数字和

一個整數的**數字和**，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相加起來所得的和。例如，84001 在十進制中的數字和是 13，即 ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$ 。

這個概念與數字根有密切的關係，但並不相同，數字根是把所有數字相加起來所得的和，然後再把這個和的所有數字相加起來，又得到一個和，重複這個步驟，直到最終只剩下一個數字，這個數字便稱為數字根。數字和可以是任意正整數的值，而數字根只能是 0 到 9。

在十進制中，數字和可以用來判斷一個數是否能被 3 或 9 整除。如果數字和能被 3 或 9 整除，則原來的數也能被 3 或 9 整除。可參照去九法、整除規則。

## 定義

任何自然數都可以在底數為 b 下的進位制中表示，其中 b 的絕對值必須大於一。若有一自然數 _n_，其於 b 進位制中表示為 $d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}$ ，則其數字和（或位數和） $F_{b}$ 為將自然數映射到自然數的函數 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} $ ，其可以定義為：

　
: $F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}$

其中 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ ，代表自然數 _n_ 在底數為 b 的進位制表示時的位數個數。而每個位數 $d_{i}$ 又可以表示成：

　
: $d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

舉例來說，84001 在十進制中的數字和可以表示為 $F_{10}(84001)=\,$ ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$

此外，一個足夠大的數在較大底數進位制下的數字和不會小於較小底數進位制下的數字和，即兩底數 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ ，若 $2\leq b_{1}\leq b_{2}$ ，且有一個足夠大的自然數 _n_，則滿足不等式 $F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)$ 。

一般單個位的數（如十進制的 0 至 9）其數字和即為自己本身。十進制下前幾個非負整數的數字和為 ：

　
: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...（OEIS 數列 A007953）

彼得・波爾文和喬納森・波爾文使用此數列的母函數導出了許多快速收斂之有理和超越級數。

### 擴展到負整數

負整數的數字和目前沒有一個廣泛被接受的定義。一般可以透過負整數的有符號數表示法來將自然數的數字和推廣到負數。

另一種適用於負數的數字和為僅將最高位數代負號，其他位數照樣相加的數字和，例如負一百五十八（ $-158$ ）可以拆成 $-1,\,5,\,8$ ，對應的數字和為 ${{{-{1}}+{5}}+{8}}=12$ ，這個數列為數字差（OEIS 數列 A274580）的相反數。

## 用途

數字和雖與數字根不同，但皆可以用於 3 和 9 的整除判斷。數字和與數字根不同之處在於，數字根必為 0 至 9 之間的自然數，而數字和可以是任意整數。兩者用於判斷 3 或 9 的倍數的方法皆是若一數的數字和或數字根能被 3 或 9 整除，則其為 3 或 9 的倍數。特別地，對於判定 9 的倍數，此規則稱為「九的規則」，為去九法的基礎。

在早期的電腦中，亦常使用數字和作為檢查計算機計算結果的一種常見方式。此外數字和亦可以作為生成隨機數的一種方式。假設所使用的數表中每個數字都是隨機的，則根據中心極限定理，這些數的數字和可以視為具有接近高斯分佈的隨機分佈。而早期在計算機還沒被發明、使用手工計算時 Edgeworth 曾於 1888 年建議可以透過取對數的數學用表中 50 位數字之和作為隨機數生成的一種方式。

## 列表

下表列出了數字和為特定數的自然數：

　
:

數字和為特定數的最小自然數，即上表中，每行的第一個數構成的數列，為清除重複項後的月三角數（lunar triangular numbers）：

　
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …（OEIS 數列 A051885）

## 相關數列

數字和可以視為將一數的每個位數視為單一元素並進行統計運算的操作，其他類似地如數字平方和、數字平均（即一數所有位數的平均值， A061383 中則記載了數字平均為整數的數）等。

**數字差**

　
: 一個整數的**數字差**，是將一數在特定記數系統中的每一個位數兩兩間插入減號得到的結果。例如，84001 在十進制的數字差是 ${{{{{8}-{4}}-{0}}-{0}}-{1}}=3$ 。

　
: 在十進制中，從 1 開始的前幾個數的數字差為：

　
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1.... （OEIS 數列 A274580）

　
: 部分數字數字差為零。數字差為零意味著最高位數等於非最高位數的和，這些數包括：

　
: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 110, 202, 211, 220.... （OEIS 數列 A193772）

　
: 在趣味數學中，數字差的相反數可以視為負整數數字和的一種定義。在這種定義下，有一類數為數字和平方與自身的和大於零的數，雖然所有非負整數皆有此種性質（OEIS 數列 A118881），然而負整數中只有 26 個數有此種性質，在部份非正式場合中被稱為殭屍數，其被描述為「如殭屍般起死回生（轉為非負整數）的數」。在十進制中，所有擁有此性值的數，共 26 個，列舉如下：

　
: -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -15, -16, -17, -18, -19, -28, -29, -159, -168, -169, -178, -179, -187, -188, -189, -197, -198, -199。（OEIS 數列 A328933）

**數字積**

　
: 一個整數的**數字積**，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相乘起來所得的積。例如，841 在十進制中的數字積是 ${{{8}\times {4}}\times {1}}=32$ 。在十進制中，從零開始的前幾個數的數字積為：

　
: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8...（OEIS 數列 A007954）

**數字冪**

　
: 一個整數的**數字冪**，是將一數在特定記數系統中的每一個位數 $d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}$ 寫成指數塔 $d_{k-1}^{d_{k-2}^{\cdot ^{\cdot ^{d_{2}^{d_{1}}}}}}$ 的結果。例如，324 在十進制中的數字冪是 ${{3}^{{2}^{4}}}=43046721$ 。

　
: 在十進制中，從 1 開始的前幾個數的數字冪為：

　
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683.... （OEIS 數列 A256229）

　
: 這個數列有另一種可能的定義，如果是左結合的數字冪，則會在三位數開始出現不同的結果，例如 324 的左結合數字冪是 ${{\left({{3}^{2}}\right)}^{4}}=6561$ 。

**數字交錯和**

　
: 一個整數的**數字交錯和**為將整數的位數以 a - b + c - d + ... 的形式交錯地相加或相減的結果。例如，841 在十進制中的數字交錯和是 ${{{8}-{4}}+{1}}=5$ 。在十進制中，從零開始的前幾個自然數的數字交錯和為：

　
: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1...（OEIS 數列 A225693）

　
: 若一數的數字交錯和為 0 或 11 的倍數，則該數能被 11 整除。這個特性可以用於判別 1 數是否能被 11 整除。

**數字平方和**

　
: 一個整數的**數字平方和**，是將一數在特定記數系統中的每一個位數平方後求和的結果。例如，841 在十進制中的數字平方和是 ${{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{1}^{2}}}=81$ 。在十進制中，從零開始的前幾個整數之數字平方和為：

　
: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65...（OEIS 數列 A003132）

　
: 其與一般的數字和有不太相同的特性：對於一數的數字和，並不斷地將結果計算數字和最終會結束在一個數，該數稱為數字根；而對於一數的數字平方和，並不斷地將結果計算數字平方和，未必能結束在一個數。對於數字平方和無法結束在一個數的數，稱為悲傷數（sad numbers）或不快樂數（unhappy number） ，反之，稱為快樂數。

## 參見

* 哈沙德數：可被數字和整除的整數。
* 快樂數：不斷地做數字平方和最終會得到 1 的整數。

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Digit Sum. MathWorld.
* 整數數列線上大全中的數列（OEIS 數列 A007953）