对数正态分布

在機率論與統計學中，**任意隨機變數**的**對數**服從**常態分布**, 則這個隨機變數服從的分布稱為**對數常態分布**。如果 $Y$ 是常態分布的隨機變數，則 $\exp(Y)$ （指數函數）為對數常態分布；同樣，如果 $X$ 是對數常態分布，則 $\ln X$ 為常態分布。
如果一個變數可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變數可以看作是對數常態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。
對於 $x>0$ ，對數常態分布的機率密度函數為

　
: $f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $\mu $ 與 $\sigma $ 分別是變數對數的平均值與標準差。它的期望值是

　
: $\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

變異數為

　
: $\mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,$

給定期望值與變異數，也可以用這個關係求 $\mu $ 與 $\sigma $

　
: $\mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),$

　
: $\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).$

## 與幾何平均值和幾何標準差的關係

對數常態分布、幾何平均數與幾何標準差是相互關聯的。在這種情況下，幾何平均值等於 $\exp(\mu )$ ，幾何標準差等於 $\exp(\sigma )$ 。

如果採樣數據來自於對數常態分布，則幾何平均值與幾何標準差可以用於估計信賴區間，就像用算術平均數與標準差估計常態分布的信賴區間一樣。

其中幾何平均數 $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$ ，幾何標準差 $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

## 動差

原始動差為：

　
: $\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

　
: $\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$

　
: $\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$

　
: $\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

或者更為一般的動差

　
: $\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

## 局部期望

隨機變數 $X$ 在閾值 $k$ 上的局部期望定義為

　
: $g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx$

其中 $f(x)$ 是機率密度。對於對數常態機率密度，這個定義可以表示為

　
: $g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)$

其中 $\Phi $ 是標準常態部分的累積分布函數。對數常態分布的局部期望在保險業及經濟領域都有應用，著名的 Black-Scholes 期權定價公式便可由此推導出。

## 母數的最大概似估計

為了確定對數常態分布母數 $\mu $ 與 $\sigma $ 的最大概似估計，我們可以採用與常態分布母數最大概似估計同樣的方法。我們來看

　
: $f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )$

其中用 $f_{L}(\cdot )$ 表示對數常態分布的機率密度函數，用 $f_{N}(\cdot )$ — 表示常態分布。因此，用與常態分布同樣的指數，我們可以得到對數最大概似函數：

　
: ${\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}$

由於第一項相對於 $\mu $ 與 $\sigma $ 來說是常數，兩個對數最大概似函數 $\ell _{L}$ 與 $\ell _{N}$ 在同樣的 $\mu $ 與 $\sigma $ 處有最大值。因此，根據常態分布最大概似母數估計器的公式以及上面的方程式，我們可以推導出對數常態分布母數的最大概似估計

　
: ${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

## 相關分布

* 如果 $Y=\ln(X)$ 與 $X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})$ ，則 $Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ 是常態分布。
* 如果 $X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ 是有同樣 $\mu $ 母數、而 $\sigma $ 可能不同的統計獨立對數常態分布變數 ，並且 $Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}$ ，則 $Y$ 也是對數常態分布變數： $Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)$ 。

## 進一步的閱讀資料

* Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, in _Advances in Futures and Options Research_, volume 7, 1994.

## 參考文獻

* _對數常態分布_, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
* _Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
* _對數常態分布特性_, John Hull, in _Options, Futures, and Other Derivatives_ 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
* Eric W. Weisstein et al. 對數常態分布 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathWorld. Electronic document, 2006 年 10 月 26 日造訪.

## 參見

* 幾何平均數
* 幾何標準差
* 誤差函數