拉比周期

在物理學中，**拉比週期**是在振盪外場中的二能階量子體系的週期性行為。一個二能階系統具有兩個可能的狀態，如果狀態不是簡併的，當吸收一份能量以後，體系可以被激發。

這種效應在量子光學、核磁共振和量子計算中非常重要，它是以伊西多・伊薩克・拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

當一個原子（或者其它二能階體系）被一束相干光照射的時候，它將週期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來，這樣一個週期稱為拉比週期，它的倒數稱為拉比頻率。

這種機制是量子光學的基礎，其模型的建立可以依據傑恩斯 - 卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能階原子（該原子的電子可以處於激發態或者基態），利用布洛赫方程式可以得到，原子處於激發態的機率為 $|c_{b}(t)|^{2}=\sin(\omega t/2)^{2}\,$ ，其中 $\omega \,$ 為拉比頻率。

更一般地，可以考慮一個沒有本徵態的二能階體系，如果這個體系初態位於其中一個能階，時間演化將導致每個能階的態密度按照某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。

## 數學處理

拉比效應的數學細節請參見拉比問題。 例如，若將電磁場頻率調至激發能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之電子可以處於激發態或基態），那麼處於激發態原子之機率可以從 Bloch 方程式得出：

$$
|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)
$$

 $\omega $ 是拉比頻率。

更一般而言，我們可以考慮一種，兩個能階都不是能量本徵態的系統 。因此，如果在其中一個能階對系統初始化，則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。 該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量 ，這意味著每個狀態向量 $\vert \psi \rangle $ 是以標準的複數坐標表示。

 $|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$ $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是坐標。 

如果向量歸一化， $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的關聯為 ${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ 。 基向量表示為 $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ 和 $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

所有與該系統相關的可觀測物理量均為 2 $\times $ 2 埃爾米特矩陣 ，這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。

## 如何在量子系統中準備振盪實驗

可以透過以下步驟建構振盪實驗： 

1. 準備系統，使之處於固定狀態；例如 $|1\rangle $
2. 在哈密頓量 H 下_，_讓態隨時間 t 自由演化
3. 求出狀態為 $|1\rangle $ 的機率 P (t)

如果 $|1\rangle $ 是 H 的本徵態且 P (t)=1 ，那麼就不會產生振盪。此外，如果兩個態 $|0\rangle $ 和 $|1\rangle $ 皆為簡併態，那麼包括 $|1\rangle $ 在內的所有態皆為 H 的本徵態。因此也不會產生振盪。

另一方面，若 H 無簡併本徵態，且初態不是本徵態，則振盪將會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

> 
> $$
> \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}
> $$
> 
> 
> 
> 

 $a_{0},a_{1},a_{2}$ 和 $a_{3}$ 是實數。 這個矩陣可以分解為 

> 
> $$
> \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};
> $$
> 
> 
> 
> 

 $\sigma _{0}$ 是 2 $\times $ 2 單位矩陣， $\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$ 是包立矩陣 。 尤其是在與時間無關的情況下，這種分解能夠簡化系統分析，其中 $a_{0},a_{1},a_{2}$ 和 $a_{3}$ 是常數。考慮置於磁場 $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} $ 之中的自旋 1/2 粒子。該系統的交互作用能量算符為

> 
> $$
> \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ ， $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}
> $$
> 
> 
> 
> 

 $\mu $ 是粒子磁矩的大小， $\gamma $ 是旋磁比 ， ${\boldsymbol {\sigma }}$ 是包立矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是 $\sigma _{3}$ ，而 $|1\rangle $ 和 $|2\rangle $ 具有對應的本徵值 $E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ 。 我們可以在系統處於狀態 $|\psi \rangle $ 下，給出找到任意狀態 $|\phi \rangle $ 之機率 ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$ 。在 $t=0$ 的時刻，讓系統處於準備狀態 $\left|+X\right\rangle $ 。 注意到 $\left|+X\right\rangle $ 是 $\sigma _{1}$ 的本徵態 ： 

> 
> $$
> |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}
> $$
> 
> 
> 
> 

此處的哈密頓量與時間無關。 因此，透過求解平穩的薛丁格方程式，在經過時間 t 之後，狀態演變為 $\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle $ ，帶有系統總能量 $E$ 。
因此經過時間 t 之後，狀態成為： 

> 
> $$
> |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle
> $$
> 
> 
> 
> 

現在假設在 t 時刻，對 x 方向上的自旋進行測量。 下式給出測量到自旋向上的機率：

> 
> $$
> {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),
> $$
> 
> 
> 
> 

 $\omega $ 是特徵角頻率，假設 $E_{-}\geq E_{+}$ 的情形，給定 $\omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B$ 。 在這種情況下，當系統最初自旋是在 $\left|+X\right\rangle $ 方向，那麼 x 方向發現自旋向上的機率會隨著時間 $t$ 而振盪。 同樣，如果我們測量 $\left|+Z\right\rangle $ 方向，那麼所測量到的系統自旋為 ${\tfrac {\hbar }{2}}$ 之機率為 ${\tfrac {1}{2}}$ 。在 $E_{+}=E_{-}$ 簡併情形下 ，特徵頻率為 0，無振盪發生。

留意到，如果系統處於給定哈密頓量的本徵態，則系統將維持在該狀態，保持不變。

這同樣也適用於時間相依的哈密頓函數。 以 ${\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)$ 為例；如果系統的初始自旋狀態為 $\left|+Y\right\rangle $ ，那麼在 $t$ 時刻，自旋在 y 方向測量結果為 $+{\tfrac {\hbar }{2}}$ 之機率為 ${\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)$ 。  

## 以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式

考慮以下形式的哈密頓量

> 
> $$
> {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.
> $$
> 
> 
> 
> 

該矩陣的特徵值為

>  $\lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$ ， $\lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}$ 。
> 
> 

此處 $\mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}$ ， ${\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}$ 。因此我們可以取 $\mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }$ 。

現在，由方程式 : ${\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$ ，我們可以得到 $E_{+}$ 的特徵向量。

因此， $b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}$ 。

對特徵向量採用歸一化條件 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1$ 。

因此 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1$ 。

令 $\sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$ ， $\cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$ 。所以 $\tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}$ 。

我們得到 ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1$ ，即 ${\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$ 。取任意相角 $\phi $ ，我們可以寫下 $a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$ . 同理可證， $b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$ 。

所以特徵值 $E_{+}$ 之特徵向量為 $\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}$ 。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 $\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle $ 。

類似地，特徵能量 $E_{-}$ 之特徵向量為 $\left|E_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle $ 。

從這兩個方程式，我們可以寫出

$$
\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle
$$

 $\left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle $ 。

假設系統開始時在時刻 $t=0$ 的狀態是 $|0\rangle $ ，也就是說， $\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle $ 。經過時間 t 之後，狀態演變為

 $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle $ 。

如果系統處於 $|E_{+}\rangle $ 或 $|E_{-}\rangle $ 之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻 t 處於狀態 $|1\rangle $ 的機率幅為 $\left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)$ 。

系統當前處於 $|\psi (t)\rangle $ ，而之後處於任意態 $|1\rangle $ 的機率為

> 
> $$
> {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}
> $$
> 
> 
> 
> 

這可以簡化為

>  $P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$ .........(1)
> 
> 

這表明， 當系統最初處於狀態 $|0\rangle $ 時，該系統最終處於狀態 $|1\rangle $ 的機率是有限的。機率是以角頻率 $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}$ 振盪，而 $\omega $ 是系統唯一的波耳頻率，又稱為拉比頻率。而式子 (1) 亦可稱為拉比公式。在時間 t 之後，系統處於狀態 $|0\rangle $ 的機率為 ${|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$ ，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如微中子振盪、電離氫分子、量子計算、氨邁射等等。

## 量子計算中的拉比振盪

任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋 ${\tfrac {1}{2}}$ 系統，將磁矩 ${\boldsymbol {\mu }}$ 置於古典磁場 ${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$ 之中。令系統旋磁比 $\gamma $ ，因此磁矩 ${\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}$ ，可以給出該系統的哈密頓量 $\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)$ ，此處 $\omega _{0}=\gamma B_{0}$ ， $\omega _{1}=\gamma B_{1}$ 。

透過上述步驟，我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在，讓量子位元在 $t=0$ 時刻處於量子態 $|0\rangle $ ，那麼，在 $t$ 時刻，量子位元處於量子態 $|1\rangle $ 的機率為 $P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)$ $\Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}$ ，這種現象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態 $|0\rangle $ 和 $|1\rangle $ 之間振盪。振盪的振幅會在 $\omega =\omega _{0}$ 達到最大，而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為 $P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)$ ，要從一個量子態 $|0\rangle $ 躍遷到另一個量子態 $|1\rangle $ ，只需調整旋轉場作用的時間 $t$ 滿足 ${\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$ 或是 $t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ 就充分了，這叫做「 $\pi $ 脈衝」。如果選擇的時間介於 0 和 ${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ 之間，我們會得到 $|0\rangle $ 和 $|1\rangle $ 的疊加態。尤其是當 $t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}$ 的時候，我們會得到一個「 ${\frac {\pi }{2}}$ 脈衝」，它的作用是造成 $|0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}$ 量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對雷射場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時，方程式基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差 $\hbar \omega _{0}$ ( $\omega $ 是雷射波的頻率) 及拉比頻率 $\omega _{1}$ ，與原子的躍遷電偶極矩 ${\vec {d}}$ 與雷射波電場 ${\vec {E}}$ 的乘積成正比，也就是 $\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$ 。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在週期性的電場或磁場中來獲得。

## 相關條目

* Atomic coherence
* 布洛赫球面
* Laser pumping
* Optical pumping
* Rabi frequency
* Rabi problem
* Vacuum Rabi oscillation

## 外部連結

* https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven). 

* https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.