特殊正交群

數學上，數體 _F_ 上的 _n_ 階**正交群**，記作 O (_n_,_F_)，是 _F_ 上的 _n_×_n_ 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群 GL (_n_,_F_) 的子群，由

　
: $\mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;$ 給出。

這裡 _QT_ 是 _Q_ 的轉置。實數體上的經典正交群通常就記為 O (_n_)。

更一般地，_F_ 上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當 - 迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。

每個正交矩陣的行列式為 1 或−1。行列式為 1 的 _n_×_n_ 正交矩陣組成一個 O (_n_,_F_) 的正規子群，稱為**特殊正交群** SO(_n_,_F_)。如果 _F_ 的特徵為 2，那麼 1 = −1，從而 O (_n_,_F_) 和 SO (_n_,_F_) 相等；其他情形 SO (_n_,_F_) 在 O (_n_,_F_) 中的指數是 2。特徵 2 且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義 SO (_n_,_F_) 為迪克森不變數的核，這樣它在 O (_n_,_F_) 中總有指數 2。

O(_n_,_F_) 和 SO (_n_,_F_) 都是代數群，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程式。

## 實數體上的正交群

實數體 **R** 上的正交群 O (_n_,**R**) 和特殊正交群 SO (_n_,**R**) 在不會引起誤會時經常記為 O (_n_) 和 SO (_n_)。他們是 _n_(_n_-1)/2 維實緊李群。O (_n_,**R**) 有兩個連通分支，SO (_n_,**R**) 是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。

實正交群和特殊正交群有如下的解釋：

O(_n_,**R**) 是歐幾里得群 _E_(_n_) 的子群，_E_(_n_) 是 **R**n 的等距群；O (_n_,**R**) 由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (_n_ = 3)、超球面和所有球面對稱的物件的對稱群。

SO(_n_,**R**) 是 _E_+(_n_) 的子群，_E_+(_n_) 是「直接」等距，即保持定向的等距；SO (_n_,**R**) 由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱物件的旋轉群。

{ _I_, −_I_ } 是 O (_n_,**R**) 的正規子群並是特徵子群；如果 _n_ 是偶數，對 SO (_n_,**R**) 也對。如果 _n_ 是奇數，O (_n_,**R**) 是 SO (_n_,**R**) 和 { _I_, −_I_ } 的直積。_k_ 重旋轉循環群 _Ck_ 對任何正整數 _k_ 都是 O (2,**R**) 和 SO (2,**R**) 的正規子群。

取合適的正交基，等距是

　
: ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

的形式。這裡矩陣 _R_1,...,_R_k 是 2×2 旋轉矩陣。

圓的對稱群是 O (2,**R**)，也稱為 Dih (S1)，這裡 S1 是模長 1 複數的乘法群。

SO(2,**R**) (作為李群) 同構於圓 S1（圓群）。這個同構將複數 exp (φ_i_) = cos(φ) + _i_ sin (φ) 映到正交矩陣

　
: ${\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}$ 。

群 SO (3,**R**)，視為 3 維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群和 3×3 旋轉矩陣利用軸和角的一般公式

在代數拓撲方面，對 _n_ > 2，SO(_n_,**R**) 的基本群是 2 階循環，而自旋群 Spin (_n_) 是其萬有覆疊。對 _n_ = 2 基本群是無限循環而萬有覆疊對應於實數軸（旋量群 Spin (2) 是惟一的 2 重覆疊）

李群 O (_n_,**R**) 和 SO (_n_,**R** 的李代數由斜對稱實 _n_×_n_ 矩陣組成，李括號由交換子給出。這個李代數經常記為 o (_n_,**R**) 或 so (_n_,**R**)。

### 保持原點的 3 維同構

保持 **R**3 原點不動的同構，組成群 O (_3_,**R**)，能分成如下幾類：

* SO(_3_,**R**):
  * 恆同
  * 繞一個過原點的軸轉動不等於 180°
  * 繞一個過原點的軸轉動 180°
* 以上與關於原點的點反演（**x** 映到−**x**）複合，分別為：
  * 關於原點的點反演
  * 繞一軸旋轉一個不等於 180° 的角度，與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
  * 關於一個過原點的平面的反射

特別地指出 4 階和 5 階正交群，在更寬泛的意義下 6 階也是，稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

### 共形群

作為保持距離的同構，正交轉換也保角，從而是共形轉換，但是不是所有的共形轉換都是正交轉換。**R**n 的線性共形映射構成的群記作 CO (_n_)，由正交群和收縮的乘積給出。如果 _n_ 是奇數，兩個子群不相交，他們是直積： $\operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} $ ；如果 _n_ 是偶數，兩個子群的交是 $\pm 1$ ，所以這不是直積，但這是和正收縮子群的直積： $\operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;$ 。

我們可以類似地定義 CSO (_n_)，這時總有 $\operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;$ 。

## 複數體上正交群

複數體 **C** 上，O (_n_,**C**) 和 SO (_n_,**C**) 是 **C** 上 _n_(_n_-1)/2 維的李群，這意味著實維數是 _n_(_n_-1)。O(_n_,**C**) 有兩個連通分支，SO (_n_,**C**) 是包含恆同矩陣的分支。當 _n_ ≥ 2 時，這些群非緊。

和實情形一樣，SO (_n_,**C**) 不是單連通的，對 _n_ > 2 SO(_n_,**C**) 的基本群是 2 階循環群，而 SO (2,**C**) 的基本群是無窮循環群。

O(_n_,**C**) 和 SO (_n_,**C**) 的複李代數由斜對稱複 _n_×_n_ 矩陣組成，李括號由交換子給出。

## 拓撲

### 低維數

低維實正交群是熟悉的空間：

　
: ${\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}$

由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多 SO (3) 上的卡。

### 同倫群

正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，從而一般是很難計算的。

但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群（也稱為有限正交群），定義為包含序列

　
: $O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)$

的正向極限（因為包含都是閉包含，從而是上纖維化，也能理解成並）。

 $S^{n}$ 是 $O(n+1)$ 的齊性空間，從而有如下纖維叢：

　
: $O(n)\to O(n+1)\to S^{n},$

可以理解為：正交群 $O(n+1)$ 遞移地作用於單位球面 $S^{n}$ 上，一點（看作一個單位向量）的穩定子群是其正交補餘的正交群，這是第一維的正交群。映射 $O(n)\to O(n+1)$ 是自然包含。

從而包含 $O(n)\to O(n+1)$ 是 _(n-1)_ - 連通的，故同倫群穩定，對 $n>k+1$ 有 $\pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))$ ，所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。

通過博特週期性定理， $\Omega ^{8}O\simeq O$ ，從而 _O_ 的同倫群以 8 為週期，即 $\pi _{k+8}O=\pi _{k}O$ ，這樣我們只要計算出最低 8 個同倫群就算出了所有群。

　
: ${\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}$

#### 和 KO - 理論的關係

通過 cluching construction，穩定空間 _O_ 的同倫群和穩定球面上的向量叢等價（同構的意義下），提高一個維數： $\pi _{k}O=\pi _{k+1}BO$ 。

設 $KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} $ （使得 $\pi _{0}$ 滿足週期性），我們得到：

　
: ${\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}$

#### 同倫群的計算和解釋

##### 低維群

最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。

 * $\pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2$ 保持 / 反定向（這個類存留到 $O(2)$ 從而穩定）

 $SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)$ 得出：

 * $\pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2$ 即自旋群
* $\pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0$ ，有到 $\pi _{2}(SO(4))$ 的滿射，從而後一個群消失。

##### 李群

由李群一般性事實， $\pi _{2}G$ 總消失， $\pi _{3}G$ 是自由阿貝爾群。

##### 向量叢

從向量叢的觀點來看， $\pi _{0}(KO)$ 是 $S^{0}$ 上的向量叢，具有兩個點。從而在每個點上，叢是平凡的，這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差，所以

　
: $\pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} $ 是維數。

##### 環路空間

利用博特週期性中環路空間具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用 $\pi _{0}$ 、_O_，以及 _O/U_ 有兩個分支， $KO=BO\times \mathbf {Z} $ 和 $KSp=BSp\times \mathbf {Z} $ 有 $\mathbf {Z} $ 個分支，其實是連通的。

#### 同倫群的解釋

一小部分結論：

 * $\pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} $ 是維數
* $\pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2$ 是定向
* $\pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2$ 是自旋
* $\pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} $ 是拓撲量子場理論

令 $F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} $ ，以及 $L_{F}$ 為射影線 $\mathbf {FP} ^{1}$ 上的重複線叢， $[L_{F}]$ 是其 K - 理論。注意到 $\mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}$ ，這些得出相應球面上的向量叢，以及：

 * $\pi _{1}(KO)$ 由 $[L_{\mathbf {R} }]$ 生成
* $\pi _{2}(KO)$ 由 $[L_{\mathbf {C} }]$ 生成
* $\pi _{4}(KO)$ 由 $[L_{\mathbf {H} }]$ 生成
* $\pi _{8}(KO)$ 由 $[L_{\mathbf {O} }]$ 生成

## 有限群上的正交群

正交群也能定義在有限體 $\mathbf {F} _{q}$ 上，這里 $q$ 是一個質數 $p$ 的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類： $O^{+}(2n,q)$ 和 $O^{-}(2n,q)$ ；奇數維有一類： $O(2n+1,q)$ 。

如果 $V$ 是正交群 $G$ 作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

　
: $V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W$ ，

這里 $L_{i}$ 是雙曲線而 $W$ 不包含奇異向量。如果 $W=0$ ，那麼 $G$ 是正類型；若 $W=<w>$ 那麼 $G$ 有偶維數；若 $W$ 有維數 2，則 $G$ 是負類型。

在 _n_ = 1 的特例， $O^{\epsilon }(2,q)$ 是階為 $2(q-\epsilon )$ 的二面體群。

當特徵大於 2 時，記 O (_n_,_q_) = { _A_ ∈ GL(_n_,_q_) : _A_·_A_t=I }。關於這些群的階數我們有以下公式

　
: $|O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$ 。

如果 $-1$ 是 $\mathbf {F} _{q}$ 中的平方元素

　
: $|O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$ 。

　
: 如果 $-1$ 不是 $\mathbf {F} _{q}$ 中的平方元素

　
: $|O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$ 。

## 迪克森不變數

對偶數維正交群，**迪克森不變數**是從正交群到 _Z_/2_Z_ 的同態，是 0 或 1 取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於 2 的域上迪克森不變數和行列式等價：行列式等於−1 的迪克森不變數次冪。

在特徵 2 的域上，行列式總為 1，所以迪克森不變數給出了額外的訊息。在特徵 2 域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變數為 0 的元素，而不是行列式為 1。

迪克森不變數也能對所有維數的克里福群和 Pin 群類似地定義。

## 特徵 2 域上正交群

特徵 2 域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

* 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標為 2 的 4 維向量空間（Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16）。注意特徵 2 域上的反射定義稍不同。特徵 2 域，垂直於一個向量 _u_ 的反射將 _v_ 映為 _v_+B(_v_,_u_)/Q(_u_)·_u_，這里 _B_ 是一個雙線性形式，_Q_ 是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德轉換是將 _v_ 映到 _v_-2·B(_v_,_u_)/Q(_u_)·_u_，當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。
* 特徵 2 時正交群的中心總是 1 階，而不是 2 階。
* 在特徵 2 的奇維數 2_n_+1 時，完全域上的正交群和 2_n_ 維辛群相同。事實上特徵 2 時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個 1 維的核，模去核的商是一個 2_n_ 維辛空間，正交群作用在它上面。
* 在特徵 2 的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

## 旋量模

旋量模是一個從域 _F_ 上正交群到域 _F_ 的乘法群模去平方元素

　
: _F_\*/_F_\*2

的同態，將關於模長為 _n_ 向量的反射映到 _F_\*/_F_\*2 中的 _n_。

旋量模對實數體上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數體上不定二次型定義的正交群。

## 伽羅瓦餘調和正交群

代數群的伽羅瓦餘調理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯繫；
但就目前所發現的現象而言，大部分都是「馬後炮」。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式（張量）可以與伽羅瓦 _H_1 等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式相聯繫。

一個旋量模的「spin」名字可以用與自旋群（更準確地 pin 群）的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦餘調（引入克里福代數的術語）來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列：

　
: $1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1$

這裡 μ2 是單位根的代數群；在一個特徵非 2 的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。

從 _H_0（就是取值於 _F_ 中點的群 _O_V(_F_)）到 _H_1(μ2) 的連接同態本質上是 spinor 模，因為 _H_1(μ2) 同構於域模去平方元素的乘法群。

正交群的 _H_1 到自旋群覆疊的核的 _H_2 也存在連接同態。因餘調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。

## 重要子群

物理中，特別是在 Kaluza-Klein 緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：

　
: $O(n)\supset O(n-1)$

　
: $O(2n)\supset SU(n)$

　
: $O(2n)\supset USp(n)$

　
: $O(7)\supset G_{2}$

正交群 O (n) 也是一些李群的重要子群：

　
: $SU(n)\supset O(n)$

　
: $USp(2n)\supset O(n)$

　
: $G_{2}\supset O(3)$

　
: $F_{4}\supset O(9)$

　
: $E_{6}\supset O(10)$

　
: $E_{7}\supset O(12)$

　
: $E_{8}\supset O(16)$

群 O (10) 在超弦理論中非常重要，因為它是 10 維時空的對稱群。

## 另見

* 旋轉群，SO (3,**R**)
* SO(8)
* 廣義正交群
* 么正群
* 辛群
* 有限單純群列表
* 單純李氏群列表

## 注釋

## 參考文獻

* Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics **39**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR1859189

## 外部連結

* John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* John Baez on Octonions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）