特徵標理論

在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的**特徵標**（character）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡 (Trace) 的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特 - 湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查・布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛 2 - 子群。

## 定義

設 _V_ 為一個域 _F_ 上的有限維向量空間且設 $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ 為一個群 _G_ 於 _V_ 上的表示。則 ρ 的**特徵標**即為如下給定之函數

　
: $\chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,$

其中 $\mathrm {Tr} $ 為矩陣的跡數。

一個特徵標 χρ 若被稱為是**不可約**的，即表示 ρ 是一個不可約表示。若被稱為是**線性**的，則表示 ρ 的維度等於 1。χρ 的**核**為集合

　
: $\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace $

其中 $\chi _{\rho }(1)$ 是 χρ 在群單位元上的值。當 ρ 是 _G_ 的 _k_ 維表示且 1 為 _G_ 的單位元時，

　
: $\chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho $

和特徵標群的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

## 拓撲群的情形

在調和分析中，通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 $G$ 的特徵標為連續群同態 $\chi :G\to \mathbb {S} ^{1}$ ；在此， $\mathbb {S} ^{1}$ 表示單位圓構成的群，等價地說就是 $\mathbb {R} /\mathbb {Z} $ 。

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 $\chi :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ ，而將取值在 $\mathbb {S} ^{1}$ 者稱作麼特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為**擬特徵標**。

 $G$ 的全體特徵標構成一個群 ${\hat {G}}$ ，群二元運算的定義是 $(\chi \cdot \eta )(g)=\chi (g)\to \eta (g)$ ，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

## 性質

* 特徵標是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ 會是個常數。
* 兩個同構的表示會有相同的特徵標。若係數域的特徵 char (_F_)=0，則兩個表示為同構的，若且唯若它們有著完全相同的特徵標。
* 若一個表示可以是多個子表示的直和： $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdot \oplus W_{r}$ ，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和： $\forall g\in G,\ \chi _{V}(g)=\chi _{W_{1}}(g)+\chi _{W_{2}}(g)+\cdot +\chi _{W_{r}}(g)$ 。
* 在有限群的情況下，每個特徵標 $\chi \ (g)$ 都是 n 個 m 次單位根之和，其中 n 為表示內域的維度，m 則是 g 的階。
* 若 _F_ 是代數封閉的且 char (_F_) 不可以整除 _G_ 的階 |，則 _G_ 的不可約特徵標之數量等於 _G_ 的共軛類數： $|Irr(G)|=|Conj(G)|$ 。

### 算術性質

令 $\rho $ 和 $\sigma $ 為 _G_ 的兩個表示，則有下列的等式成立：

　
: $\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$

　
: $\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$

　
: $\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$

　
: $\chi _{{\textrm {Alt}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

　
: $\chi _{{\textrm {Sym}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

其中 $\rho \oplus \sigma $ 為兩者的直和、 $\rho \otimes \sigma $ 為兩者的張量積、 $\rho ^{*}$ 為 $\rho $ 的共軛轉置、以及 **Alt** 稱為交替積 ${\textrm {Alt}}^{2}\rho =\rho \wedge \rho $ 而 **Sym** 則稱為對稱方，其值由下式決定

　
: $\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho $ .

## 特徵標的誘導與限制

設 $G$ 為有限群， $H\leq G$ 為其子群，而 $\rho $ 為 G 的表示，其特徵標記為 $\chi $ 。令 $\mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )$ 為誘導表示 $\mathrm {Ind} _{H}^{G}(\rho )$ 的特徵標；根據弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有 $G$ 的特徵標 $\eta $ ，恆有下述等式

　
: $\langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi ),\eta \rangle _{G}=\langle \chi ,\eta |_{H}\rangle _{H}$

此等式可用來刻劃類函數 $\mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )$ 。事實上，若選定陪集分解

　
: $G=\bigcup _{t}Ht$

還可以明確地寫下 $\mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )$ 的取值：

　
: $\mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )(g)={\begin{cases}\sum _{tht^{-1}\in H}\chi (tht^{-1}),{\mbox{ if g is conjugate to some h}}\in H\\0,{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}$

## 特徵標表

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個**特徵標表**，其蘊含著許多有關群 _G_ 在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個 _G_ 的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群 _C_3 的特徵標表：

其中的 _u_ 為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是 1，其對應至群的**當然表示**上。

### 正交關係

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。

對特徵標 (即對特徵標表中的行) 的內積由下給出：

　
: $\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}$ 其中 ${\overline {\chi _{j}(g)}}$ 表示 $\chi _{j}$ 在 _g_ 上的值的複數共軛。

對於此一內積而言，不可約特徵標兩兩正規正交： $\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{如 果 }}\,i\neq j\\1&{\text{如 果 }}\,i=j\end{cases}}$

對表中的列的正交關係則由下列給出：

　
: 對 $g,h\in G$ ，其和為 ${\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}1/\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 共 軛 }}\\0&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 不 共 軛 }}\end{cases}}$

其中相加的範圍為所有 _G_ 的不可約特徵標 $\chi _{i}$ ，而符號 $\left|C_{G}(g)\right|$ 則表示為 _g_ 的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算，如：

* 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
* 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。
* 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
* 求出群的階。

### 特徵標表性質

一個群 _G_ 的某些性質可以由其特徵表中推導出來：

* _G_ 的階就是表上所有特徵標之在 1 上的取值的平方：(χ(1))2 的總和（伯恩賽德公式）。
* _G_ 是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標，χ(1) = 1。
* _G_ 有一個非當然正規子群 (即 _G_ 不是一個簡單群) 若且唯若對於某些表上的非當然特徵標 χ 和一些於 _G_ 內的非單位元素 _g_，會有 χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構：例如，四元群 _Q_ 和有 8 個元素的二面體群 _D_4 會有同樣的特徵標表。

對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群，其和數論中有著很重要的關連。

## 參考文獻

* Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory, A First Course. Springer, New York. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8.  見第 2 章
* Isaacs, I.M. Character Theory of Finite Groups. Dover. 1994. ISBN 978-0-486-68014-9.  1976 年原版的修正重印版，由 Academic Press 所出版
* James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-00392-6.
* http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 化學中重要的點群的特徵標表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表。