无限循环小数

**循環小數**，也稱為**無限循環小數**，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

## 定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

$$
{5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}
$$

$$
{1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}
$$

$$
{1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}
$$

## 性質

* 一個分母為 n 的循環小數的循環節位數最多不超過 n-1 位。若該數為質數，循環節位數一定是 N-1 的因數（參見：費馬偽質數）。為了證明這點，可用反證法。假設 $n$ 的循環節為 m，令 m>n。將 1/n 乘以 10，循環往復操作，會得到不同的餘數。根據餘數定義，餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為 0 的時候是整數而非循環小數，所以只有 n-1 種循環節。若長度為 m 為，則必有 (m-n+1) 種循環節無法輪替，所以一個分母為 n 的循環小數的循環節位數最多不超過 n-1 位。
* 根據分數 ${\frac {b}{a}}$ 的情況分開討論

　
: : 1. 除數 a 為 $2^{m}\times 5^{n}\times K$ 的倍數時， $b\div a$ 有 max (m,n) 個不循環位數，其中 $b$ 為任意自然數， $K$ 為非 $2^{m},5^{n}$ 之其他數。

　
: 2. 如果 $1\leqslant b<a$ ，a 不是 2 或 5 的倍數，並且 a 與 b 互質，那麼存在一個正整數 e，e 為 $b\div a$ 的循環節位數，而 e= $\operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}$ 。

　
: : $10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}$ 表示 $10^{e}-1$ 可以整除 a，或稱 $10^{e}$ 與 1 同餘）

　
: 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: ${\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}$ 來看， $b>a$ 也成立，例如 ${\frac {2}{7}}$ 與 ${\frac {9}{7}}$ ，兩者循環小數一致，因為 ${\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}$ ，只差別在商，餘數皆為 1 (同餘) 故成立。

　
: 3. 承接以上兩點，當除數 a 可以質因數標準分解式表示成 $(2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times $ ⋯ $\times Pn^{Sn})$ 時，會有 max (m,n) 個不循環位數，和 $E$ 個循環節位數。

　
: : 其中， $P1^{S1}$ , $P2^{S2}$ ,⋯, $Pn^{Sn}$ 分別各有 e1,e2,...,en 個循環節位數，存在一個最小公倍數 $E=[$ e1,e2,...,en $]$ 。

　
: 例： ${\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}$ 的循環節個數？

　
: 答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為 $3^{2}$ 的循環節位數為 1，7 的循環節位數為 6，17 的循環節位數為 16，[1,6,16]=48）

## 化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取 (log (x))))-1)
(可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

1. 先看有幾位「非循環節位數（ ${\color {blue}n\,\!}$ ）」和「循環節位數（ ${\color {red}m\,\!}$ ）」，算出後，將 ${{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}$ 擺於「**分母**」。
2. 「**分子**」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即 $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ ，詳細公式如下。
3. 公式： $0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$
4. 原理：
  1. 令 $x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ 。
  2. 則 $10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ ──①式。
  3. $10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ ──②式。
  4. ②－①⇒ $\left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ 。
  5. ${\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}$ 。
5. 範例： $0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}$ 。
  1. 令 $x=0.1{\overline {23}}$
  2. 則 $10x=1.{\overline {23}}$ 、 $1000x=123.{\overline {23}}$
  3. 兩式相減得 $\left(1000-10\right)x=123-1$ ， $990x=122\,\!$
  4. ∴ $x={\frac {61}{495}}$ 。

## 計算方法

利用短除法可以將分數 (有理數， $\mathbb {Q} $ ) 轉化為循環小數。

例如 ${\frac {3}{7}}$ 可以用短除法計算如下：

```
7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...
```

## 表示方法

在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。

* 使用「**上橫線**」表示，如：

$$
{1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}
$$

* 使用「**上點**」表示，如：

$$
{1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}
$$

* 使用「**大括號**」表示，如：

$$
{1 \over 70}=0.0\{142857\}
$$

## 缺點

### 不唯一性

使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如 $1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots $

### 與進位制系統密切相關

由於循環小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如： ${1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}$

但在某些進位制當中反而因為循環節較短，使得看起來相當簡單。如 ${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}$

又或 ${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$

## 參考資料

## 參見

* 0.999…
* Midy 定理

## 外部連結