應力-能量張量

**應力 - 能量張量**，也稱**應力 - 能量 - 動量張量**、**能量 - 應力張量**、**能量 - 動量張量**、簡稱**能動張量**，在物理學中是一個張量，描述能量與動量在時空中的密度與通量 (flux)，其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中，應力 - 能量張量為重力場的源，一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力 - 能量張量具有重要的應用，尤其是在愛因斯坦場方程式。

## 定義

_請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示，x0 代表時間，其他座標項 x1, x2 及 x3 則為剩下的空間分量。_

應力 - 能量張量為一個二階張量 $T^{ab}$ ，給出四維動量或 4 - 動量之 a 分量通過一座標為常數 xb 之表面的通量。
另外要注意的是應力 - 能量張量是對稱 (當自旋張量為零時)，亦即

　
: $T^{ab}=T^{ba}\,$

若自旋張量 S 非零，則

　
: $\partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }$

## 例子

此處舉出一些特例：

　
: $T^{00}$

代表能量密度。

　
: $T^{0i}$

代表能量通過 _x_i 表面之通量，等同於

　
: $T^{i0},$

第 _i_ 動量之密度。

分量

　
: $T^{ij}$

代表 _i_ 動量通過 _x_j 表面之通量。其中較特別的是：

　
: $T^{ii}$

代表一個類似壓力與張應力的物理量 —— 正向應力 (normal stress)，而

　
: $T^{ij},\quad i\neq j$

代表剪應力 (shear stress)。

**提醒**：在固態物理與流體力學中，應力張量所指為應力 - 能量張量於共動參考系 (comoving frame of reference) 的空間分量。換句話說，工程學中的應力 - 能量張量與此處由動量對流項 (momentum convective term) 表示的應力 - 能量張量有所差異。

## 作為諾特流 (Noether current)

應力 - 能量張量滿足連續性方程式 (continuity equation)

　
: $\nabla _{b}T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$ .

此一物理量

　
: $\int d^{3}xT^{a0}$

是對一類空切面積分，得出能量 - 動量向量。分量 $T^{a0}$ 因此可以詮釋為（非重力的）能量與動量之局域密度，而連續性方程式的第一分量

　
: $\nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0$

則單純是能量守恆的表述。空間分量 $T^{ij}$ (_i, j_ = 1, 2, 3) 則對應到局域非重力的應力分量，其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流 (Noether current)。

## 於廣義相對論中

上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中，對稱形式的張量，也就是額外滿足

　
: $T^{ab}=T^{ba}$

的關係的張量成為時空曲率的源，並且是與規範變換 (gauge transformation) 相應的流密度 (current density)，在此是以座標變換為例。若有扭率 (torsion)，則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦 - 嘉當重力。

在廣義相對論中，平直時空所用的偏導數 (偏微分，partial derivative) 修改為協變導數 (covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限，這一點有一個簡單的解釋：與引力位能互相交換的能量，它沒有包含在能動張量中，而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中，無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量；任何意圖要定義這些密度的膺張量 (pseudo-tensor) 均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下，對於應力─能量張量只是部分的 "協變守恆"，我們必須感到心滿意足。

在彎曲時空中，一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量（原文誤為 'vector'）。

 

### 愛因斯坦場方程式

在廣義相對論中，應力 - 能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中，方程式常寫為：

　
: $R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },$

其中 $R_{\alpha \beta }$ 為里奇張量， $R$ 為里奇純量（對里奇張量做張量縮併 (tensor contraction) 而得），以及 $G$ 為宇宙重力常數 (universal gravitational constant).

## 特殊情況下的應力 - 能量張量

### 孤立粒子

在狹義相對論中，質量為 _m_ 的無交互作用粒子的應力 - 能量張量為：

　
: $T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])$

其中 δ 是狄拉克 δ 函數， $v^{\alpha }\!$ 是速度矢量：

　
: ${\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.$

### 處於平衡狀態下的流體的應力 - 能量張量

對於處於熱平衡狀態下的流體，應力 - 能量張量具有一個特別簡單的形式：

　
: $T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }$

其中 $\rho $ 是質量 - 能量密度（牛頓每立方米）， $p$ 是流體靜壓力（牛頓每平方米）， $u^{\alpha }$ 是流體的四維速度， $g^{\alpha \beta }$ 是度量張量的逆。

四維速度滿足：

　
: $u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.$

在隨流體一起移動的慣性參考系中，四維速度為：

　
: $u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,$

度量張量的倒數為：

　
: $g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,$

應力 - 能量張量是一個對角矩陣：

　
: $T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).$

### 電磁應力 - 能量張量

一個無源電磁場的應力 - 能量張量為：

　
: $T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)$

其中 $F_{\mu \nu }$ 是電磁張量。

### 純量場

滿足克萊因 - 戈爾登方程式的純量場 $\phi $ 的應力 - 能量張量為：

　
: $T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .$

## 各式各樣的應力 - 能量張量

存在有一些互不相等的應力 - 能量張量。

### 正則 (Canonical) 應力 - 能量張量

其為與時空平移相關的諾特流。

### 希爾伯特應力 - 能量張量

應力 - 能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數 (functional derivative)

　
: $T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}$

其中 Smatter 是作用量的非重力部份，為對稱的且有規範不變性。

### Belinfante-Rosenfeld 應力 - 能量張量

### 贗張量 (Pseudotensors)

贗張量的例子有愛因斯坦贗張量與藍道 - 里夫須茲贗張量 (Landau-Lifschitz pseudotensor)。

## 相關條目

* 能量條件
* 坡印廷向量 Poynting vector
* 電磁場能量密度
* 電磁應力 - 能量張量
* Segre classification

## 外部連結

* Lecture, Stephan Waner
* Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric