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欧拉准则

在數論中，二次剩餘的**歐拉判別法**（又稱**歐拉準則**）是用來判定給定的整數是否是一個質數的二次剩餘。

## 敘述

若 $p$ 是奇質數且 $p$ 不能整除 $d$ ，則：

　
: $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘若且唯若：

　
: : $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$

　
: $d$ 是模 $p$ 的非二次剩餘若且唯若：

　
: : $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}$

以勒讓德符號表示，即為： $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {d}{p}}\right){\pmod {p}}$

## 舉例

### 例子一：對於給定數，尋找其為二次剩餘的模數

令 $a=17$ 。對於怎樣的質數 $p$ ，17 是模 _$p$_ 的二次剩餘呢？

根據判別法里給出的準則，我們可以從小的質數開始檢驗。

首先測試 $p=3$ 。我們有： $17^{\frac {3-1}{2}}=17^{1}\equiv 2{\pmod {3}}\equiv -1{\pmod {3}}$ ，因此 17 不是模 3 的二次剩餘。

再來測試 $p=13$ 。我們有： $17^{\frac {13-1}{2}}=17^{6}\equiv 1{\pmod {13}}$ ，因此 17 是模 13 的二次剩餘。實際上我們有： $17\equiv 4{\pmod {13}}$ ，而 $2^{2}=4$ .

運用同餘性質和勒讓德符號可以加快檢驗速度。繼續算下去，可以得到：

　
: 對於質數 $p=13,19,\cdots ,{\frac {17}{p}}=+1$ （也就是說 17 是模這些質數的二次剩餘）。

　
: 對於質數 $p=3,5,7,11,23,\cdots ,{\frac {17}{p}}=-1$ （也就是說 17 是模這些質數的二次非剩餘）。

### 例子二：對指定的質數 _p_，尋找其二次剩餘

哪些數是模 17 的二次剩餘？

我們可以手工計算：

　
: $1^{2}=1$

　
: $2^{2}=4$

　
: $3^{2}=9$

　
: $4^{2}=16$

　
: $5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}$

　
: $6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}$

　
: $7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}$

　
: $8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}$

於是得到：所有模 17 的二次剩餘的集合是 $\{1,2,4,8,9,13,15,16\}$ 。要注意的是我們只需要算到 8，因為 $9=17-8$ ，9 的平方與 8 的平方模 17 是同餘的： $9^{2}=(-8)^{2}=8^{2}\equiv 13{\pmod {17}}$ .（同理不需計算比 9 大的數）。

但是對於驗證一個數是不是模 17 的二次剩餘，就不必將所有模 17 的二次剩餘全部算出。比如說要檢驗數字 3 是否是模 17 的二次剩餘，只需要計算 $3^{\frac {17-1}{2}}=3^{8}\equiv 81^{2}\equiv (-4)^{2}\equiv -1{\pmod {17}}$ ，然後由歐拉準則判定 3 不是模 17 的二次剩餘。

歐拉準則與高斯引理以及二次互反律有關，並且在定義歐拉 - 雅可比偽素數（見偽素數）時會用到。

## 證明

首先，由於 $p$ 是一個奇素數，由費馬小定理， $d^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ 。但是 $p-1$ 是一個偶數，所以有

　
: $(d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}$

 $p$ 是一個素數，所以 $d^{\frac {p-1}{2}}-1$ 和 $d^{\frac {p-1}{2}}+1$ 中必有一個是 $p$ 的倍數。因此 $d^{\frac {p-1}{2}}$ 模 $p$ 的餘數必然是 1 或 - 1。

* 證明若 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘，則 $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$

若 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘，則存在 $x^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ ， $p$ 跟 $d,x$ 互質。根據費馬小定理得：

　
: $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

* 證明若 $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$ ，則 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘

 $p$ 是一個奇素數，所以關於 $p$ 的原根存在。設 $a$ 是 $p$ 的一個原根，則存在 $1\leq j\leq p-1$ 使得 $d=a^{j}$ 。於是

　
: $a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}$

 $a$ 是 $p$ 的一個原根，因此 $a$ 模 $p$ 的指數是 $p-1$ ，於是 $p-1$ 整除 ${\frac {j(p-1)}{2}}$ 。這說明 $j$ 是一個偶數。令 $i={\frac {j}{2}}$ ，就有 $(a^{i})^{2}=a^{2i}=d$ 。 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘。

## 參考資料

* Legendre Symbol
* 二次互反律
* 潘承洞、潘承彪，《初等數論》，北京大學出版社。

## 外部連結

* 參考證明 (中文)
欧拉函数_(复变函数)

在數學上，**歐拉函數**的定義如下

　
: $\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

此函數得名由萊昂哈德・歐拉。歐拉函數是典型的 q 級數及模形式函數，也是描述組合數學及複分析之間關係的典型範例。

## 性質

歐拉函數的的倒數 $1/\phi (q)$ 展開成形式冪級數，其對應的係數 $p(k)$ 恰好是 k 的分割函數，亦即

　
: ${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

其中 $p(k)$ 為 k 的分割函數。

五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：

　
: $\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.$

其中 $(3n^{2}-n)/2$ 為廣義五邊形數。

依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和戴德金 η 函數有以下的關係：

　
: $\phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )$

其中 $q=e^{2\pi i\tau }$ 是 nome 的平方。

上述二個函數都有模群下的對稱性。

## 參照

* 歐拉函數（也稱為歐拉商數）

## 參考資料

* Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929
欧拉力

在經典力學，**歐拉加速度**（以萊昂哈德・歐拉的名字命名）是在非均勻旋轉的參照系中分析運動時出現的加速度。本文僅限於旋轉軸固定的參考系。

**歐拉力**是一個物體受的假想力，與歐拉加速度有著_**F**_ = _m_ _**a**_ 的關係，其中_**a**_ 是歐拉加速度、_m_ 是物體的質量。

## 歐拉加速度

下式給出了歐拉加速度的方向和大小：

　
: ${\boldsymbol {a}}_{\mathrm {Euler} }=-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} $

其中：

　
: **_ω_** 是旋轉參照系的角速度；

　
: **_r_** 是加速度所處的點相對旋轉軸的向量

## 歐拉力

由歐拉加速度得出歐拉力是：

　
: ${\boldsymbol {F}}_{\mathrm {Euler} }=m{\boldsymbol {a}}_{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} \ $ ，

其中：

　
: _m_ 是受假想力的物體的質量。

## 參見

* 假想力
* 科里奧利力
* 離心力
* 旋轉參照系
欧拉区

**奧拉區**（西班牙語：Distrito de Olá），是巴拿馬的一個行政區，位於該國中部，由科克萊省負責管轄，始建於 1855 年，面積 385.7 平方公里，2010 年人口 5,875，人口密度每平方公里 15.23 人。

## 參考資料

* Districts of Panama. Statoids. [April 10, 2009]. （原始內容存檔於 2011-09-29）.
欧拉变换

在組合數學中，**二項式變換**是一種序列變換，可計算一個計算序列的有限差分。二項式變換和**歐拉變換**有關，歐拉變換是有關二項式變換前後的序列其普通母函數之間的關係。

## 定義

一個序列 $\{a_{n}\}$ 的**二項式變換**（_T_）是序列 $\{s_{n}\}$ ：

　
: $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.$
欧拉四平方和恒等式

**歐拉四平方和恆等式**說明，如果兩個數都能表示為四個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為四個平方數的和。等式為：

　
: $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,$

　
: : $(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,$

　
: : $(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,$

　
: : $(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,$

　
: : $(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,$

歐拉在 1748 年 5 月 4 日寄給哥德巴赫的一封信中提到了這個恆等式。它可以用基本的代數來證明，在任何交換環中都成立。如果 _a_s 和 _b_s 是實數，有一個更加簡潔的證明：這個等式表達了兩個四元數的積的絕對值就是它們絕對值的積的事實，就像婆羅摩笈多 - 斐波那契恆等式與複數的關係一樣。

拉格朗日用這個恆等式來證明四平方和定理。

## 參見

* 四元數
* 婆羅摩笈多 - 斐波那契恆等式
* 八平方和恆等式

## 參考文獻
欧拉回路

**一筆畫問題（Eulerian graph）** 是圖論中一個著名的問題。一筆畫問題起源於柯尼斯堡七橋問題。數學家歐拉在他 1736 年發表的論文《柯尼斯堡的七橋》中不僅解決了七橋問題，也提出了**一筆畫定理**，順帶解決了一筆畫問題。一般認為，歐拉的研究是圖論的開端。

與一筆畫問題相對應的一個圖論問題是哈密頓路徑問題。

能夠在不重複折返的前提下一筆畫寫出或一次走完該路徑的條件，是文字、圖形、路徑的奇頂點的數目正好是 0 個或 2 個時，而如果奇頂點的數目兩個時，必須正好為起點或終點，奇頂點是指該點延展出奇數數目的方向，例如 T 字路口延展出三條道路方向，而線段的端點也是只有一個方向的奇頂點

## 問題的提出

一筆畫問題是柯尼斯堡問題經抽象化後的推廣，是**圖遍歷問題**的一種。在柯尼斯堡問題中，如果將橋所連接的地區視為點，將每座橋視為一條邊，那麼問題將變成：對於一個有著四個頂點和七條邊的連通圖 $G(S,E)$ ，能否找到一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑。歐拉將這個問題推廣為：對於一個給定的圖，怎樣判斷是否存在著一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑？這就是一筆畫問題。用圖論的術語來說，就是判斷這個圖是否是一個能夠遍歷完所有的邊而沒有重複。這樣的圖現稱為**歐拉圖**。這時遍歷的路徑稱作**歐拉路徑**（一個環或者一條鏈），如果路徑閉合（一個圈），則稱為**歐拉迴路**。

一筆畫問題的推廣是多筆畫問題，即對於不能一筆畫的圖，探討最少能用多少筆來畫成。

## 一筆畫定理

對於一筆畫問題，有兩個判斷的準則，它們都由歐拉提出並證明。

### 定理一

連通的無向圖 $G$ 有歐拉路徑的充要條件是： $G$ 中奇頂點（連接的邊數量為奇數的頂點）的數目等於 0 或者 2。

連通的無向圖 $G$ 是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是： $G$ 中每個頂點的度都是偶數。。

連通無向圖有歐拉路徑的充要條件也可以寫作「圖中奇頂點數目不多於 2 個」，這是因為奇頂點數目不可能是 1 個。實際上，連通無向圖中，奇頂點的數目總是偶數。

對於不連通的無向圖，如果有兩個互不連通的部分都包含至少一條邊，那麼顯然不能一筆畫。只有當此圖的邊全都在某一個連通部分中（即其它的連通部分都是一個個孤立的頂點，度數為 0），並滿足連通無向圖關於一筆畫的充要條件，而該圖才能一筆畫。也即是說，可以一筆畫的（無向）圖如果不是連通圖，就必定是一個可以一筆畫的連通圖與若干個孤立頂點的組合。

除了用頂點的度數作為判定的充要條件，還可以用圖中邊的特性來作為歐拉迴路存在的判定準則。連通的無向圖 $G$ 中存在歐拉迴路，等價於圖 $G$ 所有的邊可以劃分為若干個環的不交並。具體來說，等價於存在一系列的環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。

### 定理二

如果連通無向圖 $G$ 有 $2k$ 個奇頂點，那麼它可以用 $k$ 筆畫成，並且至少要用 $k$ 筆畫成。

### 有向圖的一筆畫

對有向圖來說，一筆畫不僅指遍歷所有邊，而且要遵循正確的方向。嚴謹地說，一個連通有向圖 $G$ 有歐拉路徑，指存在一個頂點，從它出發，沿著有向邊的方向，可以不重複地遍歷圖中所有的邊。有向圖的歐拉迴路則是指可以從某一頂點開始，沿有向邊的方向不重複地遍歷所有邊，然後回到原來出發的頂點。用類似於定理一中證明的思路，可以得到有向圖一筆畫的判定準則：

* 一個連通的有向圖可以表示為一條從頂點 $u$ 到 $v$ 的（不閉合的）歐拉路徑的充要條件是： $u$ 的出度（從這個頂點發出的有向邊的數量）比入度（指向這個頂點的有向邊的數量）多 1， $v$ 的出度比入度少 1，而其它頂點的出度和入度都相等。
* 一個連通的有向圖是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是以下兩個之一：
  1. 每個頂點的出度和入度都相等；
  2. 存在一系列的（有向）環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。

## 例子

* * * * *

### 七橋問題

圖一是七橋問題抽象化後得到的模型，由四個頂點和七條邊組成。由於四個頂點全是奇頂點，由定理一（奇頂點的數目正好是 0 個或 2 個）可知無法一筆畫成。

### 一些可以一筆畫的例子

圖二是中文「串」字。由於只有最上方和最下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆寫成，圖片內給出了一個例子。

圖三的六角星因每個頂點都是偶頂點，如上，由定理一得知，不論是由哪個點出發，它都可以一筆畫成。

圖四（和圖五）的圖只有最左下方和最右下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆畫成，由其中一個奇頂點畫到另一個奇頂點。

## 一筆畫問題與哈密頓問題

一筆畫問題討論的是能否不重複地遍歷一個圖的所有邊，至於其中有否頂點的遍歷或重複經過則沒有要求。哈密頓問題討論的則是頂點的遍歷：能否不重複地遍歷一個圖的所有頂點？哈密頓問題由哈密頓在 1856 年首次提出，至今尚未完全解決。

## 參見

* 柯尼斯堡七橋問題
* 哈密爾頓問題
* 樹 (圖論)
* 中國郵遞員問題

## 參考來源
欧拉国际数学研究所

**歐拉國際數學研究所**（俄語：Международный математический институт имени Л. Эйлера）由俄羅斯科學院為表彰俄羅斯數學對國際數學的貢獻，於 1988 年創立。

## 參考
欧拉图

**尤拉圖**，部分文稿也稱**歐氏圖**，是類似文氏圖的一種圖，但是不必須包含所有的區。所以尤拉圖可以定義論域，就是說它可以定義一個系統，其中有特定交集是不可能的或不考慮的。

所以，包含「動物」、「礦石」和「四足」這些性質的文氏圖，必須包含在其中有同時是動物、礦石和四足的某種東西的那個交集。因此文氏圖展示了所有可能的合取組合。

可以構造出尤拉圖，使得在其中這些無意義的交集不存在，以此為這個主題定義了論域。換句話說，尤拉圖可以表示簡併之後的那些合取。

對尤拉圖的一個現代擴展是蜘蛛圖，它向尤拉圖增加了可以連接的存在點。這給予尤拉圖析取特徵。尤拉圖原先已有合取特徵。所以蜘蛛圖允許使用尤拉圖配備邏輯或的條件。

## 注釋

## 參見

* 文氏圖
欧拉图书奖

**歐拉圖書獎**（英語：Euler Book Prize）是一個由美國數學協會頒發的數學圖書獎項，以 18 世紀瑞士數學家萊昂哈德・歐拉的名字命名。該獎項設立於 2005 年，由美國數學家保羅・哈爾莫斯夫婦的資金資助。2007 年，為紀念歐拉誕辰 300 周年，美國數學協會將該年命名為「歐拉年」，「歐拉圖書獎」也於同年首次頒獎。。

## 得獎者

## 參考文獻
欧拉型常微分方程

**柯西 - 尤拉方程**是形式如 $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ （其中 $b,c$ 是常數）的二階變係數常微分方程。

## 解法

觀察可知 $y=x^{r}$ 是一個特定解：

　
: $0=x^{2}y''+bxy'+cy$

　
: $=x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}$

　
: $=(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}$

因為 $x^{r}=0$ 若且唯若 $x=0$ ，所以要考慮二次方程 $r^{2}+(b-1)r+c=0$ 的解。

　
: $r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).$

設 $p,q$ 為二次方程的解。若 $p,q$ 不相等， $y$ 的一般解則為 $y=Ax^{p}+Bx^{q}$ 。

若 $p=q=(1-b)/2$ ，其中一個特定解為 $x^{r}\ln {x}$ ：

　
: $x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}$

　
: $=x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)$

代入 $r=(1-b)/2$ 便知右方括號內等於 0。因此核實 $x^{r}\ln {x}$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： $y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}$ 。

## 參見

* 里卡蒂方程
* 伯努利微分方程
* 克萊羅方程
* 全微分方程
* 線性微分方程
欧拉定律

**歐拉恆等式**是指下列的關係式：

　
: ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

其中 $e\,$ 是自然對數的底， $i\,$ 是虛數單位， $\pi \,$ 是圓周率。

這條恆等式第一次出現於 1748 年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德・歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書《無窮小分析引論》（_Introductio in analysin infinitorum_）。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。

美國物理學家理察・費曼（Richard Feynman）稱這恆等式為「數學最奇妙的公式」，因為它把 5 個最基本的數學常數簡潔地連繫起來。

## 證明

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$ （歐拉公式）

　
: $e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,$ （代入 $x=\pi \,$ ）

　
: ${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$ （因 $\cos \pi =-1$ 和 $\sin \pi =0$ ）

　
: ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

## 與歐拉恆等式有關的文學作品

《博士熱愛的算式》（博士の愛した数式），小川洋子著，臺灣版本由王蘊潔翻譯，二版，麥田出版社，2008 年，ISBN 978-986-173-408-8。

## 參見

* 歐拉公式

## 參考文獻
欧拉定理

**歐拉定理**可以指：

* 歐拉定理 (數論)，關於同餘
* 歐拉定理 (幾何)
* 托勒密定理，包含直線上的歐拉定理
* 歐拉定理 (齊次函數)，假設函數 $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} $ 是可導的，且是 $k$ 次齊次函數，那麼 $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad $
欧拉定理_(几何)

在平面幾何學中的**歐拉定理**是說，三角形的外心與內心之間的距離 $d$ 可表示為

　
: $d^{2}=R(R-2r)\,$

其中 $R$ 為外接圓半徑， $r$ 為內切圓半徑。

從歐拉定理可推出**歐拉不等式** (當三角形等邊時，等號成立)：

　
: $R$  ≥  $2r.$

## 證明

(1) 當 $d=0$ 時，表示外心 $O$ 與內心 $I$ 重合，此時易證三角形 $\displaystyle ABC$ 為正三角形，且 $R=2r$ ，因此 $\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$ 。

(2) 當 $d$ 大於 $0$ 時，請參考右下圖：

(a) 設三角形 $ABC$ 的外心為 $O$ ，內心為 $I$ ，延長 $AI$ 交外接圓於 $L$ ，則 $L$ 為弧 $BC$ 的中點。連 $LO$ 延長交外接圓於 $M$ ，過 $I$ 作 $ID$ 垂直於 $AB$ ， $D$ 為垂足，則 $ID=r$ 。易證三角形 $\displaystyle ADI$ 與三角形 $\displaystyle MBL$ 相似，故 ${\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}$ ，即 $ID\times ML=AI\times BL$ 。所以 $2Rr=AI\times BL$ 。

(b) 連接 $\displaystyle BI$ ，因

　
: $\angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}$ ，

　
: $\angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}$ ，

所以 $\angle BIL=\angle IBL$ ，有 $\displaystyle BL=IL$ ，由 (a) 的結論知 $AI\cdot IL=2Rr$ 。

(c) 設 $\displaystyle OI$ 延長線交外接圓於 $\displaystyle P,\;\displaystyle Q$ 兩點，則 $PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr$ ，所以 $\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr$ ，即 $\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$ 。
欧拉定理_(数论)

在數論中，**尤拉定理**（也稱**費馬 - 尤拉定理**或**尤拉 ${\varphi }$ 函數定理**）是一個關於同餘的性質。尤拉定理表明，若 $n,a$ 為正整數，且 $n,a$ 互質（即 $\gcd(a,n)=1$ ），則

 $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$
即 $a^{\varphi (n)}$ 與 1 在模 n 下同餘；φ(n) 為尤拉函數。尤拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德・尤拉。

尤拉定理實際上是費馬小定理的推廣。

## 例子

首先看一個基本的例子。令 $a=3$ ， $n=5$ ，此兩數為互質正整數。小於等於 5 的正整數中與 5 互質的數有 4 個（1、2、3 和 4），所以 $\varphi (5)=4$ （詳情見尤拉函數）。計算： $a^{\varphi (n)}=3^{4}=81\equiv 1{\pmod {5}}$ ，與定理結果相符。

使用本定理可大程度地簡化冪的模運算。比如計算 $7^{222}$ 的個位數時，可將此命題視為求 $7^{222}$ 被 10 除的餘數：因 7 和 10 互質，且 $\varphi (10)=4$ ，故由尤拉定理可知 $7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}$ 。所以 $7^{222}=7^{4\cdot 55+2}=(7^{4})^{55}\cdot 7^{2}\equiv 1^{55}\cdot 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\pmod {10}}$ 。

一般在簡化冪的模運算的時候，當 $a$ 和 $n$ 互質時，可對 $a$ 的指數取模 $\varphi (n)$ ：

 $a^{x}\equiv a^{y}{\pmod {n}}$ ，其中 $x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}$ 。

## 證明

一般的證明中會用到「所有與 $n$ 互質的同餘類構成一個群」的性質，也就是說，設 $\left\{{\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}},\cdots ,{\overline {a_{\varphi (n)}}}\right\}$ 是比 $n$ 小的正整數中所有與 $n$ 互質的數對應的同餘類組成的集合（這個集合也稱為模 _n_ 的簡化剩餘系）。這些同餘類構成一個群，稱為**整數模 n 乘法群**。因為此群階為 $\varphi (n)$ ，所以 $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ 。

當 $n$ 是質數的時候， $\varphi (n)=n-1$ ，所以尤拉定理變為：

　
: $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ 或

　
: $a^{n}\equiv a{\pmod {n}}$

這就是費馬小定理。

## 參看

* 初等數論
* 尤拉定理
* 尤拉函數
* 同餘
* 群論
* RSA 加密算法

## 參考書籍

* 潘承洞 潘承彪. 《初等数论》. 北京大學出版社. 2003. ISBN 9787301060759.
* Albert H. Beiler 著，談祥柏 譯. 《数论妙趣 -- 数学女王的盛情款待》. 上海教育出版社. 1998. ISBN 9787532054732.
欧拉常数_(消歧义)

**歐拉常數**可能指：

1. 自然對數的基底 e
2. 歐拉 - 馬歇羅尼常數
欧拉德伊拉

**歐拉德伊拉**（葡萄牙語：Holadeira）是一種生存於巴西亞馬遜河流域的神秘生物。「歐拉德伊拉」是當地印第安人的詞語，意為「地獄之牙」。1993 年 8 月，英國攝影家傑里米・韋德在亞馬遜河支流的近郊目擊並拍攝到照片。（英文）

## 參考來源
欧拉操作系统

**EulerOS** 是華為基於 CentOS 原始碼，面向企業應用環境開發的一個商用 Linux 發行版。

## 特點

EulerOS 支援鯤鵬處理器、容器虛擬化技術，是一個面向企業級的通用伺服器架構平台。應用場景包括 TaiShan 伺服器、PaaS 和企業儲存三類。

EulerOS 有三級智慧型排程，可以智慧型自動有規劃。EulerOS 對 ARM64 架構提供全棧支援，打造從晶片到應用的一體化生態系統。

## 發展

2019 年 9 月，華為宣布 EulerOS 開源，開源名稱為 openEuler（開源歐拉）。華為在 Gitee 上附原始碼發布 EulerOS 的社群版本 openEuler。2021 年 11 月初，華為向開放原子開源基金會（OpenAtom Foundation）捐贈了 EulerOS。

## 崑崙關鍵任務伺服器

在華為崑崙關鍵任務伺服器上執行的 EulerOS 2.0 已取得國際開放標準組織的 Unix 03 標準的認證，這是唯一通過 Unix 03 認證的 Linux 發行版。

EulerOS/KunLun 允許在不停止作業系統（關機）的情況下替換中央處理器模組和記憶體模組。Linux 核心提供 NUMA 節點及 CPU 熱插拔支援，尚不確定 EulerOS 是否使用這一實現。

## 參考資料

## 外部連結

* EulerOS （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* OpenEuler （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* OpenEuler Gitee 代碼庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* EulerOS （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）於 Docker Hub
欧拉数

**尤拉數**_En_ 是一個整數數列，由下列泰勒級數展開式定義：

　
: ${\frac {2}{\exp(t)+\exp(-t)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$

奇數項的尤拉數皆為零，偶數項的尤拉數正負相間，開首為：

　
: _E_0 = 1

　
: _E_2 = -1

　
: _E_4 = 5

　
: _E_6 = -61

　
: _E_8 = 1,385

　
: _E_10 = -50,521

　
: _E_12 = 2,702,765

　
: _E_14 = -199,360,981

　
: _E_16 = 19,391,512,145

　
: _E_18 = -2,404,879,675,441 （OEIS 數列 A028296）

部份作者會把數列中的奇數項移除，只替偶數項編序，並且把負號轉為正號。這裡依從上段所用的慣例。

尤拉數在正割 sec_x_ 和雙曲正割 sech_x_ 的泰勒級數出現。雙曲正割就是定義中使用的函數。組合數學也會用到尤拉數。此外，在關於自然數負冪的交錯和中也涉及到尤拉數。

尤拉多項式是以尤拉數構造。
欧拉数_(拓扑学)

在代數拓撲中，**歐拉示性數**（英語：Euler characteristic）是一個拓撲不變數，對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作 $\chi $ 。

二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算：

　
: $\chi =F-E+V$

其中 _V_,_E_ 和 _F_ 分別是點，邊和面的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有

　
: $\chi (S^{2})=F-E+V=2.$

例如，對於立方體，我們有 6 − 12 + 8 = 2，而對於四面體我們有 4 − 6 + 4 = 2.
剛才的公式也叫做**歐拉公式**。該公式最早由法國數學家笛卡兒於 1635 年左右證明，但不為人知。後瑞士數學家萊昂哈德・歐拉於 1750 年獨立證明了這個公式。1860 年，笛卡兒的工作被發現，此後該公式遂被稱為歐拉 - 笛卡兒公式。

## 定義及性質

對於有限 CW - 複形（CW-Complex）包括有限單體複形（simplicial complex），歐拉示性數可以定義為交錯和

　
: $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,$

其中 $k_{i}$ 表示 $i$ 維胞腔的個數。

然後，可以把流形的歐拉示性數定義為一個和它同胚的單體複形的歐拉示性數。例如，圓圈和環面其歐拉示性數為 0 而實心球歐拉示性數為 1。

閉可定向曲面的歐拉示性數可以通過它們的虧格 _g_ 來計算

　
: $\chi =2-2g$ .

閉不可定向曲面的歐拉示性數可以用下式通過它們的（不可定向）虧格 _k_ 來計算

　
: $\chi =2-k$ .

歐拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用於到任意多邊形的分解。

對於圓盤，我們有 $\chi =1$ ，對於平面我們有 $\chi =2$ ，數的時候把外面作為一個面。

對於閉流形，歐拉示性數和**歐拉數**，也就是其切線束的在流形的基本類上計算的歐拉類。

對於閉黎曼曲面，歐拉示性數也可以通過曲率的積分得到 — 參看對於二維情況的高斯 - 博內定理（Gauss-Bonnet）和對於一般情況的廣義高斯 - 博內定理。高斯 - 博內定理的離散情況的對應是笛卡兒定理，它表明多面體用完整圓圈測量的「總虧量」，是多面體的歐拉示性數；參看虧量。

更一般的，對於所有拓撲空間，我們可以定義第 _n_ 個貝蒂數 $b_{n}$ 作為第 _n_ 個同調群的階。歐拉示性數可以定義為如下交換和

　
: $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .$

這個定義在貝蒂數全都有限並且在一個特定指標 $n_{0}$ 以外為 0 時有意義。

兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群，所以有相同的歐拉示性數。

從這個定義和龐加萊對偶性，可以得到所有閉合奇數維流形的歐拉數為 0 的結論。

如果 _M_ 和 _N_ 是拓撲空間，則它們的積空間 _M_ × _N_ 的歐拉示性數為

　
: $\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)$ .

## 偏序集

有界偏序集的歐拉示性數的概念是另一種推廣，在組合論中很重要。一個偏序集「有界」，如果它有最小和最大元素，我們把它們叫作 0 和 1。這樣一個偏序集的歐拉示性數是 μ(0,1)，其中 μ 是在偏序集的相交代數中的默比烏斯函數。

## 證明

第一個歐拉公式的嚴格證明，由柯西在 20 歲時給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣

重複一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）_F_ − _E_ + _V_ 的額外轉換。

1. 若有一個多邊形面有 3 條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
2. 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
3. （逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重複使用第 2 步和第 3 步直到只剩一個三角形。對於一個三角形 _F_ = 2（把外部數在內），_E_ = 3，_V_ = 3。所以 _F_ − _E_ + _V_ = 2。證畢。

## 注釋
欧拉数_(物理学)

**歐拉數**簡稱 **Eu**，是流體力學的無因次量，表示局部壓強損失和單位體積動能之間的比例，常用來描述一流場損失的特性，一個理想的無滯性流其歐拉數為 0。**魯阿克數**（Ruark Number）是歐拉數的倒數，簡稱 **Ru**。

歐拉數的定義如下

　
: $\mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho V^{2}}}$

表示

 * $\rho $ 為流體的密度。
* $\Delta p$ 為壓強差。
* $V$ 為流體的特徵速度。

## 參照

* 雷諾數

## 參考資料

* Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-09817-3.
欧拉斯

**歐拉斯**（法語：Aulas，法語發音：[olas]；奧克語：Aulaç）是法國加爾省的一個市鎮，屬於勒維岡區。

## 地理

歐拉斯（44°0'1"N, 3°35'11"E）面積 2.91 平方千米，位於法國奧克西塔尼大區加爾省，該省份為法國南部沿海省份，南端瀕地中海，北起順時針與阿爾代什省、沃克呂茲省、隆河河口省、埃羅省、阿韋龍省和洛澤爾省接壤。

與歐拉斯接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿爾菲、阿韋茲、布雷歐和薩拉戈斯、芒達古、勒維岡、布雷歐 - 馬爾斯。

歐拉斯的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

歐拉斯的郵政編碼為 30120，INSEE 市鎮編碼為 30024。

## 政治

歐拉斯所屬的省級選區為勒維岡縣。

## 人口

歐拉斯於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 456 人。

## 參考文獻
欧拉方程

**歐拉方程**可以是指：

* 歐拉公式，複分析基本公式，將三角函數與複數指數函數相關聯
* 柯西－歐拉方程，一類二階常微分方程的通稱
* 歐拉－拉格朗日方程，變分法中求泛函的臨界值（平穩值）函數的一個方法
* 歐拉方法，一種求解給定初值的常微分方程（初值問題）的基本方法
* 歐拉方程 (流體動力學)，是一組支配無黏性流體運動的方程式
* 歐拉方程 (剛體運動)，支配剛體轉動運動的方程式
* 歐拉 - 伯努力棟梁方程，建築學計算棟梁受力的方程
欧拉方程_(刚体运动)

在物理學上，**歐拉方程**統治剛體的轉動。我們可以選取相對於慣量的主軸坐標為體坐標軸系。這使得計算得以簡化，因為我們現在可以將角動量的變化分成分別描述 $\mathbf {L} $ 的大小變化和方向變化的部分，並進一步將慣量對角化。

這些方程是:

　
: $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} $

其中 $\mathbf {L} $ 是角動量在體坐標系中的表達， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 是物體角動量相對於體坐標系的變化， $\mathbf {\omega } $ 是在體坐標系中的角速度，而 $\mathbf {N} $ 是外力矩。

## 證明

　
: $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} =\left(I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}\right)+\mathbf {(} \omega )\times I\mathbf {\omega } =I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}+{\frac {dI}{dt}}\mathbf {\omega } ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} $

## 分量形式

採用主軸坐標，_I_ 對角化，則 $\mathbf {L} $ 分量形式為 $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}$ 。從而，歐拉方程變為如下分量形式

　
: ${\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}$

## 應用

方程左邊為 0 時，還是有非平凡解：無力矩進動。

該方程也可以使用在坐標軸不在物體上的場合， $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }$ 不再連接到物體本身。 $\mathbf {\omega } $ 是圍繞固定坐標軸的轉動而不是物體本身的轉動。但是，所選的軸必須還是主軸，因為它是對角化的必要條件。這個形式的歐拉方程對於有旋轉對稱性的物體很有用，因為有些主軸的選取是自由的。

## 參閱

* Poinsot 構造
* 歐拉運動定律
欧拉无穷远点

在平面幾何中，**歐拉線**，或稱**尤拉線**（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和九點圓圓心（紅點）的一條直線。**萊昂哈德・歐拉，**也稱**尤拉，**證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

## 證明

如圖 $H,G,O$ 分別是 ${\triangle }ABC$ 的垂心，重心，外心。

設 $D$ 為直線 $BO$ 和 ${\triangle }ABC$ 外接圓的交點，並連結 $AH,AD,CD,CH$ 。

（1）
 ${\because \quad }BD$ 是直徑， ${\therefore \quad }CD{\perp }BC$ 且 $AD{\perp }AB$ 。

又 $H$ 是垂心， ${\therefore \quad }AH{\perp }BC$ 且 $CH{\perp }AB$ 。

 ${\therefore \quad }CD//AH$ ， $AD//CH$ 。

 $ADCH$ 為平行四邊形。

-> $AH=DC$

又 $O,\;M$ 分別是 $BD,\;CB$ 的中點，

 ${\therefore \quad }DC=2OM$ ，
 $AH=2OM$

（2）
作 $BC$ 邊上的中線 $AM,$ 連結 $OM,\;OH$

設 $OH$ 交 $AM$ 於點 $G'$

 ${\because \quad }OM{\perp }BC,\;{\triangle }AHG'{\sim \triangle }MOG',\;AH=DC=2OM$ ，

 ${\therefore \quad }AG'=2G'M$ ，

$$
{\therefore \quad }G'$ 即 $\triangle ABC$ 的重心 $G
$$

 $\therefore \quad \triangle ABC$ 的垂心 $H,$ 重心 $G,$ 外心 $O$ 三點共線 $,$ 直線 $HGO$ 即歐拉線

## 推論

九點圓的圓心也在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點

如圖，H、G、Ω 分別是△ABC 的垂心、重心、外心，三角形的三邊中點 I i，三高的垂足 Hi，和頂點到垂心的三條線段的中點 J i

令 HΩ 和 J1I1 的交點為 K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。

∵∠GΩI1=∠AHG，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即 ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1， J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理 J2K=KI2， J3K=KI3。 可知 K 為九點圓圓心。

∵點 K 在 HΩ 上，HK = KΩ

∴九點圓圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。

## 參考資料

1. 数学题解辞典・平面几何。上海辭書出版社.

## 外部連結

* Altitudes and the Euler Line （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Euler Line and 9-Point Circle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧拉杜

**歐拉杜**（法語：Auradou，法語發音：[oʁadu]；奧克語：Aurador）是法國洛特 - 加龍省的一個市鎮，屬於洛特河畔新城區。

## 地理

歐拉杜（44°20'2"N, 0°48'39"E）面積 11.17 平方千米，位於法國新亞奎丹大區洛特 - 加龍省，該省份為法國西南部內陸省份，北起多爾多涅省，西接吉倫特省和朗德省，南至熱爾省，東臨塔恩 - 加龍省和洛特省。

與歐拉杜接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：龐達熱奈、弗雷斯佩克、歐特法日拉圖爾、馬蘇萊斯。

歐拉杜的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

歐拉杜的郵政編碼為 47140，INSEE 市鎮編碼為 47017。

## 政治

歐拉杜所屬的省級選區為塞爾地區縣。

## 人口

歐拉杜於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 415 人。

## 參見

* 洛特 - 加龍省市鎮列表

## 參考文獻
欧拉正合列

在代數幾何學中，歐拉正合列是環上的射影空間層構成的一個正合列。歐拉正合列實質上說明了凱勒微分層穩定同構於塞爾扭層的對偶的 n 重和。

歐拉正合列可以被推廣到射影叢或者格拉斯曼叢上的情形。

## 正式表述

對於一個環 $A$ ，一個層的短正合列

　
: : $0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0$

稱其為歐拉正合列。

## 幾何表述

假設環 $A$ 是一個域，記作 $k$ ， 則歐拉正合列等同於

　
: : $0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

其中最後一個非零項是切層。

設 $V$ 是 $k$ 上的 n 維向量空間，於是有

　
: : $0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\xrightarrow {f} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V\xrightarrow {g} {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0$

這個短正合列可以被這樣簡單理解：中間的那一項是 $V$ 上的一次齊次向量場的層。 這個層存在一個重要的截面：歐拉向量場。歐拉向量場可以通過把向量空間上的一個點與某個切向量唯一聯繫起來而得到。這個向量場在零次齊次函數上為 0，因而在位似變換下不變。

一個定義在 $\mathbb {P} (V)$ 內的某個開集上的函數通過拉回局部誘導了一個 $V$ 上的零次齊次函數。將這樣的函數乘上歐拉向量場，能得到一次齊次向量場，這即是態射 $f$ 的定義。

對於態射 $g$ ，回憶 $\mathbb {P} (V)$ 內某個開集上的一個向量場可以被定義為這個開集上的函數的導子。 在拉回到 V 之後，它等價於一個保持零次齊次函數的 U 的原像。於是能以相同的方式得到 $\mathbb {P} (V)$ 上的任意一個向量場。

同時，可以驗證 $\mathrm {Im} \ f=\mathrm {Ker} \ g$ ，該序列正合。

## 射影空間的典範線叢

在取外積的冪之後，能發現一個射影空間的典範線叢由

　
: : $\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1))$

給出。事實上，射影空間是 Fano 簇，這是因為該線叢是反豐沛的，且沒有非零全局截面，於是線叢的幾何虧格為 0。

利用歐拉正合列能夠發現這一點，同時注意對於任何形如 $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$ 的短正合列，有行列式公式

　
: : ${\text{det}}({\mathcal {E}})={\text{det}}({\mathcal {E}}')\otimes {\text{det}}({\mathcal {E}}'')$

## 用於陳類的計算

歐拉正合列可以被用於計算射影空間的陳類。當給定一個凝聚層的短正合列

　
: : $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$ ,

利用公式 $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$ ，能計算 ${\mathcal {E}}$ 的陳類 。舉例而言，在 $\mathbb {P} ^{2}$ 上，

　
: : ${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}\end{aligned}}$

其中 $[H]$ 表示周環 $A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$ 里的超平面類。利用短正合列

　
: : $0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0$

使用相同的公式，可得到

　
: : ${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}\\\end{aligned}}$

## 注釋
欧拉涅

**歐拉涅**（法語：Auragne，法語發音：[oʁaɲ]；奧克語：Auranha）是法國上加龍省的一個市鎮，屬於米雷區。

## 地理

歐拉涅（43°23'22"N, 1°30'31"E）面積 13.63 平方千米，位於法國奧克西塔尼大區上加龍省，該省份為法國西南部內陸省份，西南端與西班牙接壤，自此順時針與上庇里牛斯省、熱爾省、塔恩 - 加龍省、塔恩省、奧德省和阿列日省接壤。

與歐拉涅接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：伊敘、歐特里沃、拉布呂耶爾多爾薩、莫韋桑、努埃耶、聖萊昂。

歐拉涅的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

歐拉涅的郵政編碼為 31190，INSEE 市鎮編碼為 31024。

## 政治

歐拉涅所屬的省級選區為埃斯卡爾康斯縣。

## 人口

歐拉涅於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 421 人。

## 參考文獻
欧拉特

**歐拉特**（西班牙語：Eulate）是西班牙納瓦拉的一個市鎮。總面積 8 平方公里，總人口 364 人（2001 年），人口密度 46 人 / 平方公里。

## 參考文獻
欧拉特征数

在代數拓撲中，**歐拉示性數**（英語：Euler characteristic）是一個拓撲不變數，對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作 $\chi $ 。

二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算：

　
: $\chi =F-E+V$

其中 _V_,_E_ 和 _F_ 分別是點，邊和面的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有

　
: $\chi (S^{2})=F-E+V=2.$

例如，對於立方體，我們有 6 − 12 + 8 = 2，而對於四面體我們有 4 − 6 + 4 = 2.
剛才的公式也叫做**歐拉公式**。該公式最早由法國數學家笛卡兒於 1635 年左右證明，但不為人知。後瑞士數學家萊昂哈德・歐拉於 1750 年獨立證明了這個公式。1860 年，笛卡兒的工作被發現，此後該公式遂被稱為歐拉 - 笛卡兒公式。

## 定義及性質

對於有限 CW - 複形（CW-Complex）包括有限單體複形（simplicial complex），歐拉示性數可以定義為交錯和

　
: $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,$

其中 $k_{i}$ 表示 $i$ 維胞腔的個數。

然後，可以把流形的歐拉示性數定義為一個和它同胚的單體複形的歐拉示性數。例如，圓圈和環面其歐拉示性數為 0 而實心球歐拉示性數為 1。

閉可定向曲面的歐拉示性數可以通過它們的虧格 _g_ 來計算

　
: $\chi =2-2g$ .

閉不可定向曲面的歐拉示性數可以用下式通過它們的（不可定向）虧格 _k_ 來計算

　
: $\chi =2-k$ .

歐拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用於到任意多邊形的分解。

對於圓盤，我們有 $\chi =1$ ，對於平面我們有 $\chi =2$ ，數的時候把外面作為一個面。

對於閉流形，歐拉示性數和**歐拉數**，也就是其切線束的在流形的基本類上計算的歐拉類。

對於閉黎曼曲面，歐拉示性數也可以通過曲率的積分得到 — 參看對於二維情況的高斯 - 博內定理（Gauss-Bonnet）和對於一般情況的廣義高斯 - 博內定理。高斯 - 博內定理的離散情況的對應是笛卡兒定理，它表明多面體用完整圓圈測量的「總虧量」，是多面體的歐拉示性數；參看虧量。

更一般的，對於所有拓撲空間，我們可以定義第 _n_ 個貝蒂數 $b_{n}$ 作為第 _n_ 個同調群的階。歐拉示性數可以定義為如下交換和

　
: $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .$

這個定義在貝蒂數全都有限並且在一個特定指標 $n_{0}$ 以外為 0 時有意義。

兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群，所以有相同的歐拉示性數。

從這個定義和龐加萊對偶性，可以得到所有閉合奇數維流形的歐拉數為 0 的結論。

如果 _M_ 和 _N_ 是拓撲空間，則它們的積空間 _M_ × _N_ 的歐拉示性數為

　
: $\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)$ .

## 偏序集

有界偏序集的歐拉示性數的概念是另一種推廣，在組合論中很重要。一個偏序集「有界」，如果它有最小和最大元素，我們把它們叫作 0 和 1。這樣一個偏序集的歐拉示性數是 μ(0,1)，其中 μ 是在偏序集的相交代數中的默比烏斯函數。

## 證明

第一個歐拉公式的嚴格證明，由柯西在 20 歲時給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣

重複一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）_F_ − _E_ + _V_ 的額外轉換。

1. 若有一個多邊形面有 3 條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
2. 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
3. （逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重複使用第 2 步和第 3 步直到只剩一個三角形。對於一個三角形 _F_ = 2（把外部數在內），_E_ = 3，_V_ = 3。所以 _F_ − _E_ + _V_ = 2。證畢。

## 注釋
欧拉猜想

**歐拉猜想**是由歐拉提出，從費馬最後定理引出的猜想，已經確定不成立。

這猜想是說對每個大於 2 的整數 $n$ ，任何 $n-1$ 個正整數的 $n$ 次冪的和都不是某正整數的 n 次冪，也就是說以下不定方程無正整數解。

　
: $\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}^{n}=b^{n},\,\forall n>2$

## 歷史

這猜想在 1966 年被 L. J. Lander 和 T. R. Parkin 推翻。他們利用當時最快的電腦 CDC 6600 找出 $n=5$ 的反例：

　
: $27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$

1988 年，諾姆・埃爾奇斯找出一個對 $n=4$ 製造反例的方法。他給出的反例中最小的如下：

　
: $2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}$

Roger Frye 以埃爾奇斯的技巧用電腦直接搜索，找出 $n=4$ 時最小的反例：

　
: $95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$

## 參考資料

* Wolfram MathWorld Diophantine Equation -- 7th Powers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧拉盘

**歐拉盤**（英語：Euler's disk）是一個展示圓盤在平面上旋轉的動力學系統的科學教育玩具。大數學家歐拉曾經研究過該動力學系統，因而得名。後來一些科學家也曾發表論文探討其機理。

現在市場上出售的歐拉盤一般包括一個面朝上的凹面鏡和一個金屬盤。金屬盤上可能覆蓋有一個或多個磁性貼紙。金屬盤可以在鏡子上旋轉很長一段時間不停止。這不但歸功於歐拉盤被精確打磨，還具有一個最佳化的縱橫比。它的圓形邊緣可以將旋轉時間最大化。生活中，硬幣或任何圓盤物體在類似桌子的平面上旋轉的運動，和歐拉盤的運動本質上相同。

## 物理

一個旋轉的圓盤最終都將停止旋轉，圓盤停止前發出聲音的頻率會驟然增加。當圓盤旋轉時，滾動接觸點 P 描述了一個以恆定角速度 ω 振盪的源泉。如果該運動是理想狀態下的（即沒有能量損失），ω 將不變並且運動將會永遠持續下去。生活中，不存在一直旋轉的物體 —— 因為角速度 ω 不是恆定的。
在 2000 年 4 月 20 日的自然雜誌上發表的論文認為，盤和桌子之間的稀薄空氣層足以用來解釋可觀察到的圓盤陡然靜止過程，這種運動被歸結成有限時間的特殊性（finite-time singularity）。
Moffatt 指出，當時間 $t$ 接近時間 $t_{0}$ （在數學領域中， $t_{0}$ 被稱為積分常數）時，粘滯擴散趨於無窮。這個極端情況意味著現實中它將無法實現，因為實際操作中，由於重力的存在，垂直加速度不能超過總加速度。
欧拉秀玛乡

**歐拉秀瑪鄉**，是中華人民共和國甘肅省甘南藏族自治州瑪曲縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

歐拉秀瑪鄉下轄以下地區：

卡爾格村、​敦紅村、​貢周村和當慶村。

## 參考資料
欧拉积

數論中，**歐拉乘積**（英語：Euler product）是指狄利克雷級數可表示為一指標為素數的無窮乘積。這一乘積以瑞士數學家萊昂哈德・歐拉的名字命名，他證明了黎曼 ζ 函數可表示為此無窮乘積的形式。

## 定義

假設 $a$ 為一積性函數，則狄利克雷級數

　
: $\sum _{n}a(n)n^{-s}\,$

等於歐拉乘積

　
: $\prod _{p}P(p,s)\,$

其中，乘積對所有素數 $p$ 進行， $P(p,s)$ 則可表示為

　
: $1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .$

這可以看作形式母函數，形式歐拉乘積展開的存在性與 $a(n)$ 為積性函數兩者互為充要條件。

 $a(n)$ 為完全積性函數時可得到一重要的特例。此時 $P(p,s)$ 為等比級數，有

　
: $P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},$

當 $a(n)=1$ 時即為黎曼 ζ 函數，更一般的情形則是狄利克雷特徵。

## 參考文獻

* G. Polya, _Induction and Analogy in Mathematics Volume 1_ Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 _(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)_
* Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001  _(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)_
* G.H. Hardy and E.M. Wright, _An introduction to the theory of numbers_, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 _(Chapter 17 gives further examples.)_
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, _Ramanujan's Lost Notebook: Part I_, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
* G. Niklasch, _Some number theoretical constants: 1000-digit values"_
欧拉积分

在數學中，有兩種類型的**歐拉積分**（Euler integral）：

　
: 1. 第一類歐拉積分（Β 函數）：

　
: $\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

　
: 2. 第二類歐拉積分（Γ 函數）：

　
: $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

對於正整數 $m$ 和 $n$ ：

　
: $\mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}$

　
: $\Gamma (n)=(n-1)!$

## 參見

* 李昂哈德・歐拉
* 歐拉方程
欧拉稳定

在物理學中，**穩定平衡**（英語：Stable equilibrium）是指一個平衡處於相對穩定的狀態。

穩定平衡表示一個物體從平衡的位置運動短距離，接著回到原來位置的狀況，即若處於平衡狀態的物體在受到外力的微小擾動而偏離平衡位置時，若物體能自動恢復到原先的狀態，這樣的平衡叫做穩定平衡。

當處於穩定平衡的物體發生運動時，會使其質心抬高，相反地，當物體運動造成質心抬高就會形成穩定平衡。

處於穩定平衡的物體，其位能的一階導數為零，且二階導數為正，位能處於極小值。

## 不穩平衡

即與**穩定平衡**相反的狀態，指一個平衡處於相對不穩定的狀態。不穩平衡表示一個物體從平衡的位置運動短距離，接著無法回到原來位置而進一步運動的狀況，即若處於平衡狀態的物體在受到外力的微小擾動而偏離平衡位置時，若物體無法自動恢復到原先的狀態，這樣的平衡叫做不穩平衡。

當處於不穩定平衡的物體發生運動時，會使其質心降低，相反地，當物體運動造成質心降低就會形成不穩平衡。

處於不穩平衡的物體，其位能的一階導數為零，且二階導數為負，位能處於極大值。

## 力偶

以力偶來探討平衡穩定與否，當一穩定平衡物體移動時，所形成的力偶會使其恢復原來的狀態，不穩平衡物體移動時，所形成的力偶會使其傾覆。

## 參見

* 隨遇平衡

## 參考文獻
欧拉艾狼蛛

**歐拉艾狼蛛**（學名：_Evippa onager_）為狼蛛科艾狼蛛屬的動物。在中國大陸，分布於天山等地。該物種的模式產地在天山。

## 參考文獻
欧拉螺线

**羊角螺線**（clothoid），又稱**歐拉螺線**（Euler spiral），是形式為

　
: $x=C(t)$

　
: $y=S(t)$

的曲線，其中 $C(t)$ 、 $S(t)$ 為 **Fresnel 積分**：

　
: $S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},$

　
: $C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.$

上面參數方程的參數 $t$ ，也是螺線於該點的曲率： $\kappa (t)=2t$ 。

兩個螺線的中心位於 $\pm ({\frac {\sqrt {2\pi }}{4}},{\frac {\sqrt {2\pi }}{4}})$

由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以緩和直路線與圓曲路線之間的曲率變化（向心力變化）。

在光學上，近場繞射（Fresnel 繞射）中會應用 Fresnel 積分。

## 性質

 * $C(x)$ 和 $S(x)$ 是 $x$ 的奇函數。
 * $C$ 和 $S$ 是整函數。
* 利用以上的冪級數展開式，可以把 Fresnel 積分擴展到複數範圍，它是解析函數。Fresnel 積分可以用誤差函數來表示：

　
: : $S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

　
: $C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$ .

 * $C(x)$ 和 $S(x)$ 所定義的積分不能表示為初等函數。當 _$x$_ 趨於無窮大時，函數的值為：

　
: : $\int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

## 參見

* 雙曲螺線
* 圓內螺線
* 等角螺線
* 費馬螺線
* 連鎖螺線
* 阿基米德螺線
欧拉西欧·卡提斯

**歐拉西歐・曼努埃爾・卡提斯・哈拉**（西班牙語：Horacio Manuel Cartes Jara，西班牙語發音：[oˈɾasjo maˈnwel ˈkaɾtes ˈxaɾa]；1956 年 7 月 5 日 —）為巴拉圭政治家、擁有數家公司的企業家和體育活動領導人，前任巴拉圭總統。

## 生平

卡提斯的父親為西斯納特許經營控股並控股的飛機製造公司擁有人，而歐拉西歐・卡提斯便在這般背景下被送往美國研究航空工程。在 19 歲時他在阿曼拜銀行（Banco Amambay）貨幣貨幣兌換業務並很快讓銀行價值快速增值，在接下來的幾年中卡提斯購買或者協助創立了 25 家公司，包括有巴拉圭最大的捲菸製造商塔巴克萊拉埃斯特（Tabacalera del Este）和數家主要的果汁裝瓶公司。

1989 年，卡提斯因為詐欺最罪刑而被一度判處 7 個月的監禁，最後法院則判處無罪開釋。2000 年，緝毒民警在他的牧場查獲一架載有古柯鹼和大麻的飛機，但他聲稱這架飛機是突然緊急降落在他的莊園內，而且他除了沒有參與毒品交易外亦堅決反對毒品合法化。2013 年 4 月時避稅天堂洩密（Offshore leaks）中亦出現了卡提斯的名字，其中位於庫克群島的金融機構便與卡提斯在巴拉圭的銀行塔巴克萊拉埃斯特有所互動；而在更早之前的 2010 年，維基解密所洩漏的電報中則提到必須就卡提斯涉嫌洗錢一事進行調查。

歐拉西歐・卡提斯為紅黨成員之一，同時他也是卡提斯集團（Grupo Cartes）的擁有者，底下管轄有 20 幾家從事菸草、飲品和肉品製造以及銀行等事業。而卡提斯自 2001 年以來，亦長期擔任自由俱樂部主席。

## 政治生涯

歐拉西歐・卡斯特一直到 2008 年以前並沒有接觸過政治領域，甚至也尚未登記成為有選舉權利之民眾。2009 年時他加入立場右翼的紅黨，並且希望能夠稍微抑制逐漸左傾的拉丁美洲政局。儘管紅黨由於在 1989 年支持阿爾弗雷多・斯特羅斯納軍事獨裁政權而不斷受到批判，然而卡提斯成功將其名聲塑造成可靠人物並且成為新一代紅黨代表人物。最後他的經濟實力促使得其贏得黨內初選，成為紅黨在 2013 年巴拉圭大選中所提名的候選人。

在其競選承諾中提到將會募集私人基金以升級巴拉圭基礎建設讓公共設施更為現代化，吸引國際投資進而創造就業機會。在競選期間卡提斯也提出數個關於同性戀者的激進話語，除了以猴子來跟同性戀者比較外，還表示如果自己兒子為同性戀的話將會拿槍射擊自己的睪丸。

2013 年 4 月 21 日舉行的巴拉圭大選中，卡提斯最後以獲得 1,089,247 張票（佔全部 45.81%）正式當選為巴拉圭總統。

## 參考資料
欧拉计划

**歐拉計劃**（Project Euler）是一個解題網站，站內提供了一系列數學題供用戶解答，解題的用戶主要是對數學和計算機編程感興趣的成年人及學生。其主旨為鼓勵、挑戰和培養愛好數學的人的技能和樂趣。目前該站包含了七百多道不同難度的數學題。每一題都可以通過電腦程式在 1 分鐘內求出結果。該網站自 2001 年起定期增加新的題目，每題都有對應的討論區，只有註冊用戶在正確提交了這題的答案後才能進入。 網站設立了 6 個排行榜，其中的歐拉人（Eulerians）排行榜的分數需要最新題目的前 50 位解答者才能獲得。歐拉計劃**不希望**在站外分享題目的答案。

## 例題與解答

歐拉計劃的第一題是：

> 列舉出 10 以下所有 3 或 5 的倍數，我們得到 3, 5, 6 和 9。他們的和是 23。 
> 
> 求 1000 以下所有 3 或 5 的倍數之和。
> 
> 

雖然這題比歐拉計劃大多數題目要容易的多，我們仍然可以用它來分析不同解題方法的效率。

用 $O{\bigl (}n{\bigr )}$ 的窮舉法來測試 1000 以下的所有符合條件的自然數，再將它們相加就能得到這題的結果。這很容易實現，用以下兩種不同的程式語言都能用很快求解出答案。

Python：

C++：

但如果用容斥原理進行求和，就可以減少 1000 多次運算，獲得 $O{\bigl (}1{\bigr )}$ 的時間複雜度。

　
: $sum(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{3}}\rfloor }3i+\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{5}}\rfloor }5i-\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {n}{15}}\rfloor }15i$

　
: $\sum _{i=1}^{n}ki=k{\frac {(n)(n+1)}{2}}$

Python 實現：

採用這種方法，計算 10,000,000 以下或 1000 以下所花費的時間是相等的。

## 參考文獻

## 外部連結

* 歐拉計劃首頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧拉路

**一筆畫問題（Eulerian graph）** 是圖論中一個著名的問題。一筆畫問題起源於柯尼斯堡七橋問題。數學家歐拉在他 1736 年發表的論文《柯尼斯堡的七橋》中不僅解決了七橋問題，也提出了**一筆畫定理**，順帶解決了一筆畫問題。一般認為，歐拉的研究是圖論的開端。

與一筆畫問題相對應的一個圖論問題是哈密頓路徑問題。

能夠在不重複折返的前提下一筆畫寫出或一次走完該路徑的條件，是文字、圖形、路徑的奇頂點的數目正好是 0 個或 2 個時，而如果奇頂點的數目兩個時，必須正好為起點或終點，奇頂點是指該點延展出奇數數目的方向，例如 T 字路口延展出三條道路方向，而線段的端點也是只有一個方向的奇頂點

## 問題的提出

一筆畫問題是柯尼斯堡問題經抽象化後的推廣，是**圖遍歷問題**的一種。在柯尼斯堡問題中，如果將橋所連接的地區視為點，將每座橋視為一條邊，那麼問題將變成：對於一個有著四個頂點和七條邊的連通圖 $G(S,E)$ ，能否找到一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑。歐拉將這個問題推廣為：對於一個給定的圖，怎樣判斷是否存在著一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑？這就是一筆畫問題。用圖論的術語來說，就是判斷這個圖是否是一個能夠遍歷完所有的邊而沒有重複。這樣的圖現稱為**歐拉圖**。這時遍歷的路徑稱作**歐拉路徑**（一個環或者一條鏈），如果路徑閉合（一個圈），則稱為**歐拉迴路**。

一筆畫問題的推廣是多筆畫問題，即對於不能一筆畫的圖，探討最少能用多少筆來畫成。

## 一筆畫定理

對於一筆畫問題，有兩個判斷的準則，它們都由歐拉提出並證明。

### 定理一

連通的無向圖 $G$ 有歐拉路徑的充要條件是： $G$ 中奇頂點（連接的邊數量為奇數的頂點）的數目等於 0 或者 2。

連通的無向圖 $G$ 是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是： $G$ 中每個頂點的度都是偶數。。

連通無向圖有歐拉路徑的充要條件也可以寫作「圖中奇頂點數目不多於 2 個」，這是因為奇頂點數目不可能是 1 個。實際上，連通無向圖中，奇頂點的數目總是偶數。

對於不連通的無向圖，如果有兩個互不連通的部分都包含至少一條邊，那麼顯然不能一筆畫。只有當此圖的邊全都在某一個連通部分中（即其它的連通部分都是一個個孤立的頂點，度數為 0），並滿足連通無向圖關於一筆畫的充要條件，而該圖才能一筆畫。也即是說，可以一筆畫的（無向）圖如果不是連通圖，就必定是一個可以一筆畫的連通圖與若干個孤立頂點的組合。

除了用頂點的度數作為判定的充要條件，還可以用圖中邊的特性來作為歐拉迴路存在的判定準則。連通的無向圖 $G$ 中存在歐拉迴路，等價於圖 $G$ 所有的邊可以劃分為若干個環的不交並。具體來說，等價於存在一系列的環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。

### 定理二

如果連通無向圖 $G$ 有 $2k$ 個奇頂點，那麼它可以用 $k$ 筆畫成，並且至少要用 $k$ 筆畫成。

### 有向圖的一筆畫

對有向圖來說，一筆畫不僅指遍歷所有邊，而且要遵循正確的方向。嚴謹地說，一個連通有向圖 $G$ 有歐拉路徑，指存在一個頂點，從它出發，沿著有向邊的方向，可以不重複地遍歷圖中所有的邊。有向圖的歐拉迴路則是指可以從某一頂點開始，沿有向邊的方向不重複地遍歷所有邊，然後回到原來出發的頂點。用類似於定理一中證明的思路，可以得到有向圖一筆畫的判定準則：

* 一個連通的有向圖可以表示為一條從頂點 $u$ 到 $v$ 的（不閉合的）歐拉路徑的充要條件是： $u$ 的出度（從這個頂點發出的有向邊的數量）比入度（指向這個頂點的有向邊的數量）多 1， $v$ 的出度比入度少 1，而其它頂點的出度和入度都相等。
* 一個連通的有向圖是歐拉環（存在歐拉迴路）的充要條件是以下兩個之一：
  1. 每個頂點的出度和入度都相等；
  2. 存在一系列的（有向）環 $C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}$ ，使得圖 $G$ 里的每一條邊都恰好屬於某一個環。

## 例子

* * * * *

### 七橋問題

圖一是七橋問題抽象化後得到的模型，由四個頂點和七條邊組成。由於四個頂點全是奇頂點，由定理一（奇頂點的數目正好是 0 個或 2 個）可知無法一筆畫成。

### 一些可以一筆畫的例子

圖二是中文「串」字。由於只有最上方和最下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆寫成，圖片內給出了一個例子。

圖三的六角星因每個頂點都是偶頂點，如上，由定理一得知，不論是由哪個點出發，它都可以一筆畫成。

圖四（和圖五）的圖只有最左下方和最右下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆畫成，由其中一個奇頂點畫到另一個奇頂點。

## 一筆畫問題與哈密頓問題

一筆畫問題討論的是能否不重複地遍歷一個圖的所有邊，至於其中有否頂點的遍歷或重複經過則沒有要求。哈密頓問題討論的則是頂點的遍歷：能否不重複地遍歷一個圖的所有頂點？哈密頓問題由哈密頓在 1856 年首次提出，至今尚未完全解決。

## 參見

* 柯尼斯堡七橋問題
* 哈密爾頓問題
* 樹 (圖論)
* 中國郵遞員問題

## 參考來源
欧拉镇

**歐拉鄉**，是中華人民共和國甘肅省甘南藏族自治州瑪曲縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

歐拉鄉下轄以下地區：

曲合爾村、​哇爾合村、​克勤村、​安茂村、​歐強村和達爾欽村。

## 參考資料
欧拉陨石坑

**歐拉隕石坑**（Euler）是位於雨海南半部的一座月球撞擊坑。其附近最醒目的特徵是西南偏西方的維諾格拉多夫山，而西南面則是一些嵌入了娜塔莎隕石坑及更小的潔罕隕石坑的低矮山脊；往東北約 200 公里處是坐落了大小類似的朗伯隕石坑。

歐拉隕坑帶有一圈低矮的坑壁，不規則的內側坡上分布有一些纖細的階地結構和坍塌地貌。坑底中心直立著一座撞擊反彈形成的中央峰。該隕石坑還有一個延伸 200 公里的小射紋系統。

## 衛星隕石坑

按慣例，這些最靠近歐拉隕石坑的衛星坑，將通過在其隕坑中心點旁放置一字母而在月球地圖上標示出來。

下列撞擊坑已於 1976 年被國際天文聯合會重新更名：

* 衛星坑「歐拉 K」— _查看_ 潔罕隕石坑；
* 衛星坑「歐拉 P「— _查看_ 娜塔莎隕石坑。

## 參考文獻
欧拉黑猫

**歐拉 R1**（ORA R1），現名**歐拉黑貓**（ORA Black Cat），是中國汽車製造商長城汽車 2019 年推出的一款小型電動都市車，於 2019 年 4 月在上海車展上亮相。綜合續航里程 351 公里，電池包為 33kWh，車載系統基於 Android，顯示屏 9 英寸。

2020 年 7 月，長城汽車宣布歐拉 R1 正式更名為**歐拉黑貓**。

## 參考文獻

## 外部連結

* 官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧拉－特里科米方程

**歐拉－特里科米方程**（英語：**Euler–Tricomi equation**）是一個用於研究跨音速流動的線性偏微分方程。其名稱源於萊昂哈德・歐拉與弗朗切斯科・特里科米。

歐拉－特里科米方程的表達式為

　
: $u_{xx}+xu_{yy}=0.\,$

當 _x_> 0 時該方程為橢圓型，_x_= 0 時為拋物線型，_x_< 0 時則為雙曲型。其特徵線為

　
: $x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,$

積分後可得

　
: $y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,$

其中 _C_ 為積分常數。特徵線為兩組半立方拋物線，尖點位於 _x_ = 0 上，曲線則位於 _y_ 軸的右手側。

## 特解

歐拉－特里科米方程的特解包括

 * $u=Axy+Bx+Cy+D,\,$
* $u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4}),\,$

其中 _A_、_B_、_C_、_D_ 為任意常數。

歐拉－特里科米方程是查普里金方程的極限形式。

## 參見

* 伯格斯方程
* 查普里金方程

## 參考文獻

* A. D. Polyanin, _Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists_, Chapman & Hall/CRC Press, 2002.

## 外部連結

* Tricomi and Generalized Tricomi Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
欧拉－笛卡尔公式

在代數拓撲中，**歐拉示性數**（英語：Euler characteristic）是一個拓撲不變數，對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作 $\chi $ 。

二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算：

　
: $\chi =F-E+V$

其中 _V_,_E_ 和 _F_ 分別是點，邊和面的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有

　
: $\chi (S^{2})=F-E+V=2.$

例如，對於立方體，我們有 6 − 12 + 8 = 2，而對於四面體我們有 4 − 6 + 4 = 2.
剛才的公式也叫做**歐拉公式**。該公式最早由法國數學家笛卡兒於 1635 年左右證明，但不為人知。後瑞士數學家萊昂哈德・歐拉於 1750 年獨立證明了這個公式。1860 年，笛卡兒的工作被發現，此後該公式遂被稱為歐拉 - 笛卡兒公式。

## 定義及性質

對於有限 CW - 複形（CW-Complex）包括有限單體複形（simplicial complex），歐拉示性數可以定義為交錯和

　
: $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,$

其中 $k_{i}$ 表示 $i$ 維胞腔的個數。

然後，可以把流形的歐拉示性數定義為一個和它同胚的單體複形的歐拉示性數。例如，圓圈和環面其歐拉示性數為 0 而實心球歐拉示性數為 1。

閉可定向曲面的歐拉示性數可以通過它們的虧格 _g_ 來計算

　
: $\chi =2-2g$ .

閉不可定向曲面的歐拉示性數可以用下式通過它們的（不可定向）虧格 _k_ 來計算

　
: $\chi =2-k$ .

歐拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用於到任意多邊形的分解。

對於圓盤，我們有 $\chi =1$ ，對於平面我們有 $\chi =2$ ，數的時候把外面作為一個面。

對於閉流形，歐拉示性數和**歐拉數**，也就是其切線束的在流形的基本類上計算的歐拉類。

對於閉黎曼曲面，歐拉示性數也可以通過曲率的積分得到 — 參看對於二維情況的高斯 - 博內定理（Gauss-Bonnet）和對於一般情況的廣義高斯 - 博內定理。高斯 - 博內定理的離散情況的對應是笛卡兒定理，它表明多面體用完整圓圈測量的「總虧量」，是多面體的歐拉示性數；參看虧量。

更一般的，對於所有拓撲空間，我們可以定義第 _n_ 個貝蒂數 $b_{n}$ 作為第 _n_ 個同調群的階。歐拉示性數可以定義為如下交換和

　
: $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .$

這個定義在貝蒂數全都有限並且在一個特定指標 $n_{0}$ 以外為 0 時有意義。

兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群，所以有相同的歐拉示性數。

從這個定義和龐加萊對偶性，可以得到所有閉合奇數維流形的歐拉數為 0 的結論。

如果 _M_ 和 _N_ 是拓撲空間，則它們的積空間 _M_ × _N_ 的歐拉示性數為

　
: $\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)$ .

## 偏序集

有界偏序集的歐拉示性數的概念是另一種推廣，在組合論中很重要。一個偏序集「有界」，如果它有最小和最大元素，我們把它們叫作 0 和 1。這樣一個偏序集的歐拉示性數是 μ(0,1)，其中 μ 是在偏序集的相交代數中的默比烏斯函數。

## 證明

第一個歐拉公式的嚴格證明，由柯西在 20 歲時給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣

重複一系列可以簡化網絡卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）_F_ − _E_ + _V_ 的額外轉換。

1. 若有一個多邊形面有 3 條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
2. 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
3. （逐個）除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重複使用第 2 步和第 3 步直到只剩一個三角形。對於一個三角形 _F_ = 2（把外部數在內），_E_ = 3，_V_ = 3。所以 _F_ − _E_ + _V_ = 2。證畢。

## 注釋
欧拉－雅可比伪素数

**歐拉－雅可比偽質數**（英語：Euler–Jacobi pseudoprime）是偽質數的一種。對於奇合數 _n_ 以及與其互質的自然數 _a_，如果

　
: $a^{(n-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}$

成立（其中 $\left({\frac {a}{n}}\right)$ 為雅可比符號），則稱 _n_ 為關於 _a_ 的歐拉－雅可比偽質數，或簡稱為歐拉偽質數。

歐拉－雅可比偽質數是歐拉偽質數的推廣，所有歐拉－雅可比偽質數同時也是費馬偽質數與歐拉偽質數。由於上式對所有質數都成立，因而可以用其進行機率質性檢定，其可靠性是費馬質性檢定的兩倍多。此外，與絕對費馬偽質數（卡麥可數）與絕對歐拉偽質數不同的是，不存在絕對歐拉－雅可比偽質數，即不存在關於所有與 _n_ 互質的 _a_ 都是歐拉－雅可比偽質數的 _n_。可以證明，對於 _n_，至少存在 _n/2_ 個小於 _n_ 的 _a_，_n_ 不是歐拉－雅可比偽質數。

關於 2 的最小歐拉－雅可比偽質數是 561。而在小於 25・109 的數中，共有 11347 個關於 2 的歐拉－雅可比偽質數（參見 A047713)）。

## 示例

## 關於 _n_ 的最小歐拉－雅可比偽質數

## 參見

* 費馬偽質數
* 卡麥可數
* 歐拉偽質數
* 強偽質數

## 參考文獻
欧拓汽车

**歐拓汽車（法定名稱 Autoneum 控股集團）** 是一家國際活躍的瑞士汽車供應商，總部位於瑞士溫特圖爾。歐拓是汽車隔音和隔熱領域的領先製造商之一，為全球大多數汽車製造商供貨。 

歐拓汽車成立於 2011 年，是瑞特控股有限公司的分拆公司。截至 2019 年 (2019-Missing required parameter 1=_month_!) , 歐拓經營著 55 個生產設施，在全球擁有約 13,000 名員工。 歐拓控股集團 在瑞士第六證券交易所上市。

## 歷史

1984 年，立達工廠收購了汽車噪音控制和隔熱系統製造商 Unikeller AG，從而為歐拓汽車的成立奠定了基礎。 Unikeller AG 成為立達集團控股有限公司的全資子公司。

歐拓汽車隨後於 1988 年收購了德國羅斯多夫的 CHG 集團、瑞士塞沃倫的 AGFK 和葡萄牙塞圖巴爾的 Sipavel。

1994 年，汽車地毯生產商 Firth Furnishings UK 被收購，1995 年，美國汽車零部件製造商 Globe Industries 被收購。 在此次收購的同時，立達還收購了 UGN，這是 Globe Industries 與日本汽車供應商日本特殊塗料株式會社的合資企業。 同年，Unikeller 部門更名為立達汽車系統。

1996 至 1997 年收購了最後一家來自義大利和巴西的汽車零部件製造商，並與美國瑪吉地毯公司成立了一家合資企業。

2003 年歐拓汽車與日特固在中國成立了另一家合資企業，並於 2008 年在中國上海開設了開發和聲學中心。

董事會於 2011 年 3 月決定拆分立達集團。立達汽車系統部門於 2011 年 5 月剝離，並以歐拓汽車的名義作為上市汽車供應商上市。 

2012 年，歐拓汽車與日本汽車供應商日特固和豐田紡織同意合作開發混合動力汽車的內飾系統。 

2013 年，歐拓汽車在俄羅斯梁贊市開設了一家工廠。 作為調整產能以應對歐洲市場需求下降的舉措的一部分，歐拓同年出售了在德西奧、皮格納塔羅、桑蒂亞和維科倫戈設有工廠的義大利子公司 Autoneum Italy。 也是在 2013 年，歐拓與其長期合作夥伴 日特固 和中國供應商 時利合汽車實業集團有限公司 (TGPM) 建立了合資企業。合資公司 武漢日特固防音配件有限公司在中國武漢市經營著一個生產基地，用於製造防熱防聲組件。 

歐拓汽車於 2014 年與韓國汽車供應商 SH Global 建立了另一家合資企業。 Autoneum Korea Ltd. 的註冊辦事處位於韓國仁川。 

2015 年 6 月，由於 2005 年至 2013 年的非法定價，德國聯邦卡特爾局以總計 7500 萬歐元對包括歐拓德國子公司在內的五家汽車供應商處以罰款共 7500 萬歐元。 歐拓公司支付了 2950 萬歐元罰款。 

2016 年，一家新的歐拓工廠在墨西哥聖路易斯波托西市開始運營。加上在埃莫西約和錫勞（子公司 UGN 的所在地）的生產設施，該公司在墨西哥擁有三個工廠，在墨西哥城擁有一個銷售和工程辦公室。

歐拓汽車於 2017 年在美國加利福尼亞州桑尼維爾市成立了新能源汽車研發中心，其中包括開發電動汽車的隔聲和隔熱組件。 同年，公司在美國諾維（密西根州）開設了新的北美總部。同樣在 2017 年，歐拓擴大了與日特固和豐田紡織的現有合作，成立了一家汽車聲學研發合資企業。 

2017 年和 2018 年，這家汽車供應商通過在煙臺、長沙、平湖和瀋陽鐵西建立新工廠，將其在中國的生產能力分布到了總共十個地點。 歐拓於 2018 年在匈牙利的科馬羅姆開設了另一家生產工廠。該工廠生產用於聲學和熱管理的輕型部件，是該公司在東歐的第六個生產基地。 同年，位於聖路易斯波托西的第二家工廠也開始生產，因此歐拓現在在墨西哥共有五個工廠。 

2023 年歐拓宣布收購博格 [1]

## 產品

歐拓汽車開發和生產用於車輛隔聲和隔熱的輕型組件，包括發動機封裝、 地毯系統和乘客艙的內部儀錶板、 車身底部系統、駕駛室外襯和隔熱罩以及阻尼器。 

## 參考
欧拜

**歐拜**（法語：Aubais，法語發音：[obɛ]）是法國加爾省的一個市鎮，位於該省西南部，屬於尼姆區。

## 地理

歐拜（43°45'18"N, 4°8'52"E）面積 11.79 平方千米，位於法國奧克西塔尼大區加爾省，該省份為法國南部沿海省份，南端瀕地中海，北起順時針與阿爾代什省、沃克呂茲省、隆河河口省、埃羅省、阿韋龍省和洛澤爾省接壤。

與歐拜接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：艾格維沃、孔熱尼、加拉爾格勒蒙蒂厄、瑞納斯、聖塞列斯、維勒泰勒。

歐拜的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

歐拜的郵政編碼為 30250，INSEE 市鎮編碼為 30019。

## 政治

歐拜所屬的省級選區為艾格莫爾特縣。

## 人口

歐拜於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 2895 人。

## 參見

* 加爾省市鎮列表

## 參考文獻
欧拜伊德

**歐拜伊德**（阿拉伯語：**الأبيض‎**，英語：El-Obeid）位於蘇丹中部，是北科爾多凡省的首府，平均海拔 609 米，2012 年人口 418,280 人。
欧拜讷

**歐拜訥**（法語：Aubaine，法語發音：[obɛn] （ 聆聽））是法國科多爾省的一個市鎮，屬於博訥區。

## 地理

歐拜訥（47°8'13"N, 4°43'3"E）面積 16.21 平方千米，位於法國勃艮第 - 法蘭琪 - 康堤大區科多爾省，該省份為法國中東部省份，北起奧布省，西接涅夫勒省和約納省，南至索恩 - 羅亞爾省，東南接侏羅省，東臨上索恩省，東北部與上馬恩省接壤。

與歐拜訥接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：昂特伊、烏什河畔托雷、烏什河畔沃韋、紹姆地區貝塞、烏什河畔布利尼、布揚、克呂熱。

歐拜訥的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

歐拜訥的郵政編碼為 21360，INSEE 市鎮編碼為 21030。

## 政治

歐拜訥所屬的省級選區為阿爾奈勒迪克縣。

## 人口

歐拜訥於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 88 人。

## 參見

* 科多爾省市鎮列表

## 參考文獻
欧敬柏

**歐敬柏**（1971 年 6 月 2 日 —），中國女子壘球運動員。她在 1996 年亞特蘭大夏季奧林匹克運動會中，參加了女子壘球比賽並獲得團體銀牌。她還曾代表北京隊參加第九屆全國運動會。

## 參考資料
欧文

**歐文**可以指：

## 普通名詞

* 歐洲語言的文字。

## 人名

### Irving

* 華盛頓・歐文（Washington Irving），美國早期文學家。
* 凱里・歐文（Kyrie Irving），美國籃球運動員。

### Irwin

* 史帝夫・厄文 （Steve Irwin），澳洲鱷魚專家。

### Owen

* 羅伯特・歐文（Robert Owen，1771 年－1858 年），英國空想社會主義者。
* 麥可・歐文（Michael Owen，1979 年 12 月 14 日－），前英格蘭職業足球員。
* 威爾弗雷德・歐文（Wilfred Owen，1893 年－1918 年），英國詩人。
* 理查・歐文（Richard Owen，1804 年－1892 年），英國生物學家。
* 歐文・威爾遜（Owen Wilson，1968 年－），美國演員和劇作家。
* 奧雲・夏格維斯（Owen Hargreaves，1981 年－），英格蘭職業足球員，司職中場。
* 歐文・彭德森（Owen Paterson，1956 年－）英國保守黨議員。
* 安德魯・歐文（Andrew "Sandy" Comyn Irvine，1902 年－1924 年）英國的登山者。牛津大學墨頓學院學生。最後與登山同伴喬治・馬洛里失蹤於珠穆朗瑪峰北坡的某處。
* 歐文衝鋒鎗（Owen Gun，正式名稱：Owen Machine Carbine），一枝由伊夫林・歐文（Evelyn Owen）研製、澳大利亞的首枝衝鋒鎗。

## 地名

### Irvine

* 歐文 (蘇格蘭)；英國蘇格蘭北艾爾郡的一座城市。
* 歐文 (加利福尼亞州)；美國加利福尼亞州奧蘭治縣的一個城市。
* 歐文 (肯塔基州)；美國肯塔基州埃斯蒂爾縣的一個城市。
* 歐文 (德克薩斯州)；美國德克薩斯州達拉斯縣的一個城市。

### Irwin

* 歐文 (加利福尼亞州默塞德縣)
* 歐文 (愛達荷州)
* 歐文 (伊利諾伊州坎卡基縣)
* 歐文 (愛荷華州)
* 歐文 (內布拉斯加州)
* 歐文 (俄亥俄州)
* 歐文 (賓夕法尼亞州)
* 歐文 (南卡羅萊納州)
* 歐文縣 (喬治亞州)
* 歐文鎮區 (賓夕法尼亞州韋南戈縣)

## 其他

* 名稱以「欧文」開頭的所有條目
* 名稱包含「欧文」的頁面
欧文_(加利福尼亚州)

**爾灣**（Irvine），或譯**歐文**，是美國加利福尼亞州橘郡的一個城市，坐落於該郡中部，鄰近洛杉磯，中上階層家庭聚居，總人口約 30 萬。1888 年開埠，1914 年改名，1971 年 12 月 28 日建市。

爾灣市學校隸屬於爾灣學區。多間高等學府均在爾灣市設有分校，包括加州大學爾灣分校、協和大學爾灣分校、爾灣谷學院等。

## 人口

根據 2020 年人口普查結果，爾灣市共有 309,031 人，拉丁裔占一成，白人（不包括西班牙裔）占 37%，亞太裔占 45%，其中多為華裔、韓裔。2020 年爾灣家庭年收入中位數為 108,318 USD（美元）。它是亞裔美國人人口密度最高的美國本土城市。

## 經濟

* 暴雪娛樂總部位於此地。
* 宏正自動科技美國子公司「ATEN Technology, Inc.」總部位於此地。
* 博通
* 福特汽車西岸設計中心
* 明基電通
* Alteryx 軟體公司總部位於此地
* AllMax Battery 公司總部位於此地
* Vizio
* Getac 美國分公司
* 直銷業 New Health (新賀斯) 實驗室與工廠

## 公共運輸

南加州都會鐵道（Metrolink）運營大洛杉磯地區的通勤鐵路，在爾灣地區設有 Tustin 和 Irvine 兩站，Orange County Line 和 Inland Empire-Orange County Line 服務這兩站，可搭乘通勤火車前往洛杉磯市中心等地。其中 Irvine 站還有著名的海景列車 -- 美鐵運營的太平洋衝浪者號列車停靠，可搭乘此列車前往洛杉磯市中心，Oceanside 和聖地牙哥市中心，Irvine 到聖地牙哥耗時 1 小時 40 分鐘。Tustin 和 Irvine 火車站均設有大型停車場，可停車換乘（P+R）搭乘火車以避開擁堵的高速公路。

Orange County Transportation Authority (OCTA) 運營爾灣地區的公交車。

## 姊妹市

爾灣共有四個姊妹城市：

* 日本筑波市
* 墨西哥埃莫西約
* 臺灣桃園市桃園區
* 南韓首爾瑞草區

## 參考文獻
欧文_(得克萨斯州)

**歐文**（Irving, Texas）是美國德克薩斯州達拉斯郡東北部的一個城市，位於達拉斯 - 沃斯堡城市群。面積 175.3 平方公里，2006 年人口為 196,084 人。

1903 年開埠，1914 年 4 月 14 日設市。石油巨頭艾克森美孚總部位於該地。

## 姐妹城市

* 蒙古達爾汗
* 芬蘭埃斯波
* 法國 布洛涅 - 比揚古

## 參考文獻
欧文_(肯塔基州)

**歐文**（英語：**Irvine**），是美國肯塔基州的一座城市。建立於 1812 年，面積約為 3.9 平方公里（1.5 平方英里）。根據 2010 年美國人口普查，該市的人口為 2,715 人。

## 參考資料
欧文·B·图恩

**歐文・B・圖恩**（英語：Owen Brian Toon，1947 年 5 月 26 日 —）是一位美國大氣科學家和海洋學家，艾姆斯研究中心和科羅拉多大學波德分校教授。1975 年博士畢業於康奈爾大學，導師卡爾・薩根，曾獲 2014 年卡爾 - 古斯塔夫・羅斯貝獎章。

## 參考文獻

## 外部連結

* Brian Toon faculty homepage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧文·G·托尔伯格纪念奖

**歐文・G・托爾伯格紀念獎**（英語：Irving G. Thalberg Memorial Award）是電影藝術與科學學院頒發的一個專門針對「製作出多部高質量電影的製片人」的獎項，以米高梅公司製片人歐文・托爾伯格（Irving Grant Thalberg）命名，與電影藝術與科學學院頒獎的簡・赫爾索特人道精神獎（Jean Hersholt Humanitarian Award）一樣。歐文・G・托爾伯格紀念獎也是不定期頒發的，至今為止一共已經頒發了 39 次。

## 獲獎者名單

## 其他提名者

在第 11 屆奧斯卡獎中角逐此獎項的另外幾位提名人選（只有這一年此獎項有宣布提名）：

* 塞繆爾・戈德溫
* 喬・帕斯特納克
* 大衛・O・塞爾茲尼克
* 亨特・斯通伯格
* 沃爾特・旺格
* 達里爾・F・扎納克

## 參考文獻

## 外部連結

* Official Description of the Irving G. Thalberg Memorial Award with image and list of recipients （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧文·M·费斯

**歐文・M・費斯**（**Owen M. Fiss**）是美國著名憲法學者，現為耶魯法學院教授。

費斯 1959 年在達特茅斯學院獲得學士學位，1961 年在牛津大學獲得第 2 個學士學位，1964 年在哈佛大學法學院獲得法學士學位。1968 年費斯到芝加哥大學法學院任教，1976 年開始，在耶魯法學院擔任教授。

費斯寫了很多具有影響力的著作，其中被翻譯為漢語的有《自由的反諷》等書。

## 外部連結

* 耶魯大學法學院網站費斯的主頁
欧文·克里斯托

**歐文・克里斯托**（英語：Irving Kristol，1920 年 1 月 22 日 —2009 年 9 月 18 日），美國記者，被稱為「新保守主義教父」。作為各種雜誌的創始人、編輯和撰稿人，他在 20 世紀後半葉的知識和政治文化中發揮了重要作用。 死後，《每日電訊報》將他描述為「也許是（二十）世紀後半葉最重要的公共知識分子」。其子比爾・克里斯托曾擔任美國副總統丹・奎爾的幕僚長。

## 外部連結

* Website and bibliography of Irving Kristol's writings
* C-SPAN 內的亮相頁面（英文）
欧文·凯·加里欧特

**歐文・凱・蓋瑞特**（英語：**Owen Kay Garriott**，1930 年 11 月 22 日 —2019 年 4 月 15 日）曾是一位美國國家航空暨太空總署的太空人，執行過天空實驗室 3 號和 STS-9 任務。

## 參考資料

## 外部連結

* 美國國家航空暨太空總署網站的加里歐特介紹 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
欧文·加尔文

**歐文・加爾旺**（英語：Owen Garvan；1988 年 1 月 29 日 —）是一位愛爾蘭足球運動員，在場上司職中場。他出身在一個足球家庭。他現在效力於英超球隊水晶宮。

## 參考資料
欧文·华莱士

**歐文・華萊士**（英語：Irving Wallace，1916 年 3 月 19 日 —1990 年 6 月 29 日），美國作家。二戰時期曾在美國陸軍航空軍第一影視部隊工作。

## 生平

華萊士十幾歲時開始向雜誌銷售故事。在第二次世界大戰中，華萊士在福克斯堡的弗蘭克卡普拉單位和西奧多・蘇斯・蓋塞爾一起服務，並繼續為雜誌撰稿。他還曾在陸軍第一電影部門任職。然而，華萊士轉成為好萊塢編劇。他製作了諸如西點故事（1950 年），史蒂芬二世（1953 年），在展覽會上見面（1953 年）和大馬戲團（1959 年）等電影。他還為西部電視節目《Have Gun - Will Travel》貢獻了三個劇本。

1959 年，華萊士出版第一部非小說作品「The Fabulous Originals」和第一部小說「菲利普・弗萊明的罪孽」。後者被評論家所忽視，隨後是極大成功的《查普曼報告》。華萊士一生中出版了 33 本書，翻譯成 31 種語言。

歐文・華萊士與前雜誌作家兼編輯西爾維亞・華萊士結婚。西爾維亞・華萊士第一部小說「噴泉」是美國暢銷書，出版了 12 部外語版。她的第二部小說「皇后」於 1980 年出版。她還幫助他和他們的兩個孩子一起製作了「名單＃2」和「名人的親密性生活」。

西爾維亞・華萊士於 2006 年 10 月 20 日去世，享年 89 歲。

華萊士的幾本書已被製作成電影，最著名的書籍包括查普曼報告（1960 年），The Prize（1962 年），The Word（1972 年）和粉絲俱樂部（1974 年）。

1990 年 6 月 29 日，華萊士死於胰腺癌，埋葬於加利福尼亞州卡爾弗希爾賽德紀念公墓。

## 外部連結

* Irving Wallace 在網際網路電影資料庫（IMDb）上的資料（英文）
* "Irving Wallace". Books and Writers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Irving Wallace: A Writer's Profile_ by John Leverence and Sam L. Grogg （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Popular Press, 1974)
* _The Miracle_ by Irving Wallace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Googlebooks preview)
欧文·哈格里夫斯

**歐文・李・哈格里夫斯**（**Owen Lee Hargreaves**，1981 年 1 月 20 日 —）出生於加拿大艾伯塔省卡爾加里，已退役英格蘭職業足球員，司職中場，可以出任中前衛、後腰、左右中場，以及左右後衛。曾經效力於德國甲級足球聯賽拜仁慕尼黑，期間獲得 4 個聯賽冠軍及 2001 年歐洲冠軍盃。於 2007 年 5 月中，哈格里夫斯轉投英格蘭足球超級聯賽曼聯。於 2011 年以自由身身份與曼城簽約一年。於 2012 年 5 月被曼城放棄。

## 生平

哈格里夫斯的父親是英格蘭人，其母是威爾斯人，而哈格里夫斯並非出生於此兩地，而是誕生於加拿大卡加利。

少年哈格里夫斯於加拿大隻對冰球與籃球感趣，但後來漸漸對足球產生了興趣。其後，哈格里夫斯於出生地的球隊中有不錯的表現，於是被當地一位與拜仁有深切關係的教練引進球會試腳，後來得到收留，當時哈格里夫斯只是 16 歲。

2000 年至 2001 年的球季，哈格里夫斯成為了拜仁慕尼黑一隊的球員之一，並於 2000 年的 8 月對哈化柏林的賽事首次上場。同年，哈格里夫斯入選了英格蘭 21 歲以下國家隊。1 年後，哈格里夫斯於歐聯四強次回合首次於歐洲冠軍聯賽上場對戰皇家馬德里，後來拜仁慕尼黑晉身決賽，最後憑哈格里夫斯不俗的表現令拜仁戰勝西甲強者之一的瓦倫西亞，奪得歐聯冠軍。

在國家隊方面，哈格里夫斯決定代表英格蘭出賽，而放棄威爾斯或是加拿大。他於 2001 年 8 月對荷蘭首次先發上場，擔任球隊的左中場位置。2002 年世界盃，哈格里夫斯亦曾在兩場分組賽中上場。

2003 年的球季，哈格里夫斯因為盆骨痛楚而發現自己長短腳，影響了他在場上的表現。2004 年歐洲國家盃，哈格里夫斯上場了 3 場球賽。2005 年至 2006 年的球季，有傳哈格里夫斯會離隊他投。對哈格里夫斯有興趣的包括車路士、曼聯等，但後來哈格里夫斯簽約至 2010 年。

2006 年世界盃，哈格里夫斯成為球隊的一員，在德國上場 4 場球賽。於八強賽對陣葡萄牙中，哈格里夫斯在禁區製造了不少機會，並在 PK 大戰中得分，因此雖然英格蘭最終落敗，但他卻被選為賽事的最佳球員，其實他過去曾是球迷噓聲的目標，不過這次在足總網站的投票獲得肯定。哈格里夫斯在足總網站發表答謝致辭稱：「任何時候得到球迷的支持，都是非常特別的禮物，所以在此感謝所有投票給我的球迷。」哈格里夫斯贏得 29% 的選票，擊敗另一位中場謝拉特 (18%)，以及前鋒高治 (15%)。

於世界盃出色的表現為哈格里夫斯帶來國家隊先發的席位，而英超的大俱樂部如曼聯及車路士等都先後被傳出欲羅致這名中場球員。其中以曼聯最為積極，曼聯於 06 年季前曾多次出價而被拜仁所拒，兩間俱樂部更因此而交惡。其後曼聯仍對這名中場球員死心不息，曾多次高調聲稱會於 2007 年再次出價購買哈格里夫斯。

2007 年 5 月 20 日，拜仁慕尼黑會長碧根鮑華公開證實哈格里夫斯將會以大約 1,700 萬英鎊離隊轉投曼聯。

哈格里夫斯加盟曼聯初期經常受傷患困擾，以致缺乏了部份賽事。他於 3 月初對富咸的聯賽當中射入其加盟後首個進球。同年 4 月初，他再次射入自由球，協助球隊反勝阿仙奴 2:1。2008 年 5 月曼聯對車路士的歐冠決賽，哈格里夫斯以先發右中場身份上場全場連延長賽 120 分鐘賽事，並於互射十二碼階段射入第 4 球，協助球隊勝出，奪得個人職業生涯中第二面歐冠冠軍獎牌。

2008/09 年球季哈格里夫斯持續受傷患困擾，更於季初便宣佈會因傷缺席全季所有賽事。經歷兩個膝蓋動手術，養傷 18 個月後，終於在 2010 年 3 月 18 日復出為曼聯預備隊對般尼上場 45 分鐘，賽後表示感覺良好，並會盡全力爭取出席世界盃。

2010 年 11 月 6 日，他獲得自 2008 年 9 月以來首次先發上場，在英超聯主場面對狼隊，但上場僅 5 分鐘即告傷出，由碧比替補。

2011 年 1 月 21 日，據英國傳媒報導，曼聯玻璃人哈格里夫斯已經開始參加輕度的訓練。30 歲的哈格里夫斯嚴重的膝蓋傷勢，可能會迫使他提前結束球員生涯。去年十一月他曾在曼聯主場對狼隊的比賽中令人意外地先發上場，不過比賽才開始幾分鐘又因傷退下火線。起初外界認為哈格里夫斯將缺陣五週時間，但他的恢復進展十分緩慢。不過《電訊報》指出，這名前拜仁慕尼黑中場已經開始重新參加操練了。

5 月 22 日，總教練佛格森證實俱樂部將不會向季尾約滿的哈格里夫斯提供新合約，意味在效力球隊四年間只上場 39 次哈格里夫斯將回復自由身。

8 月 31 日，隨著在之前一日被媒體拍得於曼城進行體檢，曼城會方正式宣佈已與哈格里夫斯簽訂一年合約，使得此前盛傳加盟西布朗之事告吹，同時亦使哈格里夫斯的球員生涯現出曙光。為替補季前退役轉任管理層的中場韋拉，與及季中將要請假為國效力出戰非洲國家盃的耶耶・托尼，曼城此前已分別求購迪羅斯、加高、雲保美等等中場悍將，惜都無功而還，如今得到曾奪歐聯冠軍的哈格里夫斯免費來投，而球員本人又可於被前俱樂部放棄的困境下重投一支具有同級班底的俱樂部，並具出戰歐聯的資格，正正是一家便宜兩家著的雙贏結果。同時，哈格里夫斯也成為近年繼特維斯後，由曼聯直接轉投同市宿敵曼城的球員。這樣的轉會情況本已極少出現，加上兩人同樣曾於曼聯取得極大成功，更同是歐聯決勝的冠軍十一人，卻又同時於此輝煌成就後迅即失意於球隊，結果也同樣地投身天藍軍團，可謂一時佳話。

2012 年 5 月 22 日，剛奪得 2011-12 年度英超冠軍曼城於其官方網站宣佈放棄哈格里夫斯，於曼城期間只出賽 4 場（1 場聯賽、1 場足協盃及 2 場聯賽盃），取得 1 個聯賽盃進球。

## 風格

哈格里夫斯被公認為強悍的後腰，擁有無窮氣力、旺盛鬥志，而且具備處理死球的特色，不論對自由球、角球，以至十二碼都擅長。其踢法極其硬朗，每每在中後場作出狠勁的攔截；其速度不俗，左右腳腳法均非常純熟，在擔任左中場位置時經常利用上佳的體能於左路作個人推進，並且傳中，加上其遠射能力甚高，偶然施遠射令到門將手足無措。除了取分能力外，他於曼聯後防兵源現荒時多次串演右後衛，從而展現了高效率的防守能力，及在邊路的策控能力，其表現甚至不下於其他正職後防的隊友。哈格里夫斯極高的心理質素及穩定的情緒智商，也使他成為值得球隊信賴的關鍵人物。惟哈格里夫斯也是知名的容易受傷球員，尤其於加盟曼聯後經常受傷，以致在曼聯時期出場時間不多。

## 獎項

### 拜仁慕尼黑

* 德甲：2001,2003,2005,2006
* 歐冠：2001
* 洲際盃：2001
* 德國足協盃：2003,2005,2006
* 德國足球協會聯賽盃：2004,2007

### 曼聯

* 英超：2008,2009,2011
* 英格蘭聯賽盃：2009,2010
* 英格蘭社區盾：2007,2008,2010
* 歐冠：2008
* 世俱盃：2008

### 個人

* 巴禾獎：2001 年
* 歐洲 21 歲以下足球先生：2001 年
* 英格蘭國家隊最佳球員：2006 年

## 參考文獻

## 外部連結

* （英文）/（德文）哈格里夫斯官方網站