形式幂级数

**形式冪級數 (formal power series)** 是一個數學中的抽象概念，是從冪級數中抽離出來的代數對象。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似，不過允許（可數）無窮多項因子相加，但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。

## 簡介

形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說，以下的級數式子：

　
: $A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$

如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於 1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為： $[1,-3,5,-7,9,\cdots ]$ 這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數： $[1,1,2,6,24,120,,\cdots ]$ ，即使說它對應的冪級數：

　
: $A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .$

在 $X$ 取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。

和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設：

　
: $B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .$

那麼 $A$ 與 $B$ 的和就是：

　
: $A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .$

　
: $AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .$

其中 $A+B$ 裡面 $X^{3}$ 的係數就是 $A$ 與 $B$ 中 $X^{3}$ 的係數的和； $AB$ 裡面 $X^{5}$ 的係數就是 $A$ 與 $B$ 中 $X$ 的階數相加等於 5 的項的係數乘積的和：

　
: $44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).$

對每個確定的階數 $n$ ，這個計算是有限項（至多 $n+1$ 項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。

形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數 $A$ 的逆是指另一個形式冪級數 $C$ ，使得 $AC=1$ . 如果這樣的形式冪級數 $C$ 存在，就是唯一的，將其記為 $A^{-1}$ 。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當 $A$ 的逆存在時， $B/A=B\cdot A^{-1}.$ 比如說，可以很容易驗證：

　
: ${\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .$

形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作：將一個形式冪級數映射到它的 $X^{n}$ 的係數。這個操作常常記作 $[X^{n}]$ ，比如說對形式冪級數 $A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$ ，就有：

　
: $[X^{5}]A=-11$

對以上定義的形式冪級數 $B$ ，也有： $[X^{3}]B=4$ 。又比如： $[X^{2}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3Y^{3}$ ， $[X^{2}Y^{3}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3$ 。提取映射和多項式環中的對應映射一樣，都可以看做是到一個子空間的投影映射。

## 形式冪級數的環結構

所有的不定元為 $X$ ，係數為某一個交換環 $R$ 上元素的形式冪級數構成一個環，稱為 $R$ 上變量為 $X$ 的形式冪級數環，記作 $R[[X]]$ 。

### 定義

 $R[[X]]$ 可以定義為 $R$ 上變量為 $X$ 的多項式環完備化（對於特定的度量）後得到的。這個定義自然就賦予了 $R[[X]]$ 以拓撲環的結構（同時也賦予了完備度量空間的結構）。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣，而建構 $R[[X]]$ 所需要的並沒有那麼多。以下將對 $R[[X]]$ 的環結構和拓撲結構分別定義，更為明晰，容易理解。

#### 環結構

首先可以定義集合 $R[[X]]$ 的範圍。作為一個集合， $R[[X]]$ 可以用和 $R^{\mathbb {N} }$ 一樣的方法構造。 $R^{\mathbb {N} }$ 是所有 $R$ 上元素構成的數列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的集合：

　
: $R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.$

 $R^{\mathbb {N} }$ 中的元素可以定義加法和乘法：

　
: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

　
: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積，也是一種卷積。可以證明，在以上的定義下， $R^{\mathbb {N} }$ 是一個交換環。環的加法零元是 $(0,0,0,...)$ ，乘法么元是 $(1,0,0,...)$ 。於是我們可以將 $R$ 中的元素嵌入到 $R^{\mathbb {N} }$ 之中，

　
: $x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)$

並將 $(0,1,0,0,...)$ 映射到不定元 $X$ ，這樣通過以上定義的加法和乘法就可以將 $R^{\mathbb {N} }$ 中的有限非零元元素同構為：

　
: $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$

這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的 $R^{\mathbb {N} }$ 中元素 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ，就可以自然地**希望**將其對應到 $\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$ ：

但這個對應方式並不能通過有限項的加法和乘法得到，所以需要用一個約定上的映射 $\varphi :\,R^{\mathbb {N} }\rightarrow R[[X]]$ 來做到：

　
: $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$

這個映射涵蓋了之前的多項式的定義，並且可以定義

　
: $\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.$

以及

　
: $\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.$

這個定義使得 $\varphi $ 是一個同態，所以 $R[[X]]$ 也是一個交換環。

#### 拓撲結構

以上的定義中建立了映射

　
: $\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)$

但需要注意的是這裡的定義中 $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$ 還是一個符號性的對象，因為我們並沒有定義其中無限求和號的意義。為了更好地定義 $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$ 本身，我們需要引入拓撲的結構，將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是，適合的拓撲結構不止一個。

* 我們可以在 $R$ 上定義離散拓撲的結構，然後將 $R^{\mathbb {N} }$ 作為可數個 $R$ 的積空間，將其上的拓撲定義為積拓撲。
* 我們也可以直接在 $R^{\mathbb {N} }$ 上定義類似於 p 進數拓撲的 $I$ 進拓撲，其中的 $I=(X)$ 是環結構中由 $X$ 生成的理想，也就是由所有 $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}X^{i}$ 形式的形式冪級數構成的集合。
* 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者，也可以建立一個具體的度量（也就是定義「距離」）來定義拓撲。比如定義兩個數列 $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 和 $b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的距離：

　
: $d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}$

其中 $\omega (s)$ 表示數列 $s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 中第一個不等於 0 的係數的下標。這樣的定義之下，我們說兩個數列如果越來越「接近」，那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚，也就是說它們的距離也越小。對一個數列 $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ，定義**部分和**數列為：

　
: $s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )$

那麼部分和 $s_{k}$ 和 $a$ 的距離就會是 $2^{-(k+1)}$ ，所以 $k$ 趨於無窮大的時候，部分和數列和 $a$ 的距離趨於 0. 這樣，在定義了有限項非零元的數列和多項式的關係以後，就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。

　
: $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}$

然後對形式冪級數也定義類似的距離：

　
: $d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}$

然後形式冪級數也就滿足：

　
: $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$

並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於 $R^{\mathbb {N} }$ 的拓撲環，將其稱為 $R$ 上的形式冪級數環 $R[[X]]$ 。

## 參考來源

* Nicolas Bourbaki: _Algebra_, IV, §4. Springer-Verlag 1988.