正八面體

**正八面體**是一種八面體，由八個等邊三角形，分別為上、下各四個三角形與一個正方形組成的正方錐體，上下黏合在一起而構成，是五種正多面體的第三種，有 6 個頂點和 12 條邊。**正八面體**也是正三角反稜柱。正八面體是三維的正軸形，施萊夫利符號 {3,4}，考克斯特 — 迪肯符號。

正八面體每四條棱可以成為一個正方形，共有三個獨立的正方形。

## 性質

* 頂點數目：6
* 邊數目：12
* 面數目：8
* 當棱長為 $a$ 時：
  * 表面積： $S=2{\sqrt {3}}a^{2}$
  * 體積： $V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$
  * 外接球半徑： $r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a$ （外接球即過正八面體各頂點的球）
  * 內切球半徑： $r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a$ （內切球即與正八面體各面相切的球）
  * 中交球半徑： $r_{m}={\frac {1}{2}}a$ （中交球即過正八面體各邊中點的球）

### 坐標系

以棱長為 ${\sqrt {2}}$ 的正八面體的幾何中心作為原點，將正八面體的對角線作為 x, y, z 軸建立三維直角坐標系（正八面體的 3 條對角線兩兩正交，這也是正八面體被叫做「正軸形」的原因），則我們能將正八面體的頂點坐標記為 $(\pm 1,0,0)$ , $(0,\pm 1,0)$ , $(0,0,\pm 1)$ 
正八面體表面方程式為： $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert +\left\vert z\right\vert =1$
  
更一般的，如果正八面體的對角線平行於坐標軸，中心為 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ，外接圓半徑為 $r$ （棱長為 ${\sqrt {2}}r$ ），則正八面體表面方程式為： $\left\vert x-x_{0}\right\vert +\left\vert y-y_{0}\right\vert +\left\vert z-z_{0}\right\vert =r$ 
如果中心在原點的正八面體被拉長，成為菱形體，則更一般的八面體方程式為 
 $\left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1$ 
其內接於橢球體 
 ${\frac {x^{2}}{x_{m}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{y_{m}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{z_{m}^{2}}}=1$ 
表面積 $S$ 和體積 $V$ 為： 
 $S=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}}$ 
 $V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}$ 
它的慣性張量 $I$ 是：

　
: $I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+y_{m}^{2})\end{bmatrix}}$

當 $x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 時，菱形體為上述正八面體。

### 正交投影

正八面體可以以多種不同的方向被正交投影到二維平面，以下表格展示了幾種特殊的投影：

### 對稱性和表面塗色

正八面體作為 3 維的正軸體正多面體，自身擁有較高的對稱性，它的所有面都是不可區分的。可是我們也可以想像將正八面體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使正八面體擁有不同的對稱性。正八面體的對稱群是 Oh（正八面體群），是三維的超正八面體群。在此對稱性下，正八面體的所有面都帶有相同對「顏色」，對稱性最高，群階 48。該群的子群體現了正八面體更低的對稱性：Td（群階 24），截半正四面體的對稱群；D3d（群階 12），三角反稜柱的對稱群；D4h（群階 16），四角雙稜錐（正四稜柱的對偶）的對稱群；D2h（群階 8），三維長菱體（三維長方體的對偶）的對稱群。

 

## 與其他形狀的關係

### 對偶性

正八面體的對偶多面體是立方體。

　
:

當正八面體在立方體之內：

$$
{\begin{aligned}{\text{正 八 面 體 體 積 }}:{\text{立 方 體 體 積 }}&=\left({\frac {1}{3}}\times {\text{高 }}\times {\text{底 面 積 }}\right)\times 2:{\text{邊 }}^{3}\\&=\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {n}{2}}\right)\left({\frac {n^{2}}{2}}\right)2:n^{3}\\&=1:6\\\end{aligned}}
$$

### 其它幾何關聯

兩個互為對偶的正四面體可以組成一個複合正多面體，這兩個正四面體的交集即是正八面體。這個複合多面體，也叫做星形八面體，是正八面體的第一個也是唯一一個星形展（英 Stellation，暫譯，目前還沒有好的譯名）。另一方面，從正四面體各棱中點處截去 4 個包含原頂點在內的線性大小只有原正四面體一半的正四面體，你也能得到正八面體，也就是說，正八面體是「截半正四面體」。在這裡，正四面體與正八面體之間的關係就像立方體、正八面體與截半立方體；正十二面體、正二十面體與截半正十二面體一樣。 
除此以外，我們知道正二十面體還是「扭棱正四面體」，因此，正八面體與其也應該有關係。事實上，我們能夠利用黃金分割從正八面體的棱上得到正二十面體的頂點。具體操作是：用有向線段代替這個正八面體的各棱，使每個面的 3 條有向線段恰好首尾相接，構成一圈。接著順著每個有向線段的方向將其以黃金比例分割，分割點即是正二十面體的頂點。如果給定一正二十面體，則有 5 個不同的正八面體都可用上述操作得到給定正二十面體，這 5 個正八面體又可構成一複合正多面體，即五複合正八面體。 

正八面體可以和正四面體一起完成三維空間的密鋪，這密鋪被叫做正八面體 — 正四面體堆砌 (Octahedral-Tetrahedral Honeycomb)（同時它也是交錯立方體堆砌 (Alternated Cubic Honeycomb)，亦即半立方體堆砌 (Demicubic Honeycomb)），是 28 個三維半正堆砌之一，是除立方體堆砌以外唯一一個完全由正多面體完成的三維堆砌。正八面體也參與了截半立方體堆砌。 
正八面體是柏拉圖立體中唯一一個在頂點處有偶數個面相交的，也是唯一一個所有對稱鏡面不穿過任何一面的。 
以詹森多面體的角度來看，正八面體是雙四稜錐，將其上下兩個頂點截取，即得到雙四稜台。 
正八面體是四連通的，意味著要想打斷正八面體 6 個頂點之間的連接，至少要撤掉 4 個頂點。它是 4 個四連通單體面全覆蓋多面體之一，意味著它所有頂點的極大獨立集都有相同大小。其餘 3 個多面體是詹森多面體雙五稜錐、扭稜鍥形體和一個非半正的有 12 個頂點和 20 個正三角形面的多面體。

### 相關多面體

#### 作為正八面體

正八面體是正八面體家族的一員，與其對偶立方體隸屬同一家族：

正八面體還在拓撲上與其它三角形鑲嵌 {3,n} 相關聯：

 

#### 作為截半正四面體

正如以上所述，正八面體是截半正四面體，在這裡正八面體相鄰的面被塗上 2 種不同的顏色，在這種情況下，正八面體有正四面體對稱性 A3。

注意到前五個正四面體的截頂體，它們可以被看作是四維超正方體長對角線垂直於平面時平面在不同高度截超正方體而得到的不同截面，如果設對角線長 h=1 時，這 5 種不同的截面分別出現於截面高度為 (0,1/4]、3/8、1/2、5/8、[3/4,1) 時，其中的正八面體截面是超正方體所有截面中體積最大的。

#### 作為三角反稜柱

正八面體作為三角反稜柱，與六角二面體和三角二面體之間存在關係，同時，它也是反稜柱無窮序列的一員：

 

#### 作為四角雙稜錐

正八面體是四角雙稜錐，是無窮序列半正對偶雙稜錐的一員：

 

#### 四面半六面體

正八面體與星形半正多面體 — 四面半六面體有著同樣的棱和頂點結構，並且有 4 個交錯排列的三角形面是相同的，而後者還有 3 個正交與中心正方形面，它是實射影多面體（即它不可以被描述成球面鑲嵌，而是實射影平面鑲嵌）。

## 數學以外的正八面體

### 四面體桁架

巴克敏斯特・富勒在 20 世紀 50 年代發明了一種由正四面體和正八面體構成的球節架，其結構就是正八面體 — 正四面體堆砌，是公認的最強的抗懸臂壓力的架結構。

## 參見

* 八面體數

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，正八面體 （參閱柏拉圖立體） 於 MathWorld（英文）