向量空间的基

在線性代數中，**基**（英文：basis，又稱**基底**) 是向量空間裡某一群特殊的向量（稱為**基向量**），使得向量空間中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的線性組合（或線性組合的極限）。

通過基底可以直接地描述向量空間 $\mathrm {V} $ 上定義的線性映射 $f$ ，詳請參見線性映射 #矩陣一節。

## 定義

為了記號表示方便，這裡仿造數列級數定義一個 "向量序列的級數"：

通常會仿造數列級數而把上面定義的 $s_{i}$ 寫為

　
: $\sum _{k=0}^{i}v_{k}$

或更直觀的

　
: $v_{0}+v_{1}+\cdots +v_{i}$

### Hamel 基

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 $E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B}}$ 基向量和第二組純量 $c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K$ 也滿足 $c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v$ 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 $w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}$ ，其他不重複的部分，第一組的記為 $v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}$ ；而第二組的記為 $u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}$ ；然後設 $w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}$ 於原來第一組對應的純量係數是 $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K$ ；原第二組則是對應 $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K$ 。另外 $v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}$ 對應的純量係數則為 $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K$ ； $u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}$ 對應的純量係數則為 $b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K$ ； 這樣把 $v\in \mathrm {V} $ 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

　
: $\sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}$

這樣依據線性無關，就有

　
: $\alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}$

　
: $\beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}$

　
: $b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}$

這就確保任意 $v\in \mathrm {V} $ 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其純量係數也是唯一的。

### Schauder 基

除了上小節單以線性組合定義的 Hamel 基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

第二項條件通常會簡寫為

　
: 對每個 $v\in \mathrm {V} $ ，都存在唯一組純量 ${\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }$ ，使 $v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}$

甚至寫為

　
: $v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}$

### 例子

在傅立葉級數的研究中，函數 $\{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}$ 是所有的在區間 [0, 2π] 上為平方可積分的（實數或複數值）的函數的（實數或複數）向量空間的「正交基」，這種函數 $f(x)$ 滿足

　
: $\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .$

函數族 $\{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}$ 是線性無關的，所有在 [0, 2π] 上平方可積分的函數是它們的「無限線性組合」，在如下意義上

　
: $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0$

對於適合的（實數或複數）係數 _a_k, _b_k。但是多數平方可積分函數不能表達為這些基函數的有限線性組合，因為它們不構成 Hamel 基。這個空間的所有 Hamel 基都大於這個函數的只可數無限集合。此類空間的 Hamel 基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

## 維度

如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的**維度**。如果原本的基底為：

　
: ${\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}$

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 ${\{e_{i}\in V\}}_{i=1}^{N}$ 來間接代表 ${\mathfrak {B}}$ 。

事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。通過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。

## 性質

設 ${\mathfrak {B}}$ 是向量空間 $\mathrm {V} $ 的子集。則 ${\mathfrak {B}}$ 是基，若且唯若滿足了下列任一條件：

 * $\mathrm {V} $ 是 ${\mathfrak {B}}$ 的極小生成集，就是說只有 ${\mathfrak {B}}$ 能生成 $\mathrm {V} $ ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
* ${\mathfrak {B}}$ 是 $\mathrm {V} $ 中線性無關向量的極大集合，就是說 ${\mathfrak {B}}$ 在 $\mathrm {V} $ 中是線性無關 (線性獨立) 集合，而且 $\mathrm {V} $ 中沒有其他線性無關 (線性獨立) 集合包含它作為真子集。
* $\mathrm {V} $ 中所有的向量都可以按唯一的方式表達為 ${\mathfrak {B}}$ 中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的坐標。

如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

### 例子

* 考慮所有坐標 (_a_, _b_) 的向量空間 **R**2，這裡的 _a_ 和 _b_ 都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量 **e**1 = (1,0) 和 **e**2 = (0,1): 假設 _v_ = (_a_, _b_) 是 **R**2 中的向量，則 _v_ = _a_ (1,0) + _b_(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1) 和 (−1,2)，也形成 **R**2 的一個基。
* 更一般的說，給定自然數 _n_。_n_ 個線性無關的向量 **e**1, **e**2, ..., **e**n 可以在實數域上生成 **R**n。因此，它們也是的一個基而 **R**n 的維度是 _n_。這個基叫做 **R**n 的標準基。
* 設 _V_ 是由函數 _e_t 和 _e_2_t_ 生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的，所有它們形成了 _V_ 的基。
* 設 **R**[x] 指示所有實數多項式的向量空間；則 (1, x, x2, ...) 是 **R**[x] 的基。**R**[x] 的維度的勢因此等於 $\aleph _{0}$ .

## 標準基

在**行向量空間** $\mathbb {R} ^{n}$ 中有**單位行向量**

$$
E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)
$$

那麼在該空間中，任意向量 $X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ , 都可以**唯一**表示成 $X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)}$ . 然後我們可以看出， $\mathbb {R} ^{n}$ 可以由它的向量子空間構成

 $\mathbb {R} ^{n}$ $=<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>$ .

同樣的，**單位列向量**就可以表達為 $\mathbb {R} ^{n}$ $=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]$ .

線性無關的單位行向量 $E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}$ 生成 $\mathbb {R} ^{n}$ . 那麼 ${E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的基，稱這個基為**標準基**.

## 基的擴張

如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果 ${\mathfrak {L}}$ 是在向量空間 $\mathrm {V} $ 中的一個線性無關集合而集合 ${\mathfrak {G}}$ 是一個包含 ${\mathfrak {L}}$ 而且能夠生成 $\mathrm {V} $ 的集合，則存在 $\mathrm {V} $ 的一組基 ${\mathfrak {B}}$ ，它包含了 ${\mathfrak {L}}$ 而且是 ${\mathfrak {G}}$ 的子集： ${\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}$ 。

以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要添加的元素是 0 個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那么元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

## 有序基和坐標

基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將： ${\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ 寫成有序向量組： $(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})$ 。這樣的有序向量組稱為**有序基**。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的數組表示，稱為向量的坐標。例如，在使用向量的坐標表示的時候習慣談論「第一個」或「第二個」坐標，這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的坐標架。

設 $\mathrm {V} $ 是在域 $\mathbb {F} $ 上的 _n_ 維向量空間。在 $\mathrm {V} $ 上確定一個有序基等價於確定一個從坐標空間 $\mathbb {F} ^{n}$ 到 $\mathrm {V} $ 的一個選定線性同構 $\phi $ 。

_證明_：這個證明利用了 $\mathbb {F} ^{n}$ 的標準基是有序基的事實。

首先假設

　
: $\phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} $ 是線性同構。可以定義 $\mathrm {V} $ 的一組有序基 $\{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ 如下：

　
: $v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.$

其中的 $\{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是 $\mathbb {F} ^{n}$ 的標準基。

反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的映射

　
: _φ_(_x_) = _x_1_v_1 + _x_2_v_2 + ... + _x_n_v_n,

這裡的 _x_ = _x_1**e**1 + _x_2**e**2 + ... + _x_n**e**n 是 **F**n 的一個元素。不難檢查出 _φ_ 是線性同構。

這兩個構造明顯互逆。所以 _V_ 的有序基一一對應於線性同構 **F**n → _V_。

確定自有序基 {_v_i} 線性映射 _φ_ 的逆映射為 _V_ 裝備了坐標：如果對於向量 _v_ ∈ _V_, _φ_-1(_v_) = (_a_1, _a_2,...,_a_n) ∈ **F**n，則 _a_j = _a_j(_v_) 的分量是 _v_ 的坐標，在 _v_ = _a_1(_v_) _v_1 + _a_2(_v_) _v_2 + ... + _a_n(_v_) _v_n 的意義上。

從向量 _v_ 到分量 _a_j(_v_) 的映射是從 _V_ 到 **F** 的線性映射，因為 _φ_-1 是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成 _V_ 的**對偶空間**的基，叫做**對偶基**。

## 參考文獻

## 參見

* 線性代數
* 線性組合

## 外部連結

* MIT Linear Algebra Lecture on Bases （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Google Video, from MIT OpenCourseWare