旋轉不變性

在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為**旋轉不變性**（rotational invariance），或**旋轉對稱性**（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以 xyz - 參考系的原點為固定點，任意旋轉 xyz - 參考系，而函數 $f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的數值保持不變，因此，函數 $f(x,\,y,\,z)$ 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。

## 球對稱位勢範例

### 哈密頓算符的旋轉不變性

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，其哈密頓算符 $H$ 可以表示為

　
: $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $r$ 是徑向距離。

現在，以 z - 軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x - 軸與 y - 軸 $\theta $ 角弧，則新直角坐標 $\mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')$ 與舊直角坐標的關係式為

　
: $x'=x\cos \theta -y\sin \theta $ 、

　
: $y'=x\sin \theta +y\cos \theta $ 、

　
: $z'=z$ 。

偏導數為

　
: ${\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

　
: ${\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

　
: ${\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}$ 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：

　
: $\nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}$ 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：

　
: $r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r$ ，

旋轉之後，新的哈密頓算符 $H'$ 是

　
: $H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H$ 。

所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

### 角動量守恆

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 $R$ 為一個對於 z - 軸的無窮小旋轉 $\delta \theta $ 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為

　
: $\sin \delta \theta \approx \delta \theta $ 、

　
: $\cos \delta \theta \approx 1$ 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

　
: $x'\approx x-y\delta \theta $ 、

　
: $y'\approx x\delta \theta +y$ 、

　
: $z'=z$ 。

將 $R$ 作用於波函數 $\psi (x,\,y,\,z)$ ，

　
: $R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)$ ；

其中， $L_{z}$ 是角動量的 z - 分量， $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ 。

所以，旋轉算符 $R$ 可以表達為

　
: $R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}$ 。

假設 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 是哈密頓算符的能級本徵態，則

　
: $H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 。

由於 $\mathbf {r} $ 只是一個虛設變數，

　
: $H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

在做一個微小旋轉之後，

　
: $RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 、

　
: $HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

所以， $(RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0$ 。哈密頓算符的能級本徵態 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 形成一組完備集 (complete set)，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

　
: $[R,\,H]=0$ 。

因此，

　
: $[L_{z},\,H]=0$ 。

根據埃倫費斯特定理， $L_{z}$ 的期望值對於時間的導數是

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle $ 。

所以，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle $ 。

由於 $L_{z}$ 顯性地不含時間，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0$ 。

總結， $\langle L_{z}\rangle $ 不含時間， $L_{z}$ 是個運動常數。角動量的 z - 分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

## 參閱

* 各向同性
* 軸對稱
* 明顯對稱性破缺
* 馬克士威定理 (Maxwell's theorem)

## 參考文獻

* Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.
* Stenger, Victor J. (2000). _Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes_. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。