平行六面体

在幾何學中，**平行六面體**是由六個平行四邊形所組成的三維立體，是一種平行多面體。它與平行四邊形的關係，正如正方體與正方形之間的關係；在歐幾里得幾何中這四個概念都允許，但在仿射幾何中只允許平行四邊形和平行六面體。平行六面體的三個等價的定義為：

* 六個面都是平行四邊形的多面體；
* 有三對對面平行的六面體；
* 底面為平行四邊形的稜柱。

長方體（六個面都是長方形）、正方體（六個面都是正方形），以及菱面體（六個面都是菱形）都是平行六面體的特殊情況。

平行六面體是擬柱體的一個子類。

## 性質

平行六面體可由正方體經線性轉換而成。

用相同的平行六面體，可以鑲嵌整個空間。

## 體積

### 基本公式

平行六面體的體積是底面 $A$ 與高 $h$ 的乘積，即

　
: $V=Ah$ 。

這裡的高是底面與對面的垂直距離。

### 以向量計算

另外一個方法是用向量 $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ， $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ ，以及 $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})$ 來表示相交於一點的三條棱。平行六面體的體積 $V$ 等於純量三重積：

　
: $V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|$ 。

**證明**：

以 $\mathbf {b} $ 和 $\mathbf {c} $ 來表示底面的邊，則根據向量積的定義，底面的面積 $A$ 為：

　
: $A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |$ ，

其中 $\theta $ 是 $\mathbf {b} $ 與 $\mathbf {c} $ 之間的角，而高為：

　
: $h=|\mathbf {a} |\cos \alpha $ ，

其中 $\alpha $ 是 $\mathbf {a} $ 與 $h$ 之間的角。

從圖中我們可以看到， $\alpha $ 的大小限定為 $0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }$ 。而向量 $\mathbf {b} \times \mathbf {c} $ 與 $\mathbf {a} $ 之間的角 $\beta $ 則有可能大於 90°（ $0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }$ ）。也就是說，由於 $\mathbf {b} \times \mathbf {c} $ 與 $h$ 平行， $\beta $ 的值要麼等於 $\alpha $ ，要麼等於 $180^{\circ }-\alpha $ 。因此：

　
: $\cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |$ ，

且

　
: $h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |$ 。

我們得出結論：

　
: $V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |$ ，

於是，根據純量積的定義，它等於 $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ 的絕對值，即：

　
: $V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|$ 。

證畢。

最後一個表達式也可以寫成以下行列式的絕對值：

　
: $V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|$ 。

 

### 以稜長及夾角計算

若 $a$ 、 $b$ 及 $c$ 是三條兩兩相鄰的稜長，且 $\alpha $ 、 $\beta $ 及 $\gamma $ 是三條稜邊的夾角，則平行六面體的體積為：

　
: $V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$ 。

**證明**

從上面可知，平行六面體的體積可表示為：

　
: $V=|\det \mathbf {D} |$

其中：

　
: $\mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}$ 。

因此

　
: $V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}$

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

 

### 以座標計算

選取任意一頂點 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 以其相鄰三個頂點 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 、 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 及 $(x_{4},y_{4},z_{4})$ ，則體積可表示為：

　
: $V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.$

## 特殊情況

如果平行六面體具有對稱平面，則一定是以下兩種情況之一：

* 四個面是長方形；
* 兩個面是菱形，而在另外四個面中，兩個相鄰面相等，另外兩個面也相等。

長方體是六個面都是長方形的平行六面體；正方體是六個面都是正方形的平行六面體。

菱面體是六個面都是菱形的平行六面體；三方偏方面體是所有菱形面都全等的菱面體。

## 完美平行六面體

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在 2009 年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長 271、106 及 103，劣面對角線長 101、 266 及 255，優面角線長 183、 312 及 323, 以及體對角線長 374、 300、 278 及 272 的平行六面體。

## 超平行體

平行六面體在高維空間的推廣稱為**超平行體**。

特別地，n 維空間中的超平行體稱為 _n_ 維超平行體。因此，平行四邊形就是 _2_ 維超平行體，平行六面體就是 _3_ 維超平行體。

_n_ 維超平行體的所有對角線相交於一點，並被這個點所平分。

位於 $\mathbb {R} ^{m}$ 空間中的 _n_ 維超平行體的 _n_ 維體積（ $m\geq n$ ），可以用格拉姆行列式的方法來計算。

## 參考文獻

* Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。平行六面体. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因。超平行体. MathWorld.