截角二十面體

在幾何學中，**截角二十面體**是一種由 12 個正五邊形和 20 個正六邊形所組成的凸半正多面體，同時具有每個三面角等角和每條邊等長的性質，因此屬於阿基米德立體，但由於其並非所有面全等因此不能算是正多面體。由於其包含了正五邊形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體，其對偶多面體為五角化十二面體。這種結構最早由李奧納多・達文西給予描述，後來出現於許多藝術創作和學術研究中。自 1970 年墨西哥足球世界盃之後，這種形狀成為了足球的代表性形狀，並且會在六邊形塗上白色、五邊形塗上黑色。在科學領域中，這種形狀亦有許多用途，例如建築學家巴克明斯特・富勒提出的網格球頂結構，甚至在核子武器的引爆技術上也有使用這種形狀的設計。巴克明斯特富勒烯分子（C60）也是這種形狀。

## 歷史

這種形狀的骨架結構最早由李奧納多・達文西給予描述，雖然阿基米德被認為是最早想出十三種阿基米德立體的學者，這十三種立體中也包括了截角二十面體，但並未留下明確直接提及此形狀的文獻記錄。阿爾布雷希特・丟勒也重現了一個類似截角二十面體的多面體，包含 12 個五角形和 20 個六角形面，但是沒有明確的文獻記錄，不過部分文獻認為這是最早的截角二十面體圖像，不過這個時候還沒有「截角」的概念。直到了 16、17 世紀時，約翰內斯・克卜勒才引入了「截角」的概念，才得以將這個形狀與正二十面體聯繫起來。自 1970 年墨西哥世界盃之後，截角二十面體成為足球的代表性形狀。

## 性質

截角二十面體是一種半正多面體，由五邊形和六邊形組成，每個頂點都是兩個六邊形和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖中可計為 5.6.6，因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正二十面體透過截角變換，變換而成，因此稱為截角二十面體。由於此原因，截角二十面體在施萊夫利符號中可以用 t {3,5} 來表示，其中，t 表示截角變換，{3,5} 表示正二十面體（每個頂點都是五個三角形的公共頂點）。

### 分類

在幾何學中，**截角二十面體**是一種半正多面體，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體。它由 12 個正五邊形面、20 個正六邊形面、60 個頂點和 90 個邊構成。由於包含了正五邊形和六邊形面因此也是一種戈德堡多面體，在戈德堡符號中可用 GPV(1,1) 或 {5+,3}1,1 表示。而 1983 年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號 W9。

### 組成

截角二十面體共有 90 條棱和 60 個頂點，正二十面體是由 20 個正三角形組成。把正二十面體的棱做三等分，則 20 個正三角形的面就得到了 20 個正六邊形；同時把正二十面體的所有 12 個頂點削去，則每個頂點由上述三等分點形成的正五邊形代替。這就形成了截角二十面體。由於正二十面體有 20 個正三角形的面，30 條棱。每條棱做三等分則有 2 個分割點，由此削去正二十面體所有 12 個頂點後得到的截角二十面體有 60 個頂點。

### 面的組成

截角二十面體由 32 個面組成，在這 32 個面中，共包含了 12 個正五邊形面和 20 個正六邊形面，其頂角皆為三面角，由 2 個六邊形和一個五邊形組成，換句話說，即每個頂點都是 2 個六邊形和一個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以計為 5.6.6。另外，在這個結構中，五邊形面彼此不相鄰。

### 尺寸

若以 _a_ 表示棱長，則截角二十面體的外接球半徑為：

　
: ${a \over 2}{\sqrt {9\phi +10}}\approx 2.4780~a$

關於截角二十面體的體積，由於截角二十面體已知可以透過切去正二十面體的十二個頂點來構造，並且已知目標立體為等邊多面體，因此可以知道被切下來的 12 個錐體是等邊正五角錐。所以截角二十面體的體積可以透過正二十面體的體積減去 12 個錐體是等邊正五角錐來計算，其結果為：

　
: 體積： $V={1 \over 4}(125+43{\sqrt {5}})~a^{3}\approx 55.2877~a^{3}$

而關於截角二十面體的表面積，已知截角二十面體由 12 個正五邊形和 20 正六邊形所組成，因此截角二十面體的表面積可以透過 12 倍正五邊形面積與 20 倍正六邊形面積的和來計算，其結果為：

　
: 表面積： ${\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\\&=3(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})~a^{2}\approx 72.6073~a^{2}\end{aligned}}$

### 頂點坐標

邊長為 2，幾何中心位於原點的截角二十面體，其頂點的坐標為：

　
: (0, ±1, ±3_φ_)

　
: (±1, ±(2 + _φ_), ±2_φ_)

　
: (±2, ±(1 + 2_φ_), ±_φ_)

其中 φ = (1+√5)/2，黃金分割數；此時稜長為 2，外接球半徑為 ${\sqrt {9\phi +10}}$ 。

### 二面角

截角二十面體有兩種二面角，一個為兩個六邊形的交角，另一個為五邊形與六邊形的交角：

　
: 其中，兩個六邊形的交角為:

　
: $\arccos {\frac {-{\sqrt {5}}}{3}}\approx 138.18968510^{\circ }$

　
: 其中，五邊形與六邊形的交角為:

　
: $\arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}\approx 142.62263185^{\circ }$

　
: 另外，其兩個六邊形的共線與五邊形的交角為:

　
: $\arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}\approx 148.2825255^{\circ }$

　
: 以及五邊形和六邊形的共線與鄰近的六邊形的交角為 144°。

## 正交投影

截角二十面體有五種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以頂點為中心、以邊為中心（兩種）、以六邊形面為中心以及以五邊形面為中心的正交投影。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於 A2 和 H2 的考克斯特平面。

## 球面鑲嵌

截角二十面體也可以表示為球面鑲嵌，並通過球極投影，投影到平面上。 這個投影是一個等角投影，雖然長度發生改變，但保留了角度資訊。 球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。其結果與足球十分相似。

## 應用

截角二十面體在日常生活、藝術、自然科學和技術等領域中皆有用途。

### 在科學中

在化學中也有一些分子的形狀為截角二十面體，如富勒烯 C60，這種分子於 1985 年被發現，其直徑約為 0.71 奈米，由 60 個碳原子組成，且每個碳原子正好位於截角二十面體的頂點上。這種形狀也用於核子武器中，聚焦雷管的爆炸衝擊波用的爆縮透鏡，並配置於小工具和胖子等原子彈中。
截角二十面體的一種變體也曾用於由聚合材料製成的窩狀車輪胎框的基礎，其使用了富勒的網格球頂的部分幾何結構（截角二十面體的局部），其被龐蒂克汽車部門在 1971 年至 1976 年間用於 Trans Am 和 Grand Prix 中。此外，由於這個幾何結構與建築學家巴克明斯特・富勒設計的 1967 年世界博覽會美國館網格球頂時分相似，為了表達對他的敬意，有時會將其稱為「巴克球」（buckyball）。

### 在文化中

截角二十面體的球面鑲嵌被運用在足球和手球的形狀上，大致上使得截角二十面體被認為是在日常生活中最著名的球面多面體之例子。這些球類運動所使用的球體皆包含了相同的正五邊形和正六邊形圖案，但由於運動用球內部通常會充氣，使得空氣的壓力令球具有彈性、更加接近球體。足球的模樣自 1970 年墨西哥世界盃之後為截角二十面體。

### 在藝術中

截角二十面體出現於李奧納多・達文西繪製於盧卡・帕西奧利的著作《Divina proportione》中的插圖。

* * * * * *

## 相關多面體與鑲嵌

截角二十面體是正二十面體經過截角變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

截角二十面體可視為一種截角的正球面鑲嵌 —— 截角五階三角形鑲嵌，即足球。其他截角正鑲嵌幾何結構包含：

部分均勻星形多面體和一個星形二十面體的凸包為非半正的截角二十面體：

在雙曲空間中，過截角五階十二面體堆砌（Truncated order-5 dodecahedral honeycomb）由截角二十面體獨立堆砌而成，在考克斯特記號中，計為，其頂點圖為鍥形體。

　
:

在四維空間中，部份多胞體含有截角二十面體形狀的胞，例如大斜方六百胞體（Great rhombated hexacosichoron 或稱 Cantitruncated 600-cell）和過截角一百二十胞體（Bitruncated 120-cell）。其中大斜方六百胞體共由 1440 個胞、8640 個面、14400 條邊和 7200 個頂點所組成，在其 1440 個胞中有 120 個截角二十面體、720 個正五角柱和 600 個截角八面體。而過截角一百二十胞體共由 720 個胞、4320 個面、7200 條邊和 3600 個頂點所組成，在其 720 個胞中有 120 個截角二十面體和 600 個截角四面體。

## 截角二十面體圖

在圖論的數學領域中，截角二十面體圖是阿基米得立體中截角二十面體之邊與頂點的圖，其有時被稱為**巴克明斯特富勒圖**。共有 60 個頂點和 90 條稜，且是立方體的阿基米德圖。

## 參見

* 正十二面體

## 參考文獻

**參考書目**

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角二十面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
  * 埃里克・韋斯坦因. Truncated icosahedral graph. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x5o - ti. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated icosahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
* 3D paper data visualization World Cup ball （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）