決定公理

在數學上，**決定公理**（**Axiom of determinacy**，常記做 **AD**）是一個在 1962 年由​​揚・米切爾斯基和​​雨果・斯坦豪斯所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為 ω 的二人​拓樸遊戲，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型​​L(R) 中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡・巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫・馬祖爾以及莫頓・戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後 Donald A. Martin 等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在 1988 年，約翰・斯蒂爾與​烏丁總結了一長串的研究，並證明說在類似 $\aleph _{0}$ 的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型​​L(R) 中成立」這點是對的。

## 具決定性的遊戲

決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：

考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間 $\omega ^{\omega }$ 的子集合 $A$ ，而其中兩個玩家 **1p** 與 **2p** 輪流選取自然數

　
: $n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...$

在經過無限步後，可得一序列 $(n_{i})_{i\in \omega }$ ，其中玩家 **1p** 獲勝當且僅當這序列是 $A$ 的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在 $A$ 是一個閉開集的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若 $A$ 是一個閉集，那這遊戲是決定的。在 1975 年，唐納德・A・馬丁證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數存在的狀況下，所有必勝策略是射影集的遊戲都是決定的，而決定公理在​​L(R) 中成立。

另外，決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間 $X$ 而言，巴拿赫－馬祖爾遊戲 $BM(X)$ 是決定的（也因此所有的實數集合都具有貝爾性質）。

## 決定公理與選擇公理的不相容性

在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合 $S_{1}$ 是 $\omega $ －遊戲 $G$ 中玩家一的所有策略，其大小與連續統相同；而類似地， $S_{2}$ 是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設 $SG$ 為 $G$ 中所有可能序列的集合，並假定 $A$ 是 $SG$ 中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集 $J$ 來給 $S_{1}$ 跟 $S_{2}$ 上指標，並藉此將 $A$ 給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合 $A$ 與 $B$ 開始。設 $\alpha \in J$ 是集合 $S_{1}$ 跟 $S_{2}$ 的指標，我們考慮玩家一的所有策略 $S_{1}={s1(\alpha )}$ 及玩家二的所有策略 $S_{2}={s2(\alpha )}$ 以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設 $t$ 是時間軸，其長度為 $\aleph _{0}$ 且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用 $A$ 上對 $\alpha $ 的超限遞歸來生成反例：

1. 首先，考慮玩家一的策略 $s1(\alpha )$ 。
2. 將這策略套用於 $\omega $ －遊戲上，（連同玩家一的策略 $s1(\alpha )$ 一起）可生成 $\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$ 這序列，而這序列不屬於 $A$ ，這是可能的，而這可能性是因為 $\{b(2),b(4),b(6)...\}$ 這些選項的數量與連續統相同，而這數量比 $J$ 的真初始部分 $\{\beta \in J|\beta <J\}$ 還要大所致。
3. 現在（若這序列還不在 $B$ 之內的話）將這序列加入 $B$ 之中以表示 $s1(\alpha )$ 失敗。（輸給 $\{b(2),b(4),b(6)...\}$ ）
4. 現在，考慮玩家二的策略 $s2(\alpha )$ 。
5. 將這策略套用於 $\omega $ －遊戲上，（連同玩家二的策略 $s2(\alpha )$ 一起）可生成 $\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$ 這序列，而這序列不屬於 $B$ ，這是可能的，而這可能性是因為 $\{a(1),a(3),a(5)...\}$ 這些選項的數量與連續統相同，而這數量比 $J$ 的真初始部分 $\{\beta \in J|\beta <J\}$ 還要大所致。
6. 現在（若這序列還不在 $A$ 之內的話）將這序列加入 $A$ 之中以表示 $s2(\alpha )$ 失敗。（輸給 $\{a(1),a(3),a(5)...\}$ ）
7. 利用對 $\alpha $ 的超限歸納法，對 $S_{1}$ 跟 $S_{2}$ 的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在 $A$ 或 $B$ 中的策略，將之任意分派給 $A$ 或 $B$ ，使得 $B$ 為 $A$ 的補集。

當這一切完成後，準備 $\omega $ －遊戲 $G$ ，而在這遊戲中，對於任何玩家一的策略 $s1$ ，存在一個 $\alpha \in J$ 使得 $s1=s1(\alpha )$ ，而 $A$ 的構造方式保證 $s1(\alpha )$ 失敗（輸給 $\{b(2),b(4),b(6)...\}$ ），因此 $s1$ 失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理不相容。

## 無窮邏輯與決定公理

在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯，其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式：

$$
\forall G\subseteq Seq(S):
$$

 $\forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G$ OR

$$
\exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G
$$

註： $Seq(S)$ 是 $S$ 的所有 $\omega $ －序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的量化詞序列。

## 大基數與決定公理

決定公理的相容性，與大基數相關公理的相容性息息相關。根據​烏丁的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛 - 弗蘭克爾集合論的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有​烏丁基數的策梅洛 - 弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。

此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個可測基數，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在​​L(R) 中成立，因此所有在​​L(R) 中的實數集合都是決定的之故。

## 參見

* ​實決定公理 (ADR)
* ​博雷爾決定性定理
* ​馬丁測度
* ​拓樸遊戲

## 參考資料

* Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, **10**: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
* Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, **54**: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71 .
* Woodin, W. Hugh. Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1988, **85** (18): 6587–6591. PMC 282022 . PMID 16593979. doi:10.1073/pnas.85.18.6587 .
* Martin, Donald A.; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society. Jan 1989, **2** (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.2307/1990913 .
* Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7.
* Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6.
* Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN978-0-8218-4813-5. （原始內容 (PDF) 存檔於 2014-11-12）.

## 延伸閱讀

* Philipp Rohde, _On Extensions of the Axiom of Determinacy_, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
* Telgársky, R.J. _Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Rocky Mountain J. Math. **17** (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
* "Large Cardinals and Determinacy" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy