磁偶極子

在電磁學裏，有兩種**偶極子**（英語：Dipole）：

* **電偶極子**是兩個分隔一段距離，電量相等，正負相反的電荷。
* **磁偶極子**是一圈封閉循環的電流。例如一個有常定電流運行的線圈。

偶極子的性質可以用它的**偶極矩**描述。

電偶極矩（ $\mathbf {p} $ ）由負電荷指向正電荷，大小等於正電荷量乘以正負電荷之間的距離。磁偶極矩（ $\mathbf {m} $ ）的方向，根據右手法則，是大拇指從載流迴路的平面指出的方向，而其它手指則指向電流運行方向，磁偶極矩的大小等於電流乘以線圈面積。

除了載流迴路以外，電子和許多基本粒子都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場，與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是，現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質，而非由載流迴路生成。

永久磁鐵的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩。長條形的永久磁鐵稱為條形磁鐵，其兩端稱為**指北極**和**指南極**，其磁偶極矩的方向是由指南極朝向指北極。這常規與地球的磁偶極矩恰巧相反：地球的磁偶極矩的方向是從地球的地磁北極指向地磁南極。地磁北極位於北極附近，實際上是指南極，會吸引磁鐵的指北極；而地磁南極位於南極附近，實際上是指北極，會吸引磁鐵的指南極。羅盤磁針的指北極會指向地磁北極；條形磁鐵可以當作羅盤使用，條形磁鐵的指北極會指向地磁北極。

根據當前的觀察結果，磁偶極子產生的機制只有兩種，載流迴路和量子力學自旋。科學家從未在實驗裏找到任何磁單極子存在的證據。

## 物理偶極子、點偶極子、近似偶極子

一個**物理電偶極子**是由兩個等電量的異性點電荷構成的。**在距離遠超於兩個點電荷相隔距離之處，物理電偶極子所產生的電場，可以近似為其電偶極矩所產生的電場。**令物理電偶極子的兩個點電荷相隔距離趨向於 0 ，同時保持其電偶極矩不變，則極限就是**點電偶極子**，又稱為**純電偶極子**。物理電偶極子產生的電場的多極展開式中，一次項目就是點電偶極子產生的電場。物理電偶極子的電偶極矩 $\mathbf {p} $ 是

　
: $\mathbf {p} =q\mathbf {d} $ ；

其中， $q$ 是每個電荷的帶電量絕對值， $\mathbf {d} $ 是從負電荷到正電荷的位移向量。

到現今為止，雖然還沒有找到任何磁單極子存在的證據，科學家可以在電子和許多基本粒子的物理行為中，找到以量子力學的自旋形式存在的磁偶極子。**點磁偶極子**所產生的磁場的形態與點電偶極子所產生的電場的形態完全相同。非常小的載流迴路可以近似為點磁偶極子。物理磁偶極子 $\mathbf {m} $ 的磁偶極矩是

　
: $\mathbf {m} =I\mathbf {a} $ ；

其中， $I$ 是運行於載流迴路的電流， $\mathbf {a} $ 是載流迴路的面積向量。

任何電荷或電流組態都具有偶極矩，其對應的偶極子所產生的向量場，是那個組態在遠距離的最好近似。偶極子項只是多極展開式中的一項。當單極矩等於 0 時（對磁案例而言，此情況永遠成立，因為磁單極子不存在），在遠距離 $r$ 時，偶極子項（第二項）是最主要的項；其向量場值衰減率為 $1/r^{3}$ ，作為比較，單極矩項的遞減率為 $1/r^{2}$ ，第三項的衰減率為 $1/r^{4}$ ，第 $n$ 項的遞減率為 $1/r^{(n+1)}$ 。

## 分子的電偶極矩

很多分子都擁有電偶極矩。這是因為正負電荷的不均勻分佈。例如，

　
: （正價） H-Cl （負價）

擁有永久電偶極矩的分子稱為**極化分子**。假若一個分子帶有感應電偶極子，則稱此分子**被極化**。彼得・德拜是最先研究分子的電偶極子的物理化學家。為了紀念他的貢獻，電偶極矩的測量單位被命名為德拜。

分子的電偶極子又分為以下三種（參閱分子間作用力）：

* **永久電偶極子**：假若一個分子內的幾個原子的電荷分布不均，電負性差異很大，則電負性較大的原子會吸引電子更接近自己，因而使得所佔據區域變得更具負性；另外電負性較小的原子的區域會變得更具正性。這樣，正、負電荷中心始終不重合，就形成了永久電偶極子。
* **瞬時電偶極子**：有時候，電子會洽巧地比較集中於分子內的某一個區域，這偶發狀況會產生暫時的電偶極子。
* **感應電偶極子**：當施加外電場於一個分子時，感應這外電場的作用，分子內部正常的電子雲形狀會被改變，因而產生電偶極子。其伴隨的電偶極矩等於外電場和極化性的乘積。

常見的化學化合物在氣態的電偶極矩，採用德拜單位：

* 二氧化碳：0
* 一氧化碳：0.112
* 臭氧：0.53
* 光氣：1.17
* 水蒸氣：1.85
* 氰化氫：2.98
* 氨基氰：4.27
* 溴化鉀：10.41

這些數值可從相對電容率的測量值計算求得。當分子因為對稱性而使得浄電偶極矩被抵消，則設定電偶極矩為 0 。電偶極矩最大值在 10 到 11 這值域內。知道電偶極矩值，科學家可以推論分子的分子結構。例如，數據顯示出，二氧化碳是一個線性分子；而臭氧則不是。

## 電偶極子的電場

假設電偶極子 $\mathbf {p} $ 的位置是原點 $\mathbf {O} $ ，則在任意位置 $\mathbf {r} $ ，此電偶極子產生的電位 $\Phi (\mathbf {r} )$ 是

　
: $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}$ ；

其中， $\epsilon _{0}$ 是真空電容率。

這公式的右手邊項目是任意靜電位多極展開式的第二個項目。假若這任意靜電位是由純電偶極子產生，則這項目是多極展開式的唯一不消失項目。

電偶極子 $\mathbf {p} $ 所產生的電場 $\mathbf {E} $ 為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})\end{aligned}}$ ；

其中， $\theta $ 是 $\mathbf {r} $ 和 $\mathbf {p} $ 之間的夾角。

注意到這個方程式並不完全正確，這是因為電偶極子的電位有一個奇異點在它所處的位置（原點 $\mathbf {O} $ ）。更仔細地推導，可以得到電場為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}$ ；

其中， $\delta ^{3}(\mathbf {r} )$ 是三維狄拉克 δ 函數

### 導引

從計算電偶極子所產生的電場的平均值，可以得到正確答案。設定以原點 $\mathbf {O} $ 為圓心，半徑為 $b$ 的球體 $\mathbb {V} $ 。電偶極子所產生於這球體的電場，其平均值為：

　
: $\langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r$ 。

注意到球坐標單位向量與直角坐標單位向量之間的關係：

　
: ${\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta $ 、

　
: ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\cos \theta \sin \phi -{\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta $ 。

將這兩個關係式代入前面積分式，可以得到

　
:

注意到這積分式的 x - 分量與 y - 分量都等於零，只剩下 z - 分量：

　
: ${\begin{aligned}\langle \mathbf {E} \rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r\\&={\frac {3p{\hat {\mathbf {z} }}}{8\pi \epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta \end{aligned}}$ 。

對於徑向坐標 $r$ 積分會得到

　
: $\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r=-\infty $ ！

但對於天頂角 $\theta $ 積分則會得到

　
: $\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =0$ ！

由此可知，從這運算無法得到 $\langle \mathbf {E} \rangle $ 的正確值。這是因為電偶極子的電位有一個奇異點在它所處的位置（原點 $\mathbf {O} $ ），電場的方程式並不完全正確。必須特別小心地計算，才能得到正確答案。應用向量恆等式 $\oint _{\mathbb {S} }\psi \ \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathbb {V} }\nabla \psi \ \mathrm {d} V$ ，則作用於這球體 $\mathbb {V} $ 的電場，其平均值為：

　
: $\langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \phi \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint _{\mathbb {S} }\phi \ \mathrm {d} \mathbf {S} $ ；

其中， $\mathbb {S} $ 是球體 $\mathbb {V} $ 的表面。

將電位 $\phi $ 的方程式代入，注意到 $\mathrm {d} \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {r} }}\ b^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi $ ，則可得到

　
: $\langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi $ ；

其中， $\rho (\mathbf {r} ')$ 是在源位置 $\mathbf {r} '$ 的電荷密度， $\mathbb {V} '$ 是源積分體積，設定與 $\mathbb {V} $ 相同， ${\hat {\mathbf {r} }}$ 是場位置的單位向量，從表面 $\mathbb {S} $ 垂直往外指出。

場位置與源位置之間距離的倒數以球諧函數 $Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ 作多極展開為

　
: ${\frac {1}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{\prime \ell }}{b^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b$ ；

其中， $b{\hat {\mathbf {r} }}$ 與 $\mathbf {r} '$ 的球坐標分別為 $(b,\theta ,\phi )$ 與 $(r',\theta ',\phi ')$ 。

單位向量 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 以球諧函數表示為

　
: ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}$ 。

應用球諧函數的正交歸一性

　
: $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}$ ，

可以得到 $\langle \mathbf {E} \rangle $ 與這球體的電偶極子 $\mathbf {p} $ 之間的關係式：

　
: $\langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=-\ {\frac {\mathbf {p} }{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}$ 。

也就是說，

　
: $\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}$ 。

為了滿足這性質，必需對於電偶極子 $\mathbf {p} $ 所產生的電場 $\mathbf {E} $ ，在其方程式內再添加一個項目：

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}$ 。

這樣，在計算 $\langle \mathbf {E} \rangle $ 時，就能夠得到明確無誤的答案。

## 磁偶極子的磁場

假設磁偶極矩為 $\mathbf {m} $ 的磁偶極子，其位置是在原點，則在任意位置 $\mathbf {r} $ ，磁偶極子的向量勢 $\mathbf {A} $ 是

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}(\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }})$ ；

其中， $\mu _{0}$ 是磁常數。

這磁偶極子所產生的磁場 $\mathbf {B} $ 為

　
: $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} $ 。

由於磁偶極子的向量勢有一個奇異點在它所處的位置（原點 $\mathbf {O} $ ），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

　
: $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}\mathbf {m} }{3}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )$ 。

任意磁場的多極展開式中，帶頭項目就是這公式右手邊的第一個項目，偶極子項目。磁場沒有單極子項目。在遠距離，這公式近似任何類似磁偶極子的組態所產生的磁場。

偶極磁場的狄拉克 δ 函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了 21 公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了 3K 背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測 21 公分譜線無線電波。

## 作用於偶極極子的力矩

將一磁偶極子放在均勻磁場，或將電偶極子放在均勻電場，偶極子的兩端會分別各產生一個力，兩個大小相等而方向相反的力產生力矩 ${\boldsymbol {\tau }}$ ：

　
: ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} $ 、

　
: ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} $ 。

力矩傾向將偶極子的方向與向量場的方向排向同一方向，偶極子的位能是

　
: $U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} $ 、

　
: $U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} $ 。

在計算時，我們常假設偶極子兩端之間的距離是無窮小，即**點偶極子**。

## 偶極輻射

在靜電學和靜磁學之外，很重要的物理領域是含時偶極子。

當一個電偶極子在做諧振蕩時，其電偶極矩可以表示為 $\mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}$ ；其中， $\omega $ 是角頻率。在真空裏，它產生的電場和磁場分別為

　
: $\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}$ 、

　
: $\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}$ 。

在離開偶極子很遠的位置（ $r\omega /c\gg 1$ ），向量場的形式近似一個輻射的球面波：

　
: $\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}$ 、

　
: $\mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}$ 。

經過時間平均，產生的總輻射功率 $P$ 為

　
: $P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}$ 。

功率的分佈並不具有均向性，而是集中於垂直於電偶極矩的方向。

## 量子力學的電偶極子算符

試想一群粒子，數量為 $N$ ，電荷量和位置分別為 $q_{i}$ 和 $\mathbf {r} _{i}$ ， $i=1,\,2,\,\dots ,\,N$ 。例如，這個群集可能是一個分子，由電荷量為 $-e$ 的電子，和電荷量為 $eZ_{j}$ 的原子核所構成；其中， $Z_{j}$ 是第 $j$ 個原子核的原子序。這個群集的電偶極子的量子算符 ${\mathfrak {p}}$ 是

　
: ${\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}$ 。

## 參閱

* 電介質
* 永電體
* 印度洋電偶極子（Indian Ocean Dipole）
* 自旋磁矩（spin magnetic moment）
* 軸多極矩（Axial multipole moments）
* 圓柱多極矩（Cylindrical multipole moments）
* 球多極矩
* 拉普拉斯展開式（位勢論）（Laplace expansion (potential)）
* 勒讓德多項式

## 參考文獻

## 外部連結

* 波士頓大學物理模擬示範網頁： 電偶極子的電場線圖和電場向量圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）