榭赫倫實驗

**榭赫倫實驗**（英語：Schiehallion Experiment）是十八世紀中，一次測量地球平均密度的實驗。這次實驗的資金由皇家學會提供，而主實驗是在 1774 年夏季，於蘇格蘭珀斯郡（今珀斯 - 金羅斯）的榭赫倫山 (Schiehallion) 附近進行。這項實驗的主要用具是擺，藉由附近的山會對擺產生重力吸引的現象，於是當擺運動時，靠近山的一邊會有微小的偏角，也正為實驗所求。實驗中擺角偏移的大小，取決於地球與山的相對密度和體積；因此，若可以確定榭赫倫山的密度，那麼，其結果便能確定地球的密度。由於當時已經確定太陽系中各天體（行星、它們的衛星和太陽）的密度相對比值，所以只要知道地球的密度，科學家們就能估計出太陽系內各天體的密度近似值。於是，這項實驗產生了第一組天體密度數值。

雖然艾薩克・牛頓在以前曾考慮過同樣的實驗，以展示他的萬有引力定律，但最終由於測量困難的原因而決定放棄。然而，以當時的皇家天文學家內維爾・馬斯基林為首的一隊科學家，卻認為這樣的效應是可以測量的，並計劃進行這一個實驗。而促成這次實驗的一個原因是，在勘測梅森 - 狄克森線（美國賓夕法尼亞州、馬利蘭州、德拉瓦州與西維吉尼亞州間的一段邊界）時所注意到的單向偏倚。經過對候選山頭的初步調查，調查顯示榭赫倫山是進行實驗的理想地點，因為它擁有偏遠的位置與近乎對稱的山形。此外這個實驗還有另一項貢獻，就是實驗者首度使用了等高線來簡化勘測山的過程，即使現在製作地圖還是會用到這種表示方式。

## 背景

在對稱的引力場中，擺在靜止時會垂直向下。然而，如果附近有其他大質量的物體（例如一座山），那麼它的吸引力就會把擺的鉛錘，向它那邊拉過去，這樣擺就會稍微偏離垂直。而由某已知物體（例如恆星）所造成的鉛垂線角度偏移，則可以通過在山兩邊的各組對點上，對擺進行仔細的測量得出。通過判定山的體積，及估算山石的平均密度，這樣就能夠獨立地得出山的質量，再加上在那座山多處的偏角測量值，就能通過外推得出地球的平均密度，然後再使用平均密度來算出地球的質量。

艾薩克・牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中，曾考慮過這個效應，但卻悲觀地認為，地球上任何山所造成的偏角都太小，而難以測量。他寫道，引力效應只能在行星的大小尺度下才看得到。然而牛頓的悲觀是沒有根據的：雖然他的計算指出，偏角會小於 2 角分（對象是一座三英哩高的理想山），但是這個角度，儘管很小，還是在當時儀器的理論測量範圍之內。

任何一個測試牛頓萬有引力定律的實驗都有兩個作用：一、為該定律提供證據；二、為地球的質量與密度提供近似值。而對於天文物體的質量，由於已知的只有各天體間的相對質量比，所以只要知道地球質量的大小，就能知道其他天體質量的合理數值，這些天體包括行星、它們的衛星，還有太陽。雖然這項實驗的數據也能用於計算萬有引力常數 _G_ 的大小，但是這不是當時實驗者的目標；而 _G_ 最早的參考數值，則要再等幾乎一百年，才出現在科學文獻中。

## 尋找合適山體

### 1738 年，欽博拉索山

一對法國天文學家，皮埃爾・布蓋（Pierre Bouguer）和夏爾・瑪麗・德・拉・孔達米納（Charles Marie de La Contamine），是最早進行這項實驗的人，而他們在 1738 年的實驗地為厄瓜多一的欽博拉索山，山高 6,268 米。當時他們的探險隊，為了測量一度緯度內的子午線弧長，而在 1738 年離開了法國，前往赤道上的南美洲，但是他們卻乘機進行了這項偏移實驗。1738 年 12 月，他們在非常困難的地形和氣候下，於海拔 4,680 米和 4,340 米的地方，進行了兩次測量。布蓋在 1749 年的一份論文上說他們量度到 8 角秒的偏移，但是他卻有意低估了這次結果的重要性，還說這項實驗應該在條件較好英國或法國進行。他還補充說，這次實驗最少證明了，地球不可能是空殼。當時有思想家認為地球可能是空的，當中包括了愛德蒙・哈雷。

### 1774 年，榭赫倫山

當時的皇家天文學家內維爾・馬斯基林於 1772 年向皇家學會提出，應該再多進行一次這項實驗。他還說這實驗會「為進行它的國家帶來榮耀」，更提出兩處適合的實驗地：約克郡的渾塞德峰（Whernside），及坎伯蘭的布倫卡思拉 - 斯克道（Blencathra-Skiddaw）古地塊。為此，皇家學會組成了引力委員會，來考慮這件事，委員包括馬斯基林、約瑟夫・班克斯和班傑明・富蘭克林。為了找到一座適合實驗的山，於是委員會派遣天文學家兼測量學家查理斯・梅森二去進行調查。

經過 1773 年夏季的漫長搜尋後，梅森回報說最佳的候選地是榭赫倫山（Schiehallion，當時寫法為 Schehallien），它位處蘇格蘭高地的中央，在泰湖與蘭洛湖（Loch Rannoch）之間，山高 1,083 米。山的聳立之處看起來像被其他山孤立，而且附近的山離它都不太近，這樣它們對實驗的引力影響會較低，加上榭赫倫山的山脊東西對稱，這樣會簡化計算。還有它陡峭的南北山脊離山的重心很近，這樣會使偏移最大化。

然而，梅森拒絕以每天一堅尼的工資，自己執行是次實驗 。於是這個任務就落在馬斯基林的手中，因此他被批准暫時卸下皇家天文學家的職務。為了執行這次任務，他有兩名副手，數學家兼測量學家查理斯・赫頓（Charles Hutton），和任職於皇家格林尼治天文台的數學家魯賓・巴羅（Reuben Burrow）。另外還僱有一隊勞工，負責興建天文學家的觀測站，和協助勘測。科學隊伍的配備齊全且精良：包括 30 厘米的黃銅象限儀，1769 年庫克船長出航觀測金星凌日時就有帶它；3 米長的天頂儀，還有一座準確的擺鐘，用於為天文觀測所需的時間測定。為了勘測山體，他們還取得了經緯儀、甘特鏈和一對氣壓計，用於量度海拔。而且當時，皇家學會能夠為實驗提供豐厚的撥款，因為英皇將之前考察金星凌日的撥款餘額，交付了給學會。

## 測量

### 天文

為了這項實驗，團隊在山的南北麓各興建了一所觀測站，還興建了一座簡陋的小屋，作裝備儲藏及科學家住宿之用三。而大部份勞工則住在用帆布搭建的帳篷中。最早進行的是馬斯基林的天文測量。為了實驗，他必須測定出鉛垂的天頂距離，這個測量需要利用天上的一組星，而在量度時星必須通過正南線。由於起霧和下雨的關係，所以天氣狀況並不理想。然而，馬斯基林還是在南觀測站，成功向某方向的 34 顆星作了 76 次測量，還有向另一方向的 39 顆星作了 93 次。之後，他到了北觀測站，再向一組 32 顆星作了 68 次測量，又向另一組 37 顆星作了 100 次。他在測量時把天頂儀的平面朝向東方，然後轉往西方再測量，這樣他成功地避開了儀器小口徑化所帶來的系統誤差。

為了判定山所造成的偏移，有必要考慮地球表面的彎曲：當緯度不同時，當地的觀測者會發現天頂的位置不同，其偏移角度與緯度變化的度數一致。另外觀測時還會遇上各種不同的效應，例如進動、光行差和章動，在考慮過這些效應之後，馬斯基林指出，榭赫倫山南與山北的可見天頂，兩者間的偏角為 54.6 角秒。之後，勘測隊伍交上了他們對南北觀測站緯度差的結果，為 42.94 角秒，於是馬斯基林把這個數值和他的天頂偏角值相減，再將數值按他的測量準確度整數化，他宣佈南北兩地的鉛垂偏角和為 11.6 角秒。

馬斯基林將他的初步結果發表於 1775 年的《自然科學會報》，當中他用了初測時的山形數據，以及用這組數據推算出的重心位置。根據這組數據，馬斯基林認為，假如榭赫倫山的平均密度與地球一樣，那麼鉛垂偏角應為 20.9 角秒。由於實驗結果約為上述角度的一半，所以馬斯基林能初步宣佈，地球的平均密度約為榭赫倫山的兩倍。更準確的結果，需要等到勘測過程完工後才會有。

此外，馬斯基林還乘機指出，榭赫倫山表現出引力，因此所有山都有引力；而且牛頓的引力反平方定律也被確認了。皇家學會對馬斯基林的研究表示欣賞，並將 1775 年的科普利獎章授予馬斯基林；傳記家亞歷山大・查爾摩斯（Alexander Chalmers）寫道：「如果還有任何對牛頓系統真實性的懷疑，那麼它們現在全部都被除去了。」

### 勘測

勘測隊伍的工作進度，被持續惡劣的天氣大幅延誤，直至 1776 年才完成勘測。為找出山的體積，計算時需要把山分成一組垂直的柱體，然後計算每一個柱體的體積。三角測量的工作由赫頓負責，而這是一項工作量很大的測量：勘測員需要在山的周圍，超過一千個點上，一共量出數以千計的方位角。此外，計算用柱體的頂點，並不一定會便利地落在勘測的高度上。為了理解全部數據，他決定使用內插法，在各測量值間放置一系列的線，線之間的高度差固定，線上的點都位於等高的位置。這樣做的話，他不但可以簡單地判定柱體的高度，而且能從線的迴旋度立刻得知地形的形式。就是這樣，赫頓首創了等高線，從那時起這項發明就廣泛應用於地形圖的繪製四。

赫頓必須計算出眾多格子上每一個柱體所造成的個別引力作用，而這項計算的工作量，跟勘測本身相差無幾。在測量完成後，這項工作再花了他兩年的時間，才能發表實驗結果，最後他在 1778 年向皇家學會提交了一份一百頁的報告論文。假設地球與榭赫倫山的平均密度一致，他發現地球對鉛錘的吸引力，比在南北觀測站所得的吸引力和，要大 9,933 倍。在考慮過緯度對地球引力的影響後，實際的擺偏角 11.6" 對應的比值為 17,804:1 ，由於擺偏角的值為實驗值，所以赫頓能夠寫下，地球的密度值為榭赫倫山的 ${\tfrac {17,804}{9,933}}$ 倍，或約 ${\tfrac {9}{5}}$ 倍。因此漫長的勘測過程，並沒有太大地影響馬斯基林的計算結果。赫頓取榭赫倫山的密度值為 2,500 kg·m−3，並宣佈地球的密度值為它的 ${\tfrac {9}{5}}$ 倍，即 4,500 kg·m−3。對比現在所採納的數值，5,515 kg·m−3，當時地球密度值的誤差小於 20%。

由於地球的平均密度，比表面的石塊的密度要大得多，因此這很自然地意味著，地球的內部埋藏著密度更高的材質。赫頓正確地推測出，核心物質很有可能是金屬，密度值為 10,000 kg·m−3。他估算出這金屬部份，大概佔地球直徑的 65%。有了地球平均密度的數值，再加上熱羅姆・拉朗德的行星天文表，赫頓能夠計算出太陽系內各天體的密度值（見右表），而在這之前，有的只是各天體密度間的相對比值。

## 實驗重新操作

在榭赫倫實驗後的 24 年後，出現了一種更直接且更準確的方法，來量度地球的平均密度，亨利・卡文迪什於 1798 年用一個靈敏度極高的扭秤，來量度兩個大鉛球間的引力作用。卡文迪什得出的數值為 5,448 ± 0.033 kg·m−3 五，跟現代數值的 5,515 kg·m−3，只差 1.2%，數值自卡文迪什後一直沒有太大的改進，這個狀況要到 1895 年才由查理斯・博伊斯（Charles Boys）改變。卡文迪什進行實驗時的用心，與實驗的準確度，使得他的名字一開始就跟這項實驗聯繫了起來。

約翰・普萊費爾於 1811 年對榭赫倫山進行了第二次勘測：基於他對那兒石地層的新認知，於是他提出地球的密度值應在 4,560 至 4,870 kg·m−3 之間，但當時年邁的赫頓在 1821 年一份提交皇家學會的論文中，還堅決地為自己的原數值辯護 。而普雷費爾的計算，使密度值更接近現代的數值，但是仍然太低，而且還比十多年前卡文迪什的數值要差得多。

亨利・詹姆斯於 1856 年重做了榭赫倫實驗，他是當時英國地形測量局的局長，而實驗地則改在愛丁堡中央的亞瑟王寶座峰（Arthur's seat）。運用測量局的資源，詹姆斯把他的測量範圍擴大至半徑 21 公里，到達中洛錫安的邊界。而他得出的地球密度數值為 5,300 kg·m−3。

而 2005 年進行的一次實驗，與 1774 年的實驗有些許不同：該實驗不再測量天頂的當地觀測差，而測量擺在榭赫倫山上及山下時的週期差，實驗能非常準確地測量到這一點。而擺的週期則是 _g_ 的函數，_g_ 是當地的重力加速度。雖然擺在海拔高時速度會較慢，但是山的質量會使這個差減少。相以之下，這個實驗的優點是，進行起來要比 1774 年的簡單得多，但是還是能夠得到所需的準確度，不過就需要把擺的週期量度至其一百萬分之一 。而這項實驗得到地球質量值為 8.1 ± 2.4×1024 kg
，其對應平均密度值為 7,500 ± 1,900 kg·m−3 六。

如果用現代方法來重新研究地球物理數據，就可以顧及到 1774 年實驗隊伍所未能考慮的因素。由於有了直徑 120 公里的數值地形模型，所以對榭赫倫山的地質知識也被大幅改進，再加上電腦帶來的好處，2007 年的一份報告得出的地球平均密度值為 5,480 ± 250 kg·m−3。當與現代值的 5,515 kg·m−3 比較，再比較 2007 年的數值，就可見當年馬斯基林天文測量的準確度之高。

## 數學步驟

榭赫倫實驗的力圖如右，其中偏角被大幅度誇大。分析時只考慮山一邊的吸引力，這樣分析會簡單得多。設山的質量及密度分別為 _MM_ 及 _ρM_，其質心則為 _P_，一質量為 _m_ 的鉛錘，被置於離 _P_ 點距離為 _d_ 的地方。由於山的吸引力 _F_，鉛錘輕微向 _P_ 偏移，擺繩與垂直向地的重量 _W_ 間的角度，為小偏角 _θ_。_W_ 及 _F_ 的向量和，構成擺繩中的張力 _T_。又設地球的質量為 _ME_，半徑為 _rE_ 及密度為 _ρE_。

作用於鉛錘的兩股引力，可由牛頓萬有引力定律求得：

　
: $F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}$

其中 _G_ 為牛頓萬有引力常數。取 _F_ 及 _W_ 間的比值，此時 _G_ 及 _m_ 會被除去：

　
: ${\frac {F}{W}}={\frac {(GmM_{M})/d^{2}}{(GmM_{E})/r_{E}^{2}}}={\frac {M_{M}}{M_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}$

其中 _VM_ 及 _VE_ 為山及地球的體積。在靜力平衡下，擺繩張力的垂直及水平分量，可由引力及偏角 _θ_ 表示：

　
: $W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta $

代入 _T_，得：

　
: $\tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}$

其中已知 _VE_、_VM_、_d_ 和 _rE_，而實驗測量了 _θ_，於是代入各數值，可用下式計算出 _ρE_ : _ρM_ 的值：

　
: ${\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}{\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)}^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}$

在 1774 年實驗中，使用了南北觀測站，其數學分析仍與上面的單邊分析相近。在雙邊時，可將 $\tan \theta $ 的表達式寫兩次：一次為北站的 $\theta _{N}$ ，一次為南站的 $\theta _{S}$ ，兩式相加後使用小角近似（ $\tan \theta \sim \theta $ ），整理右方可得：

　
: $\theta _{N}+\theta _{S}={\frac {r^{2}}{GM_{E}}}(F_{N}+F_{S})$

代入 $M_{E}={\tfrac {4}{3}}\rho _{E}\pi r_{E}^{3}$ （地球半徑當時是已知的），得

　
: $\rho _{E}={\frac {3(F_{N}+F_{S})}{4\pi rG(\theta _{N}+\theta _{S})}}$

其中 ${\tfrac {F_{N}+F_{J}}{G}}$ 由勘測所得，附上引力常數的原因是當時並未有這個概念。

## 註釋

## 參考資料