幾何單位

在物理學裏，**自然單位制**（natural unit）是一種建立於基礎物理常數的計量單位制度。例如，電荷的自然單位是基本電荷 $e$ 、速度的自然單位是光速 $c$ 、角動量的自然單位是約化普朗克常數 $\hbar $ 、電阻的自然單位是自由空間阻抗 $Z_{0}$ ，都是基礎物理常數（質量的自然單位則有電子質量 $m_{e}$ 與質子質量 $m_{p}$ 等等）。純自然單位制必定會在其定義中，將某些基礎物理常數歸一化，即將這些常數的數值規定為整數 1。

## 簡介

自然單位制的主要目標，是將出現於物理定律的代數表達式精緻地簡化，或者，將一些描述基本粒子屬性的物理量歸一化。物理學者認為這些物理量應該相當常定。但是，任何物理實驗必需操作與完成於物理宇宙內部，所以，很難找到比物理常數更常定的物理量。假設某物理常數是單位制的基本單位或衍生單位，則不能用這單位制來測量這物理常數的數值變化，所以通常只能夠研究無量綱的物理常數的數值變化，否則必需另外選擇一種單位制來研究這物理常數的數值變化，而這另外選擇的單位制不能以這物理常數為基本單位或衍生單位。

自然單位制之所謂「自然」，是因為其定義乃基於自然屬性，而不是基於人為操作。舉例而言，普朗克單位制時常會被直接地指稱為自然單位制。事實上，很多種單位制都可以稱為自然單位制，普朗克單位制只不過是最為學術界熟知的一種自然單位制。普朗克單位制可以被視為一種獨特的單位制，因為這單位制不是基於任何物質或基本粒子的屬性（質量，電荷，...，例如質子質量，電子質量與基本電荷），而是純粹從自由空間的屬性推導出來的（真空光速，自由空間阻抗，約化普朗克常數，玻茲曼常數等自由空間的性質的自然常數，被歸一化）。

如同其他單位制，任何自然單位制的基本單位，必會包括長度、質量、時間、溫度與電荷的定義與數值（以 SI 制來說，物質的量（莫耳）的自然單位就用「個」（一個就是 1）就可以了，不必用到「莫耳」，而發光強度（燭光）的自然單位就用「瓦特 / 立弳」就可以了，因為這兩者的比值僅為發光效率，而發光效率是沒有單位因次的，就跟角度（弳）以及精細結構常數一樣，另外電荷的部分，雖然 SI 制的基本單位是電流而非電荷，但是實際上，電荷才是更基本的單位（就好比重力米制的基本單位是力而非質量，但是實際上，質量才是更基本的單位））。有些物理學者不認為溫度是基本單位，因為溫度表達為粒子的能量每自由度，這可以以能量（或質量、長度、時間）來表達。雖然如此，幾乎每一種自然單位制都會將波茲曼常數歸一化： $k_{B}=1$ 。這可以簡單地視為一種溫度定義方法。另外對於電量的部分，在國際單位制內，電量是用一種特別的基本量綱來計量。但在自然單位制內，電量則是以質量、長度、時間的機械單位來表達（會把電常數或者庫侖常數歸一化）。這與厘米 - 克 - 秒制雷同。

自然單位制又可分為兩類，「有理化單位制」與「非理化單位制」。在有理化單位制內，例如，勞侖茲 - 黑維塞單位制（Lorentz-Heaviside units），馬克士威方程組裏沒有因子 $4\pi $ ，但是，庫侖定律和必歐 - 沙伐定律的方程式裏，都含有因子 $4\pi $ ；而在非理化單位制內，例如，高斯單位制，則完全相反，馬克士威方程組裏含有因子 $4\pi $ ，但是，庫侖定律和必歐 - 沙伐定律的方程式裏，都沒有因子 $4\pi $ 。

## 標記與使用方法

自然單位制最常見的定義法是規定某物理常數的數值為 1。例如，很多自然單位制會定義光速 $c=1$ 。假設速度 $v$ 是光速的一半，則從方程式 $v=c/2$ 與 $c=1$ ，可以得到方程式 $v=1/2$ 。這方程式的含意為，採用自然單位制，測量得到的速度 $v$ 的數值為 $1/2$ ，或速度 $v$ 是自然單位制的單位速度的一半。

方程式 $c=1$ 可以被代入任意方程式。例如，愛因斯坦方程式 $E=mc^{2}$ 可以重寫為採用自然單位制的 $E=m$ 。這方程式的意思為，粒子的靜能量，採用自然單位制的能量單位，等於粒子的靜質量，採用自然單位制的質量單位。

## 優點與缺點分析

與國際單位制或其它單位制比較，自然單位制有優點，也有缺點：

* **簡化方程式**：藉著規定基礎物理常數為 1，含有這些常數的方程式會顯得更為簡潔，大多時候會更容易了解。例如，在狹義相對論裏，能量與動量的關係式 $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ 似乎相當冗長，而 $E^{2}=p^{2}+m^{2}$ 顯得簡單多了。
* **物理詮釋**：自然單位制已經自動具備了量綱分析功能。例如，在普朗克單位制的定義中，已經囊括了量子力學和廣義相對論的一些性質。大約在普朗克長度的尺度，量子重力效應絕非湊巧地會開始變得重要。同樣地，在設計原子單位制時，已經考慮到電子的質量與電量。因此，描述氫原子電子軌域的波耳半徑理所當然地成為原子單位制的長度單位。
* **不需原器**：「原器」（prototype）是一種用來定義單位的真實物體，例如國際千克原器（International Prototype Kilogram）是一塊存放於法國國際計量局的鉑銥合金圓柱體，其質量定義為 1 公斤。依賴原器有很多缺點：不可能實際複製出完全一樣的原器，真實物體會遭受腐蝕損壞，核對質量必需親自到法國跑一趟。自然單位制不需要參照到原器，自然就不會被這些缺點拖累。不過，2019 年的新版國際單位制已經不需要原器了，改成使用精確的普朗克常數代替國際公斤原器定義公斤。
* **計量精密度較低**：當初設計國際單位制時，一個主要目標是能夠適用於精密測量。例如，因為這躍遷頻率可以用原子鐘科技來精密複製，時間單位秒是使用銫原子的原子躍遷頻率來定義。自然單位制通常不是基於可以在實驗室精密複製的物理量（但光速可以精密複製）。所以，自然單位制的基本單位所具有的精密位數會低於國際單位制。例如，普朗克單位制所使用的萬有引力常數 $G$ ，在實驗室裏只能測量至 4 個有效數字。
* **意義過於籠統**：設想採用普朗克單位制的方程式 $a=10^{10}$ 。假若 $a$ 代表長度，則這方程式的含意是 $a=1.6\times 10^{-25}{\rm {m}}$ ；可是假若 $a$ 代表質量，則這方程式的含意是 $a=220{\rm {kg}}$ 。（因此最好要寫 $a=10^{10}l_{P}$ 或者 $a=10^{10}m_{P}$ 之類的）所以，假若變數 $a$ 缺乏明確定義，則這方程式很有可能被誤解。明顯不同地，採用國際單位制，對於方程式 $a=10^{10}$ ，假若 $a$ 代表長度，則這方程式的含意是 $a=10^{10}{\rm {m}}$ ；假若 $a$ 代表質量，則這方程式的含意是 $a=10^{10}{\rm {kg}}$ 。從另一個角度來看，物理學者有時候會故意利用到這籠統性質。這時，自然單位制顯得特別有用。例如，在狹義相對論裏，時間與空間的關係非常密切，假若，能夠不區分某變數所代表的是時間還是空間，或者，使用同一個向量變數就可以一起代表時間與空間，這添加的功能會帶給理論學者很大的便利。

## 基礎物理常數候選名單

以下列出所有可以成為基本單位的基礎物理常數候選名單。注意到在任何單位系統內，為了不致造成定義衝突，只有一小部分的基礎物理常數可以被歸一化。例如，電子質量 $m_{e}$ 與質子質量 $m_{p}$ 不能同時被歸一化。

只有具有量綱的物理常數才可以被選為基本單位，才可以被歸一化。無量綱的物理常數的數值不會因為單位系統的不同而改變。例如，精細結構常數 $\alpha $ 不具有量綱：

　
: 。

由於 $\alpha $ 的數值不等於 1，自然單位制。最多只能將其中三個物理常數歸一化。剩下的物理常數的數值必須規定為能夠使得 $\alpha ={\frac {1}{137.035999074}}$ 。（普朗克單位制將 $e$ 以外的另外三個物理常數都定為 1，史東納單位制將 $\hbar $ 以外的另外三個物理常數都定為 1，哈特里原子單位制將 $c$ 以外的另外三個物理常數都定為 1，量子色動力學單位制將 $k_{e}$ 以外的另外三個物理常數都定為 1）

## 自然單位制總覽

### 普朗克單位制

普朗克勞侖茲 - 黑維塞單位制：

　
: $c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{B}=1\ $ 。

　
: $e={\sqrt {4\pi \alpha }}\approx 0.3028\ $ 。

普朗克高斯單位制：

　
: $c=G=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\ $ 。

　
: $e={\sqrt {\alpha }}\approx 0.08542\ $ 。

普朗克單位制是一種獨特的自然單位制，因為普朗克單位制不是以任何原器、物體、或甚至基本粒子定義。普朗克單位制只以物理定律的基本結構參數為歸一化對象。 $c$ 、 $G$ 涉及廣義相對論的時空結構。 $\hbar $ 捕捉了，在量子力學裏，能量與頻率之間的關係。這些細節使得普朗克單位制特別有用與常見於量子重力理論或弦理論的研究。

有些學者認為普朗克單位制比其它自然單位制更為自然。例如，有些其它自然單位制使用電子質量為基本單位。但是電子只是許多種已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一樣。在基礎物理學裏，並沒有任何絕對因素，促使選擇電子質量為基本單位，而不選擇其它粒子質量。

### 「自然單位制」（粒子物理學）

在粒子物理學裏，術語「自然單位」一般指的是

　
: $\hbar =c=k_{B}=1$ 。

但這尚未能制定一個單位系統。下一步，必需補足電荷量的定義。這有兩種可能：

* **有理化（勞侖茲 - 黑維塞單位制）**

　
: : ${\epsilon _{0}}={\mu _{0}}={Z_{0}}={1}$ 。

* **非理化（高斯單位制）**

　
: : ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}={1}$ 。

在有理化單位制內，例如，勞侖茲 - 黑維塞單位制（Lorentz-Heaviside units），馬克士威方程組裏沒有因子 $4\pi $ ，但是，庫侖定律和必歐 - 沙伐定律的方程式裏，都含有因子 $4\pi $ ；而在非理化單位制內，例如，高斯單位制，則完全相反，馬克士威方程組裏含有因子 $4\pi $ ，但是，庫侖定律和必歐 - 沙伐定律的方程式裏，都沒有因子 $4\pi $ 。很多高深物理文獻都採用高斯單位制，但是粒子物理學者比較喜用勞侖茲 - 黑維塞單位制。

兩種單位制的基本電荷數值分別為

　
: 高斯單位制： $e={\sqrt {\alpha }}\approx 0.08542$ 、

　
: 勞侖茲 - 黑維塞單位制： $e={\sqrt {4\pi \alpha }}\approx 0.3028$ 。

最後，還需要一個基本單位。通常，會設定電子伏特（eV）為基本單位，雖然這不是一個前面所述的「自然常數」（如果是設定萬有引力常數 $G$ 為基本單位，則兩種粒子物理學單位與兩種普朗克單位將完全相同，但是因為萬有引力常數沒辦法在實驗中測得高精確度，所以不使用）。有時候，會設定 keV、MeV 或 GeV 為基本單位。

在設定完畢基本單位之後，任意物理量都可以以這些基本單位表示。例如，長度 $1\,{\text{cm}}$ 可以表示為

　
: $1\,{\text{cm}}={\frac {1\,{\text{cm}}}{\hbar c}}\approx 51000\,{\text{eV}}^{-1}$ 。

### 史東納單位制

史東納單位制定義的物理常數為

　
: $c=G=e={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1$ 、

　
: $\hbar ={\frac {1}{\alpha }}$ 。

其中， $\alpha $ 是精細結構常數。

喬治・史東納是第一位提出自然單位制的物理學者。1874 年，他在不列顛科學協會發表了一篇演講，名為 "論大自然的物理單位"。史東納單位制沒有規定約化普朗克常數為 1，而是規定基本電荷為 1，因為約化普朗克常數是在史東納的提議之後（1900 年）發現的。這是史東納單位制與普朗克單位制之間唯一不同之處。

史東納單位制極具歷史意義。但在現代物理學裏，遇到這單位制的機會微乎其微。

### 原子單位制

原子單位制又分為兩種：由道格拉斯・哈特里提出的哈特里原子單位制和由約翰內斯・芮得柏提出的芮得柏原子單位制。哈特里原子單位制比芮得柏原子單位制常見。兩者的主要區別在於質量單位與電荷單位的選取。哈特里原子單位制的基本單位為

　
: $e=m_{e}=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1$ 、

　
: $c={\frac {1}{\alpha }}$ 。

芮得柏原子單位制的基本單位為

　
: ${\frac {e}{\sqrt {2}}}=2m_{e}=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1$ 、

　
: $c={\frac {2}{\alpha }}$ 。

這些單位制是特別為了簡易表達原子物理學和分子物理學的方程式而精心設計，特別能夠表徵處於氫原子基態的電子的物理行為。例如，採用哈特里原子單位制，對於氫原子的波耳模型，處於基態的電子，其軌域速度為 $v=1$ ，軌域半徑為 $r=1$ ，角動量為 $\ell =1$ ，電離能為 $E=1/2$ 等等。

哈特里原子單位制與芮得柏原子單位制的能量單位分別稱為哈特里能量與芮得柏能量。它們相差的因子為 2。光速的速值比較大（分別為 137 與 274），這是因為在束縛於氫原子內部的電子的速度超慢於光速。由於兩個電子之間的重力超弱於庫侖力，重力常數的數值極小。長度單位是波耳半徑 $a_{0}$

### 量子色動力學單位制

　
: $c=e=m_{p}=\hbar =k_{B}=1$ 、

　
: ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=\alpha $ 。

「量子色動力學單位制」簡稱為「強單位制」（strong units）。在強單位制內，電子質量被質子質量替代。強單位制適用於量子色動力學與核子物理學。在這裏，到處都是量子力學與相對論的理論，而質子正是研究焦點。

也有些量子色動力學單位制不把 $e$ 定為 1，而把 $\epsilon _{0}$ 或者 $k_{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ 定為 1（此時，基本電荷 $e$ 的值則會跟普朗克單位制或者原子單位制一樣）。

### 幾何化單位制

　
: $c=G=1$ 。

幾何化單位制（geometrized unit system）不是一種完全定義或唯一的單位制。在這單位制內，只規定光速與重力常數為 1。這留出足夠空間來規定其它常數，像波茲曼常數或庫侖常數：

　
: $k_{B}=1$ 、

　
: ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=1$ 。

假若約化普朗克常數也規定為 $\hbar =1$ ，則幾何化單位制與普朗克單位制完全相同。

另外，我們也可以不定義庫侖常數為 1，而改定義更自然的電常數 $\epsilon _{0}$ 為 1，此時，庫侖常數就會變成 ${\frac {1}{4\pi }}$ ，這是比較自然的有理化幾何單位制，而如果是定義庫侖常數為 1，則是非理化的幾何單位制。（我們通常會選擇比較自然的常數定義為 1，例如我們不會把原始的普朗克常數 $h$ 定義為 1，而是會把約化普朗克常數 $\hbar $ 定義為 1，因為約化普朗克常數比較自然（角頻率 $\omega $ 比頻率 $f$ 自然），而由於在廣義相對論中， $G$ 經常會與 $4\pi $ 合併，因此，更自然的幾何化單位制是把 $4\pi G$ ，而不是 $G$ ，定義為 1），此種幾何化單位制就是有理化的普朗克單位制（因此，稱做**約化普朗克單位制**，例如約化普朗克能量）（就好比勞倫茲 - 黑維塞單位制就是有理化的粒子物理學單位制，原本的普朗克單位制，以及高斯單位制，則是非理化的），也就是把萬有引力常數 G，以及庫侖常數 ke，定為 ${\frac {1}{4\pi }}$ ，而非 1。（而光速 c，約化普朗克常數 $\hbar $ ，以及波茲曼常數 kB，則仍然定為 1）

## 總結表格

其中，

 * $\alpha $ 是精細結構常數，7.2973525376×10-3 = (137.035999679)−1，
* $\alpha _{G}$ 是重力耦合常數， $(m_{e}/m_{Planck})^{2}\approx 1.7518\times 10^{-45}$ ,
* $\mu $ 是質子電子質量比，大約為 1836.15267247.

## 參閱

## 註解

## 參考文獻

## 外部連結

* 美國國家標準與科技研究院網頁：物理常數、單位、不確定度 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） ，有很多關於常見的物理常數的資料。