珠算

**珠算**，義為**使用算珠來進行計算**，一般特指用中式算盤來計算，對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱_珠算法則_。其源於中國籌算，在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013 年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

## 術語

珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：

* 算盤術語
  * 框
  * 樑
  * 上珠
  * 下珠
* 運珠相關
* 算術術語
  * 加算：即加法計算。
    * 被加數：
    * 加數：
    * 和 $a+b=c$ 的 c
  * 減算：即減法計算
    * 被減數：
    * 減數：
    * 差： $a-b=c$ 的 c
  * 乘算：即乘法計算
    * 實、被乘數：
    * 法、乘數：
    * 積： $a\times b=c$ 的 c
  * 除算：即除法計算
    * 實、被除數：
    * 法、除數：
    * 商： $a\div b=c$ 的 c
    * 餘： $a\div b=c..d$ 的 d

## 運珠

有兩種方式：

1. **雙手撥珠**，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯、約旦、黎巴嫩等。
2. **單手運珠**，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

**二五珠算盤**

一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是：

* 拇指撥下珠向上靠梁。
* 食指撥下珠向下離梁。
* 中指撥上珠靠梁和離梁。

**一四珠算盤**

（或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是：

* 食指撥上珠向下靠梁。
* 食指撥上珠向上離梁。
* 拇指撥下珠向上靠梁。
* 食指撥下珠向下離梁。

**一五珠算盤**

兩個手指的基本分工是：

* 食指撥上珠向下靠梁。
* 食指撥上珠向上離梁。應該是拇指
* 拇指撥下珠向上靠梁。
* 食指撥下珠向下離梁。

 

## 算法

### 布數

布數是指表現數字的算珠擺放方式。

### 加算

方法為_**同位值相加，逢十進一**_，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）**1937+284**

**口訣**

可輔助學習，熟練後亦可不用。

以 +3 為例:

* 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
* 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
* 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

### 減算

方法為_**同位值相減，不夠借位**_，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）**2756-957**

**口訣**

可輔助學習，熟練後亦可不用。

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。
「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。
「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

**負數**

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作**懸珠**來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

### 乘算

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

　
: $32*97$

　
: $=32*(90+7)$

　
: $=32*90+32*7$

更進一步分解，

　
: : $=(30+2)*90+(30+2)*7$

　
: $=30*90+2*90+30*7+2*7$

計算時，不用考慮位值，則只需計算_一位 × 一位_，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個_一位 × 一位_的結果先計算出來，此即為乘法口誤 —— 九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

* **看頭乘法**，_被乘數、乘數放置盤面上_。
  * 看頭乘法，又稱_見乘法_，_乘法速算法_。
* **破頭乘法**，_被乘數、乘數不放置盤面上_。
  * 破頭乘法，又稱_頭乘法_
  * 破頭乘法別法，又稱_新頭乘法_，或稱_隔位乘法_。

此外，另有一種技巧 **湊倍乘法**，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「_×1_、_×2_、_×5_ 的某種組合」如：被乘數 ×8 相當於 被乘數 x (10-2)。而「_×1_、_×2_、_×5_」這三種運算是容易心算的。

**看頭乘法**
**破頭乘法**
**新頭乘法**

（例）**32×97**

**湊倍乘法**

### 除算

方法跟長除法類似，即**逐位（由高位向低位）來決定適合的商**。計算方式主要分兩步驟**估商**（或試商）和**減積**。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

#### 商除法

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例） $22\div 7$

* 第一位
* 第二位
* 第三位

得到 $22\div 7=3.14..0.02$ 。

 
而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是**夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商**。

以密率為例，說明完整的商除法。

 
以 $355\div 113$ 為例

* 第一位
* 第二位
* 第三位
* 第四位
* 第五位

 

* 第六位。注意，這位是**不夠除，挨位置商**。
* 第七位。

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

**修正商**

計算過程中，若發現所估的商過大，則要**退商**；若估商太小，則要**補商**。

#### 歸除法

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為**單歸法**，除數為多位的，則為**歸除法**。

##### 九歸訣

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「
一歸如一進、見一進成十； 
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十； 
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十； 
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十； 
五歸添一倍、逢五進成十； 
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十； 
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十； 
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十； 
九歸隨身下、逢九進成十 

」 

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。 
以**三一三十一**為例，第一個數字為三，是_除數的首數為三_，第二個數字為一，是_被除數首數為一_，數字雖為 1，但計算的是 $1\times 10$ 。
而**三十一**意指**商為 3 ，餘為 1**。同樣的，**三二六十二**是指 **$20\div 3=6..2$** 。**逢三進成十**是指 **$30\div 3=10..0$** 。 
有些語句是用**下加幾**來表示，是指**商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾**。以**七二下加六**為例， **$20\div 7=2..6$** 。
**五歸添一倍**是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如： $30\div 5=6$ ） 

其中，部分口訣，也成了成語。如**二一添作五**意味**兩者平分**，**三一三十一**意味**三者平分**。 

**其他版本**

也有幾種不同的版本，如簡化版：「 
一歸如一進，見一進成十； 
二一添作五，逢二進成十； 
三一三十一，三二六十二，逢三進成十； 
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十； 
五歸添一倍，逢五進成十； 
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十； 
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十； 
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十； 
九歸隨身下，逢九進成十。 

」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三**餘**一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「 
一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。 
二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。 
三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。 
四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。 
五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。 
六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。 
七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。 
八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。 
九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。 

」

##### 單歸法（除數為一位）

以約率為例。

（例） $22\div 7$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

##### 歸除法（除數為多位）

跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 $12345\div 321$ 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為**歸**，除數的首數以外的數稱為**除**。除數為 321 的話，稱作 **3 歸 21 除**，意味著用 **3 歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積**。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要**增商**，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需**退商**，則有**退商口訣**：

* 一歸：無除起一下還一
* 二歸：無除起一下還二
* 三歸：無除起一下還三
* 四歸：無除起一下還四
* 五歸：無除起一下還五
* 六歸：無除起一下還六
* 七歸：無除起一下還七
* 八歸：無除起一下還八
* 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

 
另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用**撞歸口訣**：

* 一歸：見一無除撞九一
* 二歸：見二無除撞九二
* 三歸：見三無除撞九三
* 四歸：見四無除撞九四
* 五歸：見五無除撞九五
* 六歸：見六無除撞九六
* 七歸：見七無除撞九七
* 八歸：見八無除撞九八
* 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。

 
以密率為例，因為除數為 $113$ ，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

* 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
* 退商口訣：無除起一下還一。
* 撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例） $355\div 113$

* 第一位
* 第二位
* 第三位
* 第四位
* 第五位
* 第六位
* 第七位

 
得 $355\div 113=3.141592..0.000104$ 。

#### 湊倍除法

或稱**累減除法**、**大扒皮**，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

### 開平方

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤，一副是根，一副是廉，一副是隅

## 驗算

**還原驗算法**

一、交換律

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：乘數*被乘數=積
```

二、逆運算

```
   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式：被乘數*乘數=積
   驗算公式：積/被乘數=乘數
   除法算式：被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數
```

三、尾錯復尾

```
   只再計算最後幾位數一次
```

**九餘數法**

只能驗加法，減法，乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

```
        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
```

範例二、 123\*456=68934

```
         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
```

範例三、 22\*68\*53=369780

```
         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
```

範例四、 23^4=367981

```
         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
```

```
   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         
```

**九除法**

**十一除法**

**二除法**

## 珠算競技

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。

## 參考文獻

## 外部連結

* 珠算全球資訊網 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 世界珠心算網 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* 算盤
* 籌算
* 心算
* 《算法統宗》