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正值

**自然數**（natural numbers）按 ISO 80000-2 和 ISO 2382 定義，指**非負整數** $(0,1,2,3,4,\ldots )$ ；此定義相同於集合論和計算機科學領域中，認為 0 屬於自然數。但在數論領域中，認為 0 不屬於自然數，因而按數論描述，自然數會同義於正整數。為免歧義，可直接以術語「非負整數」代替自然數稱之。

數學中，一般以 $\mathbb {N} $ 代表以自然數組成的集合。自然數集是一個可數的，無上界的無窮集合。非零自然數即指正整數 $(1,2,3,4,\ldots )$ 。

自然數可用於計數（如：桌子上有「三」個蘋果）和定序（如：國內「第三」大城市）。

## 符號

數學家們使用 $N$ 或 $\mathbb {N} $ 來表示所有自然數的集合。較早的教科書也有使用 $J$ 來表示這一集合的情況。

為了消除是否包含 0 的歧義，有時通過上、下標的形式表示集合中是否包含 0：

* 自然數： $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\{0,1,2,\dots \}$
* 非零自然數： $\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\dots \}$

## 定義

### 基於序數理論

基於序數理論提出的皮亞諾公理可以得到自然數的許多特性，這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

1. 0 是自然數；
2. 每一個確定的自然數 _a_，都有一個確定的後繼數 _a'_ ，_a'_ 也是自然數；
3. 對於每個自然數 _b_、_c_，_b_=_c_ 若且唯若 _b_ 的後繼數 =_c_ 的後繼數；
4. 0 不是任何自然數的後繼數；
5. 任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數 0 是真的，且假定它對自然數 _a_ 為真時，可以證明對 _a'_ 也真。那麼，命題對所有自然數都真。

其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0 的後繼數是 1，1 的後繼數是 2 等等；公理 5 保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。

### 基於基數理論

在基數理論中，集合論的一般做法是將 0 定義為空集後，將任一非零自然數看作是所有比該數小的自然數組成的集合，即

　
: $0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots $

通過無窮公理，可以得到存在一個只包含全體自然數的自然數集 $\mathbb {N} $ 。

另外，在此定義下，在集合 $n$ 內就有 $n$ 個元素；而若 $n$ 小於 $m$ ，則 $n$ 會是 $m$ 的子集。

## 性質

### 無限性

自然數的集合是無限集。根據定義，這種無限稱為可數無限。可以與自然數建立雙射關係的所有集合都具有這種無限性，稱作，這個集合的勢為 $\aleph _{0}$ 。

### 可加性

自然數加法可經 $a+0=a$ 及 $a+(b+1)=(a+b)+1$ 遞歸定義而成。因而得出交換么半群 $(N,+)$ ，是由 $1$ 生出的自由么半群，其中么元為 $0$ 。此么半群服從消去律，可嵌入一群內：最小的是整數群。

### 可乘性

同理，自然數乘法 $\times $ 可經 $a\times 0=0$ 及 $a\times (b+1)=ab+a$ 得出。

### 加乘關係

而 $(N,\times )$ 亦是交換么半群； $\times $ 和 $+$ 符合分配律：

　
: $a\times (b+c)=ab+ac$ 。

### 有序性

我們說 $a\leq b$ 若且唯若有自然數 $c$ 使得 $a+c=b$ 。 $(N,\leq )$ 是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。

此序也和加法及乘法兼容，即若 $a$ ， $b$ 和 $c$ 都是自然數且 $a\leq b$ ，則 $a+c\leq b+c$ 及 $ac\leq bc$ 。

### 可除性

給定兩個自然數 $a$ 和 $b$ ，其中 $b\neq 0$ ，可找到唯一的兩個自然數 $q$ 及 $r$ 使得

　
: $a=bq+r,\ 0\leq r<q$

 $q$ 稱為「商數」而 $r$ 稱為「餘數」。 若 $r=0$ ，則稱 $a$ 可被 $b$ 整除，記為 $b|a$ 。

相關概念有輾轉相除、質數及其它數論概念。

## 歷史與 0 的爭議

自然數由數數而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯主義更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻，尤其以印度對 0 的接受，為人稱道。

零早於公元前 400 年被巴比倫人用作數碼使用。瑪雅人於公元 200 年將零視為數字，但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者婆羅摩笈多於公元 628 年提出，經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人一開始仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個「自然」數。

19 世紀末，集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義，把零（對應於空集）包括於自然數內更為方便。邏輯論者及計算機科學家，接受集合論者的定義。而其他一些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之於自然數之外。

在全球範圍內，目前針對 0 是否屬於自然數的爭論依舊存在。

在中國大陸，2000 年左右之前的中小學教材一般不將 0 列入自然數之內，或稱其屬於「擴大的自然數列」。在 2000 年左右之後的新版中小學教材中，普遍將 0 列入自然數。

認為自然數不包含零的其中一個理由是自然數所指為自然界中存在的數，例如一棵大樹、兩條魚、十億個細胞等等，而鮮少有人說零個物品。

國際標準 ISO 31-11:1992《量和單位 第十一部分：物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》（已被 ISO/IEC 80000-2 取代）中，從集合論角度規定：符號 $\mathbb {N} $ 所表示的自然數集是包括正整數和 0。

中國大陸於 1993 年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》(GB 3102.11-93) 參照國際標準 ISO 31-11 規定： $\mathbb {N} $ 表示「非負整數集；自然數集」， $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ 。但自 2017 年 3 月 23 日起，該標準轉化為推薦性標準，不再強制執行。

## 推廣

自然數用於計數時稱之為基數，用於定序時稱之為序數。基數用於判定集合的大小，序數用作排列。

對於有限序列或有限集合，序數及基數皆與自然數同。

## 參考來源
正像

**正像**是光學中的直式圖像。當兩條光線在特定點互相交會時，將形成正像。它是一個方向與物件相同的影像，不同於相反的倒影圖像。

有些望遠鏡和其它的設備，如相機的暗箱，在觀察的表面上呈現一個倒置的影像。像鏡子和複合稜鏡元素等各種方法用於實現正像。常見的正像例子是標準平面鏡中的人物圖像。
正價差

**期貨升水**，簡稱**升水**（英語：contango 或 forwardation），又稱**正價差**，是指一種商品的期貨價格比合同到期日預期現貨價格更高的情況。與之相反的稱為期貨貼水或「逆價差」（backwardation）。

## 描述

對於不會腐爛的商品（例如黃金），正價差屬於正常（normal）。在升水情況下，交易者願意現在支付比未來預期現貨價格更高的費用，以在將來收到某種商品。這種情況可能是由於交易者希望支付更高的價格以在將來的時點購買該商品，而不是支付今天購買該商品所導致的的存儲和攜帶成本。另一方面，套期保值者（商品生產者和商品持有者）樂於出售期貨合約並接受高於預期的收益。 升水市場也稱為正常市場或持有成本市場。

對於易腐爛的商品（例如食物），不同時期交付的商品的價差不屬於升水或貼水，因為它們被視作不同的商品。例如，6 月及 9 月交付的牛奶是兩款不同的商品，因為把牛奶存放 3 個月，它便會過期。由於易腐爛商品的效用值具有時間性，不同交付日期的同一商品都是不同的商品。

## 參考文獻
正元

**正元**是幾個年號的稱呼：

* 正元 (曹魏)（254 年～256 年），三國時代魏國的年號。
* 正元 (日本)（1259 年），日本的年號。
正元_(后深草天皇)

**正元**（1259 年三月二十六日至 1260 年四月十三日）是日本的年號之一。這個時代的天皇是後深草天皇與龜山天皇，由後嵯峨上皇實施院政。鎌倉幕府征夷大將軍為宗尊親王、執權為北條長時。

## 改元

* 正嘉三年三月二十六日（1259 年 4 月 20 日）改元正元
* 正元二年四月十三日（1260 年 5 月 24 日）改元文應

## 出處

* 《毛詩緯》

## 出生

## 逝世

## 大事記

## 紀年、西曆、干支對照表

## 參考

* 日本年號索引
* 其他使用正元為紀元的政權
* 同期存在的其他政權之紀年
  * 開慶（1259 年）：宋 — 宋理宗趙昀之年號
  * 景定（1260 年正月 —1264 年十二月）：宋 — 宋理宗趙昀之年號
  * 紹隆（1258 年至 1278 年）：陳朝 — 陳聖宗陳晃之年號

## 參考文獻

* 松橋達良，《元號はやわかり — 東亜歷代建元考》，砂書房，1994 年 7 月，ISBN 4915818276
* 李崇智，《中國歷代年號考》，中華書局，2001 年 1 月 ISBN 7101025129
正元_(曹髦)

**正元**（254 年十月 —256 年五月）是三國時期曹魏的君主魏少帝曹髦的第一個年號，共計 3 年。這段期間由司馬師、司馬昭相繼總理朝政。這也是曹魏政權的第七個年號。

正元三年六月改元甘露元年。

## 改元

* 嘉平六年 —— 十月初五日，改元為正元元年。
* 正元三年 —— 六月初一日，改元為甘露元年。

## 紀年農曆對照表

表格右邊各月的干支即為各月的第 1 日，「**(大)**」表示該月有 30 日，「**(小)**」表示該月有 29 日，「閏月」表格中的漢字數字表示該年為閏 X 月，各月初一底下的數字表示對應的西曆日期。

## 參看

* 中國年號索引
* 其他時期使用的正元年號

## 參考文獻

## 外部連結

* 李崇智。中國歷代年號考。北京：中華書局. 2004 年 12 月. ISBN 7101025129.
正元曆

《**正元曆**》是中國古代曆法。

唐朝《寶應五紀曆》在唐德宗時，氣朔加時稍後於天象，推測星度和《大衍曆》差率很大。司天徐承嗣和夏官楊景風在唐德宗的命令下，以《麟德曆》、《大衍曆》為基礎，制定新曆法。上元七曜，起赤道虛四度。建中四年（783 年），頒布《建中正元曆》，演紀上元甲子，距建中五年甲子，歲積 402900 算，通法 1095。《建中正元曆》一直用到唐憲宗元和元年（806 年），《元和觀象曆》施行。

## 參考文獻

* 《二十六史大詞典》
正先

**正先**（?— 公元前 208 年），秦始皇時的秦朝博士。

正先在趙高專權時因為批評趙高而被殺，漢朝京房的弟子姚平認為趙高以此立威，秦朝之亂，是趙高引起的。

## 參考文獻
正光

**正光**（520 年七月 —525 年六月）是北魏的君主孝明帝元詡的第三個年號，共計近 5 年。

1954 年河北曲陽出土背光式單身菩薩像，紀年為「武光五年」，胡國強根據佛像發展規律，確定是「正光」年間所造。

## 大事記

## 出生

## 紀年

## 參看

* 中國年號索引
* 同期存在的其他政權年號
  * 普通（520 年正月 —527 年三月）：南朝梁梁武帝蕭衍的年號
  * 真王（523 年三月 —525 年六月）：北魏時期六鎮領導破六韓拔陵年號
  * 天建（524 年六月 —527 年九月）：北魏時期領導莫折念生年號
  * 天啓（525 年正月 — 三月）：北魏時期領導元法僧年號
  * 真王（525 年八月 —528 年二月）：北魏時期領導杜洛周年號
  * 神嘉（525 年十二月 —535 年三月）：北魏時期領導劉蠡升年號
  * 建昌（508 年 - 520 年）：柔然政權豆羅伏跋豆伐可汗丑奴年號
  * 義熙：高昌政權麴嘉年號
  * 甘露：高昌政權麴光年號

## 參考文獻

* 李崇智，《中國歷代年號考》，中華書局，2001 年 1 月 ISBN 7101025129
* 胡國強：〈武光五年邸荀生造觀音菩薩像年代 —— 兼及曲陽北朝晚期背光式單身菩薩像之演變規律〉，《故宮博物院院刊》，2008 年第 4 期
正光曆

《**正光曆**》、《**壬子元曆**》是南北朝北魏後期曆法。魏宣武帝以為《玄始曆》有疏漏，命造新曆法。

延昌四年（515 年）冬集議新曆，立表實測日影，神龜元年（518 年）著作郎崔光總合屯騎校尉張洪、故太史令張明豫、校書郎李業興、駙馬都尉盧道虔、前太極采材軍主衛洪顯、殄寇將軍太史令胡榮、雍州沙門統道融、司州河南人樊仲遵、定州鉅鹿人張僧豫等九家之新曆，為一曆。以張龍祥、李業興為主。以壬子為元，應魏之水德，號《**神龜曆**》。魏孝明帝改元正光，於正光三年（522 年）施行。興和二年被《興和曆》取代。

## 文內注釋
正光街道

**正光街道**是中華人民共和國貴州省銅仁市碧江區下轄的一個街道辦事處。

## 行政區劃

正光街道下轄以下村級行政區劃單位：

正光社區、打角沖社區、三寨村、芭蕉村。

## 參考資料
正光里

**正光里**，為台灣基隆市七堵區下轄之一里，處於七堵鬧區與重劃區之內，當地知名觀光景點為：七堵鐵道公園、傳統市集 - 美食街。此外，七堵戶政事務所、七堵區公所、基隆市農會、七堵稅捐稽徵處和七堵車站也亦設於此里內。
正八位

**正八位**（日語：正八位／しょうはちい _Shōhachii_ \*/?），為日本官階的一種。位於從七位之下、從八位之上。

律令制下將之分為從七位上和從七位下。明治時代初期太政官制取消上下之別。與神祇官的權少史、太政官主記相當。

## 參見

* 正八品：東亞其他地區的相等品秩

## 外部連結

* 位階令 （日語） - 法令データ提供システム
* 官位相當表 （日語） - 國立國會図書館近代デジタルライブラリー
正八品

**正八品**是中國、朝鮮、越南、琉球古代官位的一個級別，屬於次於從七品、高於從八品的官員，在多數朝代為縣級官員的屬官。

## 中國

### 魏晉南北朝

* 中書省中書主事令史、校書郎、縣長、縣尉、中書舍人（陳），鄉侯・亭侯（梁陳）

### 隋

* 都水丞、殿內侍御史，下州錄事參軍事、上州各曹參軍、中郡郡丞、下縣縣令、十二衛錄事參軍事

### 唐朝

#### 文武官

* 正八品上：監察御史、協律郎、翊衛、太醫署醫博士、軍器監主簿、武庫署丞、兩京市署丞、上牧監丞、執乘親事
* 正八品下：奚官 / 內仆 / 內府局令、備身、尚藥局司醫、京兆 / 河南 / 太原諸縣丞、太公廟丞、諸宮農圃監、互市監丞、司竹副監、司農寺諸園苑監丞、靈台郎、上戍主、諸衛左右司戈

#### 女官

* 采女、奉儀（內命婦）
* 掌記、掌言、掌簿、掌闈、掌籍、掌樂、掌賓、掌贊、掌寶、掌衣、掌飾、掌仗、掌膳、掌醞、掌藥、掌饎、掌設、掌輿、掌苑、掌燈、掌制、掌珍、掌計

#### 散官

* 正八品上：給事郎、宣節校尉
* 正八品下：征事郎、宣節副尉、懷化司戈

### 宋

* 七寺丞，秘書郎，太常博士，樞密院計議官、編修官，敕令所刪定官，直秘閣，著作佐郎，國子監丞，諸王宮大小學教授，國子博士，大理司直、評事，訓武、修武郎，內常侍，開封府諸曹參軍事、軍巡使、判官，京府判官，亦畿縣令，兩赤縣丞，三京赤縣、畿縣令，太史局五官正，中書、門下省錄事，尚書省都事
* 給事郎、承事郎、宣節校尉、御武校尉
* 醫散階：和安郎、成和郎、保安郎、成安郎、成全郎、保和郎、翰林醫官

### 金

* 上縣縣丞、上縣縣尉

### 元

* 下州判官、縣丞

### 明朝

#### 文武官

* 中書省：知事
* 太醫院：御醫
* 戶部：照磨所照磨、寶鈔提舉司提舉
* 刑部：照磨所照磨
* 工部：大通關提舉司提舉、營繕所所副
* 太常寺：博士、協律郎
* 都察院：照磨所照磨
* 翰林院：五經博士
* 通政司：知事
* 國子監：監丞
* 行人司：行人
* 欽天監：主簿、五官保章正
* 僧錄司：左右講經、左右覺義
* 道錄司：左右至靈、閣皂山靈官、三茅山靈官
* 上林苑監：署丞
* 王府長史司：典膳正、奉祠正、典寶正、紀善、良醫正、工正
* 郡王府：典膳
* 提刑按察使司：知事
* 京衛指揮使司：知事
* 衛指揮使司：知事
* 土官：都事
* 地方官：府經歷、縣丞

#### 女官

* 尚宮局：司記司掌記、司言司掌言、司薄司掌簿、司闈司掌闈
* 尚儀局：司籍司掌籍、司樂司掌樂、司賓司掌賓、司贊司掌贊
* 尚服局：司寶司掌寶、司衣司掌衣、司飾司掌飾、司仗司掌仗
* 尚食局：司膳司掌膳、司醞司掌醞、司藥司掌藥、司饎司掌饎
* 尚寢局：司設司掌設、司輿司掌輿、司苑司掌苑、司燈司掌燈
* 尚功局：司制司掌制、司珍司掌珍、司彩司掌彩、司計司掌計
* 宮正司典正

#### 散官

* 升授階：修職郎
* 初授階：迪功郎

### 清朝

#### 文武官

* 國子監學正、國子監學錄、欽天監主簿、太醫院御醫、五經博士、八品筆帖式、四氏學學錄、太常寺協律郎、布政司司庫大使、運鹽使司庫庫大使、道庫大使、按察司知事、外府經歷、外縣縣丞、鹽課司大使、鹽引批驗所大使、州學正、縣教諭、僧錄司左右講經、道錄司左右至靈、各部司務
* 盛京養息尉左右翼長、八品蔭監生、外委千總

#### 散官

* 修職郎、奮武校尉

## 朝鮮

### 高麗王朝

#### 文武官

#### 王族

### 朝鮮王朝

#### 文武官

* 司錄

#### 王族

## 琉球

### 琉球國（第二尚氏）

#### 文武官

內使郎、贊度內使，下庫理里之子

## 參考文獻

## 參見

* 中國古代職官
* 品秩
* 從八品
* 正八位：日本的相應位階
正八胞體堆砌

在四維歐幾里得幾何空間中，**超立方體堆砌**（Tesseractic Honeycomb）是三種正四維空間堆砌（亦稱為填充、鑲嵌或蜂巢體）之一，由超立方體堆砌而成。它亦可被看作是五維空間中由無窮多個超立方體胞組成的二胞角為 180° 的五維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是五維的多胞體。

超立方體堆砌在施萊夫利符號中，以 {4,3,3,4} 表示，透過超立方體胞填密 4 維空間構成。其頂點圖是一個正十六胞體，在每單位立方中，每相鄰的兩個超立方體胞有四個正方形相遇、八個邊相遇、頂點則有 16 個相遇。超立方體堆砌是平面正方形鑲嵌的類比、也是三維空間立方體堆砌在四維空間的類比，他們的形式皆為 {4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個家庭的鑲嵌都是自身對偶。

## 坐標

此蜂巢體（即該堆砌的整體）的頂點皆位於四維空間中的整數點 (i,j,k,l) 上，對所有的 i,j,k,l 皆為超立方體邊長的整數倍，因此邊長為 1 超立方體堆砌也可以視為四維空間中的座標網格。

## 結構

超立方體堆砌有許多不同的 Wythoff 結構。最對稱的形式是施萊夫利符號 {4,3,3,4} 表示正圖形，另一種形式是有兩種超立方體交替，有如棋盤一般，在施萊夫利符號中用 {4,3,31,1} 表示。最低的對稱性 Wythoff 結構是在每個頂點附近有 16 個稜柱形，其施萊夫利符號表示為 {∞}4。其可利用截胞（Sterication）來構造。

## 相關多面體和鑲嵌

考克斯特群 [4,3,3,4]、產生了 31 個排列均勻的鑲嵌，21 具有獨特的對稱性和 20 具有獨特的幾何形狀。擴展超立方體堆砌（也被稱為截胞超立方體堆砌）其形狀在幾何上與超立方體堆砌相同。

## 參考文獻

* Coxeter, H.S.M. _Regular Polytopes_, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
* **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* George Olshevsky, _Uniform Panoploid Tetracombs_, Manuscript (2006) _(Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)_ - Model 1
* Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o \*d4x, x∞o o3o3o \*d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o \*b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1
正八角反棱柱

在幾何學中，**十八面體**（英語：octadecahedron）是指具有十八個面的多面體。在十八面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十八面體並不存在，但仍有存在一些等面或等角的十八面體，亦有一些十八面體皆由正多邊形組成，例如：正八角反稜柱、正十六角柱和正四角帳塔柱等。

一般而言，十八面體一詞並不代表任何特定的立體。然而，在化學中，十八面體一詞通常會指邊收縮二十面體，其為一種由 18 個面構成並具備 C2v 對稱性的立體，其構成方式是將正二十面體的其中一條邊收縮掉。這個立體是十八面體硼烷離子（[B11H11]2−）的分子結構。

## 凸十八面體

所有十八面體中一共有 107,854,282,197,058 個拓撲不同構的凸十八面體，不包括鏡像，並且至少需要包含 11 個頂點（如果兩個多面體具有本質上不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則它們是「拓撲不同構」，因為如果兩個立體間有不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則就無法僅透過改變邊的長度或邊或面之間的角度來將一個多面體形變成另一個。）

## 常見的十八面體

常見的十八面體中有一些柱體與錐體以及部份的詹森多面體和卡塔蘭立體。

### 十七角錐

**十七角錐**是一種底面為十七邊形的錐體，其具有 18 個面、34 條邊和 18 個頂點，其對偶多面體是自己本身。正十七角錐是一種底面為正十七邊形的十七角錐。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正十七角錐體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {17hs^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}}{12}}\approx 7.5785hs^{2}$

　
: $S={\frac {17s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{17}}}}+s\cot {\frac {\pi }{17}}\right)}{4}}\approx 4.25s\left({\sqrt {4h^{2}+28.6174s^{2}}}+5.34953s\right)$

### 十六角柱

**十六角柱**是一種底面為十六邊形的柱體，由 18 個面、48 條邊和 32 個頂點組成。正十六角柱代表每個面都是正多邊形的十六角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個十六邊形的公共頂點，頂點圖以 $4{.}4{.}16$ 表示。正十六角柱在施萊夫利符號中可以用 {16}×{} 或 t {2,16} 來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在威佐夫符號中可以利用 2 16 | 2 來表示，在康威多面體表示法中可以利用 P16 來表示。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正十六角柱體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V=4hs^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}\approx 20.1094hs^{2}$

　
: $S=8s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{16}}\right)\approx 8s\left(2h+5.02734s\right)$

### 八角反角柱

**八角反角柱**是一種底面為八邊形的反角柱，由 18 個面、32 條邊和 16 個頂點組成。正八角反角柱代表每個面都是正多邊形的八角反角柱，其每個頂點都是 3 個三角形和 1 個八邊形的公共頂點，頂點圖以 $3{.}3{.}3{.}8$ 表示，在施萊夫利符號中可以用 $s\left\{{\begin{matrix}2\\8\end{matrix}}\right\}$ 來表示。邊長為單位長的正八角反角柱體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {2{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}\right)}}}{3}}\approx 4.26796$

　
: $S=4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 16.5851$

### 雙九角錐

**雙九角錐**是一種以九邊形為基底的雙錐體，是十八面體的一種，其可以視為兩個九角錐底面對底面疊合成的立體，由 18 個面、27 條邊和 11 個頂點組成，對偶多面體為九角柱。

雙九角錐在施萊夫利符號中可以用 {}+{9} 來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在康威多面體表示法中可以用 dP9 來表示。

### 九方偏方面體

**九方偏方面體**是一種以九邊形為底的偏方面體，由 18 個全等的鳶形組成，為九角反角柱的對偶多面體，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第七個成員。所有九方偏方面體都有 18 個面、36 條邊和 20 個頂點，其中，頂點有兩種，分別為 9 個鳶形的公共頂點和 3 個鳶形的公共頂點。

九方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上遞移，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。

九方偏方面體在施萊夫利符號中可以用 {}⨁{9} 來表示，在考克斯特符號中可以用或來表示，在康威多面體表示法中可以用 dA9 來表示。

## 在化學中

在化學中，將十八面體硼烷離子（[B11H11]2−）的氫全部去掉後，可以得到一個幾何結構，在幾何學中，該結構是一個十八面體，並且由 18 個面、27 個邊和 11 個頂點組成，因此它的對偶多面體是一個十一面體，且歐拉示性數為 2。該結構又稱為**邊收縮二十面體**，是十八面體中的一個特例，其面分布得很均勻，但是比較不像球體，然而具有這種結構在嚴格的凸多面體中，其邊不能等長，因為有的頂點周為有 6 個面，如果是等邊三角形，在這些頂點的將會共面，導致其無法成為嚴格凸的多面體，而使其不能被視為正三角面多面體。

## 十八面體列表

## 參考資料
正八角星

**八角星**，又稱**八芒星**，是一種有八隻尖角，並以八條直線畫成的星形。

## 幾何學

在幾何學中，八角星是邊自我相交的八邊形。

正八角星只有兩種，其施萊夫利符號計為 {8/3}，與所述第二數字差別在繪製八角星時頂點間隔數，若計為 {8/1} 則為正八邊形，一般會省略後半只計 {8}，此外，若計為 {8/2} 則為兩個正方形的複合形狀，並且兩個正方形之差相差 45 度角，若計為 {8/4} 則為四個退化多邊形正二邊形的複合形狀。

## 底面為正八角星的稜柱、反稜柱

## 參考文獻

* Grünbaum, B. and G.C. Shephard; _Tilings and Patterns_, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
* Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, _Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993)_, ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Octagram. MathWorld.
* https://web.archive.org/web/20151104130338/http://home.hiwaay.net/~jalison/hepta.html Approximate construction method]

## 參見

* 八角星 (伊斯蘭)
正八角柱

在幾何學中，**八角柱**是一種多面體，是柱體的一種，是指底面是八邊形的柱體，也是第六種有無限多成員的柱體集合（八角柱包含所有底面是八邊形的柱體，即是是凹八邊形）。所有八角柱都有 10 個面，24 個邊和 16 個頂點。所有八角柱都是十面體。

如果八角柱每個面都是正多邊形，則它是半正多面體。

小斜方截半立方體切去相對的兩個正四角帳塔就可以得到一個八角柱。

## 性質

### 體積

若一正八角柱的邊長皆為 1，則八角柱的體積為：

　
: $V=2+2{\sqrt {2}}$

### 表面積

若一正八角柱的邊長皆為 1，則八角柱的表面積為：

　
: $V=12+4{\sqrt {2}}$

## 對稱性

## 三維鑲嵌和多胞體

有正八角柱的三維鑲嵌:

有胞是正八角柱的多胞體:

## 在其他領域

* 在光學上，八角柱的棱鏡被用於在電影放映機產生不閃爍的圖像。
* 十三行博物館的主要建築物是一個斜八角柱，象徵時間久遠遺跡毀壞無法還原的歷史真相。

## 相關多面體與鑲嵌

## 參見

## 參考文獻

* 埃里克・韋斯坦因. Octagonal prism. MathWorld.

## 外部連結

* Interactive model of an Octagonal Prism
正八边形

在幾何學中，**八邊形**，又稱**八角形**是指有八條邊和八個頂點的多邊形，其內角和為 1080 度。八邊形有很多種，其中對稱性最高的是正八邊形。其他的八邊形依照其類角的性質可以分成凸八邊形和非凸八邊形，其中凸八邊形代表所有內角角度皆小於 180 度。非凸八邊形可以在近一步分成凹八邊形和星形八邊形，其中星形八邊形是邊自我相交的八邊形。

## 性質

所有八邊形都可以利用頂點切割成 6 個三角形，而每個三角形的內角和為 180 度，因此所有八邊形的內角和都是 1080 度。特別的，因為任意多邊形最終會繞一圈連回最初的點，因此所有外角的和等於圓周，因此所有多邊形的外角和都是 360 度。

若在一個任意八邊形的每個邊上都構造一個邊長與原八邊形相同的正方形，其中一個邊為八邊形的邊，且他們都統一在該八邊形的內部或外部，則每個正方形向對面正方形的幾何中心連心線的中間點所構成的四邊形其對角線會垂直且等長。

而任意八邊形的中點八邊形，即把任意八邊形每個邊中點與相鄰邊中點連線成的八邊形，換句話說就是對偶八邊形，若將這種八邊形每個邊上都構造一個邊長與原八邊形相同的正方形，且他們都統一在該八邊形的內部或外部，則每個正方形向對面正方形的重心連心線的中點所構成的四邊形是正方形。

任意八邊形都有這種性質，不論凸、非凸或複雜八邊形，但八條邊的複合圖形則除外。

## 正八邊形

正八邊形是指所有邊等長、所有角等角的八邊形，由八條相同長度的邊和八個相同大小的角構成，是一種正多邊形。正八邊形的內角是 3π/4 弧度，換算成角度是 135 度。在施萊夫利符號中用 {8} 來表示。由於正八邊形可看作是截去所有頂點的正方形，即截角的正方形，因此在施萊夫利符號中也可以計為 t {4}。而截角的八邊形為十六邊形，在施萊夫利符號計為 t {8}。正八邊形可以被分割成兩個梯形跟一個矩形，這種圖稱為八邊形 - 四邊形圖。

### 面積

對於一個已給定邊長 a 的正八邊形，其面積為：

　
: $A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}$

若已知外接圓半徑為 R，其面積為：

　
: $A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.$

若已知內切圓半徑或邊心距為 r，則其面積為：

　
: $A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.$

其面積也可以表示為：

　
: $\,\!A=S^{2}-a^{2},$

其中，S 是八邊形的寬度，其值與次短對角線相等；a 是邊長，或者某個底邊的長度。這個面積的公是十分容易證明。取一個正八邊形，在正八邊形外變化一個正方形，並確保正方形與正八邊形的其中四條邊部分重疊，然後將正方形四個直角依據正八邊形的邊長分割出四個等腰直角三角形。取下四個等腰直角三角形可以拼出一個邊長與正八邊形邊長相等的正方形

已知邊長為 _a_，則其寬度 _S_ 是

　
: $S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.$

然後面積為

　
: $A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.$

若以寬度來表示其面積，則為

　
: $A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.$

另外一個簡化的面積表示為

　
: $\ A=2aS.$

若已知 _S_，邊長 _a_ 就能被確定，即上面將正方形切割成正八邊形的過程

　
: $a\approx S/2.414.$

被切去的三角形的底邊長 $e=a/{\sqrt {2}},$ ，也可以由 _S_ 和 _a_ 計算得：

　
: $\,\!e=(S-a)/2.$

### 半徑

邊長為 _a_ 的正八邊形外接圓半徑為：

　
: $R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a,$

內切圓半徑為：

　
: $r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a.$

### 構造

1. 先畫一個圓，做一個內接正方形 ABCD。
2. 過圓心 O 向任意一邊（設為 AB）做垂線並延長，延長線交圓 O 於 E。
3. 分別以 A,B 為圓心，AE 為半徑畫弧，交圓於 E,F,G,H。
4. 連接 EAFBGCHD，即為正八邊形。

 

## 其他八邊形

除了正八邊形之外，還有多種不同的八邊形。例如常見的 T 字形、和「凹」字，就是一種凹八邊形。

### 星形八邊形

星形八邊形是一種非凸的八邊形，通常具有邊自我相交的性質

## 複八邊形

複八邊形是指位於 $\mathbb {C} ^{2}$ 複希爾伯特平面由 8 條邊組成的複多邊形。由於複空間中的多邊形未必會邊數與頂點數相同，因此複八邊形與複八角形不一定等價。較知名的複八邊形為莫比烏斯－坎特八邊形。

### 莫比烏斯－坎特八邊形

莫比烏斯－坎特八邊形是一種由 8 個頂點和 8 條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用 3{3}3 來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion），這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用 3{} 來表示。

## 扭歪八邊形

扭歪八邊形，又稱不共面八邊形，是指頂點並非完全共面的八邊形。

### 皮特里多邊形

一些高維度多胞體的皮特里多邊形是扭歪八邊形。這些扭歪多邊形顯示於射影的 A7、B4 和 D5 考克斯特平面。

## 八邊形的對稱性

正八邊形具有 Dih8 的二面體群對稱性，階數為 16。九邊形的二面體群對稱群共有 3 個子群，他們分別為：Dih4、Dih2 和 Dih1；其循環群也有 4 個子群，他們分別為：Z8、Z4、Z2 和 Z1。

## 圖

K8 完全圖經常會被以正八邊形的圖形繪製來描述其 28 條連接邊。這個圖與七維正八胞體的正投影圖同為 8 個頂點和 28 條邊。

另外 K8 完全圖也顯示了八邊形的 20 條對角線。

## 使用

八邊形經常用在藝術品、建築物或產品設計上。例如八角門。在建築物主體上，八邊形通常會使建築物程八角柱，例如十三行博物館的主要建築物。在產品設計上，知名電腦公司蘋果公司曾以八邊形的形狀進行 iPhone 的設計。

## 參見

* 八邊形數

## 參考文獻

## 外部連結

* 有關八邊形的介紹 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正八邊形鑲嵌

在幾何學中，**正八邊形鑲嵌**（英語：Octagonal tiling）是一種由正八邊形拼合，並且將正八邊形重複排列組合，並讓圖形完全拼合，而且沒有空隙或重疊的幾何構造，每個頂點皆為三個正八邊形的公共頂點，以頂點圖 8.8.8 或 83 表示。

**正八邊形鑲嵌**是一種雙曲正鑲嵌，在施萊夫利符號中用 {8,3} 表示。

## 表面塗色

就如同平面上的正六邊形鑲嵌，正八邊形鑲嵌也具有 3 種不同的半正表面塗色，都可以由威佐夫結構面對稱構造出來。(h,k) 表示一種表面塗色的面週期性重複，以正八邊形距離 h、k 計數，h 在前、k 在後。

## 相關多面體及鑲嵌

## 參見

* 正七邊形鑲嵌

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正八面體半形

在抽象幾何學中，**八面體半形**是正八面體的多面體半形，即由一半數量的正八面體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與正八面體類似，它們的每個頂點都是 4 個三角形的公共頂點，正八面體有 8 個面，對應的多面體半形僅有 4 個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中。

## 性質

八面體半形是一個不可定向的幾何結構，由四個面、六條邊和三個頂點組成，其中 4 個面都是三角形，每個頂點都是 4 個三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {3,4}3 表示。八面體半形的皮特里多邊形同樣為三角形，因此八面體半形的皮特里對偶同樣為八面體半形，是一個自身皮特里對偶的多面體。

八面體半形的對偶多面體為立方體半形，立方體半形的對稱性與八面體半形相同，皆為 24 階的 S4 對稱群。

八面體半形可被視為是一種影射多面體，可視為由四個三角形構成的實射影平面鑲嵌，要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，其邊界上的對蹠點連結了半球體，並將半球體分成了四等分，簡單來說就是將正八面體的點皆與對蹠點相對應的幾何結構。八面體半形也可看成是一個沒有底面的正四角錐，即正八面體的一半。

八面體半形可以對稱地表示一個六邊形或一個正方形的施萊格爾圖：

　
:

它有著一些特殊的特性：每對頂點之間連接著兩條不同的邊，即每兩個頂點圍成了一個二角形。

## 相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有：

八面體半形可以被截半為截半立方體半形，其為一種擬正則地區圖（quasiregular map）。四面半六面體可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。

　
:

## 參見

* 立方體半形
* 十二面體半形
* 二十面體半形

## 參考資料

## 外部連結

* 八面體半形. [2017-07-29]. （原始內容存檔於 2016-03-04）.
正六位

**正六位**（日語：正六位／しょうろくい _Shōrokui_ \*/?），為日本官階與神階的一種。位於從五位之下、從六位之上。勳等為勳五等，功級為功五級。

律令制下的六位是下國的國司及國府次官的等級。一般是不能上殿的，但是藏人例外，五位以上者和六位藏人合稱殿上人。在神階中正六位是最下位。

明治時代以後，正六位相當於少佐。此外，如今的警察官中的警視正、消防吏員中的消防監、市町村議會議長等在逝世後也會給予其正六位。

## 參見

* 正六品：東亞其他地區的相等品秩

## 外部連結

* 「位階令」 （日語）
正六品

**正六品**是中國、朝鮮、越南、琉球古代官位的一個級別，屬於次於從五品、高於從六品的官員，在多數朝代為管縣區域的官員。

## 中國

### 魏晉南北朝

* 尚書左丞、尚書右丞、尚書郎、著作郎、中書舍人，秘書丞、秘書郎，治書侍御史，下郡太守、上縣縣令，關內侯（晉宋齊）；開國縣男（梁陳）

### 隋

* 內史省內史舍人，下州長史、司馬

### 唐朝

#### 文武官

* 正六品上：太學博士、中州長史、親勛翊衛校尉、京兆府 / 河南府 / 太原府諸縣令、武庫中尚署令、諸衛左右司階、中府果毅都尉
* 正六品下：千牛備身、備身左右、下州長史、中州司馬、內謁者監、中牧監、上牧副監、上鎮將

#### 女官

* 寶林（內命婦）
* 司記、司言、司簿、司闈、司籍、司樂、司賓、司贊、司寶、司衣、司飾、司仗、司膳、司醞、司藥、司饎、司設、司輿、司苑、司燈、司制、司珍、司計、司正

#### 散官

* 正六品上：朝議郎、昭武校尉
* 正六品下：承議郎、昭武副尉、懷化司階

#### 勛

* 驍騎尉

### 宋

* 集英殿修撰，七寺少卿，中書門下省檢正諸房公事，尚書左、右司郎中，國子司業，軍器監，都水使者，太子少詹事、左右諭德，入內內侍省、內侍省都知副都知，宣慶、宣政、昭宣使，拱衛、左武、右武大夫，入內內侍省、內侍省押班，樞密承旨、副承旨
* 驍騎尉
* 朝奉郎、承直郎、昭武校尉、昭武副尉

### 金

* 尚書省員外郎、府判

### 元

* 中書省員外郎、上州同知

### 明朝

#### 文武官

* 詹事府：府丞、左右中允、左右司直郎
* 太醫院：院判
* 中書省：員外郎
* 六部：主事
* 大理寺：寺正
* 太常寺：寺丞
* 太僕寺：寺丞
* 苑馬寺：寺丞
* 鴻臚寺：司丞
* 都察院：經歷
* 翰林院：侍讀、侍講
* 國子監：司業
* 欽天監：監副、官正
* 上林苑監：左右監副
* 五城兵馬指揮司：指揮
* 僧錄司：左右善世、左右闡教
* 道錄司：左右正一、左右演法、神樂觀提點
* 王府長史司：審理正
* 王府儀衛司：典仗
* 留守司：經歷、斷事
* 都指揮使司：經歷、斷事
* 千戶所：百戶
* 宣撫司：僉事
* 安撫司：同知
* 招討司：副招討
* 長官司：長官
* 安南都統使司：僉事
* 地方官：府通判

#### 女官

* 尚宮局：司記司司記、司言司司言、司薄司司簿、司闈司司闈
* 尚儀局：司籍司司籍、司樂司司樂、司賓司司賓、司贊司司贊、彤史
* 尚服局：司寶司司寶、司衣司司衣、司飾司司飾、司仗司司仗
* 尚食局：司膳司司膳、司醞司司醞、司藥司司藥、司饎司司饎
* 尚寢局：司設司司設、司輿司司輿、司苑司司苑、司燈司司燈
* 尚功局：司制司司制、司珍司司珍、司彩司司彩、司計司司計
* 宮正司司正

#### 散官

* 升授階：承德郎、承信校尉
* 初授階：承直郎、昭信校尉
* 勛階：雲騎尉

### 清朝

#### 文武官

* 內閣侍讀、國子監司業、左右春坊左右中允、
* 部院主事、宗人府主事、寺衙門主事、起居注主事、都察院都事、都察院經歷、大理寺左右丞、欽天監左右監副、太醫院院判、欽天監春夏秋冬中五官正、太常寺丞、神樂署署正、兵馬司指揮
* 京府通判、京縣知縣、府通判
* 藍翎侍衛、整儀尉、親軍使、前鋒校、護軍校、烏槍護軍校、驍騎校、監造火藥官、陵寢祭祀供應官、太僕寺馬廠駝廠翼長、黑龍江吉林管水手六品官、門千總、營千總、宣撫使司僉事、安撫使司同知、招討使司副招討使、長官司長官、百戶

#### 散官

* 承德郎、武略騎尉

## 朝鮮

### 高麗王朝

#### 文武官

#### 王族

### 朝鮮王朝

#### 文武官

* 六曹佐郎、司憲府監察、司諫院正言、兵馬評事

#### 王族

## 琉球

### 琉球國（第二尚氏）

#### 文武官

承直郎、儀衛使，下庫理勢頭

## 參考文獻

## 參見

* 中國古代職官
* 品秩
* 從六品
* 正六位：日本的相應位階
正六棱柱

在幾何學中，**六角柱**又稱**六角稜柱**，是一種底面為六邊形的柱體。所有六角柱都有 8 個面，18 個邊和 12 個頂點。

由於它具有 8 個面，所以它是一個八面體。然而，「八面體」這個幾何術語，主要是指正八面體，其中有 8 個三角形面。這個若稱做八面體的話，會和正八面體混淆，所以很少使用「八面體」來表示六角柱。

許多鉛筆在削尖之前的形狀都是六角柱形。

## 性質

正六角柱是指底面為正六邊形的六角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個正六邊形的公共頂點，因此具有點可遞的性質，又因其所有面都是正多邊形因此是一種半正多面體，且其為以正方形為側面的半正柱體無窮系列中的第 4 個幾何體。六角柱亦可以視為一種截角六面形，並可以以施萊夫利符號 t {2,6} 表示。

### 體積

已知底面邊長 $a$ , 和高 $h$ ，正六角柱的體積可以由下面公式計算：

　
: $V={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\times h$

### 頂點座標

一個幾何中心位於原點邊長為 2 的正六角柱其頂點座標為：

　
: $(\pm {\sqrt {3}},\pm 1,\pm 1)$

　
: $(0,\pm 2,\pm 1)$

### 對稱性

## 構成多胞形

六角柱可以獨立堆砌成堆砌體，也可以跟其他立體共同堆砌密鋪三維空間

## 相關多面體與鑲嵌

### 大斜方截半變異對稱性

### 相關柱體

六角柱是正多邊形柱體的一員，其他的正多邊形柱體有：

## 參考文獻

## 外部連結

* Hexagonal Prism Interactive Model -- works in your web browser
正六百胞体

幾何學中，**正六百胞體**（hexacosichoron）是四維凸正多胞體，施萊夫利符號是 {3,3,5}，有時候會視為正二十面體的四維類比。

正六百胞體的邊界有 600 個正四面體胞、1200 個正三角形面、720 條邊和 120 個頂點。每一頂點有 20 個正四面體相接。

## 幾何性質

正六百胞體的對偶多胞體是正一百二十胞體。
正六百胞體的頂點圖是正二十面體。 
邊長為 a 的正六百胞體超體積為 ${\frac {50+25{\sqrt {5}}}{4}}a^{4}$ ，表體積為 50√2a3。

以原點為中心，邊長為 1/φ 的正六百胞體（其中 φ = (1+√5)/2 是黃金比例），頂點坐標如下：16 個頂點形式如下

　
: (±½,±½,±½,±½)，

8 個頂點從下列坐標不同排列得出

　
: (0,0,0,±1)，

剩下 96 個頂點是下列坐標的偶置換

　
: ½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一個正六百胞體的棱長為 1，則其外接超球半徑為 ${\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618\end{smallmatrix}}$ 即黃金分割比；其外中交超球 (經過正六百胞體每條棱的中點) 半徑為 ${\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {2{\sqrt {5}}+5}}{2}}\approx 1.538\end{smallmatrix}}$ ；其內中交超球（經過正六百胞體每個面的中心）半徑為 ${\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}}{6}}\approx 1.512\end{smallmatrix}}$ ；其內切超球半徑為 ${\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.498\end{smallmatrix}}$ 。

注意到首 16 個頂點構成超正方體，次 8 個構成正十六胞體。這 24 個頂點一起構成正二十四胞體，事實上，如果移除這 24 個頂點，就會得到另一個有意思的半正多胞體扭棱正二十四胞體（Snub Icositetrachoron）。

### 對稱群構造

如果把坐標看作四元數，正六百胞體的 120 個頂點以四元數乘法組成群。這個群通常稱為雙二十面體群，因為它是二十面體群 _I_ 的雙重覆蓋。這個雙十二面體群也可被看作是正六百胞體的旋轉（無反射）對稱群，因為單位四元數的乘法等同於點的旋轉，也因此雙十二面體群是 H4 群的一個子群。雙二十面體群同構於特殊線性群 SL (2,5)。

正六百胞體的對稱群是 _H_4 的外爾群，這個群的階是 14400。

## 可視化

正六百胞體的胞眾多，並且這些正四面體胞基本上沒有什麼規律可循，為正六百胞體的可視化帶來了許多困難，但作為正一百二十胞體的對偶，許多正一百二十胞體的性質也表現在正六百胞體上。

　
:

### 大圓結構

正一百二十胞體的 10 個會首尾相連，構成「大圓」，這些胞與正六百胞體的頂點對偶，它們也會互相連接形成一個正十邊形，這正十邊形的每一條邊周圍都有 5 個正四面體共這條邊，這種結構看上去就像有稜有角的飛盤。正十邊形相鄰的兩條棱周圍的兩簇正四面體中間會有空隙，我們可以在填入 10 個正四面體使其構成正二十面體，這樣你就會得到一個涉及 150 個胞、10 條棱、100 個裸露的正三角形面的環形結構，我們還可以在向這些面上填上正四面體，會得到一個涉及 250 個胞的有 50 個突出的頂點和 100 條凹陷的棱的大圓，它與另一條與之正交的 250 胞環在頂點處咬合，剩餘的棱的空隙是剩餘的 100 個胞。現在，如果我們去掉這兩條大圓最初的 10 個頂點，我們就會得到四維唯一的非 Wythoff 凸半正多胞體 —— 重反稜柱，原來的大圓處留下了各 10 個正五反稜柱，並剩下了 300 個正四面體胞。

## 參考

* 600-cell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 逐層剖析了正六百胞體的表分層結構
* Regular Convex Four-Dimensional Polytopes 提供了正六百胞體的幾何數據
正六角反棱柱

在幾何學中，**六角反稜柱**又稱為**反六角柱**或**六角反柱**是指底為六邊形的反稜柱，側面由三角形組成，若每一個面皆為正多邊形則稱為正六角反稜柱。每個六角反稜柱皆含有 14 個面，是一種十四面體。

**正六角反稜柱**是基底為正六邊形的六角反稜柱，其可視為一種半正多面體。

* 

## 正六角反稜柱

當一個六角反稜柱的底面為正六邊形且側面為正三角形時，會具備一些特別的性質：

當基底邊長為 a 的時候：

* 頂點數目：12
* 邊數目：24
* 面數目：14
* 對偶多面體：六方偏方面體
* 高： $a{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}$
* 表面積： $6a^{2}{\sqrt {3}}$
* 體積： $a^{3}{\sqrt {2(1+{\sqrt {3}}}})$

## 相關多面體及鑲嵌

## 參見

* 反稜柱
* 偏方面體

## 外部連結

* http://mathworld.wolfram.com/Antiprism.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正六角形

在幾何學中，**六邊形**是指有六條邊和六個頂點的多邊形，其內角和為 720 度。六邊形有很多種，其中對稱性最高的是正六邊形。正六邊形是一種可以使用尺規作圖的六邊形，也可以拼滿平面，因此自然界中可以找到許多正六邊形的結構，如蜂巢、玄武岩和苯的分子結構。另外，正六邊形也可以構成一些高對稱性的多面體，如截角二十面體，巴克明斯特富勒烯的分子結構就是這種形狀。

六邊形依照其類角的性質可以分成凸六邊形和非凸六邊形，其中凸六邊形代表所有內角的角度皆小於 180 度。非凸六邊形可以在近一步分成凹六邊形和星形六邊形，其中星形六邊形表示邊自我相交的六邊形。

## 正六邊形

正六邊形是每條邊等長、每個角相等的六邊形，在施萊夫利符號中可以用 $\left\{6\right\}$ 來表示。正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造，即切去正三角形的三個頂點，因此正六邊形在施萊夫利符號中亦可以寫為 $t\left\{3\right\}$ 。但若截角深度太深或太淺都會產生一種具有兩個不同邊長的六邊形。

正六邊形是一個同時具有邊可遞和點可遞特性的六邊形，是一種雙心多邊形，這意味著它同時具有內切圓和外接圓。

正六邊形邊的長度與其外接圓半徑相等，且等於邊心距的 ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ 倍，其中，邊心距與內切圓半徑相等。正六邊形的每個內角都是 120 度，且具有 6 次的旋轉對稱性（階數為 6 的旋轉對稱性）和 6 軸對稱性（有 6 個對稱軸的軸對稱性），組成了 D6 二面體群的對稱性。正六邊形最長的對角線是兩側頂點的對角線，其長度恰好為邊長的兩倍，因此若有一個三角形其中一個頂點位於六邊形幾何中心、其中一條邊與六邊形共用，則這個三角形是正三角形，且正六邊形可以分割成 6 個此三角形。

正六邊形是其中一種能夠密鋪平面的正多邊形，其餘兩種為正三角形和正方形。如同正方形和正三角形一樣，正六邊形可以經過重複的排列和組合，形成沒有空隙或重疊的幾何圖形，這種圖行每個頂點都是 3 個六邊形的公共頂點，並形成一個很緊密的二維空間充填，也因此大部分的蜂窩都會將其的每個蜂房做成六邊形，使其能夠有效地利用空間和建材。另外，正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌。雖然具有等邊的特性，但並不常被當作等邊多邊形。

### 參數

正六邊形的最大直徑 $D$ 是最大半徑或外接圓半徑 $R$ 的兩倍，其外接圓半徑 $R$ 與邊長 $t$ 等長。

　
: ${\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R$

 
正六邊形的面積為： 

（ $R$ 為外接圓半徑、 $r$ 為內接圓半徑、 $D$ 為外接圓直徑＝六邊形對角長、 $d$ 為內接圓直徑＝六邊形對邊長）

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}\end{aligned}}$

也可以利用其邊心距套用任意正多邊形公式求得：

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2},\end{aligned}}$

正六邊形可以單單用圓規直尺繪畫。因為當正六邊形內接於圓時，圓的半徑剛好等於正六邊形的邊長，正六邊形最長的對角線就等於圓的直徑。中國古代對圓周和直徑的關係有「周三徑一」之說，可以視為採用正六邊形為圓的近似圖形求得的結果。

## 正六邊形尺規作圖

下面是正六邊形的尺規作圖，共三步。 

1. 畫一條水平線，通過此線上的任意點做一個圓。
2. 以該圓與線的交點為圓心，分別畫出與該圓半徑相同的圓，與該圓交於 4 點。
3. 依順序聯結這 4 個點和該圓與水平線的交點即成正六邊形。

## 面積

### 正六邊形

因為正六邊形由六個等邊三角形組成，所以：

正六邊形的面積 = 三角形面積 ×6= ${\frac {\sqrt {3}}{4}}\times a^{2}\times 6={\frac {3}{2}}a^{2}{\sqrt {3}}$

這些等邊三角形的高是正六邊形內切圓的半徑，即 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ 。

## 六邊形的密鋪平面

有多種六邊形可以獨立密鋪平面，換句話說即該六邊形反覆拼接可以無空隙地填滿整個平面

## 扭歪六邊形

扭歪六邊形，又稱不共面六邊形，是指頂點並非完全共面的六邊形

### 皮特里多邊形

一些正扭歪六邊形來自於高維多胞體的皮特里多邊形。

## 多面體的截面

部分多面體具有六邊形的截面，例如立方體、正八面體和正十二面體。在立方體中，六邊形的截面穿過對邊的中點。

## 自然中的六邊形

由於正六邊形具有高度對稱性，且可以無空隙地填滿整個平面，這種形狀稱為正六邊形鑲嵌，其頂點排佈稱為六邊形網格（英語：Hexagonal Grid）。以這些頂點為幾何中心的圓形可以構成二維空間中可能的圓形鑲嵌中最緊密的一種排佈，其牛頓數為 6，也因此自然界經常出現許多正六邊形的結構，例如蜂巢、玄武岩和一些化學物質的分子結構。

在太空中，亦有其他自然形成的六邊形，例如土星極區的雲層呈現六邊形，被稱為土星六邊形。

* * * * * * * *

## 文化

由於法國的領土像一個六邊形，因此法國人也經常用「六邊形」（L'Hexagone）一詞來指代法國。1988 年發行的戴高樂 1 法郎硬幣上，就印有代表法國的六邊形。

## 參考文獻
正六角星

**六角星**，又稱**六芒星**，是指一種有六隻尖角，並以六條直線畫成的星星圖形，在施萊夫利符號中用 {6|2}、2 {3}、{{3}} 或 {6/2} 表示，可以視為由兩個正三角形顛倒疊在一起，因此又稱為**二複合正三角形**，其交點是一個正六邊形。在猶太教、印度教、伊斯蘭教哈乃斐派和神秘主義的歷史、宗教和文化背景中，可以看見六芒星的蹤影。

## 群論

在數學上，對於李群 G2 根系是在六角星的形式。

　
:

## 作圖方法

可以使用圓規和直尺繪製出六角星，作圖方法如同正六邊形一樣：

* 使用圓規先繪出任一半徑的圓圈。
* 在不改變圓規半徑的情況下，將圓規的立足點放在圓周上，找到新圓與第一個圓相交兩點的其中之一。
* 在最後一個點上找到立足點，同樣在圓周上找到第三個點，並重複直到標記了六個這樣的點。
* 使用直尺，在圓周上連接交替點以形成兩個重疊的等邊三角形。

## 幾何學

在幾何學中，六角星是邊自我相交的六邊形。

正六角星只有一種，其施萊夫利符號計為 {6/2}，與所述第二數字差別在繪製六角星時頂點間隔數，而 {6/3} 則已退化成六個相交的二邊形，即十二條兩兩重疊且相交的線段，若計為 {6/1} 則為正六邊形，一般會省略後半只計 {6}。

## 密鋪平面

六角星可以獨立密鋪平面：

## 起源和形狀

六角星可能是一個簡單的幾何形狀，例如像三角形，圓形，或方形，但六角星在不同民族中出現彼此沒有任何關係。

## 亞伯拉罕宗教

### 猶太人

六角星在此種用法中是猶太教和猶太身份的公認的象徵，也被通俗地稱為猶太星，或「大衛之星」。

### 基督徒

### 穆斯林

* * * * * * * *

## 其他六角星

其他六角星可以被構造為一個連續的路徑。

## 參見

* 六角星數

## 參考文獻

* Grünbaum, B. and G. C. Shephard; _Tilings and Patterns_, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
* Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, _Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993)_, ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
* Graham, Dr. O.J. The Six-Pointed Star: Its Origin and Usage 4th ed. Toronto: The Free Press 777, 2001. ISBN 0-9689383-0-2
* Wessely, l.c. pp. 31, 112

## 外部連結

* Hexagram （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (MathWorld)
* The Archetypal Mandala of India
* Thesis from Munich University on hexagram as brewing symbol （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正六角錐柱

在幾何學中，**六角錐柱**是一種多面體，是錐柱體的一種，指底面為六邊形的錐柱體，或是將底面全等的六角錐與六角柱疊合所形成的立體。六角錐柱具有 13 個面、24 個邊、和 13 個頂點，每個六角錐柱皆為一個十三面體。

底面為正六邊形的**六角錐柱**稱為**正六角錐柱**，既不是半正多面體，也不是詹森多面體。

## 正六角錐柱

正六角錐柱僅指底面為正六邊形的**六角錐柱**，若考慮側面皆為正多邊形是不可能的，考慮六角錐柱的上下二部分，柱體部分側面可以為正多邊形：正方形，錐體部分則不行，如同六角錐，若每個面皆為正三角形，則整個六角錐柱將會退化為六角柱，因此不能算是半正多面體，也不是詹森多面體，但可以算是一種擬詹森多面體。

　
:

## 相關多面體

## 參見

* 擬詹森多面體
* 詹森多面體
* 六角錐
正六超胞体

**五維正六胞體（Hexateron）** 或稱正六超胞體（Hexateron）是 3 個五維凸正多超胞體之一，一種自身對偶的五維多胞體，是五維的單體，四維正五胞體、三維正四面體、二維正三角形的五維類比。由 6 個正五胞體胞、15 個正四面體胞、20 個正三角形面、15 條棱、6 個頂點組成。它的二超胞角是 cos−1(1/5)，約等於 78.46°。正如其它維的正單體一樣，正六超胞體可以被看作是正五胞體的稜錐，即正五胞體稜錐，它由一個正五胞體底面一個與正五胞體 5 個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成，正五胞體的正四面體胞與頂點相連成為 5 個正四面體稜錐（即正五胞體）側面。

## 幾何性質

正六超胞體的頂點處有 5 條棱相交，應此它的頂點圖是正五胞體，在它的棱處有 4 個正五胞體維脊相交，應此它的棱圖是正四面體。它有施萊夫利符號 {3,3,3,3}，考斯特 - 迪肯符號，它像其它正單體一樣是自身對偶的。
對於一個邊長為 a 的正六超胞體，其超胞積是 ${\cfrac {{\sqrt {3}}a^{5}}{480}}$ , 表胞積是 ${\cfrac {{\sqrt {5}}a^{4}}{16}}$ , 高是 ${\cfrac {{\sqrt {30}}a}{5}}$ 。
若一個正六超胞體的棱長為 1，則其外接五維超球的半徑為 ${\frac {\sqrt {15}}{6}}$ , 內切五維超球的半徑為 ${\frac {\sqrt {15}}{30}}$ 。

 

### 坐標系

為了得到正六超胞體的頂點坐標，我們可以將其看作是由正五胞體和一個與正五胞體 5 個頂點距離都相等且等於正五胞體棱長的頂點相連而成。經過計算之後，我們便可將棱長為 2，中心在五維直角坐標系原點的正六超胞體頂點坐標表示為： 

　
: $\left({\sqrt {\frac {1}{15}}},\ {\sqrt {\frac {1}{10}}},\ {\sqrt {\frac {1}{6}}},\ {\sqrt {\frac {1}{3}}},\ \pm 1\right)$

　
: $\left({\sqrt {\frac {1}{15}}},\ {\sqrt {\frac {1}{10}}},\ {\sqrt {\frac {1}{6}}},\ -2{\sqrt {\frac {1}{3}}},\ 0\right)$

　
: $\left({\sqrt {\frac {1}{15}}},\ {\sqrt {\frac {1}{10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)$

　
: $\left({\sqrt {\frac {1}{15}}},\ -2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)$

　
: $\left(-{\sqrt {\frac {5}{3}}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)$

如果我們將正六超胞體當作是位於六維直角坐標系中的超平面，則正六超胞體的頂點坐標可以簡單地表示為 (0,0,0,0,0,1) 或者 (0,1,1,1,1,1) 的全排列，這樣的正六超胞體實則是六維正軸體（前者）或者截半六維超正方體（後者）的一個表面。

### 對稱群構造

作為五維的正單體，一個五維凸正多超胞體，它具有 A5 考克斯特平面對應的對稱群構造，對應施萊夫利符號 {3,3,3,3}，考斯特 - 迪肯符號。同時，它可被看作是四維正五胞體的稜錐，只具有 A4 對應對稱性。

## 圖像

五維正六胞體可以以自身的對稱性被平行投影到 2 維平面上：

## 相關連結

* 正五胞體
* 五維空間
* 五維超正方體
* 五維正軸體

## 參考文獻

* T. Gosset：_On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions_，Messenger of Mathematics，Macmillan，1900
* H.S.M. 考克斯特：
  * 考克斯特，_Regular Polytopes_，(第三版，1973)，Dover edition，ISBN 0-486-61480-8，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
  * H.S.M. 考克斯特，_Regular Polytopes_，第三版，Dover New York，1973，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes，three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**，editied by F. Arthur Sherk，Peter McMullen，Anthony C. Thompson，Asia Ivic Weiss，Wiley-Interscience Publication，1995，ISBN 978-0-471-01003-6 [1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (第 22 頁) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (第 23 頁) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (第 24 頁) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* John H. Conway，Heidi Burgiel，Chaim Goodman-Strass，_The Symmetries of Things_ 2008，ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
* 諾曼・詹森 _Uniform Polytopes_，Manuscript (1991)
  * N.W. 詹森: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_，Ph.D. (1966)
* Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o3o - hix. bendwavy.org.
正六邊形

在幾何學中，**六邊形**是指有六條邊和六個頂點的多邊形，其內角和為 720 度。六邊形有很多種，其中對稱性最高的是正六邊形。正六邊形是一種可以使用尺規作圖的六邊形，也可以拼滿平面，因此自然界中可以找到許多正六邊形的結構，如蜂巢、玄武岩和苯的分子結構。另外，正六邊形也可以構成一些高對稱性的多面體，如截角二十面體，巴克明斯特富勒烯的分子結構就是這種形狀。

六邊形依照其類角的性質可以分成凸六邊形和非凸六邊形，其中凸六邊形代表所有內角的角度皆小於 180 度。非凸六邊形可以在近一步分成凹六邊形和星形六邊形，其中星形六邊形表示邊自我相交的六邊形。

## 正六邊形

正六邊形是每條邊等長、每個角相等的六邊形，在施萊夫利符號中可以用 $\left\{6\right\}$ 來表示。正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造，即切去正三角形的三個頂點，因此正六邊形在施萊夫利符號中亦可以寫為 $t\left\{3\right\}$ 。但若截角深度太深或太淺都會產生一種具有兩個不同邊長的六邊形。

正六邊形是一個同時具有邊可遞和點可遞特性的六邊形，是一種雙心多邊形，這意味著它同時具有內切圓和外接圓。

正六邊形邊的長度與其外接圓半徑相等，且等於邊心距的 ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ 倍，其中，邊心距與內切圓半徑相等。正六邊形的每個內角都是 120 度，且具有 6 次的旋轉對稱性（階數為 6 的旋轉對稱性）和 6 軸對稱性（有 6 個對稱軸的軸對稱性），組成了 D6 二面體群的對稱性。正六邊形最長的對角線是兩側頂點的對角線，其長度恰好為邊長的兩倍，因此若有一個三角形其中一個頂點位於六邊形幾何中心、其中一條邊與六邊形共用，則這個三角形是正三角形，且正六邊形可以分割成 6 個此三角形。

正六邊形是其中一種能夠密鋪平面的正多邊形，其餘兩種為正三角形和正方形。如同正方形和正三角形一樣，正六邊形可以經過重複的排列和組合，形成沒有空隙或重疊的幾何圖形，這種圖行每個頂點都是 3 個六邊形的公共頂點，並形成一個很緊密的二維空間充填，也因此大部分的蜂窩都會將其的每個蜂房做成六邊形，使其能夠有效地利用空間和建材。另外，正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌。雖然具有等邊的特性，但並不常被當作等邊多邊形。

### 參數

正六邊形的最大直徑 $D$ 是最大半徑或外接圓半徑 $R$ 的兩倍，其外接圓半徑 $R$ 與邊長 $t$ 等長。

　
: ${\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R$

 
正六邊形的面積為： 

（ $R$ 為外接圓半徑、 $r$ 為內接圓半徑、 $D$ 為外接圓直徑＝六邊形對角長、 $d$ 為內接圓直徑＝六邊形對邊長）

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}\end{aligned}}$

也可以利用其邊心距套用任意正多邊形公式求得：

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2},\end{aligned}}$

正六邊形可以單單用圓規直尺繪畫。因為當正六邊形內接於圓時，圓的半徑剛好等於正六邊形的邊長，正六邊形最長的對角線就等於圓的直徑。中國古代對圓周和直徑的關係有「周三徑一」之說，可以視為採用正六邊形為圓的近似圖形求得的結果。

## 正六邊形尺規作圖

下面是正六邊形的尺規作圖，共三步。 

1. 畫一條水平線，通過此線上的任意點做一個圓。
2. 以該圓與線的交點為圓心，分別畫出與該圓半徑相同的圓，與該圓交於 4 點。
3. 依順序聯結這 4 個點和該圓與水平線的交點即成正六邊形。

## 面積

### 正六邊形

因為正六邊形由六個等邊三角形組成，所以：

正六邊形的面積 = 三角形面積 ×6= ${\frac {\sqrt {3}}{4}}\times a^{2}\times 6={\frac {3}{2}}a^{2}{\sqrt {3}}$

這些等邊三角形的高是正六邊形內切圓的半徑，即 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ 。

## 六邊形的密鋪平面

有多種六邊形可以獨立密鋪平面，換句話說即該六邊形反覆拼接可以無空隙地填滿整個平面

## 扭歪六邊形

扭歪六邊形，又稱不共面六邊形，是指頂點並非完全共面的六邊形

### 皮特里多邊形

一些正扭歪六邊形來自於高維多胞體的皮特里多邊形。

## 多面體的截面

部分多面體具有六邊形的截面，例如立方體、正八面體和正十二面體。在立方體中，六邊形的截面穿過對邊的中點。

## 自然中的六邊形

由於正六邊形具有高度對稱性，且可以無空隙地填滿整個平面，這種形狀稱為正六邊形鑲嵌，其頂點排佈稱為六邊形網格（英語：Hexagonal Grid）。以這些頂點為幾何中心的圓形可以構成二維空間中可能的圓形鑲嵌中最緊密的一種排佈，其牛頓數為 6，也因此自然界經常出現許多正六邊形的結構，例如蜂巢、玄武岩和一些化學物質的分子結構。

在太空中，亦有其他自然形成的六邊形，例如土星極區的雲層呈現六邊形，被稱為土星六邊形。

* * * * * * * *

## 文化

由於法國的領土像一個六邊形，因此法國人也經常用「六邊形」（L'Hexagone）一詞來指代法國。1988 年發行的戴高樂 1 法郎硬幣上，就印有代表法國的六邊形。

## 參考文獻
正六邊形鑲嵌

在幾何學中，**正六邊形鑲嵌**是一種平面鑲嵌，由正六邊形重覆組合排列而成，且填滿整個平面，而且沒有任何空隙或重疊，由於皆由正多邊形組成，因此稱為正鑲嵌圖。正六邊形鑲嵌是三維歐幾里得空間中三個正密鋪之一。另外兩個分別是正三角形鑲嵌和正方形鑲嵌。

康威將之稱為 hextille。

由於**正六邊形鑲嵌**是由正六邊形組成，又因正六邊形內角為 120°，因此每個頂點周圍都有 3 個正六邊形，且剛好占滿 360°，才能填滿平面。

在施萊夫利符號中，**正六邊形鑲嵌**可用 {6,3} 或 t {3,6} 表示。

## 圓堆砌

正六邊形鑲嵌可以被用來進行圓堆砌，以其每個頂點為圓心放置等直徑的圓。在這個堆砌里，每個圓都與 3 個相鄰圓接觸（接觸數）。每個正六邊形中間的部分實際上還可以再放入一個圓，這樣我們就會得到二維最密圓堆砌 —— 正三角形鑲嵌式圓堆砌，這時接觸數達到最大值 6。

## 半正塗色

正六邊形鑲嵌共有 3 種不同的半正塗色，都可以由 Wythoff 鏡面對稱構造出來。(h,k) 表示一種塗色的面週期性重複，以正六邊形距離 h、k 計數，h 在先，k 在後。

其中三色正六邊形鑲嵌是一個由三階全序多胞形產生的鑲嵌。

## 相關半正鑲嵌

正六邊形鑲嵌可以通過截角操作得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與正六邊形鑲嵌擁有相似的對稱性：

正六邊形鑲嵌在拓撲上與一系列一直延伸到雙曲鑲嵌的頂點圖為 _n_3 的（廣義）多面體相關：

（三階）正六邊形鑲嵌在拓撲上與一系列面為正六邊形的密鋪相關聯，這些鑲嵌都可稱之為「正六邊形鑲嵌」，所以我們以「n 階」來區分，其施萊夫利符號為 {6,n}，考克斯特符號，一直到 n = ∞：

這個鑲嵌還是一系列有考克斯特對稱群 [n,3] 對稱性的（半）截角菱形多面體或鑲嵌的一員。立方體可以被看作是「菱形六面體」，這裡菱形就是正方形。它們的截角形在原頂點處有正的多邊形，而原來的菱形面則被截成了非正六邊形。這一系列多面體或鑲嵌有兩種頂點圖：(n.6.6) 和 (6,6,6)。

正六邊形鑲嵌亦可被看作_延長菱形鑲嵌_，菱形鑲嵌的每一個頂點都被延長成了新的棱。這類似於三維空間中的菱形十二面體堆砌和菱形六角化十二面體堆砌之間的關係。

## 基於正六邊形鑲嵌和正三角形鑲嵌的 Wythoff 構建

就像半正多面體一樣，這裡也有 8 個基於正六邊形鑲嵌（和正三角形鑲嵌）的半正鑲嵌。在以下的圖片中，原有面對應的面被塗成了紅色，原有頂點所對應的面被塗成了黃色，原有棱對應的面被塗成了藍色。這 8 個半正鑲嵌中，只有 7 個是拓撲上相異的。（截頂正三角形鑲嵌與正六邊形鑲嵌在拓撲上相同）

 

## 拓撲相同的鑲嵌

正六邊形鑲嵌是有著 {6,3} 拓撲的一種特殊的正的鑲嵌，而實際上，這裡有 12 種類型的非正但是面全同且頂點全同的六邊形鑲嵌，前 7 種可以被認為是沒有邊對邊正好對上的四邊形鑲嵌，也可被認為是有兩對共線邊的六邊形鑲嵌。這裡的「對稱性」假定所有的面都是相同的。

* * * * * * * * * * * *

正六邊形鑲嵌也可被變形為一種手征性的四填充色三向同性的編織圖案。其中部分正六邊形被扭曲成了平行四邊形。這一圖案有著旋轉 632 (p6) 對稱性。

## 應用

正六邊形鑲嵌是二維空間最密的排列方式。在蜂窩猜想中，正六邊形鑲嵌是使用最少的總周長將該表面劃分成面積相等的區域的最佳方法。最佳的三維結構由開爾文勳爵 (Lord Kelvin) 提出，他認為，開爾文結構 (體心立方晶格) 是最佳的結構（最佳結構可能出現於肥皂泡）。然而，一個更加不對稱的韋爾 — 費倫結構要比它好一些。

## 參考文獻
正六面形

在幾何學中，**六面體**是指由六個面組成的多面體。所有面都全等、所有邊等長且所有角相等的六面體稱為正六面體。幾何學上的正六面體是立方體，由 6 個正方形組成，但在抽象幾何學中有另外一種具有 6 個面的正多面體，是由 6 個正五邊形組成的半十二面體，但其為抽象多胞形不具有體積。其他亦存在所有面都全等但其他條件未必符合正多面體的形狀，例如雙三角錐和菱形六面體。其他也存在許多不規則的六面體，例如四角錐台、五角錐等。

## 常見的六面體

常見的六面體有正方體、四角柱、五角錐、雙三角錐、三方偏方面體。

### 長方體

六個面都是矩形的六面體稱為長方體，長方體具有每個二面角相等和每個三面角相等等特性。

### 平行六面體

六個面都是平行四邊形的六面體稱為平行六面體。當六個面都是菱形時，則具有等邊多面體的性質，此時稱為菱形六面體。

### 六面體列表

### 非凸六面體

### 退化六面體

部份六面體包含退化的面或者本身已經退化至無法擁有體積的形式。例如二角反稜柱，其 2 個底面為二角形，因此退化成一條稜、更進一步的退化六面體有六面形，其由 6 個二角形組成，本身已退化至無法擁有體積的形式，僅能以球面鑲嵌的形式存在。

#### 二角反稜柱

二角反稜柱，又稱反二角柱是指底面為二角形的反稜柱，由於其兩個底面皆為二角形，因此這兩個面已退化成一條稜，若不計這兩個退化的底面，則這個立體與四面體無異。在球面幾何學中，二角反稜柱可以作為球面鑲嵌，此時二角形的面能夠在求面上已非退化的形式存在，而確保整個立體為六個面組成的立體，此時的二角反稜柱由 2 個球面二角形和 4 個球面三邊形構成，共有 6 個面、8 條邊和 4 個頂點，並且可以視為扭稜的二面形或二角形二面體，在施萊夫利符號中可以用 sr {2,2} 來表示。

#### 六面形

六面形是一種多面形，為退化的六面體，無法擁有體積，由六個二角形組成。在球面幾何學中，六面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在，表示六個鑲嵌在球體上的球弓形，施萊夫利符號中利用 {2,6} 來表示，其對偶多面體是六邊形二面體。

六面形由六個二角形組成，每個頂點都是六個二角形的公共頂點。正六面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是六個正二角形的公共頂點，因此正六面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。

六面形具有 D6h, [2,6], (\*226) 的對稱性和 D6, [2,6]+ 的旋轉對稱性，且階數為 24，在考克斯特符號中用表示，其對稱性與六角柱相同，因此六角柱也可以視為一種與六面形相關的立體，因為六角柱可以經由六面形透過截角變換構造。

## 拓樸學中的六面體

在所有凸六面體當中，共有七種拓樸結構有明顯差異的凸六面體 。其中有 2 中互為鏡射像。

## 參考文獻

## 外部連結

* Polyhedra with 4-7 Faces by Steven Dutch
正六面體半形

在抽象幾何學中，**立方體半形**是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似，它們的每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而立方體有 6 個面，而立方體半形僅有 3 個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中。在拓樸學上，其可以視為正四面體的皮特里對偶。

## 性質

立方體半形由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {4,3}/2 或 {4,3}3 來表示，其中 {4,3} 代表且每個頂點都是 3 個正方形的公共頂點，然而 {4,3} 代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量。

　
:

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即 $n+1$ 維超方形半形（施萊夫利符號： ${\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}$ ）的對偶多胞形為 $n+1$ 維正軸形半形（施萊夫利符號： ${\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}$ ）。

特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用 2 條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定，也就是說，一般不會存在 2 個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

　
:

### 構造

立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的 I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的 4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架，同時其構成的面不會共面，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為 _K_4 完全圖嵌入於射影平面上的結果。

### 具象化

立方體半形可被視為是射影多面體 （可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌）。要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，並過半球體的邊界連接對蹠點，同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。

立方體半形和半立方體不同，立方體半形是一個射影多面體，且無法嵌入在三維歐幾里得空間中；而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半，立方體**半形**可以視為立方體的商空間，而**半**立方體則不是，半立方體只有頂點為立方體頂點的子集。

## 皮特里四面體

皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味著其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。

皮特里四面體由 3 個面、6 條邊和 4 個頂點組成，其中，3 個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為 1 的幾何結構。

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形。

## 相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有：

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：

## 參考資料

## 外部連結

* 立方體半形 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正六面體堆砌

**立方體堆砌**（Cubic Honeycomb）是三維空間內唯一的正密鋪，也是 28 個半正密鋪之一，由立方體堆砌而成，其縮寫為 chon。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為 180° 的四維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。

立方形家族裡的多胞形二胞角總是 90°，因此總能獨自完成超平面密鋪，這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」，具有 ${\tilde {C}}_{n}$ 對稱性，有施萊夫利符號形式 {4,3,……,3,4}。

## 性質

立方體堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是 8 個立方體的公共頂點、每條稜都是 4 個立方體的公共稜。

### 頂點坐標

立方體堆砌頂點的笛卡兒坐標為：

　
: : (i, j, k)

　
: 對所有的 i,j,k 皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為 1 立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而 i,j,k 值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。

## 正交投影

## 相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌 {4,4} 在三維空間的類比，他們的形式皆為 {4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身對偶。他也是 28 種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

## 自然界中的立方體堆砌

作為少有的三維半正堆砌，自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構，在固體物理學中被稱為「立方晶系」，許多固體化合物，如氯化鈉、硫化鋅、氯化亞銅、螢石、三氧化錸和金屬單質，如鋁、釩、鋰等，都具有這種晶系的結構。

### 簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

## 表面著色

作為立方形堆砌家族其中一員，立方體堆砌有 ${\tilde {C}}_{4}$ 對稱性，有施萊夫利符號 {4,3,4}，考克斯特符號，除此之外，作為一個空間堆砌，它有 Pm3m 空間平移對稱性。

而然，立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌，它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表：

## 相關多面體和鑲嵌

立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號 {4,3,3} 相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方體堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為 {4,3,5}。

考克斯特群 [4,3,4]、產生 15 個排列均勻的鑲嵌中，9 個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

考克斯特群 [4,31,1], , 考克斯特群產生 9 個排列均勻的鑲嵌中，其中 4 個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。

立方體堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特 - 迪肯符號的對稱性：

## 參考

* H.S.M. 考克斯特 _Regular Polytopes_, (第三版，1973), Dover 參與編輯，ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: 正堆砌
* George Olshevsky, _Uniform Panoploid Tetracombs_, Manuscript (2006) （包含 11 個凸半正鑲嵌、28 個凸半正堆砌、和 143 個凸半正四維砌的全表）
* Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4 (1994), 49 - 56.
* Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication 參與編輯，1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * (22 頁) H.S.M. 考克斯特， _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空間鑲嵌)
* A. Andreini, _Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative_ (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
* Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
* Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正兴乡

**正興鄉**，是中華人民共和國四川省廣元市劍閣縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。2020 年 5 月，撤銷正興鄉，將原正興鄉龍虎村、郭溝村、金頂村、崇嶺村、華山村所屬行政區域劃歸開封鎮管轄。將原正興鄉星火村、河西村、三元村、孔龍村的行政區域劃歸武連鎮管轄。

## 行政區劃

正興鄉下轄以下地區：

星火村、​河西村、​三元村、​孔龍村、​崇嶺村、​郭溝村、​龍虎村、​金頂村和華山村。

## 參考資料
正兴湾站

**正興灣站**是成都地鐵 19 號線建設中的一座車站。

## 車站概要

本站位於成都市天府新區正興街道錦江東岸正興灣大橋側，濱河路與規劃道路交叉口處，沿濱河路東側規劃綠帶呈南北向設置。本站在規劃階段曾用名「新碼頭街站」。

## 車站結構

本站為地下二層雙島式車站，四個月台面皆設置屏蔽門，配合設置四條路軌。19 號線慢車使用內側兩條路軌，在此待避快車；快車使用外側兩條路軌，可在本站停車辦理乘降後超越慢車（接續追越），或不停車直接通過本站超越慢車（通過追越）。

### 車站樓層

## 內裝與公共藝術

## 出入口信息

本站共設置 3 個出入口，其中 A 口通道長 60.67 米，B 口通道長 62.21 米，C 口通道長 49.47 米，基坑深 13 米，標準平直段淨空高度均為 4.35 米。三個出入口周邊無建構築物，實施條件較好，採用明挖法實施。

## 歷史

* 2020 年 11 月 19 日，本站主體結構封頂。
* 2021 年 8 月 10 日，本站正式移交站後機電施工單位。
* 2021 年 8 月 11 日，本站至紅蓮站盾構區間左線首破 1000 環，實現月最高進尺 374.4 米，月平均進尺 157.5 米的佳績。
* 2021 年 10 月 22 日，本站至紅蓮站盾構區間左線貫通。
* 2021 年 12 月 12 日，本站至紅蓮站盾構區間右線貫通。
* 2021 年 12 月 31 日，本站至怡心湖站盾構區間左線貫通。
* 2022 年 3 月 10 日，本站至怡心湖站盾構區間右線貫通。

## 鄰近車站

## 參考資料

## 外部連結

* 19 號線二期工程 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正兴街

**正興街**是中華人民共和國河南省鄭州市一條東西走向的道路，東起二七廣場，西至二馬路與中原東路相接，全長約 500 米，為鄭州市中心的一條交通要道。

## 歷史

正興街的形成可追溯至清末時期。當時此地勢較為低洼，常年積水，後用土填平後，因距鄭州火車站和十字街心（現二七廣場）距離較近，一些小商販開始在此擺攤，因位於老城西側，故被稱作「小西市」。中華民國時期，隨著蘆漢鐵路與汴洛鐵路於鄭州交匯，火車站一帶成為棉花、鹽等主要商品的集散地。1917 年開始，二馬路兩側聚集了一二十家大小棉花行、貨棧、轉運公司、旅店等，客商絡繹不絕。因場地不足，一些棉商開始由二馬路向東，在「小西市」一帶開設花行、交易市場、旅店、飯館等，使此處開始熱鬧起來，形成街道，被稱作正興街。

正興街名稱的來歷有兩種說法，一說是因這裡店鋪林立，生意興隆，故名正興街。還有一種說法是，民國年間，開封人趙魁源來此地開設一間飯館。因初來乍到，正在興業，故起名為「正興飯店」。隨著正興飯店生意日漸興隆，外地客商都願意來此就餐，時間久了，客商們就將這條街叫做正興街。後來，棉花業日漸衰落，新興的鹽號、銀行、洋貨行等又紛紛在正興街開業，使正興街成為鄭州有名的商業街。1931 年 11 月，鄭州城工局繪製的《鄭州市街全圖》上已對正興街有了記載。

20 世紀 70 年代，正興街進行改建，西段修建了下穿鐵路的中原路立交橋，並與中原東路連通。

## 主要交匯道路

由東向西排列，**粗體字**為主幹道：

* **二七路**、**人民路**、**西大街**
* **解放路**
* 興盛路
* **福壽街**

## 沿路主要建築和地點

* 二七廣場
* 二七紀念塔
* 鄭州華聯商廈

## 公共運輸

## 參考資料
正兴街道

**正興鎮**，是中華人民共和國四川省成都市雙流區下轄的一個鄉鎮級行政單位。2019 年 12 月，撤鎮設街道，正興街道辦事處駐廣東街 248 號。

## 行政區劃

正興鎮下轄以下地區：

蘇碼頭社區、​大安橋社區、​雲龍社區、​回龍社區、​田家寺社區、​涼風頂社區、​秦皇寺社區、​釣魚嘴社區、​官塘村和火石岩村。

## 教育

私立學校:

* 成都樂盟國際學校

## 參考資料
正兴镇

**正興鎮**可以指：

* 正興鎮 (重慶市)，中華人民共和國重慶市璧山區下轄的鎮
* 正興街道，中華人民共和國四川省成都市雙流區下轄的鎮
* 正興鎮 (景谷縣)，中華人民共和國雲南省普洱市景谷傣族彝族自治縣下轄的鎮
正兴镇_(景谷县)

**正興鎮**，是中華人民共和國雲南省普洱市景谷傣族彝族自治縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

正興鎮下轄以下地區：

景南村、​波雲村、​新寨村、​水平村、​勐烈村、​鐵廠村、​正興村、​通達村、​勐乃村、​翁安村和黃草壩村。

## 參考資料
正兴镇_(璧山县)

**正興鎮**，是中華人民共和國重慶市璧山區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

正興鎮下轄以下地區：

文華社區、​太和社區、​沙塝村、​河堰村、​金堂村、​大面坡村、​朝陽村、​石院村、​尖山子村、​壪塘村、​團結村、​石龍村、​衛寺村和曙光村。

## 參考資料
正典

**正典**源自希臘語 **κανών, kanōn**，意為「規則；量尺」，英語為 **Canon**。在基督宗教，因教父時期為了系統化神學內容以回應異端的挑戰，乃將整個基督宗教的經典分為正典、次經與偽經三個層級。正典是完全可靠的經典，現在通用的拉丁版聖經便是在這一次的集結中定本。「次經」是一些作者還不能完全確定的作品，次經的內容通常無損於正統神學的內涵，因此仍有參考的價值。最後一個級等的「偽經」便是指那些「次經以外的著名」，內容是一些未能確定真偽的著作。

## 正典簡介

## 正典列表

　
: 舊約聖經

　
: 新約聖經

## 正典的形成

最早是摩西五經，也稱律法書（申 11：24-6）。以斯拉時除了五經外，尚有部份歷史書，稱為神的書（拉 7：6；民 8：5）。舊約聖經有 39 卷。舊約在主前四百年集成。耶穌和使徒所引用的聖經都是舊約聖經（彼後 3:16），其中只猶大書引用偽經以諾書（v. 14）。

新約初期視保羅書信為權威在教會誦讀。四福音及保羅卷書信在 130 年便為大部分教會接納。教會有許多作品深得尊重，還視之為正典。

約 160 年馬吉安提出他的新約目錄，不過當時原始正統 (proto-orthodox) 教會視馬吉安為異端，馬吉安的新約目錄不被接納。419 年，新約 27 卷在迦太基會議中被正式接納。

有稱耶穌是基督宗教的創始人，只以口頭表述的方式傳教，直到死後才有文字的記載。這無疑是一種對基督宗教的誤解。(請註明此説法的出處。）

## 相關條目

* 聖經
* 次經
* 偽經
* 尼西亞會議
* 第一次尼西亞公會議
* 第二次尼西亞公會議

## 參考文獻

### 外部連結

* 聖經的簡介和可靠性討論 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正典_(星际旅行)

**星艦迷航記正典**（英語：Star Trek canon）一般來說，包括電視劇《星際爭霸戰》、《銀河飛龍》、《銀河前哨》、《星際爭霸戰：重返地球》、《企業號》、《星際爭霸戰：發現號》以及系列電影。2003 年當時星艦迷航記的官方站點認為這定義並非一成不變，到底什麼才算星艦迷航記正典其概念亦不是固定，對此採取開放態度；而派拉蒙在 2009 年重啟電影設定歷史走向不同，居主導地位的 CBS 於 2016 年 6 月公開劃分**主時間線**（Prime Timeline）和**凱文時間線**（Kelvin Timeline）以作區別。

## 主時間線

沿襲以往設定者歸於「主時間線」，主要作品有：

**電視劇**

* 《星際爭霸戰》
* 《銀河飛龍》
* 《銀河前哨》
* 《星際爭霸戰：重返地球》
* 《企業號》
* 《星際爭霸戰：發現號》
* 《星際爭霸戰：畢凱》

**電影**

* 《星艦迷航記》系列（1979 年－2002 年）

## 凱文時間線

重啟電影設定因未來人干涉過去歷史而造成時間線變動，CBS 方面認為需有可參考標的，由負責《星艦迷航記百科全書》的奧田夫婦（Michael & Denise Okuda）》構思命名，以聯邦星艦凱文號（U.S.S. Kelvin）被毀當轉折時間點，目前「凱文時間線」作品僅派拉蒙自 2009 年重啟的電影系列：

* 《星際爭霸戰》系列（2009 年－）

## 參考文獻

## 外部連結

* What is considered Star Trek "canon"? article at StarTrek.com, the official Star Trek website.
* The Star Trek Canon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） article at Canon Wars.
* Canon 在阿爾法記憶的相關頁面（一個《星艦奇航記》的 Wiki 網站）
* Memory Alpha:Canon policy 在阿爾法記憶的相關頁面（一個《星艦奇航記》的 Wiki 網站）
正写法

**正寫法**，即是文字符號形體的規範和使用規則，包括正字法和正詞法。

## 規範用字

### 漢字

由於現代漢字的演化，在不同的國家或者區域有著不同的規範。在一些情況下，正字也被用於「正體字」的簡稱，實際上是不同的兩個概念。正體字與正字有交叉的內容，正體字主要指近代傳統上正式使用的字體（相對於異體字），正字可以是對正體字加以整理簡化後，由政府統一推廣使用的文字字體。

#### 中國大陸

《新華字典》和《現代漢語詞典》使用的簡化字是正字的標準。正字法可依據《通用規範漢字表》、《簡化字總表》、修訂後的《第一批異體字整理表》、《現代漢語通用字表》等。漢語正詞法可參照《漢語拼音正詞法基本規則》和《信息處理用現代漢語分詞規範》。在拼寫文字中又稱拼寫法。

#### 台灣

台灣使用由中華民國教育部選定的一套規範漢字與標準字體，並稱台灣現在使用之繁體中文為「正體字」，與香港中文字型略有不同。

即便中華民國教育部有制定國字標準字體供字體廠商做參考，但並沒有強制規定所有字型廠商生產之字型必須符合國字標準字體，因此民間生產之印刷體大多參照傳承字形樣式以維持字體的平衡美觀 。如辵部便可見符合傳統康熙字典印刷體寫法的「⻌」、「⻍」，或是符合教育部國字標準字體的「⻎」。

#### 日本

日本的字形表，以往採用字模印刷，今天《常用漢字表》已使用電腦字型排印。日本對電腦印刷體做規範，但因字形的具體細節在電腦字體中可以很講究，與手寫字之字形存在差別。因此許多字體廠商設計了「教科書體」作爲學童教材的內文字形，模仿手寫時的特徵。如表內、表外漢字的辵部在一般的**印刷體**中分別為「⻌」、「⻍」形，而**教科書體**則呈「⻎」形以供學童參考。

即便如此，學童日常書寫時，亦不可能像機械輸出般將每個字都寫得與教科書體完全相同。教師、家長對手寫字細節的正誤判斷，往往莫衷一是。爲解決這問題，2016 年，日本文化廳的「文化審議会国語分科会漢字小委員会」頒佈研究報告，名爲《關於常用漢字表字體、字形的指南》。說明一些手寫漢字的細節差異，並不構成錯誤，都應視作書寫正確。

例如「『木』的豎筆是否帶鉤」、「『米』的最尾兩筆是否和『十』字中心相觸（米、米）」、「『今』的第三筆是橫還是點」、「『令』的下方為『ㄗ』還是『マ』（令、令）」、「『礼』的首筆是直點還是斜點」、「『口』第一筆和第二筆起筆處是否相觸」等問題，無論學生怎麼寫，教師都不應把它們當作錯字。

### 其他

* 正字也可以指修正文字的動作。1941 年希特勒將德文的尖角體書寫規範廢除，採用拉丁體。
* 正字也有指正音的可能。香港有學者以糾正民眾錯誤用字或者大量使用借音字、符號為口號，發起了「粵語正字運動」。

## 參看

* 校對
* 正體字
* 漢字
* 中文字形
* 德語正寫法
* 俄語正寫法
* 哈薩克文正寫法
* 維吾爾語正寫法
* 柯爾克孜語正寫法
* 錫伯語正寫法
* 台語正寫法
* 漢字規範
* 英語正字法

## 參考資料
正军级

中華人民共和國軍事及中國人民解放軍建制內不同部隊、機構具有不同級別，一般根據級別確定下屬機構級別以及官員職務級別。

## 各級編制

### 中央軍委主席

中央軍事委員會主席為中央軍事委員會的首長，亦是中華人民共和國武裝力量最高統帥，定員一人，由非現役軍人擔任，不授軍階。

### 中央軍委副主席

中央軍事委員會副主席協助中央軍委主席工作，人數不定，編制為上將軍階，是解放軍現役將領能擔任的最高軍職，但中央軍委副主席並不一定是現役軍人。

### 中央軍委委員

中央軍事委員會委員編制為上將軍階。

軍改以前，除中央軍委主席、副主席外，其它中央軍委委員一般包括以下 8 個職位：國防部長、總參謀長、總政治部主任、總後勤部部長、總裝備部部長、海軍司令員、空軍司令員、火箭軍司令員。軍改以後，新的軍委委員由國防部長、聯合參謀部參謀長、政治工作部主任、紀委書記組成。戰區、軍種主官不進入軍委。

### 正戰區級

2019 年 12 月以後，上將實際上成為正戰區職將領的唯一編制軍階。

**中央軍委機關正戰區級職能部門：主官**

1. 中央軍事委員會聯合參謀部：參謀長
2. 中央軍事委員會政治工作部：主任
3. 中央軍事委員會紀律檢查委員會：書記

### 副戰區級

從 2019 年 12 月起，中將軍銜為副戰區職幹部的唯一編制軍銜。副戰區職幹部滿 63 歲或任副戰區職滿 10 年而不能晉升者須退役。

**中央軍委機關正戰區級職能部門、各戰區、各軍種、武警部隊：副職**

### 原正大軍區級

正大軍區級編制首長為上將或中將軍階。

正大軍區級單位共 15 個：總後勤部、總裝備部、海軍、空軍、火箭軍、七大軍區、武警總部、國防大學、軍事科學院。

### 原副大軍區級

副大軍區級編制首長為中將或少將軍階。

副大軍區級單位共 15 個：

* 中央軍委（2 個）：中央軍委辦公廳、國防科技大學。
* 總參謀部（1 個）：中央警衛局。
* 海軍（3 個）：海軍北海艦隊、海軍東海艦隊、海軍南海艦隊。
* 空軍（7 個）：瀋陽軍區空軍、北京軍區空軍、蘭州軍區空軍、濟南軍區空軍、南京軍區空軍、 廣州軍區空軍、成都軍區空軍。
* 蘭州軍區（1 個）：新疆軍區。
* 成都軍區（1 個）：西藏軍區。

### 正軍級

正軍級編制首長為中將或少將軍階。例如：中國人民解放軍駐香港部隊司令員陳道祥少將。

**武警正軍級單位：主官**

* 武警正軍級總隊（5 個）［司令員、政委］：海警總隊、第一機動總隊、第二機動總隊、北京總隊、新疆總隊
* 武警正軍級院校（2 個）：武警指揮學院［院長、政委］、武警工程大學［校長、政委］

### 副軍級

副軍級編制首長為少將或大校軍階。例如：

* 南部戰區駐澳門部隊司令員徐良才大校
* 海軍山東艦航母編隊司令員張崢海軍少將
* 戰略支援部隊航天員大隊大隊長景海鵬專業技術少將

副軍級幹部轉業地方後，一般按廳局級正職安排工作，括注「中管正局級」字樣。

**陸軍副軍級單位［副軍職主官］**

* 新疆生產建設兵團軍事部［部長、政委］
* 陸軍副軍級院校［院長、政委］：陸軍步兵學院、陸軍炮兵防空兵學院、陸軍特種作戰學院

**武警副軍級單位［副軍職主官］**

* 武警副軍級內衛總隊（30）［司令員、政委］：天津、河北、山西、陝西、內蒙古、遼寧、吉林、黑龍江、上海、江蘇、安徽、浙江、福建、江西、山東、河南、湖北、湖南、廣東、廣西、海南、重慶、四川、貴州、雲南、西藏、甘肅、青海、寧夏、兵團總隊
* 海警海區指揮部（3）： 東海海區指揮部、南海海區指揮部、北海海區指揮部
* 武警副軍級院校：特警學院、後勤學院、海警學院

### 正師級

正師職軍官為少將或大校軍階。

師、軍分區、大城市的警備區、各總部的二級部下設局或處、大軍區級單位的二級部、正軍級單位的後勤部和裝備部、副軍級單位的司令部和政治部等一般為正師級編制。

### 副師級

* 有時稱**正旅級**。
* 副師職為大校或上校軍階。
* 副大軍區級單位的各部下設處、副軍級單位的後勤部和裝備部、正師級單位的司令部和政治部等一般為副師級編制。

例如：

* 陸軍西藏軍區山地合成第五十二旅

**部分被授予榮譽稱號的副師級單位**

* 臨汾旅（原晉冀魯豫軍區第 23 旅，陸軍第 71 集團軍合成第 179 旅）

### 正團級

有時稱**副旅級**。

正團級編制首長為上校或中校軍階。例如：陸軍南疆軍區邊防第 363 團「衛國戍邊英雄團長」祁發寶上校。

團、各總部二級部的下設局的下設處、大軍區級單位的二級部的下設處、正軍級單位的各部下設處、正師級單位後勤部和裝備部、副師級單位司令部和政治部等一般為正團級編制。

**被授予榮譽稱號的正團級單位**

* 海空雄鷹團（海軍航空兵第四師第十團）

### 副團級

副團級編制首長為中校或少校軍階。

### 正營級

正營級編制首長為中校或少校軍階。例如：陸軍南疆軍區邊防第 363 團機步營營長「衛國戍邊英雄」陳紅軍少校。

### 副營級

副營級編制首長為少校或上尉軍階。

### 正連級

正連級編制首長為上尉或中尉軍階。

**部分被授予榮譽稱號的正連級單位**

* 南京路上好八連（原上海警備區警備團 3 營 8 連，現 72 集團軍某特戰連）
* 硬骨頭六連
* 南海前哨鋼八連
* 為人民戰勝烈火的英雄連

### 副連級

副連級編制首長為中尉或上尉軍階。

### 排級

排級編制首長為少尉或中尉軍階。

## 對照表

相當於：

* 解放軍 - 中央 - 地方
* 正戰區級 - 正部級 - 正省級單位
* 副戰區級 - 副部級 - 副省級單位
* 正軍級 - 副部級 - 副省級單位
* 副軍級 - 正司局級 - 正地廳級單位
* 正師級 - 正地廳級單位
* 副師級 - 副地廳級單位
* 正團級 - 正縣處級單位

## 參見

* 中華人民共和國軍事
* 中華人民共和國公務員
* 中華人民共和國副省部級以上單位列表
* 中國人民解放軍文職幹部

## 參考文獻
正切定理

**正切定理**是三角學中的一個定理。根據該定理，在平面三角形中，正切定理說明任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。即：

　
: ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}$

　
: ${\frac {b-c}{b+c}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\beta +\gamma }{2}}}}$

　
: ${\frac {c-a}{c+a}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma +\alpha }{2}}}}$

法蘭西斯・韋達（François Viète）曾在他對三角法研究的第一本著作《應用於三角形的數學法則》中提出正切定理。不過在沒有計算機的輔助求解三角形時，這定理可比餘弦定理更容易利用對數來運算投影等問題。

## 證明

由 ${\frac {a+b}{a-b}}$ 開始，由正弦定理得出

　
: ${\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}&={\frac {a{\frac {\sin \alpha }{a}}+b{\frac {\sin \beta }{b}}}{a{\frac {\sin \alpha }{a}}-b{\frac {\sin \beta }{b}}}}\\&={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}\\&={\frac {2\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{2\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\end{aligned}}$

　
: _（和差化積，參閱三角恆等式）_

　
: ${\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}&={\frac {\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\\&={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\end{aligned}}$

## 參見

* 正切
* 畢氏定理
* 三角學
* 三角函數
* 三角恆等式
* 正弦定理
* 餘弦定理

## 參考資料