域的扩张

**體擴張**（英語：Field extensions）是數學分支抽象代數之體論中的主要研究物件，基本想法是從一個基體開始以某種方式構造包含它的「更大」的體。體擴張可以推廣為環擴張。

## 定義

設 K 和 L 是兩個體。如果存在從 K 到 L 的體同態 ι，則稱 (L,ι) 是 K 的一個**體擴張**，記作 L/K 或 K⊆L、K⊂L:9。K 稱為體擴張的**基體**，L 稱為 K 的**擴張體**:2。如果某個體 F 既是 K 的擴張體，又是 L 的**子體**，則稱體擴張 F/K 是體擴張 L/K 的**子擴張**，稱 F（體擴張 L/K 的）**中間體**。

體擴張的記法 L/K 只是形式上的標記，不表示存在任何商環或商群等代數結構。有些文獻中也會將體擴張記為 L:K。

另外，因為 ι 是體同態，所以 ι 是單射。由於 K 是體，所以 ι(K) 是一個 L 的同構於 K 的子體。很多時候也直接省略 ι，直接將 K 視為 L 的一個子體:9。為了記敘方便，下文中將依情況使用這種省略方式。

設有體擴張 L/K，給定一個由 L 中不屬於 ι(K) 的元素組成的集合 S，考慮 L 中所有同時包含 ι(K) 和 S 的子體，其中有一個「最小的」，稱為「在 K 中添加（集合）S 生成的擴張體」，記作 K(S)。它是所有同時包含 ι(K) 和 S 的體的子體:4-5。如果集合 S 只有一個元素 a，則稱體擴張 K(S)/K 為**單擴張**，對應的擴張體一般簡記作 K(a)。a 稱為這個體擴張的**本原元**。

每個體擴張中，擴張體可以看作是以基體為係數體的向量空間。設有體擴張 L/K，將 L 中元素看作向量，K 中元素看作係數，可以定義 L 中的體加法運算作為向量的加法運算，同時可以定義 K 中元素作為係數與 L 中元素的數乘運算。可以驗證，在這樣定義下，L 是一個 K-向量空間:9:2。它的維數稱為體擴張的**次數**或**度數**，一般記作 [L:K]:9:2。次數為 1 的擴張，擴張體和基體同構，稱為**平凡擴張**。次數有限的體擴張稱為**有限擴張**，否則稱為**無限擴張**:9:2。

## 例子

複數體 $\mathbb {C} $ 是實數體 $\mathbb {R} $ 的擴張體，而 $\mathbb {R} $ 則是有理數體 $\mathbb {Q} $ 的擴張體。這樣，顯然 $\mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} $ 也是一個體擴張。實數到複數的體擴張次數： $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ 。因為 $\mathbb {C} $ 可以看作是以 $\{1,i\}$ 為基的實向量空間。故擴張 $\mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} $ 是有限擴張:10。 $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i)$ ，所以這個擴張是單擴張。

集合 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\;a,b,\in \mathbb {Q} \}$ 是在 $\mathbb {Q} $ 中添加 ${\sqrt {2}}$ 生成的擴張體，顯然也是一個單擴張。它的次數是 2，因為 $\{1,{\sqrt {2}}\}$ 可作為一個基。 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張也稱為代數數體，在代數數論有重要地位:2。

有理數的另一個擴張體是關於一個質數 p 的 p 進數體 $\mathbb {Q} _{p}$ 。它與 $\mathbb {R} $ 類似，是有理數體完備化得到的數體。但由於使用的拓撲不同，所以與 $\mathbb {R} $ 有著截然不同的性質。

對任何的質數 p 和正整數 n，都存在一個元素個數為 pn 的有限體，記作 GF(_p_n)。它是有限體 GF(_p_)（即 $\mathbb {Z} {\big /}p\mathbb {Z} $ ）的擴張體。

給定體 K 和以 K 中元素為係數的 K-不可約多項式 P，P 為 K 上的多項式環 K[X] 的元素。P 生成的理想是極大理想，因此 K[X]/P 是體，而且是 K 的擴張體。其中不定元 X 是多項式 P 的根。

給定體 K，考慮所有以 K 中元素為係數的有理函數，即可以表示為兩個以 K 中元素為係數的多項式 P、Q 之比：_P_/_Q_ 的函數。它們構成一個體，記作 K(X)，是多項式環 K[X] 的分式體。它是體 K 的擴張體，次數為無限大:10。

## 基本性質

設有體擴張 L/K，則擴張體 L 與 K 有相同的加法和乘法單位元素。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一個子群，乘法群 (K×,・) 是 (L×,・) 的一個子群。因此，L 與 K 有相同的特徵。

設有體擴張 L/K 及某個中間體 F，則體擴張 F/K 和 L/F 的次數乘積等於 L/K 的次數:10:9：

　
: : $[L:K]=[L:F]\cdot [F:K].$

## 代數元與超越元

給定體擴張 L/K，如果 L 中一個元素 a 是某個以 K 中元素為係數的（非零）多項式（以下簡稱為 K-多項式）的根，則稱 a 是 K 上的一個**代數元**，否則稱其為**超越元**:10。如果 L 中每個元素都是 K 上的代數元，就稱體擴張 L/K 為**代數擴張**，否則稱其為**超越擴張**:11。例如 ${\sqrt {2}}$ 和 $i$ 都是 $\mathbb {Q} $ 上的代數元，而 e 與 π 都是 $\mathbb {Q} $ 上的超越元:11。 $\mathbb {Q} $ 上的代數元和超越元分別叫做代數數與超越數。

每個有限擴張都是代數擴張，反之則不然:10-11。超越擴張必然是無限擴張。給定體擴張 L/K，如果 L 中元素要麼屬於 K，要麼是 K 上的超越元，則稱 L 是 K 的純超越擴張。一個單擴張如果由添加代數元生成則是有限擴張，如果由添加超越元生成則是純超越擴張。

### 極小多項式

給定體擴張 L/K，如果 L 中一個元素 a 是 K 上的代數元，那麼在所有使得 _f_(_a_) = 0 的首一 K-多項式 f 中，存在一個次數最小的，稱為 a 在 K 上的**極小多項式**，記為 πa:11-12。設 πa 為 n 次多項式，則中間體 _K_(_a_) 等於所有以 a 為不定元的 K-多項式的集合。更具體地說，等於所有以 a 為不定元的、次數嚴格小於 n 的 K-多項式的集合：_K_(_a_) = _K_[_a_] = _K_n-1[_a_]。這說明 _K_(_a_) 中任何元素 b 都可以寫成 $b=\lambda _{1}+\lambda _{2}a+\cdots +\lambda _{n}a^{n-1}$ 的形式。其中 $(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$ 是 n 個 K 中元素。由於 πa 是極小多項式，所以可推出： $\{1,a,\cdots ,a^{n-1}\}$ 是中間體 _K_(_a_) 作為 K-向量空間的基。擴張 _K_(_a_)/K 的次數是[_K_(_a_) : K] = _n_.

### 可分裂體與代數閉包

分裂體是將某個多項式的根全部添加到其係數體中生成的體擴張，將多項式轉化為體擴張進行研究。給定體擴張 L/K，稱一個 K-多項式 f 在 L 中**可分裂**，如果 f 可以寫成：

　
: : $f=\kappa (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{k}),\;\kappa \in K,\;\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{k}\in L$

的形式，即 f 的每個根都是 L 中的元素:27-28。如果 f 在 L 中可分裂，但不在 L 的任何一個包含 K 的真子體中可分裂（也就是說 L 是令 f 在其中可分裂的「最小」的體擴張），就稱 L 是 f 在 K 上的**可分裂體**:28。

給定體 K，如果所有 K-多項式在 K 都可分裂，則稱 K 為**代數閉體**:30。給定代數擴張 L/K，如果 L 是代數閉體，則稱其為 K 的**代數閉包**，一般記作 _K_alg:31。給定 K，則它所有的代數閉包都是 K-同構的:35。

## 體擴張的自同構群

除了將擴張體看作基體上的向量空間外，另一個研究體擴張的角度是考察體擴張的自同構群。給定體擴張 L/K，L 上的一個自同構 σ 被稱為 K-自同構，若且唯若 σ 限制在 K 上的部分是**平凡**的（即為恆等映射）:15-16：

　
: : $\forall x\in K,\;\sigma (x)=x.$

所有的 K-自同構組成一個群，稱為體擴張的自同構群，記作 Aut(L/K)。這些自同構描繪了 K「以外」的元素可以怎樣相互轉換而保持體 L 的體結構不變:15-16。

## 正規、可分與伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理，在此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間體之間建立了一一對應的關係，從而給出了中間體的清晰描述。

一般定義伽羅瓦擴張是正規且可分的體擴張:42。一個體擴張 L/K 稱為正規擴張，如果對任何一個以 K 中元素為係數的不可約多項式 P，只要它有一個根在 L 中，則它的所有根都在 L 中，也就是說可以分解為 L 上一次因式的乘積:36。正規擴張也叫做准伽羅瓦擴張，它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張 L/K 稱為可分擴張，如果 L 中每個元素在 K 上的極小多項式是可分的，即（在 K 的一個代數閉包中）沒有重根:42。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出：一個體擴張 L/K 是伽羅瓦擴張，若且唯若它是某個以 K 中元素為係數的可分多項式的分裂體:42。

伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群，記作 Gal(L/K)。它的階數（群中元素個數）等於伽羅瓦擴張的次數：[L:K]= | Gal(_L/K_) |。伽羅瓦理論基本定理說明，當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候，給定 Gal(L/K) 的任一個子群 H，唯一存在一個中間體 K⊂LH⊂L 與之對應，這個體 LH 恰好是 L 中對所有的 H 中的自同構固定的元素的集合:51：

　
: : $L^{H}=\{x;\;\forall \sigma \in H,\;\sigma (x)=x\}$

這種對應關係被稱作**伽羅瓦對應**。給定 Gal(L/K) 的子群 H，LH 被稱為 H 的**對應體**。伽羅瓦對應建立了特定條件下體擴張與群論之間轉化的紐帶，通過研究特定群的結構，可以給出體擴張的仔細刻畫。

## 相關條目

* 體論
* 代數擴張

## 注釋

## 參考來源