愛因斯坦求和原則

在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，**愛因斯坦求和約定**（Einstein summation convention）是一種標記的約定，又稱為**愛因斯坦標記法**（Einstein notation），在處理關於坐標的方程式式時非常有用。這約定是由阿爾伯特・愛因斯坦於 1916 年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為 1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或 0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，

　
: $y=c_{i}x^{i}\,\!$

的意思是

　
: $y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\,\!$ 。

請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏， $x^{1}\,\!$ 、 $x^{2}\,\!$ 、 $x^{3}\,\!$ 分別表示 $x\,\!$ 坐標、 $y\,\!$ 坐標、 $z\,\!$ 坐標，而不是 $x\,\!$ 、 $x\,\!$ 的平方、 $x\,\!$ 的立方。

## 簡介

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

　
: $y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!$ 。

通常會將這寫為求和公式形式：

　
: $y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!$ 。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

　
: $y=c_{i}x^{i}\,\,\!$

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

## 向量的表示

在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為 1 - 形式）。向量的分量是用上標來標明，例如， $a^{i}\,\!$ 。給予一個 $n\,\!$ 維向量空間 $\mathbb {V} \,\!$ 和其任意基底 $\mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!$ （可能不是標準正交基），那麼，向量 $\mathbf {a} \,\!$ 表示為

　
: $\mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!$ 。

餘向量的分量是用下標來標明，例如， $\alpha _{i}\,\!$ 。給予 $\mathbb {V} \,\!$ 的對偶空間 $\mathbb {V} ^{*}\,\!$ 和其任意基底 ${\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!$ （可能不是標準正交基），那麼，餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 表示為

　
: ${\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!$ 。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從 $\mathbf {e} \,\!$ 改變為 ${\overline {\mathbf {e} }}\,\!$ ，反變向量會變換為

　
: ${\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!$ ；

其中， ${\overline {a}}^{i}\,\!$ 是改變基底後的向量的分量， ${\overline {x}}^{i}\,\!$ 是改變基底後的坐標， $x^{j}\,\!$ 是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從 ${\boldsymbol {\omega }}\,\!$ 改變為 ${\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!$ ，共變向量會會變換為

　
: ${\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!$ 。

## 一般運算

矩陣 $A\,\!$ 的第 $m\,\!$ 橫排，第 $n\,\!$ 豎排的元素，以前標記為 $A_{mn}\,\!$ ；現在改標記為 $A_{n}^{m}\,\!$ 。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

### 內積

給予向量 $\mathbf {a} \,\!$ 和餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ ，其向量和餘向量的內積為純量：

　
: $\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a_{i}\alpha ^{i}\,\!$ 。

### 向量乘以矩陣

給予矩陣 $A\,\!$ 和向量 $\mathbf {a} \,\!$ ，它們的乘積是向量 $\mathbf {b} \,\!$ ：

　
: $b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!$ 。

類似地，矩陣 $A\,\!$ 的轉置矩陣 $B=A^{\mathrm {T} }\,\!$ ，其與餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 的乘積是餘向量 ${\boldsymbol {\beta }}\,\!$ ：

　
: $\beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!$ 。

### 矩陣乘法

矩陣乘法表示為

　
: $C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!$ 。

這公式等價於較冗長的普通標記法：

　
: $C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!$ 。

### 跡

給予一個方塊矩陣 $A_{j}^{i}\,\!$ ，總和所有上標與下標相同的元素 $A_{i}^{i}\,\!$ ，可以得到這矩陣的跡 $t\,\!$ ：

　
: $t=A_{i}^{i}\,\!$ 。

### 外積

M 維向量 $\mathbf {a} \,\!$ 和 N 維餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 的外積是一個 M×N 矩陣 $A\,\!$ ：

　
: $A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式式可以表示為

　
: $A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!$

由於 $i\,\!$ 和 $j\,\!$ 代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為 M 和 N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣 $A\,\!$ 的標號。

## 向量的內積

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量 ${\hat {\mathbf {i} }}\,\!$ 、 ${\hat {\mathbf {j} }}\,\!$ 及 ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ 來描述三維空間的向量。

　
: $\mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ 。

把直角坐標系的基底向量 ${\hat {\mathbf {i} }}\,\!$ 、 ${\hat {\mathbf {j} }}\,\!$ 及 ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ 寫成 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!$ 及 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!$ ，所以一個向量可以寫成：

　
: $\mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!$ 。

根據**愛因斯坦求和約定**，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

　
: $\mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!$ 。

由於基底是標準正交基， $\mathbf {u} \,\!$ 的每一個分量 $u^{i}=u_{i}\,\!$ ，所以，

　
: $\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!$ 。

兩個向量 $\mathbf {u} \,\!$ 與 $\mathbf {v} \,\!$ 的內積是

　
: $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!$ 。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

　
: ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!$ ；

其中， $\ \delta _{ij}\,\!$ 就是克羅內克函數。當 $i=j\,\!$ 時，則 $\delta _{ij}=1\,\!$ ，否則 $\delta _{ij}=0\,\!$ 。

邏輯上，在方程式式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數 $\ \delta _{ij}\,\!$ ，就可以把方程式式中的標號 $i\,\!$ 轉為 $j\,\!$ 或者把標號 $j\,\!$ 轉為 $i\,\!$ 。所以，

　
: $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!$ 。

## 向量的叉積

採用同樣的標準正交基 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!$ 及 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!$ ，兩個向量 $\mathbf {u} \,\!$ 與 $\mathbf {v} \,\!$ 的叉積，以方程式式表示為

　
: $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!$

　
: $=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!$ 。

注意到

　
: ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!$ ；

其中，張量 $\ \epsilon _{ijk}\,\!$ 是勒維奇維塔符號，定義為

所以，

　
: $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!$ 。

設定 $\mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!$ ，那麼，

　
: $w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!$ 。

所以，

　
: $\ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!$ 。

## 向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間 $\mathbb {V} \,\!$ 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量 $\mathbf {b} \,\!$ ，通過下述方程式式，向量 $\mathbf {a} \,\!$ 唯一地確定了餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ ：

　
: ${\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!$ 。

逆過來，通過上述方程式式，每一個餘向量 ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 唯一地確定了向量 $\mathbf {a} \,\!$ 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 $\mathbb {V} \,\!$ 的一個基底 ${\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!$ ，則必存在一個唯一的對偶基底 ${\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!$ ，滿足

　
: $Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!$ ；

其中，張量 $\delta _{j}^{i}\,\!$ 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 $\mathbf {a} \,\!$ 可以寫為兩種形式

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!$ ；

其中， $a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {a} \,\!$ 對於基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的反變分量， $a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {v} \,\!$ 對於基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的共變分量，

### 歐幾里得空間

在歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}\,\!$ 裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

　
: $\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!$ ；

其中， $\tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!$ 是基底向量 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ 共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

　
: $\mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!$ ；

其中， $\tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!$ 是基底向量 $\mathbf {e} ^{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{3}\,\!$ 共同形成的平行六面體的體積。

雖然 $\mathbf {e} _{i}\,\!$ 與 $\mathbf {e} ^{j}\,\!$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

　
: $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!$ 。

雖然 $\mathbf {e} ^{i}\,\!$ 與 $\mathbf {e} _{j}\,\!$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

　
: $\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

這樣，任意向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的反變分量為

　
: $a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!$ 。

類似地，共變分量為

　
: $a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!$ 。

這樣， $\mathbf {a} \,\!$ 可以表示為

　
: $\mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!$ ，

或者，

　
: $\mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!$ 。

綜合上述關係式，

　
: $\mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!$ 。

向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的共變分量為

　
: $a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!$ ；

其中， $g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!$ 是度規張量。

向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的反變分量為

　
: $a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!$  ;

其中， $g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!$ 是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

## 抽象定義

思考維度為 $n\,\!$ 的向量空間 $\mathbb {V} \,\!$ 。給予一個可能不是標準正交基的基底 $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!$ 。那麼，在 $\mathbb {V} \,\!$ 內的向量 $\mathbf {v} \,\!$ ，對於這基底，其分量為 $v^{1}\,\!$ 、 $v^{2}\,\!$ 、... $v^{n}\,\!$ 。以方程式式表示，

　
: $\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!$ 。

在這方程式式右手邊，標號 $i\,\!$ 在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從 $i\,\!$ 等於 $1\,\!$ 到 $n\,\!$ ，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從 $\mathbb {V} \,\!$ 用張量積和對偶性建立的向量空間。例如， $\mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!$ ， $\mathbb {V} \,\!$ 與自己的張量積，擁有由形式為 $\mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!$ 的張量組成的基底。任意在 $\mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!$ 內的張量 $\mathbf {T} \,\!$ 可以寫為

　
: $\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!$ 。

向量空間 $\mathbb {V} \,\!$ 的對偶空間 $\mathbb {V} ^{*}\,\!$ 擁有基底 $(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!$ ，遵守規則

　
: $\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!$ ；

其中， $\delta _{j}^{i}\,\!$ 是克羅內克函數。

## 範例

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

* 思考四維時空，標號的值是從 0 到 3。兩個張量，經過張量縮併（tensor contraction）運算後，變為一個純量：

　
: $c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!$ 。

* 方程式式的右手邊有兩個項目：

　
: $c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!$ 。

　
: 由於運算結果與標號 $\mu \,\!$ 和 $\nu \,\!$ 無關，可以被其它標號隨意更換，所以， $\mu \,\!$ 和 $\nu \,\!$ 稱為**傀標號**。

　
: **自由標號**是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式式裏， $\nu \,\!$ 是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目 $a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!$ 裏，標號 $\mu \,\!$ 出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱 $\mu \,\!$ 為**求和標號**。

* 思考在黎曼空間的弧線元素長度 $ds\,\!$ ：

　
: : $ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!$ 。請將這兩種標號跟自由變數和約束變數相比較。

　
: 進一步擴展，

　
: $ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!$

　
: $\qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!$

　
: $\qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!$

　
: $\qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!$ 。

　
: 注意到 $ds^{2}\,\!$ 是 $ds\,\!$ 乘以 $ds\,\!$ ，是 $(ds)^{2}\,\!$ ，而不是 $(s^{2})\,\!$ 坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

## 參閱

* 狄拉克標記
* 抽象指標記號
* 潘洛斯圖形標記法（Penrose graphical notation）

## 參考文獻

* Kuptsov, L.P., Einstein rule, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

## 外部連結

* Rawlings, Steve, Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities (PDF), Oxford University, 2007-02-01 [2010-05-10], （原始內容 (PDF) 存檔於 2017-01-06）