朗德因子

在物理學和化學中，**朗德 $g$ 因子**是阿爾弗雷德・朗德試圖解釋反常塞曼效應時，於 1921 年提出的一個無因次物理量，反映了塞曼效應中磁矩與角動量之間的聯繫。其定義後來被推廣到其它領域，在粒子物理學中常常被簡稱為 $g$ 因子。

## 塞曼效應

塞曼效應中的朗德 $g$ 因子由下式給出

　
: $g_{J}=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}$

式中 $L,S,J$ 分別是原子能態（光譜支項）的角量子數、自旋量子數和內量子數。

### 導引

朗德假定，當兩個角動量 $\mathbf {L} \hbar $ 與 $\mathbf {S} \hbar $ 耦合時，它們的交互作用能由下式給出：

　
: $E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}$

令

　
: $\mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar $

為耦合後的總角動量，則可以證明，在上述形式的交互作用能下， $\mathbf {L} \hbar $ 與 $\mathbf {S} \hbar $ 將繞向量 $\mathbf {J} \hbar $ 進動。

在外加磁場的作用下，帶電粒子的角動量會繞外加磁場的方向進動。在這種情況下，是 $\mathbf {J} \hbar $ 進行進動。朗德採用了一種簡化處理的方法，即認為外磁場中的原子的能量僅僅與向量 $\mathbf {L} \hbar $ 與 $\mathbf {S} \hbar $ 的長時間平均值有關，而後者恰好就是它們在 $\mathbf {J} \hbar $ 方向上的投影，即

　
: $(\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}$

隨後，朗德進一步假定，角動量 $\mathbf {L} \hbar $ 貢獻的磁能由古典的公式給出，並假定 $\mathbf {J} \hbar $ 是量子化的，其沿著磁場方向的分量由磁量子數 $M$ 確定，即

　
: $E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B$

式中 ${\boldsymbol {\mu }}$ 是磁矩，而 $\mu _{B}$ 為波耳磁子。類似地，朗德寫出了角動量 $\mathbf {S} \hbar $ 帶來的能量貢獻，但他發現為了與實驗結果相一致，需要加上額外的因子 2。當時朗德並不清楚為什麼，現在我們知道這就是電子的自旋 $g$ 因子。即：

　
: $E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B$

將上面結果加起來，朗德得到下列的表達式，並引入符號 $g$ ，這就是朗德 $g$ 因子的最早來源：

　
: $E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B$

利用關係式 $\mathbf {L} $ + $2\mathbf {S} $ = $\mathbf {J} $ + $\mathbf {S} $ ，朗德得到：

　
: $g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}$

但是，朗德發現，為了與實驗結果相符，這一表達式需要修改為下式，當時朗德並不清楚原因。現在來看，只要將上面的角動量矢量都作為算符來處理，然後將對應的角動量平方算符用其本徵值取代，得出這個結果是很自然的。

　
: $g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}$

### 推廣

從上面的導引可見，定義朗德 $g$ 因子的式子是

　
: $E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B$

上式可以等價地表述為：

　
: ${\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J} $

很自然的推廣是將兩邊的 $J$ 同時換成 $L,S$ 等，並對不同的粒子將 $m$ 換成對應粒子的質量。這就是現在廣泛使用的朗德 $g$ 因子。

## 粒子物理學

粒子物理學中的 $g$ 因子是自旋 $g$ 因子，根據自旋角動量和自旋磁矩按照上面的形式定義。

### 電子

上面的導引已經給出了電子自旋 $g$ 因子的定義。在實際使用中，它的符號有兩種取法，用不同的符號表記：

　
: $g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}$

#### 歷史沿革

歷史上，它的理論值有過變動：

* 在非相對論量子力學理論下考慮自旋 - 軌道作用時，等效地說， $g_{s}$ 為 1。
  * 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927 年）， $g_{s}$ 變為 2，方合乎當代實驗觀測值。
* 在相對論量子力學，也就是指保羅・狄拉克所提出的理論（1928 年）， $g_{s}$ 恰恰為 2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。
* 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出 QED 的朱利安・施溫格等人（1947 年）所得的 $g_{s}$ 理論值為 $\left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402$ ；α 目前被視為是自然常數之一，其值約為 ${\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}$ 。

威利斯・蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得 $g_{s}$ 觀測值為 $2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)$ ，與理論相符精準度達小數點下第 9 位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

### 其它粒子

一些粒子的朗德 $g$ 因子列表如下：

## 注釋

## 參考文獻

## 參見

* 波耳磁子
* 湯瑪斯進動
* 量子電動力學
* 電子自旋共振