广义逆矩阵

**廣義逆**（Generalized inverse），是線性代數中針對矩陣的一種運算。一個矩陣 _A_ 的廣義逆叫做 _A_ 的**廣義逆陣**，是指具有部份逆矩陣的特性，但是不一定具有逆矩陣的所有特性的另一矩陣。假設一矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 及另一矩陣 $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ ，若 $A^{\mathrm {g} }$ 滿足 $AA^{\mathrm {g} }A=A$ ，則 $A^{\mathrm {g} }$ 即為 $A$ 的廣義逆陣。

廣義逆也稱為**偽逆**（pseudoinverse），有些時候，偽逆特指摩爾－彭若斯廣義逆。

建構廣義逆陣的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩陣的特性。任意的矩陣都存在廣義逆陣，若一矩陣存在逆矩陣，逆矩陣即為其唯一的廣義逆陣。有些廣義逆陣可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

## 提出廣義逆陣的原因

考慮以下的線性方程

　
: $Ax=y$

其中 $A$ 為 $n\times m$ 的矩陣，而 $y\in {\mathcal {R}}(A)$ ， $A$ 的列空間。
若矩陣 $A$ 為可逆矩陣，則 $x=A^{-1}y$ 即為方程式的解。而若矩陣 $A$ 為可逆矩陣

　
: $AA^{-1}A=A$

假設矩陣 $A$ 不可逆或是 $n\neq m$ ，需要一個適合的 $m\times n$ 矩陣 $G$ 使得下式成立

　
: $AGy=y$

因此 $Gy$ 為線性系統 $Ax=y$ 的解。
而同樣的， $m\times n$ 階的矩陣 $G$ 也會使下式成立

　
: $AGA=A$

因此可以用以下的方式定義**廣義逆陣**：假設一個 $n\times m$ 的矩陣 $A$ ， $m\times n$ 的矩陣 $G$ 若可以使下式成立，矩陣 $G$ 即為 $A$ 的廣義逆陣

　
: $AGA=A$

## 產生廣義逆陣

以下是一種產生廣義逆陣的方式：

1. 若 $A=BC$ 為其秩分解，則 $G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}$ 為 $A$ 的廣義逆陣，其中 $C_{r}^{-}$ 為 $C$ 的右逆矩陣，而 $B_{l}^{-}$ 為 $B$ 的左逆矩陣。
2. 若 $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ ，其中 $P$ 及 $Q$ 為可逆矩陣，則 $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ 是 $A$ 的廣義逆陣，其中 $U,V$ 及 $W$ 均為任意矩陣。
3. 令 $A$ 為秩為 $r$ 的矩陣，在不失一般性的情形下，令 $A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}$ ，其中 $B_{r\times r}$ 為 $A$ 的可逆子矩陣，則 $G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$ 為 $A$ 的廣義逆陣。

## 廣義逆陣的種類

彭若斯條件可以用來定義不同的廣義逆陣：針對 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 及 $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},$

若 $A^{\mathrm {g} }$ 滿足條件 (1.)，即為 $A$ 的廣義逆陣，若滿足條件 (1.) 和 (2.)，則為 $A$ 的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為 $A$ 的摩爾－彭若斯廣義逆。

以下是一些其他種類的廣義逆陣

* 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣 _A_ 的維度是 $n\times m$ 且為 滿秩，若 $n>m$ 則用左逆矩陣，若 $n<m$ 則用右逆矩陣。
  * 左逆矩陣為 $A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }$ ，也就是 $A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}$ ，其中 $I_{m}$ 為 $m\times m$ 單位矩陣。
  * 右逆矩陣為 $A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}$ ，也就是 $AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}$ ，其中 $I_{n}$ 為 $n\times n$ 單位矩陣。
* 德拉任逆矩陣
* 博特 - 達芬逆矩陣
* 摩爾－彭若斯廣義逆

## 應用

任何一種廣義逆陣都可以用來判斷線性方程組是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下 _n_ × _m_ 的線性系統有解存在

　
: $Ax=b$

其中向量 $x$ 為未知數，向量 _b_ 為常數，以下是所有的解

　
: $x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w$

其中參數 _w_ 為任意矩陣，而 $A^{\mathrm {g} }$ 為 $A$ 的任何一個廣義逆陣。解存在的條件若且唯若 $A^{\mathrm {g} }b$ 為其中一個解，也就是若且唯若 $AA^{\mathrm {g} }b=b$ 。

## 參考資料

* Yoshihiko Nakamura. \* Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987.
* Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, **155**: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
* S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8.
* Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN0-387-00293-6. （原始內容存檔於 2016-08-18）.
* C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6.

## 相關條目

* 反元素
* 摩爾－彭若斯廣義逆
* 弱逆

## 外部連結

* 15A09 數學學科分類標準中對於反矩陣及廣義逆陣的分類 search