平方差

**平方差公式**是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

　
: $a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

 $(a+b)$ 及 $(a-b)$ 的排列不是非常的重要，可隨意排放。

## 驗證

### 主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

　
: ${\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}$

### 方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

這樣可驗證出 $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

### 幾何驗證

平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形 $a^{2}$ 減去正方形 $b^{2}$ ，那即是 $a^{2}-b^{2}$ 。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是 $(a+b)(a-b)$ 。

#### 方法一

根據右圖，可先將陰影部分分割成三部分，分別為：

 * $b(a-b)\,\!$
* $(a-b)^{2}\,\!$ 是灰正方
* $b(a-b)\,\!$

然後，將三部分加起：

　
: $b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!$

　
: $=ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!$

　
: $=ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!$

　
: $=a^{2}-b^{2}\,\!$

* 註： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ 運用了差平方。

#### 方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

 * $a(a-b)\,\!$ 大長方
* $b(a-b)\,\!$ 小長方

然後，將兩部分加起：

　
: $a(a-b)+b(a-b)\,\!$

　
: $=a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!$

　
: $=a^{2}-b^{2}\,\!$

## 例子

### 例子一

　
: $x^{2}-16\,\!$

 
計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

　
: $=x^{2}-4^{2}\,\!$

　
: $=(x-4)(x+4)\,\!$

### 例子二

　
: $16m^{2}-81n^{2}\,\!$

 
計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

　
: $=(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!$

　
: $=(4m-9n)(4m+9n)\,\!$

### 例子三

　
: $4y^{2}-36z^{2}\,\!$

 
計算此公式，雖 $4y^{2}$ 及 $36z^{2}$ 的開方分別是 $2y$ 及 $6z$ ，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

　
: $=4(y^{2}-9z^{2})\,\!$

 
同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

　
: $=4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!$

　
: $=4(y-3z)(y+3z)\,\!$

### 例子四

　
: ${\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36$

首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

　
: $=x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!$

　
: $=(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!$

運用因式分解的方法得出：

　
: $=x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4$

　
: $=(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!$

 
然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

　
: $=\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]$

運用**平方差**並得出：

　
: $=(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!$

或

　
: $=\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!$

## 運用

### 用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省復雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是 $10^{n}$ 的 $+x$ 及 $-x$ ：

 * $10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100$
* $7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91$
* $95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975$
* $99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964$

例子二：第一個數項減去第 2 個數項，都是 $10^{n}$ ：

 * $14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!$
* $125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!$
* $1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!$
* $14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!$

例子三：運用分配律、**平方差**來計出以下很大而覆雜的數項：

 * $3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)$

　
: 下一步先運用分配律：

　
: $=3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}$

　
: 並把所有相同數項約簡，並得：

　
: $=3264^{2}-3263\times 3265$

　
: 運用**平方差**，並得：

　
: $=3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!$

　
: $=3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!$

　
: $=3264^{2}-3264^{2}+1\,\!$

　
: $=1\,\!$

### 錯誤運用

很多人混淆了**平方差**、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

* 註： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ，詳見差平方

## 內部連結

* 乘法公式
* 因式分解
* 恆等式
* 乘法
* 平方
* 平方數

## 外部連結

* Factoring the Difference of Two Squares
* Difference between 2 squares