拉開

在數學中，**拉開**（法文：éclatement，英文：blowing up）、**單項變換**或 **σ- 過程**是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 $M$ 上一點 $Z$ 的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 $\mathrm {Bl} _{Z}:{\tilde {M}}\rightarrow M$ ，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。

## 對仿射空間中一點作拉開

以下僅考慮複數域 $\mathbb {C} $ 上的情形，一般構造準此可知。

令 $Z$ 為複仿射空間 $\mathbb {C} ^{n}$ 的原點，仿射空間的元素以坐標表為 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 。令 $\mathbb {P} ^{n-1}$ 為 $(n-1)$ - 維複射影空間，其元素以齊次坐標表示為 $(y_{1}:\ldots :y_{n})$ 。 令 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 為 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}$ 中由等式 $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ 定義之閉子集，其中 $i,j=1,\ldots ,n$ 。則投影態射

　
: $\pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}$

自然地導出態射（特別也是全純函數）

　
: $\pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.$

此態射 $\pi $ （或者更常指空間 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ ）稱為 $\mathbb {C} ^{n}$ 的**拉開**。

**例外除數** $E$ 定義為 $Z$ 對態射 $\pi $ 的逆像。可以證明

　
: $E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}$

同構於射影空間。它是個非負除數，而且在 $E$ 之外 $\pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z$ 是同構。因此 $\pi $ 是 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 與 $\mathbb {C} ^{n}$ 之同構。

## 對複流形的子流形作拉開

一般來說，我們可以開任何餘維為 $k$ 的複子流形 $Z\subset \mathbb {C} ^{n}$ 。設 $Z$ 由方程式 $x_{1}=\cdots =x_{k}=0$ 定義，並設 $(y_{1}:\ldots :y_{k})$ 為 $\mathbb {P} ^{k-1}$ 上的齊次坐標。沿 $Z$ 的拉開 ${\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}$ 定義為方程 $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ （對所有 $i,j$ ）在空間 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}$ 中定義的閉子集。

進一步推廣，我們可拉開任何複流形 $X$ 的任一複子流形 $Z$ ，方式是局部上化約到上述情形，拉開後再予以黏合。效果依然，我們將 $Z$ 拉開為例外除子 $E$ 。而拉開態射

　
: $\pi :{\tilde {X}}\to X$

依然是雙有理的，並在 $E$ 外是同構。 $E$ 可自然地視作 $Z$ 的法叢的射影化，因此 $\pi |_{E}:E\to Z$ 局部上是纖維化映射，其纖維為 $\mathbb {P} ^{k-1}$ 。

由於 $E$ 是平滑除子，其法叢為線叢。對於曲面的情形，可證明 $E$ 的自相交數為負，這表明其法叢沒有整體上定義的截面。 $E$ 是其同調類在 ${\tilde {X}}$ 上的唯一代表，原因在於：假設 $E$ 經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形，則它和 $E$ 的相交數必為正，故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

設 $V$ 維某個 $X$ 中不等於 $Z$ 的複子流形。若 $V$ 不交 $Z$ ，則它本質上不受沿 $Z$ 的拉開影響。然而若有相交，則 $V$ 在 ${\tilde {X}}$ 中導出兩個幾何對象：一者是**真變換**或稱**嚴格變換**，它是 $\pi ^{-1}(V\setminus Z)$ 在 ${\tilde {X}}$ 中的閉包，其法叢一般與 $V$ 的不同。另一者是**全變換**，包含 $E$ 的全體或一部分，其同調類基本上是 $V$ 的上同調類之拉回。

## 推廣：概形的拉開

拉開可以在一般的概形上定義。令 $X$ 為一概形，並設 ${\mathcal {I}}$ 為其上一凝聚理想層， $X$ 沿 ${\mathcal {I}}$ 的拉開是概形 ${\tilde {X}}$ 及真態射

　
: $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$

使得 $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ 是可逆層，此拉開由下述泛性質刻劃：

　
: 對任何態射 $f:Y\rightarrow X$ ，若它使得 $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ 是可逆層，則 $f$ 唯一地透過 $\pi $ 分解。

此拉開可具體地由

　
: ${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})$

構造。當 $X$ 是擬射影概形時， $\pi $ 將是射影態射。

## 重要性質

### 與有理映射的關係

### 與奇點解消的關係

### 曲面的拉開

在平滑的射影曲面上，任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具：

**定理** . 設 $X$ 為平滑射影曲面， $D=\sum C_{i}$ 為 $X$ 上一個既約除數，若其相交矩陣 $(C_{i}\cdot C_{j})_{ij}$ 負定，則 $X$ 可表成某個代數曲面的拉開，使得 $D$ 為其例外除數。

### 相交理論

## 相關的建構

### 向法錐變形

**向法錐變形**的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 $X$ 及其閉子概形 $V$ ，我們在 $Y:=X\times \mathbb {A} ^{1}$ 中拉開 $V\times (0)$ ，則

　
: ${\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}$

是纖維化映射。沿著 $\mathbb {A} ^{1}$ 的一般纖維自然同構於 $X$ ，而中心纖維則是兩個概形的併集：一者是 $X$ 沿 $V$ 的拉開；另一者則是 $V$ 的法錐，其中我們將纖維緊化為射影空間。

### 辛流形的拉開

拉開也可以在辛流形的範疇中施行，稱作**辛拉開**。方式是將辛流形賦予殆複結構，然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義，我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式，因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 $E$ 延拓，而必須在 $E$ 的一個鄰域上修改之；或藉著將 $Z$ 的一個開鄰域切下，然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論，其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

## 文獻

* Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98549-7.
* Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 978-0-471-32792-9.
* Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9.
* McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 978-0-19-850451-1.