和谐振子

古典力學中，一個**諧振子**（英語：**harmonic oscillator**）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力 $F$ 正比於位移 $x$ ，並遵守虎克定律：

　
: $F=-kx\,$

其中 $k$ 是一個正值常數。

如果 $F$ 是系統僅受的力，則系統稱作**簡諧振子**（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動 —— 正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。

若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為**阻尼振子**。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是**受驅振子**。

力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見 RLC 電路）。

## 簡諧振子

簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

　
: $F=-kx\,$

利用牛頓第二定律

　
: $F=ma=-kx\,$

則加速度 $a$ 等於是 $x$ 的二次微分導數：

　
: $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$

若定義 ${\omega _{0}}^{2}=k/m$ ，則方程式可以寫為如下：

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

可以觀察到：

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}$

然後代回原式得到

　
: ${\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

　
: $\mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0$

積分可得

　
: ${\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K$

其中 _K_ 是積分常數，設 _K_ = (_A_ _ω_0)2

　
: ${\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}$

　
: ${\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

　
: ${\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t$

經過積分，結果（包括積分常數 φ）為

　
: ${\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}$

並有一般解

　
: $x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

其中振幅 $A\,$ 以及相位 $\phi \,$ 可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

　
: $x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

其中 $\phi \,$ 的值與前面形式相比，偏移了 $\pi /2\,$ ；

又可以寫作

　
: $x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,$

其中 $A\,$ 與 $B\,$ 為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的 $A\,$ 與 $\phi \,$ 。

振動頻率則為

　
: $f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$

動能為

　
: $T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$ .

以及位能（位能）為

　
: $U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

所以系統總能為定值：

　
: $E={\frac {1}{2}}kA^{2}$

## 受驅諧振子

一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程式

　
: : ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)$ ，

其中 $A_{0}$ 是驅動振幅而 $\omega $ 是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流 LC（電感 L - 電容 C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

## 阻尼諧振子

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程式

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$ ，

其中 $b$ 是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式 $F=-bv$ 。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度 $v$ 呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

　
: $\omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}$

其中

　
: $R_{m}={\frac {b}{2m}}$ 。

## 受驅阻尼振子

受驅阻尼振子滿足方程式

　
: $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)$ 。

其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程式的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

　
: : : : $x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )$

其中

　
: $Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}$

為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值

　
: $Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)$

而

　
: $\phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)$

為相對於驅動力（相位定為 0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率 $\omega $ 時，振子振動之振幅（相對於一給定之 $F_{0}$ ）達到最大。這發生在頻率為

　
: ${\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}$

之時，而此現象稱之為 **（位移上的）共振**。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC 電路；電阻類比於阻尼。

## 完整數學描述

多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)$

其中 _t_ 是時間，_b_ 是阻尼常數，ωo 是本徵角頻率，而 _A_ocos(ω_t_) 代表驅動系統的某種事物，其振幅 _A_o 而角頻率 ω。_x_ 是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率 _f_ 有關，關係式為

　
: $f={\frac {\omega }{2\pi }}$ 。

### 重要項

* 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
* 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
* 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1 / 秒為量度）。
* 角頻率： $\omega =2\pi f$
* 相位：系統完成了循環的多少（開始時，系統的相位為零；完成了循環的一半時，系統的相位為 $\pi $ ）。
* 初始條件：_t_ = 0 時系統的狀態。