廣義相對論的替代理論

**廣義相對論的替代理論**是與愛因斯坦廣義相對論競爭，嘗試要描述重力現象的物理理論。

對於建構一個理想重力理論，至今已有許多不同的嘗試。這些嘗試可以分為下面四個大類：

* 與廣義相對論直接競爭的理論，例如嘉當理論以及布蘭斯 - 狄克理論等等。
* 嘗試建構量子化的重力理論，例如迴圈量子重力理論。
* 嘗試統一重力與其他基本力，例如卡魯扎 - 克萊因理論。
* 嘗試將所有目標畢其功於一役，例如 M 理論。

本文談論對象僅包括與廣義相對論的直接競爭理論。關於量子化重力理論課題，參見量子重力。重力與其他基本力的統一理論課題，參見古典統一場論。試圖將所有目標畢其功於一役的理論，請見萬有理論。

## 動機

建立新的重力理論的動機隨著年代不同，最早先的動機是要解釋行星軌道（牛頓重力）以及更複雜的軌道（例如：拉格朗日）。再來登場的是不成功的嘗試 —— 要合併重力與波理論或微粒 (corpuscular) 理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現，物理學的樣貌徹底改變，而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時，實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎 —— 勞侖茲不變性、重力造成的光線偏折、Eötvös 實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

## 本文中的符號標記

 $c\;$ 為光速， $G\;$ 為重力常數。幾何變數 (Geometric variables) 在此不使用。

拉丁字母指標取值從 1 到 3，希臘字母指標取值從 0 到 3。採用愛因斯坦取和原則。

 $\eta _{\mu \nu }\;$ 為閔可夫斯基度規。 $g_{\mu \nu }\;$ 為一張量，通常是度規張量。其有標記 (signature) $(-,+,+,+)$ 。

協變微分 (Covariant differentiation) 寫為 $\nabla _{\mu }\phi \;$ 或 $\phi _{;\mu }\;$ 。

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

## 理論分類

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有：

* 一作用量（參見最小作用量原理，其為一基於作用量觀念的變分原理）
* 一拉格朗日密度
* 一度規

若一理論具有一拉格朗日密度，寫作 $L\,$ ，則作用量 $S\,$ 則是此項的積分，例如： $S\,\propto \,\int d^{4}xR{\sqrt {-g}}L\,$

其中 $R\,$ 是空間的曲率。在此方程式中，通常會有 $g=-1\,$ 的情形，但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立；儘管如此，要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983 年原始版本的 MOND 並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德 (1922 年) 的理論，此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論 (metric theory) 僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述：

**條件 1.** 存在一度規張量 $g_{\mu \nu }\,$ ，標記為 1，而此度規掌控了原長 (proper-length) 與原時 (proper-time) 測量，一如在狹義與廣義相對論：

　
: $ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,$

此式中對指標 $\mu $ 與 $\nu $ 進行取和。

**條件 2.** 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應：

　
: $\nabla \cdot T=0\,$

其中 $T\,$ 為應力 - 能量張量，針對所有物質以及非重力的場，而 $\nabla $ 為隨度規所做的協變導數 (covariant derivative)]。

任何重力理論若 $g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu }$ 永遠成立，則其非度規理論，但任何度規理論可以給予違背條件 1 與 2 的數學描述。

度規理論包括（從簡單至複雜）：

* 純量場理論（包括共形平直理論 (Conformally flat theories)，以及具有共形平直空間切面 (Conformally flat space slices) 的層狀理論 (Stratified theories)）

諾德斯特洛姆 (Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦（1912 年）、Whitrow-Morduch、羅森 (Rosen)（1971 年）、Papapetrou、倪維斗 (Ni)、Yilmaz、[Coleman]、李 - 萊特曼 - 倪 (Lee-Lightman-Ni)

* 雙度規理論

羅森（1975 年）、Rastall、萊特曼 - 李 (Lightman-Lee)

* 類線性理論（包括線性固定規範 (Linear fixed gauge)）

懷海德 (Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

* 張量理論

愛因斯坦廣義相對論

* 純量 - 張量理論
* 向量 - 張量理論
* 其他度規理論

（參見後文 1980 年代至今的現代理論）

非度規理論，則包括嘉當 (Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理，在這裡做一些陳述是洽當的，因為其中一些理論根據的是馬赫原理，例如懷海德（1922 年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協 (half-way-house)。可以做如此描述：

* 牛頓：絕對空間與時間。
* 馬赫：參考系源自於宇宙中物質的分布。
* 愛因斯坦：沒有絕對的參考系。

目前為止，所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的，但其可能性尚未被完全排除。

## 早期理論（1686 年至 1916 年）

早期重力理論 —— 指的是廣義相對論之前的理論 —— 包括有牛頓（1686 年）、愛因斯坦（1912 年 a & b）、愛因斯坦與格羅斯曼 (Grossmann)（1913 年）、諾德斯特洛姆 (Nordström)（1912 年、 1913 年）以及愛因斯坦與佛克 (Fokker)（1914 年）。

在牛頓（1686 年）理論中（以更近代的數學重寫），質量密度 $\rho \,$ 產生了一個純量場 $\phi \,$ ：

　
: ${\partial ^{2}\phi  \over \partial x^{j}\partial x^{j}}=4\pi \rho \,$ 。

 
利用倒三角算符 (Nabla operator) $\nabla $ ，可以很方面地寫成：

　
: $\nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \,$ 。

而純量場掌控了自由下落粒子的運動：

　
: ${d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \phi  \over \partial x^{j}\,}=0\,$ 。

其中純量場為 $\phi =GM/r\,$ 。

## 廣義相對論替代理論的測試

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為（參見 Will 2001）：

* 基本生存力 (Basic Viability)
* 愛因斯坦等效原理 (Einstein's Equivalence Principle, EEP)
* 參數化後牛頓形式 (Parametric Post-Newtonian, PPN)
* 強場重力 (Strong Gravity)
* 重力波 (Gravitational Waves)

## 理論測試結果

### 一些理論的 PPN 參數實測值

（細節參見威爾 (Will)（1981 年）與倪維斗 (Ni)（1972 年）。米斯納 (Misner) 等人（1973 年）製表將倪氏參數記號轉換成威爾的版本。）

廣義相對論至今已經超過 90 歲，而不斷繼起的重力替代理論卻無法與更精確的觀測結果相一致。更細節的描述請見參數化後牛頓形式 (Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列舉了為數眾多的理論之 PPN 值。如果格中的值跟行頂格子的值相同，則表示完整的的式子太複雜而無法列在此處；例如：行頂格子為 β 參數，而 Bergmann（1968 年）, Wagoner（1970 年）的格子值也是 β。

† 此理論不完備，且 $\zeta _{4}$ 可以是兩值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有實驗測試與廣義相對論相符，因此 PPN 分析立即刪除了表中所有的純量場論。

此處未有針對懷海德（1922 年）、Deser-Laurent（1968 年）、Bollini-Giamiago-Tiomino（1970 年）三者的完整 PPN 參數列表。但在這些三個情形中 $\beta =\gamma $ ，這與廣義相對論的情形以及實驗結果嚴重違背。特別的是，這些理論預測的地球潮汐振幅是不正確的值。

## 腳註

## 參考文獻