柯西不等式

數學上，**柯西 - 施瓦茨不等式**，又稱**施瓦茨不等式**或**柯西 - 布尼亞科夫斯基 - 施瓦茨不等式**，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和機率論的變異數和共變異數。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁・路易・柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼・阿曼杜斯・施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托・雅科夫列維奇・布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

## 敘述

 $V$ 是個複內積空間，則對所有的 $v,\,w\in V$ 有：

　
: (a) $\|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |$

　
: (b) $\|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |$ $\Leftrightarrow $ 存在 $\lambda \in \mathbb {C} $ 使 $v=\lambda \cdot w$

證明請見內積空間 #範數。

## 特例

* 對歐幾里得空間 **R**n，有

　
: $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$ 。

等式成立時：

　
: ${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

也可以表示成

$$
(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}
$$

證明則須考慮一個關於 $t$ 的一個一元二次方程式式 $(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0$

很明顯的，此方程式式無實數解或有重根，故其判別式 $D\leq 0$

注意到

$$
(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0
$$

⇒ $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0$

則

$$
D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0
$$

即

$$
(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}
$$

$$
(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0
$$

$$
(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}
$$

而等號成立於判別式 $D=0$ 時

也就是此時方程式式有重根，故

$$
{\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.
$$

* 對平方可積的複值函數，有

　
: $\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx$ 。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

* 在 3 維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式

　
: $\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}$ 。

　
: 這是

　
: $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)$

　
: 在 _n_=3 時的特殊情況。

## 矩陣不等式

設 $x,y$ 為列向量，則 $|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y$

　
: $x=0$ 時不等式成立，設 $x$ 非零， $z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x$ ，則 $x^{*}z=0$

　
: $0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}$

　
: $|x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}$

　
: 等號成立 $\Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y$ 與 $x$ 線性相依

設 $A$ 為 $n\times n$ Hermite 陣，且 $A\geq 0$ ，則 $|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

　
: 存在 $A^{1/2}$ ，設 $u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y$

　
: $|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

　
: $|x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y$

　
: $|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

　
: 等號成立 $\Leftrightarrow y$ 與 $x$ 線性相依

設 $A$ 為 $n\times n$ Hermite 陣，且 $A>0$ ，則 $|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

　
: 存在 $A^{1/2},A^{-1/2}$ ，設 $u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y$

　
: $|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

　
: $|x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y$

　
: $|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

　
: 等號成立 $\Leftrightarrow x$ 與 $A^{-1}y$ 線性相依

若 $\displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1$ ，則 $\displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}$

## 複變函數中的柯西不等式

設 $f(z)$ 在區域 $D$ 及其邊界上解析， $a$ 為 $D$ 內一點，以 $a$ 為圓心做圓周 $C_{R}:|z-a|=R$ ，只要 $C_{R}$ 及其內部 $G$ 均被 $D$ 包含，則有：

$$
\left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)
$$

其中，M 是 $|f(z)|$ 的最大值， $M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|$
。

## 其它推廣

$$
{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}
$$

$$
m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }
$$

## 參見

* 三角不等式
* 內積空間

## 注釋

## 參考資料