康托

**格奧爾格・費迪南德・路德維希・菲利普・康托爾**（德語：**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor**，1845 年 3 月 3 日 —1918 年 1 月 6 日），出生於俄國的德國數學家（波羅的海德國人）。他創立了現代集合論，是實數系以至整個微積分理論體系的基礎，還提出了勢和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了「無限的無窮」 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺 - 甚至令人震驚 - 因而拒絕接受他的理論，且以利奧波德・克羅內克為首的眾多數學家長期攻擊。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。

康托爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康托爾的理論，是在挑戰神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質。康托爾自 1869 年任職於德國哈勒大學直到 1918 年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑鬱症一直再發的病因，被歸咎於當代學界的敵對態度，儘管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病徵。他所受到的嚴厲攻擊，與後來的讚譽相匹配：在 1904 年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數學研究者的最高榮譽。

在康托爾死後數十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術界指責「集合論是假借通過數學而有害處的方言」的氛圍，他認為那是「可笑」和「錯誤」的「完全無稽之談」。當代數學家絕大多數接受康托爾的理論，並認為這是數學史上一次重要的變革。大衛・希爾伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」（原文另譯：我們屏息敬畏地自知在康托所鋪展的天堂裡，不會遭逢被驅逐出境的。）

## 生平

### 青年時期

康托爾 1845 年出生於俄國聖彼得堡的商人殖民地，並在城裡生活直到他十一歲，他父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。他是六個孩子中最年長的一個，被認為是一位傑出的小提琴手。他的祖父弗蘭茲伯姆（Franz Böhm, 1788-1846，小提琴家約瑟夫・伯姆的兄弟）是俄羅斯帝國管弦樂團的著名音樂家和獨奏家。康托爾的父親曾是聖彼得堡證券交易所的成員；當他生病時，為了尋求比聖彼得堡更溫和的冬天，於 1856 年他們全家先遷移到了德國的威斯巴登，然後到了法蘭克福。1860 年康托爾從達姆施塔特的 Realschule 區中學畢業；他在數學方面的學業成績優異，尤其是三角學。1862 年康托爾進入瑞士聯邦理工學院。在 1863 年 6 月他父親去世後，他繼承了豐厚的財產；康托爾將他的學業轉移到柏林大學，研習卡爾・魏爾施特拉斯、利奧波德・克羅內克和恩斯特・庫默爾的課程。1866 年夏天他在哥廷根大學度過了一段時間。格奧爾格・康托爾是一個好學生，在 1867 年於柏林大學獲得了博士學位。

### 任教及研究生涯

康托爾於 1867 年在柏林大學提交了關於數論的論文。在柏林女子學校短暫講授後，康托爾在哈勒大學任職並在那度過了他整個的職業生涯，在 1869 年他任職時所提出的數論論文，因而取得了特許任教資格。1874 年康托爾與 Vally Guttmann 結婚，在他們度過哈爾茨山脈的蜜月期間，康托爾花了很多時間與理察・戴德金討論數學，兩人結識是因他兩年前的瑞士度假時而遇到戴德金。他們育有六個孩子，1886 年出生的魯道夫是他們最小的孩子。儘管他任教職的薪酬很低，但康托爾能負擔這人口眾多的家庭生計支出，要歸功於他父親的優渥遺產。康托爾在 1872 年升任副教授，並在他三十四歲時 (1879 年) 就成為教授，是一個顯著的功名；但康托爾希望在德國柏林更有聲望的領先大學中，擔任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反對，每當康托爾在柏林申請更高階的職位，他都被拒絕了。通常是因當時克羅內克有異議的關係，使其所望難以實現。所以康托爾相信因為克羅內克的反對立場，會讓他無法離開哈勒。1881 年康托爾的同事愛德華海涅去世，產生了一個主席空缺。哈勒大學採納康托爾的提議，將主席此一職位依序提供給戴德金、安里西・韋伯或是弗朗茨・梅滕斯 這三位，但他們全都拒絕了；這個職位最終任命給 Friedrich Heinrich Albert Wangerin，但他從來沒有接近過康托爾。1882 年康托爾和戴德金之間通信聯繫的數學關係告一段落，顯然是由於戴德金拒絕了哈勒大學的主席一職。

在 1884 年 5 月康托爾遭受了自身抑鬱症的第一次發作。對他工作的批評讓他頭腦昏沉：他在 1884 年寫給 米塔・列夫勒 的 52 封信，每封信中都提到克羅內克，其中一段內文揭漏了他自信心所受到的殘害：

> ...... 我不知道何時會回到崗位上繼續我的研究。此刻我無能為力，並將我自己限制在論文中最必要的責任上；如果我心智精神能有新鮮的感覺，我能比較快樂地參與學界的活動。
> 
> 

此後康托爾康復，隨後作出了進一步的重要貢獻，包括他的對角論證和定理。1889 年康托爾成立了德國數學學會，並於 1891 年在哈勒大學主持了首次會議，在那裡他首先介紹了他發明的對角線論證法；儘管克羅內克反對他的工作，但此時他的聲譽已足夠強大到確保當選，為這個學術社群的第一任主席。他最終撇開了克羅內克對他的敵意，並尋求與克羅內克的和解，康托爾邀請他在會上發言，但克羅內克卻因為妻子因當時的滑雪事故中死亡而無法出席。而即使克羅內克在 1891 年 12 月 29 日去世之後，康托爾也再達不到其於 1874-84 年發表論文的卓越水準。分裂它們的哲學分歧和困難依舊存在。康托爾在 1897 年在瑞士蘇黎世舉行的第一屆國際數學家大會中也發揮了重要作用。

### 晚年時期

康托爾的後半生受到精神疾病的嚴重影響工作，他不得不經常入院治療。根據後來他發表的論文推測，他患的可能是躁鬱症。他曾寫了一篇驗證 1000 以下的歌德巴赫猜想的論文，其實幾十年前已經有人驗證到了 10000。他又發表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯・培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無限即是上帝。第一次世界大戰期間，他陷於赤貧狀態，最後死於哈雷大學的精神病院。

## 數學領域上的成就

康托爾在 1874 至 1884 這十年間的研究成果，是集合論的起源。在此之前追溯已往到亞里斯多德時代，數學領域中的集合，從最初就隱含地使用了相當原始的集合概念。沒有人意識到集合這個概念中，有任何未深入研討的內容。在康托爾之前的集合概念，只區分為一般人直覺上容易理解的有限集合，而所謂的「無窮」集合被認為是哲學而非數學研討的命題。康托爾證明無窮集合存在著許多可能的大小，而擴展了數學領域中對於集合概念，其真實涵義的研討。

集合論已經發揮了現代數學基礎理論的作用，因為它明確定義並解釋了，幾乎所有的傳統數學領域（如代數，分析和拓撲）中的數學對象（例如數系和函數）的命題；根據康托爾所建立起的這一套集合理論，提供了標準的公理來證明或反證它們。因此集合論的基本概念，現在被應用在整個數學領域中。在他最早的一篇論文中，康托爾證明了實數系集合和自然數集合，在大小比較上實數系要「多更多了」；這首次表明即使兩個元素都是無窮的集合，在大小上仍然會存在有不同的組合；他也是第一個理解集合論中的一對一對應關係（以下稱為「一一對應關係」）的重要性的人。他用這種概念來定義有限和無窮集合，將後者再區分為可數的（或可數無窮）以及 非可數的無窮集合。

康托爾發展了拓撲中的重要概念，其與基數的關係。例如，他表明康托爾集不是密集的，而與實數系集合一樣具有相同的基數，而有理數的集合是密集而且可數的。他還表明了線性稠密可數的、而沒有終點的序，和有理數集合是同構的。康托爾介紹了集合論的基本結構，如 $A$ 集合的冪集，是對於 $A$ 集合其中所有元素，各種組合而構成的一個子集。他後來證明了即使 $A$ 屬於無窮集合， $A$ 的冪集大小，也將會是嚴格大於 $A$ 的大小，這個結果很快就被稱為康托爾定理。康托爾發展了整套的集合論和無窮集合的算術，稱為基數和序數，它擴充了自然數的算術。他對基數的標記符號是希伯來文 $\aleph $ 與自然數下標；對於標示序的符號他採用了希臘字母 ω。這個符號表示法目前數學界仍在使用。

康托爾的連續統假說是 1900 年巴黎數學家國際會議，大衛・希爾伯特提出 23 個尚無證明命題的第一個。康托爾的研究成果也吸引了其它人的關注。美國哲學家皮爾士讚揚他的集合論；而在 1897 年蘇黎世舉行的第一屆國際數學家會，康托爾發表的公開講座之後，Hurwitz 和阿達馬也都表示了欽佩。在那次大會上康托爾重新與戴德金交換了友誼和信件。自 1905 年起康托爾與英國翻譯家菲利普朱爾丹就集合論的歷史，和康托爾的宗教思想，進行了對談，這些對談後來集成出版為康托爾的講述作品。

 

### 數論，三角級數和序數

康托爾的前十篇論文題目是關於數論。在哈勒大學教授愛德華海涅的建議下，康托轉向分析。海涅提出了困惑著約翰・彼得・古斯塔夫・勒熱納・狄利克雷、魯道夫・利普希茨、波恩哈德・黎曼和海涅自己的問題：如何呈現三角級數的建構函數的唯一性質？康托爾在 1869 年解決了這個難題，而在研究這個三角級數唯一定理的時候，他發現了超限序數，出現在對於三角級數的集合 _S_，其下標為 _n_ 的第 _n_ 個索引的導出集合 _S_n 之中。

1870 至 1872 年之間康托爾發表了更多關於三角函數的論文，並且還將無理數定義為有理數的收斂序列。戴德金引用了這篇論文，並在他的論文中首次提出了戴德金切割的實數定義。即使康托爾革命性地以無限基數的概念來擴大集合概念的同時，他卻自相矛盾地反對同期數學分析學者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的無限小理論；康托爾還發表了一個錯誤的「證明」，試圖證明無窮小量的不一致性。

### 集合論

#### 一一對應和對角線證明方法

康托爾提出了通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是「一樣大」的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合為不可數無窮。原始證明發表於 1874 年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891 年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及 $n$ 維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序定理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。

#### 連續統假設

康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。

#### 絕對無限的，有序的定理和悖論

## 哲學，宗教和康托爾的數學

## 參見

* 樸素集合論
* 康托爾集合
* 康托爾定理
* 康托爾悖論
* 配對函數
* 良序定理