留数定理

在複分析中，**留數定理**，又叫**殘數定理**（英語：Residue theorem），是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。

## 定理

假設 $U$ 是複平面上的一個單連通開子集， $a_{1},\cdots ,a_{n}$ 是複平面上有限個點， $f$ 是定義在 $U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}$ 的全純函數。如果 $\gamma $ 是一條把 $a_{1},\cdots ,a_{n}$ 包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個 $a_{k}$ ，並且其起點與終點重合，那麼：

　
: $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

如果 γ 是若爾當曲線，那麼 I (γ, _a_k) = 1，因此：

　
: $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

在這裡，Res (_f_, _a_k) 表示 _f_ 在點 _a_k 的留數，I (γ, _a_k) 表示 γ 關於點 _a_k 的卷繞數。卷繞數是一個整數，它描述了曲線 γ 繞過點 _a_k 的次數。如果 γ 依逆時針方向繞著 _a_k 移動，卷繞數就是一個正數，如果 γ 根本不繞過 _a_k，卷繞數就是零。

## 例子

### 實軸上的積分

以下的積分

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

在計算柯西分布的特徵函數時會出現，用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿著實直線從−_a_ 到 _a_，然後再依逆時針方向沿著以 0 為中心的半圓從 _a_ 到−_a_。取 _a_ 為大於 1，使得虛數單位 _i_ 包圍在曲線裡面。路徑積分為：

　
: $\int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

由於 _e_itz 是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母 _z_2 + 1 為零時才具有奇點。由於 _z_2 + 1 = (_z_ + _i_)(_z_ − _i_)，因此這個函數在 _z_ = _i_ 或 _z_ = −_i_ 時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於 _f_(_z_) 是

　
:

_f_(_z_) 在 _z_ = _i_ 的留數是：

　
: $\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.$

根據留數定理，我們有：

　
: $\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

路徑 _C_ 可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧，使得：

　
: $\int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,$

因此

　
: $\int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.$

如果 _t_ > 0，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零：

　
: $\int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .$

上述結果也可以直接由 Jordan 引理得到，要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於 0 必須要 $t>0$ 才能成立，所以如果 $t<0$ 就必須考慮下半平面上的半圓弧。

因此，如果 _t_ > 0，那麼：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

類似地，如果曲線是繞過−_i_ 而不是 _i_，那麼可以證明如果 _t_ < 0，則

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},$

因此我們有：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

（如果 _t_ = 0，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為 π。）

### 無窮級數

由於 $\pi \cot(\pi z)$ 在 $z$ 為整數時皆為一階極點，並且留數皆為 $1$ ，因此可以用來計算如下所示級數：

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)$

在此處令 $f(z)=z^{-2}$ ，並且令 $\Gamma _{N}$ 為 $\left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}$ 的正方形正向（逆時針）圍道（其中 $N$ 為整數），於是依留數定理：

　
: ${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}$

當 $N\to \infty $ 時，等式左側由於 $O(n^{-2})$ 而趨於零；另一方面：

　
: ${\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots $

其中有伯努利數 $B_{2}={\frac {1}{6}}$ 。

（實際上有 ${\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}$ ）因此， $\operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}$ ，可以得出：

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

即為巴塞爾問題的證明之一。

## 參見

* 留數
* 路徑積分
* 莫雷拉定理
* 傅立葉變換
* 拉普拉斯變換

## 參考文獻

* Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
* Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
* Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8

## 外部連結

* Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* John H. Mathews 所作的留數定理教程