振子

**振動**（英語：Vibration），指一個物體相對於靜止參照物或處於平衡狀態的物體的往復運動。一般來說振動的基礎是一個系統在兩個能量形式間的能量轉換，振動可以是周期性的（如單擺）或隨機性的（如輪胎在碎石路上的運動）。

## 簡諧振動

簡諧振動又稱**諧振**，應作為一種重要的特殊情況來討論：

右圖所示為無阻尼的簡諧振動（參見簡諧運動），與位移 $y(t)$ ，振幅 $y_{0}$ 和周期 $T$ 相關。

某一時刻 $t$ 的位移 $y(t)$ 達到最大值 $y_{0}$ 。周期是一次振動的時間，也就是系統在振動中兩次相同狀態的間隔。周期 _T_ 的倒數是頻率 _f_, 即： $f={1 \over T}\quad $ . 
頻率的另一個表達符號為 $\nu $ （讀音："nü"），計量單位為「赫茲」（簡寫：Hz）。

當回復力與振幅成正比，此振動稱為簡諧振動（注意：單擺只是近似的簡諧振動）。

這裡藉助一個線性系統，由於回復力隨振幅變化：振幅擴大兩倍回復力也隨之擴大兩倍。

一個這樣的振動描述為：

　
: $y(t)=y_{0}\cdot \sin(2\pi ft+\varphi _{0})\,$

其中

　
: $y_{0}$ = 振幅

　
: $\varphi _{0}$ = 振動的初相位

由

　
: $\varphi (t)=2\pi ft+\varphi _{0}\,$

描述出相位，_f_ 或 $\nu $ 為振動的頻率。

 $2\pi $ 倍的頻率， $\omega =2\pi \cdot f$ , 為振動的角頻率。
通過角頻率簡寫為：

　
: $y(t)=y_{0}\cdot \sin(\omega \,t+\varphi _{0})\,$

對時間求導得到：

　
: $v(t)=\omega \cdot y_{0}\cdot \cos(\omega \,t+\varphi _{0})\,$

其中

　
: $v(t)$ = 振子的速度。

再次求導：

　
: $a(t)=-\omega ^{2}\cdot y_{0}\cdot \sin(\omega \,t+\varphi _{0})\,$

其中

　
: $a(t)$ = 振子的加速度。

簡諧振動的特點是：

1. 有一個平衡位置（動能耗盡之後，振子應該靜止的唯一位置）。
2. 有一個大小和方向都作周期性變化的回復力的作用。
3. 頻率單一、振幅不變。

振動可分為：

* 阻尼和無阻尼振動，
* 自由、受迫、自發和誘發振動，
* 線性和非線性振動，
* 單自由度的、有限多個自由度的、無限多個自由度的振動。

所有這些屬性可以平行出現。

## 阻尼振動

真實情況中物理系統總是阻尼的，因為系統總是通過諸如摩擦等原因向外界放出能量。放任一個這樣的系統自己運動（自由振動），最終會達到「靜止狀態」，這是熱力學第二定律所描述的，永動機不存在 (參見能量守恆）。

設一個自由阻尼振動在某一瞬時平衡，得到下面的總運動方程：

　
: ${\mathit {m}}{\ddot {x}}+{\mathit {R}}{\dot {x}}+{\mathit {D}}x=0\,$

m: 質量 
R: 阻尼係數（不同於摩擦係數） 
D: 倔強係數（勁度係數）

對於扭轉振動 $m$ 替換為 $J$ （轉動慣量）， $x$ 替換為 $\varphi $ （偏轉角）。

藉助解法：

　
: $x(t)=x_{0}e^{i\alpha t}\,$

得到微分方程的解：

　
: $x(t)=x_{0}e^{-{\frac {\mathit {R}}{2{\mathit {m}}}}t}e^{\mp i{\sqrt {{\frac {\mathit {D}}{\mathit {m}}}-{\frac {R^{2}}{4{\mathit {m}}^{2}}}}}t}\,$

藉助歐拉恆等式把上面的解從複數帶入實數，並設 ${\frac {\mathit {R}}{2{\mathit {m}}}}=\delta $ ，即得到以下振動函數：

　
: $x(t)=2x_{0}\,e^{-\delta t}\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\,$

這個有兩個實數解的函數可分為兩個子函數，在下面可以詳細闡述。

如果阻尼係數為零，則振幅永遠不會減小。振動會以相同的擺幅永久持續。這裡同樣可以看出，阻尼係數不可過大，否則不會發生實際意義上的振動（擺動），而是系統在原地「蠕動」。兩種情況之間的界限造成了頻率臨界點。

**衰減期** $\mathbf {\tau } $ 為振幅不斷降低到 $\mathbf {e} $ 分之一（ $\approx {0{,}368}$ ）的時間。如振幅函數方程所示， $\tau $ 等於函數指數的倒數。
衰減期表示為：

　
: $\tau ={\frac {2{\mathit {m}}}{\mathit {R}}}$

阻尼振動也經常以包含衰減期的形式表達。即：

　
: $x(t)=2x_{0}\,e^{-{\frac {t}{\tau }}}\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\,$

 $\mathbf {\tau } $ 也同樣用於表示鬆弛時間（或阻尼時間）。表示系統能量（不是振幅）衰減到 $\mathbf {e} $ 分之一（ $\approx {0{,}368}$ ）的時間。
因此能量與振幅的平方成比例，相應的半衰減期的鬆弛時間：

　
: 鬆弛時間 $\tau ={\frac {\mathit {m}}{\mathit {R}}}\,$

總解的非阻尼部分可以寫作：

　
: $\,e^{i\omega t}\,$ ,

因子

　
: $\omega ={\sqrt {{\frac {\mathit {D}}{\mathit {m}}}-{\frac {R^{2}}{4{\mathit {m}}^{2}}}}}$

在指數中稱為角頻率。對於一個非阻尼振動（技術上不可能實現）的阻尼係數 ${\mathit {R}}=0$ 只對**自角頻率** $\mathbf {\omega _{0}} $ 有意義：

　
: $\mathbf {\omega _{0}} ={\sqrt {\frac {\mathit {D}}{\mathit {m}}}}\,$ .

## 自由或受迫振動

做振動的系統在外力的作用下物體離開平衡位置以後就能自行按其固有頻率振動，而不再需要外力的作用，這種不在外力的作用下的振動稱為自由振動．理想情況下的自由振動叫無阻尼自由振動．自由振動時的周期叫固有周期，自由振動時的頻率叫固有頻率．它們由振動系統自身條件所決定，與振幅無關．

振子受到周期性變化的外力持續作用而進行振動稱為受迫振動。實際意義上是指所有通過周期性刺激的正弦狀簡諧振動。這個對振動進行周期性刺激的頻率稱作刺激頻率，而該外力稱作策動力。另外也有多頻率的刺激。刺激也通過隨機過程隨機振動被研究。

在規律刺激下一個系統同時產生兩種振動：

* 自由振動（一個或多個固有頻率），大小定義自初態條件並在單位振動時間內發生阻尼
* 狹義上的帶有常數振幅的刺激頻率的受迫振動。刺激頻率（或多個中的一個）與固有頻率（或多個中的一個）的關係及振動系統的阻尼可以通過放大函數定量。

在工程力學中距離刺激，力刺激，不平衡刺激都是重要因子。

振幅在共振的條件下達到最大值。在無阻尼和刺激頻率與固有頻率相等時，振幅為無限大。阻尼增大，共振振幅減小。

## 自激振動

通過自身振動產生的能量滿足振動所需的能量的振動成為自激振動，稱作振盪器。在微分方程中這種現象的阻尼為負數。這方面的一個典型的例子就是小提琴的琴弦。這是由於琴弓琴弦間的靜摩擦等於動摩擦，並且動摩擦在差速增大的同時不斷減小。另外一個例子是摩擦玻璃杯的邊緣會發出聲響。

自激振動在實際中是由振幅界定的，另外一種情況，當無止境給與刺激時，振幅也是無限的，系統將被破壞。

## 參數振動

當一個振動系統的參數（阻尼數，倔強係數）周期變化的時候，稱作參數振動。因此在蒸汽機車中可以通過周期性的參數變化驅動系統持續運動。

## 線性與非線性振動

在描述振動系統的微分方程中，振動的單位和時間微分之間所有的關係為線性的，稱為線性振動。反之稱為非線性振動。非線性自由振動和周期刺激的非線性強迫振動不再是正弦狀，而是高次諧波狀。在實際意義上，強迫振動的共鳴關係是變化的，自激振動的振幅是受限的。

## 單自由度和有限多個自由度的振動

可以用一個振動單位完全描述的振動稱為單自由度振動。例如**平面的**單擺。讓單擺做空間運動，則是雙自由度振動。當一個工程振動系統有多個振子而必須為描述每一個振子而建立一個坐標系統的話，即稱作多自由度振動。如一個曲柄軸的扭曲振動或在地震中多塔樓建築的水平振動。

"n" 自由度振動可以通過 "n" 個二階微分方程描述。按照振動單位，與其一階或 / 和二階導數相關。線性振動系統可以通過所謂主坐標藉助一個坐標變形與此坐標的微分方程及其二階導數相耦合。多數情況下把一階導數的影響作為不相關來考慮，也不是嚴重的錯誤。不相關微分方程可以確定系統的固有頻率。

解微分方程後可以通過反向變換得到原坐標系的時間關係。

非線性振動系統中封閉形式的不相關是不可能的。存在一個近似過程，使微分方程組的線性化末端有重根。

## 無限多個自由度的振動

真空振動有無限個自由度和無限個固有頻率，實際應用中用來描述工程上的吊索、柱、層和拱。

## 舉例

日常生活中典型的振動有石英鐘鐘擺的擺動，鞦韆的擺動等等很多。嚴格來說原子在晶體中的平衡振動，四季變化，地球自轉，心跳和風中抖動的葉子都是振動。這裡廣義上指所有隨時間改變狀態的過程。

一個單擺始於破壞平衡的能（如推動鐘擺即給其勢能），使其具有初始速度（動能）。

此處的回復力即為將鐘擺向下拉的重力。在理想的無摩擦條件下鐘擺可以回復到原來初始的平衡位置，這時勢能完全轉化為動能，其勢能在平衡時達到最小值。

單擺的振幅很小，可以近似看作諧振。

## 參見

* 加速度譜密度
* 諧波儀

## 參考文獻