消失動量

**消失動量**(Vanishing Moments)，在連續小波變換 (Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波 (Mother wavelet) 是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

## 由來

在連續小波變換中，母小波有 4 個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的 (Compact Support):

　
: : 母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數 (Real) :

　
: : 因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱 (Even Symmetric) 或是奇對稱 (Odd Symmetric)

4. 消失動量越高越好:

這項是最難滿足的一項。

5. 

　
: Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

　
:

## 定義

首先定義第 $k$ 個動量 ( $k_{th}$ moment): 

```
$m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$
```

若 $m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0$ ，

則我們說 $\psi (t)$ 有 $p$ 個消失動量。

## 如何計算消失動量

我們可以看到 $m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt$ 不太好計算，尤其是 $k$ 很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

### 計算第 0 個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

```
$G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$
```

當令 $f=0$ 時，可以看到以上公式變成:

```
$G(0)=\int g(t)\,dt$
```

正是第 0 個動量 $m_{0}$ 。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第 0 個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換，再取直流項 (也就是 $f=0$ )。

### 計算第 k 個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 $k$ 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質：在頻域微分 $k$ 次，就相當於時域乘上 $t^{k}$  :

```
${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$
```

當令 $f=0$ 時，可以看到以上公式變成:

```
${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$
```

正是第 $k$ 個動量 $m_{k}$ 。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第 k 個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換的 k 次微分，再取直流項 (也就是 $f=0$ )。

## 一些常用函數的消失動量

分成兩類**連續函數**與**連續函數的離散係數**

* 連續函數：哈爾基底、墨西哥帽函數
* 連續函數的離散係數**:**多貝西小波 (Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

### 連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底 (Haar Basis) 來做母小波。

而墨西哥帽函數 (Mexican hat function) 也常被用來當母小波。

#### 哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:

```
$\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$
```

 $\psi (t)$ 是一個奇函數，所以

```
$m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0$
```

但 $t\psi (t)$ 是偶函數，所以

```
$m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0$
```

因此，**哈爾基底**的**消失動量為 1**。

#### 墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

```
$\psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}$
```

仔細觀察， $\psi (t)$ 其實是高斯函數的二次微分:

```
$\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=$ 常數。 
```

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

```
$\psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}$。
```

利用

```
${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$
```

可以算出

```
$m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0$。
```

所以**墨西哥帽函數**的**消失動量為 2**。

#### 高斯函數的 p 次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失動量為 2。

當

```
$\psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}$
```

其傅立葉轉換為

```
$(j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}$。
```

利用

```
${\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt$
```

可以算出

```
$m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0$。
```

所以**高斯函數 p 次微分**的**消失動量為 p**。

---

### 連續函數的離散係數

多貝西小波 (Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet 都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是 orthonormal filters

#### 多貝西小波

```
$2n$ 點的多貝西小波，消失動量 $=n$
```

#### Symlet

```
$2n$ 點的Symlet，消失動量 $=n$
```

**Coiflet**

```
$6n$ 點的Coiflet，消失動量 $=n$
```

**三者的比較**

1. Symlet 和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
2. Coiflet 在 scaling function 存在 vanish moment.

$$
\int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\,dt\neq 0
$$

$$
\int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{k}\phi (t)\,dt=0for1\leq k\leq p
$$

## 消失動量對於函數的意義

消失動量是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

```
$f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}$
```

當輸入值 $t$ 逐漸往無限大增加時，此函數會以 ${\frac {1}{t^{2}}}$ 的速率遞減。
我們可用利用定義中的動量積分式 $\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt$ 來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當 $k=0$ 時，由於分子 $\sin(t)$ 會在 $[-1,1]$ 之間震盪，使得整個函數在 $[-{\frac {1}{t^{2}}},{\frac {1}{t^{2}}}]$ 震盪。

此性質使得 $k=0$ 時，

```
$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0$ 
```

函數積分式必定會收斂於 0，代表第 0 個動量 $m_{0}=0$

當 $k=1$ 時，

```
$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi $
```

因此第 1 個動量 $m_{1}=\pi \neq 0$

對於 $k>1$ 的情況，動量積分式均會隨著 $t\to \infty $ 而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為 0 的最大 $k$ 值來判斷函數的遞減速率，而此最大 $k$ 值便是函數的消失動量。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失動量來描述。

## 消失動量的等價敘述

依照定義，小波母函數 $\psi (t)$ 有 $p$ 個消失動量的條件為

```
$\int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\psi (t)\,dt=0,\ for\ 0\leq k<p$
```

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為 $\varphi (t)$ ，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

```
$\left|\psi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})$
```

```
$\left|\varphi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})$
```

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數 $\psi (t)$ 有 $p$ 個消失動量。

2. $\psi (t),\ \varphi (t)$ 的傅立葉轉換，以及前 $p-1$ 次微分在 $\omega =0$ 處均為零。

3. $h_{\varphi }(t),\ H_{\varphi }(e^{j\omega })$ 的傅立葉轉換，以及前 $p-1$ 次微分在 $\omega =0$ 處均為零。

4. 對於 $0\leq k<p$ 區間內的任意 $k$ 值

　
: : $q_{k}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n^{k}\varphi (t-n)$

　
: 是最高次方為 $k$ 的多項式函數。

## 消失動量與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

```
${\left|H_{\varphi }(\omega )\right|}^{2}+{\left|H_{\varphi }(\omega +\pi )\right|}^{2}=2$
```

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中 $H_{\varphi }(\omega )$ 代表離散低通濾波器 $h_{\varphi }[n]$ 離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失動量的第 3 個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

```
$H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })$
```

其中 $L(x)$ 為一多項式函數。

利用上述條件與消失動量的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

### 消失動量與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

```
$\varphi (t)=\sum _{n}^{}h_{\varphi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)$
```

```
$\psi (t)=\sum _{n}^{}h_{\psi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)$
```

其中 $h_{\varphi }[n]$ 為離散低通濾波器， $h_{\psi }[n]$ 則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小 (Size of support) 來表示濾波器的長度。

從上述 $H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })$ 的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失動量 $p$ 時， $H_{\varphi }(e^{j\omega })$ 將會是具有較高 $e^{j\omega }$ 次方的多項式函數，因此對應到的 $h_{\varphi }[n]$ 便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失動量與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失動量外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

## 參考文獻

* Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [viewed 17/01/2012]
* Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, February 2010
* S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.