拉格朗日点

**拉格朗日點**（Lagrangian point）又稱**平動點**（libration points）在天體力學中是限制性三體問題的五個特殊解（particular solution）。就平面圓型三體問題，1767 年數學家歐拉根據旋轉的二體引力場推算出其中三個點為 L1、L2、L3，1772 年數學家拉格朗日推算出另外兩個點（特解）為 L4、L5。例如，兩個天體環繞運行，在空間中有五個位置可以放入第三個物體（質量忽略不計），使其與另兩個天體的相對位置保持不變。理想狀態下，兩個同軌道物體以相同的周期旋轉，兩個天體的萬有引力在拉格朗日點平衡，使得第三個物體與前兩個物體相對靜止。

## 位置

五個拉格朗日點之定義及位置如下：

### L1

在 M1 和 M2 兩個大天體的連線上，且在它們之間。

　
: ${\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}={\frac {M_{2}}{r^{2}}}+{\frac {M_{1}}{R^{2}}}-{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

其中：_r_ 表示 L1 與較小的物體之間的距離，_R_ 表示兩個主要物體之間的距離，_M1_ 和 _M2_ 分別表示較大物體和較小物體的質量。

求解 _r_ 需要求解五次方程，但是當小物體的質量（_M2_）遠小於大物體的質量（_M1_）時，L1 和 L2 近似於希爾球的半徑，求解如下：

　
: $r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

例如一個圍繞太陽旋轉的物體，它距太陽的距離越近，它的軌道周期就越短。但是這忽略地球的萬有引力對其產生的拉力的影響。如果這個物體在地球與太陽之間，地球引力的影響會減弱太陽對這物體的拉力，因此增加這個物體的軌道周期。物體距地球越近，這種影響就越大。在 L1 點，物體的軌道周期恰好等於地球的軌道周期。

太陽及日光層探測儀（SOHO）即在日 - 地系統的 L1 點上運行。嫦娥五號的軌道器由於原登月任務完成後仍有充足的燃料，所以安排拓展任務，飛進到日 - 地系統的 L1 點進行進一步的太陽探測任務。

### L2

在兩個大天體的連線上，且在較小的天體一側。

　
: ${\frac {M_{1}}{\left(R+r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}={\frac {M_{1}}{R^{2}}}+{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

同樣的，當小物體的質量（_M2_）遠小於大物體的質量（_M1_）時：

　
: $r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

**日地系統**的 L2 在地球遠離太陽的一側。一般來講，一個物體距太陽的距離越遠，它的軌道周期通常就越長，但 L2 點上的物體還受到地球的引力，所以軌道周期變得與地球的相等。日地系統的 L2 通常用於放置太空望遠鏡。因為 L2 上的物體可以保持背向太陽和地球的方位，易於保護和校準。威爾金森微波各向異性探測器已經在日 - 地系統的 L2 點上運行。詹姆斯韋伯太空望遠鏡也在日 - 地系統的 L2 點上。嫦娥二號亦於 2011 年進入日 - 地系統的 L2 點的環繞軌道，為從月球軌道出發進入日 - 地系統 L2 點的首例。

**地月系統**的 L2 在月球遠離地球的一側（月球背面）。2014 年中國探月工程三期再入返回飛行試驗器服務艙曾進入環繞地月 L2 點的李薩如軌道開展試驗，服務艙實現了環繞地月 L2 點飛行三圈，驗證了軌道設計、軌道控制和軌道維持技術。之後嫦娥 4 號的通信中繼衛星鵲橋號則是在該位置使用暈輪軌道維持運轉。

### L3

在兩個大天體的連線上，且在較大的天體一側。

　
: **例如：**第三個拉格朗日點，L3，位於太陽的另一側，與太陽的距離略小於地球與太陽的距離，但是位於地球軌道的外部，這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦點，是太陽與地球的共同質心，儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部，太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動，所以這種狀態成為可能。

一些科幻小說和漫畫會在 L3 點創造一個「反地球」。

### L4

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的前方。此點穩定的原因在於，它到兩大物體的距離相等，其對兩物體分別的引力之比，正好等於兩大物體的質量之比。因此，兩個引力的合力正好指向該系統的質心，合力大小正好提供該物體公轉所需之向心力，使其旋轉周期與質量較小天體相同並達成軌道平衡。該系統中，兩大物體和 L4 點上物體圍繞質心旋轉，旋轉中心與質心重合。事實上，L4 和 L5 點上的物體的質量不須小到可忽略。L4 和 L5 點處，小物體受太陽和地球的引力的合力指向日地共同質心且大小正合適。

### L5

在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個頂點上，且在較小天體圍繞兩天體系統質心運行軌道的後方。

L4 和 L5 有時稱為**三角拉格朗日點**或**特洛伊點**。科幻作品（如漫畫、小說）所說的用於放置殖民衛星的拉格朗日點特指 L4 和 L5，不包括 L1 和 L2。

　
: **例如：**L4 和 L5 在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成 60° 角處。

實質上是三個物體圍繞共同質心轉動。

## 平衡性

嚴格而言，首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點，而在三維空間內則不穩定：考慮 L1：若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點（穩定平衡）；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己（不穩定平衡）。L1、L2 和 L3 點在這條直線上不穩定，如果把物體放在這上面的話，它馬上會離開這個點。所以，有一種軌道的設計就是，它是圍繞 L2 點做周期運動（暈輪軌道），這樣的話，我們的衛星只需少量調節便能維持其軌道。

此對比：若 M1 比 M2 大於 24.96，則處於 L4 與 L5 的物體是穩定平衡：當一測試質點偏離此平衡點，則科里奧利力會將其軌道扭曲成（相對於旋轉座標之）扁豆狀。太陽－木星系統有幾千枚小行星，通稱為「特洛伊小行星」，俱劃此等軌跡。太陽－火星、太陽－土星、木星－木衞、土星－土衞等系統亦有類似星體。日－地系統中亦有 2010 TK7（第一顆地球特洛伊小行星），在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞 L4 與 L5。在地－月系統之 L4 與 L5 點亦發現比對日照更微弱之塵霧。

## 行星特洛伊的軌道動畫

地球的伴星（companion object）克魯特尼以類似特洛伊之軌道「圍繞」地球，但不是真正的特洛伊衞星，它基本上以一週期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽，接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道。當克魯特尼被地球追上，則會交回此動能，跌落低能軌道，重新開始循環。

土衛十一（Epimetheus）與土衛十（Janus）有類似關係，唯因其質量相若，故週期性地互換軌道。

另一類似位形為軌道共振，其中各星體之週期，因其相互作用，成簡單整數比。

土衛三（Tethys）的 L4 和 L5 點有兩個小衛星，土衛十三（Telesto）和土衛十四（Calypso）。土衛四（Dione）的 L4 點有一個衛星土衛十二（Helene）和 L5 點有一個衛星土衛三十四（Polydeuces）。

## 流行文化

科幻作品 (例如漫畫和小說) 所說的放置殖民衛星的拉格朗日點指 L4 和 L5，不包括 L1 和 L2。例如 L4 和 L5 在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成 60° 角處。

## 參考文獻

## 相關

* 金星特洛伊
* 地球特洛伊
* 火星特洛伊
* 木星特洛伊
* 天王星特洛伊
* 海王星特洛伊
* 小行星帶

## 外部連結

* （英文）歐洲太空總署有關拉格朗日點的介紹和動畫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）