線性二次高斯控制

**LQG 控制**（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是**線性二次高斯控制**，是控制理論中的基礎最佳控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪聲的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律，可以讓二次費用函式的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪聲的影響，其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下，可以用 completion-of-squares 論述進行推導。此控制律即為 **LQG 控制器**，就是卡爾曼濾波（線性二次狀態估測器，LQE）和 LQR 控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG 控制可以應用在線性時不變系統及線性時變系統，產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG 控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統，兩者有相同的維度。

根據分離原理，在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中，LQG 控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理（separation principle of stochastic control）提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅，只要其系統動態是線性的，其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器（不再是卡爾曼濾波器）及 LQR 控制器。LQR 控制器也有用來控制擾動的非線性系統。

## 問題和解的數學描述

### 連續時間

考慮連續時間的線性動態系統

　
: ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),$

　
: $\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),$

其中 ${\mathbf {x} }$ 是系統狀態變數的向量， ${\mathbf {u} }$ 是控制輸入向量， ${\mathbf {y} }$ 是輸出量測值的向量，可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊 $\mathbf {v} (t)$ 及加成性的高斯量測雜訊 $\mathbf {w} (t)$ 所影響。給定一系統，其目標是找到一控制輸入 ${\mathbf {u} }(t)$ ，此控制輸入在每個時間 ${\mathbf {} }t$ 下，和以往的量測量 ${\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t$ 有線性關係，而且此控制輸入可以讓以下的費用函式有最小值：

　
: $J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],$

　
: $F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,$

其中 $\mathbb {E} $ 為期望值。最終時間（horizon） ${\mathbf {} }T$ 可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限，則費用函式的第一項 ${\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)$ 可以忽略，和問題無關。而為了要讓費用函式為有限值，會定義費用函式為 ${\mathbf {} }J/T$ 。

求解上述 LQG 問題的 LQG 控制器可以用以下方程表示：

　
: ${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],$

　
: ${\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).$

矩陣 ${\mathbf {} }L(t)$ 稱為卡爾曼增益（Kalman gain），和第一個方程卡爾曼濾波有關。在時間 ${\mathbf {} }t$ ，濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態 ${\mathbf {x} }(t)$ 的估測值 ${\hat {\mathbf {x} }}(t)$ 。卡爾曼增益 ${\mathbf {} }L(t)$ 是根據 ${\mathbf {} }A(t),C(t)$ 、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣 $\mathbf {v} (t)$ 、 $\mathbf {w} (t)$ 及最後的 $\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]$ 來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣 Riccati 微分方程來決定卡爾曼增益：

　
: ${\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),$

　
: $P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].$

假設其解 $P(t),0\leq t\leq T$ ，則卡爾曼增益等於

　
: ${\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).$

矩陣 ${\mathbf {} }K(t)$ 稱為回授增益（feedback gain）矩陣，是由 ${\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)$ 及 ${\mathbf {} }F$ 矩陣，透過以下的矩陣 Riccati 微分方程來決定

　
: $-{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),$

　
: ${\mathbf {} }S(T)=F.$

假設其解 ${\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T$ ，回授增益等於

　
: ${\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).$

觀察上述二個矩陣 Riccati 微分方程，第一個沿時間從前往後算，而第二個是沿時間從後往前算，這稱為「對偶性」。第一個矩陣 Riccati 微分方程解了線性平方估測問題（LQE），第二個矩陣 Riccati 微分方程解了 LQR 控制器問題。這二個問題是對偶的，合起來就解了線性平方高斯控制問題（LQG)，因此 LQG 問題分成了 LQE 問題以及 LQR 問題，且可以獨立求解，因此 LQG 問題是「可分離的」。

當 ${\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)$ 和雜訊密度矩陣 $\mathbf {} V(t)$ , $\mathbf {} W(t)$ 不隨時間變化 ${\mathbf {} }t$ ，且 ${\mathbf {} }T$ 趨於無限大時，LQG 控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣 Riccati 微分方程會變成代數 Riccati 方程。

### 離散時間

離散時間的 LQG 控制問題和連續時間下的問題相近，因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

　
: ${\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},$

　
: $\mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.$

其中 $\mathbf {} i$ 是離散時間， $\mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}$ 是離散時間高斯白雜訊過程，其共變異數矩陣為 $\mathbf {} V_{i},W_{i}$ 。

要最小化的二次費用函式為

　
: $J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],$

　
: $F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,$

離散時間的 LQG 控制器為

　
: ${\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+L_{i+1}\left({\mathbf {y} }_{i+1}-C_{i+1}\left\{A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}u_{i}\right\}\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }_{0}]$ ,

　
: $\mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,$

卡爾曼增益等於

　
: ${\mathbf {} }L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},$

其中 ${\mathbf {} }P_{i}$ 是由以下依時間往前進的矩陣 Riccati 差分方程所決定：

　
: $P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},P_{0}=\mathbb {E} \left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }.$

回授增益矩陣為

　
: ${\mathbf {} }K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}$

\
其中 ${\mathbf {} }S_{i}$ 是由以下時間從後往前算的矩陣 Riccati 差分方程所決定：

　
: $S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.$

若問題中所有的矩陣都是非時變的，且時間長度 ${\mathbf {} }N$ 趨近無窮大，則離散時間的 LQG 控制器就是非時變的。此時矩陣 Riccati 差分方程可以用離散時間的代數 Riccati 方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器，以及非時變的離散 LQR 控制器。為了讓費用是有限值，會用 ${\mathbf {} }J/N$ 來代替 ${\mathbf {} }J$ 。

## 降階 LQG 問題

在傳統 LQG 設定中，當系統維度很大時，實現 LQG 控制器會有困難。**降階 LQG 問題**（reduced-order LQG problem）也稱為**固定階數 LQG 問題**（fixed-order LQG problem）先設定了 LQG 控制的狀態數。因為分離原理已不適用，此問題會更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降階 LQG 問題已有不少的數值演算法可以求解相關的最佳投影方程（optimal projection equations），其中建構了局部最佳化的降階 LQG 問題的充份及必要條件。

## LQG 控制的強健性

LQG 最佳化本身不確保有良好的強健性，需要在設計好 LQG 控制後，另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性，可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜，會得到一個類似的最佳控制器，只有控制器參數不同。

## 相關條目

* 隨機控制
* Witsenhausen 反例

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Stengel, Robert F. Optimal Control and Estimation. New York: Dover. 1994. ISBN 0-486-68200-5.