哈勃半径

在物理宇宙學裏，**哈伯–勒梅特定律**（英語：**Hubble-Lemaître law**）指遙遠星系的退行速度與它們和地球的距離成正比。這條定律原先稱為**哈伯定律**（英語：Hubble's law），以證實者埃德溫・哈伯的名字命名；2018 年 10 月經國際天文聯合會表決通過更改為現名，以紀念更早發現宇宙膨脹的比利時天文學家喬治・勒梅特。它被認為是空間尺度擴展的第一個觀察依據，今天經常被援引作為支持大爆炸的一個重要證據。

在宇宙學研究中，哈伯 - 勒梅特定律成為宇宙膨脹理論的基礎，以方程式表示

　
: $v=H_{0}D$ ；

其中， $v$ 是由紅移現象測得的星系遠離速率， $H_{0}$ 是**哈伯常數**， $D$ 是星系與觀察者之間的距離。

## 發現

1912 年到 1922 年間，美國天文學家維斯托・斯里弗觀測了 41 個星系的光譜，發現其中的 36 個星系的光譜發生紅移，他認為這種現象意味著這些星系正在遠離地球。

1916 年，愛因斯坦提出了廣義相對論。許多物理學家和數學家利用愛因斯坦場方程式建立了時間和空間協調一致的理論。將最一般的原則應用到自然的宇宙，產生了一個動態的解決方案，與當時的靜態宇宙的概念產生了衝突。

1927 年，比利時天文學家喬治・勒梅特計算出愛因斯坦場方程式的一個解，發現宇宙在不斷地膨脹。

1929 年，美國天文學家埃德溫・哈伯發表其觀測結果：距離銀河系越遠的星系退行越快。

## 說明

因發現遠離速度與距離呈線性關係，而產生哈伯定律，其線性數學式如後：

　
: $v=H_{0}D$

其中 $v$ 是由紅移現象測得的遠離速率，一般表示為 km/s。_H_0 是哈伯常數，在傅里德曼方程式中對應著數值 $H$ （通常稱為哈伯參數，是一個取決於時間的值，由時間的觀測得來，以下標 _0_ 來區別。）此常數在宇宙中對任意保角時間（conformal time）而言皆是相同的。 $D$ 是光相對於觀測者的慣性座標系穿越星系的適當距離，以百萬秒差距（Mpc）作為測量單位。

對於相對鄰近的星系，速度 _v_ 可從星系的紅移 _z_ 利用紅移公式 $v=zc$ 估計，其中 _c_ 是光速。對遙遠的星系，速度 _v_ 可以從紅移 _z_ 利用相對移動的都卜勒效應決定。然而，最好的方法來計算遠離速度及其相關時空膨脹率是考慮來自遠星系光子的相關保角時間。對於非常遙遠的星體，退離速度可能大於光速。但是這並不違反狹義相對論，因為度量空間的擴張並不與任何有形物體的速度相關。

當使用哈伯定律來決定距離時，只能用因宇宙膨脹而造成的速度。引力交互作用星系的運行與彼此相關，而獨立於宇宙膨脹之外。因其相對運行所造成的這類相對速度，被稱作本動速度（_peculiar velocities_）。當使用哈伯定律時，_本動速度_需要加入考慮。1938 年，Benjamin Kenneally 所發現的「上帝的手指」效應（Fingers of God）是本動速度所造成的現象之一。受引力約束的系統，例如星系或我們的行星系統，都不會受到哈伯定律的影響，也不會膨脹。

針對均勻膨脹的宇宙的理想哈伯定律，其數學推導是一個在三維笛卡爾 / 牛頓協調空間相當初等的幾何定理。此協調空間被視為一種度量空間，具有完全均勻和各向同性（性質不隨地點或方向改變）。簡單說明該定理如下：

　
: _對於任何正沿直線遠離原地，速度與離開距離成正比的兩點，將以正比於兩者距離的速度遠離對方。_

哈伯常數的值隨著時間變化，其增加或減少取決於減速參數 $q$ 的正負， $q$ 定義為：

　
: $q=-H^{-2}\left({{\;dH} \over {\;dt}}+H^{2}\right)$

在減速參數為零的宇宙，有 _H_ = 1/_t_，其中 _t_ 是自大霹靂以來的時間。然而，非零且與時間相關的 $q$ 值，則需要積分傅里德曼方程式，將時間倒退到粒子視野（particle horizon）為 0 時（即大霹靂之初）。

我們可以定義宇宙的「哈伯年齡」（又稱為「哈伯時間」或「哈伯期」）為 1/_H_，或 9777.93（億年 /[_H_/(km/s/Mpc)]）。哈伯年齡以 _H_=70 km/s/Mpc 來計算為 139.68 億年，或以 _H_=71 km/s/Mpc 計算得 137.72 億年。當星系的紅移 _z_ 很小時，與我們的距離大約是 _zc_/_H_，其中 _c_ 是 1（光年／年），又此距離可以被簡單地以 _z_（紅移）時間表示為 137.72 億光年。

長久以來 _q_ 被認為是正值，這表示由於引力的作用，宇宙膨脹正在減慢。這意味著宇宙的年齡小於 1/_H_（約 140 億年）。例如，若 _q_ 為 1/2 時（其中一個理論上的可能值），宇宙的年齡為 2/(3_H_) 。在 1998 年，一項發現指出 _q_ 顯然是負值，代表著宇宙其實比 1/_H_ 還要老。事實上，估計的宇宙年齡相當接近 1/_H_。

### 奧伯斯佯謬

哈伯定律對大爆炸的解釋總結了空間的擴展與著名的古老難題奧伯斯佯謬之間的矛盾：如果宇宙是無限的、穩定的，充滿了均勻分布的恆星，那麼在天空中視線所及之處都將存在著恆星，而天空也將會像恆星的表面一樣明亮。從 1600 年代開始，天文學家和其他的思想家提出了許多可能解決這個佯繆的想法，但當前能被接受的這一部分是來自大爆炸的理論。宇宙只存在了有限的時間，只有有限多的星光有機會到達我們這兒，所以矛盾就解決了。換言之，在膨脹的宇宙中，遠方天體的遠離速度使來自她們的星光產生紅移並且降低了亮度，但這樣也只是解決了部分的矛盾。依照大爆炸的理論，兩者都有貢獻（宇宙的歷史是有限的在兩者中較為重要）。 天空之所以黑暗，也為大爆炸提供了一種證據。

## 哈伯常數的測量

哈伯常數的值通常經由遙遠星系的紅移來測量，這就是用與哈伯定律不同的方法測量同一星系的距離。但是在用來測量這些距離的物理假設上的不確定，造成哈伯常數的值有不同結果的。在 20 世紀的後半期，多數的哈伯常數值 $H_{0}$ 都被估計在 50 和 90 (km/s)/Mpc 之間。

### 對哈伯常數的爭論

哈伯常數的值曾是個長久而激烈的爭議主題，熱拉爾・佛科留斯主張其值應為 100 而艾倫・桑德奇則認為其應為 50 附近。

1996 年，由約翰・諾利斯・巴寇主持，包含古斯塔夫・安德列斯・塔曼及薛尼・范德胡斯特以類似早期沙普利 - 柯蒂斯之爭的模式舉行，針對上述兩個競爭數值進行辯論。

1990 年代晚期，引進宇宙的 λ-CDM 模型，數值差異的問題獲得部分的解決。

### ΛCDM 模型

在 ΛCDM 模型下，利用蘇尼亞耶夫 - 澤爾多維奇效應進行的 X 光高紅移群及微波波長的觀察、宇宙微波背景輻射各向異性的量度和光學調查皆測定哈伯常數的值為 67 左右。

### 使用哈伯太空望遠鏡的值

哈伯關鍵計畫（由在卡內基天文台的 Wendy L. Freedman 博士主導）使用哈伯太空望遠鏡進行最精確的光學測量，在 2001 年五月，發表其最終估計值為 72±8 (km/s)/Mpc，此結果與基於蘇尼亞耶夫 - 澤爾多維奇效應進行的銀河系星群觀測所測出的 $H_{0}$ 相當一致，具有相似的精確值。

### 使用 WMAP 的資料

在 2003 年，利用 WMAP 所得出最高精度的宇宙微波背景輻射測定值為 71±4 (km/s)/Mpc，而在 2006 年，精確度提升至 70.4 +1.5 
−1.6 (km/s)/Mpc，2008 年 T，WMAP 在線上提供的數值是 71.9 +2.6 
−2.7 (km/s)/Mpc.[1]。
這些來自 WMAP 和其他宇宙論的數值都與簡單版本的 λ-CDM 模型日趨接近。如果這些數值能與更普遍的版本吻合， $H_{0}$ 傾向於更小和更不確定：通常數值在 67 ± 4 (km/s)/Mpc 的附近，但有些模型的數值接近 63 (km/s)/Mpc。

### 使用錢卓 X 射線天文台的資料

在 2006 年 8 月，來自馬歇爾太空飛行中心（MSFC）的研究小組使用美國國家航空暨太空總署的錢卓 X 射線天文台發現的哈伯常數是 77 (km/s)/Mpc，誤差大約是 15%。
所有這些測量方法結果的一致性，都支持 $H_{0}$ 的值和 ΛCDM 模型。

### 加速膨脹

在 1998 年，來自 Ia 超新星標準燭光測量的 $q$ 值卻是負數，令許多天文學驚訝的是宇宙加速膨脹，雖然哈伯因子會隨著時間而衰減。請參見暗物質和 ΛCDM 模型。

2009 年 5 月 7 日，美國宇航局發布最新的哈伯常數測定值，根據對遙遠星系 Ia 超新星的最新測量結果，常數被確定為 74.2± 3.6 km/(s\*Mpc)，不確定度進一步縮小到 5% 以內。

2012 年 10 月 3 日，天文學家使用美國宇航局的斯皮策紅外空間望遠鏡精確計算了哈伯常數，數值結果為 74.3±2.1 (km/s)/Mpc。

2012 年 12 月 20 日，美國國家航空暨太空總署的威爾金森微波各向異性探測器實驗團隊宣布，哈伯常數為 69.32 ± 0.80 (km/s)/Mpc。

2013 年 3 月 21 日，從普朗克衛星觀測獲得的數據，哈伯常數為 67.80 ± 0.77 千米每秒每百萬秒差距（67.80 ± 0.77 km/s/Mpc）。

2018 年 7 月，利用哈伯望遠鏡和蓋亞任務，測得哈伯常數值為 73.52 ± 1.62 km s−1 Mpc−1。

## 哈伯常數的推導

從傅里德曼方程式開始：

　
: $H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}},$

此處 $H$ 是哈伯參數， $a$ 是宇宙標度因子， $G$ 是萬有引力常數， $k$ 是標準化的宇宙空間曲率，其值為 −1、0、或 +1，和 $\Lambda $ 是宇宙常數。

### 物質主導的宇宙 (和宇宙常數)

如果宇宙是物質主導，則宇宙的質量密度 $\rho $ 剛好可以包括的物質是

　
: $\rho =\rho _{m}(a)={\frac {\rho _{m_{0}}}{a^{3}}},$

此處 $\rho _{m_{0}}$ 是現在的物質密度，我們知道的非相對論粒子質量密度會隨著宇宙的體積增加而成比例的降低，所以上述方程式必須為真。我們也可以定義 (參見 $\Omega _{m}$ 的密度參數)：

　
: $\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}};$

　
: $\Omega _{m}\equiv {\frac {\rho _{m_{0}}}{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}}}\rho _{m_{0}};$

所以 $\rho =\rho _{c}\Omega _{m}/a^{3}.$ 也可以，依據定義：

　
: $\Omega _{k}\equiv {\frac {-kc^{2}}{(a_{0}H_{0})^{2}}}$

和

　
: $\Omega _{\Lambda }\equiv {\frac {\Lambda c^{2}}{3H_{0}^{2}}},$

此處的下標 0 代表現在的數值，並且 $a_{0}=1$ 。到此為止的所有一切都是章節剛開始的傅里德曼方程式和轉換 $a$ 成為 $a=1/(1+z)$ 得到

　
: $H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{M}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }\right).$

### 物質和暗能量主導的宇宙

如果宇宙是物質主導和暗能量主導，然後前述方程式中的哈伯參數也將是暗能量的狀態方程式。所以現在：

　
: $\rho =\rho _{m}(a)+\rho _{de}(a),$

此處 $\rho _{de}$ 是暗能量的質量密度。依據定義，在宇宙論的狀態方程式是 $P=w\rho c^{2}$ ，並且我們將這帶入流體的方程式，它描述了宇宙的質量密度隨著時間的變化，

　
: ${\dot {\rho }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0;$

　
: ${\frac {d\rho }{\rho }}=-3{\frac {da}{a}}\left(1+w\right).$

如果 w 是常數，

　
: $\ln {\rho }=-3\left(1+w\right)\ln {a};$

　
: $\rho =a^{-3\left(1+w\right)}.$

那麼暗能量就是 w 狀態的恆等式， $\rho _{de}(a)=\rho _{de0}a^{-3\left(1+w\right)}$ 。如果我們以與之前相似的方式轉換傅里德曼方程式，但是這次設定 $k=0$ ，這是假設我們生活在一個平坦空間的宇宙 (參見宇宙的形狀)，

　
: $H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{M}(1+z)^{3}+\Omega _{de}(1+z)^{3\left(1+w\right)}\right).$

如果暗能量不是 w 狀態的恆等式，則

　
: $\rho _{de}(a)=\rho _{de0}e^{-3\int {\frac {da}{a}}\left(1+w(a)\right)},$

要解此方程式，我們需要參數化 $w(a)$ ，例如如果 $w(a)=w_{0}+w_{a}(1-a)$ ，得到

　
: $H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{de}a^{-3\left(1+w_{0}+w_{a}\right)}e^{-3w_{a}(1-a)}\right).$

## 由哈伯常數導出的單位

### 哈伯時間

哈伯常數 $H_{0}$ 的單位是時間的倒數，也就是說 $H_{0}$ ~ 2.29×10−18 s−1。「哈伯時間」定義為 $1/H_{0}$ 。在標準宇宙論模型的哈伯時間是 4.35×1017 s 或 138 億年（Liddle 2003，p.57），"擴張時間尺度" 一詞的意思是 "哈伯時間"[2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。如果 $H_{0}$ 的值保持恆定，哈伯時間自然的解釋是電子大小的宇宙增加一個數量級所需要的時間 (因為解 dx/dt = x $H_{0}$ is x = $s_{0}$ exp( $H_{0}$ t)，此處 $s_{0}$ 是在 t = 0 的任意初始條件下的形狀)。但是，在如上文所述的廣義相對論、暗能量、暴脹等，長時間下的動力學是複雜的。

### 哈伯長度

哈伯長度是宇宙論的距離單位，定義為 $c/H_{0}$ — 光速與哈伯時間的乘積。它相當於 42 億 2800 萬秒差距或 138 億光年 (哈伯長度以光年表示的數值，依據定義，等同於哈伯時間以年表示的值)。

### 哈伯體積

哈伯體積有時被定義為共動大小 $c/H_{0}$ 的體積。精確的定義是：有時將其定義為球體半徑為 $c/H_{0}$ 時的體積。有些宇宙論甚至使用哈伯體積一詞引用為可觀測宇宙的體積，然而這個半徑可能還要大 3 倍。

## 參見

* 宇宙的年齡
* 宇宙形狀
  * 雙曲線幾何 (空間因_膨脹_而彎曲)
  * 歐幾里得幾何 (空間因_平衡_而平坦)
  * 橢球幾何 (空間因_重力_而彎曲)

## 參考資料

### 來源

* Kutner, Marc. Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-52927-3.
* Hubble, E.P.., _The Observational Approach to Cosmology_ (Oxford, 1937)
* http://www.guokr.com/article/436836/（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

* History of Hubble's constant（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by John Huchra
* The Hubble Key Project（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Final Results from the Hubble Space Telescope Key Project to Measure the Hubble Constant_（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Freedman et. al. The Astrophysical Journal, Volume 553, Issue 1, pp. 47-72.
* The Hubble Diagram Project（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）