博雷尔和

在數學上，**博雷爾求和**（英語：Borel summation）是一種發散級數的求和方法。這種求和法是由埃米爾 博雷爾 （1899）提出的，在處理發散的漸近展開時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔 - 列夫勒和。

## 定義

博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設 _A(z)_ 是 _z_ 的一個形式冪級數

　
: $A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ ，

則定義 _A_ 的**博雷爾變換**為其等價冪級數

　
: ${\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}$ 。

### 博雷爾指數求和

設 _An(z)_ 為下列部分和：

　
: $A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$ 。

博雷爾和的一種較弱的形式定義 _A_ 的博雷爾和為

　
: $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)$ 。

若此極限在某個 _z_ ∈ **C** 時收斂至 _a(z)_，則稱 _A_ 的**弱博雷爾和**收斂於 _z_，並記為 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ .

### 博雷爾積分求和

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則 _A_ 的**博雷爾和**定義為

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.$

若積分在某個 _z_ ∈ **C** 時收斂於 _a(z)_，則稱 _A_ 的博雷爾和在 _z_ 收斂，並記為 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ 。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有 _t_ 都收斂，只需在 0 附近收斂為 _t_ 的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

## 基本性質

### 正定性

(**B**) 和 (**wB**) 兩者都是正定的求和法，意味著若 _A(z)_ 收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：

　
: $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})$ 。

(**B**) 的正定性容易由下式看出，若 _A(z)_ 在 _z_ 收斂，則

　
: $A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt$ ，

其中最右式正是原級數在 _z_ 處的博雷爾和。

(**B**) 和 (**wB**) 的正定性代表了此方法可以提供 _A(z)_ 的解析延拓。

### 博雷爾和與弱博雷爾和的等價性

對任意的級數 _A(z)_，若它在 _z_ ∈ _C_ 處是**弱博雷爾可求和的**，則必定是**博雷爾可求和的**。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

　
: **定理** （Hardy 1992，8.5）

　
: 設 _A(z)_ 是一個形式冪級數，並限定 _z_ ∈ _C_，則：
1. 若 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ ，則 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})$ 。
2. 若 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ ，且 $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0$ ，則 ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ 。

### 與其他求和法的關聯

* (**B**) 是米塔 - 列夫勒求和法在 α = 1 時的特殊情況。
* (**wB**) 可視為廣義歐拉求和法 (**E**,q) 一個有限制的形式，其中 $q\rightarrow \infty $ 。

## 例子

### 幾何級數

考慮幾何級數

　
: $y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$

當 |_z_| < 1 時，收斂到 1/(1 −_z_)。它的博雷爾變換為

　
: ${\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}$

因此，上述級數的博雷爾和為

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}$

然而，這個積分能在更大的範圍 Re (_z_) <  1 內收斂到 1/(1 −_z_)，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為 _AN(z) = (1-zN+1)/(1-z)_，因此其弱博雷爾和為

　
: $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}$ ，

同樣在 Re (_z_) < 1 時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對 Re (_z_) < 1，

　
: $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0$ 。

### 一個交替級數

級數

　
: $y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}$

對任意非零的 _z_ 都發散。它的博雷爾變換為

　
: ${\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}$

對任意的 |_t_| < 1 都成立，且於 _t_≥ 0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)$

（其中 Γ 是指不完全 Γ 函數）

這個廣義積分對任意的 _z_≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 _z_ **博雷爾可求和**的。這個函數實際上是當 _z_ 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出「正確」的發散漸近展開式。

### 不滿足等價性的例子

以下是（Hardy 1992，8.5）所給出的例子的一個擴展。考慮

　
: $A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.$

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

　
: ${\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}$

在 _z_= 2 處，可求得博雷爾和為

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,$

其中 _S(x)_ 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意 _z_≤ 2 都收儉（但顯然積分對 _z_> 2 發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

　
: $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0$

僅對 _z_< 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

## 相關條目

* 發散級數
* 切薩羅求和
* 拉馬努金求和

## 參考文獻

* Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, **16**: 9–131 [2013-05-25], （原始內容存檔於 2018-10-04）
* Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1987, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
* Hardy, Godfrey Harold, Divergent Series, New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
* Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
* Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988
* Weinberg, Steven, The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467