实射影空间

數學中，**實射影空間**（real projective space），記作 **RP**n，是 **R**n+1 中的直線組成的射影空間。它是一個 _n_ 維緊光滑流形，也是格拉斯曼流形的一個特例。

## 構造

與所有射影空間一樣，**RP**n 是通過取 **R**n+1 − {0} 在等價關係 _x_ ∼ λ_x_ 對所有實數 λ ≠ 0 下的商空間。對所有 _x_ 屬於 **R**n+1 − {0}，總可找到一個 λ 使得 t λ_x_ 的範數為 1。恰好有相差一個符號的兩個這樣的 λ。

故 **RP**n 也可通過將 **R**n+1 中單位 _n_- 維球面 _S_n 的對徑點等同起來得到。

進一步我們限制在 _S_n 的上半球面，僅將邊界赤道上的對徑點等同。這說明 **RP**n 閉 _n_- 維圓盤 _D_n 將邊界 ∂_D_n = _S_n−1 上的對徑點等同。

## 低維例子

 $\mathbf {RP} ^{1}$ 也成為實射影直線，拓撲等價於圓周。

 $\mathbf {RP} ^{2}$ 稱為實射影平面。

 $\mathbf {RP} ^{3}$ （微分同胚）是 _SO(3)_，從而有一個群結構；覆疊映射 $S^{3}\to \mathbf {RP} ^{3}$ 是一個群映射 $\operatorname {Spin} (3)\to SO(3)$ ，這裡 _Spin_(3) 是 _SO_(3) 的萬有覆疊李群。

## 拓撲

_n_- 維球面的對徑映射（將 _x_ 送到 -_x_）生成 _S_n 上一個 **Z**2 群作用。上已提到，這個作用的軌道空間是 **RP**n。這個作用恰是一個覆疊空間作用，使 _S_n 成為 **RP**n 的二重覆疊。因為對 _n_ ≥ 2，_S_n 是單連通的，它們在此情形也是萬有覆疊。從而當 _n_ > 1 時，**RP**n 的基本群是 **Z**2（當 _n_=1 基本群是 **Z** 因為同胚於 _S_1）。基本的一個生成元是連接 _S_n 中一組對徑點的曲線投影到 **RP**n 上的閉曲線。

### 點集拓撲

_n_- 維射影空間的一些性質：

* 1 - 維射影空間同胚與圓周。
* 2 - 維射影空間不能嵌入 **R**3。但可以嵌入 **R**4 以及浸入 **R**3。
* _n_- 維射影空間事實上同胚於 **R**(n+1)2 中所有跡為 1 的對稱 _(n+1)×(n+1)_ 冪等線性轉換組成的子流形。
* _n_- 維射影空間是緊連通空間，基本群同構於 2 階循環群（從 _n_- 維球面到 _n_- 維射影空間的商映射是 _n_- 維射影射影空間被一個路徑連通空間的二重覆疊）。

### 同倫群

 $\mathbf {RP} ^{n}$ 的高次同倫群恰好是 $S^{n}$ 的高階同倫群，有纖維化的同倫長正合序列得出。

確切地，這個纖維叢是

　
: $\mathbf {Z} /2\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.$

你也可以類似於複射影空間將其寫成

　
: $S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}$

或

　
: $O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.$

低次同調群是

　
: $\pi _{i}\mathbf {RP} ^{n}={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} /2&i=1\\0&1<i<n\\\mathbf {Z} &i=n.\end{cases}}$

### 光滑結構

實射影空間是光滑流形。在 _Sn_ 的齊次坐標 (_x_1..._x_n+1) 中，考慮子集 _Ui_ 使得 _xi_ ≠ 0。每個 _Ui_ 同胚於 **R**n 中的開單位球體，且坐標轉移函數是光滑的。這給出了 **RP**n 一個光滑結構。

### CW 結構

實射影空間 **RP**n 有一個 CW 結構，在每一維有 1 個胞腔。

在 _Sn_ 上的齊次坐標 (_x_1 ... _x_n+1) 中，坐標鄰域 _U1_ = {(_x_1 ... _x_n+1)|_x_1 ≠ 0} 可與 _n_- 維圓盤 _Dn_ 的內部等價。當 _xi_ = 0，我們有 **RP**n - 1。從而 **RP**n 的 _n_ - 1 骨架是 **RP**n - 1，而且黏貼映射 _f_: _S_n-1 → **RP**n - 1 是一個二對一映射。我們可令

　
: $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.$

歸納證明 **RP**n 是一個 CW 複形，在每一維有 1 個胞腔。

這些胞腔與旗流形上一樣是舒伯特胞腔。這便是，取一個完全旗（稱為標準旗）0 = _V_0 < _V_1 <...< _Vn_；則閉 _k_- 胞腔是屬於 _Vk_ 中的直線。而開 _k_- 胞腔（_k_- 胞腔的內部）是 _Vk_\_Vk-1_ 中的直線（屬於 _Vk_ 但不屬於 _V_k - 1 的直線）。

在齊次坐標（關於旗的）中，這些胞腔是

　
: $[*:0:0:\dots :0]$

　
: $[*:*:0:\dots :0]$

　
: $\vdots $

　
: $[*:*:*:\dots :*].$

這不是一個正則 CW 結構，因黏貼映射是二對一的。但它的覆蓋是球面上一個正則 CW 結構，在每一維有 2 個胞腔；事實上，這是球面上最小的正則 CW 結構。

在光滑結構的幫助下，莫爾斯函數的存在性可證明 **RP**n 是一個 CW 複形。在齊次坐標中，這樣一個函數可為：

　
: $g(x_{1},\cdots ,x_{n+1})=\sum _{1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.$

在每個鄰域 _Ui_，_g_ 有非退化奇異點 (0...,1,...0)，這裡 1 出現於第 _i_ 個位置，具有莫爾斯指標 _i_。這說明了 **RP**n 是一個在每一維有一個胞腔的 CW 複形。

### 同調

與上面 CW 結構相伴的胞腔鏈複形在每個維數 0,...,_n_ 恰有一個胞腔。對每個維數 _k_，邊界映射 _dk_ : _δDk_ → **RP**k-1/**RP**k-2，坍塌到 _S_k - 1 上的赤道然後將對徑點等同。在奇數（偶數）維，度數為 0（2）：

　
: $\mathrm {deg} (d_{k})=1+(-1)^{k}.\,$

從而整同調是

　
: $H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\\mathbf {Z/2Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}$

### 可定向性

 $\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向若且唯若 _n_ 為奇數，上面的同調計算已經做了說明。更具體地， $\mathbf {R} ^{p}$ 上的對徑映射有符號 $(-1)^{p}$ ，所以它是保定向的若且唯若 _p_ 是偶數。從而定向特徵標是： $\pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})$ 中的非平凡迴路作為 $(-1)^{n+1}$ 作用在定向上，所以 $\mathbf {RP} ^{n}$ 可定向若且唯若 _n+1_ 為偶數，即 _n_ 為奇數。

### 重言叢

在實射影空間上有一個自然的線叢，稱為重言叢。更確切地，這稱為重言子叢，也存在一個對偶 _n_- 維叢稱為重言商叢。

## 幾何

實射影空間有一個常正純量曲率度量，由二重覆疊的標準圓球面（對極映射是一個等距）得來。

對標準圓度量，其截面曲率恆等於 1。

### 測度

在標準圓度量中，射影空間的測度恰好是球面測度的一半。

## 無窮實射影空間

無窮實射影空間構造為有限射影空間的正向極限或聯集：

　
: $\mathbb {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {RP} ^{n}.$

拓撲上說，這是艾倫伯格 - 麥克蘭恩空間 $K(\mathbb {Z} /2,1)$ （它被可縮的無窮球面 $S^{\infty }$ 二重覆疊）並且是 BO (1)，線叢的分類空間（更一般地，無窮格拉斯曼流形是向量叢的分類空間）。

係數取 **Z**/2 的餘調環是

　
: $H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2[w_{1}],$

這裡 $w_{1}$ 是第一斯蒂弗爾 - 惠特尼類：
它是 $w_{1}$ （其度數為 1）上的自由 $\mathbb {Z} /2$ - 代數。

## 相關條目

* 複射影空間
* 四元數射影空間
* 透鏡空間