基尔霍夫方程组

**克希荷夫電路定律**（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為**克希荷夫定律**，指的是兩條電路學定律，**克希荷夫電流定律**與**克希荷夫電壓定律**。它們涉及了電荷的守恆及電位的保守性。1845 年，古斯塔夫・克希荷夫首先提出克希荷夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於電機工程學。

從馬克士威方程組可以推導出克希荷夫電路定律。但是，克希荷夫並不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格・歐姆的工作成果加以推廣得之。

## 克希荷夫電流定律

**克希荷夫電流定律**又稱為**克希荷夫第一定律**，表明：

或者，更詳細描述，

以方程式表達，對於電路的任意節點，

　
: $\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ ；

其中， $i_{k}$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第 $k$ 個支路的電流，可以是實數或複數。

由於累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其實質是穩恆電流的連續性方程式，即根據電荷守恆定律，流向節點的電流之和等於流出節點的電流之和。

### 導引

思考電路的某節點，跟這節點相連接有 $n$ 個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流 $i$ 等於流過支路 $k$ 的電流 $i_{k}$ 的代數和：

　
: $i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}$ 。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程式：

　
: $q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}$ ；

其中， $q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'$ 是累積於這節點的總電荷， $q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'$ 是流過支路 $k$ 的電荷， $t$ 是檢驗時間， $t'$ 是積分時間變數。

假設 $q>0$ ，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律， $q$ 是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以， $q=0$ 、 $i=0$ ，克希荷夫電流定律成立：

　
: $\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ 。

### 含時電荷密度

從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，克希荷夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 $\mathbf {J} _{D}$ 納入考慮，則克希荷夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用克希荷夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取散度於馬克士威修正的安培定律，然後與高斯定律相結合，即可得到克希荷夫電流定律：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ ；

其中， $\mathbf {J} $ 是電流密度， $\epsilon _{0}$ 是電常數， $\mathbf {E} $ 是電場， $\rho $ 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 $Q$ 的流失率：

　
: $\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$ 。

克希荷夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 $\rho $ ，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

### 應用

以矩陣表達的克希荷夫電流定律是眾多電路類比軟體（electronic circuit simulation）的理論基礎，例如，SPICE 或 NI Multisim。

## 克希荷夫電壓定律

**克希荷夫電壓定律**又稱為**克希荷夫第二定律**，表明：

或者，換句話說，

以方程式表達，對於電路的任意閉合迴路，

　
: $\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0$ ；

其中， $m$ 是這閉合迴路的元件數目， $v_{k}$ 是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

克希荷夫電壓定律不僅應用於閉合迴路，也可以把它推廣應用於迴路的部分電路。

### 電場與電位

在靜電學裏，電位定義為電場的負線積分：

　
: $\phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!$ ；

其中， $\phi (\mathbf {r} )$ 是電位， $\mathbf {E} $ 是電場， $\mathbb {L} $ 是從參考位置到位置 $\mathbf {r} $ 的路徑， $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是這路徑的微小線元素。

那麼，克希荷夫電壓定律可以等價表達為：

　
: $\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0$ ；

其中， $\mathbb {C} $ 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 $\mathbb {C} $ 的磁通量為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路 $\mathbb {C} $ 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

### 理論限制

由於含時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路 $\mathbb {C} $ 的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢 ${\mathcal {E}}$ 出現於閉合迴路 $\mathbb {C} $ 。所以，電場沿著閉合迴路 $\mathbb {C} $ 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將克希荷夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢 ${\mathcal {E}}_{k}$ 。必需將這電動勢納入克希荷夫電壓定律，才能求得正確答案。

## 頻域

思考單頻率交流電路的任意節點，應用克希荷夫電流定律

　
: $\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big \{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big \}}=\mathrm {Re} {\Big \{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big \}}=0$ ；

其中， $i_{k}$ 是第 $k$ 個進入或離開這節點的電流， $I_{k}$ 是其振幅， $\theta _{k}$ 是其相位， $\omega $ 是角頻率， $t$ 是時間。

對於任意時間，這方程式成立。所以，設定相量 $\mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}$ ，則可以得到頻域的克希荷夫電流定律，以方程式表達，

　
: $\sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0$ 。

頻域的克希荷夫電流定律表明：

這是節點分析的基礎定律。

類似地，對於交流電路的任意閉合迴路，頻域的克希荷夫電壓定律表明：

以方程式表達，

　
: $\sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0$ ；

其中， $\mathbb {V} _{k}$ 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是網目分析（mesh analysis）的基礎定律。

## 參見

## 參考

* Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3.
* Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8.
* Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0.

## 外部連結

* 麻省理工學院電機工程系視聽教學：克希荷夫定律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。
* 國立交通大學物理系視聽教學：電子學。
* Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy