zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
向量分析

**向量分析**，或稱為**向量微積分**（英語：Vector calculus）是數學的一個分支，主要研究在 3 維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。

向量分析在微分幾何與偏微分方程式的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是在描述電磁場、引力場和流體流動的時候。

向量分析從四元數分析發展而來，由約西亞・吉布斯和奧利弗・黑維塞於 19 世紀末提出，大多數符號和術語由吉布斯和愛德華・比德韋爾・威爾遜在他們 1901 年的書《向量分析》中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法，它利用可以推廣的外積，下文將會討論。

## 向量運算

### 代數運算

向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為**向量代數**，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，包括：

**純量乘法**
: 純量場和向量場相乘，產生向量場： $a\mathbf {v} $  ;

**向量加法**
: 兩個向量場相加，產生向量場： $\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$  ;

**內積**
: 兩個向量場相乘，產生純量場： $\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$  ;

**外積**
: 兩個向量場相乘，產生向量場： $\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$  ;

還有兩個三重積：

**純量三重積**
: 向量和兩個向量叉積的點積： $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$  ;

**向量三重積**
: 向量和兩個向量叉積的叉積： $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ 或 $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$  ;

儘管三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

### 微分運算

向量分析研究定義在純量場或向量場定義的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）來表示，也被稱為「Nabla 算子」。向量分析的五個最重要的微分運算：

## 定理

同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

## 參見

## 延伸閱讀

* A History of Vector Analysis（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
向量噴嘴

**向量噴嘴**為一種飛行器使用的推進技術，利用向量噴嘴達到使用推向力量的目的。早期大都用於垂直起降戰機上，至 1980 年代末期後，開始在普通戰機上廣泛應用，這項零件也應用在火箭上。

## 簡釋

飛行物體的推力是一種有強弱與方向的動量，而此種含強度與方向的動量即稱為向量（TV，Thrust Vector）。舊型飛行器（飛機、導彈）的推力因受限於傳統推進器噴嘴的限制，使噴射氣流只能與飛行器中軸呈平行，並靠反作用力使飛行器往正前方移動而無法變換方向。現代航空科技積極發展的向量推力技術即是利用控制推進器噴嘴偏轉，而達到改變噴射氣流方向並進而使向量改變，此種可調整向量的技術就稱為**向量推力控制**（TVC，Thrust Vector Control），此種推進方式通稱為**向量噴嘴**，目前設計中或已問世的第五代戰機多均已採此種新技術。

與未裝設向量噴嘴與裝設的飛行器比較之下，舊型飛行器因推力與中軸線平行，因此推力僅能提供向前的加速力，若強行進行高攻角動作則會使總推力無法平衡，造成失速。反觀採用向量噴嘴的飛行器能夠透過噴嘴的偏轉而使部分推力方向改變，進而控制飛行器的姿勢，使飛行器的面對角度可與前進方向不同。

透過持續控制並微調向量噴嘴，使推力不通過飛行器的重心，飛行器可進行低速率、高攻角這類在傳統推力方式下必定失速墜毀的高難度動作。向量噴嘴能夠持續提供足夠的平衡推力，只要機翼還有足夠的升力，飛行器便可維持可受控制的失速飛行；同時，向量噴嘴亦可在起降時提供額外的向下推力，使飛行器達到短場起降（STOL）甚至是垂直起降（VTOL）能力。

## 瓶頸

向量噴嘴技術的最大的考驗在於噴嘴偏轉部分的高溫問題，因推進器產生的超高溫氣體往正後方，直接接觸的就是阻擋氣體的噴嘴偏轉部分，持續的高溫及高壓會對材質造成損傷，並失去向量噴嘴的效果。目前的解決方式是採用耐高溫材質，並在噴嘴內部設計散熱孔及在噴嘴略前方設置進氣孔導入冷卻氣流。

## 應用

向量噴嘴提供了飛行器高攻角與可控制的失速後動作，使飛行器有極大的空戰優勢，例如航空界著名的眼鏡蛇動作等超高難度動作皆可運用適當的控制向量噴嘴而較易達成。以往飛行器要進行大角度轉向甚至是閃避動作時，得需要以高速轉彎，而這會造成過大的 G 力，運用向量噴嘴即可在較短時間與較低速度完成，所造成的 G 力亦較低。

向量噴嘴能提高空氣力學效應，相對的可使主翼及尾翼小型化，機體總重量因此能降低。翼面縮小即代表雷達反射面積縮小，使得匿蹤性提高，總和增加作戰力。而採用向量噴嘴的導彈也因不需考慮軌道轉角問題，故可採用垂直發射，減少發射器所占空間並增加隱匿性。

目前分為二維向量噴嘴及三維向量噴嘴，前者只能向上下偏折，後者則可以向上下左右的各方向偏折。新一代戰機為了提高機動能力而開始引入此技術，例如美國空軍的 F-22 與 F-35（F-35 的向量噴嘴只可於垂直起降模式中啟動，而且只有 F-35B 配備），俄羅斯空軍的 Su-30（MKI/MKA/MKM/SM）、Su-35S、Su-37、Su-57 和 MiG-29OVT。

不過仍有部分戰機設計師傾向以先天的氣動構型來增強飛機的機動性，而非用向量噴嘴這種後天強化方式來做補救。

## 參考

1. 《全球防衛雜誌 - 軍事家 (283 期)》[M]。台北：全球防衛雜誌社，2008 年。
2. David C. Aronstein、Michael J. Hirschberg、Albert C. Piccirillo《Advanced Tactical Fighter to F-22 Raptor : Origins of the 21st Century Air Dominance Fighter》[M]。American Institute of Aeronautics & Ast，1998 年，ISBN 1563472821。
3. 《SU-27 側衛家族戰鬥機》[M]。台北：全球防衛雜誌社，1992 年，ISBN 9579849803。
4. 2003 台俄技術合作交流計畫出國報告
5. 國立虎尾技術學院鼓勵性研究計畫成果報告

## 相關

* 推力向量
* 推力矢量

## 參考文獻
向量圖

**向量圖形**是電腦圖學中用點、直線或者多邊形等基於數學方程的幾何圖元表示的圖像。向量圖形與使用像素表示圖像的點陣圖不同。

## 綜述

所有的現代電腦顯示器都要將向量圖形轉換成點陣圖像的格式，包含螢幕上每個像素數值的點陣圖像儲存在記憶體中。

從電腦發展的最初 1950 年代一直到 1980 年代，曾經使用過一種不同類型的向量圖形系統顯示器。在這些系統中 CRT 顯示器的電子束直接逐段生成所需圖形，螢幕其它部分保持為黑的狀態。為了達到沒有閃爍或者接近沒有閃爍的效果，這個過程每秒要重複很多次。這種顯示系統可以生成解析度非常高的藝術線條，並且不需要柵格系統生成同樣解析度所需要的對於當時來說非常巨大的記憶體空間。這種基於向量的顯示器稱為 **X-Y 顯示器**。

向量圖形顯示器的最初應用之一是 US SAGE 防空系統。向量圖形系統只有在 1999 年美國的空管中出現過故障，現在依然在軍隊以及一些特殊系統中使用。另外，1963 年，電腦圖學先驅 Ivan Sutherland 在 MIT Lincoln Laboratory 的 TX-2 上使用向量系統執行他的 Sketchpad 程式。

後來的向量圖形系統包括 Digital 的 GT40 [1]。有一個名為 Vectrex 的家庭遊戲系統使用了向量圖形，另外還有「Asteroids」以及「Space wars」這樣的遊樂中心遊戲也使用了向量圖形。另外值得一提的是 Tektronix 4014，儘管它的顯示是靜態的。

如今向量圖形這個術語主要用於二維電腦圖學領域。它是藝術家能夠在柵格顯示器上生成圖像的幾種方式之一。另外幾種方式包括文字、多媒體以及三維彩現。實質上而言，所有當今的三維彩現都是二維向量圖形技術的擴充。工程製圖領域的繪圖儀仍然直接在圖紙上繪製向量圖形。

## 目的

例如，程式繪製一個半徑為 _r_ 的圓所需的主要資訊是:

1. 半徑 _r_
2. 圓心坐標
3. 輪廓樣式與顏色
4. 填充樣式與顏色

這種繪製圖比點陣圖的優越之處有：

* 儲存最少的資訊，檔案大小比點陣圖要小，並且檔案大小與物體的大小無關
* 在圖像處理軟體中，任意放大向量圖形，不會遺失細節或影響解析度，因為向量圖形是與解析度無關的。無限地放大這個圓，它仍然保持平滑；而點陣圖用多邊形表示的曲線將會顯現出不是真正的曲線
* 在放大的時候，直線與曲線都不會成比例地變粗，它只會保持不變或者要小於縮放比例；為了看起來比較平滑，使用簡單幾何形狀表示的不規則曲線將會成比例地變粗，並且看起來不再像這些幾何形狀
* 儲存的物體參數可以在後面修改。這也就是說物體的運動、縮放、旋轉、填充等都不會降低繪製的精度。另外，可以用與裝置無關的單位表示，這樣更好地柵格裝置上進行柵格化。
* 從三維的視角來看，由於陰影可以抽象為形成它們的光線，所以向量圖形的陰影彩現更加真實。這樣就可以得到真實感的圖像及彩現效果。
* 當調整向量圖形的大小、將向量圖形列印到 PostScript 印表機、在 PDF 檔案中儲存向量圖形或將向量圖形匯入到基於向量的圖形應用程式中時，向量圖形都將保持清晰的邊緣。因此，對於將在各種輸出媒體中按照不同大小使用的圖稿（如徽標），向量圖形是最佳選擇。

## 典型的圖元物件

* 直線與多義線
* 多邊形
* 圓與橢圓
* 貝塞爾曲線
* 貝塞爾樣條
* 文字（如「TrueType」這樣的電腦字型，每個字元都是貝塞爾曲線繪製的）

這只是其中的一部分，另外還有各種各樣用於不同應用程式的曲線，如「Catmull-Rom 樣條」、非均勻有理 B 樣條等。

通常點陣圖圖像也是一個元物件，從概念上來看它同矩形的表現類似。

## 向量運算

向量圖形編輯器通常可以旋轉、平移、鏡像、拉伸、扭曲向量圖形，通常可以進行仿射變換，改變深度位置並且將圖元與複雜物體合併。
更加複雜的變換包括封閉形狀的集合運算（併集、補集、交集等）。

向量圖形非常適合於與裝置無關的簡單或者合成的製圖或者不需要實現真實感的場合。例如，「PostScript」以及 PDF 的頁面描述語言就使用了向量圖形模型。

## 列印

向量藝術線條是列印領域中的一項關鍵技術。因為藝術線條是從一系列數學點得到的，所以無論如何縮放藝術線條列印結果品質都非常高。例如，將同一個向量標識圖列印到名片上或者放大到廣告牌上，都可以得到同樣的圖像品質。與此不同的是，如果點陣圖從名片大小放大到廣告版的尺寸，那麼圖像細節將會變得非常模糊。

## 三維造型

在 3D 電腦圖形學中，向量表面表示非常常見，而點陣圖可以用作表面紋理、高度場資料以及凸凹紋理對映等特殊目的。在低階系統中，在應用程式中用簡單的多邊形網格表示幾何細節，在這些場合互動影格率或者簡單性都是非常重要的。在高端系統中，如果希望通過犧牲彩現時間的方法換取更好的圖像品質及精度，那麼就可以使用貝塞爾曲面、NURBS 或者細分曲面等平滑表示方法。但是，我們也可以用「Phong shading」這樣的演算法從多邊形網格實現一個平滑曲面。

## 參考文獻

## 外部連結

* Wikimedia Commons 上的向量圖形教程

## 參見

* 電腦輔助設計
* 電子地圖
* 圖形檔案格式
* 向量圖形編輯器列表
* SVG
* Shapefile
* 體素
* 向量、網格資料 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* WMF
* 向量字型
向量圖形

**向量圖形**是電腦圖學中用點、直線或者多邊形等基於數學方程的幾何圖元表示的圖像。向量圖形與使用像素表示圖像的點陣圖不同。

## 綜述

所有的現代電腦顯示器都要將向量圖形轉換成點陣圖像的格式，包含螢幕上每個像素數值的點陣圖像儲存在記憶體中。

從電腦發展的最初 1950 年代一直到 1980 年代，曾經使用過一種不同類型的向量圖形系統顯示器。在這些系統中 CRT 顯示器的電子束直接逐段生成所需圖形，螢幕其它部分保持為黑的狀態。為了達到沒有閃爍或者接近沒有閃爍的效果，這個過程每秒要重複很多次。這種顯示系統可以生成解析度非常高的藝術線條，並且不需要柵格系統生成同樣解析度所需要的對於當時來說非常巨大的記憶體空間。這種基於向量的顯示器稱為 **X-Y 顯示器**。

向量圖形顯示器的最初應用之一是 US SAGE 防空系統。向量圖形系統只有在 1999 年美國的空管中出現過故障，現在依然在軍隊以及一些特殊系統中使用。另外，1963 年，電腦圖學先驅 Ivan Sutherland 在 MIT Lincoln Laboratory 的 TX-2 上使用向量系統執行他的 Sketchpad 程式。

後來的向量圖形系統包括 Digital 的 GT40 [1]。有一個名為 Vectrex 的家庭遊戲系統使用了向量圖形，另外還有「Asteroids」以及「Space wars」這樣的遊樂中心遊戲也使用了向量圖形。另外值得一提的是 Tektronix 4014，儘管它的顯示是靜態的。

如今向量圖形這個術語主要用於二維電腦圖學領域。它是藝術家能夠在柵格顯示器上生成圖像的幾種方式之一。另外幾種方式包括文字、多媒體以及三維彩現。實質上而言，所有當今的三維彩現都是二維向量圖形技術的擴充。工程製圖領域的繪圖儀仍然直接在圖紙上繪製向量圖形。

## 目的

例如，程式繪製一個半徑為 _r_ 的圓所需的主要資訊是:

1. 半徑 _r_
2. 圓心坐標
3. 輪廓樣式與顏色
4. 填充樣式與顏色

這種繪製圖比點陣圖的優越之處有：

* 儲存最少的資訊，檔案大小比點陣圖要小，並且檔案大小與物體的大小無關
* 在圖像處理軟體中，任意放大向量圖形，不會遺失細節或影響解析度，因為向量圖形是與解析度無關的。無限地放大這個圓，它仍然保持平滑；而點陣圖用多邊形表示的曲線將會顯現出不是真正的曲線
* 在放大的時候，直線與曲線都不會成比例地變粗，它只會保持不變或者要小於縮放比例；為了看起來比較平滑，使用簡單幾何形狀表示的不規則曲線將會成比例地變粗，並且看起來不再像這些幾何形狀
* 儲存的物體參數可以在後面修改。這也就是說物體的運動、縮放、旋轉、填充等都不會降低繪製的精度。另外，可以用與裝置無關的單位表示，這樣更好地柵格裝置上進行柵格化。
* 從三維的視角來看，由於陰影可以抽象為形成它們的光線，所以向量圖形的陰影彩現更加真實。這樣就可以得到真實感的圖像及彩現效果。
* 當調整向量圖形的大小、將向量圖形列印到 PostScript 印表機、在 PDF 檔案中儲存向量圖形或將向量圖形匯入到基於向量的圖形應用程式中時，向量圖形都將保持清晰的邊緣。因此，對於將在各種輸出媒體中按照不同大小使用的圖稿（如徽標），向量圖形是最佳選擇。

## 典型的圖元物件

* 直線與多義線
* 多邊形
* 圓與橢圓
* 貝塞爾曲線
* 貝塞爾樣條
* 文字（如「TrueType」這樣的電腦字型，每個字元都是貝塞爾曲線繪製的）

這只是其中的一部分，另外還有各種各樣用於不同應用程式的曲線，如「Catmull-Rom 樣條」、非均勻有理 B 樣條等。

通常點陣圖圖像也是一個元物件，從概念上來看它同矩形的表現類似。

## 向量運算

向量圖形編輯器通常可以旋轉、平移、鏡像、拉伸、扭曲向量圖形，通常可以進行仿射變換，改變深度位置並且將圖元與複雜物體合併。
更加複雜的變換包括封閉形狀的集合運算（併集、補集、交集等）。

向量圖形非常適合於與裝置無關的簡單或者合成的製圖或者不需要實現真實感的場合。例如，「PostScript」以及 PDF 的頁面描述語言就使用了向量圖形模型。

## 列印

向量藝術線條是列印領域中的一項關鍵技術。因為藝術線條是從一系列數學點得到的，所以無論如何縮放藝術線條列印結果品質都非常高。例如，將同一個向量標識圖列印到名片上或者放大到廣告牌上，都可以得到同樣的圖像品質。與此不同的是，如果點陣圖從名片大小放大到廣告版的尺寸，那麼圖像細節將會變得非常模糊。

## 三維造型

在 3D 電腦圖形學中，向量表面表示非常常見，而點陣圖可以用作表面紋理、高度場資料以及凸凹紋理對映等特殊目的。在低階系統中，在應用程式中用簡單的多邊形網格表示幾何細節，在這些場合互動影格率或者簡單性都是非常重要的。在高端系統中，如果希望通過犧牲彩現時間的方法換取更好的圖像品質及精度，那麼就可以使用貝塞爾曲面、NURBS 或者細分曲面等平滑表示方法。但是，我們也可以用「Phong shading」這樣的演算法從多邊形網格實現一個平滑曲面。

## 參考文獻

## 外部連結

* Wikimedia Commons 上的向量圖形教程

## 參見

* 電腦輔助設計
* 電子地圖
* 圖形檔案格式
* 向量圖形編輯器列表
* SVG
* Shapefile
* 體素
* 向量、網格資料 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* WMF
* 向量字型
向量圖形編輯器

**向量圖形編輯器**是一種電腦程式，允許使用者在電腦上互動式地編排和編輯向量圖形，並將其儲存為許多流行的向量圖形格式之一，如 EPS、PDF、WMF、SVG 或 VML。

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：向量圖形編輯器
* Bitmap and Vector Graphics Explained （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Edit SVG Images Online （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
向量場

在向量微積分和物理學中，**向量場**（vector field）是把空間中的每一點指派到一個向量的映射。物理學中的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。

## 定義

設 _X_ 是 **R**n 裡的一個連通開集，一個**向量場**就是一個向量函數

　
: $\mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$

我們稱 $\mathbf {F} $ 為一個 _Ck_ 向量場，如果 $\mathbf {F} $ 在 _X_ 上是 _k_ 次連續可微的。

在 _X_ 內，一個點 _x_ 被稱為**固定的**，若

　
: $\mathbf {F} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} $

向量場可以理解為一個 _n_ 維空間，其中對 X 內每一個點都有個附著的 _n_ 維向量。

給定兩個定義於 _X_ 上的 _C_k- 向量場 _F_,_G_ 以及一個定義於 _X_ 上的 _C_k- 實值函數 _f_，可以定義以下運算

　
: $(f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )$

　
: $\mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )$

如此便可定義在 _C_k 函數的環上的 _C_k 向量場的模。

## 參考資料
向量处理器

**向量處理器**，又稱數組處理器，是一種實現了直接操作一維數組（向量）指令集的中央處理器（CPU）。與之相比，純量處理器一次只能處理一個數據。向量處理器可以在特定工作環境中極大地提升性能，尤其是在數值模擬或者相似領域。向量處理器最早出現於 1970 年代早期，並在 1970 年代到 1990 年代期間主導了超級計算機的設計方向，尤其是多個克雷（Cray）平台。由於 90 年代末純量處理器設計性能提升，而價格快速下降，基於向量處理器的超級計算機逐漸讓出了主導地位。

現在，絕大多數商業化的 CPU 實現都能夠提供某種形式的向量處理的指令，用來處理多個（向量化的）數據集，也就是所謂的 SIMD（單一指令、多重數據）。常見的例子有 VIS, MMX, SSE, AltiVec 和 AVX。向量處理技術也能在遊戲主機硬體和圖形加速硬體上看到。在 2000 年，IBM、東芝和索尼合作開發了 Cell 處理器，集成了一個純量處理器和八個向量處理器，應用在索尼的 PlayStation 3 遊戲機和其他一些產品中。

其他 CPU 設計還可能包括多重指令處理多重（向量化的）數據集的技術 —— 也就是所謂的 MIMD（多重指令、多重數據）—— 並實現了 VLIW。此類設計通常用於特定應用場合，而不是面向通用計算機的市場化產品。在富士通的 FR-V VLIW/vector 處理器中，組合使用了兩種技術。

## 基本特點

平行向量處理機最大的特點是系統中的 CPU 是專門定製的向量處理器（VP）。系統還提供共享存儲器以及與 VP 相連的高速交叉開關。

## 來自現實世界的例子: x86 架構中的向量指令應用

## 參閱

* 並行計算
向量子空間

**線性子空間**（或**向量子空間**）在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。

## 定義

在線性代數和其他數學相關領域，一個**線性子空間**（或**向量子空間**）U 是給定域 ${\mathfrak {R}}$ 向量空間 V 的一個子集，並且它還是 V 的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V 上運算在 U 上的限制導出 U 的向量空間結構，我們把 U 稱為 V 上的**向量**（或**線性**）**子空間**。

## 定理

設 _V_ 是在域 _K_ 上的向量空間，並設 _W_ 是 _V_ 的子集。則若且唯若它滿足下列三個條件時，_W_ 是個子空間:

1. 零向量 0 在 _W_ 中。
2. 如果 **u** 和 **v** 是 _W_ 的元素，則向量和 **u** + **v** 是 _W_ 的元素。
3. 如果 **u** 是 _W_ 的元素而 _c_ 是來自 _K_ 的純量，則純量積 _c_**u** 是 _W_ 的元素。

## 性質

* 對於所有向量空間 _V_，集合 {**0**} 和 _V_ 自身是 _V_ 的子空間。
* 如果 _V_ 是內積空間，則任何 _V_ 的子空間的正交補也是子空間。
* 任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。_注意：兩個子空間的併集未必是子空間。例如 $e_{1},e_{2}$ 是_ V _中任意兩個線性無關的向量且 $U_{1}=<e_{1}>,U_{2}=<e_{2}>$ ，那麼， $U_{1}$ ∪ $U_{2}$ 不包含 $e_{1}+e_{2}$ 。_
* 特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說，_W_ 是子空間，若且唯若所有 _W_ 的 (有限多個) 元素的線性組合也屬於 _W_。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。

## 例子

**例子 I:**設域 _K_ 是實數的集合 **R**，並設向量空間 _V_ 是歐幾里得空間 **R**3。
取 _W_ 為最後的分量是 0 的 _V_ 中所有向量的集合。則 _W_ 是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 給定 _W_ 中 **u** 和 **v**，它們可以表達為 **u** = (_u_1,_u_2,0) 和 **v** = (_v_1,_v_2,0)。則 **u** + **v** = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0+0) = (_u_1+_v_1,_u_2+_v_2,0)。因此 **u** + **v** 也是 _W_ 的元素。
2. 給定 _W_ 中 **u** 和 **R** 中純量 _c_，如果 **u** = (_u_1,_u_2,0)，則 _c_**u** = (_cu_1, _cu_2, _c_0) = (_cu_1,_cu_2,0)。因此 _c_**u** 也 是 _W_ 的元素。

**例子 II:**設域是 **R**，設向量空間是歐幾里得幾何 **R**2。取 _W_ 為 **R**2 的使得 _x_ = _y_ 的所有點 (_x_,_y_) 的集合。則 _W_ 是 **R**2 的子空間。

_證明:_

1. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 且 **q** = (_q_1,_q_2) 是 _W_ 的元素，就是說，在平面上的點使得 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2。則 **p** + **q** = (_p_1+_q_1,_p_2+_q_2)；因為 _p_1 = _p_2 且 _q_1 = _q_2，則 _p_1 + _q_1 = _p_2 + _q_2，所以 **p** + **q** 是 _W_ 的元素。
2. 設 **p** = (_p_1,_p_2) 是 _W_ 的元素，就是在平面中點使得 _p_1 = _p_2，並設 _c_ 是 **R** 中的純量。則 _c_**p** = (_cp_1,_cp_2)；因為 _p_1 = _p_2，則 _cp_1 = _cp_2，所以 _c_**p** 是 _W_ 的元素。

一般的說，歐幾里得空間 **R**n 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說，這些子空間是穿過點 **0** 的一些點、直線、平面。

 

## 子空間上的運算

給定向量空間 _V_ 的子空間 _U_ 和 _W_，則它們的交集 _U_ ∩ _W_ := {**v**∈_V_: **v** ∈ _U_ 且 **v** ∈ _W_} 也是 _V_ 的子空間。

_證明:_

1. 設 **v** 和 **w** 是 _U_ ∩ _W_ 的元素。則 **v** 和 **w** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _U_。類似的，因為 _W_ 是子空間，則 **v** + **w** 屬於 _W_。所以 **v** + **w** 屬於 _U_ ∩ _W_。
2. 設 **v** 屬於 _U_ ∩ _W_，並設 _c_ 是純量。則 **v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。因為 _U_ 和 _W_ 是子空間，_c_**v** 屬於 _U_ 和 _W_ 二者。

進一步的，和

　
: $U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}$

是一個 _V_ 的子空間。_U_ ∩ _W_ 和 _U_ + _W_ 的維度滿足

　
: $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ 。

## 外部連結

* MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* Vector subspace. PlanetMath.
向量字体

**向量字型**是與點陣字型相對應的一種字型。向量字型的每個字形都是通過數學方程來描述的，一個字形上分割出若干個關鍵點，相鄰關鍵點之間由一條光滑曲線連接，這條曲線可以由有限個參數來唯一確定。向量字的好處是字型可以無級縮放而不會產生變形。向量字體在顯示或者列印出來之前需要進行光柵化。目前主流的向量字型格式有 3 種：Type1，TrueType 和 OpenType。

Type1 全稱 PostScript Type1，是 1985 年由 Adobe 公司提出的一套向量字型標準，由於這個標準是基於 PostScript Description Language (PDL)，而 PDL 又是高端印表機首選的列印描述語言，所以 Type1 迅速流行起來。但是 Type1 是非開放字型，Adobe 對使用 Type1 的公司徵收高額的使用費。TrueType 是 1991 年由蘋果公司與微軟聯合提出另一套向量字標準。Type1 使用三次貝塞爾曲線來描述字形，TrueType 則使用二次貝塞爾曲線來描述字形。
向量微分算子

**Del 算子**或稱 **Nabla 算子**，在中文中也叫**向量微分算子**、**劈形算子**、**倒三角算子**，符號為 $\nabla $ ，是一個向量微分算子，但本身並非一個向量。

其形式化定義為：

$$
\nabla ={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} r}
$$

在 $n$ 維空間中，分母 $\mathrm {d} r$ 為含 $n$ 個分量的向量，因而 $\nabla $ 本身就是個 $n$ 維向量算子。

三維情況下， $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} $ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

二維情況下， $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} $ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

 $\nabla $ 作用於不同類型的量，得到的就是不同類型的新量：

　
: $\nabla $ 直接作用於函數 $F(r)$ （不論 $F$ 是純量還是向量），意味著求 $F(r)$ 的梯度，表示為： $\nabla F(r)$ （純量函數的梯度為向量，向量的梯度為二階張量）；

　
: $\nabla $ 與非純量函數 $F(r)$ 由點積符號 $\cdot $ 連接，意味著求 $F(r)$ 的散度，表示為： $\nabla \cdot F(r)$ ；

　
: $\nabla $ 與非純量（三維）函數 $F(r)$ 由叉積符號 $\times $ 連接，意味著求 $F(r)$ 的旋度，表示為： $\nabla \times F(r)$ 。

## 名稱

Nabla 算子的名字來自希臘語中一種被稱為納布拉琴的豎琴。相關的詞彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

該符號的另一常見的名稱是 _atled_，因為它是希臘字母 Δ 倒過來的形狀。除了 _atled_ 外，它還有一個名稱是 _del_。

Del 算子在標準 HTML 中寫為 & nabla，而在 LaTeX 中為 \nabla。在 Unicode 中，它是十進位數 8711，也即十六進位數 0x2207。

Del 算子在數學中用於指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度算子）。它由哈密爾頓引入。

## 參見

* 在圓柱和球坐標系中的 del

## 參考
向量微積分

**向量分析**，或稱為**向量微積分**（英語：Vector calculus）是數學的一個分支，主要研究在 3 維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。

向量分析在微分幾何與偏微分方程式的研究中起著重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是在描述電磁場、引力場和流體流動的時候。

向量分析從四元數分析發展而來，由約西亞・吉布斯和奧利弗・黑維塞於 19 世紀末提出，大多數符號和術語由吉布斯和愛德華・比德韋爾・威爾遜在他們 1901 年的書《向量分析》中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法，它利用可以推廣的外積，下文將會討論。

## 向量運算

### 代數運算

向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為**向量代數**，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，包括：

**純量乘法**
: 純量場和向量場相乘，產生向量場： $a\mathbf {v} $  ;

**向量加法**
: 兩個向量場相加，產生向量場： $\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$  ;

**內積**
: 兩個向量場相乘，產生純量場： $\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$  ;

**外積**
: 兩個向量場相乘，產生向量場： $\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$  ;

還有兩個三重積：

**純量三重積**
: 向量和兩個向量叉積的點積： $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$  ;

**向量三重積**
: 向量和兩個向量叉積的叉積： $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ 或 $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$  ;

儘管三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

### 微分運算

向量分析研究定義在純量場或向量場定義的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）來表示，也被稱為「Nabla 算子」。向量分析的五個最重要的微分運算：

## 定理

同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

## 參見

## 延伸閱讀

* A History of Vector Analysis（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
向量戰機

**《向量戰機》**（Strike Vector）是由 Ragequit Corporation 用魔域幻境引擎 3 所開發，在 2014 年 1 月 28 日發售的第一／第三人稱射擊遊戲（能在遊戲中切換），目前已上架至 Steam 上。

遊戲以激烈的三維空間飛行纏鬥為特色，玩家操作的戰機能在戰鬥中能隨時切換噴射模式與懸浮模式：噴射模式（Jet Mode）能高速移動，快速的攔截對手並迴避砲火；懸浮模式（Hover Mode）能有高精確度、使用機械照準器、進行掃射與迴避動作。玩家也能將戰機的武器、引擎等等進行改裝，改裝成自己擅用的性能，例如偏向快速匿蹤的類型或偏向重火力的類型。至於場景上有許多的障礙物，有些物體被破壞後能開出一條路或是爆炸波及對手。

## 參考

* Strike Vector（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 《Strike Vector》在 Steam 上的頁面。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 《向量戰機》在巴哈姆特電玩資訊站上的頁面。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Fight and flight.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Strike Vector Review (PC)
* 《Strike Vector》空中射擊新血 獨立工作室全新作品
向量控制

**向量控制**（**vector control**）也稱為**磁場導向控制**（**field-oriented control**，簡稱 **FOC**），是一種利用變頻器（VFD）控制三相交流馬達的技術，利用調整變頻器的輸出頻率、輸出電壓的大小及角度，來控制馬達的輸出。其特性是可以個別控制馬達的的磁場及轉矩，類似他激式直流馬達的特性。由於處理時會將三相輸出電流及電壓以向量來表示，因此稱為向量控制。

向量控制可以適用在交流感應馬達及直流無刷馬達，早期開發的目的為了高性能的馬達應用，可以在整個頻率範圍內運轉、馬達零速時可以輸出額定轉矩、且可以快速的加減速。不過相較於直流馬達，向量控制可配合交流馬達使用，馬達體積小，成本及能耗都較低，因此開始受到產業界的關注。向量控制除了用在高性能的馬達應用場合外，也已用在一些家電的應用中。

## 發展歷史

達姆施塔特工業大學的 K. Hasse 及西門子公司的 F. Blaschke 分別在 1968 年及 1970 年代初期提出向量控制的概念。Hasse 提出的是間接向量控制，Blaschke 提出的是直接向量控制。布倫瑞克工業大學的維爾納・萊昂哈德（Werner Leonhard）進一步開發磁場導向控制的控術，因此交流馬達驅動器開始有機會取代直流馬達驅動器。

當時微處理器尚未商品化，但已經出現泛用的交流馬達驅動器。當時相較於直流馬達驅動器，交流馬達驅動器的成本高、架構複雜，而且不易維護．而當時的向量控制需要許多感測器及放大器等元件，因此無法將向量控制應用在交流馬達驅動器中。

派克變換一直被用在同步馬達及感應馬達的分析及研究，是了解磁場導向控制最需要知道的概念。這個概念是羅伯特・派克（Robert Park）在 1929 年的論文中提出的。派克變換被列為二十世紀發表電力電子相關論文中，第二重要的論文。派克變換的重要性是可以將馬達有關的微分方程式，由變係數微分方程式變成「非時變」係數的微分方程式。

## 技術簡介

利用向量控制，可以用類似控制他激直流馬達的方式控制交流感應馬達及同步馬達。在他激直流馬達中，磁場電流及電樞電流可獨立控制，在向量控制，控制磁場及電樞的電流互相垂直，理論上不會互相影響，因此當控制轉矩時，不會影響產生磁場的磁鏈，因此可以有快速的轉矩響應。

向量控制會依照程式中計算的電流向量，產生三相 PWM 的電壓提供給馬達，目的是要控制馬達的三相電流。其中會將電流及電壓等物理量在二個系統之間轉換，一個是隨速度及時間改變的三相系統，另一個則是二軸非線變的旋轉坐標系統。

### 坐標轉換及坐標系

定子電流的向量可以用（d,q）軸的坐標系統來定義，其中場磁鏈的電流分量對正 d 軸（direct），而轉矩的電流分量對正 q 軸（quadrature）。馬達的（d,q）軸坐標可以對應（a,b,c）三相的弦波系統。而（d,q）軸的電流向量一般可以個別用 PI 控制器進行控制，也就是沒有微分（D）單元的 PID 控制器。

和（d,q）軸的坐標系統有關的坐標轉換如下：

* 由三相的瞬時電流值轉換為（a,b,c）三相的弦波電流向量。
* 利用克拉克轉換，由（a,b,c）三相轉換到（ $\alpha $ , $\beta $ ）二相的轉換。在實現向量控制時一般假設馬達沒有接地，且三相電流平衡，因此可以只感測三相電流中的二相。（ $\alpha $ , $\beta $ ）二相的坐標互相垂直， $\alpha $ 軸對齊（a,b,c）三相中的 a 相。將（ $\alpha $ , $\beta $ ）二相轉換到（a,b,c）三相的轉換則會利用空間向量 PWM 或是反克拉克轉換來達成。
* 在（ $\alpha $ , $\beta $ ）和（d,q）之間，二個二相系統之間的轉換，利用派克轉換及反派克轉換來達成。

不過也有些系統會直接進行（a,b,c）三相系統及（d,q）軸坐標系統之間的轉換及反轉換。

（d,q）軸的坐標系統可以依任何轉速旋轉，在實務上可以選擇以下三種不同轉速的坐標系統：

* 靜止坐標系統，（d,q）軸不會旋轉。
* 同步坐標系統，（d,q）軸以同步轉速旋轉。
* 轉子坐標系統，（d,q）軸以轉子的轉速旋轉，感應馬達的轉子轉速會和同步轉速不同。

### 應用微處理器及數位訊號處理器

利用馬達控制的演算法，可以從三相的瞬時電流中得到獨立的轉矩電流及場電流。簡單的交流馬達控制可以利用以微處理器為基礎的控制系統來達成．高階的交流變頻器則會應用數位訊號處理器（DSP）來進行。

### 無感測器向量控制

向量控制可以用有編碼器回授轉速的閉迴路磁場導向控制來實現，也可以用無（速度）感測器（sensorless）的開迴路控制器來實現。無感測器向量控制和閉迴路控制器的最大差異是可以輸出額定轉矩的最小速度。閉迴路向量控制可以在馬達靜止時輸出額定轉矩，而無感測器向量控制一般有其最小速度的限制，例如 0.8Hz。

無感測器向量控制是利用三相電壓及輸出電流，配合開迴路的估測器（estimator）或是閉迴路的觀測器（observer）來得到轉速的資訊，開迴路估測器中會計算轉速，但不會作回授控制，閉迴路觀測器則會計算轉速，並依此計算某物理量，利用此計算量計算值和向量控制中對應值的差異進行回授控制。無感測器向量控制由於不需要有加裝編碼器的馬達，在成本及可靠度上很有競爭力，但對於電流信號的要求也比較高。

### 直接及間接磁場導向

磁場導向控制可分為二種：分別是直接磁場導向控制（DFOC，也稱為回饋磁場導向控制）及間接磁場導向控制（IFOC，也稱為前饋磁場導向控制）。間接磁場導向控制可以在從零速到高於馬達額定頻率以上的弱磁區運作，因此較常使用。

直接磁場導向控制中，利用電壓型或電流型的磁通模型計算磁通大小及角度。在間接磁場導向控制中會先量測定子電流及轉子速度，再利用轉子速度及轉差率的計算值推導轉子角度，再得到磁通的角度。

## 向量控制的特點

* 需要量測（或是估測）馬達的速度或位置，若估測馬達的速度，需要馬達電阻及電感等參數，若可能要配合多種不同的馬達使用，需要自動調適（autotuning）程序來量測馬達參數。
* 藉由調整控制的目標值，轉矩及磁通可以快速變化，一般可以在 5-10 毫秒內完成。
* 若只使用 PI 控制，步階響應會有過沖。
* 功率半導體的切換頻率（載波）一般為定值。
* 轉矩的精確度和控制系統中使用的馬達參數有關，因此若因為馬達溫度變化．造成轉子電阻阻值提高．會造成誤差的變大。
* 對處理器效能的要求較高，至少每一毫秒需執行一次馬達控制的演算法。

## 和其他技術的比較

變頻器除了使用向量控制外，另一種常用的技術是純量型的 V/f 控制，事先建好不同頻率下對應電壓的數據，變頻器的輸出電壓則依當時頻率查表（V/f 曲線）而得。相較於 V/f 控制，向量控制需要有馬達電流、實際轉速等信號，架構較複雜，但控制性能也較 V/f 控制要好。

直接轉矩控制是另一種馬達控制的技術。相較於直接轉矩控制，向量控制的架構較要複雜，但其計算不需那麼頻繁，而且對電流感測器的要求也比較低。向量控制在處理器及週邊電路的成本較低，比較適用在一些不需要用到直接轉矩控制高性能的應用場合，

## 相關條目

## 參考資料
向量推力

**推力向量**（thrust vectoring；thrust vector control；TVC）是指飛行器將其推力從它的發動機平行方向引向其它方向的技術。推力向量技術除了可以提供垂直起降或短距起降能力外，還能在空戰中為飛機提供額外的機動力。推力向量一般用可以轉動的向量噴嘴或者擾流片來實現。

此項技術廣泛使用於火箭及飛彈上。對於大氣層外飛行的火箭和彈道飛彈，空氣動力控制面是無效的，因此推力向量是姿態控制的主要手段。

## 推力向量方法

### 火箭和飛彈

推力向量控制 (TVC) 在推進系統創建推力時被使用，廣泛應用於火箭及飛彈上，與垂直發射系統息息相關。

## 參考資料

## 參考文獻

* Wilson, Erich A., "An Introduction to Thrust-Vectored Aircraft Nozzles", ISBN 978-3-659-41265-3

## 外部連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：推力向量
向量標記式語言

**向量標記式語言**（英語：Vector Markup Language，縮寫 **VML**）是用於繪製向量圖形的 XML 語言。1998 年 VML 建議書由微軟、Macromedia 等向 W3C 提出審核。VML 遭到拒絕，因為 Adobe、Sun 等提出了 PGML [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）計劃書。這兩套標準後來合併成更具潛力的 SVG。

儘管 VML 規格一度遭到 W3C 的拒絕，並為大多數使用者所遺棄。微軟（Microsoft）依然將 VML 的標準規格實作到 Internet Explorer 5.0 及更新的版本，Microsoft Office 2000 以上的版本亦有支援。

Google Maps 目前在 Internet Explorer 5.5+[2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上採用 VML 來描寫向量（rendering vector）。

Google Docs 目前在相同平台上 [3] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）採用 VML 來繪製向量圖。

 

## 範例

下列的程式碼會顯示出一個塗滿藍色的橢圓形：

```
<html xmlns:v>
 <style>v\:*{behavior:url(#default#VML);position:absolute}</style>
<body>
 <v:oval style="left:0;top:0;width:100;height:50" fillcolor="blue" stroked="f"/>
</body>
</html
```

SVG 更精簡的程式碼可達成上述的相同結果：

```
<?xml version="1.0"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
  "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100" height="50">
  <ellipse cx="50" cy="25" rx="50" ry="25" fill="blue" stroke="none" />
</svg>
```

## 參考文獻

## 外部連結

* W3C VML proposal （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MSDN VML Page
* VML DEMOS
* Vector Graphics Rendering Library Buffer Overflow （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* SVG
向量测度

**向量測度**（vector measure）是數學名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量測度是測度概念的推廣，測度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。

## 定義及相關推論

給定集合域 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 及巴拿赫空間 $X$ ，**有限加性向量測度**（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數 $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ ：針對任二個 ${\mathcal {F}}$ 內的不交集 $A$ 和 $B$ ，下式均成立：

　
: $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

向量測度 $\mu $ 稱為**可數加性**（countably additive）若針對任意 ${\mathcal {F}}$ 內不交集形成的序列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ ，都可以讓 ${\mathcal {F}}$ 內的聯集滿足以下條件

　
: $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$

等號右邊的級數會收斂到巴拿赫空間 $X$ 的範數。

可以證明向量測度 $\mu $ 有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ ，下式均成立

　
: $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)$

其中 $\|\cdot \|$ 是 $X$ 的範數。

在 Σ- 代數中定義的可數加性向量測度，會比有限測度（測度的值為非負數）、有限有號測度（測度的值為實數）及複數測度（測度的值為複數）要廣泛。

## 舉例

考慮一個由 $[0,1]$ 區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒貝格測度形成的族 ${\mathcal {F}}$ 。針對任意集合 $A$ ，定義

　
: $\mu (A)=\chi _{A}$

其中 $\chi $ 是 $A$ 的指示函數。依 $\mu $ 的定義不同，會得到不同的結果。

 * $\mu $ 若是從 ${\mathcal {F}}$ 到 Lp 空間 $L^{\infty }([0,1])$ 的函數， $\mu $ 是沒有可數加性的向量測度。
* $\mu $ 若是從 ${\mathcal {F}}$ 到 _L_p 空間 $L^{1}([0,1])$ 的函數， $\mu $ 是有可數加性的向量測度。

依照上一節的判別基準 (\*) 可以得到以上的結果。

## 向量測度的變差

給定向量測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to X,$ ，其變差（variation） $|\mu |$ 定義如下

　
: $|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$

其中最小上界是針對所有 ${\mathcal {F}}$ 中 $A$ ，所有將 $A$ 劃分到有限不交集的劃分

　
: $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

此處， $\|\cdot \|$ 為 $X$ 的範數。

 $\mu $ 的變差是有限可加函數，其值在 $[0,\infty ]$ 之間，會使下式成立

　
: $\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$

針對任意在 ${\mathcal {F}}$ 內的 $A$ 。若 $|\mu |(\Omega )$ 是有限的，則測度 $\mu $ 有有界變差（bounded variation）。可以證明若 $\mu $ 為具有有界變差的向量測度，則 $\mu $ 具有可數加性若且唯若 $|\mu |$ 具有可數加性。

## 李亞普諾夫定理

在向量測度的理論中，李亞普諾夫的定理提到 non-atomic 向量測度的值域是閉集及凸集 。而且 non-atomic 向量測度的值域是高維環面（zonoid，是閉集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）。李亞普諾夫定理有用在數理經濟學、起停式控制的控制理論及統計理論。
李亞普諾夫定理已可以用沙普利－福克曼引理證明，後者可以視為是李亞普諾夫定理的離散化版本。

## 參考資料

### 書籍

* Cohn, Donald L. Measure theory reprint. Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. 1997: IX+373 [1980]. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001.
* Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. Vector measures. Mathematical Surveys **15**. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1977: xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
* Kluvánek, I., Knowles, G, _Vector Measures and Control Systems_, North-Holland Mathematics Studies **20**, Amsterdam, 1976.
* van Dulst, D., Vector measures, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Rudin, W. Functional analysis. New York: McGraw-Hill. 1973: 114.

## 相關條目

* 博赫納積分
向量球

**向量球**（VECTOR BALL）是日本漫畫家雷句誠在週刊少年 Magazine 於 2016 年 22˙23 合併號開始連載的漫畫作品，至 2017 年 16 號第 44 話完結，全 5 卷。日本語版第 1 集於 2016 年 7 月 15 日發售。

內容講述擅長智力遊戲的主角米炊おかか與能用超能力放出巨大槍盾的群青新太對抗在高校中引發超常現象的思念體的故事。

## 參考文獻

* VECTOR BALL（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
向量球諧函數

**向量球諧函數**(Vector spherical harmonics) 是應用於球坐標系的拉普拉斯方程式的向量解，是球諧函數的向量衍伸形式。在必須計算向量場的電動力學等領域中被廣泛應用。

## 定義

在球坐標系下，拉普拉斯算符作用在一三維向量場上可以寫為

　
: $\nabla ^{2}{\vec {A}}(r,\theta ,\phi )=0$

利用分離變數法可以將此一方程式的解分解為一系列本徵函數的線性組合

　
: ${\vec {A}}=R_{l}(r)\mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}(\theta ,\phi ),n=1,2,3$

其中的徑向解 $R_{l}$ 與純量球諧函數相同，而 $\mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}$ 為一與角度相關的向量解，也就是**向量球諧函數**。

 
向量球諧函數依用途有很多定義方式。這邊我們依照 Barrera 等人的定義，以對球諧函數 _Yℓm_(_θ_, _φ_) 為基礎，將三個向量球諧函數表示為

 * $\mathbf {Y} _{lm}=Y_{lm}{\hat {\mathbf {r} }}$
* $\mathbf {\Psi } _{lm}=r\nabla Y_{lm}$
* $\mathbf {\Phi } _{lm}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{lm}$

這邊 $\mathbf {r} $ 是對應球座標 (_r_, _θ_, _φ_) 的向量，而 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 則為其單位向量。

## 主要特性

依照上述 Barrera 的定義，向量球諧函數有以下特性：

### 對稱性

與球諧函數相同，向量球諧函數有對稱性

　
: $\mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}$

星號 \* 代表共軛函數。

### 正交性

三種向量球諧函數彼此兩兩正交

　
: $\mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}=0\qquad \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0\qquad \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0$

另外同種類的球諧函數的內積為：

　
: $\int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{ll'}\delta _{mm'}$

　
: $\int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}$

　
: $\int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}$

### 純量場的梯度

對一個純量場 $\phi $ ，若其多極展開可表示為：

　
: $\phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$

則其梯度可以向量球諧函數表示為：

　
: $\nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)$

### 散度

三種向量球諧函數之散度分別為：

　
: $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}$

　
: $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}$

　
: $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0$

其中 $f(r)$ 為球諧函數之徑向分布， $Y_{lm}$ 為球諧函數。

### 旋度

三種向量球諧函數之旋度分別為：

　
: $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}$

　
: $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}$

　
: $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}$

其中 $f(r)$ 為球諧函數之徑向分布

## 運用

### 電動力學

在沒有源的空間中，馬克士威方程組可以被簡化為

　
: $\triangledown ^{2}\mathbf {E} +k_{m}^{2}\mathbf {E} =0$

　
: $\triangledown ^{2}\mathbf {H} +k_{m}^{2}\mathbf {H} =0$

此處 $\mathbf {E} $ 是電場， $\mathbf {H} $ 是 H 場， $k_{m}$ 是介質中的波數。

 
因為向量球諧函數可以很正確的描述簡化後的電磁場方程式，所以在電動力學中，向量球諧函數獲得廣泛的利用。常見的應用如多極輻射或米氏散射等。

## 參見

* 球諧函數
* 電磁輻射

## 參考資料

## 外部連結

* _Vector Spherical Harmonics_ at Eric Weisstein's Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
向量空间的维数

數學中，向量空間 _V_ 的**維數**是 _V_ 的基底的勢，即基底中向量的個數。向量空間的維數有時也稱作**哈梅爾維數**（Hamel basis）或**代數維數**以便與其他類型的維數相區別。 向量空間中的所有基底具有相等的勢（參閱向量空間的維數定理）。所以向量空間的維數是唯一併確定的。若 _F_ 為體， _F_ 上的向量空間 _V_ 的維數可記為 dimF(_V_) 或 [V : F], 讀作 " _V_ 在 _F_ 上的維數 "。 當上下文中給出明確的 _F_ 時，通常記為 dim (_V_) .

## 例子

向量空間 **R**3 的基底為

　
: $\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

因此 dim**R**(**R**3) = 3。 廣泛來講，dim**R**(**R**n) = _n_。更加廣泛而言，對任何的體 _F_，dimF(_F_n) = _n_ .

複數系 **C** 既是實向量空間又是複向量空間；dim**R**(**C**) = 2 以及 dim**C**(**C**) = 1. 所以向量空間的維數取決於構成向量空間的體.

只有一個零向量構成的向量空間 {0} 的維數是 0.

## 維數的性質

如果 _W_ 是 _V_ 的線性子空間，那麼 dim (_W_) ≤ dim(_V_).

為證明兩個有限維向量空間相等，通常使用以下公理：如果 _V_ 是有限維向量空間， _W_ 是 _V_ 的線性子空間，並且 dim (_W_) = dim(_V_), 那麼 _W_ = _V_.

**R**n 的標準基底是 {**e**1, ..., **e**n}, 其中 **e**i 是單位矩陣的第 _i_ 列.

體 _F_ 上的任何兩個向量空間是同構的。任何他們基底之間的對射能夠唯一的擴展到整個向量空間上的線性對射.

## 參閱

* 基底
* 拓撲維數，也被稱為勒貝格覆蓋維數
* 碎形維數，也被稱為郝斯多夫維數
* 克魯爾維數

## 參考資料

## 外部連結

* MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Google Video, from MIT OpenCourseWare
向量空间的维数定理

數學分支線性代數中，**向量空間的維數定理**表明，向量空間的任意一組基，都具有相同數量的元素。基的大小可能有限，也可能無窮（此時其大小為基數）。基的大小定義為向量空間的維數。

形式上，向量空間的維數定理指出：

由於基是線性獨立的生成集，上述定理可由以下定理推出：

特別地，如果 _V_ 有限生成，則每一組基皆為有限，並且具有相同數量的元素。在一般情況下，證明「任何向量空間都包含一組基」需要佐恩引理，並且實際上等價於選擇公理，但證明「基的大小唯一」只需要布爾素理想定理。

## 參考資料
向量範數

**範數**（英語：Norm），是具有「長度」概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正**長度**或**大小**。另一方面，**半範數**（英語：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

## 定義

假設 _V_ 是域 _F_ 上的向量空間；_V_ 的**半範數**是一個函數 $p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)$ ，滿足：

 $\forall a\in F,\forall u,v\in V$ ,

 1. $p(v)\geq 0$ （具有半正定性）
2. $p(av)=|a|p(v)$ （具有絕對一次齊次性）
3. $p(u+v)\leq p(u)+p(v)$ （滿足三角不等式，或稱次可加性）

**範數**是一個**半範數**加上額外性質：

　
: 4. $p(v)=0$ , 若且唯若 $v$ 是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

## 例子

* 所有範數都是半範數。
* 平凡半範數，即 $p(x)=0,\forall x\in V$ 。
* 絕對值是實數集上的一個範數。
* 對向量空間上的線性型 _f_ 可定義一個半範數： ${\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|$ 。

### 絕對值範數

絕對值範數為

　
: $\|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|$

是在由實數或虛數構成的一維向量空間中的範數。

絕對值範數是曼哈頓範數的特殊形式。

### 歐幾里德範數

在 _n_ 維歐幾里德空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 上，向量 ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }$ 的最符合直覺的長度由以下公式給出

　
: $\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

根據畢氏定理，它給出了從原點到點 ${\boldsymbol {x}}$ 之間的（通常意義下的）距離。歐幾里德範數是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上最常用的範數，但正如下面舉出的， $\mathbb {R} ^{n}$ 上也可以定義其他的範數。然而，以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構，因此它們在某種意義上都是等價的。

在一個 _n_ 維複數空間 $\mathbb {C} ^{n}$ 中，最常見的範數是：

　
: $\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$

以上兩者又可以以向量與其自身的內積的平方根表示：

　
: $\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},$

其中_**x**_是一個列向量 ( $[x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }$ )，而 ${\boldsymbol {x}}^{*}$ 表示其共軛轉置。

以上公式適用於任何內積空間，包括歐式空間和複空間。在歐幾里得空間裡，內積等價於點積，因此公式可以寫成以下形式：

　
: $\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$

特別地， $\mathbb {R} ^{n+1}$ 中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個 _n_ 維球面。

#### 複數的歐幾里得範數

如果將複數平面看作歐幾里得平面 $\mathbb {R} ^{2}$ ，那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值（又稱為**模**）。這樣，我們可把 $x+i\,y$ 視為歐幾里得平面上的一個向量，由此，這個向量的歐幾里得範數即為 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ （最初由歐拉提出）。

## 參見

* 內積
* 賦範向量空間
* 矩陣範數
* 曼哈頓距離
* Lp 範數

## 參考文獻
向量組的秩

## 定義

### 一般定義

**向量組的秩**即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.

### 維數定義

在向量空間 $\mathbb {R} $ n 中任意向量組構成的集合 $\{X_{1},X_{2},...,X_{r}\}$ （可能是無限的），那麼該與該向量組**對應**的向量子空間 $<X_{1},X_{2},...,X_{r}>$ 的維數 $r$ ≤ $n$ 那麼這個 $n$ 就叫該向量組的秩.

#### 舉例

舉例來說，設有一向量組 $S:\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\}$ ，若存在 _r_ 個向量 $a_{1},a_{2},...,a_{r}\in S$ ，且 _r_ 個向量為向量組 $S$ 的**最大線性無關組**，則此最大線性無關組的向量個數 _r_，即為向量組 $S$ 的秩.

假設矩陣 A 的列秩為 r，記矩陣 A 的列向量為 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$ ，於是能找到 r 個線性無關的列向量，使得等式 $x_{1}c_{i_{1}}+x_{2}c_{i_{2}}+\cdots +x_{r}c_{i_{r}}=0$ 只有零解。另一方面，可知此線性方程組只有零解若且唯若它的行向量組的秩 $\geq r$ . 於是能在此線性方程組的**係數矩陣**中找到 r 個線性無關的行向量。注意到這些行向量是由矩陣 A 的行向量_縮短_得到的。給這些行向量增加若干個分量，我們就得到矩陣 A 的 r 個線性無關的行向量。因此矩陣 A 的行秩必然 $\geq $ 列秩。同樣可證矩陣 A 的列秩 $\geq $ 行秩。所以行秩等於列秩。記之為矩陣的秩.
向量網絡分析儀

向量網路分析儀是通過測量網路各個埠對頻率 / 功率掃描測試信號的幅度與相位響應，從而測量器件網路特性的儀器，它結合了頻譜分析，信號發生以及信號分離等各項技術，被譽為「儀器之王」，是射頻微波領域必備的測試測量儀器，並且是諸多行業專用儀器的基礎形態。

向量網路分析儀產品可測量多埠向量 S 參數，以及實施各檔次的系統誤差校準，是高度集成的射頻微波儀器，應用於晶片測試，微波器件，材料科學，電子通信等基礎性行業和領域。
向量自回归模型

**向量自我迴歸模型**（英語：**V**ector **A**uto**r**egression model，簡稱 **VAR 模型**）是一種常用的計量經濟模型，由計量經濟學家和總體經濟學家克里斯多福・西姆斯（英語：Christopher Sims）提出。它擴充了只能使用一個變數的自我迴歸模型（簡稱：AR 模型），使容納大於 1 個變數，因此經常用在多變數時間序列模型的分析上。

## 定義

VAR 模型描述在同一樣本期間內的 _n_ 個變數（內生變數）可以作為它們過去值的線性函數。

一個_**VAR(p)**_模型可以寫成為：

　
: $y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},$

其中：_c_ 是 _n_ × _1_ 常數向量，_Ai_ 是 _n_ × _n_ 矩陣。e_t_ 是 _n_ × _1_ 誤差向量，滿足：

 1. $\mathrm {E} (e_{t})=0\,$ — 誤差項的均值為 0
2. $\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,$ — 誤差項的共變異數矩陣為 Ω（一個 _n_ × 'n _半正定矩陣）_
3. $\mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,$ （對於所有不為 0 的 _k_ 都滿足）— 誤差項不存在自我相關

## 例子

一個有兩個變數的 VAR (1) 模型可以表示為：

　
: ${\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},$

或者也可以寫為以下的方程組：

　
: $y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,$

　
: $y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,$

## 轉換 AR (p) 為 VAR (1)

AR (p) 模型常常可以被改寫為 _VAR(1)_ 模型。
比如 _AR(2)_ 模型：

　
: $y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}$

可以轉換成一個 _VAR(1)_ 模型：

　
: : ${\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},$

其中 _I_ 是單位矩陣。

## 結構與簡化形式

### 結構向量自我迴歸

一個結構向量自我迴歸（Structural VAR）模型可以寫成為：

　
: $B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},$

其中：_c0_ 是 _n_ × _1_ 常數向量，_Bi_ 是 _n_ × _n_ 矩陣，ε_t_ 是 _n_ × _1_ 誤差向量。

一個有兩個變數的結構 VAR (1) 可以表示為：

　
: ${\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},$

其中：

　
: $\Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\end{bmatrix}};$

### 簡化向量自我迴歸

把結構向量自我迴歸與 _B0_ 的逆矩陣相乘：

　
: $y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},$

讓：

　
: $B_{0}^{-1}c_{0}=c,$ $B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}$ 對於 $i=1,\cdots ,p\,$ 和 $B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}$

我們得到 p - 階簡化向量自我迴歸（Reduced VAR）：

　
: $y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}$

## 相關條目

* 自我迴歸模型（AR 模型）
* 自我迴歸滑動平均模型（ARMA 模型）
* 差分自我迴歸滑動平均模型（ARIMA 模型）
* 格蘭傑因果關係（Granger Causality）
向鎬

**向滈**（漢語拼音：xiànghào，也被誤傳為**向鎬**），字**豐之**，號**樂齋**，開封（今屬河南）人。南宋詞人。曾任萍鄉縣令。代表作有《如夢令・誰伴明窗獨坐》等，收錄於《樂齋詞》。

## 參考文獻
向钧

**向鈞**（1906 年 3 月 19 日 —1928 年 1 月 24 日），字**俊奇**，別號**素我**。湖南省平江縣向家鎮山陂村磚屋人。中國共產黨早期領導人、中國共產黨第五次全國代表大會代表。

## 生平

1914 年，考入東山寺小學。1916 年，進入平江縣高等小學堂讀書。1921 年 8 月考入長沙岳雲中學，和表姐楊開慧同校。通過楊開慧介紹，閱讀毛澤東《民眾大聯合》等許多文章，見到毛澤東，受革命思想影響，擔任該校學生會代表，組織學生支援工人罷工鬥爭。1922 年 1 月，參加抗議趙恆惕捕殺湖南勞工會領袖黃愛、龐人銓的運動。不久參加支援長沙泥木工人的大罷工。1923 年春，加入中國共產黨，同年擔任岳雲中學、兌澤中學黨支部書記。

1925 年經黨組織批准，以個人身份加入中國國民黨，負責長沙北區學生運動和國民黨長沙市第一區第六分部工作。擔任長沙市學聯常委、湖南省學聯執委、湖南反基督教大同盟和反帝大同盟的宣傳工作負責人，同時任長沙市國民黨北區特別黨部常務委員，同年上海五卅慘案發生，任青滬慘案湖南省雪恥會執行委員，參與組織反對英、日示威遊行隨後擔任長沙市學聯主席。在組織學生示威請願時，被當局拘捕，後經各方努力獲釋。10 月，參與領導長沙向日本輪船公司收回大金碼頭運動。11 月起，任中國共產主義青年團湖南區執行委員會候補執行委員。同月，參與組織長沙市民聲援平江英油商起油案的遊行請願活動。1926 年初，參與長沙各界驅趙恆惕運動。7 月，被選為長沙各界迎接北伐軍籌備會宣傳部主席，負責撰寫消息、發行特刊和組織講演 8 月參加國民黨湖南黨部全省第二次代表大會，並在大會上做全省青年部工作的報告。

1926 年 9 月被派到衡山，籌組中共衡山地方執行委員會。被選為書記兼管組織（至 1927 年 6 月）。毛澤東到衡山考察，對衡山工作給予很高評價。1927 年 1 月，籌建衡山工人糾察隊、農民自衛軍及梭標隊。4 月，赴武漢作為正式代表參加中國共產黨第五次全國代表大會，贊成和擁護對右傾機會主義錯誤的批評。6 月回到衡山，組織領導反擊國民黨反動派的鬥爭。7 月奉命赴湘潭恢復黨的組織，領導地下鬥爭。7 月至 8 月，任中共湖南省湘潭縣委員會首任書記。

1927 年八七會議後，8 月至 9 月，任中共湖南省委員會委員、組織部部長。8 月底，隨毛澤東等到株洲傳達八七會議精神，部署和組織領導株洲武裝起義。1927 年秋冬，先後兩次參加組建中共湖南省委的緊急會議，分別被選為中共湖南省委農民部部長和組織局負責人，並任湘鄂贛軍委委員。1927 年 10 月至 11 月，任中共湖南省安源市委員會書記。11 月，到湘西巡視工作，布置在邵陽等地舉行年關暴動。1928 年 1 月，任湖南省新化縣工農革命暴動委員會主任。在長沙參加秘密會議期間因遭人舉報而被捕。1928 年 1 月 24 日，在長沙教育會坪被殺害。後被中共追認為革命烈士。

## 參考
向锦武

**向錦武**（1964 年 —），湖南平江人，中國飛行器設計專家，北京航空航天大學教授，北京航空航天大學航空科學與工程學院院長，無人系統研究院總設計師，教育部長江學者特聘教授，中國工程院院士。

## 生平

1984 年畢業於南京航空航天大學飛機系，獲學士學位。1984 年至 1987 年任中國直升機設計研究所設計員。

## 參考資料
向長

**向長**（？年 —？年），字**子平**，河內郡朝歌縣（今河南省鶴壁市）人。東漢隱士。

## 生平

向長隱居不做官，性情中和，通曉《老子》、《易經》。家貧無資財伙食，有好事者送他食物，他接受部分退還多餘的。王莽大司空王邑徵召向長，向長接連好幾年才到，王邑想將向長推薦給王莽，向長堅決辭讓。潛隱在家。研讀《易經》至《損》、《益》兩卦，嘆氣說：「我已經知道富不如貧，貴不如賤，但尚不知死與生相比是如何。」建武年間，向長的兒女皆娶嫁，向長便與家裡斷絕關系，說：「就當作我已經死了吧。」於是隨心所欲，與好友北海禽慶一同遊歷五嶽名山，最後不知所終。

## 評價

* 皇甫謐：子平上哲，賦德淵沖。玩辭觀象，損退自崇。伉男儷女，家務不宗。周攀五嶽，禽老是同。《高士傳》
* 吳筠：子平好真隱，清淨玩老易。探玄樂無為，觀象驗損益。常抱方外心，且紆人間跡。一朝畢婚娶，五嶽遂長適。《全唐詩》

## 外部連接

* 中國哲學書電子化計劃《高士傳》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《後漢書・卷 83》，出自范曄《後漢書》

　
:

## 參考資料
向长江

**向長江**（1960 年 10 月 —），湖南隆回人，漢族，無黨派人士。中華人民共和國政治人物、第十三屆全國人民代表大會湖南地區代表。

## 生平

2018 年 2 月 24 日，當選為第十三屆全國人大代表。2018 年 8 月 31 日，辭去全國人大代表職務。

## 參考文獻
向門

**向門**，四川拳術，為中國武術流派之一。

## 源流

清朝咸豐年間北京鏢局鏢師向奎在走鏢入川時，在萬縣一帶傳授武功，得意弟子有周適舉、徐容等人，後徐容得其衣缽，因武功源自向奎，故名為向門，主要流傳在萬縣、奉節縣。

## 介紹

向門武功的動作短小緊湊，封閉快速、步法如粘，偷身閃躲，講究，堅硬攻防。

## 套路

向門的拳法有小弓拳、大弓拳、退法、貓子拳、六合拳、燕青拳、梗子十三手半。器械套路則主要修練南征棍，一共有十二段。

## 參考

* 毛銀坤《四川武術大全》

## 來源
向阳

**向陽**可以指：

* 向陽 (詩人)：本名林淇瀁，台灣詩人。
* 向陽 (遊戲)：日本 AXL 公司於 2006 年 5 月 26 日發行的十八禁遊戲。
* 向陽 (地名)：台灣南橫公路上的一個地名，台 20 線梅山口－向陽路段封閉所指「向陽」即是此地。
* 向陽 (1938 年)，藏族，西藏自治區政協副主席

其它以「向陽」為首而命名的條目有：

* 向陽區 (鶴崗市)：中國黑龍江省鶴崗市所轄的一個市轄區。
* 向陽區 (佳木斯市)：中國黑龍江省佳木斯市所轄的一個市轄區。
* 向陽街道，多處地方有名為「向陽街道」的行政區。
* 向陽鎮，多處地方有名為「向陽鎮」的行政區。
* 向陽鄉，多處地方有名為「向陽鄉」的行政區。
* 向陽山：是台灣一座高山，名列百岳，位在中央山脈南二段。
* 向陽國家森林遊樂區，為台灣旅遊景點。
向阳_(1938年)

**向陽**（1938 年 6 月 —），男，藏族，青海循化人，中華人民共和國政治人物，曾任西藏自治區人民政府副主席，西藏自治區政協副主席。

## 參考資料
向阳乡

**向陽鄉**可以指：

* 向陽鄉 (桓仁縣)，中華人民共和國遼寧省本溪市桓仁滿族自治縣下轄的鄉
* 向陽鎮 (哈爾濱市)，中華人民共和國黑龍江省哈爾濱市香坊區下轄的鄉
* 向陽鄉 (嘉蔭縣)，中華人民共和國黑龍江省伊春市嘉蔭縣下轄的鄉
* 向陽鎮 (同江市)，中華人民共和國黑龍江省佳木斯市同江市下轄的鄉
* 向陽鄉 (肇東市)，中華人民共和國黑龍江省綏化市肇東市下轄的鄉
* 向陽鎮 (靈璧縣)，中華人民共和國安徽省宿州市靈璧縣下轄的鄉
* 向陽鄉 (南安市)，中華人民共和國福建省泉州市南安市下轄的鄉
* 向陽鄉 (普格縣)，中華人民共和國四川省涼山彝族自治州普格縣下轄的鄉
* 向陽鄉 (瀘西縣)，中華人民共和國雲南省紅河哈尼族彝族自治州瀘西縣下轄的鄉
向阳乡_(南安市)

**向陽鄉**是中國福建省泉州市南安市下轄的一個鄉。

## 行政區劃

向陽鄉共轄 7 個村委會，分別是：

向陽村、卓厝村、旗星村、郭田村、杏田村、馬跡村、坑頭村。

## 參考

* 中國行政區劃網 -- 福建泉州南安市向陽鄉
向阳乡_(同江市)

**向陽鎮**，是中華人民共和國黑龍江省佳木斯市同江市下轄的一個鎮。

2013 年 1 月 18 日，黑龍江省民政廳批覆同意撤銷向陽鄉，設立向陽鎮。

## 行政區劃

向陽鎮下轄以下地區：

向陽村、​奮鬥村、​紅旗村、​朝陽村、​東升村、​燎原村、​新興村、​同富村、​同興村和黎明村。

## 參考資料
向阳乡_(哈尔滨市)

**向陽鎮**，是中華人民共和國黑龍江省哈爾濱市香坊區下轄的一個鄉鎮級行政單位，位於香坊區東部 ，221 國道過境。

2013 年 8 月 7 日，黑龍江省民政廳批覆同意撤銷向陽鄉，設立向陽鎮。

## 行政區劃

向陽鎮下轄以下地區：

東方紅社區、​東勝村、​里仁村、​長林村、​金家村、​東平村、​東興村、​石槽村和向陽村。

## 參考資料
向阳乡_(嘉荫县)

**向陽鄉**，是中華人民共和國黑龍江省伊春市嘉蔭縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

雪水溫村、​茅蘭溝村、​黃魚臥子村、​育才村、​王家店村、​育紅村、​育強村、​育新村、​豐林村、​育發村和良種場村。

## 參考資料
向阳乡_(普格县)

**向陽鄉**，是中華人民共和國四川省涼山彝族自治州普格縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。2021 年 1 月 12 日，撤銷向陽鄉，流租腳村、譚家營村、乃乃溝村、森科洛村、筲箕村 1 組、3 組、4 組所屬行政區域為普基鎮 的行政區域；筲箕村 2 組所屬行政區域劃歸蕎窩鎮管轄。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

譚家營村、​流租腳村、​筲箕村、​乃乃溝村和森科洛村。

## 參考資料
向阳乡_(桓仁县)

**向陽鄉**，是中華人民共和國遼寧省本溪市桓仁滿族自治縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

北岔村、​向陽村、​雙合村、​回龍山村、​爬寶村和和平村。

## 參考資料
向阳乡_(泸西县)

**向陽鄉**，是中華人民共和國雲南省紅河哈尼族彝族自治州瀘西縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

舊寨村、​足馬村、​法土村、​勺布白村、​歹魯村、​阿盈里村、​習峨村和沙馬村。

## 參考資料
向阳乡_(灵璧县)

**向陽鄉**，是中華人民共和國安徽省宿州市靈璧縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

大西村、​大橋村、​艷陽村、​蘇圩村、​武圩村、​向陽村、​河王村、​官莊村、​南王集村、​湯圩村、​新湖村和馬橋村。

## 參考資料
向阳乡_(肇东市)

**向陽鄉**，是中華人民共和國黑龍江省綏化市肇東市下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鄉下轄以下地區：

巨勝村、​巨成村、​向陽村、​宏業村、​日新村、​中心村、​復興村、​五星村和百合村。

## 參考資料
向阳区

**向陽區**可以指：

* 向陽區 (鶴崗市)，中華人民共和國黑龍江省鶴崗市下轄的市轄區
* 向陽區 (佳木斯市)，中華人民共和國黑龍江省佳木斯市下轄的市轄區
* 向陽區直轄地域，中華人民共和國黑龍江省佳木斯市向陽區下轄的鎮
向阳区_(佳木斯)

**向陽區**是黑龍江省佳木斯市下轄的一個市轄區，是佳木斯市的中心城區，也是佳木斯市經濟、社會、文化的中心。

## 行政區劃

向陽區下轄 5 個街道辦事處：

西林街道、​建設街道、​長安街道、​學府街道和橋南街道。

向陽區行政區劃西起紅旗路、學院街，東至中山街，南起同三高速公路，北至松花江（柳樹島）。

2016 年撤銷原下轄的 6 個街道：西林街道，保衛街道，橋南街道，西南崗街道，建設街道，長安街道。

## 參考文獻

## 外部連結

* 佳木斯市向陽區人民政府
向阳区_(鹤岗)

**向陽區**是黑龍江省鶴崗市下轄的一個市轄區。位於市區北中部。是市政府、礦務局機關的駐地。向陽區，原名「老街基」。該區也是中國大陸最小的市轄區。

## 行政區劃

下轄 5 個街道：北山街道、​紅軍街道、​光明街道、​勝利街道和南翼街道。

## 參考文獻

## 外部連結

* 鶴崗市向陽區人民政府
向阳区直辖地域

**向陽區（鎮）直轄地域**，是中華人民共和國黑龍江省佳木斯市向陽區直轄各地區的統稱。

## 行政區劃

向陽區直轄以下地區：

吉祥社區、​光明社區、​立新社區、​水利社區、​永新社區、​新建社區、​梅江社區、​平安社區、​長青社區、​青雲社區、​建業社區、​興工社區、​育才社區、​光復社區、​永平社區、​新誼社區、​熱源社區、​興運社區、​永春社區、​煤機社區、​江畔社區、​興城社區、​維新社區、​近江社區、​宏興社區、​天盈社區、​杏園社區、​長綠社區、​宏勝社區、​佳聯社區、​前豐社區、​環路社區、​佳大社區、​天富社區、​志同社區、​文久社區、​九洲社區、​棟梁社區、​萬力社區、​睿豐社區、​唐福社區、​福地社區、​全樂社區、​志興社區、​忠信社區、​南鐵西社區、​北鐵西社區、​南義興社區、​世水社區、​萬發村、​和平村、​新豐村、​長青村、​江南村、​上柳村、​下柳村、​馬場村、​新華社區、​永太社區、​橋西社區、​裕民社區、​金地社區、​龍福社區、​電台社區、​群英社區、​中南社區、​紅光社區、​學府社區、​安民社區、​永豐社區、​南湖社區、​四海社區、​松林社區、​臨江社區、​青山社區、​同福社區、​通江社區、​西站社區、​聯盟社區和林機社區。

## 參考資料
向阳南岗遗址

**向陽南崗遺址**，位於中國吉林省鎮賚縣坦途鎮向陽村，為一個省級文物保護單位，類型為古遺址，公布時間為 2013 年 5 月。該文物保護單位由鎮賚縣文管所管理。

向陽南崗遺址的歷史年代為新石器至青銅。

## 參考文獻
向阳国

**張林法**（？年－1953 年 9 月），九宮道首領，中華人民共和國時期稱帝者，1951 年至 1953 年期間在浙江省紹興縣稱帝。

## 事件

1951 年 8 月，張林法、楊福壽、朱雙福等人，策劃應變，並以原後天道為基礎新建「木家道」，又稱「普濟慈善長壽道」，即九宮道新組織。道首張林法自稱「向陽新主」（皇帝）。舉辦「封典」為發展組織的主要方式。 「幕兵」及「府台」以上的道首，均由張林法、楊福壽封點。為欺騙參加暴動人員，張林法及其黨羽製作了一個由彌勒佛降世的皇帝，還製作了皇帝龍袍、皇印、朝廷的旗幟（包括皇旗、帥旗），任命了丞相、國師、尚書、總兵等官職，圖謀成立封建王朝，並與蘇州、上海、杭州等地道首聯繫，準備在 1951 年國慶節前夕的農曆八月十五日組織暴動。由於行動暴露，這次擬定的暴動，很快被平息。1951 至 1952 年，後天道在紹興 3 次組織暴動。1953 年 9 月，張林法、楊福壽被處決。

## 參考資料
向阳堡乡

**向陽堡鄉**，是中華人民共和國山西省朔州市平魯區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽堡鄉下轄以下地區：

向陽堡村、​大莊村、​馬家窪村、​下梨園村、​宋井溝村、​小莊村、​楊樹坡村、​趙莊村、​石門村、​平番城村、​中鍾牌村、​鋪上村、​張小峰村、​劉小峰村、​郝小峰村、​喬小峰村、​店梁村、​代井溝村、​西鍾牌村、​東平太村、​興村、​南漢井村、​北漢井村、​小川村、​左小峰村、​程村、​緱村、​泉兒溝村、​東坡村、​前梁村、​柳樹咀村、​大坡村和西平太村。

## 參考資料
向阳墓群

**向陽墓群**，位於中國吉林省通化市二道江區鴨園鎮向陽村，為一個省級文物保護單位，類型為古墓葬，公布時間為 2007 年 5 月 31 日。該文物保護單位由通化市文物管理委員會辦公室管理。

向陽墓群的歷史年代為高句麗晚期。

## 參考文獻
向阳小区街道

**向陽小區街道**，是中華人民共和國河南省新鄉市紅旗區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽小區街道下轄以下地區：

春夏社區、​秋冬社區、​安居社區、​南苑社區、​新機社區、​孟營二村和孟營三村。

## 參考資料
向阳山水库

**向陽山水庫**，位於中華人民共和國黑龍江省樺南縣縣城樺南鎮東北 9 千米，是小八虎力河下游的一座大型水庫。水庫於 1958 年 6 月開建，1966 年續建，1970 年 10 月竣工。壩址以上集水面積 899 平方千米，總庫容 1.57 億立方米，興利庫容 0.73 億立方米。大壩為黏土心牆土石壩，總長 1244 米，其中主壩長 1110 米，最大壩高 19 米。電站裝機容量 500 千瓦。下游建有向陽山灌區，灌溉水田面積 1.686 萬公頃。水庫水面面積 22.1 平方千米，依山傍水，景色宜人，已闢為向陽湖風景區。

## 參考資料
向阳峪水库

**向陽峪水庫**是中國內蒙古自治區呼倫貝爾市阿榮旗向陽峪鎮境內的一座水庫，位於嫩江水系音河支流上，建於 1973 年。水庫正常庫容為 510 萬立方米，集雨面積為 244 平方千米，海拔為 88.5 米。

## 參考文獻
向阳峪镇

**向陽峪鎮**，是中華人民共和國內蒙古自治區呼倫貝爾市阿榮旗下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽峪鎮下轄以下地區：

向陽社區、​三道溝村、​樂昌村、​太平山村、​富山村、​興發村、​解放村、​羊草溝村、​向陽村、​勝利村、​松樹林村、​椅子山村、​兩方六村、​太平溝村、​樺樹溝村、​孤山屯村、​關家溝村、​松塔溝村和紅花梁子村。

## 參考資料
向阳川镇

**向陽川鎮**，是中華人民共和國黑龍江省佳木斯市富錦市下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽川鎮下轄以下地區：

向陽川村、​豐太村、​福安村、​大興村、​後山村、​泰山村、​正興村、​中和村、​建和村、​正和村、​龍安村、​東興村、​東來村、​擇林村、​馬鞍山村、​前進村、​福泉村、​六合村、​桂仁村、​友誼村、​永太村、​孟家崗村、​永福村、​長春嶺村、​徐家店村、​連山村、​安洪村、​寶山村、​太和村、​龍富村、​東新民村和福慶村。

## 參考資料
向阳店站

**向陽店站**位於山西省太原市尖草坪區向陽鎮，上蘭村線鐵路，始建於 1936 年，距離太原站 19 公里，距離上蘭村站 6 公里，隸屬於太原鐵路局，現為三等站。
向阳惟善堂

**向陽惟善堂**，位於中華人民共和國浙江省金華市金義都市新區傅村鎮，是浙江省省級文物保護單位之一。

2017 年 1 月 19 日，向陽惟善堂被列入第七批浙江省文物保護單位，該文物保護單位是一座古建築。

## 參考
向阳村

**向陽村**是中華人民共和國山東省臨沂市費縣馬莊鎮（原芍藥山鄉）的一個自然村，人口大約在 200 人左右。
向阳村圣家堂

天津東麗區向陽村聖家堂，又稱**仁慈莊天主堂**，是天主教天津教區的一座聖堂，原址位於東麗區向陽村，2011 年遷至現址，現址位於東麗區華明鎮華明新城居住區。

## 歷史

向陽村原名仁慈莊，位於東麗區么六橋回族鄉，是由雷鳴遠神父建立的天主教村，至今 90% 的村民為天主教徒。1906 年，雷鳴遠神父在此購地 10 傾，供流離至此的寶坻、靜海、山東教友及教外難民居住、耕種。第一座聖堂建於 1918 年，1934 年水災後，法籍神父高爾謙利用教區撥款在原堂的南部另建新堂，建築面積 800 餘平米。

1916 年老西開事件爆發後，堂區神父湯高達會同其他民眾遠赴天津市區對法國官方的行為表示抗議。

中共建政後，由於不斷惡化的宗教環境，1958 年堂區停止了公開禮拜，聖堂被先後改為公社食堂和工廠，本堂神父被迫害。連具有宗教色彩的「仁慈莊」地名也被改作文革色彩的「向陽村」。1983 年 12 月 20 日，村民騰出聖堂恢復了宗教活動，由獲釋不久的劉益民神父主持。1987 年，經鄉、村政府撥款和教友奉獻，在石鴻臣神父的主持下新建了聖堂，建築面積 320 平方米，附屬房 200 平方米。

2008 年，因天津空港經濟區建設，向陽村土地被徵用，其中也包括聖堂所在地。經本堂王室軍、前本堂朱立戈協調，東麗區政府出資在華明鎮還遷地區重建聖堂，新堂建築面積 800 平方米，並有附屬樓建築面積 1000 平方米，內部採用了新堂中少見的，比較傳統的柱廊式結構。

## 歷任本堂

比利時籍神父雷明遠，荷蘭籍主教文貴賓，及教廷宗座代表剛恆毅等均曾蒞臨該堂，另外，許多天津教區的重要人物也曾在此任本堂：

* 1983 年，劉益民司鐸（1979 年 9 月 12 日釋放回家，經政府許可於 80 年在教堂開始福傳管理教務於 84 年逝世）
* 1984 年，荷蘭華
* 1987 年，石鴻臣輔理主教（宗座認可，後自選自聖為天津教區主教）
* 1988 年，石鴻禎助理主教（宗座認可）
* 1990 年，朱立戈（愛國會成員）
* 1995 年，徐海民
* 1995 年，王學凌
* 1997 年，李文忠
* 1998 年，劉行傑
* 1999 年，王世軍

## 外部連結

* 仁慈莊堂原貌

## 參考文獻
向阳村站

**向陽村站**是位於黑龍江省大慶市向陽鄉的一個鐵路車站，郵政編碼 163815。車站建於 1972 年，有通讓鐵路經過該站，現僅辦理客運，不辦理貨運業務，車站及其上下行區間均未電氣化。車站距離通遼站 345 公里，隸屬哈爾濱鐵路局，是五等站。
向阳村街道

**向陽村街道**，是中華人民共和國四川省攀枝花市東區 (攀枝花市) 下轄的一個鄉鎮級行政單位。2019 年 12 月，撤銷向陽村街道，將所屬行政區域劃歸弄弄坪街道管轄。

## 行政區劃

向陽村街道下轄以下地區：

石華社區、​朝陽社區、​向陽五村社區和鋼花社區。

## 參考資料
向阳柯

**向陽柯**（學名：_Lithocarpus apricus_）是殼斗科柯屬的植物，為中國的特有植物。分布於中國大陸的雲南等地，生長於海拔 2,500 米的地區，常生於較乾燥的坡地，目前尚未由人工引種栽培。

## 參考文獻
向阳桥站

**向陽橋站**是一個京廣線上的鐵路車站，位於湖南省衡南縣向陽鎮，建於 1935 年，目前為四等站，郵政編碼為 421141。目前客運：辦理旅客乘降；行李、包裹託運；貨運：辦理整車貨物發到；零擔僅辦理直達整零貨物發到；危險貨物僅辦理農藥、化肥發到。

## 鄰近車站

## 參考資料
向阳桥街道

**向陽鎮**，是中華人民共和國湖南省衡陽市衡南縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽鎮下轄以下地區：

水口社區、​街道社區、​向陽社區、​疆塘社區、​黃獅塘社區、​向陽村、​水口村、​和平村、​祝山村、​蘇湖村、​車荷村、​蓮蓬村、​彭祠村、​竹沖村、​安福村、​良石村、​洞清村、​金台村、​日升村、​天竹村、​連塘村、​界牌村、​雅田村、​團結村、​靈覺村、​黃獅村、​湘江村、​漁市村、​朝陽村、​資富村、​堰頭村、​高嶺村和大嶺村。

## 交通

* 京廣鐵路：向陽橋站

## 參考資料
向阳楼街道

中華人民共和國天津市河東區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽樓街道下轄以下地區：

晨光樓社區、​向陽樓社區、​晨陽里社區、​前進新里社區、​滇池裡社區、​臨池裡社區、​翠韻里社區、​順達西里社區、​東局子第一社區、​東局子第二社區、​陽新里社區、​陽安里社區、​陽明里社區、​時尚花園社區、​昕旺北苑社區和昕旺南苑社區。

## 參考資料
向阳樟

**軟皮桂**（學名：_Cinnamomum liangii_）是樟科肉桂屬的植物。分布在越南以及中國大陸的廣西、廣東等地，生長於海拔 400 米至 900 米的地區，多生在山谷灌叢及常綠闊葉林中。

## 別名

向陽樟（海南植物志）

## 參考文獻
向阳水库

**向陽水庫**可以指：

* 向陽水庫 (崇州)，位於中國四川省崇州市
* 向陽水庫 (綏稜)，位於中國黑龍江省綏稜縣
* 向陽水庫 (榆樹)，位於中國吉林省榆樹市
向阳水库_(崇州)

**向陽水庫**是中國四川省成都市崇州市境內的一座水庫，位於西河支流羅漢河上，建於 1972 年。水庫正常庫容為 690 萬立方米，集雨面積為 2 平方千米，海拔為 590 米。

## 參考文獻
向阳水库_(榆树)

**向陽水庫**是中國吉林省長春市榆樹市於家鎮境內的一座水庫，位於卡岔河支流三道河上，建於 1958 年。水庫正常庫容為 1351 萬立方米，集雨面積為 67 平方千米，海拔為 188.63 米。

## 參考文獻
向阳水库_(绥棱)

**向陽水庫**是中國黑龍江省綏化市綏稜縣境內的一座水庫，引諾敏河水，建於 1980 年。水庫正常庫容為 980 萬立方米，集雨面積為 8 平方千米，海拔為 232.8 米。

## 參考文獻
向阳渠

**向陽渠**，位於江蘇省徐州市銅山區，是中華人民共和國江蘇省文物保護單位之一。

2011 年 12 月 30 日，授予江蘇省文物保護單位，是一座近現代重要史跡及代表性建築。

## 參考

* 第一、二批（1982 年 3 月重新公布）. 江蘇省地方志. [2012-04-15]. （原始內容存檔於 2012-12-04）.
* 第三批（1982 年 3 月公布）. 江蘇省地方志. [2012-04-15]. （原始內容存檔於 2012-12-04）.
* 第四批（1995 年 4 月公布）. 江蘇文化共享工程. [2012-04-15]. （原始內容存檔於 2011-09-20）.
* 省政府关于公布第五批省级文物保护单位的通知。中國江蘇網. [2012-04-15].
* 江苏省人民政府关于公布第六批省级文物保护单位的通知. [2012-04-15]. （原始內容存檔於 2014-11-12）.
* 江苏省人民政府关于公布第七批省级文物保护单位的通知. [2012-04-15].
向阳湖

**向陽湖**（藏語：ཤང་ཡང་མཚོ，威利轉寫：shang yang mtsho，THL：Shangyang Tso）位於中國西藏自治區那曲市雙湖縣境內，地處雙湖縣北部，崑崙山南麓，可可西里山北麓，湖面海拔 4870 米，面積 97.2 平方公里。湖區氣候寒冷乾燥，年均氣溫 - 4℃，年均降水量 100～150 毫米。湖水主要靠冰雪融水徑流補給。

## 參考資料
向阳湖文化名人旧址

**向陽湖文化名人舊址**位於中國湖北省咸寧市咸安區向陽湖鎮，主要包括五七區、窯廠區、紅旗區、向陽區，2013 年被列為第七批全國重點文物保護單位。

1969 年 9 月，文化部在咸寧向陽湖（原名關陽湖）建立五七幹校，下設文化部機關、文聯作協口、出版口、文物口、電影口共五個大隊，先後有 6000 餘名幹校學員，其中著名的有冰心、馮雪峰、沈從文、嚴文井、張天翼、張光年、臧克家等。向陽湖文化名人舊址總面積約 78,000 平方米，房屋 144 棟，有磚瓦結構平房、土坯房，窯廠，另有自行設計施工修建的三座橋 —— 紅旗橋、五七橋、向陽橋。

## 參考文獻
向阳湖镇

**向陽湖鎮**，是中華人民共和國湖北省咸寧市咸安區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽湖鎮下轄以下地區：

甘棠社區、​寶塔社區、​北嶺村、​斬關村、​甘棠村、​祝垴村、​鐵鋪村、​寶塔村、​綠山村和廣東畈村。

## 參考資料
向阳牌陈曲酒

**赤峰陳曲**是因產於內蒙古赤峰的一系列白酒，。源於康熙年間山西太谷晉商曹氏家族在當地開設的「乾御興燒鍋」，和太谷晉商張氏家族在當地於 1736 年成立的「元隆燒鍋」。抗戰時包括元隆燒鍋在內的酒坊大多倒閉；「乾御興燒鍋」被日偽霸占，改為「酒業組合」；戰後被民國政府以敵產接收，1947 年第二次國共內戰當地易手後，當局於 1950 改名為赤峰酒廠，後數度易名。1959 年，酒廠以宋朝司馬光的《客中初夏》中「更無柳絮因風起，惟有葵花向日傾」為源註冊「向陽牌」商標。除白酒外，還生產過黃酒，但因銷路不大而終止。而向陽牌赤峰陳麯酒是酒廠於 1970 年代末為提高品質，以廊坊食品發酵研究所的「瀘型酒微生物的選育及防止窖泥老化」和「己酸菌人工培養」的科研成果提升釀造工藝，並與遼寧大學生物系合作，以「增 (加) 己 (己酸乙酯) 和降 (低) 乳 (乳酸乙酯)」的科研成果改良窖池，以高粱為主料，用河內白曲制麩曲為糖化發酵劑，用 5 種產酯酵母為發酵劑，於 1979 年研製成功的麩曲濃香型白酒。

## 參考文獻
向阳红

**向陽紅系列海洋調查船**是中華人民共和國國家海洋局下屬的海洋科學考察船隊，該系列船隻先後建造了十餘艘，噸位從千噸級到萬噸級不等。

現在役 4 艘：向陽紅 06」、「向陽紅 09」、「向陽紅 14」、「向陽紅 08」。

## 歷史

1969 年 3 月 28 日，解放軍海軍司令部對國家海洋局船舶命名作了如下批覆：國家海洋局 1000 噸以上的海洋調查船命名為「向陽紅」，1000 噸以下的命名為「曙光」，並以出廠先后冠以順序號。 七十年代有 600 噸級的「曙光 1」號、「曙光 2」號、「曙光 3」號（以上屬南海分局）、「曙光 4」號、「曙光 5」號（以上屬北海分局）、「曙光 6」號、「曙光 7」號（以上屬東海分局）。2016 年底，北船重工遊艇廠為國家海洋局北海環境監測中心承制的「曙光 12」海灣移動監測平台下水。

## 功能分類

按承擔的任務和噸位的不同，分屬於三個序列

1. 1000 噸級的調查船，主要進行水文氣象和斷面調查；
2. 3000 噸級的調查船，主要進行遠海和綜合調查；
3. 10000 噸級以上的調查船，主要進行遠洋調查、極地調查和大洋考察。

## 船隻清單

* 向陽紅 01 號第一艘，1967 年 2 月由江南造船廠開工建造 1 艘，1969 年 12 月 14 日出廠，歸東海分局使用。中國第一艘海洋水文氣象船。（614I 型），是國家海洋局建造的第一艘水文氣象船，也是我國第一艘噸位比較大的氣象船，設計排水量 1120 噸。
* 向陽紅 01 號第二艘：武船 2013 年 6 月開工建造，2015 年 9 月 22 日下水，2016 年 6 月 18 日上午交付使用。總噸位約 4800 噸，續航力 15000 海里。
* 向陽紅 02 號，海洋水文天氣船。廣州造船廠 1968 年開工建造，1972 年 5 月交付南海分局使用。設計排水量 1178.93 噸
* 向陽紅 03 號第一艘，海洋水文天氣船。廣州造船廠 1972 年 5 月交付。
* 向陽紅 03 號第二艘：2013 年 6 月開工，2015 年 7 月 31 日在武船下水。總噸位 4864。
* 向陽紅 04 號，江南造船廠 1967 年 9 月開工，1972 年交船。
* 向陽紅 05 號，波蘭巴黎公社造船廠建造 Francesco Nullo 級「長寧輪」貨船。1966 年下水。隸屬於交通部廣州遠洋公司。廣州造船廠於 1970 年開始把「長寧輪」貨船改裝為向陽紅 5 號，1972 年 12 月 20 日竣工。總投資為 250 萬元。1978 年 12 月，向陽紅 5 號海洋調查船再次改裝。滿載排水量 14500 噸。
* 向陽紅 06 號第一艘，廣州造船廠於 1969 年 1 月開工建造，1973 年完工。
* 向陽紅 06 號第二艘，1995 年建成小貨櫃式貨船「豪利」號。2012 年 5 月 18 日，在青島舉行了「豪利」號入列改為向陽紅 06 號遠洋科考船的儀式。改建工程於 2011 年 3 月 10 日啟動，由中船澄西船舶修造有限公司負責，於 2012 年 1 月 16 日正式交付國家海洋局北海分局。船長 91 米、船寬 14.7 米、型深 7.6 米，裝有艏部側推裝置，滿載排水量 4900 噸，最大航速 13.5 節，續航力 15000 海里，自持力 60 天，乘員 60 人。
* 向陽紅 07 號：蕪湖造船廠於 1971 年 6 月開工，1972 年 4 月 20 日下水。1974 年 9 月 26 日交付國家海洋局北海分局使用。設計排水量 1170 噸
* 向陽紅 08 號第一艘：蕪湖造船廠
* 向陽紅 08 號第二艘，近海科考船，2008.11.25 建成。排水量 600 噸。現屬於國家海洋局北海分局。
* 向陽紅 09 號，遠洋科考船，滬東造船廠於 1977 年 10 月開工，1978 年 10 月竣工，並於 1978 年 12 月服役北海分局。排水量 4435 噸。為「蛟龍」號載人潛水器母船。
* 向陽紅 10 號第一艘：大型遠洋綜合科學調查研究船，三層連續甲板、中等長度的艏樓，5 層上層建築，排水量 13000 噸。1971 年 2 月開始研究設計，1975 年 7 月江南造船廠開工建造，1979 年 10 月交船，隸屬於國家海洋局東海分局。1985 年，該船榮獲我國首屆國家級科學技術進步獎的特等獎。1999 年改裝為遠望四號航天測量船。
* 向陽紅 10 號第二艘，為國家深海及大洋區科考船。2012 年 6 月溫州中歐船業有限公司開工建設，採用全迴轉舵槳電力推進系統和動力定位系統，設計排水量約 4400 噸，續航力為 1.2 萬海里，船上定員 65 人，自持力為 60 天。 隸屬於國家海洋局第二海洋研究所和浙江太和航運有限公司。由太和公司負責管理。
* 向陽紅 14 號遠洋綜合調查船，1981 年 7 月入役。排水量 4400 噸
* 向陽紅 16 號，1981 年上海滬東船廠建造，排水量 4400 噸，最大航速 19 節，續航力 1 萬海里。雙層連續甲板，採用雙柴油機推進，雙槳可調，雙舵，並具首部側推裝置。隸屬於國家海洋局東海分局。1992 年 11 月～1993 年 4 月配合海洋局海洋二所執行大洋多金屬結核調查任務。1993 年 5 月 2 日 5 時 5 分在北緯 29°12′、東經 124°28′的濟州島海域被賽普勒斯籍 3.8 萬噸的「銀角號」液化天然氣船撞上了右舯部，銀角號倒車，5 時 25 分，船長金明奇、總指揮張志挺、副總工程師周邦儀等最後一批棄船。5 時 37 分向陽紅 16 號船頭朝上沉沒，從被撞到沉沒總共 32 分鐘。全船 110 人，107 人獲救，3 人遇難（住在直接被撞部位的 222 艙室的于海洋、孟今偉和一位醫生）。6 時 50 分獲救的 107 人全部登上銀角號輪。銀角號船以運輸一級危險品不能靠泊為由繼續向目的港航行。最後於 5 月 4 日 10 時，107 人全部安全登上交通部上海救撈局的德意號遠洋拖輪歸國。
* 向陽紅 18 號第一艘：排水量 4400 噸
* 向陽紅 18 號第二艘：701 所設計、武船建造，2015 年 5 月 6 日下水。12 月 31 日交付。排水量 1900 噸，續航能力 8000 海里，自持力可達 50 天，滿足無限航區要求。
* 向陽紅 20 號：鄂州光大臨江造船 2013/11/8 下水，2014/5/29 交船，船名 "海監 52"，曾短暫改名 "海警 2252"，後改名 "新實踐"，2015 年底改名 "向陽紅 20"。滿載排水量 3160 噸。
* 向陽紅 21 號：滬東造船廠於 1980 年 9 月至 1982 年 9 月建成。1982 年 11 月交船。
* 向陽紅 22 號：3000 噸級大型浮標作業船。2018 年 9 月 29 日上午在武船下水。
* 向陽紅 28 號：武昌造船廠於 1983 年 12 月 22 日正式開工建造，1986 年 6 月 12 日下水，10 月 29 日交船。
* 向陽紅 31 號：3000 噸級大型浮標作業船。2018 年 10 月 30 日上午在武船下水。交付國家海洋局南海分局使用。

## 參考文獻
向阳胡同

**向陽衚衕**，是位於北京市西城區中部的一條衚衕。現已無存。

## 簡介

向陽衚衕為曲折走向，東到鬧市口南街，中與前老萊街相交，北到西太平街。全長 281 米，平均寬 4 米。清朝是老萊街的一部分。1911 年之後，老萊街派生為前老萊街、後老萊街、小老萊街，該衚衕最小，故稱「小老萊街」。抗日戰爭時期，改名為「朝陽衚衕」。據傳，日偽北平市商會會長冷家驥的宅第在此（中華人民共和國時期在北京鐵路師範校園內），冷家驥忌「小」字，所以改稱朝陽衚衕。1965 年北京市整頓地名時，改名為「向陽衚衕」。2000 年代拆除，原址建成信達金融中心及其西側道路。

## 參考文獻
向阳街道

**向陽街道**可以指：

* 向陽街道 (北京市)，中華人民共和國北京市房山區下轄的街道
* 向陽街道 (天津市)，中華人民共和國天津市濱海新區下轄的街道
* 向陽街道 (赤峰市)，中華人民共和國內蒙古自治區赤峰市松山區下轄的街道
* 向陽街道 (扎蘭屯市)，中華人民共和國內蒙古自治區呼倫貝爾市扎蘭屯市下轄的街道
* 向陽街道 (鐵嶺市)，中華人民共和國遼寧省鐵嶺市清河區下轄的街道
* 向陽街道 (朝陽市)，中華人民共和國遼寧省朝陽市龍城區下轄的街道
* 向陽街道 (吉林市)，中華人民共和國吉林省吉林市船營區下轄的街道
* 向陽街道 (遼源市)，中華人民共和國吉林省遼源市龍山區下轄的街道
* 向陽街道 (洮南市)，中華人民共和國吉林省白城市洮南市下轄的街道
* 向陽街道 (雞西市)，中華人民共和國黑龍江省雞西市雞冠區下轄的街道
* 翠巒鎮，中華人民共和國黑龍江省伊春市烏翠區下轄的街道
* 向陽街道 (七台河市)，中華人民共和國黑龍江省七台河市茄子河區下轄的街道
* 向陽街道 (牡丹江市)，中華人民共和國黑龍江省牡丹江市愛民區下轄的街道
* 向陽街道 (阜陽市)，中華人民共和國安徽省阜陽市潁東區下轄的街道
* 向陽街道 (九江市)，中華人民共和國江西省九江市潯陽區下轄的街道
* 向陽街道 (煙臺市)，中華人民共和國山東省煙臺市芝罘區下轄的街道
* 向陽街道 (欽州市)，中華人民共和國廣西壯族自治區欽州市欽南區下轄的街道
* 向陽街道 (渭南市)，中華人民共和國陝西省渭南市臨渭區下轄的街道
* 向陽街道 (石河子市)，中華人民共和國新疆維吾爾自治區石河子市下轄的街道
向阳街道_(七台河市)

**向陽街道**，是中華人民共和國黑龍江省七台河市茄子河區下轄的一個鄉鎮級行政單位。

## 行政區劃

向陽街道下轄以下地區：

龍陽社區、​朝陽社區、​向陽社區和正陽社區。

## 參考資料
向阳街道_(三门峡市)

**向陽街道**是中國河南省三門峽市開發區下轄的一個街道。

## 行政區劃

向陽街道下轄：向陽村、三里橋村、後川村、韓莊村、南關村。