埃及分數

**古埃及的分數**是不同的單位分數的和，就是分子為 1，分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。

## 構造

古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個算法總是給出最短的形式。

### 貪婪演算法

貪婪算法：將一項分數分解成若干項單分子分數後的項數最少，稱為第一種好算法；最大的分母數值最小，稱為第二種好算法。
例如：

 ${\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}$ 。共 2 項，是第一種好算法，比 ${\frac {2}{7}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}$ 的項數要少。

又例如， ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}$ 比 ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{759}}+{\frac {1}{208725}}$ 的最大分母要小，所以是第二種好算法。

1. 找出僅小於 $r={\frac {a}{b}}$ 的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是：即用 $b$ 除以 $a$ ，捨去餘數，再加 1。（如果沒有餘數，則 $r$ 已是單位分數。）
2. 把 $r$ 減去單位分數，以這個新的、更小的 _$r$_ 重複步驟 1。

例子：把 ${\frac {19}{20}}$ 轉成單位分數。

 * $\lfloor 20\div 19\rfloor =1$ ，所以第 1 個單位分數是 ${\frac {1}{2}}$ ；
* ${\frac {19}{20}}-{\frac {1}{2}}={\frac {9}{20}}$ ；
* $\lfloor 20\div 9\rfloor =2$ ，所以第 2 個單位分數是 ${\frac {1}{3}}$ ；
* ${\frac {9}{20}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{60}}$ ；
* $\lfloor 60\div 7\rfloor =8$ ，所以第 3 個單位分數是 ${\frac {1}{9}}$ ；
* ${\frac {7}{60}}-{\frac {1}{9}}={\frac {1}{180}}$ 已是單位分數。

所以結果是：

　
: ${\frac {19}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{180}}$ 。

詹姆斯・約瑟夫・西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。

### Golomb 算法

這個算法是基於貝祖等式的：當 $a$ , $b$ 互質， $ax-by=1$ 有無窮多對正整數解 $(x,y)$ 。

選取最小的正整數解 $(m,n)$ 。取單位分數分母為 $bm$ ，重複步驟。

以 ${\frac {7}{10}}$ 為例：

 * $7\times 3-10\times 2=1$ ，所以第 1 個單位分數是 ${\frac {1}{30}}$ ；
* $2\times 2-3\times 1=1$ ，所以第 2 個單位分數是 ${\frac {1}{6}}$ ；
* 第 3 個單位分數是 ${\frac {1}{2}}$ 。

### 二進制

最基本的方法就是將分數寫成二進制數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數 $n$ 使得 ${\frac {x}{y}}>{\frac {1}{2^{n}}}$ 。

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數 $n$ 使得 $(2^{n}\times x){\bmod {y}}<2^{n+1}$ 。選取適當的正整數 $r,s$ （ $r<y$ ）使得 $2^{n}\times x=sy+r$ 。 ${\frac {x}{y}}={\frac {s}{2^{n}}}+{\frac {r}{2^{n}\times y}}$ 。將 ${\frac {s}{2^{n}}},{\frac {r}{2^{n}}}$ 寫成二進制數。

例如： ${\frac {18}{23}}$ ：

 * $(4\times 18){\bmod {2}}3<8$ ， $4\times 18=23\times 3+3$
* ${\frac {18}{23}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4\times 23}}$
* ${\frac {3}{4}}=0.15={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}$
* ${\frac {18}{23}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\times 23}}+{\frac {1}{4\times 23}}$

### 分拆

將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式：

1. 若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為 $2k-1$ ，用 ${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{(2k-1)k}}$ 取代。
2. 設它們的分母為 $p$ ，用 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+1}}+{\frac {1}{(p+1)p}}$ 取代。

或是 ${\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n(n+1)}}$ ← $n$ 可等於任意正整數

 ${\frac {1}{n}}$ 表示成為一個級數形式：

$$
{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{(n+1)^{4}}}+...+{\frac {1}{(n+1)^{k}}}+{\frac {1}{n(n+1)^{k}}}
$$

### Engel 展開式

* 參看 Engel 展開式。方法類同於貪心法

## 歷史

數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段：

1. 文字代數：其問題以古代數學家所用的文字表述；
2. 省文代數：簡化問題中一些字詞，以幫助理解；
3. 符號代數：以符號代表運算符和運算元，使更容易理解。

未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知，埃及祭司和書記採用文字代數的方式，以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。

這是現存在倫敦的大英博物館的萊因德數學紙草書（第二中間期）所載，其中一個阿哈問題的翻譯：

「問題 24： 一個數量和它的 ${\frac {1}{7}}$ 加起來是 19。這數量是什麼？」

「假設是 7。7 和 7 的 ${\frac {1}{7}}$ 是 8。8 要乘上多少倍以得到 19，7 也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」

以現在的符號形式， $x+{\frac {x}{7}}={\frac {8x}{7}}=19$ ，故此 ${x}={\frac {133}{8}}$ 。檢查： ${\frac {133}{8}}+{\frac {133}{7\times 8}}={\frac {133}{8}}+{\frac {19}{8}}={\frac {152}{8}}=19$ 。

注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算，如 ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{10}}$ 。

一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號，這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。

## 參見

* 丟番圖方程
* 單位分數
* 歐德斯 - 史特勞斯猜想

## 外部連結