司徒頓t分布

**司徒頓 t 分布**（Student's _t_-distribution），簡稱**_t_ 分布**，在機率論及統計學中用於根據小樣本來估計母體呈常態分布且標準差未知的期望值。若母體標準差已知，或是樣本數足夠大時（依據中央極限定理漸進常態分布），則應使用常態分布來進行估計。其為對兩個樣本期望值差異進行顯著性測試的司徒頓 t 檢定之基礎。

司徒頓 _t_ 檢定改進了 Z 檢定（Z-test），因為在小樣本中，Z 檢定以母體標準差已知為前提，Z 檢定用在小樣本會產生很大的誤差，因此必須改用司徒頓 _t_ 檢定以求準確。但若在樣本數足夠大（普遍認為超過 30 個即足夠）時，可依據中央極限定理近似常態分布，以 Z 檢定來求得近似值，

在母體標準差數未知的情況下，不論樣本數量大或小皆可應用 _t_ 檢定。在待比較的數據有三組以上時，因為誤差無法被壓低，此時可以用變異數分析（ANOVA）代替 _t_ 檢定。

_t_ 分布的推導最早由德國大地測量學家弗里德里希・羅伯特・赫爾默特於 1876 年提出，並由德國數學家雅各布・魯洛斯證明。

英國人威廉・高斯特於 1908 年再次發現並發表了 _t_ 分布，當時他還在愛爾蘭都柏林的吉尼斯啤酒釀酒廠工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下，以筆名發表 _t_ 分布的發現，所以論文使用了「司徒頓」（Student）這一筆名。之後 _t_ 檢定以及相關理論經由羅納德・費雪發揚光大，為了感謝高斯特的功勞，費雪將此分布命名為**司徒頓 _t_ 分布**（Student's _t_）。

## 描述

假設 $X$ 是呈常態分布的獨立的隨機變數（隨機變數的期望值為 $\mu $ ，母體變異數為 $\sigma ^{2}$ 但其值未知）。
令：

　
: ${\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}$

為**樣本期望值**，

　
: ${S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}$

為**樣本變異數**，

　
: $Z={\frac {X-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

為呈期望值為 0 變異數為 1 的常態分布的隨機變數，

 
但因母體變異數 $\sigma ^{2}$ 為未知，因此依史拉斯基定理以 ${S_{n}}^{2}$ 替換之：

　
: $T={\frac {X-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

 

_T_ 的機率密度函數是：

　
: $f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}(1+{\frac {t^{2}}{\nu }})^{\frac {-(\nu +1)}{2}}$

 _$\nu $_ 等於 _n_ − 1。
_T_ 的分布稱為**_t_ 分布**。母數 _$\nu $_ 一般被稱為自由度。

 **$\Gamma $** 是伽瑪函數。
如果 $\nu $ 是偶數，

　
: ${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot $

如果 $\nu $ 是奇數，

　
: ${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!$

_T_ 的機率密度函數的形狀類似於期望值為 0 變異數為 1 的常態分布，但更低更寬。隨著自由度 $\nu $ 的增加，則越來越接近期望值為 0 變異數為 1 的常態分布。

_T_ 分布的機率累計函數，用不完全貝塔函數 _I_ 表示：

　
: $F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),$

其中

　
: $x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.$

 
_T_ 分布的動差為：

　
: $E(T^{k})={\begin{cases}0&{\mbox{k odd}},0<k<\nu \\{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {n-k}{2}})^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}&{\mbox{k even}},0<k<\nu \\{\mbox{NaN}}&{\mbox{k odd}},0<\nu \leq k\\\infty &{\mbox{k even}},0<\nu \leq k\\\end{cases}}$

## 司徒頓 _t_ 分布信賴區間的推導

假設數量 _A_ 在當 _T_ 呈 _t_- 分布（_T_ 的自由度為 _n_− 1）滿足

　
: $\Pr(-A<T<A)=0.90\,$

這與

　
: $\Pr(T<A)=0.95\,$ 是相同的

_A_ 是這個機率分布的第 95 個百分點

那麼

　
: $\Pr \left(-A<{{\overline {X}}_{n}-\mu  \over S_{n}/{\sqrt {n}}}<A\right)=0.9,$

等價於

　
: $\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9$

因此 μ 的 90% 信賴區間為：

　
: ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

## 計算

現在最方便的計算 T 分布的辦法是使用電子表格軟體（如 Excel）或查相關線上計算網站。例如，Excel 的 TDIST (x,v,sides) 用來計算自由度為 v 的 T 分布，如果第三個母數為 1，則給出 Pr (T>x)；如果第三個母數為 2，則計算 Pr (T>x Or T<-x).

下表列出了自由度為 $\nu $ 的 _t_ 分布的單側和雙側區間值。例如，當樣本數量 n=5 時，則自由度 $\nu $ =4，我們就可以查找表中以 4 開頭的行。該行第 5 列值為 2.132，對應的_單側_值為 95%（_雙側_值為 90%）。這也就是說，T 小於 2.132 的機率為 95%（即單側），記為 Pr (−∞ < _T_ <2.132) = 0.95；同時，T 值介於 - 2.132 和 2.132 之間的機率為 90%（即雙側），記為 Pr (−2.132 < _T_ < 2.132) = 0.9。

這是根據分布的對稱性計算得到的，

　
: Pr(_T_ < −2.132) = 1 − Pr(_T_ > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,

因此，

　
: Pr(−2.132 < _T_ < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

**注意**關於表格的最後一行的值：自由度為無限大的 _t-_分布和常態分布等價。

## 範例

給定一個樣本：樣本期望值和變異數分別為 10 和 2，樣本大小為 11（自由度為 10）。根據公式：

　
: ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

可知，使用該方法統計出來的最大值，平均有 90% 的機率（即 90% 置信度 / 信心水準 /confidence level）低於：

　
: $10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.58510.$

同理，使用該方法統計出來的最小值，平均有 90% 的機率（即 90% 置信度 / 信心水準 /confidence level）高於：

　
: $10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.41490.$

因此，使用該方法統計出來的最大值和最小值，平均有 80% 的機率介於：

　
: $10\pm 1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=[9.41490,10.58510]$

兩值之間。（需注意此非代表數據的真正期望值介於這兩個值之間的機率為 80%，詳情請參見信賴區間。）

## 參見

* 假說檢定
* 司徒頓 t 檢定
* 機率分布
* Levene's test

## 參考文獻

## 外部連結

* (en) Probability, Statistics and Estimation（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 首先第 112 頁。