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等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的**等化子**（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數 $f,g$ 的等化子，是方程 $f(x)=g(x)$ 的解集。僅得兩個函數時，也稱為其**差核**，因為等於兩個函數之差的核。

## 定義

設 $X$ 與 $Y$ 為集合。又設 $f,g$ 為從 $X$ 至 $Y$ 的函數。則 $f$ 與 $g$ 的**等化子**為 $X$ 中所有滿足 $f(x)=g(x)$ 的元素 $x$ 的集合，以符號表示為：

　
: $\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$

等化子可以表示成 $\mathrm {Eq} (f,g)$ 或類似的符號，如改成小楷 $\mathrm {eq} $ 。有時非正式地寫成 $\{f=g\}$ 。

上述定義用到兩個函數 $f,g$ ，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若 ${\mathcal {F}}$ 是一族函數，從 $X$ 映向 $Y$ ，則 ${\mathcal {F}}$ 的元素的等化子，是使 $f(x)$ 對所有 $f\in {\mathcal {F}}$ 皆相等的元素 $x\in X$ 的集合。以符號表示：

　
: $\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.$

若 ${\mathcal {F}}$ 可以寫成 $\{f,g,h,\ldots \}$ ，則等化子亦記為 $\mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )$ 。此情況下，亦可非正式地寫成 $\{f=g=h=\cdots \}$ 。

作為一般定義的退化，考慮 ${\mathcal {F}}$ 為單元集 $\{f\}$ 。由於 $f(x)$ 必然等於自己，等化子等於整個定義域 $X$ 。更退化的情況下，設 ${\mathcal {F}}$ 為空集。則等化子仍為全個定義域 $X$ ，因為條件的全稱量化命題為空真命題。

## 差核

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱**差核**（英語：difference kernel）。 $f,g$ 的差核可以記為 $\mathrm {DiffKer} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 、 $\mathrm {Ker} (f-g)$ 。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代數中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數 $f$ 的核，可以作為差核 $\mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})$ 找到，其中 ${\boldsymbol {0}}$ 表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下， $0$ 的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

## 範疇論

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設 $X,Y$ 為物件，而 $f,g$ 為自 $X$ 往 $Y$ 的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而 $f,g$ 的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件 $E$ 與態射 $\mathrm {eq} :E\to X$ 的整體，滿足 $f\circ eq=g\circ eq$ ，且對任意物件 $O$ 與態射 $m:O\to X$ ，若有 $f\circ m=g\circ m$ ，則存在唯一的態射 $u:O\to E$ ，使得 $\mathrm {eq} \circ u=m$ 。

其中態射 $m:O\rightarrow X$ 滿足的條件，即 $f\circ m=g\circ m$ ，又稱為**等化**（英語：equalise） $f$ 與 $g$ 。

在泛代數範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇 $\mathbf {Set} $ ，物件 $E$ 總可以按原始定義（即 $\{x:f(x)=g(x)\}$ ）選取，而相應的態射 $\mathrm {eq} $ 則是 $E$ 作為 $X$ 子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而 $\mathrm {eq} $ 可以取為任何由 $E$ 至 $X$ 的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件 $X$ 和 $Y$ ，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是 $X$ 和 $Y$ 的範疇論積，而非所求的等化子（應為 $X$ ）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域 $X$ 密切相關（例如在集合範疇的情況下， $X$ 出現在定義式中），但與 $Y$ 的關聯則僅在於 $Y$ 是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則 $Y$ 不必出現，故圖僅有 $X$ 。此圖的極限，是任何 $E$ 與 $X$ 間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為**正則**（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，**正則單態射**是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備，則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇上濃縮的範疇，粗略而言，即每個態射集 $\mathrm {Hom} (A,B)$ 皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即 $\mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)$ ，其中 $\mathrm {Ker} $ 表示範疇論核。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

## 參見

* 餘等化子，等化子的對偶概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
* 重合理論，不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
* 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

## 參考文獻

## 外部鏈結

* _nLab_ 的 Equalizer 條目
* 一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由 Jocelyn Paine 編寫。
等化空间

在拓撲學及其相關數學領域，一個**商空間**（quotient space，也稱為**等化空間** identification space）直觀上說是將一個給定空間的一些點等同或「黏合在一起」；由一個等價關係確定哪些點是等同的。這是從給定空間構造新空間的常見方法。

## 定義

假設 _X_ 是一個拓撲空間，~ 是 _X_ 上一個等價關係。我們在商集合 _X_/~（這個集合有所有～的等價類組成）上定義一個拓撲如下：_X_/~ 中一個等價集合是開集若且唯若他們的併集在 _X_ 中是開集。所得的拓撲稱為在商集合 _X_/~ 上的**商拓撲**（quotient topology）。

等價地，商拓撲可以如下方式刻畫：設 _q_ : _X_ → _X_/~ 是投影映射，將 _X_ 的任何元素映為它的等價類。則 _X_/~ 上的商拓撲是使 _q_ 連續的最細拓撲（finest topology）。

給定一個滿射 _f_ : _X_ → _Y_ 從一個拓撲空間 _X_ 到一個集合 _Y_，我們可以在 _Y_ 上定義商拓撲為使 _f_ 連續的最細拓撲。這等價於說集合 _V_ ⊆ _Y_ 在 _Y_ 中開若且唯若它的原像 _f_−1(_V_) 在 _X_ 中開。映射 _f_ 在 _X_ 上誘導了一個等價關係，即 _x_1~_x_2 若且唯若 _f_(_x_1) = _f_（_x_2）。這個商空間 _X_/~ 同胚於 _Y_（帶著它的商拓撲），同構映射為將 _x_ 的等價類映為 _f_(_x_)。

一般地，一個滿連續映射 _f_ : _X_ → _Y_ 稱為一個**商映射**（quotient map）如果 _Y_ 具有由 _f_ 確定的商拓撲。

## 例子

* **黏合**：通常，拓撲學家討論將一些點黏合在一起。如果 _X_ 是一個拓撲空間，點 $x,y\in X$ 「黏合」在一起，這意味著我們考慮由等價關係 _a~b_ 若且唯若 _a = b_ 或 _a = x, b = y_（或 _a = y, b = x_）得到的商空間。即這兩個點被看作一個。
* 考慮一個單位正方形 _I_2 = [0,1]×[0,1] 以及由所有邊界點等價生成的等價關係～，從而所有邊界點等同到一個等價類。則 _I_2/~ 同構於單位球面 _S_2。
* **黏著空間**（Adjunction space）：更一般地，假設 _X_ 是一個空間，_A_ 是 _X_ 的一個子空間。我們可以將 _A_ 中所有點等同到一個等價類，而 _A_ 以外的點不變。所得的空間記作 _X_/_A_。2 維球面同構於將單位圓盤的邊界等同為一個點 _D_2/∂_D_2。
* 考慮集合 _X_ = $\mathbb {R} $ ，取通常拓撲的實數集，記 _x_ ~ _y_ 若且唯若 _x_−_y_ 是一個整數。則商空間 _X_/~ 同構於單位圓周 _S_1，同構映射為將 _x_ 的等價類映為 exp（2π_ix_）。
* 上一個例子的一類大量的推廣如下：假設一個拓撲群 _G_ 連續作用在空間 _X_ 上。我們可以構造 _X_ 上一個等價關係，如果兩點等價若且唯若它們在同一個軌道中。這個關係下的商空間稱為**軌道空間**，記作 _X_/_G_。上一個例子中 _G_ = $\mathbb {Z} $ 通過平移作用在 $\mathbb {R} $ 上。軌道空間 $\mathbb {R} /\mathbb {Z} $ 同構於 _S_1。

　
: **注**：記號 $\mathbb {R} /\mathbb {Z} $ 有歧義：如果 $\mathbb {Z} $ 理解成一個群作用在 $\mathbb {R} $ 上則商空間是圓周；如果 $\mathbb {Z} $ 看作 $\mathbb {R} $ 的一個子空間，則商空間是無窮的一束圓在同一個點連接起來。

## 性質

商映射 _q_ : _X_ → _Y_ 是由如下性質刻畫的滿射：如果 _Z_ 是任何拓撲空間，_f_ : _Y_ → _Z_ 是任何函數，則 _f_ 連續若且唯若 _f_ O _q_ 連續。

商空間 _X_/~ 與商映 _q_ : _X_ → _X_/~ 一起由如下泛性質刻畫。如果 _g_ : _X_ → _Z_ 是一個連續映射使得：對所有 _a_ 與 _b_ 屬於 _X_，_a_~_b_ 蘊含 _g_(_a_)=_g_(_b_)，則存在惟一連續映射 _f_ : _X_/~ → _Z_ 使得 _g_ = _f_ O _q_。我們稱 _g_「下降到商」。

因此定義在 _X_/~ 商的連續映射恰是由定義在 _X_ 上與等價關係一致的連續映射（它們將同一個等價類中的元素映到相同的像）誘導的。在研究商空間時，時常使用這個判據。

給定一個連續滿射 _f_ : _X_ → _Y_，關於 _f_ 是否為商映射的判據是有用的。兩個充分條件是 _f_ 為開映射或閉映射。注意這兩個條件只是充分條件而不是必要的。容易構造出不開或不閉的商映射例子。

## 與其它拓撲概念的相容性

* 分離
  * 一般地，商空間關於分離公理的表現都很壞。_X_ 的分離性質不必被 _X_/~ 繼承，而 _X_/~ 可能具有 _X_ 所沒有的分離性質。
  * _X_/~ 是一個 T1 空間若且唯若～的任何等價類在 _X_ 中閉。
  * 如果商映射開則 _X_/~ 是一個豪斯多夫空間若且唯若～是乘積空間 _X_×_X_ 的一個子集。
* 連通性
  * 如果一個空間是連通的或道路連通，則所有的商空間也是。
  * 一個單連通或可縮空間的商空間不必具有同樣的性質。
* 緊性
  * 如果一個空間緊，則所有商空間也是。
  * 一個局部緊空間的商空間不必是局部緊的。
* 維數
  * 一個商空間的拓撲維數可能比原空間大（顯然也可能比較小），皮亞諾曲線（space-filling curve）提供了這樣的例子。

## 又見

### 拓撲學

* 子空間
* 乘積空間
* 不交並
* 最終拓撲

### 代數

* 商群
* 商空間
* 商範疇

## 參考

* Stephen Willard, _General Topology_, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
* Quotient space. PlanetMath.
等压线

**等壓線**是氣象人員將每日來自世界各地氣象站，
同一時間所觀測得之氣壓，填在標有氣象站位置的地圖上，然後把氣壓數值相同之氣象站以鉛筆連接起來的線。等壓線配置形勢可清楚表示地球表面上高低氣壓的位置及分布，且可用來推斷風的情況。等壓線每一間隔距離一般為 2 或 4 百帕斯卡。

## 相關條目

* 天氣圖
* 天氣預報
* 風
* 氣壓
* 熱帶氣旋
* 溫帶氣旋

## 腳註與參考文獻
等压过程

**等壓過程**是壓力不變的熱力學過程： $\Delta p=0$ 。傳遞給一個系統的熱量，既對它做功，又改變了系統的內能：

　
: $Q=\Delta U+W\,$

根據熱力學第一定律，其中 _W_ 是系統所做的功，_U_ 是內能，_Q_ 是熱量。系統所做的壓強 - 體積功，定義為：（Δ 表示整個過程中的變化，不是微分的意思）

　
: $W=\Delta (p\,V)$

由於壓強是常數，因此

　
: $W=p\Delta V\,$ .

應用理想氣體狀態方程，等式變為

　
: $W=n\,R\,\Delta T$

假設氣體的質量是不變的。由於：

　
: $\Delta U=n\,c_{V}\,\Delta T$

其中 _n_ 是物質的量，cV 是等容摩爾熱容。把最後兩個方程代入第一個方程，得

　
: $Q=n\,c_{V}\,\Delta T+n\,R\,\Delta T$

　
: : $=n\,(c_{V}+R)\,\Delta T$ .

括號中的表達式是等壓摩爾熱容：

　
: $c_{p}=c_{V}+R$

等壓過程在 P-V 圖中是一條水平直線。如果方向是朝右面的，則過程是等壓膨脹。如果方向是朝左面的，則過程是等壓收縮。

## 焓的定義

等容過程由方程 $Q=\Delta U$ 描述。對於等壓過程也有類似的方程。把第二個方程代入第一個方程，得

　
: $Q=\Delta U+\Delta (p\,V)=\Delta (U+p\,V)$

_U + p V_ 是一個狀態函數，稱為焓，用字母 H 表示。所以等壓過程可以表示為：

　
: $Q=\Delta H\,$ .

## 參見

* 熱力學
等变

在數學中，一個**等變映射**（equivariant map）是兩個集合之間與群作用交換的一個函數。具體地，設 _G_ 是一個群，_X_ 與 _Y_ 是兩個關聯的 _G_- 集合。一個函數 _f_ : _X_ → _Y_ 稱為等變，如果

　
: _f_(_g_·_x_) = _g_·_f_(_x_)

對所有 _g_ ∈ _G_ 與 _x_ ∈ _X_ 成立。注意如果其中一個或兩個作用是右作用，則等變條件必須適當地修改：

　
: _f_(_x_·_g_) = _f_(_x_)·_g_; （右 - 右）

　
: _f_(_x_·_g_) = _g_−1·_f_(_x_) ; （右 - 左）

　
: _f_(_g_·_x_) = _f_(_x_)·_g_−1; （左 - 右）

等變映射是 _G_- 集合範疇（對一個取定的 _G_）中的同態。從而它們也稱為 **_G_- 映射**或 **_G_- 同態**。_G_- 集合的同構就是等變雙射。

等變條件也能理解為下面的交換圖表。注意 $g\cdot $ 表示映射取元素 $z$ 得到 $g\cdot z$ 。

## 交結映射

對 _G_ 的線性表示，由一個完全類似的定義。具體地說，如果 _X_ 與 _Y_ 是 _G_ 的兩個線性表示的表示空間，則一個線性映射 _f_ : _X_ → _Y_ 稱為這個表示的一個**交結映射**（intertinig map 或 intertwiner）如果它與 _G_ 的作用交換。從而一個交結算子是兩個線性表示 / 作用時等變映射的特例。

或者，_G_ 在域 _K_ 上表示的交結映射與 _K_[_G_]- 模的一個模同態是同一個東西，這裡 _K_[_G_] 是 _G_ 的群環。

在某些情形，如果 _X_ 與 _Y_ 都是不可約表示，則一個交結映射（若不是零映射）只有兩個表示等價（即作為模是同構的）時才存在。這樣的交結映射除了差一個乘法因子（_K_ 中一個非零純量）是惟一的。這些性質當 _K_[_G_] 的像是具有中心 _K_ d 的單代數時成立（由所謂的舒爾引理：參見單模）。作為一個推論，在一些重要情形構造一個交結映射足夠證明表示同樣是有效的。

## 範疇描述

等變映射可以直截了當地推廣到任意範疇。任何群 _G_ 可以視為一個具有一個對象的範疇（這個範疇中的態射就是 _G_ 的元素）。給定任意範疇 _C_，在這個範疇 _C_ 中 _G_ 的一個表示是從 _G_ 到 _C_ 的一個函子。這樣一個函子選出 _C_ 的一個對象和這個對象的自同構的一個子群。例如，一個 _G_- 幾何等價於從 _G_ 到集合範疇 **Set** 的一個函子，而線性表示等價於到一個域 _K_ 上的向量空間範疇 **Vect**K 的一個函子。

給定 _G_ 在 _C_ 中兩個表示， ρ 和 σ，這兩個表示之間一個等變映射不過是從 ρ 到 σ 的一個自然變換。把自然變換做為態射，我們可以構造 _G_ 在 _C_ 中所有表示的範疇。這恰是函子範疇 _C_G。

另一個例子，取 _C_ = **Top** 拓撲空間範疇。_G_ 在 **Top** 中一個表示是一個拓撲空間，_G_ 連續作用它上面。則等變映射是表示之間的一個連續映射 _f_ : _X_ → _Y_，且與 _G_ 的作用交換。
等叶花葶乌头

**等葉花葶烏頭**（學名：**_Aconitum scaposum_ var. _hupehanum_**）為毛茛科烏頭屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
等号

**等號**表示相等關係的符號，讀作「等於」，是在西元 1557 年由羅伯特・雷科德發明的。在數學等式中，等號被放置在具有相同值的兩個（或更多個）表達式之間。在 Unicode 和 ASCII 中，它是 U+003D = 相等符號 ，HTML：`&#61;`。

## 歷史

「相等」在英文中 equals 的詞源為拉丁文「æqualis」（來自 aequus），意為「均勻，相同或相等」。相等符號的第一次使用，出現在威爾斯數學家 羅伯特・雷科德所撰寫的《The Whetstone of Witte》，相當於現代數學表示法的 $14x+15=71$ 。相等符號的原始形式比現在要寬得多。在他的書中解釋了他的「Gemowe 線」的設計（意思是雙線，拉丁文 gemellus）：

> 
> _… to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes : is equalle to : I will ſette as I doe often in woorke vſe, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicauſe noe .2. thynges, can be moare equalle._
> 
> 

> 
> … to avoid the tedious repetition of these words: "is equal to", I will set (as I do often in work use) a pair of parallels, or Gemowe lines, of one length (thus =), because no two things can be more equal.
> 
> 

根據蘇格蘭聖安德魯斯大學數學史網站：

相等符號 '=' 並不立即流行。符號 || 和 æ（或 œ，來自拉丁文 aequalis，意思是相同）也被用來表達相等，被廣泛應用於 17 世紀。

## 數學意義

在數學中，等號可在特定情況 ( $x=2$ ) 中用作簡單的事實語句，或者創建定義 (設 $x=2$ )，條件語句（如果 $x=2$ ，則...），或者表達恆等式 $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ 。

 

## 相關符號

### 約等

表達約等的是「波浪」等號。

* ≈ (U+2248 ≈ UNICODE 2248)
* ≃ (U+2243 ≃ UNICODE 2243)，≈ 和 = 的混合，也用於代表漸近於
* ≅ (U+2245 ≅ UNICODE 2245)，另一個 ≈ 和 = 的混合，有時用來代表同構、同餘關係又或幾何學的全等
* ~ (U+007E ~ UNICODE 007E)，有時用來代表正比、和等價關係有關、幾何學的相似，又或代表隨機變數根據概率分佈的分佈情況。
* ≒ (U+2252 ≒ UNICODE 2252)，用於日本、韓國和臺灣

### 不等

代表不等的是等號加上斜線「≠」（U+2260 ≠ UNICODE 2260）。在 LaTeX，此為 "\neq" 指令。

過去大多數程式語言受限於 ASCII 字元集，故以 `~=`、`!=`、、`=/=` 或 `<>` 等代表布林運算的不等操作符。

### 恆等

符號「≡」（U+2261 ≡ TRIPLE BAR）代表恆等，也有同餘等意思。

### 人名翻譯（日語）

拉丁語的人名中的「-」符號，日文翻譯時改用「=」。例，「Hārūn al-Rashīd」（哈倫・拉希德）的日文翻譯是「ハールーン・アッ＝ラシード」。

## 參考書目

## 參見

* 等於
* 恆等式
* 關係運算子
* 二加二等於五
等同使徒

**等同使徒**（古希臘語：ἰσαπόστολος，isapóstolos，拉丁語：aequalis apostolis），又譯**亞使徒**，是正教會中的一個頭銜，用來稱呼某些特定的基督教聖人，通行於東儀天主教會中。這個稱號是用來尊崇基督教聖人，其德行與貢獻可以與使徒齊肩。被冠上這個頭銜的聖徒，包括抹大拉的馬利亞，以及查士丁尼大帝等人。
等同格

**等同格**是一種格，本義是表達相同衡量標準下的比較 (「像... 一樣...」)。

等同格的應用語言非常少。蘇美爾語中等同格也涵蓋存在格 (「以... 的狀態」) 和質格 (「像...」) 的語義功能。

蘇美爾語中等同格通過加後綴 - gin7 到名詞短語末實現。相似的功能體現在：

　
: lugal「王」；lugal-gin7「像王」；

　
: nitah-kalaga「強者」；nitah-kalaga-gin7「像強者」

奧塞梯語中以後綴 -ау[aw] 實現：

　
: фӕт「箭」；фӕтау「像箭一樣」

　
: Ницы фенӕгау йӕхи акодта，字面「沒看見任何東西的人 - 像他自己做了」(「[他或她] 裝作沒看見」)。

也在哈拉吉語和南美幾種語言如克丘亞語、艾瑪拉語、烏魯語和喬隆語中發現。

威爾斯語沒有名詞等同格，但有副詞的等同度，以後綴 - ed 實現，例如：「hyned」(â...)，意為「（和...）一樣老」

西倫尼克語描述名詞間的相似度時用等同格或比較格。

## 另見

* 語法格列表

## 參考

## 外部連結

* SIL 對等同格的定義 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等向性

**各向同性**（英語：isotropy），或作**等向性**、**均向性**，是指物體的物理、化學性質不因方向而有所變化的特性，即在不同方向所測得的性能數值是相同的。如所有的氣體、液體以及非晶體都顯示各向同性，多晶體（如一塊金屬）表現的各向同性稱為「准各向同性」。各向同性的物體稱為均質體。

各向同性與各向異性相反。確切的定義，取決於其使用的領域。各向同性的輻射在各向上有等同的強度，並且一個各向同性的場對測試粒子有同樣的作用，無論其初始方向。以波動的傳播為例，波源於此種介質中，發出的振動，於各個方向，速度一致。也即，波的傳播速度與方向無關。於此種介質中，波面與波線正交。

## 參考資料
等呼

**等呼**是傳統漢語音韻學概念，主要用來描述中古漢語的介音系統。

## 中古漢語的等呼

等呼的概念基本用於描述中古漢語的介音系統，最先應用在韻圖上。韻圖把韻書中相似韻目歸為一大類，稱為**攝**，每攝分四等，每等又分開口和合口兩呼，共八小類。現代語言學家對**呼**的觀點基本一致，**開口呼**和**合口呼**，就是指有無 /u/ 介音，同攝同等的合口呼比開口呼多介音 /u/。

相比之下，**等**的概念就較複雜，普遍觀點是三等韻有類似 /i/ 的介音，因為三等字用的反切上字自成一套，與一二四等不同，如歌韻在韻圖分為一等和三等，三等就比一等多了介音 /i/。但有些攝包括的韻很多，如山攝有寒、桓、刪、山、元、仙、先等韻，其中寒桓是一等，刪山是二等，元是三等，先是四等，仙分為三四等。除了同意三等韻有 /i/ 介音外，有些學者（如高本漢、王力）認為四等韻也有介音，有些學者（如潘悟雲、鄭張尚芳）認為二等韻也有介音。但所有學者都同意，即使部分以介音相區別，這些韻的主元音不會全部相等。清江永說：「一等洪大，二等次大，三四皆細，而四尤細。」可作為分等原則的粗略概括。（但是如前所見，有同一韻分為三四等，也有四等比三等洪大）

## 《韻圖》時代的等

《韻圖》成書於公元十二世紀，此書首次提出**等**。此時是中古漢語的後期。潘悟雲給此時的漢語擬音，認爲當時的音韻學家分**等**的原則是依據緊接聲母的介音：四等是 [i ̯]，三等是 [i]，二等是 [​ɤ]，一等無介音。

現在學界普遍認爲，三等字在上古漢語帶介音 [j]/[i]，二等字在上古漢語帶介音 [r]，一等字和四等字在上古漢語無介音。

## 假二等真三等與假四等真三等

但是由於韻圖結構制定得不夠嚴密，這規律一再被打破。傳統音韻學有三十六個字母，但韻圖分給字母的位置只有二十個，於是輕唇和重唇合為一組，舌頭和舌上合為一組，齒頭和正齒合為一組。聲母合併了，卻又要在圖上表現出不同音，就只好拿韻母來做文章，如莊、章、將都是陽韻，有 /i/ 介音，韻母完全相同，按理應都歸入三等。但它們的聲母都不同，莊是莊母（照二），章是章母（照三），將是精母，卻共占圖中一格。等韻學家為了表現聲母的差別，只留章字在三等，強行把莊字移到二等，把將字移到四等。為了相同目的，凡應歸三等的字，逢莊組都歸二等，逢端精組都歸四等，類似的還有以母（喻四）、邪母、俟母等，就產生了所謂**假二等真三等**、**假四等真三等**之說。

以四等為例，《廣韻》的四等韻並不多，共計有齊韻、先韻、蕭韻、青韻、添韻五個（舉平賅上、去）。但《韻鏡》等韻圖含有四等字的韻明顯較多，它們排在四等上的原因，主要是兩種情況：

1. 三等精組字，都在三等韻且與三等系聯。以母也是如此。
2. 支、脂、祭、真、（諄）、仙、宵、侵、鹽八個三等韻系的唇、牙、喉聲母字有兩類，《韻鏡》把其中一類放在三等，一類放在四等，這些也不是真四等。

這些假四等的字，同樣是跟同韻的三等韻系聯。

## 重紐

## 獨韻與開合韻

並不是所有韻母都有開口與合口對立，在《切韻指掌圖》裡不分開合口的韻標明為**獨韻**；既有開口又有合口的韻，標明為**開合韻**。後來的韻書把獨韻分別歸入開口或合口，如把東韻歸合口，侵韻歸開口。李榮《切韻音系》認為獨韻沒有 /u/ 介音，後來歸合口的獨韻是因為有圓唇主元音；又認為開合韻的脣音字和獨韻一樣沒有開合口對立，可和開口字互切，也可和合口字互切，脣音字可以認為是開口。

## 中古漢語聲母的等呼

中古漢語除了韻母分為不同等呼外，聲母也有等呼屬性，決定了聲母只能和特定等呼的韻母相拼，一定程度上反映了來自上古漢語的歷史痕跡。

## 上古漢語的等呼

上古漢語沒有提出等呼的概念，但有學者認為中古漢語的等呼是由上古漢語的類似系統演變而成，如王力認為上古漢語的韻部也有兩呼四等，主元音相同，以介音來區別，如開口一等無介音，二三四等介音依次為 /e/、/ɪ/、/i/ 等。蒲立本、鄭張尚芳等則認為中古漢語三等字在上古漢語有短元音。李方桂根據來母少二等字，認為中古漢語的二等字，包括假二等真三等，是由上古漢語的介音 r 演變而成，這觀點現獲普遍接受；又有學者認為重紐三等在上古也有介音 r；李方桂又認為上古沒有 /u/ 介音，中古的 /u/ 介音是由長元音裂變和圓唇舌根音產生。

## 參見

## 注釋

## 參考書目

* 《中國大百科全書》語言文字卷，中國大百科全書出版社，光碟 1.1 版
* Guillaume Jacques, _Introduction to Chinese Historical Phonology_
* 李榮《切韻音系》，1956 年 10 月，科學出版社。
* 李方桂《上古音研究》
等响度曲线

**響度**（英文：loudness），又稱**音量**，是量度聲音大小的知覺量，符號為 _N_，常用單位為宋。與聲強不同，響度是受主觀知覺影響的物理量。在同等聲強下，不同頻率的聲音會造成不同的聽覺感知，因此量度響度時，須對不同頻率的聲音作出修正。研究聲音和聽覺感知的關係，屬心理聲學的範疇。響度的常用單位是宋。另一個相關的物理量，是以對數尺度表示的**響度級**（loudness level），符號為 _L_N，常用單位為方。要注意，宋和方都不屬於國際單位制。

## 等響曲線

對人類聽覺來說，愈高的聲壓或聲強，會造成愈大的聽覺感知。而在人類的可聽頻率範圍（20 Hz 到 20 000 Hz）中，由於聽覺對 3 000 Hz 左右的聲音較為敏感，該段頻率也能造成較大的聽覺感知。

首先對聲音頻率和聽覺感知進行量化研究的，是美國的物理學家哈維・弗萊徹。1933 年，他和蒙森以純音作實驗，找出不同頻率和聲壓的組合，使得聲音能造成相同的聽覺感知。他們將結果畫成曲線，稱為**弗萊徹－蒙森曲線**（Fletcher–Munson curves）。1956 年，又出現另一個版本，稱為**羅賓遜－達森曲線**（Robinson–Dadson curves ）。 2003 年，在更加國際化的調查研究基礎之上，國際標準化組織發布了作為國際標準的 ISO 226:2003，稱為**等響曲線**（equal-loudness curves）。

等響曲線的橫坐標為頻率，縱坐標為聲壓級。在同一條曲線之上，所有頻率和聲壓的組合，都有著一樣的響度。最下方的曲線表示人類能聽到的最小的聲音響度，即聽閾。等響曲線反映了響度聽覺的許多特點：

* 聲壓級愈高，響度一般也愈高。
* 響度頻率有關，相同聲壓級的純音，頻率不同，響度也不同。
* 對於不同頻率的純音，提高聲壓級帶來的響度增長，也有所不同。

## 以方計算的響度級

「方」（phon）是量度聲音響度級 _L_N 的常用單位，定義為一個 1 000 Hz 純音，能帶來與該聲音相同響度時，所對應的聲壓級的數值（以 dB SPL 為單位）。舉例來說，一個 60 phon 的純音，和一個 1 000 Hz、60 dB SPL 的純音，有著相同的響度。

一個 60 phon 的純音，必定比一個 40 phon 的純音更為響。但是，我們不能說前者的為我們帶來的聽覺感知，是後者的 1.5 倍。以方計算的響度級是對數尺度，其數值和聽學感知並非線性關係。

## 以宋計算的響度

從心理聲學研究中發現，在 40 phon 以上的區域，當聲強提高十倍時，人類的聽覺感知只會提升兩倍。這可能是因為在提升聲強時，聽覺細胞會出現飽和，使得給予大腦的信息不能按比例增加。聲強提高十倍時，聲強級則增加 10 dB SIL。對於一個 1 000 Hz 的純音，響度級也相應增加 10 phon。為了讓響度 _N_ 和聽覺感知呈線性關係，心理學家斯坦利・史蒂文引入另一個響度單位「宋」（sone）。對於一個純音，40 phon 被定義為等同於 1 sone；若聽覺感知提升兩倍，則對應於 2 sone；聽覺感知只有一半，則對應於 0.5 sone，如此類推。

方和宋的換算公式如下：

　
: $N=2^{\frac {L_{\mathrm {N} }-40}{10}}$ ；

　
: $L_{\mathrm {N} }=10\log _{2}\left({\frac {N}{0.0625}}\right)$ 。

這兩條公式適用於任何頻率的純音。

對於一個 1 000 Hz 的純音，聲強和響度如下表對應：

　
:

根據公式換算，聽閾 _L_N = 0 phon 所對應的響度，就是 _N_0 = 0.0625 sones 。換句話說， 0.0625 sone 是人類能察覺到的聲音的最小響度。但也有研究提出，在低於 40 phon 的情況下，以上換算關係可能失效，須另作修正。

## 響度與時長

聽閾上的聲音如果頻率和聲強都不變、時長增加，它的響度也可能隨之增大。下圖中有三條等響度曲線，線上各點的響度分別相當於聲強級為 20、50 和 80dB 的 1000Hz 純音的響度，它們的時長是 500ms。隨著聲音時長的增加，所需的等響度的聲強級減少；在 80ms 之前變化最大，之後漸趨緩慢。

## 響度和語言

在語言和言語中，可以改變音高、音長和 / 或音強等，從而改變某些音節或語音成分的響度，即為輕重音。不同的語言中，改變響度時所側重的要素不同。語言中，響度不僅跟音強有關，跟音高、音長的關係更加密切。

漢語普通話中的響度較小的輕聲，主要是靠縮短時長來實現的。 英語中的重音則主要靠提高音高。

## 相關條目

* 聲強
* 輕重音
* 固有音響

## 註釋

## 參考書目
等唇玄参

**等唇玄參**（學名：_**Scrophularia aequilabris**_）為玄參科玄參屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
等唇線鰭電鰻

**等唇線鰭電鰻**，為條鰭魚綱電鰻目線鰭電鰻科的其中一種，為熱帶淡水魚，分布於南美洲哥倫比亞 Magdalena 河流域，體長可達 44.1 公分，棲息在底中層水域，生活習性不明。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2015). _Sternopygus aequilabiatus_. _FishBase_. Version 2015-10.
等喊弄奘寺

**等喊弄奘寺**（傣那語：ᥓᥩᥒᥰ ᥖᥫᥒᥰ ᥑᥛᥰ ᥘᥨᥒᥴ），位於雲南省德宏傣族景頗族自治州瑞麗市姐相鄉大等喊寨，為上座部佛教多列派奘寺。「等喊」為傣語「金水池」之意，「等喊弄奘寺」即「大金水池寺」。

## 歷史

傳說中佛祖釋迦牟尼布道時路過此地，在此住宿一夜，信徒們為了紀念佛祖就在此修建奘寺。等喊弄奘寺始建於清乾隆年間，1918 年重修時將茅草頂換為鐵皮頂，1957 年翻修，「文化大革命」時期遭到一定程度破壞。1981 年 8 月，北京電影製片廠拍攝《孔雀公主》時，曾以等喊弄奘寺作為「王宮」取景地，為此對大殿門亭、樓梯、大門坐向進行改造。1993 年 11 月 16 日，被雲南省人民政府列入雲南省文物保護單位。後又多次維修擴建，增建藏經樓、潑水亭等附屬設施，1998 年、2001 年、2009 年雲南省文化廳撥款對奘寺進行全面修葺。

## 建築

等喊弄奘寺屬宮殿式鍍鋅波形鐵皮瓦蓋頂的干欄式建築，硬山頂三層重檐樓台式結構。占地面積 12,847 平方米，建築面積 978.65 平方米，大殿建築面積 409.25 平方米。由大殿、門樓、藏經樓、持戒房、潑水亭、附殿、生活用房組成。正殿坐西向東，面闊 3 間、寬 17.3 米，進深 7 間、長 19.6 米，基座為抬梁式木結構干欄建築，共用柱 40 棵，樁柱較高（約占正殿高度的四分之一），因此門前設有高梯，頂部四面牆壁開有門洞。殿中供坐式佛像，高 2.5 米，天花板由數十塊鳥獸、花草、人物的木刻鑲嵌而成，雕工精細，具有濃郁民族特色和藝術價值。亭閣面闊 2.7 米，通深 13.8 米。檐下作卷草樣紋飾以示祥雲，圈定「天界」的範圍。等喊弄奘寺保留了傣族的傳統建築藝術，也受到緬甸佛寺建築藝術風格的影響，是中緬邊境德宏地區的名剎。

## 圖集

* *

## 參考資料
等埋副校

《**副校長的逆襲**》（英語：_Vice Principals_）是一部由丹尼・麥布萊與喬迪・希爾開創、丹尼・麥克布萊德與瓦頓・戈金斯主演，於 2016 年 7 月 17 日在 HBO 開播的美國電視喜劇。

## 故事

故事聚焦於北傑克森高中裡脾氣暴躁、獨斷又不討喜的教師兼副校長尼爾・甘比（丹尼・麥布萊 飾演）與其詭計多端、種族主義者、看似有著反社會人格的共同副校長理・羅素（瓦頓・戈金斯 飾演）之間，爭奪校長職位的惡鬥。

## 製作

2014 年 5 月，本劇獲 HBO 共 18 集預訂，並分拆為兩季，同時也確定將僅有此兩季。本劇自 2015 年開始拍攝，並於 2016 年 7 月 17 日首播。

2015 年 6 月 15 日，查爾斯頓城市報（Charleston City Paper）報導本劇於南卡羅來納州北查爾斯頓附近進行拍攝。同時，亦報導著名喜劇演員威爾・法洛與比爾・莫瑞都將客串本劇。劇中的校園場景取景自 R・B・史托爾高中（R.B. Stall High School）以及西艾希莉高中。

## 卡司

### 主要角色

### 常駐角色

## 集數

### 第一季

### 第二季

## 評價

本劇獲得影評家褒貶不一的評論。於爛番茄整合的評論中，第 1 季獲得 64% 新鮮度、6.48/10 分（39 名評論家），評論家普遍共識：「《副校長的逆襲》時而風趣，亦有富才華的演員加持，但卑劣的幽默失去了焦點。」在 Metacritic 整合的評論中，第 1 季獲得 56 分（滿分 100 分；31 名評論家），屬好壞參半的評價。

於爛番茄整合的評論中，第 2 季獲得 100% 新鮮度、7.0/10 分（11 名評論家）。

**評論家前十大電視節目排名**

## 收視

## 獎項

## 參考資料

## 外部連結

* 官方網站（英文）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《副校長的逆襲》的資料（英文）
* 豆瓣電影上《副校長的逆襲》的資料 （簡體中文）
等埋發叔

**2015 年香港立法會政改表決事件**，是香港立法會於 2015 年 6 月 18 日表決《行政長官產生辦法決議案》期間，大批建制派議員突然離開會議廳，以致議案以 8 票支持、28 票反對，遭大比數否決的事件。

## 事件經過

### 表決前

香港立法會於 6 月 17 日下午 1 時 20 分左右開始審議政改方案，並於晚上約 7 時 50 分休會，6 月 18 日早上 9 時續會。立法會主席曾鈺成會後指 6 小時會議期間已有 25 位議員發言，16 名泛民議員全部表明否決。但仍有 44 位議員尚未發言。

立法會場外有數千名支持與反對政改陣營人士集會，撐政改陣營更揚言動員萬人到場，部份人更身穿印有穿著印上 1 至 200 的數字 T 恤，似有人組織而來。記者上前問他們到場目的，有人以普通話回應「來支持政府」。其後這班穿數字 T 恤的人群，被頭戴 73 字樣鴨舌帽人群取代。支持者大播政改廣告與《歌唱祖國》等紅歌，又播《獅子山下》。有人揮舞五星紅旗，重複要求全體議員讓政制「向前走」。有人認出負責指點部隊的男子，曾於年前黑幫新義安元老林景出殯時，在殯儀館打點，招呼來賓。而法政匯思聯同 11 個專業界別團體手持早前收集的 7000 多封市民信件，呼籲泛民議員否決假普選方案。
兩大陣營支持者隔住鐵馬對峙，雙方曾爆發零星衝突，互相擲標語、吐口水，場面混亂，場面一度緊張，要現場警員分隔。

### 表決

6 月 18 日立法會第二天審議政改方案，到中午約 12 時已經沒有議員要求發言，待有關三位官員逐一總結後，主席曾鈺成再三詢問有沒有議員仍需發言。當時建制派有廿多人未發言，包括譚耀宗、葉國謙及田北辰，他們在席，但沒作聲。政改方案隨即交由全體立法會議員投票表決。然而表決鐘響至最後一分鐘時，曾經在官員總結時離開的建制派議員林健鋒突要求休會十五分鐘，但由於主席已宣布進入表決程序，故不能暫停會議。當開始表決時，在葉國謙帶頭下，大批建制派議員突然離開會議廳，只剩下 9 名建制派議員，包括自由黨 5 位議員、林大輝、陳健波、工聯會陳婉嫻、勞聯潘兆平。陳婉嫻在建制派議員離開時展現出驚訝的表情。何秀蘭要求點算人數，但遭其他泛民主派議員喝止。最終政改方案只有 37 人參與表決，並在 8 人贊成（潘兆平在場但沒有投票）、28 人反對，曾鈺成本人依慣例沒有投票的情況下被大比數否決。當時立法會共有 70 名議員，此政改方案須獲 2/3 議員支持方可通過。

在表決期間，自由黨五位議員、陳婉嫻、林大輝和陳健波沒有跟隨建制派一同離開會議廳，並且投了支持票。事後全部人皆表示當時並不清楚集體離場的原因。

這時，於場外的建制派議員還以為會議廳內沒有足夠的法定投票人數 (35 人或以上)，並不知道投票已結束。經民聯立法會議員林健鋒表示，提出休會及集體離席是想爭取約 15 分鐘時間，等待劉皇發趕回議會投下支持一票，但由於有幾名建制派議員未有離席，導致法定人數仍然足夠投票，他形容「很不幸」，指是「溝通出了問題」。三位身兼行政會議成員的議員，林健鋒、葉劉淑儀與李慧琼，亦因為集體離場而全部沒有投票，違犯了必須投支持票的規定。

 

## 東方日報公開內幕

2015 年 6 月 24 日，立場傾向建制派的東方日報突然獨家公開政改表決階段，建制派議員於即時通訊軟體 WhatsApp 的群組對話紀錄，顯示事前對於等待劉皇發趕回議會投下支持一票這件事並沒有隻字的討論。除此之外，紀錄更顯示建制派組織集體行動混亂。身兼立法會主席的曾鈺成應保持中立，但卻有違當初自己公開承諾做立法會主席後不投票、不參加民建聯黨團活動以及不發表政見的「三不」承諾，在會議期間指示建制派議員何時及如何發言。

就對話外泄一事，建制派議員不滿。譚耀宗形容，讓傳媒取得建制派手機通訊群組內容是不幸；葉國謙對通訊內容被洩露感不高興，認為有關人士應反思。而田北俊亦在社交網站留言，強烈譴責洩露內容的議員「比豬更不如」。

2015 年 6 月 25 日，東方日報繼續獨家公開政改表決後，建制派議員於 WhatsApp 的群組對話紀錄，顯示他們互相卸責。對話紀錄進一步顯示部份議員為了向「下面」交待，避免發生「票債票償」失去支持，曾爭論究竟使用「道歉」、「請見諒」、「遺憾」哪一種字眼向傳媒交待 28:8 大比數否決事件。

同日晚上東方日報再公開了港區人大代表，包括張明敏、羅范椒芬、黃友嘉、劉佩瓊、李少光、黃玉山、顏寶鈴及同時身兼立法會議員的廖長江，針對表決結果及事件的 WhatsApp 的群組對話紀錄。該紀錄顯他們對事件愕然。廖長江強調事件純粹失誤沒有另外目的。而部份人大代表除了表達對投票結果的不滿和認為事件荒謬外，有部份更直指涉事的議員「垃圾」，顏寶鈴更認為他們理應辭職。

## 各界反應

### 建制派

* 時任立法會主席曾鈺成表示，明白有議員想投下歷史一票的心情，但其表示議員要求暫停會議的做法，是起不到效果，因為議事規則並沒有這個空間。他亦表示離場議員須為事件反省，而離場的議員也相當勇於承擔責任，並沒有互相推卸責任的情狀出現。他又指，事件考驗了建制派議員的互信及團結，亦認為沒有議員要為此事辭職。
* 留在議會廳投票的自由黨議員田北俊其後在 Facebook 個人專頁中發表意見，認為 28:8 大比數否決背後沒有陰謀，只是離場的建制派議員太蠢。
* 離場沒有投票的田北辰連續兩日於報章撰文，批評兄長田北俊事後以「豬」恥笑離場議員，但無查找不足，強調若建制派無共同承擔責任意識，「團結」一沖即散。
* 湯家驊表示對事件「看在心裡、痛在心頭」。他指，泛民主派議員以勝利者姿態示人，而建制派則忙於補救，兩件都不是他希望看到的事情。又認為，泛民今後會借機挖苦和取笑建制派，而建制派亦會想盡方法作反擊，擔心會妨礙雙方修補裂痕。及後於 6 月 22 日，湯家驊表示，因自己與公民黨的路線不同，所以決定退黨及辭任立法會議員。

### 泛民主派

* 泛民主派普遍譴責建制派主動放棄投票權利，未有盡立法會議員義務，應對選民負責。他們又指責建制派事後主動與中聯辦聯絡，破壞了「一國兩制」。

### 中間派

* 雖然黃成智未有就此事件表態，但其於湯家驊宣佈退黨及辭任立法會議員職務後，他主動表示願為民主黨出選湯家驊之議席。但民主黨單仲偕表示，由於民主黨沒有打算派人出選，他又表示民主黨正考慮將黃成智開除出黨，一旦確定開除黃成智後，民主黨只能勸黃成智退選。單仲偕又認為一旦補選，公民黨較有勝算。

### 香港政府

* 時任行政長官梁振英批評泛民主派否決政改方案，500 萬合資格的選民失去了一人一票選行政長官的機會，令香港的民主進程停止。

### 中華人民共和國政府

* 全國人大常委會、國務院港澳事務辦公室及香港中聯辦批評稱，少數議員為了私利否決了政改方案，要負上不可推卸的歷史責任。
* 中華人民共和國外交部發言人陸慷在新聞發布會上表示，中國中央政府不願見到香港的政改方案被否決。另外他再重申一貫中國政府的講法，指香港政改是內部問題，不容其他國家干涉。

## 事件影響

* 「等埋發叔」旋即成為網絡潮語，有網民更開設 fb 專頁「等埋發叔」，在 24 小時以內有逾 13000 人讚好。
* 在表決時，勞聯的潘兆平是除主席外，唯一一個在立法會座上，但沒有投票的議員，令他「一炮而紅」。

## 參見

* 2016 年及 2017 年香港政治制度改革

## 參考文獻
等基岩蕨

**等基岩蕨**（學名：_**Woodsia subcordata**_）為岩蕨科岩蕨屬下的一個種。

## 參考資料

* 等基岩蕨 _Woodsia subcordata_. 中國植物物種信息資料庫. [2013-01-15].

## 擴展閱讀
等基贯众

**等基貫眾**（學名：_**Cyrtomium aequibasis**_）為鱗毛蕨科貫眾屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
等壓線

**等壓線**是氣象人員將每日來自世界各地氣象站，
同一時間所觀測得之氣壓，填在標有氣象站位置的地圖上，然後把氣壓數值相同之氣象站以鉛筆連接起來的線。等壓線配置形勢可清楚表示地球表面上高低氣壓的位置及分布，且可用來推斷風的情況。等壓線每一間隔距離一般為 2 或 4 百帕斯卡。

## 相關條目

* 天氣圖
* 天氣預報
* 風
* 氣壓
* 熱帶氣旋
* 溫帶氣旋

## 腳註與參考文獻
等壓過程

**等壓過程**是壓力不變的熱力學過程： $\Delta p=0$ 。傳遞給一個系統的熱量，既對它做功，又改變了系統的內能：

　
: $Q=\Delta U+W\,$

根據熱力學第一定律，其中 _W_ 是系統所做的功，_U_ 是內能，_Q_ 是熱量。系統所做的壓強 - 體積功，定義為：（Δ 表示整個過程中的變化，不是微分的意思）

　
: $W=\Delta (p\,V)$

由於壓強是常數，因此

　
: $W=p\Delta V\,$ .

應用理想氣體狀態方程，等式變為

　
: $W=n\,R\,\Delta T$

假設氣體的質量是不變的。由於：

　
: $\Delta U=n\,c_{V}\,\Delta T$

其中 _n_ 是物質的量，cV 是等容摩爾熱容。把最後兩個方程代入第一個方程，得

　
: $Q=n\,c_{V}\,\Delta T+n\,R\,\Delta T$

　
: : $=n\,(c_{V}+R)\,\Delta T$ .

括號中的表達式是等壓摩爾熱容：

　
: $c_{p}=c_{V}+R$

等壓過程在 P-V 圖中是一條水平直線。如果方向是朝右面的，則過程是等壓膨脹。如果方向是朝左面的，則過程是等壓收縮。

## 焓的定義

等容過程由方程 $Q=\Delta U$ 描述。對於等壓過程也有類似的方程。把第二個方程代入第一個方程，得

　
: $Q=\Delta U+\Delta (p\,V)=\Delta (U+p\,V)$

_U + p V_ 是一個狀態函數，稱為焓，用字母 H 表示。所以等壓過程可以表示為：

　
: $Q=\Delta H\,$ .

## 參見

* 熱力學
等容收缩时间

**等容收縮時間**（英語：Isovolumic contraction time，縮寫 **IVCT**）是心動周期中的一個時間間隔，發生在心室收縮的早期，此時房室瓣和主動脈瓣處於關閉狀態，心室收縮，心室內壓力不斷上升，相當於第一心音（S1）的發生時間。

## 另見

* 等容舒張時間（英語：Isovolumic relaxation time，縮寫 **IVRT**）

## 參考文獻
等容舒张时间

**等容舒張時間**（英語：Isovolumic relaxation time，縮寫 **IVRT**）是心動周期中的一個時間間隔，此時主動脈瓣和二尖瓣處於關閉狀態，心室舒張，心室內壓力不斷下降，相當於第二心音（S2）的發生時間。

## 另見

* 等容收縮時間（英語：Isovolumic contraction time，縮寫 **IVCT**）

## 參考文獻
等容过程

**等容過程**（也叫**等體過程**）是體積不變的熱力學過程。如果使用理想氣體，且氣體的質量不變，則能量的增加與溫度和體積的增加成正比。例如加熱密封、堅固容器中的氣體：壓力和溫度會增加，但體積不變。

## 方程式

如果體積是常數（ $\Delta V=0$ ），則意味著系統不做壓力 - 體積功，這種功定義為

　
: $\Delta W=P\Delta V$ ,

其中 _P_ 是壓力。

應用熱力學第一定律，我們可以推出 $\Delta U$ ，系統內能的變化，是

　
: $\Delta U=Q$

所有傳遞給系統的熱量，都用來增加系統的內能 _U_。如果理想氣體的質量不變，則能量的增加與溫度的增加成正比：

　
: $Q=nC_{V}\Delta T$

其中 _C_V 是等容莫耳熱容。

在 P-V 圖中，等容過程的圖象是一條豎直的線。等壓過程的圖象則是一條水平的線。

## 參見

* 熱力學
等宽

**等寬字型**（英語：Monospaced Font）是指字元闊度相同的電腦字型。相反，比例字型字元闊度不同。

## 概要

傳統西文印刷中，比例字型有利閱讀，但受打字機及早期電腦畫面顯示等技術所限，無法調整字母闊度比例，因此將字元都製成等寬。在等寬字型中，字母「i」、「j」兩邊空白多，字母「w」、「m」的筆畫擠逼。

但是隨著圖形化使用者介面普及和電腦技術提高，比例字型的局限得到突破，因此現在排版上顯得比較自然的比例字型的使用已經相當普及。

東亞文字中，方塊字基本視為等寬，如各地區的漢字、全型日語假名、韓語諺文音節等都是等寬，但有些中／日文字型將西文字元製成比例闊度，造成一體兩式。

東亞標點有時會隨標準規定、壓縮處理而改變寬度；CSS 有項 font-variant-east-asian 設定可以自訂壓縮與否。

舊版中文 Windows 作業系統預設字型新細明體（正體）／中易宋體（簡體）東西文皆等寬；Windows Vista 改為微軟正黑體（正體）／微軟雅黑（簡體），全型字元等寬；半型西文字元比例闊度。

## 應用

在網際網路裡，網友和藝術家常用等寬字體創作 ASCII 藝術作品。若使用比例字體顯示這些作品，它們往往會因字體寬度不一而無法正確顯示圖樣。

代碼編輯器、命令列／虛擬終端等純文字介面也會用等寬字體以便對齊，有利閱讀代碼文字，尤其在顯示比例過窄、小字體介面上不易分辨的字元（如 `Iilj1`）與標點。

網頁瀏覽器在遇到 `<pre>`、`<code>` 等 HTML 標記時，通常預設使用等寬字體顯示其內容。

## 等寬字型舉例

僅為舉例，作業系統間可能有異。

### 西文字型

* Courier（PostScript 核心字型）
  * Courier New
  * Nimbus Mono L
  * GNU FreeMono
  * Liberation Mono（大小一致，「度量相容」,「metrically compatible」）
* DejaVu Sans Mono
  * Menlo
  * 文泉驛等寬正黑

以下列出通常只在某些系統找到的字型。

* GNU/Linux，Solaris
  * Luxi Mono
  * GNU Unifont
* macOS
  * Monaco
* Windows
  * Fixedsys
  * Consolas

### 西文等寬的中日韓字型

西文等寬的中日韓字型不少，如中易宋體、中易黑體、さざなみ（Sazanami）、IPA 字型、細明體、Hei、Kai、Osaka－等幅和 MS 明朝；一些西文等寬的中日韓字型有比例半型版，如新細明體（PMingLiU），名字前有 `P`。

## 參考資料

## 參見

* 字型
* 比例字型
* 字距微調（Kerning）
* 字型微調（Hinting）
等差-等比数列

在數學上，**等差 - 等比數列**（簡稱**差比數列**，英語：arithmetico-geometric sequence）是一個等差數列與一個等比數列相乘的積。

## 通項公式

等差 - 等比數列有如下通項公式：

　
: $[a+(n-1)d]r^{n-1}$

其中 $r$ 是公比，而 $r^{n-1}$ 的係數：

　
: $[a+(n-1)d]$

則是等差數列的項，其首項為 $a$ ，公差 $d$ 。

## 等差 - 等比數列的求和公式

等差 - 等比級數有如下形式；

　
: $\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}=a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$

其前 _n_ 項之和為；

　
: $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}={\frac {a}{1-r}}-{\frac {[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}.$

### 錯位相減法

由此級數開始：

　
: $S_{n}=a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$

將 _Sn_ 乘以 _r_，

　
: $rS_{n}=ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}$

_Sn_ 減去 _rSn_，

　
: ${\begin{aligned}S_{n}(1-r)&=&\left\{a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right\}\\&&-\left\{ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right\}\\&=&a+\left[dr+dr^{2}+\cdots +dr^{n-1}\right]-[a+(n-1)d]r^{n}\\&=&a+\left[{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}\right]-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}$

在中間的項中使用等比數列的求和公式。最後左右兩邊同除以 (1 − _r_)，得到最終結果。

### 逐項求導

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}r^{k-1}={\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

對等比數列和兩邊求導：

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(k-1)r^{k-2}={\frac {nr^{n-1}}{r-1}}-{\frac {r^{n}-1}{(r-1)^{2}}}$

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}+dr[{\frac {nr^{n-1}}{r-1}}-{\frac {r^{n}-1}{(r-1)^{2}}}]$

### 裂項法

待定係數 s,t 使得等差 - 等比數列可以裂項：

　
: $[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^{k}-[s(k-1)+t]r^{k-1}$

用裂項法可以求出數列和：

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^{n}-t$

求出待定係數 s,t 關於 a,d,r 的表達式：

　
: $dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s$

　
: $\displaystyle s={\frac {d}{r-1}},t={\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}$

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {d}{r-1}}n+{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

### 差分算子公式

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0),f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)$

　
: 其中 $\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)$

求出各階差分： $p(n)=a+(n-1)d,\Delta p(n)=d$

　
: $\displaystyle f(n)={\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}$

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

## 無窮級數

如果 $-1<r<1$ ，那麼其無窮級數為

　
: $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}$

如果 $r$ 在上述範圍之外，則該級數不是發散級數就是交錯級數。

## 參見

* 序列

## 參考文獻
等差分纬线多圆锥投影

**等差分緯線多圓錐投影**是中國地圖出版社於 1963 年按照地圖投影反求法設計的一種任意多圓錐投影。該投影廣泛用於中國大陸出版的小比例尺世界地圖。

等差分緯線多圓錐投影的中央經線與中央緯線（赤道）垂直相交。緯線為對稱於赤道的同心圓弧，圓心位於中央經線上；經線亦為對稱於中央經線的曲線。中央經線和 ±44º 緯線的交點處沒有角度變形，但地圖周邊的變形較大，南北極點變形為兩條對稱的弧線，長度為赤道投影的一半（通常被圖廓截掉）。在使用該投影編制的世界地圖上，中國位於地圖中央附近，領土變形在 10% 之內，故該投影廣泛應用於現在中國大陸公開出版的各種世界地圖和世界地圖冊。

## 參見

* 地圖投影
* 世界地圖
* 中國地圖出版社

## 參考資料
等幂

在數學裡，**冪等**有兩種主要的定義。

* 在某二元運算下，**冪等元素**是指被自己重複運算（或對於函數是為複合）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等實數為 0 和 1。
* 某一元運算為**冪等**的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。
* 一元運算的定義是二元運算定義的特例（詳情請見下面）。

## 定義

### 二元運算

設 $S$ 為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則 $S$ 的元素 $s$ 稱為冪等的 (相對於 $*$ ) 當

$$
s*s=s
$$

特別的是，任一單位元素都是冪等的。若 $S$ 的所有元素都是冪等的話，則其二元運算 \* 被稱做是冪等的。例如，聯集和交集的運算便都是冪等的。

### 一元運算

設 $f$ 為一由 $X$ 映射至 $X$ 的一元運算，則 $f$ 為冪等的，當對於所有在 $X$ 內的 $x$ ，

$$
f(f(x))=f(x)
$$

特別的是，恆等函數一定是冪等的，且任一常數函數也都是冪等的。

注意當考慮一由 $X$ 至 $X$ 的所有函數所組成的集合 $S$ 時， $f$ 在一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下， $f$ 相對於其複合運算 (標記為 $o$ ) 會是冪等的。這可以寫成 $f\operatorname {o} f=f$ 。

## 一般例子

### 函數

如上述所說，恆等函數和常數函數總會是冪等的。較不當然的例子有實數或複數引數的絕對值函數，以及實數引數的高斯符號。

將一拓撲空間 _X_ 內各子集 _U_ 映射至 _U_ 閉包的函數在 _X_ 的冪集上是冪等的。這是閉包運算元的一個例子；所有個閉包運算元都會是冪等函數。

### 環的冪等元素

定義上，環的冪等元素為一相對於環乘法為冪等的元素。可以定義一於環冪等上的偏序：若 _e_ 和 _f_ 為冪等的，當 _ef_ = _fe_ = _e_ 時，標記為 _e_ ≤ _f_。依其順序，0 會是最小冪等元素，而 1 為最大冪等元素。

若 _e_ 在環 _R_ 內為冪等的，則 _eRe_ 一樣會是個乘法單位元素為 _e_ 的環。

兩個冪等元素 _e_ 和 _f_ 被稱為_正交的_當 _ef_=_fe_=0。在此一情形下，_e_+_f_ 也是冪等的，且有 _e_ ≤ _e_ + _f_ 和 _f_ ≤ _e_ + _f_。

若 _e_ 在環 _R_ 內為冪等的，則 _f_ = 1 − _e_ 也會是冪等的，且 _e_ 和 _f_ 正交。

一在 _R_ 內的冪等元素 _e_ 稱為_核心的_，若對所有在 _R_ 內的 _x_，_ex_=_xe_。在此情形之下，_Re_ 會是個乘法單位元素為 _e_ 的環。_R_ 的核心冪等元素和 _R_ 的分解為環的直和有很直接的關接。若 _R_ 為環 _R_1、...、_R_n 的直和，則環 _R_i 的單位元素在 _R_ 內為核心冪等的，相互正交，且其總和為 1。相反地，給出 _R_ 內給相互正交且總和為 1 的核心冪等元素 _e_1、...、_e_n，則 _R_ 會是環 _Re_1、...、_Re_n 的直和。所有較有趣的是，每一於 _R_ 內的核心冪等 _e_ 都會給出一 _R_ 的分解－_Re_ 和 _R_(1 − _e_) 的直和。

任一不等於 0 和 1 的冪等元素都是零因子 (因為 _e_(1 − _e_) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種冪等元素。局部環也沒有此種冪等元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的冪等元素只有 0。共四元數環內會有一冪等元素組成的懸鏈曲面。

_所有_元素都冪等的環稱做布爾環。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法反元素。

### 其他例子

冪等運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是冪等運算。

在線性代數裡，投影是冪等的。亦即，每一將向量投射至一子空間 V（不需正交）上的線性算子，都是冪等的。

一冪等半環為其_加法_（非乘法）為冪等的半環。

## 參考文獻

## 參見

* 不動點
等幂和差

**等冪和差**，又稱冪和差，指同是 n 次冪的 a 與 b 的和與差，即 $a^{n}\pm b^{n}$ 。

## 等比數列求和公式的推導

### 等冪和

當 n 為奇數時有：

$$
a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})
$$

因尾項必須為 + bn-1，故 n 不能取偶數。

### 等冪差

首項為 1、公比為 q 的等比數列求和後得出：

$$
\sum _{r=1}^{n}q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}
$$

設 q=a/b，換算後即有：

$$
a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})
$$

### 逆定理

$$
\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}
$$

$$
\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}
$$

注意 $\sum _{r=1}^{2n-1}a^{4n-2-2r}b^{2r-2}$ 可進行因式分解，例如：

$$
a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}={\frac {a^{6}-b^{6}}{a^{2}-b^{2}}}={\frac {(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{(a+b)(a-b)}}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})
$$

另解： $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})$

## 參見

* 盧卡斯數列
* 等冪求和
等幂和问题

等冪和問題是數論中一個有趣的問題，所謂等冪和即將左右不全等的等式兩邊各數字做同次方 (冪) 並相加後，能使等式成立，即能滿足下方一系列等式者，稱作「等冪和」。 
 $a_{1}^{1}+a_{2}^{1}+a_{3}^{1}+...+a_{n}^{1}=b_{1}^{1}+b_{2}^{1}+b_{3}^{1}+...+b_{n}^{1}$ 
 $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2}$ 

…… 
 $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+...+a_{n}^{k}=b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+b_{3}^{k}+...+b_{n}^{k}$ 

（以上所有數皆屬於整數）

關於這類數組的規律，尚無清楚且公認解答。目前已知最大的解為 A = {±22, ±61, ±86, ±127, ±140, ±151}，B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}，k=11。
等幂等积定理

**祖暅（ㄒㄩㄢ）原理**，又名**等冪等積定理**，是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有云：「緣冪勢既同，則積不容異。」

該原理最早由中國古代數學家劉徽提出。南北朝時祖沖之兒子祖暅再次提出，兩父子用這原理求出牟合方蓋體積，進而算出球體積。17 世紀歐洲義大利數學家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文獻一般稱該原理為**卡瓦列里原理**。

在現代的解析幾何和測度應用中，祖暅原理是富比尼定理的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在 1635 年的 _Geometria indivisibilibus_ 以及 1647 年的 _Exercitationes Geometricae_，用以證明自己的 _Methode der Indivisibilien_。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這定理引發了以面積計算體積的方法並成了積分發展的重要一步。

## 簡單應用

### 圓柱體

如果垂直轉軸切開圓柱體，設 r 為半徑，可得到橫切面積為 $\pi r^{2}$ 的圓。根據祖暅原理，圓柱體積相等於底面積相等於圓面積 $\pi r^{2}$ 、高 h 的長方體，所以半徑 r 和高 h 的圓柱體積是 $\pi r^{2}h$ 。

### 半球體

從其中一層以垂直表面的高 h 橫切半徑為 r 的半球體，根據勾股定理，半徑為

　
: $r'={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}$

所以橫切面積是

　
: $\pi \cdot (r')^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})$

對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一圓錐體。高 h 的對照立體環形切面有內圓周 h 及外圓周 r，其面積為

　
: $\pi \cdot r^{2}-\pi \cdot h^{2}=\pi \cdot (r^{2}-h^{2})$

因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差，所以

　
: $\pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3}}\pi \cdot r^{3}$

成功利用這條有名的方程計出半球體積，從而導出球體積公式。

## 微積分

祖暅原理背後概念常在微積分出現。作為維度的一個例子，因此兩條方程在兩交點間的面積可用以下方程獲得：

　
: $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$

實質上表示了函數 f 和 g 間的 $A_{1}$ 面積與函數圖形 $x\mapsto f(x)-g(x)$ 下的 $A_{2}$ 相同，而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學的積分和面積的互相關係，而體積可以微分計算，使祖暅原理變得更少用。

## 參考文獻

* （英文） 伽利略計劃：卡瓦列里 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文） http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等度

在數學中，**等距同構**，或稱**保距映射**，簡稱**等距**（英語：Isometry），是指在度量空間之中保持距離不變的同構關係。幾何學中的對應概念是全等變換。

等距同構經常用於將一個空間嵌入到另一空間的構造中。例如，測度空間 _M_ 的完備化即涉及從 _M_ 到 _M'_ 的等距同構，這裡 _M'_ 是 _M_ 上柯西序列所構成的空間關於「距離為零」的等價關係的商集。這樣，原空間 _M_ 就等距同構到完備的度量空間的一個稠密子空間並且通常用這一空間來指代原空間 _M_。 其它的嵌入構造表明每一度量空間都等距同構到某一賦範向量空間的一個閉子集以及每一完備度量空間都等距同構到某一巴拿赫空間的一個閉子集。

一個希爾伯特空間上的等距、滿射的線性算子被稱為酉算子。

## 定義

設 _X_, _Y_ 是兩個度量空間，其中的距離分別是 _d_X 和 _d_Y。一個映射 _f_ : _X_ → _Y_ 被稱為「**保距映射**」，如果對任意的 _a_,_b_ ∈ _X_，都有

　
: $d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b)$

保距映射一定是單射。任意兩個度量空間之間的等距同構都必然是一個拓撲嵌入。

等距同構是一一對應的保距映射，有時也被稱為全局等距同構。還有一種定義是路徑等距同構，指保持所有曲線長度的映射（不一定是一一對應的）。

如果兩個度量空間之間存在一個等距同構，就稱它們兩個為等距同構的。所有從一個度量空間到另一個的等距同構關於映射的複合運算組成一個群，稱為**等距同構群**。

## 例子

* 所有度量空間到自身的恆等映射都是等距同構。
* 在歐幾里得空間中，平移變換、旋轉變換、反射變換以及它們的複合都是等距同構。
* 內積空間 **C**n 上的線性等距同構是所有的酉變換。

## 線性等距同構

在賦範向量空間之間可以定義線性等距同構：所有保持範數的線性映射：

　
: $\|f(v)\|=\|v\|$

線性等距同構一定是保距映射，因此如果是滿射，就是（全局）等距同構。

係數域為實數的賦範向量空間上的等距同構一定是仿射變換。

## 參見

* 對合
* 同胚

## 參考來源

* 張賢科. 《高等代数学》第二版。清華大學出版社. 2002. ISBN 978-7-302-11088-0.
等度连续

在數學分析中，一個函數集合被稱為**等度連續**的，如果其中的函數都是連續的並且當自變量變動時，它們的取值都在「相同程度」的範圍中浮動。一般來說，集合里的函數是有限個或可數無限個。

等度連續最早出現在阿爾澤拉 - 阿斯科利定理中。阿爾澤拉 — 阿斯科利定理說明，考慮某個緊豪斯多夫空間 _X_，以及建立在它上面的連續函數的集合 _C_(_X_) 的一個子集，這個子集是緊集若且唯若它是閉集。作為結論，_C_(_X_) 里的一個函數序列一致收斂若且唯若它是等度連續的，並且逐點收斂。

## 定義

設 $(f_{i})_{i\in I}$ 為從拓撲空間 _E_ 射到度量空間 _F_ 的一組函數。 $(f_{i})_{i\in I}$ 是等度連續的若且唯若

　
: $\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon $

如果拓撲空間 _E_ 上定義了一個距離，那麼一組函數 $(f_{i})_{i\in I}$ 是一致等度連續的若且唯若

　
: $\forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon $

作為對比，命題：「一組函數 $(f_{i})_{i\in I}$ 全都是連續的」的數學化形式如下：

　
: $\forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon $

可以看出，對於一般的連續性，鄰域 _V_ 的選擇是隨 _i_ 而變的，也就是說對每個函數，浮動的形式都不一樣。而對於等度連續，鄰域 _V_ 的選擇不隨 _i_ 而變，只取決於 _x_ 和 $\varepsilon $ 。而在一致等度連續中，_V_ 的選擇只取決於 $\varepsilon $ 了。

## 參見

* 一致連續
* 阿爾澤拉 - 阿斯科利定理
* 緊空間

## 參考來源
等式

在數學的領域中，若兩個數學物件在各個方面都相同，則稱他們是**相等的**。這就定義了一個二元謂詞**等於**，寫作「 $=$ 」； $x=y$ 若且唯若 $x$ 和 $y$ 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了**等式**，例如 $6-2=4$ ，即 $6-2$ 與 $4$ 是相等的。

注意，有些時候「 $A=B$ 」並不表示等式。例如， $T(n)=O(n^{2})$ 表示在數量級 $n^{2}$ 上漸進。因為這裡的符號「 $=$ 」不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上， $O(n^{2})=T(n)$ 是沒有意義的。請參見大 O 符號了解這部分內容。

集合 $A$ 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和遞移性。
實際上，這是 _$A$_ 上唯一滿足所有這些性質的關係。
去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。
相應的，給定任意等價關係 $R$ ，可以構造商集 $A/R$ ，並且這個等價關係將『下降為』 $A/R$ 上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式式。

## 邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在 17 世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，若且唯若它們有完全相同的性質。
形式化這一說法，可以寫成

　
: 對任意 $x$ 和 _$y$_ ， $x=y$ 若且唯若對任意謂詞 $P$ ， $P(x)$ 若且唯若 $P(y)$ 。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

　
: 對任意 $x$ 和 _$y$_ ，若 $x$ 等於 _$y$_ ，則 $P(x)$ 若且唯若 $P(y)$ 。

這條公理對任意單變數的謂詞 $P$ 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 $x$ 和 _$y$_ 相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

　
: 對任意 _$x$_ ， $x$ 等於 _$x$_ 。

則若 $x$ 和 _$y$_ 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 $P$ 是相同的。這裡謂詞 $P$ 為： $P(z)$ 若且唯若 $x=z$ 。
由於 $P(x)$ 成立， $P(y)$ 必定也成立（相同的性質），所以 $x=y$ （' ' $P$ _的變數為 $y$ ）._

## 等於的一些基本性質

### 替代性

對任意量 $a$ 和 $b$ 和任意表達式 $F(x)$ ，若 $a=b$ ，則 $F(a)=F(b)$ （設等式兩邊都有意義）。
在一階邏輯中，不能量化像 $F$ 這樣的表達式（它可能是個函數謂詞）。
一些例子：

* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $a+c=b+c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x+c$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $a-c=b-c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x-c$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $ac=bc$ （這裡 $F(x)$ 為 $xc$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ 且 $c\neq 0$ ，則 $a/c=b/c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x/c$ ）

### 自反性

對任意量 $a$ ， $a=a$ 。

這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。

### 對稱性

例子：如果 $a=b$ ，那麼 $b=a$

### 遞移性

例子：如果 $a=b$ ， $b=c$ ，那麼 $a=c$

實數或其他物件上的二元關係「約等於」，即使進行精確定義，也不具有遞移性（即使看上去有，但許多小的差能夠疊加成非常大）。然而，在絕大多數情況下，等於_具有_遞移性。

儘管對稱性和遞移性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

## 符號的歷史

「**等於**」符號或 「 **$=$** 」被用來表示一些算術運算的結果，是由羅伯特・雷科德在 1557 年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩，雷科德在他的作品 _The Whetstone of Witte_ 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾斯的 St Mary 教堂有記錄。

約等於的符號是 $\approx $ 或**≒**，不等於的符號是 $\neq $ 。

## 參見

* 等號

## 外部連結

* 關係符號的早期使用（英文）
等张

**滲透壓**是施加到溶液上以防止溶劑經半透膜內流的最低壓力。它也被定義為溶液通過滲透進入純溶劑的趨勢的量度。**潛在滲透壓**是如果通過半透膜將溶液與其純溶劑分離，則溶液中可能產生的最大滲透壓。

當含有不同濃度溶質的兩種溶液被半透膜隔開時，就會發生滲透作用。溶劑分子優先通過膜從低濃度溶液到具有較高溶質濃度的溶液。溶劑分子的轉移將持續到達到平衡為止。

在 U 型管實驗時，當滲透持續進行至兩液面高度不再變動時，此時兩液柱之壓力差稱為滲透壓。滲透壓的大小和溶液的體積莫耳濃度、溶液溫度和溶質解離度相關，因此有時若得知滲透壓的大小和其他條件，可以反推出大分子的分子量。范特荷夫因為滲透壓和化學動力學等方面的研究獲得第一屆諾貝爾化學獎。依照范特荷夫定律，稀溶液的滲透壓與溶液的體積莫耳濃度及絕對溫度成正比。

## 理論和測量

雅各布斯・亨里克斯・范特霍夫發現滲透壓和溶質濃度之間存在定量關係，用以下等式表示：

　
: $\Pi =icRT$

其中 $\Pi $ 是滲透壓，_i_ 是無量綱凡特荷夫因子，_c_ 是溶質的莫耳濃度，_R_ 是理想氣體常數，_T_ 是絕對溫度（通常以開爾文為單位）。該公式適用於溶質濃度足夠低以至於溶液可以被視為理想溶液的情況。與濃度成正比意味著滲透壓是一種依數性質。注意該公式與形式中的理想氣體定律 $P={\frac {n}{V}}RT=c_{\text{gas}}RT$ 的相似性，其中 n 是體積，_V_ 中氣體分子的總莫耳數，_n_/_V_ 是氣體分子的莫耳濃度。

哈蒙・諾斯羅普・莫爾斯和弗雷澤表明，如果濃度單位是體積莫耳濃度而不是質量莫耳濃度時，則該方程適用於更濃的溶液。故當使用體積莫耳濃度時，這個方程被稱為**莫爾斯方程**。

對於更濃的溶液，凡特荷夫方程可以擴展為溶質濃度 c 的冪級數。初步近似於：

　
: $\Pi =\Pi _{0}+Ac^{2}$

其中 $\Pi _{0}$ 是理想壓力，A 是經驗參數。參數 A 的值（以及來自高階近似值的參數）可用於計算皮策方程。經驗參數用於量化離子和非離子溶質溶液的行為，這些溶液在熱力學意義上不是理想溶液。

## 應用

滲透壓測量可用於確定分子量。

滲透壓是影響生物細胞的重要因素。滲透壓調節是生物體達到滲透壓平衡的穩態機制。

* 高滲性溶液會導致細胞收縮。
* 低滲性溶液會導致細胞膨脹。
* 等滲性溶液的存在不會導致細胞體積發生變化。

當生物細胞處於低滲環境中時，細胞內部會積聚水分，水會穿過細胞膜流入細胞，使其膨脹。在植物細胞中，細胞壁會限制膨脹，導致細胞壁從內部產生壓力，稱為膨壓。膨壓使草本植物直立。這也是植物如何調節氣孔孔徑的決定性因素。在動物細胞中，過高的滲透壓會導致細胞溶解。

滲透壓是反滲透過濾的基礎，這是一種常用於水淨化的過程。待淨化的水被放置在一個腔室中，並置於比水和溶解在其中的溶質施加的滲透壓更大的壓力下。腔室的一部分通向一個不同的滲透膜，該膜可以讓水分子通過，但不能讓溶質顆粒通過。海水的滲透壓約為 27atm。反滲透從海水中淡化淡水。

## 另見

* 滲透
* 逆滲透
* 張性
* 吉布斯 - 唐南效應

## 參考資料

## 外部連結

* Osmotic pressure and potential （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Osmotic pressure
* Nobel Prize lecture on osmotic pressure and chemical equilibrium (pdf) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* What is Osmosis? Explanation and Understanding of a Physical Phenomenon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等当量

**化學計量數**或**化學計量**是化學反應方程式中各反應物或生成物前的數值。例如，圖中為甲烷在空氣中完全燃燒的方程式，方程式中 ${\ce {O2}}$ 、 ${\ce {H2O}}$ 前的數值（或「係數」）2 就是它的化學計量。當一個物質前的數值為 1 時，便省略不寫，如式中的 ${\ce {CH4}}$ 和 ${\ce {CO2}}$ 。

將一個未加化學計量數的方程補充化學計量數，使其符合物質、電荷守恆的過程叫做化學反應方程式的配平。

## 化學計量比

化學反應方程式中，各反應物的化學計量之比稱為化學計量比。如果一個化學反應按照化學計量比發生，我們有如下假設：

1. 所有反應物都完全反應
2. 反應物不缺少
3. 反應物不過量

一些反應可以按照化學計量比進行反應，如溶液中的離子反應，有一些則需要其中的一種或多種反應物過量，如物質的燃燒。例如，對於反應：

　
: ${\ce {2Ag+ + S^2- -> Ag2S v}}$ （沉澱反應）

　
: ${\ce {H+ + OH- -> H2O}}$ （中和反應）

無論哪一個反應物過量，都可以按照化學計量比進行；而對於

　
: ${\ce {C + O2 -> CO2}}$

　
: ${\ce {2C + O2 -> 2CO}}$

在氧氣過量的情況下，碳燃燒生成二氧化碳，而氧氣不足的時候，則有一氧化碳生成。

對於一些反應，可以人為的控制化學計量比，來獲得不同化合物，尤其是一些二元化合物。如紅磷和鈷化合，根據不同的化學計量比，可以產生 ${\ce {Co2P}}$ 、 ${\ce {CoP}}$ 和 ${\ce {CoP3}}$ ：

　
: ${\ce {2 Co + P -> Co2P}}$

　
: ${\ce {Co + P -> CoP}}$

　
: ${\ce {Co + 3 P -> CoP3}}$

## 化學反應中化學計量的特殊情況

### 燃料的燃燒

燃料在燃燒時，為確保反應完全，需要氧化劑過量。若空氣作為氧化劑，則使燃料完全燃燒所需的空氣與燃料之比成為空燃比。常見燃料的空燃比如下：

### 和物量無關的反應

有一些反應進行的方式和物量無關，而和反應物的濃度有關，改變反應物的濃度，生成物的種類也隨之改變，如銅和硝酸的氧化還原反應：

　
: Cu + 4 HNO3（濃） → Cu (NO3)2 + 2 NO2↑ + 2 H2O

　
: 3 Cu + 8 HNO3（稀） → 3 Cu (NO3)2 + 2 NO↑ + 4 H2O

在 10mol・L-1 以上的硝酸中，按上式反應；而在 4.8mol・L-1 時，按下式反應。此時，無論硝酸或者銅是否過量，反應都按照硝酸的濃度進行，而和其物量無關。類似地，對於硝酸鐵溶液和銀的反應，反應如何進行與硝酸鐵溶液的濃度有關，低濃度時，硝酸鐵水解產生的 H3O+ 與 NO3-和 Ag 反應；而高濃度的硝酸鐵則存在 Fe3+ 氧化 Ag 和 NO3-（H+）氧化 Ag 的競爭反應，通過理論計算，Fe3+ 在 3.16mol・L-1 以上便可氧化 Ag。

## 用途

對於一個已配平的化學反應方程式，已知其中一個參與反應的物量（或其它已知量，如質量等），或者其中一個生成物的物量，便可求出反應方程式中其它物量，這廣泛用於分析化學中的滴定、重量分析的計算中。在物理化學中，如化學反應速率方程的求解與計算中，也能用到化學計量。

而在物質的製備與合成中，往往需要將反應方程式中的化學計量比作為加料多少的參考；對於密閉空間有氣體產生的化學反應，也需要根據生成氣體的量來判斷反應是否安全。

## 參考文獻

## 連結

中文化學計量計算器 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等形小剑水蚤

**等形小劍水蚤**（學名：_Microcyclops subaequalis_）為劍水蚤科小劍水蚤屬的動物。分布於非洲以及中國大陸的雲南、浙江、新疆等地，一般生活於小型水域及湖泊沿岸帶的水草叢中。

## 參考文獻
等待

《**等待**》是張信哲第 7 張個人專輯，於 1994 年 6 月發行，也是他在巨石音樂最後一張國語專輯。此專輯的中國大陸引進版由滾石唱片授權上海聲像發行。

上一張專輯《心事》裏的《愛如潮水》讓張信哲到達了歌唱事業的第一個頂峰，張自己在此張專輯歌詞內附的日記裏也坦言壓力變大，「必須坦誠這或有或無的壓力」，這張專輯正是延續其歌唱地位的關鍵一張唱片。專輯首波主打為李宗盛包辦詞曲的《別怕我傷心》，次主打為同香港女星劉嘉玲合作，在之後廣為傳唱的男女對唱歌曲《有一點動心》。另外，此張專輯也是張宇同張信哲的首次合作。

## 曲目

## 唱片版本

* 卡帶版
* CD 版

## 參考資料

歌詞魔鏡 張信哲《等待》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等待了很久

《**等待了很久**》（韓語：오랫동안 당신을 기다렸습니다）為韓國 ENA 計劃於 2023 年播出的水木連續劇，由《優雅的家》、《Again My Life》的導演韓哲秀擔任導演，《劍與花》、《優雅的家》的編劇權民洙執筆劇本。劇情講述鄉下大男子吳警官神秘的查案故事。

## 演員陣容

### 主要人物

### 其他人物

## 參考資料

## 外部連結

* Daum 上《等待了很久》的資料（韓文）
等待你看到我的笑脸

《**等待你看到我的笑臉**》（英語：_Wait Til You See My Smile_）收錄於美國節奏藍調、靈魂樂歌手艾莉西亞・凱斯第四張錄音室專輯無限元素中。艾麗西亞與自己的現任丈夫 SWIZZ BEATZ 共同創作了這首歌曲來回應當時媒體的流言蜚語。這首歌曲於 2010 年 12 月 13 日通過數字下載形式在英國等少數歐洲國家發行。作為艾莉西亞這張的第六首打榜單曲，英國的第四首打榜單曲。

## 樂評與流行文化

艾莉西亞對自己的演唱評價道：這首歌很帶勁，鼓聲做得強勁到位，反之我的聲音太脆弱和纖細。有的歌迷覺得等待你看到我的笑臉像是 journey 或者 coldplay] 的歌曲，而艾麗西亞則表示她唱出了自己的味道。娛樂周刊認為這首歌引起了純淨甜蜜的感覺。在熱門美劇實習醫生格蕾第六季的 State of Love and Trust 一集中出現了這首歌曲。這首歌曲也是艾麗西亞無限元素巡演的必唱曲目之一。

## 音樂錄影帶

這首歌的音樂錄影帶採取了向全球歌迷徵集創意的方式來決出最後的獲勝者作為官方的音樂錄影帶用於宣傳。共有一萬兩千部作品參與了這次活動，最後由艾麗西亞本人選出的獲勝者是來自紐西蘭一位歌迷的參賽作品，這部作品表達的主題是：在生活中，我們應該停止扮演角色，做回原來的自己。自由不是每個人都可以獲得的，但是他可以給予人們戰勝一切的決心。這個 MV 很好的表達了艾麗西亞創造這首歌曲的初衷。

## 曲目列表

1. Wait Til You See My Smile (UK Radio Edit) - 3:11

2. Un-thinkable (I'm Ready) (Remix featuring Drake) - 4:42

## 人事

製作：Alicia Keys，Jeff Bhasker

人聲：Alicia Keys

鋼琴：Alicia Keys

合成器：Alicia Keys，Jeff Bhasker

電子琴：Jeff Bhasker

鼓編程：Patrick "Plain Pat" Reynolds

真鼓：Steve Wolf

錄製製作人： Ann Mincieli

製作助理：Valente Torres, Miki Tsutsumi, Val Brathwaite

混音：Manny Marroquin

混音助理： Erik Madrid
等待夏天

《**等待夏天**》（日語原名：夏待ち）是日本漫畫家亞鳥矽子（あとり硅子）的短篇漫畫集。原作於 1996 年由新書館出版，ISBN 4-403-61406-X。中文版於 2000 年由東立出版，ISBN 957-34-8908-2。

## 篇名

* 等待夏天
* seagreen
* 英雄
* 無法入眠的夜晚
* 月夜的櫻桃男孩
* 幸運的快樂男孩！
* 四谷澁谷入谷雜司古！（四格短篇）

## 內容簡介

《等待夏天》開頭以阿稔隔了十年奉母命回故鄉，但一直想不起來為什麼十年間不想回去的原因，原因竟然只是表哥克也的一句話。

《seagreen》有著少女漫畫典型的亮晶晶碎片、泡沫和花朵背景，但卻不會給人繁雜的感覺，很細膩的作品。

《英雄》是有一點異類的作品，只有 15 頁的短篇就出現了鎮靜劑、自殺與挖墳墓劇情。

《無法入眠的夜晚》與《月夜的櫻桃男孩》是以看得到聽不見的日比野可蓮，和聽得到看不見的藥師丸靈異二人組，所產生的兩篇喜劇。
等待幸福

**《等待幸福：Waiting for good news》**（日語：カフーを待ちわびて：Waiting for good news），日本作家原田舞葉的小說。

## 概要

2006 年第一屆「日本愛情故事大賽」獲獎，作者的小說出道作品。

愛貝克思改編為電影，於 2009 年春天上映。另外，有羽なぎさ將其漫畫化，於「Dessert」（講談社）系列的雜誌連載。

原文標題中的「カフー」為「果報」的琉球語，有「好消息」或者「幸福」兩種含義。

2009 年出版了番外篇小說《花々》。

**書籍情報**

* 單行本：2006 年 4 月發行，ISBN 4796652124
* 文庫本：2008 年 5 月發行，ISBN 9784796663526

## 登場人物

****友寄明青****
: 演員：玉山鐵二

　
: 35 歲。13 年前繼承了祖母經營的雜貨店。店裡是附近的老人家開井邊會議的地方，明青和他們的關係也不錯。祖母於 7 年前去世，因為單身，所以由家裡的奶奶負責三餐。天生右手不方便。並不是為了特別的理由，但一直不能認同開發計畫。

****幸****
: 演員：麻衣子

　
: 寄信給明青三周後來訪。皮膚白皙的美女。似乎不擅長家事。好吃也好睡。擁有溫和、輕浮兩面個性。不太愛談及過去的神秘女性。

****卡富****
: 明青的家犬。黑色的拉布拉多尋回犬。兩年前出生於兒時玩伴渡家裡。對明青來說是不可替代的家族成員。聰明老實，只會對俊一吠叫。

****家裡的奶奶****
: 演員：瀨名波孝子

　
: 住在明青家裡的老奶奶。島上唯一的靈媒。86 歲。從明青懂事開始，就經常和奶奶一起玩。

****新垣渡****
: 演員：勝地涼

　
: 明青的兒時玩伴。飼養著母狗卡富。培育著姬松茸，對開發十分感興趣。

****照屋俊一****
: 演員：尚玄

　
: 明青的兒時玩伴。經營渡假村公司的企業家。在北陸的島上開發渡假村成功，計畫也在與那喜島開發渡假村。

****田中庄司****
: 東京出身。經營潛水店。熱愛潛水，五年前搬到這座小島。飼養著 2 隻從渡那裡得到的狗（卡富的兄弟）。開發反對派的急先鋒。

## 電影

### 演員

主要角色請參照 #登場人物。

* 比嘉辰夫：宮川大輔
* 宜保秀雄（村長）：香港
* 新垣梨香：伊藤由美
* 新垣成子：白石美帆（友情客串）
* 友寄美晴（明青的母親）：高岡早紀
* 高木吉雄：澤村一樹
* 醫師：大口廣司
* 明美：久紗野水萌
* 卡富：法蘭西 / 麻子

### 工作人員

* 導演：中井庸友
* 原作：原田舞葉
* 編劇：大島里美
* 音樂：池賴廣
* 主題曲：沐月樂團 「EVERGREEN」
* 沖繩方言指導：今城翔子
* 沖繩今歸仁村場地協調：上間宏明

### 與原作不同的地方

* 明青與俊一的年齡設定：35 歳→28 歳
* 比嘉辰夫的職業：民宿主人→郵務士

## 外部連結

* 寶島社サイト
* 映畫公式サイト
* 配給會社の作品紹介サイト
* 今帰仁撮影関係 (秘) 話　ロケ地の紹介ブログ
等待微風

《**等待微風**》（日語：風を待つ／かぜをまつ _Kaze wo matsu_ \*/?）是日本女子偶像團體 STU48 的第 2 張單曲，於 2019 年 2 月 13 日由國王唱片發行。標題曲的 Center（中心成員）由瀧野由美子擔任。

## 簡介

本作為 STU48 繼《暗闇》之後時隔一年發行的單曲、以及在 2019 年發行的首張單曲，分為初回限定盤與通常盤 Type-A、Type-B、Type-C、Type-D 以及劇場盤，總共 9 個版本。

2018 年 6 月 17 日，在名古屋巨蛋舉行的「第 10 屆 AKB48 選拔總選舉」賽後感謝握手會上，STU48 營運方宣布將發行第 2 張單曲的訊息，同時公布了選拔成員名單，Center（中心成員）則與上張單曲一樣由瀧野由美子擔任。該單曲原計於 8 月 29 日發行，但受到 7 月初發生的西日本豪雨影響，鑒於做為 STU48 活動根據地的瀨戶內地方受災嚴重，STU48 營運方在 7 月 11 日宣布該單曲延期發行，STU48 團體本身則投入災後重建募款義演活動。10 月 3 日，STU48 在東京新宿文化中心舉行的「STU48 慈善演唱會巡演」東京公演上，宣布該單曲定於 2019 年 2 月 13 日發行。12 月 6 日，將做為單曲特典影像收錄的「瀨戶內制服圖鑑」公開，同時在 STU48 官方 YouTube 頻道上發表了精華版短片。12 月 22 日，STU48 於影音串流平台 LINE LIVE 的直播「STU48 LINE LIVE 特別節目 ～出航準備中！～」上，發表了單曲名稱。12 月 27 日，在廣島縣尾道市拍攝的單曲完整 MV 於 STU48 官方 YouTube 頻道上發表。

2019 年 1 月 10 日，單曲的封面寫真公開，與 MV 同樣於廣島縣尾道市拍攝。1 月 22 日，單曲各版本的收錄內容（B 面曲名稱、DVD 影片等）正式公開。為宣傳單曲，STU48 於 2 月 12 日登上 NHK 綜合頻道節目《歌曲演唱會》演出，並於 2 月 13 日、即單曲發行當天，於神奈川縣川崎市的「Lazona 川崎」舉行單曲發行紀念活動。

## 反應

在 Oricon 公信榜上，該單曲首週銷量為 276,316 張，位列實體銷售週榜第 1 位，而在合算銷售週榜亦同樣排第 1 位。在《告示牌》Top Singles Sales 榜上，該單曲首週銷量為 302,533 張，取得週榜第 1 位，在日本熱門 100 金曲榜亦為第 1 位。

## MV

**等待微風**

　
: MV 在日本廣島縣尾道市以兩天的時間拍攝完成，利用尾道多山的地形，成員們在超過 100 階的街道石梯上快跑，並表演以現代舞編排的舞蹈，跳出「有尾道風格的舞蹈」。攝影則使用無人機空拍，以一鏡到底的方式呈現，拍攝了 10 次才成功。唱片公司為此還建置專屬網頁，展示 MV 的拍攝過程與部分拍攝版本，包括最後採用為正式版本的第 9 版。

　
: MV 導演是三石直和，編舞則由曾為太陽劇團第一位日籍成員的辻本知彥擔綱。

**出航**

　
: MV 由荒船泰廣擔任導演，在 STU48 劇場所在船隻「STU48 號」的改裝工廠現場、以及改裝中的船內多處拍攝，片中同時穿插成員們的自拍影像，以表現出 STU48 對於未來船上劇場啟用的期待。這也是 STU48 首次在未來的船上劇場場地表演。

## 封面寫真

## 收錄歌曲

### Type-A

### Type-B

### Type-C

### Type-D

### 劇場盤

## 選拔成員

### 等待微風

（Center：瀧野由美子）

* STU48：石田千穗、石田南、磯貝花音、市岡愛弓、今村美月、岩田陽菜、岡田奈奈（AKB48 Team 4 兼任）、甲斐心愛、門脇實優菜、瀧野由美子、田中皓子、土路生優里、福田朱里、藪下楓
* 研究生：沖侑果、中村舞

### 出航

（Center：岡田奈奈 / 全成員參加）

* STU48：石田千穗、石田南、磯貝花音、市岡愛弓、今村美月、岩田陽菜、大谷滿理奈、岡田奈奈（AKB48 Team 4 兼任）、甲斐心愛、門田桃奈、門脇實優菜、榊美優、佐野遙、新谷野野花、菅原早記、瀧野由美子、田中皓子、谷口茉妃菜、土路生優里、兵頭葵、福田朱里、藤原梓、三島遙香、峯吉愛梨沙、森香穗、森下舞羽、矢野帆夏、藪下楓
* 研究生：中村舞、沖侑果、由良朱合、溝口亞以子、信濃宙花

### 夢力

**「CGB41」名義**

（Center：瀧野由美子 / 姓名後的括弧為廣告中的「擔當口味」）

* STU48：石田千穗（抹茶布朗尼）、磯貝花音（可可亞）、市岡愛弓（豆漿阿薩伊果）、今村美月（楓樹堅果與燕麥）、岩田陽菜（草莓布朗尼）、門脇實優菜（豆漿奶黃）、瀧野由美子（藍莓）、土路生優里（燕麥與漿果）、藪下楓（奶油起司）

### 制服的重量

**「20 世紀誕生團員」（20 世紀生誕メンバー）名義**

（Center：藪下楓）

* STU48：石田南、磯貝花音、今村美月、岡田奈奈（AKB48 Team 4 兼任）、門田桃奈、佐野遙、瀧野由美子、田中皓子、谷口茉妃菜、土路生優里、藤原梓、三島遙香、森香穗、矢野帆夏、藪下楓

### 原點

**「21 世紀誕生團員」（21 世紀生誕メンバー）名義**

（Center：大谷滿理奈）

* STU48：石田千穗、市岡愛弓、岩田陽菜、大谷滿理奈、甲斐心愛、門脇實優菜、榊美優、新谷野野花、菅原早記、兵頭葵、峯吉愛梨沙、森下舞羽

### 終於等到 油菜花綻放之際

**「選秀研究生」（ドラフト研究生）名義**

（Center：中村舞）

* 研究生：中村舞、沖侑果、由良朱合、溝口亞以子、信濃宙花

### 想和誰在一起

**「土路美啾皓子」（とろみちゅこっこ）名義**

（Center：今村美月）

* STU48：今村美月、田中皓子、土路生優里

## 參考資料

## 外部鏈結

* 國王唱片官方網站 （日語）
  * 初回限定盤 Type-A （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 初回限定盤 Type-B （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 初回限定盤 Type-C （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 初回限定盤 Type-D （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 通常盤 Type-A （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 通常盤 Type-B （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 通常盤 Type-C （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 通常盤 Type-D （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 劇場盤 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* STU48「等待微風」Music Video 特設網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （日語）
* 音樂錄影帶
  * YouTube 上的【MV full】風を待つ / STU48 [公式] （日語）
  * YouTube 上的 STU48－等待微風（華納 official HD 高畫質官方中字版）（06.03 前期間限定完整公開） （繁體中文）
等待您

《**等待您**》是香港歌手陳百強的第十七張粵語大碟，此唱片採用雙封套設計，於 1990 年 1 月推出。

## 製作背景

這張專輯收錄了三首改編自墨西哥年輕歌手 Luis Miguel 的西班牙語歌曲，《**試問誰沒錯**》、《**重新欣賞我**》和《**I Do I Do**》，三首歌曲皆來自 1988 年推出的暢銷專輯《Busca una Mujer》(尋找一個女人)，此專輯全球銷量達三百萬。

陳百強曾於「91 陳百強紫色個體演唱會」上透露他在錄《**對酒當歌**》時想起了四年前深愛的女友，一邊錄音，一邊偷偷的哭。

陳百強曾表示《**三個自己**》是此唱片中他最滿意的作品；杜自持後來亦透露此曲是他職業生涯中最喜歡幾首作品之一。

《**空氣中等你**》是台灣音樂人孫崇偉為陳百強寫的原創作品，後來蘇芮唱了此曲的國語版《想你在風中》，孫崇偉詞曲，收錄於 1990 年 10 月的《停在我心裡的溫柔》專輯。

## 曲目

## 製作人員

* 監制：杜自持、黃柏高
* 助理監制：陳志康
* 混音：張子慶 Johnny Cheung (CBS/Sony)、韋翰文 Tommy Wai (CBS/Sony)、David Ling Jr （S&R）
* 錄音室：CBS/Sony Studio、S&R Studio
* 封套概念：陳百強
* 發型：Joseph Lo (Il Colpo)
* 美術指導：黃炳培 Stanley Wong
* 攝影：黃永熹 Sam Wong
* 拍攝場地：山頂道占美廚房 Jimmy's Kitchen
* 封套製作：Dias Production

## 派台成績

▲1990 年第 8 周

## 獎項

* 1990 年度十大勁歌金曲

　
: * 「十大勁歌金曲第一季季選」：《試問誰沒錯》

* 1990 年度香港金唱片頒獎典禮

　
: * 「白金唱片」：《等待您》專輯

## 參考資料
等待愛

〈**等待愛**〉（英語："Waiting for Love"）是瑞典已故音樂製作人兼 DJ 艾維奇的單曲。歌曲由艾維奇和荷蘭 DJ 馬汀・蓋瑞克斯製作，並包含英國櫻桃鬼樂團前主唱西蒙・阿爾德雷德未注名的人聲。〈等待愛〉於 2015 年 5 月 22 日發行並收錄在在艾維奇的第二張錄音室專輯《奇蹟旅程》，阿爾德雷德也參與了作詞。

## 歷史

艾維奇和馬汀・蓋瑞克斯在 2015 年超世代音樂節上首次演唱了〈等待愛〉。在 5 月 22 日發行前，蓋瑞克斯和艾維奇在 Twitter 上發布了視頻，人們認為這首配有約翰・傳奇伴唱的歌曲將是二人的全面合作。但最終歌手確定為櫻桃鬼的主唱西蒙・阿爾德雷德（Simon Aldred）。

## 作曲

〈等待愛〉屬漸進浩室歌曲，採用升 F 小調，和弦進行為 F#m/C#m/D - D/E/F#m，速度為 128BPM。

## 影片

### 音樂錄影帶

〈等待愛〉的音樂錄影帶由塞巴斯蒂安・林格勒（Sebastian Ringler）執導。奇蹟旅程開始於一對老年夫婦，一天晚上妻子（英格麗・沃林飾）帶著隨身物品突然消失，當第二天早上老人（斯滕・埃爾夫斯特倫飾）發現妻子不見時，他搜遍了房屋但一無所獲。老人看著妻子過去的照片，心急如焚並十分沮喪。第二天他騎上電動代步車離家尋找妻子，他騎車穿過鄉間，途徑大橋、城市、海灘、沼澤、雪山、森林和草原等奇觀。在旅途中，他回想起了和妻子的幸福時光，他們長大成人，結交朋友，同時樂善好施。最終，老人回到了家鄉，此時正迎一場慶祝活動，老人受到了熱烈歡迎。突然他發現妻子在等待著他，他們重新團聚並幸福地擁抱在了一起。

### 歌詞視頻

〈等待愛〉的動畫歌詞視頻於 2015 年 5 月 22 日發布。視頻講述了一隻狗和主人的奇蹟旅程，這隻狗和男孩從小相識，彼此作伴。一次主人被派去打仗，狗被留在了家裡。過了一段時間，狗太過孤獨而最終決定去尋找主人。它途徑了村莊、城市、雪山和草地，後來身處戰場中心並差點被炸死。它回憶起自己和主人曾經的時光，很快醒了過來，儘管身上有幾處傷口，但它仍繼續尋找。最終它在一場戰鬥後找到了主人：他還活著，但是左小腿不見了。在視頻結束時，兩人（狗和主人）回到了家裡，他們傷勢痊癒（年輕人安裝了假肢）並像原來一樣平靜地生活。動畫由傑斯珀・埃里克森（Jesper Eriksson）和 Blackmeal 的 CEO 馬修・科隆貝爾（Matthieu Colombel）執導剪輯，自上映以來「反響驚人，讓很多人熱淚盈眶，甚至有前軍人專門前來感謝艾維奇製作了該視頻」。

### 360° 全景視頻

〈等待愛〉的 360° 全景視頻由寇特・雨果・施耐特執導，於 2015 年 5 月 28 日發布。視頻的 360° 全景功能僅適用於 Google Chrome 瀏覽器（桌面版、Android 版及 iOS 版）。

## 曲目列表

## 製作人員

人員名單來自於 CD 單曲。

* 西蒙・阿爾德雷德 – 詞曲，人聲
* 薩利姆・法基爾 – 詞曲
* 文森特・蓬塔雷 – 詞曲
* 艾維奇 – 詞曲，製作
* 馬泰因・哈里岑 – 詞曲，聯合製作

## 榜單和認證

## 發行歷史

## 參考文獻

## 外部連結

* 豆瓣音樂上《等待愛》的資料 （簡體中文）
等待愛情

**等待愛情**可能指：

* 等愛 (艾維奇歌曲)：2015 年的歌曲
* 等待愛情 (愛麗絲歌曲)：1991 年的歌曲
* _Waiting for Love_ (film)：1981 年由彼得・托多羅夫斯基（Pyotr Todorovsky）執導的蘇聯浪漫喜劇
* _等待愛情_：2009 年林俊傑發行的專輯。
* _等待愛情_：1999 年 Shujaat Khan 發行的專輯。

## 參見

* Waiting for Your Love (disambiguation)
* Wait for Love (disambiguation)
等待曙光

《**等待曙光**》是大愛家的故事系列其中一部描寫李耕新真實人生電視劇，全劇共 5 集，於 2011 年 12 月 19 日－2011 年 12 月 23 日在大愛電視《長情劇展》時段（台灣時間星期一～星期五晚上 22:00）播放

## 主要演員
等待月亮

《**等待月亮**》（英語：Waiting for the Moon）是 1987 年二十世紀福斯公司發行的電影，描述葛楚德・史坦與其愛人與助手愛麗絲・B・托克勒斯（Alice B. Toklas）之間的故事，由琳達・貝賽 (Linda Bassett) 與琳達・杭特 (Linda Hunt) 主演。時間為 1930 年代，兩人遇見了畢卡索與他的愛人費爾蘭迪・奧莉維亞 (Fernande Olivier 由貝娜黛拉馮 Bernadette Lafont 飾演)，並且認識作家歐內斯特・海明威 (布魯斯・麥吉爾 Bruce McGill 飾演) 與 紀堯姆・阿波利奈爾 (賈奎斯・伯蒂特 Jacques Boudet 飾演)。電影由吉兒・高米洛 (Jill Godmilow) 執導，馬克・馬吉爾 (Mark Magill) 寫作劇本。
等待爱

〈**等待愛**〉（英語："Waiting for Love"）是瑞典已故音樂製作人兼 DJ 艾維奇的單曲。歌曲由艾維奇和荷蘭 DJ 馬汀・蓋瑞克斯製作，並包含英國櫻桃鬼樂團前主唱西蒙・阿爾德雷德未注名的人聲。〈等待愛〉於 2015 年 5 月 22 日發行並收錄在在艾維奇的第二張錄音室專輯《奇蹟旅程》，阿爾德雷德也參與了作詞。

## 歷史

艾維奇和馬汀・蓋瑞克斯在 2015 年超世代音樂節上首次演唱了〈等待愛〉。在 5 月 22 日發行前，蓋瑞克斯和艾維奇在 Twitter 上發布了視頻，人們認為這首配有約翰・傳奇伴唱的歌曲將是二人的全面合作。但最終歌手確定為櫻桃鬼的主唱西蒙・阿爾德雷德（Simon Aldred）。

## 作曲

〈等待愛〉屬漸進浩室歌曲，採用升 F 小調，和弦進行為 F#m/C#m/D - D/E/F#m，速度為 128BPM。

## 影片

### 音樂錄影帶

〈等待愛〉的音樂錄影帶由塞巴斯蒂安・林格勒（Sebastian Ringler）執導。奇蹟旅程開始於一對老年夫婦，一天晚上妻子（英格麗・沃林飾）帶著隨身物品突然消失，當第二天早上老人（斯滕・埃爾夫斯特倫飾）發現妻子不見時，他搜遍了房屋但一無所獲。老人看著妻子過去的照片，心急如焚並十分沮喪。第二天他騎上電動代步車離家尋找妻子，他騎車穿過鄉間，途徑大橋、城市、海灘、沼澤、雪山、森林和草原等奇觀。在旅途中，他回想起了和妻子的幸福時光，他們長大成人，結交朋友，同時樂善好施。最終，老人回到了家鄉，此時正迎一場慶祝活動，老人受到了熱烈歡迎。突然他發現妻子在等待著他，他們重新團聚並幸福地擁抱在了一起。

### 歌詞視頻

〈等待愛〉的動畫歌詞視頻於 2015 年 5 月 22 日發布。視頻講述了一隻狗和主人的奇蹟旅程，這隻狗和男孩從小相識，彼此作伴。一次主人被派去打仗，狗被留在了家裡。過了一段時間，狗太過孤獨而最終決定去尋找主人。它途徑了村莊、城市、雪山和草地，後來身處戰場中心並差點被炸死。它回憶起自己和主人曾經的時光，很快醒了過來，儘管身上有幾處傷口，但它仍繼續尋找。最終它在一場戰鬥後找到了主人：他還活著，但是左小腿不見了。在視頻結束時，兩人（狗和主人）回到了家裡，他們傷勢痊癒（年輕人安裝了假肢）並像原來一樣平靜地生活。動畫由傑斯珀・埃里克森（Jesper Eriksson）和 Blackmeal 的 CEO 馬修・科隆貝爾（Matthieu Colombel）執導剪輯，自上映以來「反響驚人，讓很多人熱淚盈眶，甚至有前軍人專門前來感謝艾維奇製作了該視頻」。

### 360° 全景視頻

〈等待愛〉的 360° 全景視頻由寇特・雨果・施耐特執導，於 2015 年 5 月 28 日發布。視頻的 360° 全景功能僅適用於 Google Chrome 瀏覽器（桌面版、Android 版及 iOS 版）。

## 曲目列表

## 製作人員

人員名單來自於 CD 單曲。

* 西蒙・阿爾德雷德 – 詞曲，人聲
* 薩利姆・法基爾 – 詞曲
* 文森特・蓬塔雷 – 詞曲
* 艾維奇 – 詞曲，製作
* 馬泰因・哈里岑 – 詞曲，聯合製作

## 榜單和認證

## 發行歷史

## 參考文獻

## 外部連結

* 豆瓣音樂上《等待愛》的資料 （簡體中文）