摆的等时性

**擺**是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

## 類型

### 小角度簡單擺

若最高處（ $v=0$ ）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的角度為 $\theta $ ，符合： 

 * $\theta \leq 5^{\circ }$

則可使用下列公式算出它的振動週期。

#### 週期公式

 * $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ （ $L$ 為擺長； $g$ 為當地重力加速度）

一擺長為 $1$ 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 $T\approx 2.0s$ ，這種單擺稱之為秒擺。

#### 公式證明

一單擺擺錘正在擺盪最高處 (此時 $v=0$ )，繩和鉛直線有夾角 $\theta $ ，繩長為 $L$ ，相對於平衡點的位移為 $x$

此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 $-g\sin \theta $ ）

* 繩子之拉力大小 $F$
* 重力大小 $F_{g}=mg$

繩子的拉力 $F$ 有分力

 * $F\cos \theta =mg$
* $F\sin \theta =kx$

 $\because {\underset {\theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\cos \theta =1$ 
 $\therefore F\approx m_{G}g$ 
 $F\sin {\theta }=m_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx$ 
解得 $k={\frac {m_{G}g}{L}}$

代入 $T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}}{k}}}$

得到 $T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}L}{m_{G}g}}}$

根據廣義相對論可知， $m_{I}=m_{G}\,$

故 $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

### 單擺

取 $L$ 為繩的長度， $\theta $ 為繩和垂直平面的線的交角， $\theta _{0}$ 為 $\theta $ 的最大值， $m$ 為錘的質量， ${\ddot {\theta }}$ 表示角度加速度 $\alpha ={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}$ 。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

* 錘速率最高是在 $\theta =0$ 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。
* 運動方程為：

　
: : $mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta $

注意到不論 _θ_ 的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當 $\theta $ 相當小的時候， $\sin \theta \approx \theta $ ，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ 。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

　
: ${{\rm {d}}t \over {\rm {d}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}$

　
: $T=\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}=4\left(\theta _{0}\rightarrow 0\right)$

　
: $T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,{\rm {d}}\theta $

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

　
: $T=4{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}F\left({\sin {\theta _{0} \over 2}},{\pi  \over 2}\right)$

其中 $F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{\rm {d}}\theta .$

週期可以用級數表示成：

　
: $T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]$

　
: $=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]$

### 衝擊擺

衝擊擺是來用計算子彈速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恆，擺運動時能量守恆。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子彈產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將子彈射向停止的錘，使錘和子彈合在一起擺動。設錘質量為 $m_{p}\,$ ，子彈質量和初速度分別為 $m_{b}\,$ 和 _v_，錘和子彈碰撞後的速度為 _u_。

以下是子彈速度的計算方法：

由動量守恆定律，

　
: $m_{b}\times v+m_{p}\times 0=(m_{b}+m_{p})\times u$

由能量守恆定律，

　
: ${\frac {1}{2}}(m_{b}+m_{p})u^{2}=(m_{b}+m_{p})gh$

解得 $v={\frac {(m_{b}+m_{p}){\sqrt {2gh}}}{m_{b}}}$ 。

### 倒單擺

倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。

最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。

另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。

倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。

### 錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

### 複擺（物理擺 /compound pendulum)

當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 $T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}$

### 雙擺 (complex pendulum/double pendulum)

雙擺系統是混沌的。

### 磁性擺

和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

## 應用

### 傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

### 鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

* 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
* 以木製擺 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

## 參考

* Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
* The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005