平行軸定理

**平行軸定理**（英語：**parallel axis theorem**）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 $I_{C}\,\!$ 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、 $M\,\!$ 代表剛體的質量、 $d\,\!$ 代表另外一支直軸 z'- 軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'- 軸的轉動慣量是

　
: $I_{z'}=I_{C}+Md^{2}\,\!$ 。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於面積二次矩（面積慣性矩）：

　
: $I_{z}=I_{x}+Ad^{2}\,\!$ ；

這裏， $I_{z}\,\!$ 是對於 z - 軸的面積慣性矩、 $I_{x}\,\!$ 是對於平面質心軸的面積慣性矩、 $A\,\!$ 是面積、 $d\,\!$ 是 z - 軸與質心軸的垂直距離。

因雅各・史丹納 (Jakob Steiner) 而命名，**史丹納定理**所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

## 進階理論

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一參考點 Q 與以此參考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 $\mathbf {I} \,\!$ 是

　
: $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!$ 。

這裏，對角元素 $I_{xx}\,\!$ 、 $I_{yy}\,\!$ 、 $I_{zz}\,\!$ 分別為對於 x - 軸、y - 軸、z - 軸的**慣性矩**。設定 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 為微小質量 $dm\,\!$ 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為

　
: $I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+z^{2}\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+y^{2}\ dm\,\!$ 。

而非對角元素，稱為**慣性積**, 可以定義為

　
: $I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!$ 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 $\mathbf {I} _{G}\,\!$ ，質心 G 的位置是 $({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!$ ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 $\mathbf {I} \,\!$ ，依照平行軸定理，可以表述為

　
: $I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!$ ，

　
: $I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!$ ，

　
: $I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!$ ，

　
: $I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!$ ，

　
: $I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!$ ，

　
: $I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!$ 。

證明：

a) 參考右圖 ，讓 $(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$ 、 $(x,\ y,\ z)\,\!$ 分別為微小質量 $dm\,\!$ 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

　
: $y=y\,'+{\bar {y}}\,\!$ ， $z=z\,'+{\bar {z}}\,\!$ 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，

　
: $I_{G,xx}=\int \ y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2}\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{xx}=\int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!$ 。

所以，

　
: ${\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ (y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!$

相似地，可以求得 $I_{yy}\,\!$ 、 $I_{zz}\,\!$ 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，

　
: $I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!$ ，

　
: $I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!$ 。

因為 $x=x\,'+{\bar {x}}\,\!$ ， $y=y\,'+{\bar {y}}\,\!$ ，所以

　
: ${\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!$

相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

## 實例

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

　
: $I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!$

如圖右，質心 G 的位置是 $\left({\frac {d}{2}},\ {\frac {w}{2}},\ {\frac {h}{2}}\right)\,\!$ 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

　
: $I_{xx}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)\,\!$ 、

　
: $I_{yy}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!$ 、

　
: $I_{zz}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!$ 、

　
: $I_{xy}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mwd}{4}}\,\!$ 、

　
: $I_{xz}=-m\left({\frac {h}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mhd}{4}}\,\!$ 、

　
: $I_{yz}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {h}{2}}\right)=-{\frac {mwh}{4}}\,\!$ 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

　
: $I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}m(w^{2}+h^{2})&-{\frac {1}{4}}mwd&-{\frac {1}{4}}mhd\\-{\frac {1}{4}}mwd&{\frac {1}{3}}m(h^{2}+d^{2})&-{\frac {1}{4}}mwh\\-{\frac {1}{4}}mhd&-{\frac {1}{4}}mwh&{\frac {1}{3}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!$

## 參閱

* 轉動慣量列表
* 垂直軸定理

## 參考文獻

* Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

## 外部連結

* 南台科技大學高職教師進修網站