正立方體

在幾何學中，**立方體**，是由 6 個正方形面組成的正多面體，故又稱**正六面體**、**正方體**或**正立方體**。它有 12 條稜（邊）和 8 個頂點，是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性，即考克斯特 BC3 對稱性，施萊夫利符號 {4,3}，考克斯特 - 迪肯符號，其對偶多面體為正八面體。

## 性質

面的組成：正方形 
面的數目：6 
邊的數目：12 
頂點數目：8 
表面積： $6a^{2}\ $ 
體積： $a^{3}\ $ 
二面角角度： $90^{\circ }$ 
外接球半徑： ${\sqrt {\frac {3}{4}}}a$ $\approx 0.866a$ 
內接球半徑： ${\frac {a}{2}}$ 
對偶多面體：正八面體

在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。

### 頂點坐標及表面方程式

在三維直角坐標系中，對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為 2 的立方體，其頂點坐標為
(±1, ±1, ±1)
的全排列。其包含了所有滿足 | x|≤1 且 | y|≤1 且 | z|≤1 的點 (x,y,z)。

在 R3 中，以點 (x0,y0,z0) 為中心的立方體表面是點 (x,y,z) 的運動軌跡，其中 x,y,z 滿足：

　
: $\lim _{n\to \infty }(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.$

### 幾何性質

立方體有 11 種不同的展開圖，即是說，我們可以有 11 種不同的方法切開空心立方體的 7 條棱而將其展平為平面圖形，見右圖。

如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則我們至少需要 3 種顏色（類似於四色問題）。

立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面 —— 正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。

將立方體沿對角線切開，能得到 6 個全等的正 4 稜柱（但它不是半正的，底面棱長與側棱長之比為 2:√3）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。

## 正交投影

我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本 BC3 對稱性的一部分。

## 半正對稱性與表面塗色

作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性 Oh 中，立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性 D4h 則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘 4 個側面顏色相同。立方體最低的對稱性 D2h 也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特 - 迪肯符號和 Wythoff 符號。此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。

## 相關多面體及鑲嵌

* 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 ${\sqrt {2}}$ ，其體積為立方體體積的 ${\frac {1}{3}}$ 。

* 立方體的對偶多面體是正八面體。

當正八面體在立方體之內： 
正八面體體積 : 立方體體積 
=[(1/3)× 高 × 底面積]×2 : 邊 3 

=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3 

=1 : 6

* 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
* 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
* 截角立方體
* 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的 3 維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是 90°、有類似的超體積公式，即 Vn-cube=an 等）。
* 長方體、偏方面體的特例。

將立方體對映映射後的到的商形成的一個實射影多面體，即**立方體半形（hemicube）** （不應叫其「半立方體」，因為其易與『demicube’混淆）。

正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體棱長為 1，則對偶正八面體棱長為√2。

正方體是一種最特殊的四邊形正六面體：

立方體的 8 個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為**半 (Demi-) 立方體**的正四面體。這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體 —— **星形正八面體（Stella Octagula）** 。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味著，正四面體的對稱群 A3 是正方體對稱群的子群，對應著能將半立方體轉換到自身的對稱轉換，立方體其餘的對稱轉換能將兩個半立方體轉換到對方。一個這樣的正四面體占據了立方體體積的 1/3, 立方體剩餘的部分是 4 個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各占立方體體積的 1/6。

從立方體各棱中點處切掉立方體的角，我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫「截半」（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectified cube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。如果我們不在棱中點處截它，則這種操作叫「截角」（truncation），正方形面變成了八邊形。如果截的合適，則我們可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncated cube）。如果我們同時截掉立方體的棱和頂，則這種操作叫「截棱」（centellation），如果截的恰當，得到的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。

正十二面體有 20 個頂點，它們可以以不同組合分成由 8 個頂點組成的 5 組，這 8 個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起，構成複合多面體 —— 五複合立方體。

如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點，我們會得到一個非正的八面體，將 8 個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則我們得到截半立方體。 
立方體與所有其它擁有 BC3 對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族：

此外，立方體在拓撲上與其它 3 階正鑲嵌 {n,3} 相關：

立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌 {4,n}(n≥3) 有關：

立方體是正四稜柱：

## 應用

* 日常生活
  * 食鹽和糖的結晶體都是立方狀。
  * 骰子最常見的形狀就是立方體。
  * 1967 年世界博覽會的「立方體房間」
  * 中國國家游泳中心俗稱「水立方」
* 遊戲
  * 索馬立方
  * 魔術方塊
  * 扭扭骰
  * 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以 6 個 1×2×2 及 3 個單位立方組成 3×3×3 的立方（僅有一個解法）[1]
  * 康威立方：以 3 個 1×1×3，13 個 1×2×4，及 1×2×2 和 2×2×2 的長方體各一個，組成一個 5×5×5 的立方（572 個解）[2]
* 視錯覺
  * 奈克方塊
  * 不可能方塊（下圖）
* 數論
  * 立方數

## 數學問題

### 倍立方體問題

參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的位置

### 最大的橫切面

立方體的橫切面只有四種：

* 三角形
* 矩形
* 五邊形
* 六邊形

其中以正六邊形的面積最大，若立方體的棱長為 a, 則正六邊形的面積為 ${\frac {3{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$ 。

## 參見

* 四角柱
* 超方形
* 正八面體

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，立方體 （參閱柏拉圖立體） 於 MathWorld（英文）
* 摺紙立方體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因。立方體. MathWorld.  （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mathematische Basteleien （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）