相电压

在電子工程學中，**三相**交流電一般是將可變的電壓通過三組不同的導體。這三組電壓幅值相等、頻率相等、彼此之間的相位差為 120 度。

通常來說，三相交流電分三角形接法（Δ）和星型接法（Y）兩種。三角形接法即為將各相電源或負載依次首尾相連，形成一個三角環；而星型接法則是將各相電源或負載的一端連接在一點，形成一個中性點，這種接法又稱為三相三線制。如果從該中性點再引出一條中性線，則整個結構變為三相四線制。其中星型接法允許對各相加上不同的電壓。例如常見的 230/400 伏三相交流電，就是在中性點和任意一相上加上 230 伏，餘下的兩相各加上 400 伏的電壓。三角形接法由於各相首尾相連，只能存在一種電壓，但是其優點在於即使三相中有一相失去作用，整個系統仍然可以運作（效率為原來的 57.7%）。

## 定義

假設有一台使用星型接法的發電機，將其三個負載的加入點命名為 L1、L2、L3, 則加在三相上的電壓分別為：

　
: $V_{L1-N}=\sin \left(\theta \right)*V_{P}\,\!$

　
: $V_{L2-N}=\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)*V_{P}=\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)*V_{P}$

　
: $V_{L3-N}=\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)*V_{P}=\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)*V_{P}$

其中：

　
: $V_{P}$ 代表最大電壓，

　
: $\theta =2\pi ft\,\!$ 代表相位角

　
: $t$ 代表時間，單位為秒

　
: $f$ 代表頻率，單位為轉 / 秒

　
: $V_{L1-N}$ 、 $V_{L2-N}$ 和 $V_{L3-N}$ 則分別代表 L1 到中性點（N）、L2 到中性點和 L3 到中性點的電壓。

## 電壓和電流

線電壓（Line to Line Voltage, Line Voltage）為兩條相線間的電壓。相電壓（Vph）為負載端所獲得的電壓，隨連接方式而異。

線電流（IL）為相線上的電流大小。相電流（Iph）為負載端的電流大小。

**星形接法**

在星形接法，線電壓是相電壓的√3 倍，線電流等於相電流。

　
: $V_{L}={\sqrt {3}}V_{ph}$

　
: $I_{L}=I_{ph}$

**三角形接法**

在三角形接法，線電壓等於相電壓，線電流是相電流的√3 倍。

　
: $V_{L}=V_{ph}$

　
: $I_{L}={\sqrt {3}}I_{ph}$

### 功率

星形接法和三角形接法的總功率，都可使用同一公式計算：

　
: $P=3P_{ph}=3V_{ph}I_{ph}\cos \phi ={\sqrt {3}}V_{L}I_{L}\cos \phi $

 

　
: $P_{\Delta }=3\times P_{Y}$

**開三角形接法**

三角形接法其中一個繞阻被移除，則變成開三角形（Open Delta）。

假設單相變壓器可以輸出電壓 V 及電流 I，兩個變壓器的功率為

　
: $S=2\ VI$

用作三相變壓器時，功率為

　
: $S={\sqrt {3}}\ VI$

換言之，兩個變壓器可使用的功率為原來的 86.6%。

對比三個變㱘器，整個系統的功率變成原來的 57.7%。因為兩個變壓器的功率因素不同，其中一個提供無功功率，另一個消耗無功功率，所以可用輸出並不是 66.7%。

## 穩定輸出

一般在三相的電力系統中，每一相負載的做功的大小均相同。通常會先論證電動機在穩定輸出的情況下運作，再考慮不穩定的情況。

### 恆定功率轉化

三相發電機的特性在於，當各相的負載具有電阻性質時，其輸出功率 $\scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {1}{R}}V^{2}$ 是恆定的。

　
: $P_{Li}={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}$

　
: $P_{TOT}=\sum _{i}P_{Li}$

為了使計算更方便，先定義一個無量綱的功率值 $\scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R$ 作為中間量，則：

　
: $p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}$

代回：

　
: $P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}$

最終結果中不含 $\theta $ （相位角）由此可見發電機動率的輸出不會隨著時間的變化而變化。對於大型發電機來說，這點尤為重要。

實際上，發電機的負載不一定要帶有電阻的性質，只需各個相位相等即可，設：

　
: $Z=|Z|e^{j\varphi }$

因此最大電流為：

　
: $I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}$

所有相位上的瞬時電流大小為：

　
: $I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)$

　
: $I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)$

　
: $I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)$

這時各個相位的功率輸出為：

　
: $P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)$

　
: $P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)$

　
: $P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)$

利用三角恆等式里的積化和差與和差化積公式：

　
: $P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]$

　
: $P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]$

　
: $P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]$

得出瞬時功率輸出為：

　
: $P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}$

中括號中的三項互相抵消，得出最終的結果為：

　
: $P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi $

或者

　
: $P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi $

### 中線電流

當一個星形接法是平衡負載，即使接上中線也沒有電流。流過中性點的電流即三相電流的向量之和，參見基爾霍夫定律。

　
: ${\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\0&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}+I_{N}\end{aligned}}$

定義一個非無量綱量的電流，大小為 $i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}$ :

　
: ${\begin{aligned}i&=\sin \theta +\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})+\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\&=\sin \theta +2\sin \theta \cos {\frac {2\pi }{3}}\\&=\sin \theta -\sin \theta \\&=0\end{aligned}}$

流過中線的電流大小為零。因此將中線拿掉而不影響電路本身，證明輸出的功率是恆定的。一般三相三線制只有在三相的電源或者負荷都連接在同一個電路上（例如三相電動機），否則各相的輸入電壓的波動會造成輸出功率的不穩定。

## 不穩定輸出

在實際的應用中，很少出現理論上輸出功率很穩定的情況。利用對稱分量法來簡化電路，一個不恆定輸出的系統可以看作是三個電壓分別為正、零、負的恆定輸出系統的疊加。

在一個限定的三相電路中，只需要知道三相的模量和流過中性點電流的大小。中性點電流的計算一般先求三相電流的複數之和，在代換回極坐標系的形式。假設三相內的電流分別為 $I_{L1}$ , $I_{L2}$ 和 $I_{L3}$ ，則流經中性點的電流大小為：

　
: $I_{L1}+I_{L2}*\cos {\frac {2}{3}}\pi +j*I_{L2}*\sin {\frac {2}{3}}\pi +I_{L3}*\cos {\frac {4}{3}}\pi +j*I_{L3}*\sin {\frac {4}{3}}\pi $

　
: $I_{L1}-I_{L2}*0.5-I_{L3}*0.5+j*{\frac {\sqrt {3}}{2}}*\left(I_{L2}-I_{L3}\right)$

最後的極坐標系中的三相和的模量：

　
: ${\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}*I_{L2}-I_{L1}*I_{L3}-I_{L2}*I_{L3}}}$

### 非線性負載

在線性的情況下，只有在三相的電源或者負載不均衡的情況下，中性點的電流才不等於零。但是當在實際的使用中，接入的用電器中會使用飽和電抗，光敏、壓敏電阻等非線性的電路元件，由於用電器本身電抗的變化，也會造成輸出功率的不平衡。 

## 旋轉磁場

任何一個多相的電路，根據電流隨著時間的變化，通過旋轉即可生成磁場，這也是異步電動機的工作原理。感應電動機是異步電動機的一種，指的是僅有一套繞組聯接電源的異步電動機。

### 勵磁磁動勢

定子三相對稱繞組流過三相對稱電流時，產生合成基波旋轉磁動勢。將該磁動勢用空間矢量_**F**_0 表示，其幅值為

　
: $F_{0}={\frac {m_{1}}{2}}{\frac {4}{\pi }}{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {N_{1}k_{dp1}}{p}}I_{0}$

式中，_N_1 和 _k_dp1 分別為定子繞組的每相串聯匝數和基波繞組因數；_p_ 為極對數；_m_1 為定子繞組相數，對於三相異步電動機，_m_1=3。

## 對於其他多相系統的轉化

任意兩個隨著時間 t 變化的電壓之間一定存在著相互位移的關係，同樣，一個三相的電源通過變壓器可以轉化為多相。例如，利用特殊的變壓器，能將三相的電源轉變為一個二相電源。此類變壓器一般稱為相位轉換器。當三相的電力通過高壓線傳輸到用戶的社區在傳輸到每一戶家中時，一般利用角接電容或星接電容將三相變為單項，為家庭用戶提供電力。但是相應的，輸出功率會有所下降。

## 輸出功率的測量

用傳感器可以測量三相電路的輸出功率，無中線要用到兩個傳感器，有中性線要用到三個。需要使用傳感器的數量總是比測量的電路的數量少一個。若採用高壓計量，則需要兩個電壓互感器及兩個電流互感器 (2VT+2CT) 分別用來量度電壓及電流。

若使用功率分析儀用來分析諧波電流，宜使用四個電流互感器測量所有帶電導體的電流，以提高準確度。因為每個電流互感器都有誤差，利有三個測量值計算剩下的未知值，誤差也變成了三倍。

## 參見

* 三相交流電
* 發電機
* 尼古拉・特斯拉
* 直流電動機
* 同步馬達
* 異步電動機
* 單相電
* Y-Δ 變換

## 參考資料