格林函數

在數學中，**格林函數**（**點源函數**、**影響函數**）是一種用來解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程式的函數。在物理學的多體理論中，格林函數常常指各種關聯函數，有時並不符合數學上的定義。

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治・格林（George Green），早在 1830 年代，他是第一個提出這個概念的人。

## 定義以及用法

給定流形 $M\,$ 上的微分算子 $L\,$ ，其格林函數 $G(x,s)\,s,x\in M$ ，為以下方程式的解

　
: $LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)$

其中 $\delta \,$ 為狄拉克 δ 函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程式：

　
: $Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)$

若 $L$ 的 零空間非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一個廣義函數。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式式和薛丁格方程式有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

## 動機

若可找到線性算符 $L\,$ 的格林函數 $G\,$ ，則可將 (1) 式兩側同乘 $f(s)\,$ ，再對變數 $s\,$ 積分，可得：

　
: $\int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).$

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 $Lu(x)\,$ ，因此：

　
: $Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.$

由於算符 $L\,$ 為線式，且只對變數 $x\,$ 作用，不對被積分的變數 $s\,$ 作用），所以可以將等號右邊的算符 $L\,$ 移到積分符號以外，可得：

　
: $Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).$

而以下的式子也會成立：

　
: $u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)$

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 _f(x)_，由於 _L_ 為線性算符，可以用上述的方式得到 _u(x)_。換句話說， (2) 式的解 _u(x)_ 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 _G_ ，就可以求出 _u(x)_。

並非所有的算符 _L_ 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 _L_ 的左反元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微 - 積分方程式──多半是史特姆 - 萊歐維爾問題。若 _G_ 是算符 _L_ 的格林函數，則方程式式 _Lu_ = _f_ 的解 _u_ 為

　
: $u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.$

可以視為 _f_ 依狄拉克 δ 函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程式。

## 非齊次邊界值問題的求解

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的關聯函數。

### 研究框架

令 $L$ 為一個史特姆 - 萊歐維爾算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

　
: $L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)$

而 _D_ 是邊界條件算子

　
: $Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.$

令 $f(x)$ 為在 $[0,l]$ 區間的連續函數，並假設以下問題

　
: ${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

### 定理

則存在唯一解 $u(x)\,$ 滿足以下方程式式

　
: ${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

而其解的計算方式如下

　
: $u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds$

而中 $g(x,s)\,$ 即為**格林函數**，有以下的特性：

 1. $g(x,s)\,$ 對 $x\,$ 及 $s\,$ 連續。
2. 對所有 $x\neq s$ , $Lg(x,s)=0\,$ .
3. 對所有 $s\neq 0,l$ , $Dg(x,s)=0\,$ .
4. 微分跳躍： $g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,$ .
5. 對稱： $g(x,s)=g(s,x)\,$ .

## 尋找格林函數

### 特徵向量展開

若一微分算子 _L_ 有一組完備的特徵向量 $\Psi _{n}(x)$ （也就是一組函數 $\Psi _{n}(x)$ 及純量 $\lambda _{n}$ 使得 $L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}$ 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數 $\Psi _{n}(x)$ 滿足以下的完備性：

　
: $\delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').$

經由證明可得下式：

　
: $G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.$

若在等號兩側加上微分算子 _L_，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為弗雷德霍姆理論所要探討的內容。

## 拉普拉斯算子的格林函數

先由格林定理開始：

　
: $\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}$

假設線性算符 _L_ 為拉普拉斯算子 $\nabla ^{2}$ ，而 _G_ 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

　
: $LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')$

令格林定理中的 $\,\!\psi =G$ ，可得：

　
: $\int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)$

根據上式，可以解拉普拉斯方程式 $\nabla ^{2}\phi (x)=0$ 或 卜瓦松方程式 $\nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)$ ，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 $\,\!\phi (x)$ ：

1. 已知 $\,\!\phi (x)$ 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
2. 已知 $\,\!\phi (x)$ 在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 $\,\!\phi (x)$ ，由於狄拉克 δ 函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項

　
: $\int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}$

可化簡為 $\,\!\phi (x)$ ，再將 (4) 式等號左邊第二項 $\nabla ^{2}\phi (x')$ 用 $\,\!\rho '(x')$ 表示，（若為卜瓦松方程式， $\,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)$ ，若為拉普拉斯方程式， $\,\!\rho '(x)=0$ ），可得：

　
: $\phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)$

上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中， $\,\!\phi (x)$ 為電位， $\,\!\rho (x)$ 為電荷密度，而法向導數 $\nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'$ 則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為： $\lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0$ ），拉普拉斯算子的格林函數為：

　
: $G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}$

若 $\,\!\rho ({\hat {x}})$ 為電荷密度，則可得到電荷密度和電位 $\,\!\phi ({\hat {x}})$ 的公式：

　
: $\phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'$

## 範例

針對以下微分方程式

　
: ${\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)$

　
: $Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$

找出格林函數。

**第 1 步**

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

　
: $g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x$

在 _x < s_ 時因特性 3 可知

　
: $g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0$

（此時不需考慮 $g({\frac {\pi }{2}},s)=0$ 的式子，因 $x\neq {\frac {\pi }{2}}$ ）在 _x > s_ 時因特性 3 可知

　
: $g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0$

（此時不需考慮 $\quad g(0,s)=0$ 的式子，因 $x\neq 0$ ）整理上述的結果，可得以下的式子。

　
: $g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

**第 2 步**

依格林函數的特性，找出 _a_(_s_) 和 _b_(_s_).

根據特性 1，可得

　
: $a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad $ .

根據特性 4，可得

　
: $b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.$

解上述二式，可以求出 _a_(_s_) 和 _b_(_s_)

　
: $a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s$ .

因此格林函數為

　
: $g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

## 其他舉例

* 若流形為 **R**，而線性算符 L 為 _d_/_dx_，則單位階躍函數 _H_(_x_ − _x_0) 為 L 在 _x_0 處的格林函數。
* 若流形為第一象限平面 { (_x_, _y_) : _x_, _y_ ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在 _x_ = 0 處有狄利克雷邊界條件，而在 _y_ = 0 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

　
: $G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]$

　
: $+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].$

## 參見

* 離散格林函數，可定義於圖以及網上。
* 脈衝響應
* 格林恆等式
* 基爾霍夫積分定理

## 參考

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Green's Function. MathWorld.
* _Green's function for differential operator_ at PlanetMath.
* Green's function. PlanetMath.
* 格林函數簡介（英文）