滿月周期

**滿月週期**是 14 個太陰月的滿月視大小和月齡（由新月開始經歷的時間）變化的週期。它們的序列有：

* 最大滿月（滿月出現在近地點）。
* 最年輕滿月（上弦月出現在近地點，故朔至望所需時間較短，望復至朔之時長較長）。
* 最小滿月（新月出現在近地點）。
* 最老滿月（下弦月出現在近地點）。

## 解說

因為月球以橢圓軌道繞著地球運轉，因此它的外觀會隨著它向著地球的近地點接近，和向著遠地點接近，在視大小上會產生相對應的變化。月球在軌道上從近地點經過遠地點再回到近地點的時間稱為近點月。

月球的外觀，或是月相，取決於月球相對於太陽的運動。它的變化週期稱為**太陰月**，也稱為朔望月。**月齡**是從朔起算所經過的天數（參見 Meeus，1981）。

橢圓軌道相對於太陰月的起始位置，還會影響到經過半個太陰月出現的滿月的月齡（參見 Jawad，1993）。

滿月的循環週期略少於 14 個朔望月，也略少於 15 個近點月。這意味著當你看見一個在近地點的大滿月，之後的滿月會離近地點遠一點；在經歷一個滿月週期，太陰月的月數和近點月的月數之間的差異剛好是 1。

近點月的平均時間是：

　
: AM = 27.55454988 天 (參見 Meeus (1991) eq. 48.1)

朔望月的平均長度是：

　
: SM = 29.530588853 天 (參見 Meeus (1991) eq. 47.1)

滿月週期是這兩種月的長度整合，所經歷的時間是：

　
: $FC={\frac {SM\times AM}{SM-AM}}=411.78443d$

## 滿月週期和年

另一種表達方式：滿月週期是太陽重新回到月球軌道的近地點所花費的時間（從地球觀看），所以它是一種 "近點年"，類似於太陽回到月球軌道交點（月球軌道在黃道上的點）的食年。

為何滿月週期是 14 個朔望月而不是 12.37 個朔望月的一年呢？這個原因是，如果月球的軌道相對於恆星保持著固定的方向，但是太陽潮汐力引發的進動，使月球軌道的方向每 9 年就繞轉一圈。在這段時間，滿月週期的數目變得比恆星年的次數少了一次。

因此，滿月週期可以和月球的進動週期整合，定義出滿月週期和恆星年的關係。詳見月球進動。

## 朔望月和近點月的匹配

當追蹤 14 個朔望月的的週期時，發現在 18 個週期要補正 1 個朔望月：

　
: 18×FC = 251×SM = 269×AM，_不是_：

　
: 18×14 = 252×SM

269 個近點月與 251 個朔望月的長度相當，這是早為古巴比倫的迦勒底天文學家知道的關係（參見西丹努斯）

一個更好，將近 55 個週期，或是 767 個朔望月，它不僅非常接近朔望月和近點月的整數，並且也接近日的整數和年的整數：

　
: 767×SM = 822×AM = 22650 天 = 55×FC + 2 days = 62 years + 4 天

一個滿月週期相當於 13.944335 交點月，251 個月（18 個週期）的週期接近 13.944444 交點月，而 767 個（55 個週期）月的週期使滿月週期對應為 13.9454545 交點月。

## 滿月週期和沙羅－利用滿月週期預測月食

沙羅週期是 223 個朔望月，等於 239 近點月和 242 個交點月的食的週期，這也等同於 16 個滿月週期。一個食的狀況與程度多少也也取決於月球外觀的大小，因此對於滿月時，其在近點月的階段必然與滿月週期有所關聯。在一個沙羅週期的期間內大約會發生 40 次的食，在一個沙羅週期之後開始的第一個食，會與上一個週期的第一個食非常相似。並且，與滿月週期的倍數相關的實也非常相似。古希臘人也可能已經知道：在安提基特拉機械的沙羅週期對應於 4 個螺旋齒輪的組合，也許表示滿月週期被安排對應於 4 個中的一個象限內。他被建議（Freeth et al. 2008 在這個機械內沙羅週期被劃分為 16 個滿月週期，並且可能被用來預測食的發生。

## 使用滿月週期預測新月和滿月

除了預測合時的滿月會最大之外，滿月週期也被用來更精確的預測滿月或新月的確實時刻（一起被稱為朔望）。

### 平朔望

在我們能利用滿月週期修正朔望之前，我們只能發現平朔望的週期。多項式的運算得以導出新月和滿月。

我們可以利用線性近似，而不必使用完整的多項式；並且可以用常用分數來取代小數的計算，近似的表是一個月的長度。此外，在追蹤時每一次調整月的長度只要改變分子，加上一個稱為**累加器**的整數常數即可。這類似在希伯來曆的_朔日 (molad)_ 計算法。它的工作方式如下：

平朔望月的週其近似值是 29 + 26/49 天（更精確的分數是 29 + 451/850），希伯來曆使用的數值是 29 + 12 小時 + 793/1080 小時。我們維持一個本質上是平朔望月非整數天內改變的時間變數累加器，在我們的例子中用的單位是一天的 1/49。因此，在下一個月，我們加上整數的 29 天，並且在累加器中加上 26 單位。當累加器的數值達到或超過 49，日數就要增加一天，所以朔望日增加一天，而累加器內的數值減去 49。

由於在逼近時的誤差只會出現在分數上，並且是此刻的平朔望多項式展開的高階項目，累加器大約要經過 65 年才需要予以更正減除一天的誤差。

### 週期的修正

月球相位的重現週期並不是很規律的：朔望週期的重現在 29.272 天至 29.833 天之間變化著（詳細請參考新月的計算）。原因是月球的軌道是橢圓的，所以真正的朔望時間將與平均的朔望時間不同。

真實的新月和滿月與平均的新月和滿月（以規律的時間間隔重現）的偏差，可以用一系列的正弦函數展開式來推算，也就是下面的算式：

　
: C1\*sin(A1) + C2\*sin(A2) + C3\*sin(A3) + ... ,

此處的 A 項是隨時間變動的參數，並且是出現在地球和月球軌道中的 4 個基本週期的組合；C 項是每一個正弦相振幅的常數值。總共有數以百計的項次，但兩個主要的項次是依據月球在（平均）朔望時刻的平近點角，也就是沿著軌道到近地點的距離，也就是在近點週期中的月相。正如我們見到的，這個近點週期和會合週期在每次滿月之際都必須符合。

第三個大項是真實的月和和平均月相的計算結果 (from Meeus 1991, ch. 47 p.321):

### 統計

下面表中列出了多項式的誤差，滿月週期的修正、滿月週期和太陽的修正，與真實的朔望月，相當於 372 年 = 4601 朔望月 = 4931 近點月的比較：

　
: 均方根差：一種典型的統計平均

　
: % 日期調整：計算的朔望造成一天差異的百分比。

## 參考資料

* Jean Meeus (1981): _Extreme Perigees and Apogees of the Moon_, Sky&Telescope Aug.1981, pp.110..111
* Jean Meeus (1991): _Astronomical Algorithms_, Willmann-Bell, Richmond, VA. ISBN 0-943396-35-2 ; based on the ELP2000-85 lunar ephemeris.
* Ala'a H. Jawad (Roger W. Sinnott ed.) (1993): _How Long Is a Lunar Month?_, Sky&Telescope Nov.1993, pp.76..77
* Jean Meeus (2002): Ch.4 _The duration of the lunation_ pp.19..31 in: _More Mathematical Astronomy Morsels_; Willmann-Bell, Richmond VA USA 2002
* Freeth, Tony; Jones, Alexander; Steele, John M.; Bitsakis, Yanis. Calendars with Olympiad display and eclipse prediction on the Antikythera Mechanism. Nature. 2008-07, **454** (7204): 614–617 [2022-04-17]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/nature07130. （原始內容存檔於 2022-04-17） （英語）.