挂谷集合

在數學中，**掛谷集合**（Kakeya set）或者**貝西科維奇集合**，是一個在歐幾里德空間中的點的集合，包含了在任何方向上的單位線段。例如，歐幾里德平面中的一個半徑為 1/2 的圓盤，或在三維空間中一個半徑為 1/2 的球，形成了一個掛谷集。 許多在此方面的研究已經研究了這樣的點集面積最小值的問題。 貝西科維奇表明貝西科維奇集可以為無限小集。

掛谷轉針集合（有時也稱為掛谷集合）是一個在平面上的更典型的（貝西科維奇）集合，單位線段在其中可以連續旋轉 180 度，使其與其原來的位置顛倒。半徑為的 1/2 圓盤也是掛谷轉針集合的一個例子。

## 掛谷轉針問題

掛谷轉針問題，詢問在平面上是否有一個面積最小的區域 _D_，在其中針可以旋轉 360 度。掛谷宗一於 1917 年首次對於凸集提出此問題。Pál 的研究顯示，凸集的最小面積可以通過一個高為 1 和面積為 1/√3 的 等邊三角形達到。

掛谷似乎認為面積最小的沒有凸性限制的掛谷集 _D_ 將是一個三尖瓣線。然而這是錯誤的；還有較小的非凸掛谷集合。

## 貝西科維奇集合

貝西科維奇可以證明在其中單位長度的轉針可以旋轉一周的區域 _D_ 的面積沒有一個大於 0 的下界。 這個結論建立於他早期對於每個方向上包含單位段的平面集的研究。這樣的集合現在被稱作貝西科維奇集合。 貝西科維奇在 1919 年的工作顯示這樣的點集可以有無限小量度的面積 。在此之前，分析學家可能已經考慮過這個問題。

一種構造貝西科維奇集合的方法（相關圖形見圖右）在 O. 佩龍能夠簡化貝西科維奇的原始結構之後被稱作 "佩龍樹"： 作一個高為 1 的三角形，將其分為二部，將每一部分平移到另一部分上，使得它們的底重合於一些較小的區間。然後這個新圖形便有了更小的面積。

現在，想像我們把我們的三角形分為 8 個子三角形。對於每對相鄰的三角形，重演如上所述的重疊過程，獲得 4 個新圖形，每個包括兩個重疊的三角形。接著，將相鄰的新圖形移動，使其底部分重合，所以我們只剩下兩個圖形，最後用同樣方法將這兩個圖形重合。最後，我們得到了一個看上去像是樹之類的東西的圖形，但面積遠小於原來的三角形。

為了構造更小的點集，將三角形細分為 2n 個三角形，每個三角形的底長為 2−_n_，並執行與我們之前兩次和八次劃分三角形時相同的操作。如果我們在每個三角形上所做的重疊量足夠小，並且我們三角形的細分區域的大小 _n_ 足夠大，我們就可以形成一棵我們想要的面積最小的樹。一個貝西科維奇集合可以由等邊三角形產生的佩隆樹的三個旋轉組合而成。

進一步採用該方法，我們可以構造一個集合序列，其交集是一個度量零的貝西哥維奇集合。這樣做的一種方法是觀察，如果我們有一個平行四邊形，兩個邊在 _x_=0 和 _x_=1 線上，那麼我們就可以找到一個平行四邊形的併集，這些平行四邊形的邊也在這些線上，它們的總面積是任意小的，並且包含了平行四邊形中將 _x_=0 上的一個點連接到 _x_=1 上的一個點的所有直線的平移。這可由貝西奧維奇的構造方法稍變化而得。重複以上，我們可以找到一個集合序列

　
: $K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\cdots $

每一個直線 _x_=0 和 _x_=1 之間的平行四邊形的有限併集，其面積趨向於零，並且每一條都包含單位面積中連接 _x_=0 和 _x_=1 的所有直線的平移。這些集合的交集是一個包含所有這些線的轉換的度量零集，因此這個交集的兩個副本的併集是一個度量零的貝西科維奇集。

除了「萌芽」方法之外，還有其他方法可以構造貝西科維奇的度量零集。例如卡漢使用康托爾集在二維平面中構造一個貝西科維奇測量零點集。 

## 掛谷轉針集合

通過使用 Pál 的技巧，即所謂的 **Pál 連接**（給定兩條平行線，任何單位線段都可以在任意小尺寸的集合上從一個連續移動到另一個），可以從由佩龍樹組成的貝西科維奇集合創建一個單位線段可以在其中連續旋轉 180 度的集合。

1941 年，H.J.van Alphen 證明在半徑為 2+ε（任意 ε>0）的圓內存在任意小的掛谷轉針集合。1965 年，人們發現了面積比三尖瓣線小的單連通的掛谷轉針集合。Melvin Bloom 和 I.J.Schoenberg 各自獨立證明了掛谷轉針集合的面積趨近於布盧姆・勛伯格數 ${\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})$ 。勛伯格推測這個數字是單連通掛谷轉針集合面積的下限。然而，在 1971 年，F.Cunningham 指出，當 ε>0 時，半徑為 1 的圓內存在一個面積小於 ε 的單連通的掛谷轉針集合。

雖然有測量為任意小正數的掛谷轉針集合和測量為 0 的貝西科維奇針組，但沒有測量為 0 量的卡基亞針組。

## 掛谷猜想

### 猜想敍述

然後，在更高維度中，也可以問最小的貝西科維奇集合有多大。這個問題衍生了許多稱為掛谷猜想的猜想，並且開拓了稱為幾何測度論的數學領域。特別是，如果存在測度為零的貝西科維奇集，那麼是否存在某些小於它們所處空間的維數的維度 _s_，使得該掛谷集具有 _s_ 維豪斯多夫測度零？這個問題產生了以下猜想：

　
: **掛谷集合猜想**：將 **R**n 中的貝西科維奇集合定義為一個包含每個方向的單位線段的集合。這樣的集合的豪斯多夫維數和閔科夫斯基維數等於 n.

已知這對於 _n_ = 1,2 是正確的，但是在更高維度中僅知道部分結果。

### 掛谷最大值函數

解決這個問題的一種現代方法是考慮一種特殊類型的最大函數，我們將其構造如下：將 **S**n−1 ⊂ **R**n 表示為 n 維空間中的單位球。定義

 $T_{e}^{\delta }(a)$ 為長度為 1，半徑 δ> 0 的圓柱體，以點 _a_ ∈ **R**n 為中心，其長邊平行於單位矢量 _e_ ∈ **S**n−1 的方向。然後對於局部可積函數 f，我們定義 f 的**掛谷極大值函數**

　
: $f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)$

　
: 其中 _m_ 表示 n 維勒貝格度量。請注意 $f_{*}^{\delta }$ 定義為球體 **S**n−中的向量 e。

然後對這些函數進行猜想，如果猜想是真的，將推出更高維度的掛谷集猜想：

　
: **掛谷極大函數猜想**：對於所有 ε > 0，存在一個常數 _Cε_ > 0，這樣對於任何函數 f 和所有 δ> 0，（參見符號的 lp 空間）

　
: $\left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.$

### 成果

以下是一些有利於證明掛谷猜想的成果：

* 掛谷猜想在 _n_ = 1 (平凡地) 和 _n_ = 2 (Davies) 時成立。
* Wolff 表明在任何 n 維空間中，掛谷集的維數必須至少為（n + 2）/ 2。
* 2000 年，Katz、Łaba 和陶哲軒證明掛谷集合的閔科夫斯基維數在維數為 3 時嚴格地大於 5/2。
* 2000 年，讓・布爾甘將掛谷問題與算術組合學聯繫起來， 其中包括諧波分析和加法理論。
* 2002 年，Katz 和陶哲軒將 Wolff 的限制範圍縮小到了 $(2-{\sqrt {2}})(n-4)+3$ ，更適合 n > 4 的情況。
* 2017 年，Katz 和 Zahl 將 3 維中貝西科維奇集合的豪斯多夫維數的下限推進到 $5/2+\epsilon $ 且確認常數 $\epsilon >0$ 。

## 在分析學的應用

有些令人驚訝的是，這些猜想已經被證明與其他領域的一些問題有關，特別是在諧波分析中。例如，在 1971 年，Charles Fefferman 能夠使用貝西科維奇集構造來證明，在大於 1 的維度中，當 p≠2 時，截斷的傅立葉積分不需要在 _Lp_ 範數中收斂（這與一維情況相反，在這種情況下，截斷的整群確實收斂）。

## 掛谷問題的類比和推廣

### 包含圓和球體的集合

掛谷問題的一個類推，是要求集合包含其他形狀，例如圓形或球面，而非原問題的線段。

* 在 1997 年和 1999 年，沃爾夫證明了：若一個集合包含每個半徑的球面，則該集合的維度必須等於等於它所處的空間的維度。其證明方式是先給出圓形最大函數（類似掛谷最大函數）的一個界限。
* 有人猜想，存在一個零測集，其包含以每個點為中心的球面。然而，埃利亞斯・施泰因的結果證明，當 n≥3 時，所有這些集合必須具有正測度，而對於 n = 2 的情況，Marstrand 證明了同樣的結論。

### 包含 k 維圓盤的集合

掛谷猜想的一個推廣是考慮包含每個 k 維子空間的一部分的集合，而不是每個方向的線段。定義 **(_n_, _k_)- 貝西科維奇集**_K_ 為 **R**n 中的緊緻集，其勒貝格測度為零，且包含每個方向的 k 維單位圓盤的平移，即：若以 _B_ 表示以零為中心的單位球，則對於每個 k 維子空間 _P_，存在 _x_ ∈ **R**n 使得 (_P_ ∩ _B_) + _x_ ⊆ _K_。因此，(_n_, 1)- 貝西科維奇集就是前面描述的標準貝西科維奇集。

　
: **(_n_, _k_)- 貝西科維奇猜想：**對於 _k_ > 1，不存在 (_n_, _k_)- 貝西科維奇集。

1979 年，Marstrand 證明了不存在 (3, 2)- 貝西科維奇集。大約在同一時間，Falconer 證明了當 2_k_ > _n_ 時，不存在 (_n_, _k_)- 貝西科維奇集。截至 2020 年，最優的成果是，Bourgain 證明了當 2k−1 + _k_ > _n_ 時，不存在這樣的集。

### 在有限域的向量空間的掛谷集

1999 年，Wolff 提出了 Kakeya 問題的有限域模擬，希望解決這一猜想的技術可以推廣到歐幾里德情形。

　
: **有限域 Kakeya 猜想：**令 **F** 為有限域，令 _K_ ⊆ **F**n 為掛谷集，即對於每個向量 _y_ ∈ **F**n 存在 _x_ ∈ **F**n 使 _K_ 包含一條直線 {_x_ + _ty_ : _t_ ∈ **F**}。集合 _K_ 的大小至少為 _cn_|**F**|n ，其中 _cn_>0 是只與 _n_ 有關常量。

Zeev-Dvir 在 2008 年證明了這個猜想，表明這個說法適用於 _cn_ = 1/_n_!。 在他的證明中，他觀察到掛谷集上 _n_ 元次數低於 |**F**| 的為零的多項式必須為零。另一方面，次數低於 |**F**| 的 _n_ 元多項式形成有以下維數的向量空間： ${|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.$

因此，至少有一個次數小於 |**F**| 的非平凡多項式在任何給定集上收斂，且點數小於此數。結合這兩個觀察結果，Kakeya 集必須至少有 |**F**|n/_n_! 個點。

現在仍未清楚這些技術是否會延伸到證明原始掛谷猜想，但這一證明確實使基本代數反例不太可能，從而為原始猜想提供了可信度。Dvir 撰寫了一篇關於有限域掛谷問題及其與隨機抽取器關係的綜述文章。

## 參見

* 移動沙發問題

## 注釋

## 參考文獻

* Besicovitch, Abram. The Kakeya Problem. American Mathematical Monthly. 1963, **70** (7): 697–706. JSTOR 2312249. MR 0157266. doi:10.2307/2312249.
* Dvir, Zeev. On the size of Kakeya sets in finite fields. Journal of the American Mathematical Society. 2009, **22** (4): 1093–1097. Bibcode:2009JAMS...22.1093D. MR 2525780. arXiv:0803.2336 . doi:10.1090/S0894-0347-08-00607-3.
* Falconer, Kenneth J. The Geometry of Fractal Sets. Cambridge Tracts in Mathematics **85**. Cambridge: Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284.
* Kakeya, Soichi. Some problems on maximum and minimum regarding ovals. Tohoku science reports. 1917, **6**: 71–88.
* Katz, Nets Hawk; Łaba, Izabella; Tao, Terence. An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in $\mathbf {R} ^{3}$ (PDF). Annals of Mathematics. 2000, **152** (2): 383–446. JSTOR 2661389. MR 1804528. doi:10.2307/2661389.
* Wolff, Thomas. Recent work connected with the Kakeya problem. Rossi, Hugo (編). Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University. Providence, RI: American Mathematical Society. 1999: 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476.
* Wolff, Thomas. Łaba, Izabella; Shubin, Carol , 編. Lectures on Harmonic Analysis. University Lecture Series **29**. With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254. doi:10.1090/ulect/029.

## 外部連結

* Kakeya at University of British Columbia （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Besicovitch at UCLA （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Kakeya needle problem at mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）