拓樸空間

**拓撲空間**（英語：Topological space）是一種數學結構，可以在其上形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

## 定義

**拓撲空間**是一個集合 $X$ 和其上定義的拓撲結構 $\tau $ 組成的二元組 $(X,\tau )$ 。 $X$ 的元素 $x$ 通常稱為拓撲空間 $(X,\tau )$ 的點。而拓撲結構 $\tau $ 一詞涵蓋了**開集**，**閉集**，**鄰域**，**開核**，**閉包**，**導來集**，**濾子**等若干概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間 $(X,\tau )$ 作出若干種等價的定義。在教科書中最常見的定義是從**開集**開始的。

### 開集公理

  $X$ 的子集的集族 ${\mathfrak {O}}$ 稱為**開集系**（其中的元素稱為**開集**），若且唯若其滿足如下**開集公理**：

* **O1**： $\varnothing \in {\mathfrak {O}}$ ， $X\in {\mathfrak {O}}$ 。
* **O2**：若 $A_{\lambda }\in {\mathfrak {O}}$ （ $\lambda \in \Lambda $ ），則 $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\in {\mathfrak {O}}$ （對任意並運算封閉）。
* **O3**：若 $A,B\in {\mathfrak {O}}$ ，則 $A\cap B\in {\mathfrak {O}}$ 。（對有限交運算封閉）。

從開集出發定義其它各概念：

* 從**開集**定義**閉集**： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $X-A$ 是開集。
* 從**開集**定義**鄰域**： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若存在開集 $O$ ，使 $x\in O\subseteq U$ 。
* 從**開集**定義**開核**： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{\circ }$ 等於 $A$ 包含的所有開集之並。

### 閉集公理

 $X$ 的子集的集族 ${\mathfrak {F}}$ 稱為**閉集系**（其中的元素稱為**閉集**），若且唯若其滿足如下**閉集公理**：

* **C1**： $\varnothing \in {\mathfrak {F}}$ ， $X\in {\mathfrak {F}}$ 。
* **C2**：若 $A_{\lambda }\in {\mathfrak {F}}$ （ $\lambda \in \Lambda $ ），則 $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\in {\mathfrak {F}}$ （對任意交運算封閉）。
* **C3**：若 $A,B\in {\mathfrak {F}}$ ，則 $A\cup B\in {\mathfrak {F}}$ 。（對有限並運算封閉）。

（顯然，閉集是開集的對偶概念）。

從閉集出發定義其它各概念：

* 從**閉集**定義**開集**： $X$ 的子集 $A$ 是開集，若且唯若 $X-A$ 是閉集。
* 從**閉集**定義**閉包**： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 ${\overline {A}}$ 等於包含 A 的所有閉集之交。

### 鄰域公理

 $X$ 的映射 ${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$ （ $P(P(X))$ 指 $X$ 的冪集的冪集）。這樣 ${\mathfrak {U}}$ 將 $X$ 的每個點 $x$ 映射至 $X$ 的子集族 ${\mathfrak {U}}(x)$ 。 ${\mathfrak {U}}(x)$ 稱為 $x$ 的**鄰域系**（ ${\mathfrak {U}}(x)$ 的元素稱為 $x$ 的**鄰域**），若且唯若對任意的 $x\in X$ ， ${\mathfrak {U}}(x)$ 滿足如下**鄰域公理**：

* **U1**：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $x\in U$ 。
* **U2**：若 $U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
* **U3**：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ， $U\subseteq V\subseteq X$ ，則 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。
* **U4**：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則存在 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，且 $V\subseteq U$ ，使對所有 $y\in V$ ，有 $U\in {\mathfrak {U}}(y)$ 。

從鄰域出發定義其它概念：

* 從**鄰域**定義**開集**： $X$ 的子集 $O$ 是開集，若且唯若對任意 $x\in O$ ，有 $O\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（ $O$ 是其中每個點的鄰域）。
* 從**鄰域**定義**開核**： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$ 。
* 從**鄰域**定義**閉包**： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 ${\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$ 。

### 閉包公理

 $X$ 的冪集 $P(X)$ 上的一元運算 $c:P(X)\to P(X)$ （即將 $X$ 的子集 A 映射為 $X$ 的子集 $c(A)$ ）稱為**閉包運算**（像稱為原像的**閉包**）。若且唯若運算 $c$ 滿足下述的**閉包公理**：

* **A1**： $A\subseteq c(A)$ ；
* **A2**： $c(c(A))=c(A)$ ；
* **A3**： $c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$ ；
* **A4**： $c(\varnothing )=\varnothing $ 。

集合 $A$ 的閉包通常記為 ${\overline {A}}$ 。

從閉包出發定義其它概念：

* 從**閉包**定義**閉集**： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $A={\overline {A}}$ 。
* 從**閉包**定義**開核**： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}$ 。
* 從**閉包**定義**鄰域**： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若 $x\notin {\overline {X-U}}$ 。

### 開核公理

 $X$ 的冪集 $P(X)$ 上的一元運算 $o:P(X)\to P(X)$ （即將 $X$ 的子集 A 映射為 $X$ 的子集 $o(A)$ ）稱為**開核運算**（像稱為原像的**開核**或**內部**）。若且唯若運算 $o$ 滿足如下**開核公理**：

* **I1**： $o(A)\subseteq A$ ；
* **I2**： $o(o(A))=o(A)$ ；
* **I3**： $o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)$ ；
* **I4**： $o(X)=X$ 。

集合 $A$ 的開核通常記為 $A^{\circ }$ 。
（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。

從開核出發定義其它概念：

* 從**開核**定義**開集**： $X$ 的子集 $A$ 是開集，若且唯若 $A=A^{\circ }$ 。
* 從**開核**定義**鄰域**： $X$ 的子集 $U$ 是點 $x$ 的鄰域，若且唯若 $x\in U^{\circ }$ 。
* 從**開核**定義**閉包**： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 ${\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }$ 。

### 導來集公理

 $X$ 的冪集 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的一元運算 $d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ （即將 $X$ 的子集 $A$ 映射為 $X$ 的子集 $d(A)$ ）稱為**導來集運算**（像稱為原像的**導來集**），若且唯若 $d$ 滿足以下**導來集公理**：

* **D1**： $d(\varnothing )=\varnothing $ ；
* **D2**： $d(d(A))\subseteq d(A)\cup A$ ；
* **D3**： $\forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})$ ；
* **D4**： $d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)$

從導來集出發定義其它概念：

* 從**導來集**定義**閉集**： $X$ 的子集 $A$ 是閉集，若且唯若 $d(A)\subseteq A$ 。

## 拓撲之間的關係

同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 的每一個開集都是拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 的開集時，稱拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 更**細**，或稱拓撲 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比拓撲 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 更**粗**。

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

## 連續映射與同胚

類似定義拓撲空間，連續映射也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

拓撲空間上的一個映射 $f$ 稱為**連續映射**，若且唯若它滿足以下條件之一：

 * $f$ 對任何開集的原像是開集。（這個定義符合我們關於連續映射不會出現破碎或者分離的直觀印象。）
* $f$ 對任何閉集的原像是閉集。
* 對點 $f(x)$ 的任一鄰域 $V$ ，都存在點 $x$ 的一個鄰域 $U$ ，使得 $f(U)\subset V$ ，則稱 $f(x)$ 在點 $x$ 連續，而連續映射即點點連續的映射。
* 對任一集合 $A$ ， $f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}$ 成立。
* 對任一集合 $A$ ， $f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }$ 成立。

**同胚映射**是一個連續的對射，並且它的逆映射也連續。兩個拓撲空間之間存在同胚映射，則稱這兩個空間是**同胚的**。從拓撲學的觀點上來講，同胚的空間是等同的。

## 拓撲空間範疇

拓撲空間作為物件，連續映射作為態射，構成了**拓撲空間範疇**，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和 K - 理論。

## 相關概念

### 基本概念

給定拓撲空間 (X,τ)，A 是 X 的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：

**內部，內點**
: A 的開核 o (A) 又稱為 A 的**內部**，其元素稱為 A 的**內點**。

**外部，外點**
: X - c (A) 稱為 A 的**外部**，其元素稱為 A 的**外點**。

**邊界，邊界點**
: c (A)∩c (X-A) 稱為 A 的**邊界**，其元素稱為 A 的**邊界點**。

**觸點**
: A 的閉包 c (A) 中的點稱為 A 的**觸點**。

**稠密性，稠密集**
: 稱 A 在 X 中是**稠密的**（或稱**稠密集**），若且唯若 c (A) = X。

**邊際集**
: 稱 A 是 X 的**邊際集**，若且唯若 X-A 在 X 中是稠密的。

**疏性，疏集**
: 稱 A 在 X 中是**疏的**（或稱**疏集**），若且唯若 c (A) 是 X 中的邊際集。

**第一範疇集，第二範疇集**
: 稱 A 是 X 中的**第一範疇集**，若且唯若 A 可以表示為可數個疏集的並。稱 A 是 X 中的**第二範疇集**，若且唯若 A 不是 X 中的第一範疇集。

**聚點，導來集**
: X 中的點 x 稱為 A 的**聚點**，若且唯若 x ∈ c (A - {x})（或者等價地，x 的任意鄰域至少包含 x 以外的 A 的一個點）。A 的所有聚點組成的集合稱為 A 的**導來集**。

**孤立點**
: A 中的點 x 稱為 A 的**孤立點**，若且唯若它不是 A 的聚點。

**孤點集，離散集**
: 稱 A 為**孤點集**或**離散集**，若且唯若 A 中所有的點都是 A 的孤立點。

**自密集**
: 稱 A 為**自密集**，若且唯若 A 中的點都是 A 的聚點（等價地，A 中沒有 A 的孤立點）。

**完備集**
: 稱 A 為**完備集**，若且唯若 A 等於其導來集。

**自密核**
: A 的最大自密子集稱為 A 的**自密核**。

**無核集**
: 稱 A 是**無核集**，若且唯若 A 的自密核是∅（或等價地，A 的任意非空子集都含有孤立點）。

### 網

**網**的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作 **Moore-Smith 收斂**。其關鍵在於以有向集合代替自然數集 $\mathbb {N} $ 。

空間 $X$ 上的一個網 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是從有向集合 $A$ 映至 $X$ 的映射。

若存在 $x\in X$ ，使得對每個 $x$ 的鄰域 $U$ 都存在 $\beta \in A$ ，使得 $\alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U$ ，則稱網 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 收斂至 $x$ 。

幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網

## 拓撲空間的例子

* 實數集 **R** 構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集 **R** 上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
* 更一般的，n 維歐幾里得空間 **R**n 構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
* 任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的 Banach 空間和希爾伯特空間。
* 任何局部體都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
* 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲 — 下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成 — 空集、全集和由全體半開區間 [_a_, _b_) 生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，若且唯若，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
* 流形都是一個拓撲空間。
* 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在 0、1、2 和 3 維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
* 每一個單體複形都是一個拓撲空間。一個單體複形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單體複形 — 來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
* 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對 **R**n 或者 **C**n 來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程式的解集合構成。
* 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
* 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
* 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
* 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
* **有限補拓撲**。設 X 是一個集合。X 的所有有限子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為**有限補空間**。有限補空間是這個集合上最小的 T1 拓撲。
* **可數補拓撲**。設 X 是一個集合。X 的所有可數子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為**可數補空間**。
* 如果 Γ 是一個序數，則集合 [0, Γ] 是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間 (_a_, _b_] 生成，此處 _a_ 和 _b_ 是 Γ 的元素。

### 例子

1. X= {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 _τ_ = {∅, _X_}會形成一個密著拓撲。
2. X= {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上ℤ自身_不是_一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是ℤ的全部，因此不在 τ 內。
4. 1 個元素的集上總拓撲數顯然只有 1 個。
5. 2 個元素的集上總拓撲數顯然只有 4 個。
6. 3 個元素的集上總拓撲數只有 29 個。
7. 4 個元素的集上總拓撲數只有 355 個。
8. n 個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見 OEIS-A000798 說明

3 點集 X={a,b,c} 的拓撲總共有 29 個，可分為九類，具體如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

## 拓撲空間的構造

* 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
* 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
* 商拓撲可以被如下地定義出來：若 _X_ 是一個拓撲空間，_Y_ 是一個集合，如果 _f_ : _X_  →  _Y_ 是一個滿射，那麼 _Y_ 獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，若且唯若它的逆像也是開的。可以利用 _f_ 自然投影確定下 _X_ 上的等價類，從而給出拓撲空間 _X_ 上的一個等價關係。
* Vietoris 拓撲

## 拓撲空間的分類

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設 X 為一個拓撲空間。

### 分離公理

詳細資料請參照**分離公理**以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

**拓撲不可區分性**
: X 中兩個點 x，y 稱為**拓撲不可區分的**，若且唯若如下結論之一成立：
* 對 X 中每個開集 U，或者 U 同時包含 x，y 兩者，或者同時不包含它們。
* x 的鄰域系和 y 的鄰域系相同。
* $x\in {\overline {\{y\}}}$ ，且 $y\in {\overline {\{x\}}}$ 。

### 可數公理

**可分的**
: X 稱為**可分的**，若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。

**第一可數**
: X 稱為**第一可數的**，若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。

**第二可數**
: X 稱為**第二可數的**，若且唯若其擁有一個可數的基。

### 連通性

**連通**
: X 稱為**連通的**，若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。

**局部連通**
: X 稱為**局部連通的**，若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。

**完全不連通**
: X 稱為**完全不連通的**，若且唯若不存在多於一個點的連通子集。

**路徑連通**
: X 稱為**路徑連通的**，若且唯若其任意兩點 _x_ 和 _y_，存在從 _x_ 到 _y_ 的道路 _p_，也即，存在一個連續映射 _p_: [0,1] → _X_，滿足 _p_（0）= _x_ 且 _p_（1）= _y_。路徑連通的空間總是連通的。

**局部路徑連通**
: X 稱為**局部路徑連通的**，若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由路徑連通集構成。一個局部路徑連通空間是連通的，若且唯若它是路徑連通的。

**單連通**
: X 稱為**單連通的**，若且唯若它是路徑連通且每個連續映射 $f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X$ 都與常數映射同倫。

**可縮**
: X 稱為**可縮的**，若且唯若它同倫等價到一點。

**超連通**
: X 稱為**超連通的**，若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。

**極連通**
: X 稱為**極連通的**，若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含路徑連通。

**平庸的**
: X 稱為**平庸的**，若且唯若其開集只有本身與空集。

### 緊性

（詳細資料請參照緊集）

**緊性**
: X 稱為**緊的**，若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。

**林德洛夫性質**
: X 稱為擁有**林德洛夫性質**，若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。

**仿緊**
: X 稱為**仿緊的**，若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。

**可數緊**
: X 稱為**可數緊的**，若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。

**列緊**
: X 稱為**可數緊的**，若且唯若其任意點列都包含收斂子列。

**偽緊**
: X 稱為**偽緊的**，若且唯若其上的任意實值連續函數都有界。

### 可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是 **Urysohn 度量化定理**：一個第二可數的正則郝斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。

## 擁有代數結構的拓撲空間

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群 $G$ 乃是一個拓撲空間配上連續映射 $m:G\times G\rightarrow G$ （群乘法）及 $i:G\rightarrow G$ （反元素），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部體（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的 Krull 拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的 I - 進拓撲（一種拓撲環）等等。

## 擁有序結構的拓撲空間

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

* 譜空間（spectral space）上的序結構。
* 特殊化預序：定義 $x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)$ 。常見於計算機科學。

 

## 外部連結

n 個元素的集上總拓撲數規律

* 整數數列線上大全：OEIS-A000798.

## 參考書目

* John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
* James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
* 點集拓撲學初步 / 江澤涵著. - 上海：上海科學技術出版社，1979 年 1 月。
* 點集拓撲學基礎 / 吳東興著. - 北京：科學出版社，1981 年 3 月。
* 點集拓撲學原理 / 鮑姆著；蒲思立譯. - 北京：人民教育出版社，1981 年 6 月。
* 一般拓撲學 / 李普舒茨著；陳昌平等譯. - 上海：華東師大出版社，1982 年 1 月。
* 一般拓撲學 / 凱萊著；吳叢，吳讓泉譯. - 北京：科學出版社，1982 年 5 月。
* 拓撲學引論 / 本特・門德爾森著；陳明蔚譯. - 南寧：廣西人民出版社，1983 年 1 月。
* 基礎拓撲學 / 阿姆斯特朗著；孫以豐譯. - 北京：北京大學出版社，1983 年 1 月。
* 點集拓撲學 / 方嘉琳編著. - 瀋陽：遼寧人民出版社，1983 年 4 月。
* 拓撲學的基礎和方法 / 野口宏著；郭衛中，王家彥譯. - 北京：科學出版社，1986 年 3 月。
* 拓撲學初步 / 蘇步青著. - 上海：復旦大學出版社，1986 年 4 月。
* 拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯著；羅嵩齡等譯. - 北京：科學出版社，1987 年 8 月。
* 基礎拓撲學 / 何伯和，廖公夫著. - 北京：高等教育出版社，1991 年 1 月。
* 一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光著. - 成都：四川教育出版社，1991 年 3 月。
* 拓撲學導論 / 鮑里索維奇等著；盛立人等譯. - 北京：高等教育出版社，1992 年 9 月。
* 基礎拓撲學講義 / 尤承業編著. - 北京：北京大學出版社，1997 年. ISBN 7-301-03103-3.