反三角函数

在數學中，**反三角函數**是三角函數的反函數。

## 數學符號

符號 $\sin ^{-1},\cos ^{-1}$ 等常用於 $\arcsin ,\arccos $ 等。但是這種符號有時在 $\sin ^{-1}x$ 和 ${\frac {1}{\sin x}}$ 之間易造成混淆。

在編程中，函數 $\arcsin $ , $\arccos $ , $\arctan $ 通常叫做 $\mathrm {asin} $ , $\mathrm {acos} $ , $\mathrm {atan} $ 。很多程式語言提供兩自變量 atan2 函數，它計算給定 $y$ 和 $x$ 的 ${\frac {y}{x}}$ 的反正切，但是值域為 $[-\pi ,\pi ]$ 。

* * *

## 主值

下表列出基本的反三角函數。

（注意：某些數學教科書的作者將 $\operatorname {arcsec} $ 的值域定為 $[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$ 因為當 $\tan $ 的定義域落在此區間時， $\tan $ 的值域 $\geq 0$ ，如果 $\operatorname {arcsec} $ 的值域仍定為 $[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$ ，將會造成 $\tan(\operatorname {arcsec} x)=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$ ，如果希望 $\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$ ，那就必須將 $\operatorname {arcsec} $ 的值域定為 $[0,{\frac {\pi }{2}})\cup [\pi ,{\frac {3\pi }{2}})$ ，基於類似的理由 $\operatorname {arccsc} $ 的值域定為 $(-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$ ）

如果 $x$ 允許是複數，則 $y$ 的值域只適用它的實部。

 

## 反三角函數之間的關係

餘角：

　
: $\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

　
: $\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

　
: $\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

負數參數：

　
: $\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

　
: $\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

　
: $\arctan(-x)=-\arctan x\!$

　
: $\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

　
: $\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

　
: $\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

倒數參數：

　
: $\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x$

　
: $\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x$

　
: $\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\ $ $\ x>0$

　
: $\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\ $ $\ x<0$

　
: $\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\ $ $\ x>0$

　
: $\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\ $ $\ x<0$

　
: $\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$

　
: $\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

如果有一段正弦表：

　
: $\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},$ $\ 0\leq x\leq 1$

　
: $\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

注意只要在使用了複數的平方根的時候，我們選擇正實部的平方根 (或者正虛部，如果是負實數的平方根的話)。

從半角公式 $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ ，可得到：

　
: $\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

　
: $\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},$ $-1<x\leq +1$

　
: $\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

## 三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

## 一般解

每個三角函數都周期於它的參數的實部上，在每個 $2\pi $ 區間內通過它的所有值兩次。正弦和餘割的周期開始於 $2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$ 結束於 $2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$ （這裡的 $k$ 是一個整數），在 $2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$ 到 $2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$ 上倒過來。餘弦和正割的周期開始於 $2\pi k$ 結束於 $2\pi k+\pi $ ，在 $2\pi k+\pi $ 到 $2\pi k+2\pi $ 上倒過來。正切的周期開始於 $2\pi k-{\frac {\pi }{2}}$ 結束於 $2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$ ，接著 (向前) 在 $2\pi k+{\frac {\pi }{2}}$ 到 $2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$ 上重複。餘切的周期開始於 $2\pi k$ 結束於 $2\pi k+\pi $ ，接著（向前）在 $2\pi k+\pi $ 到 $2\pi k+2\pi $ 上重複。

這個周期性反應在一般反函數上：

　
: $\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

　
: $\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

　
: $\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} $

　
: $\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} $

　
: $\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

　
: $\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

## 反三角函數的導數

對於實數 $x$ 的反三角函數的導函數如下：

　
: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}$

舉例說明，設 $\theta =\arcsin x\!$ ，得到：

　
: ${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|<1$ ，其他導數公式同理可證。

## 表達為定積分

積分其導數並固定在一點上的值給出反三角函數作為定積分的表達式：

　
: ${\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}$

當 $x$ 等於 1 時，在有極限的域上的積分是瑕積分，但仍是良好定義的。

## 無窮級數

如同正弦和餘弦函數，反三角函數可以使用無窮級數計算如下：

　
: ${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq -4\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

歐拉發現了反正切的更有效的級數：

　
: $\arctan x=\infty {x}{1+x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}$ 。

（注意對 $x=0$ 在和中的項是空積 1。）

## 反三角函數的不定積分

　
: ${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\qquad x\leq 1\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arcsec} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C=x\,\operatorname {arccsc} x-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\end{aligned}}$

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

### 舉例

使用 $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ ，設

　
: ${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

則

　
: $\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

換元

　
: $k=1-x^{2}.\,$

則

　
: $\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

且

　
: $\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

換元回 _x_ 得到

　
: $\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

## 加法公式和減法公式

### arcsin _x_ + arcsin _y_

　
: $\arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\leq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

　
: $\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

　
: $\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

### arcsin _x_ - arcsin _y_

　
: $\arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),xy\geq 0\lor x^{2}+y^{2}\leq 1$

　
: $\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1$

　
: $\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1$

### arccos _x_ + arccos _y_

　
: $\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0$

　
: $\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0$

### arccos _x_ - arccos _y_

　
: $\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y$

　
: $\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y$

### arctan _x_ + arctan _y_

　
: $\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},xy<1$

　
: $\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x>0,xy>1$

　
: $\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x<0,xy>1$

### arctan _x_ - arctan _y_

　
: $\arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},xy>-1$

　
: $\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x>0,xy<-1$

　
: $\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x<0,xy<-1$

### arccot _x_ + arccot _y_

　
: $\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y$

　
: $\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y$

### arcsin _x_ + arccos _y_

　
: $\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1$

### arctan _x_ + arccot _y_

　
: $\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}$

## 註釋

## 參見

* 正切半角公式
* 平方根

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Inverse Trigonometric Functions. MathWorld.
* http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）