波蘭空間

這裡列出的是在數學領域中的一分支拓撲學所常使用的一些術語。在拓撲學的許多子類中，術語上的使用差異並不是很大，這裡主要針對一般拓撲學（或稱點集拓撲）來編寫。這些術語也是其它學門如代數拓撲、微分拓撲和幾何拓撲中的基本術語。

關於一些基本的定義，請參閱拓撲空間的條目，關於拓撲學的簡史，請參閱拓撲學。關於集合以及函數的基本定義，請參閱樸素集合論、公理集合論，和函數。下面所列出的條目對拓撲學的瞭解也有幫助，這些文章中包含了某些一般拓撲學中的特別字彙，我們所列出的有些術語將在以下做更詳盡的解釋。一般拓撲學專題列表和一般拓撲學的例子列表也非常有用。

* 緊緻空間
* 連通空間
* 連續性
* 度量空間（距離空間）
* 分離集合
* 分離公理
* 拓撲空間
* 一致空間

在這個術語表中所提到的「空間」，除非另有說明，說的都是拓撲空間。

 

 

## A

* **Accessible**。參閱 **T1**。
* **亞歷山德羅夫拓撲**。一個空間 _X_，如果任意一組開集的交集都是開集，或者等價的，任意一組閉集的聯集都是閉集，那麼我們稱這個空間擁有亞歷山德羅夫拓撲或者**有限生成**（finitely generated）。
* **幾乎離散**（Almost discrete）。如果在一個空間中，每個開集都是閉集（所以也是閉開集），那麼我們稱這個空間是幾乎離散。一個幾乎離散。幾乎離散空間就是那些有限生成的零維空間。
* **Approach 空間**。approach 空間是距離空間的一種推廣，和距離空間不同的是，它的距離函數不是點和點之間的距離，而是子集和點之間。

## B

* **貝爾空間**（Baire space）。若是任何可數個稠密開集的交集還是稠密，那麼這個空間被稱為貝爾空間。
* _基_（base）。令 _B_ 是一組開集。如果拓撲 _T_ 中的任何開集都是 _B_ 中開集的聯集，那麼我們稱 _B_ 是 _T_ 的基。換句話說，_T_ 是包含 _B_ 的最小拓撲。也可稱 _B_ 生成拓撲 _T_。
* **博雷爾代數**（Borel algebra）。博雷爾代數是包含所有開集的最小 σ- 代數。
* **博雷爾集合**（Borel set）。博雷爾代數裡面的元素稱為博雷爾集。
* **邊界**（boundary 或者 frontier）。一個集合的閉包去除他的內部稱為他的邊界。或者等價的，邊界就是一個集合的閉包和它的補集的閉包的交集。
* **有界**（Bounded）。在一個度量空間中的集合如果有他的直徑是有限的，就稱他為有界。換句話說，一個集合一個集合是有界的若且唯若它被包含在一個半徑有限的開球內。一個取值於距離空間中的函數，如果他的像（image）是有界集，我們就會稱它為有界。

## C

* **拓撲空間範疇**（Category of topological spaces）。範疇 **Top** 是以拓撲空間為對象（objects），以連續函數為態射（morphism）。
* **柯西序列**（Cauchy sequence）。若度量空間 (_M_,_d_) 中的序列 {_x_n} 對於任意正實數 _r_，都存在整數 _N_，使得所有的整數 _m_,_n_>_N_ 時，我們有 _d_(_x_m,_x_n)<_r_，稱為 {_x_n} 是柯西序列。
* **閉開集**（Clopen set）。一個集合如果同時是開集和閉集，稱為閉開集。
* **閉球**（Closed ball）。若 (_M_,_d_) 是度量空間，閉球指的是 _D_(_x_;_r_) := {_y_ in _M_ :_d_(_x_,_y_) ≤_r_} 這樣的子集合，其中 _x_ 屬於 _M_，而 _r_ 是正實數，稱為球的**半徑**。一個半徑為 _r_ 的閉球稱為**閉 _r_- 球**（closed_r_-ball）。所有的閉球都是閉集。要注意的一點是，在有些每個空間中，閉球 _D_(_x_;_r_) 不一定是開球 _B_(_x_;_r_) 的閉包。
* **封閉集**（Closed set）。開集的補集稱為封閉集或者簡稱閉集。
* **閉函數**（Closed function）。如果一個函數對於任何閉集的像都是閉集，那這個函數稱為閉函數。
* **閉包**（Closure）。一個集合的閉包是指包含這個集合的最小閉集。換句話說就是所有包含這個集合的閉集的交集。集合 _S_ 的閉包中的元素稱為 _S_ 的**閉包點**。
* **閉包運算元**（Closure operator，或稱閉包算子，閉包算符）。參閱**庫拉托夫斯基閉包公理**。
* **較粗的拓撲**（Coarsertopology）。若 _X_ 是個空間，且拓撲 _T_2 包含拓撲 _T_1 則稱 _T_1 是個比 _T_2 更粗（或**更小**、**更弱**）的拓撲。要特別注意的是，特別是數學分析領域的有些作者，會用**更強**這個詞表達相同的概念。
* **緊**或**緊緻**（Compact）。如果任意的開覆蓋都有一個有限的子開覆蓋，則這個空間稱為緊空間。所有的緊空間都是 Lindelöf 和仿緊（paracompact）。所以，所有的緊 Hausdorff 空間都是正規的。參閱**准緊**（quasicompact）。
* **緊開拓撲**（Compact-open topology）。考慮所有由 _X_ 到 _Y_ 的連續函數所形成的集合 _C_(_X_,_Y_)，我們由以下的方式定義 _C_(_X_,_Y_) 的緊開拓撲（compact-open topology）：任給一個 _X_ 緊緻子集 _K_ 和一個 _Y_ 的開子集 _U_，令 _V_(_K_,_U_) 表示 _C_(_X_,_Y_) 中所有 _f_(_K_) 包含於 _U_ 的映射 _f_。由 _V_(_K_,_U_) 當成子基（subbase）生成的拓撲稱為緊開拓撲（compact-open topology）。
* **完備**（Complete）。如果所有的柯西序列都收斂，那麼這個空間被稱為完備空間。
* **可完備度量化**（Completely metrizable /completely metrisable）。參閱**拓撲完備**。
* **完全正規**（Completely normal）。如果任意兩個的分離（separated）的集合有 不交（disjoint）的鄰域，稱為**完全正規**（Completely normal）。
* **完全正規 Hausdorff**。完全正規 Hausdorff 空間（或 **T5** 空間）指的是完全正規 T1 空間。（一個完全正規是 Hausdorff 若且唯若它是 T1，所以這些專有名彼此一致）。每個完全正規 Hausdorff 空間都是正規 Hausdorff。
* **完全正則**（Completely regular）。若對任意的閉集 _C_ 和一個不相交的點 _x_，_C_ 和 {_x_} 都是函數可分的，則稱這個空間是 **完全正則**。
* **完全 T3**。參閱**吉洪諾夫**。
* **分支**（Component）。參閱**連通分支**、**道路分支**。
* **連通**（Connected）。如果一個空間不能寫成兩個不相交的非空開集的聯集，則稱這個空間是連通的。等價的，一個空間是連通的，若且唯若除了空間本身外，沒有非空的閉開子集。
* **連通分支** （Connected component）。空間中的一個極大非空連空子空間稱為一個連通分支。每個連通分支都是封閉的且所有的連通分支構成這個空間的一個劃分（partition）。
* **連續**（Continuous）。一個函數如果任意開集的 原像（preimage） 還是開集，則稱這個函數是連續的。
* **可縮**（Contractible）。如果空間 _X_ 上的 恆等映射（identity map）和 _X_ 上的常數映射同倫，則稱這個空間可縮（Contractible）。所有的可縮空間都是簡單連通的。
* **余積拓撲**（Coproduct topology）。若 {_X_i} 是一組空間而 _X_ 是這組空間的 不交並（disjoint union），則 X 上的余積拓撲（coproduct topology） （或 **不交並拓撲**（disjoint union topology）,_X_i 的 **拓撲和**（topological sum）） 就是在 _X_i 嵌入 _X_ 為連續的條件下，最細（finest）的拓撲。
* **可數緊緻**（Countably compact）。如果任何的可數開覆蓋都有個有限子覆蓋，那麼我們稱這個空間為**可數緊緻**。所有可數緊緻空間 都是偽緊（pseudocompact）且弱可數緊（weakly countably compact）。
* **可數局部有限**（Countably locally finite）。_X_ 空間中一組子集，如果它是可數組 _X_ 子集的局部有限組合的聯集，則稱為**可數局部有限**（countably locally finite）。
* **覆蓋**（Cover **或** Covering）。如果一組子集的聯集是全部空間，那麼我們稱這組子集為**覆蓋**。
* **割點**（Cut point）。如果 _X_ 是個不只包含一個點的連通空間，則如果 _x_ 是 _X_ 中的一個點，且 _X_− {_x_} 是非連通的，我們稱 _x_ 是割點。

## D

* **稠密集**（Dense set）。一個集合如果和任何開集的交集都是非空的，那麼我們稱它為稠密。換句話說，稠密集是指閉包為整個空間的集合。
* **導集**（Derived set）。若 **S** 是空間 _X_ 的子集，**S** 在 **X** 中的 導集 (erived set) 指的是在 _X_ 中，所有 **S** 的極限點所形成的集合。
* **直徑**（Diameter）。若 (_M_, _d_) 是度量空間，_S_ 是 _M_ 的子集，那麼 _S_ 的直徑就是 _x_、_y_ 取值於 _S_ 時，距離 _d_(_x_, _y_) 的最小上界。
* **離散度量**（Discrete metric）。集合 _X_ 上的**離散度量** 是指對 _X_ 中的任兩相異 _x_,_y_ 都有 _d_(_x_, _x_) = 0 且 _d_(_x_, _y_) = 1 的函數 _d_: _X_ ×_X_ →  **R**。離散度量生成的拓撲是離散的。
* **離散空間**（Discrete space）。如果空間 _X_ 的所有子集都是開集，則稱 _X_ 為離散空間 離散空間的拓撲稱為**離散拓撲**。
* **離散拓撲**（Discrete topology）。參閱**離散空間**。
* **不交並拓撲**（Disjoint union topology）。參閱**余積拓撲**（Coproduct topology）。
* **分散點** （Dispersion point）。若 _X_ 是個多於一個點的空間，_x_ 是 _X_ 中的一個點且 _X_− {_x_} 是完全不連通，則稱 _x_ 是一個分散點（dispersion point）。
* **距離**。參閱**度量空間**（Metric space）。

## E

* **Entourage**。參閱 **Uniform space**。
* **外部**（Exterior）。一個集合的外部指的是它補集的內部。

## F

* **_F_σ 集合**。可數個閉集的聯集稱為 _F_σ 集合。
* **濾子** （Filter）。在 _X_ 上非空的一族 X 子集 _F_，如果符合下列條件:

　
: 1. 空集不在 _F_ 中。
2. 有限個 _F_ 中的元素的交集還是在 _F_ 中。
3. 若 _A_ 在 _F_ 中 且 _B_ 包含 _A_，則 _B_ 也在 _F_ 中。

則我們稱 _F_ 是 _X_ 上的一個濾子（filter）。

* **更細的拓撲**（Finer topology）。若 _X_ 是個空間，且拓撲 _T_2 包含 拓撲 _T_1 則稱 _T_2 是個比 _T_1 更細（或**更大**、**更強**）的拓撲。要特別注意的是，特別是數學分析領域的有些作者，會用**更弱**這個詞表達相同的概念。
* **有限生成**（Finitely generated）。參閱 **Alexandrov 拓撲**。
* **第一綱集**（First category）。參閱**瘦集合** （Meagre）。
* **第一可數空間**（First-countable）。如果每個點都有個 可數的局部基（local base），則這個空間稱為第一可數空間
* **Fréchet**。參閱 **T1**。
* **Frontier**（邊界）。參閱**邊界**。
* **函數可分**（Functionally separated）。兩個 _X_ 的子集 _A_ 和 _B_，如果存在一個函數 _f_:_X_→  [0, 1] 使得 _f_(_A_) = 0 且 _f_(_B_) = 1，則我們稱 _A_ 和 _B_ 是 **函數可分**的。

## G

* **_G_δ 集**。開集的可數交集被稱為 _G_δ 集。

## H

* **豪斯多夫**。如果空間中任兩相異點都存有不相交的鄰域，則稱這個空間是 Hausdorff（或 **T2**）。Hausdorff 空間都是 T1 空間。
* **可遺傳性**（Hereditary）。如果當某空間有一個性質，則它的子空間也必然有這個性質，則我們稱這種性質有可遺傳性。舉例來說，second-countability 是有可遺傳性的。
* **同胚映射**（Homeomorphism）。若 _X_ 和 _Y_ 為兩空間，則當一個嵌射 _f_ : _X_ → _Y_ 本身和其反函數 _f_−1 同時是連續的時候，我們稱 _f_ 是一個 **同胚映射**
* **齊性**（Homogeneous）。若 _X_ 中的任兩點 _x_ 和 _y_，皆存有一個同胚映射 _f_:_X_ → _X_ 使得 _f_(_x_) =_y_，則我們稱 _X_ 為齊性空間，直觀來說，就是這個空間中的任兩點從拓撲觀點來看都沒有分別。所有的拓撲群都是齊性的。
* **同倫映射**（Homotopic maps）。我們稱兩個函數 _f_,_g_: _X_  → _Y_（在 _Y_ 中）是同倫的，是指存在 一個連續的映射 _H_: _X_ × [0, 1]  → _Y_ 使得對於所有 _X_ 中的 _x_，_H_(_x_, 0) =_f_(_x_) 且 _H_(_x_, 1) = _g_(_x_)。這裡 _X_× [0, 1] 的拓撲是 product topology。這個映射 _H_ 被稱做是 _f_ 和 _g_ 之間（在 _Y_ 中的） **同倫映射**。
* **同倫**（Homotopy）。參閱**同倫映射**。
* **超連通**。如果任何兩個非空開集都相交，則稱這個空間是超連通。任何的超連通空間都是連通的。

## I

* **等化映射**。參閱**商映射**。
* **等化空間**。參閱**商空間**。
* **Indiscrete space**。參閱**平凡拓撲**。
* **Indiscrete topology**。參閱**平凡拓撲**。
* **內部**（Interior）。一個集合的內部是這個集合最大的開子集，等價於這個集合所有開子集的聯集。內部的點稱為 **內點**。
* **內點**。參閱**內部**。
* **孤點** 如果單點集 {_x_} 是個開集，我們稱 _x_ 是個孤點。更一般的來說，如果 _x_ 是空間 _X_ 的子集 _S_ 中的一點，如果 {_x_} 在 _S_ 子空間拓撲中是個開集，則稱 _x_ 是 _S_ 中的孤點。
* **保距同構**（Isometric isomorphism）。若 _M_1 和 _M_2 是兩個賦距空間，而 _f_: _M_1  → _M_2 是個保距對射，則稱 _M_1 和 _M_2 保距同構。從賦距空間的觀點來看，兩個保距同構的空間是一模一樣的。
* **等距映射**（Isometry）。若 (_M_1, _d_1) 和 (_M_2, _d_2) 是距離空間。一個映射 _f_: 如果賦距，也就是說對於所有 _M_ 中的 _x_ 和 _y_，我們有 _d_2(_f_(_x_), _f_(_y_)) = _d_1(_x_, _y_)，則稱 _f_ 是從 _M_1 到 _M_2 的等距映射。所有的等距映射都是單射，但不一定是滿射。

## K

* **Kolmogorov**。參閱 **T0**。
* **Kuratowski closure axioms**。考慮將 _X_ 中的子集對應到其閉包這個映射，Kuratowski closure axioms 是一組被這個映射滿足的公理:

　
: 1. _Isotonicity_: 所有的集合包含於他的閉包中。。
2. _Idempotence_: 閉包的閉包和閉包是相同的。
3. _保持有限聯集_: 聯集的閉包等於閉包的聯集。
4. _保持虛空性_: 空及的閉包還是空集。

　
: 若 _c_ 是個從 _X_ 的 power set 映到自身的函數，則 _c_ 如果符合以上的 Kuratowski closure axioms，則稱之為是一個 **閉包算子**。使用 Kuratowski closure axioms，_X_ 上的閉集可以定義為這個算子的不動點，也就是說，一個集合 _A_ 是閉集若且唯若 _c_(_A_) = _A_。所以我們能用這組公理定義出 _X' 的拓撲。_

## L

* **較大的拓撲**（Larger topology）。參閱**較細的拓撲**。
* **極限點**（Limit point）。如果 _X_ 的每個開子集，只要包含 _x_ 就包含 _S_ 中的一個不是 _x_ 的點，則稱 _x_ 是 _S_ 的一個極限點。
* **Limit point compact**。參閱 **Weakly countably compact** 。
* **林德勒夫空間**（Lindelöf space）。如果每個開覆蓋都有一個可數子覆蓋，則稱這個空間為 林德勒夫空間。
* **局部基底**（Local base 或 Local basis）。若 _B_ 是一組 _x_（在 _X_ 中）的鄰域所成的集合，且每個 _x_ 的鄰域都都有至少包含 _B_ 中的一個成員，則稱 _B_ 是一個局部基底。
* **局部封閉子集**（Locally closed subset）。一個開子集和封閉子集的交集稱為局部封閉子集。
* **局部緊緻空間**（Locally compact）。如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的局部基底，則稱這個空間是局部緊緻空間。每個局部緊緻 Hausdorff 空間都是 Tychonoff。
* **局部連通**（Locally connected）。如果每個點都有由連通鄰域組成的局部基底，則稱這個空間為局部連通。
* **局部有限**（Locally finite）。空間的一組子集被稱為局部有限，是指每個點都有個鄰域只和有限個這組子集中的成員相交。參閱**可數局部有限**。
* **局部可度量**（Locally metrizable / Locally metrisable）。如果空間中的每個點都有個由可度量鄰域組成的局部基底，則稱這個空間是局部可度量空間。
* **局部道路連通**（Locally path-connected）如果每個點都有由道路連通鄰域組成的局部基底，則稱這個空間為局部道路連通。一個 locally path-connected space 是連通的 若且唯若 它是 path-connected。
* **局部簡單連通**（Locally simply connected）。如果每個點都有由簡單連通鄰域組成的局部基底，則稱這個空間為局部簡單連通。
* **Loop**。設 _x_ 是空間 _X_ 中的一點，在 _X_ 中 _x_ 上的 loop （或者 _X_ 中以 _x_ 為基點的 loop）是指 _X_ 中 _f_(0) = _f_(1) =_x_ 的 path 'f'。換句話來說，一個 _X_ 中的 loop 是一個從單位圓 _S_1 到 _X_ 的連續映射。

## M

* **貧集**（Meagre **或** Meager）。設 _A_ 是空間 _X_ 的子集，若 A 是無處稠密子集的可數聯集，則我們稱 _A_ 在 _X_ 中是貧集（或者是**第一綱集**）。若 _A_ 不是貧集，則稱 _A_ 在 _X_ 中是 **第二綱集**。
* **度量**（Metric）。參閱**度量空間**。
* **度量不變量**（Metric invariant）。度量不變量指的是在 isometric isomorphism 下不會改變的性質。
* **度量空間**（Metric space）。度量空間 (_M_, _d_) 指的是一個集合 _M_ 以及符合下列公理的函數 _d_:  _M_  ×  _M_  →  **R** (對於 _M_ 中的任意元素 _x_, _y_, _z_):

　
: 1. _d_(_x_, _y_) ≥ 0
2. _d_(_x_, _x_) = 0
3. if   _d_(_x_, _y_) = 0   then   _x_ = _y_       (_identity of indiscernibles_)
4. _d_(_x_, _y_) = _d_(_y_, _x_)       (_對稱性_)
5. _d_(_x_, _z_) ≤ _d_(_x_, _y_) + _d_(_y_, _z_)       （**三角不等式**）

　
: 函數 _d_ 稱為 _M_ 上的**度量**，而 _d_(_x_, _y_) 稱為 _x_ 和 _y_ 的距離。_M_ 上的開球組成 _M_ 拓撲的基底。這稱為由 _d_ 生成的 _M_ 上的拓撲。所有的度量空間都是 Hausdorff 且 paracompact（所以也是正規且 Tychonoff）。所有的度量空間都是 first-countable。

* **可度量化**（Metrizable / Metrisable）。一個空間被稱為可度量化，指的是這個空間和某個度量空間同胚。所有的可度量化空間都是 Hausdorff 且 paracompact（所以也是正規且 Tychonoff）。所有的度量空間都是 first-countable。
* **Monolith**。所有的非空 ultra-connected 緊緻空間 _X_ 都有一個最大的 proper 開子集，這個子集稱為 **monolith**。

## N

* **鄰域**（Neighbourhood / Neighborhood）。一個集合如果包含一個開集，而 _x_ 屬於這個開集，則稱這個集合是 _x_ 的鄰域。更一般的來說，一個集合如果包含一個包含集合 _S_ 的開集，則稱這個集合是 _S_ 的鄰域。所以點 _x_ 的鄰域就是單點集 {_x_} 的鄰域。（注意在這個定義下，鄰域不一定是開集。但是很多書上定義鄰域要是開集，所以要小心這個地方）
* **鄰域基底**（Basis）。參閱**局部基底**。
* **鄰域系統**（Neighbourhood system）。_x_ 的所有的鄰域合起來稱為 _x_ 的鄰域系統。
* **Net**。_X_ 的 net 是指一個從有向集 _A_ 到 _X_ 的映射。一個從 _A_ 到 _X_ 的映射通常記做 (_x_α)，其中 α 是以 _A_ 為範圍的索引變數。序列是 net 的一種，使用自然數集合以及一般的排序做為索引集 _A_。
* **正規空間**（Normal）如果空間中的任兩不相交閉集都有不相交的鄰域，則稱這個空間是正規空間。任意的正規空間都有 partition of unity。
* **正規 Hausdorff**。正規 Hausdorff 空間（或 **T4** 空間）是指正規 T1 空間。（一個正規空間是 Hausdorff 若且唯若它是 T1，所以這些術語是一致的）所有的正規 Hausdorff 空間都是 Tychonoff。
* **無處稠密**（Nowhere dense）一個集合如果它的閉包的內部是空的，則稱這個集合是無處稠密。

## O

* **開覆蓋**（Open cover）。一個開覆蓋是所有成員都是開集的覆蓋。
* **開球**（Open ball）。若 (_M_, _d_) 是度量空間，開指的是 _B_(_x_; _r_) := {_y_ in_M_: _d_(_x_, _y_) < _r_} 這樣的子集合，其中 _x_ 屬於 _M_，而 _r_ 是正實數，稱為球的半徑。一個半徑為 _r_ 的開球稱為開 _r_- 球 (closed _r_-ball)。所有的開球都是開集。
* **開集**（Open set）。拓撲的成員稱為開集。
* **開函數**（Open function）。若所有開集的像都是開集，則稱這個函數為開函數。

## P

* **仿緊**（Paracompact）。如果每個開覆蓋都有一個局部有限開 refinement，則稱這個空間是 仿緊的。仿緊的豪斯多夫空間都是正規的。
* **單位分解**（Partition of unity）。空間 _X_ 的單位分解是指一組從 _X_ 到 [0,1] 的連續函數，使得每一個點都有一個鄰域使得只有有限個函數在這個鄰域上是非零的，而且這些函數的和剛好就是 1（常數函數）。
* **道路**（Path）。道路是從單位區間 [0,1] 到空間 _X_ 的連續函數 _f_ 的像。_f_ (0) 被稱為起點，而 _f_ (1) 稱為終點。
* **道路連通**（Path-connected）。若是空間 _X_ 中的任意兩點 _x_ 和 _y_ 都有一條道路 _f_ 從 _x_ 連到 _y_，也就是說，_f_ 以 _x_ 為起點，以 _y_ 為終點，則我們稱這個空間是道路連通。所有的道路連通空間都是連通的。
* **Path-connected component**。path-connected component 是指極大的非空道路連通子空間。空間中的 path-connected components 組成空間的一個分割，這個分割比 connected components 組成的分割要細。空間 _X_ 的 path-connected components 所組成的集合我們記做 π0(_X_)。
* **點**（Point）。拓撲空間中的元素稱為點。
* **Point of closure**。參閱 **Closure**。
* **波蘭**（Polish）。一個 separable 可完備度量化的空間稱之為**波蘭空間**，也就是說，它和一個 separable 的完備度量空間同胚。
* **Pre-compact**。參閱 **Relatively compact**。
* **積拓撲**（product topology）
* **常態映射**（Proper function /mapping）。一個從 _X_ 到 _Y_ 的連續映射 _f_，如果所有緊集的原像（preimage）還是緊集，則稱這個映射 _f_ 是**常態**的。
* **鄰近空間**（Proximity space）鄰近空間 (_X_, **δ**） 是指符合下列條件的集合 _X_ 及其子集的一個關係 **δ**:

　
: 對於任何 _X_ 的子集 _A_、_B_、_C_，

1. 若 _A_**δ**_B_，則 _B_**δ**_A_
2. 若 _A_**δ**_B_，則 _A_ 非空
3. 若 _A_ 和 _B_ 相交，則 _A_**δ**_B_
4. _A_**δ**(_B_ ∪ _C_) 若且唯若 (_A_**δ**_B_ 或 _A_**δ**_C_)
5. 若對於所有 _X_ 的子集 _E_ 我們有 (_A_**δ**_E_ 或 _B_**δ**_E_)，則我們可以得到 _A_**δ** (_X_ −_B_)

* **偽緊緻**（Pseudocompact）。若是所有的實值連續函數都是有界的，則稱這個空間為偽緊緻的。
* **偽度量空間**（Pseudometric space）。一個偽度量空間 (_M_,_d_) 是指空間 _M_ 和函數 _d_ _M_ × _M_ → **R**，而且必須符合除了 _d_(_x_,_y_) = 0 則 _x_ = _y_ 這個條件之外，所有賦距空間的條件。函數 _d_ 被稱為 _M_ 上的 **pseudometric**。
* **Punctured neighbourhood** / **Punctured neighborhood**。點 _x_ 的一個鄰域扣掉 {_x_} 稱為 _x_ 的一個 punctured neighbourhood。舉例來說，區間 (−1, 1) = {_y_ : −1 <_y_<1} 是 _x_= 0 在實數線中的鄰域，所以 (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} 就是一個 0 的 punctured neighbourhood。

## Q

* **擬緊**（Quasicompact）。參閱**緊**。在有些作者的定義中，「緊」的定義包含 Hausdorff 分離公理，然後他們使用**擬緊**來表示我們所說的「緊（不一定要有 Hausdorff 公理）。這個習慣常會在法國使用，所以一些深受法國影響的數學分支也會使用這個用法。
* **商映射**（Quotient map）。若 _f_ 是一個從空間 _X_ 到 _Y_ 的滿射，且任何 _Y_ 的子集 _U_ 是開集若且唯若 _f_-1(_U_) 是開集，則我們稱 _f_ 是商映射（或 **identification map**）。
* **商空間**（Quotient space）。若 _X_ 是個空間，_Y_ 是個集合，_f_ : _X_ → _Y_ 是個滿射，則 _Y_ 上由 _f_ 生成的 商拓撲 是指讓 _f_ 連續的最細的拓撲。空間 _X_ 稱為商空間或者 **等化空間**。依照定義，_f_ 是商映射。最常見的例子是考慮一個 _X_ 上的等價關係，_Y_ 是等價類成的集合，而 _f_ 是 _X_ 到 _Y_ 的正規投影。這個建構和子空間拓撲的建構對偶。

## R

* **Refinement**。如果覆蓋 _K_ 的每個成員都是覆蓋 _L_ 的某個成員的元素的子集，那麼我們稱覆蓋 _L_ 是覆蓋 _K_ 的 refinement。
* **正則空間**（Regular）。如果空間中的任一點 _x_ 和以及任一個 _x_ 不在其中的閉集 _C_，都可以找到 _C_ 和 _x_ 不相交的鄰域，則稱這個空間是正則空間。
* **正則 Hausdorff**。一個空間稱為正則 Hausdorff（或 **T3**） 是指它是正則 T0 空間。（一個正則空間是 Hausdorff 若且唯若 它是 T0，所以這些術語是一致的）
* **正則開**（Regular open）。空間 _X_ 中的開集 _U_ 如果等於它閉包的內部，則我們稱它為正則開。空間中的所有正則開子集形成一個完備的布林代數。
* **相對緊緻**（Relatively compact）。如果一個子空間 _Y_ 在母空間 _X_ 中的閉包是緊緻的，則稱 _Y_ 是相對緊緻於 _X_。
* **Residual**。如果 _A_ 在空間 _X_ 中的補集是貧集，則稱 _A_ 在 _X_ 中為 residual。

## S

* **第二綱集**（Second category）。參閱 **Meagre**。
* **第二可數空間**（Second-countable）。若一個空間的拓撲有一個可數基底，則稱這個空間是第二可數空間。所有的第二可數空間都是第一可數、 可分且 Lindelöf。
* **Semilocally simply connected**。空間 _X_ 中如果任意點 _x_ 都有一個鄰域 _U_ 使得所有 _U_ 中 _x_ 上的 loop 都與在 _x_ 上的常數 loop 同倫，則我們稱這個空間為 semilocally simply connected。所有的簡單連通空間和所有的局部簡單連通空間都是 semilocally simply connected。（與簡單連通相異的地方是，我們允許 loop 在 _X_ 中與常數 loop 同倫，而局部簡單連通的定義中，loop 需要在 _U_ 中與常數 loop 同倫）
* **可分**（Separable）。一個空間如果有個稠密的可數子集，則稱這個空間為可分。
* **分離**（Separated）。兩個集合 _A_ 與 _B_ 如果任何的一個都與另一個的閉包不相交，則稱這兩個集合是 分離。
* **序列緊緻**（Sequentially compact）。如果任意序列都有個收斂的子序列，則稱這個空間為序列緊緻。所有的序列緊緻空間都是可數緊緻的，而所有的第一可數、可數緊緻空間都是序列緊緻的。
* **Short map**。設 _X_ 和 _Y_ 為賦距空間並分別以 _d_X 及 _d_Y 為賦距。如果一個從 _X_ 到 _Y_ 的函數 _f_，會把距離縮短，也就是說 _d_Y(_f_(_x_), _f_(_y_)) ≤ _d_X(_x_, _y_)，那麼我們稱這個函數 _f_ 是 short map。如果不等式中等號不成立，則稱這個 short map 是嚴格 short map。
* **單連通**（Simply connected）。一個道路連通空間，如果所有的 loop 都和常數映射同倫，則稱它是簡單連通空間。
* **較小的拓撲**（Smaller topology）。參閱 **Coarser topology**。
* **較強的拓撲**（Stronger topology）。參閱**較細的拓撲**。注意特別是在分析領域的有些作者會用這個詞來說我們們說的**較弱的拓撲**。
* **子基**（Subbase）。若一組開集的成員的有限交集，形成一組基底 (拓撲)，則稱這組開集是 子基。若 _B_ 是一組空間 _X_ 的子集，_B_ 所生成的拓撲是 _X_ 上包含 _B_ 的最小拓撲。這組拓撲包含空集合、_X_ 和所有 _B_ 的成員的有限交集的聯集。
* **Subbasis**。參閱 **Subbase**。
* **子覆蓋**（Subcover）。如果一個覆蓋 _K_ 的成員都是覆蓋 _L_ 的成員，則稱 _K_ 是 _L_ 的子覆蓋。
* **子空間**（Subspace）。若 _T_ 是空間 _X_ 上的拓撲，_A_ 是 _X_ 的子集，則稱所有 _T_ 的成員和 _A_ 的交集組成的一組子集是 _T_ 在 _A_ 上產生的子空間拓撲。這個構造和商拓撲的構造對偶。

## T

* **T0**。如果對於空間中的任意兩個不同點，_x_ 和 _y_，都可以找到一個開集，或者包含 _x_ 但不包含 _y_，或者包含 _y_ 但不包含 _x_，則我們稱這個空間為 T0（或 **Kolmogorov**）。
* **T1**。如果對於空間中的任意兩個不同點，_x_ 和 _y_，都可以找到一個開集包含 _x_ 但不包含 _y_，則我們稱這個空間為 T1 （或 **Fréchet**、**accessible**）（和 T0 的差異在於這裡我們可以讓這個開集包含指定的點）換句話說，一個空間是 T1 空間則所有的個別點都是閉集。所有的 T1 空間都是 T0。
* **T2**。參閱 **Hausdorff**。
* **T3**。參閱**正則 Hausdorff**。
* **T3.5**。參閱 **Tychonoff space**。
* **T4**。參閱**正規 Hausdorff**。
* **T5**。參閱**完全正規 Hausdorff**。
* **Top**。參閱**拓撲空間的範疇**。
* **拓撲不變量**（Topological invariant）。拓撲不變量指的是在同胚變換下保持不變的性質。如緊集和連通空間都是拓撲不變量。但有界性和完備性則不是。代數拓撲學 是研究在拓撲空間上建立的代數拓撲不變量。
* **拓撲空間**（Topological space）。拓撲空間 (_X_, _T_) 是一個集合 _X_ 配上一組符合下例公理的子集合 T：

　
: 1. 空集合和 _X_ 本身屬於 _T_。
2. 任何一組 _T_ 中的子集合的聯集仍然屬於 _T_。
3. 任何兩個 _T_ 中的子集和，他們的聯集仍然屬於 _T_。

　
: 這組 X 的子集合 _T_ 被稱做 _X_ 上的 **拓撲**。。

* **拓撲和**（Topological sum）。參閱**余積拓撲**。
* **拓撲完備**（Topologically complete）。如果一個空間和一個完備度量空間同胚，我們稱這個空間拓撲完備。
* **拓撲**。參閱**拓撲空間**。
* **完全有界**（Totally bounded）。對於度量空間 _M_，如果對於每個 _r_>0，都存在一個由有限個半徑為 _r_ 的開球組成的覆蓋能蓋住 _M_，則我們稱 _M_ 完全有界。對一個度量空間來說，緊緻等價於完備且完全有界。
* **完全不連通**（Totally disconnected）。如果任意兩點所形成的集合都是不連通的，這個空間稱為完全不連通。
* **平凡拓撲**（Trivial topology）。如果空間 **X** 中只有空集和 **X** 本身是開集，則稱 **X** 的拓撲是平凡拓撲（或 **indiscrete topology**）。
* **吉洪諾夫空間**（Tychonoff）。吉洪諾夫空間 （或**完全正則吉洪諾夫**空間， **完全 T3** 空間，**T3.5** 空間）指的是完全正則 T0 空間。（一個完全正則空間是豪斯多夫空間若且唯若它是 T0，所以這些專有名詞是彼此一致的）所有的吉洪諾夫空間都是正則豪斯多夫空間。

## U

* **Ultra-connected**。若任意兩個閉集都相交，則稱這個空間是 ultra-connected。Ultra-connected 空間都是道路連通的。
* **超度量**（Ultrametric）。超度量是一個符合下面這個比三角不等式強的條件的賦距：對於所有 _M_ 中的 _x_, _y_, _z_, _d_(_x_, _z_) ≤ max(_d_(_x_, _y_), _d_(_y_, _z_))。
* **一致同構**（Uniform isomorphism）。若 _X_ 和 _Y_ 是一致空間，一個從 _X_ 到 _Y_ 的對射 _f_: _X_ → _Y_，如果 _f_ 和 _f_−1 都是 一致連續，則稱 _f_ 是一致同構。兩個一致同構的空間有相同的一致性質。
* **可一致化**（Uniformizable / Uniformisable）。若一個空間和一個一致空間同胚，則稱這個空間可一致化。
* **一致空間**（Uniform space）。一致空間是指一個集合 _U_ 以及一個非空集合 Φ，其中 Φ 的成員都是 _X_×_X_ 的子集，且符合下列的公設:

　
: 1. 若 _U_ 在 Φ 中，則 _U_ 包含對絞線 { (_x_, _x_) |_x_ 在 _X_ 中 }。
2. 若 _U_ 在 Φ 中，則 { (_y_, _x_) | (_x_, _y_) 在 _U_ 中 } 也在 Φ 中。
3. 若 _U_ 在 Φ 中且 _V_ 是 _X_×_X_ 的子集且包含 _U_，則 _V_ 也在 Φ 中。
4. 若 _U_ 和 _V_ 都在 Φ 中，則 _U_∩_V_ 在 Φ 中
5. 若 _U_ 在 Φ 中，則存在一個 Φ 中的 _V_，使得只要 (_x_, _y_) 和 (_y_, _z_) 屬於 _V_, 則 (_x_, _z_) 屬於 _U_。

　
: Φ 的元素稱為 **entourages**, 而 Φ 被稱為 _U_ 的**一致結構**。

* **一致結構**（Uniform structure）。參閱**一致空間**。

## W

* **弱拓撲**（Weak topology）。一個集合上和一組從這個集合到一個拓撲空間的函數所相關的弱拓撲，是指能讓這組函數連續的最粗的拓撲。
* **較弱的拓撲**（Weaker topology）。參閱**較粗的拓撲**。注意特別是分析領域的有些作者，用這個詞來表示**較強的拓撲**。
* **弱可數緊緻**（Weakly countably compact）。若空間中的任意無窮子集都有極限點，則稱為弱可數緊緻（或者**極限點緊緻**）。
* **弱可遺傳性**（Weakly hereditary）。如果一個空間的性質是這個空間的閉子集也必然會有的性質，則稱這個性質有弱可遺傳性。舉例來說，緊緻性和 Lindelöf 性質都是弱可遺傳的，但這兩個性質都不是可遺傳的。
* **Well-connected**。參閱 **Ultra-connected**。（有些作者用這個詞表示 ultra-connected 的緊空間）

## Z

* **零維空間**（Zero-dimensional space）。一個空間的拓撲如果有一組開閉（clopen）的基底，被稱為**零維空間**。參閱拓撲維數。