塞爾伯格跡公式

在數學中，**塞爾伯格跡公式**是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 $G/\Gamma $ 的函數空間上某類算子的跡數，其中 $G$ 是李群而 $\Gamma $ 是其離散子群。

塞爾伯格在 1956 年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格 ζ 函數。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。

一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於環面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。

## 定義

設 $X$ 為緊緻、負常曲率曲面，這類曲面可以表為上半平面 $\mathbb {H} $ 對 $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ 的某離散子群 $\Gamma $ 的商。

　
: $X\ =\ \Gamma \backslash \mathbb {H} $

考慮 $X$ 上的拉普拉斯算子

　
: $\Delta \ u(x,y)\ =\ y^{2}\left(\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\,\right)u(x,y)$

由於 $X$ 為緊曲面，該算子有離散譜；換言之，下式定義的特徵值 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\ldots $ 至多可數

　
: $-\ \Delta \ u_{n}(x,y)\ =\ \lambda _{n}\ u_{n}(x,y)$

事實上，更可將其由小至大排列：

　
: $0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots $

對應的特徵函數 $u_{n}(x,y)\in C^{\infty }(\mathbb {H} )$ ，並滿足以下週期條件： $\forall \ \gamma \ \in \ \Gamma \ ,\quad u_{n}(\gamma z)\ =\ u_{n}(z)$

行變元代換 $\lambda _{n}\ =\ s_{n}(1-s_{n})\ ,\quad s_{n}\ =\ {\frac {1}{2}}\ +\ i\,r_{n}$

於是特徵值可依 $r_{n},\quad n\ \geq \ 0$ 排列。

## 跡公式

**塞爾伯格跡公式**寫作

$$
\sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (F)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\,\tanh(\pi r)\,dr\ +\ \sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{1/2}-N(T)^{-1/2}}}\ g(\log N(T))
$$

和式中的 $\{T\}$ 取遍所有雙曲共軛類。所取函數 $h$ 須滿足下述性質：

* 在帶狀區域 $\vert \Im \mathrm {m} (r)\vert \leq 1/2+\delta $ 上為解析函數，在此 $\delta >0$ 為某常數。
* 偶性： $h(-r)=h(r)$ 。
* 滿足估計： $\vert h(r)\vert \leq M\ \left(1+\vert \Re \mathrm {e} (r)\vert ^{-2-\delta }\ \right)$ ，在此 $M>0$ 為某常數。

函數 $g$ 是 $h$ 的傅里葉變換：

　
: $h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)\ e^{iru}\ du$ 。

## 後續發展

為了計算赫克算子作用於尖點形式上的跡，出現了 Eichler - 塞爾伯格跡公式。志村五郎後來採取的方法省去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調也為非緊黎曼曲面與模曲線的尖點問題提供了純粹的代數框架。最後， $X=\Gamma \backslash \mathbb {H} $ 為緊的情形可藉阿蒂亞 - 辛格指標定理處理，然而，一旦取 $\Gamma $ 為算術子群，便不免要處理非緊的情形。

在 1960 年代，塞爾伯格跡公式由蘇聯的蓋爾芳特學派、普林斯頓大學的 Harish-Chandra（हरीश चन्द्र）、羅伯特・郎蘭茲與日本的窪田富男接手推動。非緊情形的連續譜是郎蘭茲發展艾森斯坦級數理論的動機之一。拉普拉斯算子與赫克算子的跡公式表明了賦值向量環之妙用。

亞瑟 - 塞爾伯格跡公式適用於一般的半單群（或約化群）。此公式的一側稱為**譜側**，與群的表示相關；另一側稱為**幾何側**，與函數之軌道積分相關。群表示通常帶有重要的數論信息，而軌道積分則較容易操作。亞瑟 - 塞爾伯格跡公式是證明郎蘭茲函子性猜想的重要進路之一。

## 文獻

* 葉揚波《模形式與跡公式》，北京大學出版社，2001 年。 ISBN 7-301-04586-7
* A. Selberg, _Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces With Applications to Dirichlet Series_, _Journal of the Indian Mathematical Society_ 20 (1956) 47-87.
* H.P. McKean, _Selberg's Trace Formula as Applied to a Compact Riemannian Surface_, _Communications in Pure and Applied Mathematics_ 25 (1972) 225-246. 勘誤見 : _Communications in Pure and Applied Mathematics_ 27 (1974) p.134
* D. Hejhal, _The Selberg Trace Formula and the Riemann Zeta Function_, Duke Mathematics Journal 43 (1976) 441-482
* D. Hejhal, _The Selberg Trace Formula For PSL(2,**R**)_, Volume I, Springer Lecture Notes 548 (1976), ISBN .
* A.B. Venkov, _Spectral Theory of Automorphic Functions, the Selberg Zeta Function, and Some Problems of Analytic Number Theory and Mathematical Physics_, Russian Mathematical Surveys 34 (1979) 79-153.
* P. Cartier and A. Voros, _Une Nouvelle Interprétation de la formule des traces de Selberg_, dans _The Grothendieck Festschrift_, volume 87 of Progress in Mathematics, Birkhäuser (1990) 1-67.
* （英文） Matthew R. Watkins, _Selberg trace formula and zeta functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_