zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
柯蒂斯猪笼草

**柯蒂斯豬籠草**（_**Nepenthes curtisii**_）可指代：

* _Nepenthes curtisii_ Mast. (1887)

　
: 大豬籠草（_N. maxima_）的異名。
* _Nepenthes curtisii_ _auct. non_ Mast.: Lauffenburger (1995)

　
: 大豬籠草與白環豬籠草（_N. albomarginata_）的栽培種。
* _Nepenthes curtisii_ _auct. non_ Mast.: J.H.Adam & Wilcock (1996)

　
: 窄葉豬籠草（_N. stenophylla_）的異名。
* _Nepenthes curtisii_ subsp. _zakriana_ J.H.Adam & Wilcock (1996)

　
: 暗色豬籠草（_N. fusca_）的異名。
* _Nepenthes curtisii_ var. _hybrida_ Witte (1897)

　
: 大豬籠草與維奇豬籠草（_N. veitchii_）的栽培種。
* _Nepenthes curtisii_ var. _superba_ Hort.Veitch _ex_ Marshall (1889)

　
: 大豬籠草的異名。
柯蒂斯維爾_(印地安納州)

**柯蒂斯維爾**（英語：Curtisville）是位於美國印地安納州蒂普頓縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。

## 地理

柯蒂斯維爾所處的海拔為高於海平面 267 公尺（即 876 英英尺），而該地所採用的時區為 UTC-5，即北美東部時區（EST）。同時該地設有夏令時間，為 UTC-5 調快一小時，即 UTC-4（EDT）。

## 參考文獻
柯蒂斯陨石坑

**柯蒂斯隕石坑**（Curtis）是位於月球正面澄海西部的一座小撞擊坑，其名稱取自美國天文學家希伯・道斯特・柯蒂斯（1859 年 - 1906 年），1973 年被國際天文學聯合會正式接受。

## 描述

該隕坑西側靠近較大的皮卡德隕石坑、西北分別毗鄰年輕的皮爾斯隕石坑和斯威夫特隕石坑，小隕坑埃克特位於它的東北、
東南偏東及西南分別則坐落了略大的華倫海特隕石坑和利克隕石坑。沿柯蒂斯隕石坑的東南和南面分別綿延著哈克山脊和泰爾米埃山脊。該隕坑中心月面坐標為 14.57°N 56.79°E﻿ / 14.57; 56.79，直徑 2.88 公里，深約 0.511 公里。

柯蒂斯隕石坑是一座圓杯狀的撞擊坑，帶有一個平坦的小坑底，坑壁壁沿尖峭，內側壁平整，未受到任何明顯的撞擊侵蝕。該隕坑坑壁最大高出周邊地形表面 110 米，內部容積約有 0.96 立方公里。坑底表面相對平坦，沒見有其它醒目的地貌結構。

在 1973 年被國際天文學聯合會正式命名前，該隕坑曾被稱作衛星坑皮卡德 Z（所謂的衛星坑標記法：以所靠近的主坑名 + 字母來命名）。

## 參考資料

## 另請參閱

* Andersson, L. E.; Whitaker, E. A. NASA Catalogue of Lunar Nomenclature. NASA RP-1097. 1982.
* Blue, Jennifer. Gazetteer of Planetary Nomenclature. USGS. July 25, 2007 [2014-12-06]. （原始內容存檔於 2015-12-30）.
* Bussey, B.; Spudis, P. The Clementine Atlas of the Moon. New York: Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-81528-4.
* Cocks, Elijah E.; Cocks, Josiah C. Who's Who on the Moon: A Biographical Dictionary of Lunar Nomenclature. Tudor Publishers. 1995. ISBN 978-0-936389-27-1.
* McDowell, Jonathan. Lunar Nomenclature. Jonathan's Space Report. July 15, 2007 [2007-10-24]. （原始內容存檔於 2012-05-26）.
* Menzel, D. H.; Minnaert, M.; Levin, B.; Dollfus, A.; Bell, B. Report on Lunar Nomenclature by the Working Group of Commission 17 of the IAU. Space Science Reviews. 1971, **12** (2): 136–186. Bibcode:1971SSRv...12..136M. doi:10.1007/BF00171763.
* Moore, Patrick. On the Moon. Sterling Publishing Co. 2001. ISBN 978-0-304-35469-6.
* Price, Fred W. The Moon Observer's Handbook. Cambridge University Press. 1988. ISBN 978-0-521-33500-3.
* Rükl, Antonín. Atlas of the Moon. Kalmbach Books. 1990. ISBN 978-0-913135-17-4.
* Webb, Rev. T. W. Celestial Objects for Common Telescopes 6th revised. Dover. 1962. ISBN 978-0-486-20917-3.
* Whitaker, Ewen A. Mapping and Naming the Moon. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-62248-6.
* Wlasuk, Peter T. Observing the Moon. Springer. 2000. ISBN 978-1-85233-193-1.

 

## 外部連結

* 月球數碼攝影圖集 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* LAC-62 圖中的柯蒂斯隕石坑
* 柯蒂斯隕石坑周邊月面圖
* LM-62 圖中的柯蒂斯隕石坑
* 柯蒂斯隕石坑周邊地形圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 維基月球在線解說 - 柯蒂斯隕石坑 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Andersson, L.E., and E.A. Whitaker, 美國宇航局月球地名目錄，美國宇航局參考出版物 1097, 1982 年 10 月 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯蒂斯音樂學院

**柯蒂斯音樂學院**（The Curtis Institute of Music）是位於費城的一所私立音樂學院，提供可獲得表演文憑、音樂學士、歌劇音樂碩士或歌劇專業研究證書的學習課程。它的使命是教育和培訓特別有天賦的年輕音樂家。所有學生都以全額獎學金入學。

寇蒂斯音樂學院成立於 1924 年，創辦人是瑪麗・路易絲・柯蒂斯・布克，並命名為柯蒂斯・賽勒斯，紀念她的父親。

## 著名校友

* 曾宇謙
* 林品任
* 陳銳
* 希拉蕊・哈恩 (Hilary Hahn)
* 郎朗
* 王羽佳
* 張昊辰

## 參考來源

## 外部連結

* 官方網站
柯蒂斯飞机与发动机公司

**柯蒂斯飛機與發動機公司**（又譯**寇帝斯飛機與發動機公司**）是一家美國飛機製造上市公司，由其總裁格倫・柯蒂斯於 1916 年創建。在第一次世界大戰期間，柯蒂斯飛機與發動機公司是世界上最大的飛機製造商。

1916 年格倫・柯蒂斯在紐約布法羅開始製造飛機，同時開設飛行員駕校，中國最早的 17 名飛行員在這裡畢業，其中包括孫中山封的中國空軍之父楊仙逸，作為夏威夷富商的兒子楊仙逸以第一個夏威夷飛行員被當時新聞報導。

格倫・柯蒂斯是西紐約州人，自學成才製作動力自行車，成為當時世界上最快的人，後來加入亞歷山大・貝爾領導的飛機研發團隊，貝爾去世團隊失敗而終之後，格倫・柯蒂斯獨立研發出水上飛機，在西紐約老家有格倫・柯蒂斯博物館，是現在水上飛機愛好者的樂園。

1920 年代至 1930 年代，該公司是全美最大的飛機製造商，在柯蒂斯離開公司後，其成為柯蒂斯 - 萊特公司的一部分。

## 歷史

Glenn Curtiss 於 1907 年幫助創立了 Aerial Experimental Association 並在 1909 年 3 月 20 日與 Augustus Moore Herring 一起建立了第一家美國飛機公司 ——Herring-Curtiss Company。公司於 1910 年改名為 **Curtiss Aeroplane Company**。

### 柯蒂斯飛機與發動機公司（Curtiss Aeroplane and Motor Company）

**柯蒂斯飛機與發動機公司**是由 **Curtiss Aeroplane Company** of Hammondsport, New York 及 Curtiss Motor Company of Bath, New York 於 1916 年 1 月 13 日合併而來。1916 年 2 月 Burgess Company of Marblehead, Massachusetts 也成為公司的子公司。

柯蒂斯通過訓練飛行員並提供飛機開展了美國海軍航空業務。第一單主要的合同是為其製造 144 架 Model F 水上教練機的衍生型。1914 年寇帝斯引進了來自於 Sopwith 公司的 B. Douglas Thomas 設計了 Model J 教練機，這就是後來的 JN-4。 由於一戰的開始，軍用合同急速增長，柯蒂斯也需要快速擴張。1916 年公司將總部及大部分製造工序都搬遷至紐約州的布法羅，在那裡有更便捷的運輸、人力、製造業，而且還有公司急需的資本。公司在多倫多、安大略開始了產品及教練的配套經營，1915 年，公司在加拿大開辦了第一個飛行學校。

柯蒂斯飛機與發動機公司與英國及加拿大合作。當時其最著名的產品 JN4 型雙座雙翼飛機就是在加拿大製造而在英格蘭大量用作教練機。為了完成 Curtiss Jenny 雙座雙翼教練飛機的大量軍方合約。生產被分給多達 5 個其他的製造商。HS-2L 水上飛機在戰爭中被廣泛地用於反潛巡邏。為了完成合約，其主要部件分散在加拿大的新斯科舍、法國和葡萄牙生產。 皇家海軍也與寇帝斯合作製造水上飛機，尤其表現在 1919 年柯蒂斯公司製造的 NC-4 型水上飛機完成了第一次跨大西洋飛行上。柯蒂斯飛機與發動機公司在一戰期間成為了世界上最大的飛機製造商。它在布法羅有 18000 名雇員，在格倫・柯蒂斯盛產葡萄酒的家鄉 Hammondsport 有 3000 名雇員。在第一次世界大戰期間，柯蒂斯公司共生產了 10000 架飛機，最多的一個星期製造了超過一百架的飛機。

和平的到來帶來了戰時合同的取消，1920 年 9 月柯蒂斯飛機與發動機公司遭遇了財務重組，Glenn Curtiss 兌現了其在公司裡的股份，合三千兩佰萬美元，並在佛羅里達州退休。 他繼續在公司裡擔任 director，但僅為設計做顧問。Clement M. Keys 控制了公司，公司成為一個大型航空製造集團的核心。

Curtiss seaplanes 在 1923 年及 1925 年連續兩次比賽中贏得了 Schneider Cup。1923 年的比賽是由美國海軍中校（Lieutenant）David Rittenhouse 使用 Curtiss C.R.3 贏得的，速度為 177.266 英里每小時（285.282 公里每小時）。

由美國陸軍中校 Cyrus K. Bettis 駕駛的 Curtiss R3C 於 1925 年 10 月 12 日贏得了 Pulitzer Trophy Race，時速達 248.9 英里每小時（400.6 公里每小時）。13 天以後，Jimmy Doolittle 使用同一架飛機裝上浮筒後贏得了 Schneider。Doolittle 達到的最高時速是 232.573 英里每小時（374.290 公里每小時）.

### 柯蒂斯 - 萊特公司

1929 年 7 月 5 日柯蒂斯公司同萊特航空及其各自下屬的 11 家子公司和並成為柯蒂斯 - 萊特公司。由柯蒂斯飛機與發動機公司最後提出的項目之一是一架極具野心的 Curtiss-Bleecker SX-5-1 Helicopter。

第二次世界大戰期間，柯蒂斯公司製造了逾 3000 架 C-46 型運輸機，逾 7000 架 SB2C 型飛機，以及飛虎隊使用的 P-40 型戰鬥機。

## 產品

### 飛機

* Curtiss Carrier Pigeon
* Curtiss CT-1
* Curtiss Model D
* Curtiss HS
* Curtiss Hawk
* Curtiss J
* Curtiss Model N
* Curtiss JN-4 "Jenny"
* Curtiss Lark
* Curtiss K-12
* Curtiss Model H
* Curtiss Oriole
* Curtiss Robin
* Curtiss Tanager

### 航空引擎

* Curtiss C-6
* Curtiss D-12
* Curtiss OX-5
* Curtiss OXX
* Curtiss V-1570
* Curtiss V-2

## 參考文獻

### 引用

### 來源

## 外部連結

* The Curtiss Company: U.S. Centennial of Flight Commemoration
* History of the Aerospace Industry in Buffalo, NY （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Curtiss Aeroplane and Motor Company, Virtual Aircraft Museum

## 參見

* 柯蒂斯 - 萊特公司
* Alfred V. Verville
* John Porte
* Long Branch Aerodrome, Mississauga, Ontario was home of the Curtiss Flying School from 1915 to 1919.
柯蒂氏器

**柯蒂氏器**（英文：Organ of Corti），又稱**螺旋器**（spiral organ），是聽覺的感受器，位於哺乳動物的耳蝸內。柯蒂氏器的上皮細胞可將聽覺信號轉導為神經衝動的動作電位。具體而言，中耳的聽小骨將機械振動傳至內耳，耳蝸內的液體（內淋巴）受壓迫產生相應波動，進而使得柯蒂氏器內的毛細胞產生相應電化學信號。

柯蒂氏器以義大利解剖學家阿方索・柯蒂的名字命名。

## 結構

柯蒂氏器位於耳蝸的蝸管內，在前庭階和鼓室階之間，由毛細胞組成。柯蒂氏器的基底膜上由三排外毛細胞以及一排內毛細胞，周圍環繞著一些支持性 / 保護性細胞。

## 功能

柯蒂氏器負責將聲波振動轉化為電信號，並由聽神經傳遞至腦幹（聽覺中樞第一站）。外耳的耳廓、中耳以及柯蒂氏器同時起到放大聲音的作用。

## 臨床

過強的噪聲可以對柯蒂氏器產生傷害。感覺神經性耳聾是最常見的一種聽覺損傷。

## 參見

* 骨迷路
* 膜迷路
* 耳前庭
* 耳石
* 外淋巴
* 螺旋神經節

## 參考資料
柯蒂键盘

**QWERTY**（柯蒂鍵盤）是各國使用的、基於拉丁字母的標準打字機和電腦鍵盤布局。「QWERTY」是該鍵盤配置字母區第一行的前六個字母。鍵的安排順序由克里斯多福・肖爾斯設計。

## 歷史

### 概說

使用 QWERTY 排列的打字機在 1874 年開始大量生產，從此成為應用最廣泛的人機介面。目前大部分的電腦都是使用 QWERTY 鍵盤。

根據一種有可能性但應該是杜撰的理論，即 QWERTY 鍵盤安排次序的原則是為了要減少打字機在打字時連動杆之間的擠壓及故障發生率的狀況，因而要把常用字母隔開（不過像 `E`、`R` 就在一起）。其他種類的鍵盤，如 1932 年奧古斯特・德沃夏克發明的德沃夏克鍵盤，為希望在已經不需要避免連動杆的擠壓後，重新排列鍵位以提高打字速度，因此把元音及 5 個最常用的輔音安排在中間一行，以便交換左右手打字的頻率，同時也有設計左手或右手為重的鍵位。但是因故無法量產，以至於德沃夏克鍵盤鍵盤的普及程度不如 QWERTY 鍵盤。

### 與現代組態的差別

#### 替換字元

肖爾斯在 1878 年的專利版本，QWERTY 鍵盤的組態描述與現代使用的版本有些不同，最明顯的是沒有數字 `0` 和 `1`，其餘每個數字與現今相比都向左側移動了一個位置。省略的原因為簡化設計以降低製造和維護成本，並透過其他按鍵重新建立。在這些使用此組態的學習者學會了使用大寫字母 `I`（或小寫字母 `l`）作為數字 `1` 的習慣，而大寫字母 `O` 則被用作數字 `0`。

字母 `M` 位於第三行字母 `L` 右側，而不是第四行 `N` 的右側，字母 `X` 和 `C` 位置相反，大多數標點符號位於不同位置或完全缺失。

#### 組合鍵

在早期的設計版本中，一些字元是透過在相同位置的兩個符號輸出而產生的。例如，驚嘆號 `!` 可以通過使用撇號 `'`、退格 `← Backspace` 和句點 `.` 的三筆劃組合來再現。分號 `;` 是通過在冒號 `:` 上輸出逗號 `,` 而生成的。
由於退格鍵在簡易版本的機械打字機中輸入較慢（托架很重，並且經過優化以朝相反方向移動），因此更專業的方法是通過按住空格鍵來阻止托架，同時列印所有需要處於共享位置的字元。為了實現這一點，字鍵位置被設計為只有在釋放空格鍵後才能向前推進。

在機械打字機的時代，`é` 和 `õ` 等組合字元是通過使用死鍵作為變音符號（′，~）而建立的，這並沒有推動紙張向前發展。因此，′ 和 e 將列印在紙上的相同位置，從而輸出 é。

### 現代的替代品

如今絕大多數移動操作系統均配備。也有大量的個人數位助理及非智慧手機配備實體的 QWERTY 鍵盤，如 TREO650、TREO600、黑莓及諾基亞 E 系列手機。而用於以上裝置的 QWERTY 鍵盤亦被稱為**全鍵盤**。

## 替代方案

最廣泛使用的替代方案是德沃夏克鍵盤配置；另一種選擇是闊碼鍵盤，它部分基於 QWERTY 組態。據稱，這種組態讓現今的 QWERTY 打字員更容易學習，同時提供一些假設的優化。

一些現代作業系統允許使用者以他們喜歡的任何方式對映他們的鍵盤，但很少有鍵盤是根據任何其他標準標記的鍵。

## HQ 鍵盤

HQ 鍵盤（**H**alf-**Q**WERTY 鍵盤，柯蒂鍵盤），是介於「T9 輸入法」與「QWERTY 鍵盤」之間，兼有數字鍵盤的簡便且有 QWERTY 的快速輸入功能的鍵盤。它的出現代表網際網路時代手機的特色。

## 參考資料

## 參見

* 鍵盤佈局
* 德沃夏克鍵盤

## 外部連結

* Article on QWERTY and Path Dependence from EH.NET's Encyclopedia
* QWERTY Keyboard History
* QWERTY Keyboard in Mobiles
* Android phones with QWERTY keyboards
柯蓝

**柯藍**（1972 年 7 月 25 日 —），原名**鍾好好**，湖南省岳陽市平江縣人，中國大陸女性節目主持人、演員、模特兒，是中華人民共和國開國上將鍾期光的孫女。

1994 年加入衛視音樂台，成為第一代亞洲 VJ。1996 年加入鳳凰衛視中文台，成為著名節目《音樂無限》的主持人。2022 年 3 月，因反對俄羅斯入侵烏克蘭 ，個人微博被禁言。。

## 電視作品

* 2000 年
  * 《我們倆的婚姻》
  * 《靠近你溫暖我 / 靠近你，溫暖我》
  * 《俏女沖沖沖》
  * 《一家之主》
* 2005 年
  * 《午夜陽光》
* 2006 年
  * 《戈壁母親》飾 孟葦婷
* 2008 年
  * 《人間正道是滄桑》飾 瞿霞
* 2009 年
  * 《國歌》飾 演安娥
  * 《半路兄弟》
  * 《手機》
  * 《我的非常閨蜜》
* 2010 年
  * 《聖天門口》
* 2012 年
  * 《楚漢爭雄》
  * 《我的非常閨密》
  * 《阿丕書記》
* 2014 年
  * 《大陸小島》
  * 《虎口拔牙》
* 2016 年
  * 《決勝》飾 向海音
  * 《金水橋邊》飾 趙春花
  * 《幸福的季節》飾 朱香香
  * 《我們光榮的日子》飾 明愛芬
* 2017 年
  * 《人民的名義》飾 陸亦可
  * 《繼承人》 (客串)
  * 《外科風雲》飾 鄭燕華
  * 《急診科醫生》飾 梅律師
  * 《獵場》飾 葵黃
* 2018 年
  * 《遠方的家》飾 花文娟 (客串)
* 2019 年
  * 《神探柯晨》飾 李曼麗
  * 《澳門人家》飾 韓雅琪
  * 《熱愛》飾 常有麗
* 2020 年
  * 《二十不惑》飾 魏雲婕 (客串)
* 2021 年
  * 《刑警之海外行動》飾 伍盛楠
  * 《功勳》飾 華靜
* 2022 年
  * 《我們這十年》
  * 《大博弈》飾 秦心亭
  * 《風吹半夏》飾 高躍進
* 待播
  * 《別了，拉斯維加斯》
  * 《秋官課院之狄仁傑浮世傳奇》飾 武則天
  * 《你永遠在我身邊》
  * 《中國天眼》
  * 《學區房》
  * 《太陽出來了》

## 電影作品

* 2000 年
  * 《相約 2000 年》
  * 《開往春天的地鐵》合作演員：耿樂、徐靜蕾
  * 《驚情神農架》
* 2003 年
  * 《西貢姿色》
* 2006 年
  * 《如果沒有愛》
* 2012 年
  * 《一九四二》
* 2015 年
  * 《戀愛中的城市》
* 2022 年
  * 《遇見你》

## 音樂錄影帶作品

* 1993 年
  * 《寧願我傷心》-(劉德華)
* 1992 年
  * 《獨自去偷歡》-(劉德華)
* 1991 年
  * 《皇后大道東》-(羅大佑)

## 主持欄目

* 《音樂無限》
* 《音樂天使》
* 《勁爆點》
* 《拉風工場》
* 《照後鏡》
* 《互動堂》
* 《相聚鳳凰台》
* 《港台娛樂風》
* 《鏘鏘三人行 —— 明星三人行》
* 《愛的證明》
* 《同一首歌》《CCTV 電視劇群英匯》
* 《相約花戲樓》
* 《智贏天下》
* 旅遊衛視《第一時尚》《BAZAAR 絕對時尚》《BAZAAR 必須時尚》
* 湖南衛視 青海衛視《天下女人》
* 紀錄片《她們從雲嶺走來》（《我的母親：三個新四軍女兵的故事》）

## 獎項

* 2006 綠色中國年度人物獎
* 2010 華鼎獎近現代革命題材最佳女演員
* 第 22 屆華鼎獎 - 中國近現代題材電視劇最佳女演員《金水橋邊》

## 參考資料

## 外部連結

* 柯藍的新浪博客
* 柯藍的新浪微博
柯蓝_(作家)

**柯藍**（1920 年 1 月 13 日 —2006 年 12 月 11 日），筆名**亞一**、**木人**，原名**唐一正**，男，湖南長沙人，中國近代記者、編輯、作家。畢業於湖南第一師範學院。

## 生平

1920 年 1 月 13 日，柯藍出生在湖南省長沙市。

1936 年，柯藍在湖南第一師範學院畢業後，前往延安，從此走上文學創作。

## 社會兼職

* 中國作家協會全國委員會榮譽委員
* 北京《求是》雜誌社編審
* 中國散文詩學會會長
* 《（香港）中國散文詩》雜誌社社長兼總編

## 作品

### 小說

* 《紅旗呼啦啦飄》

### 劇本

* 《鐵窗烈火》

### 散文

* 《深谷回聲》

### 散文詩

* 《早霞短笛》

## 獎項

《鐵窗烈火》榮獲第一屆電影百花獎。

散文《深谷回聲》被改編成 1984 年電影《黃土地》。

## 參考文獻
柯蓝_(消歧义)

**柯藍**可以指：

* 柯藍 (作家)，湖南長沙人，作家。
* 柯藍 (演員)，北京人，演員。
柯蓼园

**柯劭忞（mín）** （1850 年 —1933 年 8 月 31 日），字**鳳孫**，晚號**蓼園**，山東省萊州府膠州人。清末民初學者、史學家。

## 生平

少孤，由母李長霞教導長大，博極群書，過目不忘。光緒十二年（1886 年）進士，同年五月，改翰林院庶吉士。光緒十五年四月，散館，授翰林院編修。

1901 年，他任湖南學政，任期 4 年。任滿回到北京後，他歷任國子監司業、貴胄學堂總教司、翰林院日講起居注官等職。1906 年，他奉命到日本考察教育。歸國後，他任貴州提學使。兩年後，他調回北京，任學部丞參、度署右參議、京師大學堂經科監督。

清朝宣統二年（1910 年）資政院成立後，他任議員。1911 年，他奉資政院委派，任山東宣慰使兼督辦山東團練大臣。不久，他調任典禮院學士，賜紫禁城騎馬，陪伴宣統帝溥儀念書。

中華民國成立以後，他以遜清遺老自居。1914 年，他任約法會議議員。

民國三年（1914 年）夏，袁世凱令立清史館，以趙爾巽為館長，柯劭忞曾任代館長、總纂。任內他參與《清史稿》之編撰工作，1927 年《清史稿》總纂完成。他撰寫了《清史稿》的《天文志》、《時憲志》、《災異志》以及部分傳稿，並總纂紀稿。

同一時間，他還獨力撰著《新元史》，學術界對《新元史》評價頗高，認為此書乃集五百多年各家研究之大成，補充了許多新內容，糾正了不少錯誤。日本東京帝國大學贈文學博士學位。

1919 年 12 月 4 日，大總統徐世昌明令《新元史》列入正史，是為第二十五史。1922 年，《新元史》編纂完成。1925 年 10 月，他主持編輯《四庫全書提要》，並親自編寫整理經部易經類提要 152 條。

1933 年 8 月 31 日，柯劭忞在北京病逝，享壽 83 歲。。

## 家族

祖父柯培元，為孝廉，道光年間臺灣噶瑪蘭廳同知，文武兼備，以詩爲長，有《柯易堂詩選》傳世，其在京時與李圖、劉耀椿、李汀璋併稱山左四名家。

父柯蘅，從陳壽祺受許慎、鄭玄之學，精於經史，著《漢書七表校補》二十卷；長於詩，有《聲詩闡微》二卷、《舊雨草屋詩集》四卷。

母李長霞，李圖之女，博學工詩，有「詩古文詞，冠絕一世」之稱。詩學三唐。稿中《亂後憶書》一律，京師傳誦殆遍。詩云：「插架五千卷，竟教一炬亡。斯民同浩劫，此意敢言傷。業廢憑兒懶，窗閑覺日長。吟詩憐弱女，空復說三唐。」

## 著作

* 《新元史》
* 《春秋穀梁傳注》
* 《春秋穀梁傳補注》
* 《新元史考證》
* 《譯史補》
* 《爾雅注》
* 《文獻通考校注》
* 《文選補註》
* 《說經札記》
* 《蓼園文集》
* 《蓼園詩鈔》

其著作後編成《柯劭忞先生遺著》

## 親屬

* 祖父：柯培元，曾在台灣做官，著有《喀瑪蘭志略》
* 父：柯蘅，是陳壽祺的學生，著有《漢書七表校注》二十卷
* 母：李長霞，著有詩稿《亂後憶書》
* 元配：于氏
* 繼室：吳芝芳（桐城派散文家吳汝綸之女）
* 兄：柯劭憼，晚清良吏、詩人。
* 妹：柯劭蕙、柯劭慧，皆詩人
* 長子：柯昌泗，次子：柯昌濟（與兄昌泗皆金石學家），三子：柯昌汾（娶末代衍聖公孔德成二姊孔德懋）

## 參考文獻

### 引用

### 來源

* 李思清. 《清史稿》稿本中的柯劭忞手迹。中國社會科學報：第 17 版.
* 柯劭忞，山東省情網，2008-11-12
* 約法會議秘書廳 (編). 约法会议记录。北京：約法會議秘書廳. 1915.
* 楊大辛、焦靜宜、張樹勇。北洋政府总统与总理。天津：南開大學出版社. 1989.
* 鄧雲鄉。文化古城旧事 / 邓云乡集。石家莊：河北教育出版社. 2004.
柯蔡玉瓊

**柯蔡玉瓊**（1943 年 —），通稱**柯媽媽**，台灣臺南市人，原本是平凡的家庭主婦，由於她的長子柯重宇在車禍中喪命，自己又遭受聯結車司機的冷嘲熱諷，讓她企圖以立法來保障車禍受害者，歷時八年後催生《強制汽車責任保險法》立法。依據這項法案，除了作戰時期的軍用汽車，在中華民國法規定義內的所有汽車都必須強制投保，使得因汽車交通事故而受傷或死亡的受害者能獲得基本保障。在法案通過後，她仍持續監督法案的相關經費與執行狀況。

## 經歷

### 早年

柯蔡玉瓊生於 1943 年，小學畢業後便從事縫補衣服、剖蚵等工作幫家中賺錢，在 23 歲時結婚，與丈夫生下三個孩子後，她便一邊作家庭代工、一邊拉拔三個孩子長大。

### 兒子車禍

1989 年 6 月，柯蔡玉瓊的長子柯重宇即將從東海大學研究所畢業，他在行經東海別墅附近一條屬於管制區的產業道路上（中蔗路）被違規駛入的聯結車從後方撞上，當場死亡。柯蔡玉瓊接到東海大學教官的電話，花兩個小時北上到臺中市，見到蓋著屍體的白布後昏了過去。柯蔡玉瓊表示肇事車行的老闆說：「我們經營二、三十年的車行，常常在撞死人好像在吃飯一樣！」，又說「那一天我們才壓死兩個，也是大學生，一個二十萬，妳兒子是研究生，三十萬要不要拿，不然就去告；妳去告也是拿雞蛋碰石頭而已，台灣全省有勢力的包括我不會超過五個」，這些話使得柯蔡玉瓊十分悲痛，曾一度想與對方同歸於盡，但在柯重宇託夢告訴她必須以立法來保障往後的受害者後，柯蔡玉瓊決定走上立法一途。

### 四處陳情

由於柯蔡玉瓊僅有小學畢業，識字能力非常有限，又有三十幾年不曾提筆寫字，她只好一邊查字典、一邊寫出數百封的陳情信函，將自己的遭遇寄給各個政府部門和柯重宇的許多同學。她在東海大學舉辦多場說明會，促使東海大學出動兩輛校車到肇事車行抗議，引起了媒體的報導和社會關注，又舉辦許多場座談會，成立「中華民國車禍受難者救援協會」，在半年內收到了五百多件有相同遭遇的受難家庭來信，她便立誓要為往後的受害者討回公道。在法案成草後，先是在交通部和財政部間來回請願，用抬棺、絕食、辦超渡法會等各種方式抗議，才讓草案順利送入立法院。

### 推動立法

在草案進入立法院後，柯蔡玉瓊每個星期都來回台南與台北之間旁聽議事，感嘆多數的立委都既虛偽又傲慢，更浪費民脂民膏，她只好開始學習議事規則，並在各個廣播電台主持節目，將自己觀察到的國會亂象告訴聽友，在立委向電台施壓後，她的節目被迫停播。在柯蔡玉瓊來回奔走請召集委員排進審查之下，法案才進入審查會，由於多個交通委員會的委員與包括運輸業者在內的多個利益團體有關聯，不但讓柯蔡玉瓊成為那些立委的眼中釘，也讓她的生命受砂石車業者威脅。

但柯蔡玉瓊並不氣餒，在她的努力下，草案在 1994 年完成一讀，1995 年進入二讀，1996 年 11 月開始逐條討論。柯蔡玉瓊在 1996 年 11 月 13 日與時任中華民國總統李登輝見面並訴說自己的理念，李登輝向她表示「我的心被妳無私的愛感動」，答應幫忙此事，使得《強制汽車責任保險法》迅速地在同年 12 月 13 日通過，法案實施後，柯蔡玉瓊將車禍受難者救援協會解散，把捐款和自掏腰包的錢買兩部救護車捐給台北市政府。

### 近況

在《強制汽車責任保險法》通過後，柯蔡玉瓊仍持續參與相關的會議與工作小組，並到立法院監督車險款項的經費運用，定期做出檢討報告。對此，她表示「是我立法害全大家要交車險的錢，所以，我有義務要監督這些錢的運用」，而她也認為自己對車險運作的監督行為就像在延續兒子的生命。

## 評價

中華民國前總統李登輝：「『柯媽媽』的這股精神，不但令人感動，更是國人學習的楷模。」

柯媽媽的故事，有被要求警察取締占用騎樓導致學童幼兒不能通行之論者引用。

## 參考來源

## 外部連結

* 強制汽車責任保險 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 《強制汽車責任保險法》全國法規資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 強制險理賠範圍和權益 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯蕾

**柯蕾**（英語：Colette，1975 年 5 月 27 日 —），全名**柯蕾・瑪利諾**，是美國伊利諾州芝加哥的浩室音樂 DJ 與歌手。她演出的足跡遍及世界各地，包括劍橋、新加坡、卡加利、好萊塢與蒙特婁。柯蕾曾被與凱莉・米洛、黛比・哈瑞等人相比，並被譽為 OM 唱片旗下的浩室第一夫人。

## 音樂專輯

* Push - 2007 年
* 《心醉神迷》（Hypnotized） - 2005 年
* 《心碎頻率》（When The Music's Loud） - 2013 年

## 參考資料

## 外部連結

* DJ Colette 官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* DJ Colette Myspace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* DJ Collette Facebook
* OM 唱片－Colette 個人簡歷
* Smart Bar－Colette 個人簡歷
* Colette 活動與巡演日期
* 摩托羅拉廣告 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－DJ Colette 代言
* 映象唱片－Colette
柯薩奇病毒

**克沙奇病毒**（coxsackievirus），又稱**柯薩奇病毒**，分類上屬於微小核糖核酸病毒科 (Picornaviridae)、腸道病毒屬 (Enterovirus) 的成員之一，依感染新生幼鼠之臨床症狀與組織病理特性分成 A、B 兩群。克沙奇病毒 A 群 (Group A coxsackievirus, CVA) 包含 23 種血清型 (serotype)，主要感染未成熟的小鼠肌細胞，造成廣泛性的肌肉發炎諸如肌炎及無力肢體麻痺症 (flaccid paralysis) 等。克沙奇病毒 B 群 (Group B coxsackievirus, CVB) 包含 6 種血清型，能造成新生幼鼠全身性多重器官及組織感染，包括心臟、胰臟、肝臟、腎上腺組織及中樞神經系統等，臨床上與多種新生兒疾病有關，包括病毒性心肌炎、腦膜腦炎、肝炎、肺炎及凝血病變等。

## 名稱

克沙奇病毒得名於其分離地科克薩基（紐約州格林縣）。

## 分類

依據病毒核酸序列相似性，可將腸道病毒屬分為 5 種不同血清型之克沙奇病毒被歸類於下：血清型 CVA2-8,10,12,14,16 歸類在 _Human Enterovirus A_(HEV-A)、血清型 CVA9 及 CVB1-6 歸類在 _Human Enterovirus B_(HEV-B)，血清型 CVA1,11,13,15,17-22,24 則歸類在 _Human Enterovirus C_(HEV-C)。

## 結構

## 流行病學

克沙奇病毒並非新病毒或新疾病，這是嬰幼兒常見的感染。

克沙奇病毒是腸病毒科成員之一，這類病毒由口腔進入人體，在腸道內繁殖，通常有 1 到 5 天之潛伏期。這段時期通常沒有症狀或僅有點發燒。通常克沙奇病毒感染都不是致命的，除非病人免疫不全或出現嚴重的併發症，如心肌炎等。與其他腸病毒一樣，常流行於夏季及秋初。下列症狀及疾病由腸病毒 (包括克沙奇病毒) 所引起。

發燒

在幼兒不明的發燒常是腸病毒科成員造成的。病毒雖在腸內繁殖，但卻很少有胃腸炎的症狀。

皮疹

較常出現在年幼兒童，出疹外觀、時間並不一定。較特殊的是手足口病，這是由克沙奇病毒 A16,A5 及 A10 等感染所造成的。此病主要發生在五歲以下，有發燒、口腔內出水泡、手足及會陰部出現皮疹及水泡等症狀。此疹不痛不癢、不結痂。病情通常在一週內康復，很少併發症。

咽唊炎

發燒 1 到 4 天，口咽部出現小水泡及潰瘍，食慾差、喉痛、吞嚥困難。部份有嘔吐、腹痛等症狀。

出血性結膜炎

結膜下出血，紅腫、流淚等，約一週康復。

心肌炎及心包膜炎

可發生在較大兒童及成人，嚴重者會致命。

腦炎 - 腦膜炎

出現發燒、頭痛、無力及頸僵硬等症狀。發燒可到 40C，持續 3 到 5 天。通常可完全痊癒。

先天性及新生兒感染

包括肝炎、心肌炎、腦膜炎，可致命。

## 外部連結

* 微生物免疫學 - Picornaviridae (小 RNA 病毒科)
* 3D macromolecular structures of Coxsackieviruses from the EM Data Bank (EMDB)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯薩婉

**柯薩婉**（印尼語：Kesawan），是在印度尼西亞棉蘭的西棉蘭小區居委會的名稱。在棉蘭的最古老的街道歷史建築。它也曾是棉蘭的唐人街之一，這個區域成為流行在夜間美食的餐館區。
柯蛺蝶屬

**柯蛺蝶屬**（學名：_Cybdelis_）是蛺蝶科苾蛺蝶亞科黑蛺蝶族中的一屬。物種分佈於新熱帶界的中海拔森林。翅膀上有大紫色斑點。

## 物種

* 玻利維亞柯蛺蝶 _Cybdelis boliviana_
* 木納柯蛺蝶 _Cybdelis mnasylus_
* 白斑柯蛺蝶 _Cybdelis phaesyla_

## 參考文獻

* Lamas G ed. 2004. Checklist: Part 4A Hesperioidea - Papiionoidea. Gainesville: Scientific Publishers/Association of Tropical Lepidoptera.
* Neild, A.F.E. (1996) The Butterflies of Venezuela. Part I: Nymphalidae I (Limenitidinae, Apaturinae, Charaxinae), Meridian Publications, Greenwich, U. K.
* The Macrolepidoptera of the world; a systematic description of the hitherto known Macrolepidoptera

by Seitz, Adalbert, 1860-1938

* 壽建新 周堯 李宇飛。世界蝴蝶分類名錄。中國：陝西科學技術出版社. 2006-04-01. ISBN 9787536936768 （中文（簡體））.
柯街镇

**柯街鎮**，是中華人民共和國雲南省保山市昌寧縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

柯街鎮下轄以下地區：

華僑社區、​柯街村、​大地村、​松林村、​臘邑村、​沙壩村、​聯合村、​立斯達村、​玉地里村、​仙岳村、​扁瓦村和芒賴村。

## 參考資料
柯袍

**柯袍**（高棉語：កែ ពក，Ke Pauk，1934 年 —2002 年 2 月 15 日），一譯**蓋博**，紅色高棉高層人物之一。

出生在柬埔寨磅同省的一個村莊。1949 年，在法國軍隊洗劫他的村莊之後，柯袍加入了自由高棉運動，謀求柬埔寨獨立。1954 年日內瓦會議之後柬埔寨取得獨立，柯袍離開了他作戰的叢林，旋即被逮捕，判處六年監禁，在金邊和磅同服刑，但僅服刑了三年就獲得釋放。

1957 年，在柯袍獲釋，回到自己的村莊結婚，生下了六個孩子。在此期間獲得紅色高棉的邀請，而加入該組織，後來成為高層人物之一。

2002 年 2 月 15 日，柯袍在奧多棉吉省的家中在睡眠中逝世。
柯裕棻

**柯裕棻**（1968 年 9 月 8 日 —），台灣台東縣人，原籍台灣彰化，台灣作家，大學教授。

輔仁大學大眾傳播系學士，美國威斯康辛大學麥迪遜分校傳播藝術博士。現為國立政治大學傳播學院新聞學系副教授，文化研究學會理事；研究專長為媒介批評、文化研究、後殖民論述、臺灣電視研究。

## 創作風格

筆風一貫清麗淡雅、乾淨節制。對於處理記憶有相當細膩的書寫能力，喜愛虛構，曾於書序中寫下「常聽說因為世上多的是謊言，誠實因而更可貴。但真實的價值難道由謊言的多寡來衡量嗎？若此，謊言豈非真實的貨幣？若此甚好，讓我虛構一整個世界來棄置這個代換式。」且不諱言喜愛虛構，更曾於書自序中寫下「我寫散文喜歡虛構，我總是真真假假地寫，只有情緒是真實的，為了寫那情緒，乾坤挪移也無妨。」此外，有時對於詞理精確非常注重；有時則憑直覺寫作，喜歡以達到意在言外的方法敘事，認為掌握文氣很重要。

## 作品

### 散文

* 《青春無法歸類》（大塊文化出版社，2003）
* 《恍惚的慢板》（大塊文化出版社，2004）
* 《甜美的剎那》（大塊文化出版社，2007）
* 《浮生草》（印刻出版社，2012）
* 《洪荒三疊》（印刻出版社，2013）

### 小說

* 《冰箱》（聯合文學出版社，2005）

### 評論

* 《批判的連結》（唐山出版社，2006）

### 歌詞

* 《遇見了你》（陳奕迅《U87》，2005）

## 參考資料

* 誠品人，創造生命共同的精采

## 外部連結

* 柯裕棻的部落格
* 國家圖書館 - 當代文學史料系統
* 文建會「好山好水・讀好書」活動 -「離家在外的路」演講影音 2009/08/15
* 政治大學新聞學系 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* CSA 文化研究學會 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯西

**奧古斯丁 - 路易・柯西**（法語：Augustin-Louis Cauchy，發音：[oɡystɛ̃ lwi koʃi]；1789 年 8 月 21 日 —1857 年 5 月 23 日），法國數學家。

## 生平

奧古斯丁 - 路易・柯西於 1789 年 8 月 21 日出生於高級官員家庭，他的父親路易・弗朗索瓦・柯西是法國波旁王朝的官員，由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的「正統派」。大約在 1796 年的時候，柯西偶遇了法國化學家克勞德・貝托萊 (Claude Louis Berthollet，1748-1822)，當時閑居在家的貝托萊幫柯西寫了一套把科學揉合到中古世紀的修道神學的科學材料，教導他數學。大約在 1805 年時，他就讀於巴黎綜合理工學院。他在數學方面有傑出的表現，被任命為法國科學院院士等大學的重要職位。1830 年法國爆發七月革命，柯西拒絕效忠新國王，並自行離開了法國。大約在十年後，他擔任了巴黎綜合理工學院教授。在 1848 年時，在巴黎大學擔任教授。柯西一生寫了 789 篇論文，這些論文編成《柯西著作全集》，由 1882 年開始出版。

## 成就

19 世紀微積分學的準則並不嚴格，他拒絕當時微積分學的說法，並定義了一系列的微積分學準則。在他一生發表的近 800 篇論文中，較為有名的是《分析教程》、《無窮小分析教程概論》和《微積分在幾何上的應用》。他在 1823 年的在其中一篇論文中，提出彈性體平衡和運動的一般方程可分別用六個分量表示。他和馬克勞林重新發現了積分檢驗這個用來測試無限級數是否收斂的方法，積分檢驗最早可追溯到 14 世紀印度數學家 Madhava 和 Madhava 的 Kerala 學派。他一生中最重要的貢獻主要是在微積分學、複變函數和微分方程這三個領域。

## 主要貢獻

奧古斯丁 - 路易・柯西一生曾發現和證明過很多微分方程，主要列表如下：

## 參見

* 柯西判別法
* 柯西 - 施瓦茨不等式
* 柯西分佈
* 柯西 - 歐拉方程
* 積分檢驗

## 參考資料

* 奧古斯丁 - 路易・柯西簡介

## 外部連結

* 《大英百科全書》中的條目：奧古斯丁 - 路易・柯西（英文）
* 奧古斯丁 - 路易・柯西在數學譜系計畫的資料。
* 奧古斯丁 - 路易・柯西詳細資料
* 奧古斯丁 - 路易・柯西成就 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯西-利普希茨定理

在數學中，**柯西 - 利普希茨定理**（Cauchy-Lipschitz Theorem），又稱**皮卡 - 林德勒夫定理**（Picard-Lindelöf Theorem），保證了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁・路易・柯西於 1820 年發表，但直到 1868 年，才由魯道夫・利普希茨給出確定的形式。另一個很常見的叫法是**皮卡 - 林德勒夫定理**，得名於數學家埃米爾・皮卡和恩斯特・林德勒夫。

## 局部定理

設 E 為一個完備的有限維賦範向量空間（即一個巴拿赫空間），f 為一個取值在 E 上的函數：

其中 U 為 E 中的一個開集，I 是 $\mathbb {R} $ 中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程：

如果 f 關於 t 連續，並在 U 中滿足利普希茨條件，也就是說，

那麼對於任一給定的初始條件： $x(t_{0})=x_{0}$ ，其中 $t_{0}\in I$ 、 $x_{0}\in U$ ，微分方程（1）存在一個解 $(J,x(t))$ ，其中 $J\subset I$ 是一個包含 $t_{0}$ 的區間， $x(t)$ 是一個從 $J$ 射到 $U$ 的函數，滿足初始條件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含點 $t_{0}$ 的足夠小的 $J$ 區間上，微分方程（1）的解是唯一的（或者說，方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的）。

這個定理有點像物理學中的決定論思想：當我們知道了一個系統的特性（微分方程）和在某一時刻系統的情況（ $x(t_{0})=x_{0}$ ）時，下一刻的情況是唯一確定的。

## 局部定理的證明

一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函數遞歸序列 $y_{n+1}=\Phi (y_{n})$ ，使得 $\Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)$ ，這樣，如果這個序列有一個收斂點 $y$ ，那麼 $y$ 為函數 $\Phi $ 的不動點，這時就有 $y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)$ ，於是我們構造出了一個解 $y$ 。為此，我們從常數函數

　
: $y_{0}(t)=x_{0}\ $ 開始。令

　
: $\Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.$

這樣構造出來的函數列 $(y_{i})_{i\geq 0}$ 中的每個函數都滿足初始條件。並且由於 $f$ 在 $U$ 中滿足利普希茨條件，當區間足夠小的時候， $\Phi $ 成為一個收縮映射。根據完備空間的不動點存在定理，存在關於 $\Phi $ 的穩定不動點，於是可知微分方程（1）的解存在。

由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個，因此在足夠小的區間內解是唯一的。

## 最大解定理

局部的柯西 - 利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上，對於微分方程（1）的任意解 $\ (J,x(t))$ 、 $(J^{\prime },x^{\prime }(t))$ ，定義一個序關係： $\ (J,x(t))$ 小於 $(J^{\prime },x^{\prime }(t))$ 若且唯若 $J\subset J^{\prime }$ ，並且 $x^{\prime }(t)$ 在 $\ J$ 上的值與 $\ x(t)$ 一樣。在這個定義之下，柯西 - 利普希茨定理斷言，**微分方程的最大解是唯一存在的**。

### 證明思路

解的唯一性：假設有兩個不同的最大解，那麼由局部柯西 - 利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同，將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上，則會得到一個更「大」的解（只需驗證它滿足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：證明需要用到佐恩引理，構造所有解的併集。

## 擴展至高階常微分方程

對於一元的高階常微分方程

　
: $F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)$ ，

只需構造向量 $Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))$ 和相應的映射 $\ \Phi $ ，就可以使得（2）變為 $Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)$ 。這時的初始條件為 $Y(t_{0})=Y_{0}$ ，即

$$
{\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}
$$

## 擴展至偏微分方程

對於偏微分方程，有柯西 - 利普希茨定理的擴展形式：柯西 - 克瓦列夫斯基定理，保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

## 參見

* 常微分方程
* 柯西 - 克瓦列夫斯基定理
* 動力系統
* 初值問題
* 利普希茨條件
* 弗羅貝尼烏斯定理
* 皮亞諾存在性定理

## 參考資料

* 常微分方程（組）基本理論
* M. E. Lindelöf, _Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre_; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 網上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 找到（文中林德勒夫討論擴展了皮卡的一個早期證明）

## 相關連結

* 局部柯西 - 利普希茨定理的另一個證明，英文 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 湖北師範學院數學與統計學院，比較嚴格的討論，中文
柯西-歐拉方程

**柯西 - 尤拉方程**是形式如 $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ （其中 $b,c$ 是常數）的二階變係數常微分方程。

## 解法

觀察可知 $y=x^{r}$ 是一個特定解：

　
: $0=x^{2}y''+bxy'+cy$

　
: $=x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}$

　
: $=(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}$

因為 $x^{r}=0$ 若且唯若 $x=0$ ，所以要考慮二次方程 $r^{2}+(b-1)r+c=0$ 的解。

　
: $r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).$

設 $p,q$ 為二次方程的解。若 $p,q$ 不相等， $y$ 的一般解則為 $y=Ax^{p}+Bx^{q}$ 。

若 $p=q=(1-b)/2$ ，其中一個特定解為 $x^{r}\ln {x}$ ：

　
: $x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}$

　
: $=x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)$

代入 $r=(1-b)/2$ 便知右方括號內等於 0。因此核實 $x^{r}\ln {x}$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： $y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}$ 。

## 參見

* 里卡蒂方程
* 伯努利微分方程
* 克萊羅方程
* 全微分方程
* 線性微分方程
柯西-比内公式

線性代數中，**柯西 - 比內公式**（Cauchy–Binet formula）將行列式的可乘性（兩個方塊矩陣的行列式等於兩個行列式的乘積）推廣到非方塊矩陣。

假設 _A_ 是一個 _m_×_n_ 矩陣，而 _B_ 是一個 _n_×_m_ 矩陣。如果 _S_ 是 { 1, ..., _n_ } 中具有 _m_ 個元素的子集，我們記 _A_S 為 _A_ 中列指標位於 _S_ 中的 _m_×_m_ 子矩陣。類似地，記 _B_S 為 _B_ 中行指標位於 _S_ 中的 _m_× _m_ 子矩陣。柯西 - 比內公式說

　
: $\det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S})\,$

這裡求遍 { 1, ..., _n_ } 中 _m_ 個元素的所有可能子集 _S_（共有 C (_n_,_m_) 個）。

如果 _m_ = _n_，即 _A_ 與 _B_ 是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個容許集合 _S_，柯西 - 比內公式退化為通常行列式的可乘性。如果 _m_ = 1 則有 _n_ 容許集合 _S_，這個公式退化為點積。如果 _m_ > _n_，沒有容許集合 _S_，行列式 det (_AB_) 是零（參見空和（empty sum））。

這個公式對矩陣元素取值於任何交換環都成立。證明可將 _AB_ 的列寫成係數來自 _B_ 的 _A_ 的列的線性組合，利用行列式的可乘性，將屬於一個 det (_A_S) 的項收集起來，並利用行列式的反對稱性。利用行列式的萊布尼茲公式，得出 det (_A_S) 的係數是 det (_B_S)。這個證明沒有利用行列式的可乘性，相反這個證明建立了它。

如果 _A_ 是一個實 _m_×_n_ 矩陣，則 det (_A_ _A_T) 等於由 _A_ 中行向量在 **R**n 中張成的平行多面體 _m_- 維體積的平方。柯西 - 比內公式說這等於該平行多面體在所有 _m_- 維坐標平面（共有 C (_n_,_m_) 個）的正交投影的平行多面體的 _m_- 維體積的平方之總和。_m_=1 的情形是關於一條線段的長度，這恰是畢達哥拉斯定理。

柯西 - 比內公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式。該公式在子式一文給出。

**例**
: 如果 $A={\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{bmatrix}}$ 與 $B={\begin{bmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{bmatrix}}$ 則柯西 - 比內公式給出行列式：

　
: $\det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|=-28.$

## 外部連結

* 柯西 - 比內公式的簡單組合證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯西-阿达马公式

**柯西－阿達馬公式**（**Cauchy-Hadamard Formula**）為複分析（Complex analysis）中求單複變形式冪級數收斂半徑的公式，以法國數學家奧古斯丁・路易・柯西和雅克・阿達馬的名字命名。

## 公式陳述

對於單一複數變量「z」的形式冪級數

　
: $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

上式中 $a,c_{n}\in \mathbb {C} $ ,

則該級數收斂半徑 R 由下式給出：

　
: ${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{\frac {1}{n}}{\big )}.$

其中 limsup 定義為

　
: $\limsup _{n\to \infty }u_{n}:=\lim _{n\to \infty }v_{n}:=\lim _{n\to \infty }\sup\{u_{k}:k\geq n\}$

其中 sup 為集合的最小上界。
柯西_(印地安納州)

**柯西**（英語：Kersey）是位於美國印地安納州傑斯帕縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。

## 參考文獻
柯西中值定理

**柯西均值定理**，也叫拓展均值定理，是拉格朗日均值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。

## 內容

如果函數 $f(x)$ 及 $g(x)$ 滿足

1. 在閉區間 $[a,b]$ 上連續；
2. 在開區間 $(a,b)$ 內可微分；
3. 對任意 $x\in (a,b),g'(x)\neq 0$ ；

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi (a<\xi <b)$ ，使等式

　
: ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

或

　
: $(f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,$

成立。

其幾何意義為：用參數方程式表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點 (_f_(_a_),_g_(_a_)) 和 (_f_(_b_),_g_(_b_)) 都存在切線，因為可能存在一些 _c_ 值使 _f_′(_c_) = _g_′(_c_) = 0, 換句話說取某個值時位於曲線的駐點；在這些點處，曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

　
: $t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),$

在區間 [−1,1] 上，曲線由 (−1,0) 到 (1,0), 卻並無一個水平切線；然而它有一個駐點 (實際上是一個尖點) 在 _t_ = 0 時。

柯西均值定理可以用來證明羅必達法則。拉格朗日均值定理是柯西均值定理當 _g_(_t_) = _t_ 時的特殊情況。

## 證明

首先，如果 $g(a)=g(b)$ ，由羅爾定理，存在一點 $x_{0}\in (a,b)$ 使得 $g'(x_{0})=0$ ，與條件 3 矛盾。所以 $g(a)\neq g(b)$ 。

令 $h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)$ 。那麼

 1. $h$ 在 $[a,b]$ 上連續，
2. $h$ 在 $(a,b)$ 上可導，
3. $h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}$ 。由羅爾定理，存在一點 $c\in (a,b)$ 使得 $h'(c)=0$ 。即 $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)$ 。命題得證。

## 參見

* 拉格朗日均值定理
* 微分均值定理
* 羅爾定理
柯西准则

在數學中，**柯西序列**、**柯西列**、**柯西數列**（英語：Cauchy sequence），也稱為**基本列**，是指一個元素隨著序數的增加而愈發靠近的數列，以數學家奧古斯丁・路易・柯西的名字命名。

柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。在更一般的一致空間中，可以定義更為抽象的柯西濾子和柯西網。

柯西列一個重要性質是，在完備空間中，所有的柯西數列都有極限且極限在這空間裡，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該數列的極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。

## 複數的柯西列

一個複數序列

　
: $z_{1},z_{2},z_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n\geq N$ ，都有

　
: $|z_{m}-z_{n}|<r,$

其中的豎線表示絕對值或模。

類似地，我們可以定義實數的柯西列。

## 度量空間中的柯西列

為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間，必須將絕對值替換為該度量空間中的距離。

形式上說，給定任何一個度量空間 $(M,d)$ ，一個序列

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n>N$ ，都有

　
: $d(x_{m},x_{n})<r$

其中 $d(x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 之間的距離。

直觀上說，一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限，而事實上在某些情況下這個結論是不對的。

### 例子

* 對於有絕對值作為範數的有理數空間 $\mathbb {Q} $ ，定義數列：

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}={[{\sqrt {2}}n] \over n}$

這個數列趨於 ${\sqrt {2}}$ ，但 ${\sqrt {2}}$ 不屬於 $\mathbb {Q} $ ，因此這個數列不收斂。

* 對於所有多項式組成的空間，定義每個多項式的範數是其係數絕對值的最大值，兩個多項式之間的距離則是它們的差的範數。考慮多項式列：: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}{x^{k} \over k}$ 。這個多項式列中，對任意 $m>n\in \mathbb {N} $ ， $d(x_{m},x_{n})=||\sum _{k=n+1}^{m}{x^{k} \over k}||={1 \over n+1}$ ，趨於零，因此它是一個柯西列。但這個柯西列顯然不收斂，因為它的元素次數趨於無窮。

## 完備性

一個度量空間 $X$ 中的所有柯西數列都會收斂到 $X$ 中的一點 ，那麼 $X$ 被稱為是一個完備空間。

* 例子：實數

實數是完備的，而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。

* 反例：有理數

有理數 $\mathbb {Q} $ 在通常定義的距離意義下不是完備的：

存在某個由有理數組成的序列，收斂到某個無理數，所以這數列在有理數這空間是不收斂的。

例如：

* 如下定義的序列： $x_{0}=1,x_{n+1}=(x_{n}+2/x_{n})/2$ ，即 $(1,3/2,17/12,...)$ 。可以證明這個序列收斂到一個無理數 ${\sqrt {2}}$ 。
* 對於每個給定的 $x\neq 0$ 而言，以下函數 $\exp(x),\sin(x),\cos(x)$ 的值都可以表示為一個有理數序列的極限，但當 $x$ 為有理數時，這個值卻是無理數。

### 其他性質

任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果 $f\colon M\rightarrow N$ 是一個由度量空間 $M$ 到度量空間 $N$ 的一致連續的映射，並且 $\{x_{n}\}$ 是 $M$ 中的柯西列，那麼 $\{f(x_{n})\}$ 也必然是 $N$ 中的柯西列。

如果 $\{x_{n}\}$ 和 $\{y_{n}\}$ 是有理數、實數或複數構成的柯西列，那麼 $\{x_{n}+y_{n}\}$ 和 $\{x_{n}y_{n}\}$ 也是柯西列。

## 推廣

### 拓撲向量空間中的柯西列

在一個拓撲向量空間 $X$ 中同樣可以定義一個柯西列：在 $X$ 選擇一個 $0$ 局部基 ${\mathcal {B}}$ ，如果對於 ${\mathcal {B}}$ 中的任何元素 $V$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ 而言，序列 $\{x_{k}\}$ 滿足 $x_{m}-x_{n}\in V$ ，那麼這個序列就稱為一個柯西列。

如果這個拓撲向量空間 $X$ 上有恰好可以引入一個平移不變度量 $d$ ，那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量 $d$ 定義的柯西列是等價的。

### 群中的柯西列

在一個群中，同樣可以定義柯西列：

命 $H=\{H_{r}\}$ 表示一列有限指標的遞減的 $G$ 的正規子群，那麼群 $G$ 中一個序列 $\{x_{n}\}$ 稱為柯西列（對於上述 $H$ 而言），若且唯若對於任意的 $r$ ，存在正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ ，都有 $x_{m}x_{n}^{-1}\in H$ 。

如果用 $C$ 表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那麼 $C$ 在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且 $C_{0}$ ，即所有空序列（對於任意 $r$ ，存在 $N$ 使得對於任意 $n>N$ ，都有 $n\in H_{r}$ ）構成了 $C$ 的正規子群。而商群 $C/C_{0}$ 稱為 $G$ 相對於 $H$ 的完備化。

可以證明，這個完備化同構與序列 $\{G/H_{4}\}$ 的逆向極限同構。

如果 $H$ 是個共尾序列（即任何有限的正規子群均包含某個 $H_{r}$ ），那麼這個完備化在與 $\{G/H\}_{H}$ 的逆極限同構的意義下是規範的，這裡的 $H$ 跑遍所有有限的正規子群。

## 注釋

## 參考書目

* Bourbaki, Nicolas. Commutative Algebra English translation. Addison-Wesley. 1972. ISBN 0-201-0644-8.
* Lang, Serge. Algebra 3rd ed., reprint w/ corr. Addison-Wesley. 1997. ISBN 978-0-201-55540-0.
柯西分布

**柯西分布**也叫作**柯西 - 勞侖茲分布**，它是以奧古斯丁・路易・柯西與亨德里克・勞侖茲名字命名的連續機率分布，其機率密度函數為

　
: $f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$

　
: $={1 \over \pi }\left[{\gamma  \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\!$

其中 _x_0 是定義分布峰值位置的位置母數，_γ_ 是尺度母數，是半峰全寬 / 四分位距的一半。

作為機率分布，通常叫作**柯西分布**，物理學家也將之稱為**勞侖茲分布**或者 **Breit-Wigner 分布**。在物理學中的重要性很大一部分歸因於它是描述受迫共振的微分方程式的解。在光譜學中，它描述了被共振或者其它機制加寬的譜線形狀。在下面的部分將使用_柯西分布_這個統計學術語。

_x_0 = 0 且 _γ_ = 1 的特例稱為**標準柯西分布**，其機率密度函數為

　
: $f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!$

## 特性

其累積分布函數為：

　
: $F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$

柯西分布的逆累積分布函數為

　
: $F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan(\pi \,(p-1/2)).\!$

柯西分布的平均值、變異數或者動差都沒有定義，它的眾數與中值有定義都等於 x0。

取 _X_ 表示柯西分布隨機變數，柯西分布的特性函數表示為：

　
: $\phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!$

如果 _U_ 與 _V_ 是期望值為 0、變異數為 1 的兩個獨立常態分布隨機變數的話，那麼比值 _U_/_V_ 為標準柯西分布。

標準柯西分布是學生 t - 分布自由度為 1 的特殊情況。

柯西分布是穩定分布：如果 $X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )$ ，則 $X\sim {\textrm {Cauchy}}(\mu ,\gamma )$ 。

如果 _X_1, …, _X_n 是分別符合柯西分布的相互獨立同分布隨機變數，那麼算術平均數（_X_1 + … + _X_n）/_n_ 有同樣的柯西分布。為了證明這一點，我們來計算採樣平均的特性函數：

　
: $\phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!$

其中， ${\overline {X}}$ 是採樣平均值。這個例子表明不能捨棄中央極限定理中的有限變數假設。

洛侖茲線性分布更適合於那種比較扁、寬的曲線
高斯線性分布則適合較高、較窄的曲線
當然，如果是比較居中的情況，兩者都可以。
很多情況下，採用的是兩者各占一定比例的做法。如勞侖次占 60%，高斯占 40%.

## 勞侖次分布方程式

Function: ${\frac {{\frac {1}{2}}\Gamma }{x^{2}+({\frac {1}{2}}\Gamma )^{2}}}$ ，其中 $\Gamma $ 為一個分布算符，詳見伽瑪分布。

## 外部連結

* 1. 埃里克・韋斯坦因. Cauchy Distribution. MathWorld.
* 2.GNU Scientific Library - Reference Manual（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 3.https://mathworld.wolfram.com/FullWidthatHalfMaximum.html
柯西列

在數學中，**柯西序列**、**柯西列**、**柯西數列**（英語：Cauchy sequence），也稱為**基本列**，是指一個元素隨著序數的增加而愈發靠近的數列，以數學家奧古斯丁・路易・柯西的名字命名。

柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。在更一般的一致空間中，可以定義更為抽象的柯西濾子和柯西網。

柯西列一個重要性質是，在完備空間中，所有的柯西數列都有極限且極限在這空間裡，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該數列的極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。

## 複數的柯西列

一個複數序列

　
: $z_{1},z_{2},z_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n\geq N$ ，都有

　
: $|z_{m}-z_{n}|<r,$

其中的豎線表示絕對值或模。

類似地，我們可以定義實數的柯西列。

## 度量空間中的柯西列

為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間，必須將絕對值替換為該度量空間中的距離。

形式上說，給定任何一個度量空間 $(M,d)$ ，一個序列

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n>N$ ，都有

　
: $d(x_{m},x_{n})<r$

其中 $d(x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 之間的距離。

直觀上說，一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限，而事實上在某些情況下這個結論是不對的。

### 例子

* 對於有絕對值作為範數的有理數空間 $\mathbb {Q} $ ，定義數列：

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}={[{\sqrt {2}}n] \over n}$

這個數列趨於 ${\sqrt {2}}$ ，但 ${\sqrt {2}}$ 不屬於 $\mathbb {Q} $ ，因此這個數列不收斂。

* 對於所有多項式組成的空間，定義每個多項式的範數是其係數絕對值的最大值，兩個多項式之間的距離則是它們的差的範數。考慮多項式列：: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}{x^{k} \over k}$ 。這個多項式列中，對任意 $m>n\in \mathbb {N} $ ， $d(x_{m},x_{n})=||\sum _{k=n+1}^{m}{x^{k} \over k}||={1 \over n+1}$ ，趨於零，因此它是一個柯西列。但這個柯西列顯然不收斂，因為它的元素次數趨於無窮。

## 完備性

一個度量空間 $X$ 中的所有柯西數列都會收斂到 $X$ 中的一點 ，那麼 $X$ 被稱為是一個完備空間。

* 例子：實數

實數是完備的，而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。

* 反例：有理數

有理數 $\mathbb {Q} $ 在通常定義的距離意義下不是完備的：

存在某個由有理數組成的序列，收斂到某個無理數，所以這數列在有理數這空間是不收斂的。

例如：

* 如下定義的序列： $x_{0}=1,x_{n+1}=(x_{n}+2/x_{n})/2$ ，即 $(1,3/2,17/12,...)$ 。可以證明這個序列收斂到一個無理數 ${\sqrt {2}}$ 。
* 對於每個給定的 $x\neq 0$ 而言，以下函數 $\exp(x),\sin(x),\cos(x)$ 的值都可以表示為一個有理數序列的極限，但當 $x$ 為有理數時，這個值卻是無理數。

### 其他性質

任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果 $f\colon M\rightarrow N$ 是一個由度量空間 $M$ 到度量空間 $N$ 的一致連續的映射，並且 $\{x_{n}\}$ 是 $M$ 中的柯西列，那麼 $\{f(x_{n})\}$ 也必然是 $N$ 中的柯西列。

如果 $\{x_{n}\}$ 和 $\{y_{n}\}$ 是有理數、實數或複數構成的柯西列，那麼 $\{x_{n}+y_{n}\}$ 和 $\{x_{n}y_{n}\}$ 也是柯西列。

## 推廣

### 拓撲向量空間中的柯西列

在一個拓撲向量空間 $X$ 中同樣可以定義一個柯西列：在 $X$ 選擇一個 $0$ 局部基 ${\mathcal {B}}$ ，如果對於 ${\mathcal {B}}$ 中的任何元素 $V$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ 而言，序列 $\{x_{k}\}$ 滿足 $x_{m}-x_{n}\in V$ ，那麼這個序列就稱為一個柯西列。

如果這個拓撲向量空間 $X$ 上有恰好可以引入一個平移不變度量 $d$ ，那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量 $d$ 定義的柯西列是等價的。

### 群中的柯西列

在一個群中，同樣可以定義柯西列：

命 $H=\{H_{r}\}$ 表示一列有限指標的遞減的 $G$ 的正規子群，那麼群 $G$ 中一個序列 $\{x_{n}\}$ 稱為柯西列（對於上述 $H$ 而言），若且唯若對於任意的 $r$ ，存在正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ ，都有 $x_{m}x_{n}^{-1}\in H$ 。

如果用 $C$ 表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那麼 $C$ 在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且 $C_{0}$ ，即所有空序列（對於任意 $r$ ，存在 $N$ 使得對於任意 $n>N$ ，都有 $n\in H_{r}$ ）構成了 $C$ 的正規子群。而商群 $C/C_{0}$ 稱為 $G$ 相對於 $H$ 的完備化。

可以證明，這個完備化同構與序列 $\{G/H_{4}\}$ 的逆向極限同構。

如果 $H$ 是個共尾序列（即任何有限的正規子群均包含某個 $H_{r}$ ），那麼這個完備化在與 $\{G/H\}_{H}$ 的逆極限同構的意義下是規範的，這裡的 $H$ 跑遍所有有限的正規子群。

## 注釋

## 參考書目

* Bourbaki, Nicolas. Commutative Algebra English translation. Addison-Wesley. 1972. ISBN 0-201-0644-8.
* Lang, Serge. Algebra 3rd ed., reprint w/ corr. Addison-Wesley. 1997. ISBN 978-0-201-55540-0.
柯西判別法

**柯西判別法** Cauchy Criterion 是判斷一個實級數或數列收歛的方法。

級數 $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ 收歛，若且唯若對於實數 $\epsilon >0$ ，存在正整數 $N$ 使得對於任何 $n>N$ 及 $p\geq 1$ ， $|\sum _{i=n+1}^{n+p}a_{i}|<\epsilon $ 。

另一個說法是：
數列 $A_{i}$ 收歛若且唯若對於任何實數 $\epsilon >0$ ，存在正整數 N 使得對於任何 $i,j>N$ ， $|A_{i}-A_{j}|<\epsilon $ 。

## 參考
柯西判据

在數學和拓撲學中，以法國數學家柯西命名的**柯西判據**是判斷度量空間中數列收斂性的一個依據。

滿足這個判據的數列稱為柯西序列。

當空間是完備空間的時候，滿足柯西判據等價於數列收斂。

## 定理的陳述

若度量空間中的一個數列滿足柯西判據：

$$
\lim _{n\to \infty }x_{n}\sup _{p,q>n}d(s_{p},s_{q})=0
$$

那麼這個數列就是一個柯西數列。

柯西判據的推論：

1. 在度量空間中，收斂數列一定是柯西序列。

2. 在完備的度量空間中，所有的柯西序列都是收斂的。

## 特殊度量空間

這個等價關係在 $\mathbb {R} $ （距離定義為絕對值時）， $\mathbb {C} $ 中（距離定義為模）， $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {C} ^{n}$ 中（對任意一個模）成立。在巴拿赫空間中，所有的子空間都是完備的度量空間，等價關係對任意一個模成立。
在 $\mathbb {Q} $ - 賦范向量空間 $\mathbb {Q} ^{n}$ 中，若距離定義為幾何距離，則上面的推論中只有第一個成立，因為這不是完備空間。不過這時所有的柯西序列仍然收斂，只是序列極限屬於 $\mathbb {R} ^{n}$ 而不是 $\mathbb {Q} ^{n}$ 。

## 證明

* 推論 1：

如果數列 $(s_{n})$ 收斂於 $s$ , 那麼對所有 $\epsilon >0$ ，存在一個整數 $m$ ，使對所有 $n>m$ 都有: $d(s_{n},s)<r,$

那麼根據距離的三角不等性，可得:

$$
d(s_{p},s_{q})\leqslant d(s_{p},s)+d(s_{q},s)<2\ \epsilon
$$

對所有的 $p,\ q>m$ 都成立，因此這是一個柯西序列。

* 推論 2：

這是由完備空間的定義推出的。

## 參考條目

* 柯西序列
* 完備空間
柯西剛性定理

**柯西剛性定理**（Cauchy's theorem）是幾何學的定理，得名自數學家奧古斯丁 - 路易・柯西。柯西剛性定理提到二個三維的凸多面體若有其對應面都全等，則兩者多胞形本身也會全等。若將凸多面體展開，使各面都在同一個平面上，再加上多面體的哪些面會相連的說明，這可以確定多面體的形狀，而且符合的多面體只會有一個。例如，立方體的展開圖會是六個正方形，若有一個凸多面體，展開後也是六個正方形，且各面連接方式和立方體展開圖相同，則該多面體一定是立方體。不可能有其他不是立方體，但展開圖和立方體相同的凸多面體。

柯西剛性定理是結構剛性理論的基礎。若有人用剛性材質組成凸多胞形的面，使各面不會變形，面和面之間有鉸鏈相連，所組成的多面體會是剛性結構。

## 相關條目

* 舒恩哈特八面體：不是凸多面體，組合上等價於正八面體，

## 參考資料

* A. L. Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", _Journal de l'École Polytechnique_ **9** (1813), 66–86.
* Max Dehn, "Über die Starrheit konvexer Polyeder" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (in German), _Math. Ann._ **77** (1916), 466–473.
* Aleksandr Danilovich Aleksandrov, _Convex polyhedra_, GTI, Moscow, 1950. English translation: Springer, Berlin, 2005.
* James J. Stoker, "Geometrical problems concerning polyhedra in the large", _Comm. Pure Appl. Math._ **21** (1968), 119–168.
* Robert Connelly, "Rigidity", in _Handbook of Convex Geometry_, vol. A, 223–271, North-Holland, Amsterdam, 1993.
柯西定理

**柯西定理**可以指：

* 柯西積分定理
* 柯西中值定理
* 柯西定理 (群論)
* 柯西剛性定理
柯西定理_(群論)

**柯西定理**是一個在群論裡的定理，以奧古斯丁・路易・柯西的名字來命名。其敘述著若 _G_ 是一個有限群且 _p_ 是一個可整除 _G_ 之階（_G_ 的元素數目）的質數，則 _G_ 會有一個 _p_ 階的元素。亦即，存在一個於 _G_ 內的 _x_，使得 _p_ 為讓 _x_p=_e_ 的最小非零整數，其中 _e_ 為單位元素。

此一定理為拉格朗日定理的部份相反，其敘述著有限群 _G_ 的每一個子群之階都會整除 _G_ 的階。柯西定理表示對於每一個 _G_ 之階的質因數 _p_，總存在一個 _G_ 內 _p_ 階之子群－由柯西定理內之元素產生的循環群。

## 證明

我們對 _n_ = |_G_| 使用數學歸納法。考慮 _G_ 是阿貝爾群，以及 _G_ 不是阿貝爾群的兩個情況。假設 _G_ 是阿貝爾群。如果 _G_ 是單群，那麼它一定是素數階循環群，因此顯然含有 _p_ 階的元素。否則存在一個非平凡的正規子群 $H\triangleleft G$ 。如果 _p_ 能整除 |_H_|，那麼根據歸納假設，_H_ 含有一個 _p_ 階的元素，因此 _G_ 也含有 _p_ 階的元素。否則，根據拉格朗日定理，_p_ 一定能整除指數 [_G_:_H_]，因此根據歸納假設，商群 _G_/_H_ 含有一個 _p_ 階的元素；也就是說，在 _G_ 中存在一個 _x_，使得 (_Hx_)p = _Hx_p = _H_。那麼在 _H_ 中存在一個元素 _h_1，使得 _h_1_x_p = 1——_G_ 的單位元。容易驗證，對於 _H_ 中的每一個元素 _a_，都存在 _H_ 中的一個元素 _b_，使得 _b_p = _a_，因此在 _H_ 中存在 _h_2，使得 _h_2 p = _h_1。所以 _h_2_x_ 的階為 _p_，阿貝爾群的情況得證。

假設 _G_ 不是阿貝爾群，那麼它的中心 _Z_ 是真子群。如果對於某個非中心元素 _a_（也就是說，_a_ 不在 _Z_ 內），_p_ 能整除中心化子 _C_G(_a_) 的階，那麼 _C_G(_a_) 就是一個真子群，因此根據歸納假設，它含有一個 _p_ 階的元素。否則，根據拉格朗日定理，_p_ 一定能整除指數 [_G_:_C_G(a)]，對於所有的非中心 _a_。利用類方程，可知 _p_ 能整除方程的左端（|_G_|），因此也能整除右端的所有被加數，除了可能不整除 |_Z_| 以外。然而，經過一番計算就可發現，_p_ 必須也能整除 _Z_ 的階，因此根據歸納假設，中心子群含有一個 _p_ 階的元素，因為它是真子群，所以它的階嚴格小於 _G_ 的階。證畢。

## 參考

* James McKay. _Another proof of Cauchy's group theorem_, American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

## 外部連結

* 本條目含有來自 PlanetMath《Cauchy's theorem》的內容，版權遵守創用 CC 協議：署名 - 相同方式共享協議。
* 柯西定理的證明. PlanetMath.
柯西应力

**柯西應力張量**（英語：Cauchy stress tensor，通常以 ${\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ 表示），又稱為**真實應力張量**（true stress tensor），是連續介質力學里用現時構形描述的二階應力張量，以法國數學家奧古斯丁・路易・柯西的名字命名。該張量為對稱張量，其九個分量（六個獨立分量）表示某一點的應力狀態。假設 **n** 為單位方向矢量，**T**(**n**) 為通過與 **n** 垂直平面的應力矢量，則 **T**(**n**) 與 **n** 之間的關係為

　
: $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!$

其中柯西應力張量表示為，

　
: ${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!$

柯西應力張量適用分析當材料變形微小時，不適用於大變形情況 (如彈性體受力變形)。

## 參考文獻
柯西收敛准则

在數學中，**柯西序列**、**柯西列**、**柯西數列**（英語：Cauchy sequence），也稱為**基本列**，是指一個元素隨著序數的增加而愈發靠近的數列，以數學家奧古斯丁・路易・柯西的名字命名。

柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。在更一般的一致空間中，可以定義更為抽象的柯西濾子和柯西網。

柯西列一個重要性質是，在完備空間中，所有的柯西數列都有極限且極限在這空間裡，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該數列的極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。

## 複數的柯西列

一個複數序列

　
: $z_{1},z_{2},z_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n\geq N$ ，都有

　
: $|z_{m}-z_{n}|<r,$

其中的豎線表示絕對值或模。

類似地，我們可以定義實數的柯西列。

## 度量空間中的柯西列

為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間，必須將絕對值替換為該度量空間中的距離。

形式上說，給定任何一個度量空間 $(M,d)$ ，一個序列

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots $

被稱為**柯西列**，如果對於任何正實數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n>N$ ，都有

　
: $d(x_{m},x_{n})<r$

其中 $d(x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 之間的距離。

直觀上說，一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限，而事實上在某些情況下這個結論是不對的。

### 例子

* 對於有絕對值作為範數的有理數空間 $\mathbb {Q} $ ，定義數列：

　
: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}={[{\sqrt {2}}n] \over n}$

這個數列趨於 ${\sqrt {2}}$ ，但 ${\sqrt {2}}$ 不屬於 $\mathbb {Q} $ ，因此這個數列不收斂。

* 對於所有多項式組成的空間，定義每個多項式的範數是其係數絕對值的最大值，兩個多項式之間的距離則是它們的差的範數。考慮多項式列：: $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots $ 滿足： $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}{x^{k} \over k}$ 。這個多項式列中，對任意 $m>n\in \mathbb {N} $ ， $d(x_{m},x_{n})=||\sum _{k=n+1}^{m}{x^{k} \over k}||={1 \over n+1}$ ，趨於零，因此它是一個柯西列。但這個柯西列顯然不收斂，因為它的元素次數趨於無窮。

## 完備性

一個度量空間 $X$ 中的所有柯西數列都會收斂到 $X$ 中的一點 ，那麼 $X$ 被稱為是一個完備空間。

* 例子：實數

實數是完備的，而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。

* 反例：有理數

有理數 $\mathbb {Q} $ 在通常定義的距離意義下不是完備的：

存在某個由有理數組成的序列，收斂到某個無理數，所以這數列在有理數這空間是不收斂的。

例如：

* 如下定義的序列： $x_{0}=1,x_{n+1}=(x_{n}+2/x_{n})/2$ ，即 $(1,3/2,17/12,...)$ 。可以證明這個序列收斂到一個無理數 ${\sqrt {2}}$ 。
* 對於每個給定的 $x\neq 0$ 而言，以下函數 $\exp(x),\sin(x),\cos(x)$ 的值都可以表示為一個有理數序列的極限，但當 $x$ 為有理數時，這個值卻是無理數。

### 其他性質

任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

如果 $f\colon M\rightarrow N$ 是一個由度量空間 $M$ 到度量空間 $N$ 的一致連續的映射，並且 $\{x_{n}\}$ 是 $M$ 中的柯西列，那麼 $\{f(x_{n})\}$ 也必然是 $N$ 中的柯西列。

如果 $\{x_{n}\}$ 和 $\{y_{n}\}$ 是有理數、實數或複數構成的柯西列，那麼 $\{x_{n}+y_{n}\}$ 和 $\{x_{n}y_{n}\}$ 也是柯西列。

## 推廣

### 拓撲向量空間中的柯西列

在一個拓撲向量空間 $X$ 中同樣可以定義一個柯西列：在 $X$ 選擇一個 $0$ 局部基 ${\mathcal {B}}$ ，如果對於 ${\mathcal {B}}$ 中的任何元素 $V$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ 而言，序列 $\{x_{k}\}$ 滿足 $x_{m}-x_{n}\in V$ ，那麼這個序列就稱為一個柯西列。

如果這個拓撲向量空間 $X$ 上有恰好可以引入一個平移不變度量 $d$ ，那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量 $d$ 定義的柯西列是等價的。

### 群中的柯西列

在一個群中，同樣可以定義柯西列：

命 $H=\{H_{r}\}$ 表示一列有限指標的遞減的 $G$ 的正規子群，那麼群 $G$ 中一個序列 $\{x_{n}\}$ 稱為柯西列（對於上述 $H$ 而言），若且唯若對於任意的 $r$ ，存在正整數 $N$ 使得對於任意的 $m,n>N$ ，都有 $x_{m}x_{n}^{-1}\in H$ 。

如果用 $C$ 表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合，那麼 $C$ 在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且 $C_{0}$ ，即所有空序列（對於任意 $r$ ，存在 $N$ 使得對於任意 $n>N$ ，都有 $n\in H_{r}$ ）構成了 $C$ 的正規子群。而商群 $C/C_{0}$ 稱為 $G$ 相對於 $H$ 的完備化。

可以證明，這個完備化同構與序列 $\{G/H_{4}\}$ 的逆向極限同構。

如果 $H$ 是個共尾序列（即任何有限的正規子群均包含某個 $H_{r}$ ），那麼這個完備化在與 $\{G/H\}_{H}$ 的逆極限同構的意義下是規範的，這裡的 $H$ 跑遍所有有限的正規子群。

## 注釋

## 參考書目

* Bourbaki, Nicolas. Commutative Algebra English translation. Addison-Wesley. 1972. ISBN 0-201-0644-8.
* Lang, Serge. Algebra 3rd ed., reprint w/ corr. Addison-Wesley. 1997. ISBN 978-0-201-55540-0.
柯西数

**柯西數**（**Ca**）是流體力學中有關可壓縮流的無量綱，得名自法國數學家奧古斯丁・路易・柯西。當可壓縮性有顯著影響時，在考慮動態相似性的慣性力時，也需要考慮彈力，柯西數是流體慣性力和可壓縮力（彈力）比例，可以表示如下：

　
: $\mathrm {Ca} ={\frac {\rho v^{2}}{K}}$ ,

其中

　
: $\rho $ 為流體密度（國際標準制單位：kg/m3）

　
: _v_ 為局部的流體速度（國際標準制單位：m/s）

　
: _K_ 為體積模量（國際標準制單位：Pa）

## 柯西數和馬赫數的關係

在等熵流中柯西數可以用馬赫數表示，等熵體積模量 $K_{s}=\gamma p$ ，其中 $\gamma $ 為熱容比，而 _p_ 為流體壓力。
若流體為理想氣體，則依照理想氣體定律

　
: $K_{s}=\gamma p=\gamma \rho RT=\,\rho a^{2}$ ,

其中

　
: $a={\sqrt {\gamma RT}}$ 為聲速（國際標準制單位：m/s）

　
: _R_ = 氣體常數（國際標準制單位：J/(kg K)）

　
: _T_ = 溫度（國際標準制單位：K）

取代柯西數公式中的 _K_（_Ks_），可得

　
: $\mathrm {Ca} ={\frac {v^{2}}{a^{2}}}=\mathrm {M} ^{2}$ .

因此在理想氣體的等熵流中，柯西數是馬赫數的平方。

## 參考資料

* Massey, B. S.; Ward-Smith, J. Mechanics of Fluids 7th. Cheltenham: Nelson Thornes. 1998. ISBN 0-7487-4043-0.
柯西斷崖

**柯西斷崖**或**柯西峭壁**(Rupes Cauchy) 是月球表面北緯 9.0°、東經 37.0°(9.0°N 37.0°E﻿ / 9.0; 37.0) 處一條 120 公里長的斷裂地帶。它位於靜海東北部，從西北向東南延伸，峭壁面朝西南，高度約 200〜300 米，以附近的柯西隕石坑之名命名。柯西峭壁北面同時分布著一條柯西月溪，從遠處看，兩者形成了雙曲線的兩個分支，柯西隕石坑就處於斷崖和月溪之間。

新月後的五天內，每當臨近晨昏圈，陽光以低角度照射在柯西峭壁時，它就會投下一條薄薄的陰影 。

## 參考文獻

## 相關文章

* 月球表面特徵列表

## 外部連結

* 月球上的柯西斷崖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 已命名行星地名，國際天文聯合會，美國地質調查局，美國宇航局
柯西月溪

**柯西月溪**（Rimae Römer）是月球正面靜海東部，位於柯西隕石坑東北的一條寬闊的溝槽，它得名於所靠近的柯西隕石坑。從該隕坑的東北側呈線狀般穿過靜海東部，一直延伸至勞倫斯隕石坑的北側邊緣，全長約 167 公里，涵蓋區域南北橫跨 3.59 度、東西相距 4.39 度，其中心月面坐標為 10.42°N 38.07°E﻿ / 10.42; 38.07。

## 參考文獻

## 另請參閱

* 魯克爾，安東寧。月球地图集。布拉格：阿文蒂諾. 1991. ISBN 80-85277-10-7.

## 相關文章

* 月球表面特徵列表

## 外部連結

* 柯西月溪 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 已命名行星地名，國際天文聯合會，美國地質調查局，美國宇航局
柯西玛·瓦格纳

**科西瑪・華格納**（Cosima Wagner，1837 年 12 月 24 日 —1930 年 4 月 1 日），出生名**弗蘭切斯卡・加埃塔納・科西瑪・李斯特**（Francesca Gaetana Cosima Liszt），作曲家李斯特・費倫茨之女，先後嫁給指揮家漢斯・馮・畢羅和作曲家理察・華格納，後者過世後擔任拜律特音樂節音樂總監。

## 生平

科西瑪・華格納出生於哈布斯堡統治時期倫巴第 - 威尼西亞王國的市鎮貝拉焦，是作曲家李斯特的私生女。其母親是作家瑪麗・達古爾特，科西瑪是她與李斯特 10 年關係中的第二個孩子，「科西瑪」一名來自於基督教殉道者聖葛斯默，科西瑪還有姐姐布蘭蒂內（Blandine）、弟弟丹尼爾（Daniel）。科西瑪在祖母安娜・李斯特（Anna Liszt）的撫養下，在巴黎長大。

1853 年，李斯特九年以來首次和科西瑪姐妹見面，一同在場的還有作曲家埃克托・白遼士和理察・華格納。1855 年，科西瑪姐妹被父親送往柏林，由得意門生漢斯・馮・畢羅的母親照顧。1857 年，科西瑪和馮・畢羅在柏林聖黑德維希主教座堂成婚，婚後生有兩女。

1862 年起，科西瑪和華格納開始相熟，互生情愫。1865 年，科西瑪為華格納生下長女伊索爾德（Isolde），次年兩人搬到琉森附近的特里布申居住。1867 年和 1869 年，科西瑪分別為華格納生下第二個女兒艾娃（Eva）和兒子齊格弗里德（Siegfried）。

1870 年，科西瑪正式和馮・畢羅離婚，隨後與華格納成婚。這一年的科西瑪生日時，華格納為其創作了《齊格弗里德牧歌》。 

華格納 1883 年去世後，科西瑪接班掌管拜律特音樂節，直至 1906 年，繼任者是她的兒子齊格弗里德・華格納。1907 年發現的小行星 644 以她命名。1930 年，科西瑪於拜羅伊特去世，遺體在科堡火化。

## 延伸閱讀

* Carr, Jonathan. The Wagner Clan. London: Faber and Faber. 2008. ISBN 978-0-571-20790-9.
* Du Moulin Eckart, Richard. Cosima Wagner. New York: A.A. Knopf. 1930. OCLC 410838.
* Gutman, Robert W. Richard Wagner: The Man, His Mind and His Music. Harmondsworth, UK: Penguin Books. 1971. ISBN 978-0-14-021168-9.
* Hilmes, Oliver. Cosima Wagner: The Lady of Bayreuth. New Haven and London: Yale University Press. 2011. ISBN 978-0-300-17090-0.
* Holman, J(ames) K(nox). Wagner's Ring: A Listener's Companion and Concordance. Portland: Amadeus Press. 2001. ISBN 978-1-57467-070-7.
* Marek, George R. Cosima Wagner. London: Julia MacRae Books. 1981. ISBN 978-0-86203-120-6.
* Osborne, Charles. The Complete Operas of Wagner. London: Victor Gollancz Ltd. 1992. ISBN 978-0-575-05380-9.
* Rose, Paul. Wagner: Race and Revolution. London: Faber and Faber. 1996. ISBN 978-0-571-17888-9.
* Shaw, Bernard. The Perfect Wagnerite. London: Grant Richards. 1898. OCLC 4815545.
* Skelton, Geoffrey (ed.). Cosima Wagner's Diaries: an Abridgement. London: Pimlico Books. 1994. ISBN 978-0-7126-5952-9.
* Spotts, Frederic. Bayreuth: A History of the Wagner Festival. New Haven and London: Yale University Press. 1994. ISBN 978-0-300-05777-5.
* Wagner, Richard, tr. Gray, Andrew. My Life. Cambridge UK: Cambridge University Press. 1983. ISBN 978-0-521-22929-6.
* Watson, Derek. The Master Musicians: Liszt. London: J.M. Dent & Sons Ltd. 1989. ISBN 978-0-460-03174-5.

## 參考資料
柯西稠密判定法

在數學分析領域中、 **柯西稠密測試**（得名於法國數學家柯西），是一個應對無窮級數的收斂測試。

一般而言，一個單調遞減、非負的實數序列 $f(n)$ 所對應的級數 $\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)$ 收斂若且唯若其「凝結」級數（英語：Condensed Series） $\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ 收斂。 且此極限（如果存在）滿足以下不等式：

　
: $0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty $

換言之，「凝結」級數的極限在原級數極限和它的二倍之間。

## 推導

要證明該方法的正確性，我們需要證明上面的不等式。

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ $

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ $

第一個不等式可以通過替換原級數里的一些項得到。注意這裡需要用到原級數的性質（單調遞減）。

　
: ${\begin{array}{rcccccccl}\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}$

相似地，第二個不等式也需要我們重新組合和替換。

 

　
: ${\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}$

 

　
:

## 註釋

* Bonar, Khoury (2006). _Real Infinite Series_. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

## 外部連結

* Cauchy condensation test proof （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
柯西空间

**完備空間**，或稱**完備度量空間**（英語：Complete metric space）是具有下述性質的一種度量空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。 

## 例子

* 有理數空間不是完備的，因為 ${\sqrt {2}}$ 的有限位小數表示是一個柯西序列，但是其極限 ${\sqrt {2}}$ 不在有理數空間內。
* 實數空間是完備的
* 開區間 (0,1) 不是完備的。序列 (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...) 是柯西序列但其不收斂於 (0, 1) 中任何的點。
* 令 _S_ 為任一集合，_S**N**_為 _S_ 中的所有序列。如下定義 _S**N**_上任意兩個序列 (_xn_) 和 (_yn_) 的距離：如果存在某個最小的 N，使 $x_{N}\neq y_{N}$ ，那麼定義距離為 1/N；否則（所有的對應項都相等）距離為 0。按此方式定義的度量空間是完備的。該空間同胚於離散空間 _S_ 的可數個副本的積。

## 相關定理

* 任一緊緻度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊緻的若且唯若該空間是完備且完全有界的。
* 完備空間的任一子空間是完備的若且唯若它是一個閉子集。
* 若 _X_ 為一集合，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的有界函數 _f_ 的集合 B (_X_, _M_) 是一個完備度量空間，其中集合 B (_X_, _M_) 中的距離定義為：

　
: $d(f,g):=\sup \left\{\,d(f(x),g(x)):x\in X\,\right\}$ 。

* 若 _X_ 為一拓撲空間，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的連續有界函數 _f_ 的集合 Cb(_X_,_M_) 是 B (_X_, _M_)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。
* 貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的併集無內點。

## 完備化

### 定義

對任一度量空間 _M_，我們可以構造相應的完備度量空間 _M'_ （或者表示為 ${\bar {M}}$ ），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。_M'_ 具備以下普適性質：若 _N_ 為任一完備度量空間，_f_ 為任一從 _M_ 到 _N_ 的一致連續函數，則存在唯一的從 _M'_ 到 _N_ 的一致連續函數 _f'_ 使得該函數為 _f_ 的擴展。新構造的完備度量空間 _M'_ 在等距同構意義下由該性質所唯一決定，稱為 _M_ 的**完備化空間**。

以上定義是基於 _M_ 是 _M'_ 的稠密子空間的概念。我們還可以將**完備化空間**定義為包含 _M_ 的最小完備度量空間。可以證明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構意義下），且與上述定義等價。

對於交換環及於其上的模，同樣可以定義相對於一個理想的完備性及完備化。詳見條目完備化 (環論)。

### 構造

類似於從有理數域出發定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。

對 _M_ 中的任意兩個柯西序列 _x=_(_x_n) 和 _y=_(_y_n)，我們可以定義它們間的距離：
d (_x_,_y_) = limn d(_x_n,_y_n)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到 0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從 _Lp_ 到 ${\mathcal {L}}^{p}$ ），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基於距離為 0 的關係（易於驗證該關係是等價關係）。這樣，令 _ξx_ = {_y_ 是 _M_ 上的柯西序列： $y_{n}\rightarrow x$ }，_M'_ ={_ξx：x ∈ M_}，原空間 _M_ 就以 _x_ $\rightarrow $ _ξx_ 的映射方式嵌入到新的完備度量空間 _M'_ 中。易於驗證，_M_ 等距同構於 _M'_ 的稠密子空間。

康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

### 性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為 p 進數。

若將上述流程施於賦範向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

## 相關概念

* 完備與閉：前面講，完備類似於閉，那麼，「完備」與「閉」的區別在何處呢？它們的區別在於，完備是空間或集合的性質，而閉是子集的性質。通常我們說某個集合是閉集或開集，實際上是指該集合是 _R1_ 或某個拓撲空間的閉子集或開子集。例如，開區間 (0, 1) 是全集 (0, 1) 或 $(0,1)\cup (2,3)$ 的閉子集，因為 (0, 1) 在這兩個全集中的導集是其自身。但 (0, 1) 是 _R1_ 的開子集。閉子集可以用收斂序列定義，因為收斂序列的極限點總是在全集中的，極限點在子集中與否決定該子集是否為閉子集。與此相對，完備性的定義中沒有全集的概念，這也是為什麼在其定義中必須用柯西序列而不能用收斂序列，因為在收斂序列的定義中必有極限點，若該極限點不在度量空間中，則收斂序列中的點到該極限點距離是未定義的。

## 參見

* 數學分析術語

## 參考資料

* Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460.
柯西等式

**柯西等式**是光在特定透明材質下，其折射率和波長之間的經驗關係，得名自 1836 年定義此等式的數學家奧古斯丁・路易・柯西。

## 等式

柯西等式最通用的形式為

　
: $n(\lambda )=B+{\frac {C}{\lambda ^{2}}}+{\frac {D}{\lambda ^{4}}}+\cdots ,$

其中 _n_ 為折射率，λ 為波長，_B_, _C_, _D_ 等為係數，針對特定材料，會調整係數使計算的折射率和量測結果相近。係數一般會以 λ 為真空下的波長，單位為微米。

一般而言，柯西等式用到以下二項，已有一定的精準度：

　
: $n(\lambda )=B+{\frac {C}{\lambda ^{2}}},$

其中係數 _B_ 及 _C_ 是專門針對此公式下的係數。

以下是一些材料的係數：

柯西等式所使用光和物質之間關係的理論後來發現有誤。等式只適用在可見光的正常光的色散。柯西等式在紅外線區不準，無法表示反常色散（anomalous dispersion）的情形，但柯西等式在數學上非常簡單，因此適用於一些特定的應用。

Sellmeier 等式是由柯西等式再進一步推展所得的等式，可以處理反常色散，在紫外線區、可見光區、紅外線區都可以準確的計算折射率。

## 參考資料

* F.A. Jenkins and H.E. White, _Fundamentals of Optics_, 4th ed., McGraw-Hill, Inc. (1981).

## 相關條目

* Sellmeier 等式