短正合序列

在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，**正合序列**（或釋作**正合列**或**恰當序列**）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是**短正合序列**。

## 定義

在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列

　
: $G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}$

稱之為**正合序列**，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核：

　
: $\operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})$

上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。

### 簡單例子

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以平凡群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為 0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為 1（表示乘法運算）。

* 序列 0 → _A_ → _B_ 為正合序列，若且唯若從 _A_ 至 _B_ 的映射，其核為 {0}，亦即若且唯若該映射為單射。
* 在對偶時，序列 _B_ → _C_ → 0 為正合序列，若且唯若從 _B_ 至 _C_ 的映射，其像為整個 _C_，亦即若且唯若該映射為滿射。
* 因此，序列 0 → _X_ → _Y_ → 0 為正合序列，若且唯若從 _X_ 至 _Y_ 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從 _X_ 至 _Y_ 的同構。

### 短正合序列

**短正合序列**為具有下列形式的正合序列

　
: $0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0$

如上所述，對任何一個短正合序列，_f_ 一定為單射，且 _g_ 一定為滿射，且 _f_ 的像會等於 _g_ 的核。因此，可導出一同構

　
: $C\cong B/\operatorname {im} (f)$

若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列 $0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0$ **分裂**：

 * $g$ 有**截面**（即存在 $s:A''\rightarrow A$ 使得 $g\circ s=\mathrm {id} _{A''}$ ）
* $f$ 有**縮回**（即存在 $r:A\rightarrow A'$ 使得 $r\circ f=\mathrm {id} _{A'}$ ）
* 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

　
: $0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0$

　
: 其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證 $A$ 可以表為 $A'$ 與 $A''$ 的半直積；例如我們可考慮群同態

　
: $1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0$

其中 $S_{3}$ 是 3 次對稱群。 $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}$ 由 $n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}$ 給出，它的像是交代群 $A_{3}$ ，商為 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} $ ；但 $S_{3}$ 無法分解成 $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} $ 。

### 將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核 Ker 與上核 Coker 的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

　
: $\cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots $

設

　
: $Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})$

其中 $2\leq n\leq 4$ ，這就給出了一個短正合序列

　
: $0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0$

一般而言，設 $A_{\bullet }$ 為鏈複形，我們同樣定義 $Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})$ ；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 $0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0$ 的正合性。

### 推廣

給定一個短正合序列

　
: $0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0$

有時也稱 $A$ 為 $A''$ 經由 $A'$ 的**擴張**。

詳閱條目 Ext 函子與群上同調。

## 長正合序列

若有鏈複形的短正合序列：

　
: $0\longrightarrow C'_{\bullet }\longrightarrow C_{\bullet }\longrightarrow C''_{\bullet }\longrightarrow 0$

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列

　
: $\cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C'_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n-1}(C'_{\bullet })\longrightarrow \cdots $

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是 $H^{n}(C''^{\bullet })\to H^{n+1}(C'^{\bullet })$ 。這類序列稱作**長正合序列**，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和 Mayer-Vietoris 序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

## 參見

* 正合函子
* 鏈複形