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筆順

**筆順**是指在書寫漢字時，筆畫出現的先後次序。

## 基本規則

一般來說筆順的基本規則有：從上到下，從左到右，先橫後豎，先撇後捺，底橫後寫，穿底中豎最後寫，由外至內，先外後內再封口，先中間後兩邊，「辶、廴」最後寫，「凵」盆最後寫等等。但有時可能並不如此。

## 通行筆順

像下列這些字，不管哪裏的人，一般都會這樣寫。可視爲通行的筆順。

* * * * * * * * * * * * * * * *

有些漢字獨用時，跟它作偏旁時，筆畫稍有不同。因此筆順也未必一樣。例如：

## 差異筆順

然而，因地區習慣不同，或因書法流派不同，有些字的筆順可能出現差異。

因此，嚴格來講，漢字並無絕對正確、統一的筆順，只能是某一地區一時間內規定的「相對正確」的筆順。

就教育參考來說，日本文部省在 1958 年編訂了《筆順指導の手びき》，列出 881 個教育漢字的筆順。中華民國教育部在 1996 年推出《常用國字標準字體筆順手冊》，作爲臺灣地區的教育標準。中國大陸方面，2021 年 3 月實施由中華人民共和國教育部國家語言文字工作委員會發佈的《通用規範漢字筆順規範》，取代於 1997 年同樣由國家語委標準化工作委員會編寫的《現代漢語通用字筆順規範》。香港教育局課程發展處中國語文教育組則於 2007 年，在《香港小學學習字詞表》網上版顯示了參考筆順。

但就書法界而言，書法家和書法學者並不一定認爲該地域的教育筆順合理，尤其一些跟傳統書法相左的規定，會受到批評。

以下是一些筆順差異的具體例子，可供參考。

### 書法流派差異

因不同的書法流派，有些字的筆順並不一致。例如：

#### 「方」字

#### 「門」字

#### 「门」字

### 地區差異

在書寫字體或方向不同時，筆順可能有所差異。各地的教育參考筆順也可能不一樣。例如：

#### 「戈」字

#### 「王、玉、主、生、青、麦、隹」等字

#### 「田、由、角」等字

「甲、申、用、甪、⻆、甫、羊、丰」等字的中豎下方穿頭，且中豎皆最後寫，與上例不同。「角」與「⻆」字形並不相同，因此筆順也有差異。

#### 「右、有、布」等字

「有、右」等字的首兩筆來自「又」字古文，因此傳統書法和日本筆順如此，但「左」字首兩筆來自「𠂇」字古文為先橫後撇。

#### 「皮」字

### 流派與地區兼備的差異

有些字不同的書法流派、不同地區規定中，筆順皆有分別。就如：

#### 「必」字

#### 「艹」字

#### 「臣、區、叵、医、匿」等字

## 作用

筆順一定程度上可能會影響漢字的書寫速度和美觀性。

例如「夾」、「爽」兩字，若先寫中間（「大」部件），再寫左右（「从」部件、「㸚」部件），字體容易變得寬扁。因此正常的筆順，皆先寫「一」，再寫「从」或「㸚」部件，最後才寫「人」。

又像「生」字，傳統書法的寫法是先寫「𠂉」，第三筆寫中豎，再寫餘下兩橫。楷書、行書皆然。要是改成寫了「𠂉」後，第三筆寫中間的橫，第四筆才寫豎，最後才寫底橫，寫行書時除了不美觀，更容易與「毛」字相混。

## 註解

## 參考資料

* 李郁周：〈筆順原理初探 —— 小學《國語》教科書筆順評析〉，載於《書寫與書法論集》，頁 35-51，台灣：蕙風堂筆墨有限公司，1996。

## 外部連結

**日本學習參考筆順：**

* 漢字書き順辭典 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

**台灣教育參考筆順：**

* 教育部國語推行委員會：《常用國字標準字體筆順手冊 (全一冊)》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（臺北：教育部出版，1996 年）ISBN：957-00-7082-X
* 中華民國教育部：常用國字標準字體筆順學習網

**大陸教育參考筆順：**

* 國家語言文字工作委員會：《通用規範漢字筆順規範》(PDF 檔案) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

**香港教育參考筆順：**

* 香港教育局：香港中文學習字詞表網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
筆頭蛇菰

**紅冬蛇菰**（學名：_Balanophora harlandii_）是蛇菰科蛇菰屬的植物。分布於中國大陸的廣東、雲南、廣西等地，生長於海拔 600 米至 2,100 米的地區，常生長在蔭蔽林中較濕潤的腐殖質土壤處，目前尚未由人工引種栽培。

## 異名

* Balanophora harlandii Hook. f. var. spiralis Tam

## 參考文獻

## 外部連結

* 紅冬蛇菰，Hongdongshegu 藥用植物圖像資料庫 (香港浸會大學中醫藥學院) （繁體中文）（英文）
筆鳳梨蘋果筆

〈**Pen-Pineapple-Apple-Pen**〉（日語：「ペンパイナッポーアッポーペン」，簡稱〈**PPAP**〉），是日本搞笑藝人古坂大魔王所扮演的虛構創作歌手 Piko 太郎（日語：ピコ太郎）創作，於 2016 年 8 月 25 日發表的歌曲。

歌曲廣受好評，其音樂錄影帶更是引發模仿熱潮，在日本，網友爭相模仿，甚至成為日本全民運動。不只日本，〈PPAP〉在其他地方也廣受歡迎，歌曲成功登上美國《告示牌》百大單曲榜，打破入圍歌曲最短時長的世界紀錄。

〈PPAP〉是 2016 年最熱門的歌曲之一，歌曲在日本百大單曲榜年度排行第 6，並獲得第 58 屆日本唱片大獎特別話題獎與 YouTube 全球熱門趨勢影片亞軍，截至 2020 年 4 月，歌曲音樂錄影帶已獲得超過 1.3 億觀看次數，相關影片累計超過 20 億觀看次數。

## 製作與發行

〈PPAP〉是首全曲長度僅 45 秒的流行舞曲，以升 C 小調創作，每分鐘 136 拍，Piko 太郎的音域範圍位在 F♯3 到 C♯5 之間。Piko 太郎使用樂蘭的 MC-303、MC-808 合唱器作曲。歌詞主要由英語單詞 pen（筆）、apple（蘋果）、pineapple（鳳梨）構成，講述演唱者分別將筆插入鳳梨與蘋果內。在接受採訪時，Piko 太郎表示當時他正在家中聽歌寫作，突然他想到自己來自日本最大的蘋果產地（青森縣），又看到桌上剛好有罐打開的鳳梨，因此產生歌詞靈感。

歌曲於 2016 年 10 月 7 日由 Avex Music Creative 發行，器樂版於同年 10 月 12 日發行。加長版收錄在同名專輯，並於 12 月 7 日發行。歌曲發行兩天，Piko 太郎於 GirlsAward 時裝周上首度現場表演歌曲，10 月 13 日，Piko 太郎出演朝日電視台《MUSIC STATION》並演唱了〈PPAP〉。這曲亦使他在第 67 回 NHK 紅白歌合戰中以特別企劃身份出場。2020 年 11 月 8 日播出的特攝劇集《魔進戰隊煌輝者》中，Piko 太郎飾演的博多南無鈴通過角色多次向〈PPAP〉致敬，在劇場版《魔進戰隊煌輝者 THE MOVIE Be-Bop Dream》中以博多南無鈴的身份演唱該曲。

2020 年因應 2019 冠狀病毒病疫情，Piko 太郎將該曲進行改編，歌詞由「I have a pen I have an apple」改成「I have a hand I have a soap uh! wash! wash! wash!」，提醒大家勤洗手預防冠狀病毒病。歌曲的最後也解釋了新的「PPAP」的意思，即「Pray for People And Peace」（為人民與和平祈禱），並表示「We will WIN」，代表可成功抗擊疫情。此 MV 於 2020 年 4 月 5 日發行。

## 專業評價

〈PPAP〉由於歌詞簡單、旋律又帶有強烈的節奏感，讓人容易琅琅上口，廣受好評。9GAG 執行長陳展程稱讚歌曲既簡單又有趣，雖然初次聽到會想說這到底是什麼鬼，但卻讓他不知不覺聽了五遍。

〈PPAP〉亦獲得多個獎項，包含第 49 屆日本有線大獎話題獎、2016 年新語、流行語大賞前十、網路流行語大賞金獎、第 3 屆 Yahoo! 檢索大賞流行語部門獎和第 58 屆日本唱片大獎特別話題獎。

## 商業成績

〈PPAP〉於發行首週空降日本《告示牌》百大單曲榜第 4 名，接著每周都上升一個名次，最終歌曲獲得排行榜冠軍。〈PPAP〉亦是年度排行第 6 的歌曲。

在美國，〈PPAP〉成功登上《告示牌》百大單曲榜第 77 名，是繼 1990 年松田聖子以歌曲〈The Right Combination〉登上榜單後，再次有日本歌手上榜。歌曲 45 秒的時長亦打破了 The Womenfolk 創作並在 1964 年入圍《告示牌》百大單曲榜第 83 名的歌曲〈Little Boxes〉（時長 1 分 2 秒），獲得史上時長最短單曲入圍《告示牌》百大單曲榜的世界紀錄。歌曲也成功登上比利時、加拿大、匈牙利與韓國等地音樂排行榜。

## 音樂錄影帶

〈PPAP〉的音樂錄影帶（MV）於 2016 年 8 月 25 日發布，MV 中，Piko 太郎身穿一席帶有豹紋蛇紋的黃色服裝，一邊跳著舞，一邊舉起手將不存在的筆、蘋果、鳳梨組合在一起。歌曲加長版 MV 於 2016 年 10 月 27 日發布，為宣傳歌曲，Piko 太郎另外拍攝一部舞蹈教學影片。

MV 最初只在日本學生中廣泛流傳，但到了 9 月，小賈斯汀在推特上表示「（〈PPAP〉是）我在網路上最喜歡的影片」，至此〈PPAP〉開始廣為流傳，不到一個月，MV 就擁有百萬觀看次數，在 9GAG 的 Facebook 專頁上更超過 54 萬人按讚。英國廣播公司評論歌曲之所以可以網路上造成熱潮，是因為「看它不用花腦力」。

〈PPAP〉是 2016 年最熱門的影片之一，不僅被多家媒體譽為是下一代〈江南 Style〉，更是 2016 年 YouTube 全球熱門趨勢影片亞軍。截至 2020 年 4 月，〈PPAP〉在 YouTube 已經超過 1.3 億次觀看人數，相關影片累計超過 20 億觀看次數。

## 排行榜

### 周榜單

### 年終榜

## 參考來源

## 外部連結

* MetroLyrics 上歌曲的完整歌詞
筇竹

**筇竹**（學名：_Qiongzhuea tumidinoda_）是禾本科筇竹屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的雲南的昭通、四川的宜賓等地，生長於海拔 1,430 米至 2,200 米的地區，一般生於山坡，是著名筍用竹和工藝用竹。目前尚未由人工引種栽培。

現接受名為筇竹 (_Chimonobambusa tumidissinoda_ Ohrnb.,1990)。

## 別名

羅漢竹（中國竹譜）

## 參考文獻
筇竹寺

**筇竹寺**是位於雲南省昆明市城西玉案山上的一座佛教寺廟，為禪宗傳入雲南的第一寺。寺廟主體結構包括天王殿、大雄寶殿、華嚴閣及兩側廂房。2001 年，筇竹寺被國務院列入第五批全國重點文物保護單位。

## 歷史沿革

筇竹寺始建於唐代貞觀年間，後由大理國鄯闡府的高光、高智兄弟擴建。元代初年，昆明僧人雄辯法師在此講經修行，寺院聲譽逐漸上升。明永樂十七年（1419 年），寺院發生火災被毀，至二十年（1422 年）開始重建，歷時 7 年完工。此後數百年間，筇竹寺又多次修繕。

成化十三年（1477 年），明朝政府派遣雲南鎮守太監錢能在筇竹寺開設「千日道場」，寺院規模得以繼續擴大並成為昆明名勝之一。崇禎十一年（1638 年），徐霞客到訪寺院，受到金公趾、嚴似祖等人的接待。清光緒十一年（1885 年），雲貴總督岑毓英資助翻修該寺，歷經 6 年工程告竣。民國年間，戒塵法師再次修葺筇竹寺並將大殿屋頂降低 1 米。

## 建築與文物

筇竹寺建築延中軸線分布，成四進三院構型，依山勢層層上升，主要建築有鐘鼓樓、山門、天王殿、梵音閣、天台閣、大雄寶殿、華嚴閣和海慧塔，其中又以天王殿、大雄寶殿和華嚴閣為核心建築。

筇竹寺各殿均供奉有佛教塑像。天王殿正中為彌勒佛像，背面為韋陀菩薩，兩側則為四大天王塑像。大雄寶殿內部存有元代的三世佛塑像，正中為釋迦牟尼佛，左側為藥師佛，右側為阿彌陀佛，後檐下則為關羽、關平和周倉像。梵音閣內有千手千眼觀音坐像，左右兩手上下又各有 20 手，每隻手上雕刻有 1 眼，合計 42 手 40 眼。

筇竹寺後山留存有數位高僧的陵墓，元代雲南僧侶雄辯法師墓也在其中。該墓建於元大德年間，為磚砌喇嘛塔式墓。其基台高 0.5 米，近似呈邊長 2 至 2.1 米的方形。基台上為高 1.01 米，長 1.45 米，寬 0.55 米的重疊須彌座。座上為高 1 米，周長 3.3 米的覆缽狀塔身，塔頂則又塑有高約 0.35 米的小須彌座。座上有以蓮花瓣紋裝飾，紅色砂岩雕成的疊澀，與上部遺存結構合計高 0.64 米。墓塔傘蓋、寶頂今已遺失。雄辯法師墓兩側略後方還各建有一座弟子墓。

筇竹寺內還收藏有許多碑刻，記錄有建寺歷史和高僧事跡。元至大三年（1310 年）刻錄完成的雄辯法師塔銘原立於寺院後山的墓塔前，整體為砂石質，圓首並配有長方形須彌座，整碑高 1.66 米，寬 0.66 米，碑身兩面各以行書刻字 14 行，每行 32 字，記敘了雄辯法師的生平和早期佛教在雲南的傳播。時至今日，原碑已經損毀，但光緒時期的《雲南通志》、民國時期的《新纂雲南通志》等史料中均有對其的記載，後人得以完成重建。寺院大雄寶殿內則存有筇竹寺聖旨碑，該碑高 1.5 米，寬 0.85 米，整體為砂石質，圓首並配有雲紋浮雕。碑正面記錄有至大三年（1310 年）寺院住持玄堅的師兄玄慧遠赴大都朝見元武宗時武宗頒布的聖旨，碑背面則鐫刻著以蒙古文書寫的《雲南王藏經碑》，為至元六年（1340 年）雲南王阿魯頒給筇竹寺的令旨。

## 筇竹寺五百羅漢

筇竹寺五百羅漢由四川合州工匠黎廣修及其弟子林有生、飛良等自光緒九年（1883 年）起歷時 7 年完成，被譽為「東方雕塑寶庫中的明珠」。五百尊羅漢塑像分布於寺院大殿兩壁共 68 尊、天台閣 216 尊、梵音閣 216 尊，像高 1 至 1.2 米，曾為雲南省重點文物保護單位，後隨筇竹寺列入全國重點文物保護單位。

筇竹寺五百羅漢在題材和藝術表現等方面與其他寺院的五百羅漢有顯著差別。布局方面，筇竹寺寺院規模有限，沒有專設的羅漢堂，在塑像的布置上，工匠們放棄了四周設置入口、內設四個小天井、依羅漢尊號單層排列的傳統「田」字形布局：梵音閣和天台閣都分設北、中、南三堂，堂內塑像以三層陳列，一、三層為坐姿，二層為站姿，環列三壁。選材方面，該塑像群內包含帝王將相、平民書生、洋人教士等形象，引入了買賣、讀寫等市井生活內容。藝術表現方面，為追求場景的還原，工匠們為羅漢像賦予了較為豐富的肢體語言，並在單人形象外以兩三個羅漢為一組，形成互相關聯的小型情景。由於羅漢像姿態差異巨大，塑像群排列並不整齊，在修建過程中，工匠們以整體設計思路規避布局的混亂，使之形成風格統一、渾然一體的視覺效果。

筇竹寺五百羅漢塑像每 2 至 5 年就會進行一次小規模修補工作，修復彩塑裂紋和缺失部分並對沉積物進行清理。1997 年至 2001 年，雲南省文物局、昆明市宗教局等部門組織浙江籍工匠對彩塑和其所在建築開展了一次較大規模的修復和改造性維修工程。2007 年，雲南省文物考古研究所又使用當時較為先進的材料和方法對塑像進行了全面的檢查和修復。2016 年，五華區文體旅遊局對五百羅漢塑像完成 3D 全息掃描保存工作，數據同時保存於中國國家文物局和區文體旅遊局，如塑像受損，可通過 3D 列印方式復原。

## 保護問題

1996 年，筇竹寺附近採石場因使用炸藥爆破山體對羅漢塑像造成影響而被關停。2011 年，寺院所處玉案山和附近萬佛山的兩座採石場再次因爆破造成的震動問題而被調查。2012 年，因周邊道路改造，部分貨運通道變更線路，大量重型貨車在夜間違規使用筇竹寺外的旅遊專線，造成寺院瓦片掉落和建築開裂。此外，筇竹寺附近山體還曾發生過山火、泥石流等自然災害，一度威脅到寺院安全。

## 注釋

## 參考文獻

## 參考書籍
筇竹属

**筇竹屬**（學名：_Qiongzhuea_）是禾本科下的一個屬。該屬共有 3 種，分布於中國西南部。

現接受名為寒竹屬（_Chimonobambusa_ Makino, 1914）

## 參考文獻
等

**等**可以指：

* 等於，兩個數學對象是相等的
* 等級，按某一標準區分的高下差別
* 等 (音韻)，等韻圖的一個基本概念
* 等 (陳百強歌曲)，香港歌手陳百強歌曲
* 等 (小說)，白先勇的一篇短篇小說

## 參見

* 名稱以「等」開頭的所有條目
等M圓及等N圓

**等 M 圓**及**等 N 圓**（M-circles and N-circles）英文也稱為是 Hall circles，是控制理論中利用開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖（或尼柯爾斯圖）來求得其閉迴路傳遞函數數值的繪圖工具。此作法最早是由 Albert C. Hall 在其控制理論的論文中提出。

## 建構方式

考慮閉迴路線性控制系統，其開迴路傳遞函數為 $G(s)$ ，反饋路徑的增益為 1。其閉迴路傳遞函數為 $T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}$ 。 

若要確認 _T_(_s_) 的穩定性，可以用開迴路傳遞函數 _G_(_s_) 的奈奎斯特圖配合奈奎斯特穩定判據來確認。不過若只靠奈奎斯特圖，無法知道 _T_(_s_) 的數值。為了要在 G (s) 平面上得到這些資訊，Hall 在 G (s) 平面加上了使 _T_(_s_) 有固定大小以及有固定相位的二組曲線。

假設一正值 _M_ 表示固定的大小，令 G (s) 為 _z_，滿足

的點是那些在 _G_(_s_) 平面上和 0 的距離以及和 - 1 的距離比例為 _M_ 倍的點。這些符合條件的點 _z_ 的軌跡為阿波羅尼斯圓，在控制系統中稱為等 M 圖。若假設一正值 _N_ 表示相位角，滿足

的點。滿足此條件的點 z 的軌跡為圓弧，在控制系統中稱為等 N 圖。

## 用法

若要使用此方法，會在開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖上重疊不同數值的等 M 圓及等 N 圓，根據傳遞函數和等 M 圓及等 N 圓的交點即知道閉迴路傳遞函數的大小及相位。

等 M 圓及等 N 圓也可以和尼柯爾斯圖一起使用，不過等 M 圓及等 N 圓會進行坐標轉換，其縱軸會是 $20\log _{10}(|G(s)|)$ ，橫軸是 $\arg(G(s))$ 。尼柯爾斯圖的好處是調整開迴路傳遞函數時，只要將曲線往上移即可。

## 相關條目

* 奈奎斯特圖
* 尼柯爾斯圖

## 參考資料

* Katsuhiko, Ogata. Modern control engineering 4th. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002. ISBN 0130609072. OCLC 46619221.
* S., Nise, Norman. Control systems engineering 5th. Hoboken, NJ: Wiley. 2008 [2018-12-28]. ISBN 9780471794752. OCLC 154798791. （原始內容存檔於 2009-02-07）.
等_(陳百強歌曲)

**《等》**，由鄭國江填詞、顧嘉煇編曲、陳百強作曲並演唱，是 1984 年香港電影《聖誕快樂》的插曲。

此曲以 C 大調寫成，BPM 72，4/4 節拍，歌詞描寫男女主角的一段黃昏戀；並收錄於陳百強第九張粵語專輯《陳百強精選》，是三首新曲之一，亦是陳百強其中一首代表作。

## 創作背景

陳百強曾透露，他原本打算跟飾演女主角的徐小鳳合唱此曲，但因所屬公司不同而不成事。後來他錄製獨唱版時，希望加添新的元素，便在結尾用假聲哼唱，營造藍調的感覺。

鄭國江曾憶述填詞時，飾演戲中男主角的麥嘉提供了一個概念，以歌詞主人翁年紀，每一段感情都可能是最後一班的巴士，於是鄭國江又勾起一次旅行差點錯過一班車的回憶，便將這些靈感化為一位年輕人對父親的勸告，舖延成詞 。

## 反響和評價

1985 年，《等》入選無線電視台「十大勁歌金曲」第 1 季季選，並成為香港電台「中文歌曲龍虎榜」第四、五週的冠軍歌；但沒有在年終的樂壇頒獎禮得到任何獎項。

「莫道你在選擇人，人亦能選擇你」一句被視為精警的哲理，常為人所引用，如李嘉欣、月巴氏、霍玉蓮等。而「等，寂寞到夜深」後來亦成為了流行網絡用語。

香港音樂人雷頌德對此曲評價甚高，說：「《等》是最好一首歌手自作自唱的歌。香港的 Singer- song- writer 不多，但也有這樣的人才。整首歌旋律及演繹，天衣無縫，歌手不是在唱歌，聽眾入耳的，是一個人的心聲。」

## 翻唱版本

## 另見

* 《陳百強精選》專輯
* 電影《聖誕快樂》

## 參考資料

## 外部連結

* 鄭國江在官方臉書上傳的《等》初稿，寫於 1984 年 11 月 13 日。
* 《等》的初稿之一，寫於 1984 年 11 月 16 日，HK01 記者葉志明攝於 2019 年「深愛著你 40 年陳百強珍藏展」。 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等。陳潔儀

《**等。陳潔儀**》是新加坡女歌手陳潔儀的第二張單曲 EP，也是她轉投太合麥田的首張 EP，於 2016 年 1 月 26 日發行。

## 曲目列表

## 參考文獻
等々力緑地

**等等力綠地**（日語：等々力緑地／とどろきりょくち _Todoroki ryokuchi_），是位於日本神奈川縣川崎市中原區的一個城市公園，公園內擁有包括體育場、體育館、棒球場、游泳池、網球場等數個體育場館。此外還有一個博物館。平日除了各類體育賽事外，也有親子劇場等文娛活動舉辦。

## 主要設施

* 體育場（等等力陸上競技場）
  * J 聯賽川崎前鋒隊的主場
* 川崎市等等力體育館
* 棒球場（川崎市等等力球場）
  * 首都大學棒球聯盟， 高中棒球，業餘橄欖球 X 聯賽等比賽在此舉行。
* 網球場
* 川崎市市民博物館
* 游泳池

## 交通

* JR 南武線、橫須賀線、湘南新宿線、東急電鐵東橫線、目黑線武藏小杉站換乘川崎市巴士下車步行約 5 分鐘。
* JR 南武線武藏中原站步行 20 分鐘。

## 腳註

## 外部連結

* 川崎市等等力體育館
等一个人咖啡

《**等一個人咖啡**》（英語：_**Café·Waiting·Love**_）是一部於 2014 年上映的愛情電影，改編自臺灣知名作家九把刀小說《等一個人咖啡》，由江金霖執導、九把刀編劇。

## 概要

《等一個人咖啡》（2004 年出版）是作家九把刀的第一本小說，亦是九把刀銷量僅次於《那些年，我們一起追的女孩》（2006 年出版）的作品。《等一個人咖啡》是繼電影《那些年，我們一起追的女孩》（2011 年上映）與《殺手歐陽盆栽》（2011 年上映）之後，九把刀第三部改編成電影的小說。

《等一個人咖啡》於 2013 年 12 月 27 日開鏡，並展開拍攝。導演江金霖是《那些年，我們一起追的女孩》的執行導演，由賴雅妍以及新人演員宋芸樺、禾浩辰主演，還有資深演員藍心湄、李㼈等人加盟演出，並請來港星周慧敏特別演出老闆娘。2014 年 1 月 17 日舉行媒體發佈會，公布主要演員與其他製作班底。全片於同年 3 月上旬殺青，台灣口碑場 8 月 8 日每院每日一場，香港口碑場 8 月 9 號單一場。

## 劇情簡介

大學新鮮人李思螢（宋芸樺飾）參加了菜逼八小說社，無意間發現學長姐留下的咖啡筆記本，對此著迷，過馬路時差點被公車撞到。思螢為了她的暗戀對象 —— 坐在固定座位，看似身邊女友不斷的帥哥（張立昂飾）—— 而來到「等一個人咖啡」店打工，結識了咖啡沖調技術高超，任何客人點的特調咖啡都能做得到的超酷拉子 —— 阿不思（賴雅妍飾）、與每天都看似無所事事的神祕美麗老闆娘（周慧敏飾）。

在大學裡擁有許多離奇傳說的學長阿拓（禾浩辰飾）和一群好友到「等一個人咖啡」喝咖啡，卻碰上被其搶走前女友的拉子阿不思，很有正義感的思螢看不慣阿拓被朋友們嘲笑而大罵那群損友，最後思螢和阿拓結為好友。開朗的阿拓熱血又真誠，為了完成去環遊世界的夢想在暴哥的海鮮店、魚療店、洗衣店打工，但因為與人打賭賭輸而不斷延畢，最終成為校園中的傳奇老學長。海產店老闆暴哥（李㼈飾）看似黑道大哥但其實曾是電影導演；洗衣店老闆金刀嬸（藍心湄飾）擁有一身驚人廚藝。

咖啡店老闆娘學生時期喜歡捉弄當時的同學楊澤於，吃他便當的滷蛋。後來有了男朋友，叫楊澤於陪她挑情人節禮物。兩人突然遇到持槍歹徒，楊澤於幫老闆娘擋子彈，他們倆開始戀愛。上學時，他們常去一家店約會，畢業後正好該店要賣了，老闆娘便買了下來，改為咖啡廳。老闆娘雖然胃不好，喝咖啡會肚子痛，但喜歡咖啡的香味。楊澤於終於調製出「老闆娘特調」，老闆娘很喜歡，也不會肚子痛。後來，楊澤於在車禍中去世。「老闆娘特調」秘方失傳。

阿拓小時候爸媽常常不在家，因此阿拓叫乩童、酒店女、賣香腸王伯伯在家長聯絡簿簽字。王伯伯去世，但鬼魂回來，告訴阿拓如果阿拓遇到真心喜歡的女生，就可以從女生的後腦袋摸出一根香腸；如果女生喜歡阿拓，阿拓可以從女生的後腦袋摸出一碗豆花。阿拓在李思螢的後腦摸出香腸，讓阿拓發現自己原來很喜歡李思螢。

李思螢不小心弄髒了來咖啡店的帥哥的衣服，因此去洗衣店洗他的衣服，結識了洗衣店老闆娘金刀嬸。金刀嬸原本在暴哥海產店做飯，十六年前因為暴哥批評她的手藝而離開。一晚，愛心筆幫來砍暴哥，但暴哥不在，砍到了阿拓和思螢。阿拓用手擋刀，並用鐵頭功回擊。最後暴哥持狼牙棒，金刀嬸攜雙刀前來支援，把愛心筆幫打退。暴哥和金刀嬸順便重歸於好。

阿拓深深被思螢的正義感吸引，思螢的生活也因為有阿拓而變得多彩多姿。可是思螢一直暗戀著帥哥而只是把阿拓當成無話不談的好朋友。帥哥說他等的是像李思螢一樣的女孩，令李思螢心神不寧。阿拓決定離開臺灣，出國去實現夢想，臨走前一晚，嘗試在李思螢腦後摸豆花，只摸出香腸，感嘆「原來思螢真的不喜歡我」。

李思螢跟帥哥告白，才發現他是死去的鬼魂，名字是楊澤於，即老闆娘的男友。楊澤於告訴她，只有經歷過生死邊緣的人，才有機會在命運的縫隙中看見天使。尤其，思螢意外撿到楊澤於用過的筆記本，打開了他們相遇的緣分。所以只有思螢看得到楊澤於的鬼魂。思螢審視跟阿拓的經歷，明白自己喜歡的原來是阿拓，趕緊騎摩托車前往機場。路上，思螢頭上冒出了豆花。楊澤於把「老闆娘特調」的配方傳授給思螢，並讓思螢寫了一封信給老闆娘。

阿珠練成鐵頭功，打敗了空手道社，並和年邁的創社社長在一起。阿拓旅行回來，李思螢利用頭上冒出來的香腸和豆花製作「香腸豆花特調」給他吃。

## 演員陣容

### 主要演員

### 客串

### 其他演員

## 電影歌曲

### 主題曲

### 電影原聲帶

片數為 1CD。原聲帶中收錄了劇中大部份的所有歌曲。台灣於 2014 年 8 月 13 日由福茂唱片發行。

## 工作人員

* 出品人：崔震東、柴智屏、九把刀、江志強
* 製片人：崔震東
* 監製：柴智屏、九把刀
* 導演：江金霖
* 編劇：九把刀
* 製作公司：安邁進國際影業股份有限公司

## 取景

* 臺北市文山區一壽街 等一個人咖啡本店
* 臺北市文山區指南路二段 國立政治大學
* 臺北市大安區基隆路四段 國立臺灣科技大學

## 票房

台灣方面，首日票房為新台幣 1600 萬元；首週三天票房為新台幣 6400 萬元，票房累計至新台幣 7150 萬元；次週票房累計至新台幣 1.3 億元；第三週票房累計至新台幣 1.65 億元；第四週票房累計至新台幣 2.2 億元；第五週票房累計至新台幣 2.4 億元；第六週票房累計至新台幣 2.49 億元；最終全台票房為新台幣 2.6 億元。

## 和小說相異之處

* 原著中女主角就讀新竹女中高三直到清華大學大四，電影版主角剛進大學。
* 原著中咖啡店在清大夜市巷子底，故事場景主要發生在清大、交大附近，電影版沒有指涉故事場景地點（應該在臺北景美女中旁）。
* 原著中思螢暗戀的澤于，和老闆娘沒有任何感情關係，原著中亦沒有死去。
* 原著中老闆娘最後在「等一個人咖啡」等到了真愛，電影版則改為在世界各地散心。
* 原著阿拓服兵役離開，電影版改為到世界各地遊玩。
* 原著中思螢在阿拓走後，遇到阿拓的好友，才開始想起阿拓，電影版則在最後遇到澤于後醒悟。
* 原著中咖啡店在晚上十時三十分打烊，而電影版中咖啡店營業時間至晚上九時。
* 原著中是蝴蝶刀阿拓，個性隨和悠閒；而不是比基尼阿拓或大白菜阿拓，個性較單純。
* 原著中暴哥是黑社會老大後來有女人，金刀嬸自己週日在洗衣店的二樓聚會並且有其老公金刀桑，二人並無甚關係。
* 原著中咖啡店有換位置並且改名，電影沒有。
* 原著中思螢的哥哥、室友、阿拓的朋友、亂點王、技安張、蘇門答臘麝香及培信皆未出現於電影中。

## 軼聞

### 關於阿拓

就讀國立中正大學經濟系三年級的曾元拓是九把刀的書迷。於 2004 年 10 月，阿拓騎機車時，為閃避逆向而來的腳踏車發生車禍，昏迷四天後去世，被大愛電視台將其故事拍攝成大愛劇場人生旅程 (一)- 緣。因此在片末有一小段懷念阿拓的文字 —— 阿拓，我們都很想你。

## 書籍

## 參考資料

## 外部連結

* 等一個人咖啡的 Facebook 專頁
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《等一個人咖啡》的資料（英文）
* Yahoo 奇摩電影上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 雅虎香港電影上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 香港影庫上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 開眼電影網上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 時光網上《等一個人咖啡》的資料（簡體中文）
* 豆瓣電影上《等一個人咖啡》的資料 （簡體中文）
* 台灣電影網上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
等一個人

《**等一個人**》，是一部描寫劉昕硯真實人生電視劇，由李天柱 、林嘉俐 、謝欣諭、謝寶萱、段可風等演員領銜主演，於 2021 年 4 月 11 日在大愛電視 20:00 首播。

2021 年 10 月 1 日，該劇男主角李天柱飾演劉錦君角色入圍 2021 亞洲影藝創意大獎『最佳男主角獎』。

## 大愛會客室

### 首播

 

## 播出時間

### 電視首播

### 網路首播

## 演員列表

### 主要演員

### 次要演員

### 其他演員

### 客串演員

## 大愛會客室名單

## 工作人員列表

### 製作團隊

* 監　製：王端正、葉樹姍、臧蕙年
* 總策畫：關兆宏
* 製作人：張臻提
* 編 審：張鈺喬
* 編　劇：許文鈴
* 戲劇顧問：龐宜安
* 顧　問：劉錦君、王麗珍、劉昕硯
* 企　劃：朱韻安
* 企畫統籌：陳光隆
* 企畫宣傳：林志儒、黃開誼、林育萱
* 片頭題字：蔡坔青
* 導　演：陳家俊
* 統　籌：黃志葦
* 執　行：張翊政
* 副導演：陳湘淇
* 場　記：張淳惠
* 執行助理：許宇翔
* A 機攝影師：陳諦
* B 機攝影師：張志綸
* 空拍攝影師：廖士毅
* 攝影助理：廖士毅、王洧騰
* 美術設計：洪銘澤
* 道具陳設：李偉聖、譚永信、陳瑞金
* 燈　光：潘藝元
* 燈光助理：何帛晉、周宜暘
* 成音師：張世強
* 收音師：余聖賢
* 場　務：李冠融、李志祥
* 服裝造型：王雅玲
* 化妝師：蕭羽彤
* 髮型師：吳紫瑄
* 服裝助理：呂月文
* 梳妝助理：林心葳、黃昀彤
* 攝影器材：九日攝影器材有限公司
* 場物器材：協明影視傳播有限公司
* 成音器材：聲驥音樂文化傳播工作室
* 後期製作：好主意傳播有限公司
* 剪　輯：吳寶玉、羅逸傑
* 調　光：羅逸傑
* 後製導演：胡智龍
* 側　拍：郭永祥
* 音樂指導：吳柏醇 (嘉莉)
* 配樂編曲：林國凱
* 後製配樂：陳玠含
* 音效設計：吳培倫、王婕
* 混　音：黃大衛
* 後製錄音：嘉莉錄音工房
* 製作公司：綠樹文創有限公司
* 監製公司：慈濟傳播人文志業基金會

## 獎項紀錄

## 參考資料

## 外部連結

* 等一個人 官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 大愛劇場的 Facebook 專頁
* 大愛劇場搶先看的 Facebook 專頁
* 《等一個人 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》--YAHOO! TV （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）線上看
等一個人咖啡

《**等一個人咖啡**》（英語：_**Café·Waiting·Love**_）是一部於 2014 年上映的愛情電影，改編自臺灣知名作家九把刀小說《等一個人咖啡》，由江金霖執導、九把刀編劇。

## 概要

《等一個人咖啡》（2004 年出版）是作家九把刀的第一本小說，亦是九把刀銷量僅次於《那些年，我們一起追的女孩》（2006 年出版）的作品。《等一個人咖啡》是繼電影《那些年，我們一起追的女孩》（2011 年上映）與《殺手歐陽盆栽》（2011 年上映）之後，九把刀第三部改編成電影的小說。

《等一個人咖啡》於 2013 年 12 月 27 日開鏡，並展開拍攝。導演江金霖是《那些年，我們一起追的女孩》的執行導演，由賴雅妍以及新人演員宋芸樺、禾浩辰主演，還有資深演員藍心湄、李㼈等人加盟演出，並請來港星周慧敏特別演出老闆娘。2014 年 1 月 17 日舉行媒體發佈會，公布主要演員與其他製作班底。全片於同年 3 月上旬殺青，台灣口碑場 8 月 8 日每院每日一場，香港口碑場 8 月 9 號單一場。

## 劇情簡介

大學新鮮人李思螢（宋芸樺飾）參加了菜逼八小說社，無意間發現學長姐留下的咖啡筆記本，對此著迷，過馬路時差點被公車撞到。思螢為了她的暗戀對象 —— 坐在固定座位，看似身邊女友不斷的帥哥（張立昂飾）—— 而來到「等一個人咖啡」店打工，結識了咖啡沖調技術高超，任何客人點的特調咖啡都能做得到的超酷拉子 —— 阿不思（賴雅妍飾）、與每天都看似無所事事的神祕美麗老闆娘（周慧敏飾）。

在大學裡擁有許多離奇傳說的學長阿拓（禾浩辰飾）和一群好友到「等一個人咖啡」喝咖啡，卻碰上被其搶走前女友的拉子阿不思，很有正義感的思螢看不慣阿拓被朋友們嘲笑而大罵那群損友，最後思螢和阿拓結為好友。開朗的阿拓熱血又真誠，為了完成去環遊世界的夢想在暴哥的海鮮店、魚療店、洗衣店打工，但因為與人打賭賭輸而不斷延畢，最終成為校園中的傳奇老學長。海產店老闆暴哥（李㼈飾）看似黑道大哥但其實曾是電影導演；洗衣店老闆金刀嬸（藍心湄飾）擁有一身驚人廚藝。

咖啡店老闆娘學生時期喜歡捉弄當時的同學楊澤於，吃他便當的滷蛋。後來有了男朋友，叫楊澤於陪她挑情人節禮物。兩人突然遇到持槍歹徒，楊澤於幫老闆娘擋子彈，他們倆開始戀愛。上學時，他們常去一家店約會，畢業後正好該店要賣了，老闆娘便買了下來，改為咖啡廳。老闆娘雖然胃不好，喝咖啡會肚子痛，但喜歡咖啡的香味。楊澤於終於調製出「老闆娘特調」，老闆娘很喜歡，也不會肚子痛。後來，楊澤於在車禍中去世。「老闆娘特調」秘方失傳。

阿拓小時候爸媽常常不在家，因此阿拓叫乩童、酒店女、賣香腸王伯伯在家長聯絡簿簽字。王伯伯去世，但鬼魂回來，告訴阿拓如果阿拓遇到真心喜歡的女生，就可以從女生的後腦袋摸出一根香腸；如果女生喜歡阿拓，阿拓可以從女生的後腦袋摸出一碗豆花。阿拓在李思螢的後腦摸出香腸，讓阿拓發現自己原來很喜歡李思螢。

李思螢不小心弄髒了來咖啡店的帥哥的衣服，因此去洗衣店洗他的衣服，結識了洗衣店老闆娘金刀嬸。金刀嬸原本在暴哥海產店做飯，十六年前因為暴哥批評她的手藝而離開。一晚，愛心筆幫來砍暴哥，但暴哥不在，砍到了阿拓和思螢。阿拓用手擋刀，並用鐵頭功回擊。最後暴哥持狼牙棒，金刀嬸攜雙刀前來支援，把愛心筆幫打退。暴哥和金刀嬸順便重歸於好。

阿拓深深被思螢的正義感吸引，思螢的生活也因為有阿拓而變得多彩多姿。可是思螢一直暗戀著帥哥而只是把阿拓當成無話不談的好朋友。帥哥說他等的是像李思螢一樣的女孩，令李思螢心神不寧。阿拓決定離開臺灣，出國去實現夢想，臨走前一晚，嘗試在李思螢腦後摸豆花，只摸出香腸，感嘆「原來思螢真的不喜歡我」。

李思螢跟帥哥告白，才發現他是死去的鬼魂，名字是楊澤於，即老闆娘的男友。楊澤於告訴她，只有經歷過生死邊緣的人，才有機會在命運的縫隙中看見天使。尤其，思螢意外撿到楊澤於用過的筆記本，打開了他們相遇的緣分。所以只有思螢看得到楊澤於的鬼魂。思螢審視跟阿拓的經歷，明白自己喜歡的原來是阿拓，趕緊騎摩托車前往機場。路上，思螢頭上冒出了豆花。楊澤於把「老闆娘特調」的配方傳授給思螢，並讓思螢寫了一封信給老闆娘。

阿珠練成鐵頭功，打敗了空手道社，並和年邁的創社社長在一起。阿拓旅行回來，李思螢利用頭上冒出來的香腸和豆花製作「香腸豆花特調」給他吃。

## 演員陣容

### 主要演員

### 客串

### 其他演員

## 電影歌曲

### 主題曲

### 電影原聲帶

片數為 1CD。原聲帶中收錄了劇中大部份的所有歌曲。台灣於 2014 年 8 月 13 日由福茂唱片發行。

## 工作人員

* 出品人：崔震東、柴智屏、九把刀、江志強
* 製片人：崔震東
* 監製：柴智屏、九把刀
* 導演：江金霖
* 編劇：九把刀
* 製作公司：安邁進國際影業股份有限公司

## 取景

* 臺北市文山區一壽街 等一個人咖啡本店
* 臺北市文山區指南路二段 國立政治大學
* 臺北市大安區基隆路四段 國立臺灣科技大學

## 票房

台灣方面，首日票房為新台幣 1600 萬元；首週三天票房為新台幣 6400 萬元，票房累計至新台幣 7150 萬元；次週票房累計至新台幣 1.3 億元；第三週票房累計至新台幣 1.65 億元；第四週票房累計至新台幣 2.2 億元；第五週票房累計至新台幣 2.4 億元；第六週票房累計至新台幣 2.49 億元；最終全台票房為新台幣 2.6 億元。

## 和小說相異之處

* 原著中女主角就讀新竹女中高三直到清華大學大四，電影版主角剛進大學。
* 原著中咖啡店在清大夜市巷子底，故事場景主要發生在清大、交大附近，電影版沒有指涉故事場景地點（應該在臺北景美女中旁）。
* 原著中思螢暗戀的澤于，和老闆娘沒有任何感情關係，原著中亦沒有死去。
* 原著中老闆娘最後在「等一個人咖啡」等到了真愛，電影版則改為在世界各地散心。
* 原著阿拓服兵役離開，電影版改為到世界各地遊玩。
* 原著中思螢在阿拓走後，遇到阿拓的好友，才開始想起阿拓，電影版則在最後遇到澤于後醒悟。
* 原著中咖啡店在晚上十時三十分打烊，而電影版中咖啡店營業時間至晚上九時。
* 原著中是蝴蝶刀阿拓，個性隨和悠閒；而不是比基尼阿拓或大白菜阿拓，個性較單純。
* 原著中暴哥是黑社會老大後來有女人，金刀嬸自己週日在洗衣店的二樓聚會並且有其老公金刀桑，二人並無甚關係。
* 原著中咖啡店有換位置並且改名，電影沒有。
* 原著中思螢的哥哥、室友、阿拓的朋友、亂點王、技安張、蘇門答臘麝香及培信皆未出現於電影中。

## 軼聞

### 關於阿拓

就讀國立中正大學經濟系三年級的曾元拓是九把刀的書迷。於 2004 年 10 月，阿拓騎機車時，為閃避逆向而來的腳踏車發生車禍，昏迷四天後去世，被大愛電視台將其故事拍攝成大愛劇場人生旅程 (一)- 緣。因此在片末有一小段懷念阿拓的文字 —— 阿拓，我們都很想你。

## 書籍

## 參考資料

## 外部連結

* 等一個人咖啡的 Facebook 專頁
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《等一個人咖啡》的資料（英文）
* Yahoo 奇摩電影上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 雅虎香港電影上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 香港影庫上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 開眼電影網上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
* 時光網上《等一個人咖啡》的資料（簡體中文）
* 豆瓣電影上《等一個人咖啡》的資料 （簡體中文）
* 台灣電影網上《等一個人咖啡》的資料（繁體中文）
等一個人的心灣

《**獨自在夜晚的海邊**》（韓語：밤의 해변에서 혼자）是由韓國著名電影人洪常秀編劇、製作並導演的影片，於 2017 年在韓國上映。影片入選第 67 屆柏林電影節競賽單元，演員金珉禧獲得了最佳女演員銀熊獎。

## 劇情簡介

韓國女演員英熙正因為與一個已婚男子的戀情而備受壓力，她甘願放棄一切以表明心跡。在國外旅遊期間，她與朋友促膝長談，但並不能完全被他人理解。在等待的日子裡，她一個人走在空曠無人的公園和海邊，她想知道：他會像我思念他一樣思念我嗎？

回到韓國後，英熙與幾個老朋友聚會，起初氣氛有些尷尬，喝了些酒之後，她開始表現得冷漠又不近人情，像發泄似的朝人發脾氣，但他們反而喜歡這樣。酒終人散，英熙獨自去了海邊，重重心事似霧般消散，她漸漸看清了愛與身份在生命中的意義。

## 出演人員

* 金珉禧 飾 英熙
* 徐永嬅 飾 智英
* 權海孝 飾 千佑
* 鄭在詠 飾 明秀
* 宋善美 飾 俊熙
* 文盛瑾 飾 尚源
* 安宰弘 飾 昇熙
* 朴芮柱 飾 都希
* 孔敏貞 飾 瑪莉
* Karl Feder
* Mark Peranson
* Bettina Steinbrügge

## 獎項

## 參考文獻

## 外部連結

* 豆瓣電影上《獨自在夜晚的海邊》的資料 （簡體中文）
等不到深夜

《**等不到深夜**》是歌手林慧萍加盟點將唱片的首張專輯；也是她個人第十八張專輯。點將唱片 1991 年 10 月 24 日發行。

## 曲目

## 版本

* 卡帶
  * 1991 年 10 月 24 日點將唱片發行
* CD
  * 1991 年 10 月 24 日點將唱片發行
  * 2007 年 11 月 20 日科藝百代再版重新發行

## 參考文獻
等于

在數學的領域中，若兩個數學物件在各個方面都相同，則稱他們是**相等的**。這就定義了一個二元謂詞**等於**，寫作「 $=$ 」； $x=y$ 若且唯若 $x$ 和 $y$ 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了**等式**，例如 $6-2=4$ ，即 $6-2$ 與 $4$ 是相等的。

注意，有些時候「 $A=B$ 」並不表示等式。例如， $T(n)=O(n^{2})$ 表示在數量級 $n^{2}$ 上漸進。因為這裡的符號「 $=$ 」不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上， $O(n^{2})=T(n)$ 是沒有意義的。請參見大 O 符號了解這部分內容。

集合 $A$ 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和遞移性。
實際上，這是 _$A$_ 上唯一滿足所有這些性質的關係。
去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。
相應的，給定任意等價關係 $R$ ，可以構造商集 $A/R$ ，並且這個等價關係將『下降為』 $A/R$ 上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式式。

## 邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在 17 世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，若且唯若它們有完全相同的性質。
形式化這一說法，可以寫成

　
: 對任意 $x$ 和 _$y$_ ， $x=y$ 若且唯若對任意謂詞 $P$ ， $P(x)$ 若且唯若 $P(y)$ 。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

　
: 對任意 $x$ 和 _$y$_ ，若 $x$ 等於 _$y$_ ，則 $P(x)$ 若且唯若 $P(y)$ 。

這條公理對任意單變數的謂詞 $P$ 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 $x$ 和 _$y$_ 相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

　
: 對任意 _$x$_ ， $x$ 等於 _$x$_ 。

則若 $x$ 和 _$y$_ 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 $P$ 是相同的。這裡謂詞 $P$ 為： $P(z)$ 若且唯若 $x=z$ 。
由於 $P(x)$ 成立， $P(y)$ 必定也成立（相同的性質），所以 $x=y$ （' ' $P$ _的變數為 $y$ ）._

## 等於的一些基本性質

### 替代性

對任意量 $a$ 和 $b$ 和任意表達式 $F(x)$ ，若 $a=b$ ，則 $F(a)=F(b)$ （設等式兩邊都有意義）。
在一階邏輯中，不能量化像 $F$ 這樣的表達式（它可能是個函數謂詞）。
一些例子：

* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $a+c=b+c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x+c$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $a-c=b-c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x-c$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，則 $ac=bc$ （這裡 $F(x)$ 為 $xc$ ）
* 對任意實數 $a,b,c$ ，若 $a=b$ 且 $c\neq 0$ ，則 $a/c=b/c$ （這裡 $F(x)$ 為 $x/c$ ）

### 自反性

對任意量 $a$ ， $a=a$ 。

這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。

### 對稱性

例子：如果 $a=b$ ，那麼 $b=a$

### 遞移性

例子：如果 $a=b$ ， $b=c$ ，那麼 $a=c$

實數或其他物件上的二元關係「約等於」，即使進行精確定義，也不具有遞移性（即使看上去有，但許多小的差能夠疊加成非常大）。然而，在絕大多數情況下，等於_具有_遞移性。

儘管對稱性和遞移性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

## 符號的歷史

「**等於**」符號或 「 **$=$** 」被用來表示一些算術運算的結果，是由羅伯特・雷科德在 1557 年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩，雷科德在他的作品 _The Whetstone of Witte_ 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾斯的 St Mary 教堂有記錄。

約等於的符號是 $\approx $ 或**≒**，不等於的符號是 $\neq $ 。

## 參見

* 等號

## 外部連結

* 關係符號的早期使用（英文）
等于号

**等號**表示相等關係的符號，讀作「等於」，是在西元 1557 年由羅伯特・雷科德發明的。在數學等式中，等號被放置在具有相同值的兩個（或更多個）表達式之間。在 Unicode 和 ASCII 中，它是 U+003D = 相等符號 ，HTML：`&#61;`。

## 歷史

「相等」在英文中 equals 的詞源為拉丁文「æqualis」（來自 aequus），意為「均勻，相同或相等」。相等符號的第一次使用，出現在威爾斯數學家 羅伯特・雷科德所撰寫的《The Whetstone of Witte》，相當於現代數學表示法的 $14x+15=71$ 。相等符號的原始形式比現在要寬得多。在他的書中解釋了他的「Gemowe 線」的設計（意思是雙線，拉丁文 gemellus）：

> 
> _… to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes : is equalle to : I will ſette as I doe often in woorke vſe, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicauſe noe .2. thynges, can be moare equalle._
> 
> 

> 
> … to avoid the tedious repetition of these words: "is equal to", I will set (as I do often in work use) a pair of parallels, or Gemowe lines, of one length (thus =), because no two things can be more equal.
> 
> 

根據蘇格蘭聖安德魯斯大學數學史網站：

相等符號 '=' 並不立即流行。符號 || 和 æ（或 œ，來自拉丁文 aequalis，意思是相同）也被用來表達相等，被廣泛應用於 17 世紀。

## 數學意義

在數學中，等號可在特定情況 ( $x=2$ ) 中用作簡單的事實語句，或者創建定義 (設 $x=2$ )，條件語句（如果 $x=2$ ，則...），或者表達恆等式 $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ 。

 

## 相關符號

### 約等

表達約等的是「波浪」等號。

* ≈ (U+2248 ≈ UNICODE 2248)
* ≃ (U+2243 ≃ UNICODE 2243)，≈ 和 = 的混合，也用於代表漸近於
* ≅ (U+2245 ≅ UNICODE 2245)，另一個 ≈ 和 = 的混合，有時用來代表同構、同餘關係又或幾何學的全等
* ~ (U+007E ~ UNICODE 007E)，有時用來代表正比、和等價關係有關、幾何學的相似，又或代表隨機變數根據概率分佈的分佈情況。
* ≒ (U+2252 ≒ UNICODE 2252)，用於日本、韓國和臺灣

### 不等

代表不等的是等號加上斜線「≠」（U+2260 ≠ UNICODE 2260）。在 LaTeX，此為 "\neq" 指令。

過去大多數程式語言受限於 ASCII 字元集，故以 `~=`、`!=`、、`=/=` 或 `<>` 等代表布林運算的不等操作符。

### 恆等

符號「≡」（U+2261 ≡ TRIPLE BAR）代表恆等，也有同餘等意思。

### 人名翻譯（日語）

拉丁語的人名中的「-」符號，日文翻譯時改用「=」。例，「Hārūn al-Rashīd」（哈倫・拉希德）的日文翻譯是「ハールーン・アッ＝ラシード」。

## 參考書目

## 參見

* 等於
* 恆等式
* 關係運算子
* 二加二等於五
等产量曲线

**等產量曲線**（_isoquant_），表示在技術水準不變的條件下，生產同一產量的兩種生產要素投入的所有可能性的組合。等產量曲線與原點的距離的大小表示產量水準的高低，離原點越遠代表產量水準越高。
個體經濟學術語，在該曲線上，儘管生產要素配比不同，但產出相同。

## 性質

1. 正常的等產量線凸向原點。它表示隨著一種生產要素每增加一個單位，可以替代的另一種生產要素的數量將逐次減少。等產量線一般具有凸向原點的特徵，這一特徵是由邊際技術替代率遞減規律所決定的。

2. 由於邊際技術替代率為負，所以正常的等產量線是遞減的。

 

## 參見

* 埃奇沃思框圖
等什麼君

**等什麼君**（1999 年 12 月 16 日 —），本名**鄧寓君**，吉林省人，中國大陸古風女歌手。

## 經歷

2018 年，鄧寓君因在短視頻創作平台抖音以吉他彈唱古風歌曲而獲得了一定的關注度，並以歌手的身份出道。此後漸有名氣。2021 年 1 月 23 日，在澳門舉辦的音樂盛典上獲得「年度國風音樂人」稱號。

## 音樂作品

## 參考資料

## 外部連結

* 等什麼君 (鄧寓君) 的 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）新浪微博
* QQ 音樂上等什麼君 (鄧寓君) 的歌曲 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
等价关系

在數學中，**等價關係**（英語：Equivalence relation）是具有自反性，對稱性，遞移性的二元關係。等價關係也稱為**同值關係**。一些等價關係的例子包括整數集上的同餘，歐氏幾何中的等量（英語：Equipollence），以及平凡的相等關係。

集合 $A$ 上的每個等價關係都提供了一個 $A$ 的劃分，將 $A$ 劃分為不相交的等價類。 $A$ 中的兩個元素等價若且唯若它們屬於同一等價類。

## 定義

若集合 $A$ 上的二元關係 $R$ 滿足以下條件：

1. 自反性： $\forall x\in A,~~xRx$
2. 對稱性： $\forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx$
3. 遞移性： $\forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz$

則稱 $R$ 是一個定義在 $A$ 上的**等價關係**。習慣上會把等價關係的符號由 $R$ 改寫為 $\sim $ 。

## 事例

### 等價關係的例子

例如，設 $A=\{1,2,\ldots ,8\}$ ，定義 $A$ 上的關係 $R$ 如下：

　
: $xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}$

其中 $x\equiv y{\pmod {3}}$ 叫做 $x$ 與 $y$ 模 3 同餘，即 $x$ 除以 3 的餘數與 $y$ 除以 3 的餘數相等。例子有 1R4, 2R5, 3R6。不難驗證 $R$ 為 $A$ 上的等價關係。

並非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是**比較兩個數中哪個較大**：

* 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（ $n\ngtr n$ ）
* 沒有對稱性：如果 $m>n$ ，就肯定不能有 $n>m$

### 不是等價關係的關係的例子

* 實數之間的 "≥" 關係滿足自反性和遞移性，但不滿足對稱性。例如，7 ≥ 5 無法推出 5 ≥ 7。它是一種全序關係。

## 參見

## 參考文獻

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Equivalence relation, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
* Equivalence relation at PlanetMath
* Binary matrices representing equivalence relations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at OEIS.
等价矩阵

在線性代數和矩陣論中，兩個**矩陣之間的等價**是一種矩陣之間的等價關係。假設有兩個 $m\times n$ 的矩陣，記作 **A** 和 **B**。它們之間**等價**若且唯若存在兩個可逆的方塊矩陣： $n\times n$ 的矩陣 **P** 以及 $m\times m$ 的矩陣 **Q**，使得

 $\mathbf {A} =\mathbf {QBP} $
這時稱兩個矩陣 **A** 和 **B** 是**等價矩陣**。矩陣之間的等價和矩陣的相似關係有所不同。如果兩個矩陣 **A** 和 **B** 相似，那麼它們一定是等價矩陣，因為按照矩陣相似的定義，可以找到一個可逆矩陣 **P**，使得

 $\mathbf {A} =\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1}$
由於其中的 **P**-1 也是可逆的矩陣，所以 **A** 和 **B** 相似必然推出它們等價。但是，等價的矩陣不一定是相似的。首先相似的兩個矩陣必須是大小相同的兩個方塊矩陣，而等價矩陣則沒有這個要求。其次，即使兩個等價矩陣都是同樣大小的方陣， $\mathbf {A} =\mathbf {PBQ} $ 中用到的 **Q** 也不一定是 **P** 的逆矩陣。

## 性質

等價矩陣是矩陣集合 ${\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbf {R} )$ 中的一種等價關係。

兩個矩陣等價若且唯若：

* 其中一者能夠經過若干次初等行或列變換變成另一者。
* 它們有相同的秩。

## 參見

* 相似矩陣
* 合同矩陣
等价类

在數學中，假設在一個集合 $X$ 上定義一個等價關係（用 $\sim $ 來表示），則 $X$ 中的某個元素 $a$ 的**等價類**就是在 $X$ 中等價於 $a$ 的所有元素所形成的子集:

　
: $[a]=\{x\in X|x\sim a\}$ 。

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在 $X$ 中的給定等價關係 $\sim $ 的所有等價類的集合表示為 $X/\mathrm {\sim } $ 並叫做 $X$ 除以 $\sim $ 的**商集**。這種運算可以（實際上非常不正式的）被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是，如果 $X$ 是有限的並且等價類都是等勢的，則 $X/\mathrm {\sim } $ 的序是 $X$ 的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合 $X$ 。

對於任何等價關係，都有從 $X$ 到 $X/\mathrm {\sim } $ 的一個**規範投影映射** $\pi $ ，給出為 $\pi (x)=[x]$ 。這個映射總是滿射的。在 $X$ 有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係，接著稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件；從 $a$ 到 $[a]$ 的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。

## 例子

* 如果 $X$ 是轎車的集合，而 $\sim $ 是「顏色相同」的等價類，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。 $X/\mathrm {\sim } $ 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
* 考慮在整數集合 $\mathbb {Z} $ 上的「模 $2$ 」 ﹝見同餘﹞等價關係: $x\sim y$ 若且唯若 $x-y$ 是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: $[0]$ 由所有偶數組成， $[1]$ 由所有奇數組成。在這個關係下 $[7],[9]$ 和 $[1]$ 都表示 $\mathbb {Z} /\mathrm {\sim } $ 的同一個元素。
* 有理數可以構造為整數的有序對 $(a,b)$ 的等價類的集合， $b$ 不能為零，這裡的等價關係定義為

　
: : $(a,b)\sim (c,d)$ 若且唯若 $ad=bc$ 。

　
: 這裡的有序對 $(a,b)$ 的等價類可以被認同於有理數 $a/b$ 。

* 任何函數 $f:X\rightarrow Y$ 定義在 X 上的等價關係，通過 $x_{1}\sim x_{2}$ 若且唯若 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 。 $x$ 的等價類是在 $X$ 中被映射到 $f(x)$ 的所有元素的集合，就是說，類 $[x]$ 是 $f(x)$ 的逆像。這個等價關係叫做 $f$ 的核。
* 給定群 $G$ 和子群 $H$ ，我們可以定義在 $G$ 上的等價關係，通過 $x\sim y$ 若且唯若 $xy^{-1}\in H$ 。這個等價類叫做 H 在 G 中的右陪集；其中之一是 $H$ 自身。它們都有同樣數目的元素（在無限 $H$ 的情況下是勢）。如果 $H$ 是正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
* 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
* 連續映射 $f$ 的同倫類是所有同倫於 $f$ 的所有映射的等價類。
* 在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子「"GE 股東將投票公司傑出的 CEO Jack Welch 的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的，所以構成一個等價類。對「GE 股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

## 性質

因為等價關係的 $a$ 在 $[a]$ 中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出 X 的所有等價類的集合形成 $X$ 的劃分：所有 $X$ 的元素屬於一且唯一的等價類。反過來， $X$ 的所有劃分也定義了在 $X$ 上等價關係。

它還得出等價關係的性質

　
: $a\sim b$ 若且唯若 $[a]=[b]$ 。

如果 $\sim $ 是在 $X$ 上的等價關係，而 $P(x)$ 是 $x$ 的元素的一個性質，使得只要 $x\sim y,P(x)$ 為真如果 $P(y)$ 為真，則性質 $P$ 被稱為良好定義的或在關係 $\sim $ 下「類恆定」的。常見特殊情況出現在 $f$ 是從 $X$ 到另一個集合 $Y$ 的時候；如果 $x_{1}\sim x_{2}$ 蘊涵 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 則 $f$ 被稱為在 $\sim $ 下恆定的類，或簡單稱為在 $\sim $ 下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數 $f$ 的後者情況可以被表達為交換三角關係．參見不變數。

## 參見

* 等價關係
等位

**等位**（Equipotential、Isopotential）是表示在空間中的某些區域內的每個點都有相同的位（Potential）。這通常是指純量位（在這裡是指位的水平集），然而這也可以應用在向量位上。在 n 維空間中的純量位函數之等位是典型的 n-1 維空間。劈形算符闡明了在向量場之間的關係並聯合了純量位場。

純量位的等位區域在三維空間中是等位面，不過也可以是一個空間中的三維區塊。純量位的梯度不管在哪裡都和等位面垂直，而在等位三維區塊內的話會是零。

導體提供一個直覺的例子：若在導體內或表面上指定 a 和 b 兩點，兩點間的電位差是零，則 a 和 b 為等位。擴展這個定義，等位就是所有同位點的軌跡。

星體的重力場方向與其重力位的等位面垂直。在靜電學中，電場方向與電位的等位面垂直。

## 參考
等位基因

**等位基因**（allele）舊稱**對偶基因**，是同源染色體內同一個基因座上的多種表現形式；其在細胞有絲分裂時的兩個染色體上的基因座是對應排列的，故細胞遺傳學裡稱其為等位。

在一個二倍體（每條染色體都有兩套）生物體裡，某個基因的基因型是由該基因座的等位基因所決定。在人的一對同源染色體內，等位基因分別來自父輩和母輩的遺傳，其基因型決定了生物的表現型。生物的表現型由一對等位基因的其中一個決定的，稱為顯性基因；而由兩個決定的，則稱為隱性基因。例如等位基因的一個突變，可產生癌基因，而兩個的突變或丟失，則可導致腫瘤抑制基因，或抑癌基因的突變。這些基因的改變是腫瘤發生的分子基礎。

## 參見

* 基因
* 顯性基因
* 隱性基因
* 有絲分裂
* 癌基因
* 腫瘤抑制基因

## 參考文獻
等位基因頻率

**等位基因頻率**是群體遺傳學的術語，用來顯示一個種群中特定基因座上各個等位基因所佔的頻率，或者說是等位基因在基因庫中的豐富程度。

## 定義

**等位基因頻率**的定義如下：

　
: 如果

1. 一個染色體中存在某特定基因座，
2. 一個種群有 N 個個體，每一個個體的染色體套數為 n（例如二倍體生物的體細胞中有兩個該特定基因座），
3. 該等位基因在種群中有 i 份；

那麼等位基因頻率為 i/(Nn)。

舉例來說，如果在某種群中一個等位基因的基因頻率為 20%，那麼在種群的所有成員中，1/5 的染色體帶有那個等位基因，而其他 4/5 的染色體帶有該等位基因的其他對應變種 —— 可以是一種也可以是很多種。

值得注意的是在二倍體基因中，帶有該等位基因的個體最多可能有 2/5。如果等位基因隨機分布的話，那麼可以用二項式定理來計算：種群中 32% 的個體會是該等位基因的雜合體（帶有一個該等位基因和另一個變種）, 4% 的個體為該等位基因的純合體（帶有兩個該等位基因）。所以加起來就有 36% 的個體帶有該等位基因。然而，等位基因的隨機分布是在選擇不參與和其他前提下成立的。當這些前提成立時，一個種群的狀態被稱為哈蒂－溫伯格平衡。

一個基因中所有等位基因的頻率可以被繪製為等位基因分布柱狀圖。群體遺傳學研究的內容包括影響等位基因頻率的因素－換句話說，演化。除了自然和人工選擇外，這些因素還包括遺傳漂變、突變和遷移。

## 例子

如果在一個種群中有 10 個個體，一個特定基因座有兩個可能的等位基因 A 和 a，個體的基因型分別為：

　
: _AA_, _Aa_, _AA_, _aa_, _Aa_, _AA_, _AA_, _Aa_, _Aa_, 和 _AA_

那麼等位基因 A 和 a 的等位基因頻率分別為：

　
: _p_A = (2+1+2+0+1+2+2+1+1+2)/20 = 0.7

　
: _p_a = (0+1+0+2+1+0+0+1+1+0)/20 = 0.3

當然，也可以分開單獨計算 AA、Aa、aa 個體的頻率再加起來除。因為此基因座僅有 A 和 a 二種等位基因，因此 _p_A + _p_a = 1（100%），所以 _p_a 也可以這樣計算：

　
: _p_a = 1-0.7 = 0.3

## 參考文獻

* Cheung, KH; Osier MV; Kidd JR; Pakstis AJ; Miller PL; Kidd KK. ALFRED: an allele frequency database for diverse populations and DNA polymorphisms. Nucleic Acids Research. 2000, **28** (1): 361–3. PMC 102486 . PMID 10592274. doi:10.1093/nar/28.1.361.
* Middleton, D; Menchaca L; Rood H; Komerofsky R. New allele frequency database: http://www.allelefrequencies.net}-. Tissue Antigens. 2002, **61** (5): 403–7. PMID 12753660. doi:10.1034/j.1399-0039.2003.00062.x.

## 外部連結

* （英文）ALFRED database （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文）全世界人口的等位基因頻率 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* 等位基因
* 基因型頻率
等位集

在數學領域中，一個具有 _n_ 變量的實值函數 _f_ 的**水平集**是具有以下形式的集合

　
: { (_x_1,...,_x_n) | _f_(_x_1,...,_x_n) = _c_ }

其中 _c_ 是常數。即，使得函數值具有給定常數的變量集合.

當具有兩個變量時，稱為**水平曲線**(等高線), 如果有三個變量，稱為**水平曲面**, 更多變量時，水平集被叫做**水平超曲面**.

集合

　
: { (_x_1,...,_x_n) | _f_(_x_1,...,_x_n) ≤ _c_ }

被稱為 **f** 的 **子水平集** .

## 其他名字

水平集具有很多重要的應用，在不同的應用領域通常具有不同的名稱.

例如，水平曲線也被叫做**隱式曲線**(implicit curve) 用來強調曲線是由隱函數 (implicit function) 定義的。有時也使用**等高線**(isocontour) 的名稱，表示一個具有相同高度 (函數值) 的輪廓。在不同的應用領域，等壓線 (isobar), 等溫線 (isotherm), 同風向線 (isogon), 等時線 (isochrone) 都屬於等值高線.

相應的，水平曲面有時被叫做**隱式曲面**(implicit surface) 或**等值曲面**(isosurface).

最後，更加一般的水平集被叫做**纖維**(fiber).

 

## 例子

例如，指定一個半徑 r, 圓的方程可以定義為一個等高線.

r2=x2 + y2

如果取 r=5, 那麼等高值為 c=52=25.

所有使得 x2 + y2=25 的點 (x,y) 構成了它的等高線。這就是說他們屬於等高線的水平集. 
如果 x2 + y2 小於 25 這個點 (x,y) 就在等高線的內部。如果大於 25 , 這個點就在等高線外部.

## 水平集與梯度

**定理.** 函數 _f_ 在一點處的梯度與在該點處 _f_ 的水平集垂直.

這個定理是十分不尋常的。為更好的理解定理的含義，設想兩個旅行者在一座山峰的同一位置。其中一個人很大膽，決定從坡度最大的地方走。另一個人比較保守；他不想向上爬，也不想走下去，選擇了一條在同一高度的路。上面的定理就是說，這兩個旅行者相互離開的方向是互相垂直的.

**證明.** 設所考慮的點為 **x**0 . 通過點 **x**0 的水平集是 {**x** | _f_(**x**) = _f_(**x**0)}. 考慮一條通過點 **x**0 並且屬於水平集的曲線 **γ**(_t_) , 不妨假設 **γ**(0) = **x**0.
從而得到

　
: $f({\mathbf {\gamma } }(t))=f({\mathbf {x} _{0}})=c.$

使用鏈式法則，在 _t_ = 0 處微分。我們發現

　
: $J_{f}({\mathbf {x} _{0}}){\mathbf {\gamma } }'(0)=0.$

同時， _f_ 在 **x**0 處的雅可比行列式 等於 _f_ 在點 **x**0 的梯度.

　
: $\nabla f({\mathbf {x} }_{0})\cdot {\mathbf {\gamma } }'(0)=0.$

因此， _f_ 在點 **x**0 處的梯度與曲線在該點處的切線 **γ**′(0) 垂直。由於曲線 **γ**(_t_) 是任意的，因而斷定梯度與水平集垂直. Q.E.D.

這一定理的直接推論是，如果水平集穿過其自身 (不是一個光滑子流形或超曲面) 那麼梯度向量在所有交叉點處一定是零。那麼，每個交叉點都是 _f_ 的臨界點.

## 更多

* 等值曲面 (Isosurface)
* 等高線 (Contour line)
* 水平集方法 (Level set method)
* 水平集 (資料結構)(Level set (data structures) )
* 梯度下降法 (Gradient descent)
* Constraint (mathematics)
* 隱函數 (Implicit function)
* Metaballs
* HyperFun

## 參考資料
等体过程

**等容過程**（也叫**等體過程**）是體積不變的熱力學過程。如果使用理想氣體，且氣體的質量不變，則能量的增加與溫度和體積的增加成正比。例如加熱密封、堅固容器中的氣體：壓力和溫度會增加，但體積不變。

## 方程式

如果體積是常數（ $\Delta V=0$ ），則意味著系統不做壓力 - 體積功，這種功定義為

　
: $\Delta W=P\Delta V$ ,

其中 _P_ 是壓力。

應用熱力學第一定律，我們可以推出 $\Delta U$ ，系統內能的變化，是

　
: $\Delta U=Q$

所有傳遞給系統的熱量，都用來增加系統的內能 _U_。如果理想氣體的質量不變，則能量的增加與溫度的增加成正比：

　
: $Q=nC_{V}\Delta T$

其中 _C_V 是等容莫耳熱容。

在 P-V 圖中，等容過程的圖象是一條豎直的線。等壓過程的圖象則是一條水平的線。

## 參見

* 熱力學
等你下課

《**等你下課**》（英語：Waiting For You）是由周杰倫作詞作曲、黃雨勛編曲，並與楊瑞代共同演唱的華語流行歌曲。歌曲以單曲的形式在 2018 年 1 月 18 日通過杰威爾音樂發布，收錄於 2022 年 7 月 15 日發行的專輯《最偉大的作品》。

## 音樂錄影帶

2018 年 1 月 18 日，也就是周杰倫生日及出道 18 周年當天，歌曲音樂錄影帶與單曲同日發布。他認為這首歌是送給自己及歌迷們的生日禮物。
2018 年 2 月 22 日，由周杰倫執導《等你下課》的導演版 MV 發布。

## 排行榜

## 獎項與提名

## 參考文獻
等你們歸來

**《等你們歸來》**是一首歌曲，發佈於 2020 年 2 月。歌曲由中國共青團青海省委組織，由小磊作詞、作曲、演唱。歌曲致敬 COVID-19 期間中在一線的工作人員。

## 注釋
等你等到我心痛張學友精選

《**等你等到我心痛張學友精選**》是香港歌手張學友發行的第四張精選專輯，由寶麗金唱片公司製作發行。專輯收錄《等你等到我心痛》、《總有一天等到你》和《一生不醉醒》三首新創的粵語歌曲，當中第一主打歌《等你等到我心痛》在推出後即成為各大流行榜冠軍歌曲並入選年度十大金曲，第二主打歌《總有一天等到你》也成為經典歌曲之一，其他收錄的歌曲除《情濃半生》和《留住秋色》以外，主要來自於該張專輯發行前一年（1992 年）與當年（1993 年）的精選歌曲，包括《分手總要在雨天》、《還是覺得你最好》、《吻別》、《祇想一生跟你走》等大熱作品，專輯在香港推出後持續熱賣。

## 曲目

## 唱片版本

* CD 首版（附送 100 頁記事本）
* CD 平裝版
* 盒帶版
* CD 版（2005 年環球上華留聲經典復刻版）

## 音樂錄像

* 等你等到我心痛
* 總有一天等到你

## 獎項

* 1993 年度十大勁歌金曲頒獎典禮－「十大勁歌金曲」：《等你等到我心痛》

 

## 參考文獻
等候国王发落

**由國王陛下發落**或**等候國王發落**（英語：At His Majesty's pleasure，簡稱 King's pleasure），君主為女性時為**由女王陛下發落**或**等候女王發落**（英語：At Her Majesty's pleasure，簡稱 Queen's pleasure），是英國及其它大英國協王國的法律文件當中一個法律術語，指刑罰沒有預定期限。

大英國協王國君主委任者到某地作為其代表時，該片語會改為 At the Governor's pleasure，意為「等候總督 / 州督 / 副州督發落」。在一些實行總統制的大英國協國家以及非大英國協國家也有類似的詞彙，但「國王」一詞會改為該國國家元首的職銜稱謂，如「等候總統發落」（例子有新加坡）。

在刑法之外，大英國協王國的官員職位如果在法律上沒有固定任期，其任期可稱爲「**由國王陛下酌情決定**」（at His Majesty's pleasure）、「**隨國王陛下意願而定**」（during His Majesty's pleasure）、「**任期隨國王陛下意願而定**」（hold office during His Majesty's pleasure）或「**任期不定，國王陛下可隨時將其免任**」（holds office at His Majesty's pleasure），英語中此用語與上述「等候國王發落」用詞相同，但由於「發落」是關於刑罰的用語，因此中譯不同。

## 刑罰判處

**由國王陛下發落**同時是英國及其它大英國協王國君主對罪犯入獄或至更新中心羈留時期長短的判決（一般為未成年謀殺犯），該項判決是希望他們在經歷多年牢獄生涯後，君主會視其表現予以特赦，讓他們重新做人。

### 香港

在香港，主權移交後法律中的「等候國王發落」改為「等候行政長官的酌情決定」（The discretion of the Chief Executive）。直至 2000 年後仍有一班少年囚犯（如寶馬山雙屍案）為此拘留，變相成了終身監禁。此事件亦給拍成電影《等候董建華發落》。直至 2002 年香港高等法院法官夏正民宣判：主權移交後由香港行政長官代替英國君主為少年犯判刑有違《基本法》三權分立原則，囚犯應交法庭判刑。

## 官員任命

英國和其它大英國協王國的許多由君主任命的官職沒有固定任期，因此任職官員「**任期隨國王陛下意願而定**」（serving at His Majesty's Pleasure）或「**任期由國王陛下酌情決定**」。英語中此用語與上述「等候國王發落」用詞相同，但由於「發落」是關於刑罰的用語，因此中譯不同。大英國協王國的首相、總理、大臣、部長、總督等都屬於「任期聽憑國王陛下旨意」的官職，其他非君主制的大英國協國家也有類似制度。加拿大的省督任期則是「由聯邦總督決定」。任期由國王（或總督）決定並不表示國王或總督可隨意任命和裁撤官員，按照各地憲政安排一般這一類權力須會同樞密院或行政會議行使。

## 參考文獻

## 參見

* 寶馬山雙屍案
等候室

**等候室**，在交通領域又稱**候車室**、**候車廳**、**候車大廳**，是一個建築物，或更常見的是一個建築物的一部分或一個房間，人們在那裡一般坐著或站著等著辦事（如看病、吃飯、辦理業務），在交通領域則是等待車輛、火車、飛機、輪船的到來以及發車。
等候理論

**等候理論**（英語：queuing/queueing theory），或稱**隨機服務系統理論**、**排隊理論**，是研究服務系統中排隊現象隨機規律的學科。等候理論作為數學作業研究的分支學科廣泛應用於電信，交通工程，計算機網絡、生產、運輸、庫存等各項資源共享的隨機服務系統，
和工廠，商店，辦公室和醫院的設計。

等候理論研究的內容有 3 個方面：統計推論，根據資料建立模型；系統的性態，即和排隊有關的數量指標的機率規律性；系統的最佳化問題。其目的是正確設計和有效運行各個服務系統，使之發揮最佳效益。

## 歷史與表示法

### 歷史

厄朗（Agner Krarup Erlang）一個在丹麥哥本哈根電話交換局工作的工程師，研究人們打電話的方式，發展出人們需要等待多久的公式，並於 1909 年出版了關於排隊理論的第一篇論文。

### 表示法

1953 年，大衛・坎達（David G. Kendall）提出了 A/B/C 等候表示法。

* A/B/C/X/Y/Z
  * A - 到達的規則；
  * B - 服務規則，即指服務時間（相當於報文發送時間）的長短服從什麼規律；
  * C - 服務台個數
  * X - 模型中平行的隊列（即服務通道或發送信道）數目；
  * Y

Z 的符號有以下類型

* FCFS 先來先服務
* LCFS 後來先服務
* RSS 隨機選擇哪個先服務
* PR 由優先權決定
* GD 通用規則

## 等候理論在電信中的應用

公共電話交換網絡的設計，實現了在儘可能減少通訊損失的前提下滿足通訊量。在通訊能力不足，電話請求被拒絕而遺失的前提假設下，系統損失的程度是由服務等級來量化的。即使這些系統的承載能力是有限的，擁擠的通訊系統會利用備選路徑來分流電話請求。

然而，在公共電話交換網絡中應用排隊理論使得該系統在通訊能力缺乏時為其顧客排列隊伍。這就意味著如果通訊載荷量等級超越了現有能力，顧客的電話請求將不會丟失；相反，他們的請求將會等待被服務。在下一代操作員系統中，此方法將為顧客排隊。

 

## 卜瓦松分布和指數分布的作用

排隊購物可視為一種卜瓦松分布（Poisson distribution），到商店購物，若上門顧客是完全隨機，假設每分鐘平均來客數是 A，則在特定分鐘期間有 N 位顧客上門的機率可以下列公式表示：

　
: $P(X=N)={\frac {e^{-A}A^{N}}{N!}}$ 。

所以若平均每分鐘有 1 位顧客上門，在特定某分鐘同時有 4 位顧客購物的排隊等候（Queueing）機率約 0.02，或者是 2%。

## 數學方法的局限性

經典的排隊理論由於數學上的限制性而難以塑造所有真實世界的情況。這局限的產生是由於這理論的潛在設想不常包含在真實世界。

舉一個例，數學模型經常假設有無限個顧客或隊伍的容量或無限制的抵達間隔或服務時間，但非常明顯地，這些限制不一定在真實世界中存在。很多的時候，雖然這些限制真的存在，它們卻可以安全地被忽略，因為真實世界和理論之間的分別並不在統計學上有意義，其原因是發生那麼邊際的情況的機率跟期望的正常情況相差很遠。所以理論的解答可以把棘手的或不充分的情報證明到有用。

## 參看

* 埃朗單位（Erlang unit）
* 馬可夫鏈
* 吞吐量
* 工業工程學
* 系統工程
* 交通堵塞
* 作業研究

## 註釋

## 參考文獻

## 延伸閱讀

## 外部連結
等候董建华发落

**《等候董建華發落》**（英語：_From the Queen to the Chief Executive_）是由楊漪珊（Elsa Chan）所編寫的寫實小說，由進一步多媒體有限公司出版。電影改編自寶馬山雙屍案，
邱禮濤於 2000 年拍成同名電影，由一百年電影有限公司出品，2001 年在香港上映，當時票房約 18 萬港元。

## 故事大綱

銘仔在 1980 年代因為殺人被定罪，由於犯案時尚未成年，被判「等候女皇發落」，可是一直沒有被確定刑期，不知道何時才可以出獄。在 1997 年香港主權移交予中國前的六個月，一位普通女子譽玲與梁議員協助銘仔及其他同樣「等候女皇發落」的囚犯，其他囚犯家屬很快組成一個行動團體，四出請願。問題一直拖至香港主權移交後，那些囚犯從「等候女皇發落」變成「等候香港行政長官董建華作最後判決」，不知何時才得到一個確定刑期。

## 演員

* 鄧樹榮 飾 梁忠勤 （協助少年犯的香港立法會議員，角色原型為立法會議員梁耀忠）
* 艾敬 飾 譽玲
* 李煒尚 飾 張有銘 （角色原型為寶馬山雙屍案少年犯張有恆）

## 獎項

## 參考文獻

## 外部連結

* 邱禮濤：寫在《等候董建華發落》拍攝完成後三個月 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 開眼電影網上《等候董建華發落》的資料（繁體中文）
* 香港影庫上《等候董建華發落》的資料（繁體中文）
* 豆瓣電影上《等候董建華發落》的資料 （簡體中文）
* 時光網上《等候董建華發落》的資料（簡體中文）
* 爛番茄上《等候董建華發落》的資料（英文）
* AllMovie 上《等候董建華發落 》的資料（英文）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《等候董建華發落》的資料（英文）

## 參見

* 寶馬山雙屍案
等候董建華發落

**《等候董建華發落》**（英語：_From the Queen to the Chief Executive_）是由楊漪珊（Elsa Chan）所編寫的寫實小說，由進一步多媒體有限公司出版。電影改編自寶馬山雙屍案，
邱禮濤於 2000 年拍成同名電影，由一百年電影有限公司出品，2001 年在香港上映，當時票房約 18 萬港元。

## 故事大綱

銘仔在 1980 年代因為殺人被定罪，由於犯案時尚未成年，被判「等候女皇發落」，可是一直沒有被確定刑期，不知道何時才可以出獄。在 1997 年香港主權移交予中國前的六個月，一位普通女子譽玲與梁議員協助銘仔及其他同樣「等候女皇發落」的囚犯，其他囚犯家屬很快組成一個行動團體，四出請願。問題一直拖至香港主權移交後，那些囚犯從「等候女皇發落」變成「等候香港行政長官董建華作最後判決」，不知何時才得到一個確定刑期。

## 演員

* 鄧樹榮 飾 梁忠勤 （協助少年犯的香港立法會議員，角色原型為立法會議員梁耀忠）
* 艾敬 飾 譽玲
* 李煒尚 飾 張有銘 （角色原型為寶馬山雙屍案少年犯張有恆）

## 獎項

## 參考文獻

## 外部連結

* 邱禮濤：寫在《等候董建華發落》拍攝完成後三個月 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 開眼電影網上《等候董建華發落》的資料（繁體中文）
* 香港影庫上《等候董建華發落》的資料（繁體中文）
* 豆瓣電影上《等候董建華發落》的資料 （簡體中文）
* 時光網上《等候董建華發落》的資料（簡體中文）
* 爛番茄上《等候董建華發落》的資料（英文）
* AllMovie 上《等候董建華發落 》的資料（英文）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《等候董建華發落》的資料（英文）

## 參見

* 寶馬山雙屍案
等值区域图

**面量圖**（中國大陸作**等值區域圖**，或稱**分級著色圖**、**區域密度圖**，英語：choropleth map）是一種使用假色的統計專題地圖，即：與空間枚舉單位（如人口密度或人均收入）中地理特徵的聚合摘要相對應的顏色。與空間枚舉單位內地理特徵的匯總摘要相對應的顏色，例如人口密度或平均所得。

面量圖能夠反映變數在地理區域上的變化情況。熱圖和等值線圖也有類似作用，但它們是利用變數來繪製區域，而面量圖則反之，是彙總並填充預先劃定的區域。面量圖可能是使用最廣泛的假色地圖，因為統計數據（由政府部門或其他機構發佈）通常都是按行政區劃或國家發佈的，因此能較容易地用地理資訊系統、電子試算表等電腦軟體繪製。

## 歷史

目前已知的最早的面量圖，是 1826 年由夏爾・迪潘男爵（Baron Pierre Charles Dupin）繪製的法國分省基礎教育地圖。不久後，法國出現了更多不同的「著色圖」（cartes teintée），來反映教育、疾病、犯罪和人居環境等「道德統計指標」。隨著各國人口普查的進行，人口統計數據變得更易獲得，面量圖很快在多個國家流行起來，其中最早是愛爾蘭於 1841 年人口普查的官方報告中使用了面量圖。1850 年，彩色平版印刷術普及後，越來越多面量圖採用彩色著色。

英文的「choropleth map」（面量圖）一詞於 1938 年由地理學家約翰・柯特蘭・賴特創造，並於 1940 年代起在製圖家中得到廣泛使用。此外也是在 1938 年，格倫・托馬斯・特瓦沙介紹這種圖時稱其為「ratio maps」（比率圖），但該叫法並未得到普遍認可。

## 結構

面量圖融合了兩套數據：將地理空間劃分為「區域」的空間數據，以及某個變數在每個區域內彙總得到的統計數據。對於這兩種數據如何在面量圖中相互作用，有兩種概念模式：其一是「區域主導」的，區域（通常是已有的行政單元）是統計資料收集統計的單元，這些資料就包括用於製圖的數據；其二是「變數主導」的，將變數視作一種地理現象，對應著現實世界的空間分佈，而區域的劃分僅僅是基於數據分佈的技術操作。

## 參見

* 示意地圖
* 分區比重圖
* 熱圖
* 生態學謬誤
* 可調整地區單元問題

## 註釋

## 參考文獻
等值曲面

**等值曲面**是一種曲面。在空間裏，假若，每一點都有一個設定的值。這值可能是壓力、溫度、速度、密度。那麼，一個等值曲面所包含的每一個點，其設定值是一樣的。換句話說，以三維空間為定義域的連續函數，其每一個水平集都是一個等值曲面。

應用計算機圖形學，我們可以簡易地顯示出**等值曲面**的線框圖或明暗圖。在計算流體力學裏，數據視覺化方法時常會用等值曲面來表示流體（液體或氣體）流過物體時的瞬時狀態。這是工程師研究發展新科技的一個利器。他們可以觀察一個系統在任何時間的狀態，從而發現其中奧秘。例如，等值曲面可以代表超音速飛行的單獨震波。或者，我們可以製造幾個等值曲面來代表，當空氣流過飛機翅膀時，隨著時間演變的一系列壓力值。

面對著一大堆三維空間的數據，一個明智又受歡迎的選擇，就是採用等值曲面為數據視覺化的主要形式。簡單的多邊形造型渲染的等值曲面，不需要用到很多的中央處理單元的資源，就能夠迅速的計算出所要顯示的圖形。

在醫學影像裏，三維的電腦斷層掃描用等值曲面來代表一個密度值區的部位。這樣，我們可以將內部器官、骨頭、等等，這些結構視覺化。

## 參閱

* 正交坐標系
* 坐標曲面
* 哈密頓 - 亞可比方程式
等值面

**等值曲面**是一種曲面。在空間裏，假若，每一點都有一個設定的值。這值可能是壓力、溫度、速度、密度。那麼，一個等值曲面所包含的每一個點，其設定值是一樣的。換句話說，以三維空間為定義域的連續函數，其每一個水平集都是一個等值曲面。

應用計算機圖形學，我們可以簡易地顯示出**等值曲面**的線框圖或明暗圖。在計算流體力學裏，數據視覺化方法時常會用等值曲面來表示流體（液體或氣體）流過物體時的瞬時狀態。這是工程師研究發展新科技的一個利器。他們可以觀察一個系統在任何時間的狀態，從而發現其中奧秘。例如，等值曲面可以代表超音速飛行的單獨震波。或者，我們可以製造幾個等值曲面來代表，當空氣流過飛機翅膀時，隨著時間演變的一系列壓力值。

面對著一大堆三維空間的數據，一個明智又受歡迎的選擇，就是採用等值曲面為數據視覺化的主要形式。簡單的多邊形造型渲染的等值曲面，不需要用到很多的中央處理單元的資源，就能夠迅速的計算出所要顯示的圖形。

在醫學影像裏，三維的電腦斷層掃描用等值曲面來代表一個密度值區的部位。這樣，我們可以將內部器官、骨頭、等等，這些結構視覺化。

## 參閱

* 正交坐標系
* 坐標曲面
* 哈密頓 - 亞可比方程式
等價

在數學中，**等價關係**（英語：Equivalence relation）是具有自反性，對稱性，遞移性的二元關係。等價關係也稱為**同值關係**。一些等價關係的例子包括整數集上的同餘，歐氏幾何中的等量（英語：Equipollence），以及平凡的相等關係。

集合 $A$ 上的每個等價關係都提供了一個 $A$ 的劃分，將 $A$ 劃分為不相交的等價類。 $A$ 中的兩個元素等價若且唯若它們屬於同一等價類。

## 定義

若集合 $A$ 上的二元關係 $R$ 滿足以下條件：

1. 自反性： $\forall x\in A,~~xRx$
2. 對稱性： $\forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx$
3. 遞移性： $\forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz$

則稱 $R$ 是一個定義在 $A$ 上的**等價關係**。習慣上會把等價關係的符號由 $R$ 改寫為 $\sim $ 。

## 事例

### 等價關係的例子

例如，設 $A=\{1,2,\ldots ,8\}$ ，定義 $A$ 上的關係 $R$ 如下：

　
: $xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}$

其中 $x\equiv y{\pmod {3}}$ 叫做 $x$ 與 $y$ 模 3 同餘，即 $x$ 除以 3 的餘數與 $y$ 除以 3 的餘數相等。例子有 1R4, 2R5, 3R6。不難驗證 $R$ 為 $A$ 上的等價關係。

並非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是**比較兩個數中哪個較大**：

* 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（ $n\ngtr n$ ）
* 沒有對稱性：如果 $m>n$ ，就肯定不能有 $n>m$

### 不是等價關係的關係的例子

* 實數之間的 "≥" 關係滿足自反性和遞移性，但不滿足對稱性。例如，7 ≥ 5 無法推出 5 ≥ 7。它是一種全序關係。

## 參見

## 參考文獻

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Equivalence relation, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
* Equivalence relation at PlanetMath
* Binary matrices representing equivalence relations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at OEIS.
等價交換

**交易**，又稱**貿易**、**交換**、**互市**，是買賣雙方對有價物品及服務進行互通有無的行為。可以是以貨幣為交易媒介的過程，也可以是以物易物，例如一隻黃牛交換三隻豬。

## 交易方式

**依貨品交付方式**

* 現貨交易
* 期貨交易
* 朋友交易

**依貨款交付方式**

* 以物易物（以等值貨品交換）
* 現金交易
* 貨到付款
* 預付貨款
* 期約票據（支票、本票）
* 賒帳（預交貨品，待多次交易後，一次結清貨款）

**依貨品或服務的種類區分**

 

## 相關

* 市場

## 參考文獻
等價多路徑路由

**等價多路徑路由**（英文：Equal-cost multi-path routing，縮寫 ECMP），是一個在 next-hop 封包傳送到一個單一目的所產生在多個最佳路徑併列時的首要路由權重計算路由策略。多路徑路由能被應用於首要路由協定同時發生的狀況，因為它是一個受限於單一路由的 per-hop 決策，它有可能藉由在多路徑負載平衡流量下提供大幅增加的頻寬，然而，它可能在實際部署時發生重大問題。在 RFC2991 中討論了一般的多路徑路由。

每一封包多路徑路由的負載平衡通常不適用因為大輻變化的延遲、數據包重新排序，以及可以破壞許多網際網路協定運作的最大傳輸單元（MTU）在網絡流量的差異，最特別是傳輸控制協議（TCP）和 path MTU discovery。RFC2992 分析一個涉及藉由信頭中流量相關資料的雜湊函式分派網絡流至容器特定的多路徑路由策略，這個策略是設計避免當在一般多路徑平衡多網路流時，經由任何特定的網絡流量至下一個單一的確定性路徑發送的所有數據包的問題。

在很多的情況下等價多路徑路由並不能提供真正最佳路徑路由的優點，例如，如果多個最佳的 next-hop 的路徑到目的地重新匯聚到一個單一的低頻寬的路徑（一種常見的情形）下游，它只會增加到該目的地流量路徑的複雜性，而無法提高頻寬的能力。等價多路徑路由不影響其他與邏輯拓撲結構不同的實體拓撲系統，例如，在採用資料連結層的虛擬區域網系統、或如非同步傳輸模式（ATM）或多協議標籤交換（MPLS）的虛擬電路架構。

## 參考文獻

## 參見

* 路由
* 通道捆合技術
* 網路拓撲
* IEEE 802.1aq
等價類

在數學中，假設在一個集合 $X$ 上定義一個等價關係（用 $\sim $ 來表示），則 $X$ 中的某個元素 $a$ 的**等價類**就是在 $X$ 中等價於 $a$ 的所有元素所形成的子集:

　
: $[a]=\{x\in X|x\sim a\}$ 。

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在 $X$ 中的給定等價關係 $\sim $ 的所有等價類的集合表示為 $X/\mathrm {\sim } $ 並叫做 $X$ 除以 $\sim $ 的**商集**。這種運算可以（實際上非常不正式的）被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是，如果 $X$ 是有限的並且等價類都是等勢的，則 $X/\mathrm {\sim } $ 的序是 $X$ 的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合 $X$ 。

對於任何等價關係，都有從 $X$ 到 $X/\mathrm {\sim } $ 的一個**規範投影映射** $\pi $ ，給出為 $\pi (x)=[x]$ 。這個映射總是滿射的。在 $X$ 有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係，接著稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件；從 $a$ 到 $[a]$ 的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。

## 例子

* 如果 $X$ 是轎車的集合，而 $\sim $ 是「顏色相同」的等價類，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。 $X/\mathrm {\sim } $ 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
* 考慮在整數集合 $\mathbb {Z} $ 上的「模 $2$ 」 ﹝見同餘﹞等價關係: $x\sim y$ 若且唯若 $x-y$ 是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: $[0]$ 由所有偶數組成， $[1]$ 由所有奇數組成。在這個關係下 $[7],[9]$ 和 $[1]$ 都表示 $\mathbb {Z} /\mathrm {\sim } $ 的同一個元素。
* 有理數可以構造為整數的有序對 $(a,b)$ 的等價類的集合， $b$ 不能為零，這裡的等價關係定義為

　
: : $(a,b)\sim (c,d)$ 若且唯若 $ad=bc$ 。

　
: 這裡的有序對 $(a,b)$ 的等價類可以被認同於有理數 $a/b$ 。

* 任何函數 $f:X\rightarrow Y$ 定義在 X 上的等價關係，通過 $x_{1}\sim x_{2}$ 若且唯若 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 。 $x$ 的等價類是在 $X$ 中被映射到 $f(x)$ 的所有元素的集合，就是說，類 $[x]$ 是 $f(x)$ 的逆像。這個等價關係叫做 $f$ 的核。
* 給定群 $G$ 和子群 $H$ ，我們可以定義在 $G$ 上的等價關係，通過 $x\sim y$ 若且唯若 $xy^{-1}\in H$ 。這個等價類叫做 H 在 G 中的右陪集；其中之一是 $H$ 自身。它們都有同樣數目的元素（在無限 $H$ 的情況下是勢）。如果 $H$ 是正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
* 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
* 連續映射 $f$ 的同倫類是所有同倫於 $f$ 的所有映射的等價類。
* 在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子「"GE 股東將投票公司傑出的 CEO Jack Welch 的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的，所以構成一個等價類。對「GE 股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

## 性質

因為等價關係的 $a$ 在 $[a]$ 中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出 X 的所有等價類的集合形成 $X$ 的劃分：所有 $X$ 的元素屬於一且唯一的等價類。反過來， $X$ 的所有劃分也定義了在 $X$ 上等價關係。

它還得出等價關係的性質

　
: $a\sim b$ 若且唯若 $[a]=[b]$ 。

如果 $\sim $ 是在 $X$ 上的等價關係，而 $P(x)$ 是 $x$ 的元素的一個性質，使得只要 $x\sim y,P(x)$ 為真如果 $P(y)$ 為真，則性質 $P$ 被稱為良好定義的或在關係 $\sim $ 下「類恆定」的。常見特殊情況出現在 $f$ 是從 $X$ 到另一個集合 $Y$ 的時候；如果 $x_{1}\sim x_{2}$ 蘊涵 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 則 $f$ 被稱為在 $\sim $ 下恆定的類，或簡單稱為在 $\sim $ 下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數 $f$ 的後者情況可以被表達為交換三角關係．參見不變數。

## 參見

* 等價關係
等優曲線

**無異曲線**（英語：Indifference Curve，中國大陸稱作**無差異曲線**，香港稱作**等優曲線**），是一條向右下方傾斜的曲線（參見附圖），是一條表示當消費者獲得同樣的效用時的消費組合曲線，其斜率一般為負值，這在經濟學中表明在所得與價格既定的條件下，消費者為了獲得同樣的效用，增加一種財貨的消費就必須減少或放棄另一種財貨的消費，兩種財貨在消費者偏好不變的條件下，不能同時減少或增多。

## 特徵

根據曼昆所著的《經濟學原理》下冊所概括的無異曲線特徵：

* 對較高的無異曲線的偏好大於較低的無異曲線，消費者通常對東西多的偏好大於東西少，這種對更大數量的偏好反映在無異曲線上。
* 假設無異曲線為向右下方傾斜。無異曲線的斜率反映了消費者願意用一種財貨代替另一種財貨的比率，在大多數情況下，消費者兩種財貨都喜歡。因此，如果要減少一種財貨的量，為了使消費者同樣享受就必須增加另一種財貨的量。
* 除非消費者的喜好改變，否則無異曲線不可能相交，這可以用反證的方法證明。
* 無異曲線凸向原點。無異曲線的斜率是邊際替代率（marginal rate of substitution）—— 消費者願意用一種財貨替代另一種財貨比率，邊際替代率（MRS）通常取決於消費者目前消費的每一種財貨量。特別是，由於人更願意放棄已擁有多數量的財貨，並更不願意放棄他們少有的財貨。
* 如「無異曲線凸向原點」的假設不存在，除非無異曲線跟預算線 / 預算約束（budget line/constraint）的斜率完全一樣，否則消費者只會購買一種財貨 (corner solution)。

## 參考文獻

Beattie, Bruce R.; LaFrance, Jeffrey T. The Law of Demand versus Diminishing Marginal Utility (PDF). Appl. Econ. Perspect. Pol. 2006, **28** (2): 263–271 [2020-09-02]. doi:10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x. （原始內容存檔 (PDF) 於 2017-09-23）. 

## 參見

* 邊際替代率
* 零和賽局
等冪

在數學裡，**冪等**有兩種主要的定義。

* 在某二元運算下，**冪等元素**是指被自己重複運算（或對於函數是為複合）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等實數為 0 和 1。
* 某一元運算為**冪等**的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。
* 一元運算的定義是二元運算定義的特例（詳情請見下面）。

## 定義

### 二元運算

設 $S$ 為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則 $S$ 的元素 $s$ 稱為冪等的 (相對於 $*$ ) 當

$$
s*s=s
$$

特別的是，任一單位元素都是冪等的。若 $S$ 的所有元素都是冪等的話，則其二元運算 \* 被稱做是冪等的。例如，聯集和交集的運算便都是冪等的。

### 一元運算

設 $f$ 為一由 $X$ 映射至 $X$ 的一元運算，則 $f$ 為冪等的，當對於所有在 $X$ 內的 $x$ ，

$$
f(f(x))=f(x)
$$

特別的是，恆等函數一定是冪等的，且任一常數函數也都是冪等的。

注意當考慮一由 $X$ 至 $X$ 的所有函數所組成的集合 $S$ 時， $f$ 在一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下， $f$ 相對於其複合運算 (標記為 $o$ ) 會是冪等的。這可以寫成 $f\operatorname {o} f=f$ 。

## 一般例子

### 函數

如上述所說，恆等函數和常數函數總會是冪等的。較不當然的例子有實數或複數引數的絕對值函數，以及實數引數的高斯符號。

將一拓撲空間 _X_ 內各子集 _U_ 映射至 _U_ 閉包的函數在 _X_ 的冪集上是冪等的。這是閉包運算元的一個例子；所有個閉包運算元都會是冪等函數。

### 環的冪等元素

定義上，環的冪等元素為一相對於環乘法為冪等的元素。可以定義一於環冪等上的偏序：若 _e_ 和 _f_ 為冪等的，當 _ef_ = _fe_ = _e_ 時，標記為 _e_ ≤ _f_。依其順序，0 會是最小冪等元素，而 1 為最大冪等元素。

若 _e_ 在環 _R_ 內為冪等的，則 _eRe_ 一樣會是個乘法單位元素為 _e_ 的環。

兩個冪等元素 _e_ 和 _f_ 被稱為_正交的_當 _ef_=_fe_=0。在此一情形下，_e_+_f_ 也是冪等的，且有 _e_ ≤ _e_ + _f_ 和 _f_ ≤ _e_ + _f_。

若 _e_ 在環 _R_ 內為冪等的，則 _f_ = 1 − _e_ 也會是冪等的，且 _e_ 和 _f_ 正交。

一在 _R_ 內的冪等元素 _e_ 稱為_核心的_，若對所有在 _R_ 內的 _x_，_ex_=_xe_。在此情形之下，_Re_ 會是個乘法單位元素為 _e_ 的環。_R_ 的核心冪等元素和 _R_ 的分解為環的直和有很直接的關接。若 _R_ 為環 _R_1、...、_R_n 的直和，則環 _R_i 的單位元素在 _R_ 內為核心冪等的，相互正交，且其總和為 1。相反地，給出 _R_ 內給相互正交且總和為 1 的核心冪等元素 _e_1、...、_e_n，則 _R_ 會是環 _Re_1、...、_Re_n 的直和。所有較有趣的是，每一於 _R_ 內的核心冪等 _e_ 都會給出一 _R_ 的分解－_Re_ 和 _R_(1 − _e_) 的直和。

任一不等於 0 和 1 的冪等元素都是零因子 (因為 _e_(1 − _e_) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種冪等元素。局部環也沒有此種冪等元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的冪等元素只有 0。共四元數環內會有一冪等元素組成的懸鏈曲面。

_所有_元素都冪等的環稱做布爾環。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法反元素。

### 其他例子

冪等運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是冪等運算。

在線性代數裡，投影是冪等的。亦即，每一將向量投射至一子空間 V（不需正交）上的線性算子，都是冪等的。

一冪等半環為其_加法_（非乘法）為冪等的半環。

## 參考文獻

## 參見

* 不動點
等冪和問題

等冪和問題是數論中一個有趣的問題，所謂等冪和即將左右不全等的等式兩邊各數字做同次方 (冪) 並相加後，能使等式成立，即能滿足下方一系列等式者，稱作「等冪和」。 
 $a_{1}^{1}+a_{2}^{1}+a_{3}^{1}+...+a_{n}^{1}=b_{1}^{1}+b_{2}^{1}+b_{3}^{1}+...+b_{n}^{1}$ 
 $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2}$ 

…… 
 $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+...+a_{n}^{k}=b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+b_{3}^{k}+...+b_{n}^{k}$ 

（以上所有數皆屬於整數）

關於這類數組的規律，尚無清楚且公認解答。目前已知最大的解為 A = {±22, ±61, ±86, ±127, ±140, ±151}，B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}，k=11。
等冪和差公式

**等冪和差**，又稱冪和差，指同是 n 次冪的 a 與 b 的和與差，所得出來的乘法公式。

## 等冪和的因式分解

　
: $a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

 

　
: $a^{5}+b^{5}\equiv (a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{6}+b^{6}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{7}+b^{7}\equiv (a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})\,\!$

 

　
: $a^{9}+b^{9}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{6}-a^{3}b^{3}+b^{6})\,\!$

 

　
: $a^{10}+b^{10}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{8}-a^{6}b^{2}+a^{4}b^{4}-a^{2}b^{6}+b^{8})\,\!$

 

　
: $a^{11}+b^{11}\equiv (a+b)(a^{10}-a^{9}b+a^{8}b^{2}-a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}-a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}-a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}-ab^{9}+b^{10})\,\!$

 

　
: $a^{12}+b^{12}\equiv (a^{4}+b^{4})(a^{8}-a^{4}b^{4}+b^{8})\,\!$

 

　
: $a^{13}+b^{13}\equiv (a+b)(a^{12}-a^{11}b+a^{10}b^{2}-a^{9}b^{3}+a^{8}b^{4}-a^{7}b^{5}+a^{6}b^{6}-a^{5}b^{7}+a^{4}b^{8}-a^{3}b^{9}+a^{2}b^{10}-ab^{11}+b^{12})\,\!$

 

　
: $a^{14}+b^{14}\equiv (a^{2}+b^{2})(a^{12}-a^{10}b^{2}+a^{8}b^{4}-a^{6}b^{6}+a^{4}b^{8}-a^{2}b^{10}+b^{12})\,\!$

 

* 注意當 n 是 2、4、8、16、32 ......(2 的冪) 的時侯是無法進行因式分解的。

## 等冪差的因式分解

　
: $a^{2}-b^{2}\equiv (a-b)(a+b)\,\!$

 

　
: $a^{3}-b^{3}\equiv (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

 

　
: $a^{4}-b^{4}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})\,\!$

 

　
: $a^{5}-b^{5}\equiv (a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{6}-b^{6}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

 

　
: $a^{7}-b^{7}\equiv (a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6})\,\!$

 

　
: $a^{8}-b^{8}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{9}-b^{9}\equiv (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{6}+a^{3}b^{3}+b^{6})\,\!$

 

　
: $a^{10}-b^{10}\equiv (a-b)(a+b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{11}-b^{11}\equiv (a-b)(a^{10}+a^{9}b+a^{8}b^{2}+a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}+a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}+a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}+ab^{9}+b^{10})\,\!$

 

　
: $a^{12}-b^{12}\equiv (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,\!$

 

　
: $a^{13}-b^{13}\equiv (a-b)(a^{12}+a^{11}b+a^{10}b^{2}+a^{9}b^{3}+a^{8}b^{4}+a^{7}b^{5}+a^{6}b^{6}+a^{5}b^{7}+a^{4}b^{8}+a^{3}b^{9}+a^{2}b^{10}+ab^{11}+b^{12})\,\!$

 

　
: $a^{14}-b^{14}\equiv (a+b)(a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6})(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})\,\!$
等到烟暖雨收

《**等到煙暖雨收**》（英語：_**Buried City To Shut All Lights**_），2018 年中國大陸古裝架空電視劇。由愛奇藝、麥田映畫（北京）影業、北京耐飛影視有限公司、兔子洞文化、演娛派聯合出品，麥田映畫（北京）影業，麥田執導，何藍逗、馮荔軍、章煜奇、劉澤庭、餘籽璇、吳恆、姚書豪等領銜主演，愛奇藝於 2018 年 9 月 3 日首播。

## 劇情簡介

該劇講述了易落 (何藍逗飾)、初澈 (馮荔軍飾) 師徒二人之間纏綿悱惻的愛情故事，以女主角的情感與復仇為主線，將權謀元素巧妙的融合進易落、初澈師徒二人高甜寵溺的故事當中。演員馮荔軍、何藍逗在接受媒體採訪時紛紛透露兩人在劇中的感情線非常豐富，同時也很期待與對方的合作。

## 播出時間

## 演員列表

### 主要演員

### 其他演員

## 網絡劇原聲帶

## 參考資料

## 外部連結

* 等到煙暖雨收的新浪微博
等到那一天

《**等到那一天**》是台灣歌手蘇有朋的第二張國語專輯，於 1993 年 7 月 10 日推出。

## 曲目

## 唱片版本

* CD 版
* 錄音帶版

## 參考
等刺喉鰭鯰

**等刺喉鰭鯰**（學名：_Trachelyopterus insignis_）為條鰭魚綱鯰形目項鰭鯰科的其中一種，為熱帶淡水魚類，分布於南美洲秘魯淡水流域，棲息在底層水域，生活習性不明。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2015). _Trachelyopterus isacanthus_. _FishBase_. Version 2015-05.

## 擴展閱讀
等刺温剑水蚤

**等刺溫劍水蚤**（學名：_Thermocyclops kawamurai_）為劍水蚤科溫劍水蚤屬的動物，是中國的特有物種。分布於江蘇、安徽、湖北、陝西、山西、河北、吉林、黑龍江、新疆等地，一般生活於池塘及魚池中。

## 參考文獻
等势

在數學領域中，如果兩個集合 _A_ 和 _B_ 是**等勢**的 (equinumerous)，那麼它們之間存在一個雙射 $f:A\to B$ 。這通常指示為

　
: $A\sim B$ .

兩個有限集是**等勢**的，若且唯若它們的元素個數相等。

例如，

　
: 設 $E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}$ 是全體偶數的集合，那麼，它與自然數集 $\mathbb {N} $ 是等勢的；

　
: 有理數 $\mathbb {Q} $ 與自然數 $\mathbb {N} $ 是等勢的（所有有理數與自然數是「一樣多」的）；

　
: 然而，無理數 $\mathbb {R} -\mathbb {Q} $ 與自然數 $\mathbb {N} $ 或有理數 $\mathbb {Q} $ 都不等勢（無理數比有理數「個數多」）。

勢的研究中經常叫做**等勢性**(equinumerosity)。有時還使用術語 equipotent 或 equipollent。
在**集合範疇**中，帶有函數作為態射的所有集合的範疇，在兩個集合之間的同構正好是一個雙射，而兩個集合正好是等勢的，如果它們在這個範疇中是同構的。

## 參見

* 集合範疇
* 基數 (數學)
* 雙射