哈代-李特尔伍德猜想

**孿生質數**（英語：twin prime），也稱為**孿生素數**、**雙生質數**，是指一對質數，它們之間相差 2。例如 3 和 5，5 和 7，11 和 13，10016957 和 10016959 等等都是孿生質數。

關於孿生質數有著名的孿生質數猜想，即是否存在無窮多對孿生質數。這是數論中未解決的一個重要問題。哈代 - 李特爾伍德猜想是孿生質數猜想的一個增強形式，猜測孿生質數的分布與質數定理中描述的質數分布規律相類似。

與之相關的，兩者相差為 1 的質數對只有 (2, 3)；兩者相差為 3 的質數對只有 (2, 5)。

## 簡介

質數在自然數中的分布是不規則的。歐幾里得在他的著作《幾何原本》中首次證明了質數有無窮多個。十九世紀後，質數定理的證明給出了質數在自然數中大致的分布情況。根據質數定理，在前 $N$ 個自然數裡，質數的個數大約是 ${\frac {N}{\ln N}}$ 。也就是說前 $N$ 個自然數裡，質數的比例是 ${\frac {1}{\ln N}}$ 。因此，隨著 $N$ 增大，前 $N$ 個自然數裡，質數的比例會越來越小。事實上，給定一個自然數 $n>1$ ，那麼連續的 $n$ 個自然數：

　
: $(n+1)!+2,(n+1)!+3,\cdots (n+1)!+(n+1)$

都是合數。

是否越大的質數，兩兩之間就隔得越遠呢？實際上不然。在某些時候，兩個連續的質數之間只相差 2。這樣的質數對就是孿生質數。

以下列出了最小的 35 對孿生質數（1000 以內的孿生質數）（ A001359 及 A006512)：

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),

(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),

(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

即使是大的質數，也有可能成為孿生質數。通過窮舉式的計算發現：在小於 $10^{15}$ 的 29,844,570,422,669 個質數中，有 1,177,209,242,304 對孿生質數，占了 3.94%。而且這些孿生質數並沒有表現出停止在某一個上限的趨勢。

截至 2016 年 9 月為止，已知最大的孿生質數為 $2\ 996\ 863\ 034\ 895\times 2^{1\ 290\ 000}\pm 1$ ，此數有 388342 位。

質數定理說明了質數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生質數，與質數一樣，也有相同的趨勢，並且這種趨勢比質數更為明顯。直覺上可以作如下的估計：在前 $N$ 個自然數裡找一個數，它是質數的可能性大約是 ${\frac {1}{\ln N}}$ ；所以在前 $N$ 個自然數裡找一個數 $p$ ， $p$ 和 $p+2$ 都是質數的可能性大約是 ${\frac {1}{\ln ^{2}N}}$ 。當然，這種推算只能是直覺上的猜測，而不是嚴謹的證明，因為質數的排列是已知的，而不是概率上的事件。

### 哈代 - 李特爾伍德猜測

1921 年，英國數學家哈代和李特爾伍德也做出了類似的猜測。他們提出以下的猜想：設 $\pi _{2}(N)$ 為前 _$N$_ 個自然數裡孿生質數的個數。那麼

　
: $\pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}$

其中的常數 $C_{twin}$ 是所謂的孿生質數常數：

　
: ${\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left[1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right]\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}$

其中的 $p$ 表示質數。

### 孿生質數猜想

哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生質數猜想的加強版。孿生質數猜想是指「孿生質數有無窮多個」。這個猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測並不是需要建立在孿生質數猜想成立的前提上。很多時候，對於無法證明的命題，數學家會嘗試證明比它更強或更為廣泛的命題，從而解決原來的命題。例如數學家安德魯・懷爾斯就是證明了比費馬最後猜想更廣泛的命題，從而完成了費馬最後猜想的證明。

2013 年 5 月 14 日，《自然》雜誌報導，數學家張益唐證明存在無窮多個質數對相差（上界）都小於 7000 萬。論文已被《數學年刊》（Annals of Mathematics）接受
。截至 2014 年 10 月 9 日 (2014-10-09), 質數對之差被縮小為 $\leq 246$ 。

## 性質

孿生質數猜想也可以用另一種形式表達：

1920 年代，通過使用著名的篩理論，基於埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果・布朗證明了 2 能表示成兩個最多有 9 個質數因子的數的差。這個結論已經有些近似於孿生質數猜想了。可以看到，只要將這個證明中的「最多有 9 個質數因子的數」改進到「最多有 1 個質數因子的數」，就可以證明孿生質數猜想了。利用同樣的方法，布朗證明了所有偶數都能表達成兩個最多有 9 個質數因子的數的和，也就是所謂的「9+9」。這個思路被不少數學家沿用，1966 年陳景潤利用篩法證明了「1+2」。基於陳景潤的工作，也可以證明 2 有無限多種方法表示成一個質數和一個最多有兩個質數因子的數的差。

### 布朗常數

布朗的另一個結論，是發現所有孿生質數的倒數之和收斂，即收斂到布朗常數 $B_{2}$ ：

　
: $\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\cdots =B_{2}$

 $B_{2}$ 的值大約在 1.9 與 2 之間。與之相對的，所有質數的倒數之和是發散的。由於孿生質數的倒數之和收斂，所以無法依此證明孿生質數有無限個。

布朗還發現了孿生質數數量的一個上限。他證明了：

　
: $\pi _{2}(x)<{\frac {100x}{\ln ^{2}x}}$

也就是說，當 $x$ 足夠大的時候，小於 $x$ 的孿生質數的數量比起小於 $x$ 的質數的數量是可以忽略不計的。1987 年的一個結果改進了這個上限：

　
: $\pi _{2}(x)<{\frac {7.1C_{twin}x}{\ln ^{2}x\left({\frac {1+C'\ln \ln x}{\ln x}}\right)}}$

其中 $C'$ 是一個常數。1998 年上限中的 7.1 被改進為 6.833。

### 必要條件

孿生質數還必須滿足一些必要的條件，比如：

* 大於 3 的孿生質數可以表示成 $(6n-1,6n+1)$ ，其中 $n$ 為一個自然數。除了 $n=1$ 的情形， _$n$_ 必須以 0，2，3，5，7 或 8 結尾。
* 可以證明： $(m,m+2)$ 是孿生質數，若且唯若

　
: $4[(m-1)!+1]+m=0\mod [m(m+2)]$

### 統計分析

統計分析所有小於 $4.35\times 10^{15}$ 的孿生質數，可以得到小於 $x$ 的質數對的個數是 ${\frac {x\cdot f(x)}{(\log x)^{2}}}$ 。當 $x$ 較小時， $f(x)$ 大約為 1.7， 當 $x$ 較大時大約為 1.3。這個值和 $2C_{twin}=1.3203236\ldots $ 相近。

## 多元組

孿生質數的概念可以擴展到多元組，即由多個間隔為 2 的質數構成的序列。由於三個相鄰奇數總有一個能被 3 整除，不可能是質數，因此 (3, 5, 7) 是唯一的孿生質數三元組。而且由於更多元素構成的孿生質數多元組必定包含三元組的結構，因此多於三個元素的孿生質數多元組不存在。

### 多項式公式

以下的多項式時由維也納大學數學系教授克里斯多夫・巴薩（Christoph Baxa）提出的，基於丟番圖不定方程理論。

　
: ${\begin{aligned}P&=(k+2)\left[1-(wz+h+j-q)^{2}-\left((g+1)(h+j)+h-z\right)^{2}-(p+q+z+2n-e)^{2}\right.\\&-\left(e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4d(n+l+v))^{2}+1-(x+cu)^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}\right)^{2}\\&-\left(p+l(a-n-1)+b(2a(n+1)-(n+1)^{2}-1)-m\right)^{2}-\left(16(a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(q+(n+l+v)(a-p-1)+s(2a(p+1)-(p+1)^{2}-1)-x\right)^{2}\\&-\left(z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm\right)^{2}-\left(16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}\right)^{2}\\&-\left.\left(k+1-ia-i-l\right)^{2}-\left(4g+k+10-y(k+2)(k+4)\right)^{2}\right]\end{aligned}}$

其中有二十六個不定量 $a,b,c,\cdots ,y,z$ 。當這二十六個變量取遍所有的自然數的時候，這個多項式的取值中正數的部分就會取遍所有孿生質數對 $(p,p+2)$ 中的 $p$ 。

## 大眾文化

義大利作家保羅・裘唐諾的小說《質數的孤獨》即是以孿生質數現象，比喻故事中相愛的男女主角牽攣乖隔的處境。

## 參見

* 孿生質數猜想
* 表兄弟質數
* 六質數
* 三胞胎質數
* 四胞胎質數

## 參考來源