欧拉

**李昂哈德・保羅・尤拉**（德語：Leonhard Paul Euler，又譯作**歐拉**，1707 年 4 月 15 日 —1783 年 9 月 18 日），瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一，他一生大部分時間在俄國和普魯士度過。

尤拉在包括微積分和圖論在內的多個數學領域都做出過重大貢獻。他首次引進的許多數學術語和書寫格式一直沿用至今，例如函數的記法 $f(x)$ ，虛數單位 ${\sqrt {-1}}$ 的記法 $i$ ，圓周率的記法 $\pi $ ，求和符號 $\Sigma $ 等。此外，他還在力學、光學和天文學等學科有突出的貢獻。

尤拉是 18 世紀傑出的數學家，同時也是有史以來最偉大的數學家之一。他也是一位多產作者，其學術著作有 60-80 冊。法國數學家皮耶 - 西蒙・拉普拉斯曾這樣評價尤拉對於數學的貢獻：「讀尤拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師。」

## 生平

### 早年

尤拉出生於瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，父親保羅・尤拉（Paul Euler）是基督教加爾文宗的牧師，保羅・尤拉早年在巴塞爾大學學習神學，後娶了一位牧師的女兒瑪格麗特・布魯克（Marguerite Brucker），也就是尤拉的母親。尤拉是他們 6 個孩子中的長子。在尤拉出生後不久，他們全家就從巴塞爾搬遷至郊外的里恩，在那裡尤拉度過了他童年的大部分時光。

尤拉最早是從他的父親那裡接觸到一些數學，後來尤拉搬回巴塞爾和他的外祖母住在一起，在那裡開始了他的正式學業。中學時期，由於尤拉所在的學校不教授數學，他便私下從一位大學生那裡學習。

尤拉 13 歲時進入巴塞爾大學，主修哲學和法律，但在每周星期六下午便跟當時歐洲最優秀的數學家約翰・伯努利學習數學 。尤拉於 1723 年取得了他的哲學碩士學位，學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。之後，尤拉遵從了他父親的意願進入了神學系，學習神學，希臘語和希伯來語（尤拉的父親希望尤拉成為一名牧師），但最終約翰・伯努利說服尤拉的父親允許尤拉學習數學，並使他相信尤拉註定能成為一位偉大的數學家。1726 年，尤拉完成了他的博士學位論文 De Sono，內容是研究聲音的傳播。1727 年，尤拉參加了法國科學院主辦的有獎徵文競賽，當年的問題是找出船上的桅杆的最優放置方法。結果他得了二等獎，一等獎為被譽為「艦船建造學之父」的皮耶・布格所獲得，不過尤拉隨後在他一生中一共 12 次贏得該獎項一等獎。

### 在聖彼得堡

這一時期，約翰・伯努利的兩個兒子 —— 丹尼爾・伯努利和尼古拉・伯努利 —— 在位於俄國聖彼得堡的俄國皇家科學院工作，在尼古拉因闌尾炎於 1726 年 7 月去世後（此時距他來到俄國僅一年），丹尼爾便接替了他在數學 / 物理學所的職位，同時推薦尤拉來接替他自己在生理學所空出的職位。尤拉於 1726 年 11 月欣然接受了邀請，但並沒有立即動身前往聖彼得堡，而是先申請巴塞爾大學的物理學教授，不過沒有成功。

尤拉於 1727 年 5 月 17 日抵達聖彼得堡，在丹尼爾等人的請求下，科學院將尤拉指派到數學 / 物理學所工作，而不是起初的生理學所。尤拉與丹尼爾保持著密切的合作關係，並且與丹尼爾住在一起。在 1727 年至 1730 年間，尤拉還擔任了俄國海軍醫官的職務。

俄國皇家科學院由彼得大帝於 1724 年創建，在彼得大帝和他的繼任者凱薩琳女皇主政時期，科學院是一個對外國學者具有吸引力的地方。科學院有充足的資金來源和一個規模龐大的綜合圖書館，並且只招收非常少的學生，以減輕教授們的教學負擔。科學院還非常重視研究，給予教授們充分的時間及自由，讓他們探究科學問題。

凱薩琳女皇，同時也是科學院的資助者，於尤拉到達聖彼得堡的當天去世。其後彼得二世繼位，彼得二世是個軟弱的君主，實際權力由俄國貴族掌握。貴族們對科學院的外國科學家心存戒心，於是他們切斷了對尤拉及其同事們的財政資助，並且在其它方面找他們的麻煩。

情況在彼得二世去世（1730 年）後有所好轉，尤拉在科學院的地位迅速得到提升，並於 1731 年獲得物理學教授的職位。兩年後，由於受不了在聖彼得堡受到的種種審查和敵視，丹尼爾・伯努利返回了巴塞爾，尤拉於是接替丹尼爾成為數學所所長。1735 年，尤拉還在科學院地理所擔任職務，協助編制俄國第一張全境地圖。

1734 年 1 月 7 日，尤拉迎娶了科學院附屬中學的美術教師，瑞士人喬治・葛塞爾（Georg Gsell）的女兒，柯黛琳娜・葛塞爾（Katharina Gsell，1707-1773） ，兩人共育有 13 個子女，其中僅有 5 個活到成年。

### 在柏林

考慮到俄國持續的動亂，尤拉在 1741 年 6 月 19 日離開了聖彼得堡，到柏林科學院就職，職位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了 25 年，並寫下了不止 380 篇文章。在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：關於函數方面的文章《無窮小分析引論》，出版於 1748 年；另一部是關於微分的《微積分概論》，出版於 1755 年。在 1755 年，他成為瑞典皇家科學院的外籍成員。

### 視力惡化

在尤拉的數學生涯中，他的視力一直在惡化。在 1735 年一次幾乎致命的發燒後的三年，他的右眼近乎失明，但他把這歸咎於他為聖彼得堡科學院進行的辛苦的地圖學工作。在德國期間，他的視力也持續惡化。尤拉的原本正常的左眼後來又遭受了白內障的困擾。1766 年，他在查出白內障的幾個星期內，近乎完全失明。然而，尤拉的學術生產力似乎並未受到病痛影響，這大概歸因於他的心算能力和超群的記憶力。比如，尤拉可以從頭到尾不猶豫地背誦維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》，並能指出他所背誦的那個版本的每一頁的第一行和最後一行是什麼。在文職人員的幫助下，尤拉在多個領域的研究其實變得更加豐富了。在 1775 年，他平均每周就完成一篇數學論文。

### 其他

尤拉年輕時曾研讀神學，他一生虔誠、篤信上帝，並不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發表。有一個廣泛流傳的傳說說到，尤拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷裡，挑戰當時造訪宮廷的無神論者德尼・狄德羅：「_先生， $e^{i\pi }+1=0\,$ ，所以上帝存在，請回答！_」不懂數學的德尼完全不知怎麼應對，只好投降。但是由於狄德羅事實上也是一位有作為的數學家，這個傳說有可能屬於虛構。

尤拉是史上發表論文數第二多的數學家，全集共計 75 卷；他的紀錄一直到了 20 世紀才被保羅・艾狄胥打破。後者發表的論文達 1525 篇，著作有 32 部。尤拉在他的時代，產量之多，無人能及。尤拉實際上支配了 18 世紀至現在的數學；對於當時新數學分支微積分，他推導出了很多結果。很多數學的分枝，也是由尤拉所創或因而有了極大的進展。

在 1765 年至 1771 年據說是因尤拉雙眼直接觀察太陽，雙眼先後失明。儘管人生最後 7 年，尤拉的雙目完全失明，他還是以驚人的速度產出了生平一半的著作。

1783 年 9 月 18 日，晚餐後，尤拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗從他手中掉了下來。他說了一聲：「我的菸斗」，並彎腰去撿，結果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：「我死了」。「_尤拉停止了計算和生命_」。後面這句經常被數學史家引用的話，出自法國哲學家兼數學家孔多塞之口：「...il cessa de calculer et de vivre」（he ceased to calculate and to live）。

## 成就

尤拉的數學符號引進和推廣，並透過他的許多教科書廣為流傳。最為著名的，是他引進了「函數」的概念，並且第一個將函數的寫為 f (x)，以表示一個以 x 為自變量的函數。他還介紹了三角函數現代符號，以 e 表記自然對數的底（現在也稱作尤拉數），用希臘字母 Σ 表記累加和以 i 表示虛數單位。用希臘字母 π 來表示一個圓的周長和直徑之比也由尤拉普及，但並不是由他發明。

尤拉建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長杆上的力矩正比於物質的彈性和透過質心軸和垂直於兩者的截面的轉動慣量。

他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的尤拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為 0 的納維 - 斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波。

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是尤拉近似法的創始人，這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為尤拉方法。

在數論里他引入了尤拉函數。自然數 $n$ 的**尤拉函數** $\phi (n)$ 被定義為小於 $n$ 並且與 $n$ 互質的自然數的個數。例如， $\phi (8)=4$ ，因為有四個自然數 1，3，5 和 7 與 8 互質。

在計算機領域中廣泛使用的 RSA 公鑰密碼算法也是以尤拉函數為基礎。

在分析領域，是尤拉綜合了戈特弗里德・威廉・萊布尼茲的微分與艾薩克・牛頓的流數。

他在 1735 年由於解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：

　
: $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

其中 $\zeta (s)$ 是黎曼函數。

尤拉將虛數的冪定義為如下公式

　
: $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

這就是尤拉公式，它成為指數函數的中心。在初等分析中，從本質上來說，要麼是指數函數的變種，要麼是多項式，兩者必居其一。被理察・費曼稱為「_最卓越的數學公式_」的則是尤拉公式的一個簡單推論（通常被稱為尤拉恆等式）：

　
: $e^{i\pi }=-1\,$ 或 $e^{i\pi }+1=0\,$

他在 1735 年定義了微分方程中的尤拉 - 馬斯刻若尼常數，也是尤拉 - 麥克勞林求和公式的發現者之一，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效：

　
: $\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}...+{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)$

尤拉還發現了公式的 V - E + F = 2 的數量與頂點 (Vertex, V)，邊 (Edge, E) 和面 (Face, F) 的凸多面體，因此，對一個平面圖形。此公式中的常數是現在被稱為尤拉示性數的圖形（或其他數學對象），是有關屬的對象。研究和推廣這一公式，特別是通過柯西和歐萊雅 Huillier，是在原點的拓撲結構。

尤拉在 1736 年解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis），對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。

在 1739 年，尤拉寫下了《音樂新理論的嘗試（Tentamen novae theoriae musicae）》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部「為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的」著作。

在經濟學方面，尤拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在固定規模報酬的情形下，總收入和產出將完全耗盡。

在幾何學和代數拓撲學方面，尤拉公式給出了單連通多面體的邊、頂點和面之間存在的關係：

　
: $F-E+V=2\,$

其中，F 為給定多面體的面數之和，E 為邊數之和，V 為頂點數之和。這個定理也可用於平面圖。對非平面圖，尤拉公式可以推廣為：如果一個圖可以被嵌入一個流形 $M$ ，則：

　
: $F-E+V=\chi (M)\,$

其中 χ 為此流形的尤拉示性數，在流形的連續變形下是不變量。單連通流形（例如球面或平面）的尤拉特徵值是 2。對任意的平面圖，尤拉公式可以推廣為： $F-E+V-C=1$ ，其中 $C$ 為圖中連通分支數。

數獨是尤拉發明的拉丁方的概念，在當時並不流行，直到 20 世紀由日本上班族鍛治真起帶起流行。

## 《尤拉全集》

據統計，尤拉生前平均每年發表八百頁的學術論文，內容涵蓋多個學術範疇。1911 年，數學界系統地開始出版尤拉的著作，並定名為《尤拉全集》(Opera Omnia)，迄今已出版七十多卷，平均每卷厚達五百多頁，重約四磅。預計《尤拉全集》全部出齊時約重三百磅。

## 紀念

尤拉是第六系列瑞士 10 法郎的鈔票以及德國、俄羅斯郵票的主角。在 2002 年，小行星 2002 被命名為尤拉。基督教新教 - 路德教派將聖徒日曆上五月二十四日定為紀念尤拉的日子。尤拉是一位虔誠的基督教徒，相信聖經是正確而沒有錯誤的，並且極力地反對那些擁有無神論思想的人們。

日內瓦大學在智利拉西拉天文台建立的口徑 1.2 米望遠鏡命名為萊昂哈德・尤拉望遠鏡。

2013 年 4 月 15 日谷歌以首頁塗鴉紀念尤拉 306 周年誕辰，展示了尤拉角、尤拉公式、尤拉恆等式、尤拉示性數和七橋問題等。

## 註釋

## 參考資料

## 參見

* 尤拉猜想
* 尤拉旋轉定理
* 尤拉定理
* 尤拉方程
* 尤拉數
* 尤拉方法
* 尤拉函數
* 尤拉圖
* 尤拉路徑
* 尤拉運動定律
* 尤拉乘積
* 尤拉磚

## 外部連結

* 十八世紀數學 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 更多他的故事 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）