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算悅

**本因坊算悅**（1611 年 —1658 年 9 月 16 日），生於日本京都，本姓**杉村**，日本江戸時代圍棋棋士，二世本因坊，棋力上手（七段）。

## 生平

### 繼任本因坊

相傳為一世本因坊算砂的兒子，拜於算砂門下學棋，法名**日信**。1623 年十三歲時算砂去世，算砂臨終前立算悅為跡目，算砂請已離開本因坊的徒弟中村道碩指導算悅，並傳名人之位予道碩。彼時算悅棋力僅二三段左右，且因年幼為由而無俸祿，被認為是本因坊家的衰敗與終結。

道碩竭盡心力地指導算悅，1630 年算悅受幕府召見，繼承本因坊名跡，是為二世本因坊，授予三十石俸祿、五人扶持；同年道碩去世，遺命升算悅為上手（七段），被認為是本因坊家的中興。同年代安井家、林家、井上家皆傳位門徒、養子或立定跡目來承襲家元，圍棋四大家世襲制度由此開始主導了日本圍棋三四百年的歷史。

### 名人繼承問題

1644 年寺社奉行感於道碩去世後名人空缺；在將軍德川家光安排下，舉辦名為「碁所詮議」的會議，決定代表圍棋界最高地位的官位碁所，召見三家家督，決定新的名人。會上五十四歲的安井家家督安井算哲以半名人（八段）、棋界長老為由自薦，遭到以年紀太大為由而被駁回；官方希望算悅與井上家家督玄覺因碩進行爭碁決定新名人，但因碩以同算悅學棋於道碩門下而拒絕，因此最後並沒有決定名人碁所繼承者。

隔年，算哲的養子安井算知繼任為安井家新家督，並提出希望與算悅爭碁獲准，訂為每年御城碁，並分先下六局，為史上第一次爭碁，意義重大，結果為三勝三負（一說算知為下手以先相先對局，獲四勝二敗）。雙方均持黑獲勝，實力不相上下，因此名人碁所的繼承人並沒有決定。

1658 年算悅去世，遺囑交代葬於京都的寂光寺。由二十二歲的弟子丹羽道悅繼任本因坊。

## 評價

與算知進行爭碁的其中一局，觀戰的大官保科正之（松平肥後守）說道：「這形勢，本因坊要輸了吧？」，算悅聽到而回說：「我在棋局上有如武士在戰場上般廝殺，奉獻自己於棋道，既然您這麼說，我也不下了。」而將棋子抹掉離場；而後保科正之向算悅謝罪，算悅才繼續下完爭碁。後世因此稱讚算悅有著「棋士的骨氣」，就算得罪高官也要保住氣節。

## 其他

### 爭碁勝負

1. 1645 年算知　黑中盤勝
2. 1646 年算悅　黑九目勝
3. 1647 年算知　黑六目勝
4. 1648 年算悅　黑 11 目勝
5. 1649 年算知　黑 11 目勝
6. 1653 年算悅　黑六目勝

### 生涯名局

此為爭碁第六局，算知持白，算悅持黑。白棋下了 Δ 一子後，黑棋局勢危急。若是此局算悅敗，則為雙方中唯一持黑敗，則算知獲勝得以繼任名人碁所，關係重大。

此時算悅下出圖中 1 的妙手，運用角的特殊性而扭轉劣勢，最後得以六目勝，雙方各三勝收場。

## 註釋

## 參考資料

## 外部連結

* 日本圍棋故事
算数书

《**算數書**》是 1983 年中國考古學家在湖北漢代古墓中發現的竹簡。經學者鑑定，《算數書》成書於前 202 年至前 186 年之間，是中國最古老的數學書，比《九章算術》早三百餘年。《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史。

## 算數書的發現

1983 年中國考古學家和文物學家在湖北江陵縣張家山江陵磚瓦廠址發現三座漢代無名文職小官的古墓，編號從西至東為 M258，M247，M249。經過發掘，從淤泥中整理出 160 多件文物，包括從 M247 號古墓出土的《算數書》散亂竹簡 200 多枚，其中 180 枚完整，其餘殘缺。《算數書》竹簡本身，沒有寫作年代信息。考古學家根據 M247 號古墓同時出土的《歷譜》、《律令二十六種》、《蓋廬》、《奏獻書》四種文物的紀年和成文年代，鑑定 M247 號古墓關閉於呂后二年（前 186 年），推斷《算數書》當成書在前 186 年之前。《算數書》竹簡，每枚長約 30 厘米，寬 6 至 7 毫米，上下各有竹節，上竹節離開竹簡上端約 1.5 厘米，下竹節在竹簡下端之上 2 厘米。《算數書》竹簡的文字為 7000 餘字隸書，用墨書寫在每枚竹簡正面兩竹節之間，每枚竹簡上書寫的字數，從 3 字到 36 字，多少不等，其中第六枚竹簡的背面上書「筭數書」三字。《算數書》中不見原作者名字，在一些竹簡的下竹節段，書寫著「王」、「楊」，並在一些完整段落後書寫「王已讎」或「楊已讎」，表示經過王氏或楊氏校對完畢。王楊二人可能是《算數書》的抄錄者和校對者。

## 算數書的格式

《算數書》竹簡原來的三道連韋，早已腐爛，200 多枚《算數書》竹簡，次序混亂，經過江陵張家山漢簡整理小組 17 年的研究，整理出次序，在 2000 年《文物》雜誌上發表簡體字全文。2001 年科學出版社出版彭浩《張家山漢簡算數書注釋》原文字版。《算數書》全文分為首尾明確的 68 段落，每一段落有一個標題，標題長短由一字到四字不等，由上至下書寫在竹簡的上節：最短的段落，只佔一枚竹簡，如《增減分》「增分者增其子；減分者增其母」：多數段落佔多枚竹簡。段落的結構，多按照一定的格式，先是命題，次為答案，最後是「術」，例如《粟求米》；「粟求米，因而三之五而一之。今有粟一升七分三，當為米幾何？曰：為米七分升六。術曰：母相乘為法，以三乘十為實。」

## 《算數書》的內容

《算數書》有 68 個算題，分別是：里田，約分，合分，出金，徑分，分當半者，增減分，乘，相乘，分乘，大廣，粺穀，粟求米，米求粟，粟為米，粟求米，春粟，取程，耗，耗租，程禾，絲練，羽矢，取枲程，程竹，挐脂，銅耗，金價，漆錢，飲漆，醫，石率，賈鹽，米粟並，粟米並，並租，女織，婦織，狐皮，狐出關，傳馬，共買材，稅田，誤帣，租誤帣，繒幅，息錢，少廣，少廣，啟廣，啟從，圓材，井材，圓亭，除，鄆都，芻，旋粟，囷蓋，負炭，羽矢，盧唐，負米，分錢，米出錢，方田，以方材圓，以圓材方，形。算題的內容大致包括如下幾方面；

**整數、分數的運算**

* 乘；「一乘十，十也：十乘萬，十萬也：半乘千，五百：少半乘少半，九份一也：四分乘五分，二十分一，七分乘八分，五十六分一也。」

**幾何級數**

* 女織；「鄰里有女惡自善織，日自在，五日織五尺。問：首日及其次各幾何？曰：始織一寸六十二分寸三十八，次，三寸六十二分寸十四，次，六寸六十二分寸二十八，次，尺二寸六十二分寸五十六，次，二尺五寸六十二分寸五十。術曰……。」
* 狐出關；「狐、狸、犬出關，租百一十錢。犬謂狸、狸謂狐，爾皮倍我，出租當倍我。問各出幾何？得曰犬出十五錢七分六，狸出三十一錢分五，狐出六十三錢分二。法曰令個相倍也，並之，七為法。以租各乘之，為實。實如法得一。」

**利息計算：**

* 息錢：「貸錢百，息月三。今貸六十錢，月未盈十六日歸，計息幾何？得曰；二十五分錢二十四。術曰：……。」

**稅率計算**

* 負米；「人負米不知其數，以出三關三稅之一。已出，余米一斗。問始出賣米幾何？」

**幾何計算**

* 圓亭，井材，以方材圓

**兌換**

* 粟求米，米求粟，粟為米，粺穀

**產量**

* 春粟，程禾

**用盈不足術求平方根**
: 方田；「田一畝方幾何步？曰：方十五步三十一分步十五。術曰方十五步，不足十五步；方十六步，有餘十六步。曰：並盈不足為法，不足子乘盈母，盈子乘不足母，並以為實。」 其中：

　
: 盈 = 16，不足 = 15；「並盈不足為法」：16+15 作分母（法）；不足子 = 15，盈母 = 16，盈子 = 16，不足母 = 15；「不足子乘盈母，盈子乘不足母，並以為實」：15x16+16x15 作分子（實）。

　
: 答案：√240（一畝 = 240 平方步）= (15x16+16x15)/(16+15)= 15 (15/31)。

## 意義

* 在《算數書》發現之前，《九章算術》被認為是中國最古老的數學書。《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史，將中國古代數學的歷史推前了三百年。
* 將《算數書》和《九章算術》共同研究，比較其異同，成為中國古代數學史研究中一個熱門課題。有些學者認為，《算數書》和《九章算術》有許多相同的風格、度量衡、算題和方法，《算數書》很可能是張蒼編寫《九章算術》時的母本之一。
* 中國《算數書》 與古埃及紙草書 、巴比倫數學泥版 、古希臘數學文獻 、古印度《聖壇建築法典》 並列為世界五大古文明的數學經典。

## 翻譯本

英國李約瑟研究所所長古克禮在 2004 年將《算數書》全文翻譯成英文，由李約瑟研究所出版。

* Cullen, C., 2004. The Suàn shù shū , 「Writings on Reckoning」: A Translation of a Chinese Mathematical Collection of the Second Century B.C., with Explanatory Commentary. Needham Research Institute Working Papers 1, Needham Research Institute ISBN 0-9546771-0-2.

## 參考文獻

## 外部連結

* 洪萬生：〈從程序性知識看《算數書》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
* 洪萬生：〈「算數書」初探 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
算数平均数

**算術平均數**（arithmetic mean）是表徵數據集中趨勢的一個統計指標。它是一組數據之和，除以這組數據個數 / 項數。

算術平均數在統計學上的優點，就是它較中位數、眾數更少受到隨機因素影響，
缺點是它更容易受到極端值影響。

計算公式為：

　
: ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

在統計學中，對樣本的平均值用 ${\bar {x}}$ 表示，對母體數據的平均值用 $\mu $ 表示。樣本平均數可作為母體平均數的一個不偏估計式。

## 參考文獻

## 參見

* 算術 - 幾何平均數
* 幾何平均數
* 調和平均數
* 平方平均數
* 平均數不等式
算数研究

《**算術研究**》（_**Disquisitiones Arithmeticae**_）是德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯於 1798 年寫成的一本數論教材，在 1801 年他 24 歲時首次出版。全書用拉丁文寫成。在這本書中高斯整理匯集了費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數學家在數論方面的研究結果，並加入了許多他自己的重要成果。

## 寫作歷史

高斯在 1796 年就準備寫一本數論的著作。一年後，他完成了初稿。1797 年 11 月，高斯開始對初稿進行重寫和修訂，使之成為可以印刷出來的成熟版本。印刷工作於 1798 年 4 月開始，但由於機器的原因，速度緩慢。然而這也使得高斯有時間補充一些新的內容，特別是第五章的二次互反律的部分：1801 年夏季最終出版時的長度已經是初稿時的兩倍。

## 主題

《算術研究》包括了初等數論和現在稱為代數數論領域的一部分。然而，高斯在書中並未認識到抽象代數的核心：群的概念，因此沒有加以應用。高斯將這本書的主題定位為他所稱的「高等算術」。在這本書的序言一開頭，高斯明確地說到：

## 內容

全書有 655 頁，分為七個部分共 335 篇文章，由淺入深，從同餘理論起步，探討了同餘齊次式、同餘方程和二次剩餘理論。在二次剩餘理論中，高斯在前人的基礎上首次給出了二次互反律的證明。其後高斯又得出了雙二次互反律和三次互反律，並對所謂的高斯整數進行了研究，得到了代數數論的一些基本成果。

　
: 第一部分：同餘概論。建立了到今天仍在使用的同餘的概念和記號。

　
: 第二部分：主要研究線性同餘方程，給出了算術基本定理、輾轉相除法、中國剩餘定理等初等數論的基本結果。

　
: 第三部分：「冪剩餘論」。討論了費馬小定理、原根的存在性和威爾遜定理。

前三部分的內容大都是其他數學家的成果，但高斯是首個將這些成果系統地匯集在一本書裡的人。他也是首個意識到唯一分解定理之重要性的人。

進入第四部分後，大部分內容便是高斯的原創了。

　
: 第四部分：「二次同餘論」。重點討論了二次剩餘的理論。高斯提出了他視為「從中可以推得幾乎所有與二次剩餘有關的東西」 的「基礎定理」的二次互反律：

　
: 如果 _p_ 是形式為 4_n_+1，那麼 _p_（如果 _p_ 是形式為 4_n_+3 那麼 -_p_）是模每個為模 _p_ 的二次剩餘（非剩餘）的質數的二次剩餘（非剩餘）。

　
: 高斯將這個命題分成多個單獨情況，然後用歸納法給出了第一個證明，並運用這個定理得到了一些基本結果。

　
: 第五部分： 「二次型與二次不定方程」。這一部分占據了全書的一半有多，高斯研究了模 _p_ 同餘中的整係數二次型以及二次型本徵等價的性質，得到了整數表示為二次形式的一般規律。之後高斯又研究了二次型的分類以及約簡。並觸及了雙二次互反律和三次互反律的研究。

　
: 第六部分： 前五章結論的應用。前五章，特別是第四、五章得到的豐富成果使得在這章用來解決很多問題。高斯討論了分數分解，十進展開以及二次同餘的問題，並提出了兩個素性檢驗的方法。

　
: 第七部分： 分圓多項式和尺規作圖。高斯探求了尺規作圓內接正多邊形的方法，並給出了圓內接正 19 邊形和正 17 邊形的作法。並得到了所謂的「高斯和」的概念以及一些相關成果。

高斯曾經寫過《算術研究》的第八部分，探討更高次的同餘方程，但並沒能完成。草稿在他逝世後分批出版。

## 影響

在《算術研究》發表以前，數論研究只是一些孤立定理與猜想。高斯首次將這些零星的結果加以系統的處理，修補和改進了以往的證明，並在此之上發展出了自己的一系列理論與成果。《算術研究》是現代數論研究的開端。

《算術研究》一書的邏輯結構 —— 聲明定理、給出證明，然後給出系理或推論 —— 為以後的教科書編寫提供了一個榜樣，成了後世教材的標準結構。為了使讀者能夠理解證明的邏輯思路，高斯在證明後會給出相應的例子，這一點也為後來的教材所採用。

《算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾、狄利克雷和戴德金等人著書的出發點。他們繼承了高斯的研究。許多《算術研究》中的評註和沒有證明的命題成為了新的研究熱點。即使到了二十世紀，《算術研究》仍在產生影響。比如第五部分中高斯簡要地敘述了他關於虛二次域類數的計算，並猜想他已經找到了所有類數為 1、2 和 3 的虛二次域。這個後來稱為類數問題的猜想直到 1986 年才獲得了肯定的答案。同樣在第五部分，高斯證明了可以被解釋為黎曼猜想的第一類非平凡情況：哈斯 - 韋伊定理。

## 譯本和相關著作

《算術研究》雖然是一部十分重要的數論著作，但由於全書以拉丁文寫就，內容深奧難懂，因此將其翻譯成各國語言和進行注釋闡述的工作一直不斷。1807 年，《算術研究》的法文譯本出版。1863 年，狄利克雷寫了《數論講義》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一書，對《算術研究》作了明晰的闡釋。1889 年德文譯本出版。1959 年出版了俄文譯本；1965 年出版了英文版。

## 引用

《算術研究》常常被引用，出現在各種數學論文、著作和教材的注釋中。引用時一般簡寫為「DA」。

## 評價

* 「高斯曾說：『數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。』如果這是真理，我們還可以補充一點：《算術研究》是數論的憲章。」—— 莫里茨・康托
* 「此書（《算術研究》）是一座不朽的豐碑，揭示了人類思想所能達到的浩瀚的廣度和令人驚嘆的深度。」—— 愛德華・盧卡斯
* 「眾書之王」—— 利奧波德・克羅內克
* 「高斯首次將數學的這個部分（數論）變成了一門獨立的科學，而《算術研究》則是第一部詳盡而系統的著作。…… 由於雅可比和狄利克雷…… 這本二十年來一直被七道漆封的著作成為了當代的數學。…… 封漆還未完全解開。」—— 約翰・西奧多・梅茲
* 「數論曾一度止步不前，…… 這就是為什麼深奧而新穎的《算術研究》預示著高斯將成為歐洲最偉大的頭腦之一。」—— 路易・潘索

## 參見

* 數論
* 卡爾・弗里德里希・高斯
* 二次互反律

## 注釋及參考來源
算数阶层

**算術階層**是遞迴論或可計算性理論中的概念，將自然數的子集按照定義它們的公式的複雜度分類。

## 定義

### 按公式定義

設 $\phi (x)$ 為自然數的語言中的公式，定義 $\phi $ 為 $\Delta _{0}$ 公式若且唯若 $\phi $ 中的所有量詞都是有界量詞（即形如 $\exists n<t$ 或 $\forall n<t$ 的量詞，其中 $t$ 為該語言中的項）。

定義 $\phi (x)$ 為 $\Sigma _{1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Delta _{0}$ ；定義 $\phi $ 為 $\Pi _{1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Delta _{0}$ 。

更進一步定義 $\phi (x)$ 為 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Pi _{n}^{0}$ 公式；定義 $\phi (x)$ 為 $\Pi _{n+1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式。

設 $A\subseteq \mathbb {N} $ ；若存在 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式定義 $A$ 則稱 $A$ 為 $\Sigma _{n}^{0}$ 集合，若存在 $\Pi _{n}^{0}$ 公式定義 $A$ 則稱 $A$ 為 $\Pi _{n}^{0}$ 公式。（若有公式 $\phi $ 與集合 $A$ ，使 $A=\{x\;\vert \;\mathbb {N} \vDash \phi (x)\}$ ，則稱 $\phi $ 定義 $A$ 。）

### 按可計算性定義

若集合 $A$ 可以用圖靈機（或任何等價的計算模型）計算得出，則稱 $A$ 為 $\Delta _{0}$ 集合。若 $A$ 為遞迴可列舉集合則稱 $A$ 為 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，若 $A$ 的補集 $\mathbb {N} \backslash A$ 遞迴可列舉則稱 $A$ 為 $\Pi _{1}^{0}$ 集合。這一定義實際上與上面給出的定義是等價的。

更高階層的算術類可以通過波斯特定理與可計算性聯絡起來：設 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 為零不可解度的第 $n$ 次圖靈跳躍，則任何集合 $A$ 是 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 集合若且唯若 $A$ 可以用具備 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 的預言機遞迴列舉；任何集合是 $\Pi _{n+1}^{0}$ 集合若且唯若其補集滿足以上條件。

## 舉例

* 所有遞迴集合都是 $\Delta _{0}$ 集合、所有遞迴可列舉集合都是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合（逆命題亦成立）。
* 停機集合（即所有停機的圖靈機）是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，它在 $\Sigma _{1}^{0}$ 類中是完全的。
* 所有有限遞迴可列舉集合的編號（記作 $\mathrm {Fin} $ ）是 $\Sigma _{2}^{0}$ - 完全集合（因此所有無限遞迴可列舉集合的編號是 $\Pi _{2}^{0}$ - 完全集合）。
* 所有 $\Sigma _{1}^{0}$ - 完全集合作為遞迴可列舉集合的編號是 $\Sigma _{3}^{0}$ - 完全集合。

## 參考資料

* H. D. Ebbinghaus, J. Flum, Wolfgang Thomas. Mathematical Logic (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. Springer. 1996. ISBN 9780387942582 （英語）.  引文格式 1 維護：冗餘文字 (link)
* Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer. 2004. ISBN 9780387152998 （英語）.
算數基本定理

**算術基本定理**，又稱為**正整數的唯一分解定理**，即：每個大於 1 的自然數，要麼本身就是質數，要麼可以寫為 2 個或以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。

例如： $6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}$ ， $1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}$ ， $5207=41\times 127$ 。

算術基本定理的內容由兩部分構成：

* 分解的存在性：
* 分解的唯一性，即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

## 定理陳述

 $\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A$ . 其中 $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}$ 而且 $p_{i}$ 是一個質數， $a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}$ .

這種表示的方法存在，而且是唯一的。

## 證明

算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說，歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題：若質數 $p|ab$ ，則不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。然而，在歐幾里得的時代，並沒有發展出冪運算和指數的寫法，甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的，所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

### 存在性

用反證法：假設存在大於 $1$ 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 $n$ 。

 $n$ 不可爲質數，因爲 $n=n$ 可被寫成質數的乘積。因此 $n$ 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 $1$ 的自然數的積。設 $n=a\times b$ ，則根據假設，由於 $n$ 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 $a=p_{1}p_{2}...p_{j}$ 和 $b=q_{1}q_{2}...q_{j}$ 都能被寫成質數的乘積。然而 $n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}$ 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 $1$ 的自然數必可寫成質數的乘積。

### 唯一性

歐幾里得引理：若質數 $p|ab$ ，則不是 $p|a$ ，就是 $p|b$ 。

引理的證明：若 $p|a$ 則證明完畢。若 $p\nmid a$ ，那麼兩者的最大公約數為 1。根據貝祖定理，存在 $(m,n)$ 使得 $ma+np=1$ 。於是 $b=b(ma+np)=abm+bnp$ 。
由於 $p|ab$ ，上式右邊兩項都可以被 _p_ 整除。所以 $p|b$ 。

再用反證法：假設有些大於 1 的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麼假設 $n$ 是其中最小的一個。

首先 $n$ 不是質數。將 $n$ 用兩種方法寫出： $n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。根據引理，質數 $p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ ，所以 $q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}$ 中有一個能被 $p_{1}$ 整除，不妨設為 $q_{1}$ 。但 $q_{1}$ 也是質數，因此 $q_{1}=p_{1}$ 。所以，比 $n$ 小的正整數 $n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}$ 也可以寫成 $q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。這與 _$n$_ 的最小性矛盾！

因此唯一性得證。

## 相關

在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )$ 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 $D$ 是 $D=163$ 。例如， $6$ 可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 $\mathbb {Z} $ 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 $(\pm 1,\pm i)$ 之作用，那麼這個唯一分解定理在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

## 高斯類數

對於二次方程： $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$ ，它的根可以表示為： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

因為負數不能開平方， $b^{2}-4ac$ 的符號就很重要，如果為正，有兩個根；如果為 0，只有一個根；如果為負，沒有實根。歐拉的素數公式： $f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)$
 $b^{2}-4ac=1-164=-163$ 兩個複數解為: $x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}$

 $a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 哪個 $d$ 值可以得到唯一分解定理？ $d=1,2,3$ 皆可得到定理，但當 $d=5$ 時不能。因為在這個數系中 6 這個數有兩種形式的因子分解（分解至不可分約的情形）。 $6=2\times 3$ ； $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。在高斯時代，已知有 9 個 $d$ 使得 $a+b{\sqrt[{}]{-d}}$ 所產生的數有唯一因子分解（ $a$ ， $b$ 如上面指出那樣取值）。 $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ 高斯認為 $d$ 的數量不會超過 10 個，但是沒有人能夠證明。
1952 年，業餘數學家，退休的瑞士工程師庫爾特・黑格納（Kurt Heegner）發表了他的證明，聲稱第 10 個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了 15 年之後才知道這個定理：麻省理工學院的斯塔克（Harold Stark）和劍橋大學的阿蘭貝克（AlanBaker）獨立用不同方法證明了第 10 個 $d$ 值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作，發現他的證明是正確的。
為了紀念長期被忽視的希格內爾，上述的 9 個數被稱為黑格納數，一些曲線上的點被命名為希格內爾點。
參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。

## 外部連結

* （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
算數書

《**算數書**》是 1983 年中國考古學家在湖北漢代古墓中發現的竹簡。經學者鑑定，《算數書》成書於前 202 年至前 186 年之間，是中國最古老的數學書，比《九章算術》早三百餘年。《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史。

## 算數書的發現

1983 年中國考古學家和文物學家在湖北江陵縣張家山江陵磚瓦廠址發現三座漢代無名文職小官的古墓，編號從西至東為 M258，M247，M249。經過發掘，從淤泥中整理出 160 多件文物，包括從 M247 號古墓出土的《算數書》散亂竹簡 200 多枚，其中 180 枚完整，其餘殘缺。《算數書》竹簡本身，沒有寫作年代信息。考古學家根據 M247 號古墓同時出土的《歷譜》、《律令二十六種》、《蓋廬》、《奏獻書》四種文物的紀年和成文年代，鑑定 M247 號古墓關閉於呂后二年（前 186 年），推斷《算數書》當成書在前 186 年之前。《算數書》竹簡，每枚長約 30 厘米，寬 6 至 7 毫米，上下各有竹節，上竹節離開竹簡上端約 1.5 厘米，下竹節在竹簡下端之上 2 厘米。《算數書》竹簡的文字為 7000 餘字隸書，用墨書寫在每枚竹簡正面兩竹節之間，每枚竹簡上書寫的字數，從 3 字到 36 字，多少不等，其中第六枚竹簡的背面上書「筭數書」三字。《算數書》中不見原作者名字，在一些竹簡的下竹節段，書寫著「王」、「楊」，並在一些完整段落後書寫「王已讎」或「楊已讎」，表示經過王氏或楊氏校對完畢。王楊二人可能是《算數書》的抄錄者和校對者。

## 算數書的格式

《算數書》竹簡原來的三道連韋，早已腐爛，200 多枚《算數書》竹簡，次序混亂，經過江陵張家山漢簡整理小組 17 年的研究，整理出次序，在 2000 年《文物》雜誌上發表簡體字全文。2001 年科學出版社出版彭浩《張家山漢簡算數書注釋》原文字版。《算數書》全文分為首尾明確的 68 段落，每一段落有一個標題，標題長短由一字到四字不等，由上至下書寫在竹簡的上節：最短的段落，只佔一枚竹簡，如《增減分》「增分者增其子；減分者增其母」：多數段落佔多枚竹簡。段落的結構，多按照一定的格式，先是命題，次為答案，最後是「術」，例如《粟求米》；「粟求米，因而三之五而一之。今有粟一升七分三，當為米幾何？曰：為米七分升六。術曰：母相乘為法，以三乘十為實。」

## 《算數書》的內容

《算數書》有 68 個算題，分別是：里田，約分，合分，出金，徑分，分當半者，增減分，乘，相乘，分乘，大廣，粺穀，粟求米，米求粟，粟為米，粟求米，春粟，取程，耗，耗租，程禾，絲練，羽矢，取枲程，程竹，挐脂，銅耗，金價，漆錢，飲漆，醫，石率，賈鹽，米粟並，粟米並，並租，女織，婦織，狐皮，狐出關，傳馬，共買材，稅田，誤帣，租誤帣，繒幅，息錢，少廣，少廣，啟廣，啟從，圓材，井材，圓亭，除，鄆都，芻，旋粟，囷蓋，負炭，羽矢，盧唐，負米，分錢，米出錢，方田，以方材圓，以圓材方，形。算題的內容大致包括如下幾方面；

**整數、分數的運算**

* 乘；「一乘十，十也：十乘萬，十萬也：半乘千，五百：少半乘少半，九份一也：四分乘五分，二十分一，七分乘八分，五十六分一也。」

**幾何級數**

* 女織；「鄰里有女惡自善織，日自在，五日織五尺。問：首日及其次各幾何？曰：始織一寸六十二分寸三十八，次，三寸六十二分寸十四，次，六寸六十二分寸二十八，次，尺二寸六十二分寸五十六，次，二尺五寸六十二分寸五十。術曰……。」
* 狐出關；「狐、狸、犬出關，租百一十錢。犬謂狸、狸謂狐，爾皮倍我，出租當倍我。問各出幾何？得曰犬出十五錢七分六，狸出三十一錢分五，狐出六十三錢分二。法曰令個相倍也，並之，七為法。以租各乘之，為實。實如法得一。」

**利息計算：**

* 息錢：「貸錢百，息月三。今貸六十錢，月未盈十六日歸，計息幾何？得曰；二十五分錢二十四。術曰：……。」

**稅率計算**

* 負米；「人負米不知其數，以出三關三稅之一。已出，余米一斗。問始出賣米幾何？」

**幾何計算**

* 圓亭，井材，以方材圓

**兌換**

* 粟求米，米求粟，粟為米，粺穀

**產量**

* 春粟，程禾

**用盈不足術求平方根**
: 方田；「田一畝方幾何步？曰：方十五步三十一分步十五。術曰方十五步，不足十五步；方十六步，有餘十六步。曰：並盈不足為法，不足子乘盈母，盈子乘不足母，並以為實。」 其中：

　
: 盈 = 16，不足 = 15；「並盈不足為法」：16+15 作分母（法）；不足子 = 15，盈母 = 16，盈子 = 16，不足母 = 15；「不足子乘盈母，盈子乘不足母，並以為實」：15x16+16x15 作分子（實）。

　
: 答案：√240（一畝 = 240 平方步）= (15x16+16x15)/(16+15)= 15 (15/31)。

## 意義

* 在《算數書》發現之前，《九章算術》被認為是中國最古老的數學書。《算數書》的發現，改寫了中國古代數學史，將中國古代數學的歷史推前了三百年。
* 將《算數書》和《九章算術》共同研究，比較其異同，成為中國古代數學史研究中一個熱門課題。有些學者認為，《算數書》和《九章算術》有許多相同的風格、度量衡、算題和方法，《算數書》很可能是張蒼編寫《九章算術》時的母本之一。
* 中國《算數書》 與古埃及紙草書 、巴比倫數學泥版 、古希臘數學文獻 、古印度《聖壇建築法典》 並列為世界五大古文明的數學經典。

## 翻譯本

英國李約瑟研究所所長古克禮在 2004 年將《算數書》全文翻譯成英文，由李約瑟研究所出版。

* Cullen, C., 2004. The Suàn shù shū , 「Writings on Reckoning」: A Translation of a Chinese Mathematical Collection of the Second Century B.C., with Explanatory Commentary. Needham Research Institute Working Papers 1, Needham Research Institute ISBN 0-9546771-0-2.

## 參考文獻

## 外部連結

* 洪萬生：〈從程序性知識看《算數書》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
* 洪萬生：〈「算數書」初探 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
算木

**算籌**或稱**筭子**、**算子**，是漢字文化圈古代一種十進位計算工具。起源於中國商朝的占卜，占卜用現成的小木棍做計算，就是最早的算籌。古代籌、策、算三字都帶竹頭，表示用竹製成。策為束字加竹頭，表示手握一束豎立的算策，作為占卜之用。籌可能代表周易八卦橫向排列時用的陰陽竹，算籌橫豎二式，可能來源於此。

## 算籌的材料和形狀

周朝用木枝製成算籌，漢代用竹、骨、象牙、玉石、鐵等材料製作，長一般在 12 公分左右，直徑為 2 至 4 公釐。最初的算籌的截面是圓形的，後來變成三角、四角形。

* 漢朝：《漢書・律曆志》記載

> 其算法用竹。直徑一分，長六寸；二百七十一枚而成觚，為一握。
> 
> 

* 隋朝：《隋書・律曆志》記載

> 其算法用竹。廣二分，長三寸，正策三廉（三角形）積二百一十六枚成六觚；乾之策也。負策四廉（四方形），積一百四十四枚，成方，坤之策也
> 
> 

日本算家所用算籌，少用竹製，多用小木片製作，因此稱為「算木」，長者叫策，短者叫籌。。

## 文獻記載

* 老子：善數者不用籌策。
* 許慎《說文解字》「算，長六寸，計歷數者。從竹」。
* 漢書律曆志：「「數者，一、十、百、千、萬也，所以算數事物，順性命之理也。… 卡悟空… 其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握」。
* 魏劉徽注《九章算術》稱：「正算赤，負算黑」
* 漢末三國時期徐岳撰、北周漢中郎甄鸞注《數術記遺》：「今之常算也，以竹為之」。
* 《隋書・律曆志》：「其算用竹，廣二分，長三寸。正策三廉，積二百一十六枚成六觚，乾之策也。負策四廉，積一百四十四枚成方，坤之策也。
* 《夢溪筆談》卷八稱：「算法用赤籌、黑籌，以別正負之數」，「運籌如飛，人眼不能逐」。
* 《資治通鑑》卷八十二「每自執牙籌晝夜會計」
* 北宋陶谷撰《清異錄》：「鑄鐵為算子」。

## 考古實物

* 秦朝的貨幣中有；王莽貨幣上有，。
* 1954 年考古學家在湖南長沙左家公山出土戰國時代古墓，內藏竹算籌 40 根，每根長 12 厘米。
* 1975 年在湖北江陵鳳凰山發現竹製算籌。
* 1971 年考古學家從陝西千陽縣一座出土的西漢古墓中發現一束在一個絲袋內（算籌袋）保存完好的獸骨算籌，長短不一，最長的 13.8 厘米，最短的 12.6 厘米，截面呈圓形，直徑在 2-4 毫米間。
* 1980 年從河北石家莊出土 30 根東漢骨算籌，長 7.8-8.9 厘米，截面方形，邊長約 0.4 厘米。此外在陝西旬陽漢墓中出土象牙籌 27 根。
* 1983-1984，湖北江陵張家山西漢古墓中出土竹算籌。
* 1973 年 9 月，湖北省江陵縣鳳凰山出土的十號漢代古木木牘，其中有一片記有「當利二月定筭」，這是文獻中最早出現以籌碼代替文字記數例子之一

## 計算方法

使用算籌進行計算的方法，則稱為籌算。算籌一般布置在地面、桌上等平面運算；南宋黃伯思著《燕几圖》中列舉布算桌，長 7 尺，寬 5 尺許，小布算長寬為 5 尺余。清代數學家勞乃宣說：「蓋古者席地而坐，布算於地，後世施於几案」。日本古算書中有帶方格子的算籌板圖。此外北宋數學家賈憲將萬、千、百、十、步作為算籌位值標記：他將七萬一千八百二十四寫成

　
: 七一八二四

　
: 萬千百十步

然後將算籌按位值布位。

一本十八世紀日本數學書籍中有一幅格子籌算版，其上方標記千百十一分厘毛等數量級。

算籌出現的具體時間已無從可考了，但是早在中國春秋戰國的時期就已普遍使用了。算籌採用的是十進位制的記數方法，同一個數字在不同的數位上，數值也就相應不同，每進一位數值乘 10，並且在算籌盤上，以空位表示 0。為了不使數字和數位混淆，算籌採用**縱式**和**橫式**兩種方法記數。
中國古代算籌記數，採用十進位制，個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式…… 這樣縱橫交替擺放，就可以擺出任意大的數字來了。孫子算經記載：

> 凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬相當
> 
> 

，此外又說明用空位表示零。。在進行乘法時，「言十即過，不滿自如」，即「逢十進一」。

《孫子算經》習慣用「置」表示放置算籌：「置一十九道」，「置周三百六十」，而不用「寫下」，說明算籌是運算器具，不是書面計算。

成書於前 202 年至前 186 年之間算數書一樣用「置」。

南宋數學家開始用書寫算草代替算籌算板，為了減少書寫的筆劃，將 4、5、9 的籌碼簡化；為了算草需要，引入〇符號。

日本數學家關孝和將算籌用於代數。後來日本數學家發明用漢字代替算籌。

## 參考文獻

## 參看

* 籌算
* 算盤
* 蘇州碼子
* 中文數字
* 瞿曇悉達
* 印度 - 阿拉伯數字系統
算术-几何平均数

兩個正實數 $x$ 和 $y$ 的**算術 - 幾何平均數**定義如下：

首先計算 $x$ 和 $y$ 算術平均數（相加平均），稱其為 $a_{1}$ 。然後計算 $x$ 和 $y$ 幾何平均數（相乘平均），稱其為 $g_{1}$ ；這是 $xy$ 的算術平方根。

　
: $a_{1}={\frac {x+y}{2}}$

　
: $g_{1}={\sqrt {xy}}.$

然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{g_{n}\}$ ：

　
: $a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}$

　
: $g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.$

這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為 $x$ 和 $y$ 的**算術 - 幾何平均數**，記為 $M(x,y)$ ，或 $\mathrm {agm} (x,y)$ 。

## 例子

欲計算 $a_{0}=24$ 和 $g_{0}=6$ 的算術 - 幾何平均數，首先算出它們的算術平均數和幾何平均數：

　
: $a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,$

　
: $g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,$ $12$

然後進行迭代：

　
: $a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,$

　
: $g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,$ $13.416407864999$ etc.

繼續計算，可得出以下的值：

　
:

24 和 6 的算術 - 幾何平均數是兩個數列的公共極限，大約為 13.45817148173。

## 性質

 $M(x,y)$ 是一個介於 $x$ 和 $y$ 的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果 $r>0$ ，則 $M(rx,ry)=rM(x,y)$ 。

 $M(x,y)$ 還可以寫為如下形式：

　
: $\mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}$

其中 $K(x)$ 是第一類完全橢圓積分。

1 和 ${\sqrt {2}}$ 的算術 - 幾何平均數的倒數，稱為高斯常數。

　
: ${\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots $

## 存在性的證明

由算術幾何不等式可得

　
: $g_{n}\leqslant a_{n}$

因此

　
: $g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$

這意味著 $\{g_{n}\}$ 是不降序列。同時，因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間，又可以得到該序列是有上界的（ $x,y$ 中的較大者）。根據單調收斂定理，存在 $g$ 使得:

　
: $\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$

然而，我們又有:

　
: $a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$

從而:

　
: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$

證畢。

## 關於積分表達式的證明

該證明由高斯首次提出。
令

　
: $I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$

將積分變量替換為 $\theta '$ , 其中

　
: $\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$

於是可得

　
: ${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

因此，我們有

　
: ${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}$

最後一個等式可由 $I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}$ 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式：

　
: $M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.$

## 參考文獻

### 引用

### 來源

## 參見

* 算術平均數
* 幾何平均數
算术下溢

**算術下溢**也稱為**浮點數下溢**，是指計算機浮點數計算的結果小於可以表示的最小數。

算術下溢出現在計算結果很接近零，使得計算結果的大小小於浮點數可以表示的最小數字。算術下溢也可以視為是浮點數指數在負值時的溢位。例如，浮點數指數範圍為 - 128 至 127，一個絕對值小於 2−127 的浮點數就會造成下溢（假設 - 128 的階碼用於表示負無窮）。

## 下溢間距

界於−_fminN_ and _fminN_ 之間的區間稱為下溢間距（underflow gap），其中 _fminN_ 為一般浮點數格式所能表示的最小正數。

在早期的設計中，界於下溢間距之間的數字其值均視為零，因此若出現算術下溢，其結果會被改為零，可能是用硬體或系統軟體處理，此處理方式稱為「清洗為 0」（flush to zero）。

1984 年版的 IEEE 754 導入了次正規數，次正規數和零可以填滿下溢間距。假設浮點數指數範圍為 - 128 至 127，最小可表示正規數為 2−127，次正規數則是類似 0.9 −127、0.8 −127…… 之類的數，計算時會將結果轉換為最接近的次正規數，因此可以漸近下溢，不過最接近的次正規數中仍有可能是零。

## 處理算術下溢

出現算術下溢時，可能會設定一個狀態位元、產生異常、產生中斷或是這幾項的組合。

IEEE 754 中規定只有算術下溢會造成精確度下降時才回報算術下溢，一般是在最後的計算結果不對時才會出現。但若程式要捕捉算術下溢，不論是否有精確度，都會回報算術下溢。IEEE 754 處理算術下溢及其他異常的方式相同，都要紀錄算術下溢時的浮點運算器狀態。

## 相關條目

* IEEE 754
* −0
* 算術溢出
* 次正規數
算术几何

在數學中，**算術幾何**（arithmetic geometry）大致是從代數幾何到數論問題的技術的應用。算術幾何圍繞著丟番圖幾何，這是代數簇有理點的研究。

用更抽象的術語來說，算術幾何可以定義為對整數環的譜內的有限概形 (scheme) 方案的研究。

## 概述

算術幾何中感興趣的經典對象是有理點：多項式方程組在代數數域、有限域、P 進數、或函數域上的解集，例如，不包括實數的代數閉域。 有理點可以直接用衡量其算術複雜性的高度函數 (height function) 來表徵。

隨著代數幾何的現代抽象發展，在非代數閉域上定義的代數簇的結構已成為人們關注的中心領域。 在有限域上，平展上同調 (Étale cohomology) 提供了與代數簇相關的拓撲不變量。 p-adic Hodge 理論提供了工具來檢查複數上的品種的上同調性質何時擴展到 P 進數上的上同調性質。

## 歷史

算術幾何原指從法爾廷斯（Faltings,G.）、奎倫（Quillen,D.G.）等的算術曲面上黎曼 - 羅赫定理開始的一系列研究工作，現在一般指所有以數論為背景或目的的代數幾何。在算術幾何中許多學科起著重要作用，並且相互交叉和滲透，包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多複變函數論、黎曼面、K 理論等，所以，它是典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題，其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中，都表明幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。

## 參閱

* 貝赫和斯維訥通 - 戴爾猜想

## 參考資料
算术函数

在數論上，**算術函數**（或稱**數論函數**）指定義域為正整數、對應域為複數的函數，即 $f:\mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} $ 。每個算術函數都可視為複數的序列。

最重要的算術函數是積性及加性函數。算術函數的最重要操作為狄利克雷摺積，對於算術函數集，以它為乘法，一般函數加法為加法，可以得到一個阿貝爾環。

而且，由於 f\*g=0 能夠推出 f=0 或 g=0，所以這一交換環是整環 (Integral Domain)，詳見 GTM164 的附錄。

（通常不稱交換環為阿貝爾環，這一叫法只在群的情形下被普遍使用）

## 非積性或加性的算術函數的例子

* 馮・曼戈爾特函數：當 _n_ 是質數 _p_ 的整數冪，Λ(_n_)=ln(_p_)，否則 Λ(_n_)=0。
* 不大於正整數 _n_ 的質數的數目 π(_n_)
* 整數分拆的數目 P (_n_)：一個整數能表示成正整數之和的方法的數目

## 參見

* 貝爾級數
算术右移

在程序設計中，**算術移位**是一種位操作，有時被稱為**有符號移位**。它分為**算術左移**和**算術右移**。對於二進位數來說，算術移位可以移動每個數字的位置，即每個數字都能被移動，而空出的位置又被其他數字填充。當向右移動時，最左邊的位置依舊保留原有位置的數值。

## 參考文獻
算术平均

**算術平均數**（arithmetic mean）是表徵數據集中趨勢的一個統計指標。它是一組數據之和，除以這組數據個數 / 項數。

算術平均數在統計學上的優點，就是它較中位數、眾數更少受到隨機因素影響，
缺點是它更容易受到極端值影響。

計算公式為：

　
: ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

在統計學中，對樣本的平均值用 ${\bar {x}}$ 表示，對母體數據的平均值用 $\mu $ 表示。樣本平均數可作為母體平均數的一個不偏估計式。

## 參考文獻

## 參見

* 算術 - 幾何平均數
* 幾何平均數
* 調和平均數
* 平方平均數
* 平均數不等式
算术拓扑

**算術拓撲**（arithmetic topology）是結合了代數數論與拓撲學的數學領域。它在代數數域和封閉可定向的三維流形之間建立起類比。

## 類比

以下是數域和三維流形之間的一些類比：

1. 數域對應封閉、可定向的三維流形。
2. 整數環的理想對應 link，素理想對應扭結。
3. 有理數域 $\mathbb {Q} $ 對應三維球面。

## 歷史

在 1960 年代，約翰・泰特基於伽羅瓦上同調給出了類域論的拓撲解釋，麥可・阿廷與讓 - 路易・韋迪耶基於平展上同調也給出了類似解釋。之後戴維・芒福德與尤里・馬寧各自獨立地提出素理想與扭結的類比，Barry Mazur 作了進一步的研究。在 1990 年代 Reznikov 與 Kapranov 開始研究這些類比，並首創術語「算術拓撲」來稱呼這一研究領域。

## 另見

* 算術幾何
* 算術動力學
* 拓撲量子場論
* 朗蘭茲綱領

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Masanori Morishita (2011), Knots and Primes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2
* Masanori Morishita (2009), Analogies Between Knots And Primes, 3-Manifolds And Number Rings
* Christopher Deninger (2002), A note on arithmetic topology and dynamical systems
* Adam S. Sikora (2001), Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
* 柯蒂斯・麥克馬倫 (2003), From dynamics on surfaces to rational points on curves （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Chao Li and Charmaine Sia (2012), Knots and Primes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* Mazur's knotty dictionary （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
算术电路_(复杂性)

**算術電路**是指在計算複雜性理論中，計算多項式的一個計算模型。對於一個給定的域 F，一個算術電路計算一個在 F [x1,...,xn] 中的多項式。它一般被認為是計算多項式最自然的計算模型，並可以看作是存儲多項式的資料結構。而證明某些多項式如積和式在算術電路下需要操作步驟的下界問題是計算複雜性理論中的重要的未解決的問題。

## 定義

算術電路是一個有向無環圖，除拓撲排序為極大的元素的出度為 0 外，其它結點出度均為 1。所有的結點入度為 0 或者 2。入度為 0 的結點稱為葉結點，入度為 2 出度為 1 的結點稱為中間結點，入度為 2 出度為 0 的結點為輸入結點（輸入結點不一定唯一）。葉結點被一個不定元或一個域中的元素標記，而中間結點和輸出結點被『+』或者『 $\times $ ' 標記。定義葉結點計算的多項式為其標記，然後按照拓撲排序，定義非葉結點計算的多項式為其標記的操作符對兩個孩子計算的多項式進行操作得到的結果。

## 計算多項式的其它模型

關於計算多項式，除了算術電路外還有其它的計算模型，包括稀疏表示、稠密表示和算術算式（formula）。從下面的定義可以看出，它們形成了一定的層次關係。這些計算模型也可以看作是存儲多項式的資料結構。作為這四種表示中表達力最強的模型，算術電路有著許多優點，如在取最大公因子、提取因子和取一次偏導等操作下具有封閉性。相對的，稀疏表示在提取因子的操作下不封閉（即存在一個多項式，其包括較少數目的單項式，而它的某個因子包含較大數目的單項式）。下面簡單介紹這幾種表示。

### 稠密表示

對於一個 n 個變量，度數限制為不超過 d 的多項式，將其所有的 $n+d \choose d$ 個單項式的係數按照單項式的某順序列出（如單項式的字典序），我們就得到了該多項式的稠密表示。容易看到，稠密表示在計算多項式加減上是最方便的。

### 稀疏表示

對於一個單項式 $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n}^{i_{n}}$ ，可以依次將 $x_{1}$ 到 $x_{n}$ 的指數列出如 $(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}$ ，稱為該單項式的指數向量。那麼對於一個 n 個變量的多項式，將其所有的單項式的係數連同指數向量一起列出，我們就得到了多項式的稀疏表示。這裡的稀疏是相對於上面的稠密表示而言：兩者的區別在於，稠密表示將所有可能的單項式的係數一起列出，而不論其是否為 0；稀疏表示只列出係數非 0 的單項式的係數，而代價在於需要同時列出指數向量。

稀疏表示與算術電路相比有趣的一點在於，如果一個多項式有一個「小」的稀疏表示（只有少數的單項式係數非 0），它的因子可能有很「大」的稀疏表示（有很多係數非 0 的單項式）。當然一個簡單的例子是 $x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots 1)$ 。而當我們用多項式來作為小的標準時，舉例為：考慮 $\mathbb {Q} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ 。令 $f_{n}(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +1$ ，及

　
: $g_{n}=\prod _{i=1}^{n}f_{n}(x_{i}),$

　
: $h_{n}=\prod _{i=1}^{n}(x_{i}-1),$

　
: $p_{n}=h_{n}(g_{n}+n)$

那麼 $g_{n}+n$ 是 p\_n 的一個不可約因子，有 $n^{n}=(2^{n})^{\log n}$ 個單項式。而 $p_{n}$ 有 $2^{n}+O(n^{2})$ 個因子。於是可以看到 $g_{n}+n$ 的單項式的數目不是 $p_{n}$ 的單項式的數目，變量的個數 n，度數 $n^{2}$ 的多項式，也就是說是一個很大的數目。

### 算術算式

## 基本結論

齊次化（homogenize）

### VP 和 VNP

### VP=VNC2

### VP 在因子提取下封閉

### VNP 完全

## 積和式下界問題

## 參考
算术研究

《**算術研究**》（_**Disquisitiones Arithmeticae**_）是德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯於 1798 年寫成的一本數論教材，在 1801 年他 24 歲時首次出版。全書用拉丁文寫成。在這本書中高斯整理匯集了費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數學家在數論方面的研究結果，並加入了許多他自己的重要成果。

## 寫作歷史

高斯在 1796 年就準備寫一本數論的著作。一年後，他完成了初稿。1797 年 11 月，高斯開始對初稿進行重寫和修訂，使之成為可以印刷出來的成熟版本。印刷工作於 1798 年 4 月開始，但由於機器的原因，速度緩慢。然而這也使得高斯有時間補充一些新的內容，特別是第五章的二次互反律的部分：1801 年夏季最終出版時的長度已經是初稿時的兩倍。

## 主題

《算術研究》包括了初等數論和現在稱為代數數論領域的一部分。然而，高斯在書中並未認識到抽象代數的核心：群的概念，因此沒有加以應用。高斯將這本書的主題定位為他所稱的「高等算術」。在這本書的序言一開頭，高斯明確地說到：

## 內容

全書有 655 頁，分為七個部分共 335 篇文章，由淺入深，從同餘理論起步，探討了同餘齊次式、同餘方程和二次剩餘理論。在二次剩餘理論中，高斯在前人的基礎上首次給出了二次互反律的證明。其後高斯又得出了雙二次互反律和三次互反律，並對所謂的高斯整數進行了研究，得到了代數數論的一些基本成果。

　
: 第一部分：同餘概論。建立了到今天仍在使用的同餘的概念和記號。

　
: 第二部分：主要研究線性同餘方程，給出了算術基本定理、輾轉相除法、中國剩餘定理等初等數論的基本結果。

　
: 第三部分：「冪剩餘論」。討論了費馬小定理、原根的存在性和威爾遜定理。

前三部分的內容大都是其他數學家的成果，但高斯是首個將這些成果系統地匯集在一本書裡的人。他也是首個意識到唯一分解定理之重要性的人。

進入第四部分後，大部分內容便是高斯的原創了。

　
: 第四部分：「二次同餘論」。重點討論了二次剩餘的理論。高斯提出了他視為「從中可以推得幾乎所有與二次剩餘有關的東西」 的「基礎定理」的二次互反律：

　
: 如果 _p_ 是形式為 4_n_+1，那麼 _p_（如果 _p_ 是形式為 4_n_+3 那麼 -_p_）是模每個為模 _p_ 的二次剩餘（非剩餘）的質數的二次剩餘（非剩餘）。

　
: 高斯將這個命題分成多個單獨情況，然後用歸納法給出了第一個證明，並運用這個定理得到了一些基本結果。

　
: 第五部分： 「二次型與二次不定方程」。這一部分占據了全書的一半有多，高斯研究了模 _p_ 同餘中的整係數二次型以及二次型本徵等價的性質，得到了整數表示為二次形式的一般規律。之後高斯又研究了二次型的分類以及約簡。並觸及了雙二次互反律和三次互反律的研究。

　
: 第六部分： 前五章結論的應用。前五章，特別是第四、五章得到的豐富成果使得在這章用來解決很多問題。高斯討論了分數分解，十進展開以及二次同餘的問題，並提出了兩個素性檢驗的方法。

　
: 第七部分： 分圓多項式和尺規作圖。高斯探求了尺規作圓內接正多邊形的方法，並給出了圓內接正 19 邊形和正 17 邊形的作法。並得到了所謂的「高斯和」的概念以及一些相關成果。

高斯曾經寫過《算術研究》的第八部分，探討更高次的同餘方程，但並沒能完成。草稿在他逝世後分批出版。

## 影響

在《算術研究》發表以前，數論研究只是一些孤立定理與猜想。高斯首次將這些零星的結果加以系統的處理，修補和改進了以往的證明，並在此之上發展出了自己的一系列理論與成果。《算術研究》是現代數論研究的開端。

《算術研究》一書的邏輯結構 —— 聲明定理、給出證明，然後給出系理或推論 —— 為以後的教科書編寫提供了一個榜樣，成了後世教材的標準結構。為了使讀者能夠理解證明的邏輯思路，高斯在證明後會給出相應的例子，這一點也為後來的教材所採用。

《算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾、狄利克雷和戴德金等人著書的出發點。他們繼承了高斯的研究。許多《算術研究》中的評註和沒有證明的命題成為了新的研究熱點。即使到了二十世紀，《算術研究》仍在產生影響。比如第五部分中高斯簡要地敘述了他關於虛二次域類數的計算，並猜想他已經找到了所有類數為 1、2 和 3 的虛二次域。這個後來稱為類數問題的猜想直到 1986 年才獲得了肯定的答案。同樣在第五部分，高斯證明了可以被解釋為黎曼猜想的第一類非平凡情況：哈斯 - 韋伊定理。

## 譯本和相關著作

《算術研究》雖然是一部十分重要的數論著作，但由於全書以拉丁文寫就，內容深奧難懂，因此將其翻譯成各國語言和進行注釋闡述的工作一直不斷。1807 年，《算術研究》的法文譯本出版。1863 年，狄利克雷寫了《數論講義》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一書，對《算術研究》作了明晰的闡釋。1889 年德文譯本出版。1959 年出版了俄文譯本；1965 年出版了英文版。

## 引用

《算術研究》常常被引用，出現在各種數學論文、著作和教材的注釋中。引用時一般簡寫為「DA」。

## 評價

* 「高斯曾說：『數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。』如果這是真理，我們還可以補充一點：《算術研究》是數論的憲章。」—— 莫里茨・康托
* 「此書（《算術研究》）是一座不朽的豐碑，揭示了人類思想所能達到的浩瀚的廣度和令人驚嘆的深度。」—— 愛德華・盧卡斯
* 「眾書之王」—— 利奧波德・克羅內克
* 「高斯首次將數學的這個部分（數論）變成了一門獨立的科學，而《算術研究》則是第一部詳盡而系統的著作。…… 由於雅可比和狄利克雷…… 這本二十年來一直被七道漆封的著作成為了當代的數學。…… 封漆還未完全解開。」—— 約翰・西奧多・梅茲
* 「數論曾一度止步不前，…… 這就是為什麼深奧而新穎的《算術研究》預示著高斯將成為歐洲最偉大的頭腦之一。」—— 路易・潘索

## 參見

* 數論
* 卡爾・弗里德里希・高斯
* 二次互反律

## 注釋及參考來源
算术谱系

**算術階層**是遞迴論或可計算性理論中的概念，將自然數的子集按照定義它們的公式的複雜度分類。

## 定義

### 按公式定義

設 $\phi (x)$ 為自然數的語言中的公式，定義 $\phi $ 為 $\Delta _{0}$ 公式若且唯若 $\phi $ 中的所有量詞都是有界量詞（即形如 $\exists n<t$ 或 $\forall n<t$ 的量詞，其中 $t$ 為該語言中的項）。

定義 $\phi (x)$ 為 $\Sigma _{1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Delta _{0}$ ；定義 $\phi $ 為 $\Pi _{1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Delta _{0}$ 。

更進一步定義 $\phi (x)$ 為 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Pi _{n}^{0}$ 公式；定義 $\phi (x)$ 為 $\Pi _{n+1}^{0}$ 公式若且唯若 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$ ，其中 $\theta $ 為 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式。

設 $A\subseteq \mathbb {N} $ ；若存在 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式定義 $A$ 則稱 $A$ 為 $\Sigma _{n}^{0}$ 集合，若存在 $\Pi _{n}^{0}$ 公式定義 $A$ 則稱 $A$ 為 $\Pi _{n}^{0}$ 公式。（若有公式 $\phi $ 與集合 $A$ ，使 $A=\{x\;\vert \;\mathbb {N} \vDash \phi (x)\}$ ，則稱 $\phi $ 定義 $A$ 。）

### 按可計算性定義

若集合 $A$ 可以用圖靈機（或任何等價的計算模型）計算得出，則稱 $A$ 為 $\Delta _{0}$ 集合。若 $A$ 為遞迴可列舉集合則稱 $A$ 為 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，若 $A$ 的補集 $\mathbb {N} \backslash A$ 遞迴可列舉則稱 $A$ 為 $\Pi _{1}^{0}$ 集合。這一定義實際上與上面給出的定義是等價的。

更高階層的算術類可以通過波斯特定理與可計算性聯絡起來：設 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 為零不可解度的第 $n$ 次圖靈跳躍，則任何集合 $A$ 是 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 集合若且唯若 $A$ 可以用具備 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 的預言機遞迴列舉；任何集合是 $\Pi _{n+1}^{0}$ 集合若且唯若其補集滿足以上條件。

## 舉例

* 所有遞迴集合都是 $\Delta _{0}$ 集合、所有遞迴可列舉集合都是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合（逆命題亦成立）。
* 停機集合（即所有停機的圖靈機）是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，它在 $\Sigma _{1}^{0}$ 類中是完全的。
* 所有有限遞迴可列舉集合的編號（記作 $\mathrm {Fin} $ ）是 $\Sigma _{2}^{0}$ - 完全集合（因此所有無限遞迴可列舉集合的編號是 $\Pi _{2}^{0}$ - 完全集合）。
* 所有 $\Sigma _{1}^{0}$ - 完全集合作為遞迴可列舉集合的編號是 $\Sigma _{3}^{0}$ - 完全集合。

## 參考資料

* H. D. Ebbinghaus, J. Flum, Wolfgang Thomas. Mathematical Logic (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. Springer. 1996. ISBN 9780387942582 （英語）.  引文格式 1 維護：冗餘文字 (link)
* Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer. 2004. ISBN 9780387152998 （英語）.
算死草

**《算死草》**（英語：_Lawyer Lawyer_）是一部香港電影，於 1997 年夏季上映。由周星馳、葛民輝、莫文蔚、邱淑貞主演，導演、編劇為馬偉豪。此片首映時正值 1997 年香港回歸，故以香港開埠時作背景。「算死草」是粵語俚語，形容一個人很有心計，對事情掐算拿捏到極致，是貶義詞。

## 劇情

清朝末年，廣東狀師陳夢吉專以作弄人為樂，結下了不少仇家。其徒弟何歡本是孤兒，雖常參與陳作弄人的行動，但個性單純善良。後因阿歡與陳夢吉同時對戲女水蓮花有意，而發生爭執，阿歡一怒之下出走香港謀生。香港大亨何西爵士（影射何東爵士）之子何中意外發現阿歡是他失散已久的異母弟「念西」，為獨吞家產，中殺害家丁何春並設計陷害阿歡，使其獲罪入獄。阿歡求助於師父，陳夢吉憑三寸不爛之舌說的洋法官啞口無言，然而陪審團已被收買，夢吉要想辦法起死回生......

## 演員

## 參考資料

## 外部連結

* 開眼電影網上《整人狀元》的資料（繁體中文）
* 豆瓣電影上《算死草》的資料 （簡體中文）
* 時光網上《算死草》的資料（簡體中文）
* AllMovie 上《算死草 》的資料（英文）
* 爛番茄上《算死草》的資料（英文）
* 香港影庫上《算死草》的資料（繁體中文）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《算死草》的資料（英文）
算法与数据结构词典

《**算法與資料結構詞典**》是一本收集了算法、算法技術、典型問題和資料結構的計算機科學領域內的類似辭典的參考。辭典由保羅・巴拉克維護，由美國國家標準與技術研究所信息技術實驗室軟體診斷和一致性測試部軟體質量組主辦。

## 參考文獻
算法交易

**算法交易**（英語：Algorithmic trading），或程序化交易，或自動交易，是指運用自動化的電腦程式，或運用人工智慧，根據預設的算法，進行自動化的投資和買賣行為。一般而言，算法交易是指人們開發程式，自動根據指定的市場的技術資料和財務比率（例如市盈率、市帳率、移動平均線）等，自動由電腦操作買賣行為。

## 應用

目前，算法交易可以應用在自動根據市場及財務資料參與自動化買賣股票、期權、金融衍生工具、外匯、黃金、加密電子貨幣等交易。目前，運用自動化的算法或程序交易軟體進行自動化買賣，已經佔了股票及證券市場交易中相當大的比重。

## 參見

* 自動交易系統
* 高頻交易
* 人工智慧
* OU 過程

## 參考
算法作曲

**算法作曲**是一種使用算法來創造音樂的技巧。

算法 (或者至少說是一系列形式化的規則) 在作曲中已經應用了幾個世紀了。然而算法作曲這個術語通常用來表示創造音樂時無需人工干預的形式化程序，無論是通過引入隨機的步驟或是利用計算機。

一些與音樂沒有直接關係的算法和數據也常被作曲家 使用，作為他們音樂的靈感來源。算法包括分形、L - 系統和統計模型等，甚至是任意的數據 (例如 人口普查數據，GIS 坐標，磁場測量結果) 都可以被當做作曲的材料。

## 算法作曲的模型

作曲算法通常以他們所使用的編程技巧分類。按照創作的過程可以分為 1) 計算機創作的音樂 和 2) 計算機輔助創作的音樂。當算法可以在創造音樂的過程中自己作出各種選擇時，起產出的音樂被認為是計算機創作的音樂。

另一種排序整理作曲算法的方式是檢查他們作曲過程的結果。算法可以 1) 提供樂曲用到的的符號信息 (活頁樂譜 或 MIDI) 對於其他文書，或 2) 提供一種獨立的 聲音合成 方式。也存在同時提供符號信息與聲音合成的算法。

一個用來分類作曲算法的方式是通過它們的結構以及處理數據的方式，可以得到六個部分重疊的類型：

* 數學模型
* 基於知識的系統
* 語法
* 遺傳算法
* 自我學習的系統
* 混合系統

## 參考文獻

## 外部連結

* Lisp 算法作曲入門 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 一個使用 Lisp 程式語言介紹算法作曲的視頻
* 算法作曲教程 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 一系列算法作曲的教程
算法信息論

**演算法資訊理論**（Algorithmic information theory）是使用理論電腦科學的工具，研究複雜性概念的學科領域。它是資訊理論的一環，關注計算與資訊之間的關係。按照 Gregory Chaitin 的說法，它是「把香農的資訊理論和圖靈的可計算論放在調酒杯使勁搖晃的結果。」
算法全能集

**《算法全能集》**，是明代長沙人賈通所著的關於數學算法的書籍。

## 內容

* 《總說五項》，關於錢糧、，斤稱、田畝、度量衡。
* 《常用法二十項》，內容包括加法、減法、乘法、除法、歸法、歸除、求一、商除、異乘同除、就物抽分、差分、和合差分、斤稱、

堆垛、倉窖、田畝、修築、開平方等

全書重點說明算法，每一算法前，一歌訣開篇，用籌算運算，但口訣的應用，對珠算的普及有相當大的影響

 

## 參考文獻
算法导论

《**演算法導論**》（英語：_Introduction to Algorithms_）是基礎演算法方面最權威、最詳細的著作之一，在很多國際著名大學被用於演算法課的教材。諸多演算法方面的論文將其列入參考文獻當中。

該書詳細的介紹了諸多常見的演算法及資料結構，並用嚴謹的證明來論證其正確性。每個章節均有例題，適合學習者深入理解。第一版刊行於 1990 年，2009 年最新版為第三版。在許多國家常常以作者姓名首個英文字母被稱為 **CLRS**（第一版則簡稱為 CLR）。

## 參見

* 計算理論
  * 可計算性理論
  * 計算複雜性理論
* 電腦程式設計藝術

## 參考文獻
算法少女

《**算法少女**》（日語：算法少女／さんぽうしょうじょ _Sanpō shōjo_ \*/?），是一本出版於 1775 年（安永 4 年）的和算書籍。本書是日本傳統算學書籍中唯一一本以女性名義編寫的。

本書在日本國立國會圖書館有掃描本公開。在 1935 年曾由古典數學書院發行謄寫版。2009 年築摩書房出版了《閱讀和算書「算法少女」》，其中收錄了《算法少女》原文的影印版以及現代日語翻譯、解法的解說。

以本書為題材，兒童文學作家遠藤寬子創作了同名小說《算法少女》。

## 作者

根據本書的序文，本書是在父親的協助下由女兒編寫的，使用了筆名。父親自稱壺中隱者，俳人谷素外所寫後記中稱其為「醫師平氏」，女兒署名平氏，印章為「章子」。當時的和算書籍常常是以弟子的名義發表老師的研究內容，故而可以推斷本書事實上的作者應該是壺中隱者。不過也有觀點認為，本書實際作者是女兒章子。不論如何，本書作為僅有的一本作者為女性的古代和算書籍，在日本文化史上也是有貴重價值的。

壺中隱者的身份在本書刊行後一個半世紀中並不為人所知，但在 1930 年代確認為醫師千葉桃三。

## 內容

本書以文言文和日文書寫。分為序言（父、女）、圓周率的歷史、正文（上、中、下）、圓周率求法、後記 5 部分。其中序言中父親名義的部分、圓周率歷史的最後部分、正文的中篇、圓周率求法為文言文寫成，其餘部分為日文。大體上文言文的部分為以父親名義所寫，日文的部分為女兒名義。

書中以女兒名義記述了父親進行數學研究的履歷、當時大阪數學界的情況以及自己向父親學習數學的情形。

書中提到了圓周率的值和求解方法。古時認為圓周率為 3。之後是 3.16。進而是更精確的 355/113，該值的求法是在圓里內接正四邊形、正八邊形、正十六邊形…… 直到正十餘萬邊形，並寫明該算法出自關孝和的《括要算法》。最後書中給出了一種不通過內接正多邊形，直接求圓周率值的方法。壺中隱者稱此術玄妙，為了避免像古人一樣「人死技絕」，故而著書立說「與天下後世共之也」。

## 和算家的評論

本書出版後 16 年，1791（寬政 3 年），數學家藤田貞資撰寫了《算法少女之評》一文批評《算法少女》。他認為，書中所述圓周率的求法抄襲自有馬賴徸著於 1769 年的和算書《拾璣算法》。

數學家會田安明在 1804 年的《算法約術三條之題》中認為《算法少女》書中的圓周率求法並非抄襲自《拾璣算法》。

## 衍生作品

以本書為題材，兒童文學作家遠藤寬子於 1973 年發表了同名小說《算法少女》，並於次年獲得了產經兒童出版文化獎。小說的主人公設定為本書的寫作者，書中名為「千葉あき」（羅馬字：Chiba Aki），あき為「章」字的訓讀。

小說《算法少女》又進一步被改編為同名漫畫和動畫。漫畫《算法少女》連載於 2010-2014 年，於 2012 年發行單行本 1 卷。動畫《算法少女》製作始於 2009 年，在 2016 年發布。

## 注釋

## 參考來源

## 外部連結

* 網站和算序林上的《算法少女》序、跋原文及漢文序言的現代日文翻譯（存檔版）
* Goolge Books 提供的部分《算法少女》漫畫內容
算法工程

**算法工程**是指與計算機算法的設計、分析、實現、優化、剖析和實驗評估有關的領域，它在算法理論和軟體工程中算法的實際應用之間架起了一座橋梁。1997 年，在朱塞佩・F・伊泰利亞諾組織的第一屆算法工程研討會 (WAE97) 上首次提到了算法工程這一說法。

## 參考文獻
算法数论

在數學和計算機科學領域中，**計算數論**（英語：computational number theory，或稱為**算法數論**（英語：algorithmic number theory），是伴隨著電子計算機的產生而產生的，藉助於高性能計算機的計算能力來研究和解決數論和算術幾何問題，如素數判定、整數分解算法，計算丟番圖方程的解，算術幾何的顯式方法等。它廣泛應用於密碼學，如 RSA 算法，橢圓曲線密碼學，後量子密碼學，並用於研究數論中的猜想和開放性問題，如黎曼猜想，貝赫和斯維訥通 - 戴爾猜想，Abc 猜想，谷山 - 志村猜想，佐藤 - 泰特猜想，朗蘭茲綱領等

## 軟體包

* Magma
* Sage
* Number Theory Library
* PARI/GP
* 快速數論函數庫

## 延伸閱讀

* Eric Bach; Jeffrey Shallit. Algorithmic Number Theory, Volume 1: Efficient Algorithms. MIT Press. 1996 [2020-09-23]. ISBN0-262-02405-5. （原始內容存檔於 2021-09-30）.
* David M. Bressoud. Factorisation and Primality Testing. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97040-1.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Joe P. Buhler; Peter Stevenhagen (編). Algorithmic Number Theory: Lattices, Number Fields, Curves and Cryptography. MSRI Publications **44**. Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-20833-8. Zbl 1154.11002.
* Henri Cohen. A Course In Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics **138**. Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-55640-0. doi:10.1007/978-3-662-02945-9.
* Henri Cohen. Advanced Topics in Computational Number Theory. Graduate Texts in Mathematics **193**. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0-387-98727-4. doi:10.1007/978-1-4419-8489-0.
* Henri Cohen. Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations. Graduate Texts in Mathematics **239**. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-49922-2. doi:10.1007/978-0-387-49923-9.
* Henri Cohen. Number Theory – Volume II: Analytic and Modern Tools. Graduate Texts in Mathematics **240**. Springer-Verlag. 2007. ISBN 978-0-387-49893-5. doi:10.1007/978-0-387-49894-2.
* Richard Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer-Verlag. 2001. ISBN 0-387-94777-9. doi:10.1007/978-1-4684-9316-0.
* Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics **126** second. Birkhäuser. 1994. ISBN 0-8176-3743-5. Zbl 0821.11001.
* Victor Shoup. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. Cambridge University Press. 2012. ISBN 9781139165464. doi:10.1017/CBO9781139165464.
* Samuel S. Wagstaff, Jr. The Joy of Factoring. American Mathematical Society. 2013 [2020-09-23]. ISBN978-1-4704-1048-3. （原始內容存檔於 2020-07-28）.

## 參考

## 連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：Computational number theory
算法状态机

**算法狀態機**（英語：**Algorithmic State Machine**，縮寫：**ASM**）方法是設計有限狀態機的一種方法。在數位電路設計中，算法狀態機圖是對序向邏輯狀態轉移的一種圖形描述。在功能上，算法狀態機圖與狀態圖類似。:516

## 與流程圖的區別

在外觀上，算法狀態機圖與計算機程式設計的流程圖使用了相當類似的圖形符號，但是二者具有很大的差異。這種差異是軟體設計和硬體設計的本質差異導致的：硬體數位電路的狀態轉移是根據定時器訊號來實現同步的，即每過一個時脈「步進」一個狀態，因此算法狀態機的狀態轉移包含著時脈的訊號，相鄰狀態的轉移所跨越的時間往往精確單個時間脈衝，而軟體程式設計則一般不包含時間脈衝訊號。:81:518

## 設計步驟

利用算法狀態機方法來設計有限狀態機，需要依次完成以下步驟：

1. 根據需要完成的狀態跳轉功能，創建一組對應的算法，可以使用偽代碼來描述電路模塊的所需工作流程；
2. 將偽代碼轉換到算法狀態機圖（ASM 圖）；
3. 根據算法狀態機圖設計數據路徑；
4. 在數據路徑的基礎上完成算法狀態機圖的其他細節；
5. 為算法狀態機的各個狀態之間的轉移設計控制邏輯單元。

## 算法狀態機圖

算法狀態機圖（ASM 圖）由四中基本元素：狀態名稱、狀態盒、狀態決定盒和條件輸出盒，後三者之間用箭頭連接起來。由於摩爾型有限狀態機的輸出只與當前的狀態有關，因此其輸出情況被標註在狀態盒內部，而米利型有限狀態機的狀態塊中不會標註輸出情況。:82

* 狀態名：有限狀態機各個狀態的名稱被標註在一個狀態塊的左上角，有時還可以標註上該狀態所分配到的狀態碼。
* 狀態盒：其外形為一個長方形方塊，摩爾型有限狀態機的輸出由狀態盒表示（輸出只與當前狀態有關:82）。
* 狀態決定盒：其外形為一個菱形塊，這個方塊會標註上即將被測試的表達式，然後對應不同的測試結果，給出不同的處理路徑。算法狀態機的狀態決定盒一般具有一個輸入路徑和兩個輸出路徑（分別對應條件滿足和條件不滿足）。狀態決定盒的選擇條件表達式是兩個輸入變量的函數。
* 條件輸出盒：其外形為一個圓角方形塊，米利型有限狀態機的輸出由條件輸出盒表示（輸出與當前狀態和輸入訊號同時有關:82）。

## 數據路徑

當有限狀態機的序向邏輯電路用暫存器傳輸級硬體描述語言代碼描述之後，綜合工具會自動生成一系列數據路徑部件。過程代碼塊中被賦值的變量在實際的硬體電路中可以通過硬體暫存器來實現數據的儲存。根據不同賦值操作實現的功能，這樣的硬體暫存器可以是單純的暫存器、移位暫存器、計數器或其他含有組合邏輯網絡的正反器電路（組合邏輯網絡可以是加法器、減法器、數據多工器的各種組合方式）。

## 參考文獻

## 相關條目

* 有限狀態機（摩爾型、米利型）
* 狀態圖、流程圖

## 外部連結

* Background of the Algorithmic State Machine (ASM) Notation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Brief Introduction to ASM Charts （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* ASM++: a modern Algorithmic State Machine methodology for RTL designs （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
算法統宗

《**算法統宗**》，又名《**直指算法統宗**》、《**新編直指算法統宗**》，明代數學家程大位撰，凡 17 卷。

1592 年編成《算法統宗》共列算題 595 道，以珠算為主要的計算工具，卷一介紹數學常識，卷二介紹珠算，卷三以後分別為方田、粟布、衰分、少廣、分田截積、商功、均輸、盈虧、方程、勾等，第十七卷附以難題雜法，又列有 14 個縱橫圖。義大利有一種格子乘法，傳入中國後，在《算法統宗》稱「鋪地錦」。後又取精華部份，另編成《演算法纂要》4 卷，於 1598 年刊行。日本人毛利重能將《演算法統宗》譯成日文。

## 書影

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：算法統宗
算法設計

**算法設計**是大學中的一門課程，它屬於工學的基礎課程。它是數值計算方法的較淺近的版本。

## 基礎概念

### 工程計算中誤差的概念

* 誤差的來源
  * 模型誤差
  * 觀測誤差
  * 截斷誤差
  * 捨入誤差 (計算誤差)
* 絕對誤差
* 相對誤差
* 有效數字
* 誤差的傳播

### 選用算法的若干問題

* 選用標準
* 優劣的比較

## 方程式的單根近似解法

* 對分法
* 迭代法
* 牛頓法 (切線法)

## 線性方程組的精確解法

* 高斯消去法
* 軸元素消去法
* 三角分解法

## 線性方程組的迭代解法

* 簡單迭代法
* 賽德爾迭代法
* 超鬆弛法

 

## 插值法

* 線性插值法
* 均插插值法
* 等距結點插值法
* 拉格朗日插值法
* 三次樣條插值法

## 數值微分

* 用插值多項式求數值導數
* 用三次樣條函數求數值導數。

## 數值積分

* 牛頓－柯特斯公式法
* 復化求積公式
* 線性加速法
* 高斯求積法

## 常微分方程式初值問題的數值解法

* 歐拉法
* 龍格－庫塔方法
* 阿當姆斯方法

## 偏微分方程式的差分解法

* 圓型方程式的差分解法
* 拋物型方程式的差分解法。
算牌人

《**算牌手**》（英語：_The Card Counter_）是一部 2021 年美國犯罪劇情片，由保羅・許瑞德執導兼編劇，奧斯卡・伊薩克、蒂芬妮・哈戴許、泰・謝里丹以及威廉・達佛主演；馬丁・史柯西斯任職執行製片人。此片為伊薩克及謝里丹繼《X 戰警：天啟》（2016 年）後相隔五年再度合作。劇情講述一名前軍事審訊者被過去的陰影纏身，踏上成為賭徒的不歸之路。

電影 2021 年 9 月 2 日登上第 78 屆威尼斯影展舉行全球首映，2021 年 9 月 10 日由焦點影業安排於美國發行。

## 演員

* 奧斯卡・伊薩克飾演威廉・泰爾（William Tell）
* 蒂芬妮・哈戴許飾演拉・琳達（La Linda）
* 泰・謝里丹飾演齊克（Cirk）
* 威廉・達佛飾演約翰・戈多市長（Major John Gordo）

## 製作

《算牌手》由保羅・許瑞德自編自導，奧斯卡・伊薩克於 2019 年 10 月簽約主演。2020 年 1 月，許瑞德宣布泰・謝里丹、蒂芬妮・哈戴許和威廉・達佛加入演出陣容。

電影 2020 年 2 月 24 日在密西西比州比洛克西展開主要拍攝。2020 年 3 月 16 日，一名從洛杉磯飛來的小配角演員被檢驗出 COVID-19 陽性反應，使拍攝在五天後暫停。拍攝於 2020 年 7 月 6 日恢復，7 月 12 日宣告殺青。

## 發行

《算牌手》在 2021 年 9 月 10 日美國院線上映。2020 年 7 月，焦點影業取得電影的美國發行權。電影 2021 年 9 月 2 日登上第 78 屆威尼斯影展舉行全球首映。

## 參考資料

## 外部連結

* 官方網站
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《算牌手》的資料（英文）
算獨

**算獨**（MATHDOKU/KENDOKU/KENKEN） 
算獨或賢獨是花式數獨的一支，原型於 2004 年日本人宮本哲也 (Tetsuya Miyamoto) 和台灣人張耀東在東京一起討論所改良發行，其主要理念為啟發性的自學式的數學益智遊戲。 

算獨的基本規則是：行行列列數字不可相同，粗線算組符合運算提示。 

算獨的大小從 3×3 至 9×9。此外，算獨包括好幾組算組 - 而且這些算組內的數字必須符合運算提示，利用指定的數學運算（包括加法，減法，乘法或除法）。例如，3X3 簡單的算獨範例，包括 123 三個數字。相同數字不可重複在同一行或列中。粗線算組內的數字必須符合數學運算的提示。 

## 演進

2005 年起，美國人 Mr. Robert Fuhrer（羅勃傅瑞爾）根據日本學研出版社（GAKKEN）所出版的「Kashikoku naru Puzzle」。由 Nextoy 註冊商標為 KenKen 和 KenDoku 並由西洋棋大師 Mr. David Levy 推薦給倫敦泰晤士報主編邁克爾哈維（Mr. Michael Harvey）。哈維深感算獨的啟發及魔力，自 2008 年 3 月開始，在泰晤士報出版這類益智謎題。現今全球，共有 140 多個報紙，每日連載算獨。

典型的算獨解法
解決上述算獨，必須使用 123 三組數字：
規則是
每一行都包含 123, 每一列都包含 123 
每一個算組內的數字都符合指定的數學運算：加法（+），減（-），乘（×）和除（÷）。（備註：算組內的數字可以重複，只要不在行列中重複即可。） 

## 範例

「3+」，表示可能組合為 (1, 2), 但是不知道排列方式，因為這一行缺 3, 所以 ? 這一格為 3。 
「3」，表示這一格為 3。 
「5+」，表示可能組合為 (2,3) 或 (1,4), 但是因為這是 3x3 的題目，所以只能是 (2,3), 可是第一列不可放 3 了，所以排列必須為 (2,3)。 
「4+」，表示可能組合為 (1, 1, 2)。因為兩個 1 必須在單獨的行列中，因此第 2 行第 3 列是 2。 

## 分支及變型

算獨是花式數獨的一支，包括純加法，加減法，純乘法，乘除法，四則運算及無運算提示等等。 

## 參看

* 數獨
* 順獨
* 數和
* 數迴
* 數牆
* 數連
* 數壹
* 數燈
* 數間

## 外部連結

* 台灣數獨發展協會 (官網) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* kenken.com (official site) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Puzzle Guru Will Shortz （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _時代雜誌 Magazine_, March 2, 2009
* PyKen （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - an implementation that uses various extensions, such as exponentiation and complex arithmetic
算王庄站

**算王莊站**位於中華人民共和國山東省菏澤市牡丹區呂陵鎮，建於 1985 年。距新鄉站 155 公里，距兗州站 159 公里。現為四等站。客運辦理旅客乘降，行李、包裹託運；貨運辦理整車貨物發到。本站是新兗鐵路上鄭州鐵路局管轄最東端的車站，有 6903/6904 次列車始發。

## 臨近車站

## 參考資料

Template: 新石鐵路
算珠豆

**算珠豆**（學名：_**Urariopsis cordifolia**_）為豆科算珠豆屬下的一個種。

## 參考文獻
算珠豆属

**算珠豆屬**（學名：_Urariopsis_）是蝶形花科下的一個屬，為直立灌木或亞灌木植物。該屬僅有算珠豆（_Urariopsis cordifolia_）一種，分布於印度至中國廣西和雲南南部。

## 參考文獻
算瑞

**蘇丹**（阿拉伯文：سلطان，拉丁轉寫：Sulṭān，發音：[ˈsulˈtˤɑːn]），阿拉伯語音譯詞，有「力量」「統治權」等含義，後衍生為伊斯蘭國家的統治者頭銜，在 11 世紀被伊斯蘭國家的君主廣泛使用。由蘇丹統治的國家被稱為「**蘇丹國**」（阿拉伯文：سلطنة）。

## 定義

蘇丹與「國王」（ملك‎ _malik_）存在區別，雖然二者都指主權國家的君主，「蘇丹」一詞限於穆斯林國家使用，因此帶有宗教意義，使之與穆斯林與非穆斯林國家的世俗「國王」形成對比。女性蘇丹稱為「蘇丹娜」，但是在伊斯蘭教歷史上是很罕見的。另外，還有一種特別的蘇祿蘇丹國，這種國家正式的統治者是男蘇丹，但是他的妻子卻是一個實際上的「監督者」。

## 相關稱謂

蘇丹稱謂比較多，在不同時期不同地區都不同，也會迎合當地人的習慣。一些比較著名的是：

* 「曼尼蘇丹」（_Mani Sultan_ 或作 _Manney Sultan_，字面含義為「珍珠之王」，引申為「尊貴的君主」），在印度的俗名為「羅闍」，今稱「拉者」。其中文翻譯作「大君」。
* 「蘇丹殿下（英語：_Sultanic Highness_）」，東西方結合的混合式尊稱，用來稱呼蘇丹的兒子（王子）、女兒（王女）和兒媳婦（王子妃）。
* 用作王子的專稱，在哈薩克汗國和葉爾羌汗國、布哈拉汗國使用，一般寫作速檀。

在中國古代，「蘇丹」一詞有「蘇丹」、「速檀」、「速魯檀」、「鎖魯檀」、「素里檀」、「唆里檀」、「算端」、「層檀」等多種譯名。

## 歷史上已確認的蘇丹國

### 安納托利亞和中亞

* 加茲尼王國
* 塞爾柱帝國
* 魯姆蘇丹國
* 鄂圖曼帝國
* 葉爾羌汗國
* 帖木兒帝國
* 花剌子模王朝

### 高加索地區

* 伊利蘇蘇丹國及其他一些國家

### 南亞

在印度：

* 巴赫曼尼蘇丹國
* 孟加拉蘇丹國
* 德干蘇丹國
* 德里蘇丹國
* 蒙兀兒帝國
* 古吉拉特邦蘇丹國
* 章普爾蘇丹國
* 馬爾瓦蘇丹國
* 邁索爾王國

馬爾地夫：

* 馬爾地夫蘇丹國

### 東亞和東南亞

在中國：

* 雲南大理：清末杜文秀起義中，杜文秀自稱為大理蘇丹。

在汶萊：

* 汶萊蘇丹帝國

在菲律賓：

* 蘇祿蘇丹國

在印度尼西亞：

* 婆羅洲
* 西里伯島
* 爪哇島
* 摩鹿加群島
* 蘇門達臘

在馬來西亞，過去曾有八個蘇丹國，其中七個至今仍存在：

* 馬六甲蘇丹國（已滅亡）
* 柔佛蘇丹國
* 吉打蘇丹國
* 吉蘭丹蘇丹國
* 彭亨蘇丹國
* 霹靂蘇丹國
* 雪蘭莪蘇丹國
* 登嘉樓蘇丹國

### 阿拉伯世界

在敘利亞：

* 埃宥比王朝
* 馬木路克蘇丹國

在沙烏地阿拉伯：

* 內志蘇丹國
* 漢志蘇丹國

在阿曼：

* 賽義德王朝

在阿爾及利亞：

* 圖古爾特蘇丹國

在埃及：

* 埃宥比王朝
* 馬木路克蘇丹國
* 埃及蘇丹國

在蘇丹

* 達富爾蘇丹國
* 豐吉蘇丹國
* 科爾多凡

### 非洲之角

* 阿居蘭蘇丹國
* 阿達爾蘇丹國
* 馬吉爾廷蘇丹國
* 伊薩克蘇丹國
* 加哈吉斯
* 格勒迪蘇丹國
* 奧斯薩蘇丹國
* 哈拉爾蘇丹國
* 霍比奧蘇丹國
* 伊法特蘇丹國
* 摩加迪休蘇丹國
* 紹阿蘇丹國
* 比馬爾蘇丹國

### 東非和印度洋

* 安戈什蘇丹國
* 奇爾瓦蘇丹國

### 斯瓦希里

* 尚吉巴蘇丹國

在肯亞

* 帕泰島
* 威圖蘭

### 西非和中非

在喀麥隆

* 巴蒙王國
* 曼德拉王國

在中非

在尼日

* 達馬加蘭蘇丹國

在奈及利亞

在查德

* 巴吉爾米蘇丹國
* 瓦達伊王國

### 當代

只剩下四個國家擁有蘇丹、而且大都在東南亞地區，分別是： 汶萊、 阿曼、 印度尼西亞（日惹特區）、 馬來西亞（雪蘭莪州、登嘉樓州、吉打州、吉蘭丹州、彭亨州、柔佛州和霹靂州）。

## 注釋
算盘

**算盤**，是算數的工具，以排列成串的算珠作為計算工具，矩形木框內排列一串串等數目的算珠稱為檔。用算盤計算稱珠算，珠算有對應四則運算的相應法則，統稱珠算法則。尤其在加減法方面。根據珠算演變而來的珠算式心算成了速算技術的一種。由於電子計算機的普及，算盤的使用已接近式微。

## 起源

在西元前 2400 年的巴比倫就可能有算盤，在西元前五世紀希臘的希羅多德有紀錄埃及人有使用，後來其希臘字 _άβακασ_ 成為拉丁文、英文的 _abacus_。

以往認為算盤為中國發明的觀點並不可靠。事實上，一四珠算盤在中國其實是晚至宋元時期才出現，而二五珠盤更遲至明朝才有，此前通行的是籌算。反而在巴比倫、羅馬都出土過接近今日中國算盤形制的算板實物，其算盤的形制相對上有著較清晰的演進軌跡。此外，包括北非的古埃及、中亞的俄羅斯、中古歐洲都有形制與之類似的手算盤。因此不能說算盤為中國所獨有之巧思。客觀來看，算盤是各地人類因應計算需要，透過文明交流而相互參考、逐漸完善的過程。

在中國，隸首傳說發明珠算，見於東漢末三國時期徐岳撰、北周漢中郎甄鸞注的《數術記遺》：「隸首注術，乃有多種，及余遺忘，記憶數事而已。其一積算... 其一珠算，其一計算。」此書也記述中國古代太一算、兩儀算、三才算等早期算盤。

## 各地的傳統算盤

### 東亞

漢字文化圈的傳統之算盤的特點是設有橫梁。

隨著使用一四珠算盤的日本珠心算傳播，現在世界各地使用一四珠算盤也很普遍，各地還有製作改良的一四珠算盤，其中一款中國製造的一四珠算盤為鋁框塑料珠算盤，上檔一珠下檔四珠，另有「清盤」按鈕，按下清盤按鈕，立時將上檔珠子撥至上位，將下檔珠子撥往下位，即刻清盤，便於使用。

#### 中國

中國算盤的雛型是漢代的籌算，珠子為橢圓形。宋代或之前為採用上一珠、下四珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，「隨手撥珠，便成答數」，「珠動則數出」，可表現十進制數，故算盤設計為一四珠算盤。

明代之算盤開始出現採用上一珠、下五珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，「隨手撥珠，便成答數」，「珠動則數出」，可表現十二進制或以下任何數進制，故算盤設計為一五珠算盤。

明代後期開始出現的算盤款式，採用上二珠、下五珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，「隨手撥珠，便成答數」，「珠動則數出」，可表現十六進制或以下任何數進制，而因為當時的計算方式是一斤十六兩，也就是代表十六進制，故算盤設計為二五珠算盤。

#### 日本

日本算盤是在室町時代從中國傳入的一四珠算盤，採用上一珠、下四珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，可表現十進制數，故算盤設計為一四珠算盤。算珠一直保持為菱形。普遍使用商除法而不用歸除法；同時為了使乘除位數一致改用隔位乘。後來日本曾有梁上三珠的 35 位算盤（稱為「天三算盤」），現為山形市山寺村的伊澤榮次收藏。也有二五珠算盤。

#### 朝鮮半島

朝鮮從高麗王朝起從中國宋朝傳入一四珠算盤，於朝鮮王朝再從中國明朝傳入一五珠算盤和二五珠算盤，沿用至今。當地稱算盤為**珠板**（주판／珠板）或**數板**（수판／數板）。

### 古羅馬

古羅馬曾出現過一種帶槽的金屬算盤，槽中放著石子，上下移動石子進行計算。當時羅馬人不用十進位，也沒有數位的概念，不過設有二分位珠、三分位珠及四分位珠，可表現介乎十二分之一至十一之分數，然而羅馬算盤運算笨拙，最終未能流行。古羅馬人博伊斯的《幾何學》中亦記載了一種羅馬算盤的構造及用法，這種算盤不用石子做算盤子，用的是標有數字的狀似錐體的圓台做算子，將算子放入算盤不同的檔中進行計算。

 

### 印加

印加曾出現一種算盤，上面有多格，放上石子進行計算。

### 俄羅斯式算盤

俄羅斯式算盤單純採用十進位，沒有東亞算盤中間的橫梁，除了其中一檔只有四顆算珠外，每檔有十顆算珠，每個算珠表示一個單位，杆微微向上彎曲呈拱橋狀。俄羅斯算盤使用時，一般為檔橫向，算珠左右移動。由於價格便宜，使用方便，在前蘇聯時期廣泛應用於商店、市場，直至 1990 年代，珠算也是學校的必修課程。

 

## 其他算盤類型

### 二進制算盤

二進制算盤是用來展示電腦如何用二進制處理各種數據。

### 教具算盤

教具算盤是用作兒童數字概念及算術啟蒙教育的教具，多在學前教育或初等教育中使用，或作為兒童教育玩具。

## 其他的計算工具

* 算表
* 算籌
* 納皮爾的骨頭
* 計算尺

## 參見

* 計算機硬體歷史
* 戒指算盤

## 參考文獻

## 外部連結

* 計算機之母 - 算盤 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 珠算全球資訊網 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 世界珠心算網 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
算盘子

**算盤子**（學名：_**Glochidion puberum**_），又稱**紅毛饅頭果**，為大戟科算盤子屬下的一種直立灌木，高一至三米。葉互生，被柔毛，托葉呈三角形，葉長圓形。客家人有食用其果實的傳統。

## 參考文獻

* 算盘子 _Glochidion puberum_(L.) Hutch.. 中國植物物種信息數據庫。昆明：中科院昆明植物研究所. [2013-01-17]. （原始內容存檔於 2016-03-05）. （簡體中文）
* 紅毛饅頭果 _Glochidion puberum_ L. Hutchinson, 1916. 臺灣物種名錄。臺灣：中央研究院生物多樣性研究中心. [2013-01-24] （中文（臺灣））.

## 擴展閱讀
算盘子小煤炱

**算盤子小煤炱**（學名：_Meliola glochidii_）是屬於小煤炱目小煤炱科小煤炱屬的一種真菌，寄生在大戟科植物上。該種分布於中國、菲律賓。

## 參考文獻
算盘子属

**算盤子屬**（學名：_Glochidion_）是葉下珠科下的一個屬，為灌木至喬木植物。該屬共有約 300 種，分布於熱帶亞洲至玻里尼西亞。該屬植物以花無花盤、雄蕊頂端具尖、花柱常合生等一系列形態特徵區別於同族其他屬。

屬名 _Glochidion_ 源於希臘語 glochis，意為「突點」，指花葯具長尖。

## 物種

本屬包括以下物種：

* 白毛算盤子 _Glochidion arborescens_
* 線藥算盤子 _Glochidion chademenosocarpum_
* 紅算盤子 _Glochidion coccineum_
* 革葉算盤子 _Glochidion daltonii_
* 四裂算盤子 _Glochidion ellipticum_
* 毛果算盤子 _Glochidion eriocarpum_
* 絨毛算盤子 _Glochidion heyneanum_
* 厚葉算盤子 _Glochidion hirsutum_
* 長柱算盤子 _Glochidion khasicum_
* 台灣算盤子 _Glochidion kusukusense_
* 艾膠算盤子 _Glochidion lanceolarium_
* 披針葉算盤子 _Glochidion lanceolatum_
* 山漆莖 _Glochidion lutescens_
* 馬嶺河算盤子 _Glochidion malingheense_
* 墨脫算盤子 _Glochidion medogense_
* 南亞算盤子 _Glochidion moonii_
* 多室算盤子 _Glochidion multiloculare_
* 雲霧算盤子 _Glochidion nubigenum_
* 寬果算盤子 _Glochidion oblatum_
* 倒卵葉算盤子 _Glochidion obovatum_
* 甜葉算盤子 _Glochidion philippicum_
* 算盤子 _Glochidion puberum_
* 莖花算盤子 _Glochidion ramiflorum_
* 台閩算盤子 _Glochidion rubrum_
* 撣邦算盤子 _Glochidion shanense_ Gang Yao &Shixiao Luo
* 圓果算盤子 _Glochidion sphaerogynum_
* 水社算盤子 _Glochidion suishaense_
* 青背葉算盤子 _Glochidion thomsonii_
* 裏白算盤子 _Glochidion triandrum_
* 湖北算盤子 _Glochidion wilsonii_
* 白背算盤子 _Glochidion wrightii_
* 香港算盤子 _Glochidion zeylanicum_

## 參考文獻
算盘子生小煤炱

**算盤子生小煤炱**（學名：_Meliola glochidiicola_）是屬於小煤炱目小煤炱科小煤炱屬的一種真菌，寄生在算盤子屬植物上。該種分布於台灣、印度。

## 參考文獻
算盘竹

**算盤竹**（學名：_**Indosasa glabrata**_）為禾本科大節竹屬下的一個種。

## 參考文獻
算盤_(東亞)

**東亞式算盤**是漢字文化圈傳統的算數工具，一般多為木製，矩形木框內排列一串串等數目的算珠稱為檔，中有一道橫梁把珠分隔上下兩部分，上半部每算珠代表 5，下半部每算珠代表 1，梁上有定位點（亦稱個位點）。

## 歷史

中式算盤為東亞各地算盤的鼻祖。1976 年，陝西岐山縣京當鄉鳳雛村一個西周建築遺址中出土了陶丸，部份學者認為這是原始的珠算算珠，但亦有學者認為陶丸是用作三才算。關於珠算的最早書面記載則是漢代的《數術記遺》，當時的算盤是一種游珠算板，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤進行珠算。2003 年，西安的漢代長安城遺址附近出土了陶質圓球，被專家推測為漢代算珠。據中國珠算史家李培業考證，唐代開始出現有盤杆的算盤，當時的算珠為菱形。明代以降中式算盤珠子為橢圓形。

一四珠算盤在宋代東傳至室町時代的日本，沿用至今。而日本現存最早的算盤是文安元年（1444 年，甲子年）的二五珠算盤，算盤珠呈圓形。十七世紀初算盤流行日本，近江之大津地方曾有算盤廠，製造算盤。1670 年日本澤口一著《古今算法記》中的算盤圖為一四珠，算珠則是菱形。日本人稱算盤為「十露盤」、「所六盤」、十呂盤、水露盤。。

明代出現的一五珠算盤，後來傳至朝鮮王朝時期的朝鮮半島，在當地沿用至今。

## 形制

常見的形制有一四珠算盤、一五珠算盤、二五珠算盤、上三珠下五珠算盤等。現時中國常見的為二五珠算盤，日本常見為一四珠算盤，朝鮮半島常見的為一五珠算盤。唐宋時中式算盤及高麗時代韓式算盤珠子為菱形，後變成橢圓形，日式算盤珠則一直保留使用菱珠。

### 一四珠算盤

一四珠算盤流行於宋代及之前，並東傳室町時代的日本和朝鮮半島的高麗王朝。此種算盤在日本沿用至今。

### 一五珠算盤

一五珠算盤在明代開始出現，採用上一珠、下五珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，「隨手撥珠，便成答數」，「珠動則數出」，可表現十二進制或以下任何數進制，故算盤設計為一五珠算盤。十進位制明式算盤，最早見於 1604 年黃龍吟《算法指南》。這種算盤傳至朝鮮半島後在當地一直使用。

### 二五珠算盤

二五珠算盤是明代後期開始出現的算盤款式，採用上二珠、下五珠的形式，上一珠當五，下一珠當一，「隨手撥珠，便成答數」，「珠動則數出」，可表現十八進制或以下任何數進制，而因為當時使用「一斤十六兩」的度量衡，也就是代表十六進位，因此亦稱斤兩算盤，故算盤設計為二五珠算盤。此種算盤傳至朝鮮半島和越南，至今依然在中國大陸、香港、澳門、台灣一些傳統行業中使用，如中藥店、南北行等。

## 算法

## 參見

* 古羅馬算盤
* 印加算盤
* 俄羅斯算盤

## 參考文獻
算盤戒指

**戒指算盤**是一種戒指，其正面綴有一個小型中式算盤，可用於簡單計算。由於算珠尺寸過小，常常需要使用髮簪等工具進行操作使用。該工具在清朝時期發明，被譽為世界上首個「可穿戴設備」。

## 外觀與使用

戒指的算盤部分長 12 公釐（0.47 英寸），寬 7 公釐（0.28 英寸）（一說長 10 公釐（0.39 英寸），寬 5 公釐（0.20 英寸）），算珠直徑小於 1 公釐（0.039 英寸）。算盤通體純銀打造，分為兩檔，上面一檔有兩顆算珠，下面一檔有五顆算珠，每顆算珠都能上下移動，沒有滑澀感。

由於尺寸很小，戒指算盤無法直接用手進行操作，但其主要使用者 —— 中國古代婦女在使用時只需取下她們頭上的髮簪即可撥動算珠進行計算工作，商人在交易時也可拿針對著戒指算盤進行簡單的計算。

## 發明

二五珠算盤在明朝發明，而戒指算盤誕生於清朝，其歷史可追溯至 17 世紀，但原發明者已不可考。這種戒指最開始造出來時是一種辟邪用的裝飾物。儘管這種戒指除了計算之外無法完成任何其他複雜任務，但它仍然被稱為世界上首個「可穿戴設備」。

## 習俗

清代徽商在娶親時會向女方贈送一枚戒指算盤，以望妻子在家能夠精打細算。

## 參考資料
算盤棋

**算盤棋**，是中國流傳的兩人傳統棋類，規則各地略有不同，有跳達型、跳吃型、打子型。

## 棋具

* 二五珠算盤。

## 棋規

### 跳達型

* 一位玩家使用上梁，另一位玩家使用下梁。
* 初始佈置為一側的上梁五檔各一珠撥珠靠梁，另一側的下梁五檔各一珠撥珠靠梁。
* 棋珠可疊在己方算珠之上。上梁最多疊兩珠，下梁最多疊五珠。
* 每方回合選擇兩種動作之一，撥動己方一珠朝對側移動。
  * 若前方鄰檔無敵方算珠靠梁，則能移動至該檔。
  * 跳過有敵方算珠靠梁的全部前方檔，至第一個沒有敵方算珠靠梁的檔。
* 以五珠抵達對側五檔為勝。

### 打子型

* 一位玩家使用上梁，另一位玩家使用下梁。
* 初始佈置為一側的上梁五檔各兩珠撥珠靠梁，另一側的下梁五檔各兩珠撥珠靠梁。
* 棋珠可疊在己方算珠之上。上下梁最多疊兩珠。
* 每方回合選擇兩種動作之一，撥動己方一珠朝對側移動。
  * 若前方鄰檔僅有一枚或無敵方算珠靠梁，則能移動至該檔。若有兩枚敵方算珠，則將該珠離梁，移回該方最側一檔。
* 以十珠抵達對側五檔為勝。

## 參考
算盤武士

《**算盤武士**》（日語：そろばん侍 風の市兵衛）日本 2018 年 NHK 時代劇共九集，以小說一至三部改編，三集描寫一部。

## 劇情

文政時代的江戶庶民經濟興起，武士家經營事業者日眾，由於不黯經濟操作的武士階級許多人依賴於簽訂年契約的管帳「渡り用人」，而擁有部分武士背景出身的管帳人由於熟悉武士領域的種種現象，有共同語言，尤其廣受歡迎，主角唐木市兵衛就是這樣的人，精通算盤又會點劍術成為其獨特的武士道，經歷了種種事件看盡江戶百態但只在必要時才拔出劍，人稱「風之劍」。

## 參考文獻

## 外部連結

* NHK 官網 - 算盤武士 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
算盤蛤

**算盤蛤**（學名：_Cardita variegata_），又名**異紋心蛤**，是算盤蛤科算盤蛤屬的一種。

## 分佈

主要分布於南海、新加坡、馬來西亞、印度尼西亞、中國大陸、台灣，常棲息在潮間帶至潮下帶。

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基物種上的相關資訊：算盤蛤
算盤蛤屬

**算盤蛤屬**（學名：_Cardita_），亦作**心蛤屬**，是算盤蛤科之下的一個海洋雙殼綱軟體動物的屬。

## 物種

根據 WoRMS，本屬包括下列各物種：

* _Cardita aviculina_ Lamarck, 1819
* _Cardita caliculaeformis_ Deshayes in Maillard, 1863
* _Cardita calyculata_ (Linnaeus, 1758)
* 粗肋算盤蛤 _Cardita crassicosta_ Lamarck, 1819
* _Cardita distorta_ Reeve, 1843
* _Cardita excisa_ Philippi, 1847
* _Cardita ffinchi_ (Melvill, 1898)
* _Cardita hawaiensis_ (Dall, Bartsch & Rehder, 1938)
* _Cardita kyushuensis_ (Okutani, 1963)
* 斜紋心蛤 _Cardita leana_ Dunker, 1860
* _Cardita marwicki_ Laws, 1944 †
* _Cardita muricata_ G. B. Sowerby I, 1833
* _Cardita northcrofti_ Marwick, 1928 †
* _Cardita pica_ Reeve, 1843
* 塞內加爾算盤蛤 _Cardita senegalensis_ Reeve, 1843
* 算盤蛤 _Cardita variegata_ Bruguière, 1792
* _Cardita vinsoni_ Viader, 1951

## 參考文獻

## 外部連結