慣性質量

在日常生活中的「重量」常用於表示「質量」，但是在科學上，這兩個詞表示物質不同的屬性（參見質量對重量）。

在物理上，質量通常指物質在以下的三個實驗上證明等價的屬性之一：

* 慣性質量

　
: 一個物體的慣性質量決定它受力時的加速度（即後者會因前者的改變而改變）。根據牛頓運動第二定律，假設一個質量為 $m$ 的物體受到一個力 $F$ ，那其加速度 $a$ 為： $a={\frac {F}{m}}$ 。

* 主動引力質量和被動引力質量。

　
: 一個物體的質量也決定了它被引力場影響的程度。假設一個質量為 $M_{1}$ 的物體距離別的質量為 $M_{2}$ 的物體的距離為 $r$ ，第一個物體受到的引力可以通過所示公式計算： $F=G{\frac {M_{1}M_{2}}{r^{2}}}$ ，其中， $G$ 表示萬有引力常數，其值為 6.67×10−11 kg−1m3s−2。這個質量常稱為引力質量。

從 17 世紀以來不斷有實驗證明，慣性質量和引力質量是等價的，這條原理在廣義相對論中稱為等效原理。

狹義相對論證明了物質能量 E 和其質量 m 之間的關係（ $E=mc^{2}$ ）。根據這個關係，一個由許多粒子構成的集合體，其質量可能大於也可能小於這些粒子單獨的質量之和。

在地球表面，一個物體的重量 $F_{g}$ 與其質量 $m$ 的關係為 $F_{g}=mg$ ，其中 $g$ 是地球重力加速度， $g$ 受緯度、海拔、地殼密度分布（如地下礦藏）等的影響，其值一般取 9.81 m s-2。一個物體的重量與其所處的環境有關，然而它的質量卻不然。例如，一個質量為 50kg 的物體在地球表面的重量是 491N，同樣的物體在月球表面只有 81N。

## 質量的單位

在國際單位制（International system of units, **SI**） 中，質量的單位是公斤（kilogram, kg）。1 公斤 = 1000 克（gram, g）。

在國際單位制中，還有一些其他的單位也可以使用：

* 噸（tonne, t）, 1t = 1000kg。
* 電子伏特（electronvolt, eV），電子伏特本來是一個能量單位，但是由於質量與能量的等價，電子伏特也可以作為質量單位。在用作質量單位時，通常寫作 eV/c2，也可以簡寫為 eV。電子伏特常用在粒子物理學中。
* 原子質量單位（u）, 1 原子質量單位定義為碳 12 原子質量的 1/12, 大約為 1.66×10−27kg。原子質量單位在表達原子和分子質量的時候很方便。

在國際單位制之外，根據上下文，還有很多不同的質量單位在被使用，比如斯勒格 (slug, sl), 磅（pound, lb），普朗克質量（mp） 和太陽質量（MΘ）。

通常，一個物體的重量與其質量成正比，因此兩者可以使用同樣的單位。然而，在做精確的測量時（由於地球表面不同地方重力場的細微差別），或者在一些遠離地球表面的地方，譬如外太空或其他星球，質量和重量的差別變得很大。

質量有的時候可以用長度來衡量。微小粒子的重量可以用它康普頓波長（1 cm−1 ≈ 3.52×10−41 kg）的倒數來表示。巨大的恆星和黑洞的質量可以用史瓦西半徑（1 cm ≈ 6.73×1024 kg）來表示。

質量測量上定義為 M，既然測量有漂移性，未來要消除測量漂移性，將在從事取質量時以普朗克常數取得。

## 質量概念和公式的總結

在古典力學中，質量對於物體的運動有著決定性的作用。牛頓第二定律給出了物體所受的合力 **F**，其質量 _m_ 和加速度_**a**_之間的關係：

　
: $\mathbf {F} =m{\boldsymbol {a}}$ 。

此外，質量將物體的動量 **p**、動能 _K_ 和速度 **v** 聯繫起來：

　
: $\mathbf {p} =m\mathbf {v} $ ，

　
: $K={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 。

在古典力學中，作為物質屬性之一的質量是不變的，然而在狹義相對論中，物體的質量隨著其運動速度的增加而增加。物體的質量 m 與其靜止質量 m0 之間的關係為：

　
: $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ ，

其中 v 是物體的速度，c 是真空中的光速。

物體的能量 E 與其質量 m 之間的關係為：

　
: $E=mc^{2}\ $

由於能量與觀察者所處參考系有關，因此定義一個對於所有觀察者都一樣的質量是很方便的。對於單獨的粒子，這個值就是它的靜止質量；對於一個有界或無界的粒子系統，這是值就是系統的不變質量。一個物體的不變質量 m0 和它的能量 E 以及動量的模長 ρ 之間關係為：

　
: $m_{0}c^{2}={\sqrt {E^{2}-(\rho c)^{2}}}$ ，

其中 c 是真空中的光速。

## 與質量有關的現象

在物理學中，人們從至少七個屬性上區分質量的概念，或者說七個可以用質量解釋的物理現象：

* 對於一些特定種類的樣本，**物質的量** 可以由電泳或其他精確過程來測定。樣本的精確質量一方面由它所含的原子或分子的數量和種類決定，另一方面由它內部包含的，將這些原子或分子結合在一起的能量決定（這些能量構成負的「丟失質量」，或者叫做質量赤字）。
* **慣性質量** 衡量當物體受力時，它對於改變其運動狀態的抵抗程度。慣性質量可以通過給物體施加一個力，測量由此導致的加速度而測定。施以同樣大小的力，慣性質量較小的物體會比慣性質量較大的物體獲得更大的加速度。一個質量較大的物體，則說它有較大的慣性。
* **主動引力質量** 是由一個物體的引力通量（引力通量等於引力場在一個封閉表面的面積分）來決定的。測量引力場，可以通過引入一個充分小的「測試物體」（這個物體應當足夠小，不影響被測量物體的引力場），令其做自由落體運動，並測量其加速度。比如，一個在月球附近做自由落體運動的物體，與在地球表面相比，會感受到較小的引力場，因此加速度也較小。月球表面的引力場較弱是因為月球的主動引力質量較小。
* **被動引力質量** 通過測量一個物體與引力場的交互作用而測得。被動引力質量由物體在引力場中的重量除以它的加速度而得到。處於相同引力場中的兩個物體，加速度是相同的，然而被動引力質量較小的物體比被動引力質量較大的物體受到的力更小（即它的重量較輕）。
* 根據質能等價的原理，**能量**也有質量。這個等價關係被大量的物理過程所證實，包括正物質、反物質粒子對的產生，核融合以及光的引力紅移。在正物質、反物質粒子對的產生和核融合中，能量和質量互相轉換。在光的引力紅移中，純能量的光子表現出具有被動引力質量的行為。
* 時空**的**曲率 物質的存在導致的相對論性效應。時空曲率非常微弱，很難測量。因此，直到愛因斯坦在廣義相對論中預言以後，才被人們發現。精確的原子鐘顯示，地球表面的時間流逝的要比太空中的慢。這種不同是一種被稱為時間膨脹的曲率。其他形式的曲率也由引力探測 B 衛星（Gravity Probe B）測量過。
* **量子質量** 顯示物體的量子頻率和波數（波長的倒數）的不同。電子的量子質量，即康普頓波長，可以通過各種形式的光譜學分析測定，它與芮得柏常數、波耳半徑以及古典電子半徑密切相關。大物體的量子質量可以直接由瓦特平衡測得。

慣性質量、引力質量以及其他各種各樣的質量相關現象在概念上完全不同。然而，迄今為止所有的實驗表明，這些量之間存在正比關係，這種正比性導致一個抽象的質量概念。如果在將來的某些實驗當中發現，某個質量相關現象與其他之間的關係不是正比，那麼這個現象將不會被認為是抽象質量概念的一部分。

## 重量和數量

重量，按照定義，度量了為了支持一個重力場中的物體（即使其保持靜止）所需要的力的大小。地球的重力場使得地球表面附近的物體有重量。通常，短距離之內的重力場的變化微乎其微，地球表面各處的重力場也幾乎是一致的；因此，當一個物體從一個地方移動到另一個地方的時候，它的重量的變化非常小，這些微小的變化在歷史的絕大部分時期都沒有為人所覺察。我們可以用弓被拉延伸的長度來測量重量，這些微小的變化在古埃及是可以測量出來的，所以重量是會改變的；在水中由於浮力的影響，物體的重量更是明確的會變小。這給早期的人類一種感覺：物質世界裡，有什麼是物體的一種不變的、基本的屬性我們可以稱之為質量。

在右圖所示的埃及的宗教圖畫裡，阿努比斯正在用天平稱量胡夫心臟的質量。天平平衡一個物體的重力和另一個物體的重力。天平兩端的物體要足夠接近，使得它們的重力場相差不大。因此，如果它們有著相同的重量，那麼它們也就具有相同的質量。兩者的重量之比，也就是他們的質量之比。天平是已知的最古老的測量質量的裝置之一。

數量的概念非常古老，早於有記載的歷史，因此任何關於這個概念早期發展的描述都是不可靠的。然而，一個合理的推測是，人類很可能在早期就意識到，一些由相似物體構成的集合的質量，正比於這個集合中物體的數量：

　
: $w_{n}\propto n$ ，

其中，W 是由相似物體構成的集合的質量，n 是集合中物體的數量。這種比例關係，按照定義，表明兩者之比是一個常數：

　
: ${\frac {w_{n}}{n}}={\frac {w_{m}}{m}}$ ，或者等價地 ${\frac {w_{n}}{w_{m}}}={\frac {n}{m}}$ 。

因此，歷史上，**質量**的標準往往是按照數量來定義的。例如，羅馬人使用角豆樹種子（克拉或長角果）作為衡量標準。如果一個物體的質量與 1728 個角豆樹種子相同，那麼就說這個物體的質量是一羅馬磅。如果一個物體的質量與 144 個角豆樹種子相同，那麼就說這個物體的質量是一羅馬盎司。羅馬磅和盎司都是用不同數量的集合來定義的，這些集合包含公共的質量標準，即角豆樹種子。一羅馬盎司（144 個角豆樹種子）和一羅馬磅（1728 個角豆樹種子）的比為：

　
: ${\frac {ounce}{pound}}={\frac {w_{144}}{w_{1728}}}={\frac {144}{1728}}={\frac {1}{12}}$ 。

這個例子說明了一個基本的物理原理，當數量之間具有一個簡單的比例關係時，它們就非常有可能具有相同的來源。
我們可以說**質量**是指精密測量得到的重量，納稅或交易斤斤計較其數量；重量是舉起此質量所需力氣，日常生活表達用語中不會太精確。

原子（atom）這個名字來源於希臘語ἄτομος/átomos, α-τεμνω，意思是不可分的事物。物質是由離散的不可分的單元組成的哲學觀念已經存在了大約一千年。然而，直到 20 世紀早期，原子存在的實驗證據才被發現，並得到了廣泛的接受。

隨著化學科學的成熟，表明原子存在的實驗證據來源於倍比定律。當兩種或更多的元素結合成化合物的時候，它們的質量之比總是固定不變的。譬如，一氧化氮中氮和氧的質量之比總是 7 比 8。氨氣中氫和氮的質量比總是 3 比 14。化合物中元素質量之比總是簡單的分數這一事實暗示，所有的元素質量有一個共同的來源。原則上，原子質量的情況跟前面舉得羅馬質量單位的例子很相似。羅馬磅和羅馬盎司都是由不同數量的角豆樹種子來定義的，因此，這兩個單位之間的比例關係是一個簡單的分數。類似的，因為所有的原子的質量之比都是簡單的分數，因此很有可能原子僅僅是由一些不同數量的，更加基本的質量單位構成的。

1805 年，化學家約翰・道爾頓出版了他的第一本相對原子質量表，列舉了六種元素：氫，氧，氮，碳，硫以及磷，並且定義氫原子的質量為 1。1815 年，化學家威廉・普勞特總結道，氫原子實際上是其他所有原子的基本質量單位。

如果普勞特的假設是正確的，那麼現在所知的抽象的質量概念，就不會出現，因為質量總是可以被定義為氫原子的數量。然而，普勞特的假設在兩個大的方面被證實是不準確的。首先，科學的進一步發展揭示了更小粒子的存在，例如電子和夸克，它們的質量之比不是簡單的分數。其次，人們發現原子本身的質量也不是精確地等於氫原子質量的倍數，而是約等於氫原子質量的倍數。根據愛因斯坦的相對論，質子和中子結合成為原子核時，部分質量會以結合能的形式釋放出來。原子核結合地越緊密，釋放的能量越多。結合能的釋放使得元素質量之比不再是簡單的分數。

比如，氫，只有一個質子，其原子質量為 1.007825u。鐵的最豐富的同位素有 26 個質子和 30 個中子，所以人們可能會猜想其原子質量是氫的 56 倍，實際上，它的原子質量只有 55.9383u，很明顯，不是 1.007825u 的整數倍。普勞特的假設在很多方面都被證實是不準確的，但是原子質量和數量的抽象概念在化學中仍然發揮著重要的作用，衡量小質量時，仍然使用原子質量單位。

當法國人在 18 世紀末發明度量系統的時候，他們使用數量來定義質量單位。公斤最初被定義為一升純水的質量。然而，這個定義遠遠不能滿足現代科技的精度要求，因此公斤被重新定義為一個人造鉑銥合金塊的質量，即人們所知的國際公斤原器。

## 引力質量

**主動引力質量**是質量的一個屬性，一個物體在它周圍的空間產生引力場，這些引力場支配著宇宙的大尺度結構。引力場將星系聚在一起。它使得星雲和星際塵埃聚集成恆星和行星。它產生足夠的壓力，使得恆星內部可以進行核融合。它決定了太陽系各種天體的軌道。由於引力的效應無處不在，因此很難指出人類第一次發現引力質量的確切日期。不過，指出一些在邁向現代引力質量概念過程中關鍵的步驟，以及引力質量和其他質量現象之間的關係，還是可以的。

### 克卜勒引力質量

約翰內斯・克卜勒第一個給出了行星軌道的精確描述，並且據此第 1 次描述了引力**質量**。1600 年，克卜勒為第谷・布拉赫工作，並因此得以接觸到 1 批比以前任何資料都精確的天文觀測資料。通過研究第谷的火星觀測資料，克卜勒意識到傳統的天文學方法的預測並不精確，接下來他花了 5 年時間發展自己的方法，來刻畫行星的運動。

在克卜勒最終的行星模型中，他成功地描述了行星的軌道：行星的軌道是一個以太陽為焦點的橢圓。主動引力**質量**的概念是克卜勒第 3 行星運動定律的直接推論。克卜勒發現每個行星的軌道週期的平方與其軌道半長軸的立方成正比，等價地，兩者之比對於太陽系所有的行星來說，都是常數。這個常數的比值直接衡量了太陽的主動引力質量，其單位為距離（_R_）3/ 時間（_t_）2，即人們所知的標準引力參數：

　
: $\mu =4\pi ^{2}{\frac {R^{3}}{t^{2}}}\propto \mathrm {Gravitational\ Mass} $

1609 年，克卜勒發表了他的「克卜勒行星運動三定律」，解釋了行星在太陽的影響下，是如何按照橢圓軌道運行的。同年 8 月 25 日，伽利略・伽利萊第 1 次向一些威尼斯商人展示了他的望遠鏡。在 1610 年 1 月初，伽利略在木星周圍發現了 4 個暗淡的天體，他將它們誤認為恆星。然而，經過幾天的觀察，伽利略意識到這些「恆星」實際上在繞著木星做軌道運動。這 4 個衛星（後來為了紀念發現者，被命名為伽利略衛星）是第 1 批被發現的繞著其他天體，而不是太陽或地球做軌道運動的天體。在接下來的 18 個月裡，伽利略繼續觀測這些衛星，到 1611 年中期的時候，他對它們的週期已經有了相當精確的估計。不久，每個衛星的半長軸也被估計出來，這使得木星的引力質量可以由其衛星的軌道計算出來。木星的引力質量大約是太陽引力質量的 0.1%。

### 伽利略引力場

1638 年之前的某個時候，伽利略將他的注意力轉向了物體受地球引力場作用而下落的現象，他積極地嘗試著去描述這類運動。伽利略不是第一個研究地球引力場的人，也不是第一個準確描述其基本特性的人。然而，伽利略的依賴科學的實驗構建物理原理的信念對於此後幾代物理學家都有著深遠的影響。伽利略使用很多科學實驗來描述自由落體運動。現在並不清楚這些實驗僅僅是用來說明概念的理想實驗，還是真的由伽利略做過，不過這些實驗的結果是真實可信的。在伽利略的學生溫琴佐・維維亞尼所寫的傳記中記載，伽利略曾經在比薩斜塔讓兩個材料相同但質量不同的小球落下，來演示它們的下落時間與其質量無關。為了支持這個結論，伽利略提出了如下的理論論據：如果將兩個質量不同，下落速度也不同的物體用繩子拴起來，那麼這個聯合的系統是因為它有更加重的質量而下落地更加快了呢，還是因為輕物體拖住了重物體而下落地更加慢？這個問題的唯一可信的答案就是，兩個物體下落地一樣快。

在 1638 年出版的《論兩種新科學》裡描述了另一個實驗。伽利略虛構的一個人物，薩爾維亞蒂，描述了一個用銅球和木質斜面所做的實驗。這個木斜面長 12 腕尺（cubit），寬半腕尺，三指厚，上面有一個光滑無摩擦的直凹槽。凹槽內襯有羊皮紙，絕對光滑無摩擦。凹槽內有一個硬的，光滑的，非常圓的銅球。斜面可以以不同的角度傾斜，來減慢銅球的加速度，使得時間可以測量。令銅球從一個已知的距離處滾下，測量銅球滾落的時間。銅球滾落的時間用下面描述的水鍾測量：

「在高處放置一大容器的水，容器下接一個細管，水從細管流出，每次實驗都在下方用一個小玻璃杯子將水收集起來。實驗結束後，在精確的天平上，稱量收集的水的重量。不同重量的比就代表了不同時間長度的比。這個方法非常精確，即使實驗被一次又一次地重複，結果仍然沒有可覺察的誤差。」

伽利略發現對於一個自由落體的物體，下落的距離總是跟時間的平方成正比：

　
: $g={\frac {Distance}{Time^{2}}}\propto Gravitational\,Field$

伽利略於 1642 年 1 月 8 日在義大利佛羅倫斯附近的阿塞蒂里（Arcetri）去世。伽利略證明了在地球引力場的作用下，做自由落體運動的物體的加速度是常數。與伽利略同時代的約翰內斯・克卜勒證明了，在太陽引力質量的作用下，天體沿著橢圓軌道運行。然而，在伽利略一生中，伽利略引力場和克卜勒引力質量的關係並沒有被理解。

### 牛頓引力質量

羅伯特・虎克在 1674 年發表了他的引力概念，裡面寫道：「所有的天體，無論它是什麼，都有一種指向其自己中心的吸引力或者引力」，「它們也吸引它們作用範圍內的其他天體」。他進一步說明，引力隨著物體中心之間的距離的減小而增加。在羅伯特・虎克和艾薩克・牛頓 1679~1680 的信件當中，虎克猜想引力的大小按照兩物體之間距離的平方而衰減。

虎克力勸微積分發展的先驅牛頓，完成克卜勒軌道的數學細節，來證明虎克的猜想是正確的。牛頓本人的研究證實虎克是對的，但是由於兩人個性的不同，牛頓選擇不把這個結果透露給虎克。艾薩克・牛頓一直沒有聲張他的發現，直到 1684 年，才告訴他的一個朋友，愛德蒙・哈雷，說他已經解決了引力軌道的問題，但是卻錯誤地讓他的發現沉睡在辦公室里。在哈雷的鼓勵下，牛頓決定繼續發展他關於引力的想法，並發表了他所有的發現。1684 年 11 月，艾薩克・牛頓給愛德蒙・哈雷發了一份文件，這份文件現已丟失，但是它的標題推測為「De motu corporum in gyrum」（論物體的軌道運動）。哈雷將牛頓的發現呈送給倫敦皇家學會，並承諾隨後即有全面的說明。牛頓後來將他的想法寫到了一本三卷的書集當中，標題為 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica（自然哲學的數學原理）。第一卷於 1686 年 4 月 28 日被皇家學會接受，第二卷是 1687 年 3 月 2 日，第三卷是 1687 年 4 月 6 日。皇家學會在 1687 年 5 月由牛頓自費出版了這本書的全集。

艾薩克・牛頓架起了克卜勒引力質量和伽利略引力加速度之間的橋梁，並且證明了如下的關係式：

　
: $g={\frac {\mu }{r^{2}}},$

其中，g 是一個物體穿越一處存在引力場的空間時表現出的加速度，μ 是引起引力場的物體的引力質量（標準引力參數），r 是極坐標（兩個物體中心之間的距離）。

通過尋找物體引力質量和引力場之間的精確關係，牛頓證明測量引力質量的第二種方法。地球的質量可以用克卜勒的方法測定（通過月球的軌道），或者也可以通過測量地球表面的重力加速度，然後將這個數值乘以地球半徑的平方來測定。地球的質量大約為太陽質量的百萬分之三。直到現在，還沒有發現其他測量引力質量的精確手段。

### 牛頓的炮彈

牛頓的炮彈是一個理想實驗，在伽利略引力加速度和克卜勒橢圓軌道之間架起了一座橋梁。這個實驗出自牛頓 1728 年的書《世界體系的論述》之中。根據伽利略的引力概念，下落的石塊以不變的加速度落向地面。然而，牛頓解釋道，當一個石塊被水平拋出時（垂直於地球引力），它的運動軌跡是曲線。「一個擲出的石塊，由於自身的重量而偏離了當只考慮投擲時，石塊本應遵循的直線運動，在空中描繪出了一條曲線；沿著這兩條彎曲的路線，石塊最終落回了地面。它被擲出時的速度越大，當它落回地面時它運動的距離就越遠。」

牛頓進一步推理道，如果一個物體以足夠的速度「在一座高山的山頂水平擲出」，「它最終將離地球非常之遠，然後回到它被擲出的山峰。」牛頓的理想實驗如右圖所示。位於非常高山頂上的一台大炮，水平方向發射出一枚炮彈。如果它的速度很低，那麼它僅僅落回地面（路徑 A 和路徑 B）。然而，如果它的速度大於或等於某個閾值（環繞速度），但是又沒有大到足以完全離開地球（逃逸速度），那麼它將圍繞著地球不停地做橢圓軌道運動（路徑 C 和路徑 D）。

### 萬有引力質量和數量

牛頓的炮彈說明了地球引力質量和引力場的關係；然而還是有很多模稜兩可之處。羅伯特・虎克在 1674 年斷言：「所有的天體，無論它是什麼，都有一種指向其自己中心的吸引力或者引力」，但是虎克既沒有解釋為什麼只有天體才有引力的吸引，也沒有解釋為什麼引力指向天體的中心。

為了回答這個問題，牛頓引入了一個全新的概念即引力質量是「一般的（萬有的）」：任何物體都有引力質量，因此，任何物體都產生引力場。牛頓進一步假設每個物體引力場的強度都隨著離該物體距離的平方而衰減。按照這個假設，牛頓計算了非常多小物體構成一個大的球體時整體的引力場。牛頓發現一個巨大的球體（像地球或太陽，給定半徑處具有大致相同的密度），其引力場正比於物體的總質量，反比於離物體中心距離的平方。

牛頓的萬有引力質量概念如左圖所示。地球的每個部分都有引力質量，都產生一個指向它的引力場。然而，這些引力場的總效應等價於一個單獨的強大的指向地球中心的引力場。蘋果表現出的行為就好像一個單獨的強大的引力場把它向地球中心加速。

牛頓的萬有引力質量概念使得引力質量和傳統的重量、質量概念有著相同的立足點。例如，古羅馬人使用角豆樹種子作為重量標準。羅馬人將一個未知重量的物體放到天平的一側，然後在天平另一側放角豆樹種子，增加種子的數量，直到天平平衡。如果一個物體的重量與 1728 個角豆樹種子相等，這個物體的重量就是 1 羅馬磅。

根據牛頓的萬有引力理論，每個角豆樹種子都產生引力場，因此，如果一個人有極多的角豆樹種子，讓它們形成一個巨大的球體，那麼這個球體的引力場就正比於角豆樹種子的數量。因此，理論上有可能精確地計算出要產生同地球或太陽相同的引力場所需的角豆樹種子的數量。因為羅馬重量單位都是用角豆樹種子定義的，因此知道了地球或太陽的「角豆樹種子質量」，就可以用羅馬磅，羅馬盎司或其他羅馬單位來計算質量。

這種可能性還可以擴展到羅馬單位和角豆樹種子之外。英國磅，譬如，最初定義為 7000 顆大麥粒的重量。因此，如果一個人能確定地球的「大麥粒質量」（產生與地球相同引力場所需的大麥粒的數量），那麼他就可以用英國磅計算出地球的質量。同樣的，公斤的原始定義為等價於一升純水的質量，因此，地球按照傳統公斤計算的質量，在理論上就可以通過計算產生與地球相同的引力場需要多少升純水（或者國際公斤原器）來確定。事實上，這不過是一個簡單的抽象，任何傳統的質量單位理論上都可以用來衡量引力質量。

用傳統的質量單位度量引力質量原理上很簡單，但事實上卻非常困難。根據牛頓的理論，所有的物體都產生引力場，理論上可以把極其多的小物體聚集起來形成一個巨大的引力球。然而，從現實的觀點來看，小物體的引力場極其微弱很難測量。如果一個人能夠收集極其多的物體，那麼最終的球體可能會太大以至於不能在地球表面建造，而在太空中建造又太昂貴。牛頓的萬有引力的書籍發表於 17 世紀 80 年代，但是第一個用傳統質量單位成功地測量了地球質量的實驗，卡文迪許實驗，一百多年以後，直到 1797 年才出現。卡文迪許發現地球的密度為水的 5.448 ± 0.033 倍。截止到 2009 年，用公斤衡量的地球質量只精確到五位小數點，然而它的引力質量的精度超過九位小數。

## 慣性質量和引力質量

雖然慣性質量，被動引力質量和主動引力質量在概念上並不一樣，然而沒有任何實驗明確地顯示他們之間有任何的不同。在古典力學當中，牛頓第三定律意味著同一物體的主動引力質量和被動引力質量必須總是相同（或至少成正比），但古典理論當中沒有任何令人信服的原因表明引力質量必須與慣性質量相等。他們的相等僅僅是個經驗性的事實。

阿爾伯特・愛因斯坦基於這樣一個假設發展了他的廣義相對論：慣性質量和（被動）引力質量之間的關係並非巧合，沒有任何實驗可以區分出這兩者（弱等效原理）。然而，在這樣的理論當中，引力不再是一個力，因此也不遵守牛頓第三定律，所以「慣性質量和主動引力質量相等，仍然是個謎」。

### 慣性質量

**慣性質量**用物體對加速度的抵抗程度衡量的質量。

為了理解什麼是物體的慣性質量，可以先從古典力學和牛頓運動定律開始。然後再來看，當把狹義相對論考慮進來時，古典的質量定義應當如何修改，使其比古典力學更加精確。然而，狹義相對論並沒有從本質上改變「質量」的含義。

根據牛頓第二定律，假設一個物體的質量是 m，如果在任何瞬間，其遵循如下的運動方程式：

　
: $F=ma,$

其中 F 是施加在物體上的力，a 是物體的加速度。現在，先把什麼是「施加在物體上的力」這個問題的確切答案放到一邊。

這個方程式說明了質量是如何和慣性聯繫在一起的。考慮兩個質量不同的物體。如果對其施加相同的力，質量較大的物體的加速度較小，而質量較小的物體的加速度較大，就可以說質量較大的物體在響應力的作用時，對於改變其運動狀態表現出較強的「抵抗性」。

然而，施加「相同的」力的說法迫使定義回到事實中來：目前還沒有真正定義過什麼是力，但是可以用牛頓第三定律來迴避這個困難。牛頓第三定理說，如果一個物體給另一個物體施加一個力，那麼第一個物體就會受到一個大小相同方向相反的力。更精確一點，如果有兩個物體 A 和 B，它們有著不變的慣性質量 mA 和 mB。並且把這兩個物體從其他所有的物理影響當中隔離出來，因此僅有的力就是 B 施加給 A 的力，記為 FAB，和 A 施加給 B 的力，記為 FBA。牛頓第二定律說：

　
: $F_{AB}=m_{A}a_{A},$

　
: $F_{BA}=m_{B}a_{B},$

其中 aA 和 aB 分別是 A 和 B 的加速度。假設這兩個加速度不為零，那麼兩者之間的力就不為零。這種情況發生在，譬如說，兩個物體相互碰撞的過程中。根據牛頓第三定律：

　
: $F_{AB}=-F_{BA},$

因此，

　
: $m_{A}=-{\frac {a_{B}}{a_{A}}}m_{B}.$

注意這裡要求 aA 不為零保證了這個分數是定義良好的。

這就是原則上如何測量物體的慣性質量的方法。選擇一個「參考」物體，定義它的質量為（譬如說）1 公斤，就可以通過測量與參考物體碰撞的加速度來測量宇宙中的一切物體的質量。

### 牛頓引力質量

牛頓引力質量的概念定義在牛頓引力定律之上。假設有兩個物體 A 和 B，距離為 rAB。引力定律說如果 A 和 B 分別具有引力質量 MA 和 MB，那麼每個物體都感受到對方所施加的引力，其大小為：

　
: $F=G{\frac {M_{A}M_{B}}{(r_{AB})^{2}}},$

其中 G 是萬有引力常數。上面的方程式可以重新表達如下：如果 g 是參考物體在引力場中給定位置處的加速度，那麼一個引力質量為 M 的物體受到的引力為：

　
: $F=Mg.$

這是質量可以用重量表達的基礎。在彈簧秤上，譬如說，力 F 正比於稱重盤下面彈簧的形變，根據虎克定律，校正稱，將重力加速度 g 考慮進來，使得物體的質量 M 可以直接讀出。天平測量物體的引力質量，只有彈簧秤測量物體的重量。

### 慣性質量和引力質量的等價

慣性質量和引力質量的等價有時又被稱為**伽利略等價原理**或**弱等價原理**。這個原理最重要的推論應用到自由下落的物體上面。假設有一個物體，其慣性質量和引力質量分別為 m 和 M。如果這個物體唯一受到的力僅僅來自於一個引力場 g，將牛頓第二定律和引力定律一起使用，可得到加速度為：

　
: $a={\frac {M}{m}}g.$

這個式子表明引力質量與慣性質量之比是個常數 K，若且唯若所有的物體在給定的引力場中下落得一樣快。這個現象被稱為「自由落體的普遍性」。（此外，通過定義合適的單位，可以令這個常數為 1。）

第一個說明了自由落體的普遍性的實驗由伽利略所做。最常見的說法是伽利略通過在比薩斜塔上丟下物體來得到他的結果，但是這種說法很可能是假的。實際上，他的實驗是通過讓小球在斜面上滾動而完成的。一個又一個精度越來越高的實驗被完成，譬如羅蘭德・馮・埃特在 1889 年利用扭秤擺所做的。截止到 2008 年，還沒有發現自由落體的普遍性的 —— 因此也就是伽利略等價原理的任何偏離，實驗的精度至少是 10-12。更加精確的實驗仍然在進行之中。

自由落體的普遍性只能應用在引力是唯一的作用力的系統裡。其他所有力，尤其是摩擦力和空氣阻力，必須被排除或者至少是可以忽略的。譬如，在空氣中從同樣高度放下一個錘子和一片羽毛，羽毛將花更多的時間才能落到地上；羽毛實際上並不是做自由落體運動，因為向上的空氣阻力與向下的引力是可以相抵的。另一方面，如果實驗在真空中進行，那裡沒有空氣阻力，錘子和羽毛就應該精確地同時落地（假設兩物體之間的加速度以及地面朝向物體的加速度可以忽略）。這個實驗在高中的實驗室里就可以很容易地做出來，通過在一個用真空泵抽出了空氣的透明管里下落物體。在天然就是真空的環境裡做這個實驗就更加具有戲劇性了，比如大衛・斯科特在阿波羅 15 號執行任務期間在月球表面做的實驗。

等價原理的一個強版本，即愛因斯坦等價原理或強等價原理，在廣義相對論里處於中心地位。愛因斯坦等價原理說在足夠小的時空區域裡，沒有辦法區分均勻的加速度和均勻的引力場。因此，廣義相對論假設引力場作用在質體上的力是物體沿直線運動的趨勢（換句話說就是它的慣性）的結果，因此引力應該是物體慣性質量和引力場強度的函數。

## 狹義相對論里的質量和能量

術語質量在狹義相對論里常常指物體的靜止質量，即一個與物體相對靜止的觀察者所測量的牛頓質量。對於單個粒子，不變質量是靜止質量的另一個名字。然而，廣義的不變質量（由一個更加複雜的公式所計算）也可以應用在相對運動的粒子系統上，因此不變質量通常只用在包含分離的高能粒子的系統上。一個系統的不變質量對於所有的觀察者和慣性系都相同，只要系統是封閉的，就不能被消滅，因此是守恆的。在這裡，「封閉」的意思是系統有一個理想的邊界，任何質量 / 能量都不允許穿過這個邊界。

就像在相對論中一個封閉系統的能量是守恆的，它的質量也是守恆的：這意味著質量不隨時間變化，即使不同重量的粒子之間相互轉換。對於任何觀察者，任何系統的質量都分別守恆，不隨時間變化，正如能量也分別守恆，不隨時間變化一樣。一個流行的錯誤觀點是，在相對論里質量可以轉換成為（無質量的）能量，因為某些物質粒子有時可以轉化為非物質的能量（譬如光、動能以及電磁場或其他場中的位能）。然而，這混淆了物質（一個不守恆的，定義不清楚的概念）和質量（定義良好的，守恆的概念）。即使不被視為「物質」，在相對論里所有類型的能量仍然顯示出質量。因此，質量和能量並不是互相轉換，實際上，它們是同一個事物的兩個不同的名字，質量和能量都不能脫離對方單獨出現。相對論里，「物質」粒子在反應當中可能不守恆，但是封閉系統的質量總是守恆的。

舉一個例子，一顆核彈在一個理想的超級堅硬的盒子裡，這個盒子放在一個稱上面，理論上，爆炸以後質量不會有任何變化（雖然盒子內部變得更熱）。這樣的一個系統，只有允許能量，譬如光或熱從盒子裡逃逸出來，盒子的質量才會改變。然而，這樣的話，逃走的能量也帶走了它對應的質量。讓熱量離開這個系統實際上就是讓質量離開這個系統。因此，質量，像能量一樣，不能被消滅，只能從一個地方轉移到另一個地方。

在束縛系統裡，結合能必須（經常）從非束縛系統的質量里減掉，因為這部分能量也具有質量，當能量被釋放時，這部分質量必須被從系統裡扣除，這時系統就是束縛的了。在這個過程中質量是守恆的，因為在結合過程中系統不是封閉的。一個類似的例子是原子核的結合能，當原子核形成時能量以其他形式出現（譬如伽瑪射線），（經過能量的釋放）生成的原子核的質量小於自由粒子質量之和。

術語相對論性質量也在使用，代表物體或系統的總能量（除以 c2）。（一個物體或系統的）相對論性質量包括了物體動能的貢獻，物體運動得越快，質量越大。因此不像不變質量，相對論性質量與觀察者的參考系有關。然而，對於一個給定的參考系和封閉的系統，相對論性質量也是守恆量。

因為相對論性質量與能量成正比，它漸漸的被物理學家拋棄不用。關於這個概念在教學上是否還有用，存在著爭議。

關於廣義相對論里質量的討論，請參考廣義相對論。

## 參見

* 希格斯機制
* 慣質：在機械網路中類似質量的設備。

## 注釋

## 參考文獻

### 引用

### 來源

**書籍**

* Sir Isaac Newton; N. W. Chittenden. Newton's Principia: The mathematical principles of natural philosophy. D. Adee. 1848 [12 March 2011]. （原始內容存檔於 2017-02-07）.

## 外部連結

* （英文） 《史丹佛哲學百科全書》："The Equivalence of Mass and Energy （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" by Francisco Flores.
* （英文） "The Mysteries of Mass", 《科學美國人》雜誌，July 2005.
* （英文）Usenet Physics FAQby 約翰・貝茲：
  * （英文） "（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
  * （英文） "What is the mass of a photon? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
* （英文） "The Origin of Mass and the Feebleness of Gravity." 諾貝爾獎獲得者弗朗克・韋爾切克的講座錄影.
* （英文） Okun, L. B., "Photons, Clocks, Gravity and the Concept of Mass （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". Slides for a talk.
* （英文）The Apollo 15 Hammer-Feather Drop （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* （英文）Online mass units conversion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.