变分法

**變分法**是處理泛函的數學領域，和處理函數的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點 A 到達不直接在它底下的一點 B。在所有從 A 到 B 的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程式。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。

同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。**變分**一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉托問題。

## 歷史

變分法可能是從約翰・伯努利（1696）提出最速曲線（brachistochrone curve）問題開始出現的。它立即引起了雅各布・伯努利和羅必達（Marquis de l'Hôpital）的注意。但歐拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於 1733 年，他的《變分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了這門科學這個名字。歐拉對這個理論的貢獻非常大。

勒壤得（1786）確定了一種方法，但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓和萊布尼茨也是在早期關注這一學科，對於這兩者的區別 Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、卜瓦松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出過貢獻。Sarrus（1842）的由柯西（1844）濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和 Carll（1885）寫了一些其他有價值的論文和研究報告，但可能那個世紀最重要的成果是 Weierstrass 所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的，並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900 年希爾伯特發表的 23 個問題中的第 20 和 23 個問題促進了其更深遠的發展。

在 20 世紀希爾伯特、埃米・諾特、列奧尼達・托內利、昂利・勒貝格和雅克・阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse 將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar 和 Clarke 廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。

## 歐拉 - 拉格朗日方程式

在理想情形下，一函數的極大值及極小值會出現在其導數為 $0$ 的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的歐拉 - 拉格朗日方程式。以下以尋找連接平面上兩點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為

　
: $A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

其中

　
: $f'(x)={\frac {df}{dx}},\,$ $f(x_{1})=y_{1},\,$ $f(x_{2})=y_{2}\,$ 。

函數 $f$ 至少需為一階可微的函數。若 $f_{0}$ 是一個局部最小值，而 $f_{1}$ 是一個在端點 $x_{1}$ 及 $x_{2}$ 取值為零並且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子

　
: $A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]$

其中 $\epsilon $ 為任意接近 $0$ 的數字。

因此 $A[f_{0}+\epsilon f_{1}]$ 對 $\epsilon $ 的導數（**A 的一階導數**）在 $\epsilon =0$ 時必為 $0$ ：

$$
{\frac {d}{d\epsilon }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}dx\right|_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {(f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x))f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)+\epsilon f_{1}'(x)]^{2}}}}\right|_{\epsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\,dx=0
$$

此條件可視為在可微分函數的空間中， $A[f_{0}]$ 在各方向的導數均為 $0$ 。若假設 $f_{0}$ 二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得

　
: $\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0,$

其中 $f_{1}$ 為在兩端點皆為 0 的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例：

　
: $I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x)H(x)dx=0$ ，

其中 $f_{1}$ 為在兩端點皆為 $0$ 的任意可微函數。

若存在 $x={\hat {x}}$ 使 $H(x)>0$ ，則在 ${\hat {x}}$ 周圍有一區間的 H 也是正值。可以選擇 $f_{1}$ 在此區間外為 $0$ ，在此區間內為非負值，因此 $I>0$ ，和前提不合。若存在 $x={\hat {x}}$ 使 $H(x)<0$ ，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：

　
: ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0$ ，

由結論可推得下式：

　
: ${\frac {d^{2}f_{0}}{dx^{2}}}=0$ ，

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下，則需考慮以下的計算式

　
: $A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')dx$ ，

其中 _f_ 需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量 L 在極值 $f_{0}$ 處滿足歐拉 - 拉格朗日方程式

　
: $-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0$ ，

不過在此處，歐拉 - 拉格朗日方程式只是有極值的必要條件，並不是充分條件。

## 費馬原理

費馬原理指出：光會沿著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設 $y=f(x)$ 為光的路徑，則光程可以下式表示：

　
: $A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$ ，

其中折射率 $n(x,y)$ 依材料特性而定。

若選擇 $f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)$ ，則 $A$ 的一階導數（ $A$ 對 $\epsilon $ 的微分）為：

　
: $\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx$ ，

將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉 - 拉格朗日方程式

　
: $-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0$ 。

光線的路徑可由上述的積分式而得。

### 斯乃爾定律

當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮

　
: $n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0$ ，

　
: $n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0$ ，

其中 $n_{-}$ 和 $n_{+}$ 是常數。在 _x_<0 或 _x_>0 的區域，歐拉 - 拉格朗日方程式均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在 _x_=0 的位置，_f_ 必須連續，不過 _f'_ 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉 - 拉格朗日方程式，則其變分量為

　
: $\delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]$ 。

和 $n_{-}$ 相乘的係數是入射角的正弦值，和 $n_{+}$ 相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為 0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為 0 的路徑。

### 費馬原理在三維下的形式

費馬原理可以用向量的形式表示：令 $X=(x_{1},x_{2},x_{3})$ ，而 _t_ 為其參數， $X(t)$ 是曲線 _C_ 參數化的表示，而令 ${\dot {X}}(t)$ 為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

　
: $A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}dt$ 。

上述積分和 t 無關，因此也和 _C_ 的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉 - 拉格朗日方程式有以下的對稱形式

　
: ${\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\nabla n$ ，

其中

　
: $P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}$ 。

依 P 的定義可得下式

　
: $P\cdot P=n(X)^{2}$ 。

因此上述積分可改為下式

　
: $A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt$ 。

依照上式，若可以找到一個函數 ψ，其梯度為 _P_，則以上的積分 _A_ 就可以由在積分端點上 ψ 的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和 ψ 的 level surface 有關。為了要找到滿足此條件的函數 ψ，需要對控制光線傳動的波動方程式式進行進一步的研究。

### 和波動方程式的關係

## 應用

最優控制的理論是變分法的一個推廣。

## 參看

* 等周不等式
* 變分原理
* 費馬原理
* 最小作用量原理
* 無窮維最佳化
* 泛函分析
* 微擾法

## 參考

* Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
* Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
* Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
* Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
* Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
* Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
* Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
* Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

## 外部連結

* 變分法線上影音教學（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）by PengTitus
* Chapter III: Introduction to the calculus of variations by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
* PlanetMath.org: Calculus of variations
* Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Example problems in the calculus of variations