泊松求和公式

**泊松求和公式**（英文：**Poisson Summation Formula**）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

## 公式的形式

 $x(t)$ 是一個連續時間的信號，做無限次的週期複製之後，產生 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})$ ，可由此推導出泊松求和公式。

泊松求和公式陳述 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)$ 。其中 $X(f)={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$ 。

## 推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克 δ 函數 $\delta (t)$ ，製作一個有無限多個 $\delta (t)$ ，且間隔為 $T_{0}$ 的週期函數 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 。

其傅立葉轉換為① $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$ ② ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$

### 證明①轉換對

 ${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT_{0})\right\}$
= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$ 。

### 證明②轉換對

設 $c_{n}$ 為週期函數 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 的傅立葉級數。

 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$ 可表示為 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}$ 。

由傅立葉級數得:

 $c_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT_{0})e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {0}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}$ 。

因此， ${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}{\mathcal {F}}\left\{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}\right\}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-n{\frac {1}{T_{0}}})$ 。

得到等式: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$ ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$ ，

經由適當的變量代換， $T_{0}$ 以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 代換， $f$ 以 $t$ 代換，得 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT_{0}\right)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$ (因為 n 從負無限大到正無限大)

## 推導泊松求和公式

### 從對頻域做取樣尋找關係式

$$
\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*\delta (t-nT_{0})
$$

$$
=x(t)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})
$$

$$
=x(t)*{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}
$$

$$
={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}
$$

$$
={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}(t-\tau )}d\tau
$$

$$
={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}\tau }d\tau ]e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}
$$

$$
={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}
$$

當 $t=0$ 時，得 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})$ ，

表示一個信號的在時域以 $T_{0}$ 為間隔做取樣，在頻域以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 $T_{0}$ 倍的關係。

---

### 從對時域做取樣尋找關係式

$$
{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f-{\frac {n}{T_{0}}})
$$

$$
={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})
$$

$$
=X(f)*[{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})]
$$

$$
=X(f)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*e^{-j2\pi nT_{0}f}
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{-j2\pi nT_{0}(f-\lambda )}d\lambda
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi nT_{0}\lambda }d\lambda ]e^{-j2\pi nT_{0}f}\right\}
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})e^{-j2\pi nT_{0}f}
$$

當 $f=0$ 時，得 ${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})$ ，

表示一個信號的在時域以 $T_{0}$ 為間隔做取樣，在頻域以 ${\frac {1}{T_{0}}}$ 為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有 $T_{0}$ 倍的關係。

---

綜合上述，若時域取樣間隔 $T_{0}=1$ 時，同樣地，頻域取樣間隔 ${\frac {1}{T_{0}}}=1$ 時，得泊松求和公式 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)$ 。

## 週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為 ${T_{0}}$ 的週期信號 $g(t)$ ， $G(f)$ 為 $g(t)$ 的傅立葉轉換，取出 g (t) 在區間 $[-{\frac {T_{0}}{2}},{\frac {T_{0}}{2}}]$ 的一個完整週期 $x(t)$ ，亦即 $x(t)=g(t)rect({\frac {t}{T_{0}}})$ ， $X(f)$ 是 $x(t)$ 的傅立葉轉換，其中 $rect(t)$ 是矩形函數。 $a_{n}$ 是 $g(t)$ 的傅立葉級數。

則 $G(f)$

$$
={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})
$$

$$
=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}X({\frac {n}{T_{0}}})\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})
$$

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。