指数分布

在機率論和統計學中，**指數分布**（英語：Exponential distribution）是一種連續機率分布。指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

## 記號

指數分布即形狀母數 α 為 1 的伽瑪分布。

若隨機變數 $X$ 服從母數為 $\lambda $ 或 $\beta $ 的指數分布，則記作

$$
X\sim {\text{Exp}}(\lambda )$ 或 $X\sim {\text{Exp}}(\beta )
$$

兩者意義相同，只是 $\lambda $ 與 $\beta $ 互為倒數關係。只要將以下式子做 ${\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}$ 的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為：

　
: $f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

或

　
: $f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

 
累積分布函數為：

　
: $F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

或

　
: $F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

 
其中 λ > 0 是分布的母數，即每單位時間發生該事件的次數； β 為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率母數（rate parameter）。指數分布的區間是 [0,∞)。

## 特性

### 期望值與變異數

隨機變數 _X_ (_X_ 的母數為 λ 或 β) 的期望值是：

　
: $\mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }$

例如：如果你平均每個小時接到 2 次電話，那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

_X_ 的變異數是：

　
: $\mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}$

_X_ 的偏態係數是：**V**[X] = 1

### 無記憶性

指數函數的一個重要特徵是無記憶性（**Memoryless Property，又稱遺失記憶性**）。這表示如果一個隨機變數呈指數分布，它的條件機率遵循：

　
: $P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.$

### 與卜瓦松過程的關係

卜瓦松過程是一種重要的隨機過程。卜瓦松過程中，第 k 次隨機事件與第 k+1 次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。而根據卜瓦松過程的定義，長度為 t 的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於

　
: ${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}$ ,

長度為 t 的時間段內隨機事件發生一次的機率等於 ${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t$ ,
所以第 k 次隨機事件之後長度為 t 的時間段內，第 k+n 次 (n=1, 2, 3,...) 隨機事件出現的機率等於 $1-e^{-\lambda t}$ 。這是指數分布。這還表明了卜瓦松過程的無記憶性。

### 四分位數

率母數 λ 的四分位數函數（Quartile function）是：

　
: $F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$

* 第一四分位數： $\ln(4/3)/\lambda \,$
* 中位數： $\ln(2)/\lambda \,$
* 第三四分位數： $\ln(4)/\lambda \,$

因此，四分位距為 ln (3)/_λ_。

## 母數估計

### 最大概似法

給定獨立同分布樣本 _x_ = (_x_1, ..., _x_n)，λ 的概似函數（Likelihood function）是：

　
: $L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)$

其中：

　
: ${\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ 是樣本期望値。

概似函數對數的導數是：

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.$

母數 λ 的最大概似估計（Maximum likelihood）值是：

　
: ${\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}$

## 參見

* 拉普拉斯分布（又稱：雙指數分布）
* 幾何分布

## 參考文獻

1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

## 外部連結

* 指數分布 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）