模糊函數與韋格納分佈的關係

**模糊函數**(**A**mbiguity **f**unction,**AF**): 
 $AF_{s}(\theta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\theta t}\,dt$

**韋格納分佈**(**W**igner **d**istribution,**WD**): 
 $WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j\omega \tau }\,d\tau $

## 模糊函數與韋格納分佈關係

一個訊號 s (t)，自相關函數為 $R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )\,dt$ 如果 $R(\tau )$ 為時間相依性 (time-dependent)，則時間相依自相關 (time-dependent auto-correlation) 為 $R(t,\tau )$ ，
時間相依 (時變) 頻譜 (time-dependent spectrum) 可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。 
 $P(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,\tau )e^{-j\omega \tau }\,d\tau $ 
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。 
如果 $R(t,\tau )=s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ ，則時間相依功率譜變成為 Wigner distribution 
若對 $R(t,\tau )$ 中的 t 做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，**對稱模糊函數 (symmetric ambiguity function,SAF)** 
 $SAF_{s}(\theta ,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta t}\,dt$ 模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。
給一個對稱模糊函數 $SAF_{s}(\theta ,\tau )$ ，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關: 
 $\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t}\,d\theta =s\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)s^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$ 由上式可以推得 
 $WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}\,d\theta \,d\tau $ 
也就是對**對稱模糊函數**做兩次傅立葉變換可以得到 Wigner distribution 

## 範例

一個訊號為兩個 Gaussian 函數的和: 
 $s(t)=\sum _{i=1}^{2}s_{i}(t)=\sum _{i=1}^{2}{\sqrt[{4}]{\frac {\alpha }{\pi }}}e^{-{\tfrac {\alpha }{2}}(t-t_{i})^{2}+j\omega _{i}t}$ 
 $\Rightarrow SAF_{s}(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SAF_{si}(\theta ,\tau )+SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$ 

* 其中 $SAF_{s1}(\theta ,\tau ),SAF_{s2}(\theta ,\tau )$ 集中在原點 (0,0)，而 $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$ 集中在 $(t_{1}-t_{2},\omega _{1}-\omega _{2})$ ，而 $SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )$ 相似於 $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )$ ，除了中心點在 $(t_{2}-t_{1},\omega _{2}-\omega _{1})$
   * $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}}e^{j(\omega _{u}\tau -\theta t_{u}+\omega _{d}t_{u})}$ , $t_{u}={\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}}$ , $\omega _{u}={\tfrac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}$ , $t_{d}=t_{1}-t_{2}$ , $\omega _{d}=\omega _{1}-\omega _{2}$

### 模糊域 (ambiguity domain) 的 auto-term 與 cross-term

從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域 (ambiguity domain) 中的 auto-term 總是集中在原點 (0,0)，而 cross-term 總是在遠離原點處，所以可以用一個 2D lowpass filter 在模糊域中抑制 cross-term 的干擾，如下: 
 $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau $ , 其中 $\Phi (\theta ,\tau )$ 為 2D lowpass filter 

### 兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係

如果 $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\theta ,\tau )\,d\theta \,d\tau =\phi (t,\omega )$ ，則 
 $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau $ 
 $=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,y)WD_{s}(t-x,\omega -y)\,dx\,dy=SWD(t,\omega )$ 

* 其中 SWD 為 smoothed Wigner distribution

通常 $\Phi (\theta ,\tau )$ ( 和 $\phi (t,\omega )$ ) 當作 kernal function，用來控制 SWD 的特性。 

 
若 Wigner 分佈和對稱模糊函數用大小 (magnitude) 及相位 (phase) 表示，如下: 
 $WD_{s1,s2}(t,\omega )=A_{WD}(t,\omega )e^{j\varphi _{WD}(t,\omega )}$ 
 $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=A_{SAF}(\theta ,\tau )e^{j\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )}$ 
而 ${\frac {\partial }{\partial \theta }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=-t_{u}$ , ${\frac {\partial }{\partial \tau }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=\omega _{u}$ 
也就是說對**對稱模糊函數**的相位做偏微分，會等於 Wigner 分佈的時頻 (time-frequency) 中心。 
相反地， ${\frac {\partial }{\partial \omega }}\varphi _{WD}(t,\omega )=t_{d}$ , ${\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{WD}(t,\omega )=\omega _{d}$ 
則為對 Wigner 分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。 

 
如果 $\omega _{1}=\omega _{2}=\omega _{0}$ ，則 
 $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}\theta ^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}(\tau -t_{d})^{2}]}e^{j(\omega _{0}\tau -\theta t_{u})}$ 
會集中在 $\tau $ 軸上。 

 
如果 $t_{1}=t_{2}=t_{0}$ ，則 
 $SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )=e^{-[{\tfrac {1}{4\alpha }}(\theta -\omega _{d})^{2}+{\tfrac {\alpha }{4}}\tau ^{2}]}e^{j[\omega _{u}\tau -(\theta -\omega _{d})t_{0}]}$ 
會集中在 $\theta $ 軸上。 

## 參考

* Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
* Shie Qian, _Introduction to time-frequency and wavelet transforms_, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
* L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.