有理數

數學上，可以表達為兩個整數比的數（ ${\frac {a}{b}}$ , $b\neq 0$ ）被定義為**有理數**，例如 ${\frac {3}{8}}$ ，0.75 (可被表達為 ${\frac {3}{4}}$ )；整數和整數分數統稱為有理數。

與有理數相對的是無理數，如 ${\sqrt {2}}$ 無法用整數比表示。 

有理數與分數形式的區別，分數形式是一種表示比值的記法，如 分數形式 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 是無理數。 
所有有理數的集合表示為 **Q**，Q+, 或 $\mathbb {Q} $ 。定義如下：

　
: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂稱為無理數。

## 詞源

有理數在英文中稱作 rational number，來自拉丁語 rationalis，意為理性的；詞根 ratio，拉丁語意為理性、計算。代表「比例」的英文 ratio 一詞在歷史上出現得要比有理數（rational number）一詞更晚，前者最早有記錄是 1660，而後者是 1570 年。

## 運算

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的，亦即有理數加、減、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理數的加法和乘法如下：

　
: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

兩個有理數 ${\frac {a}{b}}$ 和 ${\frac {c}{d}}$ 相等若且唯若 $ad=bc$

有理數中存在加法和乘法的逆：

　
: $-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0$ 時， $\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}$

## 古埃及分數

古埃及分數是分子為 1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如：

　
: ${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}$

對於給定的正有理數，存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

## 形式構建

數學上可以將有理數定義為建立在整數的有序對上 $\left(a,b\right)$ 的等價類，這裡 $b,d$ 不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：

　
: $\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)$

　
: $\left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)$

為了使 ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ ，定義等價關係 $\sim $ 如下：

　
: $\left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc$

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將 **Q** 定義為整數有序對關於等價關係～的商集： $\mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim $ 。例如：兩個對 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 是相同的，如果它們滿足上述等式。（這種構建可用於任何整數環，參見商域。）

### 定義大小

**Q** 上的大小可以定義為：

　
: $\left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)$ 若且唯若
 1. $bd>0$ 並且 $ad\leq bc$
2. $bd<0$ 並且 $ad\geq bc$

然後 $x<y$ 是指 $x\leq y$ 但 $y\nleq x$ 。亦可在「小於」概念之上引入「大於」的概念，即： $a<b$ 若且唯若 $b>a$ 。此排序中，每一對有理數 $a,b$ 之間皆可比較，必有且僅有以下關係之一：

　
: $a=b$ ， $a>b$ ， $a<b$ 。

又滿足傳遞性：若 $a<b$ ，且 $b<c$ ，則 $a<c$ 。所以以上定義的大小關係是全序關係。

有理數集的序還滿足稠密性：若 $a<b$ ，則必存在有理數 $c$ ，滿足 $a<c$ ，且 $c<b$ 。

## 性質

集合 $\mathbb {Q} $ ，以及上述的加法和乘法運算，構成域，即整數 $\mathbb {Z} $ 的商域。

有理數是特徵為 0 的域最小的一個：所有其他特徵為 0 的域都包含 $\mathbb {Q} $ 的一個拷貝（即存在一個從 $\mathbb {Q} $ 到其中的同構映射）。

 $\mathbb {Q} $ 的代數閉包，例如有理數多項式的根的域，是代數數域。

所有有理數的集合是可數的，亦即是說 $\mathbb {Q} $ 的基數（或勢）與自然數集合 $\mathbb {N} $ 相同，都是阿列夫數 $\aleph _{0}$ ，這是因為可以定義一個從有理數集 $\mathbb {Q} $ 映至自然數集合的笛卡爾積 $\mathbb {N} \times \mathbb {N} $ 的單射函數，而 $\mathbb {N} \times \mathbb {N} $ 是可數集合之故。因為所有實數的集合是不可數的，所以從勒貝格測度來看，可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數的序是個稠密序：任何兩個有理數之間存在另一個有理數，事實上是存在無窮多個。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

## 實數

有理數是實數的稠密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。

依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量 $d\left(x,y\right)=|x-y|$ ，有理數構成一個度量空間，這是 $\mathbb {Q} $ 上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間；實數是 $\mathbb {Q} $ 的完備集。

## _p_ 進數

除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將 $\mathbb {Q} $ 轉化到拓撲域：

設 $p$ 是素數，對任何非零整數 $a$ 設 $|a|_{p}=p^{-n}$ ，這裡 $p^{n}$ 是整除 $a$ 的 $p$ 的最高次冪；

另外 $|0|_{p}=0$ 。對任何有理數 ${\frac {a}{b}}$ ，設 $\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}$ 。

則 $d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}$ 在 $\mathbb {Q} $ 上定義了一個度量。

度量空間 $\left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)$ 不完備，它的完備集是 _p_ 進數域 $\mathbb {Q} _{p}$ 。

## 參見

* 浮點數
* 尼雲定理

## 參考文獻