月球運動論

**月球運動論**（**Lunar theory**）試圖解釋月球的運動。月球的運動有許多微小的變化（或攝動），人們已經進行了許多嘗試來解釋這些變化。歷史上科學家曾多次嘗試去了解並計算它們，經歷無數次的失敗，這一課題曾經是歷史上的世紀難題。但現在，月球運動已經可以用非常高的精度建模（參見現代發展）。它所達到的精確度水準，也成為測試新物理理論的靈敏儀器。

月球運動論包括：

* 一般理論背景：包括用於分析月球運動並生成預測其運動的公式和演算法的數學技巧；以及
* 定量公式、演算法和幾何圖：通常藉助基於演算法的表格幫助，可用於計算和說明給定時間內月球的位置。

月球運動論已有 2,000 多年的研究歷史。在過去的三個世紀中，它更現代化的發展被用於基本的科學和科技目的，並且仍以這種方式在使用。

## 月球運動論的應用

月球運動論的應用包括下列的這些項目：

* 在 18 世紀，月球運動論和觀測之間的比較，曾被以月球遠地點的運動用於測試牛頓萬有引力定律；
* 在 18 世紀和 19 世紀，航海表以月球運動論為基礎，最初的航海年曆多數以月角距的方法確定在海上的經度。
* 在非常早的 20 世紀，比較月球運動論和觀測被用來作為引力理論的另一種測試，用來測試 (或排除) 西蒙・紐康的建議：著名的水星近日點運動差異或許可以調整牛頓萬有引力的平方反比定律的二階參數來改進，：(最後是廣義相對論成功的解釋差異)。
* 在 20 世紀中葉，在原子鐘發展之前，月球運動論和觀察被用來組合作為天文時間尺度的工具 (曆書時)，以免除不規則的平太陽時；
* 在 20 世紀末葉和 21 世紀初期，發展的現代月球運動論正在使用中，結合高精度觀察，測試廣義相對論和一般物理的正確性，包括強等效原則、相對論重力、測地線進動和重力常數的恆定。
* 當現代的方法 (像是 GPS) 不能使用時，月球的位置配合太陽、明亮的行星和恆星，可以用來為船隻和飛機導航。

## 歷史

月球已經被觀測了數千年，在這些年代中，根據可用的工具，在任何時間都有各種不同程度的關注和精確度。因此月球運動論有相應的悠久歷史：從巴比倫和希臘天文學家，延伸到現代的月球雷射測距。

自古以來，對月球運動論和相關聯的理論有所著墨的天文學家和數學家，包括：

* 巴比倫 / 迦勒底：Naburimannu、Kidinnu、Soudines
* 希臘 / 古希臘：喜帕恰斯、托勒密
* 阿拉伯：Ibn al-Shatir
* 歐洲，16 世紀至 20 世紀初期：
* 第谷・布拉赫
* 克卜勒
* 傑雷米亞・霍羅克斯
* Bullialdus
* 約翰・佛蘭斯蒂德
* 艾薩克・牛頓
* 萊昂哈德・歐拉
* 亞歷克西斯・克勞德・克萊羅
* 讓・勒朗・達朗貝爾
* Tobias Mayer
* J T Bürg
* P S 拉普拉斯
* J K Burckhardt
* P A Hansen
* C Delaunay
* E W Brown
* W J Eckert
* Jean Chapront & Michelle Chapront-Touzé

並且還有其他著名的數學天文學家也做出了重大的貢獻，其中包括：愛德蒙・哈雷、comte de Pontécoulant; J C 亞當斯、G W Hill、和 Simon Newcomb.

這一部分的歷史可以分為三個階段：從古代到牛頓、古典 (牛頓的) 物理時期、和近代的發展。

## 從古代到牛頓

### 月行差

月行差（lunar inequality），或譯「月球均差」。在其它天體的影響下，月球可能偏離通常的軌道，偏離的角偏差量稱爲月行差。
在經度方向上，對月球影響最大的幾種攝動（在經度方向上的貢獻指的是，對於真黃經與平黃經的差值的貢獻）有專門的命名。這幾種均差可以用相應的微分參數表示如下，其中係數四捨五入到 1 角秒 ("):

#### 中心差

月球的中心差（moon's equality of the center，英文也稱爲「elliptic inequality」，「橢圓均差」，或者「great inequality」，「大均差」），古人在古巴比倫和喜帕恰斯以後就已經至少有了近似的瞭解。近代人的認知則是，這種均差對應於克卜勒的橢圓軌道等面積定律，它表示，當月球朝向近地點運動時，它的運動就越來越快；當它朝向遠地點運動時，就越來越慢。這種攝動對月球的經度的效應可以近似寫成若干項的級數，其前三項爲 $+22639''\sin(l)+769''\sin(2l)+36''\sin(3l)$ 。

#### 出差

托勒密已經知道了出差（lunar evection）（或者其近似形式），不過它的名稱和起源要到 17 世紀才爲人所知，其名稱「evection" 是 17 世紀法國天文學家 Ismaël Bullialdus 取的。出差對月球經度的作用週期看起來很奇怪，是 31.8 天。這種均差有若干種表示方法，比如寫成月球近地點位置以約 6 個月爲週期的天平動加上月球軌道偏心率以 6 個月爲週期的脈動。 它的主要項是 $+4586''\sin(2D-l)$ 。

#### 二均差

Tycho Brahe 發現的月球的二均差（variation）是指，當它朝向接近新月或滿月的位置運動時，速度加快，而當它向著半月運動時，速度減慢。
用引力理論對它作出的帶有定量估算的解釋是由牛頓首先給出的。它的主要項是 $+2370''\sin(2D)$ 。

#### 周年差

周年差（annual equation）也是 Brahe 發現的。牛頓把它定性地解釋爲：當地球在 1 月初抵達近日點時，太陽攝動效應最強，月球軌道大小輕微擴張，週期拉長；7 月初抵達遠日點時，太陽攝動效應最弱，月球軌道大小收縮，週期縮短。這個效應導致的主要項的現代值是 $-668''\sin(l')$ 。

#### 月角差

月角差（parallactic inequality）是牛頓首先發現的。因爲太陽到地球的距離並非無限遠，太陽的視差並不爲零，所以上述 Brahe 的周年差還要加上一個小小的不對稱項。
它的效應是，月球公轉在上弦月時略有落後，下弦月時略有超前。它的主要項是 $-125''\sin(D)$ 。

#### 黃白交角導致的均差

由於將月球運動簡化成了黃道面內的運動造成的均差（reduction to the ecliptic）。月球運動的白道面本來相對黃道面有約 5 度的傾角，忽略黃白交角而把月球的位置表達爲黃道面中的經度，就會產生這種幾何效應。它的主要項是 $-412''\sin(2F)$ 。

在 18 世紀中期，分析這一問題的學者把對月球黃緯位置的攝動表達爲 25 到 30 個三角級數的項。而到了 19 和 20 世紀，理論表述發生了很大變化，這麼少的項已經跟不上時代了。20 世紀初對月球位置所追求的精度所需項的數目超過了 1400 個；而要模擬到現代基於雷射測距所做數值積分的精度，所需的項的數目已經上萬：只要對經度的要求還在增長，所需要的項的數目的增加是沒有極限的。

## 註解和參考資料

## 書目

* 'AE 1871': "Nautical Almanac & Astronomical Ephemeris" for 1871 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (London, 1867).
* E W Brown (1896), "An Introductory Treatise on the Lunar Theory", (Cambridge University Press, 1896).
* E W Brown (1903), "On the verification of the Newtonian law", Monthly Notes of the Royal Astronomical Society 63 (1903), 396-397.
* E W Brown (1919), "Tables of the Motion of the Moon", (New Haven, 1919).
* M Chapront-Touzé & J Chapront: "The lunar ephemeris ELP-2000", _Astronomy & Astrophysics_ **124** (1983), 50..62.
* M Chapront-Touzé & J Chapront: "ELP2000-85: a semi-analytical lunar ephemeris adequate for historical times", _Astronomy & Astrophysics_ **190** (1988), 342..352.
* M Chapront-Touzé & J Chapront, _Analytical Ephemerides of the Moon in the 20th Century_ (Observatoire de Paris, 2002).
* J Chapront , M Chapront-Touzé , G Francou: "A new determination of lunar orbital parameters, precession constant and tidal acceleration from LLR measurements" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _Astronomy & Astrophysics_ **387** (2002), 700..709.
* J Chapront & G Francou: "The lunar theory ELP revisited. Introduction of new planetary perturbations", _Astronomy & Astrophysics_ **404** (2003), 735..742.
* I B Cohen and Anne Whitman (1999), "Isaac Newton: The Principia, a new translation", University of California Press, 1999. (For bibliographic details but no text, see external link （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.)
* J O Dickey, P L Bender, J E Faller, and others, "Lunar Laser Ranging: A Continuing Legacy of the Apollo Program" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _Science_ 265 (1994), pp. 482–490.
* J L E Dreyer (1906), "A History of Astronomy from Thales to Kepler" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (Cambridge University Press, 1906) (later republished under the modified title "History of the Planetary Systems from Thales to Kepler").
* W J Eckert et al., _Improved Lunar Ephemeris 1952-1959: A Joint Supplement to the American Ephemeris and the (British) Nautical Almanac_, (US Government Printing Office, 1954).
* J Epping & J N Strassmaier (1881), "Zur Entzifferung der astronomischen Tafeln der Chaldaer" ("On the deciphering of Chaldaean astronomical tables"), _Stimmen aus Maria Laach_, vol.21 (1881), pp. 277–292.
* 'ESAE 1961': 'Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac' ('prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America'), London (HMSO), 1961.
* K Garthwaite, D B Holdridge & J D Mulholland (1970), "A preliminary special perturbation theory for the lunar motion" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _Astronomical Journal_ 75 (1970), 1133.
* H Godfray (1885), "Elementary Treatise on the Lunar Theory", (London, 1885, (4th ed.)).
* Andrew Motte (1729a) (translator), "The Mathematical Principles of Natural Philosophy, by Sir Isaac Newton, translated into English", Volume I, containing Book 1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Andrew Motte (1729b) (translator), "The Mathematical Principles of Natural Philosophy, by Sir Isaac Newton, translated into English", Volume II, containing Books 2 and 3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (with Index, Appendix containing additional (Newtonian) proofs, and "The Laws of the Moon's Motion according to Gravity", by John Machin).
* J D Mulholland & P J Shelus (1973), "Improvement of the numerical lunar ephemeris with laser ranging data" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _Moon_ 8 (1973), 532.
* O Neugebauer (1975), "A History of Ancient Mathematical Astronomy" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (in 3 volumes), (New York (Springer), 1975).
* X X Newhall, E M Standish, J G Williams (1983), "DE102: A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, _Astronomy and Astrophysics_ 125 (1983), 150.
* U S Naval Observatory (2009), History of the Astronomical Almanac （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* J G Williams et al. (1972) 'Making solutions from lunar laser ranging data', _Bulletin of the American Astronomical Society (1972), 4Q, 267._
* J.G.Williams, S.G.Turyshev, and D.H.Boggs, "Progress in Lunar Laser Ranging Tests of Relativistic Gravity" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Physical Review Letters, 93 (2004), 261101.
* R Taton & C Wilson (eds.), _Planetary astronomy from the Renaissance to the rise of astrophysics, part A: Tycho Brahe to Newton_, (Cambridge University Press, 1989), at pp. 194–195.