環群

在數學中，特別是抽象代數裡，**擬群**是一種類似於群的代數結構。擬群與群的相像之處是也能夠進行除法運算，但擬群中並沒有群所擁有的結合律。有單位元的擬群稱作**么擬群**或者**圈**（loop）。 

## 定義

擬群的正規定義有兩種，分別帶有一種和三種二元運算。

### 代數

一個**擬群** (_Q_, \*) 是一個集合 _Q_ 與一個二元運算 \* 的結合（即一個原群），滿足對 _Q_ 中的任意元素 _a_ 和 _b_，都存在唯一的 _Q_ 中元素 _x_ 和 _y_，使得：

* _a_\*_x_ = _b_ ；
* _y_\*_a_ = _b_ 。

這兩個唯一的元素被記作：_x_ = _a_ \ _b_ 和 _y_ = _b_ / _a_。其中「\」 和 「/」分別表示被二元運算所定義的「左除法」和「右除法」。擬群的公理化需要用到存在量詞，因此也就需要建立在一階邏輯之上。

### 泛代數

擬群的第二個定義是建立在泛代數的背景中。泛代數希望代數結構為簇，也就是說其公理化過程應該只需要到等式的概念。在這樣的要求下，擬群被定義為：

一個**擬群** (_Q_, \*, \, /) 是一種 (2,2,2) 代數，其滿足等式:

* _y = x \* (x_ \ _y)_ ；
* _y = x_ \ _(x \* y)_ ；
* _y = (y_ / _x) \* x_ ；
* _y = (y \* x)_ / _x_ 。

因此如果 (_Q_, \*) 是依據第一種定義的擬群，那麼 (_Q_, \*, \, /) 則是其在泛代數範疇內對應的概念。

## 環

一個有單位元的擬群稱為一個**么擬群**或一個**圈**，也可稱作一個**環**，這裡的單位元是指 _Q_ 中元素 _e_ 使得：

* _x_\*_e_ = _x_ = _e_\*_x_ 。

可以證明單位元 _e_ 是唯一的，並且這時每一個 _Q_ 中元素都有唯一的一個左逆元和右逆元。

## 例子

* 每個群都是圈，因為 _a_ \* _x_ = _b_ 若且唯若 _x_ = _a_−1 \* _b_，以及 _y_ \* _a_ = _b_ 若且唯若 _y_ = _b_ \* _a_−1。
* 整數集合 **Z** 以及其上的減法 (−) 構成擬群（但不構成半群）。
* 所有非零的有理數的集合 **Q**\* （或者所有非零實數構成的 **R**\*）以及其上的除法 (÷) 構成一個擬群。
* 所有特徵不為 2 的域上的向量空間以及其上的二元運算 _x_ \* _y_ = (_x_ + _y_) / 2 構成了一個冪等的交換的擬群。
* 每個斯坦納三元系統都定義了一個冪等交換的擬群：其運算為將 _a_ \* _b_ 對應到包含 _a_ 和 _b_ 的三元數組的第三個元。
* 集合 {±1, ±i, ±j, ±k}，其中 ii = jj = kk = 1 並且其他運算同於四元群，構成了非結合的 8 元圈。
* 非零八元數以及其上的乘法構成了一個圈，稱為 Moufang 圈.
* 一般來說，一個可除代數上的所有非零元構成一個擬群。

## 性質

擬群具有可消去性：如果 _ab_ = _ac_，那麼 _b_ = _c_。同樣地，如果 _ba_ = _ca_，那麼 _b_ = _c_。

### 左乘與右乘

擬群 _Q_ 的定義說明擬群中的左乘變換和右乘變換：

　
: $L(x)y=xy\,$

　
: $R(x)y=yx\,$

都是 _Q_ 到自身的雙射。原群 _Q_ 是擬群若且唯若這兩個變換是雙射變換，而且它們的逆變換給出了右除和左除變換：

　
: $L(x)^{-1}y=x\backslash y\,$

　
: $R(x)^{-1}y=y/x\,$

在這種標記下，擬群寫作：

　
: ${\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &(y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &(yx)/x&=y\end{aligned}}$

### 拉丁方

一個有限擬群的乘法構成的乘法表是一個拉丁方：一個 _n_ × _n_ 的表格，每行每列都是 n 個不同的元素的排列，並且每個元素恰好出現在每一行和每一列各一次。

反之，每個拉丁方都可以以多種方式成為一個擬群的乘法表。

### 逆的性質

對於每個圈，圈中的每個元素都有左逆和右逆：

　
: $x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e$

　
: $x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e$

稱一個圈是**雙邊可逆**的，如果對圈所有的 _x_， $x^{\lambda }=x^{\rho }$ 。 這時的擬元素一般簡記為 $x^{-1}$ 。

* 一個圈有 **左可逆性質**，如果對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $x^{\lambda }(xy)=y$ 。同樣地， $L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })$ 或者 $x\backslash y=x^{\lambda }y$ 。
* 一個圈有 **右可逆性質**，如果對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(yx)x^{\rho }=y$ 。 同樣地， $R(x)^{-1}=R(x^{\rho })$ 或者 $y/x=yx^{\rho }$ 。
* 一個圈有 **反自同構逆性質** ，如果 $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ 或者 $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ 。
* 一個圈有 **弱可逆性質**，如果 $(xy)z=e$ 若且唯若 $x(yz)=e$ 。一個等價的敘述是對所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ 或者 $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$ 。

如果一個圈同時具有左可逆和右可逆性質，則稱其有 **可逆性質**。可逆的圈同時也擁有反自同構逆性質和弱可逆性質。實際上，滿足以上四個性質中任意兩個的圈都是可逆的，而滿足前三個性質之一的圈都是雙邊可逆的。

## 態射

一個擬群或圈同態是兩個擬群（圈）之間的映射：_f_ : _Q_ → _P_ 滿足 _f_(_xy_) = _f_(_x_)_f_(_y_)。 擬群同態保持了左右除法以及單位元（如果有的話）。

### 同倫與同痕

設 _Q_ 和 _P_ 為擬群，一個從 _Q_ 到 _P_ 的 **擬群同倫** 是一個從 _Q_ 到 _P_ 的映射三元組 (α, β, γ) 使得對 _Q_ 中所有的 _x_, _y_，有

　
: $\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,$

三個映射都相同時，就是一個擬群同態。

一個**同痕**是使得 (α, β, γ) 中所有的三個映射都是雙射的擬群同倫。兩個擬群是**同痕**的若且唯若它們之間存在同痕映射。
在拉丁方中，三元組 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一個置換以及其餘集合上的一個置換 γ 給出。

一個**自同痕**是從 _Q_ 射到自身的同痕。一個擬群的所有自同痕構成一個群。

每個擬群都與某個圈同痕。如果一個圈與某個群同痕，那麼它與此群同構，因此也為一個群。但是，如果一個擬群與某個群同痕，由於缺乏單位元，擬群本身不一定是群。比如說，實數集合 **R** 與其上的運算 (_x_+_y_)/2 構成的擬群同痕於 **R** 上的加法群，但它本身不是群。

## 參見

* 半群
* 么半群
* 同倫
* 同痕

## 參考來源

* Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," _Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21_: 93–103.
* Bruck, R.H. (1958) _A Survey of Binary Systems_. Springer-Verlag.
* Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) _Quasigroups and Loops: Theory and Applications_. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
* Pflugfelder, H.O. (1990) _Quasigroups and Loops: Introduction_. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
* Smith, J.D.H. (2007) _An Introduction to Quasigroups and their Representations_. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
* -------- and Anna B. Romanowska (1999) _Post-Modern Algebra_. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

## 外部連結

* 擬群
* 擬群理論和圈理論中的問題