因式分解

**因式分解**，在這裡是指**多項式因式分解**（英語：Polynomial Factorization），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如單元多項式 $x^{2}-1$ 可被因式分解為 $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$ 。又如二元多項式 $x^{2}-y^{2}$ 因式分解為 $\left(x+y\right)\left(x-y\right)$ 。如果我們允許多項式係數從整數擴大到複整數，那麼 $x^{2}+1$ 可被因式分解為 $\left(x+i\right)\left(x-i\right)$ 。通常分解獲得的每個因式要是**不可約多項式**（irreducible）。也就是不能再分解了。

## 因式分解定理

數體 F 上每個次數 $\geq 1$ 的多項式 $f(x)$ 都可以分解成數體 F 上一些不可約多項式的乘積，並是唯一的，即如果有兩個分解式 

$$
f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)
$$

其中 $p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)$ 和 $q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)$ 都是數體 F 上的不可約多項式，那麼必有 $s=t$ ，而且可以適當排列因式的次序，使得 

 $p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)$ , 其中 $c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)$ 是一些非零常數

## 分解方法

### 公因式分解 (抽)

原則：

1、分解**必須**要徹底（即分解後之因式均不能再做分解）

2、結果最後只留下小括號

3、結果的多項式首項為正。
在一個公式內把其公因子抽出，例子：

 * $7a+98ab$
  * 其中， $7a$ 是公因子。因此，因式分解後得到的答案是： $7a(1+14b)$
* $51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}$
  * 其中， $3a^{3}b^{2}$ 是公因子。因此，因式分解後得到的答案是： $3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)$

### 公式重組 (拼)

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

 * $3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby$

　
: $=(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)$

　
: $=3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)$

　
: $=(1+4ab)(3a^{2}b-5y)$

 * $15n^{2}+2m-3n-10mn$

　
: $=(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)$

　
: $=3n(5n-1)+2m(1-5n)$

　
: $=3n(5n-1)-2m(5n-1)$

　
: $=(5n-1)(3n-2m)$

　
:

### 添項法 (增)

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

 * $x^{4}+x^{2}+1$

　
: $=x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1$

　
: $=x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1$

　
: $=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}$

　
: $=(x^{2})^{2}+(2)(x^{2})(1)+(1)^{2}-x^{2}$

　
: $=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}$

　
: $=(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)$

　
: $=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$

　
:

### 分項法 (拆)

透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

$$
x^{3}-7x+6
$$

* 其中， $-7x$ 可以被拆成 $-x$ 和 $-6x$ 。所以， $x^{3}-7x+6$ 可以被寫成 $x^{3}-x-6x+6$ 。因此，

　
: $x^{3}-7x+6$

　
: $=x^{3}-x-6x+6$

　
: $=(x^{3}-x)-(6x-6)$

　
: $=x(x^{2}-1)-6(x-1)$

　
: $=x(x+1)(x-1)-6(x-1)$

　
: $=(x(x+1)-6)(x-1)$

　
: $=(x^{2}+x-6)(x-1)$

　
: 其中， $+x$ 可以被拆成 $+3x$ 和 $-2x$ 。所以， $x^{2}+x-6$ 可以被寫成 $x^{2}+3x-2x-6$ 。因此，

　
: $(x^{2}+x-6)(x-1)$

　
: $=(x^{2}+3x-2x-6)(x-1)$

　
: $=((x^{2}+3x)-(2x+6))(x-1)$

　
: $=(x(x+3)-2(x+3))(x-1)$

　
: $=(x-2)(x+3)(x-1)$

　
: $=(x-1)(x-2)(x+3)$

　
:

### 十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它實際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

### 兩個 n 次方數之和與差

**兩個立方數之和**

　
: $a^{3}+b^{3}\,\!$ 可分解為 $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

**兩個立方數之差**

　
: $a^{3}-b^{3}\,\!$ 可分解為 $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

**兩個 n 次方數之差**

　
: $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})$

**兩個奇數次方數之和**

　
: $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})$

## 一次因式檢定法

一個整係數的一元多項式 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$ ，假如它有整係數因式 $px+q$ ，_且 p,q 互質_，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

 * $p|a_{n}$
* $q|a_{0}$

不過反過來說，即使當 $p|a_{n}$ 和 $q|a_{0}$ 都成立時，整係數多項式 $px+q$ 也不一定是整係數多項式 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$ 的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$ ，若 $px-q$ 是 f (x) 之因式，_且 p,q 互質_，則：（逆敘述並不真）

 * $p-q|f(1)$
* $p+q|f(-1)$

## 參見

* 因數分解
* 多項式
* 根
* 十字相乘
* 乘法公式

## 注釋

## 延伸閱讀

* Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
* Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
* Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
* Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
* Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co