相互信息

在概率論和資訊理論中，兩個隨機變數的**相互資訊**（mutual Information，MI）度量了兩個變數之間相互依賴的程度。具體來說，對於兩個隨機變數，MI 是一個隨機變數由於已知另一個隨機變數而減少的「資訊量」（單位通常為位元）。相互資訊的概念與隨機變數的熵緊密相關，熵是資訊理論中的基本概念，它量化的是隨機變數中所包含的「資訊量」。 

MI 不僅僅是度量實值隨機變數和線性相關性 (如相關係數)，它更為通用。MI 決定了隨機變數 ${\displaystyle (X,Y)}$ 的聯合分布與 $X$ 和 $Y$ 的邊緣分布的乘積之間的差異。MI 是點相互資訊（Pointwise Mutual Information，PMI）的期望。克勞德・香農在他的論文 A Mathematical Theory of Communication 中定義並分析了這個度量，但是當時他並沒有將其稱為「相互資訊」。這個詞後來由羅伯特・法諾創造。相互資訊也稱為資訊增益。

## 相互資訊的定義

設隨機變數 ${\displaystyle (X,Y)}$ 是空間 ${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$ 中的一對隨機變數。若他們的聯合分布是 ${\displaystyle p(x,y)}$ ，邊緣分布分別是 ${\displaystyle p(x)}$ 和 ${\displaystyle p(y)}$ ，那麼，它們之間的相互資訊可以定義為：

　
: ${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}$

其中， ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$ 為 KL 散度 (Kullback–Leibler divergence)。注意，根據 KL 散度的性質，若聯合分布 $p(x,y)$ 等於邊緣分布 $p(x)$ 和 $p(y)$ 的乘積，則 $I(X;Y)=0$ ，即當 $X$ 和 $Y$ 相互獨立的時候，觀測到 Y 對於我們預測 X 沒有任何幫助，此時他們的相互資訊為 0。

### 離散變數的相互資訊

離散隨機變數 X 和 Y 的相互資訊可以計算為：

　
: $I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},\,\!$

其中 _p_(_x_, _y_) 是 _X_ 和 _Y_ 的聯合概率品質函式，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分別是 _X_ 和 _Y_ 的邊緣概率品質函式。

### 連續變數的相互資訊

在連續隨機變數的情形下，求和被替換成了二重定積分：

　
: $I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,$

其中 _p_(_x_, _y_) 當前是 _X_ 和 _Y_ 的聯合概率_密度_函式，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分別是 _X_ 和 _Y_ 的邊緣概率密度函式。

如果對數以 2 為基底，相互資訊的單位是 bit。

直觀上，相互資訊度量 _X_ 和 _Y_ 共享的資訊：它度量知道這兩個變數其中一個，對另一個不確定度減少的程度。例如，如果 _X_ 和 _Y_ 相互獨立，則知道 _X_ 不對 _Y_ 提供任何資訊，反之亦然，所以它們的相互資訊為零。在另一個極端，如果 _X_ 是 _Y_ 的一個確定性函式，且 _Y_ 也是 _X_ 的一個確定性函式，那麼傳遞的所有資訊被 _X_ 和 _Y_ 共享：知道 _X_ 決定 _Y_ 的值，反之亦然。因此，在此情形相互資訊與 _Y_（或 _X_）單獨包含的不確定度相同，稱作 _Y_（或 _X_）的熵。而且，這個相互資訊與 _X_ 的熵和 _Y_ 的熵相同。（這種情形的一個非常特殊的情況是當 _X_ 和 _Y_ 為相同隨機變數時。）

相互資訊是 _X_ 和 _Y_ 的聯合分布相對於假定 _X_ 和 _Y_ 獨立情況下的聯合分布之間的內在依賴性。
於是相互資訊以下面方式度量依賴性：_I_(_X_; _Y_) = 0 若且唯若 _X_ 和 _Y_ 為獨立隨機變數。從一個方向很容易看出：當 _X_ 和 _Y_ 獨立時，_p_(_x_,_y_) = _p_(_x_) _p_(_y_)，因此：

　
: $\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.\,\!$

此外，相互資訊是非負的（即 $I(X;Y)\geq 0$ ; 見下文），而且是對稱的（即 $I(X;Y)=I(Y;X)$ ）。

## 與其他量的關係

相互資訊又可以等價地表示成

　
: ${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}$

其中 $\ H(X)$ 和 $\ H(Y)$ 是邊緣熵，_H_(_X_|_Y_) 和 _H_(_Y_|_X_) 是條件熵，而 _H_(_X_,_Y_) 是 _X_ 和 _Y_ 的聯合熵。注意到這組關係和併集、差集和交集的關係類似，於是用 Venn 圖表示。

在相互資訊定義的基礎上使用琴生不等式，我們可以證明 _I_(_X_;_Y_) 是非負的，因此 $\ H(X)\geq H(X|Y)$ 。這裡我們給出 I (X;Y) = H (Y) - H (Y|X) 的詳細推導:

　
: ${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)-\sum _{y}\log p(y)p(y)\\&{}=-H(Y|X)+H(Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X).\\\end{aligned}}$

上面其他性質的證明類似。

直觀地說，如果把熵 _H_(_Y_) 看作一個隨機變數於不確定度的量度，那麼 _H_(_Y_|_X_) 就是 " 在已知 _X_ 事件後 _Y_ 事件會發生 "的不確定度。於是第一個等式的右邊就可以讀作「將"Y 事件的不確定度 "，減去 ---" 在基於 _X_ 事件後 _Y_ 事件因此發生的不確定度 "」。

這證實了相互資訊的直觀意義為: "因 X 而有 Y 事件" 的熵 (基於已知隨機變數的不確定性) 在 "Y 事件" 的熵之中具有多少影響地位 ("Y 事件所具有的不確定性" 其中包含了多少 "Y|X 事件所具有的不確性")，意即 "Y 具有的不確定性" 有多少程度是起因於 X 事件；

```
    _舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量**兩個事件彼此之間的關聯性**。_
```

所以具體的解釋就是：相互資訊越小，兩個來自不同事件空間的隨機變數彼此之間的關聯性越低；相互資訊越高，關聯性則越高 。

 

注意到離散情形 _H_(_X_|_X_) = 0，於是 _H_(_X_) = _I_(_X_;_X_)。因此 _I_(_X_;_X_) ≥ _I_(_X_;_Y_)，我們可以制定」一個變數至少包含其他任何變數可以提供的與它有關的資訊「的基本原理。

相互資訊也可以表示為兩個隨機變數的邊緣分布 _X_ 和 _Y_ 的乘積 _p_(_x_) × _p_(_y_) 相對於隨機變數的聯合熵 _p_(_x_,_y_) 的相對熵：

　
: $I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)p(y)).$

此外，令 _p_(_x_|_y_) = _p_(_x_, _y_) / _p_(_y_)。則

　
: ${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}$

注意到，這裡相對熵涉及到僅對隨機變數 _X_ 積分，表達式 $D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))$ 現在以 _Y_ 為變數。於是相互資訊也可以理解為相對熵 _X_ 的單變數分布 _p_(_x_) 相對於給定 _Y_ 時 _X_ 的條件分布 _p_(_x_|_y_) ：分布 _p_(_x_|_y_) 和 _p_(_x_) 之間的平均差異越大，資訊增益越大。

### 連續相互資訊的量化

對連續型隨機變數量化的定義如下：

$$
f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}
$$

量化後的隨機變數 $X^{\Delta }$ :

 $X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta $ 。

則，

$$
I(X^{\Delta };Y^{\Delta })=H(X^{\Delta })-H(X^{\Delta }|Y^{\Delta })
$$

$$
\approx h(X)-log{\Delta }-(h(X|Y)-log{\Delta })
$$

$$
=I(X;Y)
$$

廣義而言，我們可以將相互資訊定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。

令 $\chi $ 為連續型隨機變數的值域， $P_{i}\in P$ , 其中 $P$ 為 $\chi $ 劃分所構成的集合，意即 $\cup _{i}P_{i}=\chi $ 。

以 $P$ 量化連續型隨機變數 $X$ 後，所得結果為離散型隨機變數，

 $Pr([X]_{P}=i)=\int _{P_{i}}dF(x)$ 。

對於兩連續型隨機變數 X、Y，其劃分分別為 P、Q，則其相互資訊可表示為：

 $I(X;Y)={\underset {P,Q}{sup}}I([X]_{P};[Y]_{Q})$ 。

## 參見

* 點間相互資訊
* 量子相互資訊

## 注釋

## 參考文獻

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