李导数

在微分幾何中，**李導數（Lie derivative）** 是一個以索甫斯・李命名的算子，作用在流形上的張量場，向量場或函數，將該張量沿著某個向量場的流做方向導數。因為該作用在座標變換下保持不變，因此，該李導數在一般的流形上都是定義良好的。

所有李導數組成的向量空間對應於如下的李括號構成一個無限維李代數。

　
: $[A,B]{\overset {def}{=}}{\mathcal {L}}_{A}B-{\mathcal {L}}_{B}A$

李導數用向量場表示，這些向量場可看作 _M_ 上的流（flow, 也就是時變微分同胚）的無窮小生成元。從另一角度看，_M_ 上的微分同胚組成的群，有其對應的李導數的李代數結構，在某種意義上和李群理論直接相關。

## 定義

李導數有幾種等價的定義。在本節，為簡便起見，我們用純量場和向量場的李導數的定義開始。李導數也可定義在一般的張量上，如後面的章節所述。

李導數的定義可以從函數的微分開始。這樣，給定一個函數 $f:M\rightarrow \mathbb {R} $ 和一個 _M_ 上的向量場 _X_ , _f_ 在點 $p\in M$ 的李導數定義為

　
: ${\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]$

其中 $df$ 是 _f_ 的微分。也就是， $df:M\rightarrow T^{*}M$ 是由下式給出的 [1 - 形式]

　
: $df={\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}$ .

這裡， $dx^{a}$ 是餘切叢 $T^{*}M$ 的基向量。這樣，記號 $df(p)\,[X(p)]$ 表示取 _f_（在 _M_ 中的點 _p_）的微分和向量場 _X_（在點 _p_）的內積。

或者，可以先表明 _M_ 上的光滑向量場 _X_ 定義了一個 _M_ 上的單參數曲線族。也就是，可以表明存在曲線 $\gamma (t)$ 在 _M_ 上使得

　
: ${\frac {d\gamma }{dt}}(t)=X(\gamma (t))$

其中 $p=\gamma (0)$ 對於所有 _M_ 中的點 _p_ 成立。這個一階常微分方程式的解的存在性由皮卡 - 林德洛夫定理給出（更一般的，這種曲線的存在性是弗比尼斯定理給出）。然後可以定義李導數為

　
: ${\mathcal {L}}_{X}f(p)={\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\vert _{t=0}$ .

第三個可能的定義可以通過先定義一對向量場的李括號給出。首先注意到切空間的基向量可以寫為 ${\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ ，所以一個向量場，用一組選定的基向量可以表示為

　
: $X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$

定義**李括號** $[X,Y]$ 為

　
: $[X,Y]=X^{a}{\frac {\partial Y^{b}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{b}}}-Y^{a}{\frac {\partial X^{b}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{b}}}$

然後定義向量場 _Y_ 的李導數等於 _X_ 和 _Y_ 的李括號，也就是，

　
: ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ .

根據上面任選的一個定義，其他的定義可被證明為其等價形式。
例如，可以證明，對於一個可微函數 _f_，

　
: ${\mathcal {L}}_{X}(f)=df(X)=X(f)$

並且

　
: $[X,Y]f=X(Y(f))-Y(X(f))$ .

我們用在 1 - 形式 $\omega =\omega _{a}dx^{a}$ 上的李導數的定義來結束本節：

　
: ${\mathcal {L}}_{X}\omega =\left({\frac {\partial \omega _{b}}{\partial x^{a}}}X^{a}+{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\omega _{a}\right)dx^{b}$ .

## 性質

李導數有一些屬性。令 ${\mathcal {F}}(M)$ 為流形 _M_ 上的函數組成的代數。則

　
: ${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)$

是一個在代數 ${\mathcal {F}}(M)$ 上的導數。也就是， ${\mathcal {L}}_{X}$ 是 **R**- 線性的，並且

　
: ${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g$ .

類似的，它是 ${\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)$ 上的一個導數，其中 ${\mathcal {X}}(M)$ 是 _M_ 上的向量場的集合：

　
: ${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$

也可寫為等價形式

　
: ${\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y$

其中張量積符號 $\otimes $ 用於強調函數和向量場的積在整個流形上取。

另外的性質和李括號的一致。所以，例如，作為向量場的導數，

　
: ${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

容易發現上面就是雅可比恆等式。這樣，就可以得到「裝備了李括號的 _M_ 上的向量空間是李代數」的重要結果。

## 和外導數的關係、微分形式的李導數

李導數和外導數密切相關，因此和埃里・嘉當的微分流形理論相關。
兩個都試圖給出導數的思想，其差別幾乎只是記號上的。這個區別可以通過引入**反導數**或等效的內積來消除。
這之後，兩者的關係就體現在一組恆等式上。

令 _M_ 為一個流形，_X_ 為 _M_ 上一個向量場。令 $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$ 為一 _k_+1 - 形式。_X_ 和 ω 的**內積**為

　
: $i_{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})$

注意

　
: $i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)$

以及 $i_{X}$ 是 $\wedge $ - 反導數。也就是， $i_{X}$ 是 **R**- 線性的，並且

　
: $i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )$

對於 $\omega \in \Lambda ^{k}(M)$ 和另一個微分形式 η 成立。另外，對於一個函數 $f\in \Lambda ^{0}(M)$ ，那是一個實或複值
的 _M_ 上的函數，有

　
: $i_{fX}\omega =fi_{X}\omega $

外導數和李導數的關係可以總結為以下這些。對於一般函數 _f_，李導數就是外導數和向量場的內積：

　
: ${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df$

對於一般的微分流形，李導數類似於內積，加上 _X_ 的變化：

　
: ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega )$ .

當 ω 為 1 - 形式，上述恆等式經常寫作

　
: $d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).$

導數的乘積是可分配的

　
: ${\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega $

## 張量場的李導數

在微分幾何中，如果我們有一個 $(p,q)$ 階可微張量場（我們可以把它當作餘切叢 $T^{*}M$ 的光滑截面 $\alpha ,\beta ,\ldots $ 和切線束 $TM$ 的截面 $X,Y,\ldots $ 的線性映射 $T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )$ ），使得對於任何函數 $f_{1},\ldots ,f_{p},f_{p+1},\ldots ,f_{p+q}$ 有

　
: $T(f_{1}\alpha ,f_{2}\beta ,\ldots ,f_{p+1}X,f_{p+2}Y,\ldots )=f_{1}f_{2}\cdots f_{p+1}f_{p+2}\cdots f_{p+q}T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )$ ),

而且如果進一步有一個可微向量場（也就是切線束的一個光滑截面） $A$ ，則線性映射

　
: $({\mathcal {L}}_{A}T)(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )\equiv \nabla _{A}T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )-\nabla _{T(\cdot ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )}\alpha (A)-\ldots +T(\alpha ,\beta ,\ldots ,\nabla _{X}A,Y,\ldots )+\ldots $

獨立於聯絡∇；只要它是無扭率的，事實上，這個映射是一個張量。這個張量稱為 $T$ 關於 $A$ 的**李導數**。

換句話說，如果你有一個張量場 $T$ 和一個由向量場 $U$ 給出的微分同胚的無窮小生成元，則 ${\mathcal {L}}_{U}T$ 就是 $T$ 在這個無窮小微分同胚下的無窮小變化。

或者，給定向向量場 $U$ ，令 ψ 為 $U$ 的積分曲線族，向上面那樣。注意 ψ 是一個局部單參數局部微分同胚群。令 $\psi ^{*}$ 為由 ψ 誘導的拉回（pullback）。則張量 $T$ 在 $p$ 點的李導數如下

　
: ${\mathcal {L}}_{U}T={\frac {d}{dt}}\left(\psi _{t}^{*}T\right)\vert _{\psi (t)=p}$ .

## 參見

* 基靈場
* 李群
* 測地線
* 協變導數
* 聯絡

## 參考

* Jurgen Jost, _Riemannian Geometry and Geometric Analysis_, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 _See section 1.6_.
* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, _Foundations of Mechanics_, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X _See section 2.2_.
* David Bleecker, _Gauge Theory and Variational Principles_, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. _See Chapter 0_.