柯西-黎曼方程

複分析中的**柯西 - 黎曼微分方程**（英語：Cauchy–Riemann equations），又稱**柯西 - 黎曼條件**。是提供了可微函數在開集中為全純函數的充要條件的兩個偏微分方程，以柯西和黎曼得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾的著作中。後來歐拉將此方程組和解析函數聯繫起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於 1851 年問世。

在一對實值函數 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 上的柯西 - 黎曼方程組包括兩個方程：

　
: (1a)     ${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$

和

　
: (1b)     ${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.$

通常， $u$ 和 $v$ 取為一個複函數的實部和虛部： $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ 。假設 $u$ 和 $v$ 在開集 $C$ 上連續可微，則若且唯若 $u$ 和 $v$ 的偏微分滿足柯西 - 黎曼方程組 (1a) 和 (1b)， $f=u+iv$ 是全純的

## 注釋和其他表述

### 共形映射

柯西 - 黎曼方程常常表述為其他形式。首先，它們可以寫成複數形式：

　
: (2)     ${i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.$

在此形式中，方程對應於雅可比矩陣結構上有如下形式

　
: ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}},$

其中 $a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ ， $b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y$ 。該形式的矩陣是複數的矩陣表示。幾何上，這樣的一個矩陣總是一個旋轉和一個縮放的複合，從而是保角（保持角度不變）的。因此，滿足柯西 - 黎曼方程的有非零導數的函數保持平面曲線的角度不變。也即，柯西 - 黎曼方程是函數成為共形映射的條件。

### 複共軛的獨立性

方程組有時也被寫作一個方程

　
: (3)     ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$

其中微分算子 ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ 定義為

　
: ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).$

在此形式中，柯西 - 黎曼方程可以解釋為 _f_ 獨立於變量 ${\bar {z}}$ 。

### 複可微性

柯西 - 黎曼方程是函數的複可微性（或稱全純性）的充要條件（Ahlfors 1953，§1.2）。精確的講，設

　
: $f(z)=u(z)+iv(z)$

為複數 _z_∈**C** 的函數，則 _f_ 在點 _z_0 的複導數定義為

　
: $\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})$

如果該極限存在。

若該極限存在，則可以取 _h_→0 沿著實軸或者虛軸的極限；它在兩種情況下應該給出同樣的結果。從實軸逼近，得到

　
: $\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).$

而從虛軸逼近有

　
: $\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).$

_f_ 沿著兩個軸的導數相同也即

　
: ${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),$

這就是在點 _z_0 的柯西 - 黎曼方程（2）。

反過來，如果 _f_:**C** → **C** 作為映射到 **R**2 上的函數可微，則 _f_ 複可微若且唯若柯西 - 黎曼方程成立。

### 物理解釋

柯西 - 黎曼方程的一個解釋（Pólya & Szegö 1978）和複變理論無關。設 _u_ 和 _v_ 在 **R**2 的開子集上滿足柯西 - 黎曼方程，考慮向量場

　
: ${\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}$

將其視為（實）兩個分量的向量。則第二個柯西 - 黎曼方程（1b）斷言 ${\bar {f}}$ 無旋：

　
: ${\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.$

第一個柯西 - 黎曼方程（1a）斷言該向量場無源（或者是零散度）：

　
: ${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.$

分別根據格林定理和散度定理，這樣的場是保守的，而且沒有源，在整個開域上淨流量為零。（這兩點在柯西積分定理中作為實部和虛部結合起來。）在流體力學中，這樣的一個場是一個勢流（Chanson 2000）。在靜磁學中，這樣的向量場是在不含電流的平面區域中的靜磁場的模型。在靜電學中，它們提供了不包含電荷的平面區域的電場模型。

### 其它解釋

柯西 - 黎曼方程的其他表述有時出現在其他坐標系中。若（1a）和（1b）對於連續函數 _u_ 和 _v_ 成立，則如下方程也成立

　
: ${\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial v}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial v}{\partial s}}$

對於任何坐標 (_n_(_x_,_y_), _s_(_x_,_y_))，如果它們滿足 $\scriptstyle (\nabla n,\nabla s)$ 正交並且正定向。因此，特別的有，在極坐標 _z_=_re_iθ 下，方程組有如下形式

　
: ${\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.$

結合成一個 _f_ 的方程，就有

　
: ${\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.$

## 非齊次方程

非齊次柯西 - 黎曼方程由兩個未知兩個實變量的函數 _u_(_x_,_y_) 和 _v_(_x_,_y_) 的方程組成

　
: ${\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y)$

　
: ${\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)$

對於給定的定義在 **R**2 的開子集上的函數 α(_x_,_y_) 和 β(_x_,_y_)。這些方程經常合併為一個方程。

　
: ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})$

其中 _f_=_u_+i_v_，φ=(α+iβ)/2。

若 φ 是 Ck 的，則在有界區域 _D_ 中方程顯式可解，只要 φ 在 _D_ 的閉包上連續。實際上，按照柯西積分公式，

　
: $f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\phi (z,{\bar {z}}){\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}$

對於所有 ζ∈_D_ 成立。

## 推廣

### Goursat 定理及其推廣

設 _f_ = _u_+i_v_ 為複函數，作為函數 _f_ : **R**2 → **R**2 可微。則**柯西積分定理**（柯西－古爾薩定理）斷言 _f_ 在開複域 Ω 上解析若且唯若它在該域上滿足柯西 - 黎曼方程（Rudin 1966，Theorem 11.2）。特別是，_f_ 不需假定為連續可微（Dieudonné 1969，§9.10, Ex. 1）。

柯西－古爾薩定理的假設可以大幅減弱；_f_ 不需可微，只要 _f_=_u_+i_v_ 在 Ω 上連續且 _f_ 關於 _x_ 和 _y_ 的偏導數在 Ω 中存在即可，這個結果稱為 Looman–Menchoff 定理。

_f_ 在整個域 Ω 上滿足柯西 - 黎曼方程是要點。可以構造在一點滿足柯西 - 黎曼方程的連續函數，但它不在該點解析（譬如，_f_(_z_) = _z_5/|z|4）。只滿足柯西 - 黎曼方程也是不夠的，（需額外滿足連續性），下面的例子表明了這一點：（Looman 1923，p.107）

　
: $f(z)={\begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm {if\ } z\not =0\\0&\mathrm {if\ } z=0\end{cases}}$

它處處滿足柯西 - 黎曼方程，但在 _z_=0 不連續。

但是，如果一個函數在開集上以弱形式滿足柯西 - 黎曼方程，則函數解析。更精確的講（Gray & Morris 1978，Theorem 9）:

* 若 _f_(_z_) 在開域 Ω⊂**C** 上局部可積，並以弱形式滿足柯西 - 黎曼方程，則 _f_ 和 Ω 上的一個解析函數幾乎處處相等。

### 多變量的情況

在多複變量的理論中有對柯西 - 黎曼方程的恰當推廣。他們組成一個偏微分方程的嚴重過約束系統。通常的表述中，_d-bar 算子_

　
: ${\bar {\partial }}$

將全純函數消零。這是

　
: ${\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0$ ,

的直接推廣
其中

　
: ${\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).$

## 參看

* 莫雷拉定理

## 參考

* Ahlfors, Lars, Complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19531979, ISBN 0-07-000657-1 .
* d'Alembert, J., Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris, 1752 .
* Cauchy, A.L., Mémoire sur les intégrales définies,, Oeuvres complètes Ser. 1 **1**, Paris: 319–506, 18141882
* Chanson, H., Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.'), Journal La Houille Blanche, 2007, **5**: 127–131 [2008-09-03], ISSN 0018-6368, doi:10.1051/lhb:2007072, （原始內容存檔於 2009-09-02） .
* Dieudonné, Jean Alexander, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969 .
* Euler, L., Nova Acta Acad. Sci. Petrop., 1797, **10**: 3–19
* Gray, J. D.; Morris, S. A., When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?, The American Mathematical Monthly, 1978, **85** (4): 246–256April 1978 [2008-09-03], （原始內容存檔於 2018-09-07） .
* Looman, H., Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923: 97–108 .
* Pólya, George; Szegö, Gabor, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978, ISBN 3-540-63640-4
* Riemann, B., Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, H. Weber (編), Riemann's gesammelte math. Werke, Dover: 3–48, 18511953
* Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19661987, ISBN 0-07-054234-1 .
* Solomentsev, E.D., Cauchy–Riemann conditions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Cauchy-Riemann Equations. MathWorld.
* John H. Mathews 所作柯西 - 黎曼方程模塊