混沌理论

**混沌理論**（英語：Chaos theory）是關於非線性系統在一定參數條件下展現分岔、週期運動與非週期運動相互糾纏，以至於通向某種非週期有序運動的理論。在耗散系統和保守系統中，混沌運動有不同表現，前者有吸引子，後者無（也稱含混沌吸引子）。

從 20 世紀 80 年代中期到 20 世紀末，混沌理論迅速吸引了數學、物理、工程、生態學、經濟學、氣象學、情報學等諸多領域學者有關注，引發了全球混沌熱。混沌，也寫作渾沌（比如《莊子》）。自然科學中講的混沌運動指確定性系統中展示的一種類似隨機的行為或性態。確定性是指方程式不含隨機項的系統，也稱動態系統。典型的模型有單峰映象迭代系統，洛倫茲微分方程式系統，若斯叻吸引子，杜芬方程式，蔡氏電路，陳氏吸引子等。為渾沌理論做出重要貢獻的學者有龐加萊、洛倫茲、上田睆亮、費根堡姆、約克、李天岩、斯美爾、芒德勃羅等。混沌理論向前可追溯到 19 世紀龐加萊等人對天體力學的研究，他提出了同宿軌道、異宿軌道的概念，他也被稱為渾沌學之父。

混沌行為可以在許多自然系統中被觀測到，例如天氣和氣候。對於這個行為的研究，可以通過分析混沌數學模型，或者通過諸如遞迴圖和龐加萊對映等分析技術。

## 定義

混沌理論是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用以探討動態系統中無法用單一的資料關係，而必須用整體，連續的資料關係才能加以解釋及預測之行為。

混沌一詞原指發現宇宙混亂狀態的描述，古希臘哲學家對於宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，科學家經過長期的探討，逐一發現眾多自然界中的規律，如大家熟知的萬有引力、槓桿原理、相對論等。這些自然規律都能用單一的數學公式加以描述，並可以依據此公式準確預測物體的行徑。

近半世紀以來，科學家發現許多自然現象即使可以化為單純的數學公式，但是其行徑卻無法加以預測。如氣象學家愛德華・諾頓・勞侖次發現簡單的熱對流現象居然能引起令人無法想像的氣象變化，產生所謂的「蝴蝶效應」。60 年代，美國數學家史蒂芬・斯梅爾發現某些物體的行徑經過某種規則性變化之後，隨後的發展並無一定的軌跡可循，呈現失序的混沌狀態。

## 背景

1963 年美國氣象學家愛德華・勞侖次提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。理論的最大的貢獻是用簡單的模型獲得明確的非週期結果。在氣象、航空及航天等領域的研究裡有重大的作用。

## 應用

混沌理論在許多科學學科中得到廣泛應用，包括：經濟學、化學、生態學、數學、生物學、資訊技術、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學。

管理作業研究領域的許多混沌系統，如排隊系統、庫存系統、計劃調度系統等的主要特點是在不同的管理決策規則下，隊列、庫存和計劃調度的混亂。 Murphy 以混沌理論為模型，研究公共關係管理中的問題和危機。 Joseph 在總結混沌管理的研究現狀後指出，混沌管理依賴於變化規則，變化規則是基於有序或無序變化、適應性、新的有序出現過程的一套規則。

多種系統的渾沌狀態在實驗室中得到觀察，包括電路、雷射、流體的動態，以及機械和電磁裝置。在自然中進行的有對天氣、衛星運動、天體磁場、生態學中的種群增長、神經元中的動作電位和分子振動的觀察。

渾沌理論最成功的應用之一在於生態學中的洛特卡－沃爾泰拉方程式，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態。

### 混沌控制

混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。

## 混沌動力學

混沌系統有三種性質：

1. 受初始狀態影響的敏感性，初始條件非常微小的變動也可以導致最終狀態的巨大差別。
2. 具有拓撲混合性；不嚴格地來說，就是系統會將初始空間的拓撲性質徹底打亂，使得任何初始狀態轉換到其他任何位置。
3. 週期軌道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有週期軌道的值。

## 參見

* **混沌系統的實例**
  * 蔡氏電路
  * 單峰映象
  * 若斯叻吸引子
* **其他相關主題**
  * 條件數
  * 適定性問題
  * 碎形
    * 朱利亞集
    * 曼德博集合
  * 湧現
  * 非線性
  * 聖菲研究所
  * 複雜
* **人物**
  * 麥可・貝里
  * 蔡少棠
  * 愛德華・諾頓・勞侖次
  * 亞歷山大・李亞普諾夫
  * 本華・曼德博
  * 儒勒・昂利・龐加萊
  * 詹姆士・約克
* 隨機性
* 分岔
* 決定論
* 非決定論
* 因果律
* 自由意志
* 複雜性
* 系統論
* 蝴蝶效應
* 量子力學

## 參考文獻

### 參照

### 來源

**刊物文章**

* 郝柏林：《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它》，《物理學進展》，1983， 3（01）.
* 朱照宣：《非線性動力學中的渾沌》，《力學進展》，1984， （02）.

**書籍**

* 苗東升、劉華傑：《渾沌學縱橫論》，北京：中國人民大學出版社，1992，1993.
* 劉華傑：《渾沌語意與哲學》，長沙：湖南教育出版社，1998.

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Chaos, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
* The Chaos group at the University of Maryland （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Chaos Hypertextbook （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. An introductory primer on chaos and fractals
* ChaosBook.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
* Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence Italy
* Interactive live chaotic pendulum experiment, allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
* Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
* Nonlinear Dynamics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
* Gleick's _Chaos_ (excerpt) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
* A page about the Mackey-Glass equation
* High Anxieties — The Mathematics of Chaos （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (2008) BBC documentary directed by David Malone
* The chaos theory of evolution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
* Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, _Chaos, A Mathematical Adventure_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.