線性形式，都可以得到一個從 _V_ 到 _V_\* 的同構。特別地，把 _V_ 內的雙線性形式記為⟨ , ⟩ （例如在歐幾里得空間中，⟨_v_,_w_⟩ = _v_·_w_ 是 _v_ 和 _w_ 的數量積），那麼存在一個自然同構 $V\to V^{*}:v\mapsto v^{*}$ ，由下式給出：

　
: $v^{*}(w):=\langle v,w\rangle .\,$

逆同構由 $V^{*}\to V:f^{*}\mapsto f$ 給出，其中ƒ是 _V_ 的唯一元素，使得對於所有的 _w_ ∈ _V_，都有：

　
: $\langle f,w\rangle =f^{*}(w).\,$

以上定義的向量 _v_\* ∈ _V_\* 稱為 _v_ ∈ _V_ 的**對偶向量**。

根據里斯表示定理，在無窮維希爾伯特空間中，類似的結果也成立。存在一個從 _V_ → _V_\* 到_連續對偶空間_ _V_\* 的映射。然而，這個映射不是線性的，而是反線性的。

## 形象化

在有限維空間內，一個線性泛函可以用其水平集來表示。例如在三維空間，一個線性泛函的水平集是互相平行的平面的族。在高維空間，它們就是平行的超平面。這種觀點可以在一些廣義相對論的文獻找到，如 Misner，Thorne & Wheeler (1973)。

## 有限維向量空間

### 對偶空間的基

以 V\* 表示 V 的對偶空間，對於一有限維向量空間 V，V 與 V\* 同構。

設 V 有基 ${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}$ ，……， ${\vec {e}}_{n}$ ，不一定正交。那麼，V\* 具有一個基（稱為對偶基） ${\tilde {\omega }}^{1},\ {\tilde {\omega }}^{2}$ , … , $\ {\tilde {\omega }}^{n}$ ，可以這樣構作：

　
: ${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i}$

其中 δ 是克羅內克函數。此處的上標並非冪而是反變。

屬於對偶空間 ${\tilde {V}}$ 的線性泛函 ${\tilde {u}}$ 可以表示為基泛函的線性組合，其係數（「分量」）為 _ui_：

　
: ${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}$

於是，把泛函 ${\tilde {u}}$ 應用於基向量 _ej_，得：

　
: ${\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))$

這是由於泛函的純量倍數的線性，以及泛函的和的逐點線性。那麼：

　
: ${\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}{}_{j}=u_{j}$

也就是說：

　
: ${\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=u_{j}.$

最後一個方程說明了線性泛函的各個分量可以通過把泛函應用於對應的基向量來獲取。

### 對偶基與內積

當空間 _V_ 帶有內積時，可以明確寫出給定基的對偶基的一個公式。設 _V_ 具有（不一定正交的）基 ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ 。在三維空間內（_n_ = 3），對偶基可以明確寫成：

　
: ${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle .$

對於 _i_=1，2，3，其中 $\epsilon \,\!$ 是列維 - 奇維塔符號， $\langle ,\rangle $ 是 _V_ 上的內積（或數量積）。

在高維空間中，可以推廣如下：

　
: ${\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle $

其中 $\star $ 是霍奇星算子。

如果有度規結構 ${g}$ ，就會產生一個 _V_ 到 _V\*_的同構映射 ${f}$ .
當基向量 ${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}$ ，……， ${\vec {e}}_{n}$ 是在度規 ${g}$ 下的標準正交基的時候， $f({\vec {e}}_{i})={\tilde {\omega }}^{i}=g(-,{\vec {e}}_{i})$ 來充當對偶基。
當是正交基的時候用 ${\frac {g(-,{\vec {e}}_{i})}{g({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{i})}}$ 來充當對偶基。
正是因為有度規產生的同構存在就沒有必要再提對偶空間了。

## 參見

* 泛函
* 1 - 形式
* 不連續線性映射
* 里斯表示定理
* 正線性泛函
* 雙線性型

## 參考

* Bishop, Richard; Goldberg, Samuel, Chapter 4, Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, 1980, ISBN 0-486-64039-6
* Halmos, Paul, Finite dimensional vector spaces, Springer, 1974, ISBN 0387900934
* Lax, Peter, Linear algebra, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 978-0471111115
* Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A., Gravitation, W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
* Schutz, Bernard, Chapter 3, A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-27703-5