尤拉關係式

**尤拉公式**（英語：Euler's formula，又稱**歐拉公式**）是複分析領域的公式，它將三角函數與複指數函數關聯起來，因其提出者萊昂哈德・尤拉而得名。尤拉公式提出，對任意實數 $x$ ，都存在

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

其中 $e$ 是自然對數的底數， $i$ 是虛數單位，而 $\cos $ 和 $\sin $ 則是餘弦、正弦對應的三角函數，參數 $x$ 則以弧度為單位。這一複數指數函數有時還寫作 cis _x_ （英語：**c**osine plus **i** **s**ine，餘弦加 _i_ 乘以正弦）。由於該公式在 $x$ 為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。

尤拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理察・費曼將尤拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」。

當 $x=\pi $ 時，尤拉公式變為 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，即尤拉恆等式。

## 歷史

約翰・伯努利注意到有

　
: ${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).$

並且由於

　
: $\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,$

上述公式通過把自然對數和複數（虛數）聯繫起來，告訴我們關於複對數的一些訊息。然而伯努利並沒有計算出這個積分。

尤拉也知道上述方程式，伯努利對尤拉的回應表明他還沒有完全理解複對數。尤拉指出複對數可以有無窮多個值。

與此同時，羅傑・柯特斯於 1714 年發現

　
: $ix=\ln(\cos x+i\sin x).$

由於三角函數的週期性，一個複數可以加上 2_i_π 的不同倍數，而它的複對數可以保持不變。

1740 年左右，尤拉把注意力從對數轉向指數函數，得到了以他命名的尤拉公式。尤拉公式通過比較指數的級數展開和三角函數得到（其實此證法存在問題，原因見驗證方法，但結論正確。），於 1748 年發表。

大約 50 年之後，卡斯帕爾・韋塞爾提出可以把複數視做複數平面中的點。

## 形式

對於任意實數 $x\,$ ，以下等式恆成立：

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

由此也可以推導出

　
: $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ 及 $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ 。

當 $x=\pi \,$ 時，尤拉公式的特殊形式為

　
: ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ 。

## 證明

首先，在複數域上對 $e^{x}\,$ 進行定義：

對於 $a,b\in \mathbb {R} ,c=a+ib\in \mathbb {C} $ ，規定 $e^{c}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {c}{n}})^{n}$ 。

對複數的極坐標表示 $w=u+iv=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ，有：

$$
r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\in \mathbb {R} ,\theta =\arctan({\frac {v}{u}})\in \mathbb {R}
$$

且根據棣美弗公式， $w^{n}=(u+iv)^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

從而有：

$$
(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=[(1+{\frac {a}{n}})+i{\frac {b}{n}}]^{n}=r_{n}(\cos \theta _{n}+i\sin \theta _{n})
$$

假設 $n>|a|$ ，則：

$$
r_{n}=[(1+{\frac {a}{n}})^{2}+({\frac {b}{n}})^{2}]^{\frac {n}{2}},\theta _{n}=n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}}
$$

從而有：

$$
{\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\ln r_{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}\ln(1+{\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}({\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=a\\\end{aligned}}
$$

這一步驟用到 $\ln(1+x)\approx x$ （墨卡托級數）

 
即：

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }r_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }e^{\ln r_{n}}=e^{a}
$$

又有：

$$
{\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\theta _{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n{\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=b\\\end{aligned}}
$$

從而可以證明：

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=e^{a}(\cos b+i\sin b)
$$

即：

$$
e^{a+ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)
$$

令 $a=0$ ，可得尤拉公式。

證畢。

## 驗證方法

**方法一：泰勒級數**
: 把函數 $e^{x}\,$ 、 $\cos x\,$ 和 $\sin x\,$ 寫成泰勒級數形式：

　
: $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots $

　
: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots $

　
: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots $

　
: 將 $x=iz\,$ 代入 $e^{x}\,$ 可得：

　
: ${\begin{aligned}e^{iz}&=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos z+i\sin z\end{aligned}}$

**方法二：求導法**
: 對於所有 $x\in I$ ，定義函數 $f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}$

　
: 由於 $e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1$

　
: 可知 $e^{ix}\,$ 不可能為 0，因此以上定義成立。

　
: $f(x)\,$ 之導數為：

　
: ${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=0\end{aligned}}$

　
: 設 $[a,b]\in I$ 和 $c\in (a,b)$

　
: $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$ （拉格朗日均值定理）

　
: $\because f'(x)=0$

　
: $\therefore f'(c)=0$

　
: $f(a)=f(b)$

　
: 因此 $f(x)\,$ 必是常數函數。

　
: $f(x)=f(0)$

　
: $$

　
: ${\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1$

　
: 重新整理，即可得到：

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

**方法三：微積分**
: 找出一個函數，使得 ${\frac {dy}{dx}}=iy$ 及 $f(0)=1$

　
: ${\frac {d}{dx}}e^{ix}=ie^{ix}=iy$

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)&=-\sin x+i\cos x\\&=i(i\sin x+\cos x)\\&=iy\end{aligned}}$

　
: $e^{i0}=e^{0}=1$

　
: $\cos 0+i\sin 0=1+i(0)=1$

　
: 如果使用積分法， $iy$ 的原函數是以上兩個函數。

　
: $x=0$ 時，原函數的值相等，所以以上兩個函數相等。

　
: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

## cis 函數

在複分析領域，尤拉公式亦可以以函數的形式表示

　
: $\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta $

　
: $\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$

並且一般定義域為 $\theta \in \mathbb {R} \,$ ，值域為 $\theta \in \mathbb {C} \,$ （複數平面上的所有單位向量）。

當一複數的模為 1，其反函數就是輻角（arg 函數）。

當 $\theta $ 值為複數時，cis 函數仍然是有效的，所以有些人可利用 cis 函數將尤拉公式推廣到更複雜的版本。

## 檢定和角公式

由於 $e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha $ 且 $e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta $ ，則有

　
: ${\begin{aligned}e^{i(\alpha +\beta )}&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=e^{i\alpha +i\beta }\\&=e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \times \cos \beta +i\sin \alpha \times i\sin \beta )+(i\sin \alpha \times \cos \beta +\cos \alpha \times i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\\\end{aligned}}$

實部等於實部，虛部等於虛部，因此

　
: $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $

　
: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $

## 在複分析的應用

這公式可以說明當 $x$ 為實數時，函數 $e^{ix}$ 可在複數平面描述一單位圓。且 $x$ 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡兒坐標系描述，尤拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 $z=x+yi$ 皆可記為

　
: $z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,$

　
: ${\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,$

在此

　
: $x=\mathrm {Re} \{z\}\,$ 為實部

　
: $y=\mathrm {Im} \{z\}\,$ 為虛部

　
: $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 為 $z$ 的模

　
: $\phi =\mathrm {atan2} {(y,x)}$ ，其中 $\mathrm {atan2} {(y,x)}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y\geq 0,x<0\\-\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y<0,x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}$

## 參見

* cis 函數
* 尤拉恆等式

## 參考資料