拉格朗日方程

**拉格朗日方程式**（Lagrange equation），因數學物理學家約瑟夫・拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

## 定義

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

　
: ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!$ ；

其中， ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$ 是拉格朗日量， $\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!$ 是廣義座標，是時間 $t\,\!$ 的函數， ${\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!$ 是廣義速度。

## 導引

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的尤拉 - 拉格朗日方程式來推導：

設定函數 $\mathbf {y} (x)\,\!$ 和 $f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$ ： 

　
: $\mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!$ 、

　
: ${\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!$ 、

　
: $f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!$ ；

其中， $x\,\!$ 是自變數（independent variable）。

若 $\mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!$ 使泛函 $J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!$ 取得局部平穩值，則在區間 $(a,\ b)\,\!$ 內，尤拉 - 拉格朗日方程式成立：

　
: ${\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!$ 。

現在，執行下述轉換：

* 設定獨立變數 $x\,\!$ 為時間 $t\,\!$ 、
* 設定函數 $y_{i}\,\!$ 為廣義坐標 $q_{i}\,\!$ 、
* 設定泛函 $f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$ 為拉格朗日量 ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$ ，

則可得到拉格朗日方程式

　
: ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!$ 。

* 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
* 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

## 半完整系統

　
: 主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

　
: $g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!$ ；

則稱此系統為**半完整系統**。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 $\lambda _{i}\,\!$ ：

　
: $\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!$ ；

其中， $\lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$ 是未知函數。

由於這 $N\,\!$ 個廣義坐標中，有 $n\,\!$ 個相依的廣義坐標，泛函 $f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$ 不能直接被轉換為拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ ；必須加入拉格朗日乘子，將泛函 $f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$ 轉換為 ${\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!$ 。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

　
: ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!$ ；

其中， ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!$ 是廣義力， ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!$ 。

這 $N\,\!$ 個廣義力運動方程式加上 $n\,\!$ 個約束方程式，給出 $N+n\,\!$ 個方程式來解 $N\,\!$ 個未知廣義坐標與 $n\,\!$ 個拉格朗日乘子。

## 實例

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

### 自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力 $F=mg\,\!$ 作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

　
: ${\ddot {x}}=g\,\!$ ；

其中，x - 坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能 $T\,\!$ 是

　
: $T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!$ ，

位勢 $V\,\!$ 是

　
: $V=-mgx\,\!$ ；

所以，拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 是

　
: ${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!$ 。

將 ${\mathcal {L}}\,\!$ 代入拉格朗日方程式，

　
: $0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!$ 。

運動方程式是

　
: ${\ddot {x}}=g\,\!$ ；

與牛頓方法的運動方程式相同。

### 具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的 x - 軸平行於地面，y - 軸垂直於 x - 軸，指向地面。擺錘 P 的質量是 $m\,\!$ ，位置是 $(x,\ y)\,\!$ 。擺繩的長度是 $l\,\!$ 。擺的支撐點 Q 的質量是 $M\,\!$ 。這支撐點 Q 可以沿著一條平行於 x - 軸的直線移動。點 Q 的位置是 $(X,\ 0)\,\!$ 。擺繩與 y - 軸的夾角是 $\theta \,\!$ 。那麼，動能是

　
: $T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!$ ，

位勢為

　
: $V=-mgy\,\!$ 。

所以，拉格朗日量是

　
: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!$ 。

兩個約束方程式為

　
: $x=X+l\sin \theta \,\!$ 、

　
: $y=l\cos \theta \,\!$ 。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式，

　
: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!$ 。

特別注意，在這裏，廣義坐標是 $X\,\!$ 與 $\theta \,\!$ 。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於 $X\,\!$ 坐標，可以得到

　
: ${\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!$ 。

運動方程式為

　
: $(M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!$ 。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標 $X\,\!$ ，稱 $X\,\!$ 為**可略坐標**，而其相對應的廣義動量 $p_{X}\,\!$ 是常數 $K_{1}\,\!$ ：

　
: $p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!$ 。

對於 $\theta \,\!$ 坐標，可以得到

　
: ${\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!$ ；

所以，運動方程式為

　
: ${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!$ 。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

## 相關條目

* 拉格朗日量
* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學
* 牛頓力學
* 變分法

## 參考文獻