数学原理

《**數學原理**》（英語：_Principia Mathematica_）是由伯特蘭・羅素與他的老師阿爾弗雷德・諾思・懷特黑德合著的一本數學書籍，書籍共分三卷，分別出版於 1910 年，1912 年，1913 年。

它通常縮寫為 PM (Principia Mathematica)，為表述所有數學真理在一組數理邏輯內的公理和推理規則下，原則上都是可以證明的。因此這一雄心勃勃的項目對於數學史和哲學史都是非常重要的，然而在 1931 年，哥德爾不完備性定理證明對於數學原理或其他任何類似的嘗試，這個崇高的目標皆永遠無法達到；也就是說，任何嘗試以一組公理和推理規則來建立的數學系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些數學真理不能由此系統推理演繹出來)。

數學原理的一個主要的靈感和動機來自於邏輯學家戈特洛布・弗雷格的工作，但伯特蘭・羅素發現其允許建設有矛盾的集合（羅素悖論）。數學原理排除無限制創建任意的集合來試圖避免這個問題，它以不同「類型」的集合來取代一般的集合，一組特定類型的集合只能包含套較低的類型。然而在當代數學，會使用如 Zermelo-Fraenkel 的集合理論體系，來避免如羅素的笨拙方式。

現代圖書館將此書排在二十世紀英文非虛構書籍中的第 23 名。

## 基本範圍

該原理僅覆蓋集理論，基數，序數和實數。從現實分析，更深層次的定理並沒有包括在內。
幾何的基礎第四卷已在籌劃，但作者在第三卷完成後智力枯竭。

## 理論基礎

由於在理論上由庫爾特・哥德爾（下同）的批評指出，不同於形式主義理論，PM 的「logicistic」理論有沒有「形式主義的語法明確說明」。另一種看法是，在理論上，（在模型論的意義上）解釋的真值的符號的行為來表述「⊢」（真理斷言），「〜」（邏輯非）和「V」（邏輯或）。

真值：PM 嵌入「真」和「假」的概念，「原始命題」的概念。原料（純）形式主義理論所不能提供形成了「原始命題」誠，符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來，通過「價值」的分配，模式將指定什麼公式說的解釋。因此，在正式的克萊尼符號下方設置，「解釋」什麼樣的符號通常是指，並暗示他們如何最終被採用，在括號內，例如，「¬（不）」。但是，這不是一個純粹的形式主義理論。

### 正式的理論的當代建構

下面的形式主義理論是作為對比 PM 的 logicistic 理論。一個現代的形式系統將構造如下：

使用的符號：該組是開始集合，其它符號可以出現，而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是 Kleene 從中導出的以下一組：邏輯符號「→」（意味著，IF-THEN「⊃」），「＆」（和）中，「V」（或），「¬」（不） 「∀」（所有），「∃」（存在）; 謂詞符號「=」（等於）; 函數符號「+」（算術加法），「∙」（算術乘法），「'」（繼任者）; 個別符號「0」（零）; 變量「一」，「B」，「C」等；和括號「（」和「）」。
符號串：該理論將通過串聯（並列）建立這些符號的「弦」.
形成規則：理論指定的語法規則（語法規則），通常為以「0」開頭，並指定如何建立可接受的字符串或「合式公式」（Wff）遞歸定義這包括對於所謂的「變量」（相對於其他符號類型）中的符號串的規則對「替代」。
變換規則（S）：指定符號和符號序列的行為的公理。
推理，支隊規則，肯定前件：允許理論從「前提」，導致到了「分離」一個「結論」的規則，並隨後放棄「處所」（符號到行的左邊│或符號線之上，如果水平）。如果不是這種情況，那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字符串。事實上，假言推理的應用程式後，沒有什麼是離開，但結論，剩下的永遠消失。
當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或「脫離規則」：
A，A⊃乙│乙
符號「│」通常寫為水平線，這裡「⊃」是指「意味著」。符號 A 和 B 是「替身」的字符串；這種形式的符號被稱為「公理模式」（即，有一種特殊形式的符號可以採取可數）。這可以讀取類似的方式 IF-THEN 但有區別：給定的符號串 IF A 和 A 蘊涵 B，那麼 B（並保留進一步使用僅 B）。但符號都沒有「解釋」（例如，沒有「真值表」或「真值」或「真理功能」）和假言推理機制上進行，由單獨的語法。

### 構成

PM 理論既有相似之處顯著，以及類似的差異，當代形式理論。克林指出，「這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信，或者至少被接受為關於世界的假設合理的。」事實上，PM 理論不像形式主義理論，即操縱符號根據語法規則，PM 引入了「真值」的概念，即在現實世界意義的真理和謬誤，以及「斷言真相」幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：

## 版本差異

卷 I 有五個新增：

* 附錄 A, 編號為 8.15 新增謝費爾豎線
* 附錄 B, 編號為 \* 89, 討論感應沒有還原性的公理
* 附錄 C、8 頁討論命題函數
* 8 頁的列表定義最後，給急需的索引使用的大約 500 個符號。
* 1962 年杯發表縮短平裝版包含部分的第二版的卷 I: 新介紹，正文 \* 56, 和附錄 a 和 C。

## 參見

* 各種數學敘述

## 參考資料

## 外部連結

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* The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.
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