周環

代數幾何中，代數簇的**周環**（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的餘調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。

## 有理等價

定義周環前，我們需先定義「有理等價」。如名字所暗示，它是一個等價關係。假定 X 是一代數簇，Y、Z 是其子簇，若存在一包含於積族 **P**1×X 中，且以 **P**1 參數化的平坦族，使得 Y 和 Z 是它的兩個纖維，我們就稱 Y 和 Z 有理等價。用古典語言來說，我們想要一個積族的子簇，Y 和 Z 是其兩纖維，且其所有纖維有相同的希爾伯特多項式。若我們將 **P**1 當作一條線，則此概念就是配邊的代數模擬。

## 周環的定義

有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環，我們將採用余維數（X 本身與子簇的維數差），這樣乘積才運行良好。對滿足 $0\leq k\leq \dim {X}$ 的整數 _k_，我們定義群 _A_k(X) 為余維數 k 的子簇的形式和，再模掉有理等價。
周環自身是它們的直和，即：

　
: $A^{*}(X)=\bigoplus _{k=0}^{\dim {X}}A^{k}(X)$

環的結構以簇的相交給出：如果兩個等價類 $[Y]$ 和 $[Z]$ 分別在 _A_k(_X_) 和 _A_l(_X_) 中，我們定義它們的積為

　
: $[Y]\cdot [Z]=[Y\cap Z]$

此定義有一系列技術細節，我們將在下面討論。可以肯定地說，在最好的情形（在有理等價下總成立），此交有餘維數 _k_ + _l_，因而在 _A_k + _l_(_X_) 中。這使得周環成為分次環。周環的元素常被稱為「圈」

## 幾何解釋

周環的幾何內涵混合了有理等價和相交積，這使得似乎形式的數字系數得以被解釋為子簇的度。例如，射影空間 **P**n 的周環是

　
: $A^{*}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Z} [\omega ]/(\omega ^{n+1})$

 $\omega $ 是超平面（單個線性函數的零點軌跡）的有理等價類。更進一步，任何度為 d 而余維數為 k 的子簇都有理等價於 $d\omega ^{k}$ 。這意味著，如果有兩個子簇有互補的維數（它們維數和為 n）且度數分別為 d、e，則它們的積就是

　
: $[Y]\cdot [Z]=de\;\omega ^{n}$

 $\omega ^{n}$ 是單點的等價類。至少在 _Y_ 和 _Z_ 橫截相交時（參見此處），這說明它們恰有 de 個交點。這實則是貝祖定理。類似於此的觀察被極大地推廣，產生了計數幾何。

## 函子性

圈的函子性，即定義在代數圈群 _Z\*(X)_ 層面上的平坦拉回和適當前推可擴展至周環，這給出群同態

　
: $f^{*}\colon A^{k}(X')\to A^{k}(X)\,\!$ 和 $f_{*}\colon A_{k}(X)\to A_{k}(X')\,\!$

事實上， $f^{*}$ 給出在整個周環上的環同態（遵從相交積，至少在集合論層面上這是顯然的），但 $f_{*}$ 不行（因為集合論層面上它就不行：我們並不總有 $f_{*}$ ）。但是我們有所謂「投影公式」：對 _X_ 的子簇 _Y_ 和 _X′_的子簇 _Y′_，

　
: $f_{*}([Y]\cdot f^{*}([Y']))=f_{*}([Y])\cdot [Y']$

## 餘調聯繫

周環非常像 X 上的整值餘調。事實上，有顯然的映射

　
: $f\colon A^{*}(X)\to H^{2*}(X)\,\!$

（以上記號代表在偶維數生成的餘調環）。它將每個有理等價類 $[Y]$ 先送到由閉子簇 _Y_ 決定的同調類，再送到它的龐加萊對偶（這解釋了偶維數：複代數簇總有偶實維數，因此決定了偶維數的同調類）。可以證明，同一個有理等價類被送到同一個餘調類。更進一步，龐加萊對偶性的一部分說明同調類的相交積對應於餘調類的杯積，因此這映射是環同態。

有不少事實對周環和餘調環有完全相同的形式。例如推拉公式在同調和餘調中都成立。進一步，一基本結果聲稱，**P**n 的餘調環和以上給出的周環是一樣的，乃至 $\omega $ 的解釋都一樣（這說明，對射影空間，實際上上一段定義的映射 $\omega $ 是同構）。但是對此結果，餘調證明技巧性頗高。相反，對周環我們給出一個相當簡單的幾何證明：

首先，設 H 為一超平面，從而同構於 **P**n − 1。任何另外的超平面 _J_ 有理等價與它，因為若它們分別由線性形式 _L_ 和 _M_ 定義，我們可以把它們當成 **P**n 中的點（通過其系數），由此可得它們間唯一的線。線上的點都是線性形式，從而定義了一族超平面，且由構造 _H_ 和 _J_ 皆在其中。 $H\cap J$ 是 _H_ 中的超平面，且由定義它的等價類為 $\omega ^{2}$ 。這樣我們便有一族超平面，其中每個都嵌在前一個中，依次同構與對應的射影空間且等價於 $\omega $ 的冪。

鑒於這些發現，我們考察任意余維數 _k_ 度數 _d_ 的子簇。如果 _k_=0，那麼 _Y_ 必須等於 **P**n 本身，因為射影空間不可約。如果 _k_ 不是 0，不妨假定 H 由令最後一個座標為 0 定義，且 $P=[0:\dots :0:1]$ 不在 _Y_ 中。對每個 **P**1 中不是 $[0:1]$ 的點 $t=[t_{0}:t_{1}]$ ，定義映射

　
: $f_{t}\colon \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\}\to \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\},f_{t}([a_{0}:\dots :a_{n-1}:a_{n}])=[t_{0}a_{0}:\dots :t_{0}a_{n-1}:t_{1}a_{n}]$

_Y_ 在這些映射下的像形成了一個在 **P**1 除去一點上的簇族。我們在 **P**1 × **P**n 中取閉包來得到 _Y_ 的有理等價（這是一個等價關係得自一個非平凡但標準的事實：取閉包對應於取「平坦極限」）。如此，無窮遠點處的纖維就是 _Y_ 到超平面 _H_ 上的投影，因此有與 _Y_ 相同的度和維數。因為 _H_ 本身就是射影空間，我們可重複此過程直到 _Y_ 維數過大不能繼續。由此可得 _Y_ 有理等價與 $d\omega ^{k}$ ，而且我們已經找到了積結構。

一個類似的證明建立此定理的推廣，在餘調中以勒雷 - 赫希定理聞名。它用對應纖維叢的陳類和底空間的周環計算了射影空間叢的周環。餘調的證明則要用到譜序列。

某些事實在周環中不成立，但在餘調環中成立。尤其是 Künneth 公式不成立，儘管勒雷 - 赫希定理對射影空間的積重建了它。進一步，儘管周環在簇上有逆變函子性，但在代數拓撲的意義下它構不成餘調理論，因為沒有「相對周群」的概念。的確，在代數簇中，沒有邊界的概念，因此正面考慮替代品是無望的。

## 構造的細節

上面所給 _A_k(_X_) 的構造需要一些關於「模掉有理等價」的說明。相關的技術細節是，就像在計算射影空間周環時一樣，有時兩個並非簇對應的圈有理等價，儘管有理等價似乎僅僅與集合結構有關。解法是由概形理論而來，即一個由理想層定義的子簇可以被認為有重數 _d_ 如果我們代理想 $I$ 以 $I^{d}$ 。這樣有理等價的古典陳述便不夠了，且我們必須密切關注平坦族的細節。最後，等價類的形式和，例如 _aY_ + _bZ_，應該被認為是「有度的簇」_aY_ 和 _bZ_ 的不交並，一旦建立了這些約定，我們就可借有理等價為圈的自由阿貝爾群上的等價關係來得到周環。

相交積的定義有點更加複雜。主要問題是在相交中保持正確的維數。如果 _Y_ 和 _Z_ 是兩個余維數為 _k_ 和 _l_ 的子簇，它們的交並非總有餘維數 _k_+_l_。就如平凡的例子，兩簇可能完全相同。為了克服此難處，我們可以證明「移動引理」。它斷定在任何兩個有理等價類中，我們總可以找到一般橫截的兩代表元，此時它們的交表現良好。子簇的橫截性定義類似於流形的：先定義子簇的紮利斯基切空間，它們自然是 _X_ 的切空間的子空間。如果這些子空間張成 _X_ 的切空間，那麼此交是橫截的。如果橫截性在它的一個稠密子集上成立，那麼它是一般橫截的。

某種意義上，對於可對餘調環證明的事實，聲稱周環可給出更簡單的證明有些狡猾。特別是概形論的構造、平坦族和平坦極限，以及移動引理都解決了大量隱藏於周環下的技術困難。但是，這些技術細節大都是理論的基礎，一旦它們被建立，幾何上的優勢就很明顯了。

## 發展

周群被拓展至高階周群，這平行於從 _K_0 (零階代數 K - 理論) 到高階代數 K - 理論的拓展。

算術周群是 **Q** 上代數簇的周群與記錄阿基洛夫理論信息 —— 即有關複流形結構的信息 —— 部分的混合。

## 歷史

有理等價和環 A\* 在 20 世紀初由義大利代數幾何學派定義，且被 Severi 和他的學派使用 (可參考 Severi 的論文，他本質上研究了代數曲面 S 的群 A0(S)；也可參閱芒福德論文開頭的評論）。
Serge 在他 1930 年的論文中用了對奇異曲線的環 A0 更精細的研究來描述 P2 中代數曲面的支線。在 1956 年周煒良寫了一篇重要的論文後，環 A\* 被稱作周環。有些幾何學家堅持是格羅滕迪克提出將此環命名為周環。

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《舊五代史・卷 95》，出自薛居正《舊五代史》

## 參考文獻

* Bloch, Spencer, Algebraic cycles and higher _K_-theory, Advances in Mathematics, 1986, **61** (3): 267–304, ISSN 0001-8708, MR852815
* Chow, Wei-Liang, On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, 1956, **64**: 450–479, ISSN 0003-486X
* Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics **2**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323
* Gillet, H.; Soulé, C., An arithmetic Riemann–Roch Theorem, Invent. Math., 1992, **110**: 473–543, doi:10.1007/BF01231343

## 注釋