收斂半徑

**收斂半徑**是數學分析中與冪級數有關的概念。一個冪級數的**收斂半徑**是一個非負的擴展實數（包括無窮大）。收斂半徑表示冪級數收斂的範圍。在收斂半徑內的緊集上，冪級數對應的函數一致收斂，並且冪級數就是此函數展開得到的泰勒級數。但是，在收斂半徑上冪級數的斂散性是不確定的。

## 定義

定義冪級數 _f_ 為： $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},$ 。其中常數 _a_ 是收斂圓盤的中心，_c_n 為第 _n_ 個複係數，_z_ 為變量。

**收斂半徑**_r_ 是一個非負的實數或無窮大（ $\scriptstyle \infty $ ），使得在 $|z-a|<r$ 時冪級數收斂，在 $|z-a|>r$ 時冪級數發散。

具體來說，當 _z_ 和 _a_ 足夠接近時，冪級數就會收斂，反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |_z_ - _a_| = _r_ 的收斂圓上，冪級數的斂散性是不確定的：對某些 _z_ 可能收斂，對其它的則發散。如果冪級數對所有複數 _z_ 都收斂，那麼說收斂半徑是無窮大。

## 收斂半徑的計算

根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑 $R$ 滿足：如果冪級數 $\sum c_{n}z^{n}$ 滿足 $\lim _{n\to \infty }\left\vert {c_{n+1} \over c_{n}}\right\vert =\rho $ ，則：

　
:

根據根值審斂法，則有柯西 - 阿達馬公式：

　
: $R=\liminf _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

　
: 或者 ${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$ 。

## 複分析中的收斂半徑

將一個收斂半徑是正數的冪級數的變量取為複數，就可以定義一個全純函數。收斂半徑可以被如下定理刻畫：

　
: 一個中心為 _a_ 的冪級數 _f_ 的收斂半徑 _R_ 等於 _a_ 與離 _a_ 最近的冪級數無定義點的距離。到 _a_ 的距離嚴格小於 _R_ 的所有點組成的集合稱為**收斂圓盤**。

最近點的取法是在整個複平面中，而不僅僅是在實軸上，即使中心和係數都是實數時也是如此。例如：函數

　
: $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$

沒有複根。它在零處的泰勒展開為：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}$

運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為 1。與此相應的，函數 $f(z)$ 在 ±i 存在奇點，其與原點 0 的距離是 1。

### 簡單的例子

三角函數中的反正切函數可以被表達成冪級數：

　
: $\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .$

運用審斂法可以知道收斂半徑為 1。

### 一個更複雜的例子

考慮如下冪級數展開：

　
: ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}$

其中有理數 _B_n 是所謂的伯努利數。對於上述冪級數，很難運用審斂法來計算收斂半徑，但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果：當 _z_=0 時，函數沒有奇性，因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值，即使得

　
: $e^{z}-1=0$

的複數 _z_。設 _z_ = _x_ + _iy_，那麼

　
: $e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,$

要使之等於 1，則虛部必須為零。於是有 $y=k\pi $ ，其中 $k\in Z\ ,\ k\neq 0$ 。同時得到 $x=0$ 。回代後發現 $k$ 只能為偶數，於是使得分母為零的 _z_ 為 $2k\pi i$ 的形式，其中 $k\in Z\ ,\ k\neq 0$ 。

離原點最近距離為 $2\pi $ ，於是收斂半徑為 $2\pi $ 。

## 收斂圓上的斂散性

如果冪級數在 _a_ 附近可展，並且收斂半徑為 _r_，那麼所有滿足 |_z_ − _a_| = _r_ 的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為**收斂圓**。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。

 
例 1: 函數ƒ(_z_) = (1 − _z_)−1 在 _z_ = 0 處展開的冪級數收斂半徑為 1，並在收斂圓上的所有點處發散。

例 2: 函數 _g_(_z_) = ln(1 − _z_) 在 _z_ = 0 處展開的冪級數收斂半徑為 1，在 _z_ = 1 處發散但除此之外，在收斂圓上所有其它點上都收斂。例 1 中的函數ƒ(_z_) 是 -_g_(_z_) 的複導數。

例 3: 冪級數

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}$

的收斂半徑是 1 並在整個收斂圓上收斂。設 _h_(_z_) 是這個級數對應的函數，那麼 _h_(_z_) 是例 2 中的 _g_(_z_) 除以 _z_ 後的導數。_h_(_z_) 是雙對數函數。

例 4: 冪級數

　
: $P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+\cdots +z^{2^{n}-1})$

的收斂半徑是 1 並在整個收斂圓上一致收斂，但是並不在收斂圓上絕對收斂。

## 收斂速率

將下列函數在 _x_ = 0 處展開：

　
: $f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x$

可以看到收斂半徑為 $\scriptstyle \infty $ ，也就是說冪級數對所有的複數變量值收斂。但是，在實際操作中，人們常常更關心函數值的精確度。展開的項數和展開點與變量的取值都會影響結果的準確度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin (0.1) 的前 5 位有效數字，只需要計算級數的前兩項。然而，在 _x_ = 1 時，要得到相同的精確度，就要計算前 5 項。對於ƒ(10)，需要 18 項，對於ƒ(100) 則需要 141 項。

可以看出，越靠近中心，收斂的速度就越快，反之則收斂速率降低。

## 圖例

考慮亞純函數 $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ ，對應的模長二元函數圖像見右。函數在 $z=\pm i$ 處有極點。

由於最近的奇點與原點距離為 1，收斂半徑為 1。函數在 _z_ = 0 處的泰勒級數收斂若且唯若 $|z|<1$ 。

## 狄利克雷級數的收斂度規

與收斂半徑類似的一個概念是狄利克雷級數的**收斂度規**，也就是使得級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}$ 收斂的最小的 _s_，其只依賴於數列 _a_n。

## 參見

* 無窮級數
* 冪級數
* 阿貝爾定理
* 阿貝爾型定理和陶伯型定理
* 哈代 - 李特爾伍德圓法
* 收斂度規

## 參考來源

* Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6
* Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8
* 幂级数. [2008-09-10]. （原始內容存檔於 2008-11-21）.
* 毕节学院复变函数教程. [2008-09-10].

## 外部連結

* （英文）收敛半径是什么？. [2008-09-10]. （原始內容存檔於 2008-06-18）.