橢球體

**橢球**是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。

## 標準方程

橢球在 _xyz_- 笛卡兒坐標系中的方程式：

　
: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

其中 _a_ 和 _b_ 是赤道半徑（沿著 _x_ 和 _y_ 軸），_c_ 是極半徑（沿著 _z_ 軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。

如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。

 * $a=b=c\,\!$ ：**球**；
* $a=b>c\,\!$ ：**扁球面**（類似盤狀）；
* $a=b<c\,\!$ ：**長球面**（類似條狀）；
* $a\neq b,b\neq c,c\neq a\!$ ：**不等邊**橢球（「三條邊都不相等」）。

點 (_a_,0,0)、(0,_b_,0) 和 (0,0,_c_) 都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的**半主軸**。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。

## 參數化

使用球坐標系，其中 ${\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!$ 是**天頂**角， ${\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!$ 是**方位角**，則橢球可以表示為以下的參數形式：

　
: : : : ${\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned}}\,\!$

　
: ${\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!$

使用地理坐標系，其中 $\beta \,\!$ 是一點的**參數緯度**， ${\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!$ 是該點的**經度**：

　
: : : : ${\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned}}\,\!$

　
: ${\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!$

　
: （注意，當 $\scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ }}{\color {white}|}\,\!$ 時，也就是在極點時，這個參數不是一一對應的）

## 體積和表面積

### 體積

橢球的體積由以下公式給出：

　
: ${\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!$

注意，當三個半徑都相等時，這個公式便化為球的體積；兩個半徑相等時，便化為扁球面或長球面的體積。

### 表面積

橢球的表面積由以下公式給出：

　
: $S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)\right],\,\!$

其中

　
: $o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a}}\;$ （扁球面）或 $\arccos {\frac {a}{c}}\;$ （長球面），是**角離心率**； $F(x,k)\,\!$ 、 $E(x,k)\,\!$ 是第一類和第二類不完全橢圓積分。

與球的體積不同，橢球的表面積一般不能用初等函數來表示。

一個近似公式為：

　
: : $S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{\frac {1}{p}}.\,\!$

其中 $p\approx 1.6075\,$ 。這樣相對誤差最多為 $1.061\,$ %（Knud Thomsen 公式）； $p={\frac {8}{5}}=1.6\,$ 的值對於接近於球的橢球較為適宜，其相對誤差最多為 $1.178\,$ %（David W. Cantrell 公式）。

對於 $a=b\,$ 的情況，有一個精確的公式：

　
: 扁球面： $S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon }}\right);\,\!$

　
: 長球面： $S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon }}\right);\,\!$

 $c\,$ 比 $a\,$ 和 $b\,$ 都小很多時，表面積近似等於 $2\pi ab.\,\!$ 。

## 橢球與平面相交的橫截面

橢球與平面相交的橫截面為橢圓。如右圖所示，橢圓的兩個直徑 ${d_{2}}$ 與 ${d_{1}}$ 可表示為

$$
{d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} \over {\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i}}})} \over {\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}}}\pm {\sqrt {(\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}
$$

## 線性變換

如果我們對球使用可逆的線性變換，便可以得到一個橢球；它可以用旋轉的方法來化成以上標準的形式，這是譜定理的結果。如果該線性變換用一個對稱的 3 乘 3 矩陣來表示的話，那麼這個矩陣的特徵向量就是正交的（根據譜定理），它表示了軸的方向：而半軸的長度則由特徵值給出。

橢球與平面的交集是空集、一個點，或一個橢圓。

我們也可以利用經過線性變換的球來定義多維空間的橢球，並使用譜定理來得出一個標準方程。

## 質量性質

均勻密度的橢球的質量為：

　
: $m=\rho V=\rho {\frac {4}{3}}\pi abc\,\!$

其中 $\rho \,\!$ 是密度。

均勻密度的橢球的轉動慣量為：

　
: $I_{\mathrm {xx} }=m{b^{2}+c^{2} \over 5}$

　
: $I_{\mathrm {yy} }=m{c^{2}+a^{2} \over 5}$

　
: $I_{\mathrm {zz} }=m{a^{2}+b^{2} \over 5}$

其中 $I_{\mathrm {xx} }\,\!$ 、 $I_{\mathrm {yy} }\,\!$ 和 $I_{\mathrm {zz} }\,\!$ 分別是關於 _x_、_y_ 和 _z_ 軸的轉動慣量。慣性積為零。

容易知道，如果 a=b=c，那麼上述公式便化為均勻密度的球的轉動慣量。

反過來，如果知道了一個任意剛體的質量和主慣性矩，那麼就可以構造出一個等價的均勻密度的橢球，使用以下特徵：

　
: $a={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {yy} }+I_{\mathrm {zz} }-I_{\mathrm {xx} } \over m}}}$

　
: $b={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {zz} }+I_{\mathrm {xx} }-I_{\mathrm {yy} } \over m}}}$

　
: $c={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {xx} }+I_{\mathrm {yy} }-I_{\mathrm {zz} } \over m}}}$

　
: $\rho ={\frac {3}{4}}{m \over \pi abc}\!$

## 雞蛋形

雞蛋的形狀可以近似地認為是半個長球面與半個球在赤道處相拼合而成，共用一個旋轉對稱的主軸。雖然_雞蛋形_通常意味著在赤道平面沒有反射對稱，它也可以用來指真正的長球面。它也可以用來描述相應的二維圖形。參見鵝蛋形。

## 引用

## 參考文獻

* 橢球 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* 橢球 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和二次曲面 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, MathWorld.

## 參見

* 拋物面
* 雙曲面
* 橢球坐標系
* 類球面

## 外部連結

* 橢球的 Javascript 維模型