終端速度

在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是**終端速度**。

當向下的重力（_Fg_）相等於向上的阻力（_Fd_）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（ $mg$ ）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨著重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

## 例子

舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為 195km/h（55m/s）。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的 50% 只需要 3 秒，達到 90% 則需要 8 秒，而達到 99% 就需要 15 秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢拉起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至 320km/h（90m/s），幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06 步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度 —— 垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下 —— 其速度是來自於一份 1920 年的美軍軍械研究報告 。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012 年之前的世界紀錄由約瑟夫・基廷格在 1960 年所創下，速度為 988km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小 。菲利克斯・保加拿為了打破此紀錄，在 2012 年 10 月 15 日從 39 公里高的同溫層跳下，最高時速高達 1357.6km/h，是目前的世界紀錄保持人。

一向著地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘 9.806 米（即加速度為 9.806m・s-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有著大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有著更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：

　
: $V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$

其中

　
: $V_{t}$ 為終端速度，

　
: $m$ 為物體重量，

　
: $g$ 為地球所引起的加速度，

　
: $C_{d}$ 為阻力係數，

　
: $\rho $ 為物體落下時所處的流體密度，

　
: $A$ 為物體的投影面積。

數學上，一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量 $m$ 必須減去所排開的流體質量 $\rho {\mathcal {V}}$ ，其中 ${\mathcal {V}}$ 為物體的體積。所以不使用 $m$ ，在各方程式中改用約化質量 $m_{r}=m-\rho {\mathcal {V}}$ 。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨著海拔減少而增加，海拔每減少 80 米，密度就增加約 1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降 160 米，終端速度就會減少 1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

## 終端速度的推導

數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力 _F_net 為（根據牛頓第二運動定律）：

　
: $F_{net}=ma=mg-F_{D}$ 。

其中：_a_ 為加速度，_F_D 為阻力。

根據阻力公式：

　
: $F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A$ 。

將上兩式結合可得

　
: $F_{net}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }$ 。

在平衡時，淨力為零（_F_=0）：

　
: $mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }=0\ $ 。

解 _v_ 可得，

　
: ${\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{\mathrm {d} }}}}\ $ 。

## 有浮力情況下的終端速度

當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

　
: $\quad (1)\qquad W=F_{b}+D$

其中

　
: $W$ 為物體的重量，

　
: $F_{b}$ 為作用於物體上的浮力，及

　
: $D$ 為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

　
: $\quad (2)\qquad W={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g$

 

　
: $\quad (3)\qquad F_{b}={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho g$ $$

 

　
: $\quad (4)\qquad D=C_{d}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A$

其中

　
: $d$ 為球體的直徑，

　
: $g$ 為重力加速度，

　
: $\rho $ 為流體的密度，

　
: $\rho _{s}$ 為球體的密度，

　
: $A=\pi d^{2}/4$ 為球體投影面積，

　
: $C_{d}$ 阻力係數，及

　
: $V$ 為特徵速度（即終端速度， $V_{t}$ ）。

將方程式 (2) 至 (4) 代入至方程式 (1)，求解 $V_{t}$ 的值，得下式：

　
: $\quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}$ 。

### 蠕流下的終端速度

對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數 $Re\ll 1$ 的條件。蠕流的運動方程式（簡化後的納維 - 斯托克斯方程式）如下：

　
: $\nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }$

其中：

　
: ${\mathbf {v} }$ 為速度向量場，

　
: $p$ 為壓力場，及

　
: $\mu $ 為流體黏度。

流過球體的蠕流解析解最早由喬治・斯托克斯於 1851 年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

　
: $\quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad $ 或 $\qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}$

其中雷諾數 $Re={\tfrac {\rho dV}{\mu }}$ 。方程式 (6) 中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。

把 $C_{d}$ 的值代入至方程式 (5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

　
: $V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right)$ 。

### 應用

蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。

## 另見

* 斯托克斯定律
* 自由落體

## 參考文獻

## 外部連結

* 終端速度 —— 美國國家航空暨太空總署頁面（英文）
* 終端速度與物體的大小尺度 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）物理動畫