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多项式变换

數學上的**多項式變換**是指針對一多項式，計算另一個多項式，使其根是原多項式各根的函數。像契爾恩豪森轉換即為多項式變換，常用在代數方程求解過程中的化簡。

## 舉例

### 根的平移

設有多項式

　
: $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

且

　
: $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$

是其複數根（不必互異）。

對於任意常數 _c_ ，以

　
: $\alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c$

為根的多項式是

　
: $Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.$

如果 _P_ 的係數為整數，且常數 $c={\frac {p}{q}}$ 是有理數，那麼 _Q_ 係數可能不是整數，而多項式 _c_n _Q_ 仍具有整數係數，並且與 _Q_ 同根。

特別，若 ${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$ ，得到的多項式 _Q_ 會缺少 $y^{n-1}$ 項。

### 根的倒數

設有多項式

　
: $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

以 _P_ 之根倒數為根的多項式是 _P_ 的倒數多項式：

　
: $Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

### 根的縮放

設有多項式

　
: $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

且 _c_ 為非零常數。以 _P_ 之根乘以 _c_ 的積為根的多項式是

　
: $Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.$

這裡出現了因子 $c^{n}$ ，是因為如果 _c_ 與 _P_ 的係數都屬於整數或者某個整環，那麼 _Q_ 的係數也會有相同的特性。

特別地，如果 $c=a_{0}$ ，那麼 _Q_ 的所有係數就都是 _c_ 的倍數，而 _Q_/_c_ 是一個首一多項式，其係數屬於任何同時包含了 _c_ 與 _P_ 的各係數的整環。這個多項式變換常常可以用來把化簡代數數的問題化約成代數整數的問題。

把此變換與把根平移 ${\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ 的變換組合起來，可以化約任何關於多項式的根的問題，比如把求根化簡為對於更簡單的首一且不含 _n-1_ 次方項的多項式的類似問題。

## 通過有理函數的變換

前面的所有例子都是通過有理函數進行的多項式變換，這也稱為契爾恩豪森轉換。設有有理函數

　
: $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

其中 g 和 h 是互質的多項式。多項式 Q 的根是 P 的根在 f 作用下的像，則稱多項式 P 在 f 作用下的多項式變換是多項式 Q（最多可以相差一個非零常數）。

這樣的多項式變換可以按結式計算。要求多項式 Q，只須求複數 y，使得存在複數 x 同時滿足（如果 P，g 和 h 的係數不是實數或者不是複數，那麼這裡的「複數」要替換成「含有輸入的各多項式之係數的代數閉域中的元素」）

　
: ${\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}$

這正是下列結式的定義：

　
: $\operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).$

這通常很難手動計算。不過大多數計算機代數系統都有內置函數來計算結式。

### 性質

若多項式 _P_ 不可約，那麼得到的多項式 _Q_ 的結果要麼不可約，要麼是不可約多項式的冪。設 $\alpha $ 是 _P_ 的根，且 $\alpha $ 生成了域擴張 _L_；那麼，前一種情況就意味著 $f(\alpha )$ 是 _L_ 的本原元，而 _Q_ 是 _L_ 的最小多項式；而在後一種情況下， $f(\alpha )$ 屬於 _L_ 的一個子域，而它的最小多項式是以 _Q_ 為冪的不可約多項式。

## 用於求解方程的變換

有些情形下，多項式變換可以用根式簡化多項式的求解。笛卡爾對 d 階多項式引入變換，用根的平移消除 d-1 階項。這樣操作後的多項式稱為壓縮多項式（depressed polynomial）。對於用平方根解二次式，這已經足夠了。在立方式的情況下，契爾恩豪森轉換要用二次函數替換原來的自變量，從而消除其中兩項，進而可以消除線性項，得到一個壓縮的立方式，從而可以用平方根和立方根的組合給出原立方式的解。而在 Bring-Jerrard 變換的變換函數是四次的，可以把五次項變成 Bring-Jerrard 標準形式（布靈根式），只含有 5 次、1 次和 0 次項。

## 參考

* Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard (PDF). SIGSAM Bull. 2003, **37** (3): 90–94. Zbl 1055.65063. （原始內容 (PDF) 存檔於 2009-02-26）.
多项式定理

**多項式定理**為二項式定理的推廣。 $t=2$ 時為二項式定理。

$$
(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t})^{n}=\sum {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{t}^{n_{t}}
$$

其中 $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ 、 $0\leq n_{i}\leq n$

 $n_{1},n_{2},n_{3}\cdots n_{t}$ 是指一切滿足上述條件的非負數組合。
由隔板法可知該多項式展開共有 ${\frac {(n+t-1)!}{n!(t-1)!}}$ 項。

## 證明

### 數學歸納法

對元數 t 做歸納：
當 t=2 時，原式為二項式定理，成立。 假設對 t-1 元成立，則：

　
: $\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t}\right)^{n}$

　
: $=$ $((x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t-1})+x_{t})^{n}$

　
: $=$ $\sum _{n_{t}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{t}!\left(n-n_{t}\right)!}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t-1}\right)^{n-n_{t}}x_{t}^{n_{t}}$

　
: $=$ $\sum _{n_{t}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{t}!\left(n-n_{t}\right)!}}\sum _{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t-1}=n-n_{t}}{\frac {\left(n-n_{t}\right)!}{n_{1}!\cdots n_{t-1}!}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{t-1}^{n_{t-1}}x_{t}^{n_{t}}$

　
: $=$ $\sum _{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n}{\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{t}^{n_{t}}$

　
: 證畢.

### 組合法

從 $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ 中選 $n_{i}$ 個 $x_{i}$ ：

$$
\displaystyle {\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}\cdots {\binom {n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1}}{n_{t}}}
$$

 $={\frac {n!(n-n_{1})!(n-n_{1}-n_{2})!\cdots (n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1})!}{n_{1}!(n-n_{1})!n_{2}!(n-n_{1}-n_{2})!n_{3}!(n-n_{1}-n_{2}-n_{3})!\cdots n_{t}!(n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t})!}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{t}!}}$ 
證畢.

## 參見

* 二項式定理
* 多項式

## 參考資料
多项式时间图灵归约

在計算複雜性理論中，**多項式時間歸約**是指假設已有解決一個問題的子程式，利用它在多項式時間內（不考慮子程式執行所用時間）解決另一個問題的歸約方法。如果將第一個問題轉換成第二個的時間，且子程式被呼叫的次數都是多項式級別的，那麼第一個問題可以多項式時間規約到第二個問題。

多項式時間規約證明了第一個問題不比第二個問題難。因為當第二個問題存在高效率演算法時，第一個也存在。因為逆否命題，如果第一個問題沒有高效率演算法時，第二個也沒有。計算複雜性理論中經常使用多項式時間規約來定義複雜性類別和完全問題。

## 規約的類型

多項式時間歸約有幾種不同類型，取決於具體如何使用子程式。

三種最常見的多項式時間規約類型，從最多限制到最少限制的，是多項式時間多一規約，真值表規約，圖靈規約。最常用的是多一規約，在某些情況下短語「多項式時間規約」可能僅指多項式時間多一規約。

### 多一規約

從問題 A 到問題 B（兩個通常都需要是決定性問題）的多項式時間多一規約，是將問題 A 的輸入轉換成問題 B 的輸入的多項式演算法，使得轉換後的問題與原問題有相同的輸出。問題 A 的實例 x，可以通過此轉換為問題 B 的實例 y，將 y 輸入解決問題 B 的演算法，然後返回它的輸出。多項式時間多一規約也被稱為 **Karp 規約**，以理察・卡普命名。這種類型的規約被表示為 $A\leq _{m}^{P}B$ 或 $A\leq _{p}B$ 。

### 真值表歸約

從問題 A 到問題 B（兩個都是決定性問題）的多項式時間真值表規約，是將問題 A 的輸入轉換成固定數量個問題 B 的輸入的多項式演算法，使得原問題的輸出可以被表示為問題 B 輸出的函式。將 B 的輸出對映到 A 的輸出的函式對於所有輸入必須相同，所以它可以用真值表表示。 這種類型的歸約可以用表達式 $A\leq _{tt}^{P}B$ 來表示。

### 圖靈規約

從問題 A 到問題 B 的多項式時間圖靈規約是一種演算法，它需要呼叫問題 B 的子程式多項式次，以及這些子程式呼叫之外的多項式時間來解決問題 A。 多項式時間圖靈規約也稱為**庫克規約**，以史蒂芬・庫克命名。 這種類型的歸約可以用表達式 $A\leq _{T}^{P}B$ 來表示。多一歸約可以被視為圖靈歸約的受限變體，其中對問題 B 的子程式的呼叫次數恰好為 1，且歸約返回的值與子程式返回的值相同。

## 參考文獻
多项式时间近似算法

在計算機科學領域，多項式時間近似算法（PTAS）是一種用於優化問題（最常見的是 NP-hard 優化問題）的近似算法。

PTAS 使用一個大於 0 的參數 ε，產生一個對於最小化問題能在 1 + ε 倍最優解內的解決方案（或最大化問題的 1 − ε 倍）。例如，對於歐幾里得旅行商問題，現有的最好 PTAS 將產生一個長度最多為 (1 + ε) _L_ 的解，其中 _L_ 是最短行程的長度。 ε 的大小越小，PTAS 的近似性能比越靠近 1，也即說明這個 PTAS 的計算結果越接近最優解。

對於一個固定大小的 ε，PTAS 的運行時間必須是（對於問題大小）多項式的（例如對於一個原時間複雜度為 _O_(2^n) 的算法，它的 PTAS 時間複雜度可以為 _O_(_n_4\*2k)，其中 k 為參數），但對於不同的 ε，可以是不同的。時間複雜度為 _O_(_n_1/ε) 甚至 _O_(_n_exp(1/ε)) 的算法同樣屬於 PTAS。

## 參考
多项式环

在抽象代數中，**多項式環**推廣了初等數學中的多項式。一個環 $R$ 上的多項式環是由係數在 $R$ 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 $R$ 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 $R$ - 代數範疇中的自由對象。

## 定義

### 多項式函數與多項式

在初等數學與微積分中，_多項式_視同_多項式函數_，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限體 $\mathbb {F} _{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} $ 上的多項式

　
: $P(X)=X^{2}+X$

此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在體擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在體擴張下的行為頗複雜，上述 $P(X)$ 給出 $\mathbb {F} _{2}$ 上的零函數，但視為 $\mathbb {F} _{4}$ 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張體即可。

### 形式定義

於是我們採取下述定義：令 $R$ 為環。一個單變元 $X$ 的多項式 $P(X)$ 定義為下述形式化的表法：

　
: $P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

其中 $a_{i}$ 屬於 $R$ ，稱作 $X^{i}$ 的**係數**，而 $X$ 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 $X^{i}$ 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的**領導係數**，或者**首項係數**。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 $a=(a_{n})_{n\geq 0}$ ，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 $X$ 及其冪次表達。

## 多項式的運算

以下固定環 $R$ ，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

### 環結構

多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：

* 分配律：對所有 $R$ 上的多項式 $P(X),Q(X),R(X)$ ，恆有

　
: $(P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)$

　
: $R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)$

* 對所有 $a\in R$ ，有 $X\,a=a\,X$
* 對所有非負整數 $k,l$ ，有 $X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}$

運算的具體表法如下：

 * $\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}$
* $\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}$

當 $R$ 是交換環時， $R[X]$ 是個 $R$ 上的代數。

### 多項式的合成

設 $P(X)=\sum a_{i}X^{i}$ 而 $Q(X)$ 為另一多項式，則可定義兩者的**合成**為

　
: $(P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}$

### 求值

對於任一多項式 $P(X)=\sum a_{i}X^{i}$ 及 $r\in R$ ，我們可考慮 $P(X)$ 對 $r$ 的**求值**：

　
: $s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}$

固定 $r\in R$ ，則得到一個環同態 $s_{r}:R[X]\rightarrow R$ ，稱作求值同態；此外它還滿足

　
: $s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)$

### 導數

在微積分中，多項式的微分由微分法則 $(x^{k})'=kx^{k-1}$ 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：

　
: $P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$

　
: $\Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}$

這種導數依然滿足 $(PQ)'=P'Q+PQ'$ 與 $(P+Q)'=P'+Q'$ 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

## 多變元的情形

上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 $X,Y$ 的例子，我們可以先構造多項式環 $R[X]$ ，其次構造 $(R[X])[Y]$ 。可以證明有自然同構 $(R[X])[Y]\cong R[X,Y]$ ，例如多項式

　
: $P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]$

也可以視作

　
: $(X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]$

對 $(R[Y])[X]$ 亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

## 性質

* 若 _R_ 是域，則 $R[X]$ 是主理想環（事實上還是個歐幾里得整環）。
* 若 _R_ 是唯一分解環，則 $R[X]$ 亦然。
* 若 _R_ 是整環，則 $R[X]$ 亦然。
* 若 _R_ 是諾特環，則 $R[X]$ 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
* 任一個交換環 $R$ 上的有限生成代數皆可表成某個 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 的商環。

## 在數學中的角色

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} $ 構造有限體，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。
多项式矩阵

**多項式矩陣**，也稱為**_λ_－矩陣**、**矩陣係數多項式**（不是**矩陣多項式**），是數學中矩陣論里的概念，指係數是多項式的方塊矩陣。使用「_λ_－矩陣」的名稱時，說明係數多項式以 _λ_ 為不定元。

## 嚴格定義

給定自然數 _n_ 和係數環 $\mathbf {R} $ ，一個 _n_ 階多項式矩陣 _A_ 為如下形式:120：

　
: $A(\lambda )=\left[a_{i,j}(\lambda )\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n},\quad \forall 1\leqslant i,j\leqslant n,\;\;a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda ^{k}\in \mathbf {R} \left[\lambda \right]$ ，

其中 $d_{i,j}$ 是每個多項式 $a_{i,j}(\lambda )$ 的次數。如果設其中最大的為 $d$ ：

　
: $d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}$

那麼多項式矩陣 _A_ 也可以表達為:232：

　
: $A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.$

其中約定當 $k>d_{i,j}$ 時， $a_{i,j,k}=0$ .

由於多項式矩陣也能被表達為以（數值）矩陣為係數的多項式，所以也被稱為矩陣係數多項式。如果最高次係數矩陣 $A(d)$ 的行列式不為零，則稱多項式矩陣 _A_ 為為正則多項式矩陣（regular polynomial matrix）:232。所有 _n_ 階多項式矩陣的集合記為 ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} \left[\lambda \right])$ 或 ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} )\left[\lambda \right]$ 。:232 前者表示所有以多項式為係數的 _n_ 階方塊矩陣的集合，後者表示所有 _n_ 階方塊矩陣為係數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

## 例子

所有的數值矩陣都是多項式矩陣，因為可以將每個元素看成一個零多項式。設係數環為實數域，以下是一個 3 階多項式矩陣：

　
: $P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.$

**特徵矩陣**是多項式矩陣的一個例子。設有 _n_ 階數值矩陣 _A_，則特徵矩陣實際上是一次多項式矩陣： $P_{A}(\lambda )=\lambda \mathbf {I} _{n}-A$ 。而特徵矩陣的行列式 $\det \left(\lambda \mathbf {I} _{n}-A\right)$ 就是數值矩陣 _A_ 的特徵多項式。

## 性質

由於多項式代數和矩陣代數的結構特性，環 $\mathbf {R} $ 上的所有 _n_ 階多項式矩陣也構成一個代數。兩個 _n_ 階多項式矩陣可以互相加減、相乘，並且滿足加法交換律和乘法分配律（不滿足乘法交換律）。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似關係、等價關係（也稱為**相抵**）、秩以及行列式:121。

如果係數環是域，那麼可以證明，所有的多項式矩陣都可以對角化。任何一個秩為 _r_ ≤ _n_ 的多項式矩陣，都可以相抵於一個對角多項式矩陣：

　
: $a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)$

其中的每個非零的對角元素 $d_{i}(\lambda )$ 都是首一多項式，並且整除下一個對角元素 $d_{i+1}(\lambda )$ 。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型（Smith normal form），所有的 $d_{i}(\lambda )$ 被稱為原多項式矩陣的不變因子:122。

如果將 _n_ 階多項式矩陣看成以 _n_ 階方塊矩陣為係數的多項式，可以通過將其中的不定元 _λ_ 替換為一個 _n_ 階方塊數值矩陣 _B_，而得到一個 _n_ 階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律，所以替換分為左替換和右替換:233：

　
: 左替換：將 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替換為 $\sum _{k=0}^{d}B^{k}\cdot A(k),$ 也記作 $P_{l}^{A}(B),$

　
: 右替換：將 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替換為 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^{k},$ 也記作 $P_{r}^{A}(B).$

如果係數環是域，那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法：如果 $A(\lambda )$ 和 $B(\lambda )$ 都是多項式矩陣，其中 $B(\lambda )\neq 0$ ，那麼唯一存在多項式矩陣 $Q(\lambda )$ 和 $R(\lambda )$ ，滿足

 1. $A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),$
2. $R(\lambda )$ 作為多項式的次數嚴格小於 $B(\lambda )$ ，或者為零。

## 參見

* 特徵多項式
* 不變因子
* 初等因子

## 參考來源
多项式码

在編碼理論中，**多項式碼**（英語：**polynomial code**）是有效碼字集合是由多項式（通常是固定長度的多項式）可以被特定多項式（長度較短，稱為_生成多項式_）整除的一種線性碼。

## 定義

對於有限域 $GF(q)$ ，其元素我們稱作_碼元_。為了建立多項式碼，我們要確定一個 $n$ 個碼元的序列 $a_{n-1}\ldots a_{0}$ 其多項式為

　
: $a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.\,$

對於整數 $m\leq n$ ，令 $g(x)$ 為 $m$ 階多項式，稱為_生成多項式_。由 $g(x)$ 生成的多項式碼其碼字都是階數低於 $n$ ，並且可以被 $g(x)$ 整除（沒有餘式）的多項式。

## 例子

考慮 $GF(2)=\{0,1\}$ 上， $n=5$ 、 $m=2$ 、生成多項式為 $g(x)=x^{2}+x+1$ 的多項式碼。此碼由下列碼字組成：

　
: $0\cdot g(x),\quad 1\cdot g(x),\quad x\cdot g(x),\quad (x+1)\cdot g(x),$

　
: $x^{2}\cdot g(x),\quad (x^{2}+1)\cdot g(x),\quad (x^{2}+x)\cdot g(x),\quad (x^{2}+x+1)\cdot g(x).$

或直接寫成：

　
: $0,\quad x^{2}+x+1,\quad x^{3}+x^{2}+x,\quad x^{3}+2x^{2}+2x+1,$

　
: $x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1,\quad x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x,\quad x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1.$

由於多項式碼定義在二元伽羅華域 $GF(2)=\{0,1\}$ 中，多項式元素用模 q 求和表示，於是最終多項式為：

　
: $0,\quad x^{2}+x+1,\quad x^{3}+x^{2}+x,\quad x^{3}+1,$

　
: $x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad x^{4}+x^{3}+x+1,\quad x^{4}+x,\quad x^{4}+x^{2}+1.$

等價地，用二進位位的序列表示，這些碼字就是：

　
: $00000,\quad 00111,\quad 01110,\quad 01001,$

　
: $11100,\quad 11011,\quad 10010,\quad 10101.$

注意到如所有多項式碼一樣，這個碼確實是一個線性碼，即碼字的線性組合還是碼字。在域為 GF (2) 的情形，可以通過對二進位形式的兩個碼字取 XOR（如 00111 XOR 10010 = 10101）得到其線性組合。

## 編碼

在 $GF(q)$ 上長度為 $n$ 、生成多項式為 $m$ 階多項式 $g(x)$ 的多項式碼中，會有 $q^{n-m}$ 個碼字。事實上，根據定義，若且唯若一個碼字形式為 $p(x)=g(x)\cdot q(x)$ （其中 $q(x)$ 的階小於 $n-m$ ）時， $p(x)$ 才是一個碼元。因為會有 $q^{n-m}$ 個商，所以也會有相同數量的碼字。
未編碼的數據字長度應為 $n-m$ 。

一些作者，如（Lidl & Pilz, 1999），僅討論了從數據字到碼字賦值的映射 $q(x)\mapsto g(x)\cdot q(x)$ 。但在數據字不是碼字的一部分時會存在缺陷。

相反，常用下面的方法來建立系統碼：給定長度為 $n-m$ 的數據字 $d(x)$ ，先把 $d(x)$ 乘以 $x^{m}$ ，這樣的效果就是將 $d(x)$ 向左移 $m$ 位。 $x^{m}d(x)$ 一般不能被 $g(x)$ 整除，也就不是一個有效的碼字。不過，調整 $x^{m}d(x)$ 的最右面 $m$ 個符號可以得到唯一的碼字。
要求它，需要計算 $x^{m}d(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式：

　
: $x^{m}d(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x),\,$

其中 $r(x)$ 的階數小於 $m$ 。於是對應於數據字 $d(x)$ 的碼字定義為

　
: $p(x):=x^{m}d(x)-r(x),\,$

注意以下性質：

 1. $p(x)=g(x)\cdot q(x)$ 可以被 $g(x)$ 整除。特別地， $p(x)$ 是一個有效碼字。
2. 由於 $r(x)$ 的階數小於 $m$ ， $p(x)$ 最左面的 $n-m$ 個符號與 $x^{m}d(x)$ 中對應符號相同。換句話說，碼字的前 $n-m$ 個符號與原數據字相同。剩下的 $m$ 個符號稱為_校驗位_。

### 例子

對於 $n=5$ 、 $m=2$ 、生成多項式為 $g(x)=x^{2}+x+1$ 的上述碼，我們的帶下列從數據字到碼字的賦值：

* 000 ↦ **000**00
* 001 ↦ **001**11
* 010 ↦ **010**01
* 011 ↦ **011**10
* 100 ↦ **100**10
* 101 ↦ **101**01
* 110 ↦ **110**11
* 111 ↦ **111**00

## 解碼

錯誤消息可以直接通過多項式除以生成多項式得到非零餘式而檢測出來。

假設碼字沒有差錯，系統碼可以通過剝離 $m$ 個檢驗位解碼。

如果存在差錯，則應在解碼前糾錯。有些多項式碼（如 BCH 碼）會有高效的解碼算法。

## 多項式碼的性質

對於所有數字碼來說，多項式碼的誤差檢測與校正能力取決於該碼的最小漢明距離。由於多項式碼是線性碼，最小漢明距離等於任何非零碼字的最小重量。在上面的例子中，最小漢明距離是 2，因為 01001 是一個碼字，並且沒有非零碼字只有一位是 1 的。

多項式碼更具體的性質往往取決於它的生成多項式的特定的代數性質。這裡有此類性質的一些例子：

* 一個多項式碼若且唯若生成多項式能夠整除 $x^{n}-1$ 時為循環碼。
* 如果生成多項式是本原多項式，若 $n\leq 2^{m}-1$ ，則得到的碼的漢明距離最小為 3。
* 在 BCH 碼中，生成多項式在擴展域中有能夠得到很大漢明距離的特定的根。

巧妙選取生成多項式的多項式碼的代數性質可以用來尋找有效的誤差校正算法。BCH 碼就屬於這種情況。

## 特定多項式碼

* 循環碼；所有循環碼都是多項式碼；如 CRC 碼。
* BCH 碼；一類漢明距離很大、有代數糾錯算法的循環碼。
* 里德 - 所羅門碼；BCH 碼的一個重要子集，有特別高效的結構。

## 參考文獻

* W.J. Gilbert and W.K. Nicholson: _Modern Algebra with Applications_, 2nd edition, Wiley, 2004.
* R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra, 2nd edition. Wiley, 1999.
多项式空间

**PSPACE** 是計算複雜度理論中能被確定型圖靈機利用多項式空間解決的判定問題集合，是 Polynomial SPACE 的簡稱。

## 形式化定義

如果規定 ${\mbox{SPACE}}(t(n))$ 為至多 $t(n)$ 空間內能被確定型圖靈機解決的問題的集合（ $t$ 是輸入大小 $n$ 的函數），那麼，**PSPACE** 可被形式化地定義為：

　
: ${\mbox{PSPACE}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mbox{SPACE}}(n^{k})$

**PSPACE** 真包含上下文有關語言，這種語言等價於線性有界非確定圖靈機。

儘管至今沒有證明，但一般認為，將 **P** 中的確定型圖靈機更改為非確定圖靈機後得到的 **NP** 類有 ${\mbox{P}}\subsetneq {\mbox{NP}}$ 成立。然而，對於 **PSPACE**，將確定型圖靈機更改為非確定型圖靈機，得到的 **NPSPACE** 並不比 **PSPACE** 大。原因是根據薩維奇定理， ${\mbox{PSPACE}}={\mbox{NPSPACE}}$ ，這個定理的結論指出，雖然非確定性問題需要更多時間解決，兩者的空間需求還是一致的。

## 與其它複雜度類別的關係

已經證明 **PSPACE** 和 **NL**、**P**、**NP**、**PH**、**EXPTIME** 和 **EXPSPACE** 的關係 （注意， $\subsetneq $ 不是 $\not \subseteq $ ）：

　
: ${\mbox{NL}}\subseteq {\mbox{P}}\subseteq {\mbox{NP}}\subseteq {\mbox{PH}}\subseteq {\mbox{PSPACE}}$

　
: ${\mbox{PSPACE}}\subseteq {\mbox{EXPTIME}}\subseteq {\mbox{EXPSPACE}}$

　
: ${\mbox{NL}}\subsetneq {\mbox{PSPACE}}\subsetneq {\mbox{EXPSPACE}}$

目前已經知道，第一行和第二行中至少有一個包含關係為真包含，但是目前尚未證明任何一個。一般假定所有的包含關係均為真包含。

與此相反的是，第三行中的包含關係目前已證明均是真包含。第一個包含關係來源於對角論證法（根據空間層次定理， ${\mbox{NL}}\subsetneq {\mbox{NPSPACE}}$ ），而 ${\mbox{PSPACE}}={\mbox{NPSPACE}}$ 來源於薩維奇定理。第二個包含關係僅僅利用了空間層次定理。

在 **PSPACE** 中，最難的問題是 **PSPACE 完全**問題。參見 **PSPACE 完全**了解在 **PSPACE** 中但可能不在 **NP** 中的問題。

## 等價定義

利用交替式圖靈機（ATM）的概念，**PSPACE** 可被定義為一台 ATM 在多項式時間中解決的問題集合。這一複雜度類別也被稱為 **APTIME** 或者簡稱為 **AP**。

複雜度理論中一個重要的結果為 **PSPACE** 與某個特定的互動式證明系統接受的所有語言等價，這個語言的集合也被定義為 **IP**。在這一系統中，存在一個非常強大的證明者，這個證明者試圖說服一個機率多項式時間驗證者，某個字串在系統接受的語言中。如果字串屬於系統接受的語言，證明者應當能夠用較高的機率說服驗證者，否則只能至多用較低的機率說服。

**PSPACE** 也等價於量子複雜度類別 **QIP**。

## PSPACE - 完全

如果所有 **PSPACE** 中的問題都可以多項式時間歸約到某個問題，那麼，這個問題可以被定義為 **PSPACE 難**。

一種語言 _B_ 為 **PSPACE 完全**，如果它在 **PSPACE** 中，並且為 **PSPACE 難**，即

　
: $\forall {\mbox{A}}\in {\mbox{PSPACE}},{\mbox{A}}\leq _{p}{\mbox{B}}$

其中， ${\mbox{A}}\leq _{p}{\mbox{B}}$ 指的是存在從 A 到 B 的多項式時間歸約。**PSPACE 完全**問題對於研究 **PSPACE** 中的問題非常重要，因為它們代表了 **PSPACE** 中最困難的問題。如果一個 **PSPACE 完全**問題得到了時間上高效的演算法，那麼，對所有 **PSPACE** 中的問題都可以有時間上高效的演算法，因為這些問題都能夠被多項式時間歸約到 **PSPACE 完全**問題。然而，這個性質對 **PSPACE 難**不成立，因為存在這樣的問題，它們可能屬於 **PSPACE 難**但不屬於 **PSPACE 完全**，因為這些問題不屬於 **PSPACE**。

## PSPACE - Hard

如果 x 屬於 P，則 P = PSPACE - Hard，那這個 x 就可稱為 PSPACE - Hard。

### 例子

圍棋的複雜度已於 1978 年被 Robertson 與 Munro 證明為 PSPACE-hard。

## 參考文獻

### 參照

### 來源

## 外部連結

* Lecture slides on space complexity From University of Toronto
* Lecture slides on space complexity From Princeton University
* Complexity Zoo: PSPACE（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多项式长除法

**多項式除法**是代數中的一種算法，用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。它可以很容易地手算，因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。

## 範例

計算 ${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

把被除式、除式按某個字母作降冪排列，缺項補零，寫成以下形式：

　
: ${\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}$

然後商和餘數可以這樣計算：

1. 將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數最高的項，此處為 _x_），得到首商，寫在橫線之上 ( $x^{3}\div x=x^{2}$ ).

　
: ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$
2. 將分母乘以首商，乘積寫在分子前兩項之下（同類項對齊）（ $x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}$ ）。

　
: ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$
3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積（消去相等項，把不相等的項結合起來），得到第一餘式，寫在下面。（ $(x^{3}-12x^{2})-(x^{3}-3x^{2})=-12x^{2}+3x^{2}=-9x^{2}$ ）然後，將分子的下一項「拿下來」。

　
: ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$
4. 把第一餘式當作新的被除式，重複前三步，得到次商與第二餘式（直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止．被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 ）

　
: ${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$
5. 重複第四步，得到三商與第三餘式。餘式小於除式次數，運算結束。

　
: ${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

橫線之上的多項式即為商，而剩下的 (−123) 就是餘數。

　
: ${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}$

算數的長除法可以看做以上算法的一個特殊情形，即所有 $x$ 被替換為 10 的情形。

## 除法變換

使用多項式長除法可以將一個多項式寫成 除數 - 商 的形式（經常很有用）。 考慮多項式 $P(x)$ , $D(x)$ （(_D_) 的次數 < (_P_) 的次數）。 然後，對某個商多項式 $Q(x)$ 和餘數多項式 $R(x)$ （(_R_) 的係數 < (_D_) 的係數），

　
: ${\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$

這種變換叫做**除法變換**，是從算數等式 ${\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }$ 得到的。

## 應用

### 多項式的因式分解

有時某個多項式的一或多個根已知，可能是使用有理數根定理得到的。如果一個 $n$ 次多項式 $P(x)$ 的一個根 $r$ 已知，那麼 $P(x)$ 可以使用多項式長除法因式分解為 $(x-r)Q(x)$ 的形式，其中 $Q(x)$ 是一個 $n-1$ 次的多項式。簡單來說， $Q(x)$ 就是長除法的商，而又知 $r$ 是 $P(x)$ 的一個根、餘式必定為零。

相似地，如果不止一個根是已知的，比如已知 $r$ 和 $s$ 這兩個，那麼可以先從 $P(x)$ 中除掉線性因子 $x-r$ 得到 $Q(x)$ ，再從 $Q(x)$ 中除掉 $x-s$ ，以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子 $x^{2}-(r+s)x+rs$ 。

使用這種方法，有時超過四次的多項式的所有根都可以求得，雖然這並不總是可能的。例如，如果有理數根定理可以用來求得一個五次方程的一個（比例）根，它就可以被除掉以得到一個四次商式；然後使用四次方程求根的顯式公式求得剩餘的根。

### 尋找多項式的切線

多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。 如果 $R(x)$ 是 ${\frac {P(x)}{(x-r)^{2}}}$ 的餘式 —— 也即，除以 $x^{2}-2rx+r^{2}$ —— 那麼在 $x=r$ 處 $P(x)$ 的切線方程是 $y=R(x)$ ，不論 $r$ 是否是 $P(x)$ 的根。

## 參見

* 多項式餘數定理
* 綜合除法
* 歐幾里得整環
* Gröbner basis
* 多項式最大公因子

## 引用
多项目运动

**多項目運動**或**綜合運動**（multisport）是指由兩種或兩種以上不同的運動組成的一系列運動。常見的多項目運動有：

## 參考資料

## 外部連結

* 2011 東北角海洋三鐵暨獨木舟越野國際挑戰賽（臺灣 2011 年首屆開辦）
多项选择题

**選擇題**是一種題型或方法，指從一組選項當中，選出一個或多個作為正確（或較適合）的答案。選擇題的英語名稱是 **Multiple choice question**（簡稱 **MC** 或 **MCQ**），雖字面上直譯為**多重選擇題**，但其在英語中的意思實際上是指單選題（只選一個選項），若為複選題（可選多個選項），則會在其後標註「一個或以上的選項會是答案」的說明。

在教學測試、選舉（候選人、黨派或政策的選擇）、市場調查以及其他一些領域中，經常使用選擇題這種形式。參與選擇題編寫的人，往往需要接受班傑明・布魯姆的學習目標分類學的訓練。

1914 年，Frederick J. Kelly 率先在堪薩斯州立大學使用選擇題的形式，最初目的之一是測試第一次世界大戰時期應徵新兵的能力。

## 優點

若出題者接受過良好的訓練，而題目的品質能夠有所保證，那麼作為測試專案，選擇題是一個非常有效的方式。而且，若教導學生選擇題形式的原理，並掃除他們對選擇題的誤解，學生在選擇題上的表現將更為優秀。不少評估則發現，選擇題題目較多的測試，測試的可靠性較高；對題目小心篩選，並注意測試中出現的特例，可靠性將可再提高。

當調查所分發的材料數量非常大的時候，選擇題的調查方式比需要書寫的回饋調查更節省時間。現在還可以利用軟體使用線上的調查方式，進一步地提高效率。選擇題適合用作客觀測試，因為選擇題的形式不需要老師對給出的答案打分，只是純粹憑藉參加測試者的選項進行評分，所以在最終的成績中，老師對學生的偏見或偏愛出現的可能性就大大降低。當然，如果出題者沒有接受過相關訓練，題目可能帶有主觀。另外，試卷應讓測試者清楚知道如何使用答題紙或線上測試的勾選框，以免產生誤會。

## 缺點

選擇題亦有以下缺點。

其一就是選擇題可能會出現模稜兩可的情況，若答題者未能如出題者所預計般闡釋題目，答題者選擇的答案理論上無錯，但因為未能答中出題者的答案而未能得分。當答題者答不出題目時，他們會嘗試去猜選項而不是認真思考選出正確的答案，這種情況稱為「多項猜測」（multiple guess）。相反，自由回答的題目（包括簡答題、問答題和應用題等）就會使答題者建立自己的觀點，從而取分。

選擇題的成績並不能充分反映學生對學科的認識。就算學生對問題稍有了解，但只要未能答中，就不能取得任何分數。而自由回答的問題就會給答題者一個展示的空間，可以抒發自己對於問題的理解，起碼可取得部份分數。就算學生對該問題並不了解，也可能有方法答中選擇題，例如在答題時排除顯然為錯的選項，學生亦可能逐個測試答案（尤其是數學選擇題），增加答中機會。當然，有時選擇題的選項是故意加入讓學生排除掉。例如：設 $x$ 為一實數，根據 $4x^{2}+bx=3$ 方程式， $x^{2}$ 之值為多少？由於一個實數的平方必定大於等於零，答題者便可以刪去法刪去所有負數選項。

另外，不懂題目的學生可能靠胡亂猜測而得分，學生通常在測試將近結束時亂劃答案。所以在一些考試中，如澳大利亞數學競賽，為防止這種現象發生，就採取了給出錯誤答案要比不給出答案扣除更多分數的制度，以減低考生估答案的意圖。

雖然在教育領域中，選擇題由於其一些弊端不時受到爭議，可它在效用和成本方面的優勢使得選擇題仍然被廣泛採用。

## 結構

根據事實回答的選擇題，其形式有兩個部分組成：問題和答案選項。相比之下，應用類型的選擇題要有三個部分：題目、引導問題和答案選項。題目可以是一幅小插圖或者是對現象進行詳細的描述，保證問題能讓答題者看懂，並具有最高的正確性。引導問題告訴答題者需要怎樣回答，例如一道有關醫學的選擇題，會問：「你覺得診斷的結果最有可能是什麼？」或者「你認為這種疾病最有可能是什麼病原體導致的？」。

## 例子

以下列出單選題的例子，**粗體**為正確答案。

1. 給定方程式 $2x+3=4$ ，請問 $x$ ，是多少？ 
A) 4 
B) 10 
**C) 0.5** 
D) 1.5 
E) 8
2. 德國的首都是下列哪一個城市？ 
A) 孟買 
B) 烏蘭巴托 
C) 莫斯科 
**D) 柏林**

此題型最早出現在 2004 年香港高級程度會考中國語文及文化科試卷三聆聽理解考試，由於答錯概率比較高，故此被考生戲稱為「奪命四式」

1. 請判斷以下陳述： 
「國際天文學會於 2006 年宣布：太陽系只有八大行星；冥王星不再存於太陽系之中。」 
A) 正確 
B) 錯誤 
**C) 部分正確** 
D) 無從判斷
2. 哪一個速食店只有臺灣南部有，而且公司要求每一家分店每週選擇一天公休，且公休日只有總店可以決定，且總店用電腦編班來決定分店是星期幾公休的呢？ 
A) 八方雲集 
**B) 丹丹漢堡** 
C) 頂呱呱 
D) 王品牛排
1. 《春江花月夜》包含三個相關的主題，在第一個主題中，作者透過景物的描寫，營造一個怎樣的世界？ 
**A) 清朗亮麗** 
B) 幽深淒冷 
C) 煩水迷離 
D) 壯闊瑰奇

## 種類

選擇題有許多類型，一般有單選題、複選題（不同於英文的 Multiple Choice）、不定項選擇題等。

### 單選題

單選題一般在試卷上給出的描述是：選出你認為正確的答案，答案只有一個，多選、不選、選錯均不計分。

### 複選題

複選題亦稱作多選題。一般在試卷上給出的描述是：答案可能不只有一個，多選或選錯每個選項扣◯分，直到該題分數扣完為止。有些考試亦有「倒扣分數」或是全對才給分的規則。

### 不定項選擇題

不定項選擇題一般在試卷上給出的描述是：選出你認為正確的答案，答案可能只有一個，也有可能有多個，多選、不選、選錯均不給分，少選給部分分數（有些場合為選錯倒扣分，也有少選不給分等）。台灣一般將此歸類在複選題範疇。

## 計分方式

有些選擇題純粹以答對給分，答錯或不答皆得零分；有些則是答對給分，答錯扣分，不答得零分。在後者的情形，亂猜答案的期望值為負，使純粹猜測的情況減少，也稱為「倒扣」。而倒扣記分又可以分成倒扣到所有試題總分為零為止，或倒扣到題組的得分為零為止等方式。全部答案一樣也當作零分。

## 參見

* 選擇
* 是非題
* 光學閱讀器

## 參考來源
多须公

**多須公**（學名：_Eupatorium chinense_）為菊科澤蘭屬的植物，是中國的特有植物。分布於中南半島以及中國大陸的廣東、雲南、福建、安徽、湖北、浙江、廣西、四川、貴州、湖南等地，生長於海拔 800 米至 1,900 米的地區，多生長在林下、村舍旁、山坡林緣、山坡草地上、山谷、灌叢以及田間，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
多须草科

**鼓槌草科**（學名：Dasypogonaceae），別名**多鬚草科**、**毛瓣花科**，是棕櫚目植物的一科。以前的分類學家一般將其分入刺葉樹科（Xanthorrhoeaceae），APG 分類法 (1998 年) 及 APG II 分類法 (2003 年) 根據其基因特徵，將其單獨列為一科，列入鴨跖草分支，但沒有能歸入任何一目；而鴨跖草分支則屬於單子葉植物分支。APG IV 分類法 (2016 年) 基於本科為棕櫚科的姐妹群，將本科歸入棕櫚目。

鼓槌草科植物現有 4 屬 16 種，是澳大利亞特有的科，當中最著名的植物就是蓬草樹（_Kingia australis_）。

## 下級分類

* 觸苞花屬 _Baxteria_
* 澳麗花屬 _Calectasia_
* 鼓槌草屬 _Dasypogon_
* 蓬草樹屬 _Kingia_

## 參考資料

## 外部連結

* 多鬚草科（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）L. Watson 和 M.J. Dallwitz (1992 年)。
* 西澳大利亞的多鬚草科
多须须鼬鳚

**多鬚鬚鼬䲁**（學名：_Brotula multibarbata_），或**多鬚鼬魚**、**鼬魚**，為蛇䲁科須鼬䲁屬的魚類，俗名多須鼬魚、多須鼬鯽。分布於九州島長崎、北達日本千葉縣、南達菲律賓、印度尼西亞、新幾內亞、印度西側及紅海以及南海等，屬於暖水性較大型底層海魚。該物種的模式產地在日本。

## 參考文獻

* 多鬚鼬魚 _Brotula multibarbata_ Temminck & Schlegel, 1846. 臺灣物種名錄。臺灣：中央研究院生物多樣性研究中心. [2013-01-24] （中文（臺灣））.

## 擴展閱讀
多颇章乡

**多頗章鄉**，是中華人民共和國西藏自治區山南市乃東區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

多頗章鄉下轄以下地區：

索朗村和布美村。

## 參考資料
多频道网络

**多頻道聯播網**（英語：Multi-channel network，簡稱 **MCN**，亦稱**網路創作者公司**、**網紅經紀公司**）是一個與影片相關機構（如 YouTube）合作的組織，可幫忙網路創作者製作影片（包含受眾群體拓展、內容編排、創作者協同運作、數位版權管理、獲利和 / 或銷售等服務），以換取該頻道的一部分各種收入。

## 知名 MCN

* Fullscreen
* WebTVAsia
* Big Frame
* DanceOn
* Maker Studios
* Machinima
* Tastemade
* AwesomenessTV
* BroadbandTV。

## 參見

* 多頻道聯播網列表

## 參考文獻
多食症

**多食症**（英語：polyphagia 或 hyperphagia），也作**食慾過旺**，是指極度的飢餓或食慾的增加。

## 醫學

在醫學中，多食症是一個醫學徵象，暗示著極度的飢餓飢餓狀態，以及反常食用固體食物，可由糖尿病、克萊恩 - 萊文症候群、基因紊亂的普瑞德威利症候群和巴德 - 畢德氏症候群引發。此外，破壞迷走神經的接收器也可造成多食症。

## 病因

多食症的成因有：

* 焦慮
* 非典型抑鬱障礙
* 一些藥物
* 糖尿病
* 甲狀腺功能亢進症
* 低血糖
* 經前綜合症
* 普瑞德威利症候群
* 神經性暴食症
* 瀰漫性毒性甲狀腺腫
* 克萊恩 - 萊文症候群

通常在糖尿病酮症酸中毒早期會出現多食症的症狀。然而，在胰島素越來越匱乏時、糖尿病酮症酸中毒進一步發展時，食慾就能控制住了。

## 參見

## 參考資料

## 外部連結

* Diseases and conditions associated with Polyphagia （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多餘_(歌曲)

〈**多餘**〉是一首國語流行歌曲，也是電影《沉睡的青春》主題曲。由知名音樂人陳小霞的弟子石裕博填詞及譜曲。這首歌是華研唱片在 2007 年六月下旬，從陳小霞那邊收到的。石裕博在創作時，特別上網瞭解這部電影的故事，所以寫出的歌詞才能如此貼近電影意境。出品的佳映電影公司，報名《多餘》參加 2007 年金馬獎最佳原創電影歌曲，但未獲提名。

演唱人為星光幫的楊宗緯，這也是楊宗緯個人第一首的單曲，這首歌是楊宗緯在超級星光大道比賽中所贏得的演唱機會，石裕博針對他的聲音特質量聲打造，是楊宗緯的第一首個人專屬歌曲。

## 錄音花絮

在「我連掙扎都不想抵抗」（57 秒）的「抗」這個字，楊宗緯的歌聲中有點沙啞哽咽的感覺，那是早上未開嗓錄的第一個版本，楊宗緯自己很滿意，後來再錄其他的版本，都沒有辦法比第一次錄的有味道，所以他特別要求老師一定要用這個版本，以與歌詞的意境搭配。

 

## 歌曲檔案

* 演唱人：楊宗緯
* 詞　曲：石裕博
* 編　曲：塗惠源
* 吉　他：黃中嶽
* 製　作：華研唱片

## 電臺播放

* 2007 年 7 月 26 日 HitoRadio 《多餘》首播

## 唱片銷售

## 線上點播

《多餘》在臺灣線上音樂台 ezPeer+（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）與 KKBox 提供點播。其中在 ezPeer+ 的總點播次數已超過 570 萬次，創下 ezPeer+ 上線以來**所有單曲最高的點播率**。

* ezPeer+（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 從 2007 年 7 月 27 日開始，蟬聯華語歌曲排行榜**連續 22 週冠軍**
* KKBox 從 2007 年 10 月 7 日開始，蟬聯華語歌曲人氣榜 **4 週冠軍**
* KKBox 2007 年 **「年度風雲十大單曲」第二名**

## 參考資料

## 外部連結

* 《多餘》完整歌詞
* 《多餘》MV （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 陳小霞談《多餘》收錄的緣由
多饒·喬治街猶太會堂

**多饒・喬治街猶太會堂**（The Dózsa György Street Synagogue）是匈牙利首都布達佩斯的一座建築。這座建築最初作為猶太會堂使用，現在則是一個擊劍場地。猶太會堂始建於 1907 年，在 1909 年竣工。

## 參考文獻

* Vívóterem lett a hajdani zsinagógából. hg.hu. 2011-09-08 [2011-12-30]. （原始內容存檔於 2011-11-27）.
* 100 éves a Dózsa György úti zsinagóga. MAZSIHISZ. 2009-08-28 [2011-12-30].
* Rólunk - Dózsa György úti zsinagóga. [2011-12-30].
* Dózsa György Street Synagogue in the Bezalel Narkiss Index of Jewish Art, Center for Jewish Art, Hebrew University of Jerusalem
多首都

部分國家擁有**多個首都**。在部分情況，一個城市是一個有特定用途的首都，有另一些城市是有其他用途的首都，不存在一個被視為最高的官方首都。

這裡也有情況當中存在一個法定首都，但有一個或多個其他城市是中央政府部分或全部職能的所在地。雖然這些情況技術上不是多首都，但情況是相近的；因此，它們會被涵蓋於此列表裡。

## 現存的多首都國家

## 其他國家

以色列定都於耶路撒冷，但是由於耶路撒冷的政治問題仍然未有最終定案，多數國家會把大使館設於特拉維夫。由 1948 年 5 月至 12 月，特拉維夫和耶路撒冷都是以色列實際聯合首都。巴勒斯坦同樣宣稱耶路撒冷為首都，但現時實際上國際承認巴勒斯坦政府所在地是拉姆安拉，而哈馬斯政府所在地是加薩。

在韓國，盧武鉉在任大韓民國總統期間制定行政中心城市計劃，將規劃興建新都市取代首爾，成為韓國實質上的行政首都，並於其後以朝鮮世宗命名，最終定名為世宗特別自治市。惟李明博接任總統後，因為計劃受到質疑而廢止。最終韓國實際上變更為雙首都模式。世宗市的行政建制正式成立後，總統府、大韓民國國會、大韓民國大法院等重要國家機關仍然駐於首爾，而其他 36 個政府機構則於 2012 年 9 月至 2014 年年底期間陸續播遷至此。預計於 2030 年世宗市人口可達 50 萬。

在德國，最高司法機構（德國聯邦最高法院和德國聯邦憲法法院）位於卡爾斯魯爾，而國家政治首都是柏林。部分機構仍然主要設於波昂，前西德首都，現在仍有「聯邦市」（Bundesstadt）之稱。

宏都拉斯憲法說明特古西加爾巴和科馬亞圭拉都是國家的首都。不過，政府所有部門都位於特古西加爾巴。科馬亞圭拉現在是特古西加爾巴大都會區的一部分。

在秘魯，《秘魯憲法》聲稱庫斯科是「歷史首都」（西班牙語：Capital Histórica），一個象徵式的聲明，因為國家政府繼續位於利馬。

塞族共和國，波士尼亞與赫塞哥維納的構成國，按照《岱頓協定》把塞拉耶佛定為憲法首都，與國家首都一樣；但實際上，他們的政府位於巴尼亞盧卡。

策提涅是歷史上、傳統上和第二的蒙特內哥羅首都。該城的地位獲得憲法的特別認可。雖然蒙特內哥羅總統的正式住處是位於該城，其餘的政府都位於波德里查。

聖彼得堡，前俄羅斯帝國首都，被非正式地承認為俄羅斯北方的陪都。2009 年，俄羅斯聯邦憲法法院由莫斯科遷往聖彼得堡，給予聖彼得堡部分首都應有的職能。

馬尼拉是菲律賓正式首都，菲律賓政府的行政及政治中心廣泛分佈於馬尼拉大都會。馬拉坎南宮，政府的行政中心以及最高法院大樓，國家的司法中心都位於馬尼拉本部，而立法部門位於都會區內的另外兩座城市，眾議院在奎松市而參議院則在帕賽市。

在南非，布隆泉被視為實際司法首都，因為最高上訴法院位於當地。憲法法院位於約翰尼斯堡，它在憲法問題上是更高級的上訴法院。

雖然英國只有一個首都，倫敦，但是也有三座其他城市屬於其所屬構成國的首都。貝爾法斯特、卡地夫和愛丁堡分別是北愛爾蘭、威爾斯和蘇格蘭的首府，而倫敦同時也是英格蘭的首府。

## 曾經的多首都國家

許多國家在任何特定時間僅擁有一個首都，但隨著時間的流逝，它們賦予了多於一個城市首都地位。

由於戰爭、天氣或分裂等各種原因，這些當前國家有兩個城市同時充當行政首都。在某些情況下，第二首都被視為臨時首都。

**^A** 波昂曾經是西德首都。兩德統一使柏林成為統一德國的首都，九年後政府才遷到柏林。

## 參見

* 陪都
* 中國古都
* 各國首都列表
* 前首都列表
* 特定首都的列表
* 各國第一大和第二大城市列表

## 參考資料
多香木

**多香木**（學名：_**Polyosma cambodiana**_）為南鼠刺科多香木屬下的一個種。

## 參考文獻
多香木属

**多香木屬**（學名：_Polyosma_）為南鼠刺目南鼠刺科的一個屬，約有 78 個物種，曾被單獨歸類為**多香木科**（Polyosmaceae），原生於東南亞至大洋洲一帶。

## 分布

本屬分布在喜馬拉雅山東部、中國西南部，澳大利亞北部和東部以及新喀里多尼亞，中國只有 1 種 — 多香木（_Polyosma cambodiana_ Gagnep.），生長在雲南一帶。

## 形態

本科植物為喬木或灌木；單葉對生，干時變為黑色；一般 5 裂，葉柄長，無托葉；花單性，白色或淡綠色，排成頂生的總狀花序，花瓣 4，線形，花蕾長；果實為核果，只有 1 顆種子，含澱粉。

## 分類

1981 年的克朗奎斯特分類法將其列在虎耳草科，1998 年根據基因親緣關係分類的 APG 分類法認為應該單獨分出一個科，但無法列在任何一個目中，直接放在 II 類真菊分支之下，2003 年經過修訂的 APG II 分類法維持原分類。APG III 及 APG IV 將其歸類至南鼠刺科。

### 內部分類

本屬 78 個受承認的物種如下：

## 參考文獻

## 外部連結

* APG 網站中的多香木科（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* NCBI 中的多香木科
多香果

**多香果**又名**眾香子**、**牙買加胡椒**，是桃金孃科多香果屬的一種植物，原產於美洲的熱帶地區。乾燥未成熟的果實與葉子可以做為香料使用，由於果實具有丁香、胡椒、肉桂、肉荳蔻等多種香料的味道，所以被稱為多香果。

## 味道

多香果具有多種香料的味道，嚐起來像是肉桂、肉豆蔻和丁香的混合物，不過味道比較辣，辣度介於 100 至 500 史高維爾指標之間。

## 歷史

哥倫布當年為了尋找胡椒而航行出海，在加勒比海地區發現了多香果，由於哥倫布並未看過真正的胡椒果實，他認為多香果就是胡椒，並且將多香果帶回西班牙，在當時稱多香果為「pimienta」，「**pimienta**」是西班牙語胡椒的意思，多香果的另一個英語名稱「pimento」就是由西班牙語「pimienta」轉變而來的。在第二次世界大戰以前，多香果的使用比現今更為廣泛，在戰爭期間，大量多香果樹被砍伐掉，至今產量尚未完全恢復至戰前的數量。牙買加是多香果的主要產地，另外瓜地馬拉、宏都拉斯以及墨西哥也都出產多香果。牙買加出產的多香果由於含油量高，被認為是品質最好的多香果。

## 使用

有些人只看過研磨成粉狀的多香果粉，常常會誤以為多香果粉是由多種香料混合而成的，實際上，多香果粉只是由乾燥後的多香果一種香料研磨而成的。在果實尚未成熟時，將綠色的果實採收下來，乾燥後備用，傳統的做法是在陽光下曬乾。乾燥後的果實呈褐色，有點像是大顆的胡椒果粒。

多香果通常是以完整的果粒或是磨成粉狀來銷售，乾燥的果粒保存期比粉狀產品的較長，而且在要用時才用果粒現磨成的粉末也比較香。新鮮的多香果葉子也可以做香料使用，用法和月桂葉類似，在煮食物時加入一起煮，食物起鍋後要裝盤時拿掉，煮過的葉子並不會拿來吃。多香果葉和月桂葉不同之處是，多香果葉在乾燥後或儲存時會喪失很多香味。在牙買加也常會拿多香果的葉子與木材來燻肉。

多香果中有含有丁子香酚的揮發油，這種物質有除菌的作用，因此也可用來製作除臭劑。

## 栽培

多香果是一種小喬木，樹高可達十公尺左右，樹型與大小和月桂樹頗為相似。果實為小圓球形，直徑約 1-1.5 公分，內有二顆種子。老熟的植株比較耐寒，幼小的植株較不耐寒，太冷時會使植株凍死。在熱帶及亞熱帶地區可以種植在室外，也可以將多香果種在盆子裡，放在溫室或當室內植物栽培，它都可以適應的很好。多香果為雌雄異株的植物，雌性株與雄性株這二種不同性別植物要儘量種在一起，不要相距太遠，使其可以順利的授粉及結果。

## 參考文獻

* Tom Stobart. Herbs, Spices and Flavourings. Penguin books. 1977.
* Yaniv, Zohara; et al. Hand Book of Medicinal Plants. New York: Food Products Press（r）. 2005.  引文格式 1 維護：顯式使用等標籤 (link)

## 外部鏈接

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：多香果
* 維基共享資源上的相關多媒體資源：多香果
* 維基物種上的相關資訊：多香果
* _Pimenta dioica_. Floridata Plant Encyclopedia. [2018-02-15]. （原始內容存檔於 2021-03-05）.
* _Pimenta dioica_. Plants of Hawaii. Hawaiian Ecosystems at Risk project (HEAR). [2018-02-15]. （原始內容存檔於 2008-10-11）.
* Allspice. Gernot Katzer's Spice Pages. [2018-02-15]. （原始內容存檔於 2021-01-17）.
* Allspice. Trade Winds Fruit. [2018-02-15]. （原始內容存檔於 2013-05-09）.
* Allspice. The Encyclopedia of Spices. Epicentre.com.
多香腸面形

在幾何學中，**多面形**（英語：Hosohedron）是一種由月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌，並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2, n} 表示 n 面形。

其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖，又稱為**二角形鑲嵌**或**二邊形鑲嵌**。

## 正多面形

在施萊夫利符號中以 {m, n} 表示的正多面體，其面的個數存在下列等式：

　
: $N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}$

自古以來大家所熟知的正多面體 —— 柏拉圖立體是當 m≥3 且 n≥3 的整數解，限制在 m≥3 的狀態下，多邊形面必須至少有三條邊。

當考慮多面體為球面鑲嵌時，該限制可以放寬，因為二角形（二邊形）可以以球弓形或月牙形存在，即球面二角形具有非零面積。當 m=2 時則會產生一個新的無窮集合，即多面形。在球面上，所述多面體 {2, n} 表示當 n 個球弓形組合，並且具有 2π/_n_ 內角。所有二角形階共用相同的兩個頂點，即每個頂點皆為所有二角形的公共頂點。

每個正多面形都是 n 階二邊形鑲嵌。

## 命名

英文 Hosohedron 一詞由考克斯特命名，其來自希臘語ὅσος (osos/hosos)，是『盡可能多』的意思，其意思為『盡可能達到很多的面的形狀』因此稱為多面形。

## 多維面形

多維面形是多面形在高維度的類比，表示有多個維面的幾何圖形。任何正的維面形都可以以施萊夫利符號 {2,p,...,q} 表示

## 相關幾何體

### 多香腸面形

**多香腸面形**（lucanicohedron）又稱為**截半多面形**（rectified hosohedron）是一種半正則地區圖，源自於多面形，其結構為兩個多邊形底面以類似多邊形二面體的方式貼合，但貼合的棱處加上二角形的側面所構成的正則地區圖，名稱 lucanicohedron 源自於這種立體以二角形在側面循環有如香腸串一般，因此取香腸的希臘語 λουκάνικο 作為字首 lucanico - 結合多面體字尾 - hedron 構成的複合詞。

多香腸面形是多面形或多邊形二面體經截半變換的結果。

## 參見

* 多面體
* 多胞形
* 多胞體

## 參考文獻

* Coxeter, H.S.M; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
* 埃里克・韋斯坦因. Hosohedron. MathWorld.
多馬

**多馬**可能指以下意思之一：

## 人物

* 埃弗塞・多馬：俄裔美國經濟學家
* 聖多馬（Thomas）：聖經人物
* 多馬 (北歐神話)（Domar）：北歐神話人物
* 多馬 (迦納)（Dormaa）：迦納布朗阿哈福地區城鎮多馬阿亨克羅的簡稱

## 城市

* 多馬 (約訥省)，法國市鎮。
* 多馬 (德國)，德國薩克森州的市鎮

## 其他

* 朵瑪：藏傳佛教中，用酥油和糌粑作的塔形供品
多馬_(使徒)

**多馬**（天主教稱**多默**），又稱「低土馬」（意即「雙生子」），耶穌十二門徒之一。近年有學者提出多馬為耶穌的孖生兄弟的論述，但相關說法仍有待考證。《對觀福音》和《使徒行傳》把他列在門徒名單上（《馬太福音》第 10 章第 3 節、《馬可福音》第 3 章第 18 節、《路加福音》第 6 章第 15 節），但有關資料不多，對他的敘述集中在約翰福音。

## 新約中的多馬

約翰福音數次提到他。在拉撒路剛死去，耶穌對門徒說，要再往猶太地去，門徒即表示那將是危險的行程（《約翰福音》第 11 章第 7-8 節），因為之前猶太人曾想用石頭打死他。當耶穌表明堅決之態度後，多馬向其他使徒說：「我們也去和祂同死吧！」(約翰福音 11：16)

當耶穌在最後晚餐向門徒明示自己將要離去，並向門徒保證自己必再來接門徒到所預備的地方同住，同時又說這條路門徒是知道的（《約翰福音》第 14 章第 1-4 節），而多馬抗議他們不知道。（《約翰福音》第 14 章第 5 節），耶穌就此說了一段詳細而難明有關他與上帝關係的道。

多馬最為人知在《約翰福音》第 20 章第 24-25 節，他懷疑耶穌復活，表示要摸到他的傷口才相信真有其事，而耶穌亦顯示了其身上的傷痕證實自己復活。在看到活著的耶穌後，他宣告對耶穌的信心，耶穌亦稱他為信徒。

## 教會傳統中的多馬

據教會傳統說法，多馬後來去到印度傳福音並在當地殉道。歷史上無法判斷多馬曾否到訪北印度，但這不是不可能的事，傳統上是說他在南印度殉道。時間推斷為公元 72 年，於清奈（Chennai）附近殉道，被當地的印度教教徒殺死。印度的傳統教會及基督徒群體，傾向支持多馬是在 7 月 3 日逝世，也定下這天為「聖多馬日」在印度也有一群自稱為「多馬基督徒」（Thomas Christian），因爲他們相信多馬於公元 52 年把基督教帶到喀拉拉邦，其後待在印度沒有回去，直至殉道。

耶柔米貴為西方教會中學識最淵博的拉丁教父、基督教學者和聖經翻譯家，他們共同書寫了（《給馬塞廬斯書信》，公元 59 年），在信中有一句話是這樣說的：「有多馬在印度。」或在凱撒利亞的優西比烏的著作當中，提到的教會史料亦看見多馬的足跡。多馬把基督信仰傳到東北面的奧斯若恩（Osrhoene）的緩衝王國，其首都埃得沙王阿布加（Abgar）向多馬求救，希望多馬能差人來醫治自己，這個人就是聖猶達（Thaddaeus），由這位記載在路加福音第十章的 70 門徒之一，前往埃得沙承擔重任。說他是被矛刺死的。古代教會用一支矛與一柄木匠曲尺為標誌，來象徵多馬的忠心與犧牲。他是失明者、印度、巴基斯坦、斯里蘭卡的主保聖人。

## 多馬福音

在初期教會，曾有一卷《多馬福音》流傳，被指為由使徒多馬所寫。第四世紀中，耶路撒冷的西里爾主教（Cyril of Jerusalem，315－386）認為這份文件是出自摩尼三門徒之一的手。然而，這份文件的內容有三分之一的篇幅與對觀福音有重疊，是目前所發現的古文獻中最接近正典福音書的另一份文件。這份語錄式的福音外傳，有相當多的論述接近佛教禪宗靈修的說法。

《多馬福音》不被初期教會接納為聖經正典之中，正因其諾斯底主義的內容。

## 參考文獻

## 外部連結

* St. Thomas the Apostle

## 參見

* 雅代
* 早期基督教
* 聖多馬教會
多馬_(迦納)

**多馬阿亨克羅**（英語：Dormaa Ahenkro），簡稱**多馬**（Dormaa），為迦納南部的城市，同時也是中多馬區的首府。2010 年人口普查中該城市有 37,455 人。

## 地理

### 位置

多馬阿亨克羅位於博諾大區，距象牙海岸約 15 公里。

## 醫療衛生

多馬長老醫院（Dormaa Presbyterian Hospital，坐落於此，1955 年設立。

## 體育

### 體育場

* 阿傑曼巴杜體育場

### 足球俱樂部

* 阿杜亞納星足球俱樂部。

## 資料來源
多馬·孟蓀

**多馬・孟蓀**（英語：**Thomas Spencer Monson**，1927 年 8 月 21 日 —2018 年 1 月 2 日），美國宗教界人物，為耶穌基督後期聖徒教會第 16 任總會會長。作為教會總會會長，孟蓀被耶穌基督後期聖徒教會教友看作神在世上的先知、先見和啟示者。

## 生平

孟蓀長期從事教會的領導和社會服務工作。他於 36 歲時被按立為使徒，並且於 1995 年 3 月 12 日起擔任十二使徒定額組主席，直到他成為教會總會會長。2008 年 2 月 3 日，他接替戈登・B・興格來成為耶穌基督後期聖徒教會總會會長。

孟蓀擁有四個榮譽博士頭銜，他還是美國童軍銀水牛獎章和世界童軍銅狼獎章獲得者 —— 兩者都是兩個組織里的最高獎項。孟蓀兼任教會教育系統和董事會主席。他被隆納・雷根總統任命加入美國總統的私營部門倡議專責小組。孟孫娶弗蘭西斯・百弗利・強生・孟孫為妻子。他們共育有三名子女。

## 獎項

名譽學位：

* Hon. D.L.（1981 年）
* Hon. D.H.L.（1996 年）
* Hon. D.B.（2007 ）

## 參考來源

## 外部連結

* Thomas S. Monson （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, official church profile.
* Thomas S. Monson （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Profile, Timeline and Biography.
* Thomas S. Monson （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Mormon Newsroom, Leadership Biographies.
* Thomas S. Monson, _Church News_ feed.
* Thomas S Monson 的 Facebook 專頁
* Thomas S. Monson, Wiki Quotes.
多馬什內亞鄉

**多馬什內亞鄉**（羅馬尼亞語：Comuna Domașnea, Caraș-Severin），是羅馬尼亞的鄉份，位於該國西南部，由卡拉什 - 塞維林縣負責管轄，面積 54 平方公里，海拔高度 564 米，2007 年人口 1,399，人口密度每平方公里 26 人。

## 參考資料

* 2011 Romania census (PDF). [2018-04-21]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2020-09-20）.
* （羅馬尼亞文） Domaşnea web site （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬什夫_(基韋爾齊區)

**多馬什夫**（烏克蘭語：Домашів），是烏克蘭的村落，位於該國西部沃倫州，由基韋爾齊區負責管轄，始建於 1583 年，面積 1.27 平方公里，海拔高度 191 米，2001 年人口 253，人口密度每平方公里 199.84 人。

## 參考資料

* Погода в селі Домашів （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬什夫_(索卡爾區)

**多馬什夫**（烏克蘭語：Домашів），是烏克蘭的城鎮，位於該國西部利沃夫州，由索卡爾區負責管轄，始建於 1564 年，面積 2.86 平方公里，海拔高度 214 米，2001 年人口 925，人口密度每平方公里 323.43 人。

## 參考資料

* Погода в селі Домашів （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬什尼島

**多馬什尼島**是俄羅斯的島嶼，屬於北地群島的一部分，位於斯列德尼島以南 800 米，由克拉斯諾亞爾斯克邊疆區負責管轄，長 4.25 公里、寬 0.95 公里，最高點海拔高度 20.7 米，島上無人居住。
多馬什林

**多馬什林**（烏克蘭語：Домашлин），是烏克蘭的村落，位於該國北部切爾尼戈夫州，由科留科夫卡區負責管轄，始建於 1500 年，面積 2.33 平方公里，海拔高度 146 米，2001 年人口 505，人口密度每平方公里 216.5 人。

## 參考資料

* Домашлин на веб-сайті Верховної Ради України
* Корюківський район （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Прогноз погоди в селі Домашлин （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬區

**中多馬區**（英語：Dormaa Central Municipal District）為迦納博諾大區轄下的市級區。其區域面積 1,229 平方公里，2021 年人口 112,702 人。多馬阿亨克羅（Dormaa Ahenkro）為該縣區的首府。

1989 年 3 月 10 日設立之初稱多馬縣（Dormaa District），2007 年 11 月 1 日，原縣東部分出新設東多馬縣，並自隔年 2 月 29 日生效。2012 年 1 月 28 日升格為市級區，並更名為中多馬區。

## 聚居地

以下只列出中多馬區人口前二十多的聚居地：

## 參考資料

## 外部連結

* Statoids 網站：Dormaa Municipal District
* District: Dormaa Municipal
多馬哈河_(南布格河支流)

**多馬哈河**（烏克蘭語：Домаха），是烏克蘭的河流，位於該國西部，屬於南布格河的左支流，發源自阿達姆皮利，流經赫梅利尼茨基州和文尼察州，河道全長 20 公里，流域面積 112 平方公里。

## 參考資料

* Домаха
多馬尼夫卡

**多馬尼夫卡**（烏克蘭語：Доманівка），是烏克蘭的市級鎮，位於該國南部，由尼古拉耶夫州負責管轄，是多馬尼夫卡區的首府，面積 4.07 平方公里，2011 年人口 6,288，人口密度每平方公里 1,545 人。

## 參考資料

* Державний комітет статистики України. Чисельність наявного населення України на 1 січня 2011 року, Київ-2011 (doc)
多馬尼夫卡_(伊萬基夫區)

**多馬尼夫卡**（烏克蘭語：Доманівка）是位於烏克蘭北部的村莊，由基輔州維什霍羅德區的伊萬基夫市鎮負責管轄。該村面積 2.1 平方公里，海拔高度 125 米，2001 年人口 217，人口密度每平方公里 103.3 人。

## 參考資料

* Доманівка на сайті ВРУ
多馬尼夫卡區

**多馬尼夫卡區**（烏克蘭語：Доманівський район），曾是烏克蘭尼古拉耶夫州的一個區，位於該國南部，行政中心設於多馬尼夫卡，面積 1,458 平方公里，2013 年人口 25,862，人口密度每平方公里 17.7 人。

該區在 2020 年 7 月 18 日的烏克蘭行政區劃改革中被撤銷，改革後尼古拉耶夫州下分為 4 個區。

## 參考文獻

## 外部連結
多馬戈·布巴羅

**多馬戈・布巴羅**（英語：Domagoj Bubalo，1991 年 8 月 2 日 —）為克羅埃西亞男子籃球運動員，場上主打中鋒位置。

## 生平

2019 年 8 月加盟東南亞職業籃球聯賽（ABL）寶島夢想家，9 月觀護盃進行測試後未續留。

## 參考資料

## 外部連結

* 多馬戈・布巴羅的 Instagram 帳戶
* 多馬戈・布巴羅在 archive.fiba.com 的資訊（英語）
* 多馬戈・布巴羅在 Eurobasket.com 的資訊（英語）
* 多馬戈・布巴羅在 RealGM 的資訊（英語）
* 多馬戈・布巴羅在 Proballers 的資訊（英語）
多馬戈伊·安東利奇

**多馬戈伊・安東利奇**（克羅埃西亞語：Domagoj Antolić；1990 年 6 月 30 日 —）是一位克羅埃西亞足球運動員。在場上的位置是中場。他現在效力於克羅埃西亞足球甲級聯賽球隊薩格勒布迪納摩足球俱樂部。他也代表克羅埃西亞國家足球隊參賽。

## 參考資料
多馬戈伊·帕維契奇

**多馬戈伊・帕維契奇**（**克羅埃西亞語：Domagoj Pavičić**，1994 年 3 月 9 日 —）是克羅埃西亞的一位足球運動員，在場上司職中後衛。他現在效力於克羅埃西亞足球甲級聯賽球隊薩格勒布迪納摩足球俱樂部。他在薩格勒布迪納摩的首個進球是在迪納摩對陣扎達爾時取得的。

## 參考資料

## 外部連結

* GNK Dinamo Zagreb profile （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Soccerway profile （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬戈伊·維達

**多馬戈伊・維達**（**Domagoj Vida**）是克羅埃西亞的一位職業足球員。在場上司職後衛。現效力於希臘足球超級聯賽球隊 AEK 雅典。他也代表克羅埃西亞國家足球隊參賽。

## 參考資料
多馬日利采

**多馬日利采**是捷克的城鎮，位於該國西南部，距離首府比爾森 53 公里，由比爾森州負責管轄，面積 24.61 平方公里，海拔高度 428 米，2007 年人口 10,970。

## 外部連結

* http://www.domazlice.info （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Official site of Domažlice
* Domažlice （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
* http://www.idomazlice.cz （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Information service of Domazlice
多馬日利采縣

**多馬日利采縣**（捷克語：Okres Domažlice），是捷克的縣份，位於該國西部，由比爾森州負責管轄，首府設於多馬日利采，面積 1,123 平方公里，2007 年人口 59,748，人口密度每平方公里 52 人。
多馬日爾河

**多馬日爾河**（烏克蘭語：Домажир），是烏克蘭的河流，位於該國西部利沃夫州，屬於別列希齊亞河的左支流，流經亞沃里夫區和戈羅多克區，河道全長 24 公里，流域面積 224 平方公里，支流有濟姆納河。

## 參考資料

* Характеристика річок Львівської області
多馬特

**多馬特**是瑞士的城鎮，位於該國東部，由格勞賓登州負責管轄，面積 24.22 平方公里，海拔高度 586 米，2011 年人口 7,392，六成居民信奉羅馬天主教，人口密度每平方公里 305 人。
多馬縣

**中多馬區**（英語：Dormaa Central Municipal District）為迦納博諾大區轄下的市級區。其區域面積 1,229 平方公里，2021 年人口 112,702 人。多馬阿亨克羅（Dormaa Ahenkro）為該縣區的首府。

1989 年 3 月 10 日設立之初稱多馬縣（Dormaa District），2007 年 11 月 1 日，原縣東部分出新設東多馬縣，並自隔年 2 月 29 日生效。2012 年 1 月 28 日升格為市級區，並更名為中多馬區。

## 聚居地

以下只列出中多馬區人口前二十多的聚居地：

## 參考資料

## 外部連結

* Statoids 網站：Dormaa Municipal District
* District: Dormaa Municipal
多馬莫里奇

**多馬莫里奇**（烏克蘭語：Домаморич），是烏克蘭的城鎮，位於該國西部捷爾諾波爾州，由捷爾諾波爾區負責管轄，始建於 1642 年，面積 1.8 平方公里，海拔高度約 300 米，2001 年人口 692。
多馬諾韋

**多馬諾韋**（烏克蘭語：Доманове），是烏克蘭的村落，位於該國西部沃倫州，由拉特涅區負責管轄，面積 0.73 平方公里，海拔高度 151 米，2001 年人口 289，人口密度每平方公里 393.73 人。

## 參考資料

* Доманове
* Погода в селі Доманове （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多馬阿亨克羅

**多馬阿亨克羅**（英語：Dormaa Ahenkro），簡稱**多馬**（Dormaa），為迦納南部的城市，同時也是中多馬區的首府。2010 年人口普查中該城市有 37,455 人。

## 地理

### 位置

多馬阿亨克羅位於博諾大區，距象牙海岸約 15 公里。

## 醫療衛生

多馬長老醫院（Dormaa Presbyterian Hospital，坐落於此，1955 年設立。

## 體育

### 體育場

* 阿傑曼巴杜體育場

### 足球俱樂部

* 阿杜亞納星足球俱樂部。

## 資料來源
多马

**多馬**可能指以下意思之一：

## 人物

* 埃弗塞・多馬：俄裔美國經濟學家
* 聖多馬（Thomas）：聖經人物
* 多馬 (北歐神話)（Domar）：北歐神話人物
* 多馬 (迦納)（Dormaa）：迦納布朗阿哈福地區城鎮多馬阿亨克羅的簡稱

## 城市

* 多馬 (約訥省)，法國市鎮。
* 多馬 (德國)，德國薩克森州的市鎮

## 其他

* 朵瑪：藏傳佛教中，用酥油和糌粑作的塔形供品
多马_(德国)

**多馬**（德語：Dohma）是德國薩克森邦的一個市鎮，隸屬於薩克森施韋茨 - 東厄爾士山郡。總面積為 19.53 平方公里，截至 2020 年總人口為 1954 人。

## 參見

* 薩克森邦市鎮列表

## 參考來源
多马丁_(杜省)

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽））是法國杜省的一個市鎮，位於該省南部，屬於蓬塔利耶區。

## 地理

多馬坦（46°55'29"N, 6°18'25"E）面積 6.39 平方千米，位於法國勃艮第 - 法蘭琪 - 康堤大區杜省，該省份為法國東部內陸省份，北起上索恩省，西接侏羅省，東部及東南部與瑞士接壤，東北部與貝爾福地區省接壤。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：比揚萊敘西耶、蓬塔利耶、松巴庫爾、維耶桑、烏托。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 25300，INSEE 市鎮編碼為 25201。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為蓬塔利耶縣。

## 人口

多馬坦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 737 人。

## 參見

* 杜省市鎮列表

## 參考文獻
多马丁瓦里蒙

**多馬坦 - 瓦里蒙**（法語：Dommartin-Varimont，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ vaʁimɔ̃]）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東部，屬於香檳沙隆區。該市鎮於 1965 年由原市鎮耶夫爾河畔多馬坦（Dommartin-sur-Yèvre）和瓦里蒙（Varimont）合併而成。

## 地理

多馬坦 - 瓦里蒙（48°58'41"N, 4°46'56"E）面積 23.6 平方千米，位於法國大東部大區馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起亞爾丁省，西北接埃納省，西南接塞納 - 馬恩省，南至奧布省，東南接上馬恩省，東臨默茲省。

與多馬坦 - 瓦里蒙接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：當皮埃爾堡、埃龐斯、埃爾蓬、努瓦爾略、索姆耶夫爾。

多馬坦 - 瓦里蒙的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦 - 瓦里蒙的郵政編碼為 51330，INSEE 市鎮編碼為 51214。

## 政治

多馬坦 - 瓦里蒙所屬的省級選區為阿戈訥 - 敘普 - 韋勒縣。

## 人口

多馬坦 - 瓦里蒙於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 138 人。

## 參見

* 馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马丁莱特雷

**多馬坦萊特雷**（法語：Dommartin-Lettrée，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lɛtʁe]）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東南部，屬於維特里勒弗朗索瓦區。

## 地理

多馬坦萊特雷（48°45'59"N, 4°17'55"E）面積 32.67 平方千米，位於法國大東部大區馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起亞爾丁省，西北接埃納省，西南接塞納 - 馬恩省，南至奧布省，東南接上馬恩省，東臨默茲省。

與多馬坦萊特雷接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：比西萊特雷、塞爾農、庫佩、福 - 韋西尼厄勒、索姆蘇、蘇代。

多馬坦萊特雷的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦萊特雷的郵政編碼為 51320，INSEE 市鎮編碼為 51212。

## 政治

多馬坦萊特雷所屬的省級選區為香檳沙隆第三縣。

## 人口

多馬坦萊特雷於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 155 人。

## 參見

* 馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马丹苏昂

**多馬丹蘇昂**（法語：Dommartin-sous-Hans）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東北部，屬於聖默努區。該市鎮總面積 6.49 平方公里，2009 年時的人口為 52 人。

## 人口

多馬丹蘇昂人口變化圖示

## 參見

* 馬恩省市鎮列表
* 昂 (馬恩省)

## 參考文獻
多马之门

**多馬之門**（阿拉伯語: باب توما, Bab Tuma）是敘利亞首都大馬士革古城牆上的一座城門，以及早期基督教的地理地標。它的名字來自於耶穌的十二門徒之一多馬。

該地著名居民包括：早期基督教最著名的傳教士、使徒保羅（有大馬士革路上的經歷）、前往印度探險的使徒多馬、亞拿尼亞，法國作家阿爾方斯・德・拉馬丁、希臘東正教神學家大馬士革的聖約瑟、大馬士革牧首學校的創始人，布魯克林的聖拉斐爾，第一任東正教紐約主教（1895 年由俄國沙皇派往美國），以及在敘利亞出生的哲學家、阿拉伯復興社會黨和復興社會主義的創始人米歇爾・阿弗拉克。

16 世紀，隨著安提阿和伊斯肯德倫被土耳其軍隊占領，多馬之門成為安條克正教會和希臘天主教會北累范特（敘利亞，黎巴嫩和土耳其南部）的主教駐地。

Template:Old City (Damascus)
多马克，G.J.P.

**格哈德・多馬克**（**Gerhard Johannes Paul Domagk**，1895 年 10 月 30 日 —1964 年 4 月 24 日）是一位德國病理學家與細菌學家。

## 生平

出生於德國布蘭登堡邦。多馬克由於發現了能有效對抗細菌感染的藥物百浪多息，而獲得了 1939 年的諾貝爾生理學或醫學獎。不過卻由於納粹政權的強迫而拒絕獲獎，並於一週後遭蓋世太保逮捕。這是由於先前一名納粹批判者卡爾・馮・奧西茨基（Carl von Ossietzky）獲諾貝爾和平獎，使當時的德國政府制定了不允許接受諾貝爾獎的法律。 直到戰後的 1947 年，多馬克才正式接受了諾貝爾獎。

多馬克於 1959 年成為英國皇家學會的外籍院士；他的簡短的傳記是由英國皇家學會於 1964 年出版。

## 參考來源

## 外部連結

* Biography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 1939 Nobel Prize in Physiology or Medicine （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
多马兰

**多馬蘭**（法語：Domalain，法語發音：[dɔmalɛ̃]；布列塔尼語：Domalan）是法國伊勒 - 維萊訥省的一個市鎮，屬於富熱爾 - 維特雷區。

## 地理

多馬蘭（47°59'46"N, 1°14'30"W）面積 33.54 平方千米，位於法國布列塔尼大區伊勒 - 維萊訥省，該省份為法國西北部沿海省份，位於布列塔尼半島東部，北瀕大西洋，西接阿摩爾濱海省和莫爾比昂省，南至大西洋羅亞爾省，西南端接曼恩 - 羅亞爾省，東臨馬耶訥省，東北與芒什省接壤。

與多馬蘭接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿讓特雷迪普萊西、拜鎮、埃特雷勒、布列塔尼地區拉蓋爾什、穆捷、聖日耳曼迪皮內勒、韋爾熱阿勒、維塞什。

多馬蘭的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬蘭的郵政編碼為 35680，INSEE 市鎮編碼為 35097。

## 政治

多馬蘭所屬的省級選區為布列塔尼地區拉蓋爾什縣。

## 人口

多馬蘭於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 2020 人。

## 參見

* 伊勒 - 維萊訥省市鎮列表

## 參考文獻
多马兰_(伊泽尔省)

**多馬蘭**（法語：Domarin，法語發音：[dɔmaʁɛ̃]）是法國伊澤爾省的一個市鎮，屬於拉圖爾迪潘區。

## 地理

多馬蘭（45°35'8"N, 5°14'39"E）面積 2.99 平方千米，位於法國奧弗涅 - 隆 - 阿爾卑斯大區伊澤爾省，該省份為法國東南部內陸省份，北起順時針與安省、薩瓦省、上阿爾卑斯省、德龍省、阿爾代什省、羅亞爾省和隆河省。

與多馬蘭接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：布爾關雅略、謝茲訥沃、莫貝克、聖阿爾邦德羅什。

多馬蘭的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬蘭的郵政編碼為 38300，INSEE 市鎮編碼為 38149。

## 政治

多馬蘭所屬的省級選區為布爾關雅略縣。

## 人口

多馬蘭於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 1675 人。

## 參見

* 伊澤爾省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽））是法國隆河省的一個市鎮，屬於索恩河畔自由城區。

## 地理

多馬坦（45°50'6"N, 4°42'41"E）面積 7.22 平方千米，位於法國奧弗涅 - 隆 - 阿爾卑斯大區隆河省，該省份為法國中東部省份，北起順時針與索恩 - 羅亞爾省、安省、里昂大都會、伊澤爾省和羅亞爾省接壤。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿澤爾格河畔錫夫里約、拉圖爾德薩爾瓦尼、達爾迪伊、朗蒂伊、利雪、洛扎訥。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 69380，INSEE 市鎮編碼為 69076。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為昂斯縣。

## 人口

多馬坦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 2595 人。

## 參考文獻
多马坦-当皮埃尔

**多馬坦 - 當皮埃爾**（法語：Dommartin-Dampierre，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ dɑ̃pjɛʁ]）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東北部，屬於香檳沙隆區。該市鎮於 1967 年由原市鎮多馬坦拉普朗謝特（Dommartin-la-Planchette）和歐沃河畔當皮埃爾（Dampierre-sur-Auve）合併而成。

## 地理

多馬坦 - 當皮埃爾（49°4'23"N, 4°49'36"E）面積 8.27 平方千米，位於法國大東部大區馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起亞爾丁省，西北接埃納省，西南接塞納 - 馬恩省，南至奧布省，東南接上馬恩省，東臨默茲省。

與多馬坦 - 當皮埃爾接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿爾熱、布羅聖科耶爾、紹德方丹、埃利斯 - 多庫爾、瓦爾米、瓦勒蒙。

多馬坦 - 當皮埃爾的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦 - 當皮埃爾的郵政編碼為 51800，INSEE 市鎮編碼為 51211。

## 政治

多馬坦 - 當皮埃爾所屬的省級選區為阿戈訥 - 敘普 - 韋勒縣。

## 人口

多馬坦 - 當皮埃爾於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 68 人。

## 參見

* 馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦-瓦里蒙

**多馬坦 - 瓦里蒙**（法語：Dommartin-Varimont，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ vaʁimɔ̃]）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東部，屬於香檳沙隆區。該市鎮於 1965 年由原市鎮耶夫爾河畔多馬坦（Dommartin-sur-Yèvre）和瓦里蒙（Varimont）合併而成。

## 地理

多馬坦 - 瓦里蒙（48°58'41"N, 4°46'56"E）面積 23.6 平方千米，位於法國大東部大區馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起亞爾丁省，西北接埃納省，西南接塞納 - 馬恩省，南至奧布省，東南接上馬恩省，東臨默茲省。

與多馬坦 - 瓦里蒙接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：當皮埃爾堡、埃龐斯、埃爾蓬、努瓦爾略、索姆耶夫爾。

多馬坦 - 瓦里蒙的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦 - 瓦里蒙的郵政編碼為 51330，INSEE 市鎮編碼為 51214。

## 政治

多馬坦 - 瓦里蒙所屬的省級選區為阿戈訥 - 敘普 - 韋勒縣。

## 人口

多馬坦 - 瓦里蒙於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 138 人。

## 參見

* 馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦_(安省)

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽））是法國安省的一個舊市鎮，位於該省西南部，屬於布雷斯地區布爾格區。2018 年，多馬坦與市鎮巴熱城合併為新市鎮**巴熱 - 多馬坦**。

## 地理

多馬坦（46°20'15"N, 4°59'24"E）面積 17.19 平方千米，位於法國奧弗涅 - 隆 - 阿爾卑斯大區安省，該省份為法國東部省份，北起侏羅省，西北接索恩 - 羅亞爾省，西接隆河省和里昂大都會，南至伊澤爾省，東與薩瓦省、上薩瓦省和瑞士接壤。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：巴熱城、布瓦塞、舍夫魯、馬爾索納、聖迪迪耶多西亞、聖敘爾皮斯。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 01380，INSEE 市鎮編碼為 01144。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為勒普隆日縣、canton of Bâgé-le-Châtel。

## 人口

多馬坦於 2018 年 1 月 1 日時的人口數量為 890 人。

## 參見

* 安省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦_(杜省)

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽））是法國杜省的一個市鎮，位於該省南部，屬於蓬塔利耶區。

## 地理

多馬坦（46°55'29"N, 6°18'25"E）面積 6.39 平方千米，位於法國勃艮第 - 法蘭琪 - 康堤大區杜省，該省份為法國東部內陸省份，北起上索恩省，西接侏羅省，東部及東南部與瑞士接壤，東北部與貝爾福地區省接壤。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：比揚萊敘西耶、蓬塔利耶、松巴庫爾、維耶桑、烏托。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 25300，INSEE 市鎮編碼為 25201。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為蓬塔利耶縣。

## 人口

多馬坦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 737 人。

## 參見

* 杜省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦_(涅夫勒省)

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽））是法國涅夫勒省的一個市鎮，位於該省東部，屬於希農堡區。

## 地理

多馬坦（47°4'4"N, 3°50'42"E）面積 13.46 平方千米，位於法國勃艮第 - 法蘭琪 - 康堤大區涅夫勒省，該省份為法國中部省份，北至約納省，西北接盧瓦雷省，西接謝爾省，南至阿列省，東南接索恩 - 羅亞爾省，東臨科多爾省。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：布利姆、沙坦、格朗德里河畔丹、莫爾旺地區聖伊萊爾、聖佩勒斯、塞爾馬日。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 58120，INSEE 市鎮編碼為 58099。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為希農堡縣。

## 人口

多馬坦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 164 人。

## 參見

* 涅夫勒省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦_(索姆省)

**多馬坦**（法語：Dommartin，法語發音：[dɔ̃maʁtɛ̃] （ 聆聽）；皮卡第語：Domartin）是法國上法蘭西大區索姆省的一個市鎮，屬於亞眠區。

## 地理

多馬坦（49°48'3"N, 2°23'28"E）面積 6.55 平方千米，位於法國上法蘭西大區索姆省，該省份為法國北部沿海省份，北起加萊海峽省和諾爾省，西接濱海塞納省和大西洋英吉利海峽，南至瓦茲省，東臨埃納省。

與多馬坦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：科唐希、富昂康、阿耶、勒米安庫爾、魯夫雷勒。

多馬坦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦的郵政編碼為 80440，INSEE 市鎮編碼為 80246。

## 政治

多馬坦所屬的省級選區為努瓦河畔阿伊縣。

## 人口

多馬坦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 347 人。

## 參見

* 索姆省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦勒圣佩尔

**多馬坦勒聖佩爾**（法語：Dommartin-le-Saint-Père，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lə sɛ̃ pɛʁ]）是法國上馬恩省的一個市鎮，屬於聖迪濟耶區。

## 地理

多馬坦勒聖佩爾（48°23'39"N, 4°55'18"E）面積 14.88 平方千米，位於法國大東部大區上馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起馬恩省和默茲省，西接奧布省，西南接科多爾省，東南接上索恩省，東臨佛日省。

與多馬坦勒聖佩爾接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：梅爾特呂、索姆瓦爾、巴伊歐福日、博德勒庫爾、布萊斯河畔庫爾塞勒、多馬坦勒弗朗、杜勒旺堡。

多馬坦勒聖佩爾的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦勒聖佩爾的郵政編碼為 52110，INSEE 市鎮編碼為 52172。

## 政治

多馬坦勒聖佩爾所屬的省級選區為茹安維爾縣。

## 人口

多馬坦勒聖佩爾於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 280 人。

## 參見

* 上馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦勒弗朗

**多馬坦勒弗朗**（法語：Dommartin-le-Franc，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lə fʁɑ̃]）是法國上馬恩省的一個市鎮，屬於聖迪濟耶區。

## 地理

多馬坦勒弗朗（48°25'39"N, 4°57'39"E）面積 10.03 平方千米，位於法國大東部大區上馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起馬恩省和默茲省，西接奧布省，西南接科多爾省，東南接上索恩省，東臨佛日省。

與多馬坦勒弗朗接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：莫朗庫爾、布萊蘇瓦城、巴伊歐福日、博德勒庫爾、布萊斯河畔庫爾塞勒、多馬坦勒聖佩爾。

多馬坦勒弗朗的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦勒弗朗的郵政編碼為 52110，INSEE 市鎮編碼為 52171。

## 政治

多馬坦勒弗朗所屬的省級選區為瓦西縣。

## 人口

多馬坦勒弗朗於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 243 人。

## 參見

* 上馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦勒科克

**多馬坦勒科克**（法語：Dommartin-le-Coq，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lə kɔk]）是法國奧布省的一個市鎮，屬於特華區。

## 地理

多馬坦勒科克（48°30'2"N, 4°21'25"E）面積 6.34 平方千米，位於法國大東部大區奧布省，該省份為法國中北部省份，北起馬恩省，西接塞納 - 馬恩省，西南至約納省，東南至科多爾省，東臨上馬恩省。

與多馬坦勒科克接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：布里耶庫爾、科克盧瓦、雅塞訥、莫朗貝爾、奧布河畔諾讓、沃科涅。

多馬坦勒科克的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦勒科克的郵政編碼為 10240，INSEE 市鎮編碼為 10127。

## 政治

多馬坦勒科克所屬的省級選區為奧布河畔阿爾西縣。

## 人口

多馬坦勒科克於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 58 人。

## 參見

* 奧布省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦拉绍塞

**多馬坦拉紹塞**（法語：Dommartin-la-Chaussée，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ la ʃose]）是法國默爾特 - 摩澤爾省的一個市鎮，屬於圖勒區。

## 地理

多馬坦拉紹塞（49°0'41"N, 5°51'44"E）面積 2.71 平方千米，位於法國大東部大區默爾特 - 摩澤爾省，該省份為法國東北部內陸省份，是洛林的一部分，北鄰比利時、盧森堡，北起順時針與摩澤爾省、下萊茵省、佛日省和默茲省接壤。

與多馬坦拉紹塞接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：沙雷、當維圖、阿熱維爾、聖于連萊戈爾茲。

多馬坦拉紹塞的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦拉紹塞的郵政編碼為 54470，INSEE 市鎮編碼為 54166。

## 政治

多馬坦拉紹塞所屬的省級選區為北圖盧瓦縣。

## 人口

多馬坦拉紹塞於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 32 人。

## 參見

* 默爾特 - 摩澤爾省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦拉蒙塔涅

**多馬坦拉蒙塔涅**（法語：Dommartin-la-Montagne，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ la mɔ̃taɲ]）是法國默茲省的一個市鎮，屬於凡爾登區。

## 地理

多馬坦拉蒙塔涅（49°1'53"N, 5°36'30"E）面積 6.77 平方千米，位於法國大東部大區默茲省，該省份為法國西北部內陸省份，北與比利時接壤，西接馬恩省和亞爾丁省，南至上馬恩省和佛日省，東臨默爾特 - 摩澤爾省。

與多馬坦拉蒙塔涅接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：棟皮埃爾歐布瓦、阿農維爾蘇萊科特、埃爾伯維爾、默茲河畔拉克魯瓦、聖雷米拉卡洛訥、沃萊帕拉梅。

多馬坦拉蒙塔涅的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦拉蒙塔涅的郵政編碼為 55160，INSEE 市鎮編碼為 55157。

## 政治

多馬坦拉蒙塔涅所屬的省級選區為埃坦縣。

## 人口

多馬坦拉蒙塔涅於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 52 人。

## 參見

* 默茲省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦欧布瓦

**多馬坦歐布瓦**（法語：Dommartin-aux-Bois，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ o bwa] （ 聆聽））是法國大東部大區佛日省的一個市鎮，屬於埃皮納勒區。

## 地理

多馬坦歐布瓦（48°9'32"N, 6°16'29"E）面積 15.7 平方千米，位於法國大東部大區佛日省，該省份為法國東北部內陸省份，北起默茲省和默爾特 - 摩澤爾省，西接上馬恩省，南至上索恩省和貝爾福地區省，東臨上萊茵省和下萊茵省。

與多馬坦歐布瓦接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：於茲曼、沙穆瓦洛格約、紹穆塞、日朗庫爾、戈雷、阿羅勒。

多馬坦歐布瓦的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦歐布瓦的郵政編碼為 88390，INSEE 市鎮編碼為 88147。

## 政治

多馬坦歐布瓦所屬的省級選區為達爾內縣。

## 人口

多馬坦歐布瓦於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 382 人。

## 參見

* 佛日省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦瓦里蒙

**多馬坦 - 瓦里蒙**（法語：Dommartin-Varimont，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ vaʁimɔ̃]）是法國馬恩省的一個市鎮，位於該省東部，屬於香檳沙隆區。該市鎮於 1965 年由原市鎮耶夫爾河畔多馬坦（Dommartin-sur-Yèvre）和瓦里蒙（Varimont）合併而成。

## 地理

多馬坦 - 瓦里蒙（48°58'41"N, 4°46'56"E）面積 23.6 平方千米，位於法國大東部大區馬恩省，該省份為法國東北部內陸省份，北起亞爾丁省，西北接埃納省，西南接塞納 - 馬恩省，南至奧布省，東南接上馬恩省，東臨默茲省。

與多馬坦 - 瓦里蒙接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：當皮埃爾堡、埃龐斯、埃爾蓬、努瓦爾略、索姆耶夫爾。

多馬坦 - 瓦里蒙的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦 - 瓦里蒙的郵政編碼為 51330，INSEE 市鎮編碼為 51214。

## 政治

多馬坦 - 瓦里蒙所屬的省級選區為阿戈訥 - 敘普 - 韋勒縣。

## 人口

多馬坦 - 瓦里蒙於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 138 人。

## 參見

* 馬恩省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦苏萨芒斯

**多馬坦蘇薩芒斯**（法語：Dommartin-sous-Amance，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ su.z‿amɑ̃s]，意為「阿芒斯下方的多馬坦」）是法國默爾特 - 摩澤爾省的一個市鎮，屬於南錫區。

## 地理

多馬坦蘇薩芒斯（48°44'27"N, 6°15'19"E）面積 4.03 平方千米，位於法國大東部大區默爾特 - 摩澤爾省，該省份為法國東北部內陸省份，是洛林的一部分，北鄰比利時、盧森堡，北起順時針與摩澤爾省、下萊茵省、佛日省和默茲省接壤。

與多馬坦蘇薩芒斯接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿然庫爾、布克西耶爾歐謝訥、埃塞萊南錫、厄爾蒙、萊特爾蘇薩芒斯、塞尚。

多馬坦蘇薩芒斯的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦蘇薩芒斯的郵政編碼為 54770，INSEE 市鎮編碼為 54168。

## 政治

多馬坦蘇薩芒斯所屬的省級選區為格朗庫羅內縣。

## 人口

多馬坦蘇薩芒斯於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 287 人。

## 參見

* 默爾特 - 摩澤爾省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦莱勒米尔蒙

**多馬坦萊勒米爾蒙**（法語：Dommartin-lès-Remiremont，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lɛ ʁəmiʁmɔ̃] （ 聆聽），意為「**勒米爾蒙附近的多馬坦**」）是法國大東部大區佛日省的一個市鎮，屬於埃皮納勒區。

## 地理

多馬坦萊勒米爾蒙（47°59'55"N, 6°38'35"E）面積 21.08 平方千米，位於法國大東部大區佛日省，該省份為法國東北部內陸省份，北起默茲省和默爾特 - 摩澤爾省，西接上馬恩省，南至上索恩省和貝爾福地區省，東臨上萊茵省和下萊茵省。

與多馬坦萊勒米爾蒙接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：摩澤爾河畔呂、聖阿梅、聖德田 - 萊勒米爾蒙、勒桑迪卡、瓦涅、沃庫、日爾蒙瓦勒達若勒。

多馬坦萊勒米爾蒙的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦萊勒米爾蒙的郵政編碼為 88200，INSEE 市鎮編碼為 88148。

## 政治

多馬坦萊勒米爾蒙所屬的省級選區為勒蒂約縣。

## 人口

多馬坦萊勒米爾蒙於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 1882 人。

## 參見

* 佛日省市鎮列表

## 參考文獻
多马坦莱图勒

**多馬坦萊圖勒**（法語：Dommartin-lès-Toul，法語發音：[dɔmaʁtɛ̃ lɛ tul]，意為「**圖勒附近的多馬坦**」）是法國默爾特 - 摩澤爾省的一個市鎮，位於該省西南部，摩澤爾河右岸，和圖勒隔河相望，屬於圖勒區。

## 地理

多馬坦萊圖勒（48°40'12"N, 5°54'28"E）面積 6.87 平方千米，位於法國大東部大區默爾特 - 摩澤爾省，該省份為法國東北部內陸省份，是洛林的一部分，北鄰比利時、盧森堡，北起順時針與摩澤爾省、下萊茵省、佛日省和默茲省接壤。

與多馬坦萊圖勒接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：摩澤爾河畔紹德內、貢德勒維爾、圖勒、維萊勒塞克。

多馬坦萊圖勒的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

多馬坦萊圖勒的郵政編碼為 54200，INSEE 市鎮編碼為 54167。

## 政治

多馬坦萊圖勒所屬的省級選區為圖勒縣。

## 人口

多馬坦萊圖勒於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 1951 人。

## 參見

* 默爾特 - 摩澤爾省市鎮列表

## 參考文獻