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正则元音

**定位元音**又稱為**基本元音**、**正則元音**（英語：cardinal vowel），是一組用以參考的元音，讓語音學者描述語言的元音之標準位置，例如普通話的「筆」字（bǐ），其元音可以描述為定位元音 1[i]，也就是最接近它的定位元音。

當舌頭位於極端的位置，發出的元音就是定位元音，不論位置的前後或高低。現時的系統由丹尼爾・瓊斯（Daniel Jones）在 20 世紀初設計，然而這一概念早已由其他語音學者提出（一種說法是於 19 世紀晚期，由語言學家埃利斯首先提出），而「cardinal」這一術語由貝爾選定，後為斯威夫特所採用。

其中三個定位元音[i]、[ɑ]和[u]有發音定義。如要發出 [i]，舌頭需要盡可能伸至最前和最高，並且張開嘴唇（不圓唇）。如要發出[u]，舌頭需要盡可能伸至最後和最高，而嘴唇噘起（圓唇）。發此音的動作，大約有如吹出很低音的哨子，或者吹蠟燭。如要發出[ɑ]，舌頭則要盡可能伸至最後和最低。

其他元音與這些「角落元音」的「聽覺距離」相等，分成四種間隙度或「高度」：閉（高舌位）、半閉、半開和開（低舌位）。西非的 Ngwe 語的元音系統中，有八個元音被認為與八個主要定位元音很相似（Ladefoged 1971:67）。

這四種間隙度加上前後元音之分，以發音和聽覺的混合標準定下八個參考點。這八個元音也就是八個**主定位元音**（又稱為主要元音）。這樣的元音在世上的語言很常見。

發音時前後和唇位轉變，可以發出不同的元音（見列表）。故此，定位元音 1 如若讀成圓唇音，就變成定位元音 9，如此類推。這類元音稱為**次定位元音**。這些元音在世上的語言較不常見。國際音標的元音圖表也包括其他元音。

## 定位元音列表

1 至 8 是主定位元音，9 至 16 是次定位元音。1 至 8 的唇位與 9 至 16 相反而成對，例如 1 對應 9、2 對應 10。1 至 16 發音位置前後不同而成對，例如 1 對應 8、2 對應 7。附加 17 和 18 兩個閉央元音。

在國際音標的數字列表（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），定位元音使用同樣的數字，不過數值全部加 300。

## 定位元音圖

定位元音圖又稱為定位元音四邊形圖。圖中的元音符號成對出現，右邊的代表圓唇元音。

## 參考書目

* Ladefoged, Peter. (1971). _Preliminaries to linguistic phonetics_. Chicago: The University of Chicago Press.
正则化无网格法

**正則化無網格法**（Regularized Meshless Method），也叫**奇異無網格法**或**去奇異無網格法**，是為解決一些基本解已知的偏微分方程而提出的邊界型無網格法。該方法是一種強式配點法，具有不需要劃分網格、不需要積分、編程簡單、穩定性好等優點。到目前為止，正則化無網格法已經被成功應用於諸如勢問題、聲學問題、水波問題、反問題等典型問題。

## 方法描述

正則化無網格法將位勢理論中的雙層勢作為基函數 / 核函數。通過與基本解法 （Method of Fundamental Solutions）進行對比可知：它們的近似解都是由不同源點基函數的線性組合來表示；不同之處在於正則化無網格法將源點設置在物理邊界上與配點重合，從而可以很好地解決基本解方法需設置虛擬邊界的問題。

當源點與配點重合時，雙層核函數在會出現奇異性，正則化無網格方法中利用先減後加的正則化技術（subtracting and adding-back regularizing technique）解決了這一問題。

## 發展史和最新進展

目前，在很多工程和科學領域中，有限元法（Finite Element Method）、有限差分法（Finite Difference Method）、有限體積法（Finite Volume Method）和邊界元法（Boundary Element Method）仍是主要的數值方法。由於這些方法在處理高維移動問題或者是複雜幾何域問題時，將面臨網格劃分難，網格重構費時等困難，因此網格生成對於上述問題而言是一個很有挑戰性的問題。

邊界元法由於它的半解析特徵和只在邊界離散的特點，有效緩解了這一缺陷。儘管如此，邊界元法依然需要複雜的數學技巧去處理奇異積分。此外，在三維域的表面網格劃分方面，仍然十分艱難。在過去的幾十年裡，為了克服這些難題，已經做了大量的工作，很多無需劃分網格的邊界配點無網格方法相繼被提出。在這些方法中，基本解法由於編程容易、數學描述簡單、精度高和快速收斂等優點而最受歡迎。

在基本解中，為了避免基本解的奇異性，需要在問題域的物理邊界外人為設置虛擬邊界。對於最優虛擬邊界的位置的選擇，仍然存在一些困難。為了解決這個棘手的問題，很多新方法相繼被提出來，包括：邊界節點法 （Boundary Knot Method），正則化無網格法 (Regularized Meshless Method)，修正基本解法 (Modified method of fundamental solutions) 和奇異邊界法 (Singular Boundary Method) 等。

2005 年 Young 和他的合作者首次提出了正則化無網格方法。此方法的關鍵創新點在於引入先減後加的正則化技術去除了雙層勢核函數的源點奇異性，從而可以直接將源點設在實際物理邊界上。到目前為止，正則化無網格法已經成功應用於大量物理問題，例如勢問題、外域聲學問題、壓電反平面問題、多連通區域的聲學特徵值問題、反問題、泊松方程和水波問題 等。此外，為了提升 RMM 方法的通用性和計算效率，一些學者提出了一些改進的方法，如，針對不規則區域問題而提出加權正則無網格法，針對二維拉普拉斯問題而提出解析正則化無網格法.。

## 參閱

* 徑向基函數
* 邊界元法
* 基本解法
* 邊界節點法
* 邊界粒子法
* 奇異邊界法

## 參考文獻
正则坐标

在古典力學裏，**正則座標**是相空間的一種座標。正則座標很自然的出現於哈密頓力學的研究。正如同哈密頓力學的被辛幾何廣義化，正則變換也被切觸變換廣義化。如此在古典力學裏，正則座標的 19 世紀定義也被廣義化，成為更抽象地以餘切叢為基礎的 20 世紀定義。

## 定義

在哈密頓力學裏，正則座標 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!$ 必須滿足哈密頓方程式：

　
: ${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!$ ，

　
: ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!$ ；

其中， ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\,\!$ 是哈密頓量、 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ 是廣義座標、 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ 是廣義動量。

## 特性

正則座標滿足基本帕松括號關係：

　
: $[q_{i},q_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!$ ，

　
: $[p_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!$ ，

　
: $[q_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\delta _{ij}\,\!$ 。

正則座標可以用勒壤得轉換從拉格朗日形式論的廣義座標求得；也可以用正則變換從另外一組正則座標求得。

## 相關條目

* 正則變換
* 辛矩陣
* 辛標記
* 哈密頓 - 雅可比方程式
* 史東 - 馮諾伊曼定理
* 正則對易關係
正则形式的博弈

在賽局理論中，**正則形式**（Normal-form game）是描述賽局的一種方式。與延展形式不同，正則形式不用圖形來描述賽局，而是用矩陣來陳述賽局。與延展形式的表述方式相比，這種方式在識別出嚴格優勢策略和納許均衡上更有用，但會丟失某些資訊。賽局的正則形式的表述方式包括如下部分：每個參與者所有顯然的和可能的策略，以及和與其相對應的收益。

在非完美資訊的完全靜態賽局中，正則形式的表述方式詳細地說明了參與者策略空間和收益函數。策略空間是某個參與者的所有可能策略的集合。策略是參與者在賽局的每個階段 —— 不管在賽局中這個階段實際上是否會出現 —— 將要採取的行動的完整計劃。每個參與者的收益函數，是從參與者策略空間的向量積到該參與者收益集合（一般是實數集，數字表示基數效用或序數效用 —— 在正則形式的表述方式中常常是基數效用）的映射。也就是說，參與者的收益函數把策略組合（所有參與者策略的清單）作為它的輸入量，然後輸出參與者的收益。

## 一個實例

有種賽局是參與者同時（或至少在做出行動前不觀察其他參與者的動作）做出行動，並按照上述已做出行動的組合獲得收益。右邊的矩陣是這種賽局得正則形式的表述方式。例如，如果甲做出行動「頂」，而乙做出行動「左」，則甲得到收收益 4，乙得到收益 3。在每個回合，第一個數字代表排參與者（此處為甲）的收益，第二個數字代表列參與者（此處為乙）的收益。

### 其他表述方式

對稱賽局（其收益不是依賴於參與者選擇的動作）常常被表述為只有一種收益，即豎排參與者的收益。例如，左右兩邊的收益矩陣表述的是同一個賽局。

## 正則形式的使用

### 占優策略

收益矩陣有助於剔除劣勢策略，而且經常被用於說明這個概念。例如，在囚徒困境中（右圖），參與者會發現因為其他人的_背叛_，_合作_成了嚴格劣勢策略。參與者會比較每列的第一個數字，在這個例子中，3>2 且 1>0。這表明無論橫排參與者怎樣選擇，豎排參與者選擇_背叛_都比較好些。類似地，參與者會比較每列的第二個數字，同樣也是 3>2 且 1>0。這說明無論豎排參與者怎麼做，橫排參與者選擇_背叛_都比較好些。這就證明了此賽局唯一的納許均衡是（_背叛_，_背叛_）。

### 正則形式的連續賽局

這些矩陣只表述同時（或者更一般地，資訊是不完美的）做出行動的賽局。上述矩陣不能表述甲先做出行動，被乙觀察到，然後乙再做出行動的賽局。因為在這個例子中，無法確定乙每次的策略。為了表述這種連續賽局，我們要列出乙在賽局進行期間所有的行動 —— 儘管根據實際情況，某種行動決不會出現。和前面一樣，在這個賽局中乙有兩種選擇，_左_和_右_。與前面不一樣的是，視甲的行動不同而定，乙有四種策略。這些策略是：

1. _如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇左_
2. _如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇右_
3. _如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇左_
4. _如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇右_

右圖是這個賽局的正則形式的表述方式。

## 一般形式

為了用把賽局表述成正則形式，需要提供下列數據：

* 表示參與者的有限集 P，標記為 {1,2,…,_m_}
* 每個參與者 _k_ 在 _P_ 里擁有有限個純策略

$$
S_{k}=\{1,2,\ldots ,n_{k}\}.
$$

一個純策略組合是參與者策略的聯合，這是一個 _m_ 元組

$$
{\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})
$$

則有

$$
\sigma _{1}\in S_{1},\sigma _{2}\in S_{2},\ldots ,\sigma _{m}\in S_{m}
$$

我們用 Σ 來表示策略組合的集合

收益函數形如

$$
F:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} .
$$

其預期解釋是賽局結束時給予單個參與者的獎品。相應地，為了完整地說明一個賽局，收益函數必須在參與者集 _P_= {1, 2, ..., _m_} 中對每個參與者詳細說明。

**定義**：一個**正則形式的賽局**的結構形如

$$
(P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} )
$$

這裡 _P_ = {1,2, ...,_m_} 是參與者集合，

$$
\mathbf {S} =(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m})
$$

是純策略集合的一個 m 元組，每個純策略對應於一個參與者，而

$$
\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})
$$

是收益函數的 _m_ 元組。

沒有理由在前面的討論中，把參與者數量有限或每個參與者的策略有限的賽局排除在外。因為要用到泛函分析的技巧，關於有限賽局的研究非常艱深。

## 參考文獻

* D. Fudenberg and J. Tirole, _Game Theory_, MIT Press, 1991.
* R. D. Luce and H. Raiffa, _Games and Decisions_, Dover Publications, 1989.
* J. Weibull, _Evolutionary Game Theory_, MIT Press, 1996
* J. von Neumann and O. Morgenstern, _Theory of games and Economic Behavior_, John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

## 外部連結

* http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正则文法

在電腦科學中，**正則文法**是產生式規則取下述形式的一種形式文法（_N_, Σ, _P_, _S_）：

1. _A_ -> _a_ ，此處的 _A_ 是 _N_ 中的非終結符號，_a_ 是 Σ 中的終結符號；
2. _A_ -> _aB_，此處的 _A_ 和 _B_ 是 _N_ 中的非終結符號，_a_ 是 Σ 中的終結符號；
3. _C_ -> ε，此處的 _C_ 是 _N_ 中的非終結符號。

下面給出一個正則文法的例子：
文法 _G_ = (_N_, Σ, _P_, _S_)，其中 _N_ = {S, A}，Σ = {a, b, c}，S 是起始符號，_P_ 包含下述規則：

　
: S -> aS

　
: S -> bA

　
: A -> ε

　
: A -> cA

這個文法描述的語言也可以用正規表示式 a\*bc\* 來表達。

正則文法描述的語言構成了正規語言類，正規語言類中的語言也可以由有限狀態自動機或正規表示式來表達。

## 相關條目

* 喬姆斯基譜系
* 正規語言
* 正規表示式
* 有限狀態自動機
正则系综

**正則系綜** (**canonical ensemble**) 是統計力學中系綜的一種。它代表了與恆溫熱庫接觸而處於熱平衡的系統所有可能狀態的集合。由於系統可以與熱庫交換能量，系統可能的微觀狀態可以具有不同的能量。

正則系綜的宏觀性質由系統的三個參量決定：熱力學溫度 $T\,$ ，粒子數 $N\,$ 和體積 $V\,$ 。給定這三個巨觀量的系綜也被稱為 **$NVT\,$ 系綜**。

正則系綜中，系統每個微觀狀態出現的機率 $P\,$ 為：

　
: $P=e^{\frac {F-E}{kT}},$

其中 $E\,$ 是該微觀狀態的總能量， $k\,$ 是波茲曼常數。

 $F\,$ 表示體系的自由能，並且在正則系綜中為常量。然而對於給定的參數 $N\,$ ， $V\,$ ， $T\,$ ，自由能 $F\,$ 及其對應的機率 $P\,$ 是可以改變的。因此，自由能 $F\,$ 有兩個作用：第一，它為機率分布提供了歸一化因子；第二，系綜中許多重要的巨觀量可以直接從函數 _F_(_N_, _V_, _T_) 中推導出來。

明確了上述概念後，我們可以等價地把機率 $P\,$ 表述為：

　
: $\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},$

其中 $Z\,$ 為正則配分函數：

　
: $\textstyle Z=e^{-F/(kT)}$ 。

在下文中，我們可以看到正則配分函數可以重新表述為對各微觀狀態權重的求和。

從歷史上看，波茲曼於 1884 年首次在論文中描述了正則系綜。後來，吉布斯在 1902 年對它進行了重新闡述和廣泛的研究。

## 性質

## 正則分布的量子表達式

對於一個給定粒子數 $N\,$ ， $V\,$ ， $T\,$ 的系統，它處在能量為 $E_{s}\,$ 的狀態 $s$ 上的機率為

　
: $\rho _{s}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{s}}$ ，

其中 $\beta =1/kT\,$ ， $Z\,$ 為系統的配分函數

　
: $Z=\sum _{s}e^{-\beta E_{s}}$ ,

式中的 $\sum _{s}\,$ 表示對系統所有微觀狀態求和。

## 熱力學公式和全微分

## 參考文獻
正则素数

**正則質數**是一種質數，由恩斯特・庫默爾在 1847 年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：

　
: **定義**. 質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除分圓體 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的類數。此定義簡單卻不易計算。

另一種定義方式是：質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除伯努利數 $B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)$ 的分子。

頭幾個正則質數為：

　
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS 數列 A007703）

庫默爾證明了：當 $p$ 是正則質數時， $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 不存在非零整數解。最小的 10 個非正則質數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS 數列 A000928）。
已知存在無窮多個非正則質數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則質數。

## 文獻

* Richard K. Guy, _Unsolved Problems in Number Theory_ (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
正则语言

**正規語言**又稱**正則語言**是滿足下述相互等價的一組條件的一類形式語言：

* 可被確定有限狀態自動機辨識；
* 可被非確定有限狀態自動機辨識；
* 可被唯讀圖靈機辨識；
* 可用正規表示式描述；
* 可用正則文法生成。
* 可用字首文法生成。

## 例子

* 所有的有限語言都是正則的。
* 字母表 {_a_, _b_} 上包含偶數個 _a_ 的所有字串構成的語言是正則的。
* 字母表 {_a_, _b_} 上取若干個 _a_ 後緊跟若干個 _b_ 形式的所有字串構成的語言是正則的。

## 定義

在字母表集合 Σ 上的正規語言定義如下：

* 空集合 Ø 是正規語言
* 只包含一個空字串的語言 {ε} 是正規語言
* 對所有 $a\in \Sigma $ ，{_a_} 是正規語言
* 若 _A_, _B_ 是正規語言，則 $A\cdot B,A\bigcup B,A^{*}$ (kleene 星號) 都是正規語言
* 除此之外都不是正規語言

如果一個語言不是正規語言，它需要一個記憶體至少是 Ω(log log _n_) 的自動機才能辨認。換句話說，DSPACE (o (log log _n_)) 等於所有正規語言的集合。實際上，大部份的非正規語言需要至少 O (log _n_) 的空間。

## 封閉性質

這裡語言的運算參見條目形式語言。

* 正規語言的交、並、差、補運算得到的語言仍然是正規語言；
* 兩個正規語言連接（把第一個語言的所有字串同第二個語言的所有字串連接起來）後得到的語言仍然是正規語言；
* 正規語言閉包運算後得到的語言仍然是正規語言；
* 正規語言的每個字串轉置後得到的語言仍然是正規語言；
* 正規語言被任意語言的字串商（左商或右商）後得到的語言仍然是正規語言。
* 正規語言字串代換後得到的語言仍然是正規語言。
* 與正規語言字串同態或逆同態的語言仍然是正規語言。

## 純代數定義

正規語言也可以以純粹代數的方式來定義。

Σ 是一個有窮的字母表，Σ\* 是 Σ 上的自由么半群，Σ\* 構成了 Σ 上的所有字串。令 _M_ 為一個_有限_么半群，對映 _f_ : Σ\* -> _M_ 為一個么半群同態，集合 _S_ 是 _M_ 的一個子集，於是 _S_ 的逆同態象 _f_-1(_S_) 是正規的。每一個正規語言都可以依這種方式來定義。

另外一種定義方式藉助於一個等價關係。

取 _L_ 為 Σ\* 的任意子集，定義如下的 Σ\* 上的等價關係～(叫做「語法關係」)：_u_ ~ _v_，即對 Σ\* 中所有的的字串 _w_ 有 _uw_ 在 _L_ 中若且唯若 _vw_ 在 _L_ 中。於是對正規語言有下面的結論：語言 _L_ 是正規的若且唯若關係～的等價類的數量是有限的（其證明在條目語法么半群中）。在此情況下，等價類的數量就是接受語言 _L_ 的最小確定有限狀態自動機的狀態數。

## 相關條目

* 形式語言
* 有限狀態自動機
* 正規表示式
* 正則文法
* 喬姆斯基體系

## 參照

* Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6.  Chapter 1: Regular Languages, pp.31–90. Subsection "Decidable Problems Concerning Regular Languages" of section 4.1: Decidable Languages, pp.152–155.

 

## 外部連結

* Department of Computer Science at the University of Western Ontario: _Grail+_, https://web.archive.org/web/20060404094049/http://www.csd.uwo.ca/Research/grail/. A software package to manipulate regular expressions, finite-state machines and finite languages. Free for non-commercial use.
* Chalchalero! http://www.ucse.edu.ar/fma/sepa/chalchalero.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. A free visual software to manipulate regular expressions, regular grammars, finite-state machines and finite languages developed by the SEPa! Project Team (Universidad Católica de Santiago del Estero).
* REG at Complexity Zoo
* https://web.archive.org/web/20060404094049/http://www.csd.uwo.ca/Research/grail/ ：西安大略大學電腦科學系 _Grail+_， 一個可以操作正規表示式、有限狀態自動機和有限語言的自由軟體套件。
正则豪斯多夫空间

在拓撲學和其數學上相關分支領域中，**正則空間**和 **T3 空間**是特定種類的拓撲空間。這兩個條件都是分離公理的個例。

## 定義

假定 _X_ 是拓撲空間。

_X_ 是**正則空間**，若且唯若給定任何閉集 _F_ 和不屬於 _F_ 的任何點 _x_，存在 _x_ 的鄰域 _U_ 和 _F_ 的鄰域 _V_ 它們是不相交的。用「空想家」的術語來說，這個條件聲稱 _x_ 和 _F_ 可以由鄰域分離。

_X_ 是 **T3 空間**，若且唯若它是正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語「正則」和「T3」使用了不同的定義。我們這裡給出的定義只是今天最常用的；但是某些作者切換了這兩個術語的意義，或把它們用做唯一一個條件的兩個同義詞。在維基百科中，我們直率的使用術語「正則」，而通常稱呼**正則豪斯多夫空間**來替代不太明晰的「T3」。在其他文獻中，你要注意作者使用了哪種定義。(短語「正則豪斯多夫」是無歧義的)。更多詳情請參見分離公理的歷史。

## 與其他分離公理的聯繫

正則空間必然也是預正則的。因為豪斯多夫空間同於預正則 T0 空間，也是 T0 的正則空間必定是豪斯多夫的 (並因此是 T3)。事實上，正則豪斯多夫空間滿足稍微強些的條件 T2½。(但是，這種空間不必須是完全豪斯多夫的。) 因此，T3 的定義可以引用 T0、T1 或 T2½ 來替代 T2 (豪斯多夫性)；在正則空間的上下文它們都是等價的。

更理論性的說，正則性條件和 T3 性條件是靠柯爾莫果洛夫商關聯起來的。一個空間是正則的，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商是 T3 的；並且如上所述，一個空間是 T3 的，若且唯若它是正則的和 T0 的二者。因此在實踐中可遇到的正則空間通常被假定是 T3 的，通過把它替代為它的柯爾莫果洛夫商。

有很多拓撲空間的結果都正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候，這些結果也對預正則空間成立；它們對正則空間和豪斯多夫空間分別列出，因為預正則空間的想法提出的更晚。在另一方面，對正則性為真的那些結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況下其他拓撲空間條件 (比如正規性、仿緊緻性或局部緊緻性) 也蘊涵正則性，如果滿足了更弱的分離公理比如預正則性。這種條件經常有兩個版本：正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則的，局部緊緻的豪斯多夫空間是正則的，因為任何豪斯多夫空間都是預正則的。因此從特定角度看，正則性實際上不是要點，我們可以施加更弱的條件來獲得同樣的結果。但是，定義通常仍用正則性來措辭，因為這個條件比任何更弱條件都要周知。

在數學分析中研究的多數拓撲空間是正則的；事實上它們通常是完全正則空間，這是更強些的條件。正則空間還對比於正規空間。

## 例子和反例

如上所述，任何完全正則空間都是正則的，任何不是豪斯多夫 (因此不是預正則) 的 T0 空間不能是正則的。在數學中多數正則和非正則空間例子可以在這兩個文章中找到。在另一方面，空間可以是正則而非完全正則的，或預正則而非正則的，它們通常作為反例來提供猜想，展示可能的定理的邊界。當然，可以輕易的找到非 T0 因而非豪斯多夫的空間例子，比如不可分空間，但是，這種離子提供的是對 T0 公理的洞察而非正則性。不是完全正則的正則空間的例子是吉洪諾夫螺旋。

因此，一般不研究正則空間，因為在數學中研究的有價值空間是正則的就滿足某個更強的條件。實際上，研究它們來找到如下面的性質和定理，典型的在分析中實際應用於完全正則空間。

存在非正則的豪斯多夫空間。例子是集合 **R** 帶有從形如 _U - C_ 的集合生成的拓撲，這裡的 _U_ 是平常意義上的開集，而 _C_ 是 _U_ 的任何可數子集。

## 基本性質

假定 _X_ 是正則空間。則給定任何點 _x_ 和 _x_ 的鄰域 _G_，有一個是 _G_ 的子集的 _x_ 的閉鄰域 _E_。用空想家的術語來說，_x_ 的閉鄰域形成了在 _x_ 上的局部基。事實上這個性質刻畫了正則空間；如果在拓撲空間中每個點的閉鄰域形成在這個點上的局部基，則這個空間必定是正則的。

選取這些閉鄰域的內部，我們看到正則開集形成了給正則空間 _X_ 的開集的基。這個性質實際上比正則性要弱；正則開集形成基的拓撲空間是半正則空間。

## 擴張自連續性

假定 _A_ 是拓撲空間 _X_ 中集合而 _f_ 是從 _A_ 到某個空間 _Y_ 的連續函數。那麼只要在 _A_ 中的網或濾子收斂於在 _X_ 中的點 (就是 _x_ = limn _a_n)，則 _f_(_a_n) 收斂到 _Y_ 中點 _y_。通過設置 _f_(_x_) = _y_，我們可以接著擴張 _f_ 的定義域為 _A_ 的閉包，而我們也希望這個擴張是連續的。

如果 _Y_ 是正則空間，則這總是可能的。如果 _Y_ 是正則豪斯多夫空間，則這種連續擴張不只存在而且是唯一性的。注意，如果 _A_ 是稠密集，則 _f_ 將被擴張到全部 _X_。這叫做「擴張自連續性」，因為 _f_ 的擴張是通過要求它是連續的而定義的 (在豪斯多夫情況下還是唯一性的)。

參見不連續性的分類。
正则长波方程

**正則長波方程**(Regularized long wave equation) 是一個非線性偏微分方程：

$$
u_{t}+u_{x}+\alpha *u*u_{x}-\mu *u_{txx}=0;
$$

當 α=1，μ=1，正則長波方程即班傑明 - 博納 - 馬奧尼方程。

## 解析解

　
: ${u(x,t)=-(_{C}5+_{C}4)/(\alpha *_{C}4)+12*\mu *_{C}5*_{C}4*WeierstrassP(_{C}3+_{C}4*x+_{C}5*t,_{C}2,_{C}1)/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=(4*\mu *_{C}3*_{C}2^{2}-_{C}3-_{C}2)/(\alpha *_{C}2)+12*\mu *_{C}3*_{C}2*csch(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*t)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=(4*\mu *_{C}3*_{C}2^{2}-_{C}3-_{C}2)/(\alpha *_{C}2)-12*\mu *_{C}3*_{C}2*sech(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*t)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=-(4*\mu *_{C}3*_{C}2^{2}+_{C}3+_{C}2)/(\alpha *_{C}2)+12*\mu *_{C}3*_{C}2*csc(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*t)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=(-4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}-_{C}4-_{C}3+8*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2})/(\alpha *_{C}3)-12*\mu *_{C}4*_{C}3*_{C}1^{2}*JacobiCN(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=(-4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}-_{C}4-_{C}3+8*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2})/(\alpha *_{C}3)-12*\mu *_{C}4*_{C}3*(-1+_{C}1^{2})*JacobiNC(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=-(4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2}+_{C}4+_{C}3-8*\mu *_{C}4*_{C}3^{2})/(\alpha *_{C}3)-12*\mu *_{C}4*_{C}3*JacobiDN(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=-(4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2}+_{C}4+_{C}3-8*\mu *_{C}4*_{C}3^{2})/(\alpha *_{C}3)+12*\mu *_{C}4*_{C}3*(-1+_{C}1^{2})*JacobiND(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=-(4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2}+4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}+_{C}4+_{C}3)/(\alpha *_{C}3)+12*\mu *_{C}4*_{C}3*JacobiNS(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

　
: ${u(x,t)=-(4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}*_{C}1^{2}+4*\mu *_{C}4*_{C}3^{2}+_{C}4+_{C}3)/(\alpha *_{C}3)+12*\mu *_{C}4*_{C}3*_{C}1^{2}*JacobiSN(_{C}2+_{C}3*x+_{C}4*t,_{C}1)^{2}/\alpha }$

## 行波圖

## 參考文獻

1. Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
2. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
3. Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
4. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
5. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
6. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
7. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
8. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759
正利工程有限公司

**正利控股有限公司**，簡稱**正利控股**（**英語：Ching Lee Holdings Limited**，港交所：8318），在 1998 年，由主席吳彩華，於香港（總部）成立「正利工程有限公司」，以及在 2003 年成立「正利建築有限公司」。

業務在香港經營底層結構建築工程、上蓋建築工程及維修、保養、改建及 加建工程。

股份則在 2016 年 3 月 29 日於港交所創業板上市。配售價為 0.30 港元，股份數目為 3 億股，集資額為 0.9 億港元。

## 參考

## 連結

* chingleeholdings.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正利建築有限公司

**正利控股有限公司**，簡稱**正利控股**（**英語：Ching Lee Holdings Limited**，港交所：8318），在 1998 年，由主席吳彩華，於香港（總部）成立「正利工程有限公司」，以及在 2003 年成立「正利建築有限公司」。

業務在香港經營底層結構建築工程、上蓋建築工程及維修、保養、改建及 加建工程。

股份則在 2016 年 3 月 29 日於港交所創業板上市。配售價為 0.30 港元，股份數目為 3 億股，集資額為 0.9 億港元。

## 參考

## 連結

* chingleeholdings.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正則動量

在古典力學裏，**正則座標**是相空間的一種座標。正則座標很自然的出現於哈密頓力學的研究。正如同哈密頓力學的被辛幾何廣義化，正則變換也被切觸變換廣義化。如此在古典力學裏，正則座標的 19 世紀定義也被廣義化，成為更抽象地以餘切叢為基礎的 20 世紀定義。

## 定義

在哈密頓力學裏，正則座標 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!$ 必須滿足哈密頓方程式：

　
: ${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!$ ，

　
: ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!$ ；

其中， ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\,\!$ 是哈密頓量、 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ 是廣義座標、 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ 是廣義動量。

## 特性

正則座標滿足基本帕松括號關係：

　
: $[q_{i},q_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!$ ，

　
: $[p_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!$ ，

　
: $[q_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\delta _{ij}\,\!$ 。

正則座標可以用勒壤得轉換從拉格朗日形式論的廣義座標求得；也可以用正則變換從另外一組正則座標求得。

## 相關條目

* 正則變換
* 辛矩陣
* 辛標記
* 哈密頓 - 雅可比方程式
* 史東 - 馮諾伊曼定理
* 正則對易關係
正則化

在物理學、數學和計算機科學領域，皆會引用數學名詞**正則化**。在這些領域中，正則化一詞皆指使方程式、函數更加合乎常態（regular）或平滑（smooth）。請分別參閱：

* 正則化 (物理學)
* 正則化 (數學)，數學與計算機科學中的正則化
正則化_(物理學)

物理學中，尤其是量子場論，**正規化**（英語：regularization）是一項處理無限大、發散以及一些不合理表示式的方法，其方法透過引入一項輔助性的概念 —— **正規子**(regulator)。舉例來說，若短距離物理效應出現發散，則設定一項空間中最小距離 $\epsilon \,$ 來解決這情形。正確的物理結果是讓正規子消失 (此例是 $\epsilon \to 0$ ) 的極限情形，不過正規子的用意就在於當它是有限值，理論結果也是有限值的。正規化是將數學中的發散級數的可和性方法 (summability methods) 用在物理學問題上。

然而，理論結果通常包含了一些項，是正比於例如 ${\frac {1}{\epsilon }}$ 的式子，若取極限 $\epsilon \to 0$ 則會沒有良好定義。正規化是獲得一個完整、有限且有意義的結果的第一步；在量子場論，通常會接著一個相關但是獨立的技術方法稱作重整化。重整化則是基於對一些有著類似 ${\frac {1}{\epsilon }}$ 表示式的物理量的要求，要求其應該等於觀測值。如此的約束條件則允許我們計算一些看似發散的物理量的有限值。

## 特定例子

正規化的特定例子有：

* 維度正規化 (Dimensional regularization)
* 泡立 - 維拉斯正規化 (Pauli-Villars regularization)
* 晶格正規化 (Lattice regularization)
* ζ 函數正規化 (Zeta function regularization)
* 哈達瑪正規化 (Hadamard regularization)
* 點分裂正規化 (Point-splitting regularization)

## 相關條目

* 重整化
* 量子場論
正則圖

**正則圖**是每個頂點都有相同數目的相鄰點的圖，即從每個頂點出發，所連接到的點的數目相同，這個數目用 "度" 來表示。若每個頂點的度均為 $k$ ，稱為 $k$ - 正則圖。

0 - 正則圖是沒有邊的圖。1 - 正則圖由不相連的邊組成。2 - 正則圖由不相連的圈組成。3 - 正則圖稱為立方圖或三次圖。階為 $k$ 的 $k-1$ - 正則圖是 $k$ 完全圖。

在**強正則圖**，每對相鄰頂點都有相同數目 l 的共同鄰居，每對非相鄰頂點也有相同數目 m 節共同鄰居。最小的正則而非強正則的圖是 6 個頂點的環狀圖或圈。

* * * *

## 性質

1. 對於每個圖 $G$ 及每個不小於 $G$ 的最大度整數 $r$ ，存在一個有 $G$ 作子圖的 $r$ - 正則圖。
2. 若有階為 $n$ 的 $k$ - 正則圖，k 是偶數或 n 是偶數。

## 代數性質

設 $A$ 為圖 $G$ 的鄰接矩陣。 $G$ 是正則圖若且唯若 ${\begin{bmatrix}1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$ 是 A 的特徵向量。

圖 $G$ 是正則又連通的圖若且唯若矩陣 $J$ （ $J_{ij}=1$ ）在圖的鄰接代數內。
正則地區圖

在數學中，**正則地區圖**（regular map）是指封閉曲面上的對稱鑲嵌圖。更精確地說，正則地區圖是將某個二維流形分解為具對稱性之拓樸盤面的分解結果，且該分解使得所有標記（含有點、邊與面的三元組）都能在對稱性上任意地變換為其他標記。舉例來說，立方體對應的圖結構是一個正則地區圖，因為立方體對應的球面鑲嵌可以透過將球面分解為由 6 個正方形組成的拓樸盤面，且構成該 6 個正方形的頂點、邊和面（前三者的組合為立方體的標記）可以在立方體的對稱性上任意地變換為其他標記，換句話說，這些頂點、邊和面在特定軸上旋轉 90 度可以重和一次。

某種意義上來說，正則地區圖也可以視為柏拉圖立體的概念在拓樸學上的一種推廣。地區圖理論及其分類與黎曼曲面理論、雙曲幾何理論和伽羅瓦理論有關。

## 概述

正則地區圖的定義和研究通常會透過拓樸、群論和圖論的三種方式進行。

### 從拓樸討論

在拓樸學中，地區圖（map）是封閉且緊湊之 2 - 流形的 2 - 胞複形分解。其虧格可以用歐拉示性數導出 $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ 。若地區圖具備可定向性，則其值等於 $2-2g$ ，否則為 $2-g$ 。除了環面之外，每個可定向虧格都有有限個（非零）正則地區圖。

### 從群論討論

在群論中，正則地區圖的排列是一個由標記構成的集合 $\Omega $ 上的可遷格序置換群（transitive permutation group），由 3 個定點的自由對合 _r_0, _r_1, _r_2，並滿足 (r0r2)2= I。在這個定義下，面為 _F_ = _<_r0, _r_1> 的軌道、邊為 _E_ = <_r_0, _r_2> 的軌道、頂點為 _V_ = <_r_1, _r_2> 的軌道。更抽象地，任何正則地區圖的自同構群都是 <2,m,n>- 三角群的非退化同構圖。

### 從圖論討論

在圖論中，地區圖是一種立方圖，其可以表示為以三種顏色染色的著色圖（下文以紅、黃、藍三種顏色表示之），是一種連通圖，且每個頂點都與所有顏色的邊相接，非黃色的邊出現週期為 4。另外，這種圖也是一種定義於頂點集合或標記集合 $\Omega $ 上的標記圖（flag graph）或圖編碼圖（GEM），且非地區圖的骨架 G = (V,E)。一般來說，| $\Omega $ | = 4|E|。

## 例子

* 大十二面體是一個由五邊形面組成且位於虧格為 4 的可定向曲面上的正則地區圖。
* 立方體半形是射影平面，形式為 {4,3} 的正則地區圖。
* 十二面體半形是將佩特森圖以五邊形嵌入實射影平面所產生的正則地區圖。
* p 面形（有 p 個面的多面形）是一個形式為 {2,p} 的正則地區圖。

以下是位於歐拉示性數為正之曲面上的正則地區圖完整列表

下圖展示了 3 種在虧格為 3 之環面上的正則地區圖，並標上對應的施萊夫利符號。

* * *

## 四維環形多面體

正則地區圖也可以以環形多面體的形式存在。這種幾何結構是包裹在圓柱體的四維柱表面上之歐氏平面鑲崁圖之有限部分。例如由正方形鑲嵌（施萊夫利符號：{4,4}）的局部包裹在圓柱體的四維柱表面上所構成的正則地區圖可以計為 {4,4}b,_c_。同理，若與正三角形鑲嵌（施萊夫利符號：{3,6}）或其對偶正六邊形鑲嵌（施萊夫利符號：{6,3}）的正則地區圖則可以計為 {3,6}b,_c_ 與 {6,3}b,_c_，其中 b 與 c 皆為整數。

形式為 {4,4}m,0 的正則地區圖可以對應到形式為 {4,4 | _m_} 的扭歪正多面體，其代表每個面都是正方形，且每個頂點都是 4 個正方形的公共頂點，並形成 m 邊形孔洞的幾何結構。其可以由四維 m 角柱體柱的面建構。

下圖為 {4,4}8,0 從平面棋盤就構為環面的一個例子。這個例子可以不透過四維幾何結構完成建構。

　
:

## 參考文獻
正則對易關係

在抽象代數中，一個群的**交換子**（commutator）或**換位子**是一個二元運算子。設 _g_ 及 _h_ 是 群 _G_ 中的元素，他們的**交換子**是 _g_ −1 _h_ −1 _gh_，常記為 [ _g_, _h_ ]。只有當 _g_ 和 _h_ 符合交換律（即 gh = hg）時他們的交換子才是這個群的單位元。

一個群 _G_ 的全部交換子生成的子群叫做群 _G_ 的導群，記作 _D(G)_。

## 群論

群 G 中兩個元素 g 和 h 的**交換子**為元素

　
: [_g_, _h_] = _g_−1_h_−1_gh_

它等於群的么元若且唯若 g 和 h 可交換（即 _gh_ = _hg_）。

## 環論

環或結合代數上兩個元素 _a_ 和 _b_ 的**交換子**定義為：

　
: $[a,b]=ab-ba.$

## 量子力學

量子力學中，經常用到**對易關係**（**commutation relation**），即

　
: $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ ；

其中； ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 均為量子力學的算符， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ 是其對易算符，也稱**交換子**。

如果上式等於零，則稱 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 是**對易**的，即意味著 ${\hat {A}}$ 和 ${\hat {B}}$ 兩個算符的運算順序可以調換。反之則稱**非對易**的，運算順序不可以調換。

量子力學中，**交換子**有以下特性:

　
: $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]$

　
: $[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]$

　
: $[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]$

　
: $[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...$

　
: $[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]$

　
: $[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0$

量子力學中的各個力學量之間，常用的對易關係有：

以下， ${\hat {x}}$ 是位置算符、 ${\hat {p}}$ 是動量算符、 ${\hat {L}}$ 是角動量算符（包括軌道角動量、自旋角動量等），而 $\delta _{ij}$ 是克羅內克 δ、 $\epsilon _{ijk}$ 是列維 - 奇維塔符號。其中 i、j、k 均可以指代 x、y、z 三個方向中的任意一個。

### 正則對易關係

物理學中，**正則對易關係**是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

　
: $[x,p]=i\hbar $

上面的 _x_ 與 _p_ 分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而 $[x,p]=xp-px$ 為所謂 $x$ 與 $p$ 的交換算符， $i$ 是虛數單位， $\hbar $ 為約化普朗克常數，等於 $h/2\pi $ 。此一關係常歸功於馬克斯・玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

### 與古典力學的關係

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成帕松括號，且常數 $i\hbar $ 換成 $1$ ：

　
: $\{x,p\}=1\,\!$

這樣的觀察導致了保羅・狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量 $f,g$ 其量子對應項 ${\hat {f}},{\hat {g}}$ 應滿足

　
: $[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,$ 。

於 1927 年，赫爾曼・外爾（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

## 延伸閱讀

* Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN0-201-01984-1, （原始內容存檔於 2021-07-09）
* Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X  含有內容需登入查看的頁面 (link)
* Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
* Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
* McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes **18**, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
* McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

## 相關條目

* 正則量子化
* 正則變換
* 李導數
* 群
* 李代數
* 帕松括號
* 雅可比恆等式
正則局部環

在交換代數中，**正則局部環**是使得其極大理想的最小生成元個數等於其 Krull 維度的局部諾特環。

## 定義

設 $(A,{\mathfrak {m}})$ 為局部諾特環。設 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 為 ${\mathfrak {m}}$ 的一組最小生成元，一般而言有 $n\geq \dim A$ 。當 $n=\dim A$ 時，稱 $A$ 為**正則局部環**。

根據中山正引理，局部諾特環 $(A,{\mathfrak {m}})$ 為正則局部環若且唯若 $\dim _{A/{\mathfrak {m}}}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A$ 。

## 源流

正則局部環由 Wolfgand Krull 首先定義，而在扎里斯基的工作中展現其重要性。扎里斯基證明了代數簇在一點上平滑的充要條件是該點的局部環為正則局部環，此前平滑性係由雅可比矩陣定義，此定義涉及代數簇在仿射或射影空間中嵌入方式，而扎里斯基證明了這是代數簇的內在性質。事實上，定義中的 ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ 可以解釋為該點的餘切空間，因此正則性可以粗略地理解為該點的餘切空間具有「好的」維度。

隨著同調代數技術的發展，人們在 1950 年代以後對正則局部環有更深的了解。Auslander 與 Buchsbaum 證明了正則局部環必為唯一分解環，讓 - 皮埃爾・塞爾則以同調維度刻劃了局部諾特環的正則性。

## 性質

正則局部環的局部化仍為正則局部環，此點可由塞爾定理與同調維度對局部化的性質導出。藉著同調維度，我們也可以推廣正則性的定義：一個同調維度有限的交換環 $A$ 稱為**正則環**，此條件等價於 $A$ 對每個素理想的局部化皆為正則局部環。

若 $A$ 為正則環，則 $A[X],A[[X]]$ 皆為正則環。

## 例子

* 零維的正則局部環是域。
* 任何離散賦值環都是正則局部環，例子包括了 p 進數的整數環 $\mathbb {Z} _{p}$ 。
* 域上的形式冪級數環是正則局部環，其維度等於變元個數。
* 正則局部環不一定包含一個域，例如 $\mathbb {Z} _{p}$ 是一維正則局部環，但是它不包含任何域。
* 如果 $A$ 是局部環，那麼形式冪級數 $A[[x]]$ 是正則局部環。
正則序列

在交換代數中， **深度**是交換環與模的一種不變數，它可以由**正則序列**定義，或以同調代數中的 Ext 函子刻劃。

## 正則序列

設 $R$ 為交換環， $M$ 為 $R$ - 模。若元素 $x\in R$ 滿足 $\forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0$ （即： $x$ 非 $M$ 的零因子），則稱之為 **$M$ - 正則元**。

一組 **M - 正則序列**是一個 $R$ 中的有限序列 $(x_{1},\ldots ,x_{d})$ ，使得對每個 $1\leq i\leq d$ 有

　
: $x_{i}$ 為 $M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})$ - 正則元（置 $x_{0}:=0$ ）

**定理**（Rees）：若 $(R,{\mathfrak {m}})$ 是局部諾特環，元素皆屬於 ${\mathfrak {m}}$ 的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

## 深度

假設同上，並固定一個理想 $I\subset R$ 。定義 $R$ - 模 $M$ 的 **I - 深度**為元素皆屬於 $I$ 的 $M$ - 正則序列的最大長度，記作 $\mathrm {depth} _{I}(M)$ （在法文文獻中常記作 $\mathrm {prof} _{I}(M)$ ）。環 $R$ 的 $I$ - 深度定義為 $\mathrm {depth} _{I}(R)$ 。

 $\mathrm {depth} _{I}(M)$ 亦可用 Ext 函子刻劃為使得 $\mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0$ 的最小非負整數 $n$ 。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

　
: $\mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})$

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

**定理** （Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環， $M$ 為有限生成 $A$ - 模，而且其射影維度有限，則

　
: $\mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

## 文獻

* V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* David Eisenbud, _Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry_. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, _Cohen-Macaulay rings_. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
正則形式的博弈

在賽局理論中，**正則形式**（Normal-form game）是描述賽局的一種方式。與延展形式不同，正則形式不用圖形來描述賽局，而是用矩陣來陳述賽局。與延展形式的表述方式相比，這種方式在識別出嚴格優勢策略和納許均衡上更有用，但會丟失某些資訊。賽局的正則形式的表述方式包括如下部分：每個參與者所有顯然的和可能的策略，以及和與其相對應的收益。

在非完美資訊的完全靜態賽局中，正則形式的表述方式詳細地說明了參與者策略空間和收益函數。策略空間是某個參與者的所有可能策略的集合。策略是參與者在賽局的每個階段 —— 不管在賽局中這個階段實際上是否會出現 —— 將要採取的行動的完整計劃。每個參與者的收益函數，是從參與者策略空間的向量積到該參與者收益集合（一般是實數集，數字表示基數效用或序數效用 —— 在正則形式的表述方式中常常是基數效用）的映射。也就是說，參與者的收益函數把策略組合（所有參與者策略的清單）作為它的輸入量，然後輸出參與者的收益。

## 一個實例

有種賽局是參與者同時（或至少在做出行動前不觀察其他參與者的動作）做出行動，並按照上述已做出行動的組合獲得收益。右邊的矩陣是這種賽局得正則形式的表述方式。例如，如果甲做出行動「頂」，而乙做出行動「左」，則甲得到收收益 4，乙得到收益 3。在每個回合，第一個數字代表排參與者（此處為甲）的收益，第二個數字代表列參與者（此處為乙）的收益。

### 其他表述方式

對稱賽局（其收益不是依賴於參與者選擇的動作）常常被表述為只有一種收益，即豎排參與者的收益。例如，左右兩邊的收益矩陣表述的是同一個賽局。

## 正則形式的使用

### 占優策略

收益矩陣有助於剔除劣勢策略，而且經常被用於說明這個概念。例如，在囚徒困境中（右圖），參與者會發現因為其他人的_背叛_，_合作_成了嚴格劣勢策略。參與者會比較每列的第一個數字，在這個例子中，3>2 且 1>0。這表明無論橫排參與者怎樣選擇，豎排參與者選擇_背叛_都比較好些。類似地，參與者會比較每列的第二個數字，同樣也是 3>2 且 1>0。這說明無論豎排參與者怎麼做，橫排參與者選擇_背叛_都比較好些。這就證明了此賽局唯一的納許均衡是（_背叛_，_背叛_）。

### 正則形式的連續賽局

這些矩陣只表述同時（或者更一般地，資訊是不完美的）做出行動的賽局。上述矩陣不能表述甲先做出行動，被乙觀察到，然後乙再做出行動的賽局。因為在這個例子中，無法確定乙每次的策略。為了表述這種連續賽局，我們要列出乙在賽局進行期間所有的行動 —— 儘管根據實際情況，某種行動決不會出現。和前面一樣，在這個賽局中乙有兩種選擇，_左_和_右_。與前面不一樣的是，視甲的行動不同而定，乙有四種策略。這些策略是：

1. _如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇左_
2. _如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇右_
3. _如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇左_
4. _如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇右_

右圖是這個賽局的正則形式的表述方式。

## 一般形式

為了用把賽局表述成正則形式，需要提供下列數據：

* 表示參與者的有限集 P，標記為 {1,2,…,_m_}
* 每個參與者 _k_ 在 _P_ 里擁有有限個純策略

$$
S_{k}=\{1,2,\ldots ,n_{k}\}.
$$

一個純策略組合是參與者策略的聯合，這是一個 _m_ 元組

$$
{\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})
$$

則有

$$
\sigma _{1}\in S_{1},\sigma _{2}\in S_{2},\ldots ,\sigma _{m}\in S_{m}
$$

我們用 Σ 來表示策略組合的集合

收益函數形如

$$
F:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} .
$$

其預期解釋是賽局結束時給予單個參與者的獎品。相應地，為了完整地說明一個賽局，收益函數必須在參與者集 _P_= {1, 2, ..., _m_} 中對每個參與者詳細說明。

**定義**：一個**正則形式的賽局**的結構形如

$$
(P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} )
$$

這裡 _P_ = {1,2, ...,_m_} 是參與者集合，

$$
\mathbf {S} =(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m})
$$

是純策略集合的一個 m 元組，每個純策略對應於一個參與者，而

$$
\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})
$$

是收益函數的 _m_ 元組。

沒有理由在前面的討論中，把參與者數量有限或每個參與者的策略有限的賽局排除在外。因為要用到泛函分析的技巧，關於有限賽局的研究非常艱深。

## 參考文獻

* D. Fudenberg and J. Tirole, _Game Theory_, MIT Press, 1991.
* R. D. Luce and H. Raiffa, _Games and Decisions_, Dover Publications, 1989.
* J. Weibull, _Evolutionary Game Theory_, MIT Press, 1996
* J. von Neumann and O. Morgenstern, _Theory of games and Economic Behavior_, John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

## 外部連結

* http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
正則空間

在拓撲學和其數學上相關分支領域中，**正則空間**和 **T3 空間**是特定種類的拓撲空間。這兩個條件都是分離公理的個例。

## 定義

假定 _X_ 是拓撲空間。

_X_ 是**正則空間**，若且唯若給定任何閉集 _F_ 和不屬於 _F_ 的任何點 _x_，存在 _x_ 的鄰域 _U_ 和 _F_ 的鄰域 _V_ 它們是不相交的。用「空想家」的術語來說，這個條件聲稱 _x_ 和 _F_ 可以由鄰域分離。

_X_ 是 **T3 空間**，若且唯若它是正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語「正則」和「T3」使用了不同的定義。我們這裡給出的定義只是今天最常用的；但是某些作者切換了這兩個術語的意義，或把它們用做唯一一個條件的兩個同義詞。在維基百科中，我們直率的使用術語「正則」，而通常稱呼**正則豪斯多夫空間**來替代不太明晰的「T3」。在其他文獻中，你要注意作者使用了哪種定義。(短語「正則豪斯多夫」是無歧義的)。更多詳情請參見分離公理的歷史。

## 與其他分離公理的聯繫

正則空間必然也是預正則的。因為豪斯多夫空間同於預正則 T0 空間，也是 T0 的正則空間必定是豪斯多夫的 (並因此是 T3)。事實上，正則豪斯多夫空間滿足稍微強些的條件 T2½。(但是，這種空間不必須是完全豪斯多夫的。) 因此，T3 的定義可以引用 T0、T1 或 T2½ 來替代 T2 (豪斯多夫性)；在正則空間的上下文它們都是等價的。

更理論性的說，正則性條件和 T3 性條件是靠柯爾莫果洛夫商關聯起來的。一個空間是正則的，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商是 T3 的；並且如上所述，一個空間是 T3 的，若且唯若它是正則的和 T0 的二者。因此在實踐中可遇到的正則空間通常被假定是 T3 的，通過把它替代為它的柯爾莫果洛夫商。

有很多拓撲空間的結果都正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候，這些結果也對預正則空間成立；它們對正則空間和豪斯多夫空間分別列出，因為預正則空間的想法提出的更晚。在另一方面，對正則性為真的那些結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況下其他拓撲空間條件 (比如正規性、仿緊緻性或局部緊緻性) 也蘊涵正則性，如果滿足了更弱的分離公理比如預正則性。這種條件經常有兩個版本：正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則的，局部緊緻的豪斯多夫空間是正則的，因為任何豪斯多夫空間都是預正則的。因此從特定角度看，正則性實際上不是要點，我們可以施加更弱的條件來獲得同樣的結果。但是，定義通常仍用正則性來措辭，因為這個條件比任何更弱條件都要周知。

在數學分析中研究的多數拓撲空間是正則的；事實上它們通常是完全正則空間，這是更強些的條件。正則空間還對比於正規空間。

## 例子和反例

如上所述，任何完全正則空間都是正則的，任何不是豪斯多夫 (因此不是預正則) 的 T0 空間不能是正則的。在數學中多數正則和非正則空間例子可以在這兩個文章中找到。在另一方面，空間可以是正則而非完全正則的，或預正則而非正則的，它們通常作為反例來提供猜想，展示可能的定理的邊界。當然，可以輕易的找到非 T0 因而非豪斯多夫的空間例子，比如不可分空間，但是，這種離子提供的是對 T0 公理的洞察而非正則性。不是完全正則的正則空間的例子是吉洪諾夫螺旋。

因此，一般不研究正則空間，因為在數學中研究的有價值空間是正則的就滿足某個更強的條件。實際上，研究它們來找到如下面的性質和定理，典型的在分析中實際應用於完全正則空間。

存在非正則的豪斯多夫空間。例子是集合 **R** 帶有從形如 _U - C_ 的集合生成的拓撲，這裡的 _U_ 是平常意義上的開集，而 _C_ 是 _U_ 的任何可數子集。

## 基本性質

假定 _X_ 是正則空間。則給定任何點 _x_ 和 _x_ 的鄰域 _G_，有一個是 _G_ 的子集的 _x_ 的閉鄰域 _E_。用空想家的術語來說，_x_ 的閉鄰域形成了在 _x_ 上的局部基。事實上這個性質刻畫了正則空間；如果在拓撲空間中每個點的閉鄰域形成在這個點上的局部基，則這個空間必定是正則的。

選取這些閉鄰域的內部，我們看到正則開集形成了給正則空間 _X_ 的開集的基。這個性質實際上比正則性要弱；正則開集形成基的拓撲空間是半正則空間。

## 擴張自連續性

假定 _A_ 是拓撲空間 _X_ 中集合而 _f_ 是從 _A_ 到某個空間 _Y_ 的連續函數。那麼只要在 _A_ 中的網或濾子收斂於在 _X_ 中的點 (就是 _x_ = limn _a_n)，則 _f_(_a_n) 收斂到 _Y_ 中點 _y_。通過設置 _f_(_x_) = _y_，我們可以接著擴張 _f_ 的定義域為 _A_ 的閉包，而我們也希望這個擴張是連續的。

如果 _Y_ 是正則空間，則這總是可能的。如果 _Y_ 是正則豪斯多夫空間，則這種連續擴張不只存在而且是唯一性的。注意，如果 _A_ 是稠密集，則 _f_ 將被擴張到全部 _X_。這叫做「擴張自連續性」，因為 _f_ 的擴張是通過要求它是連續的而定義的 (在豪斯多夫情況下還是唯一性的)。

參見不連續性的分類。
正則素數

**正則質數**是一種質數，由恩斯特・庫默爾在 1847 年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：

　
: **定義**. 質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除分圓體 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的類數。此定義簡單卻不易計算。

另一種定義方式是：質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除伯努利數 $B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)$ 的分子。

頭幾個正則質數為：

　
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS 數列 A007703）

庫默爾證明了：當 $p$ 是正則質數時， $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 不存在非零整數解。最小的 10 個非正則質數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS 數列 A000928）。
已知存在無窮多個非正則質數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則質數。

## 文獻

* Richard K. Guy, _Unsolved Problems in Number Theory_ (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
正則繡

**亂針鏽**，又名**正則繡**，是 1930 年代由刺繡家楊守玉所創造的刺繡針法，屬於蘇繡的一種，這種針法融合了中國傳統刺繡的技術以及西洋藝術的特色，並受到清末民初沈壽的仿真繡所啟發影響。

傳統蘇繡中，每一針之間是緊密相接，並且呈同一方向排列，但在亂針繡中，針法長短不一、方向不同且互相交叉，並運用分層、加色的手法，使得在色彩上更為豐富。

創造者楊守玉除擅長刺繡外，也擅長繪畫，並學習西方繪畫，亂針繡的發明，即是 1933 年，在兩幅以西畫為繡稿的作品中產生的。

## 參考資料

* 朱培初《中國刺繡》（台北：淑馨出版社，1989），頁 78-80。ISBN 957-531-015-2
正則質數

**正則質數**是一種質數，由恩斯特・庫默爾在 1847 年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：

　
: **定義**. 質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除分圓體 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的類數。此定義簡單卻不易計算。

另一種定義方式是：質數 $p$ 是正則質數，若且唯若 $p$ 不整除伯努利數 $B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)$ 的分子。

頭幾個正則質數為：

　
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS 數列 A007703）

庫默爾證明了：當 $p$ 是正則質數時， $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 不存在非零整數解。最小的 10 個非正則質數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS 數列 A000928）。
已知存在無窮多個非正則質數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則質數。

## 文獻

* Richard K. Guy, _Unsolved Problems in Number Theory_ (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
正則量子化

物理學中，**正則量子化**是多種對古典理論進行量子化的數學方法中的一種；在對古典場論進行量子化時，又稱**二次量子化**。「正則」這個詞其實源自古典理論，指的是理論中一種特定的結構（稱作辛結構（Symplectic structure）），這樣的結構在量子理論中也被保留。這在保羅・狄拉克嘗試建構量子場論時由他首先強調。

普通的量子力學方法只能處理粒子數守恆的系統。但在相對論量子力學中，粒子可以產生和湮沒，普通量子力學的數學表述方法不再適用。二次量子化通過引入產生算符和湮沒算符處理粒子的產生和湮沒，是建立相對論量子力學和量子場論的必要數學手段。相比普通量子力學表述方式，二次量子化方法能夠自然而簡潔的處理全同粒子的對稱性和反對稱性，所以即使在粒子數守恆的非相對論多體問題中，也被廣泛應用。

## 為何稱作「正則」？

「正則」（canonical）具有「標準」的意思，此一稱呼是因為此方法與源於古典力學的古典場論方法有強烈的關聯。在古典場論中，場 **φ(x, t)** 為動力學變數，在每個時空點 **x, t** 都有值。若將之視為正則坐標，則正則動量為 φ 的空間導數。在古典動力學中，這些量所組成的帕松括號應該為一。在量子力學中，正則坐標與正則動量都變成了算符，而帕松括號變成了對易子或反對易子。運用到這樣關係的量子化即為正則量子化。

## 量子化的數學形式

### 多粒子態

在二次量子化的表述中，多粒子態簡單的以標記每個量子態上有多少個粒子來表示：

　
: $|n_{1},n_{2},n_{3},\cdots \rangle $

即「量子態 1 上有 n1 個粒子，量子態 2 上有 n2 個粒子，量子態 3 上有 n3 個粒子，……」

### 玻色子的二次量子化

#### 湮沒算符

　
: $a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle $

#### 產生算符

　
: $a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle $

#### 對易關係

　
: $\left[a_{i},a_{j}\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i},a_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}$

### 費米子的二次量子化

#### 湮沒算符

　
: $c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =0$

　
: $c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle $

#### 產生算符

　
: $c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle $

　
: $c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =0$

#### 反對易關係

　
: $\left\{c_{i},c_{j}\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i},c_{j}^{\dagger }\right\}=\delta _{ij}$

## 場算符

## 相關條目

* 量子場論
正割

**正割**（Secant， $\sec $ ）是三角函數的一種。它的定義域是不含 $k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}$ （或 180°_k_+90°，其中 $k$ 為整數）的整個實數集，值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi $ （360°）。

**正割**是三角函數的正函數（正弦、正切、**正割**、正矢）之一，所以在 $2k\pi $ （360°_k_）到 $2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$ （360°_k_+90°）的區間之間，函數是遞增的，另外**正割**函數和餘弦函數互為倒數。

在單位圓上，正割函數位於割線上，因此將此函數命名為正割函數。

和其他三角函數一樣，正割函數一樣可以擴展到複數。

## 符號史

正割的數學符號為 $\sec $ ，出自英文 secant。該符號最早由數學家吉拉德・笛沙格在他的著作《三角學》中所用。

## 定義

### 直角三角形中

在直角三角形中，一個銳角 $\angle A$ 的**正割**定義為它的斜邊與鄰邊的比值，也就是：

　
: $\sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!$

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

### 直角坐標系中

設 $\alpha $ 是平面直角坐標系 xOy 中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是 P 到原點 O 的距離，則 $\alpha $ 的正割定義為：

　
: $\sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!$

### 單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 _x_ 軸正半部分得到一個角 $\theta $ ，並與單位圓相交。這個交點的 _y_ 坐標等於 $\sin \theta $ 。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度 1，所以有了 $\sec \theta ={\frac {1}{x}}$ 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi $ （360°）或小於 $-2\pi $ （-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正割變成了周期為 $2\pi $ （360°）的周期函數：

　
: $\sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)$

對於任何角度 $\theta $ 和任何整數 $k$ 。

### 與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：

　
: $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$

### 級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

　
: $\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+.....$ 。

### 微分方程定義

　
: $\sec 'x\ =\sec x\tan x$

　
: $\sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'$

### 指數定義

$$
\sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,
$$

## 恆等式

### 和差角公式

　
: $\sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

## 巴羅的正割積分

艾薩克・巴羅在 1670 年提出正割的積分

　
: $\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)$

## 註釋

## 參考文獻

## 參見

* 正弦
* 餘弦
* 正切
* 餘切
* 餘割
* 三角學
* 三角函數
* 函數
* 正弦波
正割法

在數值分析中，**割線法**是一個求根算法，該方法用一系列割線的根來近似代替函數 _f_ 的根。

## 方法

割線法由以下的遞迴關係定義：

　
: $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n}).$

從上式中可以看出，割線法需要兩個初始值 _x_0 和 _x_1，它們離函數的根越近越好。

## 方法的推導

給定 _x_n−1 和 _x_n，我們作通過點 (_x_n−1, _f_(_x_n−1)) 和 (_x_n, _f_(_x_n)) 的直線，如右圖所示。注意這條直線是函數 _f_ 的割線，或弦。這條割線的點斜式直線方程式為：

　
: $y-f(x_{n})={\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n}).$

我們現在選擇 _x_n+1 為這條割線的根，因此 _x_n+1 滿足以下的方程式：

　
: $f(x_{n})+{\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n})=0.$

解這個方程式，便可以得出割線法的遞迴關係。

## 收斂

如果初始值 _x_0 和 _x_1 離根足夠近，則割線法的第 _n_ 次疊代 _x_ 收斂於 _f_ 的一個根。收斂速率為 α，其中：

　
: $\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$

是黃金比。特別地，收斂速率是超線性的。

這個結果只在某些條件下才成立，例如 _f_ 是連續的二階可導函數，且函數的根不是重根。

如果初始值離根太遠，則不能保證割線法收斂。
正力亨

**正力亨**（日語：正力 亨，1918 年 10 月 24 日 —2011 年 8 月 15 日），日本企業家，是讀賣新聞集團本社社主、讀賣巨人名譽業主、日本電視放送網名譽顧問。他是讀賣新聞社社主正力松太郎的長子，曾就讀於慶應義塾普通部，畢業於慶應義塾大學商學院。

## 參考資料

* 元巨人軍オーナー 正力亨氏死去
正力松太郎

**正力松太郎**（日語：正力 松太郎／しょうりき まつたろう _Shōriki Matsutarō_ \*/?，1885 年 4 月 11 日 —1969 年 10 月 9 日）是日本政治家與企業家，以帶領讀賣新聞集團壯大而知名，隸屬讀賣新聞集團旗下的日本電視台及讀賣巨人棒球隊均由其主導成立。

## 生平

富山縣射水郡大門町（即今射水市）人，從二位勳一等，曾任讀賣新聞社社主（等同董事長）。讀賣新聞在其經營下，從地方性報紙躍升成為具影響力的全國大報。二戰結束後他曾被指為甲級戰犯，但獲不起訴處份。其有「讀賣新聞中興之祖」、「職業棒球之父」、「電視之父」、「核能之父」之稱。此外，他還是科學技術廳第一任長官。

## 家庭

他的長子正力亨曾任讀賣新聞集團本社社主，逝於 2011 年。

## 紀念

日本棒球界最高榮譽獎 —— 正力松太郎獎於 1977 年設立並首次頒發，表彰年度對職業棒球的發展最具貢獻的教練或是球員。

## 參考資料
正力松太郎獎

**正力松太郎獎**（日語：正力松太郎賞／しょうりきまつたろうしょう _Shōriki Matsutarō shō_ \*/?），是為了紀念被稱作為日本職棒之父的正力松太郎（原讀賣新聞董事長）對職業棒球運動發展的無私奉獻而以其為名的獎項。自 1977 年開始設立後，每年由「正力松太郎獎選拔委員會」審議，頒發給該年度對職業棒球的發展最具貢獻的教練或是球員。獲獎者，可獲頒獎牌及由讀賣新聞、日本電視台共同提供的五百萬日圓獎金。

正力松太郎獎被視為日本棒球界最高榮譽獎，首位獲獎者為知名全壘打王王貞治（1977 年以球員身份獲獎，1999、2003、2006 年以教練身份獲獎）。歷年來大多數頒給當年日本大賽冠軍的總教練（監督）。

## 歷屆得獎者

## 得獎紀錄

最多得獎者為工藤公康，球員與教練生涯共獲獎 5 次，其次是王貞治的 4 次。球員與總教練身份均得獎的有工藤公康、王貞治與秋山幸二。球團方面，福岡軟體銀行鷹與其前身南海鷹、大榮鷹共獲獎 11 次居冠。2016 年，北海道日本火腿的總教練栗山英樹獲獎後，現存 12 個球團與創設獎項時存在的大阪近鐵野牛全部都有獲獎者。

### 多次得獎者（包括特別獎）

### 球團別得獎次數

### 位置別得獎次數（包括特別獎）
正勤君毅社區

**君毅正勤社區**，是高雄市前鎮區中華五路的一個大型眷村改建社區，正門入口為中華五路 969 巷。

## 歷史

1948 年國共內戰正酣，在南京的金陵兵工廠和漢口的漢陽兵工廠部分設施及人員隨著國民政府遷來台灣，並合併駐紮在高雄市前鎮區，更名為聯勤第六十兵工廠。

當時軍方為安頓所有將近萬名的員工及眷屬，以利建廠工作順利推展，特將金陵兵工廠的員工與眷屬安置在高雄市前鎮區復興三路的北側區域，包括君毅、壯勇與剛勇三個里，一般統稱「君毅里」；而將漢陽兵工廠的員工與眷屬安置在高雄市成功二路的東側區域也分為三個里（忠勇、忠誠與忠純），一般統稱「成功路」，兩個村相距不及一公里。住在君毅里的員工與眷屬，多說南京話，而住在成功路眷村的員工與眷屬，多說湖北話。

政府已於民國八零年代初期在高雄市前鎮區中華五路靠近原成功路眷村位置改建，將兩個眷村合併為現代化的大樓建築群，並命名為「正勤君毅社區」。

社區名人 : 民國四零年代高雄市議員汪順卿、柯澄、姚頤良與蘇慶芬等；五零年代籃球國手羅繼然；知名電影編劇姚慶康；國防部長嚴德發；前海軍官校校長金豐鄉；知名女明星王祖賢、陳德容 (王春華的女兒)；作曲家張弘毅；另有名導師：胡道忠、嚴武男、楊宋國、張瑞珠與陳良傑等。

 

 
※ 本文編輯 : Benjamin Wu 為退休土木工程師，曾參與國內外多項重大基礎建設興建工作。1947 年生於南京，1948 年隨政府遷來台灣高雄，住在君毅里凡三十年，1979 年成家後遷往台北，現在退休仍住在台北。
正北门

廣州城（原廣東省城，舊南海縣、番禺縣）曾共有多座城門。

## 秦代

### 任囂城

* 東門：今中山路以北。
* 西門：今中山路以北。
* 南門：今中山四路以南。
* 北面靠越秀山，沒有城門。

### 趙佗城

* 東門：今中山路與舊倉巷相交處以西，與西門相對大致在同一水平線上。
* 西門：原艷芳照相館（中山五路新民路）以北之中山路一帶，與東門相對大致在同一水平線上。
* 南門：今北京路與西湖路相交處以北。
* 北城牆：約在今越華路南，地勢高 2～4 米，是陡崖，高坡以北是溪流和平地，往北面靠越秀山、白雲山，沒有城門。

## 唐代

* 東門、西門不變。
* 新南城門：魚藻門，在今北京路與大南路、文明路相交處。

## 宋代

宋代重修了子城（即中城），增築東、西兩城，史稱「宋三城」，分布著 16 個城門。行春門連通中城和東城，而朝天門則連通中城和西城。

### 中城

* 南門：魚藻門易名為鎮安門（清代改稱大南門）。
* 東門：行春門，今長塘街北端與中山四路相交處以西，與西門在同一直線上。
* 西門：代天門，今中山五路和原黃鸝巷相交處以東，與東門在同一直線上。
* 東南門：步雲門，今文明路與文明門街相交處（清代改稱文明門）。

### 東城

* 迎薰門
* 拱辰門
* 震東門

### 西城

* 西門 2 個：豐樂門、金肅門
* 北門 2 個：威遠門、就日門
* 南門 5 個：自西往東分別是阜財門、善利門、朝宗門、素波門、航海門。

## 明清時期

明清時期共有 18 座城門：

### 舊城

舊城八門，分別是：

### 外城

外城五門，分別是：

### 新城

新城三門，分別是：

### 水門

水門二座，分別是：

* 東濠口的東水關
* 西濠口的西水關

### 城門英文名

## 參見

* 廣州地名
* 廣州街道列表
正十一胺

**正十一胺**是一種有機化合物，化學式為 C11H25N。它可由正十一腈或 1 - 硝基十一烷的還原反應製得。十二烷醯胺和次氯酸鈉反應，也能得到正十一胺。它和氟硼酸反應，生成氟硼酸正十一銨（C11H23NH3BF4），和鹽酸發生類似反應，生成相應的鹽酸鹽。它可以發生甲基化反應，生成 _N_,_N_- 二甲基正十一胺。

## 參考文獻
正十一角反棱柱

在幾何學中，**二十四面體**是指有 24 個面的多面體，在二十四面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正二十四面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的二十四面體，例如三側錐正十二面體和五角錐球狀屋頂，也有一些接近球狀但並非由正多邊形組成的二十四面體，其中對稱性較高的是三角化八面體和鳶形二十四面體等卡塔蘭立體、對稱性較低的是部分詹森多面體的對偶多面體，例如雙四角帳塔反角柱的對偶和異相雙四角帳塔柱的對偶。此外要構成二十四面體至少要有 14 個頂點。

## 常見的二十四面體

常見的二十四面體中有一些柱體與錐體以及部份的詹森多面體和卡塔蘭立體。

### 二十三角錐

**二十三角錐**是一種底面為二十三邊形的錐體，為二十四面體的一種，具有 24 個面、46 條邊和 24 個頂點，其對偶多面體是自己本身。正二十三角錐是一種底面為正二十三邊形的二十三角錐，在施萊夫利符號中可以用 {}∨{23} 來表示。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正二十三角錐體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {23hs^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}}{12}}\approx 13.9448hs^{2}$

　
: $S={\frac {23s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{23}}}}+s\cot {\frac {\pi }{23}}\right)}{4}}\approx 5.75s\left({\sqrt {4h^{2}+52.9335s^{2}}}+7.27554s\right)$

### 二十二角柱

**二十二角柱**是一種底面為二十二邊形的柱體，是二十四面體的一種，由 24 個面和 66 條邊和 44 個頂點組成。正二十二角柱代表每個面都是正多邊形的二十二角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個二十二邊形的公共頂點，頂點圖以 $4{.}4{.}22$ 表示。其在施萊夫利符號中可以用 {22}×{} 或 t {2,22} 來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在威佐夫符號中可以利用 2 22 | 2 來表示，在康威多面體表示法中可以利用 P22 來表示。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正二十二角柱體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {11hs^{2}\cot {\frac {\pi }{22}}}{2}}\approx 38.2533hs^{2}$

　
: $S=11s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{22}}\right)\approx 11s\left(2h+6.95515s\right)$

### 十一角反稜柱

十一角反稜柱是指底面為十一邊形的反稜柱，由 24 個面、44 條邊和 22 個頂點組成。正十一角反稜柱代表每個面都是正多邊形的十一角反稜柱，其每個頂點都是 3 個三角形和 1 個十一邊形的公共頂點，頂點圖以 3.3.3.11 表示。

### 十二方偏方面體

**十二方偏方面體**是一種以十二邊形為底的偏方面體，由 24 個全等的鳶形組成，為十二角反角柱的對偶多面體，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第十個成員。所有十二方偏方面體都有 24 個面、48 條邊和 26 個頂點，其中，頂點有兩種，分別為 12 個鳶形的公共頂點和 3 個鳶形的公共頂點。

十二方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上遞移，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。

十二方偏方面體在施萊夫利符號中可以用 {}⨁{12} 來表示，在考克斯特符號中可以用或來表示，在康威多面體表示法中可以用 dA12 來表示。

### 詹森多面體

在二十四面體中，有 2 個是詹森多面體，它們分別為：五角錐球狀屋頂和三側錐正十二面體。

### 卡塔蘭立體

在二十四面體中，有 5 種拓樸結構明顯不同的卡塔蘭立體，分別為三角化八面體、四角化六面體、鳶形二十四面體和五角化二十四面體，其中五角化二十四面體具有 2 個手性鏡像，因此幾何上只包含了四種不同的卡塔蘭立體。

### 均勻星形多面體

部分的均勻星形多面體也具有 24 個面：

### 二十四面體列表

## 參見

* 二十四邊形

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。二十四面體. MathWorld.
正十一角星

**十一角星**，又稱十一芒星，是指一種有十一隻尖角，並以十一條直線畫成的星星圖形。

## 幾何學

在幾何學中，十一角星是邊自我相交的十一邊形。

十一角星有四種，其施萊夫利符號為 {11/2}、{11/3}、{11/4}、{11/5}，與所述第二數字差別在繪製十一角星時頂點間隔數。這四種十一角星在數學上可當作星形多邊形，以及正十一邊形。

## 構造

如同所有的奇數正多邊形和星形多邊形，若非費馬質數或其乘積則，不可用尺規作圖奇數正多邊形

希爾頓＆彼得森在 1986 年的論文內利用折疊紙條的方式，描述 {11/3}、{11/4}、{11/5} 的十一角星結構。

## 應用

{11/3} 和 {11/4} 的十一角星棱鏡可組成近似於 DNA 分子形狀。

美國紐約自由女神像的底座，其形狀為十一角星的星形要塞。

伊斯蘭藝術托普卡匹卷軸內含有十一角星形的綺理圖案。這些十一角星形的綺理圖案並非是正十一角星形，而是在十一邊形每個點連接到相對應線的中點。

太空梭固體助推器的推進劑在前發動機段橫截面形狀為十一角星形，該設計增加了推進器的表面積，提升更大推力，以及減慢當推進器至最大速時的燃燒速率，以及降低推力，避免推進速度超過超音速而產生音障現象。

## 參考來源

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Polygram. MathWorld.
正十一邊形

在幾何學中，**十一邊形**是指有十一條邊和十一個頂點的多邊形，其內角和為 1620 度，且有 44 條對角線。十一邊形有很多種，其中對稱性最高的是正十一邊形。其他的十一邊形依照其類角的性質可以分成凸十一邊形和非凸十一邊形，其中凸十一邊形代表所有內角角度皆小於 180 度。非凸十一邊形可以在近一步分成凹十一邊形和星形十一邊形，其中星形十一邊形表示邊自我相交的十一邊形。

## 命名

十一邊形的英文名稱是 Hendecagon，其 hendec-來自於希臘語的 hendeka，代表「十一、十一的」字尾再加上 - gon 表示是一個多邊形。而十一邊形有時也叫做 undecagon，「un-」（undec-的母音音節省略，是一個從拉丁語引進的數學前綴）來表示「一、一的」，而不是 "Hena-"（一個從希臘語引進的數學前綴），後面加上 "deca-" 來表示「十一、十一的」，"undec-" 是來自拉丁文的用法，也是「十一、十一的」意思。另外，十一邊形亦可以稱為 endecagon。

## 正十一邊形

正十一邊形是指所有邊等長、所有角等角的十一邊形，由十一條相同長度的邊和十個相同大小的角構成，是一種正多邊形。正十一邊形的內角是 ${\frac {9\pi }{11}}$ 弧度，換算成角度是 147.27 度。在施萊夫利符號中用 $\left\{11\right\}$ 來表示。

若已知邊形邊長為 $a$ ，則其面積為：

　
: $A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}$

由於正十一邊形的邊數 11 不是一個費馬數，因此正十一邊形不是一個可作圖多邊形，也就是說正十一邊形無法利用尺規作圖做出；因為 11 不是皮爾龐特質數，正十一邊形甚至在允許用三等份角的工具時也不能作出；不過若有二刻尺輔助就可以。雖然純粹尺規作圖無法做出精確的正十一邊形，但仍可以做近似的正十一邊形。以下給出一個誤差為 0.0105° 的近似作圖：

　
:

## 扭歪十一邊形

**扭歪十一邊形**，又稱**不共面十一邊形**，是指並非所有頂點都共面的十一邊形，是有 11 條邊的扭歪多邊形。除了三維空間的扭歪十一邊形之外，扭歪十一邊形亦可以在一些高維度的多胞體中找到，通常會以皮特里多邊形的方式存在。例如十維正十一胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪十一邊形，其具有 A10 [39] 的考克斯特群的對稱性。

## 十一邊形的對稱性

正十一邊形具有 Dih11 的對稱性，其階數為 22。由於 11 是一個質數，因此十一邊形的對稱群只有一個子群：Dih1 和兩個循環群，他們分別為： Z11 和 Z1。

## 相關形狀

部碎形狀與十一邊形相關，例如十一角星以及 11 個點的完全圖。

### 十一角星

正十一邊形和十一角星共用頂點，換句話說，將正十一邊形的十一個頂點以不同的順序相連就可以構造出十一角星。下面列出部分的十一角星

### 圖

K11 完全圖經常會被以正十一邊形的圖形繪製來描述其 36 條連接邊。這個圖與十維正十一胞體的正投影圖同為 11 個頂點和 55 條邊。

另外 K11 完全圖也顯示了十一邊形的 44 條對角線。

## 參見

* 十一邊形數
* 十維正十一胞體：其平行投影可以被繪製為以正十一邊形表示的十一個頂點的完全圖
  * 四維正十一胞體

## 參考文獻

## 外部連結

* Properties of an Undecagon (hendecagon) With interactive animation
* 埃里克・韋斯坦因. Hendecagon. MathWorld.
正十七角柱

在幾何學中，**十九面體**是指有 19 個面的多面體，在十九面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十九面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的十九面體，例如正十七角柱，與之拓樸結構類似的十九面體曾被用於在形狀穩定性的證明。

常見的十九面體是十七角柱和十八角錐，也有一些化學結構是十九面體，例如有一種十二個頂點的分子構型，由其在幾何上由十八個三角形和一個四邊形組成。此外要構成十九面體至少要有 12 個頂點。

## 常見的十九面體

常見的十九面體包含了一些錐體、柱體和一些由錐體與柱體組合並包含 19 個面形狀，亦有一些拓樸結構明顯與錐體、柱體不同的十九面體，例如空間填充十三面體的對偶多面體。

### 十八角錐

**十八角錐**是一種底面為十八邊形的錐體，是十九面體的一種，其具有 19 個面、36 條邊和 19 個頂點，其對偶多面體是自己本身。正十八角錐是一種底面為正十八邊形的十八角錐，在施萊夫利符號中可以用 {}∨{18} 來表示。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正十八角錐體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {3hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 8.50692hs^{2}$

　
: $S={\frac {9s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{18}}}}+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)}{2}}\approx 4.5s\left({\sqrt {4h^{2}+32.1634s^{2}}}+5.67128s\right)$

### 十七角柱

十七角柱是一種底面為十七邊形的柱體，是十九面體的一種，由 19 個面 51 條邊和 34 個頂點組成。正十七角柱代表每個面都是正多邊形的十七角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個十七邊形的公共頂點，頂點圖以 $4{.}4{.}17$ 表示，因此具有每個角等角的性質（點可遞），可以歸類為半正十九面體，不過他跟其他較接近球形的半正多面體相比之下變得比較扁一些。

正十七角柱在施萊夫利符號中可以用 {17}×{} 或 t {2,17} 來表示，在考克斯特符號中可以用來表示，在威佐夫符號中可以利用 2 17 | 2 來表示，在康威多面體表示法中可以利用 P17 來表示。底邊長為 $s$ 、高為 $h$ 的正十七角柱體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {17hs^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}}{4}}\approx 22.7355hs^{2}$

　
: $S=17s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{17}}}{2}}\right)\approx 17s\left(h+2.67476s\right)$

### 九角錐柱

九角錐柱是指底面為九邊形的角錐柱，由 19 個面、32 條邊和 19 個頂點組成，是一種十九面體。其對偶多面體為九角錐台錐，由於拓樸結構與九角錐柱相同，因此有時會被視作自身對偶多面體。

### 九角錐台錐

九角錐台錐是指由九角錐台和九角錐組合成的多面體，其有兩種形式：一種是九角錐疊在九角錐台較小的九邊形面、另一種是九角錐疊在九角錐台較大的九邊形面。後者可以視為只截去一個頂點的雙九角錐。

九角錐台錐的拓樸結構與九角錐柱相同，因為九角錐柱可以藉由縮放其九邊形面使圖形變形成九角錐台錐。

### 十七角錐台

十七角錐台一種底面為時七邊形的錐台，可以視為切去一個頂點的十七角錐。通常其兩個底面形狀會有差互斥或者相似，而兩個底面都全等的十七角錐台與十七角柱無異，因此十七角錐台的拓樸結構與十七角柱相同，因為十七角柱可以藉由縮放其十七邊形面使圖形變形成十七角錐台。

### 六角錐反角柱

六角錐反角柱是指底面為六邊形的角錐反角柱，可以視為一個六角錐與一個反六角柱底面對底面的組合。

六角錐反角柱不是一個詹森多面體，因為當其所有面都是正多邊形時，其中六個正三角形將會共面，而導致圖形退化成反六角柱。

　
:

相同的情形也出現在雙六角錐反角柱上，必須要將部分正多邊形面拉長或扭曲才能構成多面體，導致其無法以所有面皆為正多邊形的形式存在，因此這些多面體可以被歸類為擬詹森多面體。

### 對偶多面體為十九面體的多面體

有些多面體具有 19 個頂點，因此其對偶多面體為十九面體。例如空間填充十三面體具有 19 個頂點，因此其對偶多面體是一個十九面體。

#### 空間填充十三面體的對偶多面體

空間填充十三面體的對偶多面體是一種 19 面體，其可以視為一種經過扭稜變換的結果，其對應的原像與半立方體類似，但又不相同，其對應的原像有面積為零的退化面。

這個多面體一共有 19 個面、30 條邊和 13 個頂點，其面由 16 個三角形和 3 個梯形所組成。其對偶多面體可以獨立填滿整個三維空間。

### 十九面體列表

## 參見

* 十九邊形：同為含 19 個維面（facet）的形狀，但是位於二維空間。

## 參考文獻
正十七边形

**十七邊形**是指幾何學中有 17 條邊及 17 隻角的多邊形。其內角和為 2700°，有 119 條對角線。

**正十七邊形**是有 17 邊的正多邊形。正十七邊形的每個內角為 158.8235294117647058 度。

## 作圖方法

### 作圖

1796 年高斯證明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一個作圖方法如下：

英文裏，詹・何頓・康威認為 heptadecagon 是錯誤的拼法，應為 heptakaidecagon。

可作圖性亦同時顯示 2π/17 的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書 _Disquisitiones_ 包含了這條等式：

　
: $\operatorname {cos} {2\pi  \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.$

### 證明

設正十七邊形中心角為 $\alpha $ , 則 $17\alpha =360^{\circ }$ 度，

即 $16\alpha =360^{\circ }-\alpha $

故 $\sin 16\alpha =-\sin \alpha $ ，而

$$
{\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}
$$

因為 $\sin \alpha \neq 0$ ，則

$$
16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1
$$

又由 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )$ 等，有

$$
2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1
$$

而 $\cos 15\alpha =\cos 2\alpha $ ， $\cos 12\alpha =\cos 5\alpha $ ，令

$$
x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha
$$

$$
y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha
$$

有：

$$
x+y=-{\frac {1}{2}}
$$

又

$$
{\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}
$$

所以，得

$$
x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}
$$

$$
y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}
$$

另設:

 $x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha $ ， $x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha $ ，

$$
y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha $ ， $y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha
$$

故有

$$
x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}
$$

$$
y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}
$$

最後，由

$$
\cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}
$$

$$
\cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}
$$

可得

$$
\cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}
$$

其為整數加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

## 外部連結

以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：

* http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （韓文）
* https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文）
* http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
正十三角柱

在幾何學中，**十五面體**是指具有 15 個面的多面體。在十五面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十五面體並不存在，十五面體亦無法填充空間，換言之即空間填充十五面體並不存在。雖然正十五面體不存在，但仍有存在一些等面或等角的十五面體，亦有一些十五面體皆由正多邊形組成，例如十三角柱和雙五角錐柱。

在化學中，有些原子簇呈十五面體。計算表明，有一種十五面體的晶胞在晶體中是穩定的。

此外，有一種帳篷的結構是設計為等十五面體。然而這個十五面體不包含底面，若計入底面，該立體應為十六面體。

## 凸十五面體

所有十五面體中一共有 23,833,988,129 個拓撲不同構的凸十五面體，不包括鏡像，並且至少需要包含 10 個頂點（如果兩個多面體具有本質上不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則它們是「拓撲不同構」，因為如果兩個立體間有不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則就無法僅透過改變邊的長度或邊或面之間的角度來將一個多面體形變成另一個）。

## 常見的十五面體

### 十三角柱

十三角柱是一種底面為十三邊形的柱體，是十五面體的一種，其由 15 個面、26 個頂點和 39 個邊組成。正十三角柱代表每個面都是正多邊形的十三角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個十三邊形的公共頂點，頂點圖以 $4{.}4{.}13$ 表示，在施萊夫利符號中可以利用 {13}×{} 或 t {2, 13} 來表示；在考克斯特 — 迪肯符號中可以利用來表示；在威佐夫符號中可以利用 2 13 | 2 來表示；在康威多面體表示法中可以利用 P13 來表示。若一個正十三角柱底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {13hs^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}}{4}}\approx 13.1858hs^{2}$

　
: $S=13s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{13}}\right)\approx 13s\left(h+2.02858s\right)$

### 十四角錐

**十四角錐**是一種底面為十四邊形的錐體，是十五面體的一種，其具有 15 個面、28 條邊和 15 個頂點，其對偶多面體是自己本身。正十四角錐是一種底面為正十四邊形的十四角錐。若一個正十四角錐底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {7hs^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}}{6}}\approx 5.1115hs^{2}$

　
: $S={\frac {7s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{14}}}}+s\cot {\frac {\pi }{14}}\right)}{2}}\approx 3.5s\left({\sqrt {4h^{2}+19.1957s^{2}}}+4.38129s\right)$

### 詹森多面體

在詹森多面體中只有一種具有十五個面，其為雙五角錐柱。

### 詹森多面體對偶

部分詹森多面體具有 15 個頂點，因此其對偶多面體為十五面體，這些立體有正五角帳塔的對偶、正三角帳塔柱的對偶、三側錐六角柱的對偶、側帳塔截角四面體的對偶等多面體。

### 十五面體列表

## 參考資料