开方术

在數學中，一數 $b$ 為數 $a$ 的 **$n$ 次方根**，則 $b^{n}=a$ 。在提及實數 $a$ 的 $n$ 次方根的時候，若指的是此數的**主 $n$ 次方根**，則可以用**根號**（ ${\sqrt {\color {white}t}}$ ）表示成 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。例如：1024 的主 10 次方根為 2，就可以記作 ${\sqrt[{10}]{1024}}=2$ 。當 $n=2$ 時，則 $n$ 可以省略。定義實數 $a$ 的主 $n$ 次方根為 $a$ 的 $n$ 次方根，且具有與 $a$ 相同的正負號的唯一實數 $b$ 。在 $n$ 是偶數時，負數沒有主 $n$ 次方根。習慣上，將 2 次方根叫做平方根，將 3 次方根叫做立方根。

方根也是冪的分數指數，即數 $b$ 為數 $a$ 的 ${\frac {1}{n}}$ 次方：

　
: $b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

## 符號史

最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語 latus 的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至 18 世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為 2 時，省略不寫。）。形成了現在所熟悉的開方運算符號 ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。

考慮在電腦中的輸入問題，有時也可以使用 sqrt (a,b) 來表示 a 的 b 次方根。

## 基本運算

帶有根號的運算可由如下公式推導而得:

　
: ${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0$

　
: ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0$

　
: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$

這裡的 _a_ 和 _b_ 是正數。

對於所有的非零複數 $a$ ，有 $n$ 個不同的複數 $b$ 使得 $b^{n}=a$ ，所以符號 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 就會出現歧義（通常這樣寫是取 $n$ 個值當中主幅角最小的）。 _$n$_ 次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

　
: $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

　
: $\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$

　
: $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

例如:

　
: ${\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}$

若要做加法或減法，需考慮下列的概念。

　
: ${\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。

例如

　
: ${\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}$

　
: $={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}$

　
: $=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

　
: $=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

 

## 不盡根數

未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:

 * ${\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}$
 * ${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$
 * ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$
 * $\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$

## 無窮級數

方根可以表示為無窮級數:

　
: ${\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}$

## 找到所有的方根

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式 $ae^{i\varphi }$ (參見歐拉公式)。接著所有的 _n_ 次方根給出為:

　
: $e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}$

對於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

### 正實數

所有 $x^{n}=a$ 或 $a$ 的 $n$ 次方根，這裡的 _$a$_ 是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

　
: $e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}$

對於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 _$a$_ 的主 _$n$_ 次方根。

## 解多項式

曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達；但是阿貝爾 - 魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

　
: $\ x^{5}=x+1$

的解不能用根號表達。

要解任何 _n_ 次方程，參見求根演算法。

## 演算法

對於正數 $A$ ，可以通過以下演算法求得 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的值：

1. 猜一個 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的近似值，將其作為初始值 $x_{0}$
2. 設 $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$ 。記誤差為 $\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$ ，即 $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$ 。
3. 重複步驟 2，直至絕對誤差足夠小，即： $|\Delta x_{k}|<\epsilon $ 。

### 從牛頓法導出

求 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 之值，亦即求方程 $x^{n}-A=0$ 的根。

設 $f(x)=x^{n}-A$ ，其導函式即 $f'(x)=nx^{n-1}$ 。

以牛頓法作迭代，便得

　
: $x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$

　
: $=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$

　
: $=x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}$

　
: $={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$

### 從牛頓二項式定理導出

設 $x_{k}$ 為迭代值， $y$ 為誤差值。

令 $A=(x_{k}-y)^{n}$ （\*），作牛頓二項式展開，取首兩項： $A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y$

調項得 $y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)$

將以上結果代回（\*），得遞迴公式 $x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$

## 參見

* 增乘開平方法
* 冪
* 無理數
* 分母有理化
* 雙重根號
* 2 的 12 次方根

## 外部連結

* 高階根號求解 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。此法亦可求任意正實數指數值
* 立方根與高次方根
* 指數 - 高中數學教案
* 法國心算天才 70.2 秒算出 200 位數 13 次方根 (圖) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）