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截半三角柱

在幾何學中，**十一面體**（英語：Hendecahedron）是指具有十一個面的多面體。沒有任何十一面體是正十一面體，也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。

## 命名

十一面體的英文是 Hendecahedron，其命名方式為 Hen - 代表一，deca 代表十，然後結合多面體字尾 - hedron，就得到十一面體 Hendecahedron。

## 常見的十一面體

在所有凸十一面體中，包含鏡射像共有 440,564 種拓樸結構明顯差異的凸十一面體。拓樸結構有明顯差異意味著兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體，例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換，因此拓樸結構不同，但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換，因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。

常見的十一面體有錐體和柱體、部分的詹森多面體和半正多面體，此處的半正多面體並非阿基米德立體，而是正九角柱。

其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體，其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。

### 三角罩帳

三角罩帳是指以三角形為底的罩帳，是一種十一面體，由 1 個三角形頂面、1 個六邊形底面、3 個五邊形側面和 6 個三角形側面組成，共有 11 個面、21 條邊和 12 個頂點，其中頂面的三角形與底面的六邊形互相平行，側面的三角形與五邊形交錯地圍繞軸分布在周圍。

以正三角形為底的三角罩帳稱為正三角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正三邊形和底面的正六邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳。

正三角罩帳的對稱群為 C3v 群，階數為 6 階。

### 截半三角柱

在幾何學中，**截半三角柱**是指經過截半變換後的三角柱，是一種十一面體，其側面是正方形、底面是正三角形，另外還有 6 個等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點，舊的頂點消失，來構造，換句話說，即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去三角柱的頂點，但不是截角）而成。

其具有 D3h 二面體群的對稱性。

### 詹森多面體

在十一面體中，有 3 個是詹森多面體，它們分別為：正五角錐柱、二側錐三角柱、側錐六角柱。

### 九角柱

九角柱是一種底面為九邊形的柱體，是十一面體的一種，由 11 個面、27 條邊和 18 個頂點組成，對偶多面體為雙九角錐。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個九邊形的公共頂點，因此具有每個角等角的性質，可以歸類為半正十一面體。而頂點都是 2 個正方形和 1 個九邊形的公共頂點的這種頂角，在頂點圖中以 $4{.}4{.}9$ 表示。正九角柱在施萊夫利符號中可以利用 {9}×{} 或 t {2, 9} 來表示；在考克斯特 — 迪肯符號中可以利用來表示；在威佐夫符號中可以利用 2 9 | 2 來表示；在康威多面體表示法中可以利用 P9 來表示。若一個正九角柱底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}$

　
: $S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)$

### 十角錐

十角錐是一種底面為十邊形的錐體，是十一面體的一種，由 11 個面、20 條邊和 11 個頂點組成，其對偶多面體是自己本身。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。若一個正十角錐底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}$

　
: $S={\frac {5s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)s^{2}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)}{2}}\approx 2.5s\left({\sqrt {4h^{2}+9.47214s^{2}}}+3.07768s\right)$

### 十一面體列表

## 在化學中

在化學中，將十八面體硼烷離子 ([B11H11]2−) 的氫全部去掉後，可以得到一個結構，它是十八面體，再將每個硼原子做垂直於重心到硼原子的面，可構造成新的多面體，即為十八面體硼烷結構的對偶多面體，也是**十一面體**之一。

## 雙對稱十一面體

雙對稱十一面體（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面體的一種多面體

柏拉圖和阿基米德立體，只有少數可以密鋪於空間，也就是說堆砌在一起，不留空隙，以填補空間。Guy Inchbald 描述了一個有趣的多面體，可以以令人驚訝的方式利用 11 面體完成空間的密鋪。

曾有人提出一個十一面體，它的面數和頂點數是相同的，經過扭曲後，會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體，它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面。

## 參考文獻
截半三階無限邊形鑲嵌

在幾何學中，**截半三階無限邊形鑲嵌**（英語：Triapeirogonal tiling）是一種由三角形和無限邊形拼合的雙曲半正鑲嵌，可利用三階無限邊形鑲嵌經由截角變換構造而得，在施萊夫利符號中用 r {∞,3} 表示。

## 性質

截半三階無限邊形鑲嵌每個頂點周圍皆有兩個三角形和兩個無限邊形交錯排列，即每個頂點為兩個三角形和兩個無限邊形的公共頂點，頂點圖以 3.∞.3.∞表示。截半三階無限邊形鑲嵌為截半三階鑲嵌（截半四面體、截半立方體、截半二十面體、截半六邊形鑲嵌、截半七邊形鑲嵌......）系列的極限。

## 相關半正鑲嵌

截半三階無限邊形鑲嵌在拓撲上與一系列一直延伸到雙曲鑲嵌的頂點圖為 3.n.3.n 且擁有 [n,3] 考克斯特群的（廣義）擬正多面體相關：

## 參見

* 三階無限邊形鑲嵌

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* http://bendwavy.org/klitzing/incmats/o3xinfino.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Klitzing, Richard. 2D Non-Compact Tilings. bendwavy.org.  o3x∞o
截半三面形

**三面形**（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron 或 3-hosohedron）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形，為球面三面體的一種，由 3 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，在施萊夫利符號中利用 {2,3} 來表示，其對偶多面體是三角形二面體。

## 性質

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由 3 個二角形組成，每個頂點都是 3 個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是 3 個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。

三面形具有 D3h, [2,3], (\*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為 12，在考克斯特符號中用表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體。

## 皮特里三面形

三面形的皮特里多邊形是一種具有 6 條邊和 6 個頂點的退化扭歪多邊形，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰 3 次，因此在施萊夫利符號中可以用 {6,3}(1,1) 來表示。

三面形的皮特里對偶共由 1 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為 {6,3}1,0。

## 對偶多面體

三面形的對偶多面體為**三角形二面體**（Triangular dihedron 或 Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle），是一種多邊形二面體，由 2 個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以 {3,2} 表示，代表由 2 個施萊夫利符號表示為 {3} 的正三角形組成。

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由 2 個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用 3 個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形。

## 截半三面形

**截半三面形**是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由 2 個三角形截面和 3 個二角形原始面組成。2 個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而 3 個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式，因此又稱為**三角香腸面形**（3-lucanicohedron）。

截半三面形共由 5 個面、6 條邊和 3 個頂點組成，在其 5 個面中有 2 個三角形面和 3 個二角形面，其 3 個頂點皆為 2 個二角形和 2 個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。

### 截角三角形二面體

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有 3 個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3 個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形 - 六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

## 相關多面體

三面形是三角形二面體的對偶多面體，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

## 參見

* 多面形
* 三面體
* 三角形

## 註釋

## 參考文獻
截半二十面體半形

在抽象幾何學中，**二十面體半形**是一種抽象正多面體，由一半數量的正二十面體面構成。二十面體半形可被視為是一種射影多面體，可視為由十個三角形構成的實射影平面鑲嵌。

## 性質

**二十面體半形**是一種抽象正多面體，共由 10 個面、15 條邊和 6 個頂點組成；其中所有 10 個面都是正三角形、每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {3,5}5 或 {3,5}/2 來表示，其中 {3,5} 代表且每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，然而 {3,5} 代表正常的正二十面體，因此用 {3,5}5 符號來表示二十面體半形。二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形。

二十面體半形的對偶多面體為十二面體半形。

二十面體半形的對稱群為 A5 考克斯特群。所有多面體中僅有 2 種多面體具備 A5 考克斯特群對稱性，另外一個與 A5 考克斯特群對應的半形體為大十二面體半形。

### 具象化

二十面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。其中一種方式是使用其對應的正則地區圖來具象化。二十面體半形對應的正則地區圖可被具象為一個五維空間扭歪正多面體，該多面體所有 6 個頂點和 15 條邊皆位於五維正六胞體上，而原有五維正六胞體有 20 個三角形面，而對應的二十面體半形之扭歪多面體具象化則僅交錯地取其中 10 個面，並且相鄰的 2 個面位於相同三維平坦空間中，但整體立體不位於相同三維空間中，因此是一個扭歪多面體。在這個具象化中，其三角形 - 三角形二面角為 3 的反正割值（ $\sec ^{-1}{3}\approx 1.2309594$ 弧度，約 70.5287795 度），與一般正二十面體的三角形 - 三角形二面角（ $\pi -\sin ^{-1}{\frac {2}{3}}\approx 2.411865$ 弧度，約 138.189685 度）不同。 

在拓樸學上，二十面體半形與四面半六面體相關。若將四面半六面體的每一個正方形面替換為 2 個三角形，則所形成的立體若只看面之間的相鄰關係，會與二十面體半形無異，即每個頂點都是 5 個三角形的公共頂點，且由 10 個面（4 個正三角形與 6 個直角三角形）、15 條邊（12 條四面半六面體的邊與 3 條正方形面替換為 2 個三角形時形成的邊）和 6 個頂點組成。

## 完全圖 K6

二十面體半形和五維正六胞體有著相同的邊以及頂點，但只有其一半數量的面。而五維正六胞體對應的骨架圖為 $K_{6}$ 完全圖，即有著六個頂點的完全圖，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 $K_{6}$ 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。

## 相關多面體

### 相關半形體

正二十面體可以經過一系列的多面體變換轉變為半正多面體，部分半正多面體也存在對應的半形體，例如截角二十面體半形、截半二十面體半形等。

#### 截角二十面體半形

截角二十面體半形是截角二十面體的半形體，又稱為足球半形（Hemi-Soccer Ball）。其出現在四維正五十七胞體的一種具象化的第二層結構中，由 16 個面、45 條邊和 30 個頂點組成。其可透過將截角二十面體的每個頂點與對應的對蹠點合併構成。

　
:

#### 截半二十面體半形

截半二十面體半形是截半二十面體的半形體。其也可以透過將二十面體半形或十二面體半形進行截半變換構成。

### 相關皮特里對偶

部分皮特里對偶與正二十面體或其半形體相關，例如二十面體半形的皮特里對偶或正二十面體的皮特里對偶。

#### 二十面體半形的皮特里對偶

二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形，其對應的皮特里對偶為每個頂點由 5 個五邊形（二十面體半形的皮特里多邊形）組成的抽象多面體，其在施萊夫利符號中可以用 {5,5}3 表示。這個抽象多面體是一個自身對偶多面體，並且可以被小星形十二面體、大十二面體或其他等價於虧格為 5 的 {5,5} 幾何結構（的表面）二重覆蓋。這個幾何體對應的骨架圖與二十面體半形相同，皆為 K6 完全圖。

#### 皮特里二十面體

皮特里二十面體是正二十面體的皮特里對偶，可以透過將原有正二十面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里二十面體為由正二十面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正二十面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里二十面體是一個不可定向且虧格為 14 的幾何結構。皮特里二十面體共有 6 個面、30 條邊和 12 個頂點。其中面由 6 個扭歪十邊形面組成，每個頂點都是 5 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里二十面體與正二十面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里二十面體的皮特里對偶為正二十面體，換句話說，即皮特里二十面體的皮特里多邊形為三角形。

#### 皮特里大十二面體與皮特里小星形十二面體

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，由大十二面體的皮特里多邊形組成。由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。

其對應的骨架為正二十面體。

## 參見

* 四維正十一胞體 - 一個由十一個二十面體半形構成的抽象多胞體。
* 十二面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考文獻

## 外部連結

* 二十面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半二階超無限邊形鑲嵌

在幾何學中，**二階超無限邊形鑲嵌**又稱為**二階偽多邊形鑲嵌**（英語：order-2 pseudogonal tiling）是一種雙曲鑲嵌，由二個超無限邊形組成，可以視為二階無限邊形鑲嵌在羅氏幾何中的一個類比。其具有偽多邊形群（pseudogonal group）的對稱性，其考克斯特群為 [iπ/λ,2]，在施萊夫利符號會用 {∞, 2} 表示，但有時會被記為 {iπ/λ,2} 以區別二階無限邊形鑲嵌。

## 相關鑲嵌

## 參見

* 二階無限邊形鑲嵌

## 參考文獻
截半五階五邊形鑲嵌

在幾何學中，**四階五邊形鑲嵌**是由正方形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用 {5,4} 表示。四階五邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個五邊形的公共頂點，頂點周圍包含了四個不重疊的五邊形，一個正五邊形內角為 108 度，四個五邊形超過了 360 度，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出。

四階五邊形鑲嵌在雙色半正表面塗色時，也可以稱為截半五階五邊形鑲嵌，因為該結構可由五階五邊形鑲嵌通過截半變換構造而來。

## 對稱群

四階五邊形鑲嵌可表示以正五邊形的五邊鏡射的雙曲萬花筒。其對稱群在軌形符號中以 \*22222 表示五階雙鏡射相交，考克斯特符號則以 [5\*,4] 表示從 [5,4] 移除兩個穿過五邊形中心的三個鏡射像。

該鑲嵌有一種表面塗色，即將五邊形交錯塗上不同顏色。該表面塗色的圖形可以用 t1{5,5} 的施萊夫利符號表示，是一種半正鑲嵌，稱為截半五階五邊形鑲嵌。

　
:

## 相關多面體及鑲嵌

四階五邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與四階五邊形鑲嵌擁有相似的對稱性 [5,4], (\*542) 或 [5,4]+(542)：

四階五邊形鑲嵌也可以從五階五邊形鑲嵌透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是截半五階五邊形鑲嵌，因此與五階五邊形鑲嵌擁有相似的對稱性 [5,5], (\*552) 或 [5,5]+(552)：

## 參見

* 正圖形列表

## 參考文獻

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
* Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半交錯八邊形鑲嵌

在幾何學中，**交錯八邊形鑲嵌**是一種半正雙曲面鑲嵌，由三角形和正方形組成，在施萊夫利符號中用 {(4,3,3)} 或 h {8,3} 表示。交錯八邊形鑲嵌是指正八邊形鑲嵌經過交錯變換產生的鑲嵌圖。

交錯八邊形鑲嵌也可以算是一種雙曲面上的三角形 - 正方形鑲嵌。

交錯八邊形鑲嵌具有 [(4,3,3)], (\*433) 的對稱性，在約翰・康威的軌形符號中以 433 表示。

## 幾何

雖然每一條邊都是直線（曲面上的直線），但由於曲面不易製作或繪製，因此需要投影，然投影過程扭曲了直線成了曲線，因此要檢視其形狀可以透過平移所需要的點到龐加萊雙曲圓盤的中心來檢視其幾何結構，此時曲線會接近直線。

## 表面塗色

不同的表面塗色方式可以得到不同的對稱性，並代表著不同的幾何結構，例如：

## 對偶鑲嵌

## 在藝術中

圓極限 III 中包含了交錯八邊形鑲嵌的結構。圓極限 III 是一個 M. C. Escher 在 1959 年製作的木刻版畫作品，魚串就像從無限遠射出來的火箭，然後又再次降落回他們的出發地，並與邊界垂直。圖中白色曲線通過每一條魚的中間，劃分成正方形和三角形在交錯八邊形鑲嵌的圖案。 然而，在交錯八邊形鑲嵌中，每個曲線都是雙曲面上的線段，而在艾雪的木刻中，曲線是超圓形的弧。

　
:

## 相關多面體及鑲嵌

交錯八邊形鑲嵌是一系列交錯三階正多邊形鑲嵌和多面體的其中之一，該系列只包含偶數邊的正多邊形，因為只有偶數邊形才可進行交錯變換，由於交錯變換會使邊數減半，例如本例正八邊形交錯變成正方形，所以正七邊形不能交錯，因為沒有正三點五邊形。

交錯八邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與交錯八邊形鑲嵌擁有相似的對稱性 [(4,3,3)], (\*433) 或 [(4,3,3)]+, (433)：

交錯八邊形鑲嵌也可以從八階正方形鑲嵌以考克斯特結構 (4,4,4) 透過截角操作或其他康威變換得到的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是八階正方形鑲嵌，因此與八階正方形鑲嵌擁有相似的對稱性 [(4,4,4)], (\*444) 或 [(4,4,4)]+ 
(444)：

## 參見

* 圓極限 III
* 正方形鑲嵌

## 注釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半八面体

在幾何學中，**截半立方體**是一種十四面體，由八個三角形與六個正方形組成，具有 14 個面、12 個頂點以及 24 條邊。是一種阿基米德立體，屬於半正多面體和擬正多面體。其對偶多面體為菱形十二面體。

## 性質

**截半立方體**具有十二個結構相等的頂點，皆為兩個三角形與兩個正方形的公共頂點、24 個結構相等的稜，相鄰面皆為三角形與正方形，兩面角為反正割負根號三，約 125.26 度，因此同時具有點可遞和邊可遞的性質，因此是一種均勻多面體、半正多面體和擬正多面體，並且為阿基米德發現的 13 種半正多面體之一，因此也屬於阿基米德立體。此外，由於截半立方體可以視為立方體和其對偶多面體正八面體中三角形與正方形的組合，因此又是一種立方體和其對偶多面體正八面體的立體混合物。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，簡而言之是用立方體由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去立方體的頂點）而成。因此其正方形面的數目和立方體的面都為 6，其三角形面數目和立方體的頂點數目都為 8，共有面 14 個。因為同樣種類的正多邊形面棱不相交，故可以計算其邊數乘以面的數目來得其棱的數目：3×8=4×6=24。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，也可以由對偶 —— 正八面體透過截半變換構成，因此也稱為**截半八面體**。

截半立方體每六條棱可以成為一個正六邊形，共有四個獨立的六邊形。

### 座標

一個邊長為 2 的平方根的截半立方體，其頂點座標位於 (0, ±1, ±1)、(±1, 0, ±1)、(±1, ±1, 0) 的全排列。

### 體積與表面積

表面積 $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}$ ，體積 ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}\approx 9.4641~a^{2}$

　
: 體積 = ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}\approx 2.3570~a^{3}$

## 作法

截半立方體的作法有兩種，一種由立方體出發，另外一種由正八面體出發，同樣都是透過截半變換來構造。從立方體出發的方法為：將立方體的八個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體，而從正八面體出發的作法一樣是將頂點切到一半：將正八面體的六個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體。

截半立方體的康威多面體記號為 aC 或 aO，由於截半變換的性質，對偶後結伴得到相同結果，即 a = ad ，因此可以得到 aC （截半立方體） = adC = a (dC) = aO （截半八面體）。

另外也可以由編號 3 的詹森多面體，J3—— 三角帳塔組成，兩個相反並交錯堆疊，稱為異相雙三角帳塔，而另外一種叫做同相雙三角帳塔，也是一種詹森多面體，編號 J27。

　
:

## 其他名稱

* **平行十四面體**（英語：Heptaparallelohedron），在英語中，Heptaparallelohedron 指的是有七組平行面的多面體，Hepta - 代表七，Parallelo - 代表平行，類似的命名方式例如 Parallelogram，指平行四邊形。Heptaparallelohedron 一詞巴克敏斯特・富勒首次使用代表截**半立方體**。
  * 富勒將「戴美心」一詞，應用於這種形狀，並用在早期的戴美克森氏地圖投影中，他也把它稱為「向量平衡組」。
* 在 Oh 對稱性中，可以稱為**截半立方體**或**截半八面體** （諾曼・約翰遜）。
* 在 Td 對稱性中，可以稱為**小斜方截半四面體**。
* 在 D3d 對稱性中，可以稱為**異相雙三角帳塔**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 相關多面體及鑲嵌

也可以由倒角立方體經過特殊的切割方式而得。在切割成截半立方體之前可以得到一些不同的多面體，例如：

 

## 截半立方體圖

在圖論的數學領域中，與截半立方體相關的圖為**截半立方體圖**，是截半立方體之邊與頂點的圖，是一種阿基米德圖。其共有 12 個頂點和 24 條稜，且是四次的阿基米德圖。

## 其他領域

## 參見

* 截半二十面體
* 小斜方截半立方體
* 大斜方截半立方體 （截角的截半立方體）

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截半立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4o - co. bendwavy.org.
* Editable printable net of a Cuboctahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半六邊形鑲嵌

在幾何學中，**截半六邊形鑲嵌**是一種平面密鋪，是一種由兩種正多邊形組成的半正鑲嵌圖，該半正鑲嵌圖是由正三角形和正六邊形組成，每一個頂點周圍都各有 2 個正三角形和正六邊形，在施萊夫利符號中用 t1{6,3} 來表示；此外其邊際形成一個無限排列的直線。

康威稱**截半六邊形鑲嵌**為 **hexadeltille**，因為它可以從正六邊形鑲嵌（hextille）和正三角形鑲嵌（deltille）的元素替代、互相結合來構造，另外**截半六邊形鑲嵌**也可以用六邊形鑲嵌經過截半變換來構造。

## 籠目

籠目是一個連續的截半六邊形鑲嵌網格狀編織物，一般是由竹子編織而成的。

## 相關半正鑲嵌

## 參考文獻

* Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings o3x6o - that - O5. bendwavy.org.
截半六階六邊形鑲嵌

在幾何學中，**四階六邊形鑲嵌**是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用 {6,4} 表示。四階六邊形鑲嵌每個頂點皆由四個六邊形共用，且六邊形不重疊，這樣一來，該點處的內角和將超過 360 度，因此無法存於平面上，但可以在雙曲面上作出。

## 性質

四階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為 4 個六邊形的公共頂點，且六邊形堅不重疊的正鑲嵌圖。在平面幾何中，正六邊形具有內角 120 度，因此 4 個正六邊形將超過平面的 360 度而無法存在平面空間中。然而在雙曲空間中允許這種情況的存在。然而從流形的角度來看，若將其頂點附近的區域局部歐幾里得空間化，則會得到直角，換句話說，組成這個幾何結構的正六邊形可以被視為由 6 個直角構成，因此又被稱為直角六邊形鑲嵌

## 對稱性

這個鑲嵌代表一個雙曲的六次反射萬花筒。這種由六個二階交叉反射的對稱性在軌形符號被稱為 \*222222。在考克斯特表示法可表示為 [6\*,4]，從三個的鏡射線當中移除兩條穿過六邊形中心的鏡射線。在原本六邊形基礎中對所有的兩個頂點加入中垂線則可以限定出一個偏方面體 \*3322 對稱群
；加入對角線則可以限定出一個 \*443 對稱群；加入中垂線則可以限定出一個 \*3222 對稱群；全部加入則限定出了一個 \*642 對稱群。

## 相關多面體與鑲嵌

## 參見

* 正方形鑲嵌
* 六邊形鑲嵌

## 參考文獻

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
* Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半六階四面體堆砌

在雙曲幾何學中，**截半六階四面體堆砌**是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是三維雙曲空間半正堆砌的一種，由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成。

## 性質

截半六階四面體堆砌由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成，其中正三角形鑲嵌在此處以無限面體的形式存在，其頂點皆位於極限球（雙曲三維極限圓）上。在這個幾何結構中，每個頂點都是六個正八面體和二個正三角形鑲嵌的公共頂點，換句話說，每個頂點周圍都環繞著六個正八面體和二個正三角形鑲嵌，頂點圖以六角柱表示。

截半六階四面體堆砌可由六階四面體堆砌切去所有頂點構成，正八面體即原本的正四面體胞被切去頂點的結果，在施萊夫利符號中用 t1{3,3,6} 或 r {3,3,6} 來表示其為 {3,3,6}（六階四面體堆砌）經過截半的結果。

其考克斯特群為 ${\bar {V}}_{3}$ , [6,3,3]，也可以為 ${\bar {P}}_{3}$ , [3,3[3]]。

## 圖像

　
:

龐加萊模型的透視投影。

## 其他種類的截角

截半六階四面體堆砌是截去六階四面體堆砌的頂點建構出的幾何結構，然而，根據截去頂點的深度不同，可決定其幾何結構的性質。

### 截角六階四面體堆砌

在幾何學中，**截角六階四面體堆砌**表示經過截角變換的六階四面體堆砌，是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是三維雙曲空間半正堆砌的一種，由截角四面體和正三角形鑲嵌堆砌而成，頂點圖以六角錐表示

### 小斜方截半六階四面體堆砌

**小斜方截半六階四面體堆砌**是另一種切割六階四面體堆砌的結果，就是將六階四面體堆砌的所有邊切去而得到，是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，也是三維雙曲空間半正堆砌的一種。

#### 性質

小斜方截半六階四面體堆砌由三種不同的胞所組成，分別是截半立方體、截半六邊形鑲嵌和六角柱。其頂點圖為正四面體。其在考克斯特

## 相關多胞體與堆砌

## 參見

* 正圖形列表

## 參考文獻
截半十二面体

在幾何學中，**截半二十面體**是一種由正五邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是 2 個三角形和 2 個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜，因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質，因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體。

## 性質

截半二十面體每個頂點都是 2 個三角形和 2 個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 $3{.}5{.}3{.}5$ 表示，也可以簡寫為 $\left(3\,{.}\,5\right)^{2}$ 。

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十邊形，共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截半二十面體的表面積約為 $29.3059828a^{2}$ 、體積約為 $13.8355259a^{3}$ ，可由下列算式計算：

　
: $A=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}{\sqrt {3+4\phi }}\right)a^{2}$ $=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29.3059828a^{2}$

　
: $V={\frac {1}{3}}\left(14+17\phi \right)a^{3}={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13.8355259a^{3}.$

### 二面角

截半二十面體是一種稜可遞的多面體，即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質，因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角為：

　
: $\arccos {(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}})}\approx 142.62^{\circ }$

### 頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體，其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)$

　
: (±1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)

其中 φ 是黃金比例，值為 ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 。

## 作法

將一個正十二面體或正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體，因此截半二十面體又稱截半十二面體，即截半與對偶截半等價。

## 正交投影

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於 A2 和 H2 的考克斯特平面。

## 相關多面體及鑲嵌

### 相關多面體

有八種均勻的星形多面體以及 2 種複合多面體與截半二十面體有著相同的頂點排佈：

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

 

## 參見

* 正十二面體
* 正二十面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截半二十面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5o - id. bendwavy.org.
* Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截半多面形

在幾何學中，**多面形**（英語：Hosohedron）是一種由月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌，並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2, n} 表示 n 面形。

其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖，又稱為**二角形鑲嵌**或**二邊形鑲嵌**。

## 正多面形

在施萊夫利符號中以 {m, n} 表示的正多面體，其面的個數存在下列等式：

　
: $N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}$

自古以來大家所熟知的正多面體 —— 柏拉圖立體是當 m≥3 且 n≥3 的整數解，限制在 m≥3 的狀態下，多邊形面必須至少有三條邊。

當考慮多面體為球面鑲嵌時，該限制可以放寬，因為二角形（二邊形）可以以球弓形或月牙形存在，即球面二角形具有非零面積。當 m=2 時則會產生一個新的無窮集合，即多面形。在球面上，所述多面體 {2, n} 表示當 n 個球弓形組合，並且具有 2π/_n_ 內角。所有二角形階共用相同的兩個頂點，即每個頂點皆為所有二角形的公共頂點。

每個正多面形都是 n 階二邊形鑲嵌。

## 命名

英文 Hosohedron 一詞由考克斯特命名，其來自希臘語ὅσος (osos/hosos)，是『盡可能多』的意思，其意思為『盡可能達到很多的面的形狀』因此稱為多面形。

## 多維面形

多維面形是多面形在高維度的類比，表示有多個維面的幾何圖形。任何正的維面形都可以以施萊夫利符號 {2,p,...,q} 表示

## 相關幾何體

### 多香腸面形

**多香腸面形**（lucanicohedron）又稱為**截半多面形**（rectified hosohedron）是一種半正則地區圖，源自於多面形，其結構為兩個多邊形底面以類似多邊形二面體的方式貼合，但貼合的棱處加上二角形的側面所構成的正則地區圖，名稱 lucanicohedron 源自於這種立體以二角形在側面循環有如香腸串一般，因此取香腸的希臘語 λουκάνικο 作為字首 lucanico - 結合多面體字尾 - hedron 構成的複合詞。

多香腸面形是多面形或多邊形二面體經截半變換的結果。

## 參見

* 多面體
* 多胞形
* 多胞體

## 參考文獻

* Coxeter, H.S.M; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
* 埃里克・韋斯坦因. Hosohedron. MathWorld.
截半大十二面体

在幾何學中，**截半大十二面體**是一種星形均勻多面體，由 12 個正五邊形和 12 個正五角星組成，可以視為大十二面體或小星形十二面體截去所有頂點所產生的形狀。其對偶多面體為內側菱形三十面體。在抽象理論中，截半大十二面體可以視為五種無法良好具像化的抽象正多面體被部分具象化的結果。截半大十二面體由 3 個學者獨立發現，分別是埃德蒙・赫斯、芭杜歐（Badoureau）和皮奇（Pitsch）。

## 性質

截半大十二面體是一種非凸多面體，由 24 個面、60 條邊和 30 個頂點組成，由於其具有點可遞的特性，因此屬於均勻非凸多面體之一，這種立體共有 53 種。在考克斯特、邁克爾・S・朗格・希金斯與傑弗里・查爾斯・珀西・米勒的書《均勻多面體》中，截半大十二面體被編號為 U36，其也收錄於考克斯特的研究中，並且給予索引編號 C45，1983 年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號 W73。

### 面的組成

截半大十二面體由 12 個正五邊形面和 12 個正五角星面組成。每個頂點都是 2 個五邊形和 2 個五角星的公共頂點，在頂點圖中可以用 (5,5/2,5,5/2) 表示，其代表著面在頂點周圍是以五邊形面、五角星面、五邊形面、五角星面的方式交錯排佈。

### 威佐夫佈局

截半大十二面體有四種威佐夫布局，其代表著四種史瓦茲三角形，其對應的威佐夫記號分別為： **2 | 5 5/2**、 **2 | 5 5/3**、 **2 | 5/2 5/4** 以及 **2 | 5/3 5/4**。其雖然在威佐夫記號以不同方式表達，但實際上皆是代表相同的多面體。同理，截半大十二面體在施萊夫利符號中也可以用四種不同的方式表達，他們分別記為： t1{5/2,5}、 t1{5/3,5}、 t1{5/2,5/4} 以及 t1{5/3,5/4}。在考克斯特記號中，其同樣也存在四種形式，分別為：、 、 以及。

### 展開圖

截半大十二面體是一種星形多面體，同時，也能找到對應外觀相同的簡單多面體，其可以透過下列兩種形狀拼接而成：

　
:

其中需要 12 個五角星和 20 個三個菱形的組合。由於這種結構使用了 5 個菱形來代替原有星形多面體的正五邊形面，因此組合出來的形狀部會包含原本就隱沒於截半大十二面體中的部分。在這種結構下的截半大十二面體共由 12 個五角星面和 60 個菱形組成，且具有 72 個面、120 條邊和 90 個頂點。

## 用途

截半大十二面體可以用於輔助建構二元格雷碼。

## 相關多面體

截半大十二面體的凸包為截半二十面體。其與兩種立體共用相同的邊布局，分別為小十二面半二十面體與大十二面半二十面體，其中小十二面半二十面體與截半大十二面體有相同的五角星面，而大十二面半二十面體則是正五邊形面與截半大十二面體的正五邊形面相同。

截半大十二面體可以由小星形十二面體透過截半變換構造而成：

截半大十二面體也可以由大十二面體透過截半變換構造而成。隨著截角深度不斷加深，最終會變成對偶多面體。而對大十二面體或小星形十二面體而言，截半大十二面體為其截角序列的中間點。

### 拓樸正多面體

由於截半大十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面，因此，這種形狀在拓樸中相當於四階五邊形鑲嵌的商空間。下圖中的紅色與黃色的五邊形分別代表拓樸形變前的五角星和正五邊形。

　
:

此外，截半大十二面體也是一種不存在良好具像化實例的抽象正多面體的部分具像化實例之一。在考克斯特於 1977 年出版的著作《正多胞形》中列出了五種不存在良好具像化實例的抽象正多面體。後來在 1987 年耶爾格・邁克爾・威利的論文又再次的確定了共存在五種有這種性質的抽象正多面體。這種抽象多面體具有 C2×S5 對稱性，但只能具像化出一半的對稱性，即 C2×A5 或二十面體群對稱性。

截半大十二面體在拓樸學上由 24 個五邊形組成，且每個頂點都是 4 個五邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。然而這種抽象面體若是具象化為截半大十二面體則僅能具象化一半的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為 4 的四階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,4}6），對應的皮特里多邊形為六邊形。

## 參見

* 均勻多面體列表

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截半大十二面體. MathWorld.
* Uniform polyhedra and duals
截半大十二面體

在幾何學中，**截半大十二面體**是一種星形均勻多面體，由 12 個正五邊形和 12 個正五角星組成，可以視為大十二面體或小星形十二面體截去所有頂點所產生的形狀。其對偶多面體為內側菱形三十面體。在抽象理論中，截半大十二面體可以視為五種無法良好具像化的抽象正多面體被部分具象化的結果。截半大十二面體由 3 個學者獨立發現，分別是埃德蒙・赫斯、芭杜歐（Badoureau）和皮奇（Pitsch）。

## 性質

截半大十二面體是一種非凸多面體，由 24 個面、60 條邊和 30 個頂點組成，由於其具有點可遞的特性，因此屬於均勻非凸多面體之一，這種立體共有 53 種。在考克斯特、邁克爾・S・朗格・希金斯與傑弗里・查爾斯・珀西・米勒的書《均勻多面體》中，截半大十二面體被編號為 U36，其也收錄於考克斯特的研究中，並且給予索引編號 C45，1983 年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號 W73。

### 面的組成

截半大十二面體由 12 個正五邊形面和 12 個正五角星面組成。每個頂點都是 2 個五邊形和 2 個五角星的公共頂點，在頂點圖中可以用 (5,5/2,5,5/2) 表示，其代表著面在頂點周圍是以五邊形面、五角星面、五邊形面、五角星面的方式交錯排佈。

### 威佐夫佈局

截半大十二面體有四種威佐夫布局，其代表著四種史瓦茲三角形，其對應的威佐夫記號分別為： **2 | 5 5/2**、 **2 | 5 5/3**、 **2 | 5/2 5/4** 以及 **2 | 5/3 5/4**。其雖然在威佐夫記號以不同方式表達，但實際上皆是代表相同的多面體。同理，截半大十二面體在施萊夫利符號中也可以用四種不同的方式表達，他們分別記為： t1{5/2,5}、 t1{5/3,5}、 t1{5/2,5/4} 以及 t1{5/3,5/4}。在考克斯特記號中，其同樣也存在四種形式，分別為：、 、 以及。

### 展開圖

截半大十二面體是一種星形多面體，同時，也能找到對應外觀相同的簡單多面體，其可以透過下列兩種形狀拼接而成：

　
:

其中需要 12 個五角星和 20 個三個菱形的組合。由於這種結構使用了 5 個菱形來代替原有星形多面體的正五邊形面，因此組合出來的形狀部會包含原本就隱沒於截半大十二面體中的部分。在這種結構下的截半大十二面體共由 12 個五角星面和 60 個菱形組成，且具有 72 個面、120 條邊和 90 個頂點。

## 用途

截半大十二面體可以用於輔助建構二元格雷碼。

## 相關多面體

截半大十二面體的凸包為截半二十面體。其與兩種立體共用相同的邊布局，分別為小十二面半二十面體與大十二面半二十面體，其中小十二面半二十面體與截半大十二面體有相同的五角星面，而大十二面半二十面體則是正五邊形面與截半大十二面體的正五邊形面相同。

截半大十二面體可以由小星形十二面體透過截半變換構造而成：

截半大十二面體也可以由大十二面體透過截半變換構造而成。隨著截角深度不斷加深，最終會變成對偶多面體。而對大十二面體或小星形十二面體而言，截半大十二面體為其截角序列的中間點。

### 拓樸正多面體

由於截半大十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面，因此，這種形狀在拓樸中相當於四階五邊形鑲嵌的商空間。下圖中的紅色與黃色的五邊形分別代表拓樸形變前的五角星和正五邊形。

　
:

此外，截半大十二面體也是一種不存在良好具像化實例的抽象正多面體的部分具像化實例之一。在考克斯特於 1977 年出版的著作《正多胞形》中列出了五種不存在良好具像化實例的抽象正多面體。後來在 1987 年耶爾格・邁克爾・威利的論文又再次的確定了共存在五種有這種性質的抽象正多面體。這種抽象多面體具有 C2×S5 對稱性，但只能具像化出一半的對稱性，即 C2×A5 或二十面體群對稱性。

截半大十二面體在拓樸學上由 24 個五邊形組成，且每個頂點都是 4 個五邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。然而這種抽象面體若是具象化為截半大十二面體則僅能具象化一半的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為 4 的四階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,4}6），對應的皮特里多邊形為六邊形。

## 參見

* 均勻多面體列表

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截半大十二面體. MathWorld.
* Uniform polyhedra and duals
截半截角二十面體

**截半截角二十面體**（rectified truncated icosahedron）是一種凸多面體，屬於環帶多面體，其對偶多面體為菱形九十面體。有 92 個面，其中有 12 個正五邊形、20 個等邊六邊形和 60 個等腰三角形組成。在截半截角二十面體 92 個面中，只有 12 個正多邊形。

截半截角二十面體是套用截半變換的截角二十面體，也就是由截角二十面體截去所有頂點並截到各邊的中點所構成，雖然它看似半正多面體，但並不是，因為它只有五邊形是正多邊形，三角形和六邊形皆非正多邊形，由於該多面體由正多邊形與非常接近正多邊形的對稱等邊多邊形組成，因此，此多面體又可以被歸類為擬詹森多面體。

## 性質

截半截角二十面體有三種形式，一種是直接截半切去所有頂角至稜的中點所構成的由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的形式；另一種是在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的形式；還有一種是所有邊都等長的等邊形式。每種形式皆由 92 個面、180 條邊和 90 個頂點組成，且 92 個面中皆有 12 個等邊五邊形、20 個等邊六邊形和 60 個等腰三角形，其中等邊五邊形、等邊六邊形在各形式中可能成為正多邊形。每種形式的邊長比、半徑和體積皆不相同，但外觀和展開圖都十分相似。

各形式的頂點都可以分為兩種，一種是 2 個三角形和 2 個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、六邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用 3.6.3.6 來表示；另一種是 2 個三角形和 1 個五邊形和 1 個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、五邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用 3.5.3.6 來表示。

### 面的組成

在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，等邊六邊形有兩組角，分別為 $\arccos {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {39}}}{8}}\approx 124.34^{\circ }$ 和 $\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)\approx 115.66^{\circ }$ ；等腰三角形的底角為 $\arccos {\frac {\sqrt {72-6{\sqrt {3}}-6{\sqrt {15}}}}{12}}\approx 58.92^{\circ }$ ，頂角為 $\arccos {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{12}}\approx 62.15^{\circ }$ ，其中 $\arccos $ 為反餘弦函數。

在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，有兩種邊長，正五邊形的邊長較短，對應等腰三角形的底邊、正六邊形的邊長較長，對應等腰三角形的腰。若較短的邊長為單位長，則較長的邊為 ${\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{2}}\approx 1.070466$ 。

### 體積

等邊的截半截角二十面體形式，若其邊長為單位長，則其體積為：

　
: ${\frac {180+33{\sqrt {5}}+5{\sqrt {983+978{\sqrt {5}}}}}{6}}\approx 89.2164$

在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若短邊長為單位長，則其體積為：

　
: $73{\sqrt {5}}-60\approx 103.23296$

在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若其棱切球半徑為 1，則其體積為一個八次方成之根的平方根，約為 4.0095940519753525228。

## 圖像

下圖為截半截角二十面體的旋轉動畫：

　
:

下圖為截半截角二十面體的透視圖：

　
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下圖為截半截角二十面體的另一種上色方式：

　
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## 相關多面體

## 參見

* 截半截角四面體
* 截半截角八面體
* 截半截角立方體
* 截半截角十二面體

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Coxeter _Regular Polytopes_, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

## 外部連結

* George Hart's Conway interpreter （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input
截半截角八面體

在幾何學中，**截半截角八面體**是一種凸多面體，是一種由截角八面體透過截半變換而產生的一種多面體，由於可由正多面體做為種子產生 —— 正八面體→截角→截半，因此也是一種康威多面體。它一共有 38 個面，包含 24 個等腰三角形、6 個正方形及 8 個正六邊形。

## 相關多面體

## 參見

* 截半截角四面體
* 截半截角立方體
* 截半截角十二面體
* 截半截角二十面體

## 參考文獻

* Coxeter _Regular Polytopes_, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

## 外部連結

* George Hart's Conway interpreter （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input
截半截角正方形鑲嵌

在幾何學中，**截半截角正方形鑲嵌**是一種平面密鋪，屬於複合正多邊形密鋪，是一種由三種正多邊形組成的不均勻半正鑲嵌圖，該鑲嵌圖是由正方形、正三角形和正十二邊形組成。

**截半截角正方形鑲嵌**有兩種頂點，其中一種頂點位於正十二邊形周圍，由兩個三角形和正方形和十二邊形構成，另一種在正方形周圍，僅由三角形和兩個十二邊形構成。

該種截半截角正方形鑲嵌，並非是完全截半，由於完全截半後三角形會變成等腰三角形，就不成複合正多邊形密鋪了，因此又稱為**不完全截半截角正方形鑲嵌**，反之，完全截半後的則稱為完全截半截角正方形鑲嵌。

截半截角正方形鑲嵌是 Krötenheerdt 提出的較有系統的不均勻半正鑲嵌圖之一。

## 完全截半截角正方形鑲嵌

**完全截半正方形鑲嵌**是一種平面密鋪，但不屬於不均勻半正鑲嵌圖，因為他的三角形並非是正三角形。

**完全截半截角正方形鑲嵌**由正八邊形、正方形和等腰三角形組成，對稱群為 p4m, [4,4], (\*442)。

## 相關半正鑲嵌

## 參考文獻

* 埃里克・韋斯坦因. Demiregular Tessellation. MathWorld.
截半正一百二十胞体

在幾何學里，**截半正一百二十胞體**是一個由 600 個正四面體和 120 個截半二十面體胞構成的均勻多胞體。其頂點圖是一個三角柱，每個頂點周圍有 3 個截半二十面體和 2 個正四面體。

## 投影

## 參考文獻

* **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* J.H. Conway and M.J.T. Guy: _Four-Dimensional Archimedean Polytopes_, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
* N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* Four-dimensional Archimedian Polytopes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* Convex uniform polychora based on the hecatonicosachoron (120-cell) and hexacosichoron (600-cell) - Model 33, George Olshevsky.
* rectified 120-cell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Marco Möller's Archimedean polytopes in R4 (German)
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora) o3o3x5o - rahi. bendwavy.org.
截半正七邊形鑲嵌

在幾何學中，**截半正七邊形鑲嵌**（英語：Triheptagonal tiling）是一種由正七邊形與正三角形拼合，並且將正七邊形重複排列組合，並讓圖形完全拼合，而且沒有空隙或重疊的幾何構造。其為正七邊形鑲嵌經截半變換後的像，是一種雙曲半正鑲嵌，每個頂點皆由兩個正七邊形與兩個正三角形構成。在施萊夫利符號中用 r {7,3} 表示；此外其邊際形成一個無限排列的雙曲面直線，此性質與截半正六邊形鑲嵌相似。

截半正七邊形鑲嵌無法在一個平面上構造，因為每個頂點的角度 $128{\frac {4}{7}}^{\circ }\times 2+60^{\circ }\times 2=377{\frac {1}{7}}^{\circ }$ 超過了 360 度，但若硬將正七邊形與正三角形邊對邊接合，將會變成一個馬鞍形，且每個頂點皆會落在一個雙曲拋物面上，雖然它不能在歐幾里得平面上構造，但可以在一個雙曲拋物面上構造，因此截半正七邊形鑲嵌也是羅氏幾何或雙曲幾何中討論的幾何構造。

## 圖片

## 相關半正鑲嵌

截半正七邊形鑲嵌在拓撲上與一系列一直延伸到雙曲鑲嵌的頂點圖為 3.n.3.n 的（廣義）擬正多面體相關：

從威佐夫結構中可得到 8 種不同的半正鑲嵌

## 參見

* 截半正六邊形鑲嵌 - 3.6.3.6 鑲嵌
  * 菱形鑲嵌 - V3.6.3.6 鑲嵌的對偶
* 正多邊形鑲嵌
* 半正鑲嵌列表

## 參考文獻

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
* Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半正二十四胞体

**截半正二十四胞體**由 48 個三維胞組成: 24 個立方體，和 24 個截半立方體。每個頂點周圍環繞著三個截半立方體和兩個立方體。

## 構造

截角正二十四胞體的細胞可以通過在正二十四胞體的棱的中點處截斷其頂點。截斷的 24 個正八面體變成新的截半立方體，並在原來的頂點處產生了 24 個新的立方體。

## 結合

截角八面體的三角形面彼此結合在一起，而它們的正方形面則連接到立方體。

## 投影

## 注釋

## 參考文獻

* H.S.M. Coxeter:
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* Coxeter, _The Beauty of Geometry: Twelve Essays_, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 p.88 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
  * Coxeter, H. S. M. _Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions._ Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. (1966)
* Olshevsky, George, _Pentachoron_ at _Glossary for Hyperspace_.
  * 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 3, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora). bendwavy.org.  x3x3o3o - tip, o3x3x3o - deca
截半正二十面体

在幾何學中，**截半二十面體**是一種由正五邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是 2 個三角形和 2 個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜，因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質，因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體。

## 性質

截半二十面體每個頂點都是 2 個三角形和 2 個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 $3{.}5{.}3{.}5$ 表示，也可以簡寫為 $\left(3\,{.}\,5\right)^{2}$ 。

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十邊形，共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截半二十面體的表面積約為 $29.3059828a^{2}$ 、體積約為 $13.8355259a^{3}$ ，可由下列算式計算：

　
: $A=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}{\sqrt {3+4\phi }}\right)a^{2}$ $=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29.3059828a^{2}$

　
: $V={\frac {1}{3}}\left(14+17\phi \right)a^{3}={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13.8355259a^{3}.$

### 二面角

截半二十面體是一種稜可遞的多面體，即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質，因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角為：

　
: $\arccos {(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}})}\approx 142.62^{\circ }$

### 頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體，其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)$

　
: (±1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)

其中 φ 是黃金比例，值為 ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 。

## 作法

將一個正十二面體或正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體，因此截半二十面體又稱截半十二面體，即截半與對偶截半等價。

## 正交投影

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於 A2 和 H2 的考克斯特平面。

## 相關多面體及鑲嵌

### 相關多面體

有八種均勻的星形多面體以及 2 種複合多面體與截半二十面體有著相同的頂點排佈：

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

 

## 參見

* 正十二面體
* 正二十面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截半二十面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5o - id. bendwavy.org.
* Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截半正五胞体

在四維幾何學中，**截半正五胞體**是一個由 5 個正四面體和 5 個正八面體胞組成的均勻多胞體。每條棱都連接到一個正四面體和兩個正八面體。每個頂點周圍環繞著兩個正四面體和三個正八面體。它總共有 30 個三角形面，30 條棱和 10 個頂點。它的頂點圖是正三角柱。截半正五胞體是三個由兩種或更多的正多面體胞組成的四維半正多胞體之一。

## 構造

截角正五胞體的細胞可以通過在正五胞體的棱的三分點處截斷其頂點。截斷的五個正四面體變成新的截角四面體，並在原來的頂點處產生了五個新的正四面體。

## 結合

截角四面體的六邊形面彼此結合在一起，而它們的三角形面則連接到正四面體。

## 投影

## 坐標

一個棱長為 2 的截半正五胞體的頂點的笛卡兒坐標系坐標

更簡單的，截半正五胞體的頂點是五維空間笛卡兒坐標系的 (0,0,0,1,1) 或 (0,0,1,1,1) 的全排列。

## 參考文獻

* T. Gosset: _On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions_, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
* H.S.M. Coxeter:
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. (1966)

## 外部連結

* Rectified 5-cell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - data and images
  * 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 2, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora) x3o3o3o - rap. bendwavy.org.
截半正六邊形鑲嵌

在幾何學中，**截半六邊形鑲嵌**是一種平面密鋪，是一種由兩種正多邊形組成的半正鑲嵌圖，該半正鑲嵌圖是由正三角形和正六邊形組成，每一個頂點周圍都各有 2 個正三角形和正六邊形，在施萊夫利符號中用 t1{6,3} 來表示；此外其邊際形成一個無限排列的直線。

康威稱**截半六邊形鑲嵌**為 **hexadeltille**，因為它可以從正六邊形鑲嵌（hextille）和正三角形鑲嵌（deltille）的元素替代、互相結合來構造，另外**截半六邊形鑲嵌**也可以用六邊形鑲嵌經過截半變換來構造。

## 籠目

籠目是一個連續的截半六邊形鑲嵌網格狀編織物，一般是由竹子編織而成的。

## 相關半正鑲嵌

## 參考文獻

* Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings o3x6o - that - O5. bendwavy.org.
截半立方体

在幾何學中，**截半立方體**是一種十四面體，由八個三角形與六個正方形組成，具有 14 個面、12 個頂點以及 24 條邊。是一種阿基米德立體，屬於半正多面體和擬正多面體。其對偶多面體為菱形十二面體。

## 性質

**截半立方體**具有十二個結構相等的頂點，皆為兩個三角形與兩個正方形的公共頂點、24 個結構相等的稜，相鄰面皆為三角形與正方形，兩面角為反正割負根號三，約 125.26 度，因此同時具有點可遞和邊可遞的性質，因此是一種均勻多面體、半正多面體和擬正多面體，並且為阿基米德發現的 13 種半正多面體之一，因此也屬於阿基米德立體。此外，由於截半立方體可以視為立方體和其對偶多面體正八面體中三角形與正方形的組合，因此又是一種立方體和其對偶多面體正八面體的立體混合物。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，簡而言之是用立方體由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去立方體的頂點）而成。因此其正方形面的數目和立方體的面都為 6，其三角形面數目和立方體的頂點數目都為 8，共有面 14 個。因為同樣種類的正多邊形面棱不相交，故可以計算其邊數乘以面的數目來得其棱的數目：3×8=4×6=24。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，也可以由對偶 —— 正八面體透過截半變換構成，因此也稱為**截半八面體**。

截半立方體每六條棱可以成為一個正六邊形，共有四個獨立的六邊形。

### 座標

一個邊長為 2 的平方根的截半立方體，其頂點座標位於 (0, ±1, ±1)、(±1, 0, ±1)、(±1, ±1, 0) 的全排列。

### 體積與表面積

表面積 $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}$ ，體積 ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}\approx 9.4641~a^{2}$

　
: 體積 = ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}\approx 2.3570~a^{3}$

## 作法

截半立方體的作法有兩種，一種由立方體出發，另外一種由正八面體出發，同樣都是透過截半變換來構造。從立方體出發的方法為：將立方體的八個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體，而從正八面體出發的作法一樣是將頂點切到一半：將正八面體的六個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體。

截半立方體的康威多面體記號為 aC 或 aO，由於截半變換的性質，對偶後結伴得到相同結果，即 a = ad ，因此可以得到 aC （截半立方體） = adC = a (dC) = aO （截半八面體）。

另外也可以由編號 3 的詹森多面體，J3—— 三角帳塔組成，兩個相反並交錯堆疊，稱為異相雙三角帳塔，而另外一種叫做同相雙三角帳塔，也是一種詹森多面體，編號 J27。

　
:

## 其他名稱

* **平行十四面體**（英語：Heptaparallelohedron），在英語中，Heptaparallelohedron 指的是有七組平行面的多面體，Hepta - 代表七，Parallelo - 代表平行，類似的命名方式例如 Parallelogram，指平行四邊形。Heptaparallelohedron 一詞巴克敏斯特・富勒首次使用代表截**半立方體**。
  * 富勒將「戴美心」一詞，應用於這種形狀，並用在早期的戴美克森氏地圖投影中，他也把它稱為「向量平衡組」。
* 在 Oh 對稱性中，可以稱為**截半立方體**或**截半八面體** （諾曼・約翰遜）。
* 在 Td 對稱性中，可以稱為**小斜方截半四面體**。
* 在 D3d 對稱性中，可以稱為**異相雙三角帳塔**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 相關多面體及鑲嵌

也可以由倒角立方體經過特殊的切割方式而得。在切割成截半立方體之前可以得到一些不同的多面體，例如：

 

## 截半立方體圖

在圖論的數學領域中，與截半立方體相關的圖為**截半立方體圖**，是截半立方體之邊與頂點的圖，是一種阿基米德圖。其共有 12 個頂點和 24 條稜，且是四次的阿基米德圖。

## 其他領域

## 參見

* 截半二十面體
* 小斜方截半立方體
* 大斜方截半立方體 （截角的截半立方體）

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截半立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4o - co. bendwavy.org.
* Editable printable net of a Cuboctahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半立方體

在幾何學中，**截半立方體**是一種十四面體，由八個三角形與六個正方形組成，具有 14 個面、12 個頂點以及 24 條邊。是一種阿基米德立體，屬於半正多面體和擬正多面體。其對偶多面體為菱形十二面體。

## 性質

**截半立方體**具有十二個結構相等的頂點，皆為兩個三角形與兩個正方形的公共頂點、24 個結構相等的稜，相鄰面皆為三角形與正方形，兩面角為反正割負根號三，約 125.26 度，因此同時具有點可遞和邊可遞的性質，因此是一種均勻多面體、半正多面體和擬正多面體，並且為阿基米德發現的 13 種半正多面體之一，因此也屬於阿基米德立體。此外，由於截半立方體可以視為立方體和其對偶多面體正八面體中三角形與正方形的組合，因此又是一種立方體和其對偶多面體正八面體的立體混合物。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，簡而言之是用立方體由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去立方體的頂點）而成。因此其正方形面的數目和立方體的面都為 6，其三角形面數目和立方體的頂點數目都為 8，共有面 14 個。因為同樣種類的正多邊形面棱不相交，故可以計算其邊數乘以面的數目來得其棱的數目：3×8=4×6=24。

**截半立方體**是立方體透過截半變換構造而成的多面體，也可以由對偶 —— 正八面體透過截半變換構成，因此也稱為**截半八面體**。

截半立方體每六條棱可以成為一個正六邊形，共有四個獨立的六邊形。

### 座標

一個邊長為 2 的平方根的截半立方體，其頂點座標位於 (0, ±1, ±1)、(±1, 0, ±1)、(±1, ±1, 0) 的全排列。

### 體積與表面積

表面積 $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}$ ，體積 ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $(6+2{\sqrt {3}})~a^{2}\approx 9.4641~a^{2}$

　
: 體積 = ${5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}\approx 2.3570~a^{3}$

## 作法

截半立方體的作法有兩種，一種由立方體出發，另外一種由正八面體出發，同樣都是透過截半變換來構造。從立方體出發的方法為：將立方體的八個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體，而從正八面體出發的作法一樣是將頂點切到一半：將正八面體的六個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體。

截半立方體的康威多面體記號為 aC 或 aO，由於截半變換的性質，對偶後結伴得到相同結果，即 a = ad ，因此可以得到 aC （截半立方體） = adC = a (dC) = aO （截半八面體）。

另外也可以由編號 3 的詹森多面體，J3—— 三角帳塔組成，兩個相反並交錯堆疊，稱為異相雙三角帳塔，而另外一種叫做同相雙三角帳塔，也是一種詹森多面體，編號 J27。

　
:

## 其他名稱

* **平行十四面體**（英語：Heptaparallelohedron），在英語中，Heptaparallelohedron 指的是有七組平行面的多面體，Hepta - 代表七，Parallelo - 代表平行，類似的命名方式例如 Parallelogram，指平行四邊形。Heptaparallelohedron 一詞巴克敏斯特・富勒首次使用代表截**半立方體**。
  * 富勒將「戴美心」一詞，應用於這種形狀，並用在早期的戴美克森氏地圖投影中，他也把它稱為「向量平衡組」。
* 在 Oh 對稱性中，可以稱為**截半立方體**或**截半八面體** （諾曼・約翰遜）。
* 在 Td 對稱性中，可以稱為**小斜方截半四面體**。
* 在 D3d 對稱性中，可以稱為**異相雙三角帳塔**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 相關多面體及鑲嵌

也可以由倒角立方體經過特殊的切割方式而得。在切割成截半立方體之前可以得到一些不同的多面體，例如：

 

## 截半立方體圖

在圖論的數學領域中，與截半立方體相關的圖為**截半立方體圖**，是截半立方體之邊與頂點的圖，是一種阿基米德圖。其共有 12 個頂點和 24 條稜，且是四次的阿基米德圖。

## 其他領域

## 參見

* 截半二十面體
* 小斜方截半立方體
* 大斜方截半立方體 （截角的截半立方體）

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截半立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4o - co. bendwavy.org.
* Editable printable net of a Cuboctahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截半立方體半形

**截半立方體半形**是一種抽象多面體，為截半立方體的半形體，其面數、邊數和頂點數皆僅有截半立方體的一半，可透過將八面體半形或立方體半形進行截半變換來構造。其拓樸結構與四面半六面體同構，亦可以將截半立方體半形視為是轉換成實射影平面鑲嵌的四面半六面體。

## 性質

截半立方體半形由 7 個面、12 條邊和 6 個頂點組成，是一種抽象七面體，可以被具象化為四面半六面體。其位於實射影平面上時是一個 2 - 流形，然而具象化為四面半六面體則因為面與面相交而不能看做是一個流形。在組成截半立方體半形的 7 個面中
截半立方體半形是一種邊可遞的立體，這代表著任何邊都可以透過旋轉、鏡射或平移整個立體讓某條邊變換到另外一條邊，同時也意味著稜的結構相同。在截半立方體半形中，所有稜都是正方形和三角形的公共稜。

### 構造

截半立方體半形可以被具象化為 4 個三角形和 3 個正方形組成的實射影鑲嵌圖，並且可以透過將實射影平面轉變為在半球面上，並連接所有對蹠點來構造。

　
:

## 對偶多面體

菱形十二面體半形由 6 個組成，與上述的七面體（截半立方體半形）互為對偶多面體。菱形十二面體半形可被具象化為一個由 3 個凸四邊形與 3 個交叉四邊形組成的實射影平面的多面體。菱形十二面體半形與截半立方體半形皆為邊可遞的立體。

　
:

## 相關多面體

### 四面半六面體

四面半六面體與截半立方體半形拓樸同構，同時四面半六面體也可以視為是截半立方體半形浸入三維空間的結果。

　
:

## 參見

* 多面體半形
* 截半立方體

## 參考文獻
截半立方體堆砌

在幾何學中，**截半立方體堆砌**是一種歐幾里得三維空間的半正堆砌，由截半立方體和正八面體堆砌而成，是三維空間內 28 個半正密鋪之一，其對偶多面體為雙四角錐堆砌。

康威稱**截半立方體堆砌**為 **cuboctahedrille**，因為它可以藉由立方體堆砌經過「截半」變換構造而來，也可以視為由截半立方體堆砌而得，但截半立方體無法單獨堆砌，必須和其他多面體一起堆砌，而截半立方體堆砌是由截半立方體和正八面體共同堆砌而得。

## 表面塗色

## 結構

截半立方體堆砌可以被切割出一個截半六邊形鑲嵌的面，從截半立方體的六邊形中心切割，創建了兩個正三角帳塔。這部分的結構均勻，可用考克斯特記號表示，符號為 s3{2,6,3}。

　
:

## 參考文獻
截半變換

在幾何學中，**截半**（英語：Rectification）是一種將多邊形、多面體、密鋪、鑲嵌或更高維的多胞體從每個邊的中點開始切去頂點的一種多面體變換，換句話說，就是截角變換的一種特例，即截角截至中點。所得到的多面體將以截面與多面體原本的面為界。考克斯特符號與施萊夫利符號將截半變換記為 r，例如 r {4,3}，而康威記號則將截半變換記為 a，例如 aC，r {4,3} 與 aC 皆代表一個截半立方體。

康威將截半變換稱為 **ambo**。在圖論演算法中，截半稱為內側圖。

## 參見

* 對偶多面體
* 擬正多面體
* 正圖形列表（正圖形）
* 截角 (幾何)
* 康威多面體表示法

## 參考文獻

* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Rectification. MathWorld.
* Olshevsky, George, _Rectification_ at _Glossary for Hyperspace_.
截半超立方體

**截半超立方體**(Rectified tesseract)，在四維幾何學中，是一個由 16 個正四面體和 8 個截半立方體胞組成的均勻多胞體。每條棱都連接到一個正四面體和兩個截半立方體。每個頂點周圍環繞著兩個正四面體和三個截半立方體。它總共有 88 個面（64 個三角形面和 24 個正方形面），96 條棱和 32 個頂點。它的頂點圖是正三角柱。

## 構造

截角正五胞體的細胞可以通過在正五胞體的棱的三分點處截斷其頂點。截斷的五個正四面體變成新的截角四面體，並在原來的頂點處產生了五個新的正四面體。

## 結合

截角四面體的六邊形面彼此結合在一起，而它們的三角形面則連接到正四面體。

## 投影

## 坐標

一個棱長為 ${\sqrt {2}}$ 的截半超立方體的頂點的笛卡兒坐標系坐標

　
: $\left(0,\ 0,\ 0,\ 0\right)$

更簡單的，截半正五胞體的頂點是五維空間笛卡兒坐標系的 (0,0,0,1,1) 或 (0,0,1,1,1) 的全排列。

## 參考文獻

## 外部連結

* Rectified 5-cell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - data and images
  * 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 2, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora) x3o3o3o - rap. bendwavy.org.
截半黑塞二十七面體

在幾何學中，**截半黑塞二十七面體**是一個複正多面體，其位於 $\mathbb {C} ^{3}$ 複希爾伯特空間中由 54 個莫比烏斯－坎特八邊形組成，共有 54 個面、216 條邊和 72 個頂點。其梵奧斯多邊形為施萊夫利符號計為 3{4}3 的二十四邊形、頂點圖為施萊夫利符號計為 3{4}2 的六邊形、對偶多面體為雙黑塞二十七面體。

考克斯特指出，三個複正多面體黑塞二十七面體（）、雙黑塞二十七面體（，此多面體的對偶多面體）和截半黑塞二十七面體（）可以視為實空間多面體正四面體（）、立方體（）和正八面體（）在複空間的類比。

截半黑塞二十七面體是一種位於複數空間的立體，其對應到實數空間同樣也有一種實數空間的代表，其為 122 多胞體，考克斯特表示法計為。

## 性質

截半黑塞二十七面體位於 $\mathbb {C} ^{3}$ 複數空間中，由 54 個面、216 條邊和 72 個頂點所組成。其中 54 個面為全等的莫比烏斯－坎特八邊形、216 條邊皆為連接了三個頂點的稜，稱為三元稜或三元邊（Trion），在施萊夫利符號中可以用 3{} 來表示、72 個頂點皆為 6 個莫比烏斯－坎特八邊形的公共頂點，在頂點圖中，這種頂點可以用施萊夫利符號計為 3{4}2 的六邊形表示；而其對多面體為由施萊夫利符號計為 3{4}2 的六邊形組成的七十二面體，稱為雙黑塞二十七面體。

截半黑塞二十七面體可以視為黑塞二十七面體經過截半變換的結果，在截半的過程中，會產生形狀與原像的頂點圖相同、數量為原像頂點各數的面，因此，黑塞二十七面體在經過截半變換後，產生了 27 個莫比烏斯－坎特八邊形的面，因此截半黑塞二十七面體共有 54 個面。

### 面的組成

截半黑塞二十七面體由 54 個全等的莫比烏斯－坎特八邊形組成。莫比烏斯－坎特八邊形是一種由 8 個頂點和 8 條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用 3{3}3 來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜皆連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion），這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用 3{} 來表示。

### 結構

截半黑塞二十七面體的元素在布局矩陣中可以表示為正和擬正兩種形式

## 對偶多面體

截半黑塞二十七面體的對偶多面體又稱為雙黑塞二十七面體是一個位於 $\mathbb {C} ^{3}$ 複希爾伯特空間中由 72 個施萊夫利符號計為 2{4}3 的複多邊形組成，共有 72 個面、216 條邊和 54 個頂點，其可以經由黑塞二十七面體透過交錯變換構造而成，在考克斯特記號中可以用或表示，並與等價。

### 面的組成

雙黑塞二十七面體由 72 個全等且施萊夫利符號計為 2{4}3 的複多邊形組成。這種多邊形位於 $\mathbb {C} ^{2}$ 複希爾伯特空間中由 6 個頂點和 9 條邊組成，在圖論中對應結構稱為湯瑪森圖或 4-cage。

### 結構

雙黑塞二十七面體中的元素可以透過布局矩陣表示：

### 正交投影

## 註釋

## 參考文獻
截取通訊及監察事務專員

**截取通訊及監察事務專員秘書處**隸屬於香港特別行政區政府保安局，因應《截取通訊及監察條例》成立，其主要責任為協助及支援截取通訊及監察事務，輔助截取通訊及監察事務專員和香港市民根據《截取通訊及監察條例》第 43 條規定事項。現任截取通訊及監察事務專員為楊振權先生，秘書長為葉玉芬女士。

香港執法機構除了警務處國家安全處之外 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），截取通訊及監察均受到《截取通訊及監察條例》規限，廉政公署、警務處、海關及入境事務處則分別由其高級官員批准（由截取通訊及監察事務專員監督）；至於程度比較高的行動，例如需要進入當事人處所監察，就需要向終審法院首席法官所推薦的小組法官申請，才獲得特別授權。此外，執法機構進行相關行動，亦受到《電訊條例》及《郵政署條例》相關條文規限。

人員可按《截取通訊及監察條例》照樣申請要求截取目標人物的 WhatsApp、WeChat 及電郵等程式通訊內容，若訊息在傳送期間亦可按照條例申請截取，但當傳送完成後該訊息就不在條例涵蓋範圍內，執法機關需再申請搜查令才能獲取有關內容。[2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 歴任首長

### 歷任專員

截取通訊及監察事務專員是香港政府於 2006 年《電訊條例》准許香港行政長官授權截取市民通訊被終審法院裁定違反《香港基本法》後，根據香港立法會通過的《截取通訊及監察條例》而設立的職位，其主要職能是監督香港執法部門及其人員遵守條例。

* 胡國興（2006 年 8 月 17 日－2012 年 7 月 31 日）
* 邵德煒（2012 年 8 月 17 日－2015 年 8 月 16 日）
* 石輝（2015 年 8 月 17 日－2021 年 8 月 16 日)
* 楊振權 (2021 年 8 月 17 日一)

### 歷任秘書長

* 鄭慧鳳（2006 年至 2012 年）
* 呂少珠（2012 年至 2015 年）
* 黃美珊（2015 年至 2018 年）
* 葉玉芬（2019 年至今)

## 歷史

香港政府擬訂授權截取通訊及監察事務專員聆聽截聽成果以防止執法人員竊聽法律專業保密權資料及新聞材料的條例修訂草案於 2014 年提交予立法會審議。

2014 年 12 月，截取通訊及監察事務專員提交 2013 年的周年報告，全年逾 1,300 宗獲得授權進行的截取通訊及監察行動。

《2015 年截取通訊及監察 (修訂) 條例草案》（2016 年 6 月 16 日）通過的法案 

## 參考資料

## 外部連結

* 截取通訊及監察事務專員秘書處（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 截取通訊條例 YouTube 影片
* 《截取通訊及監察條例草案》委員會 2006 年（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 2015 年截取通訊及監察 (修訂) 條例草案》委員會（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 警無皇管！冇法庭手令下截取黃之鋒電話通訊紀錄呈堂（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 林秀梅訴截取通訊及監察事務專員 2010 HKCFI 1161（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截口土蜗

**截口土蝸**（學名：_Galba truncatula_）為椎實螺科土蝸屬的動物，俗名椎實螺。

## 分佈與棲息地

分布於歐洲、北美、北亞、北非以及中國大陸的黑龍江、吉林、內蒙古、新疆、西藏、河北、陝西、湖南、湖北、四川、貴州等地，多棲息於沼澤地區、小水窪、稻田、池塘、溝渠內以及冷熱泉水域。其生存的海拔上限為 2000 米。

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基物種上的相關資訊：截口土蝸
截句

**絕句**，又稱**截句**、**斷句**、**絕詩**，四句一首，短小精萃；是唐朝流行起來的詩歌體裁，屬於近體詩唐詩的形式。

## 概述

絕句一詞最早在南朝的齊、梁時代就已出現。陳代徐陵的《玉臺新詠》收有四首五言四句的詩，不知作者名字，題為「古絕句」。此時的絕句是指五言四句二韻的小詩，並不要求平仄和諧。絕的意思是「斷絕」，古人用四句一絕的四句詩來完成一個思想概念。

董文煥《聲調四譜圖說》認為絕句分為三種：律絕、古絕、拗絕。王力先生認為，所謂拗絕，實際就是失粘失對的律絕和失粘失對的古絕，所以實際上絕句分為律絕和古絕兩類。律絕是律詩興起以後才有的，要求「平仄」。古絕遠在律詩出現以前就有了。

絕句根據字數主要分成以五言絕句與七言絕句。

### 絕句規範

1. 一首四句，每句字數五或七。
2. 第一句可押韻或不押韻，第二、第四句要押韻，第三句不可押韻。
3. 對仗 (平仄)：

　
: : * 第一、二句同樣位置的字，平仄相反 (稱之為**對**)
* 第二、三句同樣位置的字，平仄相同 (稱之為**黏**)
* 第三、四句同樣位置的字，平仄相反 (稱之為**對**)

其中，第一、三、五個字不受限，第二、四、六個字則必須遵守。

### 句式

* 近體五言詩第二字必仄起、七言詩第二字必平起即稱為「正格」；近體五言詩第二字平起、七言詩第二字仄起的稱為「偏格」。

五言絕句，平起式，正格：

五言絕句，仄起式，正格：

五言絕句，仄起式，偏格：

五言絕句，平起式，偏格：

七言絕句，仄起式，正格：

七言絕句，平起式，正格：

七言絕句，仄起式，偏格：

七言絕句，平起式，偏格：

### 例外

例外之一為**拗**。定義之為：若相鄰兩字之平仄對調即可符合絕句對仗的要求，則視為有符合，是個在絕句以及律詩中常見的手法。

## 絕句分類

1. 依照第一句押不押韻分為**首句入韻**、**首句不入韻**
2. 依照字數分為**五言絕句**和**七言絕句**。
3. 依照第一句的第二個字的平仄分為**平起詩**或**仄起詩**

## 範例

《唐詩別裁》引王漁洋之言：「必求壓卷，王維之《渭城》、李白之《白帝》、王昌齡之『奉帚平明』、王之渙之『黃河遠上』 其庶幾乎！而終唐之世，絕句亦無出四章之右者矣。」

李白的《早發白帝城》是公認的七言絕句的壓卷之作：

## 參考

* 詩歌理論：絕句

## 外部連結

* 詩詞總匯：絕句 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截叶悬钩子

**截葉懸鉤子**（學名：_Rubus tinifolius_）是薔薇科懸鉤子屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的雲南等地，生長於海拔 1,400 米至 1,900 米的地區，多生於路邊、生溝邊及山谷密林中，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
截叶栝楼

**截葉栝樓**（學名：_**Trichosanthes truncata**_）為葫蘆科栝樓屬下的一個種。

## 參考文獻
截叶毛白杨

**截葉毛白楊**（學名：**_Populus tomentosa_ var. _truncata_**）為楊柳科楊屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截叶毛茛

**截葉毛茛**（學名：_**Ranunculus transiliensis**_）為毛茛科毛茛屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截叶秋海棠

**截葉秋海棠**（學名：_Begonia truncatiloba_）為秋海棠科秋海棠屬的植物。分布於中國大陸的廣西、雲南等地，生長於海拔 1,000 米至 1,600 米的地區，見於山坡雜林溝邊、溪邊、山谷以及混交林潮濕處，目前尚未由人工引種栽培。

## 別名

沙卡卡（瑤語）

## 參考文獻
截叶蓝刺头

**截葉藍刺頭**（學名：_Echinops coriophyllus_）為菊科藍刺頭屬的植物，是中國的特有植物。分布在中國大陸的江蘇省等地，常生於山坡，目前尚未由人工引種栽培。

## 別名

硬葉藍刺頭

## 參考文獻
截叶虎耳草

**截葉虎耳草**（學名：_**Saxifraga clivorum**_）為虎耳草科虎耳草屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截叶连蕊茶

**雲南連蕊茶**（學名：_Camellia forrestii_）是山茶科山茶屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國雲南等地，生長於海拔 1,100 米至 3,200 米的地區，多生長在混交林下、常綠闊葉林中、草坡、灌叢中或林中。

## 種下等級

* Camellia forrestii (Diels) Cohen-Stuart var. acutisepala (Tsai et Feng) Sealy（異名：Camellia acutisepala Tsai et Feng）
* Camellia forrestii (Diels) Cohen-Stuart var. crassipes (Sealy) Ming
* Camellia forrestii var. pentamera (Hung T.Chang) T.L.Ming（異名：Camellia pentamera H. T. Chang）

## 變種

* **川滇連蕊茶**（學名：_Camellia tsaii_ var. _synaptica_）為山茶科山茶屬雲南連蕊茶的變種。分布在中國大陸的雲南等地。
* **窄葉連蕊茶**（學名：_Camellia tsaii_）為山茶科山茶屬的植物，為中國的特有植物。分布於越南、緬甸以及中國大陸的雲南省等地，生長於海拔 1,300 米至 2,400 米的地區。

## 參考文獻
截叶铁扫帚

**截葉鐵掃帚**（學名：_**Lespedeza cuneata**_），又名**千里光**，**鐵掃帚**。為豆科胡枝子屬下的一個植物種。

## 參考資料

## 擴展閱讀

* 維基物種上的相關資訊：截葉鐵掃帚
截叶雀儿豆

**截葉雀兒豆**（學名：_**Chesneya cuneata**_）為豆科雀兒豆屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截叶风毛菊

**截葉風毛菊**（學名：_Saussurea merinoi_）是菊科風毛菊屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的雲南等地，生長於海拔 3,250 米的地區，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
截吻寬盔鯰

**截吻寬盔鯰**，為條鰭魚綱鯰形目鼬鯰科的其中一種，為熱帶淡水魚，分布於南美洲巴西淡水流域，體長可達 11 公分，棲息在底層水域，生活習性不明。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2015). _Chasmocranus truncatorostris_. _FishBase_. Version 2015-06.

## 擴展閱讀
截吻沼海鯰

**截吻沼海鯰**為條鰭魚綱鯰形目海鯰科的其中一種，分布於南美洲蓋亞那至巴西亞馬遜河河口半鹹水水域、海域，棲息深度 15-20 公尺，體長可達 100 公分，棲息在水質混濁的底層水域，屬肉食性，雄魚會以口孵卵，可做為食用魚。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2012). _Sciades passany_. _FishBase_. Version 2012-08.

## 擴展閱讀
截吻海蛇

**截吻海蛇**（學名：_Hydrophis jerdonii_）一種生活於亞洲孟加拉灣、安達曼海和南中國海沿岸地區的海蛇，隸屬於眼鏡蛇科海蛇屬。原為單型屬**截吻海蛇屬**（_Kerilia_）中唯一一種，現一般劃歸海蛇屬。

## 形態特徵

體長約 0.91 米。身體背部呈橄欖色並具黑色環紋，腹面為黃色。頭短，吻窄，鼻孔位於吻背。

## 參考文獻
截吻黑線岩鱸

**截吻黑線岩鱸**，為條鰭魚綱鱸形目鱷鱚亞目叉齒鱚科的其中一種，分布於中西大西洋海域，屬深海魚類，體長可達 5.1 公分。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2011). _Pseudoscopelus scutatus_. _FishBase_. Version 2011-12.
截嘴薹草

**截嘴薹草**（學名：_Carex nervata_）是莎草科薹草屬的植物。分布在俄羅斯遠東地區、朝鮮、日本以及中國大陸的黑龍江、內蒙古、吉林等地，生長於海拔 190 米至 850 米的地區，一般生長在闊葉林中、灌叢下或山坡草地。

## 參考文獻
截基瓜叶乌头

**截基瓜葉烏頭**（學名：**_Aconitum hemsleyanum_ var. _chingtungense_**）為毛茛科烏頭屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截基盾蕨

**截基盾蕨**（學名：_**Neolepisorus truncatus**_）為水龍骨科盾蕨屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截基石韦

**截基石韋**（學名：_**Pyrrosia subtruncata**_），為水龍骨科石韋屬下的一個植物種。

## 參考資料
截基鸭绿乌头

**截基鴨綠烏頭**（學名：**_Aconitum jaluense_ var. _truncatum_**）為毛茛科烏頭屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
截塔

**Zeta**（大寫 Ζ，小寫 ζ，中文音譯：**截塔**），是第六個希臘字母。數學上，有多個名為 Zeta 函數的函數，最著名的是黎曼 ζ 函數。拉丁字母的 Z 是從 Zeta 而來。
截头对囊蕨

**截頭對囊蕨**（學名：_**Deparia truncata**_）也稱**截頭蛾眉蕨**，為蹄蓋蕨科對囊蕨屬下的一個種。

## 參考文獻
截头峨螺

**截頭峨螺**（學名：_Caducifer truncata_），是新腹足目峨螺科 _Caducifer_ 屬的一種。主要分布於印度尼西亞、中國大陸、越南、台灣，常棲息在潮間帶。

## 參考文獻
截头紫云菜

**截頭紫雲菜**（學名：_Strobilanthes truncata_）是爵床科紫雲菜屬的植物，是中國的特有植物。分布於中國大陸的廣西等地，生長於海拔 900 米至 1,300 米的地區，見於石灰岩山及村邊，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
截头肋毛蕨

**截頭肋毛蕨**（學名：_**Ctenitis truncata**_）為叉蕨科肋毛蕨屬下的一個種。

## 參考文獻

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截孢孔菌属

**截孢孔菌屬**（學名：_Truncospora_），也稱**畸孢孔菌屬**，為多孔菌科的一個屬。

## 下屬物種

本屬包括以下物種：

* 亞利桑納截孢孔菌 _Truncospora arizonica_ Spirin & Vlasák
* 大西洋畸孢孔菌 _Truncospora atlantica_ Spirin & Vlasák
* _Truncospora castanea_ (Corner) Zmitr.
* 薄皮畸孢孔菌 _Truncospora detrita_ (Berk.) Decock
* _Truncospora floridana_ Vlasák & Spirin
* _Truncospora fuscopurpurea_ (Pers.) Zmitr.
* 日本截孢孔菌 _Truncospora japonica_ (Yasuda) Zmitr.
* _Truncospora livida_ (Kalchbr. ex Cooke) Zmitr.
* 大孢截孢孔菌 _Truncospora macrospora_ B.K.Cui & C.L.Zhao
* 墨西哥截孢孔菌 _Truncospora mexicana_ Vlasák, Spirin & Kout
* _Truncospora mollissima_ (B.K.Cui & C.L.Zhao) Zmitr.
* _Truncospora oboensis_ Decock
* 白赭截孢孔菌 _Truncospora ochroleuca_ (Berk.) Pilát
* 東方截孢孔菌 _Truncospora ornata_ Spirin & Bukharova
* _Truncospora pubertatis_ (Lloyd) Zmitr.
* _Truncospora quercicola_ (Y.C.Dai) Zmitr.
* _Truncospora roseoalba_ (Jungh.) Zmitr.
* _Truncospora sclerosetosa_ (Decock & Laurence) Zmitr.
* _Truncospora tephropora_ (Mont.) Zmitr.
* _Truncospora tropicalis_ Vlasák & Spirin
* _Truncospora violacea_ (Wakef.) Zmitr.
* 威斯康星截孢孔菌 _Truncospora wisconsinensis_ C.L.Zhao & Pfister

## 參考文獻
截孢须腹菌

**截孢須腹菌**（學名：_Rhizopogon fabri_）是屬於牛肝菌目須腹菌科須腹菌屬的一種擔子菌。該種分布於中國、美國等地。

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