波以松分布

**卜瓦松分布**（法語：loi de Poisson；英語：Poisson distribution）又稱 **Poisson 分布**、**泊松分布**、**布瓦松分布**、**布阿松分布**、**普阿松分布**、**波以松分布**、**卜氏分布**、**帕松小數法則**（Poisson law of small numbers），是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩・德尼・卜瓦松在 1838 年時發表。

卜瓦松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA 序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分布等等。

卜瓦松分布的機率質量函數為：

　
: $P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$

卜瓦松分布的母數 $\lambda $ 是隨機事件發生次數的數學期望值。

## 記號

若 $X$ 服從母數為 $\lambda $ 的卜瓦松分布，記為 $X\sim \pi (\lambda )$ ，或記為 $X\sim Poisson(\lambda )$ .

## 性質

1、服從卜瓦松分布的隨機變數，其數學期望與變異數相等，同為母數 $\lambda $  : $E(X)=V(X)=\lambda $

2、兩個獨立且服從卜瓦松分布的隨機變數，其和仍然服從卜瓦松分布。更精確地說，若 $X\sim Poisson(\lambda _{1})$ 且 $Y\sim Poisson(\lambda _{2})$ ，則 $X+Y\sim Poisson(\lambda _{1}+\lambda _{2})$ 。反過來若兩個獨立隨機變數的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變數經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov 定理）。

3、其動差母函數為：

　
: $M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}$

　
:

## 推導

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

$$
{\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}
$$

$$
{\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}
$$

我們可以得到： $Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda $

如同性質： $E(X)=Var(X)=\lambda $ 、 $\sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}$

## 卜瓦松分布的來源（卜瓦松小數定律）

在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數 $n$ 很大，二項分布的機率 $p$ 很小，且乘積 $\lambda =np$ 比較適中，則事件出現的次數的機率可以用卜瓦松分布來逼近。事實上，二項分布可以看作卜瓦松分布在離散時間上的對應物。

證明如下。首先，回顧自然對數 $e$ 的定義：

　
: $\lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda  \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },$

二項分布的定義：

　
: $P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 。

如果令 $p={\frac {\lambda }{n}}$ ， $n$ 趨於無窮時 $P$ 的極限：

　
: ${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda  \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda  \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}$

## 最大概似估計（MLE）

給定 $n$ 個樣本值 $k_{i}$ ，希望得到從中推測出母體的卜瓦松分布母數 _$\lambda $_ 的估計。為計算最大概似估計值，列出對數概似函數：

　
: ${\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$

解得 _λ_ 從而得到一個駐點（stationary point）：

　
: ${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!$

檢查函數 $L$ 的二階導數，發現對所有的 _$\lambda $_ 與 $k_{i}$ 大於零的情況二階導數都為負。因此求得的駐點是對數概似函數 _$L$_ 的極大值點：

　
: ${\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}$

## 例子

對某公共汽車站的客流做調查，統計了某天上午 10:30 到 11:47 來到候車的乘客情況。假定來到候車的乘客各批（每批可以是 1 人也可以是多人）是互相獨立發生的。觀察每 20 秒區間來到候車的乘客批次，共觀察 77 分鐘 \*3=231 次，共得到 230 個觀察記錄。其中來到 0 批、1 批、2 批、3 批、4 批及 4 批以上的觀察記錄分別是 100 次、81 次、34 次、9 次、6 次。使用極大似真估計（MLE），得到 $\lambda $ 的估計為 ${\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87$ 。

## 生成卜瓦松分布的隨機變數

一個用來生成隨機卜瓦松分布的數字（偽隨機數抽樣）的簡單算法，已經由高德納給出（見下文參考）：

```
**algorithm** _poisson random number (Knuth)_:
    **init**:
         **Let** L ← _e_−λ, k ← 0 and p ← 1.
    **do**:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and **let** p ← p×u.
    **while** p > L.
    **return** k − 1.
```

儘管簡單，但複雜度是線性的，在返回的值 $k$ ，平均是 _$\lambda $_ 。還有許多其他算法來克服這一點。有些人由 Ahrens 和 Dieter 給出，請參閱下面的參考資料。同樣，對於較大的 _$\lambda $_ 值， $e^{-\lambda }$ 可能導致數值穩定性問題。對於較大 _$\lambda $_ 值的一種解決方案是拒絕採樣，另一種是採用卜瓦松分布的高斯近似。

對於很小的 _$\lambda $_ 值，逆轉換取樣簡單而且高效，每個樣本只需要一個均勻隨機數 u。直到有超過 $u$ 的樣本，才需要檢查累積機率。

```
**algorithm** _Poisson generator based upon the inversion by sequential search_:
    **init**:
         **Let** x ← 0, p ← _e_−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    **do**:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    **while** u > s.
    **return** x.
```

## 參見

* 卜瓦松過程
* 機率論
* 卜瓦松迴歸
* 機率分布

## 參考文獻

### 引用

### 來源