拉普拉斯算子

在數學以及物理中，**拉普拉斯算子**或是**拉普拉斯算符**（英語：**Laplace operator, Laplacian**）是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度的散度給出的微分算子，通常寫成 $\Delta $ 、 $\nabla ^{2}$ 或 $\nabla \cdot \nabla $ 。

這名字是為了紀念法國數學家皮耶 - 西蒙・拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零 $\Delta f=0$ 的函數稱為調和函數，現在稱為拉普拉斯方程式，和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程式裡。例如，常用於波方程式的數學模型、熱傳導方程式、流體力學以及亥姆霍茲方程式。在靜電學中，拉普拉斯方程式和卜瓦松方程式的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。

拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子，並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和計算機視覺中，拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測和邊際檢測等的各種任務。

## 定義

拉普拉斯算子是 **n** 維歐幾里得空間中的一個二階微分算子，其定義為對函數 $f$ 先作梯度運算（ $\nabla f$ ）後，再作散度運算（ $\nabla \cdot \nabla f$ ）的結果。因此如果 $f$ 是二階可微的實函數，則 $f$ 的拉普拉斯算子定義為：

　
: $\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$ ── (1)

 $f$ 的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標系 $x_{i}$ 中的所有非混合二階偏導數：

　
: $\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$ ── (2)

作為一個二階微分算子，對於 _k_ ≥ 2，拉普拉斯算子把 _C_k 函數映射到 _C_k-2 函數。表達式（(1) 或 (2)）定義了一個算子 Δ：_C_k(**R**n)→ _C_k-2(**R**n)，或更一般地，定義了一個算子 Δ：_C_k(Ω)→ _C_k-2(Ω)，對於任何開集 Ω。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的海森矩陣的跡：

　
: $\Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!$

## 坐標表示式

### 二維空間

　
: : $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

　
: 其中 **x** 與 **y** 代表 x-y 平面上的笛卡兒坐標

　
: 另外極坐標的表示法為：

　
: $\Delta f={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}$

### 三維空間

　
: **笛卡兒坐標系**下的表示法

　
: $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

　
: **圓柱坐標系**下的表示法

　
: $\Delta f={1 \over \rho }{\partial  \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.$

　
: **球坐標系**下的表示法

　
: $\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.$

### _N_ 維空間

在參數方程式為 $x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}$ （其中 $r\in [0,+\infty )$ 以及 $\theta \in S^{N-1}$ ）的 **$N$ 維球坐標系**中，拉普拉斯算子為：

　
: $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f$

其中 $\Delta _{S^{N-1}}$ 是 $N-1$ 維球面上的拉普拉斯 - 貝爾特拉米算子。我們也可以把 ${\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}$ 的項寫成 ${\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}$ 。

## 恆等式

* 如果 _f_ 和 _g_ 是兩個函數，則它們的乘積的拉普拉斯算子為：

　
: $\Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)$ 。

_f_ 是徑向函數 $f(r)$ 且 _g_ 是球諧函數 $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。 $f(r)$ 的梯度是一個徑向向量，而角函數的梯度與徑向向量相切，因此：

　
: $2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0$ 。

球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯算子的角部分的特徵函數：

　
: $\Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ 。

因此：

　
: $\Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ 。

## 譜理論

拉普拉斯算子的譜由特徵值 $\lambda $ 和對應的特徵函數 $f$ 組成，滿足：

$$
-\Delta f=\lambda f
$$

這就是所謂的亥姆霍茲方程式。

如果 $\Omega $ 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中有界，拉普拉斯算子的特徵函數時希爾伯特空間 $L^{2}(\Omega )$ 下的一組標準正交基。這主要是因為緊自伴隨算子的譜定理，適用於拉普拉斯的逆算子（根據龐加萊不等式和 Rellich-Kondrachov 定理，它是緊算子）。這也可以表明特徵函數是無窮階可微的函數。更一般地說，這些結果對任何有界緊黎曼流形上的拉普拉斯 - 貝特拉米算子都是成立的，或者說對任何有邊界上具有光滑係數的橢圓算子的 Dirichlet 特徵值問題也成立。當 Ω 為 N 維球面時，拉普拉斯的特徵函數是球諧函數。

## 推廣

### 複雜空間上的實值函數

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。

在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子：

　
: $\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.$

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因 - 戈爾登方程式以及四維波動方程式。第四個項前面的符號是負號，而在歐幾里德空間中則是正號。因子 _c_ 是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果 _x_ 方向用寸來衡量，_y_ 方向用厘米來衡量，也需要一個類似的因子。

### 值域爲複雜空間

#### 向量值函數的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽

　
: $\nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})$ ．

更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恆等式的啓發）：

　
: $\nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )$ ，也可用類似於拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明「旋度的旋度」向量恆等式．

#### 拉普拉斯－貝爾特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為**拉普拉斯 - 貝爾特拉米算子**。達朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運行於張量場上的算子（也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子）。

另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法，是通過**拉普拉斯–德拉姆算子**，它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯繫起來。

## 參見

* 在圓柱和球坐標系中的 del

## 參考文獻

* Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
* Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
* Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.

## 外部連結

* MathWorld: Laplacian （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Swapnil Sunil Jain