差分法

在數學中，**有限差分法**（**finite-difference methods**，簡稱 **FDM**），是一種微分方程式數值方法，是通過有限差分來近似導數，從而尋求微分方程式的近似解。

## 由泰勒展開式的推導

首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式：

　
: $f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),$

其中 _n_! 表示是 _n_ 的階乘，_R_n(_x_) 為餘數，表示泰勒多項式和原函數之間的差。可以推導函數 _f_ 一階導數的近似值：

　
: $f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x),$

設定 x0=a，可得：

　
: $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R_{1}(x),$

除以 _h_ 可得：

　
: ${f(a+h) \over h}={f(a) \over h}+f'(a)+{R_{1}(x) \over h}$

求解 f'(a)：

　
: $f'(a)={f(a+h)-f(a) \over h}-{R_{1}(x) \over h}$

假設 $R_{1}(x)$ 相當小，因此可以將 "f" 的一階導數近似為：

　
: $f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}.$

## 準確度及誤差

近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是捨入誤差及截尾誤差（或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數時四捨五入造成的誤差，後者則是用有限階級數表示導數引起的誤差。

在運用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的網格分割（可參考右圖）。因此有限差分法會製造一組導數的離散數值近似值。

一般會關注近似解的局部截尾誤差，會用大 O 符號表示，局部截尾誤差是指應用有限差分法一次後產生的誤差，因此為 $f'(x_{i})-f'_{i}$ ，此時 $f'(x_{i})$ 是實際值，而 $f'_{i}$ 為近似值。泰勒多項式的餘數項有助於分析局部截尾誤差。利用 $f(x_{0}+h)$ 泰勒多項式的餘數項，也就是

　
: $R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}$ , 其中 $x_{0}<\xi <x_{0}+h$ ,

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導數，已知 $f(x_{i})=f(x_{0}+ih)$ ,

　
: $f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},$

利用一些代數的處理，可得

　
: ${\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,$

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個餘數，因此餘數就是局部截尾誤差。上述範例可以用下式表示：

　
: ${\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).$

在此例中，局部截尾誤差和時間格點的大小成正比。

## 範例：常微分方程式

例如考慮以下的常微分方程式

　
: $u'(x)=3u(x)+2.\,$

利用數值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

　
: ${\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)$

來近似導數，並配合一些代數處理（等號兩側同乘以 h，再加上 u (x)），可得

　
: $u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2).\,$

最後的方程式式即為有限差分方程式，求解此方程式則可得到原方程式的近似解。

## 範例：熱傳導方程式

考慮正規化的一維熱傳導方程式式，為齊次的狄利克雷邊界條件

　
: $U_{t}=U_{xx}\,$

　
: $U(0,t)=U(1,t)=0\,$ （邊界條件）

　
: $U(x,0)=U_{0}(x)\,$ （初始條件）

對此問題求數值解的一種方式是用差分去近似所有的導數，可以將空間分割為 $x_{0},...,x_{J}$ ，將時間也分割為 $t_{0},....,t_{N}$ 。假設在時間及空間都是均勻的網格切割，空間中兩個連續位置的間隔為 _h_，兩個連續時間之間的間隔為 _k_。點

　
: $u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}$

表示 $u(x_{j},t_{n})$ 的數值近似解。

### 顯式方法

利用在時間 $t_{n}$ 的前向差分，以及在位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（FTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

　
: ${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.\,$

這是用求解一維導熱傳導方程式的顯式方法。

可以用以下的式子求解 $u_{j}^{n+1}$

　
: $u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

其中 $r=k/h^{2}.$

因此配合此迭代關係式，已知在時間 _n_ 的數值，可以求得在時間 _n_+1 的數值。 $u_{0}^{n}$ 及 $u_{J}^{n}$ 的數值可以用邊界條件代入，在此例中為 0。

此顯式方法在 $r\leq 1/2$ 時，為數值穩定且收斂。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

　
: $\Delta u=O(k)+O(h^{2})\,$

### 隱式方法

若使用時間 $t_{n+1}$ 的後向差分，及位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

　
: ${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.\,$

這是用求解一維導熱傳導方程式的隱式方法。

在求解線性聯立方程式後可以得到 $u_{j}^{n+1}$ ：

　
: $(1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}$

此方法不論 $r$ 的大小，都數值穩定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

　
: $\Delta u=O(k)+O(h^{2})\,$

### 克蘭克－尼科爾森方法

若使用時間 $t_{n+1/2}$ 的中間差分，及位置 $x_{j}$ 的二階中央差分（CTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

　
: ${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).\,$

此公式為克蘭克－尼科爾森方法（Crank–Nicolson method）。

在求解線性聯立方程式後可以得到 $u_{j}^{n+1}$ ：

　
: $(2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

此方法不論 $r$ 的大小，都數值穩定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔的平方成正比，和位置間隔的平方成正比：

　
: $\Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).\,$

若時間刻度較小時，克蘭克－尼科爾森方法是最精確的，而顯式方法是最不精確的，而且可能會不穩定，但是是最容易計算的，其數值計算量也最少。若時間刻度較大時，隱式方法的效果最好。

## 相關條目

* 有限元分析
* 差分
* 時域有限差分
* 模版 (數值分析)
* 有限差分係數
* 五點 Stencil
* Lax 等價定理
* 期權定價的有限差分法

## 參考資料

* K.W. Morton and D.F. Mayers, _Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction_. Cambridge University Press, 2005.
* Oliver Rübenkönig, _The Finite Difference Method (FDM) - An introduction_, (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg
* Autar Kaw and E. Eric Kalu, _Numerical Methods with Applications_, (2008) [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* Finite-Difference Method (see and listen to lecture 9)
* List of Internet Resources for the Finite Difference Method for PDEs
* Finite Difference Method of Solving ODEs (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Lecture Notes Shih-Hung Chen, National Central University
* Randall J. LeVeque, _Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , SIAM, 2007.
* Finite Difference Method
* Finite Difference Method for Boundary Value Problems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Finite Difference Methodology in Materials Science
* Numerical Methods for time-dependent Partial Differential Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）