导出范畴

**導出範疇**是同調代數中的一種構造。導出範疇的概念推廣並深化了傳統同調代數中導出函子的理論。這一構造是格羅滕迪克在 20 世紀 60 年代初提出的，他的學生讓 - 路易・韋迪耶在其指導下發展了相關理論。今天，導出範疇被廣泛應用於代數幾何和 _D_- 模理論。

## 動機

構造導出範疇的直接動機，是給出導出函子的一種新的定義。

導出函子的概念的出現要早於導出範疇。考慮阿貝爾範疇 $A$ 和 $B$ 之間的一個左正合函子 $f:A\rightarrow B$ ，那麼歷史上，函子 f 的導出函子首先是通過 $A$ 的對象的內射分解來定義的。具體地說，假設範疇 $A$ 有足夠多的內射對象，那麼 $A$ 中的每個對象 $X$ 都有內射消解如下：

$$
0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots
$$

其中諸 $I^{k},k=0,1,\cdots $ 均為內射對象，使得上面的鏈復形是正合的。 將 f 作用在除去 X 的鏈復形 $\Gamma :0\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots $ 上，得到的新鏈復形 $f\Gamma :0\rightarrow f(I^{0})\rightarrow f(I^{1})\rightarrow \cdots $ 一般未必是正合的。事實上，新鏈復形的同調群衡量了其「不正合」的程度。所以，函子 f 的第 k 個右導出函子 $R^{i}f$ 就定義為把 $X$ 映為這個新鏈復形的第 k 個同調群： $h^{k}(\Gamma )$ 的函子.

類似地，對右正合函子 g 可以利用投射分解（如果有足夠多的投射對象）定義左導出函子 $L^{k}g$ 。

上面的這種構造表明，在阿貝爾範疇 A 本身上定義導出函子並不是自然的，因為定義中總是要構造鏈復形的。正確的提法應該是，導出函子是對阿貝爾範疇 A 上的鏈復形定義的。導出範疇的提出即是要在理論上簡化導出函子的定義。

進一步，如果能構造一個對象為所有鏈復形的範疇，就可以使討論不局限於內射 / 投射分解這種特殊的鏈復形，而能對一般的鏈復形談論其導出函子。

## 定義

給一個阿貝爾範疇 $A$ ，可以談論 $A$ 的導出範疇 $D(A)$ 。 粗略地說， $D(A)$ 差不多是 $A$ 上所有鏈復形組成的範疇，但對象間的態射更為複雜。

嚴格的定義如下。考慮 A 的鏈復形範疇 $\mathrm {Kom} (A)$ ， $\mathrm {Kom} (A)$ 的對象是 A 上全體鏈復形，態射是鏈映射。 $\mathrm {Kom} (A)$ 中的態射 s 如果誘導了所有同調群上的同構，則稱 s 為擬同構 (Quasi-Isomorphism). 那麼，導出範疇 $D(A)$ 是 $\mathrm {Kom} (A)$ 對於所有擬同構的「局部化」。具體地說， $D(A)$ 的對象就是 $\mathrm {Kom} (A)$ 的對象，即 $A$ 上的全體鏈復形。對兩個鏈復形 $X,Y$ ， $X$ 到 $Y$ 的態射定義為形如 $X{\xleftarrow {s}}Z{\xrightarrow {t}}Y$ 的映射對，其中 s 要求是擬同構。

進一步，給這樣定義的兩個態射 $X{\xleftarrow {s}}Z{\xrightarrow {t}}Y$ 和 $X{\xleftarrow {s'}}Z{\xrightarrow {t'}}Y$ ，我們在導出範疇 $D(A)$ 視它們等同，如果存在對象 Z，使得下面的 $\mathrm {Kom} (A)$ 中的交換圖表成立：

如上構造的導出範疇 $D(A)$ 自然包含了 $A$ 作為一個子範疇。而且， $\mathrm {Kom} (A)$ 到 $D(A)$ 的自然的函子 q 把所有擬同構都映為 $D(A)$ 中的同構。 這實際上是 $D(A)$ 滿足的萬有性質：對 $\mathrm {Kom} (A)$ 到另一個阿貝爾範疇 $E$ 的函子 h，如果 h 將擬同構都映為同構，則一定有函子 $k:D(A)\rightarrow E$ , 使得 $h=k\circ q$ 。

## 性質

阿貝爾範疇 $A$ 的導出範疇 $D(A)$ 一般並不是阿貝爾範疇。

導出範疇還可以通過同倫範疇來定義。給定阿貝爾範疇 A， A 的同倫範疇 $\mathrm {K} (A)$ 是鏈復形範疇 $\mathrm {Kom} (A)$ 的態射模去鏈同倫這一等價關係得到的範疇。可以證明， $D(A)$ 也是 $\mathrm {K} (A)$ 關於所有擬同構的局部化。

如果我們對 $\mathrm {Kom} (A)$ 中的鏈復形添加限制條件，則可以談論幾個衍生的導出範疇。例如，我們用 $\mathrm {Kom} ^{+}(A)$ 表示 A 上所有這樣的鏈復形 X 構成的範疇：存在 $i_{0}$ , 使得 $X^{i}=0$ , 對所有 $i\leq i_{0}$ 。也就是說， $\mathrm {Kom} ^{+}(A)$ 中的鏈復形都只有有限的負指標項不為零。對應於 $\mathrm {Kom} ^{+}(A)$ ，我們可以完全相同地構造其局部化，記為 $D^{+}(A)$ . $D^{+}(A)$ 是有限的負指標項不為零的導出範疇。類似可以定義 $\mathrm {Kom} ^{-}(A)$ ，對應有限的正指標項不為零的導出範疇 $D^{-}(A)$ ；以及 $\mathrm {Kom} ^{b}(A)$ ，對應有限項不為零的導出範疇 $D^{b}(A)$ .

## 導出範疇是三角範疇

導出範疇都自然地是三角範疇。事實上 $\mathrm {Kom} (A)$ 是三角範疇， $D(A)$ 是 $\mathrm {Kom} (A)$ 的局部化，所以也是三角範疇。事實上，我們可以在 $\mathrm {Kom} (A)$ 中構造滿足三角範疇公理 I~IV 的正合三角形。

有上同調函子 $H^{n}:D(A)\to A$ 。 $D(A)$ 中的正合三角給出上同調的長正合列。

## 導出函子的重新定義

設 $F:A\to B$ 是阿貝爾範疇之間的左正合加性函子。如果 _A_ 有足夠多的內射對象，則可以定義 _F_ 的右導出函子 $RF:D^{+}(A)\to D^{+}(B)$ 。這是導出範疇之間的函子。經典同調代數中的導出函子 $R^{n}F$ 可以表示為 $H^{n}RF$ 。

類似地，阿貝爾範疇之間的右正合加性函子有左導出函子。

導出範疇比經典理論的重要優勢在於可以簡單地表達複合函子的導出函子： $R(G\circ F)=RG\circ RF$ 。在經典理論中要用相對複雜的譜序列來表達這一關係。雖然導出範疇給導出函子提供了優美的理論框架，但在實際計算中往往還是要用到譜序列。

## 原始文獻

* Jean-Louis Verdier, Catégories dérivées : Quelques résultats (État 0)，這是韋迪耶 1963 年寫的簡短文章，由法國高等科學研究所印行，1977 年稍作改動後附在 SGA 4½ 後出版。
* Jean-Louis Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes，這是韋迪耶 1967 年 6 月的博士論文，死後發表於 _Astérisque_ 239 (1996)。