富比尼-施图迪度量

在數學中，**富比尼–施圖迪度量**（Fubini–Study metric）是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 **CP**n。這個度量最先由圭多・富比尼與愛德華・施圖迪在 1904 年與 1905 年描述。

向量空間 **C**n+1 上一個埃爾米特形式定義了 GL (_n_+1,**C**) 中一個酉子群 U (_n_+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似（整體縮放）的意義下由這樣一個 U (_n_+1) 作用下的不變性決定；從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後，**CP**n 是一個對稱空間。度量的特定正規化與 (2_n_+1)- 球面上的標準度量有關。在代數幾何中，利用一個正規化使 **CP**n 成為一個霍奇流形。

## 構造

富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。

具體地，可以定義 **CP**n 由 **C**n+1 中復直線組成的空間，即 **C**n+1 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 **C**\* = **C** \ {0} 的對角群作用下的商相同：

　
: $\mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.$

這個商將 **C**n+1 實現為底空間 **CP**n 上的復線叢（事實上這就是 **CP**n 上所謂的重言叢）。**CP**n 中的一點等同於 (_n_+1)- 元組 [_Z_0,...,_Z_n] 模去非零復縮放的一個等價類；這些 _Z_i 稱為這個點的齊次坐標。

進一步，我們可以分兩步實現這個商：因為乘以一個非零複數 _z_ = _R_ _e_iθ 可以惟一地想成一個以模長 _R_ 為因子的縮放與沿著原點一個逆時針旋轉角度 $\theta $ 的複合，商 **C**n+1→**CP**n 分成兩塊。

　
: $\mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}$

其中第 (a) 步以正實數乘法群 **R**+ 的縮放 **Z** ~ _R_**Z**，這裡 _R_ ∈**R**+，作商；步驟 (b) 是關於旋轉 **Z** ~ _e_iθ**Z** 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |**Z**|2 = |_Z_0|2 + ... + |_Z_n|2= 1 所定義的實超球面 _S_2_n_+1。第 (b) 步的商實現為 **CP**n = _S_2_n_+1/_S_1，這裡 _S_1 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化 _S_1 → _S_2_n_+1 → **CP**n 實現 ，纖維屬於 $S^{2n+1}$ 中的大圓。

### 作為度量商

當取一個黎曼流形（或一般的度量空間）的商時，必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如，如果群 _G_ 作用在黎曼流形 (_X_,_g_) 上，則為了是軌道空間 _X_/_G_ 擁有一個誘導度量， $g$ 沿著 _G_- 軌道必須是常值，這便是說對任何元素 _h_ ∈ _G_ 以及一對向量場 $X,Y$ 必須有 _g_(_Xh_,_Yh_) = _g_(_X_,_Y_)。

'_C_n+1 上標準埃爾米特度量在標準基下為

　
: $ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}.\,$

它的實化是 **R**2_n_ 上標準歐幾里得度量。這個度量在 **C**\* 的作用下**沒有**不變性，所以我們不能直接將其推下到商空間 **CP**n 中。但是，這個度量在旋轉群 _S_1 = U (1) 的對角作用下是不變的。從而，上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。

**富比尼–施圖迪度量**是在商 **CP**n = _S_2_n_+1/_S_1 上誘導的度量，其中 $S^{2n+1}$ 帶著所謂的「圓度量」，是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。

### 在局部仿射坐標中

對應於 **CP**n 中具有齊次坐標 (_Z_0,...,_Z_n) 的一點，只要 _Z_0 ≠ 0，存在惟一 _n_ 個坐標集合 (_z_1,…,_z_n) 使得

　
: $[Z_{0},\dots ,Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],$

特別地 _z_j = _Z_j/_Z_0。這個 (_z_1,…,_z_n) 組成 **CP**n 在坐標片 _U_0 = {_Z_0 ≠0 } 上的一個仿射坐標系。在任意坐標片 _U_i={_Z_i≠0} 上通過除以 _Z_i，得到一個仿射坐標系。這 _n_+1 個坐標片 _U_i 蓋住了 **CP**n，在 _U_i 上可以利用仿射坐標系 (_z_1,…,_z_n) 給出度量的具體表達式。坐標導數定義了 **CP**n 全純切叢的一個標架 $\{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}$ ，利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量

　
: $h_{ij}=h(\partial _{i},\partial _{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{ij}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.$

這裡 |**z**|2 = _z_12+...+_z_n2。這樣，富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣是

　
: ${\bigl (}h_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]$

注意每個矩陣元素是酉不變的：對角作用 $\mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} $ 不會改變這個矩陣。

對應地，線元素為

　
: ${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})dz_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}dz_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}$

在最後的表達式中，使用了愛因斯坦求和約定，拉丁字母指標 _i_ 和 _j_ 從 1 求到 _n_。

### 在齊次坐標中

在齊次坐標 **Z** = [_Z_0,...,_Z_n] 中也有相應的表達式。形式上，我們有

　
: ${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定，希臘字母指標從 0 求到 _n_，最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號：

　
: $Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).$

現在，d_s_2 的這個表達式顯然在重言叢 **C**n+1\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿著 **CP**n 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 **CP**n 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關：這可以直接計算。

差一個整體正規化常數，這個度量的凱勒形式為

　
: $\omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.$

其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|**Z**|2 是 **CP**n 的凱勒數量。

### _n_ = 1 情形

當 _n_ = 1，有由球極投影給出的微分同胚 $S^{2}\cong \mathbb {CP} ^{1}$ 。這導致了特殊的霍普夫纖維化 _S_1→_S_3→_S_2。當在 **CP**1 中的坐標系寫出富比尼–施圖迪度量，它在實切叢上的限制得出 _S_2 上半徑 1/2 的通常圓度量。

具體地，如果 _z_ = _x_ + i_y_ 是黎曼球面 **CP**1 上標準仿射坐標卡，且 _x_=_r_cosθ, _y_ = _r_sinθ 是 **C** 上的極坐標，則一個簡單的計算表明

　
: $ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds_{us}^{2}$

這裡 $ds_{us}^{2}$ 是單位 2 - 球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 _r_ tan(φ/2) = 1, tanθ = _y_/_x_ 給出的 _S_2 「數學家的」球坐標（許多物理學家偏向於將 φ 和 θ 互換）。

## 曲率性質

在 _n_ = 1 的特例，富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率，因為它與 2 - 球面的圓度量等價（半徑 _R_ 球面的數量曲率是 $1/R^{2}$ ）。但是，對 _n_ > 1，富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出

　
: $K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}$

這裡 $\{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}$ 是 2 - 維平面 σ 的一個標準正交基，_J_ : _T_**CP**n → _T_**CP**n 是 **CP**n 上的復結構，而 $\langle \cdot ,\cdot \rangle $ 是富比尼–施圖迪度量。

這個公式的一個推論是任何 2 - 維平面 $\sigma $ 的截面曲率滿足 $1\leq K(\sigma )\leq 4$ 。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2 - 維平面得到 —— 對這樣的平面有 _J_(σ) ⊂ σ —— 而最小截面曲率 (1) 在 _J_(σ) 垂直於 σ 的 2 - 維平面 σ 得到。因此，富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。

這使 **CP**n 成為一個（非嚴格的）四分之一拼擠流形；一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 _n_- 流形一定同胚於球面。

富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量，它與里奇張量成比例：存在一個常數 λ 使得對所有 _i_,_j_ 我們有

　
: $Ric_{ij}=\lambda g_{ij}.$

除此以外，這蘊含著，在差一個數量相乘的意義下，富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使 **CP**n 與廣義相對論不可分離，它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

## 量子力學

富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號，或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來，令

　
: $\vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$

這裡 $\{\vert e_{k}\rangle \}$ 是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合， $Z_{k}$ 是複數，而 $Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$ 是射影空間 $\mathbb {C} P^{n}$ 中一點在齊次坐標中的標準記號。那麼，給定空間中兩點 $\vert \psi \rangle =Z_{\alpha }$ 與 $\vert \phi \rangle =W_{\alpha }$ ，它們之間的距離是

　
: $\gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}$

或等價地，在射影簇記號中，

　
: $\gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.$

這裡 ${\overline {Z}}^{\alpha }$ 是 $Z_{\alpha }$ 的復共軛。分母中出現的 $\langle \psi \vert \psi \rangle $ 提醒了 $\vert \psi \rangle $ 以及類似的 $\vert \phi \rangle $ 不是單位長規範化的；故這裡明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中，此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度；故它又稱為**量子角**（quantum angle）。這個角度是實值的，取值於零到 $\pi /2$ 。

通過取 $\phi =\psi +\delta \psi $ ，或等價地 $W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }$ ，馬上可以等到這個度量的無窮小形式

　
: $ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.$

在量子力學中，**CP**1 叫做布洛赫球面；富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為，包括量子糾纏和貝里相位（Berry phase）效應，可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

## 乘積度量

通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講，此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入中是可分的。這是說如果 $\vert \psi \rangle $ 是一個可分態，從而可以寫成 $\vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle $ ，則度量是子空間上度量之和：

　
: $ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}$

這裡 ${ds_{A}}^{2}$ 和 ${ds_{B}}^{2}$ 是在子空間 _A_ 與 _B_ 上各自的度量。

## 相關條目

* 非線性 σ 模型
* 卡魯扎 - 克萊因理論

## 參考文獻

* Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8
* Brody, D.C.; Hughston, L.P., Geometric Quantum Mechanics, Journal of Geometry and Physics, 2001, **38**: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8
* Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8
* Onishchik, A.L., Fubini–Study metric, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .