納皮爾常數

$e$ ，作為數學常數，是自然對數函數的底數，亦稱**自然常數**、**自然底數**，或是**尤拉數**（Euler's number），以瑞士數學家尤拉命名；還有個較少見的名字**納皮爾常數**，用來紀念蘇格蘭數學家約翰・納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數，數值約是（小數點後 20 位， A001113）：

　
: $e=2.71828182845904523536\cdots $ ，近似值約為 ${\frac {271801}{99990}}$ 。

## 歷史

第一次提到常數 $e$ ，是約翰・納皮爾於 1618 年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉・奧特雷德製作。第一次把 $e$ 看為常數的是雅各布・伯努利，他嘗試計算下式的值：

　
: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ 。

已知的第一次用到常數 $e$ ，是萊布尼茨於 1690 年和 1691 年給惠更斯的通信，以 $b$ 表示。1727 年尤拉開始用 $e$ 來表示這常數；而 $e$ 第一次在出版物用到，是 1736 年尤拉的《力學》（_Mechanica_）。雖然往後年日有研究者用字母 $c$ 表示，但 $e$ 較常用，終於成為標準。

用 $e$ 表示的原因確實不明，但可能因為 $e$ 是「指數」（exponential）一字的首字母。另一看法則稱 $a,b,c,d$ 有其他經常用途，而 $e$ 是第一個可用字母。

## 定義

就像圓周率 $\pi $ 和虛數單位 _i_， $e$ 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

1. 定義 $e$ 爲下列極限值：

　
: $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

　
: $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$
2. 定義 $e$ 爲階乘倒數之無窮級數的和：

　
: $e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots $

　
: 其中 $n!$ 代表 $n$ 的階乘。
3. 定義 $e$ 爲唯一的正數 $x$ 使得

　
: $\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$
4. 定義 $e$ 爲唯一的實數 $x$ 使得

　
: $\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1$

這些定義可證明是等價的，請參見文章指數函數的特徵描述。

## 性質

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 $e^{x}$ 的重要性在於，唯獨該函數（或其常數倍，即 $x\mapsto ke^{x}$ ，其中 $k$ 為任意常數）與自身導數相等。即：

　
: ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ 。

　
: $e^{x}$ 的泰勒級數為 $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x$

　
: $=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

 $x$ 為複數時依然成立，因此根據 $\sin x$ 及 $\cos x$ 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式：

　
: $e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x$

當 $x=\pi $ 的特例是尤拉恆等式：

　
: $e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

此式被理察・費曼稱為「尤拉的寶石」。

　
: $(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

即棣美弗公式。

 * $e$ 是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾・埃爾米特（Charles Hermite）於 1873 年證明。有猜想它為正規數。
* 當 $x=e$ 時函數 $f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$ 有最大值。
* $e$ 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417）

　
: $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]$

就像以下的展開式：

　
: $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

## 無理數證明

### 反證法

證明 $e$ 是無理數可以用反證法。假設 $e$ 是有理數，則可以表示成 ${\frac {a}{b}}$ ，其中 $a,b$ 為正整數。以 $e$ 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

　
: $x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$ ，

以下將推導出 $x$ 是小於 1 的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 $e$ 是無理數。

 * $x$ 是整數，因為

　
: $0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$

　
: $=a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}$

　
: $=a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]$ 。
* $x$ 是小於 1 的正數，因為

　
: $0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}$

　
: $={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots $

　
: $<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1$ 。

但是 0 與 1 之間（不含 0 與 1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出 $e$ 為無理數。

### 二項式定理

視 $n$ 為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

　
: $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

　
: $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}$

　
: $=\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

　
: $=\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]$

　
: $=\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]$

　
: $=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...$

　
: $=2.71828...$

## 已知位數

## 諧取

* 在 Google2004 年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是 $2,718,281,828，這當然是取最接近整數的 $e$ 十億美元。Google2005 年的一次公開募股中，集資額是 $14,159,265，與圓周率有關。
* Google 也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著 {first 10-digit prime found in consecutive digits of _e_}.com（在 $e$ 的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個 $e$ 中的十位質數是 7427466391，出奇地到很後才出現，由第 100 個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達 Google 的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
* 著名電腦科學家高德納的軟體 Metafont 的版本號碼趨向 $e$ （就是說版本號碼是 2，2.7，2.71，2.718 等），與之相對的有 TeX 的版本號是趨向於圓周率的。

## 參見

* e 的 π 次方
* 無理數
* 超越數
* 尤拉數
* 圓周率
* 指數函數
* 自然對數

## 參考文獻