折纸公理

**摺紙公理**，又稱**藤田－羽鳥公理**或**藤田－賈斯汀公理**，是摺紙數學的基本公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行，並且所有摺痕都是直線，那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作。

摺紙定理最早於 1989 年由雅克・賈斯汀（Jacques Justin）發現。截至目前為止，共推衍了 7 個公理，其中，公理 1－6 又於 1991 年由日裔義大利數學家藤田文章發現。定理 7 也於 2001 年由羽鳥公士郎發現。賈斯汀和羅伯特・朗（Robert J. Lang）也同樣發現了公理 7。

## 七個公理

前 6 個公理又叫做藤田公理，公理 7 由羽鳥公士郎發現，賈斯汀和羅伯特・朗（Robert J. Lang）也同樣發現了公理 7。7 條公理如下：

1. 給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
2. 給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，有且僅有一種方法把 $p_{1}$ 折到 $p_{2}$ 上。
3. 給定兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以把 $l_{1}$ 折到 $l_{2}$ 上。
4. 給定一點 $p_{1}$ 和一條直線 $l_{1}$ ，有且僅有一種方法過 $p_{1}$ 折出 $l_{1}$ 的垂線。
5. 給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 和一條直線 $l_{1}$ ，可以沿過 $p_{2}$ 的直線將 $p_{1}$ 折到 $l_{1}$ 上。
6. 給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 和兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以一次將 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 分別折到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上。
7. 給定一點 $p$ 和兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以沿著 $l_{2}$ 的垂線將 $p_{1}$ 折到 $l_{1}$ 上。

公理 5 可能有最多 2 個解，公理 6 可能有最多 3 個解，而尺規作圖的公理最多只有兩個解。所以，摺紙的作圖能力要強於尺規作圖。就是說，尺規作圖相當於在解二次方程，而摺紙幾何相當於解三次方程。因而諸如三等分角、倍立方等尺規作圖無法解決的問題卻可以用摺紙幾何解決。但是公理 6 在實踐中需要將紙「滑動」，這其實相當於二刻尺作圖，這在標準的尺規作圖中是不被允許的。

羅伯特・朗證明了這七個公理已經是摺紙幾何的全部公理了。

### 公理 1

給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。

以參數方程表示的話，過 2 點的直線可以表示為：

　
: $F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).$

### 公理 2

給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，有且僅有一種方法把 $p_{1}$ 折到 $p_{2}$ 上。

這條公理相當於是作線段 ${\overline {p_{1}p_{2}}}$ 的垂直平分線。這可以通過以下四個步驟完成：

* 使用**公理 1** 作出連結 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 的直線 $P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$
* 找到直線 $P(s)$ 的中點 $p_{mid}$
* 找到垂直於 $P(s)$ 的向量 $\mathbf {v_{perp}} $
* 摺痕的參數方程表示為：

　
: $F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {perp} }.$

### 公理 3

給定兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以把 $l_{1}$ 折到 $l_{2}$ 上。

這條公理相當於是找出 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 組成的角的平分線。假設 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 是 $l_{1}$ 上任意兩點， $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 是 $l_{2}$ 上任意兩點， $\mathbf {u} $ 和 $\mathbf {v} $ 分別是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 方向的單位向量：

　
: $\mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|$

　
: $\mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.$

如果兩直線不平行，它們的交點為：

　
: $p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} $

其中

　
: $s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} _{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} _{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.$

兩條直線所夾的一個角的平分線方向是：

　
: $\mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.$

摺痕的參數方程是：

　
: $F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .$

這兩直線還有另一個角平分線，兩條角平分線互相垂直，且都過點 $p_{int}$ 。而沿著任意一條角平分線折都能將 $l_{1}$ 折到 $l_{2}$ 上。但在實踐中可能因為交點的位置（比如交點在紙外）使沿著其中一條角平分線的摺疊無法實施。

如果兩條直線平行，那麼只要沿著兩直線中間的一條線（與兩直線平行，到兩直線距離相等）摺疊就可以將 $l_{1}$ 折到 $l_{2}$ 上

### 公理 4

給定一點 $p_{1}$ 和一條直線 $l_{1}$ ，有且僅有一種方法過 $p_{1}$ 折出 $l_{1}$ 的垂線。

向量 $\mathbf {v} $ 是垂直於 $l_{1}$ 的單位向量，那麼摺痕的參數方程是：

　
: $F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .$

### 公理 5

給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 和一條直線 $l_{1}$ ，可以沿過 $p_{2}$ 的直線將 $p_{1}$ 折到 $l_{1}$ 上。

這個公理相當於找出圓和直線的交點，所以有最多 2 個解，最少也可能無解。這取決於直線 $l_{1}$ 和以 $p_{2}$ 為圓心， $p_{2}$ 到 $p_{1}$ 的距離為半徑的圓的位置關係。如果直線和圓不相交則無解，相切則有 1 解，相交則有 2 解.

如果我們知道直線上兩點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，那麼直線可以表示為：

　
: $x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})\,$

　
: $y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).\,$

如果圓心 $p_{2}=(x_{c},y_{c})$ ，半徑 $r=\left|p_{1}-p_{2}\right|$ 。那麼這個圓可以表示為：

　
: $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.\,$

為了確定圓和直線的交點，將直線方程代入圓方程，得：

　
: $(x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.\,$

或者可以簡化為：

　
: $as^{2}+bs+c=0\,$

其中：

　
: $a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\,$

　
: $b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})\,$

　
: $c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.\,$

然後，只要解以下方程就能確定直線和圓的交點：

　
: ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

如果判別式 $b^{2}-4ac<0$ ，那麼方程無實數解，圓和直線沒有交點；如果辨別式等於 0，那麼方程有一解，圓和直線相切；如果辨別式大於 0，方程有兩解，圓和直線有兩個交點。令 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 是兩個交點（如果存在），那麼，我們可以得到線段如下：

　
: $m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}\,$

　
: $m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.\,$

摺痕 $F_{1}(s)$ 垂直平分 $m_{1}$ ，可以將 $p_{1}$ 折到 $d_{1}$ 。同樣，摺痕 $F_{2}(s)$ 垂直平分 $m_{2}$ ，可以將 $p_{1}$ 折到 $d_{2}$ 。只要應用公理 2 就可以找到垂直平分線。摺痕的參數方程是：

　
: ${\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})_{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})_{\perp }.\end{aligned}}$

### 公理 6

給定兩點 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 和兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以一次將 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 分別折到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上。

這個公理相當於找到同時與兩條拋物線相切的直線，等價於解一個三次方程。兩條拋物線的焦點分別是 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，準線分別是 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 。

### 公理 7

給定一點 $p$ 和兩直線 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，可以沿著 $l_{2}$ 的垂線將 $p_{1}$ 折到 $l_{1}$ 上。

過 $p$ 點作 $l_{2}$ 的平行線，交 $l_{1}$ 於 $q$ ，這個公理就是要找出線段 ${\overline {pq}}$ 的垂直平分線。沿著這條垂直平分線折，就可以將 $p$ 折到 $q$ 上。

## 參考資料

## 外部連結

* Origami Geometric Constructions by Thomas Hull
* A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Roger C. Alperin
* Lang, Robert J. Origami and Geometric Constructions (PDF). Robert J. Lang. 2003 [2007-04-12]. （原始內容存檔於 2012-03-10）.