庞加莱回归定理

物理學上，**龐加萊復現定理**（英語：Poincaré recurrence theorem，又譯為**龐加萊回復定理**或**龐加萊回歸定理**）斷言，對於某類系統而言，只要經過充分長但有限的時間，一定會到達某個與初始態任意接近的狀態（若該系統具連續的狀態），或者一定返回初始態本身（若該系統離散）。

龐加萊復現時間是復現前經過的時長。對於不同的初始態和不同的要求接近的程度，此時間亦不同。定理僅適用於滿足某些條件的孤立力學系統，例如所有粒子都必須約束在某個有限體積的範圍內。定理可以放在遍歷理論、動態系統，或者統計力學的背景中討論。適用此定理的系統稱為守恆系統（與耗散系統相對）。

定理得名自亨利・龐加萊，其於 1890 年討論過此定理。1919 年，康斯坦丁・卡拉西奧多里利用測度論證明了此定理。

## 嚴謹敍述

對於任何一個由常微分方程式定義的動態系統，都有相應的流映射 _f__t_，而對每個固定的 _t_（可當成時間）, _f__t_ 皆是由該系統的相空間射去相空間本身的映射。若相空間中，每個可以計算體積（稱為相體積）的子集，都在流中保持體積，則稱該系統保體積。例如，根據劉維爾定理，所有哈密頓系統皆保體積。

有了上述的背景之後，可以將定理敍述如下：若流保體積，且其所有軌道皆有界，則對於相空間中每個開集，都有軌道與之相交無窮多次。

## 證明討論

定性理解，證明的關鍵在於兩個前提：

1. 可達（accessible）的相空間總體積具有有限的上界。對於力學系統，可要求其受限於某個有界的「實際」空間（於是，該系統不得將粒子射出至極遠處而從不返回）。如此，再加上能量守恆，就足以證明系統受限於相空間的某個有限區域。
2. 動態變化當中，有限元的相體積守恆。（對於力學系統，此條件由劉維爾定理保證。）

取相空間中任意一塊體積有限的起始區域，其按照系統的動態而移動，「掃過」相空間的一部分點。由於該區域的體積在過程中保持不變，其掃過的總體積（稱為相管，phase tube）理應隨時間線性增加（至少在起始不久後如此）。然而，由於可達的相空間總體積有限，相管的體積會達到某個飽和值，而不能一直增加，否則終會大於可達的總相體積。這正說明，相管必與自身相交。倘若要與自身相交，則必須先經過起始的區域。所以，起始體積中至少有體積非零的一部分復現（recur）。

此時，考慮起始區域中永不返回的部分。按上段的論證，若該部分的體積非零，則其必有體積非零的部分復現，但若永不返回的部分中，有一部分復現，則後者亦必返回到原始區域內，造成矛盾。所以，起始區域中永不返回的部分體積只能為零，即與起始區域相比是極小。

注意定理（並其證明）並不保證復現的若干性質：

* 仍然可能有若干個特別的始態永不返回起始區域，或是僅返回有限多次後便不再返回。然而，此種情況極為罕見，與起始區域相比僅是無窮小的部分。
* 起始區域的各部分不必同一時間復現。相管首次通過自身時，可能有一部分體積會錯過起始區域，從而該部分會較遲復現。
* 相管確實可能先窮竭可達相空間的全部體積，然後才返回到起始區域。一個簡單例子是諧振子。能夠歷遍整個可達相空間的體積的系統稱為滿足遍歷假設（但此取決於「可達體積」的定義）。
* 可保證的是，從幾乎所有始態出發，系統都終將返回到某個與始態任意接近的態。復現時間取決於所要求的「近」的程度，即初始區域的相體積。若要得出更精確的復現，則須取較小的初始區域，所以所需的復現時間更長。
* 給定某個區域和其中某個相，其復現的時刻不必具周期性。第二次復現的時間不必是首次復現時間的兩倍。

## 形式敍述

設

　
: $(X,\Sigma ,\mu )$

為總測度有限的測度空間，並設

　
: $f\colon X\to X$

為保測函數，即其可測，且對任意的可測子集 $A\in \Sigma $ 有 $\mu (T^{-1}A)=\mu (A).$ 以下為定理的兩種敍述：

### 定理一

對任意可測子集 $E\in \Sigma ,$ $E$ 中滿足：存在正整數 $N$ ，使得對任意 $n>N$ 都有 $f^{n}(x)\notin E$ 的點 $x$ 的集合的測度為零。

換言之， $E$ 中幾乎所有點皆會返回到 $E,$ 且會返回無窮多次，即

　
: $\mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.$

證明見於所引參考資料。

### 定理二

以下為定理的拓撲版本：

若 $X$ 為第二可數的豪斯多夫空間，而 $\Sigma $ 包含其博雷爾 σ- 代數，則 $f$ 的復現點集的測度等於 $X$ 的全測度，即幾乎所有點皆復現。

證明同樣見於所引參考資料。

更一般地，定理適用於守恆系統，而不僅是保測動態系統。

## 量子力學版本

對於非時變的量子力學系統，若其能量特徵態離散，則有類似的定理成立。對於任意的 $\varepsilon >0$ 和 $T_{0}>0,$ 皆存在時間 _T_ 大於 $T_{0},$ 使得 $||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,$ 其中 $|\psi (t)\rangle $ 表示系統於時間 _t_ 的態向量。

證明的關鍵如下。系統的狀態按下式隨時間變化：

　
: $|\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,$

其中 $E_{n}$ 為能量特徵值（此處使用自然單位，故約化普朗克常數 $\hbar =1$ ），而 $|\phi _{n}\rangle $ 為相應的能量特徵態。時間 $T$ 和時間 $0$ 的態向量的距離平方為

　
: $\left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)].$

可於某項 _n_ = _N_ 截尾，而 _N_ 不取決於 _T_, 因為

$$
\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},
$$

而又有 $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1$ 收斂（此為始態的範數平方），故上式中 $N$ 取很大時，能使上式的值任意小。

而有限和

　
: $\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]$

按以下的構造，也能藉著揀選特定的時刻 _T_, 而使之任意小。取任意的 $\delta >0,$ 然後取 _T_, 使得對於 $0\leq n\leq N,$ 都總存在整數 $k_{n}$ 滿足

　
: $|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .$

對此 _T_, 有

　
: $1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.$

於是，

　
: $2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},$

亦即態向量 $|\psi (T)\rangle $ 會回到與始態 $|\psi (0)\rangle $ 任意接近之處。

## 相關條目

* 遍歷假設
* 復現圖
* 復現周期密度熵
* 遊蕩集
* 波茲曼大腦

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Page, Don N. Information loss in black holes and/or conscious beings?. November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193 .

## 外部連結

* Padilla, Tony. The Longest Time. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-08]. （原始內容存檔於 2013-11-27）.
* Arnold's Cat Map: An interactive graphical illustration of the recurrence theorem of Poincaré. [2020-10-05]. （原始內容存檔於 2020-12-23）.

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