因次式

**因次**又稱作**量綱**（英語：base unit 或 fundamental unit），是表示一個物理量由基本量（base quantity）組成的情況。確定若干個基本量後，每個導出量（derived unit）都可以表示為基本量的冪的乘積的形式。引入因次這一概念可以進行因次分析，這既是物理學的基礎，又有著很多重要應用。

## 由來

物理學中，不同的物理量有著不同的單位，然而這些單位之間都有相互的聯繫。實際上，恰當地規定一些基本的單位（稱為基本單位），可以使任何其他的單位（稱為導出單位）都表達為這些單位的乘積，將其統一以便於研究各個物理量之間的關係。如在國際單位制中，功的單位焦耳（ $\mathrm {J} $ ），可以表示為「千克平方公尺每平方秒」（ $\mathrm {kg\cdot m^{2}/s^{2}} $ ）。

然而，僅僅用單位來表示會面臨一些問題：

1. 在不同的單位制下，各個物理量用單位來表示也會不同，以至於起不到預期的「統一各單位」的效果。如英里每小時（mph）與米每秒（m/s）乍看之下無甚聯繫，然而它們卻都是表示速度的單位。雖然說經過轉換可以將各個基本單位也統一，然而這樣終究不夠直觀，需記憶也不甚方便，而且選擇哪一個單位作為統一單位似乎都不甚公平。
2. 把一個既有的單位表達為拆分了的基本單位的形式實際上沒有任何意義，功的單位無論如何都不是「千克二次方米每二次方秒」，因為實際上這個單位根本不存在，它只是與「焦耳」恰好相等而已。況且，這樣做也會導致一些拆分後相同但實質不同的單位被混淆，如力矩的單位牛米（ $\mathrm {N\cdot m} $ ）被拆分後也是 $\mathrm {kg\cdot m^{2}/s^{2}} $ ，然而它與功顯然是完全不同的。

因此因次被作為表達導出單位組成的專有方式引入物理學中。

## 表示方法

將一個物理導出量用若干個基本量的冪之積表示出來的表達式，稱為該物理量的**因次乘積式**或**因次式**，亦簡稱**因次**。

規定七個基本物理量，在因次中分別用七個字母表示它們的因次，他們是：長度（ $\mathrm {L} $ ），質量（ $\mathrm {M} $ ），溫度（ $\mathrm {\Theta } $ ），電流（ $\mathrm {I} $ ），時間（ $\mathrm {T} $ ），物質的量（ $\mathrm {N} $ ），發光強度（ $\mathrm {J} $ ）。

則對於任意一個物理量 $A$ ，都可以寫出下列因次式：

　
: $\dim A=\mathrm {L^{\alpha }\,M^{\beta }\,\Theta ^{\gamma }\,I^{\delta }\,T^{\epsilon }\,N^{\zeta }\,J^{\eta }} $

等號左邊也可以表示為 $\left[A\right]$ 。

上式右邊稱為物理量 $A$ 的因次。其中， $\alpha \,\beta \,\gamma \,\delta \,\epsilon \,\zeta \,\eta $ 稱為**因次指數**。在表示時，七個因次不一定會全部用上。因次指數為 1 的可以省略指數，指數為 0 的可以省略對應因次；然而，當所有因次指數皆為 0 時（稱為無因次），要將因次記為「1」。

* 對於功， $\dim W=\mathrm {L^{2}MT^{-2}} $
* 對於磁感應強度， $\dim B=\mathrm {MT^{-2}I^{-1}} $
* 對於弧度， $\dim \theta =\mathrm {1} $

值得注意的是，雖然物理量的因次與取什麼單位無關，但因次卻只有在一定的單位制下才有意義。

## 因次分析

因次分析（Dimensional Analysis），又叫因次分析，是 20 世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法。因次分析就是在因次法則的原則下，分析和探求物理量之間關係。

因次分析的基礎是因次法則。而在深層次運用中，幾乎都還會運用到白金漢 π 定理，以至於有時候把因次分析直接看作了「運用 Π 定理進行無因次化的過程」。

### 因次的乘除計算

對於不同物理量之間乘、除法導出新的物理量，因次的計算滿足數學上的指數計算法則，即：相乘則對應指數相加，相除則對應指數相減。

例如，根據安培力計算公式 $F=ILB$ ，可導出磁感應強度的因次，有

　
: ${\begin{aligned}\dim B&={\dfrac {(\dim F)}{(\dim I)(\dim L)}}\\&=\mathrm {\dfrac {LMT^{-2}}{IL}} \\&=\mathrm {MT^{-2}I^{-1}} \end{aligned}}$

### 因次法則

因次服從的規律稱為因次法則，它有廣泛的應用，一般只指出常用的兩條：
1. 只有因次相同的物理量，才能彼此相加、相減和相等；
2. 指數函數、對數函數和三角函數的宗量應當是因次 1 的。
因次法則是因次分析的基礎。若推出的公式不符合因次法則，該式必然是錯誤的。

### π 定理

π 定理是由白金漢（E.Buckinghan）於 1915 年提出的一個定理，故又叫作白金漢定理。其內容為：

設影響某現象的物理量數為 $n$ 個，這些物理量的基本因次為 $m$ 個，則該物理現象可用 $N=n-m$ 個獨立的無因次數群（准數）關係式表示。

用數學方式表示為：

設 n 個物理量之間滿足函數關係式：

　
: $f(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})=0$

其中， $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ 為物理量。共包含有 m 個基本因次（m<n）。則上述關係式與下列關係式等價：

　
: $F(\Pi _{1},\Pi _{2},\cdots ,\Pi _{k})=0$

其中 $k=n-m$ , $\Pi _{1},\Pi _{2},\cdots ,\Pi _{k}$ 為無因次量，F 為未知函數關係。

設在水平面上有一質量為 $m$ 的物體，受一水平力 $F$ 的作用加速滑動，加速度為 $a$ ，物體與水平面之間的滑動摩擦因數為 $\mu $ ，重力加速度大小為 $g$ 。則根據牛頓第二運動定律，可以寫出以下關係式：

　
: $F-\mu mg=ma$

式中有 5 個物理量，涉及到 3 個因次（ $\mathrm {L} $ ， $\mathrm {M} $ ， $\mathrm {T} $ ），根據 Π 定理，這個方程式可以由兩個無因次量表示。比如：

　
: ${\dfrac {F}{ma}}-{\dfrac {\mu mg}{ma}}=1$

式中 ${\dfrac {F}{ma}}$ 與 ${\dfrac {\mu mg}{ma}}$ 皆為無因次量，1 為常數不加考慮。

於是，原來有五個未知量的式子就被轉化為只有兩個未知量的了。實際應用當然會比這個複雜得多，然而原理是一樣的。

π 定理是因次分析中一個非常重要的定理，它與因次法則是因次分析的兩大方法，它在建立模型和簡化物理過程方面有著巨大的用途。

### 因次分析的主要用處

因次分析是物理學的基礎之一，更在空氣動力學和流體力學中有重要應用。

* 可以在不同的單位制間進行導出單位的換算。

如，在推導牛頓與達因之間的換算關係時，已知 $\dim F=\mathrm {LMT^{-2}} $ ，又知道牛頓使用國際單位制（千克米秒制），達因使用厘米克秒制，1 m = 100 cm，1 kg = 1000 g, 於是

　
: $\mathrm {{\dfrac {1\,N}{1\,dyn}}=\left({\dfrac {1\,m}{1\,cm}}\right)\left({\frac {1\,kg}{1\,g}}\right)\left({\frac {1\,s}{1\,s}}\right)^{-2}=10^{5}} $

　
: $\mathrm {1\,N=10^{5}\,dyn} $

 

* 驗證公式。在對一個公式躊躇不定的時候，可以對等號兩邊進行取因次。因為根據因次的一致性，只有因次相同的物理量才能進行相加、相減、相等，故可用該方法排除一部分錯誤。（當然，這並不總是有效。）

比如，對於安培力公式 $F=ILB$ ，如果不慎記成 $F=IvB$ ，那麼在驗證時有，

　
: $\dim F=\mathrm {LMT^{-2}} $

　
: $\dim IvB=\mathrm {ILT^{-1}MT^{-2}I^{-1}=LMT^{-3}} $

顯然是不等的，那麼便可以得知公式錯誤；並且還可以知道是少了一個因次 $\mathrm {T} $ ，那麼便會更有方向性地尋找錯誤原因。

 

* 為複雜公式提供線索，簡化複雜物理現象。

比如，對於單擺的週期，可以猜測它與單擺的質量 $m$ 、擺長 $l$ 和重力加速度 $g$ 有關，於是假設

　
: $T=\lambda m^{x}l^{y}g^{z}$

其中 $\lambda $ 為常數。兩邊取因次，得

　
: $\mathrm {T=M^{x}L^{y}(LT^{-2})^{z}} $

根據因次的一致性，

　
: ${\begin{cases}0=y+z\\0=x\\-2z=1\end{cases}}$

解得 x=0，y=0.5，z=-0.5，故

　
: $T=\lambda {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

只需用實驗測出 $\lambda $ 的值就可以了。

 
流體力學中諸如亂流、流體阻力之類的問題，理論非常複雜，有時也常採用實驗的方式確定。已經看到，在因次法則上建立的 Π 定理把 n 元關係式簡化為 n-m 元關係式，於是在實際計算中只需要這 n-m 個值便可了解該物理過程了。力學涉及三個因次（ $\mathrm {L} $ ， $\mathrm {M} $ ， $\mathrm {T} $ ），因此通過無因次化便減少了 3 個未知量，這實際上大大地簡化了實驗過程和理論計算。

## 參見條目

* 量綱分析

## 參考文獻

### 書目

### 腳註