算术-几何平均值不等式

**算術 - 幾何平均值不等式**，簡稱**算幾不等式**，是一個常見而基本的不等式，表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 為 $n$ 個正實數，它們的**算術平均數**是 $\mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ ，它們的**幾何平均數**是 $\mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$ 。算術 - 幾何平均值不等式表明，對任意的正實數 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ：

 $\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$
等號成立若且唯若 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

通常用於兩個數之間，設這兩個數為 $a$ 和 $b$ ，也就是 ${\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}$

算術 - 幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術 - 幾何平均值不等式有時被稱為**平均值不等式**（或**均值不等式**），其實後者是一組更廣泛的不等式。

## 例子

在 $n=4$ 的情況，設： $x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5$ ，那麼

　
: $\mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945$

可見 $\mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}$ 。

## 歷史上的證明

歷史上，算術 - 幾何平均值不等式擁有眾多證明。 $n=2$ 的情況很早就為人所知，但對於一般的 $n$ ，不等式並不容易證明。1729 年，英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。

### 柯西的證明

1821 年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用**逆向歸納法**的證明：

### 歸納法的證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治・克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（_Algebra_）的第二卷中給出的：

於是完成了從 $n$ 到 $n+1$ 的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明：

### 基於琴生不等式的證明

注意到幾何平均數 $\mathbf {G} _{n}$ 實際上等於 $\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)$ ，因此算術 - 幾何平均不等式等價於：

　
: $\ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}$ 。

由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

### 基於排序不等式的證明

令 $b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)$ ，於是有 $b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1$ ，再作代換 $b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}$ ，運用排序不等式得到：

　
: ${\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n$ ，

於是得到 $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}$ ，即原不等式成立。

此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

## 推廣

算術 - 幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

### 加權算術 - 幾何平均不等式

不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 和 $p_{1},\cdots ,p_{n}$ 為正實數，並且 $p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1$ ，那麼：

　
: $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}$ 。

加權算術 - 幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

### 矩陣形式

算術 - 幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式：
對於係數都是正實數的矩陣

 ${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}$
設 $A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}$ ， $G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}$ ，那麼有：

　
: ${\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}$

也就是說：對 $k$ 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均小於等於對 $n$ 個橫行取的 $n$ 個幾何平均數的算術平均。

### 極限形式

也稱為**積分形式**：對任意在區間 $[0,1]$ 上可積的正值函數 $f$ ，都有

 $\int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)$ 
這實際上是在算術 - 幾何平均值不等式取成 ${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})$ 後，將兩邊的黎曼和中的 $n$ 趨於無窮大後得到的形式。

### 算數 - 幾何 - 調和平均值不等式

若再規定 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的調和平均數 $H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

則有

 $\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$
且等號依舊成立若且唯若 $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

證明由算數 - 幾何平均值不等式知

$$
{\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}
$$

故

$$
{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}
$$

即

 $\mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$
且等號成立於

$$
{\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}
$$

即

$$
x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}
$$

## 參見

* 平均數不等式
* 算術平均數
* 幾何平均數
* 冪平均不等式
* 楊氏不等式

## 參考來源

* 匡繼昌，《常用不等式》，山東科技出版社。
* 李勝宏，《平均不等式與柯西不等式》，華東師大出版社。
* 莫里斯・克萊因（Morris Kline），張理京 張錦炎 江澤涵 譯，《古今數學思想》，上海科學技術出版社。
* 李興懷，《學科奧林匹克叢書・高中數學》，廣東教育出版社。