埃雷斯曼联络

微分幾何中，**埃雷斯曼聯絡**（Ehresmann connection）是應用於任意纖維叢的聯絡概念的一個版本。

特別的是，它可以是非線性的，因為一般的纖維叢上沒有合適的線性的概念。

它適用於主叢這一類特殊的纖維叢，通過聯絡形式表述，在這種情況聯絡至少是在一個李群的作用下等變。

埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾・埃雷斯曼命名。

## 簡介

微分幾何中經典的協變導數是一個線性微分算子，它以協變的方式取向量叢中截面的方向導數，也能用來闡述在
在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面 _s_ 沿著向量 _V_ 平行，如果∇V_s_ = 0。所以一個協變導數提供了兩個觀念：微分算子以及各個方向上的平行。**埃雷斯曼聯絡**完全放棄了微分算子，並用截面在各個方向平行的含義來公理化一個聯絡。精確一點講，埃雷斯曼聯絡將纖維叢中的切叢的某些子空間指定為「水平空間」。如果 _ds_(_V_ ) 處於水平空間中，則截面 _s_ 是在 _V_ 方向上是水平的（也即平行的）。在這裡，我們把 _s_ 視為從底空間 _M_ 映射到向量叢 _E_ 的函數 _s_ : _M_ → _E_ ，且 _ds_ : _TM_ → _s\*TE_ 是向量的前推。水平空間組成 _TE_ 的一個子向量叢。

如此一來直接的好處是它可以用於比向量叢一般得多的場合。特別是，它對於一般的纖維叢都是有定義的。而且，很多協變導數的特色得到了保留：平行移動，曲率和和樂。

然而此定義除了線性之外還失去了_協變性_。在經典協變導數中，協變性乃是導數的_後驗_特性。在構造過程中，要先指定「非協變」克氏記號的變換法則，才能給出符合協變的_導數_。對埃雷斯曼聯絡而言，可藉由引入作用在纖維叢裡纖維上的李群，來強加一個推廣的協變原則。恰當的條件就是要求水平空間在某種意義下對應於群作用等變。

埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是它可以表達為一個微分形式，和聯絡形式的情況類似。若一個群作用在纖維上，並且聯絡等變，則該形式也是等變的。而且，該聯絡形式也允許用曲率形式來定義曲率。

## 纖維叢上的埃雷斯曼聯絡

令 π : _E_ → _M_ 為纖維叢。_E_ 上的**埃雷斯曼聯絡**由如下數據組成：

1. 對於每一點 _x_ ∈ _E_，給定 _E_ 在 _x_ 點的切空間向量子空間 _H_x ⊂ _T_x_E_。_H_x 稱為 _x_ 點的_水平空間_。
2. 隨著 _x_ 的變化，_H_x 必須定義出一個 _E_ 的切叢的光滑子叢。（特別是，_H_ 必須有常數維度。）
3. 令 _V_ = ker(_d_π : _TE_ → _TM_) 為由所有沿著 _E_ 的纖維方向的切向量組成的_鉛直叢_。則 _H_x ∩ _V_x = {0} 對於 _x_ ∈ _E_ 成立。
4. 任何 _E_ 的切向量必須可以分解為水平和鉛直分量: _TE_ = _H_ + _V_。（特別是，根據上面第 3 條，這是一個直和分解。）

用更加看似深奧的術語來講，滿足屬性 1－4 的這樣的一個對水平空間的設定，精確地對應於給定一個射叢 _JE_ → _E_ 的光滑截面。

等價的有，令 Φ 為到鉛直叢 _V_ 的投影。這可以由上述 _TE_ 到水平和鉛直分量的_直和_分解得到。則 Φ 滿足：

1. Φ2 = Φ
2. Φ : _TE_ → _V_ 是一個叢的滿射。

反過來，若 Φ 是滿足 1 和 2 的向量叢映射，則 H = _ker_ Φ 定義了上述的一個埃雷斯曼聯絡的結構。

### 曲率

令 Φ 為一埃雷斯曼聯絡。則 Φ 的曲率為

　
: $R={\frac {1}{2}}[\Phi ,\Phi ]$

其中 [-,-] 表示 Φ ∈ Ω1(_E_,_TE_) 和它自己的 Frölicher-Nijenhuis 括號。這樣 _R_ ∈ Ω2(_E_,_TE_) 就是一個 _E_ 上取值在 _TE_ 中的 2－形式，定義為

　
: $R(X,Y)=\Phi \left([(Id-\Phi )X,(Id-\Phi )Y]\right)$ ,

或者說

　
: $R(X,Y)=[X_{H},Y_{H}]_{V}$ ,

其中 _X_ = _X_H + _X_V 代表到 _H_ 和 _V_ 分量的分解。從上式可以看出，曲率為 0 若且唯若水平子叢是弗羅貝尼烏斯可積的。這樣，曲率是否為 0 就是水平子叢能否構成纖維叢 _E_ → _M_ 的橫截面的可積性條件。

一個埃雷斯曼的曲率也滿足比安基恆等式（Bianchi identity）的一個擴展版本：

　
: $[\Phi ,R]=0$

其中 [-,-] 仍然是 Φ ∈ Ω1(_E_,_TE_) 和 _R_ ∈ Ω2(_E_,_TE_) 的 Frölicher-Nijenhuis 括號。

### 水平提升

埃雷斯曼聯絡也給出了將曲線從基流形 _M_ 提升到纖維叢 _E_ 的總空間並且使得曲線得切向量為水平向量的方式。這些**水平提升**是其它版本的聯絡表述中的平行移動的直接對應。

精確來講，設 γ(_t_) 為 _M_ 中穿過點 _P_ = γ(0) 的光滑曲線。令 _e_ ∈ _E_P 為 _P_ 上的纖維中的一點。γ 穿過 _e_ 的一個**提升**就是一條曲線 ${\tilde {\gamma }}(t)$ ，它位於 _E_ 中，並滿足

　
: ${\tilde {\gamma }}(0)=e$ ，與 $\pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).$

提升是**水平的**，當曲線的每個切向量位於 _TE_ 的水平子叢中：

　
: ${\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{\gamma (t)}.$

對 π 和 Φ 利用秩 - 零化度定理可以證明每個向量 _v_ ∈ TP_M_ 有唯一的水平提升 ${\tilde {v}}\in T_{e}E$ 。特別是，γ 的切向量場在拉回叢 γ-1E 的總空間上產生一個水平向量場。利用皮卡定理，這個向量場是可積的。這樣，對於每個曲線 γ 和 γ(0) 的纖維上的一點 _e_，對於足夠小的時間 _t_ 總是_存在唯一的穿過 e_ 的 γ 的水平提升_。_

### 完備性

埃雷斯曼聯絡允許曲線有局部水平提升。對於一個**完備**埃雷斯曼聯絡，曲線可以在整個定義域上水平提升。

### 和樂群

聯絡的平坦性局部對應於水平空間的弗羅貝尼烏斯可積性。在另一個極端，非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。

## 主叢

對於主 _G_- 叢 $E\to B$ ，每個 $x\in E$ ，令 $T_{x}(E)$ 代表在 _x_ 的切空間，用 $V_{x}$ 代表和纖維相切的**鉛直子空間**。則聯絡是對 $T_{x}(E)$ 的**水平子空間** $H_{x}$ 的指定，並要滿足

 1. $T_{x}(E)$ 是 $V_{x}$ 和 $H_{x}$ 的直和，
2. $H_{x}$ 的分布在 _G_ 在 _E_ 上的作用下不變，也即 $H_{ax}=D_{x}(R_{a})H_{x}$ 對於任何 $x\in E$

和 $a\in G$ 成立，這裡 $D_{x}(R_{a})$ 代表 _a_ 在 _x_ 的群作用的微分。

1. 分布 $H_{x}$ 光滑地依賴於 _x_。

使用射叢 $JE\rightarrow E$ 可以更加優美地表達這個定義。指定水平空間無非就是指定該射叢的一個光滑截面。

_G_ 的單參數子群鉛直作用於 _E_ 上。該作用的微分允許我們可以講子空間 $V_{x}$ 和 _G_ 群的李代數 _g_ 等同起來，譬如通過映射 $\iota :V_{x}\to g$ 。
然後，聯絡形式就是 $E$ 上的在 _g_ 中取值的微分形式 $\omega $ ，其定義為 $\omega (X)=\iota \circ v(X)$ 其中 $v$ 代表在 $x\in E$ 的從 $X\in T_{x}$ 到 $V_{x}$ 的投影，且其核空間為 $H_{x}$ 。

聯絡形式滿足如下兩個屬性：

* 聯絡在 _G_ 作用下等變： $R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega $ 對於所有 _h_∈_G_ 成立。
* 聯絡將鉛直向量場映射為相應的李代數的元素： $\omega (X)=\iota (X)$ 對於所有 _X_∈_V_ 成立。

反過來，可以證明這樣一個 _g_- 值 1－形式在一個主叢上產生一個水平分布，滿足前面所說的屬性。

給定一個局部平凡化，可以將 $\omega $ （在該平凡化中）簡化為水平向量場。它通過拉回在 _B_ 上定義了一個形式 $\omega '$ 。該形式 $\omega '$ 完全確定了 $\omega $ ，但是它依賴於平凡化的選擇。（這個形式經常也稱為**聯絡形式**並也記為 $\omega $ 。）

## 備註

## 進階閱讀

* Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", _Proc. Symp. Pure Math._, **16** Amer. Math. Soc., Providence, RI.

## 參見條目

* 嘉當聯絡
* 仿射聯絡
* 曲率形式