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數學極限

**極限**（英語：Limit）是數學分析或微積分的重要基礎概念，連續和導數都是通過極限來作定義。極限分為描述一個序列的下標愈來越大時的趨勢（序列極限），或是描述函數的自變數接趨近某個值時的函數值的趨勢（函數極限）。

函數極限可以推廣到網中，而數列的極限則與範疇論中的極限和有向極限密切相關。

## 概念

### 數列極限

以數列（sequence）

為例，直觀上隨著 n 的增大， $a_{n}$ 越來越接近 0，於是可以認為 0 是這個序列的 "極限"。以下的嚴格定義來自於柯西（Cauchy）：設若對任意 $\epsilon >0$ ，存在 $m\in \mathbb {N} $ ，使得當 $i>m$ 時，有以邏輯符號來表示即為則稱數列 $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ **收斂於** $a$ ，記作 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ 或 $a_{n}\rightarrow a$ 。這時也稱這個數列是**收斂的**，反之稱為**發散**。可以證明極限是唯一的，也就是
這個嚴謹定義直觀上，說不論把 "差距範圍" $\epsilon $ 取得多小，從某項 $a_{n}$ 會跟 $a$ 的距離都會比 $\epsilon $ 小。

### 函數極限

考慮定義域為 $\mathbb {R} $ ，對應規則為 $f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ 的函數在 $x$ 趨向 $2$ 的時候的性質。此時 $f$ 於 $2$ 是有定義的。

當 $x$ 趨向 $2$ 的時候，函數值似乎趨向 $0.4$ ，因此我們有 "極限" $0.4$ ，正好就是 $f(2)$ ，這種情況我們稱為在 $x=2$ "連續"。

但有時趨近 "極限" 不會是那個函數值，考慮定義域為 $\mathbb {R} $ ，對應規則為

　
:

的函數，那麼當 $x$ 趨於 $2$ 的時候， $g(x)$ 的極限似乎與前面的 $f(x)$ 相同都是 $0.4$ 。但 $g(2)\neq 0.4$ ，這就是說， $g(x)$ 在 $x=2$ 是不連續。

有時趨近的點甚至是不在定義域裡 (也就是無定義)，考慮到**算式** ( 本質上是一階邏輯中的**項**，所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義，而非 "數字" 意義上的相等 )

　
:

當 $x=1$ 時，算式 $T$ 等於零除以零而沒有定義。但以 $T$ 有定義的最大定義域 $\mathbb {R} -\{1\}$ ( 去除 $1$ 的實數系 ) ， 跟對應規則 $f(x)=T$ 來定義的函數 $f$ ， 趨近於 $1$ 的 "極限" 似乎是 $2$

#### 實函數在有限處的極限

若 $f$ 是一個實函數 (也就是定義域和值域都包含於實數系) ， $L\in \mathbb {R} $ ，那麼

　
:

定義為：對所有的 $\varepsilon \ >0$ ，都存在 $\delta \ >0$ 使得：對任意 $x\in D_{f}$ 滿足 $0<|x-c|<\delta \ $ 時會有 $|f(x)-L|<\varepsilon \ $ 。以邏輯符號來表示即為

#### 實函數在無窮遠處的極限

與函數趨於某個給定值時的極限概念相關的是函數在無窮遠處的概念。這個概念不能從字面上直接理解為： $x$ 距離無窮遠越來越小的狀態，因為無窮不是一個給定的數，也不能比較距離無窮的遠近。因此，我們用 $x$ 越來越大（如果討論正無窮時）來替代。

例如考慮 $f(x)={\frac {2x}{x+1}}$ .

　
: $f(100)=1.9802$

　
: $f(1000)=1.9980$

　
: $f(10000)=1.9998$

當 $x$ 非常大的時候， $f(x)$ 的值會趨於 $2$ 。事實上， $f(x)$ 與 $2$ 之間的距離可以變得任意小，只要我們選取一個足夠大的 $x$ 就可以了。此時，我們稱 $f(x)$ 趨向於（正）無窮時的極限是 $2$ 。可以寫為

　
:

形式上，我們可以定義：

　
:

為

類似地，我們也可以定義：

　
:

為

## 符號

極限的符號為 lim，它出自拉丁文 limit（界限）的前三個字母。

在 1786 年出版的德國人瀏伊連（S. L'Huilier）的書中，第一次使用這個符號。不過，「_x_ 趨於 _a_」當時都記作「_x_=_a_」，直到 20 世紀人們才逐漸用「→」替代「=」。

英國近代數學家哈代是第一個使用現代極限符號的人。

## 性質

 * $\lim _{n\to c}S\cdot f(n)=S\cdot \lim _{n\to c}f(n)$ ，這裡 S 是個內積算法。
* $\lim _{n\to c}b{f(n)}=b\,{\lim _{n\to c}f(n)}$ ，這裡 _b_ 是常數。

以下規則只有當等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立：

 * $\lim _{n\to c}[f(n)+g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)+\lim _{n\to c}g(n)$
* $\lim _{n\to c}[f(n)-g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)-\lim _{n\to c}g(n)$
* $\lim _{n\to c}[f(n)\cdot g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)\cdot \lim _{n\to c}g(n)$
* $\lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}={\frac {\displaystyle \lim _{n\to c}f(n)}{\displaystyle \lim _{n\to c}g(n)}}$

## 推廣

### 拓撲網

在引入網的概念下，上述的定義可以毫無障礙地推廣到任何拓撲空間。事實上，現代數學中的極限概念就是定義在拓撲空間上的，上述的例子都是拓撲空間的具體化。

### 範疇論

範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。範疇論極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Limit. MathWorld.
* Mathwords: Limit （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數學橋

**數學橋** (英語：Mathematical Bridge) 是一條位於英國劍橋市橋，跨過在劍橋大學校園內的康河，把王后學院在康河兩岸的校園接駁起來。數學橋是它的非官方名字，它的官方名字只是「木橋」而已。

## 歷史

數學橋是由威廉・埃瑟里奇二世設計，並在 1749 年由詹姆斯・艾塞克斯興建。數學橋在 1866 年和 1905 年重建，但是原本的設計並沒有改變。

在劍橋大學裡以前也有一條名為「數學橋」的橋。它位於康河，在劍橋大學王后學院內。

## 設計

木條的排列形成一個弧形，支撐著橋，再加上其他橫向部件，形成一個個三角狀的結構把橋固定。這邊的結構有效地使用了木材而不致浪費，同時借用了石橋常見的拱形設計，鞏固了其結構。

## 傳說

數學橋的設計來源有幾個說法：

1. 橋是由中國設計的。設計中利用了一些特別的數學方程式，因以得到數學橋的名字。
2. 橋是由一班學生設計的。橋的設計（重量和角道數）非常精密，連一口釘也沒有用上。一位教授看到橋以後嘆為觀止，並想把橋拆下，以便了解橋的設計。但是，教授把橋拆下後，沒有辦法利用原本的設計把橋重建起來。所以，教授就利用釘把橋重建起來。
3. 橋是由牛頓設計和建成的。和第二個傳說一樣，他的設計也沒有用上一口釘。學生看到橋的設計後就把橋拆下，但是他們也不能利用原本的藍圖把橋重新建好。所以，他們用了釘把橋重建。這個傳說並不可信，因為牛頓在 1727 年－數學橋建成前 22 年－逝世。

事實是橋在早期己於關節位用上鐵銷釘或螺絲，後來才改用螺母和螺栓。

## 圖片

* * * * * * * * *

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Ruddock, Ted. Arch Bridges and their Builders 1735-1835. Cambridge University Press 劍橋大學王后學院. 1979 [2013-02-26]. ISBN 978-0521090216 （英語）.

## 外部連結

* 王后學院關於數學橋歷史的網頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）

座標：52°12′07.87″N 0°06′54.15″E
數學焦慮

**數學焦慮**（英語：Mathematical anxiety），也稱為數學恐懼症（英語：math phobia），是人對於數學能力的焦慮症。美國心理學家馬克・亨利・阿什克拉夫特將數學焦慮定義為「一種干擾數學表現的緊張、憂慮或恐懼感」。有數學焦慮症的人不一定缺乏數學能力，相反，正由於焦慮症的干擾症狀，他們無法充分發揮其潛力。數學焦慮以多種方式表現出來，包括身體、心理和行為症狀，這些都會影響學生的數學表現。

## 參考資料
數學物件

**數學對象**（Mathematical object）是數學中的抽象概念。用數學的普通語言來說，對象是任何可以或已經用演繹推理和數學證明正式定義的物件。一般地，一個數學對象可以是一個能代入變數的值，從而可以用於公式裡。 經常遇到的數學對象包括數、集合、函數、表示式、幾何形狀、其他數學對象的轉換和空間。數學對象可以非常複雜。比如說，定理、證明甚至理論在證明論中被視為數學對象。

數學對象的存在是數學哲學家進行大量研究和討論的對象。

## 按分支分類的數學對象列表

* 數論
  * 數、運算
* 組合數學
  * 置換、錯排、組合
* 集合論
  * 集合、集合劃分
  * 函數、關係
* 幾何學
  * 點、線、線段
  * 多邊形（三角形、正方形、五邊形、六邊形……)、圓、橢圓、拋物線、雙曲線
  * 多面體（四面體、立方體、八面體、十二面體、二十面體）、球體、橢球、拋物面、雙曲面、圓柱體、圓錐體
* 圖論
  * 圖、樹、頂點、邊
* 拓撲學
  * 拓撲空間、流形
* 線性代數
  * 純量、向量、矩陣、張量
* 抽象代數
  * 群
  * 環、模
  * 域、向量空間
  * 群論格、序論格

## 參見

* 抽象物件
* 數學結構

## 參考文獻

* Azzouni, J., 1994. _Metaphysical Myths, Mathematical Practice_. Cambridge University Press.
* Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. _A Subject with No Object_. Oxford Univ. Press.
* Davis, Philip and Reuben Hersh, 1999 [1981]. _The Mathematical Experience_. Mariner Books: 156–62.
* Gold, Bonnie, and Simons, Roger A., 2011. _Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ . Mathematical Association of America.
* Hersh, Reuben, 1997. _What is Mathematics, Really?_  Oxford University Press.
* Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being,  Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other," in Cobb, P., _et al._, _Symbolizing and communicating in mathematics classrooms:  Perspectives on discourse, tools and instructional design_. Lawrence Erlbaum.
* Stewart Shapiro, 2000. _Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics_.  Oxford University Press.

## 外部鏈接

* Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Abstract Objects （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"—by Gideon Rosen.
* Wells, Charles, "Mathematical Objects."
* AMOF: The Amazing Mathematical Object Factory
* Mathematical Object Exhibit
數學理論列表

* 代數 K - 理論 (Algebraic K-theory)
* 逼近理論
* 自動機（Automata theory）
* Braid theory(braid theory)
* Brill-Noether theory
* Catastrophe theory
* 範疇論
* 特徵標理論（Character theory）
* Choquet theory
* 類域論 (class field theory)
* 編碼理論
* 上同調理論
* 計算理論（Computation theory）
* Deformation theory
* Dimension theory
* 分布 (數學分析)（Distribution theory）
* 域論
* Elimination theory
* Extremal graph theory
* 伽羅瓦理論
* 博弈論
* 圖論
* Grothendieck's Galois theory
* 群論
* 霍奇理論 (Hodge theory)
* 同調論
* 同倫論
* 資訊理論
* 不變量理論
* K - 理論
* 紐結理論
* L-theory
* Local class field theory
* M 理論
* 矩陣理論
* 測度論
* 模型論
* 莫爾斯理論 (Morse theory)
* 模理論
* Network theory
* Nevanlinna theory
* 數論
* 阻礙理論
* 算子理論
* 序理論
* Percolation theory
* 攝動理論
* 機率論
* 證明論
* 量子論 (en:quantum theory)
* 排隊論
* 遞歸論
* 表示理論
* 環論
* 概型理論
* 集合論
* 層理論
* 奇點理論
* 譜理論
* 弦理論
* 割補理論
* 方程式論
* 拓撲斯（Topos theory）
* Transcendence theory
* 扭量理論
數學百科全書

《**數學百科全書**》（俄語：**Математическая энциклопедия**）為蘇聯科學院院士、通訊院士和蘇聯數學各領域的權威學者執筆撰寫，伊萬・維諾格拉多夫主編的一部數學百科全書，由蘇聯大百科全書出版社出版，最早的版本於 1977 年出版，爾後陸續出版了增訂本。該書是數學史上的一個里程碑，是當今世界上內容最新、最全面、水平最高的一部大型數學工具書。

這部百科全書已經有 CD-ROM 版本及網絡版本。

## 英文版本

俄文版出版後不久，英文版《數學百科》（_Encyclopedia of Mathematics_，_EOM_；前稱 _Encyclopaedia of Mathematics_）即由荷蘭克魯維爾公司組織 180 多位數學家聯合翻譯出版，並附有大量的增訂。

## 中文版本

中文版由中國數學會領導，組織中國 200 多位數學家進行編譯，據俄文版和英文版翻譯，1994 年起分 5 卷陸續由科學出版社出版，歷時 10 年完成。其繁體版本由九章出版社在台灣出版。

## 參見

* 《克萊因數學百科》

## 參考資料

## 外部連結

* 在線《數學百科全書（英文版）》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數學符號

**數學符號**（英語：Mathematical notation）不只被使用於數學裡，更包含於物理科學、工程及經濟學等領域內。有些數學符號在生活中很常見，例如數字 1 及 2、二元運算、+ 等，儘管它們的實際定義可能並不顯淺；隨著數學觀念的發展，我們需要更多的符號以避免冗長的定義陳述，或是簡潔地表示某些概念。一些可能出現在教科書上的符號有正弦函數 $\sin $ 、極限 $\lim $ 和微分 ${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}$ ；也有更為基本、然而抽象的符號，比如函數 $f(x)$ 、等式 $=$ 及變數 $x$ 等等。

## 釋義

數學符號是一書寫系統，用於表示數學內的概念，是一種含義高度概括、形體高度濃縮的抽象的科學語言。

* 當中的符號或符號表示式是用來傳達精確語意。
* 在數學的歷史裡，不同的符號被用作標記數字、形狀、圖像和變化。除此，亦包括在一部份數學領域中，數學家的群體按照傳統、或慣常使用的符號。

數學符號的一個特點為對數學概念的系統性依附。

當談及數學符號時，總是在某個理論框架的意義下討論它。要注意的是，同一個符號可以在不同的理論中被使用，且有著不同的意義。

表示式是能被賦予某些意義的符號串列。有需要的話，我們會在表示式中加入括號，以標明優先運算的部分。例如算式 $(2+7)\times 2$ 中，是先把括號中的數字 $2$ 和 $7$ 加起來，得出 $9$ ，再把 $9$ 乘以 $2$ 。

一般來說，人們都由左至右寫表示式，也從左至右的方向闡述式子，但電腦讀入和運行表示式的方法則有別於此。電腦科學中，這些運算規則是由編譯器執行的。

現代數學要求數學符號有精確語意，因為使用含糊不清的符號是無法給出正式的數學證明的。有了準確的符號，才能嚴格地推導出命題。命題亦即由一些符號以合乎規格的方式連結起來的表示式。這些數學命題通常是陳述某些數學對象的性質和關係。

透過一公理系統可推導出命題，但僅看命題中的符號，是無法理解整個式子的意義的。除了推理，我們還可把符號設想為那些被標示的數學對象，如此便得出一個模型，在該模型中命題的意義有一個詮釋。如此我們可以透過直覺來了解符號或數學對象的意義，而同時這種理解又建基於嚴格的推理。當我們想要探究一個數學對象的特性，我們可以用描述法，將其特性形式化地一一列舉。

數學對象的特性一般都有經廣泛使用、或既定俗成的符號來表示之。通常我們會加一些註解在符號上，例如：

* 「所有 x」、「沒有 x」、「存在某個 x」（又或者說，「對某些 x」）、「一個集合」、「一個函數」
* 「一個把實數映射到複數的函數」

## 歷史

### 數算

一般相信數學標記最少在 50,000 年前開始出現，以協助數算。除了數手指，早期用作數算的工具還有石塊、樹枝、骨頭、黏土、木雕、繩結。
0 的出現是數學中最重要的發展之一。

### 解析幾何

初期幾何的數學觀念未借用數字的概念。事實上，由自然數到分數，再由分數建構出連續的實數，這個發展過程經歷了超過一個世紀的時間。直至笛卡爾發展了解析幾何，幾何裡才常常用到數字和符號。一些符號開始出現在幾何證明的正式發表裡，用以簡略地表示數學概念。除此之外，幾何定理和證明的結構也大大地影響了非幾何的領域，比如是牛頓所著的《自然哲學的數學原理》。

### 計算機械化

隨著布林代數和進位制的出現，透過簡單電路作計算這一方法成為可能。最初是以物理手段，例如用齒輪和桿，通過旋轉和平移表示狀態的變動。再之後是以電力，通過電壓和電流的轉變來代表某一項量的轉變。到了今天，電腦以規格化的電路來儲存和改變某一項量，除了數字外還能表示圖象、聲音、動作以及指令。

### 現代記號

十八和十九世紀時有不少數學符號被創造出來，也伴隨著數學符號的規範化，有不少符號沿用至今。其中不少都是瑞士數學家歐拉所創的，比如：以 $a,b,c$ 代表常數、以 $x,y,z$ 代表未知數、e 作為自然對數的底、Sigma (Σ) 表示數值的總和、 $i$ 表示虛數單位，還有以 $f(x)$ 代表函數。他同時普及了以 $\pi $ 代表圓周率的使用。

許多數學領域裡的數學符號也採用其發明者的寫法，例如微分算子的標示源於萊布尼茲、無限基數源於康托爾、全等符號 (≡) 源於高斯等等。

### 電腦化計算

對有些人而言，電腦化計算是一種可令他們領會到在象徵式記法不能領會到的數學計算方法。他們能受益於現代的先進電腦設備，提供更多準確的視覺、聽覺和觸覺形式的反饋。

### 表意符號

## 參見

* 數學符號表
* 概率及統計學中的符號
* 符號濫用
* 概念文字
* 數學公式的印刷慣例
* Help: 數學公式
* 數學符號的歷史
* 數學字母數字符號
* 科學記數法
* 向量標示法
* 現代阿拉伯數學標示法

## 註記

## 參考資料

* Florian Cajori, _A History of Mathematical Notations_ (1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4

## 外部連結

* Mathematics as a Language at cut-the-knot
* Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
* Mathematical ASCII Notation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） how to type math notation in any text editor.
數學符號列表

數學中，有一組常在數學表達式中出現的符號。數學工作者一般熟悉這些符號，使用時不一定會加以說明。但絕大多數常見的符號都有相應標準或 Unicode 符號說明等加以規範。

下表列出很多常見數學符號，並附有名稱、讀法和應用領域。第三欄為非正式定義，第四欄提供簡單例子。

## 數學符號表

## 注釋

## 參見

* 數學符號
* 用於數學、科學和工程的希臘字母
* 數學字母數字符號
* 數學常數
* 邏輯符號表

## 外部連結

* Compendium of Mathematical Symbols - Math Vault （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Math Symbols List - RapidTables （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Jeff Miller: _Earliest Uses of Various Mathematical Symbols_
* TCAEP - Institute of Physics

## 參考資料
數學經濟

**數理經濟學**（英語：mathematical economics）是運用數學方法來闡述經濟學理論和分析經濟學問題的學科。從廣義上說，數理經濟學是運用數學模型來進行經濟分析，解釋經濟學現象的理論。從狹義上來說，是特指法國經濟學家瓦拉斯（Léon Walras）開創的一般均衡理論體系。通常可分為靜態分析與動態分析。

這個理論首先設立「人是理性的」這個假設，然後利用各種數學方法，來模擬各種經濟學現象，並進推論出有關問題的解決方案。

## 參考文獻

* 《數理經濟學的基本方法 》蔣中一
數學能力及性別

一般人常認為數學能力會因為性別不同而有差異。男性通常被認為在數學方面的表現會比女性好。有兩個領域被認為有這種差異：

1. 一般男性的數學技術比女性好
2. 男性的數學能力比較多樣化，表示他們很可能比女性的理解能力高。

第二個說法的爭議性相當高。

在工程師等以數學為基礎的職業裡，女性與男性的從業人數有相當大的差距。 因為這些事業會要求數學能力顯著高於一般人的人。有性別引起的技能差異比一般的高。所以，當討論女性在工程事業上的數量的時候，比較一般水平並非十分有用，而且應該比較女性工程師在女性當中的比例而非比較男、女工程師的比例。

有很多理論解釋性別所造成的數學能力差距。有些研究者認為是環境造成。例如，由家庭與學校中，有性別偏見的教育或者其他社會上的影響所造成的。有些認為這個差距是由性別特徵 (characteristic) 所造成。另外有些則認為基因所造成的影響不該被忽略。這部分目前仍未有定論。

## 證據

智力測驗（例如 Differential Aptitude Test,DAT）裏提供了證據。在機械推理上，12 年級的男生在智力測驗上取得的分數，幾乎比女生的分數高出 0.9 個標準差。 (Lupkowski, 1992).

## 解釋差異的理論

### 性別特徵

性別特徵差別是其中一個理論以解釋男性的數學表現較好的原因。男性被視為有更高的自尊，而女性則沒有這麼自信。

年幼學習數學，男性會相信他們能夠做到好，而事實上他們的能力並非和女性相差很遠 (Leonard, 1995)。對數學有這個程度的自信、動機和興趣，帶來數學能力的差異 (Manning, 1998)。

## 參考

National Science Foundation (1997). Gender issues in math and technology. _TERC_. Retrieved July 22, 2004, from 
https://web.archive.org/web/20041216222943/http://www.terc.edu/mathequity/gender.html

Tencza (2002). Gender Differences in Mathematics Among Various Aged Students. _Georgetown College_. Retrieved July 22, 2004 from https://web.archive.org/web/20050312113816/http://www.georgetowncollege.edu/departments/education/portfolios/Tencza/gender\_differences.htm

Stanley, Benbow, Brody, Dauber, &Lupkowski (1992). Gender Differences on Eighty-Six Nationally Standardized Aptitude and Achievement Tests, _Talent Development, vol.1_, 42-65

http://www.pnas.org/content/107/5/1860.full.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* Project Implicit （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上的「性別 - 學科」內隱聯結測驗 - 臺灣版（繁體中文）
* Project Implicit （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上的「性別 - 學科」內隱聯繫測驗 - 中國版（簡體中文）
數學規畫

**最佳化**，是應用數學的一個分支。主要研究在特定情況下最大化或最小化某一特定函數或變數。

## 數學表述

最佳化主要研究以下形式的問題： 

　
: 給定一個函數 $f:A\to \mathbb {R} $ ，尋找一個元素 $\mathbf {x} ^{0}\in A$ 使得對於所有 $A$ 中的 $\mathbf {x} $ ， $f(\mathbf {x} ^{0})\leq f(\mathbf {x} )$ （最小化）；或者 $f(\mathbf {x} ^{0})\geq f(\mathbf {x} )$ （最大化）。

這裡 $A$ 一般為歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的子集，通常由一個 $A$ 必須滿足的約束等式或者不等式來規定。 $A$ 的元素被稱為是**可行解**。函數 $f$ 被稱為**目標函數**，或者**代價函數**。一個最小化（或者最大化）目標函數的可行解被稱為**最佳解**。

這類問題有時也稱為「**數學規劃**」（譬如，線性規劃）。許多現實和理論問題都可以利用這樣的一般性框架來建模，成為一個最佳化問題。

一般情況下，會存在若干個局部的極小值或者極大值。局部極小值 $x^{*}$ 定義為對於一些 $\delta >0$ ，以及所有的 $x$ 滿足

　
: $\|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta $ ;

公式

　
: $f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )$

成立。這就是說，在 $\mathbf {x} ^{*}$ 周圍的一些閉球上，所有的函數值都大於或者等於在該點的函數值。一般的，求局部極小值是容易的，但是要確保其為全域性的最小值，則需要一些附加性的條件，例如，該函數必須是凸函數。

根據以下的結論，最大化和最小化問題可以相互轉換。一般情況下，最佳化問題就可以只討論最小化即可。

　
: $f(\mathbf {x} _{0})\geq f(\mathbf {x} )\Leftrightarrow -f(\mathbf {x} _{0})\leq -f(\mathbf {x} ),$

## 符號表示

最佳化問題通常有一些較特別的符號標示方法。例如：

　
: $\min _{x\in \mathbb {R} }\;x^{2}+1$

這是要求表達式 $x^{2}+1$ 的最小值，這裡 x 取值為全體實數， $\mathbb {R} $ 。這個問題的最小值應該是 $1$ ，當 $x=0$ 。

　
: $\max _{x\in \mathbb {R} }\;2x$

這是要求表達式 $2x$ 的最大值，同樣地， $x$ 在全體實數上取值。對於這個問題，由於該表達式不是有上界的，因此不存在最大值，因此，答案應該是無限大，或者是不可定義的。

　
: ${\underset {x\in [-\infty ;-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1\,$

這是求使表達式 _x_2+1 達到最小值時 x 的值。在這裡 x 被限定在區間 [-∞
,-1] 之間，所以上式的值是 - 1。

## 主要分支

* 線性規劃：當目標函數 _f_ 是線性函數而且集合 A 是由線性等式函數和線性不等式函數來確定的， 我們稱這一類問題為線性規劃
* 整數規劃：當線性規劃問題的部分或所有的變數局限於整數值時， 我們稱這一類問題為整數規劃問題
* 二次規劃：目標函數是二次函數，而且集合 A 必須是由線性等式函數和線性不等式函數來確定的。
* 分數規劃：研究的是如何最佳化兩個非線性函數的比例。
* 非線性規劃：研究的是目標函數或是限制函數中含有非線性函數的問題。
* 隨機規劃：研究的是某些變數是隨機變數的問題。
* 動態規劃：研究的是最佳策略基於將問題分解成若干個較小的子問題的最佳化問題。
* 組合最佳化：研究的是可行解是離散或是可轉化為離散的問題。
* 無限維最佳化：研究的是可行解的集合是無限維空間的子集的問題，一個無限維空間的例子是函數空間。

## 演算法

對於無約束的最佳化問題， 如果函式是二次可微的話，可以通過找到目標函數梯度為 0（也就是反曲點）的那些點來解決此最佳化問題。我們需要用黑塞矩陣來確定此點的類型。如果黑塞矩陣是正定的話，該點是一個局部最小解， 如果是負定的話，該點是一個局部最大解，如果黑塞矩陣是不定的話，該點是某種鞍點。

要找到那些反曲點，我們可以通過猜測一個初始點，然後用比如以下的迭代的方法來找到。

* 梯度下降法
* 牛頓法
* 共軛梯度法
* 線性搜尋
* 置信域方法

如果目標函數在我們所關心的區域中是凸函數的話，那麼任何局部最小解也是全域最佳解。現在已經有穩定，快速的數值計算方法來求二次可微地凸函數的最小值。

有約束條件的約束問題常常可以通過拉格朗日乘數轉化為非約束問題。

其他一些流行的方法有：

* 遺傳演算法
* 神經網路
* 微粒群演算法
* 類比退火
* 支持向量機
* 蟻群演算法
* 類免疫演算法
* 演化策略
* 差分進化演算法

## 與人工智慧的關係

現代的電腦科學技術和人工智慧科學把最佳化作為一個重要的領域來研究。我們也可以認為人工智慧的一些演算法，就是類比了人類尋求實際問題最佳解的過程。例如，利用人工智慧方法設計軟體，配合外部的電子裝置例如網路攝影機辨識人臉；利用資料探勘和神經網路演算法來尋找投資的最佳時機等。

## 參考文獻

## 注釋

## 參閲

## 外部連結

* NEOS Guide
* Online curve and surface fitting
* Xpress-MP - Optimization software free to students （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數學計算機

**電子計算機**是一種小型的手持或桌面的裝置，用於完成數學計算。一般的數學電子計算機與電腦不同，數學計算機通常僅能完成算術運算和少量邏輯操作並顯示其結果，但一般不能修改其程式。除了某些尺寸可比掌上型計算機的 PDA 之外，計算機的可攜性通常高於電腦。

20 世紀 70 年代開始，微處理器技術被吸納進計算機製程，最初的微處理器是 Intel 於 1971 年為日本名為 Busicom（ビジコン）的計算機公司生產的，1972 年惠普推出第一款掌上科學計算機 HP-35。

夏普在此領域是電子計算機製造商中的佼佼者，他們最先在計算機中採用了液晶顯示器，還是最早把太陽能電池安裝到計算機的企業之一。從 20 世紀 60 年代到 70 年代的十多年裡，夏普公司把生產計算機所需的原件降到了 3 個（以前需要 3000 多個）—— 矽片、顯示器和太陽能電池，這大大降低了計算機的生產成本。

過去有些電子計算機像是今日的電腦一樣大，第一個機械計算機是桌上型機械裝置，但很快被桌上型電力機械計算機取代，之後又被真空管、電晶體、積體電路邏輯線路等材料依序取代。今日大部分計算機是掌上型微電子裝置。

## 基本電子計算機

計算機的複雜度隨著使用目的而有所不同。最簡單的計算機模組應該包含下列部件：

* 電源，例如電池或太陽能板
* 顯示幕，通常以 LED 光源或 LCD 製成，可顯示一定數量的數字（通常為八、十、十二、十六位，以十二位最常見）
* 電子迴路
* 一個包含下列按鍵的按鍵面版：
  * 十個數字鍵，從 0 到 9
  * 小數點
  * 等於符號，用於顯示運算解
  * 四個運算函式（加減乘除）
  * 取消鍵，用於清空目前顯示的數字
  * 電源開關
  * 其他基本函式，例如求平方根或百分比鍵 （%）
* 更高級的模組也許會有一個單數值記憶按鍵（M+，M-），可在需要時叫回。

20 世紀 80 年代早期，基本計算機開始置入其他小型裝置，例如手機、呼叫器或腕錶。

## 進階電子計算機

**科學計算機**或**工程型計算機**支援三角函式、微積分、統計與其他函式。而最先進的現代計算機甚至可顯示圖型，並且包含電腦代數系統。這種計算機可以編寫程式，且內含了代數方程式求解程式、經濟模型甚至遊戲程式。這類計算機可顯示填滿螢幕的單一數值。並可將數字以科學記數法表現至 9.999999999\*1099。如果使用者試圖輸入一過大的數值或運算產生過大數值的算式（例如輸入 **100!**，即 100 階乘），則計算機僅顯示「錯誤」（error）一詞。因為記憶體如此有限的計算機無法儲存如此巨大的輸入。

「錯誤」也用以表示數學上未定義的函式或操作，例如除以零或對負數取平方根（除了某些高階的科學計算機擁有可處理複數的特殊函式，大部分科學計算機不允許複數的存在）。某些少數計算機可分別這兩種錯誤的不同，雖然使用者依然難以瞭解 error 1 與 error2 的差別何在。

僅有少數公司研發與製造現代職業工程師與經濟學家用的計算機：最有名的是 Casio、夏普、HP 與德州儀器。這些計算機都是嵌入式系統的典範。

* * *

## 教育用途

有些學生常在寫數學作業時使用計算機。但因擔心學生的基本算術能力因而受到戕害，因此許多教育人士抗拒讓學生過早使用它。而某些課程限制使用計算機運算算術，直到學到更高階的計算技巧；其他人則不同意以紙筆或心算算術的重要性，他們更注重教授評估與解決問題的技巧。

然而，還是有一些其他顧慮：例如學生可能以錯誤的方式使用計算機，並因對計算機的信賴而盲目相信答案。教師為了破解學生的盲信，常會指導學生以人工驗算並確認其答案的正確性。

## 歷史

### 電子計算機的前身

1642 年，文藝復興見證了機械計算機的誕生。發明者有威廉・希卡德和幾十年後的布萊茲・帕斯卡。

### 電子計算機的開發

上世紀 40 至 50 年代，真空管和電晶體在大型電腦中得到使用。這為後來電子計算機的出現提供了基礎。
日本的電腦公司卡西歐於 1957 年發布了 _14-A_ 型計算機。它不使用電子邏輯，但基於繼電器技術，是世界上第一台純電工作的緊湊型計算機。

### 電子計算器的發展

20 世紀 70 年代開始，微處理器技術被吸納進計算機製程，最初的微處理器是 Intel 於 1971 年為日本名為 Busicom 的計算機公司生產的，1972 年惠普推出第一款掌上科學計算機 HP-35。

## 計算機程式

電腦的程式可計算極為複雜的數學程式，這是一般計算機所無法相比的，不過現在也有一些功能較強大的計算機具有編程功能。

## 參見

* 機械計算機
* 算盤
* IEEE 里程碑列表

## 參考文獻

## 外部連結

**Current models**

* Texas Instruments Calculators （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* TICALCS Support, Programs, Tutorials, More （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Universal Casio Forum （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – A Casio calculator forum with downloads
* HP Calculator Wiki
* Machinist Calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數學評論

**《數學評論》**（英語：Mathematical Reviews）是美國數學學會發行的一份雜誌兼線上資料庫，內含數學、統計學與計算機科學領域出版品的摘要或評價。部份評論也有發行單行本。

## 評論

《數學評論》於 1940 年創刊，旨在評審所有的數學研究出版品。至 2007 年 11 月為止，已收集超過 220 萬筆資料。作者群由編輯群選出各領域學有專精之志願者組成。目前同質的期刊僅有德文的 Zentralblatt für Mathematik 與俄文的Реферати́вный журна́л。

## 資料庫

《數學評論》的資料在 1980 年代進行了數位化。這些內容成為《數學評論科學網》MathSciNet 的一部分，這套系統整合了評論與論文引用資訊（然限於 (MathSciNet）所收文章）。《數學評論》與 MathSciNet 已成為數學研究者的常用工具之一，但是此資料庫會辨認 IP，必須在有訂購 MathSciNet 的研究機構方可登入。

## 參考資料

## 外部連結

* 《數學評論》資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
  1. Mathematical Reviews editorial statement （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） outlines the mission of Mathematical Reviews;
  2. Mathematical Reviews guide for reviewers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, intended for both reviewers and users of Mathematical Reviews.
  3. MathSciNet FAQ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Exceptional MathReviews （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） collected by Kimball Martin and sorted by amusement factor.
數學謀殺案

《**費馬的房間**》（西班牙語：_La habitación de Fermat_）是由路易斯・佩德拉希塔和羅德里戈・索芬尼亞執導的 2007 年西班牙驚悚電影，講述「費馬」邀請三位數學家和一位發明家到一所房子裡，謊稱開會解決一個巨大的謎題，實則將眾人困在一個房間裡，牆壁慢慢向內擠壓，四人必須解決一道道難題才能逃出生天的故事。

本片於 2007 年 11 月 16 日在西班牙首映，首週末票房收入約 284,000 美元。

## 參考文獻

## 外部連結

* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《費馬的房間》的資料（英文）
* 爛番茄上《費馬的房間》的資料（英文）
數學謎題

**數學謎題**是趣味數學的一部分。和多人電子遊戲相同，其擁有特定的規則，但通常不限於兩個玩家之間的競爭。通常為了解決這種智力遊戲，會用到部分數學邏輯。如邏輯益智遊戲便是一種常見的數學難題。

舉例來說，康威生命遊戲和分形也可以被認為是數學謎題，即使求解器只在一開始時產生作用。在設置這些條件之後，謎題的規則將影響此局遊戲未來所有的更改和移動。許多謎題因為曾在馬丁・加德納的「數學遊戲」專欄中被討論過而眾所周知。數學難題有時用於激勵小學學生對於數學問題的解決技巧。

## 數學難題列表

以下類別並非必定獨立存在，有可能與其他類別有所相交。

### 代數

* 十字數字或跨數字拼圖
* 戴森數列
* 4 個 4
* 算獨
* 倒水問題
* 費曼長分區拼圖
* 海盜博弈
* 覆面算
* 24 點

### 密碼學

* 密文
* 數字推盤遊戲
* 數和
* 魔方和其他順序運動拼圖
* 順獨
* 數獨
* Sujiko
* Think-a-Dot
* 漢諾塔
* 橋梁遊戲

### 分析或差異

* 橡膠繩上的螞蟻

### 機率

* 蒙提霍爾問題

### 平鋪、包裝和解剖

* 貝德蘭姆立方
* 康威立方
* 殘缺的棋盤問題
* 包裝問題
* 五格骨牌
* 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方
* 索馬立方
* T puzzle
* 七巧板

### 棋類

* 康威生命遊戲
* 殘缺的棋盤問題
* 孔明棋
* 數獨
* 八皇后問題
* 騎士巡邏
* No three in line problem

### 拓樸

紐結理論和拓撲學的領域，尤其是他們非直觀的結論，往往被視為休閒數學的一部分。

* 解環玩具
* 柯尼斯堡七橋問題
* 水、瓦斯及電力問題
* 數迴

### 機械型

* 魔方
* Think-a-Dot

### 無玩家謎題

* 康威生命遊戲
* Flexagon
* 多方塊

## 注釋

## 外部連結

* Historical Math Problems/Puzzles 於美國數學協會
數學譜系計畫

**數學譜系計劃**（英語：Mathematics Genealogy Project）是一個針對數學家學術譜系的網絡資料庫。截止至 2015 年 7 月，它已整合超過 190,600 位做出過一定研究貢獻的數學科學家的數據。資料庫中一個典型數學家的內容包含其畢業年份、母校、博士生導師和其帶出的博士學生。

該項目由明尼蘇達州立大學教授哈里・庫恩斯發起，始於 1997 年秋。然而在 2002 年秋天校方停止支持，計劃移至北達科塔州立大學。2003 年和 2005 年，該計劃分別得到美國數學學會和克雷數學研究所的支持。

## 起源

計劃的創始人哈里・庫恩斯發起項目的初衷是想知道他博士導師的導師是誰。當時庫恩斯是明尼蘇達州立大學曼凱托分校的數學教授，1997 年秋季網站正式上線，1999 年庫恩斯退休，2002 年秋學校決定不再支持該項目，於是被迫轉移到了北達科塔州立大學。自 2003 年，項目主要在美國數學學會的支援下進行，此外在 2005 年克雷數學研究所也捐贈了一筆資金。

## 目標

該項目旨在「匯集全世界所有數學家的信息」，對象包括「所有獲得數學博士學位的人」。此外項目宣言還提到：「在整個項目中，數學和數學家都是涵蓋面很廣的詞彙。因此，任何來自統計學、計算機科學、哲學或運籌學的數據都歡迎加入其中」。

## 範圍

譜系信息主要來自國際學位論文摘要（_Dissertation Abstracts International_）和美國數學學會通告（_Notices of the American Mathematical Society_）等來源，但也可能來自任何提供者。該資料庫可供檢索，每個條目包含了數學家的姓名、畢業院校及其所屬國家、畢業年份、學位論文題目、導師和第二導師姓名、其指導過的博士生列表和門生的總數。一些沒有博士學位但頗為重要的人物也列入了資料庫中，如義大利數學家約瑟夫・拉格朗日。

## 批評

一份發表在《自然》雜誌的報導注意到「數學譜系計劃的數據是人們自己報告上去的，所以沒法保證這一譜系網絡是一份完整描述。實際上，有 16,147 位數學家沒有記錄在冊的導師，其中 8,336 位沒有顯示其門生。」此外，報告還宣稱：「我們認為，只有那些 1900 年和 1960 年間畢業的數學家的信息才是最可靠的。」此外，該網站對於錯誤信息的修訂需要驚人的一個月之久，對於很多明顯的，侵犯他人名譽的錯誤視而不見聽而不聞。

## 參考來源

## 外部連結

* 數學譜系計劃主頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
數學辭海

《**數學辭海**》是一部收錄數學條目的大型學術性工具書，1986 年開始策劃，2001 年 5 月列入「十五」國家重點圖書出版規劃項目，2002 年 8 月第一次出版。

此書為民間自募經費及共同協作而著成，共有 1500 餘名來自中國大陸、台灣及香港的專家和教授參與編著的工作，當中包括 30 多名中科院院士，及至少 300 多名博士生導師。全書共分 6 卷，包含數學的 100 餘個分支學科或專題項目，收錄多於 30000 個條目。其中第 6 卷的內容為數學史，對古今中外的數學成就都有所敘述。相比同類型的數學百科全書，在中國數學史和珠算方面著筆較多。

## 內容體例

6 卷書的內容是按「從初等數學到高等數學，從古典數學到現代數學，從理論數學到應用數學」的原則來劃分的，具體可見下面的 #目錄一節。在各卷中會劃分作一級標題、二級標題和三級標題：一級標題是數學的分支學科或專題項目，二級標題是學科內容的一個構成部分，三級標題則為具體條目，例如第一卷中的「立體幾何」—「空間角」—「對頂二面角」。數學概念的條目按知識結構來編排先後，至於數學史類別的，如人物和出版物等，各按出生或創立的時間順序來編排。

數學名詞的命名上盡量與全國科學技術名詞審定委員會於 1993 年制定的《數學名詞》保持一致；外國人名的中譯盡量跟《中國大百科全書・數學卷》及梁宗巨主編的《數學家傳略辭典》保持一致。

## 編著和出版

編纂《數學辭海》的項目是由數學教授何思謙所發起。1984 年初，他被調到山西省教育學院（現為太原師範學院）數學系任教。在 1985 年和 1986 年的寒暑假，何思謙到各地就數學教育作考察，走訪了中學和大學數學基礎課老師。從這些老師得到的回應是，有很多數學教材中的問題和學生的提問都難以講清，並且難以查找相關資料。故此，需要有一本理想的工具書作為參考。1986 年，何思謙在徵求西安科技出版社的意見後，打算出一本《數學小辭海》，主要面對中學，內容大體為初等數學，篇幅預計為二三百萬字。之後他便到各地找專家約稿，而在一次專家交流會上，山東大學教授裘卓明（有的報道亦寫作裘焯明）建議乾脆搞一部大型工具書《數學辭海》，何思謙接受了這一建議。

當提出了編著《數學辭海》的構想後，引起了熱烈反響。之後又經過調研、磋商及論證，定下了《數學辭海》的總體設計方案。最初，專家們考慮到國家的財政狀況，打算以自籌資金的方式去完成項目。為此，以民間的名義設立了數學辭海編輯委員會及其常設聯絡辦事機構 — 數學辭海編輯部，並得到了相關部門的認可。何思謙擔任總編輯委員會的總編，程民德擔任名譽總編，而擔任顧問的有丁石孫、馮康、江澤涵、蘇步青、李國平、吳大任、吳文俊、谷超豪、陳省身、周培源、柯召、程民德，另外還設有學術指導和總編委的職位。每一卷也設有各自的編輯委員會，而在其之下又設有各分支學科編輯委員會，分別負責要撰寫的學科部分。參與編著的人員多是兩岸三地的專家、教授，分別來自 200 多所高等院校及科研單位，合計約 1500 人。預計出版的卷數有過變更，最後則定為六卷。

撰稿初期進展尚可，但隨著工程的進展，出現了重大困難，例如需組織多次編審會議以統籌工作，開支甚鉅。另一方面是缺乏資金來源，以及缺少專業的工作人員。編輯部的一些人員更需要到處借錢，以解決編輯活動經費。據何思謙所說，在編纂的十八年間，編輯部直接支出近 500 萬，間接支出更是近 1500 萬。縱使如此，在 2005 年時他還未給參與編書的專家和教授們支付酬勞，反而還欠下了 200 餘萬的債項。

在整合好各部分稿件後，何思謙找了多個國家級出版社，卻因為數學編輯太少，而沒有單個出版社肯承擔編輯的責任。結果需要聯合 6 個出版社的 20 多名編輯來進行校對，這項工作用了 3 年時間。2002 年 8 月，《數學辭海》第一次印刷，印裝者為山西新華印刷廠。但由於印刷資金全由印刷廠墊支，而何思謙又未能在 2003 年 10 月 1 日的限期前還清款項，他只好給印刷廠寫保證書，稱若編輯部在同年的 12 月底前尚未能還清款項，則將《數學辭海》的印刷成品交由印刷廠全權處理。後來在 12 月 14 日，有一位惠先生將 30 萬的款項匯給何思謙，幫助他解決了欠款，從而保住了《數學辭海》的版權。

## 目錄

每一卷的目錄樣式均為：

以下列出各卷所覆蓋之主題：（亦即書中給出的六卷本內容劃分方案）

## 評價

《數學辭海》開始編撰不久後就得到多份中文報章的報道，主要是持關注和支持的態度。不少數學名家就教育和現代化建設的方面對辭書給予肯定評價。

## 參考資料

## 外部連結

* 《數學辭海》官網（已失效，但可經由連結 [1] 檢視部分內容）
數學遊戲

**數學遊戲**即包含了數學中的遊戲和使用數學玩的遊戲。

## 遊戲中的數學

* 博弈論
* 康威的組合博弈論和超現實數

## 使用數學玩遊戲

趣味數學上的著名人物，他們都進行了不少和數學遊戲有關的研究，或發明了一些數學遊戲。

* 康威
* 葛登能
* 霍夫斯泰特
* 亨利・杜德耐
* 皮亞特・海恩
* 森姆・萊特

## 數學中的遊戲

大部分數學遊戲的規則都非常簡單，但解決它們時，有時卻需用到很高深的幾何學、圖論、拓撲學、組合數學、邏輯學或博弈論等的知識。對某些數學遊戲的研究，更有助推動一些數學話題的發展。不少數學家都是數學遊戲的愛好者。

## 參見

* 已解遊戲
* 趣味數學

## 外部連結

* Winarc，有很多經典數學遊戲的程式（Windows）
* Plastelina Logic Games （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數學邏輯

**數理邏輯**（英語：Mathematical logic）是數學的一個分支，其研究對象是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以後的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分。主要的子研究領域有模型論，證明論，集合論和可計算性理論。

數理邏輯的研究範圍是邏輯中可被數學模式化的部分。以前稱為符號邏輯（相對於哲學邏輯），又稱元數學。數理邏輯一般著重於研究公理系統的推斷能力和表達能力。它也包括分析正確的數學推斷來構築數學基礎。

## 研究內容

數理邏輯的主要分支包括：

1. 公理化集合論
2. 模型論
3. 證明論和數學構成主義
4. 遞歸論

有時候計算複雜性理論也會被認為是數理邏輯的一部分。

每個分支都有著重研究的方向，但是很多結論是共享的，分支和分支之間的界限不是非常嚴格。 

比如哥德爾不完備定理不僅僅是證明論和遞歸論的重大成果，它還直接影響了模型論中的勒布定理 (Löb's theorem). 因為都基於公理化集合論，數理邏輯的不同分支的證明方法也有相通之處，比如力迫可以用來研究模型論，遞歸論和證明論。 

範疇論也是和數理邏輯有關的數學分支，範疇論的證明方法使用許多公理化的證明方式，但因為其在數學中的廣闊應用範圍，往往被認為是一個獨立的分支。這兩個學科的直接聯繫是範疇邏輯。但也有範疇論方面的數學家，桑德斯・麥克萊恩認為
範疇論獨立於集合論也構成了數學基礎。這個觀點基於拓撲斯理論。

## 與計算機科學的關係

數理邏輯和計算機科學尤其是理論計算機科學有許多重合之處，許多計算機科學的先驅者既是數學家、又是邏輯學家，如哥德爾、艾倫・圖靈、邱奇、克勞德・香農、史蒂芬・科爾・克萊尼等。

計算機科學中的程序語言學、語義學的研究從模型論衍生而來，而程序驗證中的模型檢測則從模型論衍生而來。

柯里－霍華德同構給出了「證明」和「程序」的等價性，這一結果與證明論有關，直覺主義邏輯和線性邏輯在此起了很大作用。λ 演算和組合子邏輯的演算屬於理想的程序語言。

與之相應的，計算機科學在自動驗證和自動尋找證明等技巧方面的成果對邏輯研究做出了反哺，比如說自動定理證明、計算機輔助證明、計算群論和邏輯編程的應用。

## 歷史

### 早期歷史

邏輯史

### 十八世紀

某些哲學傾向濃厚的數學家對用符號或代數方法來處理形式邏輯作過一些嘗試，比如說萊布尼茲和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他們的工作鮮為人知，後繼無人。

### 十九世紀

數理邏輯的概念在十九世紀中期出現了，它是兩個古老的學科：數學和哲學邏輯的交匯。 數理邏輯被稱之為符號邏輯或形式邏輯或者邏輯代數。「數理邏輯」的名稱是由皮亞諾首先給出，數理邏輯在本質上依然是亞里斯多德的邏輯學，但相比於古典哲學中只運用修辭學，直言三段論和哲學的方法，數理邏輯使用更為嚴格的推斷和借用了很多抽象代數的符號來記述。

十九世紀初，喬治・布爾和其後的奧古斯都・德・摩根提出了一種處理邏輯問題的系統性的數學方法，但沒有使用量化 (數理邏輯)。

在邏輯中，算術一詞指的是關於自然數的理論。朱塞佩・皮亞諾提出了一套以他的名字命名的算術公理皮亞諾公理。這套公理系統使用布爾和薛丁格邏輯系統的變體，並且添加了量化 (數理邏輯) 的概念。皮亞諾當時不知道戈特洛布・弗雷格所做的相似工作。大約在同一時間，理察・戴德金證明了，自然數有歸納性質的獨特特徵。戴德金提出了一種不同的證明，這種證明缺乏皮亞諾公理的形式邏輯特徵。 然而，戴德金的工作證明了皮亞諾系統中無法證明的定理，包括自然數集合的唯一性（考慮同構的情況下）以及函數和數學歸納的加法和乘法的遞歸定義。
亞里斯多德以來的傳統邏輯得到改革和完成，由此也得到了研究數學基本概念的合適工具。雖然這並不意味著 1900 年至 1925 年間的有關數學基礎的爭論已有了定論，但這「新」邏輯在很大程度上澄清了有關數學的哲學問題。

### 二十世紀

二十世紀前葉，因為關於數學基礎的幾次大辯論，數理邏輯迎來了基礎理論學術產出的大爆炸。

### 二十一世紀

傳統的邏輯研究（參見邏輯論題列表）較偏重於「論證的形式」，而當代數理邏輯的態度也許可以被總結為對於內容的組合研究。它同時包括「語法」（例如，從一形式語言把一個文字串傳送給一編譯器程序，從而轉寫為機器指令）和「語義」（在模型論中構造特定模型或全部模型的集合）。

## 一些基本結果

一些重要結果是：

* 一階公式的普遍有效性的推定證明可用算法來檢查有效性。用技術語言來說，證明集合是原始遞歸的。實質上，這就是哥德爾完全性定理，雖然那個定理的通常陳述使它與算法之間的關係不明顯。
* 有效的一階公式的集合是不可計算的，也就是說，不存在算法用作檢測一條公式是否普遍成立。不過，儘管一階邏輯不可判定，仍是「半可判定」的，即存在某個算法，滿足：對此算法輸入一個一階公式，如果這個一階公式是普遍有效的，那麼算法將在某一時刻停機；如果不是普遍有效的，那麼算法將會永遠不停地計算下去。然而，即使算法已經運行了億萬年，仍無法分辨公式是否有效。換句話說，有效公式的集合是「遞歸可枚舉集合」。
* 普遍有效的二階公式的集合甚至不是遞歸可枚舉的。這是哥德爾不完全性定理的一個結果。
* 勒文海姆 - 斯科倫定理。
* 相繼式演算中的切消定理。
* 保羅・約瑟夫・科恩（Paul Cohen）在 1963 年證明的連續統假設的獨立性。

## 相關書籍

數理邏輯的重要著作有戈特洛布・弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特蘭・羅素的《數學原理》（Principia Mathematica）等。

## 參見

* 邏輯
* 邏輯的語義
* 模型論
* 證明論
* 遞歸論
* 一階邏輯
* 相繼式演算
* 直覺主義邏輯
* 完備性

## 參考資料

* A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000). _Basic Proof Theory_ (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-77911-1.
* George Boolos & Richard Jeffrey (1989). _Computability and Logic_ (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00758-5.
* Elliott Mendelson (1997). _Introduction to Mathematical Logic_ (4th ed.) Chapman & Hall.
* A. G. Hamilton (1988). _Logic for Mathematicians_ Cambridge University Press.

## 外部連結

* Mathematical Logic around the world
* Polyvalued logic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Computability logic 數理邏輯的新方向 - 從真理的理論到可計算性的理論。
數學雜誌_(美國數學協會)

《**數學雜誌**》（英語：Mathematics Magazine） 是美國數學協會的雙月刊，該雜誌的目標受眾是大學數學教授，尤其是教授高年級數學課程的數學教授，以及大學的數學系學生。該雜誌的內容是數學證明以及應用，而不是數學教育學。儘管如此，有別於數學研究期刊中簡潔的「定理 — 證明」風格，數學雜誌刊登的文章主要為數學概念和數學理論提供例子、應用和概念理論被提出的歷史背景。

2008 年，數學雜誌的發行量為 10000 份。

## 歷史

《數學雜誌》的前身為《**數學新聞信**》（英語：Mathematics News Letter，1926-1934），由美國路易斯安那州立大學的數學教授 Samuel Thomas Sanders 創辦；1934 年更名為《**國家數學雜誌**》（英語：National Mathematics Magazine,1934-1945）。
1942 年路易斯安那州立大學削減預算，在雜誌上投入的資金大量減少，1946 年由於經費不足，雜誌停刊一年。1947 年，加州大學洛杉磯分校的數學教授 Glenn James 買下雜誌出版權，雜誌更名為《**數學雜誌**》重新刊發。1961 年數學雜誌的出版權轉移給美國數學協會。

1981 年，桃樂絲・舒特內德成為數學雜誌的第一位女性編輯。

MAA 授予卡爾・B・亞倫道弗爾獎項，肯定其每年於《數學雜誌》上發表的「卓越性說明文章」。

## 參見

* 《美國數學月刊》

## 註釋

## 延伸閱讀

* Alexanderson, Gerald L.; Ross, Peter (編). The Harmony of the World: 75 Years of Mathematics Magazine. Washington: Mathematical Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-560-7.

## 外部連結

* 官方網站
* _Mathematics Magazine_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at JSTOR
* _Mathematics Magazine_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Taylor & Francis Online
數學領域

隨著數學史的推移，數學已成為一個極廣泛的主題，因此有必要對不同的**數學領域**進行分類。許多不同的分類方案已經出現，有相同點也有不同點，差異的原因主要是它們使用的目的不同。此外，隨著數學的發展，這些分類方案也必須隨之發展，以解釋新創建的領域或者新發現的不同領域間的聯繫。分類通常是困難的，對於那些最活躍的，跨越不同領域邊界的主題往往更加困難。

數學的傳統分支被分類到純數學，主要研究其內在的邏輯性；而應用數學可以直接應用以解決現實問題。這種分類方法並不十分清晰，許多主題是按照純數學發展的，但後來就發現了意想不到的應用。寬泛的分類方法，例如離散數學和計算數學，就是最近才出現的。

## 分類系統

* 數學學科分類標準

## 主要數學分支

### 基礎

**趣味數學**
: 從幻方到曼德博集合的發展歷程來看，數字已經成為了各個年齡段的人們娛樂和消遣的工具。許多重要而又嚴肅的數學分支的起源曾經僅僅是一個謎題或者遊戲。

**歷史和人物傳記**
: 數學的歷史不可避免地和數學這門學科本身糾纏在一起。這是很自然的：數學有其內在的組織結構，它總是從以已有的結論導出新的定理。每當新一代的數學家在老一輩數學家的基礎上建立新的理論的時候，數學學科本身的內容也逐漸擴大。

**數理邏輯、數學基礎和集合論**
: 數學總是與邏輯和符號打交道，但很長一段時間以來一些潛在的邏輯被視作理所當然，並且從來沒有被符號化表達。當人們最終意識到數學能夠被用於解釋邏輯本身的時候，數理邏輯便得到了發展。這個領域迅速的發展，並且通常被細分為幾個不同的領域。

****
**模型論**

****
****
**數學的模型**

****
**集合論**
**證明論和數學結構主義**

### 代數

**序理論**
**廣義代數結構**
**數論**
**域論和多項式**
**交換環和交換代數**

### 分析

### 組合數學

### 幾何學和拓撲學

幾何學處理空間關係，使用基本性質或公理。這些公理可以與點，直線，曲線，曲面和實體的數學定義一起使用以得出邏輯結論。另見幾何學主題列表。

### 應用數學

#### 概率與統計

#### 計算科學

#### 物理科學

#### 其他數學科學

## 參見

* 中國學科分類國家標準 / 110
* 數學辭海

## 注釋

## 外部連結

* The Divisions of mathematics
數學題

**數學題**是用來解答覆雜的數學論點和作為題目來幫助學生充分掌握並瞭解數學知識的習題。一般來說，世界上各國家的學校都採用標準數學題作為課業教材，以讓學生能學習到數學知識，並能把數學知識運用到日常生活中。

## 歷史

數學題擁有相當久遠的歷史，自從人類文明開始發展，人類就能通過數學知識來運算各式各樣的問題，從永無止境的數理問題中產生了數學題。

## 數學題格式

數學題擁有很多種格式，例如：單一性數學題，重複性數學題，試卷型數學題，複雜型數學題，擴展性數學題，多方面性數學題以及各種各樣的數學格式。

## 參考文獻

1. Courant, R. and H.Robbins, What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18,1996). ISBN 978-0-19-510519-3.
數寄屋

**數寄屋造**（日語：数寄屋造り／すきやづくり _Sukiyazukuri_）是日本建築樣式之一。融入**數寄屋**（茶室）風格的住宅樣式。

語源的「**數寄**」（數奇）是喜好和歌、茶道或花道等風雅之事，「數寄屋」是「任憑喜好建造的家」，成為茶室之意。

## 歷史

稱作數寄屋的茶室出現在安土桃山時代。原本稱大多在四疊半以下的小規模茶座敷為「數寄屋」。當時是書院造備有床之間、棚、付書院等，講究豪華用於顯示身分序列、階級的時代。但是，茶人排斥重形式的意匠、豪華的裝飾，喜好輕妙灑脫的數寄屋。當時的數寄屋在使用庶民的住宅材料、不講究技術之下成立，但是，現在成為特別高價、講求高度技術的高級建築的代名詞。

江戶時代以降，從茶室成為住宅等建築。現代，料亭、住宅也模仿數寄屋建築建造。

## 代表的遺構

* 桂離宮新書院
* 修學院離宮
* 伏見稻荷大社御茶屋（重要文化財）
* 曼殊院書院
* 臨春閣（舊紀州德川家藩別邸、移築三溪園）
* 角屋
數寄屋橋次郎

**數寄屋橋次郎**（日語：すきやばし次郎）是由日本壽司師傅小野二郎開設在東京都銀座的壽司店。

## 歷史

店舖於 1965 年成立，位置是在東京地下鐵銀座車站附近大樓的地下一樓裡。在 1994 年曾被《國際先驅論壇報》選為全球最佳餐廳第 6 名，之後在 2007 年獲得《米其林指南》的三顆星評價後，創下連續 10 年拿下該評比的成績。2014 年 4 月期間美國總統巴拉克・歐巴馬訪日時，數寄屋橋次郎則被挑選為日本首相安倍晉三招待對方用餐的場所。

在經營方面上，小野二郎於年齡漸增後，慢慢將店舖轉交給長子小野禎一經營。後續因數寄屋橋次郎改為會員制只接熟客、不再接受一般客人用餐，無法符合《米其林指南》的規定，而在 2019 年 11 月 26 日公佈的《東京米其林指南 2020》中被摘星除名。

## 風格

店內每日的菜單取決於當天所採購的食材，並沒有特別固定的菜色，數量原則上會替每名顧客提供 20 個壽司。

飲食規則方面，小野二郎考慮到壽司是會在短時間內味道變質的料理，以及希望顧客能在店內專注品嘗食物；而非顧著談天忘記眼前的料理，因此數寄屋橋次郎的用餐規則是採用預約制。

## 裝潢

店鋪在門外有擺置著陶製的杯具作爲裝飾，其中某個為小野二郎親自捏造的作品。料理吧檯設置在進入門內的左側，其位置是為了配合小野二郎本人為左撇子的因素。

室內在牆上會有為了配合不同季節而間隔更換的畫作和掛簾，其中以藍染所製作的掛簾則是店舖成立時期便已開始使用。

## 分店

數寄屋橋次郎的分店開設在六本木新城一帶，是由小野二郎的次子小野隆士所經營，並有獲得過《米其林指南》兩顆星的評價。

## 電影場景

由美國導演大衛・賈柏執導，於 2011 年上映的美國紀錄片《壽司之神》是以數寄屋橋次郎作為場景進行拍攝，該片是講述店內師傅小野二郎在從事壽司料理上的各種經歷。

## 其它

2013 年 6 月 24 日店內曾發生一名壽司師傅使用稻草煙燻鰹魚後，將稻草放回儲藏室時不小心引發火災的意外，但之後並無人傷亡。

## 圖集

## 參考資料
數寄屋造

**數寄屋造**（日語：数寄屋造り／すきやづくり _Sukiyazukuri_）是日本建築樣式之一。融入**數寄屋**（茶室）風格的住宅樣式。

語源的「**數寄**」（數奇）是喜好和歌、茶道或花道等風雅之事，「數寄屋」是「任憑喜好建造的家」，成為茶室之意。

## 歷史

稱作數寄屋的茶室出現在安土桃山時代。原本稱大多在四疊半以下的小規模茶座敷為「數寄屋」。當時是書院造備有床之間、棚、付書院等，講究豪華用於顯示身分序列、階級的時代。但是，茶人排斥重形式的意匠、豪華的裝飾，喜好輕妙灑脫的數寄屋。當時的數寄屋在使用庶民的住宅材料、不講究技術之下成立，但是，現在成為特別高價、講求高度技術的高級建築的代名詞。

江戶時代以降，從茶室成為住宅等建築。現代，料亭、住宅也模仿數寄屋建築建造。

## 代表的遺構

* 桂離宮新書院
* 修學院離宮
* 伏見稻荷大社御茶屋（重要文化財）
* 曼殊院書院
* 臨春閣（舊紀州德川家藩別邸、移築三溪園）
* 角屋
數息觀

**安那般那念**（梵文：ānāpāna-smṛti，巴利文：ānāpāna-sati），又譯為**阿那般那觀**、**念阿那般那**、**阿那波那**、**念阿般**，義譯為**入出息念**、**入出息觀**、**數息觀**、**安般守意**、**十六勝行，**佛教術語，是以觀察呼吸作為修習定的方法。

## 音義

「安那」（āna）義為持來，而「般那」（apāna）義為持去，這是指氣息（pāṇa）進入和離開身體。此中有兩說，一說為：持來對應入息（梵：āśvāsa）持去對應出息（梵：praśvāsa），另一說為：持來對應出息（巴：assāsa），持去對應入息（巴：passāsa），這是對胎兒出生時，氣息首先是進入還是排出有不同意見，而產生解釋的差異。「念」（sati）即是念住之念。

## 簡介

釋迦牟尼佛在世時，曾在僧團中教授不淨觀，但因產生修行者自殺等問題，故而教授了安那般那念，並於不殺生戒中禁止自殺、勸死、讚死。安那般那念修行穩妥，能快速成就四念處，契經中滿足四念處的安那般那念，可總結為十六勝行。安那般那念，是有學者應得、應到、應證之法，是無學者現法樂住之法，故而稱為：聖住、天住、梵住、學住、無學住、如來住。

在阿毘達磨，如說一切有部《大毘婆沙論》等中，修行安那般那念，有六步修法：數（gaṇanā）、隨（anugama）、止（sthāpanā）、觀（upalakṣaṇā）、轉（vivarta）、淨（pariśuddhi），數息等前四為身念處修行，能引起四念處，進而轉、淨，見道證果。後人將其與身念處之不淨觀，合稱二甘露門，漢傳佛教將其歸入五停心觀。

## 十六勝行

十六勝行出於《雜阿含經・八〇三經》和《相應部 54.1 經》等，修行者居阿練若，或在樹下，或在靜室，結跏趺坐，端身正願，住對面念（pari-mukhaṃ satiṃ upaṭṭhapetvā）。斷五蓋入禪那：

譬喻師、分別論者等傳承的法隨觀依次為無常、離欲、滅、出離（paṭinissagga）。十六勝行是修行方法，並非修行位次，如法修行能斷諸覺想（manovitakkā），可成就七覺支，得四種禪那及至四沙門果等。一行禪師認為，「四念住」和「十六勝行」相依，這些修習能帶來定慧；相反，「四禪」和「四無色定」並非導向解脫的必要修行。

 
其他提及十六勝行的經文包括：

《十誦律 卷二初誦。明四波羅夷法之二》：「觀無常，觀變壞（vipariṇāma），觀離欲，觀滅盡，觀捨離，當一其心，念出、入息。」

《修行道地經 數息品》：「何謂『數息見無常即知』？見諸喘息，皆無有常，是為 [數息]，出息、入息如是。何謂『出息無欲即知』？見息起滅，如是離欲，是為觀離欲，出息即知，入息如是。何謂『觀寂滅數息即知』？其息出時，觀見滅盡，是為觀寂，出息即知，入息如是。何謂『見趣道數息即自知』？見息出滅處，覩是以後，心即離塵，以離無欲，棄於三處，志即解脫，將護此意，是為數息，出息、入息如是。」

《坐禪三昧經》

《舍利弗阿毘曇論・緒分・定品》：「學無常觀出息，學無常觀入息。學離欲觀出息，學離欲觀入息。學滅觀出息，學滅觀入息。學出世觀出息，學出世觀入息。」

《解脫道論卷七。行門品之四》：「見無常、見無欲、見滅、見出離，如是覺，見出離，我出息如是覺，見出離，我出入息如是 [覺]。」

《清淨道論 第八品隨念業處之解釋》

《無礙解道 第二誦品 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》

《巴利律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》

《中部．118 出入息念經》(MN 118 Anapanasati Sutta （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)

《中阿含 62 語羅候羅長經》(MN62 Longer Discourse to Rahula （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)

《佛說法乘義決定經 第二》(Arthaviniścaya 20)

《成實論 卷 14 出入息品 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》

《善見律毘婆沙》

《大毘婆沙論》

《瑜伽師地論・本地分聲聞地 瑜伽處之二 (卷 27) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》 

《釋禪波羅蜜次第法門卷七 修證第七之三 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》

《大乘義章卷十六 - 十六特勝》

《大智度論 釋初品 中舍利弗因緣第十六 (卷十一)》

...... (歡迎在此加入更多經文)

## 六妙門

鳩摩羅什傳譯《坐禪三昧經》中的持息念方法，從數息開始漸至全部六種門十六分。天台宗智顗，將經典中修行安那般那念的方式整理、歸納後，與《坐禪三昧經》中的第四治思覺法門結合，將數息、隨、止、觀、還、淨等六者，合稱「六妙門」。安世高譯的《安般守意經》，以六妙門結合三十七道品修習。

## 注釋與引用

## 外部連結

* 莊春江：阿含經南北傳對讀 —— 雜阿含 803 經（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 周柔含：安那般那念─十六勝行「身行」─之探究（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 賴賢宗：〈天台止觀的「持息念」法門及其在天台佛教中的演變與轉化（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
數愛

《**數愛**》曾為香港女歌手謝安琪的第三張國語專輯，現已被無限期擱置，專輯及首波主打名字從謝安琪面書於 2015 年 5 月 28 日公布。

## 專輯名字

專輯名字《數愛》源自謝安琪本人，她希望將遊歷華語歌壇 5 年來所認識、喜愛、被其懾服的音樂人，都嘗試在第三張國語專輯中合作，作為自己於華語歌壇的歷程紀錄，細數其珍愛。

於 2015 年 7 月 30 日，叱咤 903 叱咤樂壇訪問中提及專輯之參與音樂人包括林俊傑、HUSH、李榮浩、方大同、胡彥斌等。

## 派台歌曲

* 第一首 《跟著眼淚轉彎》
* 第二首 《香女人》

## 香港派台歌曲成績

## 獎項

* **新城勁爆頒獎禮 2015 - 新城勁爆國語歌曲獎（金獎）《香女人》**
* 新城勁爆頒獎禮 2015 - 新城勁爆歌曲《跟著眼淚轉彎》
* 第三十八屆十大中文金曲頒獎音樂會 - 優秀流行國語歌曲 銀獎《跟著眼淚轉彎》

## 註釋

## 參考文獻
數據

**資料**（英語：data）又稱**數據**，是通過觀測得到的數字性的特徵或資訊。更專業地說，資料是一組關於一個或多個人或物件的定性或定量變數。資料可以是一堆雜誌、一疊報紙、開會記錄或者病人的病歷記錄。

雖然「資料」和「資訊」這兩個術語經常互相替換使用，但是他們的含義完全不同。在一些流行出版物中，當資料被置於情境之下審視或經過分析之後，「資料」就會變為「資訊」；一般而言，資料（data）經由處理後稱為資訊（information），從這些資訊中分析出來的訊息稱為知識（knowledge），再通過不斷地行動與驗證，逐漸形成智慧（wisdom）；在大數據（big data）興起後，**資料科學**這門學問顯得非常重要。

然而在學術課題論述中，資料只是「資訊的單元」。在經濟領域上，「資訊」衍生資訊經濟，而「資料」則衍生資料經濟。

## 分類

**原始資料**是一組未經過糾正的數字或特徵。原始資料需要通過移除異常值和明顯的儀器或資料錄入誤差來進行糾正（比如溫度計在北極的戶外測量到的熱帶溫度）。資料處理通常分成若干階段，某個階段的「已處理的資料」在另一個階段可能就是「原始資料」。

**現場資料**是指在不受控的「原位（in situ）」環境中收集的原始資料。而實驗資料是指在科學研究情境中通過觀測和記錄產生的資料。

## 應用

資料運用在科學研究、商業管理（比如銷售資料、收入、利潤、股價）、金融、政治（比如犯罪率、失業率、識字率）和事實上的其他一切人類組織性活動形式（比如非營利性組織所做的流浪者人口調查）中。

資料會經過測量、收集、報告和分析，因此它可以使用圖表、圖像或者其他分析工具進行視覺化；資料常以「表格」的方式呈現，並以試算表來處理。資料作為一種關於一些已存在的資訊或知識的一般概念，會使用一些可以更好地利用或處理的形式進行呈現或編碼。

## 參考文獻
數據主義

**數據主義**是一個術語，被用來描述大數據的新興意義所產生的心態或哲學。2013 年，大衛 - 布魯克斯（David Brooks）在《紐約時報》上首次使用該詞。 最近，該詞被擴展為描述社會科學家尤哈拉瑞（Yuval Noah Harari）所稱的一種新興意識形態，甚至是一種新形式的宗教，其中「信息流」是「最高價值」。

## 參考文獻
數據保護API

**資料保護 API**（全稱：**Data Protection Application Programming Interface**，縮寫 **DPAPI**）是一個簡單的密碼學應用程式介面 ，作為一個組件內建在 Windows 2000 及之後版本的 Microsoft Windows 作業系統中。理論上，資料保護 API 可以實現任何類型的資料對稱加密；在實踐中，其在 Windows 作業系統中的主要用途是執行非對稱私鑰的對稱加密，使用使用者或系統的秘密資訊作為熵的重要來源。

對於幾乎所有密碼系統來說，最困難的挑戰之一是「金鑰管理」—— 其中部分即是，如何安全地儲存解密金鑰。如果金鑰以純文字儲存，則可以存取金鑰的任何使用者都可以存取加密的資料。如果金鑰被加密，則又需要另一個金鑰，周而復始。DPAPI 允許開發者使用從使用者的登入私鑰匯出的對稱金鑰來加密金鑰，或者在系統加密的情況下使用系統的域驗證私鑰來加密金鑰。

用於加密使用者 RSA 金鑰的 DPAPI 金鑰儲存在 `%APPDATA%\Microsoft\Protect\{SID}` 目錄，其中 {SID} 為該使用者的安全識別碼。DPAPI 金鑰儲存在與保護使用者私鑰的主金鑰相同的檔案中。它通常為 64 位元組的亂數據。

2010 年，Elie Bursztein 和 Jean-Michel Picod 在 Black Hat DC 2010 提出了 Reversing DPAPI and Stealing Windows Secrets Offline。除了他們的簡報，Bursztein 和 Picod 發布了能離線解密 DPAPI 加密資料的 DPAPIck。2012 年，Passcape Software 在他們的部落格中發布了介紹 DPAPI 內部邏輯的更詳細文章及一個完全離線解密和分析 DPAPI 的工具。與上一個不同，該工具利用了一些舊有 Windows 的缺陷（例如，你可以無需獲知所有者的登入密碼就解密 Windows 2000 的 DPAPI 資料體）並完全相容 Windows 8 的 DPAPI 資料結構。在 Windows 8 中，微軟改變了 DPAPI 邏輯的工作方式，現在可以使用多個使用者的金鑰來匯出加密金鑰以解密使用者的主金鑰，然後用於解碼單個 DPAPI 資料體（blob）。

## 安全屬性

DPAPI 不為自己儲存任何永續性資料。相反，它只接受明文並返回密文（反之亦然）。

DPAPI 安全性依賴於 Windows 作業系統保護主金鑰和 RSA 私鑰免受攻擊的能力。這在大多數攻擊情形中高度依賴終端使用者憑據的安全性。主加密 / 解密金鑰通過 PBKDF2 函式從使用者密碼匯出。特定資料的二進位大型物件可以添加鹽和 / 或詢問外部使用者提供額外密碼（也稱強密碼保護）來加密。鹽的使用由各實現的選項控制，即由應用程式開發者控制，不能由終端使用者或系統管理員控制。

通過使用 COM + 物件可以授予金鑰的委託存取權限。這使 IIS 網頁伺服器能夠使用 DPAPI。

## 微軟軟體對 DPAPI 的使用

雖然並非所有微軟產品都在使用，但微軟產品對 DPAPI 的使用隨著每個 Windows 版本在增加。不過，出自微軟或第三方開發人員的許多應用程式仍傾向於使用自己的保護方式，或者最近才切換為使用 DPAPI。例如 Internet Explorer 的 4.0-6.0 版本、Outlook Express 和 MSN Explorer 使用較舊的保護儲存（PStore）API 來儲存儲存的憑據（例如密碼）。Internet Explorer 7 則開始使用 DPAPI 保護已儲存的使用者憑據。

* Windows 8 中的圖片密碼、PIN 和指紋
* Windows 2000 及之後版本中的加密檔案系統
* SQL Server 透明資料加密（TDE）服務的主加密金鑰
* Internet Explorer 7，無論是適用於 Windows XP 的獨立版本，還是 Windows Vista 和 Windows Server 2008 中整合的版本
* Windows Mail 和 Windows Live Mail
* Outlook 的 S/MIME
* Internet Information Services 的 SSL/TLS
* Windows 權利管理服務客戶端 v1.1 及之後版本
* Windows 2000 及之後版本對 EAP/TLS（VPN 身分驗證）和 802.1x（Wi-Fi 身分驗證）
* Windows XP 及之後版本對儲存的使用者名稱和密碼）（也稱憑據管理器）
* .NET Framework 2.0 及之後版本對 System.Security.Cryptography.ProtectedData
* Microsoft.Owin（Katana） Cookie 身分驗證（當自代管時）

## 參考資料

## 外部連結

* Windows Data Protection API (DPAPI) white paper by NAI Labs
* Data encryption with DPAPI （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Use DPAPI to encrypt and decrypt data
* How To: Use DPAPI (User Store) from ASP.NET 1.1 with Enterprise Services （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* System.Security.Cryptography.ProtectedData in .NET Framework 2.0 and later （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Discussion of the use of MS BackupKey Remote Protocol by DPAPI to protect user secrets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Windows PStore （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* DataProtectionDecryptor （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），NirSoft 出品的免費軟體
數據保護日

每年的 1 月 28 日是**國際資料隱私日**（Data Privacy Day，在歐洲稱為「**數據保護日**」（Data Protection Day）），提升對隱私和數據的保護。該節日為美國、加拿大、以色列以及 47 個歐洲國家的正式節日。

## 參考

## 外部連結

* Online Trust Alliance Data Privacy & Protection website. Online Trust Alliance（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Stay Safe Online website.
* DATA PRIVACY DAY and THE INTERNET PANOPTICON – Studies Says Webcam Users Under Serious Threat
* Convention 108 of data protection（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數據分析

**資料分析**是一種統計學常用方法，其主要特點是多維性和描述性。有些幾何方法有助於揭示不同的資料之間存在的關係，並繪製出統計資訊圖，以更簡潔的解釋這些資料中包含的主要資訊。其他一些用於收集資料，以便弄清哪些是同質的，從而更好地了解資料。

資料分析可以處理大量資料，並確定這些資料最有用的部分。本學科近年來的成功，很大程度上是因為製圖技術的提高。這些圖可以通過直接分析資料，來突出難以捕捉的關係；更重要的是，這些表達方法與基於現象分布的「先驗」觀念無關，與經典統計方法正相反。

資料分析的數學基礎在 20 世紀早期就已確立，但直到電腦的出現才使得實際操作成為可能，並使得資料分析得以推廣，而資料分析是數學與電腦科學相結合的產物，，且相關的應用還能在未來起到預測輿情、風險控管的效果。

若是以固定時間為資料分析的顆粒單位，則稱為時間序列分析，是主要作為銷售資料商業分析的方法之一。
數據包分析器

**偵測**（Sniffers）是一種網絡流量數據分析的手段，常見於網絡安全領域使用，也有用於業務分析領域，一般是指使用偵測器對數據流的數據截獲與封包分析（Packet analysis）。

偵測所使用的工具即為「偵測工具」，正式的叫法為「數據包分析器」，還有別稱為「偵測器」、「抓包工具」。

## 用途

* 分析網絡問題
* 業務分析
* 分析網絡信息流通量
* 網絡大數據金融風險控制
* 探測企圖入侵網絡的攻擊
* 探測由內部和外部的用戶濫用網絡資源
* 探測網絡入侵後的影響
* 監測連結網際網路寬頻流量
* 監測網絡使用流量（包括內部用戶，外部用戶和系統）
* 監測網際網路和用戶電腦的安全狀態
* 滲透與欺騙

## 缺陷

* 目前為止的偵測均對加密數據不起作用，需要解密才可以得到需要的機密數據
* 當用戶在執行網絡數據文件下載時，偵測出來的是大量垃圾數據包

## 知名偵測工具

數據包分析器的比較

* CommView and CommView for WiFi （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* dSniff
* Ettercap（遵守 GNU 的開源軟體）
* Javvin Packet Analyzer
* Kismet
* Open Source Packet Sniffer Open Source Packet Sniffer
* Microsoft Network Monitor
* NetStumbler
* NetworkActiv PIAFCTM （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Network General
* Network Instruments
* Snoop (software) (Solaris)
* Tcpdump (man tcpdump)
* WildPackets（已經改名為 Savvius）AiroPeek，EtherPeek 與 OmniPeek
* Wireshark（前稱 Ethereal）
* Winsock Packet Editor
* Simena Capture&Replay tools （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NetisCrossFlow

## 參見

* Pcap

## 參考資料
數據匯流排

**匯流排**（Bus）是指電腦組件間規格化的交換資料（data）的方式，即以一種通用的方式為各組件提供資料傳送和控制邏輯。從另一個角度來看，如果說主機板（Mother Board）是一座城市，那麼匯流排就像是城市裡的公共汽車（bus），能按照固定行車路線，傳輸來回不停運作的位元（bit）。這些線路在同一時間內都僅能負責傳輸一個位元。因此，必須同時採用多條線路才能傳送更多資料，而匯流排可同時傳輸的資料數就稱為寬度（width），以位元為單位，匯流排寬度愈大，傳輸效能就愈佳。匯流排的頻寬（即單位時間內可以傳輸的總資料數）為：匯流排頻寬 = 頻率 × 寬度（Bytes/sec）。

## 種類

PC 上一般有五種匯流排：

* 資料匯流排（Data Bus）：在 CPU 與 RAM 之間來回傳送需要處理或是需要儲存的資料。
* 位址匯流排（Address Bus）：用來指定在 RAM（Random Access Memory）之中儲存的資料的位址。
* 控制匯流排（Control Bus）：將微處理器控制單元（Control Unit）的訊號，傳送到周邊裝置，一般常見的為 USB Bus 和 1394 Bus。
* 擴充匯流排（Expansion Bus）：可連接擴充槽和電腦。
* 局部匯流排（Local Bus）：取代更高速資料傳輸的擴充匯流排。

## 內部匯流排

### 並行

* CAMAC，用於儀表檢測系統
* 工業標準架構匯流排（ISA）
* 擴充 ISA（EISA）
* Low Pin Count（LPC）
* 微通道（MCA）
* MBus
* 多匯流排（Multibus），用於工業生產系統
* NuBus，或稱 IEEE 1196
* OPTi 本地匯流排，用於早期 Intel 80486 主機板
* 外圍部件互聯匯流排（PCI）
* S-100 匯流排（S-100 bus），或稱 IEEE 696，用於 Altair 或類似微處理器
* SBus 或稱 IEEE 1496
* VESA 本地匯流排（VLB，VL-bus）
* VERSAmodule Eurocard bus（VME 匯流排）
* STD 匯流排（STD bus），用於八位或十六位微處理器系統
* Unibus
* Q-Bus
* PC/104
* PC/104 Plus
* PC/104 Express
* PC/104
* PCIe-104

### 串行

* 1-Wire
* HyperTransport
* 快速通道互聯
* DMI
* I²C
* 串行 PCI（PCI Express）
* eSPI 匯流排
* USB 通用序列匯流排

## 外部匯流排（I/O 匯流排，即輸入輸出介面）

**I/O 匯流排**指纜線和連接器系統，用來傳輸 I/O 路徑技術指定的資料和控制訊號，另外還包括一個匯流排終端電阻或電路，這個終端電阻用來減弱電纜上的訊號反射干擾。

### 並行

* ATA：磁碟 / 光碟機匯流排。
* PC 卡：前身為知名的 _PCMCIA_，常用於筆記型電腦。
* 小型電腦系統介面（Small Computer System Interface）：小型電腦系統介面，磁碟 / 磁帶匯流排。

### 串行

* USB
* 串列 SCSI
* SATA
* 控制器區域網路
* EIA-485
* IEEE 1394
* Thunderbolt
* InfiniBand（在目前超級電腦排名 TOP500 之中常見）

## 參見

* 點對點協定
* 訊息傳遞介面
* INK 作業系統
* Compute Node Linux

## 外部連結

* Chip Weems' Lecture 12: Buses
* 開放式目錄計劃中和 Computer hardware buses 相關的內容
* Computer hardware buses and slots pinouts with brief descriptions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
數據匿名化

**數據匿名化**又稱**匿名化**，是一種信息淨化，其目的是保護個人隱私。匿名化是一個從數據集中刪除個人身份信息的過程。不過將匿名數據數據集與其他數據比對，有可能使匿名數據去匿名化。

## 參考文獻
數據即服務

在計算領域，**數據即服務**（Data as a service，簡稱 DaaS）是指在線數據服務，開發者將開發用的數據保存在網際網路上並隨時訪問，而無需使用保存在本地計算機上的資料庫。

## 參考資料
數據同步

**數據同步**是指從源數據到目標數據存儲之間建立一致性的過程，反之亦然，並隨著時間的推移不斷協調數據。它是各種同步應用的基礎，這些同步應用有檔案同步和行動裝置同步（例如個人數碼助理）。在加密領域，公鑰伺服器的同步也涉及到數據同步。

## 參考文獻
數據多工器

在電子技術（特別是數位電路）中，**數據多工器**（英語：**Data Selector**），或稱**多路復用器**（英語：**multiplexer**，簡稱：**MUX**），是一種可以從多個類比或數位輸入訊號中選擇一個訊號進行輸出的元件。 一個有 2n 輸入端的數據多工器有 _n_ 個可選擇的輸入－輸出線路，可以通過控制端來選擇其中一個訊號被選擇作為輸出。 數據多工器主要用於增加一定量的時間和帶寬內的可以通過網絡發送的數據量。

數據多工器使多個訊號共享一個設備或資源，例如一個類比數位轉換器或一個傳輸線，而不必給每一個輸入訊號配備一個設備。

## 結構圖

在結構圖中，數據多工器的符號是一個等腰梯形，其中較長的底上為數個輸入引腳，較短的底上為一個輸出引腳。右圖即為一個 2 選 1 數據多工器的結構圖和其等效簡化圖。Sel 引腳可以選擇需要的訊號。

此外，在很多數據多工器里，還有一個「使能」引腳用於控制元件的有效或者無效。

## 數位電路中的應用

在數位電路設計中，選擇端的輸入訊號是數位訊號。在 2 選 1 數據多工器的例子中，選擇端輸入低電平 0，則輸出引腳會輸出 $\scriptstyle I_{0}$ 上的輸入訊號；反之，當選擇端輸入高電平 1，則輸出引腳會輸出 $\scriptstyle I_{1}$ 上的輸入訊號。當輸入引腳的數目更多時，情況與上面類似，不過所需的選擇端引腳數目變為 $\scriptstyle \left\lceil \log _{2}(n)\right\rceil $ 個，這裡 $\scriptstyle n$ 是輸入引腳的個數。

一個 2 選 1 數據多工器有如下的布林函數， $\scriptstyle A$ 和 $\scriptstyle B$ 分別表示兩個輸入訊號， $\scriptstyle S$ 為選擇訊號， $\scriptstyle Z$ 為輸出訊號，則有

　
: $Z=(A\cdot {\overline {S}})+(B\cdot S)$

注意，並非所有的邏輯函數直接具有以上的形式，但是所有的邏輯函數都可以使用香農展開（Shannon's expansion）的方法將它變換為上面這種形式。邏輯函數 $Z$ 可以用下面的真值表表示：

這個真值表顯示，當 $\scriptstyle S=0$ ，那麼 $\scriptstyle Z=A$ ；而當 $\scriptstyle S=1$ ，則 $\scriptstyle Z=B$ 。在具體的電路中，實現一個這樣的 2 選 1 數據多工器需要 2 個及閘、一個或閘和一個反閘。

更大型的數據多工器也較常見，而且正如上面描述的， $n$ 個輸入引腳需要 $\scriptstyle \left\lceil \log _{2}(n)\right\rceil $ 個選擇引腳。其他常見的類型有 4 選 1、8 選 1 和 16 選 1 等。由於數位邏輯採用二進位的數位訊號，輸入引腳的個數通常是 2 的冪。

* * *

4 選 1 數據多工器的布林函數如下：

　
: $F=(A\cdot {\overline {S_{0}}}\cdot {\overline {S_{1}}})+(B\cdot {\overline {S_{0}}}\cdot S_{1})+(C\cdot S_{0}\cdot {\overline {S_{1}}})+(D\cdot S_{0}\cdot S_{1})$

這樣的數據多工器可以由如下的電路實現：

### 晶片的級聯

大型的數據多工器可以由較小的數據多工器級聯來實現。例如，一個 8 選 1 數據多工器可以由兩個 4 選 1 數據多工器組成，一個 4 選 1 數據多工器可以由兩個 2 選 1 數據多工器組成。在前者中，兩個 4 選 1 選擇器的輸出端連接到 2 選 1 選擇器，並且兩個 4 選 1 選擇器和一個 2 選 1 選擇器的選擇端的引腳平行地接出，視為「8 選 1 數據多工器」的「3 個選擇引腳」。

### 數據選擇集成晶片

7400 系列有若干種積體電路具有數據多工器功能，列表如下：

## 數據多工器作為可程式化邏輯裝置

數據多工器同樣可被用作可程式化邏輯裝置。通過指定輸入訊號的排列，用戶可以創建一個定製的邏輯電路。選擇引腳充當了邏輯輸入的功能。當生產成本和模塊化有限的時候，這種方式十分有用。

在硬體描述語言中，可以採用數據流或者行為語句對數據多工器進行描述。例如，在 Verilog 中，可以使用條件運算符 `条件?表达式1:表达式2` 或者使用 `if` 條件結構或 `case` 選擇結構來實現數據多工器。

## 參考文獻

* M. Morris Mano; Charles R. Kime. Logic and Computer Design Fundamentals 4. Prentice Hall. 2008. ISBN 013198926X （英語）.

## 相關內容

* 數位用戶線接入復用設備
* 多路復用
  * 碼分多址
  * 頻分多路復用
  * 時分多路復用
  * 波分復用
  * 統計多重化（英文）
數據安全

**數據安全**是指人們採取各種措施保護數碼資料的安全（例如資料庫中的數據），如不讓資料庫中的數據受到破壞性影響以及不讓數據受到未經授權的用戶行為的影響，如網絡攻擊以及數據泄露。

## 參考文獻
數據室

**資料室**或**數據室**是人們用於存放數據的地方。資料室可以是物理空間、虛擬空間或數據中心。資料室通常安全級別較高，房間內會有監控。

## 參考文獻
數據對像

**二進位大型物件**（英語：binary large object ，或英語：basic large object，縮寫為 Blob、BLOB、BLOb），在資料庫管理系統中，將二進位資料儲存為一個單一個體的集合。Blob 通常是影像、聲音或多媒體檔案。

它由迪吉多公司的工程師吉姆・史塔基（Jim Starkey）發明。

常作為專有軟體（英語：proprietary software）的資料儲存型式，其格式由軟體開發者自訂，且非人類可讀（英語：non-human-readable）的特性，使其在儲存、流通上達到閉源效果。

## 相關條目

* 字元大型物件

## 參考資料
數據幀

在電腦網路和通訊領域，**訊框**，又稱**幀**或**影格**（英語：frame）是一個包括「訊框同步序列」的數位資料傳輸單元或數位封包。訊框同步序列的意義在於接收器通過一串特定的連續位元或符號來確定一個訊框的開始和結束。如果一個接收器在一個訊框傳輸的過程中時被接入到系統中，它會忽視接收到的資料直到它檢測到一個新的訊框同步序列。

在電腦網路領域中，訊框是 OSI 模型的第 2 層（資料鏈結層）的資料封包。訊框是「一個資料鏈結層的傳輸單元，由一個資料鏈結層首部和其攜帶的封包所組成」。比如：乙太網路訊框、PPP 訊框等等。詳見乙太網路訊框格式。

在通訊領域，特別是分時多路復用（TDM）和分時多重進接（TDMA），訊框是由一個固定數目的時間槽組成的迴圈重複資料塊，每個時間槽都是一個邏輯的 TDM 頻道或者是 TDMA 傳送器。在這種情況下，訊框一般是實體層的實體。TDM 的應用實例是 SONET/SDH 和寬頻綜合業務數位網。 TDMA 的例子是 2G 和 3G 電路交換蜂窩語音服務。

## 參見

* 資料鏈結層
* 封包

## 參考文獻
數據庫完整性

資料庫完整性可確保輸入至資料庫中的數據，是準確、有效及一致 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的。資料庫中任何數據改動，都必須乎合所有完整性限制及數據有效性檢驗。

資料庫完整性主要以下三項完整性限制：

* 實體完整性，同一數據表中不可有多項記錄擁有相同識別。
* 域完整性，限制欄位中的數據必須乎合預設的數據類型，例如：日期。
* 參照完整性，如兩個數據表是有關聯的，父數據表中的記錄必須存在，子數據表的記錄才有存在。
數據庫引擎

**資料庫引擎**是資料庫管理系統用來在資料庫中進行創建、讀取、更新和刪除（CRUD）數據的底層軟體組件。大多數資料庫管理系統都提供應用程式接口 (API)，允許程序員通過 API 與其底層的資料庫引擎進行交互。許多資料庫管理系統支持多個資料庫引擎，例如 MySQL 支持 InnoDB 以及 MyISAM 。

## 參考文獻
數據恢復

在電腦中，**資料恢復**是一個從二級儲存、抽取式媒體或檔案中搶救被刪除、無法存取、遺失、損壞或格式化的資料的過程，當儲存在其中的資料無法以常規方式存取時。資料最常從儲存媒介中搶救出來，如內部或外部的硬碟機 s（HDD）、固態驅動器 s（SSD）、USB 快閃記憶體驅動器 s、磁帶、CDs、DVDs、RAID 子系統和其他電子裝置。由於儲存裝置的物理損壞或檔案系統的邏輯損壞，使其無法被主機作業系統掛載，可能需要恢復。(OS)。

## 概述

最常見的資料恢復原因是作業系統故障、儲存裝置故障、儲裝置邏輯故障、意損壞或刪除資料等 (一般來說，在一個有一個磁碟、一個分割區和一個作業系統的系統中)。在這種情況下，最終目標是只需將所有重要檔案從損壞的媒介複製到另一個新磁碟即可。您可以直接從永久記憶體引導，而不是從損壞的磁碟引導。這可以通過 Live CD 或 DVD 完成。許多 Live CD 或 DVD 都有連接系統磁碟和後援盤或可更換的資料記錄媒體的工具，它們還可以使用檔案管理器將檔案從系統磁碟移動到備份媒介和光碟製作軟體。
如果您想提高在系統崩潰時儲存資料的可能性，請提前將磁碟分割區，並將有價值的資料或其副本儲存在儲存作業系統的分割區之外。
當被加密或隱藏（但未損壞）的資料被恢復時，「資料恢復」一詞也用於間諜軟體或流氓軟體。有時需要加密或隱藏電腦上的資料。這是必要的，以防止電腦病毒損壞這些資料。由於只有少數電腦專家能夠在病毒損壞的情況下恢復資料。

## 參考資料
數據損壞

**數據損壞**是指計算機數據在寫入、讀取、存儲、傳輸或處理過程中發生的錯誤，這些錯誤給原始數據帶來了意想不到的變化。計算機和存儲系統會通過一些措施來保證端到端傳輸過程中的數據完整性，避免出現錯誤。

## 參考文獻
數據文件

**數據文件**是一種計算機文件，用於存儲計算機應用程式或系統所要使用的數據，這些數據包括輸入和輸出數據。數據文件通常不包含所要執行的指令或代碼（即電腦程式）。

## 參考文獻
數據流

**資料流**又稱**數據流**，是一個用在電腦計算的術語，有多方面的含義，取決於具體的應用程式及使用情境。 在軟體架構領域，資料流指的通常是串流處理或響應式編程。

## 軟體架構

資料流是一種軟體範例，它基於將計算參與者與可以同時執行的階段（管道）斷開連接的想法。數據流也可以稱為串流處理或響應式編程。

## 硬體架構

## 並發性

## 另見

## 參考文獻

## 外部連結
數據流量控制

在數據傳輸中，**數據流量控制**是一個能管理兩個節點（數據發送方和數據接收方）之間數據傳輸速度的機制，由於數據發送方的發送速度和數據接收方的處理速度並不一致，數據流量控制為數據接收方提供了一種控制發送方傳輸速度的機制，使數據接收方節點不會被數據發送方節點發來的數據所淹沒。
數據溢位

**緩衝區溢位**（buffer overflow），在電腦學上是指標對程式設計缺陷，向程式輸入緩衝區寫入使之溢位的內容（通常是超過緩衝區能儲存的最大數據量的資料），從而破壞程式執行、趁著中斷之際並取得程式乃至系統的控制權。

緩衝區溢位原指當某個資料超過了處理程式回傳堆疊位址限制的範圍時，程式出現的異常操作。造成此現象的原因有：

* 存在缺陷的程式設計
* 尤其是 C 語言，不像其他一些高階語言會自動進行陣列或者指標的堆疊區塊邊界檢查，增加溢位風險。
* C 語言中的 C 標準庫還具有一些非常危險的操作函式，使用不當也為溢位創造條件。

因駭客在 Unix 的核心發現通過緩衝區溢位可以控制核心空間劫持控制流程獲得系統的最高等級權限，而成為攻擊手段之一。也有人發現相同的問題也會出現在 Windows 作業系統上，以致其成為駭客最為常用的攻擊手段，蠕蟲病毒利用作業系統高危漏洞進行的破壞與大規模傳播均是利用此技術。比較知名的蠕蟲病毒衝擊波蠕蟲，就基於 Windows 作業系統的緩衝區溢位漏洞。

例如一個用途是對 SONY 的掌上遊戲機 PSP-3000 的破解，通過特殊的溢位圖片，PSP 可以執行非官方的程式與遊戲。同樣在諾基亞智慧型手機作業系統 Symbian OS 中發現漏洞使用者可以突破限制執行需要 DRM 權限或檔案系統權限等系統權限的應用程式。

緩衝區溢位攻擊從理論上來講可以用於攻擊任何有相關缺陷的程式，包括對防毒軟體、防火牆等安全產品的攻擊以及對銀行程式的攻擊。在嵌入式裝置系統上也可能被利用，例如 PSP、智慧型手機等。

在部分情況下，當一般程式（除了驅動和作業系統核心）發生此類問題時，C++ 執行時庫通常會終止程式的執行。

## 作業系統層級的保護

目前 OpenBSD、Linux、Windows、Mac OS 等作業系統都具有 **buffer overflow protection**（緩衝區溢位保護 / 記憶體位置重新定向）功能，在某種程度上可以保護作業系統，但仍還是有辦法讓溢位的代碼到正確的位置上。其作用原理是：記憶體跟處理程式在 memory 中受到保護。內對外的 access memory 物件位置會被核心（排程器）隨機定向，使其無法正確溢位。

## 參見

* 溢位
* 電腦蠕蟲
* 殭屍網路
* 程式錯誤
* 堆疊緩衝區溢位
* 堆溢位
* 衝擊波蠕蟲
* NX 位，一種對抗緩衝區溢位攻擊的硬體層面技術

## 外部連結

* An Overview and Example of the Buffer-Overflow Exploit. pps. 16-21.
* CERT Secure Coding Standards （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* CERT Secure Coding Initiative （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Secure Coding in C and C++ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* SANS: inside the buffer overflow attack
* More Security Whitepapers about Buffer Overflows
* (PDF) Chapter 12: Writing Exploits III （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） from _Sockets, Shellcode, Porting & Coding: Reverse Engineering Exploits and Tool Coding for Security Professionals_ by James C. Foster (ISBN 1-59749-005-9). Detailed explanation of how to use Metasploit to develop a buffer overflow exploit from scratch.
數據溢出

**邊界檢查**在程式設計中是指在使用某一個變數前，檢查該變數是否處在一個特定範圍之內。最常見的是陣列的下標檢查，防止下標超出陣列範圍而覆蓋、運行其他堆疊位址資料。

若是邊界檢查未能有效發現錯誤，最常見的結果是程式出現異常並終止執行，但也可能出現其他現象。

由於每次都進行邊界檢查非常耗時，而且有些代碼確定不會出現越界問題，所以這個操作並不總是需要被執行。一些現代編譯器中有稱為**選擇性邊界檢查**的技術，可以略去一些常見的不需要的邊界檢查，從而提高程式的效能。

## 各程式語言的應用情況

在目前常見的程式語言中，強制進行邊界檢查的有 C#、Ada、Haskell、Java、JavaScript、Lisp、PHP、Python、Ruby 和 Visual Basic。其中 C# 同時支援「unsafe 塊」（不安全代碼塊），即一段暫時關閉邊界檢查、啟用指標以提高效率的代碼塊。這個功能常被用於加速一小段不可能出現越界問題的代碼的執行速度，而不至於破壞整個程式的安全性。除了這些語言，D 語言和 OCaml 也支援自動邊界檢查，但是允許使用者通過編譯器的一個開關選項來選擇是否啟用該功能。

然而，有一些程式語言（比如 C 語言）為了提高速度，從來都不會自動進行邊界檢查，這經常導致差一錯誤（見右圖）和緩衝區溢位的發生。許多程式設計師認為這些語言為了速度所付出的代價太大了。在 1980 年圖靈獎講座上，東尼・霍爾講述了他設計包含邊界檢查的 ALGOL 60 語言時的經歷：

## 範圍檢查

範圍檢查經常被用於確保某個數字處在一個特定的範圍之內。通常在存取陣列的時候會進行該檢查，因為當陣列下標越界的時候，資料會被寫入其它變數的空間，甚至會覆蓋壓棧的暫存器數值。這樣一來，程式可能會崩潰，或者是導致一些安全漏洞的產生（見緩衝區溢位）。在 Java 中，Java 虛擬機器將在嘗試存取陣列中的元素的時候，自動的進行陣列邊界檢查，並且在下標越界的時候引發異常。

範圍檢查的另一個常見用途是在兩種資料類型相互轉換的時候。在構建在.NET Framework 上的語言中，超出範圍的強制轉換將引發 InvalidCastException 類型的異常。

比如將一個 32 位元有符號整數類型的變數強制轉換到一個 16 位元有符號整數類型的變數之前，會檢查這個變數的值是否在 - 32768~+32767 之間（16 位元有符號整數可以表示的整數範圍），而不是諸如 32768 之類的無法表示的數字。

## 陣列下標檢查

陣列下標檢查是指在程式中，所有陣列下標的表達式的結果在真正被用來存取某一個特定的元素之前，先把它的值和定義陣列時給出的陣列上界和下界進行比較。如果一個下標超出了預期的範圍時，那麼就引發一個錯誤來阻止進一步的存取。（例如：.NET Framework 中的 IndexOutOfRangeException 和 ArgumentOutOfRangeException 類型異常）

比如在存取一個下標範圍是 0~9 的陣列前檢查下標是否也在 0~9 內，而不是如 25 之類的越過陣列結尾的下標。

除了軟體實現的下標檢查之外，VAX 架構的電腦擁有一條 INDEX 組譯指令，可以用來檢查陣列的下標是否越界，可以至多提供 6 個任意 VAX 編址的位址。B6500 和一些相似的伯勒斯電腦則以硬體進行邊界檢查，無論是採用什麼語言撰寫的程式。

## 資料驗證

在資料集合資料品質範疇中，邊界檢查表示檢查一個並不總是錯誤的資料。比如，一個成年人的身高應該處在 0 到 3 米之間、利用率應該在 0 到 1 之間等。

## 參見

* 整數
* 陣列
* 緩衝區溢位
* 例外處理
* SIGFPE、SIGSEGV
* 動態代碼分析

## 參考
數據漂白

**數據脫敏**又稱**數據漂白**，是指人們將數據中的敏感信息去除。這些敏感信息包括個人的姓名、電話、住址、身份證號碼。數據脫敏的目的是保障敏感信息不外泄。常見的數據脫敏的方法有替換（如將女性用戶名替換為 F）、重排（如將序號 12345 重排為 54321）、加密（如將編號 12345 加密為 23456）、截斷（例如 13811001111 截斷為 138）、掩碼（如 123456 變成 1xxxx6）。

## 參考文獻