粒子衰變

**粒子衰變**是一基本粒子變成其他基本粒子的自發過程。在這個過程中，一基本粒子變成質量更輕的另一種基本粒子，及一中間粒子，例如緲子衰變中的 W 玻色子。這中間粒子隨即變成其他粒子。如果生成的粒子不穩定，那麼衰變過程還會繼續。

粒子衰變這種過程，與放射性衰變不一樣，後者為一不穩定的原子核，變成一更小的原子核，當中還伴隨著粒子或輻射的發射。

注意本條目使用自然單位，即

　
: $c=\hbar =1$ 。

## 粒子壽命列表

所有數值均來自粒子數據小組：

　
:

## 生還機率

把一粒子的平均壽命標記為 $\tau $ ，這樣粒子在時間 _t_ 後仍生還（即未衰變）的機率為

　
: : $P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$

　
: 其中

　
: : $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 為該粒子的勞侖茲因子。

## 衰變率

設一粒子質量為 _M_，則衰變率可用下面的通用公式表示

　
: : $d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$

　
: 其中

　
: : _n_ 為原衰變所生成的粒子數，

　
: : ${\mathcal {M}}\,$ 為連接始態與終態的不變矩陣上的元，

　
: : $d\Phi _{n}\,$ 為相空間的元，及

　
: : $p_{i}\,$ 為粒子 _i_ 的四維動量。

相空間可由下式所得，

　
: : $d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,$

　
: 其中

　
: $\delta ^{4}\,$ 為四維的狄拉克 δ 函數。

### 三體衰變

作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：

　
: : $d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,$

## 四維動量

一粒子的四維動量又叫其不變質量。

一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於 1 這項條件）：

　
: : $p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,$

兩粒子的四維動量平方為

　
: : $p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,$ 。

### 四維動量守恆

在所有衰變及粒子交互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態 _p_i 與終態 _p_f 的關係為

　
: : $p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }$ 。

#### 在二體衰變中

設母粒子質量為 _M_，衰變成兩粒子（標記為 **1** 和 **2**），那麼四維動量的守恆條件則為

　
: $p_{M}=p_{1}+p_{2}$ 。

整理可得，

　
: $p_{M}-p_{1}=p_{2}$

然後取左右兩邊的平方

　
: $p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}$ 。

現在要用的正是四維動量的定義 —— 方程式 (1)，展開各 _p_2 得

　
: $M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,$

若進入母粒子的靜止系，則

　
: * ${\vec {p}}_{M}=0\,$ ，及
* $E_{M}=M\,$

將上述兩式代入方程式 (2) 得：

　
: $M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,$

整理後得粒子 _1_ 於母粒子靜止系中的能量公式，

　
: $E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,$

 
同樣地，粒子 **2** 在母粒子在靜止系中的能量為

　
: $E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}$ 。

可得

　
: $|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,$

先把 $E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,$ 代入方程式 (3)：

　
: ${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,$

　
: ${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,$

　
: ${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,$

　
: ${\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,$

　
: $|{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,$

 $|{\vec {p}}_{2}|\,$ 的推導也一樣。

## 二體衰變

### 從兩個不同的參考系

在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

　
: : $\tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}$

### 衰變率

設一母粒子質量為 _M_ ，衰變成兩粒子，標記為 **1** 和 **2**。那麼在母粒子的靜止系中，

　
: $|{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}$ 。

另外，用球座標表示則為

　
: $d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right)$ 。

已知二體衰變的相空間元（見上文 #衰變率一節，_n_=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

　
: $d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right)$ 。

## 另見

* 粒子物理學
* 粒子列表
* 弱交互作用

## 參考資料

* J.D. Jackson. Kinematics (PDF). Particle Data Group. 2010 [2011-08-24]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2021-03-28）.  －見第 2 頁。
* 粒子數據小組 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 粒子大冒險 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組