有限深方形阱

在量子力學裏，**有限深方形阱**，又稱為**有限深位勢阱**，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為 0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為**有限深位勢阱問題**。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於 0。

在古典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於 0。

## 一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為 $L\,\!$ ，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為 $x=-L/2\,\!$ 與 $x=L/2\,\!$ 。阱內位勢為 0。在阱壁，位勢突然升高為 $V_{0}\,\!$ 。阱外位勢保持為 $V_{0}\,\!$ 。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數 $\psi \,\!$ 也不同，標記為：

　
: $\psi =\psi _{1}\,\!$ ：阱左邊， $x<-L/2\,\!$ （阱外區域），

　
: $\psi =\psi _{2}\,\!$ ：阱內， $-L/2<x<L/2\,\!$ （阱內區域），

　
: $\psi =\psi _{3}\,\!$ ：阱右邊， $x>L/2\,\!$ （阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!$ ；(1)

其中， $\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數， $m\,\!$ 是粒子質量， $x\,\!$ 是粒子位置， $V(x)\,\!$ 是位勢， $E\,\!$ 是能量。

### 阱內區域

在阱內，位勢 $V(x)=0\,\!$ ，方程式簡化為：

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!$ 。(2)

設定波數 $k\,\!$ 為

　
: $k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!$ 。(3)

代入方程式 (2)：

　
: ${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!$ 。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程式。一般解本徵函數 $\psi _{2}(x)\,\!$ 是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

　
: $\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!$ ；

其中， $A\,\!$ 與 $B\,\!$ 都是複值常數，由邊界條件而決定。

### 阱外區域

在阱外，位勢 $V(x)=V_{0}>0\,\!$ ，薛丁格方程式為：

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!$ 。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

## 束縛態

假若，粒子的能量小於位勢： $E<V_{0}\,\!$ ，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

　
: $\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!$ 。(4)

代入方程式 (1)：

　
: ${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!$ 。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

　
: $\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$ ，

　
: $\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$ ；

其中， $F\,\!$ ， $G\,\!$ ， $H\,\!$ ， $I\,\!$ 都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數 $A\,\!$ ， $B\,\!$ ， $F\,\!$ ， $G\,\!$ ， $H\,\!$ ， $I\,\!$ 的值。

### 束縛態的波函數

薛丁格方程式的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程式的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數 $\psi \,\!$ 的形式為：

　
: $\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$ ：阱左邊， $x<-L/2\,\!$ （阱外區域），

　
: $\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!$ ：阱內， $-L/2<x<L/2\,\!$ （阱內區域），

　
: $\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$ ：阱右邊， $x>L/2\,\!$ （阱外區域）。

當 $x\,\!$ 趨向負無窮，包含 $F\,\!$ 的項目趨向無窮。類似地，當 $x\,\!$ 趨向無窮，包含 $I\,\!$ 的項目趨向無窮。可是，波函數在任何 $x\,\!$ 都必須是有限值。因此，必須設定 $F=I=0\,\!$ 。阱外區域的波函數變為

　
: $\psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!$ ，

　
: $\psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!$ 。

在阱左邊，隨著 $x\,\!$ 越小，波函數 $\psi _{1}(x)\,\!$ 呈指數遞減。而在阱右邊，隨著 $x\,\!$ 越大，波函數 $\psi _{3}(x)\,\!$ 呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於 $x=0\,\!$ ，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

### 奇的波函數

假若，波函數 $\psi \,\!$ 是奇函數，則

　
: $\psi _{2}=A\sin(kx)\,\!$ ，

　
: $G=-H\,\!$ ，

　
: $\psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$ ，

由於整個波函數 $\psi \,\!$ 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

　
: $\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

　
: $\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

將波函數的公式代入：

　
: $Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!$ ，(5)

　
: $\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!$ 。(6)

方程式 (6) 除以方程式 (5)，可以得到：

　
: $\alpha =-k\cot(kL/2)\,\!$ 。

從方程式 (3) 與 (4)，可以求得常數 $\alpha \,\!$ 與波數 $k\,\!$ 的關係：

　
: $\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$ 。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程式：

　
: $k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!$ 。

這也造成了離散的能量。

### 偶的波函數

假若，波函數 $\psi \,\!$ 是偶函數，則

　
: $\psi _{2}=A\cos(kx)\,\!$ ，

　
: $G=H\,\!$ ，

　
: $\psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$ ，

由於整個波函數 $\psi \,\!$ 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

　
: $\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

　
: $\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

將波函數的公式代入：

　
: $Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!$ ，(7)

　
: $\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!$ 。(8)

方程式 (8) 除以方程式 (7)，可以得到：

　
: $\alpha =k\tan(kL/2)\,\!$ 。

從方程式 (3) 與 (4)，可以求得常數 $\alpha \,\!$ 與波數 $k\,\!$ 的關係：

　
: $\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$ 。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程式：

　
: $k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!$ 。

這也造成了離散的能量。

## 散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢， $E>V_{0}\,\!$ ，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為**散射態**。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為**半自由粒子**。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢， $E>V_{0}\,\!$ ，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於 $V_{0}\,\!$ 的任意值。波數 $\kappa \,\!$ ，用方程式表達為 $\kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!$ ，也不是離散量。代入方程式 (1)：

　
: ${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!$ ，

　
: ${\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!$ 。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

　
: $\psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!$ ，

　
: $\psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!$ 。

其中， $C_{1}\,\!$ 、 $D_{1}\,\!$ 、 $C_{3}\,\!$ 、 $D_{3}\,\!$ ，都是常數。

## 參閱

* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta 位勢阱
* Delta 位勢壘
* 量子穿隧效應
* 盒中氣體

## 參考文獻