概形

**概形**（scheme）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他 1960 年的論文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代數幾何中的一些問題，例如威爾猜想 。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓撲學、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明費馬最後定理。

## 定義

給定一個局部賦環空間 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ，如果對 $X$ 的一個開集 $V$ ， $(V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})$ 是仿射概形，稱 $V$ 爲_仿射開集_。

一個局部賦環空間 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 稱爲**概形**，如果 $X$ 的每一點 $x$ 都有仿射開鄰域，即包含 $x$ 的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

## 概形範疇

全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見概形的態射）。給定概形 $Y$ ，所謂 $Y$ **之上**的概形 $X$ （又稱 $Y$ - 概形）即是概形間的態射 $X\to Y$ 。交換環 $R$ 上的概形 $X$ 即是態射 $X\to \operatorname {Spec} (R)$ 。

域 $k$ 上的代數簇可定義為 $k$ 上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為 $k$ 之上有限型的整、分離概形。

態射 $f:X\to Y$ 確定了正則函數環上的**拉回同態** $f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)$ 。對於仿射概形，此構造給出概形態射 $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$ 與環同態 $B\to A$ 之間的一一對應。此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於 $\mathbb {Z} $ 是交換環範疇的始對象，概形範疇對應以 $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ 為終對象。對於交換環 $R$ 上的概形 $X$ ，所謂 $X$ 的 $R$ 值點即是態射 $X\to \operatorname {Spec} (R)$ 的截面，全體 $R$ 值點的集合記作 $X(R)$ ，其對應的古典概念是定義 $X$ 的方程組在 $R$ 中的解集。若 $R$ 實為域 $k$ ，則 $X(k)$ 亦稱為 $X$ 的 $k$ -有理點集。

推而廣之，設有交換環 $R$ ，其上有概形 $X$ 和交換代數 $S$ ，則 $X$ 的 $S$ 值點定義為 $R$ 之上的態射 $\operatorname {Spec} (S)\to X$ （該態射需要與射向 $\operatorname {Spec} (R)$ 的態射組成交換圖表）， $S$ 值點的集合記作 $X(S)$ 。（類比到方程組的情況，相當於將某個域 $k$ 擴張成 $E$ ，再考慮 $E$ 中的解集。）固定 $R$ 及其上的概形 $X$ 時，映射 $S\mapsto X(S)$ 為自交換 $R$ 代數範疇至集合範疇的函子。 $R$ 上的概形 $X$ 可從此點函子確定。

概形的纖維積總存在：對任意兩態射 $X\to Y,Z\to Y$ ，皆可在概形範疇內找到纖維積 $X\times _{Y}Z$ （即範疇學拉回）。若 $X,Z$ 為域 $k$ 上的概形，則兩者在 $\operatorname {Spec} (k)$ 上的纖維積可以視為 $k$ - 概形範疇中的積，例如仿射空間 $\mathbb {A} ^{m}$ 與 $\mathbb {A} ^{n}$ 在 $k$ 上之積正是 $\mathbb {A} ^{m+n}$ 。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象 $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ ，其有齊全部有限極限。

## 歷史

概形的概念是由亞歷山大・格羅滕迪克在 20 世紀 50 年代引入的。一開始稱為「預概形」（法語：préschéma，英語：prescheme），1967 年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文「概型」。

## 例

* 仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設 $X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}$ （基域取複域 $\mathbb {C} $ 為例），則當 $n\geq 2$ 時， $X$ 不為仿射。（但對於 $n=1$ 的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形 $\operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]$ 。）欲證 $X$ 非仿射，可以證出當 $n\geq 2$ 時， $X$ 上的每個正則映射，皆可延拓至 $\mathbb {A} ^{n}$ 上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的哈托格斯延拓定理）。換言之，嵌入 $f:X\to \mathbb {A} ^{n}$ 導出自 ${\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 至 ${\mathcal {O}}(X)$ 的環同構。假若 $X$ 仿射，將由此得出 $f$ 本身亦為同構，但 $f$ 不為滿射，矛盾。因此，概形 $X$ 不為仿射。
* 設 $k$ 為域，則可數積 $\prod _{n=1}^{\infty }k$ 的譜 $\operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)$ 為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通 - 切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超濾子一一對應：超濾子 ${\mathcal {F}}$ 對應質理想
$$
\quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},
$$

特別地，正整數 $n$ 對應的主超濾子，對應的質理想是 $\{x:x_{n}=0\}$ 。本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個既約分支。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（諾特概形則與之相對，衹有有限多個既約分支。）

## 參考文獻

* Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, **55** (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688 .
* Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819.
* Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.

## 參見

* 《代數幾何基礎》