機率流

在量子力學裏，**機率流**，又稱為**機率通量**，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

## 定義

在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 $\Psi (x,t)$ 。定義機率流 $\mathbf {J} $ 為

　
: $\mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $\Psi ^{*}$ 是 $\Psi $ 是共軛複數， ${\mbox{Im}}()$ 是取括弧內項目的虛部。

### 連續方程式與機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ ；

其中， $\rho =|\Psi |^{2}$ 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0$ ；(1)

其中， $\mathbb {V} $ 是任意三維區域， $\mathbb {S} $ 是 $\mathbb {V} $ 的邊界曲面。

這就是量子力學**機率守恆定律**的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 $\mathbb {V} $ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 $\mathbb {V} $ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 $\mathbb {V} $ 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 $\mathbb {V} $ 的通量，兩者的總和等於零。

### 連續方程式導引

測量粒子在三維區域 $\mathbb {V} $ 內的機率 $P$ 是

　
: $P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} $ 。

機率對於時間的導數是

　
: ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ ；(2)

假設 $\Psi $ 的含時薛丁格方程式為

　
: $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi $ ；

其中， $U(\mathbf {r} )$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

　
: ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

應用一則向量恆等式，可以得到

　
: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}$ 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

　
: ${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，

　
: $\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

這相等式對於任意三維區域 $\mathbb {V} $ 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ 。

## 範例

### 平面波

設定一個粒子的波函數 $\Psi $ 為三維空間的平面波，

　
: $\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{i\omega t}$ ；

其中， $A$ 是振幅常數， $\mathbf {k} $ 是波數， $\mathbf {r} $ 是位置， $\omega $ 是角頻率， $t$ 是時間。

 $\Psi $ 的機率流是

　
: $\mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$ 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 $\mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$ 。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點， ${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$ ，但是機率流仍舊不等於 $0$ 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

### 盒中粒子

思考一維盒中粒子問題，能級為 $E_{n}$ 的本徵波函數 $\Psi _{n}$ 是

　
: $\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L$ ；

其中， $L$ 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 $x=0$ 與 $x=L$ 。

由於 $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}$ ，其機率流為

　
: $J_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$ 。

## 參閱

* 階梯位勢
* 透射係數