双极天线

**偶極子天線**（英語：Dipole antenna 或 doublet）是在無線電通信中，使用最早、結構最簡單、應用最廣泛的一類天線。它由一對對稱放置的導體構成，導體相互靠近的兩端分別與饋電線相連。用作發射天線時，電信號從天線中心饋入導體；用作接收天線時，也在天線中心從導體中獲取接收信號。常見的偶極子天線由兩根共軸的直導線構成，這種天線在遠處產生的輻射場是軸對稱的，並且在理論上能夠嚴格求解。偶極子天線是共振天線，理論分析表明，細長偶極子天線內的電流分布具有駐波的形式，駐波的波長正好是天線產生或接收的電磁波的波長。因而製作偶極子天線時，會通過工作波長來確定天線的長度。最常見的偶極子天線是半波天線，它的總長度近似為工作波長的一半。除了直導線構成的半波天線，有時也會使用其他種類的偶極子天線，如直導線構成全波天線、短天線，以及形狀更為複雜的籠形天線、蝙蝠翼天線等。歷史上，海因里希・赫茲在驗證電磁波存在的實驗中使用的天線就是一種偶極子天線。

## 直天線的理論分析

在洛侖茲規範下，任意電流電荷體系在場點 $r$ 產生的矢勢由推遲勢公式給出：

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$

其中 $t_{r}$ 是推遲時刻。

### 積分方程法

對於一般的偶極子天線，天線上變化的電流會產生輻射場，輻射場也會影響天線上的電流分布。求解一般的偶極子天線產生的輻射場是一個複雜的邊值問題。對於導體構成的直天線，設其內部的電場的切向分量為 $E_{z}$ 。這樣在天線內部，矢勢的切向分量 $A_{z}$ 滿足方程：

　
: ${\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$

將推遲勢公式代入，即可得到天線內部的電流密度 $J_{z}$ 滿足的積分方程：

　
: ${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$

如果使用單頻交流電饋電，利用分離變量法，可以將方程轉化為：

　
: ${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}$

該方程被稱為波克靈頓（英語：Pocklington）積分方程。它需要在適當的邊界條件（如天線末端 $J_{z}=0$ ）下求解。

如果天線由良導體構成，則 $E_{z}$ 只在天線中心的空氣隙中（ $z=0$ ）明顯地不為零，而在導體中近似為零，可以用狄拉克 δ 函數 $U\delta (z)$ 代替。此時 $A_{z}$ 滿足一維波動方程，具有駐波形式，滿足：

　
: $\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}$

待定係數 C 由邊界條件給出。此為海倫 (英語：Hallen) 積分方程。利用矩量法可以求得兩個方程的數值解。

### 細空心圓柱形天線

對於截面為圓形，半徑遠小於工作波長的細空心天線，可以近似認為其上的電流成軸對稱分布，可對角度變量進行積分，方程轉化為：

　
: $\int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}$

如果進一步假定天線的半徑遠小於其長度 (兩者之比小於 1/60)，可以近似認為在積分中，只有 z 附近的 $I(z')$ 才對 $A_{z}$ 有貢獻， $I$ 與 $A_{z}$ 具有類似的形式。這樣天線內部的電流強度也近似滿足一維波動方程。電流在天線上的分布近似為駐波形式：

　
: $I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)$

其中 $L$ 是天線全長， $\omega $ 是交流電的頻率。這種情形下，天線在場點 $r$ 處產生的矢勢為：

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'$

如果場點離天線的距離足夠遠，以至於下列三個條件同時滿足時，場點處於輻射區：

　
: $r>>L$

　
: $r>>\lambda $

　
: $r>>L^{2}/\lambda $

此時推遲勢公式可近似為：

　
: $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})$

略去不屬於輻射場的高階項，場點的磁感應強度 $\mathbf {B} $ 滿足：

　
: $\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})$

輻射功率的角分布為：

　
: ${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}$

對上式積分，利用三角積分函數，可以給出輻射總功率以及輻射阻抗的表達式:

　
: $P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}$

若天線的半徑與長度之比 $a/L$ 並不小，使用「電流駐波分布」的近似並不準確：有限的 $a/L$ 會為這一定律引入 $(\ln {a/L})^{-1}$ 量級的相對修正。

### 短天線

長度遠小於工作波長的天線為短天線。

### 半波天線

## 參考文獻