微分学

**微分學**（英語：Differential calculus）是微積分學的一部份，是通過導數和微分來研究曲線斜率、加速度、最大值和最小值的一門學科，也是探討特定數量變化速率的學科。微分學是微積分的二個主要分支之一。

微分學主要研究的主題是函數的導數、相關的標示方式（例如微分）以及其應用。函數在特定點的導數可以說明函數在此輸入值附近的變化率。尋找導數的過程即為微分。若以圖示表示，函數在某一點的微分是函數圖形在那一點的切線斜率（前提是在那一點的導數存在而且有定義）。針對單實數變數的實值函數而言，函數在某一點的導數也就可以決定在那一點最佳的線性近似。微分和積分的關係可以由微積分基本定理來說明，此定理說明微分是積分的逆運算。

幾乎所有量化的學科中都有微分的應用。例如在物理學中，運動物體其位移對時間的導數即為其速度，速度對時間的導數就是加速度、物體動量對時間的導數即為物體所受的力，重新整理後可以得到牛頓第二運動定律 $F=ma$ 。化學反應的化學反應速率也是導數。在運籌學中，會透過導數決定在運輸或是設計上最有效率的作法。

導數常用來找函數的極值。含有微分項的方程式稱為微分方程，是自然現象描述的基礎。微分以及其廣義概念出現在許多數學領域中，例如複分析、泛函分析、微分幾何、測度及抽象代數。

## 導數

假設 $x$ 和 _y_ 是實數，而且 _y_ 是 _x_ 的函數，也就是說，針對每一個 _x_，都有一個對應的 _y_。兩者的關係可以表示為 _y_ = _f_(_x_)。若 _f_(_x_) 是直線的方程式（稱為一次方程），則會存在兩個實數 _m_ 和 _b_ 使得 _y_ = _mx_ + _b_。在這個「斜率－截距式」中，_m_ 是斜率，可以用下式來求得：

　
: $m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},$

其中符號 Δ（是希臘大寫字母 Δ）表示「變化」。以下的式子會成立：Δ_y_ = _m_ Δ_x_.

一般的函數不是直線，因此沒有斜率。在幾何上來看，函數 _f_ 在 _x_ = _a_ 的導數就是函數 _f_ 在 _a_ 點切線的斜率（如圖）。常會表示為 _f_ ′(_a_) 或 _dy_/_dx_|x = _a_。因為導數是 _f_ 在 _a_ 點線性近似的斜率，因此導數（以及函數 _f_ 在 _a_ 點的值）是函數 _f_ 在 _a_ 點附近最佳的線性化近似。

若在函數 _f_ 定義域中的每一點 _a_ 都有導數，則存在一函數可以將每一點 _a_ 對應到函數 _f_ 在 _a_ 點的導數。例如，若函數 _f_(_x_) = _x_2，則其導數函數 _f_ ′(_x_) = _dy_/_dx_ = 2_x_。

另一個有關的表示法是函數的微分。若 _x_ 和 _y_ 是實數變數，函數 _f_ 在 _x_ 點的導數為函數 _f_ 在 _x_ 點切線的斜率。因為 _f_ 的引數及輸出都是純量，因此 _f_ 的導數也是實數。若 _x_ 和 _y_ 是向量，則 _f_ 圖形的最佳線性近似會和函數 _f_ 在不同方向的變化有關。找到在單一方向的最佳近似，也就決定了偏微分，一般會表示為∂_y_/∂_x_。若找到了函數 _f_ 在所有方向的線性化近似，則稱為全微分。

## 微分的歷史

若以切線來看，微分的概念很早以前就出現了，像希臘幾何學家歐幾里得（約 300 BC）、阿基米德（約 287–212 BC）及阿波羅尼奧斯（約 262–190 BC）。阿基米德也引進了無窮小量的使用，不過最早是用在面積及體積上的研究，而不是在導數及切線上，參考阿基米德使用的無窮小量。

在印度數學家的研究中有看到用無窮小量來探討量的變化，最早也許可以推到西元 500 年，當時天文學家及數學家阿耶波多用無窮小量來研究月球軌道。在印度數學家婆什迦羅第二（1114–1185）時，用無窮小量來計算量變化的研究有顯著的進展，也有人提到在他的著作中已提到許多微分學的重要概念，例如羅爾定理。

伊斯蘭數學家納色阿爾圖斯（1135 年–1213 年）在其著作《Treatise on Equations》中說明了部份三次方程有解的條件，是透過找適當三次多項式的最大值來求得。他證明了三次多項式 _a x2 — x_3 的最大值出現在 _x_ = 2_a_/3，並且得到結論：方程式 _a x_2 — _x_3 = _c_ 在 _c_ = 4 _a_3/27 時恰有一正值的解，若 0 < _c_ < 4 _a_3/27 會有二個正值的解。科學歷史學家 Roshdi Rashed 認為阿爾圖斯一定是用到了三次多項式的導數才得到此一結果。不過也有其他學者質疑 Rashed 的想法，他們認為 Rashed 也可能用了其他不用導數概念的作法。

普遍認為近代微積分的發展是因為艾薩克・牛頓（1643 年–1727 年）及戈特弗里德・萊布尼茨（1646 年–1716 年）同時但獨立個別的研究，並且整合了有關微分及導數的作法。不過其中關鍵的概念（也是後來認定微積分是由他們兩人創始的原因）是結合微分以及積分的微積分基本定理，這也讓以往計算面積及體積，自從海什木（Alhazen）以來沒有大幅進步的的方式變的過時。有關牛頓和萊布尼茨在微分上的想法，都是以早期數學家的貢獻為基礎，例如皮埃爾・德・費馬（1607 年 - 1665 年）、伊薩克・巴羅（1630 年–1677 年）、勒內・笛卡爾（1596 年–1650 年）、克里斯蒂安・惠更斯（1629 年–1695 年）、布萊茲・帕斯卡（1623 年–1662 年）及約翰・沃利斯 (1616 年–1703 年）。有關費馬的影響，牛頓曾在一封信中提到：「我從費馬畫切線的方式得到有關（通量）方法的暗示，將其用在抽象的方程……，我擴展了這個概念（directly and invertedly, I made it general.）。一般會將導數早期的發展歸功於伊薩克・巴羅，不過牛頓和萊布尼茨仍在微分學的歷史上有重要的貢獻，其中也包括了牛頓將微分用在理論物理學中，而萊布尼茨發展的符號到現今仍在普遍使用。

自從 17 世紀起，許多數學家都對微分學有所貢獻。在 19 世紀時，在奧古斯丁・路易・柯西（1789 年–1857 年）、波恩哈德・黎曼（1826 年–1866 年）及卡爾・魏爾斯特拉斯（1815 年–1897 年）等數學家的貢獻下，微分學已更加的嚴謹。微分學也在此一時期擴展到歐幾里得空間及複平面。

## 微分的應用

### 最佳化

若 _f_ 是在ℝ（或是其他開區間）內的可微函數，而 _x_ 是 _f_ 有局部最小值或是局部最大值的位置，則 _f_ 在 _x_ 處的導數為零。滿足 _f'_(_x_) = 0 的點稱為臨界點或是駐點（則 _f_ 在 _x_ 處的值稱為臨界值）。若 _f_ 沒有處處可微的特性，則 _f_ 不可微的點也稱為臨界點。

若 _f_ 是二次可微，則 _f_ 的臨界點 _x_ 可以用 _f_ 在 _x_ 的二次導數來分析：

* 若二次導數為正，則 _x_ 是局部最小值
* 若二次導數為負，則 _x_ 是局部最大值
* 若二次導數為零，則 _x_ 可能是局部最小值、是局部最大值，也可能都不是（例如，_f_(_x_) = _x_3 在 _x_ = 0 處為臨界點，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 _f_(_x_) = ± _x_4 在 _x_ = 0 處為臨界點，分別是局部最小值及局部最大值）

上述作法稱為二次導數測試。一次導數測試是另一種分析方式，考慮 _f'_ 在臨界點前後的符號變化。

取導數，並且求解臨界點是要找局部最小值或最大值的最簡單作法，常應用在最優化中。根據極值定理，連續函數在閉區間內至少會有一次局部最小值及局部最大值。若函數可微，其局部最小值及局部最大值只會出現在臨界點或是端點上。

取局部最小值及局部最大值也可以在函數圖形的繪制上：只要找到可微分函數的局部最小值、局部最大值以及位，可以根據觀察函數在各臨界點之間的趨勢來繪制簡圖。

在高維度的空間中，純量函數的臨界點是其梯度為 0 的點。仍然可以用二次導數測試來分析臨界點，作法是考慮函數在臨界點上二階導數形成海森矩陣的特徵值。若所有特徵值都為正，此點為局部最小值；若所有特徵值都為負，此點為局部最大值；若部份為正，部份為負，表示臨界點為鞍點；不過若有部份特徵值為零，則無法以此方式判斷。

#### 變分法

最佳化問題的一個例子是：找到在一曲面上，通過曲面上二點的最短路徑。若是在平面上，其最短路徑是直線。不過若曲面是較複雜的形狀（例如蛋形），最短路問題的解就不是那麼直觀了，此路徑稱為測地線，而這也是最佳化問題中最簡單的問題之一。另一個例子是：找到可以填充空間中封閉曲線的最小面積曲面，此曲面稱為極小曲面，也可以透過變分法求得。

### 物理

微分在物理學上格外重要：許多物理的現象都是用有關微分的方程式來描述，這類方程稱為微分方程。物理學格外關注物理量隨時間的變化，而**時間導數**是物理量隨時間的變化率，是許多重要概念精準定義的基礎。尤其在牛頓力學中，很重視一物體位置的時間導數：

* 速度是一物體位移（相對於時間）的微分。
* 加速度是一物體速度（相對於時間）的微分，也就是位移（相對於時間）的二階微分。

例如：若物體在一直線上的位置可以用下式表示

　
: $x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!$

則其速度為

　
: ${\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!$

而加速度為

　
: ${\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!$

此時加速度已為定值。

### 微分方程

微分方程是指一函數和其微分之間的關係。**常微分方程**會描述單變數函數和其微分之間的關係。而**偏微分方程**則是多變數函數和其偏微分之間的關係。在自然科學、數學建模，甚至是數學領域中都常常會出現微分方程。例如，牛頓第二定律描述力和加速度的關係，可以表示為以下的常微分方程

　
: $F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$

一維空間下的熱傳導方程式描述熱在一桿狀物上如何傳遞，其偏微分方程如下

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

此處 _u_(_x_,_t_) 為桿狀物時間 _t_ 時，在位置 _x_ 的溫度，而 _α_ 為一常數，和熱在桿狀物上傳遞的速度成正比。

### 均值定理

均值定理提供了函數的導數和其原始值之間的關係。若 _f_(_x_) 是實值函數，而 _a_ 和 _b_ 是實數，且 _a_ < _b_，則根據均值定理（配合少許的假設），兩點 (_a_, _f_(_a_)) 和 (_b_, _f_(_b_)) 之間的斜率會等於在 _a_ 和 _b_ 中間某一點 _c_ 的切線斜率。換句話說

　
: $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

實際上，均值定理是以其導數的方式來控制一個函數。例如，假設 _f_ 有導數，在每一點均為 0，這表示其每一點的切線都是水平線，因此其函數應該也就是水平線。均值定理證明這是對的：_f_ 圖上二點之間的斜率必須等於 _f_ 中的某一條切線。而所有的切線斜率都是 0，因此從函數上任二點之的直線斜率也是 0。這表示函數不會上昇也不會下降，因此是水平線。若是導數的條件比較複雜，所產生的原函數資訊會比較不準確，但仍然有用。

### 泰勒多項式及泰勒級數

一函數的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似，不過這和實際的函數可能有很大的差異。改善近似的一個方式就是進行二次近似。也就是說，實值函數 _f_(_x_) 在 _x_0 點的線性化是線性多項式 _a_ + _b_(_x_ − _x_0)，若考慮一個二次多項式 _a_ + _b_(_x_ − _x_0) + _c_(_x_ − _x_0)2，可能會有更好的近似結果。若二次多項式改為三次多項式 _a_ + _b_(_x_ − _x_0) + _c_(_x_ − _x_0)2 + _d_(_x_ − _x_0)3，近似效果會更好一些，此概念可以擴展到任意多次的高次多項式。針對一個多項式，都應該會有一個最佳的係數 _a_、_b_、_c_、_d_…… 的組合，讓近似的效果最好。

在 _x_0 的鄰域，對 _a_ 來說，最理想的數值一定是 _f_(_x_0)，對 _b_ 來說，最理想的數值一定是 _f'_(_x_0)，對 For _c_、_d_ 及更高階的係數來說，其係數最理想的數值是由 _f_ 更高階的導數決定。_c_ 最理想的數值一定是 _f''_(_x_0)/2，and _d_ 最理想的數值一定是 _f'''_(_x_0)/3!。利用這些係數，可以得到 _f_ 的**泰勒多項式**。_d_ 次的泰勒多項式是對 _f_ 可以有最佳近似的 _d_ 次多項式，其係數可以用上述公式推廣而得。泰勒公式提供近似程度的精確範圍。若函數 _f_ 是次數小於等於 _d_ 的多項式。則此函數的 _d_ 次泰勒多項式即為函數 _f_。

泰勒多項式的極限是無窮級數，稱為泰勒級數。多半來說泰勒級數是原函數非常理想的近似。一函數若都各點等於其泰勒級數，稱為解析函數。若函數有不連續點或是斜率不連續的尖角，此函數不會是解析函數，不過相反的，存在一些函數是光滑函數（無窮階可導的函數），卻不是解析函數（非解析的光滑函數）。

### 隱函數定理

有些幾何圖形（例如圓）無法用函數圖形來表示。例如若 _f_(_x_, _y_) = _x_2 + _y_2 − 1，其圓即為所有使 _f_(_x_, _y_) = 0 的點 (_x_, _y_) 的集合。這個集合稱為 _f_ 的零集。這和 _f_ 本身的圖形（拋物面）不同。隱函數定理可以將 _f_(_x_, _y_) = 0 之類的關係轉換為函數。其中提到，若 _f_ 是連續可微函數，_f_ 的零集中大部份都可以表示為函數圖形「粘貼」的組合。零集上的個點是否滿足上述條件，可以用一個和 _f_ 微分有關的方式來確認。例如圓可以表示成二個函數圖形 ± ${\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}$ 「粘貼」後的結果。圓上除了 (−1, 0) 和 (1, 0) 二點之外，在其餘每一個點的鄰域上，上述二個函數中都有一個的圖形和圓的圖形類似。（上述二個函數其實剛好也通過 (−1, 0) 和 (1, 0)，不過這不是隱函數定理中提到的內容）

隱函數定理和反函數定理有密切的關係。反函數定理提到一函數在一點的開區域內具有反函數的充分條件。

 

## 注釋

## 參見

* 微分
* 微分幾何
* 數值微分
* 導數列表
* 微積分學主題列表

## 參考資料

* J. Edwards. Differential Calculus. London: MacMillan and Co. 1892 [2018-07-18]. （原始內容存檔於 2019-05-21）.