格朗沃尔不等式

在數學中，**格朗沃爾引理**或**格朗沃爾不等式**說明了對於滿足一定的微分方程或積分方程的函數，有相應的關於此微分方程或積分方程的不等式。格朗沃爾不等式有兩種形式，分別是積分形式和微分形式。積分形式下的不等式可以有幾種不同的寫法。

格朗沃爾不等式常常被用來估計常微分方程的解的取值範圍。比如，它可以用來證明初值問題的解的唯一性（見柯西 - 利普希茨定理）。

格朗沃爾不等式的名稱來自多瑪・哈肯・格朗沃爾。格朗沃爾是一位瑞典的數學家，後來移居美國。

格朗沃爾不等式的微分形式首先由格朗沃爾在 1919 年證明。而積分形式則是由理察・貝爾曼（Richard Bellman）在 1943 年證明。

## 微分形式

設 _I_ 是一個實數區間，記為：[_a_, ∞) 或 [_a_, _b_] 或 [_a_, _b_)，其中 _a_ < _b_。又設 _β_ 和 _u_ 為定義在 _I_ 上的實數值的連續函數。假設 _u_ 是一個在 _I_ 的內部（也就是不包括端點）可微的函數，並且滿足如下的微分不等式：

　
: $u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },$

那麼對於所有的 $t\in I^{\circ }$ ，函數 _u_ 都小於等於以下微分方程 $y'(t)=\beta (t)\,y(t)$ 的解：

　
: $u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}$

 
注意：不等式對函數 _β_ 和 _u_ 的符號沒有任何要求。

### 證明

如果設

　
: $v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}$

是以下微分方程

　
: $v'(t)=\beta (t)\,v(t),$

其中 _v_(_a_) = 1 的解，那麼對所有的 _t_ 都有 _v_(_t_) > 0， 因此根據複合函數求導法則中的除法定則：

　
: ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0$

對所有的 _t_ > _a_ 成立，因此

　
: ${\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)$

於是格朗沃爾不等式得證。

## 積分形式

設 _I_ 是一個實數區間，記為：[_a_, ∞) 或 [_a_, _b_] 或 [_a_, _b_)，其中 _a_ < _b_。又設 _α_、_β_ 和 _u_ 為定義在 _I_ 上的實數值的函數。假設 _β_ 和 _u_ 是連續的，則有：

* (a) 如果 _β_ 是非負函數並且 _u_ 滿足如下的積分不等式：

　
: : $u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I$ ，

　
: 那麼

　
: $u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I$ 。

* (b) 如果在之前的條件下， _α_ 還是一個常數，那麼

　
: : $u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.$

注意：

* 不等式的成立條件里並沒有限制 _α_ 和 _u_ 的符號；
* 相比於微分形式，積分形式中對函數 _u_ 的可微性沒有做要求；

 

### 證明

(a) 定義

　
: $v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.$

則運用複合函數求導法則中的乘積法則、鏈式法則、指數函數的求導法則以及微積分基本定理，可以得到：

　
: $v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I$ ，

由於注意到括號中的部分小於 _α_，可以得到相應的不等式，並進行積分。由於函數 _β_ 以及其指數都是非負函數，不等號保持不變。然而 _v_(_a_) = 0，因此積分式等價於：

　
: $v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.$

再運用第一步里 _v_(_t_) 的定義，就得到：

　
: ${\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}$ 。

最後將原來條件里的不等式帶入上式左邊，就可以得到格朗沃爾不等式了。

(b) 如果函數 _α_ 為常數函數，那麼命題 (a) 中不等式的右邊可以進行積分。由微積分基本定理可以獲得：

　
: ${\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}$ 。

## 參見

* 全局解

## 參考來源

* 樓紅衛，林偉，《常微分方程》，復旦大學出版社，2007 年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
* 李榮華，劉播，《微分方程數值解法 (第 4 版)》，高等教育出版社，2009 年。
* Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, _Averaging methods in nonlinear dynamical systems_, Springer,2007.