正交标架丛

數學中，**標架叢**（Frame bundle）是一個與任何向量叢 _E_ 相伴的主叢。F (_E_) 在一點 _x_ 的纖維是 _E_x 的所有有序基或曰標架。一般線性群通過基變更自然作用在 F (_E_) 上，給出標架叢一個主 GLk(**R**)- 叢結構，這裡 _k_ 是 _E_ 的秩。

一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為**切標架叢**（tangent frame bundle）。

## 定義與構造

設 _E_ → _X_ 是拓撲空間 _X_ 上一個 _k_ 階實向量叢。在點 _x_ ∈ _X_ 的一個**標架**是向量空間 _E_x 的一個有序基。等價地，一個標架可以視為線性同構

　
: $p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}.$

在 _x_ 的所有標架集合，記作 _F_x，所有可逆 _k_×_k_ 矩陣組成的一般線性群 GLk(**R**) 在它上面有一個自然右作用：一個群元素 _g_ ∈ GLk(**R**) 通過複合作用在 _p_ 的標架上給出一個新標架

　
: $p\circ g:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}.$

GLk(**R**) 在 _F_x 上這個作用是自由傳遞的（這是標準線性代數結論：存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個）。作為一個拓撲空間 _F_x 同胚於 GLk(**R**)，但它沒有群結構，因為沒有「優先的標架」。空間 _F_x 稱為一個 GLk(**R**)-torsor。

_E_ 的**標架叢**，記作 F (_E_) 或 FGL(_E_)，是所有 _F_x 的不交並：

　
: $\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.$

F(_E_) 中每個點是一個二元組 (_x_, _p_)，其中 _x_ 是 _X_ 中一點而 _p_ 是 _x_ 處一個標架。存在自然投影 _π_ : F(_E_) → _X_ 將 (_x_, _p_) 送到 _x_。群 GLk(**R**) 如上右作用在 F (_E_) 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是 _π_ 的纖維。

標架叢 F (_E_) 可給一個自然的拓撲，其叢結構由 _E_ 確定。設 (_U_i, _φ_i) 是 _E_ 的一個局部平凡化。則對每個 _x_ ∈ _U_i 有一個線性同構 _φ_i,_x_ : _E_x → **R**k。這個數據決定了一個雙射

　
: $\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} _{k}(\mathbb {R} ),\,$

由下式給出

　
: $\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).$

有了這個雙射後，每個 _π_−1(_U_i) 可賦予 _U_i × GLk(**R**) 的拓撲。則 F (_E_) 上的拓撲是由包含映射 _π_−1(_U_i) → F(_E_) 余誘導的最終拓撲。

有了上面所有數據後，標架叢 F (_E_) 成為 _X_ 上一個結構群為 GLk(**R**) 的主纖維叢，具有局部平凡化 ({_U_i}, {_ψ_i})，可以驗證 F (_E_) 的轉移函數與 _E_ 的相同。

上面所有工作對光滑範疇也成立：如果 _E_ 是光滑流形 _M_ 上一個光滑向量叢，則 _E_ 的標架叢可賦予 _M_ 上光滑主叢結構。

## 相伴向量叢

向量叢 _E_ 與它的標架叢 F (_E_) 是相伴叢。每一個決定了另一個。標架叢 F (_E_) 可如上由 _E_ 構造出來，或更抽象地利用纖維叢構造定理。在後一個方法中，F (_E_) 與 _E_ 有同樣底、平凡化鄰域以及轉移函數，但有抽象纖維 GLk(**R**)，這裡結構群 GLk(**R**) 作用在纖維 GLk(**R**) 上是左乘。

給定一個線性表示 _ρ_ : GLk(**R**) → _V_，有一個向量叢相伴與 F (_E_)

　
: $\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V,\,$

它由乘積 F (_E_) × _V_ 模去等價關係 (_pg_,_v_) ~ (_p_,_ρ_(_g_)_v_)，對所有 _g_ 屬於 GLk(**R**)，給出。記等價類為 [_p_,_v_]。

向量叢 _E_ 自然同構於叢 F (_E_) ×ρ **R**k，這裡 _ρ_ 是 GLk(**R**) 在 **R**k 上的基本表示。同構由

　
: $[p,v]\mapsto p(v)$

給出，這裡 _v_ 是 **R**k 中一個向量而 _p_ : **R**k → _E_x 是 _x_ 處一個標架。容易驗證這個映射是良定義的。

任何相伴與 _E_ 的向量叢可由如上構造給出。例如，_E_ 的對偶叢由 F (_E_) ×ρ\* (**R**k)\* 給出，這裡 _ρ_\* 是基本表示的對偶。_E_ 的張量叢可類似地構造。

## 切標架叢

一個光滑流形 _M_ 的**切標架叢**（或簡稱**標架叢**）是與 _M_ 的切叢相伴的標架叢。 _M_ 的標架叢通常記作 F_M_ 或 GL (_M_) 而不是 F (_TM_)。如果 _M_ 是 _n_- 維的則切叢的秩為 _n_，所以 _M_ 的標架叢是 _M_ 上一個主 GLn(**R**) 叢。

### 光滑標架

_M_ 的標架叢的局部截面稱為 _M_ 上的光滑標架。主叢橫截定理說 _M_ 中任何有光滑標架的開集 _U_ 上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架 _s_ : _U_ → F_U_，平凡化 _ψ_ : F_U_ → _U_ × GLn(**R**) 由

　
: $\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)$

給出，這裡 _p_ 是 _x_ 處一個標架。從而一個流形是可平行化的若且唯若 _M_ 的標架叢有一個整體截面。

因為 _M_ 的切叢在 _M_ 的任何坐標鄰域是可平凡化的，故標架叢也是。事實上，給定任何坐標鄰域 _U_ 帶有坐標 (_x_1,…,_x_n)，坐標向量場

　
: $\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\cdots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)$

定義了 _U_ 上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是坐標架；我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法。

### 焊接形式

流形 _M_ 的標架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質上繫於 _M_ 的幾何。這種關係可用 F_M_ 上一個稱之為**焊接形式**（或稱**基本**或**重言** 1 - 形式）向量值 1 - 形式表示。設 _x_ 是流形 _M_ 上一點，_p_ 是 _x_ 處一個標架，故

　
: $p:\mathbb {R} ^{n}\to T_{x}M$

是 **R**n 與 _M_ 在 _x_ 處切叢的一個線性同構。F_M_ 的焊接形式是一個 **R**n- 值 1 - 形式 _θ_，定義為

　
: $\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )\,$

這裡 _ξ_ 與 F_M_ 相切於 (_x_,_p_)，_p_-1:Tx_M_ → **R**n 是標架映射的逆，d_π_ 是投影映射 _π_: F_M_ → _M_ 的微分。焊接形式是水平的，它在與 _π_ 的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即

　
: $R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta \,$

這裡 _R_g 是由 _g_ ∈ GLn(**R**) 的左平移。F_M_ 上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與 _TM_- 值 1 - 形式一一對應，從而與 _M_ 上光滑叢映射 _TM_ → _TM_ 一一對應。這樣看來，_θ_ 恰好是 _TM_ 上恆等映射。

## 標準正交標架叢

如果向量叢 _E_ 配有一個黎曼叢度量，則每個纖維 _E_x 不僅是一個向量空間而且是一個內積空間。這樣便可以討論 _E_x 的所有標準正交標架集合。_E_x 的一個標準正交標架是 _E_x 的一個有序標準正交基，或等價地，一個等距線性同構

　
: $p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}$

這裡 **R**k 配有標準歐幾里得度量。正交群 O (_k_) 通過右複合自由傳遞作用在所有標準正交標架上。換句話說，所有標準正交標架集合是一個右 O (_k_)-torsor。

_E_ 的**標準正交標架叢**，記作 FO(_E_)，是在底空間 _X_ 上每一點 _x_ 處的所有標準正交標架集合。它可用完全類似於通常標架叢的方法構造出來。秩 _k_ 的黎曼向量叢 _E_ → _X_ 的標準正交標架是 _X_ 上一個主 O (_k_)- 叢。同樣，此構造在光滑範疇一樣成立。

如果向量叢 _E_ 可定向，則我們可定義 _E_ 的**定向標準正交標架叢**，記作 FSO(_E_)，是所有正定向標準正交標架叢，這是一個主 SO (_k_)- 叢。

如果 _M_ 是一個 _n_- 維黎曼流形，則 _M_ 的標準正交標架叢，記作 FO_M_ 或 O (_M_)，是與 _M_ 的切叢（由定義它配有一個黎曼度量）相伴的標準正交標架叢。如果 _M_ 可定向，則也有定向標準正交標架叢 FSO_M_。

給定一個黎曼向量叢 _E_，標準正交標架叢是一般線性標架叢的 O (_k_)- 子叢。換句話說，包含映射

　
: $i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)\,$

是一個主叢映射。我們說 FO(_E_) 是 FGL(_E_) 的結構群從 GLk(**R**) 到 O (_k_) 的約化。

## _G_- 結構

如果光滑流形 _M_ 有額外的結構，通常自然地考慮 _M_ 全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如，如果 _M_ 是一個黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮 _M_ 的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是 
FGL(_M_) 的結構群到正交群 O (_n_) 的約化。

一般地，如果 _M_ 是一個光滑 _n_- 流形，_G_ 是 GLn(**R**) 的一個子李群，我們定義 _M_ 上一個 **G - 結構**為 FGL(_M_) 結構群到 _G_ 的一個約化。具體地說，這是 _M_ 上一個主 _G_- 叢 FG(_M_)，以及 _M_ 上一個 _G_- 等變叢映射

　
: ${\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M).\,$

在這種語言中，_M_ 上一個黎曼度量給出 _M_ 上一個 O (_n_)- 結構。下面是其它一些例子。

* 每個定向流形有一個定向標架，這就是 _M_ 上一個 GLn+(**R**)- 結構。
* _M_ 上一個體積形式確定了 _M_ 上一個 SLn(**R**)- 結構。
* 一個 2_n_- 維辛流形有一個自然的 Sp2_n_(**R**)- 結構。
* 一個 2_n_- 維復或殆複流形有一個自然的 GLn(**C**)- 結構。

在某些例子中，_M_ 上一個 _G_- 結構惟一確定了 _M_ 上對應的結構。例如 _M_ 上一個 SLn(**R**)- 結構確定了 _M_ 上一個體積形式。但是，在某些情形，比如辛與複流形，需要一個可積性條件。_M_ 上一個 Sp2_n_(**R**)- 結構惟一確定了 _M_ 上一個非退化 2 - 形式，但對 _M_ 是辛的，這個 2 - 形式必須也是閉的。

## 參考文獻

* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry **Vol. 1** New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0471157333
* Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993 [2009-06-04], （原始內容 (PDF) 存檔於 2017-03-30）
* Sternberg, S. Lectures on Differential Geometry (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4.