狄拉克旋量

量子場論中，**狄拉克旋量**（英語：Dirac spinor）為一雙旋量，出現在自由粒子狄拉克方程式的平面波解中：

　
: $\psi =\omega _{\vec {p}}\;e^{-ipx}\;$ ；

自由粒子的狄拉克方程式為：

　
: $(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0\;,$

其中（採用自然單位制 $\scriptstyle c\,=\,\hbar \,=\,1$ ）

　
: $\scriptstyle \psi $ 為相對論性自旋 ½ 場，

　
: $\scriptstyle \omega _{\vec {p}}$ 是狄拉克旋量，與波向量為 $\scriptstyle {\vec {p}}$ 的平面波有關，

　
: $\scriptstyle px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }$ ,

　
: $\scriptstyle p^{\mu }\;=\;\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\}$ 為平面波的四維波向量，而 $\scriptstyle {\vec {p}}$ 為任意的，

　
: $\scriptstyle x^{\mu }$ 為一給定慣性系中的四維空間座標。

正能量解所對應的狄拉克旋量為

　
: $\omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,$

其中

　
: $\scriptstyle \phi $ 為任意的雙旋量，

　
: $\scriptstyle {\vec {\sigma }}$ 為包立矩陣，

　
: $\scriptstyle E_{\vec {p}}$ 為正根號 $\scriptstyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}$

## 源自狄拉克方程式的推導

狄拉克方程式的形式為：

　
: $\left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,$

推導出 4 - 旋量 $\scriptstyle \omega $ 前，可先注意矩陣 _α_ 與 _β_ 的值：

　
: ${\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,$

此二為 4×4 矩陣，與狄拉克矩陣有關。其中 **0** 與 **I** 為 2×2 矩陣。

下一步則是找出下式的解：

　
: $\psi =\omega e^{-ip\cdot x}$ ,

此處可將 ω 分為兩個 2 - 旋量：

　
: $\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,$ .

### 結果

將上方資料帶入狄拉克方程式，可得

　
: $E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}{\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}{\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,$ .

此矩陣方程式實際上是為兩條聯立方程式：

　
: $\left(E-m\right)\phi =\left({\vec {\sigma }}{\vec {p}}\right)\chi \,$

　
: $\left(E+m\right)\chi =\left({\vec {\sigma }}{\vec {p}}\right)\phi \,$

對第二條方程式求 $\scriptstyle \chi \,$ 的解，可得

　
: $\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,$ .

對第一條方程式求 $\phi \,$ 的解，可得

　
: $\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,$ .

此解可展示粒子與反粒子的關係。

## 細節

### 2 - 旋量

2 - 旋量最常見的定義為：

　
: $\phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\,$

與

　
: $\chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\,$

### 包立矩陣

包立矩陣

　
: $\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

利用前述知識可計算出：

　
: ${\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}$

### 4 - 旋量

#### 粒子

粒子具有正能量。選擇 4 - 旋量 ω 的歸一化使得 $\scriptstyle \omega ^{\dagger }\omega \;=\;2E\,$ 。這些旋量標記為 _u_：

　
: $u({\vec {p}},s)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}\,$

其中 _s_ = 1 或 2（自旋向上或向下）。

明確地寫，其為

　
: $u({\vec {p}},1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}1\\0\\{\frac {p_{3}}{E+m}}\\{\frac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\end{bmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad u({\vec {p}},2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}0\\1\\{\frac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\frac {-p_{3}}{E+m}}\end{bmatrix}}$

### 反粒子

具有「正」能量 $\scriptstyle E$ 的反粒子可視為具有「負」能量而逆著時間行進的粒子；因此，將粒子案例的 $\scriptstyle E$ 與 $\scriptstyle {\vec {p}}$ 增加一負號可得到反粒子的結果：

　
: $v({\vec {p}},s)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}\,$

在這裡我們選擇了 $\scriptstyle \chi $ 解。明確地寫，其為

　
: $v({\vec {p}},1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\frac {-p_{3}}{E+m}}\\0\\1\end{bmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad v({\vec {p}},2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {p_{3}}{E+m}}\\{\frac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\\1\\0\\\end{bmatrix}}$

## 相關條目

* 旋量
* 狄拉克方程式
* 旋量群

## 參考文獻

* （英文）Aitchison, I.J.R.; A.J.G. Hey. Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.). Institute of Physics Publishing. September 2002. ISBN 0-7503-0864-8.
* （英文）Miller, David. Relativistic Quantum Mechanics (RQM) (PDF): 26–37. 2008 [2015-04-09]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2020-12-19）.