完备有序域

在數學中，**實數**（real number）是有理數和無理數的總稱，前者如 $0$ 、 $-4$ 、 ${\frac {81}{7}}$ ；後者如 ${\sqrt {2}}$ 、 $\pi $ 等。實數可以直觀地看作小數（有限或無限的），它們能把數軸「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。實數和虛數共同構成複數。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為 $1$ 公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於 $0.001$ 公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如 $1.414$ 公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：

* 任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（ $1,2,3,\ldots $ ），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見第一次數學危機。

從古希臘一直到 17 世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作「實數」，意即「實在的數」。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托爾等人對實數進行了嚴格處理。

所有實數的集合則可稱為**實數系**（real number system）或**實數連續統**。任何一個完備的阿基米德有序體均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用 $\mathbb {R} $ 表示。由於 $\mathbb {R} $ 是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

## 初等數學

在目前的初等數學中，沒有對實數進行嚴格的定義，而一般把實數看作小數（有限或無限的）。實數的完備性可以利用幾何加以說明，即數軸上的點與實數一一對應；見數軸。

實數可以分為有理數（如 $42$ 、 $-{\frac {23}{129}}$ ）和無理數（如 $\pi $ 、 ${\sqrt {2}}$ ），或者代數數和超越數（有理數都是代數數）兩類。實數集合通常用字母 $R$ 或 $\mathbb {R} $ 表示。而 $\mathbb {R} ^{n}$ 表示 $n$ 維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究物件。

實數可以用來測量連續變化的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 $n$ 位， $n$ 為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

## 正數與負數

實數是一個集合，通常可以分為正數、負數和零（ $0$ ）三類。「正數」（符號： $\mathbb {R} ^{+}$ ）即大於 $0$ 的實數，而「負數」（符號： $\mathbb {R} ^{-}$ ）即小於 $0$ 的實數。與實數一樣，兩者都是不可數的無限集合。正數的相反數一定是負數，負數的相反數也一定是正數。除正數和負數外，通常將 $0$ 與正數統稱為「非負數」（符號： $\mathbb {R} _{0}^{+}$ ），而將 $0$ 與負數統稱為「非正數」（符號： $\mathbb {R} _{0}^{-}$ ）。這和整數可以分為正整數、負整數和零（ $0$ ），而 $0$ 與正整數通常統稱為非負整數、 $0$ 與負整數則通常統稱為非正整數非常相似。另外，只有實數可以分為正和負等，虛數是沒有正負之分的。

## 歷史

在公元前 500 年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。
直到 17 世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18 世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。直到 1871 年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

## 定義

### 從有理數構造實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進位或二進位展開如 ${3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159...}$ 所定義的序列的方式而構造為有理數的完備化。實數可以不同方式從有理數構造出來。這裡給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。

### 公理化方法

設 $\mathbb {R} $ 是所有實數的集合，則：

* 集合 $\mathbb {R} $ 是一個體：可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
* 體 $\mathbb {R} $ 是個有序體，即存在全序關係 $\geq $ ，對所有實數 $x,y$ 和 $z$ ：
  * 若 $x\geq y$ 則 $x+z\geq y+z$ ·
  * 若 $x\geq 0$ 且 $y\geq 0$ 則 $xy\geq 0$
* 集合 $\mathbb {R} $ 滿足戴德金完備性，即任意 $\mathbb {R} $ 的非空子集 $S(S\subseteq \mathbb {R} ,S\neq \varnothing )$ ，若 $S$ 在 $\mathbb {R} $ 內有上界，那麼 $S$ 在 $\mathbb {R} $ 內有上確界。

最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 $2$ 的有理數的集合存在有理數上界，如 $1.5$ ；但是不存在有理數上確界（因為 ${\sqrt {2}}$ 不是有理數）。

實數通過上述性質唯一確定。更準確的說，給定任意兩個戴德金完備的有序體 $\mathbb {R} _{1}$ 和 $\mathbb {R} _{2}$ ，存在從 $\mathbb {R} _{1}$ 到 $\mathbb {R} _{2}$ 的唯一的體同構，即代數學上兩者可看作是相同。

## 例子

 * $15$ (整數)
* $2.121$ (有限小數)
* $-1.3333333\ldots $ (無限循環小數)
* $\pi =3.1415926\ldots $ (無理數)
* ${\sqrt {3}}$ (無理數)
* ${\frac {1}{3}}$ (分數)

## 性質

### 基本運算

在實數體內，可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數；只有非負實數才能開偶次方，其結果還是實數。

### 連續性或完備性

作為度量空間或一致空間，實數集合是一個完備空間，它有以下性質：

　
: 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完備空間。例如， $(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,\ldots )$ 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 ${\sqrt {2}}$ 。實數是有理數的完備化：這亦是構造實數集合的一種方法。

### 完備的有序體（有序性）

實數集合通常被描述為「完備的有序體」，這可以幾種解釋。

* 首先，有序體可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序體會是完備格。這是由於有序體沒有最大元素（對任意元素 $z$ ， $z+1$ 將更大）。所以，這裡的「完備」不是完備格的意思。
* 另外，有序體滿足戴德金完備性，這在上述「公理」中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序體出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。
* 這兩個完備性的概念都忽略了體的結構。然而，有序群（體是種特殊的群）可以定義均勻空間，而均勻空間又有完備空間的概念。上述「完備性」中所述的只是一個特例。（這裡採用均勻空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然， $\mathbb {R} $ 並不是_唯一的_一致完備的有序體，但它是唯一的一致完備的「阿基米德體」。實際上，「完備的阿基米德體」比「完備的有序體」更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德體必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德體出發，通過標準的方法建立一致完備性。
* 「完備的阿基米德體」最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了「最大的」阿基米德體，即所有其他的阿基米德體都是 $\mathbb {R} $ 的子體。這樣 $\mathbb {R} $ 是「完備的」是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德體。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序體的純類出發，從其子體中找出最大的阿基米德體。

### 高級性質

* 實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數（儘管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢為 2ω（請參見連續統的勢），即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。該假設不能被證明是否正確，這是因為它和集合論的 ZF (ZFC) 公理系統相互獨立。
* 所有非負實數的平方根屬於 $R$ ，但這對負數不成立。這表明 $R$ 上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬於 $R$ 。這兩個性質使 $R$ 成為實封閉體的最主要的實例。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
* 實數集擁有一個規範的測度，即勒貝格測度。
* 實數集的上確界公理用到了實數集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集：1. Löwenheim-Skolem 定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題；2. 超實數的集合遠遠大於 $R$ ，但也同樣滿足和 $R$ 一樣的一階邏輯命題。滿足和 $R$ 一樣的一階邏輯命題的有序體稱為 $R$ 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在 $R$ 中證明要簡單一些），從而確定這些命題在 $R$ 中也成立。

### 拓撲性質

實數集構成一個度量空間： $x$ 和 $y$ 間的距離定為絕對值 $|x-y|$ 。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是一維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊緻空間、可分空間、貝爾空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：

* 令 $a\;$ 為一實數。 $a\;$ 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 $a\;$ 的線段的子集。
* $\mathbb {R} $ 是可分空間。
* $\mathbb {Q} $ 在 $\mathbb {R} $ 中處處稠密。
* $\mathbb {R} $ 的開集是開區間的聯集。
* $\mathbb {R} $ 的緊子集等價於有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
* 每個 $\mathbb {R} $ 中的有界序列都有收斂子序列。
* $\mathbb {R} $ 是連通且單連通的。
* $\mathbb {R} $ 中的連通子集是線段、射線與 $\mathbb {R} $ 本身。由此性質可迅速導出中間值定理。
* 區間套定理：設 $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 為一個有界閉集的序列，且 $F_{n}\supset F_{n+1}$ ，則其交集非空。嚴格表法如下：

　
: : $\forall n\in \mathbb {N} \;\forall m>n\quad F_{m}\subset F_{n}\quad \Rightarrow \quad \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\;\neq \varnothing \;$ .

## 擴展與一般化

實數集可以在幾種不同的方面進行擴展和一般化：

* 最自然的擴展可能就是複數了。複數集是包含了所有多項式的根的代數閉體。但是，複數集不是一個有序體。
* 實數集擴展的有序體是超實數的集合，包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德體。
* 有時候，形式元素 +∞和 -∞加入實數集，構成擴展的實數軸。它是一個緊緻空間，而不是一個體，但它保留了許多實數的性質。
* 希爾伯特空間的自伴隨算子在許多方面一般化實數集：它們可以是有序的（儘管不一定全序）、完備的；它們所有的特徵值都是實數；它們構成一個實結合代數。

## 注釋

## 請參閱

* 有理數
* 無理數
* 虛數
* 複數
* 實數系的連續性