向量算子

**向量算子**是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用 Nabla 算符定義，包括梯度、散度和旋度。

　
: $\operatorname {grad} \equiv \nabla $

　
: $\operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot $

　
: $\operatorname {curl} \equiv \nabla \times $

拉普拉斯算符表示為：

　
: $\nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla $

向量算子必須寫在它們所運算的純量場或向量場的左側，例如：

　
: $\nabla f$

得到 _f_ 的梯度，但是

　
: $f\nabla $

是另一個向量算子，沒有對任何量進行運算。

一個向量算子可對另一個向量算子進行運算，得到一個複合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

## 三維空間中的純量函數與向量函數

### 純量函數

令 $U$ 為空間位置 $(x,y,z)$ 的多變數純量函數 ，例如：

　
: $U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

表示了一個球面，這是一個純量場，其中每點的值等於該球半徑的平方。

### 向量函數

令 $V$ 為空間位置 $(x,y,z)$ 的向量函數 ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

　
: $V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}$

## 梯度與 Nabla 算子的定義

純量函數 $U(x,y,z)$ 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

　
: ${\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}$

因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

　
: ${\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}$

其加總即為 $U$ 的組合變率：

　
: ${\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}$

如同微分算子 $D$ 被用來表示某函數的導數，例如 $D(f)$ 或 $Df$ ，我們使用 $\nabla $ 來表示組合變率：

　
: $\nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)$

其中 $V$ 為一向量函數。組合變率 $\nabla U$ 稱為 $U$ 的導數（derivative）， $U$ 則稱為 $\nabla U$ 的本原（primitive）。

 $\nabla U$ 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 $U$ 的梯度、或斜率。

### Nabla 算子的單獨使用

我們可以把 $\nabla $ 當作一個函數，唸為 $del$ ，記為 $\operatorname {grad} $ ，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：

　
: $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}$ ，因此：

　
: $\nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U$

將 $\nabla $ 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

## 散度：Nabla 算子與向量函數的內積

將 $\nabla $ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做內積：

　
: $\nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)$

這裡得到一個純量函數 $U$ ，稱為 $V$ 的散度。

我們也可以將 $\nabla \cdot $ 當作一個算子，唸為 $del\ dot$ ，記為 $\operatorname {div} $ ，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

　
: $\nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}$

## 旋度：Nabla 算子與向量函數的叉積

將 $\nabla $ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做叉積：

　
: ${\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

這裡得到一個向量函數，稱為 $V$ 的旋度。

我們也可以將 $\nabla \times $ 當作一個算子，唸為 $del\ cross$ ，記為 $\operatorname {curl} $ ，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

　
: $\nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}$

## 拉普拉斯算子

對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

　
: $\nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

這稱為拉普拉斯算子，記為 $\nabla ^{2}$ 或者 $\Delta $ ，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

## 參見

* Nabla 算符
* 達朗貝爾算符
* _Vector Analysis_, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

## 延伸閱讀

* H. M. Schey (1996) _Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus_, ISBN 0-393-96997-5.