慣性座標系

在古典物理學與狹義相對論中，**慣性參考系**或**慣性坐標系**，簡稱為**慣性系**（英語：Inertial frame of reference）是指可以均勻且各向同性地描述空間，並且可以均勻描述時間的參考系。在慣性參考系內，系統內部的物理規律與系統外的因素無關。

所有的慣性系之間都在進行勻速平移運動。不同慣性系的測量結果可以通過簡單的變換（伽利略變換或勞侖茲變換）相互轉化。廣義相對論中，在任意足夠小以致時空曲率與潮汐力可以忽略的區域內，人們可以找到一組慣性系來近似描述這個區域。廣義相對論中，非慣性系中的系統由於測地線運動原理不會受到外界影響。

物理定律在所有慣性系中形式一致。古典物理學與狹義相對論中，在非慣性系裡，系統的物理規律會受到參考系相對於慣性系的加速度影響而發生變化。此時物體的受力要考慮慣性力。比如，落地的小球由於地球自轉並不是完全沿直線落下。與地球一起運動的觀察者必須考慮科里奧利力才能預測小球的水平運動情況。離心力是另一種與旋轉參考系有關的慣性力。

## 概論

物體的運動只能通過客體（其他物體、觀察者或是一組時空坐標）來相對描述。這些客體稱作參考系。如果參考系選擇得不好，運動定律就會變得不必要地複雜。例如，在某些參考系中不受外力的物體可以保持靜止，而在另外某些參考系中則有可能在未受力的情況下，從某個時刻開始運動。類似地，如果空間的描述不均一或是含時，那麼在此時選定的參考系中，自由物體的運動軌跡就有可能變得非常複雜。因而從直覺上來說，力學定律在慣性系中的形式最簡。

在慣性系中，物體滿足牛頓第一定律，即在不受力的情況下，速度的大小與方向不變。同時，質點滿足的牛頓第二定律的形式為：

　
: $\mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,$

其中，**F** 是物體所受的總外力、_m_ 為質點的質量，**a** 則是參考系中靜止的觀察者測得的加速度。**F** 是電磁力、引力以及核力這些「真實」的力的矢量和。與此形成對比的是，在繞著某個軸以角速率 _Ω_ 旋轉的參考系中，牛頓第二定律的形式為：

　
: $\mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,$

雖然形式看起來並沒有發生變化，但此時的 **F**′則要在 **F** 基礎上加上下面這些項：

　
: $\mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,$

其中參考系的旋轉通過沿著旋轉軸、大小為 _Ω_ 的矢量 **Ω** 表達，符號 × 表示矢量間的叉積運算，矢量 **x**B 為物體的位置，而 **v**B 則是旋轉的觀察者看到的速度。

**F**′中附加的這些項是由參考系造成的「假想」的力。第一項叫作科里奧利力，第二項叫作離心力，而第三項則叫作歐拉力。這三項共同具有這樣一個特點：它們會在 _Ω_ = 0 時消失，也就是說在慣性系中為零；它們的方向與大小會由於 **Ω** 不同，而發生變化；它們在旋轉系中普遍存在（即所有質點都會受其影響）；它們並沒有可以識別的物理來源。同時，這些假想力還不會像核力與靜電力那樣隨著質點間距離增大而減小。比如離心力就有可能在質點遠離轉軸的過程中增大。

綜上，所有觀察者看到的真實力 **F** 是一樣的；非慣性系中的觀察者還要考慮假想力。由於非必須力不存在，慣性系中的物理定律更為簡潔。

牛頓曾假設存在相對於絕對空間靜止的恆星。牛頓運動定律在相對於這些恆星靜止或等速運動的參考系中成立。而在相對於靜止恆星加速運動的參考系中，比如相對於這些恆星旋轉的參考系，運動定律需要附加慣性力，比如前文所說的那些「假想力」。牛頓曾設計過兩種可以展示這些力有實際影響的實驗：一種是通過測定懸掛著兩個繞共同質心旋轉的球的繩中的拉力來確定兩個球的絕對運動角速度；另一種則是當旋轉的水桶突然停止旋轉時，其中的水的表面的形狀仍成凹狀的拋物面。在這兩種情形中，如果不考慮離心力與科里奧利力的話，對於旋轉的觀察者來說，牛頓第二定律將不再成立。

不過，那些「靜止的」恆星實際上卻並不是靜止的。銀河系內部的恆星會繞著銀心轉動（表現為自行）。而銀河系外的則也會參與對應星系中的運動：部分由於宇宙膨脹，部分是它們的本動。仙女座星系更是在以 117 km/s 的速度撞向銀河系。慣性系的概念現在不再以「靜止的恆星」或是絕對空間來定義。但慣性系的確認仍是基於其中的物理定律是否簡潔，特別是是否需要考慮慣性力。

實際情況中，將「靜止」恆星作為慣性系所造成的偏差非常小。例如，地球繞太陽公轉時的離心加速度要比太陽公轉的離心加速度大約三千多萬倍。

對於宇宙是否在轉動的這個更進一步的問題，儘管存在更明確的觀測（測量不確定度更小的觀測），例如，並不各向同性的宇宙微波背景輻射或太初核合成，在這裡還是通過銀河系目前形狀的形成來探討這個問題。銀河系較為平坦的形狀來源於其在慣性系中的轉動速率。如果我們將其視在轉動速率完全歸因為慣性系中的轉動，那麼在我們假設部分轉動效應實際來源於宇宙整體的轉動時就可以得到不同的平坦程度。基於物理定律，科學家構造了一種考慮到宇宙轉動的模型。如果考慮轉動的模型要比沒有考慮轉動的模型中的物理定律更為符合觀測結果，我們就需要選定轉動的最佳擬合值，以與其他相關觀測結果相符。而如果天文觀測中不能得到轉動參數，或是理論超出觀測誤差限，現有物理定律就有必要進行修正，比如引入暗物質來解釋星系自轉問題。到目前為止，有關觀測顯示宇宙自轉速率非常之慢，角速率上限為 60・1012 年自轉一次（10−13 rad/yr）。人們也由此質疑宇宙是否真在轉動。不過如果人們找到轉動的明確證據，古典力學與狹義相對論中有關慣性力的說法就需要修正，或者用廣義相對論中時空曲率與物體沿測地線運動的說法取代。

而在微觀尺度上，當量子效應非常顯著時，就需要引入相應的量子參考系。

## 背景

### 一組物理定律最簡的參考系

依據狹義相對論的第一條公設，慣性系中所有物理定律的形式最簡，且慣性系間通過勻速平移運動聯繫在一起：

> 狹義相對論是以下面的公設為基礎的（而伽利略 - 牛頓的力學也滿足這個公設）：如果這樣來選取一個坐標系 _K_，使物理定律依照於這個坐標系得以最簡單的形式成立，那麼對於任何另一個對於 _K_ 作勻速平移運動的坐標系 _K'_，這些定律也同樣成立。
> 
> 

這種最簡性原則意味著慣性系中的物理定律並不像非慣性系中那樣需要考慮外在因素。這個原理既可以在牛頓力學中使用，也可以在狹義相對論中使用。

套入比較實際的例子，慣性系的等價性意味著箱中的科學家不能通過任何實驗來判定他的絕對速度（否則他就能夠構造從尤參考系）。依據這個定義以及光速不變原理，慣性系間的變換可以通過對稱變換的龐加萊群中的勞侖茲變換實現。牛頓力學則可以視為狹義相對論在光速無限時的一種特例，慣性系之間的變換通過對稱變換中的伽利略群實現。

### 絕對空間

牛頓在與「靜止」恆星相對靜止的參考系中「安置」了絕對空間。慣性系就是相對於絕對空間勻速平移運動的參考系。然而即使在牛頓時代，也有一些科學家（馬赫所說的「相對主義者」）覺得絕對空間是力學表述的缺陷，應該用其他概念替換掉。

路德維希・朗格曾在 1885 年給出慣性系的一種操作定義：

> 在慣性系中，從同一點向三個不同方向（非共面）扔出的質點都會直線運動。
> 
> 

馬赫曾討論過朗格的這種提法。

後世的科學家也討論過牛頓力學中「絕對空間」存在的不足：

* 絕對空間的存在與古典力學的內在邏輯牴觸，因為依據伽利略相對性原理，不存在特殊的慣性系。
* 絕對時空也不能解釋慣性力，因為它們與相對於慣性系的加速度有關。
* 如果引入絕對空間的話，那麼就會存在這樣的推論，即物體本身是抗拒加速的，但這種效應是不存在的、

此外也有科學家對於慣性系的定義做了進一步的討論：

> 原本的提法「運動定律相對於哪個參考系成立？」是錯的。因為運動定律本身就可以確定一類參考系及它們的構造方法。
> 
> 

## 牛頓慣性系

在牛頓力學的範疇內，慣性系是牛頓第一定律成立的參考系。狹義相對論原理將其中的提法推廣到所有物理定律。

牛頓認為第一定律在相對於「靜止」恆星等速運動的參考系中成立，也就是與那些恆星的相對速度的方向與大小都不發生變化。現在人們已經不用涉及到絕對空間的提法，在古典力學中這樣定義慣性系：

> 在慣性系中，物體在不受力的情況下會沿著一條直線，以恆定的速率運動。
> 
> 

因此相對於慣性系，物體只會在實際受力時才會加速，而在淨外力為零時，物體會靜止或繼續沿著一條直線，以恆定速率勻直運動。牛頓慣性系間的變換是通過伽利略變換完成的。

但這種判定方法存在一定的問題：如果把勻直運動看作是淨外力為零的結果，那麼這種提法本身並沒有給出慣性系有何意義；如果這是在定義慣性系，那麼我們就必須得判定淨外力何時為零。愛因斯坦也曾提到過這個問題：

> 慣性原理的弱點在於它含有這樣的一種循環論證：如果有一物體離開別的物體都足夠遠，那麼它運動起來就沒有加速度；而只是由於它運動起來沒有加速度，我們才知道它離開別的物體足夠遠。
> 
> 

這個問題有一些解決方法。第一種是假設當物體距離某種真實力來源足夠遠時，這個物體就不會受到那種力的作用。此時，我們只需要確保物體距離所有力的來源足夠遠，即離其他所有物體足夠遠，就可以保證它不受力。但關於這種方法有一種存在很久的反駁意見即距離再遠的兩個物體也會相互影響（馬赫原理）。另一種方法就是辨識所有力的來源，並描述它們對物體的作用力。而在實際情況中，人們可能由於馬赫原理以及對於世界了解水平的限制，而漏掉其中某些力或力的影響。第三種方法是在參考系變換過程中，看受力的變化。由於參考系加速度產生的慣性力會在慣性系中消失，而這些慣性力的變換在一般情況下是非常難過複雜的。基於物理定律普適性以及定律表述簡潔性的要求，慣性系可以通過慣性力為零來與非慣性系相區別。

牛頓本人也曾在運動定律的某個推論中給出了他自己的相對性原理：

> 當某個給定的空間靜止或勻直運動，那麼這個空間中的物體之間的運動保持不變。
> 
> 

這條原理與狹義相對論原理有兩點不同：它只適用於力學並且沒有提到定律表述的簡潔性。而它與狹義相對論原理相依的一點就是對於某個特定系統的描述在彼此平移運動的參考系間保持形式不變。

## 非慣性系與慣性系之間的分野

### 理論

非慣性系與慣性系可以通過慣性力的有無來區分，簡單來說：

> 非慣性系的效應導致觀察者必須在計算中引入慣性力……
> 
> 

慣性力存在意味著此時的物理定律並非最簡，所以依據狹義相對論，存在慣性力的參考系不是慣性系：

> 在非慣性系中的運動方程式與在慣性系中的運動方程式相差一項稱為慣性力。這使我們能用實驗覺察出一個參考系（例如地球的自轉）之非慣性系性質。
> 
> 

非慣性系中的物體會受到慣性力。它是來源於參考系自己加速度的力，而非作用在物體的實際交互作用。前文提到的旋轉參考系中的離心力與科里奧利力就是慣性力。

那麼該如何區分慣性力與實在的力？如果不對二者加以區別的話，那麼牛頓對於慣性系的定義就非常難以使用。比如考慮一個在慣性系中靜止的物體。物體靜止就意味著它所受外力的和為零。但在圍繞一個固定軸旋轉的參考系中，這個物體看起來就是在向心力（科里奧利力與離心力的和）的作用下做圓周運動。那麼此時我們如何將轉動參考系判定為非慣性系？此時有兩種解決方式，一種是去尋找慣性力的來源。人們會發現並不能找到：沒有相關的載力子，也沒有向引力與電磁作用那樣的場源物體。另一種是考察不同參考系中的情況。對於任意慣性系，科里奧利力與離心力為零。因此，可以利用狹義相對論原理，即物理定律在所有慣性系中的形式相同且最簡，來將慣性系與非慣性系區分出來。而由此原理，轉動參考系就不是慣性系。

牛頓本人是用像右圖中的兩個旋轉的球來考察這個問題。他提出如果球不轉動的話，那麼任意參考系中測得繩張力為零如果球只是看起來在轉動，也就是說在一個轉動參考系中看到球靜止，那麼此時繩中的張力為零，向心力完全由科里奧利力與離心力提供。如果球確實在轉動，那麼向心力就確實是由張力提供。因此可以通過測量繩的張力來確定慣性系：即繩子張力是向心力來源並且數值保持不變的參考系。也就是說慣性系是慣性力消失的參考系。

牛頓還考慮直線加速的一種情況：

> 對於一組物體，無論它們相互之間如何運動，如果它們受到平行方向上的相同加速力，它們會繼續保持相對運動狀態，就像沒有收到這種力一樣。
> 
> 

這個原理推廣了慣性系中的情況。比如，一個關在正自由落體的電梯中的觀察者，會發現只要不知道電梯外的情況，自己就是個有效的慣性系，即使此時他正受引力作用加速下落。所以，嚴格來說，慣性系是一種相對的概念。依據這一點，人們就可以定義彼此靜止或勻速平移的慣性系的集合，而單個慣性系是這個集合的一個元素。在使用這種理念的時候，參考系中觀測到的一切物體會具有來自參考系的具有基線的共同加速度。例如，還是在電梯的例子中，所有物體都具有相同的引力加速度，而電梯自己也具有這種加速度。

1899 年，天文學家卡爾・史瓦西討論了雙星系統的觀測。兩顆星體的運動軌道共面。在距離這個系統足夠近時，從地球上就可以看到雙星軌道的近日點相對於太陽系是否仍指向同個方向。史瓦西提出所有觀測到的雙星系統的角動量方向相對於太陽系的角動量方向保持不變。就像陀螺儀那樣，所有天體的角動量就是相對於普遍慣性空間的角動量。

### 應用

慣性導航系統使用一組陀螺儀與加速計來確定相對於慣性空間的加速度。在陀螺儀調向慣性空間中的某個方向，角動量守恆定律就會保證在其不受外力時朝向保持不變。三個正交的陀螺儀 可以構建一個慣性系，加速計可以測量相對於那個慣性系的加速度。此時再輔以測量時間的時鐘就可以計算位移。因此慣性導航法是一種不用外界輸入因此也不會受外部或內部信號影響的航位推測法。

航海中可用來找到地理北極的陀螺羅經並不是通過地磁場實現其功能的，而是利用慣性系作為其參考系的。從外部看，陀螺羅經會沿著當地的鉛垂線。當羅經中的陀螺儀螺旋向上時，陀螺儀的懸掛方式會導致其旋轉軸的方向與地軸方向逐漸變得一致。與地軸相同的朝向是陀螺儀的轉軸能夠與地球保持相對靜止並且不必改變與慣性空間的相對方向的唯一方式。在被調至螺旋向上後，羅經會在大概 15 分鐘內就能與地軸指向一致。

## 牛頓力學

包含相對性原理的古典力學要求所有慣性系等價。牛頓力學還另添了絕對時空的假設。基於這兩種假設，同一個事件（時空中的一個點）在兩個慣性系的坐標之間的關係由伽利略變換給出：

　
: $\mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t$

　
: $t^{\prime }=t-t_{0}$

其中 **r**0 與 _t_0 是時空原點的偏移量，**v** 是兩個慣性系之間的相對速度。在伽利略變換中，兩個事件之間的時間間隔 _t_2 − _t_1 在所有慣性系中不變，兩個同時事件之間的距離 |**r**2 − **r**1| 也是不變的。

## 狹義相對論

狹義相對論與牛頓力學一樣假設慣性系等價。它還有另一條公設，無論光的傳播方向、頻率以及光源運動狀態如何，真空中光速 _c_0 不變。第二條公設雖然已經得到實驗驗證，但它會造成一些違反直覺的現象：

* 時間膨脹（運動的時鐘變慢）
* 長度收縮（運動物體在運動方向變短）
* 相對同時（某個參考系內同時的事件在幾乎所有相對於那個參考系運動的參考系中不同時。）

這些公設的推論是時空的普遍性質。無論涉及的物體結構或是鐘錶運作如何，它們都普遍成立。這些效應可以用勞侖茲變換表示：

　
: $x^{\prime }=\gamma \left(x-vt\right)$

　
: $y^{\prime }=y$

　
: $z^{\prime }=z$

　
: $t^{\prime }=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c_{0}^{2}}}\right)$

這裡忽略了原點的偏移量，相對速度沿 $x$ 軸方向，勞侖茲因子 γ 定義為：

　
: $\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-(v/c_{0})^{2}}}}\ \geq 1.$

勞侖茲變換在 _c_0 → ∞或 _v_ → 0 時與伽利略變換等價。經過勞侖茲變換後，事件間的時間與距離可能會發生變化，不過勞侖茲純量間隔 _s_ 卻不會發生改變：

　
: $s^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}-c_{0}^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2}$

而在相對論中，旋轉系只能應用在距離轉動中心較近的物體，因為當距離足夠大時，物體速度就會超過光速。

## 廣義相對論

等效原理是廣義相對論的一條基礎原理：

> 觀察者不能利用實驗手段判斷加速度是來自引力還是來自加速參考系。
> 
> 

這條原理由愛因斯坦 1907 年在《關於相對性原理和由此得到的結論》中引入，而後在 1911 年發展。這條原理後來得到厄缶實驗的驗證。這個實驗確定了所有物體慣性質量與引力質量的比值相同。目前人們在 1011 範圍內也沒有找出兩者的差別。

愛因斯坦通過把「平直」的閔考斯基時空取代為具有一定度規的彎曲時空來使「慣性系」與「非慣性系」的效應不再存在區別。在廣義相對論中，慣性原理被測地線運動原理，即物體依照時空曲率運動，取代。在廣義相對論中，物體受到曲率的影響不再具有保持速度不變的「慣性」。測地線導數的存在標誌著慣性系不再像牛頓力學或是狹義相對論中那樣全域存在。

不過廣義相對論會在充分小的時空區域內退化為狹義相對論。在那種區域內，曲率的影響非常小，人們可以重新使用慣性系中的結論。因而，狹義相對論有時會稱作是「定域理論」。

## 另見

* 微分同胚
* 廣義協變性
* 勞侖茲協變性

## 註釋

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, _Spacetime Physics_, 2nd ed. (Freeman, NY, 1992)
* Albert Einstein, _Relativity, the special and the general theories_, 15th ed. (1954)
* Poincaré, Henri. La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction. Archives Neerlandaises. 1900, **V**: 253–78.
* Albert Einstein, _On the Electrodynamics of Moving Bodies_, included in _The Principle of Relativity_, page 38. Dover 1923
* Julian B. Barbour; Herbert Pfister. Mach's Principle: From Newton's Bucket to Quantum Gravity. Birkhäuser. 1998: 445. ISBN 0-8176-3823-7.
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* P Birch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） _Is the Universe rotating?_ Nature 298, 451 - 454 (29 July 1982)
* Kurt Gödel _An example of a new type of cosmological solutions of Einstein’s field equations of gravitation_ Rev. Mod. Phys., Vol. 21, p. 447, 1949.

## 外部連結

* 《史丹佛哲學百科全書》（_Stanford Encyclopedia of Philosophy_）：時空：慣性系 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* YouTube 上的展示慣性系與非慣性系對同一事件描述的動畫