算子

在數學領域裡，**算子**（operator）有別於物理的算符，是一種映射，一個向量空間的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一個元素。

算子對於線性代數和泛函分析都至關重要，它在純數學和應用數學的許多其他領域中都有應用。 例如，在經典力學中，導數的使用無處不在，而在量子力學中，可觀察量由埃爾米特算子表示。 各種算子可以具有包括線性、連續性和有界性等的重要性質。

## 定義

設 _U_、_V_ 是兩個向量空間。 從 _U_ 到 _V_ 的任意映射被稱為**算子**。 令 _V_ 是域 _K_ 上的向量空間。我們可以定義包含所有從 _U_ 到 _V_ 算子的集合上的向量空間結構（_A_ 和 _B_ 是算子）：

　
: $(A+B)\mathbf {x} :=A\mathbf {x} +B\mathbf {x} $ ，

　
: $(\alpha A)\mathbf {x} :=\alpha A\mathbf {x} $

對所有 _A, B: U→V，_**x** $\in $ _U_ 和 _α $\in $_ K_。_

從一個向量空間到自身的算子構成一個辛結合代數：

　
: $(AB)\mathbf {x} :=A(B\mathbf {x} )$ ，

單位元素是恆等映射（通常記為 _E_、_I 或_ id）。

### 有界算子和算子範數

令 _U_ 和 _V_ 是同一有序體（例如 $\mathbf {R} $ ）上的兩個賦範向量空間。從 _U_ 到 _V_ 的線性算子被稱為**有界**，如果存在 _C>0_ 滿足

　
: $||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}$

對所有 **x** $\in $ _U_。

有界算子構成一個向量空間。在這個向量空間上，我們可以引入一個與 _U_ 和 _V_ 的範數相容的範數：

　
: $||A||=\inf\{C:||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}\}$ 。

對於從 _U_ 到自身的算子有

　
: $||AB||\leq ||A||\cdot ||B||$ 。

任何具有這一性質的辛賦範代數被稱為 Banach 代數。 可以將譜理論推廣到這樣的代數上。 C\*- 代數是具有一些附加結構的 Banach 代數，在量子力學中起重要作用。

## 特殊情形

### 泛函

泛函是將向量空間映射到其底域的算子。 廣義函數理論和變分法是泛函的重要應用。 兩者對理論物理都非常重要。

### 線性算子

線性算子是最常見的算子。設 _U_ 和 _V_ 是域 _K_ 上的向量空間。算子 _A_：_U_→_V_ 被稱為線性，如果

　
: $A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y} $

對所有 **x**、**y** $\in $ _U_ 和 _α、β_ $\in $ _K_。

線性算子的重要性在於它是向量空間之間的態射。

在有限維情形下，線性算子可以以下面的方式由矩陣表示。 設 $K$ 是一個域， $U$ 和 $V$ 是 $K$ 上有限維向量空間。選擇一組基 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ $U$ 上和一組基 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ 在 $V$ 上。令 $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ 為 $U$ 上的任意向量（假設有愛因斯坦求和約定），且有 $A:U\to V$ 是線性算子。則有

　
: $A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}$ 。

所以有 $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ 是算子 $A$ 在固定基底下的矩陣表示。 $a_{i}^{j}$ 不依賴於 $x$ 的選取，且有 $A\mathbf {x} =\mathbf {y} $ 若且唯若 $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$ 。因此在固定基底下的 n×m 矩陣一一映射到從 $U$ 到 $V$ 的線性算子。

與有限維向量空間之間的算子直接相關的重要概念包括秩、行列式、逆算子和特徵空間。

線性算子在無限維情形也起著重要作用。秩和行列式的概念不能擴展到無限維矩陣。 這就是為什麼在無限維情況下研究線性算子（和一般的算子）時採用非常不同的技術的原因。 在無限維情況下的對線性算子的研究被稱為泛函分析。

實數序列（或更一般地任意向量空間中的向量序列）的空間本身構成無限維向量空間。 最重要的情形是實數或複數序列，這些空間與線性子空間一起被稱為序列空間。 這些空間上的算子被稱為序列轉換。

巴拿赫空間上的有界線性算子在標準算子範數意義下構成 Banach 代數。 Banach 代數理論將特徵空間理論推廣到更一般的譜的概念。

## 例子

### 幾何

在幾何中，有時研究向量空間上的附加結構。 在這些研究中，將這些向量空間一一映射到自身的算子非常有用，它們通過構造自然地構成群。

例如保持向量空間結構的對射算子正是可逆線性算子。 它們構成了一般線性群。 它們算子加法下不是向量空間，例如， _id_ 和 -_id_ 都是可逆的（對射），但它們的和為 0，不可逆。

在這樣的空間上保持歐幾里得度量的算子構成等度群，保持原型不變的子群被稱為正交群。正交群中的保角算子構成特殊正交群。

### 機率論

機率論中也涉及到算子，如期望、變異數、共變異數、階乘等。

### 微積分

從泛函分析的角度來說，微積分是研究兩個線性算子：微分算子 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ 和不定積分算子 $\int _{0}^{t}$ 。

#### 傅立葉級數和傅立葉轉換

傅立葉轉換在應用數學特別是物理學和訊號處理中都是有用的工具。 它是另一種積分算子；它的意義主要在於它以一種有效的可逆的方式將一個時域上的函數轉換為頻域上的函數。 因為是一個可逆轉換算子，所以沒有資訊損失。 在週期函數這一簡單情況下，該結果是基於定理任何連續週期函數可以表示為一系列正弦波和餘弦波的和：

　
: $f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}$ ，

_(a0, a1, b1, a2, b2, ...)_ 實際上是無限維向量空間ℓ2 的元素，因此傅立葉級數是線性算子。

當處理 **R** → **C** 的一般函數時，轉換採用積分形式：

　
: $f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }$ 。

#### 拉普拉斯轉換

拉普拉斯轉換是另一種積分算子，用於簡化求解微分方程式的過程。

對於 _f_ = _f_(_s_)，拉普拉斯轉換定義如下：

　
: $F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ 。

### 純量和向量場上的基本算子

三個算子是向量微積分的關鍵：

* Grad（梯度），（算子符號 $\nabla $ ）在純量場中的每個點對應一個向量，指向該場最大變化率的方向，並且其範數是該最大變化率的絕對值。
* Div（散度），（算子符號 $\nabla \cdot $ ）是一個向量算子，用於描述向量場從給定點向外的發散度或朝向給定點的收斂度。
* Curl（旋度），（算子符號 $\nabla \times $ ）是一個向量算子，用於描述在給定點的向量場旋轉程度。

作為從向量微積分算子到物理、工程和張量空間的延伸，梯度、散度和旋度算子也經常與張量微積分相關聯。 

## 另請參閱

* 運算
* 函數
* 數學符號表
* 向量空間
* 對偶空間
* 算子代數
* Banach 代數
* 算子列表
* 算符
* 算子 (編程)

## 參考文獻