濾子

**濾子**（英語：Filter）在數學中是指偏序集合的特殊子集。是昂利・嘉當在 1937 年發明的並隨後在尼古拉・布爾巴基的書《點集拓撲學》中作為對 E. H. 摩爾和 H. L. Smith 在 1922 年發明的網的概念的替代。濾子經常使用的特殊情況是要考慮的有序集合只是某個集合的冪集，並用集合包含來排序。

濾子出現在序理論和格理論中，還可以在它們所起源的拓撲學中找到。濾子的對偶概念是理想。

## 定義

**濾子**和**濾子基**的最一般的形式是定義在一般的偏序集上的。

設 F 是偏序集合 (P,≤) 的子集，若 F 滿足以下條件則其為**濾子**。

1. F 非空。
2. ∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(即 F 為**濾子基**或向下有向的)
3. F 是上閉的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。

## 相關概念和結論

### 真濾子

偏序集 P 的濾子 F 稱為**真濾子**，若 F≠P。

### 主濾子及其主元素

包含給定元素 $p$ 的最小的濾子是**主濾子**。 $p$ 稱為該濾子的**主元素**。 $p$ 的主濾子是： $\{x\in P\ |\ p\leq x\}$ 給出，並記為 $\uparrow p$ 。

### 理想

濾子的序對偶（交換≥和≤，∧和∨）概念是理想；
由於濾子和理想在概念上的序對偶性，關於濾子的討論通常可以與理想的討論相關聯。關於濾子的其它信息（如**極大濾子**，**素濾子**) 參見理想。關於**超濾子**有專門的條目。

## 格中的濾子

濾子最初只是為格定義的。在這種情況下，濾子可以被特徵化為如下等價陳述：

　
: 格 (_P_,≤) 的非空子集 _F_ 是濾子，若且唯若它是對**有限交**(下確界) 運算封閉的上閉集合。

即，對於所有在 _F_ 中的 _x_，_y_，_x_ ∧ _y_ 也在 _F_ 中。

## 集合上的濾子

濾子的一個特殊情況是定義在集合上的濾子。假定一個集合 _S_，偏序⊆可以通過子集包含定義在冪集 **P**(_S_) 上，把 (**P**(_S_),⊆) 變成了一個格。定義 _S_ 上的**濾子** _F_ 為 **P**(_S_) 的有如下性質的子集：

1. _S_ ∈ _F_（_F_ 非空）
2. ∅ ∉ _F_（_F_ 為真子集）
3. 若 _A_ ∈ _F_ 且 _B_ ∈ _F_，則 _A_ ∩ _B_ ∈ _F_（_F_ 對有限交封閉）
4. 若 _A_ ∈ _F_ 且 _A_ ⊆ _B_，則 _B_ ∈ _F_ 中，對於所有 _B_ ⊆ _S_。（_F_ 是上閉集合）

前三個性質蘊涵了**集合上的濾子**有有限交集性質。通過這個定義在集合上的濾子是真濾子。為此有時叫做**集合上的真濾子**；但是，只要集合上下文是明顯的，短名字就足夠了。

**濾子基**是 **P**(_S_) 的帶有如下性質的子集 _B_：

1. _B_ 的任何兩個集合的交集包含 _B_ 的一個集合
2. _B_ 是非空的並且空集不在 _B_ 中

濾子基 _B_ 可以通過把包含 _B_ 的一個集合的 **P**(_S_) 的所有集合包括在內而變成 (真) 濾子。所以結果的濾子基經常被稱為是生成或擴張自濾子基 _B_。所有濾子更加是濾子基，所以經過濾子基到濾子的過程可以被看做某種補全。

如果 _B_ 和 _C_ 是在 _S_ 上的兩個濾子基，要說 _C_ **細於**（finer than）_B_（或者 _C_ 是 _B_ 的精細），意味著對於每個 _B_0 ∈ _B_，有一個 _C_0 ∈ _C_ 使得 _C_0 ⊆ _B_0。

* 對於濾子基 _B_ 和 _C_，如果 _B_ 細於 _C_ 且 _C_ 細於 _B_，則 _B_ 和 _C_ 被稱為**等價濾子基**。
* 對於濾子基 _A_, _B_ 和 _C_，如果 _A_ 細於 _B_ 且 _B_ 細於 _C_，則 _A_ 細於 _C_。

給定 **P**(_S_) 的一個子集 _T_，我們可以問是否存在一個最小的濾子 _F_ 包含 _T_。這樣一個濾子存在，若且唯若 _T_ 的子集的有限交集是非空的。我們稱 _T_ 為 _F_ 的**子基**，並稱 _F_ **生成**自 _T_。_F_ 可以通過採納 _T_ 的所有有限交集來構造，它就是 _F_ 的濾子基。

### 例子

* 最簡單的濾子的例子是包括 _S_ 的一個特定非空子集 _C_ 的 _S_ 的所有子集的集合。這種濾子叫做 _C_ 生成的**主濾子**。
* 在無限集合 _S_ 上 Frechet 濾子是 _S_ 的有有限補元的所有子集的集合。
* 在集合 _X_ 上的一致空間是在 _X_×_X_ 上的濾子。
* 可以使用 Rasiowa-Sikorski 引理建立在偏序集合內的濾子，這經常用於力迫。
* 集合 $\{\{N,N+1,N+2,\dots \}:N\in \{1,2,3,\dots \}\}$ 被叫做自然數序列 $(1,2,3,\dots )$ 的尾濾子基。尾濾子基由任何網 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 使用構造 $\{\{x_{\alpha }:\alpha \in A,\alpha _{0}\leq a\}:\alpha _{0}\in A\}\,$ 得到。所以，所有的網都生成一個濾子基 (並因此是濾子)。因為所有序列都是網，這對所有序列也成立。

### 在模型論中濾子

對於在集合 _S_ 上的任何濾子 _F_，如下定義的集合函數

　
: $m(A)=\left\{{\begin{matrix}\,1&{\mbox{if }}A\in F\\\,0&{\mbox{if }}S-A\in F\\\,{\mbox{undefined}}&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

是有限可加性的，就是一個「測度」，如果這個術語更加鬆散的構造的話。所以陳述

　
: $\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$

可以在某種程度上被認為類似於聲稱 φ「幾乎處處」成立。在濾子內的成員關係釋義用在模型論的超乘積理論中。

### 在拓撲學中的濾子

在拓撲學和數學分析中，濾子被用來定義收斂，類似於序列在度量空間空間中所扮演的角色。

在拓撲學和有關的數學領域中，濾子是網的推廣。網和濾子二者都提供非常一般性的上下文來統一各種極限概念到任意的拓撲空間。

一個序列通常用作為全序集合來索引。因此，在第一可數空間中的極限可以被序列所描述。但是如果，空間不是第一可數的，則必須使用網或濾子。網推廣了序列的概念，通過簡單的要求索引集合是有向集合。濾子可以被認為是從多個網建立的集合。因為，濾子的極限和網的極限二者在概念上同於序列的極限。

使用濾子的好處是很多結果的證明可以不使用選擇公理。

#### 鄰域基

選取拓撲空間 _T_ 和一個點 _x_ ∈ _T_。

* 選取 _N_x 是在 _T_ 的點 _x_ 上的**鄰域濾子**。這意味著 _N_x 是點 _x_ 的所有拓撲鄰域的集合。可以驗證 _N_x 是個濾子。**鄰域系統**是**鄰域濾子**的另一個名字。
* 要說 _N_ 是在 _T_ 的 _x_ 上的**鄰域基**，就意味著對於所有 _V_0 ∈ _N_x，存在 _N_0 ∈ _N_ 使得 _N_0 ⊆ _V_0。注意所有鄰域基都是濾子基。

#### 收斂濾子基

選取拓撲空間 _T_ 和一個點 _x_ ∈ _T_。

* 要說濾子基 _B_ **收斂**到 _x_，指示為 _B_ → _x_，就意味著對於所有 _x_ 的鄰域 _U_，有 _B_0 ∈ _B_ 使得 _B_0 ⊆ _U_。在這種情況下，_x_ 叫做 _B_ 的極限點而 _B_ 叫做**收斂濾子基**。注意這裡用的術語「極限點」是「極限」概念到濾子基的推廣；在某些上下文中，術語「極限點」用於下面解說的簇點，並以此區別於術語「極限」。
  * 對於所有 _x_ 的鄰域基 _N_，有 _N_ → _x_。
  * 如果 _N_ 是 _p_ 的鄰域基而 _C_ 是在 _T_ 上的濾子基，則 _C_ → _x_ 若且唯若 _C_ 細於 _N_。
  * 對於 _X_ ⊆ _T_，要說 _p_ 是 _X_ 在 _T_ 中極限點，就意味著對於 _T_ 中的 _p_ 的每個鄰域 _U_，有 _U_∩(_A_ - {_p_})≠∅。
  * 對於 _X_ ⊆ _T_，_p_ 是 _X_ 在 _T_ 中的極限點，若且唯若存在在 _A_ - {_p_} 上的濾子基 _B_ 使得 _B_ → _p_。

#### 聚集

選取拓撲空間 _T_ 和點 _x_ ∈ _T_。

* 要說 _x_ 是 _B_ 在 _T_ 上的聚集點，就意味著對於每個 _B_0 ∈ _B_ 和對於 _x_ 在 _T_ 中的每個鄰域 _U_，有 _B_0∩_U_≠∅。在這種情況下，_B_ 被被稱為**聚集**於點 _x_。
  * 對於濾子基 _B_ 使得 _B_ → _x_，極限點 _x_ 也是聚集點。
  * 對於濾子基 _B_ 有著聚集點 _x_，_x_ **不**必然是極限點。
  * 對於濾子基 _B_ 聚集於點 _x_，有一個濾子基 _C_ 細於會聚到 _x_ 的濾子基 _B_。
  * 對於濾子基 _B_，集合∩{cl (_B0_) : _B0_∈_B_} 是所有 _B_ 的聚集點的集合 (注意：cl (_B0_) 是 _B0_ 的閉包)。假定 _T_ 是偏序集合。
    * _B_ 的下極限是 _B_ 的所有聚集點的集合的下確界。
    * _B_ 的上極限是 _B_ 的所有聚集點的集合的上確界。
    * _B_ 是收斂濾子基，若且唯若它的下極限和上極限一致；在這種情況下它們所一致於的值是這個濾子基的極限。

#### 拓撲空間的性質

選取拓撲空間 _T_。

* _T_ 是豪斯多夫空間，若且唯若對於所有在 _T_ 上的濾子基 _B_，_B_→_p_ 並且 _B_→_q_ 蘊涵 _p_=_q_（就是說，所有濾子（基）有最多一個極限點）。
* _T_ 是緊緻空間，若且唯若所有在 _X_ 上的濾子基聚集。
* _T_ 是緊緻空間，若且唯若所有在 _X_ 上的濾子基是收斂濾子基的子集。
* _T_ 是緊緻空間，若且唯若所有在 _X_ 上的超濾子會聚。

#### 拓撲空間上的函數

選取拓撲空間 _X_ 和 _Y_ 和子集 _E_ ⊆ _X_。選取 _E_ 上的濾子基 _B_ 和函數 $f:E\to Y$ 。_B_ 在 _f_ 下的像 _f_[_B_] 是集合 $\{f(x):x\in B\}$ 。像 _f_[_B_] 形成了在 _Y_ 上的濾子基。

* _f_ 連續於 _x_，若且唯若 $F\to x$ 蘊涵 $f(F)\to f(x)$ 。

#### 度量空間

選取度量空間 _X_ 帶有度量 _d_。 

* 要說濾子基 _B_ 在 _X_ 上是**柯西**的，就意味著對於每個實數 ε>0，有 _B_0 ∈ _B_ 使得 _B_0 的度量直徑小於 ε。
* 選取 (_xn_) 是度量空間 _X_ 中的序列。(_xn_) 是柯西序列，若且唯若形如 { {_xn_,_xn+1_,...} : _n_ ∈ {1,2,3,...} } 的濾子基是柯西的。

### 一致空間中的濾子

給定一致空間 _X_，在 _X_ 上的濾子 _F_ 被稱為**柯西濾子**，如果對於所有周圍（entourage）_U_，有著 $A\in F$ 帶有 $(x,y)\in U$ 對於所有 $x,y\in A$ 。在度量空間中，這選取形式 F 為柯西的，如果對於所有 $\epsilon >0\ \ \exists A\in F\ \ \mathrm {diam} (A)<\epsilon $ 。_X_ 被稱為是完備的，如果所有柯西濾子會聚。反過來說，在一致空間上所有收斂濾子是柯西濾子。此外，所有柯西濾子的聚集點是極限點。

緊緻一致空間是完備的：在緊緻空間中每個濾子都有聚集點，並且如果濾子是柯西的，這種聚集點就是極限點。進一步的，一致空間是緊緻的若且唯若它是完備的和完全有界的。

## 引用

* Cartan, H. (1937) "Thèorie des filtres". _CR Acad. Paris_, **205**, 595–598.
* Cartan, H. (1937) "Filtres et ultrafiltres" _CR Acad. Paris_, **205**, 777–779.

A monograph available free online:

* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. _A Course in Universal Algebra. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
* An introductory account of the theory of filters in metric and topological spaces

## 參見

* 過濾 (數學)
* 網 (數學)
* 理想 (數學)