多邊形面積

**多邊形，**是平面的封閉幾何圖形，由大於 2 條線段組成，且首尾相連劃出的形狀。

## 術語

**頂點**

指多邊形中任何兩邊相交所形成的交點或錐體的尖頂。

**邊**
**內角**
: 頂點相鄰的兩邊所組成的角度。n 邊形的內角和為 (n-2)×180°

**外角**
: 對於某內角來說，其相應的外角角度為 _180° 減去內角角度_，多邊形的所有外角之和恆等於 360°。

**對角線**
: 以不毗連頂點為端點的線段

## 分類

### 簡單多邊形

簡單多邊形是邊不相交的多邊形，又稱佐敦多邊形，因為佐敦曲線定理可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區域，即區內和區外。

在拓撲學上，簡單多邊形和圓盤同胚。

在計算幾何學有幾個重要問題，其輸入都是簡單多邊形：

* 點在多邊形內：決定一點是否在多邊形內
* 求多邊形面積
* 將多邊型切割成三角形

按凸性區分，簡單多邊形分凸多邊形和凹多邊形，「凸」的表示它的內角都不大於 180°，凹反之。

其他的特殊多邊形還有：

　
: **圓內接多邊形**：頂點都在同一個圓上的多邊形。

　
: **圓外切多邊形**：邊都跟同一個圓相切的多邊形。

　
: **等邊多邊形**：各邊之長都相等的多邊形。

　
: **等角多邊形**：各內角都相等的多邊形。

### 正多邊形

正多邊形是各邊都等長，各內角都相等的多邊形，可分為兩種：**凸正多邊形**與**凹正多邊形**。談及「正多邊形」時一般指前者，後者一般稱作正多角星。對於指定的邊數，它們都是唯一的，比如正五邊形與正五角星。在邊數相同、周長相等的多邊形中，凸正多邊形面積最大（參見等周問題 ）。

若且唯若邊數是 2 的冪乘費馬質數時，正多邊形可以用尺規作出（參見可作圖多邊形）。

* 面積： $A\ =\ {\frac {n}{2}}\,a\,r_{i}\ =\ {\frac {n}{2}}\,r_{u}^{2}\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\ =\ {\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}$
* 內切圓半徑： ${\frac {a}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}$
* 外接圓半徑： ${\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}$

## 公式

### 面積

對用 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})$ （按逆時針排列）描述的多邊形，其面積為： 

　
: $A={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}\right)$

 
若按順時針排列，取負數即可。 
對用邊長 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ 和外角 $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}$ 描述的多邊形，其面積為： 

　
: ${\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}\{a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]\}\end{aligned}}$

 
用邊長和內角描述如下 
N 邊形 S= ${\frac {\sum {(-1)^{k}mn\sin {\theta }}}{2}}$ 這個代表 N 邊形已知（N-1）個邊的長度，而且知道其中任意兩邊的夾角，對於這兩邊 $(-1)^{k}mn\sin {\theta }$ 求和後的一半便是面積 
註明：K=0 或 1，目的是為了表明每個因式 $mn\sin {\theta }$ 的正負號與 M，N 的交點位置有關

## 參考文獻

## 參見

* 多面體
* 退化多邊形

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Polygon. MathWorld.
* What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
* Polygons, types of polygons, and polygon properties（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, with interactive animation
* How to draw monochrome orthogonal polygons on screens, by Herbert Glarner
* comp.graphics.algorithms Frequently Asked Questions, solutions to mathematical problems computing 2D and 3D polygons
* Comparison of the different algorithms for Polygon Boolean operations, compares capabilities, speed and numerical robustness
* Interior angle sum of polygons: a general formula （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Provides an interactive Java investigation that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons
* [http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106 (396-405)/398-PDF/13-24\_105032-% E9% A0%90% E6% B8% AC% E8%88%87% E9% A9%97% E8% AD%89% E5% B9% B3% E9%9D% A2% E5%87% B8% E5% A4%9A% E9%82%8A% E5% BD% A2% E9%9D% A2% E7% A9%8D% E5%85% AC% E5% BC%8F (I)%20 (% E4% BF% AE% E6%94% B9).pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）], To predict and verify the area formula of planar convex polygon (I), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 398, May 2017 , NTNU.
* [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, To predict and verify the area formula of planar convex polygon (II), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 399, June 2017 , NTNU.