向量力學

**古典力學**是力學的一個分支。古典力學是以牛頓運動定律為基礎，在宏觀世界和低速狀態下，研究物體運動的基本學科。在物理學裏，古典力學是最早被接受為力學的一個基本綱領。古典力學又分為靜力學（描述靜止物體）、運動學（描述物體運動）和動力學（描述物體受力作用下的運動）。16 世紀，伽利略・伽利萊就已採用科學實驗和數學分析的方法研究力學。他為後來的科學家提供了許多豁然開朗的啟示。艾薩克・牛頓則是最早使用數學語言描述力學定律的科學家。

後來，拉格朗日、哈密頓創立更為抽象的研究方法來表述古典力學。新的表述形式被稱為拉格朗日力學和哈密頓力學。這些進步主要發生在 18 世紀和 19 世紀，新的表達方式大大超出了牛頓所表達古典力學的工作範圍，特別是通過使用分析力學，經過一些修改即可用於現代物理學的所有領域。

在研究速度不接近光速、質量不是非常大的宏觀物體時，古典力學提供了非常精確的結果。然而，當被檢測的對象尺度具有大約原子直徑的大小時，需要引入量子力學；描述物體速度接近光速時，需要引入狹義相對論；如果研究大質量對象，需要引入廣義相對論。

目前主流的研究將相對論力學納入古典物理學，在他們看來，相對論力學以最發達和最準確的形式來代表古典力學。

## 簡介

古典力學是以牛頓運動定律為基礎，以下分別列出三條牛頓運動定律：

1. 第一定律：如果物體處於靜止狀態，或呈等速直線運動，只要沒有外力作用，物體將保持靜止狀態，或呈等速直線運動之狀態。這定律又稱為慣性定律。
2. 第二定律：物體的加速度，與所受的淨外力成正比。加速度的方向與淨外力的方向相同。即 $\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!$ ；其中， $\mathbf {a} \,\!$ 是加速度， $\mathbf {F} \,\!$ 是淨外力， $m\,\!$ 是質量。
3. 第三定律：兩個物體的交互作用力總是大小相等，方向相反，同時出現或消失。強版第三定律還額外要求兩支作用力的方向都處於同一直線。

古典力學推翻了絕對空間的概念：即在不同空間發生的事件是絕然不同的。例如，靜掛在移動的火車車廂內的時鐘，對於站在車廂外的觀察者來說是呈移動狀態的。但是，古典力學仍然確認時間是絕對不變的。

由伽利略和牛頓等人發展出來的力學，著重於分析位移、速度、加速度、力等等矢量間的關係，又稱為**矢量力學**。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但並不是唯一的表述方式：約瑟夫・拉格朗日、威廉・哈密頓、卡爾・雅可比等發展了古典力學的新的表述形式，即所謂分析力學。分析力學所建立的框架是近代物理的基礎，如量子場論、廣義相對論、量子引力等。

微分幾何的發展為古典力學注入了蒸蒸日盛的生命力，是研究現代古典力學的主要數學工具。在日常經驗範圍中，採用古典力學可以計算出精確的結果。但是，在接近光速的高速度或強大重力場的系統中，古典力學已被相對論力學取代；在小距離尺度系統中又被量子力學取代；在同時具有上述兩種特性的系統中則被相對論性量子場論取代。雖然如此，古典力學仍舊是非常有用的。因為下述原因：

1. 它比上述理論簡單且易於應用。
2. 它在許多場合非常準確。古典力學可用於描述人體尺寸物體的運動（例如陀螺和棒球），許多天體（如行星和星系）的運動，以及一些微尺度物體（如有機分子）。

雖然古典力學和其他「古典」理論（如古典電磁學和熱力學）大致相容，在十九世紀末，還是發現出有些只有現代物理才能解釋的不一致性。特別是，古典非相對論電動力學預言光波傳播於以太內的速度是常數，古典力學無法解釋這預測，因而導致了狹義相對論的發展。古典力學和古典熱力學的結合又導出吉布斯悖論（熵不具有良好定義）和紫外災變（在頻率趨向於無窮大時，黑體輻射的理論結果和實驗數據無法吻合）。為解決這些問題的努力造成了量子力學的發展。

## 理論的表述

古典力學有許多不同的理論表述方式：

* 牛頓力學（矢量力學）的表述方式。
* 拉格朗日力學的表述方式。
* 哈密頓力學的表述方式。

以下介紹古典力學的幾個基本概念。為簡單起見，古典力學常使用點粒子來模擬實際物體。點粒子的尺寸大小可以被忽略。點粒子的運動可以用一些參數描述：位移、質量、和作用在其上的力。

實際而言，古典力學可以描述的物體總是具有非零的尺寸。（超小粒子的物理行為，例如電子，必須用量子力學才能正確描述）。非零尺寸的物體比虛構的點粒子有更複雜的行為，這是因為自由度的增加，例如棒球在移動的同時也可以旋轉。雖然如此，點粒子的概念也可以用來研究這種物體，因為這種物體可以被視為由大量點粒子組成的複合物。如果複合物的尺寸極小於所研究問題的距離尺寸，則可以推斷複合物的質心與點粒子的行為相似。因此，使用點粒子也適合於研究這類問題。

### 位置及其導數

在空間內，設定一坐標系。參考此坐標系，點粒子的位置，又稱為位置向量，定義為從原點 O 指達粒子的向量 $\mathbf {r} \,\!$ ；向量的端點為原點 O，矢點為粒子所處地點。如果，點粒子在空間內移動，位置會隨時間而改變，則 $\mathbf {r} \,\!$ 是時間 $t\,\!$ (從任意的初始時刻開始的時間）的函數。在愛因斯坦的相對性理論之前（伽利略相對性原理），時間被認為在所有參考系中是絕對的。也就是說，不同的觀察者在各自的參考系中所測量的時間間隔都等值。並且，古典力學假設空間為歐幾里得幾何空間。

位移是位置的改變。假設從舊位置 $\mathbf {r_{1}} \,\!\,\!$ 改變到新位置 $\mathbf {r_{2}} \,\!\,\!$ ，則位移是 $\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \,\!\,\!$ 。使用向量分析的術語，假設一個粒子的位置，從舊位置移動到新位置，則位移是端點為舊位置，矢點為新位置的向量，又稱為位移向量。

#### 速度

速度是位移對於時間的變化率，正式定義為位移對於時間的導數。以方程式表達

　
: $\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r}  \over \mathrm {d} t}\qquad \,\!$ ；

其中， $\mathbf {v} \,\!$ 是速度。

在古典力學中，速度可以直接地相加或相減。例如，假設一輛車以向東 60 km/h 的速度超過另一輛以 50 km/h 向東的車，從較慢車的角度來看，它的速度是向東 60 − 50 = 10 km/h. 從較快車的角度來看，較慢車以 10 km/h 向西行駛。如果車是向北行駛呢？速度以向量形式直接相加；但必須用向量分析的方法來處理。

假設，第一輛車的速度為 $\mathbf {u} =u\mathbf {d} \,\!$ ，第二輛車的速度為 $\mathbf {v} =v\mathbf {e} \,\!$ ；其中，兩輛車的速率分別為 $u\,\!$ 和 $v\,\!$ ，而 $\mathbf {d} \,\!$ 和 $\mathbf {e} \,\!$ 分別為兩輛車朝著運動方向的單位向量。那麼，從第二輛車觀察，第一輛車的速度 $\mathbf {u} '\,\!$ 為

　
: $\mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,\!$ 。

同樣地，從第一輛車觀察，第二輛車的速度 $\mathbf {v} '\,\!$ 為

　
: $\mathbf {v} '=\mathbf {v} -\mathbf {u} \,\!$ 。

假設這兩輛車的運動方向相同， $\mathbf {d} =\mathbf {e} \,\!$ ，則這公式簡化為

　
: $\mathbf {u} '=(u-v)\mathbf {d} \,\!$ 。

在這裡，可以忽略方向，只用速率表達：

　
: $u'=u-v\,\!$ 。

#### 加速度

加速度，或是說速度對於時間的變化率，是速度對於時間的導數，以方程式表達

　
: $\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v}  \over \mathrm {d} t}\,\!$ 。

加速度向量可以改變速度大小，改變速度方向，或同時改變速度的大小與方向。如果只有速度的大小（速率）減小，則可以稱為**減速**或**變慢**。但通常來說，速度上的任何改變，包括減速，都可以稱為加速度。

#### 慣性參考系

在空間內，相對於任何參考點（靜止中或移動中），一個運動中的粒子的位移、速度、和加速度都可以測量計算而求得。雖然如此，古典力學假定有一組特別的參考系。在這組特別的參考系內，大自然的力學定律呈現出比較簡易的形式。稱這些特別的參考係為慣性參考系。慣性參考系有個特性：兩個慣性參考系之間的相對速度必是常數；相對於一個慣性參考系，任何非慣性參考系必定呈加速度運動。所以，一個淨外力是零的點粒子在任何慣性參考系內測量出的速度必定是常數；只有在淨外力非零的狀況下，才會有點粒子加速度運動。問題是，因為萬有引力的存在，並無任何方法能夠保證找到淨外力為零的慣性參考系。實際而言，相對於遙遠星體呈現常速度運動的參考系應是優良的選擇。

思考同一事件在兩個慣性參考系 $S\,\!$ 和 $S\,'\,\!$ 的測量結果。假設，相對於 $S\,\!$ 參考系， $S\,'\,\!$ 參考系以速度 $\mathbf {v} \,\!$ 移動。分別處於這兩個參考系的觀查者會測量到以下結果：

 * $\mathbf {u} '=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,\!$ （同一點粒子的運動，在 $S\,'\,\!$ 測量的速度是在 $S\,\!$ 測量的速度減去 $\mathbf {v} \,\!$ ）。
* $\mathbf {a} '=\mathbf {a} \,\!$ （點粒子的加速度和慣性參考系無關）。
* $\mathbf {F} '=\mathbf {F} \,\!$ （因為 $\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!$ ，施於點粒子上的力和慣性參考系無關；參見牛頓運動定律）。
* 光速不是常數。
* 馬克士威方程組的形式不是獨立於慣性參考系的；從一個慣性參考系轉換到另一個慣性參考系，則馬克士威方程組的形式可能會改變。

### 力與加速度；牛頓第二定律

牛頓第二定律把點粒子的質量和速度用一個稱為力的向量聯繫起來。如果 $m\,\!$ 是點粒子的質量，而 $\mathbf {F} \,\!$ 是所有作用在其上的力的向量總合（就是，**淨作用力**），牛頓第二定律表明

　
: $\mathbf {F} ={\mathrm {d} (m\mathbf {v} ) \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} \mathbf {p}  \over \mathrm {d} t}\,\!$ 。

其中， $\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!$ 為動量。

通常，質量 $m\,\!$ 與時間無關。那麼，牛頓定律可以簡化為

　
: $\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!$ 。

其中， $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\,\!$ 是加速度。

但質量並不總是獨立於時間。例如，火箭需要噴出推進劑，才能往前方推進。所以，隨著時間演化，火箭質量會漸漸減少。對於此案例，上述方程式並不正確，必須使用牛頓第二定律的完整形式。

牛頓第二定律不足以獨立描述粒子的運動，還必需知道 $\mathbf {F} \,\!$ 的性質和形式。假若，知道施加於點粒子的作用力，則牛頓第二定律足以描述粒子的運動。例如，一個典型的摩擦力 $\mathbf {F} _{\rm {R}}\,\!$ 可以表達為：

　
: $\mathbf {F} _{\rm {R}}=-\lambda \mathbf {v} \,\!$ 。

其中， $\lambda \,\!$ 是一個正值常數。

當每個施加於點粒子的作用力的獨立關係都被設定後，它們可以被代入牛頓第二定律中，從而得到一個微分方程式，稱為運動方程式。繼續上面的例子，假設摩擦力是唯一作用在點粒子上的力，則運動方程式為

　
: $-\lambda \mathbf {v} =m\mathbf {a} =m{\mathrm {d} \mathbf {v}  \over \mathrm {d} t}\,\!$ 。

積分這個運動方程式，可以得到

　
: $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}e^{-\lambda t/m}\,\!$ ；

其中， $\mathbf {v} _{0}\,\!$ 是初始速度。此公式顯示出，這粒子的速度是隨著時間指數式遞減到 0。進一步將此公式積分，可以得到位移 $\mathbf {r} \,\!$ 隨著時間的函數。

重力和電磁學中的勞侖茲力是幾種常見的力。

牛頓第三定律可以用來推論作用於粒子的力：如果已知粒子 A 作用於另一粒子 B 的力是 $\mathbf {F} \,\!$ ，則粒子 B 會有一個大小相等、方向相反的反作用力 $-\mathbf {F} \,\!$ 作用於粒子 A。

### 能量

若施加作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 於某粒子，因而產生位移 $\Delta \mathbf {r} \,\!$ ，該作用力所做的**功** $W\,\!$ 是一個純量

　
: $W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} \,\!$ 。

若粒子的質量不變，而 $W_{\rm {total}}\,\!$ 是施加於粒子所有作用力所作的功，通過把每個作用力所作的功加起來得到，從牛頓第二定律：

　
: $W_{\rm {total}}=\Delta E_{k}\,\!$ 。

在這裡， $E_{k}\,\!$ 被稱為動能。對於一個粒子，它被定義為

　
: $E_{k}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}\,\!$ 。

對於很多粒子組成的複合物體，合成體的動能是粒子的動能總和。

有一類特殊的力，稱為保守力，可以表達為一個純量函數的梯度，該函數稱為位能，標記為 $E_{p}\,\!$ ：

　
: $\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } E_{p}\,\!$ 。

如果所有總用在粒子上的力是保守的，而 $E_{p}\,\!$ 是所有位能加起來得到的總位能，那麼，

　
: $\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {s} =-\mathbf {\nabla } E_{p}\cdot \Delta \mathbf {s} =-\Delta E_{p}\Rightarrow -\Delta E_{p}=\Delta E_{k}\Rightarrow \Delta (E_{k}+E_{p})=0\,\!$ 。

這結果稱為能量守恆定律。以公式表達

　
: $E_{total}=E_{k}+E_{p}\,\!$ ，

總能量 $E_{total}\,\!$ 與時間無關。這結果非常有用。因為，很多常見的力是保守的。

### 進階結果

牛頓的定律為複合物體提供了很多重要的結果。在這方面，牛頓定律延伸成為歐拉定律。描述一維運動的微積分也可以用來描述角動量的概念。

古典力學有兩種其它重要的表述：拉格朗日力學和哈密頓力學。它們都和牛頓力學相等價。但是，在解決問題上，它們經常有更大的威力。這些和其他的現代表述通常都繞過作用力的概念，而使用其他物理量，例如能量、拉格朗日量或哈密頓量，來描述力學系統。

### 古典變換

思考兩個參考系 $S\,\!$ 和 $S\,'\,\!$ 。對於分別處於這兩個參考系的觀察者，假設同一個事件在 $S\,\!$ 參考系中的時空坐標為（ $x,\ y,\ z,\ t\,\!$ ），在 $S\,'\,\!$ 參考系中為（ $x\,',\ y\,',\ z\,',\ t\,'\,\!$ ）。假若時間是有絕對性的（時間在兩個參考坐標系的測量值相等），並且要求當 $t=0\,\!$ 時，令 $x\,'=x\,\!$ 。假若 $S\,'\,\!$ 在 $x\,\!$ 方向以 $v\,\!$ 的速度相對於 $S\,\!$ 運動。那麼，同一事件在兩個參考系 $S\,\!$ 和 $S\,'\,\!$ 內的時空坐標關係為：

　
: $x\,'=x-vt\,\!$ 、

　
: $y\,'=y\,\!$ 、

　
: $z\,'=z\,\!$ 、

　
: $t\,'=t\,\!$ 。

這一組公式定義了一種群變換，稱為伽利略變換。在狹義相對論的極限狀況，當相對速度 $v\,\!$ 超小於光速時，這變換是正確的。

當解析某些問題時，採用旋轉坐標（參考系）會帶來很多便利。可以將旋轉坐標與一個簡易的慣性參考系保持映射函數關係，或者，也可提出虛假的離心力或科里奧利力。

## 歷史

古希臘的哲學家，包括亞里斯多德在內，可能是最早提出「萬有之本，必涵其因」論點，以及用抽象的哲理嘗試敲解大自然奧秘的思想家。當然，對於現代讀者而言，許多仍舊存留下來的思想是蠻有道理的，但並沒有無懈可擊的數學理論與對照實驗來闡明跟證實。而這些方法乃現代科學，如古典力學能形成的最基本因素。

約翰內斯・克卜勒為按照因果關係來解釋行星運動的科學家。他從第谷・布拉赫對火星的天文觀測資料裏發現了火星公轉的軌道是橢圓形的。這與中世紀思維的切割，大約發生在西元 1600 年。差不多於同時，伽利略用抽象數學定律來解釋粒子運動。傳說他曾經做過一個很有意思的實驗：他從比薩斜塔扔下兩個不同質量的球，試驗這兩個球是否會同時落地。雖然這很可能僅止於傳說。但他確實進行過在斜面上滾球的屬量性實驗；他的加速運動論顯然是由這類實驗的結果推導出的，而且成為了古典力學的基礎。

牛頓在他的巨著《自然哲學的數學原理》裡發表了牛頓萬有引力定律與三條牛頓運動定律：慣性定律，加速度定律和作用與反作用定律。使用運動定律與萬有引力定律，他能夠計算出普通物體與天體的運動軌道。特別值得一提的是，他研究出克卜勒定律在理論方面的詳解。牛頓先前創發的微積分是研究古典力學所必備的數學工具。

牛頓和那時期的同仁，除了克里斯蒂安・惠更斯所研究之波動現象為值得注意的例外，大多數都認為古典力學應可以詮釋所有大自然的現象，包括用其分支學術，幾何光學，來解釋光波。甚至於他發現的牛頓環（一個光波干涉現象），牛頓都試著用自己的光微粒說來解釋。

十九世紀後期，尖端的理論與實驗發掘出許多撲碩迷離的難題。古典力學與熱力學的連結導至出古典統計力學的吉布斯悖論（熵不是個良好定義的物理量）。在原子物理的領域，最基本的問題，像原子模型和發射光譜等，古典力學都無法給出合理的解釋。眾位大師盡心竭力研究這些難題，成功地發展出現代量子力學。類似地，在座標轉換時（轉換於兩個移動參考系之間），因為古典電磁學和古典力學相互矛盾，表現出不同的物理行為，引起愛因斯坦的關注，經過多年的努力，終就想出驚世的相對論。

自二十世紀末期以後，不再能虎山獨行的古典力學，與古典電磁學共同被牢牢的嵌入相對論和量子力學裏面，成為在非相對論性和非量子力學性的極限，研究非相對論性和非量子尺寸物體的物理性質的學術。

## 適用域

大多數古典力學的理論是更精準理論的簡化或近似。兩個非常精準的學術領域是廣義相對論和相對論性統計力學。幾何光學是量子光學的近似，並沒有比它更優良的古典理論了。

### 狹義相對論的近似

在牛頓力學，或非相對論性古典力學裏，一個粒子的動量 $\mathbf {p} \,\!$ 表達為

　
: $\mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} \,\!$ ；

其中， $m_{0}\,\!$ 是粒子的質量， $\mathbf {v} \,\!$ 是粒子的速度。

在相對論裏，動量表達為

　
: $\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,\!$ 。

其中， $m_{0}\,\!$ 是粒子的靜止質量。

這表達式可以對項目 $v/c\,\!$ 泰勒展開為

　
: $\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=m_{0}\mathbf {v} \left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\dots \right)\,\!$ 。

當 $v\ll c\,\!$ ，速度超小於光速時，古典近似成立。

舉例而言，迴旋加速器，磁旋管，或高電壓磁控管的相對論性迴旋頻率 $f\,\!$ 為

　
: $f=f_{c}{\frac {m_{0}}{m_{0}+T/c^{2}}},\,\!$ ；

其中， $f_{c}\,\!$ 是電子的古典頻率， $T\,\!$ 是動能。

電子的靜止質量是 511KeV。假若，電磁真空管的直流加速電壓為 5.11KeV，那麼，頻率修正很小，只有 1%。

### 量子力學的近似

當系統尺寸接近德布羅意波長時，古典力學的射線近似不成立，粒子具有波動性質。根據德布羅意假說，非相對論性粒子的波長是

　
: $\lambda =h/p\,\!$ ；

其中， $h\,\!$ 是普朗克常數。

因為電子的質量較輕，不需要擁有很大的動量，就會顯示出波動現象。柯林頓・戴維孫和雷斯特・革末首先觀察到電子的波動性質。於 1927 年，他們在戴維森 - 革末實驗中，將以 54V 加速，電子波長為 0.167 nm 的電子束，入射於原子間隔為 0.215 nm 的鎳晶體標靶.。細心地測量散射到每個角度的電子束強度，就可以得到電子的繞射圖案，與威廉・布拉格預測的 X 射線繞射圖案完全相同。

在電子工程領域，有顯示古典力學不足的更實際例子，像穿隧二極體和積體電路內電晶體閘極的量子穿隧效應。

## 參考文獻

## 外部連結

* 麻省理工學院物理系視聽教學：古典力學 1999 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

## 參見

* 簡單機械