字元集_(數理邏輯)

**字元集**在不同領域中有不同意義：在邏輯學（特別是數理邏輯中）是列舉出形式語言裡的非邏輯符號；在泛代數中則是列舉出代數結構的具代表性的運算。另外，在模型論中字元集兩種用途兼備。

對邏輯學更哲學性的討論中，字元集的概念較少被提及。

## 定義

一個（單域）**字元集**可在形式上被定義為四元組 $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$ ，當中 $S_{\operatorname {func} }$ 與 $S_{\operatorname {rel} }$ 是不包含其他基本邏輯符號不相交集合，分別稱作

* _函數符號_（例如: $+,\times ,0,1$ ）
* _關係符號 s_ 或_謂詞_（例如: $\,\leq ,\,\in $ ）
* _常數符號_（例如: $0,1$ ）

以及一個函數 $\operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N} $ 將各個關係符號和邏輯符號_元數_分別映射到一個自然數。元數為 $n$ 的符號稱為 $n$ - 元的。有些作者會將_常數符號_定為 0 - 元的函數符號，否則就會將常數符號分開定義。

不含函數符號的字元集稱為**關係字元集**，而不含關係符號的字元集稱作**代數字元集**。
如果 $S_{\operatorname {func} }$ 與 $S_{\operatorname {rel} }$ 皆為有限集合，則稱為**有限字元集**。更廣泛的說，字元集 $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$ 的**勢**定義為 $|\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|$ 。

**字元集的語言**是字元集和邏輯系統中的所有符號形成的合式公式的集合

## 其他記號

由於其形式定義對日常使用來說過於繁瑣，特定字元集的定義經常被以一種非正式的方式縮寫，例如：

　
: 「阿貝爾群的標準字元集是 $\sigma =(+,-,0)$ ，當中 $-$ 是一個一元算符。」

有時一個代數字元集會被視為元數的列表，例如：

　
: 「阿貝爾群的相似類型（原文：similarity type）是 $\sigma =(2,1,0)$ 。」

這會在形式上將函數符號定義為類似於 $f_{0}$ （2 - 元）、 $f_{1}$ （1 - 元）和 $f_{2}$ （0 - 元）的樣子，但實際上也可能會看到以這種方式命名的關係符號。

在數理邏輯中通常不會允許 0 - 元的符號，因此常數符號就必須得被分開處理。 $S_{\operatorname {const} }$ 形成一個集合，並與 $S_{\operatorname {func} }$ 沒有交集，且元數函數 $\operatorname {ar} $ 在這集合上沒有定義。然而這只會讓事情變得複雜，尤其在用歸納法證明一個公式的結構時會需要考慮到額外的情況。雖然在此定義下 0 - 元關係符號也是不被允許的，但我們依舊能用一個 1 - 元關係符號，額外加上一個說明此關係的值對所有元素都相同的表達句來模擬。這種模擬方式只會在空結構中失效（但空結構照慣例通常會被排除在外）。如果允許 0 - 元符號，則命題邏輯的公式也都會是一階邏輯的公式。

無限字元集的一個例子是使用 $S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}$ 與 $S_{\operatorname {rel} }=\{=\}$ 來形式化無限純量體 $F$ 上向量空間的表達式和方程，當中 $f_{a}$ 代表乘以純量 $a$ 的 1 - 元算符。如此便能維持單域的字元集和邏輯，論域只包含向量。

## 字元集在邏輯學和代數中的應用

在一階邏輯的語境下，字元集中的符號又被稱作非邏輯符號，因為字元集配上邏輯符號便構成了基礎的字母表，可以用於歸納的定義出兩種形式語言：字元集上_詞_的集合與（合式）_公式_的集合。

在討論結構時，_詮釋_將函數和關係符號聯繫到與它們名字相襯的數學物件：一個 $n$ - 元函數符號 $f$ 在以 $A$ 為論域的結構 $\mathbf {A} $ 中的詮釋是一個函數 $f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A$ ，而一個 $n$ - 元關係符號的詮釋是一個關係 $R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}$ 。當中 $A^{n}=A\times A\times \cdots \times A$ 代表論域 $A$ 和自己的 $n$ 次笛卡兒積，如此 $f$ 便事實上成為一個 $n$ - 元函數，而 $R$ 則成為一個 $n$ - 元關係。

## 多域字元集

多域邏輯和多域結構的字元集必須包含論域的訊息。最直接的做法便是透過**符號類型**。

### 符號類型

令 $S$ 為一個不包含符號 $\times $ 和 $\to $ 的（論域）集合。

 $S$ 上的符號類型是字母表 $S\cup \{\times ,\to \}$ 上的特定詞彙：關係符號類型 $s_{1}\times \cdots \times s_{n}$ ，和函數符號類型 $s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s^{\prime }$ ，其中 $n$ 和 $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},s^{\prime }\in S$ 為非負整數（如果 $n=0$ ，則表達式 $s_{1}\times \cdots \times s_{n}$ 表示空詞彙)

### 字元集

（多域）字元集是一個三元組 $(S,P,\operatorname {type} )$ 包含

* 論域的集合 $S$
* 符號的集合 $P$
* 一個將 $P$ 中的每個符號送到 $S$ 上的符號類型的映射 $\operatorname {type} $ 。

## 參見

* Term algebra

## 附錄

## 參考文獻

* Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. ISBN 3-540-90578-2.  Free online edition.
* Hodges, Wilfrid. A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-58713-1.

## 外部連結

* Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Model theory"—by Wilfred Hodges.
* PlanetMath: 的頁面 "Signature" 介紹了此概念，但沒有提到論域的事情。
* Baillie, Jean, "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types."