机械利益

**機械利益**（mechanical advantage）又稱**機械效益**，指工具、機械設備或機械系統將力放大的比例。設備需在輸入的力及以位移之間取捨，最後得到輸出力的理想放大比例。此模型稱為「槓桿定律」。有些機械零件是為了轉換力以及位移，這種零件稱為機構 。假設 _Fin_ 是輸入的力，_Fout_ 是輸出的力，則機械利益 MA 為：

　
:

 
機械利益為正數，若大於一，表示輸出的力比輸入的力大，若小於一，表示輸出的力比輸入的力小，但輸出位移比輸入位移要大。

## 槓桿

槓桿以支點為中心而轉動，離支點越近的地方移動的越慢，離支點越遠的地方移動的越快。輸入槓桿及輸出槓桿的功率相等，而功率是力和速度的乘積，因此離支點越遠的地方，施的力就越小，離支點越近的地方，施的力就越大。

若 _a_ 和 and _b_ 是點 _A_ 和 _B_ 距支點的距離，而 _FA_ 是在 _A_ 點的輸入力，_FB_ 是在 _B_ 點的輸出力，_A_ 點和 _B_ 點速度的比值為 _a_/_b_，因此輸出力和輸入力的比值（機械利益）如下：

　
:

這就是槓桿原理，是阿基米德利用對幾何的理解所證明的 。

靜力學分析中，利用速度來分析槓桿的力，也是虛功定理的應用。

## 速比

理想機構輸入功率等於輸出功率，因此可以用系統輸入 — 輸出的速比（speed ratio）來計算機械利益。

若針對齒輪組，以 _ωA_ 的角速度給 _TA_ 的轉矩，其輸入功率為 _P=TAωA_。

因為輸入功率和輸出功率相等，輸出轉矩 _TB_ 和輸出角速度 _ωB_ 乘積會滿足以下關係

　
: $P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!$

因此

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.$

速比的定義就是輸出角速度和輸入角速度的比值，因此針對理想機構的速比會等於機械利益，這應用在從機器人一直到連杆機構的所有機器。

## 齒輪系

由於齒輪的設計方式，齒輪的齒數會和其節圓的半徑成正比，因此二個相互嚙合的齒輪，可以由一個齒輪帶動另一個旋轉，不會滑動。一組齒輪的速比可以用其其節圓的半徑比來計算，也可以用二個齒輪齒數的比例（齒比）來計算。

二個齒輪在節圓上接觸點的速度 _v_ 相等，因此可得

　
: $v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

其中輸入齒輪 _A_ 的半徑是 _rA_，和半徑為 _rB_ 的輸出齒輪嚙合
因此

　
: ${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

其中 _NA_ 是輸入齒輪的齒數，_NB_ 是輸出齒輪的齒數。

由輸入齒輪齒數 _NA_，輸出齒輪齒數 _NB_ 組成的嚙合齒輪，其機械利益為

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

因此若輸出齒輪 _G_B 比輸入齒輪 _G_A 要大，此齒輪系可以放大力矩，但會讓轉速變慢，若輸出齒輪 _G_B 比輸入齒輪 _G_A 要小，此齒輪系可以縮小力矩，會讓轉速變快。

## 鏈輪或皮帶輪

不論是由鏈條連接兩個鏈輪的機構，或是由皮帶連接兩個皮帶輪的機構，其目的都是為了在傳動系統中改變其機械利益。

兩個鏈輪和鏈條接觸點的速度 _v_ 會相等，兩個皮帶輪和皮帶接觸點的速度亦同：

　
: $v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

其中鏈輪或皮帶輪 _A_ 是輸入端，其半徑是 _rA_，輸出鏈輪或皮帶輪 _B_ 的半徑是 _rB_。

因此

　
: ${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

其中 _NA_ 是輸入鏈輪的齒數，_NB_ 是輸出鏈輪的齒數。若是齒形帶的皮帶輪機構，也可以使用其齒數。若是只用摩擦力的皮帶輪，一定要使用輸入輪和輸出輪半徑的資訊。

若鏈輪機構（或齒形帶皮帶輪機構），輸入輪齒數為 _NA_，輸出輪齒數為 _NB_，其機械利益是：

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

針對只使用摩擦力的皮帶輪，其機械利益是：

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.$

鏈條和皮帶在傳輸功率時會有摩擦力、伸長及磨損的情形，因此輸出功率會小於輸入功率，實際系統的機械利益會小於理論值。鏈輪機構或皮帶輪機構大約損失 5% 的功率，是因為摩擦生熱、形變或磨損所產生的熱，此時的效率約為 95%。

## 滑輪組

滑輪組是繩子和許多滑輪組合，移動物品的機構。一般來說會有固定不移動的定滑輪，以及隨物品移動的動滑輪，繩子會繞在動滑輪和定滑輪上，以提供機械利益，在滑輪組的輸入端施力，再透過滑輪組將力放大，來移動物品。

為了計算滑輪組的機械利益，考慮最簡單的起重滑車，由一個定滑輪和一個動滑輪組成。繩子繞在定滑輪上，垂下的一端可以施力往下拉，垂下的另一端繞在乘載重物的動滑輪上，繞過動滑輪後固定在定滑輪的支架上。

令 _S_ 是從定滑輪軸心到繩子末端的長度，這是 _A_，是施力的位置。令 _R_ 是定滑輪軸心到動滑輪軸心的位置，這是 _B_，是放重物的位置。

繩子的總長 _L_ 可以寫成

　
: $L=2R+S+K,\!$

其中 _K_ 是繩子繞過定滑輪及動滑輪需要的長度，此長度不隨滑輪位置而變化。

_A_ 點和 _B_ 點的速度 _V_A 和 _V_B 的關係和繩子的總長有關，繩子的總長為固定值，因此

　
: ${\dot {L}}=2{\dot {R}}+{\dot {S}}=0,$

或者

　
: ${\dot {S}}=-2{\dot {R}}.$

其中的負號表示重物速度的方向和施力的方向相反，施力往下，重物會向上移動。

令 _V_A 向下為正，_V_B 向上為正，因此其關係可以表示為速比

　
: ${\frac {V_{A}}{V_{B}}}={\frac {\dot {S}}{-{\dot {R}}}}=2,$

其中的 2 是支持動滑輪及重物重量的繩索數量。

令 _F_A 是在 _A_ 點的施力，令 _F_B 是動滑輪在 _B_ 點的受力。其正負號也是 _F_A 往下為正，_F_B 往上為正。

若是理想的滑輪組，滑輪沒有摩擦力，繩子也不會形變或磨損，因此輸入功率 _F_A_V_A 會等於輸出功率 _F_B_V_B，也就是

　
: $F_{A}V_{A}=F_{B}V_{B}.\!$

輸出力和輸入力的比值即為理想起重滑車系統的機械利益

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=2.\!$

此分析可以擴展到理想的滑車組，其動滑輪及重物的重量是由 _n_ 段繩子所支持

　
: ${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=n.\!$

可以證明理想的滑車組對重物的輸出力是輸入力的 _n_ 倍，其中 _n_ 是支持動滑輪及重物重量的繩子數量。

## 效率

在計算機械利益時，會假設能量不會因為形變、摩擦力或是磨損所損失，機械可以以其最佳性能輸出，此情形下計算的機械利益會稱為是理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）。實際上，形變、摩擦力或是磨損都會降低機械利益。實際機械利益（actual mechanical advantage、AMA）和理想機械利益之間的比值是效率，可以透過實驗求得。

例如有六段繩子支持動滑車的滑車組，有 300 kg 的重物，若是在理想的滑車組，工人需要的施力會是 50 kg，若要讓重物上移 1 公尺，工人需要拉 6 公尺。_Fout_ / _Fin_ 和 _Vin_ / _Vout_ 都可以說明理想機械利益是 6。第一個比值是輸出力 300 kg 和輸入力 50 kg 所得的比值。但在真實系統中，輸入力 50 kg，因此摩擦力、繩子形變等因素的損失，輸出力會小於 300 kg，因此其實際機械利益會小於 6。

### 理想機械利益

理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）或理論機械利益（theoretical mechanical advantage）是假設沒有能量損失的情形下所得的機械利益。是用設備的實際尺寸計算的，也是實際機械利益的上限。

理想機械的假設也就表示機械本身不會儲存能量，也不會耗散能量。輸入的功率等於輸出的功率。因此，機械的功率是定值，等於力乘以速度，可以得到下式

　
: $P=F_{in}v_{in}=F_{out}v_{out}.$

理想機械利益是輸出力和輸入力的比值

　
: ${\mathit {IMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}}.$

若考慮功率守恆的關係式，可得機械利益和速比之間的關係：

　
: ${\mathit {IMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}}={\frac {v_{in}}{v_{out}}}.$

機械的速比可以用其幾何尺寸來計算，因此可以用速比求得理想機械利益，也就是實際機械利益的上限。

### 實際機械利益

實際機械利益 (actual mechanical advantage、AMA）是在直接量測輸入力及輸出力所得的機械利益，其中有考慮因為形變、摩擦及磨損產生的能量損失。

機器的 AMA 可以用量測到的輸入力及輸出力來計算

　
: ${\mathit {AMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}},$

實際機械利益和機械利益之間的比例即為機械效率 η

　
: $\eta ={\frac {\mathit {AMA}}{\mathit {IMA}}}.$

## 相關條目

* 複式槓桿
* 簡單機械
* 機械利益設備
* 輪系
* 鏈條傳動
* 帶 (機械)
* 滾子鏈
* 腳踏車鏈條
* 腳踏車鏈條齒輪
* 傳動
* 機械效率
* 楔子

## 參考資料

* Fisher, Len, How to Dunk a Doughnut: The Science of Everyday Life, Arcade Publishing, 2003, ISBN 978-1-55970-680-3 .
* United States Bureau of Naval Personnel, Basic machines and how they work Revised 1994, Courier Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-486-21709-3 .

## 外部連結

* Gears and pulleys （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Nice demonstration of mechanical advantage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mechanical advantage — video （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）