四維超立方體

在幾何學中，**四維超正方體**或**正八胞體**，是一種四維的超正方體（英語：hypercube）是立方體的四維類比，有 8 個立方體胞。四維超正方體之於立方體，就如立方體之於正方形。它是四維歐式空間中 6 個四維凸正多胞體之一。

超正方體是一個有無窮多個成員的凸正多胞形家族的四維成員，這個家族被稱為「**超方形**」（或稱**立方形**、**正測形**），這個家族的成員與施萊夫利符號 {4,3,3,……,3,3}，它們都具有類似正方形和立方體的性質，如二胞角都為 90° 等。

「超正方體」和「超立方體」（Hypercube）這個名稱在一般的場合中特指四維的這個超正方體，不過在數學上，「超正方體」這個詞可以指 n 維（n>3）的任意一個超方形，因此把它和 n 維的其他超方形放在一起討論時，要加「四維」以示區別。

## 幾何性質

在四維歐幾里得空間的標準四維方體是點 (±1, ±1, ±1, ±1) 的凸包。它包含了點：

　
: $\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}$

四維方體由八個超平面 (_x_i = ±1) 包圍。兩兩非平行超平面相交，共形成四維方體的 24 個正方形面。每條棱有 3 個立方體和 3 個正方形相交。在每一頂點有 4 個立方體、6 個正方形和 4 條棱相交。四維方體共有 8 個立方體、24 個正方形、32 條棱和 16 個頂點。邊長為 a 的四維超正方體超體積是 a4，表體積是 8a3。

若一個四維超立方體的棱長為 1，則其外接超球半徑為 1，外中交超球（經過超立方體各棱中點的三維超球）半徑為 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ，內中交超球（經過超立方體各面中心的三維超球）半徑為 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，內切超球半徑為 ${\frac {1}{2}}$ 。事實上，對於任意一個棱長為 a 的 n 維超方形，其自身中心到任意一個 k 維元素的中心的距離為 ${\frac {a{\sqrt {n-k}}}{2}}$ 。

四維方體的每一頂點與 4 條棱相鄰，所以四維方體的頂點圖是正四面體。所以四維方體的施萊夫利符號是 {4,3,3}，前面兩個數字 {4,3} 代表其維面為立方體、後面兩個數字 {3,3} 代表其頂點圖為正四面體。其對偶多胞體是正十六胞體，施萊夫利符號是 {3,3,4}。對偶多胞體維面與頂點圖交換，正十六胞體的維面變為正四面體、頂點圖變為立方體。

### 對稱群構造

作為一個超方形，超立方體可被識別為不同對稱群的多胞體：首先，它是四維的超方形 —— 一個凸正多胞體 —— 四維超立方體，對應施萊夫利符號 {4,3,3}，考克斯特符號為，對應考克斯特 BC4 平面（即超方形 — 正軸形對應的考克斯特平面），具有超正八面體對稱性（又叫正十六胞體對稱性），階為 384。同時，它也可被看作是立方體的四維稜柱，對應施萊夫利符號 {4,3}×{}，考克斯特符號，這個對稱群的階只有 96。並且，它還是四維以上高維才有的兩個二維以上多胞形的歐拉乘積 —— 四維柱體柱的一個，即 4-4 柱體柱，是兩個正方形的乘積，對應施萊夫利符號 {4}×{4}，考克斯特符號為，群階 64。它還是正四稜柱稜柱 {4}×{}×{}，，群階 32。它還是線段稜柱稜柱稜柱 {}×{}×{}×{}，，群階 16。

### 投影

#### 二維投影

超正方體的構造方法可以通過以下方式來想像： 

* **零維**：因為任何一點放大都是一條直線，所以任何一點都是屬於一維空間，而不屬於零維空間。
* **一維**：兩個點 A 和 B 可以被連接起來，我們就得到一個新的線段 AB。
* **從一維到二維**：兩個平行的線段 AB 和 CD 可以被連接起來，我們就得到了一個正方形，以頂點為標記記作正方形 ABCD。
* **從二維到三維**：兩個平行的正方形 ABCD 和 EFGH 可以被連接起來，我們就得到了一個立方體，以頂點標記為立方體 ABCDEFGH。
* **從三維到四維**：兩個平行的立方體 ABCDEFGH 和 IJKLMNOP 可以被連接起來，我們於是就得到了一個超正方體，以頂點標記為超正方體 ABCDEFGHIJKLMNOP。

四維方體的結構不易想像，但可以投射至 3 維或 2 維空間。在我們將其投影到二維空間中後，把頂點位置調整，可以了解更多。如此獲得的圖像，不再反映四維方體空間構造，而是反映頂點間的聯繫。以下給出一些例子。

第一幅圖顯示四維方體本質上從結合 2 個立方體，連結對應頂點得來。第二幅圖反映出四維方體每條邊等長，也可以看出立方體如何互相連結。第三幅圖按著每一頂點由最底一頂點出發沿著棱走的長度排列。如果我們是要將超正方體用作在並行計算中連接不同處理器網絡拓撲基礎，則這些圖像會非常有用。在超正方體中任意兩個頂點之間之間至多有 4 中不同的路程，並且這裡有許多路徑是等同的。 
超正方體還是一個二分圖，就像正方形和立方體一樣。

#### 三維投影

## 可視化

### 透視投影

### 二維線架投影

## 相關槪念

* 多胞形（Polytope）
* 超正方體（Hypercube）
* 四維多胞體（Polychoron）
* 四維凸正多胞體（Convex regular polychoron）
* 四維均勻多胞體
* 維度（Dimension）
* 四維空間（Four-dimensional space）
* 胞 (幾何)（Cell）
* 五維超正方體（Penteract）

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Tesseract. MathWorld.
* Olshevsky, George, _Tesseract_ at _Glossary for Hyperspace_.
* Der 8-Zeller (8-cell)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Marco Möller's Regular polytopes in R4 (German)
* WikiChoron: Tesseract
* HyperSolids is an open source program for the Apple Macintosh _(Mac OS X and higher)_ which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
* Hypercube 98（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） A Windows program that displays animated hypercubes, by Rudy Rucker
* ken perlin's home page（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） A way to visualize hypercubes, by Ken Perlin
* Some Notes on the Fourth Dimension（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） includes very good animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by Davide P. Cervone（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Tesseract animation with hidden volume elimination（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A Study of Dimensions by Bill Price
* Regular convex four-dimensional polytopes by David Fontaine

## 參考資料