密勒效应

**米勒效應**（Miller effect）是在電子學中，反相放大電路中，輸入與輸出之間的分布電容或寄生電容由於放大器的放大作用，其等效到輸入端的電容值會擴大 1+K 倍，其中 K 是該級放大電路電壓放大倍數。雖然一般密勒效應指的是電容的放大，但是任何輸入與其它高放大節之間的阻抗也能夠通過密勒效應改變放大器的輸入阻抗。

輸入電容的增長值為

　
: $C_{M}=C(1+A_{v})\,$

 $-A_{v}$ 是放大器的增益， $C$ 是反饋電容。

米勒效應是**米勒定理**的一個特殊情況。

## 歷史

米勒效應是以約翰・米爾頓・密勒命名的。1919 年或 1920 年密勒在研究真空管三極體時發現了這個效應，但是這個效應也適用於現代的半導體電晶體。

## 推導

假設一個放大率為 $-A_{v}$ 的理想電壓放大器，其輸入和輸出點之間的阻抗為 $Z$ 。其輸出電壓因此為 $V_{o}=-A_{v}V_{i}$ ，輸入電流則為

　
: $I_{i}={\frac {V_{i}-V_{o}}{Z}}={\frac {V_{i}(1+A_{v})}{Z}}.$

這個電流流過阻抗 $Z$ ，上面的方程顯示由於放大器的放大率實際上一個更大的電流流過 $Z$ ，實際上 $Z$ 就好像它小得多一樣。電路的輸入阻抗為

　
: $Z_{in}={\frac {V_{i}}{I_{i}}}={\frac {V_{i}Z}{V_{i}(1+A_{v})}}={\frac {Z}{1+A_{v}}}.$

假如 $Z$ 是電容的話，則

　
: $Z={\frac {1}{j\omega C}}$

由此導出的輸入阻抗為

　
: $Z_{in}={\frac {1}{j\omega C(1+A_{v})}}={\frac {1}{j\omega C_{M}}}\quad \mathrm {where} \quad C_{M}=C(1+A_{v}).$

因此密勒效應顯示的電容 $C_{M}$ 為實際上的電容 $C$ 乘以 $(1+A_{v})$ 。

## 注釋

大多數放大器是反向放大器，即 $A_{v}<0$ 。因此輸入的有效電容比較大。對於非反向放大器密勒效應其效應為放大器的輸入電容是負的（負阻抗變換器）。

當然這個提高的電容會破壞高頻反應。比如達靈頓電晶體的小連接和電容會由於密勒效應和達零頓電晶體的高放大率大大降低高頻反應。

密勒效應適用於所有阻抗，不僅電容。純電阻或者純電感被除以 $1-A_{v}$ 。假如放大器不是反向的話密勒效應能夠產生負電阻和電感。

值得注意的是密勒電容是向輸入看進去的電容。在尋找所有 RC 時間常數時非常重要的是也注意輸出的阻抗。輸出的阻抗往往被忽視，原因是 ${\frac {CA_{v}}{A_{v}-1}}$ ，而放大器的輸出一般為低阻抗。但假如放大器是高阻抗輸出的話，比如一個放大階也是輸出階，則 RC 對放大器的效應有非常大的影響。這個技術被稱為極點分離。

使用共源共柵或者使用級聯放大器來取代共無線電極可以減輕密勒效應。在反饋放大器中密勒效應甚至有優點，因為否則的話需要用來穩定住放大器的電容器太大了，無法包含在電路中，一般在集成電路中電容需要的面積最大，因此大的電容往往很麻煩。

## 對頻率響應的影響

圖 2 (A) 顯示了一個放大器電路，圖 1 中聯繫輸出和輸入的阻抗在這裡是電容 $C_{C}$ 。一個戴維寧電源 $V_{A}$ 通過一個戴維寧電阻 $R_{A}$ 驅動這個電路。在輸出端一個 $RC$ 電路作為負載（這個負載在這裡的討論中不重要，它僅僅被用來完整整個電路）。圖中的電容向輸出電路提供 $\ j\omega C_{C}(v_{i}-v_{O})$ 的電流。

圖 2 (B) 中的電路與圖 2 (A) 的一樣，但是使用了密勒效應。反饋電容在輸入端被密勒電容 $C_{M}$ 取代，它與圖 2 (A) 中的反饋電容 $C_{C}$ 吸取同樣多的電流。因此在兩個電路中輸入電路看到的負載是一樣的。在輸出端上一個相關電流電源向輸出負載提供與圖 2 (A) 一樣大的電流。也就是說流經 $RC$ 負載的電流在兩圖中一樣大。

由於流過圖 2 (B) 中的密勒電容的電流與流過圖 2 (A) 中的反饋電容一樣大，米勒效應被用來把 $C_{M}$ 與 $C_{C}$ 聯繫到一起。在這個例子中這個轉換相當於把電流設為相等，即

　
: : $\ j\omega C_{C}(v_{i}-v_{O})=j\omega C_{M}v_{i},$

或

　
: : $C_{M}=C_{C}\left(1-{\frac {v_{o}}{v_{i}}}\right)=C_{C}(1-A_{v}).$

這個結果即引導章中的 $C_{M}$ 。

圖中的運算放大器 $A_{v}$ 的放大率與頻率無關，但是它顯示了密勒效應，也就是說 $C_{C}$ 對這個電路的頻率反響的影響。這個影響對於密勒效應來說是典型的。假如 $C_{C}=0$ F，則電路的輸出電壓為 $A_{v}v_{A}$ ，它與頻率無關。但是加入 $C_{C}$ 不等於 0 的話，圖 2 (B) 顯示在電路的輸入端上出現了一個大電容，電路的輸出電壓為

　
: : ${\frac {v_{o}}{v_{A}}}=A_{v}{\frac {v_{i}}{v_{A}}}=A_{v}{\frac {1}{1+j\omega C_{M}R_{A}}},$

在頻率足夠高， $\omega C_{M}R_{A}>1$ 的情況下輸出電壓下降。因此整個電路是一個低通濾波器。在模擬放大器中密勒效應對電路的頻率反響有非常大的影響。在這個例子中頻率 $\omega _{3dB}$ 在 $\omega _{3dB}C_{M}R_{A}=1$ 時標誌著低頻反響的終點，局限著放大器的帶寬或者截止頻率。

需要注意的是 $C_{M}$ 對放大器帶寬的限制在阻抗驅動器低（假如 $R_{A}$ 小的話 $C_{M}R_{A}$ 也小）的情況下比較小。因此減小密勒效應對帶寬的影響的一個方法是使用低阻抗驅動器。比如在驅動器和放大器之間放一個電壓跟隨器，這個方法降低放大器看到的驅動器阻抗。

這個簡單電路的輸出電壓總是 $A_{v}v_{i}$ 。但是真正的放大器有輸出電阻。假如在分析時考慮到放大器輸出電阻的話放大器的輸出電壓隨頻率的變化就非常複雜了，輸出端的受頻率影響的電流電源的影響需要被考慮。由於密勒電容的影響這些效應只有在頻率遠高於截止頻率的情況下才出現，因此這裡做的推導適用於測定密勒效應決定的放大器帶寬。

### 密勒近似

在上面的例子中假設 $A_{v}$ 不受頻率影響，但是實際的運算放大器往往本身就受頻率影響。受頻率影響的 $A_{v}$ 使得密勒電容也受頻率影響，因此 $C_{M}$ 不再像一個普通的電容那樣反應。不過一般 $A_{v}$ 只有在頻率遠遠高於截止頻率的情況下才反映出它受頻率的影響，因此在截止頻率以下 $A_{v}$ 可以被看作是不受頻率影響的。在低頻下使用 $A_{v}$ 來計算 $C_{M}$ 被稱為密勒近似。在這種情況下 $C_{M}$ 可以看作是不受頻率影響的。

## 參考資料

## 參考文獻

* John M. Miller, Dependence of the input impedance of a three-electrode vacuum tube upon the load in the plate circuit（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Scientific Papers of the Bureau of Standards, 15 (351):367-385, 1920.