四維坐標

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如， ${x}^{\mu }\,\!$ 或 ${x}_{\mu }\,\!$ 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， $(x)^{2}\,\!$ 表示 $x\,\!$ 平方；而 ${x}^{2}\,\!$ 是 ${x}^{\mu }\,\!$ 的第二個分量。

在相對論裏，**四維向量**（four-vector）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

## 數學性質

在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） ${x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})$ 來表示；其中，上標 $\mu =0,\,1,\,2,\,3$ 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為

　
: ${x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,x,\,y,\,z)$ ；

其中， $c$ 是光速， $t$ 是時間， $(x,\,y,\,z)$ 是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 ${x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct$ 。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 $\Delta {x}^{\mu }$ 表示為

　
: $\Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ 。

帶有上標的四維向量 ${U}^{\mu }$ 稱為反變矢量，其分量標記為

　
: ${U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})$ 。

假若，標號是下標，則稱四維向量 ${U}_{\mu }$ 為協變矢量。其分量標記為

　
: ${U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})$ 。

在這裡，閔考斯基度規 $\eta _{\mu \nu }$ 被設定為

　
: $\eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$ 。

採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

　
: $U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu }$ 。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 $\eta ^{\mu \nu }$ 相等：

　
: $\eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$ 。

### 勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ；相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ ，參考系 ${\bar {\mathcal {S}}}$ 以速度 $\mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 是

　
: $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$ ；

其中， $\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是勞侖茲因子， $\beta ={\frac {v}{c}}$ 是「貝他因子」。

對於這兩個參考系 ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ，假設一個事件的四維坐標分別為 ${x}^{\mu }$ 、 ${\bar {x}}^{\mu }$ 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為

　
: ${\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }$ 、

　
: $x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }$ ；

其中， ${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ 是 $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 的逆反，

　
: ${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$ 。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到

　
: ${\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }$ 。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：

　
: $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ ；

其中， $\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ 是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為

　
: ${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 ${\mathcal {S}}$ 、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ，具有這種有用性質的四維向量 ${U}^{\mu }$ 、 ${\bar {U}}^{\mu }$ 滿足

　
: ${\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }$ 、

　
: $U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }$ 。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 $\tau $ 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 $x(\tau )$ 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 $\Delta \tau $ 與從別的慣性參考系 ${\mathcal {S}}$ 所觀測到的微小時間間隔 $\Delta t$ 的關係為

　
: $\Delta t=\gamma \Delta \tau $ 。

所以，固有時 $\tau $ 對於其它時間 $t$ 的導數為

　
: ${\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}$ 。

### 閔考斯基內積

在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 $U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積，稱為**閔考斯基內積**，以方程式表示為：

　
: $U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}$ 。

由於這內積並不具正定性，即

　
: $U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}$

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 $\eta $ ：

　
: $\eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$ 。

這樣， $U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積改變為

　
: $U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}$ 。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 ${\mathcal {S}}$ 改換至另一參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ， $U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積為

　
: ${U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }$ 。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：

　
: $U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }$ 。

四維向量可以分類為**類時**，**類空**，或**類光**（**零矢量**）：

　
: 類時矢量： $U^{\mu }U_{\mu }>0$ ，

　
: 類空矢量： $U^{\mu }U_{\mu }<0$ ，

　
: 類光矢量： $U^{\mu }U_{\mu }=0$ 。

## 動力學實例

### 四維速度

設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 $x^{\mu }(\tau )$ 的四維速度 $U^{\mu }$ 定義為

　
: $U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)$ ；

其中， $\mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$ 是三維速度，或古典速度矢量。

 $U^{\mu }$ 的空間部分與古典速度 $\mathbf {u} $ 的關係為

　
: $\left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} $ 。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：

　
: $U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}$ 。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為

　
: $\left(c,0,0,0\right)_{MCRF}$ ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 ${\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}$ 同向；

其中， $MCRF$ 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

### 四維加速度

四維加速度 $\alpha ^{\mu }$ 定義為 

　
: $\alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)$ 。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：

　
: ${\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}$ ；

其中， $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}$ 是古典加速度。

所以，四維加速度 $\alpha ^{\mu }$ 可以表示為

　
: $\alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)$ 。

由於 $U_{\mu }U^{\mu }$ 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：

　
: $\alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0$ 。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， $U_{\mu }$ 只有時間分量不等與零，所以， $\alpha ^{\mu }$ 為的時間分量為零：

　
: $\alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}$ 。

### 四維動量

一個靜止質量為 $m$ 的粒子的四維動量 $P^{\mu }$ 定義為

　
: $P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)$ 。

古典動量 $\mathbf {p} $ 定義為

　
: $\mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} $ ；

其中， $m_{rel}$ 是相對論性質量。

所以， $P^{\mu }$ 的空間部分等於古典動量 $\mathbf {p} $ ：

　
: $\left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} $ 。

### 四維力

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：

　
: $F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}$ 。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：

　
: $F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }$ 。

因此，四維力可以表示為

　
: $F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)$ 。

古典力 $\mathbf {f} $ 定義為

　
: $\mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

所以， $F^{\mu }$ 的空間部分等於 $\gamma \mathbf {f} $ ：

　
: $\left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} $ 。

## 物理內涵

在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

### 質能方程式

假設，在微小時間間隔 $\mathrm {d} t$ ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 $\mathbf {f} $ 的施加，而這粒子的微小位移為 $\mathrm {d} \mathbf {x} $ 。那麼，作用力 $\mathbf {f} $ 對於這粒子所做的微小機械功 $\mathrm {d} W$ 為

　
: $\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} $ 。

因此，這粒子的動能的改變 $\mathrm {d} K$ 為

　
: $\mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} $ 。

粒子的動能 $K$ 對於時間的導數為

　
: ${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} $ 。

將前面古典力和古典速度的公式帶入，可以得到

　
: ${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}$ 。

這公式的反微分為

　
: $K=\gamma mc^{2}+K_{0}$ 。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，

　
: $K=\gamma mc^{2}-mc^{2}$ 。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 $E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}$ 。動能 $K$ 加上靜止能量 $E_{0}$ 等於總能量 $E$ ：

　
: $E=\gamma mc^{2}$ 。

再加簡化，以相對論性質量 $m_{rel}$ 表示：

　
: $E=m_{rel}c^{2}$ 。

這方程式稱為質能方程式。

### 能量 - 動量關係式

使用質能方程式 $E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}$ ，四維動量可以表示為

　
: $P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)$ 。

四維動量與自己的內積為

　
: $P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}$ 。

改以四維速度來計算內積：

　
: $P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}$ 。

所以，能量 - 動量關係式為

　
: $E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}$ 。

## 電磁學實例

### 四維電流密度

在電磁學裏，四維電流密度 $J^{\mu }$ 是一個四維向量，定義為

　
: $J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )$ ；

其中， $\rho $ 是電荷密度， $\mathbf {j} $ 是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為**固有電荷密度** $\rho _{0}=\rho /\gamma $ 。四維電流密度與四維速度的關係為

　
: $J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }$ 。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$ 。

這定律也能以四維電流密度表示為

　
: ${\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0$ 。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

### 電磁四維勢

電磁四維勢是由電位 $\phi \,$ 與矢量勢 $\mathbf {A} $ 共同形成的，定義為

　
: $A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )$ 。

**黎曼 - 索末菲方程式**表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係：

　
: $\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$  ;

其中， $\mu _{0}$ 是磁常數， $\Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

### 四維頻率和四維波向量量

一個平面電磁波的四維頻率 ${\nu }^{\mu }$ 定義為

　
: ${\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )$ ；

其中， $f$ 是電磁波的頻率， $\mathbf {n} $ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

　
: ${\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波向量量 ${K}^{\alpha }$ 來描述：

　
: ${K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)$ 。

其中， $\mathbf {k} $ 是三維波向量量。

四維波向量量與四維頻率之間的關係為

　
: ${K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}$ 。

## 參閱

* 洛侖茲協變性

## 參考文獻

* Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.