楔積

**外代數**（英語：Exterior algebra）也稱為**格拉斯曼代數**（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼・格拉斯曼。

數學上，向量空間 $V$ 的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了 _$V$_ 為其中一個子空間。它記為 $\land (V)$ 或 $\land \cdot (V)$ . 而它的乘法，稱為**楔積**或**外積**，記為 $\land $ . 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在 _$V$_ 上是交錯的，也就是：

　
: $v\wedge v=0$ ，對於所有向量 $v\in V$

這表示

　
: $u\wedge v=-v\wedge u$ ，對於所有向量 $u,v\in V$ ，以及

　
: $v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0$ ，當 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 線性相依時。

值得注意的是，以上三性質只對 $V$ 中向量成立，不是對代數 $\land (V)$ 中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程式只從上述屬性就可以得出。 $\land (V)$ 的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。

形式為 $v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}$ 的元素，其中 $v_{1},\ldots ,v_{k}$ 在 _$V$_ 中，稱為 $k$ **- 向量**。所有 _$k$_ - 向量生成的 $\land (V)$ 的子空間稱為 _$V$_ 的 **_$k$_ - 階外冪**，記為 $\land ^{k}(V)$ 。外代數可以寫作每個 _**$k$**_ 階冪的直和：

　
: $\Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V$

該外積有一個重要性質，就是 _**$k$**_ - 向量和 $I$ - 向量的積是一個 $k+I$ - 向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由 _**$k$**_ 給出。這些 _**$k$**_ - 向量有幾何上的解釋：2 - 向量 $u\land v$ 代表以 $u$ 和 $v$ 為邊的帶方向的平行四邊形，而 3 - 向量 $u\land v\land w$ 代表帶方向的平行六面體，其邊為 _$u$_ , _$v$_ , 和 $w$ 。

外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

## 定義及運算律

外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。

**定義:** 設 $V$ 是域 $K$ 上的一個向量空間，讓 $T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}$ 則定義

　
: : $T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots $

令 $I$ 為 $V$ 的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如 $v\otimes v$ 的張量**生成**的（其中 $v\in V$ 任意），則將 $V$ 上的外代數 $\Lambda (V)$ 定義為商代數 $T(V)/I$ ，即

　
: : $\Lambda (V):=T(V)/I,$

並且把 $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V$ 的等價類 $[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I$ 記為 $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ ，其中 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 。設 $k=0,1,2,\ldots \,,$ 稱

　
: : $\Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I$

為 $V$ 的 **$k$ - 階外冪**（ $k$ th exterior power of $V$ ），稱 $\land ^{k}(V)$ 中的元素為 **$k$ - 向量**（ $k$ -multivector）。

**註：**

 1. $\forall \lambda \in K$ ，若且唯若 $\lambda =0$ 時才有 $\lambda \in I$ ，因此，可以把 $\Lambda ^{0}(V)=K/I$ 等同於 $K$ ，並且把 $[\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)$ 記為 $\lambda $ ；基於類似的原因，可以把 $\Lambda ^{1}(V)=V/I$ 等同於 $V$ ，而且把 $[v]\in \Lambda ^{0}(V)$ 記為 $v$ 。這一點是前面所講的能夠把 $[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)$ 記為 $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ 的特例和前提。
2. 當 $k>1$ 時， $k$ - 向量並不僅限於形如 $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ 的元素，例如， $v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}$ 也是 2 - 向量，其中 $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V$ .
3. 理想 $I$ 中的元素並不僅限於形如 $v\otimes v$ 的張量，例如，
   1. $\forall v\in V,\forall t\in T(V)$ , 必定有 $v\otimes v\otimes t\in I$ 和 $t\otimes v\otimes v\in I$ .
  2. $\forall v,w\in V$ , 由於 $(v+w)\otimes (v+w)\in I$ 和 $v\otimes v\in I$ 以及 $w\otimes w\in I$ ，顯然有 $v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I$ ，這就有一個推論：**所有的二階對稱張量都在理想 $I$ 中。**
  3. 由於上面的兩個結論， $\forall v,w\in V$ ，我們有 $v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I$ ，這是因為等式右邊的每一項都在 $I$ 中。對張量 $t\in T(V)$ 的階數作數學歸納法，則可以證明： $\forall v\in V$ , $\forall t\in T(V)$ ，總有 $v\otimes t\otimes v\in I$ 。
4. 設 $k=2,3,\ldots $ ，則 $\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)$ ， $\alpha $ 作為等價類含有唯一的一個**完全反對稱的**代表元 $t\in T^{k}(V)$ ，可以把這個 $k$ - 階的完全反對稱張量等同於 $\alpha $ , 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中， $k$ - 向量就是以這種方式定義的。

**運算律** 將上面的注中的內容用 $\wedge $ 寫出，則分別給出

(1) $\forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)$ , $\lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .$

證明如下： 作為等價類，我們從 $\alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I$ 中任意挑選一個代表元 $t$ ，則 $t\in T(V)$ 而且 $\alpha =[t]$ 。根據商代數的定義，

　
: : $\lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .$

類似地，可以證明 $\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.$

(2) 根據注 3.1 中的內容，顯然有 $v\wedge v=0,\,\forall v\in V$ .

(3) 根據注 3.2 中的內容，對任意 $v,w\in V$ 成立著

　
: : $v\wedge w=-w\wedge v.$

註：即使 $K$ 的特徵為 2，這個公式也是對的，只不過此時有 $-1=1$ 而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算 $\wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)$ 滿足**結合律**和**分配律**：

　
: : $(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

　
: $(\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,$

　
: $\alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,$

其中 $\alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)$ 都是任意的。

以前兩條性質為例，其證明如下：設張量 $a,b,t\in T(V)$ 分別是 $\alpha ,\beta ,\theta $ 中的代表元，即 $\alpha =[a]$ , $\beta =[b]$ , $\theta =[t]$ , 則

　
: : $(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

　
: $(\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .$

(5) 根據上面的 (3) 和 (4)，用數學歸納法可以證明： $\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,$

　
: : $\beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .$

證明從略。

## 基底和維數

若 $V$ 的維數是 $n$ 而 $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$ 是 _$V$_ 的基，則集合

　
: $\{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$

是 $k$ 階外冪 $\land ^{k}(V)$ 的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

　
: $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$

則每個向量 $v_{j}$ 可以記為基向量 $e_{i}$ 的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為 0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候轉換符號。一般來講，最後基 $k$ - 向量前的係數可以用通過積 _$e_{i}$_ 來描述 _$v_{j}$_ 的矩陣的子式來計算。

數一下基元素，我們可以看到 $\land ^{k}(V)$ 的維數是 _n_ 取 _k_。特別的有， $\land ^{k}(V)=\left\{0\right\}$ 對於 $k>n$ .

外代數是一個分級代數，是如下直和

　
: $\Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)$

其維數等於二項式係數之和，也就是 $2^{n}$ .

## 例子：歐氏三維空間的外代數

考慮空間 $\mathbb {R} ^{3}$ ，其基為 $\left\{i,j,k\right\}$ 。一對向量

　
: $\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} $

　
: $\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} $

的楔積為

　
: $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中 $\left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}$ 是三維空間 $\land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ 的基底。

再加一個向量

　
: $\mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k} $ ,

這三個向量的楔積是

　
: $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中 $i\land j\land k$ 是一維空間 $\land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ 的基底。

空間 $\land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ , 而空間 $\land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ 是 **$\mathbb {R} $** 。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間 $\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ ，這是八維向量空間

　
: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$ .

那麼，給定一對 8 維向量 $a$ 和 $b$ , 其中 **$a$** 如上給出，而

　
: $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})$ ,

 **$a$** 和 **$b$** 的楔積如下 (用列向量表達),

　
: $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}$ .

容易驗證 8 維楔積以向量 $\left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)$ 為乘法單位元素。也可以驗證該 $\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ 代數的楔積是結合的 (也是雙線性的):

　
: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),$

所以該代數是有單位且結合的。

## 叉乘的實質，贗向量與贗純量

對三維歐幾里得空間 $E^{3}$ 可以建立一個線性同構 $\phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}$ 如下：任取 $E^{3}$ 的**右手的**標準正交基 ${\boldsymbol {i}}$ ， ${\boldsymbol {j}}$ ， ${\boldsymbol {k}}$ ，規定 $\phi $ 把 ${\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} $ ， ${\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$ ， ${\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}$ 分別映射為 ${\boldsymbol {k}}$ ， ${\boldsymbol {i}}$ ， ${\boldsymbol {j}}$ ，則 $\phi $ 的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量 ${\boldsymbol {u}}$ 和 ${\boldsymbol {v}}$ ，這個線性同構把 ${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$ 映射為 ${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$ 。這就是叉乘（向量積）的實質。例如， $E^{3}$ 中平行四邊形 $ABCD$ 的面積向量可以表示為 ${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}$ . 經過推廣之後，高維黎曼流形 $(M,\mathbf {g} )$ 中的緊的二維曲面 $\Sigma $ 的面積則可以用

　
: $\int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,$

來計算（其中 $h_{ab}$ 是度規張量場 $\mathbf {g} $ 在 $\Sigma $ 上的誘導度規 $\mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}$ 的坐標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中，**向量**（極向量）與**贗向量**（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是 $E^{3}$ 中的元素，所以在空間反演轉換下不會改變方向；而贗向量其實是 $\Lambda ^{2}(E^{3})$ 中的元素，故在空間反演轉換下會改變方向。

類似地，藉助於**右手的**標準正交基，可以把 $\Lambda ^{3}(E^{3})$ 中的元素 $a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$ 映射為「純量 " $a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})$ 。但是，在空間反演轉換下它就會原形畢露，所以稱它為**贗純量**。真正的純量在空間反演下是不變的，而贗純量在空間反演下會改變符號。

把 2 - 向量 ${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$ 映射為向量 ${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$ 以及把 3 - 向量 $a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$ 映射為一個實數 $a$ 的映射實際上是一個叫做霍奇對偶的線性映射。

## 泛性質及構造

令 $V$ 為一個域 $K$ （在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。 $\land (V)$ 是「最一般」的包含 $V$ 的並有一個交替乘法在 _$V$_ 上由單位的結合 _$K$_ - 代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：

要構造最一般的包含 _$V$_ 的代數，而且其乘法是在 _$V$_ 上交替的，很自然可以從包含 _$V$_ 的最一般的代數開始，也就是張量代數 $T(V)$ ，然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取 $T(V)$ 中由所有形為 $v\otimes v$ 的元素生成的雙邊理想 $I$ ，其中 $v$ 屬於 _$V$_ ，並定義 $\land (V)$ 為商

　
: $\land (V)=T(V)/I$

（並且使用 $\land $ 為 $\land (V)$ 中的乘法的代號）。然後可以直接證明 $\land (V)$ 包含 _$V$_ 並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義 $\land (V)$ 然後把外冪 $\land ^{k}(V)$ 等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間 $\land ^{k}(V)$ 然後把它們合併成為一個代數 $\land (V)$ 。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

## 反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間 _$V$_ 和 $X$ ，一個從 $V^{k}$ 到 _$X$_ 的_反對稱算子_是一個多線性映射

　
: $f:V^{k}\rightarrow X$

使得只要 $v_{1},\ldots ,v_{k}$ 是 _$V$_ 中線性相依的向量，則

　
: $f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0$ .

最著名的例子是行列式值，從 $(K^{n})^{n}$ 到 $K$ 的反對稱線形算子。

映射

　
: $w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)$

它關聯 _$V$_ 中的 $k$ 個向量到他們的楔積，也就是它們相應的 _$k$_ - 向量，這也是反對稱的。事實上，這個映射是定義在 _$V^{k}$_ 上的「最一般」的反對稱算子：給定任何其它反對稱算子 $f:V^{k}\rightarrow X$ ，存在一個唯一的線性映射 $\varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w$ 。這個泛性質表述了空間 $\land ^{k}(V)$ 並且可以作為它的定義。

所有從 _$V^{k}$_ 到基體 _$K$_ 的反對稱映射組成一個向量空間，因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個純量的乘積也是反對稱的。若 _$V$_ 是有限維的，維數 $n$ ，則該空間可以認同為 $\land ^{k}(V^{*})$ ，其中 $V^{*}$ 表示 _$V$_ 的對偶空間。特別的有，從 _$V^{k}$_ 到 _$K$_ 的反對稱映射的空間是 $n$ 取 _$k$_ 維的。

在這個等同關係下，若基體是 $R$ 或者 $C$ ，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設 $\omega :V^{k}\rightarrow K$ 和 $\eta :V^{m}\rightarrow K$ 為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣，楔積的變數數是每個映射的變數數之和。它定義如下：

　
: $\omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

其中多線性映射的交替 $\mathrm {Alt} $ 定義為其變數的所有排列的帶符號平均：

　
: ${\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})$

**注意：** 有一些書中楔積定義為

　
: $\omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

## 指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有：

　
: $(\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}$

## 微分形式

令 $M$ 為一個微分流形。一個微分 _k_- 形式 $\omega $ 是 $\land ^{k}T^{*}M$ （ $M$ 的餘切叢的 $k$ 階外冪）的一個截面。等價的有： $\omega $ 是 $M$ 的光滑函數，對於 $M$ 的每個點 $x$ 給定一個 $\land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}$ 的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆餘調和亞歷山大 - 斯潘尼爾餘調。

## 推廣

給定一個交換環 $R$ 和一個 _$R$_ - 模 _$M$_ ，我們可以定義和上文一樣的外代數 $\land (M)$ ，它是張量代數 $T(M)$ 適當的商。它會滿足類似的泛性質。

## 物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。

_參看_：超空間，超代數，超群

## 注釋

## 相關課題

* 多線性代數
* 張量代數
* 對稱代數
* 克里福代數