有理函數

**有理函數**（英語：Rational function）是可以表示為以下形式的函數：

　
: $f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}$ ， $b_{i}$ 不全為 0。

**有理數式**是多項式除法的商，有時稱為**代數分數**。

## 漸近線

* 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 $r>0$ ，使得 $(px+q)^{r}$ 是分母 $Q(x)$ 的因子，則有理函數存在垂直漸近線 $x=-q/p$ 。
* 若 $m<n$ ，有水平漸近線 $y=0$ 。
* 若 $m=n$ ，有水平漸近線 $y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}$ 。
* 若 $m=n+1$ ，有斜漸近線 $y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}$ 。

只有一條水平漸近線

## 泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

## 部分分式

**部分分式**，又稱**部分分數**、**分項分式**，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式 ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 的分母 $Q(x)$ 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 $\sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}$ ，其中 $h_{n}(x)$ 是 $Q(x)$ 的因子， $A_{n}$ 是次數不大於 Q (x)/h\_n (x) 的多項式。

### 例子

1. 分拆 ${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}$

分子的次數是 3，分母的是 2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

$$
x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}
$$

因為 $x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)$ ，所以

$$
{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}
$$

其中 A 和 B 是常數。兩邊乘以 $x^{2}+3x-28$ ，得

$$
\ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)
$$

即

$$
\ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)
$$

比較係數，得

$$
\ A+B=32
$$

$$
\ 7B-4A=4
$$

解得 $A=20,B=12$ 。

故： ${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3$

也可以把 x 的特殊值代入等式來解出 A 和 B。例如，當 x=4 時，我們有

$$
\ 128+4=11B
$$

$$
\ B=12
$$

當 x=-7 時，我們有

$$
\ -224+4=-11A
$$

$$
\ A=20
$$

### 應用

* 伸縮和
* 複分析
* 拉普拉斯變換

## 積分

### 部分分數

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的 1 和 2 次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

* 分母為 1 次多項式：求 $\int {\frac {1}{ax+b}}dx$ 。

設 $u=ax+b$ ：

　
: ${\frac {du}{dx}}=a$

　
: ${\frac {du}{a}}=dx$

原式變為

　
: $\int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C$

* 分母次數為 2：求 $\int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx$ 。

若多項式 $ax^{2}+bx+c$ 可分解為兩個一次多項式的積（即 $b^{2}-4ac\geq 0$ ），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

　
: $\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

因為

　
: $x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,$

考慮

　
: $u=x^{2}-8x+25\,$

　
: $du=(2x-8)\,dx$

　
: $du/2=(x-4)\,dx$

將分子分解，以便應用上面的替換：

　
: $\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx$

左邊：

　
: $\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C$

另一邊：

　
: $\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx$

代入

　
: $w=(x-4)/3\,$

　
: $dw=dx/3\,$

　
: ${10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

另一種可行的代入方法是：

　
: $\tan \theta ={x-4 \over 3},\,$

　
: $\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,$

　
: $d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,$

$$
\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C
$$

### 奧斯特洛格拉德斯基方法

奧斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 ${\frac {P}{Q}}$ ，其中 $P,Q$ 是多項式， $\deg(P)<\deg(Q)$ （ $P$ 的次數少於 $Q$ ）。設 $Q_{1}$ 為 Q 的導數 Q' 和 Q 的最大公因數， $Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}$ 。則有：

　
: $\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

其中 $P_{1},P_{2}$ 為多項式， $\deg(P_{i})<\deg(Q_{i})$ 。

#### 應用例子

* 求 $\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}$ 。
 1. $Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}$
2. $Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)$
3. $Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}$
4. $Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)$

設 $P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E$

　
: $\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx$

兩邊取導數：

　
: ${\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}$

通分母，右邊的分子為：

　
: $Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B$

比較分子的多項式的係數，得 $A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0$ 。於是有

　
: $\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}$

後者可用部分分數的方法求得。

#### 證明

　
: $\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

　
: ${\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$

兩邊乘以 $Q$

　
: $P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}$

由於 $Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2}$ ，而 $Q'$ 和 $Q_{1}Q'_{2}$ 都是 $Q_{1}$ 的倍數，所以 ${\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}$ 是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

 * $\deg(P)\leq \deg(Q)-1$
* $\deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1$
* $\deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2$
* $\deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1$

因此 $P_{1},P_{2}$ 有解。

### Hermite 方法

## 應用

* 帕德近似
* 插值

## 參考

* Ostrogradsky's method （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）