宾汉塑性流体

**賓漢流體**（也稱賓漢塑性流體或賓漢塑料），是非牛頓流體的一種，通常是一種粘塑性材料，在低應力下，它表現為剛性體，但在高應力下，它會像粘性流體一樣流動，且其流動性為線性的。牙膏是賓漢流體的典型例子，需要有一定的壓力作用在牙膏上，才擠得出牙膏。

當作用在液體上的剪應力達到最小剪應力時，這些流體便處於流動狀態。如在用油漆刷牆時，刷牆的磙子給與油漆以足夠的外力，使油漆處於流動狀態並作為粘性體附著在牆壁上而不會滯留在磙子上；當油漆離開磙子並不繼續受到外力影響時，便處於普通的彈性體狀態附著在牆壁上不再流動。

它的數學形式最早由尤金・賓漢提出，所以被命名為賓漢流體
，在鑽井工程中和淤漿的處理方面，它被用作一個普遍的泥漿流動的數學模型。

賓漢流體的數學形式描述為:

　
: $\tau =\eta {\frac {dv}{dy}}+\tau _{0}$

其中 $\tau $ 為剪應力， ${\frac {dv}{dy}}$ 為剪應速度， $\eta $ 為運動粘性係數。

上式表明，此流體只有在達到一個最小剪應力 $\tau _{0}$ 的臨界值才開始流動。 低於此臨界值 $\tau _{0}$ 賓漢流體表現為普通的彈性體。

## 定義

當剪切應力 τ，低於某一臨界值時，賓漢流體是一種具有彈性的固體，一旦超過臨界剪應力（或「屈服應力」），該材料在流動時，剪切速率∂u /∂y（定義在粘度上的文章）與剪切應力超過屈服應力的部分成正比：

$$
{\frac {\partial u}{\partial y}}=\left\{{\begin{matrix}0&,\tau <\tau _{0}\\(\tau -\tau _{0})/{\mu _{\infty }}&,\tau \geq \tau _{0}\end{matrix}}\right.
$$

## 解釋

如圖一所示，紅色一個普通的牛頓流體的行為，例如，在管道中。如果在一端的管中的壓力增加，這將產生一個剪應力使液體流動，並且體積流速也會對應的增加。然而，對於賓漢塑性流體而言（藍色），只有剪應力達到一定值（屈服應力）後，它才會像牛頓流體一樣出現粘性流動。這是大致的方式，賓漢提出他的觀察，並且在塗料的實驗研究
中對這一性質進行了研究。

圖二是我們最常見的圖
，此圖橫坐標是剪切速率，縱坐標是剪應力。 其中體積流量的大小取決於管道，剪切速率是表示速度是如何隨距離而變化的，它是與流量成比例的，但不依賴於管的尺寸。和前面一樣，牛頓流體的流動，剪切速率提供了一定的剪切應力。然而，賓漢流體並沒有表現出任何剪切速率（沒有流動，從而沒有速度），直至達到一定目標應力，才會開始產生剪切速率。對於牛頓流體，這條線的斜率，這是唯一的參數來描述其流動所需的粘度。相比之下，賓漢流體而言，則需要兩個參數，屈服應力和直線的斜率（表觀粘度）。

## 摩擦係數公式

在流體流動中，如何在一個既定的管道網絡中計算其壓力降是一個普遍的問題
。也就是說一旦知道了摩擦係數 f，處理不同的管道流動問題就變得更容易。計算壓力降是為了評價抽水成本或者是在一個給定壓力降的管道網絡中去算其流速。在非牛頓流體流動中，它是很難用來精確計算摩擦係數的，因此它只有用來近似計算摩擦係數。對於一個給定的流動中，一旦摩擦係數被計算出來，就可以通過達西 - 魏斯巴赫公式很快的確定它的壓力降：

$$
\ f=\ {2h_{f}gD \over LV^{2}}
$$

其中：

* hf 為沿程水頭損失（SI 單位：米）
* f 達西摩擦係數（SI 單位：無量綱）
* L 管道長度（SI 單位：米）
* g 為重力加速度（SI 單位：米 / 秒 ²）
* D 為管道內徑（SI 單位：米）
* V 為平均流體速度（SI 單位：米 / 秒）

### 層流

在一個完全充滿的層流管中，白金漢第一個公開發表了它的摩擦損失
。白金漢 - 萊納方程，可以寫成一個無量綱的形式如下： $\ f_{L}=\ {64 \over Re}\left[1+{He \over 6Re}-{64 \over 3}\left({He^{4} \over {f}^{3}Re^{7}}\right)\right]$

* f 是層流摩擦係數（SI 單位：無量綱）
* Re 是雷諾數（SI 單位：無量綱）
* He 是 Hedstrom 數（SI 單位：無量綱）

而：

　
: $\mathrm {Re} ={\rho {\ V}D \over {\mu }}$

　
: $\mathrm {He} ={\rho {\ D^{2}}{\ \tau _{o}} \over {{\mu }^{2}}}$

這裡：

 * ${\mathbf {\rho } }$ 是液體的質量密度 (SI 單位: kg/m3)
* ${\mathbf {\ } \mu }$ 流體的粘度是動態的 (SI 單位: kg/m s)

### 湍流

達比和梅爾森提出了個經驗方程式，這個方程在後來被他們改進了：

　
: $\ f_{T}=\ {10^{a}}\ {Re^{-0.193}}$

 * ${\mathbf {\ } f_{T}}$ 是湍流摩擦係數 (SI 單位，無量綱)
* $\ a=-1.47\left[1+0.146{\ e^{-2.9\times {10^{-5}}He}}\right]$

## 白金漢 - 萊納方程的近似方程

雖然白金漢 - 萊納方程的可以得到一個精確的值，但它是一個四階多項式方程，計算比較複雜，因此，研究人員一直試圖得到一個白金漢 - 萊納方程的近似方程。

### Swamee-Aggarwal 方程

這個方程是用來直接解決處於層流的賓漢塑料的達西 - 魏斯巴赫摩擦係數 f
，這是一個白金漢 - 萊納方程近似的方程，但是它的值與實驗數據時有差異的。方程如下：

　
: $\ f_{L}=\ {64 \over Re}+{10.67+0.1414{({He \over Re})^{1.143}} \over {\left[1+0.0149{({He \over Re})^{1.16}}\right]Re}}\left({He \over Re}\right)$

### 丹麥庫馬爾解決方案

丹麥等已經提供了一種明確的步驟來計算摩擦係數，它是通過 Adomian 分解法來實現的。這個摩擦係數包括兩個方面：

　
: $f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}$

這裡：

　
: $\ K_{1}=\ {16 \over Re}+{16He \over 6{Re^{2}}}$

　
: $\ K_{2}=\ -{16{He^{4}} \over 3{Re^{8}}}$

## 流體的聯合方程

### 達比 - 梅爾森方程

1981 年，達爾和梅爾森用邱吉爾方法
得到了一個適合所有流態的摩擦係數方程：

　
: $\ f=\ {\left[{f_{L}}^{m}+{f_{T}}^{m}\right]}^{1 \over m}$

這裡:

　
: $\ m=\ 1.7+{40000 \over Re}$

我們結合 Swamee-Aggarwal 方程和達爾 - 梅爾森方程可以得到一個可以解決任何流體時的賓漢流體材料的摩擦係數的方程。在任何方程中，相對粗糙度不是一個參數，因為在粗糙管中流動的賓漢流體的摩擦係數是不靈敏的。

## 參考文獻

* 流變學
* 伯努利定律
* 《高分子材料成型加工原理》 王貴恆