德布罗意波长

**德布羅意波**，也稱為**物質波**（英語：Matter waves）是量子力學理論的中心部分，同時也是波粒二象性的一個例子。該理論指出所有物質都表現出波動性。例如，電子束可以像光或水波一樣發生衍射 。但是，在大多數情況下，由於像網球或人這樣的常見物體的波長太小，物質波無法對日常活動產生實際影響。

物質波的概念最早由德布羅意於 1924 年提出的德布羅意假說中首次描述。

**德布羅意波波長**是與具有質量的粒子相關的波長 _λ_ ，並與普朗克常數 _h_ 和它的動量 _p_ 有關：

　
: $\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}.$

物質波首先由喬治・湯姆孫的電子薄金屬衍射實驗證明。在戴維森 - 革末（Davisson-Germer）實驗中也使用了電子。物質波也可以在其他基本粒子、原子、甚至分子中被觀測到。

## 歷史背景

在 19 世紀末，人們認為光由按照馬克士威方程式傳播的電磁波組成，而物質由粒子組成（請參閱波和粒子對偶的歷史）。然而在 1900 年，馬克斯・普朗克在對黑體輻射進行研究時提出光由離散的能量子組成，造成物質的粒子性在 1905 年受到了徹底的挑戰。隨後，愛因斯坦通過多種方式擴展了普朗克的研究，包括與光電效應的聯繫，並提出光以量子（光子）的形式傳播和吸收。這些量子可依照普朗克 - 愛因斯坦關係式求出其能量值：

　
: $E=h\nu $

和動量值

　
: $p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }}$

其中 _ν_ 和 _λ_ 分別表示光的頻率和波長，_c_ 表示光速，_h_ 表示普朗克常數。 在現代慣例中，頻率由 _f_ 表示，如本文其餘部分所述。愛因斯坦的假設被羅伯特・密立根和阿瑟・康普頓在接下來的二十年中通過實驗證實。

## 德布羅意假設

德布羅意（De Broglie）在其 1924 年的博士學位論文中提出，就像光具有波粒二象性一樣，電子也具有波的性質。通過調整上一節所述的動量方程，我們可通過普朗克常數 _h_ 找到電子的波長 _λ_ 和其動量 _p_ 之間的關係。

　
: $\lambda ={\frac {h}{p}}.$

這種關係適用於所有類型的物質，即所有的物質都同時具有粒子和波的性質。

> 當我在 1923-1924 年構思波動力學的第一個基本概念時，我的目標是形成一個像 1905 年愛因斯坦提出的光量子理論一樣但包含所有粒子的波粒二象性理論。
> 
> 

1926 年，薛丁格發表了一個等式來描述物質波是如何演變的，類似於麥克斯韋方程，並用它來導出了氫的光譜。

## 實驗證明

喬治・湯姆孫的陰極射線衍射實驗和戴維森 - 革末實驗首先證明了物質波，而其他元素粒子的德布羅意假說隨後也得到了證實。此外，在中性原子甚至分子中也觀察到了物質波。

### 電子

1927 年，柯林頓・戴維孫和雷斯特・革末在貝爾實驗室（Bell Labs）向晶體鎳靶發射了緩慢移動的電子，並測量了衍無線電子強度的角度依賴性，並確定其具有與布拉格預測的 X 射線相同的衍射圖形。同時，阿伯丁大學的喬治・佩吉特・湯姆森（George Paget Thomson）向非常薄的金屬箔上發無線電子，發現了相同的效果。在德布羅意假說被認可之前，衍射是一種被認為僅由波表現出的性質。因此，物質的任何衍射效應的存在證明了物質的波動性質。當將德布羅意波長代入布拉格定律時，可以預測觀察到的衍射圖，從而通過實驗證實了電子的德布羅意假設。 

這是量子力學發展的一個關鍵結果。就像光電效應證明了光的粒子性一樣，戴維森 - 革末（Davisson-Germer）實驗顯示了物質的波的性質，並完善了波粒二象性理論。對於物理學家來說，這一理論很重要，因為它不僅意味著任何粒子都可以表現出波的特徵，而且如果運用德布羅意波長，則可以通過波動方程來描述物質的現象。

用菲涅耳衍射 和原子反射鏡對中性原子進行鏡面反射 的實驗證實了德布羅意假說在原子上的應用，即粒子可發生衍射，干涉和量子反射。 雷射冷卻技術的進步已可將中性原子冷卻至納開爾文溫度。在這些溫度下，原子的德布羅意波長達到微米級別。使用原子的布拉格衍射和拉姆塞干涉測量技術，科學家明確測量了冷鈉原子的德布羅意波長，並與其他方法吻合。 

該效應已被用於證明原子全息攝影，並且使製造具有奈米解析度的原子探針成像系統成為可能。 這些現象基於中性原子的波動性，從而證實了德布羅意的假設。

該效應也已用於解釋量子芝諾效應，即通過快速重複的觀察可以穩定原本不穩定的物體。 

### 分子

最近的實驗甚至證實了物質波與分子甚至高分子之間的關係。1999 年， 維也納的一個研究小組展示了像富勒烯這樣的大分子的衍射。 研究人員計算出 C 60 的德布羅意波長最可能為 2.5pm。最近的實驗證明了由 810 個原子組成的質量為 10123 amu 的分子的量子性。 截至 2019 年，這已推至 25,000 amu 的分子。 

比路易斯・德布羅意（Louis de Broglie）的理論更進一步，該理論在量子力學中消除了點狀經典粒子的概念，並僅通過物質波的波包來解釋觀察到的事實。 

## 德布羅意關係

德布羅意方程將波長 _λ_ 與動量 _p_ 和頻率 _f_ 與自由粒子的總能量 _E_ 關聯起來：

$$
{\begin{aligned}&\lambda =h/p\\&f=E/h\end{aligned}}
$$

其中 _h_ 是普朗克常數。方程也可以寫成

$$
{\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}
$$

或者

$$
{\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {\beta } \\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}
$$

其中_ħ_ = _h_/2_π_ 是約化普朗克常數，**k** 是波矢量，_β_ 是相位常數，_ω_ 是角頻率 。

在每對方程中，第二個方程也被稱為普朗克 - 愛因斯坦關係式，因為它是由普朗克和愛因斯坦提出的。

### 狹義相對論

運用狹義相對論的相對論動量和相對論質量公式

　
: $E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}$

　
: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}$

可以得到

　
: ${\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {c}{\lambda }}={\frac {\gamma \,m_{0}vc}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\bigg /}{\sqrt {{\frac {c^{2}}{v^{2}}}-1}}\end{aligned}}$

其中 $m_{0}$ 為粒子的靜止質量， $v$ 為速度， $\gamma $ 為洛倫茲因子， $c$ 為真空光速。 

　
:

## 解釋

德布羅意波背後的物理本質是一個不斷爭論的話題。 一些理論將粒子性或波動性的一方面視為其基本性質，試圖將另一方面解釋為一種湧現。 有些方法（例如隱變量理論）將波和粒子視為不同的實體。 還有一些理論提出既不是波浪也不是粒子的中間實體，其只是在我們測量一個或另一個特性時才出現。 哥本哈根詮釋指出，潛在現實的本質是不可知的，超出了科學探究的範圍。

## 參見

* 波爾模型
* 法拉第波
* 卡皮查 - 狄拉克效應
* 物質波時鐘
* 薛丁格方程
* 薛丁格方程的理論和實驗證明
* 德布羅意–波姆理論

## 參考資料