同态基本定理

**同構基本定理**，或稱**同態基本定理**、**同型定理**（英語：Isomorphism theorems），包含三個定理，在泛代數領域有廣泛的應用。它們證明了一些自然同構的存在性。

## 歷史

同構基本定理最早由埃米・諾特（Emmy Noether）在她於 1927 在德國數學期刊_數學分析_（Mathematische Annalen）發表的論文 _Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern_ 中明確闡述。

## 群同構基本定理

群論中的同構基本定理形式相對簡單，卻表達了商群的重要性質。定理的敘述中用到了關於正規子群的等價類概念。

### 群同構第一定理

給定一個群同態 $f:G\to G'$ ，根據群同態第一基本定理，我們可以把 $G$ 除以 $G$ 的核，使 $f$ 變成單射。

直觀來講，把一個群 $G$ 除以 $G$ 的子群 $H$ 相當於把 $H$ 裡的元素看成 0 (一元素）。把 $f$ 的核除掉後，我們使得 $f(x)=0$ 只在 $x=0$ 時才會成立，這是 $f$ 的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對 $G/\operatorname {Ker} f\to G'$ 進行討論。

 
定理：
給定 $G$ 和 $G'$ 兩個群，和 $f:G\rightarrow G'$ 群同態。則 $\operatorname {Ker} f$ 是一個 $G$ 的正規子群。

 
證明：
記 $\cdot $ 為 $G$ 和 $G'$ 的運算符號，記 $e$ 和 $e'$ 他們的單位元素，我們可以驗證 $\operatorname {Ker} f$ 在共軛運算下封閉，即對於所有 $x\in G$ 、所有 $h\in \operatorname {Ker} f$ ，有 $x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f$ 。

我們有 $f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})$ 。由於 $h$ 在 $\operatorname {Ker} f$ 裡面，即 $f(h)=e'$ ，我們推論 $f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'$ 。因此， $x\cdot h\cdot x^{-1}$ 在 $\operatorname {Ker} f$ 裡面，故 $\operatorname {Ker} f$ 是 $G$ 的正規子群。

 
 $\operatorname {Ker} f$ 是 $G$ 的正規子群的這個性質讓我們可以在商群 $G/\operatorname {Ker} f$ 上定義一個與 $G$ 的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態 $f:G\rightarrow G'$ 誘導出群同構 ${\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f$ 。

我們有以下的定理：

群同構第一定理
給定 $G$ 和 $G'$ 兩個群， $f:G\rightarrow G'$ 群同態，則 $f$ 誘導出一個從 $G/\operatorname {Ker} f$ 打到 $f(G)$ 的群同構。

 
證明：
記 $H$ 為 $f$ 的核。我們定義 ${\hat {f}}$ 為 ${\widehat {f}}(xH)=f(x)$ .

* 函數 ${\widehat {f}}$ 定義良好，即 ${\widehat {f}}(xH)$ 只依賴於 $xH$ 而與代表 $x$ 的選擇無關。理由是，若 $y\in G$ 是 $xH$ 的一個代表，即若 $xH=yH$ ，則 $xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f$ ，所以 $f(x)=f(y)$ ，從而 ${\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)$ 。
* 由商群運算的定義， ${\widehat {f}}$ 是一個群同態。
* 群同態 ${\widehat {f}}$ 滿射：對於所有 $y\in f(G)$ ，存在 $x\in G$ 使得 $f(x)=y$ ，由此 ${\widehat {f}}(xH)=f(x)=y$ 。
* 群同態 ${\widehat {f}}$ 單射。理由是：考慮 ${\widehat {f}}$ 的核裡的任意元素 $xH$ ，則 $e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)$ ，即 $x$ 在 $f$ 的核 $H$ 裡面。又 $xH=H$ 是 $G/H$ 的單位元素。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

### 群同構第二定理

群同構第二定理：
給定群 $G$ 、其正規子群 $N$ 、其子群 $H$ ，則 $N\cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且我們有群同構如下： $H/(H\cap N)\simeq HN/N$

證明：

* 必須先證明 $HN$ 確實是一個群，以及 $N$ 限定在 $HN$ 中亦是一個正規子群，才能討論商群 $HN/N$ 。

設 $hn$ 和 $h'n'$ 為 $HN$ 中的兩個元素。我們有 $hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'$ ，其中 $hh'\in H$ , $h'^{-1}nh'\in N$ (因為 $N$ 在 $G$ 中正規) 且 $n'\in N$ ，故 $hnh'n'$ 在 $HN$ 中，其證明了 $HN$ 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 $N\subset HN\subset G$ 的包含關係，並且 $N$ 在 $G$ 中正規，所以也在 $HN$ 中正規。

* 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 $j:H\hookrightarrow HN$ 單射群同態，定義為 $j(h)=h$ ，
取標準滿射 $\sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N$ (值域是個群，因為 $N$ 在 $G$ 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 $f=\sigma \circ j:H\to HN/N$ 定義為 $f(h)=hN$ 。

* 群同態 $f$ 是滿射。

理由是，設 $(hn)N\in HN/N$ ，其中 $h\in H$ 且 $n\in N$ 。由於 $n$ 在 $N$ 裡面， $hnN=hN$ ，故 $hnN=f(h)$ 。

 * $f$ 的核是 $H\cap N$ 。

理由是， $f(h)=hN$ 是 $HN/N$ 的單位元素，即 $N$ 若且唯若， $h$ 在 $N$ 裡面。由於 $h$ 已經在 $H$ 裡面，所以證明這個相當於證明 $h$ 在 $N\cap H$ 裡面。

* 由群同構第一定理知 $N\cap H$ 是 $H$ 的正規子群，且其誘導出的映射 ${\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N$ 是群同構。

 
如果我們弱化前提，假設 $N$ 的正規化子包含 $H$ (把相等改成包含) 這個定理依然正確。

### 群同構第三定理

群同構第三定理：
給定群 $G$ ， $N$ 和 $M$ 為 $G$ 的正規子群，滿足 $M$ 包含於 $N$ ，則 $N/M$ 是 $G/M$ 的正規子群，且有如下的群同構： $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

證明： $G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN$ 為滿射，其核為 $N/M$

所以可由群同構第一定理得到 $(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

## 環和模上的形式

* 將定理中的「群」換為「_R_- 模」，將「正規子群」換為「子模」，就得到對於確定的環 _R_ 上的模的同構基本定理，（因此同構基本定理對於確定的域上的向量空間也成立）對於向量空間，同構第一基本定理即是秩 - 零化度定理。
* 將定理中的「群」換為「環」，「子群」換為「子環」，「正規子群」換為「理想」，「商群」換為「商環」就得到環的同構基本定理。
* 與子群的乘積 _HK_ 相對應的定義是子模，子環，子空間的並，用 _H_ + _K_ 而不再用 _HK_ 表示。具體的定義是：

　
: $H+K=\left\{a+b|a\in H,b\in K\right\}$

## 推廣

在泛代數中，正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。

　
: 設 _A_ 是一個代數結構，_A_ 的一個**同餘類**是 _A_ 上的一個等價關係 $\Phi $ ，可看作是 _A_ × _A_ 上的子代數。等價類 _A/_ $\Phi $ 的集合在定義了適合的運算法則後，便可成為與 _A_ 同類型的代數結構。

### 第一同構定理

設 _A_ 和 _B_ 是兩個代數結構，_f_ 是 _A_ 到 _B_ 的態射，則 _A_ 等價關係 $\Phi $ ：_a~b_ 若且唯若 _f(a)=f(b)_ 是 _A_ 上的一個同餘類，並且 _A/_ $\Phi $ 同構於 _f_ 的像（_B_ 的子代數）。

### 第二同構定理

設 _B_ 是 _A_ 的子代數， $\Phi $ 是 _A_ 上的同餘類。令 [B] $\Phi $ 是所有包含 _B_ 種元素的同餘類的集合，它是 _A/_ $\Phi $ 的一個子集； $\Phi _{B}$ 是 $\Phi $ 限制在 _B_ × _B_ 上的部分。那麼 [B] $\Phi $ 是 _A/_ $\Phi $ 的子代數結構， $\Phi _{B}$ 是 _B_ 上的同餘類，並且 [B] $\Phi $ 同構於 _B/_ $\Phi _{B}$ 。

### 第三同構定理

設 _A_ 是一個代數結構， $\Phi $ 和 $\Psi $ 是 _A_ 上的兩個同餘關係， $\Psi $ 包含於 $\Phi $ 。則 $\Phi $ 定義了 _A/_ $\Psi $ 上的一個同餘類 $\Theta $ ：_[a]~[b]_若且唯若 _a_ 與 _b_ 關於 $\Phi $ 同餘（_[a]_表示 _a_ 所在的 $\Psi $ - 等價類），並且 _A/_ $\Phi $ 同構於 _(A/_ $\Psi $ _)/_ $\Theta $ 。