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床笫

**床**，亦寫作牀、眠床，是供人躺在上面睡覺的家具。一般來說，床是平整的，不是曲的，因為凹凸不平的床很難令人舒適地睡覺。同時床亦被設計成可拆卸的，不是整塊的。因為床體積很大，方便搬運。同時床要經常清潔，保持衛生，防止昆蟲爬上而噬咬人類或是咬壞床的結構受損而倒塌。

## 床打人

日久收修的床結構受損打中床上睡覺的人類，稱為床打人。

## 陳設

* 枕頭
* 褥子：墊於床下面的紡織品，使人躺下後感覺舒適。
* 被子：當人睡眠後保持人的體溫，一般用棉花製成。
* 帳：夏天是用於驅蚊，又稱蚊帳。也可以遮擋陽光和隱私，使人安眠。
* 席：用竹或葦編織而成，鋪於床上使人涼爽。
* 床頭櫃：床頭或床邊的小家具。一般帶有抽屜。
* 床單：以棉紗織成平面布，依四方摺入床墊包圍，稱為床單。
* 床包：布疋做成床型四圍用鬆緊帶固定。
* 床罩：依床包方式，對外 3 向加上裙腳增加美觀。

## 分類

### 按大小

* 單人床：供一個人使用。
* 雙人床：供兩個人使用。家庭一般為夫妻；也常見於旅館。
* 上下鋪：又名碌架床，上下兩層的床，為了節約居住空間而設計的。常見於宿舍、軍營、火車或輪船上和小型單位。
* 大鋪：中國東北又稱大炕，供十到十二人入睡。從前給苦力、僕人使用，現在已經少見。僅見於臨時行軍的軍營或便宜的旅館。

### 按材質

* 榻榻米：日本建築臥室中一種地板，可在上面睡覺。
* 吊床：攜帶方便的一種床，形狀類似漁網。可在戶外使用，但不利於骨骼成長。因此不適合長期使用。
* 彈簧床
* 沙發床：一種兩用的沙發，重新組裝後可當臨時的床使用。
* 充氣床

### 按用途

* 睡袋：用於野外生存的一種工具，有較好的禦寒能力。
* 火炕：中國東北地方農村為了禦寒而製作的一種床。
* 布團：傳統風格的日式床，在木質框架上使用床墊。布團也有較大的西式風格，可以摺疊到一半就可以坐下。布團傳統上是用棉製成的，但是在 2000 年代，許多布團都包括合成泡沫。
* 嬰兒床
* 兒童床
* 喜床

## 文化

在古代，床不僅是休息的地方，也是一種簡易的坐具，而且緊貼地面，如羅漢床、台床，或類似日本的榻榻米地板。《說文》中有「牀，安身之坐也」。

據《禮記》記載：曾子因床上簟子不符合制度，臨死時要求將其換下才死去。可見在當時。床已經受到古人的重視。

床在古代有一種孤獨蕭索的意境。李商隱在《端居》「遠書歸夢兩悠悠，只有空床敵素秋。」表達了一種意鄉之情。

古希臘著名哲學家柏拉圖曾經用床寓意他的思想：

在潮州話中，「床」是指桌子，睡床稱為「鋪」或眠床；在日文中，「床」指的是地板。

## 參見

* 睡眠

## 參考資料

## 外部連結
床蟲

**床蟲**（Bed bugs），又稱**臭蟲**，是**臭蟲屬**（學名：_Cimex_）物種的通稱，是寄生性的昆蟲，吸取動物的血液為其唯一的覓食方式。溫帶臭蟲是本屬中最為人所知的物種，吸食人類的血液為生，其他物種則會吸食其他動物的血液，各物種常以某一類動物為主要宿主，例如 _Cimex adjunctus_ 主要寄生於蝙蝠。床蟲常出現於溫暖的住家中，特別是床上與其他用以睡眠的區域，其族群建立後就很難清除。它們多在夜間活躍，但不完全是夜行性，其吸血時通常不會被人發覺。床蟲的叮咬常會造成起疹、過敏、失眠與精神困擾為主，但不會傳播嚴重的傳染病。人類對於床蟲的認識已有千年之久，1940 年代早期，床蟲幾乎在已開發國家中被撲滅，但 1995 年起又再次大量增加，近年來呈增加趨勢，可能是因對殺蟲劑產生抗藥性、部分殺蟲劑被各國禁用、以及跨國旅行日益普遍所致。

## 參見

* 跳蚤
* 體虱

## 文獻
床褥

**床墊**是一個和床大小差不多的墊子，放在床上，在睡眠時支撐人的背部，使人睡眠時躺臥舒適。有時床墊也可單獨做床來使用。床墊可以用毛、稻草、棉花、化纖、泡沫橡膠、羽毛、彈簧等填充；充氣床墊用空氣填充；水床用水來填充。歐洲人的床墊是十字軍東征的時候從阿拉伯人那裡學到的，而阿拉伯文中的「matrah」演變成了現在英文中的「Mattress」，法文中的「Matelas」。

床墊一般放在床架上，這樣可以減少床墊與地面的摩擦，延長床墊壽命。早期床墊用自然材料填充，如羽毛、馬毛、稻草、棉花。在亞洲人們用竹子做床墊，在東南亞人們用木棉來做床墊。20 世紀已開發國家的床墊逐漸開始用彈簧、棉絮和合成纖維來填充。有了密閉材料，水床和充氣床也相繼出現。目前北美的床墊多用彈簧、合成纖維和合成橡膠來使床墊柔軟有彈性。而在歐洲聚氨酯發泡塑料和橡膠填充也很流行。

## 歷史

* 1881 年，美國德克薩斯州休斯敦郊外一個叫「絲漣」的小鎮，一位名叫 Daniel Haynes 的英國裔扎棉機工匠開始了一種棉塞床墊的生產。
* 1899 年，英國 Vi-spring 詹姆斯・馬歇爾（James Marshall）設計了一套手工製造的承托系統：獨立筒袋裝彈簧的原型，螺旋彈簧以未經漂白的棉布包裹、以馬尾毛絎縫以及配以床墊外拉扣。
* 1925 年，美。西蒙斯 Simmons，註冊袋裝獨立筒彈簧的專利；1901 年發明了量產獨立筒的機器。
* 二十世紀初，鄧祿普 Dunlopilla，橡膠發泡軟墊；
* 1932 年，義大利，馬里奧・貝里紀，以聚氨基甲酸泡沫用於墊子；
* 第二次世界大戰時，德國，路易斯・考拉尼，還設計了一種橢圓形床墊，並按人體躺在床墊上不同部位的體壓，分成軟、中、硬的三個部分，使人體骨骼保持最佳狀態。
* 70～80 年代的美國開始流行注水床墊，但是在 90 年代中葉，因為其過度的可塑性造成年輕人脊椎問題頻發，被慢慢退出了主流市場。
* 90 年代後，隨著航天科技的民用化趨勢，原先用作高級汽車座椅和航天材料的 Visco Mind（記憶綿）材料慢慢成為歐美市場的主流。

## 床墊型號

## 參考來源

## 相關條目

* 保潔墊

## 外部連結
床边检测

**床邊血糖檢測** (又稱**即時血糖檢測**)，實質是將用於自我血糖監測（SMBG）的設備和方法應用到院內床邊。是一種測量血糖水平的方法。

POCT 測量血糖的便於及時診斷，可用於緊急情況。在急診室、急救車等眾多條件有限、但仍然需要迅速得出檢測結果的場景運用。但是其也可能受到血球壓積異常、多種干擾物質、操作誤差以及血糖試紙本身生產精確度產生的誤差所帶來的影響。一些較為先進的血糖檢測系統採用了定標質控系統，從而促進了精確度的提升。

## 優勢

相比傳統檢測流程，即通過檢驗科的生化檢測，床邊檢測工具可提供即時的檢測，使得結果可以平均提早 20～45 分鐘到達醫生手中。

## 與生化的對比

床邊檢測儀器受到血積、操作誤差和試紙誤差的影響，與生化檢測結果對比，一般存在 12% 左右的誤差。

## 參考資料
床边血液净化

**血液透析**（英語：Hemodialysis），俗稱**洗腎**、**洗血**，是將血液抽出體外，經過血液透析機的滲透膜，清除血液中的新陳代謝廢物和雜質後，再將已淨化的血液輸送回體內。

血液透析可用於腎衰竭病患，或血液中毒等身體無法自行排出毒害物質的情況。

採用血液透析的病患，每一週必須到醫院接受 2 至 3 次治療，洗血過程每次需時 4 至 6 小時，對於上班人士及須出遠門的患者是一種困擾。至於採用腹膜透析者，可在家裡進行，一個月回到醫院 1 次即可。

延長透析時間可以減少血液透析的併發症、增加生活品質及降低死亡率，主要原因在於脫水速率較低及可以脫去更多的尿毒素；而最好的方法是利用每天晚上睡覺的時間進行血液透析，所以比起日間透析、更不會影響日常生活；只是要提供這樣的服務，成本很高。

## 併發症

常見併發症包括血壓低、肌肉抽筋、噁心及嘔吐、頭痛、胸口痛、背痛、發癢、發燒及發冷和出血傾向。

較罕見的併發症包括透析不平衡症候群，對人工腎過敏反應、心律不齊、腦出血、抽筋、血溶病、空氣栓塞及心臟停頓。
凝血異常也是常見的問題。尿毒症患者由於血管性假血友病因子與血小板糖蛋白功能異常、血小板功能異常、使用抗凝劑等因素，常可發生出血。

## 另見

* 透析
* 腹膜透析
* 腎臟移殖

## 資料來源

## 延伸閱讀

* 血液透析。台北榮總血液透析室. [2012-01-12]. （原始內容存檔於 2013-05-05）.
* 血液透析病人飲食之注意原則 (PDF). 國立成功大學醫學院附設醫院護理部. 2010-03 [2012-01-12].

## 外部連結

* Your Kidneys and How They Work - (American) National Institute of Diabetes and Digestive and Kidney Diseases (NIDDK), NIH.
* Treatment Methods for Kidney Failure - (American) National Institute of Diabetes and Digestive and Kidney Diseases (NIDDK), NIH.
* Treatment Methods for Kidney Failure: Hemodialysis - (American) National Kidney and Urologic Diseases Information Clearinghouse, NIH.
* Online Community for Dialysis Patients by Dialysis Patients （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* What is dialysis? - Kidney Foundation of Canada
* European Kidney Patients' Federation (CEAPIR)
* ARCH Project - European research project for development of a model to simulate hemodynamic changes induced by AVF surgery and long-term adaptation.
床頭婆婆

**床母**，為華人信奉的護嬰女神，閩南人稱其為**床母**，廣東人稱之為**床頭婆婆**。相傳床母能保佑嬰兒、幼兒平安順利長大，故家有嬰幼兒者均祭祀之，祭祀日期在每年的七夕。

有地方相傳床母從屬於臨水夫人，所以臨水夫人誕辰正月十五日亦有人祭祀。

## 源流

* 床母純粹為床舖之女神，能保護嬰兒、幼兒，使嬰兒睡眠安穩，不易惡夢受驚。
* 床母即為婆姐女神，為嬰兒、幼兒守夜。婆姐女神為七星娘娘、臨水夫人、註生娘娘等神祇的從神，負責助產安胎與保護嬰兒、幼兒。
* 一種民間傳說為有一販扇之少女與赴考之士子為情侶，士子夜半縋牆與少女幽會，七夕牛女佳期，兩人正當激情歡好，士子卻馬上風突逝，少女恐人知而失節，不敢言，埋屍床下，每年以忌日奉祀酒肉於床。後少女納贅婿，生一子，依然於七夕設祭，置供品於床上。夫怪而問之，對曰：「吾祀床母神也。床母為守床之神，以護君之賢嗣。」
  * 此說不可信，顯然因襲於趙宋花蕊夫人祀張仙事，有心者編造也。且閩南古有奉祀鳥母神之例，謂能保稚子，鳥母神即床母也。

## 祭拜方式

閩南人多以燒酒雞（或麻油雞）一碗、雞腿一隻、雞蛋一個（通常是滷蛋或水煮蛋）、油飯、麵線、米酒三杯、圓仔花兩束等應景供品奉祀床母。奉佛者不殺，各以鮮花、果品、糕點、清茶奉祀。

其餘供品隨意，但有地方不拜有刺的魚，小孩就不會被魚刺哽住喉嚨。

將供品擺設嬰、幼兒臥室之床上，或設一供桌以設供品，置於床上或床邊。民間祭祀的床母幾無塑像或畫像，僅取一碗盛白米作為香爐，以三炷清香，由床尾向床頭祭拜，一般不設神位，亦有人以紅、黃色紙書上「本宅床母娘娘神位」字樣，貼在床頭奉祀。如一家中有許多孩子，擇定一床或者設置一桌祭祀即可，無須每張床都祭祀，但記得在祭拜禱告時將孩子們的姓名向床母敘述。

禱曰：「今逢七夕佳節，奉請本宅床母娘娘駕臨，享用供品，庇佑吾兒 XXX、吾女 OOO，平安無驚無訝，一瞑一瞑趕緊大。」（此為閩南語。意為**無驚無嚇，一夜一夜趕快長大**）。吉祥話不拘，亦可禱曰：「庇佑吾兒 XXX、吾女 OOO，好帶好吆飼，平安喫百二。」

祭拜完畢，依照各地慣例燒金紙。北臺灣燒刈金（中部為「四方金」；南部為「九金」）、金白錢、床母衣（或者掃墓用的五色紙），或添增福金、壽金者。如設有神位者，亦焚之，送神歸去。

## 參考資料

* 《臺灣民俗大觀》第二卷。主編 凌志四。大威出版社. 1985
* 《臺灣人民俗：民俗工藝・寺廟神祇》主編 凌志四。橋宏書局 . 2000

## 參見

* 七夕
* 織女
* 作十六歲
序

**序**（英語：preface），又稱**序文**、**序言**、**序論**、**敘**、**敘文**、**敘言**、**敘論**、**緒**、**緒文**、**緒言**、**緒論**、**弁言**、**引**、**引文**、**引言**、**引語**、**導言**、**前言**，是作品或書籍的一種依附性文章，主要介紹作品的內容、主旨，或者作者的創作過程，或對作品加以評論。若用於小說及故事以方便帶領作者進入劇情及介紹背景，又稱作**序章**（英語：prologue）。

中國最早的序，一般認為是漢朝人為《詩經》所做的《毛詩序》以及為各詩所做的小序。
序一般位於作品之前，若位於結尾，通常稱為跋、後序、或後記。如司馬遷的《太史公自序》即位於《史記》結尾。
由作者本人寫的序稱為為「自序」，作者以外的他人所寫的序為「他序」。後又有贈序之文體出現，古時臨別眾友集體寫詩文以贈遠行之人，並為此詩文集寫序，而後贈序開始喧賓奪主，變成只有贈序，而不寫詩文集。

## 外部連結

* 余英時：〈原「序」：中國書寫史上的一個特色 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
序二段

**序二段**（日語：序二段／じょにだん _Jonidan_ \*/?）），是日本大相撲力士等級的第二級，在序之口之上、三段目之下。

與其他等級不同，序二段力士沒有固定人數，視相撲部屋每年加入之新弟子人數而定，通常大約 200 至 250 人。由於這些數字，以及與其他較低分區一樣，力士在比賽期間僅進行了 7 次比賽的事實，通常需要在最後一天進行優勝決定戰才能確定冠軍。

即使在冬天，序二段力士只可穿薄薄的棉質浴衣，不可穿羽織，只可穿木屐。除訓練外，他們經常在所屬相撲部屋內負責許多更平凡的雜務。
序位效應

**序位效應**（英語：serial-position effect）是一種心理學現象，指人們傾向於對首先見到的事物和最後見到的事物有更好的印象。分為**初始效應**（primacy effect）和**時近效應**（recency effect）。

## 初始效應

初始效應是對「第一印象」或「先入為主」所產生的心理學現象，指在行為過程中，最先接觸的事物會給人留下深刻的感知或認知，影響人對事物的感知和判斷。

## 時近效應

時近效應指在行為過程中，對事物的最近一次接觸給人留下深刻的感知或認知，能對初始效應所形成的心理作用起到鞏固、維持、否定、修改或調整等作用。例如在時間上與下一次購買決策最為接近，因此正或負的時近效應能促進或阻滯購買行為。
序保持

在數學中在有序集合之間的函數是**單調**（monotone）的，如果它們保持給定的次序。這些函數最先出現在微積分中後來推廣到序理論中更加抽象結構中。儘管概念一般是一致的，兩個學科已經發展出稍微不同的術語。在微積分中，我們經常說函數是**單調遞增**和**單調遞減**的，在序理論中偏好術語**單調**、**反單調**或**序保持**、**序反轉**。

## 一般定義

設

　
: $f:P\longrightarrow Q$

是在兩個帶有偏序≤的集合 $P$ 和 $Q$ 之間的函數。在微積分中，它們是帶有平常次序的實數集的子集之間的函數，但是定義仍保持同更一般的序理論定義一樣。

函數 $f$ 是**單調**的，如果只要 $x\leq y$ ，則 $f(x)\leq f(y)$ 。因此單調函數保持次序關係。

## 微積分和實分析中的單調性

在微積分中，經常不需要訴諸序理論的抽象方法。如上所述，函數通常是按自然次序排序的實數集的子集之間的映射。

受在實數上的單調函數的圖的形狀的啟發，這種函數也叫做**單調遞增**的（或 "非遞減" 的）。類似的，函數叫做**單調遞減**的（或 "非遞增" 的），如果只要 $x<y$ ，則 $f(x)\geq f(y)$ ，就說它反轉了次序。

如果把定義中的次序≥替換為嚴格次序 >，則得到了更嚴格的要求。有這樣性質的函數叫做**嚴格遞增**的。還有通過反轉序符號，可以得到對應的**嚴格遞減**。嚴格遞增或遞減的函數是一一映射（因為 $a<b$ 蘊涵 $a\neq b$ ）。

要避免把術語非遞減和非遞增混淆於嚴格遞增和嚴格遞減。

## 序理論中的單調性

在序理論中，不限制於實數集合，可以考慮任意偏序集合甚至是預序集合。在這些情況下上述定義同樣適用。但是要避免術語「遞增」和「遞減」，因為一旦處理的不是全序的次序就沒有了吸引人的圖像動機。進一步的，嚴格關係 <和> 在多數非全序的次序中很少使用，因此不介入它們的額外術語。

單調（monotone）函數也叫做 **isotone** 或**序保持**函數。對偶概念經常叫做**反單調**、**antitone** 或**序反轉**。因此，反單調函數 _f_ 滿足性質

　
: $x\leq y$ 蘊涵 $f(x)\geq f(y)$ ，對於它的定義域中的所有 $x$ 和 $y$ 。容易看出兩個單調函數的複合也是單調的。

常數函數是單調的也是反單調的；反過來，如果 $f$ 是單調的也是反單調的，並且如果 $f$ 的定義域是格，則 _$f$_ 必定是常數函數。

單調函數是序理論的中心。它們大量出現於這個主題的文章和在這些地方的找到的應用中。著名的特殊單調函數是序嵌入（ $x\leq y$ 若且唯若 $f(x)\leq f(y)$ 的函數）和序同構（對射序嵌入）。

## 參考文獻
序列

**序列**（英語：Sequences）在數學中是指被排成一列的數學實體（如數字、函數）；，其中常見的就是排成一列的數，即數列。

## 正式定義

直觀上就是用數碼去標記一列數學實體（如數字、函數）。

## 例子和符號

例如，(C,Y,R) 是一個字母的序列：順序是 C 第一，Y 第二，R 第三。序列可以是_有限的_（就像前面這個例子），也可以是_無限的_，就像所有正偶數的序列（2,4,6,...）。有限序列包含**空序列**（），它沒有元素。序列中的元素也稱為**項**，項的個數（可能是無限的）稱為序列的**長度**。

## 序列的形式和性質

* 一個給定序列的子序列是從給定序列中去除一些元素，而不改變其他元素之間相對位置而得到的。
* 若序列的項屬於一個偏序集，則**單調遞增**序列就是其中每個項都大於等於之前的項；若每個項都嚴格大於之前的項，這個序列就是**嚴格單調遞增**的。類似可定義單調遞減序列。單調序列是單調函數的一個特例。
* 由整數組成的序列稱為**整數列**；由多項式組成的序列稱為**多項式列**。
* 若 _S_ 具有拓撲，那麼就可以討論 _S_ 中的無限序列的**收斂**。請詳見極限。
* 由數組成的序列稱為**數列**；由數列的部分和組成的序列稱為**級數**，例如：

　
: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}.$

## 應用

### 計算機領域

**有限的序列**稱為列表（lists）。有限的字符串序列稱為字符串（string）。**無限的序列**稱為字符串流（stream）。

## 參考文獻

* Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄語）.  （俄文）

## 參見

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Sequence, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Journal of Integer Sequences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (free)
* Sequence. PlanetMath.
序列主义

**序列主義**（serialism），也稱序列音樂，是 20 世紀出現的一種音樂創作手法，進而發展成為一種現代音樂類型和流派。其特徵是將音樂的一些參數（一個或幾個高音、力度、時值）按照一定的數學排列組合，稱為一種序列，然後這些編排序列或編排序列的變化形式在全曲中重複。

序列的概念最早用於音高方面，導致 20 年代出現十二音音樂，其創始人勛伯格在十二音音樂中將音高排列稱一定的序列。1936 年，他的弟子韋伯恩所作《變奏曲》（作品 27）的第二樂章，將序列手法進一步發揮，其音高在各音區的分布及音的發聲與休止，也按預先確定的序列進行。

二次世界大戰後，序列主義作品不斷出現，梅西安、布萊茲、施托克豪森等一批採用序列手法作曲的作曲家，他們將起奏法、速度、節奏、音色、力度、密度等因素都排列成序，從而形成了所謂整體序列主義。

斯特拉文斯基、布里頓等古典主義作曲家，也曾嘗試過序列主義音樂的創作。

序列主義摒棄了傳統音樂的種種結構因素（主題、樂句、樂段以及它們的邏輯發展等）和創作規律，使音樂創作成了數學演算的過程，最終形成的樂曲有很多偶然的成分。

序列主義在電子音樂中得到重用，各種音樂要素被編成序列輸入電腦，並通過電子合成器表現出來。
序列分析

**序列分析**是指通過一定的方法確定 DNA 上核苷酸排列的順序，包括序列比對。序列分析是分子生物學的重要技術之一。

## 參考條目

* 序列比對

## 外部連結

* Sequence analysis - 123 Genomics
* Nucleic sequence analysis - 巴斯德研究院
序列分組交換

**序列分組交換**（Sequenced Packet Exchange，SPX），一種早期傳輸層協議，由 Novell 研發。

SPX 運行在 IPX 之上，主要為 Novell NetWare (NetWare 5.0 之前) 系統實現客戶機 / 伺服器上應用程式的通信服務，例如 BTRIEVE（ISAM 管理器）。SPX 與 TCP 實現同等功能。最新版本的 NetWare 運行在 TCP/IP 上。

## 參考資料

## 參見

* 網絡協議
* 網際網路
* IP
序列博弈

賽局理論中，**序列賽局**（英語：sequential game），是指在賽局中，一個參與者先於另一個參與者行動。值得注意的是，後者必須至少能獲得先發者的部分行為資訊，否則行為時間的先後就不會有任何效果。

組合賽局一般是動態賽局。

賽局矩陣無法表示動態過程，用賽局樹（擴展式表述）來表示。動態賽局常用逆向歸納法求解。

許多棋類遊戲都是序列賽局，如井字棋、象棋、西洋棋、圍棋等。決策樹的大小可以根據遊戲的複雜性而有所不同，範圍從一個小而詳盡的遊戲樹的井字棋，而圍棋決策樹如此之大，甚至電腦無法完全映射出的非常複雜的賽局樹。
序列号

**序列號**（serial number）也稱為**序號**，是為了識別需要，分配給物品的唯一標識符，可能是用遞增的方式編號，或是以其他順序的方式編號。

序列號不一定完全是數字。有可能包含字母和其它符號，或者可以完全由一個字符串組成。

在 ISO 8000-2 標準中，該術語定義為「用於標識產品單次出現的數字」

## 參考文獻
序列同源性

**序列同源性**（英語：Sequence homology）是 DNA、RNA 或蛋白質序列之間由在演化歷程中存在共同祖先導致的生物同源性。 兩個 DNA 片段可由三種情況從共同的祖先 DNA 演化而來：物種形成事件（直系同源），片段重複事件 （旁系同源），或者基因橫向轉移事件（異源同源）。 

DNA、RNA 和蛋白質之間的同源性一般由核苷酸或胺基酸的序列的相似性推斷。顯著的相似性可有力地證明兩個不同序列由同一祖序列通過演化性的變化而來的相關性。 通過對多個序列進行比對，可以顯示出序列中哪些區域是同源的。

## Orthology

如果同源序列被推斷出是由物種形成事件所分離的相同祖先序列的後代，那麼它們是直系同源的：當一個物種分化為兩個單獨的物種時，兩個產生物種來自同一個基因的拷貝被認為是直系同源的。 直系同源基因是不同物種中的基因，它們是通過起源於最後一個共同祖先的單個基因的直接後代形成的。 「Ortholog」一詞是由分子進化學家 Walter Fitch 於 1970 年提出的。 

## 參考資料
序列图

**序列圖**（Sequence Diagram），亦稱為**循序圖**、**時序圖**，是一種 UML 行為圖。描述物件在時間序列中的交叉作用。序列圖會描繪在此情境下有關的物件，以及此物件和其他物件交換訊息的順序。序列圖一般和待開發系統邏輯視圖上，用例的實現有關。序列圖有時也稱為**事件圖**或**事件情境**。

序列圖中會繪出許多同時存在的不同物件（以垂直線表示，線的開始及結束為生命線，表示物件的產生及結束），而物件之間橫向的箭頭，表示物件之間交換的訊息，會以發生的先後順序來排列。因此可以用圖形的方式，簡單說明用例在執行時的情形。

## 元素

循序圖包含四類元素，他們分別是：

1. 物件（Object）
2. 生命線（Lifeline）
3. 訊息（Message）
4. 活化（Activation）

## 參考連結

 

## 外部連結

* UML 基礎：序列圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Event-driven State Transitions and Actions - StateWizard: a ClassWizard-like round-trip UML dynamic modeling/development open-source framework and tool running in popular IDEs.
序列埠

**序列埠**（Serial port），也稱序列埠或序列埠，序列通信埠，COM 埠，簡稱串口。主要用於序列式逐位資料傳輸。常見的有一般電腦應用的 RS-232（使用 25 針或 9 針連接器）和工業電腦應用的半雙工 RS-485 與全雙工 RS-422。

## 規格

序列埠按電氣標準及協定來分，包括 RS-232-C、RS-422、RS485、USB 等。 RS-232-C、RS-422 與 RS-485 標準只對埠的電氣特性做出規定，不涉及接外掛程式、電纜或協定。USB 是近幾年發展起來的新型埠標準，主要應用於高速資料傳輸領域。

* RS-232-C

　
: 也稱標準序列埠，是目前最常用的一種序列通訊埠。它是在 1970 年由美國電子工業協會（EIA）聯合貝爾系統、 數據機廠家及電腦終端生產廠家共同制定的用於序列通訊的標準。它的全名是「資料終端裝置（DTE）和資料通訊裝置（DCE）之間序列二進位資料交換埠技術標準」。傳統的 RS-232-C 埠標準有 22 根線，採用標準 25 芯 D 型插頭座。自 IBM PC/AT 開始使用簡化了的 9 芯 D 型插座。至今 25 芯插頭座現代應用中已經很少採用。電腦一般有兩個序列口：COM1 和 COM2，9 針 D 形埠通常在電腦後面能看到。現在有很多手機資料線或者物流接收器都採用 COM 口與電腦相連。

* RS-422

　
: 為改進 RS-232 通信距離短、速率低的缺點，RS-422 定義了一種平衡通信埠，將傳輸速率提高到 10Mb/s，傳輸距離延長到 4000 英尺（速率低於 100kb/s 時），並允許在一條平衡匯流排上連接最多 10 個接收器。RS- 422 是一種單機傳送、多機接收的單向、平衡傳輸規範，被命名為 TIA/EIA-422-A 標準。

* RS-485

　
: 為擴充應用範圍，EIA 又於 1983 年在 RS-422 基礎上制定了 RS-485 標準，增加了多點、雙向通信能力，即允許多個傳送器連接到同一條匯流排上，同時增加了傳送器的驅動能力和衝突保護特性，擴充了匯流排共模範圍，後命名為 TIA/EIA-485-A 標準。

* Universal Serial Bus（通用序列匯流排）

　
: 簡稱 USB，是目前電腦上應用較廣泛的埠規範，由 Intel、Microsoft、Compaq、IBM、NEC、Northern Telcom 等幾家大廠商發起的新型外設埠標準。USB 埠是電腦主機板上的一種四針埠，其中中間兩個針傳輸資料，兩邊兩個針給外設供電。USB 埠速度快、連接簡單、不需要外接電源，傳輸速度 12Mbps，新的 USB 2.0 可達 480Mbps；電纜最大長度 5 米，USB 電纜有 4 條線：2 條訊號線，2 條電源線，可提供 5 伏特電源，USB 電纜還分封鎖和非封鎖兩種，封鎖電纜傳輸速度可達 12Mbps，價格較貴，非封鎖電纜速度為 1.5Mbps，但價格便宜；USB 通過串聯方式最多可串接 127 個裝置；支援熱插拔。最新的規格是 USB 4.0，最高傳輸速度可達 40 Gbps。

* RJ-45 埠

　
: 是乙太網路最為常用的埠，RJ45 是一個常用名稱，指的是由 IEC (60) 603-7 標準化，使用由國際性的接外掛程式標準定義的 8 個位置（8 針）的模組化插孔或者插頭。

## 串口與並列埠的區別

串口類似於一條車道，而並列埠就是有 8 個車道同一時刻能傳送 8 位元（一個位元組）資料。但並不是並列埠快，由於 8 位元通道之間的互相干擾。傳輸時速度就受到了限制。而且當傳輸出錯時，要同時重新傳 8 個位的資料。序列埠沒有干擾，傳輸出錯後重發一位就可以了，所以要比並列埠快。

### 交換機的串口

交換機的串口的英文就是 trunk；是用來做下一跳路由轉換用的。每個 VLAN 只有通過與 TRUNK 的路由指向後才能上外網

實際使用腳位說明

```
   Pin Name Dir Description
   2 TXD OutPut Transmit Data
   3 RXD InPut Receive Data
   5 GND System Ground
   7 CTS InPut Clear to Send
   8 RTS OutPut Request to Send
   9 Vcc InPut Power Supply(+5V)
```

## 用途

電腦主機板上的串口：進行序列傳輸的埠，它一次只能傳輸 1Bit。序列埠可以用於連接外置數據機、繪圖儀或序列印表機。它也可以控制台連接的方式連接網路裝置，例如路由器和交換機，主要用來組態它們。消費性電子已經由 USB 取代串列埠；但在非消費性用途，如網路裝置等，串列埠仍是主要的傳輸控制方式。

* 終端（Computer terminal）。
* 數據機（Dial-up modems）。
* 印表機（Printers）。
* 網路裝置（路由器、交換機等）。
* 舊式串列埠滑鼠。
* 舊式搖桿。
* GPS 接收機（NMEA 0183 標準為 4800 位元 / 秒）。
* 舊式 GSM 行動電話。
* 衛星電話、低速衛星數據機及其他衛星傳輸裝置等。
* 微控制器、EPROM 等可程式寫入器。
* 條碼掃描器或其它銷售時點情報系統（POS）裝置。
* LED 或 LCD 文字顯示器。
* 自製電器裝置、工業電機裝置。
* 舊式數位相機。
* 量測儀器，例如數位式多功能電錶，示波器等。
* 消費性電子產品更新韌體所使用。

## 串口通信

串口通信的方式包括串口同步通信和串口非同步通信。

* 串口同步通信：在約定的通信速率下，傳送端和接收端的時鐘訊號頻率和相位始終保持同步，以保證通信雙方在傳送和接收資料時具有完全一樣的定時關係。
* 串口非同步通信：也稱為起止式非同步通信，是以字元為單位進行傳輸的，字元之間沒有固定的時間間隔要求，每個字元中的各位則以固定的時間傳送。

## 參見

* COM (硬體埠)
* USB
序列岩

**序列岩**（英語：Narabi Rocks），是南極洲的岩石，位於毛德皇后地的奧拉夫王子海岸，處於天文台岩和小僧岩之間，長 6 公里，根據日本探險隊的測量和拍攝的空中照片繪入地圖，現時由南極條約體系管理。

## 外部連結

* 本條目引用的公有領域材料來自美國地質調查局的文檔 《序列岩》 （資料來自地名信息系統）。
序列式半自动变速器

**序列式半自動變速器**（英語：**Sequential manual gearbox**，簡稱：**SMG**），是一種用於機車或高性能賽車的手排變速器，有別於傳統「H」型檔位的變速器，駕駛者只可以順序換檔，即是說從三檔只可以換到二檔或四檔，不可以直接跳到一檔或五檔。

結構上，序列式半自動變速器大多使用爪形離合器。一般而言，拉下換檔桿換高一檔，將之推前降低一檔。換檔桿連接著一個棘輪裝置，將推拉的動作化為旋轉的動力，進而轉動一個切換鼓，鼓內有三至四排齒狀機械及一個換擋撥叉，切換鼓旋轉時撥叉會與齒狀機械齧合，並且切換至指定的檔次。好處是每次轉檔不再需要鬆開離合器，可以大大縮短轉檔的時間。

## 商業應用

由於體積相對細小，大多現代的機車都採用序列式半自動變速器。在汽車方面，BMW 車廠在 1990 年代曾經將這技術應用於其高性能 M3 轎跑車之中，直到雙離合變速箱開始成熟才被淘汰。

## 參考
序列極限

**極限**（英語：Limit）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

## 定義

### 實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 來說，若

　
: $\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

則其極限 $z$ 一定為實數 ，因為假設 $z$ 的虛部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的話，則對上面的定義取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的話，會存在 $n\in \mathbb {N} $ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N} $ ，只要 $i>n$ 有

　
: ${\sqrt {{(z_{i})}^{2}+{(\operatorname {Im} (z))}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|$

這是矛盾的，所以根據反證法， $\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R} $ 。

## 基本性質

### 唯一性

### 有界性

根據實質條件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots $ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

### 保序性

## 四則運算定理

設 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，則

 1. $\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$ ；
2. $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$ ；
3. 若 $b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$ , 則 $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$ .

## 審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，稱為單調收斂定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

## 柯西數列

## 參考文獻列表

## 參看

* 級數
* 函數極限
序列比對

**序列比對**指將兩個或多個序列排列在一起，標明其相似之處。序列中可以插入間隔（通常用短橫線「-」表示）。對應的相同或相似的符號（在核酸中是 A, T (或 U), C, G，在蛋白質中是胺基酸殘基的單字母表示）排列在同一列上。

```
 tcctctgcctctgccatcat---caaccccaaagt
 |||| ||| ||||| |||||   ||||||||||||
 tcctgtgcatctgcaatcatgggcaaccccaaagt
```

這一方法常用於研究由共同祖先進化而來的序列，特別是如蛋白質序列或 DNA 序列等生物序列。在比對中，錯配與突變相應，而空位與插入或缺失對應。序列比對還可用於語言進化或文本間相似性之類的研究。

術語「序列比對」也指構建上述比對或在潛在的不相關序列的資料庫中尋找 significant alignments。

## 比對方法

對於很短或非常相似的序列，我們可以人工進行比對。然而，在很多問題中，我們需要對非常長的序列進行比對，這是單靠人類的努力所不能解決的。在這種情況下，我們通過構造算法來進行高效的序列比對，有時還需要對最終結果進行調整，因為有些結果難以通過算法表達出來（特別是核苷酸序列）。序列比對的計算方法一般分為兩類：全局性比對（global alignments）和局部比對（local alignments）。計算一個全局性的路線，是一個全局優化的形式，其強制按照整個長度的所有查詢序列對齊。與此相反，局部比對只確定局部的相似而整個長序列卻往往大相逕庭。局部比對往往是可取的，但可能更難以計算的，因為還有來自確定其他相似區域的挑戰。各種計算算法已應用於序列比對的問題，包括緩慢，但正規的像動態規劃的優化方法和高效率，但不徹底的啟發式算法，或大型資料庫搜索設計的概率方法。

## 雙序列比對

雙序列比對方法涉及尋找（局部）最優匹配片斷或蛋白質（胺基酸）或 DNA（核酸）全局比對。

### 全局比對

全局比對是指將參與比對的兩條序列裡面的所有字符進行比對。
全局比對主要被用來尋找關係密切的序列。由於這些序列也都很易通過本地比對方法找到，現在全局比對也有些被認為只是一種技巧。另外，全局比對在應用於分子進化時也有些問題（比如 domain shuffling - 見下），這也限制了這種方法的可用性。

### 局部比對

### 序列比對的重要性

## 結構比對

## 多序列比對

多序列比對是成對比對的延伸，是為了在一次比對裡面處理多於兩條的的序列。多序列比對方法試圖比對一個指定序列集合裡面的所有序列，這可以幫助確定這些序列的共同區段。進行多序列比對有幾種方法，最常用的一種是 Clustal 程序集，它使用漸進多序列比對算法。Clustal 在 cladistics 中被用來建立進化樹，在 PSI-BLAST 和 Hidden Markov model- (HMM-) 中用來建立序列檔案以在序列資料庫中搜索更遠的同源序列。

多序列比對編程實現困難。被歸為 NP 難題的一種。

## 算法

## 軟體

這一方法利用一個預先計算的哈希表作為短序列的索引。給定一個被查詢序列，將根據索引來查詢子序列，從而減少查詢次數和時間。提供一些參數將使該方法更快或更準確。檢索到與檢索序列匹配的模式後，需要進一步使用更加準確和深入的算法。

BLAST 利用成對的本地檢索和許多其他方法來提高 Smith-Waterman 算法的速度。

### FASTA

## 外部連結

* （英文）描述 BLAST 算法的文章 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （英文）Blast 伺服器 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），位於 NCBI
* （英文）JAligner 在線序列比對程序 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
序列法則

**序列法則**（Cahn–Ingold–Prelog (CIP) sequence rules、CIP priority rules）是一套用於有機化學的規則，用來命名有機分子的立體異構現象。一個有機分子可能含有多個立體中心和雙鍵，而每一個都給了這個分子兩種可能的組態。這個規則的目的是給予立體中心 R/S 標記，雙鍵 E/Z 標記，而使每個組態都可以用系統性的語言來描述。

序列法則和其他的命名原則，如 IUPAC 命名法有顯著的不同，原因是此規則是被制定來命名有立體異構物的分子，而不是來一般的分類與描述化合物。

使用序列法則的步驟通常是：

1. 標記立體中心和雙鍵；
2. 標記連著立體中心的四個基團的優先順序，和雙鍵兩端原子各自所接的兩個基團的優先順序（兩端分開標記）；
3. 標記立體中心的 R/S，和雙鍵的 E/Z。

## 標記優先順序

R/S 和 E/Z 標記是建於與立體中心（或雙鍵）相連的基團的優先順序上的。所以標示這些優先順序的步驟，是整個序列法則的核心。

首先比較的是直接接到該立體中心的原子的原子序（原子序數），原子序愈大的即可拿到較大的優先順序。假如是原子序相同的情形，則分別表列直接連接該原子的原子，即與立體中心距離為二的那些原子，並以原子序降序排列。然後逐原子比較，當一有差別出現，擁有較大原子序的一方即有較大的優先順序。如果還是相同，在表上的原子將被他們所們所接的原子，即與立體中心為三的原子所取代，並個別做降序排列，然後再度逐原子比較。整個步驟將重複不斷進行，直到出現差異為止。

重複上述步驟時，如果遇到構型不相同的立體中心或雙鍵，則它們之間的順序也不相同。含 R 構型立體中心的基團在先，含 S 構型立體中心的基團在後；含 Z 型雙鍵的基團在先，含 E 型雙鍵的基團在後。

舉些例子以助於說明這個比較的過程：

* **－OH > －CH3**：－OH 基團直接接到立體中心的原子（O）的原子序大於－CH3 直接接到立體中心的原子（C）。
* **－CH(OH)CH3 > －CH2OH**：直接接立體中心的原子都是碳，但與原子中心距離為二的表不同，分別是（O,C,H）和（O,H,H）。最早的區別是第二行的碳與氫，而碳原子序比較大，故取得較大優先順序。
* **－CH(OCH3)CH3 > －CH(OH)CH2OH**：與立體中心距離為二的表皆是（O,C,H），故我們製造距離三的表：（(C),(H,H,H),()）；（(H),(O,H,H),()）。最早的差距是第 1-1 行的碳和氫。認為第 2-1 行的氧取得優先順序是不正確的（因為要照順序比）。
* **－CH(CH2F)OCH3 > －CH(CH3)OCH2F**：距離二表（O,C,H）；（O,C,H）距離三表（(C),(**F**,H,H),()）；（(C),(**H**,H,H),()），認為後面距離為四的氟贏是不正確的，因為差別在距離三即出現。

### 同位素

當兩基團只有同位素的差別，則以質量數來比較：

* **－CDH2 > －CH3**：與立體中心距離二的表是（D,H,H）；（H,H,H），而 D = 2 > H = 1。
* **－CH(OD)CH3 > －CH(OH)CTH2**：距離二的表相同（O,C,H），故製作距離三的表（(D),(H,H,H),()）；（(H),(T,H,H),()）。在 1-1 行，D> H，取得較大優先順序。
* **－CH2CH2CH3 > －CDHCH3**：由於基團有原子上的不同，故以**原子序**作為比較的基準，而前者在距離三取得較大的優先順序。認為距離二的時候 D > H 是不正確的。

### 雙鍵與三鍵

如果甲原子與乙原子之間為雙鍵，則把甲原子視為用單鍵與兩個原子連接：乙原子以及一個與乙原子有相同原子序且只與甲連接的虛擬原子。當進一步追溯到與乙原子相連的原子時，甲原子本身不算，以避免往回找的現象，但是會算上一個虛擬的甲原子，這樣，雙鍵就被正確的詮釋了。
例子：

* **－CH=O > －CH2OH**：距離二的表分別是（O, 虛擬 O,H）；（O,H,H）。虛擬 O 取得了較高的優先順序。
* **－CH(OCH3)2 > －CH=O**：距離二的表分別是（O,O,H）；（O, 虛擬 O,H），是相同的。但在距離三的時候，虛擬 O 並沒有和任何其他東西相接，故表為（(C),(C),()）；（(虛擬 C),(),()）。在第二行 C > 無東西。
* **－CH=CH2 > －CH(CH3)2**：距離二的表是（C, 虛擬 C,H）；（C,C,H），故比較距離三：（(虛擬 C,H,H),(),()）；（(H,H,H),(H,H,H),()）。距離三表中的虛擬 C 是用來表達 C=C 雙鍵的另一個方向。

### 碳環

當遇到含有碳環的化合物時，必須要把他展開為樹狀（被作者稱為**分層圖**）。方法是從立體中心開始，走所有可能的路徑，當在某條路徑上，遇到一個該條路徑已經走過的原子時，把該原子變成個虛擬的原子，以確保這樹是有限的。同一個原子可能在該樹上出現多次，有時是原本的，有時是虛擬的。

## 標記雙鍵與立體中心

### 立體中心：R/S

當一個立體中心的四個基團都被給予了優先順序之後，使該分子在空間中，擁有最低優先順序的取代基是指遠離觀察者的（即位於虛形鍵上）一個。假設四個基團分別被標示為 1（最高優先）到 4（最低優先），那麼從 1 到 3 所轉的方向標記了該個立體中心。當 1 到 2 到 3 的方向是順時鐘時，我們標記它為 R，若是逆時鐘則為 S。這些記號分別是由拉丁文的右 (_rectus_) 和左 (_sinister_) 來的。

### 雙鍵：E/Z

對於烯類和那些具有雙鍵的有機化合物，基團還是一樣的被標記優先順序，但在這裡，重要的是雙鍵兩邊的碳原子所接的基團中，優先順序較高的那一個的相對位置。當兩個優先順序較高的基團在雙鍵的同側，即是順的位置，即把這雙鍵標記為 Z。若在相對的位置，即標記為 E。這些記號來分別自於德文的一起 (_zusammen_) 和相對 (_entgegen_)。

### 多個標記

很重要的一點是，一個化合物中，可能會有許多的地方需要標記。舉例來說，麻黃鹼可以在 (1R,2S) 和 (1S,2R) 的形式存在。但 (1R,2R) 和 (1S,2S) 的組成也是存在的。基本上，有 n 個立體中心和雙鍵，就會有 2n 個異構物，但有時候，有些異構物是不可能存在的，從而降低了可能存在的異構物數目。

## 參見

* 立體中心
* 雙鍵 - 順反異構
* E/Z 標記
* R/S 標記
* 次序規則

## 參考資料
序列测定

**定序**（英語：sequencing），指測出目標分子一級結構的序列。定序意味著確定無分支的生物聚合物的一級結構（有時被誤稱為一級序列）。定序結果是一個符號化的線性描述，簡明地總結了被定序的分子的大部分原子級結構的序列。

常見的定序有：

* DNA 定序
* RNA 定序
* 桑格定序
* 蛋白質定序
* 焦磷酸定序
* 多醣定序

## 蛋白質定序

蛋白質定序的方法包括：

* 埃德曼降解法
* 質譜法
* 肽質量指紋

如果編碼蛋白質的基因是已知的，那麼便可以利用基因的序列推斷出蛋白質的序列。

## 參考資料

## 參見

* 遺傳密碼
* 核酸序列
* 生物資訊學
序列点

**順序點**，也稱作**序列點**，是電腦程式中一些執行點，在該點處之前的求值的所有的副作用已經發生，在它之後的求值的所有副作用仍未開始。在 C 與 C++ 程式設計語言中，表達式的值依賴於它的子表達式的求值順序。增加更多的順序點限制了可能的求值順序，能保證有一個一致結果。

C++11 中，順序點概念已經被 sequenced before 這種方法取代：直接指出一個求值是在另一個求值之前，或者兩個求值是無順序的。無順序的求值可以重疊進行。

## 歧義例子

考慮兩個函式 `f()` 與 `g()`。在 C 與 C++ 中，加法運算子 `+` 不是一個順序點，因此表達式 `f() + g()` 可能會先呼叫 `f()`，或先呼叫 `g()`。逗號運算子引入了一個順序點，因此表達式 `f(), g()` 的求值順序是確定的：首先呼叫 `f()`，然後呼叫 `g()`。

當一個變數在一個表達式修改不止一次，順序點也發揮作用。一個典型的 C 語言例子是表達式 `i = i++`，其中 `i` 的結果值是有二義性的，依賴於表達式求值順序：自增運算可能發生在賦值之前、之後或者交錯進行。在 C 與 C++ 語言中，這會導致未定義行為。

## C 與 C++ 的順序點

在 C 與 C++ 中，順序點出現在下述位置：（C++ 的多載運算子的行為類似於函式）

1. `&&`（邏輯與）、`||`（邏輯或）、逗號運算子的左運算元與右運算元求值之間（前兩者是短路求值的一部分）。例如，表達式 `*p++ != 0 && *q++ != 0`，子表達式 `*p++ != 0` 的副作用都會在試圖存取 `q` 之前完成。
2. 三元條件運算子的第一個運算元之後，第二或第三運算元之前。例如，表達式 `a = (*p++) ? (*p++) : 0` 在第一個 `*p++` 之後存在順序點，因而在第二個 `*p++` 求值之前已經做完一次自增。
3. 完整表達式結束處。包括表達式語句（如賦值 `a = b;`），返回語句，`if`、`switch`、`while`、`do`-`while` 語句的控制表達式，`for` 語句的 3 個表達式。
4. 函式呼叫時的函式入口點。函式實參的求值順序未指定，但順序點意味著這些實參求值的副作用在進入函式時都已經完成。表達式 `f(i++) + g(j++) + h(k++)`，呼叫 `f()`, `g()`, `h()` 的順序未指定，`i`, `j`, `k` 的自增順序也未指定。函式呼叫 `f(a,b,c)` 的實參列表不是逗號運算子，`a`, `b`, `c` 的求值順序未指定。
5. 函式返回時，在返回值已經複製到呼叫上下文。（僅 C++ 標準指出這一順序點)
6. 初始化的結束。例如，聲明 `int a = 5;` 中的對 `5` 求值之後。
7. 初始化列表的以逗號分割的各個初始化值，嚴格遵照從左至右求值。例如：`int a[3] = {i++,j--,foo(101)};` 注意，此處不是逗號運算子。（從 C++11 標準指出這一順序點）
8. 在聲明序列的每個聲明（declarator）之間。例如，`int x = a++, y = a++` 的兩次 `a++` 求值之間。注意，此例不是逗號運算子。

## 參考文獻

* Question 3.8 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） of the FAQ for comp.lang.c
序列的戰爭

《**序列的戰爭**》是由中國網路作家愛潛水的烏賊所創作的類克蘇魯風格小說。於 2018 年 4 月到 2020 年 5 月期間在起點中文網（閱文集團）上進行連載。第一部全 8 卷已完結。第二部名為《宿命之環》。

## 故事情節

蒸汽與機械的浪潮中，誰能觸及非凡？歷史和黑暗的迷霧裡，又是誰在耳語？我從詭秘中醒來，睜眼看見這個世界：

槍械，大砲，巨艦，飛空艇，差分機；魔藥，占卜，詛咒，倒吊人，建行股份的法國海軍封印物…… 光明依舊照耀，神秘從未遠離，這是一段「愚者」的傳說。

## 出版書籍

簡體中文版由廣東旅遊出版社出版，於 2020 年 8 月上海書展上出展。正體中文版則由飛燕文創事業有限公司出版。泰文版由 SMM PLUS 出版。起點國際（Webnovel）亦有該小說的英文版。

## 參考資料
序列紧

在數學上，若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間**序列緊**（英語：sequentially compact）。
雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，**緊**（英語：compact）和序列緊是兩個不等價的性質。

## 例子和性質

實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 (_sn_ = _n_) 便是一個沒有收斂子序列的序列。

若一個空間是度量空間，則其為序列緊當且僅當其為緊。 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間，比如具有序拓撲的首個不可數序數，也存在緊而非序列緊的拓撲空間，比如由 $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ 多個單位閉區間組成的積空間。

## 有關概念

* 若拓撲空間 _X_ 的任意無窮子集都有一個極限點在 _X_ 中，則稱 _X_ 為聚點緊的。
* 若拓撲空間 _X_ 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱 _X_ 為可數緊的。

對於度量空間，序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。

對於序列空間，序列緊與可數緊等價。

而單點緊化的意思是，在拓撲空間中加入一點，然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。

## 相關條目

* 波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

## 參考來源

## 參考書目

* Munkres, James. Topology 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2.
* Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; _Counterexamples in Topology_, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
* Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.
序列組裝

**序列組裝**（Sequence assembly）是生物資訊學中的一種分析方法。此方法通過序列比對和序列合併等演算，將短片段的 DNA 建構成為較長的連續序列。此技術的創立，是因為被測序的核酸分子通常長度都遠大於目前存在的 DNA 測序技術。而此分析能試圖從有限長度的 DNA 測序結果，重建出原本被測序分子的樣貌。

序列組裝最常被使用在高通量測序資料的分析上（例如基因組霰彈槍定序，或者 RNA 轉錄體測序）。這一類的測序技術會產生大量的測序片段（read，複數 reads），而這些片段的長度依照不同的技術，短為數十，長可至上萬個鹼基對（前者如 Illumina 的定序平台，後者如太平洋生物科學公司的 SMRT - 測序或奈米孔洞測序）。而序列組裝旨在合併這些短片段來重建原本的分子序列。

我們可將序列組裝想像成從大量片段的文字中拼湊出一整篇文章的過程：被測序的分子就是那篇文章，而測序片段就是那段文章中，隨機切取出來的句子。其中一種重建出這段文章的方式，就是找到句子中重疊的部分，因為一旦找到夠多重疊的部分，我們就有機會將每個句子連接到一起，進而得到原始的文章。不難想像，此過程的困難不僅僅在於需要進行大量的片段比對，還會因原本文章的複雜度而製造更多問題：例如原本的文章可能有許多重復的段落，而帶有這些重複段落的文句可能會重疊在一起；又或者我們所拿到的句子中若有錯別字，亦會增加尋找重疊片段的難度。同樣的問題也同樣存在於生物資訊的序列組裝分析裡。

## 方法

依照參考序列的有無，序列組裝可分為：

* De-novo 組裝（拉丁語：de novo 意指「新的」）：在沒有參考序列的情況下，僅使用序列片段所提供的資訊來組裝的方法。
* Mapping 組裝：在有參考序列的情況下，將測序片段比對至參考序列上，以取得組裝結果。
* 引導式組裝（guided assembly）：介於 de-novo 組裝與 mapping 組裝之間 —— 在有參考序列的情況下，以其作為引導，並結合使用序列片段本身的資訊進行組裝。

舉例來說，在進行全基因組測序分析時，de-novo 組裝可能被使用在非模式物種基因組的分析上，因為其沒有臨進物種的基因組提供參考。相反的，如果有有鄰近或相同物種的基因組可做參考，則可使用 mapping 組裝或引導式組裝（genome guided assembly）。

De-novo 組裝又可分為三種演算法：

* Overlap - Layout - Consensus（OLC）法：即文章前段所舉的例子。此演算法分為三個步驟（圖一）。首先找出測序片段中「重疊」的部分，接著「配置」出這些片段可能的順序，最後從這些片段中找出「保守」的序列，組裝得到原始序列。此方法雖然直觀，但其電腦演算量較大，故通常被使用在組裝資料量不大而測序長度較長的資料上（例如 Pac-Bio 的測序結果）。
* De-Bruijn（DBG）法：此方法使用數學圖論中 De-Bruijn 圖的概念，先將每個測序片段拆解成 k-mer（一個字串中所有長度為 k 的可能字串子集合）。接著從這些 k-mer 重疊的區段建構出 De-Bruijn 圖，再利用演算法解出 De-Bruijn 圖的結構並取得組裝結果（圖二）。此方法雖不如 OLC 法直觀，但在電腦演算需求上較 OLC 法小，故通常被用於資料量大而片段短的分析上（例如 Illumina 的測序結果）。
* 貪婪演算法

## 應用

* 全基因組組裝：組裝一個生物的基因組序列，可被應用於基因表現分析、個體間基因體差異比對、基因體層級的疾病研究等。
* RNA 轉錄組組裝：從 RNA 測序並組裝，取得表現的基因的序列與表現量資料
* EST 組裝

## 序列組裝程式

最早的序列組裝程式大約在 1980 至 1990 年代初期被發明。其雛形是序列比對分析的程式。隨著定序技術的進步以及被定序生物複雜度的增加（從小的病毒在質體至細菌和最後真核生物），序列組裝程式所採用的演算法也越趨複雜。基本上，組裝程式都至少要能應付下面三大問題：

* 大量的原始數據：一次的高通量測序可能產出數百至上千 GB 的測序資料。為了分析如此大量的資料，組裝程式通常都需要在超級電腦或電腦叢集上運作。
* 重複片段：完全相同的或非常類似的序列會造成組裝過程中的困難。我們難以判斷重複的次數，重複片段的切確位置，甚至可能將兩個原本不相連卻都帶有同樣重複片段的序列誤組在一起（mis-assembled）。
* 測序錯誤：測序錯誤可能產生自機器和技術本身的限制，而這樣的錯誤增加了序列比對的難度。

基因組組裝程式 Celera 和 Arachne 在 2000 年被研發出來 —— 當時科學家試著組裝第一個較大型真核生物的基因組（果蠅），緊接著是隔年的人類基因組計畫。這兩個程式能處理約 100 至 300 億個鹼基對的基因組。隨後，更大更複雜的組裝程式也被發明，例如阿莫斯組裝程式（AMOS, A Modular Open-source Assembler） 等。

下表列出了部分能夠進行 de-novo 組裝的程式。

## 參考文獻
序列賽局

賽局理論中，**序列賽局**（英語：sequential game），是指在賽局中，一個參與者先於另一個參與者行動。值得注意的是，後者必須至少能獲得先發者的部分行為資訊，否則行為時間的先後就不會有任何效果。

組合賽局一般是動態賽局。

賽局矩陣無法表示動態過程，用賽局樹（擴展式表述）來表示。動態賽局常用逆向歸納法求解。

許多棋類遊戲都是序列賽局，如井字棋、象棋、西洋棋、圍棋等。決策樹的大小可以根據遊戲的複雜性而有所不同，範圍從一個小而詳盡的遊戲樹的井字棋，而圍棋決策樹如此之大，甚至電腦無法完全映射出的非常複雜的賽局樹。
序列音樂

**序列主義**（serialism），也稱序列音樂，是 20 世紀出現的一種音樂創作手法，進而發展成為一種現代音樂類型和流派。其特徵是將音樂的一些參數（一個或幾個高音、力度、時值）按照一定的數學排列組合，稱為一種序列，然後這些編排序列或編排序列的變化形式在全曲中重複。

序列的概念最早用於音高方面，導致 20 年代出現十二音音樂，其創始人勛伯格在十二音音樂中將音高排列稱一定的序列。1936 年，他的弟子韋伯恩所作《變奏曲》（作品 27）的第二樂章，將序列手法進一步發揮，其音高在各音區的分布及音的發聲與休止，也按預先確定的序列進行。

二次世界大戰後，序列主義作品不斷出現，梅西安、布萊茲、施托克豪森等一批採用序列手法作曲的作曲家，他們將起奏法、速度、節奏、音色、力度、密度等因素都排列成序，從而形成了所謂整體序列主義。

斯特拉文斯基、布里頓等古典主義作曲家，也曾嘗試過序列主義音樂的創作。

序列主義摒棄了傳統音樂的種種結構因素（主題、樂句、樂段以及它們的邏輯發展等）和創作規律，使音樂創作成了數學演算的過程，最終形成的樂曲有很多偶然的成分。

序列主義在電子音樂中得到重用，各種音樂要素被編成序列輸入電腦，並通過電子合成器表現出來。
序参量

**相變**，又稱**物態變化**（英語：Phase Transition），是指物質在外部參數（如：溫度、壓力、磁場等等）連續變化之下，從一種相（態）忽然變成另一種相，最常見的是冰變成水和水變成蒸氣。

然而，除了物體的三相變化（固態、液態、氣態）自然界還存在許許多多的相變現象，例如日常生活中另一種較常見的相變是加熱一塊磁鐵，磁鐵的鐵磁性忽然消失。其他在物理學中重要相變列舉如下：

* 物質從金屬變成超導體的超導相變。
* 液態氦從正常液體變成超流體的 λ 相變。
* 磁鐵在居里溫度從鐵磁性變成順磁性。
* 金屬 - 絕緣體相變。
* 量子相變

## 相變的種類

第一個嘗試將相變加以分類的是奧地利數學家、物理學家保羅・埃倫費斯特。相變分為一級相變和二級相變甚至多級相變，從數學角度講，一級相變的熱力學函數連續，但其狀態函數的一階導數不連續。二級相變的熱力學函數及其關於狀態函數的一階導數都連續，但其關於狀態函數的二階導數不連續。從理論角度來看，一級相變在相變發生時，兩相之間有潛熱和體積等躍變。二級相變在相變發生時，兩相之間無潛熱和體積躍變，但有熱容躍變。

## 相變的特性

### 對稱破缺

對稱性破缺（symmetry breaking）係指物理學裡，在具有某種對稱性的物理系統之臨界點附近發生可能分岔中的一個分岔，打破了這物理系統的對稱性，並且決定了這物理系統的命運。例如當水溫降至接近冰點時，水中各處看起來皆相同，因此水系統具有空間上的對稱性，此時若某處的溫度振盪至低於冰點，便破壞了對稱性，且決定了所凝固之冰的結構。對於外在觀察者，不清楚有漲落（或熱噪聲）的存在，會覺得這選擇相當隨機或任意。在圖樣形成（pattern formation）里，對稱性破缺占有重要角色。

對稱性破缺可以分為兩種：

明顯對稱性破缺：在描述物理系統的拉格朗日量或哈密頓量的數學表示里，存在明顯不具有某種對稱性的項。
自發對稱性破缺：描述物理系統的拉格朗日量或哈密頓量具有某種對稱性，但是物理系統的最低能量態（真空態）不具有此種對稱性。通常，這種對稱性破缺會具有一種有序參數。動力學對稱性破缺是這種對稱性破缺的特例。著名例子分別為標準模型中的希格斯機制、超導物理中的 BCS 理論。

### 序參量

序參量是 order parameter。

### 臨界指數和普適類

臨界指數是指，臨界點附近，定量描述物理量的臨界行為時所使用的指數常數。

## 例子

* 易辛模型（可以用共形場論計算臨界指數）
* 別列津斯基 - 科斯特利茨 - 索利斯相變

## 參考文獻

* Peskin Schroeder, Quantum Field Theory
* Kardar, Statistical Theory of Fields
* Kleiner, Critical properties of phi fourth theories
* Zinn Justin, Critical phenomena

## 參見

* 潛熱
* 量子相變
* 臨界指數
* 臨界現象
* 同素異形體
序叶苎麻

**序葉苧麻**（學名：**_Boehmeria clidemioides_ var. _diffusa_**）為蕁麻科苧麻屬下的一個變種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
序同构

在數學領域序理論中，**序同構**是特殊種類的單調函數，構造了一個適合偏序集合的同構概念。當兩個偏序集合是序同構的時候，它們可以被認為是「本質上相同」的，在一個次序可以通過重命名元素而從另一個次序獲得。有關於序同構的兩個嚴格更弱的概念是序嵌入和伽羅瓦連接。

## 形式定義

形式上說，給定兩個偏序集合 (_S_, ≤S) 和 (_T_, ≤T)，從 (_S_, ≤S) 到 (_T_, ≤T) 的序同構是滿射函數 _h_ : _S_ → _T_ 使得對於所有 _S_ 中的 _u_ 和 _v_ 有

　
: _h_(_u_) ≤T _h_(_v_) 若且唯若 _u_ ≤S _v_。

在這種情況下，偏序集合 _S_ 和 _T_ 被稱為序同構。注意上述定義特徵序同構為滿射序嵌入。還應該注意序同構必然是單射的。因此另一個序同構的特徵也是可能的：它們嚴格的是有單調逆映射的單調雙射。

從 (_S_, ≤) 到自身的序同構叫做**序自同構**。

## 例子

* 否定是從 (**R**,≤) 到 (**R**,≥) 的序同構，因為 -_x_ ≥ -_y_ 若且唯若 _x_ ≤ _y_
* 函數 _f_(_x_) = _x_-1 是 (**R**,≤) 上的序自同構，因為 _x_-1 ≤ _y_-1 若且唯若 _x_ ≤ _y_

## 參見

* 序類型
序听迷诗所经

**序聽迷詩所經**著於 641 年（貞觀十五年）或更早，有學者認為著作於 635-638 年之間，內容為基督教聶斯脫留派（景教）教義，厚黃紙，捲軸。計 2830 字，170 行（遺數行）。發現於敦煌石室，現存於日本。

## 內容結構

林悟殊認為：卷面漂亮，首尾完整，內容混亂，不似偽造內容，可能是抄本。與《一神論》應是同一作者。內容為

* 一、景教教義。
* 二、基督降臨救贖人類。

文法怪異、多佛教化名詞，如：「移鼠（耶穌）」、「天尊」。

## 參見

* 景教經典
序域

在數學的一個分支代數中，**有序體**是一個全序關係通過加法和乘法運算不被改變的體。有序體最常見的例子是實數。

## 定義

一個滿足下面兩個條件的、擁偏誤序關係 $\leq $ 的體 $(K,+,\cdot )$ 被定義為有序體：對於任何 $K$ 中的元素 $a,b,c$ 以下兩個條件獲得滿足：

* 若 $a\leq b$ ，則 $a+c\leq b+c$ 。
* 若 $0\leq a$ 且 $0\leq b$ ，則 $0\leq a\cdot b$ 。

大於 0 的元素被稱為是**正的**，小於 0 的元素被稱為是**負的**。

## 特性

由以上定義可以直接推導出以下特性（ $a,b,c,d$ 是 $K$ 的元素）：

* 一個正的元素的負數是負的，一個負的元素的負數是正的：即任何 $K$ 中的 $a$ ，假如 $a\neq 0$ 則 $-a<0<a$ 或 $a<0<-a$ 。
* 不等式可以相加： $a\leq b$ 和 $c\leq d$ 則 $a+c\leq b+d$ 。
* 不等式可以與正元素相乘： $a\leq b$ 和 $0\leq c$ 則 $ac\leq bc$ 。
* 平方數不是負的： $0\leq a^{2}$ ，尤其 $0<1$ 。
* 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的： $0<1+1+\cdots +1$ 。

## 結構

所有有序體都具有特徵數 0。這個結論直接出於上述的最後一個特性 $0<1+1+\cdots +1$ 。

每個有序體的子體也是有序體。任何含特徵數 0 的體其最小子體與有理數同構，且這個子體的排序與 $\mathbb {Q} $ 一致。

假如一個有序體中的任何元素都介於兩個有理數之間的話，則該體具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的，而超實數則不具有。

有序體 $K$ 的排序可用來定義 $K$ 的拓撲空間，這個拓撲空間可由 $\{x\in K\mid x<a\}$ 和 $\{x\in K\mid x>a\}$ 作為準基來生成，稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。

## 例子

* 有理數 $\mathbb {Q} $ 組成最小的有序體
* 實數 $\mathbb {R} $ 和其中的任何部分體
* 超實數
序奏與隨想輪旋曲

A 小調**引子和迴旋隨想曲**（法語：Introduction et Rondo capriccioso），作品 28，是聖桑於 1863 年為小提琴和管弦樂隊創作的作品。這首作品獻給小提琴演奏家帕布羅・德・薩拉薩蒂 ，其在 1867 年 4 月的首映式上演奏了該作品的獨奏小提琴部分。 

## 歷史

聖桑原本打算將《引子和隨想迴旋曲》作為第一小提琴協奏曲（Op. 20）的高潮性的終章，但因其以獨奏作品首演時取得成功，使得聖桑將其單獨出版。

該作品的首演於 1867 年 4 月 4 日在香榭麗舍大街舉行，由帕布羅・德・薩拉薩蒂獨奏，由作曲家親自指揮。

該作品有多種改編版本，包括喬治・比才的小提琴與鋼琴版本、雅克・杜蘭的鋼琴二重奏以及阿希爾 - 克洛德・德彪西的雙鋼琴版本。

## 配器

該作品需要以下樂器：獨奏小提琴、2 支長笛 / 短笛、2 支雙簧管、2 支單簧管、2 支巴松管、2 支圓號、2 支小號（或短號）、3 支定音鼓和弦樂。

## 風格和結構

這首曲子以 36 小節的 A 小調主題開篇，確立了調性、節奏以及和聲主題。管弦樂隊以塊狀和弦進行來支持小提琴，而獨奏者則演奏精巧的琶音和半音階樂段。聖桑通過在切分上升的琶音和下降的八分音符之間搖擺來使得獨奏者的節奏不安定。在第 18 小節，當速度指示從憂鬱的行板（Andante malinconico）變為活躍（animato），並且獨奏者切入快速的 32 分音符時，律動開始加速。

## 在流行文化中

1939 年的電影《他們將有音樂》以傳奇小提琴演奏家雅沙・海菲茨演奏這首作品為特色。

該作品在漫畫和動畫《四月是你的謊言》中也有重點表現。該作品的兩位主角在一次音樂比賽中，以小提琴和鋼琴改編的形式演奏了這首作品。

## 參考

## 外部連結

* 引子和迴旋隨想曲：國際樂譜典藏計劃上的樂譜
序对偶

**偏序集合**（英語：**P**artially **o**rdered set，簡寫 **Poset**）是數學中，特別是序理論中，指配備了偏序關係的集合。
這個理論將對集合的元素進行排序、順序或排列等直覺概念抽象化。這種排序不必是全部的，就是說不需要保證此集合內的所有物件的相互可比較性。偏序空間是具有閉偏序的拓撲空間。

## 定義

### 非嚴格偏序，自反偏序

給定集合 S，「≤」是 S 上的二元關係，若「≤」滿足：

1. **自反性**：∀a∈S，有 a≤a；
2. **反對稱性**：∀a，b∈S，a≤b 且 b≤a，則 a=b；
3. **遞移性**：∀a，b，c∈S，a≤b 且 b≤c，則 a≤c；

則稱「≤」是 S 上的**非嚴格偏序**或**自反偏序**。

### 嚴格偏序，反自反偏序

給定集合 S，「＜」是 S 上的二元關係，若「＜」滿足：

1. **反自反性**：∀a∈S，有 a≮a；
2. **反對稱性**：∀a，b∈S，a＜b ⇒ b≮a；
3. **遞移性**：∀a，b，c∈S，a＜b 且 b＜c，則 a＜c；

則稱「＜」是 S 上的**嚴格偏序**或**反自反偏序**。

嚴格偏序與有向無環圖（DAG）有直接的對應關係。一個集合上的嚴格偏序的關係圖就是一個有向無環圖。其遞移閉包是它自己。

### 偏序

容易證明以下結論：

* 給定集合 S 上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，則可自然地誘導出 S 上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，只需如此定義：a < b，如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
* 給定集合 S 上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，則可自然地誘導出 S 上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，只需如此定義：a ≤ b，如果 a < b 或 a = b。
* 給定集合 S 上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，其逆關係「≥」也是 S 上的一個（非嚴格，自反）偏序；
* 給定集合 S 上的一個（嚴格，反自反）偏序「<」，其逆關係「>」也是 S 上的一個（嚴格，反自反）偏序；

由上述可知，只要定義了「≤」、「<」、「≥」、「>」中的任何一個，其餘三個關係的定義可以自然誘導而出，這四種關係實際上可以看成一體。故此在不嚴格區分的情況下，只需定義其一即可（通常是「≤」），稱之為集合 S 上的**偏序關係**。（「偏序關係」通常被用來稱呼非嚴格偏序關係。）

* （非嚴格，自反）偏序和（嚴格，反自反）偏序之間的對應關係不同於在（非嚴格）弱序和嚴格弱序直接的對應（逆關係的補集）。只有對於全序這些對應才是相同的。

### 偏序集與序對偶

若集合 S 上定義了一個偏序，則 S 稱為**偏序集**（**poset**）；若將其上的偏序關係改為其逆關係，得到的新偏序集 S' 稱為 S 的**序對偶**。

雖然通常術語「有序集」用來稱呼全序集，但當上下文中不涉及其他序關係時，「有序集」也可用於稱呼偏序集。

### 完全性

## 例子

下面是一些主要的例子：

* 自然數的集合配備了它的自然次序（小於等於關係）。這個偏序是全序。
* 整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。
* 自然數的集合的有限子集 {1, 2, ..., _n_}。這個偏序是全序。
* 自然數的集合配備了整除關係。
* 給定集合的子集的集合（它的冪集）按包含排序。
* 向量空間的子空間的集合按包含來排序。

一般的說偏序集合的兩個元素 _x_ 和 _y_ 可以處於四個相互排斥的關聯中任何一個：要麼 _x_ < _y_，要麼 _x_ = _y_，要麼 _x_ > _y_，要麼 _x_ 和 _y_ 是「不可比較」的（三個都不是）。全序集合是用規則排除第四種可能的集合：所有元素對都是可比較的，並且聲稱三一律成立。自然數、整數、有理數和實數都關於它們代數（有符號）大小是全序的，而複數不是。這不是說複數不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過 _x_+**i**_y_ < _u_+**i**_v_ 若且唯若 _x_ < _u_ 或 (_x_ = _u_ 且 _y_ < _v_)，但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得 1 大於 100**i**。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序，但這不是偏序因為 1 和 **i** 有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性。

## 線性擴展

全序 _T_ 是偏序 _P_ 的**線性擴展**，只要 _x_ ≤ _y_ 在 _P_ 中成立則 _x_ ≤ _y_ 在 _T_ 中也成立。在計算機科學中，找到偏序的線性擴展的算法叫做拓撲排序。

## 參見

* 二元關係
* 全序關係
* 預序關係

## 引用

* J. V. Deshpande, _On Continuity of a Partial Order_, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 19, No. 2, 1968, pp. 383-386
序嵌入

在序理論中，**序嵌入**是特殊種類的單調函數，它提供了一種方式來包括一個偏序集合到另一個中。類似伽羅瓦連接，序嵌入構造了一個嚴格弱於序同構的概念。

## 形式定義

形式上說，給定兩個偏序集合 (_S_, ≤) 和 (_T_, <=)，一個函數 _f_: _S_ → _T_ 是序嵌入的，如果 _f_ 是序保持和序反射的，就是說對於所有 _S_ 中的 _x_ 和 _y_ 有

　
: _x_ ≤ _y_ 若且唯若 _f_(_x_) <= _f_(_y_)

注意這樣一個函數必然是單射的，因為 _f_(_x_) = _f_(_y_) 蘊涵 _x_ ≤ _y_ 且 _y_ ≤ _x_。如果在兩個偏序集合 _S_ 和 _T_ 之間存在一個序嵌入，可以稱 _S_ 能被嵌入到 _T_ 中。
序幕

《**序幕**》（日語：プロローグ _Purorōgu_）是 Uru 的第 7 張單曲，2018 年 12 月 5 日發售。

## 簡介

距前作《remember》時隔不到三個月，本作主打歌《序幕》是 Uru 為有村架純主演 TBS 週二連續劇《中學聖日記》所創作的主題歌，有村對這首歌評價到「沉浸在 Uru 溫柔又虛幻的歌聲中無法自拔」。

唱片 B 面收錄了《PUZZLE》，以及中島美嘉的代表作《雪花》的翻唱版。

《序幕》的 MV 由獲得「Miss Seventeen2017」優勝的演員箭內夢菜主演。

CD 共發行兩個版本，分別為 CD 通常盤和 CD+DVD 初回限定盤，DVD 中收錄了 Uru 在 2018 年 3 月東京昭和女子大學人見紀念堂舉行的演唱會中演唱的三首歌曲的畫面。

## 曲目

## 反響

《序幕》配信開始後首周在 Billboard Japan 下載周榜中位列第 3，此後一直保持在前 5 範圍，到 2018 年 12 月 31 日付的榜單中終於升至首位。而在 Oricon 公信榜單曲下載周榜中自 12 月 17 日付拿到個人首個第 1 以來，已獲得兩個周冠。

12 月 11 日為了紀念累計下載量超過 20 萬，Uru 在 Youtube 頻道限時上傳了錄音室鋼琴伴奏版的《序幕》。

本作隨電視劇公開後在網絡上獲得了大量好評，認為歌曲和電視劇相得益彰，使得催淚效果最大化。

## 參考
序托冷水花

**序托冷水花**（學名：_Pilea receptacularis_）為蕁麻科冷水花屬的植物，為中國的特有植物。分布於中國大陸的陝西、湖北、四川等地，生長於海拔 600 米至 2,000 米的地區，一般生於山坡林下陰濕處以及路邊草叢中，目前尚未由人工引種栽培。

## 別名

地水麻（重慶城口）

## 參考文獻
序拓撲

數學上，**序拓撲**是可以定義在任意全序集上的拓撲結構。 此為將實數的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為**序空間**。

如果 _X_ 為全序集，則 _X_ 的**序拓撲**由無界開區間

　
: $(a,\infty )=\{x\mid a<x\}$

　
: $(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}$

組成的準基生成，其中 _a,b_ 取遍 _X_ 的所有元素。這等價於，開區間

　
: $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$

連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， _X_ 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）並。

若可對一個拓撲空間 _X_ 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 _X_ 自身的拓撲，則稱 _X_ 為**可序化的** 。 _X_ 上的序拓撲使 _X_ 成為一個完全正規的豪斯多夫空間。

 **R**, **Q**, **Z**, **N** 上的標準拓撲均為為序拓撲。

## 誘導拓撲

若 _Y_ 為 _X_ 的子集，則 _Y_ 繼承了 _X_ 的全序。_Y_ 因此具有序拓撲結構， 稱為**導出拓撲**。作為 _X_ 的子集，_Y_ 還有一個子空間拓撲。子空間拓撲至少比誘導拓撲更精細，但一般情況下它們不相同。

例如，考慮有理數集的子集 _Y_ ={-1} ∪ {1/_n_}n∈**N** 。 在子空間拓撲中，單元集 {-1} 在 _Y_ 中是開集，但在誘導拓撲中，任何含有 -1 的開集都必須包含 _Y_ （除有限個以外）的所有元素。

## 全序空間的子空間拓撲不一定可序化

雖然上述 _Y_ ={-1} ∪ {1/_n_}n∈**N** 的子空間拓撲不是由 _Y_ 的誘導排序產生，它仍是 _Y_ 上的序拓撲；事實上，在子空間拓撲中，每一點都是孤立的（即，單元集 {_y_} 是 _Y_ 的開集），故子空間拓撲是 _Y_ 上的離散拓撲（使得每一個子集都是 _Y_ 的開集)，而任何集上的離散拓撲都是序拓撲。要定義 _Y_ 的全序使得其產生的序拓撲是 _Y_ 上的離散拓撲，只需修改 _Y_ 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（稱為 _<_1 ）中，有 1/_n_ _<_1 -1 對任意 _n_∈**N** 均成立。這樣，_<_1 在 _Y_ 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 _X_ 及其子集 _Z_ ，使得不存在 _Z_ 上的全序給出一個序拓撲與 _Z_ 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ 為實數軸的子集。同上可知，_Z_ 上的子空間拓撲不等於 _Z_ 上誘導的序拓撲。且可證，_Z_ 上的子空間拓撲不等於 _Z_ 上的任何序拓撲。

用反證法。假設 _Z_ 有一個嚴格全序 < ，使得 < 給出的序拓撲等於 _Z_ 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 _Z_ 上的誘導排序，即 < 可以是任意一種新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。 此外，如果 _A_ 和 _B_ 是集合，則 $A<B$ 表示：對任意 _A_ 的元素 _a_ 和 _B_ 的元素 _b_ ，都有 $a<b$ 。

設 _M_=_Z_ \{-1} 為單位開區間，則 _M_ 連通。若 _m,n_ ∈ _M_ 且 _m_<-1<_n ，_則 $(-\infty ,-1)$ 和 $(-1,\infty )$ 是 _M_ 的分隔，矛盾。因此，_M_<{-1} 或者 {-1}<_M_ 。不妨設 {-1}<_M 。_因 {-1} 是 _Z_ 的開集，存在 _M_ 中的一點 _p_ 使得 (-1, _p_ ) 為空。又因 {-1}<_M ，_-1 是唯一小於 _p_ 的元素，因此 _p_ 是 _M_ 中最小的。但這樣，_M_ \ {_p_}=_A_ ∪ _B_，其中 _A_ 和 _B_ 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一點，剩下的是兩個開區間）。由連通性，沒有 _Z_ \_B_ 中的點在排序後介於 _B_ 的兩點之間，也沒有 _Z_ \_A_ 中的點在排序後介於 _A_ 的兩點之間。因此，任何一個 _A_<_B_ 或 _B_<_A_. 又不妨設 _A_<_B_. 如果 _a_ 為 _A_ 中任何一點，則 _p_<_a_ ，且 (_p_, _a_) $\subseteq $ _A_. 又 (-1, _a_) = [_p_, _a_)，因此 [_p_, _a_) 是開集。而 {_p_}∪_A_ = [_p_, _a_)∪_A_，因此 {_p_ }∪_A_ 是 _M_ 的開子集，因此 _M_ = ({_p_ }∪_A_) ∪ _B_ 把 _M_ 分割成兩個不相交的開集，這與 _M_ 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為**序空間**，而序空間的子空間稱為**廣義序空間**。因此，以上例子 _Z_ 是一個廣義序空間，但不是一個序空間。

## 左、右序拓撲

類似的拓撲結構有：

* _X_ 上的**右序拓撲**，其具有 (_a_, ∞) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。
* X 上的**左序拓撲**，其具有 (−∞, _b_) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓撲和右序拓撲可作為點集拓撲學上的一些反例。例如，有界集上的左序拓撲或右序拓撲是緊空間，但不是豪斯多夫的。

集合論裏，左序拓撲給出一個布爾代數上的標準拓撲。

## 序數空間

對於任何序數 λ ，序數集

　
: $[0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}$

　
: $[0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}$

具有自然的序拓撲結構。這種拓撲空間空間稱為**序數空間**。（注意，按照集合論通常構造序數的方法，有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] ）顯然，當 λ 為無窮序數時，情況較複雜；否則，對於有限的序數，其序拓撲是簡單的離散拓撲。

當 λ = ω （最小的無窮序數）時，空間 [0,ω) 只是 **N** 及其往常的離散拓撲，而 [0,ω] 則是單點緊化的 **N** 。

當 λ = ω1 （即所有可數序數組成的集合）時，情況有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的極限點，但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 為極限。確切地說，[0,ω1] 不是第一可數的。然而，子空間 [0,ω1) 是第一可數的，因為唯一無可數鄰域系的點是 ω1. 其他性質包括

* [0,ω1) 和 [0,ω1] 皆不可分，也不第二可數。
* [0,ω1] 是緊的，同時 [0,ω1) 序列緊且可數緊，但不是緊的，也不是仿緊的。

## 參見

* 長直線

## 參考資料
序数主义

**序數主義**是指個人偏好只能用序數效用來表示，只在序數方面具有意義。也就是說，個人只關心不同社會狀態之間的優劣順序，而並不關心其他的差別。序數效用是新福利經濟學的基礎，是帕累托標準的特點。

## 參考文獻
序数算术

我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。

## 加法

給出序數 _S_ 與 _T_，在 {(s,0):s ∈ _S_} ∪ {(t,1):_t_ ∈ _T_} 定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。 假設 _S_ 與 _T_ 不相交，這等於考慮 _S_ ∪ _T_，而 _S_ 的元素定義為小於 _T_ 的元素。這良序集對應的序數記作 _S_+_T_，稱為序數和。

序數和適合結合律，即 (_S_+_T_)+_R_=_S_+(_T_+_R_)。

第一個超窮序數是 ω，自然數集的序數。ω+ω 就像

　
: 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

這不同於 ω。 在 ω 只有 0 沒有直接前導者，而在 ω+ω 0 and 0' 都沒有直接前導者。

3 + ω 就像

　
: 0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

稍一留心，會發覺這與 ω 沒有分別，是以 3 + ω = ω。而 ω + 3 就像

　
: 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2'

卻是不同於 ω 原因它有個最大元。是以序數和不符交換律。

讀者可試證 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω。

## 乘法

給出序數 _S_ 與 _T_，在笛卡兒積 _S_ × _T_ 上定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。對應的序數記作 _ST_，稱為序數積。

序數積適合結合律，即 (_ST_)_R_=_S_(_TR_)。

序數積也不符合交換律。舉例，ω2 就像:

　
: 00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...

於是 ω2 = ω + ω。但 2ω 卻是:

　
: 00 < 10 < 01 < 11 < 02 < 12 < 03 < 13 < ...

可見 2ω = ω ≠ ω2。

分配律只是部分成立。有 _R_(_S_+_T_) = _RS_ + _RT_ 但沒有 (_T_+_U_)_R_ = _TR_ + _UR_：(1+1)ω=2ω = ω 但 1ω + 1ω=ω+ω。

## 冪

給出序數 _S_ 與 _T_，冪數 _S_T 是指 {_S_R : _R_ < _T_} 的最小上界。當然有 _S_0=1，_S_1=_S_，_S_2=_S_×_S_，_S_3=_S_×_S_×_S_，……。

第一個無限序數是 ω，第一個不能由 ω 有限引伸而成的序數是 ε0。對多數利用超窮歸納法的證明，ε0 已經足夠。要知道 $\epsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}$ 且 $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$ 。

## 康托爾範式

任一序數 $\alpha >0$ 可以寫成 $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\ldots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$ ，當中 $k,c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ 為正整數而 $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ 為序數。此分解稱為 $\alpha $ 的**康托爾範式**(Cantor normal form)，可以看作是個 ω 進制的記數系統，而 $\beta _{1}$ 叫作 $\alpha $ 的次數。一般來說， $\beta _{1}\leq \alpha $ ；但若然 $\alpha <\epsilon _{0}$ , 就有 $\beta _{1}<\alpha $ , 並可得出一個只有自然數及 ωs 的表達式。

注意，給出基數 _S_ 與 _T_（基數也是序數），_S_T 代表的序數和它代表的基數是不同的！當然，_T_ 是自然數時例外。

最小的不可數序數記作 ω1。

## 參考條目

* 首個不可數序數

## 引用

* Jech, Thomas, 2003. _Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded_. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
* Kunen, Kenneth, 1980. _Set Theory: An Introduction to Independence Proofs_. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
序文

**序**（英語：preface），又稱**序文**、**序言**、**序論**、**敘**、**敘文**、**敘言**、**敘論**、**緒**、**緒文**、**緒言**、**緒論**、**弁言**、**引**、**引文**、**引言**、**引語**、**導言**、**前言**，是作品或書籍的一種依附性文章，主要介紹作品的內容、主旨，或者作者的創作過程，或對作品加以評論。若用於小說及故事以方便帶領作者進入劇情及介紹背景，又稱作**序章**（英語：prologue）。

中國最早的序，一般認為是漢朝人為《詩經》所做的《毛詩序》以及為各詩所做的小序。
序一般位於作品之前，若位於結尾，通常稱為跋、後序、或後記。如司馬遷的《太史公自序》即位於《史記》結尾。
由作者本人寫的序稱為為「自序」，作者以外的他人所寫的序為「他序」。後又有贈序之文體出現，古時臨別眾友集體寫詩文以贈遠行之人，並為此詩文集寫序，而後贈序開始喧賓奪主，變成只有贈序，而不寫詩文集。

## 外部連結

* 余英時：〈原「序」：中國書寫史上的一個特色 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉。
序曲

**序曲**源於法語 ouverture，指歌劇、舞劇等開幕前演奏的短曲，亦稱「開場音樂」，由管弦樂團演奏。其使命在於綜合地敘述全劇發展的重要關鍵場面，奏出劇中代表主角發旋律，音樂內容預示了戲劇作品的故事情節（雷奧諾拉為歌劇費德里奧中序曲之一）。

**音樂會序曲**，具戲劇性的，生動有趣的，以及發人深省的管弦樂章，獨立於任何歌劇或戲劇作品之外來單獨創作。例如：孟德爾頌的《芬格爾山洞》，或白遼士的《羅馬狂歡節序曲》。這也自貝多芬的序曲形式，如艾格蒙特序曲、科里奧蘭序曲及萊奧諾拉第三號序曲轉變而來；甚至早期具情境性質的管弦樂作品，如「暴風雨」（曾出現於第六號交響曲田園。貝多芬亦曾寫作以暴風雨為題的鋼琴奏鳴曲），可回溯至韋瓦第的小提琴協奏曲《四季》中夏季的暴風雨片段，以及巴洛克時期法國歌劇場景間一些具情境性質的間奏曲（entr'actes）。

## 發展歷程

十七、十八世紀的歌劇序曲分為「法國序曲」及「義大利序曲」兩類。前者為複調音樂風格，由慢板、快板、慢板三個段落組成，中段為賦格形式，末段較短；後者為主調風格，由快板、慢板、快板三個段落組成，後來的交響曲即由此演變而成。歌劇序曲自格魯克以後常有暗示劇情的作用。

十九世紀以來，作曲家常用這種題材寫成獨立器樂曲，結構大多為奏鳴曲式，並有標題。

## 著名作品

* 羅西尼《威廉・泰爾》序曲
* 柴科夫斯基《1812 序曲》
* 貝多芬《費德里奧》序曲
* 德弗札克《胡斯序曲》
* 比才《卡門》序曲
* 孟德爾頌《仲夏夜之夢》序曲
* 蘇佩《輕騎兵》序曲
序班

**序班**為中國古代文官官職名。在清朝之位階為從九品。序班職能通常是負責朝會和宴饗等禮節有關，為配置於鴻臚寺或會同館官署之基層官員。1910 年代，清朝滅亡後，該官職廢除。

## 參考文獻

* 孫文良，中國官制史，1993 年，臺北，文津出版社。
序理想

在數學分支序理論中，**理想**是偏序集合的一個特殊子集。儘管這個術語最初演化自抽象代數中環理想概念，它後來被一般化為一個不同的概念。理想對於序理論和格理論中的很多構造是非常重要的。

## 基本定義

序理論中理想的最一般的定義如下：

偏序集合 (P,≤) 的非空子集 I 稱為一個**理想**，若 I 滿足：

1. I 是下閉的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
2. I 是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。

理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下：
格 (P,≤) 的非空子集 I 是理想，若且唯若：

1. I 是下閉的。
2. I 對於有限並（上確界）運算封閉，即，∀x,y ∈ I，有 x ∨ y ∈ I。

### 相關概念

* 理想的序對偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是**濾子**。
* 術語**有序理想**或**有序濾子**有時用於任意的下部集合或上部集合，本文只使用「理想 / 濾子」和「下閉 / 上閉集合」來避免混淆。
* **真理想**：偏序集合 (P,≤) 的理想 I 被稱為**真理想**，若 I ≠ P。
* 包含一個給定元素 p 的最小理想稱為**主理想**，p 被稱為該理想的**主元素**。主元素為 p 的主理想↓p = {x ∈ P | x ≤ p}。

## 素理想

一種特殊情況的理想是它的集合論補集是濾子的那些理想，濾子就是逆序的理想。這種理想叫做**素理想**。還要注意，因為我們要求理想和濾子非空，所有素理想都是真理想。對于格，素理想可以特徵化為如下：

格 (P,≤) 的真理想 I 是素理想，若且唯若：∀x, y ∈ P，有 x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I 或 y ∈ I。

很容易發現這個定義實際上等價於聲稱 P - I 是濾子（它是在對偶意義上的素濾子）。

對於完全格有**完全素理想**的概念。它定義為帶有額外性質的真理想 _I_，只要某個任意集合 _A_ 的交（下確界）在 _I_ 中，_A_ 的某個元素也在 _I_ 中。所以它是擴展上述條件到無窮交的特殊素理想。

素理想的存在一般是不明顯的，並且在 Zermelo-Fraenkel 集合論中經常不能得出滿意數量的素理想。這個問題在各種素理想定理中討論，它們對於很多需要素理想的應用是必須的。

## 極大理想

一個理想 _I_ 是**極大理想**，如果它是真理想並且沒有真理想 _J_ 是嚴格大於 _I_ 的集合。類似的，濾子 _F_ 是極大濾子，如果它是真濾子並且沒有嚴格大於它的真濾子。

當一個偏序集合是分配格的時候，極大理想和濾子必然是素的，而這個陳述的逆命題一般為假。

極大濾子有時叫做**超濾子**，但是這個術語經常保留給布爾代數，這裡的極大濾子（理想）是對於每個布爾代數的元素 a，精確的包含元素 {_a_, ¬_a_} 中的一個的濾子（理想）。在布爾代數中，術語「素理想」和「極大理想」是一致的，術語「素濾子」和「極大濾子」也是一致的。

還有另一個有趣的理想的極大性概念：考慮一個理想 _I_ 和一個濾子 _F_，使得 _I_ 不相交於 _F_。我們感興趣於在所有包含 _I_ 並且不相交於 _F_ 的所有理想中極大的一個理想 _M_。在分配格的情況下，這樣的一個 _M_ 總是素理想。這個陳述的證明如下。

　
: : **證明：**假定理想 _M_ 關於不相交於濾子 _F_ 是極大性的。假設 _M_ 不是素理想的一個矛盾，就是說，存在著一對元素 _a_ 和 _b_ 使得 _a_ $\wedge $ _b_ 在 _M_ 中但是 _a_ 和 _b_ 都不在 _M_ 中。考慮對於所有 _M_ 中的 _m_，_m_ $\vee $ _a_ 不在 _F_ 中的情況。你可以通過採用這種形式的所有二元交的向下閉包構造一個理想 _N_，也就是 _N_ = { _x_ | _x_≤ _m_ $\vee $ _a_ 對於某些 _M_ 中的 _m_}。很容易的察覺 _N_ 確實是不相交於 _F_ 的理想，它嚴格的大於 _M_。但是這矛盾於 _M_ 的極大性進而 _M_ 不是素理想的假定。

　
: 對於其他情況，假定有某個 _M_ 中的 _m_ 帶有 _m_ $\vee $ _a_ 在 _F_ 中。現在如果在 _M_ 中任何元素 _n_ 使 _n_ $\vee $ _b_ 在 _F_ 中，你會發現 (_m_ $\vee $ _n_) $\vee $ _b_ 和 (_m_ $\vee $ _n_) $\vee $ _a_ 都在 _F_ 中。但因此它們的交在 _F_ 中，通過分配性，(_m_ $\vee $ _n_) $\vee $ (_a_ $\wedge $ _b_) 也在 _F_ 中。在另一方面，這個 _M_ 的元素的有限交明顯的 _M_ 中，使得假定的 _n_ 的存在性矛盾於兩個集合不相交性。因此 _M_ 的所有元素 _n_ 有不在 _F_ 中的與 _b_ 的交。因此你可以應用上述與 b 的構造代替 _a_ 來獲得嚴格的大於 _M_ 而不相交於 _F_ 的一個理想。證明結束。

但是，一般而言是否存在這個意義上極大的任何理想 _M_。然而如果我們在我們的集合論中假定選擇公理，那麼可以正式對於所有不相交的濾子 - 理想 - 對的 _M_ 的存在。在要考慮的次序是布爾代數的特殊情況下，這個定理叫做布爾素理想定理。它嚴格的弱於選擇公理，而理想的很多集合論應用不需要更多的東西了。

## 應用

理想和濾子的構造在序理論的很多應用中是非常重要的工具。

* 在 Stone 布爾代數表示定理中，使用極大理想（或等價的通過反映射超濾子）來獲得拓撲空間的點集，它的閉開集同構於最初的布爾代數。
* 序理論有很多完全過程，把偏序集合變成帶有額外的完備性性質的偏序集合。例如，一個給定偏序 _P_ 的理想完全是 _P_ 通過子集包含排序的所有理想的集合。這個構造產生了 _P_ 所生成自由的有向完全偏序。進一步的理想完全充當從它的緊緻元素的集合重新構造任何代數有向完全偏序。

## 歷史

理想由 Marshall H. Stone 首先介入，它的名字起源自抽象代數的環理想。這個術語源於如下事實，利用布爾代數和布爾環的範疇同構，這兩個概念實際是一致的。

## 文獻

理想和濾子是序理論的最基本概念。參見序理論和格理論，和布爾素理想定理中的介紹。

一個在線免費專著：

* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. _A Course in Universal Algebra. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

## 參見

* 濾子 (數學)
* 理想 (環論)
* 理想 (集合論)
序理論

**序理論**是研究捕獲數學排序的直覺概念的各種二元關係的數學分支。

## 背景和動機

次序無所不在 —— 至少在數學和相關領域比如計算機科學是這樣。你典型遇到的第一個次序是小學數學教育中的自然數的次序。這個直覺概念很容易擴展到其他數的集合的排序，比如整數和實數。實際上大於或小於另一個數的概念一般是數系統的基本直覺（儘管你通常還感興趣於兩個數實際的差，它不能由這個次序給出）。排序的另一個非常熟悉的例子是詞典中詞典次序。

上述類型的次序有特殊性質：每個元素都是可以「比較」於另一個元素，就是說，它或者大於、或者小於、或者等於另一個元素。但是，這不總是想要的要求。一個周知的例子是集合的子集排序。如果一個集合 $A$ 包含集合 $B$ 的所有元素，則 _$B$_ 被稱為小於等於 _$A$_ 。然而有些集合不能在這種方式來比較，因為其中每個都包含著其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是**偏**次序，對立了前面給出的**全**次序。

序理論在一般性架構下捕獲了上述例子引發的直覺次序。這是通過指定關係 $\leq $ 必須是數學上次序的一些性質來完成的。這種更加抽象的方式更有意義，因為你可以從一般性架構推導出各種定理，而不用關心任何特定次序的細節。這種洞察可以容易的轉換到很多具體應用中。

由次序的各種實踐使用所驅動，已經定義了多個特殊種類的有序集合，其中某些已經發展出自己的數學領域。此外，序理論不限制於各種種類的排序關係，還考慮在它們之間的適當的函數。函數的序理論的性質的一個簡單例子來自在數學分析中常見的單調函數。

## 基礎定義

此部分我們建立一些概念作為導引：集合論、算術和二元關係。

### 偏序集合

序是特別的二元關係。假定 $P$ 是一集合，且 $\leq $ 是在 _$P$_ 的關係，則 $\leq $ 是個**偏序**當他是自反的，反對稱的，且遞移的，則，對於所有 $a,b$ 和 $c$ 於 _$P$_ ，皆能滿足：

　
: $a\leq a$ （自反的）

　
: 如果 $a\leq b$ 並且 $b\leq a$ 則 $a=b$ （反對稱性）

　
: 如果 $a\leq b$ 並且 $b\leq c$ 則 $a\leq c$ （遞移性）

一個偏序性質的集合稱為**偏序集合**、**poset** 或是**有序集合**（當其所強調的意指明確）。藉由查看這些性質，我們能知道在自然數、整數、有理數、以致於實數皆有明確的序關係。當然，它們還有額外的性質成為**全序**，即在 _$P$_ 中對於每一個 _a_ 和 _b_ 皆能滿足：

　
: $a\leq b$ 或 $b\leq a$ （全序性）

這些序又稱為**線性序**或**鏈**。當許多典型序為線性，集合內的有序子集合會發生不滿足此性質的例子。另一個例子為給定一個整除性關係 " $|$ "。對於兩個數 $n$ 和 $m$ ，當 $m$ 除以 $n$ 未留餘數時，我們書寫為 $n|m$ ，我們可輕易的明白這是一個偏序關係。非常多進階的性質主要在於非線性序中。

## 參考文獻

## 外部連結

* Orders at ProvenMath（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.

## 參見

* 格 (數學)
* 域理論
* 偏序關係
* 全序關係
* 預序關係
序空間

數學上，**序拓撲**是可以定義在任意全序集上的拓撲結構。 此為將實數的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為**序空間**。

如果 _X_ 為全序集，則 _X_ 的**序拓撲**由無界開區間

　
: $(a,\infty )=\{x\mid a<x\}$

　
: $(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}$

組成的準基生成，其中 _a,b_ 取遍 _X_ 的所有元素。這等價於，開區間

　
: $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$

連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， _X_ 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）並。

若可對一個拓撲空間 _X_ 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 _X_ 自身的拓撲，則稱 _X_ 為**可序化的** 。 _X_ 上的序拓撲使 _X_ 成為一個完全正規的豪斯多夫空間。

 **R**, **Q**, **Z**, **N** 上的標準拓撲均為為序拓撲。

## 誘導拓撲

若 _Y_ 為 _X_ 的子集，則 _Y_ 繼承了 _X_ 的全序。_Y_ 因此具有序拓撲結構， 稱為**導出拓撲**。作為 _X_ 的子集，_Y_ 還有一個子空間拓撲。子空間拓撲至少比誘導拓撲更精細，但一般情況下它們不相同。

例如，考慮有理數集的子集 _Y_ ={-1} ∪ {1/_n_}n∈**N** 。 在子空間拓撲中，單元集 {-1} 在 _Y_ 中是開集，但在誘導拓撲中，任何含有 -1 的開集都必須包含 _Y_ （除有限個以外）的所有元素。

## 全序空間的子空間拓撲不一定可序化

雖然上述 _Y_ ={-1} ∪ {1/_n_}n∈**N** 的子空間拓撲不是由 _Y_ 的誘導排序產生，它仍是 _Y_ 上的序拓撲；事實上，在子空間拓撲中，每一點都是孤立的（即，單元集 {_y_} 是 _Y_ 的開集），故子空間拓撲是 _Y_ 上的離散拓撲（使得每一個子集都是 _Y_ 的開集)，而任何集上的離散拓撲都是序拓撲。要定義 _Y_ 的全序使得其產生的序拓撲是 _Y_ 上的離散拓撲，只需修改 _Y_ 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（稱為 _<_1 ）中，有 1/_n_ _<_1 -1 對任意 _n_∈**N** 均成立。這樣，_<_1 在 _Y_ 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 _X_ 及其子集 _Z_ ，使得不存在 _Z_ 上的全序給出一個序拓撲與 _Z_ 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ 為實數軸的子集。同上可知，_Z_ 上的子空間拓撲不等於 _Z_ 上誘導的序拓撲。且可證，_Z_ 上的子空間拓撲不等於 _Z_ 上的任何序拓撲。

用反證法。假設 _Z_ 有一個嚴格全序 < ，使得 < 給出的序拓撲等於 _Z_ 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 _Z_ 上的誘導排序，即 < 可以是任意一種新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。 此外，如果 _A_ 和 _B_ 是集合，則 $A<B$ 表示：對任意 _A_ 的元素 _a_ 和 _B_ 的元素 _b_ ，都有 $a<b$ 。

設 _M_=_Z_ \{-1} 為單位開區間，則 _M_ 連通。若 _m,n_ ∈ _M_ 且 _m_<-1<_n ，_則 $(-\infty ,-1)$ 和 $(-1,\infty )$ 是 _M_ 的分隔，矛盾。因此，_M_<{-1} 或者 {-1}<_M_ 。不妨設 {-1}<_M 。_因 {-1} 是 _Z_ 的開集，存在 _M_ 中的一點 _p_ 使得 (-1, _p_ ) 為空。又因 {-1}<_M ，_-1 是唯一小於 _p_ 的元素，因此 _p_ 是 _M_ 中最小的。但這樣，_M_ \ {_p_}=_A_ ∪ _B_，其中 _A_ 和 _B_ 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一點，剩下的是兩個開區間）。由連通性，沒有 _Z_ \_B_ 中的點在排序後介於 _B_ 的兩點之間，也沒有 _Z_ \_A_ 中的點在排序後介於 _A_ 的兩點之間。因此，任何一個 _A_<_B_ 或 _B_<_A_. 又不妨設 _A_<_B_. 如果 _a_ 為 _A_ 中任何一點，則 _p_<_a_ ，且 (_p_, _a_) $\subseteq $ _A_. 又 (-1, _a_) = [_p_, _a_)，因此 [_p_, _a_) 是開集。而 {_p_}∪_A_ = [_p_, _a_)∪_A_，因此 {_p_ }∪_A_ 是 _M_ 的開子集，因此 _M_ = ({_p_ }∪_A_) ∪ _B_ 把 _M_ 分割成兩個不相交的開集，這與 _M_ 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為**序空間**，而序空間的子空間稱為**廣義序空間**。因此，以上例子 _Z_ 是一個廣義序空間，但不是一個序空間。

## 左、右序拓撲

類似的拓撲結構有：

* _X_ 上的**右序拓撲**，其具有 (_a_, ∞) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。
* X 上的**左序拓撲**，其具有 (−∞, _b_) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓撲和右序拓撲可作為點集拓撲學上的一些反例。例如，有界集上的左序拓撲或右序拓撲是緊空間，但不是豪斯多夫的。

集合論裏，左序拓撲給出一個布爾代數上的標準拓撲。

## 序數空間

對於任何序數 λ ，序數集

　
: $[0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}$

　
: $[0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}$

具有自然的序拓撲結構。這種拓撲空間空間稱為**序數空間**。（注意，按照集合論通常構造序數的方法，有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] ）顯然，當 λ 為無窮序數時，情況較複雜；否則，對於有限的序數，其序拓撲是簡單的離散拓撲。

當 λ = ω （最小的無窮序數）時，空間 [0,ω) 只是 **N** 及其往常的離散拓撲，而 [0,ω] 則是單點緊化的 **N** 。

當 λ = ω1 （即所有可數序數組成的集合）時，情況有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的極限點，但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 為極限。確切地說，[0,ω1] 不是第一可數的。然而，子空間 [0,ω1) 是第一可數的，因為唯一無可數鄰域系的點是 ω1. 其他性質包括

* [0,ω1) 和 [0,ω1] 皆不可分，也不第二可數。
* [0,ω1] 是緊的，同時 [0,ω1) 序列緊且可數緊，但不是緊的，也不是仿緊的。

## 參見

* 長直線

## 參考資料
序类型

在數學中，特別是集合論中，序數可以用來標記 (label) 任何給定良序集合的元素 (最小元素標記為 0，次小標記為 1，再次是 2，以此類推)，並通過未用來標記這個集合的元素的最小的序數來測量整個集合的「長度」。這個集合的「長度」叫做**序類型**。

序數表示良序集合的等價類，這裡的等價關係是序同構。這樣的序數是在等價類中任何集合的序類型。

更加形式的說，良序集合的序類型是唯一的序數，對於它有在序數和良序集合之間的一個序保持雙射。

例如，考慮小於 ω・2+7 的偶序數的集合:

　
: {0, 2, 4, 6, ...; ω, ω+2, ω+4, ...; ω·2, ω·2+2, ω·2+4, ω·2+6}.

它的序類型是 ω・2+4，也就是:

　
: {0, 1, 2, 3, ...; ω, ω+1, ω+2, ...; ω·2, ω·2+1, ω·2+2, ω·2+3}.

## 參見

* 序數
* 良序
* 雙射
序號產生器

**註冊機**（英語：Keygen 或 Keymaker），又稱**序號機**、**序號產生器**、**註冊碼生成器**、**序列號生成器**，為一種可破解商業軟體註冊程序之程式。

大部分註冊機可根據使用者輸入註冊內容來生成對應註冊序號或註冊檔案。與此同時，也有很多程式不需輸入使用者名稱或其他資訊即可獲得註冊時所需之序號。製作註冊機者多為駭客或少數在地化作者。一般需要脫殼軟體、記憶體檢視軟體和反組譯器等破解工具作為輔助。

為維護自身權益，部份軟體公司採用機器碼或軟體分試用版和商業版等方式，以抵制註冊機。同時某些新發行軟體使用啟動機制以試圖阻止盜版，然而仍遭註冊機破解。