正四面體

**正四面體**是由四個等邊三角形組成的正多面體，是一種錐體，有 4 個頂點、6 條邊和 4 個正三角形面。

將立方體的其中四個頂點兩兩相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 ${\sqrt {2}}$ ，其體積為立方體體積的 ${\frac {1}{3}}$ ，從這裡看，正四面體是半立方體。
正四面體是一個擁有無窮多個成員的多胞形家族 — 正單體家族的 3 維成員。正四面體是一種稜錐體，即它可以被描述成由一個多邊形底面和連結底面和一個共同頂點的三角形面組成，對於正四面體來說，這個底面是正三角形，並且它的側面也都是正三角形，應此正四面體是正三稜錐。 
正四面體是三維的正單體（3-simplex），這意味著四面體是三維中最簡單的多面體，頂點數、棱數、面數比它少的多面體都只能成為退化多面體，同時在更高維的超空間中，任意 4 個頂點一定共在同一三維空間中，這 4 個頂點若不存在四點共面、三點共線和兩點重合的情況，一定能構成一個四面體，並且只要 6 條棱的長度確定了，四面體就被唯一確定了（即四面體具有穩定性。這是單體面多胞形共有的一個基本特性），由此可知，一個四面體的 6 條棱長都相等，則其一定是一個正四面體。正四面體是柏拉圖立體中唯一一個所有頂點之間的距離都相等的，同時正四面體也是三維空間中使 4 個頂點每兩個頂點間距離相等的唯一方式。

## 性質

　
: 面的形狀：等邊三角形

　
: 頂點數目：4

　
: 邊數目：6

　
: 面數目：4

　
: 二面角角度： $\arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})\,$ ≈ 70.5288°

　
: 面棱夾角： $\arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})\,$ ≈ 54.7356°

　
: 中心 - 頂點連線之間夾角： $\arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})\,$ ≈ 109.4712°

　
: 面所對立體角： $\arccos \left({23 \over 27}\right)$ ≈ 0.55129 sr

　
: 對於棱長為 a 的正四面體：

　
: 底面積： $A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}\,$

　
: 高： $H={{\sqrt {6}} \over 3}a={\sqrt {2 \over 3}}\,a\,$

　
: 表面積： $S=4A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}$

　
: 體積： $V={1 \over 12}{\sqrt {2}}a^{3}$

　
: 外接球半徑： ${\frac {\sqrt {6}}{4}}a$

　
: 內切球半徑： ${\frac {\sqrt {6}}{12}}a$

　
: 中交球半徑： $r_{M}={\sqrt {rR}}={{\sqrt {2}}a \over 4}\,$

　
: 旁切球半徑： $r_{E}={{\sqrt {6}}a \over 6}\,$

　
: 旁切球到頂點距離： $d_{VE}={{\sqrt {6}} \over 2}a={\sqrt {3 \over 2}}\,a\,$

　
: 對偶多面體：正四面體

注意到相對於底面，面的斜率（2√2）是棱的斜率（√2）的兩倍，這意味著由於從底面沿棱到頂點的水平距離是沿側面中線到頂點水平距離的 2 倍，而這是由於從底面重心到底面頂點的距離是到底面邊距離的 2 倍，這由中心分中線為 2:1 或是 30° 直角三角形的三邊關係即刻可得出。

### 坐標系

如果我們以正四面體的中心作為原點建立三維直角坐標系的話，棱長 a=2 的正四面體的頂點坐標可以表示為： 

　
: $(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}})$

　
: $(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})$

另一種表示方法把正四面體看作是半立方體，它有立方體一半的頂點：（如果原正方體棱長為 1 的話，正四面體棱長為√2） 

(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) 
另外，被交錯捨棄掉的那四個頂點構成了與原來正四面體對偶的另一個正四面體： 

(-1,-1,-1), (-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1) 
它們一起構成了星形八面體。

### 正交投影

正四面體有 2 個特殊角度的正交投影，即一下列表中的兩個。第一個投影對應著正四面體的 A3 考克斯特平面。

### 具有其它對稱形式的正四面體

正四面體是所有四面體中對稱性最高的，而然它也可被看作是更低對稱性四面體的特殊形式，例如正四面體是特殊的複正方鍥形體，這種四面體擁有 4 個全等的等腰三角形（對於正四面體，這些等腰三角形的底和腰相等了，成為了等邊三角形），可以被描述為正四稜柱的交錯（對於正四面體，這個正四稜柱是正方形），一種能夠密鋪空間的四面體就是復正方鍥形體。另外還有復斜方鍥形體和二面體鍥形體，它們分別是長方體和任意四角六面體的交錯。

此外，由於正四面體具有高度的對稱性，它還是其它一些四面體的特例，例如：垂心四面體，因為其 3 組相對的邊互相垂直；等力四面體，因為其所有 4 條頂點到對面內心連線（一種塞瓦線）是共點的；等角四面體，因為其所有頂點到對面與內切球切點的連線是共點的。

## 等距同構下的對稱性

### 正四面體等距同構對稱轉換群

立方體的 8 個頂點可以交錯著被分成 2 組，每一組都能組成一個正四面體，這意味著正四面體擁有立方體一半的對稱性，即那些能將立方體內部的正四面體轉換到自身而不是對方的對稱性。而由於立方體的所有中心對稱都會將內接正四面體轉換到對方，因此正四面體是柏拉圖立體中唯一一個沒有中心對稱性的。 
正四面體有 24 個不同的等距同構的對稱轉換，形成了對稱群 **Td**，[3,3]，(\*332)，與對稱群 _S_4 同構。它可以用如下方式分類：

* **T**，[3,3]+，(332)，與交錯群 _A_4（包括單位元素和 11 個嚴格旋轉）同構，再加上下述共軛類。（在括號內給出的是頂點排列，或者說是相對應的面和單位四元數表示。）
  * 單位元素
  * 以頂點到對面垂線所在直線為旋轉軸的旋轉，旋轉角為 ±120°。共 4 根軸，每根軸對應 2 個旋轉，共 8 個 （頂點排列（1 2 3），例如乘以單位四元數（1 ± _i_ ± _j_ ± _k_）/2）。
  * 將邊旋轉到它對邊原來的位置的 180° 的旋轉：共 3 個（頂點排列（1 2，3 4)，例如乘以 _i_、_j_、_k_）。
* 關於垂直於邊的平面的鏡面對稱：6 個。
* 關於平面的鏡面對稱加上關於垂直於該平面的直線的 90° 旋轉的混合。三條軸，每條軸對應 2 個旋轉，共 6 個。另外，還有 90° 旋轉加上中心對稱轉換，旋轉軸對應著立方體的面對面旋轉軸。

### 正四面體的非正四面體子對稱轉換群

7 種非正四面體（無標記）的對稱性取決於它的幾何特徵。任何一種非正對稱轉換組都能組成一個三維點群，另外兩種對稱性（_C_3, [3]+）和 (_S_4, [2+,4+]) 要求面和棱標記是被允許的。

## 幾何關聯

正四面體是三維的單體，這個家族在所有維度的成員都是凸的多面體。它們都具有類似的幾何性質，比如它們 n 維元素都符合一個相同的規律（楊輝三角形），以及它們都是該維最簡單的多胞形（這也是單體英文「simplex」—「簡單的複雜」的來源）。

正四面體是一種特殊的正三稜錐，正四面體是自身對偶的。

正四面體可以以兩種中心對稱的方式內含於立方體，使得正四面體的頂點交錯著與立方體頂點重和，而正四面體的棱成為立方體 6 個面的對角線，對應坐標已在上部分給出。這意味著正四面體就是三維的半立方體。這兩個正四面體的任意一個都占據了立方體體積的 1/3。這樣得到的兩個正四面體是以互相對偶的方式部分重合的其頂點占據了立方體所有的頂點，它們一起組成了正複合多面體星形八面體，也叫做二複合正四面體，這星形八面體應此是立方體的第一個也是唯一一個小面化（Faceting），而星形八面體兩正四面體的交集是正八面體，應此它也是正八面體唯一的星形化（Stellation）。

從這裡我們還可以看出來，正八面體是正四面體從各邊中點處截下 4 個包括原頂點在內的線性大小為原正四面體一半的正四面體得到的結果。（這種操作叫「截半」，得到的正八面體是作為「截半四面體」出現的，只具有正四面體的對稱性）

從立方體得到正四面體的操作叫「交錯」，這種操作將正方體分成 5 個四面體，其中一個是正的，另外 4 個是有一個正方體立體角（即從一個頂點發出的 3 條棱互相正交）的直角四面體。

事實上，我們至少需要 5 個四面體來堆積一個正方體。

利用內接於五複合立方體中立方體的正四面體，我們還可以構造出另外兩個基於正四面體的正複合多面體 — 五複合正四面體（每個立方體只利用一個）和十複合正四面體（每個立方體利用兩個）。考慮到五複合立方體中立方體都是內接與正十二面體的，這兩種複合多面體中的正四面體實際上是正十二面體內接的正四面體。事實上，正十二面體的對偶 —— 正二十面體可以被看作是半正的扭棱正四面體，擁有正四面體部分對稱性。 
正四面體是不能獨立密鋪三維歐氏空間的，儘管它看上去可能以至於亞里斯多德聲稱它的確是可能的。但是，我們可以將一個正四面體面對面粘到正八面體上得到一個能獨立密鋪空間的菱面體，或者我們可以直接利用正四面體和正八面體兩種多面體去完成一個半正堆砌，即正四面體 — 正八面體堆砌。但是，一些非正的四面體卻可以勝任，比如複鍥形體堆砌，完整的列表還有待研究。如果我們不要求參與堆砌的正四面體都是全等的話，可能性會更豐富一些。比如說。我們可以將正八面體沿一條對角線劈開分成 4 個全等的鍥形體，然後再拿兩個正的與它們堆砌。（事實上這樣做後鍥形體與正四面體體積相等）。 
正四面體是柏拉圖立體中唯一一個不存在互相平行的面的。

### 相關多面體

正四面體是特殊的稜錐，所以它與其它稜錐相關聯：

 

正四面體屬於正四面體家族（該家族都具有相同的或更高的對稱性）。這些與正四面體相關的半正多面體都是通過 3 種不同的截形操作（截頂、截棱、截半）和交錯，及其組合構造出來的，其中截半正四面體（正八面體）和全截正四面體（截頂正八面體）擁有更高的正八面體對稱性，而扭棱正四面體（正二十面體）擁有更高的正二十面體對稱性。正四面體的二次截半將其面截成了頂點，使其成為與原來對偶的正四面體。

正四面體在拓撲上關聯與一組一直延伸到雙曲鑲嵌的正三角形鑲嵌 {3,n}。

正四面體在拓撲上關聯與一組一直延伸到雙曲鑲嵌的三階正鑲嵌 {3,n}。

**與正四面體有關的複合正多面體**

* * *

 

其中五複合四面體是個有手征性的複合多面體（在摺紙藝術中，該複合多面體經常出現）。五複合和十複合四面體都是內接於正十二面體的。

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，正四面體 （參閱柏拉圖立體） 於 MathWorld（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Monge point. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Euler points. MathWorld.
* 正四面體紙製模型 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o3o - tet. bendwavy.org.
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Editable printable net of a tetrahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Tetrahedron: Interactive Polyhedron Model
* Free paper models of a tetrahedron and many other polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） that also includes a description of a "rotating ring of tetrahedra", also known as a kaleidocycle.
* Tetrahedron Core Network （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Application of a tetrahedral structure to create resilient partial-mesh data network
* Explicit exact formulas for the inertia tensor of an arbitrary tetrahedron in terms of its vertex coordinates
* Hart, Vi. ViHart rolls a Tetrahedral Dice Yahtzee. Numberphile. Brady Haran. [2013-08-16]. （原始內容存檔於 2013-05-31）.