海倫-秦九韶公式

**海龍公式**（英語：Heron's formula 或 Hero's formula），又譯**希羅公式**、**希倫公式**。由古希臘數學家亞歷山卓的海龍發現，並在其於公元 60 年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因為《Metrica》是一部古代數學知識的結集，該公式的發現時間很有可能先於海龍的著作。

假設有一個三角形，邊長分別為 $a,b,c$ ，三角形的面積 $A$ 可由以下公式求得：

　
: $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ，其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$

中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二題即**三斜求積**。「問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何？」答曰：「三百十五頃．」其術文是：「以小斜冪併大斜冪，減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。」若以大斜記為 $a$ ，中斜記為 $b$ ，小斜記為 $c$ ，秦九韶的方法相當於下面的一般公式：

　
: $A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}$ ，其中 $a\geq b\geq c$

像其他中國古代的數學家一樣，他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何 $n$ 邊的多邊形都可以分割成 $n-2$ 個三角形，所以海龍公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地匯出答案。

## 證明

### 利用三角公式和代數式變形來證明

與海龍在他的著作《Metrica》中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊 $a,b,c$ 的對角分別為 $A,B,C$ ，則餘弦定理為

　
: $\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

利用和平方、差平方、平方差等公式，從而有

　
: ${\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin C\\&={\frac {ab}{2}}\cdot {\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

### 利用畢氏定理和代數式變形來證明

　
: $b^{2}=h^{2}+d^{2}$

　
: $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$

　
: $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$

　
: $d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$

　
: ${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

### 用旁心來證明

設 $\bigtriangleup ABC$ 中， ${\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b$ 。

 $I$ 為內心， $I_{a},I_{b},I_{c}$ 為三旁切圓。

$$
\because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}
$$

 $\therefore I_{a}CIB$ 四點共圓，並設此圓為圓 $O$ 。

1. 過 $I$ 做鉛直線交 ${\overline {BC}}$ 於 $P$ ，再延長 ${\overleftrightarrow {IP}}$ ，使之與圓 $O$ 交於 $Q$ 點。再過 $I_{a}$ 做鉛直線交 ${\overline {BC}}$ 於 $R$ 點。
2. 先證明 $\Box I_{a}QPR$ 為矩形： $\because \angle QPR=90^{\mathsf {o}},\angle I_{a}RP=90^{\mathsf {o}}$ ，又 $\angle I_{a}QI=\angle I_{a}BI=90^{\mathsf {o}}$ (圓周角相等)。 $\therefore \Box I_{a}QPR$ 為矩形。因此， ${\overline {I_{a}R}}={\overline {QP}}$ 。
3. ${\overline {PI}}=$ 內切圓半徑 $={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}$ ， ${\overline {I_{a}R}}=$ 旁切圓半徑 $={\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}$ 。且易知 ${\overline {BP}}={\frac {c+a-b}{2}},{\overline {PC}}={\frac {a+b-c}{2}}$ 。由圓冪性質得到： ${\overline {PC}}\times {\overline {PB}}={\overline {PQ}}\times {\overline {PI}}={\overline {I_{a}R}}\times {\overline {PI}}$ 。故 ${\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}$ $\Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}$

## 資料來源

## 參見

* 婆羅摩笈多公式：海倫公式對圓內接四邊形的推廣。

## 外部連結

* 海龍公式計算機
* 海龍公式 1
* 海龍公式 2