正规乘积

在量子場論中，一組創生及湮滅算符的乘積稱為是按**正規序**排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮滅算符的左側，相應的乘積稱為正規乘積。類似地可以定義反正規序，在反正規序中，所有產生算符排列在湮滅算符的右側。

## 記號

令 ${\hat {O}}$ 為任意創生和湮滅算符之乘積，則我們將 ${\hat {O}}$ 按照正規序重新排列之後得到的算符用 ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ 或 ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ 表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

## 玻色子

玻色子符合玻色–愛因斯坦統計。

### 單個玻色子

單個玻色子有一個產生算符和一個湮滅算符：

 * ${\hat {b}}^{\dagger }$ ：玻色子的產生算符
* ${\hat {b}}$ ：玻色子的湮滅算符

則有：

　
: $\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

　
: $\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

　
: $\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

其中 $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ 表示兩個算符的對易子。

#### 例子

1. 最簡單的例子是 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ 的正規序，根據正規序的定義，可見這裡的算符已經按照正規序排列，所以 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ 的正規序就是它自身：

　
: ${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

2. 第二個例子是 ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ 的正規序，

　
: ${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

這裡，按照正規序的要求，產生算符 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 放到了湮滅算符 ${\hat {b}}$ 的左邊。由玻色子算符的對易關係有：

　
: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.$

在維克定理中，兩個產生或湮滅算符的乘積與它們的正規序之間的差，稱為這兩個算符的收縮。

3. 一個多算符的例子：

　
: ${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.$

### 多個玻色子

對於 $N$ 個不同的玻色子來說，有 $2N$ 個算符：

 * ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ ：第 $i$ 個玻色子的產生算符
* ${\hat {b}}_{i}$ ：第 $i$ 個玻色子的湮滅算符

其中 $i=1,\ldots ,N$ .

它們滿足下列對易關係：

　
: $\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0$

　
: $\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0$

　
: $\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}$

其中 $i,j=1,\ldots ,N$ ， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

#### 例子

1. 對於兩個玻色子 ( $N=2$ ) ，有：

　
: $:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

　
: $:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

2. 對三個玻色子 ( $N=3$ ) ，有：

　
: $:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

由於 ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ （參見對易關係），湮滅算符之間的順序並不重要。

## 費米子

費米子服從費米 - 狄拉克統計。

### 單個費米子

單個費米子有一個產生算符和一個湮滅算符：

 * ${\hat {f}}^{\dagger }$ ：費米子的產生算符
* ${\hat {f}}$ ：費米子的湮滅算符

它們滿足下面的反對易關係：

　
: $\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0$

　
: $\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

　
: $\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1$

其中 $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ 是反對易子。

與玻色子不同的是，對於費米子的正規序，每當重新排序引起兩個算符的前後順序發生變化時，需要額外引入一個負號。

#### 例子

1. 最簡單的例子是：

　
: $:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

由於算符已經按正規序排列，所以其正規序就是它本身。反過來，若是產生算符排列在後面，則如前文所說，其正規序需要引入一個負號，即：

　
: $:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

由費米子算符的反對易關係有：

　
: ${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.$

與玻色子的情形一樣，上式用於定義維克定理裡面的收縮。

2. 其它情形下的正規序都是零，因為此時同一個湮滅算符或產生算符至少連續出現了兩次。根據費米子的性質，此時結果為零，例如：

　
: $:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

### 多個費米子

 $N$ 個費米子有 $2N$ 個產生湮滅算符，設：

 * ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ 為第 $i$ 個費米子的產生算符
* ${\hat {f}}_{i}$ 為第 $i$ 個費米子的湮滅算符

其中 $i=1,\ldots ,N$ .

它們滿足下列反對易關係：

　
: $\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0$

　
: $\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0$

　
: $\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}$

其中 $i,j=1,\ldots ,N$ ， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

#### 例子

1. 對兩個費米子 ( $N=2$ ) ，有：

　
: $:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

由於算符已經按正規序排列，所以其正規序就是它本身。

　
: $:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

由於兩個算符的順序發生了交換，所以要引入一個負號。

　
: $:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

與玻色子的情形不同，此時產生算符之間的順序是有關係的。

2. 對三個費米子 ( $N=3$ ) ，有：

　
: $:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

類似地有：

　
: $:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

　
: $:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}$

## 量子場論中的應用

任意算符的正規序的真空期望值為零。這是因為對於真空態來說， $\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }$ 以及 ${\hat {a}}|0\rangle $ 都是 0。

這裡 ${\hat {a}}^{\dagger }$ 和 ${\hat {a}}$ 分別是（玻色子或費米子的）產生和湮滅算符。將正規序的這一性質與維克定理結合起來，便能大大簡化場算符的真空期望值的計算。

## 參考文獻

* F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
* S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
* T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268