安纳托利·卡托克

**安納托利・鮑里索維奇・卡托克**（俄語：**Анатолий Борисович Каток**，英語：**Anatole Borisovich Katok**，1944 年 8 月 9 日 —2018 年 4 月 30 日），美籍俄裔數學家。卡托克是賓夕法尼亞州立大學動力系統與幾何中心的主任。

## 早期的生活和教育經歷

安納托利・卡托克畢業於莫斯科國立大學，1965 年獲得碩士學位，1968 年獲得博士學位，論文為《動力系統中周期逼近方法的應用》。1978 年，他移居美國。他的夫人是數學家斯韋特蘭娜・卡托克，她的專業方向也是在動力系統並且和安納托利・卡托克共同創建了賓夕法尼亞州立大學的 MASS 本科生數學項目。

## 工作和研究

在讀博士期間，安納托利・卡托克（和 A. Stepin）創建了一套關於保測度變換的周期變換逼近理論，這套理論通常被稱為 Katok-Stepin 逼近。這套理論幫助解決了一些馮・諾依曼和柯爾莫戈羅夫提出的問題，並因此贏得了莫斯科的數學學會 1967 年的大獎。

他的下一個重要成果是單調（或 Kakutani）等效性，這個理論推廣了流的速度變化理論。卡托克在動力系統中構造了許多重要的結構和例子，這些例子包括但不限於： 阿諾索夫 — 卡托克構造的光滑保測度的遍歷微分同胚、任意曲面上的擁有非零李雅普諾夫指數的伯努利微分同胚，第一個不變葉狀結構的富比尼的定理極端反例。

稍後，卡托克與埃隆・林登施特勞斯和曼弗雷德・艾因西德勒在 A. Stepin 猜想中的理論的丟番圖近似值的問題上做出了重要貢獻。

卡托克同樣提出了許多在動力系統中十分重要的猜想和問題（他甚至為其中的一些問題提供了獎金），這些問題深刻的影響了動力系統的發展。他最著名的猜想是卡托克熵猜想，這個猜想創建測地流的幾何性質和動力系統性質之間的聯繫。這個猜想是動力系統中第一個有關剛性的猜想。卡托克在過去的二十年中的研究一直集中在剛性理論上，和他的合作者們在光滑和幾何剛性，高階阿貝爾群和高階李群格點的光滑作用的微分和上同調剛性，群作用的測度剛性和高階阿貝爾群的非一致雙曲作用等問題上做出了重要的貢獻。

卡托克同時也做了一些關於非一致雙曲的拓撲性質的研究。這些研究包括但不限於周期點的密度，周期點數目的下界以及拓撲熵的馬蹄逼近。這些問題是他 1983 年國際數學家大會和 1982 年加州大學伯克利分校 Rufus Bowen 紀念講座的主題。

卡托克和他的學生鮑里斯・哈塞爾布拉特合著了《現代動力系統理論導論》（劍橋出版社出版於 1995 年）。這本書被認為是現代動力系統的百科全書並且同時是該領域中引用率最高的著作。

安納托利・卡托克不僅是《Journal of Modern Dynamics》的執行主編，同時也是多個著名雜誌的編委會成員。這些雜誌包括但不限於《Ergodic Theory and Dynamical Systems》、《Cambridge Tracts in Mathematics》和《Cambridge Studies in Advanced Mathematics》。

## 教學工作

迄今為止卡托克在下列機構擁有過教授席位：馬里蘭大學（1978-1984）、加州理工學院（1984-1990）、賓夕法尼亞州立大學（1990-）。自 1996 年起，卡托克成為了賓夕法尼亞州立大學的 Raymond N. Shibley 講席教授。他到目前為止指導了 44 個博士。Mathematics Genealogy Project 這個網站列舉了他絕大多數的學生和 121 個學術後代。

## 榮譽

在 1967 年卡托克獲得了莫斯科數學會青年數學家大獎（同時獲獎的有 A. Stepin 和 V. Oseledets）。在 1983 年卡托克成為了在華沙的國際數學家大會特別邀請人並且給了主題為」非一致雙曲和光滑動力系統的結構「的報告。在 2004 年，卡托克當選為美國藝術與科學院院士。在 2012 年，他當選為美國數學會榮譽成員。

## 代表專著

* [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 54, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-34187-6
* [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Boris Hasselblatt and Anatole Katok, A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0521587506.
* [3] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anatole Katok, Combinatorial Constructions in Ergodic Theory and Dynamics, Pennsylvania State University, University Park, PA, University Lecture Series, 2003, ISBN 978-0-8218-3496-1.
* [4] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anatole Katok and Boris Hasselblatt (eds.) Handbook of Dynamical Systems, Vol 1A, Elsevier 2002, ISBN 0-444-82669-6.
* Anatole Katok and Boris Hasselblatt (eds.) _Handbook of Dynamical Systems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Vol 1B, Elsevier 2005, ISBN 0-444-52055-4._
* Anatole Katok and Vaughn Climenhaga, _Lectures on Surfaces: (Almost) Everything You Wanted to Know about Them （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Pennsylvania State University – AMS, 2008, ISBN 978-0-8218-4679-7.
* Anatole Katok and Viorel Nitica, _Rigidity in Higher Rank Abelian Group Actions_: Volume 1, Cambridge University Press, June 2011, ISBN 9780521879095.

## 參考文獻

* A. Venkatesh: The work of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Bull AMS 45 (2008), 117–134.
* Michael Brin, Boris Hasselblatt, Yakov Pesin (Eds.), _Modern Dynamical Systems and Applications （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Cambridge University Press, 2005, ISBN 9780521840736.
* Eugene B. Dynkin: Collection of Mathematical Interviews （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 註釋

## 外部連結

* Penn State Center for Dynamics and Geometry （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 安納托利・卡托克在數學譜系計畫的資料。
* Anatole Katok - Google Scholar Citations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* List of Fellows of the American Mathematical Society （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）