对立事件

在機率論中，**隨機事件**（或簡稱**事件**）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不出現；但當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。基本上，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。然而，當樣本空間是無限的時候，特別是不可數之時，就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。因此，爲了定義一個機率空間，常常需要去掉樣本空間的某些子集，規定他們不能成為事件。

## 例子

假設我們有一堆 52 張的撲克牌，並閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那麼用機率論的術語來說，我們實際上是在做一個隨機試驗。這時，我們的樣本空間是一個有著 52 個元素的集合，因為任意一張牌都是一個可能的結果。而一個隨機事件，則是這個樣本空間的任意一個子集（這個任意子集包括空集，一個元素的集合及多個元素的集合）。運用組合知識可以知道，隨機事件一共有 $2^{52}$ 種。當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。比如說事件「抽到的牌是黑桃 7」。當事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。當事件是全集時，則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如：

* 「抽到的牌是鬼牌」（也是不可能事件）
* 「抽到的牌是紅桃 3」（基本事件）
* 「抽到的牌數字是 9」（包含 4 個元素）
* 「抽到的牌是方塊」（包含 13 個元素）
* 「抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於 10」（包含 20 個元素）
* 「抽到的牌不是紅桃 3」（包含 51 個元素）

由於事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。有時候寫成集合的形式可能會很困難。有時候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的機率。

## 事件與機率空間

當樣本空間有限，試驗中每個基本事件發生的可能性相同的時候，稱為**古典概型**。這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當樣本空間不是有限的時候，特別是當樣本空間是實數的時候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在於機率的定義。一般來說，當研究一個隨機事件的時候，我們希望知道它發生的機率。事件發生的機率是一個介於 0 和 1 之間的數。當樣本空間是不可數的時候，如果我們取樣本空間所有的子集，那麼機率論的公理系統會產生數學上的矛盾，也就是說，會有一些子集無法被定義機率。具體地說，機率論的公理系統是由三個部份 $(\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 組成的，又稱為機率空間。這個空間包括：樣本空間 $\Sigma $ 、事件集合 ${\mathcal {F}}$ （又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取機率的運算： $\mathbb {P} $ 。其中的事件集合 ${\mathcal {F}}$ 是一個 σ- 代數，而取機率的運算 $\mathbb {P} $ 需要滿足機率的加法公理（σ-Additive）：

　
: 如果一系列事件 $A_{1},A_{2},\cdots $ 兩兩互斥（也就是說對任意的 $i,j$ ， $A_{i}\cap A_{j}$ 都是空集。此亦稱為 pairwise disjoint）那麼就有：

　
: $\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{i})$

這個公理是符合一般人的直覺的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那麼「它們幾個中有一個發生」的機率應該等於其中每一個發生的機率的和。

然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，無論怎樣為他們定義機率，都會違反加法公理。

### 一個反例

假設小明和小華玩一個遊戲，讓小華隨意說一個 0 到 1 之間的實數。小明爲了研究機率，選擇了所有 [0,1] 的子集作為機率集合。他將所有的 0 到 1 之間的有理數取出來。由於 0 到 1 之間的有理數是可數集合，所以可以做標號： $q_{1},q_{2},\cdots $ 。對於每一個 0 到 1 之間的實數 $a$ ，小明將 $a+q_{1},a+q_{2},\cdots $ 作為一個集合，如果其中有大於 1 的，就減去 1。這個集合是由可數個數構成的，小明把它記作 $S_{a}$ 。構造多個這樣的集合 $S_{a}$ 滿足其並集是區間 [0,1]，且它們之間兩兩不相交。然後將每個 $S_{a}$ 寫成：

　
: $S_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots $

再令：

　
: $T_{1}=$ 遍歷所有 $S_{a}$ 集合中的 $s_{a,1}$ 所構成的集合。

　
: $T_{2}=$ 遍歷所有 $S_{a}$ 集合中的 $s_{a,2}$ 所構成的集合。

　
: 如此等等，

那麼所得到的事件（也就是集合） $T_{1},T_{2},\cdots $ 的並集也是區間 [0,1]，而且它們之間兩兩不相交。由於這些事件之間地位相等，所以它們的機率 $\mathbb {P} (T_{n})$ 都是一樣的。
如果 $\mathbb {P} (T_{n})>0$ ，那麼根據加法原則，

　
: $1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{1})=+\infty $

而如果 $\mathbb {P} (T_{n})=0$ ，那麼根據加法原則，仍然有：

　
: $1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=0+0+\cdots =0$

因此無論如何，都會導致矛盾。也就是說小明無法為事件 $T_{1}$ 定出一個機率。在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。

## 事件之間的關係

兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。

* 包含關係：通常用符號 $\subset $ 表示。一個事件 $A$ 包含另一個事件 $B$ 記作： $B\subset A$ 。這時只要事件 $B$ 發生，那麼事件 $A$ 也一定發生。這個關係其實就是集合論中的包含關係。舉之前撲克牌的例子來說，假設事件 $A$ 是「抽出的牌上數字是 8」，事件 $B$ 是「抽出的牌是梅花 8」，那麼事件 $A$ 包含事件 $B$ ：只要抽出的是梅花 8，牌上的數字自然就是 8。
* 等價關係：兩個事件對應的子集完全相等，記作 $A=B$ 。例子：事件「抽出的牌花色是黑桃並且數字比 3 小並且數字是偶數」和事件「抽出的牌是黑桃 2」就是等價的。
* 對立關係：兩個事件只能有一個發生，並且必然有一個發生，則它們是對立關係。這種關係對應的集合論術語是「補集」。
* 互斥關係：兩個事件只能有一個發生，但並不必然有一個發生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。

### 獨立事件

如果兩個事件同時發生的機率等於它們各自發生的機率的乘積，那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。比如說，「抽到的牌是紅桃」和「抽到的牌數字是 4」就是相互獨立的，因為兩者同時發生 —— 抽到的牌是紅桃 4—— 的機率是 52 分之 1，而「抽到的牌是紅桃」的機率是 4 分之 1，「抽到的牌數字是 4」的機率是 13 分之 1，兩者相乘便是 52 分之 1。

## 事件的運算

* 事件 $A\cup B$ ：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的和事件（並事件），指的是事件「事件 $A$ 發生或者事件 $B$ 發生」。
* 事件 $A\cap B$ ：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的積事件（交事件），指的是事件「事件 $A$ 發生且事件 $B$ 發生」。
* 事件 $A-B$ ：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的差事件，指的是事件「事件 $A$ 發生且事件 $B$ 不發生」。

在機率運算時，還有：

 * $P(A\mid B)$ ：指的是「設 A 與 B 為樣本空間 Ω 中的兩個事件，其中 P (B)>0。那麼在事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的條件機率為：」

## 參見

* 隨機變數
* σ- 代數

## 參考來源

* 葉俊 趙衡秀. 《概率论与数理统计》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 9787302095668.