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線性子空間

**線性子空間**（或**向量子空間**）在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。

## 定義

在線性代數和其他數學相關領域，一個**線性子空間**（或**向量子空間**）U 是給定域 ${\mathfrak {R}}$ 向量空間 V 的一個子集，並且它還是 V 的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V 上運算在 U 上的限制導出 U 的向量空間結構，我們把 U 稱為 V 上的**向量**（或**線性**）**子空間**。

## 定理

設 _V_ 是在域 _K_ 上的向量空間，並設 _W_ 是 _V_ 的子集。則若且唯若它滿足下列三個條件時，_W_ 是個子空間:

1. 零向量 0 在 _W_ 中。
2. 如果 **u** 和 **v** 是 _W_ 的元素，則向量和 **u** + **v** 是 _W_ 的元素。
3. 如果 **u** 是 _W_ 的元素而 _c_ 是來自 _K_ 的純量，則純量積 _c_**u** 是 _W_ 的元素。

## 性質

* 對於所有向量空間 _V_，集合 {**0**} 和 _V_ 自身是 _V_ 的子空間。
* 如果 _V_ 是內積空間，則任何 _V_ 的子空間的正交補也是子空間。
* 任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。_注意：兩個子空間的併集未必是子空間。例如 $e_{1},e_{2}$ 是_ V _中任意兩個線性無關的向量且 $U_{1}=<e_{1}>,U_{2}=<e_{2}>$ ，那麼， $U_{1}$ ∪ $U_{2}$ 不包含 $e_{1}+e_{2}$ 。_
* 特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說，_W_ 是子空間，若且唯若所有 _W_ 的 (有限多個) 元素的線性組合也屬於 _W_。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。

## 例子

**例子 I:**設域 _K_ 是實數的集合 **R**，並設向量空間 _V_ 是歐幾里得空間 **R**3。
取 _W_ 為最後的分量是 0 的 _V_ 中所有向量的集合。則 _W_ 是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 給定 _W_ 中 **u** 和 **v**，它們可以表達為 **u** = (_u_1,_u_2,0) 和 **v** = (_v_1,_v_2,0)。則 **u** + **v** = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0+0) = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0)。因此 **u** + **v** 也是 _W_ 的元素。
2. 給定 _W_ 中 **u** 和 **R** 中純量 _c_，如果 **u** = (_u_1,_u_2,0)，則 _c_**u** = (_cu_1, _cu_2, _c_0) = (_cu_1,_cu_2,0)。因此 _c_**u** 也 是 _W_ 的元素。

**例子 II:**設域是 **R**，設向量空間是歐幾里得幾何 **R**2。取 _W_ 為 **R**2 的使得 _x_ = _y_ 的所有點 (_x_,_y_) 的集合。則 _W_ 是 **R**2 的子空間。

_證明:_

1. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 且 **q** = (_q_1,_q_2) 是 _W_ 的元素，就是說，在平面上的點使得 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2。則 **p** + **q** = (_p_1+_q_1,_p_2+_q_2)；因為 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2，則 _p_1 + _q_1 = _p_2 + _q_2，所以 **p** + **q** 是 _W_ 的元素。
2. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 是 _W_ 的元素，就是在平面中點使得 _p_1 = _p_2，並設 _c_ 是 **R** 中的純量。則 _c_**p** = (_cp_1,_cp_2)；因為 _p_1 = _p_2，則 _cp_1 = _cp_2，所以 _c_**p** 是 _W_ 的元素。

一般的說，歐幾里得空間 **R**n 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說，這些子空間是穿過點 **0** 的一些點、直線、平面。

 

## 子空間上的運算

給定向量空間 _V_ 的子空間 _U_ 和 _W_，則它們的交集 _U_ ∩ _W_ := {**v**∈_V_: **v** ∈ _U_ 且 **v** ∈ _W_} 也是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 設 **v** 和 **w** 是 _U_ ∩ _W_ 的元素。則 **v** 和 **w** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _U_。類似的，因為 _W_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _W_。所以 **v** + **w** 屬於 _U_ ∩ _W_。
2. 設 **v** 屬於 _U_ ∩ _W_，並設 _c_ 是純量。則 **v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 和 _W_ 是子空間，_c_**v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。

進一步的，和

　
: $U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}$

是一個 _V_ 的子空間。_U_ ∩ _W_ 和 _U_ + _W_ 的維度滿足

　
: $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ 。

## 外部連結

* MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* Vector subspace. PlanetMath.
線性對數

**線性對數**（或稱**對數線性**、**擬線性**、**超線性**）的形式為 $n\log n$ ，是線性函數及對數函數相乘的結果，在計算複雜度理論中常用線性對數來描述一些演算法的時間複雜度。

若以漸進符號表示，線性對數 $n\log n$ 的複雜度為 $\omega (n),o(n^{2}),\Theta (n\log n)\!$ 。線性對數成長的比線性函數 $n$ 快，但比平方函數 $n^{2}$ 慢。

## 參見

許多演算法的時間複雜度為 $\mathrm {O} (n\log n)\!$ ，例如：

* 快速排序法的一般情形
* 快速傅立葉變換
線性插值

**線性插值**是數學、計算機圖形學等領域廣泛使用的一種簡單插值方法。

## 如何進行線性插值

假設我們已知坐標 (_x_0, _y_0) 與 (_x_1, _y_1)，要得到 [_x_0, _x_1] 區間內某一位置 _x_ 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到

　
: ${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.\,\!$

由於 _x_ 值已知，所以可以從公式得到 y 的值

　
: $y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}=y_{0}+{\frac {(x-x_{0})y_{1}-(x-x_{0})y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

已知 _y_ 求 _x_ 的過程與以上過程相同，只是 _x_ 與 _y_ 要進行交換。

## 線性插值近似法

線性插值經常用於已知函數 _f_ 在兩點的值要近似獲得其它點數值的方法，這種近似方法的_誤差_定義為

　
: $R_{T}=f(x)-p(x)\,\!$

其中 _p_ 表示上面定義的線性插值多項式

　
: $p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!$

根據羅爾定理，我們可以證明：如果 _f_ 有二階連續導數，那麼誤差範圍是

　
: $|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!$

正如所看到的，函數上兩點之間的近似隨著所近似的函數的二階導數的增大而逐漸變差。從直觀上來看也是這樣：函數的曲率越大，簡單線性插值近似的誤差也越大。

## 應用

線性插值經常用於補充表格中的間隔部分。假設一個表格列出了一個國家 1970 年、1980 年、1990 年以及 2000 年的人口，那麼如果需要估計 1994 年的人口的話，線性插值就是一種簡便的方法。

兩值之間的線性插值基本運算在計算機圖形學中的應用非常普遍，以至於在計算機圖形學領域的行話中人們將它稱為 **lerp**。所有當今計算機圖形處理器的硬體中都集成了線性插值運算，並且經常用來組成更為複雜的運算：例如，可以通過三步線性插值完成一次雙線性插值運算。由於這種運算成本較低，所以對於沒有足夠數量條目的光滑函數來說，它是實現精確快速查找表的一種非常好的方法。

## 歷史

線性插值從遠古以來就一直用於補充表格中的間隔，它經常用於天文學數據。人們相信公元前最後三個世紀的塞琉西王朝、公元前 2 世紀的希臘天文學家與數學家喜帕恰斯就曾經使用了這種方法。在托勒密於公元 2 世紀所作的《天文學大成》（Almagest）中亦可以見到對於線性插值的描述。

## 其它

在一些要求較高的場合，線性插值經常無法滿足要求。在這種場合，可以使用多項式插值或者樣條插值來代替。

線性插值可以擴展到有兩個變量的函數的雙線性插值。雙線性插值經常作為一種粗略的抗混疊濾波器使用，三線性插值用於三個變量的函數的插值。線性插值的其它擴展形勢可以用於三角形與四面體等其它類型的網格運算。

## 參考文獻

* E. Meijering (2002). 插值年表：從古代天文學到現代信號與圖像處理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. _Proceedings of the IEEE_ **9** (3), 319–342.

## 參見

* 雙線性插值
* De Casteljau 算法

## 外部連結

* cut-the-knot 上的 直線方程 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* cut-the-knot 上的 拉格朗日多項式與插值 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
線性搜尋

在計算機科學中，**線性搜索**或**順序搜索**是一種尋找某一特定值的搜索算法，指按一定的順序檢查數組中每一個元素，直到找到所要尋找的特定值為止。是最簡單的一種搜索算法。

## 分析

假設一個數組中有 $n$ 個元素，最好的情況就是要尋找的特定值就是數組裡的第一個元素，這樣僅需要 1 次比較就可以。而最壞的情況是要尋找的特定值不在這個數組或者是數組裡的最後一個元素，這就需要進行 $n$ 次比較。

## 實作範例

### Julia (程式語言)

## 參考

* * Sahni, Sartaj. _Data Structures,Algorithms,and Applications in C++_. McGraw2-Hill. 1998. ISBN 978-7-11-07645-2.

## 外部連結

* C++ Program - Linear Search （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* C Program - Linear Search Dead link
線性整流函式

**整流線性單位函式**（Rectified Linear Unit, **ReLU**），又稱**修正線性單元**，是一種人工神經網路中常用的激勵函式（activation function），通常指代以斜坡函式及其變種為代表的非線性函式。

比較常用的線性整流函式有斜坡函式 $f(x)=\max(0,x)$ ，以及帶泄露整流函式（Leaky ReLU），其中 $x$ 為神經元（Neuron）的輸入。線性整流被認為有一定的生物學原理，並且由於在實踐中通常有著比其他常用激勵函式（譬如邏輯函式）更好的效果，而被如今的深度神經網路廣泛使用於諸如圖像辨識等電腦視覺人工智慧領域。

## 定義

通常意義下，線性整流函式指代數學中的斜坡函式，即

　
: $f(x)=\max(0,x)$

而在神經網路中，線性整流作為神經元的啟用功能，定義了該神經元線上性變換 $\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b$ 之後的非線性輸出結果。換言之，對於進入神經元的來自上一層神經網路的輸入向量 $x$ ，使用線性整流啟用功能的神經元會輸出

　
: $\max(0,\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b)$

至下一層神經元或作為整個神經網路的輸出（取決現神經元在網路結構中所處位置）。

## 變種

線性整流函式在基於斜坡函式的基礎上有其他同樣被廣泛應用於深度學習的變種，譬如帶泄露線性整流（Leaky ReLU）， 帶泄露隨機線性整流（Randomized Leaky ReLU），以及噪聲線性整流（Noisy ReLU）.

### 帶泄露線性整流

在輸入值 $x$ 為負的時候，**帶泄露線性整流函式**（Leaky ReLU）的梯度為一個常數 $\lambda \in (0,1)$ ，而不是 0。在輸入值為正的時候，帶泄露線性整流函式和普通斜坡函式保持一致。換言之，

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

在深度學習中，如果設定 $\lambda $ 為一個可通過反向傳播演算法（Backpropagation）學習的變數，那麼帶泄露線性整流又被稱為**參數線性整流**（Parametric ReLU）。

### 帶泄露隨機線性整流

**帶泄露隨機線性整流**（Randomized Leaky ReLU, **RReLU**）最早是在 Kaggle 全美資料科學大賽（NDSB）中被首先提出並使用的。相比於普通帶泄露線性整流函式，帶泄露隨機線性整流在負輸入值段的函式梯度 $\lambda $ 是一個取自連續性均勻分布 $U(l,u)$ 概率模型的隨機變數，即

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

其中 $\lambda \sim U(l,u),l<u$ 且 $l,u\in [0,1)$ 。

### 噪聲線性整流

**噪聲線性整流**（Noisy ReLU）是修正線性單元在考慮高斯噪聲的基礎上進行改進的變種啟用功能。對於神經元的輸入值 $x$ ，噪聲線性整流加上了一定程度的常態分布的不確定性，即

　
: $f(x)=\max(0,x+Y)$

其中隨機變數 $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma (x))$ 。目前，噪聲線性整流函式在受限玻爾茲曼機（Restricted Boltzmann Machine）在電腦圖學的應用中取得了比較好的成果。

## 優勢

相比於傳統的神經網路啟用功能，諸如邏輯函式（Logistic sigmoid）和 tanh 等雙曲函式，線性整流函式有著以下幾方面的優勢：

* 仿生物學原理：相關大腦方面的研究表明生物神經元的訊息編碼通常是比較分散及稀疏的。通常情況下，大腦中在同一時間大概只有 1%-4% 的神經元處於活躍狀態。使用線性修正以及正規化（regularization）可以對機器神經網路中神經元的活躍度（即輸出為正值）進行除錯；相比之下，邏輯函式在輸入為 0 時達到 ${\frac {1}{2}}$ ，即已經是半飽和的穩定狀態，不夠符合實際生物學對類比神經網路的期望。不過需要指出的是，一般情況下，在一個使用修正線性單元（即線性整流）的神經網路中大概有 50% 的神經元處於啟用態。
* 更加有效率的梯度下降以及反向傳播：避免了梯度爆炸和梯度消失問題
* 簡化計算過程：沒有了其他複雜啟用功能中諸如指數函式的影響；同時活躍度的分散性使得神經網路整體計算成本下降

## 參考資料

## 外部連結

* Quora: What is special about rectifier neural units used in NN learning?
線性方程

**一元一次方程式式**也被稱為線性方程式，因為在笛卡兒坐標系上任何一個一次方程式的圖形都是一條直線。組成一次方程式的每一項必須是常數或者是一個常數和一個變數的乘積。且方程式中必須包含一個變數，因為如果沒有變數只有常數，式子則是代數式而非方程式式。

如果一次方程式式中只包含一個文字符號，且最高次方為一，那麼該方程式就是一元一次方程式式； 如果包含兩個文字符號，且最高次方為一，那麼就是二元一次方程式式；以此類推。

## 一元一次方程式

**一元一次方程式**是指一個方程式中僅含有一個變數（亦即未知數），且等號兩邊至少有一個一次單項式，且未知數的指數為 $1$ 。

任意一個一元一次方程式皆能化成 $ax+b=0$ （ $a\neq 0$ ）的形式，它的解為 $x=-{\frac {b}{a}}$ 。以下是一個例子：

　
: $3x-17=-17x+3$

它的解法是

　
: $20x=20$ （移項後合併同類項）

　
: $x=1$ （兩邊同除以 $20$ ）

一元一次方程式是一個線性方程式，二次項 $x^{2}$ 或二次以上的項是不容許出現的。

公式

　
: ${\frac {x-a}{b}}$

**注意：**當 $a=0$ 時，

　
: $ax+b=0$ 不是一元一次方程式。

 $0x=0$ 可以推出 $0+b=0$ 。
如果 $b\neq 0$ ，此方程式式無解；如果 $b=0$ ，則此方程式式有無限多解。

## 二元一次方程組

求解**二元一次方程組**可以使用代入消去法或加減消去法。

### 代入消去法

代入消去法就是先利用其中一個方程式，將含有其中一個未知數的代數式表示另一個未知數。然後代入另一個方程式，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

例如：

　
: ${\begin{cases}2x-1=9\\x+y=36\end{cases}}$

解：

　
: $2x-1=9$

得

　
: $x=5$

再代入

　
: $x+y=36$

即

　
: $5+y=36$

從而求出

　
: $y=36-5=31$

### 加減消去法

加減消去法就是將兩個方程式相加或相減，從而消去其中一個未知數，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

通常可以先將其中一方程式的兩邊同時乘以一個不是 0 的數，使其中一個未知數的係數與另外一個方程式對應的係數相同或為相反數，再將兩個方程式相加或相減。

例如：

　
: ${\begin{cases}x+y=13\\2y-x=2\end{cases}}$

把兩式相加消去 x，即

　
: $y+2y=13+2$

從而求出

　
: $y=5$

### 克拉馬法則

## 一次函數，不等式與一次方程式的關係

一次函數 $y=ax+b$ 中，函數圖象與 x 軸的交點的橫坐標即為對應 $ax+b=0$ 的解。

## 線性函數與線性化

在上圖的例子中（但不限於此例）變數 $y\,$ 是變數 $x\,$ 的函數，我們統一表示為 $y=f(x)\,$ 。函數 $y=f(x)\,$ 和方程式 $f(x)-y=0\,$ 的圖形一致，二者形成一種對應關係。我們在線性化等問題中習慣將一元一次方程式稱為線性方程式，相應地，我們也把一元一次函數稱為線性函數。

線性函數 $y=f(x)\,$ 有如下特性：

 1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$
2. $f(ax)=af(x)$

其中 $a\,$ 是常數。

微分性質：
若線性函數表達式為 $y=kx+b$ （ $k\neq 0\,$ ），則 ${\frac {dy}{dx}}=k\,$ ， ${\frac {d^{(n)}y}{dx^{(n)}}}=0\,$ （ $n\geq 2$ ）。
由此可知，線性函數沒有駐點，沒有極大值和極小值，且線性函數的斜率就是未知數 $x\,$ 的係數。

可以利用線性函數的圖形對二元一次方程組進行求解，這類問題就是線性化問題。

## 參見

* 二次方程式
* 直線 – 斜率
* 一次不定方程式
* 微積分 – 微分 – 駐點 – 反曲點
* 格林函數

## 參考文獻
線性時間

在計算複雜性理論，一個被稱為**線性時間**或 Ο(_n_) 時間的演算法，表示此演算法解題所需時間與輸入資料的大小成正比，通常以 _n_ 表示。換句話說，執行時間與輸入資料大小為線性比例。例如將一列數字加總的所需時間，正比於串列的長度。

然而實際情況常有差距，真實的執行時間很可能與預期的比率相差甚大，尤其在 n 的值很小時。在技術討論時，在足夠大的量 n 之下演算法的執行時間從 $an$ 到 $bn$ （a、ｂ為正實數）時，就可稱線性時間。詳情請看大 O 符號。

達到線性時間的執行效能通常是一個演算法的最佳目標。很多學者研究並創造了許多接近線性或更佳的演算法，包括了軟體或硬體方面的研究。硬體方面，藉由諸如平行運算的硬體架構，使得某些數學認為無法在標準計算模型下達到線性時間的演算法，現在都可以在線性時間內執行完畢。例如內容可定址記憶體）。

某些排序演算法可以在特殊的資料結構及排列下擁有線性時間的效率。但在一般情況下以比較元素大小來排序的演算法，最多只能到達 Ο(_n_log(_n_))。最低限度複雜性的證明已被小 O 符號含括；通用排序演算法被認為是 Ω(_n_ log(_n_))。另外，要找到一個集合中最大的元素是 Ω(_n_)，因為演算法必須至少比較過（_n-1_）次才能找到最大元素。

任何必須依賴全部輸入內容才能得解的問題，它**最少**也得要線性時間才能得解，因為它至少得花線性時間來讀取輸入資料。

## 參閱

* 常數時間
* 多項式時間
* 指數時間
線性有界自動機

**線性有界自動機**（英文：Linear bounded automaton，簡寫： **LBA**）是受限形式的非確定圖靈機。它擁有由包含來自有限字母表的符號的單元構成的磁帶，可以一次讀取和寫入磁帶上一個單元的並可以移動的磁頭，和有限數目個狀態。它區別於更為普遍的圖靈機在於儘管磁帶最初被認為是無限的，只有其長度是初始輸入的線性函數的有限臨近部分可以被讀寫磁頭訪問。這個限制使 LBA 成為在某些方面比圖靈機更接近實際存在的計算機的精確模型。

## 結構

線性有界自動機是一個非確定型圖靈機，並遵循以下三個條件：

* 其輸入字母表中包括兩個特殊符號「[」「]」，作為左右端點的標記。
* 左右端點標記所在的單元不能被重寫。
* 讀寫頭不能移動到左端點的左邊或右端點的右邊。

也就是說，雖然線性有界自動機如其他圖靈機一樣擁有一條無限長的帶，但是帶上能夠使用的部分是有限的：介於左右端點之間。

## 語言

線性有界自動機是上下文有關語言的接受器。對這種語言在文法上的唯一限制是沒有把字符串映射成更短字符串的產生式。所以在上下文有關語言中沒有字符串的推導可以包含比字符串自身更長的句子形式。因為在線性有界自動機和這種文法之間的一一對應，對於要被自動機識別的字符串不需要比原始字符串所占用的更多的磁帶。

## 線性有界自動機問題

在 1964 年的一篇論文中，S.Y.Kuroda（黒田成幸） 提出了兩個問題，即著名的「LBA Problem」：

1. 線性有界自動機接受的語言是否與確定型線性有界自動機接受的語言等價？
2. 能被線性有界自動機接受的語言是否在補運算下具有封閉性？

在這篇論文中，Kuroda 表示，若問題 2 的答案是否定的，則問題 1 的答案也是否定的。然而，在 1987 年，N.Immerman 與 R.Szelepcsényi 證明了問題 2 的答案是肯定的。至今，問題 1 仍然沒有被證明或證偽。

## 定理

* 波斯特定理
* 克萊尼–波斯特定理
* 弗里德堡–穆奇尼克定理
* 波斯納–羅賓遜定理
* 跳躍逆轉定理

## 參考文獻

## 外部連結

* Linear Bounded Automata by Forbes D. Lewis
* Linear Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） slides, part of Context-sensitive Languages （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Arthur C. Fleck （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Linear-Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） , part of Theory of Computation syllabus, by David Matuszek
線性氣尖引擎

**氣尖引擎**（塞式噴管）是一種火箭結構不同於鐘形噴管的方式，目前已知只有美國波音和洛克希德公司在製作實體測試，用於太空飛行，但至今沒有成功。氣尖引擎有傳統的圓錐形符合一般理解中圓柱狀火箭的外型，但該種方式效率較差沒有價值，將其以線狀橫列方式部署一整排的**線性氣尖引擎**較能發揮它的優點，也成為唯一實驗中的方式。

線性氣尖引擎呈 V 字型布局，渦輪泵組安裝於 V 型體的空心部分，在普通火箭發動機中，渦輪泵是向一個或兩個帶鐘形噴管的大燃燒室供應燃料，而線性氣尖引擎的渦輪泵要把推進劑送到沿氣塞斜面的頂邊緣安裝的推力元燃燒室內，在普通的鐘形噴管中，高溫燃氣是沿噴管內表面膨脹，所以噴管的耐膨脹度限制了火箭效率，尤其是在高高度的出力，但氣尖引擎等同於噴管在火焰內部而不是包裹於火焰，因此沒有耐膨脹度限制，其在各種高度都能維持重出力，同時這種發動機比鐘形噴管發動機緊湊得多，箭體結構整體性也好得多，另外由氣尖機有多個推力元，可由計算機和電子設備控制改變流量來轉向，因此不必使用笨重的機械轉向機構就可完成多軸方向控制。

理論上其不受高度影響的特性可以造出一種單節式重複使用的太空船，直接從地面發射進入太空，之後整體完整降落，像傳統飛機一樣全機體重複使用，所以美國國家航空暨太空總署也很快圍繞這項科技開始了 10 多年的 RS-2200 發動機計畫，然而實際上卻困難重重，氣尖引擎時常有不穩定的特性造成在空中突然推力下降，這在升空進入太空的過程中極度危險，另一方面隔熱散熱問題牽涉到新材料開發一直沒有解決，最終在 2002 年左右太空總署認為繼續投入預算已經超過發射許多枚傳統火箭的預算，且沒有可見期間內能成功的可行性，放棄了計畫。

* *

 

## 參考文獻

* 冒險之星
線性氣尖發動機

**氣尖引擎**（塞式噴管）是一種火箭結構不同於鐘形噴管的方式，目前已知只有美國波音和洛克希德公司在製作實體測試，用於太空飛行，但至今沒有成功。氣尖引擎有傳統的圓錐形符合一般理解中圓柱狀火箭的外型，但該種方式效率較差沒有價值，將其以線狀橫列方式部署一整排的**線性氣尖引擎**較能發揮它的優點，也成為唯一實驗中的方式。

線性氣尖引擎呈 V 字型布局，渦輪泵組安裝於 V 型體的空心部分，在普通火箭發動機中，渦輪泵是向一個或兩個帶鐘形噴管的大燃燒室供應燃料，而線性氣尖引擎的渦輪泵要把推進劑送到沿氣塞斜面的頂邊緣安裝的推力元燃燒室內，在普通的鐘形噴管中，高溫燃氣是沿噴管內表面膨脹，所以噴管的耐膨脹度限制了火箭效率，尤其是在高高度的出力，但氣尖引擎等同於噴管在火焰內部而不是包裹於火焰，因此沒有耐膨脹度限制，其在各種高度都能維持重出力，同時這種發動機比鐘形噴管發動機緊湊得多，箭體結構整體性也好得多，另外由氣尖機有多個推力元，可由計算機和電子設備控制改變流量來轉向，因此不必使用笨重的機械轉向機構就可完成多軸方向控制。

理論上其不受高度影響的特性可以造出一種單節式重複使用的太空船，直接從地面發射進入太空，之後整體完整降落，像傳統飛機一樣全機體重複使用，所以美國國家航空暨太空總署也很快圍繞這項科技開始了 10 多年的 RS-2200 發動機計畫，然而實際上卻困難重重，氣尖引擎時常有不穩定的特性造成在空中突然推力下降，這在升空進入太空的過程中極度危險，另一方面隔熱散熱問題牽涉到新材料開發一直沒有解決，最終在 2002 年左右太空總署認為繼續投入預算已經超過發射許多枚傳統火箭的預算，且沒有可見期間內能成功的可行性，放棄了計畫。

* *

 

## 參考文獻

* 冒險之星
線性濾波器

**線性濾波器**（英語：Linear filter）用於時變輸入信號的線性運算。線性濾波器在電子學和數位訊號處理中應用非常普遍（參見電子濾波器中的文章），它們也用於機械工程和其它技術領域。

線性濾波器經常用於剔除輸入信號中不想要的頻率或者從許多頻率中選擇一個想要的頻率。濾波器和濾波器技術類型非常廣泛，這篇文章將給出一個總的描述。

不論它們是電子的、電力的還是機械的，也不論它們的頻率範圍或者時間尺度有多大，線性濾波器的數學理論都是通用的。

## 按照傳遞函數分類

### 脈衝響應

線性濾波器可以分為兩類：無限脈衝響應（IIR）和有限脈衝響應（FIR）濾波器。通常，一個窄頻率響應的濾波器有無限脈衝響應，一個窄脈衝響應的濾波器有無限頻率響應。直到，人們才能夠實現模擬 IIR 濾波器，但是，如模擬延時線和數字濾波器這樣的技術都已經實現了 FIR 濾波器。

### 頻率響應

幾種常見的線性濾波器：

* 允許低頻率通過的低通濾波器。
* 允許高頻率通過的高通濾波器。
* 允許一定範圍頻率通過的帶通濾波器。
* 阻止一定範圍頻率通過並且允許其它頻率通過的帶阻濾波器。
* 允許所有頻率通過、僅僅改變相位關係的全通濾波器。
* 阻止一個狹窄頻率範圍通過的特殊帶阻濾波器帶阻濾波器。
* 有些濾波器不是為了阻止任何頻率的通過，而是為了在不同頻率稍微調整幅度響應，預加重濾波器、均衡器或者音調控制等等都是這些濾波器的例子。

帶阻和帶通濾波器都可以通過低通和高通濾波器組合構建出來。一個流行的雙極點濾波器是 Sallen-Key 型，它有低通、帶通和高通等多種類型。

## 濾波器設計所用數學工具

所有類型的線性濾波器都可以完全用頻率響應和相位響應來描述，它們唯一地定義了脈衝響應，反之亦然。從數學的觀點來看，連續時間脈衝衝激響應可以用線性微分方程描述，它們的脈衝響應是方程的格林函數（Green's function）。連續時間濾波器可以用脈衝響應的拉普拉斯變換表示，這種方法根據複平面內拉普拉斯變換極點和零點的樣式就可以很容易地分析濾波器的所有特性。對於離散時間信號，也可以類似地分析脈衝響應的 Z 變換。

在濾波器的計算機合成工具出現之前，類似於波特圖和 Nyquist 圖這樣的圖形工具大量地用作設計工具，即使如今，它們也是理解濾波器行為的無價之寶。

人們開發出了許多不同的模擬濾波器設計方法，每種都儘量優化系統響應的某些特性。對於實用的濾波器來說，一個定製的所要濾波器經常需要在不同的設計原則之間進行折衷，可能要考慮元件個數、成本以及濾波器響應特性等。

經典的無限脈衝響應濾波器的類型有：

* 貝塞耳濾波器（Bessel filter）
* 巴特沃斯濾波器（Butterworth filter）
* 切比雪夫濾波器（Chebyshev filter）
* 橢圓函數濾波器（elliptic filter）

這些描述都是指濾波器的_數學_特性，也就是頻率和相位響應，它們都可以用模擬電路實現，例如，使用有源濾波器 Sallen Key 濾波器布局。它們也可以用作數位訊號處理系統中的算法。

數字濾波器比模擬濾波器的合成更加靈活，模擬濾波器的設計約束限制了它們的應用。很顯然，數字濾波器無需考慮元件的公差，也可以實現非常高的 Q 值。

有限脈衝響應數字濾波器可以用所期望的衝激響應與輸入信號直接作卷積實現。

無限脈衝響應數字濾波器也容易設計，然而，無限脈衝響應濾波器有它們自身的數學設計上的問題，尤其是關於動態範圍和完善非線性問題。

## 參見

* 濾波器設計
* 拉普拉斯變換
* 格林函數
* Z 變換
* 系統理論
  * 線性時不變系統理論
* 非線性濾波器
* 維納濾波器

## 外部連結和參考文獻

* Williams, Arthur B & Taylor, Fred J. 电子滤波器设计手册. McGraw-Hill. 1995. ISBN 978-0-07-070441-1. 實用電子濾波器設計中的聖經。
* National Semiconductor AN-779 說明模擬濾波器理論的應用筆記
線性熵

在量子力學中，尤其是量子信息學中，體系的**線性熵**（英語：**Linear entropy**）定義為

　
: $S_{L}\,{\dot {=}}\,1-{\mbox{Tr}}(\rho ^{2})\,$

 $\rho $ 是體系的密度矩陣。
根據定義，線性熵取值範圍為 $[0,1-d^{-1}]$ ，其中 $d$ 是密度矩陣的維數。所以有人定義歸一化的線性熵

　
: $S_{L}\,{\dot {=}}\,{\tfrac {d}{d-1}}(1-{\mbox{Tr}}(\rho ^{2}))\,,$

取值範圍是 $[0,1]$ 。

## 來源

線性熵是常用的馮紐曼熵的低階近似。將馮紐曼熵在純態附近展開得到：

　
: $S\,{\dot {=}}\,-{\mbox{Tr}}(\rho \ln \rho )=-\langle \ln \rho \rangle \ =\langle 1-\rho \rangle +\langle (1-\rho )^{2}\rangle /2+\langle (1-\rho )^{3}\rangle /3+...~,$

只保留第一項，就能得到線性熵。
線性砲

**磁軌炮**（英語：railgun），也稱**軌道炮**，是一種與單極馬達原理相似的電磁炮發射裝置。磁軌炮以電流產生的勞侖茲力加速載物，令其沿平行的導軌移動，並進入下一個軌道繼續加速。

磁軌炮的動力來源與其他武器不同，不使用炸藥與推進劑，而是使用電磁力取得巨大動能來發射砲彈，傳統軍事用槍械的槍口初速無法超越每秒 2000 公尺，而磁軌炮能達到每秒 3000 公尺。另外磁軌炮能避免傳統炸藥與彈頭存儲的風險，以及相對低廉的成本亦是磁軌炮的優勢。

除了軍事應用，美國國家航空暨太空總署也建議運用磁軌炮將載荷送入外太空的地球同步軌道；然而在過程中將產生強大的 G 力，限制了載荷的使用。這種交通工具被稱為質量投射器。

## 基本介紹

電磁炮與傳統馬達的不同之處在於其結構不需場磁鐵（永久磁鐵），它的基本結構由單環電流組成，因此需要極大電流（超過百萬安培）來產生足夠的槍口初速。其中一種常見的變種是利用驅動電流通過平行導線，增加電樞產生的磁場（直流串繞馬達的設置），稱為**增強磁軌炮**，這種設置減少了電流的需求量。

電樞可以是子彈組成的一部份，也能被用以加速絕緣、不導電的子彈。通常固態金屬導體是磁軌炮電樞較好的材料來源，但也可以使用電漿電樞與混合電樞。與傳統槍受火藥爆炸的瞬間氣壓推進的原理相同，電漿電樞以類似的方式推動非導體的固態載荷。電漿電樞以電漿將金屬電樞與槍軌連結，在速度超過閾值後，固體電樞亦能轉型為混合電樞。

對於軍事應用來說，磁軌炮的優勢在於它能達到遠超過傳統武器的槍口初速。槍口初速的提升可以有效改善射程，並且提高終端速度，令其剩餘的動能產生榴彈的爆破效應。典型磁軌炮的槍口初速通常能達到每秒 2000-3500 公尺。對於單迴路磁軌炮而言，它需要在幾微秒間經過五百萬安培，產生的磁場強度約為 10 特斯拉，現代磁軌炮的設計通常為「空芯」（不使用磁性材料），以提高磁通量。

磁軌炮的速度處於輕氣炮的範圍，然而後者被認為更適合應用於實驗室，而磁軌炮在軍事應用上具有十足潛力。理論上，如果能開發重量輕、穩定的電源技術，應用於磁軌炮，系統總體積與質量將會遠小於常規推進劑的彈藥量，克服傳統彈藥的不穩定性（大大減少敵軍炮火的威脅）。

## 應用

* 美國海軍亞里・伯克級驅逐艦的後繼實驗艦朱瓦特級驅逐艦（USS Zumwalt DDG-1000）設計好一套整體電力系統 (IPS)，能夠有效輸送電力往馬達或是武器，以利日後裝配磁軌砲，但礙於成本問題，目前只裝配先進火炮（AGS）代替。
* 2018 年 2 月 1 日，幾張安裝新型號艦砲的 072III 型大型登陸艦海洋山號在網上廣傳，輿論認為是中國解放軍試驗中的磁軌砲，但也有說法指其設計更接近線圈炮。

## 參見

* 線圈砲
* 質量投射器
* 毀滅者（有關這種武器的一部 1996 年的美國電影）
* 某科學的超電磁砲（日本作家鎌池和馬所著輕小說魔法禁書目錄的外傳漫畫和動畫）
* 電熱化學炮

## 參考資料

## 外部連結

* 鳳凰衛視官方頻道 - 中國電磁砲騰空出世 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NRL Railgun Demonstration Video （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） US Naval Research Laboratory, July 2010
* USN sets five-year target to develop electromagnetic gun （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Jane's Defence Weekly, 20 July 2006
* Electromagnetic Railgun （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Popular Science Article
* World’s Most Powerful Rail Gun Delivered to Navy （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 14 November 2007
* 電磁炮問世，美軍開創新「大炮巨艦」時代。網易專題
線性程式碼序列及跳躍

**線性程式碼順序及跳轉**（Linear code sequence and jump）簡稱 **LCSAJ**，是軟體測試相關的術語。其廣義的定義是一種程式分析方式，可以識別出要測試程式碼中的結構單元。其主要用途是用在動態軟體分析中，來確認「測試到什麼程度才算是足夠？」。動態軟體分析用來衡量軟體測試資料的品質以及有效性，而其量化數據是由要測試程式碼中的結構單元數量來確認。動態分析若是用來量化測試資料中的結構單元數量，此分析也會稱為是結結構覆蓋率分析。

線性程式碼順序及跳轉也有狹義的定義，是程式碼中明確定義的一段連續程式碼，此定義下的 LCSAJ 也稱為跳躍 — 跳躍路徑（JJ-path）。

## 歷史

LCSAJ 分析法是由 Michael Hennell 教授提出，目的是為了評估原子核物理學用到的數學函式庫的品質。Hennell 教授後來成立了 LDRA 公司，將為計劃開發的測試平台商品化販售，也就是後來的 LDRA Testbed。

LCSAJ 是從 1976 年開始的，現在也稱為是跳躍 — 跳躍路徑（JJ-path）。

## LCSAJ 程式區塊的定義及特點

LCSAJ 是程式路徑中的一部份，包括一段線性（連續）程式碼，後面有條件流程跳躍指令，並且包括以下三部份的程式碼
：

* 線性程式碼的啟始
* 線性程式碼的結束
* 線性程式碼結束後，依控制流程會跳躍到的目的程式。

LCSAJ 和（最大的）基礎區塊不同，LCSAJ 可以彼此重疊，因為可能在 LCSAJ 程式碼中間會出現跳躍到其他程式的跳躍指令，而基礎區塊程式碼中間不允許有跳躍指令。而且，條件式跳躍就會產生互相重疊的 LCSAJ，條件成立時會執行程式碼 A，條件不成立時會執行程式碼 B，這就產生二段重疊的 LCSAJ。因此，每一個基礎區塊都是 LCSAJ，但 LCSAJ 可能會包括一個到多個基礎區塊。根據 1986 年的一篇文章指出，LCSAJ 的大小多半是基礎區塊的四倍。

以下是用到基礎區塊的正式 LCSAJ 定義：

> 一個到多個連續編號 _p_, (_p_+1), ..., _q_ 基礎區塊程式單元的序列，之後有一個控制流程的跳躍，可能是跳出此程式碼單元，或是到編號為 _r_ 的基礎區塊，_r_≠(_q_+1)。有關編號 _p_，可能 _p_=1，或者有其他的基礎區塊會跳到編號為 _p_ 的基礎區塊（在 LCSAJ 的跳躍指令中，會說明要跳躍到的基礎區塊）
> 
> 

根據 Jorgensen 2013 年版的教科書，在英國以外，且不是 ISTQB 以外的文獻中，會將此敘述稱為是決策到決策路徑（DD-path）。

## 有效測試的比率

覆蓋率分析度量可以確認測試進行的程度如何。最基本的度量是有執行到敘述，相對於所有敘述的比例，有效測試比率 1（TER1）：

$$
TER_{\text{1}}={\frac {\text{number of statements executed by the test data}}{\text{total number of executable statements}}}
$$

也有較高階的覆蓋率分析度量，例如考慮執行到控制流跳躍的比例，或是執行到 LCSAJ 的比例：

$$
TER_{\text{2}}={\frac {\text{number of control-flow branches executed by the test data}}{\text{total number of control-flow branches}}}
$$

$$
TER_{\text{3}}={\frac {\text{number of LCSAJs executed by the test data}}{\text{total number of LCSAJs}}}
$$

上述的度量有階層的關係，若 TER3 = 100%，表示 TER2 = 100%，且 TER1 = 100%。

TER1 和 TER2 的度量約在 1970 年代初期出現，TER3 則是在 1970 年代末期。在 DO-178 標準剛開始時，有要求 TER1 = 100%，後來在 1992 年加上 MC/DC（修改條件判斷覆蓋）的額外要求。許多專案會強制要求更高階的 TER3 = 100%，例如航太、通訊以及銀行。在使用 TER3 時，有一個實務上的問題，是許多 LCSAJ 有包括互相矛盾的條件，因此無法執行到。

## 例子

考慮以下的 C 語言程式：

這段程式中對應的 LCSAJ 程式啟始、結束及跳轉目標列表如下：

從這段程式可以看出 LCSAJ 識別到的程式碼可能會包括決策點，表示有經過決策判斷，判斷後的結果是繼續執行後面的程式。例如例子中的 LCSAJ 2 就包括了 `while` 指令，而當時的情形是 `(count < ITERATIONS)` 條件成立。

每一行程式都會劃分在一個或是多個 LCSAJ 範圍內，因此有每一行的 LCSAJ 密度，例如第 17 行出現在 6 個 LCSAJ 範圍內，因此其 LCSAJ 密度為 6。在評估程式的可維護性時很有幫助，每一行的 LCSAJ 密度也反映了修改那一行會影響的 LCSAJ 數量。

若測試資料可以使所有的 LCSAJ 都至少執行一次，就滿足 TER3 = 100% 的覆蓋率等級。

## 參考資料
線性穩壓器

**線性電壓調節器**（英語：Linear regulator），又稱**線性穩壓器**、**線性調節器**，是一種元件，作用是保持電壓穩定。穩壓器的電阻會因應負載及輸入電壓的變化，以達至輸出電壓穩定不變。其動作尤如一不停自動調節阻值的可變電阻，使之與負載得出的分壓保持固定，而過程中因輸出與輸入電壓差而多出的能量則以發熱的形式消散掉。而開關式穩壓器是不停高速地在導通 / 斷開之間切換，使得輸出的平均值保持在所需電壓值。輸入線性穩壓器的電壓必須高於輸出電壓，好讓穩壓器內能作出降壓作用以達至輸出穩定，因此效率受限制。

線性穩壓器可以是置於電源和負載之間（串聯穩壓器），或與負載並聯（並聯穩壓器）。簡單的線性穩壓器可以只包含稽納二極體和一枚串聯電阻器；更複雜的線性穩壓器包含多個組成部份：參考電壓、誤差放大器和功率傳輸元件。由於線性穩壓器被廣泛應用，因此多被製成積體電路，但也可以固態電子元件或真空管等分立元件構成。

## 總述

以電晶體（或其它元件）調節流過負載的電流，負載所得的電壓就是穩壓器的輸出電壓。比較輸出電壓與穩壓器內部的參考電壓，所產生的差動訊號用作控制電晶體，形成一個負回饋迴路，加上適當的補償，輸出電壓就能調整下降至目標電壓，不受輸入電壓或負載變動影響，並保持合理地穩定。

線性穩壓器必須在輸入電壓高於輸出不少於某電壓值時輸出才能穩定至目標電壓，這個最少的電壓稱為壓降電壓、下壓降、電壓差 (dropout)。例如常用的 7805，作用是把輸出保持在 5V，但輸入必須保持在 7V 以上，否則輸出就會低於目標電壓 5V 以下，故其壓降電壓就是 7V-5V=2V。由於須有壓差的存在，線性穩壓器效率大都很低：因為其原理就是要將多於穩定電壓下負載所需的能量，在電晶體內以散發熱能的形式消耗掉。而電晶體發熱所造成的功率損失就是電流乘以電晶體兩端壓降。

這個問題在低輸出電壓的情況尤其嚴重，假若輸出要求為 2V，而壓降電壓同是 2V，效率就必是在 2V/(2V+2V)=50% 或以下，這樣低的效率，在實際應用上多不為接受。這情況下就需使用低壓差穩壓器（LDO），其壓降電壓特別低，一般都在 300mV (0.3V) 或以下，這種情況在微處理器的電源中常遇見。這也是為何幾乎所有低輸出電壓的線性穩壓 IC 都是低壓差穩壓器。

開關電源可以更有效地達至相同的功能，但成本較高及有開關噪聲，在輕負載、輸出電壓較高或輸出電壓接近電源電壓的情況下，線性調節器的效率也不俗，有可能是合適的選擇。線性調節器還具有的優點是：不需要磁性元件（電感器或變壓器），磁性元件可能相對昂貴或占空間；設計更簡單，雜訊也更低。線性調節器的一些設計僅使用電晶體、二極體和電阻器，這就更容易製造到積體電路中，進一步減小它們的質量、在 PCB 上的占位面積和成本。

線性調節器有兩種基本形式：**串聯調節器**和**並聯調節器**。

* **串聯調節器**：更常用的形式。串聯調節器通過提供經由可變電阻的從電源電壓到負載的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「上半」部中）。由調節元件所耗散的功率等於電源輸出電路乘以在調節元件中的壓降。
* **並聯調節器**：通過提供經由可變電阻的從電源電壓到地的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「下半」部中）。將流經並聯調節器的電流從負載轉向出來，並且無用地流向接地，使其比串聯調節器更沒效率。然而，該形式更簡單，有時僅由參考電壓二極體組成；並且用於很低功率的電路，其中耗費電流很小可以忽略。這種形式常用於電壓參考電路。

## 保護功能

若負載超出線性穩壓器設計的承受能力時，可能會導致穩壓器永久損壞，為了避免損壞穩壓器，線性穩壓器可以 (但不一定) 俱備以下保護功能，包括：

* 電流限制，例如恆流限制（constant current limiting）及遞減電流限制（foldback current limiting）
* 過溫度保護（或稱熱關斷）
* 安全工作區保護，即限制功率晶體運作於預定的電流及電壓的工作條件之內，以確保能正常工作及不會導致損壞。這些工作條件包括連續及瞬間脈衝狀態下的最高電壓、電流、溫度、功率。

## 參見

* 78xx - 一種常見的線性調節器類型。
* LM317 - 與 78xx 類似的線性穩壓器晶片可配置輸出電壓。
* 低壓差穩壓器 (LDO)
* 開關電源
線性系統

**線性系統**是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統：

　
: ${\frac {d^{2}{y}}{dx^{2}}}+y=3x$

由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲 τ 秒，那麼得到的輸出除了這 τ 秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。

## 線性系統的特性

若將一決定性系統視為黑箱系統，可以用一個將輸入 $x(t)$ 映射到輸出 $y(t)$ 的運算子 $H$ 來表示。一線性系統的運算子滿足疊加原理及齊次性（homogeneity）。假設有以下二個輸入

　
: $x_{1}(t)\,$

　
: $x_{2}(t)\,$

及其對應的輸出

　
: $y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}$

　
: $y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}$

則線性系統會滿足以下的特性

　
: $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$

其中 $\alpha \,$ 及 $\beta \,$ 為任意純量。

因此，若線性系統有一個複雜的輸入，可將輸入分解為許多較簡單輸入的和，針對簡單輸入個別計算輸出，其輸出相加，就是系統對應複雜輸入的輸出。這是非線性系統沒有的特性，上述的數學特性也使得線性系統的解比非線性系統的解要來的簡單許多。

對於線性時不變系統，疊加原理也是脈衝響應或頻率響應等分析方式的基礎。若是連續、線性時不變系統的微分方程，可以利用拉普拉斯轉換來求解；而離散系統中，可以利用 Z 轉換來求解。

線性模式常在非線性系統的線性化時使用，以便於後續的數學運算或處理。

## 時變脈衝響應

一線性系統的**時變脈衝響應** _h_(_t_2,_t_1) 定義為系統對於在 _t_ = _t_1 時間的單一脈衝，在 _t_ = _t_2 時間的響應。若系統的輸入為

　
: $x(t)=\delta (t-t_{1})\,$

其中 δ(_t_) 表示狄拉克 δ 函數，而其對應的系統輸出為

　
: $y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})\,$

則函數 _h_(_t_2,_t_1) 則為系統的時變脈衝響應。

## 時變卷積

### 連續時間系統

任何連續時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷積（convolution integral）：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,s)x(s)ds$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t-\tau )x(t-\tau )d\tau $

其中

　
: $\tau =t-s\,$

表示輸入的時間 _s_ 和響應的時間 _t_ 之間的時間差。

### 離散時間系統

任何離散時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷和（convolution sum）：

　
: $y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n,k]x[k]}$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,n-m]x[n-m]}$

其中

　
: $m=n-k\,$

表示輸入的時間 _k_ 和響應的時間 _n_ 之間的時間差。

## 因果性

一個線性系統滿足**因果性**是指滿足以下特性的系統：只要時間 _t_ 在輸入時間 _s_ 之前，其脈脈衝響應 $h(t,s)$ 均為零，也就是以下的式子一定會成立：

　
: 若 $t<s$ , 則 $h(t,s)=0$

表示在時間 _s_ 時的脈衝其響應只會在時間 _s_ 之後出現，在時間 _s_ 之前脈衝響應為零。

一個滿足因果性的系統稱為因果系統。在因果系統中，時間 _s_ 時的輸入信號只會影響時間 _s_ 之後的輸出信號，不會影響時間 _s_ 之前的輸出信號。

## 參照

* 代數幾何中的 Linear system of divisors
* 線性時不變系統理論
* 系統分析
* 線性方程組
* 非線性系統

## 參考資料
線性組合

**線性組合**（英語：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表達式。其中 $v_{i}$ 為任意類型的項， $a_{i}$ 為純量。這些純量稱為線性組合的**係數**或權。

　
: $w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$

## 定義

 $S$ 為一向量空間 $V$ （附於體 $F$ ）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於 $S$ ，和對應的純量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}$ 屬於 $F$ ，使得 $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$ ，則稱 $v$ 是 $S$ 的線性組合。

規定： $0$ 向量是空集合的線性組合。

## 線性生成

_S_ 為域 _F_ 上向量空間 _V_ 的子集合。

所有 _S_ 的有限線性組合構成的集合，稱為 _S_ 所生成的空間，記作 span (S)。

任何 _S_ 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 _V_ 的子空間（所以包含 0 向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span (S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span (S) 上）

## 線性無關

對於一個向量集 S =｛_v_1,...,_v_n｝,
若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合，

　
: $v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).$

另一種表述方式是，如果將它們相減 ( $c_{i}:=a_{i}-b_{i}$ ) ，得到一個純量不全等於零的線性組合，而它的值為零：

　
: $0=\sum c_{i}v_{i}.$

那麼 _v_1,...,_v_n 稱為「線性相關」；否則它們為線性無關。

若 _S_ 是線性無關，而 S 的生成空間等於 _V_，那麼 _S_ 是 _V_ 的基。

## 仿射組合，錐組合及凸組合

仿射組合，錐組合和凸組合對線性組合的係數有一定的限制。

因為這些組合的限制更加嚴格，所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此，仿射子集，凸錐，和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間，凸錐，也是凸集，但凸集不一定是向量子空間，仿射子空間，或凸錐。

這些概念的產生是由於對於一些特定的數學對象，人們可以採用某些線性組合，但並非任何線性組合：例如，概率分布在凸組合下是閉合的，並且它們形成一個凸集；但在錐組合，仿射組合，或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的，但在仿射或線性組合下不是。因此，我們將帶正負符號的測度定義為它的線性閉包。

線性和仿射組合可以在任何域或環上定義，但錐組合和凸組合需要「正數」的概念，因此只能在有序域或有序環上定義，最常見的例子是實數。

如果僅允許乘以純量而不允許相加，則我們得到一個（不一定是凸的）圓錐；通常來說，定義中只允許乘以正純量。

所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集，而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外，因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。

## 另見

* 凸組合
* 仿射組合：係數之和為 1 的線性組合
線性群

在數學中，一個**矩陣群**（matrix group）_G_ 由某個體 _K_（通常為了方便是固定的）上可逆方塊矩陣組成，群運算分別為矩陣乘法與矩陣乘法的逆運算。更一般地，我們可考慮一個交換環 _R_ 上的 _n_ × _n_ 矩陣（矩陣的大小限制為有限，因為任何群可表示為任何體上一個無限矩陣群）。**線性群**（linear group）是同構於一個體 _K_ 上矩陣群的抽象群，換句話說，在 _K_ 上有一個忠實有限維表示。

任何有限群是線性的，因為利用凱萊定理可以實現為置換矩陣。在無限群中，線性群組成有趣且易於處理的一類。非線性群的例子包括所有「足夠大」群；例如一個無限集合的無限對稱群。

## 基本例子

在一個交換環 _R_ 上 _n_ × _n_ 矩陣集合 _M_R(_n_,_n_) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環。 _M_R(_n_,_n_) 的單位群稱為在環 _R_ 上 _n_ × _n_ 矩陣的一般線性群，記作 _GL_n(_R_) 或 _GL_(_n_,_R_)。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

## 古典群

某些已被證明有研究價值或性質較好的矩陣群是所謂的古典群。當矩陣群的係數環是實數，這些群是典型李群。當底環是一個有限體，古典群是李型群。這些群在有限單純群分類中起著重要的作用。

## 有限群作為矩陣群

任何有限群同構於某個矩陣群。這類似於凱萊定理說每個有限群同構於某個置換群。因為同構性質是遞移的，我們只需考慮怎樣從一個置換群構造一個矩陣群。

令 _G_ 是在 _n_ 點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換群，設 {_g_1,...,_g_k} 是 _G_ 的一個生成集合。複數體上 _n_×_n_ 矩陣的一般線性群 _GL_n(**C**) 自然作用在向量空間 **C**n 上。設 _B_={_b_1,…,_b_n} 是 **C**n 的標準基。對每個 _g_i 令 _M_i 屬於 _GL_n(**C**) 是將每個 _b_j 送到 _b_gi(_j_) 的一個矩陣。這就是如果置換 _g_i 將點 _j_ 送到 _k_ 則 _M_i 將基向量 _b_j 送到 _b_k。 令 _M_ 是 _GL_n(**C**) 中由 {_M_1,…,_M_k} 生成的子群。_G_ 在 Ω 上的作用恰好與 _M_ 在 _B_ 上的作用相同。可以證明將每個 _g_i 送到 _M_i 的函數擴張成一個同構，這樣每個置換群同構於一個子群。

注意到體（上面用的是 **C**）是無關的，因為 _M_ 包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意體可做同樣的構造，因為元素 0 和 1 在每個體中。

舉一例，令 _G_ = _S_3，3 個點的對稱群。設 _g_1 = (1,2,3) 和 _g_2 = (1,2)，則

　
: $M_{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$

　
: $M_{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

注意到 _M_1_b_1 = _b_2，_M_1_b_2 = _b_3 以及 _M_1_b_3 = _b_1。類似地，_M_2_b_1 = _b_2，_M_2_b_2 = _b_1 以及 _M_2_b_3 = _b_3。

## 表示論與特徵標理論

線性轉換與矩陣（一般地說）在數學中已被充分理解，在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態與特徵標理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個體的同態。

## 例子

* 李群列表、有限單純群列表，以及單李群中有許多例子。
* 參見遞移有限群列表。

## 參考文獻

* Brian C. Hall _Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction_, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
* Wulf Rossmann, _Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics)_, Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
* _La géométrie des groupes classiques_, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
* _The classical groups_, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

## 外部連結

* EoM article _Linear groups_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
線性表

**線性表**（英語：Linear List）是由 n（n≥0）個資料元素（結點）a [0]，a [1]，a [2]…，a [n-1] 組成的有限序列。

其中：

* 資料元素的個數 n 定義為表的長度 = "list".length () （"list".length () = 0（表里沒有一個元素）時稱為空表）
* 將非空的線性表（n>=1）記作：（a [0]，a [1]，a [2]，…，a [n-1]）
* 資料元素 a [i]（0≤i≤n-1）只是個抽象符號，其具體含義在不同情況下可以不同

一個資料元素可以由若干個資料項組成。資料元素稱為記錄，含有大量記錄的線性表又稱為檔案。這種結構具有下列特點：存在一個唯一的沒有前驅的（頭）資料元素；存在一個唯一的沒有後繼的（尾）資料元素；此外，每一個資料元素均有一個直接前驅和一個直接後繼資料元素。

## 線性表的儲存結構

* 順序表
* 連結串列
  * 單連結串列
    * 動態單連結串列
    * 靜態單連結串列
  * 雙連結串列
  * 迴圈連結串列
    * 單迴圈連結串列
    * 雙迴圈連結串列

## 參見

* 資料結構
* 連結串列
* 順序表
* 陣列
* 佇列
* 堆疊
* 廣義表
線性調小波轉換

線性調頻小波轉換是一種時頻分析的方法，用線性調頻波（也稱為小啾波）來表示訊號成分的一種信號轉換。

## 概述

如同小波，線性調頻小波是一小段線性調頻波（Compact），在這段時間內信號的瞬時頻率成線性的增加或減少，而小波則是固定的頻率。

小波轉換調整母小波的頻率和時間位移，而線性調頻小波則是改變瞬時速率改變率以及中央頻率。

線性調頻小波變換在時頻域上的分布則類似短時距傅立葉變換（例如加伯轉換），但是隨著線性調頻頻率改變的速率而有錯切。

通常母線性調頻小波是由線性調頻波乘上一窗函數而成，因此母小波包絡線便是此窗函數。

 圖片中是高斯函數窗函數的母線性調頻小波

 
高斯函數線性調頻小波可如下表示:

　
: $g_{t_{c},f_{c},log(\Delta t),c}(t)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Delta t}}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {t}{\Delta t}})^{2}}e^{j2\pi [c(t-t_{c})^{2}+f_{c}(t-t_{c})]}$

其中 $t_{c}\,$ 是中心時間， $f_{c}\,$ 是中心頻率， $log(\Delta t)\,$ 是時間長度， $c\,$ 是頻率改變的速率。

## 應用

線性調頻小波轉換的應用包括雷達、聲納、信號處理、生醫信號、影像處理。

## 參照

線性調頻

小波轉換

加伯轉換

## 參考資料

* Steve Mann, Simon Haykin. _"The Chirplet Transform: Physical Considerations"_. IEEE Transactions on Signal Processing(1995), Vol.43, No. 11.
* Steve Mann, Simon Haykin. _"The Chirplet Transform: A Generalization of Gabor's Logon Transform",Vision Interface(1991),June 3-7, P.205._
線性調頻

**啁啾**（Chirp）是指頻率隨時間而改變（增加或減少）的信號。其名稱來源於這種信號聽起來類似鳥鳴的啾聲。

## 定義

### 瞬時頻率

當有一信號 $x(t)=A\sin(\phi (t))$ ，其**瞬時角頻率**為

　
: $\omega (t)={\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}},$

經適當歸一化所得**瞬時頻率**為

　
: $f(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}.$

### 啁啾度

對前兩式再求導，得到瞬時角頻率的變化速率為**瞬時角啁啾度**（英語：instantaneous angular chirpyness）

　
: $\gamma (t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi (t)}{\mathrm {d} t^{2}}},$

類似有**瞬時（普通）啁啾度**（英語：instantaneous ordinary chirpyness）為

　
: $c(t)={\frac {1}{2\pi }}\gamma (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}.$

## 分類

### 線性

有種啁啾的瞬時頻率 $f(t)$ 呈線性變化，即有 $f(t)=f_{0}+ct$ ，其中

　
: $c={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}$

為常值。積分計算出，相位為 $t$ 的二次函數：

　
: ${\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}\left(c\tau +f_{0}\right)\,\mathrm {d} \tau \\&=\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right),\end{aligned}}$

從而信號在時域表示為

　
: $x(t)=A\cos \left(\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right)\right).$

此種訊號又稱**二次相位訊號**。

#### 傅立葉變換

因為是實數輸入，所以其快速傅立葉轉換會是對稱於中心的

　
:

## 範例與應用

### 音頻訊號

在大自然中常常可以遇到啁啾信號，例如鳥叫聲、音樂的滑音、動物發聲的聲音（青蛙、鯨魚）以及人類語音，通常會使用正弦、餘弦的模型去表示之，而這樣的模型去做疊加即可模擬出許多大自然的訊號。

### 雷達與聲納系統

啁啾信號也常用於天然聲納系統的觀察，大多數種類的蝙蝠可以利用啁啾信號，直接控制回聲定位系統，這種情況也類似於人類的雷達與聲納系統，為了能夠測量長距離又保留時間的解析度，雷達需要短時間的派衝波但是又要持續的發射信號，啁啾信號可以同時保留連續信號和脈衝的特性，因此被應用在雷達和聲納探測上。

### 波物理學

低頻率的啁啾信號可用作觀察大氣層中之電離層的訊號。

### 機械與震動學

對於汽車發動、或是氣體點火室的頻率對時間變化量也會用到啁啾信號，除了音樂以外，在記錄震動的儀器中也常常會使用到、觀察到啁啾信號。

### 生物學和醫學

在生物醫學信號裡面，例如腦電圖（EEG）或是與懷孕有關的子宮肌電圖檢查（EMG）也會遇到許多與啁啾信號有關的相關訊號，進而去分析與探討受測體的生理情況。

### 臨界現象

在一些關鍵現象中，啁啾信號已經被證明與許多奇異行為有關，透過加速震盪的啁啾信號可以分析出地震、金融海嘯、投資泡沫等情況的徵兆。

## 參考資料

* Steven W. Smith, Ph.D._"The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing"_,Chapter 11.[2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Time-frequency and chirps, Patrick Flandrin [3]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Chirp Signal – Frequency Sweeping – FFT and power spectral density [//web.archive.org/web/20201002044517/http://www.gaussianwaves.com/2014/07/chirp-signal-frequency-sweeping-fft-and-power-spectral-density/ 頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [3]]
線性賦範向量空間

在數學中，**賦範向量空間**（英語：Normed vector space）是具有「**長度**」概念的向量空間。是通常的歐幾里得空間 **R**n 的推廣。**R**n 中的長度被更抽象的範數替代。「長度」概念的特徵是：

1. **零向量**的長度是零，並且任意向量的長度是非負實數。
2. 一個向量 _v_ 乘以一個純量 _a_ 時，長度應變為原向量 _v_ 的 |_a_|（ _a_ 的絕對值）倍。
3. 三角不等式成立。也就是說，對於兩個向量 _v_ 和 _u_ ，它們的長度和（「三角形」的兩邊）大於 _v_+_u_ （第三邊）的長度。

一個把向量映射到非負實數的函數如果滿足以上性質，就叫做一個半範數；如果只有零向量的函數值是零，那麼叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做**賦範向量空間**，擁有半範數的叫做**半賦範向量空間**。

## 定義

一個半賦範向量空間（_E_,_p_）由一個向量空間 _E_ 以及一個 _E_ 上的半範數 _p_ 構成。

一個賦範向量空間（_E_,||・||）由一個向量空間 _E_ 以及一個 _E_ 上的範數 ||・|| 構成。

 

## 拓撲結構

設（_E_,||・||）是一個賦範向量空間，那麼由範數 ||・|| 很自然地定義了一個拓撲上的距離：

　
: $\mathbb {E} \times \mathbb {E} \longrightarrow \mathbb {R} $

　
: $\ (x,y)\mapsto \Vert x-y\Vert $

由此就定義了一個 _E_ 上的拓撲結構，稱為範數 ||・|| 誘導的自然拓撲。這也是使得函數 ||・|| 連續的最弱的拓撲。此外，這個自然拓撲和向量空間的線性結構相容，因為：

1. 向量加法：**+** 在此拓撲下是連續的，這可以由範數的三角不等式性質得出。
2. 向量的數量乘法 **·** 在此拓撲下是連續的，這也可由範數的線性性和三角不等式性質得出。

對於半賦範向量空間，可以定義類似的函數，這時 _E_ 成為一個半度量空間（弱於度量空間）。在其中我們也可以定義連續和收斂等概念。更抽象地說，每個半賦範向量空間都是一個拓撲空間，其拓撲結構由它的半範數誘導。

在賦範向量空間中，完備的賦範向量空間特別重要，稱為巴拿赫空間。每個賦範向量空間都是一個巴拿赫空間的稠密子空間，這個巴拿赫空間由此賦範向量空間唯一確定，稱為它的完備空間。

在拓撲的角度來說，有限維的向量空間上的任意兩個範數都是等價的，即它們誘導出相同的拓撲結構（儘管由它們各自定義的度量空間並不相同）。由於歐幾里得空間是完備的，我們可以推出每個有限維的賦範向量空間都是巴拿赫空間。實際上對自然拓撲來說，任意有限維的賦範向量空間都同胚於歐幾里得空間 **R**n。

一個賦範向量空間被稱為局部緊緻的，如果單位球 $B={x\ |\ \Vert x\Vert \leq 1}$ 是緊集。由里斯引理可知，一個賦範向量空間局部緊緻若且唯若它的維數有限。實際上，這個定理證明了對任意的拓撲空間（不一定是由範數誘導的度量空間）都有這個結論。

## 線性轉換和對偶空間

在賦範向量空間之間的線性轉換中，最重要的是連續線性轉換，賦範向量空間和連續線性轉換一起構成一個範疇。

範數自身，作為函數，是連續的。任意兩個有限維的賦範向量空間之間的線性轉換也都是連續的。

兩個賦範向量空間之間的一個等距轉換 _f_ 是指使得對任意向量 _v_ 都有 ||_f_(_v_)|| = ||_v_|| 的線性轉換。保距轉換總是連續的單射。如果兩個賦範向量空間之間的一個等距轉換是滿射，那麼稱其為一個**等距同構**。兩個保距同構的賦範向量空間在拓撲的意義上可以說是相等的（擁有相同的性質；在一者中成立的命題，在另一者中也成立）。

對於在域 _K_ 上的賦範向量空間（_E_,||・||），我們可以考慮它關於 ||・|| 的對偶空間 _E\*_ ，也就是所有從 _E_ 射到 _K_ 的連續線性轉換（一般稱為「**函子**」）構成的空間。對於一個函子 $\phi $ ，定義它的範數是 $|\phi (v)|$ 的上確界，其中 _v_ 是 _E_ 中範數為 1 的所有向量。由於函子是連續的，這個上確界存在。這樣我們就將 _E\*_ 定義成為一個賦範向量空間。
關於賦範向量空間上的連續線性函子有哈恩 - 巴拿赫定理。

## 商空間

很多賦範向量空間（特別是巴拿赫空間）的定義涉及到空間上定義的半範數。賦範向量空間可以定義為一個空間關於半範數為零的元素的商空間。比如說，對於 Lp 空間的定義，考慮所有函數組成的空間上的函數：

　
: $\Vert f\Vert _{p}=\left(\int |f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}$

是一個半範數，它對所有能使式子右邊勒貝格可積的函數有定義。然而，對於任意定義在勒貝格測度為 0 的支撐上的函數，其半範數皆為 0 。在「除掉」這些函數（將它們歸為 0 函數的等價類）之後，得到的商空間就是一個賦範向量空間：Lp 空間。

## 空間的直積

給定 _n_ 個半賦範向量空間（_E_i,_q_i） ，我們可以定義它們的直積空間 _X_ 為：

　
: $X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}$

其中向量的加法定義為：

　
: $(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots x_{n}+y_{n})$

數量乘法定義為：

　
: $\alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})$

我們定義一個函數 _q_：

　
: $q:X\mapsto \mathbb {R} $

比如說：

　
: $q:(x_{1},\ldots ,x_{n})\to \sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})$

這是 _X_ 上的一個半範數。_q_ 是範數若且唯若 _q_i 都是範數。

對大於 1 的 _p_ ，_q_ 也可以定義為：

　
: $q:(x_{1},\ldots ,x_{n})\to \left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

這些半範數都是等價的。通過泛代數的結論可以證明，任意的有限維半賦範向量空間都可以表示成一個賦範向量空間和一個有平凡的半範數的半賦範向量空間的直積空間。因此，半賦範向量空間的比較有趣或「反常」的例子都是無限維的。

## 參考資料

* 賦範空間介紹
* [1] [2]，武漢大學線上課程【已失效】

## 參見

* 局部凸空間，半賦範向量空間的推廣。
* 巴拿赫空間，範數誘導的度量完備的賦範向量空間。
* 內積空間，其上的內積可以誘導一個範數。
線性近似

在數學中，**線性近似**就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數。

例如，有一個實數變量的可導函數 _f_，根據 _n_=1 的泰勒公式

　
: $f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}$

其中 $R_{2}$ 是餘數。捨去餘數就是線性近似：

　
: $f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)$

當 _x_ 無限接近於 _a_ 的時候這個等式成立。右側的表示是 _f_ 在點 (_a_, _f_(_a_)) 處的切線，因此這個過程也叫作**切線近似**。

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如，一個有實數變量的可導函數 $f(x,y)$ ，可以用函數 $f(x,y)$ 在接近 $(a,b)$ 的 $(x,y)$ 點處的值來近似

　
: $f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

方程右側是 $z=f(x,y)$ 在點 $(a,b).$ 處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

　
: $f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$

其中 $Df(a)$ 是函數 $f$ 在 $a$ 處的 Fréchet 導數。

## 例子

可以通過下面的過程求得 ${\sqrt[{3}]{25}}$ 的值。

1. 設函數 $f(x)=x^{1/3}.\,$ ，問題簡化為求 $f(25)$ 的值。
2. 可以得到

　
: $f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.$
3. 根據線性近似

　
: $f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.$
4. 結果 2.926 非常接近於實際值 2.924
線性迴歸分析

**迴歸分析**（英語：Regression Analysis）是一種統計學上分析數據的方法，目的在於了解兩個或多個變數間是否相關、相關方向與強度，並建立數學模型以便觀察特定變數來預測研究者感興趣的變數。更具體的來說，迴歸分析可以幫助人們了解在只有一個自變數變化時應變數的變化量。一般來說，通過迴歸分析我們可以由給出的自變數估計應變數的條件期望。

迴歸分析是建立被解釋變數 $Y$ （或稱應變數、依變數、反應變數）與解釋變數 $X$ （或稱自變數、獨立變數）之間關係的模型。簡單線性迴歸使用一個自變數 $X$ ，複迴歸使用超過一個自變數（ $X_{1},X_{2}...X_{i}$ ）。

## 起源

迴歸的最早形式是最小平方法，由 1805 年的勒壤得（Legendre），和 1809 年的高斯（Gauss）出版。勒壤得和高斯都將該方法應用於從天文觀測中確定關於太陽的物體的軌道（主要是彗星，但後來是新發現的小行星）的問題。 高斯在 1821 年發表了最小平方理論的進一步發展，包括高斯－馬可夫定理的一個版本。

「迴歸」一詞最早由法蘭西斯・高爾頓（Francis Galton）所使用。他曾對親子間的身高做研究，發現父母的身高雖然會遺傳給子女，但子女的身高卻有逐漸「迴歸到中等（即人的平均值）」的現象。不過當時的迴歸和現在的迴歸在意義上已不盡相同。

在 1950 年代和 60 年代，經濟學家使用機械電子桌面計算器來計算迴歸。在 1970 年之前，這種計算方法有時需要長達 24 小時才能得出結果。

## 迴歸分析原理

* 目的在於找出一條最能夠代表所有觀測資料的函數曲線（迴歸估計式）。
* 用此函數代表因變數和自變數之間的關係。

### 母數估計

* 動差估計（Method of Moment、MOM）
* 最小平方法（Ordinary Least Square Estimation, OLSE）
* 最大概似估計（Maximum Likelihood Estimation, MLE）

## 迴歸模型

迴歸模型主要包括以下變數：

* **未知母數**，記為 $\beta $ ，可以代表一個純量或一個向量。
* **自變數**， $\mathbf {X} $ 。
* **應變數**， $Y$ 。

迴歸模型將 $Y$ 和一個關於 $\mathbf {X} $ 和 $\beta $ 的函數關聯起來。

在不同的應用領域有各自不同的術語代替這裡的「自變數」和「應變數」。

　
: $Y\approx f(\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\beta }})$

這個估計值通常寫作: $E(X|Y)=f(\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\beta }})$ 。

在進行迴歸分析時，函數 $f$ 的形式必須預先指定。有時函數 $f$ 的形式是在對 $Y$ 和 $\mathbf {X} $ 關係的已有知識上建立的，而不是在數據的基礎之上。如果沒有這種已有知識，那麼就要選擇一個靈活和便於迴歸的 $f$ 的形式。

假設現在未知向量 $\beta $ 的維數為 _k_。為了進行迴歸分析，必須要先有關於 $Y$ 的訊息：

* 如果以 _$(Y,\mathbf {X} )$_ 的形式給出了 $N$ 個數據點，當 $N<k$ 時，大多數傳統的迴歸分析方法都不能進行，因為數據量不夠導致迴歸模型的系統方程式不能完全確定 $\beta $ 。
* 如果恰好有 $N=k$ 個數據點，並且函數 $f$ 的形式是線性的，那麼方程式 $Y=f(\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\beta }})$ 能精確求解。這相當於解一個有 $N$ 個未知量和 $N$ 個方程式的方程組。在 $\mathbf {X} $ 線性獨立的情況下，這個方程組有唯一解。但如果 $f$ 是非線性形式的，解可能有多個或不存在。
* 實際中 $N>k$ 的情況占大多數。這種情況下，有足夠的訊息用於估計一個與數據最接近的 $\beta $ 值，這時當迴歸分析應用於這些數據時，可以看作是解一個關於 $\beta $ 的超定方程式。

在最後一種情況下，迴歸分析提供了一種完成以下任務的工具：
⒈找出一個未知量 $\beta $ 的解使應變數 $Y$ 的預測值和實際值差別最小 (又稱最小平方法)。

⒉在特定統計假設下，迴歸分析使用數據中的多餘訊息給出關於應變數 $Y$ 和未知量 $\beta $ 之間的關係。

## 迴歸分析的種類

### 簡單線性迴歸

**簡單線性迴歸**（英語：simple linear regression）

* 應用時機
1. 以單一變數預測
2. 判斷兩變數之間相關的方向和程度

### 複迴歸（或多變數迴歸）

**複迴歸分析**（英語：multiple regression analysis）是簡單線性迴歸的一種延伸應用，用以瞭解一個依變項與兩組以上自變項的函數關係。

### 對數線性迴歸

**對數線性迴歸**（英語：Log-linear model），是將解釋變項（實驗設計中的自變項）和反應變項（實驗設計中的依變項）都取對數值之後再進行線性迴歸，所以依據解釋變項的數量，可能是對數簡單線性迴歸，也可能是對數複迴歸。

### 非線性迴歸

### 對數機率迴歸

**對數機率迴歸**（英語：Logistic Regression）

### 偏迴歸

**偏迴歸**（英語：Partial Regression）

### 自我迴歸

#### 自我迴歸滑動平均模型

#### 差分自我迴歸滑動平均模型

#### 向量自我迴歸模型

## 參閱

## 參考資料

## 外部連結

1. 解讀迴歸分析的原理及結構
線性邏輯

在數理邏輯中，**線性邏輯**是拒絕「弱化」和「收縮」的結構規則的一種亞結構邏輯。對此解釋是「假設是資源」: 在證明中所有假設必須被消費「精確一次」。這區別於平常的邏輯比如經典邏輯或直覺邏輯，那裡統治判斷是「真理」，它可以按需要被自由的使用多次。例如，從命題 _A_ 和 _A_ ⇒ _B_ 能按如下步驟得出結果 _A_ ∧ _B_:

1. （1）在假定 _A_ 和 _A_ ⇒ _B_ 上應用肯定前件（或蘊涵除去）得到結論 _B_。
2. （2）_A_ 和（1）的合取的得到結論 _A_ ∧ _B_。

這經常被符號化表示為相繼式：_A_, _A_ ⇒ _B_ $\vdash $ _B_。在上述證明中 "消費" 了 _A_ 為真的事實；這種真理的 "自由" 通常是在形式化數學中所需要的。

但是，真理經常在應用於關於這個世界的陳述的時候太抽象或不實用。比如，假設我有一夸脫的牛奶，我能用它製作一磅奶酪。如果我決定把我的所有牛奶都製成奶酪，我就不能下結論說我有牛奶和奶酪二者！上面的邏輯模式讓我們得到結論：牛奶, 牛奶⇒奶酪 $\vdash $ 牛奶∧奶酪（這裡的牛奶表示命題 "我有一夸脫牛奶"，等等）。普通邏輯建模這個活動失敗是由於牛奶、奶酪一般是資源：資源的數量不像真理是可以隨意使用和支配的自由事實，而是必須在所有 "狀態變更" 中仔細計量的。關於牛奶制奶酪活動的準確陳述是：

　
: 從一夸脫牛奶和從一夸脫牛奶轉換出一磅奶酪的過程，我們獲得一磅奶酪。

在線性邏輯中我們寫為：牛奶, 牛奶奶酪 $\Vdash $ 奶酪，使用了不同的連結詞（替代了⇒）和不同的邏輯蘊涵符號。

線性邏輯由法國數學家讓・伊夫・吉拉德（Jean-Yves Girard）在 1987 年提出。

## 參見

* 證明網絡
* 博弈語義
* 直覺邏輯
* 可計算性邏輯
* 直覺主義
* BHK 釋義
* 直覺類型論
* 經典邏輯
* 中間邏輯
* 構造性證明
* Curry-Howard 對應
* 可計算性邏輯

## 外部連結

* Patrick Lincoln （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）'s excellent Introduction to Linear Logic（Postscript）
線性關係

在現代學術界中，**線性關係**一詞存在 2 種不同的含義。其一，若某數學函數或數量關係的函數圖形呈現為一條直線或線段，那麼這種關係就是一種**線性**的關係。其二，在代數學和數學分析學中，如果一種運算同時滿足特定的「加性」和「齊性」，則稱這種運算是**線性**的。

## 定義

如果稱一個數學函數 $L(x)$ 為線性的，可以是指：

* 定義 1： $L(x)$ 是個只擁有一個變數的一階多項式函數，即是可以表示為 $L(x)=kx+b$ 的形式（其中 $k,b$ 為常數）。
* 定義 2： $L(x)$ 具有以下兩個性質：
  * 可加性： $L(x+t)=L(x)+L(t)$
  * 一次齊次性： $L(mx)=mL(x)$

需要注意這 2 種定義分別描述的是 2 類**不同**的事物。**研究高等數學的數學家一般只認定義 2**（有例外，如高等數學「線性回歸」理論中「線性函數」概念的定義），但初等數學和許多非數學學科的書籍會習慣把定義 1 當作線性關係的概念（有的沒有明確給出定義，但確是如此理解和使用的）。這種術語間的細微差異如果不注意的話，就容易引起混淆。

定義 1 的定義動機是把函數圖像為直線的數量關係稱作線性的關係。從這種幾何意義出發，定義 1 本來不具有對多元函數進行推廣的必要，因為形如 $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=k_{1}*x_{1}+k_{2}*x_{2}+...+k_{n}*x_{n}+b$ 的函數（其中各個 $k_{i}$ 和 $b$ 均為常數）的圖形根本不是直線，而是平面或超平面，因此也就談不上「線」性了。但還是有這種做法出現，如有「多元線性方程組」的叫法（叫「多元超平面方程組」可能更合適）。

但是，如果只考慮二維實數平面，則定義 1 可藉由坐標移軸之後而符合定義 2 的型式。故要視定義 1. 為線性，實質上需要嚴格的限制條件，或者說，定義 1 其實是由定義 2 在受到某些條件限制下所產生的變化形式。

## 例子

* 按照定義 1，一次函數描述的都是不同變量間的線性的數量關係。而高次函數描述的都不是線性的數量關係。比如 $y_{1}=3x$ ， $y_{2}={\frac {1}{3}}x$ 和 $y_{3}=3x+1$ 都屬於這種意義下的線性函數，但 $y_{4}=x^{2}$ ， $y_{5}=x+z$ ， $y_{6}=x+z+2$ 和 $y_{7}=xz$ 則不是。（如果將這種意義下的「線性」概念推廣到多元函數，則 $y_{6}$ 也能算。事實上，「多元線性回歸」中的「線性」指的就是這種線性。）
* 而按照定義 2，若以一元函數為例，則截距為 0 的一次函數（即正比例函數）屬於線性函數，但截距不為 0 的一次函數不屬於線性函數。又如 $y_{1}=3x$ ， $y_{2}={\frac {1}{3}}x$ 和 $y_{5}=x+z$ 都屬於這種意義下的線性函數，但 $y_{3}=3x+1$ ， $y_{4}=x^{2}$ ， $y_{6}=x+z+2$ 和 $y_{7}=xz$ 都不是。

## 數學

在初等數學中（主要是與方程組及一次函數有關的理論），使用的是定義 1。

但在高等數學（尤其是純數學）中所說的線性一般是用定義 2 來給出定義。如對線性相關和線性變換的定義。但初等數學中有關「線性」的一些習慣術語也然在高等數學沿用，如**線性回歸**。

## 物理

在物理學中，線性的 2 種含義都有出現。「線性」如果是源於形容圖像的形狀，則其含義按定義 1 理解。比如線性元件的概念。一般在需要作圖的實驗物理學中會經常遇到這種含義，尤其是中學物理。「線性」如果是涉及數學分析學（比如說高等線性代數（即線性泛函分析）或微分方程理論）的概念，則其含義按定義 2 理解。一般在用到較多高深數學的理論物理學中會經常遇到這種含義。

## 應用

直線的圖像容易分辨。斜率和截距通常也是變量的函數，通過測定斜率和截距，可以推知一些主要變量的數值。對於某些非直線的函數關係，比如 $y=k*x^{2}$ （假定 $k$ 是未知的常係數），如果要驗證實驗所得的數據是否符合該非線性關係式，直接描點連線作圖是難以直觀地判斷出數據與假設關係式的接近程度的（畫出來是個拋物線）。這時可以嘗試使用變量替換的方法，把非線性關係轉換為線性關係，從而便於作圖，也便於判斷。對等式兩邊同時取對數可得 $\log {y}=\log {(k*x^{2})}\rightarrow \log {y}=\log {k}+2*\log {x}$ ，作代換 $y_{1}=\log {y},x_{1}=\log {x},b=\log {k}$ ，則可得 $y_{1}=b+2*x_{1}$ 。這時再作圖，就容易看出數據和假設模型的偏離程度，還可以根據截距 b 估算出參數 k 的數值。這種將非線性關係轉換為線性關係後再作圖的方法只適用於少數函數，但因為作圖的結果一目了然，所以是一種重要的數據處理方法。

## 另見

* 非線性關係

## 腳註與參考資料

### 腳註

### 腳註所引資料

* 杜傑，劉啟華。非线性科学的回顾。南京工業大學學報 (中國社會科學院官方網站). 2004 年，(02 期). （原始內容存檔於 2016-08-09） （中文（中國大陸））. 所謂線性，是指量與量之間的關係用直角坐標系形象地表示出來時是一條直線。在數學上，主要通過對算子的描述來討論系統的線性與否... 線性系統中部分之和等於整體，描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解。
* 梁燦彬，秦光戎，梁竹健。电磁学。普通物理學教程 第 2 版。高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-013840-9 （中文（中國大陸））.
* 趙凱華，陳熙謀。电磁学。新概念物理教程 第 1 版。高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-011693-6 （中文（中國大陸））.
線性闭包

在數學分支線性代數之中，向量空間中一個向量集合的**線性生成空間**（linear span，也稱為**線性包** linear hull），是所有包含這個集合的線性子空間的交集，從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。

## 定義

給定域 _K_ 上的向量空間 _V_，集合 _S_（不必有限）的生成空間定義為所有包含 _S_ 的線性子空間 _V_ 的交集 _W_，稱 _W_ 為由 _S_（或 _S_ 中的向量）生成的子空間。

如果 $S=\{v_{1},...,v_{r}\}\,$ 是 _V_ 的有限子集，則生成空間為

　
: ${\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.$

## 解釋

_S_ 的生成空間也可定義為 _S_ 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證：_S_ 中向量的有限線性組合的集合是包含 _S_ 的一個向量空間，反之任何包含 _S_ 的向量空間必然都包含 _S_ 中向量的有限組合，故兩個定義是等價的。

如果 _S_ 的生成空間是 _V_，則 _S_ 稱為 _V_ 的**生成集合**（spanning set）。_V_ 的一個生成集合不必是 _V_ 的一組基，因其不必是線性無關的。但是，對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說，_V_ 的生成集合是一組基若且唯若 _V_ 的任何向量可以唯一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 _V_ 是無限維向量空間，_S_ 是無窮集合，則 _S_ 中的無限個向量的線性組合（如果收斂的話）不一定屬於 _S_ 的生成空間。

## 例子

* 實向量空間 **R**3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合，這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基，因為它們不是線性獨立的。
* 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 **R**3 的生成集合；它的生成空間是 **R**3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。
* 設 _V_={ (x,y,z) ∈**R**3 |_x_+_y_-_z_=0 }，則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 _V_ 的一個生成集合，也是一組基。

## 定理

**定理 1**：向量空間 _V_ 的非空集合 _S_ 生成的子空間是 _S_ 中向量的所有有限線性組合；

　
: 如注釋中所說，這個定理如此熟知，以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。

**定理 2**：設 _V_ 是一個有限維向量空間，則 _V_ 的任何生成集合 _S_ 去掉一些向量（如果必要的話）可以簡化為 _V_ 的一組基。

　
: 取 _V_ 任意一組基（有限集），將這組基表示為 _S_ 中一些向量的有限組合，只用到 _S_ 中有限個向量，這有限個向量的生成集合包含這組基，從而包含 _V_，故第一步可將 _S_ 簡化為有限集；如果 _S_ 中向量不是線性無關的，則至少有一個向量能寫成其他向量的組合，去掉這個向量剩下的也能生成 _V_。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關，這便簡化為一組基了。

　
: 這也說明當 _V_ 是有限維時，一組基是極小生成集合。

## 性質

* 假設 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 是向量空間 _V_ 中 _n_ 個向量，那麼

　
: ${\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).$

* _n_ 個向量生成空間的維數不大於 _n_，等於 _n_ 若且唯若這些向量線性無關。
* 假設 $S$ 與 $S'$ 是向量空間 $V$ 中兩個集合，則有：
   * $S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');$
  * ${\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').$

## 線性生成空間與直和

設 $U$ 與 $V$ 是線性空間 $W$ 的兩個線性包，線性包 $\left\langle U\cup V\right\rangle $ 稱為 $U$ 與 $V$ 的**和**,
 $U+V=\left\langle U\cup V\right\rangle =\left\{u+v|u\in U,v\in V\right\}$ , 如果 $U\cap V=0$ ，則稱 $U+V$ 為直和，記為 $U\oplus V$

## 參考文獻

* M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 藍以中，《高等代數簡明教程》（上冊），北京大學出版社，2002 年 8 月。
* 《代數學引論（第二卷）》/（俄）A.H. 柯斯特利金著；牛鳳文譯.- 北京：高等教育出版社，2008.1 ISBN：978-7-040-21491-8
線性雜湊

**線性散列**（英語：Linear Hashing）是一種散列方法，它有幾項特點：

* 沒有目錄。
* 可藉由控制負荷因子來延遲分裂。
* 分裂指標 ：指向下一個要分裂的資料欄，在完整擴張後要重設分裂指標。
* 檔案等級 ：在完整擴張後要檔案等級。
* 區塊數目 ：區塊數目會線性增加。

## 演算法

### 插入

1. 輸入資料先放入同一資料欄內，每次輸入資料都要運算負荷因子，以便檢查負荷因子是否超過門檻，如果超過負荷因子，則要針對分裂指標所指的資料欄進行完整擴張。
2. 如果完整擴張則要重設分裂指標，而完整擴張會使分裂因子所指的資料欄分裂為原來的兩倍。
3. 持續輸入資料直到資料輸入完畢。
線性電壓調節器

**線性電壓調節器**（英語：Linear regulator），又稱**線性穩壓器**、**線性調節器**，是一種元件，作用是保持電壓穩定。穩壓器的電阻會因應負載及輸入電壓的變化，以達至輸出電壓穩定不變。其動作尤如一不停自動調節阻值的可變電阻，使之與負載得出的分壓保持固定，而過程中因輸出與輸入電壓差而多出的能量則以發熱的形式消散掉。而開關式穩壓器是不停高速地在導通 / 斷開之間切換，使得輸出的平均值保持在所需電壓值。輸入線性穩壓器的電壓必須高於輸出電壓，好讓穩壓器內能作出降壓作用以達至輸出穩定，因此效率受限制。

線性穩壓器可以是置於電源和負載之間（串聯穩壓器），或與負載並聯（並聯穩壓器）。簡單的線性穩壓器可以只包含稽納二極體和一枚串聯電阻器；更複雜的線性穩壓器包含多個組成部份：參考電壓、誤差放大器和功率傳輸元件。由於線性穩壓器被廣泛應用，因此多被製成積體電路，但也可以固態電子元件或真空管等分立元件構成。

## 總述

以電晶體（或其它元件）調節流過負載的電流，負載所得的電壓就是穩壓器的輸出電壓。比較輸出電壓與穩壓器內部的參考電壓，所產生的差動訊號用作控制電晶體，形成一個負回饋迴路，加上適當的補償，輸出電壓就能調整下降至目標電壓，不受輸入電壓或負載變動影響，並保持合理地穩定。

線性穩壓器必須在輸入電壓高於輸出不少於某電壓值時輸出才能穩定至目標電壓，這個最少的電壓稱為壓降電壓、下壓降、電壓差 (dropout)。例如常用的 7805，作用是把輸出保持在 5V，但輸入必須保持在 7V 以上，否則輸出就會低於目標電壓 5V 以下，故其壓降電壓就是 7V-5V=2V。由於須有壓差的存在，線性穩壓器效率大都很低：因為其原理就是要將多於穩定電壓下負載所需的能量，在電晶體內以散發熱能的形式消耗掉。而電晶體發熱所造成的功率損失就是電流乘以電晶體兩端壓降。

這個問題在低輸出電壓的情況尤其嚴重，假若輸出要求為 2V，而壓降電壓同是 2V，效率就必是在 2V/(2V+2V)=50% 或以下，這樣低的效率，在實際應用上多不為接受。這情況下就需使用低壓差穩壓器（LDO），其壓降電壓特別低，一般都在 300mV (0.3V) 或以下，這種情況在微處理器的電源中常遇見。這也是為何幾乎所有低輸出電壓的線性穩壓 IC 都是低壓差穩壓器。

開關電源可以更有效地達至相同的功能，但成本較高及有開關噪聲，在輕負載、輸出電壓較高或輸出電壓接近電源電壓的情況下，線性調節器的效率也不俗，有可能是合適的選擇。線性調節器還具有的優點是：不需要磁性元件（電感器或變壓器），磁性元件可能相對昂貴或占空間；設計更簡單，雜訊也更低。線性調節器的一些設計僅使用電晶體、二極體和電阻器，這就更容易製造到積體電路中，進一步減小它們的質量、在 PCB 上的占位面積和成本。

線性調節器有兩種基本形式：**串聯調節器**和**並聯調節器**。

* **串聯調節器**：更常用的形式。串聯調節器通過提供經由可變電阻的從電源電壓到負載的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「上半」部中）。由調節元件所耗散的功率等於電源輸出電路乘以在調節元件中的壓降。
* **並聯調節器**：通過提供經由可變電阻的從電源電壓到地的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「下半」部中）。將流經並聯調節器的電流從負載轉向出來，並且無用地流向接地，使其比串聯調節器更沒效率。然而，該形式更簡單，有時僅由參考電壓二極體組成；並且用於很低功率的電路，其中耗費電流很小可以忽略。這種形式常用於電壓參考電路。

## 保護功能

若負載超出線性穩壓器設計的承受能力時，可能會導致穩壓器永久損壞，為了避免損壞穩壓器，線性穩壓器可以 (但不一定) 俱備以下保護功能，包括：

* 電流限制，例如恆流限制（constant current limiting）及遞減電流限制（foldback current limiting）
* 過溫度保護（或稱熱關斷）
* 安全工作區保護，即限制功率晶體運作於預定的電流及電壓的工作條件之內，以確保能正常工作及不會導致損壞。這些工作條件包括連續及瞬間脈衝狀態下的最高電壓、電流、溫度、功率。

## 參見

* 78xx - 一種常見的線性調節器類型。
* LM317 - 與 78xx 類似的線性穩壓器晶片可配置輸出電壓。
* 低壓差穩壓器 (LDO)
* 開關電源
線性電機

**直線電動機**（或稱**線性馬達**、**線型馬達**；英文：**linear motor**）是電動機的一種，其原理與傳統的電動機不同，直線電動機是直接把輸入電力轉化為線性動能，與傳統的扭力及旋轉動能不同。

直線電動機又分為低加速及高加速兩大類，當中低加速直線電動機適用於磁懸浮列車及其他地面交通工具，而高加速直線電動機能把物件在短時間內加至極高速度，適用於粒子加速器、製造武器，以及航空母艦的和部分彈射式雲霄飛車的彈射器等。

## 應用

### 軌道交通

日本、中國、美國等國家都在軌道交通採用了直線電動機運轉列車。直線電動機技術主要由加拿大龐巴迪、日本川崎重工業提供。

使用直線電動機軌道交通線路一般採用軌道供電或高架電纜供電，而廣州地鐵 4 號線、廣州地鐵 5 號線和廣州地鐵 6 號線是世界首批採用混合供電的第三軌地鐵系統（車廠使用架空電纜供電，正線採用軌道供電；二者均為 1500 伏特直流電）。

#### 日本

* 東京都營大江戶線
* 橫濱市營地鐵綠線
* 大阪長堀鶴見綠地線、今里筋線
* 福岡市地下鐵七隈線
* 仙台市交通局東西線
* 神戶市營地鐵海岸線

#### 中國

* 廣州地鐵 4 號線、5 號線、6 號線
* 北京地鐵首都機場線、28 號線

#### 美國

* 甘迺迪國際機場捷運
* 底特律旅客捷運系統

#### 加拿大

* 士嘉堡輕鐵
* 溫哥華架空列車博覽線、千禧線

#### 大韓民國

* 龍仁輕電鐵

#### 馬來西亞

* 格拉那再也線

### 飛機彈射器

* 電磁彈射器

### 雲霄飛車

* 如創極速光輪等彈射雲霄飛車
線性電源供應器

**電源供應**（英語：power supply）又稱**電力供應**，通常是指提供電子設備（如伺服器及電腦等）有功功率的電子裝置，即**電源供應器**；也指**電源**（power source）或**供電**。

電源供應器的主要功能是：將來源電力轉換成電子設備可以使用的電壓、電流、頻率以使電子設備可以正常運作，因此電源供應器有時被視為電力轉換器（electric power converter）。有些電源供應器是分離於電子設備獨立裝置，有些則是內建於電子設備中；如電腦和一些消費性電子設備都有內建電源供應器。電源供應器的另一個重要功能是：將電流因負載的消秏控制在一個安全範圍內，在電子設備發生故障時關閉電流。

所有的電源供應器都有電力「輸入連結端」，可接收來自來源電力的電流；而且有一個或多個「輸出連結端」，以傳送電流至所需的設備或零件。

## 電力供應

電力供應包括配電系統，以及中小型的能源供應，例如：

* 市電，電力系統中的配電系統的末端，通常為 110～220V。
* 轉換電力到另一種波形或電壓：整流器、反用換流器、電源供應器
* 電池、行動電源、不斷電系統
* 燃料電池和其他形式的能源儲存系統
* 太陽能電池
* 發電機

對於大型的電源供應，詳見發電。

## 電源供應的類型

* 電池（Battery power supply）
* 線性電源（Linear power supply）
* 開關電源（Switched-mode power supply）
* 程式電源（Programmable power supply）
* 高壓電（High-voltage power supply）
* 多倍壓器

## 過載保護

電源的供應通常包括某種類型的過載保護，保護電源與預防負載故障所造成的短路，避免因為過熱造成火災。

* 保險絲
* PPTC（可復式保險絲、自恢復保險絲、過流保護片）
* 斷路器（無熔絲開關、空氣斷路器、全電子式斷路器）
* 過載繼電器（過載電驛、積熱電驛）

## 供電量

供電量指在供電生產過程中投入的全部的電量，計算供電量的公式為：

地區供電量 = 本地區電壓上網電量 + 輸入電量 - 輸出電量。

## 相關

* 家用電源列表、AC 適配器、Common External Power Supply
* 家用交流電源插頭與插座
* IEC 60320、IEC 60906-1、IEC 60309
* 國家電力消耗排名列表
* 電力價格
* 數位電源

## 延伸導讀

* Croft, Terrell; Summers, Wilford I. 《American Electricans' Handbook》 Eleventh Edition. New York: McGraw Hill. 1987. ISBN 0-070-13932-6.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Fink, Donald G.; Beaty, H. Wayne. 《Standard Handbook for Electrical Engineers》 Eleventh Edition. New York: McGraw Hill. 1978. ISBN 0-070-20974-X.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

## 外部連結

* Learn how to design a power supply
* Design a professional power supply. Example in how to design +12v 5Amps power supply. MATLAB(r) model included.
* Introduction to Bench Power Supplies （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - B&K Precision
* Power Management training （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Texas Instruments
* Introduction to power supplies - National Semiconductor
* A useful Web calculator and theory text for various SMPS topologies （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Power Supply terminology
* European Power Supply Manufacturer Association （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Power Supply Technical Guide
* Nomadic products put power sources to the test （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* High voltage power supply manufacturers
* What should I consider when selecting a Power Supply Unit? - Delta Industrial Power Supplies