拉格朗日，J.L.

**約瑟夫・路易・拉格朗日**（法語：Joseph-Louis Lagrange，1736 年 1 月 25 日 —1813 年 4 月 10 日），出生時名為**朱塞佩・路易吉・拉格朗吉亞**（義大利語：Giuseppe Luigi Lagrangia）或**朱塞佩・洛德維科・德・拉・格朗日・圖尼爾**（義大利語：Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier），是一位法國籍義大利裔數學家和天文學家。拉格朗日曾為普魯士的腓特烈大帝在柏林工作了 20 年，被腓特烈大帝稱做「歐洲最偉大的數學家」，後受法國國王路易十六的邀請定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才華橫溢，在數學、物理和天文等領域做出了很多重大的貢獻。他的成就包括著名的拉格朗日均值定理，創立了拉格朗日力學等等。

拉格朗日是 18 世紀一位十分重要的科學家，在數學、力學和天文學三個學科中都有歷史性的重大貢獻，但他主要是數學家。他最突出的貢獻是在把數學分析的基礎脫離幾何與力學方面起了決定性的作用，使數學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具。同時在使天文學力學化、力學分析化上也起了歷史性作用，促使力學和天文學（天體力學）更深入發展。在他的時代，分析學等分支剛剛起步，欠缺嚴密性和標準形式，但這不足以妨礙他取得大量的成果。

## 祖籍與姓氏

拉格朗日父姓拉格朗吉亞（Lagrangia）。父係為法國後裔。曾祖父是法國騎兵上校，到義大利撒丁王國都靈後與羅馬家族的人結婚定居；祖父任都靈的公共事務和防務局會計，又同當地人結婚。父親也在都靈政府任同一職位，母親來自都靈旁的坎比亞諾。

拉格朗日在都靈出生受洗記錄上的正式名字為朱塞佩・洛德維科・拉格朗吉亞（Giuseppe Lodovico，Lagrangia）。父名弗朗切斯科・洛德維科・拉格朗吉亞（Francesco Lodovico，Lagrangia）；母名泰雷薩・格羅索（Teresa Grosso）。

他曾用過的姓有德・拉・格朗日（De la Grange），拉・格朗日（La Grange）等。去世後，法蘭西科學院給他寫的頌詞中，正式用現在姓名（Lagrange）。

## 生平

### 早年

拉格朗日的父母共有 11 個子女，但大多數夭折；拉格朗日為長子，是活到成年的兩個之一。

拉格朗日家境原本富裕且有較高的社會地位，可是大都被父親在金融上失敗的投機揮霍殆盡。父親希望他成為律師，拉格朗日似乎也不反對。他在都靈大學進修，最喜歡的學科是拉丁語，對數學並沒有興趣，認為希臘幾何學很枯燥。

據拉格朗日本人回憶，如果幼年家境富裕，可能就不會作數學研究了。但到青年時代，在數學家 F. A. Revelli（雷維里）指導下學幾何學後，激發了他的數學天分。17 歲時，他讀了英國天文學家愛德蒙・哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優點》後，感覺到「分析才是自己最熱愛的學科」，從此他迷上了數學分析，開始專攻當時迅速發展的數學分析。

### 投身數學

1754 年（18 歲時），拉格朗日以義大利語寫出第一篇論文，是用牛頓二項式定理處理兩函數乘積的高階微商，寄給數學家法尼亞諾，並用拉丁語寫出寄給在柏林的歐拉。可是當年 8 月他看到了萊布尼茲同約翰・伯努利的通信，獲知這一成果早在半個世紀前就被萊布尼茲取得了。這個不幸運的開端並未使拉格朗日灰心，9 月給法尼亞諾的信中說他正研究等時曲線，並於年底開始研究變分極值問題。

1755 年 8 月 12 日，拉格朗日在寫給普魯士科學院數學部主任歐拉的信中，給出了用純分析方法求變分極值的提要；歐拉在 9 月 6 日回信中稱此工作很有價值。此成果使拉格朗日在都靈出名。9 月 28 日，他被任命為都靈皇家炮兵學校教授，年僅 19 歲。他本人認為這是第一篇有意義的論文。

任教後，拉格朗日積極進行研究。1756 年，他在給歐拉的信中，開始把變分法用於力學，還把歐拉關於有心力的一個定理推廣到一般動力學問題。歐拉十分讚賞，把信送交院長皮埃爾・莫佩爾蒂（莫培督）。莫佩爾蒂看到拉格朗日才華非凡，而且是他的最小作用原理的支持者，便建議拉格朗日來普魯士任講座教授，條件比都靈優越；但拉格朗日尚無此等想法，婉言謝絕。9 月 2 日，他被歐拉舉薦入普魯士科學院。

1757 年，以拉格朗日為首的一批都靈青年科學家，成立了一個科學協會（即都靈皇家科學院的前身），並開始以拉丁語和法語出版學術刊物《都靈科學論叢》（Miscellanea Taurinensia，法語名 Mélanges de Turin）。前三卷（1759 年、1762 年、1766 年）刊登了拉格朗日幾乎全部都靈時期的論文．其中有關變分法、分析力學、聲音傳播、常微分方程式解法、月球天平動、木衛運動等方面的成果都是當時最出色的，為後來他在這些領域內更大貢獻打下了基礎。

1762 年，法國科學院放出 1764 年懸賞徵文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。

1763 年 11 月，都靈王朝外交官 Caraccioli 去倫敦赴任時，帶拉格朗日到巴黎，受到巴黎科學院的熱烈歡迎，並初次會見達朗貝爾。在巴黎停留六周後拉格朗日卻病倒，不能去倫敦。康復後遵照達朗貝爾意見，回國途中在日內瓦拜訪了當時著名數學家伯努利和文學家伏爾泰，他們的看法對拉格朗日以後的工作有啟發。1765 年初，回到都靈後，他成功地運用微分方程式理論和近似解法研究了科學院提出的一個複雜的六體問題（木星的四個衛星的運動問題），於 1766 年又一次獲獎。

同時，1765 年秋，達朗貝爾寫信給普魯士國王腓特烈大帝，熱情讚揚拉格朗日，並建議在柏林給拉格朗日一個職位。國王同意後寫信給拉格朗日說，在「歐洲最偉大的王」的宮廷中應有「歐洲最偉大的數學家」。但他回信表示不願與歐拉爭職位。1766 年 3 月，達朗貝爾來信說歐拉決定離開柏林，並請他擔任留下的職位。拉格朗日決定接受。5 月 3 日歐拉離開柏林去聖彼得堡後，拉格朗日正式接受普魯士邀請，於 8 月 21 日離開都靈。

### 柏林時期（1766—1787）

在去柏林前，拉格朗日繞道巴黎和倫敦，拜訪達朗貝爾和 Caraccioli，之後於 10 月 27 日到達柏林，11 月 6 日正式繼任普魯士科學院數學部主任。他受到約翰三世・伯努利等人的熱烈歡迎。

拉格朗日深得國王賞識，國王經常和他講完美的有規律的生活的益處。拉格朗日聽了進去，此後他對大腦和身體當做機器一般進行了研究，並通過實驗精確調整到他每日能夠完成而不累垮的工作量。每天晚上，他為自己定下第二天的明確的任務，並在完成任何一個學科分支時，寫下簡短的分析，看看哪些地方可以改進。他總是在開始撰寫之前想好論文的題目，然後一氣呵成，常常沒有一處刪除或更正。

在普魯士科學院，拉格朗日的任務是每月宣讀一篇論文，內容一般在《科學院文獻》（Mémoires des l'Academie royale des sciences）以及《柏林科學院新文獻》（Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin）上發表．他還接受達朗貝爾的建議，經常參加巴黎科學院競賽課題研究，並獲得 1772、1774、1776、1780 年度的獎金。

1767 年 9 月，拉格朗日同維多利亞・孔蒂（Vittoria Conti）結婚．他給達朗貝爾的信中說：「我的妻子是我的一個表妹，曾與我家人一起生活很長時期，是一個很好的家庭婦女。」但她體弱多病，未生小孩，久病後於 1783 年去世。

在柏林期間，拉格朗日完成了大量重大研究成果，為一生研究中的鼎盛時期，多數論文在柏林科學院和法國科學院的刊物中發表，少量仍寄回都靈。其中有關月球運動（三體問題）、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力學、數論、方程式論、微分方程式、函數論等方面的成果，成為這些領域的開創性或奠基性研究。他在 1766 年至 1773 年寫出了《都靈科學論叢》的第四卷和第五卷，其中最重要的是在 1771 年，他討論了如何將眾多的天文觀測數據結合以給出最符結果。1783 年，拉格朗日的故鄉建立了「都靈（皇家）科學院」，他被任命為名譽院長。原出版刊物改為《都靈科學院綜合論叢》（Mélanges des l』Acade-mie des sciences des Turin）；他參與了學報的前兩卷（1784 年、1785 年）。在第一卷和第二卷中，他分別寫了一篇關於流動液體所施加的壓力的論文，和一篇關於無窮級數積分以及其適解問題類型的文章。

他還完成了《分析力學》（Mécanique analytique）一書，這是艾薩克・牛頓之後的一部重要的經典力學著作。書中運用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學體系，使力學分析化。他在序言中宣稱：力學已經成為分析的一個分支。1782 年給拉普拉斯的信中他說：「我幾乎寫完《分析力學論述》（Traité de Mécanique Analytique），但不知何時出版」最終，經過拉普拉斯等多人評審，該書於 1788 年在巴黎出版，那時拉格朗日已然來到巴黎。

### 巴黎時期（1787—1813）

1786 年，腓特烈二世去世，拉格朗日發覺柏林令人難受，決定離開。應巴黎科學院邀請，他於 1787 年 5 月 18 日動身，7 月 29 日到達巴黎開始工作。由於他從 1772 年起就是該院副院士，這次來工作受到了更熱情的歡迎，被安排在羅浮宮。可惜達朗貝爾已在 1783 年去世。

到巴黎的前幾年，他主要學習更廣泛的知識，如形上學、歷史、宗教、醫藥和植物學等；他陷入了憂鬱，連《分析力學》（1788 年）的出版也視而不見。

1789 年，法國大革命爆發，將他從憂鬱中搖醒；一開始他只是有興趣地旁觀，但很快他發現時局急轉直下。與其他人相比，可以說，他的膽怯和低調使他在革命動亂中保全。
1790 年 5 月 8 日的制憲大會上通過了十進位的公製法，科學院建立相應的「度量衡委員會」，拉格朗日是委員之一。

1791 年，拉格朗日被選為英國皇家學會會員。

1792 年，喪偶 9 年的拉格朗日同天文學家勒莫尼埃的女兒何蕾 - 弗朗索瓦 - 阿德萊德（Renée-Francoise- Adelaide）結婚；阿德萊德同情他的遭遇，執意要與他結婚，並一直矢志不渝。

1793 年 8 月 8 日，國民議會決定對科學院專政，把拉瓦錫，拉普拉斯，庫侖等著名院士清除出科學院。但拉格朗日被保留，並任度量衡委員會主席。9 月，恐怖統治開始，革命政府決定逮捕所有在敵國出生的人，經拉瓦錫竭力向當局說明後，把拉格朗日作為例外。

1794 年 5 月 7 日，法國雅各賓派開庭審判波旁王朝包稅官，把包括拉瓦錫在內的 28 名成員全部處以死刑，革命法庭副長官考讓 - 巴蒂斯特・科菲納爾（J.B.Coffinhal）宣稱，「共和國不需要科學家，而只需要為國家而採取的正義行動！」第二天 5 月 8 日的早晨，拉格朗日痛心地說：「他們一眨眼就把拉瓦錫的頭砍下來，但像他那樣的頭腦一百年也找不出一個了。」

1794 年，巴黎成立了兩個共和國最高學府：巴黎高等師範學院和巴黎綜合理工大學；次年，拉格朗日於此兩所高校任教，是為首批教授，雖然前者辦學僅 4 個月便被關閉（直到 1808 年在拿破崙帝國時期重新開始辦學）。

1795 年 6 月 25 日，成立了法國國家經度局，統一管理全國航海、天文研究和度量衡委員會，拉格朗日是委員之一。10 月 25 日，在取消對科學院的專政後，建立了法國最高學術機構 —— 法蘭西學會，選舉拉格朗日為第一分院（即科學院）的數理委員會主席。此後他才重新進行研究工作，但主要是整理過去的工作，並結合教材編寫完成一批重要著作：《論任意階數值方程式的解法》、《解析函數論》和《函數計算講義》，總結了那一時期的特別是他自己的一系列研究工作。

1799 年，法國完成統一度量衡工作，制定了被世界公認的長度、面積、體積、質量的單位。在拉瓦錫死後的這段時間裡，拉格朗日對此的推動功不可沒。

### 授勳及去世

1813 年 4 月 3 日，拿破崙授予他帝國大十字勳章，但此時的拉格朗日已臥床不起，4 月 11 日早晨，拉格朗日逝世。

## 貢獻

* 代數
  * 群的階是子集的階的倍數
  * 消去理論
  * 將行列式的概念應用到非消去理論的範疇
  * 拉格朗日插值多項式
* 數論
  * 四平方和定理
  * 證明配爾方程式必存在解
  * 證明威爾遜定理
  * 創立二次型論
  * 證明循環連分數均為二次無理數
* 微積分
  * 拉格朗日乘子法
  * 均值定理
* 力學
  * 在 1772 年至 1788 年，他簡化了經典力學中的一些公式和運算，並創建了自己的分支，稱為拉格朗日力學。
* 天文
  * 1764 年，拉格朗日成功解釋了為什麼月球總是一面朝向地球。
  * 1772 年，發現拉格朗日點

## 拉格朗日插值公式

線性插值也叫兩點插值，已知函數 $y=f(x)$ 在給定互異點 $x_{0}$ ， $x_{1}$ 上的值為 $y_{0}=f(x_{0})$ ， $y_{1}=f(x_{1})$ 線性插值就是構造一個一次多項式 $P_{1}(x)=ax+b$ ，使它滿足條件 $P_{1}(x_{0})=y_{0}$ ， $P_{1}(x_{1})=y_{1}$ ，其幾何解釋就是一條直線，通過已知點 $A(x_{0},y_{0})$ ， $B(x_{1},y_{1})$ 。

線性插值計算方便、應用很廣，但由於它是用直線去代替曲線，因而一般要求 $[x_{0},x_{1}]$ 比較小，且 $f(x)$ 在 $[x_{0},x_{1}]$ 上變化比較平穩，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點，有時用簡單的曲線去近似地代替複雜的曲線，最簡單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近複雜曲線的情形。

## 榮譽與紀念

* 月球上的拉格朗日撞擊坑
* 小行星 1006
* 1808 年獲得法國榮譽軍團勳章並封為伯爵。
* 他是名字被刻在艾菲爾鐵塔的七十二位法國科學家與工程師其中一位。

### 三 L 之一

法國 18 世紀後期到 19 世紀初數學界著名的三個人物：拉格朗日、拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）和勒讓德（Adrien-Marie Legendre）。因為他們三位的姓氏的第一個字母為「L」，又生活在同一時代，所以人們稱他們為「三 L」。

## 格言

* 他們只一瞬間就砍下了這顆頭，但再過一百年，也找不到像他那樣傑出的腦袋了。(惋惜拉瓦節被送上斷頭台一事)
* 如果我繼承可觀的財產，可能就不會投身於數學之中了。
* 我把數學看成是一件有意思的工作，而不是想為自己建立什麼紀念碑。可以肯定地說，我對別人的工作比自己的更喜歡。我對自己的工作總是不滿意。
* 一個人的貢獻和他的自負嚴格地成反比，這似乎是品行上的一個公理。

## 參考文獻

## 外部連結

* https://web.archive.org/web/20121022140319/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lagrange.html 或者 https://web.archive.org/web/20070325121637/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Lagrange.html

　
: 這個是聖安德魯大學的數學家傳記索引。

* http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Lagrange/RouseBall/RB\_Lagrange.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

　
: 這個是（愛爾蘭）都柏林三一學院的資料。