熱傳學

**熱傳**（heat transfer）有三種方式：

* 熱傳導（heat conduction）：一個分子向另一個分子傳遞振動能，使熱能從高溫向低溫部分轉移。各種材料的熱傳導性能不同，傳導性能好的，如金屬，還包括了自由電子的移動，所以熱傳播速度快，可以做熱交換器材料；傳導性能不好的，如石棉，可以做熱絕緣材料。
* 熱對流（heat convection）：是指由於流體的宏觀運動而引起的流體各部分之間發生相對位移，冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞過程。不同的溫度導致引起系統的密度差是造成對流的原因。對流傳導因為牽扯到動力過程，所以比直接傳導迅速。
* 熱輻射（heat radiation）：是直接通過電磁波輻射向外發散熱量，傳導速度取決於熱源的絕對溫度，溫度越高，輻射越強。

根據熱傳播的方式和工藝要求，設計熱交換器，幾乎各種化學工業都有熱交換過程，需要各種熱交換器。

## 熱傳分析

熱傳遞以其所有模式（即傳導，對流和輻射）發生，一般運輸方程的微分形式如下：

可以通過有限差分法（FDM），有限體積法（FVM）和有限元素法（FEM）獲得上述方程的數值解。為了進行熱傳播分析，將等式（1）中的純量函數ф替換為溫度（T），將擴散係數 Γ 替換為導熱係數 k 和源項 $S_{\phi }$ 由發熱項 e 或任何熱輻射源代替 $Q_{i}$ 或兩者兼而有之（取決於可用來源的性質），並且針對不同情況存在不同形式的方程式。為了簡單和容易理解，僅討論了一維情況。

可以通過以下兩種方式對物體進行熱傳播分析

1. 穩態熱分析
2. 瞬態熱分析

#### 穩態熱分析

穩態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

**情況 1** ：一般穩態導熱方程。

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

　
: ${div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,$

**情況 2** ：穩態熱傳導方程（不產生熱量）

在這種情況下，控制方程（1）變為：

　
: ${div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}\,$

**情況 3** ：穩態熱傳導方程（不產生熱，不對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

　
: ${div\,(k\,grad\,T)}=0\,$

#### 瞬態熱分析

瞬態熱分析包括以下類型的控制微分方程。

**情況 1** ：瞬態熱傳導

在這種情況下，控制微分方程（1）變為：

　
: ${\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,$

**情況 2** ：瞬態熱傳導（不發熱）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

　
: ${\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}$

**情況 3** ：瞬態熱傳導（不產生熱也沒有對流）

在這種情況下，控制微分方程（GDE）（1）變為：

　
: ${\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}={div\,(k\,grad\,T)}\,$

### 穩態熱傳播分析中控制微分方程的離散化

考慮某物體厚度為 L，發熱為 e，導熱係數為 k。將物體細分為 M 個相等的厚度區域 $\Delta x$ = x / T 沿 x 方向，距一定間格分割為各節點，如圖 2 所示。

如圖所示，x 方向上的整個牆區域按元素劃分，所有內部元素的大小相同，而外部元素的大小為一半。

現在，要獲得內部節點的有限差分解，請考慮由節點 m 表示的元素，該元素被相鄰節點 m-1 和 m + 1 包圍。 有限差分技術假定牆壁中的溫度線性變化（如圖 3 所示）。

有限差分解決方案是（對於除 0 和最後一個節點之外的所有內部節點）：

　
: ${\frac {(T_{m-1}^{i}-2T_{m}^{n}+T_{m}^{i})}{\Delta {x}^{2}}}+{\frac {e}{k}}=0$

#### 邊界條件

上式僅對內部節點有效。為了獲得外部節點的解決方案，我們必須應用如下邊界條件（如適用）。

##### 規定的熱通量邊界條件

$$
q_{0}A+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0
$$

邊界絕緣時（q = 0）

$$
kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0
$$

##### 對流邊界條件

　
: $hA{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0$

##### 輻射邊界條件

　
: $\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0$

##### 對流和輻射聯合邊界條件

　
: $hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0$

如圖 4 所示，或當將輻射和對流熱傳播係數組合時，上式如下：

　
: $hA_{combined}{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0\,$

##### 對流，輻射和熱通量邊界條件的組合

　
: $q_{0}A+hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0$

##### 接觸面邊界條件

在非均質物體，如複合壁中，具有不同熱物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定兩種不同的固體介質 A 和 B 完全接觸，因此在節點 m 的界面處具有相同的溫度（如圖 5 所示）。

　
: $k_{A}A{\frac {(T_{m-1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+k_{B}A{\frac {(T_{m+1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{A,m}}{2}}A\Delta {x}+{\frac {e_{B,m}}{2}}A\Delta {x}=0$

在上式中，

 $q_{0}$ = 表示指定的熱通量在 $(W/m^{2})$ ，

h = 對流係數，

 $h_{combined}$ = 對流和輻射的總純熱係數，

 $T_{s}ur$ = 周圍表面的溫度，

 $T_{(}\infty )$ = 環境溫度，

 $T_{0}$ = 初始節點的溫度。 $T_{0}$ 到 $T_{l}$ 之間的熱流關係，也可適用於 $T_{l}$ 到 $T_{2}$ 之間；將 $T_{0}$ 到 $T_{\infty }$ 之間的熱流串聯，便能得經過該複合牆面，從室外到室內的熱流。

### 瞬態熱傳播分析中控制微分方程的離散化

瞬態熱分析比穩定熱分析更重要，因為該分析包括隨時間變化的環境條件。在瞬態熱傳導中，溫度隨時間和位置而變化。如圖 6 所示，瞬態熱傳導的有限差分法解除了空間離散以外，還需要時間步階離散。

如圖 7 所示，存在平面壁中一維傳導有限差分法瞬態公式的節點和體積元素。

對於這種情況，方程式（1）的有限差分顯式解如下：

　
: $kA{\frac {(T_{m-1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+kA{\frac {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+{e_{m}}A\Delta {x}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{m}^{i+1}-T_{m}^{i})}{\Delta x}}$

上面的方程可以針對溫度明確求解 $(T_{m}^{i+1})$ 給

　
: ${T_{m}^{i+1}}=\tau {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}+{(1-2\tau )}T_{m}^{i}+\tau {\frac {(e_{m}\Delta {x}^{2})}{k}}$

此處，

　
: $\tau ={\frac {(\alpha \Delta t)}{\Delta x^{2}}}\,$

和

　
: $\alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}\,$

這裡， $\tau $ 代表細胞傅立葉號， $\alpha $ 代表熱擴散率 $c_{p}$ 代表恆壓下的比熱， $\Delta t$ 代表時間步長， $\Delta x$ 代表空間步長。

上面的等式對所有內部節點均有效，並找到第一個和最後一個節點的關係，應用邊界條件（如適用），如穩態熱傳播中所述。對於對流和輻射邊界，如照射物體的太陽輻射 $q_{solar}$ ，單位為 $(W/m^{2})$ ，反照率常數 K 已知，與溫度的關係如下：

　
: $hA{(T_{\infty }^{i}-T_{0}^{i})}+\kappa Aq_{solar}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{1}^{i}-T_{0}^{i})}{\Delta x}}$

## 參考文獻