向量運算

**向量**（英語：vector），物理、工程等也稱作**矢量** 、**歐幾里得向量**（Euclidean vector），是數學、物理學和工程科學等多個自然科學中的基本概念。指一個同時具有大小和方向，且滿足平行四邊形法則的幾何對象。理論數學中向量的定義為任何在稱為向量空間的代數結構中的元素。一般地，同時滿足具有大小和方向兩個性質的幾何物件即可認為是向量。向量常常在以符號加箭頭標示以區別於其它量。與向量相對的概念稱**標量**、**純量**、**數量**，即只有大小、絕大多數情況下沒有方向（電流是特例）、不滿足平行四邊形法則的量。

## 不同學科中的向量

### 數學

在線性代數中，向量常常採用更為抽象的向量空間（也稱為線性空間）來定義。向量是向量空間中的基本構成元素。

向量空間是基於物理學或幾何學中的空間概念，抽象出其代數性質所形成的一個概念，是一個滿足一系列法則的代數結構。向量空間相伴的純量未必是實數，可以是複數、有理數等域。歐幾里得空間便是線性空間的一種。向量空間中的元素就可以被稱為向量，而歐幾里得向量則是特指歐幾里得空間中的向量。更一般的向量空間，例如所有次數不大於 3 的複係數多項式的集合；所有 6×6 實對稱矩陣的集合；區間 [0, 1] 上的所有實值連續函數的集合；所有收斂於 0 的複數數列的集合等。

### 物理學與工程學

在物理學和諸多工程學科中，向量更多地被稱作**矢量**；矢量可以描述許多常見的物理量，如運動學中的位移、速度、加速度，力學中的力、力矩，電磁學中的電流密度、磁矩、電磁波等等。

物理學和一般的幾何學中涉及的向量概念嚴格意義上應當被稱為**歐幾里得向量**或**幾何向量**。定義具有物理意義上的大小和方向的向量概念則需要引進了定義了範數和內積的歐幾里得空間。按照定義，歐幾里得向量由大小和方向構成。

#### 固定向量

在一些上下文中，尤其在物理學領域，有些向量會與起點有關（如一個力與其的作用點有關，質點運動速度與該質點的位置有關），因而假設向量有確定的起點和終點，當起點和終點改變後，構成的向量就不再是原來的向量。這樣的向量也被稱為**固定向量**。例子之一是運動學中常見的物理量位置矢量。

#### 自由向量

在另一些時候，由於向量的共性都具有大小和方向，會認為向量的起點和終點並不那麼重要。兩個起點不一樣的向量，只要大小相等，方向相同，就可以稱為是同一個向量。這樣的向量被稱為**自由向量**。在數學中，一般只研究自由向量，並且數學中所指的向量就是指自由向量。也就是只要大小以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量的起始點並無關係。一些文獻中會提到向量空間帶有一個特定的原點，這時可能會默認向量的起點是原點。

## 表示方法

### 形式表示

使用符號的形式實際上只是對向量規定的一個概念化代號。向量在包括數學和物理等諸多領域均被廣泛採用，優點是簡潔明了，缺點是高度形式和抽象，既缺少幾何形象性又缺少定量精確性。

#### 帶箭頭字母

數學上的向量通常可用加向右箭頭的小寫字母表示，如 ${\vec {a}}$ , ${\vec {i}}$ , ${\vec {v}}$ 。有時也有用加箭頭的大寫字母表示數學量，如微積分中的面積元 $d{\vec {S}}$ 。給定兩點 $A$ 、 $B$ 時，也可確定一固定向量：如確定一個始於點從 $A$ 終於點 $B$ 的向量，符號表示為： ${\vec {AB}}$

本方法被廣泛用於手寫。

在表示物理學上的矢量也可用加箭頭的小寫字母表示，如速度 ${\vec {v}}$ ，摩擦力 ${\vec {f}}$ ，動量 ${\vec {p}}$ 。

物理學還有許多物理量用加箭頭的大寫字母表示，如電場強度 ${\vec {E}}$ ，磁場強度 ${\vec {H}}$ , 力 ${\vec {F}}$ 。

#### 粗體字母

向量也可用粗體小寫字母表示，如 $\mathbf {v} $ ，許多書本會採用此種記法，但缺點是區分粗體字有時不容易，例如 $\!\mathrm {D} $ 和 $\!\mathbf {D} $ 肉眼看易混淆。

### 幾何表示

直觀上，向量通常被標示為一個帶箭頭的有向線段。線段的**長度**表示向量的**大小**（或稱**模長**），向量的**方向**即箭頭所指的方向，可以記為 ${\vec {a}}$ 。該種表示的優點是具有強烈的幾何直觀形象性，缺點是在紙面上作圖繁瑣，不便定量分析。

而遇到某些特殊情況（如表示磁場的磁感應強度）需要表示與記載紙面垂直的向量，則會使用圓圈中打叉或打點的方式來表示（如右圖）。圓圈中帶點的記號（⊙）表示由紙下方指向紙上方的向量，而圓圈中帶叉的記號（⊗）則表示由紙的上方指向紙下方的向量。由於這種記號不表示向量的大小，所以必須時需要在旁邊或其它地方另外註明。

### 代數表示

代數表示指在指定了一個坐標系之後，用一個向量在該坐標系下的坐標來表示該向量，兼具了符號的抽象性和幾何形象性，因而具有最高的實用性，被廣泛採用於需要定量分析的情形。
對於自由向量，將向量的起點平移到坐標原點後，向量就可以用一個坐標系下的一個點來表示，該點的坐標值即向量的終點坐標。

設有一向量 ${\vec {a}}$ ，有坐標系 $S$ 。在 $S$ 中定義好若干個特殊的基本向量（稱為**基向量**，各個基向量共同組成該坐標系下的**基底**） ${\vec {e_{1}}}$ ， ${\vec {e_{2}}}$ ，...， ${\vec {e_{n}}}$ 之後，則向量在各個基方向的投影值即為對應的坐標值，各個投影值組成的**有序數組**，稱為該向量在坐標系 $S$ 的**坐標**，是向量的唯一表示，即與向量的終點一一對應。換言之，其它的向量只需通過將這些基本向量拉伸後再按照平行四邊形法則進行向量加法即可表示（通常被稱為「用基底線性表出一個向量」，即該向量是基向量的某種線性組合），即：

　
: ${\vec {a}}=a_{1}{\vec {e_{1}}}+...+a_{n}{\vec {e_{n}}},$

其中 $a_{1}$ , ..., $a_{n}$ 分別為 ${\vec {a}}$ 在 ${\vec {e_{1}}}$ ， ${\vec {e_{n}}}$ 方向的投影。當基底已知，可直接省略各基向量的符號，類似於坐標系上的點，直接用**坐標**表示為：

　
: ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

在矩陣運算中，更常將向量寫成類似於矩陣的列向量或行向量。在線性代數中所指的向量，通常默認為**列向量**。如一個向量 ${\vec {a}}=(a,b,c)$ ，可寫成：

　
: ${\begin{array}{lcl}{\vec {a}}&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix}},\\{\vec {a}}&=&[a\ b\ c].\end{array}}$

其中，上者為列向量寫法，下者為行向量寫法；此處採中國大陸定義。

值得注意的是：

 * $n$ 維列向量可視作 $\mathbf {n} \times 1$ 矩陣， $n$ 維行向量可視作 $1\times \mathbf {n} $ 矩陣。
* 在中國大陸，橫向的元素組稱為「行」，縱向的稱為「列」，而在臺灣則相反，橫向稱為「列」，縱向稱為「行」。詳見矩陣。

對於由兩個點確定的向量，同樣可以用坐標進行表示，詳見向量運算。

在常見的三維空間直角坐標系 Oxyz 里，基本向量就是以橫軸（Ox）、豎軸（Oy）以及縱軸（Oz）為方向的三個長度為 1 的單位向量 ${\vec {i}}$ 、 ${\vec {j}}$ 、 ${\vec {k}}$ 。這三個向量取好以後，其它的向量就可以透過三元數組來表示，因為他們可以表示成一定倍數的三個基本向量的總和。比如說一個標示為（_2_,_1_,_3_）的向量就是 2 個向量 ${\vec {i}}$ 加上 1 個向量 ${\vec {j}}$ 加上 3 個向量 ${\vec {k}}$ 得到的向量，即：

　
: $(a,b,c)=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}$

## 特殊向量

類似於數字中的 1（單位元素）、相反數（加法反元素）、0（加法單位元素），向量中有單位向量（單位元素）、反向量（加法反元素）、零向量（加法單位元素）、等概念量。此外，還有方向向量、相等向量等概念。

### 單位向量

對於任意向量 ${\vec {a}}$ ，不論方向如何，若其大小為單位長度，則稱其為 ${\vec {a}}$ 方向上的**單位向量**（Unit vector）。單位向量通常被記為 ${\vec {u}}$ 。

特殊地，三維笛卡兒坐標系上的三個基向量 ${\vec {i}}=(1,0,0)$ ， ${\vec {j}}=(0,1,0)$ ， ${\vec {k}}=(0,0,1)$ 都是單位向量。

### 反向量

一個向量 ${\vec {v}}$ 的**反向量**（Opposite vector）與它大小相等，但方向相反，一般記作 $-{\vec {v}}$ 。如果向量 ${\vec {a}}$ 是向量 ${\vec {b}}$ 的反向量，那麼 ${\vec {b}}$ 也是 ${\vec {a}}$ 的反向量。

另外，向量 ${\vec {a}}$ 的反向量也可按如下定義：

### 零向量

始點與終點重合，即大小為 0 的向量，被稱為**零向量**（Zero vector），記以數字 0 上加箭頭，即 ${\vec {0}}$ 。有時亦可以用粗體的 0 表示，如 $\mathbf {0} $ 。在坐標表示下，不論含有多少分量，不論指向任何方向，若所有的分量均為 0 的向量即為零向量。關於零向量有兩點值得一提：

1. 零向量依舊具有**方向性**，但方向不定。。因此，零向量與任一向量平行。
2. 零向量不等於數量 0，它們是兩種性質完全不同的物件，即 ${\vec {0}}\neq 0$ 。

零向量可以如下進行形式化定義：

### 等向量

不論起點終點，兩向量長度、方向相等，即為**等向量**或**相等向量**（Identical vector）。

對於任意向量 ${\vec {a}}$ ，若其一個相等向量為 ${\vec {b}}$ ，則對 ${\vec {b}}$ 和數字 - 1 進行數乘運算後得到的向量 $-{\vec {b}}$ 即 ${\vec {a}}$ 的反向量。

另外，類似於反向量的定義，向量 ${\vec {a}}$ 等向量也可按如下定義：

### 方向向量

**方向向量**（Directional vector）的形式化定義如下：

一般地，所有方向相同的向量之間互為方向向量。

## 向量的性質

### 有向線段

有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了**始點**與**終點**。在文字描述時，如果已知某**有向線段**的**起點**和**終點**分別是 **A** 和 **B**，此線段的長度可以記為 $|{\overrightarrow {AB}}|$ ，即 $|{\overrightarrow {AB}}|={\overline {AB}}$ 。

### 大小

向量的**大小**（Magnitude）也稱**模長**、**長度**。幾何上，當確定了單位長度後作圖所得的向量的長度，即為向量的大小，記作 $\left|{\vec {v}}\right|$ 。在有限維賦範線性空間中，向量的模長也稱為範數（Norm），記作 $\left\|{\vec {v}}\right\|$ 。已知向量的坐標，就可以知道它的模長。

設向量 ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ ，其範數的計算表達式由弗比尼斯範數（一種同時適用於向量和矩陣的範數計算方法）給出： $\left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$ 。

特殊地，對於 _n_ 維歐幾里得空間 **R**n 上的向量 ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ ，其模長或範數為： $\left|{\vec {v}}\right|=\left\|{\vec {v}}\right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$ 。

更特殊地，對於三維笛卡兒坐標系下的向量 ${\vec {a}}=(x,y,z)$ ，其模長為： $\left\|{\vec {a}}\right\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ 。

### 夾角

**向量的夾角**（Included angle）是對於兩個向量而言的概念。對於任意兩個給定的向量 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ ，二者的夾角即將二者圖示化後兩箭頭所夾之角 $\theta $ 。由於夾角具有互補性，因此在不同的出發規定、不同的旋轉方向下，所得夾角亦不同。

向量的夾角可由數量積的定義導出計算公式，即：

　
: $\cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|}}$

### 線性相依性

#### 線性相依

對於 $m$ 個向量 ${\vec {v}}_{1}$ ， ${\vec {v}}_{2}$ ，…， ${\vec {v}}_{m}$ ，如果存在一組不全為零的 $m$ 個數 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、…、 $a_{m}$ ，使得 $\sum _{i=1}^{m}{a_{i}{\vec {v}}_{i}}={\vec {0}}$ ，那麼，稱 $m$ 個向量 ${\vec {v}}_{1}$ ， ${\vec {v}}_{2}$ ，…， ${\vec {v}}_{m}$ **線性相依**或**線性相關**（Linearly dependent）。

#### 線性獨立

如果這樣不全為零的 $m$ 個數不存在，即上述向量等式唯若 $a_{1}$ = $a_{2}$ = … = $a_{m}$ = 0 時才能成立，就稱向量 ${\vec {v}}_{1}$ ， ${\vec {v}}_{2}$ ，…， ${\vec {v}}_{m}$ **線性獨立**或**線性無關**（Linearly independent）。

## 向量運算

向量的大小是相對的，在有需要時，會規定單位向量，以其長度作為 1。每個方向上都有一個單位向量。

向量之間可以如數字一樣進行運算。常見的向量運算有：加法、減法、數與向量之間的乘法（數量積）以及向量與向量之間的乘法（向量積），但向量的除法沒有定義。

### 加法與減法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。具體地，兩個向量 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 相加，得到的是另一個向量。這個向量可以表示為 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 的起點重合後，以它們為鄰邊構成的平行四邊形的一條對角線（以共同的起點為起點的那一條，見下圖左），或者表示為將 ${\vec {a}}$ 的終點和 ${\vec {b}}$ 的起點重合後，從 ${\vec {a}}$ 的起點指向 ${\vec {b}}$ 的終點的向量：

兩個向量 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 的相減，則可以看成是向量 ${\vec {a}}$ 加上一個與 ${\vec {b}}$ 大小相等，方向相反的向量。又或者， ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 的相減得到的向量可以表示為 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 的起點重合後，從 ${\vec {b}}$ 的終點指向 ${\vec {a}}$ 的終點的向量：

當這兩個向量數值、方向都不同，基本向量 ${\vec {e}}_{1}=(1,0,0),{\vec {e}}_{2}=(0,1,0),{\vec {e}}_{3}=(0,0,1)$ 時，向量和計算為

　
: ${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}+(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}+(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}$

並且有如下的不等關係：

　
: $\left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|$

此外，向量的加法也滿足交換律和結合律。

### 向量與積

向量空間分為有限維向量空間與無限維向量空間。在有限維向量空間中，可以找到一組（有限個）向量 ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\cdots ,{\vec {e}}_{n}$ ，使得任意一個向量 ${\vec {v}}$ 都可以唯一地表示成這組向量的線性組合：

　
: ${\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}$

其中的純量 $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$ 是隨著向量 ${\vec {v}}$ 而確定的。這樣的一組向量稱為向量空間的基。給定了向量空間以及一組基後，每個向量就可以用一個數組來表示了。兩個向量 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 相同，若且唯若表示它們的數組一樣。

　
: ${\begin{array}{lcl}v_{1}&=&w_{1}\\v_{2}&=&w_{2}\\\vdots \ &&\vdots \\v_{n}&=&w_{n}\end{array}}$

兩個向量 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 的和：

　
: ${\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {e}}_{1}+(v_{2}+w_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(v_{n}+w_{n}){\vec {e}}_{n}$

它們的數量積為：

　
: ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=v_{1}\cdot w_{1}+v_{2}\cdot w_{2}+\cdots +v_{n}\cdot w_{n}$

而純量 _k_ 與向量 **v** 的乘積則為：

　
: $k\cdot {\vec {v}}=(k\cdot v_{1}){\vec {e}}_{1}+(k\cdot v_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(k\cdot v_{n}){\vec {e}}_{n}$

### 純量乘法

一個純量 _k_ 和一個向量 ${\vec {v}}$ 之間可以做乘法，得出的結果是另一個與 ${\vec {v}}$ 方向相同或相反，大小為 ${\vec {v}}$ 的大小之｜_k_｜倍的向量，可以記成 $k{\vec {v}}$ 。該種運算被稱為**純量乘法**或**數乘**。-1 乘以任意向量會得到它的反向量，0 乘以任何向量都會得到零向量 ${\vec {0}}$ 。

### 內積

數量積也叫點積，它是向量與向量的乘積，其結果為一個純量（非向量）。幾何上，內積可以定義如下：

設 ${\vec {a}}$ 、 ${\vec {b}}$ 為兩個任意向量，它們的夾角為 $\theta $ ，則他們的內積為：

　
: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }$

即 ${\vec {b}}$ 向量在 ${\vec {a}}$ 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 ${\vec {a}}$ 向量長度的乘積。
內積被廣泛應用於物理中，如作功就是用力的向量乘位移的向量，即 $W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$ 。

### 向量積

向量積也叫叉積，外積，它也是向量與向量的乘積，不過需要注意的是，它的結果是個向量。它的幾何意義是所得的向量與被乘向量所在平面垂直，方向由右手定則規定，大小是兩個被乘向量張成的平行四邊形的面積。所以向量積不滿足交換律。舉例來說 $(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)$ 但是 $(0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)$ 。

設有向量 ${\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}$ 、 ${\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}$ ，

則其向量積的矩陣表達式可用下列符號表示：

　
: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

### 混合積

三個向量 ${\vec {a}}$ 、 ${\vec {b}}$ 和 ${\vec {c}}$ 的混合積定義為，物理意義為三向量始於同點時所構成的體積：

　
: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

### 線性組合

## 關於向量運算的定理

### 向量與定比分點、中點公式

在實際應用中，向量運算時常會運用到定比分點定理。

設平面直角坐標系 $Oxy$ 原點 $O(0,0)$ ，內有點 $A(x_{1},y_{1})$ ，點 $B(x_{2},y_{2})$ ，點 $P(x_{0},y_{0})$ ，點 $P$ 在點 $A$ 、 $B$ 之間，且

 $\left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n$ ，則： 

$$
{\overrightarrow {OP}}\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}\right)
$$

特殊地，當 $n=1$ ， 

$$
{\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)
$$

相應的有中點 $P$ 坐標： $\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$ 

實際上，上述結論可以推廣到空間向量中。 
設空間直角坐標系 $Oxyz$ 內原點為 $O(0,0,0)$ ，有點 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ ， $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ ， $A$ 、 $B$ 點間有一點 $P$ ，且

 $\left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n$ ， 

則： ${\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}},{\frac {z_{1}+nz_{2}}{1+n}}\right)$ 

中點 $P$ 坐標： 

$$
\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)
$$

#### 附：平面幾何中定比分點定理的證明

設平面直角坐標系 $Oxy$ 內原點 $O(0,0)$ ，有點 $A(x_{1},y_{1})$ ，點 $B(x_{2},y_{2})$ ，點 $P(x_{0},y_{0})$ ，點 $P$ 在點 $A$ 、 $B$ 之間，且 $\left|AP\right|:\left|PB\right|=n$ ，則： 

 ${\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{0}}}=n\Rightarrow x_{0}={\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}}$ ， 
 ${\frac {y_{0}-y_{1}}{y_{2}-y_{0}}}=n\Rightarrow y_{0}={\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}$ 

## 注釋

## 參見

* 向量空間
* 向量分析
* 向量場
* 標量
* 張量

## 參考文獻