和與積的問題

**不可能的謎題**（英語：**The Impossible Puzzle**）也稱為**和與積的問題**（英語：**Sum and Product Puzzle**）是一個數學問題，乍看之下沒什麼有關答案的線索，無法作答，因此而稱為「不可能的謎題」。此謎題最早是由漢斯・弗賴登塔爾得在 1969 年發表
，而「不可能的謎題」這個名字是由馬丁・加德納所提出的。此謎題可解，但不易求解，也存在一些規模比這個小的謎題。

## 謎題

註：這謎題有很多個版本。這裡用最原始的版本。 
X 和 Y 是二個整數，大於 1，和不大於 100，而 X 嚴格小於 Y (1 < X < Y, X+Y ≦100)。 

S 和 P 是兩個數學家，邏輯都非常好。S 知道兩者的和 X+Y。P 知道兩者的積 XY。兩個人都知道上述的資訊後的對話如下：

* S 說：「P 不知道 X 和 Y 的值。」
* P 說：「我知道 X 和 Y 的值了。」
* S 說：「現在我也知道 X 和 Y 的值了。」

X 和 Y 分別是多少？

## 解答

答案是 X 和 Y 分別是 4 和 13，P 一開始知道的乘積是 52，S 一開始知道的和是 17。

一開始 P 不知道答案，因為有兩個可能性

　
: 52 = 4 × 13 = 2 × 26

而 S 也知道 P 不知道答案，因為所有加起來為 17，符合規則的數字，相乘後的乘積都無法由乘積直接反推 _X_ 和 _Y_。
但 S 和 P 都可以根據對方的說明刪除一些不符合說明的解，因此得到答案。

## 詳解

### 數學家 P 和數學家 S 如何得到答案

#### 數學家 P

P 知道 p=52，P 猜測 (2,26) 和 (4,13) 可能是答案，因此 P 知道 s=28 或 s=17。

若 s=28:

　
: 可能答案會是 (2,26)、(3,25)、(4,24)、(5,23)、(6,22)、(7,21)、(8,20)、(9,19)、(10,18)、(11,17)、(12,16) 及 (13,15)。

　
: 但若答案是 (5,23)，5\*23 的乘積（115）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是 (5,23)，P 就知道答案了。

　
: 而若答案是 (11,17)，11\*17 的乘積（187）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是 (11,17)，P 就知道答案。

　
: P 有可能知道 X 和 Y 的值，因此 S 不能斷定說「P 不知道 X 和 Y 的值。」

若 s=17:

　
: 可能答案會是 (2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10) 及 (8,9)。

　
: 每組數字中都至少有一個是合數，因此乘積可以表示為其他兩個大於一數字的乘積，S 可以確定 P 不會知道正確的數字。

　
: 因此 S 可以說「P 不知道 X 和 Y 的值。」

因此當 S 說「P 不知道 X 和 Y 的值。」時，P 可以刪除 (2,26)，剩下的 (4,13) 就是答案。

#### 數學家 S

S 知道 s=17，可能的答案有 (2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10) 及 (8,9)。S 知道 p 可能是 30、42、52、60、66、70 或 72。

當 P 說：「我知道 X 和 Y 的值了。」時，S 可以知道 P 依照對話可排除大部份的可能解，只留下一個可能解。

#### S 模擬 P 的想法

只有情形 3 最後只有一個可能答案，因此 S 可以確定 (4,13) 是正確答案。

### 讀者如何得到答案

問題給出的條件是

　
: X, Y 是兩個整數，適合 1 < X < Y，X + Y ≤ 100。（條件 1）

令兩數之和為 s，兩數之積為 p。以下提到的 (x,y)，都指符合條件 1 的一對整數 x 和 y。

從 S 的第一句話，p 可分解成多於一個 (x,y)。而且 S 雖不知道 p 的值，但檢查了 s 可分拆成的所有 (x,y) 後，其積 xy 都有多於一個分解符合條件 1，因此 S 可以肯定 P 不知道 X, Y 的值。（條件 2）

從 P 的第一句話，P 知道 p 的值，也知道 s 符合條件 2。檢查了 p 可分解成的所有 (x,y)，只有一個的和 x + y 符合條件 2，所以 P 得到 X, Y 的值。（條件 3）

從 S 的第二句話，S 知道 s 的值，也知道 P 的分析，推出 p 符合條件 3。檢查了 s 可分拆成的所有 (x,y)，只有一個的積 xy 符合條件 3，所以 S 得到 X, Y 的值。（條件 4）

按條件 1，s 的可能值最小是 2 + 3 = 5，最大是 100。以下找出 s 的所有符合條件 2 的可能值：

* 若 (x,y) 都是質數，則 xy 有唯一分解，故 s 不可分拆為（符合條件 1 的）質數對。排除不小於 8 的偶數，及 2 + 奇質數。（按照哥德巴赫猜想，大於 2 的偶數都是兩個質數的和，且對不太大的偶數都成立。不過 6 不是兩個相異質數的和。）
* 若 xy = q3，q 是質數，則 xy 有唯一分解 (q,q2)，故 s 不可能分拆為 (q,q2)。排除 6 = 2 + 22。
* 若 xy 有大於 50 的質因數 q，由於 y <100，因此 y = q，即 xy 有唯一分解 (x,q)，故 s 不可能分拆為 (x,53)。排除不小於 53 + 2 = 55 的整數。
* 若 xy = 2q2，q > 10 是質數，由於 y < 100，y 不等於 q2，因此 xy 有唯一分解 (q,2q)，故 s 不可能為 3q。排除 51 = 3・17。

s 的餘下的可能值為

　
: 11, 17, 23, 27, 35, 37, 41, 47, 53. (\*)

以上的可能值都符合條件 2：因為 s 是奇數，任何分拆出的 (x,y) 必為一個奇數 a 和一個偶數 2b。

* 當 b = 1 時，a 是合數，a ≤ 53 - 2 = 51，故有質因子 q ≤ 7，xy = 2a 可分解成 a/q 和 2q，易知其和小於 100，符合條件 1。
* 當 b > 1 時，

　
: 若 a ≠ b，則 xy = 2ab 也可分解成 2a 和 b。因為 a ≤ 53 - 4 = 49，

　
: 2a + b = a + 2b + (a - b) = s + (a - b) ≤ 53 + (49 - 2) = 100

　
: 符合條件 1；

　
: 若 a = b 時，a 是合數（a 不是大於 10 的質數，也不是小於 10 的質數，因其 3 倍都不是 s 的可能值），a = s/3 ≤ 53/3 < 18，故有質因子 3，則 xy = 2a2 也可分解成 2a/3 和 3a，

　
: 2a/3 + 3a < 66

　
: 符合條件 1。（也可直接驗證，此時 s 的可能值是 3a，而 (\*) 中只有 27 是 3 的倍數。）

以下檢查 s 的符合條件 2 的可能值，即 (\*) 中的值，是否滿足條件 4：

注意到若 p = 2k q，其中 q 是奇質數，則 p 僅有一個（符合條件 1 的）分解 2k 和 q，使其和是奇數，故此若其和 2k + q 符合條件 2，則 p 滿足條件 3。

* 11 可分拆成 (4,7) 和 (8,3)，從上得知兩者的積 28 和 24 都符合條件 3，故 11 不滿足條件 4。
* 類似地，23 可分拆成 (4,19) 和 (16,7)，27 可分拆成 (4,23) 和 (8,19)，35 可分拆成 (4,31) 和 (16,19)，37 可分拆成 (8,29) 和 (5,32)，47 可分拆成 (4,43) 和 (16,31)，故 23, 27, 35, 37, 47 都不滿足條件 4。

餘下需要檢查 s 的可能值 17, 41, 53。17 可分拆成 (4,13)，41 可分拆成 (4,37)，53 可分拆成 (16,37)，這些分拆的積都符合條件 3。

* 41 分拆成 (2,39)，其積 78 分解成 (6,13)，和為 19；其積分解成 (3,26)，和為 29，都不符合條件 2，故 (2,39) 的積符合條件 3，41 不滿足條件 4。
* 53 分拆成 (5,48)，其積 240 分解成 (15,16)，和為 31；其積分解成 (3,80)，和為 83，都不符合條件 2，故 (5,48) 的積符合條件 3，53 不滿足條件 4。

檢查 17 的各分拆：

* (2,15) 的積可分解為 (5,6)，其和 11 符合條件 2，故 (2,15) 不符合條件 3。
* 類似地，(3,14) 的積可分解為 (2,21)，和為 23；(5,12) 的積可分解為 (3,20)，和為 23；(6,11) 的積可分解為 (2,33)，和為 35；(7,10) 的積可分解為 (2,35)，和為 37；(8,9) 的積可分解為 (3,24)，和為 27。各積的上述另一分解的和都符合條件 2，故各積都不符合條件 3。

因此 17 分拆成 (4,13)，其積才符合條件 3，故 17 滿足條件 4。

由於 17 是 (\*) 中唯一滿足滿件 4 的值，得出 s = 17, X = 4, Y = 13。

## 相關條目

* 謝麗爾的生日
* 三個杯子問題

## 參考

## 外部連結

* Puzzles by John Burkardt
* The Impossible Problem by Torsten Sillke（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Two Mathematicians Problem on mathforum（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Model Checking Sum and Product（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Survey: The Freudenthal problem and its ramifications（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）