拉格朗日對偶

在最優化理論中的**對偶**（duality）或**對偶性原則**（duality principle）是指最佳化問題可以用兩種觀點來看待的理論，兩種觀點分別是「原始問題」（primal problem）及「對偶問題」（dual problem）。對偶問題的解提供了原始問題（假設是最小化問題）的下限，不過一般而言，原始問題和對偶問題的最佳解不相同。兩個最佳解的差距為對偶間隙。若是凸優化問題，對偶間隙也稱為是卡魯什 - 庫恩 - 塔克條件。

## 對偶問題

一般而言「對偶問題」是指「拉格朗日對偶問題」（Lagrangian dual problem），不過也有其他的對偶問題，例如 Wolfe 對偶問題和 Fenchel 對偶問題。拉格朗日對偶問題是指在最小化問題上加上拉格朗日乘數，也就是在目標函數上加上對應限制條件的非負拉格朗日乘數，再求解可將原目標函數最小的原始變數值。此解會得到以拉格朗日乘數的函數表示的原始變數，稱為是「對偶變數」（dual variables），因此，新的問題就是要衍生對偶變數的限制下（包括非負的限制條件），找到可以使目標函數最大化的對偶變數。

一般而言，給定二個對偶對的分隔局部凸空間 $\left(X,X^{*}\right)$ 及 $\left(Y,Y^{*}\right)$ ，以及函數 $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ，可以定義原始問題為找到 ${\hat {x}}$ 使得 $f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,$ 換句話說，若 ${\hat {x}}$ 存在， $f({\hat {x}})$ 是函數 $f$ 的最小極值（minimum），也可以得到函數的最大下界（infimum）。

若有限制條件，可以整合到函數 $f$ 中，方式是令 $f=f+I_{\text{constraints}}$ ，其中 $I_{\mathrm {constraints} }$ 是在 $X$ 上的適當函數，在限制條件上有最小值 0，可以證明 $\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)=\inf _{x\ \mathrm {constrained} }f(x)$ 。後者的條件很明顯，但不一定很方便可以符合示性函數（也就是說，滿足限制條件的 $x$ ， $I_{\mathrm {constraints} }(x)=0$ ，在其他情形， $I_{\mathrm {constraints} }(x)=\infty $ ）。因此可以將 ${\tilde {f}}$ 延伸為擾動函數 $F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ 使得 $F(x,0)={\tilde {f}}(x)$ 。

對偶間隙就是不等式

　
: $\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),\,$

左側和右側的差。

其中 $F^{*}$ 是二個變數的凸共軛，而 $\sup $ 是上確界

## 線性規劃

線性規劃問題是指損失函數和約束都是線性關係的最優化問題。原始問題中，目標函數是 _n_ 個變數的線性組合，問題有 _m_ 個約束，每一個都有上限，上限由 _n_ 個變數的線性組合表示。其目的是要在滿足限制條件的情形下，最大化目標函數的值。其解是由 _n_ 個值表示的向量，可以讓目標函數有最大值。

在對偶問題中，目標函數是 _m_ 個值的線性組合，這些是原始問題中 _m_ 個限制條件的上下限。有 _n_ 個對偶限制條件，每一個的下限都是由 _m_ 個對偶變數的線性組合所表示。

### 原始問題和對偶問題的關係

針對線性的最佳化問題，在原始問題中每一個符合限制條件的次佳點，都有一個方向（或方向的子空間），可以往目標函數增加的方向移動。若往這類的方向移動，稱為除去候選解和一個或多個限制之間的鬆弛量（slack）。候選解中不可行的值即為超過一個或多個限制的值。

在對偶問題中，會將對偶向量和限制條件相乘，這些限制條件會決定原始問題中限制條件的位置。在對偶問題中變動對偶向量類似在原始問題中調整上限。要找到最小的上限。也就是說，要將對偶向量最小化，以移除限制的候選位置和實際最佳解之間的鬆弛量（slack）。對偶向量中的不可行值是指哪些太低的值。這會讓候選解的一個或多個限制條件落在排除實際最佳解的位置。

在線性規劃中探討對偶性的方程式中，會對上述直覺有型式化的敘述。

## 非線性規劃

非線性規劃中的限制條件不一定是線性的，不過許多線性規劃的原則還是適用。

為了確保可以簡單的識別非線性規劃中的全域最大值，問題一般會要求函數要是凸函數，而且有緊緻的 lower level sets。

由此可以看出卡魯什 - 庫恩 - 塔克條件的重要性。卡魯什 - 庫恩 - 塔克條件可以提供非線性規劃問題中識別局部最佳值的必要條件。也有一些額外的必要條件（約束規範，constraint qualifications）可以用來判斷可能有「最佳解」（是局部最佳解，但不一定是全域最佳解）的方式。

### 強拉格朗日原則：拉格朗日對偶

考慮以下形式的非線性規劃：

　
: ${\begin{aligned}{\text{minimize }}&f_{0}(x)\\{\text{subject to }}&f_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\ldots ,m\right\}\\&h_{i}(x)=0,\ i\in \left\{1,\ldots ,p\right\}\end{aligned}}$

其定義域 ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 有非空的內部。其拉格朗日函數 $\Lambda :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} $ 定義為

　
: $\Lambda (x,\lambda ,\nu )=f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x).$

向量 $\lambda $ 和 $\nu $ 是有關此問題的「對偶變數」（dual variables）或拉格朗日乘數向量（Lagrange multiplier vectors）。拉格朗日對偶函數（Lagrange dual function） $g:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} $ 定義如下

　
: $g(\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\Lambda (x,\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\left(f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x)\right).$

對偶函數 _g_ 是凹函數，就算初始問題不是凸也會如此，因為是仿射函數的點狀最大下界。對偶函數提供初始問題最佳值 $p^{*}$ 的下界：針對任意 $\lambda \geq 0$ 及任意 $\nu $ ，可以得到 $g(\lambda ,\nu )\leq p^{*}$ 。

若滿足約束規範（例如斯萊特條件），且原問題是凸，則可以得到強對偶 $d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=\inf f_{0}=p^{*}$ 。

### 凸問題

針對有不等式限制的凸最小化問題

　
: ${\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

拉格朗日對偶問題為

　
: ${\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximize} }}&&\inf _{x}\left(f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

其中目標函數是拉格朗日對偶函數。假設函數 $f$ and $g_{1},\ldots ,g_{m}$ 連續可微，最大下界出現在梯度等於零的位置。問題

　
: ${\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\,\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}$

稱為 Wolfe 對偶問題。此問題用計算的方式處理可能會很困難，因為目標函數在聯合變數 $(u,x)$ 上不是凹。而且，一般而言，等式的限制條件 $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\,\nabla g_{j}(x)$ 也是非線性的，因此 Wolfe 對偶問題一般而言會不會是凸最佳化問題。不論如何，弱對偶會成立。

## 歷史

依照喬治・伯納德・丹齊格所述，在丹齊格提出了線性規劃問題後，約翰・馮・諾伊曼就提出了線性規劃的對偶性定理的猜想。馮・諾伊曼注意到他使用了來自其博弈論中的資訊，並且猜想兩人零和的矩陣博弈和線性規劃等效。嚴謹的證明最早是由阿爾伯特・塔克和其團隊發表（丹齊格在 Nering 和塔克 1993 年著作中的前言）

## 相關條目

* 凸共軛
* 對偶 (數學)
* Relaxation (近似)

## 腳註

## 參考資料

### 書籍

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### 論文

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* Duality in Linear Programming （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Gary D. Knott