生物數學

**數理生物學**（英語：mathematical and theoretical biology），又稱**數學生物學**（英語：mathematical biology）或**生物數學**（英語：biomathematics）是一個跨學科的領域，其主要目標是利用數學的技巧和工具為自然界，特別是生物學中的過程建模並進行分析。生物數學在生物學的理論和實踐中都有廣泛的應用。

## 重要性

很久以前，數學即被應用於生物學的研究中。然而直到最近，這一領域才引起人們足夠的重視，其原因包括：

* 由於基因學的發展，生物學家採集到的大量數據必須通過解析方法加以處理。
* 數學理論，特別是混沌理論的發展，使人們對複雜性系統的認識更加深刻，從而提供了研究生物學中非線性動力過程的工具和方法。
* 計算機科學的發展使大規模計算和模擬成為可能。
* 基於人類與動物研究中的複雜性，人們對 _In silico_ 的興趣與日俱增。

## 研究領域

下面是一些生物數學界的熱門研究領域。這些項目所研究對象的共同特點是極其複雜並具有非線性的動力特徵。一種觀點認為，此類多種因素交互的問題只能通過數學或計算機模擬的方式來理解。由於此類研究涉及多個學科，時常是由數學家、物理學家、生物學家、醫生、動物學家和化學家等共同完成的。

### 演化生物學及生態學

傳統上，演化生物學和生態學都大量使用數學理論。數學模型在演化及生態學有許多不用的功能，包括用統計學分析資料、預測生物現象、以及檢驗假說的正確性。

在微演化中，最主要的數學應用是族群遺傳學，計算的是有限數量的基因頻率如何受天擇、性擇、突變、漂變、遷徙等演化力量影響；可以由觀察到的基因頻率回推演化力量，或是由演化力量預測未來的基因頻率。當有大量基因座，而且個基因座對性狀的影響都很小時，可以用計量遺傳學（Quantitative genetics）描述性狀的分佈如何演化；通常假設性狀是常態分佈，計算基平均值和方差，羅納德・費雪為統計學打下的基礎即是由此建立。由 John Maynard Smith 引進的進化博弈理論是另一個重要的數理應用。

在巨演化中，系統分類學大量使用數學。該領域比較生物間性狀的異同（包括基因組成）後，用最大簡約法或最大似然估計等數學理論來重建演化歷史。

在生態學中，族群動態學（Population dynamics）描述生物族群大小的變化。馬爾薩斯的《人口論》提出指數成長的人口模型，可以說是最早的族群動態學理論。Lottak-Volterra 方程解釋天敵和獵物的族群波動關係，也早在 19 世紀就被廣泛地研究。與人口動力學密切相關的另一領域是數學流行病學，其主要研究內容為傳染病在易感人群中的傳播。目前已經有多個病毒傳播模型在公共健康政策的決策中產生了重要影響。群集生態學以及生物地理學也大量使用數學，包括羅伯特・麥克阿瑟和艾德華・威爾森提出的的島嶼模型，以及生態學中性理論，計算環境因子影響如何影響物種遷徙、滅絕、以及種化的頻率，從而解釋一個地區的物種多樣性。

### 細胞模型和分子生物學

由於分子生物學的發展，近年來該領域的研究碩果纍纍。

* 神經元模型和致癌物 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 生物組織培養動力學 [2]
* 酶化學和酶動力學。[3]
* 癌症模型與模擬 [4] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 交互細胞動力學 [5] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 疤痕組織形成模型 [6] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 細胞內部動力學模型 [7]

### 生理系統模型

* 動脈疾病模型 [8] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 多尺度心臟模型 [9]

## 數學方法

一般來說，在生物數學中，一個生物學的模型往往被抽象轉化成為一個方程或方程組。在不嚴格的意義下，往往將「模型」和「方程組」視為同一含義。該方程或方程組的解，可以描述一個生物系統隨時間的演進或在平衡點附近的性態。

生物數學中有多種類型的方程和性態，它們一般與模型或方程是獨立的。在建模的過程中，往往進行一些假設，從而使得問題更容易用抽象語言描述。

下面是一些常用的數學工具和假設：

### 確定過程（動力系統）

動力系統用來描述一個從給定的初態到某個終態的映射。由給定的初態出發，隨著時間的變化，一個動力系統始終產生相同的軌線，並且不同的軌線彼此不相交。

* 常微分方程（連續時間域，連續相空間，沒有空間域的微分）。可以參考數值常微分方程。
* 偏微分方程（連續時間域，連續相空間，有空間域的微分）。可以參考數值偏微分方程。
* 差分方程（離散時間域，連續相空間）。

### 不確定過程（隨機動力系統）

隨即動力系統用來描述一個從給定的初態到某個終態隨機的映射，將相空間視為一個隨機變量及相應的隨機分布。

* 非馬爾可夫過程。
* 跳躍。
* 連續馬爾可夫過程。

### 空間域模型

這方面的經典工作可以參考艾倫・圖靈 1952 年發表於《器官學》（_morphogenesis_）的文章〈器官學的化學基礎〉。

* 創傷康復實驗中的波傳遞。[10]
* 細胞群形態 [11] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 器官的機械化學理論 [12]
* 生物模式的形成 [13] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 由樣本生成的空間分布 [14] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參考書目

* S.H. Strogatz, _Nonlinear dynamics and Chaos: Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering._ Perseus., 2001, ISBN 0-7382-0453-6
* N.G. van Kampen, _Stochastic Processes in Physics and Chemistry_, North Holland., 3rd ed. 2001, ISBN 0-444-89349-0
* P.G. Drazin, _Nonlinear systems_. C.U.P., 1992. ISBN 0-521-40668-4
* L. Edelstein-Keshet, _Mathematical Models in Biology_. SIAM, 2004. ISBN 0-07-554950-6
* G. Forgacs and S. A. Newman, _Biological Physics of the Developing Embryo_. C.U.P., 2005. ISBN 0-521-78337-2
* A. Goldbeter, _Biochemical oscillations and cellular rhythms_. C.U.P., 1996. ISBN 0-521-59946-6
* F. Hoppensteadt, _Mathematical theories of populations: demographics, genetics and epidemics_. SIAM, Philadelphia, 1975 (reprinted 1993). ISBN 0-89871-017-0
* D.W. Jordan and P. Smith, _Nonlinear ordinary differential equations_, 2nd ed. O.U.P., 1987. ISBN 0-19-856562-3
* J.D. Murray, _Mathematical Biology_. Springer-Verlag, 3rd ed. in 2 vols.: _Mathematical Biology: I. An Introduction_, 2002 ISBN 0-387-95223-3; _Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications_, 2003 ISBN 0-387-95228-4.
* E. Renshaw, _Modelling biological populations in space and time_. C.U.P., 1991. ISBN 0-521-44855-7
* S.I. Rubinow, _Introduction to mathematical biology_. John Wiley, 1975. ISBN 0-471-74446-8
* L.A. Segel, _Modeling dynamic phenomena in molecular and cellular biology_. C.U.P., 1984. ISBN 0-521-27477-X
* L. Preziosi, _Cancer Modelling and Simulation_. Chapman Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-361-8

## 擴展閱讀

* F. Hoppensteadt, _Getting Started in Mathematical Biology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ . Notices of American Mathematical Society, Sept. 1995.
* M. C. Reed, _Why Is Mathematical Biology So Hard? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Notices of American Mathematical Society, March, 2004.
* R. M. May, _Uses and Abuses of Mathematics in Biology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ . Science, February 6, 2004.
* J. D. Murray, _How the leopard gets its spots? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Scientific American, 258(3): 80-87, 1988.
* S. Schnell, R. Grima, P. K. Maini, _Multiscale Modeling in Biology_, American Scientist, Vol 95, pages 134-142, March-April 2007.

## 外部連結

* The Collection of Biostatistics Research Archive
* Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology
* The International Journal of Biostatistics
* Society for Mathematical Biology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* European Society for Mathematical and Theoretical Biology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Biomathematics Research Centre at University of Canterbury （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Centre for Mathematical Biology at Oxford University （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mathematical Biology at the National Institute for Medical Research
* Institute for Medical BioMathematics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Mathematical Biology Systems of Differential Equations_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from EqWorld: The World of Mathematical Equations
* Systems Biology Workbench - a set of tools for modelling biochemical networks （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）