测度论

**測度**（英語：Measure）是種對特定一群子集指定數值的函數，直觀上相當於體積，也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。傳統的黎曼積分是在區間上進行的，為了把積分推廣到更一般的集合上，人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度，它從 $n$ 維歐式空間 ${\mathbb {R} }^{n}$ 出發，概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。

研究測度的學問被統稱為**測度論**，因為指定的數值通常是非負實數，所以測度論通常會被視為實分析的一個分支，它在數學分析和概率論有重要的地位。

## 定義

要正式定義測度之前，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見 σ- 代數。

集合 $X$ 有 σ- 代數 $\Sigma $ ，函數 $\mu :\Sigma \to [0,\,\infty )$ 若滿足：

 * $\mu (\varnothing )=0$ (空集合的測度為零)
* **可數可加性**( $\sigma $ - 可加性)：若 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $\Sigma $ 中兩兩不相交的集合序列，也就是說，對所有 $i\neq j$ 都有 $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing $ ，則有

　
: $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})$ 。

那 $\mu $ 被稱為定義在 $\Sigma $ 上的一個**非負測度**，或簡稱為**測度**。為了敘述簡便起見，有時會直接稱 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 為一測度空間。

如果將 $\mu $ 的值域擴展到複數，也就是說 $\mu :\Sigma \to \mathbb {C} $ ，那 $\mu $ 會被進一步稱為**複數測度**。

### 定義的分歧

照著上述定義中的可數可加性去推論，不少母集合本身的測度值（如對 ${\mathbb {R} }^{n}$ 本身取勒貝格測度）會變成無窮大而實際上不存在，為了讓上述定義在最小更動的情況下適用，不少書籍會形式上將無窮大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；容許這樣定義的書籍會將只容許有限實數值的測度稱為（非負）**有限測度**。但容許測度取值無窮大須額外申明，至少有個可測集合 $E\in \Sigma $ 使得 $\mu (E)\geq 0$ ，否則這樣會容許測度值全為無窮大的病態情況。

更進一步的，如果對測度空間 $(X,\,\Sigma ,\,\mu )$ 來說，母集合 $X$ 都可以表示為某個 $\Sigma $ 的可測集合序列 $\{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }$ 的併集：

　
: $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$

則有限測度 $\mu $ 會被進一步的稱為（非負）σ- 有限測度。

## 性質

### 單調性

測度 $\mu \ $ 的單調性：
若 $E_{1}\ $ 和 $E_{2}\ $ 為可測集，而且 $E_{1}\subseteq E_{2}$ ，則 $\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$ 。

### 可數個可測集的併集的測度

若 $E_{1},E_{2},E_{3}\cdots $ 為可測集（不必是兩兩不交的），則集合 $E_{n}\ $ 的併集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

　
: : $\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$

如果還滿足並且對於所有的 $n\ $ ， $E_{n}\ $ ⊆ $E_{n+1}\ $ ，則如下極限式成立：

　
: : $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).$

### 可數個可測集的交集的測度

若 $E_{1},E_{2},\cdots $ 為可測集，並且對於所有的 $n\ $ ， $E_{n+1}\ $ ⊆ $E_{n}\ $ ，則 $E_{n}\ $ 的交集是可測的。進一步說，如果至少一個 $E_{n}\ $ 的測度有限，則有極限：

　
: : $\mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$

如若不假設至少一個 $E_{n}\ $ 的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個 $n\in \mathbb {N} $ ，令

　
: : $E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} $

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

## 完備性

對於一個可測集 $N$ ，若 $\mu (N)=0\ $ 成立，則稱為**零測集**，其子集稱為**可去集**。

一個可去集未必是可測的，但零測集一定是可去集。

如果所有的可去集都可測，則稱該測度為**完備測度**。

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：

考慮 $X$ 的所有與某個可測集 $E$ 僅差一個可去集的子集 $F$ ，可得到 $E$ 與 $F$ 的對稱差包含於一個零測集中。

由這些子集 $F$ 生成的 σ 代數，並定義 $\mu (F)=\mu (E)$ ，所得到的測度即為完備測度。

## 例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

* **計數測度**定義為 $\mu (S)=S\ $ 的「元素個數」。
* **一維勒貝格測度**是定義在 $\mathbb {R} $ 的一個含所有區間的 σ 代數上的、完備的、平移不變的、滿足 $\mu ([0,1])=1\ $ 的唯一測度。
* **Circular angle 測度**是旋轉不變的。
* 局部緊拓撲群上的**哈爾測度**是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
* **恆零測度**定義為 $\mu (S)=0\ $ ，對任意的 $S\ $ 。
* 每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為 1（於是其值全部落到單位區間 [0,1] 中）。這就是所謂**概率測度**。見概率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

## 相關條目

* 外測度（Outer measure）
* 幾乎處處（Almost everywhere）
* 勒貝格測度（Lebesgue measure）
* 勒貝格積分
* 法圖引理 (Fatou's lemma)
* 富比尼定理 (Fubini's theorem)
* 可測基數

## 參考文獻

* R. M. Dudley, 2002. _Real Analysis and Probability_. Cambridge University Press.
* D. H. Fremlin, 2000. _Measure Theory_. Torres Fremlin.
* Paul Halmos, 1950. _Measure theory_. Van Nostrand and Co.
* M. E. Munroe, 1953. _Introduction to Measure and Integration_. Addison Wesley.
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. _Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach_, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Measure, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Tutorial: Measure Theory for Dummies（為初學者準備的測度論教學） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）