弱电理论

在粒子物理學中，**電弱交互作用**是電磁作用與弱交互作用的統一描述，而這兩種作用都是自然界中四種已知基本力。雖然在日常的低能量情況下，電磁作用與弱作用存在很大的差異，然而在超過統一溫度，即數量級在 100 GeV 的情況下，這兩種作用力會統合成單一的**電弱作用力**。因此如果宇宙是足夠的熱（約 1015K，在大爆炸發生不久以後溫度才降至比上述低的水平），就只有一種電弱作用力，不會有分開的電磁作用與弱交互作用。

由於將基本粒子的電磁作用與弱作用統一的這項貢獻，阿卜杜勒・薩拉姆、謝爾登・格拉肖以及史蒂文・溫伯格獲頒 1979 年的諾貝爾物理獎。電弱交互作用的理論目前經以下兩個實驗證明存在：

1. 1973 年在 Gargamelle 氣泡室首次在微中子散射實驗中發現中性流的存在。
2. 1983 年在超級質子同步加速器進行的 **UA1** 和 **UA2** 質子反質子對撞實驗中發現 W 及 Z 玻色子。

## 數學表述

數學上統一電磁作用及弱作用是經由一個 SU (2)×U (1) 的規範群。當中對應的零質量規範玻色子分別是三個來自 SU (2) 弱同位旋的 W 玻色子 ( 
W+ 
、 
W0 
和 
W− 
) 以及一個來自 U (1) 弱超荷的 B0 玻色子。

在標準模型裡 
W± 
和 
Z0 
玻色子和光子是經由 SU (2)×U (1)Y 的**電弱對稱性**自發對稱破缺成 U (1)em 所產生的，此一過程稱作希格斯機制（見希格斯玻色子）。U (1)Y 和 U (1)em 都屬於 U (1) 群，但兩者不同；U (1)em 的生成元是電荷 Q=Y/2+I3，而其中 Y 是 U (1)Y（叫弱超荷）的生成元，I3（弱同位旋的一個分量）則是 SU (2) 的其中一個生成元。

自發對稱破缺使 
W0 
和 B0 玻色子組合成兩種不同的玻色子： 
Z0 
玻色子和光子 (γ)。 
如下：

　
: ${\begin{pmatrix}\gamma \\Z^{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\W^{0}\end{pmatrix}}$

其中 θW 為弱混合角。對稱破缺使得代表粒子的軸在 ( 
W0 
, B0) 平面上旋轉，其旋轉角為 θW（見右圖）。對稱破缺同時使得 
Z0 
和 
W± 
的質量變得不一樣（它們的質量分別以 MZ 和 MW 表示）：

　
: $M_{Z}={\frac {M_{W}}{\cos \theta _{W}}}$

電磁作用與弱力在對稱破缺後變得不同，是因為希格斯玻色子的 Y 及 I3，可以組成一個答案為零的線性組合：U (1)em 的定義生成元（電荷）正是這個組合，所以電磁作用不與希格斯場作用，亦因此保留對稱性（光子零質量）。

## 拉格朗日量

### 自發對稱破缺之前

電弱交互作用的拉格朗日量在自發對稱破缺之前分成四個部分：

　
: ${\mathcal {L}}_{EW}={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}.$

 ${\mathcal {L}}_{g}$ 項描述三種 W 粒子及一種 B 粒子的交互作用：

　
: ${\mathcal {L}}_{g}=-{\frac {1}{4}}W^{a\mu \nu }W_{\mu \nu }^{a}-{\frac {1}{4}}B^{\mu \nu }B_{\mu \nu }$

其中 $W^{a\mu \nu }$ ( $a=1,2,3$ ) 及 $B^{\mu \nu }$ 分別為弱同位旋及弱超荷的場強度張量。

 ${\mathcal {L}}_{f}$ 為標準模型費米子的動能項。規範玻色子與費米子間的交互作用是由共變導數所描述的。

　
: ${\mathcal {L}}_{f}={\overline {Q}}_{i}iD\!\!\!\!/\;Q_{i}+{\overline {u}}_{i}iD\!\!\!\!/\;u_{i}+{\overline {d}}_{i}iD\!\!\!\!/\;d_{i}+{\overline {L}}_{i}iD\!\!\!\!/\;L_{i}+{\overline {e}}_{i}iD\!\!\!\!/\;e_{i}$

其中下標 $i$ 代表費米子代，根據愛因斯坦求和約定，各項中重覆的下標會把三代的結果都加起來，而 $Q$ 、 $u$ 和 $d$ 分別代表夸克的左手性雙重態、右手性上單重態和右手性下單重態， $L$ 和 $e$ 則代表輕子的左手性雙重態和右手性電子單重態。注意右手性微中子是不參與弱交互作用的，因此輕子比夸克少一個項。

 ${\mathcal {L}}_{h}$ 描述希格斯場 F：

　
: ${\mathcal {L}}_{h}=|D_{\mu }h|^{2}-\lambda \left(|h|^{2}-{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}$

 ${\mathcal {L}}_{y}$ 負責提供湯川耦合，它會把希格斯場所產生的真空期望值變成質量，

　
: ${\mathcal {L}}_{y}=-y_{u\,ij}\epsilon ^{ab}\,h_{b}^{\dagger }\,{\overline {Q}}_{ia}u_{j}^{c}-y_{d\,ij}\,h\,{\overline {Q}}_{i}d_{j}^{c}-y_{e\,ij}\,h\,{\overline {L}}_{i}e_{j}^{c}+h.c.$

### 自發對稱破缺之後

在希格斯玻色子獲得真空期望值後，拉格朗日量

　
: ${\mathcal {L}}_{EW}={\mathcal {L}}_{K}+{\mathcal {L}}_{N}+{\mathcal {L}}_{C}+{\mathcal {L}}_{H}+{\mathcal {L}}_{HV}+{\mathcal {L}}_{WWV}+{\mathcal {L}}_{WWVV}+{\mathcal {L}}_{Y}$

動能項 ${\mathcal {L}}_{K}$ 含有拉格朗日量中所有的二次項，當中包括動力項（偏微分）和質量項（明顯地沒有出現於對稱破缺之前的拉格朗日量之中）。

　
: ${\mathcal {L}}_{K}=\sum _{f}{\overline {f}}(i\partial \!\!\!/\!\;-m_{f})f-{\frac {1}{4}}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}W_{\mu \nu }^{+}W^{-\mu \nu }+m_{W}^{2}W_{\mu }^{+}W^{-\mu }-{\frac {1}{4}}Z_{\mu \nu }Z^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m_{Z}^{2}Z_{\mu }Z^{\mu }+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }H)(\partial _{\mu }H)-{\frac {1}{2}}m_{H}^{2}H^{2}$

其中總和把理論中費米子（夸克和輕子）的各代都加起來，而場 $A_{\mu \nu }^{}$ 、 $Z_{\mu \nu }^{}$ 、 $W_{\mu \nu }^{-}$ 及 $W_{\mu \nu }^{+}\equiv (W_{\mu \nu }^{-})^{\dagger }$ 的形式如下：

　
: $X_{\mu \nu }=\partial _{\mu }X_{\nu }-\partial _{\nu }X_{\mu }+gf^{abc}X_{\mu }^{b}X_{\nu }^{c}$ ，（將 X 替換成相應的場，而 $f^{abc}$ 則是規範群的架構常數）。

拉格朗日量中的中性流分量 ${\mathcal {L}}_{N}$ 與載荷流分量 ${\mathcal {L}}_{C}$ ，就是費米子與規範玻色子間的交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{N}=eJ_{\mu }^{em}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{W}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{W}J_{\mu }^{em})Z^{\mu }$ ,

其中電磁流 $J_{\mu }^{em}$ 及中性弱流 $J_{\mu }^{3}$ 分別為

　
: $J_{\mu }^{em}=\sum _{f}q_{f}{\overline {f}}\gamma _{\mu }f$ ,

及

　
: $J_{\mu }^{3}=\sum _{f}I_{f}^{3}{\overline {f}}\gamma _{\mu }{\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}f$

 $q_{f}^{}$ 和 $I_{f}^{3}$ 分別是費米子的電荷和弱同位旋。

拉格朗日量的載荷流部分如下：

　
: ${\mathcal {L}}_{C}=-{\frac {g}{\sqrt {2}}}\left[{\overline {u}}_{i}\gamma ^{\mu }{\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}M_{ij}^{CKM}d_{j}+{\overline {\nu }}_{i}\gamma ^{\mu }{\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}e_{i}\right]W_{\mu }^{+}+h.c.$

 ${\mathcal {L}}_{H}$ 代表希格斯場的三點及四點自身交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{H}=-{\frac {gm_{H}^{2}}{4m_{W}}}H^{3}-{\frac {g^{2}m_{H}^{2}}{32m_{W}^{2}}}H^{4}$

 ${\mathcal {L}}_{HV}$ 代表規範向量玻色子的希格斯交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{HV}=\left(gm_{W}H+{\frac {g^{2}}{4}}H^{2}\right)\left(W_{\mu }^{+}W^{-\mu }+{\frac {1}{2\cos ^{2}\theta _{W}}}Z_{\mu }Z^{\mu }\right)$

 ${\mathcal {L}}_{WWV}$ 代表規範場的三點自身交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{WWV}=-ig[(W_{\mu \nu }^{+}W^{-\mu }-W^{+\mu }W_{\mu \nu }^{-})(A^{\nu }\sin \theta _{W}-Z^{\nu }\cos \theta _{W})+W_{\nu }^{-}W_{\mu }^{+}(A^{\mu \nu }\sin \theta _{W}-Z^{\mu \nu }\cos \theta _{W})]$

 ${\mathcal {L}}_{WWVV}$ 代表規範場的四點自身交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{WWVV}=-{\frac {g^{2}}{4}}\left\{[2W_{\mu }^{+}W^{-\mu }+(A_{\mu }\sin \theta _{W}-Z_{\mu }\cos \theta _{W})^{2}]^{2}-[W_{\mu }^{+}W_{\nu }^{-}+W_{\nu }^{+}W_{\mu }^{-}+(A_{\mu }\sin \theta _{W}-Z_{\mu }\cos \theta _{W})(A_{\nu }\sin \theta _{W}-Z_{\nu }\cos \theta _{W})]^{2}\right\}$

而 ${\mathcal {L}}_{Y}$ 則代表費米子與希格斯場間的湯川交互作用。

　
: ${\mathcal {L}}_{Y}=-\sum _{f}{\frac {gm_{f}}{2m_{W}}}{\overline {f}}fH$

注意各個弱耦合裏 ${\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}$ 這個因子：這些因子會把旋量場的左手性分量投映出來。因此（對稱性破缺後的）電弱理論一般由被稱為手徵理論。

## 相關連結

* 基本交互作用
* 標準模型
* 弱混合角

## 參考資料

### 一般讀物

* B.A. Schumm. Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics. Johns Hopkins University Press. 2004. ISBN 0-8018-7971-X.  在沒有正規數學的情況下，傳遞出標準模型的大部份內容。在弱交互作用方面非常地深入。

### 教科書

* D.J. Griffiths. Introduction to Elementary Particles. John Wiley & Sons. 1987. ISBN 0-471-60386-4.
* W. Greiner, B. Müller. Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. 2000. ISBN 3-540-67672-4.
* G.L. Kane. Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. 1987. ISBN 0-201-11749-5.

### 論文

* E.S. Abers, B.W. Lee. Gauge theories. Physics Reports. 1973, **9**: 1–141. Bibcode:1973PhR.....9....1A. doi:10.1016/0370-1573(73)90027-6.
* Y. Hayato; et al. Search for Proton Decay through p → νK+ in a Large Water Cherenkov Detector. Physical Review Letters. 1999, **83** (8): 1529. Bibcode:1999PhRvL..83.1529H. arXiv:hep-ex/9904020 . doi:10.1103/PhysRevLett.83.1529.  引文格式 1 維護：顯式使用等標籤 (link)
* J. Hucks. Global structure of the standard model, anomalies, and charge quantization. Physical Review D. 1991, **43** (8): 2709–2717. Bibcode:1991PhRvD..43.2709H. doi:10.1103/PhysRevD.43.2709.
* S.F. Novaes. Standard Model: An Introduction. 2000. arXiv:hep-ph/0001283  .
* D.P. Roy. Basic Constituents of Matter and their Interactions — A Progress Report. 1999. arXiv:hep-ph/9912523  .