符號濫用

數學中，**濫用符號**（英語：Abusing notation）雖然不嚴格，並非按數學符號的字面定義來運用，但有時能使數學論證更清晰，或引導讀者明白其直觀意義，同時減少犯錯和增進理解。不過，符號是否嚴格使用，或句法上是否正確，很視乎時代和學科背景。某些用法，在某些場合算為濫用，在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前，若已引入新的符號，則該些符號是否屬濫用，就可能取決於時代，因為有時該理論發展後，邏輯根基得到鞏固，統一符號用法，而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號，因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨，而後者則僅是錯誤，應當避免。誤用積分常數為後者一例。

相似的概念是**濫用語文**（英語：abusing language）或**濫用術語**（英語：abusing terminology），此時濫用的是詞語，而非符號。例如，「表示」的正式含義，是由某個群 $G$ 到某向量空間 $V$ 上的一般線性群 $\mathrm {GL} (V)$ 的群同態，但經常會將 $V$ 稱為 $G$ 的表示。另一個常見濫用，是稱兩個典範同構但不相等的物件為等同。類似還有：視常數函數與其值等同、視群（一個基集與其上二元運算組成的二元組）與其基集等同、視集合笛卡兒積 $\mathbb {R} ^{3}$ 與三維歐氏空間（配備幾何結構）等同。

## 集合與映射例子

### 函數寫法

許多教科書中，會寫「設函數 $f(x)$ 為⋯⋯（填入關於 $x$ 的式子）」。此為濫用符號，因為函數的名稱應為 $f$ ，而 $f(x)$ 應表示函數 $f$ 在其定義域中某處 $x$ 的取值。嚴格的寫法為：「設 $f$ 為函數，在 $x$ 處取值為⋯⋯」或「設 $f$ 為函數 $x\mapsto \cdots $ 」此種濫用非常廣泛，因為可簡化寫法，而嚴格的寫法可能顯得過於執著細節。

類似的濫用尚有「考慮函數 $x^{2}+x+1$ ⋯⋯」，因為 $x^{2}+x+1$ 並非函數，真正的函數是將 $x$ 對應到 $x^{2}+x+1$ 的運算，用匿名函數的寫法可將該函數寫成 $x\mapsto x^{2}+x+1$ 。同樣，此種濫用亦廣泛出現，因為避免拘泥小節，同時一般不會造成混淆。

### 數學結構

許多數學物件是由一個集合（通常稱為基集，英語：underlying set）及其上的額外結構組成。此種結構可以是數學運算、關係或拓撲結構。經常濫用同一個符號，同時表示基集及整個數學結構（此現象稱為「壓參數」，英語：suppression of parameters）。舉例， $\mathbb {Z} $ 表示整數集，但同時可以表示整數集與加法組成的群，還可以是整數集連同加法、乘法組成的環。一般而言，此類用法中，若所指的物件為所熟知，則不會引起讀者混淆；若刻意避免濫用，反而可能略嫌冗餘，使數學論述更難理解。實在混淆時，可以寫出整個結構以作區分，即以 $(\mathbb {Z} ,+)$ 表示整數的加法群， $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ 表示整數環。

同理，拓撲空間由基集 $X$ 與拓撲結構 ${\mathcal {T}}$ 兩部分構成，後者是 $X$ 若干子集構成的族，該些子集稱為開集。通常，只考慮 $X$ 上某一個拓撲，於是一經指定，就無需再次提及，可用同一個符號 $X$ 同時表示基集及 $X$ 與拓撲結構 ${\mathcal {T}}$ 組成的二元組，而不引起混淆，即使嚴格而言，兩者為不同的數學物件。不過，有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲（如拓撲向量空間上的強拓撲和弱拓撲，或實數線上的歐氏拓撲和下限拓撲），此時則須當心使用結構的全寫，如 $(X,{\mathcal {T}})$ 和 $(X,{\mathcal {T}}')$ ，以作區分。

### 等價類

等價關係中，元素 $x$ 所在等價類嚴格地可記為 $[x]$ ，但有時亦濫用符號記為 $x$ 。此處等價類的意思是，若集合 $X$ 分劃成等價關係 $\sim $ 的等價類，則對每個 $x\in X$ ，等價類 $\{y\in X:y\sim x\}$ 記為 $[x]$ 。但實用上，若取商集後，餘下討論僅關心等價類，而非原集合的元素，則常會棄用方括號。

例如，模算術中，有等價關係 $\sim $ ，其定義中， $x\sim y$ 當且僅當 $x\equiv y{\pmod {n}}$ 。將整數集按 $\sim $ 劃分，可以得到等價類 $[0],[1],\ldots ,[n-1]$ ，關於加法組成一個 $n$ 階循環群，但實用上，該群的元素常簡記為 $0,1,\ldots ,n-1$ 。

另一個例子是，某測度空間上，可測函數（類）組成的向量空間，或勒貝格可積函數（類）組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。

### 相等抑或同構

許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是泛性質），如直積、張量積、自由積。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的物件，但因為性質完全一樣（「同構」），不能藉其性質區分各同構物件，即使實際不等亦常逕稱「相等」。

以笛卡兒積為例，常以為可結合：

　
: $(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G,$

實則不然，因為若 $x\in E,y\in F,z\in G$ ，則有序對之間的等式 $((x,y),z)=(x,(y,z))$ 會推出 $(x,y)=x$ 和 $z=(y,z)$ ，而 $((x,y),z)=(x,y,z)$ 甚至不合式，是句法錯誤。不過，在範疇論中，得以自然變換的概念，將上述「結合律」修正。

類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「恰有兩個 8 階非交換群」嚴格而言可寫作「8 階非交換群的同構類恰有兩個」或「不別同構之異，恰有兩種 8 階非交換群」。

## 微積分例子

### 導數

數學分析中，導函數的萊布尼茲記法 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ ，算是濫用了分數符號。此種寫法的好處是，形式上得以沿用分數的運算法則，方便計算，例如複合函數求導的連鎖律，按萊布尼茲記法為：

　
: ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}},$

狀似分數乘法。

類似濫用出現於解微分方程的分離變數法，常將方程 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x)}{h(y)}}$ 左邊的導數，如分數般「移項」寫成 $h(y)\mathrm {d} y=g(x)\mathrm {d} x$ ，然後兩邊積分。還有積分記號中，將 $\int {\frac {1}{x}}\mathrm {d} x$ 的 $\mathrm {d} x$ 看成因子，與 ${\frac {1}{x}}$ 的分子相乘，寫成

　
: $\int {dx \over x}.$

但在微分形式理論中，有 $\mathrm {d} y$ 和 $\mathrm {d} x$ 的嚴格定義，此時，上述寫法不再是濫用。

### 向量叉積

設實向量 ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ ， ${\boldsymbol {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ ，則兩者的叉積可用形式行列式定義為：

　
: ${\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right|,$

其中頂行的三項是三個方向的單位向量，沿該行用餘子式展開可得結果。此種濫用有助記憶，實際計算亦有用。其所以為濫用，是因為一般僅定義環上某矩陣的行列式，但向量 $\mathbf {i} \in \mathbb {R} ^{3}$ 與純量 $a_{1}\in \mathbb {R} $ 等不在同一環內（除非考慮幾何代數）。

### 倒三角算子

倒三角算子 $\nabla $ 是將偏微分算子組裝成類似向量的形式：

　
: $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,{\frac {\partial }{\partial z}}\right),$

以便用向量運算表示梯度 $\nabla f$ 、散度 $\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}$ 、旋度 $\nabla \times {\boldsymbol {v}}$ 。但是，倒三角算子並未齊備向量的全部性質，例如與其他向量的內積不可換。此觀點下，是濫用向量符號。

### 大 O 記號

使用大 O 符號時，常以 $f(x)=O(g(x))$ 表示「當 $x$ 充分大時， $f(x)$ 至多為 $g(x)$ 的常數倍」。這可以看成濫用了等號，因為如德布魯因所言， $O(x)=O(x^{2})$ 但 $O(x^{2})\neq O(x)$ 。

## 主觀性

一種用法是否屬濫用符號，視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中，以 $f:A\to B$ 表示偏函數，皆算為濫用，但範疇論中則不一定，因為 $f$ 在集合和偏函數構成的範疇中，確實是態射。

## 評價

尼古拉・布爾巴基在《數學原本》起首的「本書用法」中，稱任何數學書若不濫用語文或符號，則易拘於小節（pédantesque）甚至不堪卒讀（illisible）。陶哲軒認為，論文的嚴格論證中，所用符號應當明確而不含糊，但即使如此，仍允許一定程度的濫用符號。

## 參見

* 數學符號 —— 數學對象和思想的象徵表徵系統
* 誤稱

## 註

## 參考資料