定言三段論

**直言三段論**是所有前提都是直言命題的演繹推理。

例子：

> 
> 

前兩個命題被分別稱為**大前提**和**小前提**。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題，它叫做**結論**。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須**周延**（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連接。即使直言三段論是有效的，但如果有前提為假的話結論仍可能是假，例如以下的三段論：

> 
> 

此為第一格 AAA 三段論，為有效，但是因為前提是錯的（烏鴉事實上不是魚），因而導致結論為假。

## 語氣和格

三段論形式如下：

　
: 大前提：所有 M 是 P

　
: 小前提：所有 S 是 M

　
: 結論：所有 S 是 P

其中 S 代表結論的主詞（**S**ubject），P 代表結論的謂詞（**P**redicate），M 代表中詞（**M**iddle）。

三段論的命題可分為全稱（universal）、特稱（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類**語氣**（Mood）：

　
:

三段論中，結論中的謂詞稱作**大詞**（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作**大前提**；結論中的主詞稱作**小詞**（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作**小前提**；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作**中詞**（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種**格**（Figure）：

　
:

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為 A、E、I、O 型命題之一，又可分為 4 格，故總共有 256 種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有 512 種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如 **AAA-1**（也可以寫成 **1-AAA**）代表「大前提為 **A** 型，小前提為 **A** 型，結論為 **A** 型，第 **1** 格」的三段論。

此外，三段論的四種格之間可相互轉換：

* 第 1 格：對換大前提的前後兩項的位置就變成第 2 格，對換小前提的前後兩項的位置就變成第 3 格。
* 第 2 格：對換大前提的前後兩項的位置就變成第 1 格，對換小前提的前後兩項的位置就變成第 4 格。
* 第 3 格：對換大前提的前後兩項的位置就變成第 4 格，對換小前提的前後兩項的位置就變成第 1 格。
* 第 4 格：對換大前提的前後兩項的位置就變成第 3 格，對換小前提的前後兩項的位置就變成第 2 格。

E 和 I 命題對換前後兩項的位置而保持同原命題等價。A 命題不能對換前後兩項的位置，但可以在前項確實有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的 I 命題（E 命題亦可在後項確實有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的 O 命題）。O 命題不能對換前後兩項的位置。

## 有效性

考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。幸運的是前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。

還可以通過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是通過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推導出來。總是首先圖解全稱命題。這是通過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的 AAA-1 形式中大前提「所有 M 是 P」中，對 M 不與 P 交疊的所有區域加黑影，包括 M 與 S 交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推導出在類 S 中所有成員也是類 P 的成員。但是，不能推出類 P 的所有成員都是類 S 的成員。

　
:

作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式 EIO-1 的三段論。它的大前提是「沒有 M 是 P」，它的小前提是「有些 S 是 M」，它的結論是「有些 S 不是 P」。這個三段論的大項是 P; 它的小項是 S，它的中項是 M。大前提在圖中通過對交集 M ∩ P 加陰影表示。小前提不能通過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集 S ∩ M 的非黑影部分使用 **x** 符號來表示「有些 S 是 M」。（注意：黑影區域和存在量化區域是互斥的）。接著因為存在符號位於 S 內但在 P 外，所以結論「存在一些 S 不是 P」是正確的。

　
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本文最後一節列出了所有 24 個有效論式的文氏圖。

最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。

基本規則：

1. 結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）（若不能確定所有提及的集合非空，則一個項在結論中周延，若且唯若該項在前提中周延）
2. 中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）（若不能確定所有提及的集合非空，則中詞必須剛好周延一次）
3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
  1. 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）
  2. 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）
  3. 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）
4. 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
  1. 二前提皆全稱，則結論必須為全稱（此條件適用於不能確定所有提及的集合非空的情況）
  2. 一前提是特稱，則結論必須為特稱
  3. 二前提皆特稱，則三段論必無效

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

其他檢查：

* 如果語境上不能假設所有提及的集合非空，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤）
* 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤、歧義謬誤）

### 有效三段論式

有加括號者必須假設所有提及的集合非空才有效。

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了 AEIO 全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E 或 O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I 或 O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I 或 O）。

```
1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO
```

在全部 256 種三段論式中，有 24 種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有 15 種有效。

### 常犯的無效三段論式

```
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
```

## 三段論式列表

總共有 19 個有效的論式（算結論弱化（全稱弱化為特稱）的 5 個論式則為 24 個有效論式，其中每一格剛好各有 6 個有效論式），為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的元音即是對應的語氣，例如 B**a**rb**a**r**a** 代表 **AAA**。

　
:

### 經典三段論式

下面列出的是亞里斯多德的《前分析篇》中關於前 3 個格的 14 個三段論式。

#### 第 1 格

* **AAA**（Barbara）

所有 M 是 P. 
所有 S 是 M. 
∴所有 S 是 P.

$$
{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}
$$

* **EAE**（Celarent）

沒有 M 是 P. 
所有 S 是 M. 
∴沒有 S 是 P.

$$
{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}
$$

* **AII**（Darii）

所有 M 是 P. 
有些 S 是 M. 
∴有些 S 是 P.

$$
{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **EIO**（Ferio）

沒有 M 是 P. 
有些 S 是 M. 
∴有些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

#### 第 2 格

* **EAE**（Cesare）

沒有 P 是 M. 
所有 S 是 M. 
∴沒有 S 是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}
$$

* **AEE**（Camestres）

所有 P 是 M. 
沒有 S 是 M. 
∴沒有 S 是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}
$$

* **EIO**（Festino）

沒有 P 是 M. 
有些 S 是 M. 
∴某些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

* **AOO**（Baroco）

所有 P 是 M. 
某些 S 不是 M. 
∴某些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(\lnot M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land \lnot M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

#### 第 3 格

* **AAI**（Darapti）

所有 M 是 P. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 是 P. 
（這種形式需要假定某些 M 確實存在。）

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **EAO**（Felapton）

沒有 M 是 P. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 不是 P. 
（這種形式需要假定某些 M 確實存在。）

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

* **IAI**（Disamis）

有些 M 是 P. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 是 P.

$$
{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))\qquad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **OAO**（Bocardo）

某些 M 不是 P. 
所有 M 是 S. 
∴某些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\quad \forall (M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

* **AII**（Datisi）

所有 M 是 P. 
有些 M 是 S. 
∴有些 S 是 P.

$$
{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **EIO**（Ferison）

沒有 M 是 P. 
有些 M 是 S. 
∴某些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

### 增補的論式

第 4 格由亞里斯多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

#### 第 4 格

* **AEE**（Camenes）

所有 P 是 M. 
沒有 M 是 S. 
∴沒有 S 是 P.

$$
{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
$$

* **AAI**（Bramantip）

所有 P 是 M. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 是 P. 
（這種形式需要假定某些 P 確實存在）

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **EAO**（Fesapo）

沒有 P 是 M. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 不是 P. 
（這種形式需要假定某些 M 確實存在）

$$
{\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow (\lnot P(x)\land S(x)))}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

* **IAI**（Dimaris）

有些 P 是 M. 
所有 M 是 S. 
∴有些 S 是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))}{\exists x(M(x)\land P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}
$$

* **EIO**（Fresison）

沒有 P 是 M. 
有些 M 是 S. 
∴有些 S 不是 P.

$$
{\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}
$$

#### 結論弱化的論式

在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可弱化論式中的結論 A 為 I，結論 E 為 O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的 24 有效論式。它們是：**AAI-1**（弱化的 AAA-1），**EAO-1**（弱化的 EAE-1），**EAO-2**（弱化的 EAE-2），**AEO-2**（弱化的 AEE-2），**AEO-4**（弱化的 AEE-4）。

## 對附加的謂詞演算公式的註解

按照布爾邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合（類）S 和集合 M 有某種二元關係，並且集合 P 和集合 M 有某種二元關係，從而推論出集合 S 和集合 P 是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種：

* A（全稱肯定）命題：所有 X 是 Y，確定了 X「包含於」Y 的關係，X 是 Y 的子集，Y 是 X 的超集，這是一種偏序關係，所有 X 是 Y 並且所有 Y 是 Z 則所有 X 是 Z，所有 X 是 Y 並且所有 Y 是 X 則 X 同於 Y。
* E（全稱否定）命題：所有 X 不是 Y，確定了 X 和 Y 是「無交集」的關係，這是一種對稱關係，所有 X 不是 Y 同於所有 Y 不是 X。（X 與 Y 無交集，Y 與 Z 無交集，不能推出 X 與 Z 無交集）。
* I（特稱肯定）命題：有些 X 是 Y，確定了 X 和 Y 是「有交集」的關係，這是一種對稱關係，有些 X 是 Y 同於有些 Y 是 X。（X 與 Y 有交集，Y 與 Z 有交集，不能推出 X 與 Z 有交集）。
* O（特稱否定）命題：有些 X 不是 Y，確定了 X「不包含於」Y 的關係。（從 X 不包含於 Y 不能推出 X 包含 Y）。

將參與推理的命題分為兩類：規則和事實，全稱命題是規則，而特稱命題只陳述事實：

* A 命題：所有 X 是 Y，它允許兩個推理方向，從肯定的 X 推出肯定的 Y，從否定的 Y 推出否定的 X。
* E 命題：所有 X 不是 Y，它允許兩個推理方向，從肯定的 X 推出否定的 Y，從肯定的 Y 推出否定的 X。
* I 命題：有些 X 是 Y，它確定了有些個體存在於 X 與 Y 的交集中。
* O 命題：有些 X 不是 Y，它確定了有些個體存在於 X-Y 的差集中。

兩個規則可以推出一個新規則，一個規則和一個存在事實可以推出一個新的存在事實，兩個存在事實什麼也推不出來。A 命題可以和所有四種命題一起工作。E 命題還可以和 I 命題一起工作。兩個 E 命題無法推理。E 命題和 O 命題不能一起工作，因為推出的是兩個否定的合取，不屬於這四種命題之一（此為互斥前提謬誤），IE 的組合都得出 P 不包含於 S 結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在 AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA 這 8 種組合和 4 種格共 32 種情況中檢驗。

首先是推出新規則的推理。第 1 格和第 4 格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA 組合推出 A，其中只有 AAA-1 是合理的，它推論出 S 包含於 P 的關係；第 4 格 AA 組合推論出 P 包含於 S 的關係，這不是四種命題之一，只能在 P 確實有元素存在的前提下弱化為 AAI-4。AE 及 EA 組合推出 E，其中 EAE-1 和 AEE-4 是直接推出的，其中 AEE-4 需要對換結論 E 命題的主詞和謂詞位置，EAE-2 和 AEE-2 分別是它們二者在對換前提 E 命題的主詞和謂詞位置後的等價者。

AA 和 EA 的第 3 格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成 AAI-3 和 EAO-3。EAO-4 是 EAO-3 對換前提 E 命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE 第 3 格組合得出 P 不包含於 S 的結論，不屬於四種命題之一。

其他論式都是一個全稱命題作為規則，而另一個特稱命題提出兩個事實的合取，規則消去一個事實形成一個新事實，從而得到一個舊事實和新事實合取的新存在事實。AII-1、IAI-4、EIO-1 是直接推出的，其中 IAI-4 需要對換結論 I 命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4 分別是它們三者在對換前提 E 命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3 是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2 沒有等價者，這裡對 A 命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論 O 命題不成立，它與大前提 A 命題推出與小前提 O 命題矛盾的結果，所以結論成立。

歷史上，對於 AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的 p 所指示的，通過把 A 命題是被弱化為 I 命題的方式引入某個集合確實有元素存在的前提。後人認為它們不是直言的（直言的意思就是無條件），這個問題被稱為存在性引入問題。

最後，有全稱結論的 5 個論式 AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4 的弱化結論可得出 AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。

## 24 論式圖示

下表以文氏圖展示 24 個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

## 參見

* 直接推理
* 傳統邏輯
* 謂詞演算

## 註解

## 引用

* Aristotle, _Prior Analytics_. transl. Robin Smith（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
* Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the _Oxford Dictionary of Philosophy_. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
* Broadie, Alexander, 1993. _Introduction to Medieval Logic_. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
* Irving Copi, 1969. _Introduction to Logic_, 3rd ed. Macmillan Company.
* Hamblin, Charles L., 1970. _Fallacies_, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.「
* Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). _Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic_. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

## 外部連結

* "Aristotle's Logic" article by Robin Smith in the _Stanford Encyclopedia of Philosophy_
* "The Traditional Square of Opposition" article by Terence Parsons in the _Stanford Encyclopedia of Philosophy_
* "Medieval Theories of the Syllogism" article by Henrik Lagerlund in the _Stanford Encyclopedia of Philosophy_
* Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
* Abbreviatio Montana （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
* The Figures of the Syllogism （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） is a brief table listing the forms of the syllogism.
* www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
* Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet