埃尔米特多项式

在數學中，**埃爾米特多項式**是一種經典的正交多項式族，得名於法國數學家夏爾・埃爾米特。機率論裡的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到埃爾米特多項式。在組合數學中，埃爾米特多項式是阿佩爾方程式的解。物理學中，埃爾米特多項式給出了量子諧振子的本徵態。

## 定義

埃爾米特多項式有兩種常見定義。

第一種是**機率論**中較為常用的形式（又記作： $H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)$ ）：

　
: $(1)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!$

另一種是**物理學**中較為常用的形式（又記作： $H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)$ ）：

　
: $(2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!$

$$
$$

這兩種定義並**不是**完全等價的。它們之間的關係是：

　
: $H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!$

機率論中常用第一種定義，因為 ${\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}$ 是標準常態分布函數（數學期望等於 0，標準差等於 1）的機率密度函數。

## 性質

多項式 _Hn_ 是一個 _n_ 次的多項式。機率論的埃爾米特多項式是首一多項式（最高次項係數等於 1），而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於 2n。

### 正交性

多項式 _Hn_ 的次數與序號 _n_ 相同，所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的**權函數** _w_，埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。

　
: $w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!$ （機率論）

　
: $w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!$ （物理學）

也就是說，當 _m_ ≠ _n_ 時：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0$

除此之外，還有：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}$ （機率論）

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}$ （物理學）

其中 $\delta _{mn}$ 是克羅內克函數。

從上式可以看到，機率論中的埃爾米特多項式與標準常態分布正交。

### 完備性

在所有滿足

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty $

的函數所構成的完備空間中，埃爾米特多項式序列構成一組基。其中的內積定義如下：

　
: $\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x$

### 埃爾米特微分方程式

**機率論**中的埃爾米特多項式是以下微分方程式的解:

　
: $(e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0$

方程式的的邊界條件為： $u$ 應在無窮遠處有界。

其中 $\lambda $ 是這個方程式的本徵值，是一個常數。要滿足上述邊界條件，應取 $\lambda $ ∈ $\mathbb {N} $ 。對於一個特定的本徵值 $\lambda $ ，對應著一個特定的固有函數解，即 $H_{\lambda }^{prob}(x)$ 。

而**物理學**中的埃爾米特多項式則是以下微分方程式的解:

　
: $u''-2xu'+2\lambda u=0$

其本徵值同樣為 $\lambda $ ∈ $\mathbb {N} $ ，對應的固有函數解為 $H_{\lambda }^{phys}(x)$ 。

以上兩個微分方程式都稱為**埃爾米特方程式**。

## 參考文獻

* Arfken, _Mathematical Methods for Physicists_
* B Spain, M G Smith, _Functions of mathematical physics_, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
* Bayin, S.S. (2006) _Mathematical Methods in Science and Engineering_, Wiley, Chapter 4.
* Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 .
* Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955
* Fedoryuk, M.V., H/h046980, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955
* Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9
* Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Temme, Nico, _Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics_, Wiley, New York, 1996

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。埃尔米特多项式. MathWorld.