洛仑兹方程

**勞侖次吸引子**（Lorenz attractor）是**勞侖次振子**（Lorenz oscillator）的長期行為對應的碎形結構，以愛德華・諾頓・勞侖次（Edward Norton Lorenz）的姓氏命名。勞侖次振子是能產生混沌流的三維動力系統，又稱作**勞侖次系統**（Lorenz system），其一組混沌解稱作勞侖次吸引子，以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動力系統（三維系統的三個變量）的狀態是如何以一種複雜且不重複的模式，隨時間的推移而演變的。

## 簡述

勞侖次吸引子及其導出的方程組是由愛德華・諾頓・勞侖次於 1963 年發表，最初是發表在《大氣科學雜誌》（_Journal of the Atmospheric Sciences_）雜誌的論文《_Deterministic Nonperiodic Flow_》中提出的，是由大氣方程式中出現的對流卷方程式簡化得到的。

這一勞侖次模型不只對非線性數學有重要性，對於氣候和天氣預報來說也有著重要的含義。行星和恆星大氣可能會表現出多種不同的準周期狀態，這些準周期狀態雖然是完全確定的，但卻容易發生突變，看起來似乎是隨機變化的，而模型對此現象有明確的表述。

從技術角度看來，勞侖次振子具有非線性、三維性和確定性。2001 年，沃里克・塔克爾（Warwick Tucker）證明出在一組確定的參數下，系統會表現出混沌行為，顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數在 2 與 3 之間的碎形。彼得・格拉斯伯格（Peter Grassberger）已於 1983 年估算出豪斯多夫維數為 2.06 ± 0.01，而關聯維數為 2.05 ± 0.01。

此系統也會出現在單模雷射和發電機的簡化模型中。除此之外，閉環對流、水輪轉動等物理模型也有此系統的應用。

## 勞侖次方程式

勞侖次方程式是基於納維－斯托克斯方程式、連續性方程式和熱傳導方程式簡化得出，最初的形式為：

　
: ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}+{\vec {g}}$

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0$

　
: ${\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(T{\vec {v}}\right)=\chi \nabla ^{2}T$

　
: $\rho =\rho _{0}\left(1-\gamma \left(T-T_{0}\right)\right)$

 ${\vec {v}}$ 是流速， $T$ 是流體溫度， $T_{0}$ 是上限溫度（也可以寫成 $T_{0}+\Delta T$ ）， $\rho $ 是密度， $p$ 是壓力， ${\vec {g}}$ 是重力， $\gamma $ 、 $\chi $ 、 $\nu $ 依次是熱膨脹係數、熱擴散率和動黏滯係數。

簡化後的形式稱為**勞侖次方程式**，是決定勞侖次振子狀態的方程式為一組常微分方程式：

　
: ${\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)$

　
: ${\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y$

　
: ${\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z$

含時間參數的形式：

　
: ${\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\sigma {\bigl (}y(t)-x(t){\bigr )}\\{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}$

 $\sigma $ 稱為**普蘭特爾數** ， $\rho $ 稱為**瑞立數**。所有的 $\sigma $ ， $\rho $ ， $\beta $ > 0，但通常 $\sigma $ = 10， $\beta $ = 8/3， $\rho $ 不定。若 $\rho <1$ ，則吸引子為原點，沒有任何其他穩定點。1≤ρ<13.927 時，螺線軌跡接近兩點（這相當於存在阻尼振子），兩點的位置由下列式子決定： $~x=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~y=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~z=\rho -1$ 。系統在 $\rho $ = 28 時表現出混沌特性，但 $\rho $ 為其他值時會顯示出具紐結的週期軌道。例如，當 $\rho =99.96$ 時，圖像變為一個 _T_(3,2) 環面紐結。

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## 瑞立數

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## 原始碼

### GNU Octave

下面是 GNU Octave 模擬勞侖次吸引子的原始碼：

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## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end
```

```
## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)
```

### Borland C

### Borland Pascal

### Fortran

### QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

## 參見

* 混沌映射列表
* Takens 定理
* 曼德布洛特集合

## 參考文獻

* （英文）Jonas Bergman, _Knots in the Lorentz Equation_, 學士畢業論文，Uppsala University 2004.
* （英文）Frøyland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A. 1984, **29**: 2928–2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928.
* （英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, **9**: 189–208 [2022-01-08]. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. （原始內容存檔於 2016-02-17）.
* （英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, **20**: 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
* （英文）Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994.
* （英文）Tucker, W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Found. Comp. Math. 2002, **2**: 53–117 [2010-02-26]. （原始內容存檔於 2019-12-28）.

## 外部連結

* （英文）埃里克・韋斯坦因。洛伦茨吸引子. MathWorld.
* （英文）勞侖次吸引子 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），作者為 Wolfram Demonstrations Project 的 Rob Morris
* （英文）勞侖次吸引子，planetmath.org
* （英文）用於繪出勞侖次吸引子或處理類似情況的原始碼 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），使用 ANSI C 及 gnuplot 實現
* （英文）《同步混沌與私人通信》，由 MIT 林肯實驗室的 Steven Strogatz 與 Kevin Cuomo 講解電子電路中勞侖次吸引子的實現
* （英文）勞侖次吸引子交互式動畫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（需 Adobe Shockwave 插件）
* （英文）Levitated.net：計算藝術與設計 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文）3D Attractors：三維方式顯示和研究勞侖次吸引子 Mac 程序
* （英文）3D VRML Lorenz attractor（需 VRML 瀏覽器插件）
* （英文）J 語言實現勞侖次吸引子演示的短文 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - 見 J 語言
* （英文）非線性模擬的 Java 小程序 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（選擇預設「Lorenz attractor」），作者 Viktor Bachraty，編寫語言 Jython
* （英文）模擬電子技術中勞侖次吸引子的實現
* （簡體中文）混沌蝴蝶 —— 勞侖茲吸引子 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）