局部紧空间

拓撲學及數學的相近分支中，**局部緊**拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個**緊鄰域**。

數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：**L**ocally **C**ompact **H**ausdorff）的首字母簡稱為 LCH 空間。

## 嚴格定義

設 $X$ 為拓撲空間。通常稱 $X$ **局部緊**的意思是， $X$ 的每點 $x$ ，都有緊鄰域，即開集 $U$ 和緊集 $K$ ，令 $x\in U\subseteq K$ 。

也有其他常見定義。下列定義在 $X$ 豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：

　
: 1. $X$ 的每點皆有緊鄰域；

　
: 2. $X$ 的每點皆有閉的緊鄰域；

　
: 2′. $X$ 的每點皆有相對緊鄰域；

　
: 2″. $X$ 的每點皆有相對緊鄰域組成的局部基；

　
: 3. $X$ 的每點皆有緊鄰域組成的局部基；

　
: 3′. 對 $X$ 的每點 $x$ ， $x$ 的每個鄰域都包含其一個緊鄰域；

　
: 4. $X$ 為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有：

* 條件 2、2′、2″等價；
* 條件 3、3′等價；
* 條件 2、3 互不推出對方；
* 全部皆推出條件 1；
* 緊空間必定滿足條件 1、2，條件 3 則不必。

條件 1 或較常用作定義，因為最易滿足，且當 $X$ 豪斯多夫時，全部條件皆與條件 1 等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件 2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為**局部相對緊**，而與局部緊空間區分。斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）稱條件 2、2′、2″為**強局部緊**，而稱條件 1 為**局部緊**。

採用條件 4 的例子有布爾巴基。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

## 例子與反例

### 緊豪斯多夫空間

緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

* 單位區間 $[0,1]$ 、
* 康托爾集、
* 希爾伯特立方。

### 局部緊但不緊的豪斯多夫空間

* 歐氏空間 $\mathbb {R} ^{n}$ （特例有數軸 $\mathbb {R} $ ）為局部緊（海涅 - 博雷爾定理的推論）。
* 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
* 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
* 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
* p 進數空間 $\mathbb {Q} _{p}$ 為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在 P 進數分析亦然。

### 非局部緊的豪斯多夫空間

若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

* 有理數空間 $\mathbb {Q} $ （配備 $\mathbb {R} $ 的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在 $\mathbb {Q} $ 中，從而不是緊鄰域。
* $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空間 $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ ，因為原點並無緊鄰域。
* 實數集 $\mathbb {R} $ 的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限。
* 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T0，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

### 非豪斯多夫的局部緊空間

* 有理數空間 $\mathbb {Q} $ 的單點緊化是緊空間，從而在意義 1 及 2 下是局部緊，但在意義 3 下則不然。
* 任何無窮集上的特定點拓撲在意義 1 及 3 下是局部緊，但在意義 2 下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲也同樣。
* 所以，若取前兩項例子的不交並，則在意義 1 下局部緊，但在意義 2 及 3 下不然。
* 謝爾賓斯基空間在意義 1、2、3 下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義 4 下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬・埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology））非緊，但仍是意義 1、2、3 下的局部緊空間，而不是意義 4 下的局部緊空間。

## 性質

局部緊的預正則空間必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為**局部緊正則空間**。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱**局部緊豪斯多夫空間**。

局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。

局部緊豪斯多夫空間 $Y$ 的拓撲子空間 $X$ 也是局部緊，當且僅當 $X$ 是 $Y$ 某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間 $Y$ 的子空間 $X$ 為局部緊當且僅當 $X$ 是開子集。若將 $Y$ 放寬成**任意**豪斯多夫空間，則由子空間 $X$ 局部緊，仍能推出 $X$ 為 $Y$ 某兩個閉子集之差，反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，局部均勻收斂與緊收斂等價。

### 無窮遠點

設 $X$ 為局部緊豪斯多夫空間，則 $X$ 作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間 $b(X)$ ，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為**單點緊化**。新空間 $a(X)$ 僅比 $X$ 多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的 $a(X)$ 為豪斯多夫，當且僅當 $X$ 本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

 $a(X)$ 多出的一點可直觀視為**無窮遠點**，此點不在 $X$ 的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。
舉例，定義在 $X$ 上的連續實值或複值函數 $f$ 稱為**消失於無窮遠**，是指給定任意正實數 $\varepsilon $ ， $X$ 皆有緊子集 $K$ ，使 $|f(x)|<\varepsilon $ 對 $K$ **外**的一切點 $x$ 成立。前述定義適用於任意拓撲空間 $X$ ，而在 $X$ 為局部緊豪斯多夫的特例，等價於 $f$ 能延拓成單點緊化 $a(X)=X\cup \{\infty \}$ 上的連續函數 $g$ ，使 $g(\infty )=0$ 。 

消失於無窮遠的連續複值函數之集合 $C_{0}(X)$ 是 C\* 代數。反之，可交換的 C\* 代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間 $X$ 的 $C_{0}(X)$ ，其中 $X$ 在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換 C\* 代數範疇對偶，其證法用到蓋爾范德表示。前一範疇中， $X$ 加入無窮遠點，變成 $a(X)$ 之事，在後一範疇對應向 $C_{0}(X)$ 添加單位元。

### 局部緊群

拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群 $G$ 都自然配備哈爾測度，因而在 $G$ 上定義可測函數的積分。實數軸 $\mathbb {R} $ 的勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群 $A$ 的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當 $A$ 是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

## 參見

* F. 里斯定理

## 參考文獻