根的判别式

**判別式**是代數學中的概念。一個實係數或復係數多項式的**判別式**是一個與之相關的表達式。判別式等於零若且唯若多項式有**重根**。

當多項式的係數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時，判別式為零若且唯若多項式在它的分裂體中有重根。判別式的通常形式為：

　
: $a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}$

其中的 $a_{n}$ 是多項式的最高次項係數， $r_{1},...,r_{n}$ 是多項式在某個分裂體中的根（如有重根的按重數重複排列）。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構，比如說圓錐曲線、二次型和代數數體中。在代數數論中，判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上，愈為幾何的分歧類型對應著愈為抽象的判別式類型，因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

## 定義

### 二次方程式的判別式

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程式的求解中。假設有二次多項式方程式 $ax^{2}+bx+c\,$ ，其中係數 $a,b,c$ 為實數，則它的判別式定義為：

　
: $\Delta =b^{2}-4ac\,$

判別式也是一個實數。如果設方程式的兩個根為 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，那麼根據二次方程式的求根公式，兩個根可以表示為：

　
: $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.$

方程式的根與判別式的關係為：

　
: $\Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.$

兩個根都是實數，若且唯若判別式大於等於零。若且唯若兩根相等時，判別式等於零。如果判別式小於零，則兩根是共軛的複數。

### 三次方程式的判別式

* 三次多項式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ 的判別式是

　
: $\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,$

* 二次項係數為零的首一三次多項式 $x^{3}+px+q\,$ 的判別式是：

　
: $\Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,$

### 四次方程式的判別式

* 四次多項式 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ 的判別式是：

　
: ${\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}$

## 二次判別式

二次多項式 $P(x)=ax^{2}+bx+c\,$ 的判別式是 $D=b^{2}-4ac\,$ 。在一元二次方程式的求解中，判別式用來判斷方程式根的情況，並出現在根的表達式中。

* 如果 $D>0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 有兩個相異實根 $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，即 $P(x)\,$ 的圖像穿過 $x\,$ 軸兩次。
* 如果 $D=0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 有兩個相等實根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,$ ， $P(x)\,$ 的圖像與 $x\,$ 軸相切。
* 如果 $D<0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 沒有實根，即 $P(x)\,$ 的圖像與 $x\,$ 軸沒有交點。

## 一般多項式的判別式

對於一般的一個多項式

　
: $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ ，

其判別式等於（差一個係數）以下的 $(2n-1)\times (2n-1)\,$ 的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）：

　
: $\left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].$

這個矩陣的行列式稱為 $p(x)\,$ 和 $p'(x)\,$ 的結式，記為 $R(p,p')\,$ 。 $p(x)\,$ 的判別式 $D(p)\,$ 由以下公式給出：

　
: $D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,$ .

例如，在 $n=4\,$ 的情況下，以上的行列式是：

　
: ${\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}$

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以 $a_{4}\,$ 。

作為等價條件，多項式的判別式等於：

　
: $a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}$

其中 $r_{1},\cdots ,r_{n}\,$ 是多項式 $p(x)\,$ 的複根（重根按重數計算）：

　
: ${\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}$

在這個表達式中可以清楚地看到 $p\,$ 有重根若且唯若判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的域中定義，定義方式一樣。帶有根 $r_{i}\,$ 的表達式仍然有效，只是根要在係數域的某個分裂體中取。

## 圓錐曲線的判別式

對於以下多項式所定義的圓錐曲線：

　
: $ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

它的判別式為：

　
: $b^{2}-4ac$

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於 0，則是橢圓或圓。如果判別式等於 0，則是一條拋物線。如果大於 0，則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形（當這個多項式可以因式分解時）。

## 二次型的判別式

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為 2 的域 _K_ 上的二次型 _Q_ 上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和：

　
: $Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}$

其中 _L_i 是 _n_ 個變數的線性組合。這時可以定義 _Q_ 的判別式為所有 _a_i 的乘積。另外一個定義是 _Q_ 所對應的矩陣的行列式。

## 代數數體的判別式

## 參見

* 二次函數
* 一元二次方程式
* 多項式
* 圓錐曲線
* 二次型

## 參考資料與外部連結

* 結式與判別式的關係
* Mathworld 中的文獻（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Planetmath 中的文獻