德林費爾德模

在數學領域，**德林費爾德模**或**橢圓模**是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 **штука**（英語拼音：_shtuka_ 或 _chtouca_，源於德文的 _Stück_，意指物件或東西），又稱 **F - 層**，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾・德林費爾德在 1973 年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 $\mathrm {GL} (2)$ 郎蘭茲猜想。洛朗・拉福格藉由研究 _n_ 秩 штука的模疊與跡公式，在 2002 年證出 $\mathrm {GL} (n)$ 的情形。

## 德林費爾德模

### 加性多項式環

設 $L$ 為特徵 $p>0$ 的域。定義其上的非交換多項式環 $L\{\tau \}$

　
: _a_0 + _a_1τ + _a_2τ2 + ...

乘法由下述條件確定

　
: $\tau a=a^{p}\tau $

元素 $\tau $ 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上， $L$ 是左 $L\{\tau \}$ - 模，其中 $L$ 以乘法作用而 $\tau $ 以 $a\mapsto a^{p}$ 映射。環 $L\{\tau \}$ 也可以看作是如下多項式的集合

　
: $a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]$

這類多項式滿足 $f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]$ ，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

### 形式定義

今設 $A$ 為交換環，_L_ 上的 **德林費爾德 _A_- 模**定義為環同態 $\psi :A\to L\{\tau \}$ ，使得 $\psi (A)$ 不包含於 $L$ ；此條件意在排除一些平凡例子。環 $A$ 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

 $L\{\tau \}$ 可視為加法群 $(L,+)$ 的自同態，而德林費爾德 _A_- 模可視為 $A$ 在 $(L,+)$ 上的作用。

### 例子

* 置 $A:=\mathbb {F} _{p}[T]$ ，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 $\psi :A\to L\{\tau \}$ 僅依賴於像 $\psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L$ 。此時德林費爾德模可等同於 $L\{\tau \}\setminus L$ 。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
* 承上，**Carlitz 模**是由 $\psi (T)=T+\tau $ ， $L$ 為含 $\mathbb {F} _{p}$ 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在 1935 年展開研究，詳見 Goss 的著作第三章 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 。

## штука

設 $X$ 是有限域 $\mathbb {F} _{p}$ 上的代數曲線。對概形或疊 $U$ ，其上的秩 _r_ （右）**штука** 由下列資料定義：

 * $U\times X$ 上的秩 _r_ 局部自由層 $E,E'$ 及單射

　
: $E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E$

其餘核的支撐集包括於某態射 $U\to X$ 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 $0$ 與 $\infty $ ），且在支撐集上是秩 $1$ 局部自由層。在此 $\mathrm {Fr} $ 表 $U$ 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 $U$ ，可得代數疊 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 及 $\mathrm {Sht} ^{r}\times X$ 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 $(\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X$ 。注意到當 $r>1$ 時，疊 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. _Commutative subrings of certain noncommutative rings._ Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

## 應用

簡言之，函數域上的**郎蘭茲猜想**是關於 $\mathrm {GL} (n)$ 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明 $n=2$ 的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 $2$ штука 的模空間的 $\ell $ - 進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 $n\geq 2$ 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

## 文獻

### 德林費爾德模

* V. Drinfel'd, _Elliptic modules_ (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
* D. Goss, _Basic structures of function field arithmetic_, ISBN 3-540-63541-6
* Drinfel'd module （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in the Springer encyclopaedia of mathematics
* G. Laumon, _Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II_, Cambridge university press 1996

### штука

* Drinfel'd, V. G. _Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821_
* Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
* D. Goss, What is a shtuka? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

### 拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作

* Lafforgue, L. _Chtoucas de Drinfeld et applications._ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
* Lafforgue, Laurent _Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands._ (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
* Gérard Laumon, _The work of Laurent Lafforgue_ Archive.is 的存檔，存檔日期 2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
* G. Laumon _La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue)_ (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873