模糊集合

**模糊集**是模糊數學上的一個基本概念，是數學上普通集合的擴展。

## 定義

給定一個論域 $U$ ，那麼從 $U$ 到單位區間 $[0,1]$ 的一個映射 $\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$ 稱為 $U$ 上的一個**模糊集**，或 $U$ 的一個**模糊子集**。

## 表示

模糊集可以記為 $A$ 。映射（函數） $\mu _{A}(\cdot )$ 或簡記為 $A(\cdot )$ 叫做模糊集 $A$ 的隸屬函數。對於每個 $x\in U$ ， $\mu _{A}(x)$ 叫做元素 $x$ 對模糊集 $A$ 的**隸屬度**。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

1. 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
2. Zadeh 記法，例如 $A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$ 。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為 0，該項可以忽略不寫。
3. 序偶法，例如 $A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$ ，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
4. 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 $A=(1,0.5,0.72,0)$ 。

## 和傳統集合的關係

和傳統的集合一樣，**模糊集**也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的**程度**，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特・澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能**屬於**或**不屬於**某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的**歸屬性**（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間 $[0,1]$ （單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集 $A$ 的歸屬函數為 $M$ ，而 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三個元素；如果 $M(a)=1$ ， $M(b)=0$ ， $M(c)={\frac {1}{2}}$ ，則可以說 「 $a$ 完全屬於 $A$ 」，「 $b$ 完全不屬於 $A$ 」，「 $c$ 對 $A$ 的歸屬度為 ${\frac {1}{2}}$ 」（注意沒有說「 _$c$_ 有一半屬於 _$A$_ 」，因為尚未規定 ${\frac {1}{2}}$ 的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函數（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

### 截集與截積

設 $A$ 為 $U$ 上的模糊集（記作 $A\in {\mathcal {F}}(U)$ ），任取 $\lambda \in [0,1]$ ，則

　
: $A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$ ，

稱 $A_{\lambda }$ 為 $A$ 的 $\lambda $ **截集**，而 $\lambda $ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 $\geq $ 替換為 $>$ ，記為 $A_{S\lambda }$ ，稱為**強截集**。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 $A_{1}$ 為 $A$ 的**核**，即 $\ker A$ ；如果 $\ker A\neq \varnothing $ ，則稱 $A$ 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設 $\lambda \in [0,1]$ ， $A\in F(U)$ ，則 $\forall u\in U$ ， $\lambda $ 與 $A$ 的**截積**（或稱為 $\lambda $ 截集的**數乘**，記為 $\lambda A$ ）定義為：

　
: $(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根據定義，截積仍是 $U$ 上的模糊集合。

### 分解定理與表現定理

**分解定理**：

設 $A\in F(U)$ ，則 

　
: $A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集 $A$ 都可以表達為一族簡單模糊集 $\left\{\lambda a_{\lambda }\right\}$ 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

**表現定理**：

設 $H$ 為 $U$ 上的任何一個集合套，則 

　
: $A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是 $U$ 上的一個模糊集，且 $\forall \lambda \in [0,1]$ ，有

（1） $A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )$

（2） $A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )$

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

## 模糊度

一個模糊集 $A$ 的模糊度衡量、反映了 _A_ 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射 $D:F(U)\rightarrow [0,1]$ 滿足下述 5 條性質：

1. 清晰性： $D(A)=0$ 若且唯若 $A\in P(U)$ 。（經典集的模糊度恆為 0。）
2. 模糊性： $D(A)=1$ 若且唯若 $\forall u\in U$ 有 $A(u)=0.5$ 。（隸屬度都為 0.5 的模糊集最模糊。）
3. 單調性： $\forall u\in U$ ，若 $A(u)\leq B(u)\leq 0.5$ ，或者 $A(u)\geq B(u)\geq 0.5$ ，則 $D(A)\leq D(B)$ 。
4. 對稱性： $\forall A\in F(U)$ ，有 $D(A^{c})=D(A)$ 。（補集的模糊度相等。）
5. 可加性： $D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$ 。

則稱 $D$ 是定義在 $F(U)$ 上的**模糊度函數**，而 $D(A)$ 為模糊集 $A$ 的**模糊度**。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是 
 ${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$ 
其中 $p>0$ 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 $p=1$ 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 $p=2$ 的時候稱為 Euclid 模糊度。

### 模糊測度 (Fuzzy measures)

 ${\mathfrak {B}}$ 是輿集 $\mathrm {X} $ 的一種。

用 $g$ 函數定義 ${\mathfrak {B}}$ ，包含下列 3 項特性稱為模糊測度:

① $g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1$

--- $g$ 函數代 0 值，表示沒有值為空值，用數學 0 來表示。 $g$ 函數代 $X$ 表示輿集全部帶進去了塞滿了，用 1 表示塞滿。

②若 $A,B\in {\mathfrak {B}}$ 和 $A\subseteq B$ , 則 $g(A)\leq g(B)$ .

--- $A,B$ 是屬於 ${\mathfrak {B}}$ 的一部分， $A$ 在 $B$ 裡面也可能跟 $B$ 一樣大，則 $g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$ ∈ ${\mathfrak {B}}$ , $A_{1}$ ⊆ $A_{2}$ ⊆…,then $\lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})$

--- 當 $A_{n}$ 屬於 ${\mathfrak {B}}$ 同時 $A_{1}$ 包含於 $A_{2}\subseteq \ldots $ ，則將 $A_{n}$ 代入 $g$ 函數趨小所得的值等同於先趨小 $A_{n}$ 再代入 $g$ 函數所求得的值。

### 模糊量測 (measures of fuzziness)

## 模糊集的運算

### 各種算子

* Zadeh 算子， $\max $ 即為並， $\min $ 即為交

$$
{\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}
$$

* 代數算子（概率和、代數積）

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}
$$

* 有界算子

$$
{\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}
$$

* Einstein 算子

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}
$$

* Hamacher 算子，其中 $\nu \in [0,+\infty )$ 是參數，等於 1 時轉化為代數算子，等於 2 時轉化為 Einstein 算子

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}
$$

* Yager 算子，其中 $p$ 是參數，等於 1 時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

$$
{\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}
$$

 * $\lambda -\gamma $ 算子，其中 $\lambda ,\gamma \in [0,1]$ 是參數

$$
{\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}
$$

* Dobois-Prade 算子，其中 $\lambda \in [0,1]$ 是參數

$$
{\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}
$$

### 算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（`.` 表示不滿足，`-` 表示未驗證）：

線性補償是指： $(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

## 模糊集之間的距離

### 使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 $F(U)$ 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 $[0,1]$ 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離： 

　
: ${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

### 貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - _距離_（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映 —— 距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

* **最大最小貼近度**

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$

* **算術平均最小貼近度**

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$

* **幾何平均最小貼近度**

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$

* **指數貼近度**

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$

## 參見

* 粗集合
* 解模糊

## 參考文獻