矩阵谱半径

數學上，矩陣或有界線性算子的**譜半徑**（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩陣的譜中元素絕對值中的最小上界），會表示為 ρ(・)。

## 矩陣

令 _λ_1, ..., _λn_ 是矩陣 _A_ ∈ **C**n×_n_ 中的特徵值，則其譜半徑 _ρ_(_A_) is 定義為：

　
: $\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.$

 $A$ 的條件數可以用譜半徑表示，公式為 $\rho (A)\rho (A^{-1})$ 。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下確界（infimum）。另一方面， $\rho (A)\leqslant \|A\|$ 對每一個矩陣範數 $\|\cdot \|$ 都成立，Gelfand 公式指出 $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$ 。不過，針對任意向量 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ ，譜半徑不一定會滿足 $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ 。若要說明原因，可以令 $r>1$ 為任意數，考慮矩陣 $C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}$ 。 $C_{r}$ 的特徵多項式是 $\lambda ^{2}-1$ ，因此其特徵值為 $\pm 1$ ，且 $\rho (C_{r})=1$ 。不過 $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$ ，因此 $\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|$ ，其中 $\|\cdot \|$ 是 $\mathbb {C} ^{n}$ 上的任何 $\ell ^{p}$ 範數。至於可以當 $k\to \infty $ 時，讓 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ 的原因是 $C_{r}^{2}=I$ ，因此當 $k\to \infty $ 時，使 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1$ 。

　
: $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ 針對所有 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$

成立的條件是 $A$ 為埃爾米特矩陣及 $\|\cdot \|$ 為歐幾里得範數。

## 圖

有限圖的譜半徑定義為其鄰接矩陣的譜半徑。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數 C 使得每一個頂點的度都小於 C）。此情形下，針對圖 G 可定義：

　
: $\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.$

令 γ 是 G 的鄰接算子：

　
: ${\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}$

G 的譜半徑定義為有界線性算子 γ 的譜半徑。

## 上界

### 矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

**命題**：令 _A_ ∈ **C**n×_n_，其譜半徑為 _ρ_(_A_)，以及相容（Consistent）矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數 $k\geqslant 1$ :

　
: : $\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

**證明**

令 (**v**, _λ_) 為矩陣 _A_ 的特徵值 - 特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

　
: $|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|$

因為 **v** ≠ 0，可得

　
: $|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

因此

　
: $\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

### 圖譜半徑的上界

有關 _n_ 個頂點，_m_ 個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

　
: ${\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}$

其中 $3\leq k\leq n$ 為整數，則 ：

　
: $\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}$

## 乘冪數列

### 定理

譜半徑和矩陣乘冪數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

　
: **定理**：令 _A_ ∈ **C**n×_n_，其譜半徑 _ρ_(_A_)。則 _ρ_(_A_) < 1 若且唯若

　
: $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.$

　
: 另一方面，若 _ρ_(_A_) > 1, $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty $ 。上述敘述針對 **C**n×_n_ 上的任何矩陣範數都有效。

### 定理證明

假設問題中的極限值為零，可以證明 _ρ_(_A_) < 1。令 (**v**, _λ_) 為 _A_ 的特徵值和特徵向量對。因為 _Ak_**v** = _λk_**v** 可得：

　
: ${\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}$

因為假設 **v** ≠ 0，會得到

　
: $\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

表示 |λ| < 1。因為這對任何一個特徵值都會成立，因此可知 ρ(_A_) < 1。

接下來假設 A 的譜半徑小於 1。根據若爾當標準型定理，可以知道針對所有的 _A_ ∈ **C**n×_n_，存在 _V_, _J_ ∈ **C**n×_n_ 以及非奇異的 V 和 J 分塊對角矩陣使得：

　
: $A=VJV^{-1}$

而

　
: $J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

其中

　
: $J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.$

因此可得

　
: $A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

因為 J 是分塊對角矩陣

　
: $J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

而 $m_{i}\times m_{i}$ 若爾當方塊矩陣 k 次方可以得到，針對 $k\geq m_{i}-1$ ：

　
: $J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

因此，若 $\rho (A)<1$ ，則針對所有的 i， $|\lambda _{i}|<1$ 都會成立。因此針對所有的 i，可得：

　
: $\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0$

這也表示

　
: $\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

因此

　
: $\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0$

另一方面，若 $\rho (A)>1$ ，當 k 增加時，在 J 中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

## Gelfand 公式

### 定理

以下的定理可以用 [矩陣範數的極限來計算 T 譜半徑

　
: **定理（Gelfand 公式，1941 年）** ：令任何矩陣範數 ||⋅||,，可得

　
: $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.$ .

### 證明

令任意 _ε_ > 0，先建構以下二個矩陣：

　
: $A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.$

則:

　
: $\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).$

先將之前的定理應用到 _A_+:

　
: $\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.$

這表示，根據級數極限定理，一定存在 _N_+ ∈ **N** 使得針對所有的 _k_ ≥ N+，下式都成立

　
: ${\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}$

因此

　
: ${\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}$

將之前的定理用在 _A_−，表示 $\|A_{-}^{k}\|$ 無界，一定存在 _N_− ∈ **N** 使得針對所有的 _k_ ≥ N−，下式都成立

　
: ${\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}$

因此

　
: ${\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}$

令 _N_ = max{_N_+, _N_−},，可得：

　
: $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon $

因此，依定義，可得下式

　
: $\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).$

## 舉例

考慮以下矩陣

　
: $A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

其中的特徵值為 5, 10, 10。依照定義，_ρ_(_A_) = 10。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在 k 增加時，計算 $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ （注意，因為此矩陣特殊的形式， $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$ ）:

## 有界線性算子

針對有界線性算子 A 及算子範數 ||・||，可以得到

　
: $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其譜半徑等於數值半徑，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正規算子。

## 相關條目

* 聯合譜半徑
* 譜隙
* 矩陣的譜

## 註解

## 參考資料

* Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
* Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1