正二十面體

**正二十面體**是一種正多面體，由 20 個正三角形組成。同時，它也是柏拉圖立體、三角面多面體以及康威多面體。正二十面體是所有五種凸正多面體面數最多的。

正二十面體有 20 個面、30 個邊和 12 個頂點，其對偶是正十二面體。它的頂點佈局為 3.3.3.3.3 或 35，在施萊夫利符號中可用 {3,5} 來表示。

## 與正十二面體的關係

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣 —— 當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔 66.4909%，後者僅佔 60.5461%。

## 外接球與內切球

若有一個邊長為 _a_ 的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為：

　
: $r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a$ A019881

則有內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：

　
: $r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a$ A179294

另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那它的半徑為：

　
: $r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a$ A019863

其中 _φ_ （也稱作 _τ_）為黃金比例。

## 體積與表面積

若用 _A_ 表示表面積、_V_ 表示體積，而 _a_ 是正二十面體的邊長，則有：

　
: $A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},$ A010527

　
: $V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.$ A102208

後者約為正四面體的 F=20 倍，因為 20 面體以外接球球心為中心可以切割出 20 個四面體，每個四面體的體積是底面積 √3a2/4 乘上高 ri 再乘三分之一。

正二十面體佔其外接球體的體積填充率是：

　
: $f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.$

## 直角坐標系

在直角坐標系中，一個邊長為二、幾何中心在原點的正二十面體的坐標分別為：

　
: (0, ±1, ±_φ_)

　
: (±1, ±_φ_, 0)

　
: (±_φ_, 0, ±1)

其中 _φ_ = 1 + √5/2 是黃金比例（或記為 _τ_）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成博羅梅安環，其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。
如果原始的二十面體的邊長為 1，那麼它的對偶 —— 正十二面體的邊長就是√5 − 1/2，正好是一個黃金比例。

12 條邊的一個正八面體可以被細分在黃金比例，使所得到的頂點可構成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。

### 球面坐標

正二十面體是一個 D5d 二面體對稱對稱的一個雙五角錐反角柱，且頂點可以定義在球面坐標繫上，其中兩個頂點在球的兩極，其餘在緯度 ±arctan (1/2) 的位置。可以發現剩餘的 10 頂點屬於反稜柱對稱，從一個定點，經度每 36° 做一次極軸與赤道鏡射，直到回到原始點。

### 與黃金分割的關係

若以正二十面體的中心為原點，各頂點的坐標分別為{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)}，在此 Φ = √5 − 1/2，即黃金分割數。因此，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

## 正交投影

正二十面體有 3 種特殊的正交投影，分別正對著一個面、一條棱、一個頂點。

## 其它事實

* 正二十面體有 43,380 種不同的展開圖。
* 若要將正二十面體的表面塗色而相鄰的面的顏色不同，則至少需要 3 種顏色。
* 內接與同一球的正二十面體和正十二面體，正二十面體所占球的體積（60.54%）要小於正十二面體所占的體積（66.49%）。

## 通過一系列等夾角線段構造正二十面體

以下構建正二十面體的方法避免了使用更基礎的方法時必要的在數體 $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ 中的複雜計算。 
正二十面體的存在性依賴於 $\mathbb {R} ^{3}$ 中 6 條等夾角線的存在性。事實上，我們很容易便可以發現，這樣一組等夾角線與歐幾里得空間中的球心在等夾角線所共的交點的球相交，得出的交點即是一個正二十面體的 12 個頂點。從相反方向考慮，假設這裡存在一個正二十面體，它的 6 對相對頂點的連線（對角線）就形成了那樣一個等夾角線系統。 
為了構建這樣一個等夾角線系統，我們開始於一個 6×6 方形矩陣。

　
: $A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).$

通過直接的計算，我們可以得出 _A_2=5_I_（在這裡 _I_ 是 6×6 單位矩陣）。這表明矩陣 _I_ 的特徵值是√5 和 -√5，並且它們的複雜性都是 3，因為 _A_ 是對稱的，並且它的跡是 0。 
矩陣 $\scriptstyle A+{\sqrt {5}}I$ 在商空間 $\mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 中引出了一個同構於 $\mathbb {R} ^{3}$ 的歐幾里得結構因為它的核 $\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 是三維的。在 $\mathbb {R} ^{6}$ 中，它的六條坐標軸線 $\mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}$ 在投影 $\pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)$ 下的圖像形成了這樣一個在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中由六條等夾角線組成的系統，它們都相交於一點，兩兩之間都夾著銳角 $\scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$ 。±_v_1，...，±_v_6 向 _A_ 的√5 - 特徵空間的正交投影形成了正二十面體的 12 個頂點。 
正二十面體另一個直接的構造用到了交錯群 _A_5 的群表示論方法，它直接利用了正二十面體的等距同構。

## 半正塗色和子對稱群

作為正多面體之一，正二十面體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想像將正二十面體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使其擁有不同的次級對稱性。正二十面體有三種不同的半正塗色方法，可以按照一個頂點引出的 5 個面的塗色來標記為 11213、11212、11111。正二十面體可以被描述為扭棱正四面體，具有手征性正四面體對稱性；它亦可以被描述成交錯截頂正八面體，有五角十二面體對稱性。這個具有五角十二面體對稱的正二十面體也被叫做偽二十面體是五角十二面體的對偶。

## 與其它幾何圖形的關係

正二十面體是正二十面體家族的一員：

作為扭棱正四面體和交錯截頂正八面體，正二十面體也是正四面體家族和正八面體家族的一員：

正二十面體在拓撲上與其它一系列的正三角形鑲嵌 {3,n} 和一系列的五階正鑲嵌 {n,5} 相關聯：

正二十面體和三個星形正多面體有著相同的頂點排布。其中與大十二面體還有相同的棱排布：

雖然由於正二十面體的二面角太大（約 138.189685°>120°），因此正二十面體不可能密鋪三維歐幾里得空間，但它可以密鋪適當的雙曲空間，稱為三階正二十面體堆砌，每條棱處有三個正二十面體相交，每個頂點處有 12 個正二十面體相交，因此頂點圖是正十二面體，施萊夫利符號 {3,5,3}，是四個三維雙曲空間中的正堆砌之一。

## 應用

由於正二十面體非常均勻，且有 20 個面，因此適合作成骰子。

### 在生物學中

某些病毒，如疱疹病毒科、諾羅病毒、腺病毒和噬菌體等，擁有正二十面體的衣殼。在有些細菌中還發現具有二十面體形狀的各種細菌的胞器，二十面體的殼包住酶和不穩定的中間產物，該殼由具 BMC 結構域的不同蛋白質構成。

1904 年，恩斯特・海克爾發表了一些放射蟲的種類，包括 Circogonia 二十面體（_Circogonia icosahedra_），其骨架的形狀像一個正二十面體。

## 參考文獻