歐拉-拉格朗日方程式

**歐拉 - 拉格朗日方程式**（英語：Euler-Lagrange equation）為變分法中的一條重要方程式。它是一個二階偏微分方程式。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 $\mathbb {R} ^{n}$ 。

該方程式由瑞士數學家萊昂哈德・歐拉與義大利數學家約瑟夫・拉格朗日在 1750 年代提出。

## 第一方程式

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，以及 $f_{y},\ f_{z}$ 在 $[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$ 中連續，並設泛函

　
: $J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$ 。

若 $y\in C^{1}[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)$ 取得局部平穩值，則對於所有的 $x\in (a,\ b)$ ，

　
: ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')$ 。

推廣到多維的情況，記

　
: ${\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))$ ，

　
: ${\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$ ，

　
: $f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$ 。

若 ${\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}$ 使得泛函 $J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx$ 取得局部平穩值，則在區間 $(a,\ b)$ 內對於所有的 $i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n$ ，皆有

　
: ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')$ 。

## 第二方程式

設 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_{y},\ f_{z}$ 在 $[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$ 中連續，若 $y\in C^{1}[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$ 取得局部平穩值，則存在一常數 $C$ ，使得

　
: $f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C$ 。

## 例子

### 例一：兩點之間最短曲線

設 $(0,\ 0)$ 及 $(a,\ b)$ 為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設 $(x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])$ ，並且

　
: $(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

這裏， $(x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]$ 為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

　
: $L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt$ 。

現設

　
: ${\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))$ ，

　
: $f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}$ ，

取偏微分，則

　
: $f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$ ，

　
: $f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$ ，

　
: $f_{x}=f_{y}=0$ 。

若 $y$ 使得 $L(y)$ 取得局部平穩值，則 $y$ 符合第一方程式：

　
: ${\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0$ ，

　
: ${\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0$ 。

因此，

　
: ${\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$ ，

　
: ${\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$ 。

隨 $t$ 積分，

　
: ${\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}$ ，

　
: ${\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}$ ；

這裏， $C_{0},\ C_{1}$ 為常數。重新編排，

　
: $x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r$ ，

　
: $y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s$ 。

再積分，

　
: $x(t)=rt+r'$ ，

　
: $y(t)=st+s'$ 。

代入初始條件

　
: $(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$ ，

　
: $(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$ ；

即可解得 $(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$ ，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得 $L(y)$ 取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

### 例二：兩點之間最短曲線的另一種求解

另一個例子同樣是求定義在區間 [_a_, _b_] 上的實值函數 _y_ 滿足 _y_(_a_) = _c_ 與 _y_(_b_) = _d_，並且沿著 _y_ 所定義的曲線的道路長度最短。

　
: $s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,$

被積函數為

　
: $L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}$

_L_ 的偏導數為

　
: ${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

以及

　
: ${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

把上面兩式代入歐拉 - 拉格朗日方程式，可以得到

　
: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

也就是說，該函數的一階導數必須為常值，因此其圖像為直線。

## 參閱

* 拉格朗日方程式
* 變分法
* 作用量
* 哈密頓原理

## 參考書籍

* Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.