数值相对论

**數值相對論**（英語：numerical relativity）是廣義相對論的一個分支，旨在透過數值方法求解愛因斯坦場方程式，以模擬強引力場中的物理過程。相對論天文學中的物理系統，如引力塌縮、中子星、黑洞及重力波等等，以及其他不能利用弱場低速情形中結論近似的現象都可以利用數值相對論模擬。

由於愛因斯坦方程式的複雜性與非線性，這一領域的模擬需要特定的數值方法。而計算量巨大的三維問題則需要藉助超級計算機解決。一些數學與天體物理學問題，比如密接聯星及其重力波的數值模擬，目前可以利用數值相對論求解。

## 概述

數值相對論的要旨在於，利用數值計算方法研究目前不能解析地描述的引力場。這些引力場可動可靜，既可能是真空場，也可能包含物質場。靜止場問題主要研究場的穩定性。而動態引力場問題則分為兩個主要方面，初值問題與演化問題。兩種問題各自有不同的求解方法。

數值相對論可用於研究宇宙學模型，比如引力塌縮的臨界現象及有黑洞或中子星參與的過程（特別是這兩種天體的併合與受到的擾動）。這些情形都涉及到對時空演化的追蹤。描述這些情形的愛因斯坦場方程式可以用不同形式表述。常用方法包含柯西問題方法、特徵線法以及雷奇理論法等。這些方法都是從某個超曲面上引力場某一時刻的情形開始推導的，也就是說基於初始值按照時間的流向追蹤它向鄰近超曲面的演化。

與其他數值分析問題一樣，數值相對論也需要注意數值解是否穩定並收斂，以及它們適用的初始與邊界條件。而度規與坐標條件的存在更使得數值相對論顯得尤其複雜。能否求出合適的數值解還會受到愛因斯坦方程式表述方式的影響。

由於所涉及的場有所不同，古典場論的許多方法在數值相對論中並不可用。不過，在應對大尺度問題時，數值相對論則與計算流體力學、電動力學以及固體力學等計算科學有很多相似之處。數值相對論還涉及到數值分析、並發計算、偏微分方程式以及幾何學等數學領域。

## 發展史

### 理論基礎

阿爾伯特・愛因斯坦在 1915 年系統地闡釋了廣義相對論。與狹義相對論中的情形類似，時間與空間在廣義相對論中統一為時空，而演化則服從愛因斯坦方程式。愛因斯坦方程式是一組耦合非線性偏微分方程組。在這個方程組誕生後的近一個世紀的時間裡，物理學家僅僅解出了少數幾個精確解。並且，其中許多的精確解是在高度對稱的條件下，也就是說在方程式被很大程度簡化時，推導出來的，比如均一且各向同性宇宙的傅里德曼解。

為了在更普遍的條件下研究愛因斯坦方程式，數值相對論應運而生。數值求解愛因斯坦方程式的必要前提是將四維時空還原為各自獨立的三維空間與一維時間，也就是時空的「3＋1 解構」。這個過程可以透過幾種或簡或繁的途徑實現。這個問題的首個突破是由理察・阿諾維特、斯坦利・德塞爾以及查爾斯・W・米斯納於 1950 年代後期利用哈密頓力學沿著保羅・狄拉克給出的途徑實現的。他們對於愛因斯坦方程式的推演結果稱作 ADM 形式。出於技術原因，他們的結果並不適用於數值計算。它的雙曲性很弱，因而在實際計算中很難使用。不過數值相對論中許多用到 3＋1 解構的求解方法還是與 ADM 形式緊密相關。這種解構會將愛因斯坦方程式整理為具有一定初始條件的柯西問題。這種形式已經是計算機數值求解慣常解決的問題。

時空的坐標也不能唯一確定。即使固定了起始超曲面上的坐標，但在穿越到鄰近的超曲面時，時空坐標也會因不同的取法而不同。這是數值相對論的一個特徵。這種度規上的自由度雖然並不會影響實際上的物理過程，但對過程的描述可能會因其改變。假設從起始的超曲面到鄰近的超曲面，時間與空間坐標上分別移動了 $\alpha $ 與 $\beta ^{i}$ 。位移描述方式上的不同，也就是說 $\alpha $ 與 $\beta ^{i}$ 的取法不同，會導致推導出的方程組形式發生變化。適當的取法會為數值方程式的數值求解帶來潛在的好處，但坐標和度規許多看來「自然」的取法會導致數值解不穩定，並導致模擬失敗。

在 ADM 形式發表時，計算機的算力並不足以應對這一計算。1964 年，哈恩和林德奎斯特首次嘗試數值求解愛因斯坦方程式。隨後在 1970 年代，斯馬與埃普利繼續這方面的嘗試。這些早期的嘗試主要針對軸對稱（「2＋1 維」）時空的情況。茨維・皮蘭寫出了首個可以追蹤輻射重力波的柱對稱系統演化的程序。皮蘭在此項工作中為數值相對論中許多概念奠基，比如自由演化與約束演化。它們是推導起始數據隨時間演化的兩種途徑。對稱性的引入降低了內存與運算速度的門檻，使得科學家可以透過當時的超級計算機解決一些問題。

### 早期結果

理察・史塔克與茨維・皮蘭在 1980 年代早期首次對於真實的天體物理學問題做了數值計算。他們首次計算了旋轉黑洞在產生階段輻射出的重力波。在這個結果發表後的近二十年的時間裡，數值相對論少有結果發表。這可能還是因為計算機算力不夠。1990 年代，美國「大挑戰」中的雙黑洞項目組成功地模擬了兩個黑洞迎頭相撞的過程。他們利用了問題軸對稱的特點簡化了求解過程。項目組還在後期處理階段透過這個數值解計算了事件視界。

而在三維時空中數值求解愛因斯坦方程式方面最早的嘗試專注於不自轉的史瓦西黑洞。這種黑洞靜止且具有球對稱性。對於驗證數值相對論，這一問題十分理想：一是由於科學家非常了解這個問題的解析解，二是由於不自轉的黑洞的數值解必然對時間收斂，三是由於這個問題還包含了數值模擬中一種非常複雜的模擬對象 —— 黑洞中心的引力奇異點。1995 年，安尼諾斯等人發表了這一問題最早的結果之一。在文章中，他們寫道：

> 目前的計算機缺少足夠的內存與算力以模擬解析的三維時空。這一點阻礙了三維數值相對論的發展。
> 
> 

### 理論的發展

在之後的幾年裡，隨著計算機功能更為強大，幾組研究人員發展了幾種可以提升運算效率的技術。拉撒路組使用了早前透過非線性 ADM 方程組對黑洞融合模擬的結果，基於單黑洞線性微擾理論，得到了更為穩定的程序。而從黑洞模型入手，又有兩種可以繞過奇異點問題的技術：切除法與穿刺法。2005 年，普利托利烏斯綜合上述方法，採用了適當的坐標條件在模擬雙黑洞方面取得了重大突破。這幾種新方法的穩定性在之後的幾年裡進一步提升，使得人們可以模擬兩個黑洞在併合前彼此旋轉幾十以至幾百轉的情形。除此之外，計算流體力學中的自適應計算網格細化方法也被引入到數值相對論中來。

#### 拉撒路計劃

繼「大挑戰」後，科學家又在拉撒路計劃（1998－2005）中利用天體物理學結果對雙黑洞融合做短期數值模擬。不過當時，在超級計算機上模擬這個系統演變的過程中，對於愛因斯坦方程式的數值求解無論如何都得不到穩定的結果。研究者前後結合了多種近似方法（比如後牛頓方法和單黑洞擾動）來對全過程做數值模擬。

拉撒路計劃標誌著雙黑洞問題當時最為前沿的進展，給出了許多可以用於天體物理學研究的相當精準結果，比如重力波帶走的能量與角動量，不同質量的黑洞融合時發出的脈衝以及融合後的黑洞的最終質量、動量和角動量。科學家還在這項計劃中計算了融合過程中釋出的重力波的具體形式。這項結果對於重力波探測器的研製非常重要。同時，他們還預言黑洞撞擊會瞬間產生宇宙中最為強大的能暴。在僅僅一秒內以重力波形式放出的的能量足以大過銀河系自產生以來其中恆星放出的能量總和。而重力波輻射只占系統總質量減量的很小一部分。

#### 切除法

切除法在 1990 年代後期提出，是指在模擬演化過程中將奇異點周圍的事件視界「切除」掉。理論上，由於因果律以及視界本身的性質，這種方法不會影響到對於切除部分之外部分的演化的模擬。也就是說，即使沒有解出黑洞內的情況也不會妨礙到外部的精確求解。人們可以透過設置適當的邊界條件實現「切除」的過程。

儘管切除法在實際應用中非常成功，但它也存在兩個小缺陷。首先，在使用切除法時，人們必須審慎地選用坐標條件。儘管物理效應可能不會傳播到視界外，但坐標效應可以。比如，在使用橢圓坐標條件時，黑洞內的網格變化會立即傳播到視界外。這意味著，人們需要採用特徵速度小於光速的雙曲型坐標條件（比如諧和坐標條件）。其次，在黑洞運動時，所切除的部分也必須隨黑洞一起運動。

切除法在隨後幾年裡隨著校準條件的改進穩定性逐步提高。並且科學家也解決了切除部分隨運算區域運動的問題。藉由切除法，雙黑洞運動軌跡及融合過程的首個長期穩定的計算結果於 2005 年發表。

#### 穿刺法

在「穿刺法」中，解分為包含黑洞奇異點的解析部分（也就是「刺」）和奇異點之外數值構造的部分。這種方法是由布里爾－林德奎斯特算法（針對起始時靜止的黑洞）推廣而得。而如果再做一般化處理則可得到鮑恩－約克算法（針對起始時旋轉且運動的黑洞）。直到 2005 年，所有採用穿刺法的結果都需要刺在模擬過程中坐標位置不變。不過，彼此密聯的黑洞自然會受到引力的作用運動。這意味著坐標系本身或會「伸展」或會「扭曲」。這會導致模擬的部分階段出現數值不穩定。另外那種避開奇異點的方法在模擬物質塌縮形成黑洞的過程中，由於也會採用這種坐標條件，同樣也會造成類似效應。

2005 年，研究人員首次展示了刺在坐標系中運動的可行性，從而解決了這種方法早前存在的部分問題，使其可以用於精確追蹤黑洞的長期演化。透過選擇合適的坐標條件並對奇異點周圍的物理場做粗略的估計，人們可以得到繞著彼此旋轉的雙黑洞的數值解，並能精確算出它們釋放的引力輻射。

#### 自適應網格細化

自適應網格細化是一種在數值相對論萌芽前即已發展的數值算法。它是在 1980 年代由喬普提克在研究純量場塌縮的臨界現象時引入的。在那種情形中，場參數處於黑洞形成與空間擴張的臨界點。由於使用球對稱，這項工作針對的是一維情形。之後這種算法被推廣到二維情形中。二維網格法也用於研究非均勻宇宙和史瓦西黑洞。目前，自適應網格已經成為數值相對論的標準工具，用於研究黑洞與其他稠密系統的融合，以及這種事件產生的重力波。

## 近期進展

目前，數值相對論領域每年都會有數十以至數百篇的相關論文發表，內容涵蓋廣義相對論數學、重力波以及涉及旋轉黑洞的天體物理學問題。所使用的方法在對中子星、黑洞等星體組成的雙星系統和多黑洞系統的研究中也有運用。從這些工作中，科學家預測兩個旋轉黑洞併合產生的黑洞的速度能達到 4000 以至 10000 km/s，可以讓它穿越所有已知的星系。而釋出的能量占到總體靜質量的 8％。黑洞旋轉軸所可能發出的劇變則可以解釋從無線電星系中觀測到的相對論性噴流。這一領域另一個重要的研究方向是分類 LIGO 及 VIRGO 不能探測到的黑洞併合產生的引力輻射。

新近算法的精確程度足以用來驗證重力波的探測結果，比如人類首次直接探測到的重力波 GW150914，實驗數據與數值模擬數據的誤差在 4％以內。

## 腳註

### 注釋

### 引注

### 引用書目

## 延伸閱讀

* Cook, G., Initial Data for Numerical Relativity, Living Reviews in Relativity, 2000, **3** (5), Bibcode:2000LRR.....3....5C, arXiv:gr-qc/0007085 , doi:10.12942/lrr-2000-5
* Stergioulas, N., Rotating Stars in Relativity, Living Reviews in Relativity, 2003, **6** (3), Bibcode:2003LRR.....6....3S, arXiv:gr-qc/0302034 , doi:10.12942/lrr-2003-3
* Fryer, C. L.; New, K. C. B., Gravitational Waves from Gravitational Collapse, Living Reviews in Relativity, 2011, **14** (1), Bibcode:2011LRR....14....1F, doi:10.12942/lrr-2011-1
* Shibata, M.; Taniguchi K., Coalescence of Black Hole-Neutron Star Binaries, Living Reviews in Relativity, 2011, **14** (6), Bibcode:2011LRR....14....6S, doi:10.12942/lrr-2011-6
* Winicour, J., Characteristic Evolution and Matching, Living Reviews in Relativity, 2012, **15** (2), Bibcode:2012LRR....15....2W, doi:10.12942/lrr-2012-2
* Faber, J. A.; Rasio, F. A., Binary Neutron Star Mergers, Living Reviews in Relativity, 2012, **15** (8), Bibcode:2012LRR....15....8F, arXiv:1204.3858 , doi:10.12942/lrr-2012-8
* Sarbach， O.; Tiglio, M., Continuum and Discrete Initial-Boundary Value Problems and Einstein's Field Equations, Living Reviews in Relativity, 2012, **15** (9), Bibcode:2012LRR....15....9S, arXiv:1203.6443 , doi:10.12942/lrr-2012-9

## 外部連結

* 加州理工學院提供的相對論教程