算术级数

**等差數列**，又名**算術數列**（英語：Arithmetic sequence），是數列的一種。在等差數列中，任何相鄰兩項的差相等，該差值稱為**公差**（common difference）。

例如數列：

　
: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

就是一個等差數列。 在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公差都相等 。

## 性質

如果一個等差數列的首項記作 _a1_，公差記作 _d_，那麼該等差數列第 _n_ 項 _an_ 的一般項為：

　
: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

換句話說，任意一個等差數列 {_an_} 都可以寫成

　
: $\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}$

 
在一個等差數列中，給定任意兩相連項 _a_n+1 和 _an_ ，可知公差

　
: $d=a_{n+1}-a_{n}$

給定任意兩項 _am_ 和 _an_ ，則有公差

　
: $d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}$

 
此外，在一個等差數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，_a_1 + _a_3 = 2_a_2。

更一般地說，有：

　
: $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}$

證畢。

 
從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

　
: $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

此結果從上面直接可得。

 
如果有正整數 _m_, _n_, _p_, _q_，使得 $m+n=p+q$ ，那麼則有：

　
: $a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}$

 
由此可將上面的性質一般化成：

　
: $a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}$

　
: $a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$

其中 _k_ 是一個小於 _n_ 的整數。

 
給定一個等差數列 $\{a_{n}\}$ ，則有：

 * $\{b+a_{n}\}$ 是一個等差數列。
* $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等差數列。
* $\{b^{a_{n}}\}$ 是一個等比數列。
* $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等諧數列。

 
從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

　
: $a_{n}=p+qn$

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 _d_ = _q_，首項 _a_ = _p_ + _q_。

## 等差數列和

一個等差數列的首 _n_ 項之和，稱為**等差數列和**（sum of arithmetic sequence）或**算術級數**（arithmetic series），記作 _Sn_。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

 
等差數列求和的公式如下：

　
: ${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}$

等差數列和在中文教科書中常表達為:

　
: : **一個等差數列的和，等於其首項與末項的和，乘以項數除以 2。**

公式證明如下：

將等差數列和寫作以下兩種形式：

　
: $S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]$

　
: $S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

將兩公式相加來消掉公差 _d_，可得

　
: $\ 2S_{n}=n(a+a_{n})$

整理可得第一種形式。

代入 $a_{n}=a+(n-1)d$ ，可得第二種及第三種形式。

 
從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

　
: $S_{n}=pn+qn^{2}$

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 _d_ = 2_q_，首項 _a_ = _p_ + _q_。

## 等差數列積

一個等差數列的首 _n_ 項之積，稱為**等差數列積**（product of arithmetic sequence），記作 _Pn_。

舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

 
等差數列積的公式較為複雜，須以 Γ 函數表示：

　
: $P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}$

證明如下：

　
: ${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}$

這裡的 $x^{\overline {n}}$ 為 _x_ 的 _n_ 次上升階乘冪，例子如 $1.1^{\overline {3}}=1.1\times 2.1\times 3.1$ 。

 
使用上面的例子，對於數列 {1, 3, 5, 7} ：

　
: ${\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}$

結果相等。

## 參見

* 序列
* 數列
* 級數
* 算術平均
* 等比數列
* 等諧數列

## 注釋

## 參考文獻

* Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.