反函数及其微分

數學上，可導雙射函數 $f$ 的**反函數微分**可由 $f$ 的導函數 $f'$ 給出。若使用拉格朗日記法，反函數 $f^{-1}$ 的導數公式為：

　
: $\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},$

該表述等價於

　
: ${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

其中 ${\mathcal {D}}$ 表示一元微分算子（在函數的空間上）， $\circ $ 表示二元複合算子。

記 $y=f(x)$ ，則上式可用萊布尼茲符號寫成：

　
: ${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

換言之，函數及其反函數的導數均可逆，並且乘積為 1。這是鏈式規則的直接結果，因為

　
: ${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},$

而 $x$ 相對於 $x$ 的導數為 1。

幾何上，函數和反函數有關於直線 _y_ = _x_. 鏡像的圖像，這種映射將任何線的斜率變成其倒數。

假設 $f$ 在 $x$ 的鄰域有一個反函數並且它在該點的導數不為零，則它的反函數保證在 x 處是可微的，並有上述公式給出的導數。

## 反函數舉例

 * $\,y=x^{2}$ （ $x$ 為正）具有逆 $x={\sqrt {y}}$ 中。

　
: ${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

　
: ${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

但是，在 _x_ = 0 有一個問題：平方根函數圖像變為垂直的，相對應平方函數的水平切線。

 * $\,y=e^{x}$ ( $x$ 為實數) 具有逆 $\,x=\ln {y}$ （ $y$ 為正值）

　
: ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}$

　
: ${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1$

## 其他屬性

* 對反函數積分有如下公式

　
: : ${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C} $

可見，具有連續導數的函數（光滑函數）在其導數非零的每一點的鄰域內都有反函數。如果導數不連續的，則上述積分公式不成立。

## 高階導數

上面給出的鏈式法則是通過對等式 $x=f^{-1}(f(x))$ 關於 $x$ 微分得到的。對於更高階的導數，可以繼續同樣的過程。對恆等式對 $x$ 求導兩次，得到

　
: ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

使用鏈式法則進一步簡化為

　
: ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

用之前得到的恆等式替換一階導數，得到

　
: ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

對三階導數類似：

　
: ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

或者用二階導數的公式，

　
: ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

這些公式是由 Faa di Bruno 公式推廣。

這些公式也可以用拉格朗日表示法來表示。如果 $f$ 和 $g$ 是互逆的，則

　
: $g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

## 反函數的微分舉例

 * $\,y=e^{x}$ 有逆運算 $\,x=\ln y$ 。使用反函數的二次導數公式，

　
: ${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

於是，

　
: ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$ ,

與直接計算相同。

## 注釋

## 參見

* 微積分
* 反函數
* 鏈式法則
* 反函數定理
* 隱函數定理
* 反函數的積分