波前集

在數學分析中，特別是微局部分析中，一個分布 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 在奇異支集 ${\text{singsupp}}(f)$ 的基礎上進一步刻畫了 $f$ 的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集，一個分布的波前集不僅描述了這個分布的奇異點，並且同時描述了在每一點這個分布奇異的方向。「波前集」這個術語是由
拉爾斯・霍爾曼德爾在 1970 年左右引入的。實解析版本的波前集，定義在超函數上，稱為「奇異支集」或「奇異譜」，稍早由佐藤干夫引入。

## 定義

在歐式空間的一個區域 $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ 中，一個分布 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$ 在一個點 $x\in X$ 處的奇異纖維 $\Sigma _{x}(u)$ ，作為 $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 的一個子集， 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅立葉變換， $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 不屬於 $\Sigma _{x}(u)$ 若且唯若存在緊支集光滑函數 $\phi \in C_{0}^{\infty }(X)$ 以及 $\xi $ 的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變） $\Gamma $ 使得 $\phi (x)\neq 0$ ，並且在 $\Gamma $ 中有如下估計：對於任意正整數 $N$ ，存在正常數 $C_{N}$ 使得

　
: $|{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .$

（我們經常將這個估計寫為 $|{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })$ 。）

 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(u)$ 定義為

　
: ${\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.$

由下面波前集在坐標變化下的性質，可以定義光滑流形 $X$ 上的分布 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 為餘切叢去掉零截面 $T^{\ast }X\setminus 0$ 的一個錐子集。

如果 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 有 Schwarz 核 $K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)$ ，定義

　
: ${\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).$

對於擬微分算子 $A\in \Psi ^{m}(X)$ ， 可以驗證 ${\text{WF}}'(A)$ 包含於 $(T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)$ 的對角線 $\Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}$ 中。並且如果我們定義 ${\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0$ 如下： $(x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)$ 若且唯若在 $(x_{0},\xi _{0})$ 的一個錐鄰域中， $A$ 的象徵滿足估計

　
: $\sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })$

那麼我們有 $(x,\xi )\in {\text{WF}}(A)$ 若且唯若 $(x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)$ 。

### 等價定義

Hormander 最早的定義用到了擬微分算子在分布上的作用： ${\text{WF}}(u)$ 是所有滿足如下性質的點 $(x,\xi )$ 在 $T^{\ast }X\setminus 0$ 中的補集：
存在 $(x,\xi )$ 的錐鄰域 $\Gamma $ 使得對於任意的滿足 ${\text{WF}}(A)\subset \Gamma $ 的擬微分算子 $A\in \Psi ^{0}(X)$ ， 有 $Au\in C^{\infty }$ 。

另一個有用的等價定義用到 FBI 變換。

## 性質

（1） 如果記 $\pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X$ 為餘切叢上自然投影，則 $\pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)$ 。

（2） 對於擬微分算子 $A\in \Psi ^{m}$ ， ${\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)$ 。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分算子 $a(x,D)$ ， ${\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)$ 。

（3） 如果 $f:X\to Y$ 是一個光滑映射，記 $N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}$ 為 $f$ 的法叢。如果 $u\in {\mathcal {D}}'(Y)$ 滿足 ${\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset $ ，那麼我們可以「唯一的」定義 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)$ 。並且我們有 ${\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)$ 。 特別的，如果 $f$ 是一個微分同胚， ${\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)$ 。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。

（4）令 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 如果將 ${\text{WF}}'(B)$ 視作從 $T^{\ast }X$ 到 $T^{\ast }Y$ 的一個關係，並且記 ${\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})$ 。這裡 $0_{X}$ 和 $0_{Y}$ 分別是 $X$ 和 $Y$ 上餘切叢的零截面。則如果 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$ 滿足 ${\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset $ ，那麼我們可以「唯一的」定義 $Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)$ 。並且我們有 ${\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)$ 。

（5）如果 $A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 和 $B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)$ 滿足 ${\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset $ ，那麼我們可以「唯一的」定義複合算子 $B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)$ 。並且我們有

　
: ${\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))$

這裡最後一項是將波前集視為關係下的複合。

## 例子

###  $\delta $ 函數

### 振盪積分

### 余法分布

### 拉格朗日分布

## 應用

### 分布的運算

### 擬微分算子與微局部化

### 奇異性的傳播

## 推廣

以上所定義的波前集描述的是分布的關於 $C^{\infty }$ 正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集 ${\text{WF}}_{A}$ ，關於 Gevery 類 $G^{s}$ 的波前集，關於 Sobolev 空間 $H^{s}$ 的波前集等等。在使用 FBI 變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。

## 參考來源

* Lars Hörmander, _Fourier integral operators I_, Acta Math. **127** (1971), pp. 79-183.
* Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften **256** 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities