極點分離

**極點分離**（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上電容器，希望將最低頻率的極點（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢。

## 舉例

這些例子可以看出在圖 1 的運算放大器中加入電容器 CC，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高。圖 1 的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗 _Ri_ 以及電容 _Ci_，其時間常數是 _Ci_ ( _RA || Ri_ )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻 _RL_ 和電容 _CL_，其時間常數是 _CL_ ( _Ro || RL_ )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器 _CC_ 影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效應條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖 1 的電路可以轉換為圖 2 的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖 2 的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓 $\ v_{a}$ 的函數

　
: : ${\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,$

其滾降從頻率 _f1_ 開始

　
: : ${\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}$

其中的 $\tau _{1}$ 是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應 _CC_ = 0 F 時，是 ${\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}$ 。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓 $\ v_{o}$ 是由理想放大器的增益決定的

　
: : $\ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .$

利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓 $v_{\ell }$ 相對於運算放大器輸入電壓 $\ v_{i}$ 的函數：

　
: : ${\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!$ $\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .$

這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

　
: : ${\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}$

　
: : : $=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!$ $\cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!$ $\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .$

增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益 _Av_ 很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是 1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出 _R-C_ 乘積 _CL_ ( _Ro || RL_ )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為

　
: : ${\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}$

（針對一個正的密勒電容，_Av_ 為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

　
: : ${\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,$

其中 _Dω_ 是 ω 的二次式：

　
: : $D_{\omega }\,\!$ $=[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!$ $\cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!$ $\ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!$ $\cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!$ $\ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .$

上述的二次式可以改寫如下：

　
: : $\ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})$

　
: : : $=1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\ $

其中 $\tau _{1}$ and $\tau _{2}$ 是 _Dω_ 公式中結合了電阻和電容的值。。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設 $\tau _{1}$ 是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設 $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ （若要有良好的階躍響應，會需要 $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ ，可以看以下的如何選擇 CC 章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω 的線性項比二次項影響更大，因此 _Dω_ 的低頻特性為：

　
: : ${\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}$

其中的 _CM_ 會用密勒效應重新定義為

　
: : $C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,$

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設 $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ ，可以確定 $\tau _{1}$ 。因為 _CM_ 很大，時間常數 ${\tau }_{1}$ 遠大於其原始值 _Ci_ ( _RA || Ri_ ).

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關 $\tau _{1}$ 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由 _Dω_ 的二次項求得，為

　
: : $\tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .$

將平方項係數的公式代到 $\tau _{1}\tau _{2}$ ，再加上 $\tau _{1}$ 的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

　
: : ${\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}$

因為 _CM_ 很大， $\tau _{2}$ 會比原來的值 _CL_ ( _Ro_ || _RL_ ) 要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為 _CC_ 而提高.。

簡單來說，導入 _CC_ 降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

### 如何選擇 CC

在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以 20 dB/decade 的斜率下降，降到 0 dB 增益，甚至更低。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為 1 的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法。

在設計中選擇 _f_2 的方式如圖 3 所示。在最低極點 _f_1 處，波德增益圖開始以 20 dB/decade 的斜率下降。其目的是要維持 20 dB/decade 的下降斜率，一直到 0dB 為止，並且取 20 log10 _Av_ 增益（以 dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在 log 頻率尺度上），( log10 _f_2  − log10 _f_1 ) = log10 ( _f_2 / _f_1 ），就是這段的斜率

　
: : 斜率 $=20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,$

若 _f2 = Av f1_，上述的值會是是 20 dB/decade。若 _f2_ 沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到 0 dB 之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖 3 也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的 _Av_ 倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的 _Av_，使用良好階躍響應下的「極點 — 比例條件」（pole-ratio condition）可得：

　
: : ${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

利用上述時間常數的近似，可以得到

　
: : ${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

或

　
: : ${\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!$ ${\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

這是一個可以求得 _CC_ 近似值的二次式。圖 4 是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器 _CC_ 很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖 4 時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為 _CC_ 的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的 _CC_ 會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，_Av_ 會設計成等式右邊 _Av_ 值的兩倍或三倍。可以參考 Sansen 或 Huijsing 的參考資料

### 迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率有不良的影響。而且因為需要為 _CC_ 充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。

## 相關條目

* 頻率補償
* 密勒效應
* 共源極
* 波德圖
* 步階響應
* CMOS 放大器

## 參考資料和腳註