瑞利-贝纳德对流

**瑞立 - 貝納德對流**（Rayleigh–Bénard convection）泛指一類自然對流，這類對流常常發生在從底部加熱的一層流體表面上。發生對流的流體在表面形成的、具有規則形狀的對流單體叫做**貝納德原胞**（Bénard cell）。因為在理論研究和實驗上並具可行性，瑞立 - 貝納德對流是被研究得最多的對流現象之一，而對流形成的圖案也成為了在自組織的非線性系統中被測試得最細的一個例子，在物理學以及大氣科學中被廣泛用於各種環流和對流現象的研究中。

浮力和重力是形成瑞立 - 貝納德對流的主要原因。位於底部的液體因為受熱而密度較低，在其上浮過程中自發形成了規則的原胞圖案。

## 物理過程

瑞立 - 貝納德對流的特徵可以通過法國物理學家亨利・貝納德在 1900 年完成的一個簡單實驗來觀察。

### 對流形成

實驗利用了夾在兩層平行板之間的一層液體（例如水）。首先，令上下兩板的溫度一致；夾在兩板之間的液體會趨向熱力學平衡；此平衡也是漸進穩定的。接著，稍稍升高底部的溫度將導致熱量通過液體向上傳導；系統開始出現熱傳導的結構，線性的溫度梯度被建立起來。此時，微觀的無序運動會自發地在宏觀尺度上變得有序，形成具有一定特徵相關長度的貝納德原胞。

### 熱傳導特徵

在瑞立 - 貝納德對流中，對流原胞的旋轉是穩定的，順時針和逆時針的方向交替出現：這是自發對稱破缺的一個實例。貝納德原胞處於亞穩態，較小的擾動不會改變原胞的旋轉，而較大的則會有影響。這也是某種形式的遲滯現象的表現。

另外在模擬的過程中也發現，微觀層面上具有決定性的定律，在宏觀層面上卻造成了非決定性的結果。對初態進行微觀層面上的擾動足以產生非決定性的宏觀效應。某個微觀擾動在宏觀上產生的效應是無法計算的，這也是複雜系統（complex system）的特徵之一（即蝴蝶效應）。如果進一步提升液體底部的溫度，之前形成的亂流會變得混沌起來。

對流的貝納德原胞趨向於形成規則的正六角稜柱，特別是在沒有過分擾動的情況下；在某些實驗條件下，原胞也會出現正四稜柱或螺旋狀。

貝納德原胞常出現在由表面張力驅動的對流中。一般來說，瑞立和皮爾森的分析（線性理論）的解導致了簡併的出現。若考慮實際的系統，對流圖案則取決於系統邊界的形狀。

## 瑞立 - 貝納德不穩定性

由於液體的上表面和下表面之間有密度梯度，重力會使較冷的、密度較大的液體向下運動，而此運動會受到液體粘性阻尼的阻擾。兩股作用力的平衡可以由一個無因次的參數（瑞立數）來表示。此處的瑞立數定義如下：

　
: $\mathrm {Ra} _{L}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{b}-T_{u})L^{3}$

其中

　
: _Tu_ 表示液體上表面的溫度；

　
: _Tb_ 表示液體下表面的溫度；

　
: _L_ 表示容器的高度；

　
: _g_ 表示重力加速度；

　
: _ν_ 表示黏度；

　
: _α_ 表示熱擴散率；

　
: _β_ 表示熱膨脹係數。

隨著瑞立數的增大，重力在系統中的影響越大。系統在臨界瑞立數 1708 時開始不穩定，出現對流原胞。

在某穩定系統中通過對線性化的方程式進行微擾分析，可獲得某些邊界條件下的臨界瑞立數。最簡單情況的是兩條自由的邊界（即瑞立男爵在 1916 年解出的情況），得到的瑞立數 Ra =27⁄4 π4≈ 657.51。對於剛性的底部和自由的頂部邊界條件（對應著無蓋的水壺），則有臨界瑞立數 Ra = 1,100.65。

## 表面張力效應

若液體上表面與空氣接觸，浮力和表面張力也會參與對流圖案的形成。由於馬倫哥尼效應，液體趨向於流向表面張力較強的區域。升高溫度會降低液體的表面張力，導致液體從較熱的區域流向較冷的區域。為了保持液面水平，較冷的液體將會下降，這也成為了對流原胞形成的驅動力之一。這一類由溫度梯度驅動的特殊例子被稱為熱毛細對流（thermo-capillary convection）或貝納德 - 馬倫哥尼對流（Bénard–Marangoni convection）。

## 歷史與命名

瑞立男爵是最早對瑞立 - 貝納德對流進行成功的理論分析的科學家，他假設的邊界條件是：在上下表面邊界，流體速度在豎直方向上的分量為零，且沒有溫度干擾。這些假設令他的分析與亨利・貝納德的實驗相左。之後，皮爾森基於對表面張力的考慮，重新對貝納德的實驗進行了分析。雖然如此，現今用「瑞立 - 貝納德對流」指代溫度造成的效應，而用「貝納德 - 馬倫哥尼對流」指代表面張力造成的效應。Davis 和 Koschmieder 建議將瑞立 - 貝納德對流正名為「皮爾森 - 貝納德對流」。

## 另見

* 流體動力穩定性
* 馬倫哥尼效應
* 自然對流
* 巨人堤道

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Subrahmanyan Chandrasekhar (1982). _Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability_ (Dover). ISBN 0-486-64071-X
* P.G. Drazin and W.H. Reid (2004). _Hydrodynamic Stability,_ second edition (Cambridge University Press).
* A.V. Getling (1998). _Rayleigh-Bénard Convection: Structures and Dynamics_ (World Scientific). ISBN 9810226578
* E.L. Koschmieder (1993). _Bénard Cells and Taylor Vortices_ (Cambridge University Press). ISBN 0-521-40204-2
* B. Saltzman (ed., 1962). _Selected Papers on the Theory of Thermal Convection, with Special Application to the Earth's Planetary Atmosphere_ (Dover).
* R. Kh. Zeytounian (2009). _Convection in Fluids: A Rational Analysis and Asymptotic Modelling_ (Springer).

## 外部連結

* A. Getling, O. Brausch: Cellular flow patterns （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* K. Daniels, B. Plapp, W.Pesch, O. Brausch, E. Bodenschatz: Undulation Chaos in inclined Layer Convection
* Karen E. Daniel, Oliver Brausch, Werner Pesch, Eberhard Bodenschatz: Competition and bistability of ordered undulations and undulation chaos in inclined layer convection （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PDF; 608 kB)
* P. Subramanian, O. Brausch, E. Bodenschatz, K. Daniels, T.Schneider W. Pesch: Spatio-temporal Patterns in Inclined Layer Convection （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PDF; 5,3 MB)