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皮特肯群島

**皮特肯群島**（英語：Pitcairn Islands/ˈpɪtkɛərn/; 皮特肯語: _Pitkern Ailen_），正式名稱為**皮特肯、亨德森、迪西和奧埃諾群島**，是由 4 座島嶼組成的南太平洋群島，其中只有第二大島嶼**皮特肯島**有人定居。該群島也是英國在太平洋地區剩下的最後一塊海外領地。

小島之所以出名，是因為島上居民都是英國皇家海軍邦蒂號上的叛變船員和大溪地人的後裔，這段具有傳奇性的歷史已經被寫成小說，並被拍成《叛艦喋血記》等多部電影。此外該島也可能是世界上居住人口最少的地區，大約只有 48 人（9 個家庭）還居住在此。皮特肯還是全球人口最少的具有管轄權的地區。聯合國非自治領土列表裡面包括皮特肯群島。

## 歷史

考古學家認為，玻里尼西亞人是皮特肯群島的最早居民，他們在島上的蹤跡最晚也可追溯到公元 15 世紀。但是當葡萄牙探險家佩德羅・費爾南德斯・德・基羅斯發現該群島時，島上已經無人居住。1767 年英國人皮特肯重新發現了該群島。

1790 年 1 月 15 日，邦蒂號上的 9 名叛變船員和他們的大溪地同伴逃亡到該島。他們包括了叛變的首領、船上的大副弗萊徹・克里斯蒂安（Fletcher Christian）和其他 8 名船員、6 名大溪地男人和 12 名大溪地女人。他們將邦蒂號上所有的物資都搬下船，然後放火把整艘船都燒了。不過今天人們還是可以在海底看到邦蒂號的殘骸。

在島上，船員很快就發生了內亂。加上疾病侵襲，到 1800 年時，叛變的船員中，只剩下約翰・亞當斯一人倖存。1814 年英國海軍再度發現了該島，但卻被島民的歷史所感動，因此決定不將最後剩下的叛變者逮捕。

1838 年該島正式成為英國殖民地。到 1850 年中島上的居民人口多到小島無法承受的地步，島民們於是向維多利亞女王求援。女王批准島民們遷徙至諾福克島（Norfolk Island）。於是在 1856 年 5 月 3 日，全部 193 名島上的居民開始遷徙。但是 18 個月後，17 名島民又重新回到了皮特肯群島，5 年後又有 27 人返回家園。

1937 年島上的人口達到歷史性的高峰 233 人，之後又開始了大規模的遷徙活動，大部分是遷往鄰近的紐西蘭，使得今天島上的人口保持在 50 人左右。

## 政治

皮特肯群島的政治基於一個議會民主制的框架，英國國王是國家元首。市長是政府首腦。該島的憲法制訂於 1964 年。皮特肯群島是世界上最小的民主政體。皮特肯的總督由英國駐紐西蘭高級專員兼任，更鮮有造訪該島。目前該群島的總督是伊安娜・湯瑪斯（2022 年 8 月 9 日上任）。島上的日常事務由一名民選的市長擔任，前任市長史蒂夫・克里斯蒂安已經被紐西蘭政府以強暴等罪名起訴，現任市長為夏琳・沃倫 - 裴（2019 年 12 月 31 日上任）。皮特肯群島的立法機關為島嶼委員會（其中總督和市長都是當然議員，4 個議席由普選產生，1 個議席由議長任命，2 個議席由總督任命）。市長任期是 3 年，特派員任期不定，議員任期是 1 年。

## 軍事

皮特肯群島屬於英國海外領土，這也意味著防務由英國國防部和英國軍隊負責。

## 地理

皮特肯群島由 4 個島組成，分別是皮特肯島、迪西島、亨德森島、奧埃諾島。

唯一始終有人居住的島是皮特肯島，只能通過小船從邦蒂灣登陸。

亨德森島大概占了群島總面積的 67％，在內部人跡罕至的地方一些獨有的動植物品種，雖然這個島也可以容納少部分人定居，但很難登陸，它的海岸由尖利陡峭的珊瑚礁組成。

皮特肯島是由被稱為皮特肯熱點的上升岩漿形成的。

其它幾個島的距離都超過了 100 公里且無人定居。

皮特肯群島由東而西包含以下島嶼：

## 經濟

皮特肯的肥沃的山谷一直出產多種蔬菜和水果，其中包括柑橘、甘蔗、水果、香蕉、薯蕷和豆類植物。不過島上居民的主要生活來源倒不是農業，而是漁業，易貨貿易依然是島上的主要貿易形式。此外郵票發行也是小島的主要收入之一，蜂蜜和工藝品也幫助島民增加收入，他們的主要買家都是途經皮特開恩前往巴拿馬運河的英國和紐西蘭船隻。主要的勞動力是島上的 12 名男性居民。

## 人口

皮特肯島居民主要由邦蒂號上的叛變船員和大溪地人的後裔組成，大部分居民都是基督復臨安息日會的信徒。皮特肯語是一種主要為 18 世紀英語並混合了一部分大溪地語的克里奧爾語，它被當地居民作為第一語言並在島上唯一一所學校和英語一起做為教學語言。皮特肯語和另外一種克里奧爾語諾福克語有密切關係，因為皮特肯人 19 世紀中曾在諾福克島上生活過。

2003 年 9 月，事隔 17 年島上再次有小孩出生。2007 年 3 月 3 日，另外一個孩子亞德里安娜・翠西・克里斯蒂安（Adrianna Tracey Christian）也在島上出生。

## 通訊

* **電話：**島上只有衛星電話，還有一部公用電話。島上居民用高頻無線電聯絡各家和各船。
* **無線電：**島上沒有廣播站。海用無線對講機主要用於和島上不同地點的人保持聯絡，外人可以使用短波無線電聯絡。
* **電視：**島上沒有電視廣播，大部分家庭用錄影機或 DVD 看碟片。Free-To-Air 衛星接受裝置可以用來觀看外國電視。
* **網路：**島上有一個政府出資的網際網路衛星連接，島上每個房子都連了網路。皮特肯群島的頂級域名是_.pn_。

## 交通

島上的居民都是乘船而來，其中最著名的是邦蒂號，該船後來發生叛變並且在邦蒂灣被燒毀。

皮特肯島沒有機場或海港，島上居民依靠大艇通過邦蒂灣，在汽船和陸地之間運輸人和貨物。如果要去皮特肯島必須先飛到大溪地，然後到曼加雷瓦，再坐超過 30 小時的船，每幾個月只有一艘船航行。另外一個選擇是坐從紐西蘭出發的貨船，那樣要七天的時間。離島就要碰運氣了，並不是什麼時候想走就有船的。

島上共有 6.4 公里長的路，沒有鐵路，因此長時間步行是去往島上其它地方的唯一辦法。

上個世紀 70 年代初，為了方便老年人，人們將一部 Mini moke 車帶到島上來，但崎嶇的地形和暴雨很快就損壞了這輛微型車，然後第二輛，第三輛 Mini moke 車不得不送到島上來替代它，最近幾年更多適應該島地形的車輛出現了。

## 參考文獻

## 外部連結

* 皮特肯政府官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 新聞報導

## 參見

* 皮特肯語（Pitkern language）
皮特肯語

**皮特肯語**(英語：Pitkern) 是一種基於十八世紀英語和大溪地語的一種克里奧爾語。這種語言是皮特凱恩島的主要語言，其使用者少於一百人，然與之相近的諾福克語有較多的使用者。雖皮特肯語和諾福克語的通行區皆為太平洋的島嶼，然某些語言學家卻將之分類為大西洋克里奧爾語。

## 歷史

在邦蒂號之變（Mutiny on the Bounty，即電影《叛艦喋血記》背後的歷史事件）發生後，這些英國籍的叛變船員來到了大溪地，並帶走了十二名女性、六名男性的大溪地人，之後這些叛變者和被帶走的大溪地人一同來到了偏遠的皮特凱恩群島，並在當地落地生根。這些被帶走的大溪地人懂的英語很少，而邦蒂號叛變者所懂的大溪地語更少，然因其居住地幾與世隔絕且必須學會和彼此溝通之故，因此隨著時間經過，一種混合了簡化的英語和大溪地語單詞與句型的語言便成形了。

皮特肯語受不同英語方言與叛變水手口音的影響。那些叛變者中，有人是來自西印度群島地區、並說著加勒比海非標準語 (Patois) 的，除此之外，有一人是來自路易斯島的蘇格蘭人或蓋爾人，同時叛變者中至少有一人是受過教育的，那人就是事件的領袖夫萊哲・克利斯敦 (Fletcher Christian)，在當時，受過教育的人其講話的口音是和他人有差別的，這種種的口音，對皮特肯語的發音與用法造成了影響。顯然皮特肯語的單詞與片語和喬迪方言 (Geordie) 以及西郡方言 (West Country dialects) 是有關聯的。像例如 whettles 這意為「食物」的字，便是源自英語 victuals 這個字的。

許多在其他英語使用區不常見的用法，可見於皮特肯語。這些較特別的表達法包含了源自大航海時代英國海上文化的辭彙。基督復臨安息日會和欽定版聖經對其亦有相當程度的影響。

皮特凱恩的島民在十九世紀時曾徙居諾福克島，之後又有些人返回皮特凱恩群島居住，現今多數皮特肯語的使用者都是這些回流者的後代。當時徙居的人當中，許多人依舊居住在諾福克島上。皮特肯語和諾福克語彼此可互通，故有時這兩種語言被認為是同一種語言。

## 常用片語

應當注意的是，皮特肯語沒有標準化的拼寫法。

## 皮特肯語文學

有人以皮特肯語寫詩。其中梅拉爾妲・華倫的詩尤其引人注目。

## 參見

* 諾福克語

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* Pitkern Language
皮特草原

**匹特草原**（英語：Pitt Meadows）是一個位於加拿大不列顛哥倫比亞省大溫哥華地區的城市。它位於匹特河注入弗雷澤河所在，西面隔匹特河與高貴林和高貴林港相望，東鄰楓樹嶺，北臨匹特湖，南面則隔弗雷澤河與素里和蘭里區相望。據 2011 年人口普查，匹特草原約有 17,736 名居民。

## 歷史

匹特草原於 1000 年前已是原住民的聚居地。歐裔人從 1870 年代起到這裏定居，該處並取名為邦臣登陸處（Bonson's Landing），後來卻改稱匹特草原，與匹特河和匹特湖的名稱對應（兩者皆命名自英國前首相小威廉・匹特）。楓樹嶺於 1874 年設立地方行政架構，其管轄範圍亦包括匹特草原。然而，匹特草原的居民卻於 1892 年申請脫離楓樹嶺並恢復成一個不設地方行政架構的社區。匹特草原再於 1914 年 4 月 23 日成為一個獨立的地方行政區。

不列顛哥倫比亞省政府於 1967 年設立區域局此行政等級，並將匹特草原劃歸杜德尼 - 亞魯艾特區域局。該區域局於 1995 年解散後，匹特草原連同楓樹嶺改歸大溫哥華區域局。匹特草原再於 2007 年 1 月 1 日改設市。

## 交通

匹特草原的公共運輸服務是由運輸聯線（TransLink）提供。連接溫哥華市中心和米遜的西岸快車通勤鐵路於匹特草原設有一個車站，而市內亦有多條公車綫。

市內的主要幹道為不列顛哥倫比亞省 7 號省道（又稱洛克希德公路），向西經匹特河大橋通往高貴林港，向東通往楓樹嶺。金穗大橋則橫跨弗雷澤河，通往素里和蘭里區。

匹特草原機場主要服務小型飛機，於 2009 年錄得 125,409 班航班，在加拿大全國最繁忙機場中排行第 16 位。

## 經濟

匹特草原主要是一個住宅區，市內約 85% 居民於其他城鎮上班。市內的主要行業（依雇員比例排列）為第一產業（20%）、教育及醫療事業（19%）、餐飲業（16%）和建築業（9%）。

雖然市內除農業外的其它商業活動近年有所上升，但市內 86% 的土地仍被省政府界定為農業保留地。匹特草原的主要農產品包括小紅莓和藍莓。

## 氣候

## 參考文獻

## 外部連結

* 匹特草原官方網頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特薩米語

**皮特薩米語**（bidumsámegiella）是薩米語支之下的一門語言，傳統通行區域位於瑞典和挪威境內。皮特薩米語是瀕危語言之一，使用者只有 25 至 50 人。現今僅通行於瑞典邊境一側，阿爾耶普盧格和阿爾維斯堯爾兩市鎮北部的皮特河流域以及阿爾耶普盧格市鎮的山區。

## 分類

皮特薩米語，連同南面的南薩米語和於默薩米語及北面的呂勒薩米語和北薩米語一樣，屬於薩米語支下的西薩米語組。跟這些語言相比，皮特薩米語跟呂勒薩米語最為接近，但也有一些特徵跟於默薩米語和南薩米語相似。

## 正字法

長期以來皮特薩米語是四種沒有官方書面語的薩米語之一。阿爾耶普盧格薩米協會在 2008 至 2011 年間開發了一套暫行正字法，這個版本發布在 2016 出版的一本字典中。2019 年 8 月 20 日批准了一套官方的正字法。這套正字法跟臨近的呂勒薩米語非常類似。

### 二合字母

## 參考文獻

## 延展閱讀

* Lagercrantz, Eliel. Sprachlehre des Westlappischen nach der Mundart von Arjeplog. Suomalais-Ugrilaisen Seuran Toimituksia **25**. Helsinki: Suomalais-Ugrilainen Seura. 1926.
* Lehtiranta, Juhani. Arjeploginsaamen äänne- ja taivutusopin pääpiirteet. Suomalais-Ugrilaisen Seuran Toimituksia **212**. Helsinki: Suomalais-Ugrilainen Seura. 1992. ISBN 951-9403-55-8.

## 外部連結

* Pite Saami Documentation Project （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
皮特街_(悉尼)

**皮特街**（Pitt Street）是澳洲雪梨市中心的一條主要街道，北起環形碼頭，南到滑鐵盧，縱貫整個市中心。為讓路給雪梨中央火車站，這條街被分為兩段。皮特街從市場街到國王街為著名的步行零售區皮特街步行街（Pitt Street Mall）。

皮特街從雪梨鐵路廣場到皮特街步行街（Pitt Street Mall）以及從環形碼頭到皮特街步行街均為單行線，而皮特街步行街只允許步行。這條街的北段，從鐵路廣場到環形碼頭，以零售和商務辦公用地為主；而南段，從中央火車站以南經紅厥（Redfern）到滑鐵盧，主要是住宅區。

* * * * *

## 參考文獻
皮特街联合教会

**皮特街聯合教會**（Pitt Street Uniting Church）又名**皮特街公理會教堂**（Pitt Street Congregational Church），是一座澳大利亞聯合教會的教堂，位於雪梨中央商務區皮特街 264 號。該堂創建於 1833 年，是新南威爾斯的第一處公理會。教堂建築由 John Bibb 設計，建於 1841-1846 年。1999 年 4 月 2 日，該堂列入新南威爾斯遺產名錄。

## 歷史

皮特街公理會教堂創建於 1833 年。信徒迅速增長，很快就需要建造一座更大的建築物。當前建築於 1842 年奠基，由於經濟問題，歷時 4 年才得以完成。 1846 年，會眾遷入新建築，1867 年擴建了規模和設計。原教堂由約翰・比伯設計，於 1841 年至 1846 年間，在現址的南半部建造。在此之前，雪梨殖民地的公理會信徒在皮特街西側（介於市場街和公園街之間）的獨立禮拜堂（Independent Chapel）聚會。

建築師喬治・艾倫・曼斯菲爾德（George Allen Mansfield）對教堂進行了廣泛改造，包括延伸砂岩立面、擴建鐵柵欄以及內部的重大變化，於 1867 年形成了現在的形式。
該堂參與了許多社會問題的辯論，尤其是教育問題。它支持建立蘇塞克斯街傳道會、基督少年軍和 基督教青年會等倡議。

1928 年，在在 T. E. Ruth 牧師的復興事工期間，成立了教會之家（現朝聖者之家），作為引入創收空間以支持牧靈活動的早期嘗試。他倡議堂會應該通過提供會議室和出租空間來擴大作用和賺取收入。

在 1960 年代，有人提議拆除這座建築。Jack Mundey 和 Builders Laborers Federation 回應了會眾成員的請求，並宣布對該項目實施綠色禁令，從而挽救了這座建築。到 1970 年代中期，該堂致力於更新堂區的生活，並開始修復教堂和朝聖者之家。

1977 年，該堂成為澳大利亞聯合教會的一部分。

曾有多次嘗試拆除該建築物。1980 年代初期，在新南威爾斯州遺產委員會的資助下，進行修復工作，1989 年和 1996 年再次進行修復。

## 參考

* Lucas, Clive. 'Architectural Statement' in McConnel, Smith and Johnson Pty Ltd (1988), Conservation Report: Pitt Street Uniting Church volume II. 1978.
* Stapleton, Ian. 'Notes on the History of the Pitt Street Church Buildings' in McConnell et. al. (1988), Conservation Report: Pitt Street Uniting Church volume II. 1983.
* Stiller, John. Detailed Documentation of Pipe Organ Built by W.Hill and Son 1910. 1983.
* Laurie and Heath Pty. Ltd. 'Historical Appreciation: Pitt Street Congregational Church' in McConnell et. al. (1988), Conservation Report: Pitt Street Uniting Church volume II. 1971.
* T. Hyde Page. Pitt Street Congregational Church: National Trust Listing Card. 1977.
皮特裸吻電鰻

**皮特裸吻電鰻**，為條鰭魚綱電鰻目大吻電鰻科的其中一種，為熱帶淡水魚，分布於南美洲阿拉瓜亞河上游流域，體長可達 21.5 公分，棲息在底中層水域，白天躲藏在沙中，黃昏及清晨時活動，生活習性不明。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2015). _Gymnorhamphichthys petiti_. _FishBase_. Version 2015-09.

## 擴展閱讀
皮特角

**皮特角**（英語：Pitt Point）是南極洲的海岬，位於葛拉漢地的特里尼蒂半島，處於勝利冰川終點南面，海拔高度 90 米，由英國探險隊繪入地圖，現時由南極條約體系管理。
皮特里_(澳大利亞國會選區)

**皮特里**選區（英語：Division of Petrie），是澳大利亞昆士蘭州的下議院選區，位於州府布里斯班東北，並包括摩頓灣區政府一部。面積 152 平方公里。

選區始於 1949 年，名字是紀念布里斯班第一位自由的殖民者安德魯・皮特里。1984 年以前自由黨佔優，但此後是工黨和自由黨競爭的選區。2007 年起當區議員為工黨的伊薇・達斯。
皮特里三角形鑲嵌

**三角形半無限邊形鑲嵌**（trigonal hemiapeirogonal tesselation）是一種平面鑲嵌圖，由三角形和無限邊形組成。其外觀與截半六邊形鑲嵌相似，差別在於截半六邊形鑲嵌有三角形面和六邊形面，而三角形半無限邊形在外觀上僅有三角形面，剩餘的六邊形為孔洞。這個幾何結構可以視為半多面體的一種廣義的形式。

## 性質

**三角形半無限邊形鑲嵌**與擬正半多面體類似，可以視為一種退化的半多面體，構造自截半六邊形鑲嵌，並取其中的三角形面和作為半球面的無限邊形面構成。

* *

三角形半無限邊形鑲嵌由正三角形和無限邊形組成，每個頂點都是 2 個三角形和 2 個無限邊形的公共頂點，並且以無限邊形、三角形、無限邊形、反向相接的三角形的方式排列，在頂點布局中可以用∞, 3, ∞, 3/2 來表示。

　
:

### 頂點座標

三角形半無限邊形鑲嵌與截半六邊形鑲嵌共用相同的頂點座標。若對應的三角形半無限邊形鑲嵌邊長為單位長，則對應的頂點座標可以透過截半六邊形鑲嵌的對稱性推出。對任意整數 $\mathrm {i} $ 和 $\mathrm {j} $ ，三角形半無限邊形鑲嵌的頂點座標可以表示為：

　
: $\left({\sqrt {3}}\mathrm {i} ,\,\mathrm {i} +2\mathrm {j} +1\right)$

　
: $\left({\sqrt {3}}\mathrm {i} +{\frac {\sqrt {3}}{2}},\,\mathrm {j} +{\frac {1}{2}}\right)$

## 雙三角形半無限邊形鑲嵌

有另一種由三角形與無限邊形構成的平面鑲嵌圖稱為**雙三角形半無限邊形鑲嵌**（ditrigonary trigonal hemiapeirogonal tesselation）。這種鑲嵌圖的外觀與三角形鑲嵌類似，但交錯地缺少了部分的三角形，因此又稱**交錯三角形鑲嵌**（alternate triangular tiling）。

### 性質

**雙三角形半無限邊形鑲嵌**與擬正半多面體類似，可以視為一種退化的半多面體，構造自施萊夫利符號計為 h {6,3} 的三角形鑲嵌，並從這種鑲嵌中的兩種面 —— 原始三角形面或 h {6,3} 變換結果的三角形面中取其中以種三角形面和作為半球面的無限邊形面構成。

* * *

雙三角形半無限邊形鑲嵌每個頂點都是 3 個三角形和 3 個無限邊形的公共頂點。特別地，由於雙三角形半無限邊形鑲嵌的頂點圖環繞頂點 2 次，因此這個頂點圖在頂點布局符號中要使用除以二的符號來表示：(∞, 3, ∞, 3, ∞, 3) / 2，亦可以表示為 [(3,∞)3]/2 或 [(3/2,∞)3] 。

　
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## 相關多面體與鑲嵌

三角形半無限邊形鑲嵌與截半六邊形鑲嵌和六邊形半無限邊形鑲嵌共用相同的頂點排列。

* * * *

雙三角形半無限邊形鑲嵌與正三角形鑲嵌和皮特里三角形鑲嵌共用相同的頂點排列。

* * * * *

### 皮特里三角形鑲嵌

皮特里三角形鑲嵌是正三角形鑲嵌的皮特里對偶，可以透過將原有三角形鑲嵌上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里三角形鑲嵌為由正三角形鑲嵌的皮特里多邊形構成的幾何結構。

* 

皮特里三角形鑲嵌可以視為一種由扭歪無限邊形組成的廣義正多面體，對應的扭歪內角為 60 度，且每個頂點都是 6 個扭歪無限邊形的公共頂點，對應的皮特里多邊形為三角形，這樣的拓樸結構在施萊夫利符號中可以用 {∞,6}3 來表示。

* 

### 複無限邊形

複無限邊形是指邊數為正無窮大的複多邊形。有兩種複無限邊形頂點排佈與三角形半無限邊形鑲嵌及截半六邊形鑲嵌相同。複無限邊形的一個特點是其邊可以包含多於 2 個頂點，如三元邊。正複無限邊形在施萊夫利符號中可以記為 _p_{_q_}_r_，其中 _p_、_q_、_r_ 滿足等式 1/_p_ + 2/_q_ + 1/_r_ = 1。在這個符號中，_p_ 表示每個邊由 _p_ 個頂點構成，頂點的排列方式同於正多邊形；_r_ 表示其頂點圖為 _r_ 邊形。

## 參見

* 半多面體
* 正三角形鑲嵌
* 截半六邊形鑲嵌

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 關於皮特里三角形鑲嵌，可參考 YouTube 上的《普通空間中的 48 種正多面體》（英文）
皮特里三面形

**三面形**（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron 或 3-hosohedron）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形，為球面三面體的一種，由 3 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，在施萊夫利符號中利用 {2,3} 來表示，其對偶多面體是三角形二面體。

## 性質

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由 3 個二角形組成，每個頂點都是 3 個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是 3 個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。

三面形具有 D3h, [2,3], (\*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為 12，在考克斯特符號中用表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體。

## 皮特里三面形

三面形的皮特里多邊形是一種具有 6 條邊和 6 個頂點的退化扭歪多邊形，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰 3 次，因此在施萊夫利符號中可以用 {6,3}(1,1) 來表示。

三面形的皮特里對偶共由 1 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為 {6,3}1,0。

## 對偶多面體

三面形的對偶多面體為**三角形二面體**（Triangular dihedron 或 Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle），是一種多邊形二面體，由 2 個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以 {3,2} 表示，代表由 2 個施萊夫利符號表示為 {3} 的正三角形組成。

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由 2 個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用 3 個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形。

## 截半三面形

**截半三面形**是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由 2 個三角形截面和 3 個二角形原始面組成。2 個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而 3 個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式，因此又稱為**三角香腸面形**（3-lucanicohedron）。

截半三面形共由 5 個面、6 條邊和 3 個頂點組成，在其 5 個面中有 2 個三角形面和 3 個二角形面，其 3 個頂點皆為 2 個二角形和 2 個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。

### 截角三角形二面體

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有 3 個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3 個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形 - 六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

## 相關多面體

三面形是三角形二面體的對偶多面體，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

## 參見

* 多面形
* 三面體
* 三角形

## 註釋

## 參考文獻
皮特里二十面體

在抽象幾何學中，**二十面體半形**是一種抽象正多面體，由一半數量的正二十面體面構成。二十面體半形可被視為是一種射影多面體，可視為由十個三角形構成的實射影平面鑲嵌。

## 性質

**二十面體半形**是一種抽象正多面體，共由 10 個面、15 條邊和 6 個頂點組成；其中所有 10 個面都是正三角形、每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {3,5}5 或 {3,5}/2 來表示，其中 {3,5} 代表且每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，然而 {3,5} 代表正常的正二十面體，因此用 {3,5}5 符號來表示二十面體半形。二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形。

二十面體半形的對偶多面體為十二面體半形。

二十面體半形的對稱群為 A5 考克斯特群。所有多面體中僅有 2 種多面體具備 A5 考克斯特群對稱性，另外一個與 A5 考克斯特群對應的半形體為大十二面體半形。

### 具象化

二十面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。其中一種方式是使用其對應的正則地區圖來具象化。二十面體半形對應的正則地區圖可被具象為一個五維空間扭歪正多面體，該多面體所有 6 個頂點和 15 條邊皆位於五維正六胞體上，而原有五維正六胞體有 20 個三角形面，而對應的二十面體半形之扭歪多面體具象化則僅交錯地取其中 10 個面，並且相鄰的 2 個面位於相同三維平坦空間中，但整體立體不位於相同三維空間中，因此是一個扭歪多面體。在這個具象化中，其三角形 - 三角形二面角為 3 的反正割值（ $\sec ^{-1}{3}\approx 1.2309594$ 弧度，約 70.5287795 度），與一般正二十面體的三角形 - 三角形二面角（ $\pi -\sin ^{-1}{\frac {2}{3}}\approx 2.411865$ 弧度，約 138.189685 度）不同。 

在拓樸學上，二十面體半形與四面半六面體相關。若將四面半六面體的每一個正方形面替換為 2 個三角形，則所形成的立體若只看面之間的相鄰關係，會與二十面體半形無異，即每個頂點都是 5 個三角形的公共頂點，且由 10 個面（4 個正三角形與 6 個直角三角形）、15 條邊（12 條四面半六面體的邊與 3 條正方形面替換為 2 個三角形時形成的邊）和 6 個頂點組成。

## 完全圖 K6

二十面體半形和五維正六胞體有著相同的邊以及頂點，但只有其一半數量的面。而五維正六胞體對應的骨架圖為 $K_{6}$ 完全圖，即有著六個頂點的完全圖，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 $K_{6}$ 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。

## 相關多面體

### 相關半形體

正二十面體可以經過一系列的多面體變換轉變為半正多面體，部分半正多面體也存在對應的半形體，例如截角二十面體半形、截半二十面體半形等。

#### 截角二十面體半形

截角二十面體半形是截角二十面體的半形體，又稱為足球半形（Hemi-Soccer Ball）。其出現在四維正五十七胞體的一種具象化的第二層結構中，由 16 個面、45 條邊和 30 個頂點組成。其可透過將截角二十面體的每個頂點與對應的對蹠點合併構成。

　
:

#### 截半二十面體半形

截半二十面體半形是截半二十面體的半形體。其也可以透過將二十面體半形或十二面體半形進行截半變換構成。

### 相關皮特里對偶

部分皮特里對偶與正二十面體或其半形體相關，例如二十面體半形的皮特里對偶或正二十面體的皮特里對偶。

#### 二十面體半形的皮特里對偶

二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形，其對應的皮特里對偶為每個頂點由 5 個五邊形（二十面體半形的皮特里多邊形）組成的抽象多面體，其在施萊夫利符號中可以用 {5,5}3 表示。這個抽象多面體是一個自身對偶多面體，並且可以被小星形十二面體、大十二面體或其他等價於虧格為 5 的 {5,5} 幾何結構（的表面）二重覆蓋。這個幾何體對應的骨架圖與二十面體半形相同，皆為 K6 完全圖。

#### 皮特里二十面體

皮特里二十面體是正二十面體的皮特里對偶，可以透過將原有正二十面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里二十面體為由正二十面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正二十面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里二十面體是一個不可定向且虧格為 14 的幾何結構。皮特里二十面體共有 6 個面、30 條邊和 12 個頂點。其中面由 6 個扭歪十邊形面組成，每個頂點都是 5 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里二十面體與正二十面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里二十面體的皮特里對偶為正二十面體，換句話說，即皮特里二十面體的皮特里多邊形為三角形。

#### 皮特里大十二面體與皮特里小星形十二面體

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，由大十二面體的皮特里多邊形組成。由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。

其對應的骨架為正二十面體。

## 參見

* 四維正十一胞體 - 一個由十一個二十面體半形構成的抽象多胞體。
* 十二面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考文獻

## 外部連結

* 二十面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里八面體

在幾何學中，**四面半六面體**是一種非凸七面體，屬於星形多面體及均勻多面體，也可以歸類在非凸均勻多面體；特別地，這個立體是所有非柱狀均勻多面體中唯一擁有奇數面數的幾何體。其外觀看起來像部分面向內凹陷的正八面體，因此可以視為正八面體的刻面半多面體，故這個立體又稱為**半刻面八面體**。其構成方式為將正八面體的面替換為 3 個幾何中心的對角面並保留一半數量的原始三角形面構成，因此這個立體也可以歸類為半多面體。由於其部分面通過幾何中心，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。

## 性質

四面半六面體由 7 個面、12 條邊和 6 個頂點組成，其中，7 個面中有 4 個三角形面和 3 個正方形面，這 3 個正方形皆通過了整個立體的幾何中心。組成四面半六面體的 6 個頂點都是兩個三角形與兩個正方形的公共頂點，其排列順序為 3.4.3/2.4，其中 3/2 表示反向相接的三角形，其頂點圖為交叉四邊形。組成四面半六面體的 12 條邊皆為三角形與正方形的公共邊。其整個立體與正八面體共用頂點，其去除了正八面體的其中 4 個三角形面，並加入了 3 個相互交叉並且沿對角線相互平分的正方形，因此其可以作為正八面體刻面後的結果。

### 面的組成

四面半六面體是一個半多面體，其名稱中的「半」表示部分的面來自於正多面體，但數量僅有正多面體的一半。在這個立體中，3 個正方形來自於正六面體（俗稱立方體），但數量僅有正六面體的一半，因此稱為半六面體。此外，半多面體來自於正多面體的面也會與其原始正多面體的面有著相同的朝向，例如立方體的 6 個面，兩兩一組分別面向 3 個相互垂直的方位，而對應到這個立體的 3 個正方形面：其分別面向 3 個相互垂直的方位。

半刻面多面體的特性也意味著部份面會通過多面體的幾何中心，並互相相交。這個立體在視覺外觀上，每個正方形被分成四個直角三角形，但只有 2 個直角三角形可見，其餘被三角形面遮蔽。

### 頂點座標

這個立體共享了正八面體的頂點排列方式，因此其頂點座標與正八面體相同：

　
: ( ±1, 0, 0 );

　
: ( 0, ±1, 0 );

　
: ( 0, 0, ±1 ).

　
:

### 二面角

四面半六面體的二面角僅有一種，即正方形面與三角形面的交角，其值為三的平方根倒數的反餘弦值：

　
: $\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.955316618\approx 54.73561^{\circ }$

### 展開圖

四面半六面體可以展開為展開圖，然而其有部分面自相交，因此無法實際用「自相交」版的展開圖來製作其模型。而若將其轉變為簡單多面體則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，因此自相交的正方形會被分割為 4 個等腰直角三角形。四面半六面體轉換為簡單多面體後共有 16 個面。

同時，其拓樸結構可以視為與截半立方體半形同構，因此這個立體的拓樸結構也可以視為是一種擬正則地區圖（quasiregular map）；四面半六面體也可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。

　
:

### 定向性

四面半六面體的表面是一個不可定向的曲面，即無法定義表面上特定點屬於內部或外部，因為任何點都可以在不打洞的情況下經由表面找到一個路徑連接該點對應的背面的位置，這個特性與克萊因瓶類似。四面半六面體是唯一一種歐拉特徵數為 1 的均勻多面體，故其為投影多面體，其在實射影平面上生成的曲面與羅馬曲面類似。

## 對偶多面體

四面半六面體的對偶多面體稱為四面半無窮星形六面體，有時稱為三維瑞士十字（3D Swiss cross）。由於四面半六面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。一般來說，這樣的立體無法被具象化。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體。四面半無窮星形六面體被具象化為 3 個雙向延伸的正四角柱，底面為正方形，每個方向的柱體延伸到相同的無窮遠點，以保持整體的對稱性。在實際上被具象化的模型通常只會展現這個無窮高立體的局部，也就是會截去遠離幾何中心一定距離外的立體。溫尼爾建議讓這些幾何形狀分類到一類新的星形多面體，稱為無窮星形多面體。然而，由於其包括了無窮遠點，因此其無法滿足多面體通常的定義，僅能被視為廣義的多面體。另一方面，由於其立體中心部分可以視為一個立方體，因此廣義上來說，這個立體也可以視為是星形立方體的一種。

在拓樸上，對偶多面體的面數通常會與原始立體的頂點數相同，因此四面半六面體的對偶多面體應包含了 7 個頂點，其中 3 個頂點位於無窮實射影平面上，在方向上對應於八面體半形（一種抽象多面體）的三個頂點；其餘四個頂點位於中央立方體，並交錯地以立方體半形（在此處具象化為正四面體）的方式分布。
由於這個立體有頂點位於無窮實射影平面上，因此無法定義其表面積與體積。

四面半無窮星形六面體的局部結構曾出現在一些建築結構的設計中。

## 五複合四面半六面體

五複合四面半六面體是四面半六面體的五複合體。

## 相關多面體

### 刻面八面體

刻面八面體是指不改變正八面體的頂點的情況下，將正八面體的面替換所形成的幾何結構。四面半六面體是正八面體經過「半刻面」的結果；「半刻面」中的「半」表示其會產生通過幾何中心的面。另一種正八面體的刻面方式是將正八面體的 8 個三角形保留其中 6 個，並加入 3 個通過內部的折四邊形，這種刻面八面體又稱為**反柱刻面八面體**。

由正八面體的頂點構成，但邊或面連結方式與正八面體相異的立體，較知名的幾個有：

* 半刻面八面體：面互相相交，部分面過幾何中心。
* 反柱刻面八面體：面同樣互相相交，也過其幾何中心，但屬於反柱體對稱性。
* 皮特里八面體：面換成正八面體的皮特里多邊形。

這個立體為柏拉圖立體半刻面後而成，其他也由柏拉圖立體半刻面而成的立體有：

#### 皮特里八面體

皮特里八面體是正八面體的皮特里對偶，可以透過將原有正八面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里八面體為由正八面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正八面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里八面體是一種虧格為 4 的不可定向立體，由 4 個面、12 條邊和 6 個頂點組成，其中，每個面都是扭歪六邊形，每個頂點都是 4 個扭歪六邊形的公共頂點。

皮特里八面體與正八面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里八面體的皮特里對偶為正八面體，換句話說，即皮特里八面體的皮特里多邊形為正三角形。

拓樸結構與皮特里八面體互相對應的正則地區圖其在施萊夫利符號中可以用 {6,4} 表示，其意義代表每個頂點都是 4 個六邊形的公共頂點。相同的拓樸結構可透過將正四面體的頂點所有替換成交叉蓋，並且將所有稜替換為四價頂點，同時將所有面替換成邊數為原來邊數兩倍的面來構成。其對應的對偶多面體在施萊夫利符號中可以用 {4,6} 表示，其意義代表每個頂點都是 6 個四邊形的公共頂點，並具有 6 個面、12 條邊和 4 個頂點。

## 參見

* 半多面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Tetrahemihexahedron. MathWorld.
皮特里六邊形鑲嵌

**六邊形半無限邊形鑲嵌**（hexagonal hemiapeirogonal tesselation）是一種平面鑲嵌圖，由六邊形和無限邊形組成。其外觀與截半六邊形鑲嵌相似，差別在於截半六邊形鑲嵌有三角形面和六邊形面，而六邊形半無限邊形鑲嵌在外觀上僅有六邊形面，剩餘的三角形為孔洞。這個幾何結構可以視為半多面體的一種廣義的形式。

## 性質

**六邊形半無限邊形鑲嵌**與擬正半多面體類似，可以視為一種退化的半多面體，構造自截半六邊形鑲嵌，並取其中的六邊形面和作為半球面的無限邊形面構成。

* *

## 雙六邊形半無限邊形鑲嵌

六邊形半無限邊形鑲嵌並不滿足格林鮑姆鑲嵌圖的特性。若要滿足格林鮑姆鑲嵌圖的特性，所有元素都必須要位於重合對中，因此考慮到結構中的三角形孔洞，需要將每個頂點的六邊形配置為交替並環繞頂點兩圈的形式來構造，如此以來這個立體結構中每個六邊形的位置上都會存在一對重合的六邊形。

## 相關多面體與鑲嵌

六邊形半無限邊形鑲嵌與截半六邊形鑲嵌和三角形半無限邊形鑲嵌共用相同的頂點排列。

* * * *

六邊形半無限邊形鑲嵌由六邊形和無限邊形組成。而六邊形本身也能構成鑲嵌圖，即正六邊形鑲嵌，然而正六邊形鑲嵌的頂點排列方式與六邊形半無限邊形鑲嵌並不相同。六邊形半無限邊形鑲嵌的廣義凸包對應到的是截半六邊形鑲嵌而非正六邊形鑲嵌。而同時與正六邊形鑲嵌、無限邊形相關的幾何結構為皮特里六邊形鑲嵌，然而在皮特里六邊形鑲嵌中構成的無限邊形並非一般的無限邊形，而是扭歪無限邊形。

### 皮特里六邊形鑲嵌

皮特里六邊形鑲嵌是正六邊形鑲嵌的皮特里對偶，可以透過將原有六邊形鑲嵌上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里六邊形鑲嵌為由正六邊形鑲嵌的皮特里多邊形構成的幾何結構。

皮特里六邊形鑲嵌可以視為一種由扭歪無限邊形組成的廣義正多面體，對應的扭歪內角為 120 度，且每個頂點都是 3 個扭歪無限邊形的公共頂點，對應的皮特里多邊形為六邊形，這樣的拓樸結構在施萊夫利符號中可以用 {∞,3}6 來表示。

## 參見

* 半多面體
* 三角形半無限邊形鑲嵌
* 正六邊形鑲嵌
* 截半六邊形鑲嵌

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 關於皮特里三角形鑲嵌，可參考 YouTube 上的《普通空間中的 48 種正多面體》（英文）
皮特里十二面體

在抽象幾何學中，**十二面體半形**是一種僅由一半數量的正十二面體面構成的抽象多面體。

## 性質

**十二面體半形**是一種抽象正多面體，共由 6 個面、15 條邊和 10 個頂點組成；其中所有 6 個面都是正五邊形、每個頂點都是 3 個正五邊形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {5,3}5 或 {5,3}/2 來表示，其中 {5,3} 代表且每個頂點都是 3 個正五邊形的公共頂點，然而 {5,3} 代表正常的正十二面體，因此用 {5,3}5 符號來表示十二面體半形。十二面體半形的皮特里多邊形為五邊形，且皮特里對偶仍為十二面體半形，是一種自身皮特里對偶的多面體。

### 構造

要構造十二面體半形可透過將正十二面體沿最接近赤道的邊（或沿皮特里多邊形）將其分割成兩半，取其中一個半球，並讓其保持原有連接方式，同時讓赤道（或皮特里多邊形上的）邊與相對邊連結、赤道（或皮特里多邊形上的）點與相對點。這樣的做法產生了一個非實體的抽象多面體，由 10 個頂點、6 個五邊形和 15 條邊組成，其數量正好為原始正十二面體的一半。在赤道（或皮特里多邊形上）互相交叉連接的作法，使得這個幾何結構的表面成為一個單面且具投影平面連通性的 2 - 流形。

### 具象化

十二面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。2007 年，卡羅・塞坎（Carlo Séquin）和詹姆斯・哈姆林（James Hamlin）參考其他不可定向曲面，在 SIGGRAPH 上發表了一種基於四面體對稱性使用扭歪多邊形面來具象化十二面體半形的方法，並以此研究由十二面體半形組成的四維抽象多胞體 —— 四維正五十七胞體。

　
:

然而上述具象化結果是一個扭歪多面體，其面由扭歪五邊形組成，因此無法確定唯一的封閉區域，故無法以「實體」具象化。數學家布蘭科・格倫鮑姆曾提出一個問題：「十二面體半形能否具象化為三維空間自相交之非退化多面體的嵌入？」，這個問題後來由拉約什・希洛西給出了一個可能的解。

由於十二面體半形可被視為是一種影射多面體（可視為由六個五邊形構成的實射影平面鑲嵌），因此其亦可以被具象化在一個半球體上。十二面體半形也可以具象化為位於羅馬曲面上的正則地區圖。

### 投影

十二面體半形有 2 種具備對稱性的投影圖，分別為周界為十邊形的投影和周界為十二邊形的投影：

## 佩特森圖

在圖論中，十二面體半形可以視為嵌入於實射影平面的佩特森圖。換句話說，即十二面體半形的骨架圖為佩特森圖。在這個嵌入的情況下，可以得到其對偶圖為 _K_6（六個頂點的完全圖），對應到二十面體半形。

　
:

## 相關多面體

十二面體半形是一個由 6 個面組成的抽象多面體。另一個與正十二面體相關，且面數為 6 的抽象多面體是皮特里十二面體，其拓樸結構是一個位於三階十邊形鑲嵌中，虧格為 6 的正則地區圖，其可以透過正十二面體的骨架具象化為扭歪多面體。

### 皮特里十二面體

皮特里十二面體是正十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有正十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里十二面體為由正十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正十二面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里十二面體是一種虧格為 6 的不可定向立體，由 6 個面、30 條邊和 20 個頂點組成，其中，每個面都是扭歪十邊形，每個頂點都是 3 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里十二面體與正十二面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里十二面體的皮特里對偶為正十二面體，換句話說，即皮特里十二面體的皮特里多邊形為正五邊形。

拓樸結構與皮特里十二面體互相對應的正則地區圖其在施萊夫利符號中可以用 {10,3} 表示，其意義代表每個頂點都是 3 個十邊形的公共頂點。其對應的對偶多面體在施萊夫利符號中可以用 {3,10} 表示，其意義代表每個頂點都是 10 個三角形的公共頂點，並具有 20 個面、30 條邊和 6 個頂點。

## 參見

* 四維正五十七胞體 – 一個由五十七個十二面體半形構成的抽象多胞體。
* 二十面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考資料

## 外部連結

* 十二面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里四面體

在抽象幾何學中，**立方體半形**是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似，它們的每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而立方體有 6 個面，而立方體半形僅有 3 個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中。在拓樸學上，其可以視為正四面體的皮特里對偶。

## 性質

立方體半形由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {4,3}/2 或 {4,3}3 來表示，其中 {4,3} 代表且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而 {4,3} 代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量。

　
:

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即 $n+1$ 維超方形半形（施萊夫利符號： ${\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}$ ）的對偶多胞形為 $n+1$ 維正軸形半形（施萊夫利符號： ${\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}$ ）。

特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用 2 條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定，也就是說，一般不會存在 2 個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

　
:

### 構造

立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的 I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的 4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架，同時其構成的面不會共面，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為 _K_4 完全圖嵌入於射影平面上的結果。

### 具象化

立方體半形可被視為是射影多面體 （可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌）。要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，並過半球體的邊界連接對蹠點，同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。

立方體半形和半立方體不同，立方體半形是一個射影多面體，且無法嵌入在三維歐幾里得空間中；而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半，立方體**半形**可以視為立方體的商空間，而**半**立方體則不是，半立方體只有頂點為立方體頂點的子集。

## 皮特里四面體

皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味著其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。

皮特里四面體由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，其中，3 個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為 1 的幾何結構。

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形。

## 相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有：

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：

## 參考資料

## 外部連結

* 立方體半形 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里埃及考古博物馆

**皮特里埃及考古博物館**（Petrie Museum of Egyptian Archaeology）是英國倫敦的一個博物館，屬於倫敦大學學院。該博物館擁有 8 萬多件藏品，為世界收藏埃及和蘇丹文物的頂級博物館之一，僅次於開羅博物館、大英博物館和柏林埃及博物館。

## 歷史

1892 年倫敦大學學院的埃及考古與哲學系成立時，該博物館作為其教學資源而建立。弗林德斯・皮特里教授進行了許多重要發掘，於 1913 年將他的藏品出售給大學。

## 參考

* Official website （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* UCL Museum & Collections blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里多边形

在幾何學中，**皮特里多邊形**（Petrie polygon）是一種可以透過 n 維正多胞形的稜建構的扭歪多邊形，通常可以由 n-1 或以上（不含 n）個維面上各取一稜構成。正多邊形的皮特里多邊形是其自身；而正多面體的皮特里多邊形是扭歪多邊形，因此正多面體的皮特里多邊形連續兩個邊都會位於同一個面。皮特里多邊形一詞以約翰・弗林德斯・皮特里命名。

每個正多胞形都會存在一個正交投影，該正交投影能使對應幾何結構中其中一個皮特里多邊形被投影成正多邊形。這個被投影成正多邊形的皮特里多邊形會正好位於這個正交投影的最外圈，而其餘皮特里多邊形會呈現於其內部。而該扭歪多邊形所在的投影平面是對應幾何體之對稱性的考克斯特平面，而扭歪多邊形的邊數則是該考克斯特平面對應之考克斯特群的考克斯特數。這些多邊形和投影圖可用於可視化高維正圖形的對稱結構。

嵌入圖可以更廣義地定義皮特里多邊形。皮特里多邊形可以定義為同一個圖，嵌入在不同曲面時的面，而這種結構又稱為皮特里對偶。

## 歷史

約翰・弗林德斯・皮特里（John Flinders Petrie）是英國埃及學家弗林德斯・皮特里的獨生子。他生於 1907 年，自幼展現出了非凡的數學能力。全盛時期時的數學實力在高維幾何學上有出色的表現，他可以透過視覺化的方式來回答關於複雜四維物體的問題。他首先指出了在正多面體和高維正多胞形對應曲面上的扭歪正多邊形之重要性。考克斯特在 1937 年解釋了他和皮特里如何開始擴展正多面體經典主題的方式：

　
: 在 1926 年的某天，約翰・弗林德斯・皮特里興奮地告訴我，他發現了兩個新的正多面體。他具有無窮多個面且沒有無效頂點。當我開始有點放下疑心時，他進一步地解釋道：其中一個正多面體由正方形組成，且每個頂點都是六個正方形的公共頂點、而另一個正多面體由正六邊形組成，且每個頂點四個正六邊形的公共頂點。

1938 年，皮特里與考克斯特找了派屈克・杜・瓦爾和 H・T・弗拉等人合作研究並撰寫了書籍《五十九種二十面體》並出版。考克斯特意識到皮特里使用的扭歪多邊形的幾何功能後，在他寫關於正多胞形的書籍時便以皮特里來命名此類多邊形。

皮特里多邊形的概念最初是定義於正多胞形上的，在後續的幾篇相關研究上，這個概念被推廣到半正多胞形上。

## 正多面體的皮特里多邊形

正多面體 {p,q} 和其對偶多面體 {q,p} 的皮特里多邊形包含在同一個正交投影中。

## 註解

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。皮特里多邊形. MathWorld.
皮特里多邊形

在幾何學中，**皮特里多邊形**（Petrie polygon）是一種可以透過 n 維正多胞形的稜建構的扭歪多邊形，通常可以由 n-1 或以上（不含 n）個維面上各取一稜構成。正多邊形的皮特里多邊形是其自身；而正多面體的皮特里多邊形是扭歪多邊形，因此正多面體的皮特里多邊形連續兩個邊都會位於同一個面。皮特里多邊形一詞以約翰・弗林德斯・皮特里命名。

每個正多胞形都會存在一個正交投影，該正交投影能使對應幾何結構中其中一個皮特里多邊形被投影成正多邊形。這個被投影成正多邊形的皮特里多邊形會正好位於這個正交投影的最外圈，而其餘皮特里多邊形會呈現於其內部。而該扭歪多邊形所在的投影平面是對應幾何體之對稱性的考克斯特平面，而扭歪多邊形的邊數則是該考克斯特平面對應之考克斯特群的考克斯特數。這些多邊形和投影圖可用於可視化高維正圖形的對稱結構。

嵌入圖可以更廣義地定義皮特里多邊形。皮特里多邊形可以定義為同一個圖，嵌入在不同曲面時的面，而這種結構又稱為皮特里對偶。

## 歷史

約翰・弗林德斯・皮特里（John Flinders Petrie）是英國埃及學家弗林德斯・皮特里的獨生子。他生於 1907 年，自幼展現出了非凡的數學能力。全盛時期時的數學實力在高維幾何學上有出色的表現，他可以透過視覺化的方式來回答關於複雜四維物體的問題。他首先指出了在正多面體和高維正多胞形對應曲面上的扭歪正多邊形之重要性。考克斯特在 1937 年解釋了他和皮特里如何開始擴展正多面體經典主題的方式：

　
: 在 1926 年的某天，約翰・弗林德斯・皮特里興奮地告訴我，他發現了兩個新的正多面體。他具有無窮多個面且沒有無效頂點。當我開始有點放下疑心時，他進一步地解釋道：其中一個正多面體由正方形組成，且每個頂點都是六個正方形的公共頂點、而另一個正多面體由正六邊形組成，且每個頂點四個正六邊形的公共頂點。

1938 年，皮特里與考克斯特找了派屈克・杜・瓦爾和 H・T・弗拉等人合作研究並撰寫了書籍《五十九種二十面體》並出版。考克斯特意識到皮特里使用的扭歪多邊形的幾何功能後，在他寫關於正多胞形的書籍時便以皮特里來命名此類多邊形。

皮特里多邊形的概念最初是定義於正多胞形上的，在後續的幾篇相關研究上，這個概念被推廣到半正多胞形上。

## 正多面體的皮特里多邊形

正多面體 {p,q} 和其對偶多面體 {q,p} 的皮特里多邊形包含在同一個正交投影中。

## 註解

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。皮特里多邊形. MathWorld.
皮特里大二十面體

**大十二面半十二面體**是一種擬正半多面體，由 12 個五角星面和 6 個穿過整體幾何中心的十角星面組成，可以視為大截半二十面體經過刻面後的結果，且凸包與大截半二十面體相同，皆為截半十二面體。這個立體最早在 1881 年由亞伯特・巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述。

## 性質

大十二面半十二面體由 18 個面、60 條邊和 30 個頂點組成。在其 18 個面中有 12 個五角星面和 6 個十角星面；其中 12 個五角星面又可以再分成 2 組，分別以相反的方式相接，在施萊夫利符號中分別記為 {5/2} 及 {5/3}。而當中的 6 個十角星可以對應到正十二面體，且其數量正好是正十二面體的一半，即 6 個，因此可以算做一種半多面體。其每個頂點都是 2 個五角星和 2 個十角星的公共頂點，其中包含了 1 個正著接的五角星和 1 個反著接的五角星，導致其頂點圖變為交叉四邊形，在頂點布局中可以用 {10/3, 5/3, 10/3, 5/2} 來表示。

### 頂點座標

大十二面半十二面體可以視為大截半二十面體經過刻面後的結果，因此相同邊長且幾何中心位於相同位置之大十二面半十二面體和大截半二十面體頂點座標也會相同。幾何中心位於原點且邊長為單位長的大十二面半十二面體頂點座標為：

　
: $\left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,0,\,0\right)$ 、 $\left(0,\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,0\right)$ 、 $\left(0,\,0,\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)$ 、 $\left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}}\right)$ 、 $\left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)$ 、 $\left(\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)$ 。

* *

### 二面角

大十二面半十二面體只有一種二面角，為五角星和十角星的二面角，其值為五平方根倒數的反餘弦值：

　
: $\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }$

## 相關多面體

大十二面半十二面體與大二十面半十二面體及大截半二十面體共用相同的頂點排列方式。其中，大十二面半十二面體與大二十面半十二面體皆具有 6 個通過整體幾何中心的十角星面。若不通過幾何中心的面是五角星，則這個多面體是大十二面半十二面體；若不通過幾何中心的面是三角形，則這個多面體是大二十面半十二面體。特別地，大十二面半十二面體可以視為是截半的皮特里大二十面體（大二十面體的皮特里對偶）、大二十面半十二面體可以視為是截半的皮特里大星形十二面體（大星形十二面體的皮特里對偶）。

* * * *

### 皮特里大二十面體

皮特里大二十面體是大二十面體的皮特里對偶，可以透過將原有大二十面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大二十面體為由大二十面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大二十面體的皮特里多邊形為扭歪十角星，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

* *

大二十面體對應的正則地區圖與正二十面體同構，因此其對應的皮特里對偶在拓樸學上也與皮特里二十面體同構，且對應的骨架圖皆為二十面體圖。

皮特里大星形十二面體、大星形十二面體、大二十面體、皮特里大二十面體的關係如下：

其中，「 ${\ce {<->[\pi]}}$ 」表示互為皮特里對偶；「 ${\ce {<->[\delta]}}$ 」表示互為對偶多面體；「 ${\ce {<->[\varphi]}}$ 」表示互為刻面變換結果。

大十二面半十二面體可以視為是連接皮特里大二十面體每個邊的中點構成的立體。

## 參見

* 半多面體

## 參考文獻
皮特里大十二面體

在幾何學中，**五階六邊形鑲嵌**（英語：Order-5 hexagonal tiling）是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用 {6,5} 表示。五階六邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點，頂點周圍包含了五個不重疊的六邊形，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出，或以正則地區圖的形式存在。

## 性質

五階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點所構成的鑲嵌結構。一般而言這種鑲嵌結構僅能存在於雙曲面上並無窮延伸。然而透過取出區面的局部將其轉成其他虧格的環面則可將其轉換為有限的正則地區圖。在施萊夫利符號中五階六邊形鑲嵌可以用 {6,5} 表示，這個符號表是每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點。而在正則地區圖中，五階六邊形鑲嵌會表達為 {6,5}p，其中下標的 p 表示這個正則地區圖對應的皮特里多邊形為 p 邊形。

## 正則地區圖

做為有限的正則地區圖，五階六邊形鑲嵌從虧格為 9 開始存在，其中可定向的 {6,5} 正則地區圖有皮特里多邊形為六邊形、八邊形、十邊形、十二邊形等的正則地區圖，不可定向的有皮特里多邊形為四邊形、五邊形、六邊形和十邊形的正則地區圖。

## 相關多面體與鑲嵌

### 相關多面體

#### 皮特里大十二面體

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有大十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大十二面體為由大十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大十二面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。

皮特里大十二面體是一個不可定向且虧格為 10 的幾何結構。皮特里大十二面體由 10 個扭歪六邊形組成，每個頂點都是 5 個扭歪六邊形的公共頂點，其對應的正則地區圖為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用 {6,5}5 表示。

#### 皮特里小星形十二面體

皮特里小星形十二面體是小星形十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有小星形十二面體上取皮特里多邊形構成，其拓樸結構與皮特里大十二面體同構。是施萊夫利符號為 {6,5} 的 120 階元素對稱性抽象多面體的一種具象化結果。
皮特里小星形十二面體、小星形十二面體、大十二面體、皮特里大十二面體的關係如下：

其中，「 ${\ce {<->[\pi]}}$ 」表示互為皮特里對偶；「 ${\ce {<->[\delta]}}$ 」表示互為對偶多面體。

大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成，且每個頂點都是 5 個扭歪六邊形的公共頂點，對應的正則地區圖同為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用 {6,5}5 表示。然而其構成面面有些許不同，且來自不同原像，因此可以被視為 {6,5} 的不同具象化方式。

### 相關鑲嵌圖

該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點為五個多邊形的公共頂點的多面體及鑲嵌相關，這類幾何結構施萊夫利符號皆為 {n,5}、考克斯特符號為，其中 n 從 2 到無窮。

該鑲嵌在拓樸學上頂點圖為 65，其餘頂點圖為 6n 的幾何結構有：

五階六邊形鑲嵌可以透過康威多面體變換成一系列鑲嵌圖：

## 參見

* 四階五邊形鑲嵌
* 正六邊形鑲嵌

## 參考資料

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里大星形十二面體

**大二十面半十二面體**是一種擬正半多面體，由 20 個三角形面和 6 個穿過整體幾何中心的十角星面組成，可以視為大截半二十面體經過刻面後的結果，最早在 1881 年由亞伯特・巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述。

## 性質

大二十面半十二面體共有 26 個面、60 條邊和 30 個頂點。在其 26 個面中有 20 個正三角形面和 6 個穿過整體幾何中心的正十角星面，也就是說組成大二十面半十二面體的面皆為正多邊形，雖然頂點圖不是正多邊形，但每個頂點對應多面角皆全等。共有 9 個星形多面體具備此種性質。此外，大二十面半十二面體的凸包為截半十二面體。

## 相關多面體

大二十面半十二面體可透過將十角星面拓樸形變成十邊形面來轉變為小二十面半十二面體，因此大二十面半十二面體與小二十面半十二面體拓樸同構，可以視為同一種抽象多面體的具象化。

* *

大二十面半十二面體與大十二面半十二面體及大截半二十面體共用相同的頂點排列方式。其中，大二十面半十二面體與大十二面半十二面體皆具有 6 個通過整體幾何中心的十角星面。若不通過幾何中心的面是三角形，則這個多面體是大二十面半十二面體；若不通過幾何中心的面是五角星，則這個多面體是大十二面半十二面體。特別地，大二十面半十二面體可以視為是截半的皮特里大星形十二面體（大星形十二面體的皮特里對偶）、大十二面半十二面體可以視為是截半的皮特里大二十面體（大二十面體的皮特里對偶）

* * * *

### 皮特里大星形十二面體

皮特里大星形十二面體是大星形十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有大星形十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大星形十二面體為由大星形十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大星形十二面體的皮特里多邊形為扭歪十角星，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

* *

大星形十二面體對應的正則地區圖與正十二面體同構，因此其對應的皮特里對偶在拓樸學上也與皮特里十二面體同構，且對應的骨架圖皆為十二面體圖。
皮特里大星形十二面體、大星形十二面體、大二十面體、皮特里大二十面體的關係如下：

其中，「 ${\ce {<->[\pi]}}$ 」表示互為皮特里對偶；「 ${\ce {<->[\delta]}}$ 」表示互為對偶多面體；「 ${\ce {<->[\varphi]}}$ 」表示互為刻面變換結果。

大二十面半十二面體可以視為是連接皮特里大星形十二面體每個邊的中點構成的立體。

## 參見

* 半多面體

## 參考文獻
皮特里對偶

在拓樸圖論中，嵌入圖的**皮特里對偶**（Petrie Dual）是指所有面皆為 2 - 流形盤面之嵌入圖的另一種嵌入，且是含有前述嵌入圖之嵌入物件的皮特里多邊形作為維面的圖嵌入。皮特里對偶亦可以作為一種多面體變換，稱為**皮特里變換**（Petrie Operation），其會將原像的面以皮特里多邊形做替換，然而變換結果通常會因為面轉變為無法確定唯一封閉區域的皮特里多邊形而導致體積與表面積不存在。

若原像計為 $G$ ，則變換結果可以用 $G^{\pi }$ 表示。

## 性質

皮特里對偶與一般的對偶變換一樣，可做透過重複做兩次相同變換使其變回原像。而皮特里對偶與一般的對偶變換不同之處在於，一般的對偶變換是在同一個曲面上嵌入不同的圖，而皮特里對偶是將相同圖的嵌入在不同的曲面上。

皮特里對偶與一般的對偶變換是威爾森變換的其中兩種，且這些變換共同組成了一個群。

## 正多面體的皮特里對偶

對正多面體做皮特里變換可以得到正則地區圖。其變換結果會有 g/2h 個扭歪 h 邊形，其中 g 為群的階數、h 為群的考克斯特數。舉例來說，立方體的皮特里對偶是一個二分圖，由 4 個扭歪六邊形組成，每個扭歪六邊形環繞於立方體的赤道面上。在拓撲上，這個變換等同將圖嵌入到環面上。

凸正多面體的皮特里對偶列舉如下：

* 皮特里正四面體，施萊夫利符號 {3,3}π，是正四面體經皮特里變換的結果，由 3 個正扭歪四邊形組成，共有 3 個面、6 條稜和 4 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 1，與立方體半形 {4,3}/2 拓樸同構。
* 皮特里立方體，施萊夫利符號 {4,3}π，是立方體經皮特里變換的結果，由 4 個正扭歪六邊形組成，共有 4 個面、12 條稜和 8 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 0。 其也可以視為由 4 個正六邊形鑲嵌之面構成的環形多面體 {6,3}(2,0)。
* 皮特里正八面體，施萊夫利符號 {3,4}π，是正八面體經皮特里變換的結果，由 4 個正扭歪六邊形組成，共有 4 個面、12 條稜和 6 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為−2，並存在有 {6,4}3 類型的四階六邊形雙曲鑲嵌之映射。
* 皮特里正十二面體，施萊夫利符號 {5,3}π，是正十二面體經皮特里變換的結果，由 6 個正扭歪十邊形組成，共有 6 個面、32 條稜和 20 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 - 4，並存在有 {10,3}5 類型的正十邊形雙曲鑲嵌之映射。
* 皮特里正二十面體，施萊夫利符號 {3,5}π，是正二十面體經皮特里變換的結果，由 6 個正扭歪十邊形組成，共有 6 個面、32 條稜和 12 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 - 12，並存在有 {10,5}3 類型的五階正十邊形雙曲鑲嵌之映射。

非凸正多面體也有對應的皮特里對偶列舉如下：

## 半正多面體的皮特里對偶

皮特里多邊形的概念亦可以推廣到半正多面體中。

## 註解

## 參考文獻
皮特里正二十面體

在抽象幾何學中，**二十面體半形**是一種抽象正多面體，由一半數量的正二十面體面構成。二十面體半形可被視為是一種射影多面體，可視為由十個三角形構成的實射影平面鑲嵌。

## 性質

**二十面體半形**是一種抽象正多面體，共由 10 個面、15 條邊和 6 個頂點組成；其中所有 10 個面都是正三角形、每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {3,5}5 或 {3,5}/2 來表示，其中 {3,5} 代表且每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，然而 {3,5} 代表正常的正二十面體，因此用 {3,5}5 符號來表示二十面體半形。二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形。

二十面體半形的對偶多面體為十二面體半形。

二十面體半形的對稱群為 A5 考克斯特群。所有多面體中僅有 2 種多面體具備 A5 考克斯特群對稱性，另外一個與 A5 考克斯特群對應的半形體為大十二面體半形。

### 具象化

二十面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。其中一種方式是使用其對應的正則地區圖來具象化。二十面體半形對應的正則地區圖可被具象為一個五維空間扭歪正多面體，該多面體所有 6 個頂點和 15 條邊皆位於五維正六胞體上，而原有五維正六胞體有 20 個三角形面，而對應的二十面體半形之扭歪多面體具象化則僅交錯地取其中 10 個面，並且相鄰的 2 個面位於相同三維平坦空間中，但整體立體不位於相同三維空間中，因此是一個扭歪多面體。在這個具象化中，其三角形 - 三角形二面角為 3 的反正割值（ $\sec ^{-1}{3}\approx 1.2309594$ 弧度，約 70.5287795 度），與一般正二十面體的三角形 - 三角形二面角（ $\pi -\sin ^{-1}{\frac {2}{3}}\approx 2.411865$ 弧度，約 138.189685 度）不同。 

在拓樸學上，二十面體半形與四面半六面體相關。若將四面半六面體的每一個正方形面替換為 2 個三角形，則所形成的立體若只看面之間的相鄰關係，會與二十面體半形無異，即每個頂點都是 5 個三角形的公共頂點，且由 10 個面（4 個正三角形與 6 個直角三角形）、15 條邊（12 條四面半六面體的邊與 3 條正方形面替換為 2 個三角形時形成的邊）和 6 個頂點組成。

## 完全圖 K6

二十面體半形和五維正六胞體有著相同的邊以及頂點，但只有其一半數量的面。而五維正六胞體對應的骨架圖為 $K_{6}$ 完全圖，即有著六個頂點的完全圖，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 $K_{6}$ 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。

## 相關多面體

### 相關半形體

正二十面體可以經過一系列的多面體變換轉變為半正多面體，部分半正多面體也存在對應的半形體，例如截角二十面體半形、截半二十面體半形等。

#### 截角二十面體半形

截角二十面體半形是截角二十面體的半形體，又稱為足球半形（Hemi-Soccer Ball）。其出現在四維正五十七胞體的一種具象化的第二層結構中，由 16 個面、45 條邊和 30 個頂點組成。其可透過將截角二十面體的每個頂點與對應的對蹠點合併構成。

　
:

#### 截半二十面體半形

截半二十面體半形是截半二十面體的半形體。其也可以透過將二十面體半形或十二面體半形進行截半變換構成。

### 相關皮特里對偶

部分皮特里對偶與正二十面體或其半形體相關，例如二十面體半形的皮特里對偶或正二十面體的皮特里對偶。

#### 二十面體半形的皮特里對偶

二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形，其對應的皮特里對偶為每個頂點由 5 個五邊形（二十面體半形的皮特里多邊形）組成的抽象多面體，其在施萊夫利符號中可以用 {5,5}3 表示。這個抽象多面體是一個自身對偶多面體，並且可以被小星形十二面體、大十二面體或其他等價於虧格為 5 的 {5,5} 幾何結構（的表面）二重覆蓋。這個幾何體對應的骨架圖與二十面體半形相同，皆為 K6 完全圖。

#### 皮特里二十面體

皮特里二十面體是正二十面體的皮特里對偶，可以透過將原有正二十面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里二十面體為由正二十面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正二十面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里二十面體是一個不可定向且虧格為 14 的幾何結構。皮特里二十面體共有 6 個面、30 條邊和 12 個頂點。其中面由 6 個扭歪十邊形面組成，每個頂點都是 5 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里二十面體與正二十面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里二十面體的皮特里對偶為正二十面體，換句話說，即皮特里二十面體的皮特里多邊形為三角形。

#### 皮特里大十二面體與皮特里小星形十二面體

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，由大十二面體的皮特里多邊形組成。由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。

其對應的骨架為正二十面體。

## 參見

* 四維正十一胞體 - 一個由十一個二十面體半形構成的抽象多胞體。
* 十二面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考文獻

## 外部連結

* 二十面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里正八面體

在幾何學中，**四面半六面體**是一種非凸七面體，屬於星形多面體及均勻多面體，也可以歸類在非凸均勻多面體；特別地，這個立體是所有非柱狀均勻多面體中唯一擁有奇數面數的幾何體。其外觀看起來像部分面向內凹陷的正八面體，因此可以視為正八面體的刻面半多面體，故這個立體又稱為**半刻面八面體**。其構成方式為將正八面體的面替換為 3 個幾何中心的對角面並保留一半數量的原始三角形面構成，因此這個立體也可以歸類為半多面體。由於其部分面通過幾何中心，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。

## 性質

四面半六面體由 7 個面、12 條邊和 6 個頂點組成，其中，7 個面中有 4 個三角形面和 3 個正方形面，這 3 個正方形皆通過了整個立體的幾何中心。組成四面半六面體的 6 個頂點都是兩個三角形與兩個正方形的公共頂點，其排列順序為 3.4.3/2.4，其中 3/2 表示反向相接的三角形，其頂點圖為交叉四邊形。組成四面半六面體的 12 條邊皆為三角形與正方形的公共邊。其整個立體與正八面體共用頂點，其去除了正八面體的其中 4 個三角形面，並加入了 3 個相互交叉並且沿對角線相互平分的正方形，因此其可以作為正八面體刻面後的結果。

### 面的組成

四面半六面體是一個半多面體，其名稱中的「半」表示部分的面來自於正多面體，但數量僅有正多面體的一半。在這個立體中，3 個正方形來自於正六面體（俗稱立方體），但數量僅有正六面體的一半，因此稱為半六面體。此外，半多面體來自於正多面體的面也會與其原始正多面體的面有著相同的朝向，例如立方體的 6 個面，兩兩一組分別面向 3 個相互垂直的方位，而對應到這個立體的 3 個正方形面：其分別面向 3 個相互垂直的方位。

半刻面多面體的特性也意味著部份面會通過多面體的幾何中心，並互相相交。這個立體在視覺外觀上，每個正方形被分成四個直角三角形，但只有 2 個直角三角形可見，其餘被三角形面遮蔽。

### 頂點座標

這個立體共享了正八面體的頂點排列方式，因此其頂點座標與正八面體相同：

　
: ( ±1, 0, 0 );

　
: ( 0, ±1, 0 );

　
: ( 0, 0, ±1 ).

　
:

### 二面角

四面半六面體的二面角僅有一種，即正方形面與三角形面的交角，其值為三的平方根倒數的反餘弦值：

　
: $\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.955316618\approx 54.73561^{\circ }$

### 展開圖

四面半六面體可以展開為展開圖，然而其有部分面自相交，因此無法實際用「自相交」版的展開圖來製作其模型。而若將其轉變為簡單多面體則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，因此自相交的正方形會被分割為 4 個等腰直角三角形。四面半六面體轉換為簡單多面體後共有 16 個面。

同時，其拓樸結構可以視為與截半立方體半形同構，因此這個立體的拓樸結構也可以視為是一種擬正則地區圖（quasiregular map）；四面半六面體也可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。

　
:

### 定向性

四面半六面體的表面是一個不可定向的曲面，即無法定義表面上特定點屬於內部或外部，因為任何點都可以在不打洞的情況下經由表面找到一個路徑連接該點對應的背面的位置，這個特性與克萊因瓶類似。四面半六面體是唯一一種歐拉特徵數為 1 的均勻多面體，故其為投影多面體，其在實射影平面上生成的曲面與羅馬曲面類似。

## 對偶多面體

四面半六面體的對偶多面體稱為四面半無窮星形六面體，有時稱為三維瑞士十字（3D Swiss cross）。由於四面半六面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。一般來說，這樣的立體無法被具象化。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體。四面半無窮星形六面體被具象化為 3 個雙向延伸的正四角柱，底面為正方形，每個方向的柱體延伸到相同的無窮遠點，以保持整體的對稱性。在實際上被具象化的模型通常只會展現這個無窮高立體的局部，也就是會截去遠離幾何中心一定距離外的立體。溫尼爾建議讓這些幾何形狀分類到一類新的星形多面體，稱為無窮星形多面體。然而，由於其包括了無窮遠點，因此其無法滿足多面體通常的定義，僅能被視為廣義的多面體。另一方面，由於其立體中心部分可以視為一個立方體，因此廣義上來說，這個立體也可以視為是星形立方體的一種。

在拓樸上，對偶多面體的面數通常會與原始立體的頂點數相同，因此四面半六面體的對偶多面體應包含了 7 個頂點，其中 3 個頂點位於無窮實射影平面上，在方向上對應於八面體半形（一種抽象多面體）的三個頂點；其餘四個頂點位於中央立方體，並交錯地以立方體半形（在此處具象化為正四面體）的方式分布。
由於這個立體有頂點位於無窮實射影平面上，因此無法定義其表面積與體積。

四面半無窮星形六面體的局部結構曾出現在一些建築結構的設計中。

## 五複合四面半六面體

五複合四面半六面體是四面半六面體的五複合體。

## 相關多面體

### 刻面八面體

刻面八面體是指不改變正八面體的頂點的情況下，將正八面體的面替換所形成的幾何結構。四面半六面體是正八面體經過「半刻面」的結果；「半刻面」中的「半」表示其會產生通過幾何中心的面。另一種正八面體的刻面方式是將正八面體的 8 個三角形保留其中 6 個，並加入 3 個通過內部的折四邊形，這種刻面八面體又稱為**反柱刻面八面體**。

由正八面體的頂點構成，但邊或面連結方式與正八面體相異的立體，較知名的幾個有：

* 半刻面八面體：面互相相交，部分面過幾何中心。
* 反柱刻面八面體：面同樣互相相交，也過其幾何中心，但屬於反柱體對稱性。
* 皮特里八面體：面換成正八面體的皮特里多邊形。

這個立體為柏拉圖立體半刻面後而成，其他也由柏拉圖立體半刻面而成的立體有：

#### 皮特里八面體

皮特里八面體是正八面體的皮特里對偶，可以透過將原有正八面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里八面體為由正八面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正八面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里八面體是一種虧格為 4 的不可定向立體，由 4 個面、12 條邊和 6 個頂點組成，其中，每個面都是扭歪六邊形，每個頂點都是 4 個扭歪六邊形的公共頂點。

皮特里八面體與正八面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里八面體的皮特里對偶為正八面體，換句話說，即皮特里八面體的皮特里多邊形為正三角形。

拓樸結構與皮特里八面體互相對應的正則地區圖其在施萊夫利符號中可以用 {6,4} 表示，其意義代表每個頂點都是 4 個六邊形的公共頂點。相同的拓樸結構可透過將正四面體的頂點所有替換成交叉蓋，並且將所有稜替換為四價頂點，同時將所有面替換成邊數為原來邊數兩倍的面來構成。其對應的對偶多面體在施萊夫利符號中可以用 {4,6} 表示，其意義代表每個頂點都是 6 個四邊形的公共頂點，並具有 6 個面、12 條邊和 4 個頂點。

## 參見

* 半多面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Tetrahemihexahedron. MathWorld.
皮特里正十二面體

在抽象幾何學中，**十二面體半形**是一種僅由一半數量的正十二面體面構成的抽象多面體。

## 性質

**十二面體半形**是一種抽象正多面體，共由 6 個面、15 條邊和 10 個頂點組成；其中所有 6 個面都是正五邊形、每個頂點都是 3 個正五邊形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {5,3}5 或 {5,3}/2 來表示，其中 {5,3} 代表且每個頂點都是 3 個正五邊形的公共頂點，然而 {5,3} 代表正常的正十二面體，因此用 {5,3}5 符號來表示十二面體半形。十二面體半形的皮特里多邊形為五邊形，且皮特里對偶仍為十二面體半形，是一種自身皮特里對偶的多面體。

### 構造

要構造十二面體半形可透過將正十二面體沿最接近赤道的邊（或沿皮特里多邊形）將其分割成兩半，取其中一個半球，並讓其保持原有連接方式，同時讓赤道（或皮特里多邊形上的）邊與相對邊連結、赤道（或皮特里多邊形上的）點與相對點。這樣的做法產生了一個非實體的抽象多面體，由 10 個頂點、6 個五邊形和 15 條邊組成，其數量正好為原始正十二面體的一半。在赤道（或皮特里多邊形上）互相交叉連接的作法，使得這個幾何結構的表面成為一個單面且具投影平面連通性的 2 - 流形。

### 具象化

十二面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。2007 年，卡羅・塞坎（Carlo Séquin）和詹姆斯・哈姆林（James Hamlin）參考其他不可定向曲面，在 SIGGRAPH 上發表了一種基於四面體對稱性使用扭歪多邊形面來具象化十二面體半形的方法，並以此研究由十二面體半形組成的四維抽象多胞體 —— 四維正五十七胞體。

　
:

然而上述具象化結果是一個扭歪多面體，其面由扭歪五邊形組成，因此無法確定唯一的封閉區域，故無法以「實體」具象化。數學家布蘭科・格倫鮑姆曾提出一個問題：「十二面體半形能否具象化為三維空間自相交之非退化多面體的嵌入？」，這個問題後來由拉約什・希洛西給出了一個可能的解。

由於十二面體半形可被視為是一種影射多面體（可視為由六個五邊形構成的實射影平面鑲嵌），因此其亦可以被具象化在一個半球體上。十二面體半形也可以具象化為位於羅馬曲面上的正則地區圖。

### 投影

十二面體半形有 2 種具備對稱性的投影圖，分別為周界為十邊形的投影和周界為十二邊形的投影：

## 佩特森圖

在圖論中，十二面體半形可以視為嵌入於實射影平面的佩特森圖。換句話說，即十二面體半形的骨架圖為佩特森圖。在這個嵌入的情況下，可以得到其對偶圖為 _K_6（六個頂點的完全圖），對應到二十面體半形。

　
:

## 相關多面體

十二面體半形是一個由 6 個面組成的抽象多面體。另一個與正十二面體相關，且面數為 6 的抽象多面體是皮特里十二面體，其拓樸結構是一個位於三階十邊形鑲嵌中，虧格為 6 的正則地區圖，其可以透過正十二面體的骨架具象化為扭歪多面體。

### 皮特里十二面體

皮特里十二面體是正十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有正十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里十二面體為由正十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正十二面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里十二面體是一種虧格為 6 的不可定向立體，由 6 個面、30 條邊和 20 個頂點組成，其中，每個面都是扭歪十邊形，每個頂點都是 3 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里十二面體與正十二面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里十二面體的皮特里對偶為正十二面體，換句話說，即皮特里十二面體的皮特里多邊形為正五邊形。

拓樸結構與皮特里十二面體互相對應的正則地區圖其在施萊夫利符號中可以用 {10,3} 表示，其意義代表每個頂點都是 3 個十邊形的公共頂點。其對應的對偶多面體在施萊夫利符號中可以用 {3,10} 表示，其意義代表每個頂點都是 10 個三角形的公共頂點，並具有 20 個面、30 條邊和 6 個頂點。

## 參見

* 四維正五十七胞體 – 一個由五十七個十二面體半形構成的抽象多胞體。
* 二十面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考資料

## 外部連結

* 十二面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里正四面體

在抽象幾何學中，**立方體半形**是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似，它們的每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而立方體有 6 個面，而立方體半形僅有 3 個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中。在拓樸學上，其可以視為正四面體的皮特里對偶。

## 性質

立方體半形由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {4,3}/2 或 {4,3}3 來表示，其中 {4,3} 代表且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而 {4,3} 代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量。

　
:

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即 $n+1$ 維超方形半形（施萊夫利符號： ${\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}$ ）的對偶多胞形為 $n+1$ 維正軸形半形（施萊夫利符號： ${\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}$ ）。

特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用 2 條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定，也就是說，一般不會存在 2 個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

　
:

### 構造

立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的 I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的 4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架，同時其構成的面不會共面，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為 _K_4 完全圖嵌入於射影平面上的結果。

### 具象化

立方體半形可被視為是射影多面體 （可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌）。要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，並過半球體的邊界連接對蹠點，同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。

立方體半形和半立方體不同，立方體半形是一個射影多面體，且無法嵌入在三維歐幾里得空間中；而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半，立方體**半形**可以視為立方體的商空間，而**半**立方體則不是，半立方體只有頂點為立方體頂點的子集。

## 皮特里四面體

皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味著其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。

皮特里四面體由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，其中，3 個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為 1 的幾何結構。

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形。

## 相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有：

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：

## 參考資料

## 外部連結

* 立方體半形 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特里立方體

在幾何學中，**半刻面立方體**（英語：Hemi facetted cube）是一種非凸多面體，由立方體刻面而成，換句話說即不更動立方體的頂點，將立方體的面替換為對角面構成，並補上適當的表面之面，使立體成為封閉的多面體。由於半刻面立方體有部分的面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其又可以歸類為半多面體，也因此這個多面體的對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。特別地，這個多面體的五複合體的對偶多面體是一種星形二十面體，但由於其頂點落在無窮實射影平面而並未收錄於《五十九種二十面體》中，因此被描述為「遺失的星形二十面體」。

## 性質

半刻面立方體由 12 個面、24 條邊和 8 個頂點組成，其中 6 個面為立方體的對角面，6 個面為立方體原始的面轉為折四邊形的結果。

### 頂點座標

由於半刻面立方體是立方體刻面後所形成的，因此其頂點座標跟立方體相同，為

　
: (±1, ±1, ±1)

的全排列。

### 面的組成

半刻面立方體由 6 個長方形面和 6 個折四邊形面組成。其中 6 個長方形面來自原像立方體的對角面：

　
:

這種形狀的面正好沿著立方體的三個軸向排列，每個軸向各有 2 個這種面。而這種面構建完畢後立體尚未封閉，這時需要 6 個折四邊形將其封閉。

特別地，折四邊形封閉立方體有兩種方式，因此這個立體存在手性鏡像。

### 對偶多面體

半刻面立方體有部分的面通過整個立體的幾何中心，因此這個多面體之對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上。溫尼爾在其著作《對偶模型》以無限高的柱體組合來具象化這類立體。半刻面立方體的對偶多面體可以視為由 6 個無限高的菱形柱體組合而成。一般而言，這些柱體應當只在單一方向上延伸至無窮遠處，然而這樣的結構無法在整體的幾何對稱性上保持一致，因此這個立體的無限高柱體需向兩個方向無限延伸使其幾何對稱性在整體上維持一致。

## 五複合半刻面立方體

五複合半刻面立方體是由半刻面立方體通過立方體合成五複合立方體的方式組成的幾何結構。其也可以視為是正十二面體的刻面多面體。

### 構成方式

由半刻面立方體建構五複合半刻面立方體的方式，與由立方體構造成五複合立方體的方式一樣。即可透過將一個半刻面立方體以原點為中心、面向軸的第一個半刻面立方體開始構造，其餘的半刻面立方體則透過軸 $(1,\phi ,0)$ 旋轉 $-{\frac {2n\pi }{5}}$ 弧度來構造，並依這加入順序決定角度值中的 n，例如第二個半刻面立方體對應 n=1、第三個半刻面立方體對應 n=2，以此類推。

　
:

### 與五複合立方體的關聯

### 五複合半刻面立方體的對偶多面體

由於五複合半刻面立方體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體。特別地，這個多面體是一種星形多面體，但由於其頂點落在無窮實射影平面而並未收錄於《五十九種二十面體》中，因此被描述為「遺失的星形二十面體」。

**作為星形多面體**

五複合半刻面立方體的對偶多面體可以看作是一種正二十面體的星形多面體，其在杜瓦記號中可以用 hj2 表示。

## 相關多面體

其他由立方體的頂點構成，但邊或面連結方式與立方體相異的立體有：

* 半刻面立方體：面互相相交，部分面過幾何中心。
* 星形八面體：面同樣互相相交，但不會過其幾何中心。
* 皮特里立方體：面換成立方體的皮特里多邊形。

這個立體為柏拉圖立體半刻面後而成，其他也由柏拉圖立體半刻面而成的立體有：

### 皮特里立方體

皮特里立方體是立方體的皮特里對偶，可以透過將原有立方體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里立方體為由立方體的皮特里多邊形構成的立體。由於立方體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里立方體是一個可定向且歐拉示性數為零的幾何結構。皮特里立方體共有 4 個面、12 條邊和 8 個頂點。其中面由 4 個扭歪六邊形面組成，每個頂點都是 3 個扭歪六邊形的公共頂點。

皮特里立方體與立方體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里立方體的皮特里對偶為立方體，換句話說，即皮特里立方體的皮特里多邊形為正方形。皮特里立方體可以截半為八面半八面體。

皮特里立方體的對偶多面體可以透過截半變換轉變成八面半八面體。

## 參見

* 立方體

## 參考文獻
皮特里變換

在拓樸圖論中，嵌入圖的**皮特里對偶**（Petrie Dual）是指所有面皆為 2 - 流形盤面之嵌入圖的另一種嵌入，且是含有前述嵌入圖之嵌入物件的皮特里多邊形作為維面的圖嵌入。皮特里對偶亦可以作為一種多面體變換，稱為**皮特里變換**（Petrie Operation），其會將原像的面以皮特里多邊形做替換，然而變換結果通常會因為面轉變為無法確定唯一封閉區域的皮特里多邊形而導致體積與表面積不存在。

若原像計為 $G$ ，則變換結果可以用 $G^{\pi }$ 表示。

## 性質

皮特里對偶與一般的對偶變換一樣，可做透過重複做兩次相同變換使其變回原像。而皮特里對偶與一般的對偶變換不同之處在於，一般的對偶變換是在同一個曲面上嵌入不同的圖，而皮特里對偶是將相同圖的嵌入在不同的曲面上。

皮特里對偶與一般的對偶變換是威爾森變換的其中兩種，且這些變換共同組成了一個群。

## 正多面體的皮特里對偶

對正多面體做皮特里變換可以得到正則地區圖。其變換結果會有 g/2h 個扭歪 h 邊形，其中 g 為群的階數、h 為群的考克斯特數。舉例來說，立方體的皮特里對偶是一個二分圖，由 4 個扭歪六邊形組成，每個扭歪六邊形環繞於立方體的赤道面上。在拓撲上，這個變換等同將圖嵌入到環面上。

凸正多面體的皮特里對偶列舉如下：

* 皮特里正四面體，施萊夫利符號 {3,3}π，是正四面體經皮特里變換的結果，由 3 個正扭歪四邊形組成，共有 3 個面、6 條稜和 4 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 1，與立方體半形 {4,3}/2 拓樸同構。
* 皮特里立方體，施萊夫利符號 {4,3}π，是立方體經皮特里變換的結果，由 4 個正扭歪六邊形組成，共有 4 個面、12 條稜和 8 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 0。 其也可以視為由 4 個正六邊形鑲嵌之面構成的環形多面體 {6,3}(2,0)。
* 皮特里正八面體，施萊夫利符號 {3,4}π，是正八面體經皮特里變換的結果，由 4 個正扭歪六邊形組成，共有 4 個面、12 條稜和 6 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為−2，並存在有 {6,4}3 類型的四階六邊形雙曲鑲嵌之映射。
* 皮特里正十二面體，施萊夫利符號 {5,3}π，是正十二面體經皮特里變換的結果，由 6 個正扭歪十邊形組成，共有 6 個面、32 條稜和 20 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 - 4，並存在有 {10,3}5 類型的正十邊形雙曲鑲嵌之映射。
* 皮特里正二十面體，施萊夫利符號 {3,5}π，是正二十面體經皮特里變換的結果，由 6 個正扭歪十邊形組成，共有 6 個面、32 條稜和 12 個頂點，其歐拉示性數 _χ_ 為 - 12，並存在有 {10,5}3 類型的五階正十邊形雙曲鑲嵌之映射。

非凸正多面體也有對應的皮特里對偶列舉如下：

## 半正多面體的皮特里對偶

皮特里多邊形的概念亦可以推廣到半正多面體中。

## 註解

## 參考文獻
皮特里陨石坑

**皮特里隕石坑**（Petrie）是位於月球背面北半部的一座年輕撞擊坑，約形成於 32-11 億年前的愛拉托遜紀，其名稱取自加拿大天文學家 "羅伯特・梅斯文・皮特里"(Robert Methven Petrie，1906 年 - 1966 年)，1970 年被國際天文學聯合會正式批准接受。

## 描述

該隕坑西南偏西毗鄰大隕坑法布里環形山和哈爾赫比環形山、東北靠近斯旺隕石坑、更小的拉葉隕石坑位於它的東側、南面則坐落了略大的西薩基揚隕石坑。該隕坑中心月面坐標為 45.14°N 108.47°E﻿ / 45.14; 108.47，直徑 32.86 公里，深度約 2.07 公里。

皮特里隕石坑外觀不太圓整，西南部向外凸出，坑壁幾乎未受侵蝕，坑沿峻峭，內壁平緩，環坑底分布有一圈岩屑堆。皮特里隕石坑坑壁高出周邊地形 950 米，內部容積約有 759 公里 3。坑底表面地形崎嶇，沒有其它醒目的地貌結構。

## 衛星隕石坑

按照慣例，最靠近皮特里隕石坑的衛星坑在月圖上以字母標註在該坑中心點的旁邊。

## 參考文獻

## 外部連結

* * Andersson, L. E.; Whitaker, E. A. NASA Catalogue of Lunar Nomenclature. NASA RP-1097. 1982.
* Blue, Jennifer. Gazetteer of Planetary Nomenclature. USGS. July 25, 2007 [2007-08-05]. （原始內容存檔於 2014-09-24）.
* Bussey, B.; Spudis, P. The Clementine Atlas of the Moon. New York: Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-81528-4.
* Cocks, Elijah E.; Cocks, Josiah C. Who's Who on the Moon: A Biographical Dictionary of Lunar Nomenclature. Tudor Publishers. 1995. ISBN 978-0-936389-27-1.
* McDowell, Jonathan. Lunar Nomenclature. Jonathan's Space Report. July 15, 2007 [2007-10-24]. （原始內容存檔於 2012-05-26）.
* Menzel, D. H.; Minnaert, M.; Levin, B.; Dollfus, A.; Bell, B. Report on Lunar Nomenclature by the Working Group of Commission 17 of the IAU. Space Science Reviews. 1971, **12** (2): 136–186. Bibcode:1971SSRv...12..136M. doi:10.1007/BF00171763.
* Moore, Patrick. On the Moon. Sterling Publishing Co. 2001. ISBN 978-0-304-35469-6.
* Price, Fred W. The Moon Observer's Handbook. Cambridge University Press. 1988. ISBN 978-0-521-33500-3.
* Rükl, Antonín. Atlas of the Moon. Kalmbach Books. 1990. ISBN 978-0-913135-17-4.
* Webb, Rev. T. W. Celestial Objects for Common Telescopes 6th revised. Dover. 1962. ISBN 978-0-486-20917-3.
* Whitaker, Ewen A. Mapping and Naming the Moon. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-62248-6.
* Wlasuk, Peter T. Observing the Moon. Springer. 2000. ISBN 978-1-85233-193-1.

## 外部連結

* 月球數碼攝影圖集. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 維基月球在線解說 - 皮特里隕石坑 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Andersson, L.E., and E.A. Whitaker, 美國宇航局月球地名目錄，美國宇航局參考出版物 1097, 1982 年 10 月. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特金_(科罗拉多州)

**皮特金**（英語：Pitkin），是美國科羅拉多州甘尼森縣下屬的一座城市。建市於 1880 年 4 月 5 日，面積大約為 0.27 平方英里（0.699 平方公里）。根據 2010 年美國人口普查，該市有人口 66 人。2011 年估計該市有人口 66 人，相比 2010 年人口增長率為 0.00%。同時，論人口該市是科羅拉多州第 264 大城市。

## 參考資料
皮特金县

**皮特金郡**（英語：Pitkin County）是美國科羅拉多州中西部的一個郡。面積 2,521 平方公里。根據美國 2000 年人口普查，共有人口 14,872 人。郡治阿斯彭（Aspen）。

成立於 1881 年 2 月 23 日。郡名紀念第三任州長腓特烈・W・皮特金（Frederick Walker Pitkin）。

## 參考文獻
皮特金科納_(阿肯色州)

**皮特金科納**（英語：Pitkin Corner）是位於美國阿肯色州華盛頓縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。

## 地理

皮特金科納的座標為 35°53′07″N 94°10′11″W，而該地的平均海拔高度為 428 米（即 1404 英尺）。

## 參考文獻
皮特馬利茲堡

**皮特馬利茲堡**（英文：**Pietermaritzburg**）是南非夸祖魯 - 納塔爾省的首府，位於南非東部，人口為 223,519 人， 主要語言為英語和祖魯語，還有少部分南非荷蘭語和科薩語，擁有皮特馬利茲堡機場。也稱**馬利茲堡**（英文：**Maritzburg**）。1962 年，納爾遜・曼德拉在此被捕。

## 參考資料
皮特馬利茲堡機場

**皮特馬利茲堡機場**（Pietermaritzburg Airport，IATA 代碼：PZB；ICAO 代碼：FAPM）是位於南非皮特馬利茲堡的機場。

2013 年航站樓和停機坪進行了升級改造。此外，一個距離皮特馬利茲堡 10 公里的新機場正在規劃中，該機場將可容納寬體客機和貨機。

2020 年，在解除 COVID-19 的封鎖措施後，皮特馬利茲堡機場是南非政府授權為國內旅行開放的少數機場之一。

## 航空公司及目的地

## 統計

## 參考資料
皮特魯切利劇院

**皮特魯切利劇院**（義大利語：Teatro Petruzzelli）是位於義大利南部城市巴里的一座劇院。皮特魯切利劇院是巴里最大的劇院，也是義大利第四大的劇院。皮特魯切利劇院竣工於 1903 年。

## 外部連結

* Brief history of the theater （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Website relating to the book "The Theater of Deception" which tells the story of the fire and the reopening of the theatre
* "Last Act" - The burning of Petruzzelli La Storia siamo noi - RAI Educational
皮特魯夫肯

**皮特魯夫肯**是智利的城鎮，位於該國中南部，由阿勞卡尼亞大區的考丁省負責管轄，面積 580 平方公里，2002 年人口 21,988，人口密度每平方公里 37.9 人。

## 外部連結

* （西班牙文） Gobierno Regional de la Araucanía: Pitrufquén （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （西班牙文） Municipality of Pitrufquén （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
皮特鲁斯·普兰修斯

**彼得勒斯・普朗修斯**（Petrus Plancius，1552 年 —1622 年 5 月 15 日）是荷蘭弗拉芒的天文學家、製圖員、聖職者。創製獨角獸座、鹿豹座、天鴿座。

普朗修斯原名為 Pieter Platevoet，出生於德拉諾特（Dranouter），今位於比利時西法蘭德斯省的赫弗蘭。 他曾在德國和英國學習神學，24 歲時成為荷蘭改革宗教會的牧師。1585 年，這座城市陷落於西班牙人手中，為了躲避宗教裁判的宗教審判，普朗修斯從布魯塞爾逃到阿姆斯特丹，他在那接觸到最近從葡萄牙帶來了航海圖，開始對航海和地圖學產生興趣，很快地，他就被公認為通往印度和附近「香料群島」的安全海上航線專家。這讓對這些區域的殖民及港口貿易得以實現，其中包括荷屬東印度群島，該地區以 1602 年成立的荷蘭東印度公司命名。他還看見了北冰洋的巨大潛力，並堅信東北航道的想法，直到 1597 年威廉・巴倫支的第三次航行失敗，似乎排除了其可行性才放棄。

由於他在地圖發展史上的開創性貢獻，普朗修斯被視為荷蘭製圖黃金時代（約 1570 年代至 1670 年代）的重要人物。

## 地圖繪製

1592 年，普朗修斯出版了他最著名的世界地圖，名為《Nova et exacta Terrarum Tablea geographica et hydrographica》。他也發行了期刊和航海指南，並開發出一種新的經度測定方法，此外還推廣了用於航海圖的麥卡托投影。

普朗修斯是荷蘭東印度公司的創始人之一，為該公司繪製過 100 多幅地圖。

普朗修斯與新大陸探險家亨利・哈德遜熟識。

普朗修斯繪製過地圖《Exacta & accurata delinatio… regionibus China, Cauchinchina, Camboja, sive Champa, Syao, Malacca, Arracan & Pegu》，於 1596 年發表在揚・哈伊根・范林斯霍滕的暢銷書《東印度水路誌》（Itinerario）。

## 地圖

* * * *

## 外部連結

* Star Tales Archive.is 的存檔，存檔日期 2014-08-24 – the constellations of Petrus Plancius
* Minor planet 10648 Plancius （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參考文獻
皮特黑粉菌属

**皮特黑粉菌屬**（學名：_Franzpetrakia_）也稱**彼得黑粉菌屬**，為黑粉菌科的一個屬。

## 物種

本屬包括以下物種：

* 莠竹皮特黑粉菌 _Franzpetrakia microstegii_ Thirum. & Pavgi, 1957
* 薏苡皮特黑粉菌 _Franzpetrakia okudairae_ (Miyabe) L. Guo, Vánky & Mordue, 1990
* _Franzpetrakia phaceluri_ Vánky, R.G. Shivas & L. Guo

## 參考文獻
皮珀爾斯岩

**皮珀爾斯岩**（英語：Peoples Rocks）是南極洲的岩石，位於昂韋爾島對岸的懷利灣，處於諾瑟爾角東北面，現時由南極條約體系管理。

## 參考資料

本條目引用的公有領域材料來自美國地質調查局的文檔 《皮珀爾斯岩》 （資料來自地名信息系統）。
皮球花

**皮球花**又稱為**小團花**，是一種不規則的呈放射狀或旋轉式圓形紋樣。皮球花通常在 3 厘米以內，多個三三兩兩聚在一起，疏密有致，作為器物上的裝飾。

小團花應該有 3000 年以上的歷史，在一些青銅器和白陶上都有這種迴旋雲紋。明清時已普遍應用在：

* 藍印花布
* 描金漆器
* 彩繪瓷器
* 鏨花的金屬器具，如銀器、銅器、錫器等
* 絲綢印染
* 刺繡

## 參考文獻

* 《談皮球花》 沈從文，《裝飾》雜誌 1959 年第 5 期

## 外部連結

* 康古瓷器散點構成法的應用 -- 皮球花紋
皮球菌属

**皮球菌屬**（學名：_Kytococcus_）也稱**蓋球菌屬**，為皮球菌科的一屬細菌。該屬的模式種為不動蓋球菌（_Kytococcus sedentarius_）。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Kytococcus aerolatus_ corrig. Kämpfer et al. 2009
* _Kytococcus peptidovorans_ Kämpfer et al. 2009，拼寫錯誤
* 許氏蓋球菌 _Kytococcus schroeteri_ Becker et al. 2002
* 不動蓋球菌 _Kytococcus sedentarius_ (ZoBell and Upham 1944) Stackebrandt et al. 1995

## 參考文獻

* **LPSN** - List of Prokaryotic names with Standing in Nomenclature
皮球菌科

**皮球菌科** （學名：_Kytococcaceae_）為微球菌目的一科細菌。此科的模式屬為皮球菌屬 (_Kytococcus_)。

## 屬

* 皮球菌屬 _Kytococcus_ Stackebrandt et al. 1995

## 參考文獻

* **LPSN** - List of Prokaryotic names with Standing in Nomenclature
皮瑞·波利加德

**皮埃爾・古斯塔夫・圖唐 - 博雷加德**（英語：Pierre Gustave Toutant-Beauregard，1818 年 5 月 28 日 —1893 年 2 月 20 日），美國作家、政治家、發明家、軍官，原為美國陸軍少校，美國內戰期間擔任美利堅聯盟國軍隊（南軍）上將。
皮瑞·雷斯

**艾哈邁德・穆希丁・皮瑞** （Ahmet Muhiddin Piri；約 1465 年 —1553 年），以**皮瑞・雷斯**（Piri Reis）之名廣為人知，其是一位航海家、地理學家和製圖師。今天，他主要以其在 Kitab-ı Bahriye 中收集的地圖和海圖而聞名，這本書包含有關早期航海技術的詳細資訊以及當時相對準確的海圖，描述了當時地中海主要的港口和城市。

他於 1513 年繪製的第一張世界地圖的一小部分於 1929 年在伊斯坦堡的托普卡帕宮被發現。他的世界地圖是顯示新世界的最古老的土耳其地圖集，也是現存最古老的美洲地圖之一（現存最古老的美洲地圖是胡安・德拉科薩於 1500 年繪製的地圖）。 他的地圖以北迴歸線緯度的撒哈拉沙漠為中心。

1528 年，他繪製了第二張世界地圖，其中一小塊殘片（顯示了格陵蘭島和北美洲，從北部的拉布拉多和紐芬蘭到佛羅里達、古巴、伊斯帕尼奧拉島、牙買加和南部的中美洲部分地區）仍然存在。根據他加註的文字記載，他使用大約 20 種各國海圖和 mappae mundi（一種中世紀歐洲的世界地圖）繪製了他的地圖，其中包括克里斯多福・哥倫布的一幅。 他於 1553 年在開羅被處決，被判犯有解除荷姆茲島圍困並放棄艦隊的罪名，儘管他這樣做的原因是他的船隻缺乏維護。

## 參考資料
皮瑞·雷斯地图

**皮里雷斯地圖**（英語：Piri Reis map）是鄂圖曼帝國海軍將領兼製圖師皮瑞・雷斯於 1513 年編製的世界地圖。 該地圖有約三分之一倖存至今；它以合理的精確程度顯示了歐洲和北非的西海岸以及巴西的海岸。 描繪了包括亞速爾群島和加那利群島在內的各種大西洋島嶼，以及神話中的安提利亞島和可能的日本。

該地圖的歷史重要性在於它展示了大約 1510 年對新世界的探索程度，並宣稱使用了克里斯多福・哥倫布製作的地圖作為來源。 皮瑞還說他使用了十份阿拉伯資料和四份來自葡萄牙的印度地圖。

## 參考資料