線性獨立

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用**有限個**其他向量的線性組合所表示，則稱為**線性無關**或**線性獨立**（linearly independent），反之稱為**線性相依**（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間 **R**3 的三個向量 (1, 0, 0)，(0, 1, 0) 和 (0, 0, 1) 線性獨立。但 (2, −1, 1)，(1, 0, 1) 和 (3, −1, 2) 線性相依，因為第三個是前兩個的和。

## 定義

假設 V 是在域 K 上的向量空間。如果 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ 是 V 的向量，若它們為_線性相依_，則在域 K 中有非全零的元素 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ ，使得

　
: $a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} $ ；

或更簡略地表示成，

　
: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} $ 。

（注意右邊的零是 V 的零向量，不是 K 的零元素。）

如果 K 中不存在這樣的元素，那麼 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ 是_線性獨立_。

對_線性獨立_可以給出更直接的定義。向量 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ _線性獨立_，若且唯若它們滿足以下條件：如果 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ 是 K 的元素，適合：

　
: $a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} $ ，

那麼對所有 $i=1,2,\dots ,n$ 都有 $a_{i}=0$ 。

在 V 中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性獨立，那麼原來的無限集也是線性獨立。

線性相依性是線性代數的重要概念，因為線性獨立的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

## 相關性

* 含有零向量的向量組，必定線性相依。

　
: : 若有向量組 $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ ，其中 $a_{1}=0$ ，則 $a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s}$ 。

* 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相依。

　
: : 若有向量組 $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ ，其中 $a_{1}=a_{2}$ ，則 $a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s}$ 。

* 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相依；即局部線性相依，整體必線性相依。
* 整體線性獨立，局部必線性獨立。
* 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相依。
* 若一向量組線性獨立，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性獨立。
* 若一向量組線性相依，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相依。
* 若 $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 線性獨立，而 $b,a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 線性相依，則 $b$ 必可由 $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 線性表示，且表示係數唯一。
* 有向量組 ${\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}$ 和 ${\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}$ ，其中 $t>s$ ，且 ${\textrm {II}}$ 中每個向量都可由 ${\textrm {I}}$ 線性表示，則向量組 ${\textrm {II}}$ 必線性相依。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相依。
* 若一向量組 $b_{1},b_{2},...,b_{t}$ 可由向量組 $a_{1},a_{2},...,a_{s}$ 線性表示，且 $b_{1},b_{2},...,b_{t}$ 線性獨立，則 $t\leq s$ 。即線性獨立的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

## 例子 1

設 _V_ = **R**n，考慮 _V_ 內的以下元素：

　
: ${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$

則 **e**1、**e**2、……、**en** 是線性獨立的。

### 證明

假設 _a_1、_a_2、……、_an_ 是 **R** 中的元素，使得：

　
: $a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!$

由於

　
: $a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!$

因此對於 {1, ..., _n_} 內的所有 _i_，都有 _ai_ = 0。

## 例子 2

設 _V_ 是實變數 _t_ 的所有函數的向量空間。則 _V_ 內的函數 _et_ 和 _e_2_t_ 是線性獨立的。

### 證明

假設 _a_ 和 _b_ 是兩個實數，使得對於所有的 _t_，都有：

　
: _aet_ + _be_2_t_ = 0

我們需要證明 _a_ = 0 且 _b_ = 0。我們把等式兩邊除以 _e_t（它不能是零），得：

　
: _bet_ = −_a_

也就是說，函數 _be_t 與 _t_ 一定是獨立的，這只能在 _b_= 0 時出現。可推出 _a_ 也一定是零。

## 例子 3

**R**4 內的以下向量是線性相依的。

　
: ${\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}$

### 證明

我們需要求出純量 $\lambda _{1}$ 、 $\lambda _{2}$ 和 $\lambda _{3}$ ，使得：

　
: ${\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}$

可以形成以下的方程組：

　
: ${\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}$

解這個方程組（例如使用高斯消去法），可得：

　
: ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}$

由於它們都是非平凡解，因此這些向量是線性相依的。

## 參考文獻

* Siegfried Bosch: _Lineare Algebra._ 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.