彭尼的游戏

**彭尼的遊戲（Penney's game）** 由沃爾特・彭尼（Walter Penney）提出，是一個兩個玩家之間生成用「正面」和「反面」為代稱產生二進位數列的遊戲。玩家 A 報出至少包含 3 個項、每項只能是正面或反面的序列，然後展示給玩家 B；玩家 B 則給出等長的正面反面序列。隨後，投擲一面均勻的硬幣硬幣，觀察正反，直至投擲出一段序列剛好和某個玩家的序列吻合，則該名玩家獲勝。

將序列中每個正面或者反面的判斷稱為比特（bit），使用長度為 3 比特的序列，玩家 B 相對玩家 A 有優勢。這是因為這個遊戲是一個非傳遞博弈，所以無論如何選定第一個序列，總會有一個序列有更大的獲勝概率。

## 長度為 3bit 的遊戲分析

長度為 3 比特的遊戲中，第二名玩家可以通過以下途徑最大化其勝算（odds）：

（H 表示正面朝上，T 表示反面朝上）

簡單的來說，對於 2 號玩家可以記下如下的序列作為獲勝的技巧或者是討喜的技巧（bar trick）：第一個比特與 1 號玩家的第二個比特相反，第二個比特與 1 號玩家的第一個比特相同，第三個比特與 1 號玩家的第二個比特相同。

　
: 如果 1 號玩家選擇了「**1-2-3**」為順序編號的序列，每個編號代表一個比特 (正面 / 反面)，

　
: 那麼 2 號玩家則應該選擇**：(與 2 相反)-1-2**

這一結果有一個直觀的解釋：依照這種方法，當 1 號玩家猜測的前兩比特剛好對上時，2 號玩家的後兩比特也對上，而 1 號玩家仍需要再猜測一輪才知曉是否勝利，直覺上而言，認為 2 號玩家更可能先猜全序列而成為贏家。

## 3bit 以上情形分析

在比特不小於 4 時 1 號玩家的優化策略由 J.A. Csirik 提出的 (見_參考資料_)。這一策略即是選擇 HTTTT.....TTTHH ( $k-3$ T's) 這樣的序列。在此情形下，2 號玩家的最大勝率為 $(2^{k-1}+1):(2^{k-2}+1)$ 。

## 帶撲克牌的變種

其中一種變種使用一套普通的撲克牌，被稱為 Humble-Nishiyama 隨機性遊戲。該遊戲遵從與彭尼的遊戲同樣的格式，只不過把猜正反改成猜紅牌黑牌。

遊戲規則如下：

　
: 遊戲開始時，各玩家決定在遊戲中使用的對於連續三張卡片的顏色猜測順序。每次抽出一張卡片，並按順序放成一線，直至被選的三聯順序出現。選中這一順序的玩家拿走最後對上的三張牌，稱為拿到 1 個「trick」。遊戲用餘下牌繼續，直至玩家不斷地拿到「trick」所有牌被拿完為止。拿了最多「trick」的玩家即為贏家。

這一遊戲通常會包含 7 個「trick」。基於撲克牌的遊戲非常接近於原先遊戲的重複，2 號玩家的優勢被極大地放大。但是概率有略微不同，因為投硬幣得到的兩個結果是獨立的，而取出紅牌於黑牌的概率取決於之前的抽牌。記紅為 R，黑為 B，正面為 H，反面為 T，可以注意到 HHT 對比 HTH 和 HTT 的概率比是 2：1，但 BBR 對比 BRB 和 BRR 的概率比各不相同。

以下為電腦模擬對每種策略的結果的估算概率：

如果遊戲在多於 1 個 trick 時結束，平局概率微乎其微。2 號玩家的勝率如下表所示：

## 帶輪盤的變體

Robert W. Vallin 以及後來他和 Aaron M. Montgomery 一起發表了有關賭便士問題的研究結果。他們把這一遊戲改編為（美式）輪盤，玩家們通過選擇紅色或黑色，而不是硬幣的正面反面，來進行遊戲。這種情況下，球落在紅色與黑色區域的概率各為 9/19，而球落在綠色區域的概率為 1/19。綠色區域有很多解讀方式：

　
: (1) 作為狀況外卡牌，既可以當黑也可以當紅；

　
: (2) 意即本輪無效須重來，或者遊戲直接結束；

　
: (3) 作為一種非紅非黑的顏色參與到序列中。

其研究結果計算了勝算與結束遊戲所需要的回合數。

## 參見

* 非傳遞博弈

## 參考資料

* Walter Penney, Journal of Recreational Mathematics, October 1969, p. 241.
* Martin Gardner, "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments", W. H. Freeman, 1988.
* L.J. Guibas and A.M. Odlyzko, "String Overlaps, Pattern Matching, and Nontransitive Games", Journal of Combinatorial Theory, Series A. Volume 30, Issue 2, (1981), pp 183–208.
* Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", 2nd Edition, Volume 4, AK Peters (2004), p. 885.
* S. Humble & Y. Nishiyama, "Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney's Coin Game", IMA Mathematics Today. Vol 46, No. 4, August 2010, pp 194–195.
* Steve Humble & Yutaka Nishiyama, "Winning Odds" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Plus Magazine, Issue 55, June 2010.
* Yutaka Nishiyama, Pattern Matching Probabilities and Paradoxes as a New Variation on Penney’s Coin Game （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No.3, 2010, 357-366.
* Ed Pegg, Jr., "How to Win at Coin Flipping" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Wolfram Blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 30 November 2010.
* J.A. Csirik, "Optimal strategy for the first player in the Penney ante game", Combinatorics, Probability and Computing, Volume 1, Issue 4 (1992), pp 311–321.
* Robert W. Vallin 「A sequence game on a roulette wheel,」 The Mathematics of Very Entertaining Subjects: Research in Recreational Math, Volume II, Princeton University Press, (to be published in 2017)
* James Brofos, "A Markov Chain Analysis of a Pattern Matching Coin Game." arXiv:1406.2212 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (2014).