球對稱位勢

**球對稱位勢**乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電位，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi $ ；

其中， $\hbar $ 是普朗克常數， $\mu $ 是粒子的質量， $\psi $ 是粒子的波函數， $V$ 是位勢， $r$ 是徑向距離， $E$ 是能量。

由於球對稱位勢 $V(r)$ 只與徑向距離有關，與天頂角 $\theta $ 、方位角 $\phi $ 無關，為了便利分析，可以採用球坐標 $(r,\ \theta ,\ \phi )$ 來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

## 薛丁格方程式

採用球坐標 $(r,\ \theta ,\ \phi )$ ，將拉普拉斯算子 $\nabla ^{2}$ 展開：

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi $ 。

滿足薛丁格方程式的本徵函數 $\psi $ 的形式為：

　
: $\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ ，

其中， $R(r)$ ， $\Theta (\theta )$ ， $\Phi (\phi )$ ，都是函數。 $\Theta (\theta )$ 與 $\Phi (\phi )$ 時常會合併為一個函數，稱為球諧函數， $Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ 。這樣，本徵函數 $\psi $ 的形式變為：

　
: $\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ 。

## 角部分解答

參數為天頂角 $\theta $ 、方位角 $\phi $ 的球諧函數 $Y_{lm}$ ，滿足角部分方程式

　
: $-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ；

其中，非負整數 $l$ 是角動量的**角量子數**。 $m$ （滿足 $-l\leq m\leq l$ ）是角動量對於 z - 軸的（量子化的）投影。不同的 $l$ 與 $m$ 給予不同的球諧函數解答 $Y_{lm}$ ：

　
: $Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }$ ；

其中， $i$ 是虛數單位， $P_{lm}(\cos {\theta })$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

　
: $P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)$ ；

而 $P_{l}(x)$ 是 $l$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

　
: $P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$ 。

## 徑向部分解答

將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

　
: $\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)$ 。(1)

設定函數 $u(r)=rR(r)$ 。代入方程式 (1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

　
: $-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)$ 。(2)

徑向方程式變為

　
: $-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+V_{\mathrm {eff} }(r)u(r)=Eu(r)$ ；(3)

其中，有效位勢 $V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}$ 。

這正是函數為 $u(r)$ ，有效位勢為 $V_{\mathrm {eff} }$ 的薛丁格方程式。徑向距離 $r$ 的定義域是從 $0$ 到 $\infty $ 。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式 (2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

## 實例

在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

 1. $V(r)=0$ ：原方程式變為亥姆霍茲方程式 $(\nabla ^{2}+{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}})A=0$ ，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
2. 當 $r<r_{0}$ 時， $V(r)=0$ ；否則， $V(r)=\infty $ ：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
3. $V(r)\propto r^{2}$ ：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
4. $V(r)\propto 1/r$ ：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

### 真空狀況實例

思考 $V(r)=0$ 的狀況，設定 $k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2\mu E \over \hbar ^{2}}}$ ，在設定無因次的變數

　
: $\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr$ 。

代入方程式 (2)，定義 $J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$ ，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：

　
: $\rho ^{2}{d^{2}J \over d\rho ^{2}}+\rho {dJ \over d\rho }+\left[\rho ^{2}-\left(l+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0$ 。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數 $J_{l+1/2}(\rho )$ ；而 $R(r)$ 是第一類球貝塞爾函數 
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：

　
: $R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{l+1/2}(kr)$ 。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程式（即自由空間中的齊次亥姆霍茲方程式）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

　
: $\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=A_{kl}j_{l}(kr)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ；

其中，歸一常數 $A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k$ ， $l$ 是非負整數， $m$ 是整數， $-l\leq m\leq l$ ， $k$ 是實數， $k\geq 0$ 。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

#### 波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

　
: $1=A_{kl}^{2}\int _{0}^{\infty }\ r^{2}j_{l}^{2}(kr)\ dr$ 。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

　
: $\int _{0}^{\infty }\ x^{2}j_{\alpha }(k_{1}x)j_{\alpha }(k_{2}x)\ dx={\frac {\pi }{2k_{1}^{2}}}\delta (k_{1}-k_{2})$ ；

其中， $\alpha >0$ ， $\delta _{k}$ 為克羅內克 δ。

所以， $1=A_{kl}^{2}{\frac {\pi }{2k^{2}}}$ 。取平方根，歸一常數 $A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k$ 。

### 球對稱的三維無限深方形位勢阱

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為 0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

　
: $V(r)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r\leq r_{0}\\\infty ,&{\mbox{if }}r>r_{0}\end{cases}}$ 。

其中， $r_{0}$ 是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是 0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數 $R(r)=j_{l}(kr)$ 。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標 $r=r_{0}$ 之處必須等於 0：

　
: $j_{l}(kr_{0})=0$ 。

設定 $\xi _{nl}$ 為 $l$ 階球貝塞爾函數 $j_{l}$ 的第 $n$ 個 0 點，則 $k_{nl}r_{0}=\xi _{nl}$ 。

那麼，離散的能級 $E_{nl}$ 為

　
: $E_{nl}={\frac {\hbar ^{2}k_{nl}^{2}}{2\mu }}={\frac {\hbar ^{2}\xi _{nl}^{2}}{2\mu r_{0}^{2}}}$ 。

薛丁格方程式的整個解答是

　
: $\psi _{nlm}(r,\ \theta ,\ \phi )=A_{nl}j_{l}(\xi _{nl}\,r/r_{0})\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ ；

其中，歸一常數 $A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}$ 。

#### 波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

　
: $1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}j_{l}^{2}(k_{nl}r)\ dr$ ；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式 (4) 代入積分：

　
: $1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}\ {\frac {\pi }{2k_{nl}r}}\ J_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr=A_{nl}^{2}{\frac {\pi }{2k_{nl}}}\int _{0}^{r_{0}}\ rJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr$ 。

設定變數 $x=r/r_{0}$ ，代入積分：

　
: $1=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{2}}{2k_{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r_{0}x)\ dx=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{3}}{2\xi _{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(\xi _{nl}x)\ dx$ 。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

　
: $\int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(x\xi _{m\alpha })J_{\alpha }(x\xi _{n\alpha })dx={\frac {\delta _{mn}}{2}}J_{\alpha +1}(\xi _{n\alpha })^{2}$ ；

其中， $\alpha >-1$ ， $\delta _{mn}$ 為克羅內克 δ， $\xi _{n\alpha }$ 表示 $J_{\alpha }(x)$ 的第 $n$ 個 0 點。

注意到 $j_{l}(x)$ 的第 $n$ 個 0 點 $\xi _{nl}$ 也是 $J_{l+1/2}(x)$ 的第 $n$ 個 0 點。所以，

　
: $1=A_{nl}^{2}\ {\frac {\pi r_{0}^{3}}{4\xi _{nl}}}\ J_{l+3/2}^{2}(\xi _{nl})=A_{nl}^{2}\ {\frac {r_{0}^{3}}{2}}\ j_{l+1}^{2}(\xi _{nl})$ 。

取平方根，歸一常數 $A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}$ 。

### 三維均向諧振子

三維均向諧振子的位勢為

　
: $V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}$ ；

其中， $\omega $ 是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明 N 維諧振子的能量是

　
: $E_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {N}{2}})\quad {\hbox{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$ 。

所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

　
: $\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega (n+{\frac {3}{2}})\right]u(r)=0$ 。(5)

設定常數 $\gamma $ ，

　
: $\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}$ 。

回想 $u(r)=rR(r)$ ，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：

　
: $R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})$ ；

其中，函數 $L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$ 是廣義拉蓋爾多項式， $N_{nl}$ 是歸一化常數：

　
: $N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {[{\frac {1}{2}}(n-l)]!\;[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}{(n+l+1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}$ 。

本徵能級 $E_{n}$ 的本徵函數 $R_{nl}$ ，乘以球諧函數 $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ，就是薛丁格方程式的整個解答：

　
: $\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ ；

其中 $l=n,\ n-2,\ \ldots ,\ l_{\mathrm {min} }$ 。假若 $n$ 是偶數，設定 $l_{\mathrm {min} }=0$ ；否則，設定 $l_{\mathrm {min} }=1$ 。

#### 導引

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為廣義拉蓋爾微分方程式。這方程式的解是廣義拉蓋爾多項式。再將廣義拉蓋爾多項式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數 $y={\sqrt {\gamma }}r$ ；其中， $\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}$ 。則方程式 (5) 變為

　
: $\left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}-y^{2}+2n-3\right]v(y)=0$ ；(6)

其中， $v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)$ 是新的函數。

當 $y$ 接近 0 時，方程式 (6) 最顯著的項目是

　
: $\left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}\right]v(y)=0$ 。

所以， $v(y)$ 與 $y^{l+1}$ 成正比。

又當 $y$ 無窮遠時，方程式 (6) 最顯著的項目是

　
: $\left[{d^{2} \over dy^{2}}-y^{2}\right]v(y)=0$ 。

因此， $v(y)$ 與 $e^{-y^{2}/2}$ 成正比。

為了除去 $v(y)$ 在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用 $v(y)$ 的替換方程式：

　
: $v(y)=y^{l+1}e^{-y^{2}/2}f(y)$ 。

經過一番運算，這個替換將微分方程式 (6) 轉換為

　
: $\left[{d^{2} \over dy^{2}}+2\left({\frac {l+1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2l\right]f(y)=0$ 。(7)

##### 轉換為廣義拉蓋爾方程式

設定變數 $x=y^{2}$ ，則微分算子為

　
: ${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}}$ ，

　
: ${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}$ 。

代入方程式 (7)，就可得到廣義拉蓋爾方程式：

　
: $x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\Big (}(l+{\tfrac {1}{2}})+1-x{\Big )}{\frac {dg}{dx}}+{\tfrac {1}{2}}(n-l)g(x)=0$ ；

其中，函數 $g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$ 。

假若， $k\equiv (n-l)/2$ 是一個非負整數，則廣義拉蓋爾方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式：

　
: $g(x)=L_{k}^{(l+{\frac {1}{2}})}(x)$ 。

因為 $k$ 是非負整數，要求

 1. $n\geq l$ 。
2. $n$ 與 $l$ 同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述 $l$ 必須遵守的條件。

##### 波函數歸一化

回憶到 $u(r)=rR(r)$ ，徑向函數可以表達為

　
: $R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})$ ；

其中， $N_{nl}$ 是歸一常數。

 $R_{nl}(r)$ 的歸一條件是

　
: $\int _{0}^{\infty }r^{2}|R_{nl}(r)|^{2}\,dr=1$ 。

設定 $q=\gamma r^{2}$ 。將 $R_{nl}$ 與 $q$ 代入積分方程式：

　
: ${\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\int _{0}^{\infty }q^{l+{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(q)\right]^{2}\,dq=1$ 。

應用廣義拉蓋爾多項式的正交歸一性，這方程式簡化為

　
: ${\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\cdot {\frac {\Gamma [{\frac {1}{2}}(n+l+1)+1]}{[{\frac {1}{2}}(n-l)]!}}=1$ 。

因此，歸一常數可以表達為

　
: $N_{nl}={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,({\frac {n-l}{2}})!}{\Gamma ({\frac {n+l}{2}}+{\frac {3}{2}})}}}$ 。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意 $n$ 與 $l$ 的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

　
: $\Gamma \left[{1 \over 2}+\left({\frac {n+l}{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!!}{2^{{\frac {n+l}{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}}$ 。

在這裏用到了雙階乘 (double factorial) 的定義。

所以，歸一常數等於

　
: $N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+l+1)!}}\right]^{1 \over 2}$ 。

### 類氫原子

類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

　
: $V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$ ；

其中， $\epsilon _{0}$ 是真空電容率， $Z$ 是原子序， $e$ 是單位電荷量， $r$ 是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式 (1)，

　
: $\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\right\}R(r)=ER(r)$ 。

這方程式的解答是

　
: $R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)$ ；

其中， $a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}$ 。 $a_{\mu }$ 近似於波耳半徑 $a_{0}$ 。假若，原子核的質量是無限大的，則 $a_{\mu }=a_{0}$ ，並且，約化質量等於電子的質量， $\mu =m_{e}$ 。 $L_{n-l-1}^{2l+1}$ 是廣義拉蓋爾多項式，定義為

　
: $L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)$ ；

其中， $L_{i+j}(x)$ 是拉蓋爾多項式，可用羅德里格公式表示為

　
: $L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})$ 。

為了滿足 $R_{nl}(r)$ 的邊界條件， $n$ 必須是正值整數，能量也離散為能級 $E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)$ 。隨著量子數的不同，函數 $R_{nl}(r)$ 與 $Y_{lm}$ 都會有對應的改變。為了要結束廣義拉蓋爾多項式的遞迴關係，必須要求 $l<n$ 。

知道徑向函數 $R_{nl}(r)$ 與球諧函數 $Y_{lm}$ 的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

　
: $\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 。

#### 導引

為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)

　
: $E_{\textrm {h}}=m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}$ ，

　
: $a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\textrm {e}}e^{2}}}$ 。

將變數 $y=Zr/a_{0}$ 與 $W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})$ 代入徑向薛丁格方程式 (2)：

　
: $\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {l(l+1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{l}=Wu_{l}$ 。(8)

這方程式有兩類解答：

 1. $W<0$ ：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的 $W$ 造成了離散的能量譜。
2. $W\geq 0$ ：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第 (1) 類解答。設定正實數 $\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$ 與 $x\equiv \alpha y$ 。代入方程式 (8)：

　
: $\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0$ 。(9)

當 $x$ 接近 0 時，方程式 (9) 最顯著的項目是

　
: $\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}\right]u_{l}=0$ 。

所以， $u_{l}(x)$ 與 $x^{l+1}$ 成正比。

又當 $x$ 無窮遠時，方程式 (9) 最顯著的項目是

　
: $\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0$ 。

因此， $u_{l}(x)$ 與 $e^{-x/2}$ 成正比。

為了除去 $u_{l}(x)$ 在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用 $u_{l}(x)$ 的替換方程式：

　
: $u_{l}(x)=x^{l+1}e^{-x/2}f_{l}(x)$ 。

經過一番運算，得到 $f_{l}(x)$ 的方程式：

　
: $\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2l+2-x){\frac {d}{dx}}+(\nu -l-1)\right]f_{l}(x)=0$ ；

其中， $\nu =(-2W)^{-{\frac {1}{2}}}$ 。

假若， $\nu -l-1$ 是個非負整數 $k$ ，則這方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式

　
: $L_{k}^{(2l+1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots $ 。

採用 Abramowitz and Stegun 的慣例。無因次的能量是

　
: $W=-{\frac {1}{2n^{2}}}$ ；

其中，主量子數 $n\equiv k+l+1$ 滿足 $n\geq l+1$ ，或 $l\leq n-1$ 。

由於 $\alpha =2/n$ ，徑向波函數是

　
: $R_{nl}(r)={\sqrt {\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}\;e^{-{\textstyle {\frac {Zr}{na_{0}}}}}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{l}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)$ 。

能量是

　
: $E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}}=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2},\qquad n=1,2,\ldots $ 。

## 參閱

* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* Delta 位勢阱
* Delta 位勢壘
* 連心力
* 量子穿隧效應
* 盒中氣體

## 參考文獻

* Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.