积分中值定理

在數學分析中，**均值定理**（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

更仔細點講，假設函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 連續且在開區間 $(a,b)$ 可微，則存在一點 $c,\,a<c<b$ ，使得

　
: $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

均值定理包括微分均值定理和積分均值定理。

## 微分均值定理

微分均值定理分為羅爾均值定理、拉格朗日均值定理和柯西均值定理，內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線，兩端點之中必然有一點，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。

當提到**均值定理**時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

### 羅爾均值定理

如果函數 $f(x)$ 滿足

1. 在閉區間 $[a,b]$ 上連續；
2. 在開區間 $(a,b)$ 內可導；
3. 在區間端點處的函數值相等，即 $f(a)=f(b)$ ，

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi (a<\xi <b)$ ，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ 。這個定理稱為**羅爾定理**。

### 拉格朗日均值定理（均值定理）

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} $ 為閉區間 $[a,b]$ 上的一個連續函數，且在開區間 $(a,b)$ 內可導，其中 $a<b$ 。那麼在 $(a,b)$ 上存在某個 $c$ 使得

　
: $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

此定理稱為**拉格朗日均值定理**，也簡稱**均值定理**，是羅爾均值定理的更一般的形式，同時也是柯西均值定理的特殊情形。

這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} $ 在 $[a,b]$ 連續，且在開區間 $(a,b)$ 內對任意一點 $x$ ，極限

　
: $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

存在，為一個有限數字或者等於 +∞或−∞. 如果有限，則極限等於 $f'(x)$ 。這版本定理應用的一個例子是函數 $x\to x^{1/3}$ ，實值三次方根函數，其導數在原點趨於無窮。

注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數，則上面這定理就未必正確。例如，對實數 $x$ 定義 $f(x)=e^{ix}$ 。那麼

　
: $f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)$

因 $|f'(x)|=1\neq 0$ 時， $c$ 為開區間 $(0,2\pi )$ 中任意一點。

### 柯西均值定理

**柯西均值定理**，也叫**拓展均值定理**，是均值定理的一般形式。它敘述為：如果函數 _f_ 和 _g_ 都在閉區間 [_a_,_b_] 上連續，且在開區間 (_a_,_b_) 上可微，那麼存在某個 _c_ ∈ (_a_,_b_)，使得

　
: $(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,$

當然，如果 _g_(_a_) ≠ _g_(_b_) 且 _g′_(_c_) ≠ 0，則可表示成：

　
: ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

在幾何上，這表示曲線

　
: ${\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$

上存在一點其切線平行於由兩點 (_f_(_a_),_g_(_a_)) 和 (_f_(_b_),_g_(_b_)) 所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在，因為可能存在一些 _c_ 值使 _f′_(_c_) = _g′_(_c_) = 0，所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

　
: $t\mapsto (t^{3},1-t^{2})$

在區間 [−1,1] 上，曲線由 (−1,0) 到 (1,0)，卻並無一個水平切線，然而它在 _t_ = 0 處有一個駐點 (實際上是一個尖點)。

柯西均值定理可以用來證明羅必達法則。(拉格朗日) 均值定理是柯西均值定理當 _g_(_t_) = _t_ 時的特殊情況。

## 積分均值定理

積分均值定理分為積分第一均值定理和積分第二均值定理，它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在 ξ 的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等（嚴格表述在下面）。

### 積分第一均值定理

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} $ 為一連續函數， $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} $ 要求 $g(x)$ 是可積函數且在積分區間不變號，那麼存在一點 $\xi \in [a,b]$ 使得

　
: $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。

#### 證明

在不失去一般性的條件下，設對所有 $x$ ，有 $g(x)\geq 0$ ；
因為 $f$ 是閉區間上的連續函數， $f$ 取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。於是

　
: $mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$ 。

對不等式求積分，我們有

　
: $m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ 。

若 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx=0$ ，則 $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0$ 。 $\xi $ 可取 $[a,b]$ 上任一點。

若不等於零那麼 $\int _{a}^{b}g(x)\,dx>0$ ，

　
: $m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M$ 。

因為 $m\leq f(x)\leq M$ 是連續函數，根據介值定理，則必存在一點 $\xi \in [a,b]$ ，使得

　
: $f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}$ 。

 $g(x)<0$ 的情況按同樣方法證明。

#### 推論（拉格朗日均值定理的積分形式）

在上式中令 $g(x)=1$ ，則可得出：

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} $ 為一連續函數，則∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

　
: $f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

它也可以由拉格朗日均值定理推出：

設 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導， $f(x)=F^{\prime }(x)$ ，則∃ $\xi \in [a,b]$ ，使

　
: $f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}$

 

### 積分第二均值定理

積分第二均值定理與積分第一均值定理相互獨立，卻又是更精細的**積分均值定理**。它可以用來證明 Dirichlet-Abel 反常 Riemann 積分判別法。

#### 內容

若 f,g 在 [a,b] 上黎曼可積且 f (x) 在 [a,b] 上單調，則存在 [a,b] 上的點 ξ 使

　
: $\int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}$ ；

#### 退化態的幾何意義

令 g (x)=1，則原公式可化為：

　
: $\int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )$ ；

進而導出：

　
: $\int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}$ ；

此時易得其幾何意義為：
能找到 ξ∈[a,b]，使得 S [紅]+S [藍]=S [陰影]，即 S [I]=S [II]

### 應用

關於積分均值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。

## 注釋

## 參見

* 羅爾定理
* 柯西均值定理
* 介值定理
* 極值定理