均功定理

**位力定理**（英語：Virial theorem，又稱**維里定理**、**均功定理**）是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係。考慮一個有 N 個質點的體系，其數學表達式爲：

　
: $\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle {\boldsymbol {F}}_{k}\cdot {\boldsymbol {r}}_{k}\rangle $

其中：角括號表示對時間取平均， $T$ 是系統內部的總動能， ${\boldsymbol {F}}_{k}$ 是第 k 個質點所受的力， ${\boldsymbol {r}}_{k}$ 是第 k 個質點的位置向量；等式右邊稱作**均位力積**（英語：virial，簡稱**位力**），反映體系內相互作用強度。英語 virial 一詞由德國物理學家魯道夫・克勞修斯於 1870 年根據拉丁語單詞 vīs（意爲力、能量）命名。

特別地，若系統內任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離 $r$ 的 $n$ 次冪成正比的勢能 $V(r)=\alpha r^{n}$ （其中 $\alpha ,n$ 為常數），則定理簡化為：

　
: $2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{Total}}\rangle $

即：體系的總動能 2 倍等於總勢能的 n 倍。對於引力勢能，這裏的 $n=-1$ 。

位力定理的一個意義在於，它允許計算平均總動能，即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統，例如在統計力學中考慮的那些；根據能量均分定理，該平均總動能與系統溫度有關。然而，維里定理不依賴於溫度的概念，甚至適用於不處於熱平衡的系統。維里定理已以各種方式推廣，特別是張量形式。

## 歷史

## 命題推導

### 簡單例子

考慮 _N_ = 2 個質量相同的質點構成的孤立體系，它們受萬有引力相互作用。假設兩個質點分別以 **v**1(_t_) 和 **v**2(_t_) = −**v**1(_t_) 的速度（大小均為 v，方向相反）圍繞共同質心做勻速圓周運動，半徑為 r，兩者分別受到作用力 **F**1(_t_) 和 **F**2(_t_) = −**F**1(_t_)（大小均爲 F，方向相反）。則體系的時間平均縂動能為：

　
: $\langle T\rangle =\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}\right|^{2}={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}|^{2}=mv^{2}$

以共同質心為原點，兩者的位置向量分別爲 **r**1(_t_) 及 **r**2(_t_) = −**r**1(_t_)（大小均爲常數 r）。引力方向朝向原點，與位置向量方向相反，故 **F**1(_t_) ⋅ **r**1(_t_) = **F**2(_t_) ⋅ **r**2(_t_) = −_Fr_。又，向心力大小等於萬有引力大小：_F_ = _mv_2/_r_。代入得：

　
: $-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle $

### 一般推導

**預先知識**

對於 Virial theorem 的推導，將需要用到齊次函數的如下性質，既當 $f({\vec {x}})$ 為 $k$ 次 齊次函數時，有:

$$
{\frac {df(\alpha {\vec {x}})}{d(\alpha {\vec {x}})}}\cdot {\vec {x}}={\frac {\partial }{\partial {\alpha }}}[f(\alpha {\vec {x}})]={\frac {\partial [\alpha ^{k}f({\vec {x}})]}{\partial \alpha }}=k\alpha ^{k-1}f({\vec {x}})
$$

對於 $a=1$ 時有:

$$
{\vec {x}}{\vec {\nabla }}f({\vec {x}})=kf({\vec {x}})
$$

 
**具體推導**

注意到**動能 $T$ 是一個關於速度** ${\vec {v}}$ **的 2 次齊次函數**:

 ${\vec {v}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}}}=2T$ , 同時有 ${\frac {\partial {T}}{\partial {\vec {v}}}}={\vec {p}}$ , 從而得到

$$
\ 2T={\vec {v}}\cdot {\vec {p}}={\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})-{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}
$$

計算上式**對於時間 $\Delta t$ 的平均**:

$$
<2T>_{\Delta t}={\frac {1}{\Delta t}}=\int _{0}^{\Delta t}(...){\text{( 等 式 右 邊 )}}\ dt
$$

我們關注 $\Delta t\rightarrow \infty $ 的情況，假設系統的運動是有限的 ( $({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})$ 不會有 $\infty $ 出現的情況), 此時等式右邊的前半部分將趨近於 $0$ :

$$
lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})dt=lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(\Delta t)}-({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(0)}}{\Delta t}}\rightarrow 0
$$

我們得到:

$$
2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}
$$

 ${\dot {\vec {p}}}$ 可以**通過系統的勢能 $V({\vec {x}})$ 寫出**: ${\dot {\vec {p}}}=-{\vec {\nabla }}V({\vec {x}})$ ; 另外我們最終假設**勢能 $V({\vec {x}})$ 為， $k$ 次齊次函數**, 並利用預先知識中 $a=1$ 時的等式 就能夠得到位力定理:

$$
2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}=<{\vec {x}}\cdot {\vec {\nabla }}V({\vec {x}})>_{t}=k<V({\vec {x}})>_{t}
$$

### 與質點間勢能之關聯

### 對於冪定律力

### 關於時間平均

## 一般化

### 引入電磁場

### 相對論均勻系統

## 各學科中的應用

### 量子力學

### 狹義相對論

### 天體物理學

#### 位力質量、位力半徑

### 統計物理

在統計物理中，有求一般熱力學系宗宏觀壓強張量的**位力展開**：

　
: $\mathbf {p} ={\frac {2}{V}}\left({\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}\otimes \mathbf {v} _{i}\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i<j}{\boldsymbol {r}}_{ij}\otimes {\boldsymbol {F}}_{ij}\right\rangle \right)$

亦即體系壓強爲（與動能相關的）動理壓強和（與相互作用相關的）內壓強之和。上式中的第二項即爲均位力積相關項。

## 引用