嘉当张量

在微分幾何中，**扭率**或稱**扭率**此一概念是刻畫沿著曲線移動的標架的扭曲或螺旋的方法。例如曲線的扭率，出現在弗萊納公式中，量化了一條曲線變化時關於它的切向量的扭曲程度（更確切的說弗萊納標架關於切向量的旋轉）。在曲面的幾何中，「測地扭率」描述了曲面關於曲面上一條曲線的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿著曲線的活動標架「沒有扭曲的轉動」。

更一般地，在裝備一個仿射聯絡（即切線束的一個聯絡）的微分流形上，扭率與曲率構成了聯絡的兩個基本不變數。在這種意義下，扭率給出了切空間關於一條曲線平行移動怎樣扭曲的內蘊刻畫；而曲率描述了切空間沿著曲線怎樣旋轉。扭率可具體的描述為一個張量，或一個向量值 2 - 形式。如果 ∇ 是微分流形上一個聯絡，那麼扭率張量用向量場 _X_ 與 _Y_ 表示定義為：

　
: $T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

這裡 [_X_,_Y_] 是向量場的李括號。

扭率在測地線幾何的研究特別重要。給定一個參數化測地線系統，我們一定指定一族仿射聯絡具有這些測地線，但是具有不同的扭率。具有惟一「吸收扭率」的聯絡，將勒維奇維塔聯絡推廣到其他，也許沒有度量的情形（比如芬斯勒幾何）。吸收扭率在 G - 結構與嘉當等價方法的研究中也起著重要的作用。扭率通過關聯的射影聯絡在研究測地線無母數族也很有用。在相對論中，這種想法以愛因斯坦 - 嘉當理論的形式提供了工具。

## 扭率張量

設 _M_ 是切線束上帶有聯絡 ∇ 的流形。**扭率張量**（有時也稱為嘉當（扭率）張量）是一個向量值 2 - 形式，定義在向量場 _X_ 於 _Y_ 上

　
: $T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,$

這裡 [_X_,_Y_] 是兩個向量場的李括號。由萊布尼茲法則，對任何光滑函數 _f_ 有 _T_(_fX_,_Y_) = _T_(_X_,_fY_) = _fT_(_X_,_Y_)。所以 _T_ 是一個張量，儘管是用非張量的共變導數定義的：它給出了切向量上的一個 2 形式，但共變導數隻對向量場有定義。

### 曲率和比安基恆等式

聯絡 ∇ 的曲率張量是一個映射 T_M_ ∧ T_M_ → End(T_M_) ，定義在向量場 _X_, _Y_, 與 _Z_ 上

　
: $R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .$

注意，對位於一點的向量，這個定義與這個向量如何擴張成一個向量場的方式無關（即定義了一個張量，類似於扭率）。

**比安基恆等式**聯繫了曲率和扭率。 將 _X_, _Y_ 與 _Z_ 的循環求和記為 ${\mathfrak {S}}$ ，例如

　
: ${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .$

那麼下面的公式成立

1. **比安基第一恆等式**： 

　
: : ${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,$

2. **比安基第二恆等式**：

　
: : ${\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .$

### 扭率張量的分量

扭率張量在切線束的局部截面的基 (**e**1, ..., **e**n) 下可寫成分量 $T^{c}{}_{ab}$ 。令 _X_=**e**i，_Y_=**e**j，引入交換子係數 γkij**e**k := [**e**i,**e**j]。那麼扭率的分量是

　
: $T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

如果基是和樂的，則李括號變為零， $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ ，從而 $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ 。特別地（見下），測地線方程式確定聯絡的對稱部分，而扭率張量確定反對稱部分。

### 扭率形式

**扭率形式**，是扭率的另一種刻畫，適用於 _M_ 的標架叢 F_M_。這個主叢裝備有一個聯絡形式 ω，一個 **gl**(_n_)- 值的 1 - 形式將豎直向量映到 **gl**(_n_) 中的右作用的生成元，且通過在 **gl**(_n_) 上的伴隨表示等變纏結於 GL (_n_) 在 F_M_ 的切線束上的右作用。標架叢也帶有一個典範 1 形式 θ，取值於 **R**n，定義在標架 _u_ ∈ Fx_M_（視為一個線性函數 _u_ : **R**n → Tx_M_）為

　
: $\theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))$

這裡 π : F_M_ → _M_ 是主叢的投影映射。那麼扭率形式是

　
: $\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .$

等價地， Θ = Dθ，這裡 _D_ 是由聯絡確定的外共變導數。

扭率形式是一個取值於 **R**n 的（水平）扭曲形式，意味著在 _g_ ∈ Gl(_n_) 的右作用下等變：

　
: $R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,$

這裡 _g_ 通過它在 **R**n 上的基本表示作用在左邊。

### 曲率形式與比安基恆等式

曲率形式是 **gl**(_n_)- 值 2 - 形式

　
: $\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .$

這裡，_D_ 同樣表示外共變導數。用曲率形式和扭率形式表示，相應的比安基恆等式為：

 1. $D\Theta =\Omega \wedge \theta $
2. $D\Omega =0.\,$

進一步，我們可以從曲率形式和扭率形式復原曲率和扭率。在 Fx_M_ 中的點 _u_，我們有

　
: $R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),$

　
: $T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),$

這裡 _u_ : **R**n → Tx_M_ 是確定纖維中標架的函數，且向量通過 π-1 的提升與選取無關，因為曲率和扭率形式是水平的（它們在不確定的豎直向量上為 0）。

#### 標架中的曲率形式

扭率形式可用底流形 _M_ 上的聯絡形式，在切線束的一個特殊的標架 (**e**1,...,**e**n) 下寫出。聯絡形式表述這些截面的外共變導數

　
: $D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .$

切線束的焊接形式（關於這個標架）是 **e**i 的對偶基 θi ∈ T\*_M_，所以 θi(**e**j) = δij （克羅內克函數）

那麼扭率 2 - 形式有分量

　
: $\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .$

在最右邊的表達式中，

　
: $T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])$

是扭率張量的標架分量，由首先的定義給出。

容易證明 Θi 像張量一個變化：如果另一個標架

　
: ${\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}$

對某個可逆矩陣值函數 (_g_ij)，那麼

　
: ${\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.$

換句話說，Θ 是 (1,2) 型張量（一個反變、兩個共變指標）。

做為另一種選擇，焊接形式能用無標架形式刻畫為 _M_ 上的 T_M_- 值 1 形式 θ，在對偶同構 End (T_M_) ≈ T_M_ ⊗ T\*_M_ 下對應於切線束的恆等同態。則扭率 2 - 形式是

　
: $\Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)$

的一個截面，由

　
: $\Theta =D\theta \ ,$

給出。這裡 _D_ 是外共變導數（更多細節參見聯絡形式）。

### 不可約分解

扭率張量可以分解為兩個不可約部分：不含跡的部分與包含跡的部分。用指標記法，_T_ 的跡為

　
: $a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,$

不含跡的部分為

　
: $B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}$

這裡 δij 是克羅內克函數。

本質上有，

　
: $T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .$

_T_ 的跡 tr _T_，是如下定義的 T\*_M_ 中一個元素。對固定的任何向量 _X_ ∈ T_M_，_T_ 定義了一個 Hom (T_M_, T_M_) 中一個元素 _T_(_X_)，通過

　
: $T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .$

那麼 (tr _T_)(_X_) 定義為這個同態的跡。這就是，

　
: $(\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .$

_T_ 不含跡的部分為

　
: $T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)$

這裡 ι 表示內乘。

作為比安基恆等式的推論，1 - 形式 tr T 是一個閉 1 - 形式：

　
: $d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,$

這裡 _d_ 是外導數。

## 特徵描述與解釋

這一節中總是假設：_M_ 是微分流形，∇ 是 _M_ 切線束上的共變導數除非另外指明。

### 仿射進化

假設 _x_t 是 _M_ 上一條曲線。_x_t 的仿射進化定義為 Tx0_M_ 中惟一的曲線 _C_t 使得

　
: ${\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0$

這裡

　
: $\tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M$

是與 ∇ 關聯的平行移動。

特別地，如果 _x_t 是一個閉環路，則 _C_t 是否閉取決於聯絡的扭率。從而扭率解釋為曲線的 development 的螺位錯。這樣，扭率與聯絡的和樂轉移分量聯繫起來。相伴的曲率概念描繪了無窮小線性轉換（在黎曼聯絡情形或為旋轉）。

### 參考標架的扭曲

在古典曲線的微分幾何中，弗萊納公式描述了一個特別的活動標架（弗萊納標架）沿著一條曲線怎樣「扭曲」。用物理語言，扭率對應於一個假想的沿著曲線的陀螺的角動量。

帶有（度量）聯絡的流形可類比地解釋。假設一個觀察者沿著這個聯絡下的測地線移動。這個觀察者通常認為自己是在慣性參考系中，因為她沒有經歷過加速度。另外假設觀察者攜帶著一個剛性直測量杆系統（一個坐標系）。每根杆都是直線段，一條測地線。假設每根杆沿著軌道都是平行移動，這些杆是沿著軌跡物理的「攜帶」的事實意味著是「李拖曳」或傳播，所以沿著切向量每根杆子的李導數為零。類似於弗萊納標架上的陀螺，它們可能經受力矩（或扭力）。這個力便由扭率衡量。

更準確地，假設觀察者沿著測地線 γ(_t_) 移動，攜帶著一個測量杆。當觀察者移動時，杆子掃過一個曲面。沿著這個曲面有一個自然坐標系 (_t_,_x_)，這裡 _t_ 是由觀察者確定的時間參數，_x_ 是沿著測量杆的長度。測量杆須沿著曲線平行移動的條件為

　
: $\left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.$

從而，扭率由

　
: $\left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.$

給出。如果不是零，則杆上標出的這點（點 _x_=  常曲線）的軌跡為螺旋而不是測地線。它們將繞著觀察者旋轉。

這種扭率的解釋在平行引力理論中扮演著重要的角色。平行引力理論，也稱為愛因斯坦 - 嘉當理論，是相對論的一種替代性表述。

### 纖維的扭率

在材料科學中，特別是彈性理論，扭率的想法也扮演著重要的角色。其中一個問題是藤生長的建模，專注於藤如何能繞著物件纏繞。藤自身模型化為一對相互纏繞的彈性纖維。在其能量極小狀態，藤自然生長成一個螺旋狀。但是藤也有可能伸長以達到廣度（或長度）最大化。在此情形，藤的扭率與這對纖維的扭率有關（或等價地，連結兩條纖維的帶子的曲面扭率），這反映了藤的長度最大化（測地線）布局與能量最小化布局之間的差異。

### 扭率與渦旋

在流體力學中，扭率自然與渦線相關。

## 測地線與扭率的吸收

假設 γ(_t_) 是 _M_ 上一條曲線。則 γ 是一條**仿射參數化測地線**如果

　
: $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

對屬於 γ 的定義域中所有時間 _t_（這裡點表示關於 _t_ 求導，得到了 γ(t) 處切向量 ${\dot {\gamma }}(t)$ ）。每條測地線由初始 _t_=0 切向量 ${\dot {\gamma }}(0)$ 惟一確定。

聯絡的扭率的一個運用涉及到聯絡的測地波浪（geodesic spray）：粗略地講為所有仿射參數化測地線。

用測地波浪將聯絡分類時，不同扭率不能區分開來：

* 兩個聯絡 ∇ 與 ∇′ 具有相同的仿射參數化測地線（即相同的測地波浪），只在扭率有區別。

更準確地，如果 _X_ 與 _Y_ 是 _p_ ∈ _M_ 的一對切向量，那麼令

　
: $\Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}$

是兩個聯絡的差，用 _X_ 與 _Y_ 從 _p_ 處的任意擴張計算。由萊布尼茲乘積法則，我們看出 Δ 事實上與 _X_ 和 _Y_ 如何擴張無關（所以定義了 _M_ 上一個張量）。設 _S_ 與 _A_ 分別為 Δ 的對稱與交替部分：

　
: $S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

　
: $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

則

 * $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ 是扭率張量之差。
* ∇ 與 ∇′ 定義了相同的仿射參數化測地線族若且唯若 _S_(_X_,_Y_) = 0。

換句話說，兩個聯絡之差的對稱部分決定了它們是否具有相同的參數化測地線，然而差的斜對稱部分由這兩個聯絡的相對扭率決定。另一個推論是

* 給定任何仿射聯絡 ∇，存在惟一一個無撓聯絡 ∇′ 具有共同的仿射參數化測地線。

這是黎曼幾何基本定理到（也許無度量）仿射聯絡的一個推廣。選出從屬於一族參數化測地線惟一的聯絡也稱為**扭率的吸收**，這是嘉當等價方法的一個使用之處。

## 另見

* 曲率張量
* Contortion tensor
* 勒維奇維塔聯絡
* 曲線的扭率

## 注釋

## 參考文獻

* Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980
* Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, **40**: 325–412 [2008-11-06]. （原始內容存檔於 2014-04-11）.
* Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, **41**: 1–25 [2008-11-06]. （原始內容存檔於 2014-04-11）.
* Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, **88** (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
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* Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713