控制图

**管制圖**（**Control chart**），也稱為**修哈特圖**或**流程行為圖**，是統計製程管制中，確定製造或業務流程是否在統計管制狀態下的一種工具。

管制圖是七種品質管制的基本工具（品管七大手法）之一。

## 簡介

管制圖是在不同的時間針對流程中重要數據進行的取樣，用取樣的結果來表示流程的特性，一般也會有理想的上限及下限範圍。像生產線可能會用每小時的生產量或良率繪製管制圖。若管制圖取樣到的數據變異不大，表示流程穩定，不需要對流程管制變量進行修改。如果管制圖顯示數據變異大，表示流程不穩定，而管制圖可幫助發現變化源頭。另外，流程數據可用來預測未來流程表現，若流程穩定，但數值在理想範圍以外，需設法找出變異的來源，再設法改善系統。

## 歷史

管制圖由貝爾實驗室的沃特・安德魯・休哈特在 1920 年間發明。公司的工程師設法要提高電話傳輸系統的可靠性，因為放大器和其他設備必需埋在地下，需要減少失敗和檢修的比率。在 1920 年，工程師已經發現，減少生產流程變異的重要性，同時，他們意識到針對不合格產品的持續性流程調整反而增加了變異，降低了品質。休哈特根據系統和特殊原因把問題分類，1924 年，他寫了一份內部備忘錄，也介紹如何利用管制圖來區分系統般原因及特殊原因。休哈特的上級 George Edwards 回憶說：「休哈特博士寫了一份簡短的備忘錄，一頁長，其中的三分之一是一個簡單的圖，也就是現在稱作管制圖的圖表。這個圖和簡單的文字產生了所有今日稱作流程品質管制的重要原理和思想。」休哈特強調把生產流程納入統計製程管制（其中只有系統原因的變異，並將其進行管制）對於預測未來產量及有效管理流程的重要性。

休哈特博士創造了管制圖的基礎和統計學管制狀態的概念，還從單純數學統計學理論中，了解了實際流程產生的數據一般會呈現「常態分布曲線」（高斯分布，一般也稱為「鐘型曲線」）。他發現通過觀察生產數據的變量，不會永遠和自然的數據有類似特性（粒子的布朗運動）。休哈特博士得出結論，每個流程都有變量，流程中有些的變量可控，屬於流程自然現象，其他變量不可控，但不一定出現在流程因果系統中。。

約在 1924 年左右，休哈特的發現引起了愛德華茲・戴明的注意，戴明後來在美國農業部工作，也是美國統計局的數學顧問。在未來半個世紀，戴明一直倡導休哈特提出的管制圖，在二戰日本戰敗後，戴明成為聯軍最高統帥部的統計學顧問，開始長期在日本工作，傳播休哈特的思想，統計圖開始廣泛應用於日本的生產工業中。

## 統計圖的說明

統計圖包括:

* 統計點（如平均值、範圍、比例），用不同時間的流程採樣衡量品質特性數據
* 所有採樣的平均值（平均值的平均值、範圍平均值、比例平均值等）
* 在統計值的平均值位置畫一條橫線，也稱中線
* 誤差（如標準方差 / 平均方差），也是利用採樣的數據計算得來
* 上下管制幅度（一般稱為「過程固有界限」），即流程產出在統計學要求內的界限，一般在中線三個方差以內畫出

管制圖還可以加入其他的項目：

* 上下警戒線，一般為中線上下兩個標準方差
* 分區，一般不同區域中採樣的頻率也會不同
* 標示值得關注的事件，一般是由負責流程品質的品質工程師決定

### 圖形用途

如果流程在管制範圍內，且流程的統計特性符合常態分佈，所有數據中會有 99.7300% 會落入過程固有界限之間，若在界限之外的數據比例增加，或是有系統性的變化，都說明出現新的（未預期的）變異，稱為特殊原因（可歸屬原因）變異，變異的增加往往也代表品質成本的增加，因此用管制圖可以較容易看出有特殊原因變異，需要立即調查。

管制區間非常重要，管制區間可以看出流程特性，同時與任何設計規格和工程誤差沒有內在關係，在實踐中，流程平均值（中線）可能不與品質特點的目標值重合，因為流程設計不一定可以使平均值和目標值完全一致。

管制圖限制了規格界限或目標，因為其趨勢讓流程（如機器操作者）專注於規則，實際上，成本最少的行動流程是讓流程變化越少越好。讓流程自然中心與目標不同，增加了流程變化性，增加了成本，是流程中效率低的根源。製程能力研究是檢查自然流程界限（管制界限）和特定值之間的關係。

### 界限選擇

休哈特以三個標準差（3σ）作為界限，其原因如下：

* 依照切比雪夫不等式的較粗略結果：對於任何概率分布，結果超過平均值的 _k_ 個標準差的概率不超過 1/k2。
* 依照 Vysochanskii-Petunin 不等式的較粗略結果：對於任何單峰概率分布，結果超過平均值的 _k_ 個標準差的概率不超過 4/(9_k_2)。
* 常態分布是相當常見的概率分布，其中 99.7% 的點落在三個標準差中（參見常態分布）。

休哈特總結了結果:

> 
> _... 即使我們用到的準則都可以追溯到統計定理，但這並無法證明這些準則可以用，是否合用仍需要靠經驗的證據來證，工程師會說，空言不如實證。_
> 
> 

管制圖的用意是在當作一個啟發用的資料，戴明堅持它不是一個假設檢定，也不是內曼皮爾遜理論所引發的。他說大部份工業應用下統計樣本和採樣框架分散的特性影響了傳統統計方法的使用。戴明的目的是尋找因果系統「... 通過很多不確定環境、未來和過去....」，他提出在這種環境下，三個標準差提供了「... 在以下二個錯誤之間可以使損失降到最少的方法」。

1. 把錯誤或變異歸於特殊原因（可歸屬原因），但實際的原因由來自系統（共同原因），稱為第一型錯誤。
2. 把錯誤或變異歸於系統原因（共同原因），而實際上屬於特殊原因（可歸屬原因），稱為第二型錯誤。

## 參見

* 系統和特殊原因
* 愛德華茲・戴明
* 統計過程控制
* 全面品質管理
* 六西格瑪
* 加工能力
* 品管七大手法

## 附註

## 延伸閱讀

* Deming, W E (1975) "On probability as a basis for action." _The American Statistician_. 29(4), pp146–152
* Deming, W E (1982) _Out of the Crisis: Quality, Productivity and Competitive Position_ ISBN 0-521-30553-5.
* Deng, H; Runger, G; Tuv, Eugene (2012). "System monitoring with real-time contrasts" Journal of Quality Technology, 44(1), pp. 9-27.
* Mandel, B J (1969). "The Regression Control Chart" Journal of Quality Technology. 1 (1), pp 1–9.
* Oakland, J (2002) _Statistical Process Control_ ISBN 0-7506-5766-9.
* Shewhart, W A (1931) _Economic Control of Quality of Manufactured Product_ ISBN 0-87389-076-0.
* Shewhart, W A (1939) _Statistical Method from the Viewpoint of Quality Control_ ISBN 0-486-65232-7.
* Wheeler, D J (2000) _Normality and the Process-Behaviour Chart_ ISBN 0-945320-56-6.
* Wheeler, D J & Chambers, D S (1992) _Understanding Statistical Process Control_ ISBN 0-945320-13-2.
* Wheeler, Donald J. (1999). _Understanding Variation: The Key to Managing Chaos - 2nd Edition_. SPC Press, Inc. ISBN 0-945320-53-1.

## 外部連結

* NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Monitoring and Control with Control Charts （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）