总变差

在數學中，**總變差**（英語：Total variation）就是一函數其數值變化的差的總和。

## 定義

### 矢量空間

實值函數 $f$ 定義在區間 $[a,b]\subset \mathbb {R} $ 的總變差是一維參數曲線 $x\mapsto f(x),x\in [a,b]$ 的弧長。
連續可微函數的總變差，可由如下的積分給出

　
: $V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.$

任意實值或虛值函數 $f$ 定義在區間 $[a,b]$ 上的總變差，由

　
: $V_{b}^{a}(f)=\sup _{P}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,\,$

定義。其中 $P$ 為區間 $[a,b]$ 中的所有分劃.

定義在有界區域 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ 上的實值可積函數 $f$ 的**總變差**, 定義為

　
: $V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f\mathrm {div} \varphi \colon \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \varphi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},$

其中 $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ 是 Ω 中的緊支集上全體連續可微向量函數構成的集合， $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$ 是本質上確界範數。

若 $f$ 可微，上式可簡化為

　
: $V(f,\Omega )=\int \limits _{\Omega }\left|\nabla f\right|.$

### 度量空間

在一個度量空間 $(\Omega ,\Sigma )$ 上，集函數 $\mu :\Sigma \rightarrow \mathbb {R} $ ，其總變差為：

　
: $|\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma $

其中 _$\pi $_ 為 _$E$_ 的劃分。
如果 $\mu $ 是符號測度，通過漢分解定理可知：

　
: $|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}\,$

## 可微定義的證明

首先需要利用高斯散度定理證明一個等式.

### 引理

在假設條件下，下面的等式成立：

　
: $\int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi $

#### 引理證明

由高斯散度定理 $\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\mathbf {R} =\int \limits _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} $ .
將 $\mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } $ 代入，可得

　
: $\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} $

由於在 $\Omega $ 的邊界上 $\mathbf {\varphi } =0$ , 從而

　
: $\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} =0$

注意到 ${\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=f{\text{div}}\mathbf {\varphi } +\nabla f\cdot \varphi $ 代入上式，移項即得

　
: $\int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi $ .

如果函數 _$f$_ 的總變差有限，則稱函數 _$f$_ 為有界變差函數.

## 參閱

* 有界變差
* 總變差遞減
* 總變差規則化
* 二次變差

## 外部連結

### 理論

**單變量**

* Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "_Variation of a function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
* "Total variation" on Planetmath.

**多變量**

* Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "_Variation of a function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
* Boris I. Golubov "Arzelà variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Fréchet variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Hardy variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Pierpont variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Tonelli plane variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Vitali variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

**測度論**

* Rowland, Todd. "Total Variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
* "Jordan decomposition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" on Planetmath.

**概率論**

* M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

### 應用

* Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007  (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).
* Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), _Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods_, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).