等级相关系数

在統計學中，**斯皮爾曼等級相關係數**（簡稱**等級相關係數**，或稱**秩相關係數**，英語：Spearman's rank correlation coefficient 或 Spearman's ρ）常以希臘字母 $\rho $ （rho）或以 $r_{s}$ 表示，這一相關係數以查爾斯・斯皮爾曼之名命名。它是衡量兩個變數的相關性的無母數指標。它利用單調函數評價兩個統計變數的相關性。若數據中沒有重複值，且當兩變數完全單調相關時，斯皮爾曼相關係數為 + 1 或−1。

## 定義和計算

斯皮爾曼相關係數的定義為等級變數之間的皮爾森相關係數。

對於樣本容量為 n 的樣本，將 n 個原始數據 $X_{i},Y_{i}$ 轉換成等級數據 $\operatorname {R} ({X_{i}}),\operatorname {R} ({Y_{i}})$ ，則相關係數 $r_{s}$ 為

　
: $r_{s}=\rho _{\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y)}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y))}{\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}}},$

其中

　
: $\rho $ 是皮爾森積動差相關係數，但使用等級變數來計算，

　
: $\operatorname {cov} (\operatorname {R} (X),\operatorname {R} (Y))$ 為等級變數的共變異數，

　
: $\sigma _{\operatorname {R} (X)}$ 和 $\sigma _{\operatorname {R} (Y)}$ 為等級變數的標準差。

通常，對於數據中相同的值，其等級數等於它們按值升序排列的所處位置的平均值。如下表所示：

當所有的等級數值都為整數時，可以透過以下簡單的步驟計算等級相關係數：

　
: $r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}},$

其中

　
: $d_{i}=\operatorname {R} (X_{i})-\operatorname {R} (Y_{i})$ 為每組觀測中兩個變數的等級差值，

　
: _n_ 為觀測數。

當數據中存在相等的數值時，使用該簡化公式會得到錯誤結果：只有在兩組變數中所有數值不重複時，才有 $\sigma _{\operatorname {R} (X)}\sigma _{\operatorname {R} (Y)}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (X))}=\operatorname {Var} {(\operatorname {R} (Y))}=(n^{2}-1)/12$ （根據偏誤變異數計算）。第一個方程式（透過標準差進行歸一化）即使在排名標準化為 [0, 1]（「相對排名」）的情況下仍可使用，因為它對平移和線性縮放都不敏感。

對於截取的數據也不應使用簡化公式。即，當希望計算前 _X_ 條記錄的等級相關係數時，應當使用前述的皮爾森積動差相關係數公式。

## 相關度量

度量一對觀測數據的統計相關性還有其他的幾種度量指標。其中最常用的是皮爾森積動差相關係數。

斯皮爾曼相關也可稱為「級別相關」（grade correlation）； 也就是說， 被觀測數據的「等級」被替換成 「級別」。在連續的分布中， 被觀測數據的級別，通常總是小於等級的一半。然而，在這個案例中，級別和等級相關係數是一致的。更一般的， 被觀測數據的「級別」 與估計的母體樣本的比值小於給定的值，即被觀測值的一半。也就是說，它是相應的等級係數的一種可能的解決方案。雖然不常用，「級別相關」還是仍然有被使用。

## 解釋

斯皮爾曼相關係數表明 X（自變數）和 Y（應變數）的相關方向。如果當 X 增加時，Y 趨向於增加，則斯皮爾曼相關係數為正。如果當 X 增加時，Y 趨向於減少，則斯皮爾曼相關係數為負。斯皮爾曼相關係數為 0 表明當 X 增加時 Y 沒有任何趨向性。當 X 和 Y 越來越接近完全的單調相關時，斯皮爾曼相關係數會在絕對值上增加。當 X 和 Y 完全單調相關時，斯皮爾曼相關係數的絕對值為 1。完全的單調遞增關係意味著對任意兩對數據 _Xi_, _Yi_ 和 _Xj_, _Yj_，有 _Xi_ − _Xj_ 和 _Yi_ − _Yj_ 總是同號。完全的單調遞減關係意味著對任意兩對數據 _Xi_, _Yi_ 和 _Xj_, _Yj_，有 _Xi_ − _Xj_ 和 _Yi_ − _Yj_ 總是異號。

斯皮爾曼相關係數經常被稱作「無母數」的，其中有兩層含義。首先，當 X 和 Y 的關係由任意單調函數描述時，則它們是完全皮爾森相關的。與此相應的，皮爾森相關係數只能給出由線性方程式描述的 X 和 Y 的相關性。其次，斯皮爾曼不需要先驗知識（也就是說，知道其參數）便可以準確獲取 X 和 Y 的採樣機率分布。

## 示例

在此例中，我們要使用下表所給出的原始數據計算一個人的智商和其每周看電視的小時數的相關性（數據為虛構）。

首先，我們必須根據以下步驟計算出 $d_{i}^{2}$ ，如下表所示。

1. 排列第一列數據（ $X_{i}$ ）。創建新列 $x_{i}$ 並賦以等級值 1、2、3……_n_。
2. 然後，排列第二列數據（ $Y_{i}$ ）。創建第四列 $y_{i}$ 並相似地賦以等級值 1、2、3……_n_。
3. 創建第五列 $d_{i}$ ，填入兩個等級列（ $x_{i}$ 和 $y_{i}$ ）的差值。
4. 創建最後一列 $d_{i}^{2}$ 填入 $d_{i}$ 的平方。

根據 $d_{i}^{2}$ 計算 $\sum d_{i}^{2}=194$ 。樣本容量 n 為 10。將這些值帶入方程式

　
: $\rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}}$

得 _ρ_= −0.175757575...，p-value = 0.627188（使用 t 分布）

該數值接近 0，表明儘管看電視時間和智商似乎呈負相關，但兩個變數之間的關係很弱。在原始數據中存在相同數值的情況下，不應使用此公式，而應當用排名計算皮爾森相關係數（如上文所述）。

## 顯著性的確定

一種確定被觀測數據的 ρ 值是否顯著不為零（r 總是有 1 ≥ _r_ ≥ −1）的方法是計算它是否大於 r 的機率，作為虛無假說，並使用排列檢定。這種方法的優勢在於它考慮了樣本中的重複出現的數據個數，以及在計算等級相關性時處理它們的方式。

另一種方法是使用皮爾森積動差中使用到的費雪轉換。也就是，ρ 的信賴區間和假說檢定可以透過費雪轉換獲得

　
: $F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {arctanh} (r).$

如果 _F_(_r_) 是 r 的費雪轉換，則

　
: $z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)$

是 r 的 z - 值，其中，r 在統計獨立性（_ρ_ = 0）的虛無假說下近似服從標準常態分布。

顯著性為

　
: $t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}$

其在虛無假說下近似服從自由度為 _n_ − 2 的 t 分布。 A justification for this result relies on a permutation argument.

一般地，斯皮爾曼相關係數在有三個或更多條件的情況下是有用的。並且，它預測觀測數據有一個特定的順序。例如，在同一任務中，一系列的個體會被嘗試多次，並預測在多次嘗試過程中，性能會得到提升。在這種情況下，對條件間趨勢的顯著性檢定由 E. B. Page 發展了，並通常稱為給定序列下的 Page 趨勢檢定。

## 基於斯皮爾曼相關係數的一致性分析

經典的一致性分析是一種統計方法，它給兩個標稱變數賦給一個分數。透過這種方法，兩個變數間的皮爾森相關係數被最大化了。

有一種被稱為級別相關分析的等價方法，它能夠最大化斯皮爾曼相關係數或肯德爾等級相關係數。

## 參見

* 肯德爾等級相關係數
* 等級相關
* 柴比雪夫總和不等式、排序不等式
* 皮爾森積動差相關係數
* 圖模式
* 馬可夫鏈
* 馬可夫邏輯網絡

## 參考文獻

* G.W. Corder, D.I. Foreman, "Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach", Wiley (2009)
* C. Spearman, "The proof and measurement of association between two things" Amer. J. Psychol., 15 (1904) pp. 72–101
* M.G. Kendall, "Rank correlation methods", Griffin (1962)
* M. Hollander, D.A. Wolfe, "Nonparametric statistical methods", Wiley (1973)
* J. C. Caruso, N. Cliff, "Empirical Size, Coverage, and Power of Confidence Intervals for Spearman's Rho", Ed. and Psy. Meas., 57 (1997) pp. 637–654

## 外部連結

* "Understanding Correlation vs. Copulas in Excel" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Eric Torkia, Technology Partnerz 2011
* Table of critical values of ρ for significance with small samples （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A calculator that shows the working out for Spearman's correlation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Spearman's rank online calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Chapter 3 part 1 shows the formula to be used when there are ties
* Spearman's rank correlation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: Simple notes for students with an example of usage by biologists and a spreadsheet for Microsoft Excel for calculating it (a part of materials for a _Research Methods in Biology_ course).