特徵方程式

**特徵方程式式**（characteristic equation）或**輔助方程式式**（auxiliary equation）為數學名詞，是對應 n 階微分方程式或差分方程式的 n 次代數方程式式。只有線性齊次常係數的微分方程式或差分方程式才有特徵方程式式。考慮一微分方程式，其應變數為 y，_a_n, _a_n − 1, ..., _a_1, _a_0 為常數

　
: $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,$

其特徵方程式式如下

　
: $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

根據其解 _r_1, _r_2, ..., _r_n 可以產生微分方程式的通解。而一個線性差分方程式

　
: $y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}$

也有其特徵方程式式

　
: $r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,$

特徵方程式式的根也可以提供動態方程式的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程式，其應變數穩定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程式，穩定的充份必要條件是每一個根的絕對值都小於 1。針對這兩種系統，若是有複數根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程式的積分求解法是由萊昂哈德・歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程式」有關。後來法國科學家奧古斯丁・路易・柯西及加斯帕爾・蒙日也提及歐拉的特徵方程式，而且提到不少細節。

## 推導

考慮常係數的線性齊次微分方程式 _a_n, _a_n − 1, ..., _a_1, _a_0,

　
: $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0$

假設 _y_(_x_) = _erx_，而指數函數 _erx_ 的導數是本身的倍數，_y_′ = _rerx_, _y_″ = _r_2_erx_，_y_(_n_) = _rnerx_。因此上式中的每一項都會是 _erx_ 的倍數。若 r 為特定值，可以讓 _erx_ 的倍數變為 0，這樣即可求解齊次微分方程式。為了求解 r，可以將 _y_ = _erx_ 及其導數替換到微分方程式中，可以得到

　
: $a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$ 。

因為 _erx_ 不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式式

　
: $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

求解特徵方程式式中的 r，可以求得微分方程式的通解。例如，若 r 為 3，其通解為 _y_(_x_) = _ce_3_x_，其中 c 為積分常數。

## 有關通解的公式

找到特徵方程式式的根 _r_1, ..., _r_n，就可以找到微分方程式的通解。特徵方程式式的根可能是實數或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式式的根有相異的實根，另外有 h 個重根，或是 k 個複數的根，其解分別為 _y_D(_x_), _y_R1(_x_), ..., _y_Rh(_x_) 及 _y_C1(_x_), ..., _y_Ck(_x_)，因此通解為

　
: $y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$

### 例子

以下是常係數的線性齊次微分方程式

　
: $y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0$

其特徵方程式為

　
: $r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

將特徵方程式因式分解，可得到

　
: $(r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0$

可以看到 r 的解有一個單根，_r_1 = 3 以及重根的複數根 _r_2,3,4,5 = −1 ± _i_，因此其通解為

　
: $y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$

其中有常數 _c_1, ..., _c_5。

### 相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程式的疊加原理，若 _u_1, ..., _u_n 是特定微分方程式的 n 個線性獨立的解，則 _c_1_u_1 + ... + _cnun_ 也是其解，其中 _c_1, ..., _cn_ 為任意常數。因此，若特徵方程式有相異實根 _r_1, ..., _rn_，則通解為

　
: $y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$ 。

### 重根實根

若特徵方程式式中有重複 k 次的根 _r_1，可以確定 _y_p(_x_) = _c_1_e_r1_x_ 會是微分方程式的解，不過這個解沒有針對其他 _k_ − 1 的根提供線性獨立的解。因為 _r_1 為 k 次重根，可以將微分方程式改寫為

　
: $\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0$ .

因為 _y_p(_x_) = _c_1_e_r1_x_ 為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 _y_(_x_) = _u_(_x_)_e_r1_x_，其中 _u_(_x_) 是待確認的函數。將 _ue_r1_x_ 代入後可得

　
: $\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}$

其中 _k_ = 1。上述的式子應用 k 次，可以得到

　
: $\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0$

除以 _e_r1_x_ 後可得

　
: ${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0$

上述式子若且唯若 _u_(_x_) 是 _k_ − 1 次的多項式，因此 _u_(_x_) = _c_1 + _c_2_x_ + _c_3_x_2 + ... + _ckx_k − 1.。因為 _y_(_x_) = _ue_r1_x_，因此通解中對應 _r_1 的解會是

　
: $y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)$

### 複數根

若二階微分方程式有共軛複數根 _r_1 = _a_ + _bi_ 及 _r_2 = _a_ − _bi_，其對應的通解為 _y_(_x_) = _c_1_e_(_a_ + _bi_)_x_ + _c_2_e_(_a_ − _bi_)_x_。利用歐拉公式（_eiθ_ = cos _θ_ + _i_ sin _θ_），可以將通解改寫如下：

　
: ${\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}$

其中 _c_1 和 _c_2 是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為 _y_(_x_) 是實數，_c_1 − _c_2 需要是虛數或是零，_c_1 + _c_2 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 _c_1 = _c_2 = 1/2，可以得到特解 _y_1(_x_) = _eax_ cos _bx_，另外，若 _c_1 = 1/2_i_ 及 _c_2 = −1/2_i_，可以得到另一個獨立的解 _y_2(_x_) = _eax_ sin _bx_。利用重疊原則，有 _r_ = _a_ ± _bi_ 複根的常係數線性齊次微分方程式，其通解如下：

　
: $y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)$

上述的分析也可以應用在高階微分方程式，其特徵方程式式中也可能有非實數的共軛根。

## 參考資料