zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
扭歪六邊形

在幾何學中，**六邊形**是指有六條邊和六個頂點的多邊形，其內角和為 720 度。六邊形有很多種，其中對稱性最高的是正六邊形。正六邊形是一種可以使用尺規作圖的六邊形，也可以拼滿平面，因此自然界中可以找到許多正六邊形的結構，如蜂巢、玄武岩和苯的分子結構。另外，正六邊形也可以構成一些高對稱性的多面體，如截角二十面體，巴克明斯特富勒烯的分子結構就是這種形狀。

六邊形依照其類角的性質可以分成凸六邊形和非凸六邊形，其中凸六邊形代表所有內角的角度皆小於 180 度。非凸六邊形可以在近一步分成凹六邊形和星形六邊形，其中星形六邊形表示邊自我相交的六邊形。

## 正六邊形

正六邊形是每條邊等長、每個角相等的六邊形，在施萊夫利符號中可以用 $\left\{6\right\}$ 來表示。正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造，即切去正三角形的三個頂點，因此正六邊形在施萊夫利符號中亦可以寫為 $t\left\{3\right\}$ 。但若截角深度太深或太淺都會產生一種具有兩個不同邊長的六邊形。

正六邊形是一個同時具有邊可遞和點可遞特性的六邊形，是一種雙心多邊形，這意味著它同時具有內切圓和外接圓。

正六邊形邊的長度與其外接圓半徑相等，且等於邊心距的 ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ 倍，其中，邊心距與內切圓半徑相等。正六邊形的每個內角都是 120 度，且具有 6 次的旋轉對稱性（階數為 6 的旋轉對稱性）和 6 軸對稱性（有 6 個對稱軸的軸對稱性），組成了 D6 二面體群的對稱性。正六邊形最長的對角線是兩側頂點的對角線，其長度恰好為邊長的兩倍，因此若有一個三角形其中一個頂點位於六邊形幾何中心、其中一條邊與六邊形共用，則這個三角形是正三角形，且正六邊形可以分割成 6 個此三角形。

正六邊形是其中一種能夠密鋪平面的正多邊形，其餘兩種為正三角形和正方形。如同正方形和正三角形一樣，正六邊形可以經過重複的排列和組合，形成沒有空隙或重疊的幾何圖形，這種圖行每個頂點都是 3 個六邊形的公共頂點，並形成一個很緊密的二維空間充填，也因此大部分的蜂窩都會將其的每個蜂房做成六邊形，使其能夠有效地利用空間和建材。另外，正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌。雖然具有等邊的特性，但並不常被當作等邊多邊形。

### 參數

正六邊形的最大直徑 $D$ 是最大半徑或外接圓半徑 $R$ 的兩倍，其外接圓半徑 $R$ 與邊長 $t$ 等長。

　
: ${\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R$

 
正六邊形的面積為： 

（ $R$ 為外接圓半徑、 $r$ 為內接圓半徑、 $D$ 為外接圓直徑＝六邊形對角長、 $d$ 為內接圓直徑＝六邊形對邊長）

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}\end{aligned}}$

也可以利用其邊心距套用任意正多邊形公式求得：

　
: ${\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2},\end{aligned}}$

正六邊形可以單單用圓規直尺繪畫。因為當正六邊形內接於圓時，圓的半徑剛好等於正六邊形的邊長，正六邊形最長的對角線就等於圓的直徑。中國古代對圓周和直徑的關係有「周三徑一」之說，可以視為採用正六邊形為圓的近似圖形求得的結果。

## 正六邊形尺規作圖

下面是正六邊形的尺規作圖，共三步。 

1. 畫一條水平線，通過此線上的任意點做一個圓。
2. 以該圓與線的交點為圓心，分別畫出與該圓半徑相同的圓，與該圓交於 4 點。
3. 依順序聯結這 4 個點和該圓與水平線的交點即成正六邊形。

## 面積

### 正六邊形

因為正六邊形由六個等邊三角形組成，所以：

正六邊形的面積 = 三角形面積 ×6= ${\frac {\sqrt {3}}{4}}\times a^{2}\times 6={\frac {3}{2}}a^{2}{\sqrt {3}}$

這些等邊三角形的高是正六邊形內切圓的半徑，即 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ 。

## 六邊形的密鋪平面

有多種六邊形可以獨立密鋪平面，換句話說即該六邊形反覆拼接可以無空隙地填滿整個平面

## 扭歪六邊形

扭歪六邊形，又稱不共面六邊形，是指頂點並非完全共面的六邊形

### 皮特里多邊形

一些正扭歪六邊形來自於高維多胞體的皮特里多邊形。

## 多面體的截面

部分多面體具有六邊形的截面，例如立方體、正八面體和正十二面體。在立方體中，六邊形的截面穿過對邊的中點。

## 自然中的六邊形

由於正六邊形具有高度對稱性，且可以無空隙地填滿整個平面，這種形狀稱為正六邊形鑲嵌，其頂點排佈稱為六邊形網格（英語：Hexagonal Grid）。以這些頂點為幾何中心的圓形可以構成二維空間中可能的圓形鑲嵌中最緊密的一種排佈，其牛頓數為 6，也因此自然界經常出現許多正六邊形的結構，例如蜂巢、玄武岩和一些化學物質的分子結構。

在太空中，亦有其他自然形成的六邊形，例如土星極區的雲層呈現六邊形，被稱為土星六邊形。

* * * * * * * *

## 文化

由於法國的領土像一個六邊形，因此法國人也經常用「六邊形」（L'Hexagone）一詞來指代法國。1988 年發行的戴高樂 1 法郎硬幣上，就印有代表法國的六邊形。

## 參考文獻
扭歪十二邊形

在幾何學中，**十二邊形**是指有十二條邊和十二個頂點的多邊形，其內角和為 1800 度。十二邊形有很多種，其中對稱性最高的是正十二邊形。其他的十二邊形依照其類角的性質可以分成凸十二邊形和非凸十二邊形，其中凸十二邊形代表所有內角角度皆小於 180 度。非凸十二邊形可以在近一步分成凹十二邊形和星形十二邊形，其中星形十二邊形表示邊自我相交的十二邊形。而一般的十字形為凹十二邊形常見的一個例子。

## 正十二邊形

正十二邊形是指所有邊等長、所有角等角的十二邊形，由十二條相同長度的邊和十二個相同大小的角構成，是一種正多邊形。正十二邊形的內角是 ${\frac {5\pi }{6}}$ 弧度，換算成角度是 150 度。在施萊夫利符號中用 $\left\{12\right\}$ 來表示。由於正十二邊形可看作是截去所有頂點的正六邊形，即截角的正六邊形，因此施萊夫利符號中也可以計為 $t\left\{6\right\}$ 。而因為正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造，即切去正三角形的三個頂點，因此正十二邊形可以視為正三角形經過 2 次的截角變換的結果，在施萊夫利符號中亦可以寫為 $tt\left\{3\right\}$ 。

### 面積

若已知正十二邊形的邊長 a，則正十二邊形的面積為：

　
: ${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}$

若已知內切圓半徑或邊心距為 r，則其面積為：

　
: ${\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}$

若已知外接圓半徑為 R，其面積為：

　
: $A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}$

三國時代數學家劉徽計算出半徑為 $r$ 的圓形，其內接正 12 邊形的面積為 $3r^{2}$ 。正十二邊形面積等於最長對角線平方的四分之三。

十二邊形的寬度是兩個平行邊之間的距離，正好會等於兩倍的邊心距。因此已知正十二邊形的寬度和邊長也可以球出面積：

　
: $A=3aS$

也可以利用三角關係進行驗證：

　
: $S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})$

### 周長

若已知外接圓半徑 R，正十二邊形的周長為

　
: ${\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246R\end{aligned}}$

若已知邊心距 r，正十二邊形的周長為：

　
: ${\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835r\end{aligned}}$

該係數是已知邊心距求面積公式中係數的兩倍。

### 尺規作圖

尺規作圖可先在圓形內製作正六邊形，再將各邊二等分線延伸至圓周以完成正十二邊形的頂點。

### 分割

### 密鋪平面

有一些正多邊形鑲嵌圖含有**正十二邊形**：

## 對稱性

正十二邊形具有 Dih12 對稱性，階數為 24.

有 15 個不同的子群二面體群和環狀對稱。每個子組對稱性允許一個或多個自由不規則形式。只有 **G12** 子群沒有自由度，但可以看作是有向邊。

## 扭歪十二邊形

扭歪十二邊形，又稱不共面十二邊形，是指頂點並非完全共面的十二邊形。

### 皮特里多邊形

扭歪十二邊形經常出現在高維多胞體正交投影的皮特里多邊形。例如十一維正十二胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪十二邊形，其具有 A11 [310] 的考克斯特群的對稱性。

## 使用

* 澳大利亞元的 50 分硬幣形狀為正十二邊形。
* 澳門幣五圓和二毫的形狀為正十二邊形
* 二毫和二元港幣的形狀為正十二邊形（嚴格地說，是每邊向內凹陷的正十二邊形）
* 嵩岳寺塔的底為正十二邊形。

## 參見

* 十二邊形數
* 十二面體：面數和此多邊形的邊數一樣都是 12。
* 十二胞體：胞數和此多邊形的邊數一樣都是 12。
* 十二：此多邊形的邊數是 12。
* 正圖形列表

## 參考文獻

## 外部連結

* 正 12 邊形分割再組合為正 6 邊形 (Java)
* 正 12 邊形組合為正方形
* Dodecagon Matches Area Puzzle（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Dodecagon. MathWorld.
* Kürschak's Tile and Theorem（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Definition and properties of a dodecagon（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） With interactive animation
扭歪十邊形

在幾何學中，**十邊形**是指有十條邊和十個頂點的多邊形，其內角和為 1440 度。十邊形有很多種，其中對稱性最高的是正十邊形。其他的十邊形依照其類角的性質可以分成凸十邊形和非凸十邊形，其中凸十邊形代表所有內角角度皆小於 180 度。非凸十邊形可以在近一步分成凹十邊形和星形十邊形，其中星形十邊形表示邊自我相交的十邊形。

## 正十邊形

正十邊形是指所有邊等長、所有角等角的十邊形，由十條相同長度的邊和十個相同大小的角構成，是一種正多邊形。正十邊形的內角是 ${\frac {4\pi }{5}}$ 弧度，換算成角度是 144 度。在施萊夫利符號中用 {10} 來表示。由於正十邊形可看作是截去所有頂點的正五邊形，即截角的正五邊形，因此施萊夫利符號中也可以計為 $t\left\{5\right\}$ 。

### 面積

若已知正十邊形的邊長 a，則正十邊形的面積為：

　
: $A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}$

若已知內切圓半徑或邊心距為 r，則其面積為：

　
: $A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=5r^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\simeq 3.249196963\,r^{2}$

若已知外接圓半徑為 R，其面積為：

　
: $A={\frac {5}{2}}\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926262\,r^{2}$

亦有另外一種算法： $A=2.5da$ ，其中 d 表示 2 個平行邊之間的距離。

### 構造

正十邊形是一個可作圖多邊形。尺規作圖可先在圓形內製作正五邊形，再將各邊二等分線延伸至圓周即可完成正十邊形的頂點。

　
:

## 正十邊形中的黃金比例

無論是在給定的外接圓或已知邊長要構造出正十邊形皆需要與黃金比例相關的線段才能作出。

* 在給定的外接圓構造正十邊形的過程中，其圓 G 的半徑 GE3 與線段 AH 的比為黃金比例

　
: ${\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618$

* 在已知邊長構造正十邊形的過程中，圓弧 D 半徑 DA 與線段 E10F 的比為黃金比例

　
: ${\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}$

## 扭歪十邊形

扭歪十邊形，又稱不共面十邊形，是指頂點並非完全共面的十邊形，或具有十條邊和十個頂點的扭歪多邊形。

## 參見

* 十邊形數

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Decagon. MathWorld.
* Definition and properties of a decagon（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） With interactive animation
扭歪四邊形

在幾何學中，**四邊形**是指有四條邊和四個頂點的多邊形，其內角和為 360 度。四邊形有很多種，其中對稱性最高的是正方形，其次是長方形或菱形，較低對稱性的四邊形如等腰梯形和鳶形，對稱軸只有一條。其他的四邊形依照其類角的性質可以分成凸四邊形和非凸四邊形，其中凸四邊形代表所有內角角度皆小於 180 度。非凸四邊形可以再進一步分成凹四邊形和複雜四邊形，其中複雜四邊形表示邊自我相交的四邊形。

## 簡單四邊形

四邊形可以分成簡單四邊形和複雜四邊形兩大類，簡單四邊形表示邊沒有交錯的四邊形，複雜四邊形表示邊有交錯的四邊形。

### 凸四邊形

凸四邊形是指所有角都比平角小的四邊形，且兩條對角線都落在其內部。

* **不規則凸四邊形**：是凸四邊形中最大的子集，包含了所有的凸四邊形，一般會用任意凸四邊形稱呼之。
* **不平行四邊形**：沒有任何邊互相平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼，英式英文將之稱為「irregular quadrilateral」，而北美英文則稱為「trapezium」。
* **梯形**：只有一對邊平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼，英式英文將之稱為 Trapezium，而北美英文則稱為 trapezoid。
* **等腰梯形**：一對對邊平行、另外兩邊等長但不平行。等腰梯形是一種梯形，是一種擁有更高的對稱性的梯形。
* **三等邊梯形**：一對對邊平行、另外兩邊和一底邊等長的梯形。
* **平行四邊形**：具有兩對平行邊的四邊形或兩對邊平行的四邊形。其等效條件是有兩對邊等長、兩對角等角，或者是對角線彼此平分。正方形、長方形、斜方形和菱形都是平行四邊形。
* **菱形**：主流文獻上有兩種定義。較粗疏的定義是四邊相等，在這定義下，正方形是菱形的一種。另外一種定義較嚴謹，菱形是四邊相等，但角不是直角。在這定義下的正方形就不是菱形的一種。
* **斜方形**：對角相等且對邊相等，但邊不全相等且角不是直角的四邊形。換句話說，就是平行四邊形中不是菱形的形狀。其英語名稱為 Rhomboid，容易與菱形（英語：Rhombus）混淆。
* **矩形**：四個角都是直角的四邊形。其等效條件是對角線互相平分且等長。正方形和長方形是矩形的一種。
* **長方形**：角是直角，但四邊不全相等的四邊形。
* **正方形**：四邊相等且四個角是直角的四邊形。由於其四個角都等角，又凸四邊形內角和為 360 度，因此其四個角都是直角。其等效條件是對邊平行且等長，對角線互相垂直平分且等長。
* **鳶形**，相鄰邊等長的四邊形。其中一條對角線可以將之分割成兩個全等的三角形，因此在這對角線兩側的對角會相等，這也意味著其對角線垂直。鷂形又稱鳶形或箏形。

* **圓內接四邊形**：含有外接圓的四邊形，換句話說，這個四邊形的四個頂點落在一個圓上。
* **圓內接梯形**：有一對平行邊的圓內接四邊形。
* 圓外切四邊形：含有內切圓的四邊形，換句話說，這個四邊形的四條邊與一個圓相切。
* 圓外切梯形：有一對平行邊的圓外切四邊形。
* 雙心四邊形：內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直，含有外接圓和內切圓。這個四邊形的頂點落在一個圓上且對角和為 180 度。
* 直角鳶形：有一對直角的鳶形。正鳶形是一種雙心四邊形。
* 正軸四邊形：兩對角線垂直的四邊形。
* 等對角線四邊形：對角線等長的四邊形。
* 旁心四邊形：四條邊向外延伸後能與一個圓心在四邊形外的圓相切的四邊形。
* 等長四邊形：表示有一對邊長度相等，且兩者成 60 度角的四邊形。
* **瓦特四邊形**：一個對邊等長的四邊形。
* **二次四邊形**：是指四個頂點都落在正方形周界上的四邊形。
* 直徑四邊形 ：是指有一條邊是外接圓圓心的圓內接四邊形。

### 非凸四邊形

簡單四邊形中的非凸四邊形是指不是凸四邊形的其他四邊形。

* **凹四邊形**：是指有至少一個角大於 180 度的四邊形。
* **鏢形**（或**箭頭形**、**凹鳶形**）：相鄰邊等長的凹四邊形。

## 複雜四邊形

邊自我相交的四邊形稱為複雜四邊形、折四邊形、交叉四邊形、蝴蝶四邊形或領結四邊形。交叉四邊形在兩個相交邊的四個內角（兩個銳角和兩個優角）內角和可達 720 度。

* 星形四邊形（或四角星）：指邊自相交的一種四邊形，但只能是退化的多邊形，即兩個二角形的複合圖形。
* 折四邊形：兩對邊相交的四邊形。
* 反平行四邊形：兩對邊等長的折四邊形。
* 交叉矩形：有一對邊平行且其對角線和平行的對邊可以形成一個矩形的反平行四邊形。
* 交叉正方形：有一對邊平行且交叉的對邊互相垂直。

## 分類

## 面積

任意凸四邊形面積可以利用下列算式算出：

　
: $K={\tfrac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta ,$

其中 $p$ 、 $q$ 表示兩對角線的長度， $\theta $ 是對角線的夾角 在正軸四邊形（如菱形、正方形或鳶形），這個式子可以化簡成：

　
: $K={\tfrac {1}{2}}pq$

其中由於 _$\theta $_ 是 90°，因此修正項 $\sin \theta $ 可以消掉。

若凸四邊形的四邊長度分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，對角線長度為 $e$ 、 $f$ ，對角線相交的角度為 _$\theta $_ ，其面積為：

　
: ${\frac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$

　
: ${\frac {1}{2}}ef\sin \theta $

　
: ${\frac {1}{4}}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\tan \theta $

若對角線相交的角度為 $\theta $ ，四邊形的對邊的關係： $\theta =90^{\circ }\Longleftrightarrow a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

底下是一些針對特殊四邊形的面積公式：

* 圓內接四邊形：婆羅摩笈多公式
* 梯形：兩底邊之和 × 高 ÷2
* 鳶形（箏形）：兩對角線之積 ÷2
* 平行四邊形：底邊 × 高
* 菱形：兩對角線之積 ÷2
* 矩形：兩相鄰邊之積
* 雙心四邊形： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 為四邊邊長，其面積 $A={\sqrt {abcd}}$
* 正方形：邊長平方
* 反平行四邊形：計算其中一半三角形再 ×2，其面積為 (長 × 闊 ÷2)×2/(長 × 闊)，因 ×2÷2 可相互抵銷。

## 扭歪四邊形

扭歪四邊形，又稱**不共面四邊形**，是指頂點並非完全共面的四邊形。因為扭歪四邊形不存在唯一確定的內部區域，故無法計算其面積。

## 參考文獻

## 外部連結

* 任意四邊形面積求法
扭歪多邊形

在幾何學中，**扭歪** **多邊形**（英語：Skew polygon）又稱**歪斜多邊形**、**撓多邊形**或**鞍形多邊形**（英語：Saddle Polygon）是指頂點並非全部共面的多邊形。扭歪多邊形最少要有四個頂點。其無法找到一個唯一的多邊形內部區域。而扭歪無限邊形則是代表頂點並非全部共線的無限邊形。除了扭歪無限邊形之外的扭歪多邊形僅能存在於三維或以上的空間，因為二維空間中不會有不共面的情形。

**鋸齒扭歪多邊形**（英語：zig-zag skew polygon）又稱**反柱多邊形**（英語：antiprismatic polygon）是一種頂點交錯位於兩平面且邊數是偶數的扭歪多邊形。

## 三維的正扭歪多邊形

正扭歪多邊形需要具備有點可遞與邊長皆相等的性質。在三維空間中，偶數邊數的正扭歪多邊形是頂點交錯位於兩平面的一種鋸齒扭歪多邊形（或稱反柱多邊形），每個底面邊數為 n 的反柱體都可以構造一個正扭歪 2n 邊形。

這種正多邊形在施萊夫利符號中以 {p}#{} 表示其為正多邊形（施萊夫利符號： {p} ）和正交線段（施萊夫利符號： { } ）的複合體，其中 p 表示多邊形的邊數。連續頂點之間的對稱變換是滑移鏡射。

均勻的反柱體之側面相連繞反柱體一圈的多邊形就是正扭歪多邊形的一個例子，如下表列舉的正四角反角柱和正五角反角柱。星形反稜柱也可以透過與原先頂面到比面不同的連接順序來構造出正扭歪多邊形。

正扭歪多邊形也存在正的複合幾何圖形，其中，複合正鋸齒扭歪多邊形在邊數是偶數的情形下可透過一個正扭歪多邊形與另外一個全等但是旋轉過的扭歪多邊形重疊來構造。這些形狀與一些反柱體的柱體狀複合體共用頂點。

正多面體的皮特里多邊形也可以用來構造正扭歪多邊形

### 三維空間的等角扭歪多邊形

等角扭歪多邊形是一種等角但邊未必等長的扭歪多邊形。正扭歪多邊形是一種等角扭歪多邊形，但等角扭歪多邊形不一定會是正扭歪多邊形。半正的等角扭歪多邊形通常會有兩組等長的邊交錯。

## 四維的正扭歪多邊形

由於扭歪多邊形的定義是指頂點並非全部共面的多邊形，因此也可以扭歪到更高的維度。

四維空間中簡單的正扭歪多邊形也如同三維空間，可透過正圖形的皮特里多邊形構造。下表將四維凸正多胞體的三維投影以黃色標出扭歪多邊形：

## 參見

* 歪斜

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Skew polygon. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Petrie polygon. MathWorld.
扭歪多面體

在幾何學中，**扭歪** **多面體**（英語：Skew polyhedron）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。

**正扭歪多面體**代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由布蘭科・格林鮑姆研究有扭歪面的形狀。

具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

## 歷史

關於考克斯特，1926 年時，約翰・弗林德斯・皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。

考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} ，其中以 {l,m} 表示其頂點：每個頂點都是 _m_ 個 _l_ 邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。

能表示為 {l,m|n} 的正扭歪多面體存在以下等式：

　
: $2\cos({\frac {\pi }{l}})\cos({\frac {\pi }{m}})=\cos({\frac {\pi }{n}})$

第一系列的 {l,m|n} 正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：

## 四維的正扭歪多面體

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》中列出了較多的一系列扭歪多面體。

## 參見

* 扭歪多邊形

## 參考文獻
扭歪正多邊形

在幾何學中，**扭歪** **多邊形**（英語：Skew polygon）又稱**歪斜多邊形**、**撓多邊形**或**鞍形多邊形**（英語：Saddle Polygon）是指頂點並非全部共面的多邊形。扭歪多邊形最少要有四個頂點。其無法找到一個唯一的多邊形內部區域。而扭歪無限邊形則是代表頂點並非全部共線的無限邊形。除了扭歪無限邊形之外的扭歪多邊形僅能存在於三維或以上的空間，因為二維空間中不會有不共面的情形。

**鋸齒扭歪多邊形**（英語：zig-zag skew polygon）又稱**反柱多邊形**（英語：antiprismatic polygon）是一種頂點交錯位於兩平面且邊數是偶數的扭歪多邊形。

## 三維的正扭歪多邊形

正扭歪多邊形需要具備有點可遞與邊長皆相等的性質。在三維空間中，偶數邊數的正扭歪多邊形是頂點交錯位於兩平面的一種鋸齒扭歪多邊形（或稱反柱多邊形），每個底面邊數為 n 的反柱體都可以構造一個正扭歪 2n 邊形。

這種正多邊形在施萊夫利符號中以 {p}#{} 表示其為正多邊形（施萊夫利符號： {p} ）和正交線段（施萊夫利符號： { } ）的複合體，其中 p 表示多邊形的邊數。連續頂點之間的對稱變換是滑移鏡射。

均勻的反柱體之側面相連繞反柱體一圈的多邊形就是正扭歪多邊形的一個例子，如下表列舉的正四角反角柱和正五角反角柱。星形反稜柱也可以透過與原先頂面到比面不同的連接順序來構造出正扭歪多邊形。

正扭歪多邊形也存在正的複合幾何圖形，其中，複合正鋸齒扭歪多邊形在邊數是偶數的情形下可透過一個正扭歪多邊形與另外一個全等但是旋轉過的扭歪多邊形重疊來構造。這些形狀與一些反柱體的柱體狀複合體共用頂點。

正多面體的皮特里多邊形也可以用來構造正扭歪多邊形

### 三維空間的等角扭歪多邊形

等角扭歪多邊形是一種等角但邊未必等長的扭歪多邊形。正扭歪多邊形是一種等角扭歪多邊形，但等角扭歪多邊形不一定會是正扭歪多邊形。半正的等角扭歪多邊形通常會有兩組等長的邊交錯。

## 四維的正扭歪多邊形

由於扭歪多邊形的定義是指頂點並非全部共面的多邊形，因此也可以扭歪到更高的維度。

四維空間中簡單的正扭歪多邊形也如同三維空間，可透過正圖形的皮特里多邊形構造。下表將四維凸正多胞體的三維投影以黃色標出扭歪多邊形：

## 參見

* 歪斜

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Skew polygon. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Petrie polygon. MathWorld.
扭歪正多面體

在幾何學中，**扭歪** **多面體**（英語：Skew polyhedron）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。

**正扭歪多面體**代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由布蘭科・格林鮑姆研究有扭歪面的形狀。

具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

## 歷史

關於考克斯特，1926 年時，約翰・弗林德斯・皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。

考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} ，其中以 {l,m} 表示其頂點：每個頂點都是 _m_ 個 _l_ 邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。

能表示為 {l,m|n} 的正扭歪多面體存在以下等式：

　
: $2\cos({\frac {\pi }{l}})\cos({\frac {\pi }{m}})=\cos({\frac {\pi }{n}})$

第一系列的 {l,m|n} 正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：

## 四維的正扭歪多面體

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》中列出了較多的一系列扭歪多面體。

## 參見

* 扭歪多邊形

## 參考文獻
扭歪正無限邊形

在幾何學中，**扭歪** **無限邊形**（英語：Skew apeirogon）又稱**歪斜無限邊形**、**撓無限邊形**是一種頂點並非全部共線的無限邊形。

較常討論及研究的扭歪無限邊形主要有兩個不同維度的形式，一種是二維的**鋸齒歪斜無限邊形**（英語：zig-zag skew apeirogons）其頂點交錯位於兩條互相平行的直線上，另一種是三維的**螺旋歪斜無限邊形**（英語：helical skew apeirogons）其頂點位於一個圓柱面上。二維中的鋸齒歪斜無限邊形可以看做是不斷平移鏡射，如三維空間的螺旋軸對稱的形狀。

正的扭歪無限邊形存在於仿射和雙曲考克斯特群的皮特里多邊形中。他們就如同合成所有考克斯特群鏡射的單一變換。

## 二維的正扭歪無限邊形

位於二維空間的正扭歪無限邊形是一種鋸齒扭歪多邊形，又稱為**正鋸齒扭歪無限邊形**具有 **2\*∞**, D∞d 帶狀群的對稱性。

正的扭歪無限邊形存在於三種正鑲嵌圖的皮特里多邊形中，包括正方形鑲嵌、正三角形鑲嵌以及正六邊形鑲嵌，其內角分別為 90°、120° 和 60° 分別來自各正鑲嵌圖裡的正多邊形。

## 等角扭歪無限邊形

等角扭歪無限邊形具有兩種不同的邊交錯出現在帶狀群的對稱性中，可以看成將正鋸齒扭歪無限邊形扭曲成具有平移對稱性的等角無限邊形。

另外還有一種等角扭歪無限邊形，其兩種不同的邊其中一種邊交錯的與兩條相互平行的直線重和（共線），每個平行邊的中垂線都是整個圖形的鏡射軸。若邊都等長則可以稱其為半正扭歪無限邊形。

半正扭歪無限邊形存在於一些平面正鑲嵌圖或半正鑲嵌圖的皮特里多邊形中：

## 雙曲面上的扭歪無限邊形

如同平面幾何，在雙曲幾何中也能找到扭歪無限邊形。

在雙曲面上的正扭歪無限邊形與平面的正扭歪無限邊形類似，一樣是存在於雙曲面上正鑲嵌圖的皮特里多邊形中，雙曲面半正扭歪無限邊形也一樣，存在於雙曲面上半正鑲嵌圖的皮特里多邊形中。

## 三維空間的扭歪無限邊形

三維空間的扭歪無限邊形是一種頂點全部侷限於一個圓柱面的螺旋狀幾何圖形，稱為螺旋無限邊形

這種扭歪無限邊形可以藉由無限堆疊的半正柱體或反柱體來構造，一般其扭曲角並不限於 180 度的整數除數。這種扭歪無限邊形具有螺旋軸對稱的對稱性。

無限堆疊的柱體，比如無限堆疊的正方體，透過每個正方形面的對角線相連，環繞著無限堆疊的正方體而構成一個四角螺旋無限邊形，其扭曲角為 90 度，在施萊夫利符號中以 {∞}#{4} 表示

無限堆疊的反柱體，比如無限堆疊的正八面體，透過每個邊螺旋地環繞著無限堆疊的正八面體相連，而構成，根據連的邊不同，一共有三種不同的組合，分別以紅色、綠色和藍色三種顏色表示。其扭曲角為 60 度，在施萊夫利符號中以 {∞}#{6} 表示

### 等角螺旋無限邊形

## 參考文獻
扭歪正無限面體

在幾何學中，**正扭歪** **無限面體**（英語：Regular skew apeirohedron）是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。

## 歷史

關於考克斯特，1926 年時，約翰・弗林德斯・皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} 來表示。這個擴展符號 {l,m|n} 表示每個頂點都是 $m$ 個正 $l$ 邊形的公共頂點，且存在正 $n$ 邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：

* 2 sin(π/_l_) · sin(π/_m_) = cos(π/_n_)

## 三維空間的正扭歪無限面體

三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰・康威將他們稱為**多立方體**（英語：Mucube）、多八面體（英語：Muoctahedron）和、多四面體（英語：Mutetrahedron），英文中的字首 mu - 表示「多」（英語：multiple）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」。

1. 四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、英語：Mucube）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
2. 六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、英語：Muoctahedron）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
3. 六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、英語：Mutetrahedron）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的 [[(_p_,_q_,_p_,_r_)]+ 的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有 [[(_p_,_q_,_p_,_r_)]] 的擴展對稱性。

## 三維雙曲空間的正扭歪無限面體

1967 年時，C. W. L. Garner 以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了 31 種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體。

### 14 種緊空間正扭歪無限面體

### 17 種仿緊空間正扭歪無限面體

## 參見

* 扭歪多面體
* 扭歪無限面體
* 無限面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Regular Skew Polyhedron. MathWorld.
扭歪無限邊形

在幾何學中，**扭歪** **無限邊形**（英語：Skew apeirogon）又稱**歪斜無限邊形**、**撓無限邊形**是一種頂點並非全部共線的無限邊形。

較常討論及研究的扭歪無限邊形主要有兩個不同維度的形式，一種是二維的**鋸齒歪斜無限邊形**（英語：zig-zag skew apeirogons）其頂點交錯位於兩條互相平行的直線上，另一種是三維的**螺旋歪斜無限邊形**（英語：helical skew apeirogons）其頂點位於一個圓柱面上。二維中的鋸齒歪斜無限邊形可以看做是不斷平移鏡射，如三維空間的螺旋軸對稱的形狀。

正的扭歪無限邊形存在於仿射和雙曲考克斯特群的皮特里多邊形中。他們就如同合成所有考克斯特群鏡射的單一變換。

## 二維的正扭歪無限邊形

位於二維空間的正扭歪無限邊形是一種鋸齒扭歪多邊形，又稱為**正鋸齒扭歪無限邊形**具有 **2\*∞**, D∞d 帶狀群的對稱性。

正的扭歪無限邊形存在於三種正鑲嵌圖的皮特里多邊形中，包括正方形鑲嵌、正三角形鑲嵌以及正六邊形鑲嵌，其內角分別為 90°、120° 和 60° 分別來自各正鑲嵌圖裡的正多邊形。

## 等角扭歪無限邊形

等角扭歪無限邊形具有兩種不同的邊交錯出現在帶狀群的對稱性中，可以看成將正鋸齒扭歪無限邊形扭曲成具有平移對稱性的等角無限邊形。

另外還有一種等角扭歪無限邊形，其兩種不同的邊其中一種邊交錯的與兩條相互平行的直線重和（共線），每個平行邊的中垂線都是整個圖形的鏡射軸。若邊都等長則可以稱其為半正扭歪無限邊形。

半正扭歪無限邊形存在於一些平面正鑲嵌圖或半正鑲嵌圖的皮特里多邊形中：

## 雙曲面上的扭歪無限邊形

如同平面幾何，在雙曲幾何中也能找到扭歪無限邊形。

在雙曲面上的正扭歪無限邊形與平面的正扭歪無限邊形類似，一樣是存在於雙曲面上正鑲嵌圖的皮特里多邊形中，雙曲面半正扭歪無限邊形也一樣，存在於雙曲面上半正鑲嵌圖的皮特里多邊形中。

## 三維空間的扭歪無限邊形

三維空間的扭歪無限邊形是一種頂點全部侷限於一個圓柱面的螺旋狀幾何圖形，稱為螺旋無限邊形

這種扭歪無限邊形可以藉由無限堆疊的半正柱體或反柱體來構造，一般其扭曲角並不限於 180 度的整數除數。這種扭歪無限邊形具有螺旋軸對稱的對稱性。

無限堆疊的柱體，比如無限堆疊的正方體，透過每個正方形面的對角線相連，環繞著無限堆疊的正方體而構成一個四角螺旋無限邊形，其扭曲角為 90 度，在施萊夫利符號中以 {∞}#{4} 表示

無限堆疊的反柱體，比如無限堆疊的正八面體，透過每個邊螺旋地環繞著無限堆疊的正八面體相連，而構成，根據連的邊不同，一共有三種不同的組合，分別以紅色、綠色和藍色三種顏色表示。其扭曲角為 60 度，在施萊夫利符號中以 {∞}#{6} 表示

### 等角螺旋無限邊形

## 參考文獻
扭歪無限面體

在幾何學中，**扭歪** **無限面體**（英語：Skew apeirohedron）是一種頂點並非全部共面的無限面體，存在非平面的面或非平面的頂點圖，並保持圖形不折回形成封閉區間而無限延伸。其也可以看作是面數無法被窮盡的扭歪多面體。由於該多面體所形成的空間有如海綿般有很多孔洞，因此又稱為**海綿多面體**。

## 正扭歪無限面體

關於考克斯特，1926 年時，約翰・弗林德斯・皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的正扭歪無限面體。

考克斯特和皮特里發現了三種三維空間的正扭歪無限面體：

## 戈特的扭歪無限面體

約翰・理察・戈特在 1976 年時發表了一個較大的扭歪無限面體系列，該系列共有七種不同的扭歪無限面體，其中也包括了考克斯特和皮特里發現的那三種：{4,6}、{6,4} 和 {6,6}，另外還多了四種 {5,5}、{4,5}、{3,8}、{3,10}。

## 半正扭歪無限面體

亦存在其他的半正或均勻（點可遞）的扭歪無限面體。瓦茨曼、伯特和克雷曼發現了許多例子，但他們不知道他們列出的列表是否完整。

## 參見

* 扭歪多面體
* 正扭歪無限面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Honeycombs and sponges. MathWorld.
* "Hyperbolic" Tessellations
* Infinite Regular Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [4] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Infinite Repeating Polyhedra - Partial Honeycombs in 3-Space （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 18 SYMMETRY OF POLYTOPES AND POLYHEDRA, Egon Schulte: 18.3 REGULAR SKEW POLYHEDRA
* Infinite Polyhedra, T.E. Dorozinski
扭毛蘚

**扭毛蘚**（學名：_**Barbula convoluta**_）為叢蘚科扭口蘚屬下的一個種。

## 參考文獻
扭法螺

**扭法螺**（學名：_**Distorsio anus**_），是扭法螺科扭法螺屬的一種。

主要分布於印度尼西亞、中國大陸、台灣，常棲息在潮間帶至潮下帶。

## 參考文獻
扭法螺屬

**扭法螺屬**（學名：_Distorsio_）為一個中型海螺的屬，是海洋腹足綱軟體動物下的。

扭法螺屬曾經屬於法螺科（Ranellidae，又名嵌線螺科），今屬扭法螺科（Personidae）；而這兩個科過往曾屬於新扭舌目，又曾屬於異足目，今屬玉黍螺類支序。

## 物種

以下詳列本屬物種：

* 扭法螺 _Distorsio anus_ (Linnaeus, 1758)
* _Distorsio burgessi_ Lewis, 1972
* _Distorsio clathrata_ (Lamarck, 1816)
* _Distorsio constricta_ (Broderip, 1833)
* _Distorsio decipiens_ (Reeve, 1844)
* _Distorsio decussata_ (Valenciennes, 1832)
* _Distorsio euconstricta_ Beu, 1987
* _Distorsio graceiellae_ Parth, 1989
* _Distorsio globosa_ Nolf, 2014
* _Distorsio habei_ Lewis, 1972
* _Distorsio jenniernestae_ Emerson & Piech, 1992
* _Distorsio kurzi_ Petuch & Harasewych, 1980
* _Distorsio minoruohnishii_ Parth, 1989
* 美好色扭法螺 _Distorsio muehlhaeusseri_ Parth, 1990
* _Distorsio parvimpedita_ Beu, 1998
* 白扭法螺 _Distorsio perdistorta_ Fulton, 1938
* 毛扭法螺 _Distorsio reticularis_ (Linnaeus, 1758)：又名網紋扭螺 _Distorsio reticulata_ (Roeding, 1798)
* _Distorsio smithi_ (von Maltzan, 1884)
* _Distorsio somalica_ Parth, 1990
* _Distorsio ventricosa_ Kronenberg, 1994

Species which are synonyms or were incorrectly placed in the genus _Distorsio_:

* _Distorsio acuta_ Perry, 1811 accepted as _Distorsio reticularis_ (Linnaeus, 1758)
* _Distorsio arcularia_ Röding, 1798 accepted as _Nassarius arcularia arcularia_ (Linnaeus, 1758)
* _Distorsio communis_ Röding, 1798 accepted as _Nassarius stolatus_ (Gmelin, 1791)
* _Distorsio francesae_ Iredale, 1931 accepted as _Distorsio reticularis_ (Linnaeus, 1758)
* _Distorsio horrida_ Kuroda & Habe in Habe, 1961 accepted as _Distorsio perdistorta_ Fulton, 1938
* _Distorsio lewisi_ Beu, 1978 accepted as _Distorsionella lewisi_ (Beu, 1978)
* _Distorsio mcgintyi_ Emerson & Puffer, 1953: synonym of _Distorsio constricta mcgintyi_ Emerson & Puffer, 1953
* _Distorsio muricina_ Röding, 1798 accepted as _Gutturnium muricinum_ (Röding, 1798)
* _Distorsio plicata_ Röding, 1798 accepted as _Nassarius arcularia plicatus_ (Röding, 1798)
* _Distorsio pusilla_ Pease, 1861 accepted as _Distorsomina pusilla_ (Pease, 1861)
* _Distorsio reticulata Röding, 1798 accepted as_ Distorsio reticularis _(Linnaeus, 1758)_
* _Distorsio robinsoni_ Petuch, 1987 accepted as _Distorsio clathrata_ (Lamarck, 1816)

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基物種上的相關資訊：扭法螺屬
扭法螺科

**扭法螺科**（學名：_Personidae_）為異腹足目的一個科。

## 下級分類

本科包括以下屬：

* 扭螺屬 _Distorsio_ Röding, 1798
* † _Kotakaia_ Beu, 1988
* _Personopsis_ Beu, 1988

## 參考文獻
扭波

**盤球**是體育術語，是指球在單一球員下推進而防止對方球員攔截。在足球使用雙腳、籃球使用手、曲棍球使用棍、水球使用泳式。成功的盤球可以擺脫對方守衛而創造得分機會。在足球層面上，盤球也稱為**扭波**。
扭玄珠螺

**扭玄珠螺**（學名：_Nototriphora sarcira_）為左錐螺科下的一個種。
舊屬玄珠螺屬，今屬 _Nototriphora_ 屬。

## 參考文獻

## 外部連結
扭率

**撓率**(torsion) 又譯**扭率**，在幾何上可能指的是：

* 聯絡的撓率，為一張量，故又稱撓率張量；
* 曲線的撓率，三維空間中曲線的撓率。
扭瓦韦

**扭瓦韋**（學名：_**Lepisorus contortus**_）為水龍骨科瓦韋屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
扭秧歌

**秧歌舞**，又稱扭秧歌，歷史悠久，是中國最具代表性的其中一種民間舞蹈形式，也是一種民間廣場中的一種集體歌舞藝術，也因扭秧歌舞姿豐富多彩，深受農民歡迎以熱鬧非凡。秧歌舞除具有自己的風格特色，一般由舞隊十多人至百人組成，扮成歷史故事、神話傳說和現實生活中的人物邊舞邊走，隨著鼓聲節奏，善於變換各種隊形，再加上舞姿豐富多彩，深受廣大觀眾的歡迎。

**秧歌舞**表演起來，生動活潑，喧嘩吵鬧。每逢重大節日，例如新年等，城鄉都組織隊，拜年問好，互相祝福、娛樂。另外，不同的村鄰之間還會扭起秧歌互相訪拜，比歌賽舞，可見扭秧歌對古代農民來說是多麼重要。

這一切促使扭秧歌成為大型群眾性娛樂，歡慶，宣傳的主要形式。因為秧歌內容形式多樣又富於變化；再加上扭秧歌舞蹈動態豐富，面容扭曲浮誇，使看秧歌的人目瞪口呆，因而受中國人的歡迎。

## 歷史發展

秧歌舞起源於農業勞動，人們在田間辛苦插秧、耕耘，耘田的勞動，以敲鑼打鼓，用來助興，其實早在宋代就有農事中唱秧歌的記載。後來人們不斷豐富發展，將農民們勞動之餘自娛自樂的形式，歌舞都統稱為秧歌。現在廣義的秧歌大致有三種類型：

1. 唱歌
2. 舞蹈
3. 小戲

狹義的秧歌只指秧歌舞。之後扭秧歌更發展成為一種唱腔和舞姿，但又因各地地理環境的差異，群眾感覺，而表現出不同的風格特色。例如陝北秧歌健壯明朗，自由奔放，東北秧歌生動活潑、幽默俏麗，山東秧歌豪邁粗獷、舒展大度等。

1942 年，毛澤東「在延安文藝座談會上的講話」中強調文藝為工農兵服務，在延安掀起了「延安新秧歌運動」，因此產生「新秧歌」舞。

現在的秧歌舞樣式除了保留了傳統的扭、高蹺、腰鼓、花棍、旱船，又加進了現代的舞蹈、滑雪舞、扇子舞、燈舞等。秧歌的音樂由原來傳統的中樂，如嗩吶、鑼鼓、鈸等，發展到電子樂及不同的高科技樂器。音樂的旋律不僅僅有原來的秧歌調，還加入了民樂合奏、搖滾樂等。

## 相關條目

* 廣場舞，電影龍在中國有演出
* 秧歌舞事件 - 香港 1950 年代初發生的一件左右兩派人士的衝突事件。

## 參考文獻
扭稜

在幾何學中，**扭稜**是一種多面體變換。該術語起源於克卜勒對阿基米德立體的命名，分別為扭棱立方體（英語：snub cube、拉丁語：cubus simus）和扭棱十二面體（英語：snub dodecahedron、拉丁語：dodecaedron simum）。一般而言，多面體經扭稜變換後可以形成兩種互為手性鏡像的形式，分別為順時針方向的扭稜和逆時針方向的扭稜。以克卜勒的命名對應的扭稜變換可以看做是正多面體的擴張，也就是將正多面體的面向外分開，並圍繞著中心扭曲（不改變面的形狀），然後加入以每個原始立體頂點為中心的正方形，並在每個原始立體之邊的位置上加入成對的三角形來構成。

考克斯特對扭稜進行了推廣，推廣成能用於更廣泛的均勻多面體，其定義略有不同。

## 康威扭稜

康威研究了廣義的多面體變換，定義了現在稱為康威多面體表示法的多面體變換表示法，其可以運用在多面體和各種鑲嵌或密鋪的幾何形狀。康威稱考克斯特定義的扭稜變換為半扭稜變換。

在康威多面體表示法中，扭稜變換（康威表示法：s）被定義為陀螺變換（英語：gyro，康威表示法：g，為每個 n 邊形面被切割成 n 個五邊形的多面體變換）的對偶多面體（康威表示法：d），即康威表示法 s = dg = dgd，其等價於先經截半變換再做截角變換後進行交替截角。康威表示法本身避免了考克斯特的交錯（半）變換，因為它僅適用於僅具有偶數邊數的面之多面體。

在四維空間中，康威建議將扭稜二十四胞體稱為半扭稜二十四胞體。與三維的扭稜多面體不同，三維的扭稜多面體是交替的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭稜二十四胞體並非是正二十四胞體交替的全截的形式。事實上，扭稜二十四胞體是交替截角的正二十四胞體。

## 考克斯特扭稜

考克斯特扭稜的定義略有不同，其將扭稜定義為截角後交錯，在這個定義下，扭稜立方體被視為扭稜後的截半立方體、扭棱十二面體被視為扭稜後的截半十二面體。在這種定義下命名的詹森多面體有扭稜鍥形體和扭稜四角反角柱。這種命名在高維多胞體中也有所使用，如擴展施萊夫利符號記為 s{3,4,3}，並在考克斯特 — 迪肯符號記為的扭稜二十四胞體。

一個正多面體或鑲嵌若在施萊夫利符號記為 ${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ 且考克斯特 — 迪肯符號記為，則其截角後的像施萊夫利符號記為 $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號記為，若再將這個結果進行交錯變換，則其變換後的像施萊夫利符號記為 $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號記為。要完成這個交錯變換，_q_ 必須為偶數。

一個擬正多面體若在施萊夫利符號記為 ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ 或 _r_{_p_,_q_}、考克斯特 — 迪肯符號記為或，則其截角的像施萊夫利符號記為 $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ 或 _tr_{_p_,_q_}，則這個擬正多面體的扭稜可以定義為交錯的截角截半立體 $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ 或 _htr_{_p_,_q_} = _sr_{_p_,_q_}，和 or 。

例如，以克卜勒的扭棱立方體是扭稜自擬正的截半立方體，而截半立方體的豎式施萊夫利符號記為 ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號記為，所以扭棱立方體的豎式施萊夫利符號記為 $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號記為。扭棱立方體亦可以視為經過交錯變換的截角截半立方體，截角截半立方體的豎式施萊夫利符號記為 $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號記為。

頂點分支度為偶數的正多面體也可以進行截角後交錯的扭稜，例如扭稜八面體，施萊夫利符號 $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號，其為交錯的截角八面體施萊夫利符號 $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ 、考克斯特 — 迪肯符號。八面體在這種定義下的扭稜結果稱為偽二十面體，一個拓樸與正二十面體完全相同但具備五角十二面體群對稱性的立體。

考克斯特扭稜也允許將反稜柱的施萊夫利符號定義為 $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}$ 或 $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ ，基於 n 角柱的 $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}$ 或 $t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ 。其中 ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}$ 是一個退化的 n 面形，其可以視為由二角形鑲嵌球面的幾何結構。

### 非均勻多面體的扭稜

非均勻多面體也可以扭稜，但需要滿足考克斯特扭稜的條件。考克斯特扭稜只能作用在頂點分支度全為偶數的立體上。這允許了許多多面體的扭稜，包括了無窮集合的立體。例如：

### 考克斯特的均勻扭稜星形多面體

扭稜均勻星形多面體由其施瓦茨三角形 (p q r) 構造，具有合理有序的鏡像對稱角，且所有鏡像都處於活動和交替的狀態。

## 參見

* 扭稜多面體

## 參考文獻
扭稜6面體

在幾何學中，**扭棱立方體**（英語：snub cube），又稱**擬立方體**（英語：cubus simus）是一種由 38 個面組成的阿基米德立體，由 6 個正方形和 32 個正三角形組成，共有 60 條邊和 24 個頂點。

## 性質

扭棱立方體是一個手性多面體，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。扭棱立方體是一種阿基米德立體，其所有的面都是正多邊形，且每個頂點都是 4 個三角形和一個正方形，其頂點圖計為 3.3.3.3.4 或 34.4，由於所有頂點相等，因此也稱為半正多面體。

### 體積與表面積

邊長為單位長的扭棱立方體表面積為 $6+8{\sqrt {3}}$ ，體積為：

　
: ${\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\approx 7.889\,294\,677\,71,$

其中 t 表示三波那契常數：

　
: ${\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,29$ 。

由於扭棱立方體由 6 個正方形和 32 個正三角形組成，因此其表面積即 6 倍的正方形面積和 32 倍的正三角形面積。

　
:

### 二面角

扭棱立方體有兩種不同角度的二面角，分別是三角形 - 三角形二面角和三角形 - 正方形二面角。其中三角形 - 三角形二面角餘角的餘弦值是三次方程式 $27x^{3}+9x^{2}-15x-13$ 的零點、三角形 - 正方形二面角餘角的餘弦值是六次方程式 $27x^{6}-99x^{4}-129x^{2}-49$ 的零點。

三角形 - 三角形二面角以反正割表示為：

　
: : $2\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{2}-3}})\approx 2.674448083$

換算成角度約為 153.23 度或 153 度 14 分 04 秒。

三角形 - 正方形二面角為：

　
: $\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{3}-3}})+\sec ^{-1}({\sqrt {4R^{2}-1}})\approx 2.495531630$

換算成角度約為 142.98 度或 142 度 59 分 00 秒。

其中 R 為邊長為單位長之扭棱立方體外接球的半徑。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 幾何關聯

扭棱立方體可透過將立方體的正方形面向外拉，使之不再相連，然後再將正方形面旋轉一個角度，再將空隙以三角形補滿而得

## 相關多面體及鑲嵌

扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

## 參見

* 立方體
* 截半立方體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，扭棱立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Snub cubic graph. MathWorld.
扭稜二十面化截半大十二面體

**扭稜二十面化截半大十二面體**是一種星形均勻多面體，為二十面化截半大十二面體的扭稜立體，由 80 個正三角形、12 個正五邊形和 12 個正五角星組成，索引為 U46，對偶多面體為中六角六十面體，其與扭稜小星形十二面體一樣，皆具有 12 組正五邊形面和五角星面互相平行。

這個立體與塑膠數關係十分密切，因為其許多屬性都可以用塑膠數來表達，例如邊長為單位長的扭稜二十面化截半大十二面體，其外接球半徑為 ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}$ ，其中 $\rho $ 為塑膠數。

## 性質

扭稜二十面化截半大十二面體共由 104 個面、180 條邊和 60 個頂點組成。在其 104 個面中，有 80 個正三角形面、12 個正五邊形面和 12 個正五角星面。在其 60 個頂點中，每個頂點都是 4 個三角形、1 個五邊形和 1 個五角星的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以五邊形、三角形、五角星、三角形、三角形和三角形的順序排列，在頂點圖中可以用 (5.3.5/3.3.3.3)、{3, 5/3, 3, 3, 3, 5}或 (3.5/3.3.3.3.5) 來表示。

### 表示法

扭稜二十面化截半大十二面體在考克斯特 — 迪肯符號中可以表示為（s5/3s3s5\*a），在威佐夫記號中可以表示為 | 5/3 3 5 或 | 3 5/3 5。

### 尺寸

若扭稜二十面化截半大十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：

　
: ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}\approx 1.1268979127999$

其中 $\rho $ 為塑膠數，是方程式式 $x^{3}-x-1=0$ 的唯一實根，約為 1.324718。

## 參見

* 均勻多面體列表

## 參考文獻
扭稜八階正方形鑲嵌

在幾何學中，**交錯八邊形鑲嵌**是一種半正雙曲面鑲嵌，由三角形和正方形組成，在施萊夫利符號中用 {(4,3,3)} 或 h {8,3} 表示。交錯八邊形鑲嵌是指正八邊形鑲嵌經過交錯變換產生的鑲嵌圖。

交錯八邊形鑲嵌也可以算是一種雙曲面上的三角形 - 正方形鑲嵌。

交錯八邊形鑲嵌具有 [(4,3,3)], (\*433) 的對稱性，在約翰・康威的軌形符號中以 433 表示。

## 幾何

雖然每一條邊都是直線（曲面上的直線），但由於曲面不易製作或繪製，因此需要投影，然投影過程扭曲了直線成了曲線，因此要檢視其形狀可以透過平移所需要的點到龐加萊雙曲圓盤的中心來檢視其幾何結構，此時曲線會接近直線。

## 表面塗色

不同的表面塗色方式可以得到不同的對稱性，並代表著不同的幾何結構，例如：

## 對偶鑲嵌

## 在藝術中

圓極限 III 中包含了交錯八邊形鑲嵌的結構。圓極限 III 是一個 M. C. Escher 在 1959 年製作的木刻版畫作品，魚串就像從無限遠射出來的火箭，然後又再次降落回他們的出發地，並與邊界垂直。圖中白色曲線通過每一條魚的中間，劃分成正方形和三角形在交錯八邊形鑲嵌的圖案。 然而，在交錯八邊形鑲嵌中，每個曲線都是雙曲面上的線段，而在艾雪的木刻中，曲線是超圓形的弧。

　
:

## 相關多面體及鑲嵌

交錯八邊形鑲嵌是一系列交錯三階正多邊形鑲嵌和多面體的其中之一，該系列只包含偶數邊的正多邊形，因為只有偶數邊形才可進行交錯變換，由於交錯變換會使邊數減半，例如本例正八邊形交錯變成正方形，所以正七邊形不能交錯，因為沒有正三點五邊形。

交錯八邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與交錯八邊形鑲嵌擁有相似的對稱性 [(4,3,3)], (\*433) 或 [(4,3,3)]+, (433)：

交錯八邊形鑲嵌也可以從八階正方形鑲嵌以考克斯特結構 (4,4,4) 透過截角操作或其他康威變換得到的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是八階正方形鑲嵌，因此與八階正方形鑲嵌擁有相似的對稱性 [(4,4,4)], (\*444) 或 [(4,4,4)]+ 
(444)：

## 參見

* 圓極限 III
* 正方形鑲嵌

## 注釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
扭稜八面體

**扭稜八面體**可以指：

* 偽二十面體：八面體經考克斯特扭稜所形成的立體，具五角十二面體對稱性，施萊夫利符號： $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}$ 、 考克斯特符號：
* 扭棱立方體：八面體經康威扭稜所形成的立體，施萊夫利符號： $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ 、 考克斯特符號：
扭稜六邊形鑲嵌

在幾何學中，**扭稜六邊形鑲嵌**是歐幾里德平面上六邊形鑲嵌的一種變形，是種平面鑲嵌，屬於半正鑲嵌圖的一種，它的每個頂點上皆有 4 個三角形和一個六邊形。在施萊夫利符號中用 s {6,3} 來表示。

康威稱扭稜六邊形鑲嵌為 **snub hexatille**，因為**扭稜六邊形鑲嵌**可由六邊形鑲嵌透過扭稜變換而構造出來。

## 相關半正鑲嵌

## 參考文獻
扭稜四角反角柱

**扭稜四角反角柱**（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為 **J85**。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有 92 種。這些立體最早在 1966 年由諾曼・詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。

## 性質

扭稜四角反角柱共由 26 個面、40 條邊和 16 頂點所組成。在其 26 個面中，有 24 個三角形和 2 個正方形。在其 16 個頂點中，有 8 個頂點是 5 個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用 [35] 來表示、另外 8 個頂點是 4 個三角形和 1 個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用 [34,4] 來表示。

### 構造

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為 ss {2,8}，其中 s {2,8} 是四角反角柱，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為 sY4。

### 體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為 $a$ ，則其表面積 $A$ 為：

　
: $A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},$

而其體積 $V$ 為：

　
: $V=\xi a^{3},$

其中 $\xi \approx 3.60122$ 是下列多項式的最大實根：

　
: $531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.$

### 頂點座標

令 $k$ 為下列三次式的正實根，約為 $k\approx 0.82354$ ：

　
: $9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.$

和 h 約為 $h\approx 1.35374$ ：

　
: $h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.$

則邊長為 2 的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞 z 軸旋轉 90° 和繞垂直於 z 軸並與 x 軸夾角 22.5° 的直線旋轉 180° 所產生的空間對稱群之群作用下給出：

　
: $(1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)$

## 扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss {2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss {2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss {2,4}）對應另一個詹森多面體 —— 扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。

## 參見

* 詹森多面體
* 多面體
* 柏拉圖立體
* 半正多面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Snub square antiprism. MathWorld.
扭稜四面體

在幾何學中，**扭棱四面體**是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為 3 組，一組是原始四面體的面，另一組是來自原像之頂點圖的面，另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等，其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似，但不相同的立體，因此又稱**偽正二十面體**，其具備五角十二面體（黃鐵礦晶型）對稱性。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體（snub octahedron）、扭棱截半四面體（或扭棱四 - 四面體，snub tetratetrahedron）。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。

這個立體是五角十二面體的對偶多面體。

## 性質

扭棱四面體是一種二十面體，由 20 個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體，在扭稜的過程中會形成 3 種面，一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等，整個立體將與正二十面體無異。

### 拓樸結構

扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為 1 個菱形，則其拓樸結構與截半立方體相同。

　
:

### 頂點座標

這種立體的頂點座標可以用 $(\pm 2,\pm 1,0)$ 的循環排列來構造，這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體，其與耶森二十面體相同，但頂點間相連方式不同。而若取 $(\pm \varphi ,\pm 1,0)$ 則會變為正二十面體，其中 $\varphi $ 為黃金比例。

## 耶森二十面體

耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體，但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體，並具有直角的二面角。

　
:

## 對偶多面體

這種立體因為外觀與正二十面體十分類似，但不是正多面體因此又被稱為**偽正二十面體**。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體 —— 正十二面體，然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體為五角十二面體，是一種由 12 個不等邊五邊形組成的十二面體，具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似，皆是由 12 個全等的五邊形組成，且每個頂點都是 3 個五邊形的公共頂點，但由於其面不是正多邊形，其頂點的排佈未能達到五摺對稱性，因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石其晶體形狀是這種形狀，例如黃鐵礦和部分的天然氣水合物。其英文名稱 Pyritohedron 是來自黃鐵礦的英文 pyrite 以及多面體的字尾 - hedron 命名的。

## 相關多面體

## 參見

* 扭稜鍥形體
* 五角十二面體
* 正二十面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 扭棱四面體的各種變體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
扭稜大星形十二面體

**扭稜大星形十二面體**是一種星形均勻多面體，為大星形十二面體經過扭稜變換後的像，由 80 個正三角形和 12 個正五角星組成，索引為 U57，對偶多面體為大五角六十面體，具有二十面體群對稱性。

## 性質

扭稜大星形十二面體共由 92 個面、150 條邊和 60 個頂點組成。在其 92 個面中有 80 個正三角形面和 12 個五角星面，這 80 個三角形面中有 60 個來自扭稜變換。在其 60 個頂點中，每個頂點都是 4 個正三角形面和 1 個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用 (5/2.3.3.3.3) 來表示。

### 表示法

扭稜大星形十二面體在考克斯特 — 迪肯符號中可以表示為，在施萊夫利符號中可以表示為 sr{5⁄2,3}，在威佐夫記號中可以表示為 | 2 5/2 3。

### 尺寸

若扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：

　
: $R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.64502\dots $

其中 $x$ 是 $x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$ 的實根。
以 $R^{2}$ 為變數的六次方程式

　
: $4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$

共有 4 個實根，分別是扭棱十二面體、**扭稜大星形十二面體**、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。

### 頂點座標

扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：

　
: $\left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)$ 、

　
: $\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)$ 、

　
: $\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)$ 、

　
: $\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)$ 和

　
: $\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)$ ，

帶有偶數個正號，其中

　
: $\alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}$

且

　
: $\beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}$

其中 $\tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 為黃金比例、 $\xi $ 是方程式式 $\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}$ 的負實根，約為−1.5488772。
若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。

## 參見

* 均勻多面體列表
* 反扭稜大星形十二面體

## 參考文獻
扭稜小星形十二面體

在幾何學中，**扭稜小星形十二面體**是一種星形均勻多面體，索引為 U40，由 60 個三角形面、12 個正五邊形面和 12 個正五角星面組成，且有 12 組正五邊形面和正五角星面互相平行，為小星形十二面體經扭棱變換後的結果，具有二十面體群對稱性。**扭稜小星形十二面體**的對偶多面體為中五角六十面體，並與反扭稜小星形十二面體拓樸同構。

## 性質

扭稜小星形十二面體一共有 84 個面、150 條邊和 60 個頂點。在其 84 個面中，有 60 個正三角形面、12 個正五邊形面和 12 個五角星面，換句話說，具有 3 條邊的面共 60 個且具有 5 條邊的面共 24 個。其 12 個正五邊形面和 12 個五角星面中，有 12 組正五邊形面和五角星面互相平行，這與截半大十二面體非常類似。其 60 個頂點每個頂點都是 1 個十角星、1 個五角星和 3 個三角形的公共頂點，並且這些面在頂都周圍皆是依照五角星、三角形、五邊形、三角形、三角形和三角形的順序排列，在頂點圖中可以用 (5⁄2,3,5,3,3) 或 (3.3.5⁄2.3.5) 來表示。

### 表示法

扭稜小星形十二面體在考克斯特 — 迪肯符號中可以表示為（s5⁄2s5s），在施萊夫利符號中可以表示為 sr{5⁄2,5}，在威佐夫記號中可以表示為 | 2 5⁄2 5。

### 尺寸

若扭稜小星形十二面體的邊常為單位長，則其外接球半徑為多項式 $64x^{4}-192x^{3}+180x^{2}-65x+8$ 之較大正實根（約為 1.6242）的平方根，約為 1.27443994：

　
: ${\sqrt {\operatorname {root} \left(64x^{4}-192x^{3}+180x^{2}-65x+8\right)}}\approx 1.27443988203802179$

稜切球半徑則為多項式 $256x^{4}-512x^{3}+240x^{2}-28x+1$ 之正實根的平方根：

　
: ${\sqrt {\operatorname {root} \left(256x^{4}-512x^{3}+240x^{2}-28x+1\right)}}\approx 1.172261495114928$

### 頂點座標

扭稜小星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：

　
: (±2α, ±2, ±2β),

　
: (±(α+β/τ+τ), ±(-ατ+β+1/τ), ±(α/τ+βτ-1))、

　
: (±(-α/τ+βτ+1), ±(-α+β/τ-τ), ±(ατ+β-1/τ))、

　
: (±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(ατ+β+1/τ)) 與

　
: (±(α+β/τ-τ), ±(ατ-β+1/τ), ±(α/τ+βτ+1))，

帶有偶數個正號，其中

　
: β = (α2/τ+τ)/(ατ−1/τ)，

當中的 τ = (1+√5)/2 為黃金比例且 α 是多項式 τα4−α3+2α2−α−1/τ 的正實根，約為 0.7964421。
若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到扭稜小星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的對映體。

## 參見

* 均勻多面體列表
* 反扭稜小星形十二面體

## 參考文獻
扭稜截半六邊形鑲嵌

在幾何學中，**扭稜截半六邊形鑲嵌**是歐幾里德平面上截半六邊形鑲嵌的一種變形，是種平面鑲嵌，屬於不均勻半正鑲嵌的一種，它有兩種頂點，其中一個是四個三角形和一個六邊形的公共頂點；另一個是六個三角形的公共頂點。在施萊夫利符號中用 st1{6,3} 來表示。
該鑲嵌屬於複合正多邊形密鋪，是一種由二種正多邊形組成的不均勻半正鑲嵌圖，該鑲嵌圖是由正三角形和正六邊形組成。

扭稜截半六邊形鑲嵌是 Krötenheerdt 提出的較有系統的不均勻半正鑲嵌圖之一。

## 對偶鑲嵌

此鑲嵌可以視為花形五邊形鑲嵌的局部與六邊形以三個為一單位組合而成的鑲嵌，因此又稱為花形五邊形 - 三六邊形鑲嵌。

　
:

## 相關多面體與鑲嵌

## 參見

* 三角形鑲嵌

## 參考文獻
扭稜正6面體

在幾何學中，**扭棱立方體**（英語：snub cube），又稱**擬立方體**（英語：cubus simus）是一種由 38 個面組成的阿基米德立體，由 6 個正方形和 32 個正三角形組成，共有 60 條邊和 24 個頂點。

## 性質

扭棱立方體是一個手性多面體，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。扭棱立方體是一種阿基米德立體，其所有的面都是正多邊形，且每個頂點都是 4 個三角形和一個正方形，其頂點圖計為 3.3.3.3.4 或 34.4，由於所有頂點相等，因此也稱為半正多面體。

### 體積與表面積

邊長為單位長的扭棱立方體表面積為 $6+8{\sqrt {3}}$ ，體積為：

　
: ${\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\approx 7.889\,294\,677\,71,$

其中 t 表示三波那契常數：

　
: ${\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,29$ 。

由於扭棱立方體由 6 個正方形和 32 個正三角形組成，因此其表面積即 6 倍的正方形面積和 32 倍的正三角形面積。

　
:

### 二面角

扭棱立方體有兩種不同角度的二面角，分別是三角形 - 三角形二面角和三角形 - 正方形二面角。其中三角形 - 三角形二面角餘角的餘弦值是三次方程式 $27x^{3}+9x^{2}-15x-13$ 的零點、三角形 - 正方形二面角餘角的餘弦值是六次方程式 $27x^{6}-99x^{4}-129x^{2}-49$ 的零點。

三角形 - 三角形二面角以反正割表示為：

　
: : $2\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{2}-3}})\approx 2.674448083$

換算成角度約為 153.23 度或 153 度 14 分 04 秒。

三角形 - 正方形二面角為：

　
: $\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{3}-3}})+\sec ^{-1}({\sqrt {4R^{2}-1}})\approx 2.495531630$

換算成角度約為 142.98 度或 142 度 59 分 00 秒。

其中 R 為邊長為單位長之扭棱立方體外接球的半徑。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 幾何關聯

扭棱立方體可透過將立方體的正方形面向外拉，使之不再相連，然後再將正方形面旋轉一個角度，再將空隙以三角形補滿而得

## 相關多面體及鑲嵌

扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

## 參見

* 立方體
* 截半立方體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，扭棱立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Snub cubic graph. MathWorld.
扭稜正方形鑲嵌

在幾何學中，**扭稜正方形鑲嵌**是歐幾里德平面上正方形鑲嵌的一種變形，是種平面鑲嵌，屬於半正鑲嵌圖的一種，它的每個頂點上皆有三個三角形和兩個正方形。在施萊夫利符號中用 s {4,4} 來表示。

康威稱扭稜正方形鑲嵌為 **snub quadrille**，因為**扭稜正方形鑲嵌**可由正方形鑲嵌透過扭稜變換而構造出來。

## 相關半正鑲嵌

## 參見

## 參考文獻

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
* Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings s4s4s - snasquat - O10. bendwavy.org.
* Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: _Regular and uniform tilings_, p.58-65)
* Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  p38
* 埃里克・韋斯坦因. Semiregular tessellation. MathWorld.
扭稜鍥形體

在幾何學中，**扭稜鍥形體**是指鍥形體經過扭稜變換後的像，其結果為由 12 個正三角形面組成的凸多面體，其也是除了正多面體和半正多面體的扭稜立體外，扭稜結果能以正多邊形面存在的凸多面體之一。每個面都是正三角形的正扭稜鍥形體是詹森多面體之一，同時，由於其由三角形組成，因此也是三角面多面體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有 92 種。這些立體最早在 1966 年由諾曼・詹森（Norman Johnson）命名並給予描述。

## 性質

扭稜鍥形體是一種由 12 個三角形組成的多面體，其共有 12 個面、18 條邊和 8 個頂點。扭稜鍥形體的對稱性與鍥形體相同，過其 2 相對邊的中點的軸為整個立體的 180 度旋轉對稱軸，其對稱方式為沿著軸旋轉 180 度會得到相同形狀，其一共包含 2 組這樣的對稱結構。另外一種對稱結構是沿著該軸每旋轉 90 度後會得到上下鏡射的形狀。

根據一些理論化學的數值實驗，以扭稜鍥形體頂點為中心的球體形成的簇，在所有由八個球體構成的簇中，其蘭納 - 瓊斯勢最小。

### 體積與表面積

面為正三角形且邊長為單位長的扭稜鍥形體，其體積為下列方程式的實數根：

　
: $5832V^{6}-1377V^{4}-2160V^{2}-4=0$

對應的扭稜鍥形體體積 V 約為：

　
: $V\approx 0.85949$

面為正三角形的扭稜鍥形體，已知扭稜鍥形體有 12 個正三角形面，因此其表面積 A 為邊長為 a 之正三角形面積的 12 倍：

　
: $A=3{\sqrt {3}}a^{2}\approx 5.19615a^{2}$

### 頂點座標

令 $q\approx 0.16902$ 為多項式

　
: $2x^{3}+11x^{2}+4x-1.$

的正實根，然後再令

　
: $r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,$

　
: $s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,$

且

　
: $t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.$

則扭稜鍥形體的 8 個頂點的頂點座標為：

　
: $(\pm t,r,0),\,(0,-r,\pm t),$

　
: $(\pm 1,-s,0),\,(0,s,\pm 1).$

因為這種構造涉及三次方程式的解，所以與其他七個三角面多面體不同，扭稜鍥形體不能用尺規作圖來構造。

### 構造

扭稜鍥形體可以透過將鍥形體視為二角反角柱後套用扭稜變換的結果，因此扭稜鍥形體可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的第一項。

## 歷史

扭稜鍥形體最早由在漢斯・弗洛伊登薩和範德瓦爾登在 1947 年發表的論文被描述，當時該立體被稱為暹羅十二面體（Siamese dodecahedron）。1964 年時，約翰・德斯蒙德・伯納爾也描述了相同的形狀，並將其命名為**三角十二面體**（dodecadeltahedron）代表其為具有 12 個面的三角面多面體，雖然仍然存在其他 12 個面的三角面單純多面體，如雙六角錐，然而只有扭稜鍥形體可以在所有面都是正三角形的情況下保持凸多面體且不退化的狀態。約翰・德斯蒙德・伯納爾對密接球體堆砌所形成的空隙之形狀感興趣，因此他對三角面多面體提出了更嚴格的定義，其定義為：三角面多面體是一個由三角形面組成的凸多面體，其可以透過全等球體的集合的中心構成，其切線代表多面體的邊，且這組球體包住的中間空隙區域只有一個，且沒有足夠的空間再放入一個全等的球體。例如雙三角錐會被此種定義排除，因為其會形成 2 個四面體形狀的孔隙，而非只有一個孔隙、雙五角錐也會被此種定義排除，因為置於雙五角錐頂點上的球體會互相重合而無法構成球堆砌、正二十面體也會被此種定義排除，因為將球體置於正二十面體頂點所形成的球堆砌之中心空隙還有足夠的空間容納下另一顆球。伯納爾認為扭稜鍥形體這種形狀在晶體學中是鈣離子非常常見的配位。

1966 年諾曼・詹森將 92 種由正多邊形組成的不是正多面體也不是半正多面體的立體命名並給予描述，其中包括了扭稜鍥形體。
在後續的研究中，不同的學者也有依據其外觀和其他立體的關聯給予不同的名稱，例如其外觀與雙五角錐類似，因此又被稱為**變稜雙五角錐**或**變形雙五角錐**（変形双五角錐）。對於扭稜鍥形體的對偶多面體亦存在相關研究。2017 年時戈柏學者等人發現扭稜鍥形體的對偶多面體是一種空間填充多面體。

## 參見

* 扭稜四面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，扭稜鍥形體 （參閱詹森多面體） 於 MathWorld（英文）
扭线藻属

**扭線藻屬**（學名：_Streblonema_）為索藻科的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* _Streblonema ambivalens_ P.J.L.Dangeard, 1970
* 畸形扭線藻 _Streblonema anomalum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema areschougii_ Batters
* 渤海扭線藻 _Streblonema bohaiense_ R.X.Luan, 1986
* _Streblonema breve_ (Sauvageau) De Toni, 1895
* _Streblonema candelabrum Reinhard_
* 棲索扭線藻 _Streblonema chordariae_ (Farlow) De Toni, 1895
* 棲松扭線藻 _Streblonema codiatile_ R.W.Ricker, 1987
* _Streblonema codii_ E.S.Barton, 1896
* _Streblonema cokeri_ M.Howe, 1914
* _Streblonema collinsii_ E.Taskin, M.J.Wynne & M.Öztürk, 2010
* 傘房扭線藻 _Streblonema corymbiferum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* 厚枝扭線藻 _Streblonema crasscaule_ R.X.Luan, 1986
* _Streblonema desmarestiae_ N.L.Gardner, 1940
* _Streblonema eudesmide_ Tokida, 1954
* 殼狀扭線藻 _Streblonema evagatum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* 束生扭線藻 _Streblonema fasciculatum_ Thuret, 1863
* _Streblonema fungiformis_ (Oltmanns) De Toni
* _Streblonema gracilaricola_ Noda, 1975
* _Streblonema helophorum_ (Rosenvinge) Batters, 1902
* _Streblonema hyalinum_ R.X.Luan et al., 2015
* _Streblonema hydra_ Kraft, 2009
* _Streblonema inclusum_ Kylin, 1910
* _Streblonema integratum_ P.J.L.Dangeard, 1970
* 覆蓋扭線藻 _Streblonema intestinum_ (Reinsch) Batters, 1892
* _Streblonema invisibile_ Hoyt, 1920
* _Streblonema irregularis_ Saunders, 1901
* _Streblonema johnstonae_ W.A.Setchell & N.L.Gardner
* _Streblonema maculans_ G.R.South & Tittley, 1986
* _Streblonema malleatum_ Kraft, 2009
* _Streblonema melleatum_ Kraft, 2009
* _Streblonema microscopica_ Weber-van Bosse
* _Streblonema minutissima_ Saunders, 1901
* _Streblonema minutula_ Heydrich
* _Streblonema minutulum_ Heydrich, 1892
* _Streblonema myriocladiae_ (P.L.Crouan & H.M.Crouan) De Toni, 1895
* _Streblonema myrionematoides_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* 矮小扭線藻 _Streblonema nanella_ Luan Rixiao & Ding Lanping, 2013
* _Streblonema nemastomae_ Baardseth, 1941
* 寧遠扭線藻 _Streblonema ningyuanense_ R.X.Luan et al., 2013
* _Streblonema pacifica_ Saunders
* _Streblonema pacificum_ De A.Saunders, 1901
* _Streblonema parasiticum_ (Sauvageau) De Toni, 1895
* _Streblonema pastinacarpum_ Kraft, 2009
* _Streblonema patagonicum_ Skottsberg, 1921
* _Streblonema penetrale_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema porphyrae_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema reptans_ De Toni
* _Streblonema reticulatum_ Kraft, 2009
* _Streblonema rugosum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema scabiosum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema simplex_ (Crouan & Crouan) Holmes & Batters
* _Streblonema solitarium_ (Sauvageau) De Toni
* _Streblonema sphaericum_ (Derbès & Solier) Thuret, 1863
* _Streblonema tomentosoides_ (Farlow) De Toni
* _Streblonema transfixum_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema tuberculi_ Jaasund, 1965
* _Streblonema turmale_ Børgesen, 1937
* _Streblonema turnerellae_ (Foslie) Printz, 1926
* _Streblonema valiantei_ (Bornet) De Toni
* _Streblonema vorax_ Setchell & N.L.Gardner, 1922
* _Streblonema zanardinii_ (P.L.Crouan & H.M.Crouan) De Toni, 1895

## 參考文獻

* **WoRM** [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
扭肚藤

**扭肚藤**（學名：_Jasminum elongatum_）是木犀科素馨屬的植物。分布於越南、喜馬拉雅山、緬甸以及中國大陸的海南、廣西、雲南、廣東等地，生長於海拔 850 米的地區，見於灌木叢、混交林和沙地。

## 別名

謝三娘（海南） 白金銀花（廣西）

## 異名

* Jasminum amplexicaule Buch.-Ham. ex G. Don
* Jasminum ligustroides Chia

## 參考文獻

## 外部連結

* 扭肚藤 Niuduteng （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 藥用植物圖像資料庫 (香港浸會大學中醫藥學院) （繁體中文）（英文）
扭肢宽胸溪蟹

**扭肢寬胸溪蟹**（學名：_Latospotamon obtortum_）為溪蟹科寬胸溪蟹屬的動物。在中國大陸，分布於貴州等地，常見於海拔 2200 米山澗溪流石塊下。

## 參考文獻
扭脊单极虫

**扭脊單極蟲**（學名：_Thelohanellus spirosuturalis_）為單極科單極蟲屬的動物。在中國，分布於湖北等，營寄生生活，寄生在烏鱧的盲腸後段。

## 參考文獻
扭腰歌

焦糖舞（瑞典語：Caramelldansen）是由瑞典流行樂隊「焦糖樂隊」（瑞典語：Caramell）於 2001 年發行的《Supergott》（中文：超開心）音樂專輯中的第一首歌曲，歌曲風格為泡泡糖舞曲。部份網民曾經因字母問題而將歌詞誤解為西班牙語。2006 年下半葉，歌曲開始成為了廣為人知的網路迷因，在日本歌曲有「ｳｯｰｳｯｰｳﾏｳﾏ(ﾟ∀ﾟ)」的別名，在中國又被稱作「扭腰歌」。這首歌在網路上被加上了十五格動畫迴圈，其中顯示出《蒲公英之戀》中的兩位女主角（まい和みい）搖著屁股在跳舞且用手來模仿兔耳的畫面；並把「焦糖舞」的音樂速度增加了 1.194 倍且將音樂升調了。

## 歷史

《蒲公英之戀》是一款於 2002 年 12 月 13 日發行的日本成人遊戲。在其電視動畫版放映（2003 年 7 月 17 日 - 2003 年 10 月 2 日）後，有人從此動畫的開頭中取出みい正在獨舞的畫面製成 GIF 動畫，這變成了一段有聲音的迴圈。

不久，就有人另從電腦遊戲的開頭節取出部份，並製成小 GIF 動畫供人們使用。

2005 年下半葉，焦糖舞以 flash 檔散佈在網路上及放在如 4chan 之類的知名社群上，以 Popotan Dance、Popotan Dansen 或 Caramelldansen 等名稱，而最後一個即是最常用的一個。

## MAD 片

當該迷因成長後，許多人開始複製該動畫，並加入跳同種舞跳的其他角色。第一個只是個 GIF 動畫。當焦糖舞發行之後，大多數之後的動畫都以其為背景音樂。

2006 年末即有人將《涼宮春日的憂鬱》的動畫片尾曲〈ハレ晴レユカイ〉放上焦糖舞的音樂，但真正在日本流行是於 2007 年末，蒲公英之戀中兩位角色的動畫迴圈流入日本後。是時，日本影片分享網站 NICONICO 動畫開始出現了大量的以許多不同的動畫角色跳舞的焦糖舞 MAD 片。

Youtube 亦收集許多焦糖舞的 MAD 片。

## 參考資料

## 外部連結

* 焦糖女孩官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 焦糖女孩的 Facebook 專頁
* 焦糖女孩的 Twitter 帳戶
* 焦糖女孩的 Instagram 帳戶
* 焦糖樂隊官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 焦糖樂隊官方網站
* 焦糖樂隊 Myspace 官方社區網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 焦糖樂隊混音版 CD 製作公司官方網站
* 焦糖樂隊粉絲網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
扭腰蜑螺

**扭腰蜑螺**（學名：_Nerita helicinoides_），是原始腹足目蜑螺科蜑螺屬的一種。主要分布於台灣，常棲息在岩礁及潮上帶。

## 參考文獻
扭船式

**環己烷構象**主要研究環己烷及其相關衍生物的構象，是構象分析的重要內容。

## 歷史背景

很早就有人提出環己烷可能不是平面型結構。1890 年，德國人赫爾曼・薩克森（Hermann Sachse）提出通過摺紙來構建環己烷「對稱」和「非對稱」結構（即現椅型和船型結構）的方法，從他的文章可以感受出，他已經知曉這些構象有兩種不同的氫原子（即現直鍵氫和平鍵氫）以及兩種椅型結構可能會相互轉化，甚至還意識到兩種椅型結構的分布可能受環上某些取代基的影響。不過他的文章沒有獲得化學家的足夠重視，一方面是文章的數學成分太多，難以理解，另一方面則是他的文章沒有發表到主要的期刊上。1893 年僅 31 歲的薩克森去世，他的研究也就此結束。直到 1918 年恩斯特・莫耳（Ernst Mohr）用新問世的 X 射線晶體學技術測定金剛石結構時，才發現所得結構中的基礎結構單元正是薩克森預測過的椅型結構，才使環己烷構象研究重新進入焦點之中。

## 椅型構象

sp3 混成的碳原子是四價的，鍵間角度為 109.5°，所以環己烷不是平面的鍵角 120° 的正六邊形結構，而是採取多種三維的構象。椅型構象描述的是普通狀態環己烷最穩定的構象，25 度時 99.99% 的環己烷分子都是這種構象。德里克・巴頓和奧德・哈塞爾因對環己烷和其他分子構象的研究而獲得諾貝爾化學獎。

能量最低的椅型構象中，12 個氫原子中有 6 個處於豎直方向（紅色）—— 這些碳 - 氫鍵互相平行，呈軸向排列，分列環上下，稱為直鍵。另 6 個氫處於近似水平方向（藍色）—— 這些碳 - 氫鍵大致平伏，分別稍向下和向上翹起，稱為平鍵。對於同一碳原子來說，若與它相連的直鍵氫是向上的，則平鍵氫稍向下，反之亦然。

觀察可知，對於連有向上直鍵、稍向下平鍵的碳原子，與其相鄰的兩個碳原子必然連有向下直鍵和稍向上平鍵。而且環中相對碳原子所連平鍵和直鍵的方向也必然是分別相反的（如 H1 和 H4）。所以對於反式的鄰二取代環己烷，兩個取代基只會同時為平鍵或同時為直鍵，總之分處環兩邊。同樣對於順式的鄰二取代環己烷，兩個取代基必定是一個為平鍵，一個為直鍵，而且指向同一個方向。其他取代的環己烷衍生物也可以依這樣推理。

椅型構象中 2、4、6 號碳同處一個平面，1、3、5 號碳同處一個平面。位於上面的平面的碳連有向上的直鍵、稍向下的平鍵，位於下層平面的碳連有向下的直鍵和稍向上的平鍵。椅型中所有鍵角都近似正四面體鍵角，而且所有相鄰碳上的氫都處於鄰位交叉，沒有扭轉張力。

上面畫出了環己烷的兩個不同排列的椅型構象，對於未取代的環己烷而言，這兩個構象是完全相同的，不過當環上有取代基時兩個構象常是不同的，這可以通過構建分子模型來證實。兩個椅型構象間的轉化稱為環翻轉，該過程中所有直鍵氫變為平鍵氫，平鍵氫變為直鍵氫。最左邊的碳原子在翻轉後仍然處於最左邊，只不過從上層平面變到下層平面（或相反），所以相連的平鍵、直鍵也相應發生變化，最右邊的碳原子亦然。

兩個椅型構象可能因存在取代基而能量不同。一般來說取代基儘量取平鍵，以避免位阻效應。對於有順式 1,3 - 雙取代的分子，兩取代基還要避免 1,3 - 雙直鍵立體作用。以甲基環己烷為例，它主要採取平鍵甲基的椅型構象，主要原因不是甲基處直鍵時與其他直鍵氫間的 1,3 - 雙直鍵作用，而是因為直鍵甲基會造成它與相隔的碳 - 碳鍵形成能量上不利的旁式構象（C1-CH3、C2-C3、C5-C6），即互成鄰位交叉。不過 1,3 - 雙直鍵作用在 1,3 - 順式雙取代分子中是顯著的，例如在分析順 - 1,3 - 二甲基環己烷時就要考慮到這一因素。需要注意的是並不是所有情況下都是平鍵能量更低，涉及電負度雜原子的端基異構效應就是著名的例外。

取代基對平鍵的偏重可以用 A 值來衡量，即其平鍵和直鍵構象異構物間的吉布斯自由能差。正的 A 值表示偏好平鍵。A 值範圍一般在 0（氘等體積較小的取代基）到 5 kcal/mol（如三級丁基等大取代基）之間。

## 船型構象

除 D3d 對稱性的椅型構象（1）外環己烷還有半椅型 / 信封型（2）、扭船型（3/5，D2 對稱性）和船型（4）等構象，但只有這之中扭船型可以和椅型一樣分離出來（因它為能量低點）。船型結構無角張力，但有兩個軸向 1,4 - 氫間的空間張力（即所謂旗杆氫作用），而且因兩根碳 - 碳鍵處於重疊構象，所以也有扭轉張力，不如椅型構象穩定。船型結構可以折成其他構象以減少張力，如比它更加穩定的扭船型。

船型和半椅型構象分別是扭船型間和扭船 - 船型間的過渡態，無法分離出來。相對椅型，扭船型、船型和半椅型的能量分別為 23、28、45 kJ/mol。環翻轉實際上就是經過兩個半椅型、兩個扭船型和一船型構象，從一椅型翻到另一椅型的過程。

　
:

椅型和扭船型間的能差可通過對正逆轉化反應的活化能求差而間接求得。室溫下只有很少（<0.1%）的環己烷是以扭船型存在的，但在 800 度時該比例可以增至 30%。可藉此對正反應（椅 -> 扭船）進行研究。同樣將 1073K 的環己烷迅速冷卻到 40K，用紅外光譜研究，就可以得到相應的逆反應數據。

　
:

[6.6] 手性烷（Chiralane ）（T 點群）是僅由相同扭船型環己烷稠合而成的分子的例子。扭曲烷是另一被迫含有扭船型的分子。

## 環己烷衍生物

取代環己烷多有順反異構物，兩者無法通過類似線型分子中的簡單單鍵旋轉相互轉化。順式異構物（Z）中所指取代基指向同一方向（如同為向上直鍵 / 稍向上平鍵），而反式（E）則相反。雖然環己烷中的碳是由單鍵連接的，但環的剛性意味著順反間相互轉化只有在環系斷裂時才可以發生。

二取代環己烷中構象的能量受兩個取代基的相對排列方式影響。順 - 1,2 - 或 - 1,4 - 二取代環己烷中的取代基分處直鍵和平鍵，環翻轉後仍然是一平鍵一直鍵，至於哪種椅型更加穩定可以用取代基的 A 值進行預測。而反 - 1,2/1,4 - 二取代環己烷中的取代基必然同為直鍵或同為平鍵，但雙直鍵的構象因多含四個旁式構象而能量較高。類似對於 1,3 - 二取代環己烷，順式主要是雙平鍵的構象，環翻轉後得到的雙直鍵構象立體張力太大。反 - 1,3 - 二取代環己烷類似順 - 1,2/1,4-，可在兩個近似的直鍵 - 平鍵椅型間翻轉。

對某些環己烷衍生物來說扭船型可能是更穩定的。如缺乏 1,3 - 雙直鍵作用的 1,2,4,5 - 四噻己環（用 - S - 替換環己烷的 4 個對稱 - CH2-）的 3,3,6,6 - 四甲基衍生物。1,4 - 環己二酮中穩定的構象也是扭船型，由於分子中無 1,4 - 氫間作用。

順 - 1,4 - 二三級丁基環己烷若為船型則有一個三級丁基要處於直鍵。而在扭船型中兩個體積較大的三級丁基都可放在平鍵，所以扭船是比椅型更穩定的構象（125K 時核磁共振譜測得能差 1.96kJ/mol）。

## 參考資料

## 外部連結

* Java applets of all conformations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from the University of Nijmegen
* Ring Conformations & Sterioisomers Detailed description of ring conformations and sterioisomers from Michigan State University
扭萼凤仙花

**扭萼鳳仙花**（學名：_Impatiens tortisepala_）是鳳仙花科鳳仙花屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的四川等地，生長於海拔 1,500 米至 2,900 米的地區，一般生長在山谷陰濕處，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
扭葉叢本蘚

**扭葉叢本蘚**（學名：_**Anoectangium stracheyanum**_）為叢蘚科叢本蘚屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
扭葉小金髮蘚

**扭葉小金髮蘚**（學名：_**Pogonatum contortum**_）為土馬騣科小金髮蘚屬下的一個種。

## 參考文獻
扭葉松

**扭葉松**（學名：_Pinus contorta_；英語：lodgepole pine、shore pine、twisted pine、contorta pine），又名**美國黑松**、**小干松**，是松屬的一種常綠喬木，高 1-3 米，分布於北美洲西部沿海和山地，但少見於低地雨林。其種群數量依賴山火控制。

## 參考文獻

## 外部連結

* Jepson eFlora, 傑普森植物標本館，加利福尼亞大學柏克萊分校
* University of Wisconsin: Lodgepole forest webpage （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virginia Tech dendrology website: _Pinus contorta_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Guardian (U.K.) article: "Plague of beetles raises climate change fears for American beauty" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Pinus contorta_，CalPhotos Photo Database，University of California, Berkeley
扭葉松羅蘚

**扭葉松羅蘚**（學名：_**Toloxis semitorta**_）為蔓蘚科松蘿蘚屬下的一個種。

## 參考文獻
扭葉松蘿蘚

**扭葉松蘿蘚**（學名：_**Papillaria semitorta**_）為蔓蘚科松蘿蘚屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
扭葉灰氣蘚

**扭葉灰氣蘚**（學名：_**Aerobryopsis parisii**_）為蔓蘚科灰氣蘚屬下的一個種。

## 參考文獻
扭葉牛毛蘚

**扭葉牛毛蘚**（學名：_**Ditrichum crispatissimum**_）為牛毛蘚科牛毛蘚屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
扭葉羽蘚

**扭葉羽蘚**（學名：_**Thuidium contortulum**_）為羽蘚科羽蘚屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
扭葉蘚

**扭葉蘚**（學名：_**Trachypus bicolor**_）為扭葉蘚科扭葉蘚屬下的一個種。種名 _bicolor_ 意為「二色的」。

## 參考文獻
扭藿香属

**扭藿香屬**（學名：_Lophanthus_）是唇形科下的一個屬，為多年生草本植物。該屬共有約 18 種，分布自伊朗至俄羅斯及蒙古。

## 參考文獻
扭蚌

**扭蚌**（學名：_Arconaia lanceolata_），俗名**香蕉蚌**、**角子**，為蚌科珠蚌亞科扭蚌屬的淡水動物。

## 分佈與棲息地

本物種是中國的特有物種，分佈於安徽、浙江、江蘇、江西、湖北、湖南及其他各省，常棲息於湖泊以及河流。

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基物種上的相關資訊：扭蚌
扭蚶

**扭魁蛤**（學名：_Trisidos tortuosa_，中國大陸稱**扭蚶**）是魁蛤目魁蛤科扭魁蛤屬的一種。主要分布於新加坡、印度尼西亞、中國大陸、台灣，常棲息在潮下帶。

## 參考文獻
扭蛋

「轉蛋玩具」是以小型自動販賣機來販售商品。購買方式是將硬幣投入後旋轉把手，裝在塑膠容器內的玩具掉下後即可取出。

在日本有「GACHA GACHA」、「GACHAPON」、「GASHAPON」、「GASHA」、「PIICUP」等名稱，因時代，地區，製造商而有所不同。以商標來說整體統稱為「轉蛋玩具」。

 

## 起源

此一概念最早源自美國，約於 1920 年起開始。剛開始是放在雜貨舖門口，裡面多是口香糖、零食，或是一些小玩具，外面並沒有塑膠蛋殼包裝。

後來這種販賣方式於 1965 年在日本開始出現，遂在日本發揚光大，成了世界上轉蛋最大的供應商。一個轉蛋的典型內容是一個可以打開成兩半的塑膠蛋殼，在裡面裝有玩具和說明書。

其日文「ガチャガチャ」，就是得名於轉動轉蛋機上的旋鈕時所發出的聲音。

## 玩法

轉蛋玩具通常是根據一些流行於日本漫畫、電玩、動畫裡面的角色而製成。轉蛋會放在一台轉蛋機裡面，將錢投入機器中後，用手去旋轉開關，一個轉蛋就會掉下來。大部分轉蛋會出成一個系列，每個系列通常會有 6 到十幾種玩具不等。

當消費者旋轉轉蛋機時，無法決定掉下來的玩具是否是那個系列中最想要的，因此整套齊全的轉蛋如果出賣的話，可以賣到比原價更高的價格。由於轉蛋的汰換速度很快，有些收集轉蛋的玩家會先將轉蛋保留幾年之後再賣出，通常也會賣到更高的價格。

轉蛋說明書上通常會有整套玩具系列的圖片，以及注意事項、版權聲明或廣告等等。有些代理公司會用一些遊戲裡面比較珍貴的東西來吸引大家去買點卡去轉蛋。

## 參見

* 食品玩具
* 虛擬抽獎
* 福袋營銷
* 盲盒

## 參考來源

## 外部連結

* 發行公司
  * 萬代
  * 帕布雷斯特
  * kaiyodo （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * medicomtoy
  * unifive （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * sanrio
  * yujin （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 森永
  * junplanning
* 上市情報
  * 日本最新上市情報
扭蜗牛

**扭蝸牛**（學名：_Perrottetia heudei_），又名**捩蝸**，是柄眼目扭蝸牛科之下的一個物種。本物種舊屬 _Oophana_ 屬，今屬扭蝸牛屬。

## 分佈

主要分佈於台灣，原生於屏東北大武山，也見於雙流、墾丁、高雄壽山地區及日本兵庫縣的西宮市。常棲息在落葉覆蓋較為潮濕的腐殖質土底，是一種肉食性蝸牛。

## 參考文獻

## 外部連結