指數積分

在數學中，**指數積分**是函數的一種，它不能表示為初等函數。

## 定義

對於實數 _x_，指數積分 Ei (_x_) 可以定義為：

　
: ${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,$

其中 $e^{t}$ 為指數函數。以上的定義可以用於正數 _x_，但這個積分必須用柯西主值的概念來理解。

對於自變數是複數的情形，這個定義就變得模稜兩可了。為了避免歧義，我們使用以下的記法：

　
: ${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .$

當自變數的實數部分為正時，可以轉換為：

　
: ${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.$

Ei 與 E1 有以下關係：

　
: ${\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)$

　
: $-{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.$

 

## 性質

### 收斂級數

指數積分可以用以下的收斂級數來表示：

　
: ${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0$

　
: $E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0$

其中 $~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~$ 是歐拉 - 馬歇羅尼常數。這個級數在自變數為任何複數時都是收斂的，但 Ei 的定義則需要 $~x\!>\!0~$ 。

### 漸近（發散）級數

自變數的值較大時，用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下，我們可以使用發散（或漸近）級數：

　
: $E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]$

這個截斷和可以用來計算 $~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~$ 時函數的值。級數中的項數越多，自變數的實數部分就應該越大。

圖中描述了以上估計的相對誤差。

### 指數和對數的表現

 $~E_{1}~$ 在自變數較大時的表現類似指數函數，自變數較小時類似對數函數。 $~E_{1}~$ 是位於以下兩個函數之間的：

　
: ${\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0$

這個不等式的左端在圖中用藍色曲線來表示，中間的黑色曲線是 $~{\rm {E}}_{1}(x)~$ ，不等式的右端用紅色曲線來表示。

### 與其它函數的關係

指數積分與對數積分 li (_x_) 有密切的關係：

　
: li(_x_) = Ei (ln (_x_))    對於所有正實數 _x_ ≠ 1。

另外一個有密切關係的函數，具有不同的積分限：

　
: ${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

這個函數可以視為把指數積分延伸到負數：

　
: ${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,$

我們可以把兩個函數都用整函數來表示：

　
: ${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

利用這個函數，我們可以用對數來定義：

　
: ${\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~$

以及

　
: ${\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.$

指數積分還可以推廣為：

　
: ${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,$

它是不完全伽瑪函數的一個特例：

　
: ${\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,$

這個推廣的形式有時成為 Misra 函數 $\varphi _{m}(x)$ ，定義為：

　
: $\varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,$

### 導數

函數 $~{\rm {E}}_{n}~$ 與 $~{\rm {E}}_{1}~$ 的導數有以下簡單的關係：

　
: ${{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)$

然而，這裡假設了 $~n~$ 是整數；複數 $~n~$ 的推廣還沒有在文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。在 y=2x 的圖形中，其導函數在任意 x 值所對應的 y 值為原函數的 0.693 倍。

### 複數變數指數積分

從以下的表示法中

　
: ${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)$

可以看出指數積分與正弦積分（Si）和餘弦積分（Ci）之間的關係：

　
: ${\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)$

圖中的黑色和紅色曲線分別描述了 $~{\rm {E}}_{1}(x)~$ 的實數和虛數部分。

## 參考文獻

* Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. _Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables._ New York: Dover, 1972. _(See Chapter 5) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_
* R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
* S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Exponential Integral. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. _En_-Function. MathWorld.
* Ei 的公式和恆等式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）