特殊直角三角形

**特殊直角三角形**是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如 45–45–90 度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如 3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

## 各角有特殊關係

直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為 90 度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為 30°, 45° 或 60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

45–45–90 度三角形、30–60–90 度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為 180，參照三角形群。

### 45–45–90 度三角形

在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為 1 : 1 : 2 的三角形，而內角和為 180 度（或是 π 弧度），因此各角角度為 45° (π/4)、45° (π/4) 和 90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為 1 : 1 : √2，因此 45–45–90 度三角形為等腰直角三角形。若繪製 45–45–90 度三角形斜邊的中線，中線會將 45–45–90 度三角形分割為另外二個較小的 45–45–90 度三角形，邊長是原來的 1/√2。

45–45–90 度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

### 30–60–90 度三角形

若三角形各角的比例是 1 : 2 : 3，其各角角度會是 30°、60° 和 90°。各邊的比例會是 1 : √3 : 2。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

　
: 繪製邊長為 2 的正三角形 _ABC_，並令 _D_ 點為線段 _BC_ 的中點。連接線段 _AD_，則三角形 _ABD_ 為 30–60–90 度三角形，其斜邊長度為 2，一股 _BD_ 長度為 1。

　
: 另一股 _AD_ 的長度為√3，可以由畢氏定理求得。

30–60–90 度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為 α, α+δ, α+2δ，因為內角和為 180°，可得 3α+3δ = 180°，其中有一角會是 60 度，而且最大角需為 90 度，因此最小角會是 30 度。

### 角度呈等比數列的直角三角形

在平面幾何中，30–60–90 度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為 π/(2_φ_2)、π/(2_φ_)、π/2，其中公比為黃金比例 _φ_。三個內角的比例為 $1:\varphi :\varphi ^{2}.\,$ 。

根據正弦定律，各邊的比例會是 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1$ 。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得 $\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1$ 。

另外，存在以下的恆等式：

　
: $\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}+\cos {\frac {\pi }{\varphi }}=0$

有趣的是，若將餘弦函數以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例 _φ_，和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數 π, e, i, 1, 0（不過歐拉恆等式比較簡潔）：

　
: $e^{\frac {i\pi }{\varphi +1}}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}+e^{\frac {i\pi }{\varphi }}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi }}}=0.\,$

## 各邊有特殊關係

若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

　
: $m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,$

其中 _m_ 和 _n_ 均為正整數，而且 _m_>_n_。

### 常見的勾股數

以下是前五個勾股數：

　
:

其中 3 : 4 : 5 三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股數的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於 256 的互質勾股數組：

　
:

### 斐波那契三角形

從 5 開始，斐波那契數列中的第 6 項、第 8 項、第 10 項... 等偶數項（假設 0 為第 1 項）{0, 1, 1, 2, 3, **5**, 8, **13**, 21, **34**, 55, **89**, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為 5, 4 和 3。跳過數字 8，下一個斐波那契三角形邊長為 13, 12（5 + 4 + 3）和 5（8 − 3）。跳過數字 21，下一個三角形邊長為 34, 30（13 + 12 + 5）和 16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

　
: $1:2:{\sqrt {5}}.$

Andrew Clarke 建議將長度比例為: $1:2:{\sqrt {5}}$ 的三角形稱為 dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰・何頓・康威及查爾斯・雷丁提出的非週期性風車貼磚的基礎。

### 幾乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩爾方程遞迴求解而得：

　
: _a_0 = 1, _b_0 = 2

　
: _a_n = 2_b_n–1 + _a_n–1

　
: _b_n = 2_a_n + _b_n–1

_a_n 為斜邊的長度，_n_ = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下

　
:

### 各邊呈等比數列的三角形

克卜勒三角形是特殊的直角三角形，它的三邊之比等於 $1:{\sqrt {\phi }}:\phi $ ，為等比數列，其中 $\phi $ 是黃金比， $\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ . 德國數學家及天文學家克卜勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。

## 相關條目

* 整數三角形
* 螺旋特奧多魯斯
* 直角三角形

## 註釋

## 參考資料

## 外部連結

* 3 : 4 : 5 triangle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 30-60-90 triangle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 45-45-90 triangle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）