波塞利耶-利普金机械

**波塞利耶 - 利普金機械**，發明於 1864 年，屬於平面連杆機構，是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構，它以法國陸軍軍官 Charles-Nicolas Peaucellier（1832-1913）和立陶宛猶太人 Yom Tov Lipman Lipkin（1846-1876，著名拉比 Israel Salanter 的兒子）的名字命名。

在此機構發明之前，在沒有參考導軌的情形下，沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864 年時，所有的動力來源是來自蒸汽機，其中有活塞，由汽缸施力，往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性，讓蒸汽機中的蒸汽可以維持在汽缸內，不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要，大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。

波塞利耶 - 利普金機械的數學和圓的反演幾何有關。

## 薩魯斯連桿機構

在波塞利耶 - 利普金機械之前，有另外一個立體的直線運動機構，稱為薩魯斯連桿機構，比波塞利耶 - 利普金機械早 11 年發明，是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉，而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。

## 幾何

在波塞利耶 - 利普金機械的幾何圖中，有六個固定長度的桿：OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA 和 OC 長度相同，而 AB、BC、CD 和 DA 的長度也都相同，形成菱形。O 點是固定點。若 B 點限制在一個圓的圓周上運動（例如以 OB 為直徑，通過 O 和 B 二點的圓，圖中紅色的圖）。D 點會延著直線運動（圖中的藍線）。若點 B 限制在一直線上運動（不通過 O 點的直線），則 D 點會在圓周上運動（通過 O 點的圓周）。

## 數學證明

### 共線

首先，需要證明 O 點、B 點和 D 點共線。這可以用觀察的方式得知，連桿是兩側對稱的，以直線 OD 為對稱軸，因此 B 一定在此線上。

若要用正式的方式證明。因為邊 BD 和自身相等，邊 BA 和邊 BC 相等，邊 AD 和邊 CD 相等，因此三角形 BAD 和三角形 BCD 全等，角 BAD 和角 BCD 相等。

接下來要證明三角形 OBA 和三角形 OBC 全等。因為線 OA 和線 OC 相等，邊 OB 和自身相等，邊 BA 和邊 BC 相等，因此二三角形全等。角 OBA 和角 OBC 相等。

以下四個角的和是一個圓角，因此

　
: ∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

但因為三角形的全等，角 OBA = 角 OBC，角 DBA = 角 DBC，因此

　
: 2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°

　
: ∠OBA + ∠DBA = 180°

因此，點 O、B、D 共線。

### 反演點

令點 P 為線段 AC 和線段 BD 的交點。因為 ABCD 是菱形，P 會是線段 AC 和線段 BD 的中點，因此，線段 BP 和線段 PD 等長。

因為邊 BP 和邊 DP 相等，邊 AP 和自身相等，邊 AB 和邊 AD 相同，因此三角形 BPA 和三角形 DPA 全等。因此角 BPA 等於角 DPA。但因為角 BPA + 角 DPA = 180°，因此角 BPA 和角 DPA 都是 90°。

令：

　
: $x=\ell _{BP}=\ell _{PD}$

　
: $y=\ell _{OB}$

　
: $h=\ell _{AP}$

則：

　
: $\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy$

　
: ${\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}$ （因為畢氏定理）

　
: ${\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}$

　
: ${\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}$ （因為畢氏定理）

　
: ${\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}$

因為 OA 和 AD 的長度固定，，因此 OB 和 OD 的乘積為定值：

　
: $\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}$

又因為 O 點、B 點和 D 點共線，因此 D 點是 B 點相對圓 (O,_k_)（圓心在 O 點，半徑為 k）的反演點。

### 反演幾何

透過反演幾何的特性，因為點 D 的軌跡是點 B 軌跡的反演。若 B 的軌跡是通過反演中心 O 的圓，則點 D 的軌跡會是一直線。若點 B 的軌跡是不通過點 O 的直線，則點 D 的軌跡是通過點 O 的圓。Q.E.D.

### 典型的主動件

波塞利耶 - 利普金機械有許多的反演機構。其中一個如圖所示，以滑塊搖桿四連桿（ rocker-slider four-bar）為輸入，若要再細分，滑塊為輸入，使得搖桿以及波塞利耶 - 利普金機械轉動。

## 展覽物

在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中，有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為 22 乘 15 乘 16 公尺（72 乘 49 乘 52 英尺），重 6,600 公斤（14,600 英磅），遊客可以透過控制盤操作。

 

## 相關條目

* 哈特倒置器
* 連杆機構

## 參考資料

## 文獻

* Ogilvy, C. S., Excursions in Geometry, Dover: 46–48, 1990, ISBN 0-486-26530-7
* Bryant, John; Sangwin, Chris. How round is your circle? : where engineering and mathematics meet. Princeton: Princeton University Press. 2008: 33–38; 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4.  — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
* Coxeter HSM, Greitzer SL. Geometry Revisited. Washington: Mathematical Association of America. 1967: 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2.  (and references cited therein)
* Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
* Johnson RA. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. New York: Dover Publications. 1960: 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
* Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 120. ISBN 0-14-011813-6.

## 外部連結

* How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.
* How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Interactive Java Applet with proof. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Java animated Peaucellier–Lipkin linkage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and his father Israel Salanter
* Peaucellier Apparatus features an interactive applet
* A simulation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） using the Molecular Workbench software
* A related linkage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） called Hart's Inversor.
* Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）