數學物理學

**數學物理**是數學和物理學的交叉領域，指應用特定的數學方法來研究物理學的某些部分。對應的數學方法也叫**數學物理方法**。數學和物理學的發展在歷史上一直密不可分，許多數學理論是在物理問題的基礎上發展起來的；很多數學方法和工具通常也只在物理學中找到實際應用。不過，也只是互相參考而已，所有沒有所謂的一定。

## 主要內容

* 微分方程式的解算：很多物理問題，比如在古典力學和量子力學中求解運動方程式，都可以被歸結為在一定邊界條件下的對微分方程式的求解。因此求解微分方程式成為數學物理的最重要組成部分。相關的數學工具包括：
  * 常微分方程式的求解
  * 偏微分方程式的求解
  * 特殊函數
  * 積分變換
  * 複變函數論
* 場的研究（場論）：場是現代物理的主要研究對象。電動力學研究電磁場；廣義相對論研究引力場；規範場論研究規範場。對不同的可使用不同的數學工具，包括：
  * 矢量分析
  * 張量分析
  * 微分幾何
  * 代數幾何
  * 拓樸學
* 對稱性的研究：對稱性是物理中的重要概念。它是守恆律的基礎，在晶體學和量子場論中都有重要應用。對稱性由對稱群或相關的代數結構描述，研究它的數學工具是：
  * 群論
  * 表示論
* 作用量（action）理論：作用量理論被廣泛應用於物理學的各個領域，例如分析力學和路徑積分。相關的數學工具包括：
  * 變分法
  * 泛函分析

## 參見

* 希爾伯特第六問題
* 理論物理學

## 參考

## 文獻

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