布巴克尔多項式

## 布巴克爾多項式

在數學中，布巴克爾 多項式 有兩種常見定義。第一種是 :

　
: ${\begin{aligned}B_{0}(x)&{}=1\\B_{1}(x)&{}=x\\B_{2}(x)&{}=x^{2}+2\\B_{3}(x)&{}=x^{3}+x\\B_{4}(x)&{}=x^{4}-2\\B_{5}(x)&{}=x^{5}-x^{3}-3x\\B_{6}(x)&{}=x^{6}-2x^{4}-3x^{2}+2\\B_{7}(x)&{}=x^{7}-3x^{5}-2x^{3}+5x\\B_{8}(x)&{}=x^{8}-4x^{6}+8x^{2}-2\\B_{9}(x)&{}=x^{9}-5x^{7}+3x^{5}+10x^{3}-7x\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

有時也會使用另一種定義，可以通過遞歸的方式進行定義。首先，規定前三 個布巴克爾多項式為：

　
: ${\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x,\\B_{2}(x)&=x^{2}+2,\\\end{aligned}}$

然後運用下面的遞推關係得到更高階的多項式。

　
: ${\begin{aligned}B_{m}(x)&=xB_{m-1}(x)-B_{m-2}(x)\quad {\text{, }}m>2.\end{aligned}}$

布巴克爾 多項式也可以用母函數表示 :

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {B}}_{n}(x)t^{n}={\frac {1+3t^{2}}{1-t(t-x)}}.\,\!$

產生了許多整數序列在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (_OEIS_) e PlanetMath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

### 生成解

布巴克爾 多項式的通解為 :

　
: $B_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n-4p}{n-p}}{\binom {n-p}{p}}(-1)^{p}x^{n-2p}$

 

### 微分操作代表

布巴克爾 多項式亦可記為 :

　
: $(x^{2}-1)(3nx^{2}+n-2)y{''}+3x(nx^{2}+3n-2)y{'}-n(3n^{2}x^{2}+n^{2}-6n+8)y=0\,$

## 用途

布巴克爾 多項式的 用途:

* 低溫
* 生物學
* 動態系統
* 非線性系統
* 近似論
* 熱力學
* 力學
* 水文地理學
* 分子動態
* 基本數學
* 熱量測定
* 生物物理學
* 光電學
* 複雜分析
* 矩陣分析
* 加密
* 代數

 

## 參考文獻

## 外部連結

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