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数学大师

**數學大師：從芝諾到龐加萊**（英語：_Men of Mathematics: The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincaré_，最早的名字為 _The Lives of Mathematicians_）是蘇格蘭裔美國數學家和科幻小說作家埃里克・坦普爾・貝爾 1937 出版的一本關於數學史的書籍，介紹了三位古典時代的數學家和十七至十九世紀的四十餘位數學家，出版後廣受好評。

## 數學家

## 參考資料

## 外部連結

* _Men of Mathematics_ (Volume 2) on archive.org.
* Reviews: _Men of Mathematics_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from Goodreads.
数学大百科全书

《**數學百科全書**》（俄語：**Математическая энциклопедия**）為蘇聯科學院院士、通訊院士和蘇聯數學各領域的權威學者執筆撰寫，伊萬・維諾格拉多夫主編的一部數學百科全書，由蘇聯大百科全書出版社出版，最早的版本於 1977 年出版，爾後陸續出版了增訂本。該書是數學史上的一個里程碑，是當今世界上內容最新、最全面、水平最高的一部大型數學工具書。

這部百科全書已經有 CD-ROM 版本及網絡版本。

## 英文版本

俄文版出版後不久，英文版《數學百科》（_Encyclopedia of Mathematics_，_EOM_；前稱 _Encyclopaedia of Mathematics_）即由荷蘭克魯維爾公司組織 180 多位數學家聯合翻譯出版，並附有大量的增訂。

## 中文版本

中文版由中國數學會領導，組織中國 200 多位數學家進行編譯，據俄文版和英文版翻譯，1994 年起分 5 卷陸續由科學出版社出版，歷時 10 年完成。其繁體版本由九章出版社在台灣出版。

## 參見

* 《克萊因數學百科》

## 參考資料

## 外部連結

* 在線《數學百科全書（英文版）》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学字母数字符号

**數學字母數字符號**（Mathematical Alphanumeric Symbols）是 Unicode 的一個碼位區段（Unicode block）的正式名稱。包含不同字型風格的拉丁字母、希臘字母與十進位數字在數學中用作不同指代含義的符號。例如，黑板粗體（blackboard bold），Unicode 中使用的對應術語是雙線體（double-struck）。

Unicode 的第一輔助平面的碼位區段 1D000-1DFFF 是「記號系統」(Notational systems)，在 `U+1D400` ... `U+1D7FF` 包含了稱之為數學字母數字符號的字形). 這使得可以專門設計與使用特殊的數學字符字型，不同於正文中使用的普通字母、數字。例如，數學中使用的斜體 "_A_"與正體字母"A" 有不同的含義。這些數學字母數字符號僅用於數學公式，不用於普通的文本中.

不同字型的這些符號在不同的數學領域往往具有特定的、固定的含義。

## 列表

十六進位數字表示其下的字符的 Unicode 碼位。其它字符的碼位沿著列向向下依次增加。具有粉紅色背景的字符實際上是在其它 Unicode 碼位區段，例如ℛ (script capital r) 的碼位是 U+211B，在基本多文種平面.

還有一種情況，例如 U+1D4C1: 𝓁(mathematical script small l)，還有一個類似外觀的字符 U+2113: ℓ (script small l).

### 拉丁字母

### 希臘字母與符號

### 數字

## 參見

* 用於數學、科學和工程的希臘字母
* 數學中的拉丁字母

## 參考文獻

## 外部連結

* Every mathematical symbol as an image
数学学会列表

世界各地數學學會的列表：

## 國際性數學學會

* 國際數學聯盟
* 歐洲數學學會

## 全國性數學學會

* 美國數學學會
* 美國數學協會
* 德國數學學會
* 愛丁堡數學學會
* 法國數學學會
* 倫敦數學學會
* 中國數學會
* 義大利數學聯合會

## 參見

* 學術統計協會列表 (List of academic statistical associations)

## 外部連結

* MacTutor: List of Mathematical Societies （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学学科分类标准

**數學學科分類標準**（英語：Mathematics Subject Classification、MSC）是由美國數學學會策劃的建立在兩個主要的引文資料庫數學評論和數學文摘上的字母數字混合的分類方案。該標準被許多數學接收學術論文的期刊所採用。

## 結構

數學學科分類標準採用分級的分類方案，具有三個等級.

分類的第一級由一個兩位數表示，第二級由一個字母表示，第三級由另外的兩位數表示。例如:

* **53** 代表微分幾何
* **53A** 代表經典微分幾何
* **53A45** 代表向量和張量分析

### 第一級分類

63 個頂級數學學科由唯一的兩位數字標識。包括一些特別的數學研究，如 "歷史和人物傳記", "數學教育" 以及一些交叉學科。尤其包含了很多有關物理交叉學科:

* 力學
* 譜理論
* 地球物理
* 光學
* 電磁理論

所有有效的 MSC 分類代碼必需包含第一級標識.

### 第二級分類

第二級標識碼是一個單獨的拉丁字母，表示了第一級分類下的特定數學領域。第二級標識碼由第一級學科分類的不同而不同.

例如，微分幾何的第一級標識碼是 **53**, 第二級標識碼分別是:

* **A** 經典微分幾何
* **B** 局部微分幾何
* **C** 整體微分幾何
* **D** 辛幾何與接觸幾何

另外第二級標識碼 "-" 用於表示特定類型的文獻。這類代碼具有形式:

* **53-00** 通用參考材料 (手冊，詞典，參考文獻等.)
* **53-01** 教學材料 (教科書，教學參考文章等)
* **53-02** 研究論述 (專著，調查文章)
* **53-03** Historical (must also be assigned at least one classification number from Section 01)
* **53-04** Explicit machine computation and programs (not the theory of computation or programming)
* **53-06** 會議，論文集等等

這類代碼的第二級和第三級總是相同的即只有第一級標識符可變. **53-** 和 **53** 都是無效的分類.

 

### 第三級分類

第三級標識碼是非常詳細的，通常對應於特定的數學對象，研究方向或眾所周知的問題.

第三級標識碼 **99** 存在於每個分類中，用來表示不在前面的分類中.

## 版本

MSC 具有多個不同的版本，分別制定於 1991 年和 2000 年. 2000 版是使用最廣泛的版本。目前最新版本是 2010 版。

## 第一級分類

MSC 的頂級主題分類，但下面的幾個分組並不是 MSC 分類的一部分，它們僅僅是為了能夠更有條理地劃分。

### 通用 / 數學基礎

* 00: 總論
* 01: 數學史與文獻
* 03: 數理邏輯與數學基礎

### 離散數學 / 代數學

* 05: 組合學
* 06: 序理論 / 格論 / 序代數結構
* 08: 一般代數系統
* 11: 數論
* 12: 域論與多項式
* 13: 交換代數
* 14: 代數幾何
* 15: 線性代數與多線性代數 / 矩陣論
* 16: 結合環與結合代數
* 17: 非結合環與非結合代數
* 18: 範疇論 / 同調代數
* 19: K - 理論
* 20: 群論及其推廣
* 22: 拓撲群 / 李群

### 分析學

* 26: 實變函數
* 28: 測度與積分
* 30: 複變函數
* 31: 位勢論
* 32: 多複變函數與解析空間
* 33: 特殊函數論
* 34: 常微分方程
* 35: 偏微分方程
* 37: 動力系統與遍歷論
* 39: 差分方程與函數方程
* 40: 序列 / 級數 / 發散級數（求和法）
* 41: 逼近論與級數展開
* 42: 歐氏空間上的調和分析（傅立葉分析）
* 43: 抽象調和分析
* 44: 積分變換 / 算子演算
* 45: 積分方程
* 46: 泛函分析
* 47: 算子理論
* 49: 變分法與最優控制 / 最優化

### 幾何學 / 拓撲學

* 51: 幾何學
* 52: 凸幾何與離散幾何
* 53: 微分幾何
* 54: 一般拓撲學
* 55: 代數拓撲
* 57: 流形與胞腔復形
* 58: 大範圍分析與流形上的分析

### 應用數學 / 其他

* 60 概率論與隨機過程
* 62 統計學
* 65 數值分析
* 68 電腦科學
* 70 質點力學與系統力學
* 74 (可變形) 固體力學
* 76 流體力學
* 78 光學 / 電磁學
* 80 經典熱力學，熱傳導
* 81 量子理論
* 82 統計力學 / 物質結構
* 83 相對論與引力理論
* 85 天文學與天體物理學
* 86 地球物理
* 90 運籌學 / 數學規劃
* 91 博弈論 / 數理經濟學 / 數理社會學 / 數理行為科學
* 92 生物學與其他自然科學
* 93 系統論 / 控制論
* 94 信息與通信 / 電路
* 97 數學教育

## 參考文獻

## 外部連結

* Mathematics Subject Classification 2010 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The American Mathematical Society page on the Mathematics Subject Classification （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Currently documents the 2000 edition of the MSC together with its changes from the 1991 version, as well as providing some general information about the scheme and its history.
* Description of the MSC by Dave Rusin.

## 參閱

* 中國學科分類國家標準 / 110
* 數學研究領域
* 數學知識管理
数学定理

**定理**（英語：Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陳述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一個定理陳述一個給定類的所有（全稱）元素一種不變的關係，這些元素可以是無窮多，它們在任何時刻都無區別地成立，而沒有一個例外。（例如：某些 $a$ 是 $x$ ，某些 $a$ 是 $y$ ，就不能算是定理）。

**猜想**是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命題，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

## 各種數學敘述（按重要性來排列）

1. 數學原理
2. 公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
3. **定理**
4. 命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
5. 推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題 B 可以很快、簡單地推導出命題 A，命題 A 為命題 B 的推論。
6. 引理（也稱**輔助定理**，**補理**）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒爾引理。
7. 假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

## 結構

定理一般都有許多條件。然後有結論 —— 一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若**條件**，則**結論**」。用符號邏輯來寫就是**條件→結論**。而當中的證明不視為定理的成分。

## 逆定理

若存在某敘述為 $A\rightarrow B$ ，其逆敘述就是 $B\rightarrow A$ 。逆敘述成立的情況是 $A\leftrightarrow B$ ，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是**逆定理**。

* 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
* 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
* 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

## 邏輯中的定理

邏輯語言中的定理表示的是一個公式集合，並且該公式集合中的每一個公式都代表著知識的一個片段，由此我們可以給定理一個更準確的表達（這裡所說的定理指的是在一階邏輯中的定理，通常來說任意一個命題集合往往不一定是定理）。定理在邏輯中的定義︰

　
: 一個**定理**是一個含有由建立於語言集合 $L$ 上的命題（ $L$ - 命題）組成的**非空集合**。

這個定理（或這個命題集合）我們記作 $T$ ，這些建立於語言集合 $L$ 上的命題必須符合如下屬性：

　
: 對所有在 $T$ 中的命題 $\varphi $ ，如果 $T\vDash \varphi $ ，那麼 $\varphi \in T$ 。

比如一個永真命題集合是一個定理，這個永真命題集合被包含在**所有**建立在語言集合 $L$ 上的定理中。此外，我們說一個定理是另外一個定理 $T$ 的**擴展**（extension），前提是該定理包含定理 $T$ 。

 
有一個命題集合 $A$ ，我們將一個包含 $A$ 的集合記作 ${\mbox{Th}}(A)$ ，那麽 ${\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}$ 。顯而易見 $A\vDash {\mbox{Th}}(A)$ ，所以 ${\mbox{Th}}(A)$ 是一個定理。比如我們有一個集合 $G$ ， $G$ 有三個基於語言 $L$ 上的命題，其中 $L=\{e,f\}$ ， $e$ 是常數符號， $f$ 是函數符號。三個命題如下：

　
: $\forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ ，

　
: $\forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x$ ，

　
: $\forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e$ 。

那麼如果有 ${\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}$ ，則 ${\mbox{Th}}(G)$ 是 $G$ 的定理。當然，如果 $A$ 和 $B$ 是兩個命題集合且滿足 $A\subseteq B$ ，那麼 ${\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)$ 。

 
我們說一個定理 $T$ 是**完整的**（Complete），若且唯若對於和 $T$ 一樣構建在同樣語言集合上的**所有**命題 $\varphi $ ，要麼 $\varphi \in T$ ，要麼 $\lnot \varphi \in T$ 。

　
: **注意：**這個概念不能和定理 $T$ 的**完備性**（Completude）混淆，完備性是證明在定理 $T$ 中的永真命題是**遞推可枚舉的**（recursivement enumerable），但是不能說它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 一個空集合 $\{\Phi \}$ 的定理是所有真命題集合，但是 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 不是完整的。假如有命題 $\Psi =\exists x\exists y(x\neq y)$ ，對於 $\Psi $ 來說，它既不是永真命題，也不是永假命題，它是一個可滿足式的命題，也就是說 ${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi $ 且 ${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi $ 。因此 $\Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )$ ，所以我們說 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 不是完整的。
一個定理 $T$ 稱作是**穩健的**（Consistante），若且唯若 $\forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T$ 。我們說對所有的解釋（Interpretation） $I$ ， ${\mbox{Th}}(I)$ 是一個定理，並且 ${\mbox{Th}}(I)$ 既是穩健的又是完整的。

## 參考文獻

## 參見

* 數學定理列表
数学定理列表

以下是數學定理的列表：

## 0-9

* 15 - 定理
* 2π 定理

## A

* 阿貝爾 - 魯菲尼定理
* 阿蒂亞 - 辛格指標定理
* 阿貝爾定理
* 安達爾定理
* 阿貝爾二項式定理
* 阿貝爾曲線定理
* 艾森斯坦定理
* 奧爾定理
* 阿基米德中點定理
* 阿基米德原理
* 埃爾布朗定理
* 阿達馬三圓定理
* 阿爾澤拉 - 阿斯科利定理

## B

* 波爾查諾 - 魏爾斯特拉斯定理
* 巴拿赫 - 塔斯基悖論
* 伯特蘭 - 切比雪夫定理
* 貝亞蒂定理
* 貝葉斯定理
* 博特周期性定理
* 閉圖像定理
* 伯恩斯坦定理
* 不動點定理
* 布列安桑定理
* 布朗定理
* 貝祖定理
* 博蘇克 - 烏拉姆定理
* 巴拿赫不動點定理
* 布爾素理想定理
* 貝爾綱定理
* 布勞威爾不動點定理
* 本迪克森 - 杜拉克定理
* 本原元定理

## C

* 垂徑定理
* 陳氏定理
* 採樣定理

## D

* 迪尼定理
* 等周定理
* 代數基本定理
* 多項式餘數定理
* 大數定律
* 狄利克雷定理
* 棣莫弗定理
* 棣莫弗 - 拉普拉斯定理
* 笛卡兒定理
* 多項式定理
* 笛沙格定理
* 達布定理
* 達布定理 (微分幾何)
* 笛卡兒符號法則
* 單調收斂定理
* 單值化定理
* 狄利克雷定理 (傅立葉級數)

## E

* 二項式定理
* 二次互反律
* 艾狄胥－斯通定理

## F

* 富比尼定理
* 范德瓦爾登定理
* 費馬大定理
* 法圖引理
* 費馬平方和定理
* 法伊特 - 湯普森定理
* 弗羅貝尼烏斯定理
* 費馬小定理
* 凡・奧貝爾定理
* 芬斯勒 - 哈德維格爾定理
* 反函數定理
* 費馬多邊形數定理
* 輻角原理

## G

* 格林公式
* 鴿巢原理
* 高斯 - 馬爾可夫定理
* 谷山 - 志村定理
* 哥德爾完備性定理
* 哥德爾不完備定理
* 古爾丁定理
* 高斯散度定理
* 古斯塔夫森定理
* 共軛復根定理
* 高斯 - 盧卡斯定理
* 哥德巴赫 - 歐拉定理
* 勾股定理
* 格爾豐德 - 施奈德定理

## H

* 黑林格 - 特普利茨定理
* 華勒斯 - 波埃伊 - 格維也納定理
* 霍普夫 - 里諾定理
* 海涅 - 博雷爾定理
* 亥姆霍茲定理
* 赫爾德定理
* 蝴蝶定理
* 海涅 - 康托爾定理
* 哈恩 - 巴拿赫定理
* 胡爾維茲定理

## J

* 絕妙定理
* 介值定理
* 積分第一中值定理
* 緊緻性定理
* 積分第二中值定理
* 夾擠定理
* 卷積定理
* 極值定理
* 基爾霍夫定理
* 角平分線定理
* 嘉當 - 迪厄多內定理
* 吉洪諾夫定理

## K

* 柯西定理
* 克萊尼不動點定理
* 康托爾定理
* 柯西中值定理
* 可靠性定理
* 克萊姆法則
* 柯西 - 利普希茨定理
* 戡根定理
* 康托爾 - 伯恩斯坦 - 施洛德定理
* 凱萊 - 哈密頓定理
* 克納斯特 - 塔斯基定理
* 卡麥可定理
* 柯西積分定理
* 克羅內克定理
* 克羅內克 - 韋伯定理
* 卡諾定理
* 凱萊定理
* 空間分割定理
* 開映射定理
* 開世定理

## L

* 零一律
* 盧津定理
* 勒貝格控制收斂定理
* 勒文海姆 - 斯科倫定理
* 羅爾定理
* 拉格朗日定理 (群論)
* 拉格朗日中值定理
* 拉姆齊定理
* 拉克斯 - 米爾格拉姆定理
* 黎曼映射定理
* 呂利耶定理
* 勒讓德定理
* 拉格朗日定理 (數論)
* 勒貝格微分定理
* 雷維收斂定理
* 劉維爾定理
* 六指數定理
* 黎曼級數定理
* 林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理
* 留數定理
* 良序定理
* 里斯表示定理
* 黎曼 - 羅赫定理
* 羅斯定理
* 黎曼 - 勒貝格定理
* 拉東 - 尼科迪姆定理

## M

* 毛球定理
* 莫雷角三分線定理
* 邁爾斯定理
* 米迪定理
* 邁希爾 - 尼羅德定理
* 馬勒定理
* 閔可夫斯基定理
* 莫爾 - 馬歇羅尼定理
* 密克定理
* 梅涅勞斯定理
* 莫雷拉定理

## N

* 納什嵌入定理
* 拿破崙定理
* 鳥頭定理
* 牛頓定理

## O

* 歐拉定理 (數論)
* 歐拉旋轉定理
* 歐幾里得定理
* 歐拉定理 (幾何學)

## P

* 龐加萊 - 霍普夫定理
* 皮克定理
* 譜定理
* 婆羅摩笈多定理
* 帕斯卡定理
* 帕普斯定理
* 普羅斯定理
* 皮卡定理
* 排容原理
* 龐加萊 - 本迪克松定理
* 皮亞諾存在性定理
* 披薩定理
* 帕塞瓦爾定理

## Q

* 切消定理
* 齊肯多夫定理
* 曲線基本定理
* 切除定理

## R

* 儒歇定理
* 若爾當曲線定理

## S

* 四色定理
* 算術基本定理
* 斯坦納 - 雷姆斯定理
* 四頂點定理
* 四平方和定理
* 斯托克斯定理
* 素數定理
* 斯托爾茲 - 切薩羅定理
* 斯通布爾代數表示定理
* Sun-Ni 定理
* 斯圖爾特定理
* 塞瓦定理
* 塞邁雷迪－特羅特定理
* 塞邁雷迪定理
* 射影定理
* 施圖姆定理
* 舒爾正交關係
* 三次互反律
* 薩維奇定理
* 樞紐定理

## T

* 泰勒斯定理
* 同構基本定理
* 泰勒中值定理
* 泰勒公式
* 圖蘭定理
* 泰博定理
* 圖厄定理
* 托勒密定理

## V

* 維津定理

## W

* 沃爾斯滕霍爾姆定理
* 無限猴子定理
* 威爾遜定理
* 魏爾斯特拉斯逼近定理
* 微積分基本定理
* 韋達定理
* 維維亞尼定理
* 五色定理
* 韋伯定理
* 維納 - 辛欽定理
* 魏爾施特拉斯分解定理
* 五邊形數定理

## X

* 西羅定理
* 西姆松定理
* 西爾維斯特 - 加萊定理
* 線性代數基本定理
* 線性同餘定理
* 西爾維斯特慣性定理
* 小平消沒定理

## Y

* 有噪信道編碼定理
* 有限簡單群分類
* 演繹定理
* 圓冪定理
* 友誼定理
* 因式定理
* 隱函數定理
* 有理根定理
* 餘弦定理
* 餘切定理
* 葉戈羅夫定理

## Z

* 中國剩餘定理
* 證明所有素數的倒數之和發散
* 秩 - 零化度定理
* 祖暅原理
* 中心極限定理
* 中值定理
* 詹姆斯定理
* 最大流最小割定理
* 主軸定理
* 中線定理
* 正弦定理
* 正切定理
* 最大模原理
数学家

**數學家**是指一群對數學有深入了解的人士，並且將其知識運用於其工作上（特別是解決數學問題）。數學家專注於數、數據、邏輯、集合、結構 (數學)、空間、變化。專注於解決純數學（基礎數學）領域以外的問題的數學家稱為應用數學家，他們運用他們的特殊數學知識與專業的方法解決許多在科學領域的顯著問題。因為專注於廣泛領域的問題、理論系統、定點結構。應用數學家經常研究與制定數學模型。

## 數學家的工作

所謂的數學研究工作，不僅是瞭解及整理已知的結果，還包含著創造新的數學成果與理論。會強調這點是因為許多人誤解數學是一個已經被研究完的領域。事實上，數學上還有許多未知的領域和待解決的問題，也一直有大量新的數學成果發表。這些數學成果有些是新的數學知識，有些是新的應用方式。
所以心算家、珠算家不是數學家，數學家也不見得能夠快速的做出各種計算。

## 動機

數學家通常在數論、拓撲學、近世代數、微分拓撲、泛函分析等領域進行研究工作。數學的多數問題來自數學本身，其它一些則來源於理論物理；除此以外，尚有少量問題來源於經濟學、決策（games），以及計算機科學。某些數學問題僅僅是因為解決它們的困難而提出的。

數千年以來，數學挑戰著人們的思維，並使人們沉迷於其中。今天，數學已經成為學習物理學、計算機科學、化學以及其它諸多自然科學的必備基礎。

諾貝爾獎沒有給數學設立單獨的獎項；在數學界，菲爾茲獎通常被視為最高榮譽。菲爾茲獎有時被稱作「諾貝爾數學獎」，每四年頒發一次；獲獎人最多四名，且均是年輕（40 歲以下）的數學家。其它主要的數學獎項還包括阿貝爾獎、Nemmers 數學獎（Nemmers Prize in Mathematics）、沃爾夫獎（Wolf Prize）、羅爾夫朔獎（Rolf Schock Prize），以及內萬林納獎（Nevanlinna Prize）。

## 解決數學問題的思維方式

數學家解決數學問題一般有兩種思維方式。代數型數學家往往將數學問題轉化成數字或者方程式進行思考；幾何型數學家則常常把問題轉化成圖形來思考。

## 差異

數學與自然科學的差異在於，自然科學中的物理理論是通過實驗測試的，而數學語句則是由數學證明支撐的，而這些證明可以被數學家「客觀」地加以驗證。如果數學家相信（通常是因為其某些特例已在某種程度上得到證實）某一語句為真，但該語句尚未被**證明為真或證明為假**，則稱該語句為猜想，而非一個已被證明為真的定理。

即使是在理論物理學中，一旦人們發現了有關物理世界的新的信息，其理論就有可能發生改變。相比之下，數學則以另一種方式改變：新觀點並非否定舊觀點，而是被用來將既有的觀念**推廣**，以便解釋更多現像。例如，單變量微積分被推廣為多變量微積分，再被推廣為流形上的分析。代數幾何從經典到現代形式的發展便是一個極好的例子：觀點發生重大的轉變，而既有的證明則絲毫沒有因此受到影響。

儘管一個定理一旦被證明就永遠是正確的，我們對一個定理的**真正意義**的理解之深度，則是伴隨著圍繞著該定理的數學理論的進步而增長的。一旦一個定理的使用範圍被擴大，數學家們便感到它被更好地理解了。例如，關於非零整數對素數模同餘的費馬小定理被推廣到關於不可逆數對非零整數模同餘的歐拉定理，後者又被推廣為有限群的拉格朗日定理。

## 趣聞

* 在可考歷史中年代最久遠的數學家一般公認是古希臘幾何學家泰勒斯。
* 史上著作與論文總量第二多的是十七世紀的著名瑞士數學家歐拉，他的紀錄一直到二十世紀才被匈牙利數學家保羅・埃爾德什打破。
* 數學家也是滿懷感情的，如歐拉，他是歷史上最多產的數學家。他有 13 個孩子，他喜歡把最年幼的孩子放在膝上，而其他的孩子則圍著他到處玩耍，正是這樣的情況下，他創造並記載了許多偉大的想法，撰寫了大量的書籍和論文，澤被後世。約翰・馮・諾伊曼，現代計算機和博弈論之父。他憑藉自己照相存儲器般的記憶力，身臨其境地向未婚妻歷數巴黎的風景名勝，最終贏得了芳心。
* 數學中也充滿了悲劇。納什 —《美麗心靈》中主人公的原型，常年生活在幻想的孤獨和煩躁中，老年時因為讀博士期間的幾篇論文而獲得了諾貝爾獎，最終得到人們的認可。其實他在純數學上許多工作要更加深刻和具有開創性。維納，著名的維納隨機過程，一個少年天才和數學巨匠。正是他父親造就了維納的天才，同時也完全摧毀了他兒子的自信。

## 參看

* 數學家列表
* 計算員
* 數學笑話
* 《一個數學家的辯白》
* 《數學大師：從芝諾到龐加萊》
* 《數學巨匠：從歐拉到馮・諾伊曼》
* Category: 數學題材電影
* 數學

## 參考文獻

## 外部連結

* MacTutor 數學歷史庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），非常詳盡的數學家傳記。
* 數學家族譜計畫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），可以查詢數學家的師承源流。
* 李善蘭，創譯了許多數學名詞（日本語）
数学家列表

以下按國籍排列方法列出的數學家列表。

中國、法國、德國、義大利、古希臘、英國、美國、俄羅斯、挪威、瑞典、荷蘭、瑞士、比利時、匈牙利、丹麥。

## 中國

### 古代

### 近現代

## 法國

## 德國 / 奧地利

## 義大利

## 古希臘

### 古典時期

### 亞歷山大時期

## 英國

## 美國

## 俄羅斯

## 挪威

## 瑞典

* 里納特・卡爾松

## 荷蘭

## 瑞士

## 匈牙利

* 喬治・波利亞
* 保羅・艾狄胥

## 波蘭

* 巴拿赫

## 日本

## 丹麥

## 外部連結

* （英文）數學家週期表 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学对象

**數學對象**（Mathematical object）是數學中的抽象概念。用數學的普通語言來說，對象是任何可以或已經用演繹推理和數學證明正式定義的物件。一般地，一個數學對象可以是一個能代入變數的值，從而可以用於公式裡。 經常遇到的數學對象包括數、集合、函數、表示式、幾何形狀、其他數學對象的轉換和空間。數學對象可以非常複雜。比如說，定理、證明甚至理論在證明論中被視為數學對象。

數學對象的存在是數學哲學家進行大量研究和討論的對象。

## 按分支分類的數學對象列表

* 數論
  * 數、運算
* 組合數學
  * 置換、錯排、組合
* 集合論
  * 集合、集合劃分
  * 函數、關係
* 幾何學
  * 點、線、線段
  * 多邊形（三角形、正方形、五邊形、六邊形……)、圓、橢圓、拋物線、雙曲線
  * 多面體（四面體、立方體、八面體、十二面體、二十面體）、球體、橢球、拋物面、雙曲面、圓柱體、圓錐體
* 圖論
  * 圖、樹、頂點、邊
* 拓撲學
  * 拓撲空間、流形
* 線性代數
  * 純量、向量、矩陣、張量
* 抽象代數
  * 群
  * 環、模
  * 域、向量空間
  * 群論格、序論格

## 參見

* 抽象物件
* 數學結構

## 參考文獻

* Azzouni, J., 1994. _Metaphysical Myths, Mathematical Practice_. Cambridge University Press.
* Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. _A Subject with No Object_. Oxford Univ. Press.
* Davis, Philip and Reuben Hersh, 1999 [1981]. _The Mathematical Experience_. Mariner Books: 156–62.
* Gold, Bonnie, and Simons, Roger A., 2011. _Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ . Mathematical Association of America.
* Hersh, Reuben, 1997. _What is Mathematics, Really?_  Oxford University Press.
* Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being,  Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other," in Cobb, P., _et al._, _Symbolizing and communicating in mathematics classrooms:  Perspectives on discourse, tools and instructional design_. Lawrence Erlbaum.
* Stewart Shapiro, 2000. _Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics_.  Oxford University Press.

## 外部鏈接

* Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Abstract Objects （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"—by Gideon Rosen.
* Wells, Charles, "Mathematical Objects."
* AMOF: The Amazing Mathematical Object Factory
* Mathematical Object Exhibit
数学小先锋

**數學小先鋒**（英語：Cyberchase）是一部美國動畫影集，於美國 PBS 兒童台於 2002 年 1 月 21 日首播。採用 30 分鐘兩集的方式播出。這個影集是由 Sandra Sheppard 所創造。

## 背景簡介

Cyber​​chase 帶孩子們穿越網絡空間，在那裡他們面臨挑戰，在經典的善與惡之戰中運用數學的力量。當卑鄙的惡棍黑客（克里斯多福・勞埃德飾演）發起了征服虛擬宇宙的瘋狂任務時，主板向三個地球孩子尋求幫助。他們是傑基（Jackie）、馬特（Matt）和內茲（Inez）——Cyber​​chase 的英雄 —— 他們從他們的現實世界與聰明的網絡鳥 Digit（喜劇演員吉爾伯特戈特弗里德）一起旅行到網絡空間的多彩虛擬景觀，在那裡他們征服了在一場全面的鬥智鬥勇中的壞人。每一集都帶領孩子們進行由不同數學概念驅動的激動人心的冒險 —— 從在古埃及墳墓中解決時間，到在令人毛骨悚然的洞穴中破解密碼，或者在破碎的童話世界中理解數字。在他們的追求中，英雄們使用思想而不是肌肉來克服無處不在的障礙和危險。 Cyber​​chase 的每一集都以「For Real」真人表演片段結束，其中一位年輕的喜劇演員遇到了一個強化動畫故事情節中探索的數學概念的情境。

## 人物

* 傑基
* 馬修「馬特」
* 伊內茲
* Digit LeBoid

### 敵人

* 黑客
* 巴斯
* Delete

## 集數

## 參見

* 小孩大聯盟
* PBS 兒童台

## 參考來源

## 外部連結

* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《Cyberchase》的資料（英文）
数学帝

**葛軍**（1964 年 10 月 21 日 —），江蘇南通人，南京師範大學數學與計算機科學學院教授、碩士生導師。2004 年、2007 年、2008 年、2010 年參與普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷數學科命題，其中 2010 年江蘇高考數學試題區分度較大、難度較高，引起學生強烈反響，被網友稱為「**數學帝**」，甚至媒體也使用該稱號。2012 年 11 月 16 日就任南京師範大學附屬中學校長。

## 高考命題

葛軍參與了 2003 年、2007 年、2008 年、2010 年江蘇卷數學學科的命題工作。2010 年高考時，部分監考教師、學生、家長認為 2010 年難度超過 2003 年，實際上這年平均分為 83 分（滿分 160 分）。考後網民戲稱其秒殺江蘇省 52 萬考生。

公眾普遍認為，葛軍的存在導致了試卷難度偏高。但在 2015 年 6 月時，葛軍於訪談中稱命題組採用組長負責制；自己是副組長，對於試卷難度的控制，自己只有建議權，沒有最終決定權。他也表示自己再也不想參與高考命題。

曾有傳聞稱，葛軍參與了 2003 年江蘇高考數學試卷命題。事實上，2003 年高考試卷為全國統一命題；2004 年起，江蘇才開始自主命題。有傳言稱，參與了 2003 年 - 2015 年江蘇數學命題工作，但其本人稱，他只參與 2004 年、2007 年、2008 年、2010 年四年的命題工作。

自從 2010 年，中國大陸各地高考出現較難的數學試卷時，就有人對命題人進行「人肉搜索」，認為試卷由葛軍所出。他曾被認為參與 2011 年廣東高考命題，後廣東省教育考試院否認了此傳言。據《現代快報》報導，葛軍本人聲稱未參加 2011 年江蘇或廣東的高考命題工作；被認為參與 2013 年安徽高考命題等。葛軍表示，凡是獨立命題的省市，一般不會外聘其他省份的老師參與高考命題工作。

對葛軍的評價主要來自其所出的高考試卷，褒貶不一。例如有專家認為此試題有創新、有區分度，也有很多學生、家長表示不滿。而江蘇數學高考試卷閱卷組專家塗榮豹教授認為，2010 年數學試卷對於知識點的覆蓋較寬，符合了考試說明的要求，該試卷有很多創新之處，體現了對考生的能力的考察，與培養創新人才的目標相符。

## 學術領域

葛軍為中國數學奧林匹克高級教練、江蘇省高校師資培訓中心副主任、江蘇省中小學科技教育協會常務理事、江蘇省中學數學教學研究會副理事長、南京數學學會秘書長，曾經任南京師範大學附屬實驗學校校長、江蘇省數學會普及委員會副主任，目前為南京師範大學教師教育學院副院長。其研究方向主要為：數學哲學、數學思想方法論、數學教學論、數學課程論、數學教育評價、教育數學（現代數學基本理論、思想方法；初等數學、競賽數學）、數學解題 、數學傳播等。

## 參見

* 普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）

## 參考資料
数学常数

**數學常數**是指數值不變的常數，與之相反的是變數。跟大多數物理常數不一樣的地方是，數學常數的定義是獨立於所有物理測量。

數學常數通常是實數或複數域的元素。數學常數可稱為是可定義的數字（通常都是可計算的）。

其他可選的表示方法可以在數學常數（以連分數表示排列）找到。

## 一些精選的數學常數

### 注意

* 這表格是隨機排列，請參看其他的排列方式：數學常數（以連分數表示排列）。

## 外部連結

* Steven Finch 的數學常數主頁：https://web.archive.org/web/20031204213209/http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/constant.html
* Steven Finch 的索引：https://web.archive.org/web/20031001222618/http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/table.html
* Xavier Gourdon 和 Pascal Sebah 的數字、數學、常數和算法主頁：http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Simon Plouffe's inverter: https://web.archive.org/web/20050812010306/http://pi.lacim.uqam.ca/eng/
* CECM's Inverse symbolic calculator (ISC) (tells you how a given number can be constructed from mathematical constants): https://web.archive.org/web/20031008114227/http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/

## 參見

* 常數
  * 物理常數
数学常数_(以连分数表示排列)

這是以連分數表示排列的數學常數列表。

(無理數的常數有無限長的連分數：其最後面項為**...**。)

## 另見

* 數學常數
数学年刊

《**數學年刊**》（_Annals of Mathematics_）是普林斯頓大學和普林斯頓高等研究院辦的數學期刊。

## 外部連結

* 官方網站
数学建模竞赛

**美國大學生數學建模競賽**（MCM/ICM），包括**數學建模競賽**（英語：Mathematical Contest in Modeling，MCM）和**交叉學科建模競賽**（英語：Interdisciplinary Contest in Modeling，ICM）。前者是一個由工業與應用數學學會、美國國家安全局與美國運籌與管理學會資助，由數學及其應用聯合會（Consortium for Mathematics and Its Applications，COMAP）從 1985 年起每年在二月的第一或第二個周末舉辦的多日數學競賽。後者於 2000 年開始。二者比賽同時進行，同時結束。

它與像普特南數學競賽（William Lowell Putnam Mathematical Competition）等其他重要的數學競賽不同的地方在於此競賽著重於研究、創意、團隊合作、溝通以及結果的辯護。因此，競賽題目也沒有標準答案。

## 比賽規則

由三個在校大學生或中學生組成的國際性隊伍要在 3 個 MCM 問題（通常一道題討論連續性問題，另一題討論離散性問題）和 3 個 ICM（通常與特定學科有關，2015 年為兩道題）中選擇一個問題，以完成原創數學論文的方式來回答。一旦題目公佈了之後，各隊有 96 個小時的時間（通常是週四到週一）來研究並解答這個問題。在截止時間前參賽隊伍需要提交電子版論文，並在規定日期內郵寄紙質版論文，要求電子版與紙質版內容應完全相同。

從 2016 年開始，主辦方強化規則，不再允許研究生及以上學歷的學生參賽。

## 題目

在比賽開始時，隊伍可以從 6 個題目中選擇。問題 A 涉及到一個需要使用連續數學的系統，因此往往涉及幾何、物理或工程的概念。問題 B 涉及到需要使用離散數學的系統。還有一個問題 C，只對 ICM 隊伍開放。這些問題往往是開放式的，來自科學、商業和公共政策的各個領域，例如：

* 評估一個大的小行星撞擊南極洲對全球的影響（1999 A）
* 基於化石數據研究迅猛龍的捕食策略（1997 A）
* 開發一種效率更高的方法，讓乘客登上大型商用飛機（2007 B）

隊伍有 96 個小時研究，並需要以研究論文的形式提交他們的解答。在此期間，他們可以參考任何可供參考的資料，但不得與團隊以外的任何人討論他們的問題。包含對團隊和顧問的意見和建議已在線出版或印刷。

## 獎項設置

獎項分配如下：

## 參照

* 數學建模

## 參考文獻

## 外部連結

* 官方競賽網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学形态学

**數學形態學（Mathematical morphology）** 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：腐蝕和膨脹、開運算和閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat 變換、顆粒分析、流域變換等。

## 二值形態學

在二值形態學中，一個圖案被看做是 $n$ 維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 或網格 $\mathbb {Z} ^{n}$ 的子集。

### 結構元素

在二值結構學中，**結構元素**為一個二值影像，作為分析影像時使用的「探針」，代表當處理影像上的某點時、要取出周圍的哪些點進行運算。

以下是幾個常用的結構元素 (將原圖寫作 A、結構元素寫作 _B_)：

* 待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素 _B_ 為一以原點為圓心、半徑為 _r_ 的圓盤。
* 待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素 _B_ 為一以原點為中心的 3x3 方形。
* 待處理影像為二維類比影像 $A\in E=\mathbb {R} ^{2}$ ，使用的結構元素 _B_ 為一以原點為中心的十字形，或寫作 $B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}$ 。

### 基礎運算子

二值形態學的基礎運算子為具平移對稱性的、與閔可夫斯基和直接相關的運算子。基礎運算子包含膨脹、腐蝕，以及由前兩者組合而成的開運算、閉運算。

#### 膨脹

**膨脹 (Dilation)** 的定義為「位於某個點的探針 (結構元素) 是否_有_探測到物件？」一個影像 _A_ 經過結構元素 _B_ 膨脹後的結果可寫為：

　
: : $A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}$ .

其中 $B_{x}=\{x+b|b\in B\}$ ，代表結構元素平移 x 後的點集合，_b_ 是圖像 _B_ 的元素的坐標。

另外也可寫為：

　
: : $A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}$ .

同上，其中 $A_{-b}$ 是指二值影像 _A_ 經過平移_-b_ 後新的點集合。

#### 腐蝕

**腐蝕 (Erosion)** 的定義為「位於某個點的探針 (結構元素) 是否_全都有_探測到物件？」一個影像 _A_ 經過結構元素 _B_ 腐蝕後的結果可寫為：

　
: : $A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}$ .

#### 開運算、閉運算

**開運算 (Opening)** 與**閉運算 (Closing)** 是使用相同結構函數的腐蝕與膨脹的組合：

開運算為先腐蝕再膨脹，

　
: : $A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$ .

閉運算為先膨脹再腐蝕

　
: : $A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$ .

## 基礎運算子的性質

* 所有的運算子具有平移對稱性
* 所有的運算子都是遞增的，例：如果 $A\subseteq C$ ，則 $A\oplus B\subseteq C\oplus B$ 且 $A\ominus B\subseteq C\ominus B$
* 膨脹具有交換律，例： $A\oplus B=B\oplus A$
* 膨脹具有結合律，例： $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ ；另外腐蝕則為 $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$
* 如果 B 包含原點 (0,0)，則有 $A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$
* 膨脹與腐蝕間的關係為： $A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}$ ，上標 $^{c}$ 代表補集，上標 $^{s}$ 代表對原點的點對稱集合。
* 開運算與閉運算間的關係為： $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$
* 膨脹對聯集有分配律，例： $A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)$ ；腐蝕對交集有分配律，例： $A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)$
* 膨脹與腐蝕為彼此的廣義逆運算： $A\subseteq (C\ominus B)$ 若且為若 $(A\oplus B)\subseteq C$
* 開運算與閉運算是冪等的： $(A\bullet B)\bullet B=A\bullet B$

## 歷史

數學形態學誕生於 1964 年，由當時國立巴黎高等礦業學校的馬瑟榮（G. Matheron）和賽拉（J. Serra）兩人共同奠定了其理論基礎。1968 年 4 月法國楓丹白露數學形態學研究中心成立，巴黎礦業學院為中心提供了研究基地。

20 世紀數學形態學的發展過程可大致分為：

* 60 年代的孕育和形成期
* 70 年代的充實和發展期
* 80 年代的成熟和對外開放期
* 90 年代至今的擴展期

## 參考資料

## 外部連結

* 數學形態學的發展史（英文）
* 圖像的膨脹與腐蝕、細化 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学心理学

**數學心理學**是利用數學模型來研究心理現象的心理學分支。用定量的方法來描述心理現象。由於研究的對象的複雜性，一般只能對研究作模糊的定性描述，但在資訊理論、控制論、統計決策論和電腦科學發展的推動下，數學心理學也發展迅速，不斷取得了新成果。用數學模型描述心理現象，其優越性不僅是它比自然語言的描述具有更大的概括性、準確性、演繹力和預測力，更重要的是它便於用計算機來模擬，為研究人工智慧創造了更好的輔助。

## 歷史

* 1860 年德國心理學家 費希納在心理物理學研究中，最早用數學公式描述了客觀物理量和主觀感覺強度之間的函數關係。
* 1927 年瑟斯頓在制定心理量表時提出了比較判斷率，並用公式來表明兩個刺激間的主觀距離。
* 第二次世界大戰後，在資訊理論、控制論、統計決策論和計算機科學的推動下，數學心理學發展迅速。
* 20 世紀 50 年代初，埃斯蒂斯、布希和莫斯蒂勒提出的學習模型，是這一新方向的開端。
* 目前實驗心理學的許多重要領域，如測量、決策、學習和社會的相互作用等方面，都已制定出大量的數學模型。

## 數學心理學的範疇

* 心理量表編制
* 學習曲線
* 記憶和遺忘曲線
数学手册

《**數學手冊**》（俄語：«**Справочник по математике**»，英語：_**Handbook of Mathematics**_）是一本最初由蘇聯數學家И・Н・布隆施泰因（И. Н. Бронштейн）和К・А・謝門德雅耶夫（К. А. Семендяев）編輯的數學基礎知識與公式大全。

1945 年，該書在蘇聯首次出版，不久就成為科技人員與高等學校學生的技術類熱門參考書。後來，此書在流傳的過程中，又經過多人多次地翻譯、擴充、修訂和二次翻譯，以德文擴充版為中心又衍生出眾多不盡相同的分支版本。現在主要有 2 大類不同的版本在流傳，每類版本都有多種翻譯版本。

## 概要

## 另見

* 《現代分析學教程》（英國）
* 《數學指南：實用數學手冊》（_Teubner-Taschenbuch Der Mathematik_, 德國）
* 《數學大公式集》（蘇聯）
* 《數學函數手冊》（美國）
* 《現代應用數學手冊》（中國）
* 《數學百科全書》（蘇聯）
* 《工程數學手冊》(_Engineering Mathematics Handbook_, 美國)
* 《特殊函數概論》(中國)

## 參考資料

## 外部連結

* 《數學手冊》的 Goodreads 收錄頁（英文）
* 豆瓣讀書上《Handbook of Mathematics》的資料 （簡體中文）
数学教育

**數學教育**（英語：Mathematics education）是研究數學教學的實踐和方法的學科。而且，數學教育工作者也關注促進這種實踐的工具及其研究的發展。數學教育是現代社會激烈爭論的主題之一。這個術語有個歧義，它既指各地的教室里的實踐，也指新生的一個學科，它有自己的期刊，會議，等等。這方面最重要的國際組織是數學教育國際委員會。

## 歷史沿革

基礎數學是多數古文明的教育系統的一部分，包括古希臘，羅馬帝國，吠陀社會和古埃及。在多數情況下，只有足夠高地位，財富或等級的男性孩童才能接受正規教育。

在柏拉圖把文科分成三藝和四術的劃分中，四術包括數學的算術和幾何領域。這個結構在中世紀歐洲所發展的經典教育的體系得到了延續。幾何的教育基於歐幾里得的_原本_。商業的學徒，如石匠，商人和借貸者需要學習和他們的行業相關的這種實用數學。

第一本英語的數學教科書由羅伯特・雷科德出版，從 1540 年的_藝術的基礎_(_The Grounde of Artes_) 開始。

在文藝復興時期，數學的學術地位下降了，因為它和手工業和貿易緊密相關。雖然在歐洲的大學裡繼續教授數學，它被視為自然哲學，形上學和道德哲學的輔助。

這個趨勢在十七世紀得到某種逆轉，阿伯丁大學在 1613 年建立數學主席職位，隨後有牛津大學在 1619 年建立幾何主席職位和劍橋大學在 1662 年設立的盧卡遜教授。但是，數學一般不在大學之外教授。例如牛頓在他在 1661 年進入劍橋三一學院之前沒有受過正規數學教育。

在十八世紀和十九世紀，工業革命導致城市人口大量增加。基本的數字技能，如描述時間，數錢和簡單算術，稱為新的城市生活的基本能力。在新的公共教育系統中，數學成了從幼年開始的課程的中心部分。

到二十世紀，數學成了所有已開發國家的核心課程的一部分。但是，多樣和變化著的關於數學教育的目的的思想導致所採用的內容和方法幾乎沒有任何整體上的一致性。

## 目的

在不同的時期在不同的文化和國家中，數學教育試圖達到不同的目標。這些目標包括:

* 教授給所有學生的數字技巧。
* 教授給大部分學生的實用數學（算術，基礎代數，平面和立體幾何，三角學），使得他們有能力從事貿易或手工業。
* 早期的抽象代數概念教育（例如集合和函數）
* 選擇性的數學領域的教育（例如歐式幾何）作為公理化體系的實例和演繹推理的一個模型
* 選擇性的數學領域的教育（例如微積分）作為現代社會的智力成就的一個實例
* 教授給希望以科學為職業的學生的高等數學

數學教育的方式和變化的目標一致。

## 標準

絕大部分的歷史時期，數學教育的標準是地域性的，由不同的學校或教師根據學生的水平和興趣來設置。

在現代，有一種趨勢是建立地區或國家標準，通常隸屬於更廣泛的學校教學大綱。例如在英國，數學教育的標準是英國國家教育大綱的一部分 [1]。在美國，美國數學教師國家委員會 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）制定了一系列文檔，最近的有學校數學的原則和標準 [3] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），為學校數學的總體目標達成了一致。更具體的教學標準一般在州一級制定 - 譬如在加利福尼亞，加州教育理事會為數學教育制定了標準 [4].

## 水平

不同水準的數學教授給不同年齡的學生。一個大致的對算術和代數的子課題的教學年齡的參考如下:

* 加法：5-7 歲；更多的位數 8-9 歲
* 減法：5-7 歲；更多的位數 8-9 歲
* 乘法：7-8 歲；更多的位數 9-10 歲
* 除法：8 歲；更多的位數 9-10 歲
* 簡單代數：11-12 歲
* 代數：13 歲以上

## 方法

任何特定環境下的方法很大程度上由相關的教育系統所設定的目標所決定。教授數學的方法包括:

* **經典教育** - 中世紀的經典教育大綱中的數學教育通常基於歐幾里得的《幾何原本》，它被作為演繹推理的範式來教授。
* **死記硬背** - 通過重複和記憶來教授數學結果，定義和概念。通常用於乘法表。
* **習題** - 通過完成大量同類的練習來傳授數學技巧，例如加帶分數或者解二次方程。例如，古氏積木（Cuisenaire rods）來教授分數。
* **問題求解** - 通過給學生無標準答案，不同尋常的，和有時候無解的問題來培養數學的智力，創造力和啟發式思考。問題的範圍可以從應用題到像國際數學奧林匹克競賽這樣的國際數學競賽問題。
* **新數學** - 一種專注於集合論這樣的抽象概念而不是實際應用的教授數學的方法。
* **歷史方法** - 教授在一個歷史，社會和文化背景下數學的發展過程。比純粹抽象的方式提供了更多的人文樂趣。

這些方法不是所有的，而且任何數學教育系統很可能包含很多不同的方法。

## 數學教師

這些人曾在一生中某一階段教授數學，但他們在其他方面更為著名：

* Lewis Carroll, 英國作家 Charles Dodgson 的筆名，曾在牛津基督教堂講授數學
* 道爾頓，英國化學家和物理學家，曾在曼徹斯特，牛津和約克的學校和大學教數學。
* Tom Lehrer, 美國歌曲作家和諷刺作家，曾在哈佛和麻省理工學院教數學。
* Georg Joachim Rheticus, 奧地利繪圖家，哥白尼的學生，曾在 Wittenberg 大學教數學。
* Edmund Rich, 13 世紀坎特伯雷大主教，在牛津和巴黎的大學教過數學。
* 阿奇・威廉斯，美國運動員，奧運金牌得主，在加里福尼亞高中教過數學。

## 相關條目

## 參考資料

## 外部連結

* 數學教育史
* Knowledge Web of Mathematics Teachers: 數學教師知識庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Taiwan Association for Mathematics Education: 台灣數學教育學會 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 學術期刊（印刷版）
  * 數學教育研究
  * 數學教育研究期刊
  * 數學學習
* 學術期刊（在線版）
  * 臺灣數學教育期刊
  * 台灣數學教師電子期刊
  * 數學教育哲學期刊主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * GPIMEM - Technology, other media and Mathematical Education Research Group - State University of São Paulo (UNESP), Rio claro Campus, Brazil
  * GPIMEM - Technology, other media and Mathematical Education Research Group
数学星

**小行星 454**（英語：454 Mathesis）是一顆圍繞太陽公轉的小行星。1900 年 3 月 28 日，阿諾德・施瓦斯曼在海德堡描述了此天體。小行星 454 以數學的希臘語命名，以慶祝漢堡數學協會成立 300 周年。

這顆小行星的絕對星等為 9.2 等。

## 相關條目

* 小行星列表 / 10001-11000

## 參考資料

## 外部連結

* Asteroid Lightcurve Database (LCDB) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, query form (info （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
* Dictionary of Minor Planet Names, Google books
* Discovery Circumstances: Numbered Minor Planets (10001)-(15000) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Minor Planet Center
* 小行星 454 at _AstDyS-2, Asteroids—Dynamic Site_
  * Ephemeris · Observation prediction · Orbital info · Proper elements · Observational info
* NASA JPL 小天體資料庫瀏覽器上的小行星 454
数学期望

在機率論和統計學中，一個離散性隨機變數的**期望值**（或**數學期望**，亦簡稱**期望**，物理學中稱為**期待值**）是試驗中每次可能的結果乘以其結果機率的總和。換句話說，期望值像是隨機試驗在同樣的機會下重複多次，所有那些可能狀態平均的結果，便基本上等同「期望值」所期望的數。期望值可能與每一個結果都不相等。換句話說，期望值是該變數輸出值的加權平均。期望值並不一定包含於其分布值域，也並不一定等於值域平均值。

例如，擲一枚公平的六面骰子，其每次「點數」的期望值是 3.5，計算如下：

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}$

不過如上所說明的，3.5 雖是「點數」的期望值，但卻不屬於可能結果中的任一個，沒有可能擲出此點數。

## 數學定義

如果 $X$ 是在機率空間 $(\Omega ,F,P)$ 中的隨機變數，那麼它的期望值 $\operatorname {E} (X)$ 的定義是：

　
: $\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P$

並不是每一個隨機變數都有期望值的，因為有的時候上述積分不存在。

如果兩個隨機變數的分布相同，則它們的期望值也相同。

如果 $X$ 是**離散**的隨機變數，輸出值為 $x_{1},x_{2},\ldots $ ，和輸出值相應的機率為 $p_{1},p_{2},\ldots $ （機率和為 1）。

若**級數 $\sum _{i}p_{i}x_{i}$ 絕對收斂**，那麼期望值 $\operatorname {E} (X)$ 是一個無限數列的和。

　
: $\operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}$

如果 $X$ 是**連續**的隨機變數，存在一個相應的機率密度函數 $f(x)$ ，若**積分 $\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 絕對收斂**，那麼 $X$ 的期望值可以計算為：

　
: $\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 。

是針對於連續的隨機變數的，與離散隨機變數的期望值的算法同出一轍，由於輸出值是連續的，所以把求和改成了積分。

## 性質

* 期望值 $E$ 是線性函數。

　
: $\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)$

　
: $X$ 和 $Y$ 為在同一機率空間的兩個隨機變數（可以獨立或者非獨立）， $a$ 和 $b$ 為任意實數。
* 一般的說，一個隨機變數的函數的期望值並不等於這個隨機變數的期望值的函數。

　
: $\operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))$
* 在**一般情況下**，兩個隨機變數的**積的期望值不等於這兩個隨機變數的期望值的積**。

　
: 當 $\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$ 成立時，隨機變數 $X$ 和 $Y$ 的共變異數為 0，又稱它們不相關。特別的，當兩個隨機變數獨立時，它們共變異數（若存在）為 0。

## 期望值的運用

在統計學中，估算變數的期望值時，經常用到的方法是重複測量此變數的值，再用所得數據的平均值來估計此變數的期望值。

在機率分布中，期望值和變異數或標準差是一種分布的重要特徵。

在古典力學中，物體重心的算法與期望值的算法十分近似。

在賭博中，期望值又稱**預期值**、**長期效果值**、**合理價值**、**期待值**，都能完全貼和，而其計算的方式為：

　
: $\mathrm {EV} $ （期望值） $=$ 勝的機率 $\times $ 獲勝的籌碼 $-$ 輸的機率 $\times $ 輸掉的籌碼

期望值也可以通過變異數計算公式來計算變異數：

　
: $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}$

（平方期望值減的期望值平方）

## 參考文獻
数学构成主义

在數學哲學中，**構成主義**或**構造主義**認為要證明一個數學對象存在就必須把它構造出來。如果假設一個對象不存在，並從該假設推導出一個矛盾，對於構成主義者來說，不足以證明該對象存在。（構造性證明）

構成主義常常和直覺主義混淆，實際上，直覺主義只是構成主義的一種。直覺主義強調數學的基礎建立在數學家們個人的直覺上，這樣就把數學在本質上作為一種主觀活動。構成主義不這樣強調，並和對數學的客觀看法保持一致。

## 構造主義數學

構造主義者的數學使用構造性邏輯，該邏輯將真實性和證明等同起來。要構造性的證明 $P\lor Q$ ，我們必須證明 $P$ 或 $Q$ ，或兩者同時成立。要構造式的證明 $\exists _{x\in X}P(x)$ ，我們必須給出一個特定的 $a\in X$ 和一個 $P(a)$ 的證明。要構造式的證明 $\forall _{x\in X}P(x)$ ，我們必須給出一個算法，它對於每個 $a\in X$ 輸出一個 $P(a)$ 的證明。

構造主義同時拒絕採用無窮對象，例如無窮集合和序列。

### 實分析中的例子

在經典實分析中，實數構造的方法之一是把它作為有理數的柯西列對。這個構造在構造主義數學中不成立，因為序列是無窮的。

作為替換，我們把實數表示為一個算法 $f$ ，它取一個正整數 $n$ 然後輸出一對有理數 $(f_{\ell }(n),f_{r}(n))$ 使得

　
: $m\leq n\implies f_{\ell }(m)\leq f_{\ell }(n)$

　
: $m\leq n\implies f_{r}(n)\leq f_{r}(m)$

　
: $0\leq f_{r}(n)-f_{\ell }(n)\leq {1 \over n}$

使得當 $n$ 增大，區間 $[f_{\ell }(n),f_{r}(n)]$ 變小，而前 $n$ 個這種區間的交不空。我們使用 $f$ 來計算它所表示的實數的任何精度的有理數近似。

在這個定義下，實數 ${\sqrt {2}}$ 可以用一個算法表示，它對於每個 $0\leq i\leq n$ 計算出最大的整數 $a_{i}$ 使得 $a_{i}^{2}\leq 2i^{2}$ 然後輸出 $\left(\mathrm {max} \left\{{a_{i} \over i}\right\},\mathrm {min} \left\{{a_{i}+1 \over i}\right\}\right)$ 。

這個定義和採用柯西列的經典定義相關，除了要求序列是構造式的：也就是說，我們有個計算第 $n$ 個序列中的元素的算法，所以有一個計算任意精確的對 ${\sqrt {2}}$ 的有理數近似的算法。

注意構造性要求使得上述定義和通常非構造主義的實數定義不相容：因為每個算法 $\xi $ 必須是一個有限指令集 $\Sigma $ 上的有限序列，存在一個雙射函數 $f:\Sigma ^{*}\rightarrow \mathbb {N} $ 。所以所有算法的集合和所有自然數的集合有同樣的基數。當使用一個非構造式的定義時，康托對角線論證證明實數比自然數有更高的基數。

## 數學家們的態度

傳統上，數學家對於數學構造主義曾經持懷疑態度，如果不是完全反對的話，很大程度上這是因為它對構造分析的限制．

這些觀點希爾伯特在 1928 年曾有強烈表示．他在《數學基礎》（Die Grundlagen der Mathematik）寫道：「把排中律從數學家那裡拿走，就像把望遠鏡從天文學家那裡拿走，或是從拳擊手那裡把拳頭拿走一樣」[1]
（排中律在構造性邏輯中不成立）。

Errett Bishop，在他 1967 年的著作《構造性分析學基礎》（Foundations of Constructive Analysis）中，作了很多驅散這種恐怖，他的辦法是用構造性的框架中發展出傳統的分析學的大部分．

但是，不是所有數學家都認為 Bishop 非常成功，因為的他的書必須比經典分析教科書更複雜．

無論如何，多數數學家不認為應該把自己限制到構造主義方式，甚至當可以這樣做時。

## 對構成主義有貢獻的數學家

* 克羅內克（Leopold Kronecker）
* L.E.J. Brouwer
* 保羅・洛倫岑
* Errett Bishop

## 分支

* 構造性邏輯
* 構造主義類型理論
* 構造主義分析
* 可計算性邏輯

## 參見

* 數學直覺主義
* 直覺主義類型理論
* 有限主義
* 博弈語義學
* 構造性證明

## 參考來源

## 外部連結

* 可計算邏輯主頁
数学桥丛书

**數學橋叢書**是由上海科技教育出版社出版的一系列數學主題的科普書籍，2022 年起在每年的圓周率日出版。

## 第一輯

第一輯在 2022 年 3 月 14 日首次出版。

## 第二輯

第二輯在 2023 年 3 月 14 日首次出版。

## 發現數學叢書

《發現數學叢書》是上海科技教育出版社 2007 至 2013 年間出版的一系列數學主題的科普書籍，其中部分在《數學橋叢書》再版

## 另見

* 數學大師

## 參考文獻

## 外部連結

* 豆瓣上的數學橋叢書系列
数学游戏

**數學遊戲**即包含了數學中的遊戲和使用數學玩的遊戲。

## 遊戲中的數學

* 博弈論
* 康威的組合博弈論和超現實數

## 使用數學玩遊戲

趣味數學上的著名人物，他們都進行了不少和數學遊戲有關的研究，或發明了一些數學遊戲。

* 康威
* 葛登能
* 霍夫斯泰特
* 亨利・杜德耐
* 皮亞特・海恩
* 森姆・萊特

## 數學中的遊戲

大部分數學遊戲的規則都非常簡單，但解決它們時，有時卻需用到很高深的幾何學、圖論、拓撲學、組合數學、邏輯學或博弈論等的知識。對某些數學遊戲的研究，更有助推動一些數學話題的發展。不少數學家都是數學遊戲的愛好者。

## 參見

* 已解遊戲
* 趣味數學

## 外部連結

* Winarc，有很多經典數學遊戲的程式（Windows）
* Plastelina Logic Games （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学猜想列表

這是一個**數學猜想列表**。

## 已被證明的

* 費馬猜想
* 康威－諾頓猜想
* 魏依猜想
* 幾何化猜想
* 龐加萊猜想
* 卡塔蘭猜想
* 谷山 - 志村猜想
* 天使問題
* 法伊特 - 湯普森定理
* 怪獸月光理論
* ε- 猜想
* 四色猜想
* 弱哥德巴赫猜想
* 漢娜・諾伊曼猜想
* 克卜勒猜想
* 卡迪森－辛格問題

## 已知不成立的

* 歐拉猜想
* 默滕斯猜想

## 尚未被證明或證否的

* Abc 猜想（望月新一自稱已證明）
* 吾鄉 - 朱加猜想
* 貝赫和斯維訥通 - 戴爾猜想
* 布羅卡猜想
* 考拉茲猜想
* 克拉梅爾猜想
* 歐德斯 - 史特勞斯猜想
* 吉爾布雷斯猜想
* 哥德巴赫猜想
* 希爾伯特 - 史密斯猜想
* 霍奇猜想
* 不變子空間問題
* 雅可比猜想
* 勒穆瓦納猜想
* 梅森猜想
* 佩特森圖
* 卡塔蘭猜想
* 黎曼猜想
  * 廣義黎曼猜想
  * 希爾伯特 - 波利亞猜想
* 哈代 - 李特爾伍德第二猜想
* 孿生素數猜想
* 阿廷原根猜想
* 阿廷 L 函數猜想
* 新梅森猜想
* 最大素數差猜想

## 另見

* 千禧年大獎難題
* 未解決的數學問題
* 未解決問題列表
* 數學定理列表
* ZFC 系統無法確定的命題列表
数学理论

**理論**（英語：theory），又稱**學說**或**學說理論**，指人類對自然、社會現象，按照已有的實證知識、經驗、事實、法則、認知以及經過驗證的假說，經由一般化與演繹推理等等的方法，進行合乎邏輯的推論性總結。

接近科學的學說是科學的，反之則是違背科學的或者說偽科學；任何自然科學的產生，源自對自然現象觀察。
人類藉由觀察實際存在的現象或邏輯推論，而得到某種學說。任何學說在未經社會實踐或科學試驗證明以前，只能屬於假說。如果假說能藉由大量可重現的觀察與實驗而驗證，並為眾多科學家認定，這項假說就可被稱為科學理論。

## 著名理論

* 心理學：古典制約、操作制約；
* 哲學：思辨理性；
* 數學：集合論、混沌理論、圖論、奧卡姆剃刀、計算理論、數論和概率論；
* 統計學：極值理論；
* 物理學：牛頓力學、相對論、量子力學、標準模型、弦理論、超弦理論、大統一理論、M 理論、聲學理論、天線理論、萬物理論、卡魯扎 - 克萊恩理論 、迴圈量子重力論；
* 行星科學與地球科學；
* 氣象學：全球暖化理論；
* 地理學：大陸漂移學說、板塊構造學說；
* 生物學：自然選擇理論、演化論、內共生學說、中性理論；
* 計算機科學：算法資訊理論、計算機理論；
* 經濟學：微觀經濟、宏觀經濟、博弈論、理性選擇理論；
* 管理學：X 理論、Y 理論、Z 理論；
* 性科學：樓梯理論；
* 社會學：批判社會理論、價值論；
* 人類學：批判理論；
* 國際關係學：霸權穩定論、民主和平論、世界體系理論；
* 文學：文學理論；
* 音樂：樂理；
* 其他理論：燃素說、限制理論、123 理論。

## 參見

## 外部連結

* "How science works: Even theories change", _Understanding Science_ by the University of California Museum of Paleontology.（英文）
* What is a Theory?（英文）
数学用表

**數學用表**是計算器普及之前，用於簡化並加快運算速度的表格。數學用表中列出了大量不同變量進行計算後的結果，使用者可以通過查表直接得到運算結果。最常見的數學用表是乘法表，多數人在早期的數學課上就學習了這一表格：

例如要查找 7×8 的結果，可以查詢第 7 行第 8 列並得到結果 56。

## 歷史和用法

目前已知最早的三角函數表是由喜帕恰斯製作的。常用對數和反對數常用於快速乘、除及乘冪，包括 _n_ 次方根的計算。特殊函數表也常被使用。例如常態分布的累積分布函數到今天仍在很多場合使用，特別是在學校。

由於早期人為計算的對數表中存在大量錯誤，出現了差分機用於大對數表的計算。二戰期間，早期的八位計算機出現並用於計算火炮專用的數學用表。1972 年以來，科學計算器的大量使用也讓大部分數學用表退出歷史舞台。

## 參見

* 矩陣
* 隨機數表
* 真值表

## 外部連結

* （英文）數學用表生成器 -- 使用 JavaScript 生成加法、減法、乘法、除法或乘冪的數學用表
数学百科全书

《**數學百科全書**》（俄語：**Математическая энциклопедия**）為蘇聯科學院院士、通訊院士和蘇聯數學各領域的權威學者執筆撰寫，伊萬・維諾格拉多夫主編的一部數學百科全書，由蘇聯大百科全書出版社出版，最早的版本於 1977 年出版，爾後陸續出版了增訂本。該書是數學史上的一個里程碑，是當今世界上內容最新、最全面、水平最高的一部大型數學工具書。

這部百科全書已經有 CD-ROM 版本及網絡版本。

## 英文版本

俄文版出版後不久，英文版《數學百科》（_Encyclopedia of Mathematics_，_EOM_；前稱 _Encyclopaedia of Mathematics_）即由荷蘭克魯維爾公司組織 180 多位數學家聯合翻譯出版，並附有大量的增訂。

## 中文版本

中文版由中國數學會領導，組織中國 200 多位數學家進行編譯，據俄文版和英文版翻譯，1994 年起分 5 卷陸續由科學出版社出版，歷時 10 年完成。其繁體版本由九章出版社在台灣出版。

## 參見

* 《克萊因數學百科》

## 參考資料

## 外部連結

* 在線《數學百科全書（英文版）》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学直觉主义

在數學哲學和邏輯中，**直覺主義**（英語：Intuitionism），或者**新直覺主義**（Neointuitionism ）（對應於前直覺主義（Preintuitionism）），是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。也可翻譯成**直觀主義**。

任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價於它的構造的可能性。這和古典的方法不同，因為根據古典方法，一個實體的存在可以通過否定它的不存在來證明。對直覺主義者來說，這是不正確的：不存在的否定不表示可能找到存在的_構造_證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。

直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造，還有什麼其它法則可以用作真實性的檢驗呢（如同直覺主義者所說的一樣）？這意味著直覺主義者對一個數學命題的含義，可能與古典的數學家有不同理解。例如，說 _A_ 或 _B_，對於一個直覺主義者，是宣稱 _A_ 或是 _B_ 可以被「證明」，而非兩者之一「為真」。值得一提的是，只允許 _A_ 或 非 _A_ 的排中律，在直覺主義邏輯中是不被允許的；因為不能假設人們總是能夠證明命題 _A_ 或它的否定命題。

直覺主義也拒絕承認實無窮的抽象概念；也就是說，它不把像所有自然數的集合或任意有理數的序列這樣的無窮當作實體來考慮。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。

## 對直覺主義有貢獻的人

* 魯伊茲・布勞威爾
* 阿蘭德・海廷
* 史蒂芬・克萊尼
* 麥可・達米特

## 直覺主義數學的分支

* 直覺邏輯
* 直覺主義算術
* 直覺類型理論
* 直覺主義集合論
* 直覺主義微積分

## 參看

* 超直覺主義
* 反現實主義
* BHK 釋義
* 直覺類型論
* 經典邏輯
* 中間邏輯
* 線性邏輯
* 構造性證明
* Curry-Howard 對應
* 可計算性邏輯
* 博弈語義

## 資源

* Article on Intuitionism. 羅德里奇哲學百科全書 （英語）.
数学科学研究

**數學科學研究**(Studies in Mathematical Sciences)，是由加拿大科學與文化研究與發展中心 (Canadian Research & Development Center of Sciences and Cultures) 2010 年 11 月份創辦，總部位於魁北克省蒙特婁市。 《數學科學的研究》是一個季度開放存取同行評審科學期刊，涵蓋純數學和應用數學，包括微分方程、模糊數學、代數幾何、概率和統計、金融數學和生物數學等等。現任主編，首席盧卡問：贊博尼（里昂大學）。

## 外部連結

* 數學科學研究 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学科学研究所

**美國國家數學科學研究所**（英語：Mathematical Sciences Research Institute），簡稱 **MSRI**，位於美國著名高等學府加州大學柏克萊分校後山，是世界最重要的數學研究中心之一。研究所每年有大約 2000 名數學家及相關科學家從世界各地來訪研究所，包括相當數量的菲爾茲獎（數學界最高獎）得主和阿貝爾獎得主。研究所的運行經費主要來自於美國國家科學基金會，還收到世界上約 100 所高校和機構的資助。

1982 年，在美國國家科學基金會的支持下，研究所由華裔數學大師、柏克萊數學系教授陳省身等人在柏克萊校園內建立，作為獨立非盈利性的研究所 、旨在促進美國國家數學及相關學科的研究。創所總監為陳省身教授。1985 年研究所搬遷到柏克萊後山、俯瞰舊金山灣，緊鄰柏克萊空間科學實驗室。研究所新建的主樓被命名為「陳省身樓」（Shiing-Shen Chern Hall）。

## 創立歷史

1978 年，美國國家科學基金會提議建立一個旨在促進美國數學研究的研究所。同年，陳省身、艾沙道爾・辛格及卡爾文・C・辛格等加州大學柏克萊分校數學教授向美國國家科學基金會申請在加州大學柏克萊分校建立美國國家數學科學研究所 。1981 年，陳省身等人的提案獲批；1982 年 9 月，美國國家數學科學研究所在柏克萊校園內正式成立，陳省身教授擔任首任總監。

1985 年研究所搬遷到柏克萊校園後山，緊鄰柏克萊空間科學實驗室，研究所新建的主樓被命名為「陳省身樓（Shiing-Shen Chern Hall）」 。

## 聲譽現狀

美國國家數學科學研究已成為世界最重要的數學研究中心之一，通過一個由 10 位世界頂尖數學家組成的委員會治理 ，研究所的運行經費主要來自於美國國家科學基金會 。研究所的主要研究人員包括研究教授、研究員和博士後研究員等。每年有大約 2000 名數學家或相關科學家從世界各地到訪研究所，包括相當數量的菲爾茲獎得主和阿貝爾獎得主。

為了促進數學教育，研究所提供暑期研究生課程和本科生課程，以及初中生、高中生等數學學習專案。此外，研究所把舉辦過的演講錄影后上載網際網路，供公眾免費觀看。

## 歷任總監

## 參考資料

除另有註明外，所有參考資料均為英文。

## 外部連結

* MSRI 官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MSF 轄下數學研究所一覽 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学突破奖

**數學突破獎**（Breakthrough Prize in Mathematics）是 2013 年由尤里・米爾納與馬克・扎克伯格共同設立的獎項。2016 屆開始在突破獎外還頒發新視野獎。

第一屆於 2014 年（2015 年獎，前一年頒發）頒發給西蒙・唐納森、馬克西姆・孔采維奇、雅各・盧里、陶哲軒與理查・泰勒，之後每一年有一位獲獎者，每位獲獎者各得 300 萬美元。

## 獲獎名單

## 參考文獻
数学笑话

**數學笑話**是一種關於數學和數學家的幽默，有時來自於一些數學術語的雙關含義，有時來自於對數學的一些誤解。

## 觀念

### 進位制相關

* 這個世界上有 10 種人，懂二進位的人與不懂二進位的人。（二進位的 "10" 等於十進位的 2）

### 數學概念相關

* 老闆給了工程師、物理學家和數學家每個人一桶油漆，讓他們分別把牆塗滿。過了一會，老闆走進工程師的房子裡，發現只有一面牆被塗了漆。工程師說：「我塗完才發現油漆不夠用！」老闆又走進物理學家的房子看，發現什麼都沒塗，物理學家說：「我計算了一下，發現油漆不夠用就沒塗了。」最後老闆走進數學家的房間一看，發現牆全被塗滿了油漆，而且桶裡的油漆竟然一點沒少！老闆很驚訝，問數學家怎麼回事。數學家答道：「很簡單，我只塗了所有的有理點！」後來數學家還把一桶油漆分成了兩桶，送了一桶給物理學家，從此成了油漆大亨。

### 數學家的刻板印象相關

* 數學家、生物學家和物理學家坐在咖啡廳里，看著人們進出對面的房子。首先，他們看見兩個人進去；過了一段時間，卻看到三個人出來。物理學家說：「我們測量得不準確。」生物學家說：「他們一定是繁殖了。」數學家說：「如果再有一個人進去，房子就空了。」
* 天文學家、物理學家和數學家坐在蘇格蘭的火車上。天文學家往窗外看了看，見到一隻黑色的綿羊，說：「奇怪。蘇格蘭的綿羊是黑的！」物理學家說：「不，不。只有一些蘇格蘭的綿羊是黑的。」數學家說：「你們都錯了。在蘇格蘭，在這一時刻，至少有一隻綿羊，且這只綿羊至少從我們這個位置看過去是黑的。」
* 社會學家、物理學家和數學家每人給一條繩，要求圍出最大的面積。社會學家想了一會，圍出了一個正方形。物理學家想到圓的面積比同周長的正方形更大，於是就圍了一個圓，並且對數學家說：「你能圍出比這更大的嗎？！」數學家把繩子將自己圍了起來，說：「我現在所站的位置定義為我圍的面積的外面！」

## 計算

### 數學推論

多數笑話是基於數學證明，例如這個證明女人是邪惡的：

　
:

有些笑話是來自對算式的曲解，例如

　
: ${\Big (}\lim _{x\to 8}{\frac {1}{|x-8|}}=\infty {\Big )}\implies {\Big (}\lim _{x\to 3}{\frac {1}{|x-3|}}=\omega {\Big )}$

以及以下的偶然對消

　
: ${\frac {64}{16}}={\frac {\not 64}{1\not 6}}={\frac {4}{1}}=4$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{x}}={\frac {\not \mathrm {d} }{\not \mathrm {d} x}}{\frac {1}{x}}={\frac {}{x}}{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

　
: ${\frac {\sin x}{n}}={\frac {{\text{si}}\not {\text{n}}\ x}{\not n}}={\text{six}}=6$

　
: ${\frac {f(g(x))}{g(x)}}={\frac {f({\cancel {g(x)}})}{\cancel {g(x)}}}=f$

## 拓撲

有一個笑話是說，拓撲學家不能區分咖啡杯和甜甜圈，這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀，二者是在拓撲上是同胚的，可以一連串的連續變換將甜甜圈變換為咖啡杯的形狀。

## 諧音哏

基於諧音或雙關的笑話可能會根據具體語言不同而有很大差別。例如，中文數學笑話：

一天，正弦函數 ${\text{sin}}(x)$ 出門去聽相聲。晚上它的家人聽到有人敲門，打開門之後發現門外站著一個很長很長的多項式。

家人問：「請問你是誰？」

多項式回答：「我是 ${\text{sin}}(x)$ 啊！」

「你怎麼變成這樣了？」家人十分不解。

「因為太樂（泰勒）了！」（正弦函數的泰勒級數是一個多項式）

英語數學笑話例子：

> When Noah sends his animals to go forth and multiply, a pair of snakes replies "We can't multiply, we're adders" – so Noah builds them a log table.
> 
> 

這個笑話有四個雙關語：adder 可以指極北蝰和做加法的人；multiply 可以指繁殖和乘法； log 可以指樹幹和對數； table 可以指桌子和表格。

## 相關連結

* 笑話
* 球體奶牛
* 科學笑話

## 參考資料
数学符号表

數學中，有一組常在數學表達式中出現的符號。數學工作者一般熟悉這些符號，使用時不一定會加以說明。但絕大多數常見的符號都有相應標準或 Unicode 符號說明等加以規範。

下表列出很多常見數學符號，並附有名稱、讀法和應用領域。第三欄為非正式定義，第四欄提供簡單例子。

## 數學符號表

## 注釋

## 參見

* 數學符號
* 用於數學、科學和工程的希臘字母
* 數學字母數字符號
* 數學常數
* 邏輯符號表

## 外部連結

* Compendium of Mathematical Symbols - Math Vault （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Math Symbols List - RapidTables （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Jeff Miller: _Earliest Uses of Various Mathematical Symbols_
* TCAEP - Institute of Physics

## 參考資料
数学类型

**MathType** 是由 Design Science 公司設計的一個可以在 Word、PowerPoint 等字處理軟體和演示程式中編輯科學方程式編輯器。支援 TeX 和 LaTeX，以及國際標準 MathML，並能夠把方程式轉化為支援 Web 的各種圖形（GIF 等），也支援 WMF 和 EPS 輸出。截至 2018 年 9 月，目前最新的版本是 7.3（Windows 中文版）。

MathType 是強大的數學方程式編輯器，與常見的文書處理軟體和演示程式配合使用，能夠在各種文件中加入複雜的數學方程式和符號，可用在編輯數學試卷、書籍、報刊、論文、幻燈演示等方面，是編輯數學資料的得力工具。MathType 與常見文書處理工具緊密結合，支援 OLE（物件的連結與嵌入），可以在任何支援 OLE 的文書處理系統中呼叫（從主選單中選擇 "插入 -> 物件" 在新物件中選擇 "MathType"），幫助使用者快速建立專業化的數學技術文件，對 Word 或 WPS 等文書處理系統的支援相當好。

MathType 實現「所見即所得」的工作模式，它可以將編輯好的方程式儲存成多種圖片格式或透明圖片模式，可以很方便的添加或移除符號、表達式等模板（只需要簡單地用滑鼠拖進拖出即可），也可以很方便地修改模板。

MathType (數學方程式編輯器) 提供以下功能：
1. 直觀易用、所見所得的使用者介面，與 Windows, Macintosh 環境中各種文書處理軟體和出版軟體相容。
2. 自動智慧型改變方程式的字型和格式，適合各種複雜的方程式，支援多種字型。
3. 支援 TeX 和 LaTeX，以及國際標準 MathML，並能夠把方程式轉化為支援 Web 的各種圖形 （如 Gif 等），也支援 WMF 和 EPS 輸出。
4. 附加七十多種專用符號字型，數百種方程式符號和模版，涵蓋數學、物理、化學、地理等科學領域。

## 參見

* 方程式編輯器

## 外部連結

* MathType 官網 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mathtype 7 中文版下載 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MathType 使用技巧 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学纪事

《**數學年刊**》（_Annals of Mathematics_）是普林斯頓大學和普林斯頓高等研究院辦的數學期刊。

## 外部連結

* 官方網站
数学经济

**數理經濟學**（英語：mathematical economics）是運用數學方法來闡述經濟學理論和分析經濟學問題的學科。從廣義上說，數理經濟學是運用數學模型來進行經濟分析，解釋經濟學現象的理論。從狹義上來說，是特指法國經濟學家瓦拉斯（Léon Walras）開創的一般均衡理論體系。通常可分為靜態分析與動態分析。

這個理論首先設立「人是理性的」這個假設，然後利用各種數學方法，來模擬各種經濟學現象，並進推論出有關問題的解決方案。

## 參考文獻

* 《數理經濟學的基本方法 》蔣中一
数学结构

在數學中，一個集合上的**結構**，或者更一般的講類型，是由附加在該集合上的數學對象所組成，它們使得這個集合更易操作或賦予它們特殊的意義。

常見的結構包括測度，代數結構，拓撲結構，度量結構（幾何），序，和等價關係等等。

有時候，一個集合同時有幾種結構；這使得可研究的屬性更豐富。例如，序可以導出一種拓撲。又如，如果一個集合有個拓撲並是一個群，而且這兩個結構滿足一定關係，則該集合成為一個拓撲群。

## 例子：實數

實數集有幾個標準結構：

* 序：任意兩個數都可以比較大小，即全序。
* 代數結構：乘法和加法使其成為一個域。
* 測度：實直線上的區間有長度。
* 幾何：它有一個度量，並且是平直的。
* 拓撲：數和另外一個數有遠近關係。

這些關係互相關聯：

* 序和度量分別導出它的拓撲。
* 序和代數結構使它成為有序域。
* 代數結構和拓撲使它成為李群（一種拓撲群）。

## 引用

* Structure. PlanetMath.  _(provides a categorical definition.)_
数学结构主义

在數學哲學中，**構成主義**或**構造主義**認為要證明一個數學對象存在就必須把它構造出來。如果假設一個對象不存在，並從該假設推導出一個矛盾，對於構成主義者來說，不足以證明該對象存在。（構造性證明）

構成主義常常和直覺主義混淆，實際上，直覺主義只是構成主義的一種。直覺主義強調數學的基礎建立在數學家們個人的直覺上，這樣就把數學在本質上作為一種主觀活動。構成主義不這樣強調，並和對數學的客觀看法保持一致。

## 構造主義數學

構造主義者的數學使用構造性邏輯，該邏輯將真實性和證明等同起來。要構造性的證明 $P\lor Q$ ，我們必須證明 $P$ 或 $Q$ ，或兩者同時成立。要構造式的證明 $\exists _{x\in X}P(x)$ ，我們必須給出一個特定的 $a\in X$ 和一個 $P(a)$ 的證明。要構造式的證明 $\forall _{x\in X}P(x)$ ，我們必須給出一個算法，它對於每個 $a\in X$ 輸出一個 $P(a)$ 的證明。

構造主義同時拒絕採用無窮對象，例如無窮集合和序列。

### 實分析中的例子

在經典實分析中，實數構造的方法之一是把它作為有理數的柯西列對。這個構造在構造主義數學中不成立，因為序列是無窮的。

作為替換，我們把實數表示為一個算法 $f$ ，它取一個正整數 $n$ 然後輸出一對有理數 $(f_{\ell }(n),f_{r}(n))$ 使得

　
: $m\leq n\implies f_{\ell }(m)\leq f_{\ell }(n)$

　
: $m\leq n\implies f_{r}(n)\leq f_{r}(m)$

　
: $0\leq f_{r}(n)-f_{\ell }(n)\leq {1 \over n}$

使得當 $n$ 增大，區間 $[f_{\ell }(n),f_{r}(n)]$ 變小，而前 $n$ 個這種區間的交不空。我們使用 $f$ 來計算它所表示的實數的任何精度的有理數近似。

在這個定義下，實數 ${\sqrt {2}}$ 可以用一個算法表示，它對於每個 $0\leq i\leq n$ 計算出最大的整數 $a_{i}$ 使得 $a_{i}^{2}\leq 2i^{2}$ 然後輸出 $\left(\mathrm {max} \left\{{a_{i} \over i}\right\},\mathrm {min} \left\{{a_{i}+1 \over i}\right\}\right)$ 。

這個定義和採用柯西列的經典定義相關，除了要求序列是構造式的：也就是說，我們有個計算第 $n$ 個序列中的元素的算法，所以有一個計算任意精確的對 ${\sqrt {2}}$ 的有理數近似的算法。

注意構造性要求使得上述定義和通常非構造主義的實數定義不相容：因為每個算法 $\xi $ 必須是一個有限指令集 $\Sigma $ 上的有限序列，存在一個雙射函數 $f:\Sigma ^{*}\rightarrow \mathbb {N} $ 。所以所有算法的集合和所有自然數的集合有同樣的基數。當使用一個非構造式的定義時，康托對角線論證證明實數比自然數有更高的基數。

## 數學家們的態度

傳統上，數學家對於數學構造主義曾經持懷疑態度，如果不是完全反對的話，很大程度上這是因為它對構造分析的限制．

這些觀點希爾伯特在 1928 年曾有強烈表示．他在《數學基礎》（Die Grundlagen der Mathematik）寫道：「把排中律從數學家那裡拿走，就像把望遠鏡從天文學家那裡拿走，或是從拳擊手那裡把拳頭拿走一樣」[1]
（排中律在構造性邏輯中不成立）。

Errett Bishop，在他 1967 年的著作《構造性分析學基礎》（Foundations of Constructive Analysis）中，作了很多驅散這種恐怖，他的辦法是用構造性的框架中發展出傳統的分析學的大部分．

但是，不是所有數學家都認為 Bishop 非常成功，因為的他的書必須比經典分析教科書更複雜．

無論如何，多數數學家不認為應該把自己限制到構造主義方式，甚至當可以這樣做時。

## 對構成主義有貢獻的數學家

* 克羅內克（Leopold Kronecker）
* L.E.J. Brouwer
* 保羅・洛倫岑
* Errett Bishop

## 分支

* 構造性邏輯
* 構造主義類型理論
* 構造主義分析
* 可計算性邏輯

## 參見

* 數學直覺主義
* 直覺主義類型理論
* 有限主義
* 博弈語義學
* 構造性證明

## 參考來源

## 外部連結

* 可計算邏輯主頁
数学表达式

**表達式**（expression）此處是**數學表達式**（mathematical expression）的簡稱，在數學領域中是一些符號依據上下文的規則，有限而定義良好的組合。數學符號可用於標定常數、變數、操作、函數、括號、標點符號和分組，幫助確定操作順序以及有其它考量的邏輯語法。

表達式隨語境或不同領域學科也稱：表示式、數學式、運算式（operation expression）、表式、陳式、算式；數學術語若是複合詞，表達式也常簡作「式」；例如：代數式（algebraic expression）、漸近式（asymptotic expression）。

## 範例

表達式有簡單的，例如：

　
: : $0+0$

　
: $8x-5$ （線性多項式）

　
: $7{{x}^{2}}+4x-10$ （二次多項式）

　
: ${\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}$ （有理分式）

也有複雜的：

　
: : $f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

## 各種表達式的分類列表

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。

 

## 語法與語義

### 語法

表達式是一個句法結構，它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數，組成這些輸入的字符必須是有效的，具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符，不會構成有效的數學表達式。例如，在一般算術符號中，表達式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表達式則不是：

　
: $\times 4)x+,/y$ .

### 語義

表達式的語義是對語句意義的研究，邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中，可用表達式指定一個值；而這個結果值取決於對式中變數所賦予的值，經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式 1 + 2 × 3 可能會有不同結果（依算數慣例的結果為 7，也可能是 9），這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值（例如，當它們除以 0 時）；對這表達式稱為未定義，但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說，表達式的意義並不侷限於指定值；例如，表達式可用於指定條件，表示要被求解的方程式，或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提，例如與運算符 $\oplus $ 有關的假設前提，會指定一個內部的直接和（direct sum）。

### 形式語言和 lambda 演算

**表達式**和其賦值曾在 1930 年代由阿隆佐・邱奇和 Stephen Kleene 在其 $\lambda $ 演算中被公式化。 $\lambda $ 演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

 $\lambda $ 演算有著一個更有趣的推論，在某些情況之下，兩個表達式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和 $\lambda $ 演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

## 變數

許多數學表達式中包括變數，變數又區分為自由變數或約束變數兩種。對於自由變數賦值的一給定組合，進行對表達式的評估，然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果，可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數，其輸入是賦予自由變數的值，其輸出是表達式的結果值。

舉例來說，表達式 ${\frac {x}{y}}$ ，分別使自由變數 $x$ 和 $y$ 定值為 $10$ 和 $5$ ，其輸出為數字 $2$ ； 
但注意在 $y$ 值為 $0$ 時，則這表達式_沒有定義_。

數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義，賦值的定義域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變數，對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出，則這兩個表達式被認定為相等，即它們實為相同的函數。

例如，表達式 $\sum _{n=1}^{3}2nx$ 有自由變數 $x$ 、約束變數 $n$ 、常數 $1,2,3$ 、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。 
此一表達式和另一較簡單的表達式 $12x$ 相等。 $x=3$ 時的值為 $36$ 。

## 參見

* 表達式 (程式)
* 代數閉包
* 組合子邏輯
* 函數式編程
* 方程式
* 不等

## 外部連結

* Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
* Plot mathematical expressions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.
数学规划

**最佳化**，是應用數學的一個分支。主要研究在特定情況下最大化或最小化某一特定函數或變數。

## 數學表述

最佳化主要研究以下形式的問題： 

　
: 給定一個函數 $f:A\to \mathbb {R} $ ，尋找一個元素 $\mathbf {x} ^{0}\in A$ 使得對於所有 $A$ 中的 $\mathbf {x} $ ， $f(\mathbf {x} ^{0})\leq f(\mathbf {x} )$ （最小化）；或者 $f(\mathbf {x} ^{0})\geq f(\mathbf {x} )$ （最大化）。

這裡 $A$ 一般為歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的子集，通常由一個 $A$ 必須滿足的約束等式或者不等式來規定。 $A$ 的元素被稱為是**可行解**。函數 $f$ 被稱為**目標函數**，或者**代價函數**。一個最小化（或者最大化）目標函數的可行解被稱為**最佳解**。

這類問題有時也稱為「**數學規劃**」（譬如，線性規劃）。許多現實和理論問題都可以利用這樣的一般性框架來建模，成為一個最佳化問題。

一般情況下，會存在若干個局部的極小值或者極大值。局部極小值 $x^{*}$ 定義為對於一些 $\delta >0$ ，以及所有的 $x$ 滿足

　
: $\|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta $ ;

公式

　
: $f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )$

成立。這就是說，在 $\mathbf {x} ^{*}$ 周圍的一些閉球上，所有的函數值都大於或者等於在該點的函數值。一般的，求局部極小值是容易的，但是要確保其為全域性的最小值，則需要一些附加性的條件，例如，該函數必須是凸函數。

根據以下的結論，最大化和最小化問題可以相互轉換。一般情況下，最佳化問題就可以只討論最小化即可。

　
: $f(\mathbf {x} _{0})\geq f(\mathbf {x} )\Leftrightarrow -f(\mathbf {x} _{0})\leq -f(\mathbf {x} ),$

## 符號表示

最佳化問題通常有一些較特別的符號標示方法。例如：

　
: $\min _{x\in \mathbb {R} }\;x^{2}+1$

這是要求表達式 $x^{2}+1$ 的最小值，這裡 x 取值為全體實數， $\mathbb {R} $ 。這個問題的最小值應該是 $1$ ，當 $x=0$ 。

　
: $\max _{x\in \mathbb {R} }\;2x$

這是要求表達式 $2x$ 的最大值，同樣地， $x$ 在全體實數上取值。對於這個問題，由於該表達式不是有上界的，因此不存在最大值，因此，答案應該是無限大，或者是不可定義的。

　
: ${\underset {x\in [-\infty ;-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1\,$

這是求使表達式 _x_2+1 達到最小值時 x 的值。在這裡 x 被限定在區間 [-∞
,-1] 之間，所以上式的值是 - 1。

## 主要分支

* 線性規劃：當目標函數 _f_ 是線性函數而且集合 A 是由線性等式函數和線性不等式函數來確定的， 我們稱這一類問題為線性規劃
* 整數規劃：當線性規劃問題的部分或所有的變數局限於整數值時， 我們稱這一類問題為整數規劃問題
* 二次規劃：目標函數是二次函數，而且集合 A 必須是由線性等式函數和線性不等式函數來確定的。
* 分數規劃：研究的是如何最佳化兩個非線性函數的比例。
* 非線性規劃：研究的是目標函數或是限制函數中含有非線性函數的問題。
* 隨機規劃：研究的是某些變數是隨機變數的問題。
* 動態規劃：研究的是最佳策略基於將問題分解成若干個較小的子問題的最佳化問題。
* 組合最佳化：研究的是可行解是離散或是可轉化為離散的問題。
* 無限維最佳化：研究的是可行解的集合是無限維空間的子集的問題，一個無限維空間的例子是函數空間。

## 演算法

對於無約束的最佳化問題， 如果函式是二次可微的話，可以通過找到目標函數梯度為 0（也就是反曲點）的那些點來解決此最佳化問題。我們需要用黑塞矩陣來確定此點的類型。如果黑塞矩陣是正定的話，該點是一個局部最小解， 如果是負定的話，該點是一個局部最大解，如果黑塞矩陣是不定的話，該點是某種鞍點。

要找到那些反曲點，我們可以通過猜測一個初始點，然後用比如以下的迭代的方法來找到。

* 梯度下降法
* 牛頓法
* 共軛梯度法
* 線性搜尋
* 置信域方法

如果目標函數在我們所關心的區域中是凸函數的話，那麼任何局部最小解也是全域最佳解。現在已經有穩定，快速的數值計算方法來求二次可微地凸函數的最小值。

有約束條件的約束問題常常可以通過拉格朗日乘數轉化為非約束問題。

其他一些流行的方法有：

* 遺傳演算法
* 神經網路
* 微粒群演算法
* 類比退火
* 支持向量機
* 蟻群演算法
* 類免疫演算法
* 演化策略
* 差分進化演算法

## 與人工智慧的關係

現代的電腦科學技術和人工智慧科學把最佳化作為一個重要的領域來研究。我們也可以認為人工智慧的一些演算法，就是類比了人類尋求實際問題最佳解的過程。例如，利用人工智慧方法設計軟體，配合外部的電子裝置例如網路攝影機辨識人臉；利用資料探勘和神經網路演算法來尋找投資的最佳時機等。

## 參考文獻

## 注釋

## 參閲

## 外部連結

* NEOS Guide
* Online curve and surface fitting
* Xpress-MP - Optimization software free to students （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
数学评论

**《數學評論》**（英語：Mathematical Reviews）是美國數學學會發行的一份雜誌兼線上資料庫，內含數學、統計學與計算機科學領域出版品的摘要或評價。部份評論也有發行單行本。

## 評論

《數學評論》於 1940 年創刊，旨在評審所有的數學研究出版品。至 2007 年 11 月為止，已收集超過 220 萬筆資料。作者群由編輯群選出各領域學有專精之志願者組成。目前同質的期刊僅有德文的 Zentralblatt für Mathematik 與俄文的Реферати́вный журна́л。

## 資料庫

《數學評論》的資料在 1980 年代進行了數位化。這些內容成為《數學評論科學網》MathSciNet 的一部分，這套系統整合了評論與論文引用資訊（然限於 (MathSciNet）所收文章）。《數學評論》與 MathSciNet 已成為數學研究者的常用工具之一，但是此資料庫會辨認 IP，必須在有訂購 MathSciNet 的研究機構方可登入。

## 參考資料

## 外部連結

* 《數學評論》資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
  1. Mathematical Reviews editorial statement （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） outlines the mission of Mathematical Reviews;
  2. Mathematical Reviews guide for reviewers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, intended for both reviewers and users of Mathematical Reviews.
  3. MathSciNet FAQ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Exceptional MathReviews （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） collected by Kimball Martin and sorted by amusement factor.
数学谱系计划

**數學譜系計劃**（英語：Mathematics Genealogy Project）是一個針對數學家學術譜系的網絡資料庫。截止至 2015 年 7 月，它已整合超過 190,600 位做出過一定研究貢獻的數學科學家的數據。資料庫中一個典型數學家的內容包含其畢業年份、母校、博士生導師和其帶出的博士學生。

該項目由明尼蘇達州立大學教授哈里・庫恩斯發起，始於 1997 年秋。然而在 2002 年秋天校方停止支持，計劃移至北達科塔州立大學。2003 年和 2005 年，該計劃分別得到美國數學學會和克雷數學研究所的支持。

## 起源

計劃的創始人哈里・庫恩斯發起項目的初衷是想知道他博士導師的導師是誰。當時庫恩斯是明尼蘇達州立大學曼凱托分校的數學教授，1997 年秋季網站正式上線，1999 年庫恩斯退休，2002 年秋學校決定不再支持該項目，於是被迫轉移到了北達科塔州立大學。自 2003 年，項目主要在美國數學學會的支援下進行，此外在 2005 年克雷數學研究所也捐贈了一筆資金。

## 目標

該項目旨在「匯集全世界所有數學家的信息」，對象包括「所有獲得數學博士學位的人」。此外項目宣言還提到：「在整個項目中，數學和數學家都是涵蓋面很廣的詞彙。因此，任何來自統計學、計算機科學、哲學或運籌學的數據都歡迎加入其中」。

## 範圍

譜系信息主要來自國際學位論文摘要（_Dissertation Abstracts International_）和美國數學學會通告（_Notices of the American Mathematical Society_）等來源，但也可能來自任何提供者。該資料庫可供檢索，每個條目包含了數學家的姓名、畢業院校及其所屬國家、畢業年份、學位論文題目、導師和第二導師姓名、其指導過的博士生列表和門生的總數。一些沒有博士學位但頗為重要的人物也列入了資料庫中，如義大利數學家約瑟夫・拉格朗日。

## 批評

一份發表在《自然》雜誌的報導注意到「數學譜系計劃的數據是人們自己報告上去的，所以沒法保證這一譜系網絡是一份完整描述。實際上，有 16,147 位數學家沒有記錄在冊的導師，其中 8,336 位沒有顯示其門生。」此外，報告還宣稱：「我們認為，只有那些 1900 年和 1960 年間畢業的數學家的信息才是最可靠的。」此外，該網站對於錯誤信息的修訂需要驚人的一個月之久，對於很多明顯的，侵犯他人名譽的錯誤視而不見聽而不聞。

## 參考來源

## 外部連結

* 數學譜系計劃主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
数学软件

**數學軟體**，是用來建模、分析、計算各種數學資料，包括數值、符號、幾何資料等之電腦軟體。

## 電腦代數系統

目前比較流行的電腦代數系統有 MAPLE、Mathematica、Maxima、PARI/Gp、Sage 等。

## 統計

常見的統計軟體有 SPSS、SAS、Minitab、R 語言、PSPP 等。

## 幾何

常見的交談式幾何軟體有 GeoGebra、幾何畫板等。

## 數值分析

常見的數值分析軟體有 MATLAB、GNU Octave、Scilab、FreeMat 等。