海森堡繪景

**海森堡繪景**（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者維爾納・海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與古典系統之間的動力學關係。

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

## 概述

為了便利分析，位於下標的符號 ${}_{\mathcal {H}}$ 、 ${}_{\mathcal {S}}$ 分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量 $|\psi \rangle _{\mathcal {H}}$ 不含時，而可觀察量的算符 $A_{\mathcal {H}}$ 則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：

　
: ${\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}},\,H]$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $H$ 是哈密頓量， $[A_{\mathcal {H}},\,H]$ 是 $A_{\mathcal {H}}$ 與 $H$ 的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，古典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與古典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為

　
: ${\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]_{Poisson}$ ；

其中， $[\ ,\,\ ]_{Poisson}$ 是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

　
: $[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}$ 。

史東 - 馮諾伊曼理論證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

## 理論導引

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從 $0$ 流易到 $t$ ，而經過這段時間間隔，態向量 $|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$ 演化為 $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$ ，這時間演化過程以方程式表示為

　
: $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$ ；

其中， $U(t,0)$ 是時間從 $0$ 流易到 $t$ 的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：

　
: $U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)$ 。

假設系統的哈密頓量 $H$ 不含時，則時間演化算符為

　
: $U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }$ ，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

　
: $HU(t,0)=U(t,0)H$ 。

注意到指數函數 $e^{-iHt/\hbar }$ 必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量 $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$ 、算符 $A_{\mathcal {H}}(t)$ 分別定義為

　
: $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$ 、

　
: $A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$ 。

由於 $U(t,0)$ 、 $U^{\dagger }(t,0)$ 對於時間的偏導數分別為

　
: ${\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)$ 、

　
: ${\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H$ 。

所以，算符 $A_{\mathcal {H}}(t)$ 對於時間的導數是

　
: ${\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}$ 。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：

　
: $H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H$ 。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

　
: ${d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}}(t),H]$ 。

## 期望值

在薛丁格繪景裏，可觀察量 $A$ 的期望值為

　
: $\langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$ 。

在海森堡繪景裏，可觀察量 $A$ 的期望值為

　
: $\langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}$ 。

注意到態向量 $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$ 、算符 $A_{\mathcal {H}}(t)$ 的定義式：

　
: $|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$ 、

　
: $A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$ 。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

## 貝克 - 豪斯多夫引理

算符 $A_{\mathcal {H}}(t)$ 的定義式涉及到指數函數 $e^{-iHt/\hbar }$ ，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克 - 豪斯多夫引理來計算

　
: ${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots $ 。

對於算符 $A_{\mathcal {H}}(t)$ ，可以得到

　
: $A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots $ 。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

## 自由粒子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標 ${\mathcal {H}}$ 。設想自由粒子系統，其哈密頓量為

　
: $H={\frac {p^{2}}{2m}}$ 。

動量 $p$ 的海森堡運動方程式為

　
: ${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0$ 。

這是因為 $p$ 與 $H$ 對易。所以，動量 $p$ 是個常數：

　
: $p(t)=p(0)$ 。

位置 $x$ 的海森堡運動方程式為

　
: ${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}$ 。

所以，位置與時間的關係式為

　
: $x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$ 。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

　
: $x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$ 。

利用貝克 - 豪斯多夫引理，

　
: $x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots $ 。

注意到以下兩個對易關係式：

　
: $[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$ 、

　
: $[H,p(0)]=0$ 。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

　
: $x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$ 。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

　
: $[x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}$ 。

## 諧振子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標 ${\mathcal {H}}$ 。設想諧振子系統，其哈密頓量為

　
: $H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$ ；

其中， $\omega $ 為諧振子頻率。

動量算符 $p$ 、位置算符 $x$ 的海森堡運動方程式分別為

　
: ${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)$ 、

　
: ${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}$ 。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

　
: ${d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)$ 、

　
: ${d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)$ 。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

　
: $p(0)=p_{0}$ 、

　
: $x(0)=x_{0}$ 。

則在初始時間，

　
: ${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}$ 、

　
: ${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}$ 。

所以，二次微分方程式的解答分別是

　
: $p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)$ 、

　
: $x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)$ 。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

　
: $[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$ 、

　
: $[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$ 、

　
: $[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})$ 。

假若 $t_{1}=t_{2}$ ，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

　
: $x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$ 。

利用貝克 - 豪斯多夫引理，

　
: $x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots $ 。

注意到以下兩個對易關係式：

　
: $[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$ 、

　
: $[H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)$ 。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

　
: ${\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}$ 。

類似地，也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

## 各種繪景比較摘要

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

## 註釋

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.

## 參閱

* 狄拉克標記