局部平凡化

**纖維束**（**fiber bundle** 或 **fibre bundle）** 又稱**纖維叢**，在數學上，特別是在拓撲學中，是一個局部看來像直積空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射

$$
\pi :E\rightarrow B
$$

_E_ 和乘積空間 _B_ × _F_ 的局部類似性可以用映射 $\pi $ 來說明。也就是說：在每個 _E_ 的局部空間 $U$ ，都存在一個相同的 _F_（_F_ 稱作纖維空間），使得 $\pi $ 限制在 $U$ 上時　與直積空間 _B_ × _F_ 的投影 $P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b$ 相似。（通常會用此滿射：π : _E_ → _B_ 來表示一個纖維叢，而忽略 _F_ ） 

如果 $E=B\times F$ ，也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做_**平凡叢**_（trivial bundle）。

纖維叢擴展了向量叢 (vector bundle)，向量叢的主要實例就是流形的切線束（tangent bundle）。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

## 正式定義

一個纖維叢由四元組（_E_, _B_, π, _F_）組成，其中 _E_, _B_, _F_ 是拓撲空間而 π : _E_ → _B_ 是一個連續滿射，滿足下面給出的局部平凡（local triviality）條件。_B_ 稱為叢的**基空間**（base space），_E_ 稱為**總空間**（total space）, 而 _F_ 稱為**纖維**（fiber）。映射 π 稱為**投影映射**. 下面我們假定基空間 _B_ 是連通的。

我們要求對於 _B_ 中的每個點 _x_, 存在一個在 _B_ 中 包含 _x_ 的開鄰域 _U_，並有一個同胚映射 φ:π−1（_U_）→ _U_ × _F_ (顯然 _U_ × _F_ 是一個乘積空間) ，φ 並且要滿足 $\textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)$ ，也就是下圖是可交換的：

其中 proj1 : _U_ × _F_ → _U_ 是自然投影而 φ : π−1(_U_) → _U_ × _F_ 是一個同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 $\textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F$ ）。所有 {(_U_i, φi)} 的集合稱為叢的**局部平凡化**。

對於 _B_ 中每點 _p_，原象（preimage）π−1(_p_) 和 _F_ 同胚並稱為點 **_p_ 上的纖維**. 一個纖維叢（_E_, _B_, π, _F_）經常記為

　
: $F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B$

以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢 π : _E_ → _B_ 都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以 _B_ 有由映射 π 決定的商拓撲 (quotient topology).

一個**光滑纖維叢**是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是，_E_, _B_, _F_ 都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。

## 例子

令 _E_ = _B_ × _F_ 並令 π : _E_ → _B_ 為對第一個因子的投影，則 _E_ 是 _B_ 上的叢。這裡 _E_ 不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為**平凡叢**.

最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶（Möbius strip）. 莫比烏斯帶是一個以圓為基空間 _B_ 並以線段為纖維 _F_ 的叢。對於一點 $x\in B$ 的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象 $\pi ^{-1}(U)$ 在圖中是個（有些扭轉的）切片，4 個方塊寬一個方塊長。同胚 φ 把 _U_ 的原象映到柱面的一塊：彎曲但不扭轉.

相應的平凡叢 _B_ × _F_ 看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個 "扭轉" 的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環，_S_1 × _S_1。

一個**覆蓋空間**是一個以離散空間為纖維的纖維叢。

纖維叢的一個特例，叫做**向量叢**, 是那些纖維為向量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構群 — 見下面 — 必須是一個線性群）。向量叢的重要實例包括光滑流形的切線束和餘切叢。

另一個纖維叢的特例叫做**主叢**。更多的例子參看該條目。

一個**球叢**是一個纖維為 n 維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢（例如黎曼流形的切線束），可以構造一個相應的_單位球叢_, 其在一點 _x_ 的纖維是所有 _E_x 的單位向量的集合.

## 截面

纖維叢的**截面**（section 或者 **cross section**）是一個連續映射 _f_ : _B_ → _E_ 使得 π(_f_(_x_))=_x_ 對於所有 _B_ 中的 _x_ 成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢定和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。

截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。纖維叢的**局部截面**是一個連續映射 _f_ : _U_ → _E_ 其中 _U_ 是一個 _B_ 中的開集而 π(_f_(_x_))=_x_ 對所有 _U_ 中的 _x_ 成立。若（_U_, φ）是一個局部平凡化圖，則局部截面在 _U_ 上總是存在的。這種截面和連續映射 _U_ → _F_ 有 1-1 對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。

## 結構群和轉移函數

纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的，令 _G_ 為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間 _F_ 上。不失一般性的，我們可以要求 _G_ 有效的作用在 _F_ 上，以便把它看成是 _F_ 的同胚群。纖維叢的一個**_G_- 圖冊**（_E_, _B_, π, _F_）是之前定義過的_局部平凡化_並且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖（_U_i, φi）和（_U_j, φj）且 $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset $ ，則函數

　
: $\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F$

是由以下方式給出：

　
: $\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F$

其中 $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ 是一個稱為**轉移函數（transition function）** 的連續映射。兩個 _G_- 圖冊是等價的如果他們的聯集也是 _G_- 圖冊。一個**_G_- 叢**是有 _G_- 圖冊等價類的纖維叢。群 _G_ 稱為該叢的**結構群（structure group）。**

在光滑範疇中，一個 _G_- 叢是一個光滑纖維叢，其中 _G_ 是一個李群而相應的在 _F_ 上的作用是光滑的並且轉換函數都是光滑映射。

轉移函數 _t_ij 滿足以下條件

 1. $t_{ii}(x)=1$
2. $t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}$
3. $t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)$

第三個條件用到三個相交的 $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ 上叫做**餘鍵條件（cocycle condition，**見Čech 餘調）。

一個主叢是一個 _G_- 叢，其纖維可以認為是 _G_ 本身，並且有一個在全空間上的 _G_ 的右作用保持纖維不變。

## 參見

* 向量叢
* 主叢
* 拉回叢（pullback bundle）
* 纖維化
* 覆蓋映射
* 規範場論

## 外部連結

* PlanetMath: Fiber Bundle
* MathWorld: Fiber Bundle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參考

* Norman Steenrod, _The Topology of Fiber Bundles_, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
* David Bleecker, _Gauge Theory and Variational Principles_, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.