模-数转换器

**類比數位轉換器**（英語：**Analog-to-digital converter**, **ADC**, **A/D** 或 **A to D**）是用於將類比形式的連續訊號轉換為數位形式的離散訊號的一類設備。一個類比數位轉換器可以提供訊號用於測量。與之相對的設備成為數位類比轉換器。

典型的類比數位轉換器將類比訊號轉換為表示一定比例電壓值的數位訊號。然而，有一些類比數位轉換器並非純的電子設備，例如旋轉編碼器，也可以被視為類比數位轉換器。

數位訊號輸出可能會使用不同的編碼結構。通常會使用二進位二補數（也稱作「補碼」）進行表示，但也有其他情況，例如有的設備使用格雷碼（一種循環碼）。

## 概念

### 解析度

類比數位轉換器的解析度是指，對於允許範圍內的類比訊號，它能輸出離散數位訊號值的個數。這些訊號值通常用二進位數來存儲，因此解析度經常用位元作為單位，且這些離散值的個數是 2 的冪指數。例如，一個具有 8 位解析度的類比數位轉換器可以將類比訊號編碼成 256 個不同的離散值（因為 28= 256），從 0 到 255（即無符號整數）或從 - 128 到 127（即帶符號整數），至於使用哪一種，則取決於具體的應用。

解析度同時可以用電氣性質來描述，使用單位伏特。使得輸出離散訊號產生一個變化所需的最小輸入電壓的差值被稱作最低有效位（Least significant bit, LSB）電壓。這樣，類比數位轉換器的解析度 _Q_ 等於 LSB 電壓。類比數位轉換器的電壓解析度等於它總的電壓測量範圍除以離散電壓間隔數：

　
: $Q={\dfrac {E_{\mathrm {FSR} }}{N}},$

這裡 _N_ 是離散電壓間隔數，_E_FSR 是總的電壓測量範圍， _E_FSR 由下式給出

　
: $E_{\mathrm {FSR} }=V_{\mathrm {RefHi} }-V_{\mathrm {RefLow} },\,$

這裡 _V_RefHi 和 _V_RefLow 是轉換過程允許電壓的上下限。

正常情況下，電壓間隔數等於

　
: $N=2^{M},\,$

這裡 _M_ 是類比數位轉換器以位元為單位下的解析度。

### 響應類型

大多數類比數位轉換器的響應類型為線性，這裡的「線性」是指，輸出訊號的大小與輸入訊號的大小成線性比例。

一些早期的轉換器的響應類型呈對數關係，由此來執行 A-law 算法或 μ-law 算法編碼。這些編碼現在由高解析度的線性類比數位轉換器（例如 12 或 16 位）達到，並將其 8 為編碼輸出值進行繪製。

### 誤差

類比數位轉換器的誤差有若干種來源。量化錯誤和非線性誤差（假設這個類比數位轉換器標稱具有線性特徵）是任何類比數位轉換中都存在的內在誤差。也有一種被稱作孔徑誤差（aperture error），它是由於時鐘的不良振盪，且常常在對時域訊號數位化的過程中出現。時鐘的不良振盪所引起的孔徑誤差可以等效到 ADC 的取樣保持器中，這個時鐘稱之為取樣訊號而取樣訊號的相位不確定性就使得實際的取樣時間是隨機變化的，在對一個動態變化的訊號取樣時，我們認定的取樣訊號 $V_{in}$ 可能變成了 $V_{in}(t-\Delta t)$ ，其中 $\Delta t$ 是一個具有統計規律的隨機時延。如果我們將時鐘的這種相位不確定性看作是一種相位雜訊，那麼這個相位雜訊會由取樣過程傳遞到原始訊號中去。這種誤差就是上述的孔徑誤差或孔徑抖動誤差。孔徑抖動誤差必然會帶來雜訊。下面簡單說明時鐘抖動與雜訊的關係。
設訊號為 $v(t)$ ，那麼若由於在孔徑抖動造成的時間上的不確定量 $\Delta t$ 會造成取樣訊號的不確定度 $\Delta v(t)$ ，用數學公式可以表示為：

```
 $\Delta v(t)=v(t')-v(t'-\Delta t)$                                           （式1）
```

當時間抖動無偏時，那麼有：

```
  $\Delta v(t)=v(t+{\frac {\Delta t}{2}})-v(t-{\frac {\Delta t}{2}})$                                  （式2）
```

再假設 $\Delta t$ 為一微小量，那麼

```
  $\Delta v(t)=\Delta t\cdot v'(t)$                                                 （式3）
```

對於一個確定的訊號，當 $t$ 確定後，上式中的 $v(t)$ 為一個確定量，而 $\Delta t$ 是有統計規律的。因此兩邊取期望，得到：

```
 $E[\Delta v(t)]=E[\Delta t\cdot v'(t)]=E[\Delta t]\cdot v'(t)$                                 （式4）
```

且有：

```
  $E[\Delta v^{2}(t)]=E[\Delta t^{2}\cdot v'^{2}(t)]=E[\Delta t^{2}]\cdot v'^{2}(t)$                            （式5）
```

由式 4 和式 5，並假設 $\Delta v(t)$ 和 $\Delta t$ 都是零均值隨機量，這時可以得到：

```
  $\sigma _{ns}^{2}(t)=\sigma _{t}^{2}(t)\cdot v'^{2}(t)$                                               （式6）
```

對兩端求時間平均：

```
    ${\frac {1}{T}}\int _{t-{\frac {T}{2}}}^{t+{\frac {T}{2}}}\sigma _{ns}^{2}(t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{t-{\frac {T}{2}}}^{t+{\frac {T}{2}}}\sigma _{t}^{2}(t)\cdot v'^{2}(t)\,dt$                                  （式7）
```

一般的，有 $\sigma _{t}^{2}(t)=const$ ，即 $\sigma _{t}^{2}(t)=\sigma _{t}^{2}$ ，上式可以寫作：

```
 ${\frac {1}{T}}\int _{t-{\frac {T}{2}}}^{t+{\frac {T}{2}}}\sigma _{ns}^{2}(t)\,dt=\sigma _{t}^{2}(t)\cdot {\frac {1}{T}}\int _{t-{\frac {T}{2}}}^{t+{\frac {T}{2}}}v'^{2}(t)\,dt$                            （式8）
```

若原始訊號有各態歷經特性，那麼上式的左邊可以理解為雜訊的功率。於是

```
  $P_{ns}=\sigma _{t}^{2}\cdot E(v'^{2}(t))$                                                    （式9）
```

因此，孔徑抖動所引入的雜訊大小與訊號的導數有關，對於高動態的訊號，即其導數大的訊號，其雜訊的功率在孔徑誤差相同時會更大。

### 取樣率

類比訊號在時域上是連續的，因此可以將它轉換為時間上連續的一系列數位訊號。這樣就要求定義一個參數來表示新的數位訊號取樣自類比訊號速率。這個速率稱為轉換器的取樣率或取樣頻率。

可以採集連續變化、帶寬受限的訊號（即每隔一時間測量並存儲一個訊號值），然後可以通過插值將轉換後的離散訊號還原為原始訊號。這一過程的精確度受量化誤差的限制。然而，僅當取樣率比訊號頻率的兩倍還高的情況下才可能達到對原始訊號的忠實還原，這一規律在取樣定理有所體現。

由於實際使用的類比數位轉換器不能進行完全實時的轉換，所以對輸入訊號進行一次轉換的過程中必須通過一些外加方法使之保持恆定。常用的有取樣 - 保持電路，在大多數的情況里，通過使用一個電容器可以存儲輸入的類比電壓，並通過開關或閘電路來閉合、斷開這個電容和輸入訊號的連接。許多類比數位轉換積體電路在內部就已經包含了這樣的取樣 - 保持子系統。

### 混疊

所有的類比數位轉換器以每隔一定時間進行取樣的形式進行工作。因此，它們的輸出訊號只是對輸入訊號行為的不完全描述。在某一次取樣和下一次取樣之間的時間段，僅僅根據輸出訊號，是無法得知輸入訊號的形式的。如果輸入訊號以比取樣率低的速率變化，那麼可以假定這兩次取樣之間的訊號介於這兩次取樣得到的訊號值。然而，如果輸入訊號改變過快，則這樣的假設是錯誤的。

如果類比數位轉換器產生的訊號在系統的後期，通過數位類比轉換器，則輸出訊號可以忠實地反映原始訊號。如經過輸入訊號的變化率比取樣率大得多，則是另一種情況，類比數位轉換器輸出的這種「假」訊號被稱作「混疊」。混疊訊號的頻率為訊號頻率和取樣率的差。例如，一個 2 千赫茲的正弦曲線訊號在取樣率在 1.5 千赫茲取樣率的轉換後，會被重建為 500 赫茲的正弦曲線訊號。這樣的問題被稱作「混疊」。

為了避免混疊現象，類比數位轉換器的輸入訊號必須通過低通濾波器進行濾波處理，過濾掉頻率高於取樣率一半的訊號。這樣的濾波器也被稱作反鋸齒濾波器。它在實用的類比數位轉換系統中十分重要，常在混有高頻訊號的類比訊號的轉換過程中應用。

儘管在大多數系統裡，混疊是不希望看到的現象，值得注意的是，它可以提供限制帶寬高頻訊號的同步向下混合（simultaneous down-mixing ，請參見取樣過疏和混頻器）。

### Dither 訊號

在類比數位轉換器中，工作狀況可以通過引入抖動訊號（Dither）得到改善。Dither 訊號是在轉換前混入輸入訊號的微量隨機雜訊（白雜訊）。它的作用效果是輸入訊號極小時，造成 LSB 的狀態隨機在 0 和 1 之間振盪，而不是處於某一個固定值。這樣做可以擴展類比數位轉換器可以轉換的有效範圍，而不需要在低輸入的情況下完全切斷這個訊號，不過這樣做的代價是噪音會小幅增加，量化誤差會擴散到一系列噪音訊號值。在時間範圍上，還是可以較為精確地反映訊號在時間上的變化。在輸出端，使用一個適當的電子濾波器可以還原這個小幅訊號波動。

沒有加入 Dither 訊號的低幅音頻訊號聽起來十分扭曲和令人不快。因為如果沒有 Dither 訊號，低幅訊號可能造成最低有效位固定在 0 或者 1。引入 Dither 訊號之後，音頻的實際振幅可以通過在取一段時間上實際量化的取樣和一系列 Dither 訊號的取樣的平均值來計算。Dither 訊號在一些集成系統裡也有應用，例如電度表，它可以使訊號值產生比類比數位轉換器最低有效位更為精確的結果。注意引入 Dither 訊號只能增加取樣器的解析度，但是不能增加其線性的性質，因此精確度不一定能夠改善。

### 過取樣

通常的，為了經濟，訊號以允許的最低取樣率被取樣，造成的結果是產生在轉換器整個通帶上分布的白雜訊。如果訊號以高於奈奎斯特頻率的頻率被取樣、然後進行數位濾波，才從而保證限制訊號帶寬，則又以下幾個好處：

* 數位濾波器具有比類比濾波器更好的性質（更銳利的滾降、相位），所有可以構成更銳利的反鋸齒濾波器，從而可以對訊號進行向下取樣，給出更好的結果；
* 一個 20 位的類比數位轉換器可以當做一個 24 位、具有 256 倍過密取樣的類比數位轉換器使用；
* 儘管有量化雜訊，信噪比還是會比使用整個可用的帶寬更高。使用了此技術後，可能會獲得一個比單獨使用轉換器更高的解析度；
* 每倍頻的過密取樣（在很多應用中還不夠）的信噪比的改善為 3 分貝（等效於 0.5 位）。因此，過密取樣通常與噪音訊號整形耦合在一起。通過噪音整形，改善可以達到每倍頻 6L+3 dB（這裡 L 是用於噪音整形的環路濾波器的階數，例如，一個 2 階環路濾波器可以提供 15 分貝每倍頻的改善）。

### 相對速度和精確度

類比數位轉換器的速度根據其種類有較大的差異。威爾金森類比數位轉換器受到其時鐘率的限制。目前，頻率超過 300 兆赫茲已經成為可能。轉換所需的時間這屆與通道的數量成比例。對於一個逐次逼近（successive-approximation）類比數位轉換器，其轉換時間與通道數量的對數成比例。這樣，大量通道可以使逐次逼近轉換器比威爾金森轉換器快。然而，威爾金斯轉換器消耗的時間是數位的，而逐次逼近轉換器是類比的。由於類比的自身就比數位的更慢，當通道數量增加，所需的時間也增加。這樣，其在工作時具有相互競爭的過程。Flash 類比數位轉換器是這三種裡面最快的一種，轉換基本是一個單獨平行的過程。對於一個 8 位單元，轉換可以在十幾個奈秒的時間內完成。

人們期望在速度和精確度之間達到一個最佳平衡。Flash 類比數位轉換器具有與比較器水平的漂移和不確定性，這將導致通道寬度的不均一性。結果是 Flash 類比數位轉換器的線性不佳。對於逐次逼近類比數位轉換器，糟糕的線性也很明顯，不過這還是比 Flash 類比數位轉換器好一點。這裡，非線性是源於減法過程的誤差積累。在這一點上，威爾金森轉換器是表現最好的。它們擁有最好的微分非線性。其他種類的轉換器則要求通道平滑，以達到像威爾金森轉換器的水平。

## 分類

* 直接轉換類比數位轉換器（Direct-conversion ADC），或稱 Flash 類比數位轉換器（Flash ADC）
* 循續漸近式類比數位轉換器（Successive approximation ADC）
* 躍升 - 比較類比數位轉換器（Ramp-compare ADC）
* 威爾金森類比數位轉換器（Wilkinson ADC）
* 積分類比數位轉換器（Integrating ADC）
* Delta 編碼類比數位轉換器（Delta-encoded ADC）
* 管道類比數位轉換器（Pipeline ADC）
* Sigma-Delta 類比數位轉換器（Sigma-delta ADC）
* 時間交織類比數位轉換器（Time-interleaved ADC）
* 帶有即時 FM 段的類比數位轉換器

也有利用電子技術和其他技術結合的轉換器：

* 時間延伸類比數位轉換器（Time stretch analog-to-digital converter, TS-ADC

## 商用的類比數位轉換器

這類產品大多是積體電路。

大多數轉換器具有 6 至 24 位的解析度，且每秒進行少於百萬取樣。當要求更高的解析度時會產生熱雜訊（Thermal noise）。對於音頻應用，在室溫狀態，這樣的雜訊通常小於 1 微伏的白雜訊。如果最大有效位對應一個標準的 2 伏輸出訊號，對於有限雜訊訊號的轉換低於 20 至 21 位，可以不需要使用抖動。截止到 2002 年 2 月，百萬級、十億級取樣率已經可使用。在數碼攝像機、視頻捕獲卡、電視調諧卡等需要轉換全速類比視頻至數位視頻文件的設備中，百萬取樣率的轉換器的應用十分必要。商用轉換器的輸出訊號通常具有 ±0.5 至 1.5 的最低有效位誤差。

在很多情況中，積體電路中最昂貴的部分是插腳（pins），因為它們讓整個封裝變得更大，且每一個插腳必須和積體電路中的矽連接。為了節省插腳，常用的做法是每一個插腳與計算機進行串行通信，每當時鐘訊號改變到下一個狀態時，傳輸一個位的電壓訊號，比如，從 0 伏特到 5 伏特。這樣做可以為類比數位轉換器節省很多插腳，而且在許多情況里，可以避免將整個設計複雜化（即便是微處理器，如果使用存儲器映射輸入輸出（Memory-mapped I/O），就只需要一個埠的幾個位來進行串行通信）。

商用的類比數位轉換器經常具有幾個輸入埠連接到同一個轉換器，採用的技術通常是利用類比數據多工器進行多路復用。不同的型號可能還會包含取樣 - 保持電路，放大器和差分訊號輸入（輸入量表示為兩個埠電壓的差值）。

## 應用

### 音樂錄製

類比數位轉換器對於目前的音樂複製技術至關重要。由於大多數音樂都在計算機上製作，當類比訊號被錄製，就需要一個類比數位轉換器來創建脈衝編碼調變數據流，並可以以數位音樂格式刻錄在 CD 上。

在音樂製作中使用的類比數位轉換器可以以最高 192 千赫茲的頻率進行取樣。高帶寬淨空允許使用更便宜、更快的反鋸齒濾波器。過密取樣的支持者強調，這樣更淺的反鋸齒濾波器對聲音品質可以產生更少的負面效應，因為它們具有更舒緩的斜率。其他的一些人則完全支持使用無濾波器的類比數位轉換器，稱使用反鋸齒濾波器比轉換前使用磚牆式濾波器對音質產生更小的損壞。有大量文獻討論了此類問題，不過商業考慮才是最有影響的。大多數高質量錄音棚以 24 位 / 192-176.4 千赫茲脈衝編碼調變或 DSD 來錄製音樂，然後向下取樣或有損壓縮以進行紅皮書 CD 的 44.1 千赫茲，或針對廣播電視應用的 48 千赫茲。

### 數位訊號處理

在類比訊號需要以數位形式處理、存儲或傳輸時，類比數位轉換器幾乎必不可少。例如，快速視頻類比數位轉換器在電視調諧卡中得到了應用。8,10,12 或 16 位的慢速在片（On-chip）類比數位轉換器在微控制器里十分普遍。速度很高的類比數位轉換器在數位示波器里是必需的，另外在軟體無線電里也很關鍵。

## 參考文獻

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