增益裕度

**波德圖**（英語：**Bode plot**，「Bode」的英文發音類似 Boh-dee，荷蘭文的發音則類似 Bow-dah），又名**波特圖**，是線性非時變系統的傳遞函數對頻率的半對數座標圖，其橫軸頻率以對數尺度表示，利用波德圖可以看出系統的頻率響應。波德圖一般是由二張圖組合而成，一張幅頻圖表示頻率響應增益的分貝值對頻率的變化，另一張相頻圖則是頻率響應的相位對頻率的變化。

波德圖可以用電腦軟體（如 MATLAB）或儀器繪製，也可以自行繪製。利用波德圖可以看出在不同頻率下，系統增益的大小及相位，也可以看出大小及相位隨頻率變化的趨勢。

波德圖的圖形和系統的增益，極點、零點的個數及位置有關，只要知道相關的資料，配合簡單的計算就可以畫出近似的波德圖，這是使用波德圖的好處。

## 簡介

波德圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨德里克・韋德・波德在 1930 年發明。波德用簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，因此他發明的圖也就稱為波德圖。

波德圖幅頻圖的頻率用對數尺度表示，增益部份一般都用功率的分貝值來表示，也就是將增益取對數後再乘以 10。由於增益用對數來表示，因此一傳遞函數乘以一常數，在波德增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函數的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸 0 分貝以下具有正增益邊限、屬穩定區，反之屬不穩定區：

　
: $\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b).\ $

波德圖相頻圖的頻率也用對數尺度表示，而相位部份的單位一般會使用度。配合波德相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個 _A_sin(ω_t_) 的信號進入系統後振幅變原來的 _k_ 倍，相位落後原信號 Φ，則其輸出信號則為 (_A_ _k_) sin(ω_t_− Φ)，其中的 _k_ 和 Φ 都是頻率的函數。相頻圖縱軸 - 180 度以上具有正相位邊限、屬穩定區，反之屬不穩定區

若將系統的增益以複數表示，則複數增益取對數後的虛部即為相位，因此二傳遞函數的相乘，在波德相位圖上也是圖形的相加。

以下考慮有一個極點的高通濾波器、如圖 2：

　
: $\mathrm {T_{High}} (f)={\frac {jf/f_{1}}{1+jf/f_{1}}}\ ,$

其中 _f_ 是頻率，_f_1 是極點的位置，單位都是 Hz。圖中 _f_1 = 100 Hz。此傳輸函數的絕對值為：

　
: $\left|\mathrm {T_{High}} (f)\right|={\frac {f/f_{1}}{\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}},\ $

其相位為：

　
: $\varphi _{T_{High}}=90^{\circ }-\tan ^{-1}(f/f_{1}).\ $

由於波德相位圖的縱軸相位使用角度而不是弳度，需要使用對應角度的反正切函數。波德增益圖的縱軸是轉換函數的分貝，其數值如下：

　
: ${\begin{aligned}20\log _{10}\left|\mathrm {T_{High}} (f)\right|&=20\log _{10}\left(f/f_{1}\right)\\&\quad -20\log _{10}\left({\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}\right).\end{aligned}}$

如下圖 3 是一個單一極點低通濾波器的波德圖：

　
: $\mathrm {T_{Low}} (f)={\frac {1}{1+jf/f_{1}}}.\ $

 
於圖 3 中也有用直線近似的波德圖，常在自行繪製波德圖時使用，其原理會在後面的章節中說明。

波德圖的增益和相位很難單獨的變動、二者會互相牽扯，當調整系統的增益響應時，系統的相位響應也會隨之變化，反之亦然。最小相位系統的增益和相位特性之間可以用希爾伯特轉換來轉換，因此知道其中一項即可求出另外一項。

若轉換函數是有理函數，其零點及極點均為實數，則其波德圖可以用幾條漸近線的直線來近似，利用簡單的規則即可以徒手繪製。若近似的波德圖再修正每個截止頻率時的增益值，則其近似值會更接近實際值。

## 波德圖手繪的規則

波德圖的前提就是可以處理以下型式函數的對數值：

　
: $f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}$

上述函數的對數值可以轉換為極點及零點對數的和：

　
: $\log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x+c_{n}).$

在繪製波德相位圖時直接使用了上述的概念。增益圖的繪製時則是以此概念為基礎，因為每個極點或零點其增益的對數均從 0 開始，而且其漸近線只有一個轉折點，因此繪製時可以再作簡化。

### 直線近似的增益圖

波德圖增益分貝值一般都利用 $20\log _{10}(X)$ 的公式。考慮以下的轉換函數：

　
: $H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}$

其中 $x_{n}$ 及 $y_{n}$ 是常數， $s=j\omega $ , $a_{n},b_{n}>0$ ，而 _H_ 是轉換函數。

* 在每個對應 $\omega =x_{n}$ （零點）的位置，將直線的斜率增加 $20\cdot a_{n}\ dB$ / 十倍頻。
* 在每個對應 $\omega =y_{n}$ （極點）的位置，將直線的斜率減少 $20\cdot b_{n}\ dB$ / 十倍頻。
* 圖在起始點時的增益值，可以依照圖中的角頻率下限，計算其對應的 |_H_(_j_ω)|。
* 圖在起始點時的斜率則依照有多少零點及極點低於角頻率下限，再依上述二個方式計算斜率，若所有點及極點均高於角頻率下限，起始點時的斜率為零。

在處理無法分解的二次多項式 $ax^{2}+bx+c\ $ 時，多半可以用 $({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}$ 的方式近似。

### 修正後的增益圖

直線近似的增益圖可以用以下方式修正：

* 針對每個零點，在直線上方 $3\cdot a_{n}\ \mathrm {dB} $ 的位置增加一點。
* 針對每個極點，在直線下方 $3\cdot a_{n}\ \mathrm {dB} $ 的位置增加一點。
* 以原來的直線為漸近線繪製平滑曲線，通過上述各點，即為修正後的增益圖。

上述的修正方式只針對實數的極點或零點。若 $x_{n}$ 或 $y_{n}$ 為複數時，比較好的作法仍是找出無法分解的二次式，計算其在零點（或極點）附近的數值，再依數值決定要在直線上方或下方加點。

### 直線近似的相位圖

考慮一個以下型式的傳遞函數：

　
: $H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}$

可以先依每個極點及零點分別繪製相位圖，再將各相位圖相加。相位圖的曲線為以下的反正切函數 $-\mathrm {arctan} (\mathrm {Im} [H(s)]/\mathrm {Re} [H(s)])$ 。

在繪製相位圖時，針對每個極點及零點：

* 若 A 為正數，其對應的相位圖是 0 度的水平線。
* 若 A 為負數，其對應的相位圖是 180 度的水平線。
* 對每個穩定的零點 $\omega =x_{n}$ （其零點滿足 $Re(z)<0$ ，即 $Re(x_{n})>0$ ），低於 $\omega ={\frac {x_{n}}{10}}$ 的部份為相位為 0 度的水平線，之後的直線斜率為 + $45\cdot a_{n}$ 度 / 十倍頻，到 $\omega =10\cdot x_{n}$ 為止，該點的相位為 + $90\cdot a_{n}$ 度，超過此頻率的部份為相同相位的水平線。
* 對每個穩定的極點 $\omega =y_{n}$ （其極點滿足 $Re(p)<0$ ，即 $Re(y_{n})>0$ ），低於 $\omega ={\frac {y_{n}}{10}}$ 的部份為相位為 0 度的水平線，之後的直線斜率為 - $45\cdot b_{n}$ 度 / 十倍頻，到 $\omega =10\cdot y_{n}$ 為止，該點的相位為 - $90\cdot b_{n}$ 度，超過此頻率的部份為相同相位的水平線。
* 若是不穩定的零點（或極點），其相位增加或減少的趨勢恰與上述相反。
* 將所有的相位圖相加，即為傳遞函數的完整相位圖。

### 簡易傳遞函數的波德圖趨勢

以下是常見簡易傳遞函數的波德圖趨勢：

## 舉例

考慮以下的低通 RC 電路、如圖 3，其頻域的轉換函數如下：

　
: $H(jf)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}.$

由轉換函數可以得到其截止頻率 _f_c（以 Hz 為單位）為

　
: $f_{\mathrm {c} }={1 \over {2\pi RC}}$

另一種等效表示法為

　
: $\omega _{\mathrm {c} }={1 \over {RC}}$

其中 $\omega _{\mathrm {c} }=2\pi f_{\mathrm {c} }$ 為截止角頻率，單位是弧度每秒。

以角頻率表示的轉換函數如下

　
: $H(j\omega )={1 \over 1+j{\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}.$

上述的方程式是一個正規化後的轉換函數，其波德圖如圖 3，後續將介紹如何用直線來近似波德圖。

### 增益圖

上述轉換函數的增益 $A_{\mathrm {vdB} }$ （以分貝表示）和頻率的關係如下：

　
: ${\begin{aligned}A_{\mathrm {vdB} }&=20\log |H(j\omega )|=20\log {1 \over \left|1+j{\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}\right|}\\&=-20\log \left|1+j{\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}\right|=-10\log {\left[1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}\right]}\end{aligned}}$

若在對數尺度的頻率下繪製不同頻率 $\omega $ 的增益，上式可以用二條直線近似，而這二條線也就是其波德圖增益圖的二條漸近線：

* 在角頻率小於 $\omega _{\mathrm {c} }$ 時，因 ${\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$ 項較小，相對 1 而言可以忽略，因此其增益值為定值 1，在增益圖上是一條位在 0dB 的水平線。
* 在角頻率大於 $\omega _{\mathrm {c} }$ 時，因 ${\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$ 項比較大，相對而言 1 可以忽略，因此式子簡化為 $-20\log {\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$ ，是斜率為 - 20dB / 十倍頻的斜線。

上述的二條線在截止頻率 ${\omega _{\mathrm {c} }}$ 處交會，在圖 3 可以看出，當頻率遠低於截止頻率時，電路的衰減量是 0 dB，對應其通帶增益為 1，此時濾波電路的輸出值和輸入值相同，而當頻率高於截止頻率時，信號會被電路衰減，越高頻的信號其衰減量越大。

### 相位圖

上述轉換函數的相位和頻率的關係如下

　
: $\varphi =-\tan ^{-1}{\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$

其中 $\omega $ , $\omega _{\mathrm {c} }$ 分別是輸入角頻率及截止角頻率。 當輸入角頻率遠小於截止角頻率時（ $\omega \ll \omega _{\mathrm {c} }$ ）， ${\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$ 比例的數值很小，因此相位角接近零度。當頻率增加，相位角的絕對值也隨之增加。在（ $\omega =\omega _{\mathrm {c} }$ ）時為 - 45 度。當輸入角頻率遠大於截止角頻率時（ $\omega $ >> $\omega _{\mathrm {c} }$ ， $\omega $ →∞），相位角會趨近 - 90 度。

### 正規化圖

波德圖（包括幅頻圖及幅相圖）的橫軸頻率部份均可以用正規化的頻率（無因次頻率， ${\omega  \over {\omega _{\mathrm {c} }}}$ ）表示。此時的圖稱為正規化的波德圖，而且其中不需考慮頻率的單位，因為頻率已改用頻率和截止頻率 $\omega _{\mathrm {c} }$ 的比值來表示。

## 有極點和零點的範例

圖 4 至圖 7 是有極點和零點的波德圖，可用來說明如何疊加不同極點的零點的圖形，得到完整的波德圖。

* 有極點和零點的範例
* *

圖 4 是一個零點及極點（在相同頻率）的波德增益圖，及其直線近似的增益圖。以直線近似的圖來看，在頻率小於零點（或極點）時其增益圖為一水平線，超過零點（或極點）100 後以 20dB / 十倍頻的斜率上升（或下降）。圖 5 則為其相位圖及直線近似的版本，在頻率小於零點（或極點）的十分之一時，其相位圖為一水平線，超過 (10) 之後以 45 度 / 十倍頻的斜率上升（或下降），直到等於零點（或極點）的十倍 (1000) 為止，之後相位圖為一數值為 + 90 度（或 - 90 度）的水平線。

* 有極點和零點的範例
* *

圖 6 及圖 7 分別是有一個極點及零點的系統的波德增益圖及波德相位圖，其中零點的頻率為極點的十倍。圖 6 中因為極點中的影響，在頻率超過 100 極點後，波德極點增益會以 - 20dB / 十倍頻的斜率下降，但到 1000 時，因波德零點增益會以 + 20dB / 十倍頻的斜率上昇，抵消極點的影響，因此在頻率超過 1000 之後，增益為一定值。

圖 7 的相位圖中，在高頻（頻率高於零點十倍）及低頻（頻率高於極點十分之一）處，其相位都為 0 度，低頻相位為零是因為零點及極點對相位的貢獻均為 0 度，高頻相位為零是因為零點及極點對相位的貢獻分別為 + 90 度及 - 90 度，互相抵消後總相位為 0 度。而中間的區域因極點及零點的相位抵消後不為零，因此可以看出其相位的變化。

## 在系統穩定性的應用

波德圖可用來計算負反饋系統的增益邊限（gain margin）及相位邊限，進而確認系統的穩定性。

### 相關符號定義

先定義以下的符號：

　
: : $A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}\ ,$

其中

* _A_FB 是考慮反饋時的放大器增益（閉迴路增益）
* β 是反饋係數
* _A_OL 是不考慮反饋時的放大器增益（開迴路增益）。

在開迴路增益 _A_OL 遠大於 1 時，閉迴路增益 _A_FB 可以用以下方式近似

　
: : $A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}\approx {\frac {A_{OL}}{\beta A_{OL}}}=1/\beta $

在開迴路增益 _A_OL 遠小於 1 時，閉迴路增益 _A_FB 可以用以下方式近似

　
: : $A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}\approx A_{OL}$

增益 _A_OL 是頻率的複變函數，有大小及相位。

上述的式子中，若 β_A_OL 乘積 =−1 時，可能會出現增益無窮大（即為不穩定）的情形。（若用大小和相位來表示，此時 β_A_ 的大小為 1，相位為 - 180 度，此條件即稱為巴克豪森穩定性準則。配合波德圖，不但可以判斷系統是否穩定，也可以判斷系統接近以上不穩定條件的程度。

在判斷系統穩定性時，會用到以下二個頻率。第一個頻率 _f_180 是上述乘積相位恰為 - 180 度的頻率，第二個頻率 _f_0dB 則為乘積的絕對值 |β _A_OL|=1 時的頻率（若以分貝表示時，則為 0dB）。頻率 _f_180 可以用下式來計算：

　
: $\beta A_{OL}\left(f_{180}\right)=-|\beta A_{OL}\left(f_{180}\right)|=-|\beta A_{OL}|_{180},\ $

其中 | | 表示複數的絕對值（例如 |_a_ + _j_ _b_ | = [ _a_2 + _b_2]1/2）。而頻率 _f_0dB 有以下的關係：

　
: $|\beta A_{OL}\left(f_{0dB}\right)|=1.\ $

### 增益邊限及相位邊限

#### 增益邊限

增益邊限（gain margin, GM）是衡量系統穩定程度的一種方法。在波德相位圖上可以找到 β_A_OL 相位到達 - 180 度時的頻率，該頻率即為 _f_180，之後就可以在增益圖上找到該頻率時 β_A_OL 的大小。

若 |β_A_OL|180 > 1，表示此系統不穩定。若 |β_A_OL|180 < 1，此系統穩定，而 |β_A_OL| 分貝值和 0dB（對應增益大小為 1）的距離表示系統距離不穩定的程度，稱為增益邊限。

增益邊限也可以用下式表示：

　
: $20\log(|\beta A_{OL}|_{180})=20\log(|A_{OL}|_{180})-20\log(1/\beta )\ $

#### 相位邊限

相位邊限（phase margin, PM）是另一種衡量系統穩定程度的方法。在波德增益圖上可以找到 |β_A_OL| 大小為 1 的頻率，該頻率即為 _f_0dB，之後就可以在相位圖上找到該頻率時 β_A_OL 的相位。

若 β_A_OL( _f_0dB) 的相位 > −180°，表示在任何頻率時系統都會穩定，因為在 _f_180 時大小已小於 1，_f_0dB 時的相位和 - 180 度之間的差稱為相位邊限。

若只是單純要判斷系統是否穩定，在系統為最小相位系統時，若以下的式子成立，則系統穩定：

　
: $f_{0dB}<f_{180}\ $

若是非最小相位系統，需要用其他方式判斷穩定性，如奈奎斯特圖。

### 舉例

#### 臨界穩定系統 1/β = 58 dB

* 增益邊限及相位邊限範例，1/β = 58 dB
* *

圖 8 及圖 9 可說明增益邊限及相位邊限在實際系統中的應用。圖 8 是一個放大器的波德增益圖，圖中有繪出不考慮反饋的增益大小（開迴路增益）_A_OL 及考慮反饋的增益大小（閉迴路增益）_A_FB。在負反饋放大器條目中有進一步的說明。

在此例中，低頻的 _A_OL = 100 dB，而 1/β=58dB。低頻時 _A_FB 的近似值也是 58dB。

因為圖中只繪出開迴路增益 _A_OL，不是 β _A_OL，因此判斷 _f_0dB 的條件改為 _A_OL = 1 / β。在低頻時 β_A_OL 遠大於 1，_A_FB 可近似為 1 /β，因此可以用 _A_FB 代替 1 /β，因此 _A_FB 及 _A_OL 相交的位置即為 _f_0dB（後續在計算相位增益時需要頻率 _f_0dB）。

在 _f_0dB 附近，閉迴路增益有很大的突波，因此該頻率時 β _A_OL 可能很接近 - 1（若 β _A_OL=-1，就會有無窮大的增益）。頻率超過 _f_0dB 之後，_A_OL 遠小於 1，因此 _A_FB 可近似為 _A_OL。

圖 9 則是二種增益在相位上的比較，低頻時閉迴路增益的相位接近 0 度，但在頻率 =_f_180 時，開迴路增益的相位為 - 180 度，而閉迴路增益突然下降到幾乎 - 180 度的位置。因開迴路增益相位為−180 度，因此相位邊限為 0 度（-180 度 -(-180 度)=0 度）。（參閱簡介）

根據圖 8 及圖 9，可以看出此放大器的零分貝頻率 _f_0dB 及相位反轉頻率 _f_180 非常接近：_f_180 ≈ _f_0dB ≈ 3.332 kHz，而 3.332 kHz 對應之開迴路增益為 58dB（1/β = 58 dB），58db-58dB=0dB。因此增益邊限及相位邊限都非常接近零，此系統為臨界穩定。

#### 穩定系統 1/β = 77 dB

* 增益邊限及相位邊限範例，1/β = 77 dB
* *

圖 10 和圖 11 是在較小反饋係數 β（1 / β = 77 dB）時，同一系統的波德圖，由於 β 較小，因此 | β _A_OL | = 1 出現在較低的頻率，而低頻時 _A_FB 也是近似 1/β（77 dB）。

圖 10 是波德增益圖。1 / β 及 _A_OL 的曲線在 _f_0dB = 1 kHz 時相交。在 _f_0dB 附近閉迴路增益 _A_FB 沒有明顯的突波。

圖 11 是波德相位圖。利用增益圖上得到的 _f_0dB = 1 kHz，對應的開迴路相位為−135 度，因此相位邊限為正 45 度（-135 度 -(-180 度)=45 度）。（參閱簡介）

圖 11 和圖 9 的函數只有反饋係數 β 不同，其開迴路的波德相位圖均相同，因此圖 11 的 _f_180 和圖 9 相同，都是 3.332 kHz。對應的開迴路增益為 58dB，和 1/β=77dB 比較，增益邊限為 19dB。而相位邊限為正 45 度，此為〈穩定系統〉。

在比較放大器的響應時，穩定性不是唯一的重點，在許多應用中良好的階躍響應比穩定性更重要。依照經驗法則，良好的階躍響應需要至少 45 度的相位邊限，若將製造時元件參數偏差一併列入考慮，理想的相位邊限最好要超過 70 度。在階躍響應條目有關相位邊限的段落中有更深入的說明。

## 波德分析儀

波德分析儀（Bode plotter）是一種類似示波器的儀器，可以量測反饋控制系統或濾波器在各頻率的增益及相位變化，繪製成波德圖。右圖即為一例，波德測試儀可以量測系統的截止頻率、增益邊限及相位邊限，在分析或測試系統的穩定性時很有幫助。

波德分析儀的功能和網路分析儀一様，不過網路分析儀一般會用來分析相當高頻時的系統特性。

在教育或研究的應用上，利用波德分析儀繪製特定傳遞函數的波德圖也可助於了解該系統的特性。

## 其他相關圖

奈奎斯特圖和尼柯爾斯圖都和波德圖有關，這些圖和波德圖都是顯示頻率響應的資料，不過使用的座標系統不同。奈奎斯特圖和尼柯爾斯圖都是以頻率為其參數的參數方程。奈奎斯特圖將各頻率的頻率響應以極座標的方式繪出，因此各點距原點的距離是增益，各點相對原點的角度是相位。尼柯爾斯圖即是將頻率響應的增益 (縱軸) 及相位 (橫軸) 均以線性刻度表示、用直角坐標系的方式繪出，其中增益使用對數尺度（ $20logA(\omega )$ ）。

* 相關圖
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## 相關條目

## 註解

## 參考文獻

## 外部連結