扁球面坐標系

**扁球面坐標系**（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz - 平面；兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的直角坐標分別為 $(-a,\ 0,\ 0)$ 與 $(a,\ 0,\ 0)$ 。將橢圓坐標系繞著 z - 軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著 y - 軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 $a$ 的圓圈，包含於三維空間的 xy - 平面。稱這圓圈為**焦圓**，又稱為**參考圓**。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓・佩蘭因此而榮獲 1926 年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

## 第一種表述

在三維空間裏，一個點 P 的扁球面坐標 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 常見的定義是

　
: $x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi $ 、

　
: $y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi $ 、

　
: $z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu $ 。

其中， $\mu \geq 0$ 是個實數，角度 $-90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }$ ，角度 $-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$ 。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

### 坐標曲面

 $\mu $ 坐標曲面是扁球面 ：

　
: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$ 。

它們是由橢圓繞著 z - 軸旋轉形成的。橢球面與 xz - 平面的相交，是一個的橢圓。沿著 x - 軸，長半軸長度為 $a\cosh \mu $ ，沿著 z - 軸，短半軸長度為 $a\sinh \mu $ 。橢圓的焦點都包含於 x - 軸，x - 坐標分別為 $\pm a$ 。

 $\nu $ 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

　
: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$ 。

假若 $\nu $ 是正值， $z$ 也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在 xy - 平面以上；假若是負值，則在 xy - 平面以下。 $\nu $ 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在 x - 軸，x - 坐標分別為 $\pm a$ 。

 $\phi $ 坐標曲面是個半平面 ：

　
: $x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

### 逆變換

用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來計算扁球面坐標 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ ，方位角 $\phi $ 的公式為

　
: $\tan \phi ={\frac {y}{x}}$ 。

設定 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 分別為點 P 與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

　
: $d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}$ 、

　
: $d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}$ 。

坐標 $\mu $ 和 $\nu $ 的方程式分別為

　
: $\cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}$ 、

　
: $\cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}$ 。

### 標度因子

扁球面坐標 $\mu $ 與 $\nu $ 的標度因子相等：

　
: $h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$ 。

方位角 $\phi $ 的標度因子為

　
: $h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu $ 。

無窮小體積元素是

　
: $dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ 、 $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

## 第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標 $(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$ ；其中， $\zeta =\sinh \mu $ ， $\xi =\sin \nu $ 。 $\zeta $ 坐標曲面是個扁球面， $\xi $ 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

　
: $x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi $ 、

　
: $y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi $ 、

　
: $z=a\zeta \xi $ 。

其中，實數 $0\leq \zeta <\infty $ ，實數 $-1\leq \xi <1$ ，角度 $-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$ 。

### 標度因子

扁球面坐標 $(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$ 的標度因子分別為：

　
: $h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}$ 、

　
: $h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}$ 、

　
: $h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}$ 。

無窮小體積元素是

　
: $dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}$ 。

## 第三種表述

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ ：

　
: $\sigma =\cosh \mu $ 、

　
: $\tau =\cos \nu $ 、

　
: $\phi =\phi $ 。

坐標 $\sigma $ 必須大於或等於 1。坐標 $\tau $ 必須在正負 1 之間。 $\sigma $ 坐標曲面是扁球面。 $\tau $ 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 $\nu $ 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 $(x,\ y,\ \pm z)$ 映射至一組扁球面坐標系 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ ）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

　
: $x=a\sigma \tau \cos \phi $ 、

　
: $y=a\sigma \tau \sin \phi $ 、

　
: $z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$ 。

坐標 $\sigma $ 與 $\tau $ 有一個簡單的公式來表達任何一點 P 與焦圓的最遠距離 $d_{1}$ ，最近距離 $d_{2}$ ：

　
: $d_{1}+d_{2}=2a\sigma $ 、

　
: $d_{1}-d_{2}=2a\tau $ 。

所以，點 P 與焦圓的最遠距離是 $a(\sigma +\tau )$ ，點 P 與焦圓的最近距離是 $a(\sigma -\tau )$ 。

### 坐標曲面

 $\sigma $ 坐標曲面是扁球面 ：

　
: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1$ 。

 $\tau $ 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

　
: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1$ 。

 $\phi $ 坐標曲面是半個平面 ：

　
: $x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

### 標度因子

扁球面坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 的標度因子分別為：

　
: $h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}$ 、

　
: $h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$ 、

　
: $h_{\phi }=a\sigma \tau $ 。

無窮小體積元素是

　
: $dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ 、 $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球**諧函數**的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

## 參閱

## 參考文獻

## 參考目錄

### 不按照命名常規

* Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用 $\xi _{1}=a\sinh \mu $ 、 $\xi _{2}=\sin \nu $ 、 $\xi _{3}=\cos \phi $ 。
* Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953)，採用 $u_{k}$ 來替代 $\xi _{k}$ 。
* Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用混合坐標 $\xi =a\sinh \mu $ 、 $\eta =\sin \nu $ 、 $\phi =\phi $ 。

### 按照命名常規

* Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 採用第一種表述 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 。
* Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961)，但採用**餘緯度** $\theta =90^{\circ }-\nu $ 來替代緯度 $\nu $ 。
* Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta =90^{\circ }-\nu $ ，又改名 $\phi $ 為 $\psi $ 。

### 特異命名常規

* Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link) 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。