微分算子

在數學中，**微分算子**（英語：Differential operator）是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數。

## 記號

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括： ${d \over dx}$ 、 $D$ （在不會搞混哪個變量微分時），以及 $D_{x}$ （指明了變量）。

一階導數如上所示，但當取更高階 _n_- 次導數時，下列替代性記號是有用的： $d^{n} \over dx^{n}$ 、 $D^{n}$ 、 $D_{x}^{n}$ 。

記號 _D_ 的發明與使用歸於奧利弗・亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

　
: $\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子，定義為

　
: $\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}$

另一個微分算子是 Θ 算子，定義為

　
: $\Theta =z{d \over dz}$

有時候這也稱為齊次算子，因為它的本徵函數是關於 _z_ 的單項式：

　
: $\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots $

在 _n_ 個變量中齊次算子由

　
: $\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$

給出。與單變量一樣，Θ 的本徵空間是齊次多項式空間。

## 一個算子的伴隨

給定一個線性微分算子 _T_

　
: $Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$ ，

這個算子的伴隨定義為算子 $T^{*}$ 使得

　
: $\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle $

這裡記號 $\langle \cdot ,\cdot \rangle $ 表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

### 單變量中的形式伴隨

在平方可積函數空間中，數量積定義為

　
: $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx$

如果另外增添要求 _f_ 或 _g_ 當 $x\to a$ 與 $x\to b$ 等於零，我們也可定義 _T_ 的伴隨為

　
: $T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]$

此公式不明顯地取決於數量積的定義，故有時作為伴隨算子的一個定義。當 $T^{*}$ 用這個公式定義時，它稱為 _T_ 的**形式伴隨**。

一個（形式）**自伴算子**是與它的（形式）伴隨相等的算子。

### 多變量

如果 Ω 是 **R**n 中一個區域，而 _P_ 是 Ω 上一個微分算子，則 _P_ 在 _L_2(Ω) 中的伴隨由對偶性以類似的方式定義：

　
: $\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

對所有光滑 _L_2 函數 _f_ 與 _g_。因為光滑函數在 _L_2 中是稠密的，這在 _L_2 的一個稠密子集上定義了伴隨：: P\* 是一個稠定算子。

### 例子

施圖姆 - 劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子 _L_ 可以寫成如下形式

　
: $Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!$

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。

　
: ${\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}$

這個算子在施圖姆 - 劉維爾理論（Sturm–Liouville theory）
中的關鍵，其中考慮了這個算子本徵函數（類比於本徵向量）。

## 微分算子的性質

微分是線性的，即

　
: $D(f+g)=(Df)+(Dg)$

　
: $D(af)=a(Df)$

這裡 _f_ 和 _g_ 是函數，而 _a_ 是一個常數。

任何以函數為係數之 _D_ 的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

　
: $(D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))$

複合微分算子。需要一些注意：首先算子 _D_2 中的任何函數係數必須具有 _D_1 所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個算子 _gD_ 一般與 _Dg_ 不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：

　
: $Dx-xD=1$

但這些算子的子環：_D_ 的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變算子組成。

微分算子也服從移位定理（shift theorem）。

## 多變量

同樣的構造可對偏導數也成立，關於不同的變量微分給出可交換的算子。

## 坐標無關描述以及與交換代數的關係

在微分幾何與代數幾何中，通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設 $E$ 與 $F$ 是流形 $M$ 上兩個向量叢。截面的一個 $\mathbb {R} $ - 線性映射 $P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$ 稱為一個**_k_- 階微分算子**，如果它分解穿過節叢 $J^{k}(E)$ 。換句話說，存在一個向量叢的線性映射

　
: $i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F$

使得

　
: $P={\hat {i}}_{P}\circ j^{k}$

這裡 ${\hat {i}}_{P}$ 表示由 $i_{P}$ ，在截面上誘導的映射，而 $j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))$ ，是典範（或通用）_k_- 階微分算子。

這恰好意味著對一個給定的截面 $s$ of $E$ ， $P(s)$ 在一個點 $x\in M$ 的值完全由 $s$ 在 $x$ 的 _k_- 階無窮小行為決定。特別地這蘊含著 $P(s)(x)$ 由 $s$ 在 $x$ 的芽決定，這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理（Peetre theorem）證明了逆命題也是正確的：任何局部算子是微分。

線性微分算子的一個等價的，但純代數的描述如下：
一個 $\mathbb {R} $ - 線性映射 $P$ 是一個 _k_- 階微分算子，如果對任何 (_k_ + 1) 階光滑函數 $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ 我們有

　
: $[f_{k}[f_{k-1}[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0$

這裡括號 $[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$ 定義為交換子

　
: $[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)$

線性算子的這個刻畫說明，它們是一個交換代數上的模之間的一個特殊映射，使這個概念可視為交換代數的一部分。

## 例子

* 在物理科學的應用中，像拉普拉斯算子在建立與求解偏微分方程中起著主要的作用。
* 在微分拓撲中，外導數與李導數算子有內蘊意義。
* 在抽象代數中，導子的概念是微分算子不要求分析的一個推廣。通常這樣的推廣用於代數幾何與交換代數。另見節。

## 注釋

## 參見

* 差分算子
* 德爾塔算子
* 分數微積分