数列

**數列**（英語：Number sequence）是由數字組成的序列，也就是以正整數系為定義域，值域包含於某數系的函數。數列及其相關術語常用於有關遞推規律的研究，而級數本身更是一種特殊的數列。

數列是特殊的序列，全部由數字組成。序列則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列矢量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成，但有的微積分教材會用序列一詞來稱呼數列，讀者需要自己留意。

## 正式定義

考慮到最一般的數為複數，可以作如下的定義：

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

　
: $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle $

以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。 $a_{1}$ 為數列的「第一項」、 $a_{2}$ 為「第二項」，以此類推。 $n$ 被稱為有限數列的**項數**。數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}$ ，換句話說，把 $0$ 加入數列的定義域，並以第零項 $a_{0}$ 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 $0$ 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 $a_{1}$ 。

數列中各個項的和稱為「級數」，換句話說

一般會將 ${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 寫為 $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ ，甚至更直觀的 $a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ 來凸顯級數源於＂求和＂的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函數級數。

## 分類

### 單調性

* 若對所有 _n_ ∈ **Z**+ ，_a_n+1 ≥ _a_n ，則稱數列 ⟨_a_k⟩ 為「**遞增數列**」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「**嚴格遞增數列**」。
* 若對所有 _n_ ∈ **Z**+ ，_a_n+1 ≤ _a_n ，則稱數列 ⟨_a_k⟩ 為「**遞減數列**」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「**嚴格遞減數列**」。
* 若對所有 _n_ ∈ **Z**+ ，_a_n+1 = _a_n ，則稱數列 ⟨_a_k⟩ 為「**常數數列**」。

### 有限性

* 若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}$ 的項數有限，則 ⟨_a_k⟩ 為「**有限數列**」。
* 若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }$ 的項數無限，則 ⟨_a_k⟩ 為「**無窮數列**」。

### 有界性

* 若對所有 _n_ ∈ **Z**+ ，_M_ ≤ _a_n ≤ _N_ ，則稱數列 ⟨_a_k⟩ 為「**有界數列**」。 _M_ 稱為「下界」， _N_ 稱為「上界」。
* 若對數列 ⟨_a_k⟩ ，上述的 _M_ 、 _N_ 不存在，則稱數列 ⟨_a_k⟩ 為「無界數列」。

## 極限與數列

一個關於數列很重要的性質是收斂，如果一個數列收斂，它收斂到的東西便是它的極限值，一個數列收斂，那它便是**收斂數列**，否則為**發散數列**。

簡單的說，一個數列 $\{x_{n}\}$ 有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近 $L$ (我們稱為極限值)，但是它們仍然任意得很靠近極限值 $L$ ，而不是真的等於。

舉例來說：當 $a_{n}={\frac {1}{n}}$ 時，隨著 n 的數字增加，可以看到它逐漸趨向於 0。當 $a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}$ 時，隨著 n 的數字增加，可以看到它逐漸趨向於 2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

### 收斂正式定義

我們說一個實數的數列 $\{a_{n}\}$ 收斂到實數 $L$ ，如果有對任意的 $\epsilon >0$ ，存在一個正整數 $N\in \mathbb {N} $ ，使得對所有的 $n\geq N$ ，有 $|a_{n}-L|<\epsilon $

## 重要的特殊數列

* 等差數列：是一種特殊數列。數列中，從第二項起，每一項與前一項的差相等。

　
: : 例如數列 $1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots $ 。

　
: : 這就是一個等差數列，因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等，都等於 $2,9999$ 與 $9997$ 的差也等於 2。我們把像 2 這樣的後一項與前一項的差稱之為公差，符號為 $d$ ，但是 $d$ 可為 0。

　
: : 若設首項 $a_{1}=a$ ，則等差數列的通項公式為 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 。

* 多階等差數列：又稱高階等差數列，中國則稱之為「質數相關數列」。

　
: : 把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，如果這個新的數列是普通等差數列，原數列就稱為二階等差數列。

　
: 由此類推，把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列，如此進行下去，直到最後的數列如果是普通等差數列，那麼原數列就是多階等差數列。

　
: 普通等差數列可以視為一階等差數列，因而常數數列實際就是零階等差數列。

* 等比數列：是一種特殊數列。它的特點是：從第 2 項起，每一項與前一項的比都是一個常數。

　
: : 例如數列 $2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots $ 。

　
: : 這就是一個等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等於 2， $2^{198}$ 與 $2^{197}$ 的比也等於 2。我們把像 2 這樣的後一項與前一項的比稱之為公比，符號為 $r$ 。

　
: : 若設首項 $a_{1}=a$ ，則等比數列的通項公式為 $a_{n}=ar^{n-1}$ 。

* 費氏數列：是一種特殊數列。它的特點是：首兩項均是 1，從第 3 項起，每一項均為前兩項的和。

　
: : 以數學符號表示，即 $a_{1}=a_{2}=1$ ，且對於 $n\geq 3$ ， $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ 。

　
: : 費氏數列的通項公式為 $a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]$ 。

* 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………
* 正負相間： $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n-1}$
* 隔項有零： ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]$ 或 ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]$

## 數列的求和

通常對第 1 項到第 $n$ 項求和，記為 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德・歐拉使用和推廣的。

一個特殊數列求和：奇數數列。1，3，5，7，9，...。其和為項數 $n$ 的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

## 通項公式的求解

通常，從實際問題中會先得到一個遞迴關係式，但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學、線性代數、機率論、組合數學、趣味數學、數學物理、數學建模、數值分析、碎形等領域中都會遇到。沒有一種解法是通用的。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。

### 數學歸納法

求出該數列的前數項，歸納其通項公式，然後用數學歸納法證明公式正確。

數學歸納法是最基本的方法，但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律，則不能使用此方法。

### 逐差全加

給定數列差 $d_{n}$ 時逐差全加，例如：

　
: $a_{1}=1$ ， $d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n$ , 求 $a_{n}$

　
: $a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1$

### 逐商全乘

給定數列比 $r_{n}$ 時逐差全乘，例如：

　
: $a_{1}=1$ ， $r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}$ ，求 $a_{n}$

　
: $a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n$

### 從和式求通項

如果已知數列和的公式，那麼通項的求解非常容易。由 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}$ 可知 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$

把 $S_{n}$ 看成一個數列，可以先對 $S_{n}$ 進行求解，然後得出 $a_{n}$ 。

### 換元法

換元法用於從形式上簡化表達式，以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用，而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函數換元法，還有用得很少的雙曲函數換元法。

### 不動點法

對於形如齊次分式的遞迴關係，可利用不動點來推導。

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$ ，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是常數，求 $a_{n}$ 。 
求這類數列的通項公式，一般的方法就是將之化成一個新的等比數列。

* 如果 $A\neq -B$ ，那麼這個式子就可以化成下面的形式：

 $A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)$ 。 
求出 $k$ ，那麼數列 ${a_{n}+k}$ 就是一個等比數列，從而求出通項公式。 

* 如果 $A=-B$ ，這個遞迴關係就不能化為等比數列。如果 $A=-B$ ，那麼它就是等差數列。另外，當 $A=B$ 的時候，它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到，等和數列也可以化成一個等比數列。
* 除此之外也可以這樣將之化成等比數列：

 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$ 
 $Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0$ 
兩邊相減就有： $A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0$ ，如此就化成了一個等比數列。 

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0$ , 其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都為常數，求 $a_{n}$ ； 
與上述數列一樣，它們一定可以化成下面的形式： 
 $Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D$ 
求出對應係數，於是就轉化成了前面那種形式，然後就可以求出數列 ${Aa_{n}+Ea_{n-1}}$ 的通項公式，然後求出 $a_{n}$ 的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。 

### 其它方法

其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函數方法、特徵方程式法，這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程式法專門用於線性遞迴關係式的化簡，與求解線性微分方程式的特徵方程式法非常類似。

## 在其他數學領域的使用

### 拓樸

### 分析

### 線性代數

### 抽象代數

## 參見

* 整數數列線上大全 (OEIS)

## 參考資料