测圆海镜

《**測圓海鏡**》是中國金代數學家李冶的代表作，於公元 1248 年寫成。全書一共十二卷，由一百七十個問題組成。書中對勾股容圓的問題進行了探討，系統地建立了「天元術」（列一元方程的方法）來解決幾何問題。《測圓海鏡》被認為是中國現存的第一部天元術著作。
天元術是對具體問題列出方程而後求解的方法。天元術於宋金時期開始發展，到元朝達到一個高峰。在《測圓海鏡》問世之前，中國雖有以天人代表未知數用以布列方程和多項式的工作，但早期著作已失，僅存被引用的一些片段。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術，用「天元」代替未知數，列出方程，然後求解。

## 內容

《測圓海鏡》由卷一的**圓城圖式**、說明各個長度名稱的**總率名號**、給出各個長度數值的**今問正數**、囊括了各個量之間關係的公式總集**識別雜記**；卷二至卷十二，共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有 148 問，182 種方法是以天元術列出方程以求解，其中列出一次方程 31 個，二次方程 106 個，三次方程 24 個，四次方程 20 個，六次方程 1 個

### 卷一

#### 圓城圖式

圓城圖式（右圖）是全書的總括圖解，由一個直角三角形（古時稱為勾股形）、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是**天**、**地**、**乾**，**天地乾**三角形的內切圓圓心稱為**心**。過**心**的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於**日**、**南**、**北**三點。過**心**的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於**川**、**東**、**西**三點。過**東**的垂直線和過**南**的水平線都是內切圓的切線，它們分別交**天地乾**三角形於**艮**、**坤**、**山**、**月**四點，而相交於**巽**點。**乾坤巽艮**構成一個正方形。過**月**的垂直線交**東西**水平線於**青**點，交**地乾**邊於**泉**點。過**山**的水平線交**南北**垂直線於**朱**點，交**天乾**邊於**金**點。而這兩條線相交於**泛**點。最後過**日**的水平線交**天乾**邊於**旦**點，過**川**的垂直線交**地乾**邊於**夕**點。總共 22 個點。

#### 總率名號

全書所研究的三角形一共有 15 個，全部是以**天地**線之間的線段為弦（斜邊）的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是：

其中弦是三角形斜邊，股是三角形的長直角邊（這裡是豎直的），勾是三角形短直角邊（這裡是水平的）。（ $a_{1}$ 代表通勾， $b_{1}$ 代表通股， $c_{1}$ 代表通弦，余類推）。

#### 今問正數

今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為 120 步，作為標準。

* 弦
* 勾
* 股
* 勾股和：a + b
* 勾股校：b - a
* 勾弦和：a + c
* 勾弦校：c - a
* 股弦和：b + c
* 股弦校：c - b
* 弦校和：c + (b - a)
* 弦校校：c - (b - a)
* 弦和和：(a + b) + c
* 弦和校：(a + b) - c

例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，較（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，較三百六十；股弦和一千二百八十，較八十；弦較和九百六十，較四百；弦和和一千六百，較二百四十。」

15 個勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15 個勾股形中，只有 13 個勾股形是相異的。

《今問正數》共 15 個勾股形 ×13 項 = 195 項。
，列表如下。

#### 識別雜記

識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了 692 個公式。是全書的綱領。

識別雜記包含八項：

* 諸雜名目：是全書的總綱，列出各項定義，例如虛勾虛股相得名為虛率，高股平勾差名為角差，又名遠差等等。諸雜名目中還列出三十餘項定理，如凡大差小差相乘為半段徑冪，大差勾小差股相乘同上、黃廣股黃長勾相乘為經冪等等。

##### 名目

##### 雜用公式

 1. $(c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})$ = $1 \over 2$ \* $(d_{1})^{2}$
2. $a_{10}*b_{11}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
3. $a_{13}*b_{1}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
4. $a_{1}*b_{13}$ = $1 \over 2$ $(d_{1})^{2}$
5. $b_{2}*b_{15}$ = $$ $(r_{1})^{2}$
6. $a_{14}*a_{3}$ = $(r_{1})^{2}$
7. $a_{5}*b_{4}$ = $(d_{1})^{2}$
8. $a_{8}*b_{6}$ = $a_{9}*b_{7}$ $=(r_{1})^{2}$
9. $(b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})$ = $(r_{1})^{2}$
10. $c_{6}*c_{8}$ = $c_{7}*c_{9})$ = $a_{13}*b_{13}$
11. $$

##### 五和五較

 1. $a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}$
2. $a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}$
3. $a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}$
4. $a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}$
5. $a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}$
6. $a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}$
7. $a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}$
8. $a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}$
9. $a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}$
10. $a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}$
11. $a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}$
12. $a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}$
13. $a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}$
14. $a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}$

此外還有諸弦，大小差，諸差，諸率互見，四位拾遺，拾遺。

一共 692 關係式，這些關係式完全是幾何定理，與具體數值無關。

舉例：第三條中「勾股和即弦黃和」一句就是：三角形兩直角邊之和等於斜邊加上內切圓直徑（「黃」指內切圓直徑）。這個命題可以由直角三角形的勾股定理推出：

　
: 設直角三角形三邊分別為 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其中 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

　
: 內接圓直徑 $d={\frac {2ab}{a+b+c}}$ ，因此

　
: 內接圓直徑 + 斜邊 = $d+c={\frac {2ab}{a+b+c}}+c={\frac {2ab+c^{2}+ac+bc}{a+b+c}}$

　
: $={\frac {2ab+a^{2}+b^{2}+ac+bc}{a+b+c}}={\frac {(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}}$

　
: $=a+b$ = 兩直角邊之和

後面出現的各問題，都根據這些公式中的相等關係而列出方程，然後求解。

李冶的 692 個公式中，有 8 個是錯誤的，只是因為數值吻合而被誤認為成立。

#### 新設第一率

#### 新設第二率

#### 新設第三率

#### 新設第四率

### 第二卷

　
: 正率 14 問

從第二卷開始，《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題，它們都是圍繞著同一個題設背景而展開。
在第二卷開頭，李冶作出了以後題目公用的總假設：

這裡的圓城就是指**天地乾**三角形的內切圓，其方向按照圓城圖式裡面**東南西北**四個點的位置而定（注意北在下方，東在左邊，與現在通用的方位相反），所謂的「乾地」、「坤地」則是指圓城圖式裡面出現的**乾**點、**坤**點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。

接下來的問題都是已知某些線段的長度，問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法（代數演算），再給出演草（代入數值的計算）。

**洞淵九容**

開頭十個問題，不需要天元方程。清代數學李善蘭認為，第一個問題和《九章算術》的勾股容圓題目一樣，第二問至第十問就是《自序》中提到的「洞淵九容」。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草，李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式，並以第二問為例闡明如下：

　
: ${a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}$

　
: ${b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}$

又因：

　
: $b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$

所以

　
: ${2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}$

　
: 得

　
: ${2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d$

其餘類推。
。

**第一問：_或問：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立。甲南行六百步望見乙，問徑幾里？_**
: 答曰：城徑二百四十步。

 
勾股容圓 $d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}$

　
: $={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240$

**第二問：勾上容圓**

$$
{2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d
$$

**第三問：股上容圓**

$$
{2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d
$$

**第四問：勾股上容圓**

$$
{2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d
$$

**第五問：弦上容圓**

$$
{2a\times b \over a+b}=d
$$

**第六問：勾外容圓**

$$
{2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d
$$

**第七問：股外容圓**

$$
{2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d
$$

**第八問：弦外容圓**

$$
{2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d
$$

**第九問：勾外容圓半**

$$
{2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d
$$

**第十問：股外容圓半**

$$
{2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d
$$

**天元術**

從第十四題開始，引入**天元術**，將所求的未知量設為「**天元**」，然後根據**識別雜記**中給出的公式構造出兩個天元式，另其相等，然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序，高次冪在常數項之上，和《益古演段》，《四元玉鑒》的相反。

**第十四問**

「或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前」。

　
: 法曰：以二行步相乘為實，二行步相併為從，一步常法，得半徑。

　
: 草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，

內減天元半徑得股圓差： $480-x$

　
: : : : : : : : : : : 元

　
: 。

又置乙東行步在地，內減天元，得勾圓差： $200-x$

　
: : : : : : : : : 元

　
:

以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪： $x^{2}-680x+96000$

　
: : : : : : : : : : :

　
: 元

　
:

又置天元冪以倍之，也為半段黃方冪；

　
: : : : : : : : : 

　
: 元

因此，得 $x^{2}-680x+96000=2x^{2}$

相消得： $-x^{2}-680x+96000=0$

　
: : : : : : : : : : :

　
: 元

　
:

解方程，得半徑 $r=120$ 。

### 第三卷

　
: 邊股 17 問

### 第四卷

　
: 底勾 17 問：已知 $a_{3}$ 及另一邊求直徑 d.

。

第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。

### 第五卷

大股 18 問：已知 $b_{1}$ 。

 

### 第六卷

大勾 18 問：

　
: 1-11，13-19 已知 a\_{1}，及另一邊求直徑 d.

　
: 12 問：已知 $a_{1}+c_{3}$ 及另邊，求直徑。

### 第七卷

明叀前 18 問；求直徑 d。

### 第八卷

　
: 邊股 17 問：已知 三至八邊，或其差，和，求直徑 d.

#### 第十四問

　
: _或問：高差，平差並一百六十一步，明差叀差並七十七步，問答同前。_

　
: 即：

草曰：

已知

　
: $(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161$

　
: $(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77$

　
: 相加除 2 ; 根據 #雜用公式，等於皇極差：

　
: $(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2$ $=(b_{12}-a_{12})$

　
: $b_{12}-a_{12}=$ $161+77 \over 2$ $=119$

　
: 設天元一為上平勾：

　
: $x=a_{8}$

　
: $x+161$ = $x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})$

　
: : : $=b_{7}$ (雜用公式)

　
: 因為 $a_{8}+b_{7}=c_{12}$ (雜用公式)

　
: $c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161$

　
: $c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921$

　
: $c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}$

　
: $=4*x^{2}+644*x+25921-$ $((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4$

　
: $=4*x^{2}+644*x+11760=d$ (圓城直徑),

　
: $d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600$

　
: 將 $4*x$ 乘下高股

　
: $4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x$

　
: 乘之以皇極弦冪:

　
: $d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=$ $(4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=$ $16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124$

　
: 因此

　
: $16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=$ $16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600$

　
: 左右相消得：

$$
9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0
$$

　
: 解之得 $x=a_{8}=64$ ;

　
: 正合 #今問正數中的下平勾。

### 第九卷上

：大斜四問

### 第九卷下

：大和 8 問

　
: 邊股 17 問：已知三邊，求直徑 d。

### 第十卷

：三事和 8 問

### 第十一卷

　
: 雜糅 18 問：

第十七問，十八問取自《洞淵算書》。

### 第十二卷

　
: 之分 14 問

## 版本

天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者有北宋蔣周撰《益古集》、李文一撰《照膽》，石信道撰《鈐經》、劉汝諧撰《如積釋鎖》等書，世人才知道有天元。此外朱世傑《四元玉鑒》引用北宋《洞淵九容細草》兩道題，其中有「立天元一」。後來李德載撰《兩儀群英集臻》兼有地元。1306 年元刻本《陰陽備用三元節要》三卷下有天元，地元。但是這些早期天元術的著作已經失傳。宋代《楊輝算法》保留蔣周《益古集》的一些條段法的題目，沒保留天元術的內容。現存元刻本《陰陽備用三元節要》只有一條二元術題，《測圓海鏡》是現存最早的系統地講述天元術的著作。

到了明代，天元術因為艱深難懂而少人研究，幾近失傳。明代唐順抄錄過《測圓海鏡》，但不懂天元術；顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》，但完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義，因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去，只留下用開方術解方程的過程，以便後人學習。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘。《測圓海鏡分類釋術》一書，雖然刪除了天元術內容，但保存了全部算題，也補入正確的幾何學解法，使得幾近失傳的《測圓海鏡》，得以從新流傳。

十八世紀時，隨著西洋算學傳入中國，李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。戴東原從《永樂大典》中輯錄出李冶《測圓海鏡》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經研讀元學士李冶的《測圓海鏡》，對其中的天元之術感到不解，後來在研習西方的「借根方」法時發現所謂的「借根」就是「立天元」（都是設未知數），方才重新開始認識天元術。之後，《四元玉鑒》等其它天元術著作也被重新認識。孔廣森曾校對《測圓海鏡》中的四章。乾隆三十八年（1773 年），《四庫全書》收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798 年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《數書九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。1873 年，張楚鍾發表《測圓海鏡通釋》對《識別雜記》中的幾百條定理，用幾何方法逐條證明。

## 清代研究

1896 年劉岳雲出版《測圓海鏡解》，發現《圓城圖式》中各線段的簡單加減關係，發表《諸率加減表》，此後李善蘭出版《測圓海鏡解》等。他在另一篇著作《天算或問》中給出勾股容圓各公式的統一公式。其後陳維祺發表《各率及較泛積表》將《識別雜記》用「泛積」概念統一表示。王季同在《九容公式》中進一步發展了陳維祺的成果，發現

　
: 極勾 =(高股 \* 平勾 + 平勾 ^2)^(1/2)

　
: 極股 =(高股 \* 平勾 + 高股 ^2)^(1/2)

　
: 半徑 =(高股 \* 平勾)^(1/2)

## 國際研究

19 世紀初，朝鮮數學家南秉哲著《海鏡細草解》。

1913 年，法國學者 L.van Hoe 介紹《測圓海鏡》。1982 年，法國林力娜（K. Chemla) 作論文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，獲得博士學位。1983 年，新加坡大學教授藍麗蓉發表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century, 論述《測圓海鏡》。

## 評價

清代數學家對《測圓海鏡》給予很高評價。阮元認為《測圓海鏡》是「中土數學之寶書」，李善蘭稱讚它是「中華算書，無有勝於此者」。白尚恕說，《測圓海鏡》的成就，超過同時期的印度，阿拉伯和歐洲，「處於世界數學裡遙遙領先的地位」

## 參考文獻

### 引用

### 來源

## 參見

* 李冶《益古演段》
* 朱世傑《四元玉鑒》
* 李善蘭
* 秦九韶算法