开尔文船波

**尾波**（英語：wake）是固體在划過流體（特別是液體）表面時在尾部產生的 V 形傳播的波，例如水鳥或船舶勻速游過水體時在水面激起的後方波紋。因為由英國的開爾文男爵 —— 物理學家威廉・湯姆森（William Thomson，1824～1907）最先對船波進行數學研究，因此也稱為**開爾文船波**（Kelvin wake 或 Kelvin ship wave）。

## 數學原理

船形物體的尾波形狀和福祿數 $Fr$ 有密切關係。

$$
Fr={\frac {V}{\sqrt {gl}}}
$$

其中 _g_ 為重力常數，_V_ 是船速，_l_ 是船的長度。

令船的長度 $l=k*{\frac {V^{2}}{g}}$ 則 $Fr={\frac {1}{\sqrt {k}}}$ .

對於長度大而速度低的輪船，Fr 數小，開爾文船波主要是長波，其波前與速度矢量的夾角比較小。

而小快艇，長度小，速度高，Fr 數大，開爾文船波則以短波長的水波為主，而波前則與速度矢量成較大的夾角。

開爾文船波動研究，對於船舶的設計有重要意義，因為船舶的馬力，有一部分消耗在激起船波。利用 Fr 數與速度成正比，與長度的平方根成反比的規律，可以利用小的模型，縮小船長 $M^{2}$ 倍，同時縮小速度 M 倍，可以在實驗室中模擬海上舟。

## 多鞍點函數積分

當船隻以速度 V 駛過深水湖面，波形的幅度在相對於船隻為靜止的極坐標（ $\rho ,\phi $ 中在船隻的速度矢量方向， $\phi =0$ ），由下列公式表示

$$
K(\phi ,\rho )=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}cos(\rho {\frac {cos(\theta +\phi )}{cos^{2}\theta }}d\theta
$$

其中 $\rho =gr/V^{2}$

$$
{\frac {1}{\rho }}={\frac {V^{2}}{gr}}$ 是福祿數的平方 $Fr^{2}
$$

 $g$ 為重力常數 $l$ 為船的長度。

上列 K 函數是下列多鞍點積分的正數部分：

 $K(\phi ,\rho )=Re(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(i*\rho *f(\theta ,\rho )d\theta )$ 其中，多鞍點積分的核函數為

$$
f(\theta ,\phi )=-{\frac {cos(\theta +\phi )}{cos^{2}\theta }}
$$

此核函數是一個多鞍點函數，振盪劇烈如圖

求其極點，

$$
{\frac {df(\theta ,\phi )}{d\theta }}={\frac {sin(\theta +\phi )}{cos(\theta )^{2}}}-{\frac {2*cos(\theta +\phi )*sin(\theta )}{cos(\theta )^{3}}}=0
$$

解之，得

$$
\theta _{1}=arctan({\frac {(1/4)*(1+{\sqrt {(1-8*tan(\phi )^{2}))}}}{tan(\phi )}})=-arctan({\frac {(1/4)*(-1+{\sqrt {(}}1-8*tan(\phi )^{2}))}{tan(\phi )}})
$$

由此

 $\phi _{1}=19.47$ 度，

 $\phi _{2}=-19.47$ 度

這就是凱爾文船波的 V 型波**包線**的夾角，最早由凱爾文男爵發現，而且角度與船速無關。至于波紋本身則與船速矢量的夾角為

 $\theta =\pi -19.47=35.3$ °

## 開爾文駐相法

開爾文船波積分 $K(\phi ,\rho )$ 必須通過數值積分計算。開爾文男爵根據被積分函數在積分區間內劇烈震盪的特點，提出了駐相法（Method of Stationary Phase）。

原理：當被積分函數劇烈震盪時，除了在極點外，震盪的被積分函數正負相抵消，因此可以將此被積分函數在極點的值作為整個積分的近似，駐相法乃是拉普拉斯方法的推廣。

被積分函數 $f(\theta ,\phi )=-{\frac {cos(\theta +\phi )}{cos^{2}\theta }}$ 的兩個極點是：

$$
\theta _{p}=arctan({\frac {(1/4)*(1+{\sqrt {(1-8*tan(\phi )^{2}))}}}{tan(\phi )}})
$$

$$
\theta _{m}=-arctan({\frac {(1/4)*(-1+{\sqrt {(}}1-8*tan(\phi )^{2}))}{tan(\phi )}})
$$

令

$$
f_{m}=f(\theta _{m},\phi )={\frac {sin((1/2)*\phi -(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}{sin((1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}}
$$

$$
f_{p}=f(\theta _{p},\phi )={\frac {cos((1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}{cos(-(1/2)*\phi +(1/2)*arcsin(3*sin(\phi )))}}
$$

$$
fbar:=1/2*(f_{p}+f_{m})
$$

$$
D2F={\frac {d^{2}F(\theta ,\phi )}{d\theta ^{2}}}
$$

$$
D2F_{p}=D2F(\theta _{p},\phi )
$$

$$
D2F_{m}=D2F(\theta _{m},\phi )
$$

$$
\Delta :=(3/4*(f_{m}-f_{p}))^{(}2/3)
$$

$$
u={\sqrt {\frac {\Delta ^{1/2}}{2}}}*({\frac {1}{\sqrt {D2F_{p}}}}+{\frac {1}{\sqrt {-D2F_{m}}}})
$$

$$
v={\sqrt {\frac {2}{\Delta ^{1/2}}}}*({\frac {1}{\sqrt {D2F_{p}}}}-{\frac {1}{\sqrt {-D2F_{m}}}})
$$

$$
K(\phi ,\rho )\approx 2*\pi *(u*cos(\rho *fbar)*AiryAi(-\rho ^{(}2/3)*\Delta )/\rho ^{(}1/3)+v*sin(\rho *fbar)*AiryAi(1,-\rho ^{(}2/3)*\Delta )/\rho ^{(}2/3))
$$

 
開爾文船波的波峰，由下列兩個參數方程式描述

$$
x:=X*sin(\beta )*(1-(1/2)*sin(\beta )^{2})
$$

$$
y:=X*sin(\beta )^{2}*cos(\beta )/(2*M)
$$

## 外部連結

* §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 腳註

## 參考文獻

* Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
* Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979