字_(群論)

在群論中，**字**是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 _x_, _y_ 和 _z_ 是群 _G_ 的元素，則 _xy_, _z_-1_xzz_ 和 _y_-1_zxx_-1_yz_-1 都是集合 {_x_, _y_, _z_} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，並是組合群論的中心研究對象。

## 定義

設 _G_ 是群，並設 _S_ 是 _G_ 的子集。**_S_ 形成的字**是如下形式的表達式

　
: $s_{1}^{\epsilon _{1}}s_{2}^{\epsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\epsilon _{n}}$

這里的 _s_1,...,_sn_ 是 _S_ 的元素並且每個 _εi_ 都是 ±1。數 _n_ 叫做字的**長度**。

用 _S_ 形成的每個字表示 _G_ 的一個元素，也就是這個表達式的乘積。按慣例，單位元可以被表示為**空字**，它是長度為零的唯一的字。

## 符號

在書寫字的時候，經常使用指數符號來簡寫。例如，字

　
: $xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,$

可以寫為

　
: $x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}\,$ 。

後者表達式自身不是個字，它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候，使用上劃線來指示 _S_ 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號，上述字可以寫為如下:

　
: $x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}\,$ 。

## 字和展示

群 _G_ 的子集 _S_ 叫做生成集，如果所有 _G_ 的元素可以用 _S_ 形成的字來表示。如果 _S_ 是生成集，**關係**是表示在 _G_ 中相同的元素的一對 _S_ 形成的字。它們通常寫為等式:

　
: $x^{-1}yx=y^{2}\,$

關係的集合 ${\mathcal {R}}$ **定義 _G_**，如果所有 _G_ 中的關係可以從 ${\mathcal {R}}$ 的關係使用群公理在邏輯上推出。_G_ 的**展示**是有序對 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle $ ，這里的 _S_ 是 _G_ 的生成集而 ${\mathcal {R}}$ 是關係的定義集合。

例如，克萊因四元群可以通過如下展示來定義

　
: $\langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle $

這里的 1 指示表示單位元的空字。

在 _S_ 不是 _G_ 的生成集的時候，用 _S_ 形成的字表示的元素的集合是 _G_ 的子群。這叫做 **_G_ 生成自 _S_ 的子群**，並通常指示為 $\langle S\rangle $ 。它是包含 _S_ 的元素的 _G_ 的最小子群。

## 簡約字

其中生成元接著它自己的逆元出現 (_xx_-1 或 _x_-1_x_) 的任何字可以通過省略冗餘對來簡化:

　
: $y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy$

這個運算叫做**簡約**，並且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關係。)

**簡約字**是不包含冗餘對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:

　
: $xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz$

結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 _S_ 是任何集合， _S_ 上的自由群是帶有展示 $\langle S\mid \;\rangle $ 的群。就是說，在 _S_ 上的自由群是 _S_ 的元素在沒有額外的關係下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 _S_ 形成的簡約字。

一個字是**循環簡約**的，當且僅當字的所有循環置換是簡約的。

## 規範形式

帶有生成集合 _S_ 的群 _G_ 的**規範形式**是對給每個 _G_ 的元素的 _S_ 形成的一個簡約字的選擇。例如:

* 字 1, _i_, _j_, _ij_ 是克萊因四元群的規範形式。
* 字 1, _r_, _r_2, ..., _rn-1_, _s_, _sr_, _srn-1_ 是二面體群 Dihn 的規範形式。
* _S_ 形成的簡約字的集合是 _S_ 上的自由群的規範形式。
* 形如 _xmyn_ 對於 _m,n_ ∈ **Z** 的字的集合是循環群〈_x_〉和〈_y_〉的直積的規範形式。

## 在字上的運算

兩個字的**乘積**可以通過串接獲得:

　
: $\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y$

是兩個字都是簡約的，乘積也可能不是簡約的。

字的**逆**可以通過反轉每個生成元，並對換元素的次序來獲得:

　
: $\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}$

字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:

　
: $zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}\;\longrightarrow \;\;1$

可以通過共軛把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:

　
: $x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx$

## 字問題

給定一個群 _G_ 的展示 $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle $ ，**字問題**是一個算法問題，給定 _S_ 中的兩個字作為輸入，確定它們是否表示 _G_ 的相同元素。字問題是 Max Dehn 在 1911 年提出的三個算法問題之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年證明了存在有限展現的群 _G_ 使得 _G_ 的字問題是不可決定性的（Novikov 1955）。

## 引用

* Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P., Word Processing in Groups, AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
* Novikov, P. S., On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, **44**: 1–143 （俄語）
* Robinson, Derek John Scott. A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3.
* Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.
* Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. Combinatorial group theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5.
* Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9
* Stillwell, John. Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.