印第安纳圆周率法案

**印第安納圓周率法案**（Indiana Pi Bill）是 1897 年當時的印第安納州議會第 246 號法案的一個常用名稱，這一法案因試圖以法律命令強制規定數學真理而臭名昭著。儘管名為圓周率法案，但實際上該法案的主要內容是化圓為方的一種解法，而非確定數學常數圓周率（π）的值。但是該法案的確間接提到了圓周率的錯誤值，例如 3.2。

在該法案在立法機構投票表決當天，恰逢普渡大學教授 C・A・沃爾多在場，由於他的干預，該法案並未成為正式法律。

在 1882 年，費迪南德・馮・林德曼已證明化圓為方問題僅以尺規作圖不能完成。而對於圓周率，在古時即有比該法案更為精確的估計值。

## 立法過程

在 1894 年，印第安納州醫師、業餘數學家愛德華・J・古德溫（Edward J. Goodwin，1825 年 - 1902 年）堅信自己發現了化圓為方的正確解法。他向州參議員泰勒・I・瑞克德（Taylor I. Record）提出一項議案，後由瑞克德以《一項旨在通過法律形式確立一個新的數學真理，並且在 1897 年議會官方通過並接受的前提下，將該真理作為對於教育的貢獻授權給印第安納州免費使用，不收取任何形式專利使用費的議案》（ "A Bill for an act introducing a new mathematical truth and offered as a contribution to education to be used only by the State of Indiana free of cost by paying any royalties whatever on the same, provided it is accepted and adopted by the official action of the Legislature of 1897"）這樣一個長標題提交給眾議院。

該法案的文本中包含一系列數學結論，之後是古德溫之前一系列成就的詳述：

> …… 他在三等分角、倍立方以及化圓為方上的解法已經作為對於科學的貢獻被《美國數學月刊》刊載…… 需要注意的是提到的這些難題已經被科學界認為是不可解的謎題、超越人類認知能力而很早就放棄。
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古德溫的所謂「解法」的確刊載在了《美國數學月刊》上，但是帶有「應作者要求刊載」的免責聲明。

自該法案提交到印第安納州眾議院後，該法案的行文和主題在議員中產生了誤解：來自印第安納州布盧明頓的一位議員提議將法案送交金融委員會審議，但是議長接受了另一位議員的建議，將其送交沼澤委員會審議，以便該法案可以「找到一個恰如其分的墳墓」。該法案被轉交給教育委員會，獲得較好反響；在擱置議事規則的動議之後，該法案於 2 月 6 日通過，無一票反對。有關該法案的新聞引起了印第安納波利斯當地一家德語報紙《每日電訊報》（Der Tägliche Telegraph）的注意，他們對該事件的態度明顯比英文競爭對手相比更加負面。就在討論結束之際，普渡大學教授 C・A・沃爾多為獲得印第安納州科學院的年度撥款來到印第安納波利斯。一位議員將該法案拿給他看，並提出可以向其引薦撰寫它的天才。沃爾多婉拒，表示自己已經見過很多瘋子，無意見更多。 

在送交印第安納州參議院時，由於沃爾多已經提前向參議院普及數學知識，該法案並沒有如眾議院一般的待遇。負責審議該法案的委員會對其評價負面，參議院在 2 月 12 日將其擱置；法案一度即將通過，但是在一名參議員提出議會沒有權力定義數學真理後，主流觀點開始轉變。同時《芝加哥論壇報》等主流報紙也開始嘲笑這一事件，聽到報告後的參議院觀點也受到影響。

根據《印第安納波利斯新聞報》2 月 13 日的報導：

>  …… 這一法案被拿出來被眾人嘲笑。參議員們用它打一些糟糕的俏皮話，譏諷它，嘲笑它。這歡樂的場景足足持續了半個小時。參議員哈貝爾表示眾議院每天花費 250 美元，不應該把錢浪費在這種無稽之談上。他說在讀到芝加哥和東部一些主流報紙的報導後，他發現印第安納州立法機構因為接受審議該法案的行為已經遭到廣泛的嘲笑。他認為審議這一議案有辱參議院之名。他提議無限期推遲審議該法案，該動議獲得通過。
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## 數學問題

### π 的估計值

儘管該法案通常被稱為「圓周率法案」，但是該法案的文本中卻並沒有提及到圓周率，古德溫認為圓周長與直徑的比率同他的主要目的化圓為方相比是次要的。在第 2 章中這樣寫道：

> 此外，90 度角的弦長與弧長之比為 7 比 8，正方形對角線和一邊之比為 10 比 7，可以推出第四個重要的結論，即直徑與周長之比為 5/4 比 4。
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這近乎於直接宣布 $\pi ={\frac {4}{1.25}}=3.2$ ， ${\sqrt {2}}={\frac {10}{7}}\approx 1.429$ 。

這一引言常被認為是三個相互矛盾的論斷，但是如果對於√2 的論斷是針對圓內接正方形（以圓的直徑作為對角線）而非以半徑為邊的正方形（90 度弦為對角線），那麼它們三者就一致了。它們共同描述了如圖所示的圓，圓的直徑為 10，周長為 32；90 度弦長被認為是 7。7 和 32 這兩個值都在真實數值幾個百分比的誤差以內（這並不能成為古德溫將其當作準確值的理由）。周長應該更加接近 31.4159，而對角線 7 應該是 50 的平方根，約等於 7.071。

### 圓的面積

古德溫的主要目的不是為了測量圓內的各長度，而是為了化圓為方，他用字面意思將其理解為「找一個跟圓有同一面積的正方形」。他知道阿基米德求圓面積的公式，用直徑乘以周長的四分之一，並不被認為是古老的化圓為方問題的一種解法。因為該問題要求只能使用尺規作圖來「構建」圓的面積，而阿基米德並沒有給出如何畫出同圓的周長一樣長的直線的作圖方法。古德溫很顯然並不了解這一中心要求；他認為阿基米德公式的問題在於它的出了錯誤的數值結果，而要破解這一古老的問題，就需要將其替換為「正確的」公式。在他的議案中，他未加證明地提出了自己的方法：

> 圓的面積為等長於該圓周四分之一之線的平方，當一個正四邊形的面積為其邊長的平方。
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按照其化圓為方的目的與定義，一個「正四邊形」即為正方形。簡而言之，該論斷認為圓的面積和一個等周長的正方形面積相等。這一論斷導致了其他的數學矛盾，古德溫試圖進行解釋。例如，在上面這一句話之後，法案繼續聲稱：

> 現行規則中用於計算圓的面積時使用的直線單位 —— 直徑是完全錯誤的，因為它所代表的圓的面積是周長相等的正方形面積的一又五分之一倍。
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根據上述的圓模型，阿基米德公式計算出的面積（假設古德溫的直徑和周長值是正確的）為 80，而按照古德溫的建議，其面積應該為 64。而因為 80 比 64 多了 80 的五分之一，而古德溫很顯然是混淆了 64 = 80×(1−1⁄5)，誤寫成 80 = 64×(1+1⁄5)。

根據古德溫的規則計算出的的圓的面積為 π⁄4 乘以該圓的真實面積。在諸多有關圓周率法案的描述中，這被認為是宣稱 π = 4。但是，該法案的文字並無法證明古德溫做過這樣的論斷，相反，它反覆否認圓的面積和直徑有任何關係。

相對面積誤差 1−π⁄4 約等於 21%，這比起上一節中長度的估算值問題要嚴重得多。尚不清楚為何古德溫認為自己的規則是正確的。一般而言，邊長相等的圖形面積並不相等（等周定理）。

## 注釋

## 參考資料

## 外部連結

* 法案全文
* Indiana Pi 對於這個幾乎通過法案的介紹
* The Straight Dope - 一州立法機構曾差一點通過法律規定圓周率等於 3？（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Alabama Changes the Value of PiArchive.is 的存檔，存檔日期 2019-04-23 相關騙局