正則變換

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在哈密頓力學裏，**正則變換**（canonical transformation）是一種正則坐標的改變， $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓 - 亞可比方程式與劉維定理的基礎。

## 定義

**點變換**（point transformation）將廣義坐標 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})$ 變換成廣義坐標 $\mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})$ ，點變換方程式的形式為

　
: $q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$ ；

其中， $t$ 是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})$ 同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

　
: $q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$ ，

　
: $p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$ ；

其中， $\mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})$ 是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為**位形空間點變換**，而後一種為**相空間點變換**。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 變換為一組新的正則坐標 $(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為**形式不變性**）。原本的哈密頓方程式為

　
: ${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

　
: ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}$ ；

新的哈密頓方程式為

　
: ${\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，

　
: ${\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ；

其中， ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 、 ${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

## 實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

　
: ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標 $q_{i}$ 無關，則稱 $q_{i}$ 為**可略坐標**（ignorable coordinate），或**循環坐標**（cyclic coordinate）：

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$ 。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

　
: ${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$ 。

所以，廣義動量 $p_{i}$ 是常數 $k_{i}$ 。

假設一個系統裏有 $n$ 個廣義坐標是可略坐標。找出這 $n$ 個可略坐標，則可以使這系統減少 $2n$ 個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

## 生成函數方法

　
: 主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為**生成函數方法**，從 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})$ 變換到 $(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})$ 。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

　
: $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0$ 、

　
: $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0$ 。

那麼，必須令

　
: $\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}$ ；

其中， $\sigma $ 是**標度因子**， $G$ 是**生成函數**。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為**標度變換**（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於 1。假若標度因子不等於 1，則稱此正則變換為**延伸正則變換**（extended canonical transformation）；假若標度因子等於 1，則稱為**正則變換**。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個 $\sigma \neq 1$ 的延伸正則變換表示為

　
: $\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}$ 。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： $\mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '$ 、
 $\mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '$ 、
 ${\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'$ 、
 $G=\alpha \beta G\,'$ ；其中， $\alpha ,\ \beta $ 是用來刪除 $\sigma $ 的常數， $\sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}$ 。經過一番運算，可以得到

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}$ 、

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}$ 、

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}$ 。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為**設限正則變換**（restricted canonical transformation）。

生成函數 $G$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ 保證是正則變換。

### 第一型生成函數

第一型生成函數 $G_{1}$ 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

　
: $G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$ 。

新廣義坐標 $\mathbf {Q} $ 和舊廣義坐標 $\mathbf {q} $ 都是自變量，其對於時間的全導數 ${\dot {\mathbf {Q} }}$ 和 ${\dot {\mathbf {q} }}$ 互相無關，所以，以下 $2N+1$ 個方程式都必須成立：

　
: $\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，（2）

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，（3）

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$ 。（4）

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ，步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式（2），設定了 $\mathbf {p} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $\mathbf {Q} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。（5）

第二組的 $N$ 個方程式（3），設定了 $\mathbf {P} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ 。

代入函數方程式（5），可以算出 $\mathbf {P} $ 的 $N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。（6）

從 $2N$ 個函數方程式（5）、（6），可以逆算出 $2N$ 個函數方程式

　
: $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ，

　
: $\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

代入新哈密頓量 ${\mathcal {K}}$ 的方程式（4），可以得到

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ 。

### 第二型生成函數

第二型生成函數 $G_{2}$ 的參數是舊廣義坐標 $\mathbf {q} $ 、新廣義動量 $\mathbf {P} $ 與時間：

　
: $G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$ ；

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

　
: $\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$ ，

　
: $\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$ 。

### 第三型生成函數

第三型生成函數 $G_{3}$ 的參數是舊廣義動量 $\mathbf {p} $ 、新廣義坐標 $\mathbf {Q} $ 與時間：

　
: $G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

　
: $\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$ ，

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$ 。

### 第四型生成函數

第四型生成函數 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 的參數是舊廣義動量 $\mathbf {p} $ 、新廣義動量 $\mathbf {P} $ 與時間：

　
: $G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$ ：

　
: $\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$ ，

　
: $\mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$ ，

　
: ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$ 。

### 實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

　
: $G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} $ 。

生成函數的導數分別為

　
: $\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} $ ，

　
: $\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} $ 。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

　
: ${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$ 。

### 實例 2

再擧一個比較複雜的例子。讓

　
: $G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} $ ；

這裏， $\mathbf {g} $ 是一組 $N$ 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

　
: $\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)$ 。

## 不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

### 辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個 $2N\times 1$ 的豎矩陣 ${\boldsymbol {\xi }}$  :

　
: ${\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]$ 。

變數向量 ${\boldsymbol {\xi }}$ 將 $\mathbf {q} $ 與 $\mathbf {p} $ 包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

　
: ${\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$ ；

這裏， ${\boldsymbol {\Omega }}$ 是辛連結矩陣、 ${\mathcal {H}}$ 是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 ${\boldsymbol {\xi }}$ 改變成新正則坐標 ${\boldsymbol {\Xi }}$ ， ${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$ ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 改變成新的哈密頓量 ${\mathcal {K}}$ ， ${\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

　
: ${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$ ；

這裏， ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}$ 。

用第一型生成函數 $G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$ ，則 ${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$ 。

取 ${\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)$ 關於時間 $t$ 的導數，

　
: ${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}$ ；

這裏， $\mathbf {M} $ 是亞可比矩陣， $M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}$ 。

代入哈密頓方程式，

　
: $\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}$  ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

　
: $\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$ 。

而 ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})$ ，所以，

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}$ 。

代回前一個方程式，取 ${\dot {\boldsymbol {\xi }}}$ 的係數，則可以得到

　
: $\mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}$ 。

經過一番運算，

　
: $\mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}$ ；

　
: $\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}$ ；

可以求出辛條件：

　
: $\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$ 。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

### 基本帕松括號不變量

在相空間裏，兩個函數 $f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$ 關於正則坐標 $\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} $ 的**帕松括號**定義為

　
: ${\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$ 。

用辛標記，

　
: ${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$ 。

立刻，可以得到下述關係：

　
: ${\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0$ ，

　
: ${\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}$ 。

定義**基本帕松括號** ${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$ 為一個方矩陣，其中，元素 $ij$ 的值是 ${\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}$ 。那麼，

　
: ${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$ 。

思考一個變換 ${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$ 。新坐標的基本帕松括號為

　
: ${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$ 。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣 $M$ 是

　
: $M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$ 。

代入前一個方程式，則

　
: ${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} $ 。

假若這變換是正則變換，辛條件 $\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$ 必須成立，

　
: ${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$ 。

相反地，假若 ${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$ ，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為 ${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$ ，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

### 帕松括號不變量

思考兩個函數 $f,\ g$ 對於正則坐標 ${\boldsymbol {\xi }}$ 的帕松括號

　
: ${\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}$

假若這變換是正則變換，辛條件 $\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$ 必須成立，

　
: ${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}$ 。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為 ${\big [}f,\ g{\big ]}$ ，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

## 參閱

* 正則變換列表
* 正則座標
* 帕松括號
* 辛矩陣
* 辛拓撲
* 辛群

## 參考文獻

* Landau LD and Lifshitz EM (1976) _Mechanics_, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).