泰勒展開式

在數學中，**泰勒級數**（英語：Taylor series）用無限項連加式 —— 級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於 1715 年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克・泰勒（Sir Brook Taylor）來命名的。通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做**馬克勞林級數**，以蘇格蘭數學家科林・馬克勞林的名字命名。

拉格朗日在 1797 年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間（或複平面上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。

## 定義

在數學上，對於一個在實數或複數 $a$ 鄰域上，以實數作為變數或以複數作為變數的函數，並且是無窮可微的函數 $f(x)$ ，它的**泰勒級數**是以下這種形式的冪級數：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

這裡， $n!$ 表示 $n$ 的階乘，而 $f^{(n)}(a)\,\!$ 表示函數 $f$ 在點 $a$ 處的 $n$ 階導數。如果 $a=0$ ，也可以把這個級數稱為**馬克勞林級數**。

## 解析函數

如果泰勒級數對於區間 $(a-r,a+r)$ 中的所有 $x$ 都收斂並且級數的和等於 $f(x)$ ，那麼我們就稱函數 $f(x)$ 為**解析形的函數**（analytic）。一個函數若且唯若（簡單地說，「只有在且只要在」）能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函數。通常會用**泰勒定理**來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於 $f(x)$ 。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。

以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的：

1. 可以逐項對冪級數的計算微分和積分，因此求和函數相對比較容易。
2. 數學家因此能夠在複數平面上研究函數，因為一個解析函數，也可以被定義為在複平面中一個開放的區間內的解析函數 (在區間內每一個點上都能被微分的函數)。
3. 可用泰勒級數估計，在某一點上函數會計算出什麼值。

對於一些無窮的可以被微分函數 $f(x)$ ，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於 $f(x)$ 。例如，分段函數 $f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ ，如果 $x\neq 0$ 並且 $f(0)=0$ ，則 $x=0$ 時所有的導數都為零，所以這個 $f(x)$ 的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函數 $f(x)$ 僅在 $x=0$ 處為零。但是，在以複數作為變數的函數中這個問題並不存在，因為當 $z$ 沿虛數軸趨於零， $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ 並不趨於零。

如果一個函數在某處引發一個奇異點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變數 $x$ 是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，雖然在 $x=0$ 的時候， $f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ 會引發奇異點，但仍然能夠把這個函數展開為一個洛朗級數。

最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程式的方法 ——Parker-Sochacki method。用皮卡反覆運算便可以推導出這個方法。

## 常用的函數：馬克勞林級數

下面我們給出了幾個重要的馬克勞林級數。當變數 $x$ 是複數時，這些等式依然成立。

### 幾何級數

　
: ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1$

### 二項式級數

　
: $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots $

　
: $\forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} $

　
: 二項式係數 ${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ 。

### 指數函數和自然對數

以 $e$ 為底數的指數函數的馬克勞林序列是

　
: $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x$ （對所有 X 都成立）

以 $e$ 為底數的自然對數的馬克勞林序列是

　
: $\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)$ （對於在區間 [-1,1) 內所有的 X 都成立）

　
: $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$ （對於在區間 (-1,1] 內所有的 X 都成立）

### 三角函數

常用的三角函數可以被展開為以下的馬克勞林序列：

　
: ${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

　
: 在 $\tan(x)$ 展開式中的 Bk 是伯努利數。在 $\sec(x)$ 展開式中的 _E_k 是尤拉數。

### 雙曲函數

　
: $\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x$

　
: $\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x$

　
: $\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

　
: $\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1$

　
: $\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1$

　
: $\tanh(x)$ 展開式中的 _B_k 是伯努利數。

### 朗伯 W 函數

　
: $W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}$

## 多元函數的展開

泰勒級數可以推廣到有多個變數的函數： $\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}$

## 歷史

希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來，亞里斯多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。幾個世紀之後，中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。

進入 14 世紀，馬德哈瓦最早使用了泰勒級數以及相關的方法。儘管他的數學著作沒有流傳下來，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函數等等。之後，喀拉拉學派在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，這些工作一直持續到 16 世紀。

到了 17 世紀，詹姆斯・格雷果里同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干馬克勞林級數。但是直到 1715 年，布魯克・泰勒 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。
馬克勞林級數是泰勒級數的特例，是愛丁堡大學的科林・馬克勞林教授在 18 世紀發表的，並以其名字命名。

## 與牛頓插值公式的淵源

**牛頓插值公式**也叫做**牛頓級數**，由「牛頓前向差分方程式」的項組成，得名於伊薩克・牛頓爵士，最早發表為他在 1687 年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五，此前詹姆斯・格雷果里於 1670 年和牛頓於 1676 年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。

### 差分

對於 x 值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對 _x_ 值間隔為單位步長 1 或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

　
: ${\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}$

### 插值公式

牛頓前向差分插值公式為：

　
: ${\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

### 無窮級數

牛頓在 1665 年得出並在 1671 年寫的《流數法》中發表了 $\ln(1+x)$ 的無窮級數，在 1666 年得出了 $\arcsin(x)$ 和 $\arctan(x)$ 的無窮級數，在 1669 年的《分析學》中發表了 $\sin(x)$ 、 $\cos(x)$ 、 $\arcsin(x)$ 和 $e^{x}$ 的無窮級數；萊布尼茨在 1673 年大概也得出了 $\sin(x)$ 、 $\cos(x)$ 和 $\arctan(x)$ 的無窮級數。布魯克・泰勒在 1715 年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》中研討了有限差分方法，其中論述了他在 1712 年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯・格雷果里在 1670 年和萊布尼茨在 1673 年已經得出，而約翰・伯努利在 1694 年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於 $0$ 的極限，得出：

　
: ${\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}$

## 參考文獻

## 參見

* 無窮級數
* 牛頓多項式
* 冪級數
* 光滑函數
* 帕德近似
* 泰勒公式