特征脸

**特徵臉**（Eigenface）是指用於機器視覺領域中的人臉識別問題的一組特徵向量。使用特徵臉進行人臉識別的方法首先由 Sirovich and Kirby (1987) 提出，並由 Matthew Turk 和 Alex Pentland 用於人臉分類。該方法被認為是第一種有效的人臉識別方法。這些特徵向量是從高維矢量空間的人臉圖像的協方差矩陣計算而來。

## 生成特徵臉

**一組特徵臉** 可以通過在一大組描述不同人臉的圖像上進行主成分分析（PCA）獲得。任意一張人臉圖像都可以被認為是這些標準臉的組合。例如，一張人臉圖像可能是特徵臉 1 的 10%，加上特徵臉 2 的 55%，再減去特徵臉 3 的 3%。值得注意的是，它不需要太多的特徵臉來獲得大多數臉的近似組合。另外，由於人臉是通過一系列向量（每個特徵臉一個比例值）而不是數字圖像進行保存，可以節省很多存儲空間。

### 實現

以下是特徵臉的實現過程：

1. 準備一個訓練集的人臉圖像。構成訓練集的圖片需要在相同的照明條件下拍攝的，並將所有圖像的眼睛和嘴對齊。他們還必須在預處理階段就重採樣到一個共同的像素解析度（_R_×_C_）。現在，簡單地將原始圖像的每一行的像素串聯在一起，產生一個具有 _R_×_C_ 個元素的行向量，每個圖像被視為一個向量。現在，假定所有的訓練集的圖像被存儲在一個單一的矩陣 **T** 中，矩陣的每一列是一個圖像。
2. 減去均值向量。均值向量 _a_ 要首先計算，並且 **T** 中的每一個圖像都要減掉均值向量。
3. 計算協方差矩陣 **S** 的特徵值和特徵向量。每一個特徵向量的維數與原始圖像的一致，因此可以被看作是一個圖像。因此這些向量被稱作特徵臉。他們代表了圖像與均值圖像差別的不同方向。通常來說，這個過程的計算代價很高（如果可以計算的話）。
4. 選擇主成份。一個 _D_ x _D_ 的協方差矩陣會產生 _D_ 個特徵向量，每一個對應 _R_ × _c_ 圖像空間中的一個方向。具有較大特徵值的特徵向量會被保留下來，一般選擇最大的 N 個，或者按照特徵值的比例進行保存，如保留前 95%。

這些特徵臉現在可以用於標識已有的和新的人臉：我們可以將一個新的人臉圖像（先要減去均值圖像）投影到特徵臉上，以此來記錄這個圖像與平均圖像的偏差。每一個特徵向量的特徵值代表了訓練集合的圖像與均值圖像在該方向上的偏差有多大。將圖像投影到特徵向量的子集上可能丟失信息，但是通過保留那些具有較大特徵值的特徵向量的方法可以減少這個損失。例如，如果當前處理一個 100 x 100 的圖像，就會得到 10000 個特徵向量。在實際使用中，大多數的圖像可以投影到 100 到 150 個特徵向量上進行識別，因此，10000 個特徵向量的絕大多數可以丟棄。

### 計算特徵向量

直接在圖像的協方差矩陣上進行 PCA 計算在計算量上是不可行的。如果圖像比較小，如 100 × 100 的灰度圖像，則每個圖像是一個 10000 維空間的一個點，協方差矩陣 **S** 則具有 10,000 × 10,000 = 108 個元素。然而，協方差矩陣的秩受到訓練圖像的限制：如果有 _N_ 個訓練樣本，則最多有 _N_− 1 個對應非零特徵值的特徵向量。如果訓練樣本的數目比圖像的維數低，則可以通過如下方法簡化主成份的計算。

設 **T** 是預處理圖像的矩陣，每一列對應一個減去均值圖像之後的圖像。則，協方差矩陣為 **S** = **TT**T ，並且對 **S** 的特徵值分解為

　
: $\mathbf {Sv} _{i}=\mathbf {T} \mathbf {T} ^{T}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$

然而， **TT**T 是一個非常大的矩陣。因此，如果轉而使用如下的特徵值分解

　
: $\mathbf {T} ^{T}\mathbf {T} \mathbf {u} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}$

此時，我們發現如果在等式兩邊乘以 **T**，可得到

　
: $\mathbf {T} \mathbf {T} ^{T}\mathbf {T} \mathbf {u} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {T} \mathbf {u} _{i}$

這就意味著，如果 **u**i 是 **T**T**T** 的一個特徵向量，則 **v**i = **Tu**i 是 **S** 的一個特徵向量。假設我們的訓練集有 300 張 100 × 100 像素的圖像，則 **T**T**T** 是一個 300 × 300 的矩陣，這就比原先的 10,000 × 10,000 協方差矩陣要容易處理許多。需要注意的是，上面的特徵向量 **v**i 沒有進行歸一化，如果需要，應該在後面在進行處理。

## 在人臉識別中的應用

特徵臉的最直接的應用就是人臉識別。在這個需求下，特徵臉相比其他手段在效率方面比較有優勢，因為特徵臉的計算速度非常快，短時間就可以處理大量人臉。但是，特徵臉在實際使用時有個問題，就是在不同的光照條件和成像角度時，會導致識別率大幅下降。因此，使用特徵臉需限制使用者在統一的光照條件下使用正面圖像進行識別。

## 相關領域

* 主成分分析
* 人臉識別
* 模式識別

## 參考文獻

* D. Pissarenko. Eigenface-based facial recognition. 2003 [2012-12-30]. （原始內容存檔於 2021-03-22）.
* Belhumeur, P.N.; Hespanha, J.P.; Kriegman, D.J. Eigenfaces vs. Fisherfaces: recognition using class specific linear projection. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1997-07, **19** (7): 711–720 [2021-07-18]. doi:10.1109/34.598228. （原始內容存檔於 2021-12-21）.
* L. Sirovich and M. Kirby. Low-dimensional procedure for the characterization of human faces. Journal of the Optical Society of America A. 1987, **4** (3): 519–524. doi:10.1364/JOSAA.4.000519.
* M. Kirby and L. Sirovich. Application of the Karhunen-Loeve procedure for the characterization of human faces. IEEE Transactions on Pattern analysis and Machine Intelligence. 1990, **12** (1): 103–108. doi:10.1109/34.41390.
* M. Turk and A. Pentland. Face recognition using eigenfaces (PDF). Proc. IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition: 586–591. 1991 [2012-12-30]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2018-01-27）.
* M. Turk and A. Pentland. Eigenfaces for recognition (PDF). Journal of Cognitive Neuroscience. 1991, **3** (1): 71–86 [2012-12-30]. doi:10.1162/jocn.1991.3.1.71. （原始內容存檔 (PDF) 於 2017-08-30）.
* A. Pentland, B. Moghaddam, T. Starner, O. Oliyide, and M. Turk. (1993). "View-based and modular Eigenspaces for face recognition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". Technical Report 245, M.I.T Media Lab.
* T. Heseltine, N. Pears, J. Austin, Z. Chen (2003). "Face Recognition: A Comparison of Appearance-Based Approaches （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". _Proc. VIIth Digital Image Computing: Techniques and Applications_, vol 1. 59-68.
* Delac, K., Grgic, M., Liatsis, P. (2005). "Appearance-based Statistical Methods for Face Recognition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". _Proceedings of the 47th International Symposium ELMAR-2005 focused on Multimedia Systems and Applications_, Zadar, Croatia, 08-10 June 2005, pp. 151–158

## 外部連結

* Face Recognition Homepage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* PCA on the FERET Dataset （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Developing Intelligence （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Eigenfaces and the Fusiform Face Area
* A Tutorial on Face Recognition Using Eigenfaces and Distance Classifiers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Matlab example code for eigenfaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* OpenCV + C++Builder6 implementation of PCA
* Java Applet demonstration of eigenfaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）