双重积分

**多重積分**（英語：Multiple integral）是定積分的一類，它將定積分擴展到多元函數（多變數的函數），例如求 $f(x,y)$ 或者 $f(x,y,z)$ 類型的多元函數的積分。

## 簡介

正如單變數的正函數的定積分代表函數圖像和 _x_ 軸之間區域的面積一樣，正的雙變數函數的**雙重積分**代表函數所定義的曲面和包含函數定義域的平面之間所夾的區域的體積。（注意同樣的體積也可以通過三變數常函數 _f_(_x_, _y_, _z_) = 1 在上述曲面和平面之間的區域中的**三重積分**得到。若有更多變數，則多元函數的多重積分給出超體積。

_n_ 元函數 _f_(_x_1, _x_2,…, _x_n) 在定義域 _D_ 上的多重積分通常用嵌套的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最後計算），後面跟著被積函數和正常次序的積分變數（最右邊的變數最後使用）。積分域或者對每個積分變數在每個積分號下標識，或者用一個變數標在最右邊的積分號下：

　
: $\int \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathrm {d} x_{1}\!\ldots \mathrm {d} x_{n}$

因為不可能計算多於一個自變數的函數的不定積分，「不定」多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是「定」積分。

通常在坐標系中，多重積分都利用嵌套的累次積分計算。而累次積分為了簡便可記為：

　
: $\int _{\varphi _{1}}^{\psi _{1}}\,\mathrm {d} x_{1}\,\int _{\varphi _{2}(x_{1})}^{\psi _{2}(x_{1})}\,\mathrm {d} x_{2}\!\dots \int _{\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})}^{\psi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})}\,f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mathrm {d} x_{n}$

其中積分域為：

　
: $D=\left\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})|\varphi _{1}\leq x_{1}\leq \psi _{1},\varphi _{2}(x_{1})\leq x_{2}\leq \psi _{2}(x_{1}),\dots ,\varphi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})\leq x_{n}\leq \psi _{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1})\right\}$

注意的是，該式一般情況下並不表示多個定積分的積，在實際計算中從最右側積分變數開始積分，其結果會作為外一層積分的被積函數。

## 範例

譬如，邊長為 4 × 6 × 5 的長方體的體積可以通過兩種方法得到：

* 通過函數 _f_(_x_, _y_) = 5 在 _xy_ 平面中的區域 _D_，也就是長方體的底上的雙重積分

　
: : $\iint _{\mathrm {D} }5\ \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

* 或者是常函數 1 在長方體上的三重積分

　
: : $\iiint 1\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ (1 可以省略不寫)

## 數學定義

令 _n_ 為大於 1 的自然數。考慮所謂的_半開_ **n 維矩形**（下面簡稱**矩形**）。對於平面， $n=2$ 。

　
: $T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}$ 。

將每個區間 [_a_i, _b_i) 分成有限個不重疊的子區間，每個都是左閉右開。將子區間記為 _I_i。則，所有所有如下形式的子矩形的族

　
: $C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

是 _T_ 的一個劃分，也即，子矩形 _C_ 是互不重疊的，而且它們聯集為 _T_。_C_ 中的子矩形的**直徑**按照定義是 _C_ 中最大的邊長，而 _T_ 的劃分的直徑定義成劃分中的所有子矩形的最大直徑。

令 _f_ : _T_ → **R** 為定義在 _T_ 上的函數。考慮如上定義的 _T_ 的劃分

　
: $T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

其中 _m_ 是正整數。如下形式的和稱為**黎曼和**

　
: $\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

其中，對於每個 _k_，點 _P_k 在 _C_k 中，而 m (_C_k) 是笛卡爾積為 _C_k 的區間的邊長之積。

函數 _f_ 稱為**黎曼可積**，如果如下極限存在

　
: $S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

其中極限取遍所有直徑小於 δ 的 _T_ 的劃分。若 _f_ 黎曼可積，_S_ 稱為 _f_ 在 _T_ 上的**黎曼積分**。記為

　
: $\int _{T}\!f(x)\,dx$ 。

定義在任意有界 _n_ 維集合上的函數的黎曼和可以通過將函數延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為 0。然後，原來的函數的積分就定義為延展的函數在矩形區域中的積分（如果存在的話）。

下文中 _n_ 維黎曼積分簡稱**多重積分**。

### 性質

多重積分具有很多與單變數函數的積分一樣的性質（線性，可加性，單調性，等等）。而且，和單變數情況一樣，可以用多重積分找出函數在給定集合上的積分。具體來講，給定集合 _D_ ⊆ **R**n 和 _D_ 上的可積函數 _f_，_f_ 在定義域上的平均值為

　
: ${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

其中 _m_（_D_）是 _D_ 的測度。

### 特例

_T_ ⊆ **R**2 時，積分

　
: $\ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

是 _f_ 在 _T_ 上的**雙重積分**，而若 _T_ ⊆ **R**3，積分

　
: $\ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

是 _f_ 在 _T_ 上的**三重積分**。

注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了通過重複積分來計算多重積分（參看本條目後文）。

## 積分方法

多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變數積分，而其中每個單變數積分都是直接可解的。

### 直接檢驗

有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。

#### 常數

在常函數的情況中，結果很直接：只要將常函數 _c_ 乘以測度就可以了。如果 _c_ = 1，而且是在 **R**2 的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在 **R**3 中，它就是區域的體積。

* 例如：

　
: : $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ and $f(x,y)=2\,\!$

　
: 在 _D_ 上積分 _f_：

　
: : $\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12$ 。

#### 利用可能的對稱性

如果定義域存在沿著某條軸的對稱性而且函數對於那個變數是奇函數，則積分為 0（因為相反的兩部分加起來為 0）。

對於 **R**n 中的函數，只要相關變數對於形成對稱的軸是奇變數就可以了。

> 例一:
> 
> 　
> : 給定 $f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5$ 以及 $T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 為積分區域（半徑為 1 的圓盤，包含邊界）。
> 
> 　
> : 利用線性性質，積分可以分解為三部分：
> 
> 　
> : $\iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$
> 
> 　
> : 2sin(_x_) 和 3_y_3 都是奇函數，而且顯然 _T_ 對於 _x_ 和 _y_ 軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函數 _5_ 因為其它兩個都貢獻 0.
> 
> 

> 例二：
> 
> 　
> : 考慮函數 _f_(_x_, _y_, _z_) = _x_ exp(_y_2 + _z_2) 以及圓心在原點的半徑為 2 的球
> 
> 　
> : $T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.$
> 
> 　
> : 該球顯然是對於三條軸都對稱，但是只要對於 _x_ 軸積分就可以看出結果是 0，因為 _f_ 對於該變數是奇函數。
> 
> 

### 簡化公式

簡化公式基於簡單積分區域來將多重積分轉化為單變數積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變數暫時視為常數（和偏導數的計算類似）。

#### R2 中的常規區域

此種方法適用於滿足下述條件的任何定義域 _D_:

* _D_ 投影到 _x_ 軸或 _y_ 軸任一軸，形成一個有邊界的範圍，以 _a_, _b_ 代表邊界值。
* 通過 _a_, _b_ 兩點並與 ${\overline {ab}}$ 垂直的直線與 _D_ 相交後的兩個端點，可以用 2 個函數 $\alpha $ , $\beta $ 定義。

##### _x_ 軸

將 _D_ 對 _x_ 軸做垂直投影，函數 $f:D\longrightarrow \mathbb {R} $ 是連續函數，並且 _D_ 可以視為（定義在 [_a_,_b_] 區間上的）α(_x_) 和 β(_x_) 之間的區域。則

　
: $\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy$

##### _y_ 軸

將 _D_ 對 _y_ 軸做垂直投影，函數 $f:D\longrightarrow \mathbb {R} $ 是連續函數，並且 _D_ 可以視為（定義在 [_a_,_b_] 區間上的）α(_y_) 和 β(_y_) 之間的區域。則

　
: $\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx$

##### 範例

考慮區域： $D=\{(x,y)\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}$ （參看附圖）。計算

　
: $\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy$

該區域可以沿 x 或者 y 軸分解。要採用公式，必須先找到限制 _D_ 的兩個函數和定義區間。
這個例子中，這兩個函數為：

　
: $\alpha (x)=x^{2}\,\!$ 和 $\beta (x)=1\,\!$

而區間為 $[a,b]=[0,1]\,\!$ （這裡為了直觀起見採用沿 x 軸分解）。

應用簡化公式，得到：

　
: $\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}$

（首先，第二個積分將 _x_ 作為常數）。然後就是用積分的基本技術：

　
: $\int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}$ 。

如果沿著 y 軸分解，可以計算

　
: $\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx$

並得到同樣的結果。

#### R3 中的分解

這些公式可以推廣到三重積分：

_T_ 是一個可以投影到 _xy_ 平面的體，它夾在 α (_x_,_y_) 和 β(_x_,_y_) 兩個函數之間。那麼：

　
: $\iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz$

（此定義和其它 **R**3 中的分解類似）。

### 變數替換

積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用_變數替換_來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數必須變換到新坐標系下。

　
: 例（1-a）:

　
: 函數為 $f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}$ ;

　
: 若採用替換 $x'=x-1,\ y'=y\,\!$ 則 $x=x'+1,\ y=y'\,\!$

　
: 可以得到新函數 $f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}$ .

* 對於定義域要進行類似處理，因為原來是採用變換前的變數表達的（本例中的 _x_ 和 _y_）。
* 微分 _dx_ 和 _dy_ 要通過包含被替換的變數對於新變數的偏微分的雅可比行列式來變換。（譬如，極坐標的微分變換）。

常用的變數替換有三種（**R**2 中一種，**R**3 中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。

#### 極坐標

在 **R**2 中，若定義域有某種圓形對稱性而函數也有某種特徵，則可以採用極坐標變換（參看圖中的例子），也就是說將點 _P(x,y)_ 從笛卡爾坐標變換到相應的極坐標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。

該變換的基本關係如下：

　
: $f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi )$ 。

> 
> 例（2-a）: 
> 
> 　
> : 函數為 $f(x,y)=x+y\,\!$
> 
> 　
> : 應用該變換得到
> 
> 　
> : : $f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi )$ 。
> 
> 例（2-b）:
> 
> 　
> : 函數為 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$
> 
> 　
> : 這裡有：
> 
> 　
> : : $f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!$
> 
> 　
> : 這裡使用了勾股定理（在簡化操作時很有用）。
> 
> 

定義域的變換是根據 _x_ 和 _y_ 通過環厚和角度的幅度來限定 ρ, φ 的區間。

> 
> 例（2-c）:
> 
> 　
> : 區域為 $D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!$ ，圓周半徑 2；很明顯，這個區域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以 φ 從 0 變化到 2π，而環半徑從 0 變化到 2（內環為 0 的環形就是圓）。
> 
> 例（2-d）:
> 
> 　
> : 區域為 $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}$ ，這是在正 _y_ 半平面中的圓環（參看示意圖）；注意 φ 表示平面角而 ρ 從 2 變化到 3。因此變換出來的區域為矩形：
> 
> 　
> : : $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}$ .
> 
> 該變換的雅可比行列式為：
> 
> 　
> : ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho $
> 
> 這可以通過將 _x_ = ρ cos(φ), _y_ = ρ sin (φ) 代入關於 ρ 的第一行和關於 φ 的第二行的偏微分中得到，所以微分 _dx dy_ 變換為 ρ _d_ρ _d_φ.
> 
> 一旦函數和區域的變換完成後，可以定義極坐標中的變數變換公式：
> 
> 　
> : $\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi $ 。
> 
> 注意 φ 在 [0, 2π] 區間中有效，而 ρ 測量長度，因此只能取非負值。
> 
> 此外，應用變數變換公式的前提是，雅可比行列式的值在變換後的積分變數 (如此例中的 ρ 和 φ) 組成的有界閉區域 (如此例中 φ 和 ρ 構成的二維域) 上恆不為零。但是在極坐標中若且唯若 ρ 為零時，才有雅可比行列式為零，故可證明該變數變換公式成立。
> 
>  
> 
> 例 (2-e):
> 
> 　
> : 函數為 $f(x,y)=x\,\!$ 區域和例 2-d 相同。
> 
> 　
> : 從前面對 _D_ 的分析，我們知道 ρ 的區間為 [2,3]，而 φ 的為 [0,π]. 函數變換為：
> 
> 　
> : : $f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi $ 。
> 
> 　
> : 最後，應用積分公式：
> 
> 　
> : : $\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi $ 。
> 
> 　
> : 一旦區間給定，就可以得到
> 
> 　
> : : $\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0$ 。
> 
> 

#### 柱極坐標

**R**3 中，在有圓形底面的定義域上的積分可以通過變換到柱極坐標系來完成；函數的變換用如下的關係進行：

 $f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)$ 
區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。

> 
> 例（3-a）: 
> 
> 　
> : 區域為 $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}$ （也即底面為例 2-d 中的圓環的高度為 5 的 "管道"）；如果採用變換，可以得到區域 $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$ （這是一個底面為例 2-d 中的矩形而高為 5 的長方體）。
> 
> 因為 _z_ 分量沒有變化，_dx dy dz_ 和在極坐標中一樣變化：變為 _ρ dρ dφ dz_。
> 
> 最後，變換到柱極坐標的最後公式為：
> 
> 　
> : $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz$ 。
> 
> 這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨 _z_ 區間和變換圓形底面和函數的其它情況。
> 
> 例（3-b）:
> 函數為 $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!$ 而積分區域為圓柱: $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}$ .
> 將 _D_ 變換到柱極坐標如下：
> 
> 　
> : $T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$ 。
> 
> 函數變為
> 
> 　
> : $f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z$
> 
> 最有應用積分公式：
> 
> 　
> : $\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;$
> 
> 推演一下公式，得到
> 
> 　
> : $\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .$
> 
> 

#### 球極坐標

**R**3 中，有些區域有球形對稱性，所以將積分區域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極坐標系；函數變換由如下關係產生：

 $f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!$ 
注意 _z_ 軸上的點沒有唯一表示， $\theta $ 可以在 0 到 2π 間變化。

這個方法最為適用的區域顯然是球。

> 
> 例（4-a）: 
> 
> 　
> : 區域為 $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16$ （球心在原點半徑為 4 的球）；應用變換後得到： $T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ 。
> 
> 　
> : 坐標變換的雅可比行列式為：
> 
> 　
> : : ${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \phi $
> 
> 　
> : 因此 _dx dy dz_ 變換為 ρ2 sin(φ) _d_ρ _d_θ _d_φ.
> 
> 　
> : 得到最後公式:
> 
> 　
> : : $\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi $ 。
> 
> 

應當在積分區域為球形對稱**並且**函數很容易通過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例 4-b）；其它情況下，可能使用柱極坐標更為合適（參看例 4-c）。

　
: $\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi $ 。

注意從雅可比行列式來的 $\rho ^{2}$ 和 $\sin \phi $ 因子。

注意下面例子中，φ 和 θ 的作用反過來了。

> 
> 例（4-b）: 
> 
> 　
> : _D_ 和例 4-a 相同，而 $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!$ 是被積函數。
> 
> 　
> : 很容易變換為：
> 
> 　
> : : $f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2},$ ，
> 
> 　
> : 而從 _D_ 到 _T_ 的變換是已知的：
> 
> 　
> : : $(0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi )$ 。
> 
> 　
> : 應用積分公式：
> 
> 　
> : : $\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,$
> 
> 　
> : 並展開：
> 
> 　
> : : $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\theta $
> 
> 　
> : : $=2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}$ 。
> 
> 例（4-c）:
> 
> 　
> : 區域 _D_ 是球心在原點半徑為 _3a_ 的球（ $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!$ ）而 $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!$ 是被積函數。
> 
> 　
> : 看起來採用球極坐標變換較為合適，但是事實上，限定新區域 _T_ 的變數很明顯應該是：
> 
> 　
> : : $0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi $ 。
> 
> 　
> : 但是採用這個變換就有
> 
> 　
> : : $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta $ .
> 
> 　
> : 應用積分公式得到：
> 
> 　
> : : $\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi $
> 
> 　
> : 這很難求解。而如果採用柱極坐標，新的 _T_ 區間為：
> 
> 　
> : : $0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};$
> 
> 　
> : _z_ 區間可以通過將球切成兩個半球並求解從 _D_ 的公式來的不等式得到（然後直接變換 _x2 + y2_ 到 _ρ2_）。新函數就是 _ρ2_. 採用積分公式
> 
> 　
> : : $\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz$ .
> 
> 　
> : 得到
> 
> 　
> : : $\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho $ 。
> 
> 　
> : 然後應用變換
> 
> 　
> : : $9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!$
> 
> 　
> : (新區間變為 $0,3a\longrightarrow 9a^{2},0$ )。得到
> 
> 　
> : : $-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt$
> 
> 　
> : 因為 $\rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!$ ，所以
> 
> 　
> : : $-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,$
> 
> 　
> : 將積分限反過來，然後分配括號中的項，很容易將積分分解為可以直接積分的兩部分：
> 
> 　
> : : $2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}$
> 
> 　
> : : $=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.$
> 
> 　
> : 由於採用柱極坐標，很容易就將這個三重積分變換為簡單的單變數積分。
> 
> 

參看柱極和球極坐標下的∇中討論的不同的體積元。

## 數學應用範例 - 體積計算

利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。

* **圓柱**：半徑為 _R_ 的圓形底面作為定義域，將等於高度 _h_ 的常函數作為積分對象。可以在極坐標中將體積寫作：

　
: : 體積 $=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$

　
: _驗證_：體積 = 底面積 × 高 = $\pi R^{2}\cdot h$

* **球**: 可以作為常函數 _1_ 在球極坐標下的半徑為 _R_ 的球中積分：

　
: : 體積 $=\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$ 。

* **四面體** (三稜錐或者說 3 維單純形)：頂點在原點，三條長度為 _l_ 的邊沿著各個笛卡爾坐標系軸向的四面體的體積可以通過簡化公式計算，因為 _xy_ 平面和 'z' 軸互相垂直，_x_ 和 _y_ 垂直，被積函數是常數 _1_。

　
: : 體積 $=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy$

　
: : $=\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=$

　
: : $={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}$

　
: _驗證_：體積 = 底面積 × 高 / 3 = ${\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}$ 。

## 多重廣義積分

定義域無界或者函數值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者**三重廣義積分**。

## 多重積分和累次積分

富比尼定理斷言若

　
: $\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結果，

　
: $\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy$ 。

一個特例是如果 $|f(x,y)|$ 是有界函數而 _A_ 和 _B_ 為有界集時。

如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆_多重積分_和_累次積分_的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法

　
: $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx$

在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分

　
: $\int _{0}^{1}\cdots \,dx$

是對於如下 _x_ 的函數關於 _x_ 的積分

　
: $g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy$ 。

雙重積分卻是定義在 _xy_ 平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個（或者 "_dy dx_"或者"_dx dy_"），它也就是通過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即，

　
: $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy$ 。

這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。

如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法

　
: $\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$

## 一些實際應用

很普遍地，像單變數一樣，我們通過多重積分可以找到給定集合上的函數的平均值。給定一個集合 _D_ ⊆ **R**n 和一個在 _D_ 上可積的函數 _f_，_f_ 在區域上的平均值是

　
: ${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

其中 _m_(_D_) 是 _D_ 的測度。

此外，這些積分在物理中有大量應用。

力學中，轉動慣量可以作為密度乘以剛體和轉軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算：

　
: $I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV$ 。

與三維歐氏空間 **R**3 中的質量測度 _dm_ 表示的質量分布關聯的引力勢：

　
: $V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).$

如果存在一個連續函數 ρ(**x**) 表示 **x** 處的密度分布，那麼 _dm_(**x**) = ρ(**x**)_d_3**x**
, 其中 _d_3**x** 是歐幾里得體積元，那麼引力勢就是

　
: $V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .$

在電磁學中，麥克斯韋方程組可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分布產生的電場通過向量函數的_三重積分_得到：

　
: ${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'$ 。

## 參看

* 和多重積分相關的實分析定理：
  * 散度定理
  * 斯托克斯定理
  * 格林定理

## 參考

* Robert A. Adams - Calculus: A Complete Course (5th Edition) ISBN 0-201-79131-5.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。多重积分. MathWorld.
* L.D. Kudryavtsev, Multiple integral, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Mathematical Assistant on Web （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 笛卡爾坐標系下和極坐標下的雙重積分的在線計算 （包括求解過程中的中間步驟，由 Maxima (軟體) 支持)