接近整数

在趣味數學中，**接近整數**是指很接近整數的無理數。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整數，有些還找不到其特性，看起來似乎只是巧合。

## 有關黃金比例及其他皮索特 - 維貢伊拉卡文數

黃金比例 $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803398875\,$ 的高次方符合此特性。例如

 * $\varphi ^{17}={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\approx F_{16}+F_{18}$
* $\varphi ^{18}=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\approx F_{17}+F_{19}$
* $\varphi ^{19}={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\approx F_{18}+F_{20}$

　
: 其中 $F_{n}$ 代表費波納契數列的第 $n$ 項

這是因為有恆等式 $\varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\times \varphi $ ，所以當 $n$ 為足夠大的正整數時，

　
: $\varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\times \varphi \approx F_{n-1}+F_{n}\times \left({\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}\right)=F_{n-1}+F_{n+1}$

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關，不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特 - 維貢伊拉卡文數，而皮索特 - 維貢伊拉卡文數的高次方會是接近整數。

這些數字與費波納契數有密切的關係，因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例，而如果 m 整除 n，則第 m 個費波納契數也會整除第 n 個費波納契數。

皮索特 - 維貢伊拉卡文數是指代數數本身大於 1，而且其極小多項式中另一根的絕對值小於 1。像黃金比例本身大於 1， $\varphi $ 的最小多項式為 $x^{2}-x-1=0$

另一根為 ${\overline {\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\approx -0.618\,$

絕對值小於 1，因此黃金比例為皮索特 - 維貢伊拉卡文數，其高次方會是接近整數。

依照根和係數的關係，可得知

$$
\varphi {\overline {\varphi }}=-1
$$

$$
\varphi +{\overline {\varphi }}=1
$$

而 $\varphi ^{n}+{\overline {\varphi }}^{n}$ 可以用 $\varphi {\overline {\varphi }}$ 及 $\varphi +{\overline {\varphi }}$ 來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數 K，則 $\varphi ^{n}$ 可以用下式表示

$$
\varphi ^{n}=K-{\overline {\varphi }}^{n}
$$

由於 ${\overline {\varphi }}$ 的絕對值小於 1，在 n 增大時，其高次方會趨於 0，此時可得

$$
\varphi ^{n}\approx K
$$

除了黃金比例外，其他皮索特 - 維貢伊拉卡文數的無理數也符合此一條件，例如 $1+{\sqrt {2}}$ 。

## 有關黑格納數

以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的黑格納數有關：

 * $e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466\,$
* $e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454\,$
* $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007\,$

以上三式可以用以下的式子表示:

　
: $e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-2.225\cdots \times 10^{-4}\,$

　
: $e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-1.337\cdots \times 10^{-6}\,$

　
: $e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-7.499\cdots \times 10^{-13}\,$

其中： $21=3\times 7,231=3\times 7\times 11,744=24\times 31\,$ 由於艾森斯坦級數的關係，使得上式中出現平方項。常數 $e^{\pi {\sqrt {163}}}\,$ 有時會稱為拉馬努金常數。

## 有關 π 及 e

許多有關 π 及 e 的常數也是接近整數，例如

　
: $e^{\pi }-\pi =19.999099979189\cdots \,$

以及

　
: $e^{5\pi }=6635623.999341134233\cdots \,$

格爾豐德常數（ $e^{\pi }\,$ ）接近 $\pi +20\,$ ，至 2011 年為止還沒找到出現此特性的原因，因此只能視為一數學巧合。另一個有關格爾豐德常數的常數也是接近整數 ${\frac {e^{\pi }-\pi -1}{6\pi }}=1.00793356\cdots \,$

以下也是一些接近整數的例子

 * $22{\pi }^{4}=2143.0000027480\cdots \,$
* ${\pi }^{5}=306.019684\cdots \,$
* ${\pi }^{3}=31.006276\cdots \,$
* ${\pi }^{13/2}=1704.017978\cdots \,$
* ${\pi }^{3}-{\frac {\pi }{500}}=30.999993494\cdots \,$
* ${\pi }^{2}+{\frac {\pi }{24}}=10.000504\cdots \,$
* ${\pi }^{5}-3{\pi }^{3}=213.0008547\cdots \,$
* $e^{\pi }-\pi +0.0009=19.9999999791\cdots \,$
* $e^{3}=20.0855369\cdots \,$
* $e^{9/2}=90.0171313\cdots \,$
* $e^{\pi {\sqrt {2}}}=85.019695\cdots \,$
* $e^{6}-{\pi }^{5}-{\pi }^{4}=0.00001767\cdots \,$
* $9{\pi }^{5}-2e^{3}=2714.00608922\cdots \,$
* $e^{13/2}-\pi =662.00004039\cdots \,$
* ${\pi }^{13/2}-e^{9/2}=1614.00084707\cdots \,$

## 其他例子

　
:

　
: $2^{2^{2/3}}\approx 3.00507511272$

　
: $4\ln 2.117\approx 2.99999996861$

　
: ${}_{\ln K_{0}-\ln \ln K_{0}\approx 1.0000744}$ ，其中 $K_{0}$ 是辛欽常數

　
: ${}_{{\frac {10}{81}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum _{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}}={\frac {10}{81}}-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}(n-k)}}}\approx 1.022344\times 10^{-9}}$

 

　
: ${}_{-{\frac {1}{5}}+e^{\frac {6}{5}}{}_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{20}},{\frac {3}{10}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}};{\frac {256}{3125e^{6}}}\right)+{\frac {2}{25e^{\frac {6}{5}}}}{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {9}{20}},{\frac {7}{10}},{\frac {19}{20}};{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {7}{5}};{\frac {256}{3125e^{6}}}\right)-{\frac {4}{125e^{\frac {12}{5}}}}{}_{4}F_{3}\left({\frac {2}{5}},{\frac {13}{20}},{\frac {9}{10}},{\frac {23}{20}};{\frac {4}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {8}{5}};{\frac {256}{3125e^{6}}}\right)+{\frac {7}{625e^{\frac {18}{5}}}}{}_{4}F_{3}\left({\frac {3}{5}},{\frac {17}{20}},{\frac {11}{10}},{\frac {27}{20}};{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {9}{5}};{\frac {256}{3125e^{6}}}\right)-\pi \approx 2.89221114964408683\times 10^{-8}}$

 

　
: ${}_{\qquad {\mbox{Root of }}x^{6}-615x^{5}+151290x^{4}-18608670x^{3}+1144433205x^{2}-28153057165x+39605=0}\,$

　
: ${}_{{\frac {615-55{\sqrt {5}}-{\sqrt[{3}]{7451370+3332354{\sqrt {5}}+6{\sqrt {8890710030+3976046490{\sqrt {5}}}}}}-{\sqrt[{3}]{7451370+3332354{\sqrt {5}}-6{\sqrt {8890710030+3976046490{\sqrt {5}}}}}}}{6}}\approx 1.40677447684\times 10^{-6}}$

 

　
: ${}_{\qquad {\mbox{Root of }}312500000x^{5}-6843750000x^{4}+6826250000x^{3}+10476025000x^{2}-7886869750x-72099=0}\,$

　
: ${}_{\tan \left({\frac {\arctan 4}{5}}+{\frac {4\pi }{5}}\right)+{\frac {19}{50}}={\frac {219}{50}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{884+799{\rm {i}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{884-799{\rm {i}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{1156+289{\rm {i}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\rm {i}}}{4}}{\sqrt[{5}]{1156-289{\rm {i}}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}$

 

　
: ${}_{\rm {{erfi}\left({\rm {{erfi}{\frac {\sqrt {3}}{3}}}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}}e^{u^{2}}{\rm {{d}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{\left({\frac {2{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t\right)^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left[{\frac {4u{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t\right]}{e^{u^{2}}}}{\rm {d}}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{{}_{{\frac {2{\sqrt[{3}]{e}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}t\right)}{e^{t^{2}}}}{\rm {d}}t}}e^{u^{2}}{\rm {d}}u={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}\right)^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {4u}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {\sqrt {3}}{3}}e^{t^{2}}{\rm {{d}t}}\right)}{e^{u^{2}}}}{\rm {d}}u\approx 1.00002087363809430195879}}}}$

　
: $\sin 11=-0.999990207...$ ，這是由於 $3.5\pi \approx 10.9956\approx 11$ 的緣故，另一個類似的例子為 $\sin 355=-0.00003014435335948844921433...$

　
: ${\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.......+552057^{2}}}\approx 236818619.0000004307$

## 外部連結

* J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 註釋

## 參考資料