四极离子阱

**四極離子阱**是一種使用交變電場來束縛帶電粒子的離子阱，也稱**無線射頻** （**RF**）阱或者**保羅**離子阱，　為了紀念發明者沃爾夫岡・保羅。　沃爾夫岡・保羅發明了這種裝置並分享此成果，因此而獲得了 1989 年的諾貝爾物理學獎。它一般用於質譜儀的一個組件或俘獲離子量子計算機。

## 理論

### 運動學方程

四極場中離子被施加了一個回復力使得它們回到阱的中心，場中的離子的運動由馬丟函數（Mathieu equation）給出。對於離子阱中帶電離子，可列出以下方程：

$$
{\frac {d^{2}u}{d\xi ^{2}}}+[a_{u}-2q_{u}\cos(2\xi )]u=0\qquad \qquad (1)\!
$$

其中 $u$ 代表 x, y, z 坐標， $\xi $ 是一個無量綱的參數，由 $\xi =\Omega t/2\ $ 給出，並且 $a_{u}\,$ 和 $q_{u}\,$ 也是無量綱的限制參數。參數 $\Omega \,$ 是施加在環形電極上的電場頻率。應用鏈式法則，我們可以得出：

　
: ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}={\frac {\Omega ^{2}}{4}}{\frac {d^{2}u}{d\xi ^{2}}}\qquad \qquad (2)\!$

將（2）帶入馬修方程（1），可得：

　
: ${\frac {4}{\Omega ^{2}}}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\left[a_{u}-2q_{u}\cos(\Omega t)\right]u=0\qquad \qquad (3)\!$ .

整理上式：

　
: $m{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+m{\frac {\Omega ^{2}}{4}}\left[a_{u}-2q_{u}\cos(\Omega t)\right]u=0\qquad \qquad (3)\!$ .

由牛頓運動學方程可知，以上的方程代表了施加在離子上的力。該方程可應用 Floquet 定理解得或用多尺度分析（multiple scale analysis）的標準計算方法得出。粒子動力學和保羅離子阱的帶電粒子的時間平均密度也可以通過有質動力的概念得到。

每個維上的力沒有耦合。例如，對於作用在離子上的力，在 x 軸上有：

　
: $F_{x}=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-e{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\qquad \qquad (4)\!$

其中， $\phi \,$ 是四極勢，由以下給出：

　
: $\phi ={\frac {\phi _{0}}{r_{0}^{2}}}{\big (}\lambda x^{2}+\sigma y^{2}+\gamma z^{2}{\big )}\qquad \qquad (5)\!$

其中 $\phi _{0}\,$ 是外加電位， $\lambda \,$ , $\sigma \,$ , 和 $\gamma \,$ 是權重，還有 $r_{0}\,$ 是尺寸參數常數。為了滿足拉普拉斯條件， $\nabla ^{2}\phi _{0}=0\,$ 可由以下給出：

 $\lambda +\sigma +\gamma =0\,$ .

對於一個離子阱， $\lambda =\sigma =1\,$ 和 $\gamma =-2\,$ 對於一個四極杆質量分析器， $\lambda =-\sigma =1\,$ 並且有 $\gamma =0\,$ 。

轉換 5 式到圓柱坐標，即 ${x}={r}\,\cos \theta $ , ${y}={r}\,\sin \theta $ , 和 ${z}={z}\,$ 應用勾股定理 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$ 給出以下：

　
: $\phi _{r,z}={\frac {\phi _{0}}{r_{0}^{2}}}{\big (}r^{2}-2z^{2}{\big )}.\qquad \qquad (6)\!$

施加的電勢是 RF 和 DC 的組合，由下式給出：

　
: $\phi _{0}=U+V\cos \Omega t.\qquad \qquad (7)\!$

其中 $\Omega =2\pi \nu $ and $\nu $ 是外加頻率，單位是赫茲。

將 7 式帶入 5 式， $\lambda =1$ 得：

　
: ${\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {2x}{r_{0}^{2}}}{\big (}U+V\cos \Omega t{\big )}.\qquad \qquad (8)\!$

將 8 式帶入 4 式，可得：

$$
m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2e}{r_{0}^{2}}}{\big (}U+V\cos \Omega t{\big )}x.\qquad \qquad (9)\!
$$

比較 1 式和 9 式的右手項，可得：

$$
a_{x}={\frac {8eU}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}\qquad \qquad (10)\!
$$

和

　
: $q_{x}=-{\frac {4eV}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}.\qquad \qquad (11)\!$

此外還有 $q_{x}=q_{y}\,$ ，

　
: $a_{z}=-{\frac {8eU}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}\qquad \qquad (12)\!$

還有

　
: $q_{z}={\frac {4eV}{mr_{0}^{2}\Omega ^{2}}}.\qquad \qquad (13)\!$

離子的捕獲可以從 $q_{u}$ 和 $a_{u}$ 空間穩定區域的角度來理解。圖中陰影區域的邊界是兩個方向上的穩定邊界（也稱為帶邊界）。 兩個區域的重疊域是陷阱域。 為了計算這些邊界和類似的圖表，請參閱 Müller-Kirsten。

## 組合射頻阱

組合射頻阱是四極離子阱和彭寧離子阱的組合。 四極離子阱的主要瓶頸之一是它只能限制單個帶電物品或具有相似質量的多個物品。 但在某些應用中，如反氫生產，重要的是限制兩種質量差異很大的帶電粒子。 為了實現該目的，在四極離子阱的軸向上添加均勻的磁場。

## 參考文獻

## 人物傳記

### 相關專利

* DE 944900  "Verfahren zur Trennung bzw. zum getrennten Nachweis von Ionen verschiedener spezifischer Ladung", W. Paul and H. Steinwedel, filed on December 24, 1953, priority December 23, 1953
* GB 773689  "Improved arrangements for separating or separately detecting charged particles of different specific charges", W. Paul, claims priority of a German application filed on December 23, 1953
* US 2939952  "Apparatus for separating charged particles of different specific charges", W. Paul and H. Steinwedel, claims priority of a German application filed on December 23, 1953

## 外部連結

* Nobel Prize in Physics 1989