广义正交定理

**舒爾正交關係**（英語：Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群，特別是緊李群，比如旋轉群 _SO_(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。

## 有限群

令 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}$ 是一個 |_G_| 階（即 _G_ 有 |_G_| 個元素）有限群 $G=\{R\}$ 的一個不可約矩陣表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示，我們假設 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 是酉的：

　
: $\sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,$

這裡 $l_{\lambda }$ 是表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 的（有限）維數。

**正交關係**，只對不可約表示的矩陣元素成立，是

　
: $\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.$

這裡 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}$ 是 $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,$ 的複共軛，求和遍及 _G_ 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示 $\Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}$ ，則克羅內克函數 $\delta _{\lambda \mu }$ 是單位；如果 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 與 $\Gamma ^{(\mu )}$ 不等價則 $\delta _{\lambda \mu }$ 為零。其他兩個克羅內克函數則要求行與列的指標必須相等（ $n=n'$ 和 $m=m'$ ）才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做**廣義正交定理**。

每個群有一個單位表示（所有群元素映為實數 1），這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

　
: $\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0$

對 $n,m=1,\ldots ,l_{\mu }$ ，此式對任何不等於單位表示的不可約表示 $\Gamma ^{(\mu )}\,$ 成立。

### 例子

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階群，通常記作 $S_{3}$ （對稱群）。這個群同構於點群 $C_{3v}$ ，由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示（_l_ = 2）。在 $S_{3}$ 情形，通常將這個不可約表示利用楊氏表（楊氏矩陣）記作 $\lambda =[2,1]$ 而在 $C_{3v}$ 情形通常寫成 $\lambda =E$ 。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成，每個代表一個群元素

　
: ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}$

元素 (1,1) 的正規化為：

　
: $\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.$

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性：

　
: $\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.$

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零，因為給定表示與恆等表示的正交性。

### 直接推論

矩陣的跡是對角矩陣元素之和，

　
: $\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}$ .

所有跡的集合 $\chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}$ 是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成 $\chi ^{(\lambda )}$

　
: $\chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)$ .

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式：

　
: $\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,$

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的（這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量）。以及

　
: $\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,$

這幫助我們確認不可約表示 $\Gamma ^{(\lambda )}$ 在具有特徵標 $\chi (R)$ 的可約表示 $\Gamma \,$ 中包含的次數。

例如，如果

　
: $n^{(\lambda )}\,|G|=96$

這個群的階是

　
: $|G|=24\,$

則 $\Gamma ^{(\lambda )}\,$ 在給定「可約」表示 $\Gamma \,$ 中包含的次數是

　
: $n^{(\lambda )}=4\,.$

關於群特徵表參見特徵標理論。

## 緊群

有限群的正交關係推廣為緊群（包含緊李群，比如 SO (3)）本質上是簡單的：只要將在群上的求和換成在群上的積分。

每個緊群 $G$ 有惟一一個雙不變哈爾測度，使得群的體積是 1。將這個測度記成 $dg$ 。設 $(\pi ^{\alpha })$ 是 $G$ 的不可約表示的一個完備集合，設 $\phi _{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>$ 是表示 $\pi ^{\alpha }$ 的矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分
1) 如果 $\pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }$ 則：

　
: $\int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0$

2) 如果 $\{e_{i}\}$ 是表示空間 $\pi ^{\alpha }$ 的一個正交規範基，則：

　
: $d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}$

這裡 $d^{\alpha }$ 是 $\pi ^{\alpha }$ 的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得 - 外爾定理的推論。

### 例 $SO(3)$

一個三參數群的例子是矩陣群 SO (3)，有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的參數化是利用歐拉角： $\mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )$ 。界限是 $0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi $ 以及 $0\leq \beta \leq \pi $ 。

體積元素 $\omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}$ 的計算不僅取決於參數的選取，也取決於最終結果，即加權函數（測度） $\omega (\mathbf {x} )$ 的解析形式。

例如，SO (3) 的歐拉角參數化給出權重 $\omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,$ ，而 n, ψ 參數化給出權重 t $\omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,$ ，其中 $0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi $ 。

可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的：

　
: $\Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.$

簡記成

　
: $\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}$

正交關係具有形式

　
: $\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},$

群的體積是

　
: $|G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.$

我們注意到 SO (3) 的不可約表示是維格納 D - 矩陣（Wigner D-matrix） $D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )$ ，它們的維數是 $2\ell +1$ 。故

　
: $|SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},$

它們滿足

　
: $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.$

### 腳註

## 參考文獻

任何以物理或化學為目的的群表示論書籍中都會提到正交關係。下面更高等的書籍給出了證明：

* M. Hamermesh, _Group Theory and its Applications to Physical Problems_, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
* W. Miller, Jr., _Symmetry Groups and their Applications_, Academic Press, New York (1972).
* J. F. Cornwell, _Group Theory in Physics,_ (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).