最短時間問題

**最速降線問題**，又稱**最短時間問題**、**最速落徑問題**。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短。在部分歐洲語言中，這個問題稱為 **Brachistochrone**，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法證明。

## 歷史

1638 年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰・伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在 1696 年 6 月的《博學通報》發表。艾薩克・牛頓、雅各布・伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論，即正確的答案應該是擺線的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在 1697 年 5 月的《博學通報》出現。

## 證明

### 約翰・伯努利的證明

費馬原理說明，兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰・伯努利利用該原理，對此問題進行解決。 

運用機械能守恆定律，可以導出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足

　
: $v={\sqrt {2gy}}$ ,

式中 y 表示物體在豎直方向上落下的距離，g 為重力加速度。通過機械能守恆可知，經不同的曲線落下，物體的速度與水平方向的位移無關。 
通過假設光在光速 v 在滿足: $v={\sqrt {2gy}}$ 的傳輸介質中運動形成的軌跡來導出最速降線。 
約翰・伯努利注意到，根據折射定律，一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數

　
: ${\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}$ ,

式中 vm 為常數 (可認為為真空中光速 c，θ 為軌跡與豎直方向的夾角，dx 為水平方向路徑微分，ds 為運動方向路徑微分。 

通過上述方程，我們可以得到兩條結論：

1. 在剛開始，當質點的速度為零時，夾角也必然是零。因此，最速降線在起始處與豎直方向相切。
1. 當軌跡變為水平即夾角變為 90° 時，速度達到最大。

為了簡化過程，我們假設質點（或光束）相對於原點 (0,0) 有坐標 (x,y)，且當下落了豎直距離 _D_ 後達到了最大速度，則

　
: $v_{m}={\sqrt {2gD}}$ .

整理折射定律式中的各項並平方得到

　
: $v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})$

可以解得 _dx_ 對 _dy_ 有

　
: $dx={\frac {vdy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}$ .

代入 v 和 vm 的表達式得到

　
: $dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy$

這是一個由直徑為 _D_ 的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程。

### 雅各布・伯努利的證明

約翰的哥哥雅各布・伯努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。 
如果我們從最短時間路徑發生微小移動，那麼形成三角形滿足

　
: $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ .

_dy_ 不變求微分，得到

　
: $2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x$

最後整理得到

　
: ${\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t$

最後的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑，中間的水平間隔為 _d2x_。對新舊兩條路徑，改變量為

　
: $d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x$

　
: $d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x$

對於最短時間的路徑，兩個時間相等，故得到

　
: $d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x$

因此最短時間的情況為

　
: ${\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}$

## 最速降線的數學形式與最短時間

在垂直平面上，自原點 $\left(\,0,\,0\right)$ 至目的地 $\left(\,x_{1},\,y_{1}\right)$ 的最速降線具有以下數學形式：

　
: $x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).$

這裡的 $y$ 座標軸方向向下，且 $y_{1}\geq 0$ ； $\theta $ 為此擺線參數表達式的參數，原點處 $\theta =0$ 。

物體自原點沿最速降線滑至 $\theta =\theta _{1}$ 處所需的時間可由以下積分式給出：

　
: $t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm {d} t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm {d} s}{v}}$ 。

利用 $ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}$ 以及 $v={\sqrt {2gy}}$ ，並以 $\theta $ 作為參數，整理後得

　
: ${\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta $

　
: $t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}$ 。

自此擺線的參數式中易知 $y$ 的最大值為 $k^{2}$ ，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑 $2r$ ，因此

　
: $k={\sqrt {2r}}$

　
: $t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}$ 。

現假設終點與原點直線距離 $\ l\ $ ，且終點對原點的仰角為 $\phi $ 。利用此擺線的參數式，可知

　
: $l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}$

　
: $\tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}$

利用 $l$ 的關係式求出 $r$ ，並代回下滑時間中，得

　
: $t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}$

綜合上述，討論在 $\ l\ $ 已知的情況下，下滑時間 $t$ 與俯角 $\phi $ 的關係為

　
: $\left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)$ 。

## 外部連結

* Brachistochrone Construction：計算兩點之間，質點使用不同路徑所需的時間（Java Applet，（英文））
* 重力下的最快下降曲線：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
* Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：有詳細的公式證明。（英文）

## 參考資料