拉薩爾不變集原理

**拉薩爾不變集原理**（LaSalle's invariance principle）也稱為**不變集原理**（invariance principle）、**Barbashin - 克拉索夫斯基 - 拉薩爾原理**（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或**克拉索夫斯基 - 拉薩爾原理**（Krasovskii-LaSalle principle），是自治動力系統（可能是非線性系統）李雅普諾夫穩定性的判斷準則。

## 全域穩定性版本

考慮以下方程式的系統

　
: ${\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)$

其中 $\mathbf {x} $ 為符合以下條件的變數向量

　
: $f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .$

若可以找到 $C^{1}$ 函數 $V(\mathbf {x} )$ ，使下式成立

　
: ${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$ 針對所有 $\mathbf {x} $ （半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在 ${\mathcal {I}}$ 內， ${\mathcal {I}}$ 是其完整軌跡完全在 $\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}$ 集合的聯集。

若 $V$ 函數又有正定的性質，即

　
: $V(\mathbf {x} )>0$ ，針對所有的 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0} $

　
: $V(\mathbf {0} )=0$

而且 ${\mathcal {I}}$ 除了 $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0} $ for $t\geq 0$ 的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普諾夫穩定性。

再者，若 $V$ 是徑向無界（radially unbounded）

　
: 當 $\Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty $ 時， $V(\mathbf {x} )\to \infty $

原點為全域漸近穩定。

## 局部穩定性版本

若

　
: $V(\mathbf {x} )>0$ ，當 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0} $ 時

　
: ${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$

當 $\mathbf {x} $ 在原點的鄰域 $D$ 內才成立，且集合

　
: $\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D$

除了 $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0$ 的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

## 和李雅普諾夫穩定性的關係

If ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ 為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普諾夫第二定理的結果。若 ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ 只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

## 例子：有摩擦力的單擺

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下[1]：

　
: $ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}$

其中 $\theta $ 是單擺的角度，以垂直往下的角度為 0 度， $m$ 是單擺的質量， $k$ 是摩擦係數，g 是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

　
: ${\dot {x}}_{1}=x_{2}$

　
: ${\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}$

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近 $x_{1}=x_{2}=0$ ，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義 $V(x_{1},x_{2})$ 為

　
: $V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}$

 $V(x_{1},x_{2})$ 即為系統的能量[2]。 $V(x_{1},x_{2})$ 在原點附近，半徑 $\pi $ 的開球體內為正定。計算其導數

　
: ${\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}$

可觀察到 $V(0)={\dot {V}}(0)=0$ 。若 ${\dot {V}}<0$ 成立，可以依李雅普諾夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜， ${\dot {V}}\leq 0$ 及 ${\dot {V}}$ 只是半負定。不過，以下集合

　
: $S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}$

也就是

　
: $S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}$

除了平凡軌跡 **x** = **0** 外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 $t$ , $x_{2}(t)=0$ ，則因為 $x_{1}$ 必需小於 $\pi $ ，則 $\sin x_{1}\neq 0$ 且 ${\dot {x}}_{2}(t)\neq 0$ 。因此，軌跡不會停留在集合 $S$ 內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當 $t\rightarrow \infty $ 時，最後都會收斂到原點[3]。

## 歷史

此結果是由約瑟夫・皮爾・拉薩爾（在 RIAS）及尼古拉・尼古拉耶維奇・克拉索夫斯基兩人獨立發現，兩人分別在 1960 年及 1969 年發表。約瑟夫・皮爾・拉薩爾在 1960 年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而 1952 年由 Barbashin 及尼古拉・尼古拉耶維奇・克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而 1959 年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理[4]。

## 相關條目

* 穩定性理論
* 李雅普諾夫穩定性

## 原始論文

* LaSalle, J.P. _Some extensions of Liapunov's second method,_ IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
* Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, **86**: 453–456 （俄語）.
* Krasovskii, N. N. _Problems of the Theory of Stability of Motion,_ (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

## 教科書

* LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961.
* Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN9780691133294. （原始內容存檔於 2019-04-30）.
* Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN978-0-8218-8328-0. （原始內容存檔於 2012-06-26）.
* Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8.

## 教材

* 德克薩斯州農工大學不變集原理的講義（PDF）
* 北卡羅來納州立大學拉薩爾不變集原理的講義（PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））
* 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））
* 麻省理工學院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））
* 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDF）

## 參考資料