留数

在複分析中，**留數**是一個正比於一個亞純函數某一奇點周圍的路徑積分的複數。（更一般地，對於任何除去離散點集 {_a_k} 之外全純的函數 $f:\mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}\rightarrow \mathbb {C} $ 都可以計算其留數，即便是離散點集中含有本質奇點）留數可以是很容易計算的，一旦知道了留數，就可以通過留數定理來計算更複雜的路徑積分。

## 定義

亞純函數 $f$ 在孤立奇點 $a$ 的留數，通常記為 $\operatorname {Res} (f,a)$ 或 $\operatorname {Res} _{a}(f)$ ，是使 $f(z)-R/(z-a)$ 在穿孔圓盤 $0<|z-a|<\delta $ 內具有解析原函數的唯一值 $R$ 。

另外，留數也可以通過求出洛朗級數展開式來計算，並且可以將留數定義為洛朗級數的係數 _a_-1。

留數的定義可以拓展到任意黎曼曲面上。

## 例子

作為例子，考慮以下的路徑積分：

　
: $\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

其中 C 是圍繞原點的任意 (正向) 簡單閉曲線。

我們來計算這個積分，不用任何標準的積分定理。現在，_e_z 的泰勒級數是眾所周知的，我們可以把這個級數代入被積表達式中。則積分變為：

　
: $\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

我們把 1/_z_5 的項代進級數中，便得到：

　
: : $\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz$

　
: $=\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

現在，積分便化為更簡單的形式。由於：

　
: $\oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.$

因此任何不是 _cz_−1 形式的項都變成了零，那麼積分變為：

　
: $\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

1/4! 就是 _e_z/_z_5 在 _z_ = 0 的留數，記為：

　
: $\mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},$ 或 $\mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},$ 或 $\mathrm {Res} (f,0).$

## 留數的計算

設複平面內有一穿孔圓盤 _D_ = {_z_ : 0 < |_z_ − _c_| < _R_}，_f_ 是定義在 _D_ 內的一個全純函數。_f_ 在 _c_ 的留數 Res (_f_, _c_) 是羅朗級數展開式的 (_z_ − _c_)−1 項的係數 _a_−1。計算留數的值的方法有很多，具體採用那種方法取決於題目中的函數，以及奇點的性質。

根據柯西積分公式，我們有：

　
: $\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

其中 γ 是逆時針繞著 _c_ 的一條閉曲線。我們可以選擇 γ 為繞著 _c_ 的一個圓，它的半徑可以任意地小。

### 可去奇點

如果函數 _f_ 在整個圓盤 { |_z_ − _c_| < _R_ } 內可以延拓為全純函數，則 Res (_f_, _c_) = 0。反過來不總成立。

#### 一階極點

在一階極點，留數由以下公式給出：

　
: $\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

設 _g_ 和 _h_ 在 _c_ 的一個鄰域內是全純函數，_h(c)_ = 0 而 _g(c)_ ≠ 0，那麼函數 _f_(_z_)=_g_(_z_)/_h_(_z_) 在極點 _c_ 的留數為：

　
: $\operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}.$

#### 較高階極點的極限公式

更一般地，_f_ 在 _z_ = _c_ 的留數，其中 _c_ 是 _n_ 階極點，由以下公式給出：

　
: $\mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

以上的公式對於計算低階極點的留數是十分有用的。對於較高階的極點，則級數展開式更加容易一些。

### 無窮遠點的留數

一般地，**無窮遠點的留數**是指：

　
: $\mathrm {Res} (f(z),\infty )=-\mathrm {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)$ .

如果滿足下面的條件：

　
: $\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0$ ,

則可以用下面的公式計算**無窮遠點的留數**：

　
: $\mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)$ .

如果不滿足，即

　
: $\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0$ ,

則**無窮遠點的留數**為：

　
: $\mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z)$ .

### 級數方法

如果函數的一部分或全部可以展開為泰勒級數或洛朗級數，則留數的計算比用其它的方法要容易得多。

**1**. 第一個例子，計算以下函數在奇點的留數：

　
: $f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z}$

它可以用來計算一定的路徑積分。這個函數表面上在 _z_ = 0 處具有奇點，但如果把分母因式分解，而把函數寫成：

　
: $f(z)={\sin {z} \over z(z-1)}$

則顯然 _z_ = 0 是可去奇點，因此 _z_ = 0 處的留數為零。

唯一一個另外的奇點是 _z_ = 1。函數 _g_(_z_) 在 _z_ = _a_ 的泰勒級數為：

　
: $g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots $

因此，對於 _g_(_z_) = sin _z_ 和 _a_ = 1，我們有：

　
: $\sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$

對於 _g_(_z_) = 1/_z_ 和 _a_ = 1，我們有：

　
: ${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$

把兩個級數相乘，並除以 (_z_− 1)，便得：

　
: ${\frac {\sin {z}}{z(z-1)}}={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1}}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$

因此 _f_(_z_) 在 _z_ = 1 的留數為 sin 1。

**2**. 接下來的例子展示了運用級數展開來求留數，拉格朗日反演定理在這裡發揮了重要作用。令

　
: $u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$

為一個整函數，並令

　
: $v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$

## 參見

* 柯西積分公式
* 柯西積分定理
* 莫雷拉定理

## 參考文獻

* Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.
* Marsden & Hoffman, _Basic complex analysis_ (Freeman, 1999).

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Complex Residue. MathWorld.
* 留數的教程