布劳尔

**理察・達戈貝爾特・布饒爾**（英語：**Richard Dagobert Brauer**，1901 年 2 月 10 日 —1977 年 4 月 17 日），德國、美國數學家，主要工作領域是抽象代數，但在數論上作出了重要貢獻。他是模表示論的創始人。

## 生平

阿爾弗雷德・布勞爾是理察的哥哥，比他大七歲。阿爾弗雷德和理察都對科學和數學感興趣，但阿爾弗雷德卻在第一次世界大戰的戰鬥中受傷。當他還是個孩子的時候，理察就夢想成為一名發明家，並於 1919 年 2 月被柏林 - 夏洛滕堡工業大學錄取。他很快就轉到了柏林大學。除了 1920 年夏天他在弗賴堡大學學習之外，他都在柏林學習，並在 1926 年 3 月 16 日獲得博士學位。1921 年，Issai Schur 組織了一次研討會，提出了 Alfred 和 Richard 共同研究的一個問題，並發表了研究結果。海因茨・霍普夫在同一時期也解決了這個問題。Richard 在 Schur 指導下寫了論文，為實正交（旋轉）群的不可約、連續、有限維表示提供了一種代數方法。

伊爾絲・卡格爾也曾在柏林大學學習數學；她和理察於 1925 年 9 月 17 日結婚。他們的兒子喬治・烏爾里希（1927 年生）和弗雷德・岡瑟（1932 年生）也成為了數學家。布饒爾在柯尼斯堡（今加里寧格勒）開始了他的教學生涯，擔任康拉德・克諾普的助教。布饒爾在柯尼斯堡闡述了完備域上的中心可除代數，這種代數的同構類構成了由他引入的所謂 Brauer 群的元素。

1933 年納粹黨掌權後，緊急援助外國學者委員會採取行動幫助布饒爾等猶太科學家。布饒爾被聘為肯塔基大學的助理教授。理察接受了這份工作，直到 1933 年底，他在肯塔基州的列剋星敦市教學，用的是英語。第二年，伊爾絲和喬治、弗雷德一起來到了美國；哥哥阿爾弗雷德 1939 年來到了美國，但他們的妹妹愛麗絲卻在大屠殺中被殺。

1934 年，赫爾曼・外爾邀請理察到普林斯頓高等研究院協助他。理察和內森・賈柯勃遜編輯了韋爾的講座《連續群的結構和表示》。在埃莉・諾特的影響下，理察被邀請到多倫多大學擔任教職。他和研究生 Cecil J. Nesbitt 一起發展的模表示論於 1937 年出版。羅伯特・斯坦伯格、史蒂芬・阿瑟・詹寧斯和拉爾夫・斯坦頓也是布勞爾在多倫多的學生。布饒爾還與中山正進行了關於代數表示的國際研究。1941 年，威斯康星大學麥迪遜分校聘布饒爾教授為客座教授。第二年，他訪問了埃米爾・阿廷任教的印第安納布盧明頓高級研究學院。

1948 年，理察和伊爾莎搬到安阿伯，在那裡他和 Robert M. Thrall 為密西根大學的近世代數課程做出了貢獻。布饒爾和他的研究生 K・A・福勒一起證明了布勞爾 - 福勒定理。唐納德・約翰・劉易斯也是他在密西根大學的學生。

1952 年，布勞爾進入哈佛大學任教。1971 年退休前，他曾教授過許多有抱負的數學家，如唐納德・帕斯曼和 I・馬丁・艾薩克斯。布勞爾夫婦經常去看望他們的朋友，比如 Reinhold Baer，Werner Wolfgang Rogosinski，以及卡爾・西格爾。

## 數學工作

一些定理以他的名字命名，包括布饒爾誘導特徵標定理，這個定理在數論和有限群論中都有應用，以及其推論布饒爾特徵標刻畫定理，這是群特徵標理論的核心。

1956 年發表的 Brauer-Fowler 定理後來為有限單群分類定理提供了重要的推動力，因為它意味著對合的中心化子 (2 階元素) 具有特定的結構的有限單群只有有限個。

布饒爾應用模表示論，特別是通過他的三個主定理，獲得了關於群特徵標的微妙信息。這些方法對於具有低秩西羅 2 - 子群的有限單群分類特別有用。 Brauer-Suzuki 定理表明，任何有限單群都不可能具有廣義四元數 Sylow 2 - 子群。Alperin-Brauer-Gorenstein 定理分類了具有圈或准二面體 Sylow 2- 子群的有限群。 布饒爾發展的方法也為分類綱領做出了貢獻：如 Gorenstein-Walter 定理，分類了有二面體 Sylow 2 - 子群和的有限群；以及 Glauberman Z\* 定理。有循環虧群的塊的理論，由布饒爾首先在主塊具有 p 階虧群的情況下得出，後來由 E. C. Dade 全面推廣，在群論中也有若干應用，例如在小維數複數域上的矩陣的有限群。 布饒爾樹是一個和帶有循環虧群的塊相聯繫的組合對象，它對塊的結構信息進行了編碼。

1970 年，布饒爾被授予美國國家科學獎章。

## 超複數

1898 年，Eduard Study 為 Klein 的百科全書寫了一篇關於超複數的文章。這篇文章於 1908 年為亨利・嘉當的法語版作了擴充。到了 20 世紀 30 年代，很明顯有必要更新 Study 的文章，於是 Richard Brauer 被要求就這個主題寫文章。事實證明，在 1936 年布勞爾在多倫多準備他的手稿時，雖然手稿被接受了，政治和戰爭卻阻礙了出版。儘管如此，布勞爾在 20 世紀 40 年代、50 年代和 60 年代一直保留著他的手稿，並於 1979 年由日本岡山大學出版。 在他去世後，這篇論文也在他的《論文集》第一卷中以第 22 號論文的形式出現。文章題目是「超複數的代數」（"Algebra der hyperkomplexen Zahlensysteme (Algebren)"）。與 Study 和嘉當的探索性文章不同，布饒爾的文章讀起來像是現代的抽象代數教材，覆蓋面廣泛。下面是他的導言：

　
: 在 19 世紀初，常規的複數和通過數對或平面上的點實現的計算，已成為數學家的一般工具。 自然出現的問題是，是否可用 n - 維空間的點定義類似的「超復」數。 事實證明，這種對實數的擴張需要通常的公理作出一些讓步 (維爾斯特拉斯，1863)。對計算法則的選擇 —— 這在超複數中是不可避免的 —— 自然也有一些選項。 然而，在任何情況下，我們得到的數系在其結構性質和分類上都允許一個唯一的理論。更進一步地，我們希望這些理論能和其他的數學領域產生密切聯繫，從而使它們得到被應用的可能。

1929 年在柯尼斯堡時，布饒爾在《數學雜誌》上發表了一篇名為《論超複數系》的文章，主要是關於整環（Nullteilerfrei systeme）和他後來在多倫多使用的域論。

## 出版物

* Brauer, R.; Sah, Chih-han (編), Theory of finite groups: A symposium, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969 [2018-11-23], MR 0240186, （原始內容存檔於 2020-09-20）
* Brauer, R., Fong, Paul; Wong, Warren J. , 編，Collected Papers. Vol. II, Mathematicians of Our Time **18**, MIT Press, 1980, ISBN 978-0-262-02148-7, MR 0581120
* Brauer, R., Fong, Paul; Wong, Warren J. , 編，Collected Papers. Vol. III, Mathematicians of Our Time **19**, MIT Press, 1980, ISBN 978-0-262-02149-4, MR 0581120

## 參見

* 布饒爾代數
* 布饒爾群
* 布饒爾–加當–華定理
* 布饒爾–Nesbitt 定理
* 布饒爾–馬寧阻塞
* 布饒爾–西格爾的定理
* 布勞爾–鈴木定理
* 布饒爾定理
* 布饒爾誘導特徵標定理
* 布饒爾特徵標

## 注釋

## 參考文獻

* Curtis, Charles W., Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2003, ISBN 978-0-8218-2677-5, MR 1715145  Review （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Charles W. Curtis (2003) "Richard Brauer: Sketches from His Life and Work", American Mathematical Monthly 110:665–77.
* James Alexander Green (1978) "Richard Dagobert Brauer", Bulletin of the London Mathematical Society 10:317–42.
* Feit, Walter, Richard D. Brauer, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1979, **1** (1): 1–20, ISSN 0002-9904, MR 0513747, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14547-6

## 外部連結

* 約翰・J・奧康納； 埃德蒙・F・羅伯遜, Brauer, MacTutor 數學史檔案 （英語）
* 理察・布饒爾在數學譜系計畫的資料。
* National Academy of Sciences Biographical Memoir （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）