有限生成阿貝爾群的基本定理

在抽象代數中，阿貝爾群 (_G_,+) 被稱為**有限生成**的，如果存在 _G_ 中有限多個元素 _x_1,...,_x_s 使得所有 _G_ 中的 _x_ 可以寫為如下形式

　
: _x_ = _n_1_x_1 + _n_2_x_2 + ... + _n_s_x_s，

其中 _n_1,...,_n_s 是整數。在這種情況下，我們稱集合 {_x_1,...,_x_s} 是 _G_ 的生成集，或 _x_1,...,_x_s 生成了 _G_。

顯然，所有有限阿貝爾群都是有限生成的。有限生成的阿貝爾群帶有相當簡單的結構並可以被完全的分類，我們後面會講到。

## 例子

* 整數集 (**Z**,+) 是有限生成阿貝爾群。
* 整數模以 _n_ **Z**n 是有限生成阿貝爾群。
* 有限多個有限生成阿貝爾群的直和也是有限生成阿貝爾群。

沒有其他的例子了。有理數集的群 (**Q**,+) 不是有限生成的：如果 _x_1,...,_x_s 是有理數，選取一個自然數 _w_ 互素於所有分母；則 1/_w_ 不能被 _x_1,...,_x_s 生成。

## 分類

**有限生成阿貝爾群的基本定理**（它是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況）可以用兩種方式陳述（類似於 PID）:

### 基礎分解 (elementary divisors)

主分解公式生成任何有限生成阿貝爾群 _G_ 同構於準素循環群和無限循環群的直和。準素循環群是其階是素數的冪的群。就是說，所有這種群同構於如下形式之一

　
: $\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}}$

這里的秩 _n_ ≥ 0，並且數 _q_1,...,_q_t 是（不必需不同的）素數的冪。特別是，_G_ 是有限的，當且僅當 _n_ = 0。_n_, _q_1,...,_q_t 的值（差一個指標的重排）唯一確定自 _G_。

### 不變量因子分解 (invariant factors decomposition)

我們可以寫任何有限生成阿貝爾群 _G_ 為如下形式的直和

　
: $\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$

這里的 _k_1 整除 _k_2，而它又整除 _k_3 如此直到 _k_u。還有，_n_ 的秩和不變量因子 _k_1,...,_k_u 唯一的確定自 _G_（這里帶有唯一次序）。

### 等價

這些陳述是等價的，因為中國剩餘定理聲稱 **Z**m 同構於 **Z**j 和 **Z**k 的直和，當且僅當 _j_ 和 _k_ 互質並且 _m_ = _jk_。

## 例子

在這裡提供幾個簡單的例子作為參考

### EX1: 找出所有階為 20 的阿貝爾群

首先可以將階數質因數分解 $20=2^{2}*5^{1}$

注意到指數有 2 以及 1，先注意到 2，2 的整數分解有兩種，即 {2} , {1,1} 而 1 的整數分解只有一種即，{1}

所以 20 階的阿貝爾群的基礎分解即為 $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{5}$ ， $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{5}$

### EX2: 找出所有階為 72 的阿貝爾群

注意到 $72=2^{3}*3^{2}$ ，然後看到 3 有三種分解，即 {3} , {2,1}, {1,1,1} , 而 2 的整數分解有兩種，即 {2} , {1,1}

所以 72 階的阿貝爾群的基礎分解即為

$$
\mathbb {\mathbb {Z} } _{8}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{9}$ ， $\mathbb {\mathbb {Z} } _{8}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}$ ， $\mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{4}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{9}$ ， $\mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{9}$ ， $\mathbb {\mathbb {Z} } _{4}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}$ ， $\mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}\oplus \mathbb {\mathbb {Z} } _{3}
$$

## 證明

設 $g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}$ 是 _G_ 的具有最小基的生成元，我們稱如下關係是非平凡的

　
: $n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k}$

如果 $n_{i}$ 不全為 _0_。

 
記

　
: $m_{1}g_{1}+m_{2}g_{2}+\cdots +m_{k}g_{k}\qquad \qquad (1)$

為所有非平凡關係中具有最小正係數的關係，不失一般性，設 $m_{1}$ 為最小的係數。對於任意關係

　
: $n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k}\qquad \qquad (2)$

我們有 $m_{1}\mid n_{1}$ ，這是因為否則的話我們將有 $n_{1}=m_{1}p+r,\ r<m_{1}$ ，所以將 (1) 式乘上 _p_ 後減去 (2) 式我們將有 $g_{1}$ 的係數為 _r_ 小於 $m_{1}$ 。

 
進一步我們有 $m_{1}\mid m_{i}$ ，這是因為否則的話存在 $m_{i}=m_{1}p+r$ ，這將有：

　
: $m_{1}(g_{1}+pg_{i})+\cdots +rg_{i}+\cdots +m_{k}g_{k}$

與 (1) 式得最小性選擇矛盾。因此我們有：

　
: $m_{1}g_{1}+\cdots +m_{k}g_{k}=m_{1}(g_{1}-p_{2}g_{2}-\cdots -p_{k}g_{k})=m_{1}{\hat {g_{1}}}=0$

所以若

　
: $n_{1}{\hat {g_{1}}}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k}=0$

那麼必有 $m_{1}\mid n_{1}$ ，特別的 $n_{1}{\hat {g_{1}}}=0$ 。

 
將 $g_{2},g_{3},\cdots ,g_{k}$ 生成的子群記為 _G'_，所以 _G_ 中的每個元素都可表示成

　
: $n{\hat {g_{1}}}+a,\ a\in G'$

若存在 $n_{1}{\hat {g_{1}}}+p_{1}=n_{2}{\hat {g_{1}}}+p_{2}$ ，我們將有關係

　
: $(n_{1}-n_{2}){\hat {g_{1}}}+(p_{1}-p_{2})=0$

由上面的討論我們知道 $(n_{1}-n_{2}){\hat {g_{1}}}=0$ ，因此 $n_{1}{\hat {g_{1}}}=n_{2}{\hat {g_{1}}}$ 且 $p_{1}=p_{2}$ 。

 
所以 $G=C_{\hat {g_{1}}}\oplus G'$ 這裡 $C_{\hat {g_{1}}}$ 為 ${\hat {g_{1}}}$ 生成的循環群。所以通過歸納法我們即可得到原命題。

## 推論

不同陳述的基本定理說明了有限生成阿貝爾群是有限秩的自由阿貝爾群和有限阿貝爾群的直和，此兩者都是唯一（不別同構之異）。有限阿貝爾群就是 _G_ 的撓子群。_G_ 的秩定義為 _G_ 的無撓部分的秩，這就是上面公式中的數 _n_。

基本定理的推論是所有有限生成無撓阿貝爾群是自由阿貝爾群。有限生成條件在這里是本質性的：**Q** 是無撓但非自由阿貝爾群。

有限生成阿貝爾群的所有子群和因子群也是有限生成阿貝爾群。有限生成阿貝爾群和群同態一起形成了阿貝爾范疇，它是阿貝爾群范疇的子范疇。

## 非有限生成阿貝爾群

注意不是所有有限秩的阿貝爾群都是有限生成的；秩 - 1 群 **Q** 就是一個例子，而 **Z**2 的可數個復本的直和給出的秩 - 0 群是另一個例子。

## 參見

* 約當 - 赫德定理是對非阿貝爾群的推廣。