微分熵

**微分熵**是消息理論中的一個概念，是從以離散隨機變數所計算出的夏農熵推廣，以連續型隨機變數計算所得之熵，微分熵與離散隨機變數所計算出之夏農熵，皆可代表描述一信息所需碼長的下界，然而，微分熵與夏農熵仍存在著某些相異的性質。

## 定義

令 $X$ 為一連續型隨機變數，其機率密度函數為 $f_{X}(x)$ ，其中 $X$ 的支撐集為 $S=\{x\in X|f_{X}(x)>0}\$ 。微分熵 $h_{X}(x)$ :

 $h_{X}(x)=-\int _{S}f_{X}(x)log(f_{X}(x))dx$ 。

與夏農熵為類比，計算夏農熵之算式中的 $\log $ 通常以 2 為底，而微分熵為計算方便，常以 $ln$ 計算後再轉換為 $log_{2}$ 的結果。微分熵與夏農熵最大的不同點在於 $f_{X}(x)$ 可為大於 1 的數值，此時可能會造成 $h_{X}(x)$ 為負值，而夏農熵 $H_{X}(x)$ 恆不為負。

例如， $X$ 為均勻分布 $U(0,a),a<1$ ：

$$
f_{X}(x)=$ $1 \over a$ $;h_{X}(x)=-\int \limits _{0}^{a}$ $1 \over a$ $ln$ $1 \over a$ $dx
$$

$$
h_{X}(x)=ln(a)$ $<0
$$

## 相關計算

### 條件熵

 $f(x,y)$ 為 $X,Y$ 之聯合機率密度函數，其條件熵為:

 $h(X|Y)=-\int f(x,y)log{f(x|y)}dxdy$ 。

### 相對熵

又稱 **KL 散度**（**Kullback–Leibler divergence)，**兩機率密度函數 f、g 的相對熵定義為:

 $D(f||g)=\int flog{f \over g}$ 。

### 互信息

兩連續型隨機變數的聯合機率密度函數為 $f(x,y)$ ，其互信息:

$$
I(X;Y)=D(f(x,y)||f(x)f(y))
$$

廣義而言，我們可以將互信息定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。
可參考連續互信息的量化。

## 性質

### 相對熵恆正

與夏農相對熵性質相同，恆正。

$$
-{\displaystyle D(f||g)=\int flog{g \over f}}
$$

 $\leq log\int f{g \over f}$ (**延森不等式**)

 $\leq 0$ 。

### 鏈式法則

一次觀測所有隨機變數所測得的的聯合熵，與個別接收隨機變數後計算的條件熵總和相同，即觀測順序與間隔不影響微分熵。

 $h(X_{1},X_{2},...,X_{n})=\sum _{k=1}^{n}h(X_{i}|X_{1},X_{2},...,X_{i-1})$ 。

### 平移

隨機變數的平移不影響微分熵，因為固定的平移不會增加隨機變數的方差。

$$
h(X+c)=h(X)
$$

### 縮放

將隨機變數縮放會增加其方差，微分熵亦會隨之增加。

$$
h(AX)=h(X)+log|det(A)|
$$

### 上界

期望值為 0，方差為 $\sigma ^{2}$ 且值域為 $R$ 之隨機變數 $X$ 的微分熵，其上界為常態分佈 $N(0,\sigma ^{2})$ 的微分熵。

$$
h(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})
$$

### 估計誤差

隨機變數 $X$ 與其估計子 ${\widehat {X}}$ 之均方誤差存在下界，當 $X$ 為常態分佈且 ${\widehat {X}}$ 為無偏估計子時，等號成立。

$$
E[(X-{\widehat {X}})^{2}]\geq {1 \over {2\pi e}}e^{2h(X)}
$$

## 漸進等分性

### 漸進等分性

離散隨機變數的夏農熵中，獨立同分布的隨機變數序列，在漸進等分性 (Asymptotic equipartition property) 之下其機率質量函數 $p(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ 趨近於 $2^{-nH(X)}$ 。

連續型隨機變數之漸進等分性：

$$
-{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)
$$

### 典型集

典型集 (Typical set) 定義如下

$$
A_{\epsilon }^{(n)}=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in S^{n}:|-{1 \over n}logf(x_{1},x_{2},...,x_{n})-h(X)|\leq \epsilon }\$ , $\epsilon >0
$$

### 體積

集合包含於 $R^{n}$ , $A\subset R^{n}$ ，其體積 (Volume) $Vol(A)$ 定義如下:

 $Vol(A)=\int \limits _{A}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$ 。

典型集 $A_{\epsilon }^{(n)}$ 的體積有以下性質:

1. $Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\leq 2^{n(h(X)+\epsilon )}$

2. $Vol(A_{\epsilon }^{(n)})\geq (1-\epsilon )2^{n(h(X)-\epsilon )}$

**證明**

1.

由 $-{1 \over n}log(f(X_{1},X_{2},...,X_{n}))\rightarrow h(X)$ ，

可得：

$$
1=\int _{S^{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
\geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
\geq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)+\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
=2^{-n(h(X)+\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
=2^{-n(h(X)+\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})
$$

2.

當 n 足夠大時， $Pr(A_{\epsilon }^{(n)})>1-\epsilon $ ，

因此：

$$
1-\epsilon \leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
\leq \int _{A_{\epsilon }^{(n)}}2^{-n(h(X)-\epsilon )}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
=2^{-n(h(X)-\epsilon )}\int _{A_{\epsilon }^{(n)}}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}
$$

$$
=2^{-n(h(X)-\epsilon )}Vol(A_{\epsilon }^{(n)})
$$

## 量化

我們可以將機率密度函數量化後，以夏農熵來計算微分熵。首先將連續隨機變數 X 以 $\Delta $ 分為數個區間，根據均值定理， $x_{i}$ 滿足：

$$
f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}
$$

量化後的隨機變數 $X^{\Delta }$ :

$$
X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta
$$

夏農熵為:

$$
H(X^{\Delta })=-\sum _{-\infty }^{\infty }f(x_{i})\Delta log(f(x_{i}))-log\Delta
$$

意即，當 $\Delta \rightarrow 0$ ， $h(f)=h(X)$ 。

### 例子：

1.

對 X 做 n 位元量化 $X\sim U(0,{1 \over 8})$ 。

$$
H(X^{\Delta })=-3+n
$$

上式表示，若我們想得到 n 位元精確度，則需要 n-3 個位元來表示。

2.

對 X 做 n 位元量化 $X\sim N(0,{\sigma }^{2})$ 。

$$
H(X^{\Delta })={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n
$$

上式表示，若我們想得到 n 位元精確度，需要 ${1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})+n$ 個位元來表示。

## 最大熵

### 常態分佈

隨機變數 $X$ ， $X_{N}$ 值域為 $(-\infty ,\infty )$ ，方差為 $\sigma ^{2}$ ， $X$ 為任意分佈， $X_{N}$ 為常態分佈，機率密度函數分別為 $f(x),g(x)$ 。

則 $h_{X}(X)\leq {1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})$

證明:

$$
{\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(x)\end{aligned}}
$$

其中，

$$
{\begin{aligned}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)log(g(x))dx&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)({1 \over 2}log(2\pi \sigma ^{2})+{1 \over 2}({{x-\mu } \over \sigma })^{2})dx\\&={1 \over 2}log(2\pi e\sigma ^{2})\end{aligned}}
$$

### 指數分佈

隨機變數 $X$ ， $Y$ 值域為 $(0,\infty )$ ，期望值為 $\lambda $ ， $X$ 為任意分佈， $Y$ 為指數分佈，機率密度函數分別為 $f(x),g(x)$ 。

則 $h_{X}(X)\leq 1+log\lambda $ 。

證明:

$$
{\begin{aligned}0&\leq D(f||g)\\&=\int f(x)log({f(x) \over {g(x)}})dx\\&=-h(X)-\int f(x)log(g(x))dx\\&=-h(X)+h(Y)\end{aligned}}
$$

其中，

$$
{\begin{aligned}-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)log(g(x))dy&=-\int \limits _{0}^{\infty }f(x)(log\lambda +{x \over \lambda })dx\\&=1+log\lambda \end{aligned}}
$$

## 參考文獻