拓扑可区分性

在拓撲學中，拓撲空間 _X_ 內的兩點若有完全相同的鄰域，便稱這兩個點為「**拓撲不可區分的**」。亦即，設 _x_ 及 _y_ 為 _X_ 內的兩點，_A_ 為由所有包含 _x_ 的鄰域所組成的集合，且 _B_ 為由所有包含 _y_ 的鄰域所組成的集合，則 _x_ 及 _y_ 為「拓撲不可區分的」若且唯若 _A_ = _B_。

直觀上來說，若 _X_ 的拓撲無法分辨之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

若 _X_ 內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「**拓撲可區分的**」。這表示存在只包含兩點之中的其中一點的開集（或等價地說，存在只包含兩點之中的其中一點的閉集），而這個開集則可以用來使兩個點可以區分。T0 空間是一個拓撲空間，其中任意兩個相區別的點都是拓撲可區分的。這是分離公理中最弱的一個限制條件。

拓撲不可區分性會在拓撲空間 _X_ 上定義出一個等價關係。設 _x_ 和 _y_ 為 _X_ 內的兩個點，若 _x_ 和 _y_ 為拓撲不可區分的，便標記成 _x_ ≡ _y_；_x_ 的等價類則標記為 [_x_]。

## 例子

對 T0 空間（特別是豪斯多夫空間）而言，拓撲不可區分的概念是沒有意義的，因此若要尋找有趣的例子，必須要在非 T0 空間中才行。另一方面，由於正則性和正規性並不蘊涵 T0，所以可以找到一些有這些性質的例子。事實上，下面給出的例子就幾乎都是完全正則的。

* 在不可分空間中，任意兩個點都是拓撲不可區分的。
* 在偽度量空間中，兩點是拓撲不可區分的，若且唯若在兩點之間的距離為零。
* 在半賦範向量空間中，_x_ ≡ _y_ 若且唯若‖_x_ − _y_‖ = 0。
  * 舉例來說，設 _L_2（R）是一個拓撲空間，由所有從 R 映射至 R 的平方可積的可測函數所組成（詳見 _L_p 空間）。則在 _L_2（R）內，函數 _f_ 及 _g_ 為拓撲不可區分的，若且唯若兩個函數幾乎處處相等。
* 在拓撲群中，_x_ ≡ _y_，若且唯若 _x_−1_y_ ∈ cl{_e_}，這裡的 cl {_e_} 為當然子群的閉包；而其等價類則為 cl {_e_} 的陪集（cl {_e_} 總會是個正規子群）。
* 一致空間推廣了偽度量空間和拓撲群。在一致空間中，_x_ ≡ _y_ 若且唯若有序對 (_x_, _y_) 屬於所有周圍（entourage）。所有周圍的交集正是用 _X_ 上拓撲不可區分性來定義的等價關係。
* 設 _X_ 有關於函數族 $\{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}$ 的初拓撲。_X_ 中兩個點 _x_ 和 _y_ 是拓撲不可區分的，如果 $f_{\alpha }$ 族不區分它們（就是說對所有 $\alpha $ ， $f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)$ ）。
* 給定集合 _X_ 上的任何等價關係，存在 _X_ 上的拓撲，它的拓撲不可區分概念一致於這個等價關係。你可以簡單選取這個等價關係為這個拓撲的基。這叫做 _X_ 上的劃分拓撲。

## 特殊化預序

在空間 _X_ 上的拓撲不可區分性可以從在 _X_ 上的叫做特殊化預序的自然預序來復原。對於 _X_ 中的點 _x_ 和 _y_ 這個預序定義為

　
: _x_ ≤ _y_ 若且唯若 _x_ ∈ cl{_y_}

這裡的 cl {_y_} 指示 {_y_} 的閉包。等價的說，_x_ ≤ _y_ 如果 _x_ 的鄰域系統，指示為 _N_x，被包含在 _y_ 的鄰域系統內：

　
: _x_ ≤ _y_ 若且唯若 _N_x ⊂ _N_y。容易看出在 _X_ 上的這個關係是自反的和傳遞的，所以定義了預序。但是一般的說，這個預序不是反對稱的。實際上，確定自≤的等價關係完全就是拓撲不可區分性的關係：

　
: _x_ ≡ _y_ 若且唯若 _x_ ≤ _y_ 並且 _y_ ≤ _x_。

拓撲空間被稱為對稱（或 R0）的，如果特殊化預序是對稱的（就是說 _x_ ≤ _y_ 蘊涵 _y_ ≤ _x_）。在這種情況下，關係≤和≡是同一的。拓撲不可區分性在這些空間中表現良好並易於理解。注意這類空間包括所有正則空間和完全正則空間。

## 性質

### 等價條件

有很多確定兩個點是拓撲不可區分的等價方式。設 _X_ 是拓撲空間並設 _x_ 和 _y_ 是 _X_ 的點。把 _x_ 和 _y_ 的閉包分別指示為 cl {_x_} 和 cl {_y_}，並把它們的鄰域系統分別指示為 _N_x 和 _N_y。則下列陳述是等價的：

* _x_ ≡ _y_
* 對於每個 _X_ 中的開集 _U_，要麼 _U_ 包含 _x_ 和 _y_ 二者要麼都不包含
* _N_x = _N_y
* _x_ ∈ cl{_y_} 並且 _y_ ∈ cl{_x_}
* cl{_x_} = cl{_y_}
* _x_ ∈ ∩_N_y 並且 _y_ ∈ ∩_N_x
* ∩_N_x = ∩_N_y
* _x_ ∈ cl{_y_} 並且 _x_ ∈ ∩_N_y
* _x_ 屬於包含 _y_ 的所有開集和所有閉集
* 網或濾子會聚於 _x_ 若且唯若它會聚於 _y_

這些條件可以在 _X_ 是對稱空間的情況下簡化。對於這些空間 (特別是正則空間)，下列陳述是等價的：

* _x_ ≡ _y_
* 對於每個開集 _U_，如果 _x_ ∈ _U_ 則 _y_ ∈ _U_
* _N_x ⊂ _N_y
* _x_ ∈ cl{_y_}
* _x_ ∈ ∩_N_y
* _x_ 屬於包含 _y_ 的所有閉集
* _x_ 屬於包含 _y_ 的所有開集
* 所有會聚於 _x_ 的網或濾子會聚於 _y_

### 等價類

要討論 _x_ 的等價類，為了方便，首先定義 _x_ 的上閉集合和下閉集合。它們都是關於上述特殊化預序而定義的。

_x_ 的下部集合就是 {_x_} 的閉包：

　
: $\mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}$ ，而 _x_ 上部集合是在 _x_ 的鄰域系統的交集：

　
: $\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}$ 。

_x_ 的等價類接著給出為交集

　
: $[x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}$ 。

因為↓_x_ 是包含 _x_ 的所有閉集的交集而↑_x_ 是包含 _x_ 的所有開集的交集，等價類 [_x_] 是包含 _x_ 的所有開集和閉集的交集。

cl{_x_} 和∩_N_x 二者都包含等價類 [_x_]。一般的說，兩個集合都會包含額外的點。但是在對稱空間中 (特別是在正則空間中)，這三個集合是一致的：

　
: $[x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}$ 。一般的說，等價類 [_x_] 會是閉集，若且唯若這個空間是對稱的。

### 連續函數

設 _f_ : _X_ → _Y_ 是連續函數。則對於任何 _X_ 中的 _x_ 和 _y_ 有

　
: _x_ ≡ _y_ 蘊涵 _f_(_x_) ≡ _f_(_y_)。逆命題一般為假 (T0 空間有是平凡的商)。逆命題在 _X_ 有引發自 _f_ 的初拓撲的條件下為真。更一般的說，如果 _X_ 有引發自映射族 $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ 的初拓撲則

　
: _x_ ≡ _y_ 若且唯若 _f_α(_x_) ≡ _f_α(_y_) 對於所有 α。可得出在乘積空間中兩個元素是拓撲不可區分的，若且唯若每個它們的分量都是拓撲不可區分的。

## 柯爾莫果洛夫商空間

因為拓撲不可分別性是在任何拓撲空間 _X_ 上的等價關係，我們可以形成商空間 _KX_ = _X_/≡。空間 _KX_ 被叫做柯爾莫哥洛夫商空間或 _X_ 的 T0 同一。事實上，空間 _KX_ 是 T0（就是說所有點都是拓撲可區分的）。此外，通過商映射的特徵性質，任何從 _X_ 到 T0 空間的連續映射 _f_ : _X_ → _Y_ 通過商映射 _q_ : _X_ → _KX_ 而因子化。

儘管商映射 _q_ 一般不是同胚（因為它一般不是單射），它確實引發在 _X_ 的拓撲和 _KX_ 的拓撲之間的雙射。直覺上說，柯爾莫果洛夫商不改變一個空間的拓撲。它只將點集精簡化，直到點都成為拓撲可區分的。

## 參見

* T0 空間
* 特殊化預序
* 不可區分者的同一性