純虛數指數函數

在微積分學中，**cis 函數**又稱**純虛數指數函數**，是複變函數的一種，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數 $\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x$ 來定義，是一種實變數複數值函數，其中 $i$ 為虛數單位，而 cis 則為 **c**os + **i** **s**in 的縮寫。

## 概觀

cis 函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

其中 _i_ 表示虛數單位 $i^{2}=-1$ 。因此

　
: $\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,$

cis 符號最早由威廉・哈密頓在他於 1866 出版的《Elements of Quaternions》中使用，而 Irving Stringham 在 1893 出版的《Uniplanar Algebra》

以及 James Harkness 和 Frank Morley 在 1898 出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號

，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis 函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過 cis 函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis 函數就能派上用場。

## 性質

cis 函數的定義域是整個實數集，值域是單位複數，絕對值為 1 的複數。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi $ 。其圖像關於原點對稱。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

　
: $\operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}$ ，其中 $z$ 是輻角為 $\theta $ 的複數

因此，當一複數的模為 1，其反函數就是輻角（arg 函數）。

 **$\operatorname {cis} $ 函數**可視為求單位複數的函數。

 **$\operatorname {cis} $** 函數的實數部分和餘弦函數相同。

### 微分

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}$

### 積分

　
: $\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}$

### 其他性質

根據歐拉公式，cis 函數有以下性質：

　
: $\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y$

　
: $\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}$

上述性質是當 $x$ 與 $y$ 都是複數時成立。在 $x$ 與 $y$ 都是實數時，有以下不等式：

　
: $|\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.$

## 命名

由於 $\operatorname {cis} $ 函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫 cosine and imaginary unit sine，故以 $\operatorname {cis} $ 來表示該函數。

## 歐拉公式

在數學上，為了簡化歐拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x\ $ ，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了 **cis 函數**的定義：

　
: $\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta $

並且一般定義域為 $\theta \in \mathbb {R} \,$ ，值域為 $\theta \in \mathbb {C} \,$ 。

當 $\theta $ 值為複數時， $\operatorname {cis} $ 函數仍然是有效的，因此可利用 cis 函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

## 棣莫弗公式

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

　
: $\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)$

## 指數定義

跟其他三角函數類似，可以用 e 的指數來表示，依照歐拉公式給出: $\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$

## 反函數

 $\operatorname {cis} $ 的反函數： $\operatorname {arccis} x$ ，當代入模為 1 的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數， $\operatorname {cis} $ 的反函數也可以用自然對數來表示

　
: $\operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,$

當一複數經過符號函數後代入 $\operatorname {arccis} x$ 可得輻角。

## 恆等式

 $\operatorname {cis} $ 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

### 半形公式

　
: $\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}$

　
: $\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}$

### 倍角公式

　
: $\operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta $

　
: $\operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta $

### 冪簡約公式

　
: $\operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta $

## 相關函數

### 餘 cis 函數

就如同三角函數，我們可以令： $\operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta $ ，其可用於誘導公式來化簡某些特定的 $\operatorname {cis} $ 函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

　
: $\operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}$

有恆等式:

　
: $\operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta $

　
: $\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta $

　
: $\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta $

　
: $\operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta $

　
: $\operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta $

　
: $\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta $

　
: $\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta $

　
: $\operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta $

### 雙曲 cis 函數

cish 函數（ $\cosh +i\sinh $ ）在幾何意義上與 cis 函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應 cis 函數應為：

　
: $e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )$

然而當中的 $i$ 若定義為負一的平方根，則其會變為：

　
: $\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )$

**雙曲複數**

在一般的情況下，cis 函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數 $z=x+jy$ ，其中 $x,y$ 是實數，而量 $j$ 不是實數，但 $j^{2}$ 是實數。選取 $j^{2}=-1$ ，得到一般複數。取 $+1$ 的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式: $e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

　
: $\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

其中 j 為雙曲複數。

因此雙曲 cis 函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元數。

### cas 函數

cas 函數是一個以類似 cis 函數的概念定義的一個函數，為雷夫・赫特利於 1942 提出，其定義為 $\mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x$ ，是一種實變數實值函數，而 cas 為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換：

　
: $\mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x$

cas 函數存在一些恆等式：

　
: $2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,$

角和公式：

　
: $\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,$

微分：

　
: $\operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).$

## 參見

* 正弦
* 餘弦
* 複數 (數學)
* 三角函數
* 三角函數恆等式
* 歐拉公式

## 參考文獻