模λ函數

在數學中，**模 λ 函數** $\lambda (\tau )$ ，又稱**橢圓 λ 函數**，是定義於複上半平面 _H_ 的全純函數，具有高度對稱性。該函數在同餘子群 Γ(2) 的對 _H_ 的分式線性作用下不變，亦是商空間 Γ(2)\_H_ 上函數域的生成元；也就是說，這個函數是模曲線 _X_(2) 的主模曲線。特別地，該函數沿實軸平移兩個單位，函數值不改變，即 $\lambda (\tau +2)=\lambda (\tau )$ 。在任意點 $\tau $ 上，其值可用於描述橢圓曲線 $E=\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle $ 對其投影線 $E/[-1]$ 的分歧覆蓋映射的四個分支點之交比，式中 [-1] 為 E 對原點的反演變換生成的自同構群。

模 λ 函數具有如下的傅立葉展開式：

　
: $\lambda \left(\tau \right)=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots $ ，其中 $q=e^{\pi i\tau }$ 。 A115977

## 模性質

模 λ 函數在由下式生成的模群的主同餘子群 Γ(2) 的作用下保持不變：

　
: $\tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .$

模群自身的生成元則以如下方式作用於模 λ 函數之上：

　
: $\tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;$

　
: $\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .$

## 與其他橢圓函數的關聯

λ 函數為亞可比模量（Jacobi modulus）的平方，即 $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$ ；亦可以戴德金 η 函數與 Θ 函數表達：

　
: $\lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}$

　
: ${\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}(0,{\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}(0,{\tfrac {\tau }{2}})}}$

其中：

　
: $\theta _{2}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{2}}$

　
: $\theta _{3}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$

　
: $\theta _{4}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}$

　
: $q=e^{\pi i\tau }$

λ 函數亦可以魏爾斯特拉斯橢圓函數在定義其的格子的棱邊中點和面心處的函數值表達；若令 $[\omega _{1},\omega _{2}]$ 為滿足 $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ 的基本週期二元組：

　
: $e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)$

則有：

　
: $\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.$

魏爾斯特拉斯函數在上述三點的值各不相同，這意味著 λ 函數取不到值 0 或 1。

其與克萊因 j 函數的關係為：

　
: $j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .$

## 橢圓模量

有一個與模 λ 函數相關的函數：λ\*(x) 函數，其給出了橢圓模量 k 的值。第一類完全橢圓積分 K (k) 與其互補對應的 $K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)$ 關係如下：

　
: ${\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}$

λ\*(x) 函數的函數值可透過下列式子計算：

　
: $\lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}$

　
: $\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}$

　
: $\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}$

其中 $\vartheta $ 為 Θ 函數。

此外 λ 函數與 λ\*(x) 函數存在下列關聯：

　
: $\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}$

所有的有理數 r， $K\left(\lambda ^{*}(r)\right)$ 與 $E\left(\lambda ^{*}(r)\right)$ 都可以視為橢圓積分的奇異值，可透過有限的伽馬函數表示。

## 參見

* 模形式

## 參考文獻