坡印亭定理

在電磁學中，**坡印廷定理**（或稱**坡印廷定理**）是用偏微分方程式陳述的關於電磁場的能量守恆的定理，由英國物理學家約翰・亨利・坡印廷發現。坡印廷定理類似於古典力學中的動能定理，在數學形式上與連續性方程式相似。它把能量密度 _u_ 的時間導數，與能量的流動，以及與電磁場作功的速率聯繫起來。

## 陳述

### 一般形式

用語言描述，此定理是說能量守衡：

此定理還有一種陳述：

數學上，用**微分形式**概括為：

　
:

其中 ∇・**S** 是坡印廷矢量（能量流）的散度，而 **J**•**E** 是場中帶電物體作功的功率（**J** 為對應於電荷運動的_自由_電流密度，**E** 為電場強度，・為點積）。能量密度 _u_ 為：

　
: $u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)$

其中 **D** 是電位移矢量，**B** 是磁感應強度而 **H** 是磁場強度，_ε_0 是真空電容率，_μ_0 是真空磁導率。 由於電荷可以自由移動，**D** 與 **H** 場忽略任何束縛電荷和電流的電荷分布（由定義），**J** 是_自由_電流密度，_不是_全電流的電流密度。

利用散度定理，坡印廷定理可以改寫為**積分形式**：

　
:

其中 $\partial V\!$ 為 _V_ 的邊界。該體積的形狀似任意的但對於計算是固定的。

### 電機工程

在電機工程中，該定理通常寫成以下把能量密度 _u_ 展開的形式，這與流體力學之連續性方程式相似：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,$

其中

 * $\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ 是驅動電場建立的無功功率的密度，
* ${\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ 是驅動磁場建立的無功功率的密度，
* $\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} $ 由洛侖茲力作用在載流子上損耗的電功率的密度。

## 推導

雖然能量守恆定律和勞侖茲力定律可以導出該定理的一般形式，要推導坡印廷矢量的表達式並由此完整敘述，還需要用到馬克士威方程組。

### 坡印廷定理

考慮到以上敘述 - 這個定理有三個元素，涉及將（單位時間）能量轉移寫成體積分：

所以，根據能量守恆定律，單位時間內的能流平衡方程式是該定理的積分形式：

　
: $-\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}dV=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV+\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV,$

由於體積 _V_ 是任意的，對所有體積來說都是成立的，這意味著

　
: $-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,$

這是坡印廷定理的微分形式。

### 坡印廷矢量

從定理可以得到坡印廷矢量 **S** 的實際形式。能量密度的時間導數（運用向量點乘的乘積法則）為

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},$

使用本構關係

　
: $\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} .$

時間偏導意味著要用到馬克士威方程組的兩個方程式。求馬克士威–法拉第方程式與 **H** 的點積：

　
: ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,$

再求馬克士威–安培方程式與 **E** 的點積：

　
: ${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} .$

總和目前的結果得到：

　
: ${\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,\\\end{aligned}}$

然後，利用向量微積分恆等式：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} =\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} ,$

給出了坡印廷矢量的表達式：

　
: $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,$

物理上意味著由於時變電場和磁場的能量傳遞與這兩種場垂直。

## 參見

* 坡印廷矢量

## 參考文獻

## 外部連結

* ScienceWorld 上的「坡印廷定理」 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）