应力张量

在連續介質力學裏，**應力**定義為單位面積所承受的作用力。以公式標記為

　
: $\sigma _{ij}=\lim _{\Delta A_{i}\to 0}{\frac {\Delta F_{j}}{\Delta A_{i}}}\,$ ；

其中， $\sigma \,$ 表示應力； $\Delta F_{j}\,$ 表示在 $j\,$ 方向的施力； $\Delta A_{i}\,$ 表示在 $i\,$ 方向的受力面積。

假設受力表面與施力方向正交，則稱此應力分量為**正向應力**（normal stress），如圖 1 所示的 $\sigma _{11}\,$ (對黃色的那個面來說)、 $\sigma _{22}\,$ 、 $\sigma _{33}\,$ ，都是正向應力；假設受力表面與施力方向互相平行，則稱此應力分量為**剪應力**（shear stress），如圖 1 所示的 $\sigma _{12}\,$ 、 $\sigma _{13}\,$ 、 $\sigma _{21}\,$ 、 $\sigma _{23}\,$ 、 $\sigma _{31}\,$ 、 $\sigma _{32}\,$ ，都是剪應力。

「內應力」指組成單一構造的不同材質之間，因材質差異而導致變形方式的不同，繼而產生的各種應力。

採用國際單位制，應力的單位是帕斯卡（Pa），等於 1 牛頓／平方公尺。應力的單位與壓力的單位相同。兩種物理量都是單位面積的作用力的度量。通常，在工程學裏，使用的單位是 megapascals（MPa）或 gigapascals（GPa）。採用英制單位，應力的單位是磅力／平方英寸（psi）或千磅力／平方英寸（ksi）。

## 應力張量

通常的術語「應力」實際上是一個叫做「**應力張量**」（stress tensor）的二階張量（詳見並矢張量或者張量積）。概略地說，**應力**描述了連續介質內部之間與外部作用力（而且是在近距離接觸的作用力）進行交互作用的強度。具體說，如果我們把連續介質用一張假想的光滑曲面把它一分為二，那麼被分開的這兩部分就會透過這張曲面相互施加作用力。很顯然，即使在保持連續介質的物理狀態不變的前提下，這種作用力也會因為假想曲面的不同而不同，所以，必須用一個不依賴於假想曲面的物理量來描述連續介質內部的交互作用的狀態。對於連續介質來說，擔當此任的就是應力張量，簡稱為應力。

在這裡，我們所說的**連續介質**同物理學中的質點、剛體、點電荷等類似，都是一種模型，它假定物質沒有微觀結構，而只是連續地分布在一個給定的三維區域中－－有些情況下也會假定它連續分佈在一個光滑曲面上，甚至一條光滑曲線上，不過我們這裡暫不考慮這種二維分佈和一維分佈的連續介質。剛體就是連續介質的一種特殊情形。流體和彈性體也是連續介質的特殊情形。

設 $d\mathbf {S} \,$ 是假想曲面 ${\mathcal {S}}\,$ 的一個微小面積元素向量，其方向是垂直於假想曲面，朝著假想曲面的外側指去的方向， $d\mathbf {F} \,$ 是施加於假想曲面 $d\mathbf {S} \,$ 的作用力，設定 $d\mathbf {F} \,$ 的正值方向是朝著假想曲面的外側指去的方向。則，作為一個物理模型， $d\mathbf {F} \,$ 對 $d\mathbf {S} \,$ 有線性依賴關係，也就是說，從 $d\mathbf {S} \,$ 到 $d\mathbf {F} \,$ 的映射是一個線性映射。這個線性映射可以通過二階張量 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ （在電動力學和相對論中常常用 $\mathbf {T} \,$ 來表示）和 $d\mathbf {S} \,$ 的張量縮並（tensor contraction）得到：

　
: $d\mathbf {F} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} \,$ ；

這裡的 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 就是應力張量。

如果建立一個直角坐標系 $(O\,;x,y,z)\,$ ，為了簡便起見，我們把 $x,\,y,\,z\,$ 分別記為 $x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\,$ ，把對應的三個單位矢量 $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,$ 分別記為 $\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}\,$ ，則

　
: $d\mathbf {S} =\mathbf {e} _{i}\,dS^{i}\,,\qquad d\mathbf {F} =\mathbf {e} _{i}\,dF^{i}$ ，

在這裡，指標 $i,\,j,\,k\,$ 等的取值範圍為 1, 2, 3，而且重複指標要按照愛因斯坦求和約定來求和。與通常的記號（見曲面積分）來聯繫，有

　
: $dS^{1}=dy\,dz\,,\qquad dS^{2}=dz\,dx\,,\qquad dS^{3}=dx\,dy$ ，

我們可以把應力張量 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 寫成

　
: ${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}$ ，

那麼，按照並矢張量和矢量的縮並規則，

　
: ${\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} =\sigma ^{ij}\,(\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{k}\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k})\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\,g_{jk}\,dS^{k}=g_{jk}\sigma ^{ij}\,dS^{k}\,\mathbf {e} _{i}\,$ ；

其中， $g_{jk}\,$ 是度量張量。

將上式右端與 $d\mathbf {F} =\mathbf {e} _{i}\,dF^{i}\,$ 進行比較即可得到

　
: $dF^{i}=g_{jk}\sigma ^{ij}\,dS^{k}=\sigma ^{ij}\,dS_{j}$ ，

對於直角坐標系，任意共變量與其對應的反變量相等，因此可以將所有上標改變為下標。所以，

　
: $dF_{i}=\sigma _{ij}\,dS_{j}$ ，

由此可以得到 $\sigma _{ij}\,$ 的物理意義：如果假想曲面 ${\mathcal {S}}\,$ 的微小面積元素 $d\mathbf {S} \,$ 的方向和 $\mathbf {e} _{1}\,$ 方向一致，則

　
: $d\mathbf {F} =\sigma _{i1}\,\mathbf {e} _{i}\,dS_{1}=\sigma _{i1}\,\mathbf {e} _{i}\,dy\,dz$ ，

可見 $\sigma _{i1}\,$ 是朝著 $\mathbf {e} _{i}\,$ 方向施加於 $x_{1}\,$ 等值曲面的單位面積的作用力。

很顯然，應力張量的因次和力與面積的比相同，都是 $[F/S]=[M]\,[L^{-1}]\,[T^{-2}]\,$ ，在國際單位制中，它的單位是**帕斯卡**（Pa）， $1\,\mathrm {Pa} =1\,\mathrm {N} /\mathrm {m} ^{2}\,$ 。這個單位也是壓力的單位，我們馬上就可以看到二者之間的關係。

## 高斯定理

如果連續介質被一張曲面 $S\,$ 分隔為 1、2 兩部分，如果我們要計算第 2 部分對第 1 部分的**作用力的總和** $\mathbf {F} _{21}\,$ ，就可以把 $S\,$ 的**單位法矢量** ${\hat {\mathbf {n} }}\,$ 選為由 1 指向 2，並且令 $d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\,dS\,$ ，則

　
: $\mathbf {F} _{21}=\iint _{S}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} $ ，

如果 $S\,$ 是一個**封閉曲面**，那麼 ${\hat {\mathbf {n} }}\,$ 就成為了第 1 部分所在區域 $V\,$ 的外法矢量，這時可以對上述積分應用**高斯公式**，其結果為

　
: $\mathbf {F} _{21}=\iiint _{V}\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,dV\,$ ；

其中 $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,$ 是二階張量 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 的**散度**，在這裡我們把它定義為

　
: $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial \sigma ^{ij}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}'$ ，

而

　
: ${\boldsymbol {\sigma }}'=\sigma ^{ij}\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}$ ，

是 ${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma ^{ij}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}\,$ 的**轉置**。

關於**二階張量的高斯定理**，詳見高斯公式。

## 牛頓第三定律自動滿足

牛頓第三定律顯然是滿足的，因為，如果面積元 $d\mathbf {S} \,$ 從介質的第 1 部分指向第 2 部分，則 $d\mathbf {S} '=-d\mathbf {S} \,$ 就會從介質的第 2 部分指向第 1 部分，於是第 2 部分對第 1 部分的作用力 $d\mathbf {F} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} \,$ 和第 1 部分對第 2 部分的作用力 $d\mathbf {F} '={\boldsymbol {\sigma }}\cdot d\mathbf {S} '\,$ 顯然滿足 $d\mathbf {F} '=-d\mathbf {F} $ ，

## 應力張量的對稱性

這裡所說的對稱性，是指轉置下的不變性，即

　
: ${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}$ ，

亦即

　
: $\sigma ^{ji}=\sigma ^{ij}$ ，

應力張量的對稱性可由體積微元的力矩平衡推導得出。
在牛頓力學中，應力張量的對稱性是角動量定理的一個推論。

## 壓力和剪應力

可以把應力張量分解為**壓力**（pressure） $p\,$ 和**剪應力**（shear stress） ${\boldsymbol {\tau }}\,$ 兩部分。為此，我們先給出二階張量的**跡**（trace）以及單位張量的定義。

設 $\mathbf {T} \,$ 是一個二階張量，而 $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$ 是三維歐幾里得空間（Euclidean space） $E^{3}\,$ 的一個右手的標準正交基（orthonormal basis），則定義 $\mathbf {T} \,$ 的**跡**（trace）

　
: $\mathrm {tr} \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {e} _{i}$ ，

在這裡，我們約定：如果求和號在表達式中出現，那麼愛因斯坦求和約定就不再有效。
不難驗證，如果把 $\mathbf {T} \,$ 展開為 $\mathbf {T} =T^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}\,$ ，則

　
: $\mathrm {tr} \mathbf {T} =T^{ii}$ ，

接下來，我們定義

　
: $\mathbf {I} =\delta ^{ij}\,\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}$ ，

則不難證明， $\mathbf {I} \,$ 的定義與標準正交基 $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$ 的選取無關。此外，不難驗證它有如下性質：對於任意一個矢量 $\mathbf {a} \,$ ，總是成立著

　
: $\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} $ ，

因此我們稱 $\mathbf {I} \,$ 為 $E^{3}\,$ 上的**單位張量**。

藉助於以上兩個概念，我們對應力張量 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 定義

　
: $p=-{\frac {1}{3}}\,\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,,\qquad {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\sigma }}+p\mathbf {I} $ ，

為了看清它們的物理意義，我們先考慮一個特殊情形：應力張量 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 滿足 ${\boldsymbol {\tau }}=0\,$ ，則 ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} \,$ 。在介質中任取一個面積元 $d\mathbf {S} \,$ ，則面積元所指向的那部分介質（**外側介質**）對它的**內側介質**的作用力為 $d\mathbf {F} =-p\,d\mathbf {S} \,$ ，負號表明 $d\mathbf {F} \,$ 的方向與 $d\mathbf {S} \,$ 相反，即介質的內部作用力是一種壓力，其方向總是垂直於分隔面。在介質為流體的情形， $p\,$ 正好就是**壓力**。

對於電磁場的馬克士威應力張量 $\mathbf {T} \,$ 而言，上述定義下的壓力 $p\,$ 就是電磁場的能量密度 $u\,$ 的三分之一，即光壓：

　
: $p={\frac {1}{3}}u$ ，

見下面的「馬克士威應力張量」一節。

在討論 ${\boldsymbol {\tau }}\,$ 的物理意義之前，先給出它的一些基本性質。首先，

　
: $\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\tau }}=0$ ，

所以，常常稱 ${\boldsymbol {\tau }}\,$ 為 ${\boldsymbol {\sigma }}\,$ 的**無跡部分**。

## 馬克士威應力張量

在電動力學中，電磁場的馬克士威應力張量在國際單位制中的表達式為

　
: $\mathbf {T} =\varepsilon _{0}\mathbf {EE} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {BB} -u\mathbf {I} \,$ ；

其中

　
: $u={\frac {1}{2}}{\Big (}\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}{\Big )}$ ，

是電磁場的能量密度。不難看出，馬克士威應力張量的跡 $\mathrm {tr} \,\mathbf {T} =-u\,$ ，故它所對應的壓力

　
: $p={\frac {1}{3}}u$ ，

這就是統計力學中常常遇到的光壓。

## 應力的種類

* 地應力：由於岩石發生形變而引起的介質內部單位面積上的作用力。
* 熱應力：材料由於溫度變化所產生的**應力**。
* 靜態應力：所施加於物體上的力大小與方向不隨時間變化的**應力**。
* 動態應力：所施加於物體上的力大小隨時間變化的**應力**。
* 疲勞應力：長時間反覆施加於物體上使得物體發生疲勞的**應力**。
* 殘留應力：物體受力後所產生的應變超過彈性範圍，而使得物體內部無法恢復原來的狀態所殘存的**應力**。

## 參見

* 應變
* 馬克士威應力張量
* 虎克定律
* 能量 - 動量張量

## 相關領域

* 彈性力學
* 材料力學
* 物理學
* 電動力學
* 相對論
* 場論

## 參考文獻

1. Landau and Lifshitz，《Theory of Elasticity》（英譯本）3rd ed., Oxford: Pergamon Press, 1986: Section 2.
2. Landau and Lifshitz，《Fluid Mechanics》（英譯本）2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1987: Section 15.
3. Landau and Lifshitz，《Electrodynamics of Continuous Media》（英譯本）2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1984: Section 15.
4. 謝多夫，《連續介質力學》（第一卷，第 6 版，李植譯），北京：高等教育出版社，2007：94—101.