同调群

數學上（特別是代數拓撲和抽象代數），**同調** （homology，在希臘語中 _homos_ = 同）是一類將一個可換群或者模的序列和特定數學物件（例如拓撲空間或者群）聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論。

對於一個特定的拓撲空間，同調群通常比同倫群要容易計算得多，因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。

## 同調群的構造

其過程如下：給定物件 $X$ ，首先定義鏈複形，它包含了 $X$ 的訊息。一個鏈複形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模 $A_{0},A_{1},A_{2},\dots $ 的序列，群同態 $d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$ 滿足任何兩個相連的同態的複合為 0: $d_{n}\circ d_{n+1}=0$ 對於所有 _n_ 成立。這意味著第 _n_+1 個映射的像包含在第 _n_ 個映射的核中，我們定義**_X_ 的第 _n_ 階同調群**為商群（商模）

　
: $H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).$

鏈複形稱為正合的，如果（_n_+ 1）階映射的像總是等於 _n_ 階映射的核。因此 $X$ 的同調群是 $X$ 所關聯的鏈複形和正合有「多遠」的衡量。

## 非正式的例子

非正式地，拓撲空間 _X_ 的同調是 _X_ 的拓撲不變數的集合，用其_同調群_來表示

　
: $H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots $

其中第 k 個同調群 $H_{k}(X)$ 描繪了 _X_ 中的 _k_ 維洞。0 維洞即為兩個連通分支的間隔，因此 $H_{0}(X)$ 描繪了 _X_ 中的路徑連通分支。

一維球面 $S^{1}$ 是一個圓。它有單個連通分支和一個一維洞，但沒有更高維洞。其對應的同調群由下式給出

　
: $H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&k\neq 0,1\end{cases}}$

其中 $\mathbb {Z} $ 為整數群， $\{0\}$ 為平凡群。群 $H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z} $ 表示一個有限生成阿貝爾群，其唯一的生成元表示圓中包含的一維洞。

二維球面 $S^{2}$ 擁有 1 個連通分支，0 個一維洞，1 個二維洞，無更高維的洞。其對應的同調群為

　
: $H_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&k\neq 0,2\end{cases}}$

一般地，對 _n_ 維球面 _Sn_，其同調群為

　
: $H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}$

二維球 _B_2 是一個實心盤。 它具有單個路徑連通的分支，但與圓不同的是，它沒有一維或更高維的洞。其對應的同調群除了 $H_{0}(B^{2})=\mathbb {Z} $ 以外均為平凡群。

環面被定義為兩個圓 $T=S^{1}\times S^{1}$ 的笛卡兒積。環面具有一個路徑連通的分支，兩個獨立的一維洞（在圖中以紅圈和藍圈分別標出），以及一個二維洞（環面的內部）。其對應的同調群為

　
: $H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&k>=3\end{cases}}$

兩個獨立的一維洞組成了一個有限生成阿貝爾群的獨立生成元，表示為笛卡兒積群 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} $ .

## 例子

導致引入這個概念的例子是代數拓撲：單體複形 $X$ 的**單純同調**。 $A_{n}$ 在這裡就是 $X$ 中的 _n_ 維可定向單體所生成的自由可換群或者模。這些映射稱為_邊界映射_，它將單體

　
: $(a[0],a[1],\dots ,a[n])$

映射為如下的和

　
: $\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n]).$

如果我們將模取在一個域上，則 $X$ 的 _n_ 階同調的維數就是 $X$ 中 _n_ 維的洞的個數。

仿照這個例子，可以定義任何拓撲空間 $X$ 的奇異同調。我們定義 $X$ 的餘調的鏈複形中的空間為 $A_{n}$ 為自由可換群（或者自由模），其生成元為所有從 _n_ 為單體到 $X$ 的連續函數。同態 $d_{n}$ 從單體的邊界映射得到。

抽象代數中，同調用於定義導來函子，例如，Tor 函子。這裡，我們可以從某個可加協變函子 $F$ 和某個模 $X$ 開始。 $X$ 的鏈複形定義如下：首先找到一個自由模 $F_{1}$ 和一個滿同態 $p_{1}:F_{1}\rightarrow X$ 。然後找到一個自由模 $F_{2}$ 和一個滿同態 $p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})$ 。以該方式繼續，得到一個自由模 $F_{n}$ 和同態 $p_{n}$ 的序列。將函子 $F$ 應用於這個序列，得到一個鏈複形；這個複形的同調 $H_{n}$ 僅依賴於 $F$ 和 $X$ ，並且按定義就是 $F$ 作用於 $X$ 的 _n_ 階導來函子。

## 同調函子

鏈複形構成一個範疇：從鏈複形 $(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$ 到鏈複形 $(e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})$ 的態射是一個同態的序列 $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ ，滿足 $f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}$ 對於所有 _n_ 成立。_n_ 階同調 $H_{n}$ 可以視為一個從鏈複形的範疇到可換群（或者模）的範疇的協變函子。

若鏈複形以協變的方式依賴於物件 $X$ （也就是任何態射 $X\rightarrow Y$ 誘導出一個從 $X$ 的鏈複形到 $Y$ 的鏈複形的態射），則 $H_{n}$ 是從 $X$ 所屬的範疇到可換群（或模）的範疇的函子。

同調和餘調的唯一區別是餘調中的鏈複形以逆變方式依賴於 $X$ ，因此其同調群（在這個情況下稱為餘調群並記為 $H^{n}$ ）構成從 $X$ 所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。

## 性質

若 $(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$ 是鏈複形，滿足出有限個 $A_{n}$ 外所有項都是零，而非零的都是有限生成可換群（或者有限維向量空間），則可以定義歐拉示性數

　
: $\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})$

（可換群採用階而向量空間的情況採用哈默爾維數）。事實上在同調的層次上也可以計算:

　
: $\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})$

並且，特別是在代數拓撲中，這提供了兩個計算產生鏈複形的物件 $X$ 的重要的不變數 $\chi $ .

每個鏈複形的短正合序列

　
: $0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

導致一個同調群的長正合序列

　
: $\cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,$

所有這個長正合序列中的映射由鏈複形間的映射導出，除了映射 $H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)$ 之外。後者稱為連接同態，有蛇引理給出。

## 參看

* 奇異同調
* 餘調
* 同調論
* 同調代數

## 參考文獻

* Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN0-521-79540-0. （原始內容存檔於 2018-05-15）.  有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
* Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.
* Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.