格理论

在數學中，**格**（英語：Lattice）是其非空有限子集都有一個上確界（稱為**接**）和一個下確界（稱為**交**）的偏序集合（poset）。格也可以特徵化為滿足特定公理恆等式的代數結構。因為兩個定義是等價的，格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格，依次包括海廷代數和布林代數。這些 "格樣式" 的結構都允許序理論和抽象代數的描述。

需要注意的是，本條目介紹的是序理論中的「格」，並非幾何與群論中的「格（群論）」（點陣），兩者的英文均為「lattice」。雖然在繼承自平面的次序中，每個點陣都是格，但是許多格不是點陣。

## 序理論定義

考慮任意一個偏序集合（_L_,≤），如果對集合 L 中的任意元素 a,b，使得 a,b 在 L 中存在一個最大下界，和最小上界，則 (_L_,≤) 是一個格。

這裡對於取 a,b 的最大下界的操作用 $a\wedge b$ 表示；

對於取 a,b 的最小上界操作用 $a\vee b$ 表示。

**有界格**有一個最大元素和一個最小元素，按慣例分別指示為 1 和 0（也叫做**頂**和**底**）。任何格都可以通過增加一個最大元素和最小元素而轉換成有界格。

使用容易的歸納論證，你可以演繹出任何格的所有非空有限子集的上確界（接）和下確界（交）的存在。一個很重要的格的種類是**完全格**。一個格是完全的，如果它的所有子集都有一個交和一個接，這對比於上述格的定義，這裡只要求所有非空有限子集的交和接的存在。

## 抽象代數定義

另一種定義格的方式是將格定義為一種代數結構。一個**格**是一個代數結構 $(L,\vee ,\wedge )$ ，其中 $\vee $ 和 $\wedge $ 是定義在集合 $L$ 上的二元運算，且對於所有的 $a,b,c\in L$ 滿足：

　
:

從上述三個公理恆等式可以得出重要的：

　
:

這些公理斷言了 (_L_, $\vee $ ) 和 (_L_, $\wedge $ ) 都是半格。吸收律是唯一交和接都出現了的公理，把格同一對半格區別開來並確保這兩個半格正確的交互。特別是，每個半格都是另一個半格的對偶。「有界格」要求交和接都有一個零（neutral）元素，分別習慣叫做 1 和 0。參見半格條目。

格與廣群家族有一些聯繫。因為交和接都符合交換律和結合律。格可以看作由有相同的承載者的兩個交換半群組成的。如果格是有界的，這些半群也是交換么半群。吸收律是特定于格理論的唯一定義恆等式。

_L_ 閉包於交和接之下，通過歸納，蘊涵了 _L_ 的任何有限子集的交和接的存在性，有著一個例外：空集的交和接分別是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的條件下包含所有有限（包含空）交和接。為此有些作者定義格的時候要求 0 和 1 是 _L_ 的成員。而以這種方式定義格不損失一般性，因為任何格都可以被嵌入一個有界格中，這裡不接受這種定義。

格的代數解釋在泛代數中扮演根本性角色。

## 兩個定義的等價性

格的代數定義蘊涵了序理論的定義，反之亦然。

明顯的，序理論的格引發了兩個二元運算 $\vee $ 和 $\wedge $ 。容易看出這些運算使 (_L_, $\vee $ , $\wedge $ ) 變成代數意義上的格。反之亦真：考慮代數定義的格 (_M_, $\vee $ , $\wedge $ )。現在定義在 _M_ 上的偏序≤如下，對於 _M_ 中的元素 _x_ 和 _y_

　
: _x_ ≤ _y_ 若且唯若 _x_ = _x_ $\wedge $ _y_

或等價的

　
: _x_ ≤ _y_ 若且唯若 _y_ = _x_ $\vee $ _y_

吸收律確保了兩個定義實際上是等價的。你現在可以檢查以這種方式介入的關係≤定義了在其中二元交和接是通過最初運算 $\vee $ 和 $\wedge $ 而給出的一個偏序。反過來，由得出自上述序理論公式的代數定義的格（_L_, $\vee $ , $\wedge $ ）引發的次序一致於 _L_ 的最初次序。

因為格的兩個定義是等價的，你可以隨意調用任何定義的適合你用的方面。

## 例子

* 對於任何集合 _A_，_A_ 的所有子集的搜集（叫做 _A_ 的冪集）可以通過子集包含的次序獲得一個以 _A_ 自身和空集為上下界的格。集合的交集和聯集分別解釋為交（meet）和接（join）。
* 對於任何集合 _A_，_A_ 的所有有限子集的搜集，通過包含次序也是格，並且將是有界的若且唯若 _A_ 是有限的。
* 自然數（包括 0）在「極小值」（min）和「極大值」（max）運算下，按照通常次序形成格。0 是底，沒有頂。
* 自然數的笛卡兒平方，按有隨後定義的≤排序是格，(_a,b_)≤(_c,d_)↔(_a_ ≤ _c_) &(_b_ ≤ _d_)。(0,0) 是底；沒有頂。
* 正整數在採用最大公因數和最小公倍數運算之下，用整除作為次序關係也形成一個格：_a_ ≤ _b_ 如果 _a_ 整除 _b_。底是 1；沒有頂。
* 任何完全格都是（非常特殊的）有界格。這個類別引出了大量實際例子。

## 格的態射

在兩個格之間的適當的態射概念可以輕易的同上述代數定義得出。給定兩個格（_L_, $\vee $ , $\wedge $ ）和（_M_, $\cup $ , $\cap $ ），_格的同態_是一個函數 _f_ : _L_ → _M_ 使得

　
: _f_(_x_ $\vee $ _y_) = _f_(_x_) $\cup $ _f_(_y_)，

　
: _f_(_x_ $\wedge $ _y_) = _f_(_x_) $\cap $ _f_(_y_)。

所以 _f_ 是兩個底層半格的同態。當考慮帶有更多結構的格的時候，這個態射也應當注意這個額外結構。所以在兩個有界格 _L_ 和 _M_ 之間的態射 _f_ 還有下列性質：

　
: _f_(0L) = 0M，

　
: _f_(1L) = 1M。

在序理論公式中，這些條件只聲稱格的同態是保持二元交和接的一個函數。對於有界格，最小和最大元素的保持只是空集的接和交的保持。

格的任何同態必然關於相關的次序關係是單調的；參見極限的保持。反過來當然不是真的：單調性決不蘊涵要求的保持性質。

假定同構作為可逆態射的標準定義，格的同構就是對射格同態。格和它們的態射形成了一個範疇。

## 子格

格 _L_ 的子格是 _L_ 的非空子集，它是帶有同 _L_ 一樣的交和接運算的格。就是說，如果 _L_ 是一個格，而 _M_ $\not =\varnothing $ 是 _L_ 的子集使得對於 _M_ 中的所有元素對 _a_, _b_ 有 _a_ $\wedge $ _b_ 和 _a_ $\vee $ _b_ 在 _M_ 中，則 _M_ 是 _L_ 的子格。

格 _L_ 的子格 _M_ 是 _L_ 的凸子格，如果 _x ≤ z ≤ y_ 和 _x_, _y_ 在 _M_ 中蘊涵了 _z_ 屬於 _M_，對於在 _L_ 中的所有元素 _x, y, z_。

## 對偶原理

設 $f$ 是含有格中的元素以及符號 $=,\leq ,\geq ,\vee ,\wedge $ 的邏輯命題，令 $f^{*}$ 是將 $f$ 中的 $\leq $ 替換為 $\geq $ ，將 $\geq $ 替換為 $\leq $ ，將 $\vee $ 替換為 $\wedge $ ，將 $\wedge $ 替換為 $\vee $ 後所得到的命題。則稱 $f^{*}$ 是 $f$ 的**對偶命題**。

設 $f$ 是含有格中的元素以及符號 $=,\leq ,\geq ,\vee ,\wedge $ 的邏輯命題，若 $f$ 對於一切格為真，則 $f$ 的對偶命題 $f^{*}$ 也對於一切格為真。

## 引用

可在線免費獲得的專著：

* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. _A Course in Universal Algebra. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, _Varieties of Lattices （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Elementary texts recommended for those with limited mathematical maturity:

* Donnellan, Thomas, 1968. _Lattice Theory_. Pergamon.
* Grätzer, G., 1971. _Lattice Theory: First concepts and distributive lattices_. W. H. Freeman.

The standard contemporary introductory text:

* Davey, B.A., and H. A. Priestley, 2002. _Introduction to Lattices and Order_. Cambridge University Press.

The classic advanced monograph:

* Garrett Birkhoff，1967. _Lattice Theory_, 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.

Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory:

* Johnstone, P.T., 1982. _Stone spaces_. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press.

The standard textbook on free lattices:

* R. Freese, J. Jezek, and J. B. Nation, 1985. "Free Lattices". Mathematical Surveys and Monographs Volume: 42, American Mathematical Association.

## 參考文獻

**引用**

## 參見

* 半格
* 完全格
* 分配格
* 剩餘格
* Heyting 代數
* 布林代數