微分流形

**光滑流形**（英語：_smooth manifold_），或稱 **C∞- 微分流形**（differential manifold）、**C∞- 可微流形**（differentiable manifold），是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形。一般的，如果不特指，**微分流形**或**可微流形**指的就是 C∞ 類的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊 - 米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。

## 歷史

微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康復講座中描述了多個面向。他通過在一個新的方向上改變給定對象的直觀過程激發了多方面的想法，並且預先描述了協調系統和圖表在隨後形式發展中的作用：

　
: 在一個概念下的事例如果構成 n 維流形，一個流形的特色可以簡單表示其屬性，則化簡的結果必然是有限個數字，…… - 波恩哈德・黎曼的就職演說《論作為幾何學基礎的假設》

物理學家詹姆斯・克拉克・麥克斯韋（James Clerk Maxwell）和數學家庫爾巴斯托羅（Gregorio Ricci-Curbastro）和齊維塔（Tullio Levi-Civita）的成果導入了張量分析和廣義協變性的概念，它將內在幾何屬性識別為關於協調變換的不變量。這些想法在 1912 年愛因斯坦發展廣義相對論理論時取得關鍵性的應用。外爾（Hermann Weyl）於 1912 年給出了微分流形的一個內在的定義。1930 年代，該課題基礎性方面的工作被哈斯勒・惠特尼（Hassler Whitney）等人釐清，使得從 19 世紀下半葉起開始發展起來的相關的直覺知識變得更精確，並通過微分幾何和李群使微分流形的理論得到進一步的發展。

##  Cr - 可微流形的定義

設 $r$ 是自然數， $m$ - 維拓撲空間 ${\mathcal {M}}$ 被稱為是 $m$ - 維 $\mathbf {C} ^{r}$ **可微流形**，如果，

 1. ${\mathcal {M}}$ 為豪斯多夫空間
2. ${\mathcal {M}}$ 被 $m$ - 維坐標鄰域所覆蓋，換句話說，存在 ${\mathcal {M}}$ 中的 $m$ - 維坐標鄰域族 $\left\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\right\}_{\alpha \in A}$ ，使得 ${\mathcal {M}}=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$
3. 滿足 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }:=W_{\alpha \beta }\neq \phi $ 的任意 $\alpha ,\beta \in A$ ，其坐標轉換

　
: : $\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:\varphi _{\alpha }(W_{\alpha \beta })\subseteq \mathbb {R} ^{m}\mapsto \varphi _{\beta }(W_{\alpha \beta })\subseteq \mathbb {R} ^{m}$

　
: 為一個 $\mathbb {R} ^{m}$ 到 $\mathbb {R} ^{m}$ 的 $\mathbf {C} ^{r}$ 映射。

* 注意：每個座標鄰域 $U_{\alpha }$ 都是流形 ${\mathcal {M}}$ 中的開集合。
* 當第三個條件中的座標變換改成是光滑映射（代表可無限次微分）時，滿足這三條件的稱為**光滑流形**，寫作 $\mathbf {C} ^{\infty }$ 流形；當座標變換不是可微映射，僅是連續映射時，滿足這三條件的稱為**拓撲流形**，寫作 $\mathbf {C} ^{0}$ 流形。

### 圖冊

拓撲空間 X 上的圖冊稱為卡（chart）的{(_U_α, _φ_α)}的集合，其中 _U_α 是覆蓋 X 的開放集合，並且對於每個索引 α

　
: $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to {\mathbf {R} }^{n}$

是 _U_α 在 n 維真實空間的開放子集上的同胚。圖冊的轉移映射（transition map）功能是

　
: $\varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }).$

以圖冊來定義流形的概念是由夏爾・埃雷斯曼於 1943 年所提出。每個拓撲流形都有一個圖冊。_Ck_-atlas 是一個圖冊，其轉換圖是 _Ck_。拓撲流形具有 _C_0-atlas，並且通常 _Ck_- 流形具有 _Ck_-atlas。連續圖冊（continuous atlas）是 _C_0 圖冊，平滑圖冊是 _C_∞圖冊，分析圖冊（analytic atlas）是 _C_ω 圖冊。

## 替代定義

### 偽群

偽群（Pseudogroups）的概念提供了彈性的圖冊泛化（generalization of atlases），允許以統一的方式在流形上定義成各種不同的結構。偽群由拓撲空間 S 和由 S 的開放子集到 S 的其他開放子集的同態組成的集合 Γ 組成，使得

1. 如果 _f_ ∈ Γ，且 _U_ 是 f 的域的開放子集，則限制 _f_|U 也在 Γ。
2. 如果 _f_ 開放子集合的同胚， $\cup _{i}\,U_{i}$ , 到 _S_ 的開放子集，則 _f_ ∈ Γ 為每個 _i_ 提供 $f|_{U_{i}}\in \Gamma $ 。
3. 對於每個開放的 _U_ ⊂ _S_， U 的身份轉換在 Γ。
4. 如果 _f_ ∈ Γ，則 _f_−1 ∈ Γ。
5. Γ 的兩個元素組成在 Γ。

最後三個條件類似於一個群（group）的定義。注意，Γ 不必是群，因為這些函數在 S 上不是全域定義的。

### 結構層

有時使用替代方法來賦予具有 _Ck_ 結構的流形是有用的。這裡 _k_ = 1, 2, ..., ∞, 或 ω 為實分析流形（real analytic manifolds）。不考慮坐標圖，可以從流形本身定義的功能開始。_M_ 的結構層（structure sheaf），表示為 **C**k，是一種函數 ，它為每個開放集 _U_ ⊂ _M_ 定義連續函數 _U_ → **R** 的代數 **C**k(_U_)。

## 可微分函數

在 n 維可微分流形 _M_ 上的實值函數 f 在點 _p_ ∈ _M_ 處被稱為可微分 ，如果它在 _p_ 周圍定義的任何坐標圖中是可微分的。更準確地說，如果 (_U_, _φ_) 是卡（chart），其中 _U_ 包含 _p_，是 _M_ 的開集，而且 _φ_ : _U_ → **R**n 是定義卡（chart）的映射，則 f 是可微分的，如果且僅當

　
: $f\circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }$

在 _φ_(_p_) 處是可微分的。一般會有很多可用的卡（chart）；然而，可微分的定義不取決於 _p_ 的卡（chart）的選擇。從鏈式法則（chain rule）應用到一個卡（chart）和另一個圖之間的轉換函數，如果 _f_ 在 _p_ 的任何特定卡（chart）中都是可微分的，那麼在 _p_ 的所有卡（chart）中都是可微分的。類似的情況適用於定義 _Ck_ 函數，平滑函數和分析函數。

## 叢

### 切線叢

點的切空間由該點處的可能的方向導數構成，並且具有與流形相同的維數 n。對於一組（非奇異）坐標 _xk_ 在本地點，坐標導數（coordinate derivatives） $\partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$ 確定切線空間的完整基礎。

### 餘切叢

向量空間的對偶空間（dual space）是矢量空間上的實值線性函數集合。餘切空間處的一點是該點的切線空間的對偶位置，而餘切叢（cotangent bundle）是所有餘切空間的集合。

## 流形結構

### 黎曼流形

黎曼流形是一個可微分的流形，切空間以微分的方式產生內積。內積結構可以稱為黎曼度量（metric）。該度量可以用於互變向量和輔助向量，並定義 rank 4 黎曼曲率張量。黎曼流形有長度、體積和角度的概念。任何可微流形都可以被稱為黎曼結構。

### 扭對稱流形

一個共同的流形是具有封閉性的，非退化的 symmetric 2-tensor 形式的流形。這種情況迫使相似的流形是均勻的。在漢密爾頓力學中作為相位空間出現的反切叢（Cotangent bundles）是激勵的例子，但是許多緊湊型流形也具有扭對稱（symplectic）結構。

## 參見

* 仿射聯絡
* 圖冊 (拓撲學)
* 克里斯托費爾符號
* 微分幾何

## 參考文獻