哈恩多项式

**哈恩多項式**是一個以德國數學家 Wolfgang Hahn 命名的正交多項式，由下列廣義超幾何函數定義：

 

　
: $Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ $

前幾個哈恩多項式為

　
: $h[5]:=1+27*x/(-4*\alpha -4)+3*x*\alpha /(-4*\alpha -4)+270*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+57*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-270*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-57*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-3*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+990*x^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+299*x^{3}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-2970*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-897*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+1980*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+598*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+60*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+2*x*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))$ $h[6]:=1+27*x/(-5*\alpha -5)+3*x*\alpha /(-5*\alpha -5)+270*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+57*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-270*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-57*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-3*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+990*x^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+299*x^{3}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-2970*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-897*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+1980*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+598*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+60*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+2*x*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9)).$

## 正交性

對於 $\alpha $ > -1 和 $\beta $ > -1 以及 $\alpha $ < -N 
 $\beta $ < -N, 下列正交關係成立

$$
\sum _{x=0}^{N}{\alpha +x \choose x}$ ${\beta +N-x \choose N-x})*Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}*n!}{2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}*(-N)_{n}*N!}}*\delta _{mn}
$$

## 歸遞關係

哈恩多項式滿足下列歸遞關係 $-x*Q_{n}(x)$ = $A_{n}*Q_{n+1}(x)$ - $(A_{n}+C_{n})*Q_{n}(x)$ \* $C_{n}*Q_{n-1}(x)$

其中 $Q_{n}(x)=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)$

## 極限關係

**拉卡多項式→**哈恩多項式****

　
: $\lim _{\delta \to \infty }R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,-N-1,\delta )=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N),\,$

****哈恩多項式**→雅可比多項式**

$$
\lim _{N\to \infty }Q_{n}(Nx;\alpha ,\beta ,N)={\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)}}
$$

## 參考文獻

* Roelof Koekoek, Peter A.Lesky,ReneF.Swarttouw,Hypergeometric Orthogonal Polynomials ad Their q=Aalogues, Springer,2008.