等比数列

**等比數列**，又名**幾何數列**（英語：Geometric progression），是數列的一種。在等比數列中，任何相鄰兩項的比例相等，該比值稱為公比。

例如數列：

　
: $3,6,12,24,48,96,...$

就是一個等比數列。在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公比都等於 $2$ 。

## 性質

如果一個等比數列的首項記作 $a$ ，公比記作 $r$ ，那麼該等比數列第 $n$ 項 $a_{n}$ 的一般項為：

　
: $a_{n}=ar^{n-1}$

換句話說，任意一個等比數列 $\{a_{n}\}$ 都可以寫成

　
: $\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}$

 
在一個等比數列中，給定任意兩相連項 $a_{n+1}$ 和 $a_{n}$ （其中 $a_{n}\neq 0$ ），可知公比

　
: $r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

給定任意兩項 $a_{m}$ 和 $a_{n}$ ，則有公比

　
: $r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}$

這裡注意，若 $m-n$ 是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

 

此外，在一個等比數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說， $a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}$ 。

更一般地說，有：

　
: $a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}$

證畢。

 
從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其前一項和後一項的幾何平均：

　
: $a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$

此結果從上面直接可得。

 
如果有整數 $m,n,p,q$ ，使得 $m+n=p+q$ ，那麼則有：

　
: $a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}$

 
由此可將上面的性質一般化成：

　
: $a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}$

　
: $a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}$

其中 $k$ 是一個小於 $n$ 的正整數。

 

給定一個等比數列 $\{a_{n}\}$ ，則有：

 * $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等比數列。
* $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等比數列。
* $\{\log _{b}(a_{n})\}$ 是一個等差數列。

 
從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

　
: $a_{n}=pq^{n}$

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比 $r=q$ ，首項 $a=pq$ 。

## 等比數列和

一個等比數列的首 $n$ 項之和，稱為**等比數列和**（sum of geometric sequence）或**幾何級數**（geometric series），記作 $S_{n}$ 。

舉例來說，等比數列 $\{1,2,4,8\}$ 的和是 $1+2+4+8=15$ 。

等比數列求和的公式如下：

　
: $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

其中 $a$ 為首項， $n$ 為項數， $r$ 為公比，且 $r\neq 1$ 。

公式證明如下：

將等比數列和寫作以下形式：

　
: $S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$ ……(1)

將兩邊同乘以公比 _r_，有：

　
: $rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}$ ……(2)

(1) 式減去 (2) 式，有：

　
: $(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$

當 $r\neq 1$ 時，整理後得證。

當 $r=1$ 時，可以發現：

　
: ${\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}$

綜上所述，等比數列的求和公式為：

　
: $S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}$

當 $-1<r<1$ 時，注意到

　
: $\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0$

因此，我們可得**無限項之和**（sum to infinity）的公式為

　
: $S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

由此可見，當 $-1<r<1$ 時，幾何級數會收斂到一個固定值。

## 等比數列積

一個等比數列的首 _n_ 項之積，稱為**等比數列積**（product of geometric sequence），記作 _Pn_。

舉例來說，等比數列 $\{1,2,4,8\}$ 的積是 $1\times 2\times 4\times 8=64$ 。

 

等比數列求積的公式如下：

　
: $P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}$

第二步，公比 r 的指數中，0 來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為 $n-1$ 。

## 參見

* 序列
* 數列
* 級數
* 幾何級數
* 幾何平均
* 等差數列
* 等諧數列
* 西洋棋盤與麥粒問題

## 參考文獻

* Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.