柯里化

在計算機科學中，**柯里化**（英語：Currying），又譯為**卡瑞化**或**加里化**，是把接受多個參數的函數變換成接受一個單一參數（最初函數的第一個參數）的函數，並且返回接受餘下的參數而且返回結果的新函數的技術。這個技術由克里斯多福・斯特雷奇以邏輯學家哈斯凱爾・加里命名的，儘管它是 Moses Schönfinkel 和戈特洛布・弗雷格發明的。

在直覺上，柯里化聲稱「如果你固定某些參數，你將得到接受餘下參數的一個函數」。所以對於有兩個變量的函數 $y^{x}$ ，如果固定了 $y=2$ ，則得到有一個變量的函數 $2^{x}$ 。

在理論計算機科學中，柯里化提供了在簡單的理論模型中，比如：只接受一個單一參數的 lambda 演算中，研究帶有多個參數的函數的方式。

函數柯里化的對偶是 **Uncurrying**，一種使用匿名單參數函數來實現多參數函數的方法。例如：

這樣調用上述函數：`(foo(3))(4)`，或直接 `foo(3)(4)`。

## 動機

柯里化是一種處理函數中附有多個參數的方法，並在只允許單一參數的框架中使用這些函數。例如，一些分析技術只能用於具有單一參數的函數。現實中的函數往往有更多的參數。弗雷格表明，為單一參數情況提供解決方案已經足夠了，因為可以將具有多個參數的函數轉換為一個單參數的函數鏈。這種轉變是現在被稱為「柯里化」的過程。

在數學分析或計算機編程中，所有可能遇到的「普通」函數都可以被使用。但是，有些類別不可能使用柯里化；確實允許柯里化的最普通的類別是閉合的 monoidal 類別。一些編程語言幾乎總是使用 curried 函數來實現多個參數；值得注意的例子是 ML 和 Haskell，在這兩種情況下，所有函數都只有一個參數。這個屬性是從 lambda 演算繼承而來的，其中多參數的函數通常以柯里形式表示。

柯里化與部份求值是相關的，但不完全相同。在實作中，閉包的編程技術可以用來執行部份求值和一種捲曲，通過將參數隱藏在使用柯里化函數的環境中。

### 部份求值

柯里化有如倣效接受多個參數的函數評估過程，若以紙筆手工作業，要週密地寫出評估過程中的所有步驟。

例如，給定某一函數 $f(x,y)=y/x$ :

　
: 要評估 $f(2,3)$ 時，首先以 $2$ 代入 $x$

　
: 因為結果會是函數 $y$ 的輸出，所以可定義為一個新函數 $g(y)$ 為 $g(y)=f(2,y)=y/2$

　
: 接下來將 $y$ 參數以 $3$ 替換，產生了 $g(3)=f(2,3)=3/2$

在紙上使用傳統符號，上述過程通常是一次代入兩個參數 $x,y$ 的值就完成了。 
而每個參數其實是依次序替換，在每一步替換的中介函數只能接受單一個參數。

以上範例有點缺陷，雖然應用上類似函數的部份求值。對柯里化的過程來說，但並非完全相同（見下文）。

### 示例

柯里化（Currying）是產生一系列連鎖函數的一種方法，其中每個函數只有一個參數。藉由另一個柯里化之後的新函數，傳回其它剩餘參數的功能，將原本以多個參數應用的函數「隱藏」起來，如下所述。

給定帶有 _x_ 和 _y_ 兩個參數的函數 _f_，也就是，

　
: $f(x,y)$

然後可以構造一個與原來的 _f_ 相關的新函數 _h_x。這個函數的形式只有單一參數 _y_，並給定該參數，則 _h_x 返回 _f_(_x_,_y_)。也就是，

　
: $h_{x}(y)=f(x,y)$ .

在這裡應該了解 _h_ 上的下標 _x_ 是當成隱藏作用的符號設施，或者說把一個參數放在一邊，使原函數變成只帶一個參數。柯里化（Currying）提供了符號標記上的技巧，將函數因而抽象化。

這個技巧要利用 map 或函數構造子。符號 $\mapsto $ 用於表示抽象化的實際行為。
例如以 $y\mapsto z$ 這樣子來表示：某個函數將一個參數 _y_ 映射到結果 _z_。

然後考慮從 _h_x 記號中刪掉下標 _x_，就得到了一個 **柯里化表示**的代表符 _h_；
而成為另一個給予 _x_ 能把其「值」傳回的不同函數 _h_x；它恰好是一個函數構造，其映射過程
可以用 $y\mapsto f(x,y)$ 語句來表達，或者描述為一個將參數 _y_ 映射到結果 _z_ 的函數。也就是，

　
: $h_{x}=(y\mapsto f(x,y))$ ,

用不同代表符號（但意義相同）來看，

　
: $h(x)=(y\mapsto f(x,y))$

函數 _h_ 本身現在可用 _h_x 相似的表示，並寫成

　
: $h=(x\mapsto (y\mapsto f(x,y)))$

能夠負責並處理對開頭_涉及_的函數參數。鑑於上述情況，柯里化的行為可被理解為一函數，給予某些任意的 _f_，即涉及相關的 _h_ 函數可以產生 _h_ 的所述功能；論及 _f_。也就是，

　
: ${\text{curry}}=(f\mapsto h)$

或相當於

　
: ${\text{curry}}(f)=h$

這說明了柯里化的基本性質：它是參數重新定位的機制，將原函數中的每一個參數綁定到不同的新函數，而返回另一個相關的函數。也就是給定函數 _f_ 原本傳回一個「值」，則柯里化「構造」了一個新函數 _h_ 而傳回的是涉及 _f_ 的函數。另一種理解柯里化的不同方式，則意識到它只是一個代數遊戲，符號的句法重新排列。人們不會問這些符號的「含義」是什麼；一個人只同意他們的重新排列規則。 要看出這一點，注意原來的函數 _f_ 本身可能寫成

　
: $f=((x,y)\mapsto f(x,y))$

與上面的函數 _h_ 互相比較，可以看出這兩種形式都重新排列了括號，以及將逗號轉換為箭頭。回到前面的例子，

　
: $f(x,y)={\frac {y}{x}}$

然後有，

　
: $g=h_{2}=h(2)=(y\mapsto f(2,y))$

作為上例柯里化的相等物。 添加一個參數到 _g_ 然後給出

　
: $g(y)=h_{2}(y)=h(2)(y)=f(2,y)={\frac {y}{2}}$

以及

　
: $g(3)=h_{2}(3)=h(2)(3)=f(2,3)={\frac {3}{2}}.$

剝除參數的方法或許更容易地理解，例如有四個參數的函數：

　
: $f(x,y,z,w)$

經過上述操作，導出為形式

　
: $h_{x}=((y,z,w)\mapsto f(x,y,z,w))$

這應用到三元組之上可得到

　
: $h_{x}(y,z,w)=f(x,y,z,w)$ .

然後適當地寫成柯里化形式

　
: $h=(x\mapsto ((y,z,w)\mapsto f(x,y,z,w)))$

一直繼續玩著重新安排符號的代數遊戲，最終導出了完全的柯里化形式

　
: $x\mapsto (y\mapsto (z\mapsto (w\mapsto f(x,y,z,w))))$

對箭頭運算符一般理解是右結合的，所以上面大部份的括號是多餘的，在意義不變的情況下可以刪除掉。因此，寫成了很常見的

　
: $x\mapsto y\mapsto z\mapsto w\mapsto f(x,y,z,w)$

也就是函數 _f_ 完全的柯里化形式。

## 定義

從非形式的一般定義開始，柯里化是最容易理解的，然後再塑造它以適應許多不同的領域。 
首先說明一些符號的標記法。

 $f\colon X\to Y$ 表示從 $X$ 映射到 $Y$ 的函數 $f$ 。 

 $X\to Y$ 表示從 $X$ 到 $Y$ 的所有函數。 

這裡， $X$ 和 $Y$ 可以是集合、或者是類型，或者它們可以是其它型別的物件，如下所述。 

令 $X\times Y$ 表示有序對，即笛卡爾乘積。

給定類型為 $f\colon (X\times Y)\to Z$ 的函數 $f$ ，**柯里化**即構造或創建一個新的函數：

$$
{\text{curry}}(f)\colon X\to (Y\to Z)
$$

也就是說， ${\text{curry}}(f)$ 取一個類型為 $X$ 的參數，並返回一個類型為 $Y\to Z$ 的函數。**Uncurrying** 則相反。

### 集合論

數理領域的集合論中，符號 $Y^{X}$ 用於表示從 $X$ 集合映射到 $Y$ 集合的函數。柯里化是指從 $B\times C$ 映射到 $A$ 的 $A^{B\times C}$ 函數，和從 $B$ 之中映射，由 $C$ 到 $A$ 的 $\left(A^{C}\right)^{B}$ 函數，這些組合的自然變換。事實上是這種自然變換關係，闡述了出現在集合論中的指數符號。在集合的範疇論中 $Y^{X}$ 被稱為指數物件。

### 函數空間

在函數空間理論中，如泛函分析或拓撲的同倫，人們通常對拓撲空間之間的連續函數感興趣。從 $X$ 到 $Y$ _所有的_函數集，寫成 ${\text{Hom}}(X,Y)$ （Hom 函子）並使用 $Y^{X}$ 來表示連續函數的子集。在這裡的 ${\text{curry}}$ 是一一對應的

　
: ${\text{curry}}:{\text{Hom}}(X\times Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z)),$

而 **uncurrying** 是反向的映射。如果從 $X$ 到 $Y$ 的 $Y^{X}$ 集合為連續函數
給出了緊緻開拓撲緊緻開拓撲，而且如果 $Y$ 空間是局部豪斯多夫緊緻的，那麼 ${\text{curry}}$ 是一個連續函數，也是同胚。儘管可能有更多情況，當 $X$ ， $Y$ 和 $Y^{X}$ 是緊生成的時候，情況都是相同的。

這結果發展成了指數表示法

　
: ${\text{curry}}:Z^{X\times Y}\to (Z^{Y})^{X}$

有時稱為**指數法則**。 而有用的推論是，一個函數若且唯若其柯里化形式是連續時，它才是連續的。另一個重要的結果是應用程序映射（在這種情況通常稱為「評估」）是連續的（注意 `eval` 在計算機科學中的概念與此嚴格不同）。也就是說，

$$
{\begin{aligned}&&{\text{eval}}:Y^{X}\times X\to Y\\&&(f,x)\mapsto f(x)\end{aligned}}
$$

當 $Y^{X}$ 是緊緻開放的，而且 $Y$ 局部緊緻的豪斯多夫時，那上述式子是連續的。這兩個結果對於確立同倫的連續性非常重要，亦即當 $X$ 是單位區間 $I$ ，所以 $Z^{I\times Y}\cong (Z^{Y})^{I}$ 能想成
就是從 $Y$ 到 $Z$ 的兩個函數的同倫，或者等價地，是 $Z^{Y}$ 中的單個（連續）路徑。

### 代數拓撲

### 域理論

在序理論對於偏序集合的格，當格是給定的 Scott 拓撲時，則 ${\text{curry}}$ 會是一個連續函數。為了提供 lambda 演算的語義學，要先研究 Scott 連續函數（因為普通集合理論不適合這樣做）。更一般地說，現在研究 Scott 連續函數的域理論中，含括了計算機算法的指稱語義學。

請注意，Scott 拓撲結構與拓撲空間範疇中可能遇到的許多常見拓撲結構完全不同；Scott 拓撲通常更為精巧，而不是很嚴審的。連續性的概念使它出現在同倫類型理論中，粗略地說，兩個計算機程序可以被認為是同倫的，如果他們可以「連續」地從一個重構到另一個，即計算得出相同的結果。

### Lambda 演算

### 型別理論

在型別理論中，對於計算機科學型別系統的一般概念，被形式化為一個具體的代數類型。例如寫為 $f\colon X\to Y$ 時，
意指那個 $X$ 和 $Y$ 是一種類型，而 $\to $ 箭頭符號代表是類型構造函數，特別是指函數類型或箭頭類型。類似地，類型的笛卡爾積是由 $\times $ 構造函數，而建構出的複合結構類型。

型別理論方法可以用 ML 編程語言表達，而受啟發衍生出的語言有：CaML，Haskell 和 F＃。

### 邏輯

在 Curry-Howard 下，柯里化和對偶柯里化的存在相當於邏輯定理 $(A\land B)\to C\Leftrightarrow A\to (B\to C)$ ，因為多元組（型別積，product type）對應於邏輯中的且連接，而函數類型對應於蘊涵。

### 範疇論

## 歷史

「科里化」一詞由克里斯多福・斯特雷奇創造，以邏輯學家哈斯凱爾・加里命名。另外一個名詞 "Schönfinkelisation" 則以 Moses Schönfinkel 命名。在數學歷史中，這個原理可以追溯到 1893 年戈特洛布・弗雷格的工作。

## 參見

* 惰性求值
* 閉包 (計算機科學)
* S-m-n 定理
* 組合子邏輯
* λ 演算
* 極小化求值
* 求值策略