大气质量_(天文学)

**大氣質量**（**airmass**），在天文學是指來自天體的光穿過大氣層的路徑長度。當光穿過大氣層時，會被散射和吸收而造成衰減；經過的大氣層越厚，衰減就越大。因此，在地平線上的天體不如在天頂時那麼明亮。這種衰減稱為大氣消光，可以通過比爾 - 朗伯定律定量表述。

_大氣質量_通常以相對於天頂抵達海平面的路徑做比較的_相對大氣質量_來表示。因此，定義路徑由天頂抵達海平面的大氣質量為 1。隨著光源和天頂之間的夾角增大，大氣質量也會增加。在地平線時，其值約可以達到 38。在高於海平面之處，大氣質量可以小於 1；然而，大多數大氣質量的解析解不包括海拔高度的影響，因此通常必須經由其它的手段完成調整。

在一些領域，例如太陽能和光伏，大氣質量以首字母的縮寫 AM 表示；此外，大氣質量的值通常會通過附加其它的價值，因此會以 AM1、AM2 等等，表示不同附加值的大氣質量。在地球的大氣層之上的區域，沒有大氣造成太陽輻射的衰減，其大氣質量表示為 AM0。

許多研究者者都曾發表大氣質量表，包括
Bemporad (1904)、Allen (1976), 、和 Kasten and Young (1989)。

## 計算大氣質量

### 天頂角和高度

天體與天頂的距離是 "天頂角"（在天文學，通常稱為 "天頂距離"）。物體的角位置也可以用高度角，在幾何地平上的角度；因此，高度 $h$ 和天頂角 $z$ 的關係為：

　
: $h=90^{\circ }-z\,.$

### 大氣折射

大氣折射導致光跟隨著地球圓弧的路徑比幾何路徑稍長，因此大氣質量必須考慮更長的路線（Young 1994）。另外，折射使出現在地平線附近時的位置比實際的更高；在地平線上，實際真天頂角和視天頂角的差別大約是 34 角分。大多數大氣質量公式是基於視天頂角，但有些是基於真天頂角。所以，重要的是要確保使用正確的值，特別是在地平線附近
。

### 平面 - 平行大氣層

當天頂角足夠小時，可以很好的假設一個均勻的平面平行大氣（即密度恆定，而且地球的曲率被忽略），就可以給出很好的近似。大氣質量 $X$ 就可以簡化成僅僅是天頂角的正割：

　
: $X=\sec \,z\,.$

在天頂角 60° 時，大氣質量大約是 2。然而，因為地球不是平的，這個公式只適用於天頂角大約在 60° 至 75°（取決於對精度的要求）。在更大的天頂角時，準確度迅速將低，隨著趨近於地平， $X=\sec \,z$ 將變得無限大；在更加真實的球形大氣中，地平線的大氣質量通常小於 40。

### 插值公式

已經發展出許多公式以調適大氣質量表格的值，其一是 Young and Irvine (1967) 列出的插值公式，包含一個簡單的修正項：

　
: $X=\sec \,z_{\mathrm {t} }\,\left[1-0.0012\,(\sec ^{2}z_{\mathrm {t} }-1)\right]\,,$

此處 $z_{\mathrm {t} }$ 是真天頂角。這可以適用至大約 80°，但它的準確性在更大的角度時會迅速的衰退。計算的大氣質量在 86.6° 時是 11.13，但在 88° 時其值為 0，而在地平線時的數值為負無窮大。在繪製這個公式的伴隨圖時，會包括大氣折射的修正，使計算所得的大氣質量是以視天頂角取代真天頂角。

 
Hardie (1962) 引入多項式 $\sec \,z-1$ ：

　
: $X=\sec \,z\,-\,0.0018167\,(\sec \,z\,-\,1)\,-\,0.002875\,(\sec \,z\,-\,1)^{2}\,-\,0.0008083\,(\sec \,z\,-\,1)^{3}\,$

它給定的天頂角可以適用至大約 85°。與前面的公式一樣，計算出的大氣質量會達到一個極大值，然後在地平線上時逼近負無窮大。

 
Rozenberg (1966) 建議：

　
: $X=\left(\cos \,z+0.025e^{-11\cos \,z}\right)^{-1}\,,$

為高天頂角提供了合理的結果，在地平的大氣質量為 40。

Kasten and Young (1989) 發展的

　
: $X={\frac {1}{\cos \,z+0.50572\,(6.07995^{\circ }+90^{\circ }-z)^{-1.6364}}}\,,$

為天頂角提供了合理的結果，適用至 90°。在地平的大氣質量大約為 38。此處的 $z$ 項是_角度_。

Young (1994) 發展的：

　
: $X={\frac {1.002432\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.148386\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.0096467}{\cos ^{3}z_{\mathrm {t} }+0.149864\,\cos ^{2}z_{\mathrm {t} }+0.0102963\,\cos \,z_{\mathrm {t} }+0.000303978}}\,$

依據真天頂角 $z_{\mathrm {t} }$ ，作者聲稱最大誤差（在地平線上）只有 0.0037 大氣質量。

Pickering (2002) 發展的：

　
: $X={\frac {1}{\sin(h+{244}/(165+47h^{1.1}))}}\,,$

此處 $h$ 是視高度 $(90^{\circ }-z)$ ，以角度為單位。皮克林宣稱它的公式在靠近地平的誤差只有 Schaefer (1998) 的十分之一

### 大氣模型

插值公式試圖用極少的計算為大氣質量表提供一個良好的適應。然而，表格中的數值必須從地球及其大氣的幾何和物理考量，得出的測量或大氣模型來確定。

#### 非折射徑向對稱大氣

如果可以忽略折射，它就可以簡單地用幾何來考慮（舍恩伯格 1929，173）天頂角為 $z$ ，大氣對稱徑向高度為 $y$ 的光線路徑 $s$ ： 

 

　
: $s={\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y_{\mathrm {atm} }+y_{\mathrm {atm} }^{2}}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,$

或是二擇一的替代

　
: $s={\sqrt {\left(R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }\right)^{2}-R_{\mathrm {E} }^{2}\sin ^{2}z}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,$

此處的 $R_{\mathrm {E} }$ 是地球半徑。

#### 均質的大氣層

如果大氣層是均質 (物理)（也就是說密度是恆定的），天頂的路徑單純的只是大氣高度 $y_{\mathrm {atm} }$ 的變數，相對的大氣質量是：

　
: $X={\frac {s}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}{\sqrt {\cos ^{2}z+2{\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}+\left({\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}\right)^{2}}}-{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}\cos \,z\,.$

如果密度是恆定的，流體靜力學與大氣高度的關係是：

　
: $y_{\mathrm {atm} }={\frac {kT_{0}}{mg}}\,,$

此處的 $k$ 是波茲曼常數， $T_{0}$ 是海平面的溫度， $m$ 是大器的分子質量，並且 $g$ 重力加速度。雖然這與等溫大氣的大氣標高相同，但本質略有不同。在等溫大氣中，37% 的大氣壓力高於大氣標高；在均質大氣中，在大氣標高之上沒有大氣層。

 
讓 $T_{0}$  = 288.15 K， $m$  = 28.9644×1.6605×10−27kg，並且 $g$  = 9.80665 m/s2，得到 $y_{\mathrm {atm} }$ ≈ 8435 m。取地球的半徑值為 6371 km，在地平的海平面大氣質量為：

　
: $X_{\mathrm {horiz} }={\sqrt {1+2{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}}}\approx 38.87\,.$

均質球面模型略為低估了地平線附近空氣質量增加的速度，從更嚴謹的模型中給出的值有著合理的整體擬合，可以設定大氣質量與天頂角小於 90° 的值匹配。大氣質量的方程式可以重新排列成：

　
: ${\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {X^{2}-1}{2\left(1-X\cos z\right)}}\,;$

當取 $R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }$  ≈ 631.01 and
 $X_{\mathrm {horiz} }$ ≈ 35.54，在 $z$ = 88°，可以吻合 Bemporad 的數值：19.787。此處， $R_{\mathrm {E} }$ 的值與前述相同， $y_{\mathrm {atm} }$  ≈ 10,096 m。

雖然均質大氣不是逼真的物理模型，但只要大氣標高的高度相較於行星的半徑是微小的，這樣的近似是合理的。

這個模型在所有的天頂角度，包括大於 90°（參見下文：Homogeneous spherical atmosphere with elevated observer），都是可用的（亦即它不會趨近於無窮大或 0）。

這個模型需要的計算量相對較小，如果不需要高精度，它足以給出合理的結果。

然而，對於天頂角小於 90°，有幾個插值公式可以給出更好、更合適的大氣質量。,

#### 密度改變的大氣層

## 注釋

## 參考資料

* Allen, C. W. 1976. _Astrophysical Quantities_, 3rd ed. 1973, reprinted with corrections, 1976. London: Athlone, 125. ISBN 0-485-11150-0.
* ASTM E 490-00a (R2006). 2000. Standard Solar Constant and Zero Air Mass Solar Spectral Irradiance Tables. West Conshohocken, PA: ASTM. Available for purchase from ASTM.Optical Telescopes of Today and Tomorrow
* ASTM G 173-03. 2003. Standard Tables for Reference Solar Spectral Irradiances: Direct Normal and Hemispherical on 37° Tilted Surface. West Conshohocken, PA: ASTM. Available for purchase from ASTM.
* Avila, Gerardo; Rupprecht, Gero; Beckers, J. M. Arne L. Ardeberg , 編. Atmospheric dispersion correction for the FORS Focal Reducers at the ESO VLT. Proceedings of SPIE. 2871 Optical Telescopes of Today and Tomorrow. SPIE: 1135–1143. 1997. Bibcode:1997SPIE.2871.1135A. doi:10.1117/12.269000.
* Bemporad, A. 1904. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre. _Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg_ Nr. 4, 1–78.
* Template:Cite any
* Green, Daniel W. E. 1992. Magnitude Corrections for Atmospheric Extinction. _International Comet Quarterly_ 14, July 1992, 55–59.
* Hardie, R. H. 1962. In _Astronomical Techniques_. Hiltner, W. A., ed. Chicago: University of Chicago Press, 184–. LCCN 62009113. Bibcode 1962aste.book.....H.
* Hayes, D. S., and D. W. Latham. 1975. A Rediscussion of the Atmospheric Extinction and the Absolute Spectral-Energy Distribution of Vega. _Astrophysical Journal_ 197:593–601. doi: 10.1086/153548. Bibcode 1975ApJ...197..593H.
* Janiczek, P. M., and J. A. DeYoung. 1987. _Computer Programs for Sun and Moon Illuminance with Contingent Tables and Diagrams_, United States Naval Observatory Circular No. 171. Washington, D.C.: United States Naval Observatory. Bibcode 1987USNOC.171.....J.
* Kasten, F.; Young, A. T. Revised optical air mass tables and approximation formula. Applied Optics. 1989, **28**: 4735–4738. Bibcode:1989ApOpt..28.4735K. doi:10.1364/AO.28.004735.
* Pickering, K. A. The Southern Limits of the Ancient Star Catalog (PDF). DIO. 2002, **12** (1): 20–39 [2018-03-24]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2012-06-05）.
* Rozenberg, G. V. 1966. _Twilight: A Study in Atmospheric Optics_. New York: Plenum Press, 160. Translated from the Russian by R. B. Rodman. LCCN 65011345.
* Schaefer, B. E. 1993. Astronomy and the Limits of Vision. _Vistas in Astronomy_ 36:311–361. doi: 10.1016/0083-6656(93)90113-X. Bibcode 1993VA.....36..311S.
* Schaefer, B. E. 1998. To the Visual Limits: How deep can you see?. _Sky & Telescope_, May 1998, 57–60.
* Schoenberg, E. 1929. Theoretische Photometrie, Über die Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre. In _Handbuch der Astrophysik_. Band II, erste Hälfte. Berlin: Springer.
* Thidé, Bo. 2007. Nonlinear physics of the ionosphere and LOIS/LOFAR _Plasma Physics and Controlled Fusion_. 49(12B, December): B103–B107. doi: 10.1088/0741-3335/49/12B/S09. Bibcode 2007PPCF...49..103T.
* Thomason, L. W., B. M. Herman, and J. A. Reagan. 1983. The effect of atmospheric attenuators with structured vertical distributions on air mass determination and Langley plot analyses. _Journal of the Atmospheric Sciences_ 40:1851–1854. doi: 10.1175/1520-0469(1983)040<1851:TEOAAW>2.0.CO;2. Bibcode 1983JAtS...40.1851T.
* van der Tol, S., and A. J. van der Veen. 2007 Ionospheric Calibration for the LOFAR Radio Telescope. International Symposium on Signals, Circuits and Systems, July, 2007. doi: 10.1109/ISSCS.2007.4292761. Available as PDF.
* de Vos, M., A. W. Gunst, and R. Nijboer. 2009. The LOFAR Telescope: System Architecture and Signal Processing. _Proceedings of the IEEE_. 97(8): 1431–1437. doi: 10.1109/JPROC.2009.2020509. Bibcode 2009IEEEP..97.1431D. Available as PDF from www.astro.rug.nl.
* Wynne, C. G., and S. P. Worswick. 1988. Atmospheric dispersion at prime focus. _Royal Astronomical Society, Monthly Notices_ 230:457–471 (February 1988). Bibcode 1988MNRAS.230..457W.
* Young, A. T. 1974. Atmospheric Extinction. Ch. 3.1 in _Methods of Experimental Physics_, Vol. 12 _Astrophysics_, Part A: _Optical and Infrared_. ed. N. Carleton. New York: Academic Press. ISBN 0-12-474912-1.
* Young, A. T. 1994. Air mass and refraction. _Applied Optics_. 33:1108–1110. doi: 10.1364/AO.33.001108. Bibcode 1994ApOpt..33.1108Y. (payment required)
* Young, A. T., and W. M. Irvine. 1967. Multicolor photoelectric photometry of the brighter planets. I. Program and procedure. _Astronomical Journal_ 72:945–950. doi: 10.1086/110366. Bibcode 1967AJ.....72..945Y.

## 外部連結

* Reed Meyer’s downloadable airmass calculator, written in C（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (notes in the source code describe the theory in detail)
* NASA Astrophysics Data System（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） A source for electronic copies of some of the references.