平坦態射

這是**概形論術語**。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

## 點

一個概形 $S$ 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「 $S$ 的點」具有三重涵義：

* 拓撲空間意義下的點。
* $T$ - 值點：對任一概形 $T$ ，一個 $T$ - 值點是指一個態射 $T\to S$ 。
* 幾何點：當 $S$ 定義在一個域 $K$ 上時（換言之 $S$ 是 $\mathrm {Spec} (K)$ - 概形），一個幾何點乃是一個 $\mathrm {Spec} ({\overline {K}})$ - 值點，其中 ${\overline {K}}$ 表 $K$ 的代數閉包。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形 $T$ 與所有 $T$ - 值點，可以將概形 $S$ 理解為相應的可表函子 $h_{S}$ ，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

## 纖維

在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的**纖維**有三重涵義：

* 一個點（拓撲意義下）的逆像。
* 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。
* 幾何纖維：設 $S,S'$ 為 $\mathrm {Spec} (K)$ - 概形（ $K$ 為域）， $f:S\to S'$ 為一 $\mathrm {Spec} (K)$ - 態射， $P:\mathrm {Spec} ({\overline {K}})\to S'$ 為一幾何點，則 $P$ 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 $S\times _{S}\mathrm {Spec} ({\overline {K}})$ 。

## 概形之性質

概形的大部分性質都是「局部的」，換言之： $X$ 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 $X=\bigcup _{i}X_{i}$ ，每個 $X_{i}$ 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形 $X$ 及一組仿射開子概形 $\mathrm {Spec} A_{i}$ 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之，**局部諾特概形**是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是**既約概形**，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

**分離概形**並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 $X:=\bigcup _{i}\mathrm {Spec} A_{i}$ 為一概形之開覆蓋。

## 態射之性質

格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} $ ，所以任何概形可以唯一地理解為 $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} $ - 概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令

　
: $f:Y\to X$

為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 $X=\bigcup U_{i}$ 使得 $f$ 在 $f^{-1}(U_{i})$ 上的限制帶有該性質，則 $f$ 本身也帶該性質。

### 與拓撲結構相關的概念

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若 $f(Y)$ 在 $X$ 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

### 開浸入與閉浸入

* **開浸入**：若 $f$ 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
* **閉浸入**：若 $f$ 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃： $f:Y\to X$ 是閉浸入，若且唯若 $f$ 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（ $f:Y\to f(Y)$ 是同胚，且 $f(Y)$ 是 $X$ 中的閉集），而且 $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ 是滿射。
* **浸入**：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

### 仿射態射與射影態射

若 $X$ 的仿射開子概形對 $f$ 的逆像仍為仿射概形，則稱 $f$ 為**仿射態射**。用較炫的說法：仿射態射係來自 ${\mathcal {O}}_{X}$ - 代數的整體 $\mathbf {Spec} $ 構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。

**射影態射**的定義類似，此時對應到分次 ${\mathcal {O}}_{X}$ - 代數的整體 $\mathbf {Proj} $ 構造，另一種等價的刻劃是： $f$ 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 $Y\to \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times X$ 及自然投影 $\mathbb {P} _{X}^{n}\to X$ 。

### 分離態射與真態射

* **分離態射**：使得對角態射 $\Delta _{Y/X}:Y\to Y\times _{X}Y$ 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。
* **真態射**：即滿足下列性質的態射
  * 分離態射
  * 泛閉（即：任一閉浸入 $s:Z\to X$ 在對 $f$ 取纖維積後仍為閉浸入）
  * 有限型

### 有限型、擬有限與有限態射

若 $X$ 有一組仿射開覆蓋 $\mathrm {Spec} \,A_{i}$ ，使得態射 $f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})\to \mathrm {Spec} \,A_{i}$ 對應到 $\mathrm {Spec} \,B_{i}\to \mathrm {Spec} \,A_{i}$ ，使得 $B_{i}$ 是有限 $A_{i}$ - 模，則稱此態射為**有限態射**。

若將上述條件改為： $f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})$ 有一組仿射開覆蓋 $\mathrm {Spec} \,B_{ij}$ ，使得 $\mathrm {Spec} \,B_{ij}$ 是有限生成的 $\mathrm {Spec} \,A_{i}$ - 代數，則稱此態射為**局部有限型態射**；若上述開覆蓋 $f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})=\bigcup _{j}\mathrm {Spec} \,B_{ij}$ 可取為有限的，則稱之**有限型態射**。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若 $f$ 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為**擬有限態射**。有限態射皆為擬有限態射。

### 平坦態射

若 $f$ 在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為**平坦態射**。視此態射為一族以 $X$ 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

### 非分歧態射與平展態射

對一點 $y\in Y$ ，考慮相應的環同態：

　
: $f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}.$

令 ${\mathfrak {m}}$ 為 ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}$ 的極大理想，並設

　
: ${\mathfrak {n}}:=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}$

若對所有 $y\in Y$ ， ${\mathfrak {n}}$ 是 ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ 的極大理想，且導出的映射 ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}$ 是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為**非分歧態射**。

平坦的非分歧態射稱為**平展態射**，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。

### 平滑態射

**平滑態射**對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：

 * $f:Y\to X$ 是有限型平坦態射，且 $\Omega _{Y/X}^{1}$ 是局部自由 ${\mathcal {O}}_{Y}$ - 模，其秩為 $\dim Y-\dim X$ 。
* $f:Y\to X$ 可分解為某個平展態射 $g:Y\to \mathbb {A} _{X}^{n}$ 及自然投影 $p:\mathbb {A} _{X}^{n}\to X$ 之合成。
* 形式判準：對任何交換環 $A$ 及其理想 $I$ ，並滿足 $I^{2}=(0)$ ，則 $\mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A),Y)\to \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A/I),Y)$ 是滿射。

## 外部連結

* Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

## 文獻

* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, **4**: 5–228 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-06）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, **8**: 5–222 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2017-01-12）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, **11**: 5–167 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-03）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1963, **17**: 5–91 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-04-19）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1964, **20**: 5–259 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-04）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1965, **24**: 5–231 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-03）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1966, **28**: 5–255 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-03）.
* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1967, **32**: 5–361 [2022-01-03]. （原始內容存檔於 2016-03-03）.