拓撲量子場論

**拓撲量子場論**（又稱**拓撲場論**，簡稱 **TQFT**）是一類計算拓撲不變量的量子場論。其共同特徵是某些相關函數不依賴於背景時空流形的度量。

雖然拓撲量子場論由物理學家發明，但是在數學上也具有重要意義，與紐結理論、代數拓撲中的 4 - 流形、代數幾何中的模空間等分支均有聯繫。西蒙・唐納森、沃恩・瓊斯、愛德華・威滕和馬克西姆・孔采維奇都因對拓撲場論方面的研究而獲得菲爾茲獎。

20 世紀 70 年代，阿爾伯特・施瓦茨就研究過一種拓撲量子場論（陳 - 西蒙斯理論）。80 年代末，在麥可・阿蒂亞啟發下，研究了三個拓撲量子場論：一個由超對稱楊 - 米爾斯場論扭變得到，用以將西蒙・唐納森不變量和弗勒爾瞬子同調解釋為量子物理對象；第二個是非阿貝爾的陳 - 塞蒙斯場論，用以將瓊斯多項式及其衍生物解釋為量子物理對象；第三個由超對稱 Σ 模型扭變得到，用以將格羅莫夫的贗全純曲線和弗勒爾的拉格朗日同調解釋為量子物理對象。1994 年威滕應用弦論學家得到的強弱對偶結果將唐納森不變量等價為更易計算的塞伯格 - 威滕不變量。進入 21 世紀，威滕等人又研究了具有更多超對稱的楊 - 米爾斯場論的扭變，並將數學中的幾何郎蘭茲對偶解釋為量子場論中的強弱對偶。威滕等人進一步發現，Σ 模型、陳 - 塞蒙斯場論、以及超對稱楊 - 米爾斯場論之間有千絲萬縷的聯繫，它們都可以包含在弦論或者 M - 理論中，在這個大框架之下，瓊斯多項式的範疇化 —— 霍萬諾夫同調被解釋為量子物理對象。

在凝聚體物理學中，拓撲量子場論是拓撲有序態的低能有效理論，例如分數量子霍爾態、弦網凝聚態及其他強關聯液態自旋量子。

## 綜述

在拓撲量子場論中，相關函數並不取決於時空的度量。這意味著理論對時空形狀的改變不敏感：時空彎曲或收縮時，相關函數並不因此改變。因此，它們是拓撲不變量。

在粒子物理學中常用的、平坦的閔可夫斯基時空中，拓撲場論並不十分有趣。這是由於閔可夫斯基空間可以被收縮成一點，所以其中的 TQFT 只計算出平凡的拓撲不變量。因此，TQFT 通常在黎曼曲面等彎曲的時空上研究。大多數已知的拓撲場論定義在 5 維的彎曲時空中。更高維度的拓撲場論似乎存在，但人們未能清楚理解這些理論。

量子引力被相信是背景獨立的（在費曼路徑積分要積掉所有光滑同胚下不等價的度量這個意義上），而 TQFT 恰好能提供背景獨立的量子場論的例子。這一特性促進了現行的對此類模型的理論探索。

（注意：常有說法指出 TQFT 只有有限多的自由度。這並不是 TQFT 的一個基本性質，而是恰好在物理學家考慮的大多數例子中成立，但不是一個必要條件。目標空間為無限維射影空間的拓撲 σ- 模型 —— 若此模型能被成功定義 —— 將擁有可數無窮多個自由度。）

## 具體模型

已知的拓撲場論可分為兩個大類：施瓦茨類 TQFT 與威滕類 TQFT。後者有時被稱為上同調場論。

### 施瓦茨類 TQFT / 陳 - 西蒙斯

在施瓦茨類 TQFT 中，系統的相關函數或配分函數可由度量獨立的作用量泛函的路徑積分計算出來。例如，在 BF 模型中，時空為二維流形 _M_，可觀察量由 2 - 形式 _F_、輔助純量 _B_ 以及它們的導數所構造得到。作用量（決定了路徑積分）為

　
: $S=\int _{M}BF\,$

時空度量在理論任何地方都沒有出現，因此這個理論顯然是拓撲不變的。第一個 TQFT 的例子於 1977 年由 A. Schwarz 給出，它的作用量泛函是

　
: $\int _{M}A\wedge dA.$

另一個較為著名的例子是陳 - 西蒙斯理論，可用於計算紐結不變量。一般而言配分函數取決於度量，但以上兩例得證為度量獨立。

### 威滕類 TQFT

第一個威滕類 TQFT 的例子出現於威滕 1988 年的論文（Witten 1988a）中，即 4 維的拓撲楊–米爾斯理論。雖然其中的作用量泛函包含時空度量 _g_αβ，但是在拓撲扭曲之後，理論變為度量獨立。而系統應力 - 能量張量 _T_αβ 對度量的獨立性則取決於 BRST - 算子是否閉合。遵循著威滕的例子，人們在拓撲弦論中找到了大量其它的例子。

## 數學表述

### 最初的阿蒂亞 — 西格爾公理

受格雷姆・西格爾所提出的共形場論的公理和威滕的超對稱的幾何意義的想法（Witten 1982）的啟示，阿蒂亞提出了一套拓撲量子場論的公理（Atiyah 1988a）。阿蒂亞的公理建立於以可微變換（或以拓撲變換 / 連續變換）粘合邊界，類比於西格爾公理中所使用的共形變換。這套公理對於施瓦茨類 TQFT 的數學處理相對有用，但其如何體現威滕類 TQFT 的全部結構卻不清楚。公理的基本思路是將 TQFT 視為從某個特定配邊的範疇到向量空間的範疇的一個函子。

有兩套不同的公理都可被稱作阿蒂亞公理。它們的區別基本在於所研究的 TQFT 是定義在某個單一固定的 _n_ 維黎曼 / 洛侖茲時空 _M_ 中，或者是同時定義在所有 _n_ 維時空中。

設 Λ 為帶單位元的交換環（出於現實考慮，我們幾乎只研究 Λ = **Z**、**R** 或 **C**）。對於定義在基環 Λ 上的 _d_ 維 TQFT，阿蒂亞最初提議的公理如下：

* 對每個已定向閉合光滑 _d_ 維流形 Σ，賦予一個有限生成的 Λ- 模 _Z_(Σ)（對應於_同倫_ 公理），
* 對每個帶邊界的已定向光滑 (_d_+1) 維流形 _M_，賦予一個元素 _Z_(_M_) ∈ _Z_(∂_M_)（對應於_可加性_ 公理）。

這些數據需滿足如下公理（其中公理 4 和 5 為阿蒂亞添加的）：

1. _Z_ 滿足關於 Σ 與 _M_ 的保向微分同胚的_函子性_。
2. _Z_ 是_對合_ 的，即 _Z_(Σ\*) = _Z_(Σ)\*，其中 Σ\* 為 Σ 取相反定向，而 _Z_(Σ)\* 代表 _Z_(Σ) 的對偶模。
3. _Z_ 是_可乘的_。
4. _Z_(φ) = Λ 當 φ 是 _d_ 維空流形，以及 _Z_(φ) = 1 當 φ 是 (_d_+1) 維空流形。
5. _Z_(_M\*_) = _Z_(_M_)（_埃爾米特_ 公理）。等價地，_Z_(_M\*_) 是 _Z_(_M_) 的伴隨。

**注意．**如果對閉合流形 _M_ 我們視 _Z_(_M_) 為一個數值不變量，那麼對帶邊流形我們應視 _Z_(_M_) ∈ _Z_(∂_M_) 為「相對」不變量。設 _f_ : Σ × _I_ → Σ × _I_ 為保向微分同胚，然後通過 _f_ 粘合 Σ × _I_ 的兩端。這樣我們得到流形 Σf，而公理蘊涵了

　
: $Z(\Sigma _{f})={\text{Trace}}\ \Sigma (f)$

這裡 Σ(_f_) 指 _Z_(Σ) 上的誘導自同構。

**注意．** 若 _M_ 是一個邊界為 Σ 的帶邊流形，我們總能構造其「雙倍」、閉合流形 $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ 。第五條公理表明

　
: $Z(M\cup _{\Sigma }M^{*})=|Z(M)|^{2}$

其中等式右邊我們計算由（可能是未定的）埃爾米特度量中的範數。

### 與物理的聯繫

物理上，公理 (2) 和 (4) 與相對論不變性有關，而公理 (3) 和 (5) 則說明理論的量子本質。

Σ 意指物理空間（在標準物理中通常取 _d_ = 3），而 Σ × _I_ 中的額外維度是「虛構」的時間。空間 _Z_(_Σ_) 是量子理論的希爾伯特空間，而帶有哈密頓算符 _H_ 的物理理論將具有時間演化算子 _eitH_ 或「虛構時間」算子 _e−tH_。_拓撲_ 量子場論的主要特色是 _H_ = 0，這一特徵蘊涵了圓柱 Σ × _I_ 上並無實動態或傳播。然而，非平凡的「傳播」（或稱穿隧振幅）卻可以通過中介流形 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ 從 Σ0 傳到 Σ1；這反映出 _M_ 的拓撲性質。

若∂_M_ = Σ，那麼希爾伯特空間 _Z_(Σ) 中特別的向量 _Z_(_M_) 可被看作又 _M_ 定義的_真空態_。對於閉合流形 _M_ 數值 _Z_(_M_) 即真空期望值。類比於統計力學，它又稱為配分函數。

理論中哈密頓算符為零的原因可通過費曼對量子場論的路徑積分表述合理地解釋。它整合了相對論不變性（適用於一般 (_d_+1) 維「時空」），且理論在形式上可由適當的拉格朗日量 —— 該理論中經典場的泛函 —— 定義。若拉格朗日量形式上只涉及時間上的一階導數，它將導出零哈密頓算符，但拉格朗日量本身可以擁有非平凡的特性，將其與流形 _M_ 聯繫起來。

### 阿蒂亞的例子

1988 年，阿蒂亞發表論文，描述了許多當年學界考慮到 TQFT 的新例子。（Atiyah 1988）論文討論了一些新的拓撲不變量和新思想，包括卡森不變量、唐納森不變量、格羅莫夫理論、弗洛爾同調和瓊斯多項式。

#### _d_ = 0

在這種情況下，Σ 由有限多個點組成。對每個單點我們賦予一個向量空間 _V_ = _Z_ (point)，並對每 _n_ 個點賦予 _n_ 重張量積 _V_ ⊗_n_ = _V_ ⊗ ... ⊗ _V_。對稱群 _Sn_ 作用在 _V_ ⊗_n_ 上。得到量子希爾伯特空間的標準方法是先給出一個經典辛流形（或稱為相空間），然後將其量子化。我們將 _Sn_ 擴張成緊緻李群 _G_，並考慮「可積」軌道，其辛結構由線叢得到，這樣量子化就給出了 _G_ 在 _V_ 上的不可約表示。這是博雷爾 — 韋伊定理或博雷爾 — 韋伊 — 博特定理的物理詮釋。這些理論的拉格朗日量為經典作用量（即線叢的和樂）。從而，_d_ = 0 情況下的拓撲量子場論自然地與經典的李群和對稱群的表示論聯繫起來。

#### _d_ = 1

#### _d_ = 2

#### _d_ = 3

### 固定時空的情況

設 _BordM_ 為如下範疇：態射 _M_ 的 _n_ 維子流形、對象為這些子流形的邊界的連通單元。若兩個態射經由 _M_ 的子流形同倫等價，那麼我們視它們為等價態射，並由此得到商範疇 _hBordM_：_hBordM_ 的對象為 _BordM_ 的對象，而 _hBordM_ 的態射為 _BordM_ 中態射的等價類。_M_ 上的 TQFT 是一個從 _hBordM_ 到向量空間的範疇的對稱么半函子。

注意到若兩個配邊的邊界吻合，它們可以被「縫合」而生成一個新的配邊。這是配邊範疇里的運算。由於函子需要保留運算，這要求縫合的配邊對應的線性映射等於每個配邊所對應的線性映射的合成。

2 維 TQFT 的範疇與交換弗羅貝尼烏斯代數的範疇等價。

### 同時考慮所有 _n_ 維時空

要同時考慮所有時空，我們必須將 _hBordM_ 替換成一個更大的範疇。因此設 _Bordn_ 為協邊的範疇：態射為 _n_ 維帶邊流形，對象為 _n_ 維流形的邊界的連通單元。（注意到所有 (_n_−1) 維流形都可以是 _Bordn_ 的對象。）與上節相仿，若兩態射同倫等價，則視其為等價態射，並得到商範疇 _hBordn_ 。_Bordn_ 是一個么半範疇，其運算為將兩個協邊映射到它們的不交並。那麼，_n_ 維流形上的 TQFT 就是一個從 _hBordn_ 到向量空間的範疇的函子，並將協邊的不交並映到張量積。

例如，對於 (1+1) 維協邊（1 維流形之間的 2 維協邊），pair of pants 所對應的映射給出了積或上積，取決於邊界單元的分組滿足交換律或上交換律，而圓盤所對應的映射給出了上單位元（跡）或單位元（純量），同樣取決於邊界的分組。因此，(1+1) 維 TQFT 對應於弗羅貝尼烏斯代數。

此外，我們同時考慮由以上的協邊聯繫的四維、三維及二維流形，可以得到大量重要的實例。

### 後續發展

拓撲量子場論對塞伯格 — 威滕規範場論、拓撲弦理論、紐結理論和量子理論的關聯、和量子紐結不變量等有諸多應用。此外，它為數學和物理都提供了非常有趣的研究對象。最近，TQFT 中的非局部算子成為重要的研究方向 (Gukov & Kapustin (2013))。如果弦理論被視作根本理論，那麼非局部 TQFT 則是為局部弦理論提供一個簡化計算的逼近的非物理的模型。

## 參閱

* 陳 - 西蒙斯理論
* 張量範疇
* 量子拓撲學
* 拓撲缺陷
* 物理中的拓撲熵
* 拓撲有序
* 拓撲量子數
* 拓撲弦論
* 算術拓撲
* 配邊假設

## 參考

* Atiyah, Michael, Topological quantum field theories, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1989, **68** (68): 175–186 [2015-04-26], MR 1001453, doi:10.1007/BF02698547, （原始內容存檔於 2020-09-27）
* Witten, Edward, Super-symmetry and Morse Theory (PDF), J. Diff Geom., 1982, **17**: 661–692, （原始內容 (PDF) 存檔於 2012-07-07）
* Lurie, Jacob, On the Classification of Topological Field Theories (PDF), [2015-04-26], （原始內容存檔 (PDF) 於 2019-06-18）
* Witten, Edward, Topological quantum field theory, Communications in Mathematical Physics, 1988a, **117** (3): 353–386 [2015-04-26], Bibcode:1988CMaPh.117..353W, MR 0953828, doi:10.1007/BF01223371, （原始內容存檔於 2020-08-20）
* Witten, Edward, Topological sigma models, Communications in Mathematical Physics, 1988b, **118** (3): 411–449, Bibcode:1988CMaPh.118..411W, doi:10.1007/bf01466725
* Atiyah, Michael. New invariants of three and four dimensional manifolds. Proc. Symp. Pure Math., 48, American Math. Soc. 1988, **48**: 285–299.
* Gukov, Sergei; Kapustin, Anton. Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories. JHEP. 2013 [2015-04-26]. （原始內容存檔於 2016-03-04）.  On arxiv url=http://arxiv.org/abs/1307.4793 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）