正多胞形

在幾何學中，**正圖形**或**正幾何形狀**（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為**正多胞形**（英語：Regular polytope）。

和正圖形相對的概念為**不規則圖形**（Irregular Geometric Shape）或**不規則幾何形狀**、**非正幾何形狀**，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、半正圖形（Semiregular）、似正圖形（Demiregular）、均勻圖形（Uniform）等幾何結構。

## 正多胞形

正多胞形是一種對稱性對於標記可遞的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫 _j_ 維面（對所有的 0 ≤_j_≤ n，其中 n 是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞，也是≤_n_ 維的正圖形。

正圖形是正多邊形（例如：正方形或者正五邊形
）和正多面體（例如立方體）的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值，吸引著數學家和數學愛好者。

一般地，_n_ 維正圖形被定義為有正維面 [(_n_− 1)- 表面] 和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是，這一定義並不適用於抽象多胞形。

一個正圖形能用形式為 {a, b, c, ...., y, z} 的施萊夫利符號代表，其正的面為 {a, b, c, ..., y}，頂點圖為 {b, c, ..., y, z}。

## 分類和描述

正圖形最基礎的分類是按其維度。

它們能夠按照對稱性進一步分類。例如，正方體和正八面體有著相同的對稱性，同樣，正十二面體和正二十面體也是。事實上，對稱群大多依照正圖形命名，例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。

3 種特殊類型的正圖形存在於所有維度：

* 單純形（正單形）
* 超方形（正測形）
* 正軸形（交叉形）

在二維，這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體和正多胞體。在五維及以上維，只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表。

正圖形的概念有時被擴展，使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子，下面「歷史發現」一章將會詳細說明。

### 施萊夫利符號

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是 19 世紀由路德維希・施萊夫利所發明的，一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。

* 一個有 _n_ 條邊的凸正多邊形可以標記為 {_n_}。所以一個等邊三角形是 {3}，一個正方形是 {4}…… 一個繞其中心旋轉 _m_ 圈的正星形多邊形被標記為分式 {_n_/_m_}，這裡 _n_ 和 _m_ 是互質的，例如正五角星是 {5/2}。
* 一個有著面 {_n_}，並且一個頂點處有 _p_ 個面相交的正多面體標記為 {_n_, _p_}。九個正多面體是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2} 和 {5/2, 5}。{_p_} 就是這個正多面體的_頂點圖_。
* 一個有著胞 {_n_, _p_}，並且每一條棱處有 _q_ 個胞相交的正多胞體標記為 {_n_, _p_, _q_}。其頂點圖為 {_p_, _q_}。
* 一個五維正多胞體是 {_n_, _p_, _q_, _r_}，等等。

### 正圖形的對偶性

正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫：{3,3} 為自身對偶，{3,4} 與 {4,3} 對偶，{4,3,3} 與 {3,3,4} 對偶，以此類推。

正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如 {3,3,4} 的頂點圖是 {3,4}，其對偶即是 {4,3} — {4,3,3} 的一個胞。

任何維的超方形和正軸形都是互相對偶的。

如果其施萊夫利符號是回文，即正反讀都一樣，那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括：

* 點
* 線段，{}。
* 所有的正多邊形，{a}。
* 所有的 _n_- 正單純形，{3,3,3,...,3,3,3}。
* 四維正多胞形正二十四胞體，{3,4,3}。
* 所有 _n_ 維超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。這些在多胞形學中被看作無窮多胞形。

### 正單純形

我們從點 _A_ 開始。標下與 _A_ 相距 _r_ 的點 _B_，並連接它們，形成線段。在垂直與它的第二維度標下與 _A_、_B_ 都相距 _r_ 的第三點 _C_，並連接 _AC_、_BC_，形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距 _r_ 的第四點 _D_，連接四點，便形成正四面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這些就是**正單純形**。以維度來排序，它們是：

　
: 0. 點

　
: 1. 線段

　
: 2. 正三角形（正三邊形）

　
: 3. 正四面體

　
: 4. 正五胞體 _或_ 4 - 單純形

　
: 5. 五維正六胞體 _或_ 5 - 單純形

　
: ... _n_- 單純形有 _n_+1 個頂點。

### 超方形

從一個點 _A_ 開始。連一條線到距離為 _r_ 的 _B_，形成一條線段。延伸第二條長為 _r_ 的線，垂直於 _AB_，將 _B_ 連接到 _C_，同樣連結 _A_ 到 _D_，形成一個正方形 _ABCD_。從每個頂點同樣延伸出長為 _r_ 的線，同時垂直於 _AB_ 和 _BC_，標記點 _E_、_F_、_G_、_H_ 形成立方體 _ABCD-EFGH_。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

它們就是**超方形**或稱**正測形**。以維度來排序，它們是：

　
: 0. 點

　
: 1. 線段

　
: 2. 正方形（正四邊形）

　
: 3. 立方體（正六面體）

　
: 4. 四維超正方體（正八胞體）_或_ 4 - 超方體

　
: 5. 五維超正方體（五維正十胞體）_或_ 5 - 超方體

　
: ... 一個 _n_- 超方體有 _2n_ 個頂點。

### 正軸形

從一個點 _O_ 開始。從 _O_ 向兩個相反的方向延出兩條線到距 _O_ 點距離為 _r_ 的 _A_ 和 _B_，互相之間距離為 2_r_，形成一條線段。同樣再畫線段 _COD_，長度為 2_r_，以 _O_ 為中點而垂直於 _AB_。連接 4 個頂點形成正方形 _ACBD_。再畫線段 _EOF_，同樣長度為 2_r_，中點為 _O_，同時垂直於 _AB_ 和 _CD_（即上下方向）。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這樣得到的圖形稱為**正軸形**或**交叉形**。以維度來排序，它們是：

　
: 0. 點

　
: 1. 線段

　
: 2. 正方形（正四邊形）

　
: 3. 正八面體

　
: 4. 正十六胞體_或_ 4 - 正軸形

　
: 5. 正三十二超胞體（五維正三十二胞體）_或_ 5 - 正軸形

　
: ..._n_- 正軸形有 _2n_ 個頂點。

### 正無窮胞體 — 無窮多胞形

## 參見

* 正圖形列表
* 詹森多面體
* Bartel Leendert van der Waerden

## 參考文獻

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