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楼陀罗

**樓陀羅**（梵文：रुद्र，Rudra），又譯為**魯特羅**、**魯達羅**，印度神話中司風暴、狩獵、死亡和自然界之神。他還擁有**三目**（**Tryambaka**）、**獸主**（**Paśupati**）、**射手**（**Śarva**）、**大天**（**摩訶提婆**，**Mahādeva**）、**荒神**（**Ugradeva**）、**十一面神**（**Ekadaśa-Rudra**）等稱號

在梨俱吠陀裡，樓陀羅被稱為最強大的力量。樓陀羅可能是颶風、暴風雨或可怕的咆哮聲。

他的外型是褐色皮膚，著金色裝飾，有髮辮，手持弓箭，被視為破壞神濕婆的早期型態或別稱。他在暴怒時會濫傷人畜；他又擅長以草藥來給人治病。其名意為「狂吼」或「咆哮」（可能是颶風或暴風雨）。

樓陀羅為吠陀時代婆羅門教信奉的月亮神系諸神之一，在吠陀時代後期，樓陀羅轉換為濕婆，升格並取代月亮神系的神祇伐樓拿，成為主神之一。

## 詞源

## 里格維迪奇讚美詩

Rigvedic

### 宇宙統治者

Yajurveda 16.18 的一句經文稱 Rudra 為宇宙之王：

जगताम् पतये नमः ।

jagatăm pataye namah ！

向宇宙之主致敬。

另一節經文（Yajurveda 16.46）將樓陀羅放在眾神的心內，表明他是眾神的內在自我，甚至是眾神。

देवानां हृदयभ्यो नमो ।

devănăm hridayebhyo namo ！

向在眾神心中的他致意。

Rig Veda (7.59.12) 與 Yajur Veda (3.60) 認爲崇拜樓陀羅可以獲得 moksha（解脫）:

त्र्यम्बकं यजामहे सुगंधिं पुष्टिवर्धनम् उर्वारूकमिव बन्धनान् मृत्योर्मुक्षीय मा अमृतात।

tryambakaṃ yajāmahe sugandhiṃ puṣṭivardhanam 我們以繁榮豐盛之妙香向三目神獻祭，

urvārukamiva bandhanān mṛtyormukṣīya mā'mṛtāt 讓我如藤上之瓜脫離死亡、獲取永生。

 

### 與其他神祇的關係

## 後里格維迪奇讚美詩

## 樓陀羅與濕婆

現存的印度教最古老的文字是吠陀 Rig Veda，根據語言和語言學證據，其日期可追溯至公元前 1700 年至前 1100 年。Rig Veda 中提到了名為 Rudra 的神。在 RV 2.33 中，他被描述為風暴之父，代表一群暴風雨之神。

里格維達的讚美詩 10.92 指出，樓陀羅（Rudra）有兩種天性，一種是野蠻的（樓陀羅），另一種是善良而寧靜的（濕婆神）。吠陀的經文中沒有提到公牛或任何動物作為 Rudra 或其他神祇的坐騎（vahana）。但是，諸如摩訶婆羅多和蒲拉那（Puranas）等後吠陀經文指出，公牛是魯德拉和濕婆神的坐騎，將他們聯繫在一起。

## 錫克

## 參考文獻
楼霞

**樓霞**（1972 年 3 月 17 日 —），浙江省淳安縣人，中國游泳運動員。樓霞是浙江首位參加奧運會游泳比賽的選手，曾參加 1992 年夏季奧運會 100 米蛙泳和 100 米混合泳接力比賽，並獲得 100 米混合泳接力第四名。退役後，樓霞成為游泳教練，曾執導陳慧佳、蔡力、葉詩文等運動員。

樓霞於 1997 年與浙江籍游泳運動員、教練徐國義結婚，婚後因樓霞患有心臟早搏和美尼爾氏綜合症而未有子女。

## 參考資料
楽しいウイロータウン

《**歡樂的楊柳鎮**》（日語：楽しいウイロータウン）是由小華和ためお導演，在 1993 年播出的日本電視動畫作品。改編自英國著名兒童文學作品《柳林風聲》。於 1993 年 10 月 7 日至 1994 年 3 月 31 日在東京電視台播放，全 26 話。

## 製作人員

* 原作 - 肯尼思・格拉姆
* 製作人 - 小林教子 → 松迫由香子（東京電視台）、北澤洋子（Enoki film）、藤井正和（LIBERTY SHIP）
* 企畫 - 榎善教（Enoki film）
* 總監督 - 小華和ためお
* 系列構成 - 小山高生
* 人物設計 - 岡田敏靖
* 美術監督 - 宮前光春、脇威志
* 美術設定 - 中村光毅
* 攝影監督 - 神山茂雄（E&G Films）
* 音樂 - 手塚理
* 音樂製作協力 - 東京電視台音樂
* 音響監督 - 藤野貞義
* 音響製作 - E&M Planning Center
* 錄音室 - Tact Studio
* 混音 - 佐藤千明
* 顯像 - 東京現像所
* 製作管理 - 上野褄己
* 商業合作 - Caroline Briey
* 監製 - 榎善教
* 製作 - 今西和人
* 製作協力 - 大日本印刷（DNP）
* 動畫製作 - E&G FILMS
* 製作 - 東京電視台、SofTX、Enoki film

## 主題曲

**片頭曲：「夢にこんにちは〜ウイロータウン物語〜」**
: 作詞 - 松井美保 / 作曲・編曲 - 手塚理 / 歌 - 奧井雅美

**片尾曲：「リバプールへおいで」**
: 作詞 - 白峰美津子 / 作曲・編曲 - 手塚理 / 歌 - 奧井雅美

　
: 唱片 - 國王唱片（SCD 編號 - KIDA70 / 原聲帶編號 - KICA176）

## 各話列表

## 播放電視台

## 參考資料

## 外部連結

* Tanoshii Willow Town （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on myanimelist.net
* 歡樂的楊柳鎮 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） bilibili.com
概周期函数

在數學中，**概週期函數**（或**殆週期函數**）是一類有近似於週期性質的函數，是連續週期函數的推廣。不同的週期函數由於週期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是週期函數。概週期函數儘管未必有嚴格的週期性，但可擁有一些比週期函數更好的性質。這一概念首先於 1925 年被丹麥數學家哈那德・玻爾引進，後來赫曼・外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概週期函數方面的貢獻獲得了 1931 年劍橋大學的亞當斯獎。

## 定義

概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德・玻爾引進的分析學上的定義，一個定義域在實數體上的連續函數 $f$ 如果滿足：對任意正實數 $\epsilon $ ，都存在實數 $l(\epsilon )>0$ ，使得任意長度為 $l(\epsilon )$ 的區間裡至少存在一個數 $t$ ，使得對於任意的 $x\in \mathbb {R} $ ，都有：

 $\left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon $
在高維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，也可以定義類似的概週期向量函數。

按照定義，所有週期函數都是概週期函數。

值域在復平面上的概週期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德・玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼 ζ 函數：ζ(_s_) 截出有限項後，得到的是一些形如

 $e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,$
的項。其中的 $\sigma +{\rm {{i}t=s}}$ 。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定 _s_ 的實數部份 $\sigma $ ，而實數 $t$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

 $t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,$
如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免 $\sigma <1$ 時的解析開拓的問題），那麼由於對不同的 _n_， $e^{(\log n)it}$ 是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德・玻爾開始注意形如：

 $t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,$
的三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數 $e^{i\lambda _{k}t}\,$ 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果對每個 $\epsilon >0$ ，都存在三角多項式函數： $T_{\epsilon }(x)$ ，使得對於任意的 $x\in \mathbb {R} $ ，都有：

 $\left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon $
可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

## 例子

考慮若干三角多項式函數：

　
: $f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)$

其中 $\lambda _{k}$ 是複數。每一個 $f_{n}$ 都是週期函數，因此有限個 $f_{n}$ 的和仍然是概週期函數。然而，對於某些和函數，比如說：

　
: $f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)$

 $f$ 不是週期函數，但仍然是概週期函數。

## 性質

* 如同週期函數一樣，任何概週期函數都是有界的，且均勻連續。
* 如果 $f$ 是概週期函數，那麼對於任意實數 $a$ ， $f(x+a)$ 、 $f(ax)$ 、 $af(x)$ 、 $|f(x)|$ 也是概週期函數。
* 如果 $f$ 和 $g$ 都是概週期函數，那麼 $f+g$ 、 $f-g$ 和 $f\cdot g$ 都是概週期函數。
* 如果 $f(x)$ 是概週期函數， $H$ 是 $f$ 的值域到 $\mathbb {R} $ 上的均勻連續函數，則 $H(f(x))$ 也是概週期函數。
* 如果概週期函數的序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在實數軸上均勻收斂於函數 $f(x)$ ，則 $f(x)$ 也是概週期函數。
* 如果 $f(x)$ 是概週期函數，則 $f'(x)$ 為概週期函數的充分必要條件是 $f(x)$ 的導函數 $f'(x)$ 均勻連續。
* 如果 $f(x)$ 是概週期函數， $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ ，則 $F(x)$ 為概週期函數的充要條件為 $F(x)$ 有界。

## 參看

* 偽概週期函數
* 準週期函數
* 非週期函數
* 傅立葉級數
* 計算機音樂

## 參考書籍

* A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
* Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, **96**: 119–147, doi:10.1007/BF01209156
* H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
* H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
* Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
概布

**概布**（英語：**Gaap**），為所羅門七十二柱魔神中排第 33 位的魔神，位階統領及貴公子，統帥 66 個軍團。別名「**戈布**」（Goap）、「**塔布**」（Tap）。相傳是墮落的能天使。被認為是地獄中手握強大權力的惡魔。現身於召喚師身前時，會有四名王者隨侍。

在《偽以諾書》中，說他與派蒙 (**Paimon**，所羅門王 72 柱魔神中的第 9 位) 同為統領地獄西方的王。《地獄辭典》裡，插畫家布爾頓將他畫成常見的有翼的石像鬼惡魔樣貌。能力眾多，他可以剝奪的人的知識，也可以使人睿智，能改變人的愛憎，解答人們關於過去與未來的問題，或將人傳送到其他地方。

## 參考文獻

* S.L. MacGregor Mathers and Aleister Crowley, _The Lesser Key of Solomon_(1904),p32-33（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Internet Sacred Text Archive 內の文書（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
概念

**概念**也稱**觀念**，是抽象的、普遍的想法，是充當指明實體、事件或關係的範疇或類的實體。在它們的外延中忽略事物的差異，如同它們是同一的去處理它們，所以概念是抽象的。它們等同的適用於在它們外延中的所有事物，所以它們是普遍的。概念也是命題的基本元素，如同詞是句子的基本語義元素一樣。

概念是意義的載體，而不是意義的主動者。一個單一的概念可以用任何數目的語言來表達；術語則是概念的表達形式。_狗_ 的概念可以表達為德語的 _Hund_，法語的 _chien_ 和西班牙語的 _perro_。概念在一定意義上獨立於語言的事實使得翻譯成為可能 - 在各種語言中詞有同一的意義，因為它們表達了相同的概念。

**概念**是人類對一個複雜的過程或事物的理解。從哲學的觀念來說概念是思維的基本單位。在日常用語中人們往往將概念與一個詞或一個名詞（術語）同等對待。

## 概念的範圍和內容的定義

在一些哲學理論中概念範圍與概念內容的定義不同。

概念**範圍**（外延）是指所有包括在這個概念中的事物，比如「白」的概念範圍是所有白色的事物。範圍相同的概念被稱為是**相當**的，在邏輯研究中，尤其是在數學邏輯中相當的概念往往被看作是相同的。

在將一個概念細分為亞概念時，要注意兩分法的應用，來防止邏輯謬誤的發生。

在邏輯學中，一個概念的**定義**被看作是適當的，如果這個定義的用詞描述的範圍與概念範圍相同。比如：

　
: _正方形是四個邊長都長度一樣的長方形_

是一個適當的概念。

概念**內容**（內涵）包括所有一個組成該概念的事物的特性和關係。比如「飼養技術」的內容包括所有有關於這個技術的特性。但在定義這個概念時人們挑選出這些特性中最關鍵的，比如：「飼養技術是繁殖、餵養、圈養和使用農業用動物和以此提取有價值的產品的技術」。

任何一個概念之定義，都不可能完全概括概念本質特性和全部內容，只有從不同角度去分析研究此概念之本質特性和全部內容後，才能認識和把握概念。

## 歷史上的定義

在古希臘和羅馬，概念被定義為抽象和區別後獲的定義。

在中世紀概念被定義為「事物的一切」（_Universalia post res_），來說明一個概念包括它所定義的所有的事物。

笛卡爾和萊布尼茨將概念的清晰度和分明度稱為是概念的特徵。

康德區分概念與見解：他認為見解是對個別事物的想像，而概念則是對多個事物的共同點的想像。

## 哲學爭論

在哲學上對除用來描述的語言本體及其所描述的事物外是否還有其它思想上的、思維上的或抽象的實體如「思維單位」、內涵、外延等有爭議。

在認識論中概念被看作是對與人類無關的事實存在的特性的反應。概念的變化和擴大反映了人類對世界的知識和認識的擴展。

## 相關標準的定義

中華人民共和國國家標準 GB／T 15237．1—2000：「概念」是對特徵的獨特組合而形成的知識單元。

德國工業標準 2342 將概念定義為一個「採用抽象化的方式，從一群事物中提取出來的，反映這些事物之共同特性的思維單位」。

## 認知科學的模型

在認知科學和人工智慧中概念被用來作為人的知識的模型。

## 參考文獻

## 參見
概念分析

哲學分析是西方哲學界在哲學分析傳統中涉及「拆解」(例如：分析) 的哲學議題最典型的眾多應用技巧的一個通稱。其中，幾乎無爭議地將概念分析視為最卓越的一種技巧。

依靠對事物，事件，人物，現象以及一切有形和無形的形而上，形而下的物質與非物質，現象與非現象進行的俱備嚴謹或者必要性發散的思維方式的整個探求和發現的行為軌跡，即是哲學分析。
概念化

**廣義化**（英語：Generalize），又稱一般化、通常化、普遍化、概念化，與之相對的是特殊化。概括作用是指將事物的定義進行修改或者補充以使其適用於更加大的範圍，過程會伴隨將該主體的定義或概念抽象化。

一個將事物廣義化的簡單例子是歸類。例如：將「大雁」廣義化（歸類）之後是「鳥類」，將「鳥類」廣義化（歸類）之後是「動物」。

當然，這樣的定義並不嚴謹。

從邏輯學的角度來定義，若且唯若滿足：

1. 任何一個 B 概念的實例也是 A 概念的實例
2. A 概念的實例並不一定是 B 概念的實例

則可說「A 是廣義化之後的 B」或「A 是廣義上的 B」。

就之前的例子，因為每隻「大雁」（B）都是「鳥」（A），但是「鳥類」並不一定是「大雁」，所以我們可以說：「鳥類」是廣義上的「大雁」。

在機器學習上的定義：廣義化是分類器性能的一個重要的指標之一。良好的分類器應可適應多樣的未知數據，對訓練集擬合度過高的分類器往往廣義化程度很低。

可利用正則化處理提高分類的廣義程度降低過擬合可能性。

## 心理學的例子

### 古典制約

在古典制約，透過對新的刺激物的反應來觀察目標能否分辨新事物與本身制約了的事物。

### 社會心理學

不同的人如何其他（或不）交流。

### 教育心理學

學生會否將他們自己對一科的緊張情緒帶到其他科目上。

### 異形心理學

習得性失助描述因為過去失敗的經驗，指人們不能對新事物作出反應。

## 相關條目

* 抽象化
* 定義

## 參考資料
概念史

**概念史**（英語：Conceptual history、德語：Begriffsgeschichte）是隸屬歷史學和文化研究門下的精神科學，以研究歷史上的語義學為主。這門學派透過 20 世紀開始出版的著作（如《哲學的歷史辭典》、《歷史基本概念》）和期刊（如《概念史檔案彙編》）等而變得普及。

概念史是一門跨學科學問。除了約阿希姆・里特爾以外，奧托・布魯內爾、萊茵哈特・科塞雷克、埃利希・羅特哈克爾等學者都被視為是學科在德語圈乃至全球範圍內的先行者。

## 著作（部份）

* Terence Ball: _Transforming Political Discourse. Political Theory and Critical Conceptual History_, Oxford & New York 1988.
* Mark Bevir / Hans Erich Bödeker (Hrsg.): _Begriffsgeschichte, Diskursgeschichte, Metapherngeschichte_. Wallstein-Verlag, Göttingen 2002.
* Carsten Dutt: _Herausforderungen der Begriffsgeschichte_, Heidelberg: Winter 2003.
* Carsten Dutt: _Historische Semantik als Begriffsgeschichte: Theoretische Grundlagen und paradigmatische Anwendungsfelder_. In: _Historische Semantik_. Hrsg. von Jörg Riecke. De Gruyter, Berlin/Boston 2011, S. 37–50.
* Timothy Goering, "Concepts, History and the Game of Giving and Asking for Reasons: A Defense of Conceptual History", in: _Journal of the Philosophy of History_ 7.3 (2013), pp. 426–452.
* Hans Ulrich Gumbrecht: _Dimension und Grenzen der Begriffsgeschichte_. Wilhelm Fink Verlag, Paderborn 2006.
* Hannes Kerber: _Der Begriff der Problemgeschichte und das Problem der Begriffsgeschichte. Gadamers vergessene Kritik am Historismus Nicolai Hartmanns_, in: International Yearbook for Hermeneutics 15 (2016), 294–314.
* Clemens Knobloch: _Überlegungen zur Theorie der Begriffsgeschichte aus sprach- und kommunikationswissenschaftlicher Sicht_, in: _Archiv für Begriffsgeschichte_ 35 (1992), S. 7–24.
* Reinhart Koselleck (Hrsg.): _Historische Semantik und Begriffsgeschichte_. Klett-Cotta, Stuttgart 1979.
* Reinhart Koselleck: _Begriffsgeschichten_. Suhrkamp, Frankfurt am Main 2006.
* Ernst Müller, Falko Schmieder: _Begriffsgeschichte und historische Semantik. Ein kritisches Kompendium_, Suhrkamp Verlag, Berlin 2016.
* Ernst Müller, Falko Schmieder (Hrsg.): _Begriffsgeschichte der Naturwissenschaften: Zur historischen und kulturellen Dimension naturwissenschaftlicher Konzepte_, de Gruyter, Berlin 2008.
* Ernst Müller (Hrsg.): _Begriffsgeschichte im Umbruch?_, Felix Meiner Verlag, Hamburg 2004.
* Melvin Richter: _The History of Political and Social Concepts. A Critical Introduction_, New York & Oxford 1995.
* Werner Zillig: _Lexikologie und Begriffsgeschichte_. In: Lexikologie. Ein Internationales Handbuch zur Natur und Struktur von Wörtern und Wortschätzen. Bd. 2. Berlin / New York 2005 (HSK 21.2). S. 1829–1837.
* Dieter Teichert: _Die Geltung der Geschichte: Begriffsgeschichte als Philosophie?_;in: C. Schildknecht, D. Teichert, T. van Zantwijk (eds.): Genese und Geltung. Paderborn, Mentis, 2008, 107–126.
* Dieter Teichert: _Haben naturwissenschaftliche Begriffe eine Geschichte? Anmerkungen zum Zusammenhang von Metaphorologie und Begriffsgeschichte bei H. Blumenberg_; in: E. Müller, F. Schmieder (eds.): Begriffsgeschichte der Naturwissenschaften. Berlin – New York, de Gruyter, 2008, 97–116.
概念图

**概念圖**（英語：concept map）是呈現概念間關係的圖解。在概念圖中，由方形及標籤表示概念，如「狗」和「動物」等等。概念間的關係則以含有「導致」、「需要」、「例如」、「促進」等連接詞的箭頭線段連結，箭頭的方向表示往下發展的層次。

**概念圖繪製**（英語：concept mapping）則是指一種以概念圖為表現手段，將概念之間的關係視覺化表示的技術。

## 發展過程

約瑟夫・D・諾瓦克 於 1970 年代，在康奈爾大學發展出概念圖繪製技巧。當時，Novak 將這種技巧應用在科學教學上，做為一種增進理解的教學技術。Novak 的設計是基於大衛・奧蘇伯爾的同化理論（assimilation theory）。奧蘇伯爾根據建構式學習（constructivism learning）的觀點，強調先前知識（prior knowledge）是學習新知識的基礎框架（framework），並有不可取代的重要性。在諾瓦克的著作《習得學習》（Learning How to Learn）中，指出「有意義的學習，涉及將新概念與命題的同化於既有的認知架構中。」

## 應用

概念圖在教育以及商業中廣泛用於腦力激盪以及傳達一些複雜概念。

概念圖被認為有助於創意發想。例如，概念圖繪製有時被用作為腦力激盪的工具。雖然概念圖通常是非常個人化且個殊的，但是也會被用在複雜概念的溝通工作中。

形式化的概念圖也被用在軟體設計工作中。通常這種概念圖會以統一建模語言的作為開發方法中的表記系統。

在人工智慧與語義網路之類的研究中，概念圖繪製也被視為一種初階的「本體建構（ontology-building）」以表徵形式化的論證（formal argument）。

概念圖被廣泛的運用在教育與企業領域：

* 知識表徵的應用：
  * 創造新知識內容。例如，將內隱知識轉換為有組織的知識資源。
  * 機構知識保存。例如，引出員工的專業知識。
  * 在文獻與相關資料來源中，進行筆記（Note taking）與歸納關鍵概念、其關係與階層。
* 知識組織的應用：
  * 檢驗複雜概念與論題的對稱性，以及術語聯結。
  * 增強後設認知。
* 協同與組織溝通的應用：
  * 溝通複雜概念與論題
  * 協同知識塑模（collaborative knowledge modeling）。
  * 促進願景分享與組織間的互相理解。
* 教育應用：
  * 增進有意義的學習。
  * 評估學習者對學習動機、概念與概念間關係的理解程度。
  * 教學設計：被 Ausubelian 學派用作為進階組織工具，以提供後續資訊與學習的初始概念架構。
  * 訓練：被 Ausubelian 學派用作為進階組織工具，以呈現工作情境，以及情境與其工作、組織的策略目的、與訓練目標的關係。

## 與心智圖的比較

概念圖與心智圖（mind map）是類似的概念繪製（idea mapping）工具，但是仍然有差別。心智圖通常只受限於描繪階層（樹狀）架構的關係，而概念圖突出概念節點和關係線（即一種 true graph 結構）。

有研究證據顯示，知識在腦中是以命題為基本單位，採階層式儲存的。因為概念地圖的目的是反映知識元素的組織，因此概念圖能有助於理解（sense-making）與進行有意義的學習。

另一個概念圖與心智圖的差別，是兩者繪製時速度與自發性的不同。心智圖反映心中所想的。而概念圖被認為應該是現實（抽象上）的概念地圖或系統。

## 相關軟體

* FreeMind，是最早的開源心智圖軟體。
* GitMind （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 一款免費的線上概念圖軟體，可支持多人協作，提供多種場景的模板供下載使用。
* The Brain （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），一款商業概念圖軟體包
* IHMC CmapTools，一款跨平台、免費的概念圖軟體
* 易思 - 認知助手 (Cognitive Assistant)，一款由北京師範大學知識科學與工程研究所開發的中文概念圖軟體，可用於繁、簡體中文視窗環境。
* Keystone ConceptMap （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），一款免費、易用的中英文的概念圖、心智圖編輯軟體。而且你可以輕易把畫出來的概念圖發佈到網際網路。

## 參看

* 心智圖（mind map）
* 語義網絡（semantic network）
* 語義網（semantic web）
* 本體論
* 本體

## 參考文獻

## 外部連結

* Jan Lanzing 的概念圖主頁
* "概念圖的基礎理論以及如何構建概念圖"，Joseph D. Novak，康奈爾大學
* Marco Guastavigna 的有關概念圖如何在學校中應用的義大利網站
概念專輯

**概念專輯**（Concept Album）指的是專輯中的樂曲全部圍繞相同主題的音樂專輯。

通常情況下，流行音樂的專輯都是由歌手的樂曲及翻唱樂曲等彼此之間無關係的單獨樂曲構成。而概念專輯的定義則如上文所述，但如何才算是「圍繞相同主題」有模糊地帶，所以概念專輯本身的定義並不嚴謹。一般多認為，世界第一張概念專輯是披頭四的胡椒軍曹寂寞芳心俱樂部樂團（1967 年發表）。但如果採用較廣泛定義的話，世界上第一張概念專輯是 1930 年代後半期 Lee Wiley 所發行的一張唱片。

## 參考資料
概念效度

**建構效度**（英語：Construct validity），也稱**概念效度**，為一個建構或概念的有效度，指的是一個測驗實際測驗其宣稱或標榜要測驗的項目的程度。在古典的測驗效度模型中，建構效度、內容效度與效標效度並列為三個主要的效度驗證（validity evidence）統計法。現代的「有效度理論」把建構效度視為效度研究之宗，因為建構效度概括了其他效度驗證類型。

## 文獻來源
概念文字

《**概念文字**》（德語：Begriffsschrift）是 1879 年出版的戈特洛布・弗雷格寫的一本關於邏輯學的書。書的完整標題把它標識為《模仿算術的純思維的形式語言》。這本小書無可爭議是亞里斯多德之後在邏輯學領域最重要的出版物。弗雷格開發他的形式邏輯系統的動機是類似於萊布尼茲對「演算推論器」的渴望。

弗雷格定義了邏輯演算來支持他在數學基礎上的研究。「概念文字」是書和其中定義的演算二者的名字。

## 記號和系統

演算介入了量詞，因而本質上是經典的謂詞邏輯，儘管使用了一種特異的二維記號（notation）：連結詞和量詞使用連接公式的線條來書寫，而不是今天使用的符號（symbol）¬、∧、∀。例如，在判斷 B 和 A 之間的蘊涵，也就是 $B\rightarrow A$ 用來指定。

在他的著作的第一章中，弗雷格確定了基本概念和標號（sign），象命題（"斷定／判斷"），和全稱量詞（"普遍性"），蘊涵（"條件性"），否定和等號 $\equiv $ ；在第二章中他聲明了九個形式化的命題作為公理（它們是在語義上證明了的形式化陳述）。

　
:

他給出了條件的定義（第 1 章。§5.）:

　
: " 設 A 和 B 指稱可斷定的內容，則有四種潛在的可能性：

　
:

設標示（sign）第三種可能性是不能得到的，而只能是其他三種中的一個。所以如果我們否定就意味著第三種可能性是有效的，就是說我們否定了 A 並肯定了 B。"

## 弗雷格著作中的演算

弗雷格聲明了九個重言式斷定作為公理。他以語義方式證明了它們，並以語法上的演繹證明了其他重言式斷定。

 1. $\vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)$
2. $\vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]$
3. $\vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]$
4. $\vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)$
5. $\vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A$
6. $\vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A$
7. $\vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)$
8. $\vdash \ \ c=c$
9. $\vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)$

弗雷格在第二章中歷數了被形式化的命題；成為了他的公理的是第 1st, 2nd, 8th, 28th, 31st, 41st, 52nd, 54th, 58th 個命題。

他在這章中還聲明了兩個推理規則：它們是肯定前件；和代換律。在第一章中他宣布了一個約定，即「普遍化律」。這意味著如果「自由變量」能在一個斷定中找到，則把它當作全稱量化的，依據弗雷格的定律，在 $\vdash $ 標號（「斷定符號」）之後的，被固定的（fixed）變量是斷定，而不是「開放」的公式，也就是謂詞。

弗雷格在第二和第三章中在語法上證明了一百多個形式陳述。第三章（"Parts from a general series theory"）是對他在建造算術上做的工作的介紹。

## 對其他著作的影響

它的記號的某些痕跡倖存了：被邏輯學家非正式的叫做「十字轉門」（turnstile）的符號 $\vdash $ 演化自弗雷格的「Inhaltsstrich」─和「Urteilsstrich」│。弗雷格在《概念文字》中以合一的形式├─使用這些符號來聲明一個命題是（重言式）真的，而不是簡單的宣布它。他使用「Definitionsdoppelstrich」│├─作為表示一個命題是一個定義的符號。

在邏輯哲學論中，維根斯坦通過使用術語「概念文字」作為邏輯形式主義的同義詞來表達對弗雷格的敬意。

在弗雷格後來的著作《論涵義與指稱》中，它放棄了在本書中關於同一性達成的某些結論（用數學上的 = 號來標記）。

## 一段引文

"如果哲學的任務是打破言辭在表達人類思想上的統治 [...]，那麼我的概念記號，就是為這個目的而開發的，它能夠成為哲學家的有用的工具 [...] 我認為，只是通過發明這些概念記號，邏輯的本質（matter）就已經被促進了（forward）。"

　
: _Begriffsschrift_ [_前言_]

## 引用

* Gottlob Frege。_Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens_. Halle, 1879.
* Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.

## 參見

* 弗雷格命題演算

## 外部連結

* "Frege 的邏輯學" 於 _Stanford 哲學百科全書_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
概念框架

**概念框架**（英語：Conceptual Framework）是一個具有許多變化和不同背景的分析手段，可以利用來進行概念區分和整理想法。有力的概念框架較能捕捉到一些重要資訊，並且使人易於記憶和應用。

以賽亞・伯林使用了狐狸和豪豬作隱喻，針對知名的哲學家或知名的作家的不同觀念視野進行概念性區分。伯林形容豪豬就如同那些以單一想法或原則看待世界的人（並且舉但丁， 布萊茲・帕斯卡， 杜斯妥也夫斯基， 柏拉圖， 亨裡克・易卜生 和 黑格爾為例）。而另一方面的狐狸，則混合了多元性觀點，其中甚至有彼此矛盾的觀點，並且以多角度去看待世界（並且舉出 歌德， 詹姆斯・喬伊斯， 威廉・莎士比亞， 亞里斯多德， 希羅多德， 莫里哀， 安德森， 奧諾雷・德・巴爾扎克為例）。

概念框架的差異，以及概念框架的彈性程度，都會影響一個人的世界觀。

經濟學家使用供應和需求的概念框架去區分企業和消費者的行為和動機。和其它許多概念框架一樣，供應和需求的概念框架可以透過視覺或圖形呈現。

## 參考資料
概念構圖

**概念構圖**（Concept mapping）是由 Novak 等人所發展的一套學習方法，並應用於教學與評量等方面。

 

## 概念構圖之內涵

教師在教學前後提供學生一組概念，並要求學生先將這些概念進行分類，然後將兩兩概念間的
關係以適當的連結詞予以聯結表示，進而形成一幅概念圖 (concept map)，教師則可從概念圖瞭解學生對這些概念的知識結構是否正確。

 

## 參考文獻

## 外部連結

國家教育研究院雙語詞彙資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
概念模型

**概念模型**（英語：Conceptual Model）是用一組概念來描述一個系統，或用任何代替的形式來描述一個概念，以期能進一步了解或說明事物的運作原理。具體的型式可能包括思想實驗、數學模型、電腦模擬、示意圖、比例模型等。

## 概述

概念模型通常用來描述真實世界中的事物或抽象概念，其價值取決於模型能不能合理地對應實際，又同時簡單明瞭地說明描述的對象。

## 功能

概念模型可以用在科學研究、說明、預測、整理概念等等。

### 科學研究

概念模型可以用來說明一個科學理論或假說，或是驗證某個假說是否正確。許多時候，做實驗是有困難的，所以用概念模型或預測模型代替實驗，避免物理、法律、時間、經費等限制。好的概念模型可以清楚地說明系統運行的基本原理、排除不必要的資訊。如同實驗中的控制環境，科學模型排除多餘的變因，讓因果關係變得因顯。

### 預測

預測模型將已知的數據套入理論中，計算出未知數。根據預測結果可以協助應對未來事件、比較不同決策的優劣等等。

### 說明模型

例如示意圖、教學模型、比例模型等等，用來說明一個概念。

### 整理概念

概念模型有時是在製作產品的前置步驟，用來管理產品的整體構造、確定系統可以運作。例如用在資訊科學的概念模型有時又稱為領域模型，主要用表示電腦程式的結構，常用的方法表示方式包括統一塑模語言。

## 參考文獻

## 參見

* 概念
概念模型_(计算机科学)

**概念模型**（英文：Conceptual Models）在電腦人機互動領域中，概念模型指的是關於某種系統一系列在構想、概念上的描述，敘述其如何作用，能讓使用者瞭解此系統被設計師預設之使用方式。

## 概念模型的產生

概念模型的產生方式有以下兩種：基於活動（Based on activities）或基於對象（Based on objects）。

### 基於活動

依照所要進行的活動區分，使用者與系統間常見的互動方式有以下四種類型：

1. **指示**（Instructing）－使用者輸入指令或要求，從目錄選單中選擇、按下按鈕等。此類型概念模式的優點在於，它提供快速且有效率的互動。例如路邊常見的自動販賣機即屬於此類型。但此類型僅只於使用者對系統下達命令，為單向的傳播。
2. **對話**（Conversing）－此類型的基本概念為使用者與系統間產生「對話」。與上一類型不同的是，對話是試圖產生雙向的溝通，系統不再只是執行指令的機器。當使用者需要找出某種特定的資訊時，即適用於此類型，如搜尋引擎即為其中一例。對話類型的優勢在於，它能夠讓使用者以原本熟悉的方式與系統進行互動，但缺點為可能容易產生誤解。
3. **操作**（Manipulating and Navigating）－此類型中最常見的例子為「直接操作」（Direct manipulation），這是由 Ben Shneiderman（1983）提出的辭彙，而根據 Shneiderman，直接操作介面的特點包括：立即動作且能得到立即的回饋，以實際動作、按鍵取代語法複雜的指令等。其優點在於操作容易，此種直接介面能幫助新手快速學習基本操作方式，而老手則能夠將其運用在執行更多任務上，即使久未接觸的使用者，也能夠輕易記起操作方式。其中最著名的例子為早期蘋果電腦的 Mac desktop，在此介面上，如果我們使用繪圖工具，介面上即能立即出現繪製的線條，或者將某個檔案拖曳放置於介面上的垃圾桶，會即時出現相應的聲音或影像，代表檔案已成功地被丟棄。
4. **搜尋及瀏覽**（Exploring and Browsing）－讓使用者能夠搜尋或瀏覽各種資訊。例如 CD-ROM、網頁等都屬於此類。

### 基於對象

基於對象區分，也可說是依照工具區分，此類型比依照活動區分要更來得精確，也就是在某情境之下，某個特定對象被使用的方式。根據 Winograd，「試算表」（spreadsheet）是其中一種最成功的範例（Winograd, 1996）。而 Dan Bricklin 發明的 VisiCalc 是世界上第一套電子試算表。其成功原因不外乎為 Bricklin 瞭解商業界活動的需求，並試圖探究現存工具在執行活動時所產生的問題。
概念法學派

**法律實證主義**（**legal positivism; Rechtspositivismus**，為與德國之法律實證主義（Gesetzespositivismus）區分，嚴格上稱為**法實證主義**），或稱**法實證論**、**實證法學**、**概念法學派**，是當代的一種法理學和法哲學流派。此主義指出法律是人定的規則，和道德沒有必然的關係。

法律實證主義在很多方面和自然法理論針鋒相對。自然法認為在法律和公正之間存在著本質的關聯性，而法實證主義則認為，法律的有效性和道德、公正無關。

在哈特的《法律的概念》問世之後，英美的法律實證主義與牛津語言哲學緊密結合；其所依賴之「描述社會學」的方法，被認為源自約翰・奧斯丁與後期維根斯坦的語言哲學理論，並與馬克斯・韋伯的社會學方法有耦合之處。在新自然法學派代表人物德沃金的《認真對待權利》發表之後，法實證主義在回應德沃金「法律原則說」的過程中，分裂為以哈特、科爾曼為代表的「包容的法實證主義」（soft legal positivism）與以約瑟夫・拉茲為代表的「排他的法實證主義」（hard legal positivism）：前者主張法律與道德可以有偶然的聯繫，後者則認為法律與道德在概念上截然相分。

在歐陸方面，凱爾森亦被認為是法實證主義的代表，其純粹法學理論被認為法律作為「規範」，是與事實及道德相分的第三領域。

實質上實證法學與法實證主義仍有一段差距，凱爾森創立法律位階最高階為基本規範，雖未真正闡述基本規範的內涵，但一般認為基本規範即為公平正義。而法實證主義則忽視法律文字以外的社會、文化、價值等因素，強調法律的規範。因此，難以認為實證法學等同於法實證主義。

法實證主義乃當今英美法律理論的主流理論，上述兩派皆為有力說。不過，法實證主義理論亦有諸多弱點，比如，無法完備解釋法律之合法性 - 正統性來源，無論是哈特的「承認規則」還是凱爾森的「基礎規範」皆是如此。

## 參見

* 自然法學
* 社會法學

## 外部連結

* 法理學經典導讀系列演講 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（由台灣法理學會、台灣法學會與台大人權暨法理學研究中心共同提供）
  * 第 - 1 - 場 - 10 月 6 日：reine-rechtslehre 導讀篇凱爾森《純粹法學》第一版（Reine Rechtslehre）———— 由台灣大學鍾芳樺博士導讀
  * 哈特《法律的概念》（The Concept of Law） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）———— 由中研院許家馨助研究員導讀
  * 德沃金《法律帝國》（Law's Empire） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）———— 由台北大學莊世同教授導讀
  * 德沃金《原則問題》（A Matter of Principle） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）———— 由高雄大學王照宇教授導讀（同時為執業律師）
概念混成理論

在認知語言學領域 ，**概念混成理論**（英語：Conceptual blending），又稱為**概念整合理論**或**觀點應用**（view application） ，是吉勒・福科尼耶和馬克・特納提出的認知理論。 根據該理論，潛意識被假定普遍存於日常思想和語言之中，而來自不同情境的元素和重要聯繫則在潛意識過程中發生了「融合」。這與試圖對文化傳承的思想進行統一描述的迷因十分相似。

## 歷史

這一理論於 1993 年開始發展，早期的代表性闡述可參見網路文章《概念整合與形式表達》。 特納和福科尼耶引用了阿瑟・庫斯勒於 1964 年出版的著作《創造行為》，將其作為概念混成的早期先驅：庫斯勒在藝術、科學和幽默方面的創造性成就中發現了一個共同模式，他將其稱為「矩陣的偶聯性關係」（bisociation of matrices）。 2002 年，特納和福科尼耶出版了《我們的思維方式》一書，書中提出了新版本的混成理論，術語變得略為不同。 在特納和福科尼耶的系統闡述中，概念混成是喬治・萊考夫和羅傑・安東森（RafaelNúñez）於著作《數學的起源》中所使用的理論工具，萊考夫及安東森斷言「理解數學需要掌握廣闊的隱喻混合網路。」

## 計算模型

概念混成與基於框架的理論息息相關，但從根本上超越了這些理論，原因在於它是關於如何結合框架（或類似框架的對象）的理論。 卡內基梅隆大學和 PARC 的施拉格（Shrager）於 1980 年代實現了稱為「 觀點應用 」的早期計算模型程式，該模型與當時還未提出的概念混成有著緊密關聯，並在複雜設備的因果推理領域以及科學推理領域有所應用。 最近混成的計算方法已經在數學等領域得到了發展。 後來的一些模型則基於早期實作尚未使用的「結構映射」之上。近期，在 AI 推理系統非單調擴展的背景下（並與基於框架的理論一致），通用框架能夠對複雜的類人概念組合 (如寵物 - 魚問題) 及概念混成作出解釋，並已在認知建模和計算創新應用 完成測試和開發。

## 該理論的哲學地位

在概念混成理論學者馬克・特納的著作《文學心靈》中指出： （p. 93）， 

>  概念混成是日常思維的基本工具，從社會到科學，用於我們對所有現實的基本識解。 
> 
> 

 從概念混成中獲得的見解被視爲創造性思維的產物，但是概念混成理論本身並不是一個完整的創造力理論，因為它沒有闡明混成的來源。 換句話說，概念混成為描述創造性產物的術語，但對於靈感的問題卻沒有頭緒。

## 參見

* 類比
* 混合空間
* 概念隱喻
* 意識形態
* 意向立場

## 筆記

## 外部連結

* 融合與概念整合– Mark Turner （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 在線隱喻認知科學中心匯集了概念隱喻和概念融合（又名概念整合）領域的眾多形成性文章。
* 蒂姆・羅勒（Tim Rohrer）在關於視覺融合的文章中說明了概念隱喻理論與概念融合的區別
* 克里斯汀公寓。 時間的傳統模式及其在科幻小說中 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的擴展 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）碩士論文探索時空旅行中的概念融合。 包含對概念融合理論的介紹，以及對概念隱喻理論和概念融合理論之間差異的探討。
* TEDxYouth @ Krakow – Krystian Aparta –想像力 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）演講展示了語言之外融合的例子。
概念空間

**概念空間**是代表若干性質維度的幾何結構，可表示能夠放在一起比較的概念和對象之基本特徵，例如重量、顏色 、味道 、溫度、間距和三個常規空間維度 。 在概念空間中，點表示對象，區域表示概念。 概念空間理論是彼得・加登佛斯（PeterGärdenfors）最早提出的概念學習理論， 受到概念相似性和原型理論等觀念所啟發。

該理論還提出了「自然類別是概念空間中的凸區域」的概念 在那種情況下，如果 $x$ 和 $y$ 是類別的元素，且 $z$ 位於 $x$ 和 $y$ 之間 ，那麼 $z$ 也可能屬於該類別。 概念凸性可讓區域焦點被解釋為類別原型 。在更一般的理論陳述中，概念是根據其原型的概念相似性來定義的。

## 參見

* 認知架構
* 色彩空間
* 常識推理
* 概念依賴理論
* 分布語義
* 臉部空間
* 全局工作空間理論
* 圖像基模
* 語音空間
* 語義空間
* 狀態空間
* 向量空間模型
* 視覺空間

## 參考資料
概念股

**概念股**是股市術語，做為一種選股的方式。相較於績優股必須有良好的營運業績所支撐，概念股只是以依靠相同話題，將同類型的股票列入選股標的的一種組合。由於概念股的廣告效應，因此不具有任何獲利的保證。

## 範例

* 災後概念股

　
: 指以救災、醫療、重建…… 等類型相關公司的股票。

* 中國概念股

　
: 指以在中國大陸的資產或營收為其主體組成部分公司的股票。

* 綠能概念股

　
: 指以可再生能源、節能…… 等類型相關公司的股票。

## 外部連結

* * "概念股" - 搜索 Google 圖書
* "concept stock" - 搜索 Google 圖書
* 重組概念股變成「高危雷區」 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 中國經濟網 2014-05-16
概念艺术

**概念藝術**（英語：Concept art）是以插畫形式表達想法的一種設計方式，常用但不限於電影、電子遊戲、動畫和漫畫等。

## 歷史

最早由誰發明或使用該詞的並無資料查閱，有紀綠的是 1930 年華特・迪士尼在動畫中使用。而這詞或許對後來在汽車設計階段的「概念車」有所影響。

## 工具

傳統概念藝術設計都會用油彩、丙烯顏料、麥克筆、鉛筆等工具，而近年興起使用數碼工具替代傳統工具在圖像編輯器上進行，以提高工作效率。

## 應用

概念藝術被應用在各種設計上，例如早期好萊塢的電影海報。最常使用的藝術類型是科幻和奇幻主題。

## 相關項目

* 分鏡
* 接景

## 參考資料
概念藝術

**概念藝術**（英語：Concept art）是以插畫形式表達想法的一種設計方式，常用但不限於電影、電子遊戲、動畫和漫畫等。

## 歷史

最早由誰發明或使用該詞的並無資料查閱，有紀綠的是 1930 年華特・迪士尼在動畫中使用。而這詞或許對後來在汽車設計階段的「概念車」有所影響。

## 工具

傳統概念藝術設計都會用油彩、丙烯顏料、麥克筆、鉛筆等工具，而近年興起使用數碼工具替代傳統工具在圖像編輯器上進行，以提高工作效率。

## 應用

概念藝術被應用在各種設計上，例如早期好萊塢的電影海報。最常使用的藝術類型是科幻和奇幻主題。

## 相關項目

* 分鏡
* 接景

## 參考資料
概念計畫8022-02

**概念計畫 8022-02**(CONPLAN 8022-02) 是美國戰略司令部擬定的攻擊北韓計畫，2003 年擬定，為了應對北韓有戰爭意圖的跡象時，美韓方先制主動攻擊的計畫。

計畫採用電腦病毒和輿論擾亂戰術，之後從地下通道或潛艇上派出的特戰隊攜帶戰術核武進入北韓境內特種攻擊，癱瘓北韓大部分軍力後再視戰局和國際情況而定，可以進取攻入北韓或者至少殲滅北韓 38 線前線部隊，使其軍力倒退 20 年。

 

## 參考

* CONPLAN 8022 記事 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* CONPLAN 8022 に関する初期の記事 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* U.S. Command Declares Global Strike Capability （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - デイヴィッド・ルッペ（David Ruppe）による。
* U.S. Nuclear Weapons Guidance （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
概念設計

**概念設計**是在設計過程初期所進行的設計，目的是要說明整體的機能以及型式。概念設計可能包括介面、體驗、程序以及策略上的設計。概念設計是要瞭解客戶的需要，以及如何用產品、服務及過程滿足其需要。概念設計常見的產出是概念草圖以及模型。

## 相關條目

* 原型 (工程)

## 參考資料
概念論

**概念論**（英語：Conceptualism），中古經院哲學的一個學派，他們的立場介於唯名論與唯實論之間，被認為是折衷後的唯名論者。跟唯名論者相同，他們認為共相只存在於心靈之中，沒有外部的實體；但是他們認為一旦共相被建立之後，能被理性所認識，它就是存在的，不會因為特定人死去而消失。第一個概念論哲學家，被認為是彼得・阿伯拉。奧卡姆的威廉是另一個重要的概念論人物。

## 參考文獻
概念車

**概念車型**（英語：**Concept Car**，**Show Car**）指用以展示新樣式和新技術的汽車。概念車型經常會出現在汽車展覽上，以評估客戶對可能批量生產或尚未批量生產的新穎和激進設計的反應。通常認為，概念車型由通用汽車的設計師哈雷・厄爾率先提出，並通過在 20 世紀 50 年代的通用汽車摩托拉瑪車展的巡迴游說，對概念車這一概念進行了廣泛的推廣。

## 概述

概念車型在引擎或設計上往往相當激進。一些概念車型使用非傳統、奇特或昂貴的材料，範圍從紙張到碳纖維再到精製合金。其他概念車型則具備獨特的佈局，例如鷗翼車門、3 到 5 個（或更多）車輪以及在普通汽車上通常不具備的特殊功能。由於這些往往不切實際或無利可圖的傾向，因此許多概念車型通常不存在比例模型甚至經電腦設計的圖紙。其他更傳統的概念車型可以發展成完全可供駕駛的車輛，具備能夠工作的動力系統和附件。大多數概念車型的狀態介於兩者之間，並不代表最終產品。很少有概念車型能夠達到可供駕駛的程度，有些甚至無法以每小時 10 英里（每小時 16 公里）以上的速度安全行駛。即便能夠駕駛，其傳動系統經常會借用同一家公司的量產車，或者在設計上可能存在缺陷和瑕疵。

概念車型不會直接投入生產。在現代，為滿足實用性、行車安全性、合規性和成本，在最終確定設計之前，所有概念車型都進行諸多更改。達到使用壽命的概念車型為維護商業機密通常會進行銷毀。某些倖存的概念車型會收藏於製造公司倉庫，或保存博物館公開展示。

### 車輛區別

## 概念車輛

僅列舉世界各大車輛品牌，依據品牌的英文字母排序：

### 汽車

AC

* AC Ace based on Smart Roadster

Acura（Acura）

愛快羅密歐（Alfa Romeo）

奧斯頓・馬丁（Aston Martin）

奧迪（Audi）

貝爾東尼（Bertone）

寶馬（BMW）

別克（Buick）

凱迪拉克（Cadillac）

雪佛蘭（Chevrolet）

克萊斯勒（Chrysler）

雪鐵龍（Citroen）

大發工業（Daihatsu）

道奇（Dodge）

法拉利汽車（Ferrari）

飛雅特（Fiat）

福特汽車（Ford）

通用汽車（GM）

本田技研工業（Honda）

現代汽車（Hyundai）

英菲尼迪（Infiniti）

* Infiniti Coupe Concept

捷豹（Jaguar）

起亞汽車（Kia）

藍寶基尼（Lamborghini）

蘭吉雅（Lancia）

凌志（Lexus）

林肯汽車（Lincoln）

蓮花汽車（Lotus）

* Lotus Extreme

瑪莎拉蒂（Maserati）

* Maserati Birdcage

邁巴赫（Maybach）

* Maybach Exelero

馬自達（Mazda）

麥拉倫（McLaren）

* McLaren M Eleven B

梅賽德斯 - 賓士（Mercedes-Benz）

MG

寶馬迷你（Mini）

三菱汽車（Mitsubishi）

光岡汽車（Orochi）

日產汽車（Nissan）

歐寶（Opel）

標緻汽車（Peugeot）

賓尼法利納（Pininfarina）

PONTIAC

保時捷（Porsche）

* Porsche Cayman S

雷諾汽車（Renault）

勞斯萊斯（Rolls-Royce）

路華（Rover）

* Rover 75 Coupe

薩博汽車（Saab）

* Saab Aero X

Scion

* Scion Fuse

SEAT

SHELBY

SMART

* Smart Crosstown

速霸陸汽車（Subaru）

鈴木（Suzuki）

豐田汽車（Toyota）

福斯汽車（Volkswagen）

富豪集團（Volvo）

### 機車

艾普利亞（Aprilia）

* Aprilia Magnet

BMW

* Bmw IMME 1200

CONFEDERATE

* Confederate Renovatio

DERBI

* Derbi Mulhacen

杜卡迪（Ducati）

* Ducati Hypermotard

DODGE 

* Dodge Tomahawk

本田技研工業（Honda）

川崎重工業（Kawasaki）

* Kawasaki ZZR-X

NORTON

* Norton Nemesis

鈴木（Suzuki）

山葉發動機（Yamaha）

## 相關條目

* 法蘭克福車展（Internationale Automobil-Ausstellung；IAA）
* 東京車展
* 底特律車展（North American International Auto Show；NAIAS）
* 日內瓦車展
* 巴黎車展（Paris Mondial de l'Automobile）
* 世界汽車工業國際協會

## 備註

## 外部連結

* Diseno-art.com
* ConceptCar.co.uk
* Conceptcar.ee
概念验证

**概念驗證**（英語：Proof of concept，簡稱 POC）是對某些想法的一個較短而不完整的實現，以證明其可行性，示範其原理，其目的是為了驗證一些概念或理論。概念驗證通常被認為是一個有里程碑意義的實作的原型 。

在電腦安全術語中，**概念驗證**經常被用來作為 0day、exploit 的別名。（通常指並沒有充分利用這個漏洞的 exploit）

## 詞源

牛津英語詞典早在 1967 年 1 月 22 日就提供了一個例子，用來說明該詞的用法。該例子來自洛杉磯時報。

該詞的一個較早的使用例子是在 Bruce Carsten 的文章《proof of concept prototype》中，在 1998 年 11 月的《Power Conversion and Intelligent Motion》雜誌的「Carsten's Corner」專欄中（第 38 頁），副標題是「Let's Define a Few Terms」：

> Proof-of-Concept Prototype 是我在 1984 年創造的一個詞（我是這樣認為的）。它用來稱呼一種類似工程原型（譯註：原文為 engineering prototype）的電路（circuit），但是它的目的只在於表明一種新的工藝（譯註：又是 circuit）或製造技術的可能性，而不是作為生產設計的早期樣本。
> 
>
概括

**廣義化**（英語：Generalize），又稱一般化、通常化、普遍化、概念化，與之相對的是特殊化。概括作用是指將事物的定義進行修改或者補充以使其適用於更加大的範圍，過程會伴隨將該主體的定義或概念抽象化。

一個將事物廣義化的簡單例子是歸類。例如：將「大雁」廣義化（歸類）之後是「鳥類」，將「鳥類」廣義化（歸類）之後是「動物」。

當然，這樣的定義並不嚴謹。

從邏輯學的角度來定義，若且唯若滿足：

1. 任何一個 B 概念的實例也是 A 概念的實例
2. A 概念的實例並不一定是 B 概念的實例

則可說「A 是廣義化之後的 B」或「A 是廣義上的 B」。

就之前的例子，因為每隻「大雁」（B）都是「鳥」（A），但是「鳥類」並不一定是「大雁」，所以我們可以說：「鳥類」是廣義上的「大雁」。

在機器學習上的定義：廣義化是分類器性能的一個重要的指標之一。良好的分類器應可適應多樣的未知數據，對訓練集擬合度過高的分類器往往廣義化程度很低。

可利用正則化處理提高分類的廣義程度降低過擬合可能性。

## 心理學的例子

### 古典制約

在古典制約，透過對新的刺激物的反應來觀察目標能否分辨新事物與本身制約了的事物。

### 社會心理學

不同的人如何其他（或不）交流。

### 教育心理學

學生會否將他們自己對一科的緊張情緒帶到其他科目上。

### 異形心理學

習得性失助描述因為過去失敗的經驗，指人們不能對新事物作出反應。

## 相關條目

* 抽象化
* 定義

## 參考資料
概括化他人

**概括化他人**（英語：generalized other），又稱**概化他人**、**類化他人**，是由喬治・賀伯特・米德提出的社會科學概念，並主要用於符號互動領域。通常的概念是：在某一特定社會裡，一個人對自己的行動和想法的期望與他人相同，並因此表明其作為一個共享社會體系的代表成員與他人之間的關係。

米德認為給予個人自我統一感的組織化社區或社會團體，均可稱為是概括化他人；概括化他人的態度即是整個社區的態度。社會過程即是透過概括化他人的形式而影響個人的行為，換言之，社會藉概括化他人控制和約束個別成員的行動。概括化他人是探討個人如何從參照團體中選擇適當的角色，根據抽象的原則評斷自己的表現，並形成穩健統整的自我形象。

當一名演員試圖想像他人對自己的期望時，他便是站在概括化他人的視角。

## 先驅

米德對概括化他人的概念與亞當・史密斯關於中立旁觀者的想法相聯繫，後者源於早期約瑟夫・艾迪生和愛比克泰德的想法。

亞當・史密斯寫道：「我們設想自己行動時有一個完全公平公正的人在場，而這個人…… 通常只是個男人，一名中立的旁觀者，他對我們行為舉止的看法，跟我們所認為的他人的看法一樣漠不關心。」

## 角色扮演和遊戲

米德認為每一個人的自我是由社會經驗之中逐漸發展而成的。自我發展的第一個階段，是個人的自我由特定他人或團體對自己的特殊態度所形成，譬如兒童從父母的期望、眼神或言語，想像自己即是父母所期望或描述的自我；此一時期的父母或特定的他人、團體等，均是個人成長歷程中的參照團體。自我發展的第二階段，個人的自我不僅是由父母、其他特定他人或團體的期望或態度所形成，而且是由個人所綜合歸納的周遭社會的共同價值、信念與態度，亦即所謂「概括化他人」所形成。

米德首先對比了「幼兒時期的角色扮演和假裝的經歷」與「有組織的遊戲」之間的差異。其中一個角色只是簡單地被另一個角色取代，沒有任何連續性。他說：「在後者中，兒童必須得知所有參與遊戲的人的看法。」 他認為有組織的遊戲是構成成熟自我意識不可或缺的部分，而實現的方式只能是學習如何反應和理解，他人對（改變）與自己有關的共同許諾的態度：即「概括化他人」。

米德辯論道：「在遊戲中，有一個組織化、概括化的他人，這是由兒童自然發現的…… 例如，假設有一個球隊作為社交團體，則『概括化他人』即為球隊 —— 就其進入球隊而言 —— 作為一個有組織的過程或社交活動 —— 進入到球隊每個成員個人的經歷。」譬如兒童在遊戲之中，先是模仿成人而扮演父母、親人、警察、醫生、法官、工人，繼而發展遊戲的規則，各種規則的服從便是概括化他人的作用。

透過以未知他人的視角觀察事物，兒童可能最終得以具象化他人的意圖和期望，且看待他（自己）時從他人的觀察點出發 —— 概括化他人的觀點。

「概括化他人」的看法即為更大社群的看法。據米德所言，概括化他人是我們與社會聯繫的媒介。

## 相似的心理分析概念

作為一個概念，「概括化他人」大致與佛洛德學說的「超我」的構想相同。它也被拿來跟雅各・拉岡對「父親之名」的用法對比，為第三方由所有人類互動中的社會習俗、法律和語言的存在所建立的。它也與巴赫京假定以接收和理解人類溝通的「非常受話人」（superaddressee）類似。

## 參見

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* 1934: Mead, G. H. (C. W. Morris ed.), _Mind, Self, and Society from the Standpoint of a Social Behaviorist_, University of Chicago Press, Chicago.
* 1956: Natanson, Maurice, _The Social Dynamics of George H. Mead_, Public Affairs Press, Washington, D. C.
* 2008: Ritzer, G.R., _Sociological Theory_ seventh edition. McGraw-Hill Higher Companies, New York.

## 外部連結

* Roles, the Self, and the Generalized Other （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
概括的唐宋時代觀

《概括的唐宋時代觀》為京都學派代表學者內藤湖南所著，主要針對「唐宋變革期」及宋代後「近世」的概念進行論述。內藤湖南於文中指出，平日我們習慣的「唐宋」一詞，實際上並無太多史學意義，因為兩朝的文化性質有本質上的不同，並將唐視為中世的結束，宋則為近世的開始。以下說明內藤湖南之時代分期方式，並由政治、經濟、文藝及音樂等面向，說明由唐至宋的轉變，這段從中世進入近世的歷史。

## 大區段分期

內藤湖南以大區段分期，將中國歷史分為由上古至秦漢的古代；由魏晉南北朝至隋唐的中世；由宋至清的近世；以及二十世紀以後的最近世。

## 政治層面

以政治來說，內藤湖南提出可以從權力的轉移來看人才選拔及官場生態的轉變。由唐代至宋代，政治體制從貴族政治轉為君主獨裁；權力由世家轉入君主手中。而這樣的轉變，除象徵貴族勢力的衰弱、君主地位的提昇，更連帶影響到官場人才的選用，最好的例子即是由六朝時期受家世影響居多的九品官人法，轉為隋唐時代人人公平應考的科舉制度。在應試內容上，從改帖括為經義、代詩賦以策論，也能看出考試重點從對背誦的強調轉為對實用的重視，官場的生態也從貴族結黨轉為理念上的結盟。

## 經濟層面

在經濟上，可以從稅制及貨幣兩方面來看。稅制部分，中唐以前，人民有如貴族的佃農，舉租庸調制為例，人民需納地租、服力役並上繳生產成果；中唐後則改為兩稅制，再到往後宋代改差役為顧役，都是漸進地讓人民脫離土地的束縛，往經濟自由前進。貨幣部分，唐代雖已有貨幣，但多數物品仍以娟布交換的方式貿易，宋代以後才開始貨幣的大量流通，且「銀」開始作為貨幣受到重視。

## 文藝層面

文藝方面，中唐以前重視先人留下的學說，且以「疏不破注」為原則，強調解釋但不改變過往學說；中唐以後，部分人士懷疑過去註疏，開始有人自立門戶、成一家之言。而文學的型態，也從對格式的強調，轉為重視真實的表達。藝術則由過去傳統重視色彩、意義的創作，轉為自由意志的抒發。「畫」本身更由貴族的用具轉為平民的享樂之用。
音樂部分，在宋代以前多用於祭祀，對形式的要求較高；宋代以後則漸趨通俗、平民化。

## 音樂層面

音樂部分，在宋代以前多用於祭祀，對形式的要求較高；宋代以後則漸趨通俗、平民化。
概日周期

**晝夜節律**（英語：circadian rhythm）又稱**日夜節律**、**概日節律**、**日變週期**、**生理時鐘**（physiological clock），是一種生理現象，以內源性、持續的，呈現以約 24 小時為週期的變動；由日變時鐘（circadian clock）所驅動。包括植物、動物、真菌等，都被觀察到有類似生理變化。英語 circadian 源自拉丁語 circa，為大約、大概的意思；拉丁語 diem 是一天、一日之意。合起來，在字面上的意思，是大約一天。

**晝夜振盪器**（circadian oscillator）則是驅動晝夜節律的中樞機制，使生物的生理節律與晝夜週期相一致，以近 24 小時為週期而振盪的節律，由基因產物作用於基因啟動子所組成的反饋迴路或其他反饋迴路。

2017 年來自美國的三位遺傳學家傑弗理・霍爾（Jeffrey Hall）、麥可・羅斯巴希（Michael Rosbash）和麥可・揚（Michael Young）因發現控制晝夜節律的分子機制而共同贏得了諾貝爾生理醫學獎。

## 延伸閱讀

## 相關條目

* 生物鐘
* 時間生物學
* 子午流注

## 外部連接

* 開放式目錄計劃中和晝夜節律相關的內容
概率公理

**機率公設**（英語：Probability axioms）是機率論的公設，任何事件發生的機率的定義均滿足機率公設。因其提出者為安德烈・科摩哥洛夫，也被稱為**科摩哥洛夫公設**（Kolmogorov axioms）。

某個事件 $E$ 的機率 $P(E)$ 是定義在「全體」（universe）或者所有可能基礎事件的樣本空間 $\Omega $ 時，機率 $P$ 必須滿足以下科摩哥洛夫公設。

也可以說，機率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的 σ 代數上的一個測度，那些子集為事件，使得所有集的測度為 $1$ 。這個性質很重要，因為這裡提出條件機率的自然概念。對於每一個非零機率 A 都可以在空間上定義另外一個機率：

　
: $P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}$

這通常被讀作「給定 A 時 B 的機率」。如果給定 A 時 B 的條件機率與 B 的機率相同，則 A 與 B 被稱為是獨立的。

當樣本空間是有限或者可數無限時，機率函數也可以以基本事件 $\{e_{1}\},\{e_{2}\},...$ 定義它的值，這裡 $\Omega =\{e_{1},e_{2},...\}$ 。

## 科摩哥洛夫公設

假設有一個基礎集 $\Omega $ ，其子集的集合 ${\mathfrak {F}}$ 為 σ 代數，和一個給 ${\mathfrak {F}}$ 的元素指定一個實數的函數 $P$ 。 ${\mathfrak {F}}$ 的元素，稱為「事件」。

### 第一公設（非負性）

　
: 對於任意一個集合 $A\in {\mathfrak {F}}$ ， 即對於任意的事件 $P(A)\geq 0$ 。

即，任一事件的機率都可以用 $0$ 到 $1$ 區間上的一個實數來表示。

### 第二公設（歸一化）

　
: $P(\Omega )=1$ 。

即，整體樣本集合中的某個基本事件發生的機率為 1。更加明確地說，在樣本集合之外已經不存在基本事件了。

這在一些錯誤的機率計算中經常被小看；如果你不能準確地定義整個樣本集合，那麼任意子集的機率也不可能被定義。

### 第三公設（可加性）

　
: 任意兩兩不相交事件 $E_{1},E_{2},...$ 的可數序列滿足 $P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum P(E_{i})$ 。

即，不相交子集的並的事件集合的機率為那些子集的機率的和。這也被稱為是 σ 可加性。如果存在子集間的重疊，這一關係不成立。

如想通過代數了解科摩哥洛夫的方法，請參照隨機變數代數。

又發展成 Boole 不等式，證明時常使用此公式： ${\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}$ 。

## 機率論引理

從科摩哥洛夫公設可以推導出另外一些對計算機率有用的法則。

　
: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ，

　
: $P(\Omega -E)=1-P(E)$ ，

　
: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)$ ，

這一關係給出了貝氏定理。以此可以得出 A 和 B 是獨立的若且唯若

　
: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ 。

## 相關條目

* 機率論
* 頻率機率
* 人位機率（personal probability）
* 主觀機率（subjective probability）
* 折衷機率（eclectic probability）
* 統計恆性（statistical regularity）

## 外部連結
概率分布函数

**累積分布函數**（英語：cumulative distribution function，CDF）或**機率分布函數**，簡稱**分布函數**，是機率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變數 $X$ 的機率分布。

在標量連續分布的情況下，它給出了從負無窮到 $x$ 的機率密度函數下的面積。 累積分布函數也用於指定多元隨機變數的分布。

## 定義

對於所有實數值的隨機變數 $X$ ，累積分布函數定義如下：

其中右側表示隨機變數 $x$ 取值小於或等於 $x$ 的機率。

對於 $X$ 位於半閉區間 $(a,b]$ 的機率，其中 $a<b$ ，因此定義是:

在上面的定義中，「小於或等於」符號「≤」是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用「<」），但這種區別對於離散分布很重要。二項式分布和卜瓦松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅・皮埃爾・萊維 (Paul Lévy) 的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於「小於或等於」公式。

## 性質

* 有界性
   * $\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$
  * $\lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$
* 單調性：
   * $F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}$
* 右連續性：
   * $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})$

 _$X$_ 之值落在一區間 $(a,b]$ 之內的機率為

　
: $\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

一隨機變數 _$X$_ 的 CDF 與其 PDF 的關係為

　
: $F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt$

## 反函數

若累積分布函數 $F$ 是連續的嚴格增函數，則存在其反函數 $F^{-1}(y),y\in [0,1]$ 。累積分布函數的反函數可以用來生成服從該隨機分布的隨機變數。設若 $F_{X}(x)$ 是機率分布 $X$ 的累積分布函數，並存在反函數 $F_{X}^{-1}$ 。若 $a$ 是 $[0,1)$ 區間上均勻分布的隨機變數，則 $F_{X}^{-1}(a)$ 服從 $X$ 分布。

## 互補累積分布函數

互補累積分布函數（complementary cumulative distribution function、CCDF），是對連續函數，所有大於 $a$ 的值，其出現機率的和。

　
: $F(a)=P(x>a)$

## 參見

* 機率密度函數
* 機率質量函數

## 參考
概率图模型

在概率論、統計學及機器學習中，**圖模式（Graphical Model）** 是用圖論方法以表現數個獨立隨機變數之關聯的一種建模法。一個 $p$ 個節點的圖中，節點 $i$ 對應一個隨機變數，記為 $X_{i}$ 。圖模式被廣泛地應用於貝葉斯統計與機器學習中。

## 有向和無向圖模式的定義

在一個**無向圖模式 (Undirected Graphical Model)** 中，兩個節點 $i$ 和 $j$ 之間沒有邊相連，若且唯若它們對應的隨機變數 $X_{i}$ 和 $X_{j}$ 給定其它所有節點上的隨機變數條件下條件獨立。數學表述為：

$$
\Theta _{ij}=0\Leftrightarrow X_{i}\perp X_{j}|\{X_{\ell },\ell =1,\ldots ,p,\ell \neq i,\ell \neq j\}
$$

當所有的隨機變數 $X_{1},\ldots ,X_{p}$ 的聯合分布是多元常態分布時， $\Theta $ 被理解為是多元常態分布的方差矩陣的逆 $\Theta =\Sigma ^{-1}$ ，又稱為**精度矩陣 (Precision Matrix)**。現代統計學中，相當大比例的關於無向圖模型的理論結果都是在多元常態分布的假設下取得的。

在一個**有向圖模式 (Directed Graphical Model)** 中，兩個節點 $i$ 和 $j$ 之間的邊際獨立性和條件獨立性比較複雜，一般需要用**貝葉斯球規則 (Bayes Ball)** 來確定。

一類很重要的有向圖模式叫做**有向無環圖模式 (Directed Acyclic Graphs, 簡稱 DAG)**，可以證明，相互關係能用 DAG 表示的 p 個隨機變數，其聯合分布函數可以被分解為根節點的邊際分布函數乘以由邊決定的那些條件概率。數學表述為：

$$
\pi (X_{1},\ldots ,X_{p})=\prod _{i\in {\cal {I}}}\pi (X_{i})\times \prod _{j\in {\cal {J}}}\pi (X_{j}|X_{{\textrm {Parent}}(j)})
$$

上式中， ${\cal {I}}$ 表示所有根節點的集合， ${\cal {J}}$ 表示所有其它節點的集合， ${\textrm {Parent}}(j)$ 表示有向圖中節點 $j$ 的所有父節點的集合。

## 數據類型及研究課題

一般圖模式輸入的數據是其節點上的隨機變數 $(X_{1},\ldots ,X_{p})$ 的獨立重複觀測值，可記為：

$$
(X_{1}^{(k)},\ldots ,X_{p}^{(k)}),k=1,\ldots ,n
$$

其中 $n$ 為樣本量 (Sample size)。一般來說，估計和統計推斷的目標是在哪些節點間存在邊，也就是從節點數據中恢復整個網絡的樣貌。現代統計學和生物統計學中，圖模式多研究高維統計的情景，即樣本量遠小於隨機變數數目： $n\ll p$ 。一般的方法是假設圖模型是一個高度稀疏的圖，也就是只有幾條很少的邊，然後運用懲罰項或邊際過濾等高維統計分析中的常用套路來獲得稀疏的估計。這樣的估計既可以是同時估計整個圖中所有的邊，也可以是對每一個節點估計其所連的邊。理論研究多集中於各種懲罰項所估計出的圖模型，其稀疏性質的正確性 (這個概念叫做 Sparsistency，注意它並不是相合性 (Consistency))。

## 參見

* 置信度傳播

## 參考資料

* （英文） Graphical models, Chapter 8 of Pattern Recognition and Machine Learning by Christopher M. Bishop （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文） A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文） Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial
* （英文） Edoardo M. Airoldi. Getting Started in Probabilistic Graphical Models. PLoS Computational Biology. 2007, **3** (12): e252. doi:10.1371/journal.pcbi.0030252.
概率图灵机

在計算複雜性理論內，**機率圖靈機**是一個非決定型圖靈機，在每個轉折點根據某種概率分佈隨機選擇某種可行的轉變 (transition)。

在轉變是均勻分佈機率的例子裡面，我們可以定義為決定型圖靈機多了一個新增的 "寫入" 指令，這一個寫入指令的值是所有圖靈機能用符號的均勻分佈機率選擇出的符號 (概括地說，這個寫入指令以相同的機率在紙帶上面寫入 '1' 或者 '0'。) 另一個常用的定義是多了一條_隨機紙帶_，上面佈滿了許多隨機位元值的確定型圖靈機。

所以，機率圖靈機可以有隨機的結果 (與決定型圖靈機不同)；給定一個輸入和一個狀態機，機器運作的時間長度會不同，或者甚至不會停止； 甚至，這機器可能在這一次操作下回傳為接受，下一次相同的輸入值卻回傳為拒絕。

因此如何去理解被一個機率圖靈機接受字串的方式可以用許多不同的方式定義。 同時也有許多種因為我們對 accept 方式的不同，而產生了許多的多項式時間隨機複雜度類，包含了 RP，Co-RP，BPP and ZPP。 如果我們把多項式時間的限制改成對數空間的限制，我們則有了跟上面雷同的 RL，Co-RL，BPL，和 ZPL。如果我們同時限制兩者，則有了 RLP，Co-RLP，BPLP，和 ZPLP。

隨機計算對於定義大多數的交互式證明系統也是極為重要的，因為驗證者機器需要隨機性來避免被全能的證明者預測或者欺騙。 例如說，**IP** 這個類別等同 **PSPACE**，但是如果把驗證者的隨機性移除，我們就只有 **NP**，一個一般而言相信 (但尚未證明) 是比起 **IP** 要小的複雜度類。

複雜度理論的其中一個重點問題是：是否隨機性增加了演算法的能力？ 換句話說，是否有問題在多項式時間內可以以概率圖靈機解決但是不能以決定型圖靈機解決？或者是決定型圖靈機可以在至多只有多項式時間的變慢之下，完全的模仿隨機圖靈機的動作？現今的研究者大部分相信後者，這同時可以推出 **P** = **BPP**。相同問題的對數空間 (log space) 版本 (是否 **L** = **BPLP**?) 則比起多項式時間版本更被廣泛相信為真。另外，隨機性給予交互式證明系統的力量，以及對困難問題所能建立更簡單的演算法的特質，例如多項式時間內的質數測試 (primality testing) 和對數空間的圖相連測試 (graph connectedness testing)，又隱含著隨機性是有可能增加計算能力的。

量子計算機則是另一種先天就具有著機率性質的計算模式。

## 參見

* 隨機演算法

## 外部連結

* NIST website on probabilistic Turing machines （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
概率密度

在數學中，連續型隨機變數的**機率密度函數**（**P**robability **d**ensity **f**unction，簡寫作 **PDF** ），在不致於混淆時可簡稱為**密度函數**，是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。圖中，橫軸為隨機變數的取值，縱軸為機率密度函數的值，而隨機變數的取值落在某個區域內的機率為機率密度函數在這個區域上的積分。當機率密度函數存在的時候，累積分布函數是機率密度函數的積分。

機率密度函數有時也被稱為機率分布函數，但這種稱法可能會和累積分布函數 (CDF) 或機率質量函數 (PMF) 混淆。

## 常見定義

對於一維實隨機變數 _X_，設它的累積分布函數是 $F_{X}(x)$ 。如果存在可測函數 $f_{X}(x)$ ，滿足：

　
: $\forall -\infty <a<\infty ,\quad F_{X}(a)=\int _{-\infty }^{a}f_{X}(x)\,dx$

那麼 _X_ 是一個連續型隨機變數，並且 $f_{X}(x)$ 是它的機率密度函數。

### 性質

連續型隨機變數的機率密度函數有如下性質：

 * $\forall -\infty <x<\infty ,\quad f_{X}(x)\geq 0$
* $\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$
* $\forall -\infty <a<b<\infty ,\quad \mathbb {P} \left[a<X\leq b\right]=F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx$

如果機率密度函數 $f_{X}(x)$ 在一點 $x$ 上連續，那麼累積分布函數可導，並且它的導數： $F_{X}^{\prime }(x)=f_{X}(x)$

由於隨機變數 _X_ 的取值 $\mathbb {P} \left[a<X\leq b\right]$ 只取決於機率密度函數的積分，所以機率密度函數在個別點上的取值並不會影響隨機變數的表現。更準確來說，如果一個函數和 _X_ 的機率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來說測度為 0（是一個零測集），那麼這個函數也可以是 _X_ 的機率密度函數。

連續型的隨機變數取值在任意一點的機率都是 0。作為推論，連續型隨機變數在區間上取值的機率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要注意的是，機率

　
: $\mathbb {P} \left[X=a\right]=0$ ，

但 $\{X=a\}$ 並不是不可能事件。

## 例子

最簡單的機率密度函數是均勻分布的密度函數。對於一個取值在區間 $[a,b]$ 上的均勻分布函數 $\mathbf {I} _{[a,b]}$ ，它的機率密度函數：

　
: $f_{\mathbf {I} _{[a,b]}}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {I} _{[a,b]}$

也就是說，當 _x_ 不在區間 $[a,b]$ 上的時候，函數值等於 0，而在區間 $[a,b]$ 上的時候，函數值等於 $\scriptstyle {\frac {1}{b-a}}$ 。這個函數並不是完全的連續函數，但是是可積函數。

常態分布是重要的機率分布。它的機率密度函數是：

　
: $f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}$

隨著母數 $\mu $ 和 $\sigma $ 變化，機率分布也產生變化。

## 應用

隨機變數 X 的 n 階動差是 X 的 n 次方的期望值，即

　
: $\mathbb {E} [X^{n}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f_{X}(x)\,dx$

X 的變異數為

　
: $\sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} \left[\left(X-\mathbb {E} [X]\right)^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E[X])^{2}f_{X}(x)\,dx$

更廣泛的說，設 $g$ 為一個有界連續函數，那麼隨機變數 $g(X)$ 的數學期望

　
: $\mathbb {E} [g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx$

## 特徵函數

對機率密度函數作類似傅立葉變換可得特徵函數。

　
: $\Phi _{X}(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{j\omega x}\,dx$

特徵函數與機率密度函數有一對一的關係。因此，知道一個分布的特徵函數就等同於知道一個分布的機率密度函數。

## 參見

* 機率分布
* 機率質量函數
* 累積分布函數
* 條件機率密度函數
* 核密度估計
* 概似函數

## 參考文獻

### 引用

### 書籍

* 鍾開萊. 《概率论教程》. 上海科學技術出版社. 1989. ISBN 7-5323-0648-8.
概率振幅

的在量子力學裏，**機率幅**，又稱為**量子幅**（英語：Probability amplitude），是一個描述量子行為的複數量。事實上是表示初始量子態（ $\psi _{i}$ ）和終末量子態 ( $\psi _{f}$ ) 的兩個希爾伯特向量的內積（ $<\psi _{f},\,\psi _{i}>$ ）；而這個機率幅的絕對值平方就是與從狀態 $\psi _{i}$ 躍遷到狀態 $\psi _{f}$ 的機率 $P$ ：

　
: $P={\left|<\psi _{f},\,\psi _{i}>\right|}^{2}$

## 非相對論量子力學

在不可考慮狹義相對論的狀況下，物理上假設微觀粒子的純態都可以用波函數代表，而在種情況下，若 $\psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} $ 和 $\phi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} $ 各為兩個表純態的平方可積波函數，那這樣兩者間的機率幅就是：

　
: $<\psi ,\,\phi >=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi \cdot {\bar {\phi }}\,d^{3}x$

## 注譯

## 參閱

* 機率流
* 薛丁格方程式
* 量子態
* 玻恩定則
概率有神論

**機率有神論**（Probability of Theism），或譯為「**或然率有神論**」，是有神論的證明理論之一，近來由於英國神學家理察・斯溫伯恩重新提出而引起哲學界與神學界的熱烈討論。

## 機率有神論的簡介

* 若沒有一位造物主，吾人該如何解釋宇宙大爆炸？但是如果有一位造物主，那麼大爆炸就可以被解釋了，比方說有一本名叫《聖經》的書中提過有一位造物主耶和華就曾經交待過其創世動機....
* 如果我們用機率來解釋宇宙形成之謎、地球生命形成之謎、物種演化之謎、初始生物的肉食之謎.... 這些不可思議的事情全部發生在一個地球上的一小段時間內，其機率會小到何等程度？其機率是否會小於**有一位造物主的可能性**？
* 有神論者比實證論者回答了更多的問題，有神論者能夠解答因有神論而產生的問題，但實證論者不能解決其問題，不是嗎？
* 如果有造物主，吾人該如何證明祂完全不可能是透過《聖經》向我們說話的那一位耶和華？既然祂是造物主，顯然祂可以做到這樣的事....
* 如果有上帝，祂便有可能做出許多違反自然定律的事情。比方摩西分開紅海的事蹟的重點根本不在於其違反物理定理，而是造物者有沒有插手此事的動機。若沒有上帝，歷史中那麼多違反自然律的事情又能是誰做的？
* 第一個結論如下：將所有的原始資料放在一個天秤上判斷這個宇宙有沒有造物主，結果天秤將會倒向有神論的一邊，雖然我們暫時不能知道是一位神還是一票神，也不知道神是否有名字....
* 第二個結論如下：將所有有神論的資料放在一個天秤上判斷，天秤將會倒向《聖經》中的那一位耶和華，因為該教是所有宗教中關於創世與宇宙目的論兩個主題中闡述的最接近現代科學觀的....

## 機率有神論的哲學源流與正反意見

* 機率有神論是個在神學領域及哲學領域中都非常有爭議的主張，首先「機率論」是無神論者（主要是啟蒙運動的實證論者）用來說明宇宙秩序乃是一連串巧合下的產物、因此並不需要做出宇宙曾有位設計者的一個論點。現代由理察・斯恩伯溫重新提出的機率有神論等於是有神論者使用了實證論者的方法來主張其「宇宙目的論」、「設計論」。現在因為雙方使用的方法論相同但結論卻相反，暗示了實證論者有所錯誤，此舉被視為對實證主義的一種挑釁的行為。這也造成了實證論者的危機意識，感受到其哲學主張尚不夠普及化，乃至於對手偷偷調包了內容。
* 此外，由理察・斯恩伯溫重新提出的這種機率有神論其實是基督教神學中「托馬斯主義」的一次恢復。托馬斯・阿奎納主張：雖然理性是不足以認識上帝的全貌，但用其來證明上帝的存在仍是綽綽有餘的。證明上帝的存在這不僅是神學家的使命，並且在這個使命上，上帝也會與神學家們合作，祂曾在宇宙萬物當中留下了足夠的證據來證明其自身，神學家的使命便是找出這些證據。但是這種論點時至今日會被認為是理性主義神學，與宗教改革以後通過加爾文恢復的奧古斯丁主義神學傳統已是背道而馳，因此可以說現代版的「機率有神論」乃是哲學跟神學思想上的一次特殊主張。
概率模型

**機率模型**（Statistical Model，也稱為 Probabilistic Model）是用來描述不同隨機變數之間關係的數學模型，通常情況下刻畫了一個或多個隨機變數之間的相互非確定性的機率關係。從數學上講，該模型通常被表達為 $(Y,P)$ ，其中 $Y$ 是觀測集合用來描述可能的觀測結果， $P$ 是 $Y$ 對應的機率分布函數集合。若使用機率模型，一般而言需假設存在一個確定的分布 $P$ 生成觀測數據 $Y$ 。因此通常使用統計推論的辦法確定集合 $P$ 中誰是數據產生的原因。

大多數統計檢定都可以被理解為一種機率模型。例如，一個比較兩組數據均值的司徒頓 t 檢定可以被認為是對該機率模型母數是否為 0 的檢定。此外，檢定與模型的另一個共同點則是兩者都需要提出假設並且誤差在模型中常被假設為常態分布。

## 定義

機率模型 ${\mathcal {P}}$ 是一個機率分布函數或密度函數的集合。可分為母數模型，無母數和半母數模型。

母數模型是一組由有限維母數構成的分布集合 ${\mathcal {P}}=\{\mathbb {P} _{\theta }:\theta \in \Theta \}$ 。其中 $\theta $ 是母數，而 $\Theta \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是其可行歐幾里得子空間。機率模型可被用來描述一組可產生已知採樣數據的分布集合。例如，假設數據產生於唯一母數的高斯分布，則我們可假設該機率模型為 ${\mathcal {P}}=\{\mathbb {P} (x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}\right\}:\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}$ 。

無母數模型則是一組由無限維母數構成的機率分布函數集合，可被表示為 ${\mathcal {P}}=\{{\text{all distributions}}\}$ 。

相比於無母數模型和母數模型，半母數模型也由無限維母數構成，但其在分布函數空間內並不緊密。例如，一組混疊的高斯模型。確切的說，如果 $d$ 是母數的維度， $n$ 是數據點的大小，如果隨著 $d\rightarrow \infty $ 和 $n\rightarrow \infty $ 則 $d/n\rightarrow 0$ ，則我們稱之為半母數模型。
概率母函数

在機率論裡，一個離散隨機變數的**機率母函數**是指該隨機變數的機率質量函數的冪級數表達式。

## 定義

### 單變數情形

如果 $X$ 是在非負整數體 $\{0,1,...\}$ 上取值的離散隨機變數，那麼 _$X$_ 的_機率母函數_定義為

　
: $G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},$

其中 $p$ 是 _$X$_ 的機率質量函數。

### 多變數情形

如果 $X=(X_{1},\ldots ,X_{d})$ 是在 _d_- 非負整數格 $\{0,1,\ldots \}^{d}$ 上取值的離散隨機變數，那麼 _$X$_ 的_機率母函數_定義為

　
: $G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},$

其中 $p$ 是 _$X$_ 的機率質量函數。

## 注釋

## 參考文獻

* Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) _Univariate Discrete distributions_ (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Section 1.B9)
概率测度

**機率測度**是機率空間中定義在一個事件集合上的、滿足測度性質（例如可列可加性）的實值函數。機率測度與一般意義上的測度（包括類似面積或體積等概念）的區別在於，機率測度之於整個機率空間的值必須等於 1。

從直覺上來看，機率測度的可加性意味著兩個不相交事件的聯集的機率測度值應等於這兩個事件各自的機率測度值之和，例如「擲骰子得到 1 或 2」這一事件的測度值應等於「擲骰子得到 1」的測度值與「擲骰子得到 2」的測度值之和。

## 參考文獻
概率演算法

**隨機化算法**（randomized algorithm），是這樣一種算法，在算法中使用了隨機函數，且隨機函數的返回值直接或者間接的影響了算法的執行流程或執行結果。就是將算法的某一步或某幾步置於運氣的控制之下，即該算法在運行的過程中的某一步或某幾步涉及一個隨機決策，或者說其中的一個決策依賴於某種隨機事件。
概率潜在语义分析

**機率的潛在語義分析**（**PLSA）** ，也稱為**機率潛在語義索引**（**PLSI**，尤其是在訊息檢索領域），是用於分析雙模和共現數據的統計方法。 實際上，人們可以根據對某些隱變數的親和性來推導出觀測變數的低維表示，就像 PLSA 是從潛在語義分析中演化而來。

與源於線性代數並縮小發生表（通常通過奇異值分解）的標準潛在語義分析所不同的是，機率潛在語義分析基於從潛類模型導出的混合分解。

## 模型

考慮到以單詞和文檔的共現 **$(w,d)$** 形式進行的觀察，PLSA 將每次共現的機率建模為條件獨立的多項分布的混合：

　
: $P(w,d)=\sum _{c}P(c)P(d|c)P(w|c)=P(d)\sum _{c}P(c|d)P(w|c)$

其中 'c' 是單詞的主題。值得注意的是，模型的主題數量是一個超參數，必須提前設置而不是從數據中估計。第一個公式是對稱式，其中 $w$ 和 $d$ 都是以類似的方式從潛變數 $c$ 生成（基於條件機率 $P(d|c)$ 和 $P(w|c)$ ）；而第二個公式是不對稱的 ，對於每個文檔 $d$ 根據 $P(c|d)$ 有條件地從文檔中選擇潛在類 $c$ ，然後根據 $P(w|c)$ 從該類生成一個單詞。雖然在這個例子中我們使用單詞和文檔建模，但是任何離散變數的共現也可以用完全相同的方式建模。

因此，模型參數的數量等於 $cd+wc$ ，參數數量隨文檔數量呈線性增長。此外，儘管 PLSA 是基於文檔集的生成模型，但它並不是新文檔的生成模型。

模型的參數使用最大期望算法（EM 算法）學習得到。

## 應用

PLSA 可以通過 Fisher 核函數用於判別設置。

PLSA 在訊息檢索和過濾、自然語言處理、文本機器學習及其他相關領域都有應用。

根據報告，機率潛在語義分析中使用的方面模型存在嚴重的過擬合問題。

## 擴展

* 分層擴展：
  * 不對稱：MASHA（Multinomial ASymmetric Hierarchical Analysis，多項式非對稱分層分析）
  * 對稱：HPLSA（Hierarchical Probabilistic Latent Semantic Analysis，分層機率潛在語義分析）
* 生成模型：已經開發了以下模型來解決經常被批評的 PLSA 缺點 —— 它不是新文檔的正確生成模型。
  * 潛在狄利克雷分配（LDA）—— 在每個文檔 - 主題分布上添加狄利克雷先驗
* 高階數據：儘管在科學文獻中很少討論這一點，但 PLSA 可以自然地擴展到更高階數據（三種模式或更高階），它可以模擬三個或更多變數的共現。在上面的對稱公式中，這僅需要為這些附加變數添加條件機率分布就可以實現。這是非負張量因子分解的機率類比。

## 歷史

這是潛類模型的一個特例（參見其中的參考文獻），它與非負矩陣分解有關。當前的術語是由 Thomas Hofmann 在 1999 年創造的。

## 參見

* 向量空間模型

## 參考文獻

## 外部連結

* 機率潛在語義分析（PDF）
* C# 編寫的 PLSA 的 DEMO
概率的历史

與數學的其它分支相比，概率論的發展經歷了一段極為緩慢的過程。直到 1923 年維納提出維納測度，柯爾莫哥洛夫公理化概率論後，概率論迎來了快速發展。

## 詞源

## 19 世紀以前

在古希臘和古埃及的遺址中，有一些用動物骨頭製作類似於骰子原型的東西。文藝復興時期，人們在賭博時就會用「勝算」這樣的術語，有些人也會根據海上風險的大小定海事保險費。但那時人們並沒有關於計算具體勝算或風險大小的理論，只是根據直覺和經驗估計。

1560 年代，卡爾達諾在其著作 _Liber de ludo aleae_ 中系統地研究了概率論，他將勝算定義為贏和輸的結果次數之比。

1654 年，帕斯卡和費馬在互通書信時討論了概率論，可以視作是概率論的開端。數學期望的概念在這次討論中誕生。後來，惠更斯對此做了進一步研究，寫了一本關於概率論的著作 _De ratiociniis in ludo aleae_。

1710 年代，伯努利發現了大數定律，並著有 _Ars Conjectandi_。棣莫弗又做了進一步的研究，給出了中心極限定理的特殊形式，並編寫了 _The Doctrine of Chances_。儘管棣莫弗的工作在一段時期內被人遺忘，但是拉普拉斯在 1812 年出版的《概率論 —— 概率之解析理論》後，棣莫弗的成果由受到了關注。因此，棣莫弗 - 拉普拉斯定理以他們的名字命名。

## 20 世紀

在拉普拉斯之後，概率論並沒有飛躍性的進展，直至 20 世紀測度論確立。1902 年，勒貝格在他論文中確立了測度論的基礎。在其影響下，博雷爾在 1909 年給出了無數次拋硬幣的強大數定律。這一成果被豪斯道夫，哈代，李特爾伍德，Steinhaus 等人進一步發展。在這些研究的基礎上，辛欽給出了重對數律。

除了極限理論，隨機過程理論也迎來了發展。早在公元前 1 世紀，羅馬詩人和哲學家盧克萊修在他的詩 _On the Nature of Things_ 中就描述了窗邊在太陽照射之下，空氣中不規則運動的微粒。1827 年，時任大英博物館植物主任的羅伯特・布朗觀察到了布朗運動，但隨著時間推移，人們漸漸對此不再關心了。但 1905 年，愛因斯坦發表了《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮粒子的運動》，對布朗運動作出解釋，並證實了原子存在這一結論。這為隨機過程理論的發展帶來新的轉機。

緊接著，讓・佩蘭做了實驗確認了愛因斯坦的結論，並在 1913 年發表了著作《原子》。佩蘭的想法影響了諾伯特・維納，維納研究了布朗運動。1923 年，維納發表了論文 _Differential Space_，確立了維納測度，使得連續時間的隨機過程獲得了現代數學意義下的保障。此時，概率論的研究方向開始轉變到連續時間的隨機過程，概率論的研究中心也從歐洲轉移到了美國。

## 參考文獻
概率空間

**機率空間**是機率論的基礎。機率的嚴格定義基於這個概念。

## 定義

**機率空間** $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 是一個總測度為 1 的測度空間（即 $P(\Omega )=1$ ）。 

第一項 $\Omega $ 是一個非空集合，稱作樣本空間。 $\Omega $ 里的元素稱作結果或樣本輸出，可寫作 ω。

第二項 ${\mathcal {F}}$ 是一個 σ- 代數。事件是樣本空間 $\Omega $ 的子集， ${\mathcal {F}}$ 由事件構成，是樣本空間 $\Omega $ 冪集 $2^{\Omega }$ 的一個非空子集。集合 ${\mathcal {F}}$ 必須是一個 σ- 代數，即滿足下面三個性質:

 1. ${\mathcal {F}}$ 包含全集，即 $\Omega {\in }{\mathcal {F}}$ ；
2. 若 $A{\in }{\mathcal {F}}$ ，則補集 ${\bar {A}}{\in }{\mathcal {F}}$ ；
3. ${\mathcal {F}}$ 對可數並封閉，即對於 $A_{n}{\in }{\mathcal {F}}$ ， $n=1,2,...$ ，那麼 $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\in }{\mathcal {F}}$

空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 稱為可測空間，在此集合上可定義其機率測度。

第三項 $P$ 稱為機率，或者機率測度。這是一個從集合 ${\mathcal {F}}$ 到實數體 $\mathbb {R} $ 的函數。機率測度 $P:{\mathcal {F}}{\to }\mathbb {R} $ 需要滿足

1. 可數可加性：如果 $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ 為兩兩不交的集合，那麼 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ 。
2. 全空間的機率為 1，即 $P(\Omega )=1$ 。

機率測度給每個事件賦予一個 0 和 1 之間的機率值。

機率測度經常以粗體表示，例如 $\mathbb {P} $ 或 $\mathbf {P} $ ，也可用符號 $\Pr $ 來表示。

## 離散模式

離散機率理論僅需要可數集的樣本空間 $\Omega $ 。機率指的是由機率質量函數 $p:\Omega \to [0,1]$ 求得 $\Omega $ 上的使得 $\sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1$ 的點。 $\Omega $ 全部的子集合可視為隨機事件（也就是 ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ 為冪集）。機率測度可簡寫為

使用 σ- 代數 ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ 能夠完整描述樣本空間。一般來說，σ- 代數相當於一個有限或可數的集合劃分 $\Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots $ ，事件 A 的一般型 $A\in {\mathcal {F}}$ 且 $A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots $

 $p(\omega )=0$ 是被定義允許的情況但極少使用，因為這樣的 $\omega $ 可以安全地從樣本空間中移除。

## 一般模式

如果 Ω 不可數，存在某些 _ω_ 使得 _p_(_ω_) ≠ 0 的情況仍然存在，那些 _ω_ 稱為原子。他們大部分都是可數的集合（有可能為空集合），其可能性為所有原子機率的和。如果這個和等於 1，那麼其他的點可以安全地從樣本空間中移除，迴歸離散模式。反之，如果和少與 1（有可能為零）那麼機率空間分解成為離散（原子）部分（可能為零），以及非原子部分。

## 例子

若樣本空間是關於一個機會均等的拋硬幣動作，則樣本輸出為「正面」或「反面」。事件為：

* {正面}，其機率為 0.5。
* {反面}，其機率為 0.5。
* { }=∅ 非正非反，其機率為 0.
* {正面，反面}，不是正面就是反面，這是 _Ω_，其機率為 1。

## 相關概念

### 隨機變數

隨機變數是一個從 Ω 映射到另一個集合 (通常是實數體 _R_) 的函數。它必須是一個可測函數。比如說，若 _X_ 是一個實隨機變數，則使 _X_ 為正的樣本輸出的集合 {ω∈Ω:_X_(ω)>0} 是一個事件。

為簡便起見，{ω∈Ω:_X_(ω)>0} 經常衹寫作 {_X_>0}。_P_({_X_>0}) 更被簡化為 _P_(_X_>0)。

### 獨立

若 _P_(_A_∩_B_)=_P_(_A_)_P_(_B_)，則 _A_ 和 _B_ 兩個事件是獨立的。

若任何與隨機變數 _X_ 有關的事件和任何與隨機變數 _Y_ 有關的事件獨立，則 _X_ 和 _Y_ 兩個隨機變數是獨立的。

獨立這個概念是機率論和測度論分道揚鑣的地方。

### 互斥

若 _P_(_A_∩_B_)=0，則稱 _A_ 和 _B_ 兩個事件互斥或「不相交」（這個性質要比 _A_∩_B_=∅弱一些，後者是集合不相交的定義）。

若兩個事件 _A_ 和 _B_ 不相交，則 _P_(_A_∪_B_)=_P_(_A_)+_P_(_B_)。這個性質可以擴展到由（有限個或者可數無限個）事件組成的事件序列。但不可數無限個事件組成的事件集合對應的機率與集合元素對應機率之和未必相等，例如若 _Z_ 是常態分布的隨機變數，則對任意 _x_ 有 _P_(_Z_=_x_)=0，但是 _P_(_Z_ 是實數)=1。

事件 _A_∩_B_ 的意思是 _A_ 並且 _B_；事件 _A_∪_B_ 的意思是 _A_ 或者 _B_.
概率统计学

**數理統計**（英語：Mathematical statistics）是統計學的數學基礎，從數學的角度去研究統計學，為各種應用統計學提供理論支持。

## 參考文獻
概率编程

**概率編程**（**PP**）是一種編程范型，在其中指定了概率模型並自動進行這些模型的推斷。它代表了統一概率模型和傳統通用編程的一種嘗試，使前者更加容易並更廣泛的應用。它可以用於建立系統幫助在面對不確定時作出決定。

用於概率編程的程式語言被稱為「概率程式語言」（PPL）。

## 應用

概率推理已經廣泛用於各種任務，比如預測股價、推薦電影、診斷計算機、檢測網絡入侵和圖像檢查。但是直到最近（部份由於計算能力的限制），概率編程範圍有限，並且多數推斷算法對每個任務都必須手工編寫。

儘管如此，在 2015 年一個 50 行的概率計算機視覺程序被用於基於人臉的 2D 圖像來生成這些人臉的 3D 模型。這個程序使用反向（inverse）圖作為推斷方法的基礎，並使用 Julia 的 Picture 包來建造。這使得「用 50 行代碼寫出過去千行代碼的程序」成為可能。Gen 概率編程庫（也用 Julia 寫成）已經被用於視覺和機器人任務。

最近，概率編程系統 Turing.jl 已經被用於各種製藥和經濟應用。Julia 中的概率編程已經結合於可微分編程，通過組合 Julia 包 Zygote.jl 和 Turing.jl。

## 概率程式語言

概率程式語言（PPL）經常從基礎語言擴展而來。底層基礎語言的選擇依賴於模型與基礎語言本體的類似性，還有商業考慮和個人偏好。例如 Dimple 和 Chimple 基於了 Java，Infer.NET 基於了.NET 框架，而 PRISM 擴展自 Prolog。但是，一些 PPL 比如 WinBUGS 和 Stan，提供了獨立的語言，沒有明顯起源自另一種語言。

一些 PPL 正在活躍開發中，包括在 beta 測試中的那些。兩個最流行的工具是 Stan 和 PyMC。

### 關係

**概率關係程式語言**（PRPL）專門設計來描述和推論概率關係模型（PRM）的概率程式語言（PPL）。

PRM 的開發通常具有一組算法，用於關注的分布的歸約、推理和發現，它們被嵌入到對應的 PRPL 中。

## 概率程式語言列表

## 困難

推理按概率分布的變量給初學編程者帶來困難，但是這些困難可以通過使用嵌入到原始碼編輯器中的變量分布的貝葉斯網絡可視化和圖來解決。

## 參見

* 統計關係學習
* 歸納編程
* 貝葉斯編程

## 注釋

## 外部連結

* List of Probabilistic Model Mini Language Toolkits （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Probabilistic programming wiki