椭圆积分

在積分學中，**橢圓積分**最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。朱利奧・法尼亞諾和歐拉是最早的研究者。現代數學將**橢圓積分**定義為可以表達為如下形式的任何函數 $f\,$ 的積分

　
: $f(x)=\int _{c}^{x}R[t,{\sqrt[{}]{P(t)}}]\ dt\,\!$

其中 $R\,$ 是其兩個參數的有理函數， $P\,$ 是一個無重根的 $3\,$ 或 $4\,$ 階多項式，而 $c\,$ 是一個常數。

通常，橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在 $P\,$ 有重根的時候，或者是 $R\,$ , $\left(x,y\right)\,$ 沒有 $y\,$ 的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和 Carlson 對稱形式。通過對施瓦茨 - 克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的，特別是這一個： $F[{\textrm {sn}}\left(z;k\right);k]=z\,$ 其中 ${\textrm {sn}}\,$ 是雅可比正弦橢圓函數。

## 記法

橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變量的命名常規：

 * $\alpha $ **模角**;
* $k=\sin \alpha $ **橢圓模**;
* $m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha $ **參數**;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量，可以有如下幾種不同的設定方法：

 * $\phi \,\!$ **幅度**
* $x\,$ 其中 $x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u\,\!$
* $u\,$ ，其中 $x={\textrm {sn}}\;u\,$ 而 ${\textrm {sn}}\,$ 是雅可比橢圓函數之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意 $u\,$ 也依賴於 $m\,$ 。其它包含 $u\,$ 的關係有

　
: $\cos \phi ={\textrm {cn}}\;u\,\!$

和

　
: ${\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u.\,\!$

後者有時稱為 **δ 幅度**並寫作 $\Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u\,\!$ 。有時文獻也稱之為補參數，補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義。

## 第一類不完全橢圓積分

**第一類不完全橢圓積分** $F\,$ 定義為

　
: $F(\phi \setminus \alpha )=F(\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.\,\!$

與此等價，用雅可比的形式，可以設 $x=\sin \phi ~,~t=\sin \theta \;\!$ ；則

　
: $F(\phi \setminus \alpha )=F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,\!$

其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數；而且，當反斜槓出現的時候，跟著出現的是模角。
在這個意義下， $F(\sin \phi ;\sin \alpha )=F(\phi |\sin ^{2}\alpha )=F(\phi \setminus \alpha )~\,\!$ ，這裡的記法來自標準參考書 Abramowitz and Stegun。

但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有（像平方根，正弦和誤差函數那樣的）標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein, Ryzhik [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, $Eq\,$ .(8.111)] 採用 $F(\phi ,k)\,\!$ 。該記法和這裡的 $F(\phi |k^{2})~\,\!$ ；以及下面的 $E(\phi ,k)=E(\phi |k^{2})~\,\!$ 等價。

和上面的不同對應的是，如果從 Mathematica 語言翻譯代碼到 Maple 語言，必須將 EllipticK 函數的參數用它的平方根代替。反過來，如果從 Maple 翻到 Mathematica，則參數應該用它的平方代替。Maple 中的 EllipticK ( $x$ ) 幾乎和 Mathematica 中的 EllipticK [ $x^{2}$ ] 相等；至少當 $0<x<1\,$ 時是相等的。

注意

　
: $F(x;k)=u\,\!$

其中 $u\,$ 如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。

### 加法公式

　
: $F(x_{1};k)+F(x_{2};k)=F\left(\arcsin {\frac {\cos x_{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{2}}}\sin x_{1}+\cos x_{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}}}\sin x_{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}\sin ^{2}x_{2}}};k\right)\,\!$

### 性質

　
: $F(x+n\pi ;k)=F(x;k)+2nK(k)\,\!$

　
: $F(x+{\frac {n\pi }{2}};k)=nK(k)\,\!$

　
: $n\in \mathbb {Z} \,\!$

　
: $F(-x;k)=-F(x;k)\,\!$

　
: $F(x;0)=0\,\!$

　
: $F(0;k)=-F(x;k)\,\!$

　
: $F(x;1)={\rm {arctanh}}\sin x\,\!$

　
: $-{\frac {\pi }{2}}<\Re (x)<{\frac {\pi }{2}}\,\!$

### 第一類不完全橢圓積分的導數

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F(x;k)={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}}\,\!$

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}F(x;k)={\frac {E(x;k)}{2k(1-k)}}-{\frac {F(x;k)}{2k}}-{\frac {\sin 2x}{4(1-k){\sqrt {1-k\sin ^{2}x}}}}\,\!$

## 第二類不完全橢圓積分

**第二類不完全橢圓積分** $E\!$ 是

　
: $E(\phi \setminus \alpha )=E(\phi |m)=\int _{0}^{\phi }\!E'(\theta )\ {\rm {d}}\theta =\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\ {\rm {d}}\theta .\,\!$

與此等價，採用另外一個記法（作變量替換 $t=\sin \theta \,\!$ ），

　
: $E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\,\!$

其它關係包括

　
: $E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;{\rm {d}}w=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;{\rm {d}}w=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;{\rm {d}}w.\,\!$

　
: $E(\phi |k^{2})=(1-k^{2})\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{(1-k^{2}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}+{\frac {k^{2}\sin \theta \cos \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\!$

### 加法公式

　
: $E(x_{1};k)+E(x_{2};k)=E\left(\arcsin {\frac {\cos x_{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{2}}}\sin x_{1}+\cos x_{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}}}\sin x_{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}\sin ^{2}x_{2}}};k\right)\,\!$

　
: $+{\frac {k^{2}\sin ^{2}x_{1}\sin x_{2}\cos x_{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{2}}}+k^{2}\sin x_{1}\sin ^{2}x_{2}\cos x_{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}x_{1}\sin ^{2}x_{2}}}\,\!$

### 性質

　
: $E(\phi +n\pi ;k)=E(\phi ;k)+2nE(k)\,\!$

　
: $E(-\phi ;k)=-E(\phi ;k)\,\!$

### 第二類不完全橢圓積分的導數

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}E(\phi ;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\,\!$

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}E(\phi ;k)={\frac {E(\phi ;k)-F(\phi ;k)}{2k}}\,\!$

　
: ${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}k^{n}}}E(\phi ;k)={\frac {\pi }{2k^{n}}}{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1-n;k\right)-{\frac {{\sqrt {\pi }}\cos \phi }{2k^{2n}}}F_{2\times 1\times 0}^{1\times 3\times 2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}};-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1;{\frac {1}{2}},1;\\1,{\frac {3}{2}};1-n;;\\-k^{2}\cos \phi ,\cos ^{2}\phi \end{bmatrix}}+{\frac {\pi m^{1-n}\cos \phi }{8}}F_{3\times 1\times 1}^{2\times 1\times 1}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},2;{\frac {1}{2}},1;\\2,2-n;1-n;{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-k^{2}\cos ^{2}\phi ,k^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

## 第三類不完全橢圓積分

**第三類不完全橢圓積分** $\Pi \,\!$ 是

　
: $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-(\sin \theta \sin o\!\varepsilon )^{2}}}}},\,\!$

或者

　
: $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\sin \phi }{\frac {{\rm {d}}t}{(1-nt^{2}){\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}},\,\!$

或者

　
: $\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{F(\phi |m)}{\frac {{\rm {d}}w}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}.\;\,\!$

數字 $n\,$ 稱為**特徵數**，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意 $\Pi (1;{\frac {\pi }{2}}|m)\,\!$ 對於任意 $m\,\!$ 是無窮的。

### 加法公式

　
: $\Pi (n;\phi _{1},k)+\Pi (n;\phi _{2},k)=\Pi \left[n;\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin \phi _{2}}},k\right]-{\sqrt {\frac {n}{(1-n)(n-k^{2})}}}\arctan {\frac {{\sqrt {(1-n)n(n-k^{2})}}\sin \arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin \phi _{2}}}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}}{{\frac {n\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-n\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin \phi _{2}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin \phi _{2}}}}}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+1-n\sin ^{2}\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin \phi _{2}}}}}$

### 第三類不完全橢圓積分的導數

　
: ${\frac {\partial }{\partial n}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left[E(\phi ;k)+{\frac {(k^{2}-n)F(\phi ;k)}{n}}+{\frac {(n^{2}-k^{2})\Pi (n;\phi ,k)}{n}}-{\frac {n{\sqrt {1-k^{2}\sin \phi }}\sin 2\phi }{2(1-n\sin ^{2}\phi )}}\right]$

　
: ${\frac {{\partial }^{m}}{\partial n^{m}}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {\sin \phi }{n^{m}}}\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {q!(n\sin ^{2}\phi )^{q}}{(2q+1)\Gamma (q-m+1)}}F_{1}\left(q+{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};q+{\frac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi \right)$

　
: ${\frac {\partial }{\partial \phi }}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {1}{(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}\!$

　
: ${\frac {\partial }{\partial k}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {k}{n-k^{2}}}\left[{\frac {E(\phi ;k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n;\phi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\phi }{2(k^{2}-1){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\right]\!$

### 特殊值

　
: $\Pi (n;\phi ,1)={\frac {1}{2n-2}}\left[{\sqrt {n}}\ln {\frac {1+{\sqrt {n}}\sin \phi }{1-{\sqrt {n}}\sin \phi }}-2\ln(\sec \phi +\tan \phi )\right]\!$

　
: $-{\frac {\pi }{2}}\leq \Re (\phi )\leq {\frac {\pi }{2}}\!$

　
: $\Pi (0;\phi ,k)=F(\phi ,k)\!$

　
: $\Pi (n;\phi ,0)={\frac {{\rm {arctanh}}({\sqrt {n-1}}\tan \phi )}{\sqrt {n-1}}}\!$

　
: $-{\frac {\pi }{2}}\leq \Re (\phi )\leq {\frac {\pi }{2}}\!$

　
: $\Pi (n;\phi ,{\sqrt {n}})={\frac {1}{1-n}}\left[E(\phi ,{\sqrt {n}})-{\frac {n\sin 2\phi }{2{\sqrt {1-n\sin ^{2}\phi }}}}\right]\!$

　
: $\Pi \left(n;{\frac {1}{k}},k\right)={\frac {1}{k}}\Pi \left({\frac {n}{k^{2}}},{\frac {1}{k}}\right)\!$

　
: $\Pi \left(1;\phi ,k\right)={\frac {{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\tan \phi -E(\phi ,k)}{1-k^{2}}}+F(\phi ,k)\!$

## 第一類完全橢圓積分

如果幅度為 ${\frac {\pi }{2}}\,$ 或者 $x=1\,$ ，則稱橢圓積分為_完全_的。**第一類完全橢圓積分** $K\,$ 可以定義為

　
: $K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {{\rm {d}}\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

或者

　
: $K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.\!$

它是第一類不完全橢圓積分的特例：

　
: $K(k)=F(1;\,k)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)\!$

這個特例可以表達為冪級數

　
: $K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\!$

它等價於

　
: $K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\}.\!$

其中 $n!!\,$ 表示雙階乘。利用高斯的超幾何函數，第一類完全橢圓積分可以表達為

　
: $K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right).\,\!$

第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

　
: $K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.$

### 複數值

　
: $\Re \left[K(x+y{\rm {i}})\right]={\frac {\pi }{2}}F_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}+{\frac {\pi }{8}}xF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {3}{4}},;;;\\1,{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

　
: $\Im \left[K(x+y{\rm {i}})\right]={\frac {\pi }{8}}yF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}+{\frac {9}{64}}\pi xyF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {5}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\2,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

 

### 特殊值

　
: $K(\pm \infty )=0\,$

　
: $K(\pm {\rm {i}}\infty )=0\,$

　
: $K(0)={\frac {\pi }{2}}\!$

　
: $K(1)=\infty \!$

　
: $K({\frac {\sqrt {2}}{2}})={\frac {8\pi }{\Gamma ^{2}\left(-{\frac {1}{4}}\right)}}{\sqrt {\pi }}\,$

　
: $K\left({\sqrt {17-12{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {(4+2{\sqrt {2}})\pi }{\Gamma ^{2}\left(-{\frac {1}{4}}\right)}}{\sqrt {\pi }}\,$

　
: $K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{4}]{3}}}{8\pi }}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\,$

　
: $K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{4}]{27}}}{8\pi }}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\,$

　
: $K(i)={\frac {\sqrt {2\pi }}{8\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)\,$

　
: $K({\sqrt {2}})={\frac {4{\sqrt {2\pi }}\pi }{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}+{\frac {4{\sqrt {2\pi }}\pi }{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}{\rm {i}}\,$

　
: $K({\rm {i}}k)={\frac {1}{\sqrt {k^{2}+1}}}K\left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}\right)\,$

其中

　
: $\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\approx 3.62561\,$

　
: $\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 2.67893\,$

第一類完全橢圓積分滿足

　
: $E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)={\frac {\pi }{2}}\,$

### 導數

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}K^{n}(k)={\frac {nK^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}}-{\frac {nK^{n}(k)}{2k}}$

### 漸近表示

　
: $K(k^{2})\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}$

這個近似在 k<1/2 時相對誤差小於 3×10−4，若只保留前兩項則誤差在 k<1/2 時小於 0.01

### 微分方程

此函數滿足以下微分方程

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)$

此微分方程之另一解為 $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ ，此解滿足以下關係。

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K({\sqrt {1-k^{2}}})={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}}$ .

## 第二類完全橢圓積分

**第二類完全橢圓積分** $E\,$ 可以定義為

　
: $E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!$

或者

　
: $E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!$

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：

　
: $E(k)=E(1;\,k)=E({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2})\!$

它可以用冪級數表達

　
: $E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}\!$

也就是

　
: $E(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.\!$

用高斯超幾何函數表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作

　
: $E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right).\,\!$

有如下性質

　
: $E({\frac {n\pi }{2}};k)=nE(k)\,\!$

　
: $n\in \mathbb {Z} \,\!$

 

### 複數值

　
: $E(x+y{\rm {i}})=\left\{{\frac {\pi }{2}}F_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},;-;-;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}-{\frac {\pi }{8}}xF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},;-;-;\\1,{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\right\}+{\rm {i}}\left\{-{\frac {\pi }{8}}yF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},;-;-;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}-{\frac {3}{64}}\pi xyF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {5}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},;-;-;\\2,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\right\}\,\!$

### 特殊值

　
: $E(0)={\frac {\pi }{2}}\!$

　
: $E(1)=1\!$

　
: $E(\infty )={\rm {i}}\infty \,$

　
: $E(-\infty )=\infty \,$

　
: $E({\rm {i}}\infty )=({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\rm {i}})\infty \,$

　
: $E({\rm {i}})={\frac {\sqrt {2\pi }}{2\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)+{\frac {{\sqrt {2\pi }}{\pi }^{2}}{4\pi \Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {\pi {\sqrt {2\pi }}}{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}+{\frac {\sqrt {2\pi }}{8\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)\,$

　
: $E(-{\rm {i}}\infty )=({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\rm {i}})\infty \,$

　
: $E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{-2}+{\tfrac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}$

　
: $E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\cdot \ {\sqrt[{4}]{3}}}{3\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)}}{\pi }^{2}+{\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\left(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}\right)}{48{\pi }}}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\!$

　
: $E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\cdot \ {\sqrt[{4}]{27}}}{3\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)}}{\pi }^{2}+{\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\left({\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}}\right)}{16{\pi }}}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\!$

　
: $E({\sqrt {2}}-1)={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{8}})}{\Gamma ({\frac {5}{8}})}}+{\frac {\Gamma ({\frac {5}{8}})}{\Gamma ({\frac {9}{8}})}}\right]\!$

　
: $E({\sqrt {2}})={\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)+{\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right){\rm {i}}$

 
其中

　
: $\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\approx 7.53394\,$

　
: $\Gamma \left({\frac {5}{8}}\right)\approx 1.43452\,$

　
: $\Gamma \left({\frac {9}{8}}\right)\approx 0.94174\,$

　
: $\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\approx 1.22541\,$

### 導數、積分及微分方程

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$

　
: $\int E(k){\rm {d}}k={\frac {2}{3}}\left[kK(k)-K(k)+kE(k)+E(k)\right]$

　
: $(k^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kE(k)$

此微分方程之另解為 $E({\sqrt {1-k^{2}}})-K({\sqrt {1-k^{2}}})$ 。

## 第三類完全橢圓積分

**第三類完全橢圓積分** $\Pi \,$ 可以定義為

　
: $\Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\ {\rm {d}}\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的 $n\,$ ，也即

　
: $\Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\ {\rm {d}}\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$

用阿佩爾函數可表示為

　
: $\Pi (m,n)={\frac {\pi }{2}}F_{1}\left({\frac {1}{2}};1,{\frac {1}{2}};1;m,n\right)\,$

第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係

　
: $\Pi \left[{\frac {(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)}},{\frac {(1+x)^{3}(1-3x)}{(1-x)^{3}(1+3x)}}\right]-{\frac {1+3x}{6x}}K\left[{\frac {(1+x)^{3}(1-3x)}{(1-x)^{3}(1+3x)}}\right]=\,$

$$
{\begin{cases}0&{\mbox{for }}0<x<1\!\,\\-{\frac {\pi (x-1){\sqrt {(x-1)(1+3x)}}}{12x}}&{\mbox{for }}x<0,x>1\!\,\\\end{cases}}
$$

如

$$
K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{4\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {3-{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}}{2}}\Pi \left({\frac {1-{\sqrt {2{\sqrt {3}}-3}}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\,
$$

　
: $={\frac {3+{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}}{2}}\Pi \left({\frac {1+{\sqrt {2{\sqrt {3}}-3}}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)-\pi {\sqrt {2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {7+{\frac {38}{9}}{\sqrt {3}}}}}}\,$

### 偏導數

　
: ${\frac {\partial }{\partial n}}\Pi (n,k)={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left[E(k)+{\frac {(k^{2}-n)K(k)}{n}}+{\frac {(n^{2}-k^{2})\Pi (n,k)}{n}}\right]$

　
: ${\frac {\partial }{\partial k}}\Pi (n,k)={\frac {k}{n-k^{2}}}\left[{\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right]$

### 特殊值

　
: $\Pi (0,0)={\frac {\pi }{2}}\,$

　
: $\Pi (n,0)={\frac {\pi }{2{\sqrt {1-n}}}}\,$

　
: $\Pi (n,1)=-{\frac {\infty }{\operatorname {sgn} {n-1}}}\,$

　
: $\Pi (n,{\sqrt {n}})={\frac {E(n)}{1-n}}\,$

　
: $\Pi (0,{\sqrt {n}})=K(n)\,$

　
: $\Pi (\pm \infty ,{\sqrt {n}})=0\,$

　
: $\Pi (n,\pm \infty )=0\,$

## 函數關係

勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯繫:

　
: $K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$

## 參看

* 橢圓曲線
* 施瓦茨 - 克里斯托費爾映射
* 雅可比橢圓函數
* 魏爾斯特拉斯橢圓函數
* Θ 函數
* 算術 - 幾何平均數

## 參考

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, _Handbook of Mathematical Functions_, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. _(See chapter 17)_.
* Harris Hancock _Lectures on the theory of Elliptic functions_ (New York, J. Wiley & sons, 1910)
* Alfred George Greenhill _The applications of elliptic functions_ (New York, Macmillan, 1892)
* Louis V. King _On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals_ (Cambridge University Press, 1924)