橢球坐標系

**橢球坐標系**（英語：Ellipsoidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

## 基本公式

橢球坐標 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ 以直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 定義為：

　
: $x^{2}={\frac {(a^{2}+\lambda )(a^{2}+\mu )(a^{2}+\nu )}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}}$ 、

　
: $y^{2}={\frac {(b^{2}+\lambda )(b^{2}+\mu )(b^{2}+\nu )}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}}$ 、

　
: $z^{2}={\frac {(c^{2}+\lambda )(c^{2}+\mu )(c^{2}+\nu )}{(c^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2})}}$ ；

其中，橢球坐標遵守以下限制：

　
: $-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}$ 。

## 坐標曲面

 $\lambda $ - 坐標曲面是橢球面 ：

　
: ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1$ 。

 $\mu $ - 坐標曲面是單葉雙曲面 (hyperboloid of one sheet) ：

　
: ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1$ 。

 $\nu $ - 坐標曲面是雙葉雙曲面 (hyperboloid of two sheet) ：

　
: ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1$ 。

## 標度因子

為了簡化標度因子的計算，設定函數

　
: $S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (a^{2}+\sigma )(b^{2}+\sigma )(c^{2}+\sigma )$ ；

其中，參數 $\sigma $ 可以代表任何一個橢球坐標 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ 。

橢球坐標的標度因子分別為

　
: $h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}}}$ 、

　
: $h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}}}$ 、

　
: $h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}}$ 。

無窮小體積元素等於

　
: $dV={\frac {(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]$

　
: : $+\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ 與 $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

## 參閱

* 橢球
* 類球面

## 參考目錄

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 663.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: pp. 101–102.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 176.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 178–180.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Moon PH, Spencer DE. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 40–44 (Table 1.10). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)