大魔群

**魔群**（英語：Monster group）或怪獸群，或**友善巨人**（the Friendly Giant）或**費雪─格里斯怪獸**（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是 26 個散在群的其中之一，一般常將之記作 _M_ 或 _F_1。

怪獸群的階是 26 個散在群中最大的，其階為

有限單群的分類已完成 (見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的 18 類可數無限族中，或不包含於那些可系統化模式的 18 類可數無限族中，那 26 個的「散單群」中。而怪獸群是那 26 個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個，其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特・格里斯 (Robert Griess) 將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family) 一詞稱呼其他的散單群。

或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群 (Conway group) 和費歇爾群的的有限單群中階最小者（怪獸群雖為散在群中階最大的，但這不表示它是所有有限單群中階最大的，其他類的有限單群中有階比其更大者存在）。

## 存在性與唯一性

怪獸群的存在性最早在 1973 年為貝恩德・費雪 (Bernd Fischer，他未出版相關想法) 與羅伯特・格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M 的階被格里斯以湯普森階公式 (Thompson order formula) 計算出，而費雪 (Fischer)、康威 (Conway)、諾頓 (Norton) 與湯普森 (Thompson) 等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田 - 諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數 (一個 196884 維的交換非結合代數) 的自同構群。約翰・康威 (John Horton Conway) 和雅魁・提次 (Jacques Tits) 隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰・湯普森 (John G. Thompson) 則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個 196883 維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在 1982 年為西蒙・諾頓 (Simon P. Norton) 提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德 (Meierfrankenfeld) 和塞格夫 (Segev) 給出。

## 月光猜想

怪獸群是康威 (Conway) 和諾頓 (Norton) 所提出的怪獸月光理論的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在 1992 年為理查・伯切德斯 (Richard Borcherds) 所證明。

在此設定下，怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現：亦即由一作用在怪獸李代數上，屬廣義 Kac–Moody 代數，且包含 Griess 代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出。

 

## 表示與維度

一個忠實的複數表示的最小度數是 196,883，它是怪獸群階數可分得 3 個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是
24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 ・29・41・59・71 (約 1020) 點。他可被視為有理數上的一個伽羅瓦群（Thompson 1984，p. 443）而實現，並視為一個胡爾維茲群 (Hurwitz group)（Wilson 2004）。

怪獸群在單群中並不平常，因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素，而這並非起因於他大小的表示因素。例如，單群 "A"100 和 SL20（2）相對是大，但容易計算，因為它們是具已知的置換或線性表示；交錯群具有與之的大小相較下的置換表示，且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示，以至於它們易於在計算機上工作（而難度僅次於怪物群的，為可分割成維度 4370 的小怪獸群 (baby Monster) 表示）。

## 麥凱的 E8 觀察

怪獸群和擴張登金圖 (Dynkin diagram) ${\tilde {E}}_{8},$ 亦存在著關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的 E8 觀察」(McKay's E8 observation)

## 子群結構

怪獸群包含了至少 44 個共軛類的極大子群。六十數種同構類型的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了 26 個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克・羅南 (Mark Ronan) 所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。

 

## 相關條目

* 超級單獨質數：魔群階數的質因數

## 腳註

## 參照

* 約翰・何頓・康威 and S. P. Norton, _Monstrous Moonshine_, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
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* Griess, Robert L., The structure of the monster simple group, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (編), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press: 113–118, 1976, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248
* Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae, 1982, **69** (1): 1–102, ISSN 0020-9910, MR 0671653, doi:10.1007/BF01389186
* Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav, A uniqueness proof for the Monster, 數學年刊，1989, **130** (3): 567–602, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971455, MR 1025167, doi:10.2307/1971455
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* M. Ronan, _Symmetry and the Monster_, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
* 馬庫斯・杜・索托伊， _Finding Moonshine_, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as _Symmetry_, ISBN 978-0-06-078940-4).
* Thompson, John G., Some finite groups which appear as Gal _L_/_K_, where _K_ ⊆ Q(μn), Journal of Algebra, 1984, **89** (2): 437–499, MR 0751155, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X
* Robert A. Wilson. The Monster is a Hurwitz group. Journal of Group Theory. 2001-09-11, **4** (4) [2018-04-02]. ISSN 1435-4446. doi:10.1515/jgth.2001.027. （原始內容存檔於 2016-04-01） （英語）.

## 外部連結

* MathWorld: Monster Group （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Atlas of Finite Group Representations: Monster group （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）