斯坦豪斯-莫澤表示法

**斯坦豪斯 - 莫澤表示法**，又稱**斯坦豪斯 - 莫澤記號**、**斯坦豪斯 - 莫澤多邊形記號**、**多邊形記號**，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果・斯坦豪斯發明，後來李奧・莫澤擴展了該表示法。

## 斯坦豪斯的多邊形記號

**斯坦豪斯多邊形記號**的定義如下：

* = nn
* = 「_n_ 放進 _n_ 個三角形中」
* = 「_n_ 放進 _n_ 個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：

* 被稱為 **Mega 數**。
* 被稱為 **Megiston 數**。

## 莫澤的多邊形記號

**莫澤多邊形記號**是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。

* 、與斯坦豪斯的記號相同。
* = 「_n_ 放進 _n_ 個正方形中」（= ）
* 一般來說，「_n_ 放進 _m_ 邊形中」=「_n_ 放進 _n_ 個 _m_ - 1 邊形中」

而「2 放進邊形中」則被稱為**莫澤數**。

## 中括號表示法

紐約大學的蘇珊・史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：

* 「_n_ 放進 _p_ 邊形中」使用 $n[p]\,$ 來表示。（請注意：在本條目中， $[n]$ 都是表示某個數字放進正 $n$ 邊形中，並不是第 $n$ 級的超運算，為了避免搞混，第 $n$ 級的超運算在本條目中是使用 $n-2$ 個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法）
* $[\ldots ]$ 可以重複使用。例如，「『_n_ 放進 _q_ 邊形中』放進 _p_ 邊形中」可以表示為 $(n[q])[p]\,$ 。
* 「_n_ 放進 _k_ 個 _p_ 邊形中」表示為 $n[p]_{k}\,$ 。換句話說， $n[p]_{k}$ 可以定義為 $n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}$ 。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：

 * $=n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,$
* $=n[4]=n[3]_{n}\,$
* $=\,$ $=n[5]=n[4]_{n}\,$
* 一般來說， $n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,$ 。

上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子：

 * $=n[3]_{4}$

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：

* （Mega 數） $=2[5]$
* （Megiston 數） $=10[5]$
* 莫澤數 = $2[2[5]]$

## 一些例子的計算

### 簡單的例子

* 2[3] = 22 = 4
* 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256

### Mega 數

 = 2[5]

　
: = 2[4]2

　
: = 2[4][4]

　
: = 256[4]

　
: = 256[3]256

256[3]n 所代表的值如下（_n_ 從 1 開始）：

　
: $256[3]=256^{256}$

　
: $256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257$ ,

　
: $256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)$

這個數字可以「近似」如下：

　
: $256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257$

這個近似值跟 $256[3]_{3}$ 實際上差了非常多倍：

　
: $256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}$

通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地，

　
: $256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257$

　
: $256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257$

這種「近似」方法也可以推展到所求的 Mega 數：

　
: $=256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257$

如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：

　
: $\risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257$

實際上，

　
: $\gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257$

如果以 10 為底，則可表示成：

　
: $\approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)$

因此 Mega 數的範圍為：

　
: $10\uparrow \uparrow 257<$ $<10\uparrow \uparrow 258$

### Megiston 數

 = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]

通過類似於 Mega 數近似值的近似方法，可得：

　
: $a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)$

　
: $a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1$ (\*)

將 a 換成 10，可得：

　
: $10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11$

　
: $10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

下式為把開頭的 10 換成 a，11 換成 b，後面的 $10\uparrow \uparrow 11$ 換成 n 之後的計算（其中 a↑b = ab）：

　
: ${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}$

當 a, b 皆足夠大時：

　
: $a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)$

所以

　
: $(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))$

這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到 n = 1 為止：

　
: ${\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}$

因此，當 $n\gg b$ 時

　
: $(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n$ (\*\*)

這是一個近似值。

使用 (\*\*) 式，可得 $10[4]_{2}$ 的近似值：

　
: $10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)$

以下的近似值使用 (\*) 和 (\*\*) 式：

　
: $10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11$

　
: $10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11$

　
: $10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11$

因此，

　
: $10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11$

所以 Megiston 數大致等於：

　
: $\risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

然而，實際上近似值遠小於真正的 Megiston 數：

　
: $\gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$

### 莫澤數

莫澤數代表 $2[$ $]=2[2[5]]$ 。由於是相當巨大的數字，邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管是非常巨大的，跟相比來說仍是微不足道的。

提姆・周在 1998 年證明了下式 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

$$
M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)
$$

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於 $3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3$ （-2 個箭號）。

## 參見

* 高德納箭號表示法
* 康威鏈式箭號表示法

## 外部連結

* Susan Stepney's Big Numbers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Steinhaus-Moser notation. MathWorld.