坡印廷向量

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

**坡印廷向量**（英語：**Poynting vector**），亦稱**能流密度矢量**，其方向為電磁能傳遞方向，大小為能流密度（單位面積的能量傳輸速率）。坡印廷矢量的 SI 單位是瓦特每平方米（W/m2）。它是以其發現者約翰・亨利・坡印廷來命名的。奧利弗・黑維塞和尼科萊・烏諾夫亦獨立發現所謂的坡印廷向量。

## 定義

在坡印廷的原始論文和許多教科書中，它通常記作 **S** 或 **N**，定義為

　
: $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} $

其中

* **E** 是電場強度；
* **H** 是磁場強度。

這種形式通常被稱為亞伯拉罕形式。
偶爾也用電場強度 **E** 和磁感應強度 **B** 作為另一種定義。甚至可以把電位移矢量 **D** 和磁感應強度 **B** 結合起來得到的坡印廷矢量的_閔考斯基形式_，或使用 **D** 與 **H** 構成另一種形式。選用哪種形式一直是有爭議的：羅伯特・費福（Robert Pfeifer）等人總結並一定程度上解決了亞伯拉罕與閔考斯基形式支持者之間長達一個世紀的爭議。

坡印廷矢量表示的是電磁能量的能流矢量的特殊情況。然而，空間內任何形式的能量都有其移動方向，也有密度，所以其他形式的能量也可以定義能流矢量，例如機械能。1874 年由尼科萊・烏諾夫發現的烏諾夫–坡印廷矢量以完全廣義的觀點描述了液體和彈性介質中的能流。

### 說明

根據能量守恆所得的坡印廷定理中出現了坡印廷向量（參見此條目中定理和向量的推導）：

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} $

其中 **Jf** 為自由電荷的電流密度而 _u_ 為線性、非色散材料的電磁場能量密度，即

　
: $u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)$

其中

* **E** 是電場強度；
* **D** 是電位移矢量；
* **B** 是磁感應強度；
* **H** 是磁場強度。

右面的第一項表示流入一個小體積的淨電磁能流，而第二項表示自由電流所抵銷的功部分（這些功從電磁能轉換成耗散能、熱）。在此定義中，在此項中不包括束縛電流，但束縛電流會影響 **S** 和 _u_。

對於線性、非色散、各向同性（為了方便分析）材料，本構關係寫作

　
: $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} $ ， $\mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} $

的時候。其中

* _ε_ 為材料的電容率；
* _μ_ 為材料的磁導率。

原則上，這把此形式的坡印廷定理限制於描述場在真空中的行為，或在線性、非色散材料中的行為。坡印廷定理可以延伸到色散材料中，但必須在方程式裏添加更多項。

坡印廷矢量通常被解釋為能流，但對於某些案例可能會導致悖論般的結果。上述坡印廷定理描述了更一般的情形，指出坡印廷矢量的散度與能量密度的改變有關，這就是說它只能描述空間中能量密度的改變，描述不了能流，換句話說，坡印廷矢量只精確地定義至任意場的旋度。在下一節會有更多相關說明。

### 增添場旋度的不變性

坡印廷定理中，坡印廷向量以散度∇ ⋅ **S** 形式出現，因此可在坡印廷向量 **S** 中任意增添場 **F** 的旋度而不對其造成影響：

　
: $\mathbf {S} '=\mathbf {S} +\nabla \times \mathbf {F} \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf {S} '=\nabla \cdot \mathbf {S} $ ，

此處應用到向量關係式：任意場 **F** 之旋度項的散度為零，即∇ ⋅ (∇ × **F**) = 0（細節參見向量恆等式列表）。

此項性質用於類靜電學範疇，舉例來說，可以用來描述壓電材料中與波動相關的能量傳遞。在此情形，磁場可以忽略，局部的能量通量主要是由電場項來貢獻。以通則來說，我們可用下式來表示坡印廷向量的散度：

　
: $\nabla \cdot \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right)=\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} $

而馬克士威方程組第四條方程式寫道：

　
: $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{\mathrm {f} }} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ，

其中 **Jf** 是自由電荷所產生的電流密度。

在介電材料中，方程式變為

　
: $\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ 。

將前述兩項結果結合可得如下類靜電學散度：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ 。

一個新的「無磁場貢獻」的坡印廷向量可得到相同的散度結果：

　
: $\mathbf {S'} =-V{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

其中 _V_ 為靜電位。

平行板電容器的案例中，相互垂直的 **S** 與 **S′**兩者皆導致相同的整體能量平衡，此例子由 Bondar 與 Bastien 指出。

一般普遍認為：採用異於古典坡印廷向量的其他向量，會導致相對論中對電磁場描述的矛盾；因為相對論中，能量與動量是以應力 - 能量張量做局域定義的。然而上方的轉換卻與量子電動力學相符，其中光子沒有明確定義的軌跡，而只有放射與吸收的機率。

## 微觀領域的形式

在某些情況下，可以更合適地定義坡印廷矢量為

　
: $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} $

其中

* _μ_0 是真空磁導率；
* **E** 是電場強度；
* **B** 是磁感應強度。

可以直接從以總電荷和總電流為變量的馬克士威方程組和勞侖茲力定律導出這種形式。

對應的坡印廷定理的形式為

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} $

其中 **J** 為_全_電流密度，而能量密度 _u_ 為

　
: $u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)$

其中 ε0 是真空電容率。

坡印廷向量的兩種定義在真空或非磁性材料中等價，其中 **B** = μ0**H**。在其他的情形，兩者的差異在於 **S** = 1/μ0 **E** × **B**，而對應的 _u_ 是純輻射性的，因為耗散項−**J** ⋅ **E** 包括了總電流，而以 **H** 場所做的定義涵蓋了約束電流的貢獻，因而缺乏耗散項。

推導 **S** = 1/μ0 **E** × **B** 的過程中只需要微觀場 **E** 和 **B**，關於材料性質的假設則可迴避掉。是故以此方式定義的坡印廷向量與坡印廷定理是普遍成立的，不論是在真空中或各式各樣的材料中。

## 時間平均坡印廷矢量

對於時間週期正弦電磁場，單位時間內的平均潮流（功率流）往往更有用處，可以通過如下的電場和磁場的解析表示來求得（下標「a」指的是解析信號，帶下劃線的下標「m」指複振幅，而上標「\*」指共軛複數）：

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}$

關於時間的平均為

　
: $\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t$

第二項為正弦曲線

　
: $\operatorname {Re} \!\left(e^{2j\omega t}\right)=\cos(2\omega t)$

其平均為零，於是得到

　
: $\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \times \mathbf {H_{\mathrm {a} }^{*}} \right)$

## 例子與應用

### 同軸電纜

舉例而言，一條同軸電纜的介電絕緣體之中的坡印廷向量與電纜的軸線幾乎平行（假設電纜外無場，且包含直流電在內的波長遠長於電纜直徑）。輸送到負載的電能完全是流經導體之間的介電質。極少量的能量是經導體流動，因為此處的電場強度接近於零。在導體內的能量流是徑向的，成為導體電阻發熱的能量散失。無能量流至電纜外，因為內層導體與外層導體所產生的磁場彼此相抵消。

### 電阻耗散

若導體有不小的電阻，則在導體表面附近，坡印廷向量則會出現歪斜而接觸到導體。當坡印廷向量伸入導體時，其被彎折到幾乎與表面垂直的方向。此為司乃耳定律以及導體內部甚慢的光速所造成的結果。關於導體內部光速的定義與計算，參見文獻 Hayt 第 402 頁。

在導體內部，坡印廷向量代表了能量從電磁場流入電纜，產生了電阻的焦耳發熱。從司乃耳定律起始的推導，參見文獻 Reitz 第 454 頁。

### 平面波

呈線偏振而以固定頻率傳播的電磁正弦平面波，其坡印廷向量永遠指向傳播方向，而坡印廷向量的大小會不停振盪。此大小的時間均值為：

　
: $\langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}$

其中 _E_m 是電場大小，_c_ 是自由空間中的光速。時間均值則稱為輻照度，在輻射度量學中標記為 _E_e；在其他領域又稱為強度，標記為 _I_。

#### 數學推導

平面電磁波中，**E** 與 **B** 以及波傳遞方向總是互相垂直。此外 **E** 大小與 **B** 大小有如下關係式：

　
: $B_{\mathrm {m} }={\frac {1}{\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }$

與時間及空間的相依性為

　
: $E(\mathbf {r} ,t)=E_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

　
: $B(\mathbf {r} ,t)=B_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

其中 _ω_ 為波的角頻率，而 **k** 為波向量。

因此與時空變量相依的坡印廷向量為：

　
: $S(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}E_{\mathrm {m} }B_{\mathrm {m} }\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )={\frac {1}{\mu _{0}c}}E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\mathrm {c} E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$ 。

在最後一步驟中，使用到等式 ε0μ0 = 1/c2。既然 cos2(ω_t_ − **k** ⋅ **r**) 的時間平均與空間平均是 1/2，則

　
: $\langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}$ 。

只要運用電場與磁場分佈的資料，即可計算出坡印廷向量；這樣的資料包括了特殊物理情形的邊界條件，比如偶極天線的例子。也因此 **E** 場與 **H** 場的分佈構成電磁學分析上的主體，而坡印廷向量則成了有價值的副產物。

### 輻射壓

電磁場的線動量密度為 _S_/c2，此處 _S_ 為坡印廷向量的大小，而 _c_ 是自由空間中的光速。電磁波對一目標物表面所產生的輻射壓則為：

　
: $P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}$ 。

### 靜場

在靜態場考慮坡印廷矢量顯示出了馬克士威方程組的相對論性，並讓我們更加理解了勞侖茲力 _q_(**v** × **B**) 的磁分量。例如，考慮所附圖片，它描述了在一個圓柱形電容器的坡印廷矢量，位於在由永磁體產生的一個磁場（指向紙內）。雖然只有靜態電場和磁場，計算坡印廷矢量得出了順時針方向循環流動的沒有起始或結束的電磁能量。

雖然循環的能流看似是無意義或矛盾的，它卻證明了保持動量守恆是絕對有必要的。動量密度與能流密度成正比，所以能量的循環流動包含著_角_動量。 這是因為勞侖茲力的磁分量存在時，電容器放電。在放電過程中，能流中包含的角動量隨著轉移到穿過磁場的放電電流的電荷上而耗盡。

## 參考文獻

### 書目

* Harrington, Roger F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. McGraw-Hill. 1961.
* Hayt, William. Engineering Electromagnetics 4th. McGraw-Hill. 1981. ISBN 0-07-027395-2.
* Reitz, John R.; Milford, Frederick J.; Christy, Robert W. Foundations of Electromagnetic Theory 4th. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-52624-7.

### 延伸閱讀

* "Poynting Vector" from ScienceWorld (A Wolfram Web Resource)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Eric W. Weisstein
* Richard Becker & Sauter, F. Electromagnetic fields and interactions. New York: Dover. 1964 [2015-05-21]. ISBN0-486-64290-9. （原始內容存檔於 2009-03-06）.
* Joseph Edminister. Schaum's outline of theory and problems of electromagnetics. New York: McGraw-Hill Professional. 1995: 225. ISBN 0-07-021234-1.