混合矩陣

**二埠網絡**（英語：two-port network）又稱**雙埠網絡**、**雙口網絡**，是**四端子網絡**（**四端網絡**）的一種，是具有 2 個埠的電路或裝置，埠與電路內部網絡相連接。一個埠由 2 個端子組成，當這 2 個端子滿足**埠條件**，即一個端子流入的電流等於另一個端子流出的電流時，則這 2 個端子就構成了一個埠，換句話說，也就是相同的電流從同一埠流入並流出。二埠網絡的實例包括電晶體的小訊號模型（如混合 π 模型）、電子濾波器以及阻抗匹配網絡。被動二埠網絡的分析是互易定理的副產物，最初由洛倫茲提出。

二埠網絡能將電路的整體或一部分用它們相應的外特性參數來表示，而不用考慮其內部的具體情況，這樣被表示的電路就成為具有一組特殊性質的「黑箱」，從而就能抽象化電路的物理組成，簡化分析。任意具有 4 個端子的線性電路都可以變換成二埠網絡，且滿足不含獨立源的條件和埠條件。

描述二埠網絡的參數不只有一組，常用的幾組參數是分別為阻抗參數 Z、導納參數 Y、混合參數 h、g 和傳輸參數，每組參數都在下文中有描述。這幾組參數只能用於線性網絡，因為它們導出的條件是假定任何給定的電路情況都是各種短路和開路情況的線性疊加。這幾組參數通常用矩陣表示法表示，通過以下變量建立關係：

　
: $V_{1}\,{=}\,{}$ 輸入電壓

　
: $V_{2}\,{=}\,{}$ 輸出電壓

　
: $I_{1}\,{=}\,{}$ 輸入電流

　
: $I_{2}\,{=}\,{}$ 輸出電流

如圖 1 所示。這些電流和電壓變量在低頻到中頻情況下是非常有用的。在高頻情況下（如微波頻率），使用功率和能量變量會更合適，這時二埠電流－電壓法就應該由基於散射參數 S 的方法代替。

請注意，**四端子網絡**（four-terminal network）等同於**四端網絡**（quadripole，注意與四極子（quadrupole）區分），但不等同於二埠網絡，因為只有 2 個端子滿足流入一個端子的電流等於流出另一個端子的電流時，即滿足**埠條件**時，才能稱這 2 個端子為一個**埠**，而四端子網絡的端子可能無法滿足埠條件。因此對於一個四端子網絡，只有當連接到其內部電路的 2 對端子滿足埠條件時，這個四端子網絡才是一個二埠網絡。

## 一般性質

二埠網絡具有若干常用於實際網絡中的特定性質，能大大簡化分析。這些性質包括：

* **互易網絡**：在埠 1 上加一個電流，在埠 2 上產生相應的電壓；在埠 2 上加與前者相同的電流，在埠 1 上產生相應的電壓。若兩個埠產生的電壓相等，則稱二埠網絡是互易的。將上述的電流和電壓交換，所描述的定義與上述定義是等價的。另一種表述方式與上述定義等價，內容為：埠 1 的電壓除以埠 2 的短路電流之商等於埠 2 的電壓除以埠 1 的短路電流之商，則稱二埠網絡是互易的。通常，若組成網絡的元件都是線性無源元件（電阻、電容和電感），則這個網絡是互易的；若網絡包含主動元件（如電晶體、集成運放、產生器、數位電路元件等），則網絡**不是**互易的。另外，含有受控源的二埠網絡一般不具有互易性。互易二埠網絡的各組參數滿足：
   * $\textstyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {Z} $ （ $\textstyle Z_{12}=Z_{21}$ ）
  * $\textstyle \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {Y} $ （ $\textstyle Y_{12}=Y_{21}$ ）
  * $\textstyle h_{12}=-h_{21}$
  * $\textstyle g_{12}=-g_{21}$
  * $\textstyle \det(\mathbf {A} )=1$ （ $\textstyle AD-BC=1$ ）
  * $\textstyle \mathbf {S} =\mathbf {S} ^{\mathrm {T} }$ （ $\quad S_{12}=S_{21}$ ）
* **對稱網絡**：若一個網絡的輸入阻抗等於輸出阻抗，則這個網絡是電氣對稱的。對稱網絡一定是互易網絡，但互易網絡不一定是對稱網絡。大多數情況下，對稱網絡也是物理對稱的，不過這不是必要條件。這類網絡的輸入和輸出阻抗是互逆的。有時，反對稱網絡也是可以利用的性質。對稱二埠網絡的各組參數滿足：
   * $\textstyle Z_{12}=Z_{21},\quad Z_{11}=Z_{22}$
  * $\textstyle Y_{12}=Y_{21},\quad Y_{11}=Y_{22}$
  * $\textstyle h_{12}=-h_{21},\quad \det(\mathbf {H} )=1$
  * $\textstyle g_{12}=-g_{21},\quad \det(\mathbf {G} )=1$
  * $\textstyle \det(\mathbf {A} )=1,\quad a_{11}=a_{22}$ （ $\textstyle AD-BC=1,\quad A=D$ ）
  * $\textstyle S_{12}=S_{21},\quad S_{11}=S_{22}$
* **無耗網絡**：無耗網絡是不包含電阻或其他耗能元件的網絡。互易網絡反映網絡的電磁對稱性，而無耗網絡反映網絡的能量對稱性。無耗二埠網絡的各組參數滿足：
  * 非互易無耗網絡滿足 $\textstyle \operatorname {Re} (\mathbf {Z} )^{\mathrm {T} }=-\operatorname {Re} (\mathbf {Z} ),\quad \operatorname {Im} (\mathbf {Z} )^{\mathrm {T} }=\operatorname {Im} (\mathbf {Z} )$ ，其中 Re (Z) 為電阻矩陣，Im (Z) 為電抗矩陣；互易無耗網絡滿足 $\textstyle \operatorname {Re} (Z_{ij})=0\quad (i,j=1,2)$ 。
  * 非互易無耗網絡滿足 $\textstyle \operatorname {Re} (\mathbf {Y} )^{\mathrm {T} }=-\operatorname {Re} (\mathbf {Y} ),\quad \operatorname {Im} (\mathbf {Y} )^{\mathrm {T} }=\operatorname {Im} (\mathbf {Y} )$ ，其中 Re (Y) 為電導矩陣，Im (Y) 為電納矩陣；互易無耗網絡滿足 $\textstyle \operatorname {Re} (Y_{ij})=0\quad (i,j=1,2)$ 。
  * 非互易無耗網絡滿足 $\textstyle |\det(\mathbf {A} )|=1$ （似互易性，推廣到 2n 埠非互易無耗網絡仍存在此性質）；互易無耗網絡滿足 $\textstyle \operatorname {Re} (a_{ij})=0\quad (i,j=1,2,i\neq j),\quad \operatorname {Im} (a_{ij})=0\quad (i,j=1,2,i=j)$ 。
  * 無論網絡互易與否， $\textstyle \mathbf {S^{*}S=I} $ ，其中 S\* 為 S 的共軛轉置，I 為單位矩陣，此關係表明無耗網絡的 S 矩陣是酉矩陣。若網絡有耗，則 $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ 且 $\mathbf {I-S^{*}S} \,$ 是正定矩陣。

## 阻抗參數（Z 參數）

阻抗參數又稱**開路阻抗參數**，因為計算這一參數時電路滿足開路條件 Ix=0（其中 x = 1, 2，分別表示流過 2 個埠的輸入和輸出電流）。

一般形式的開路阻抗矩陣（Z 參數矩陣）中，所有的輸出電壓都用 Z 參數矩陣和輸入電流表示，滿足如下矩陣方程：

　
: $\mathbf {V=ZI} $

其中 $\mathbf {V} $ 和 $\mathbf {I} $ 分別是 $n$ 階方陣 $\mathbf {V} _{n}$ 和 $\mathbf {I} _{n}$ 。一般來說，開路阻抗矩陣中的元素都是複數和頻率函數。對於一埠網絡，Z 參數矩陣縮減為單元素矩陣，變成了 2 個端子間的普通阻抗。

二埠網絡的 Z 參數矩陣方程的具體形式如下，其中 ${\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的開路阻抗矩陣（Z 參數矩陣）：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

其中

　
: $Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

　
: $Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

對於 n 埠網絡，以上表達式可歸納為

　
: $Z_{ij}={V_{i} \over I_{j}}{\bigg |}_{I_{k\neq j}=0}\quad (i,j,k=1,2,3,\cdots ,n)$

Z 參數矩陣中每一元素的單位均是歐姆。

對於互易網絡， $\textstyle Z_{12}=Z_{21}$ 。對於對稱網絡， $\textstyle Z_{11}=Z_{22}$ 。對於互易無耗網絡，所有的 $\textstyle Z_{ij}$ 都是純虛數。

 

### 射極退化的雙極型電流鏡

圖 3 展示了一個雙極型電流鏡，射極接入電阻是為了增加電流鏡的輸出電阻。電晶體 _Q_1 是二極體接法，也就是說其集極－基極電壓為零。圖 4 展示了一個與圖 3 電路等效的小訊號電路。電晶體 _Q_1 由其射極電阻 _rE_ ≈ _VT / IE_（_VT_ = 熱電壓，_IE_ = Q 點射極電流）表示，這是因為 _Q_1 的混合 π 模型中的獨立電流源消耗的電流與 _rπ_ 上跨接的電阻 1 /_gm_ 消耗的電流相同，所以這樣簡化電路是可行的。第二個電晶體 _Q2_ 用其混合 π 模型表示。表 1 列出的 Z 參數表達式使圖 2 中的 Z 參數等效電路與圖 4 中的小訊號電路成為電學等效電路。

電阻 _RE_ 引入的負回饋在參數中有所體現。例如，當電流鏡在差分放大器中用作主動負載時，_I1 ≈ -I2_，這使得電流鏡的輸出阻抗近似為 _R22 -R21_ ≈ 2 β _rORE_ /( _rπ+2RE_ )，但是如果未接入負回饋（即 _RE_ = 0 Ω），輸出阻抗僅為 _rO_。同時，電流鏡基準測的阻抗近似為 _R_11 − _R_12 ≈ ${\frac {r_{\pi }}{r_{\pi }+2R_{E}}}$ $(r_{E}+R_{E})$ ，僅是一個不大的值，但仍比無負回饋時的阻抗 _rE_ 大。在差分放大器應用中，較大的輸出電阻可以增大差模電壓放大倍數，這是一個優點，而較小的電流鏡輸入電阻可以避免密勒效應，因此這也是一個優點。

## 導納參數（Y 參數）

導納參數又稱**短路導納參數**，因為計算這一參數時電路滿足短路條件 Vx=0（其中 x=1,2，分別表示 2 個埠上的輸入和輸出電壓）。

一般形式的短路導納參數（Y 參數矩陣）中，所有的輸出電流都用 Y 參數矩陣和輸入電壓表示，滿足如下矩陣方程：

　
: $\mathbf {I=YV} $

其中 $\mathbf {I} $ 和 $\mathbf {V} $ 分別是 $n$ 階方陣 $\mathbf {I} _{n}$ 和 $\mathbf {V} _{n}$ 。一般來說，短路導納參數中的元素都是複數和頻率函數。對於一埠網絡，Y 參數矩陣縮減為單元素矩陣，變成了 2 個端子間的普通導納。

二埠網絡的 Y 參數矩陣方程的具體形式如下，其中 ${\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的短路導納矩陣（Y 參數矩陣）：

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}$

其中

　
: $Y_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$

　
: $Y_{21}={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}$

對於 n 埠網絡，以上表達式可歸納為

　
: $Y_{ij}={I_{i} \over V_{j}}{\bigg |}_{V_{k\neq j}=0}\quad (i,j,k=1,2,3,\cdots ,n)$

Y 參數矩陣中每一元素的單位均是西門子。

對於互易網絡， $\textstyle Y_{12}=Y_{21}$ 。對於對稱網絡， $\textstyle Y_{11}=Y_{22}$ 。對於互易無耗網絡，所有的 $\textstyle Y_{ij}$ 都是純虛數。

## 混合參數（h 參數）

混合參數（h 參數）又稱第一類混合參數。下式中的 ${\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的混合矩陣（h 參數矩陣，第一類混合矩陣）。

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}$

其中

　
: $h_{11}\,{=}\,\left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\qquad h_{12}\,{=}\,\left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

　
: $h_{21}\,{=}\,\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\qquad h_{22}\,{=}\,\left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

對於互易網絡， $\textstyle h_{12}=-h_{21}$ 。對於對稱網絡， $\textstyle \det(\mathbf {H} )=1$ 。

當輸出端需要電流放大電路時，這種等效電路常被選用。請注意，混合參數矩陣的非對角線元素均為無量綱量，而對角線元素的量綱互為倒數。

### 三極體的 h 參數微變等效電路

* _h_ix = _h_ie：三極體的輸入阻抗（對應基極 - 射極動態電阻 _r_be）。
* _h_rx = _h_re： 代表 _V_CE 對應的三極體 _I_B–_V_BE 曲綫。此值通常非常小，而且常被忽略（假定為零）。
* _h_fx = _h_fe：三極體的電流增益。此參數通常指數據手冊中的 _h_FE 或者直流電流增益（_β_DC）。
* _h_ox = _h_oe：三極體的輸出阻抗。這個量實際上是導納，通常需要將其轉換成阻抗。

_h_ix、_h_rx、_h_fx 和 _h_ox 分別對應 _h_11、_h_12、_h_21 和 1/_h_22。

### 共基極放大器

表 2 中列出的公式使圖 6 中的電晶體與圖 8 中其相應的小訊號低頻混合 π 模型成為 h 參數等效電路。

圖 8 中：

* _rπ_ = 電晶體基極電阻
* _r_O = 輸出電阻
* _gm_ = 跨導

如上所示，_h_21 為負，這是因為一般規定電流 _I_1、_I_2 **流入**二埠的方向為正方向。_h_12 為非零值表明輸出電壓對輸入電壓有影響，也就是說放大電路為**雙向**放大電路；若 _h_12 = 0，則放大電路為**單向**放大電路。

## 第二類混合參數（g 參數）

下式中的 ${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的第二類混合矩陣（g 參數矩陣）。

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

其中

　
: $g_{11}\,{=}\,\left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad g_{12}\,{=}\,\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}$

　
: $g_{21}\,{=}\,\left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad g_{22}\,{=}\,\left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}$

對於互易網絡， $\textstyle g_{12}=-g_{21}$ 。對於對稱網絡， $\textstyle \det(\mathbf {G} )=1$ 。

當輸出端需要電壓放大電路時，這種等效電路常被選用。請注意，g 參數矩陣的非對角線元素均為無量綱量，而對角線元素的量綱互為倒數。

### 共基極放大器

表 3 中列出的公式使圖 9 中的電晶體與圖 10 中其相應的小訊號低頻混合 π 模型成為 h 參數等效電路。

圖 10 中：

* _rπ_ = 電晶體基極電阻
* _r_O = 輸出電阻
* _gm_ = 跨導

如上所示，_g_12 為負，這是因為一般規定二埠電流 _I_1、_I_2 **流入**的方向為正方向。_g12_ 為非零值表明輸出電流對輸入電流有影響，也就是說放大電路為**雙向**放大電路；若 _g_12 = 0，則放大電路為**單向**放大電路。

## 傳輸參數

傳輸參數又稱 ABCD 參數、級聯參數、傳輸線參數、F 參數、T 參數（注意不要與散射傳輸參數混淆），其定義有多種不同的形式，下面列出兩種最常見的等價定義形式。

### 定義一（ABCD 參數）

最常見的一種定義形式如下，下式中的 ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的傳輸矩陣（ABCD 參數矩陣、A 參數矩陣、T 參數矩陣）：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}$

其中

　
: $A={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad B=-{V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$

　
: $C={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad D=-{I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}$

對於互易網絡， $\textstyle AD-BC=1$ 。對於對稱網絡， $\textstyle A=D$ 。對於互易無耗網絡，_A_ 與 _D_ 為純實數，而 _B_ 與 _C_ 為純虛數。

這種表示法是首選方法，因為當參數用於表示二埠的級聯時，書寫矩陣的順序與繪製電路圖相同，都是從左到右。

下面給出的定義形式是上述定義的變體，下式中的 ${\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的逆向傳輸矩陣（逆向 ABCD 參數矩陣、B 參數矩陣、T' 參數矩陣）：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{2}\\I'_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}$

其中

　
: ${\begin{aligned}A'&\,{=}\,\left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&\qquad B'&\,{=}\,\left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\\C'&\,{=}\,\left.-{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&\qquad D'&\,{=}\,\left.-{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}$

以上公式中的 $\textstyle C'$ 和 $\textstyle D'$ 為負，因為 $\textstyle I'_{2}$ 被定義為 $\textstyle I_{2}$ 的相反數，即 $\textstyle I'_{2}=-I_{2}$ 。採用這一約定的原因是若滿足上述關係，一個二埠網絡的輸出電流與下一個與其級聯的二埠網絡的輸入電流相等。因此，輸入電壓 / 電流矩陣向量可以被直接替換為前一個二埠網絡的矩陣方程以構造組合 $\textstyle A'B'C'D'$ 矩陣。

電話四線傳輸系統（Telephony four-wire Transmission Systems）的 ABCD 矩陣是於 1977 年由 P・K・韋伯（P. K. Webb）在 British Post Office Research Department Report 630 中定義。

### 定義二（A 參數、B 參數）

部分學者將 $\textstyle ABCD$ 參數矩陣的元素符號指定為 _aij_ (i, j = 1, 2)，將逆 $\textstyle A'B'C'D'$ 參數矩陣的元素符號指定為 _bij_ (i, j = 1, 2)，二者都很簡潔，且不會與電路元件的符號混淆。下列公式中的 ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的 A 參數矩陣（傳輸矩陣、傳輸參數矩陣、T 參數矩陣）， ${\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$ 為二埠網絡的 B 參數矩陣（逆向傳輸矩陣、逆向傳輸參數矩陣、T' 參數矩陣）。

　
: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{ij}\end{bmatrix}}_{2\times 2}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

　
: $\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{ij}\end{bmatrix}}_{2\times 2}={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}$

兩種形式滿足的關係非常簡單，互為逆矩陣，即

　
: $\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}$

請注意，A 矩陣、B 矩陣分別代表 ABCD 矩陣、逆向 ABCD 矩陣，不要與定義一中的參數 A、B 混淆。

### 基本電路元件的傳輸參數

下表列出了一些簡單的基本電路元件的逆向傳輸參數矩陣（B 參數矩陣）。

## 二埠網絡的組合聯接

當聯接 2 個或 2 個以上的二埠網絡時，組合網絡的二埠參數可以通過對組合網絡的每一組成部分的參數矩陣進行矩陣代數運算求取。若恰當的選取與二埠聯接方式相匹配的二埠參數，矩陣運算將會極為簡單，例如串聯聯接最好用 Z 參數來描述。

二埠網絡的聯接中要注意埠的組合規則，因為當連接電勢相異的部分時，有一些連接會導致組合網絡不滿足埠條件，且違反組合規則。要解決這一難題，可以在出現問題的二埠網絡輸出端接入匝數比為 1:1 的理想變壓器。這一舉動並不會改變二埠網絡的參數，而且還能保證二埠網絡互相聯接時滿足埠條件。圖 12 和圖 13 中分別展示了串聯聯接中有關這一問題的一個實例和解決方案。

簡表：

### 串聯

若兩個二埠網絡以串聯方式聯接（圖 11），最好選擇 Z 參數來描述二埠網絡。組合網絡的 Z 參數矩陣是由兩個獨立網絡分別的 Z 參數矩陣相加得到：

　
: $[\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}$

兩個獨立網絡的 Z 參數矩陣方程如下：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}'&Z_{12}'\\Z_{21}'&Z_{22}'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}$

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}''&Z_{12}''\\Z_{21}''&Z_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}$

此時， $\textstyle V_{1}$ 、 $\textstyle V_{2}$ 、 $\textstyle I_{1}$ 和 $\textstyle I_{2}$ 分別滿足關係 $\textstyle V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$ 、 $\textstyle V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$ 、 $\textstyle I_{1}=I_{1}'=I_{1}''$ 、 $\textstyle I_{2}=I_{2}'=I_{2}''$ ，故如下關係成立：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

因此，串聯二埠網絡的 Z 參數矩陣為

　
: ${\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{bmatrix}}$

如前文所述，有些組合網絡不能通過分析結果直接串聯得到。一個簡單的實例是由電阻 _R_1 和 _R_2 組成的 L 形網絡。這一網絡的 Z 參數為：

　
: $[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}$

圖 12 展示了 2 個串聯的相同網絡。理論上，由矩陣相加得到的整體 _Z_ 參數為

　
: $[\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}=2[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}2R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}$

但是，如果直接分析這一組合網絡會得到

　
: $[\mathbf {z} ]={\begin{bmatrix}R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}$

二者的分歧在於下方二埠網絡中的 _R_1 被加在輸出埠的 2 個端子間的電阻短接，這就導致 2 個獨立網絡中每一網絡的輸入埠中分別有一個端子無電流流過，但另一個端子仍有電流流入。因此，2 個原始網絡的輸入埠都無法滿足埠條件。解決方案是在 2 個二埠網絡中至少一個網絡的輸出端接入一個理想變壓器（圖 13）。雖然這種方法是教科書上常見的介紹二埠網絡原理的方法，在每個獨立二埠網絡的設計中都使用變壓器是否實用是需要考慮的問題。

### 並聯

若兩個二埠網絡以並聯方式聯接（圖 14），最好選擇 Y 參數來描述二埠網絡。組合網絡的 Y 參數矩陣是由兩個獨立網絡分別的 Y 參數矩陣相加得到：

　
: $[\mathbf {y} ]=[\mathbf {y} ]_{1}+[\mathbf {y} ]_{2}$

兩個獨立網絡的 Y 參數矩陣方程如下：

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}'&Y_{12}'\\Y_{21}'&Y_{22}'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}$

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}''&Y_{12}''\\Y_{21}''&Y_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}$

此時， $\textstyle I_{1}$ 、 $\textstyle I_{2}$ 、 $\textstyle V_{1}$ 和 $\textstyle V_{2}$ 分別滿足關係 $\textstyle I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$ 、 $\textstyle I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$ 、 $\textstyle V_{1}=V_{1}'=V_{1}''$ 、 $\textstyle V_{2}=V_{2}'=V_{2}''$ ，故如下關係成立：

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}I_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}$

因此，並聯二埠網絡的 Y 參數矩陣為

　
: ${\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{bmatrix}}$

### 串－並聯

若兩個二埠網絡以串－並聯方式聯接（圖 15），最好選擇 h 參數來描述二埠網絡。組合網絡的 h 參數矩陣是由兩個獨立網絡分別的 h 參數矩陣相加得到：

　
: $[\mathbf {h} ]=[\mathbf {h} ]_{1}+[\mathbf {h} ]_{2}$

兩個獨立網絡的 h 參數矩陣方程如下：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}'&h_{12}'\\h_{21}'&h_{22}'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}$

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}''&h_{12}''\\h_{21}''&h_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}$

此時， $\textstyle I_{1}$ 、 $\textstyle I_{2}$ 、 $\textstyle V_{1}$ 和 $\textstyle V_{2}$ 分別滿足關係 $\textstyle I_{1}=I_{1}'=I_{1}''$ 、 $\textstyle I_{2}=I_{2}'+I_{2}''$ 、 $\textstyle V_{1}=V_{1}'+V_{1}''$ 、 $\textstyle V_{2}=V_{2}'=V_{2}''$ ，故如下關係成立：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}'+h_{11}''&h_{12}'+h_{12}''\\h_{21}'+h_{21}''&h_{22}'+h_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}$

因此，並聯二埠網絡的 h 參數矩陣為

　
: ${\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}'+h_{11}''&h_{12}'+h_{12}''\\h_{21}'+h_{21}''&h_{22}'+h_{22}''\end{bmatrix}}$

### 並－串聯

若兩個二埠網絡以並－串聯方式聯接（圖 16），最好選擇 g 參數來描述二埠網絡。組合網絡的 g 參數矩陣是由兩個獨立網絡分別的 h 參數矩陣相加得到：

　
: $[\mathbf {g} ]=[\mathbf {g} ]_{1}+[\mathbf {g} ]_{2}$

兩個獨立網絡的 g 參數矩陣方程如下：

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}'&g_{12}'\\g_{21}'&g_{22}'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}'\\I_{2}'\end{bmatrix}}$

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}''&g_{12}''\\g_{21}''&g_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}''\\I_{2}''\end{bmatrix}}$

此時， $\textstyle I_{1}$ 、 $\textstyle I_{2}$ 、 $\textstyle V_{1}$ 和 $\textstyle V_{2}$ 分別滿足關係 $\textstyle I_{1}=I_{1}'+I_{1}''$ 、 $\textstyle I_{2}=I_{2}'=I_{2}''$ 、 $\textstyle V_{1}=V_{1}'=V_{1}''$ 、 $\textstyle V_{2}=V_{2}'+V_{2}''$ ，故如下關係成立：

　
: ${\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{1}'\\V_{2}'\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}I_{1}''\\V_{2}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}'+g_{11}''&g_{12}'+g_{12}''\\g_{21}'+g_{21}''&g_{22}'+g_{22}''\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

因此，並聯二埠網絡的 g 參數矩陣為

　
: ${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}'+g_{11}''&g_{12}'+g_{12}''\\g_{21}'+g_{21}''&g_{22}'+g_{22}''\end{bmatrix}}$

### 級聯

級聯又稱鏈聯，是將二埠網絡輸出埠的 2 個端子分別連接到下一個二埠網絡輸入埠的 2 個端子的聯接方式。若兩個二埠網絡以級聯方式聯接（圖 17），最好選擇 ABCD 參數來描述二埠網絡。組合網絡的 ABCD 參數矩陣是由兩個獨立網絡分別的 ABCD 參數矩陣進行矩陣相乘得到：

　
: $[\mathbf {a} ]=[\mathbf {a} ]_{1}[\mathbf {a} ]_{2}$

_n_ 個二埠網絡組成的級聯網絡的參數可以通過對 _n_ 個矩陣進行矩陣相乘得到。若利用 _b_ 參數矩陣計算級聯網絡的參數，也是通過對 _n_ 個矩陣進行矩陣相乘實現，不過矩陣相乘的順序必須顛倒：

　
: $[\mathbf {b} ]=[\mathbf {b} ]_{2}[\mathbf {b} ]_{1}$

兩個獨立網絡的 ABCD 參數矩陣方程如下：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

　
: ${\begin{bmatrix}V_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{3}\\I_{3}\end{bmatrix}}$

此時， $V_{1}$ 、 $I_{1}$ 、 $V_{3}$ 和 $I_{3}$ 滿足如下關係：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{3}\\I_{3}\end{bmatrix}}$

因此，級聯二埠網絡的 ABCD 參數矩陣為

　
: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2}&A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}\\C_{1}A_{2}+D_{1}C_{2}&C_{1}B_{2}+D_{1}D_{2}\end{bmatrix}}$

下面給出一個實例：

假設一個二埠網絡由串聯電阻 _R_ 後接並聯電容 _C_ 組成，這一網絡整體上可以被視為 2 個結構更為簡單的網絡的級聯：

　
: $[\mathbf {b} ]_{1}={\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}$

　
: $[\mathbf {b} ]_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}$

整個網絡的傳輸矩陣 $\textstyle [\mathbf {b} ]$ 只需要將 2 個二埠網絡組成部分的傳輸矩陣進行矩陣相乘即可得出：

　
: $[\mathbf {b} ]=[\mathbf {b} ]_{2}[\mathbf {b} ]_{1}$

　
: : : $={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}$

　
: : : $={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}$

因此

　
: ${\begin{bmatrix}V_{2}\\I'_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}$

## 散射參數（S 參數）

上述參數都是就埠的電壓和電流而言定義的，而 S 參數是就埠的反射波而言定義的。S 參數常用於特高頻和微波頻率，因為：

* 從測量上看，在這類高頻條件下，電壓和電流很難直接測定，而利用定向耦合器可以很容易地測定入射功率和反射功率；
* S 參數適合系統級聯，當特徵阻抗匹配時，根據獨立系統的特性預測最終的結果較為方便；
* 和微波工程中常用的概念，如反射係數、衰減增益密切相關；

S 參數矩陣方程定義為

　
: ${\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}$

其中 $\textstyle a_{k}$ 是埠 _k_ 上的入射波， $\textstyle b_{k}$ 是埠 _k_ 上的反射波，一般規定 $\textstyle a_{k}$ 和 $\textstyle b_{k}$ 與功率的平方根有關，因此二者與波電壓有關，定義如下：

每一個埠的入射波定義為

　
: $a={\frac {1}{2}}\,k(V+Z_{p}I)\,$

每一個埠的反射波定義為

　
: $b={\frac {1}{2}}\,k(V-Z_{p}^{*}I)\,$

其中 $Z_{p}\,$ 是每一個埠基準阻抗構成的對角矩陣， $Z_{p}^{*}\,$ 是 $Z_{p}\,$ 的按元素的（element-wise）複共軛矩陣， $V\,$ 和 $I\,$ 分別是每一個埠電壓和電流的列向量，且 $k=\scriptstyle \left({\sqrt {\left|\operatorname {Re} (Z_{p})\right|}}\right)^{-1}\,$ 。

若假設每一個埠上的基準阻抗均相等，則定義可簡化為

　
: $a={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V+Z_{0}I)}{\sqrt {\left|\operatorname {Re} (Z_{0})\right|}}}\,$

　
: $b={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V-Z_{0}^{*}I)}{\sqrt {\left|\operatorname {Re} (Z_{0})\right|}}}\,$

其中 $Z_{0}$ 是每一埠的特性阻抗。

上述矩陣方程以參數 $S_{11}\,$ 、 $S_{12}\,$ 、 $S_{21}\,$ 和 $S_{22}\,$ 給出了每一埠的反射功率波與入射功率波的關係。若在埠 1 加入射功率波 $a_{1}\,$ ，由其引起的出射波一部分會出現在埠 1（ $b'_{1}\,$ ），另一部分會出現在埠 2（ $b'_{2}\,$ ）；同理，埠 2 加入射功率波 $a_{2}\,$ ，由其引起的出射波一部分會出現在埠 1（ $b''_{1}\,$ ），另一部分會出現在埠 2（ $b''_{2}\,$ ）。埠 1 的兩股出射波之和為 $b_{1}\,$ ，埠 2 的兩股出射波之和為 $b_{2}\,$ 。不過還存在一種特殊情況：按照 S 參數的定義，若埠 2 終端接入的負載阻抗與系統阻抗 $Z_{0}\,$ 相等（**埠 2 匹配**），那麼由最大功率傳輸定理， $b_{2}\,$ 會被完全吸收，這使得 $a_{2}\,$ 等於零。因此，

　
: $S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}{\bigg |}_{a_{2}=0}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}$ 且 $S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}{\bigg |}_{a_{2}=0}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,$

同樣，如果埠 1 終端接入的負載阻抗與系統阻抗相等（**埠 1 匹配**）， $a_{1}\,$ 會為零，則

　
: $S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}{\bigg |}_{a_{1}=0}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,$ 且 $S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}{\bigg |}_{a_{1}=0}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,$

各參數的物理含義和網絡特性如下：

　
: $S_{11}\,$ 是輸入埠電壓反射係數，即埠 2 匹配時，埠 1 的反射係數

　
: $S_{12}\,$ 是逆向電壓增益，即埠 1 匹配時，埠 2 到埠 1 的逆向傳輸係數

　
: $S_{21}\,$ 是順向電壓增益，即埠 2 匹配時，埠 1 到埠 2 的順向傳輸係數

　
: $S_{22}\,$ 是輸出埠電壓反射係數，即埠 1 匹配時，埠 2 的反射係數

對於互易網絡， $\textstyle S_{12}=S_{21}$ 。對於對稱網絡， $\textstyle S_{11}=S_{22}$ 。對於反對稱網絡， $\textstyle S_{11}=-S_{22}$ 。對於互易無耗網絡， $\textstyle |S_{11}|=|S_{22}|$ 且 $\textstyle |S_{11}|^{2}+|S_{21}|^{2}=1$ 。

二埠網絡的 S 參數矩陣很常用，是生成的大型網絡的高階矩陣的基本組成部分。

### 特性參數

非互易網絡的一個典型例子是工作在線性（小訊號）條件下的放大器，而互易網絡的例子是匹配衰減器。在以下的參數中，按一般約定假設輸入和輸出分別連接到埠 1 和埠 2。系統額定阻抗、頻率以及其他會影響裝置的因素也都一定要事先精確規定。

* **線性增益**：

　
: 複線性增益 G 定義為

　
: : $G=S_{21}\,$ ，

　
: 這一參數是電壓增益，即輸出電壓除以輸入電壓的線性比，所有的值都是複數量。

　
: 而純量線性增益是複線性增益的大小，定義為

　
: : $\left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,$ ，

　
: 這一參數是純量電壓增益，由於是純量，故不用考慮相位。

* **對數增益**：

　
: 增益 g 的純量對數（單位 dB）表達式為

　
: : $g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,$ dB

　
: 這一參數比線性增益更常用，是一個正數量，常被直接稱為增益，而負數量可被稱為負增益，不過更常用的說法是稱為損耗，等同於其以 dB 為單位的幅度。例如，一條 10 米長的電纜在 100 MHz 條件下的增益是 - 1 dB，或者說這條電纜在 100 MHz 條件下的損耗是 1 dB。

* **插入損耗**：

　
: 插入損耗 $IL\,$ 的單位一般為 dB，定義為：

　
: : $IL=10\log _{10}{\frac {\left|S_{21}\right|^{2}}{1-\left|S_{11}\right|^{2}}}\,$ dB

　
: 按其定義來說，由於插入損耗是一種損耗（負增益），上式中得到的符號可以略去。插入損耗常與上述的 $g\,$ 混淆，在這裡需要特別考慮。二者的不同在於 $g\,$ 描述了裝置的輸入失配，而插入損耗並不是輸入阻抗或電源阻抗的函數。因此二者的表達式可以進一步改寫為

　
: : $g=P_{out}/P_{av}\,$ ，其中 $P_{av}$ 是電源的可用功率

　
: : $IL=P_{out}/P_{in}\,$ ，其中 $P_{in}$ 是埠 1 的插入損耗對應的功率

* **輸入回波損耗**：

　
: 輸入回波損耗 $RL_{\mathrm {in} }\,$ 是一個關於網絡的實際輸入阻抗與系統額定阻抗值接近程度的純量量度，以對數幅值表達，定義為

　
: : $RL_{\mathrm {in} }=\left|20\log _{10}\left|S_{11}\right|\right|\,$ dB

　
: 由定義來看，回波損耗是一個正純量值，因為公式中包含 2 對幅值符號（|）。線性部分 $\left|S_{11}\right|\,$ 相當於反無線電壓幅值除以入無線電壓幅值。

* **輸出回波損耗**：

　
: 輸出回波損耗 $RL_{\mathrm {out} }\,$ 與輸入回波損耗的定義相似，只不過描述對象是輸出埠（埠 2）而不是輸入埠，定義為

　
: : $RL_{\mathrm {out} }=\left|20\log _{10}\left|S_{22}\right|\right|\,$ dB

* **逆向增益與逆向隔離度**：

　
: 逆向增益 $g_{\mathrm {rev} }\,$ 的純量對數（單位 dB）表達式為

　
: : $g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,$ dB

　
: 逆向增益常會被表達為逆向隔離度 $I_{\mathrm {rev} }\,$ 。逆向隔離度是一個正數量，與 $g_{\mathrm {rev} }\,$ 的大小相等，表達式為

　
: : $I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,$ dB

* **電壓反射係數**：

　
: 輸入埠電壓反射係數 $\rho _{\mathrm {in} }\,$ 以及輸出埠電壓反射係數 $\rho _{\mathrm {out} }\,$ 分別等於 $S_{11}\,$ 和 $S_{22}\,$ ，定義為

　
: : $\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}\,$ 且 $\rho _{\mathrm {out} }=S_{22}\,$

　
: $S_{11}\,$ 和 $S_{22}\,$ 是複數量，因此 $\rho _{\mathrm {in} }\,$ 和 $\rho _{\mathrm {out} }\,$ 也是複數量。

　
: 電壓反射係數是複數量，可以用極座標圖或史密斯圖表示。

* **電壓駐波比**：

　
: 埠的電壓駐波比（VSWR）用小寫 s 表示，是於回波損耗相匹配的一個類似量度，不過不同之處在於，電壓駐波比這個線性純量描述的是駐波最大電壓與駐波最小電壓的比。因此，其與電壓反射係數的大小有關，也與輸入埠的 $S_{11}\,$ 和輸出埠的 $S_{22}\,$ 的大小有關。

　
: 對於輸入埠，電壓駐波比 $s_{\mathrm {in} }\,$ 定義為

　
: : $s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,$

　
: 對於輸出埠，電壓駐波比 $s_{\mathrm {out} }\,$ 定義為

　
: : $s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,$

## 散射傳輸參數（T 參數）

散射傳輸參數又稱 T 參數，是從入射波和反射波的角度來定義的參數。T 參數與 S 參數的不同之處，在於 T 參數是將埠 1 的訊號波與埠 2 的訊號波關聯起來，而 S 參數是將反射波與入射波關聯起來。從這一方面來說，T 參數與 ABCD 參數充當了相同的角色，能通過將級聯網絡組成部分的 T 參數進行矩陣相乘得到級聯組合網絡的 T 參數。同 ABCD 參數一樣，T 參數也可稱為傳輸參數。T 參數不像 S 參數一樣容易直接測出，但是可以通過 S 參數非常容易地轉換得出。

二埠網絡的 T 參數矩陣與 S 參數矩陣非常接近，T 參數是與歸一化入射波和歸一化反射波有關，符合如下關係：

　
: ${\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}}\,$

另一種定義方式：

　
: ${\begin{bmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,$

MATLAB 的 RF 工具箱插件以及多部著作（如《Network scattering parameters》）均採用第一種定義，而本節的 S 與 T 參數的轉換公式是基於第二種定義推導的，因此要特別注意，而將第一種定義中的 T11 和 T22 交換，T12 和 T21 交換並不會影響定義的正確性。

與 S 參數相比，T 參數的優點在於其只需要將每個級聯的獨立二埠的 T 參數矩陣進行矩陣相乘，就能確定若干個級聯二埠網絡的效果。將二埠網絡 1、2 和 3 的 T 參數矩陣分別設為 $\mathbf {T} _{1}$ 、 $\mathbf {T} _{2}$ 和 $\mathbf {T} _{3}$ ，則 3 個級聯的二埠網絡的 T 參數矩陣順序相乘就能得到組合網絡的矩陣 $\mathbf {T} _{T}$ ：

　
: $\mathbf {T} _{T}=\mathbf {T} _{1}\mathbf {T} _{2}\mathbf {T} _{3}$

如 S 參數一樣，T 參數是複值，二者可以直接轉換。雖然級聯 T 參數是由獨立網絡的 T 參數進行簡單的矩陣相乘得到，但是將每個網絡的 S 參數轉換為 T 參數進行運算後，再將級聯網絡的 T 參數轉換為等效的級聯網絡 S 參數是有意義的，因為這種運算方法在實際中常常需要應用。不過在運算完成後，所有埠間的雙向複全波互作用就要考慮到。下列等式是 S 與 T 參數相互轉換的公式。

S 參數轉換為 T 參數：

　
: $T_{11}={\frac {-\det(\mathbf {S} )}{S_{21}}}\,$

　
: $T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,$

　
: $T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,$

　
: $T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,$

T 參數轉換為 S 參數：

　
: $S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,$

　
: $S_{12}={\frac {\det(\mathbf {T} )}{T_{22}}}\,$

　
: $S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,$

　
: $S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,$

## 參數轉換

其中 $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}\,$ ， $\mathbf {G} =\mathbf {H} ^{-1}\,$ 。

散射參數（S 參數）一般通過直接測量得到，但也可通過與其他參數相互轉換導出，下面舉出 S 參數與其他參數的轉換公式示例。

### 電路變換

#### 等效電路

* T 形等效電路：選用阻抗參數 Z 可以非常容易地計算這種等效電路，注意對於互易網絡，圖中的受控電壓源不存在。
* Π 形等效電路：選用導納參數 Y 可以非常容易地計算這種等效電路，注意對於互易網絡，圖中的受控電流源不存在。

#### 輸入、輸出阻抗和電流、電壓增益

輸入阻抗 Zin、輸出阻抗 Zout、電流增益 KI、電壓增益 KV 分別定義為： $Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{1}}};\qquad Z_{out}={\frac {V_{2}}{I_{2}}};\qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{V}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}$ 。

其中 ZL 是連接到埠 2 上的負載阻抗，ZS 是連接到埠 1 上的電源阻抗。

## 多於 2 個埠的網絡

二埠網絡非常普遍，如放大器和濾波器都是二埠網絡，但是如定向耦合器和環行器等電阻網絡有多於 2 個的埠。下列表示法可用於具有任意埠數的網絡：

* 阻抗參數（Z 參數）
* 導納參數（Y 參數）
* 散射參數（S 參數）

例如，三埠網絡的阻抗參數為下列形式：

　
: ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$

而下列參數只限於在二埠網絡中應用：

* 混合參數（h 參數）
* 第二類混合參數（g 參數）
* 傳輸參數（ABCD 參數）
* 散射傳輸參數（T 參數）

## 參見

* 散射參數
* 光線傳輸矩陣

## 注釋

## 參考文獻

### 註腳

### 參考書目

* Carlin, HJ, Civalleri, PP, _Wideband circuit design_, CRC Press, 1998. ISBN 0849378974.
* William F. Egan, _Practical RF system design_, Wiley-IEEE, 2003 ISBN 0471200239.
* Farago, PS, _An Introduction to Linear Network Analysis_, The English Universities Press Ltd, 1961.
* Gray, P.R.; Hurst, P.J.; Lewis, S.H.; Meyer, R.G. Analysis and Design of Analog Integrated Circuits 4th. New York: Wiley. 2001. ISBN 0471321680.
* Ghosh, Smarajit, _Network Theory: Analysis and Synthesis_, Prentice Hall of India ISBN 8120326385.
* Jaeger, R.C.; Blalock, T.N. Microelectronic Circuit Design 3rd. Boston: McGraw–Hill. 2006. ISBN 9780073191638.
* Matthaei, Young, Jones, _Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures_, McGraw-Hill, 1964.
* Mahmood Nahvi, Joseph Edminister, _Schaum's outline of theory and problems of electric circuits_, McGraw-Hill Professional, 2002 ISBN 0071393072.
* Dragica Vasileska, Stephen Marshall Goodnick, _Computational electronics_, Morgan & Claypool Publishers, 2006 ISBN 1598290568.
* David M. Pozar, "Microwave Engineering", Third Edition, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-44878-8.
* Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Fields and Waves in Communication Electronics", Third Edition, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-58551-3.