热力学噪声

**詹森–奈基斯特雜訊**（英語：Johnson–Nyquist noise，也稱作**熱雜訊**， **詹森雜訊**，或**奈基斯特雜訊**）是由於熱攪動導致導體內部的電荷載體（通常是電子）達到平衡狀態時的電子雜訊，與所施加電壓無關。一般用統計物理推導該雜訊被稱作波動耗散定理，這裡用廣義阻抗或廣義極化率來表徵該介質。

一個理想電阻器的熱雜訊接近白雜訊，也就是功率譜密度在整個頻譜範圍內幾乎是不間斷的（然而在極高頻時並不如此）。 當限定為有限帶寬時，熱雜訊近似高斯分布。

## 歷史

該類型雜訊是由約翰・詹森（John Bertrand Johnson）1926 年在貝爾實驗室發現並且第一次測量的。 他向哈里・奈基斯特描述了他的發現，奈基斯特當時也在貝爾實驗室並且能夠解釋這個結果。

## 雜訊電壓與功率

熱雜訊與散粒雜訊完全不同，散粒雜訊包括額外的電流波動，當提供電壓並伴隨宏觀電流開始流動時就會產生。一般情況下，上述定義適用於任何類型的導電介質的電荷載體（例如，電解質中的離子），而不只是電阻。可以通過一個能提供非理想電阻雜訊的電壓源串聯一個無雜訊的理想電阻來類比。

單邊功率譜密度，或電壓變化（均方）帶寬每赫茲，由下式給出

　
: ${\overline {v_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR$

其中 _k_B 是波茲曼常數用焦耳每克耳文表示， _T_ 是電阻的絕對溫度用克耳文表示，_R_ 是電阻值用歐姆 (Ω) 表示。

該公式可用於室溫下的快速計算：

　
: ${\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.$

例如，一個 1 kΩ 電阻溫度在 300 K 時有

　
: ${\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1~\mathrm {k} \Omega }}=4.07~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.$

對於給定帶寬，電壓 $v_{n}$ 給出

　
: $v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}$

其中 Δ_f_ 為已測雜訊之上的帶寬用赫茲表示。一個 1 k 電阻器在室溫及 10 kHz 帶寬情況下的 RMS 雜訊電壓是 400 nV。 一個有用的經驗法則需要記住的是，50 Ω 在室溫及 1 Hz 帶寬下對應於 1 nV 的雜訊。

電阻器短路連接時的耗散雜訊功率

　
: $P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.$

電阻器所產生的雜訊可以傳遞至其餘電路；最大的雜訊功率傳遞發生在雜訊產生阻抗與剩餘電路的戴維寧等效阻抗阻抗匹配時。在這種情況下兩部分阻抗中的任意一個的耗散雜訊均作用在其本身和其他電阻。由於其中的任何一個電阻只有一半的壓降，因此雜訊功率

　
: $P=k_{\text{B}}\,T\Delta f$

此處 _P_ 是熱雜訊功率用瓦表示。注意這是獨立的雜訊產生阻抗。

## 雜訊電流

雜訊源也可以通過電流源並聯電阻方式來類比，通過諾頓等效相應的只要簡單地除以 _R_ 便可以得到。這裡給出該電流源的均方根值為：

　
: $i_{n}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.$

熱雜訊是所有電阻的固有屬性，並不是糟糕的設計或製造商的標記，儘管電阻可能還含有多餘的雜訊。

## 雜訊功率的分貝表示

訊號功率測量通常用 dBm（分貝相對於 1 毫瓦）表示。根據上述公式，雜訊電源電阻在室溫下的雜訊功率，用 dBm 表示為：

　
: $P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\Delta f\times 1000)$

其中的因數 1000 的出現是因為功率是用毫瓦表示的，而不是瓦。這個等式可以簡化將帶寬與常數部分分離：

　
: $P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\times 1000)+10\ \log _{10}(\Delta f)$

其更通常的近似於室溫度（T=300K）的形式為：

　
: $P_{\mathrm {dBm} }=-174+10\ \log _{10}(\Delta f)$

此處 $\Delta f$ 用赫茲表示；例如，對於一個噪音帶寬的 40 MHz， $\Delta f$ 為 40,000,000。

使用該公式，雜訊功率對於不同帶寬便可簡單計算：

　
: :

## 電容器上的熱雜訊

電容器上的熱雜訊被稱為 _kTC_ 雜訊。熱雜訊在一個 RC 電路有一個非常簡單的表達，當作阻抗（_R_）從公式中移除。這是因為更高的 _R_ 有助於更好的濾波但也產生更多雜訊。RC 電路的雜訊帶寬是 1/(4_RC_)，它可代入上述公式，以消除 _R_。這樣一個濾波器產生的雜訊電壓的均方與 RMS 為：

　
: ${\overline {v_{n}^{2}}}=k_{\text{B}}T/C$

　
: $v_{n}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.$

熱雜訊在電阻中占 100% 的 _kTC_ 的雜訊。

在極端的情況下開啟一個理想開關會存留「重置雜訊」在電容器上，阻抗是無限的，但公式仍然適用；但是，現在 RMS 必須解釋為非時間上的平均，但是許多這樣的重複事件的平均，由於電壓在帶寬為零時為常數。從這個意義上講，RC 電路的詹森雜訊可以看作是固有的、電子在電容器上數量分布熱力學效應，甚至不涉及電阻。

雜訊並非電容器本身引起的，而是由電容器上的一定數量電荷的熱力學波動引起的。一旦電容器與導體電路斷開連接、熱力學波動便「凍結」在如上面給出的一個標準偏差的隨機值上。

電容的復位雜訊感測器通常是一個有限雜訊源，例如在圖象感測器中。 作為電壓雜訊的一種替代，電容的復位雜訊也可以進行定量為電荷的標準偏差，有

　
: $Q_{n}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}.$

由於電荷差異是 $k_{\text{B}}TC$ ，雜訊常被稱為「KTC 雜訊」。

任何系統在熱平衡有狀態變量與平均能量的 _kT_/2 每自由度。使用電容能量 (_E_ =½_CV_2)，意味著電容器上的雜訊能量在一個容器中可以看出也為 ½_C_(_kT_/_C_)，或 _kT_/2. 電容器上的熱雜訊可以從該關係導出，無需考慮阻抗。

_kTC_ 雜訊在小容量電容器中占主導地位。

　
: :

## 廣義形式

 $4k_{\text{B}}TR$ 雜訊電壓上所述是一個特殊的情況下對一個純粹的阻性成分用於低頻率。在一般情況下，熱電雜訊將繼續是有關阻響應在許多更廣義的用電情況下，由於 波動的分散定理的。下面的各種一般化狀況是值得注意的。所有的這些概括分享一個共同的限制，即它們只適用情況的電氣部件下考慮的是純粹的被動和線性的。

### 反應型阻抗

奈基斯特的原始文件還提供了廣義的雜訊的組成部分具有反應性反應，例如，來源包含電容器或電感。 這樣的一個成分可以被描述過頻率相關的複雜的電阻抗 $Z(f)$ 中。 該公式的功率譜密度的系列雜訊電壓

　
: $S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].$

功能 $\eta (f)$ 只是等於 1，除了在非常高的頻率，或者附近的絕對零度 (見下文)。

真正的一部分的阻抗， $\operatorname {Re} [Z(f)]$ 是在一般的頻率相等的詹森 - 奎斯特的噪音不是白噪音。
Rms 雜訊電壓跨越的頻率 $f_{1}$ 至 $f_{2}$ 可以通過整合的功率譜密度：

　
: ${\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}$ 。

或者，一個平行的噪音目前可以被用於描述了詹森雜訊，它的功率譜密度正在

　
: $S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].$

那裡 $Y(f)=1/Z(f)$ 是電准入；以注意， $\operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}$

### 量子效應的頻率高溫或低溫

奎斯特還指出，量子效應的發生頻率非常高或極低的溫度附近的絕對零度。功能 $\eta (f)$ 一般由導出

　
: $\eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}},$

那裡 $h$ 是普朗克常數的。

在非常高的頻率 $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$ ，功能 $\eta (f)$ 開始呈指數減少到零。在室溫下這個轉變發生在太赫茲，遠遠超出了能力的傳統的電子產品，因此它是有效的設定 $\eta (f)=1$ 對於傳統的電子工作。

#### 相對於普朗克定律

奎斯特的公式與普朗克 1901 年為電磁輻射的一個黑體在單一維度上 —— 即它是一維的普朗克黑體輻射定律基本上是一樣的。換句話說，一個熱電阻將創建電磁波傳輸線路只是作為一個熱目將創造的電磁波的自由空間。

在 1946 年，迪克闡明的關係，和進一步把它連接到性天線，特別是事實上的平均天線口超過所有不同的方向不能大於 $\lambda ^{2}/(4\pi )$ ，其中 λ 是波長。這是來自不同頻率的依賴的 3D 對 1D 普朗克定律。

### 多埠電氣網路

理察 \*Q.Twiss 延長奎斯特的公式，多埠被動電網路，包括非互惠的設備，例如循環器和隔離的。
熱噪音出現在每一個埠，並且可以被描述為隨機的系列電壓電源串聯在每個埠。 隨機電壓不同埠可能是相關的，而它們的振幅和相關性都充分說明通過一個集中的交叉頻譜密度功能有關的不同的雜訊電壓

　
: $S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})$

這裡的 $Z_{mn}$ 是阻抗矩陣 $\mathbf {Z} $ 的元素。
再一種替代說明的噪音，而不是在條款平行的當前來源應用在每個埠。 他們的跨譜密度給出的通過

　
: $S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})$

此處 $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ 為導納矩陣。

### 連續電動力學介質

奎斯特雜訊的充分概括可在波動電動力學中找到，其中描述了雜訊的電流密度在連續介質具有一個連續響應函數如介電常數或磁導率的耗散響應。
該等式的波動電動力學提供了一個通用框架用來描述詹森－奎斯特雜訊及空間黑體輻射。

## 參見

* 波動耗散定理
* 散粒雜訊
* 1/f 噪音
* 朗之萬方程式

## 參考資料