居里定律

**居里定律**是指在順磁性材料中，材料的磁化強度大致與施加的磁場強度成正比。然而，若加熱材料，則比值減小。對於固定場強的磁場，磁化率大致與溫度成反比。

　
: $\mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},$

其中

　
: $\mathbf {M} $ 是磁化強度

　
: $\mathbf {B} $ 是磁感應強度

　
: $T$ 是溫度，以開爾文為單位

　
: $C$ 是材料的居里常數

居里定律是在實驗中由皮埃爾・居里得到的，它適用於相對高溫及弱磁場的條件下。而從其物理本源上推導，則能得到在低溫和強磁場條件下，磁化強度趨於飽和的結果，而非由定律預言的持續增加。

## 用量子力學推導

順磁體簡單的數學模型可以看作由沒有相互作用的粒子組成。每一個粒子都有磁矩 ${\vec {\mu }}$ 。磁場中磁矩的能量由下式給出：

　
: $E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .$

### 雙態 (自旋 -½) 粒子

為簡化計算，我們將順磁體內的粒子看作是雙態粒子：其磁矩與磁場的方向要麼平行要麼相反。因此，磁矩的可能值只能是 $\mu $ 或者 $-\mu $ 。如果是這樣，那麼這樣的粒子只有兩種可能的能量

 

　
: $E_{0}=-\mu B$

以及

　
: $E_{1}=\mu B.$

順磁體的磁化強度一般意味著粒子磁矩與磁場同向的可能性。換句話說，就是磁化強度 $\mu $ 的期望值：

　
: $\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu  \over Z}\sinh(\mu B\beta ),$

其中，每一種情況的概率由其玻爾茲曼因子給出，配分函數 $Z$ 為概率提供必要的歸一化（即所有這些概率的總和是歸一的）。
一個粒子的配分函數是

　
: $Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).$

因此，在雙態粒子簡單的情形中，我們有

　
: $\left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).$

這是單個粒子的磁化強度，固體的總磁化強度由下式給出

> 
> $$
> M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)
> $$
> 
> 
> 
> 

其中 _n_ 是磁矩的數密度。上式被稱為朗之萬順磁方程。

皮埃爾・居里（Pierre Curie）在實驗中發現：當順磁體處於相對較高的溫度和較低的磁場中，這個定律的近似成立。在 $T$ 值較大且 $B$ 值較小時，上式中雙曲正切的自變量減少，即：

　
: $\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1$

上式有時被稱為 **居里區間**. 同時，我們知道如果 $|x|\ll 1$ ，那麼 $\tanh x\approx x$ ，因此

> 
> 
> 　
> : $\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={n\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B}  \over T},$
> 
> 

因此磁化強度也很小，有 $B\approx \mu _{0}H$ ，可以得到

　
: $M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k}}{\frac {H}{T}},$

更重要的一點是，磁化率由下式給出

　
: $\chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}$

即

　
: $\chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},$

其中 居里常數 $C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k$ , 單位 開爾文 (K).

在低溫或高場的情況下， $M$ 趨向於 $n\mu $ 的最大值，對應於所有粒子與場完全對齊。 由於這個計算沒有描述嵌入費米表面深處的電子，泡利不相容原理禁止其自旋翻轉，所以它沒有舉例說明這個問題在低溫下的量子統計。 根據費米 - 狄拉克分布，在低溫下 $M$ 線性依賴於磁場，因此磁化率飽和到一個常數。

### 一般情況

當粒子具有任意自旋（任意數量的自旋狀態）時，公式有點複雜。
在低磁場或高溫下，自旋遵循居里定律，居里常數

　
: $C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}ng^{2}J(J+1)$

其中 $J$ 是總角動量量子數， $g$ 是 自旋的 $g$ 因子 (例如 $\mu =gJ\mu _{B}$ 是磁量子數)。

對於這個更一般的公式及其推導（包括高場強，低溫），請參閱文章：布里淵函數。 當自旋接近無窮大時，磁化公式接近下一節中推導的經典值。

## 用經典統計力學推導

當順磁子被想像為經典的、自由旋轉的磁矩時，適用另一種處理方法。在這種情況下，它們的位置將由它們在球坐標中的角度確定，其中一個粒子的能量是

　
: $E=-\mu B\cos \theta ,$

其中 $\theta $ 是磁矩和磁場之間的角度（假設磁場指向 $z$ 軸）。對應的配分函數為

　
: $Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

可以看出上式中被積函數對 $\phi $ 角沒有依賴性，令 $y=\cos \theta $ 以獲得

　
: $Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

現在，磁化強度的 $z$ 分量的預期值（另外兩個被視為零，由於在 $\phi $ 上的積分），由下式給出

　
: $\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

為簡化計算，可以將其寫作 $Z$ 微分：

　
: $\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}$

 
（這種方法也可以用於上面的模型，但計算非常簡單，所以沒有那麼有用。）

繼續推導發現

　
: $\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),$

其中 $L$ 是郎之萬函數:

　
: $L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

對於小 $x$ ，此函數似乎是奇異的，但事實並非如此，因為兩個奇異項相互抵消。事實上，它對小參數的極限是 $L(x)\approx x/3$ ，因此居里極限也適用，但在這種情況下，居里常數要小三倍。同樣，對於其參數的較大值，函數在 $1$ 處飽和，並且同樣會恢復相反的極限。

## 參見

* 居里 - 韋斯定律

## 參考資料