电位移矢量

在電磁學裏，**電位移**是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移 $\mathbf {D} $ 以方程式定義為

　
: $\mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} $ ；

其中， $\varepsilon _{0}$ 是電常數， $\mathbf {E} $ 是電場， $\mathbf {P} $ 是電極化強度。

## 概述

高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度 $\rho _{total}$ 除以電常數：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}$ 。

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度 $-\rho _{bound}$ ：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}$ 。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度 $\rho _{free}$ ：

　
: $\rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}$ 。

所以，電位移的散度等於自由電荷密度 $\rho _{free}$ ：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}$ 。

這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度 $\rho _{free}$ ，或許可以用高斯方法來計算電位移 $\mathbf {D} $ 。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度 $\rho _{free}$ ，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：

　
: $\nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )$ 。

假設電場為不含時電場（即與時間無關的電場）， $\nabla \times \mathbf {E} =0$ ，則

　
: $\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} $ 。

假若 $\nabla \times \mathbf {P} \neq 0$ ，則雖然設定 $\rho _{free}=0$ ，電位移仍舊不等於零： $\mathbf {D} \neq 0$ ！

舉例而言，擁有固定電極化強度 $\mathbf {P} $ 的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度 $\mathbf {P} $ 會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度 $\mathbf {P} $ 和邊界條件納入考量。

## 線性電介質

「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為

　
: $\mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} $ ；

其中， $\chi _{e}$ 是電極化率。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到

　
: $\mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} $ ；

其中， $\varepsilon $ 是電容率。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，

　
: $\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}$ 。

假設這電介質具有均勻性，則電容率 $\varepsilon $ 是常數：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon $ 。

定義相對電容率 $\varepsilon _{r}$ 為

　
: $\varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}$ 。

相對電容率與電極化率有以下的關係：

　
: $\varepsilon _{r}=1+\chi _{e}$ 。

要注意的一點是，上式 $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} $ 的描述只是一種近似關係，當 $\mathbf {E} $ 變得很大時， $\mathbf {D} $ 與 $\mathbf {E} $ 就不再成正比關係了。這主要是由於介電質物質的物理特性是很複雜的。也可以理解為，這個式子就像虎克定律一樣，只是一種近似。

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。

## 應用範例

如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為 $-Q$ 、 $+Q$ 。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，

　
: $\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q$ ；

其中， $\mathbb {S} $ 是扁長方形盒子的閉合表面， $\mathbf {D} _{+}$ 是帶正電平板導體所產生的電位移， $d\mathbf {a} $ 是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與 $\mathbf {D} _{+}$ 向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：

　
: $2D_{+}A=Q$  ;

其中， $A$ 是盒子頂面、底面的面積。

所以， $\mathbf {D} _{+}$ 向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為

　
: $D_{+}=Q/2A$ 。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移； $\mathbf {D} _{-}$ 向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為

　
: $D_{-}=Q/2A$ 。

應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間， $\mathbf {D} _{+}$ 和 $\mathbf {D} _{-}$ 的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度： $D=Q/A$ 。在兩片平板導體的共同上方或共同下方， $\mathbf {D} _{+}$ 和 $\mathbf {D} _{-}$ 的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為 $\varepsilon $ ，則在兩片平板導體之間，電場的大小為

　
: $E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A$ 。

假設兩片平板導體的間隔距離為 $d$ ，則電壓 $V$ 為

　
: $V=Ed=Qd/\varepsilon A$ 。

這平行板電容器的電容 $C$ 為

　
: $C=Q/V=\varepsilon A/d$ 。

## 參閱

* 《論法拉第力線》
* 《論物理力線》
* 位移電流
* 電磁波方程式

## 參考文獻