布朗运动

**布朗運動**（英語：Brownian motion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種常態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動 W (t) 是期望為 0、方差為 t（時間）的正態隨機變量。對於任意的 r 小於等於 s，W (t)-W (s) 獨立於的 W (r)，且是期望為 0、方差為 t-s 的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

它是在西元 1827 年英國植物學家羅伯特・布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒，發現其會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為 10-8 厘米。

## 定義

自 1860 年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：

1. 粒子的運動由**平移**及**轉移**所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
5. 粒子的運動永不停止。

## 對於布朗運動之誤解

值得注意的是，布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動，而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。

一般而言，花粉之直徑分布於 30～50μm、最小亦有 10μm 之譜，相較之下，水分子直徑約 0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特・布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。

在日本，以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辭典』、花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理學原論（上）』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。

直到 1973 年橫浜市立大學名譽教授植物學者岩波洋造在著書『植物之 SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970 年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於 1975 年 3 月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。

## 愛因斯坦的理論

在 1905 年，愛因斯坦提出了相關理論。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據亞佛加厥定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為 22.414 升，其中包含的原子的數目被稱為「亞佛加厥常數」。由氣體的莫耳質量除以亞佛加厥常數等同原子量。

愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。 經典力學無法確定這個距離，因為布朗粒子將會受到大量的撞擊，每秒大約發生 1014 次撞擊。 因此，愛因斯坦將之簡化，即討論一個布朗粒子團的運動。

他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值（ $\Delta $ 或者 _x，_並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出概率密度函數 $\varphi (\Delta )$ 。另外，他假設粒子的數量有限，並擴大了密度（單位體積內粒子數量)，展開成泰勒級數 。

　
: ${\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}$

第一行中的第二個等式是被 $\varphi $ 這個函數定義的。第一項中的積分等於一個由概率定義函數，第二項和其他偶數項（即第一項和其他奇數項）由於空間對稱性而消失。化簡可以得到以下關係關係：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项  )}}$

拉普拉斯算子之前的係數，是下一刻的隨機位移量 $\Delta $ ，讓 D 為質量擴散係數：

　
: $D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta $

那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},$

假設在初始時刻 t = 0 時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

　
: $\rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.$

## 數學模型

### 定義

滿足下列條件的鞅我們稱之為布朗運動

1. 這個鞅是關於時間連續的。
2. 他的平方減去時間項也是一個鞅。

 $(M_{t})$ 是一個布朗運動若且唯若 $(M_{t})$ 為鞅，且 $(M_{t}^{2}-t)$ 也為鞅.

### 其他定義

**一維的定義**

一維布朗運動 $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ 是關於時間 _t_ 的一個隨機過程，他滿足 ：

1. （獨立增量）設時間 _t_ 和 _s_ 滿足 _t_ > _s_, 增量 $\scriptstyle B_{t}-B_{s}$ 獨立於時間 _s_ 前的過程 $\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$ 。
2. （穩定增量和正態性）設時間 _t_ 和 _s_ 滿足 _t_ > _s_, 增量 $\scriptstyle B_{t}-B_{s}$ 服從均值為 0 方差為 _t_−_s_ 的常態分布。
3. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ 幾乎處處連續， 也就是說在任何可能性下， 函數 $\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$ 是連續的.
4. 通常假設 $\scriptstyle B_{0}=0$ 。這種布朗運動我們稱它為標準的。

**等價定義**

一維布朗運動 $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ 是關於時間 _t_ 的一個隨機過程，他滿足 ：

 1. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ 是一個高斯過程，也就是說對於所有的時間列： $\scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}$ , 隨機向量： $\scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})$ 服從高維高斯分布（常態分布）。
2. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ 幾乎處處連續。
3. 對於所有 _s_ 和 _t_, 均值 $\scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0$ ，協方差 $\scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)$ .

**高維定義**

 $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}$ 是 _d_ 維布朗運動，只需滿足 $\scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}$ 為獨立的布朗運動。

換句話說，_d_ 維布朗運動 取值於 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{d}$ ，而它在 $\scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}$ 空間上的投影均為布朗運動。

**Wiener 測度的定義**

設 $\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$ 為從 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{+}$ 到 $\scriptstyle \mathbb {R} $ 的連續函數空間， $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )$ 為概率空間。布朗運動為映射

　
: $B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$

　
: $\omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)$ .

Wiener 測度 （或稱為布朗運動的分布）設為 $\scriptstyle W(d\omega )$ , 是映射 _B_ 關於 $\scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )$ 的圖測度。

換句話說， _W_ 是 $\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$ 上的一個概率測度，滿足對於任何 $\scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$ ，有

　
: $W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)$ 。

**備忘**

* 布朗運動是一種增量服從常態分布的萊維過程。
* 這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性，比如幾乎處處連續，軌跡幾乎處處不可微等等。
* 我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由 Levy 定理演化而來， 即： 軌跡連續且二次變差為 $t$ 的隨機過程為布朗運動。

### 性質

* 布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何 $\scriptstyle \omega \in \Omega $ , 軌道 $\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$ 為一個連續但是零可微的函數。
* 協方差 $\scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)$ 。
* 布朗運動具有強馬氏性： 對於停時 _T_, 取條件 $\scriptstyle [T<\infty ]$ , 過程 $\scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}$ 為一個獨立於 $\scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}$ 的布朗運動。
* 它的 Fourier 變換或特徵函數為 $\scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}$ 。可見，布朗運動是一個無偏，無跳躍，二項係數為 1/2 的 Levy 過程。
* 布朗運動關於時間是齊次的： 對於 _s_ > 0, $\scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}$ 是一個獨立於 $\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$ 的布朗運動。
* -_B_ 是一個布朗運動。
* （穩定性） 對於 _c_ > 0， $\scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}$ 是布朗運動。
* （時間可逆性） $\scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}$ 在 _t_=0 之外是布朗運動。
* （常返性）只有 1 維和 2 維布朗運動是常返的：

　
: 如果 $\scriptstyle d\in \{1,2\}$ , 集合 $\scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}$ 不是有界的，對於任何 $\scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}$ ，

　
: 如果 $\scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty $ （幾乎處處）。

* （反射原理）

　
: $\mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].$

### 布朗運動的數學構造

#### 利用 Kolmogorov 一致性定理

設 $(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}$ 為 $L^{2}({\mathbb {R} }_{+})$ 空間中一列實值函數。設：

 $\forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx$
這列函數滿足： 

 $\forall k\in \mathbb {N} ^{*}$ ，任意的 $t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}$ , 矩陣 $\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$ 為對稱半正定的。 

利用 Kolmogorov 一致性定理，我們可以構造高斯過程 $\{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ ，它的均值 $m$ 任意， 協方差為上面定義的 $s$ 。 

當 $(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ ， $c>0$ 為不依賴於 t 的常數， $1\!\!1_{[0,t]}$ 為 $[0,t]$ 上的示性函數。則：

 $s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)$
在這個情況下，矩陣 $\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$ 是對稱且正定的。

我們稱一個高斯過程為 **布朗運動**若且唯若均值為 0，協方差為 s。 $c=Var(B_{1})$ ，當 $c=1$ 時， 稱之為 **標準的布朗運動**.

#### 利用隨機過程

Donsker 定理（1951）證明了逐漸歸一化的隨機漫步弱收斂於布朗運動。

　
: $\left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}$

其中（_U_n, _n_ ≥ 1） 獨立同分布， 均值為 0, 方差為 _σ_ 的隨機變量序列。

#### 利用傅立葉級數

設 2 列獨立的正態 $\scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)$ 隨機變量序列 $\scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )$ 和 $\scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )$ 。定義 $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$ ：

　
: $B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)$

為布朗運動。

## 參見

* 維納過程

## 腳註

## 外部連結

* 漫談布朗運動 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Brownian motion - an overview