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离散q-埃尔米特I多项式

**離散 q - 埃爾米特多項式**是以超幾何函數定義的正交多項式

　
: $\displaystyle h_{n}(x;q)=q^{\binom {n}{2}}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},x^{-1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{(-1)}(x;q)$

## 圖集

## 參考文獻

* Berg, Christian; Ismael, Mourad, Q-Hermite Polynomials and Classical Orthogonal Polynomials [1], 1994
* Al-Salam, W. A.; Carlitz, L., Some orthogonal q-polynomials, Mathematische Nachrichten, 1965, **30**: 47–61, ISSN 0025-584X, MR 0197804, doi:10.1002/mana.19650300105
* Gasper, George; Rahman, Mizan, Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications **96** 2nd, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, doi:10.2277/0521833574
* Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F., Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096, doi:10.1007/978-3-642-05014-5
* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., http://dlmf.nist.gov/18, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
离散一致空间

在拓撲學和相關數學領域中，**離散空間**是特別簡單的一種拓撲空間，在其中點都在特定意義下是相互孤立的。

## 定義

給定集合 _X_:

* 在 _X_ 上的**離散拓撲**是通過集合 _X_ 的所有子集是開集而定義的，而 _X_ 是**離散拓撲空間**，如果它配備了它的離散拓撲；
* 在 _X_ 上的**離散一致**是通過設置 _X_ × _X_ 中的對角 {(_x_,_x_) : _x_ ∈ _X_} 的所有子集為周圍（entourage）而定義的，而 _X_ 是**離散均勻空間**，如果它配備了它的離散一致。
* 在 _X_ 上的**離散度量** $\rho $ 定義為

　
: $\rho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\neq y,\\0&{\mbox{if}}\ x=y\end{matrix}}\right.$

對於任何 $x,y\in X$ 。在這種情況下 $(X,\rho )$ 被稱為**離散度量空間**或**孤點空間**。

度量空間 $(E,d)$ 被稱為「一致離散」的，如果存在 $r>0$ 使得對於任何 $x,y\in E$ ，要麼 $x=y$ 要麼 $d(x,y)>r$ 。在度量空間底層的拓撲空間可以是離散的，而沒有一致離散的度量：例如在實數的集合 {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} 上的平常度量。

## 性質

在離散度量空間上的底層一致是離散一致，而在離散均勻空間上的底層拓撲是離散拓撲。因此離散空間的不同概念是相互兼容的。在另一個方面，非離散一致或度量空間的底層拓撲可以是離散的；一個例子是度量空間 _X_ := {1/_n_ : _n_= 1,2,3,...} (帶有從實直線繼承來的度量，並給出為 d (_x_,_y_) = |_x_ − _y_|)。明顯的，這不是離散度量；還有這個空間不是完備的並因襲作為均勻空間不是離散的。然而它作為拓撲空間是離散的。我們稱 _X_ 是「拓撲離散」而非「一致離散」或「度量離散」。

此外還有:

* 拓撲空間是離散的，若且唯若它的單元素集合是開集，也就是若且唯若他不包含任何會聚點。
* 單元素集合形成了這個離散拓撲的基。
* 均勻空間 _X_ 是離散的，若且唯若對角 {(_x_,_x_) : _x_ ∈ _X_} 是周圍。
* 所有離散拓撲空間滿足每個分離公理；特別是，所有離散空間都是郝斯多夫空間，就是說是分離的。
* 離散空間是緊緻空間，若且唯若它是有限的。
* 所有離散一致或度量空間是完備空間。
* 組合上兩個性質，所有離散一致或度量空間是完全有界空間，若且唯若它是有限的。
* 所有離散度量空間是有界的。
* 所有離散空間是第一可數空間，並且離散空間是第二可數空間若且唯若它是可數的。
* 所有離散空間都是完全不連通空間。
* 所有非空離散空間都是第二範疇。
* 任何兩個有相同勢的離散空間都是同胚的。

任何從離散拓撲空間到另一個拓撲空間的函數是連續函數，任何從離散均勻空間到另一個均勻空間的函數是均勻連續的。就是說，在拓撲空間和連續映射範疇中，或在均勻空間和均勻連續映射範疇內，離散空間 _X_ 是集合 _X_ 上的自由物件。這些性質是更廣泛現象的實例，在其中離散結構通常自由於集合上。

對於度量空間，事情更加複雜，因為依賴於所選擇的態射有很多度量空間範疇。離散度量空間當然是自由的，在態射都是均勻連續映射或連續映射的時候，但是這沒有說對度量結構有價值的事情，只針對了一致或拓撲結構。與度量結構更有關的範疇可以通過把態射限制為利普希茨連續映射或短映射來找到；但是，這些範疇沒有自由物件（在多於一個元素的時候）。但是，離散度量空間在有界度量空間和利普希茨連續映射範疇內是自由的，並且它在有界於 1 的度量空間和短映射範疇是自由的。就是說，從離散度量空間到另一個有界度量空間的函數是利普希茨連續的，而任何從離散度量空間到另一個有界於 1 的度量空間的函數是短映射。

在其他方向上，從拓撲空間 _Y_ 到離散空間 _X_ 的函數 _f_ 是連續的，若且唯若它是局部常數函數，在所有 _Y_ 的點都有 _f_ 在其上的鄰域是常數的意義上。

## 用途

離散結構通常用做不承載任何其他自然拓撲、一致或度量的集合上「預設結構」。例如，任何群都可以通過給予它離散拓撲被認為是拓撲群，蘊涵了關於拓撲群適用於所有群的定理。實際上，分析學家更偏好被代數學家作為離散群來研究的平常的非拓撲群。在某些情況下，這可有用的應用，例如組合上 Pontryagin 對偶性。

0 維流形（或微分流形或解析流形）就只是離散拓撲空間。在前面段落的精神下，我們可以把任何離散群看作 0 維李群。

儘管離散空間從拓撲學的角度看沒有什麼令人興奮的，可以卻可以從它們構造有趣的空間。例如，可數無限多個自然數離散空間的乘積同胚於無理數空間，帶有同胚給出自連分數展開。可數多個離散空間 {0,1} 的乘積同胚於康托爾集合；並且事實上一致同胚於康托爾集合，如果我們在乘積上使用乘積一致。這種同胚給出自數字的三進位表示。（參見康托爾空間）。

在數學基礎中，{0,1} 乘積的緊緻性質的研究是超濾子原理的拓撲途徑的中心，它是弱形式的選擇公理。

## 不可分空間

在某種意義上，離散拓撲的對立者是密著拓撲（也叫做「不可分拓撲」），它有最少可能數目的開集（就是空集和空間自身）。這裡的離散拓撲是始物件和自由物件，而不可分拓撲是終物件或 cofree 物件：所有從拓撲空間到不可分空間的函數都是連續的。

## 參見

* 圓柱集合

## 引用
离散事件仿真

**離散事件模擬**將系統隨時間的變化抽象成一系列的離散時間點上的事件，通過按照事件時間順序處理事件來演進，是一種事件驅動的仿真世界觀。離散事件仿真將系統的變化看做一個事件，因此系統任何的變化都只能是通過處理相應的事件來實現，在兩個相鄰的事件之間，系統狀態維持前一個事件發生後的狀態不變。
离散优化

**離散優化**是應用數學和計算機科學中優化問題的一個分支。

在此種數學規劃中，變量被限制為離散變量，比如整數。與此相對的是連續優化。

離散優化存在兩個主要的分支。

* 組合優化：指關於圖，擬陣等數學結構的問題。
* 整數規劃

此兩分支也有著很緊密的關係，許多組合優化問題可以以整數規劃來模擬，整數規劃問題也可有對應的組合優化版本。
离散信号

**離散訊號**是在連續訊號上取樣得到的訊號。與連續訊號的自變數是連續的不同，離散訊號是一個序列，即其自變數是「離散」的。這個序列的每一個值都可以被看作是連續訊號的一個取樣。由於離散訊號只是取樣的序列，並不能從中獲得取樣率，因此取樣率必須另外儲存。以時間為自變數的離散訊號為離散時間訊號。

離散訊號並不等同於數位訊號。數位訊號不僅是離散的，而且是經過量化的。即，不僅其自變數是離散的，其值也是離散的。因此離散訊號的精度可以是無限的，而數位訊號的精度是有限的。而有著無限精度，亦即在值上連續的離散訊號又叫抽樣訊號。所以離散訊號包括了數位訊號和抽樣訊號。

實際的離散訊號都是從連續訊號取樣而來，由此引出了取樣定理。

## 參見

* 取樣
* 取樣定理
* 訊號
* 連續訊號
* 離散時間訊號
离散偶极近似

**離散偶極近似**（Discrete Dipole Approximation DDA）是一種用來求解物體散無線電磁波的計算方法。它使用大量偶極子組成的陣列來模仿連續的物體，通過求解這些偶極子在入無線電磁波照射下的極化度來獲得物體吸收、散無線電磁波的性質。

## 基本概念

在電動力學的框架內，求解物體對電磁波的吸收、散射情況，實質上是計算物體內部和周圍空間的電磁場分布。理論上，有介質存在情況下的電磁場分布可以通過求解麥克斯韋方程組獲得。然而，由於麥克斯韋方程組的複雜性，它只能在具有獨特對稱性的體系中求得解析解。那麼，對於一般形狀的物體，通常採用數值方法近似求解其周圍電磁場分布。離散偶極近似就是這樣一種方法，它假設物體的電磁波散射特性是由其電子對於入無線電磁波的反饋作用形成 —— 電子在電磁波的作用下發生受迫振動，而與其正電荷中心分離形成振盪電偶極，它們在振動時能夠輻無線電磁波並作用於其它電偶極。進一步，設想物體是由大量的電偶極組成，則由電動力學理論可以建立起描述所有偶極子相互影響的線性方程組，求解該方程組獲得偶極電磁場。最後，把所有偶極的電場作用疊加後就獲得了整個物體內部以及周圍空間的電磁場。

## 發展歷程

1964 年，Howard DeVoe 在其論文中建立了 DDA 方法的基本框架。DeVoe 發展出一種經典物理模型，該模型可以由單體（比如分子）的光學性質出發求解出聚集體（比如分子晶體）的光學性質。DeVoe 認為，如果求出聚集體的總偶極矩，就可以導出其折射率和消光係數等性質。為此，需要將所有的分子偶極矩疊加從而獲得總偶極矩。然而，分子偶極矩是由入無線電磁波誘導產生，同時這些分子偶極還會產生電場，進一步影響其它分子偶極。那麼，分子偶極矩中就包含了入無線電場和其它偶極電場兩部分，由此可以建立起包含所有偶極矩的線性方程組加以求解。DeVoe 奠定了由偶極間相互作用求解物體光學性質的方法。但是，該論文中描述偶極間電場作用時使用的是電偶極的靜電場表達式，而非振盪偶極子的電場。

1973 年，Purcell 在其論文中確立了 DDA 方法的基本原理並計算了任意形狀顆粒的光散射特性。
他是在關於星際塵埃散射星光的研究中發展出這一方法的，因而並未引用 DeVoe 的研究成果。然而，相比較 DeVoe 旨在建立一種經典物理的模型來描述單體與聚集體光學性質之間的關係，Purcell 則明確了 DDA 方法的一些基本概念，以及它用於計算顆粒光散射的用途。他首先提出使用 3 維的偶極子陣列模擬顆粒的散射行為，並且採用振盪偶極子的電磁波公式描述偶極子電場的影響，相比與 DeVoe 更為準確。其次，Purcell 通過 Clausius-Mossotti 關係式確定了偶極陣列中偶極子極化率 (polarizability) $\alpha $ 與顆粒材料的介電常數 $\epsilon $ 的關係（DeVoe 使用分子消光係數導出分子偶極極化率）。由此求出極化率就解決了 DDA 方法中的基本問題：偶極矩與局部電場之間的數值關係。這樣就能夠構建描述偶極矩之間關係的線性方程組 ${\boldsymbol {P}}_{i}=\alpha {\boldsymbol {E}}_{i}$ 。最後，他設計了一個遞推關係求解該方程組，並且根據電動力學原理求出顆粒的吸收係數和消光係數。

下面主要以 Draine 編寫的軟體 DDSCAT 為例，結合他的研究工作，介紹 DDA 方法的發展過程。

1988 年，Draine 在其論文中對 DDA 方法做出了幾項重要改進（使用 Fortran 語言編寫了計算程序，成為後來的 DDSCAT）。首先，Draine 認為 Clausius-Mossotti 關係式描述的是靜電場環境下極化度與介電常數的關係，並不完全適用於電磁波條件。因此，他引入 radiation reaction 對其進行了修正。其次，通過分析計算結果關於偶極子陣列粒度的變化情況，他提出了 DDA 方法的誤差表達式，確定了偶極子數量 N 的取值標準。最後，Draine 採用複數共軛梯度算法迭代求解偶極矩方程組，獲得更好的收斂性。

1991 年，Goodman 等人在論文中指出，當偶極子陣列具有空間周期性時，複數共軛梯度算法中的矩陣乘法實質上是卷積運算，因此可以使用快速傅立葉變換 (Fast-Fourier Transform FFT) 技術對其加速，節省運算時間。作者在其 DDSCAT 軟體中加入了這一功能並對其時間複雜性進行了研究。

1993 年，Draine 與 Goodman 指出使用 Lattice Dispersion Relation (LDR) 關係描述偶極子極化度能夠使 DDA 方法的解與 mie 散射的結果更為接近，因而取代了 Clausius-Mossotti plus radiative reaction (CMRR)。

2008 年，Draine 與 Flatau 對 DDA 方法進行了改進，使其可以計算二維周期性結構或者一維無限長物體的散射，擴展了 DDA 方法的應用範圍。

此外，Yurkin 和 Maltsev 在其文章中分析了 DDA 方法的誤差與偶極間距 d 的關係。作者從電磁場散射理論出發，推導出偶極離散化誤差的表達式，同時分析了正方體偶極陣列和實際散射體形狀差別造成的誤差。

2007 年，Penttila 等人發表文章，從計算速度、內存消耗等方面比較了 SIRRI、DDSCAT、ADDA、ZDD 這 4 種 DDA 軟體各自的優劣。

2007 年，Yurkin 和 Hoekstra 發表綜述，對 DDA 方法進行了較為全面的總結，涵蓋了基本原理，計算方法，求解技術的諸多方面的研究成果和發展。

## 物理模型

## 理論推導

實質上，DDA 方法是電磁散射公式積分形式的離散化表達。

## 參考資料
离散傅里叶级数

**離散傅立葉級數**（DFS）與連續傅立葉級數相比有很大的區別。最大的不同在於離散時間傅立葉級數的係數序列是周期的。

## 離散傅立葉級數的公式

周期為 N 的周期序列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其離散傅立葉級數為 $\left\{x_{k}\right\}$ ：

$$
x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}
$$

其中，DFS 的逆變換序列：

 $a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N> 表示對一個周期 N 內的值求和）

## 進一步分析

**連續周期訊號的離散化**（下面的討論中， $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ ）：

1. 首先，在傅立葉級數一文中，我們知道函數 $f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}$ 是對於任意的 T 是周期為 T 的函數，然而其對應的離散訊號則不一定是周期的，可以證明，只有當 ${\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$ 是有理數時，離散訊號 f [n] 才是周期函數。
2. 其次，在滿足條件 1 的前提下，連續周期訊號 $f_{k}(t)$ 對應的離散訊號 $f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}$ 對 k 也具有周期性，其周期為 N, 即 $f_{k}[n]$ 中只有 N 個不同的序列。
3. 從離散時間傅立葉變換的係數公式我們可以看出， $a_{k}$ 也是對 k 周期為 N 的函數。
4. 離散傅立葉變換實際上是離散時間傅立葉級數在**主值區間**上的取值。我們注意到，離散傅立葉變換是對非周期函數 f [n] 進行的，如果我們對 f [n] 的定義拓廣為周期函數 f'[n]： $f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)$ 。並且當 $N\to \infty $ 時，f'[n] 實際上就是 f [n]，那麼我們現在可以求出 f'[n] 的傅立葉級數。同樣，當 $N\to \infty $ 時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函數 $X(e^{i\omega })$ （正如離散傅立葉變換一文中所述），這就是 f [n] 的**離散時間傅立葉變換**。這時，只需在它的**主值區間**上採樣，就可以得到離散傅立葉變換的變換序列。

## 參閱

* 傅立葉級數
* 傅立葉變換
* 離散傅立葉變換
* 離散時間傅立葉變換
离散剂

**離散劑**（英語：chaotropic agent），又稱**離液劑**，是一種打斷如蛋白質與核酸（如 DNA 與 RNA）等大分子結構並使其變性的物質。

## 概觀

離散劑會干擾分子間非共價（如氫鍵、凡得瓦力與疏水效應等）的交互作用，增加體系的熵。

## 離散劑的例子

* 丁醇
* 乙醇
* 鹽酸胍
* 過氯酸鋰
* 乙酸鋰
* 氯化鎂
* 酚
* 丙醇
* 十二烷基硫酸鈉
* 硫脲
* 脲
离散化

在數學中，**離散化**關注連續模型和等式轉化為離散形式的過程。離散化通常是處理對象使其易於數值計算機進行數值評估和處理的第一步。為適合計算機處理，額外還需要名為量化的過程。

* 歐拉離散
* 零階保持

離散化也與離散數學有聯繫，同時也是粒度計算的一個重要部分。

## 線性狀態空間模型的離散化

為適合數值計算，離散化也關注連續差分方程到離散差分方程的轉化過程。

## 離散連續特徵

在統計學和機器學習中，_離散化_指將連續特徵或者變量，轉變成離散特徵或者變量的過程。

## 參看

* 離散空間
* 時標微積分

## 參考資料

* Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang: _Introduction to random signals and applied Kalman filtering_, 3rd ed.
* Chi-Tsong Chen: _Linear System Theory and Design_.
* C. Van Loan: _Computing integrals involving the matrix exponential_, IEEE Transactions on Automatic Control, vol.23, no.3, pp. 395–404, Jun 1978

## 外部連結
离散变量自动电子计算机

**離散變量自動電子計算機**（英語：Electronic Discrete Variable Automatic Computer，EDVAC）是一台美國早期電子計算機。與它的前任 ENIAC 不同，EDVAC 採用二進位，而且是一台馮・諾伊曼結構的計算機。

## 起源和設計

ENIAC 和 EDVAC 的建造者均為賓夕法尼亞大學的電氣工程師約翰・莫奇利和普雷斯波・艾克特。1944 年 8 月，EDVAC 的建造計劃就被提出；在 ENIAC 充分運行之前，其設計工作就已經開始。和 ENIAC 一樣，EDVAC 也是為美國陸軍阿伯丁試驗場的彈道研究實驗室研製。

馮・諾伊曼以技術顧問形式加入，總結和詳細說明了 EDVAC 的邏輯設計，1945 年 6 月發表了一份長達 101 頁的報告，這就是著名的關於 EDVAC 的報告草案，報告提出的體系結構一直延續至今，即馮・諾伊曼結構。

EDVAC 的初步預算為十萬美元，但最終的成本大約超過估計的 4 倍，約五十萬美元。

## 技術說明

EDVAC 使用了大約 6000 個真空管和 12000 個二極體，占地 45.5 平方米，重達 7850 千克，消耗電力 56 千瓦

EDVAC 是二進位串行計算機，具有加減乘和軟體除的功能。一條加法指令約 864 微秒，乘法指令 2900 微秒（或 2.9 毫秒）。
使用延遲線存儲器，具有 1000 個 44 位（bit）的字。

物理上包括：

* 一個磁帶記錄儀
* 一個連接示波器的控制單元
* 一個分發單元，用於從控制器和內存接受指令，並分發到其他單元
* 一個運算單元
* 一個定時器
* 使用汞延遲線的存儲器單元

## 安裝與運行

EDVAC 於 1949 年 8 月交付給彈道研究實驗室。在發現和解決許多問題之後，直到 1951 年 EDVAC 才開始運行，而且局限於基本功能。延遲的原因是因為莫奇利和艾克特從賓夕法尼亞大學離職，開始組建莫奇利 - 艾克特電子計算機公司並帶走了大部分高級工程師，由此與賓夕法尼亞大學產生了專利糾紛。

到 1960 年，EDVAC 每天運行超過 20 小時，平均 8 小時無差錯時間。EDVAC 的硬體不斷升級，1953 年添加穿孔卡片輸入輸出；1954 年添加額外的磁鼓內存；1958 年添加浮點運算單元。

直到 1961 年，EDVAC 才被 BRLESC 所取代；在其運行周期里，EDVAC 被證明是一台可靠和可生產的計算機。

## 參考

* John von Neumann. First Draft of a Report on the EDVAC (PDF). [2008-12-18]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2004-04-23）.

## 相關

* 馮・諾伊曼結構
* ENIAC
离散型均匀分布

在統計學及機率理論中，**離散型均勻分布**是離散型機率分布，其中有限個數值擁有相同的機率。離散型均勻分布的另一種說法為「有限個結果，各結果的機率均相同」。

像均勻的骰子就是離散型均勻分布的例子，可能的值為 1, 2, 3, 4, 5, 6，而每一個數字的機率都是 1/6。但若同時丟二個均勻骰子，將其值相加，就不是離散型均勻分布了，因為各個和的機率不同。
離散型均勻分布常用來描述結果為數字的分布，不過離散型均勻分布也可以描述結果是有限集合的分布。例如隨機置換就是由已知長度的置換中均勻隨機產生的組合，而均勻生成樹是由給定的樹中均勻隨機產生的生成樹。

離散型均勻分布在本質上是無母數（non-parametric）的。不過要表示其值很容易，就用 [_a_,_b_] 之間的所有整數即可，因此 _a_ 和 _b_ 就是離散型均勻分布的主要母數（也常常改為考慮區間 [1,_n_]，只保留一個母數 _n_）。若用這種表示法，針對任意 _k_ ∈ [_a_,_b_] 的累積分布函數（CDF）為

　
: $F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$
离散对数

在整數中，**離散對數**（英語：Discrete logarithm）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 $\log _{b}a$ 是指對於給定的 $a$ 和 $b$ ，有一個數 $x$ ，使得 $b^{x}=a$ 。相同地在任何群 _G_ 中可為所有整數 $k$ 定義一個冪數為 $b^{k}$ ，而**離散對數** $\log _{b}a$ 是指使得 $b^{x}=a$ 的整數 _$k$_ 。 
離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇過的群中，並不存在有效率的求解算法。

## 定義

當模 $m$ 有原根時，設 $l$ 為模 $m$ 的一個原根，則當 $x\equiv l^{k}{\pmod {m}}$ 時：

 $Ind_{l}x\equiv k{\pmod {m}}$ ，此處的 $Ind_{l}x$ 為 $x$ 以整數 $l$ 為底，模 $m$ 時的離散對數值

## 性質

離散對數和一般的對數有著相類似的性質：

 * $Ind_{l}xy\equiv Ind_{l}x+Ind_{l}y{\pmod {\phi (m)}}$
* $Ind_{l}x^{y}\equiv yInd_{l}x{\pmod {\phi (m)}}$

## 參見

* 原根
* 對數
离散对数的波拉德ρ算法

**離散對數的波拉德 ρ 算法**是約翰・波拉德 1978 年所發明解決離散對數問題的算法。

算法的目標是求 $\gamma $ 使得 $\alpha ^{\gamma }=\beta $ ，其中 $\beta $ 屬於一個由 $\alpha $ 生成的 循環群 $G$ 。該算法尋找 $a$ , $b$ , $A$ , $B$ 使得 $\alpha ^{a}\beta ^{b}=\alpha ^{A}\beta ^{B}$ 。若他們基於的群是一個 $n$ 階的循環群，則 $\gamma $ 是方程 $(B-b)\gamma =(a-A){\pmod {n}}$ 的其中一個解。

為求得 $a$ , $b$ , $A$ , $B$ ， 該算法使用 Floyd 判圈算法 在數列 $x_{i}=\alpha ^{a_{i}}\beta ^{b_{i}}$ 中尋找一個環。 假設映射 $f:x_{i}\mapsto x_{i+1}$ 是近似於隨機的，則有可能在約 ${\sqrt {\frac {\pi n}{2}}}$ 步後發現一個環。可使用一下規則來生成一個此類映射：將 $G$ 分割為三個不相交的子集 $S_{0}$ ， $S_{1}$
， $S_{2}$ ，且其所含元素數量大致相等，如果 $x_{i}\in S_{0}$ 則將 $a$ 和 $b$ 加倍； 如果 $x_{i}\in S_{1}$ 則將 $a$ 自增； 如果 $x_{i}\in S_{2}$ 則將 $b$ 自增。

## 算法

使 G 是一個 p 階的 循環群，且有 $\alpha ,\beta \in G$ , 以及一個分割 $G=S_{0}\cup S_{1}\cup S_{2}$ , 定義映射 $f:G\to G$

　
: $f(x)={\begin{cases}\beta x&x\in S_{0}\\x^{2}&x\in S_{1}\\\alpha x&x\in S_{2}\end{cases}}$

並據以下方式定義映射 $g:G\times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} $ 和 $h:G\times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} $

　
: ${\begin{aligned}g(x,n)&={\begin{cases}n&x\in S_{0}\\2n{\pmod {p}}&x\in S_{1}\\n+1{\pmod {p}}&x\in S_{2}\end{cases}}\\h(x,n)&={\begin{cases}n+1{\pmod {p}}&x\in S_{0}\\2n{\pmod {p}}&x\in S_{1}\\n&x\in S_{2}\end{cases}}\end{aligned}}$

```
 **输入** _a_: a 是 _G_ 的生成元, _b_: _G_ 的一个元素
 **输出** 整数 _x_ 使得 _ax_ = _b_, 或者失败

 初始化 _a_0 ← 0, _b_0 ← 0, _x_0 ← 1 ∈ _G_, 

 _i_ ← 1
 **loop**
     _xi_ ← _f_(_x_i-1), 
     _ai_ ← _g_(_x_i-1, _a_i-1), 
     _bi_ ← _h_(_x_i-1, _b_i-1)

     _x_2_i_ ← _f_(_f_(_x_2_i_-2)), 
     _a_2_i_ ← _g_(_f_(_x_2_i_-2), _g_(_x_2_i_-2, _a_2_i_-2)), 
     _b_2_i_ ← _h_(_f_(_x_2_i_-2), _h_(_x_2_i_-2, _b_2_i_-2))

     **if** _xi_ = _x_2_i_ **then**
         _r_ ← _bi_ - _b_2_i_
         **if** r = 0 **return failure**
         _x_ ← _r_−1(_a_2_i_ - _ai_) mod _p_
         **return** _x_
     **else** # _xi_ ≠ _x_2_i_
         _i_ ← _i_+1, 
         **break loop**
     **end if**
  **end loop**
```

## 舉例

例如一個由 2 模 $N=1019$ 生成的群（群的階是 $n=1018$ ，2 是生成元，生成群的元素模 1019 同餘)。這個算法可由以下 C++ 程序實現。

結果如下 (已截斷):

```
 i     x   a   b     X   A   B
------------------------------
 1     2   1   0    10   1   1
 2    10   1   1   100   2   2
 3    20   2   1  1000   3   3
 4   100   2   2   425   8   6
 5   200   3   2   436  16  14
 6  1000   3   3   284  17  15
 7   981   4   3   986  17  17
 8   425   8   6   194  17  19
..............................
48   224 680 376    86 299 412
49   101 680 377   860 300 413
50   505 680 378   101 300 415
51  1010 681 378  1010 301 416
```

可見 $2^{681}5^{378}=1010=2^{301}5^{416}{\pmod {1019}}$ 以及 $(416-378)\gamma =681-301{\pmod {1018}}$ 。
正如預期，其中 $\gamma _{1}=10$ 是一個解。由於 $n=1018$ 不是素數，因此存在另一個解 $\gamma _{2}=519$ ，使得 $2^{519}=1014=-5{\pmod {1019}}$ 成立。

## 複雜度

時間複雜度近似於 ${\mathcal {O}}({\sqrt {n}})$ 。如果配合使用 Pohlig-Hellman 算法，則整體時間複雜度近似於 ${\mathcal {O}}({\sqrt {p}})$ ，其中 $p$ 是 $n$ 的最大質因數。

## 參考文獻

* Pollard, J. M. Monte Carlo methods for index computation (mod _p_). Mathematics of Computation. 1978, **32** (143): 918–924. doi:10.2307/2006496.
* Menezes, Alfred J.; van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. Chapter 3 (PDF). Handbook of Applied Cryptography. 2001 [2018-04-16]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2012-02-08）.
离散度

在統計學裡，**離散程度**（英語：statistical dispersion，scatter，spread）或**離散度**，又稱**統計變異性**（statistical variability），簡稱 **變異**、**變差**（variation）、**變率**，是指一個分布或隨機變數的拉伸或壓縮程度。習慣上，「離散」常用來描述數據分布，而「變異」（指：變異數、方差）更常用來描述隨機變數的變異程度。用以描述離散程度或變異的量主要有變異數、標準差、變異係數和四分位距等。

離散程度與集中趨勢相對，因此，離散度就是指各個變數值與集中趨勢的偏離程度。

## 衡量

衡量離散程度的值，通常是非負實數：當衡量值取零時，表示分布集中在同一個值上；隨著衡量值的增加，隨機變數的取值越來越分散。

部分描述離散程度的量是帶單位的，並且，這些量的單位與隨機變數本身的單位相同。也就是說，如果隨機變數的單位是公尺或秒，則這些量的單位也是公尺或秒。這些量舉例如下：

* 標準差
* 四分位距
* 全距
* 平均絕對偏差
* 絕對差中位數
* 平均差
* 間隔關係

此外，也有一些無因次量：

* 變異係數
* 四分位離散係數
* 吉尼係數
* 熵

另外，還有一些帶單位的量，但是他們的單位和隨機變數本身的單位不同：

* 變異數
* 離散指數

## 可解釋性

變差的可解釋性，通常是對於一個隨機變數而言的。當觀測到隨機變數的一些取值（例如訓練集中的標籤可視作是一個隨機變數的一些觀測值），需要推斷隨機變數服從的分布時，就會遇到這個問題。一般而言，推斷有限觀測值的隨機變數服從的分布的過程，即是建立模型的過程。

假設有隨機變數 $\mathbf {X} $ 及其服從的真實分布 $\mathbf {X} \sim D$ 。則對於該隨機變數的觀測值，可計算其變差（以變異數表示） ${\text{SS}}_{\text{total}}:={\text{Var}}(\mathbf {X} )$ ；對於分布，亦可計算其變差 ${\text{SS}}_{\text{distribution}}:={\text{Var}}(D)$ 。則 ${\text{SS}}_{\text{distribution}}$ 是相對該隨機變數的**可解釋變異**（英語：explainable variation），其餘的部分則是**不可解釋變異**（英語：unexplainable variation）。為了衡量不可解釋變異，可引入**不可解釋變異分數**（英語：fraction of unexplainable variation） ${\text{FUV}}:=1-{\tfrac {{\text{SS}}_{\text{distribution}}}{{\text{SS}}_{\text{total}}}}$ 。不可解釋變異亦稱為**統計雜訊**。

假設 $D'$ 是模型給出的隨機變數的分布。則對於該預測分布，我們可以計算器變異（以變異數表示） ${\text{SS}}_{\text{model}}:={\text{Var}}(D')$ 。則 ${\text{SS}}_{\text{model}}$ 是該模型相對該隨機變數的**已解釋變異**（英語：explained variation），其餘部分則是**未解釋變異**（英語：unexplained variation）。同樣，為了衡量未解釋變異，可引入**未解釋變異分數**（英語：fraction of unexplained variation） ${\text{FUV}}:=1-{\tfrac {{\text{SS}}_{\text{model}}}{{\text{SS}}_{\text{total}}}}$ 。

## 參考資料
离散拓扑

在拓撲學和相關數學領域中，**離散空間**是特別簡單的一種拓撲空間，在其中點都在特定意義下是相互孤立的。

## 定義

給定集合 _X_:

* 在 _X_ 上的**離散拓撲**是通過集合 _X_ 的所有子集是開集而定義的，而 _X_ 是**離散拓撲空間**，如果它配備了它的離散拓撲；
* 在 _X_ 上的**離散一致**是通過設置 _X_ × _X_ 中的對角 {(_x_,_x_) : _x_ ∈ _X_} 的所有子集為周圍（entourage）而定義的，而 _X_ 是**離散均勻空間**，如果它配備了它的離散一致。
* 在 _X_ 上的**離散度量** $\rho $ 定義為

　
: $\rho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ x\neq y,\\0&{\mbox{if}}\ x=y\end{matrix}}\right.$

對於任何 $x,y\in X$ 。在這種情況下 $(X,\rho )$ 被稱為**離散度量空間**或**孤點空間**。

度量空間 $(E,d)$ 被稱為「一致離散」的，如果存在 $r>0$ 使得對於任何 $x,y\in E$ ，要麼 $x=y$ 要麼 $d(x,y)>r$ 。在度量空間底層的拓撲空間可以是離散的，而沒有一致離散的度量：例如在實數的集合 {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} 上的平常度量。

## 性質

在離散度量空間上的底層一致是離散一致，而在離散均勻空間上的底層拓撲是離散拓撲。因此離散空間的不同概念是相互兼容的。在另一個方面，非離散一致或度量空間的底層拓撲可以是離散的；一個例子是度量空間 _X_ := {1/_n_ : _n_= 1,2,3,...} (帶有從實直線繼承來的度量，並給出為 d (_x_,_y_) = |_x_ − _y_|)。明顯的，這不是離散度量；還有這個空間不是完備的並因襲作為均勻空間不是離散的。然而它作為拓撲空間是離散的。我們稱 _X_ 是「拓撲離散」而非「一致離散」或「度量離散」。

此外還有:

* 拓撲空間是離散的，若且唯若它的單元素集合是開集，也就是若且唯若他不包含任何會聚點。
* 單元素集合形成了這個離散拓撲的基。
* 均勻空間 _X_ 是離散的，若且唯若對角 {(_x_,_x_) : _x_ ∈ _X_} 是周圍。
* 所有離散拓撲空間滿足每個分離公理；特別是，所有離散空間都是郝斯多夫空間，就是說是分離的。
* 離散空間是緊緻空間，若且唯若它是有限的。
* 所有離散一致或度量空間是完備空間。
* 組合上兩個性質，所有離散一致或度量空間是完全有界空間，若且唯若它是有限的。
* 所有離散度量空間是有界的。
* 所有離散空間是第一可數空間，並且離散空間是第二可數空間若且唯若它是可數的。
* 所有離散空間都是完全不連通空間。
* 所有非空離散空間都是第二範疇。
* 任何兩個有相同勢的離散空間都是同胚的。

任何從離散拓撲空間到另一個拓撲空間的函數是連續函數，任何從離散均勻空間到另一個均勻空間的函數是均勻連續的。就是說，在拓撲空間和連續映射範疇中，或在均勻空間和均勻連續映射範疇內，離散空間 _X_ 是集合 _X_ 上的自由物件。這些性質是更廣泛現象的實例，在其中離散結構通常自由於集合上。

對於度量空間，事情更加複雜，因為依賴於所選擇的態射有很多度量空間範疇。離散度量空間當然是自由的，在態射都是均勻連續映射或連續映射的時候，但是這沒有說對度量結構有價值的事情，只針對了一致或拓撲結構。與度量結構更有關的範疇可以通過把態射限制為利普希茨連續映射或短映射來找到；但是，這些範疇沒有自由物件（在多於一個元素的時候）。但是，離散度量空間在有界度量空間和利普希茨連續映射範疇內是自由的，並且它在有界於 1 的度量空間和短映射範疇是自由的。就是說，從離散度量空間到另一個有界度量空間的函數是利普希茨連續的，而任何從離散度量空間到另一個有界於 1 的度量空間的函數是短映射。

在其他方向上，從拓撲空間 _Y_ 到離散空間 _X_ 的函數 _f_ 是連續的，若且唯若它是局部常數函數，在所有 _Y_ 的點都有 _f_ 在其上的鄰域是常數的意義上。

## 用途

離散結構通常用做不承載任何其他自然拓撲、一致或度量的集合上「預設結構」。例如，任何群都可以通過給予它離散拓撲被認為是拓撲群，蘊涵了關於拓撲群適用於所有群的定理。實際上，分析學家更偏好被代數學家作為離散群來研究的平常的非拓撲群。在某些情況下，這可有用的應用，例如組合上 Pontryagin 對偶性。

0 維流形（或微分流形或解析流形）就只是離散拓撲空間。在前面段落的精神下，我們可以把任何離散群看作 0 維李群。

儘管離散空間從拓撲學的角度看沒有什麼令人興奮的，可以卻可以從它們構造有趣的空間。例如，可數無限多個自然數離散空間的乘積同胚於無理數空間，帶有同胚給出自連分數展開。可數多個離散空間 {0,1} 的乘積同胚於康托爾集合；並且事實上一致同胚於康托爾集合，如果我們在乘積上使用乘積一致。這種同胚給出自數字的三進位表示。（參見康托爾空間）。

在數學基礎中，{0,1} 乘積的緊緻性質的研究是超濾子原理的拓撲途徑的中心，它是弱形式的選擇公理。

## 不可分空間

在某種意義上，離散拓撲的對立者是密著拓撲（也叫做「不可分拓撲」），它有最少可能數目的開集（就是空集和空間自身）。這裡的離散拓撲是始物件和自由物件，而不可分拓撲是終物件或 cofree 物件：所有從拓撲空間到不可分空間的函數都是連續的。

## 參見

* 圓柱集合

## 引用
离散政治

**離散政治**或稱**僑民政治**，研究跨國種族離散（或稱流移）中的政治行為、離散者們跟他們的故鄉和所在國的關係、以及他們在種族衝突中的顯著角色。離散政治是離散學（diaspora studies）的一部份。

要明白離散者的政治，必先要明白歷史背景及其附帶事件：離散者是一個跨國群體，基於他們的共同身份而把自己定義為一個獨特的族群。離散是從故鄉或「祖國」僑居他處而生。在現代，這種移居可能有歷史文獻記載，而離散者們可能跟某片土地有關係。某片土地是否是某族群的祖國或家鄉是一個政治問題。該次遷移發生的時間愈久遠，證據就愈少：以羅姆人為例，他們的祖國、遷移、以及遷移路線都仍未能確定。去宣示一片土地為祖國必定會有政治涵意，而且經常帶來爭議。

因為那個地方和他們的種族以及文化的關係，對自己身份有所認知的離散者很看重他們的故鄉 － 特別當那是失土或佔領區時。有幾個離散者群因此發起種族民族主義運動，亦時常以成功建立主權國為家作終結。但即使建立了「祖國」，全數離散者回歸故鄉卻很少有，而沒有回鄉的離散者通常對故鄉，以及當地其他種族的居民保有重要的情感。

學者現在認為種族離散群體是國際系統裏「無法避免」和「在地」的特徵，Yossi Shain 和 Tamara Cofman Wittes 提出的原因是：

1. 在離散者所居住的每一個國家中，他們都可以在當地組織起來以加強他們的政治影響力。
2. 離散者可以為了他們所關心的問題而對其祖國當地的政治圈施加強大壓力。
3. 一個離散者跨國群體可以直接跟某第三國及國際組織接觸，繞過祖國以及所在地政府。

離散者因此被視為跨國政治實體，「為同胞奔走」，而且有能力獨立於任何國家行事，不論是祖國或所在地政府。

## 請參閱

* 身份政治
* 美國離散政治

## 註腳
离散时间信号

**離散時間信號**的（時間）自變量僅在離散時刻有定義。大多數離散時間信號是由對連續時間信號採樣得到的。取值上可以仍然取連續值。

信號可以以時間序列表示。對於一維信號，以兩個向量方式表示，例如

　
: n = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]

　
: x = [2, 1.2, -3.6, 0, 1, 4, 6.3]

更高維的信號也可以用多維向量表示。

## 基本信號

### 單位脈衝序列

　
: $\delta (k)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k=0\\0,&{\mbox{if }}k\not =0\end{matrix}}\right.$

由數學式可見該序列僅在 k=0 處取單位值，其餘點均為零，因此又稱「單位取樣序列」、「單位樣本函數」或「單位脈衝序列」等。

單位序列的作用類似於連續時間信號中的 **$\delta (t)$** ，也具有抽樣性，即為：

$$
{\mathcal {f}}(k)\delta (k)={\mathcal {f}}(0)\delta (k)
$$

$$
{\mathcal {f}}(k)\delta (k-m)={\mathcal {f}}(m)\delta (k-m)
$$

$$
{\mathcal {f}}(k)\delta (k+m)={\mathcal {f}}(-m)\delta (k+m)
$$

但是 $\delta (k)$ 和 $\delta (t)$ 有本質上的差別： $\delta (t)$ 是一個奇異信號，可理解為一個在 t=0 處幅度無窮大，寬度無窮小且面積為 1 的脈衝，實際上無法實現。但是 $\delta (k)$ 是一個非奇異信號，它在 k=0 處取有限值 1，這在實際工程上是可以實現且存在的。

### 單位階躍序列

　
: $\mu (k)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k\geq 0\\0,&{\mbox{if }}k<0\end{matrix}}\right.$

由數學式可見單位階躍序列類似於連續時間信號中的單位階躍函數 $\mu (t)$ ，它也具有切除性。可將一個雙邊序列截為一個單邊序列。同樣 $\mu (k)$ 和 $\mu (t)$ 有本質上的差別： $\mu (t)$ 是一個奇異信號，它在 t=0 處發生階躍，μ(0-)=0，μ(0+)=1；而 $\mu (k)$ 是一種非奇異信號，它在 t=0 處明確定義為 1。

單位脈衝序列與單位階躍序列有密切的關係。

單位脈衝序列是單位階躍序列的一次後向差分，即為：

$$
\delta (k)=\mu (k)-\mu (k-1)
$$

而單位階躍序列是單位脈衝序列的求和，即為：

$$
\mu (k)=\sum _{n=-\infty }^{k}\delta (n)=\sum _{m=0}^{\infty }\delta (k-m)
$$

### 離散複指數信號

在系統分析中，離散複指數信號 $e^{jk\omega }$ 是一個非常重要的基本信號，在序列的傅立葉分析含離散系統的頻率特性中得到廣泛的應用。它的作用相當於在連續信號和連續系統的傅立葉分析所用到的基本信號 $e^{jt\Omega }$

離散複指數信號 ${\mathcal {f}}(k)=e^{jk\omega }$

由尤拉公式可得 ${\mathcal {f}}(k)=e^{jk\omega }=\cos \omega k+j\sin \omega k$

實部表示離散餘弦序列，虛部為離散正弦序列。

### 單邊實指數序列

實指數序列是指序列值隨序列變化按指數規律變化的離散時間信號，常用的實指數序列為單邊實指數序列，當 ${\mathsf {k}}<0$ 時， ${\mathcal {f}}(k)=0$ ，即 ${\mathcal {f}}(k)=a^{k}\mu (k)$ ，
若 $\left\vert a\right\vert >1$ ，信號隨 k 指數增長，序列呈現發散；若 $\left\vert a\right\vert <1$ ，換句話說當 ${\mathcal {a}}$ 介於 0 至 1 之間時，則信號隨 ${\mathcal {k}}$ 指數衰減，序列呈現收斂。另外，若 ${\mathcal {a}}$ 為正數時，信號的樣值不改變符號；若 ${\mathcal {a}}$ 為負數時，信號的樣值符號交替變化。若 ${\mathcal {a}}=1$ ，則 ${\mathcal {f}}(k)=\mu (k)$ 。
如果 ${\mathcal {f}}(k)=a^{-k}\mu (k)$ ，則當 $\left\vert a\right\vert <1$ 時， ${\mathcal {f}}(k)$ 為發散序列；當 $\left\vert a\right\vert >1$ 時， ${\mathcal {f}}(k)$ 為收斂序列。

### 正弦序列

正弦序列定義為 ${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \sin(\omega k+\varphi )$ 或 ${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \cos(\omega k+\theta )$ ，其中 $\omega $ 為正弦序列的數字角頻率； $\mathrm {A} $ 為正弦序列的振福； $\varphi $ 或 $\theta $ 為相移。

對於連續時間正弦信號 ${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \sin(\Omega t+\varphi )$ ，具有以下兩個性質:

 1. $\Omega $ 越大，信號變化的速率就越快；
2. 對任何 $\Omega $ 值，信號都是週期的。對於正弦序列，以上兩項與連續信號相比有很大的不同。

對於離散正弦序列 $\sin[(\omega +2\pi ){\mathcal {k}}+\varphi ]=\sin(\omega {\mathcal {k}}+\varphi )$ ，離散正弦序列在頻率 $\omega +2\pi $ 與頻率 $\omega $ 時是完全相同的，連續時間正弦信號對於不同的 $\Omega $ 就對應著不同的信號；而對於頻率為 $\omega $ 的離散時間正弦信號與頻率為 $\omega \pm 2\pi $ ， $\omega \pm 4\pi $ ，... 這些離散正弦信號是完全相同的。

因此在考慮離散正弦信號時，只需在某個 $2\pi $ 間隔內選擇頻率就可以。通常選擇 $0\leqslant \omega <2\pi $ 或 $-\pi \leqslant \omega <\pi $ 區間。通過以上的討論可知，離散正弦信號並不是隨 $\omega $ 的無限增加而無限增加其振盪速率的。事實上，離散正弦序列的振盪速率是隨 $\omega $ 從 0 (常數序列) 開始增加的，直到 $\omega =\pi $ 為止，若繼續增加 $\omega $ 的話，其振盪速率就會下降，直到 $2\pi $ (常數序列) 為止。因此離散正弦信號的低頻段在 $\omega $ 為 0， $\pm 2\pi $ ， $\pm 4\pi $ ，... 附近：而高頻段在 $\omega $ 為 $\pm \pi $ ， $\pm 3\pi $ 附近，此時信號在每個點上都改變符號，產生最快速振盪。
离散时间傅里叶级数

**離散傅立葉級數**（DFS）與連續傅立葉級數相比有很大的區別。最大的不同在於離散時間傅立葉級數的係數序列是周期的。

## 離散傅立葉級數的公式

周期為 N 的周期序列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其離散傅立葉級數為 $\left\{x_{k}\right\}$ ：

$$
x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}
$$

其中，DFS 的逆變換序列：

 $a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}$ （k=<N> 表示對一個周期 N 內的值求和）

## 進一步分析

**連續周期訊號的離散化**（下面的討論中， $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$ ）：

1. 首先，在傅立葉級數一文中，我們知道函數 $f(t)=e^{i({\frac {2\pi }{T}})t}$ 是對於任意的 T 是周期為 T 的函數，然而其對應的離散訊號則不一定是周期的，可以證明，只有當 ${\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$ 是有理數時，離散訊號 f [n] 才是周期函數。
2. 其次，在滿足條件 1 的前提下，連續周期訊號 $f_{k}(t)$ 對應的離散訊號 $f_{k}[n]=e^{ik({\frac {2\pi }{N}})n}$ 對 k 也具有周期性，其周期為 N, 即 $f_{k}[n]$ 中只有 N 個不同的序列。
3. 從離散時間傅立葉變換的係數公式我們可以看出， $a_{k}$ 也是對 k 周期為 N 的函數。
4. 離散傅立葉變換實際上是離散時間傅立葉級數在**主值區間**上的取值。我們注意到，離散傅立葉變換是對非周期函數 f [n] 進行的，如果我們對 f [n] 的定義拓廣為周期函數 f'[n]： $f'[n]=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }f(n+i\cdot N)$ 。並且當 $N\to \infty $ 時，f'[n] 實際上就是 f [n]，那麼我們現在可以求出 f'[n] 的傅立葉級數。同樣，當 $N\to \infty $ 時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函數 $X(e^{i\omega })$ （正如離散傅立葉變換一文中所述），這就是 f [n] 的**離散時間傅立葉變換**。這時，只需在它的**主值區間**上採樣，就可以得到離散傅立葉變換的變換序列。

## 參閱

* 傅立葉級數
* 傅立葉變換
* 離散傅立葉變換
* 離散時間傅立葉變換
离散正弦变换

**離散正弦變換**（DST for Discrete Sine Transform）是一種與傅立葉變換相關的變換，類似離散傅立葉變換，但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍，一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分（因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出）。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是離散餘弦變換，相當於長度約為它兩倍，實偶函數的離散傅立葉變換。參考 DCT 本文有關邊界條件和不同的 DCT 和 DST 關聯的一般討論。

## 應用

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程，這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇 / 偶邊界條件。

## 定義

形式上，離散正弦變換是一個線性的可逆函數 $F:R^{N}\rightarrow R^{N}$ ，其中 **R** 為實數集，或等價的說是一個 $N\times N$ 方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形，皆根據以下公式之一把 $N$ 個實數 $x_{0},\ldots ,x_{N-1}$ 變換到另 $N$ 個實數 $X_{0},\ldots ,X_{N-1}$ 。

### DST-I

　
: $X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1$

一個 DST-I 矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

 $N=3$ 的實數 _abc_ 的 DST-I 變換等價於 8 點實數 _0abc0(-c)(-b)(-a)_（奇對稱）的 DFT 轉換，再除 2（而 DST-II~DST-IV 等價於 DFT 有半個取樣的位移）。

因而 DST-I 對應的邊界條件是： $x_{n}$ 對 $n=-1$ 奇對稱，也對 $n=N$ 奇對稱； $X_{k}$ 也類似。

### DST-II

　
: $X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1$

### DST-III

　
: $X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1$

### DST-IV

　
: $X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1$

一個 DST-IV 矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

### DST V-VIII

## 反變換

DST-I 的反變換是把 DST-I 乘以 ${\frac {1}{N+1}}$ 。
DST-IV 的反變換是把 DST-IV 乘以 ${\frac {2}{N}}$ 。
DST-II 的反變換是把 DST-III 乘以 ${\frac {2}{N}}$ ，反之亦然。

類似離散傅立葉變換，這些定義前面的歸一係數只是習慣，不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘 ${\sqrt {\frac {2}{N}}}$ ，使反變換和變換在形式上更相似，而不需另外的歸一係數。

## 計算

## 相關條目

* 離散傅立葉變換
* 離散餘弦變換

## 參考資料

* S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
* Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).

## 外部連結

* 離散正弦變換 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
离散盘

**離散盤天體** （**scattered disc objects** ）是海王星外天體（trans-Neptunian objects（TNO））中動力學壽命較短的一類天體。它們因為受到海王星的引力散射而分布在範圍更廣闊的海王星外天體。離散盤最內側的部分與經典古柏帶天體重疊，但它的外緣向外伸展並比一般的古柏帶天體遠離了不變平面。

## 形成

我們對離散盤的所知非常有限，雖然天文學的主流觀點認為它是太陽系形成的早期過程中，因為海王星向外遷徙造成的引力擾動才被從古柏帶散射入高傾斜和高離心率的軌道內。相比之下，古柏帶像是一個相對「圓」和「平坦」的甜甜圈，以平和的圓軌道（QB1 天體）和略為橢圓的共振軌道（類冥天體），將天體約束在 30 至 44 天文單位的圓環內；離散盤天體的軌道環境就比較怪異了。離散盤天體，就以矮行星鬩神星為例，在垂直黃道方向上的距離幾乎和平行方向上與太陽的距離一樣遠；軌道模擬也顯示離散盤天體的軌道是怪異且不穩定的，並且最終會從太陽的核心區域拋至歐特雲甚至更遙遠的地方。

有些跡象顯示半人馬群只是單純的從古柏帶被向內拋射，而不是向外拋射的天體，可以稱為「內海王星天體」（cis-Neptunian object）。事實上，有些天體，像是 1999 TD10 已經模糊了這些觀點，因此小行星中心已經將離散盤天體和半人馬群一併列表。依據這已經混淆不清的範疇，有些科學家已經改用「**離散古柏帶天體**」（scattered Kuiper belt object，SKBO）來涵蓋或統稱半人馬群和離散盤內的天體。

雖然海王星外天體賽德娜在官方的小行星中心被認定是一顆離散盤天體，但發現者米高・布朗因為它的近日點距離遠達 76 天文單位，不太會受到行星的引力擾動影響，因此認為他應該是歐特雲內側的天體，而不該是顆離散盤天體。

## 參考資料

## 相關條目

* 海王星外側天體列表
* 古柏帶

## 外部連結

* 半人馬族與離散盤天體一覽表 (英) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
离散系数

在機率論和統計學中，**變異係數**（又稱**離散係數**、**變差係數**，英語：coefficient of variation，**CV**）是機率分布離散程度的一個歸一條件量度，其定義為標準差 $\ \sigma $ 與平均值 $\ \mu $ 之比：

　
: $c_{v}={\sigma  \over \mu }$

變異係數只在平均值不為零時有定義，而且一般適用於平均值大於零的情況。變異係數也被稱為**標準離差率**或**單位風險**。

變異係數只對由等比尺度計算出來的數值有意義。舉例來說，對於一個氣溫的分布，使用客耳文或攝氏度來計算的話，σ 客耳文 =1.82\*σ 攝氏度，μ 客耳文 =1.8\*μ 攝氏度 +32，因此使用不同的溫標的話得出的變異係數是不同的。使用等距尺度得到的變異係數是沒有意義的。

## 變異係數與標準差

### 優點

比起標準差來，變異係數的好處是不需要參照數據的平均值。變異係數是一個無因次量，因此在比較兩組因次不同或均值不同的數據時，應該用變異係數而不是標準差來作為比較的參考。

### 缺陷

1. 當平均值接近於 0 的時候，微小的擾動也會對變異係數產生巨大影響，因此造成精確度不足。
2. 變異係數無法發展出類似於均值的信賴區間的工具。

## 應用

變異係數在機率論的許多分支中都有應用，比如說在更新理論、排隊理論和可靠性理論中。在這些理論中，指數分布通常比常態分布更為常見。

由於指數分布的標準差等於其平均值，所以它的變異係數等於一。變異係數小於一的分布，比如愛爾朗分布稱為低差別的，而變異係數大於一的分布，如超指數分布則被稱為高差別的。

## 參見

## 參考來源
离散边界

**分離板塊邊緣**（divergent boundary）又稱**建設性板塊邊界**，是地殼由於張力作用向兩側擴張延伸，地函上部經熔融作用冒出產生新的岩石圈。

這個地區成為大陸的末端，最終形成大洋盆地。大陸板塊移離成為裂谷，而海洋板塊移離則成為中洋脊。熔岩在板塊間流出冷卻，形成盾狀火山和火山島。

## 例子

* 大西洋中脊
* 東太平洋海隆
* 加科爾山脊
* 探險家海嶺
* 太平洋 - 南極洋脊
离散选择法

**離散選擇法**（_**Discrete choice approach**_，縮寫_**DCA**_，也作_**Discrete choice model**_，即「離散選擇模型」）屬於多重變量分析的方法之一，是社會學、生物統計學、數量心理學、市場行銷等統計實證分析的常用方法。

## 假設

## 目標

離散選擇法的目標是通過（特定個體的或者特定類別的）協變量解釋所觀察到的在離散對象中進行的抉擇。

## 應用領域舉例

* 與一組實行安慰劑治療的對照組（Control group）進行比較，看治療方法是否成功
* 解釋婦女的工作行為
* 選擇某一專業學習
* 在一攬子商品中對某一商品的購買決策
* 情景條件下的市場份額建模
* 根據「回憶者」（表現出來）的特徵衡量廣告活動的成功
* 解釋顧客價值概念（分類模型）
* 顧客滿意度研究（分類模型）

## 臨界值模型的假設

* 個體行為能夠通過一個不可觀察的（隱藏）變量 yn\* 來調控
* yn\* 線性依賴於協變量
* 二元變量假定依賴於 yn\* 的水平
* 不可觀察的臨界值 c 在識別基礎 o.B.d.A 上設為 0
* 分布函數 F (・) 是邏輯常態分布或者常態分布
* Logit 模型： $\mathrm {P} (y_{n}=1|x_{n})={\frac {\exp(b_{0}+b_{1}X_{1}+\dots +b_{k}X_{k})}{1+\exp(b_{0}+b_{1}X_{1}+\dots +b_{k}X_{k})}}$
* Probit 模型：

## 隨機效用模型的假設

* 存在 r≥2 個未排序的對象，在其中個體中於該時點選出一個
* 每個對象有自己的效用
* 效用不能完整的觀察，

## 參見

* 多重變量分析

## 外部連結
离散量

**離散**（discrete，discreteness）與連續相對，**離散量**（discrete magnitude）是指分散開來的、不存在中間值的量。離散可以是指：

* 離散度（statistical dispersion），各個變數值與集中趨勢的偏離程度。
* 離散群，一個擁有離散拓樸的群。
* 離散範疇，一種唯一的態射是恆等態射的範疇。
* 離散數學，數學的幾個分支的總稱，專門研究一些沒有連續概念的數學結構。
* 離散最佳化，應用數學和電腦科學中最佳化問題的一個分支。
* 離散機率分布，一種機率分布擁有可數的隨機變數。
* 離散訊號，是在連續訊號上採樣得到的訊號。
* 離散空間，一種簡單的拓樸空間。
* 離散時間，不連續的時間，在動力系統中一種可以讓變數隨時間演化的架構。
* 流散（英語：diaspora），具有共同民族認同的人口群體由於某些原因導致的遷徙，又稱**離散**。
离散集

在拓撲學中，考慮集合 _X_ 中的點 _x_，如果 _x_ 屬於 _X_ 的子集 _S_，且在 _X_ 中存在一個 _x_ 的鄰域，其中不包括 _S_ 中的其他點，那麼 _x_ 叫做子集 _S_ 的一個**孤點**或**孤立點**。

特別的，在歐幾里得空間（或度量空間）中，考慮集合 _S_ 及其中的一個點 _x_，如果存在一個包含 _x_ 的開球，其中不包含 _S_ 中的其他點，那麼 _x_ 是 _S_ 的孤點。等價的說，集合 _S_ 中的一個點 _x_ 是孤點，若且唯若 _x_ 不是 _S_ 的會聚點。

只由孤點構成的集合稱為**離散集合**。歐幾里得空間的離散子集都是可數的；但是一個可數集合不一定是離散的，比如有理數。參見離散空間。

沒有孤點的集合叫做完美集合。

孤點的數目是拓撲不變的，就是說兩個同胚的拓撲空間 $X$ 和 $Y$ 有相同數目的孤點。

## 舉例

* 對集合 $S=\{0\}\cup [1,2]$ ，點 0 是孤點。
* 對集合 $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}$ ，每一個點 1/k 是孤點，但 0 不是孤點，因為在 _S_ 中可以找到任意接近 0 的點。
* 自然數集合 **N**={0, 1, 2, ...} 是一個離散集合。

## 外部連結

* https://web.archive.org/web/20080415075029/http://www.cool-rr.com/protein.htm Rigorous proof of isolated points' countability.
离斑带蛱蝶

**離斑帶蛺蝶**是蛺蝶科蝴蝶的一種，出沒於印度西南部和部份東南西地區。

## 描述

上部：雄蝶為柔和的黑色，雌蝶則顯現著暗沈的褐色，在某種光線下，會滿佈著藍色的光澤。

## 分佈

印度的錫金邦和阿薩姆邦山區、不丹、緬甸的德林達依。亦發現於印度南部、西高止山脈和尼爾吉里丘陵。

## 生命史

### 幼蟲

### 蛹

### 食用植物

異株木犀欖（_Olea dioica_）和馬拉巴李欖（_Linociera malabarica_）。
离明阁

**離明閣**，位於中國廣東省江門市鶴山市雅瑤鎮隔朗村，為鶴山市僅存的清代磚塔。1994 年，列入鶴山市文物保護單位。

塔平面為六角形，三層，呈樓閣式，高 15 米。清康熙十五年（1676 年）建，嘉慶二十年（1815 年）重修，光緒六年（1880 年）增建。

## 參考文獻
离板藤壶属

**離板藤壺屬**（學名：_Cantellius_）為塔藤壺科的一個屬。

## 下級分類

本屬包括以下物種：

* _Cantellius acutum_ (Hiro, 1938)
* 白離板藤壺 _Cantellius albus_ Ren, 1986
* _Cantellius alphonsei_ Achituv, 2001
* _Cantellius alveoporae_ Kim HK, Chan Bkk, Song SJ & Khim JS., 2021
* _Cantellius arcuatus_ (Hiro, 1938)
* _Cantellius brevitergum_ (Hiro, 1938)
* _Cantellius cardenae_ Achituv & Hoeksema, 2003
* _Cantellius cornutergum_ Achituv, 2020
* _Cantellius euspinulosum_ (Broch, 1931)
* _Cantellius gregarius_ (Sowerby, 1823)
* _Cantellius hiroi_ Galkin, 1982
* _Cantellius hoegi_ Achituv, Tsang & Chan, 2009
* _Cantellius iwayama_ (Hiro, 1983)
* _Cantellius madreporum_ (Borradaile, 1903)
* _Cantellius maldiviensis_ Galkin, 1982
* _Cantellius octavus_ Ross & Newman, 1973
* _Cantellius pallidus_ (Broch, 1931)
* _Cantellius preobrazhenskyi_ Galkin, 1982
* _Cantellius pseudopallidum_ (Kolosváry, 1947)
* _Cantellius quintus_ Ross & Newman, 1973
* _Cantellius secundus_ (Broch, 1931)
* _Cantellius septimus_ (Hiro, 1938)
* _Cantellius sextus_ (Hiro, 1938)
* 華離板藤壺 _Cantellius sinensis_ Ren, 1986
* _Cantellius sumbawae_ (Hoek, 1913)
* _Cantellius transversalis_ (Nilsson-Cantell, 1938)
* _Cantellius tredecimus_ (Kolosváry, 1947)

## 參考文獻
离枝

**令支國**，於殷商時代建立的部落國家，位於在今中華人民共和國河北省灤州市和遷安市之間。《史記》作**離枝**，亦作**冷支**、**離支**、**不令支**、**令疵**。屬於東北夷之一，在春秋時代被列為山戎。

為孤竹之鄰國，也是殷商的近親部落和封國之一。商亡之後，歸附周朝，曾向周成王進貢。

春秋時期，附從南下的山戎，成為山戎之屬國。前 664 年（周惠王十三年、齊桓公二十二年）為齊桓公所滅，被併入燕國。秦朝置為令支縣。

## 參考文獻
离枝竹属

**離枝竹屬**（學名：_Apoclada_）是禾本科的一屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Apoclada simplex_ McClure & L.B.Sm.

## 參考文獻
离柱五加

**離柱五加**（學名：_Eleutherococcus eleutherostylys_）為五加科五加屬的植物，為中國的特有植物。分布於中國大陸的陝西等地，目前尚未由人工引種栽培。

## 異名

* Acanthopanax eleutherostylus Hoo
* Acanthopanax eleutherostylus Hoo var. simplex Hoo
* Eleutherococcus eleutherostylys (Hoo) S. Y. Hu var. simplex (Hoo) S. Y. Hu

## 參考文獻
离柱花科

**王冠草科**也叫**離柱花科**，只有一屬 — 王冠草屬，約 27 種，都是僅僅生長在南美洲秘魯、智利和阿根廷的沙漠乾旱地帶的特有品種。

以前的分類法一般將本科植物分入西番蓮科，1981 年的克朗奎斯特分類法單獨列出一科，放在堇菜目下面，1998 年根據基因親緣關係分類的 APG 分類法將其列入金虎尾目，2003 年經過修訂的 APG II 分類法認為本科仍然可以選擇性地和西番蓮科合併。
离柱鹅掌柴

**離柱鵝掌柴**（學名：_Schefflera hypoleucoides_）是五加科鵝掌柴屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的雲南等地，生長於海拔 2,000 米的地區，多生於山谷中，目前尚未由人工引種栽培。

## 異名

* Schefflera hypoleucoides Harms var. truncata C. B. Shang

## 參考文獻
离核光桃

**離核毛桃**（學名：**_Prunus persica_ var. _aganonucipersica_**）為薔薇科李屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
离根香

**離根香**（學名：_Goodenia pilosa_ subsp. _chinensis_）為草海桐科離根香屬下的一個種。產福建（廈門）。也分布於菲律賓、印度尼西亞、巴布亞紐幾內亞、澳大利亞北部。生長在海拔 100 米以下的稻田及乾旱的稀樹草地中。

## 參考文獻
离根香属

**離根香屬**（學名：_Calogyne_），也稱**美柱草屬**，是草海桐科下的一個屬，為直立或披散、一年生草本植物。該屬共有 7 種，分布於澳大利亞、馬來西亞、菲律賓和印度支那。中國南方產 1 種。

現為金鸞花屬（_Goodenia_ Sm.）的異名。

## 下屬物種

* 離根香 _Calogyne pilosa_

## 參考文獻
离格

**離格**（英語：ablative case，縮寫： **ABL**），又稱**奪格**、**從格**，在語法功能上為表示某些意義的狀語。有出現在拉丁語、梵語、俄語等原始印歐語系語言中，但是蒙古語，藏語、芬蘭語中也有類似的格。

## 拉丁語

拉丁語的離格（拉丁語：casus ablativus）同時具有離格、工具格和方位格的功能。除此之外，拉丁語的離格還具有其他許多功能，包括原因離格（表明由什麼產生）、時間離格（表示「在某一時間」，來源於方位格）、做某些動詞的受詞以及絕對離格。

## 芬蘭語

在芬蘭語中，離格是六種位置格之一，表示「從某個表面 / 平面」出來，和出格（elative「從某種東西裡面」出來）有明顯的區別。
除了離格和出格，芬蘭語位置格還包括：

* 內格（inessive case）
* 接格（adessive case）
* 入格（illative case）
* 向格（allative case）

## 突厥諸語

在突厥諸語的研究與教學中，離格一般稱為**從格**，突厥諸語普遍具有從格。

### 古突厥語

古突厥語的從格可以表達行為或事物的來源、原因等意義，還可以表示比較，從格後綴為 - DIn/-DUn，在回鶻文文獻與摩尼教文獻中也見 - DAn。

如 äw-din「從屋子裡」，käyiktän「從野獸那裡」。

### 土耳其語

從格在土耳其語除了可以表達空間或時間推移上的起始點外，也可用於以闡述原因、或則表示某物體的組成原料。而土耳其語的從格後綴為 - DAn。如 ev-den「從屋子裡」，attan「從馬那裡」。。İstanbul'**dan** lokum aldım. (我在伊斯坦堡買了土耳其式軟糖)。

## 楚科奇語

在楚科奇語中，離格後綴 - jpə使陰性的詞根變成陽性：_kupre-n_ 「網絡」的離格形式是 _kopra-jpə_。

## 藏語

藏語中的從格 -ནས་ལས nas las/-ལས las，還用於比較對象。ཁྲུང་ཁྲུང་ལས་རྨབྱ་གཟུགས་མཛེས། 「孔雀比鶴漂亮」。ཁྲུང་ཁྲུང（鶴）+ལས（las）比鶴。

## 註釋

## 參考文獻
离棘真豹鲂鮄

**翱翔真豹魴鮄**（學名：_Dactylopterus volitans_）為條鰭魚綱鮋形目飛角魚亞目飛角魚科的其中一種，是熱帶至溫帶的魚類，分佈在大西洋的兩岸，北至北卡羅萊納州及南至巴西，及由英倫海峽至安哥拉。

翱翔真豹魴鮄的胸鰭十分大及像扇子，前六枝棘分開像細小的鰭葉。牠們亦會在沙灘、泥漿或石澗出沒，以胸鰭下的部份來尋找食物。牠們主要是吃底棲區的甲殼類，尤其是蟹、蛤蜊及細小的魚類。牠們並沒有毒腺，可做為食用魚及觀賞魚。

## 外部連結

* http://www.gma.org/fogm/Dactylopterus\_volitans.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://filaman.ifm-geomar.de/Summary/SpeciesSummary.php?id=1021 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2007). _Dactylopterus volitans_. _FishBase_. Version 2007-Dec.
离槽水库

**離槽水庫**，是水庫型式之一，主壩興建於非集水河川上，因集水河川與主槽有段距離，以引水隧道或引水渠道等方法進行集水，便可引入主槽來蓄水。

相對地，水庫另一型式是主壩在集水河川上興建，透過集水河川的集水區集水，河水便自然地流入主槽，形成可蓄水的**在槽水庫**。

## 效益

* 離槽水庫：
  * 可減少淤沙量。
  * 要增建引水隧道或引水渠道。
  * 水質問題較容易監控與排除。
  * 較於在槽水庫，則易受地形限制。
* 在槽水庫：
  * 較於離槽水庫，淤沙量增加較快，通常要增建攔沙壩。
  * 較於離槽水庫，可充分得到較多水源。

## 實例

* 離槽水庫：
  * 台灣：永和山水庫、新山水庫、湖山水庫、烏山頭水庫、 日月潭、寶山水庫、 寶山第二水庫、仁義潭水庫、蘭潭水庫、中莊調整池、鯉魚潭水庫、鳳山水庫、澄清湖水庫、阿公店水庫
  * 中國大陸：都江堰
  * 日本：
  * 美國：聖路易斯水庫（San Luis Reservoir）
* 在槽水庫：
  * 台灣：曾文水庫、 翡翠水庫、石門水庫、德基水庫、明德水庫、牡丹水庫、石岡壩、武界壩、南化水庫
  * 中國大陸：三峽大壩、劉家峽水庫
  * 日本：黑部水壩

## 參考
离水海岸

**離水海岸**(英語：**emergence coast**)，指沿海陸地上升或海平面下降的海岸。在沙岸地區，由於離水作用，沿海的淺水區露出海面，故海岸範圍甚為寬廣；而近岸的沙堤也因離水而成沙洲，如臺灣西南海岸。在岩岸地區，原本在海蝕的海蝕平台，由於離水作用，上升成為海階，如臺灣東部東河至臺東的海岸。
离水花属

**離水花科**又名虎刺葉科或拉美冬青科，只有 1 屬 2 種 —_Desfontainia spinosa_ Ruiz & Pav. 和 _Desfontainia splendens_ Bonpl.，分布在從哥斯大黎加至全部安第斯山區直到南美洲最南端。

本科植物為常綠喬木或灌木；單葉對生，葉有刺；花長，花冠成筒狀；果實為漿果，白色或黃色。

1981 年的克朗奎斯特分類法將其列在馬錢科，1998 年根據基因親緣關係分類的 APG 分類法認為應該單獨分出一個科，但無法放到任何 一個目中，直接放在 II 類真菊分支之下，可選擇性地與彎藥樹科合併，2003 年經過修訂的 APG II 分類法維持原分類。

## 外部連結

* 在 L. Watson 和 M.J. Dallwitz (1992 年)《有花植物分科》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）中的離水花科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* APG 網站中的離水花科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NCBI 中的離水花科
离狐县

**離狐縣**，中國古縣名。

西漢置，治所在今河南省濮陽市東南。《元和郡縣誌》：相傳初置縣於濮水南，常為神狐穿穴，遂移城濮水北，故名離狐。北魏移治今山東省菏澤市西北李莊集。西漢屬東郡，東漢至北周屬濟陰郡。隋、唐屬曹州、濟陰郡。唐朝天寶元年（742 年）改為南華縣。
离珠_(星官)

**離珠**是中國古代星官之一，屬於二十八宿的女宿，含有 5 顆星。《石氏星經》曰：

> 離珠五星，在須女北，須女之藏府，女子之星也。
> 
> 

 

## 所含恆星及對應西方名稱

## 參考
离珠增一

**天鷹座 68**，又名 **BD-03 4906**，**HD 194939**、**SAO 144468**、**HR 7821**，是天鷹座的一顆恆星，視星等為 6.13，位於銀經 41.36，銀緯 - 23.05，其 B1900.0 坐標為赤經 20h 23m 10.7s，赤緯 - 3° -23.05′ 17″。

## 參考文獻
离瓣叶蝉属

**離瓣葉蟬屬**（學名：_Placidellus_）是葉蟬科下的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* 雙支離瓣葉蟬 _Placidellus conjugatus_ (Zhang, Wei & Shen, 2002)
* 石原離瓣葉蟬 _Placidellus ishiharei_ Evans, 1971

## 參考文獻
离瓣寄生

**離瓣寄生**（學名：_**Helixanthera parasitica**_）為桑寄生科離瓣寄生屬下的一個種。種名 _parasitica_ 意為「寄生的」。

## 參考文獻
离瓣寄生属

**離瓣寄生屬**（學名：_Helixanthera_）是桑寄生科下的一個屬，為半寄生灌木植物。該屬共有約 50 種，分布於非洲和亞洲熱帶和亞熱帶地區。

屬名 _Helixanthera_ 來源於希臘語 helix（螺旋）與 anthera（花葯）的合成詞，指本屬植物的花葯扭旋。

## 物種

本屬包括以下物種：

* 景洪離瓣寄生 _Helixanthera coccinea_
* 廣西離瓣寄生 _Helixanthera guangxiensis_
* 離瓣寄生 _Helixanthera parasitica_
* 密花離瓣寄生 _Helixanthera pulchra_
* 油茶離瓣寄生 _Helixanthera sampsonii_
* 滇西離瓣寄生 _Helixanthera scoriarum_
* 林地離瓣寄生 _Helixanthera terrestris_

## 參考文獻
离瓣景天

**離瓣景天**（學名：_Sedum barbeyi_）是景天科景天屬的植物，為中國的特有植物。分布在中國大陸的河南、湖北、陝西等地，生長於海拔 800 米至 2,400 米的地區，一般生於陰坡林隙岩石上以及腐質土中，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
离瓣茜草科

**毛枝樹科**又名擬素馨科或離瓣茜草科，只有一屬唯一一種，生長在巴西東部的熱帶地區，是一種小喬木，單葉對生；花的花冠 4，分 2 層；果實為蒴果；二級小枝非常繁密。

1981 年的克朗奎斯特分類法將本科列入薔薇目，1998 年根據基因親緣關係分類的 APG 分類法和 2003 年經過修訂的 APG II 分類法不承認這個科，將本屬 合併入茜草科，屬於龍膽目。

## 外部連結

* 在 L. Watson 和 M.J. Dallwitz (1992 年)《有花植物分科》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）中的毛枝樹科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* ITIS 中的毛枝樹科
* GRIN 中的毛枝樹科 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
离睾带形吸虫

**離睪帶形吸蟲**（學名：_Corrigia separatiorchis_）為雙腔科帶形屬的動物。分布於俄羅斯以及中國大陸的福州等地，營寄生生活，終末宿主董雞，寄生於肝臟、膽管以及小腸。

## 參考文獻
离石

**離石區**位於中華人民共和國山西省呂梁市，是呂梁市市轄區，市政府所在地。位於山西省中部西側，呂梁市中部。總面積 1339 平方千米。

## 建制沿革

離石，戰國為趙離石邑；秦屬太原郡。

西漢置離石縣，屬西河郡。唐《元和郡縣圖志》載：「縣東北有離石水（今北川河），因取名焉。」；東漢永和五年（140 年）西河郡治遷此，靈帝末郡縣俱廢。

三國魏黃初二年（221 年）復置縣；晉屬西河國，永興元年（304 年）匈奴左部帥劉淵起兵反晉，建北漢政權，置都於離石；後燕置離石護軍；北魏明帝置離石鎮；北齊天保三年（552 年）置昌化縣；北周建德六年（577 年）縣改石州。

隋大業初改離石郡；唐武德元年（618 年）復改石州，天寶元年（742 年）改昌化郡，乾元元年（758 年）復改石州；北宋至金，縣名俱稱離石，屬石州；元中統二年（1261 年）縣入石州，三年（1262 年）復置縣。

明洪武三年（1370 年）縣入石州，隆慶元年（1567 年）蒙古陷城之後署州事太原府同知李春芳因石、失石音相同，嫌其不祥改為永寧州，萬曆二十三年（1595 年）永寧州併入汾州府；清朝一代二百多年沒有變化。

直到民國元年（1912 年）改永寧縣，民國 3 年（1914 年）復改離石，民國 7 年（1918 年）三月分設離石、方山二縣，民國 30 年（1941 年）析置離東縣，民國 35 年（1946 年）併入離石。

中華人民共和國建立後，離石縣屬興縣專區；1952 年撤銷興縣專區後，劃歸榆次專區（後改晉中專區）；1954 年離石、方山合併，縣名改離山縣；1958 年離山、中陽合併，縣名復改離石；1971 年 5 月呂梁地區成立後，原離石縣遷駐柳林，新置離石郊區；1971 年 10 月，離石縣改為柳林縣，離石郊區恢復為離石縣，離石縣城成為呂梁地區駐地；1996 年 5 月離石撤縣設市，離石縣改為離石市；2004 年 6 月呂梁地區撤地設市，離石市更名為離石區，屬呂梁市管轄。

## 行政區劃

離石區下轄 7 個街道辦事處、2 個鎮、3 個鄉：

濱河街道、​鳳山街道、​蓮花池街道、​城北街道、​田家會街道、​交口街道、​西屬巴街道、​吳城鎮、​信義鎮、​紅眼川鄉、​棗林鄉和坪頭鄉。

## 地理概況

離石處於呂梁山脈中部，多溝壑、黃土梁峁。全區地勢東高西低，有山地和丘陵兩種地形。東部山脈有雲頂山、狐爺山、陳家地山等，海拔均在 2000 米以上；東南部山地主要山峰有天頂山、起雲山等，海拔在 1900——2000 米之間；位於區境東北部的骨脊山，海拔 2535 米 ，為該市最高峰 。中部和東部為丘陵區 ，地形破碎，黃土復蓋較厚；丘陵間多谷地，土地肥沃，水源充足，人口稠密，為全區主要農作區。主要河流有北川河、大東川河、小東川河等，匯入三川河後穿城而過，經柳林縣注入黃河。全區屬暖溫帶大陸性季風氣候，年均降雨量 550 毫米 。氣溫不高。

## 名勝古蹟

* 全國重點文物保護單位 1 項：天貞觀
* 山西省文物保護單位 4 項：離石文廟、晉綏軍區高級軍事會議高家溝舊址、離石烈士樓、戰地總動員委員會舊址
* 呂梁市文物保護單位：離石城內古墓群、賀家塔漢代墓群

## 景點概況

### 安國寺

位於離石市西 12 公里處，創建於唐貞觀十一年 (公元 637 年)。

### 鳳山道院

鳳山道院位於離石區北的鳳山腰間，原名「天真觀」。

### 白馬仙洞

位於離石區東南 25 公里處的九鳳山麓。

## 參考文獻

## 外部連結

* 呂梁市離石區人民政府入口網站
离石区各级文物保护单位列表

以下為山西省呂梁市離石區各級文物保護單位列表。

## 全國重點文物保護單位

## 山西省文物保護單位

## 呂梁市文物保護單位

## 參考
离石区文物保护单位

**離石區文物保護單位**原稱**離石縣文物保護單位**，是根據《中華人民共和國文物保護法》的規定，由山西省離石區人民政府公布的縣級文物保護單位。至今離石區已公布三批縣級文物保護單位：

* 第一批：1984 年 9 月
* 第二批：1994 年 9 月
* 第三批：1999 年 5 月

## 列表

## 相關條目

* 山西全國重點文物保護單位列表
* 呂梁市境內的山西省文物保護單位列表
* 呂梁市文物保護單位

## 注釋

## 參考文獻
离石县

**離石縣**，中國舊縣名。

戰國時為趙國離石邑，秦朝置縣，治所在今山西省呂梁市離石區。東漢靈帝末廢。三國曹魏黃初三年（222 年）復置。北魏明帝改置離石鎮。北齊改為昌化縣。後又改為離石縣，為石州及離石郡治。唐朝以後為石州治。元朝時，併入方山縣。明朝洪武初年，廢縣省入石州。隆慶元年（1567 年）改石州為永寧州。民國初年，全國廢府州廳改縣，於 1912 年改為永寧縣。因全國有多個永寧縣，逐於 1914 年改為離石縣。1918 年，析置方山縣。

1941 年，晉綏抗日根據地在縣東、縣西分設離東縣、離西縣。1945 年 9 月 9 日，晉綏軍區 358 旅、獨一旅攻占離石縣城。1946 年，離東縣、離西縣併入。1949 年後，屬興縣專區、榆次專區。1954 年，與方山縣合併為離山縣，1958 年再改為離石縣，同年改屬晉中專區。1967 年，改屬晉中地區。1971 年劃歸呂梁地區，同年再度析置方山縣，同時，離石縣西部同與中陽縣的西北部析置柳林縣。1996 年撤銷，改設離石市。

## 注釋
离石市

**離石市**，中國舊市名。

1996 年改離石縣置，治所在今山西省呂梁市離石區。屬呂梁地區。2003 年撤銷，改置**離石區**，屬呂梁市。
离石文庙

**離石文廟**，位於山西省呂梁市離石區舊城，是中華人民共和國山西省文物保護單位之一。

2004 年 6 月 10 日，授予山西省文物保護單位，是一座古建築。

## 參考
离石郡

**離石郡**，中國古代的郡。

北周改懷政郡置，治所在離石縣（今山西省呂梁市離石區）。隋朝開皇初年省。大業初年，改石州為離石郡，仍治離石縣。轄境相當今山西省臨縣、方山、呂梁、柳林、中陽等市縣地。唐朝武德元年（618 年），復改為石州。

## 參考資料

* 《舊唐書 志第十九 地理二》
离离

**王塵無**（1911 年 —1938 年），原名**王承謨**，筆名**向拉**、**離離**、**塵無**、**摩爾**、**勞人**、**方景亮**等，男，祖籍浙江寧波，生於江蘇海門，中國電影評論家。

## 參考資料
离穗苔草

**離穗薹草**（學名：_Carex eremopyroides_）為莎草科薹草屬的植物。分布在蒙古、俄羅斯以及中國大陸的吉林、內蒙古、黑龍江等地，生長於海拔 700 米的地區，見於沼澤地、湖邊或河岸邊濕地，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
离线

**在線**或**上線／線上**（英語：**Online**）和**離線**或**下線／線下**（**Offline**）為網友登入網際網路的狀態，例如「在的狀態為**線上**」。線上也可以指在網際網路上所做的事情，例如「Zoho Sheet 是一個**線上**電子表格」、線上遊戲等。隨著時間的不同，線上也有著不同的含義。

## 關於

### 即時通訊類

最早使用線上這個概念的是現 AOL 旗下的 ICQ，於 ICQ 之後，多種線上通訊軟體使用了線上概念，例如微軟旗下的 Windows Live Messenger、雅虎旗下的 Yahoo! Messenger、騰訊旗下的 QQ、Facebook 的 whatsapp 等。

### 網站類

最早使用線上概念的網站我們已經不得而知，但是目前線上可以指於互連網上所做出的更改。

### 遊戲類

網路遊戲又可稱為線上遊戲。

## 相關

* 互聯網
离线浏览

**離線瀏覽**（Offline Browsing，又稱**離線瀏覽**，俗稱**砍站**）是指使用者將網路的共享檔案或網頁檔案儲存至本地，便於瀏覽儲存檔案。使用者有可能會因為以下原因而需要離線瀏覽：

1. 獲得網站中的圖片、音訊等不易複製的資源
2. 防止網頁遺失或者遷移的風險
3. 成為個人資訊管理（PIM）的知識儲備更為穩定
4. 儲存動態網頁中的資料

離線瀏覽在網費昂貴而且稍後讀軟體不夠普及（類似 Pocket 和 Safari 中內建的閱讀列表）時可以方便於閱覽，但是在網費低廉同時又有大量優秀的稍後讀軟體時，離線瀏覽仍然有其需要的地方。

## 砍站軟體

砍站軟體的原理是利用伺服器提供給客戶端的原始碼為基礎並分析其中的連接和檔案來完成過程。完成下載整個網站的時間，則跟網站的深度、網站的檔案數目、網站的檔案大小有關。如果網站的結構越深越複雜，所需要下載的時間則越多。

比較優秀的砍站軟體會分析其中重複的連結，可以在條件中設定排除或者是要抓取的網站目錄、檔案類型或者是檔案名稱，從中以比較快的方式分析結構納入抓取排程，如果結構非常的複雜，則還需要使用者電腦的運算速度所影響。

而網站的檔案數目、檔案大小則影響下載的速度，增加速度的方式可經由使用者網路環境的速度、或者是網路連線的數目去做調整，越大的網路速度、越多的網路連線數目可以有效的增加砍站的速度。

## 離線瀏覽共享檔案

網路上的共享檔案或資料夾可以被指定為允許離線瀏覽。使用這種方式可以使你在網路接斷開後，仍然能看到可以離線瀏覽的檔案和新建立的檔案，重新連接網路後，「同步管理器」將根據離線時所作的更改來更新網路檔案。要注意到是在首次使用時，要先對本地離線檔案進行相關的設定。

## 離線瀏覽網際網路檔案

網際網路上的網頁甚至整個網站也可以被指定為允許離線瀏覽。你可以提前下載網際網路上的網頁或網站到本地磁碟，以便離線時瀏覽。

### 離線瀏覽網頁

離線瀏覽網頁就是在連接到網際網路時快速打開感興趣的網頁，這樣在斷開連接時就可對剛剛打開過的網頁進行離線瀏覽，任何支援臨時檔案的瀏覽器均可以用這種方式。這種離線瀏覽的方式可以有效節省連接到網際網路的時間，在網費比較昂貴時應用比較廣泛。但是必需要提前手工打開要瀏覽的網頁，在想要離線瀏覽的東西比較多時顯得效率比較低下。

### 離線瀏覽網站

離線瀏覽網站就是在連接到網際網路時將整個網站或網站的一部分下載到本地，在斷開網路時就可對下載下來的網站進行離線瀏覽，這種方式需要使用專門的軟體，這類軟體通常被稱作離線網頁瀏覽器（Offline Browser）。

### 使用專業的離線瀏覽器下載網站

使用專業的離線瀏覽器（如 Webzip、Teleport）允許你用更加客製化的方式將網站下載到本地，軟體內建多執行緒可以獲得更快的下載速度，並且支援將下載的網站儲存成一個檔案，加快檢索的速度的同時減少所占的空間。甚至可以將網站鏡像儲存在移動媒介中，供完全沒有網路連接到電腦使用。

使用砍站軟體會將整個網站的資料內容複製回自己本機硬碟裡，因為砍站軟體時常一次發出許多的連線數，使得伺服器的硬體資源無法承受，且佔去網站的頻寬，導致連線速度變的很緩慢，甚至是伺服器主機當機，導致真正有瀏覽網站的需求的網友無法連上網站。

#### 砍站軟體

* Teleport Pro，俗稱「瑞士刀」，為共享軟體，原創公司：Tennyson Maxwell Information Systems, Inc. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。
* HTTrack，為自由軟體，原創公司：Xavier Roche & Yann Philippot. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。
* wget，為自由軟體，作業系統：UNIX。

## 預防辦法

### 限制頻寬

限制頻寬的缺點是，倘若網站有提供檔案下載，那麼使用者可能會不滿檔案的下載速度。

### 封鎖 IP 位址

封鎖 IP 位址是經由網站伺服器的 LOG 檔或者是伺服器防火牆去分析不正常且頻繁的瀏覽要求。

例如：一個 IP 位址瞬間同時開啟許多頁面（一般正常的瀏覽者不可能在一段時間內達到每秒數個頁面同時瀏覽，發生這種狀況則非常有可能是被砍站）

## 另見

* 線上和離線
* 網路蜘蛛
离线网页浏览器

**離線網頁瀏覽器**是一種把網頁內容從網際網路下載到用戶的電腦上的工具。過去這種離線網頁瀏覽器的主要用途是為了克服低速的網際網路連線速度，使一般用戶能夠利用有限的上線時間而能夠瀏覽更多的內容。不過，現時這些工具主要都是用於備份的用途，或把網上的即時產生網頁變成可以隨時翻看的內容。

由於用途的改變，使這些軟體的設計上亦要作出轉變和適應。例如：為了使用戶在沒有網際網路連線的情況下（例如：大型會議的演講廳）要演示網頁的頁面，一些工具會容許用戶在下載網頁後重新構建網頁的架構，使演示者在示範下載版的網頁時有如真的在瀏覽真實的網頁一樣。又例如，為了使用戶下載得來的檔案可以燒錄在 CD-R 上，軟體須能夠幫助用戶替下載的檔案改名，以便檔案能夠放入光碟內的目錄中。

## 著名的離線網頁瀏覽器

* Teleport Pro
* WebZip

## 外部連結

* WebZIP Offline Browser （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* HTTrack Website Copier （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The WWWOFFLE Homepage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Offline Explorer Pro - reliable and powerful offline browserю Supports all modern Internet technologies (flash, stream protocols, etc) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Index of offline browsers at download.com
离线阅读

**離線閱讀**指的是將網路上的電子郵件、新聞群組訊息、網頁下載到本地電腦，以期在電腦離線 —— 也就是沒有連接到網際網路 —— 的時候使用這些內容的行為。離線瀏覽對使用移動式電腦和用數據機撥號的使用者特別有用。

## 分類

### 網站鏡像軟體

**網站鏡像軟體**（英語：Website mirroring software）可以將整個網站備份到使用者的硬碟，從而進行**離線瀏覽**。其結果是，下載下來的副本成了原網站的一個鏡像。
可以用諸如 Wget 之類的網路蜘蛛來建立這種「網路地圖」。

### 離線電子郵件閱讀器

**離線電子郵件閱讀器**是用來離線閱讀電子郵件或者其他類似資訊（例如 BBS 上的資訊）的電腦程式。程式只需要用很少的時間和儲存了資訊的伺服器通訊，因為伺服器已經把許多的資訊打包成了一個供使用者下載的壓縮檔案，使用者只要一下載完就可以登出了。然後使用者可以在本地離線閱讀這些資訊，使用者的做出的回覆和伺服器上的新資訊將在下一次和伺服器連線時互相交換。
許多電子郵件系統，例如網際網路上最最常用的 POP、IMAP，它們是天生線上的。絕大多數面向終端使用者的郵件程式，例如 Outlook Express 和 Mozilla Thunderbird，即便主要是為線上使用而設計的，也可用於離線。不過有些郵件程式，例如 Juno Online Services 主要是為離線使用而設計的。
通常那些原本設計時不包含線上系統的才被認為是離線閱讀器，特別是針對 BBS 的閱讀器，因為在那個時候網路常常不穩定，還得考慮上網費的問題。大型網路，例如 FidoNet 的使用者，都經常使用離線郵件閱讀器；閱讀網際網路上的 Usenet 資訊的人也常常使用離線郵件閱讀器，儘管網際網路也是線上系統。FidoNet BBS 最常用的兩種格式是 Blue Wave 和 QWK，此外知名度稍遜的還有 Silver Xpress 的 OPX, XRS, OMEM, SOUP and ZipMail。

## 離線瀏覽軟體列表

## 參見

* 線上和離線
* Kiwix

## 註腳
离经叛道

《**出走布魯克林**》（英語：_Unorthodox_）是一部美國和德國合拍的劇情劇，於 2020 年 3 月 26 日在 Netflix 首播。這是 Netflix 第一部主要用意第緒語拍攝的劇集，根據德博拉・費爾德曼 2012 年的自傳《離经叛道：醜態百出的拒絕我的哈西迪根源》改編。

## 情節

Esty，一個 19 歲的猶太婦女，住在紐約布魯克林區威廉斯堡，在哈雷迪猶太教的包辦婚姻中生活得很不幸福。 她設法逃往柏林，到她那個疏遠的母親那裡，並試圖過著世俗的生活，發現社區之外的生活，拒絕她過往的信仰。她的丈夫得知她懷孕後，在拉比的命令下，和他的表親一起前往柏林，試圖找到她。

## 演員

* 希拉・哈斯 - Esther "Esty" Shapiro
* 阿米特・拉哈夫 - Yakov "Yanky" Shapiro
* 耶夫・威爾布希 - Moishe Lefkovitch
* 阿里克斯・瑞德 - Leah Mandelbaum
* 羅內特・阿什里 - Malka Schwartz
* 格拉・桑德勒 - Mordechai Schwartz
* 迪娜・多隆 - Esty's grandmother ("Bubbe")
* 艾倫・阿爾塔拉斯 - Robert
* 塔瑪・阿米特・約瑟夫 - Yael Roubeni
* Aziz Dyab - Salim
* 戴維・曼德爾鮑姆 - Zeidy
* 迪莉婭・梅爾 - Miriam Shapiro
* 菲利克斯・邁爾 - Mike
* 伊萊・羅森 - Rabbi Yossele
* Safinaz Sattar - Dasia
* 蘭斯頓・伊貝爾 - Axmed
* 伊莎貝爾・儔斯尼克 - Nina Decker
* Laura Beckner - Vivian Dropkin
* 哈維・弗里德曼 - Symcha Shapiro
* 萊恩・庫德里亞維斯基 - Igor
* 約塞夫・斯威德 - Karim Nuri

## 劇集

## 回應

### 專業評價

本劇獲得電視影評家極高的評價。於爛番茄整合的評論中，獲得 95% 的新鮮度、平均得分 8.09/10（41 名評論家），評論家共識：「《出走布魯克林》非常小心地改編了它的原始素材，製作了一個既親切又緊迫的劇集，這一切都圍繞著希拉・哈斯迷人的表演。」。於 Metacritic 整合的評論中，獲得了 85 分（滿分 100；11 名評論家），屬於普遍好評。

### 榮譽

## 相關條目

* 《非我族類》

## 參考資料

## 外部連結

* 在 Netflix 上觀看《出走布魯克林》（因版權限制，本節目可能僅在部分地區上架。）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《Unorthodox》的資料（英文）
* 爛番茄上《出走布魯克林》的資料（英文）
离职休养

**離職休養**，簡稱「離休」，是中華人民共和國一種特有的人事制度與社會保障措施，對符合資格的幹部退出工作崗位後，享有原薪與相應的政治、醫療待遇。離休幹部的界定範圍為「對建國前參加中國共產黨所領導的革命戰爭，脫產享受供給制度待遇的和從事地下革命工作的老幹部，達到離職休養年齡」。

## 歷史

1958 年 6 月 4 日中共中央頒布《關於安排一部分老幹部擔任各種榮譽職務的通知》，「1942 年以前參加革命工作的縣委部長以上的幹部 (包括地專以上機關科長以上的幹部及事業、企業中擔負相當職務的幹部)，或者是 1945 年以前參加革命工作的營級以上的軍隊幹部，對黨忠實，思想健康，在群眾中或黨員中有一定影響的」，「一律保留原工資」，「黨的組織應該關心這些幹部的政治生活，使他們能夠象過去一樣地看到黨的文件，並且經常參加黨的組織生活。在聽報告、觀禮等方面也應該對他們適當地加以照顧。」「第二次國內革命戰爭期間及在這以前參加革命的老同志，現在做縣委部長以下的工作，思想作風較好，但是因年老體衰擔負實際工作確有困難的，可以採取調離現任工作、工資照發、長期供養的辦法來處理。」

1963 年 10 月，中華人民共和國內務部《關於符合長期供養條件人員退休時其退休費標準問題的通知》：「國家機關和事業單位的工作人員中，根據一九五八年六月四日中共中央「關於安排一部分老幹部擔任各種榮譽職務的通知」第六條規定，作長期供養的人員，如果本人自願回原籍居住，可以辦理退休手續，退休費一律按照本人工資的百分之百發給。退休費的支付，公費醫療待遇及其他生活待遇，均照退休人員的有關規定辦理。特此通知。」

1963 年 12 月，中央書記處會議決定：中央機關正副部長和省委書記、候補書記一級領導幹部，凡年老體衰或長期患病而不能擔任領導工作的，應當調離現職，採取離職休養、退休、擔任榮譽職務等辦法。離職後，原來一切政治、生活待遇不變。

1978 年國務院頒布《關於安置老弱病殘幹部的暫行辦法》，1978 年 5 月 24 日第五屆全國人民代表大會常務委員會第二次會議原則批准。 第三條規定：「對於喪失工作能力，一九四九年九月底以前參加革命工作的地委正副書記、行政公署正副專員及相當職務以上的幹部；一九四二年底以前參加革命工作的縣委正副書記、革命委員會正副主任及相當職務的幹部；一九三七年七月七日以前參加革命工作的幹部，可以離職休養，工資照發。」「離休幹部的住房，就地安置的，由原單位負責解決；回原籍或到其他地區安置的，由接受安置的地區負責解決。確需修繕、擴建或新建住房的，由接受安置的省、市、自治區列入基建計劃統一解決。」

1978 年 12 月 29 日，《中共中央組織部關於加強老幹部工作的幾點意見的通知》（〔78〕組通字 40 號）中指出：老幹部因年齡和身體關係不繼續擔任實質性工作的時候，其原有的政治待遇不變。要按照規定，組織他們看文件，聽報告，參加必要的會議和節日活動。要根據具體情況，參加必要的會議和節日活動。要適當組織老幹部參觀訪問。要建立和堅持在春節等節日期間看望老幹部、召開座談會、徵求意見的制度。

1980 年 10 月 7 日國務院關於公布《國務院關於老幹部離職休養的暫行規定》的通知（國發〔1980〕253 號）「《國務院關於老幹部離職休養的暫行規定》，已經 1980 年 9 月 29 日第五屆全國人民代表大會常務委員會第十六次會議通過，現予公布施行。」

> 
> 第一條 第一、二次國內革命戰爭時期參加革命工作的幹部，抗日戰爭時期參加革命工作的副縣長及相當職務或行政十八級以上的幹部，建國以前參加革命工作的行政公署副專員及相當職務或行政十四級以上的幹部，年老體弱、不能堅持正常工作的，應當離休。 
>   
> 已經退休的幹部，符合上述規定的應當改為離休。 
>   
> 第五條 幹部離休後，原標準工資（含保留工資）照發，福利待遇不變。其他各項生活待遇，都與所在地區同級在職幹部一樣對待，並切實給予保證。醫療、住房、用車、生活品供應等方面，應當優先照顧。 
>   
> 第六條 離休幹部單列編制。離休幹部需要的各項經自費，由原單位支付。跨省安置的，由原單位撥交接受地區的幹部、人事部門掌握支付，醫療費用由原單位負責報銷；過去已由接受地區負責支付的，應當由接受地區幹部、人事部門列預算支付。
> 
> 

1981 年 8 月 26 日，中央辦公廳、中央組織部《關於離休退休幹部閱讀文件問題的通知》（廳〔秘〕發〔1981〕36 號，組通字〔81〕40 號）指出：保證離休、退休幹部能夠與同級在職幹部一樣閱讀文件，及時了解黨的路線、方針、政策和國家的大事，這是政治上充分尊重老幹部的一個重要方面，也有利於老幹部繼續發揮作用，搞好傳幫帶。

1982 年 2 月 20 日，《中共中央關於建立老幹部退休制度的決定》（中發〔1982〕13 號）指出：正省級職務離退休年齡為 65 歲，副省級、廳級為 60 歲。「退居二線，包括當顧問和榮譽職務，不屬於離休退休。」對於一切離休退休的老幹部，他們的政治待遇，包括閱讀文件、聽重要報告、參加某些重要會議和重要政治活動等等，應當一律不變。

1982 年 4 月 10 日《國務院關於發布老幹部離職休養制度的幾項規定的通知》（國發〔1982〕62 號）規定：「第一條 對建國前參加中國共產黨所領導的革命戰爭，脫產享受供給制度待遇的和從事地下革命工作的老幹部，達到離職休養年齡的，試行離職休養的制度。 已經退休的幹部，符合本規定的，應當改為離休。」老幹部辦理離休手續後，由國務院委託離休幹部所在的省、市、自治區人民政府或中央、國家機關的部委授予「老幹部離休榮譽證」，「老幹部離休榮譽證」由國務院統一制定。是乘坐鐵路列車、民航飛機的法定實名身份證件。 「第三條 老幹部離休後基本政治待遇不變，生活待遇略為從優。一九二一年七月一日到一九四九年九月三十日各個革命時期參加革命工作的老幹部，離休後原工資照發。一九三七年七月六日以前參加革命工作的老幹部，按本人離休前標準工資，每年增發兩個月工資，作為生活補貼。一九三七年七月七日到一九四二年十二月三十一日參加革命工作的老幹部，按本人離休前標準工資，每年增發一個半月的工資，作為生活補貼。一九四三年一月一日到一九四五年九月二日參加革命工作的老幹部，按本人離休前標準工資，每年增發 一個月的工資，作為生活補貼。一九四五年九月三日到一九四九年九月三十日參加革命工作的老幹部，不增發生活補貼。行政八級和相當於八級以上（含八級）的老幹部離休後，不增發生活補貼。享受上述待遇的離休老幹部，一律不再發給任何形式的獎金。 老幹部離休後的生活補貼，自批准離休之日起按年發給。 已經離休的老幹部（包括退休改離休的幹部），從本規定下達之日起按年發給生活補貼。」

1982 年 12 月 10 日，勞動人事部《關於發布〈貫徹國務院關於老幹部離職休養規定中具體問題的處理意見〉的通知》（勞人老〔1982〕10 號）中指出：在舉行重大慶祝會、紀念會時，邀請離休幹部的代表上主席台或榮譽席就座。

1995 年，離休幹部存量為 199.5 萬人，為歷史最高峰。

## 參考文獻
离脉小粪蝇属

**離脈小糞蠅屬**（學名：_Copromyza_）為大跗蠅科的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Copromyza alpicola_ Troger & Roháček, 1980
* _Copromyza (Fungobia) annulipes_ (Duda, 1938)
* _Copromyza borealis_ Zetterstedt, 1847
* _Copromyza (Borborillus) costalis_ Zetterstedt
* _Copromyza equina_ Fallén, 1820
* _Copromyza hackarsi_ (Vanschuytbroeck, 1948)
* _Copromyza montana_ Roháček, 1992
* _Copromyza neglecta_ Spuler, 1925
* _Copromyza nigrina_ (Gimmerthal, 1847)
* _Copromyza (Fungobia) nitida_ (Meigen, 1830)
* _Copromyza pappi_ Norrbom & Kim, 1985
* _Copromyza pedipicta_ Richards, 1959
* _Copromyza pseudostercoraria_ Papp, 1976
* _Copromyza stercoraria_ (Meigen, 1830)
* 中華離脈小糞蠅 _Copromyza zhongensis_ Norrbom & Kim, 1985

## 參考文獻
离脉柳叶蕨

**離脈柳葉蕨**（學名：_**Cyrtogonellum caducum**_）為鱗毛蕨科柳葉蕨屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
离舌橐吾

**離舌橐吾**（學名：_Ligularia veitchiana_）為菊科橐吾屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的甘肅、湖北、貴州、雲南、陝西等地，生長於海拔 1,400 米至 3,300 米的地區，常生於山坡、河邊以及林下，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
离花科

**離花科**（學名：Apodanthaceae），又名**無柄花科**、**風生花科**，包含了 22 至 30 種的內寄生草本植物，產於熱帶美洲、非洲東部、澳大利亞西部。本科植物不進行光合作用，是一類全寄生植物，平時以類似菌絲體的形態隱蔽地寄生在宿主的根、莖內，只有開花時花朵才會外露，而其苞葉也只有在此時才會從花序的基座上長出，花在宿主的莖幹表面開放，通常密集，因此乍看似宿主「老莖生花」。

本科共有三屬：風生花屬（_Apodanthes_）、雲生花屬（_Berlinianche_）及豆生花屬（_Pilostyles_）。

本科過去曾歸入大花草科之中，但後來發現大花草科是多系群。2009 年發表的 APG III 系統表明本科與其它被子植物的親緣關係不明，因此地位未定。至 2010 年的分子系統學研究才證明本科應屬於葫蘆目，形態上的特徵也符合。

## 參考文獻
离茎属

**離莖屬**（學名：_Alloheterophyes_）為異形吸蟲科的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Alloheterophyes chini_ (Pearson & Pearson, 1983) Pearson, 1999
* 頓河離莖吸蟲 _Apophallus donicus_ (Skrjabin et Lindtrop, 1919) Price, 1931
* _Alloheterophyes superspinata_ (Leonov & Belogurov, 1965) Pearson, 1999

## 參考文獻
离药蓬莱葛

**離藥蓬萊葛**（學名：_**Gardneria distincta**_）為馬錢科蓬萊葛屬下的一個種。

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