求和

**求和符號**（英語：summation；符號： $\sum $ ，讀作：sigma），是歐拉於 1755 年首先使用的一個數學符號。這個符號是源自於希臘文 _σογμαρω_（增加）的字頭，Σ 正是 σ 的大寫。

求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為**加總**。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。

假設有 $n$ 個數值 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ ，則這 $n$ 個數值的總和 $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$ 可表示為 $\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ 。

用等式來呈現的話就是 $\sum _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$ 。

 
舉例來說，若有 4 個數值： $x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=5,x_{4}=7$ ，則這 4 個數值的總和為：

$$
\sum _{k=1}^{4}x_{k}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1+3+5+7=16
$$

在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為「+」的運算的任何類型的數學對象的元素。

無限序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。

## 求和方法

1. 裂項法：利用 $a_{k}=b_{k+1}-b_{k}$ 求出 $\sum _{k=m}^{n}a_{k}$ 。
2. 錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
3. 倒序求和：對於有對稱中心的函數 $f(x)+f(2a-x)=2b$ 首尾求和
4. 逐項求導：可從 $\displaystyle \sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ 推導出 $\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{m}x^{k}$
5. 阿貝爾變換：

　
: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}(b_{1}-b_{2})+(a_{1}+a_{2})(b_{2}-b_{3})+\dots +(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1})(b_{n-1}-b_{n})+(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})b_{n}$

## 含多項式求和公式

以下設 p 為多項式， $\deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)$

###  $\sum p(k)$

 $\sum p(k)$ 是對一個多項式求和，自然數方冪和、等冪求和、等差數列求和都屬於對多項式求和。

* 帕斯卡矩陣形式

　
: $\sum _{k=1}^{n}p(k)={\begin{pmatrix}C_{n}^{1}&C_{n}^{2}&\cdots &C_{n}^{m+1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C_{0}^{0}&0&\cdots &0\\-C_{1}^{0}&C_{1}^{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{m}C_{m}^{0}&(-1)^{m-1}C_{m}^{1}&\cdots &C_{m}^{m}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots \\p(m+1)\end{pmatrix}}$
* 差分變換形式

　
: $p(k)=\sum _{j=1}^{m+1}C_{k-1}^{j-1}\Delta ^{j-1}p(1)$

　
: $\sum _{k=1}^{n}p(k)=\sum _{j=1}^{m+1}C_{n}^{j}\Delta ^{j-1}p(1)$

###  $\sum u_{k}v_{k}x^{k}$

當 $u_{k}=p(k)$ 為多項式， $\sum _{l=0}^{\infty }v_{l}x^{l}$ 易求高階導數時， $\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}v_{k}x^{k}$ 有封閉型和式

　
: $\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}v_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}u_{0}x^{k}}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\sum _{l=0}^{\infty }v_{l}x^{l})$

####  $\sum p(k)q^{k}$

 * $u_{k}=p(k),v_{k}=1,x=q,\sum u_{k}v_{k}x^{k}=\sum p(k)q^{k}$

　
: 有限和 $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$ 有封閉型和式

　
: 當 p 為常數時，是對等比數列求和，當 p 為一次多項式時，是對差比數列求和。

　
: $\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0)$

　
: $f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)$

####  $\sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}$

 * $u_{k}=p(k),v_{k}={\frac {1}{k!}},\sum u_{k}v_{k}x^{k}=\sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}$

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{n!}}x^{n}=e^{x}\sum _{k=0}^{m}{\frac {\Delta ^{k}p(0)}{k!}}x^{k}$

###  $\sum H_{k}p(k)$

 $\sum _{k=1}^{n}H_{k}p(k)=(\sum _{j=0}^{m}C_{n+1}^{j+1}\Delta ^{j}p(0))H_{n}-\sum _{j=0}^{m}{\frac {C_{n}^{j+1}}{j+1}}\Delta ^{j}p(0)$ ，其中 $H_{n}$ 為調和數或調和級數

## 組合數求和公式

### 一階求和公式

 * $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}$
* $\sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}$
* $\sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}$
 * $F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}$

　
: $F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}$

 * $\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$

　
: ${\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}$

　
: $\sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+1}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+1}}$

　
: $\sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}+i}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+n}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+m-1}}$

### 二階求和公式

 * $\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}$
* $\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}$

　
: $(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}$

　
: $(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}$

　
: $(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}$

 * $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}$

范德蒙恆等式與超幾何函數有關係：

　
: $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)={\binom {n+m}{k}}$

### 三階求和公式

 * ${\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}$

范德蒙恆等式與廣義超幾何函數有關係：

　
: $\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}{k}}^{2}$

## 定積分判斷總和界限

當 $f(x)$ 在 [a,b] 單調遞增時：

　
: $f(a)+\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \sum _{x=a}^{b}f(x)\leq f(b)+\int _{a}^{b}f(x)dx$

當 $f(x)$ 在 [a,b] 單調遞減時：

　
: $f(b)+\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \sum _{x=a}^{b}f(x)\leq f(a)+\int _{a}^{b}f(x)dx$

## 求和函數

以 $\sum _{i=1}^{n}i^{9}$ 為例：

* Matlab

* Mathematica

```
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= ${\frac {1}{20}}n^{2}(n+1)^{2}\left(n^{2}+n-1\right)\left(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+1\right)$
```

## 參考資料