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平教經

**平教經**（1160 年（永曆元年）—1184 年 2 月 7 日（壽永 3 年）或 1185 年 4 月 25 日（元曆 2 年 3 月 24 日））是日本平安時代末期的平家一門的武將。他是平清盛之弟平教盛的次子。母為藤原資憲之女。本名為**國盛**。官位從五位下、能登守、民部大輔。

平教經在軍記物語《平家物語》多次登場，在源平合戰之中扮演著重要的角色。然而其生平卻有許多疑問點，許多史料對他的記載互相矛盾。

## 生平

1179 年（治承 3 年）擔任能登守之職。而根據《玉葉》中養和元年（1181 年）9 月 11 日條的記載，在平行盛征討北陸道的木曾義仲時，平教經擔任其副將軍。但事實上教經沒有參加北陸道的戰事。

平教經在《平家物語》中初次登場的時間是壽永 2 年（1183 年）5 月。當時木曾義仲在俱利伽羅峠和篠原連敗平家軍，平家連忙派兵固守京都。教經和兄長平通盛一起，率 2000 餘騎在宇治橋一帶負責警衛工作。同年 7 月平家撤出京都的時候，教經也率部跟隨。閏十月，義仲派足利義清為大將，前往攻打以讚岐國屋島為大本營的平家。平重衡和平通盛奉命迎擊，在備中國的水島遭遇源氏軍隊。平教經身為平家方面的副大將，身先士卒，斬殺源氏方面的侍大將海野幸廣，源氏方面的大將足利義清亦戰死，平家大獲全勝。水島之戰使木曾義仲的威望大失，同後白河法皇的對立加深，後來次年被源賴朝所滅。

當時西國各地反叛平家的勢力崛起，平家根據地的後院阿波國和讚岐國的一些在廳官人也紛紛私通源氏，欲反叛平家。平教經同父親教盛、兄長通盛一起討伐叛軍，在備前國的下津井擊破了源氏。隨後又消滅了淡路國源義嗣、義久兄弟（二人都是源為義的兒子）、住人安摩忠景的叛亂，紀伊國園邊忠康的叛亂，以及伊予國河野通信的叛亂；此後又擊退了豐後國住人臼杵惟隆、緒方惟義對備前國今木城的包圍。教經竭力挽回了平家的頹勢。

## 一之谷之戰是否陣亡的疑問

壽永 3 年（1184 年）2 月 4 日，源賴朝的部下源範賴、源義經，在消滅了木曾義仲勢力之後攻打福原京。平教經和平通盛一起負責山之手地區的防禦。7 日平家在一之谷大敗，兄長通盛陣亡。根據《吾妻鏡》的說法，平教經被源氏方面的安田義定殺死，13 日首級送往京都的獄門前示眾。而《玉葉》則記載，當時風傳被斬殺號令的平教經依然活著；《醍醐雜事記》等史料則稱教經是在後來的壇之浦之戰中自殺身亡的。另一方面，在《吾妻鏡》的壇之浦之戰的戰功報告中，不論是戰死者還是被俘虜者的名單之中都沒有平教經此人。因此平教經在一之谷之戰中是否陣亡是很難下結論的。

## 屋島之戰和壇之浦之戰

《平家物語》稱，平教經獨自一人殺出重圍，逃出了一之谷，回到了屋島。元曆 2 年（1185 年）2 月，源義經奇襲平家的大本營屋島。平家大敗，源氏軍窮追不捨。教經射殺了義經四天王中的佐藤繼信。平家放棄了屋島，逃亡由平知盛鎮守的長門國彥島。源義經率軍進攻彥島，源範賴則從九州島包抄平家的後路。3 月 25 日，源平之間最後的決戰壇之浦之戰爆發。平家最初佔據上風，但源義經下令向平家水手和舵手集中射箭，平家大敗，二位尼懷抱安德天皇投海自盡。傳聞此戰中，平教經在主帥平知盛授命『罪不在小卒，認清敵乃何人』(日語：罪つくりなことをするな、よき敵でもあるまい) 後，不顧一切地殺向源家主將源義經，一度迫使源義經連跳 8 船而逃（八艘飛び），最終教經力竭，挾著兩個名叫安藝太郎和安藝次郎的源氏武士投海同歸於盡，壯絕而亡。

戰後，源氏軍隊將安德天皇的遺體從御裳川打撈上岸，葬於赤間關（今下關）紅石山麓的阿彌陀寺。平教經同平有盛、平清經、平資盛、平知盛、平經盛、平教盛等 14 人一同合葬，稱「七盛塚」，其遺址位於今山口縣下關市的赤間神宮內。

相傳平教經的妻子（另一說為生母）在壇之浦之戰中落入海中溺死，其屍身漂到了福岡縣境內，化身為河童海御前。今北九州市的門司區建有海御前之碑。

## 腳註
平敦盛

**平敦盛**（日語：平 敦盛／たいら の あつもり _Taira no Atsumori_，1169 年 —1184 年 3 月 20 日）是平安時代末期的武士，平經盛的末子。位階是從五位下，無官職名，故又稱**無官大夫**。

## 生平

平敦盛同其祖父忠盛、父親經盛一樣，都是吹笛的名手。敦盛的祖父平忠盛曾獲鳥羽院賞賜一支名叫「小枝」的笛子（又作「青葉」），後來傳給了父親經盛；經盛見敦盛是吹笛名手，又傳給了他。

平敦盛在 17 歲的時候參與一之谷之戰，平家受到源氏的攻擊而撤退，敦盛騎馬向海上的船逃去。源氏的武將熊谷直實見他逃跑，向他高呼逃跑的武士是可恥的，要他立刻回到戰場，於是敦盛就回來了。敦盛同熊谷直實交鋒，被熊谷擊落馬下。當熊谷直實掀開敦盛的鎧甲時，發現敦盛無論年齡還是相貌都很像自己的兒子直家，因此猶豫是否要釋放敦盛。但敦盛卻認為被如此英勇的敵人殺死是光榮的，要求將自己殺死，因此直實只得將敦盛的首級砍下。經由源氏方面的主將檢視其首級而確認了其真實身份。

敦盛死後，熊谷直實將敦盛的笛子送往屋島，交給敦盛的父親平經盛。後來熊谷直實因感嘆其年輕生命的驟逝而突然出家。

《平家物語》記載了敦盛之死。後世日本人根據《平家物語》所記載的場面，創作了名叫《敦盛》的能劇、幸若舞和謠曲，以及歌舞伎《一谷嫩軍記》等作品。其中，最廣為人知的就是名叫《敦盛》的幸若舞。這個幸若舞頗為戰國時代的織田信長所喜好，織田信長在桶狹間之戰時，曾經吟誦該曲中的一節：

這也是所有有關平敦盛的文學作品中最為出名的一句。

平敦盛與熊谷直實決戰的場面也成了歌舞伎作品，名為《一谷嫩軍記》。

平敦盛的首級葬在高野山奧之院的須磨寺（首塚），屍身則葬在須磨浦公園（胴塚）。

## 相關作品

* 能劇 《敦盛》
* 幸若舞 《敦盛》
* 歌謠曲 《長編歌謡浪曲 須磨の浦悲曲》（三波春夫）
* 電視動畫 《平家物語》（聲：村瀨步）

## 參見

* 平氏

## 註釋

## 外部連結

* http://www.gokuh.jp/ghp/busho/gp\_101.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平敷屋友寄事件

**平敷屋友寄事件**是 1734 年琉球發生的一起政治疑獄事件。

1728 年，蔡溫當選三司官，成為琉球歷史上第二位久米村出身的三司官。蔡溫作為一個久米村出身的人物掌握了琉球王府的大權，引起了首里士族和那霸士族的不滿。而他在執政期間進行的獨斷專行地改革又觸犯了他們的利益，更引起他們的敵視。

1732 年，蔡溫頒佈了《御教條》，以中國儒學（漢學）的觀點來規範琉球人的言行。蔡溫的強制推行漢學，引起了傾向於日本儒學（和學）的學者的不滿。反對蔡溫的勢力決定通過薩摩藩在番奉行所剷除蔡溫。翌年，和文學者平敷屋里之子朝敏、王府的御奉公相勤友寄親雲上安乘，向大和橫目川西平左衛門宅中多次投遞文書，抨擊蔡溫執政時的各種政策。

在番奉行所將這些文書交給尚敬王，尚敬王又交給蔡溫。1734 年，蔡溫開始調查此事，帶領武士全城搜捕參與者，將他們關押審問。

按照慣例，琉球的政治案件應該聚集王子、按司、三司官三方評議後由國王裁決。但此次破例直接由蔡溫審判定罪。雍正十二年（1734 年）六月廿六日，平敷屋朝敏（34 歲）、友寄安乘（57 歲）、親泊直增（57 歲）、禰霸（平敷屋朝敏之弟）、屋良宣藩（平敷屋朝敏的從兄弟）等十五人直接參與了投書，被以「陰謀顛覆國家、惡逆不道」（御国の難題なる儀、悪逆不道）的罪名，在安謝港刑場處以「八付」磔刑。

受到牽連流放外島的達六十餘人。其中平敷屋朝敏長子朝良被流放水納島；次子朝助因未滿十一歲，暫且監禁他人家中，1741 年成年後流放多良間島。友寄安乘的長子安祥流放與那國；次子安淑流放與那國島古見村；三子安藏未滿十一歲，暫且監禁他人家中。

友寄安乘的長兄毛秉仁（嵩原親方安滿）當時擔任三司官之職，翌年在尚敬王的授意下告老致仕，享受致仕高官的待遇。毛秉仁一系子孫的仕途並未受此次事件的影響。

不論《中山世譜》還是《球陽》都對這個事件沒有任何記載，唯從當事人的家譜中可以知道這個事件的大致情形。但這個事件的許多詳情仍是個謎。

## 注釋

## 參考資料
平敷屋朝敏

**平敷屋裡之子朝敏**（琉球語：平敷屋 里之子 朝敏／フィシチャ サトゥヌシ チョービン _Hwisica Satunushi Coobin_；1700 年 —1734 年）是琉球第二尚氏王朝時期的學者，親日派人物。其代表作有《苔之下》、《若草物語》、《萬歲》、《貧家記》、《手水之緣》等，被譽為「琉球的在原業平」。

平敷屋朝敏出生於首里金城村（今那霸市首里金城町），向氏，唐名不詳，是尚真王嫡子尚維衡後胤。自幼即表現出極高的文學天賦，6 歲時父死，隨外祖父湛氏屋良親雲上宣易學習日本文學。1718 年，朝敏作為上江戶使者尚盛（越來王子朝慶）的隨從前往日本，觀看了歌舞伎、能劇和文樂的表演，並深受其影響。回國之後，恰逢尚敬王的冊封使到來，向受祐創立了琉球獨特的一種舞劇 —— 組踊。朝敏觀看了組踴，結合了日本歌舞伎、能劇等藝能，創作了新的組踊 —— 愛情劇《手水之緣》。該組踊對當時琉球政治進行了一定的批判，這觸怒了尚敬王和法司蔡溫，從此朝敏不被重用。

1733 年，因對蔡溫的改革不滿，平敷屋朝敏與王府高官毛氏友寄親雲上安乘等人合謀，多次向薩摩藩的在番奉行橫目川西平左衛門的宅中投遞文書，諷刺王府的改革政策。這些書信最終輾轉落到尚敬王的手中。次年，平敷屋朝敏、友寄安乘等 15 人被捕，並以謀反罪在安謝港被磔刑處死。其長子朝良被流放多良間島，次子流放與那國島，第三子流放水納島。史稱「平敷屋友寄事件」。

朝敏的墳墓被稱作「里之子墓」，在今沖繩多良間村。

## 家族

* 祖父：朝治
* 父：朝文（彌霸親雲上向文德，朝次次子）
* 母：湛氏（湛氏屋良親雲上宣易女，為湛水親方夏德庸的同族）
* 妻：美里地頭之女
* 子女：

朝敏有三子一女，長子朝良為饒平名家元祖，娶嵩原家之女；次子為平安名家元祖；長女嫁石原家。

## 相關條目

* 組踊
* 向受祐
* 平敷屋友寄事件
* 蔡溫
* 友寄安乘

## 腳註

## 參考資料

* 《沖繩歷史人名事典》 那霸 文化社 2002 年 第 68 頁
* （日語）《朝日日本歷史人物事典》 平敷屋朝敏 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （日語）平敷屋朝敏の生涯
平文

**平文**，可能指：

* 詹姆斯・柯蒂斯・赫本
* 明文
平文式

**平文式羅馬字**（日語：ヘボン式（しき）ローマ字（じ）_Hebon-shiki Rōmaji_ ?）是一種使用羅馬字母來為日語的發音進行標註的拼音方式，是幕末時代至日本行醫的長老教會美國籍牧師詹姆斯・柯蒂斯・赫本所設計，首見於他在 1867 年所撰著的日英辭典《和英語林集成》，是第一套在假名與羅馬拼音之間有嚴格的一對一關係之日語標音系統。

平文式羅馬字又經常譯為**赫本式羅馬字**或**黑本式羅馬字**，但由於在初版的《和英語林集成》封面作者欄，赫本是採用「美國平文」這漢字名稱自稱，而成為「平文式」這譯法的典故。日本政府雖曾在 1937 年時頒佈訓令式羅馬字嘗試取代平文式羅馬字的使用，但伴隨著戰後駐日盟軍總司令部要求各市鎮的道路入口需以平文式羅馬字標示地名，平文式的使用不減反增，於是日本政府又在 1954 年時推出改版的訓令式羅馬字。與全面排除平文式拼法的第一版不同，第二版的訓令式羅馬字允許在牽涉到國際場合或遇到既有的慣例時，承認平文式拼法的有效性，因此今日可以在許多由政府發行的法定文件（例如日本護照）中，看到以平文式羅馬字拼寫的日本地名或人名。

## 轉寫規則

平文式羅馬字的拼寫基於英語發音。因此對不熟悉日語的人而言，平文式羅馬字的發音將更接近日語發音，如將「し」轉寫成「shi」而不是「si」。

### 助詞

* 當「he」（へ）用作助詞時，寫作「e」。
* 當「ha」（は）用作助詞時，寫作「wa」。
* 當「wo」（を）用作助詞時，寫作「o」。

### 長音

在**舊平文式**（旧ヘボン式，traditional Hepburn）和**修正平文式**（修正ヘボン式，modified Hepburn 或 revised Hepburn）中：

* 長音「a」、「o」和「u」使用長音符號表示：長音「a」寫作「ā」，長音「o」寫作「ō」，長音「u」寫作「ū」。
* 長音「e」寫作「ei」。
* 長音「i」寫作「ii」。
* 外來語中，所有長音都用長音符號表示。

### 撥音「ん」

在**舊平文式**（旧ヘボン式，traditional Hepburn）中：

* 在子音前寫作「n」，但在唇音（ま行、ば行與ぱ行）前寫作「m」，在母音和や行之前使用連字號「-」。例如：
  * 案内（あんない）：annai
  * 簡易（かんい）：kan-i
  * 群馬（ぐんま）：gumma
  * 信用（しんよう）：shin-yō

在**修正平文式**（修正ヘボン式，modified Hepburn）中：

* 在子音前寫作「n」，母音和や行之前使用隔音號「'」。例如：
  * 案内（あんない）：annai
  * 簡易（かんい）：kan'i
  * 群馬（ぐんま）：gunma
  * 信用（しんよう）：shin'yō

### 促音「っ」

在平文式羅馬字中，雙寫後續假名的子音表示促音っ，如後續假名的子音有兩個字母的，變換規則如下：sh → ssh、ch → tch、ts ↔→ tts。

* 一緒（いっしょ）：issho
* 切符（きっぷ）：kippu
* 結果（けっか）：kekka
* こっち：kotchi
* さっさと：sassato
* 雑誌（ざっし）：zasshi
* ずっと：zutto
* 抹茶（まっちゃ）：matcha
* 三（みっ）つ：mittsu

### 變體

平文式羅馬字有許多變體，主要和長音的表示有關。在「東京（とうきょう）」一詞中，長音「ō」分別寫作：

* Tōkyō：使用長音符號。**舊平文式**及**修正平文式**皆採用此寫法，最為常用。
* Tokyo：不使用任何記號。日語詞吸收進英語時使用。在英文文章中是事實上的標準。
* Tôkyô：使用揚抑符號（^）。在字處理器不支持長音符號會使用，但隨著 Unicode 的普及變得少見。
* Tohkyoh：長音「o」表示為「oh」，有時被稱為**護照平文式**（passport Hepburn），在日本國護照中使用此寫法，但非強制性。
* Toukyou：直接按照假名逐字轉寫，區別「おう」（如：東京（とうきょう）→Toukyou）和「おお」（遠い（とおい）→tooi）。這種規則來自羅馬字輸入法，在不方便輸入長音符號時很常用。
* Tookyoo：雙寫母音，在某些字典中使用，在拼寫外國人名時也很常用。

## 羅馬字表

　
: † 在現代日語中已被淘汰，羅馬字為「i」（ゐ／ヰ）和「e」（ゑ／ヱ）。用來表記外來詞的「wi」和「we」通常寫作「ウィ」和「ウェ」。

　
: ‡ 在現代日語中，假名を／ヲ作助詞時通常寫成「o」，を／ヲ的其他用途已經消失，用來表記外來詞的「wo」通常寫作「ウォ」。

### 片假名擴展

這些片假名組合通常用來表記外來語。

橙色背景廣泛用於表記外來語，藍色背景能更準確地轉寫外語發音，都是日本文部科學省提出的。淡棕色背景是美國國家標準協會和英國標準協會提出的。紫色背景出現於 1974 年的標準式羅馬字。

　
: \* 對於「wu」這個發音，更常用「ウー」（ū）表示，如「woman」表記為ウーマン（ūman）。

　
: \*\* ヴ的平假名是ゔ，在現代日語中不使用。

　
: † 在現代日語中已被淘汰，轉而使用ヴ加母音表示（上表第 5 列）。

## 參考資料

## 參閲

* 日語羅馬字
* 日本式羅馬字
* 訓令式羅馬字
* 現代假名遣

## 外部連結

* 和英語林集成第一版 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 和英語林集成第三版 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平文式罗马字

**平文式羅馬字**（日語：ヘボン式（しき）ローマ字（じ）_Hebon-shiki Rōmaji_ ?）是一種使用羅馬字母來為日語的發音進行標註的拼音方式，是幕末時代至日本行醫的長老教會美國籍牧師詹姆斯・柯蒂斯・赫本所設計，首見於他在 1867 年所撰著的日英辭典《和英語林集成》，是第一套在假名與羅馬拼音之間有嚴格的一對一關係之日語標音系統。

平文式羅馬字又經常譯為**赫本式羅馬字**或**黑本式羅馬字**，但由於在初版的《和英語林集成》封面作者欄，赫本是採用「美國平文」這漢字名稱自稱，而成為「平文式」這譯法的典故。日本政府雖曾在 1937 年時頒佈訓令式羅馬字嘗試取代平文式羅馬字的使用，但伴隨著戰後駐日盟軍總司令部要求各市鎮的道路入口需以平文式羅馬字標示地名，平文式的使用不減反增，於是日本政府又在 1954 年時推出改版的訓令式羅馬字。與全面排除平文式拼法的第一版不同，第二版的訓令式羅馬字允許在牽涉到國際場合或遇到既有的慣例時，承認平文式拼法的有效性，因此今日可以在許多由政府發行的法定文件（例如日本護照）中，看到以平文式羅馬字拼寫的日本地名或人名。

## 轉寫規則

平文式羅馬字的拼寫基於英語發音。因此對不熟悉日語的人而言，平文式羅馬字的發音將更接近日語發音，如將「し」轉寫成「shi」而不是「si」。

### 助詞

* 當「he」（へ）用作助詞時，寫作「e」。
* 當「ha」（は）用作助詞時，寫作「wa」。
* 當「wo」（を）用作助詞時，寫作「o」。

### 長音

在**舊平文式**（旧ヘボン式，traditional Hepburn）和**修正平文式**（修正ヘボン式，modified Hepburn 或 revised Hepburn）中：

* 長音「a」、「o」和「u」使用長音符號表示：長音「a」寫作「ā」，長音「o」寫作「ō」，長音「u」寫作「ū」。
* 長音「e」寫作「ei」。
* 長音「i」寫作「ii」。
* 外來語中，所有長音都用長音符號表示。

### 撥音「ん」

在**舊平文式**（旧ヘボン式，traditional Hepburn）中：

* 在子音前寫作「n」，但在唇音（ま行、ば行與ぱ行）前寫作「m」，在母音和や行之前使用連字號「-」。例如：
  * 案内（あんない）：annai
  * 簡易（かんい）：kan-i
  * 群馬（ぐんま）：gumma
  * 信用（しんよう）：shin-yō

在**修正平文式**（修正ヘボン式，modified Hepburn）中：

* 在子音前寫作「n」，母音和や行之前使用隔音號「'」。例如：
  * 案内（あんない）：annai
  * 簡易（かんい）：kan'i
  * 群馬（ぐんま）：gunma
  * 信用（しんよう）：shin'yō

### 促音「っ」

在平文式羅馬字中，雙寫後續假名的子音表示促音っ，如後續假名的子音有兩個字母的，變換規則如下：sh → ssh、ch → tch、ts ↔→ tts。

* 一緒（いっしょ）：issho
* 切符（きっぷ）：kippu
* 結果（けっか）：kekka
* こっち：kotchi
* さっさと：sassato
* 雑誌（ざっし）：zasshi
* ずっと：zutto
* 抹茶（まっちゃ）：matcha
* 三（みっ）つ：mittsu

### 變體

平文式羅馬字有許多變體，主要和長音的表示有關。在「東京（とうきょう）」一詞中，長音「ō」分別寫作：

* Tōkyō：使用長音符號。**舊平文式**及**修正平文式**皆採用此寫法，最為常用。
* Tokyo：不使用任何記號。日語詞吸收進英語時使用。在英文文章中是事實上的標準。
* Tôkyô：使用揚抑符號（^）。在字處理器不支持長音符號會使用，但隨著 Unicode 的普及變得少見。
* Tohkyoh：長音「o」表示為「oh」，有時被稱為**護照平文式**（passport Hepburn），在日本國護照中使用此寫法，但非強制性。
* Toukyou：直接按照假名逐字轉寫，區別「おう」（如：東京（とうきょう）→Toukyou）和「おお」（遠い（とおい）→tooi）。這種規則來自羅馬字輸入法，在不方便輸入長音符號時很常用。
* Tookyoo：雙寫母音，在某些字典中使用，在拼寫外國人名時也很常用。

## 羅馬字表

　
: † 在現代日語中已被淘汰，羅馬字為「i」（ゐ／ヰ）和「e」（ゑ／ヱ）。用來表記外來詞的「wi」和「we」通常寫作「ウィ」和「ウェ」。

　
: ‡ 在現代日語中，假名を／ヲ作助詞時通常寫成「o」，を／ヲ的其他用途已經消失，用來表記外來詞的「wo」通常寫作「ウォ」。

### 片假名擴展

這些片假名組合通常用來表記外來語。

橙色背景廣泛用於表記外來語，藍色背景能更準確地轉寫外語發音，都是日本文部科學省提出的。淡棕色背景是美國國家標準協會和英國標準協會提出的。紫色背景出現於 1974 年的標準式羅馬字。

　
: \* 對於「wu」這個發音，更常用「ウー」（ū）表示，如「woman」表記為ウーマン（ūman）。

　
: \*\* ヴ的平假名是ゔ，在現代日語中不使用。

　
: † 在現代日語中已被淘汰，轉而使用ヴ加母音表示（上表第 5 列）。

## 參考資料

## 參閲

* 日語羅馬字
* 日本式羅馬字
* 訓令式羅馬字
* 現代假名遣

## 外部連結

* 和英語林集成第一版 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 和英語林集成第三版 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平文皇后

**平文皇后王氏**（？—355 年） ，廣寧人，十六國代國拓跋鬱律的正妻。

王氏十三歲時進宮，她在 318 年生下拓跋什翼犍。321 年，拓跋鬱律遇難後，王氏把拓跋什翼犍藏在褲中。他沒有哭泣，倖免於難。後來拓跋什翼犍奪得王位後，王氏出了很大力。王氏在建國十八年（355 年）去世後，葬在雲中金陵。北魏建立，北魏道武帝拓跋珪追尊曾祖母諡號**平文皇后**，配饗太廟。

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《魏書 / 卷 13》，出自魏收《魏書》

　
: 《北史 / 卷 013》，出自李大師《北史》

　
:

## 參考資料

* 《魏書》列傳第一
平斯克

**平斯克**（白俄羅斯語：**Пінск**、俄語：Пинск、烏克蘭語：Пи́нськ、波蘭語：Pińsk、意第緒語：פינסק‎、立陶宛語：Pinskas）是位於白俄羅斯南部布列斯特州普里皮亞季河畔的一座城市，人口 150,000 人。城市所在的平斯克沼澤是歐洲最大的沼澤之一。

## 參考
平斯克州

**平斯克州**（白俄羅斯語：Пінская вобласць、俄語：Пинская область）是蘇聯白俄羅斯蘇維埃社會主義共和國的一個州，位於該加盟共和國的南部。1939 年 12 月 4 日蘇聯在波蘭被蘇德瓜分後在原波萊謝省的土地上建立的。面積 16,300 平方公里，1941 年人口 533,600 人。首府平斯克。下分 11 縣。

1954 年 1 月 8 日併入布列斯特州。
平斯克沼澤

**平斯克沼澤**是白俄羅斯和烏克蘭邊界，普里皮亞季河流域及其支流西起布列斯特經莫吉廖夫東南至基輔的一片天然濕地，也是歐洲最大的天然濕地，面積為 269400 平方公里。該濕地大部位於波列斯卡亞低地內。
平斯基區

**平斯基區**（白俄羅斯語：Пінскі раён），是白俄羅斯的一個區，位於該國西南部，屬於布列斯特州的一部分，面積 3,252.77 平方公里，2009 年人口 51,997，人口密度每平方公里 15.97 人。

## 參考資料

* Навіны Піншчыны на інфармацыйным партале Палесся Pinsk.tv
* Пінскі раён на YouTube （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Гуманітарна-асветніцкае грамадскае аб'яднанне «Садружнасць Палесся»
平斯多夫

**平斯多夫**（德語：Pinsdorf）是奧地利上奧地利州格蒙登縣的一個市鎮。總面積 12.5 平方公里，總人口 3583 人，人口密度 286.6 人 / 平方公里（2005 年）。

## 參見

* 上奧地利州市鎮列表

## 參考
平斯旺

**平斯旺**（德語：Pinswang）是奧地利蒂羅爾州羅伊特縣的一個市鎮。總面積 9.47 平方公里，總人口 431 人，人口密度 45.5 人 / 平方公里（2005 年）。

## 參見

* 蒂羅爾州市鎮列表

## 參考
平新来

**平新來**（1965 年 7 月 —），男，漢族，江蘇海安人，中華人民共和國政治人物。現任新疆維吾爾自治區人大常委會副主任。

## 參考資料
平新棘鮋

**平新棘鮋**，為條鰭魚綱鮋形目鮋亞目鮋科的其中一種，為熱帶海水魚，分布於東印度洋斯里蘭卡海域，棲息在底層水域，生活習性不明。

## 參考文獻

* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2014). _Neomerinthe erostris_. _FishBase_. Version 2014-06.

## 擴展閱讀
平新縣

**平新縣**（越南語：**Huyện Bình Tân**／縣平新）是越南永隆省下轄的一個縣。

## 地理

平新縣位於後江東岸，北接同塔省周城縣，西接同塔省來𡑵縣，西南和南接芹苴市烏門郡、平水郡和寧橋郡，東接三平縣和平明市社。

## 歷史

2020 年 1 月 10 日，成東社部分區域劃歸新貴社，成東社部分區域劃歸成利社，成東社剩餘區域劃歸新城社，成利社部分區域劃歸新貴社，新城社部分區域劃歸新平社；新貴社改制為新貴市鎮。

## 行政區劃

平新縣下轄 1 市鎮 9 社，縣蒞新貴市鎮。

* 新貴市鎮（Thị trấn Tân Quới）
* 阮文清社（Xã Nguyễn Văn Thảnh）
* 美順社（Xã Mỹ Thuận）
* 新安盛社（Xã Tân An Thạnh）
* 成利社（Xã Thành Lợi）
* 新城社（Xã Tân Thành）
* 新平社（Xã Tân Bình）
* 成中社（Xã Thành Trung）
* 新興社（Xã Tân Hưng）
* 新略社（Xã Tân Lược）

## 注釋
平新街道

**平新街道**，是中華人民共和國黑龍江省哈爾濱市平房區下轄的一個街道辦事處，位於市區南部，202 國道過境。

2012 年 6 月 26 日，黑龍江省民政廳批覆同意撤銷平新鎮，設立平新街道辦事處。

## 歷史沿革

1956 年設平新鄉，1958 年改為公社，1966 年更名東方紅公社，1984 年復建鄉，1996 年改建鎮。

## 行政區劃

平新街道下轄以下地區：

新華村和平樂村。

## 參考資料
平新郡

**平新郡**（越南語：**Quận Bình Tân**／郡平新）是越南胡志明市下轄的一個郡。面積 51.89 平方公里，2019 年總人口 784000 人。該郡為胡志明市移民工人工作的中心區域。

## 地理

平新郡東接新富郡和第六郡，西接平政縣，南接第八郡和平政縣，北接第十二郡和旭門縣。

## 歷史

2003 年 11 月 5 日，平政縣以平興和社、平治東社、新造社和安樂市鎮 1 市鎮 3 社析置平新郡；平興和社分設為平興和坊、平興和 A 坊和平興和 B 坊，平治東社分設為平治東坊、平治東 A 坊和平治東 B 坊，新造社分設為新造坊和新造 A 坊，安樂市鎮分設為安樂坊和安樂 A 坊。

## 行政區劃

平新郡下轄 10 坊，郡人民委員會位於安樂坊。

* 安樂坊（Phường An Lạc）
* 安樂 A 坊（Phường An Lạc A）
* 平興和坊（Phường Bình Hưng Hòa）
* 平興和 A 坊（Phường Bình Hưng Hòa A）
* 平興和 B 坊（Phường Bình Hưng Hòa B）
* 平治東坊（Phường Bình Trị Đông）
* 平治東 A 坊（Phường Bình Trị Đông A）
* 平治東 B 坊（Phường Bình Trị Đông B）
* 新造坊（Phường Tân Tạo）
* 新造 A 坊（Phường Tân Tạo A）

## 注釋
平新镇

**平新街道**，是中華人民共和國黑龍江省哈爾濱市平房區下轄的一個街道辦事處，位於市區南部，202 國道過境。

2012 年 6 月 26 日，黑龍江省民政廳批覆同意撤銷平新鎮，設立平新街道辦事處。

## 歷史沿革

1956 年設平新鄉，1958 年改為公社，1966 年更名東方紅公社，1984 年復建鄉，1996 年改建鎮。

## 行政區劃

平新街道下轄以下地區：

新華村和平樂村。

## 參考資料
平方

代數中，一個數的**平方**是此數與它的本身相乘所得的乘積，一個元素的**平方**是此元素與它的本身相乘所得的乘積，記作 _x_2。平方也可視為求指數為 2 的冪的值。若 _x_ 是正實數，這個乘積相當於一個邊長為 _x_ 的正方形的面積；如果 _x_ 為虛數，則這個乘積為負數。如果 _x_ 為非虛數的複數，則這個乘積也是複數。

如果實數 _y_ = _x_2，就說 _y_ 是 _x_ 的平方；如果同時 _x_ 是非負數，那麼 _x_ 就是 _y_ 的平方根。如果一個整數 $n$ 是某個整數的平方，則稱 $n$ 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數，無理數的平方可以是有理數，也可以是無理數。

## 平方和

**平方和**通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。
正整數的平方和公式如下：

$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}
$$

### 證明

用數學歸納法證明如下：

　
: $n=1$ 時， $1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1$ 成立

　
: $n=2$ 時， $1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5$ 成立

　
: 設 $n=k$ 時成立，即 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$ 成立

　
: 當 $n=k+1$ 時，

　
: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}$

　
: $={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}$

　
: $={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}$

　
: 故 $n=k+1$ 時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指： $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$

## 參見

* 立方
* 次方
平方京米

**面積**（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

## 面積公式

## 長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當 _l_ 是長，_w_ 是寬時，其公式為：

$$
A=lw
$$

當其圖形是一個正方形時， $l=w$ ，因此正方形的公式為：

$$
A=s^{2}
$$

長方形的面積計算方法需要證明。

#### 證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 —— 等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

　
: ${\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

又

　
: ${\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

所以

　
: $B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

　
:

根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於 R 是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入 R，得到：A:1=lw:1

　
: : $A=lw$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

#### 切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

$$
A=bh
$$

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

$$
A={\frac {1}{2}}bh
$$

#### 圓形面積

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為 r 的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為 r 的圓形面積相等於一個高為 r，底為 πr 的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

　
: $A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

#### 表面積

一些基本的立體**表面積**公式：

* 立方體： $6x^{2}$ （_x_ 是立方體的邊長）
* 長方體： $2(lw+wh+hl)$ （_l_、_w_、_h_ 分別是長方體的長、寬和高）
* 球體： $4\pi r^{2}$ （_r_ 是球體的半徑）
* 球冠： $2\pi rh$ （球冠是指被平面截下的部分球面；_r_ 是球體的半徑；_h_ 是球冠高）
* 直立圓錐體： $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ （_r_ 是圓錐體底部的半徑，_h_ 是它的高）
* 直立圓柱體： $2\pi r(h+r)$ （_r_ 是圓柱體圓形底部的半徑，_h_ 是它的高）

## 單位列表

### 主要單位

面積的測量單位主要包括：

* 平方公里 ——1,000,000 平方米
* 平方公引（ha）——10,000 平方米
* 平方公丈（a）——100 平方米
* 平方公尺 ——1 平方米，國際標準單位
* 平方公寸 ——0.01 平方米
* 平方公分 ——0.0001 平方分米
* 平方公釐 ——0.000001 平方厘米

市制：

* 畝 ——10 丈 × 6 丈 ——33.33 米 × 20 米 ——666.67 平方米
* 平方市里 ——0.25 平方公里
* 平方市尺 ——1/9 平方米

臺制：

* 甲 ——9,699.173 平方公尺（平方米）
* 坪 ——3.3058 平方公尺（平方米）

香港：

* 平方呎（平方英尺）——929 平方厘米

### 換算

## 嚴格定義

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。**面積**可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合 _M_ 映射至實數的函數 _a_，並滿足以下條件：

* 對於所有 $S\in M$ ，有 $a(S)\geq 0$ 。
* 若 $S,T\in M$ ，則 $S\cup T\in M$ 及 $S\cap T\in M$ ，且 $a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$ 。
* 若 $S,T\in M$ 且 $S\subseteq T$ ，則 $T-S\in M$ ，且 $a(T-S)=a(T)-a(S)$ 。
* 若 $S\in M$ 且 $S$ 全等於 $T$ ，則 $T\in M$ ，且 $a(S)=a(I)$ 。
* 任一矩形 $R$ 均屬於 $M$ 。若矩形的長為 $\ell $ 而寬為 $w$ ，則 $a(R)=\ell w$ 。
* 設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S\subseteq Q\subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S)\leq c\leq a(T)$ ，則 $Q\in M$ ，且 $a(Q)=c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

## 腳注

## 外部連結

* 面積單位換算 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方公分

**平方公分（平方厘米）** （符號為 **cm²**）是面積的公制單位（SI Unit），其定義是「邊長為 1 公分的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參見

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - **平方公分** - 平方公釐
平方公厘

**平方公釐**（符號為 **mm²**）是面積的公制單位 (SI Unit)，其定義是「邊長為 1 公厘的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - **平方公釐**
平方公尺

**平方米**，又稱為「**平方公尺**」（符號為 **m2**、㎡）是面積的公制單位，其定義是「在一平面上，邊長為一公尺的正方形之面積」。中國大陸在表示房間面積等時又常簡稱為「**平米**」或「**平**」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - **平方公尺** - 平方公分 - 平方公釐

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
* 轉換平方公尺的其他單位 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方公里

**平方公里**（符號為 **km²**，英語：square kilometer) 是面積的公制單位（SI Unit），其定義是「邊長為 1 公里的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器

## 參見

* 國際單位制
* 長度單位
* 時間長度比較
* 數量級
* 單位轉換
平方公里阵

**平方千米陣**（英語：**Square Kilometre Array**，縮寫為 **SKA**）是計謀劃中的下一代巨型無線電望遠鏡陣列，工作在 0.10–30GHz 的波段，有效接收面積可以達到大約 1 平方公里，靈敏度將比目前世界上最大的無線電望遠鏡還要高 50 倍。

平方千米陣將由上千台天線組成，其中有一半天線位於中央直徑 5 公里的區域內，另有四分之一的天線散布在周圍 150 公里的區域內，其餘的分布在大約 3000 公里的範圍內，呈螺旋形排列。平方千米陣預計能夠探測到宇宙大爆炸之後第一代恆星和星系形成時發出的電磁波、揭示磁場在恆星和星系演化過程中的作用、探測暗能量產生的種種效應，甚至有人希望能夠接受到地外智慧生命發出的無線電信號。

平方千米陣計劃始於 1993 年。在國際無線電科聯在日本京都舉行的大會上，10 個國家的天文學家聯合提議建造接受面積為 1 平方公里的巨型無線電望遠鏡陣。初期選址有澳大利亞、南非、中國、阿根廷四個國家參加了角逐。2006 年 9 月，中國和阿根廷的方案分別由於地理條件以及電離層不穩定而遭到否決。澳大利亞和南非因良好的無線電環境成為最後的候選者。澳大利亞的候選台址位於其西部，距離米卡薩拉（Meekatharra）大約 100 公里，南非候選站址位於北開普省的卡魯盆地，距離卡那封（Carnarvon）大約 95 公里，部分天線將位於波札那、納米比亞、莫三比克、馬達加斯加、模里西斯、肯亞、加納等周邊國家。

平方千米陣計劃將於 2008 年左右選定最終建造地點，2010 年開始建造，2015 年試運行，2020 年開始全面運行。整個項目預計將耗資 16 億美元。

2012 年 5 月 25 日，計劃團隊原定於 2016 年開始在南非、澳洲等地興建平方千米陣。但在多次延期和費用上升之後，加上預期計劃不會在當地有基建工程。2019 年 3 月 12 日，澳大利亞、中國、義大利、荷蘭、葡萄牙、南非、英國共七個創始成員國在羅馬簽署 SKA 天文台公約。紐西蘭政府於 2019 年 7 月 4 日宣布退出本計劃。2021 年 8 月 31 日，中華人民共和國批准《成立平方公里陣列天文台公約》。

## 參考文獻

## 外部連結

* 平方千米陣計劃網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方分米

**平方公寸**(符號為 **dm²**) 是面積的公制單位 (SI Unit)，其定義是「邊長為 1 公寸的正方形的面積」。

## 單位轉換

 

 

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐
平方十米

**公畝**（英語：**are**）是面積的單位，定義為 100 平方公尺，相

## 與其他單位的比較

1 公畝等於：

* 100 平方公尺
* 0.000 1 km²
* 0.01 公頃
* 0.024 710 英畝
* 3.953 678 平方桿
* 30.25 坪
* 119.60 平方碼
* 1076.3910 平方英尺
* 155 000 平方英寸

轉換公式：

* 1 平方公尺 = 0.01 公畝
* 1 km² = 10,000 公畝
* 1 公頃 = 100 公畝
* 1 英畝 = 40.470 公畝
* 1 平方桿 = 0.252 929 公畝
* 1 坪 = 0.033 058 公畝
* 1 平方碼 = 0.008 361 20 公畝
* 1 平方英尺 = 0.000 929 51 公畝
* 1 平方英寸 = 0.000 006 45 公畝

## 參見

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - **公畝** - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐
平方反比定律

**反平方定律**（英語：Inverse-square law）是一個物理學定律，又稱**平方反比定律**、**逆平方律**、**反平方律**；如果任何一個物理定律中，某種物理量的分布或強度，會按照距離源的平方反比而下降，那麼這個定律就可以稱為是一個**反平方定律**。

例子：

## 牛頓萬有引力定律

引力是具有質量的物體之間的吸引力。牛頓定律指出：

> 兩個點質量之間的引力與其質量的乘積成比例，與它們距離的平方成反比。引力總是吸引的，並在它們的連線上起作用。
> 
> 

如果每個物體中物質的分布是球形對稱的，則對象可以視為點質量，而不用近似，如殼層定理所示。否則，如果我們想要計算巨大物體之間的吸引力，我們需要以矢量方式添加所有點位吸引力，而淨吸引力可能不為精確的平方反比。但是，如果巨大物體之間的距離與其大小相比要大得多，那麼在計算引力時，將質量視為位於物體 [質心] 的點質量是合理的。

作為引力定律，1645 年伊斯梅爾・布利亞爾杜斯（Ismaël Bullialdus）提出了這一萬有引力定律。但布利亞爾杜斯不接受克卜勒的第二和第三定律，他也不欣賞克里斯蒂安・惠更斯的圓周運動理解（由中央力量拉到一邊的直線運動）。 事實上，布利亞爾杜斯認為太陽的力量在近地點吸引，在遠地點排斥。羅伯特・虎克和喬瓦尼・阿方索・博雷利在 1666 年都把引力作為一種有吸引力的力量 (虎克於 3 月 21 日在倫敦皇家學會的 "重力" 講座；博雷利的《行星理論》於 1666 年晚些時候出版)）。 虎克在 1670 年格雷舍姆的講座中說，引力適用於 "所有天體"，並增加了引力隨著距離而減弱，在沒有這種力時，物體以直線移動的原則。到 1679 年，虎克認為引力具有反向平方性，並在給艾薩克・牛頓的一封信中傳達了這一點：「我的假設是，吸引力總是與中心的距離的倒數成平方關係「 。

虎克仍然對牛頓聲稱發明這一原理感到痛苦， 儘管牛頓的 1686 年《原理》承認了虎克，與雷恩和哈雷一起，分別發現了太陽系中的逆平方定律，以及部分歸功於布利亞爾杜斯。

## 庫侖定律

兩個帶電粒子之間的吸引力或排斥力，不僅與電荷的乘積成正比外，還與它們之間的距離的平方成反比，這被稱為庫侖定律。指數與 2 的偏差小於 1015 分之 1。

 _$F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$_

## 參見

* 通量
* 天線
* 高斯定律
* 克卜勒定律
* 克卜勒問題
* 比例
* 倒數
* 距離衰減
* 費米悖論

## 參考文獻
平方取中法

**平方取中法**（Middle-square method）是個產生偽隨機數的方法，由馮・諾伊曼在 1946 年提出。

算法：

1. 選擇一個 $m$ 位數 $N_{i}$ 作為種子。
2. 計算 $N_{i}^{2}$
3. 若 $N_{i}^{2}$ 不足 $2m$ 個位，在前補 0。在這個數選中間 $m$ 個位的數，即 $10^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor +1}$ 至 $10^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor +m}$ 的數，將結果作為 $N_{i+1}$ 。

## 優劣

它並不算很好的方法，因為其週期通常很短，而且有很大的弱點（例如當起始數值是 $k\times 10^{m}$ 便不斷重覆）。不過這些問題很容易察覺，加上它十分快速，適用於 ENIAC，不無可取之處。

## 例子

1. 675248 → 455 959 861 504
2. 959861 → 921 333 139 321
3. 333139 → 110 981 593 321
4. 981593 → 963 524 817 649
5. 524817 → 275 432 883 489

...

## 參見

* 線性同餘方法
* Blum Blum Shub
平方可積函數

在數學中，**平方可積函數**（英語：**square-integrable function**）是絕對值平方的積分為有限值的實值或復值可測函數。因此，若

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty ,$

則我們說 _f_ 在實直線 $(-\infty ,+\infty )$ 上是平方可積的。平方可積一詞也可以用於有限區間如 [0, 1]。

一個等價的定義是，函數本身的平方（而非它的絕對值）是勒貝格可積的。要想使其為真，實部的正和負的部分的積分都必須是有限的，虛部也是如此。

通常這個術語不是指某個特定函數，而是指幾乎處處相等的一組函數。

## 性質

平方可積函數（這裡的「函數」實際上意味著幾乎處處相等的一組函數）通過內積構成一個內積空間，

　
: $\langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x$

其中

* _f_ 和 _g_ 都是平方可積函數，
* _f_(_x_) 是 _f_ 的複共軛
* _A_ 是積分區間 —— 在上述的第一種情況中，_A_ 就是 $(-\infty ,+\infty )$ ；在第二種情況中 _A_ 是 [0, 1]。

由於 |_a_|2 = _a a_，平方可積性之要求也即

　
: $\langle f,f\rangle <\infty .\,$

可以證明，平方可積函數在上述定義的內積導出的度量下構成一個完備度量空間。完備度量空間也被稱為柯西空間，因為在這樣的度量空間中，數列收斂若且唯若其為柯西序列。由一個範數導出的度量下的完備空間是巴拿赫空間。因此，平方可積函數的空間是由該範數導出的度量下的巴拿赫空間，而範數又是由內積導出的。由於內積的補充性質，這（空間）其實就是一個希爾伯特空間，因為空間在由內積導出的度量下是完備的。

這個內積空間通常記為 $\left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)$ ，並經常縮寫為 $L_{2}$ 。注意 $L_{2}$ 表示的是平方可積函數的集合，但該記號沒有指明選擇的度量、範數或內積。該集合需要連同特定的內積 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$ ，來確定內積空間。

平方可積函數構成的空間也是一個 _L_p 空間，其中 _p_ = 2。

## 參見

* _L_p 空間

## 參考文獻
平方吉米

**面積**（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

## 面積公式

## 長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當 _l_ 是長，_w_ 是寬時，其公式為：

$$
A=lw
$$

當其圖形是一個正方形時， $l=w$ ，因此正方形的公式為：

$$
A=s^{2}
$$

長方形的面積計算方法需要證明。

#### 證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 —— 等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

　
: ${\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

又

　
: ${\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

所以

　
: $B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

　
:

根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於 R 是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入 R，得到：A:1=lw:1

　
: : $A=lw$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

#### 切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

$$
A=bh
$$

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

$$
A={\frac {1}{2}}bh
$$

#### 圓形面積

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為 r 的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為 r 的圓形面積相等於一個高為 r，底為 πr 的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

　
: $A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

#### 表面積

一些基本的立體**表面積**公式：

* 立方體： $6x^{2}$ （_x_ 是立方體的邊長）
* 長方體： $2(lw+wh+hl)$ （_l_、_w_、_h_ 分別是長方體的長、寬和高）
* 球體： $4\pi r^{2}$ （_r_ 是球體的半徑）
* 球冠： $2\pi rh$ （球冠是指被平面截下的部分球面；_r_ 是球體的半徑；_h_ 是球冠高）
* 直立圓錐體： $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ （_r_ 是圓錐體底部的半徑，_h_ 是它的高）
* 直立圓柱體： $2\pi r(h+r)$ （_r_ 是圓柱體圓形底部的半徑，_h_ 是它的高）

## 單位列表

### 主要單位

面積的測量單位主要包括：

* 平方公里 ——1,000,000 平方米
* 平方公引（ha）——10,000 平方米
* 平方公丈（a）——100 平方米
* 平方公尺 ——1 平方米，國際標準單位
* 平方公寸 ——0.01 平方米
* 平方公分 ——0.0001 平方分米
* 平方公釐 ——0.000001 平方厘米

市制：

* 畝 ——10 丈 × 6 丈 ——33.33 米 × 20 米 ——666.67 平方米
* 平方市里 ——0.25 平方公里
* 平方市尺 ——1/9 平方米

臺制：

* 甲 ——9,699.173 平方公尺（平方米）
* 坪 ——3.3058 平方公尺（平方米）

香港：

* 平方呎（平方英尺）——929 平方厘米

### 換算

## 嚴格定義

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。**面積**可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合 _M_ 映射至實數的函數 _a_，並滿足以下條件：

* 對於所有 $S\in M$ ，有 $a(S)\geq 0$ 。
* 若 $S,T\in M$ ，則 $S\cup T\in M$ 及 $S\cap T\in M$ ，且 $a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$ 。
* 若 $S,T\in M$ 且 $S\subseteq T$ ，則 $T-S\in M$ ，且 $a(T-S)=a(T)-a(S)$ 。
* 若 $S\in M$ 且 $S$ 全等於 $T$ ，則 $T\in M$ ，且 $a(S)=a(I)$ 。
* 任一矩形 $R$ 均屬於 $M$ 。若矩形的長為 $\ell $ 而寬為 $w$ ，則 $a(R)=\ell w$ 。
* 設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S\subseteq Q\subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S)\leq c\leq a(T)$ ，則 $Q\in M$ ，且 $a(Q)=c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

## 腳注

## 外部連結

* 面積單位換算 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方吋

**平方英寸**是一個英制的面積單位，其定義是「邊長為 1 英寸的正方形的面積」。

## 單位轉換

1 平方英寸等於：

* 0.0069444444444 平方英尺（1 平方英尺等於 144 平方英寸）
* 約 0.00077160493827160493 平方碼（1 平方碼等於 1296 平方英寸）
* 6.4516 平方公分（1 平方公分等於大約 0.15500031 平方英寸）
* 0.00064516 平方公尺（1 平方公尺等於大約 1,550.0031 平方英寸）

## 參看

* 國際單位
* 表面積
* 平方
* 平方根

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
平方同餘

在數論中，**平方同餘**是個經常被用於整數分解演算法的同餘關係。

## 由來

給定一正整數 _n_，費馬因式分解法想找到兩數 _x_, _y_ 滿足下列方程式：

　
: $x^{2}-y^{2}=n$

從上式我們便可以分解得 _n_ = _x_2 - _y_2 = (_x_ + _y_)(_x_ - _y_)。 此演算法在實際用途上較慢因為我們需要試圖找出許多類似的數字，而只有一部分會滿足這個嚴格的式子。 然而， _n_ 也可能可以被分解，如果我們能滿足以下較弱的**平方同餘**的情況：

　
: $x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}$

　
: $x\not \equiv \pm y{\pmod {n}}$

從上面二式我們可以輕易推得：

　
: $x^{2}-y^{2}\equiv 0{\pmod {n}}$

　
: $(x+y)(x-y)\equiv 0{\pmod {n}}$

這意味著 _n_ 整除乘積 (_x_ + _y_)(_x_ - _y_)。 因此 (_x_ + _y_) 以及 (_x_ − _y_) 各自包含著 _n_ 的因數， 但那些因數有可能是平凡的（等於 1 或是 _n_ 本身）。 在這樣的情況下，我們需要找到其他的 _x_ 和 _y_ 。計算 (_x_ + _y_, _n_) 和 (_x_ - _y_, _n_) 的最大公因數將給我們這些因數；而這可以輾轉相除法快速得出。

平方同餘在整數分解演算法裡相當地有用、且廣為使用於，舉例來說，二次篩選法、 普通數域篩選法、連續分數因式分解法、 以及狄克森因式分解法。反過來說，因為要找到模一合數下的平方根概率上在多項式時間等價於分解該數， 任何整數分解演算法皆用於找到一個平方同餘數。

### 更進一步的一般化

其可以使用因數基底去幫助更快找到平方同餘。 比起從頭開始找 $x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}$ ，不如我們找到許多的 $x^{2}\equiv y{\pmod {n}}$ ，其中 _y_ 只有小的質因數， 並試著去將其中幾個 y 乘在一起去得到一個平方數（在等號的右側）。

## 例子

### 分解 35

我們取 **_n_ = 35** 並得：

　
: $6^{2}=36\equiv 1\equiv 1^{2}{\pmod {35}}$

因此分解成：

　
: $\gcd(6-1,35)\cdot \gcd(6+1,35)=5\cdot 7=35$

### 分解 1649

設 **_n_ = 1649**， 並作為從一些非平方數的乘積建構出平方同餘的例子（參見 狄克森因式分解法）， 首先我們得到幾個同餘式：

　
: $41^{2}\equiv 32{\pmod {1649}}$

　
: $42^{2}\equiv 115{\pmod {1649}}$

　
: $43^{2}\equiv 200{\pmod {1649}}$

在其之中，有兩個式子的數字只有小質數作為因數：

　
: $32=2^{5}$

　
: $200=2^{3}\cdot 5^{2}$

且兩者的其中一個組合滿足質因數的次方皆為偶數，因此形成了一個平方數：

　
: $32\cdot 200=2^{5+3}\cdot 5^{2}=2^{8}\cdot 5^{2}=(2^{4}\cdot 5)^{2}=80^{2}$

因此得出平方同餘的關係式：

　
: $32\cdot 200=80^{2}\equiv 41^{2}\cdot 43^{2}\equiv 114^{2}{\pmod {1649}}$

所以分別作為 _x_、_y_ 值的 80 和 114 得出因數：

　
: $\gcd(114-80,1649)\cdot \gcd(114+80,1649)=17\cdot 97=1649.$

## 參見

* 同餘關係
平方呎

**平方英尺**是使用於英國（聯合王國）、其（前）殖民地和大英國協國家的面積單位。美國等國家也使用它。

在香港，「平方英尺」通常約定俗成地簡寫成「**英尺**」（主要用於住宅銷售，如單位建築面積 xxx 英尺、英尺價 xxx 元），並經常用於計算樓面面積。

## 單位換算

1 平方英尺 = 144 平方英寸 = 929.0304 平方公分 = 0.09290304 平方公尺（準確值）

## 參見

* 英制
* 香港建築
平方和

代數中，一個數的**平方**是此數與它的本身相乘所得的乘積，一個元素的**平方**是此元素與它的本身相乘所得的乘積，記作 _x_2。平方也可視為求指數為 2 的冪的值。若 _x_ 是正實數，這個乘積相當於一個邊長為 _x_ 的正方形的面積；如果 _x_ 為虛數，則這個乘積為負數。如果 _x_ 為非虛數的複數，則這個乘積也是複數。

如果實數 _y_ = _x_2，就說 _y_ 是 _x_ 的平方；如果同時 _x_ 是非負數，那麼 _x_ 就是 _y_ 的平方根。如果一個整數 $n$ 是某個整數的平方，則稱 $n$ 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數，無理數的平方可以是有理數，也可以是無理數。

## 平方和

**平方和**通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。
正整數的平方和公式如下：

$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}
$$

### 證明

用數學歸納法證明如下：

　
: $n=1$ 時， $1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1$ 成立

　
: $n=2$ 時， $1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5$ 成立

　
: 設 $n=k$ 時成立，即 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$ 成立

　
: 當 $n=k+1$ 時，

　
: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}$

　
: $={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}$

　
: $={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

　
: $={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}$

　
: 故 $n=k+1$ 時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指： $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$

## 參見

* 立方
* 次方
平方哩

**平方英里**（簡寫：**sq. mi** or **mi²**）是一個面積單位。

## 與其他單位的比較

1 平方英里等於：

* 4,014,489,600 平方英寸
* 27,878,400 平方英尺
* 2,589,998.11 平方公尺
* 640 英畝
* 2.589988110336 平方公里
* 3,097,600 平方碼

## 參看

* **平方英里** - 平方碼 - 英畝 - 平方英尺 - 平方英寸
平方奈米

**平方奈米**(符號為 **nm²**) 是面積的公制單位 (SI Unit)，其定義是「邊長為 1 奈米的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐
平方子乡

**平方子鄉**，是中華人民共和國河北省秦皇島市青龍滿族自治縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

平方子鄉下轄以下地區：

平方子村、​二道河村、​於杖子村、​周杖子村、​馮杖子村、​薛莊村、​陳家屯村、​北溝村、​南坎子村和亂泥溝村。

## 參考資料
平方平均

**平方平均數**（英語：quadratic mean），又稱**均方根**（或**方均根**，root mean square，縮寫為 RMS），是均方（一組數字平方的算術平均數）的平方根，是 2 次方的廣義平均數的表達式，也可叫做 2 次冪平均數。其計算公式是：

　
: $M={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2} \over n}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2} \over n}}$

在連續函數 ${\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}$ 的區間 ${\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}}$ 內，其均方根定義為：

$$
f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {b-a}}{\int _{a}^{b}{[f(x)]}^{2}\,dx}}}
$$

## 應用

均方根常用來計算一組數據和某個數據的「平均差」。像交流電的電壓、電流數值以及均勻加速直線運動的位移中點平均速度，都是以其實際數值的均方根表示。例如「220 V 交流電」表示電壓訊號的均方根（又稱為有效值）為 220 V，此為交流電瞬時值（瞬時值又稱暫態值）的最大值（峰值）的 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ 。

另外，統計學中的標準差 ${\bar {s}}$ ，就是所有數據 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 和平均值 ${\bar {x}}$ 相減後的數據

　
: $x_{1}-{\bar {x}},x_{2}-{\bar {x}},...,x_{n}-{\bar {x}}$

的均方根

　
: ${\bar {s}}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}}$

## 適用模型

均方根值並非所有模型均適用，只有在數值分佈呈現常態分佈時才適用。如果分佈呈現方波、三角波，就要用其他的公式，否則失真會很大。

## 參見

* 算術平均數
* 幾何平均數
* 調和平均數
* 算術 - 幾何平均數
* 平均數不等式
* 最小二乘法
* 均方差
* 數學符號表

## 參考文獻
平方幺米

**面積**（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

## 面積公式

## 長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當 _l_ 是長，_w_ 是寬時，其公式為：

$$
A=lw
$$

當其圖形是一個正方形時， $l=w$ ，因此正方形的公式為：

$$
A=s^{2}
$$

長方形的面積計算方法需要證明。

#### 證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 —— 等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

　
: ${\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

又

　
: ${\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

所以

　
: $B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

　
:

根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於 R 是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入 R，得到：A:1=lw:1

　
: : $A=lw$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

#### 切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

$$
A=bh
$$

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

$$
A={\frac {1}{2}}bh
$$

#### 圓形面積

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為 r 的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為 r 的圓形面積相等於一個高為 r，底為 πr 的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

　
: $A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

#### 表面積

一些基本的立體**表面積**公式：

* 立方體： $6x^{2}$ （_x_ 是立方體的邊長）
* 長方體： $2(lw+wh+hl)$ （_l_、_w_、_h_ 分別是長方體的長、寬和高）
* 球體： $4\pi r^{2}$ （_r_ 是球體的半徑）
* 球冠： $2\pi rh$ （球冠是指被平面截下的部分球面；_r_ 是球體的半徑；_h_ 是球冠高）
* 直立圓錐體： $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ （_r_ 是圓錐體底部的半徑，_h_ 是它的高）
* 直立圓柱體： $2\pi r(h+r)$ （_r_ 是圓柱體圓形底部的半徑，_h_ 是它的高）

## 單位列表

### 主要單位

面積的測量單位主要包括：

* 平方公里 ——1,000,000 平方米
* 平方公引（ha）——10,000 平方米
* 平方公丈（a）——100 平方米
* 平方公尺 ——1 平方米，國際標準單位
* 平方公寸 ——0.01 平方米
* 平方公分 ——0.0001 平方分米
* 平方公釐 ——0.000001 平方厘米

市制：

* 畝 ——10 丈 × 6 丈 ——33.33 米 × 20 米 ——666.67 平方米
* 平方市里 ——0.25 平方公里
* 平方市尺 ——1/9 平方米

臺制：

* 甲 ——9,699.173 平方公尺（平方米）
* 坪 ——3.3058 平方公尺（平方米）

香港：

* 平方呎（平方英尺）——929 平方厘米

### 換算

## 嚴格定義

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。**面積**可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合 _M_ 映射至實數的函數 _a_，並滿足以下條件：

* 對於所有 $S\in M$ ，有 $a(S)\geq 0$ 。
* 若 $S,T\in M$ ，則 $S\cup T\in M$ 及 $S\cap T\in M$ ，且 $a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$ 。
* 若 $S,T\in M$ 且 $S\subseteq T$ ，則 $T-S\in M$ ，且 $a(T-S)=a(T)-a(S)$ 。
* 若 $S\in M$ 且 $S$ 全等於 $T$ ，則 $T\in M$ ，且 $a(S)=a(I)$ 。
* 任一矩形 $R$ 均屬於 $M$ 。若矩形的長為 $\ell $ 而寬為 $w$ ，則 $a(R)=\ell w$ 。
* 設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S\subseteq Q\subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S)\leq c\leq a(T)$ ，則 $Q\in M$ ，且 $a(Q)=c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

## 腳注

## 外部連結

* 面積單位換算 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方度

**平方度**（英語：square degree）是一個量度立體角的非國際單位制單位。這個單位是從對平面角的度量推廣得到的。對應於切分圓為 360 份所得到的單位度，將一個球面切分為 $129600 \over \pi $ 份，每一份即為一平方度。這個數值大約為 41252.96。

## 推導

圓形的周界：

把圓形的周長當成是 360

$$
{\begin{matrix}S&=&2*\pi *r=360\\r&=&{180 \over \pi }\end{matrix}}
$$

此時一度 (1°) 對應的弧長為 1。

球面積：

在同樣的半徑下，一平方度對應的表面積亦為 1。

$$
{\begin{matrix}A&=&4*\pi *r^{2}\\\ &=&2*(2*\pi *r)*r\\\ &=&2*360*{180 \over \pi }\\\ &\approx &41252.96\end{matrix}}
$$

因此一個球面約為 41252.96 平方度。

## 應用

平方度這個單位被廣泛應用於天文學上，以度量天區在天球所佔的面積。例如，從地球上觀察，月球的視面積大約為 0.196 平方度；而天球上最大的單一星座長蛇座，其面積約為 1,302.844 平方度，差不多佔了地平線以上天空的 6%。

## 注釋

## 參見

* 球面度

## 外部連結

* （日語） 天文用語辭典：平方度 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 星座與黃道 12 星座 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）─提及「平方度」以及一個球體面積有多少平方度
平方数

數學上，**平方數**，或稱**完全平方數**，是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，它是一個平方數。

平方數也稱**正方形數**，若 _n_ 為平方數，將 _n_ 個點排成矩形，可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因數，則稱其為無平方數因數的數。

前 n 個平方數

（OEIS 數列 A000290）：

## 表達式

一個整數是完全平方數若且唯若相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

**通項公式**

對於一個整數 _n_，它的平方寫成 _n_2。_n_2 等於頭 _n_ 個正奇數的和（ $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$ ）。在上圖中，從 1 開始，第 _n_ 個平方數表示為前一個平方數加上第 _n_ 個正奇數，如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五個平方數 25 等於第四個平方數 16 加上第五個正奇數：9。

**遞歸公式**

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 $n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ 。例如，2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62。

**連續整數的和**

平方數還可以表示成 _n_2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + _n_ − 1 + _n_ − 1 + _n_。例如，42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如， 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

## 性質

* 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。
* 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4k(8_m_ + 7) 的數。若且唯若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4_k_+ 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。
* 在十進位中，平方數只能以 1，4，6，9 或 00 25 結尾。
1. 若一個數以 0 結尾，它的平方數以 0 結尾（除 0 外，其他數字的個位和十位數字都是 0 ），且 00 前面的數也是平方數（例如：0x0=0、10x10=100）
2. 若一個數以 1 或 9 結尾，它的平方數以 1 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
3. 若一個數以 2 或 8 結尾，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字為偶數（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
4. 若一個數以 3 或 7 結尾，它的平方數以 9 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
5. 若一個數以 4 或 6 結尾，它的平方數以 6 結尾，且前面的一位數字為奇數（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
6. 若一個數以 5 結尾，它的平方數以 25 結尾，且前面的一位或兩位數字必定為 0，2，06，56 之一，25 前面的數是普洛尼克數（例如：5x5=25、15x15=225）

至於為什麼祇能以 00、25 結尾，可以將該數字除以 100。可以發現，n.5 若寫成分數形式，則為 (2n+1)/2。設 2n+1=p，則 p 與 n 互質。根據完全平方公式可得，(2n/2 + 1/2)^2=n^2 + 1 + 0.25。由於前面均為整數，所以最終結果小數部分必為.25。乘以 100 後，則最後兩位必為 25。

* 在十二進位中，平方數的末位數必定是平方數（0, 1, 4 或 9）：
1. 若一個數同時是 2 和 3 的倍數（也就是為 6 的倍數），它的平方數以 0 結尾，且前面的一位數字為 0 或 3。
2. 若一個數既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數（也就是與 12 互質），它的平方數以 1 結尾，且前面的一位數字為偶數。
3. 若一個數是 2 的倍數但不是 3 的倍數，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字除以 4 的餘數為 0 或 1（也就是說，前一位數為 0,1,4,5,8,9）。
4. 若一個數不是 2 的倍數而是 3 的倍數，它的平方數以 9 結尾，且前面的一位數字為 0 或 6。
* 每 4 個連續的自然數相乘加 1，必定會等於一個平方數，即 _a_(_a_ + 1)(_a_ + 2)(_a_ + 3) + 1 = (_a_2 + 3_a_ + 1)2。
* 平方數必定不是完全數。
* 平方數必定是 3 的倍數或者 3 的倍數 + 1。
* 平方數必定是 4 的倍數或者 4 的倍數 + 1。 
（以上兩者均包括 0 （ 0 倍））
* 0 以外的平方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 4, 9, 7 。
* 是否在相繼正方形數之間存在一個素數這一命題，對 9000000 以內的數目是正確的。
* 除了 00 以外，平方數末 2 位數若相同，必為 44：如 122=144，382=1444，622=3844。
* 除了 000 以外，平方數末 3 位數若相同，必為 444：如 382=1444，4622=213444。
* 除了 0000 以外，平方數末 4 位數不可能相同。
* 除了 0 以外，平方數不可能是普洛尼克數。。
* 除了 0 以外，平方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
* 除了 0，1，144 以外，平方數不可能是費波那契數。
* 除了 1 跟 4 以外，平方數也不可能是盧卡斯數。
* 除了 0，1，169 以外，平方數不可能是佩爾數。
* 除了 0，1，4，19600 以外，平方數不可能是四面體數。
* 除了 1 跟 4900 以外，平方數不可能是四角錐數。
* 平方數不可能是楔形數。
* 平方數是模任何整數的二次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的二次剩餘，那麼她一定是平方數。
* 平方數的正因數總和 (含自己) 一定是奇數。
* 平方數的正因數個數是奇數。
* 當 $m\leq 300000$ 時，不定方程 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+......+m^{2}=\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\color {Red}{\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}=n^{2}}$ 的正整數解 (m , n) 只有 (1 , 1) 與 (24 , 70)。

## 註釋

## 參考資料

## 參看

* 平方
* 立方數：平方數在立體的推廣
* 四次方數：平方數在四維空間的推廣
* 五次方數：平方數在五維空間的推廣
* 三角形數
* 三角平方數：同時為三角形數和平方數的數
* 多邊形數
平方數

數學上，**平方數**，或稱**完全平方數**，是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，它是一個平方數。

平方數也稱**正方形數**，若 _n_ 為平方數，將 _n_ 個點排成矩形，可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因數，則稱其為無平方數因數的數。

前 n 個平方數

（OEIS 數列 A000290）：

## 表達式

一個整數是完全平方數若且唯若相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

**通項公式**

對於一個整數 _n_，它的平方寫成 _n_2。_n_2 等於頭 _n_ 個正奇數的和（ $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$ ）。在上圖中，從 1 開始，第 _n_ 個平方數表示為前一個平方數加上第 _n_ 個正奇數，如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五個平方數 25 等於第四個平方數 16 加上第五個正奇數：9。

**遞歸公式**

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 $n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ 。例如，2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62。

**連續整數的和**

平方數還可以表示成 _n_2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + _n_ − 1 + _n_ − 1 + _n_。例如，42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如， 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

## 性質

* 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。
* 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4k(8_m_ + 7) 的數。若且唯若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4_k_+ 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。
* 在十進位中，平方數只能以 1，4，6，9 或 00 25 結尾。
1. 若一個數以 0 結尾，它的平方數以 0 結尾（除 0 外，其他數字的個位和十位數字都是 0 ），且 00 前面的數也是平方數（例如：0x0=0、10x10=100）
2. 若一個數以 1 或 9 結尾，它的平方數以 1 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
3. 若一個數以 2 或 8 結尾，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字為偶數（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
4. 若一個數以 3 或 7 結尾，它的平方數以 9 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
5. 若一個數以 4 或 6 結尾，它的平方數以 6 結尾，且前面的一位數字為奇數（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
6. 若一個數以 5 結尾，它的平方數以 25 結尾，且前面的一位或兩位數字必定為 0，2，06，56 之一，25 前面的數是普洛尼克數（例如：5x5=25、15x15=225）

至於為什麼祇能以 00、25 結尾，可以將該數字除以 100。可以發現，n.5 若寫成分數形式，則為 (2n+1)/2。設 2n+1=p，則 p 與 n 互質。根據完全平方公式可得，(2n/2 + 1/2)^2=n^2 + 1 + 0.25。由於前面均為整數，所以最終結果小數部分必為.25。乘以 100 後，則最後兩位必為 25。

* 在十二進位中，平方數的末位數必定是平方數（0, 1, 4 或 9）：
1. 若一個數同時是 2 和 3 的倍數（也就是為 6 的倍數），它的平方數以 0 結尾，且前面的一位數字為 0 或 3。
2. 若一個數既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數（也就是與 12 互質），它的平方數以 1 結尾，且前面的一位數字為偶數。
3. 若一個數是 2 的倍數但不是 3 的倍數，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字除以 4 的餘數為 0 或 1（也就是說，前一位數為 0,1,4,5,8,9）。
4. 若一個數不是 2 的倍數而是 3 的倍數，它的平方數以 9 結尾，且前面的一位數字為 0 或 6。
* 每 4 個連續的自然數相乘加 1，必定會等於一個平方數，即 _a_(_a_ + 1)(_a_ + 2)(_a_ + 3) + 1 = (_a_2 + 3_a_ + 1)2。
* 平方數必定不是完全數。
* 平方數必定是 3 的倍數或者 3 的倍數 + 1。
* 平方數必定是 4 的倍數或者 4 的倍數 + 1。 
（以上兩者均包括 0 （ 0 倍））
* 0 以外的平方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 4, 9, 7 。
* 是否在相繼正方形數之間存在一個素數這一命題，對 9000000 以內的數目是正確的。
* 除了 00 以外，平方數末 2 位數若相同，必為 44：如 122=144，382=1444，622=3844。
* 除了 000 以外，平方數末 3 位數若相同，必為 444：如 382=1444，4622=213444。
* 除了 0000 以外，平方數末 4 位數不可能相同。
* 除了 0 以外，平方數不可能是普洛尼克數。。
* 除了 0 以外，平方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
* 除了 0，1，144 以外，平方數不可能是費波那契數。
* 除了 1 跟 4 以外，平方數也不可能是盧卡斯數。
* 除了 0，1，169 以外，平方數不可能是佩爾數。
* 除了 0，1，4，19600 以外，平方數不可能是四面體數。
* 除了 1 跟 4900 以外，平方數不可能是四角錐數。
* 平方數不可能是楔形數。
* 平方數是模任何整數的二次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的二次剩餘，那麼她一定是平方數。
* 平方數的正因數總和 (含自己) 一定是奇數。
* 平方數的正因數個數是奇數。
* 當 $m\leq 300000$ 時，不定方程 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+......+m^{2}=\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\color {Red}{\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}=n^{2}}$ 的正整數解 (m , n) 只有 (1 , 1) 與 (24 , 70)。

## 註釋

## 參考資料

## 參看

* 平方
* 立方數：平方數在立體的推廣
* 四次方數：平方數在四維空間的推廣
* 五次方數：平方數在五維空間的推廣
* 三角形數
* 三角平方數：同時為三角形數和平方數的數
* 多邊形數
平方根日

**平方根日**指日和月是相同數字，相乘以後更能得出年份的日子，即日或月的平方為年，每個世紀也會有 9 次經過這個特別日子。過去的平方根日有 2001 年 1 月 1 日、2004 年 2 月 2 日及 2009 年 3 月 3 日、2016 年 4 月 4 日等。下一個平方根日為 2025 年 5 月 5 日，再來是 2036 年 6 月 6 日、2049 年 7 月 7 日、2064 年 8 月 8 日而本世紀最後的平方根日為 2081 年 9 月 9 日。

## 所有日子

每個世紀中也會有這些平方根日：

* 1/1/01
* 2/2/04
* 3/3/09
* 4/4/16
* 5/5/25
* 6/6/36
* 7/7/49
* 8/8/64
* 9/9/81

### 中華民國

* 10/10/100（民國 100 年是 2011 年）
* 11/11/121（民國 121 年是 2032 年）
* 12/12/144（民國 144 年是 2055 年）

## 參見

* 莫耳日
* 圓周率日
平方毫米

**平方公釐**（符號為 **mm²**）是面積的公制單位 (SI Unit)，其定義是「邊長為 1 公厘的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - **平方公釐**
平方百米

**公頃**（hectare）為面積的公制單位（國際單位），為國際單位制並用單位之一。國際上，縮寫為 ha；在中國大陸的法定縮寫為 hm²。一塊面積一公頃的土地，大約與標準足球場近似。此外，公頃也稱為（HA）。

* 1 公頃 = 10 000 平方公尺（square metres） = 100 公尺 ×100 公尺
* 1 公頃 = 100 公畝（ares，公頃的英文字頭 hect- 就是「一百」之意）
* 1 公頃 = 15 畝
* 1 公頃 = 2.471 053 8 英畝（acres）
* 1 公頃 = 0.01 平方公里（square kilometers）
* 1 公頃 = 16.276 營造畝
* 1 公頃 = 1.031034 甲
* 1 公頃 = 3025 坪
* 100 公頃 = 1 平方公里
* 0.40468564 公頃 = 1 英畝
* 0.06666666 公頃 = 1 畝
* 0.01 公頃 = 1 公畝
* 0.0001 公頃 = 1 平方公尺
* 1 公頃 = 100 000 000 平方公分

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐

## 參考文獻
平方碼

**平方碼**是一個英制的面積單位，其定義是「邊長為 1 碼的正方形的面積」，1 碼為 3 英尺。

## 單位轉換

1 平方碼等於:

* 1,296 平方英吋
* 9 平方英尺
* ≈0.00020661157 英畝
* ≈0.000000322830579 平方英里
* 836 127.36 平方毫米
* 8 361.2736 平方厘米
* 0.83612736 平方米
* 0.00000083612736 平方千米

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
平方米

**平方米**，又稱為「**平方公尺**」（符號為 **m2**、㎡）是面積的公制單位，其定義是「在一平面上，邊長為一公尺的正方形之面積」。中國大陸在表示房間面積等時又常簡稱為「**平米**」或「**平**」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - **平方公尺** - 平方公分 - 平方公釐

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
* 轉換平方公尺的其他單位 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方米每像素

**平方米每像素**（m2/ 像素）是在太陽系拍攝星體（包括地球）的遠程數碼影像時，其光學解析度的常用單位。

其他的解析度有：

* ASTER（在地球軌道上的 Terra 衛星上）：15–90 m2/ 像素。
平方納米

**平方奈米**(符號為 **nm²**) 是面積的公制單位 (SI Unit)，其定義是「邊長為 1 奈米的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐
平方艾米

**面積**（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

## 面積公式

## 長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當 _l_ 是長，_w_ 是寬時，其公式為：

$$
A=lw
$$

當其圖形是一個正方形時， $l=w$ ，因此正方形的公式為：

$$
A=s^{2}
$$

長方形的面積計算方法需要證明。

#### 證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 —— 等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

　
: ${\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

又

　
: ${\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

所以

　
: $B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

　
:

根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於 R 是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入 R，得到：A:1=lw:1

　
: : $A=lw$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

#### 切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

$$
A=bh
$$

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

$$
A={\frac {1}{2}}bh
$$

#### 圓形面積

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為 r 的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為 r 的圓形面積相等於一個高為 r，底為 πr 的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

　
: $A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

#### 表面積

一些基本的立體**表面積**公式：

* 立方體： $6x^{2}$ （_x_ 是立方體的邊長）
* 長方體： $2(lw+wh+hl)$ （_l_、_w_、_h_ 分別是長方體的長、寬和高）
* 球體： $4\pi r^{2}$ （_r_ 是球體的半徑）
* 球冠： $2\pi rh$ （球冠是指被平面截下的部分球面；_r_ 是球體的半徑；_h_ 是球冠高）
* 直立圓錐體： $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ （_r_ 是圓錐體底部的半徑，_h_ 是它的高）
* 直立圓柱體： $2\pi r(h+r)$ （_r_ 是圓柱體圓形底部的半徑，_h_ 是它的高）

## 單位列表

### 主要單位

面積的測量單位主要包括：

* 平方公里 ——1,000,000 平方米
* 平方公引（ha）——10,000 平方米
* 平方公丈（a）——100 平方米
* 平方公尺 ——1 平方米，國際標準單位
* 平方公寸 ——0.01 平方米
* 平方公分 ——0.0001 平方分米
* 平方公釐 ——0.000001 平方厘米

市制：

* 畝 ——10 丈 × 6 丈 ——33.33 米 × 20 米 ——666.67 平方米
* 平方市里 ——0.25 平方公里
* 平方市尺 ——1/9 平方米

臺制：

* 甲 ——9,699.173 平方公尺（平方米）
* 坪 ——3.3058 平方公尺（平方米）

香港：

* 平方呎（平方英尺）——929 平方厘米

### 換算

## 嚴格定義

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。**面積**可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合 _M_ 映射至實數的函數 _a_，並滿足以下條件：

* 對於所有 $S\in M$ ，有 $a(S)\geq 0$ 。
* 若 $S,T\in M$ ，則 $S\cup T\in M$ 及 $S\cap T\in M$ ，且 $a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$ 。
* 若 $S,T\in M$ 且 $S\subseteq T$ ，則 $T-S\in M$ ，且 $a(T-S)=a(T)-a(S)$ 。
* 若 $S\in M$ 且 $S$ 全等於 $T$ ，則 $T\in M$ ，且 $a(S)=a(I)$ 。
* 任一矩形 $R$ 均屬於 $M$ 。若矩形的長為 $\ell $ 而寬為 $w$ ，則 $a(R)=\ell w$ 。
* 設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S\subseteq Q\subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S)\leq c\leq a(T)$ ，則 $Q\in M$ ，且 $a(Q)=c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

## 腳注

## 外部連結

* 面積單位換算 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方英吋

**平方英寸**是一個英制的面積單位，其定義是「邊長為 1 英寸的正方形的面積」。

## 單位轉換

1 平方英寸等於：

* 0.0069444444444 平方英尺（1 平方英尺等於 144 平方英寸）
* 約 0.00077160493827160493 平方碼（1 平方碼等於 1296 平方英寸）
* 6.4516 平方公分（1 平方公分等於大約 0.15500031 平方英寸）
* 0.00064516 平方公尺（1 平方公尺等於大約 1,550.0031 平方英寸）

## 參看

* 國際單位
* 表面積
* 平方
* 平方根

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
平方英呎

**平方英尺**是使用於英國（聯合王國）、其（前）殖民地和大英國協國家的面積單位。美國等國家也使用它。

在香港，「平方英尺」通常約定俗成地簡寫成「**英尺**」（主要用於住宅銷售，如單位建築面積 xxx 英尺、英尺價 xxx 元），並經常用於計算樓面面積。

## 單位換算

1 平方英尺 = 144 平方英寸 = 929.0304 平方公分 = 0.09290304 平方公尺（準確值）

## 參見

* 英制
* 香港建築
平方英哩

**平方英里**（簡寫：**sq. mi** or **mi²**）是一個面積單位。

## 與其他單位的比較

1 平方英里等於：

* 4,014,489,600 平方英寸
* 27,878,400 平方英尺
* 2,589,998.11 平方公尺
* 640 英畝
* 2.589988110336 平方公里
* 3,097,600 平方碼

## 參看

* **平方英里** - 平方碼 - 英畝 - 平方英尺 - 平方英寸
平方英寸

**平方英寸**是一個英制的面積單位，其定義是「邊長為 1 英寸的正方形的面積」。

## 單位轉換

1 平方英寸等於：

* 0.0069444444444 平方英尺（1 平方英尺等於 144 平方英寸）
* 約 0.00077160493827160493 平方碼（1 平方碼等於 1296 平方英寸）
* 6.4516 平方公分（1 平方公分等於大約 0.15500031 平方英寸）
* 0.00064516 平方公尺（1 平方公尺等於大約 1,550.0031 平方英寸）

## 參看

* 國際單位
* 表面積
* 平方
* 平方根

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
平方英尺

**平方英尺**是使用於英國（聯合王國）、其（前）殖民地和大英國協國家的面積單位。美國等國家也使用它。

在香港，「平方英尺」通常約定俗成地簡寫成「**英尺**」（主要用於住宅銷售，如單位建築面積 xxx 英尺、英尺價 xxx 元），並經常用於計算樓面面積。

## 單位換算

1 平方英尺 = 144 平方英寸 = 929.0304 平方公分 = 0.09290304 平方公尺（準確值）

## 參見

* 英制
* 香港建築
平方華里

**平方里**或**平方華里**是面積單位，其定義是「邊長為 1 華里的正方形的面積」。

**平方市里**是市制的面積單位，其定義是「邊長為 1 市里（500 米）的正方形的面積」。

1 平方里 = 25 0000 平方米 = 0.25 平方公里

## 參看

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - 平方公分 - 平方公釐

## 外部連結

* 面積單位轉換計算器
平方距离

**平方距離**（**squared distance**）一般可以用在數字圖像處理的相關情況下。

兩顏色向量 $C_{1}$ 與 $C_{2}$ 的平方距離為：

$$
(C_{1}\cdot r-C_{2}\cdot r)^{2}+(C_{1}\cdot g-C_{2}\cdot g)^{2}+(C_{1}\cdot b-C_{2}\cdot b)^{2}
$$
平方釐米

**平方公分（平方厘米）** （符號為 **cm²**）是面積的公制單位（SI Unit），其定義是「邊長為 1 公分的正方形的面積」。

## 單位轉換

## 參見

* 國際單位 - 長度單位 - 時間長度比較 - 數量級 - 單位轉換
* 平方公里 - 公頃 - 公畝 - 平方公尺 - **平方公分** - 平方公釐
平方阿米

**面積**（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

## 面積公式

## 長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當 _l_ 是長，_w_ 是寬時，其公式為：

$$
A=lw
$$

當其圖形是一個正方形時， $l=w$ ，因此正方形的公式為：

$$
A=s^{2}
$$

長方形的面積計算方法需要證明。

#### 證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 —— 等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

　
: ${\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

又

　
: ${\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}$

所以

　
: $B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},$

引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積

　
:

根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於 R 是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入 R，得到：A:1=lw:1

　
: : $A=lw$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

#### 切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

$$
A=bh
$$

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

$$
A={\frac {1}{2}}bh
$$

#### 圓形面積

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為 r 的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為 r 的圓形面積相等於一個高為 r，底為 πr 的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

　
: $A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

#### 表面積

一些基本的立體**表面積**公式：

* 立方體： $6x^{2}$ （_x_ 是立方體的邊長）
* 長方體： $2(lw+wh+hl)$ （_l_、_w_、_h_ 分別是長方體的長、寬和高）
* 球體： $4\pi r^{2}$ （_r_ 是球體的半徑）
* 球冠： $2\pi rh$ （球冠是指被平面截下的部分球面；_r_ 是球體的半徑；_h_ 是球冠高）
* 直立圓錐體： $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ （_r_ 是圓錐體底部的半徑，_h_ 是它的高）
* 直立圓柱體： $2\pi r(h+r)$ （_r_ 是圓柱體圓形底部的半徑，_h_ 是它的高）

## 單位列表

### 主要單位

面積的測量單位主要包括：

* 平方公里 ——1,000,000 平方米
* 平方公引（ha）——10,000 平方米
* 平方公丈（a）——100 平方米
* 平方公尺 ——1 平方米，國際標準單位
* 平方公寸 ——0.01 平方米
* 平方公分 ——0.0001 平方分米
* 平方公釐 ——0.000001 平方厘米

市制：

* 畝 ——10 丈 × 6 丈 ——33.33 米 × 20 米 ——666.67 平方米
* 平方市里 ——0.25 平方公里
* 平方市尺 ——1/9 平方米

臺制：

* 甲 ——9,699.173 平方公尺（平方米）
* 坪 ——3.3058 平方公尺（平方米）

香港：

* 平方呎（平方英尺）——929 平方厘米

### 換算

## 嚴格定義

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。**面積**可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合 _M_ 映射至實數的函數 _a_，並滿足以下條件：

* 對於所有 $S\in M$ ，有 $a(S)\geq 0$ 。
* 若 $S,T\in M$ ，則 $S\cup T\in M$ 及 $S\cap T\in M$ ，且 $a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$ 。
* 若 $S,T\in M$ 且 $S\subseteq T$ ，則 $T-S\in M$ ，且 $a(T-S)=a(T)-a(S)$ 。
* 若 $S\in M$ 且 $S$ 全等於 $T$ ，則 $T\in M$ ，且 $a(S)=a(I)$ 。
* 任一矩形 $R$ 均屬於 $M$ 。若矩形的長為 $\ell $ 而寬為 $w$ ，則 $a(R)=\ell w$ 。
* 設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S\subseteq Q\subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S)\leq c\leq a(T)$ ，則 $Q\in M$ ，且 $a(Q)=c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

## 腳注

## 外部連結

* 面積單位換算 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平旋橋

**平轉橋**，又稱**旋轉橋**，是活動橋的一種，多建築於水道之上，可以作 90 度旋轉，關閉時橋面可行人或行車，開啟後可供橋下的船隻通過。

## 著名例子

* 世界最長的平轉橋為埃爾費爾丹鐵路橋，橋梁跨度為 340 公尺（1,120 英尺），橫跨埃及蘇伊士運河。
* 亞洲較為知名的平轉橋，是位於日本天橋立的廻旋橋，建於 1932 年，初時以人力轉動，1957 年改為電動，是當地的旅遊景點之一。
* 英國泰恩河上的平轉橋於 1876 年落成，現為 II\* 級登錄建築（Grade II\* Listed）。
* 天津的金湯橋是中國大陸境內一座典型的平轉橋

## 參考
平旋殼

**平旋殼**（planispiral）和**異旋殼**（heterostrophic，亦作 conispiral）是一個軟體動物形態學的分類方式。當軟體動物成長時，相對於蝦、蟹之類會不停換殼的物種，牠們會在其胎殼（protoconch，即最初孵化出來時的外殼）之外繼續增大其外殼，而原來的胎殼成為了殼的頂點。依照胎殼螺層與成年的螺層的相對位置，可以分為平旋殼和異旋殼兩類：

* 平旋殼的胎殼與成年層位於同一平面，使管狀殼的直徑隨殼的不斷長大而大增，例如：扁卷螺科；
* 異旋殼的胎殼則與成年層位於不同的平面，例如：車輪螺科。

一般的腹足綱物種都是異旋殼，平旋的殼可算是牠們的一種特例。然而，亦有把這個名詞用於腹足綱以外，例如：用來形容頭足綱及管蟲的棲管。

## 參考文獻

## 參看

* 螺殼 #形態

## 外部連結
平旋殼和異旋殼

**平旋殼**（planispiral）和**異旋殼**（heterostrophic，亦作 conispiral）是一個軟體動物形態學的分類方式。當軟體動物成長時，相對於蝦、蟹之類會不停換殼的物種，牠們會在其胎殼（protoconch，即最初孵化出來時的外殼）之外繼續增大其外殼，而原來的胎殼成為了殼的頂點。依照胎殼螺層與成年的螺層的相對位置，可以分為平旋殼和異旋殼兩類：

* 平旋殼的胎殼與成年層位於同一平面，使管狀殼的直徑隨殼的不斷長大而大增，例如：扁卷螺科；
* 異旋殼的胎殼則與成年層位於不同的平面，例如：車輪螺科。

一般的腹足綱物種都是異旋殼，平旋的殼可算是牠們的一種特例。然而，亦有把這個名詞用於腹足綱以外，例如：用來形容頭足綱及管蟲的棲管。

## 參考文獻

## 參看

* 螺殼 #形態

## 外部連結
平日

**工作日**，又稱**平日**，是指一個國家和地區除了星期六、星期日以及國定假日之外的任何一天。

各個地區的工作日上班時間有所不同。例如在美國和許多西方國家，工作日的工作時間為上午 9 點至下午 5 點，而在亞洲國家例如日本，工作時間是上午 8:30 至晚上 7 點。

## 參見

* 五天工作制
* 周日

## 參考文獻
平日下午3點的戀人

《**平日下午 3 點的戀人**》（韓語：**평일 오후 세시의 연인**），為韓國 Channel A 於 2019 年 7 月 5 日起播出的金土連續劇，由《隱藏身份》的金廷珉導演與《就算愛也沒關係》的劉素貞作家合作打造。此劇改編自 2014 年日劇《晝顏～平日午後 3 點的戀人們～》，講述平凡的女主角在遇上了秀雅後，漸漸被引導到不倫之路，兩人互相幫助彼此外遇的故事。

## 演員陣容

### 主要人物

### 女子的丈夫

### 男子的妻子

### 超級市場

### 女子的家族

### 出版社

### 其他人物

## 收視率

* 收視最低的集數以**藍色**表示，收視最高的集數以**紅色**表示，而空格則表示該集的收視沒有相關數據。

## 同時段競爭作品

* JTBC 金土連續劇：《輔佐官–改變世界的人們》、《Melo 體質》

## 參考資料

## 外部連結

* 韓國 Channel A 官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（韓文）
平旦

**寅**是地支之一，通常當為地支的第三位，其前為丑、其後為卯。寅月從立春（公曆 2 月 4±1 日）當日開始到驚蜇（公曆 3 月 6±1 日）前一天為止，大致為農曆正月，寅時為二十四小時制的 03:00 至 05:00，在方向上指東北偏東。五行裡寅代表木，陰陽學說裡寅為陽。

寅有生動之意，指春天時草木初生的狀態，同時寅與引是通假字，因此亦有引導之意。在後世，人們為了便於記憶，因此將每一地支順序對應每一生肖，所以寅與十二生肖的虎搭配，在二十八宿的對應是尾宿（尾火虎）。

## 含寅的干支

* 丙寅
* 戊寅
* 庚寅
* 壬寅
* 甲寅
平旺乡

**平旺鄉**是中華人民共和國山西省大同市雲岡區下轄的一個鄉。

## 行政區劃

2001 年，南郊區行政區劃調整，原平旺鄉、口泉鄉的 4 個村合併，設立新的平旺鄉。

2021 年 3 月，撤銷忻州窯街道、煤峪口街道，整建制併入平旺鄉。以原忻州窯街道、原煤峪口街道、原平旺鄉的行政區域為平旺鄉的行政區域。

平旺鄉下轄 10 個村

平旺村、​拖皮村、​王家園村、​時莊村、​馬營村、​三井村、​煤峪口村、​石岩莊村、​忻州窯村和大北溝村。

## 參考
平旺湖

**平旺湖**是一個位於中國江蘇省興化縣的湖泊，面積約為 3.5 平方千米，平均水深約為 1.4 米，蓄水量約為 480 萬立方米。

## 參考資料