朗道能级

**朗道量子化**是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值，形成朗道能階。朗道能階是簡併的，每一能階上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫・朗道於 1930 年提出的。

## 推導

朗道量子化可以通過準古典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：

考慮一個帶電粒子組成的二維系统。這些粒子無內部交互作用，所帶電荷為 q，自旋量子數為 S，並被限制在 _x-y_ 平面內一個面積 _A_ = _LxLy_ 的區域內。

對這一系統施加一個沿 z 軸的均勻磁場 $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ 。由於自旋對於這個二維系統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在 CGS 單位制下，這個系統的哈密頓算符為：

　
: ${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.$

式中 $\mathbf {p} $ 為正則動量算符， ${\hat {\mathbf {A} }}$ 為磁場的磁向量勢，與磁感應強度的關係為：

　
: $\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,$

給定磁場的磁向量勢具有一定的規範自由度。當 ${\hat {\mathbf {A} }}$ 被添加一個純量場的梯度時，波函數的整體相位也會隨著純量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇朗道規範： 

　
: ${\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.$

式中 B=|**B**|，_x_ 為位置算符 x 方向上的分量。

在這一規範下，系統的哈密頓算符為：

　
: ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.$

算符 ${\hat {p}}_{y}$ 與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符 ${\hat {y}}$ 被忽略掉了，因而算符 ${\hat {p}}_{y}$ 可被它的本徵值_ħky_ 替代。

如果設定迴旋頻率 _ωc = qB/mc_，那麼可以得出此時哈密頓算符為：

　
: ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.$

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但位能的最小值需要在位置表象中移動 _x_0 = _ħky/mωc_。

注意到諧振子位能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：

　
: $E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.$

由於能量與量子數 _ky_ 無關，因而會存在一定的簡併態。

由於 ${\hat {p}}_{y}$ 與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函數可以表示為 y 方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢 $|\phi _{n}\rangle $ 的乘積，但 $|\phi _{n}\rangle $ 也需要在 x 方向上移動 x0，即：

　
: $\Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.$

總之，電子的狀態可以通過 n 與 _ky_ 這兩個量子數表徵。

## 朗道能階

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能階間差值，即 _kT ≪ ħωc_ 時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。

每個朗道能階都具有一定的簡併度，因為量子數 _ky_ 的取值情況為：

　
: $k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}$ ,

式中 N 為整數。N 所允許的取值受到振子的運動中心坐標 _x0_ 的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說 0 ≤ _x0 < Lx_。這給出了 N 的取值範圍：

　
: $0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.$

對於帶電量 _q_ = _Ze_ 的粒子來說，N 的上限可以表記為磁通量的比值：

　
: ${\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},$

式中 _Φ0 = h/e_ 為磁通量的基本量子，_Φ = BA_ 是系統的磁通量，面積 _A_ = _LxLy_。

因而對於自旋為 S 的粒子，每個朗道能階的簡併度的最大值 D 為：

　
: $D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.$

上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在 x 方向上不受限的系統有效，如果系統尺度 _Lx_ 是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程式的解。多電子對於朗道能階的填充仍是研究熱點之一。

一般來說，朗道能階可以在電子系統中被觀察到，其中 Z=1，S=1/2。隨著磁場增強，越來越多的電子會占據朗道能階。最高的朗道能階的占據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯 - 范阿爾芬效應及舒布尼科夫 - 德哈斯效應。

如果考慮到塞曼效應的話，那麼每個朗道能階都會分裂為一對能階：一個為自旋向上的電子占據的能階，一個是自旋向下的電子占據的能階。此時每個自旋朗道能階的簡併度就會是磁通量的比率：D = _Φ/Φ0_。兩個能階與分裂前的能階間隔是相同的： 2_μBB_ = _ħω_ 。然而在多個能階被占滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能階相加時會被抵消掉。

## 討論

在上面的推導過程中，x 與 y 似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表徵這兩個坐標的區別。在對 x 與 y 進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。

此外，上述推導中電子在 z 方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在 z 方向上可以自由移動，那麼波函數還需要乘以一個因子 exp (_ikzz_)，能量對應地需要加上 (_ħ kz_)2/(_2m_)。這一項會「填入」能階間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面 x-y 上的運動仍是量子化的。

## 對稱規範中的朗道能階

選定對稱規範：

　
: ${\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}$

對於哈密頓算符進行去因次化：

　
: ${\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]$

實際值可以通過引入 $q$ 、 $c$ 、 $\hbar $ 、 $\mathbf {B} $ 及 $m$ 等常數得出。

引入算符

　
: ${\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]$

　
: ${\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]$

　
: ${\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]$

　
: ${\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]$

這些算符的對易關係為：

　
: $[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1$ .

哈密頓算符可記為：

　
: ${\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}$

朗道能階序數 $n$ 是 ${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$ 的本徵值。

角動量 z 方向上的分量為：

　
: ${\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})$

利用其與哈密頓算符可對易，即 $[{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0$ ，我們選定 ${\hat {L}}_{z}$ 的本徵值 $-m\hbar $ 為使 ${\hat {H}}$ 與 ${\hat {L}}_{z}$ 對角化的本徵函數。易見，在第 $n$ 個朗道能階上存在 $m\geq -n$ 。然而 $m$ 的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。

使用 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 可以使 $m$ 減小一個單位同時使 $n$ 保持不變，而 ${\hat {a}}^{\dagger }$ 則可以使 $n$ 增大一個單位，同時令 $m$ 減小一個單位。類比量子諧振子，可以得到：

　
: ${\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle $

　
: $E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)$

　
: $|n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle $

在朗道規範與對稱規範下，每個朗道能階上的簡併軌道分別以量子數 _ky_ 及 $m$ 表徵，每個朗道能階上單位面積的簡併度是相同的。

可以證明選定下面這個波函數時，也可以得到上面得到的結果：

　
: $\psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}$

式中 $w=x+iy$ 。

特別地，對於最低的朗道能階，即 $n=0$ 時，波函數為任意一個解析函數與高斯函數的乘積： $\psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}$ 。

## 規範變換的影響

進行這樣的規範變換：

　
: ${\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})$

運動學動量的定義為：

　
: ${\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c$

式中 ${\hat {\mathbf {p} }}$ 為正則動量。哈密頓算符是規範不變的，因而 $\langle {\hat {\pi }}\rangle $ 與 $\langle {\hat {x}}\rangle $ 也會在規範變換後保持不變，但 $\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle $ 會受到規範變換的影響。

為了考察規範變換帶來的影響，設磁向量勢為 $A$ 與 $A'$ 時的量子態為 $|\alpha \rangle $ 與 $|\alpha '\rangle $ 。

由於 $\langle {\hat {x}}\rangle $ 和 $\langle {\hat {\pi }}\rangle $ 是規範不變的，可以得到：

　
: $\langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle $

　
: $\langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle $

　
: $\langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle $

設算符 ${\mathcal {G}}$ 會使 $|\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle $ ，則：

　
: ${\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}$

　
: ${\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}$

　
: ${\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1$

綜上所述：

　
: ${\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)$

## 參考文獻

## 參見

* 巴克豪森效應
* 量子霍爾效應
* 勞夫林波函數