格蘭迪級數

**格蘭迪級數**（英語：Grandi's series），即 $1-1+1-1+\cdots $ ，是由義大利數學家格蘭迪在 1703 年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾・伯努利和瑞士數學家萊昂哈德・歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為 $\,{\frac {1}{2}}$ 。

格蘭迪級數與級數 1 − 2 + 3 − 4 + … 有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作 1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中 $n$ 為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷 η 函數和黎曼 ζ 函數。

## 簡介

針對以下的格蘭迪級數

　
: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和：

　
: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：

　
: 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到 0 或是 1 的值。

格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：

　
: $S$ = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

　
: 1 − $S$ = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = $S$ ，即

　
: 2 $S$ = 1，

可得到 $S$ = ${\tfrac {1}{2}}$ 。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：

* 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。
* 格蘭迪級數的和為 ${\tfrac {1}{2}}$ 。

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用 19 世紀提出的一些良好定義的數學概念。從 17 世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。

## 求和性

### 穩定性及線性

對於格蘭迪級數 $\,1-1+1-1+\cdots $ ，看似可以用以下的方式處理，得到數值 $\;{\tfrac {1}{2}}$ ：

* 級數內的數兩兩相加或相減。
* 每一項乘以一個係數。
* 調整括弧順序。
* 在級數前面增加新的項。

不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而 $\,1-1+1-1+\cdots \,$ 不是收斂級數，因此上述處理都不適用。

由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程式得出一數值。暫時假設 $\,s=1-1+1-1+\cdots \,$ 這樣的寫法有意義 —— 其中的 $\;s\;$ 為常數，那麼以下的計算將說明 $\;s={\frac {1}{2}}$ ：

　
: ${\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}$

因此， $s={\tfrac {1}{2}}$ 。

再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

### 切薩羅和

恩納斯托・切薩羅在 1890 年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個 $\;n\;$ ，計算前 $\;n\;$ 項的和 $\;\sigma _{n}\;$ 的平均，當 $\;n\;$ 趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言，而數列 ${\tfrac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}$ 的各項分別為

　
: ${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots $ ,

而

　
: $\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}$

因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 ${\tfrac {1}{2}}$ 。

也可以用廣義的切薩羅和 $\;\left(C,a\right)\;$ 來計算。

## 發散性

這個級數的部分和如下：

　
: ${\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}$

由此得出另一個無窮序列：

　
: $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots $ ，

根據無窮級數的定義，

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}$

但是 $\;S_{n}\;$ 的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在 0 和 1 之間來回變動），所以 $\;\lim _{n\to \infty }S_{n}\;$ 發散。

因此 $\;\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;$ 這個級數也發散。

## 格蘭迪級數的應用

### 冪級數

以下的冪級數和格蘭迪級數有關，也是其母函數：

　
: $f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}$

### 狄拉克梳

格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：

　
: $\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).$

若 _x_ = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − ・ ・ ，歐拉認為其值符合以下的關係式 Σ cos _kx_ = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。

歐拉的聲明推測

　
: $1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?$

針對所有的 _x_，此級數都發散，不過對於幾乎所有的 _x_，切薩羅和均為 0。不過在 _x_ = 2π_n_ 時，其級數發散，而且是狄拉克梳的傅立葉級數。其一般和、切薩羅和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、費耶核及卜瓦松核的極限有關。

### 狄利克雷級數

將格蘭迪級數各項乘以 1/_n_z 可以得到以下的狄利克雷級數

　
: $\eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},$

上述級數只有在實部大於 0 的複數 _z_ 才會收斂，若令 _z_= 0，即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數，狄利克雷級數對於 1 − 1 + 1 − 1 +・・・的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的 $\eta (z)$ 也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當 z 趨近 0 時， $\eta (z)$ 的極值。

另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的 $\eta (z)$ 可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷 η 函數，而且此函數為解析函數。若 _z_ 的實部 > −1，就可以用切薩羅和進行求和，因此 η(0) =1⁄2。

狄利克雷 η 函數和另一個著名的狄利克雷級數及函數有關：

　
: ${\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}$

其中 ζ 為黎曼 ζ 函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到 ζ(0) = −1⁄2。參照 1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼 ζ 函數可表示為 η(_z_) 和 (1 − 21−_z_) 相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函數，而後者的零點是在 _z_= 1 的簡單零點，因此可得 ζ(_z_) 為亞純函數，只在 _z_= 1 有一個極點。

### 物理學

格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的費米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。

在光譜非對稱性領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如 ζ 函數正規化就是其中的一種。

## 相關條目

* 交錯級數

## 參考資料