曼德博分形

**曼德博集合**（英語：Mandelbrot set，或譯為**曼德布洛特複數集合**）是一種在複數平面上組成碎形的點的集合，以數學家本華・曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復二次多項式來進行疊代。

## 定義

曼德博集合可以用複二次多項式來定義：

　
: $f_{c}(z)=z^{2}+c\,$

其中 $c$ 是一個複數參數。

從 $z=0$ 開始對 $f_{c}(z)$ 進行疊代：

　
: $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...$

　
: $z_{0}=0\,$

　
: $z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,$

　
: $z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,$

每次疊代的值依序如以下序列所示：

$$
(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )
$$

不同的參數 $c$ 可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大，也可能收斂在有限的區域內。

曼德博集合 $M$ 就是使序列不延伸至無限大的所有複數 $c$ 的集合。

## 特性

* 自相似
* 面積為 1.5065918561

## 相關的定理

### 定理一

若 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$ ，則 $c\in {M}$

#### 證明：

假設 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$ 為真

則 $|z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

##### 第一步：

當 $n=2\,$ 時

　
: $|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|$

因為 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$

　
: $|c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

由以上可得知 $|z_{2}|<{\frac {1}{2}}$

##### 第二步：

假設 $|z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,$ 成立

　
: $|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}$

由上式可得知 $|z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}$

由數學歸納法可得知對於所有的 n (n=1,2,...)， $|z_{n}|\,$ 皆比 ${\frac {1}{2}}\,$ 小。

當 n 趨近無限大時 $|z_{n}|\,$ 依然沒有發散，所以 $c\in {M}$ ，故得證。

 

### 定理二

若 $c\in {M}$ ，則 $|c|\leq {2}$

#### 證明：

假設 $|c|>2\,$

則 $|z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,$

##### 第一步：

當 $n=2\,$ 時

　
: $|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|$

由 $|c|>2\,$ ，左右同乘 $|c|\,$ 再減去 $|c|\,$ 可得到下式

　
: $|c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,$

由以上可得知 $|z_{2}|>|c|\,$

##### 第二步：

假設 $|z_{n}|>|c|\,$ 成立，則 $|z_{n}|>2\,$

　
: $|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因為 $|z_{n}|>|c|\,$

　
: $|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由 $|z_{n}|>2\,$ ，左右同乘 $|z_{n}|\,$ 再減去 $|z_{n}|\,$ 可得到下式

　
: $|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由數學歸納法可得知 $2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,$ ，可看出隨著疊代次數增加 $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增並發散。

假如 $|z_{n}|\,$ 不發散，則收斂於某個常數 $a>|c|>2$ ,

由 $|z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|$ 再取極限得 $a\geq a^{2}-|c|$ 即 $a^{2}-a\leq |c|$ 。

又 $a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|$ ，矛盾，故 $|z_{n}|\,$ 發散。

 
所以若 $|c|>2\,$ ，則 $c\notin {M}$ ，故得證。

### 定理三

若 $c\in {M}$ ，則 $|z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)$

#### 證明：

要證明若 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ ，則 $c\notin {M}$

首先分別探討 $|c|>2\,$ 與 $|c|\leq 2$ 兩種情形

由定理二可知道 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|>2\,$ 時， $c\notin {M}$ 。

接著要證明 $|c|\leq 2$ 時的情況：

假設 $|z_{n}|>2\,$ ，因為 $|c|\leq 2$ ，所以 $|z_{n}|>|c|\,$ ，而

　
: $|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因為 $|z_{n}|>|c|\,$

　
: $|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由 $|z_{n}|>2\,$ ，左右同乘 $|z_{n}|\,$ 再減去 $|z_{n}|\,$ 可得到下式

　
: $|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由數學歸納法可得知 $2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,$ ，可看出隨著疊代次數增加 $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增並發散。

所以在 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|\leq 2$ 的情況下也是 $c\notin {M}$ 。

綜合上述可得知不論 $|c|\,$ 為多少

若 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ ，則 $c\notin {M}$ ，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 $|z_{n}|\,$ 是否會發散。

## 計算的方法

曼德博集合一般用電腦程式計算。對於大多數的碎形軟體，例如 Ultra fractal，內部已經有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼，表達了曼德博集合的計算思路。

### 決定顏色的一些方法

1. 直接利用循環終止時的 Repeats
2. 綜合利用 z 和 Repeats
3. Orbit Traps

 

### Mathematica 代碼

## 各種圖示

## 參考資料