复合函数求导法则

**連鎖律**，中國大陸亦稱**鏈式法則**（英語：Chain rule），用於求合成函數的導數。

## 正式表述

兩函數 $f$ 和 $g$ 的定義域 ( $D_{f}$ 和 $D_{g}$ ) 、值域 ( $I_{f}$ 和 $I_{g}$ ) 都包含於實數系 $\mathbb {R} $ ，若可以定義合成函數 $g\circ f$ (也就是 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing $ )，且 $f$ 於 $a\in D_{f}$ 可微分，且 $g$ 於 $f(a)\in I_{f}\cap D_{g}$ 可微分，則

　
: ${(g\circ f)}^{\prime }(a)=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

也可以寫成

　
: ${\frac {dg[f(x)]}{dx}}{\bigg |}_{x=a}={\frac {dg(y)}{dy}}{\bigg |}_{y=f(a)}\cdot {\frac {df}{dx}}{\bigg |}_{x=a}$

## 例子

求函數 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$ 的導數。

　
: 設 $g(x)=x^{2}+1$

　
: $h(g)=g^{3}\to h(g(x))=g(x)^{3}.$

　
: $f(x)=h(g(x))$

　
: $f'(x)=h'(g(x))g'(x)=3(g(x))^{2}(2x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.$

求函數 $\arctan \,\sin \,x$ 的導數。

　
: ${\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}$

　
: ${\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}$

　
: ${\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}$

## 證明

嚴謹的證明需要以下**連續函數的極限定理**：

 $f$ 和 $g$ 都是實函數，若可以定義合成函數 $g\circ f$ 且

　
: * $\lim _{x\to a}f(x)=L$
* $\lim _{y\to L}g(y)=g(L)$

則有

　
: $\lim _{x\to a}g[f(x)]=g(L)$

 

只要展開極限的 δ-ε 定義，並考慮 $f(x)$ 等於或不等於 $L$ 的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數 $G$ ，其定義域 $D_{G}=D_{g}$ ， 而對應規則為

　
: $G(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {g(y)-g[f(a)]}{y-g[f(a)]}}&y\neq f(a)\\\\g^{\prime }[f(a)]&y=f(a)\end{cases}}$

和一個函數 $F$ ，其定義域 $D_{F}=D_{f}$ ， 而對應規則為

　
: $F(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&x\neq a\\\\f^{\prime }(a)&x=a\end{cases}}$

這樣，考慮到 $g\circ f$ 於 $a$ 的導數是以下函數（定義域為 $D_{g\,\circ f}$ ）的極限

　
: $\lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=\lim _{x\to a}G[f(x)]\cdot F(x)$

因為可微則必連續 (根據乘法的極限性質)，所以 $f$ 於 $a$ 連續、 $G$ 於 $f(a)$ 連續，故根據上面的極限定理有

　
: $\lim _{x\to a}G[f(x)]=g^{\prime }[f(a)]$

而且針對一開始可微的前提有

　
: $\lim _{x\to a}F(x)=f^{\prime }(a)$

再根據乘法的極限性質有

　
: $\lim _{x\to a}{\frac {g(y)-g[f(a)]}{x-a}}=g^{\prime }[f(a)]\cdot f^{\prime }(a)$

即為所求。 $\Box $

## 多元複合函數求導法則

考慮函數 _z_ = _f_(_x_, _y_)，其中 _x_ = _g_(_t_)，_y_ = _h_(_t_)，_g_(_t_) 和 _h_(_t_) 是可微函數，那麼：

　
: ${\ dz \over dt}={\partial z \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial z \over \partial y}{dy \over dt}.$

假設 _z_ = _f_(_u_, _v_) 的每一個自變數都是二元函數，也就是說，_u_ = _h_(_x_, _y_)，_v_ = _g_(_x_, _y_)，且這些函數都是可微的。那麼，_z_ 的偏導數為：

　
: ${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

　
: ${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}.$

如果我們考慮

　
: ${\vec {r}}=(u,v)$

為一個向量函數，我們可以用向量的表示法把以上的公式寫成 f 的梯度與 ${\vec {r}}$ 的偏導數的數量積：

　
: ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}.$

更一般地，對於從向量到向量的函數，求導法則為：

　
: ${\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}.$

## 高階導數

複合函數的最初幾個高階導數為：

　
: ${\frac {d(f\circ g)}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$

　
: ${\frac {d^{2}(f\circ g)}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}$

　
: ${\frac {d^{3}(f\circ g)}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}$

　
: ${\frac {d^{4}(f\circ g)}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}.$

## 參見

* 乘積法則
* 除法定則