弹性定律

**胡克定律**（英語：Hooke's law），是力學彈性理論中的一條基本定律，指固體材料受力後，應力與應變（單位變形量）成線性關係，滿足此定律的材料稱為線彈性或虎克型材料。

從物理的角度看，虎克定律源於多數固體（或孤立分子）內部的原子在無外載作用下處於穩定平衡的狀態。

許多實際材料，如一根長度為 $L$ 、橫截面積 $A$ 的稜柱形棒，在力學上都可以用虎克定律來模擬 —— 其單位伸長（或縮減）量 $\varepsilon $ （應變）在常係數 $E$ （稱為彈性模量）下，與拉（或壓）應力 $\sigma $ 成正比例，即：

　
: $\sigma =E\varepsilon $

或

　
: $\Delta L={\frac {1}{E}}\times L\times {\frac {F}{A}}={\frac {1}{E}}\times L\times \sigma $

 $\Delta L$ ：總伸長（縮減）量。虎克定律用 17 世紀英國物理學家羅伯特・虎克的名字命名。虎克提出該定律的過程頗有趣味，他於 1676 年發表了一句拉丁語字謎，謎面是：_ceiiinosssttuv_。兩年後他公布了謎底是：_ut tensio sic vis_，意思是「力如伸長（那樣變化）」（見參考文獻 [1]），這正是虎克定律的中心內容。

虎克定律僅適用於特定負載條件下的部分材料。鋼材在多數工程應用中都可視為線彈性材料，在其**彈性範圍**內（即應力低於屈服強度時）虎克定律都適用。另外一些材料（如鋁材）則只在彈性範圍內的一部分區域行為符合虎克定律。對於這些材料需要定義一個應力線性極限，在應力低於該極限時線性描述帶來的誤差可以忽略不計。

還有一些材料在任何情況下都不滿足虎克定律（如橡膠），這種材料稱為「非虎克型」（neo-hookean）材料。橡膠的剛度不僅和應力水平相關，還對溫度和加載速率十分敏感。

虎克定律在磅秤製造、應力分析和材料模擬等方面有廣泛的使用。

## 正式定義

### 用於線性彈簧

### 一般 "標量" 彈簧

### 向量公式

### 一般張量形式

### 連續媒體的虎克定律

## 類似的定律

## 測量單位

## 彈性材料的一般應用

## 派生公式

### 均勻桿的拉應力

### 彈簧能量

```
鬆弛力常數（廣義順應常數）
```

### 諧振子

### 在無重力空間旋轉

## 連續介質的線彈性理論

### 各向同性材料

## 彈簧方程式

虎克定律應用的一個常見例子是彈簧。 在彈性限度內，彈簧的彈力 _$F$_ 和彈簧的長度變化量 _$x$_ 成線性關係，即：

　
: $F=-kx$

 _$k$_ ：彈簧的勁度係數 (**彈力係數**)，由材料性質、幾何外形決定，負號：彈簧產生的彈力與其伸長 (壓縮) 的方向相反，這種彈力稱為**回復力**，表示它有使系統回復平衡的趨勢。滿足上式的彈簧稱為**線性彈簧**。

通過變形儲存在彈簧中的彈性位能為：

　
: $U={1 \over 2}kx^{2}$

該式可以理解為彈簧在壓縮過程中逐小段作負功的極限累加，數學上就是作用力對作用距離的定積分（注意位能恆為正值）。

位能函數在 $U-x$ 平面內是一段拋物線。隨著彈簧沿 $x$ 方向變形（無論拉伸還是壓縮），位能相應增加。非平衡狀態時的位能總是高於平衡狀態（ $x=0$ ）時的位能。所以彈簧力的作用總是使系統向位能減少的方向運動，正如在半山上的球在重力的作用下總是要往山下（重力位能小的地方）滾一樣。

如果將一塊質量懸掛在這樣一個彈簧的末端，然後對它施加一個軸向擾動（可以是敲打或拉開一段距離突然鬆手），質量和彈簧組成的系統將會以下列**固有角頻率**（又稱**共振角頻率**）開始振動：

　
: $\omega _{n}={\sqrt {k \over m}}$

若要對處於三維應力狀態下的材料進行描述，需要定義一個包含 81 個彈性常數的四階張量 $\varepsilon _{ijkl}$ 以聯繫二階應力張量 $\sigma _{ij}$ 和應變張量（又稱格林張量） $\varepsilon _{kl}$ 。

　
: $\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}$

由於應力張量、應變張量和彈性係數張量存在對稱性（應力張量的對稱性就是材料力學中的切應力互等定理），81 個彈性常數中對於最一般的材料也只有 21 個是獨立的。

由於應力的單位因次（力 / 面積）與壓力相同，而應變是無因次的，所以彈性常數張量 $c_{ijkl}$ 中每一個元素（分量）都具有壓力的因次。

對於固體材料大變形力學行為的描述需要用到新虎克型固體模型（neo-Hookean solids）和 Mooney-Rivlin 型固體模型。

### 各向同性材料

## 虎克定律的張量形式

（在牛頓流體中的類比參見**粘性**詞條。）

**各向同性**材料（_isotropic materials_，也譯作**等向性**材料）顧名思義就是（力學）性能沿空間中不同方向不發生變化的材料。顯然描述這種材料的物理方程式的形式不應隨坐標系的旋轉而改變。材料內部的應變張量也應該是對稱的。由於任何張量的跡都是一個與所選坐標系無關的量，所以可以完備地將一個對稱張量分解為一個常張量（即除主對角線上的分量以外均為 0 的張量）和一個跡為 0 的對稱張量之和。即：

　
: $\varepsilon _{ij}=\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

其中 $\delta _{ij}$ 是一個二階單位張量（通過克羅內克 δ 記號來定義）。上式右邊第一項是一個常張量，稱為應變張量的**靜水壓分量**；右邊第二項是一個跡為 0 的對稱張量，稱為**剪應變分量**。

對於各向同性材料，虎克定律最普遍的形式是將應力張量寫成上述兩個應變張量分量的線性組合：

　
: $\sigma _{ij}=3K\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

式中 _K_ 稱為體積模量， $G$ 是材料的剪切模量。

利用彈性力學理論中的彈性常數和實際工程應用中使用的彈性模量之間的關係，以上的關係還可寫成其他形式，譬如下面這組方程式用應力張量來表示了應變張量：

$$
{\begin{cases}\varepsilon _{11}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{22}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{33}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\\varepsilon _{12}={\cfrac {\sigma _{12}}{2G}}\\\varepsilon _{13}={\cfrac {\sigma _{13}}{2G}}\\\varepsilon _{23}={\cfrac {\sigma _{23}}{2G}}\end{cases}}
$$

式中 $Y$ 稱為楊氏模量， $\nu $ 為帕松比。

 

### 正交各向異性材料

正交各向異性材料是非常常見的一種材料模型，這種材料有三個互相正交的材料對稱面；其三維虎克定理可以用矩陣表示為

$$
{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\end{pmatrix}}
$$

此式中獨立的材料常數為 9 個。
注意式中三個剪切應力和三個剪切應變的順序，不同教科書可能會不同的選擇。

各向同性材料也是正交各向異性材料的一種特例，即有無數個對稱平面的情況。這時獨立材料常數只有 $2$ 個，即楊氏模量和帕松比。

## 參見

* 楊氏模量

## 參考文獻

* [1] Y. C. Fung （馮元楨）, _Foundations of Solid Mechanics_, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965
* [2] A.C. Ugural, S.K. Fenster, _Advanced Strength and Applied Elasticity_, 4th ed