拉比诺维奇-法布里康特方程

**拉比諾維奇 - 法布里康特方程**(Rabinovich-Fabrikant equations) 是 1979 年蘇聯物理學家拉比諾維奇和法布里康特提出模擬非平衡介質自激波動的非線性常微分方程組：

　
: ${\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,$

　
: ${\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,$

　
: ${\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,$

其中 _α_, _γ_ 是控制系統的參數.

Danca and Chen 指出由於拉比諾維奇 - 法布里康特方程包含平方項，因此比較難以分析，即便選擇的參數相同，但由於求解微分方程組的步驟的不同也會導致不同的吸引子。

## 數值解

利用 Maple 中以龍格－庫塔法 rkf45 為核心的軟體包 odeplot 和 plot、seq 可以得出拉比諾維奇 - 法布里康特方程的數值解的 3D 動畫圖，以便觀察拉比諾維奇 - 法布里康特系統隨參數 γ 和時間 t 的變化：

參數值：α=1.1，γ=0.803..0.917，t=0...130

初始條件：x (0)=-1,y (0)=0,z (0)=0.5

在 t<20 時，系統表現為自激振動，當 t>20, 系統進入混沌態。

 

### 平衡點

 
拉比諾維奇 - 法布里康特系統具有 5 個雙曲線平衡點，一個在原點，4 個依賴於系統參數 α _和 γ ' ： 。_

 

　
: ${\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)$

　
: ${\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)$

　
: ${\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)$

其中：

　
: $q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}$

這些平衡點只存在於參數 _α_ and _γ_ > 0 的一些區域。

當 α=1.1,γ=0.87
代人上式可得：

1. [0,0,0]
2. [.46748585798513339859, -2.3530123557983251267, .95430463972208895291]
3. [-.46748585798513339859, -2.3530123557983251267, .95430463972208895291]
4. [1.3347123182858183570, -.82414763460993508052, .62751354209609286530]
5. [-1.3347123182858183570, -.82414763460993508052, .62751354209609286530]

### γ = 0.87, α = 1.1

當 _γ_ = 0.87 and _α_ = 1.1，初始條件為 (−1, 0, 0.5). The 關聯維數 為 2.19 ± 0.01. 李雅普諾夫指數， _λ_ 約為 0.1981, 0, −0.6581 卡普蘭 - 約克量綱， _D_KY ≈ 2.3010。

### γ = 0.1

Danca and Romera 指出當參數 _γ_ = 0.1、 _α_ = 0.98 時，系統進入混沌狀態，當 _α_ = 0.14 時，系統進入極限環。

 

利用 Maple 中以龍格－庫塔法 rkf45 為核心的軟體包 odeplot 和 plot、seq 可以得出拉比諾維奇 - 法布里康特方程的數值解的 3D 動畫圖，以便觀察拉比諾維奇 - 法布里康特系統隨參數 α 的變化：

參數值：γ=0.14，t=0...130,

初始條件：x (0)=-1,y (0)=0,z (0)=0.5

## 參考文獻

Grassberger, P.; Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, **9**: 189–208. Bibcode:1983PhyD....9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. 

Rabinovich, Mikhail I.; Fabrikant, A. L. Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media. Sov. Phys. JETP. 1979, **50**: 311. Bibcode:1979JETP...50..311R. 

Sprott, Julien C. Chaos and Time-series Analysis. Oxford University Press. 2003: 433. ISBN 0-19-850840-9. 

Danca, Marius-F.; Romera, Miguel. Algorithm for Control and Anticontrol of Chaos in Continuous-Time Dynamical Systems. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series B: Applications & Algorithms (Watam Press). 2008, **15**: 155–164. ISSN 1492-8760. hdl:10261/8868. 

Danca, Marius-F.; Chen, Guanrong. Birfurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium. International Journal of Bifurcation and Chaos (World Scientiﬁc Publishing Company). 2004, **14** (10): 3409–3447. Bibcode:2004IJBC...14.3409D. doi:10.1142/S0218127404011430. 

## 外部連結

* Weisstein, Eric W. "Rabinovich–Fabrikant Equation." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* Chaotics Models a more appropriate approach to the chaotic graph of the system "Rabinovich–Fabrikant Equation" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）