导心

在物理學中，單一帶電粒子的運動在較強的磁場中的運動可以被分解成兩種運動的疊加：粒子繞著被稱為**導心**（**guiding center**） 的一點進行相對較快的圓周運動，導心則以相對較慢的速度進行**漂移**（**drift**）運動。由於各粒子的電荷量、質量、溫度有所不同，漂移速度亦會有所差異，可能會導致對電流密度的淨貢獻或者是化學分離。

## 迴旋

如果磁場是均勻的且不考慮其他作用力，洛倫茲力就會給粒子一個垂直於磁場和粒子速度的加速度。這不會影響粒子平行於磁場方向的運動，但在垂直磁場平面會導致以固定速度進行的圓周運動。這一圓周運動被稱為迴旋運動（gyromotion）。質量為 $m$ 、電荷量為 $q$ 的粒子運動在磁感應強度為 $B$ 的磁場中，其**迴旋頻率**（**gyrofrequency** 或 **cyclotron frequency**）為

　
: $\omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.\,\!$

垂直磁場的速度為 $v_{\perp }$ 時，迴旋軌道的曲率半徑被稱為**迴旋半徑**（ **gyroradius** ）或拉莫爾半徑（Larmor radius）

　
: $\rho _{\rm {L}}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{\rm {c}}}}.\,\!$

## 平行方向上的運動

由於磁場施加的 Lorentz 力總是垂直於磁場，故該力對平行方向上的運動無影響（從最低階而言）不考慮其它力，在均勻磁場中的帶電粒子會繞磁力線作迴旋運動並沿磁力線滑行，前者取決於垂直磁場的速度，後者取決於平行磁場的速度；從而產生一螺旋形的軌道。如果有外力且平行方向有分量，粒子和其導心就會相應地加速。

如果磁場場強在平行方向上有一梯度，有限 Larmor 半徑的粒子會有向弱場強一側的加速度，這一效應被稱為磁鏡。

## 一般的力引起的漂移

一般而言，當某種力對粒子的作用在垂直於磁場的方向上有分量時，導心會向既垂直於這種力、又垂直於磁場的方向漂移。記 ${\boldsymbol {F}}$ 為作用在一粒子上的力，則對應的漂移速度為

　
: ${\boldsymbol {u}}_{f}={\frac {1}{q}}{\frac {{\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}.$

與磁鏡效應和非均勻磁場漂移不同，這些漂移不依賴於有限 Larmor 半徑，也存在於冷電漿體。這看上去可能有些反直覺。如果一開始作用力時粒子是靜止的，垂直於該力的運動是如何而來的？為何這一力不會引起平行於它的運動？答案是磁場在其中起到了作用。該力一開始引起平行於其方向的加速度，但磁場將運動轉向（deflect）漂移方向。等粒子走到漂移方向上的時候，磁場又將其轉向和外力方向相反的方向，故在外力的方向上平均的加速度即為零。不過，在該力作用的方向上能發生最大為 $(F/m)\omega _{c}^{-2}$ 的位移，這可以視為開啟該力時的極化漂移（見下文）的結果。這一運動實際上是一條擺線。更一般地說，迴旋運動（gyration）和均勻的垂直漂移運動的疊加是一條次擺線.

所有的漂移都可視為力漂移的特殊情況，儘管這不總是思考的最合適辦法。電場力和重力是力漂移的典型案例。 $\nabla B$ 漂移可以視為在磁場幅度梯度下作用在磁偶極子上的力引起的漂移。曲率、慣性、極化漂移則可視為其對應的加速度充當虛性力（fictitious force）下的漂移。逆磁漂移可從壓強梯度力中推導而來。最後，其他的力也可以引起漂移，比如輻射壓強和碰撞。

### 重力場

重力場是力漂移的一個簡單例子，電離層中的電漿體就可考慮它。其漂移速度是

　
: ${\boldsymbol {u}}_{g}={\frac {m}{q}}{\frac {{\boldsymbol {g}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}$

由於對質量的依賴，重力漂移對電子的影響通常可以忽略。

對粒子電荷的依賴意味著電子離子的這一漂移速度是反向的，會貢獻於淨電流密度。從流體的圖象上來看，正是這一電流叉乘磁場後提供了拮抗（counteract）所施加力的力。

### 電場

由電場導致的這一漂移經常被稱為 ${\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$ (_E_-cross-_B_) 漂移，這一漂移特殊在電場力和電荷量成正比。 結果就是，不管什麼質量和電荷量的離子和電子都在相同的方向上以相同的速度漂移，故而這一漂移對淨電流密度無貢獻 (如果電漿體是近中性的)。在狹義相對論中，以該速度運動的參考系中，電場會變換為零。漂移速度的值是

　
: ${\boldsymbol {u}}_{E}={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}$

### 非均勻電場

如果電場是非均勻的，以上公式修正為

　
: ${\boldsymbol {u}}_{E}=\left(1+{\frac {1}{4}}\rho _{\rm {L}}^{2}\nabla ^{2}\right){\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}$

## 非均勻磁場

導心漂移不僅可能來源於外部力的作用，也有可能來源於磁場的非均勻性。用平行和垂直動能表示這些漂移較為方便

　
: ${\begin{aligned}K_{\|}=&{\frac {1}{2}}mv_{\|}^{2}\\K_{\perp }=&{\frac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}\end{aligned}}$

這種情況下，對質量的顯式依賴就看不到了。如果離子和電子溫度相當，則會有著大小相當、方向相反的漂移速度。

###  $\nabla B$ 漂移

當某一粒子走到強場的一側時，曲率半徑較小；走到弱場一側，曲率半徑便較大。在垂直磁場方向看，其軌跡從均勻磁場下的圓軌往擺線（cycloid）的形狀發展。對應漂移速度是

　
: ${\boldsymbol {u}}_{\nabla B}={\frac {K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times \nabla B}{B^{2}}}$

### 曲率漂移

當帶電粒子沿彎折的磁力線走時，其向心力（centripetal force）會對應於一垂直於曲率平面的漂移速度

　
: ${\boldsymbol {u}}_{R}={\frac {2K_{\|}}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}$

其中 ${\boldsymbol {R}}_{c}$ 是向外指的曲率半徑，由最逼近粒子矢徑處磁力線的圓弧（circular arc）的圓心向外指。

　
: ${\boldsymbol {u}}_{\rm {inertial}}={\frac {v_{\parallel }}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\mathrm {d} t}},$

其中 ${\hat {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {B}}/B$ 是磁場方向的單位向量。這一慣性漂移可以被分解成曲率漂移和以下漂移的總和

　
: ${\frac {v_{\|}}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times \left[{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}})\right].$

當磁場處於穩態且弱電場時，慣性漂移由曲率漂移主導。

　
:

## 極化漂移

時變的電場也會導致一項漂移

　
: ${\boldsymbol {u}}_{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {E}}}{\mathrm {d} t}}$

顯然這一漂移不同於其他漂移，它不能無限期地延續。一般而言，振盪的電場會引起振盪的極化漂移，相位相差 90 度。由於對質量的依賴，這一效應被稱為**慣性漂移**（**inertia drift**）。電子質量小，對它而言，這一漂移往往可以忽略。

## 單粒子在緩變電磁場中的運動

單粒子的導心在緩變電磁場中的非相對論運動方程由 Theodore G. Northrop 給出。

將粒子位矢分解為 ${\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {R}}+{\boldsymbol {\varrho }}$ ，記 ${\boldsymbol {R}}$ 為導心，迴旋運動的矢徑定義為 ${\boldsymbol {\varrho }}:={\frac {m}{q}}{\frac {\boldsymbol {B}}{B^{2}}}\times \left({\boldsymbol {v}}-{\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}\right)$ ，其中 ${\boldsymbol {E}}$ 、 ${\boldsymbol {B}}$ 取在粒子位矢 ${\boldsymbol {r}}$ 位置處的值。如此，導心便有了精確的定義 ${\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\varrho }}$ 。符號上面加一點表示對時間的導數 $\mathrm {d} /\mathrm {d} t$ ，小參數取為 $\epsilon :=m/q$ ， $\rho \sim \epsilon $ ， $\omega \sim \epsilon ^{-1}$ ，從而可效仿牛頓第二定律得到導心的運動方程，

$$
{\ddot {\boldsymbol {R}}}={\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {R}})+{\frac {q}{m}}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {R}})+{\dot {\boldsymbol {R}}}\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {R}})]-{\frac {\mu }{m}}\nabla B({\boldsymbol {R}})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),
$$

其中 $\mu :={\frac {m(\rho \omega )^{2}}{2B}}$ 是磁矩，是一絕熱不變量，初始速度 ${\dot {\boldsymbol {R}}}(0)$ 取 $\left[{\hat {\boldsymbol {b}}}{\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\left({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}/B^{2}\right)\right]_{t=0}+{\mathcal {O}}(\epsilon )$ 。這一運動方程等價於下面兩式：

垂直磁場方向的各漂移運動速度方向完全由電磁場和場的時空變化所決定，導心本身的平行、垂直速度僅起到係數作用。導心垂直磁場方向的速度 ${\dot {\boldsymbol {R}}}_{\perp }:={\dot {\boldsymbol {R}}}-{\hat {\boldsymbol {b}}}{\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {R}}}$ 滿足以下方程

$$
{\dot {\boldsymbol {R}}}_{\perp }={\frac {\hat {\boldsymbol {b}}}{B}}\times {\Bigl \{}-{\boldsymbol {E}}+{\frac {\mu }{q}}\nabla B+{\frac {m}{q}}{\Bigl [}-{\boldsymbol {g}}+v_{\parallel }{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+v_{\parallel }^{2}{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial s}}+v_{\parallel }{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}_{E}+v_{\parallel }{\frac {\partial }{\partial s}}{\boldsymbol {u}}_{E}+{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}_{E}{\Bigr ]}{\Bigr \}}+{\mathcal {O}}\left(\epsilon ^{2}\right),
$$

其中 $v_{\parallel }:={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {b}}}({\boldsymbol {R}})$ 是導心平行方向的速度純量、 ${\boldsymbol {u}}_{E}:={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}$ 是 ${\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$ 漂移速度，而 ${\frac {\partial }{\partial s}}:={\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot \nabla $ 表示沿磁場方向的方向導數。其中的 ${\frac {\mu }{q}}={\frac {m(\rho \omega )^{2}}{2qB}}\sim \epsilon $ 和 ${\frac {m}{q}}=:\epsilon $ 均為一階量。

$$
v_{\parallel }$ 的變化滿足方程 ${\frac {m}{q}}{\frac {\mathrm {d} v_{\parallel }}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{q}}g_{\parallel }+E_{\parallel }-{\frac {\mu }{q}}{\frac {\partial B}{\partial s}}+{\frac {m}{q}}{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \left({\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+v_{\parallel }{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial s}}+{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\epsilon ^{2}\right).
$$

## 逆磁漂移

逆磁漂移實際上不是導心的漂移。壓強梯度不會導致單個粒子的漂移，而是貢獻於宏觀的流體速度。流體速度可視為通過某一參考面的粒子數，壓強梯度會導致往某一方向漂移的粒子更多。這一漂移對流體淨速度的貢獻為

　
: ${\boldsymbol {v}}_{D}=-{\frac {\nabla p\times {\boldsymbol {B}}}{qnB^{2}}}$

## 漂移電流

除 ${\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$ 漂移之外，不同帶電粒子的漂移速度各有不同。它們之間的速度差會導致對電流密度的淨的貢獻，而漂移速度對密度的依賴亦可引起化學分離。

## 參考資料