特殊线性群

在數學中，_n_ 次**一般線性群**是 _n_×_n_ 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。

為了使定義更明確，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 **R**（實數集）上的一般線性群是實數的 _n_×_n_ 可逆矩陣的群，並指示為 _GLn_(**R**) 或 _GL_(_n_, **R**)。

更一般的說，在任何域 _F_（比如複數集）或環 _R_（比如整數集的環）上的 _n_ 次一般線性群是帶有來自 _F_（或 _R_）的元素的 _n_×_n_ 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 _GL_n(_F_) 或 _GL_(_n_, _F_)，如果域是自明的也可簡寫為 _GL_(_n_)。

更一般的說，向量空間的一般線性群 _GL_(_V_) 仍是抽象自同構群，不必需寫為矩陣。

**特殊線性群**，寫為 _SL_(_n_, _F_) 或 _SL_n(_F_)，是由行列式 =1 的矩陣構成的 _GL_(_n_, _F_) 的子群。

群 _GL_(_n_, _F_) 和它的子群經常叫做**線性群**或**矩陣群**（抽象群 _GL_(_V_) 是線性群但不是矩陣群）。這些群在群表示理論中是重要的，並引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究，還有多項式的研究。模群可以實現為特殊線性群 SL (2, **Z**) 的商群。

如果 _n_ ≥ 2，則群 _GL_(_n_, _F_) 不是阿貝爾群。

## 向量空間的一般線性群

如果 _V_ 是在域 _F_ 上的向量空間，_V_ 的一般線性群，寫為 GL (_V_) 或 Aut (_V_)，是 _V_ 的所有自同構的群，就是說所有雙射線性變換 _V_ → _V_ 的集合，和與之一起的函數復合作為群運算。如果 _V_ 有有限維 _n_，則 GL (_V_) 和 GL (_n_, _F_) 是同構的。這個同構不是規范的；它依賴於在 _V_ 中對基的選擇。給定 _V_ 的一個基 (_e_1, ..., _e_n) 和 GL (_V_) 中自同構 _T_，有著

　
: $Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}$

對於某些 _F_ 中的常量 _a_jk；對應於 _T_ 的矩陣就是由 _a_jk 作為元素的矩陣。

以類似的方式，對於交換環 _R_ 群 GL (_n_, _R_) 可以被解釋為 _n_ 秩的自由 _R_- 模的自同構的群。還可以對任何模定義 GL (_M_)，但是這一般不同構於 GL (_n_, _R_)（對於任何 _n_）。

## 依據行列式

在域 _F_ 上矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是非零的。因此 GL (_n_, _F_) 的一個可替代定義是帶有非零行列式的矩陣。

在交換環 _R_ 上，必須稍微小心一下：在 _R_ 上的矩陣是可逆的，當且僅當它的行列式是 _R_ 中的可逆元，就是說它的行列式在 _R_ 中是可逆的。因此 GL (_n_, _R_) 可以被定義為行列式為可逆元的矩陣的群。

在非交換環 _R_ 上，行列式表現不好。在這種情況下，GL (_n_, _R_) 可以定義為矩陣環 M (_n_, _R_) 的單位群。

## 作為李群

### 實數情況

在實數域上的一般線性群 GL (_n_,**R**) 是 _n_2 維實數李群。要得出這個結論，注意所有 _n_×_n_ 實數矩陣的集合 _M_n(**R**) 形成了 _n_2 維實向量空間。子集 GL (_n_,**R**) 由行列式為非零的矩陣構成。行列式是多項式映射，因此 GL (_n_,**R**) 是 _M_n(**R**) 的開仿射子簇（_M_n(**R**) 在扎里斯基拓撲下的非空開子集），並且因此是相同維的光滑流形。

GL(_n_,**R**) 的李代數由所有 _n_×_n_ 實數矩陣構成並帶有交換子充當李括號。

作為一個流形，GL (_n_,**R**) 不是連通的而是由兩個連通單元構成：有正行列式的矩陣們和有負行列式的矩陣們。單位分量（Identity component）為 GL+(_n_, **R**)，由帶有正行列式的實數 _n_×_n_ 矩陣構成。它也是 _n_2 維李群；它有同 GL (_n_,**R**) 一樣的李代數。

群 GL (_n_,**R**) 也是非緊緻的。GL (_n_, **R**) 的極大緊子群是正交群 O (_n_)，而 GL+(_n_, **R**) 的極大緊子群是特殊正交群 SO (_n_)。至於 SO (_n_)，群 GL+(_n_, **R**) 不是單連通的（除了 _n_=1 的時候），然而有基本群，它對 _n_=2 同構於 **Z** 或者對 _n_>2 同構於 **Z**2。

### 複數情況

在複數集上的一般線性群 GL (_n_,**C**) 是複數維 _n_2 的複數李群。作為實數李群它有 2_n_2 維。所有實數矩陣的集合形成了實數李子群。

對應於 GL (_n_,**C**) 的李代數由所有 _n_×_n_ 複數矩陣組成帶有交換子充當李括號。

不像實數情況，GL (_n_,**C**) 是連通的。部分的因為複數的乘法群 **C**× 是連通的。群流形 GL (_n_,**C**) 不是緊緻的；而它的極大緊子群是酉群 U (_n_)。至於 U (_n_)，群流形 GL (_n_,**C**) 不是單連通的但有同構於 **Z** 的基本群。

## 在有限域上

如果 _F_ 是有 _q_ 個元素的有限域，則我們有時寫 GL (_n_, _q_) 替代 GL (_n_, _F_)。在 _p_ 是質數的時候，GL (_n_, _p_) 是群 Zpn 的外自同構群，並且還是自同構群，因為 Zpn 是阿貝爾群，所以內自同構群是平凡的。

GL(_n_, _q_) 的階是：

　
: (_q_n - 1)(_q_n - _q_)(_q_n - _q_2)… (_q_n - _q_n-1)

這可以通過計數矩陣的可能縱列數來證明：第一列可以是除了零向量的任何向量；第二列可以是除了第一列的倍數的任何向量；並且一般的說第 _k_ 列可以是非前 _k_-1 列的線性張成的任何向量。

例如，GL (3,2) 有階 (8-1)(8-2)(8-4)=168。它是 Fano 平面和群 Z23 的自同構群。

更一般的說，可以計數 _F_ 上的格拉斯曼空間的點：換句話說就是給定維 _k_ 的子空間的數目。這只要求找到一個這種子空間的穩定子子群（在那個頁面中以分塊矩陣形式描述），並通過軌道 - 穩定子定理劃分成剛才給出的公式。

這些公式有聯繫於格拉斯曼空間的舒伯特分解，並且是複格拉斯曼空間的貝蒂數的 q-analog。這是導致韋伊猜想的線索之一。

## 特殊線性群

特殊線性群 SL (_n_, _F_) 是帶有行列式為 1 的所有矩陣的群。它們是特殊的因為它們位於子簇之上–它們滿足一個多項式方程（因為行列式是元素的多項式）。這種類型的矩陣形成一個群，因為兩個矩陣的乘積的行列式是每個矩陣的行列式的乘積。SL (_n_, _F_) 是 GL (_n_, _F_) 的正規子群。

如果我們把 _F_（排除 0）的乘法群寫為 _F_×，則行列式是群同態

　
: det: GL(_n_, _F_) → _F_×。

這個映射的核就是特殊線性群。通過第一同構定理我們得出 GL (_n_,_F_)/SL(_n_,_F_) 同構於 _F_×。事實上，GL (_n_, _F_) 可以寫為 SL (_n_, _F_) 與 _F_× 的半直積：

　
: GL(_n_, _F_) = SL(_n_, _F_) ⋊ _F_×

在 _F_ 是 **R** 或 **C** 的時候，SL (_n_) 是 _n_2 − 1 維的 GL (_n_) 的李群。SL (_n_) 的李代數由所有在 _F_ 上的 _n_×_n_ 矩陣構成帶有成為零的跡數。李括號給出為交換子。

特殊線性群 SL (_n_, **R**) 可以被刻畫為保持體積和定向的 **R**n 的線性變換的群。

群 SL (_n_, **C**) 是單連通的而 SL (_n_, **R**) 不是。SL (_n_, **R**) 有同 GL+(_n_, **R**) 一樣的基礎群，就是對 _n_=2 為 **Z** 或者對 _n_>2 為 **Z**2。

## 其他子群

### 對角子群

所有可逆對角矩陣的集合形成了同構於 (_F_×)n 的 GL (_n_, _F_) 的子群。在域如 **R** 和 **C** 中，這些對應於縮放這個空間；也就是擴張或收縮它。

**標量矩陣**是作為常量倍的單位矩陣的對角矩陣。所有非零標量矩陣的集合形成了同構於 _F_× 的 GL (_n_, _F_) 的子群。這個群是 GL (_n_, _F_) 的中心。特別是，它是正規阿貝爾子群。

SL(_n_, _F_) 的中心是帶有單位行列式的所有標量矩陣的集合，並同構於在域 _F_ 中 _n_ 次單位根的群。

### 典型群

所謂的典型群是保持某種在向量空間 _V_ 上的雙線性形式的 GL (_V_) 的子群。這包括

* **正交群** O(_V_)，它保持在 _V_ 上的非退化二次型，
* **辛群** Sp(_V_)，它保持在 _V_ 上的辛形式（非退化反對稱 2 形式），
* **酉群** U(_V_)，它在 _F_ = **C** 的時候保持在 _V_ 上的非退化 hermitian 形式。

這些群提供了李群的重要例子。

## 有關的群

### 射影線性群

射影線性群 PGL (_n_, _F_) 和射影特殊線性群 PSL (_n_,_F_) 是 GL (_n_,_F_) 和 SL (_n_,_F_) 模以中心（它由某些倍數的單位矩陣的構成）的商群。

### 仿射群

仿射群 Aff (_n_,_F_) 是通過在 _F_n 中的轉換的 GL (_n_,_F_) 的群擴張，它可以寫為半直積：

　
: Aff(_n_, _F_) = GL(_n_, _F_) ⋉ _F_n

這裡的 GL (_n_, _F_) 自然方式作用在 _F_n 上。仿射群可以被看作在向量空間 _F_n 底層的仿射空間的所有仿射變換的群。

它有類似於一般線性群的其他子群的結構：例如，特殊仿射群是半直積 SL (_n_, _F_) ⋉ _F_n 定義的子群，而龐加萊群是與洛倫茲群 O (1,3,_F_) ⋉ _F_n 關聯的仿射群。

## 無限一般線性群

**無限一般線性群**或**穩定一般線性群**是包含 $\operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)$ 為上左分塊矩陣的方向極限。它指示為要麼 $\operatorname {GL} (F)$ 要麼 $\operatorname {GL} (\infty ,F)$ ，並可以解釋為只與單位矩陣差異有限多個位置的可逆無限矩陣的集合。

它被用在代數 K - 理論中定義 K1，並且在實數上有博特周期性定理貢獻的被良好理解了的拓撲。

## 注釋

## 參見

* 群表示論
* 有限單群列表
* SL2(**R**)
* SL2(**R**) 的表示論

## 進一步閱讀

* "GL(2,p) and GL(3,3) Acting on Points" by Ed Pegg, Jr.，The Wolfram Demonstrations Project，2007.