正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，**生成函數**扮演的角色，好似在兩組正則坐標 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ ， $(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為**生成函數方法**。這兩組變數必須符合方程式

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}$ ；(1)

其中， $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})$ 是舊廣義坐標， $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})$ 是舊廣義動量， $\mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})$ 是新廣義坐標， $\mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})$ 是新廣義動量， ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量， $G(-,\ -,\ t)$ 是**生成函數**， $t$ 是時間。

生成函數 $G$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 保證是正則變換。

## 生成函數列表

## 第一型生成函數

第一型生成函數 $G_{1}$ 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

　
: $G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$ 。

新廣義坐標 $\mathbf {Q} $ 和舊廣義坐標 $\mathbf {q} $ 都是自變量，其對於時間的全導數 ${\dot {\mathbf {Q} }}$ 和 ${\dot {\mathbf {q} }}$ 互相無關，所以，以下 $2N+1$ 個方程式都必須成立：

　
: $\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，(2)

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，(3)

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$ 。(4)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ，步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (2) ，設定了 $\mathbf {p} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $\mathbf {Q} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(5)

第二組的 $N$ 個方程式 (3) ，設定了 $\mathbf {P} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入函數方程式 (5) ，可以算出 $\mathbf {P} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(6)

從 $2N$ 個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 $2N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ，

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入新哈密頓量 ${\mathcal {K}}$ 的方程式 (4) ，可以得到

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

## 第二型生成函數

第二型生成函數 $G_{2}$ 只跟舊廣義坐標 $\mathbf {q} $ 、新廣義動量 $\mathbf {P} $ 有關 ：

　
: $G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$ 。

由於舊廣義坐標 $\mathbf {q} $ 與新廣義動量 $\mathbf {P} $ 必須彼此無關，以下 $2N+1$ 方程式必須成立：

　
: $\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，(7)

　
: $\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，(8)

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$ 。(9)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 。步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (7) ，設定了 $\mathbf {p} $ 的函數方程式

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $\mathbf {P} $ 的函數方程式

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(10)

第二組的 $N$ 個方程式 (8) ，設定了的函數方程式

　
: $\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入函數方程式 (10) ，可以算出 $\mathbf {Q} $ 函數方程式

　
: $\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式

　
: $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ，

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

## 第三型生成函數

第三型生成函數只跟舊廣義動量 $\mathbf {p} $ 、新廣義坐標 $\mathbf {Q} $ 有關：

　
: $G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

　
: $\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$ 。

## 第四型生成函數

第四型生成函數 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 只跟舊廣義動量 $\mathbf {p} $ 、新廣義動量 $\mathbf {P} $ 有關：

　
: $G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

　
: $\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

　
: $\mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$ 。

## 實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

　
: $G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} $ 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為

　
: $\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} $ ，

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} $ ，

　
: ${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。

## 實例 2

再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓

　
: $G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} $ ；

這裏， $\mathbf {g} $ 是一組 $N$ 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

　
: $\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)$ 。

## 實例 3

有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量，

　
: ${\mathcal {H}}=aP^{2}+bQ^{2}$ 。

例如，假若哈密頓量為

　
: ${\mathcal {H}}={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}}$ ；(12)

這裏， $p$ 是廣義動量， $q$ 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

　
: $P=pq^{2}$ ，(13)

　
: $Q=-{\frac {1}{q}}$ 。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：

　
: ${\mathcal {H}}={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}}$

這變換用的是第三型生成函數 $G_{3}(p,\ Q)$ ；其對於 $Q$ 的導數是

　
: ${\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-P$ 。

代入方程式 (13) 、(14) ，

　
: ${\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-{\frac {p}{Q^{2}}}$ 。

對於 $Q$ 積分，可以得到生成函數 $G_{3}$ ：

　
: $G_{3}(p,\ Q)={\frac {p}{Q}}$ 。

最後，檢查答案是否正確：

　
: $q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}$ 。

## 參閱

* 哈密頓 - 亞可比方程式
* 帕松括號
* 正則變換列表

## 參考文獻

* Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.