比例性质

**比例性質**是代數學中常用的分式性質，主要包括合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質以及它們的推廣。這四條性質多用於分式的計算和證明，以及三角函數、相似三角形、平行線分線段成比例定理的應用中。其中尤其以等比性質的應用最為廣泛。而比例的線性組合也具有多種多樣的性質。

## 合比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的後項的比。

### 數學表示

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}$ 。

### 證明

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

$$
\therefore {\frac {a}{b}}+1={\frac {c}{d}}+1
$$

$$
\therefore {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}
$$

證畢

## 分比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之差與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之差與第二個比例的後項的比。

### 數學表示

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}$ 。

### 證明

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

$$
\therefore {\frac {a}{b}}-1={\frac {c}{d}}-1
$$

$$
\therefore {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}
$$

證畢

## 合分比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的前後項之差的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的前後項之差的比。

### 數學表示

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$ 。

### 證明

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

令 $k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則 $a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$
{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {bk+b}{bk-b}}={\frac {k+1}{k-1}}
$$

$$
{\frac {c+d}{c-d}}={\frac {dk+d}{dk-d}}={\frac {k+1}{k-1}}
$$

$$
\therefore {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}
$$

證畢

## 等比性質

### 表述

在一個比例等式中，兩前項之和與兩後項之和的比例與原比例相等

### 數學表示

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 。

### 證法一

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

令 $k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則 $a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$
{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {bk+dk}{b+d}}=k
$$

$$
\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

證畢

### 證法二

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

$$
\therefore {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}
$$

由合比性質 ${\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}$

$$
\therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}
$$

即 ${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

證畢

### 推論

已知 $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$ ，且有 $b_{i}\neq 0$ ，如果 ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ，則有 ${\frac {\sum _{i}^{n}{a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ 。

## 比例的線性組合

由上述性質以及其證明方法可以推廣到任意的線性組合的比例性質。例如如下兩條，分別從合分比性質和等比性質推廣得到。

### 合分比性質的線性組合推論

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}$ 。

**證明：**

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

令 $k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則 $a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$
{\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}
$$

$$
{\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}={\frac {\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}
$$

$$
\therefore {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}
$$

證畢

### 等比性質的線性組合推論一

已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C} $ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 。

**證明：**

$$
\because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

令 $k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則 $a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$
{\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}}=k
$$

$$
\therefore {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}
$$

證畢

### 等比性質的線性組合推論二

已知 $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n$ ，且有 $b_{i}\neq 0$ ，如果 ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ，則有 ${\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ 。

**證明：**

令 $k={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ ，則 $a_{i}=b_{i}\cdot k$

$$
{\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}kb_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {k\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}=k
$$

$$
\therefore {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}
$$

證畢