托勒密全弦表

**全弦表**，也叫**弦表**，由古希臘天文學家，幾何學家及地理學家托勒密在其巨著《天文學大全》第一卷第 11 章里創建。這是一種三角函數表，用於數理天文學的計算工作。

從巴比倫時代起，一圓被分為 360 等分（度），托勒密繼承了古希臘天文學家喜帕恰斯的三角學工作，在他的 7.5° 遞增量 7+1/2° = π/24 弧度的弦表基礎上採用 0.5° 遞增量。托勒密參考了喜帕恰斯的 12 卷數學書，他的弦表更加完備，使用「度」的術語，構造了從 0.5 到 180° 圓心角與對應的弦長，所以，該表共有 360 行。

托勒密《弦表》本質上是關於圓心角的正弦函數數值表。不同於現代三角函數值反映弦長與圓半徑的比例關係，托勒密「弦表」里是弦的實際長度，其計算是以圓的直徑 120 單位為參照。之所以選擇 120，是儘可能避免分數的麻煩計算，因為當時還沒有發明出十進位制分數。

托勒密又把角的 1° 細化為 60 分，在《弦表》裡有被稱為「60 分之一」的一欄，這是用半度的差值除以 30 所得到的平均數，供使用者插入分的弦長。

正因為托勒密的《天文學大成》廣為流行，造成了喜帕恰斯的數學書在公元 4 世紀以後失傳。所以，托勒密的「弦表」是西方現存的歷史最久遠的三角函數表。

托勒密構造的「弦表」在歐洲數學史上統治了一千多年，直到 1592 年瑞士鐘錶匠，天文學家和數學家和天文儀器製作師約斯特・比爾吉（Joost Bürgi）創建了更精細的「標準正弦表」 _（Canon Sinuum_）。

## 弦長函數與弦表

圓的弦是指任意一線段，其兩端都在圓周上。托勒密採用以 120 為單位長度的圓直徑。弦長即 _n_ 度的圓弧度所對應的，_n_ 取值範圍從 1/2 到 180，增量為 1/2。在現代數學表達中，對應於一圓弧 _θ_ 度的弦長是：

　
: ${\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\,\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}$

隨著圓弧 _θ_ 從零增加到 180，_θ_° 所對應的弦長也從 0 增加到 120。對於微小圓弧來說，弦長與弧度角之比為 π 比 3，更確切地講，只要把 _θ_ 分成足夠小，該比率可以有任意近似度 π/3 ≈ 1.04719755。因此，對於 1/2° 圓弧來說，弦長稍微大於弧角度。隨著弧度增加，弦長與弧度之比在遞減。當弧度達到 60° 時，弦長正好等於弧角度數，即弦長 60° = 60。當弧度超過了 60°，弦長小於弧度，直到弧度達到 180°，這時弦長為 120。

弦長的分數部分是用六十進位數表達，例如，112° 圓弧所對應的弦長據「弦表」有 99 29 5，其長度為：

　
: $99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},$

取整後達到近似值 1/602.

在弧度欄和弦長欄之後，表里有被標記為「60 分之一」的第 3 個欄。對於 _θ_° 的圓弧，第 3 欄數值為

　
: ${\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.$

這是一單位長的 60 分之一的平均數，當每次弧度增加 1 分，就必須加到弦長 (_θ_°) 上，直到 (_θ_ + 1/2)°。因此，第 3 欄數值用於線性插入。Glowatzki 和 Göttsche 證明了托勒密肯定將弦長計算到 5 位六十進位數，才達到有第 3 欄這樣的精確程度。

　
: ${\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}$

## 托勒密《弦表》的構造方法

《天文學大全》卷一第 10 章介紹用於弦長計算的幾何定理。托勒密根據歐幾里得《幾何原本》卷十三里的定理 10，來做幾何推理，以求出 72° 和 36° 所對應的弦長。該定理是說：如果某圓有一內切正五邊形，那麼五邊形每個邊長的平方等於同一圓內切六邊形和十邊形邊長平方之和。

他發明了關於圓內接四邊形的托勒密定理，用來推導半弧、兩弧相加及兩弧相減所分別對應的弦長。該定理闡述，在圓的內接四邊形中，兩對角線長度相乘結果等於另兩邊的對角線長度的相乘結果。三角推導值取決於內接圓四邊形，其中一邊是圓的直徑。

對於圓弧 1° 和 1/2° 所對應的弦長，他採用根據阿里斯塔克斯不等式求出的近似值，該不等式是說，對於 _α_ 、_β_ 兩弧，如果 0<_β_<_α_<90°，那麼

　
: ${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.$

托勒密在表中顯示了，對於長度為 1° 和 1/2° 的圓弧，在其整數部分後給出了近似正確的頭兩位 60 進位數值。

## 數值系統以及原始表格

圓弧用度表述，其所對應的弦長的整數部分採用十進位的計數系統，21 個希臘字母意義如下，並有 "∠′" 代表分數 1/2。抬升上去的圓圈 "○" 占據一空位，實際上就表示零。還有兩個以前用的希臘古字母，見下表，在好幾個世紀都沒再用，《天文學大全》重新使用。如今還在當成數字和古希臘音樂的樂符使用。

　
: ${\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\vdots &\vdots &\vdots \\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&&&\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&&&\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&&&\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&&&\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&\mathrm {o} &\mathrm {omicron} &70&&&\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&&&\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&&&\\\hline \end{array}}$

舉例來說，一圓弧 143+1/2° 表示為 _ρμγ_∠′。(《弦表》一共到 180°，因此不使用 200 及以上的希臘數字)。

弦長的分數部分需要較大的精確性，分為兩欄，第一欄是 1/60 的整數倍，取值範圍 0–59，第二部分是 1/602= 1/3600 的整數倍，取值範圍也是 0–59。

在 Heiberg 版本的《天文學大全》裡 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），在 48–63 頁有弦表。表的開頭是 1/2° 度，然後是 7+1/2°, ，希臘語版本是：

　
: ${\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}$

表中的 10 進位數字代表圓弧及弦長的整數部分，因此，85° 的圓弧用 _πε_ 表達 (_π_ 代表 80，_ε_ 代表 5)，並不分解為 60+25。相應的弦長是整數 81 再加上分數部分。整數部分用 _πα_ 開始，同樣也不分解為 60+21，但其分數部分 4/60+15/602 在 1/60 欄里寫成 _δ_，代表 4，然後是 _ιε_，代表 15，在 1/602 一欄里。

　
: ${\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}$

此表分為 8 頁，每頁有 45 行，總共 360 行。

## 參見

* Aryabhata 正弦表
* Exsecant
* _Fundamentum Astronomiae_ 這本書規定了正弦的精確計算方法，於 16 世紀晚期出版。
* 希臘數學
* Madhava 正弦表
* 托勒密
* Scale of chords
* Versine

## 參考

* Aaboe, Asger, Episodes from the Early History of Mathematics, Mathematical Association of America, 1997, ISBN 978-0-88385-613-0
* Clagett, Marshall, Greek Science in Antiquity, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-8369-2150-2
* Neugebauer, Otto, A History of Ancient Mathematical Astronomy, Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-06995-1
* Olaf Pedersen (1974) _A Survey of the Almagest_, Odense University Press ISBN 87-7492-087-1
* Thurston, Hugh, Early Astronomy, Springer, 1996, ISBN 978-0-387-94822-5

## 外部連結

* J. L. Heiberg _Almagest_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Table of chords on pages 48–63.
* Glenn Elert Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Almageste_ in Greek and French, at the internet archive.