向量代数

**向量空間**是一群可**縮放**和**相加的**數學實體（如實數甚至是函數）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後**仍屬於這個集合**。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究物件。

## 正式定義

給定體 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和某集合 $V$ ，它們具有了以下兩種運算：

* **向量加法** $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 慣例上簡記為 $u\oplus v$ ）
* **純量乘法** $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 慣例上簡記為 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且這兩種二元運算滿足：（**特別注意** $+$ 和 $\times $ 是體 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

這樣稱 「 $V$ 為定義在體 $K$ 上的**向量空間**」，而 $V$ 裡的元素 $u\in V$ 被稱為**向量**；體 $K$ 裡的元素 $a\in K$ 被稱為**純量**。這樣體 $K$ 就是囊括所有純量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為純量體或是純量母空間。在不跟體的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus $ 也可以簡寫成 $+$ 。

前四個條件規定 $\left(V,\,\oplus \right)$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是個體，且 $V$ 是一個 $K-$ 模」。

## 基本性質

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

以上的定理事實上繼承自群的單位元素唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_{V}$ 代表「向量加法 $\oplus $ 的唯一單位元素」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟純量體的加法單位元素 $0_{K}\in K$ 混淆的情況下，零向量 **$0_{V}\in V$** 也可以簡寫成 **$0$** 。

以上的定理事實上繼承自群的反元素唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus $ 下的唯一反元素」，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為 $v\ominus u$ ，並暱稱為**向量減法**。在不跟純量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記為 $v-u$ 。

## 額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

* 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為**賦範向量空間**。
* 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為**內積空間**。
* 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為**拓撲向量空間**。
* 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為**體代數**。

## 例子

對一般體 _F_，_V_ 記為 _F_-**向量空間**。若 _F_ 是實數體ℝ，則 _V_ 稱為**實數向量空間**；若 _F_ 是複數體ℂ，則 _V_ 稱為**複數向量空間**；若 _F_ 是有限體，則 _V_ 稱為**有限體向量空間**。

最簡單的 _F_- 向量空間是 _F_ 自身。只要定義向量加法為體中元素的加法，純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當 _F_ 是實數體ℝ時，可以驗證對任意實數 _a_、_b_ 以及任意實數 **u**、**v**、**w**，都有：

1. **u +** (**v + w**) = (**u + v**) **+ w**，
2. **v + w** = **w + v**，
3. 零元素存在：零元素 **0** 滿足：對任何的向量元素 **v**，**v** + **0** = **v**，
4. 反元素存在：對任何的向量元素 **v**，它的相反數 **w** = **−v** 就滿足 **v** + **w** = **0**。
5. 純量乘法對向量加法滿足分配律：_a_(**v + w**) = _a_ **v** **+** _a_**w**.
6. 向量乘法對純量加法滿足分配律：(_a_ + _b_)**v** = _a_ **v** **+** _b_ **v**.
7. 純量乘法與純量的體乘法相容：_a_(_b_**v**) =(_ab_)**v**。
8. 純量乘法有單位元素：ℝ中的乘法單位元素，也就是實數「1」滿足：對任意實數 **v**，1**v** = **v**。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點 $P$ 都有一個坐標 $P(x,y)$ ，並對應著一個向量 $(x,y)$ 。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組 $(x,y)$ 。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和純量乘法，ℝ² 滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ² 的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn 也是向量空間的例子。其中的向量表示為 $v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ，其中的 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 都是實數。定義向量的加法和純量乘法是：

 $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ，
 $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$
 $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$
可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合 $\mathbb {R} [X]$ 。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法， $\mathbb {R} [X]$ 也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數體射到實數體的連續函數的集合 ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

### 方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是 **0** 的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

　
: $3x+2y-z=0$

　
: $x+5y+2z=0$

如果 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 都是解，那麼可以驗證它們的「和」 $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ 也是一組解，因為：

　
: $3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

　
: $(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程式的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程式，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程式：

　
: $f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出於和上面類似的理由，方程式的兩個解 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的和函數 $f_{1}+f_{2}$ 也滿足方程式。可以驗證，這個方程式的所有解構成一個向量空間。

## 子空間基底

如果一個向量空間 **V** 的一個非空子集合 **W** 對於 **V** 的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意 **W** 中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在 **W** 之中），那麼將 **W** 稱為 **V** 的**線性子空間**（簡稱子空間）。**V** 的子空間中，最平凡的就是空間 **V** 自己，以及只包含 **0** 的子空間 ${0}$ 。

給出一個向量集合 **B**，那麼包含它的最小子空間就稱為它的**生成子空間**，也稱**線性包絡**，記作 span (**B**)。

給出一個向量集合 **B**，若它的生成子空間就是向量空間 **V**，則稱 **B** 為 **V** 的一個**生成集**。如果一個向量空間 **V** 擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱 **V** 是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間 **V** 的線性獨立子集，稱為這個空間的**基**。若 **V**={**0**}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間 **V**，基是 **V**「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基 **B** 之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列： $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$ ，那麼空間中的每一個向量 **v** 便可以通過座標系統來呈現：

　
: $v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots $

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的**維度**。當 **V** 是一個有限維空間時，**任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度**。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,… 中， ℝn 的維度就是 _n_。在一個有限維的向量空間（維度是 **n**）中，**確定一組基 $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$ ，那麼所有的向量都可以用** n **個純量來表示**。比如說，如果某個向量 **v** 表示為：

 $v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$
那麼 v 可以用數組 $v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$ 來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

 $e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$
 $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$
 $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$
可以證明，存在從任意一個 **n** 維的 $\mathbf {F} $ - 向量空間到空間 $\mathbf {F} ^{n}$ 的對射。這種關係稱為同構。

## 線性映射

給定兩個係數體都是 **F** 的向量空間 V 和 W, 定義由 V 到 W 的線性變換（或稱線性映射）為所有從 V 射到 W 並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數 **f**：

 $f:\,V\rightarrow W$
 $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$
所有線性轉換的集合記為 ${\mathcal {L}}(V,W)$ ，這也是一個係數體為 **F** 的向量空間。在確定了 V 和 W 上各自的一組基之後， ${\mathcal {L}}(V,W)$ 中的線性轉換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間 V 和 W 之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）**同構**，表示兩個空間構造相同的意思。如果在 V 和 W 之間存在同構，那麼稱這兩個空間為**同構的**。如果向量空間 V 和 W 之間存在同構 $f:\,V\rightarrow W$ ，那麼其逆映射 $g:\,W\rightarrow V$ 也存在，並且對所有的 $x\in V,\,y\in W$ ，都有：

 $g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$

## 參考文獻

* 《中國大百科全書》
* Howard Anton and Chris Rorres. _Elementary Linear Algebra_, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. _Linear Algebra_, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. _Schaum's Outline of Linear Algebra_, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, _Historia Mathematica_ **22** (1995), no. 3, 262-303.
* Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

## 參考資料

## 外部連結