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截角三角形二面體

**三面形**（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron 或 3-hosohedron）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形，為球面三面體的一種，由 3 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，在施萊夫利符號中利用 {2,3} 來表示，其對偶多面體是三角形二面體。

## 性質

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由 3 個二角形組成，每個頂點都是 3 個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是 3 個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。

三面形具有 D3h, [2,3], (\*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為 12，在考克斯特符號中用表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體。

## 皮特里三面形

三面形的皮特里多邊形是一種具有 6 條邊和 6 個頂點的退化扭歪多邊形，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰 3 次，因此在施萊夫利符號中可以用 {6,3}(1,1) 來表示。

三面形的皮特里對偶共由 1 個面、3 條邊和 2 個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為 {6,3}1,0。

## 對偶多面體

三面形的對偶多面體為**三角形二面體**（Triangular dihedron 或 Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle），是一種多邊形二面體，由 2 個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以 {3,2} 表示，代表由 2 個施萊夫利符號表示為 {3} 的正三角形組成。

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由 2 個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用 3 個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形。

## 截半三面形

**截半三面形**是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由 2 個三角形截面和 3 個二角形原始面組成。2 個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而 3 個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式，因此又稱為**三角香腸面形**（3-lucanicohedron）。

截半三面形共由 5 個面、6 條邊和 3 個頂點組成，在其 5 個面中有 2 個三角形面和 3 個二角形面，其 3 個頂點皆為 2 個二角形和 2 個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。

### 截角三角形二面體

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有 3 個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3 個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形 - 六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

## 相關多面體

三面形是三角形二面體的對偶多面體，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

## 參見

* 多面形
* 三面體
* 三角形

## 註釋

## 參考文獻
截角三面體

在幾何學中，**三角柱**是一種柱體，底面為三角形。正三角柱是半正多面體、均勻多面體的一種。

三角柱是一種五面體，且有一組平行面，即兩個面互相平行，而其他三個表面的法線在同一平面上（不一定是平行的面）。
這三個面可以是平行四邊形。所有平行於底面的橫截面都是相同的三角形。

由於三角柱也可以視為三面體截去 2 個頂點，故又稱**截角三面體**，另外，因為正三角柱具有對稱性，且由 2 種正多邊形組成，因此有人稱正三角柱為**半正五面體**。

一般三角柱有 5 個面、9 個邊和 6 個頂點。

## 相關多面體與鑲嵌

三角柱可以由三角形二面體的對偶三面形透過截角變換構造而來，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

## 參見

* 半正多面體
截角二十面體半形

在抽象幾何學中，**二十面體半形**是一種抽象正多面體，由一半數量的正二十面體面構成。二十面體半形可被視為是一種射影多面體，可視為由十個三角形構成的實射影平面鑲嵌。

## 性質

**二十面體半形**是一種抽象正多面體，共由 10 個面、15 條邊和 6 個頂點組成；其中所有 10 個面都是正三角形、每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用 {3,5}5 或 {3,5}/2 來表示，其中 {3,5} 代表且每個頂點都是 5 個正三角形的公共頂點，然而 {3,5} 代表正常的正二十面體，因此用 {3,5}5 符號來表示二十面體半形。二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形。

二十面體半形的對偶多面體為十二面體半形。

二十面體半形的對稱群為 A5 考克斯特群。所有多面體中僅有 2 種多面體具備 A5 考克斯特群對稱性，另外一個與 A5 考克斯特群對應的半形體為大十二面體半形。

### 具象化

二十面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。其中一種方式是使用其對應的正則地區圖來具象化。二十面體半形對應的正則地區圖可被具象為一個五維空間扭歪正多面體，該多面體所有 6 個頂點和 15 條邊皆位於五維正六胞體上，而原有五維正六胞體有 20 個三角形面，而對應的二十面體半形之扭歪多面體具象化則僅交錯地取其中 10 個面，並且相鄰的 2 個面位於相同三維平坦空間中，但整體立體不位於相同三維空間中，因此是一個扭歪多面體。在這個具象化中，其三角形 - 三角形二面角為 3 的反正割值（ $\sec ^{-1}{3}\approx 1.2309594$ 弧度，約 70.5287795 度），與一般正二十面體的三角形 - 三角形二面角（ $\pi -\sin ^{-1}{\frac {2}{3}}\approx 2.411865$ 弧度，約 138.189685 度）不同。 

在拓樸學上，二十面體半形與四面半六面體相關。若將四面半六面體的每一個正方形面替換為 2 個三角形，則所形成的立體若只看面之間的相鄰關係，會與二十面體半形無異，即每個頂點都是 5 個三角形的公共頂點，且由 10 個面（4 個正三角形與 6 個直角三角形）、15 條邊（12 條四面半六面體的邊與 3 條正方形面替換為 2 個三角形時形成的邊）和 6 個頂點組成。

## 完全圖 K6

二十面體半形和五維正六胞體有著相同的邊以及頂點，但只有其一半數量的面。而五維正六胞體對應的骨架圖為 $K_{6}$ 完全圖，即有著六個頂點的完全圖，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 $K_{6}$ 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。

## 相關多面體

### 相關半形體

正二十面體可以經過一系列的多面體變換轉變為半正多面體，部分半正多面體也存在對應的半形體，例如截角二十面體半形、截半二十面體半形等。

#### 截角二十面體半形

截角二十面體半形是截角二十面體的半形體，又稱為足球半形（Hemi-Soccer Ball）。其出現在四維正五十七胞體的一種具象化的第二層結構中，由 16 個面、45 條邊和 30 個頂點組成。其可透過將截角二十面體的每個頂點與對應的對蹠點合併構成。

　
:

#### 截半二十面體半形

截半二十面體半形是截半二十面體的半形體。其也可以透過將二十面體半形或十二面體半形進行截半變換構成。

### 相關皮特里對偶

部分皮特里對偶與正二十面體或其半形體相關，例如二十面體半形的皮特里對偶或正二十面體的皮特里對偶。

#### 二十面體半形的皮特里對偶

二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形，其對應的皮特里對偶為每個頂點由 5 個五邊形（二十面體半形的皮特里多邊形）組成的抽象多面體，其在施萊夫利符號中可以用 {5,5}3 表示。這個抽象多面體是一個自身對偶多面體，並且可以被小星形十二面體、大十二面體或其他等價於虧格為 5 的 {5,5} 幾何結構（的表面）二重覆蓋。這個幾何體對應的骨架圖與二十面體半形相同，皆為 K6 完全圖。

#### 皮特里二十面體

皮特里二十面體是正二十面體的皮特里對偶，可以透過將原有正二十面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里二十面體為由正二十面體的皮特里多邊形構成的立體。由於正二十面體的皮特里多邊形為扭歪十邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。

皮特里二十面體是一個不可定向且虧格為 14 的幾何結構。皮特里二十面體共有 6 個面、30 條邊和 12 個頂點。其中面由 6 個扭歪十邊形面組成，每個頂點都是 5 個扭歪十邊形的公共頂點。

皮特里二十面體與正二十面體互為皮特里對偶，也就是說，皮特里二十面體的皮特里對偶為正二十面體，換句話說，即皮特里二十面體的皮特里多邊形為三角形。

#### 皮特里大十二面體與皮特里小星形十二面體

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，由大十二面體的皮特里多邊形組成。由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由 10 個面、30 條邊和 12 個頂點組成。

其對應的骨架為正二十面體。

## 參見

* 四維正十一胞體 - 一個由十一個二十面體半形構成的抽象多胞體。
* 十二面體半形
* 立方體半形
* 八面體半形

## 參考文獻

## 外部連結

* 二十面體半形（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角二階超無限邊形鑲嵌

在幾何學中，**二階超無限邊形鑲嵌**又稱為**二階偽多邊形鑲嵌**（英語：order-2 pseudogonal tiling）是一種雙曲鑲嵌，由二個超無限邊形組成，可以視為二階無限邊形鑲嵌在羅氏幾何中的一個類比。其具有偽多邊形群（pseudogonal group）的對稱性，其考克斯特群為 [iπ/λ,2]，在施萊夫利符號會用 {∞, 2} 表示，但有時會被記為 {iπ/λ,2} 以區別二階無限邊形鑲嵌。

## 相關鑲嵌

## 參見

* 二階無限邊形鑲嵌

## 參考文獻
截角五方偏方面體

**正十二面體**是由 12 個正五邊形所組成的正多面體，它共有 20 個頂點、30 條棱、160 條對角線，被施萊夫利符號 {5,3} 所表示，與正二十面體互成對偶。它是一種只具有正四面體對稱性的五角十二面體的特殊形式，五角十二面體的另一種特殊形式是具有正八面體對稱性的卡塔蘭多面體菱形十二面體，它（加上所有其它的五角十二面體）都與正十二面體在拓撲上等價。正十二面體還是截頂五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。

## 性質

面的圖形：正五邊形 
面的數目：12 
邊的數目：30 
頂點數目：20 
二面角角度： ${\boldsymbol {\theta }}=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)=2\arctan \varphi \approx 116.5650512^{\circ }$ 
如果正十二面體棱長為 a： 
表面積： $A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645728807a^{2}$ 
體積： $V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.6631189606a^{3}$ 
外接球半徑： $r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401258538\cdot a$ 
內切球半徑： $r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113516364\cdot a$ 
中交球半徑： $r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309016994\cdot a$ 

* 我們亦可以將上述三式寫作：

　
: 外接球半徑： $r_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\varphi $

　
: 內切球半徑： $r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}}$

　
: 中交球半徑： $r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}$ 

　
: （在這裡 _φ_ 是黃金分割數，_φ_ = 1+√5/2）

* 注意到棱長為 a 的正十二面體的外接球同樣外接於棱長為 _φ_a 的立方體，並且其內切球半徑（也即面心距）等於棱長為 _φ_a 的正五邊形的邊心距。

對偶多面體：正二十面體 

### 坐標系

如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角坐標系，那麼其 20 個頂點可被描述為： 

(0,±φ,±1/φ) 

(±1/φ,0,±φ) 

(±φ,±1/φ,0) 

(±1,±1,±1) 
其中 φ = (1+√5)/2，是黃金分割數，也被寫作 τ，約等於 1.618。 
該正十二面體棱長為 2/φ=√5–1。其外接球半徑正好為√3。

### 二維投影和對稱性

正十二面體有兩種特殊的正交投影，分別正對著其一個頂點和一個正五邊形面，對應著 A2 和 H2 考克斯特平面

在透視投影中，如果如果投影中心正在正十二面體外接球正對其一面的一點，則你能得到其施萊格爾圖像，我們亦可以將其視為球面多面體而使用球極投影。這些方法也被用於可視化其四維類比正一百二十胞體，一個由 120 個全等的正十二面體組成的四維凸正多胞體。

## 幾何關聯

* 正十二面體是一個無窮家族 —— 截對角偏方面體的第 3 個成員（截對角五方偏方面體）。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉對稱軸上的兩個相對的頂點截去而成。
* 正十二面體的星形化體構成了 4 個星形正多面體中的 3 個。
* 我們可以在正十二面體的 20 個頂點中選取 5 組這樣的頂點，使任意兩個頂點的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對角線，這樣能構成正十二面體的內接立方體，5 個內接立方體一起構成了 —— 複合多面體 —— 五複合立方體；我們還可以進一步對內接立方體做交錯操作，得到正十二面體的內接正四面體，如果我們只在內接立方體中取一個正四面體，則 5 個正四面體構成了有手征性的複合多面體 —— 五複合四面體；如果取兩個，則 10 個正四面體構成了複合多面體 —— 十複合四面體，這三個複合多面體都是正十二面體的小面化體。
* 正十二面體的完全對稱群是正二十面體對稱群 Ih，考克斯特群 [5,3]，群階 120，還有一個抽象群結構 A5×Z2。

### 與其對偶 —— 正二十面體的關係

* 當正十二面體和正二十面體內接於同一球時，儘管正二十面體有更多的面，但正十二面體占據球的體積（66.49%）要多於正二十面體占據的球的體積（60.54%），這一點與二維不同。
* 棱長相同為 1 的正十二面體的體積（7.663...）是正二十面體體積（2.181...）的三倍半多。

### 相關多面體

正十二面體在拓撲上與一系列三階正鑲嵌（頂點圖為 _n_3）有關：

正十二面體在拓撲上還和其它階的正五邊形正鑲嵌 {5,n}(n≥3) 有關：

正十二面體可以通過不同類型的截取操作來得到一系列不同的半正多面體及其對偶，正二十面體，構成了正二十面體家族：

#### 頂點分布

正十二面體與 4 個星形半正多面體和上述 3 個複合半正多面體有同樣的頂點分布：

#### 星形化體

正十二面體的 3 個星形化體都是星形正多面體（克卜勒 - 普索多面體）：

### 倒角多面體

## 相關數學問題

* 哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題：試求一條路徑，沿正十二面體的棱經過它所有的頂點。

## 應用

* 因為一年有 12 個月，正十二面體正好用來製作月曆。
* Pariacoto virus 的形狀結構是正十二面體。
* 在英國到匈牙利，至到義大利東部等地，找到過百個形狀接近十二面體、以銅或石頭製造的空心物件。它們被稱為 Dodecaeder，用途不明。
* 五魔方（Megaminx）就是正十二面體製作出來的魔方。

化學：

* 硫化鐵結晶體有時會出現接近正十二面體的形狀。
* 最小的富勒烯 C20 結構如正十二面體。
* 正十二面體烷 C20H20 是個人工合成的碳氫化合物

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，正十二面體 （參閱柏拉圖立體） 於 MathWorld（英文）
截角五维正六胞体

**截角五維正六胞體**由 30 個頂點、75 條邊、80 個面、45 個胞（15 個正四面體和 30 個截角四面體）, 和 12 個四維胞（6 個正五胞體和 6 個截角正五胞體）組成。

## 坐標

簡單地說，截角五維正六胞體的頂點坐標為六維空間的 (0,0,0,0,1,2)_或_(0,1,2,2,2,2) 的全排列。

## 圖像

## 參考文獻

* H.S.M. Coxeter:
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D.
* Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera). bendwavy.org.  x3x3o3o3o - tix, o3x3x3o3o - bittix

## 外部連結

* Glossary for hyperspace, George Olshevsky.
* Polytopes of Various Dimensions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Jonathan Bowers
  * Truncated uniform polytera （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (tix), Jonathan Bowers
* Multi-dimensional Glossary （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角五维超正方体

_截角五維超正方體_可以通過在每條棱距離頂點 $1/({\sqrt {2}}+2)$ 處截斷五維超正方體的頂點來得到。每個被截斷的頂點會產生一個新的正五胞體。

## 坐標

一個棱長為 2 的截角五維超正方體的每個頂點的笛卡兒坐標系坐標為:

　
: $\left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)$

## 投影

_截角五維超正方體_是各維度截角超方形中的第四個:

## 參考文獻

* H.S.M. Coxeter:
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D.
* Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera). bendwavy.org.  o3o3o3x4x - tan, o3o3x3x4o - bittin

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hypercube. MathWorld.
* Olshevsky, George, _Measure polytope_ at _Glossary for Hyperspace_.
* Polytopes of Various Dimensions
* Multi-dimensional Glossary （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角五角化六十面體

在幾何學中，**截角五角化六十面體**是一種凸多面體，由 12 個正五邊形和 60 個六邊形組成，那 60 個六邊形是全等的，但不是正六邊形。

**截角五角化六十面體**共有 72 個面、210 個邊和 140 個頂點，是五角化扭棱十二面體的對偶多面體。

截角五角化六十面體就是切去頂點的五角化六十面體，但是只能切去相鄰五個面的頂點。

截角五角化六十面體可以是一種富勒烯的結構，是為 C140。也是病毒衣殼的一種結構。

## 外部連結

* VTML polyhedral generator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Try "dk5sD" (康威多面體表示法)
截角八面體

在幾何學中，**截角八面體**是一種具有十四個面的半正多面體，屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由 6 個正方形和 8 個正六邊形組成，共有 14 個面、36 個邊以及 24 個頂點。因為每個面皆具點對稱性質，因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時，因為它具有正方形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號為 GIV(1,1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體，因此可以獨立填滿整個三維空間，而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌。

截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長，則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成 ${\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 和 ${\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 個單位長。

## 性質

截角八面體僅具有點可遞性質，也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的，都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質，因為截角八面體有兩種面，四邊形和六邊形，邊也不可遞，因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種，截角八面體共有兩種稜，一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。

由於截角八面體僅具有點可遞性質，因此只能算是均勻多面體中的半正多面體，不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的 13 種半正多面體之一，因此截角八面體也是一種阿基米德立體。

### 結構

截角八面體可以從邊長 3a 的正八面體切去六個底邊長為 a 的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長，因此其側面皆為正三角形，底邊長為 a、底面積為 a2，這些四角錐是正四角錐，是第一種詹森多面體，J1。

這些被截下來的正四角錐其高 h 與斜高 s 為：

　
: : $h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a$

　
: $s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體。

　
:

### 座標

邊長為 2 的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為 (0, ±1, ±2) 的所有排列。

### 體積與表面積

截角立方體的體積 $8{\sqrt {2}}a^{3}$ ，表面積 $6+12{\sqrt {3}}a^{2}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $6+12{\sqrt {3}}a^{2}$ ≈ $26.785a^{2}$

　
: 體積 = $8{\sqrt {2}}a^{3}$ ≈ $11.314a^{3}$

## 作法

將正八面體進行截角操作，也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個**截角八面體**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 分割

截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成 8 三角帳塔，剩餘的部分在分割成 6 個正四角錐。

## 排列多面體

截角八面體是一種排列多面體，可以以更「對稱」的形式表示：四維空間中，(1,2,3,4) 所有排列的坐標在三維子空間 $x+y+z+w=10$ 組成截角八面體。（對應的二維形狀是正六邊形：三維空間中，(1,2,3) 所有排列的坐標在二維子空間 $x+y+z=6$ 組成正六邊形。）

## 相關多面體及鑲嵌

### 堆砌

**截角八面體堆砌**

截角八面體可以獨立填滿整個三維空間，而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌。

截角八面體堆砌是三維空間內 28 個半正密鋪之一，由截角八面體獨立堆積而成，雖然他每個胞都全等、每邊皆等長，但其不能稱為正密鋪，因為雖然她只由一種胞，截角八面體組成，但是該胞不是正多面體，因此並非所有「面」皆全等，因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。

**其他堆砌**

### 多胞體

## 參見

* 正八面體
* 立方體

## 參考文獻

* Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, **32** (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
* Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.
* Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 _Archimedean solids_. ISBN 0-521-55432-2.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角八面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Permutohedron. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 截角八面體形狀的扭計骰：Fisher's Truncated Octahedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）、Truncated Octaminx （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角八面體堆砌

在幾何學中，**截角八面體堆砌**又稱為**克爾文結構**是三維空間內 28 個半正密鋪之一，由截角八面體獨立堆積而成，雖然他每個胞都全等、每邊皆等長，但其不能稱為正密鋪，因為雖然它只由一種胞，截角八面體組成，但是該胞不是正多面體，因此並非所有「面」皆全等，因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。截角八面體堆砌曾出現於克爾文的研究中，克爾文指出，這種結構構成的泡沫結構可能是表面積最小的理想泡沫結構，然而 1993 年時物理學家丹尼斯・韋爾和羅伯特・費倫指出存在表面積更小的韋爾 — 費倫結構。

## 性質

在截角八面體堆砌中，每個頂點周圍皆有有四個截角八面體，且全由截角八面體組成，因此其胞可遞。它也存在邊可遞的特性，由於其具有 2 個六邊形和一個正方形，且截角八面體堆砌的每個頂點都是 4 個截角八面體的公共頂點，因此每條邊和頂點也存在點可遞的特性。

截角八面體堆砌可以被視為體心立方晶格的沃羅諾伊圖。開爾文男爵推測截角八面體堆砌若將其面和邊彎曲且保留原來的布局將會變為最佳的肥皂泡沫理想結構。而在 1993 年發現韋爾 — 費倫結構是比截角八面體堆砌更佳的泡沫結構。

　
:

## 命名

康威稱截角八面體堆砌為 **truncated octahedrille**，在他的建築學和反射的細分列表，與其對偶合稱 **oblate tetrahedrille** 又稱為鍥形四面體堆砌。雖然正四面體不能單獨填充整個空間，但截角八面體堆砌的對偶具有相同的鍥形四面體胞與等腰三角形的面。

此外由於截角八面體堆砌的每個頂點都是 4 個截角八面體的公共頂點，因此也可稱為四階截角八面體堆砌。

## 歷史

克耳文 1887 年提出了一個問題：如何將空間劃分為等一系列體積的胞，且每個胞的表面積最小。簡而言之，效率最高的泡沫結構是什麼？這個問題被稱為克耳文問題。

克耳文提出了一種基於截角八面體堆砌的泡沫結構，因此截角八面體堆砌又被稱為克耳文結構。截角八面體堆砌是一種由截角八面體獨立填滿三維空間的幾何結構，是凸均勻堆砌體的一種，其中截角八面體是一個空間填充十四面體，由 6 個正方形面和 8 個正六邊形面組成。為了使其符合泡沫的經驗定律普拉托定律，克耳文結構中的截角八面體之六邊形面有略微彎曲。不過這個被認為是最佳的泡沫結構於 100 年後才發現反例，該反例為韋爾 — 費倫結構，其表面積比克耳文結構還要小 0.3%。2009 年，魯格羅・加布里埃利（Ruggero Gabbrielli）發表了一種使用斯威夫特–奧昂貝格方程式在最小曲面上找到克耳文問題候選解的方法。

## 對稱性與表面塗色

## 相關多面體和鑲嵌

考克斯特群 [4,3,4]、產生 15 個排列均勻的鑲嵌中，9 個具有獨特的的幾何形狀，包括交錯立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

考克斯特群 [4,31,1], , 考克斯特群產生 9 個排列均勻的鑲嵌中，其中 4 個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。

立方體堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特 - 迪肯符號的對稱性：

### 交錯形式

截角八面體堆砌可以交錯，從截角八面體的空隙中創建不規則四面體單元建立正二十面體。有三個相關的結構對應三種考克斯特 — 迪肯符號：、和，且有對稱性 [4,3+,4]、[4,(31,1)+] 和 [3[4]]+。第一個和最後一個的對稱性為 [[4,3+,4]] and [[3[4]]]+ 的一倍。

截角八面體堆砌可以當作在 α-rhombihedral 晶體內的硼原子位置，在二十面體的中心是面心立方晶格的位置。

### 折疊投影

## 參見

* 立方體堆砌

## 參考文獻

## 外部連結

* Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs o4x3x4o - batch - O16. bendwavy.org.
* Uniform Honeycombs in 3-Space: 05-Batch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Space-filling polyhedron. MathWorld.
截角六邊形鑲嵌

在幾何學中，**截角六邊形鑲嵌**是一種平面密鋪，是一種由兩種正多邊形組成的半正鑲嵌圖，由於只有一種頂點，故又稱為均勻半正鑲嵌圖，該半正鑲嵌圖是由正三角形和正十二邊形組成，每一個頂點周圍都有 2 個正十二邊形和一個正三角形。在施萊夫利符號中用 t0,1{6,3} 來表示。

康威稱**截角六邊形鑲嵌**為 **truncated hextille**，因為它可以藉由正六邊形鑲嵌進行截角變換而構造出來。

正如其名稱所暗示的密鋪構造：截角六邊形鑲嵌是一個經過截角變換的六邊形鑲嵌，留下了正十二邊形代替了原本的正六邊形，在原始的位置形成新的正三角形，類似的構造方式有截半六邊形鑲嵌，不過它已經截到了中點。

## 表面塗色

截角六邊形鑲嵌只有一種表面塗色（圍繞頂點為索引命名：122）

　
:

## 相關半正鑲嵌

## 參考文獻
截角六階八邊形鑲嵌

在幾何學中，**截角六階八邊形鑲嵌**是一種雙曲半正鑲嵌。 每個頂點皆由一個正六角形與兩個正十六邊形構成。在施萊夫利符號中用 _t_{8,6}來表示。

## 半正塗色

截角六階八邊形鑲嵌的另一個構造的施萊夫利符號為 t {(8,8,3)}，又被稱為 **截角三階雙八邊形鑲嵌鑲嵌**:

　
:

## 對稱性

該鑲嵌的對偶表示著 [(8,8,3)] (\*883) 對稱性的基本域。3 個子群對稱性可透過去除以及交替 [(8,8,3)] 的鏡射線以構成。 在這些圖像中，基本域由白色和黑色交替著色，鏡射線則存在於色塊之間的邊界上。

通過添加一條將基本域平分的鏡子鏡射線，對稱性可以增倍成 862 對稱性。

## 相關多面體與鑲嵌

## 參見

* 截半六階八邊形鑲嵌
* 六階八邊形鑲嵌
* 八階六邊形鑲嵌
* 正多邊形鑲嵌
* 半正鑲嵌列表

## 參考資料

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
* Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角六階四面體堆砌

在雙曲幾何學中，**截半六階四面體堆砌**是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是三維雙曲空間半正堆砌的一種，由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成。

## 性質

截半六階四面體堆砌由正八面體和正三角形鑲嵌堆砌而成，其中正三角形鑲嵌在此處以無限面體的形式存在，其頂點皆位於極限球（雙曲三維極限圓）上。在這個幾何結構中，每個頂點都是六個正八面體和二個正三角形鑲嵌的公共頂點，換句話說，每個頂點周圍都環繞著六個正八面體和二個正三角形鑲嵌，頂點圖以六角柱表示。

截半六階四面體堆砌可由六階四面體堆砌切去所有頂點構成，正八面體即原本的正四面體胞被切去頂點的結果，在施萊夫利符號中用 t1{3,3,6} 或 r {3,3,6} 來表示其為 {3,3,6}（六階四面體堆砌）經過截半的結果。

其考克斯特群為 ${\bar {V}}_{3}$ , [6,3,3]，也可以為 ${\bar {P}}_{3}$ , [3,3[3]]。

## 圖像

　
:

龐加萊模型的透視投影。

## 其他種類的截角

截半六階四面體堆砌是截去六階四面體堆砌的頂點建構出的幾何結構，然而，根據截去頂點的深度不同，可決定其幾何結構的性質。

### 截角六階四面體堆砌

在幾何學中，**截角六階四面體堆砌**表示經過截角變換的六階四面體堆砌，是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，是三維雙曲空間半正堆砌的一種，由截角四面體和正三角形鑲嵌堆砌而成，頂點圖以六角錐表示

### 小斜方截半六階四面體堆砌

**小斜方截半六階四面體堆砌**是另一種切割六階四面體堆砌的結果，就是將六階四面體堆砌的所有邊切去而得到，是一種完全填滿仿緊雙曲空間的幾何結構，也是三維雙曲空間半正堆砌的一種。

#### 性質

小斜方截半六階四面體堆砌由三種不同的胞所組成，分別是截半立方體、截半六邊形鑲嵌和六角柱。其頂點圖為正四面體。其在考克斯特

## 相關多胞體與堆砌

## 參見

* 正圖形列表

## 參考文獻
截角六面體

在幾何學中，**截角立方體**是一種十四面體，由八個正三角形與六個正八邊形組成，具有 14 個面、24 個頂點以及 36 條邊。是一種阿基米德立體，屬於半正多面體。其對偶多面體為三角化八面體。

## 性質

截角立方體是一種適當截角的立方體。截角時確定了截面的邊與沒截到的長度等長，因此會形成正八邊形。過度截角到最後會變成截半立方體。

截角立方體的對偶多面體是三角化八面體，若截角立方體的邊長是 2，則其對偶的邊常會變成 $\scriptstyle {2+{\sqrt {2}}}$ 單位長。

### 座標

一個邊長為 2ξ、幾何中心位於原點的截角立方體，其頂點座標為：

　
: : (±ξ, ±1, ±1),

　
: (±1, ±ξ, ±1),

　
: (±1, ±1, ±ξ)

　
: 其中 ξ = $\scriptstyle {{\sqrt {2}}-1}$ 。

參數 ξ 的值可以在 ±1 之間變化。值為 1 時產生一個立方體、值為 0 時是截半立方體，負值會變成自我相交的八角星面。

　
:

### 體積與表面積

截角立方體的表面積為 $2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}$ ，體積為 ${\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $A=2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 32.4346644a^{2}$

　
: 體積 = $V={\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}\approx 13.5996633a^{3}$

## 作法

將立方體進行截角操作，也就是將立方體的八個頂點切去並在被切掉的地方建立八個正三角形面即可得到一個**截角立方體**。

## 正交投影

截角立方體具有五個特殊正交投影，可分為三大類：以頂點為中心、以邊際為中心（稜）、以及以面為中心。以頂點為中心僅有一種，以邊際（稜）為中心有兩種：以三角形 - 八邊形邊為中心和以八邊形 - 八邊形邊為中心；以面為中心也是兩種：以三角形面為中心以及以八邊形面為中心。最後兩個對應 B2 和 A2 考克斯特平面。

## 球面鑲嵌

## 分解

截角立方體可以分割成一個中央立方體、周圍六個四角帳塔跟角落八個正四面體。這種結構也可以在大斜方截半立方體堆砌中發現，其具有立方體、正四面體以及小斜方截半立方體的胞。

這種分解方式去除兩個四角帳塔和中間的立方體可以用來構造斯圖爾特環形所有正的面，這種「被挖空的」立方體有 16 個三角形，正方形 12，和 4 個八邊形。

　
:

## 頂點排佈

共有三種多面體與截角立方體有著相同的頂點排佈。他們分別為：

## 相關多面體及鑲嵌

截角立方體是立方體經過截角變換後的結果，與立方體相關的多面體還有：

### 變異對稱

此多面體的拓撲結構屬於考克斯特對稱群 [n,3] 構成的一系列頂點配置為 (3.2n.2n) 和 n.8.8 的均勻截角多面體和鑲嵌家族的一部分。

截角立方體的面組成方式是一個正八邊形與正三角形交錯組成。同樣由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括：

如上所述，截角立方體的面組成方式是一個正八邊形與正三角形交錯組成。另外一種就是視為正八邊形與其他正多邊形交錯組成。具有此性質的多面體或鑲嵌圖包括：

### 交錯截角

截角立方體是將立方體每一個頂點切去，而立方體具有偶數個頂點（8 個），且每個面的角數量也是偶數個（正方形有四個角）因此可以進行交錯截角。交錯截角立方體是一個倒角四面體。

　
:

### 多胞體

截角立方體是截角超方形家族中的第二個成員，相關的多胞體包括：

## 參見

* 立方體
* 截半立方體
* 廣義截角立方體

## 參考文獻

* Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
* Cromwell, P. _Polyhedra_, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 _Archimedean solids_

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
  * 埃里克・韋斯坦因. Truncated cubical graph. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4x - tic. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated cube with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
  * VRML model （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * Conway Notation for Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Try: "tC"
截角十二面体

在幾何學中，**截角十二面體**是一種由正十邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，具有每個頂角相等的性質，因此截角十二面體是一種半正多面體。

## 性質

截角十二面體共有 32 個面、90 條邊和 60 個頂點，每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 3.10.10 來表示，也可以簡寫為 3.102。

### 構造

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面，並在原本的頂點處形成正三角形。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截角十二面體體積 V 和表面積 A 分別為：

　
: $A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}$

　
: $V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}$

### 頂點坐標

邊長為 2φ − 2 且幾何中心位於原點的截角十二面體其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)$ 、

　
: $\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)$ 、

　
: (±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中 φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，為黃金比例.

## 球面鑲嵌和施萊格爾圖

截角十二面體對應的結構也可以構建成球面鑲嵌，並以球極平面投影的方式呈現。

## 頂點佈局

有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點佈局，換句話說，及他們與截角十二面體共用頂點、或者可以具有相同的頂點坐標。這些多面體有：

## 相關多面體及密鋪

截角二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

 
截角二十面體可以獨立填滿雙曲仿緊三維空間，這種由幾何結構稱為截角十二面體堆砌。

　
:

## 參見

* 正十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角十二面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5x - tid. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated dodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截角十二面體

在幾何學中，**截角十二面體**是一種由正十邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，具有每個頂角相等的性質，因此截角十二面體是一種半正多面體。

## 性質

截角十二面體共有 32 個面、90 條邊和 60 個頂點，每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 3.10.10 來表示，也可以簡寫為 3.102。

### 構造

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面，並在原本的頂點處形成正三角形。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截角十二面體體積 V 和表面積 A 分別為：

　
: $A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}$

　
: $V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}$

### 頂點坐標

邊長為 2φ − 2 且幾何中心位於原點的截角十二面體其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)$ 、

　
: $\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)$ 、

　
: (±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中 φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，為黃金比例.

## 球面鑲嵌和施萊格爾圖

截角十二面體對應的結構也可以構建成球面鑲嵌，並以球極平面投影的方式呈現。

## 頂點佈局

有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點佈局，換句話說，及他們與截角十二面體共用頂點、或者可以具有相同的頂點坐標。這些多面體有：

## 相關多面體及密鋪

截角二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

 
截角二十面體可以獨立填滿雙曲仿緊三維空間，這種由幾何結構稱為截角十二面體堆砌。

　
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## 參見

* 正十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角十二面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5x - tid. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated dodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截角半正三十二面體

**截半截角二十面體**（rectified truncated icosahedron）是一種凸多面體，屬於環帶多面體，其對偶多面體為菱形九十面體。有 92 個面，其中有 12 個正五邊形、20 個等邊六邊形和 60 個等腰三角形組成。在截半截角二十面體 92 個面中，只有 12 個正多邊形。

截半截角二十面體是套用截半變換的截角二十面體，也就是由截角二十面體截去所有頂點並截到各邊的中點所構成，雖然它看似半正多面體，但並不是，因為它只有五邊形是正多邊形，三角形和六邊形皆非正多邊形，由於該多面體由正多邊形與非常接近正多邊形的對稱等邊多邊形組成，因此，此多面體又可以被歸類為擬詹森多面體。

## 性質

截半截角二十面體有三種形式，一種是直接截半切去所有頂角至稜的中點所構成的由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的形式；另一種是在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的形式；還有一種是所有邊都等長的等邊形式。每種形式皆由 92 個面、180 條邊和 90 個頂點組成，且 92 個面中皆有 12 個等邊五邊形、20 個等邊六邊形和 60 個等腰三角形，其中等邊五邊形、等邊六邊形在各形式中可能成為正多邊形。每種形式的邊長比、半徑和體積皆不相同，但外觀和展開圖都十分相似。

各形式的頂點都可以分為兩種，一種是 2 個三角形和 2 個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、六邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用 3.6.3.6 來表示；另一種是 2 個三角形和 1 個五邊形和 1 個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、五邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用 3.5.3.6 來表示。

### 面的組成

在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，等邊六邊形有兩組角，分別為 $\arccos {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {39}}}{8}}\approx 124.34^{\circ }$ 和 $\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)\approx 115.66^{\circ }$ ；等腰三角形的底角為 $\arccos {\frac {\sqrt {72-6{\sqrt {3}}-6{\sqrt {15}}}}{12}}\approx 58.92^{\circ }$ ，頂角為 $\arccos {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{12}}\approx 62.15^{\circ }$ ，其中 $\arccos $ 為反餘弦函數。

在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，有兩種邊長，正五邊形的邊長較短，對應等腰三角形的底邊、正六邊形的邊長較長，對應等腰三角形的腰。若較短的邊長為單位長，則較長的邊為 ${\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{2}}\approx 1.070466$ 。

### 體積

等邊的截半截角二十面體形式，若其邊長為單位長，則其體積為：

　
: ${\frac {180+33{\sqrt {5}}+5{\sqrt {983+978{\sqrt {5}}}}}{6}}\approx 89.2164$

在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若短邊長為單位長，則其體積為：

　
: $73{\sqrt {5}}-60\approx 103.23296$

在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若其棱切球半徑為 1，則其體積為一個八次方成之根的平方根，約為 4.0095940519753525228。

## 圖像

下圖為截半截角二十面體的旋轉動畫：

　
:

下圖為截半截角二十面體的透視圖：

　
:

下圖為截半截角二十面體的另一種上色方式：

　
:

## 相關多面體

## 參見

* 截半截角四面體
* 截半截角八面體
* 截半截角立方體
* 截半截角十二面體

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Coxeter _Regular Polytopes_, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

## 外部連結

* George Hart's Conway interpreter （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input
截角四面體

在幾何學中，**截角四面體**是一種半正八面體，13 種阿基米德立體之一，共有 8 個面、18 個邊和 12 個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的。

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號計為 GIII(1,1)。

此外，由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成，即先交錯、再截角，因此，截角四面體又稱為**斜截立方體**或**截角交錯立方體**，在考克斯特符號中計為，頂點數為小斜方截半立方體的一半，因此兩個截角四面體可以構成一個凸包為小斜方截半立方體的**截角星形八面體**，此種立體也稱為**二複合截角四面體**。

## 性質

**截角四面體**是半正多面體之一，由 4 個等邊三角形和 4 個正六邊形組成，有 12 個頂點和 18 條棱，可以想像為將正四面體的頂點切去。

### 座標

在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為 ${\sqrt {8}}$ 的四面體截角產生了 12 個頂點，以 (±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的 ± 數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12 個頂點位置如下：

* (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
* (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
* (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
* (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

### 體積與表面積

邊長為 $a$ 的截角四面體，其表面積為 $7{\sqrt {3}}a^{2}$ ，體積為 ${\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}$ 。 
  

　
: $A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}$

　
: $V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.$

### 交角

　
: 三角形與六邊形的交角: $\arccos {\frac {-1}{3}}$ ，約為 109.47122063449069136924599933996°

　
: 六邊形與六邊形的交角: $\arccos {\frac {1}{3}}$ ，約為 70.528779365509308630754000660038°

　
: 兩個六邊形的共線與三角形的交角: $\arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}$ ，約為 125.26438968275465431537700033002°

## 作法

將一個正四面體透過截角變換構造，即將正四面體的四個頂點切去就可以得到一個**截角四面體**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 相關多面體及鑲嵌

### 軌形對稱

### 變異對稱

### 其他多面體

#### 三角化截角四面體

三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果，即將截角四面體的三角形面加入三角錐。

三角化變換是一種克利多面體變換，意指在多面體表面疊上錐體，關於截角四面體的另外一種克利多面體變換則是在六邊形面加入六角錐，所構成的立體為六角化截角四面體。

## 截角四面體圖

在圖論的數學領域中，與截角四面體相關的圖為**截角四面體圖**，其與截角四面體有相同的拓樸結構，是一種阿基米德圖，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的截角四面體相同，具有 12 個頂點和 18 個邊。屬於連結立體圖（英語：connected cubic graph），也是一種連結立體可遞的圖。

## 參見

* 四面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角四面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
  * 埃里克・韋斯坦因. Truncated tetrahedral graph. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x3o - tut. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated tetrahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截角大二十面體

在幾何學中，**截角大二十面體**又稱為**大截角二十面體**是一種由五角星和六邊形構成的星形多面體，具有二十面體群的對稱性，其結構可由大二十面體透過截角變換構造而得，其索引編號在馬德爾的文獻中為 U55、考克斯特的論文為 C71、溫尼爾的《多面體模型》中為 W95。

截角大二十面體的對偶多面體是大星形五角化十二面體。

## 性質

截角大二十面體共由 32 個面、90 條邊和 60 個頂點組成。其 32 個面由 12 個五角星和 20 個正六邊形組成，每個頂點都是 2 個六邊形和 1 個五角星的公共頂點，其頂點圖可以以 6.6.5.2 表示。

截角大二十面體可以視為由大二十面體透過截角變換構造而得，因此在施萊夫利符號中可以用 t {3,5/2} 來表示，其中 t 代表截角變換，{3,5/2} 表示大二十面體。在考克斯特記號中也可以用來表示。在截角的過程中，將大二十面體的 12 個頂點截去，產生 12 個五角星，而原本的三角形面也因此變成了六邊形。

### 頂點座標

幾何中心位於原點的邊長為 1 單位長截角大二十面體其頂點座標為：

　
: (±1, 0, ±3/τ)

　
: (±2, ±1/τ, ±1/τ3)

　
: (±(1+1/τ2), ±1, ±2/τ)

其中，τ 為黃金比例。截角大二十面體所有頂點皆位於一個球面上。

### 二面角

截角大二十面體有兩種二面角，分別為六邊形 - 六邊形二面角和六邊形 - 五角星二面角。

其中，六邊形 - 六邊形二面角為五平方根三分之一的反餘弦值：

　
: $\cos ^{-1}{({\frac {\sqrt {5}}{3}})}\approx 0.72973\approx 41.81031^{\circ }$

## 相關多面體

### 對偶複合體

截角大二十面體與其對偶的複合體為**複合截角大二十面體大星形五角化十二面體**。其共有 92 個面、180 條邊和 92 個頂點，其尤拉示性數為 4，虧格為 - 1，有 12 個非凸面。

## 參見

* 大二十面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截角大二十面體. MathWorld.
截角大十二面體

在幾何學中，**截角大十二面體**是一種具有二十面體對稱非凸均勻多面體，由 24 個面組成，其結構可以視為切去大十二面體的 12 個頂點而得，其具有 12 對互相平行面，因此也可以視為一種平行多面體，其對偶多面體為小星形五角化十二面體。

## 分類

1993 年，茲維・喀拉・埃爾發表的論文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，將截角大十二面體編號為 K42，表示其為一個二十面體對稱的多面體，同一年，馬德爾參考茲維・喀拉・埃爾的分類方式，將截角大十二面體給予索引編號 U37。其也被考克斯特的論文收錄，並給予編號 C47。溫尼爾也在他的書《多面體模型》中將之給予編號 W75。

## 性質

截角大十二面體由 24 個面、90 條邊和 60 個頂點組成，是一種二十四面體。每個頂點都是 2 個十邊形和 1 個五角星的公共頂點。

### 面的組成

截角大十二面體由 24 個面組成，在其二十四個面中，有 12 個五角星面和 12 個十邊形面，其中有 12 個面是非凸面。

### 二面角

截角大十二面體有兩種二面角，包括了十邊形 - 十邊形二面角和十邊形 - 五角星二面角。其中十邊形 - 十邊形二面角為五平方根倒數的反餘弦值；十邊形 - 五角星二面角為負的五平方根倒數之反餘弦值。

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }$

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }$

其中 ${\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}$ 為十邊形和五角星的施萊夫利符號。

### 頂點座標

邊長長度為 1 單位且幾何中心位於原點的截角大十二面體，其頂點座標為

　
: $(\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)$ 、

　
: $(0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})$ 。

## 相關多面體

截角大十二面體的頂點布局與多種多面體相同。其中三種為均勻多面體相同，分別為非凸大斜方截半二十面體、大十二面截半二十面體和大斜方十二面體；還有 2 種複合多面體，分別是六複合五角柱和二十複合五角柱。

這個多面體是大十二面體經過截角變換後的結果，大十二面體在不同的截角深度也得到有不同的結果，例如節到中點後得到截半大十二面體，過截角後得到的立體則與對偶多面體的截角等價，為截角小星形十二面體。這種多面體外觀與正二十面體幾乎一樣，但其有 24 個面，12 個面是來自截角後的頂點以及 12 個截角的五角星與之重合。

### 對偶複合體

小星形五角化十二面體與其對偶的複合體為**複合截角大十二面體小星形五角化十二面體** 。其共有 84 個面、180 條邊和 84 個頂點，其尤拉示性數為 - 12，虧格為 7，有 12 個非凸面。

## 參見

* 大十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截角大十二面體. MathWorld.
截角大星形十二面體

在幾何學中，**截角大星形十二面體**又稱**小複雜截半二十面體**（small complex icosidodecahedron）是一種退化的星形均勻多面體，由於其可以視為截角的大星形十二面體或過截角的大二十面體，其截角產生的稜兩兩互相重合，外觀與正二十面體無異，但其有 12 個五邊形面隱沒在立體內部，通常需要藉由讓三角形面變透明才能看出整個立體的構造。

## 性質

小複雜截半二十面體由 12 個五邊形和 20 個正三角形組成，其共有 32 個面、60 條邊和 12 個頂點，若不計重合的邊，則會導致立體中的每條稜都是四個面的公共稜。這種立體是均勻多面體的一種退化形式，在考克斯特的書中，這種形式被以威佐夫記號 5 | 3/2 5。

### 作為複合多面體

小複雜截半二十面體可以視為正二十面體和大十二面體的複合多面體，由於正二十面體和大十二面體其頂點和邊可以互相共用
，其組成成的複合體也稱為**小複雜截半二十面體**

### 作為截角多面體

均勻截角即為一般用於產生半正多面體（如阿基米德立體）所用的截角變換，其結果在考克斯特記號中可以用表示
，而套用了這種截角變換後會使得大星形十二面體轉變成外觀與一般正二十面體相同的立體，因此在繪製大星形十二面體十通長要是表面的正三角形透明化才能觀察立體的整體。

　
:

## 相關多面體

與小複雜截半二十面體可以視為截角的大星形十二面體，與之類似的退化星形均勻多面體為另一個由星形正多面體截角的結果，其為截角小星形十二面體。

小複雜截半二十面體由 12 個五邊形和 20 個正三角形組成，另一種也是由 12 個五邊形和 20 個正三角形組成立體為截半二十面體。

## 參見

* 大星形十二面體
* 正二十面體
* 大十二面體

## 註釋

## 參考文獻
截角小星形十二面體

在幾何學中，**截角小星形十二面體**是指截去所有頂點的小星形十二面體。然而，若對小星形十二面體套用一般用於產生半正多面體（如阿基米德立體）所用的截角變換，則會導致產生的結果外觀與正十二面體無異，但實際上可以視為一種退化的均勻多面體。部分的 RNA 病毒是這種結構。

　
:

## 均勻截角小星形十二面體

均勻截角即為一般用於產生半正多面體（如阿基米德立體）所用的截角變換，其結果在考克斯特記號中可以用表示
，而套用了這種截角變換後會使得小星形十二面體轉變成外觀與一般正十二面體相同的立體，然而這種立體並非十二面體，而是一種退化的二十四面體，其由 24 個面、90 條邊和 60 個頂點組成，其中 24 個面為 12 個正五邊形和 12 個繞兩圈的正五邊形組成，整體可以視為是每個頂點都是 2 個十邊形和 1 個五邊形之公共頂點的抽象等角二十四面體的具像化。

## 過截角小星形十二面體

過截角是指截角截得比截半更深的截角變換，其可以視為對於對偶多面體進行均勻截角。過截角小星形十二面體的結果為截角大十二面體，頂點、邊和面數皆與截角小星形十二面體相同，皆為 24 個面、90 條邊和 60 個頂點組成，但組成面不同。過截角小星形十二面體的組成面為 12 個五角星面和 12 個十邊形面，且頂點都是 2 個十邊形和 1 個五角星的公共頂點，這種頂點可以對應到均勻截角小星形十二面體中，作為抽象等角二十四面體中的 2 個十邊形和 1 個五邊形之公共頂點。

## 其他截角小星形十二面體

另外有一種抽象多面體（x5/2β5o）其可以視為截角小星形十二面體的刻面多面體的一種形式，這種多面體的每個頂點都是 1 個五角星、2 個四邊形、和 2 個星形十邊形的公共頂點，頂點圖可以記為 [5/2,4,10/4,10/4,4] ；其刻面的原像與三個正十二面體的複合立體非常相似，其每個頂點都是 3 組的 1 個五邊形和 2 個星形十邊形的公共頂點，頂點圖可以記為 3 [5,10/2,10/2]。另一種相關的多面體則是一種特殊截角的小星形十二面體，其可以視為星形截半二十面體的一種，即截半二十面體的星形化體。

## 相關多面體

截角小星形十二面體是均勻多面體的一種退化形式，在考克斯特的書中，這種形式被以威佐夫記號 2 _p_ | p/2，並且說明 _p_ 可以為 3、5 和 5/2

### 五角化大十二面體

均勻截角小星形十二面體對應的對偶多面體是一個外觀與正二十面體無異的立體。然而截角多面體的對偶多面體，根據康威多面體表示法可以替換為原像的克利多面體，因此對應的立體為五角化的大十二面體，根據對偶多面體的頂點數與面數關係，，可得知均勻截角小星形十二面體對應的對偶多面體具有 60 個面、90 條邊和 24 個頂點，其中 60 個面與正二十面體排不相同，且每 3 個面為一組互相重合。

## 參見

* 小星形十二面體
* 正十二面體

## 註釋

## 參考文獻
截角截半大十二面體

在幾何學中，**截角截半大十二面體**又稱為**星形截角截半大十二面體**是一種由 30 個正方形、12 個十角星和 12 個正十邊形組成的星形均勻多面體。

## 命名

截角截半大十二面體（truncated dodecadodecahedron）一名稱是由考克斯特、朗格・希金斯與米勒的論文《均勻多面體》中給出，然而這個名稱有歧義。截角截半大十二面體（truncated dodecadodecahedron）是指通過截角變換（truncated）的截半大十二面體（dodecadodecahedron），然而若直接將截半大十二面體套用截角變換並無法形成如施萊夫利符號計為 t0,1,2{5/3,5} 之立體中的那種十角星，僅能形成截角的五角星。

而施萊夫利符號計為 t0,1,2{5/3,5} 之立體雖被考克斯特稱為截角截半大十二面體（truncated dodecadodecahedron），而根據其論文的描述，其所套用之截角變換應為星形截角。而溫尼爾將其稱為**擬截角截半大十二面體**（truncated dodecadodecahedron）。考克斯特學者等人將截角截半大十二面體的發現歸功於奧地利數學家約翰・皮奇於 1881 年發表的一篇論文上。

## 性質

截角截半大十二面體由 30 個正方形、12 個十角星和 12 個正十邊形組成，每個頂點都是 1 個十邊形、1 個十角星和 1 個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用 (10,10/3,4) 表示。

### 分類

由於截角截半大十二面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此截角截半大十二面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、**截角截半大十二面體**和大截角截半二十面體。這些立體由阿爾伯特・巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰・皮奇（Johann Pitsch）於 1881 年發現並描述。

### 面的組成

截角截半大十二面體是一個五十四面體，在其 54 個面中，有 30 個面是正方形面、有 12 個面是十角星面以及 12 個面是正十邊形面。其中，十角星為施萊夫利符號計為 {10/3} 的十角星，其中所述第二數字為繪製十角星時頂點間隔數。在這種十角星中邊相交的比例為：

　
:

### 尺寸

由於星形多面體有面自我相交的情形，因此其內部區域不易定義，因此體積亦不易定義，但要了解這種形狀的尺寸也可以透過其邊長與外接球半徑來了解。若截角截半大十二面體的邊長為單位長，則該截角截半大十二面體的外接球半徑 R 為：：

　
: $R={\frac {\sqrt {11}}{2}}$

### 二面角

截角截半大十二面體有三種二面角，一個是正方形與十角星的交稜，其角度約為 148.28 度、一個是正方形與十邊形的交稜，其角度約為 58.28 度以及十角星與十邊形的交稜，其角度約為 63.43 度。

正方形 {4} 與十角星 {10/3} 的交稜角度為

　
: $\cos ^{-1}-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\approx 148.282526^{\circ }$

正方形 {4} 與十邊形 {10} 的交稜角度為

　
: $\cos ^{-1}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\approx 58.282526^{\circ }$

十邊形 {10} 與十角星 {10/3} 的交稜角度為

　
: $\cos ^{-1}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 63.434949^{\circ }$

## 作為凱萊圖

截角截半大十二面體可以生成由交換前兩個元素的五成員之多元組、在末四元素套用循環位移運算，2 種群成員生成的在 5 個元素上對稱之對稱群的凱萊圖。也就是說，截角截半大十二面體的 120 個頂點可以一對一地對應到 5 個物體的排列（5!）狀態上。其交換方式為交換前 2 個元素或後四個元素循環交換，其造成的結果為每種排列狀態都只有三種只能透過一次變換（前 2 個元素或後四個元素循環交換）達成的排列狀態，可以理解為每個頂點都只有 3 個相鄰元素，與截角截半大十二面體結構相同。

## 參見

* 大十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截角截半大十二面體. MathWorld.
截角星形八面體

在幾何學中，**截角星形八面體**，又稱為**二複合截角四面體**（英語：Compound of two truncated tetrahedra）或**截角二複合正四面體**，是一種凹多面體，屬於星形多面體，
也是一中半正多面體的均勻複合體，外觀看起來像兩個截角四面體卡在一起，或是截去頂點的星形八面體。從其考克斯特記號可以看出：該複合體表示的兩個對偶中，其中一個位置與截角交錯正方體相關，其在考克斯特記號中以表示。

頂點排佈與凸形雷同，但是是具有 12 個矩形面的不均勻小斜方截半立方體。

## 參見

* 星形八面體

## 參考文獻

* Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, **79** (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440 .
截角正12面體

在幾何學中，**截角十二面體**是一種由正十邊形和正三角形組成的三十二面體，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，具有每個頂角相等的性質，因此截角十二面體是一種半正多面體。

## 性質

截角十二面體共有 32 個面、90 條邊和 60 個頂點，每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 3.10.10 來表示，也可以簡寫為 3.102。

### 構造

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面，並在原本的頂點處形成正三角形。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截角十二面體體積 V 和表面積 A 分別為：

　
: $A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}$

　
: $V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}$

### 頂點坐標

邊長為 2φ − 2 且幾何中心位於原點的截角十二面體其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)$ 、

　
: $\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)$ 、

　
: (±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中 φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，為黃金比例.

## 球面鑲嵌和施萊格爾圖

截角十二面體對應的結構也可以構建成球面鑲嵌，並以球極平面投影的方式呈現。

## 頂點佈局

有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點佈局，換句話說，及他們與截角十二面體共用頂點、或者可以具有相同的頂點坐標。這些多面體有：

## 相關多面體及密鋪

截角二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

 
截角二十面體可以獨立填滿雙曲仿緊三維空間，這種由幾何結構稱為截角十二面體堆砌。

　
:

## 參見

* 正十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角十二面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5x - tid. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated dodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
截角正一百二十胞体

**截角正一百二十胞體**是均勻多胞體之一，由截斷正一百二十胞體的每一個角來創造。

截角正一百二十胞體有 120 個截角十二面體和 600 個正四面體。它有 3120 個面，2400 個三角形和 720 個十邊形。它有 4800 個面：3600 個由三個截角十二面體共享，1200 個由兩個截角十二面體和一個正四面體共享。每條棱周圍有 3 個截角十二面體和一個正四面體。它的頂點圖是一個等邊三角形稜錐。

## 投影

## 參考文獻

* _Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* J.H. Conway and M.J.T. Guy: _Four-Dimensional Archimedean Polytopes_, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
* N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* Four-dimensional Archimedean Polytopes （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） m58 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） m59 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） m53 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Convex uniform polychora based on the hecatonicosachoron (120-cell) and hexacosichoron (600-cell) - Model 36, 39, 41, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora). bendwavy.org.  o3o3x5x - thi, o3x3x5o - xhi, x3x3o5o - tex
* Four-Dimensional Polytope Projection Barn Raisings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (A Zometool construction of the _truncated 120-cell_), George W. Hart
截角正七邊形鑲嵌

在幾何學中， **截角正七邊形鑲嵌**是一種雙曲半正鑲嵌。 每個頂點皆由一個正三角形與兩個正十四邊形構成。在施萊夫利符號中用 _t_{7,3}來表示。

## 對偶鑲嵌

截角正七邊形鑲嵌的對偶為_三角化七階三角形鑲嵌_，其為正七邊形鑲嵌的每一個三角形從中心點分割為三個三角形。

　
:

## 相關多面體與鑲嵌

此雙曲線鑲嵌的拓撲結構與一系列頂點圖為 (3.2n.2n) 且對稱群為 [n,3] 考克斯特群的半正截半多面體或鑲嵌相關。

 
從威佐夫結構中可得到 8 種不同的半正鑲嵌

## 參見

* 截半正七邊形鑲嵌
* 正七邊形鑲嵌
* 七階三角形鑲嵌
* 正多邊形鑲嵌
* 半正鑲嵌列表

## 參考資料

* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
* Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
* Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角正二十四胞体

**截角正二十四胞體**由 48 個三維胞組成: 24 個立方體，和 24 個截角八面體。每個頂點周圍環繞著三個截角八面體和一個立方體。

## 構造

截角正二十四胞體的細胞可以通過在正二十四胞體的棱的三分點處截斷其頂點。截斷的 24 個正八面體變成新的截角八面體，並在原來的頂點處產生了 24 個新的立方體。

## 結合

截角八面體的六邊形面彼此結合在一起，而它們的正方形面則連接到立方體。

## 投影

* *

## 坐標

一個棱長為 2 的截角正二十四胞體的 144 個頂點的笛卡兒坐標系坐標

更簡單的，截角正二十四胞體的頂點是五維空間笛卡兒坐標系的（0,0,0,1,2）或（0,1,2,2,2）的全排列。

## 注釋

## 參考文獻

* H.S.M. Coxeter:
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* Coxeter, _The Beauty of Geometry: Twelve Essays_, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 p.88 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
  * Coxeter, H. S. M. _Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions._ Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. (1966)
* Olshevsky, George, _Pentachoron_ at _Glossary for Hyperspace_.
  * 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 3, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora). bendwavy.org.  x3x3o3o - tip, o3x3x3o - deca
截角正八胞体

**截角超立方體**有 24 個胞：8 個截角立方體，和 16 個正四面體。

## 坐標

截角超立方體可以通過在每條棱距離頂點 $1/({\sqrt {2}}+2)$ 處截斷超立方體的每一個角來得到。每個截斷的角會產生一個正四面體。

一個棱長為 2 的截角超立方體的每個頂點的笛卡兒坐標系坐標為:

　
: $\left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)$

## 投影

## 參考文獻

* T. Gosset: _On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions_, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
* H.S.M. Coxeter:
  * Coxeter, _Regular Polytopes_, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
  * H.S.M. Coxeter, _Regular Polytopes_, 3rd Edition, Dover New York, 1973, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
  * **Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter**, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi Regular Polytopes I_, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes II_, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, _Regular and Semi-Regular Polytopes III_, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, _The Symmetries of Things_ 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
* Norman Johnson _Uniform Polytopes_, Manuscript (1991)
  * N.W. Johnson: _The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs_, Ph.D. (1966)
* 2. Convex uniform polychora based on the tesseract (8-cell) and hexadecachoron (16-cell) - Models 13, 16, 17, George Olshevsky.
* Klitzing, Richard. 4D uniform polytopes (polychora). bendwavy.org.  o3o3o4o - tat, o3x3x4o - tah, x3x3o4o - thex

 

## 外部連結

* Paper model of truncated tesseract （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） created using nets generated by Stella4D software
截角正八面體

在幾何學中，**截角八面體**是一種具有十四個面的半正多面體，屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由 6 個正方形和 8 個正六邊形組成，共有 14 個面、36 個邊以及 24 個頂點。因為每個面皆具點對稱性質，因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時，因為它具有正方形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號為 GIV(1,1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體，因此可以獨立填滿整個三維空間，而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌。

截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長，則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成 ${\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 和 ${\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 個單位長。

## 性質

截角八面體僅具有點可遞性質，也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的，都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質，因為截角八面體有兩種面，四邊形和六邊形，邊也不可遞，因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種，截角八面體共有兩種稜，一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。

由於截角八面體僅具有點可遞性質，因此只能算是均勻多面體中的半正多面體，不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的 13 種半正多面體之一，因此截角八面體也是一種阿基米德立體。

### 結構

截角八面體可以從邊長 3a 的正八面體切去六個底邊長為 a 的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長，因此其側面皆為正三角形，底邊長為 a、底面積為 a2，這些四角錐是正四角錐，是第一種詹森多面體，J1。

這些被截下來的正四角錐其高 h 與斜高 s 為：

　
: : $h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a$

　
: $s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體。

　
:

### 座標

邊長為 2 的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為 (0, ±1, ±2) 的所有排列。

### 體積與表面積

截角立方體的體積 $8{\sqrt {2}}a^{3}$ ，表面積 $6+12{\sqrt {3}}a^{2}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $6+12{\sqrt {3}}a^{2}$ ≈ $26.785a^{2}$

　
: 體積 = $8{\sqrt {2}}a^{3}$ ≈ $11.314a^{3}$

## 作法

將正八面體進行截角操作，也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個**截角八面體**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 分割

截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成 8 三角帳塔，剩餘的部分在分割成 6 個正四角錐。

## 排列多面體

截角八面體是一種排列多面體，可以以更「對稱」的形式表示：四維空間中，(1,2,3,4) 所有排列的坐標在三維子空間 $x+y+z+w=10$ 組成截角八面體。（對應的二維形狀是正六邊形：三維空間中，(1,2,3) 所有排列的坐標在二維子空間 $x+y+z=6$ 組成正六邊形。）

## 相關多面體及鑲嵌

### 堆砌

**截角八面體堆砌**

截角八面體可以獨立填滿整個三維空間，而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌。

截角八面體堆砌是三維空間內 28 個半正密鋪之一，由截角八面體獨立堆積而成，雖然他每個胞都全等、每邊皆等長，但其不能稱為正密鋪，因為雖然她只由一種胞，截角八面體組成，但是該胞不是正多面體，因此並非所有「面」皆全等，因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。

**其他堆砌**

### 多胞體

## 參見

* 正八面體
* 立方體

## 參考文獻

* Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, **32** (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.
* Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.
* Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 _Archimedean solids_. ISBN 0-521-55432-2.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角八面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Permutohedron. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 截角八面體形狀的扭計骰：Fisher's Truncated Octahedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）、Truncated Octaminx （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
截角正六面體

在幾何學中，**截角立方體**是一種十四面體，由八個正三角形與六個正八邊形組成，具有 14 個面、24 個頂點以及 36 條邊。是一種阿基米德立體，屬於半正多面體。其對偶多面體為三角化八面體。

## 性質

截角立方體是一種適當截角的立方體。截角時確定了截面的邊與沒截到的長度等長，因此會形成正八邊形。過度截角到最後會變成截半立方體。

截角立方體的對偶多面體是三角化八面體，若截角立方體的邊長是 2，則其對偶的邊常會變成 $\scriptstyle {2+{\sqrt {2}}}$ 單位長。

### 座標

一個邊長為 2ξ、幾何中心位於原點的截角立方體，其頂點座標為：

　
: : (±ξ, ±1, ±1),

　
: (±1, ±ξ, ±1),

　
: (±1, ±1, ±ξ)

　
: 其中 ξ = $\scriptstyle {{\sqrt {2}}-1}$ 。

參數 ξ 的值可以在 ±1 之間變化。值為 1 時產生一個立方體、值為 0 時是截半立方體，負值會變成自我相交的八角星面。

　
:

### 體積與表面積

截角立方體的表面積為 $2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}$ ，體積為 ${\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}$ ，其中 $a$ 是該截半立方體的邊長。

　
: 表面積 = $A=2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 32.4346644a^{2}$

　
: 體積 = $V={\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}\approx 13.5996633a^{3}$

## 作法

將立方體進行截角操作，也就是將立方體的八個頂點切去並在被切掉的地方建立八個正三角形面即可得到一個**截角立方體**。

## 正交投影

截角立方體具有五個特殊正交投影，可分為三大類：以頂點為中心、以邊際為中心（稜）、以及以面為中心。以頂點為中心僅有一種，以邊際（稜）為中心有兩種：以三角形 - 八邊形邊為中心和以八邊形 - 八邊形邊為中心；以面為中心也是兩種：以三角形面為中心以及以八邊形面為中心。最後兩個對應 B2 和 A2 考克斯特平面。

## 球面鑲嵌

## 分解

截角立方體可以分割成一個中央立方體、周圍六個四角帳塔跟角落八個正四面體。這種結構也可以在大斜方截半立方體堆砌中發現，其具有立方體、正四面體以及小斜方截半立方體的胞。

這種分解方式去除兩個四角帳塔和中間的立方體可以用來構造斯圖爾特環形所有正的面，這種「被挖空的」立方體有 16 個三角形，正方形 12，和 4 個八邊形。

　
:

## 頂點排佈

共有三種多面體與截角立方體有著相同的頂點排佈。他們分別為：

## 相關多面體及鑲嵌

截角立方體是立方體經過截角變換後的結果，與立方體相關的多面體還有：

### 變異對稱

此多面體的拓撲結構屬於考克斯特對稱群 [n,3] 構成的一系列頂點配置為 (3.2n.2n) 和 n.8.8 的均勻截角多面體和鑲嵌家族的一部分。

截角立方體的面組成方式是一個正八邊形與正三角形交錯組成。同樣由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括：

如上所述，截角立方體的面組成方式是一個正八邊形與正三角形交錯組成。另外一種就是視為正八邊形與其他正多邊形交錯組成。具有此性質的多面體或鑲嵌圖包括：

### 交錯截角

截角立方體是將立方體每一個頂點切去，而立方體具有偶數個頂點（8 個），且每個面的角數量也是偶數個（正方形有四個角）因此可以進行交錯截角。交錯截角立方體是一個倒角四面體。

　
:

### 多胞體

截角立方體是截角超方形家族中的第二個成員，相關的多胞體包括：

## 參見

* 立方體
* 截半立方體
* 廣義截角立方體

## 參考文獻

* Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
* Cromwell, P. _Polyhedra_, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 _Archimedean solids_

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角立方體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
  * 埃里克・韋斯坦因. Truncated cubical graph. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4x - tic. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated cube with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
  * VRML model （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * Conway Notation for Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Try: "tC"
截角正四面體

在幾何學中，**截角四面體**是一種半正八面體，13 種阿基米德立體之一，共有 8 個面、18 個邊和 12 個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的。

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號計為 GIII(1,1)。

此外，由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成，即先交錯、再截角，因此，截角四面體又稱為**斜截立方體**或**截角交錯立方體**，在考克斯特符號中計為，頂點數為小斜方截半立方體的一半，因此兩個截角四面體可以構成一個凸包為小斜方截半立方體的**截角星形八面體**，此種立體也稱為**二複合截角四面體**。

## 性質

**截角四面體**是半正多面體之一，由 4 個等邊三角形和 4 個正六邊形組成，有 12 個頂點和 18 條棱，可以想像為將正四面體的頂點切去。

### 座標

在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為 ${\sqrt {8}}$ 的四面體截角產生了 12 個頂點，以 (±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的 ± 數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12 個頂點位置如下：

* (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
* (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
* (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
* (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

### 體積與表面積

邊長為 $a$ 的截角四面體，其表面積為 $7{\sqrt {3}}a^{2}$ ，體積為 ${\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}$ 。 
  

　
: $A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}$

　
: $V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.$

### 交角

　
: 三角形與六邊形的交角: $\arccos {\frac {-1}{3}}$ ，約為 109.47122063449069136924599933996°

　
: 六邊形與六邊形的交角: $\arccos {\frac {1}{3}}$ ，約為 70.528779365509308630754000660038°

　
: 兩個六邊形的共線與三角形的交角: $\arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}$ ，約為 125.26438968275465431537700033002°

## 作法

將一個正四面體透過截角變換構造，即將正四面體的四個頂點切去就可以得到一個**截角四面體**。

## 正交投影

## 球面鑲嵌

## 相關多面體及鑲嵌

### 軌形對稱

### 變異對稱

### 其他多面體

#### 三角化截角四面體

三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果，即將截角四面體的三角形面加入三角錐。

三角化變換是一種克利多面體變換，意指在多面體表面疊上錐體，關於截角四面體的另外一種克利多面體變換則是在六邊形面加入六角錐，所構成的立體為六角化截角四面體。

## 截角四面體圖

在圖論的數學領域中，與截角四面體相關的圖為**截角四面體圖**，其與截角四面體有相同的拓樸結構，是一種阿基米德圖，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的截角四面體相同，具有 12 個頂點和 18 個邊。屬於連結立體圖（英語：connected cubic graph），也是一種連結立體可遞的圖。

## 參見

* 四面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，截角四面體 （參閱阿基米德立體） 於 MathWorld（英文）
  * 埃里克・韋斯坦因. Truncated tetrahedral graph. MathWorld.
* Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x3o - tut. bendwavy.org.
* Editable printable net of a truncated tetrahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra