波的干涉

**干涉**（英語：Interference）在物理學中，指的是兩列或兩列以上的波在空間中重疊時發生疊加，從而形成新波形的現象。

例如採用分束器將一束單色光束分成兩束後，再讓它們在空間中的某個區域內重疊，將會發現在重疊區域內的光強並不是均勻分布的：其明暗程度隨其在空間中位置的不同而變化，最亮的地方超過了原先兩束光的光強之和，而最暗的地方光強有可能為零，這種光強的重新分布被稱作「干涉條紋」。在歷史上，干涉現象及其相關實驗是證明光的波動性的重要依據，但光的這種干涉性質直到十九世紀初才逐漸被人們發現，主要原因是相干光源的不易獲得。

為了獲得可以觀測到可見光干涉的相干光源，人們發明製造了各種產生相干光的光學器件以及干涉儀，這些干涉儀在當時都具有非常高的測量精度：阿爾伯特・邁克生就藉助邁克生干涉儀完成了著名的邁克生 - 莫雷實驗，得到了以太風觀測的零結果。邁克生也利用此干涉儀測得標準米尺的精確長度，並因此獲得了 1907 年的諾貝爾物理學獎。而在二十世紀六十年代之後，雷射這一高強度相干光源的發明使光學干涉測量技術得到了前所未有的廣泛應用，在各種精密測量中都能見到雷射干涉儀的身影。現在人們知道，兩束電磁波的干涉是彼此振動的電場強度矢量疊加的結果，而由於光的波粒二象性，光的干涉也是光子自身的機率幅疊加的結果。

## 干涉的條件

兩列波在同一介質中傳播發生重疊時，重疊範圍內介質的質點同時受到兩個波的作用。若波的振幅不大，此時重疊範圍內介質質點的振動位移等於各別波動所造成位移的矢量和，這稱為波的疊加原理。若兩波的波峰（或波谷）同時抵達同一地點，稱兩波在該點同相，干涉波會產生最大的振幅，稱為相長干涉（建設性干涉）；若兩波之一的波峰與另一波的波谷同時抵達同一地點，稱兩波在該點反相，干涉波會產生最小的振幅，稱為破壞性干涉（摧毀性干涉）。

理論上，兩列無限長的單色波的疊加總是能產生干涉，但實際物理模型中產生的波列不可能是無限長的，並從波產生的微觀機理來看，波的振幅和相位都存在有隨機漲落，從而現實中不存在嚴格意義的單色波。例如太陽所發出的光波出自於光球層的電子與氫原子的交互作用，每一次作用的時間都在 10-9 秒的數量級，則對於兩次發生時間間隔較遠所產生的波列而言，它們無法彼此發生干涉。基於這個原因，可以認為太陽是由很多互不相干的點光源組成的擴展光源。從而，太陽光具有非常寬的頻域，其振幅和相位都存在著快速的隨機漲落，通常的物理儀器無法跟蹤探測到變化如此之快的漲落，因此無法通過太陽光觀測到光波的干涉。類似地，對於來自不同光源的兩列光波，如果這兩列波的振幅和相位漲落都是彼此不相關的，稱這兩列波不具有相干性。相反，如果兩列光波來自同一點光源，則這兩列波的漲落一般是彼此相關的，此時這兩列波是完全相干的。

如要從單一的不相干波源產生相干的兩列波，可以採用兩種不同的方法：一種稱為波前分割法，即對於幾何尺寸足夠小的波源，讓它產生的波列通過並排放置的狹縫，根據惠更斯－菲涅耳原理，這些在波前上產生的子波是彼此相干的；另一種成為波幅分割法，用半透射、半反射的半鍍銀鏡，可以將光波一分為二，製造出透射波與反射波。如此產生的反射波和透射波來自於同一波源，並具有很高的相干性，這種方法對於擴展波源同樣適用。

## 兩列波的干涉

### 基礎理論

> 兩束光發生干涉後，干涉條紋的光強分布與兩束光的光程差 / 相位差有關：當相位差 $\delta =0,2\pi ,4\pi ,...$ 時光強最大；當相位差 $\delta =\pi ,3\pi ,5\pi ,...$ 時光強最小。從光強最大值和最小值的和差值可以定義干涉可見度作為干涉條紋清晰度的量度。
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光作為電磁波，它的強度 $I\,$ 定義為在單位時間內，垂直於傳播方向上的單位面積內能量對時間的平均值，即玻印亭矢量對時間的平均值：

　
: $I=\left\langle \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {c}{4\pi }}{\sqrt {\frac {\epsilon }{\mu }}}\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle \,$

從而光強可以用 $\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle \,$ 這個量來表徵。對於單色光波場，電矢量 $\mathbf {E} \,$ 可以寫為

　
: $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {A} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}(\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right]\,$

這裡 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )\,$ 是複振幅矢量，在笛卡爾直角坐標系下可以寫成分量的形式 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{3}a_{i}(\mathbf {r} )e^{i\phi _{i}(\mathbf {r} )}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,$ 。

這裡 $a_{i}(\mathbf {r} )\,$ 是在三個分量上的（實）振幅，對於平面波 $a_{i}(\mathbf {r} )=a_{i}\,$ ，即振幅在各個方向上是常數。 $\phi _{i}(\mathbf {r} )\,$ 是在三個分量上的相位， ${\boldsymbol {\phi }}(\mathbf {r} )=\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\delta _{i}\,$ ， $\delta _{i}\,$ 是表徵偏振的常數。

要計算這個平面波的光強，則先計算電場強度的平方：

　
: $\mathbf {E} ^{2}={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} ^{2}e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*2}e^{2i\omega t}+2\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{*}\right]\,$

對於遠大於一個週期的時間間隔內，上式中前兩項的平均值都是零，因此光強為

　
: $I=\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{*}={\frac {1}{2}}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)\,$

對於兩列頻率相同的單色平面波 $\mathbf {E} _{1}\,$ 、 $\mathbf {E} _{2}\,$ ，如果它們在空間中某點發生重疊，則根據疊加原理，該點的電場強度是兩者的矢量和：

　
: $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\,$

則在該點的光強為

　
: $I=\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle =\left\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\right\rangle +\left\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\right\rangle +2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle \,$ 。

其中 $\left\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\right\rangle \,$ 、 $\left\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\right\rangle \,$ 是兩列波各自獨立的光強，而 $2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle \,$ 是干涉項。
用 $\mathbf {A} \,$ 、 $\mathbf {B} \,$ 表示兩列波的複振幅，則干涉項中 $\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,$ 可以寫為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}&={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}e^{i\omega t}\right]\left[\mathbf {B} e^{-i\omega t}+\mathbf {B} ^{*}e^{i\omega t}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} ^{*}e^{2i\omega t}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{*}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} \right)\end{aligned}}\,$

前兩項對時間取平均值仍然為零，從而干涉項對光強的貢獻為

　
: $2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{*}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} \right)\,$

根據前面複振幅的定義， $\mathbf {A} \,$ 、 $\mathbf {B} \,$ 可以在笛卡爾坐標系下分解為

　
: $\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}e^{i\phi _{i}}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,$

和

　
: $\mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}b_{i}e^{i\psi _{i}}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,$

將分量形式代入上面干涉項的光強，可得 $2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle =a_{1}b_{1}\cos(\phi _{1}-\psi _{1})+a_{2}b_{2}\cos(\phi _{2}-\psi _{2})+a_{3}b_{3}\cos(\phi _{3}-\psi _{3})\,$

倘若在各個方向上，兩者的相位差 $\delta _{i}=\phi _{i}-\psi _{i}\,$ 都相同並且是定值，即

　
: $\delta =\phi _{1}-\psi _{1}=\phi _{2}-\psi _{2}=\phi _{3}-\psi _{3}={\frac {2\pi }{\lambda }}\Delta L\,$

其中 $\lambda \,$ 是單色光的波長， $\Delta L\,$ 是兩列波到達空間中同一點的光程差。

此時干涉項對光強的貢獻為

　
: $2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle =(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})\cos \delta =(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})\cos {\frac {2\pi }{\lambda }}\Delta L\,$

光波是電矢量垂直於傳播方向的橫波，這裡考慮一種簡單又不失一般性的情形：線偏振光，電矢量位於 x 軸上，傳播方向為 z 軸方向，則兩列波在其他方向上的振幅都為零：

　
: $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=0\,$

代入總光強公式：

　
: ${\begin{aligned}I&={\frac {1}{2}}a_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}b_{1}^{2}+a_{1}b_{1}\cos \delta \\&=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\cos \delta \end{aligned}}$

因此干涉後的光強是相位差的函數，當 $\delta =0,2\pi ,4\pi ,...$ 時有極大值 $I_{\rm {max}}=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\,$ ；當 $\delta =\pi ,3\pi ,5\pi ,...$ 時有極小值 $I_{\rm {min}}=I_{1}+I_{2}-2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\,$ 。

特別地，當兩列波光強相同即 $I_{1}=I_{2}=I_{0}\,$ 時，上面公式可化簡為

　
: $I=4I_{0}\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}\,$ ，此時對應的極大值為 $4I_{0}\,$ ，極小值為 0。

顯然，對於不同的干涉情形，產生的極大值和極小值差異是不同的。由此可以定義條紋的可見度 ${\mathcal {V}}\,$ 作為條紋清晰度的量度：

　
: ${\mathcal {V}}={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}\,$ ，即可見度的範圍為 0 到 1 之間。

雖然以上的討論是基於兩列波都是線偏振光的假設，但對於非偏振光也成立，這是由於自然光可以看作是兩個互相垂直的線偏振光的疊加。

### 波前分割干涉（分波前干涉）

#### 楊氏雙縫

英國物理學者托馬斯・楊於 1801 年做實驗演示光的干涉演示，稱為楊氏雙縫實驗。這實驗對於光波動說給出有力支持，由於實驗觀測到的干涉條紋是艾薩克・牛頓所代表的光微粒說無法解釋的現象，雙縫實驗使大多數的物理學家從此逐漸接受了光波動說。楊氏雙縫的實驗設置如右圖所示，從一個點光源出射的單色波傳播到一面有兩條狹縫的擋板，兩條狹縫到點光源的距離相等，並且兩條狹縫間的距離很小。由於點光源到這兩條狹縫的距離相等，這兩條狹縫就成為了同相位的次級單色點光源，從它們出射的相干光發生干涉，因此可以在遠距離的屏上得到干涉條紋。

如果兩條狹縫之間的距離為 $a\,$ ，狹縫到觀察屏的垂直距離為 $d\,$ ，則根據幾何關係，在觀察屏上以對稱中心點為原點，坐標為 $(x,y)\,$ 處兩束相干光的光程分別為

　
: $L_{1}={\sqrt {d^{2}+y^{2}+(x-{\frac {a}{2}})^{2}}}\,$

　
: $L_{2}={\sqrt {d^{2}+y^{2}+(x+{\frac {a}{2}})^{2}}}\,$

當狹縫到觀察屏的垂直距離 $d\,$ 遠大於 $x\,$ 時，這兩條光路長度的差值可以近似在圖上表示為：從狹縫 1 向光程 2 作垂線所構成的直角三角形中，角 $\alpha ^{\prime }\,$ 所對的直角邊 $\Delta s\,$ 。而根據幾何近似，這段差值為

　
: $\Delta s=a\sin \alpha ^{\prime }\approx a{\frac {x}{d}}\,$

如果實驗在真空或空氣中進行，則認為介質折射率等於 1，從而有光程差 $\Delta L=\Delta s=a{\frac {x}{d}}\,$ ，相位差 $\delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {ax}{d}}\,$ 。

根據前文結論，當相位差 $\delta \,$ 等於 $2m\pi ,\quad |m|=0,1,2,...\,$ 時光強有極大值，從而當 $x={\frac {md\lambda }{a}},\quad |m|=0,1,2,...\,$ 時有極大值；當相位差 $\delta \,$ 等於 $2m\pi ,\quad |m|={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},...\,$ 時光強有極小值，從而當 $x={\frac {md\lambda }{a}},\quad |m|={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},...\,$ 時有極小值。從而楊氏雙縫干涉會形成等間距的明暗交替條紋，間隔為 ${\frac {d\lambda }{a}}\,$ 。

若在雙縫干涉中增加狹縫在兩條狹縫連線上的線寬，以至於狹縫無法看作是一個點光源，此時形成的擴展光源可以看作是多個連續分布的點光源的集合。這些點光源由於彼此位置不同，在屏上同一點將導致不同的相位差，將有可能導致各個點光源干涉的極大值和極小值點重合，這就導致了條紋可見度的下降。

#### 菲涅耳雙面鏡

菲涅耳雙面鏡（Fresnel double mirror）是一種可以直接產生兩個相干光源的儀器。菲涅耳雙面鏡是兩個長度相同的平面鏡 M1、M2 的組合，兩個平面鏡的擺放相對位置成一個很小的傾角 α。當光波從點光源 S 的位置入射到兩個鏡面發生各自的反射後，分別形成了兩個虛像 S1 和 S2。由於它們是同一光源的虛像，因此是相干光源，左圖中藍色陰影的部分即為兩束光的干涉區域。

從圖中可見菲涅耳雙面鏡干涉的幾何關係與楊氏雙縫相同，因此只要求得兩個虛像間的距離 d 就可以推知干涉條紋的位置。如果設光源 S 到兩個平面鏡交點 A 的距離為 b，根據鏡面對稱可知兩個相干光源到鏡面交點的距離也等於 b，即 $S_{1}A=S_{2}A=SA=b\,$ ，

而虛光路 S1A、S2A 和平分線（圖中水平的點劃線）的夾角都等於平面鏡傾角 α，從而有 $d=2b\sin \alpha \,$ 。

這個距離等效於楊氏雙縫中兩條狹縫的間距，代入上文中公式即可得到干涉條紋的位置。光波入射到兩個鏡面時各自都會發生 $\pi \,$ 的反射相變，從而不會影響兩者最終的相位差，因此菲涅耳雙面鏡干涉條紋的形狀與楊氏雙縫完全相同，都是等間距的明暗相間條紋，中間為零級亮紋。

#### 菲涅耳雙稜鏡

菲涅耳雙稜鏡（Fresnel double prism）是一種類似於菲涅耳雙面鏡的形成相干光源的儀器，它由兩塊相同的薄三稜鏡底面相合而構成，三稜鏡的折射角很小，並且兩者的折射棱互相平行。當位於對稱軸上的點光源 S 發出光時，入射光在兩塊稜鏡的作用下部分向上折射，部分向下折射，從而形成兩個對稱的虛像，這兩個虛像即為兩個相干光源。

如果三稜鏡的頂角為 α，折射率為 n，則當 α 很小時光線因折射的偏折角度 $\beta \approx \alpha (n-1)\,$ 。

如果點光源 S 到三稜鏡的距離為 a，則根據幾何關係可知兩個相干光源間的距離為

　
: $d=2a\tan \beta \approx 2a\beta =2a\alpha (n-1)\,$

以下關於條紋間距的計算和楊氏雙縫相同。

#### 洛埃鏡

**洛埃鏡**（Lloyd mirror），又譯**勞埃德鏡**、**勞埃鏡**，是一種更簡單的波前分割干涉儀器，本質為一塊平置的平面鏡 M。點光源 S 位於離平面鏡 M 較遠且相當接近平面鏡所在平面的地方，因此入射光傾角非常小。點光源 S 和它在平面鏡所成虛像 S' 形成了一對相干光源。根據圖中幾何關係，若點光源 S 到鏡平面的距離為 d，則兩個相干光源間的距離為 2d。由於兩條相干光路中其中一條經過了鏡面反射，因此只有一束相干光發生了 $\pi \,$ 的反射相變，出於這個原因干涉條紋的正中為零級暗紋。

#### 邁克生測星干涉儀

邁克生測星干涉儀（Michelson stellar interferometer）是利用干涉條紋的可見度隨擴展光源的線度增加而下降的原理（參見下文空間相干性一節）來測量恆星角直徑的干涉儀。其基本光路如右圖所示，它的概念首先由美國物理學家阿爾伯特・邁克生和法國物理學家阿曼德・斐索在 1890 年提出，並由邁克生和美國天文學家弗朗西斯・皮斯於 1920 年在威爾遜山天文台首次用干涉儀對恆星的角直徑進行了測量。邁克生測星干涉儀的長度約為 6 米，架設在口徑為 2.5 米的虎克望遠鏡之上。其中兩面平面鏡 M1、M2 的最大間距為 6.1 米，並且是可調的；而平面鏡 M3、M4 的位置是固定的，等於 1.14 米。當有星光入射到干涉儀上時，兩組平面鏡所構成的光路是等光程的，從而會形成等間距的干涉直條紋，而條紋間距為

　
: $\Delta x={\frac {\lambda f}{d}}\,$

這裡 $f\,$ 是望遠鏡的焦距， $d\,$ 是平面鏡 M3 和 M4 之間的距離。而平面鏡 M1 和 M2 之間的距離相當於擴展光源的線度，當 M1 和 M2 靠得很近時干涉條紋的可見度接近於 1，隨著兩者間距增加可見度會逐漸下降為零。如果認為恆星是一個角直徑為 $2\alpha \,$ ，光強均勻分布的圓形光源，其可見度由下面公式給出

　
: ${\mathcal {V}}={\frac {2J_{1}(u)}{u}}\,$ ，

其中 $u=2\pi \alpha D/\lambda \,$ ， $J_{1}(u)\,$ 是貝索函數。隨著逐漸增加平面鏡 M1 和 M2 之間的距離 $D\,$ ，當滿足下面關係時，可見度首次降為零：

　
: $D=1.22{\frac {\lambda }{2\alpha }}\,$

邁克生測星干涉儀首次成功測量的恆星是參宿四，測得其角直徑為 0.047 弧度秒，根據它到太陽的距離（約 600 光年）就可得到它的直徑約為 4.1×108 千米，是太陽直徑的 300 倍。事實上，這一台邁克生測星干涉儀所能測量的都是直徑在太陽直徑數百倍的巨星，因為測量體積更小的恆星要求更大的 M1 和 M2 之間的距離，架設一台如此龐大的干涉儀對當時的技術而言相當困難。

### 振幅分割干涉（分振幅干涉）

#### 等傾干涉

如右圖所示，一個單色點光源 S 所發射的電磁波入射到一塊透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面發生反射和折射，而折射光其後又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介質中。這條折射光必然會與另一條直接被上表面反射的反射光重合於空間中某一點，由於它們都是同一波源發出的電磁波的一部分，因此是相干光，這時會形成非定域的干涉條紋。若光源為擴展光源，一般而言干涉條紋的可見度會下降，但若考慮兩條反射光平行的情形，即重合點在無限遠處，此時會形成定域的等傾干涉條紋。根據幾何關係，兩束光的光程差可以表示為

　
: $\Delta L=n_{2}({\overline {AB}}+{\overline {BC}})-n_{1}{\overline {AN}}\,$

其中 $n_{2}\,$ 是平行平面板的折射率， $n_{1}\,$ 是周圍介質的折射率。具體長度可以表示為

　
: ${\overline {AB}}={\overline {BC}}={\frac {d}{\cos \theta ^{\prime }}}\,$ ，

　
: ${\overline {AN}}={\overline {AC}}\sin \theta \,$

其中 $d\,$ 是平行平面板的厚度， $\theta \,$ 是入射角， $\theta ^{\prime }\,$ 是折射角，兩者滿足折射定律。

這樣得到的光程差為 $\Delta L=2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,$ ，對應的相位差為 $\delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,$ ，另外考慮到發生於上表面或下表面的反射相變，相位差應為

　
: $\delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\pm \pi \,$ 。

干涉條件為 $2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,$ ，當 m 是整數時，則有亮條紋，當 m 是半整數時，則有暗條紋。

由此，每一條條紋都對應一個特定的折射角 / 入射角，從而被稱作「等傾干涉」。如果觀測方向垂直於平行平面板，則可以觀察到一組同心圓的干涉條紋。

此外，從平行平面板下表面透射的兩束平行光也會形成等傾干涉，但由於不存在反射相變，相位差不需要添加 $\pm \pi \,$ 項，從而導致透射光的干涉條紋的明暗位置與反射光完全相反。

#### 等厚干涉

若等傾干涉中的平行平面板兩個表面不是嚴格平行的，如右圖所示，則對於單色點光源 S 的出射光，其上下表面的反射光總會在空間中某一點 P 上形成干涉，並且其干涉條紋是非定域的。此時這兩束光的光程差可以寫為

　
: $\Delta L=n_{1}({\overline {SB}}+{\overline {DP}}-{\overline {SA}}-{\overline {AP}})+n_{2}({\overline {BC}}+{\overline {CD}})\,$

類似地， $n_{1}\,$ 是周圍介質的折射率， $n_{2}\,$ 是平行平面板的折射率。
一般來說這個計算相當困難，但在平行平面板足夠薄，且兩面夾角足夠小的情形下（例如薄膜），光程差可近似得出為

　
: $\Delta L=2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,$

其中 $d\,$ 是薄膜在反射點 C 的厚度， $\theta ^{\prime }\,$ 是在該點的反射角。從而對應的相位差 $\delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,$ 。

若光源為擴展光源，則會使干涉光在點 P 的相位差範圍擴大，從而導致條紋可見度下降，但例外情形是點 P 位於薄膜表面：此時對從擴展光源各點出射的干涉光而言厚度 $d\,$ 都是相同的，當 $\cos \theta ^{\prime }\,$ 變化範圍很小時，干涉條件可寫為

　
: $2n_{2}d{\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,$

當 m 為整數時有干涉極大，m 為半整數時有干涉極小。其中 ${\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\,$ 是對擴展光源各點取平均得到的 $\cos \theta ^{\prime }\,$ 的平均值，而 $\pm {\frac {\lambda }{2}}\,$ 項的存在是考慮到反射相變。如果 ${\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\,$ 是常數，則條紋是薄膜中厚度為常數的點的連線，這被稱作等厚條紋。等厚干涉經常被用來檢測光學表面的厚度是否均勻，對正入射的情形， ${\overline {\cos \theta ^{\prime }}}=1\,$ ，則干涉極小條件為

　
: $d={\frac {m\lambda }{2}}\quad m=0,1,2,...\,$ ，即對於相鄰明條紋，在該點的厚度差為 ${\frac {\lambda }{2}}\,$ ；若表面厚度絕對均勻，則在表面上無干涉條紋。

等厚干涉的一個例子是劈尖干涉，即光線垂直入射到劈形的薄膜上，若劈尖的折射率為 $n\,$ ，則根據前面結論干涉條件為

　
: $2nd\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,$

其中 m 為整數時是亮條紋，m 為半整數時是暗條紋，條紋是一組平行於劈尖棱邊的平行線，並且棱邊上是零級暗紋。相鄰明條紋對應的厚度差因而為 ${\frac {\lambda }{2n}}\,$ 。

進一步可得出條紋間距 ${\frac {\lambda }{2n}}/\sin \alpha \approx {\frac {\lambda }{2n\alpha }}\,$ ，其中 $\alpha \,$ 是劈角，即劈尖干涉的條紋等間距。

等厚干涉的另一個著名例子是牛頓環。如右圖所示，它是將一個曲率半徑很大的透鏡的凸表面置於一個玻璃平面上，並由平行光垂直入射而形成的干涉條紋。此時凸透鏡和玻璃平面間的間隙形成了空氣（折射率近似為 1）為介質的劈尖，從而干涉條件為

　
: $2d\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,$ ，其中 m 為整數時是亮條紋，m 為半整數時是暗條紋。其干涉條紋是一組同心圓，並且中心為零級暗紋。

設透鏡的曲率半徑為 $R\,$ ，則條紋半徑 $r\,$ 與劈尖厚度 $d\,$ 滿足關係

　
: $r^{2}=R^{2}-(R-d)^{2}=2Rd-d^{2}\approx 2Rd\,$

從而可以得到干涉條紋的半徑為 $r={\sqrt {mR\lambda }}\,$ ，其中 m 為整數時是暗條紋，m 為半整數時是亮條紋。由此可知牛頓環從中心向外條紋的間隔越來越密。

#### 邁克生干涉儀

邁克生干涉儀是典型的波幅分割干涉儀，它通過將一束入射光分為兩束後，兩束相干光各自被對應的平面鏡反射回來從而發生波幅分割干涉。兩束干涉光的光程差可以通過調節干涉臂長度以及改變介質的折射率來實現，從而能夠形成不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀的著名應用是美國物理學家邁克生和愛德華・莫雷使用它在 1887 年進行了著名的邁克生－莫雷實驗，得到了以太風測量的零結果。另外，邁克生還用它首次系統研究了光譜線的精細結構，並且用它在標準米尺與譜線波長之間做直接比較。

右圖是邁克生干涉儀的基本構造：從光源到光檢測器之間存在有兩條光路：一束光被分束器（例如一面半透半反鏡）反射後入射到上方的平面鏡後反射回分束器，之後透射過分束器被光檢測器接收；另一束光透射過分束器後入射到右側的平面鏡，之後反射回分束器後再次被反射到光檢測器上。通過調節平面鏡的前後位置，可以對兩束光的光程差進行調節。值得注意的是，被分束器反射的那一束光前後共三次通過分束器，而透射的那一束光只通過一次。對於單色光而言只需調節平面鏡的位置即可消除這個光程差；但對於複色光而言，在分束器介質內不同波長的色光會發生色散，從而需要在透射光的光路中放置一塊材料和厚度與分束器完全相同的玻璃板，稱作補償板，如此可消除這個影響。

當兩面平面鏡嚴格垂直時，單色光源會形成同心圓的等傾干涉條紋，並且條紋定域在無窮遠處。如果調節其中一個平面鏡使兩束光的光程差逐漸減少，則條紋會向中心亮紋收縮，直到兩者光程差為零而干涉條紋消失。若兩個平面鏡不嚴格垂直且光程差很小時，光源會形成定域的等厚干涉條紋，其為等價於劈尖干涉的等距直條紋。

#### 馬赫 - 曾德爾干涉儀

邁克生干涉儀中，分束器被用來使兩束相干光重新會合發生干涉，而倘若採用另外一塊獨立的半透半反鏡來使兩束光重新會合，則可構造成馬赫 - 曾德爾干涉儀。它是由德國物理學家路德維希・馬赫和路德維・曾德爾於十九世紀末設計的，其基本光路如左圖所示：光源位於透鏡的焦平面上，從透鏡出射的平行光入射到第一面半透半反鏡上分為兩束，各自經一面平面鏡反射後在完全相同的第二面半透半反鏡重新會合，之後在兩個方向上的光檢測器都能發生干涉。通常，干涉儀中四個反射面需要被儘量設置為嚴格平行，並且四個反射點構成一個平行四邊形以保證準直。由此，兩列干涉臂的長度差異高度影響著兩個方向上的光檢測器所接收到的干涉信號，任何一個微小的光程差變化都會導致入射光能量的重新分配。當兩列干涉臂的光程完全相等，並考慮光波在半透半反鏡和平面鏡上反射產生的多次半波損失，則可知此時兩列相干光在光檢測器 1 的光路上有建設性干涉，所有入射光的能量都將進入光檢測器 1；而在光檢測器 2 的光路上有破壞性干涉，沒有入射光能量進入光檢測器 2。

在實際操作中，若其中一塊半透半反鏡和平面鏡之間稍有傾斜，則會形成類似邁克生干涉儀的劈尖干涉，即得到定域的平行等距直條紋。

通過測量光程差改變引起的光檢測器所接收到的光強變化，馬赫 - 曾德爾干涉儀經常用於測量可壓縮氣流中折射率的變化。即對於兩條相干光路，其中一條作為參考光路，另一條置於待測氣流中作為測試光路，從而可測得氣流的折射率改變，進一步即可得到待測氣流的密度改變。

### 相干性

在邁克生干涉儀或馬赫 - 曾德爾干涉儀這樣的波幅分割干涉裝置中，雖然兩束光來自同一光源，但在實驗中會發現如果過度增加兩束光的光程差，會導致干涉條紋的可見度下降直至條紋消失；而在楊氏雙縫干涉中，如果逐漸擴展兩條狹縫彼此之間的距離，也會導致干涉條紋可見度的下降並最終消失。這種干涉條紋最終消失的現象是由於相干性，前者是由於實際的光波並非嚴格的無限長單色波列，它具有有限的縱向相干長度；後者是由於擴展光源造成了橫向相干長度減小，因此空間中不同點之間彼此的相干性下降。例如在邁克生干涉儀中，一列有限長度的入射波進入干涉儀後被分成長度相等的兩列波，如果干涉儀兩臂的光程差大於這兩列波的長度，則對於這一入射波而言它產生的兩列分波無法發生干涉，即兩列波沒有相干性。從而在任意時刻，到達空間中某一點的所有波列都來自不同的入射波的疊加，而這些入射波本身具有隨機的相位和振幅漲落，在可觀測時間內它們的疊加不產生干涉。

#### 時間相干性

時間相干性是光波單色性的一種反映，如果光波的單色性越好則它具有越好的時間相干性。也就是說，對於一列光波，將它延遲一段時間後再將其與自身延遲後的版本發生干涉，如果延遲的這段時間即使很大，而它仍然能與自身發生干涉，則稱這列波或對應的波源有很好的時間相干性。對於嚴格的無限長單色波，無論延遲多久它仍然能與自身發生干涉；而對於實際的有限長波列超過一段特定時間之後則無法發生干涉，這段時間被稱作相干時間，它也就是這列光波的持續時間。根據定義，自相關函數可以用來描述時間相干性。

設有限長波列 $F(t)=f_{0}e^{-2i\pi \nu _{0}t}\,$ ，其持續時間為 $\Delta \tau \,$ ，即當 $|t|>{\frac {\Delta \tau }{2}}\,$ 時， $F(t)=0\,$ 。對這個波列做傅立葉變換，可得它的頻譜為

　
: ${\begin{aligned}f(\nu )&=f_{0}\int _{-{\frac {\Delta \tau }{2}}}^{\frac {\Delta \tau }{2}}e^{2i\pi (\nu -\nu _{0})t}\,dt\\&=f_{0}\Delta \tau \left[{\frac {\sin {\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}{\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}\right]\end{aligned}}$

這個積分的結果是一個歸一化的 Sinc 函數，而頻譜的模平方 $|f(\nu )|^{2}\,$ （功率譜）對應著光強。從函數可知光強的第一個零值對應著 $\nu -\nu _{0}=\pm {\frac {1}{\Delta \tau }}\,$ 。

從而得到這列有限長波列的頻率範圍 $\Delta \nu \sim {\frac {1}{\Delta \tau }}\,$ ，即波列的頻率範圍近似為波列持續時間的倒數。事實上，實際的光波滿足關係 $\Delta \tau \Delta \nu \geqq {\frac {1}{4\pi }}\,$ 。由此可知雷射的線寬也是時間相干性的反映，雷射的線寬越窄則說明這束雷射的時間相干性越高。

從相干時間可以進一步定義相干長度 $\Delta L=c\Delta \tau \sim {\frac {{\bar {\lambda }}^{2}}{\Delta \lambda }}\,$ ， $\Delta \lambda \,$ 是波長的範圍。對於兩列光波的光程差接近或大於它們的相干長度時，干涉效應將難以發生。

#### 空間相干性

空間相干性是電磁波傳播過程中在空間中兩點的電場相關程度的反映，可以用互相關函數來描述。如果一束電磁波在空間中傳播的同一波陣面上不同點的相位彼此間很相關，則認為這束電磁波有很強的空間相干性。例如，在一束雷射的橫截面上，向不同方向振盪的電場在相位變化上是高度一致的，即使這束雷射的線寬很寬從而不具有很好的時間相干性。空間相干性是雷射能夠保持高度方向性的關鍵因素。

根據傅立葉光學，波源光強在二維平面上的分布的傅立葉變換，即是干涉條紋的可見度函數。從而對於線度為 $b\,$ 的擴展光源，其可見度是一個 Sinc 函數，因而在距離為 $R\,$ 的波陣面上，具有空間相干性的範圍近似可表為

　
: ${\mathcal {L}}\sim {\frac {R}{b}}\lambda \,$

這個距離被稱為「縱向相干距離」，由此可定義「相干孔徑角」 $\Delta \theta ={\frac {d}{R}}={\frac {\lambda }{b}}\,$ ，也就是說在這個範圍的光場內，波陣面上任意兩點具有空間相干性。

由於楊氏雙縫實驗中條紋的可見度和狹縫在彼此連線上的擴展線度有很大關係，利用這個方法可以測量一些小光源的角幅度，這也正是邁克生測星干涉儀的原理。

## 多光束干涉

對於入射光照射到平行平面板產生波幅分割等傾干涉的情形，由於從下表面反射的光有可能上表面再次反射，並且會有第三束透射光從上表面出射並與前兩束光發生干涉。以此類推，如果平行平面板對電磁波的損耗可以忽略（介質對電磁波沒有吸收或散射），則理論上會有無窮多束光從上表面出射，並且這些光彼此都是相干光。

### 平行平面板的多光束干涉

設平行平面板的折射率為 $n\,$ ，厚度為 $d\,$ ，入射的單色光傾角為 $\theta _{1}\,$ ，折射角為 $\theta _{2}\,$ ，則根據前面結論，相鄰反射光或透射光之間的光程差為 $\Delta L=2nd\cos \theta _{2}\,$ ，對應相位差為 $\delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}nd\cos \theta _{2}\,$ 。

如果要計算多束反射光或透射光的干涉，還需要計算這些光場的電場強度的矢量和（若用複振幅表示則為代數和）。對於平行平面板的上表面和下表面，都有特定的反射率（反射波振幅與入射波振幅之比）和透射率（透射波振幅與入射波振幅之比），這裡設光波從周圍介質進入板內的反射率和透射率分別為 $r_{1}\,$ 、 $t_{1}\,$ ，從板內進入周圍介質的反射率和透射率分別為 $r_{2}\,$ 、 $t_{2}\,$ 。若入射波在入射點 A1 的複振幅為 $A\,$ ，則從上表面反射出的各光束的複振幅依次為

　
: $r_{1}A,\quad t_{1}t_{2}r_{2}Ae^{i\delta },\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{3}Ae^{2i\delta },...\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{(2p-3)}Ae^{i(p-1)\delta },\quad ...\,$

而忽略第一條透射波在平行平面板中傳播產生的相移（因為它是一個在所有透射波中都會出現的常數），從下表面透射出的各光束的複振幅依次為

　
: $t_{1}t_{2}A,\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{2}Ae^{i\delta },\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{4}Ae^{2i\delta },...\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{(2p-2)}Ae^{i(p-1)\delta },\quad ...\,$

根據邊界條件，光疏媒質到光密媒質有 $\pi $ 的相移，而反過來則沒有，因此存在關係 $r_{1}=-r_{2}=r\,$ 。進而對所有反射光的複振幅求和，這是一個等比數列的無窮級數，結果為

　
: $A_{r}={\frac {r[1-(r^{2}+t_{1}t_{2})e^{i\delta }]}{1-r^{2}e^{i\delta }}}A\,$

如果定義平行平面板的反射比為 $R=r^{2}\,$ ，透射比 $T=t_{1}t_{2}\,$ 。反射比和透射比是反射波和透射波的能量與入射波能量的比值，因此在忽略損耗的情形下需要滿足能量守恆條件 $R+T=1\,$ 。

由此可以將反射光的振幅表示為

　
: $A_{r}={\frac {{\sqrt {R}}(1-e^{i\delta })}{1-Re^{i\delta }}}A\,$

反射光的光強是複振幅的模平方，其表達式為

　
: $I_{r}={\frac {4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}{(1-R)^{2}+4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}I\,$

在無損耗情形下透射光的光強可以直接用入射光強 $I\,$ 減去反射光光強得到，也可以通過等比數列無窮級數求和：

　
: ${\begin{aligned}A_{t}&={\frac {t_{1}t_{2}}{1-r_{2}^{2}e^{i\delta }}}A\\&={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}A\\I_{t}&={\frac {T}{(1-R)^{2}+4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}I\end{aligned}}$

反射光強與透射光強的表達式也被稱作艾里函數。

根據透射光強的表達式，其干涉條件為

　
: $2nd\cos \theta _{2}=m\lambda \,$

當 m 是整數時有透射光強的極大值，m 是半整數時有透射光強的極小值。由於光強分布與傾角 $\theta _{2}\,$ 有關，因此得到的是等傾條紋。

通常在討論反射光強和透射光強時，會引入一個參量 $F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}\,$ ，從而得到平行平面板的反射率函數和透射率函數：

　
: ${\frac {I_{r}}{I}}={\frac {F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}{1+F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\,$

　
: ${\frac {I_{t}}{I}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\,$

反射率和透射率都是波長的函數，在透射率函數上兩個相鄰的透射峰值之間的波長間隔被稱作自由光譜範圍，它由下式給出：

　
: $\Delta \lambda \approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nd\cos \theta _{2}}}$

其中 $\lambda _{0}\,$ 是最近峰值的中心波長。

用自由光譜範圍除以透射率函數的半高寬（峰值高度一半時的透射峰寬度），得到的值稱作細度：

　
: ${\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}}$ .

對於較高的反射比（ $R>0.5\,$ ），細度通常可近似為

　
: ${\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{1-R}}$

從這個公式可知反射比越高時細度越高，對應其透射峰的形狀越銳利。注意到在平面板上下表面嚴格平行，入射光源為單色平面波的理想情形下，干涉條紋細度和入射傾角以及平面板上下表面距離都無關。

### 法布立－培若干涉儀

法布立－培若干涉儀是一種由兩塊平行的玻璃板組成的多光束干涉儀，本質和上節所述的平行平面板的干涉原理相同。其中兩塊玻璃板的內表面都有相當高的反射率，以確保得到細度足夠高的干涉條紋。由於平行平面板只對特定波長的光有透射極大值，法布立－培若干涉儀能夠對頻率滿足其共振條件的光進行透射或反射，並且能達到非常高的透射率和反射率，它因此也被稱作「法布立－培若諧振腔」或「法布立－培若標準具」。

法布立－培若干涉儀被廣泛應用於遠程通信、雷射、光譜學等領域，它主要用於精確測量和控制光的頻率和波長。例如，在光學波長計中就使用了數台法布立－培若干涉儀的組合。此外，在雷射領域法布立－培若干涉儀還被用來抑制譜線的展寬，從而獲得單模雷射，而在重力波探測中法布立－培若干涉儀和邁克生干涉儀組合使用，通過使光子在諧振腔內反覆振盪增加了邁克生干涉儀的干涉臂的有效長度。

如要觀察到法布立－培若干涉儀的等傾干涉條紋，要在透射光的傳播方向上垂直放置一透鏡，當透鏡光軸垂直於屏時，等傾干涉的條紋是一組同心圓，圓心對應著正入射透射光的焦點。此時由於是正入射， $\theta _{2}=0\,$ ，在干涉條件中 $m\,$ 有最大值 $m_{0}\,$ ：

　
: $m_{0}={\frac {2nd}{\lambda }}\,$

一般情況下 $m_{0}\,$ 不是整數，如將其整數部分設為 $m_{1}\,$ ，小數部分設為 $e\,$ ，即 $m_{0}=m_{1}+e\,$ ，則從中心亮紋數起，外圈第 $p\,$ 個亮紋的角半徑為

　
: $\theta _{p}={\sqrt {\frac {n\lambda }{d}}}{\sqrt {p-1+e}}\,$

從而圓條紋的直徑 $D_{p}\,$ 滿足

　
: $D_{p}^{2}=(2f\theta _{p})^{2}={\frac {4n\lambda f^{2}}{d}}(p-1+e)\,$

其中 $f\,$ 是透鏡焦距。

法布立－培若干涉儀的三個重要特徵參量是細度（自由光譜範圍和透射峰的半高寬之比）、峰值透射率（透射光強和入射光強之比的最大值）、襯比因子（透射光強與入射光強之比的最大值和最小值之比），但由於反射比越高時細度才會越高，因此峰值透射率和細度 / 襯比因子不能同時都很高。

## 量子干涉

1905 年至 1917 年間，愛因斯坦通過馬克斯・普朗克的能量量子化假設和對光電效應的解釋，在《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》、《論我們關於輻射的本性和組成的觀點的發展》、《論輻射的量子理論》等論文中提出電磁波的能量由不連續的能量子組成，這些能量子被稱為光量子（光子）。因此，電磁輻射必須同時具有波動性和粒子性兩種自然屬性，這被稱作波粒二象性。自羅伯特・密立根於 1916 年完成了光電效應的一系列實驗，以及阿瑟・康普頓於 1923 年觀察到了 X 射線被自由電子的散射，並於 1926 年測定了光子的動量，物理學界都逐漸接受了電磁波也具有粒子性的這一事實。

然而，如果從光子的角度來理解干涉現象，就會出現一些令人費解的問題，例如，當兩束相干光中對應的兩個光子彼此發生干涉時，建設性干涉的場合需要從兩個光子中產生出四個光子，破壞性干涉的場合則需要兩個光子彼此抵消，這違反了能量守恆定律。

對於這一問題的解釋，量子力學的哥本哈根詮釋認為光子的干涉是單個光子波函數的機率幅疊加，波函數是一種機率波，其複振幅（機率幅）的模平方正比於對應的狀態發生的機率。以雙縫干涉為例，對於每個光子而言，其量子態 $|\psi \rangle \,$ 為從兩條狹縫中的每一條經過的量子態的疊加：

　
: $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}\,$

其中，正交歸一的態向量 $|\psi _{1}\rangle \,$ 、 $|\psi _{2}\rangle \,$ 分別對應從狹縫 1、狹縫 2 經過的量子態。

光子從這兩條狹縫抵達光檢測器的量子態 $|S(\theta )\rangle \,$ 為

　
: $|S(\theta )\rangle =(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}\,$

其中， $\theta \,$ 是由於光子從狹縫 1 或狹縫 2 抵達光檢測器的光程差所造成的相位差。

所以，光檢測器探測到這一光子的機率 $p(\theta )\,$ 為

　
: $p(\theta )=|\langle S(\theta )|\psi _{1}\rangle |^{2}=(1+\cos(\theta ))/2\,$

由於機率有相位差的諧和函數項，光檢測器探測到的光子分佈狀況，從統計上看也就是光檢測器探測到的光強，會顯示出干涉條紋。這結果和古典的電磁波的矢量疊加結果非常相似 —— 實際上，如果用電磁場來表示光子的波函數，在形式上能得到和古典干涉相同的結論。然而，這種等效從根本上是錯誤的，因為電磁場是一個可觀測量，而波函數在哥本哈根詮釋中是一個不可觀測量；從光子角度所看到的雙縫實驗是單個光子本身機率波的干涉，而機率也是單個光子出現在特定量子態的機率，而不是位於特定量子態的光子數量。關於這一點，保羅・狄拉克在《量子力學原理》中做了說明：

## 參見

* 繞射
* 莫耳紋
* 干涉儀列表
* 干涉測量術

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 模擬干涉的 Java 程序
* Flash 演示波的疊加 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 利薩茹曲線：音程、拍頻、干涉和振動弦的互動演示 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）