張量微積分

**張量**（英語：Tensor）是一個可用來表示在一些向量、純量和其他張量之間的線性關係的多線性函數，這些線性關係的基本例子有內積、外積、線性映射以及笛卡兒積。其坐標在 $n$ 維空間內，有 $n^{r}$ 個分量的一種量，其中每個分量都是坐標的函數，而在坐標變換時，這些分量也依照某些規則作線性變換。 $r$ 稱為該張量的秩或階（與矩陣的秩和階均無關係）。

在同構的意義下，第零階張量（ $r=0$ ）為純量，第一階張量（ $r=1$ ）為向量， 第二階張量（ $r=2$ ）則成為矩陣。例如，對於 3 維空間， $r=1$ 時的張量為此向量： $\left(x,y,z\right)^{\mathrm {T} }$ 。由於變換方式的不同，張量分成「協變張量」（指標在下者）、「逆變張量」（指標在上者）、「混合張量」（指標在上和指標在下兩者都有）三類。

在數學裡，張量是一種幾何實體，或者說廣義上的「數量」。張量概念包括純量、向量和線性算子。張量可以用坐標系統來表達，記作純量的數組，但它是定義為「不依賴於參照系的選擇的」。張量在物理和工程學中很重要。例如在擴散張量成像中，表達器官對於水的在各個方向的微分透性的張量可以用來產生大腦的掃描圖。工程上最重要的例子可能就是應力張量和應變張量了，它們都是二階張量，對於一般線性材料他們之間的關係由一個四階彈性張量來決定。

雖然張量可以用分量的多維數組來表示，張量理論存在的意義在於進一步說明把一個數量稱為張量的涵義，而不僅僅是說它需要一定數量的有指標索引的分量。特別是，在坐標轉換時，張量的分量值遵守一定的變換法則。張量的抽象理論是線性代數分支，現在叫做多重線性代數。

張量在物理學中提供了一個簡明的數學框架用來描述和解決力學（應力、彈性、流體力學、慣性矩等）、電動力學（電磁張量、馬克士威張量、介電常數、磁化率等）、廣義相對論（應力 - 能量張量、曲率張量等）物理問題。在應用中，數學家通常會研究在物體的不同點之間的張量變化。例如，一個物體內的應力可能因位置不同而改變。這就引出了張量場的概念。在某些領域，張量場十分普遍以至於它們通常被簡稱為「張量」。

## 歷史背景

「張量」一詞最初由威廉・羅恩・哈密頓在 1846 年引入，但他把這個詞用於指代現在稱為模的對象。該詞的現代意義是沃爾德馬爾・福格特在 1899 年開始使用的。

這個概念由格雷戈里奧・里奇 - 庫爾巴斯托羅在 1890 年在《絕對微分幾何》的標題下發展出來，隨著 1900 年列維 - 奇維塔的古典文章《絕對微分》（義大利文，隨後出版了其他譯本）的出版而為許多數學家所知。隨著 1915 年左右愛因斯坦的廣義相對論的引入，張量微積分獲得了更廣泛的承認。廣義相對論完全由張量語言表述，愛因斯坦從列維 - 奇維塔本人那裡學了很多張量語言（其實是 Marcel Grossman，他是愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學，一個幾何學家，也是愛因斯坦在張量語言方面的良師益友 - 參看 Abraham Pais 所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），並學得很艱苦。但張量也用於其它領域，例如連續力學，譬如應變張量（參看線性彈性）。

注意「張量」一詞經常用作張量場的簡寫，而張量場是對流形的每一點給定一個張量值。要更好的理解張量場，必須首先理解張量的基本思想。

## 定義

一個 (p,q) 型的張量 T 被定義為一個多重線性映射 (multilinear map)

　
: $T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ 個}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ 個}}}\mapsto \mathbb {R} ,$

其中 _V_ 是向量空間，_V_ ∗ 是其對偶空間。

## 方法的選擇

有兩種定義張量的方法：

* 通常定義張量的物理學或傳統數學方法，是把張量看成一個多維數組，當變換座標或變換基底時，其分量會按照一定變換的規則，這些規則有兩種：即協變或逆變轉換。
* 通常現代數學中的方法，是把張量定義成某個向量空間或其對偶空間上的多重線性映射，這向量空間在需要引入基底之前不固定任何坐標系統。例如協變向量，可以描述為 1 - 形式，或者作為逆變向量的對偶空間的元素。

但物理學家和工程師是首先識別出向量和張量作為實體具有物理上的意義的，它超越了它們的分量所被表述的（經常是任意的）坐標系。同樣，數學家發現有一些張量關係在坐標表示中更容易推導。

## 例子

張量可以表述為一個值的序列，用一個向量值的定義域和一個純量值的值域的函數表示。這些定義域中的向量是自然數的向量，而這些數字稱為指標。例如，取一 3 階張量尺寸為 2x5x7。這裡，指標的範圍從 <1,1,1> 到 <2,5,7>。張量可以在指標為 <1,1,1> 有一個值，在指標為 <1,1,2> 有另一個值，等等一共 70 個值。
（類似的，向量可以表示為一個值的序列，用一個純量值的定義域和一個純量值的值域的函數表示，定義域中的數字是自然數，稱為指標，不同的指標的個數有時稱為向量的維度。）

一個張量場是在歐幾里得空間中的每一點都給定一個張量值。這樣不是像上面的例子中簡單的有 70 個值，對於一個 3 階張量，維度為 <2,5,7>，空間中的每一個點有 70 個值和它相關。換句話說，張量場表示某個張量值的函數，其定義域為歐幾里得空間。不是所有的函數都行 — 更多關於這些要求的細節參看張量場。

不是所有自然中的關係都是線性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多線性映射來局部的逼近。這樣多數物理學中的量都可以用張量表示。

作為一個簡單的例子，考慮水中的船。我們要描述它對受力的反應。力是一個向量，而船的反應是一個加速度，它也是一個向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因為船體的特定形狀。但是，這個力和加速之間的關係實際上是線性的。這樣一個關係可以用一個（1,1）類型（也就是說，它把一個向量變成另一個向量）的張量表示。這個張量可以用矩陣表示，當它乘以一個向量時就得到另一個作為結果。坐標系改變的時候，表示一個向量的數字會改變，同樣，表示這個張量的矩陣中的數字也會改變。

工程上，剛體或流體內的應力也用一個張量表示；"張量" 一詞的拉丁語就表示引起張力的某種拉伸。如果材料內的一個特定的表面元素被選出來，在表面一側的材料會對另一側的施加一個力。通常，該力不和表面正交，但是它將線性的依賴於表面的朝向。這可以精確用（2,0）類型的張量精確的描述，或者更精確地說，是用一個類型為（2,0）的張量_場_來表示，因為張量可能在每一個不同。

另外一些著名的幾何中張量的例子有二次型，以及曲率張量。物理張量的例子有能動張量，慣量和極化張量。

幾何和物理的量可以通過考慮它們的表述內在的自由度來分類。純量是那些可以用一個數表示的 ---
速率，質量，溫度，等等。有一些向量類型的量，例如力，它需要一個數字的列表來表述。最後，像二次型這樣的量需要用多維數組來表示。後面這些量只能視為張量。

實際上，張量的概念相當廣泛，可以用於上面所有的例子；純量和向量是張量的特殊情況。區別純量和向量以及區別這兩者和更一般的張量的特徵是表示它們的數組的指標的個數。這個個數稱為張量的**階**。這樣，純量是 0 階張量（不需要任何指標），而向量是一階張量。

張量的另外一個例子是廣義相對論中的黎曼曲率張量，它是維度為 <4,4,4,4>（3 個空間維度 + 時間維度 = 4 個維度）的 4 階張量。它可以當作 256 個分量（256 = 4×4×4×4）的矩陣（或者向量，其實是個 4 維數組）。只有 20 個分量是互相獨立的，這個事實可以大大簡化它的實際表達。

## 方法細節

有幾種想像和操作張量的**等價**方法；只有熟悉這個課題，其內容是等價的這個事實才會變得明顯。

* **古典方法**

　
: 古典的方法把張量視為多維數組，它們是純量，1 維向量和 2 維矩陣的 _n_ 維推廣。張量的 "分量" 是數組中的值。這個思想可以進一步推廣到張量場，那裡張量的元素是函數，甚至微分。

　
: 張量場理論在這個方法中大致可以視為雅可比矩陣的思想的推廣。

* **現代方法**

　
: 現代（無分量）方法把張量首先視為抽象對象，表達了多線性概念的某種確定類型。其著名的性質可以從其定義導出，作為線性映射或者更一般的情況；而操作張量的規則作為從線性代數到多重線性代數的推廣出現。這個處理方法在高等的研究中大量的取代了基於分量的方法，其方式是更現代的無分量向量方法在基於分量的方法用於給出向量概念的基本引例之後就取代傳統的基於分量的方法。可以說，口號就是「張量是某個張量空間的元素」。

* **張量的中間處理**條目試圖為兩個極端建立聯繫，並顯示他們的關係。

最終，同樣的計算內容被表達出來，兩種方式都可以。技術性術語列表請參看張量理論詞彙。

## 張量密度

張量場也可有一個「密度」。密度為 _r_ 的張量和普通張量一樣坐標變換，但是它還要乘以雅可比矩陣的行列式值的第 _r_ 次冪。這個的最佳解釋可能是使用向量叢：其中，切叢的行列式叢是一個線叢，可以用來 ' 扭轉 ' 其它叢 _r_ 次。

## 張量階

其中，aij 是坐標變換的雅可比矩陣。這裡所有的分量假定為共變，反變的張量變換要用 a 的逆矩陣。注意這裡是用愛因斯坦記號。

_\* |a | 是 aij 的行列式。_

## 參閱

* 張量理論詞彙

### 記法常規

* 愛因斯坦記號
* Voigt 記號（福格特）
* 抽象指標記號
* 度量張量

### 基礎

* 共變（協變）
* 反變（逆變）
* 1 - 形式
* 張量積
* 纖維叢
* 張量場

### 應用

* 張量導數
* 絕對微分
* 曲率
* 黎曼幾何
* 張量理論在工程科學中的應用
* 張量理論在物理中的應用

## 參考資料

## 參考書籍

* Tensors, Differential Forms, and Variational Principles (1989) David Lovelock, Hanno Rund
* Tensor Analysis on Manifolds (1981) Richard L Bishop, Samuel I. Goldberg
* Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology (2003) D. F. Lawden
* Tensor Analysis (2003) L.P. Lebedev, Michael J. Cloud
* Calculus of Variations (2000) S. V. Fomin, I. M. Gelfand

## 外部連結

* 各種教授張量的方法的討論，以及教科書的推薦
* 討論基本和細節的定義以及例子的話題 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 張量微積分和連續力學簡介

### 張量軟體

* GRTensorII 美國國會圖書館的存檔，存檔日期 2002-09-14 執行微分幾何一般領域中的計算的計算機代數包。GRTensor II 不是獨立的軟體包，該程序通過 Maple 9.5 和所有 Maple V 第 3 版的版本一起運行。一個受限版（GRTensorM）已經移植到 Mathematica 上。
* maxima 是一個 GPL 計算機代數系統自由軟體，它可以用來做張量代數計算。
  * maxima 中的張量
* Ricci （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）是用於 Mathematica 2.x 的一個系統，後來也用於基本的張量分析，可免費得到。
* [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）Cadabra 是一款為研究張量分析和場論而設計的計算機代數軟體