橢圓

在數學中，**橢圓**是平面上到兩個相異固定點的距離之和為常數的點之軌跡。

根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖將線繃緊，這時候兩個點和筆就形成一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉著線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓圖形。

由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

## 概述

橢圓是一種圓錐曲線：如果一個平面切截一個圓錐面，且不與它的底面相交，也不與它的底面平行，則圓錐和平面交截線是個橢圓。

在代數上說，橢圓是在笛卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線

　
: $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

使得 $B^{2}<4AC\,$ ，這裡的係數都是實數，並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。

穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段 AB 叫做**長軸**。長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。穿過中心（兩焦點的連線的中點）垂直於長軸並且終止於橢圓的線段 CD 叫做**短軸**。**半長軸**（圖中指示為 _a_）是長軸的一半：從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。**半短軸**（圖中指示為 _b_）是短軸的一半。

如果兩個焦點重合，則這個橢圓是圓；換句話說，圓是離心率為零的橢圓。

中心位於原點的橢圓 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,$ 可以被看作單位圓在關聯於對稱矩陣 $A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}=PDP^{T}\,$ 的線性映射下的圖像，這裡的 D 是帶有 $A^{\prime }$ 的特徵值的對角矩陣，二者沿著主對角線都是正實數的，而 P 是擁有 $A^{\prime }$ 的特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。橢圓的長短軸分別沿著 $A^{\prime }$ 的兩個特徵向量的方向，而兩個與之對應的特徵值分別是**半長軸**和**半短軸**的長度的平方的倒數。

橢圓可以通過對一個圓的所有點的 _x_ 坐標乘以一個常數而不改變 _y_ 坐標來生成。

## 離心率

橢圓的形狀可以用叫做橢圓的離心率的一個數來表達，習慣上指示為 $\varepsilon \,$ 。離心率是小於 1 大於等於 0 的實數。離心率 0 表示著兩個焦點重合而這個橢圓是圓。

對於有半長軸 _a_ 和半短軸 _b_ 的橢圓，離心率是

　
: $\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

離心率越大，_a_ 與 _b_ 的比率就越大，因此橢圓被更加拉長。

半焦距 _c_ 等於從中心到任一焦點的距離，

　
: $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

則

　
: $\varepsilon ={\frac {c}{a}}$

半焦距 _c_ 也叫做橢圓的**線性離心率**。在兩個焦點間的距離是 2_c_ = 2_a_ε。

## 方程

中心位於點 $(h,k)$ 的主軸平行於 _x_ 軸的橢圓由如下方程指定

　
: ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

這個橢圓可以參數化表達為

　
: $x=h+a\,\cos t,\,\!$

　
: $y=k+b\,\sin t\,\!$

這裡的 $t$ 可以限制於區間 $-\pi \leq t\leq \pi \,\!$ 。

如果 $h=0$ 且 $k=0$ （就是說，如果中心是原點 (0,0))，則

　
: $x=a\,\cos t,\,\!$

　
: $y=b\,\sin t\,\!$

這個參數方程揭示了兩個方向相互垂直的簡諧運動 (表現為具有周期性的簡諧波) 合成了閉合的橢圓形周期性運動（表現為軌跡是橢圓）。

　
:

### 相對於中心的極坐標形式

用極坐標可表達為

　
: ${\overline {CP}}=r'={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\psi }}}$

這裡的 $\varepsilon $ 是橢圓的離心率； $\psi $ 是 ${\overline {CB}}$ 與 ${\overline {CP}}$ 的夾角

### 相對於焦點的極坐標形式

有一個焦點在原點的橢圓的極坐標方程是

　
: ${\overline {F_{1}P}}=r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}$

這裡的 $\theta $ 是 ${\overline {F_{1}B}}$ 與 ${\overline {F_{1}P}}$ 的夾角

#### 半正焦弦和極坐標

橢圓的半正焦弦 (通常指示為 $\ell \,\!$ )，是從橢圓的一個焦點到橢圓自身，沿著垂直主軸的直線測量的距離。它有關於 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ （橢圓的半軸），通過公式 $a\ell =b^{2}\,\!$ 或者如果使用離心率的話 $\ell =a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\,\!$ 。

　
:

在極坐標中，一個焦點在原點而另一個焦點在負 _x_ 軸上的橢圓給出自方程

　
: $r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=\ell \,\!$

橢圓可以被看作是圓的投影：在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin φ 的橢圓，假定 φ 不是 90°。

## 面積和周長

橢圓所包圍的面積是 $\pi ab\,$ ，這裡的 $a\,$ ，和 $b\,$ ，
是半長軸和半短軸。在圓的情況下 $a=b\,$ ，表達式簡化為 $\pi a^{2}\,$ 。

橢圓的周長是 $4aE({\frac {c}{a}})$ ，這裡的函數 $E\,$ 是第二類完全橢圓積分。

周長為： $C=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!$ 或者 $C=4a\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!$

精確的無窮級數為：

　
: $C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4}}}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6}}}-\dots }\right]\!\,$

或：

　
: $C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over {{a^{2n}}\left(2n-1\right)}}\right\rbrace }$

拉馬努金給出一較為接近的式子：

　
: $C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,$

它還可以寫為：

　
: $C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]}}\!\,$

還有一條近似很高的公式：

　
: $C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi }}-1\right)\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{697}}}\right]\!\,$

## 標準方程的推導

* 如果在一個平面內一個**動點**到兩個**定點**的距離的和等於定長，那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

假設（注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便）動點為 $P(x,y)\,$ ，兩個定點為 $F_{1}(-c,0)\,$ 和 $F_{2}(c,0)\,$ ，則根據定義，動點 $P$ 的軌跡方程滿足（定義式）：

　
: $|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(a>0)\,$ ，其中 $2a\,$ 為定長。

用兩點的距離公式可得： $|PF_{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\,$ ， $|PF_{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}\,$ ，代入定義式中，得：

　
: ${\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}=2a\,$ ①

上式左方分子湊出平方差，並化簡，得：

　
: ${\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}{{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}}}=2a\,$

分子大部分相消，分母移項即得

　
: ${\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {2xc}{a}}\,$ ②

①、②式相加並平方，整理得

　
: $x^{2}\left({\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}\right)+y^{2}=a^{2}-c^{2}\,$

當 $a>c\,$ 時，並設 $a^{2}-c^{2}=b^{2}\,$ ，則上式可以進一步化簡：

　
: $x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=b^{2}\,$

因為 $b^{2}>0\,$ ，將上式兩邊同除以 $b^{2}\,$ ，可得：

　
: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,$

則該方程即動點 $P$ 的軌跡方程，即橢圓的方程。這個形式也是**橢圓的標準方程**。

* 橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示，那麼上述定義中兩個定點被定義在了 _x_ 軸。若將兩個定點改在 _y_ 軸，可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程：

　
: ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)\,$

* 在方程中，所設的 $2a\,$ 稱為長軸長， $2b\,$ 稱為短軸長，而所設的定點稱為焦點，那麼 $2c\,$ 稱為焦距。在假設的過程中，假設了 $a>c\,$ ，如果不這樣假設，會發現得不到橢圓。當 $a=c\,$ 時，這個動點的軌跡是一個線段；當 $a<c\,$ 時，根本得不到實際存在的軌跡，而這時，其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意，在假設中，還有一處： $a^{2}-c^{2}=b^{2}\,$ 。
* 通常認為圓是橢圓的一種特殊情況。

## 橢圓的旋轉和平移

對於平面上任意橢圓 $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$ ，總可以將之轉化為

　
: $A(x-u)^{2}+2B(x-u)(y-v)+C(y-v)^{2}+f=0\,$

的形式。具體步驟為，將後式的各乘積乘方項展開，根據與前式對應項係數相等的法則便可求得 u,v,f 的值。其中， $(u,v)\,$ 便是該橢圓的中心（f=0）。

若將

　
: $x=x^{\prime }-u$

　
: $y=y^{\prime }-v$

代入式中便可得到平移前的橢圓。

若 $B\neq 0$ ，則表示橢圓的長短軸與坐標系的坐標軸並不平行或垂直，即發生了旋轉。設旋轉的角度為 $\displaystyle \varphi $ ，則有

　
: $\displaystyle tan(2\varphi )={\frac {2B}{A-C}}$

當 $A-C=0$ ，則說明 $\varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}$ 。

若將

　
: $x=x^{\prime }\cos \varphi -y^{\prime }\sin \varphi $

　
: $y=y^{\prime }\cos \varphi +x^{\prime }\sin \varphi $

代入式中便可得到旋轉前的橢圓。

## 漸開線及其導數

　
: ${\begin{cases}x=a\cos t+{\cfrac {abE\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\\y=b\sin t+{\cfrac {b^{2}E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\cos t}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}\!\,\\\end{cases}}$

 

　
: ${\begin{cases}{\cfrac {{\rm {d}}x}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{2}\sin 2t-2b^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}-a\sin t\!\,\\\\{\cfrac {{\rm {d}}y}{\rm {{d}t}}}={\cfrac {\left[b^{3}\sin 2t-2ab^{2}\sin t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\right]\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right)-ab^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin 2t\cdot E\left(t,{\cfrac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\sin t}{2a\left(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t\right){\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}}+b\cos t\!\,\\\end{cases}}$

有了橢圓漸開線的導數，可以計算它的長度，其中 $E\left(t,{\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)\,$ 是第二類完全橢圓積分。

## 參見

* 圓錐曲線
* 克卜勒定律
* 類球面
* 橢球坐標系
* 橢圓規
* 超橢圓
* 橢球體
* 三 - 橢圓形

## 外部連結

* 明末清初西方橢圓知識在中國的傳播 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）