环索线

**環索線**（strophoid）是幾何學中的一種曲線，由給定曲線 _C_、點 _A_（固定點）及點 _O_（極點），依以下方式產生：令 _L_ 是通過 _O_，和曲線 _C_ 的交點為 _K_ 的變動直線。令 _P_1 和 _P_2 是直線 _L_ 上的兩點，這兩點和 _K_ 的距離和 _A_ 到 _K_ 的距離相同（因此 _A_、_P_1、_P_2 在圓心為 _O_ 為圓上）。P1、P2 的軌跡即為曲線 _C_ 的環索線，相對於極點 _O_ 及固定點 _A_。
其中 _AP_1 和 _AP_2 會呈直角。

若 _C_ 是直線，_A_ 在 _C_ 上，而 _O_ 不在 _C_ 上，此曲線稱為**斜環索線**（oblique strophoid）。若 _OA_ 和 _C_ 垂直，此曲線則稱為**正環索線**（right strophoid），正環索線也稱為 logocyclic curve 或**葉狀線**（foliate）。

## 方程式

### 極坐標

令曲線 _C_ 的極坐標方程為 $r=f(\theta )$ ，其中原點為 _O_，令 _A_ 的直角坐標為 (_a_, _b_)，若 $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ 是曲線上的一點，_K_ 到 _A_ 的距離為

　
: $d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$ .

在 _OK_ 線上的點，其極座標角度為 $\theta $ ，線上和點 _K_ 距離為 _d_ 的點，和原點的距離為 $f(\theta )\pm d$ 。因此，環索線的方程如下

　
: $r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$

### 另一種極座標公式

若 _C_ 是極點為 _O_ 和 _A_ 的麥克勞林分角線時，可以用以下的極座標公式。

令 _O_ 為原點，_A_ 為點 (_a_, 0)，令 _K_ 為曲線上一點，線 _OK_ 和 X 軸的夾角為 $\theta $ ，而 $\vartheta $ 是線 _AK_ 和和 X 軸的夾角。假設 $\vartheta $ 可以表示為 $\theta $ 的函數，假設 $\vartheta =l(\theta )$ 。令 $\psi $ 是 _K_ 的角度，則 $\psi =\vartheta -\theta $ 。可以用正弦定律，將 _r_ 用 _l_ 來表示。因為

　
: ${r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}$ 。

令 _P_1 和 _P_2 是 _OK_ 線上和 _K_ 點的距離等於 _AK_ 的點，調整編號使 $\psi =\angle P_{1}KA$ ，且 $\pi -\psi =\angle AKP_{2}$ 。 $\triangle P_{1}KA$ 是頂角為 $\psi $ 的等腰三角形，剩下的兩角 $\angle AP_{1}K$ 和 $\angle KAP_{1}$ 角度為 $(\pi -\psi )/2$ 。_AP_1 線和 x 軸角度為

　
: $l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$ 。

同理可得 _AP_2 和 x 軸的角度為

　
: $l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$ .

環索線的極座標式可以表示以下有 _l_1 及 _l_2 的式子：

　
: $r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}$

　
: $r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}$

若 _l_ 是 $q\theta +\theta _{0}$ ，曲線 _C_ 是極點為 _O_ 和 _A_ 的麥克勞林分角線，此時，_l_1 和 _l_2 會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移 a 的位置，也會有較簡單的極座標方程。

## 特例

### 斜環索線

令 _C_ 是通過 _A_ 點的直線。依照上式的表示法， $l(\theta )=\alpha $ ，其中 $\alpha $ 為常數，則 $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ 且 $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$ 。相對原點 _O_ 點環索線的極座標（斜環索線）方程為

　
: $r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$

以及

　
: $r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}$ .

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到 _A_ 點，用−_a_ 代替 _a_，可得

　
: $r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$ ,

旋轉角度 $\alpha $ 後可得

　
: $r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}$ .

在直角坐標系，調整常數的參數，可得

　
: $y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy$ .

是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在 (0, 0)，漸近線為直線 _y_=_b_。

### 正環索線

將 $\alpha =\pi /2$ 代入下式

　
: $r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$

可得

　
: $r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )$ .

此即為正環索線，對應直線 _C_ 為 _y_ 軸，_A_ 點為原點，_O_ 點為點 (_a_,0) 的情形。

笛卡爾坐標系方程為

　
: $y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)$ .

此曲線為笛卡兒葉形線，直線 _x_ = −_a_ 是二個分支的漸近線。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

　
: $x\pm iy=-a$ 。

### 圓

令圓 _C_ 是通過 _O_ 和 _A_ 的圓，其中 _O_ 為原點，_A_ 的座標為 (_a_, 0)。依以上的表示法， $l(\theta )=\alpha +\theta $ ，其中 $\alpha $ 是常數。則 $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ 以及 $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$ ，所得相對於圓 _O_ 環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

　
: $r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$

及

　
: $r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}$ .

這是二個通過 _O_ 和 _A_，在 C 點形成角度 $\pi /4$ 的圓。

## 相關條目

* 蚌線
* 蔓葉線

## 參考資料

* J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
* R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220.
* 埃里克・韋斯坦因. Strophoid. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Right Strophoid. MathWorld.
* Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 約翰・J・奧康納； 埃德蒙・F・羅伯遜, Right Strophoid, MacTutor 數學史檔案 （英語）

## 外部連結

 維基共享資源上的相關多媒體資源：環索線