無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤 —— 通常是經過設計的 —— 卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數 $f$ ，以觀察對某些 $x$ 和 $y$ ，會有 $f(x)=f(y)$ ，來（錯誤地）做出 $x=y$ 的結論。零除數是此類錯誤的一特例； $f$ 為將 $x$ 映射至 $x\times 0$ 的函數，而其錯誤的一步是起於將 $x\times 0=y\times 0$ 的等式做成 $x=y$ 的結論。相似地，下面證明了 $5=4$ 的句子也是以函數 $f(x)=x^{2}$ 的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個 $x$ 和 $y$ 會使得 $x^{2}=y^{2}$ 的一正確申論，然後做出了 $x=y$ 的一錯誤結論。

## 算術例子

### 證明 1 是最大的正整數

* 假設最大的正整數不是 $1$ ，而是 $a$ ，有 $a>1$ ；
 * $a>1>0$ ， $a$ 為正的，所以由 $a>1$ 得到 $a\times a>a$ ；
* 但是 $a\times a$ 還是正整數，可是沒有任何正整數比 $a$ 大，矛盾；
* 所以最大的正整數是 1。

_Q.E.D._

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

### 證明 - 1 等於 1

* 由一等式開始

　
: $-1=-1\,$
* 將兩邊轉成假分數

　
: ${\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}$
* 將兩邊開方

　
: ${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$
* 其會等於

　
: ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$
* 兩邊同乘 ${\sqrt {-1}}$ 以來消去分數

　
: ${\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}$
* 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

　
: $-1=1\,$

_Q.E.D._

此一證明是無效的，因為負數的開方不是實數， ${\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}$ 推出 ${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}$ 是錯誤的（事實上， ${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i$ ， ${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i$ ）。

### 證明 1 等於 2

1. 令 $a=b\,$ ，且 $a\neq 0$

2. 將兩邊乘以 a

　
: $a^{2}=ab\,$

3. 將兩邊減掉 $b^{2}\,$

　
: $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,$

4. 將兩邊因式分解

　
: $(a+b)(a-b)=b(a-b)\,$

5. 將兩邊除以 $a-b\,$

　
: $a+b=b\,$

6. 因為 $a=b\,$ 因此

　
: $b+b=b\,$

7. 簡化

　
: $2b=b\,$

8. 將兩邊除以 b

　
: $2=1\,$

_Q.E.D._

這個證明的錯誤點在於第五步， $\,$ 正因為 a=b 所以 a-b 等於零，而除以零是無效的。

### 證明 4 等於 5

* 由一等式開始

　
: $-20=-20\,$
* 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

　
: $25-45=16-36\,$
* 將兩邊做因式分解

　
: $5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9$
* 將兩邊加上相同的數

　
: $5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}$
* 將兩邊再做一次因式分解

　
: $\left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}$
* 將兩邊開方

　
: $5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}$
* 消去相同的項

　
: $5=4\,$

_Q.E.D._

那一證明內的錯誤在於 $x^{2}=y^{2}$ 不表示 $x=y$ 的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上， $-\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}$ 。需注意的是，若將 4 減去 ${\tfrac {9}{2}}$ ，會得到 $-{\tfrac {1}{2}}$ 。若再平方的話，則會得到正的 ${\tfrac {1}{4}}$ 。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見 ${\tfrac {1}{2}}$ 會等於 ${\tfrac {1}{2}}$ 。原始的 $-20=-20$ 式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

 

### 證明 1+1=0

* 求 $1+1$ ︰

　
: ${\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}$

_Q.E.D._

此證明的錯誤在於 ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ 只有在 a 與 b 不皆為負數才成立， ${\sqrt {(-1)(-1)}}$ 並不等於 ${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}$ 。

### 證明 0=1

首先，設定一個無窮級數。

　
: $0=0+0+0+\cdots $

因為 $0=1-1$ ，因此：

　
: $0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots $

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

　
: $0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots $

 $-1+1=0$ ，因此：

　
: $0=1+0+0+0+\cdots $

　
: $0=1\,$

_Q.E.D._

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 $s=1-1+1-1+1-1+\cdots $ 。

### 證明任何數字等於 1 / 任何數字

　
: $-{\frac {1}{b}}$

$$
=-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}
$$

$$
=-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}
$$

$$
{\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}
$$

$$
-{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}
$$

$$
a={\frac {1}{a}}
$$

_Q.E.D._

### 證明 0/0 等於 0

首先，我們知道：

　
: $0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,$

　
: $0^{2}=0\times 0=0\,$

由於 $a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$

因此 ${\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0$

因此 ${\frac {0}{0}}=0$

_Q.E.D._

這個證明的錯誤在於， $a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$ 成立的前提有 $a\neq 0$ 。

### 證明任意兩數都是相等的

設 $u=a\ ,\ v=b-c\,$ 
設 $a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$

由和立方與差立方公式可知：

　
: $(u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}$

　
: $(u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}$

由於 $u=a\ ,\ v=b-c\,$

　
: $(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

　
: $(a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}$

將 $a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$ 代入 $3a^{2}+b-c\,$ ，可得：

　
: $3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,$

因此：

　
: ${\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}$

代入 $b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,$ ，可得：

　
: ${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}$

_Q.E.D._

這個證明的錯誤在於：

1、在以上的假設下，可得 $v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}$ ，所以 $u$ 和 $v$ 並不是獨立的；

2、在複數域中，由 $x^{3}=y^{3}$ 得不出 $x=y$ 。在此證明中，由 $(a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}$ 得出 $a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}$ 是錯誤的。

## 幾何例子

### 第一題：證明任何三角形都是正三角形

給定三角形△ABC，證明 AB = AC:

1. 作∠A 的角平分線。
2. 作 BC 的垂直平分線，並設 BC 的中點為 D。
3. 設這兩條直線的交點為 P。
4. 從 P 向 AB 和 AC 作垂線，並設垂足為 E 和 F。
5. 作直線 PB 和 PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE 由於 AP 平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP 都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC 是直角；PD = PD；BD = CD 由於 PD 平分 BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP 由於△EAP ≅ △FAP；BP = CP 由於△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC 由於它們是對頂角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

_證畢。_

這個證明的錯誤在於，只有在△ABC 為等腰三角形，P 才會位於三角形的內部，而且 AP 與 DP 會重合。

### 第二題：證明直角等於鈍角

給定一個矩形 ABCD，證明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形 ABCD 外作 CE=CD。
2. 聯結 AE。
3. 作 BC、AE 的中垂線，它們的垂足分別是 G、F，兩條直線交於 H。
4. 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的，所以 HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的對邊相等，得 AB=DC；加上作圖要求，得 AB=EC。
6. 利用 _S.S.S_ 得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
7. 由於 HB=HC，則得∠HBC=∠HCB。
8. 等量減等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四個角都是 90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

_Q.E.D._

這個證明的錯誤在於，由於△ABH≅△ECH，則∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE 看作是∠BHC 的旋轉，因 AH 穿過了矩形 ABCD，則 EH 是不可能穿過矩形 ABCD 的。

## 微積分例子

### 證明 0 等於 1

我們從計算以下的不定積分開始：

　
: $\int {\frac {1}{x}}dx$

利用分部積分法，可得：

　
: $u={\frac {1}{x}}$ ， $dv=dx$

因此：

　
: $du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx$ ， $v=x$

所以，有：

　
: $\int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx$

　
: $\int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx$

　
: $0=1\,$

_證畢。_

這個證明的錯誤在於，忽略了積分完會出現的積分常數 C。若繼續計算，會得到 $1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'$ 。

## 參見

* 悖論