塞邁雷迪-特羅特定理

**塞邁雷迪－特羅特定理**為組合幾何的定理，其斷言給定歐氏平面上任意 $n$ 個點和 $m$ 條直線，至多發生

　
: $O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right)$

次重合（incidence，即二元組 $(p,\ell )$ ，其中 $p$ 為一點， $\ell $ 為直線，且 $p$ 在 $\ell $ 上）。

此上界已經是最優的上界了，唯一的改進只可能出現在大 O 符號中隱藏的常數倍數。

考慮隱藏常數的話，保奇・亞諾什、拉多什・拉多伊契奇（Radoš Radoičić）、陶爾多什・加博爾、托特・蓋薩四人給出上界 $2.5n^{2/3}m^{2/3}+n+m$ 。此後，由於交叉數不等式的常數得到改進，塞邁雷迪－特羅特定理的常數也相應得到改進。截至 2019 年末，最優的常數是 $2.44$ 。 另一方面，保奇和托特證明，若將上式的常數 $2.5$ 換成 $0.42$ ，則不再為重合數的上界。

定理也有以下等價形式：若給定 $n$ 個點和整數 $k\geq 2$ ，則經過至少 $k$ 個點的直線數至多為

　
: $O\left({\frac {n^{2}}{k^{3}}}+{\frac {n}{k}}\right).$

定理得名自塞邁雷迪・安德烈和威廉・特羅特，其最先的證明較複雜，用到稱為「胞分解」（cell decomposition）的組合技巧。其後，塞凱利・拉茲洛（Székely László）利用圖的交叉數不等式，給出更簡單的證明， 詳見下文。

塞邁雷迪－特羅特定理可推導出若干其他定理，例如重合幾何的貝克定理和算術組合學的艾狄胥－塞邁雷迪和積定理。

## 第一形式的證明

先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為 $2m$ 。於是現在僅需考慮餘下的直線，而該些直線每條經過至少三點。

若一條直線上恰有 $k$ 個點，則該些點將直線截斷成 $k-1$ 條線段（不計首尾僅得一端點的射線）。由於假設 $k\geq 3$ （已無須考慮僅經過至多兩點的直線），有 $k-1\geq k/2$ ，即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和，可知該些線段的總數 $e$ 亦至少為總重合數之半，從而只需證明

　
: $e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).$

以該 $n$ 點為頂點，並以該 $e$ 條線段為邊建圖。每條線段皆為 $m$ 條直線中某一條的部分，且每兩條直線交於至多一點，故圖的交叉數至多為 $m(m-1)/2$ 。再由交叉數不等式知，或者有 $e\leq 7.5n$ ，或者有 $m(m-1)/2\geq e^{3}/33.75n^{2}$ 。兩者皆推出 $e\leq 3.24(nm)^{2/3}+7.5n$ ，從而得到上界

　
: $e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).$

## 第二形式的證明

因為過兩點至多只有一條直線，且 $k\geq 2$ ，所以經過至少 $k$ 個點的直線至多只有 $n(n-1)/2$ 條。若 $k$ 很小（ $k$ 小於某個絕對常數 $C$ ），則此上界 $n(n-1)/2$ 已足以證明定理的第二形式。於是，以下僅需考慮 $k$ 較大的情況（ $k\geq C$ ）。

設經過至少 $k$ 個點的直線恰有 $m$ 條直線，則其上至少有 $mk$ 次重合，故由定理的第一形式，得

　
: $mk=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),$

所以 $mk=O(n^{2/3}m^{2/3})$ 、 $mk=O(n)$ 、 $mk=O(m)$ 三式至少有一式成立。第三式不可能，因為已設 $k$ 為大，所以必有前兩者之一。但經初等運算可知，前兩者皆推出 $m=O(n^{2}/k^{3}+n/k)$ 。

## 取到上界的例子

若不考慮上界隱含的常數，則塞邁雷迪－特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下：對任意正整數 $N\in \mathbb {N} $ ，考慮整數格點集

　
: $P=\left\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\ :\ 1\leq a\leq N;1\leq b\leq 2N^{2}\right\},$

和一族直線

　
: $L=\left\{(x,mx+b)\ :\ m,b\in \mathbb {Z} ;1\leq m\leq N;1\leq b\leq N^{2}\right\}.$

於是，有 $|P|=2N^{3}$ 個點和 $|L|=N^{3}$ 條直線。由於每條直線都通過 $N$ 點（每個 $x\in \{1,\cdots ,N\}$ ) 對應一點），總重合數為 $N^{4}$ ，已達上界 $O(N^{4}+N^{3}+N^{3})=O(N^{4})$ 。

## 高維推廣

潘卡傑・阿加爾瓦爾及鮑里斯・阿洛諾夫發現定理的高維推廣：給定 $d$ 維空間 $\mathbb {R} ^{d}$ 的 $n$ 點（記其集合為 $S$ ）和 $m$ 個（ $d-1$ 維）超平面（記其集合為 $H$ ），則 $S$ 和 $H$ 之間的重合數有上界

　
: $O\left(m^{\frac {2}{3}}n^{\frac {d}{3}}+n^{d-1}\right).$

也可以等價寫成： $H$ 中通過至少 $k$ 個點的超平面數目至多為

　
: $O\left({\frac {n^{d}}{k^{3}}}+{\frac {n^{d-1}}{k}}\right).$

赫伯特・埃德斯布倫內給出了漸近最優的構造，從而上述上界亦不能再改進。

紹利莫希・約瑟夫和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況，並在其滿足「某些擬直線（pseudo-line）類公設」的情況下，得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到多項式火腿三文治定理。

## 複二維平面

實域 $\mathbb {R} $ 上的塞邁雷迪－特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲，所以不能直接推廣到其他域上，塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類，其不能適用於複域上的平面 $\mathbb {C} ^{2}$ 。

托特・喬鮑（Tóth Csaba）將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到 $\mathbb {C} ^{2}$ 。喬書亞・扎爾（Joshua Zahl）利用另一個方法，也獨立地證明此結論。然而，其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異：托特證明了該常數可取為 $10^{60}$ ，而扎爾的證明並無給出具體的常數。

若限定點集為笛卡兒積，則紹利莫希・約瑟夫和陶爾多什・加博爾更簡單地證明了塞邁雷迪－特羅特上界仍成立。

## 有限域上

在一般域 $\mathbb {F} $ 上，塞邁雷迪－特羅特上界不一定成立。例如：取有限域 $\mathbb {F} _{p}$ 的二維平面上全部 $p^{2}$ 個點的集合 ${\mathcal {P}}=\mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}$ ，又取全部 $p^{2}$ 條直線的集合 ${\mathcal {L}}$ ，則每條直線經過 $p$ 個點，故有 $p^{3}$ 次重合。另一方面，塞邁雷迪－特羅特上界僅為 $O\left((p^{2})^{2/3}(p^{2})^{2/3}+p^{2}\right)=O(p^{8/3})$ 。此例子說明平凡上界 $mn$ 已為最優。

讓・布爾甘、內茨・卡茨、陶哲軒三人證明，除此例子外，平凡上界可以改進。

有限域上的重合數大致分為兩類：

1. 點數與直線數有一者「遠大於」域的特徵；
2. 兩者與域的特徵相比皆「不太大」。

### 點集或直線集大的情況

設 $q$ 為奇質數冪。黎英榮（Lê Anh Vinh）證明， $\mathbb {F} _{q}^{2}$ 上 $n$ 點與 $m$ 條直線的重合數至多為

$$
{\frac {nm}{q}}+{\sqrt {qnm}}.
$$

且上式並無隱含常數。

### 點集及直線集皆不大的情況

設 $\mathbb {F} $ 為域，且其特徵為 $p\neq 2$ 。蘇菲・史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗蘭克・德齊烏（Frank de Zeeuw）證明，若 $m^{-2}n^{13}\leq p^{15}$ （ $p=0$ 時無需此條件），則 $\mathbb {F} ^{2}$ 上 $n$ 點和 $m$ 條直線的重合數至多為

$$
O\left(m^{\frac {11}{15}}n^{\frac {11}{15}}\right).
$$

 $m^{7/8}<n<m^{8/7}$ 時，此上界比塞邁雷迪－特羅特上界更優。

若限定點集為笛卡兒積，則其證明以下更佳的上界：證 ${\mathcal {P}}=A\times B\subseteq \mathbb {F} ^{2}$ 為有限點集，其中 $|A|\leq |B|$ ，又設 ${\mathcal {L}}$ 為平面上有限條直線的集合。假設 $|A||B|^{2}\leq |{\mathcal {L}}|^{3}$ ，而若特徵為正就再加上條件 $|A||{\mathcal {L}}|\leq p^{2}$ ，則 ${\mathcal {P}}$ 和 ${\mathcal {L}}$ 組成的重合數至多為

$$
O\left(|A|^{\frac {3}{4}}|B|^{\frac {1}{2}}|{\mathcal {L}}|^{\frac {3}{4}}+|{\mathcal {L}}|\right).
$$

此上界為最優。由於平面有點線對偶，也可以將上述定理中，點和線的角色互換，得到對偶版本，適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。

米沙・魯德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亞・什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況（不論在實域或任意域），給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。

## 參考資料