改進型韋格納分佈

**改進型韋格納分佈**(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項 (cross term) 的問題。 
韋格納分佈是西元 1932 年由尤金・維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。 
因此在西元 1995 年，L. J. Stankovic 和 S. Stankovic 提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

## 原理

### 韋格納分佈的數學定義

　
: $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau $ $=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta $

### 改進型韋格納分佈的數學定義

為了改善韋格納分佈的相交項 (cross-term) 問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩 (mask) 的函數，將相交項過濾掉。

* * 定義一：: $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau $

　
: ，其中 w (t) 為遮罩函數。常為方波，其方波寬度為參數 B。可寫成 $w(t)={\begin{cases}1\ \ \ if\ |t|<B\\0\ \ \ otherwise\end{cases}}$

* * 定義二：: $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }P(\theta )Y(t,f+\theta /2)Y^{*}(t,f-\theta /2)d\theta $ 
  ， 其中 $Y(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x(t+\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau $ ；  $P(\theta )\,$ 類似遮罩函數，

　
: $P(\theta )\approx 1\ $ ， 當 θ 很小

　
: $P(\theta )\approx 0\ $ ， 當 θ 很大

　
: 適當地選擇 $P(\theta )\approx 1\ $ 的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項 (auto term)。
* 定義三： $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+{\tfrac {\tau }{2L}})\cdot {\overline {x^{L}(t-{\tfrac {\tau }{2L}})}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau $

　
: 增加 L 可以減少相交項 (cross-term) 的影響 (但是不會完全消除)

　
: * 定義四： $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau $

　
: 當 q = 2 和 $d_{l}=d_{-l}=0.5$ ，就是原本的韋格納分佈。

　
: 當指數函數的次項不超過 q/2 +1 時，就可以避免相交項 (cross-term)

　
: 然而，相交項 (cross-term) 會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。

　
: <說明>

　
: 定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)

　
: : $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau $

　
: If $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n}}$

　
: 所以 $d_{\ell }$ 必須要能滿足下面的式子：

　
: : $e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

　
: $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1})na_{n}t^{n-1}\tau }d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )$

　
: 其中 $\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}$ 為 $x(t)$ 的瞬時頻率

　
: 接下來，我們來看 $d_{\ell }$ 要怎麼設定：

　
: (1) 當 $q=2$ 的時候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{2}na_{n}t^{n-1}\tau }$

　
: 如果我們把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}$ 代入，可以得到下列式子：

　
: : $a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )-a_{2}(t-d_{-1}\tau )-a_{1}(t-d_{-1}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau $

　
: ${\begin{cases}d_{1}+d_{-1}=1\\d_{1}-d_{-1}=0\end{cases}}$ $\Longrightarrow {\begin{cases}d_{1}={\tfrac {1}{2}}\\d_{-1}={\tfrac {1}{2}}\end{cases}}$

　
: 由此可以知道，當 $q=2$ 並且 $d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}$ 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同

　
: : $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau ,\quad if\quad q=2,\ d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}$

　
: (2) 當 $q=4$ 的時候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{3}na_{n}t^{n-1}\tau }$

　
: 如果我們把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}$ 代入，可以得到下列式子：

　
: : $a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-2}\tau )$

　
: $=3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau $

　
: ${\begin{cases}a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}\\a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}\\a_{1}(t+d_{1}\tau )+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{1}(t+d_{-2}\tau )\end{cases}}$ $={\begin{cases}3a_{3}t^{2}\tau \\2a_{2}t\tau \\a_{1}\tau \end{cases}}$

　
: 所以我們可以得到

　
: : ${\begin{cases}d_{1}+d_{2}+d_{-1}+d_{-2}=1\\{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}-{d_{-1}}^{2}-{d_{-2}}^{2}=0\\{d_{1}}^{3}+{d_{2}}^{3}+{d_{-1}}^{3}+{d_{-2}}^{3}=0\end{cases}}$

　
: 可以看到如果 $q$ 太大， $d_{\ell }$ 會不好設計。

　
:

## 性能表現

在此有兩個例子來說明**改進型韋格納分佈**確實能消除相交項。

 1. **$x(t)={\begin{cases}cos(3\pi t)\ \ \ t\leq -4\\cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\leq 4\ \ \ \\cos(4\pi t)\ \ \ t>4\end{cases}}$**

　
: 左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。

 1. **$x(t)=exp(j\cdot (t-5)^{3}-j\cdot 6\pi \cdot t)$**

　
: 左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。

## 同時參閱

* 信號處理
* 時頻分析
* 短時距傅立葉變換

## 參考資料

* Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
* L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.