常微分方程摄动方法

**微擾理論**使用一些特別的數學方法來對於很多不具精確解的問題給出近似解，這些方法從相關的較簡單問題的精確解開始入手。微擾理論將原本問題分為具有精確解的較簡單部分與不具精確解的微擾部分。微擾理論適用的問題通常具有以下性質：通過加入一個微擾項於較簡單部分的數學表述，可以計算出整個問題的近似解。

微擾理論計算出來的解答通常會表達為一個微小參數的冪級數。微擾理論解答與精確解之間的差別，可以用這微小參數來做數量比較。冪級數的第一個項目是精確解的解答。後面的項目描述解答的修正。這修正是因為精確解與原本問題的「完全解」之間的誤差而產生的。更正式地，完全解 $A\,\!$ 的近似可以表達為一個級數：

　
: $A=\epsilon ^{0}A_{0}+\epsilon ^{1}A_{1}+\epsilon ^{2}A_{2}+\cdots \,\!$ ；

在這例子裏， $A_{0}\,\!$ 是簡單又有「精確解」的問題的精確解， $A_{1},\,A_{2},\,\!$ 代表由某種系統程序反覆地找到的高階項目修正。因為 $\epsilon \,\!$ 的值很微小，這些高階項目修正應該會越來越不重要。

## 微擾階數

微擾理論的標準闡述主要是以微擾的階數來分辨：一階微擾理論或二階微擾理論。再來就是以微擾的簡併度來分辨：無簡併或有簡併。有簡併的微擾，又稱為奇異微擾（singular perturbation），比較難解，必須用到更進階的理論。

## 一階無簡併微擾理論

本段落講述微分方程的一階微擾理論。為了簡單易解，假設零微擾系統的解答是不簡併的。

### 一階本徵值修正

許多常微分方程或偏微分方程可以表達為

　
: $Dg(x)=\lambda g(x)\,\!$ ；(1)

其中， $D\,\!$ 是某特定微分算子， $\lambda \,\!$ 是其本徵值。

假設微分算子可以寫為

　
: $D=D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\,\!$ ；

其中， $\epsilon \,\!$ 是微小的度量。

又假設我們已知道 $D^{(0)}\,\!$ 的解答的完備集 $\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$ ；其中，解答 $f_{i}^{(0)}(x)\,\!$ 是 $D^{(0)}\,\!$ 的本徵值為 $\lambda _{i}^{(0)}\,\!$ 的本徵函數。用方程表達，

　
: $D^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)=\lambda _{i}^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$ 。

還有，這一集合的解答 $\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$ 形成一個正交歸一集：

　
: $\int f_{i}^{(0)}(x)f_{j}^{(0)}(x)\,dx=\delta _{ij}\,\!$ ；

其中， $\delta _{ij}\,\!$ 是克羅內克函數。

取至零階，完全解 $g(x)\,\!$ 應該相當接近集合里一個零微擾解。設定這零微擾解為 $f_{n}^{(0)}(x)\,\!$ 。用方程表達，

　
: $g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$ ；

其中， ${\mathcal {O}}\,\!$ 採用大 O 符號來描述函數的漸近行為。

完全解的本徵值也可近似為

　
: $\lambda =\lambda _{n}^{(0)}+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$ 。

將完全解 $g(x)\,\!$ 寫為零微擾解的線性組合，

　
: $g(x)=\sum _{m}c_{m}f_{m}^{(0)}(x)\,\!$ ；(2)

其中，除了 $c_{n}\,\!$ 以外，所有的常數 $c_{m},\ m\neq n\,\!$ 的值是 ${\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$ ；只有 $c_{n}\,\!$ 的值是 ${\mathcal {O}}(1)\,\!$ 。

將公式 (2) 代入公式 (1)，乘以 $f_{n}^{(0)}(x)\,\!$ ，利用正交歸一性，可以得到

　
: $\lambda _{n}^{(0)}c_{n}+\epsilon \sum _{m}c_{m}\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx=\lambda c_{n}\,\!$ 。

這可以很容易地改變為一個簡單的線性代數問題，一個尋找矩陣的本徵值的問題：給予 $\sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!$ ，求 $\lambda \,\!$ ；其中， $A_{nm}\,\!$ 是矩陣元素：

　
: $A_{nm}=\lambda _{n}^{(0)}\delta _{nm}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx\,\!$ 。

我們並不需要解析整個矩陣。注意到線性方程裡的每一個 $c_{m}\,\!$ 都是 ${\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$ ；只有 $c_{n}\,\!$ 的值是 ${\mathcal {O}}(1)\,\!$ 。所以，取至 $\epsilon \,\!$ 一階，線性方程可以很容易地解析為

　
: $\lambda =\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!$ 。(3)

這就是一階微擾理論的本徵值解答。一階本徵值數修正是

　
: $\lambda _{n}^{(1)}=\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!$ 。

### 一階本徵函數修正

取至一階，函數 $g(x)\,\!$ 可以用類似的推理求得。設定

　
: $g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\,\!$ 。(4)

那麼，公式 (1) 變為

　
: $\left(D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\right)\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)=(\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \lambda _{n}^{(1)})\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)\,\!$ 。

取至一階，展開這方程。經過一番運算，可以得到

　
: $D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)+D^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)+\lambda _{n}^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,\!$ 。(5)

由於 $\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$ 是一個完備集， $f_{n}^{(1)}(x)\,\!$ 可以寫為

　
: $f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$ 。(6)

請注意，這方程右手邊的總和表達式，並不含有 $f_{n}^{(0)}(x)\,\!$ 項目。任何 $f_{n}^{(0)}(x)\,\!$ 的貢獻，可以與公式 (4) 的零階項目相合併。

將公式 (6) 代入公式 (5)，可以得到

　
: $(D^{(1)}-\lambda _{n}^{(1)})f_{n}^{(0)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)-D^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$ 。

將這方乘式兩邊都乘以 $f_{j}^{(0)}(x)\,\!$ ，再隨著 $x\,\!$ 積分，利用正交歸一性，可以得到

　
: $\int \,f_{j}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}\int \,f_{j}^{(0)}(x)f_{i}^{(0)}(x)=(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{j}^{(0)})C_{j}\,\!$ 。

稍加編排，改變下標 $j\,\!$ 為 $m\,\!$ 。那麼，一階本徵函數修正 $f_{n}^{(1)}(x)\,\!$ 可以寫為

　
: $f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{m\neq n}{\frac {f_{m}^{(0)}(x)}{\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{m}^{(0)}}}\int \,f_{m}^{(0)}(y)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(y)\,dy\,\!$ 。

## 參閱

* 多體微擾理論

## 參考資料

## 外部連結

* 微擾方法簡介 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）作者 Mark H. Holmes
* 第二章：微擾方法簡介作者 Johan Byström,Lars-Erik Persson，及 Fredrik Strömberg