突擊測驗悖論

**意外絞刑悖論**（英語：Unexpected hanging paradox），又稱**老虎悖論**、**突擊測驗悖論**、**意外考試悖論**，是博弈論中一個著名的邏輯悖論，流傳較廣。而悖論是指一種導致矛盾的命題。

## 老虎悖論

有一天，某個國王要處決一個死囚，但給他一個免死的機會，如果可以證明我在說謊就把你放了。國王把囚犯帶到一個房間，該房間有五道緊閉的門，其中一道門後面關著一隻老虎。國王對囚犯說：「這五道門各有次序，你必須由第一道至第五道依序打開，其中一道門後有老虎，會把你咬死。但我可以肯定的是，在你沒有打開那道有老虎的門之前，你萬萬料想不到老虎在哪一道門的後面。」顯然，如果死囚預料到老虎在哪道門後面，就證明國王在撒謊，那麼他就可以活命。所以開門之前，死囚進行了如下邏輯學的分析：假如老虎在第五道門，那把前四道門打開，都沒發現老虎，那肯定猜到老虎在第五道門中，因國王說過死囚料想不到老虎在哪一道門，那國王的話就錯了。所以，國王不會把老虎放在第五道門。同理，老虎也不在第四道門中，否則囚犯打開三道門之後，就只剩兩道門，老虎既不在第五道門，就一定在第四道門，這樣他就猜出老虎在哪了；以此類推，老虎不存在於任何一道門中；於是死囚心安了，冒冒失失地依次開門，結果老虎從第二道門中跳了出來，把囚犯咬死了。國王說：「我不是跟你說了，老虎在哪道門，你萬萬料想不到麼？」

### 悖論分析

如果囚犯的推理成立，那麼就算國王把老虎放在第五扇門後，也是「萬萬料想不到」，學者們爭論的重點在於：這個推理究竟錯在第幾步？

#### 主張錯在第一步

如果第一步是正確的，那麼後面幾步為什麼是錯的？所以第一步就錯了。錯在囚犯把國王的思路作為論據。

首先必須定義怎樣算國王所謂的「知道」（或「意料」），如果投機猜測算的話，那國王不論怎樣放都不能保證不被猜中，所以帶投機成分的猜測不能算「知道」（國王為了自身利益也會這麼定義），設「知道」定義為「在即有事實下的邏輯推理」，那麼囚犯不僅要正確預測老虎，還要對其預測給出嚴格的邏輯證明才行。本例中不考慮沒有老虎的情況，即囚犯已知必有一頭老虎。作為囚犯，他在每次打開一個門前都會進行邏輯推理，如果能推出老虎是在即將打開的門裡就贏了，如果不能推出，他就只能打開這個門，如果打開後沒有老虎就繼續推理下一個門是否有老虎，依此類推。

然後，把問題從 5 個門，簡化為只有 2 個門，囚犯會在打開第一個門之前，對第一個門裡是否有老虎做邏輯推理：由於囚犯要引用國王的思路，故須先考慮國王思路是否是會錯。

1. 如果相信國王是不會錯的，那麼你不可能推測出第一個門裡有沒有，因為如果推測出就說明國王會錯，所以在這個前提下不可能知道。 囚犯無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。
2. 如果相信國王是會錯的：

　
: 囚犯首先認為國王放第二個門是錯的，但國王既然是會錯的，他為何不會按囚犯認為錯誤的思路放第二個門呢？所以國王的思路就沒法唯一的推測了。囚犯失去國王的思路做論據，無法推測出第一個門裡有沒有老虎，必然要打開第一個門。

因此國王應且只應放到第一個門中，則國王必勝。

推廣到 n 個門的情況，只要國王不把老虎放到最後一個門，則國王必勝，囚犯必敗。

#### 主張錯在第二步

故事中的囚犯最後決定相信「沒有老虎」。但，國王並不知道囚犯是否會這樣，所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信「一定有老虎」，那麼在前四扇門都沒有老虎之後，第五扇門後的老虎的確就變成「可預料的」了。

既然老虎在第五扇門的話，牠一定是「可預料的」，那麼當你已經開了三扇空門時，情況是怎麼樣？我們可以試著寫成邏輯式子：前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時，可預料。前提三、老虎不在第五扇門時，就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時，可預料。結論：前提互相矛盾。

請注意：這時的邏輯推理中，既然前提互相矛盾，必定有一個以上不成立，那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多：

1. 老虎可預料。
2. 老虎如果在第五扇門時，不可預料。
3. 老虎不在第五扇門時，也不一定在第四扇門。
4. 老虎如果在第四扇門時，不可預料。

二和四自身是矛盾命題，不考慮，三會導致老虎變成薛定諤貓，也就是既存在亦非存在的狀態（囚犯把老虎往前門推是錯誤的，因為前提中包含「已經開了三扇空門」）。所以可能性只有一個：老虎可預料。但若老虎可預料，那麼顯示國王說謊，如果國王可能說謊，那麼老虎也真的有可能消失。

這時的正確結論是：國王一定說謊，但他的謊言可能是「老虎可預料」，卻也可能是「根本沒老虎」，囚犯只是偏心於一個可能性，結果幫國王圓謊罷了。

#### 主張錯在最後一步

如果「不可預料」並不是一種保證，而只意味「高機率」，「有老虎」才是保證，那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況：

如果囚犯連猜五次「老虎不在」，則不可預料率 100%，當然是最糟的狀況。

如果囚犯連猜五次「老虎在」，這時應將不可預料率一樣視為 100%。假設國王隨便放，因為平均猜錯次數是兩次，亦即猜錯一次要加不可預料率 50% 才公平。

假設國王隨便放，這時囚犯採用的策略，以：

1. 先兩次不猜，再連續猜老虎在：成功率 0、0、100、50、0，平均 30 最高分
2. 先三次不猜，再連續猜老虎在：成功率 0、0、0、100、50，平均也是 30 最高分
3. 但以上兩種高分解，前兩扇門都是安全門，必須混合下列解答靈活運用
4. 如果第一次就猜老虎在：成功率 100、50、0、-50、-50，平均只有 10 分
5. 如果第二次就猜老虎在：成功率 0、100、50、0、-50，平均也有 20 分
6. 為了便於計算，假設這四種策略囚犯都平均運用，綜合以上，老虎放在不同門的平均不可預料率，75%、87.5%、75%、50%、100%

很明顯了，這時國王的對應策略，如果把老虎放在失分最低的第五扇門，可能被囚犯豪賭賭中，所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇，只要把囚犯的猜中率壓在 20% 以下，都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

他應該從「老虎不存在」這個矛盾的結論，導出國王所謂的「不可預料」其實是指機率，再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

## 意外絞刑悖論

一位司法大臣宣布，將於禮拜一到禮拜天之間，出乎囚犯意料之外的一天，對某一位死囚處以絞刑，並會在前一天事先宣布。

該死囚開始邏輯推論：從禮拜一到禮拜天都可能處死我，而我是不知道究竟會是哪一天，所以哪一天都算是出乎我的意料之外。可是假設我順利的活到了禮拜六，我不就可以確定要在禮拜天把我殺了？這樣的話，就在我的意料之中了。禮拜天已經被排除了，如果我活到了禮拜五，我又可以確信不會在禮拜六處刑，如果禮拜六要殺我，也算是我的意料之中。如果繼續往前推的話，他不能在任何一天把我絞死。」

可是到了禮拜三，他卻得到了次日要把他送上絞刑架的消息。事實上，這是他沒有預料到的。

### 解疑

死囚的推論幾乎都是假設。事實上在禮拜天以外的任何一日處死他，對他來說都是意料之外的。

## 突擊測驗悖論

一名老師宣布：「下星期一至星期五之中，會有一天舉行突擊測驗，所謂突擊測驗，就是在你們猜不到的日子考試。」學生們進行邏輯推理，若假設直到星期四還未考，那麼星期五就會考，那就不算突擊，因此星期五不可能考。若星期三沒考，而星期五又不會考，大家就知道禮拜四會考…… 也算不了突擊。以此類推，老師根本不可能進行突擊測驗。可實際上突擊測驗的決定權在老師身上，禮拜二老師就發了考卷。

## 外部連結

* Paradox Lost,Ian Stewart （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）