完全数

**完全數**（Perfect number），又稱**完美數**或**完備數**，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是 6，它有因數 1、2、3、6，除去它本身 6 外，其餘 3 個數相加， ${{{1}+{2}}+{3}}=6$ ，恰好等於本身。第二個完全數是 28，它有因數 1、2、4、7、14、28，除去它本身 28 外，其餘 5 個數相加， ${{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28$ ，也恰好等於本身。後面的數是 496、8128。

十進位的 5 位數到 7 位數、9 位數、11 位數、13 到 18 位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

## 完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過 $2^{n-1}\times (2^{n}-1)$ 的表達式發現前四個完全數的。

　
: 當 $n=2:$ ${{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6$

　
: 當 $n=3:$ ${{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28$

　
: 當 $n=5:$ ${{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496$

　
: 當 $n=7:$ ${{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128$

一個偶數是完美數，若且唯若它具有如下形式： $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ，其中 $2^{n}-1$ 是質數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的 $6$ 和 $28$ 對應著 $n=2$ 和 $3$ 的情況。我們只要找到了一個形如 $2^{n}-1$ 的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁・歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是 $12p+1$ 或 $36p+9$ 的形式，其中 $p$ 是質數。

首十個完全數是（ A000396）：

1. 6（1 位）
2. 28（2 位）
3. 496（3 位）
4. 8128（4 位）
5. 33550336（8 位）
6. 8589869056（10 位）
7. 137438691328（12 位）
8. 2305843008139952128（19 位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37 位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54 位）

## 歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 $n=11$ 的時候，可是 $2^{11}-1=23\times 89$ 並不是質數。因此 $n=11$ 不是完全數。另外兩個**錯誤假設**是：

* 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。
* 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上，第五個完全數 $33550336=2^{12}(2^{13}-1)$ 是 $8$ 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 $6$ 結尾，但是 1588 年，義大利數學家彼得羅・卡達迪計出第六個完全數 $8589869056$ ，仍是以 $6$ 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 $6$ 和 $8$ 結尾。卡達迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數 137,438,691,328。

對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 $2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)$ 共有 $49724095$ 位數。

## 性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

* 偶完全數都是以 6 或 28 結尾。
* 而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以 1, 09, 39, 69 或 99 結尾。
* 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以 01, 13, 21 或 41 結尾。
* 除了 6 以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是 1：

```
$28$ → $2+8=10$ → $1+0=1$
$496$ → $4+9+6=19$ → $1+9=10$ → $1+0=1$
```

* 所有的偶完全數都可以表達為 2 的一些連續正整數次冪之和，從 $2^{p-1}$ 到 $2^{2p-2}$ ：

```
$6=2^{1}+2^{2}$
$28=2^{2}+2^{3}+2^{4}$
$496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}$
$8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}$
```

* 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和：

```
$6=1+2+3$
$28=1+2+3+4+5+6+7$
$496=1+2+3+...+30+31$
$8128=1+2+3+...+126+127$
```

* 除 6 以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有 ${\sqrt {2^{p-1}}}$ )：

```
$28=1^{3}+3^{3}$
$496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$
$8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}$
$33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}$
```

* 每個完全數的所有因數（包括本身）的倒數之和，都等於 2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

```
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2$
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2$
```

* 它們的二進位表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ）

```
$(6)_{10}=(110)_{2}$
$(28)_{10}=(11100)_{2}$
$(496)_{10}=(111110000)_{2}$
$(8128)_{10}=(1111111000000)_{2}$
$(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}$
$(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}$
$(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}$
```

## 奇完全數

用計算機已經證實：在 101500 以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含 11 個不同質數（包含一個不少於 7 位數的質因子）但不包含 3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾・帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

### 奇完全數的部分條件

* _N_ > 101500
* _N_ 是以下形式：

　
: : $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},$

　
: 其中：
* _q_，_p_1，…，_p_k 是不同的質數（Euler）。
* _q_ ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
* _N_ 的最小質因子必須小於 ${\frac {k-1}{2}}.$ 。
* $e_{1}$ ≡ $e_{2}$ ...≡ $e_{k}$ ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。
* 要麼 _q_α > 1062，要麼對於某個 _j_ 有 $p_{j}^{2e_{j}}$ > 1062。
* $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$

* _N_ 必須可以寫成 12n+1，468n+117 或 324n+81（n 為整數）的形式。
* _N_ 不能被 105 整除。
* _N_ 的最大質因子必須大於 108，並低於 $(3N)^{1/3}$ 。。
* _N_ 的第二大質因子必須大於 104，並低於 $(2N)^{1/5}$ 。 。
* _N_ 的第三大質因子必須大於 100。
* _N_ 至少要有 101 個質因子，其中至少 10 個是不同的。 如果 3 不是質因子之一，則至少要有 12 個不同的質因子。
* 如果對於所有的 _i_，都有 $e_{i}$ ≤ 2，那麼：
  * _N_ 的最小質因子必須大於 739（Cohen 1987）。
  * α ≡ 1（mod 12）或 α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

### 圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 $12m+1$ 或 $36q+9$ 。最初的證明在 1953 年由雅克・圖查德首先證明，1951 年巴爾塔薩・范德波爾用非線性偏微分方程式得出證明。茱蒂・霍爾德納在《美國數學月刊》第 109 卷第 7 期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的 n,k,j,m,q 均為正整數）

* 歐拉證明了奇完全數的形式必如 $4j+1$ 。
* $\sigma (n)$ 表示 $n$ 的正因數之和。完全數的定義即為 $2n=\sigma (n)$ 。 
 $\sigma (n)$ 為積性函數
* 引理（甲）：若 $n=6k-1$ （ $k$ 是正整數），則 $n$ 非完全數。
* 引理（乙）：若 $n=4k-1$ （ $k$ 是正整數），則 $n$ 非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設 $n$ 為完全數，且 $n\equiv -1{\pmod {6}}$ 。

 $n\equiv -1{\pmod {3}}$ 。因為 3 的二次剩餘只有 0,1，故 $n$ 非平方數，因此其正因數個數為偶數。

 $n$ 有正因數 $d$ ，則可得：

　
: $d\equiv 1{\pmod {3}}$ 且 $n/d\equiv -1{\pmod {3}}$ ；或

　
: $d\equiv -1{\pmod {3}}$ 且 $n/d\equiv 1{\pmod {3}}$ 。

因此， $(n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}$ 。故 $\sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}$ 。

但 $2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}$ ，矛盾。

故 $n$ 的形式只可能為 $6k+1$ 或 $6k+3$ 。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設 $n$ 為完全數，且 $n\equiv -1{\pmod {4}}$ 。

 $n\equiv -1{\pmod {4}}$ 。因為 4 的二次剩餘只有 0,1，故 $n$ 非平方數，因此其正因數個數為偶數。

 $n$ 有正因數 $d$ ，則可得：

　
: $d\equiv 1{\pmod {4}}$ 且 $n/d\equiv -1{\pmod {4}}$ ；或

　
: $d\equiv -1{\pmod {4}}$ 且 $n/d\equiv 1{\pmod {4}}$ 。

因此， $(n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}$ 。故 $\sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}$ 。

但 $2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}$ ，矛盾。

故 $n$ 的形式只可能為 $4k+1$ 。

 
若 $n=6k+1$ ，根據歐拉的結果， $n=4j+1$ ，綜合兩者，得 $n=12m+1$ 。

若 $n=6k+3$ ， $n=4j+1$ ，得 $n=12m+9=3(4m+3)$ 。若 $m$ 非 3 的倍數，3 和 $4m+3$ 互質。

因為 $\sigma (n)$ 為積性函數，可得 $\sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}$ 。

但 $2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}$ ，出現了矛盾。故知 $m$ 是 3 的倍數。代入 $m=3q$ ，可得 $n=36q+9$ 。

## 參考

* Odd Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Gagan Tara Nanda

## 註釋

## 參考資料

## 參見

* 高合成數
* 婚約數
* 親和數
* 盈數
* 虧數
* 梅森質數
* 半完全數
* 佩服數
* 超完全數
* 梅森質數與完全數集合
* 笛卡兒數

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Perfect number, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Perfect numbers – History and Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld.
* Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
* OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
* Great Internet Mersenne Prime Search
* Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, math forum at Drexel.
* Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始內容存檔於 2013-05-31）.