数学巧合

在數學中，**數學巧合**指的是兩個數學表達式的值極為接近，卻未有任何理論解釋的現象。

例如，2 的 10 次方非常接近於整數 1000：

　
: $2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$

工程學中有時會利用數學巧合，使用某個表達式去近似計算另一個表達式。

## 有理數近似

在某些情況下，用簡單的有理數近似可以極其逼近某個無理數。大部分這類巧合可以用無理數的連分數表示法來解釋；但是，若要進一步探究連分數展開中出現的不尋常大項，則有時是無法通過理論解釋的。

### π

* 圓周率 π 的第一個連分數近似 ——[3; 7] = 22/7 = 3.1428...，由阿基米德給出，誤差約為 0.04%。π 的連分數近似的前三項 ——[3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929...，由祖沖之給出，精確到小數點後 6 位。π 之所以會在連分數近似的第三項達到如此高精確度是因為連分數表示 [3; 7, 15, 1, 292, ...] 中的下一項 ——292—— 是不尋常的大項。
* $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots $ ，其中 φ 為黃金分割率。此式與克卜勒三角有關。有人認為胡夫金字塔的建造利用了一個或多個數學巧合，但不是刻意為之的可能性更大。另一個關於黃金分割率的近似是 $\pi \approx {\frac {6}{5}}\varphi ^{2}$ ，誤差在 0.002% 以內。
* 位於圓周率小數點後第 762 位的連續的六個 9。對於一個隨機選取的正規數，能在小數點後 762 位就出現一組特別的六位數字的機率只有 0.08%。π 是否是一個正規數還不為人知。

### _e_

* 1828 這一串數字在 _e_ = 2.718281828.... 的前 9 位中就連續出現了兩回。
* _e_ 的前 50 萬位中出現了一串「99999999」（8 個 9）。

### 2 的冪

 * $2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$ ，誤差為 2.4%。對應的有理近似（rational approximation）為： $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}$ 或 $2\approx 10^{3/10}$ ，誤差在 0.3% 以內。這個數學巧合在工程學中有實際應用：例如兩個功率比為 1：2 的信號，分貝數大約有 - 3 dB 的差異（準確值為 3.0103 dB，見半功率點）；也可以用於聯繫 KiB 與 KB（見二進位乘數詞頭）。
 * $2^{7}=128\approx 125=5^{3}$ ，誤差約為 2.4%，對應的有理近似為： $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}$ 或 $2\approx 5^{3/7}$ ，誤差也在 0.3% 以內。在攝影中，可以應用此近似估計相機的設置：如果曝光時間從 1 秒減少為 1/125 秒，若要保持曝光值不變，可以光圈轉動 7 格（stop）；由於光圈環轉動一格，照度相差一倍，7 格光圈對應的就是照度 $2^{7}=128$ 倍的變化，大致符合倒易律的要求。
 * $2^{7/12}\approx 3/2$ ，誤差約為 0.1%。十二平均律用 7 個半音來近似五度相生律的純五度即為此數學巧合的應用。
 * $2^{8}\approx 3^{5}$
 * $2^{19}\approx 3^{12}$
 * $2^{2^{9}}\approx 12^{12^{2}}$

## 數字表達式

### 包含 π

 * $\pi ^{2}\approx 10$ ；誤差約為 1.3%，可以通過 ζ 函數的公式 $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ 來理解這個近似。
* $\pi ^{2}\approx 227/23$ ；誤差約為 0.0004%。
* $\pi ^{3}\approx 31$ ；誤差約為 0.02%。
* $\pi ^{5}\approx 306$ ；誤差約為 0.2%。
* ${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2$ ；誤差約為 0.004%。
* $\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ 或 $22\pi ^{4}\approx 2143$ 精確度達到小數點後八位（出自拉馬努金的《Quarterly Journal of Mathematics》, XLV, 1914, pp. 350–372）。拉馬努金寫道，這是通過「經驗性地獲得的」關於 $\pi $ 的一個「令人好奇的近似」，和文章中的其他理論沒有任何聯繫。

　
: ${\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\dots $

　
: ${\sqrt[{5}]{306}}=3.14155\dots $

　
: ${\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3.1415924\dots $

　
: ${\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7}}}=3.14159\dots $

　
: ${\sqrt[{11}]{294204}}=3.1415926\dots $

　
: ${\sqrt[{27}]{26487841119103}}=3.14159265358979\dots $

一些貌似合理的近似甚至達到了極高的精確度，但仍然只是一種數學巧合。例如：

　
: $\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}$

式子的兩邊直到小數點後第 42 位才有所不同。

### 包含 π 和 _e_

 * $\pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}$ ，誤差約為 0.000 005%。
* ${\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi }}}\approx 5$ ，誤差約為 0.008%。
* ${3}^{\frac {\pi +e}{4}}\approx 5$ ，誤差約為 0.000 538%（Joseph Clarke, 2015）。
* $e^{\pi }-\pi \approx 19.99909998$ （Conway, Sloane, Plouffe, 1988），等價於 $(\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1$ 。
* $\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9.9998\ldots \approx 10$
* $e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105...\approx 1$

### 包含 π 或 _e_ 和 163

 * ${163}\cdot (\pi -e)\approx 69$ ，誤差約為 0.0005%。
* ${\frac {163}{\ln 163}}\approx 2^{5}$ ，誤差約為 0.000004%。
* 拉馬努金常數： $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ ，誤差約為 $2.9\cdot 10^{-28}\%$ ，於 1859 年由夏爾・埃爾米特發現。

### 對數

 * $\ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ ，誤差約為 0.00024%。
* $\log _{2}(\log _{2}3)\approx {\frac {2}{3}}$

### 其他

* 偶然對消：
   * $\,{\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$ ，    ${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$ ，    ${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$ ，    ${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}$ ，並且這四個分數的乘積恰好為 1/100。
* 傅利曼數：
   * $\,127=-1+2^{7}$ 。127 是最小的好傅利曼數。
  * $\,(3+4)^{3}=343$
  * $\,2^{5}\cdot 9^{2}=2592$ 。2592 也是一個好傅利曼數。
* 水仙花數：
   * $\,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153$
  * $\,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370$
  * $\,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371$
  * $\,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407$
* 666:
   * $\,\sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2$ ，其中 $\varphi $ 是黃金分割率。
  * $\,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6$ ，其中 $\phi $ 為歐拉函數。
* 生日問題中的 $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ 與 $\ln(2)$ 的小數點後前四位是相同的。
* $\,31$ 、 $331$ 、 $3331$ 、 $33331$ 、 $333331$ 、 $3333331$ 和 $33333331$ 都是質數，但 $333333331=17\cdot 19607843$ 不是質數。
* $123456789\cdot 8=987654312$ 。
* $\,2646798=2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}$ ；符合這類條件的數字中最大的一個是 12157692622039623539。
* $\,3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435$ 。
* $\,(8+1)^{2}=81$ 。81 是除了 0 和 1 以外唯一符合這類條件的數字。
* $\,(4+9+1+3)^{3}=4{,}913$ 、 $\,(5+8+3+2)^{3}=5{,}832$ 和 $\,(1+9+6+8+3)^{3}=19{,}683$ 。
* $\,588^{2}+2353^{2}=5882353$ 與 $\,1/17=0.0588235294117647\ldots $ 的小數點後前八位 0.05882353 有重合。5882353 恰好還是一個質數。
* $\,10!=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!$ 。
* $\,1!+4!+5!=145$ 。符合這類條件的數只有四個：1、2、145 和 40585。

## 物理世界中的數字巧合

### 光速

光速的定義之所以是 299,792,458 m/s（非常接近 300,000,000 m/s 的一個值），是因為一公尺的最初定義是通過巴黎的子午線上從地球赤道到北極點距離的千萬分之一，而地球的周長恰好約為一光秒的 2/15。光速也可以被初略地估計為一英尺每奈秒（準確值為 0.9836 ft/ns）。

### 地球直徑

地球的極直徑約為 5 億英尺，誤差約為 0.1%。

### 重力加速度

雖然地球的重力加速度會隨著緯度和海拔的不同而變化，但其值在 9.74m/s2 與 9.87m/s2 之間，接近 10m/s2。因此，根據牛頓第二定律，一千克物體在地球表面受到的重力約為 10 牛頓。這一巧合實際上和之前提到的 π 的平方接近 10 有關。公尺的一個早期定義是將半週期為一秒的單擺的擺長定義為一公尺。由於當擺角較小時，單擺的週期公式為：

　
: $T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

在這個定義下，重力加速度就會和 π 的平方相等。後來，基於地球的周長非常接近 40,000,000 倍的此定義下的一公尺的事實，公尺才被重新定義為地球周長的 40,000,000 分之一。

另外，重力加速度的估計值 9.8 m/s2 等於 1.03 光年 / 年 2；這是一個非常接近 1 的值。

### 芮得柏常數

芮得柏常數乘上光速的值接近於 ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}$ ：

　
: ${\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c$

　
: ${\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}$

### 英里的立方與公里的立方

一英里的立方約等於 ${\frac {4}{3}}\pi $ 乘以一公里的立方（誤差約為 0.5%），意味著一個半徑為 n 公里的球體與邊長為 n 英里的立方體的體積幾乎相等。

### 精細結構常數

精細結構常數 $\alpha $ 的值接近 ${\frac {1}{137}}$ ： $\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}$ 。

值得注意的是，因為 $\alpha $ 是一個無因次量，所以這一巧合與人為選定的單位系統無關。

## 參考資料

* 接近整數
* 實驗數學
* 數學之美
* 例外同構
* 人擇原理
* 生日問題
* 水仙花數
* 克卜勒三角 #數學巧合
* 小出公式

## 注釋

## 參考資料

## 外部連結

* （俄文） В. Левшин. – _Магистр рассеянных наук._ – Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
* Hardy, G. H. – _A Mathematician's Apology._ – New York: Cambridge University Press, 1993, (ISBN 0-521-42706-1)
* 埃里克・韋斯坦因. Almost Integer. MathWorld.
* Various mathematical coincidences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in the "Science & Math" section of futilitycloset.com
* Press, W. H., Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate