泛性质

在數學的很多分支，經常用「在給定某些條件下存在唯一態射」這種形式的性質來定義一些構造。這種性質統稱為**泛性質**（英語：Universal property），有時也稱為**萬有性**。範疇論研究泛性質。

了解泛性質最好先研究一些例子。如：群積、直和、自由群、積拓撲、斯通 - 切赫緊緻、張量積、反極限、直極限、核與上核、拉回、推出、等子等。

## 定義

設 _U_ : _D_ → _C_ 為一函子，_X_ 為 _C_ 的對象。從 _X_ 到 _U_ 的**泛態射**為偶 (_A_, φ)，其中 _A_ 為 _D_ 的對象，φ : _X_ → _U_(_A_) 為 _C_ 中滿足如下**泛性質**的態射：

* 對任意 _D_ 的對象 _Y_ 和任意 _C_ 的態射 _f_ : _X_ → _U_(_Y_)，存在唯一的態射 _g_ : _A_ → _Y_ 使得下圖可交換：

態射 _g_ 的存在保證 _A_ 具有足夠的性質，其唯一性又限制 _A_ 不再有額外的性質。

使用對偶原則可得上述的對偶概念：從 _U_ 到 _X_ 的**泛態射**為偶 (_A_, φ)，其中 _A_ 為 _D_ 的對象，φ : _U_(_A_) → _X_ 為 _C_ 的態射，滿足如下**泛性質**：

* 對任意 _D_ 的對象 _Y_ 和任意 _C_ 的態射 _f_ : _U_(_Y_) → _X_，存在唯一的態射 _g_ : _Y_ → _A_ 使得下圖可交換：

註：有時後者也稱為**上泛態射**。

## 性質

### 存在性和唯一性

具有泛性質的構造不一定存在。給定上述函子 _U_ 和對象 _X_，從 _X_ 到 _U_（或從 _U_ 到 _X_）的泛態射不一定存在。然而，若其存在，則該構造在同構下唯一。也就是說，若 (_A_′, φ′) 為另一個滿足該條件的泛態射，則存在唯一的同構態射 _g_ : _A_ → _A_′滿足 φ′ = _U_(_g_)φ。用 (_A_′, φ′) 代替定義中的 (_Y_, _f_) 易知該結論成立。

### 其它等價定義

泛態射可通過其它途徑定義。設 _U_ 為從 _D_ 到 _C_ 的函子，_X_ 為 _C_ 的對象，則下列語句等價：

* (_A_, φ) 為從 _X_ 到 _U_ 的泛態射
* (_A_, φ) 為逗號範疇 (_X_ ↓ _U_) 的始對象
* (_A_, φ) 為 HomC(_X_, _U_—) 的表示。

其對偶語句也同樣等價：

* (_A_, φ) 為從 _U_ 到 _X_ 的泛態射
* (_A_, φ) 為逗號範疇 (_U_ ↓ _X_) 的終對象
* (_A_, φ) 為 HomC(_U_—, _X_) 的表示。

### 與伴隨函子的關係

設 (_A_1, φ1) 為從 _X_1 到 _U_ 的泛態射，(_A_2, φ2) 為從 _X_2 到 _U_ 的泛態射。根據泛性質，對任意態射 _h_ : _X_1 → _X_2，存在唯一態射 _g_ : _A_1 → _A_2 使得下圖可交換：

若對任意 _C_ 的對象 _Xi_ 存在到 _U_ 的泛態射，則映射 _Xi_ $\mapsto $ _Ai_ 和 _h_ $\mapsto $ _g_ 確定一個函子 _V_ : _C_ → _D_。此時，φi 確定從 1C（_C_ 上的恆等函子）到 _U V_ 的一個自然變換。因此 (_V_, _U_) 構成一對伴隨函子，_V_ 左伴隨 _U_，_U_ 右伴隨 _V_。

利用對偶原則同樣可得 _U_ 的右伴隨函子 _V_ : _C_ → _D_。

事實上，所有的伴隨函子都產生與類似的泛構造。設 _F_ 和 _G_ 為一對伴隨函子，單位元為 & eta，上單位元為 & epsilon（定義見伴隨函子）。任意 _C_ 和 _D_ 的對象存在泛態射。

* 對任意 _C_ 的對象 _X_，(_F_(_X_), ηX) 為從 _X_ 到 _G_ 的泛態射。即，對任意 _f_ : _X_ → _G_(_Y_)，存在唯一 _g_ : _F_(_X_) → _Y_ 使得下圖可交換。
* 對任意 _D_ 的對象 _Y_，(_G_(_Y_), εY) 為從 _F_ 到 _Y_ 的泛態射。即，對任意 _g_ : _F_(_X_) → _Y_，存在唯一 _f_ : _X_ → _G_(_Y_) 使得下圖可交換。

泛構造的概念廣於伴隨函子：泛構造類似優化問題，伴隨函子存在若且唯若該優化問題對任何 _C_ 的對象（或對任何 _D_ 的對象）均存在解。

## 舉例

### 張量代數

設 _C_ 為域 _K_ 上的向量空間範疇 **_K_-Vect**，_D_ 為 _K_ 上的代數範疇（假定滿足 unitall 和結合律），_U_ 為將代數映射為所基向量空間的遺忘函子。

給定任何基於 _K_ 的向量空間 _V_，構造 _V_ 的張量代數 _T_(_V_)。此張量代數的泛性質體現為偶 (_T_(_V_), _i_)（其中 _i_ : _V_ → _T_(_V_) 為一 inclusion map）是從 _V_ 到 _U_ 的泛態射。

由於此方法適用於任何 _V_，因此 _T_ 為從**_K_-Vect** 到**_K_-Alg** 的函子，且為 _U_ 的左伴隨。

### 核

設 _D_ 為一存在零態射的範疇（如群範疇），_f_ : _X_ → _Y_ 為 _D_ 的一態射。_f_ 的核為滿足下列條件的任意態射 _k_ : _K_ → _X_：

* _f_ _k_ 為從 _K_ 到 _Y_ 的零態射；
* 對任意態射 _k_′ : _K_′ → _X_，若 _f_ _k_′為零態射，則存在唯一態射 _u_ : _K_′ → _K_ 滿足 _k_ _u_ = _k_′。

為理解上述同泛態射的關係，定義 _D_ 中態射的範疇 _C_，對象為 _D_ 的所有態射 _f_ : _X_ → _Y_，從 _f_ : _X_ → _Y_ 到 _g_ : _S_ → _T_ 的態射為一對態射 α : _X_ → _S_ 和 β : _Y_ → _T_ 構成的偶 (α, β)，滿足 β_f_ = fα。

定義函子 _F_ : _D_ → _C_，映射對象 _K_ 到零態射 0KK : _K_ → _K_，映射態射 _r_ : _K_ → _L_ 到偶 (_r_, _r_)。

給定 _D_ 的態射 _f_ : _X_ → _Y_（看作 _C_ 的對象）及 _D_ 的對象 _K_。從 _F_(_K_) 到 _f_ 的態射為偶 (_k_, _l_) 滿足 _f_ _k_ = _l_ 0KK = 0KY（此即為上述核的泛性質）。可以看出，「從 _F_ 到 _f_ 的泛態射」即為核的泛性質。

### 極限與上極限

極限與上極限為範疇論中重要的泛構造。設 _J_ 為小範疇、_C_ 為範疇，_J_ 看作為 _C_ 的索引範疇。記 _C_J 為相應的函子範疇。_對角函子_ Δ : _C_ → _C_J 將 _C_ 中每個對象 _N_ 映射到常函子 Δ(_N_) : _J_ → _C_ to _N_ (i.e. 對任意 _X_ 屬於 _J_ 有 Δ(_N_)(_X_) = _N_).

給定函子 _F_ : _J_ → _C_（看作 _CJ_ 的對象），_F_ 的極限，若存在，即為從 Δ 到 _F_ 的泛態射。由對偶性質，_F_ 的上極限為 _F_ 到 Δ 的泛態射。

## 用途

使用泛性質定義構造有如下優點：

* 泛性質定義的對象在同構下唯一，因此證明兩個對象同構的一個方法是找出其同時滿足的泛性質。
* 定義某構造的具體細節一般較為繁瑣，利用泛性質可不考慮這些細節，證明往往變得簡潔明了。
* 如果泛構造對任何對象都存在時可確定一個函子。
* 更進一步，該函子為 _U_ 的伴隨函子。此時可以利用右伴隨和極限可交換（左伴隨和上極限可交換）的性質。

## 歷史

Pierre Samuel 在 1948 年給出了多種拓撲結構的泛性質。布爾巴基大量使用了其結論。丹尼爾・闞與 1958 年獨立發現了與其密切相關的伴隨函子概念。

## 參考文獻

* Cohen, Paul M., _Universal Algebra_ (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
* Mac Lane, Saunders, _Categories for the Working Mathematician_ 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.