相干性

在物理學中，**相干性**（coherence）又稱**同調性**，是波的一個理想內稟屬性，它使波可進行「定態干涉」（stationary interference，時間或空間固定下的干涉）；亦即為了產生顯著的干涉現象，波所需具備的性質。若兩個波源的頻率和波形相同，則它們是**相干的**（coherent）或**同調的**。更概括地說，相干性描述了單波與自己、多波之間、波包之間，某些物理量間的相關特性。

當兩個波彼此相互干涉時，因為相位的差異，會造成建設性干涉或破壞性干涉。假若兩個正弦波的相位差為常數，則這兩個波的頻率必定相同，稱這兩個波「完全相干」。兩個「完全不相干」的波，例如白熾燈或太陽所發射出的光波，由於產生的干涉圖樣不穩定，無法被明顯地觀察到。在這兩種極端之間，存在著「部分相干」的波。

相干性又大致分類為時間相干性與空間相干性。時間相干性與波的頻寬有關；而空間相干性則與波源的有限尺寸有關。

波與波之間的的相干性可以用相干度來量度。干涉可見度是波與波之間的干涉圖樣的輻照度對比，相干度可以從干涉可見度計算出來。

## 波源

一般而言，互不相關的波源無法形成可觀察到的干涉圖樣。例如白熾燈或太陽是由很多互不相關、持續生成的微小發光點所組成，每一個發光點只會作用一段時間 $\Delta t\approx 10^{-8}-10^{-9}sec$ ，發射出一個有限長度的波列，之後，再也不會發光，但在其它位置，又會出現新的發光點。為了要能拍攝到這類光源所產生的由兩個波列疊加形成的干涉圖樣，攝影儀器的曝光時間必須要小於 $\Delta t$ 。在舊時，無法製造出這麼高階的攝影儀器，因此從這類光源很難拍攝到干涉圖樣。但是，通過適當處理，仍舊可以觀察到這些光源的干涉圖樣。:457, 460

為了要觀察到這些互不相關的波源所形成的涉圖樣，必須從這些波源製造出相干性較高的波。有兩種方法可以達成這目標：

1. 第一種方法稱為「波前分割法」。從微小波源發射出的波，其波前與微小波源之間的距離大致相等。使用具有幾條狹縫的檔板來過濾從微小波源發射出的波，只要這些狹縫與微小波源之間的距離相等，就可以保證同樣的波前入射於這幾條狹縫。位於波前的每一點都可以視為一個波源，會發射出次波。因此，從這幾條狹縫繞射出來的次波，其相位大致相同。楊氏雙縫實驗就是藉著這方法製成兩束相干性較高的光波，這兩束光波會在觀察屏產生干涉圖樣。
2. 第二種方法稱為「波幅分割法」。用半透射、半反射的半鍍銀鏡，可以將光波一分為二，製造出透射波與反射波，這兩束光波非常相似，相干性非常高。假設這兩束光波的光程長度不相等，則由於在觀察屏的相位不同，會產生明顯不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀使用的就是這種方法。

自從雷射、邁射的發明以後，物理學者不再為尋找高相干性的光源這問題而煩惱，雷射所製造出來的波列通常能維持 $\Delta t\approx 10^{-3}sec$ 之久。這給予足夠的曝光時間來拍攝干涉圖樣。

## 應用

以前，只有在學習光學的楊式雙縫實驗時，才會接觸到相干性這術語。現今許多涉及波動的領域，像聲學、電子工程、量子力學等等，都會使用到這術語。許多科技的運作都倚賴相干性質為基礎。例如，全像攝影術、音波相位陣列、光學相干斷層掃描、天文光學干涉儀、與射電望遠鏡、等等。

## 相干性與相關性

兩個波的相干性，稱為「互相干性」，來自於它們彼此之間的相關程度，也就是說，它們彼此之間的相似程度。互相關函數可以量度互相干性。:545-550 互相關函數可以量度從一個波預測另一個波的能力。舉例而言，設想完全同步相關的兩個波。在任意時間，假若一個波發生任何變化，則另一個波也會做出同樣的變化；讓這兩個波互相干涉，則在任意時間，它們都會展示出完全相長干涉，它們具有完全相干性。互相關函數可以用來支持模式識別系統，例如，指紋識別。

如稍後所述，第二個波不必是另外一個實體，它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。這案例所涉及的相關稱為「自相干性」；對於這案例，可以用自相關函數來量度自相干性。自相關函數可以用來從帶有隨機噪聲背景的信號中提取出資訊信號。:545-550

### 嚴格定義

假設在點 S1、點 S2 的波擾分別為 ${\tilde {E}}_{1}(t)$ 、 ${\tilde {E}}_{2}(t)$ （波浪號代表複數），則其互相關函數 ${\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )$ 為:566-571

　
: ${\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\mathrm {d} t$ ；

其中，單書名號表示取時間平均值， $T$ 是平均的時間間隔， $\tau $ 是相對時移。

互相關函數又稱為「互相干函數」。理論而言，必需取 $T$ 趨向於無窮大的極限；然而，實際而言，只要平均的時間間隔比相干時間（大約是有限長度的波列通過某固定點的有限時間）長久很多就行了。

從互相關函數的定義式，可以衍生出自相關函數，又稱為「自相干函數」。波 ${\tilde {E}}_{1}(t)$ 與相對時移 $\tau $ 的自己波，兩者之間的自相干函數為

　
: ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{1}^{\,*}(t)\rangle $ 。

歸一化的互相干函數 ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )$ 又稱為兩個波的「複相干度」，以方程式表示為

　
: ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )={\frac {{\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )}{\sqrt {{\tilde {\Gamma }}_{11}(0){\tilde {\Gamma }}_{22}(0)}}}={\frac {\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle }{\sqrt {\langle |{\tilde {E}}_{1}(t)|^{2}\rangle \langle |{\tilde {E}}_{2}(t)|^{2}\rangle }}}$ 。

從柯西 - 施瓦茨不等式可以推導出 $|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|\leq 1$ 。

絕對值 $|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|$ 就是「相干度」。當 $|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|=1$ 時，波 ${\tilde {E}}_{1}$ 與波 ${\tilde {E}}_{2}$ 完全相干；當 $|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|=0$ 時，兩個波完全不相干；當 $0<|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|<1$ 時，兩個波部分相干。

「干涉可見度」量度干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度，以方程式定義，

　
: ${\mathcal {V}}={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}$ ；

其中， $I_{max}$ 、 $I_{min}$ 分別為干涉圖樣的最大輻照度與最小幅照度。

干涉可見度的範圍在 0 到 1 之間。假設兩個波的振幅相等，則干涉可見度等於相干度：

　
: ${\mathcal {V}}=|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )|$ 。

## 各種波動實例

下述這些波的共同之處是，它們的物理行為可以用波動方程式或推廣的波動方程式來描述：

* 繩索的機械波。
* 液體的表面波。
* 電纜的電磁波。
* 聲波。
* 無線電波與微波。
* 光波。
* 量子尺寸粒子的物質波。

這些種類的波的物理行為，大多數可以直接測量獲得。因此，波與波之間的互相干函數可以很簡單地求得。但是，在光學裏，不能直接的測量電磁場，因為電磁場的震盪太快，比任何探測器的時間解析度還要快。可行之道是測量光波的輻照度。

大多數在這條目提到的涉及相干性的概念，都是先在光學領域發展成功，然後再適應於其它領域。因此，許多相干性測量標準都是採用間接地測量，甚至在可以直接測量的領域，都是這樣做。

## 時間相干性

一個波 ${\tilde {E}}_{1}(t)$ 與延遲了時間 $\tau $ 的自己波，兩者之間的自相干函數 ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )$ ，可以用來量度時間相干性。對應的複相干度為 ${\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )$ ，又稱為「複時間相干度」。時間相干性可以表達波源的單色性質，可以量度一個波在延遲某時間後干涉自己的能力，因此又稱為「縱向相干性」。經過一段延遲時間 $\tau $ 後，假若一個波的相位或波幅開始發生足夠顯著的變化（因此自相干函數開始顯著地減小），則定義此延遲時間為「相干時間」 $\tau _{c}$ 。有限長度的波列通過某固定點的有限時間大約是相干時間。當 $\tau =0$ 時，一個波 ${\tilde {E}}_{1}(t)$ 與自己的相干度為 $|{\tilde {\gamma }}_{11}(0)|=1$ ；而當 $\tau \geq \tau _{c}$ 時，相干度 $|{\tilde {\gamma }}_{11}|$ 會顯著地減小，顯示在觀察屏的干涉圖樣也會變得模糊不清。「相干長度」 $L_{c}$ 定義為，在相干時間 $\tau _{c}$ 內，波所能傳播的距離，又稱為「縱向相干長度」。:560, 571-573

### 相干時間與頻寬的關係

由於週期的倒數是頻率，一個波在越短時間內，變的不自相干（ $\tau _{c}$ 越小），則波的頻寬 $\Delta f$ 越大。兩個物理量的關係方程式為:358-359, 560

　
: $\tau _{c}\Delta f\approx 1$ 。

用波長 $\lambda =c/f$ 來表達，

　
: ${\frac {L_{c}\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\approx 1$ 。

用數學表述，這結果可以從傅立葉變換推導出來。自相干函數的傅里葉變換就是功率譜（每個頻率的輻照度）。:572

### 實例

試想下述四個關於時間相干性的實例：

* 對於任何時間間隔，一個單色波都是完全的自相干（參閱圖 1）。
* 反過來說，一個相位迅速飄移的波，其相干時間必定很短（參閱圖 2）。
* 類似地，具有較寬頻域的脈衝波（一種波包），由於振幅迅速地變化，所以，相干時間很短（參閱圖 3）。
* 白光擁有非常寬的頻域，是一種振幅與相位都迅速變化的波。由於相干時間很短（10 週期左右），常被稱為「不相干波」。

白光的頻寬大約為 3×1014Hz，因此相干時間為 3×10-15s，相干長度非常短，大約只有 900nm。普通放電燈的頻寬也很寬闊，因此相干長度也相當短，大約為幾個 mm 數量級。國際標準 Kr86 低氣壓放電燈的相干長度比較長，大約為 0.3m。:316

雷射通常是最單色的光源。高度的單色性意味著相干長度很長。例如，單模氦氖雷射能夠發射相干長度接近 400m 的光。特別穩定性氦氖雷射的相干長度可以達到 1.5×107m。:316

全像攝影需要用到長相干時間的光。:635 由於具有脈衝高能量與較長的相干時間這兩種優點，紅寶石雷射時常被應用於全像攝影。相對比較，光學相干斷層掃描使用短相干時間的光。

### 測量方法

在光學裏，時間相干性可以用干涉儀來測量，例如，邁克生干涉儀或馬赫 - 曾德爾干涉儀。干涉儀先將輸入波複製，延後 $\tau $ 時間，然後將輸入波與複製波合併為輸出波，再用輻照度探測器來測量經過時間平均後的輸出波輻照度，得到的數據，稍加運算，可以求得干涉可見度。這樣，可以知道延遲時間為 $\tau $ 的相干度。對於大多數的天然光源，由於相干時間超短於探測器的時間解析度，探測器自己就可以完成時間平均工作。

思考圖 (3) 案例，在相干時間 $\tau _{c}$ 內，波的輻照度顯著地漲落不定。假設延遲時間為 $2\tau _{c}$ ，則一個無窮快的探測器所測量出的輻照度也會顯著地漲落不定。對於這案例，可以手工計算輻照度的時間平均值來求得時間相干性。

## 空間相干性

為了展示出顯著的干涉圖樣，楊氏雙縫實驗所使用的光源必須具有空間相干性。光學影像系統與天文望遠鏡的製作必需考慮到光源的空間相干性。

空間相干性與波源的有限尺寸有關。這可以用楊式雙縫實驗來解釋。在典型的楊式雙縫實驗裏，只存在有一個點光源 S，其所發射出的單色光，在通過不透明擋板的位於點 S1、點 S2 的兩條狹縫之後，會在觀察屏顯示出干涉圖樣。現在將這實驗加以延伸，將點光源 S 改為綿延有限尺寸 $b$ 的線光源。從做實驗獲得的結果，物理學者發覺，假定線光源與擋板之間的距離 $R$ 足夠遠，則若要在觀察屏的中央軸區域顯示出干涉圖樣，必須先滿足以下條件：

　
: $b\theta \lesssim \lambda $ ；

其中， $\theta $ 是點 S1、點 S2 對於頂點 S 的夾角。 $\lambda $ 是光波的平均波長。

注意到 $\theta \approx {\mathcal {L}}/R$ 、 $\alpha \approx b/R$ ；其中， ${\mathcal {L}}$ 是兩個狹縫之間的距離， $\alpha $ 是有限尺寸光源對於檔板中央軸交點的夾角。所以，必須滿足條件

　
: ${\mathcal {L}}\lesssim \lambda /\alpha $ 。

因此，可以估算這問題的「橫向相干長度」為 ${\mathcal {L}}_{c}=\lambda /\alpha $ 。假若兩個狹縫之間的距離大於 ${\mathcal {L}}_{c}$ ，則干涉圖樣會消滅殆盡。對於三維案例，可以使用物理量「相干面積」，以方程式表示為 ${\mathcal {A}}_{c}=\lambda ^{2}/\alpha ^{2}$ 。

在許多物理系統裏，像水波或光波一類的波可以傳播於一維或多維的空間。空間相干性量度位於點 S1、點 S2 的的兩個波擾，經過時間平均後，彼此相互干涉的能力。更精確地說，空間相干性是這兩個波擾除去了延遲時間因素之後的互相關函數。假設某波前的波幅為常數，則在其任意兩個位置的波擾，彼此之間都具有完全空間相干性。

繼續思考楊氏雙縫實驗，只專注於檔板與觀察屏之間的狀況。假設點 S1、點 S2 的兩個波擾分別為 ${\tilde {E}}_{1}(t)$ 、 ${\tilde {E}}_{2}(t)$ ，則其互相干函數 ${\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )=\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{\,*}(t)\rangle $ 與點 S1、點 S2 的位置和延遲時間 $\tau $ 有關。由於在觀察屏的干涉圖樣，其中心點 Q 是中央軸與觀察屏的交點，從點 S1、點 S2 同時發射的光波，會在同時抵達點 Q，延遲時間為

　
: $\tau =(r_{1}-r_{2})/c\approx 0$ ；

其中， $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 分別是從 S1、點 S2 到點 Q 的距離， $c$ 是光速。

因此，除去了延遲時間因素，互相干函數 ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ 可以量度在點 S1、點 S2 的兩個波擾的空間相干性。複相干度 ${\tilde {\gamma }}_{12}(0)$ 稱為在點 S1、點 S2 的兩個波擾的「複空間相干度」。:572

### 實例

圖 5：一個單色平面波，相干長度與相干面積為無窮值。

圖 6：一個波前不規則的單色波。因為在點 X1 與點 X1 後面 λ 整數倍數之處的波幅永遠相同，相干長度為無窮值，因為在點 X1 與點 X2 的波幅永遠相同，相干面積也為無窮值。

圖 7：一個波前不規則的波，相干長度與相干面積為有限值。

圖 8：一個波前不規則、相干長度與相干面積為有限值的波，入射於具有一條狹縫的檔板。入射波穿過狹縫後，繞射出來的波，其空間相干性會增加。經過傳播一段距離，在離狹縫較遠處，圓形波前的波近似於平面波。相干面積變為無窮值，而相干長度不變。

圖 9：兩個同樣的波，在空間裏傳播。一個波是另外一個波的位移，兩個波的相干長度與相干面積分別為無窮值。兩個波的結合，在某些位置，會建設性干涉（干涉相漲），在另外一些位置，會摧毀性干涉（干涉相消）。經過空間平均，探測器所觀察到的干涉圖樣，其干涉可見度會減低。例如，一個未校準的馬赫 - 曾德爾干涉儀就會出現這種狀況。

試想一個電燈泡的鎢絲，從其不同位置會獨立地發射出毫無固定相位關係的光波。仔細觀察，在任意時間，光波的剖面都毫無規律可言。每經過一段相干時間 $\tau _{c}$ ，光波的剖面都會機率性地變化。電燈泡是一個白光光源，相干時間 $\tau _{c}$ 很短，是一個空間不相干光源。

電波望遠鏡天線陣的空間相干性很高，在天線陣對端的每兩根天線所發射出的光波，彼此之間都有特別設計的固定相位關係。

雷射產生的光波的時間相干性與空間相干性通常都很高，其相干度依雷射的性質而定。

全像攝影術的運作，需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者，伽博・丹尼斯，在雷射還沒有被發明前，就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈的發射線激發出的單色光，通過針孔過濾器，製成全像攝影術所需要的相干光波。

2011 年 2 月，物理學者發現，冷卻至接近絕對零度的氦原子，當變為玻色 - 愛因斯坦凝聚時，它們的物理行為會如同雷射發射出的相干光束一樣。

## 波譜相干性

不同頻率的波（在光學裏，不同顏色的光波），假若有固定的相對相位關係，則會因干涉而形成一個脈衝波（參閱傅里葉變換）。反過來說，假若不同頻率的波是不相干的，則結合在一起它們會形成像白光或白噪聲一類的波。脈衝波的時間持續期 $\Delta t$ 被頻寬 $\Delta f$ 限制，依據關係方程式：

　
: $\Delta f\Delta t\geq 1$ 。

這關係方程式也可以從傅里葉變換推導出。對於量子尺寸的粒子，這是海森堡不確定原理的必然結果。

測量光的波譜相干性，需要用到非線形光波干涉儀，像輻照度相關器、頻域分辨光學開關或波譜相位干涉儀。

## 量子相干性

在量子力學裏，物質具有波動性（參閱德布羅意假說）。例如，楊氏雙縫實驗也可以用電子來完成。從電子源發射出的每一個電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫，因此，有兩種抵達觀察屏最終位置的方法可供選擇。一種方法是將狹縫 S1 關閉，電子只能穿過狹縫 S2；另一種方法是將狹縫 S2 關閉，電子只能穿過狹縫 S1。每一種方法可以設定為一個特別的量子態。由於這兩個量子態會相互干涉，因而影響電子抵達偵測屏最終位置的機率分佈，也因此形成了觀察屏的干涉圖樣。這相互干涉的能力展現出粒子的「量子相干性」。

假若，試圖探測電子到底是經過哪一條狹縫。那麼，兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被去相干化。這現象顯示出量子系統的互補性。

大尺寸（宏觀）量子相干會導致新穎奇異的現象，稱為宏觀量子現象。例如，雷射、超導現象、超流體等等，都是高度相干的量子系統，它們產生的效應可以在宏觀尺寸觀察到。超流體現象是玻色 - 愛因斯坦凝聚。所有組成凝聚的粒子都同相，可以用單獨一個量子波函數來描述。

換另一方面，薛丁格貓思想實驗強調，不能任意地將量子相干用在宏觀案例。但是，物理學者於 2009 年成功地在機械共振器的運動裏觀測到量子相干現象。

## 參閱

* 相干態
* 量子去相干
* 原子相干性

## 註釋

## 參考文獻