双边理想

**理想**（Ideal）是一個環論中的概念。
若某環的子集為在原環加法的定義下的子群，且其中的元素在原環乘法下與任意原環中的元素結果都在該子群中，則稱其為原環的**理想**。
通俗地說，一環的理想在加法上成群且在乘法上表現如同一個黑洞。
理想把整數的某些子集，例如偶數或 3 的倍數組成的集合給一般化了。兩個偶數相加或相減結果仍是偶數，偶數與任意整數相乘的結果也仍是偶數；這些閉包和吸收的性質正是理想的定義。理想可以被用來構造商環，這類似於在群論里，正規子群可以被用來構造商群。

## 歷史

恩斯特・庫默爾提出了理想數的概念，以此作為那些不具有唯一因子分解的數環的「缺失」的因子。「理想」在這裡的意思是它只存在於想像中，可以類比在幾何中那些「理想」的幾何物件，比如無窮遠處的點。隨後在 1876 年，理察・戴德金在狄利克雷的_數論講義_書的第三版中用被稱為「理想」的數的集合代替了庫默爾之前未定義的概念。之後這個概念被大衛・希爾伯特和艾米・諾特從數環拓展到了多項式環以及其他交換環上。

## 定義

環 (R,+,・)，已知 (R, +) 是阿貝爾群。R 的子集 I 稱為 R 的一個**右理想**，若 I 滿足：

1. (I, +) 構成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

類似地，I 稱為 R 的**左理想**，若以下條件成立：

1. (I, +) 構成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若 I 既是 R 的右理想，也是 R 的左理想，則稱 I 為 R 的**雙邊理想**，簡稱 R 上的**理想**。

### 示例

* 整數環的理想：整數環 **Z** 只有形如 **nZ** 的理想。

### 一些結論

* 在環中，（左或右）理想的交和並仍然是（左或右）理想。
* 對於 R 的兩個理想 A，B，記 $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ 。按定義不難證明：
1. 如果 A 是 R 的左理想，則 AB 是 R 的左理想。
2. 如果 B 是 R 的右理想，則 AB 是 R 的右理想。
3. 如果 A 是 R 的左理想，B 是 R 的右理想，則 AB 是 R 的雙邊理想。
* R 的子集 I 是 R 的理想，若 I 滿足：
1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
2. ∀a ∈ I, r ∈ R，則 a・r∈ I。
* 交換環的理想：交換環的理想都是雙邊理想。
* 除環的理想：除環中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

## 生成理想

如果 $A$ 是環 $R$ 的一個非空子集，令 $\left\langle A\right\rangle =RA+AR+RAR+\mathbb {Z} A$ , 其中

$$
\mathbb {Z} A=\left\{\sum _{i=1}^{n}m_{i}a_{i}:m_{i}\in \mathbb {Z} ,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};
$$

$$
RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};
$$

$$
AR=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};
$$

$$
RAR=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}r_{i}':r_{i},r_{i}'\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\},
$$

則 $\left\langle A\right\rangle $ 是環 $R$ 的理想，這個理想稱為 $R$ 中由 $A$ 生成的理想， $A$ 稱為生成元集。同群的生成子群類似， $\left\langle A\right\rangle $ 是 $R$ 中所有包含 $A$ 的理想的交，因此是 $R$ 中包含 $A$ 的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：

1. 當 $R$ 是交換環時， $\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb {Z} A$ ;
2. 當 $R$ 是有單位元素 $1$ 的環時， $\left\langle A\right\rangle =RAR$ ;
3. 當 $R$ 是有單位元素的交換環時， $\left\langle A\right\rangle =RA$ .

## 主理想

設集合 A = {a1,a2,...,an}，則記 <A> = <a1,a2,...,an>，稱 $\left\langle A\right\rangle $ 是有限生成理想。特別當 $A=\left\{a\right\}$ 是單元素集時，稱 $\left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle $ 為環 R 的主理想。注意 $\left\{a\right\}$ 作為生成元一般不是唯一的，如 $\left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle $ 。 $\left\langle a\right\rangle $ 的一般形式是：

　
: $\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}$

* 性質： $\left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle $

　
: 幾類特殊環中的主理想：

1. 如果是交換環，則 $\left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}$
2. 如果是有單位元素的環，則 $\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}$
3. 如果是有單位元素的交換環，則 $\left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}$

## 相關概念和結論

* **真理想**：若 I 是環 R 的理想，且 I 是 R 的真子集，I 稱為 R 的**真理想**。
* **極大理想**：環 R 的一個真理想 I 被稱為 R 的極大理想，若不存在其他真理想 J，使得 I 是 J 的真子集。
  * **極大左理想**：設 I 是環 R 的左理想，若 I ≠ R 並且在 I 與 R 之間不存在真的左理想，則稱 I 是環 R 的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係：
    1. 如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。
    2. 極大理想未必是極大左理想。
  * **單環**：在么環中，若零理想是其極大理想，稱該環為**單環**。
    * 除環是單環，其零理想是極大理想。
    * 域是單環。
  * 在整數環 **Z** 中，由 p 生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p 是質數。
  * 設 R 是有單位元素 1 的交換環。理想 I 是 R 的極大理想的充分且必要條件是：商環 R / I 是域。
  * 設 I 是環 R 的左理想，則 I 是 R 的極大左理想的充分必要條件是對 R 的任意一個不含在 I 中的左理想 J 都有 I+J=R。
* **質理想**：環 R 的真理想 I 被稱為**質理想**，若∀R 上的理想 A，B，有 AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。
* **質環**：若環 R 的零理想是質理想，則稱 R 是**質環**（或**質環**）。
  * 無零因子環是質環。
  * 在交換環 R 中，真理想 I 是質理想的充要條件是：R / I 是質環。
* **准質理想**：環 R 的真理想 I。若∀R 上的理想 P，有 P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I，稱 I 是 R 的**准質理想**。
  * 准質理想是一類比質理想相對較弱的理想。質理想是准質理想，反之不成立。

## 參考文獻

* Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., _Introduction to Commutative Algebra_, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
* Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3.
* Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. _Algebras, rings and modules_. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
* Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies **72**, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005

## 注釋

## 參見

* 理想 (序理論)