库塔-儒可夫斯基定理

**庫塔 - 儒可夫斯基定理**（**Kutta–Joukowski theorem**）是空氣動力學的基本定理，計算機翼或是二維物體（例如圓柱）在均勻流體中的升力，且此流場的速度夠快，使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出，機翼產生的升力與機翼通過流體的速度、流體密度以及環量有所關聯。庫塔 - 儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁・威爾海姆・庫塔及俄國科學家尼古拉・葉戈羅維奇・茹科夫斯基，他們在二十世紀初首次提出這様的概念。庫塔 - 儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論，不過在典型的空氣動力學應用中，可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體，環量被定義為與閉合迴路相切的「流體切線速度的線積分」，其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

庫塔 - 儒可夫斯基定理建立升力和環量的關係，類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣。不過此處的環量不是因為機翼的旋轉而產生，而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在，氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場（渦旋）的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生，不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時，旋轉流可以視為是由渦旋所引發的，渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的庫塔 - 儒可夫斯基定理時，一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。

## 升力公式

此定理和在二維流場中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當環量 $\Gamma \,$ 已知，其升力 $L\,$ 除以翼展下的單位翼展升力（或表示為 $L'\,$ ）可以表示為以下的方程式：

　
:

其中

　
: $\rho _{\infty }\,$ 及 $V_{\infty }\,$ 分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度，

　
: $\Gamma \,$ 為以下線積分定義的環量（逆時針為正值）

　
: $\Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,$

上述環量是沿著一個封閉圍道 $C$ 進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在位流的範圍內，不能在圓柱的邊界層內。被積分式 $V\cos \theta \,$ 是局部流體速度沿著曲線 $C\,$ 切線方向的分量，且 $ds\,$ 為曲線 $C\,$ 的無窮小面積。方程式 **(1)** 是庫塔 - 儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe 和 Schetzer 用以下的話描述庫塔 - 儒可夫斯基定理：

　
: 任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於 $-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma $ ，方向和 $V_{\infty }.$ 垂直。

在使用庫塔 - 儒可夫斯基定理時，需注意環量 $\Gamma $ 的計算。

## 環量和庫塔條件

一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角 $\alpha >0\,$ （機翼弦線和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的庫塔條件。普朗特發現若雷諾數 $Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,$ 夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區域的非黏性流。

庫塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮庫塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加庫塔條件相當於計算環量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足庫塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合庫塔條件，會得到一個由 = 庫塔 - 儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

## 推導

以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較啟發式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到向量分析及複變分析的知識。

### 啟發式的推導

以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為 $c$ ，有無限長的翼展，在密度為 $\rho $ 的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為 $V$ ，另一側的氣流速度為 $V+v$ ，因此其環流為

　
: $\Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,$

機翼兩側的壓力差 $\Delta P$ 可以由伯努利定律求得

　
: ${\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,$

　
: ${\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,$

　
: $\Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,$

因此單位翼展的浮力為

　
: $L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,$

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

### 正式的推導

　
:

## 較複雜情形下的升力

庫塔 - 儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，庫塔 - 儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流。

在推導庫塔 - 儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

* 小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現渦片泄離，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，渦片會延著平面的路徑，升力係數的曲線會隨時間而變化，其形式會是 Wagner 函數。此時最終升力會如同庫塔 - 儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的 90%。
* 大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的渦片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。
* 大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，渦片泄離會出現在前緣，而前緣的渦片泄離有二種不同的效果：

　
: 1. 若仍接近前緣，可以提昇 Wagner 升力曲線，可以增加升力。

　
: 2. 若前緣的渦片泄離和後緣有關，引入新的後緣螺旋形渦片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。

　
: 對於這種流場，渦升力線（VFL）圖可以用來了解不同情形下渦流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制渦流以增強或降低升力。渦升力線圖是一個二維的圖，其中會繪出渦升力線，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出渦流對升力的提升或破壞程度。

* Lagally 定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為 Lagally 定理。。

　
: 針對二相的非黏性流，傳統的庫塔 - 儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

## 相關條目

* 馬格努斯效應
* 馬蹄形旋渦
* 升力係數
* 庫塔條件
* 翅膀

## 參考資料

* Batchelor, G. K. (1967) _An Introduction to Fluid Dynamics_, Cambridge University Press
* Clancy, L.J. (1975), _Aerodynamics_, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
* A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), _Foundations of Aerodynamics_, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3