布尔值模型

在數理邏輯中，**布林值模型**是普通的塔斯基主義者的結構或模型概念的推廣，在其中命題的真值不被限定為 "真" 和 "假"，而是從某個固定的完全布林代數中取值，布林值模型是 Dana Scott、Robert M. Solovay 和 Petr Vopěnka 在 1960 年代為了幫助理解 Paul Cohen 的力迫方法而介入的。

## 定義

固定一個完全布林代數 _B_ 和一階語言 _L_，後者由一組常量符號、函數符號和關係符號構成。_L_ 的布林值模型因此就由全集 _M_，它是元素 (或**名字**) 的集合，和對這些符號的釋義組成。特別是，這個模型必須為 _L_ 的每個常量符號指派一個 _M_ 的元素，並為 _L_ 的每個 _n_- 元函數符號 _f_ 和 _n_- 元組 <a0,...,an-1> 中的每一個指派 _M_ 的元素，這個模型必須為項 _f_(a0,...,an-1) 指派 _M_ 的元素。

關係符號和等式的釋義是更加複雜的：對 _M_ 每對元素 _a_, _b_，模型必須為表達式 _a_=_b_ 指派一個真值 ||_a_=_b_|| ；這個真值取自 _B_。類似的，對於 _L_ 的每個 _n_- 元關係符號 _R_ 和 _n_- 元組 <a0,...,an-1> 中的每一個指派 _M_ 的元素，這個模型必須指派 _B_ 的一個元素為 ||_R_(a0,...,an-1)|| 的真值。

　
: _需要寫些文字來解釋在釋義等式上的額外限制，保證它是等價關係並且這個關係顧及了等價事物的代換。_

## 其他公式和句子的釋義

其他公式可以使用布林代數來釋義；對於命題連結詞這是很容易的；你可以簡單的在子公式的真值上應用對應的布林運算符。例如，如果 φ(_x_) 和 ψ(_y_,_z_) 分別是帶有一個和兩個自由變量的公式，並且是要代換 _x_、_y_ 和 _z_ 為模型的全集的元素 _a_、_b_ 和 _c_，則

　
: $\phi (a)\land \psi (b,c)$

的真值簡單的是

　
: $||\phi (a)\land \psi (b,c)||=||\phi (a)||\ \land \ ||\psi (b,c)||$

對於量化的公式，我們需要利用布林代數 _B_ 的完全性。如果 φ(_x_) 是帶有自由變量 _x_(可能還有其他我們忽略的自由變量)，則

　
: $||\exists x\phi (x)||=\bigvee _{a\in M}||\phi (a)||$

這裡右手端要被理解為在 _B_ 中所有真值 ||φ(_a_)|| 的上確界，這裡 _a_ 的範圍在 _M_ 之上。

一個公式的真值有時被稱為它的可能性。它不能理解為一般意義上概率，它們不是實數而是完全布林代數的 _B_ 的元素。

## 集合論的布林值模型

給定一個完全布林代數 _B_，有一個指示為 _VB_ 的布林值模型，它是馮・諾伊曼全集 _V_ 的布林取值的類似者。(嚴格的說，_VB_ 是真類，所以我們需要適當的重新解釋對於模型意味著什麼)。非形式的說，我們認為 _VB_ 是像「布林值集合」的某種東西；換句話說，布林值集合，不再有定義分明的元素和非元素，而有帶有是這個集合的元素的特定「可能性」的對象。這個「可能性」是 _B_ 的一個元素，不是實數。這不同於模糊集合的概念。

布林值集合的 (「可能的」) 元素，依次也是布林值集合，它的元素也是布林值集合，以此類推。要得到布林值集合的非循環定義，我們需要有層次的建造它們。所以對於 _V_ 的每個序數 α 我們定義集合 _VαB_ 為:

　
: _VαB_ 是 β<α 的 _VβB_ 的併集，如果 α 是極限序數 (包括 0)。

　
: _Vα+1B_ 是從 _VαB_ 到 _B_ 的所有函數的集合。(這種函數表示 _VαB_ 的「可能的」子集；如果 _f_ 是這種函數，則對於任何 _x_∈_VαB_，_f_(_x_) 是 _x_ 在這個集合中的可能性)。

我們定義類 _VB_ 是所有集合 _VαB_ 的併集。

有可能相對化這個完整構造於 ZF (或者有時它的片段) 的某個傳遞模型 _M_。在這種情況下我們通過應用上述構造於 _M_ 內部而構造布林值模型 _M_B。對傳遞模型的限制是不嚴重的，因為 Mostowski 塌陷引理蘊涵了所有合理的 (良基的外延) 模型同構於傳遞模型。(如果模型 _M_ 不是傳遞事物而使其變得更加雜亂，因為 _M_ 對什麼意味著是「函數」或「集合」的釋義可能不同於「外延」釋義)。

接著我們需要在集合 _VB_ 上定義兩個 _B_- 值的等於關係和成員關係。(在 _VB_ 上的 _B_- 值關係是從 _VB_×_VB_ 到 _B_ 的函數)。為了避免混淆於通常的等式和成員關係，對於在 _VB_ 中的 _x_ 和 _y_，它們指示為 ||_x_=_y_|| 和
||_x_∈_y_||。它們定義如下:

　
: ||_x_∈_y_|| 被定義為 ∑t∈Dom(_y_) ||_x_=_t_|| ∧ _y_(_t_)   ("_x_ 在 _y_ 中如果它等於在 _y_ 中的某個東西 ")

　
: ||_x_=_y_|| 被定義為 ||_x_⊆_y_||∧||y⊆_x_||   ("_x_ 等於 _y_ 如果 _x_ 和 _y_ 相互都是對方的子集 ")，這裡的

　
: ||_x_⊆_y_|| 被定義為 ∏t∈Dom(_x_) _x_(_t_)⇒||_t_∈_y_||   ("_x_ 是 _y_ 的子集如果所有 _x_ 的元素都在 _y_ 中 ")

符號 ∑ 和 ∏ 意味著我們在完全布林代數 _B_ 中採用最小上界和最大下界。第一眼看來上述定義好像是循環的: ||  ∈ || 倚賴於 || = ||，它依賴於 || ⊆ ||，它依賴於 || ∈ ||。但是閉合檢查證實了 || ∈ || 的定義只對於更小階的元素依賴於 || ∈ ||，所以 || ∈ || 和 ||  = || 是從 _VB_×_VB_ 到 _B_ 的良好定義的函數。

最後我們需要檢查在 _VB_ 上的這兩個 _B_- 值的關係 || ∈ || 和 || = || 使 _VB_ 成為集合論的布林值模型。沒有自由變量的每個一階集合論的句子都在 _B_ 中有一個值，我們需要檢查等式的所有公理和 ZF 集合論的所有公理 (沒有自由變量的) 有 _B_ 的元素「真」的值。這是直接了當的，但是要花很長時間因為有很多不同的公理需要檢查。

## 引用

* Bell, J. L. (1985) _Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory_, Oxford. ISBN 978-0-19-853241-5
* Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7.
* Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. 1980. ISBN 978-0-444-85401-8.
* Kusraev, A. G. and S. S. Kutateladze. Boolean Valued Analysis. Kluwer Academic Publishers. 1999. ISBN 978-0-7923-5921-0.  Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras.
* Manin, Yu. I. A Course in Mathematical Logic. Springer. 1977. ISBN 978-0-387-90243-2.  Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.

## 參見

* 模型論
* 布林值函數