相干态

**相干態**是量子力學中量子諧振子能夠達到的一種特殊的量子狀態。量子諧振子的動力學性能和古典力學中的諧振子很相似。1926 年埃爾溫・薛丁格在解滿足對應原理的薛丁格方程式時找到的第一個量子力學解就是相干態。量子諧振子和相干態存在於大量物理系統中，比如一個位於二次方位能井中的粒子的振盪運動就是一個相干態。1963 年羅伊・格勞伯把相干態引入量子電動力學和玻色子量子場論。

## 量子光學

相干態是最小不確定態，其唯一的一個自由係數可選為使得其位置和動量的相對彌散相等，在高能下這兩個彌散均非常小。此外因為在所有能量特徵態中海森堡運動公式的期望值為零，相干態的期望值與古典運動公式完全相等，在高能量時其彌散非常小。

雖然最小不確定高斯式波包是眾所周知的，但是直到 1963 年格勞伯提出完全量子化的電磁場理論才受到注意。

在古典光學裡光被看作光源散發出來的電磁波。相干雷射一般被看作是許多等相光源發出的光。但是在量子理論中一個光子和另一個光子等相這個說法不成立。雷射輻射是由共振頻率與為該電磁場提供能量的原子躍遷的頻率相同的空間造成的。隨著共振諧振模不斷增強只有在這一個模產生受激的可能性提高。這是一個正反饋，諧振模的波幅不斷提高，最後一個非線性效應限制它繼續無限提高。作為一個反例子，電燈泡輻射的光的模是連續的，沒有任何效應特別優惠一個模。輻射過程在時間和地點上非常偶然。在雷射裡光只在諧振模上輻射，這個模因此非常相干。因此雷射可以被理想化為相干態。

線性量子諧振子的能量特徵態是定量量子態。相干態的量子力學互補坐標（位置和動量）的不確定相等，相和波幅的不確定約相等，而且在波幅高的情況下非常小。

## 量子力學定義

相干態 $|\alpha \rangle $ 被定義為湮沒算符 ${\hat {a}}$ 的本徵態：

　
: ${\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle $

由於 ${\hat {a}}$ 不是自伴算子，通常來說，本徵值 $\alpha $ 是一個複數，它可以被表示為

　
: $\alpha =|\alpha |e^{i\theta }~~~,$

這裡 $~\theta ~$ 是一個實數。 $~|\alpha |~$ 和 $~\theta ~$ 分別被稱為是相干態的振幅和相。

這個公式的物理意義是粒子的測量或者湮滅對相干態不造成變化，使用能量本徵態為基表示出湮滅算符的本徵態時其歸一化係數具有帕松分布的形式。這是從統計觀點上來看所有測量相互獨立的充分必要條件。與單粒子態（ $|1\rangle $ Fock 態）相比：在單粒子狀態下假如我們測量到一個粒子的話再測量到另一個的可能性就降低到了零。

它可由無因次因次算符 X 和 P 導出。這兩個算符可以由一個質量為 m，角頻率為 ω 的線性諧振子的位置和動量表示：

　
: $\mathbf {P} ={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ \mathbf {p} {\text{,}}\quad \mathbf {X} ={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ \mathbf {x} {\text{,}}\quad \quad $ 其中 $\omega \equiv {\sqrt {k/m}}$

對於光場來說

　
: $~E_{\rm {R}}=\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\cos(\theta )X~$

和

　
: $~E_{\rm {I}}=\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\sin(\theta )X~$

是腔體 V 內電場模式的實部和虛部。

使用這兩個（無因次的）算符，系統的哈密頓量為

　
: $\mathbf {H} =\hbar \omega \left(\mathbf {P} ^{2}+\mathbf {X} ^{2}\right)$ 其中 $\left[\mathbf {X} ,\mathbf {P} \right]\equiv \mathbf {XP} -\mathbf {PX} =i/2$

埃爾溫・薛丁格在尋找最接近古典物理的態的時候引入了最小不確定高斯分布波包。使得不確定相同地分布在 X 和 P 上的最小不確定性關係滿足以下方程式

　
: $\left(\mathbf {P} -\langle \mathbf {P} \rangle \right)\,|\alpha \rangle \ =i\left(\mathbf {X} -\langle \mathbf {X} \rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}\quad $ 或 $\quad \left(\mathbf {P} -i\mathbf {X} \right)\,\left|\alpha \right\rangle \ =\ \left\langle \mathbf {P} -i\mathbf {X} \right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle $

這是算符 (P-iX) 的一個特徵值。

薛丁格發現線性和諧振盪器的最小不確定態是 (X+iP) 的特徵值，格勞伯在使用多光子狀態時發現電磁場所有狀態完全相干態必須是湮沒算符的正確特徵值 —— 在公式上，從數學角度出發，是同一狀態。從格勞伯的成就開始相干態這個概念建立了。

相干態在相空間的位置的中心是同樣相 θ 和振幅的古典振盪器的位置和動量。不確定性向所有方向同性擴展，由直徑為 1/2 的圓盤表示。隨著相的增高相干態環繞原點盤旋，但是圓盤即不變形也不擴大。這是一個量子狀態在相空間中能夠最接近一個點的狀態。

如同圖 1 所示，由於不確定始終是 1/2 而不隨振盪子的振幅增高，這個狀態越來越像一個正弦曲線。而且由於真空狀態 $|0\rangle $ 也只不過是 $\alpha =0$ 的相干態，所有相干態的不確定和真空一樣。因此相干態的真空雜訊可以被看作是虛粒子的原因。

特徵值公式的解相當於把真空狀態移動到相空間中的 $\alpha $ ，既對真空使用位移算符 $D(\alpha )$ ：

　
: $|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle $

把相干態的公式用在單光子基礎上：

　
: $|\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}|0\rangle $

這裡 $|n\rangle $ 是哈密爾頓方程式的能量特徵值。這是一個帕松分布。測量到 $~n~$ 光子的可能性為：

　
: $P(n)=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}$

類似的，相干態的平均光子數為 $~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~$ ，其方差為 $~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~$ 。

在 $~\alpha ~$ 非常大的極限情況下這個測量統計與古典穩定波一樣。這個結果適用於使用單一測量器測量的結果，因此適用於一度相干。但是要計算多個測量器的測量結果的話需要使用高度相干。格勞伯的量子相干態定義包含 n 度相干函數。完美的相干態含有所有 n 度相干等於 1。

在 $~\alpha \gg 1~$ 的情況下 $\Delta \theta |\alpha |={\frac {1}{2}}$ 。由此可以看出數量不確定和相不確定之間有點互補的聯繫 $\Delta \theta ~\Delta n=1/2$ ，不過這個聯繫並不是正式的，量子力學中沒有特別的相算符。

## 數學特性

兩個不同的相干態不垂直：

　
: ${\begin{aligned}\langle \alpha '|\alpha \rangle &=e^{-{1 \over 2}(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha '^{*})^{n}\alpha ^{m}}{\sqrt {n!m!}}}\langle n|m\rangle \\&=e^{-{1 \over 2}(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(\alpha \alpha '\right)^{n}}{n!}}\\&=e^{-{1 \over 2}(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})+\alpha '^{*}\alpha }\end{aligned}}$

所以

　
: $|\langle \alpha '|\alpha \rangle |^{2}=e^{-(|\alpha |^{2}+|\alpha '|^{2}-\alpha ^{*}\alpha '-\alpha \alpha '^{*})}=e^{-|\alpha -\alpha '|^{2}}$

因此只有 $|\alpha -\alpha '|\gg 1$ 時，兩個相干態才會近似正交。但由於它們之間有完備性關係，任何狀態可以被分解為一系列相干態。這個完備性關係也可以這樣來表達：

　
: ${\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha ={\hat {1}}$

為了證明上式，只要證明對任意兩個態 $|\psi \rangle $ 和 $|\phi \rangle $ 皆滿足 $\langle \psi |\phi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int \langle \psi |\alpha \rangle \langle \alpha |\phi \rangle d^{2}\alpha $

　
: ${\begin{aligned}&{\frac {1}{\pi }}\int \langle \psi |\alpha \rangle \langle \alpha |\phi \rangle d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\langle \psi |n\rangle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n!m!}}}r^{n+m}e^{-r^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)d\left(r^{2}\right)\int _{0}^{2\pi }e^{{\mathit {i}}(m-n)\theta }d\theta \langle m|\phi \rangle \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\langle \psi |n\rangle \left({\frac {1}{2}}\right){\frac {1}{\sqrt {n!m!}}}\int _{0}^{\infty }r^{n+m}e^{-r^{2}}d\left(r^{2}\right)2\pi \delta _{nm}\langle m|\phi \rangle \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \psi |n\rangle {\frac {1}{\sqrt {n!n!}}}\int _{0}^{\infty }r^{n+n}e^{-r^{2}}d\left(r^{2}\right)\langle n|\phi \rangle \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \psi |n\rangle \langle n|\phi \rangle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\because \int _{0}^{\infty }r^{k}e^{-r}dr=k!)\\&=\langle \psi |\phi \rangle \end{aligned}}$

另外，算符 $a^{\dagger }$ 並不存在本徵括量，而算符 $a$ 並不存在本徵包量，以下公式在計算中很有用：

　
: $a^{\dagger }|\alpha \rangle =\left({\partial  \over \partial \alpha }+{\alpha ^{*} \over 2}\right)|\alpha \rangle $

## 超流體

使用相干態來代表氦 4 的組成部分可以很好地體現出超液態裡凝聚和非凝聚之間的比例，其結果與慢中子散射的測量結果一致。使用一個相干態來表示超液態組成部分可以直接推導出大多數超液的特殊特性，這個相干態在整個超液體積裡擁有相同的波幅和相。

在研究超流體的初期羅傑・彭羅斯和拉斯・昂薩格建議使用一個一級約化密度矩陣的宏觀係數項（一個宏觀特徵值）作為超流體的參數。後來楊振寧提議了一個更廣義的宏觀量子相干態的參數，這個新參數即可以用於玻色子也可以用於費米子。它適用於任何級的約化密度矩陣。超流體是一級的，超導體是二級的。

描寫宏觀量子相干態使用的約化密度矩陣中的級在公式上和描寫輻射相干態的相干函數一樣。兩者都是宏觀量子相干態。格勞伯描寫的信號加噪聲所導致的電磁場中的相干態成分加上噪聲與超流體裡超流體部分和一般流體部分的描寫是一樣的。

## 超導體

電子是費米子，但是它們成對形成庫柏對後像玻色子一樣反應，能夠在低溫下一起形成相干態。

## 廣義

在量子場論和弦理論中相干態被廣義擴展到無限多自由度來定義與原真空的真空期望值不同的真空狀態。

在一維費米子自由度的多體量子系統中低能激發態可以用玻色子場算符來近似表示，這個近似被稱為玻色子化。

高斯分布的非相對論量子力學相干態可以被廣義擴展為相對論相干態。

## 參考資料

## 外部連結

* 中國開放教育資源協會教材（PDF）