柯西乘积

在數學上，以法國數學家奧古斯丁・路易・柯西命名的**柯西乘積**，是指兩組數列 $a_{n},b_{n}$ 的離散卷積。

　
: $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

該數列乘積被認為是自然數 $R[\mathbb {N} ]$ 的半群環的元素。

## 級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂） $a_{n},b_{n}$ ：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},$

一般地，對於實數和複數，**柯西乘積**定義為如下的離散卷積形式：

　
: $\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},$

　
: 這裡 $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots $

「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。

人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

等於如下乘積：

　
: $\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。

## 示例

### 有窮級數

對於 $i>n$ 、 $i>m$ ，有 $x_{i}=0$ ， $y_{i}=0$ 即為有窮級數，則 $\sum x$ 和 $\sum y$ 柯西乘積可以展開為 $(x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})$ ，因此可以直接計算乘積。

### 無窮級數

* 對某些 $a,b\in \mathbb {R} $ ，構造 $x_{n}=a^{n}/n!\,$ 和 $y_{n}=b^{n}/n!\,$ ，由定義和二項式展開可知：

　
: $C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}$

形式上， $\exp(a)=\sum x$ ， $\exp(b)=\sum y$ ，我們已表明 $\exp(a+b)=\sum C(x,y)$ 。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於 $a,b\in \mathbb {R} $ 有 $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$

* 另外一個例子，令 $x(n)=1$ （ $n\in \mathbb {N} $ ），則 $C(x,x)(n)=n+1$ 對所有 $n\in \mathbb {N} $ 成立，則柯西乘積 $\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ，該乘積不收斂。

## 收斂和梅爾滕斯定理

令 _x_, _y_ 為實數數列，弗蘭茲・梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數 $\sum y$ 收斂到 _Y_，且級數 $\sum x$ 絕對收斂到 _X_，則他們的柯西乘積 $\sum C(x,y)$ 收斂到 _XY_。

對於兩個級數為條件收斂時，結論未必成立。如下反例所示：

### 例子

考慮下述兩交錯級數：

　
: $a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$

它們都是收斂的（其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散）。其柯西乘積的項由下式給出：

　
: $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$

其中整數 _n_ ≥ 0。因為對於所有 _k_ ∈ {0, 1, ..., _n_} 我們都有不等式 _k_ + 1 ≤ _n_ + 1 及 _n_ – _k_ + 1 ≤ _n_ + 1，故對分母中的根式有 √(_k_ + 1)(_n_ − _k_ + 1) ≤ _n_ +1。因此，由於共有 _n_ + 1 個被加項，故對於所有的整數 _n_ ≥ 0 有

　
: $|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$

因此，_cn_ 在 _n_ → ∞ 時並不趨於 0，級數 ∑ _cn_ 發散（項測試）。

### 梅爾滕斯定理的證明

令 $X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}$ ， $Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}$ ， $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$ ， $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}$ (重排後)。

則 $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}$ ，對任意給定的 ε > 0，因為 $\sum x$ 絕對收斂， $\sum y$ 收斂，因此存在一個整數 _N_，對於任意 _n_ ≥ _N_ $|Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}$ ，和存在一個正整數 _M_，對於所有 $n\geq M$ ，有 $|x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}$ （由級數絕對收斂，則式子收斂到 0），同樣的，存在一個整數 _L_ ，如果有 $n\geq L$ ，則 $|X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}$ 。

因此，對於所有 _n_ 大於 _N_, _M_, _L_，有：

　
: $|C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon $

根據收斂的定義，即： $\sum C(x,y)\to XY.$

## 切薩羅定理

如果 _x_，_y_ 是實數數列，且 $\sum x\to A$ ， $\sum y\to B$ ，則有：

　
: ${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.$

## 推廣

所有上述證明也可推廣到 $\mathbb {C} $ 複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積的歐式空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 上。這種情況下，如果兩組數列絕對收斂，則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積
。

## 與卷積函數的關係

我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列，視為 $\mathbb {Z} $ 上的函數。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如：常數級數 1 和其本身的柯西乘積， $(\dots ,1,\dots )$ 。

有的有一些配對，比如任何級數與一個有限級數的乘積， $\ell ^{1}\times \ell ^{\infty }$ 的乘積，這與 Lp 空間有關。