本构方程

在電磁學裏，為了要應用宏觀馬克士威方程組，必須分別找到 $\mathbf {D} $ 場與 $\mathbf {E} $ 場之間，和 $\mathbf {H} $ 場與 $\mathbf {B} $ 場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。

本構關係式的基礎建立於 $\mathbf {D} $ 場與 $\mathbf {H} $ 場的定義式：

　
: $\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$ 、

　
: $\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)$ ；

其中， $\mathbf {P} $ 是電極化強度， $\mathbf {M} $ 是磁化強度。

本構關係式的一般形式為

　
: $\mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ 、

　
: $\mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ 。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

## 自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：

　
: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} $ 、

　
: $\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$ 。

將這些本構關係式代入宏觀馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威 - 安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

## 線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

　
: $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} $ 、

　
: $\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu $ ；

其中， $\varepsilon $ 是物質的電容率， $\mu $ 是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏觀馬克士威方程組，可以得到方程組

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量 $\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }$ 的方程式為

　
: $\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }=\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \varepsilon \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} $ 。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威 - 安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

## 一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從 $\mathbf {D} $ 場與 $\mathbf {H} $ 場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（transport phenomena）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏觀或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

　
: $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} $ 、

　
: $\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu $ 。

不同的是， $\varepsilon $ 和 $\mu $ 不再是簡單常數，而是函數。例如，

* 色散或吸收： $\varepsilon $ 和 $\mu $ 是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫 - 克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致 $\varepsilon $ 和 $\mu $ 為複值，也導致電磁波被物質吸收。
* 非線性： $\varepsilon $ 和 $\mu $ 都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應和波克斯效應（Pockels effect）。
* 各向異性：例如，雙折射或二向色性（dichroism）。 $\varepsilon $ 和 $\mu $ 都是二階張量：

　
: : $D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j}$ 、

　
: $B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}$ 。

* 雙耦合各向同性（Bi-isotropy）或雙耦合各向異性（Bi-anisotropy）：在雙耦合各向同性物質裏， $\mathbf {D} $ 場與 $\mathbf {H} $ 場分別各向同性地耦合於 $\mathbf {E} $ 場與 $\mathbf {B} $ 場：

　
: : $\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} $ 、

　
: $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} $ ；

　
: 其中， $\xi $ 與 $\zeta $ 是耦合常數，每一種介質的內稟常數。

　
: 在雙耦合各向異性物質裏， $\mathbf {D} $ 場與 $\mathbf {H} $ 場分別各向異性地耦合於 $\mathbf {E} $ 場與 $\mathbf {B} $ 場，係數 $\epsilon $ 、 $\mu $ 、 $\xi $ 、 $\zeta $ 都是張量。

* 在不同位置和時間， $\mathbf {P} $ 場與 $\mathbf {M} $ 場分別跟 $\mathbf {E} $ 場、 $\mathbf {B} $ 場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況， $\mathbf {P} $ 場與 $\mathbf {M} $ 場計算為

　
: : $\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')$ 、

　
: $\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t')$ ；

　
: 其中， $\chi _{\mathrm {e} }$ 是電極化率， $\chi _{\mathrm {m} }$ 是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可以被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（perfect metal），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

## 本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置 $\mathbf {r} $ ，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏觀場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯 - 莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林 - 庫波關係式（Green–Kubo relations）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳 - 普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和納維 - 斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、電漿模型（plasma modeling）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（conglomerate）或疊層材料（laminate）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。

## 參考文獻