标准差

**標準差**，又稱**標準偏差**、**均方差** （英語：standard deviation，縮寫 **SD**，符號 **σ**），在機率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為變異數開主平方根，反映組內個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分布程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為平方後再做平方根）；
2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾・皮爾森引入到統計中。

## 闡述及應用

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述「相差 $k$ 個標準差」，即在 ${\overline {X}}\pm kS$ 的樣本（sample）範圍內考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

## 母體的標準差

### 基本定義

　
: $\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

 ${\overline {x}}$ 為平均值。

### 簡化計算公式

上述公式可以如下代換而簡化：

　
: ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}$

所以：

　
: ${\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}$

根號裡面，亦即變異數（ $\sigma ^{2}$ ）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

### 母體為隨機變數

一隨機變數 $X$ 的標準差定義為：

　
: $\sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}$

須注意並非所有隨機變數都具有標準差，因為有些隨機變數不存在期望值。
如果隨機變數 $X$ 為 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

#### 離散隨機變數的標準差

若 $X$ 是由實數 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 構成的離散隨機變數（英語：discrete random variable），且每個值的**機率相等**，則 $X$ 的標準差定義為：

　
: $\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}$ ，其中 $\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})$

換成用 $\sum $ 來寫，就成為：

　
: $\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$ ，其中 $\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})$

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個 $x_{i}$ 可以有**不同機率** $p_{i}$ ，則 $X$ 的標準差定義為：

　
: $\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}$ ，其中 $\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.$

這裡， $\mu $ 為 $X$ 的數學期望。

#### 連續隨機變數的標準差

若 $X$ 為機率密度 $p(X)$ 的連續隨機變數（英語：continuous random variable），則 $X$ 的標準差定義為：

　
: $\sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}$

其中 $\mu $ 為 $X$ 的數學期望：

　
: $\mu =\int x\,f(x)\,dx$

### 標準差的特殊性質

對於常數 $c$ 和隨機變數 $X$ 和 $Y$ ：

　
: $\sigma (X+c)=\sigma (X)$

　
: $\sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)$

　
: $\sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}$

　
: 其中：
 * ${\mbox{cov}}(X,Y)$ 表示隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的共變異數。
* $\sigma ^{2}(X)$ 表示 $[\sigma (X)]^{2}$ ，即 $Var(X)$ （ $X$ 的變異數），對 $Y$ 亦同。

## 樣本的標準差

在真實世界中，找到一個母體的真實的標準差並不實際。大多數情況下，母體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。

從一大組數值 $X_{1},\cdots ,X_{N}$ 當中取出一樣本數值組合 $x_{1},\cdots ,x_{n}:n<N$ ，常定義其**樣本標準差**：

　
: $s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

樣本變異數 $s^{2}$ 是對母體變異數 $\sigma ^{2}$ 的不偏估計。之所以 $s$ 中的分母要用 $n-1$ 而不是像母體樣本差那樣用 $n$ ，是因為 $\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)$ 的自由度為 $n-1$ ，這是由於存在約束條件 $\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0$ 。

## 範例

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 {5, 6, 8, 9}：

* 第一步，計算平均值 ${\overline {x}}$ ︰

　
: ${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

　
: 當 ${\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}$ （因為集合裏有 4 個數），分別設為：

　
: : ${\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}$

則平均值為

　
: ${\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}$

* 第二步，計算標準差 $\sigma \,$ ︰

　
: ${\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}$

## 常態分布的規則

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確，則約 68% 數值分布在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分布在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分布在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7 法則」。

　
: $f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

　
: ${\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$

　
: ${\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$ .

## 標準差與平均值之間的關係

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說，如果用平均值來考量數值的中心的話，則標準差也就是對統計的分散度的一個「自然」的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。較確切的敘述為：設 $X_{1},\cdots ,X_{N}$ 為實數，定義函數：

　
: $\sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$

使用微積分或者通過配方法，不難算出 $\sigma (\mu )$ 在下面情況下具有唯一最小值：

　
: $\mu ={\overline {x}}$

## 幾何學解釋

從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從 $n$ 維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子，一組數據中有 3 個值， $X_{1},X_{2},X_{3}$ 。它們可以在 3 維空間中確定一個點 $P=(X_{1},X_{2},X_{3})$ 。想像一條通過原點的直線 $L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }$ 。如果這組數據中的 3 個值都相等，則點 $P$ 就是直線 $L$ 上的一個點， $P$ 到 $L$ 的距離為 0，所以標準差也為 0。若這 3 個值不都相等，過點 $P$ 作垂線 $PR$ 垂直於 $L$ ， $PR$ 交 $L$ 於點 $R$ ，則 $R$ 的坐標為這 3 個值的平均數：

　
: $R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})$

運用一些代數知識，不難發現點 $P$ 與點 $R$ 之間的距離（也就是點 $P$ 到直線 $L$ 的距離）是 $\sigma {\sqrt {3}}$ 。在 $n$ 維空間中，這個規律同樣適用，把 $3$ 換成 $n$ 就可以了。

## 參考文獻

## 外部連結

* Standard Deviation Calculator，標準差計算器 （英文）