巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，**巴拿赫 - 阿勞格魯定理**或**阿勞格魯定理**（英語：Banach–Alaoglu theorem 或 Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱 \* 拓撲中為緊。常見證明將弱 \* 拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪諾夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個 C\* 代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

## 歷史

納里奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果 —— 也許是關於弱 \* 拓撲唯一（_the_）最重要的事 —— 迴響傳遍泛函分析。」1912 年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間 $C([a,b])$ ，其連續對偶空間的單位球，為弱 \* 可數緊。1932 年，斯特凡・巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱 \* 序列緊（他僅考慮了序列緊）。 
一般情況的證明，是由列奧尼達・阿勞格魯於 1940 年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述 Pietsch [2007] 指，至少有 12 個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。

**布爾巴基 - 阿勞格魯定理**（英語：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉・布爾巴基將原定理推廣到局部凸空間的對偶拓撲的結果。此定理亦稱為**巴拿赫 - 阿勞格魯定理**或**弱 \* 緊定理**（英語：weak-\* compactness theorem），也常簡稱為**阿勞格魯定理**（英語：Alaoglu theorem）。

## 敍述

### 一般敍述

對於域 $\mathbb {K} $ 上的向量空間 $X$ ，以 $X^{\#}$ 表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射 $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} $ 所聯繫，該映射由

　
: $\left\langle x,f\right\rangle :=f(x)$

定義。所以，三元組 $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle $ （兩個空間及一個映射）組成對偶系，稱為**典範對偶系**。

若 $X$ 進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶 $X^{\prime }$ 為代數對偶 $X^{\#}$ 中，連續泛函組成的子集。以 $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ 表示 $X^{\#}$ 上的弱 \* 拓撲。類似有 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 是 $X^{\prime }$ 上的弱 \* 拓撲。

弱 \* 拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射 $f$ 和一網映射 $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ ，網 $f_{\bullet }$ 在弱 \* 拓撲中收斂至 $f$ ，當且僅當對定義域中每點 $x$ ，函數值組成的網 $\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}$ 收斂到 $f(x)$ 。 

> 
> **阿勞格魯定理**
> 
> 設 $X$ 為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或局部凸）， $X^{\prime }$ 為其連續對偶，則對於 $X$ 中原點的任何鄰域 $U$ （ $0\in U\subseteq X$ ），其極集
> 
> 　
> : $U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',$
> 
> 在 $X^{\prime }$ 上的弱 \* 拓撲 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 中，必為緊集。
> 
> 此外， $U^{\circ }$ 亦是 $U$ 相對於典範對偶系 $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle $ 的極集，在拓撲空間 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 同樣為緊。
> 
> 

### 賦範特例

若 $X$ 為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若 $U$ 為 $X$ 的開（或閉）單位球，則 $U$ 的極集為連續對偶空間 $X^{\prime }$ 的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

> 
> **巴拿赫 - 阿勞格魯定理**
> 
> 若 $X$ 為賦範空間，則連續對偶空間 $X^{\prime }$ 中，算子範數的閉單位球，為弱 \* 拓撲中的緊集。
> 
> 

當 $X$ 的連續對偶 $X^{\prime }$ 是無窮維賦範空間時， $X^{\prime }$ 中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見 F・里斯定理）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫 - 阿勞格魯定理並不推出弱 \* 拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在強拓撲中為原點的鄰域，在弱 \* 拓撲中則不一定。弱 \* 拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

## 證明

### 對偶理論證明

記 $X$ 的基域為 $\mathbb {K} $ ，此處為實數域 $\mathbb {R} $ 或複數域 $\mathbb {C} $ 。證明會用到極集、對偶系、連續線性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶 $X^{\#}$ 配備弱 \* 拓撲 $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ 時，為一個豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，記為 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 。空間 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 總是完備，但連續對偶 $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$ 則不一定，此即證明需牽涉 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且完全有界。注意 $X^{\prime }$ 從 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 繼承的子空間拓撲，等於弱 \* 拓撲 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 。為驗證此事，只需檢查對每個 $x^{\prime }\in X^{\prime }$ ， $X^{\prime }$ 中的網在其中一個拓撲中收斂到 $x^{\prime }$ ，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組 $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle $ 也是對偶對（有雙線性映射 $(x,f)\mapsto f(x)$ ），但與 $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle $ 不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設 $U$ 為 $X$ 原點的鄰域，又設：

 * $U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$ 為 $U$ 相對 $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle $ 的極集；
* $U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}$ 為 $U$ 相對 $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle $ 的二重極集；
* $U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$ 為 $U$ 相對 $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle $ 的極集。

極集的基本性質有 $U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }$ 。 

下證巴拿赫 - 阿勞格魯定理，分若干步：

1. 先證 $U^{\#}$ 在拓撲 $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ 中為 $X^{\#}$ 的閉子集：設 $f\in X^{\#}$ ，又假設 $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ 為 $U^{\#}$ 中的網，在 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 中收斂到 $f$ 。欲證 $f\in U^{\#}$ ，即 $|f(u)|\leq 1$ 對任意 $u\in U$ 皆成立。因為在純量域 $\mathbb {K} $ 中， $f_{i}(u)\to f(u)$ ，而每個值 $f_{i}(u)$ 皆屬於（ $\mathbb {K} $ 的）閉子集 $\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$ ，故網的極限 $f(u)$ 亦必在該子集中。於是 $|f(u)|\leq 1$ 。
2. 其次，欲證 $U^{\#}=U^{\circ }$ ，以推出 $U^{\circ }$ 既是 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 的閉子集，亦是 $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$ 的閉子集：有包含關係 $U^{\circ }\subseteq U^{\#}$ ，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證 $\,U^{\#}\subseteq U^{\circ }$ ，設 $f\in U^{\#}$ 滿足 $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ ，換言之線性泛函 $f$ 在鄰域 $U$ 上有界，而泛函有界等價於連續，故 $f\in X^{\prime }$ ，從而 $f\in U^{\circ }$ ，即所求證。用第 1 步，結合交集 $U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$ 在 $X^{\prime }$ 的子空間拓撲中為閉，推得 $U^{\circ }$ 為閉。
3. 欲證 $U^{\circ }$ 對 $X^{\prime }$ 的 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 拓撲而言是完全有界子集：由二重極集定理， $U\subseteq U^{\circ \circ }$ ，又因為鄰域 $U$ 為 $X$ 中的吸收集， $U^{\circ \circ }$ 亦同。可以證明，此結論推出 $U^{\circ }$ 是 $X^{\prime }$ 對 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 而言的有界子集。由於 $X$ 分辨 $X^{\prime }$ 各點， $X^{\prime }$ 的子集在 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 意義下有界，當且僅當在同樣意義下完全有界。所以，尤其有 $U^{\circ }$ 在 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 意義下完全有界。
4. 欲證 $U^{\circ }$ 亦為 $X^{\#}$ 在 $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ 拓撲下的完全有界子集：已知 $X^{\prime }$ 上， $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 拓撲等於 $X^{\prime }$ 從 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 繼承的子空間拓撲，結合第 3 步與「完全有界」的定義，即推出 $U^{\circ }$ 為 $X^{\#}$ 在 $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ 拓撲下的完全有界子集。
5. 最後，欲證 $U^{\circ }$ 為 $X^{\prime }$ 在 $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ 拓撲下的緊子集：因為 $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ 為完備拓撲向量空間，又 $U^{\circ }$ 為其閉（第 2 步）而完全有界（第 4 步）的子集，所以 $U^{\circ }$ 為緊。定理證畢。

### 較初等的證明

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函）。 

設向量空間 $X$ 的基域為 $\mathbb {K} $ ，為實數系 $\mathbb {R} $ 或複數系 $\mathbb {C} $ 兩者之一。對任意實數 $r$ ，以

　
: $B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}$

表示以原點為球心，半徑為 $r$ 的閉球。在 $\mathbb {K} $ 中，此為緊的閉集。

#### 極集的等價表示

由於 $U$ 是 $X$ 中原點的鄰域，可知 $U$ 亦是 $X$ 的吸收集，即對每個 $x\in X$ ，皆有正實數 $r_{x}>0$ 使 $x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}$ 。以

　
: $U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}$

表示 $U$ 相對典範對偶系 $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle $ 的極集。將證明，此極集 $U^{\#}$ ，與定理提到， $U$ 相對 $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle $ 的極集 $U^{\circ }$ ，兩者相等。

 $U^{\circ }\subseteq U^{\#}$ 成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證 $U^{\#}\subseteq U^{\circ }$ ，設 $f\in U^{\#}$ 滿足 $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ ，即線性泛函 $f$ 在鄰域 $U$ 上有界。所以 $f$ 是連續線性算子（換言之 $f\in X^{\prime }$ ），從而有 $f\in U^{\circ }$ ，即所求證。

至此，已證明 $U^{\circ }=U^{\#}$ ，餘下的證明中，需理解笛卡兒積 $\prod _{x\in X}\mathbb {K} $ 與所有 $X\to \mathbb {K} $ 的映射構成的空間 $\mathbb {K} ^{X}$ 等同。仍需證明以下兩個命題：

 1. $U^{\circ }$ 為 $\mathbb {K} ^{X}$ 的閉子集。
  * 此處 $\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} $ 配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
2. $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.$
  * 其中 $B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} $ 表示以原點 $0$ 為球心， $r_{x}$ 為半徑的閉球。本證明開始時，對每個 $x\in X$ ， 已定義 $r_{x}$ 為使 $x\in r_{x}U$ 的任意一個實數 $r_{x}>0$ 。特別地，對於 $u\in U$ ，可以選 $r_{u}:=1$ 。

以上命題推出， $U^{\circ }$ 為 $\prod _{x\in X}B_{r_{x}}$ 的閉子集，而由吉洪諾夫定理，該積空間為緊（因為每個閉球 $B_{r_{x}}$ 皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有 $U^{\circ }$ 為緊集，從而證畢巴拿赫 - 阿勞格魯定理的主要結論。

#### 極集為閉

以下證明前述命題 1。代數對偶 $X^{\#}$ 總是積空間 $\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} $ 的閉子集。要證明 $U^{\circ }$ 在 $\mathbb {K} ^{X}$ 中為閉，祇需證明集合

　
: ${\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$

是 $\mathbb {K} ^{X}$ 的閉子集，因為若有此結論，則 ${\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }$ 是 $\mathbb {K} ^{X}$ 中兩閉集之交，故亦為閉集。

設 $f\in \mathbb {K} ^{X}$ ，又設 $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ 為 ${\widetilde {U}}^{\circ }$ 中的網，在 $\mathbb {K} ^{X}$ 中收斂到 $f$ 。需要證明 $f\in {\widetilde {U}}^{\circ }$ 。換言之，要證對每個 $u\in U$ ， $|f(u)|\leq 1$ （或等價寫成 $f(u)\in B_{1}$ ）。由於在純量域 $\mathbb {K} $ 中， $\left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)$ ，且每項 $f_{i}(u)$ 皆屬於 $\mathbb {K} $ 中的閉子集 $B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$ ，此網的極限 $f(u)$ 亦必屬於該閉集，即 $f(u)\in B_{1}$ 。證畢命題 1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

> 
> 設 $U\subseteq X$ 為任意集合， $B\subseteq Y$ 為拓撲空間 $Y$ 的閉子集，則在 $Y^{X}$ 的逐點收斂拓撲中， $P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}$ 為閉子集。
> 
> 

命題 1 為其特殊情況，取 $Y:=\mathbb {K} $ 和 $B:=B_{1}$ 便得。

#### 極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題 2。對任意 $z\in X$ ，以 $\Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} $ 表示到第 $z$ 個坐標的投影。欲證 $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}$ 。換言之，欲對每個 $x\in X$ ，證明 $\Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}$ 。

於是選定 $x\in X$ ，設 $f\in U^{\circ }$ ；要證 $\Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}$ 。由 $r_{x}$ 的定義， $x\in r_{x}U$ ，故 $\,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U$ 。因為 $f\in U^{\circ }=U^{\#}$ ，線性泛函 $f$ 滿足 $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ ，所以由 $u_{x}\in U$ ，可知

　
: ${\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.$

所以 $|f(x)|\leq r_{x}$ ，即 $f(x)\in B_{r_{x}}$ ，證畢命題 2。

## 序列版本

巴拿赫 - 阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

> 
> 可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱 \* 拓撲下是序列緊。
> 
> 

### 可度量

實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱 \* 拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設 $X$ 為可分賦範向量空間，而 $B$ 為連續對偶 $X^{\prime }$ 中的閉單位球。根據 $X$ 可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為 $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 。則下式定義一個度量：對於 $x,y\in B$ ，

　
: $\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}$

其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle $ 表示 $X^{\prime }$ 與 $X$ 的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下， $B$ 為序列緊之事，用類似阿爾澤拉 - 阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫 - 阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間 $X$ ，其對偶上有泛函 $F:X^{\prime }\to \mathbb {R} $ ，欲求最小值，則常見策略是先構造序列 $x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }$ ，使 $F$ 的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫 - 阿勞格魯定理，取出子序列 $(x_{n_{k}})_{k}$ ，在弱 \* 拓撲下收斂到極限 $x$ ，並確定 $x$ 使 $F$ 取最小值。最後一步通常要求 $F$ 在弱 \* 拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設 $X=C_{0}(\mathbb {R} )$ 為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯 - 馬可夫表示定理， $X^{\prime }$ 為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫 - 阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理。

### 證明

下證序列版本的巴拿赫 - 阿勞格魯定理。

對每個 $x\in X$ ，設

　
: $D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},$

以及

　
: $D=\prod _{x\in X}D_{x}.$

因為 $D_{x}$ 是複平面的緊子集， $D$ 在積拓撲中亦為緊（根據吉洪諾夫定理）。

 $X^{\prime }$ 中的閉單位球 $B_{1}\left(X^{\prime }\right)$ ，可以自然地看成 $D$ 的子空間：考慮映射

　
: $f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,$

其為單射，且對於 $B_{1}\left(X^{\prime }\right)$ 的弱 \* 拓撲和 $D$ 的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網 $D$ 中的網

　
: $\left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},$

等式 $g(x)=\lambda _{x}$ 定義的泛函 $g$ ，也在 $B_{1}(X^{\prime })$ 中。定理證畢。

## 推論

### 賦範空間

假設 $X$ 為賦範空間，則其連續對偶空間 $X^{\prime }$ 具有對偶範數。

 * $X^{\prime }$ 中的閉單位球為弱 \* 緊。相比之下，若 $X^{\prime }$ 為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F・里斯定理）。
* 某巴拿赫空間自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲 $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ 下為緊。
* 若 $X$ 為自反巴拿赫空間，則 $X$ 中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對 $X$ 某個弱可度量子空間應用巴拿赫 - 阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用埃伯萊恩 - 什穆良定理。）舉例，設 $X$ 為 _L_p 空間 $L^{p}(\mu )$ ，其中 $1<p<\infty $ 。設 $(f_{n})_{n}$ 為 $X$ 中函數組成的有界序列。則存在子列 $(f_{n_{k}})_{k}$ ，且有 $f\in X$ 使得對於 $X^{\prime }=L^{q}(\mu )$ 中的任意函數 $g$ 成立，其中 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 。對於 $p=1$ ，沒有相應的結論，因為 $L^{1}(\mu )$ 不自反。

### 希爾伯特空間

* 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱相對緊，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
* 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
* 設 $H$ 為希爾伯特空間， $B(H)$ 為其上有界算子的空間，則 $B(H)$ 可以配備以下兩種不同的拓撲：一則超弱拓撲，即 $B(H)$ 作為跡類算子空間 $B_{1}(H)$ 的對偶所具備的弱 \* 拓撲；二則弱算子拓撲，是使形如 $T\mapsto \langle Tx,y\rangle $ 的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下， $B(H)$ 中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是， $B(H)$ 配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅 - 博雷爾性質。

## 與選擇公理的關係

通常，會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫 - 阿勞格魯定理，所以要依賴於 ZFC 公理系統，尤其是選擇公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見 § 序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，超濾子引理比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫 - 阿勞格魯定理。反之，巴拿赫 - 阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

## 參見

* 畢曉普 - 菲爾普斯定理
* 巴拿赫 - 馬祖爾定理
* Δ 收斂
* 埃伯萊恩 - 什穆良定理
* 古德斯汀定理
* 詹姆斯定理
* 克列因 - 米爾曼定理
* 馬祖爾引理
* 拓撲向量空間 —— 有「連續」概念的向量空間

## 註

## 參考資料

* Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓撲向量空間一]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英語）. 見 §20.9。
* Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar. Introduction to Functional Analysis [泛函分析導論]. Oxford: Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851485-9 （英語）.  見 Theorem 23.5，p. 264。
* Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 （英語）.
* Rudin, Walter. Functional Analysis [泛函分析]. International Series in Pure and Applied Mathematics **8** Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 （英語）.  見 Theorem 3.15，p. 68。
* Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. GTM **8** Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 （英語）.
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* Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels [拓撲向量空間、分佈、核]. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2006 [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 （英語）.