可均群

**可均群**是數學上一個特別的局部緊拓撲群 _G_，具備了一種為在 _G_ 上的有界函數取平均的操作，而且 _G_ 在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。

## 緣起

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的 σ 可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於 3 的 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此 3 維以上 $\mathbb {R} ^{n}$ 不可能有豪斯多夫所要的測度。而在 2 維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的結構，而是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的旋轉群上。3 維以上的 $\mathbb {R} ^{n}$ ，其旋轉群有子群是秩 2 的自由群；而 2 維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群 _G_ 上，是否存在有限可加的概率測度 $\mu $ ，是 _G_- 不變的，即是在 _G_ 對其中的子集的群作用下不變：對任何 $E\subset G$ 和任何 $g\in G$ ， $\mu (gE)=\mu (E)$ 。這樣的概率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像 σ 可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。

## 外文名稱

可均群的德文名稱 Mittelbare Gruppe，法文名稱 groupe moyennable，其中 Mittel、moyenne 分別為德文及法文中的平均一字，故此 Mittelbare，moyennable 兩字意思就是可以有平均。英文名稱 amenable group，是英國數學家 Mahlon M. Day 所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為 amenable 的英式讀音，與 "a mean able" 相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

## 定義

設 _G_ 為局部緊群。_G_ 上存在左哈爾測度 $\mu $ 。考慮在測度空間 $(G,\mu )$ 上的複值本質有界函數空間 $L^{\infty }(G)$ 。

線性泛函 $\Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C} $ 稱為**平均**，如果 $\Lambda $ 的範數是 1，並且是非負的：若實值函數 $f\in L^{\infty }(G)$ 適合 $f\geq 0$ ，則 $\Lambda (f)\geq 0$ 。

如果 $\Lambda $ 是一個平均，則有 $\Lambda (1_{G})=1$ ，其中 $1_{G}$ 是 _G_ 的特徵函數。而且對任何實值函數 $f\in L^{\infty }(G)$ ，

　
: : $\operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f$

其中 ess sup 和 ess inf 分別是函數的本質上確界和本質下確界。

一個平均是**左不變**的，如果對任何 $s\in G$ ， $f\in L^{\infty }(G)$ ，在左作用 $s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)$ 下，都有 $\Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)$ 。

局部緊群 _G_ 如果有一個左不變平均，就稱為**可均群**。

可均群有很多等價定義。其中一個是 Følner 條件：

對任何 $\epsilon >0$ ，任何緊子集 $C\subset G$ ，都存在一個緊子集 $K\subset G$ ， $0<\mu (K)<\infty $ ，使得對所有 $x\in C$ 都符合不等式

　
: : $\mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon $

此處 $\triangle $ 是對稱差。

如果 _G_ 是可數無限的離散群，Følner 條件等價於：_G_ 中存在有限子集 $S_{n}$ ，使得對任何 $g\in G$ ，

　
: : $\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0$

這樣的 $(S_{n})$ 稱為 Følner 序列。

## 性質

可均群的閉子群都是可均的。

若 _H_ 是可均群 _G_ 的閉正規子群，那麼 $G/H$ 是可均群。

若 _H_ 是局部緊群 _G_ 的閉正規子群，而且 _H_ 和 $G/H$ 都是可均群，那麼 _G_ 也是可均群。

設 _G_ 是局部緊群，_I_ 是有向集合， $(H_{i})_{i\in I}$ 是 _G_ 的閉可均子群組成的網，對任何 $i\leq j$ ，有 $H_{i}\subset H_{j}$ 。那麼 $H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}$ 是 _G_ 的可均子群。

## 例子

有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。

整數群 $(\mathbb {Z} ,+)$ 和實數群 $(\mathbb {R} ,+)$ 是可均群，一個在 $\mathbb {Z} $ 或 $\mathbb {R} $ 中長度趨向無窮的有界區間序列是一個 Følner 序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若 _G_ 是局部緊的可解群，則有導出列

　
: : $G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}$

其中 $G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$ 。每個 $G^{(i)}/G^{(i+1)}$ 都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群 {1} 也是可均群。從可均群的性質，得出 _G_ 是可均群。

一個有限生成群 _G_ 是次指數增長的，如果 _G_ 中存在一個有限生成集合 _S_，有對稱性 $S=S^{-1}$ ，使得

　
: : $\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1$

次指數增長的有限生成群是可均群。

設 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是有限生成群，而 $G_{2}$ 是可均的。若 $G_{1}$ 擬等距同構於 $G_{2}$ ，那麼 $G_{1}$ 也是可均群。

秩 2 的自由群 $F_{2}$ 不是可均群。

所以一個群若包含 $F_{2}$ 為離散子群，則不是可均群。

如把 _n_ 維空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的旋轉群 SO (_n_) 看成離散群，則 _n_ 不小於 3 時 SO (_n_) 包含 $F_{2}$ 為（離散）子群，因此是非可均群，但 SO (2) 是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在 _n_ 不小於 3 時可行，在 _n_ 等於 2 時不可行的原因。不過若用 SO (_n_) 原來的拓撲，則對所有 _n_，SO(_n_) 都是緊群，所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群 _G_ 是可均群，當且僅當 _G_ 不包含 $F_{2}$ 為離散子群。（設 $G_{e}$ 是 _G_ 的單位連通區。若 $G/G_{e}$ 緊緻，則 _G_ 稱為**殆連通群**。）

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩 2 的自由群，但是 1980 年 Alexander Ol'shanskii 找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。_G_ 是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數 _p_，_G_ 中所有真子群除了平凡子群外，都是 _p_ 階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩 2 的自由群。

## 腳註

## 參考

* Pier, Jean-Paul. _Amenable locally compact groups_. Wiley. 1984.
* Paterson, Alan. _Amenability_. American Mathematical Society. 1988.
* É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (編). _Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov._. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.