庞加莱上半平面

在非歐幾里得幾何中，**龐加萊半平面模型**（Poincaré half-plane model）是賦有龐加萊度量的上半平面，這是二維雙曲幾何的一個模型。

它以昂利・龐加萊命名，但最初是貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）發現的，他用這個模型與克萊因模型以及龐加萊圓盤模型（屬於黎曼）證明了雙曲幾何與歐幾里得幾何的相容性等價（equiconsistent）。圓盤模型與半平面模型在共形映射下是等價的。

## 對稱群

射影線性群 PGL (2,**C**) 由莫比烏斯變換作用在黎曼球面上。保持上半平面不動的子群是 PGL (2,**R**)，這些變化的係數是實數，它們傳遞、等距作用在上半平面上，將它變成一個齊性空間。

有四個非常相關的李群通過分式線性變換作用在上半平面上，且保持雙曲距離。

* 由行列式為 +1 的 2×2 實矩陣組成的特殊線性群 SL (2,**R**)。注意許多書籍經常說 SL (2,**R**)，其實際是指 PSL (2,**R**)。
* 由行列式為 +1 或 -1 組成的 2×2 實矩陣 S\*L (2,**R**) 。注意 SL (2,**R**) 是這個群的一個子群。
* 射影線性群 PSL (2,**R**) = SL(2,**R**)/{±_I_}，由 SL (2,**R**) 中矩陣模去正負恆同矩陣。
* 群 PS\*L(2,**R**) = S\*L(2,**R**)/{±_I_} 同樣是射影群，同樣是模去正負恆同矩陣。

這些群與龐加萊模型的關係如下：

* **H** 的所有等距的群，通常記做 Isom (**H**)，同構於 PS\*L(2,**R**)。這包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（鏡映射）是 $z\rightarrow -{\overline {z}}$ 。
* **H** 保持定向的等距，通常記做 Isom+(**H**)，同構於 PSL (2,**R**)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一個經常見到的是模群 SL (2,**Z**)。這個群在兩個方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格點的對稱群。從而在一個方形網格中周期函數，比如模形式以及橢圓函數，將從這個網格繼承一個 SL (2,**Z**) 對稱。另一方面，SL (2,**Z**) 當然也是 SL (2,**R**) 的一個子群，從而嵌入其中有雙曲表現。特別地，SL (2,**Z**) 可用來將雙曲平面鑲嵌為等（龐加萊）面積的單元。

## 等距對稱

特殊線性群 PSL (2,**R**) 在 **H** 上的作用定義為

　
: $\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.\,$

注意到這個作用是傳遞的，從而任何對 $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} $ ，存在一個 $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 使得 $gz_{1}=z_{2}$ 。這個作用也是忠實的：如果對 _z_ 屬於 **H** 有 $gz=z$ ，那麼 _g_=_e_。

**H** 中一個元素 _z_ 穩定子或迷向子群是所有 $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 使 _z_ 不變 _gz_=_z_ 的集合。 $i$ 的穩定子是旋轉群

　
: ${\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.\,$

由傳遞性，_H'_ 中任何元素 _z_ 可由 PSL (2,**R**) 中一個元素映為 $i$ ，這意味著任何 _z_ 的迷向子群同構於 SO (2)。從而 **H** = PSL(2,**R**)/SO (2)。或者，上半平面上的切向量叢，稱為單位切叢，同構於 PSL (2,**R**)。

利用模群 SL (2,**Z**)，上半平面鑲嵌成自由正則集合（free regular set）。

## 測地線

這個度量張量的測地線是垂直於實數軸的圓弧（即圓心位於實軸上的半圓周）以及終於實軸的豎直直線。

經過 $i$ 的單位速度豎直測地線為：

　
: $\gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i=ie^{t}.\,$

因為 PSL (2,**R**) 作為等距傳遞作用在上半平面，這條測地線通過 PSL (2,**R**) 的作用映到其它測地線。從而，一般的單位速度測地線由

　
: $\gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}$

給出。這給出了上半平面上單位長切叢（復線叢）測地流的完整描述。

## 另見

## 參考文獻

* Eugenio Beltrami, _Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta_, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
* Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", _Acta Mathematica_ v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_ (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, _Compact Riemann Surfaces_ (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X _(See Section 2.3)_.
* Saul Stahl, _The Poincaré Half-Plane_, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
* John Stillwell (1998) _Numbers and Geometry_,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.