双体模型

在統計力學和圖論中，**雙體模型**（dimer model）是二維空間密鋪的模型，也稱為**骨牌密鋪**（Domino tiling，多米諾密鋪）或**隨機密鋪模型**（random tiling model）。這也是平方格子的完美匹配。

## 介紹

若有 $m\times n$ 平方格子 G、以及 $mn/2$ 把骨牌，覆蓋數量或密鋪數量是

$$
Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).
$$

K 是 G 的鄰接矩陣。 Z 也是統計力學的配分函數。

例如：

 * $2\times n$ 格子： $Z_{n}$ 是斐波那契數列
* $m=n=2k=0,2,4,\ldots $ ，可以使用普法夫值計算 Z

若 G 是環面，則

 $\lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi $ 。

其中 Z 依賴同調、C 是卡塔蘭常數。

## 阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z 也依賴格子的邊界（參看阿茲特克鑽石）。

* *

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」（Arctic circle phenomena），即邊界看起來很同質（冰凍地區），但是中間的「北極圈」不同質（非冰凍地區）。可以使用高度函數解釋這個現象。

這些文章有更多阿茲特克圖：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 高度函數

一個密鋪定義一個 0 微分形式（函數）：

$$
s(v)=\pm 1
$$

s 是自旋（參看易辛模型）、v 是頂點。那麼可以定義一個 1 - 形式：

$$
ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2
$$

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於 0 因為 G 是二分圖。也定義密鋪函數

$$
\delta (e)=0,1
$$

若雙體 e 存在， $\delta (e)=1$ ，不然等於 0。**高度差函數**是

$$
dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3
$$

這個函數定義一個 $\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} $ 的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉・瑟斯頓表示了若 $\delta (e)$ 真的是密鋪函數，這是一個必要條件。h 是**高度函數**。

NxN 平方格子的高度函數在中間逼近 O (N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近 h 的平均值。的確，CKP 定理說 h 最小化一個熵（或熱力學自由能）的泛函（變分法）：

$$
F=\log Z
$$

## 共形場論

### 高斯自由場

雙體模型的縮放極限（即高度函數的縮放極限是高斯自由場），高斯自由場是一種二維布朗運動。所以 $h(x)\to \phi (x)$ 成為二維純量場。

若 G 是一定的加權圖，K 的縮放極限是反全純導數 ${\bar {\partial }}$ 。 若

$$
Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0
$$

f 是「反全純函數」。再說 f 是調和函數（和諧函數）。這是因為 $KK^{*}=L$ 是調和矩陣（harmonic matrix）。

非冰凍地區描述一個極限形（limit shape），比如這張文章描述一個心臟線：（跟代數幾何有關）。高斯自由場也許描述這些極限形。2020 年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程（ $\phi _{x}-\phi \phi _{y}=0$ ）的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯 - 恩內佩爾參數化。

### 傳播子

鄰接矩陣的反函數 $K^{-1}(x,y)$ 是一種格林函數。

$$
D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle
$$

是傳播子（量子場論）。 可以表示這等於狄利克雷問題的核子

$$
D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)
$$

$$
d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})
$$

由於維克定理，

$$
\langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})
$$

## 相關條目

其他骨牌模型

* 雙體，雙體模型描述有些很簡單的化學和物理學的系統
* 疊蓆，日本式的骨牌密鋪
* 肢解西洋棋盤問題
* 王氏磚
* 量子雙體模型
* 平面圖

量子場論

* 高斯自由場
* 玻茨模型
* 滲流理論
* 相變、臨界現象
* Fisher 格子：參看韓文版圖（https://ko.wikipedia.org/wiki/% EC%9D% B4% ED%95% A9% EC% B2% B4\_% EB% AA% A8% ED%98%95）

## 參考文獻

## 閱讀

* R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press.
* _Olivier Bodini, Matthieu Latapy._ Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
* _F. Faase._ On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P\_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
* _J. L. Hock, R. B. McQuistan._ A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
* _P. W. Kasteleyn._ The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..
* _Richard Kenyon._ Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8.
* _Richard Kenyon, Andrei Okounkov._ What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
* _David Klarner, Jordan Pollack._ Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..
* _Richard J._ Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013.
* Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301..
* _Frank Ruskey, Jennifer Woodcock._ Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
* _James A. Sellers._ Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2..
* _Richard P. Stanley._ On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3.
* _W. P. Thurston._（威廉・瑟斯頓）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
* _David Wells._ The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ISBN 0-14-026149-4..
* _H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher._ Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366.
* Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", _Combinatorial algorithms_, Lecture Notes in Comput. Sci., **8288**, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9\_13, MR 3162068