无穷限广义积分

**廣義積分**，又稱為**瑕積分**、**異常積分**（英語：Improper integral ），是對普通定積分的推廣。

廣義積分可以分成兩類，第一類又稱為**無窮積分**，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為**瑕積分**，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

## 第一類瑕積分

### 定義

第一類瑕積分是**無窮積分**，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的積分。數學定義如下：

設函數 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上連續且可積。定義無窮積分：

　
: $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{a}^{u}f(x)\,dx$ 。

類似的，設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty ,a]$ 上連續且可積。定義無窮積分：

　
: $\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx$ 。

當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

　
: $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1$ ；

　
: $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty $ ，即發散；

　
: $\int _{1}^{\infty }x\sin x\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}x\sin x\,dx$ ，振動發散。

### 推廣定義

第一類瑕積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上連續且可積。定義無窮積分：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\lim _{v\to +\infty }\int _{u}^{v}f(x)\,dx$ 。

或者取區間上任意一點 $c$ ，分拆寫成：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx$ 。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}xe^{-x^{2}}\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}xe^{-x^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=0$ ；

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}x\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}x\,dx=-\infty +\infty $ ，即發散。

### 與柯西主值的聯繫

在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值：

　
: $\mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx$ 。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

　
: $\mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx=0$ 。

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

## 第二類瑕積分

### 定義

第二類瑕積分是**瑕積分**，指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下：

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上連續且可積，但在點 $a$ 不連續。定義瑕積分：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{b}f(x)\,dx$ 。

類似的，設函數 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上連續且可積，但在點 $b$ 不連續。定義瑕積分：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to b^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx$ 。

當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

　
: $\int _{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\lim _{u\to 3^{-}}\int _{0}^{u}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=2{\sqrt {3}}$ ；

　
: $\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{+}}\int _{u}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=+\infty $ ，即發散。

### 推廣定義

第二類瑕積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續且可積，但在點 $a$ 及 $b$ 不連續。定義瑕積分：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\lim _{v\to b^{-}}\int _{u}^{v}f(x)\,dx$ 。

或者取區間上任意一點 $c$ ，分拆寫成：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx$ 。

設函數 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$ 上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。定義瑕積分：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}f(x)\,dx$ 。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

　
: $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=6$ ；

　
: $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=-\infty +\infty $ ，即發散。

### 與柯西主值的聯繫

在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上連續且可積，但在點 $a$ 及 $b$ 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

　
: $\mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx$ ；

設函數 $f(x)$ 在 $[a,c)$ 及 $(c,b]$ 上連續且可積，但在點 $c$ 不連續。定義瑕積分的柯西主值：

　
: $\mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]$

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

　
: $\mathrm {PV} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,dx=0$ 。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

## 參考文獻

* 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
* Weisstein, Eric W. _Improper Integral._ From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Weisstein, Eric W. _Cauchy Principal Value._ From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* 積分
* 極限
* 柯西主值