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矩_(數學)

**動差**（中國大陸作**矩**，英語：moment）的概念來自於物理學。在物理學中，動差用來表示物體形狀的物理量，為重要母數指標。在數學中，動差的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個「二階動差」，我們在一維上可以測量它的「寬度」；而在更高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分布，我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他的動差用來描述諸如與均值的歪斜分布情況（偏態），或峰值的分布情況（峰態）等其他方面的分布特點。

## 定義

設隨機變數（或統計量，下同） $X$ 的機率密度函數為 $f(x)$ 。

對於**離散型**隨機變數，在存在的前提下，其相對於值 $c$ 的 $n$ 階動差為：

　
: $\mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})$

對於**連續型**隨機變數，在存在的前提下，其相對於值 $c$ 的 $n$ 階動差為：

　
: $\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx$

特別地，當 $c=0$ 時稱之為**原動差**，當 $c=E(X)$ 時稱之為**主動差**。

## 期望（Expectation）

隨機變數的期望値定義為其 1 階原動差：

　
: $E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx$

在變異數等定義中，期望值也稱為隨機變數的「中心」。顯然，任何隨機變數的 1 階主動差為 0。

## 變異數（Variance）

隨機變數的變異數定義為其 2 階主動差：

　
: $\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx$

## 偏態（Skewness）

隨機變數的偏態定義為其 3 階主動差：

　
: $S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx$

## 峰態（Kurtosis）

隨機變數的峰態定義為其 4 階主動差：

　
: $K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx$

## 樣本動差

動差常常通過樣本動差

　
: $\mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}$

來估計。此方法不需要先估計其機率分布。

## 參見

* 主動差
* 動差生成函數
* 力矩

## 外部連結

* Mathworld Website （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
矩估计

在統計學中，**動差估計**（英語：method of moments）是估計母體母數的方法。首先推導涉及感興趣的母數的母體動差（即所考慮的隨機變數的冪的期望值）的方程式。然後取出一個樣本並從這個樣本估計母體動差。接著使用樣本動差取代（未知的）母體動差，解出感興趣的母數。從而得到那些母數的估計。動差估計是英國統計學家卡爾・皮爾森於 1894 年提出的。

## 方法

假設問題是要估計表徵隨機變數 $W$ 的分布 $f_{W}(w;\theta )$ 的 $k$ 個未知母數 $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$ 。如果真實分布（"母體動差"）的前 $k$ 階動差可以表示成這些 $\theta $ 的函數:

　
: $\mu _{1}\equiv E[W]=g_{1}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

　
: $\mu _{2}\equiv E[W^{2}]=g_{2}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

　
: : $\vdots $

　
: $\mu _{k}\equiv E[W^{k}]=g_{k}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}).$

設取出一大小為 $n$ 的樣本，得到 $w_{1},\dots ,w_{n}$ 。對於 $j=1,\dots ,k$ ，令

　
: ${\hat {\mu }}_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{j}$

為 j 階樣本動差，是 $\mu _{j}$ 的估計。 $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$ 的動差估計量記為 ${\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}$ ，由這些方程式的解（如果存在）定義：

　
: ${\hat {\mu }}_{1}=g_{1}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

　
: ${\hat {\mu }}_{2}=g_{2}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

　
: : $\vdots $

　
: ${\hat {\mu }}_{k}=g_{k}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}).$

## 參見

* 廣義動差估計
* 點估計
* 估計量的偏誤
矩伴拏

**鳩槃荼**（梵語：kumbhāṇḍa，巴利語：kumbhaṇḍa），又譯作**弓槃荼**、**究槃荼**、**恭畔荼**、**拘槃荼**、**俱槃荼**、**吉槃荼**、**拘辨荼**、**鳩滿拏**、**倶滿拏（ná）** 等，是佛教認為的一種啖人精氣維生的鬼（另一種啖精氣鬼爲毗舍遮），又譯作厭魅鬼、厭眉鬼、瓮形鬼、冬瓜鬼。

## 佛教

鳩槃荼和薜荔多（餓鬼），都是南方增長天王之所領之鬼，是餓鬼道中的多財鬼。鳩槃荼鬼有大力，能疾行，有變化神通。《圓覺經》曰：「爾時有大力鬼王，名吉槃荼，與十萬鬼王，即從座起，頂禮佛足。」

有學者稱，大乘佛教經典中，有時並舉鳩槃荼和夜叉，說明兩者並非同一種族。而藏傳佛教噶舉派則認為，鳩槃荼在天龍八部中屬夜叉，在密教中位於胎藏界曼荼羅外院南方。

《藥師經》舉出的「十二藥叉神將」中有一名大將名為金毗羅（或譯為宮毘羅，Kumbhīra，義爲鱷魚）即是鳩槃荼鬼族。

《大智度論》說轉生到鳩槃荼的業因爲前世做宰官時剝削人民，索求錢財，但又將贓款轉作佈施之用。

## 形象

鳩槃荼外貌醜陋，在唐朝被人用作比喻老醜的婦人。《慧苑音義》指，鳩槃荼即指「陰囊」（梵語詞根-aṇḍa 即爲陰囊），因這種鬼的下身狀如冬瓜、如瓮，行走時要置於肩上，坐下時則盤據在身前，故名鳩槃荼鬼；後世覺得猥褻而不便直言陰囊，故稱冬瓜鬼、瓮形鬼。由於陰囊碩大的性慾暗示，鳩槃荼亦為鬼壓床的象徵，傳說鳩槃荼常壓迫睡夢中的人類，即鬼壓床；或在人類性交時吸食人的精氣，故又稱為厭魅鬼。

噶舉派認為，鳩槃荼是大海中一種似人的鬼怪，頭上生有各種動物的頭，肘部、膝蓋和耳輪都長有頭髮一般的肉質絲條。有時也作馬頭，持鼓，或和緊那羅混淆。

## 註釋
矩叶勾儿茶

**多花勾兒茶**（學名：_Berchemia floribunda_），為鼠李科勾兒茶屬下的一個植物種。又名勾兒茶、牛鼻圈、牛兒藤、金剛藤、扁擔藤、扁擔果、牛鼻拳、牛鼻角秧。

## 變種

**矩葉勾兒茶**（學名：_Berchemia floribunda_ var. _oblongifolia_）為多花勾兒茶的一個變種。見於浙江、江西、福建等省。

## 參考資料

* 中國植物志：多花勾兒茶
矩叶卫矛

**矩葉衛矛**（學名：_Euonymus oblongifolius_）是衛矛科衛矛屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的浙江、福建、江西、湖南、廣東、雲南、安徽、貴州、廣西、四川、湖北等地，生長於海拔 250 米至 2,200 米的地區，多生長在山谷和近水陰濕處，目前尚未由人工引種栽培。

其種加詞「_oblongifolius_」意為「葉長圓形的」。

現接受名為中華衛矛（_Euonymus nitidus_ Benth., 1842）。

## 別名

黃心衛矛（四川植物志）

## 異名

* _Euonymus chinensis_ var. _nitidus_ (Benth.) Loes.
* _Euonymus esquirolii_ H.Lév.
* _Euonymus esquirolii_ Lév.
* _Euonymus flavescens_ Loes.
* _Euonymus flavesceus_ Loes.
* _Euonymus flavesceus_ Loes. ex Diels
* _Euonymus lindleyi_ K.Koch
* _Euonymus merrillii_ C.H.Wang
* _Euonymus merrillii_ subsp. _longipetiolatus_ Chen H.Wang
* _Euonymus merrillii_ var. _longipetiolatus_ ChenH.Wang
* _Euonymus nantoensis_ Loes.
* _Euonymus nantoensis_ Loes. ex Hand.-Mazz.
* _Euonymus nitidus_ f. nitidus
* _Euonymus oblongifolius_ Loes. & Rehder
* _Euonymus punctatus_ Wall.
* _Euonymus uniflorus_ Lév. & Vaniot

## 參考文獻
矩叶垂头菊

**矩葉垂頭菊**（學名：_Cremanthodium oblongatum_）是菊科垂頭菊屬的植物。分布於尼泊爾、錫金以及中國大陸的西藏等地，生長於海拔 4,500 米至 5,300 米的地區，多生在高山草地以及高山流石灘，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
矩叶翼核果

**矩葉翼核果**（學名：_**Ventilago oblongifolia**_）為鼠李科翼核果屬下的一個種。其種加詞「_oblongifolia_」意為「長橢圓葉子的」。

現接受名為矩葉扁果藤（_Smythea oblongifolia_ (Blume) Cahen & Utteridge, 2017）。

## 參考文獻
矩叶赤竹

**矩葉赤竹**（學名：_**Sasa oblongula**_）為禾本科赤竹屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩叶锥

**矩葉錐**（學名：_**Castanopsis oblonga**_）為殼斗科錐屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩叶黑桦树

**矩葉黑樺樹**（學名：**_Rhamnus maximovicziana_ var. _oblongifolia_**）為鼠李科鼠李屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩叶鼠刺

**矩葉鼠刺**（學名：_**Itea oblonga**_），為虎耳草科鼠刺屬下的一個種。

## 參考資料

* 矩叶鼠刺 Itea oblonga Hand.-Mazz.. 中國植物物種信息資料庫. [2013-01-15].

## 擴展閱讀
矩唇石斛

**櫻石斛**（學名：_**Dendrobium linawianum**_），又名**矩唇石斛**，為蘭科石斛屬下的一個種，分布於臺灣、廣東和廣西的低海拔山區光照強且潮濕的地區。其高度在 30 至 40 厘米之間，總狀花序，花朵基部白色，末梢彎曲呈紫色，結蒴果。它在中醫上有藥用價值，可滋陰清熱，生津止渴。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩問題

數學上，**矩問題**詢問是否可以由一個測度 μ 的矩序列

　
: $m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,$

確定該測度。更一般地，亦可考慮序列

　
: $m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.$

其中 _M_n 為任意一列函數。

## 簡介

最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 _M_ 為序列 {_x_n : _n_ = 0, 1, 2, ... }. 此種矩問題源自概率論，其意義為：是否存在一個概率測度，其平均數、方差等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的支撐集為全條實軸的 Hamburger 矩問題、支撐集為 [0,+∞) 的斯蒂爾吉斯矩問題，以及支撐集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的豪斯多夫矩問題。

## 存在性

一個序列 _m_n 為某個測度 _μ_ 的矩，當且僅當其漢克爾矩陣 _H_n,

　
: $(H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,$

為半正定。 這是因為一個半正定的漢克爾矩陣對應一個線性泛函 $\Lambda $ ，其滿足 $\Lambda (x^{n})=m_{n}$ 和 $\Lambda (f^{2})\geq 0$ （即：當作用於多項式的平方和時，其結果非負）。假設 $\Lambda $ 可以擴展成 $\mathbb {R} [x]^{*}$ 的元素。在單變量的情況下，非負的多項式必為若干個多項式的平方和，故線性泛函 $\Lambda $ 於非負多項式處均取非負值。由 Haviland (1936)，該線性泛函有測度形式，亦即 $\Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu $ . 在有界區間 [_a_, _b_] 上，測度 $\mu $ 的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設線性泛函 $\scriptstyle \varphi $ 將多項式

　
: $P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}$

映到

　
: $\sum _{k}a_{k}m_{k}.$

若 _m_kn 為以 [_a_, _b_] 為支撐的測度 μ 的矩，則

　
: :

反之，如果 (**1**) 為真，則可運用 M. 里斯擴展定理將 $\phi $ 擴展成 _C_0([_a_, _b_]) 上的線性泛函，其滿足

　
: :

由里斯表示定理，(**2**) 成立當且僅當存在以 [_a_, _b_] 為支撐的測度 _μ_ ，使得

　
: $\varphi (f)=\int f\,d\mu $

對任意的 _f_ ∈ _C_0([_a_, _b_]) 成立。

由此可見， $\mu $ 的存在性等價於 (**1**). 再利用 [_a_, _b_] 上的非負多項式的表示定理，即可將 (**1**) 寫成一個關於漢克爾矩陣的條件。

詳見 Shohat & Tamarkin 1943 和 Krein & Nudelman 1977 。

## 唯一性

豪斯多夫矩問題中，可由魏爾斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，多項式集是稠密的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 Carleman 條件 (1922)、Krein 條件 (1940s) 和 Akhiezer (1965).

## 變式

矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 _k_ （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在極值問題、優化理論，以及概率論的極限定理上。 參見： 切比雪夫–馬可夫–斯蒂爾吉斯不等式 和 Krein & Nudelman 1977.

## 參見

* 斯蒂爾吉斯矩問題
* Hamburger 矩問題
* 豪斯多夫矩問題
* 矩 (數學)
* Carleman 條件
* 漢克爾矩陣

## 參考文獻

* Haviland, E. K. On the Momentum Problem for Distribution Functions in More Than One Dimension. I. American Journal of Mathematics. Jan. 1936, **58** (1): 164–168 [29 Nov 2018]. doi:10.2307/2371063. （原始內容存檔於 2021-05-07）.  引文格式 1 維護：日期與年 (link)
* Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. The Problem of Moments. New York: American mathematical society. 1943.
* Akhiezer, Naum I. The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. 1965.  (由 N. Kemmer 譯自俄文)
* Krein, M. G.; Nudelman, A. A. The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1977.  (由 D. Louvish 譯自俄文)
* Schmüdgen, Konrad. The moment problem. Springer International Publishing. 2017.
矩圆双盖蕨

**矩圓雙蓋蕨**（學名：_**Diplazium pseudosetigerum**_）也稱**矩圓短腸蕨**，為蹄蓋蕨科雙蓋蕨屬下的一個種。

## 參考文獻
矩圆叶旌节花

**矩圓葉旌節花**（學名：_**Stachyurus oblongifolius**_）為旌節花科旌節花屬下的一個種。其種加詞「_oblongifolius_」意為「葉長圓形的」。

## 參考文獻
矩圆叶柃

**矩圓葉柃**（學名：_**Eurya oblonga**_），為山茶科柃木屬下的一個變種。

## 參考資料

* 矩圆叶柃 Eurya oblonga Y. C. Yang var. oblonga. 中國植物物種信息資料庫. [2013-01-15].

## 擴展閱讀
矩圆叶椴

**矩圓葉椴**（學名：_Tilia oblongifolia_）為錦葵科椴屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的安徽、湖南等地，生長於海拔 600 米至 1,000 米的地區，多生在山坡林中、山坡和溪谷疏林中，目前已由人工引種栽培。

其種加詞「_oblongifolia_」意為「長橢圓葉子的」。

## 參考文獻
矩圆叶蓝果树

**矩圓葉藍果樹**（學名：**_Nyssa sinensis_ var. _oblongifolia_**）為藍果樹科藍果樹屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩圆线蕨

**矩圓線蕨**（學名：_**Leptochilus henryi**_）為水龍骨科薄唇蕨屬下的一個種。

## 參考文獻
矩圆金黄报春

**矩圓金黃報春**（學名：**_Primula strumosa_ sp. _tenuipes_**）為報春花科報春花屬下的一個亞種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
矩孢小煤炱

**矩孢小煤炱**（學名：_Meliola taityuensis_）是屬於小煤炱目小煤炱科小煤炱屬的一種真菌，寄生在殼斗科植物上。該種分布於中國。

## 參考文獻
矩尺座QU

**矩尺座 QU**，又名 **CD-4510697**，**HD 148379**、**SAO 226813**、**HR 6131**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 5.35，位於銀經 337.25，銀緯 1.58，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 22m 27.4s，赤緯 - 46° 1.58′ 16″。

## 參考文獻
矩尺座S

**矩尺座 S**，又名 **CP-57 7821**，**HD 146323**、**SAO 243586**、**HR 6062**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 6.49，位於銀經 327.75，銀緯 - 5.4，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 10m 34.4s，赤緯 - 57° -5.4′ 10″。

## 參考文獻
矩尺座S星团

**NGC 6087** 是矩尺座內最亮的疏散星團；位於此星座的東南角，在南門二及天壇座 ζ 之間的天區。距離地球達 3500 光年，含有 40 顆 11 等至 7 等的星，總亮度為 5.4 等。矩尺座 S 是此星團的最亮星，為一顆造父變星。

## 參見

* NGC 天體列表
矩尺座γ

**矩尺座 γ2**（**γ2 Nor**）是矩尺座的最亮星，視星等 4.02。距離地球 129 光年，是一個恆星分類 G8III 的黃巨星，質量為太陽的 2 倍多，已經膨脹到太陽直徑的 10 倍。它是一個光學雙星，有一個僅為視線上的 10 等伴星。

矩尺座 γ¹ 是附近比它暗將近 1 等的恆星。
矩尺座γ¹

**矩尺座 γ¹**，又名 **CD-4910474**，**HD 146143**、**SAO 226619**、**HR 6058**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.99，位於銀經 333.04，銀緯 0.39，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 9m 31.5s，赤緯 - 49° 0.39′ 5″。

## 參考文獻
矩尺座γ流星雨

**矩尺座 γ 流星雨**出現時看似是散亂流星，因為在它活躍期間的 ZHR 值與背景流星的數值仍是難以區分的，但是它的峰值相當尖銳，ZHR 達到最大值的 3 或 4 的時間只有一天或兩天。在過去的觀測中最大值出現的時段並不明確，有時活躍的時間很寬廣，或者較不明顯。它的活躍期在 2 月 25 日至 3 月 22 日之間，輻射點在赤經 239 度，赤緯 - 50 度，流星的速度為每秒 56 公里。

從有限的數據中，在 1999 年建議極大期可能出現在太陽位於黃經 350 至 357 之間，也就是大約在每年的 3 月 10 日至 17 日。而從錄影的觀測中顯示以前所認定的輻射點可能並不正確，因此需要更多的觀測資料來做更確實的認定。在子夜過後的觀測能獲得較佳的效果，因為在南半球的輻射點在子夜之後才能上升至合理的高度（在北半球許多地區看不見輻射點）。

## 觀測預報

這個流星雨非常需要有計劃的觀測，預測 2008 年的極大期在 3 月 13 日，3 月 14 日才是上弦月，因此是很適合觀測的一年，而所有的觀測技術都可以被使用。
2010 年的極大期預測在 3/14，雖然靠近朔，幾乎沒什麼月光影響，但是平均 ZHR 只有 6，其他活動期間也只有 ZHR～3 而已，幾乎與偶發流星沒什麼兩樣。而且由於對臺灣地區而言，矩尺座的位置非常南邊，受到大氣層的影響，可以看見的流星數量會比緯度較南或南半球的地區更少。

## 參考資料

* 矩尺座 γ 流星雨 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
矩尺座δ

**矩尺座 δ**，又名 **CD-4410625**，**HD 144197**、**SAO 226500**、**HR 5980**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.72，位於銀經 335.09，銀緯 5.17，其 B1900.0 坐標為赤經 15h 59m 25.3s，赤緯 - 44° 5.17′ 7″。

## 參考文獻
矩尺座ε

**矩尺座 ε**，又名 **CD-4710765**，**HD 147971**、**SAO 226773**、**HR 6115**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.47，位於銀經 336，銀緯 0.98，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 19m 50.9s，赤緯 - 47° 0.98′ 36″。

## 參考文獻
矩尺座ζ

**矩尺座 ζ**，又名 **CP-55 7229**，**HD 145361**、**SAO 243449**、**HR 6019**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 5.81，位於銀經 328.86，銀緯 - 3.19，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 5m 24.7s，赤緯 - 55° -3.19′ 53″。

## 參考文獻
矩尺座η

**矩尺座 η**，又名 **CD-4810512**，**HD 143546**、**SAO 226466**、**HR 5962**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.65，位於銀經 331.97，銀緯 2.52，其 B1900.0 坐標為赤經 15h 55m 51.7s，赤緯 - 48° 2.52′ 2″。

## 參考文獻
矩尺座θ

**矩尺座 θ**，又名 **CD-4710611**，**HD 145842**、**SAO 226600**、**HR 6045**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 5.14，位於銀經 334.7，銀緯 2.53，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 7m 59.5s，赤緯 - 47° 2.53′ 2″。

## 參考文獻
矩尺座ι

**矩尺座 ι**，又名 **CP-57 7500**，**HD 143474**、**SAO 243279**、**HR 5961**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.63，位於銀經 326.35，銀緯 - 3.92，其 B1900.0 坐標為赤經 15h 55m 23.7s，赤緯 - 57° -3.92′ 36″。

## 參考文獻
矩尺座κ

**矩尺座 κ**，又名 **CP-54 7245**，**HD 145397**、**SAO 243454**、**HR 6024**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 4.94，位於銀經 329.49，銀緯 - 2.53，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 5m 35.3s，赤緯 - 54° -2.53′ 18″。

## 參考文獻
矩尺座λ

**矩尺座 λ**，又名 **CD-4211188**，**HD 146667**、**SAO 226650**、**HR 6071**，是矩尺座的一顆恆星，視星等為 5.45，位於銀經 338.5，銀緯 5.4，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 12m 19.9s，赤緯 - 42° 5.4′ 44″。

## 參考文獻
矩尺座μ

**矩尺座 μ**，又名 **CD-4310900**，**HD 149038**、**SAO 226900**、**HR 6155**，是矩尺座的一顆藍超巨星，視星等為 4.94，絕對星等 - 5.86，光度是太陽的 21 萬倍。位於銀經 339.38，銀緯 2.51，其 B1900.0 坐標為赤經 16h 26m 58.5s，赤緯 - 43° 2.51′ 0″。

該恆星和參宿二的光譜被認為是 B0 藍超巨星的範例，不過它的質量較參宿二低，是 34 倍太陽質量。而這兩顆恆星和天津四一樣屬於天鵝座 α 型變星。一般認為它可能在數百萬年後成為紅超巨星，最後以 II 型超新星結束生命。

## 參考文獻
矩尺座恒星列表

以下是星座矩尺座的主要恆星列表，按照亮度降序排列。

## 參見

* 星座恆星列表

## 參考資料

* ESA. The Hipparcos and Tycho Catalogues. 1997 [2006-12-26]. （原始內容存檔於 2006-12-07）.
* Kostjuk, N. D. HD-DM-GC-HR-HIP-Bayer-Flamsteed Cross Index. 2002 [2006-12-26]. （原始內容存檔於 2006-11-24）.
* Roman, N. G. Identification of a Constellation from a Position. 1987 [2006-12-26]. （原始內容存檔於 2006-11-24）.
* Gould, B. A. Uranometria Argentina. Reprinted and updated by Pilcher, F. [2010-07-16]. （原始內容存檔於 2012-02-27）.
矩尺座星团

**矩尺座星系團**（**ACO 3627** or **Abell 3627**）是一個隱藏在銀河系隱匿帶內，富含星系的星系集團，靠近巨引源所在的中心方向上。雖然它距離銀河不到 2 億光年且極其明亮，但是由於位於隱匿帶，也就是被銀河系的平面遮蔽的區域，因而有些星系在可見光的波段中會被星際塵埃遮蔽掉，使得光度暗淡或是消失不見，因而也就難以直接觀測到了。矩尺座星系團的總質量估計是 1015 太陽質量。.

## 參見

* ESO 137-001

## 外部連結

* Norma Cluster（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in the NASA Extragalactic Database
* ESO Press Photos 46a-j/99

## 參考資料
矩州

**矩州**，唐朝時設置的州。

武德四年（621 年）置，治所在今貴州省貴陽市。轄境相當今貴州省貴陽市及清鎮、龍里、修文等市縣部分地區。下轄平蠻縣（今貴州省貴定縣）、韶明縣（今貴州省福泉市牛場鎮）、東陵縣（今貴州省福泉市城廂鎮）、東停縣（今貴州省黃平縣新洲鎮）。1126 年後廢棄。

**矩州刺史**

* 謝法成（663 年 —669 年）

## 參考資料

* 《唐刺史考全編》
* 《中國行政區劃通史 唐代卷》
矩形

在幾何中，**矩形**定義為有一個角是直角的平行四邊形，即長方形。

從這個定義可以得出矩形兩條相對的邊等長，也就是說矩形是平行四邊形。正方形是四個邊都等長的矩形，它的四個邊都是等長的。

對於長方形兩對相對的邊，我們稱橫邊為_長_，豎邊為_寬_。長方形的面積是長和寬的乘積；用符號表示就是：A = lw。如圖，一個長方形的長是 5 米，寬是 4 米，那麼面積為 20 平方米，因為 5 × 4 = 20。

在微積分中，黎曼積分可以被看成是無窮多任意小的長方形面積的和的極限。

## 定義

有一角是直角的平行四邊形是矩形。

## 性質

1. 矩形擁有所有平行四邊形的性質，因為它是平行四邊形的一種
2. 矩形對角線相等
3. 矩形 4 個角都是 90°

## 判定

1. 有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）
2. 對角線相等的平行四邊形是矩形。
3. 對角線相互平分且相等的四邊形為矩形。
4. 3 個角是直角的四邊形是矩形。
矩形函数

**矩形函數**的定義為，

　
: $\mathrm {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

也可以將它定義為 $\mathrm {rect} (\pm 1/2)$ 的值為 0、1 或者未定義的值，另外也可以用 單位階躍函數 $u(t)$ 來定義：

　
: $\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$

或者，

　
: $\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-u\left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

矩形函數歸一化：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1$

矩形函數的傅立葉變換，

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (f)$

或用用歸一化 Sinc 函數表示為：

　
: ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$ ,

我們可以將三角形函數定義為兩個矩形函數的卷積：

　
: $\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)$

如果將矩形函數當作一個概率分布函數，那麼它的特徵函數是，

　
: $\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,$

並且它的動差生成函數為，

　
: $M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,$

其中 $\mathrm {sinh} (t)$ 是雙曲正弦函數。

## 參見

* 傅立葉變換
* 方波
* 三角形函數
矩形尖额蚤

**矩形尖額蚤**（學名：_Alona rectangula_）為盤腸蚤科尖額蚤屬的動物。分布於北半球、拉丁美洲、非洲、台灣島以及中國大陸的廣東、福建、浙江、江蘇、安徽、江西、湖北、四川、山東、河北、河南、遼寧、吉林、黑龍江、寧夏、雲南、山西、陝西、甘肅、青海、西藏、新疆等地，屬於廣溫性種類。其主要生活於湖泊沿岸、池塘或水潭中。

## 參考文獻
矩形數

在數學中，**普洛尼克數**（pronic number），也叫**矩形數**（oblong number），是兩個連續非負整數積，即 $n\times (n+1)$ 。第 n 個普洛尼克數都是 n 的三角形數的兩倍。開頭的幾個普洛尼克數是：

　
: : 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS 數列 A002378）

## 性質

* 普洛尼克數也可以表達成 $n^{2}+n$ 。
* 對於第 n 個普洛尼克數也正好等於頭 n 個偶數的和，也是第 n 個三角形數的兩倍。
* 普洛尼克數不可能是奇數，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形數的兩倍。
* 普洛尼克數的數字根必為 2、3、6、9。
* 普洛尼克數的末位數只可能是 0、2、6。
* 除了 0 以外，普洛尼克數也不可能是平方數。
* 除了 0 以外，普洛尼克數也不可能是次方數。
* 除了 6 以外，普洛尼克數也不可能是完全數。
* 一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的 4 倍加 1 是平方數。
* 連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。
* 顯然，2 是唯一的一個素普洛尼克數，也是費氏數列中唯二的普洛尼克數（另一個是 0）。

## 特殊的普洛尼克數

* 同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程式 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的幾個為 0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……，對應的 $x$ 值分別為 0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS 數列 A053141），對應的 $y$ 值分別為 0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS 數列 A001652）。

## 註釋

## 參考資料
矩形法

微積分中，**矩形法**是一種計算定積分近似值的方法，其思想是求若干個矩形的面積之和，這些矩形的高由函數值來決定。

 
將積分區間 $(a,b)$ 劃分為 $n$ 個長度相等的子區間，每個子區間的長度為 $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ 。這些矩形左上角、右上角或頂邊中點在被積函數圖像上。這樣，這些矩形的面積之和就約等於定積分的近似值。有：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta x)\Delta x$

其中 $i'$ 可以是以下三個值 $i-{\frac {1}{2}}$ ， $i$ ， $i+{\frac {1}{2}}$ 之一，由函數圖像上的點為矩形的左上角、右上角或頂邊中點來決定。

當 _n_ 逐漸擴大時，此近似值更加準確。矩形法的計算本質上是與黎曼積分的定義相吻合的。上述的 $i'$ 無論取哪個值，最終和式的值都將趨近於定積分的值。

* 

## C 語言代碼

## Fortran 語言代碼

## 注釋與參考

## 另見

* 梯形法
* 辛普森法
矩形波

**方波**是一種非正弦曲線的波形，通常會於電子和訊號處理時出現。理想方波只有「高」和「低」這兩個值。

## 起源與應用

在現實世界，方波只有有限的頻寬。由於一般電子零件只有高（1）和低（0）兩個值，方波就自然產生，並於數位開關電路中廣泛應用。因為方波可以快速從一個值轉至另一個（即 0→1 或 1→0），所以方波就用作時鐘訊號來準確地觸發同步電路。但是如果用頻率定義域來表示方波，就會出現一連串的諧波。這可能會產生電磁波和電流脈波，影響周圍的電路，產生雜訊和錯誤，對一些精密儀器如類比數位資料轉換器（analog-to-digital converter）影響十分明顯，所以設計會使用正弦波作時鐘訊號來代替方波。

在音樂上，方波被視為空洞的聲音，因此會以減法合成過濾方波作管樂的基礎。另外，電吉他的失真效果（distortion）把波形的外層削去，令波形趨向成為方波。失真越大會令波形越像方波。

一個「簡單二能級萊德馬契函數」（simple two-level Rademacher function）就是一個方波。

## 驗証方波

方波和鋸齒波不同。鋸齒波包含所有整數諧波成分（integer harmonics），方波只有奇數諧波成分。

我們可以傅立葉級數表達一個理想方波，這個傅立葉級數有無限個項，如下式：

$$
x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left((2k-1)2\pi ft\right)} \over (2k-1)}={\frac {4}{\pi }}\left(\sin(2\pi ft)+{1 \over 3}\sin(6\pi ft)+{1 \over 5}\sin(10\pi ft)+...\right)
$$

以傅立葉級數來表達方波會出現吉布斯現象（Gibbs phenomenon）。非理想方波中的振鈴被證明與此現象有關。吉布斯現象可使用 σ 近似（σ-approximation）來阻止，而 σ 近似使用 Lanczos σ 因子來使序列更理想地收斂。

方波的高（1）和低（0）兩個值之間的轉換時，時間應盡量縮短，所以理想方波值的轉變是即時的。當然，這在現實世界中永不可能發生，因為它的轉變率要無限，並且要無限大的頻寬。

在現實世界，方波只有有限的頻寬，因此會出現嚴重的吉布斯現象並常常表現出像吉布斯現象一樣的振鈴效應（ringing effect），或者是像 σ 近似一樣的波動效應（ripple effect）。

在現實世界，數碼電子的頻寬有限，方波只能以有限的頻寬來表達，意味著我們只能取一個近此方波的波型。要得出這個合理的波型，最少要有基波（fundamental harmonic）和第三次諧波（third harmonic）。當然，諧波的數量越多，波型就越像一個方波。

工作週期（duty cycle）是方波值「1」佔一個週期的時間比例。真實方波的工作週期是 50%──即高值和低值占的時間一樣。方波的平均值是由工作週期決定的，因此通過改變 ON 和 OFF 週期然後求平均數，有可能代表兩個限制電平（limiting level）間的任意值。這是脈波寬度調變（pulse-width modulation）的基礎。

## 非理想方波的特性

正如已經提到的，理想方波在高和低兩個值之間是瞬時變化的。實際上，由于波形產生系統的物理局限性，這永遠不可能實現。信號從低值上升到高值然後再下降所花費的時間分別稱為**脈衝上升時間**（rise time）和**脈衝衰減時間**（fall time）。

如果系統出現過阻尼，那麼波就永遠不會達到理論上的高和低兩個值，如果系統出現欠阻尼，波在穩定下來之前就會在高和低兩個值附近振盪。在這兩種情況下，脈衝上升和衰減時間就會在兩個特定的中間值之間被測量，例如 5% 和 95% 之間，或 10% 和 90% 之間。公式存在的能決定系統的近似頻寬，決定了波的脈衝上升和衰減時間。

## 其他定義法

方波有很多定義法，除了在不連續點外它們都是等效的。

### 正弦函數定義法

　
: $\ x(t)=\operatorname {sgn}(\sin(t))$

當正弦值為正時上式等於 1，當正弦值為負時上式等於−1，且 0 在不連續點上。

### 單位階躍函數 _u_(_t_) 與矩形函數⊓（_t_）定義法

　
: $\ x(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\sqcap (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left(u\left(t-nT+{1 \over 2}\right)-u\left(t-nT-{1 \over 2}\right)\right)$

占空比為 50% 時，_T_ 是 2. 也可以用分段的方式表示：

　
: $\ x(t)={\begin{cases}1,&|t|<T_{1}\\0,&T_{1}<|t|\leq {T \over 2}\end{cases}}$

當下列式子成立時，上述式子成立

　
: $\ x(t+T)=x(t)$

## 參見

* 矩形函數
* 脈波
* 正弦波
* 三角波
* 鋸齒波
* 波
* 聲音
矩形碘泡虫

**矩形碘泡蟲**（學名：_Myxobolus oblongus_）為碘泡科碘泡蟲屬的動物。分布於美國以及四川、湖北等，營寄生生活，寄生在腸（烏鱧）、鰭、口腔、腎、肝、心、鰾（重口裂腹魚）。

## 參考文獻
矩形螂斗蛤

**矩形螂斗蛤**（學名：_Myadora compressa_）筍螂目三角瓣蛤科螂斗蛤屬的一種。

## 型態描述

與其他本科物種一樣：本物種殼質堅厚、能密閉，前、後不等，左右殼亦不等。

## 分佈

主要分布於中國大陸、台灣，常棲息在水深 61－96 米。

## 參考文獻
矩擬白魚

**矩擬白魚**（學名：_**Albulichthys oblongus**_）為條鰭魚綱鯉形目雅羅魚科的其中一種，分布於亞洲哈薩克斯坦及烏茲別克斯坦的錫爾河流域，體長可達 14.2 公分，棲息在中底層水域，生活習性不明。

## 參考文獻
矩樱蛤属

**方櫻蛤屬**（學名：_Quadrans_）是櫻蛤科下的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Quadrans bougei_ (G.B.Sowerby Iii, 1909)
* 方櫻蛤 _Quadrans gargadia_ (Linnaeus, 1758)
* _Quadrans sericatus_ (Melvill, 1898)
* _Quadrans (Spinans) spinosus_ (Hanley, 1844)

## 參考文獻
矩母函数

在機率論和統計學中，一個實數值隨機變數的**動差母函數**（moment-generating function）又稱**動差生成函數**，動差亦被稱作矩，**動差生成函數**是其機率分布的一種替代規範。 因此，與直接使用機率密度函數或累積分布函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變數的加權和定義的分布的動差生成函數，有特別簡單的結果。 然而，並非所有隨機變數都具有動差生成函數。

顧名思義，動差生成函數可用於計算分布的動差：關於 0 的第 $n$ 個動差是動差生成函數的第 $n$ 階導數，在 0 處求值。

除了實值分布（單變數分布），動差生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變數，甚至可以擴展到更一般的情況。

與特徵函數不同，一個實數值分布的動差生成函數並不總是存在。 分布的動差生成函數的行為與分布的性質之間存在關係，例如動差的存在。

## 定義

隨機變數 $X$ 的動差母函數定義為：

　
: $M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} $

前提是這個期望值存在。

## 計算

如果 _$X$_ 具有連續機率密度函數 $f(x)$ ，則它的動差母函數由下式給出：

　
: $M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

　
: : $=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

　
: $=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots $

其中 $m_{i}$ 是第 $i$ 個動差。 $M_{X}(-t)$ 是 $f(x)$ 的雙邊拉普拉斯轉換。

不管機率分布是不是連續，動差生成函數都可以用黎曼 - 斯蒂爾吉斯積分給出：

　
: : $M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)$

其中 $F$ 是累積分布函數。

如果 $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ 是一系列獨立的隨機變數，且

　
: : $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$

其中 $a_{i}$ 是常數，則 $S_{n}$ 的機率密度函數是每一個 $X_{i}$ 的機率密度函數的摺積，而 _$S_{n}$_ 的動差生成函數則為：

　
: : $M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)$ 　。

對於分量為實數的向量值隨機變數 **X**，動差生成函數為：

　
: $M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)$

其中 $\mathbf {t} $ 是一個向量， $\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle $ 是數量積。

## 意義

只要動差生成函數在 $t=0$ 周圍的開區間存在，第 _$n$_ 個動差為：

　
: : $\operatorname {\mathbb {E} } \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}$ 　。

如果動差生成函數在這個區間內是有限的，則它唯一決定了一個機率分布。

一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差生成函數有關，包括特徵函數以及機率生成函數。

累積量生成函數是動差生成函數的對數。

## 例子

下面是一些動差生成函數和特徵函數的例子，用於比較。 可以看出，特徵函數是動差生成函數 $M_{X}(t)$ 存在時的威克轉動（Wick rotation）。

　
:

## 參見

* 主動差
* 動差
* 階乘動差生成函數
* 速率函數

## 註

## 參考文獻
矩環蝶屬

**矩環蝶屬**（學名：_Enispe_）是閃蝶亞科環蝶族中的一個屬。分佈於東洋界。

## 物種

* 錫金矩環蝶 （_Enispe cycnus_） Westwood, 1851
* 西藏矩環蝶 （_Enispe euthymius_） (Doubleday, 1845)
* 繁紋矩環蝶 （_Enispe intermedia_） Rothschild, 1916
* 月紋矩環蝶 （_Enispe lunatus_） Leech, 1891
* 斑紋矩環蝶 （_Enispe milvus_） Staudinger, 1897

## 參考資料

* Corbet AS, Pendlebury HM, and Eliot JN. 1992. The butterflies of the Malay Peninsula. Malayan Nature Society, Kuala Lumpur.
矩胸金小蜂属

**矩胸金小蜂屬**（學名：_Syntomopus_）為金小蜂科的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Syntomopus agromyzae_ Hedqvist, 1973
* 美洲矩胸金小蜂 _Syntomopus americanus_ Ashmead, 1895
* _Syntomopus arpedes_ Heydon, 1993
* _Syntomopus carinatus_ Sureshan & Narendran, 1999
* 棕足矩胸金小蜂 _Syntomopus fuscipes_ Huang, 1991
* 纖細矩胸金小蜂 _Syntomopus gracilis_ De Santis, 1976
* _Syntomopus incisoideus_ Howard, 1897
* _Syntomopus incisus_ Thomson, 1878
* _Syntomopus incurvus_ Walker, 1833
* 黑矩胸金小蜂 _Syntomopus nigrus_ Sureshan & Narendran, 1999
* _Syntomopus oviceps_ Thomson, 1878
* _Syntomopus pallipes_ Rudow, 1886
* _Syntomopus parisii_ De Santis, 1976
* _Syntomopus rajamalaiensis_ Sureshan & Narendran, 1999
* 莎士比亞矩胸金小蜂 _Syntomopus shakespearei_ (Girault, 1926)
* _Syntomopus thoracicus_ Walker, 1833
* _Syntomopus turanicus_ Dzhanokmen, 2001

**歸入本屬的物種：**

* _Dudichilla crassicornis_ Szelenyi, 1970

## 參考文獻
矩蛏螂属

**矩蟶螂屬**（學名：_Acharax_）為蟶螂科的一個屬。:21

## 下級分類

本屬包括以下物種：

* _Acharax alinae_ Métivier & Cosel, 1993
* _Acharax bartschii_ (Dall, 1908)
* _Acharax caribbaea_ (Vokes, 1970)
* _Acharax clarificata_ Dell, 1995
* _Acharax gadirae_ Oliver, Rodrigues & Cunha, 2011
* _Acharax grandis_ (Verrill & Bush, 1898)
* 日本矩蟶螂 _Acharax japonica_（Dunker,1882）
* 詹氏矩蟶螂 _Acharax johnsoni_（Dall,1891），也稱矩蟶螂
* _Acharax patagonica_ (E. A. Smith, 1885)
* _Acharax prashadi_ (Vokes, 1955)

## 參考文獻
矩蛺蝶屬

**矩蛺蝶屬**（**Lilac Beauty**，學名：_**Salamis**_）是蛺蝶亞科眼蛺蝶族中的一個屬。物種分佈於衣索比亞界。曾被視作此屬異名或下級種團的 _Protogoniomorpha_ 已成為獨立一屬。

## 物種

* 紅矩蛺蝶 _Salamis anteva_
* 矩蛺蝶 _Salamis augustina_
* 仙人掌矩蛺蝶 _Salamis cacta_
* _Salamis humbloti_

## 參見

* _Protogoniomorpha_
* 眼蛺蝶屬

## 腳註

## 參考文獻

* Ackery PR, Smith CR, and Vane-Wright RI eds. 1995. Carcasson's African butterflies. Canberra: CSIRO.
* Larsen, T. B. 2005 Butterflies of West Africa. Stenstrup, Denmark: Apollo Books.
* Mark C. Williams, Checklist of Afrotropical Papilionoidea and Hesperoidea; Compiled by Mark C. Williams, 7th ed. (2008) (April 2007); Afrototropical Butterflies （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 壽建新 周堯 李宇飛。世界蝴蝶分類名錄。中國：陝西科學技術出版社. 2006-04-01. ISBN 9787536936768 （中文（簡體））.
矩量

**矩**(Torque、Moment) 有下列意義：

## 數學

* 動差（moment）

## 圖像

* 矩 (圖像)

## 物理

* 力矩（Moment of force）
* 向量矩（Moment of a vector）
* 慣矩（Moment of inertia），又稱**轉動慣量**。
* 磁矩（Magnetic moment）
* 電偶極矩（Electric dipole moment）
矩量法

**矩量法**（英語：Method of Moments, MoM）是一種電磁場數值計算方法，最早由美國科學家哈林登提出。

## 命名的演變

矩量法最初的英文名為 **Moment Method**，但是由於此方法因其加權函數 —— 在此處稱為矩（Moment）—— 的不同而為不同物體的電磁場計算提供方便而著名，所以後來被改稱為 **Method of Moments**。
矩量法_(統計學)

在統計學中，**動差估計**（英語：method of moments）是估計母體母數的方法。首先推導涉及感興趣的母數的母體動差（即所考慮的隨機變數的冪的期望值）的方程式。然後取出一個樣本並從這個樣本估計母體動差。接著使用樣本動差取代（未知的）母體動差，解出感興趣的母數。從而得到那些母數的估計。動差估計是英國統計學家卡爾・皮爾森於 1894 年提出的。

## 方法

假設問題是要估計表徵隨機變數 $W$ 的分布 $f_{W}(w;\theta )$ 的 $k$ 個未知母數 $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$ 。如果真實分布（"母體動差"）的前 $k$ 階動差可以表示成這些 $\theta $ 的函數:

　
: $\mu _{1}\equiv E[W]=g_{1}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

　
: $\mu _{2}\equiv E[W^{2}]=g_{2}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}),$

　
: : $\vdots $

　
: $\mu _{k}\equiv E[W^{k}]=g_{k}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}).$

設取出一大小為 $n$ 的樣本，得到 $w_{1},\dots ,w_{n}$ 。對於 $j=1,\dots ,k$ ，令

　
: ${\hat {\mu }}_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{j}$

為 j 階樣本動差，是 $\mu _{j}$ 的估計。 $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$ 的動差估計量記為 ${\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}$ ，由這些方程式的解（如果存在）定義：

　
: ${\hat {\mu }}_{1}=g_{1}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

　
: ${\hat {\mu }}_{2}=g_{2}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}),$

　
: : $\vdots $

　
: ${\hat {\mu }}_{k}=g_{k}({\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}).$

## 參見

* 廣義動差估計
* 點估計
* 估計量的偏誤
矩阵_(数据结构)

**二維陣列** $A_{[m][n]}$ ，每個元素的長度為 t 個字節，設 $a_{p,q}$ 為 A 的第一個元素，即二維陣列的行下標從 p 到 m，列下標從 q 到 n，按「行優先順序」存儲時則元素 $a_{ij}$ 的地址計算為：

$$
LOC(a_{i,j})=LOC(a_{p,q})+((i-p)*n+(j-q))*t
$$

按「列優先順序」存儲時，地址計算為：

$$
LOC(a_{i,j})=LOC(a_{p,q})+((j-q)*m+(i-p))*t
$$

存放該陣列至少需要的單元數為 (m-p+1) \* (n-q+1) \* t 個字節

二維陣列又稱為**矩陣**，行列數相等的矩陣稱為**方陣**。對稱矩陣 $a_{ij}=a_{ji}$ ，對角矩陣：n 階方陣的所有非零元素都集中在主對角線上.

## 二維陣列基本運算算法：

### (1) 轉置矩陣：

### (2) 矩陣相加：

### (3) 矩陣相乘：

## 參見

* 矩陣
* 稀疏矩陣
矩阵函数

數學上講，**矩陣函數**是把矩陣映射到另一個矩陣的函數。

## 將純量函數拓展為矩陣函數

### 指數級數

如果實值函數 f 具有泰勒展開

　
: $f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots $

那麼矩陣函數可以通過用矩陣替換自變量 $x$ 得到：指數運算變成矩陣指數，加法變成矩陣和，與純量係數的乘法變成矩陣和純量的乘法。如果實級數在 $|x|<r$ 時收斂，那麼其對應的關於 $A$ 的矩陣級數也將收斂，如果在某個滿足 $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$ 的矩陣範數 $\|\cdot \|$ 上滿足 $\|A\|<r$ 。

### 可對角化矩陣

如果矩陣 $A$ 是可對角化矩陣，則結果可以簡化為一個由各個特徵值的函數值構成的矩陣。換句話說，假設我們可以找到矩陣 $P$ 和對角陣 $D$ ，使得 $A=P\cdot D\cdot P^{-1}$ ，那麼
把指數級數的定義用到這個分解上，我們可以得到

　
: $f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~,$

其中 $d_{1},\dots ,d_{n}$ 表示 $D$ 的對角元素。

## 相關條目

* 西爾維斯特公式
* 矩陣微積分
* 跡不等式
* 矩陣三角函數

## 參考資料

* Higham, Nicholas J. Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2008. ISBN 9780898717778.
矩阵分析

**矩陣分析**（英語：**matrix analysis**） 是一門研究矩陣及其代數性質的學科。這門學科研究的內容包括矩陣的運算（加法、矩陣乘法等）、矩陣函數、矩陣的特徵值（特徵值分解）等。

## 矩陣空間

數域 _F_ 下的所有 _m_×_n_ 矩陣構成向量空間 _Mmn_(_F_)。數域 _F_ 包括有理數ℚ、實數ℝ、複數ℂ等。當 $m\neq p$ 或 $n\neq q$ 時，空間 _Mmn_(_F_) 和 _Mpq_(_F_) 不一致，例如 _M_32(_F_) ≠ _M_23(_F_)。

兩個 _m_×_n_ 的矩陣 **A** 和 **B** 在空間 _Mmn_(_F_) 相加可以得到空間 _Mmn_(_F_) 下的一個新矩陣：

　
: $\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)$

與數域 _F_ 中的數 _α_ 相乘，也可以得到空間 _Mmn_(_F_) 下的矩陣：

　
: $\alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)$

以上兩條性質可以總結為：在矩陣空間 _Mmn_(_F_) 下的兩個矩陣 **A** 和 **B** 線性組合可以得到空間 _Mmn_(_F_) 下的一個新矩陣：

　
: $\alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)$

其中 _α_ 和 _β_ 是數域 _F_ 中的數。

所有矩陣都可以表示為基矩陣的線性組合，這些基矩陣起到類似於基向量的作用。例如，對於實數域下的 2×2 矩陣空間 _M_22(ℝ)，一組可行的基矩陣可以是：

　
: ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

因為所有的 2×2 矩陣均可以表示為：

　
: ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

其中 _a_, _b_, _c_,_d_ 均為實數。這個思路也可以推廣到高維矩陣空間下。

## 行列式

行列式是方陣的重要性質之一，它可以指示一個矩陣是否可逆。矩陣的行列式被用於計算特徵值、求解線性方程組等方面。

## 矩陣的特徵值和特徵向量

一個 $n\times n$ 矩陣的特徵值 $x$ 和特徵向量 $\lambda $ 定義為：

$$
Ax=\lambda x
$$

也就是說，一個矩陣乘以它的特徵向量相當於它的特徵值乘以特徵向量。一個 $n\times n$ 的矩陣有 n 個特徵值，它們是矩陣特徵多項式的根：

$$
p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0
$$

其中 $\mathbf {I} $ 為 $n\times n$ 的單位矩陣。

## 相似矩陣

如果兩個 $n\times n$ 的矩陣 $A$ 和 $B$ 可以用相似變換聯繫起來，則兩個矩陣相似：

$$
\mathbf {B=PAP} ^{-1}
$$

可逆矩陣 $\mathbf {P} $ 被稱為相似變換矩陣。

### 酉相似
矩阵分解

**矩陣分解**（**decomposition**, **factorization**）是將一個矩陣拆解為數個矩陣的乘積的運算。其依使用目的的不同，可分為幾類。

## 例子

在數值分析，矩陣分解常常用來實現一些矩陣運算的快速算法。

## 與線性方程解法相關的矩陣分解

* LU 分解
* 奇異值分解
* QR 分解
* 極分解
* 特徵分解

## 其他分解

* 主成分分析

## 外部連結

* Online Matrix Calculator
* Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
矩阵加法

在數學裡，**矩陣加法**一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法。

## 個別元素相加（減）

通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個 _m×n_ 矩陣 _A_ 和 _B_ 的和，標記為 _A_+_B_，一樣是個 _m×n_ 矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}$

也可以做矩陣的減法，只要其大小相同的話。_A_-_B_ 內的各元素為其相對應元素相減後的值，且此矩陣會和 _A_、_B_ 有相同大小。例如：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}$

## 直和

另一種運算為直和。直和可以由任何一對矩陣形成，其定義為：

　
: $A\oplus B={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$

舉例來說：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}$

注意到這種運算可以給兩個圖的鄰接矩陣取聯集。

在任兩個向量空間內取定基底，並取兩基底的聯集為向量空間直和的基底，則兩空間上的線性變換的直和可以表成兩矩陣的直和。

一般地，_n_ 個矩陣的直和可以寫成：

　
: $\bigoplus _{i=1}^{n}A_{i}={\mbox{diag}}(A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n})={\begin{bmatrix}A_{1}&&&\\&A_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&A_{n}\end{bmatrix}}.$

## 另見

* 矩陣乘法

## 外部連結

* Online matrix addition calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
矩阵合同

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的**合同關係**。兩個矩陣 $A$ 和 $B$ 是**合同**的，如果有同數域上的可逆矩陣 $P$ ，使得

　
: $A=P^{\mathrm {T} }BP\,$ 。

其中的 $P^{\mathrm {T} }$ 表示矩陣 $P$ 的轉置矩陣。

對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。

在有限維線性空間中同一雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的。

## 性質

合同關係是一個等價關係，也就是說滿足：

　
: 反身性： $A=I_{n}^{\mathrm {T} }AI_{n}$

　
: 對稱性： $A$ 合同於 $B$ ，則可以推出 $B$ 合同於 $A$ 。

　
: 傳遞性： $A$ 合同於 $B$ ， $B$ 合同於 $C$ ，則可以推出 $A$ 合同於 $C$ 。

合同類矩陣具有相等的秩和正慣性指數，秩和正慣性指數是合同關係下的完全不變量，即如果兩個矩陣合同等價於他們的秩和正慣性指數相等。

由於每個二次型都可以經過線性替換變成若干個平方和的形式，對於矩陣來說，就是每個對稱矩陣都合同於一個對角矩陣，後者稱為一個**標準形**。根據譜定理，替換的過渡矩陣可以是一個正交矩陣。

如果不考慮替換矩陣的正交性，那麼在複數域中，每個對稱矩陣都合同於一個對角線上元素只由 0 和 1 構成的對角矩陣。對角線上的 1 的個數等於原來的矩陣的 秩。因此每個可逆的對稱矩陣都合同於單位矩陣。

在實數域中，根據慣性定理，每個對稱矩陣都合同於一個對角線上元素只由 0 和正負 1 構成的對角矩陣。如果設 1 的個數是 p，-1 的個數是 q，那麼給定 (p,q) 後，就確定了一個關於合同關係的等價類。數對 (p,q) 稱為一個對稱矩陣（或相應二次型）的**慣性指數**其中 1 的個數 p 稱為**正慣性指數**， -1 的個數 q 稱為**負慣性指數**， _p_-_q_ 叫做**符號差**。據此可以得出：合同關係將所有的對稱矩陣分為 ${(n+2)(n+1) \over 2}$ 個等價類。

## 正定二次型

如果 $\forall \alpha \in \mathbb {R} ^{n}$ ，且 $\alpha \neq 0$ ，都有 $\alpha ^{'}A\alpha \geq 0$ , 那麼這個二次型被稱為**半正定的**，它對應的對稱矩陣在實數域內合同到一個一個對角線上元素只由 0 和 1 構成的對角矩陣。
如果一個二次型的矩陣在實數域內合同於單位矩陣，那麼稱其為**正定二次型**。一個二次型是半正定二次型若且唯若它的正慣性指數等於它對應的矩陣的秩；是正定二次型若且唯若它的正慣性指數是 _n_。 正定二次型必然是可逆矩陣，而且它的順序主子式全部大於 0。

同樣的可以定義半負定、負定和不定的二次型。

 

## 參見

* 合同 \_(數學)
* 相似矩陣

## 參考資料

* 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組，《高等代數》，高等教育出版社，2003 年。
矩阵多项式

**矩陣多項式**是數學中矩陣論里的概念，指由方塊矩陣作為不定元的多項式，或由方塊矩陣作為變量的多項式函數。

## 定義

給定自然數 _n_、係數環 $\mathbf {R} $ 以及 _n_ 階方塊矩陣 _A_，一個關於矩陣 _A_ 的 _d_ 次的矩陣多項式通常寫作：

　
: $P(A)=\alpha _{0}\mathbf {I} _{n}+\alpha _{1}A+\alpha _{2}A^{2}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}A^{i}$

其中的 $\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{d}$ 都是係數環 $\mathbf {R} $ 中的元素。這其實是可以看作將 $\mathbf {R} [\lambda ]$ 中的多項式：

　
: $P(\lambda )=\alpha _{0}+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{2}\lambda ^{2}+\cdots +\alpha _{d}\lambda ^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}\lambda ^{i}$

中的不定元 $\lambda $ 換成了一個 _n_ 階方塊矩陣 _A_ 後得到的結果。P(_A_) 和 _A_ 一樣，也是一個 _n_ 階方塊矩陣。

## 性質

給定一個 n 階方塊矩陣 A，如果一個非零多項式 $f\in \mathbf {R} [\lambda ]$ 滿足： $f(A)=0$ ，則稱多項式 f 是矩陣 A 的**零化多項式**。根據開萊－哈密爾頓定理，特徵多項式 $\Pi _{A}(\lambda )$ 滿足 $\Pi _{A}(A)=0$ ，所以 $\Pi _{A}$ 是一個零化多項式。所有零化多項式中次數最低的稱為 A 的**最小多項式**，記作 $\pi _{A}$ 。所有關於 A 的矩陣多項式 Q 都可以通過最小多項式化簡為一個次數嚴格小於 $\pi _{A}$ 的多項式。事實上，存在多項式 $Q,\;R\;\in \mathbf {R} [\lambda ]$ ，使得：

　
: $P=Q\pi _{A}+R$

並且其中 R 的次數嚴格小於 $\pi _{A}$ 的次數。所以：

　
: $P(A)=Q(A)\pi _{A}(A)+R(A)=Q(A)\cdot 0+R(A)=R(A).$

## 參見

## 參考來源
矩阵对数

在 數學 中，**矩陣的對數**是找到另一矩陣，使其矩陣指數等於某個矩陣的運算。這是對數的推廣，也是矩陣指數的逆運算。不是所有的矩陣都有矩陣對數，矩陣也可能有多於一個矩陣對數。對數矩陣的研究源於李群，因為如果一個矩陣存在矩陣對數，那麼這個矩陣對數是李代數向量空間的對應元素。

## 定義

對數矩陣的定義如下

　
: $e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$ 。

給定矩陣 _B_ ，若滿足 _e_A = _B_ 則稱矩陣 _A_ 是矩陣 _B_ 的**矩陣對數** 。因為對於複數而言指數不是一對一的（例如 $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ ），一個數可以有多個複數對數，因此，一些矩陣可能有多個矩陣對數，如下所述。

## 冪級數表示

如果矩陣 _B_ 與單位矩陣足夠接近，那麼 _B_ 的矩陣對數可以表示為如下的冪級數：

　
: $\mathrm {log} (B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}\cdots $

如果 $\left\|{B-I}\right\|<1$ ，那麼該級數收斂且 $e^{\mathrm {log} (B)}=B$ 。

## 示例：平面旋轉矩陣的對數

這裡給出一個簡單的平面旋轉矩陣的例子。繞原點逆時針旋轉 _α_ 弧度的旋轉可表示為一個 2×2 矩陣

　
: $A={\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{bmatrix}}$

對於任何整數 _n_ ，矩陣

　
: $B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

是 _A_ 的矩陣對數。因此，矩陣 _A_ 具有無窮多個矩陣對數。 這意味著旋轉 $2\pi $ 的整數倍會回到初始位置。

在李群中，旋轉矩陣 _A_ 是李群 SO（2）的元素。對應的矩陣對數 _B_ 是李代數的元素，因此（2）由所有反對稱矩陣組成 。矩陣

　
: ${\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}$

是李代數 SO (2) 的生成元。

## 存在性

對於一個復矩陣，該矩陣存在矩陣對數若且唯若它是可逆的。 如果一個矩陣沒有負實特徵值，那麼它的矩陣對數不是唯一的，其中，在 {_z_∈**C** | -π<Im _z_ <π} 中的對數稱為_對數主值_ 。  

對於一個實矩陣，該矩陣存在實矩陣對數若且唯若它是可逆的並且負特徵值對應的每個若爾當塊出現偶數次。 如果可逆實矩陣不滿足若爾當塊的條件，那麼它只有非實對數。 在實數的情況下體現為：對數在 - 1 處不是實的。

## 性質

如果 _A_ 和 _B_ 都是正定矩陣 ，那麼

　
: $\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}$

如果 _A_ 和 _B_ 是可交換的，即 _AB_ = _BA_ ，那麼

　
: $\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,$

把 _B_ = _A -1_ 代入上式 ，得到

　
: $\log {(A^{-1})}=-\log {(A)}$

## 參看

* 矩陣函數
* 矩陣的平方根
* 矩陣指數
* 貝克 - 坎貝爾 - 豪斯多夫公式

## 注釋

## 參考

* Gantmacher, Felix R., The Theory of Matrices **1**, New York: Chelsea: 239–241, 1959  。
* Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics **222** 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
* Culver, Walter J., On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix, Proceedings of the American Mathematical Society, 1966, **17** (5): 1146–1151, ISSN 0002-9939, doi:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6  。
* Higham, Nicholas, Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, 2008, ISBN 978-0-89871-646-7  Higham, Nicholas, Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, 2008, ISBN 978-0-89871-646-7  。
* Engø, Kenth, On the BCH-formula in **so**(3), BIT Numerical Mathematics, June 2001, **41** (3): 629–632 [2019-03-25], ISSN 0006-3835, doi:10.1023/A:1021979515229, （原始內容存檔於 2016-03-03）
矩阵常态分配

矩陣常態分配（**matrix normal distribution**） 是一種機率分佈，屬於常態分配的之一。

機率密度函數相對於隨機矩陣（random matrix） **X** (_n_ × _p_) 表達如下的矩陣常態分配方式

　
: $p(\mathbf {X} |\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})=(2\pi )^{-np/2}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\right]\right).$
矩阵树定理

在圖論中，**基爾霍夫定理（Kirchhoff theorem）** 或**矩陣樹定理（matrix tree theorem）** 是指圖的生成樹數量等於調和矩陣的行列式（所以需要時間多項式計算）。

若 _G_ 有 _n_ 個頂點，_λ_1, _λ_2, ..., _λn_-1 是拉普拉斯矩陣的非零特徵值，則

　
: $t(G)={\frac {1}{n}}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}.$

這個定理以基爾霍夫名字命名。 這也是凱萊公式的推廣（若圖是完全圖）。

## 舉例

　
: $Q=\left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&-1&0\\-1&3&-1&-1\\-1&-1&3&-1\\0&-1&-1&2\end{array}}\right].$

刪除任何一個行和一個列，比方說第一行和第一列：

　
: $Q^{\ast }=\left[{\begin{array}{rrr}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right].$

則

$$
\det(Q^{*})=8=t(G)
$$

接續矩陣是

$$
K={\begin{bmatrix}1&1&0&0&0\\-1&0&1&1&0\\0&-1&-1&0&1\\0&0&0&-1&-1\\\end{bmatrix}}.
$$

### 凱萊公式

完全圖 _Kn_ 的調和矩陣是

　
: ${\begin{bmatrix}n-1&-1&\cdots &-1\\-1&n-1&\cdots &-1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-1&-1&\cdots &n-1\\\end{bmatrix}}.$

任何餘因子的行列式是 _nn-_2 。再說 L 的所有特徵值是 n，而且 L 只有 n-1 個特徵向量。所以生成樹的總數又是 _nn-_2 。

## 證明大綱

拉氏矩陣有這個屬性：任何行或列的元素總和等於 0。所以，無論刪除什麼行或列， $\det(L^{*})$ 都是不變的。或者說 L 的任何餘因子有同樣的行列式。

若 K 是接續矩陣，_L_ = KKT。在矩陣 K 中，刪除任何一個行或列得到矩陣 F。設 _FF_T = _M11_ 。

使用柯西奈式

　
: $\det \left(M_{11}\right)=\sum _{S}\det \left(F_{S}\right)\det \left(F_{S}^{T}\right)=\sum _{S}\det \left(F_{S}\right)^{2}$

可以表示這個行列式給予生成樹的數量。

## 參見

* 普呂弗序列
* 最小生成樹

## 閱讀

* Harris, John M.; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael J., Combinatorics and Graph Theory, Undergraduate Texts in Mathematics 2nd, Springer, 2008
* Maurer, Stephen B., Matrix generalizations of some theorems on trees, cycles and cocycles in graphs, SIAM Journal on Applied Mathematics, 1976, **30** (1): 143–148, MR 0392635, doi:10.1137/0130017 .
* Tutte, W. T., Graph Theory, Cambridge University Press: 138, 2001, ISBN 978-0-521-79489-3 .
* Chaiken, S.; Kleitman, D., Matrix Tree Theorems, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1978, **24** (3): 377–381, ISSN 0097-3165, doi:10.1016/0097-3165(78)90067-5

## 參考文獻
矩阵特征分解

線性代數中，**特徵分解**（Eigendecomposition），又稱**譜分解**（Spectral decomposition）是將矩陣分解為由其特徵值和特徵向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對可對角化矩陣才可以施以特徵分解。

## 特徵值與特徵向量的基礎理論

_N_ 維非零向量 **v** 是 _N_×_N_ 的矩陣 **A** 的特徵向量，若且唯若下式成立：

　
: $\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} $

其中 _λ_ 為一純量，稱為 **v** 對應的特徵值。也稱 **v** 為特徵值 _λ_ 對應的特徵向量。也即特徵向量被施以線性變換 A 只會使向量伸長或縮短而其方向不被改變。

由上式可得

　
: $p\left(\lambda \right):=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0\!\ $

稱多項式 _p_(**λ**) 為矩陣的特徵多項式。上式亦稱為矩陣的特徵方程。特徵多項式是關於未知數 _λ_ 的 _N_ 次多項式。由代數基本定理，特徵方程有 _N_ 個解。這些解的解集也就是特徵值的集合，有時也稱為「譜」（Spectrum）。

我們可以對多項式 _p_ 進行因式分解，而得到

　
: $p\left(\lambda \right)=(\lambda -\lambda _{1})^{n_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{n_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{n_{k}}=0\!\ $

其中

　
: $\sum \limits _{i=1}^{k}{n_{i}}=N$

對每一個特徵值 λi ，我們都有下式成立：

　
: $\left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0\!\ $

對每一個特徵方程，都會有 $m_{i}$ （ $1\leq m_{i}\leq n_{i}$ ）個線性無關的解。這 _m_i 個向量與一個特徵值 λi 相對應。這裡，整數 _m_i 稱為特徵值 λi 的**幾何重數**，而 _n_i 稱為**代數重數**。這裡需要注意的是幾何重數與代數重數可以相等，但也可以不相等。一種最簡單的情況是 _m_i = _n_i = 1。特徵向量的極大線性無關向量組中向量的個數可以由所有特徵值的幾何重數之和來確定。

## 矩陣的特徵分解

令 **A** 是一個 _N_×_N_ 的方陣，且有 _N_ 個線性獨立的特徵向量 $q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)$ 。這樣， **A** 可以被分解為

　
: $\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}$

其中 **Q** 是 _N_×_N_ 方陣，且其第 _i_ 列為 **A** 的特徵向量 $q_{i}$ 。 **Λ** 是對角矩陣，其對角線上的元素為對應的特徵值，也即 $\Lambda _{ii}=\lambda _{i}$ 。這裡需要注意只有可對角化矩陣才可以作特徵分解。比如 ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}$ 不能被對角化，也就不能特徵分解。

一般來說，特徵向量 $q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)$ 一般被單位化（但這不是必須的）。未被單位化的特徵向量組 $v_{i}\,\,(i=1,\dots ,N),$ 也可以作為 **Q** 的列向量。這一事實可以這樣理解： **Q** 中向量的長度都被 **Q**−1 抵消了。

### 通過特徵分解求反 (逆) 矩陣

若矩陣 **A** 可被特徵分解並特徵值中不含零，則矩陣 **A** 為非奇異矩陣，且其逆矩陣可以由下式給出：

　
: $\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}$

因為 **Λ** 為對角矩陣，其逆矩陣容易計算出：

　
: $\left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}$

## 對特殊矩陣的特徵分解

### 對稱矩陣

任意的 _N_×_N_ 實對稱矩陣的特徵值都是實數且都有 _N_ 個線性無關的特徵向量。並且這些特徵向量都可以正交單位化而得到一組正交且模為 1 的向量。故實對稱矩陣 **A** 可被分解成

　
: $\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T}$

其中 **Q** 為 正交矩陣， **Λ** 為實對角矩陣。

### 正規矩陣

類似地，一個複正規矩陣具有一組正交特徵向量基，故正規矩陣可以被分解成

　
: $\mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{H}$

其中 **U** 為一個酉矩陣。進一步地，若 **A** 是埃爾米特矩陣，那麼對角矩陣 **Λ** 的對角元全是實數。若 **A** 還是酉矩陣，則 **Λ** 的所有對角元在複平面的單位圓上取得。

## 參見

* 矩陣分解
* 特徵值
* 特徵向量
* 譜定理

## 參考

* Franklin, Joel N (1968). _Matrix Theory_. Dover Publications. ISBN 0-486-41179-6
* Golub, G. H. and Van Loan, C. F. (1996). _Matrix Computations_. 3rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore. ISBN 0-8018-5414-8.
* Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1985). _Matrix Analysis_. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.
* Horn, Roger A. and Johnson, Charles R (1991). _Topics in Matrix Analysis_. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46713-6.
* Strang G (1998). _Introduction to Linear Algebra_. 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
矩阵环

**矩陣環**就是考慮矩陣在環 _R_ 下經由矩陣加法和矩陣乘法形成的環，從環 _R_ 中的元素組成的 _n_×_n_ 方陣形成的矩陣環記作 Mn(_R_)，某些無限階矩陣也可以組成無限**矩陣環**，任何矩陣環的子環也都是矩陣環。如 _R_​​是一個交換環，則矩陣環 Mn(_R_) 是一個結合代數，被稱為矩陣代數。在這種情況下，如果 _M_ 是一個矩陣， _r_∈ _R_，那麼矩陣 _Mr_ 也是矩陣，其矩陣元為 _M_ 的矩陣元乘 _r_。

這篇文章假設 _R_ 是可結合環且單位 1≠0（單位 1=0 的只有零環)，雖然沒有單位也可以形成矩陣環。

## 例子

* 任意 R 環上的矩陣，表示為 _n_×_n_ 。這通常被稱為 n x n 全陣環。這些矩陣即自由模 _R_n 的自同態。
* 一環上所有上三角矩陣（或所有下三角矩陣）成為環。

## 相關條目

* 單代數
* 克里福代數
* 胡維茲定理

## 參考

* Lam, T. Y., Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5
矩阵理论

在數學，**矩陣理論**是一門研究矩陣在數學上的應用的科目。矩陣理論本來是線性代數的一個小分支，但其後由於陸續在圖論、代數、組合數學和統計上得到應用，漸漸發展成為一門獨立的學科。

有關矩陣理論所用到的名詞的定義，請參考矩陣理論專有名詞表。

## 歷史

方陣如幻方及拉丁方陣的研究歷史悠久，最早的幻方出現於中國的龜背圖上。

萊布尼茲，微積分的始創者之一，首先在 1693 年利用行列式來解題；而加布里爾・克拉默率先利用行列式解聯立線性方程組，在 1750 年引進了克拉瑪公式。

於 1800 年年代，出現了由著名數學家高斯發明的高斯消去法，以及比較慢的改良版本高斯－約當消去法。

1848 年西爾維斯特率先使用「matrix」這個字。阿瑟・凱萊、哈密頓、格拉斯曼、弗比尼斯及馮・諾伊曼都是對矩陣理論有貢獻的著名數學家。

## 簡介

矩陣是一個矩形的數學方陣。一個方陣可看作兩個矢量空間的線性變陣，故矩陣理論可當作線性代數的一個分枝。

在圖論，每一個加上標示圖對應唯一的非負矩陣，稱為鄰接矩陣.

排列矩陣是排列的矩陣表達式，在組合數學極為重要。

正定矩陣及半正定矩陣可用來尋找實數函數的極大值或極小值。

任意環矩陣亦非常重要。舉例說，多項式環的矩陣用於控制理論。

另外，不同的矩陣環經常是提供數學上反例的素材。

## 常用的理論

* 凱萊 - 哈密頓定理
* 高斯－約當消去法
* QR 分解法
* 奇異值分解

## 外部連結

* A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
矩阵的平方根

在數學中，**矩陣的平方根**是算術中的平方根概念的推廣。對一個矩陣 **A**，如果矩陣 **B** 滿足

　
: $B\cdot B=A$

那麼矩陣 **B** 就是 **A** 的一個平方根。

## 計算

與算術中的平方根概念不同，矩陣的平方根不一定只有兩個。然而依照矩陣平方根的概念以及矩陣乘法的定義，只有方塊矩陣才有平方根。

### 對角化算法

如果矩陣的係數域是代數閉域，比如說複數域 $\mathbb {C} $ 的時候，對於一個對角矩陣，其平方根是很容易求得的。只需要將對角線上的每一個元素都換成它的平方根就可以了。這種思路可以推廣到一般的**可對角化矩陣**。一個所謂的可對角化矩陣 **A** 是指可以通過相似變換成為對角矩陣 **D** 的矩陣：

　
: $\exists P,\quad A=PDP^{-1}$

其中的矩陣 **P** 是可逆的矩陣。在這種情況之下，假設矩陣 **D** 的形式是：

　
: $D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}$

那麼矩陣 **A** 的平方根就是：

　
: $A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}$

其中的 $D^{\frac {1}{2}}$ 是：

　
: $D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}$

### 丹曼 - 畢福斯迭代算法

另一種計算矩陣平方根的方法是丹曼 - 畢福斯迭代算法。在計算一個 $n\times n$ 矩陣 **A** 的平方根時，先設矩陣 $Y_{0}=A$ ， $Z_{0}=I_{n}$ （ $I_{n}$ 是 $n\times n$ 的單位矩陣）。然後用以下的迭代公式計算矩陣序列 $\left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}$ 和 $\left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}$ ：

　
: $Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}$

　
: $Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}$

這樣的兩個序列將會收斂到兩個矩陣 $Y$ 和 $Z$ 上。其中 $Y$ 將會是矩陣的平方根，而 $Z$ 將是 $Y$ 的逆矩陣。

## 參見

* 平方根分解
* 置換矩陣
* 正定矩陣

## 參考來源

* Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, **22** (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015, （原始內容 (PDF) 存檔於 2011-08-09）
* Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, **2** (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5
矩阵的谱

**矩陣的譜**（Spectrum of a matrix）是一個數學術語，指一個矩陣的特徵值的集合。一般地，若 $T\colon V\to V$ 是有限維向量空間 $V$ 上的線性變換，則它的頻譜為一系列純量 $\lambda $ 的集合，滿足矩陣 $T-\lambda I$ 不可逆。矩陣特徵值之積等於矩陣的行列式，而特徵值之和等於矩陣的跡。以此觀點，可以定義奇異方陣的偽行列式為其非零特徵值的乘積（計算多元常態分布的密度會需要此數值）。

在許多應用中（例如 PageRank），會關注特徵值絕對值最大的值。有些應用則會關注特徵值絕對值最小的值。不過一般而言，矩陣的譜可以提供有關矩陣的一些資訊。

## 注釋

## 參考文獻

* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F., Matrix Computations 3rd, Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 0-8018-5414-8
* Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016
* Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics 3rd, New York: Wiley, 1972, ISBN 0-471-50728-8
* Nering, Evar D., Linear Algebra and Matrix Theory 2nd, New York: Wiley, 1970, LCCN 76091646
矩阵的逆

**逆矩陣**（inverse matrix），又稱**乘法反方陣**、**反矩陣**。在線性代數中，給定一個 _n_ 階方陣 $\mathbf {A} $ ，若存在一 _n_ 階方陣 $\mathbf {B} $ ，使得 $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$ ，其中 $\mathbf {I} _{n}$ 為 _n_ 階單位矩陣，則稱 $\mathbf {A} $ 是**可逆**的，且 $\mathbf {B} $ 是 $\mathbf {A} $ 的**逆矩陣**，記作 $\mathbf {A} ^{-1}$ 。

只有方陣（_n×n_ 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方陣 $\mathbf {A} $ 的逆矩陣存在，則稱 $\mathbf {A} $ 為非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

## 求法

### 伴隨矩陣法

如果矩陣 $A$ 可逆，則 $A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}$ 其中 $A^{*}=\mathrm {adj} (A)$ 是 $A$ 的伴隨矩陣， $|A|=\mathrm {det} (A)$ 是 $A$ 的行列式。

注意： $A^{*}$ 中元素的排列特點是 $A^{*}$ 的第 $k$ **列**元素是 $A$ 的第 $k$ **行**元素的代數餘子式。要求得 $A^{*}$ 即為求解 $A$ 的餘因子矩陣的轉置矩陣。

### 初等轉換法

如果矩陣 $A$ 和 $B$ 互逆，則 $AB=BA=I$ 。由條件 $AB=BA$ 以及矩陣乘法的定義可知，矩陣 $A$ 和 $B$ 都是方陣。再由條件 $AB=I$ 以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知，這兩個矩陣的行列式都不為 0。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A 與 B 都是 $n\times n$ 方陣，且 rank (A) = rank (B) = n. 換而言之， $A$ 與 $B$ 均為滿秩矩陣）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行轉換，或者只經由初等列轉換，變為單位矩陣。

因為對矩陣 $A$ 施以初等行轉換（初等列轉換）就相當於在 $A$ 的左邊（右邊）乘以相應的初等矩陣，所以我們可以同時對 $A$ 和 $I$ 施以相同的初等行轉換（初等列轉換）。這樣，當矩陣 $A$ 被變為 $I$ 時， $I$ 就被變為 $A$ 的逆陣 $B$ 。

## 性質

 1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$
3. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ （ $A^{\mathrm {T} }$ 為 A 的轉置）
5. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$ （det 為行列式）

## 廣義逆陣

廣義逆陣（Generalized inverse）又稱偽逆，是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾－彭若斯廣義逆，它是由 E. H. Moore 和 Roger Penrose 分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

## 參見

* 矩陣
* 廣義逆陣
* 除法
矩阵相加

在數學裡，**矩陣加法**一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法。

## 個別元素相加（減）

通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個 _m×n_ 矩陣 _A_ 和 _B_ 的和，標記為 _A_+_B_，一樣是個 _m×n_ 矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}$

也可以做矩陣的減法，只要其大小相同的話。_A_-_B_ 內的各元素為其相對應元素相減後的值，且此矩陣會和 _A_、_B_ 有相同大小。例如：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}$

## 直和

另一種運算為直和。直和可以由任何一對矩陣形成，其定義為：

　
: $A\oplus B={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$

舉例來說：

　
: ${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}$

注意到這種運算可以給兩個圖的鄰接矩陣取聯集。

在任兩個向量空間內取定基底，並取兩基底的聯集為向量空間直和的基底，則兩空間上的線性變換的直和可以表成兩矩陣的直和。

一般地，_n_ 個矩陣的直和可以寫成：

　
: $\bigoplus _{i=1}^{n}A_{i}={\mbox{diag}}(A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n})={\begin{bmatrix}A_{1}&&&\\&A_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&A_{n}\end{bmatrix}}.$

## 另見

* 矩陣乘法

## 外部連結

* Online matrix addition calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
矩阵群

在數學中，一個**矩陣群**（matrix group）_G_ 由某個體 _K_（通常為了方便是固定的）上可逆方塊矩陣組成，群運算分別為矩陣乘法與矩陣乘法的逆運算。更一般地，我們可考慮一個交換環 _R_ 上的 _n_ × _n_ 矩陣（矩陣的大小限制為有限，因為任何群可表示為任何體上一個無限矩陣群）。**線性群**（linear group）是同構於一個體 _K_ 上矩陣群的抽象群，換句話說，在 _K_ 上有一個忠實有限維表示。

任何有限群是線性的，因為利用凱萊定理可以實現為置換矩陣。在無限群中，線性群組成有趣且易於處理的一類。非線性群的例子包括所有「足夠大」群；例如一個無限集合的無限對稱群。

## 基本例子

在一個交換環 _R_ 上 _n_ × _n_ 矩陣集合 _M_R(_n_,_n_) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環。 _M_R(_n_,_n_) 的單位群稱為在環 _R_ 上 _n_ × _n_ 矩陣的一般線性群，記作 _GL_n(_R_) 或 _GL_(_n_,_R_)。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

## 古典群

某些已被證明有研究價值或性質較好的矩陣群是所謂的古典群。當矩陣群的係數環是實數，這些群是典型李群。當底環是一個有限體，古典群是李型群。這些群在有限單純群分類中起著重要的作用。

## 有限群作為矩陣群

任何有限群同構於某個矩陣群。這類似於凱萊定理說每個有限群同構於某個置換群。因為同構性質是遞移的，我們只需考慮怎樣從一個置換群構造一個矩陣群。

令 _G_ 是在 _n_ 點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換群，設 {_g_1,...,_g_k} 是 _G_ 的一個生成集合。複數體上 _n_×_n_ 矩陣的一般線性群 _GL_n(**C**) 自然作用在向量空間 **C**n 上。設 _B_={_b_1,…,_b_n} 是 **C**n 的標準基。對每個 _g_i 令 _M_i 屬於 _GL_n(**C**) 是將每個 _b_j 送到 _b_gi(_j_) 的一個矩陣。這就是如果置換 _g_i 將點 _j_ 送到 _k_ 則 _M_i 將基向量 _b_j 送到 _b_k。 令 _M_ 是 _GL_n(**C**) 中由 {_M_1,…,_M_k} 生成的子群。_G_ 在 Ω 上的作用恰好與 _M_ 在 _B_ 上的作用相同。可以證明將每個 _g_i 送到 _M_i 的函數擴張成一個同構，這樣每個置換群同構於一個子群。

注意到體（上面用的是 **C**）是無關的，因為 _M_ 包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意體可做同樣的構造，因為元素 0 和 1 在每個體中。

舉一例，令 _G_ = _S_3，3 個點的對稱群。設 _g_1 = (1,2,3) 和 _g_2 = (1,2)，則

　
: $M_{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$

　
: $M_{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

注意到 _M_1_b_1 = _b_2，_M_1_b_2 = _b_3 以及 _M_1_b_3 = _b_1。類似地，_M_2_b_1 = _b_2，_M_2_b_2 = _b_1 以及 _M_2_b_3 = _b_3。

## 表示論與特徵標理論

線性轉換與矩陣（一般地說）在數學中已被充分理解，在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態與特徵標理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個體的同態。

## 例子

* 李群列表、有限單純群列表，以及單李群中有許多例子。
* 參見遞移有限群列表。

## 參考文獻

* Brian C. Hall _Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction_, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
* Wulf Rossmann, _Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics)_, Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
* _La géométrie des groupes classiques_, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
* _The classical groups_, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

## 外部連結

* EoM article _Linear groups_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）