zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
单代数

在環論中，若某非無零因子環除了零理想及其本身兩個理想外沒有其他雙邊理想，則稱該環為**單環**。特別地，交換環是單環若且唯若它是一個域。

單環的中心必是一個域，所以單環是該域上的一個結合代數。因此，單代數和單環是相同的概念。

此外，一些參考文獻（例如 Lang（2002）或 Bourbaki（2012））還要求該環是左阿廷環或右阿廷環（即半單環）。在這種術語下，沒有非平凡雙邊理想的非無零因子環被稱為準單環（quasi-simple）。

存在在自身上不是單模的單環，即單環可以有非平凡的左理想和 / 或右理想：例如域上的全矩陣環，它沒有非平凡理想（因為 $M_{n}(R)$ 的任何理想都具有 $M_{n}(I)$ 的形式，其中 $I$ 是 $R$ 的理想），但卻有非平凡的左理想（例如，某些固定列為零的矩陣組成的集合）。

根據阿廷 - 韋德伯恩定理，所有單左 / 右阿廷環都是除環上的矩陣環。特別地，如果一個單環是實數體上的有限維度向量空間，則它必然與實數體、複數體或四元數體上的矩陣環同構。

單環，但非除環上的矩陣環的一個例子是外爾代數。 

## 特徵

如果一個環不包含非平凡的雙邊理想，則它是一個單代數。

單代數的直接示例是除法代數，其中每個非零元素都有一個乘法逆，比如四元數的實代數。此外，可以證明在除環中有元 n  ×  n 矩陣的代數是單代數。實際上，它可以描述所有有限維度的單代數，直到同構為止。換言之，在其中心上的任何有限維度單代數與某個除法環上的矩陣代數同構。1907 年，約瑟夫・韋德伯恩在其博士學位論文《論超複數》中證明這一件事。該論文出現於倫敦數學學會論文集裡。韋德伯恩在其論文中分類了單和半單代數。單代數是半單代數的構建塊：在代數的意義上，任何有限維度的半單代數都是單代數的笛卡兒積。

後來阿廷 - 韋德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半單環。

## 例子

* 一個中心單代數（有時稱為布饒爾代數）是一個域 _F_ 上的有限維度單代數，且該域的中心為 _F_。

設 **R** 為實數體，**C** 為複數體，**H** 為四元數體。

* **R** 上的所有有限維度單代數都與 **R**、**C** 或 **H** 上的矩陣環同構。**R** 上的所有中心單代數都與 **R** 或 **H** 上的矩陣環同構。這些結果由弗比尼斯定理得出。
* **C** 上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與 **C** 上的矩陣環同構。
* 有限體上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
* 對於一個交換環，下列四個性質都是等價的：作為半單環、作為約化阿廷環、作為克魯爾維數為 0 的約化諾特環以及與域的有限直積同構。

## 韋德伯恩定理

韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的 _n_ × _n_ 矩陣，直至同構為止。

設 _D_ 為一個除環，Mn(_D_) 為 _D_ 上有元矩陣的環。因此，可以證明 Mn(_D_) 中的所有左理想都用以下形式出現：

　
: {_M_ ∈ Mn(_D_) | _M_ 的第 _n_1, ..., _n_k 行沒有元},

對於某個固定 {_n_1, ..., _nk_} ⊆ {1, ..., _n_}。因此，Mn(_D_) 中最小理想的格式為

　
: {_M_ ∈ Mn(_D_) | 除第 _k_ 行外其餘所有行都沒有元},

對於某個給定的 _k_。換言之，如果 _I_ 是一個最小左理想，則 _I_ = Mn(_D_)_e_，其中 _e_ 是一個冪等矩陣，在 (_k_, _k_) 元為 1，在所有其他地方為 0。此外，_D_ 與 _e_Mn(_D_)_e_ 同構。左理想 _I_ 可以視作 _e_Mn(_D_)_e_ 上的右模。環 Mn(_D_) 與該模上同胚的代數同構。

以上例子引出了下列引理：

> 
> **引理：**_A_ 是一個單位為 1，冪等元素為 _e_ 的環，其中 _AeA_ = _A_。設 _I_ 為左理想 _Ae_，視作一個 _eAe_ 上的右模。則 _A_ 與 _I_ 上同胚的代數同構，以 _Hom_(_I_) 表示。
> 
> 

> 
> **證明：**我們使用 Φ(_a_)_m_ = _am_ 定義「左規則表示」為 Φ : _A_ → _Hom_(_I_)，對於 _m_ ∈ _I_。Φ 是單射的，因為如果 _a_ ⋅ _I_ = _aAe_ = 0，則 _aA_ = _aAeA_ = 0，暗示 _a_ = _a_ ⋅ 1 = 0。 
> 
> 對於滿射，設 _T_ ∈ _Hom_(_I_)。由於 _AeA_ = _A_，元素 1 可以表達成 1 = Σ_aiebi_。因此
> 
> 　
> : _T_(_m_) = _T_(1 ⋅ _m_) = _T_(Σ_a_i_eb_i_m_) = Σ _T_(_a_i_eeb_i_m_) = Σ _T_(_a_i_e_) _eb_i_m_ = [Σ_T_(_a_i_e_)_eb_i]_m_.
> 
> 由於表達式 [Σ_T_(_a_i_e_)_eb_i] 不取決於 _m_，Φ 是滿射的。引理證畢。
> 
> 

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。

> 
> **定理**（**韋德伯恩**）**：**如果 _A_ 是一個有單位 1 和最小左理想 _I_ 的環，則 _A_ 與除環上 _n_ × _n_ 矩陣的環同構。
> 
> 

證明 _eAe_ 是一個除環，只需驗證引理的假設，即求一個冪等元素 _e_ 使得 _I_ = _Ae_。表明 _A_ 是單環後可以得出 _A_ = _AeA_ 這個假設。

## 參考文獻

* A. A. Albert, _Structure of algebras_, Colloquium publications **24**, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
* Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7
* Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, **72**: 385–386. doi:10.2307/2313499.
* Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0
* Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854
* Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5
单仰萍

**單仰萍**（1962 年 6 月 —），生於浙江建德，越劇演員，中國國家一級演員，擅長旦角，著名王派花旦。1988 年，進入上海越劇院。第十七屆中國戲劇梅花獎獲得者。

代表作有《紅樓夢》、《西園記》、《梁祝》、《碧玉簪》、 《孟麗君》、《曹植與甄洛》、《舞台姐妹》、《梅龍鎮》、 《被隔離的春天》、《家》、《虞美人》等。

## 生平

1972 年進浙江桐廬縣藝訓班學藝，工旦角，後為桐廬越劇團主要演員；1984 年 7 月，隨桐廬越劇團首次到上海，主演《春江月》；1985 年 11 月，隨杭州市越劇二團再次到上海，主演《桐江雨》。後該兩劇拍攝成戲曲藝術影片（片名為《繡花女傳奇》和《桐花淚》），仍由她主演。1988 年至 1993 年進入上海越劇院紅樓團演戲。

## 參考資料

## 外部連結

* 單仰萍超話 — 新浪微博超話社區 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 想聽單仰萍唱越劇 - 微博 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
单仲亨

**單懋謙**（1802 年 —1879 年），字**仲亨**，號**地山**，湖北襄陽縣（今襄陽市）人，晚清政治人物，歷仕道光、咸豐、同治、光緒四朝，官至吏部尚書文淵閣大學士。

道光十二年（1832 年）壬辰恩科進士，殿試名列二甲第六名，授翰林院庶吉士，散館授編修。道光二十年（1840 年），督廣東學政，歷翰林院侍讀、庶子。因病歸里，遇父喪丁憂守制。服闋，請終母養。期間在襄陽鹿門書院講課，擢拔英才。咸豐三年（1854 年），於襄陽辦團練，拒太平軍。咸豐六年（1856 年）回京，補原官。咸豐七年（1857 年），督江西學政，歷侍讀學士、少詹事、內閣學士、工部侍郎，均留學政任。

同治二年（1863 年），調吏部，擢左都御史。同治三年（1864 年），偕大學士瑞常等進講《治平寶鑑》，授工部尚書。同治七年，調吏部。同治十年，管國子監事務。同治十一年（1872 年）以吏部尚書拜文淵閣大學士。光緒五年（1879 年）卒，贈太子太保，諡**文恪**。單精詩詞，工書法，有《峴雲山房遺稿》存世。《清史稿》有傳。

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《清史稿・卷 390》，出自趙爾巽《清史稿》

　
:

## 參考
单仲友

**單仲友**，元末明初儒學者。名**佑**，以字行，慶元路鄞縣人，又有記奉化縣晦溪人。

## 生平

元末隱居不仕，精研歷史和儒家經典，經史百家、程朱之學，靡不深究。博學又通占卜、風水、陰陽五行。明朝洪武年間，與桂彥良同考中明經科舉人。上京面見明太祖朱元璋，陳述治理天下之道，又建言改明州地名以避大明國號諱，朱元璋賜名「寧波」，娶「海定則波寧」之義。不久在朝中以心疾回鄉歸里。

太祖復召啟用授國子監助教，改任雲南大理府儒學教授。

## 參考來源
单件

**單例模式**，也叫**單子模式**，是一種常用的軟體設計模式，屬於創建型模式的一種。在應用這個模式時，單例對象的類必須保證只有一個實例存在。許多時候整個系統只需要擁有一個的全局對象，這樣有利於我們協調系統整體的行為。比如在某個伺服器程序中，該伺服器的配置信息存放在一個文件中，這些配置數據由一個單例對象統一讀取，然後服務進程中的其他對象再通過這個單例對象獲取這些配置信息。這種方式簡化了在複雜環境下的配置管理。

實現單例模式的思路是：一個類能返回對象一個引用（永遠是同一個）和一個獲得該實例的方法（必須是靜態方法，通常使用 getInstance 這個名稱）；當我們調用這個方法時，如果類持有的引用不為空就返回這個引用，如果類保持的引用為空就創建該類的實例並將實例的引用賦予該類保持的引用；同時我們還將該類的構造函數定義為私有方法，這樣其他處的代碼就無法通過調用該類的構造函數來實例化該類的對象，只有通過該類提供的靜態方法來得到該類的唯一實例。

單例模式在多執行緒的應用場合下必須小心使用。如果當唯一實例尚未創建時，有兩個執行緒同時調用創建方法，那麼它們同時沒有檢測到唯一實例的存在，從而同時各自創建了一個實例，這樣就有兩個實例被構造出來，從而違反了單例模式中實例唯一的原則。 解決這個問題的辦法是為指示類是否已經實例化的變量提供一個互斥鎖（雖然這樣會降低效率）。

## 構建方式

通常單例模式在 Java 語言中，有兩種構建方式：

* 懶漢方式。指全局的單例實例在第一次被使用時構建。
* 餓漢方式。指全局的單例實例在類裝載時構建。

## 例子

### Java

在 Java 語言中，單例模式（餓漢模式）應用的例子如下述代碼所示：

在 Java 程式語言中，單例模式（懶漢模式）應用的例子如下述代碼所示 （此種方法只能用在 JDK5 及以後版本（注意 INSTANCE 被聲明為 volatile），之前的版本使用「雙重檢查鎖」會發生非預期行為）：

### C++

在 C++ 程式語言中，單例模式應用的例子如下述代碼所示（這裡僅僅提供一個示例；由於加入了鎖，這代碼是執行緒安全的）：

### GO

GO 語言中的單例模式:

### Objective-C

OC 語言中的單例模式:

### PHP

PHP 語言中的單例模式:

## 參考文獻

## 外部連結

* A Q&A page （java.sun.com）
* Java 單例對象同步問題探討 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* 多例模式
单件泳衣

**連體泳衣**，香港稱**一件頭泳衣**，是女性游泳和日光浴的緊身服飾，包裹女性的軀幹。有女性認為，穿著連體泳衣比兩件式的比基尼較為謙虛。比基尼等兩件式泳衣流行前，幾乎所有女式泳衣都是連體的，男式泳衣與其類似。常見的連體泳衣有運動裝和邁洛（Maillot），類似無袖緊身衣或連體衣。衍生品種有露背裝、深 V 裝、法衣和無肩帶胸罩裝。

目前，運動泳衣的款式各種各樣。還有一種創新品種表面上看類似於彈力緊身衣和緊身潛水衣。儘管覆蓋著整個軀幹、手臂和大腿，但其功能並不謙虛，僅用以減少專業游泳者對水的摩擦。表層採用條紋工藝織物的設計，用水切割，稱為鯊魚皮。

## 另見

* 泳衣
* 校園泳裝
* 游泳
单伞大戟

**單傘大戟**（學名：_Euphorbia monocyathium_）是大戟科大戟屬的植物。分布在塔吉克斯坦、吉爾吉斯斯坦以及中國大陸的新疆等地，生長於海拔 2,900 米至 4,000 米的地區，一般生長在山坡及河邊，目前已由人工引種栽培。

## 參考文獻
单伞长柄报春

**單傘長柄報春**（學名：_**Primula hoii**_）為報春花科報春花屬下的一個種。

## 參考文獻

## 擴展閱讀
单伟建

**單偉建**（英語：Weijian Shan, 1954 年 —）是現居香港的經濟學家和風險資本家。他是香港私募基金太盟集團（PAG Group）的執行長和董事長。 在加入太盟集團之前，他曾擔任 TPG 資本的高級合伙人和摩根大通的中國首席代表。

## 經歷

文革期間，單偉建在 12 歲面臨停學，並在 15 歲的 1969 年曾作為知青被送到內蒙古戈壁沙漠務農。在 1975 年，他回到北京在對外經貿學院學習英語，並在其後作為文革後首批留學生被送到美國留學，並先後在舊金山大學取得工商管理碩士學位和在加利福尼亞大學柏克萊分校取得博士學位。

## 著作

他著有《走出戈壁：我的中國和美國故事》（_Out of the Gobi: My Story of China and America_），《金錢攻略：韓國第一銀行重生內幕》（_Money Games：The Inside Story of How American Dealmakers Saved Korea's Most Iconic Bank_）和《金錢博弈》（_Money Machine：A Trailblazing American Venture in China_）等。

## 參考文獻
单传忠

**單田芳**（1934 年 12 月 17 日 —2018 年 9 月 11 日），本名**單傳忠**，男，生於遼寧營口，籍貫河北保定淶水縣（父系祖籍山東德州臨邑縣，祖父入贅），中國大陸評書表演藝術家、第三批國家非物質文化遺產傳承人、中國曲藝家協會會員以及中國通俗小說研究會會員。其評書表演在語言上比較質樸，以聲繪形繪色繪情上尤為見長；其個人評書節目和相關視頻也自 1990 年代中後期開始，在中國中央電視台等中國內地各大電視頻道上相繼播出，其聽眾多達 6 億人。2018 年 9 月 11 日下午 3 點 30 分因病在中日友好醫院去世。

## 生平

### 早年

幼年隨家人移居長春，後在長春圍城中隨父逃離。50 年代，單田芳父親蒙冤入獄，母親與父親離婚。中學在同澤男中（今瀋陽市第 27 中學）1953 年考入東北大學，後因身體與家庭原因放棄學業從事評書藝術，師從李慶海。1955 年，單田芳進入鞍山曲藝團，得到西河大鼓名家趙玉峰和評書名家楊田榮的指點。24 歲正式登台。不僅表演傳統評書，也有許多新書作品。

### 文革十年

文革中因言獲罪，遭到迫害，甚至曾被造反派踢碎牙齒。身上兩處骨折。

### 重返舞台

文革結束後，單田芳得以重新返回舞台說書。從鞍山人民廣播電台開始逐漸被全國評書愛好者接受，成為中國大陸首屈一指的大家。據統計，每天最高峰時有 1.2 億聽眾收聽單田芳的評書。

### 退休後

單田芳繼續發展評書藝術，創立北京單田芳藝術傳播有限責任公司，任董事長。

### 逝世

2018 年 9 月 11 日下午 3 點 30 分，單田芳因病在中日友好醫院病逝，享壽 84 歲。

## 作品簡介

《三國演義》，《西遊記》，《封神演義》，《水滸傳》，《大明英烈》，《民國英烈》，《曾國藩》

《亂世梟雄》，講述張作霖及張學良父子的一生。

《三俠五義》，講述北宋仁宗年間以三俠（指北俠歐陽春、南俠展昭、丁氏雙俠丁兆蘭、丁兆蕙（二人為一俠））；五義（指鑽天鼠盧方、徹地鼠韓彰、鑽山鼠徐慶，翻江鼠蔣平、錦毛鼠白玉堂這五鼠弟兄）為首的俠義之士協助青天包公平奇冤辦要案的故事。

《白眉大俠》，講述北宋初期以徐良為首的正義之士除暴安良、替天行道的故事，故事承接自《三俠五義》與《七傑小五義》。後改編為同名武俠電視劇。

《林則徐》，80 集視頻評書，講述清朝道光時期，林則徐以欽差大臣身份在中國廣東禁菸及被革職後的故事。

## 影響

「凡有井水處，皆聽單田芳。」單田芳藝術生涯作品累計 100 多部，在中國大陸 600 多家電台、電視台播出，影響多代中國人。由於單田芳知名度頗高且嗓音獨特，常有人模仿他的聲音。

## 家庭

單田芳出身曲藝世家，外祖父王福義是闖關東進瀋陽最早的竹板書老藝人；母親王香桂是 1930、40 年代的西河大鼓演員，人稱「白丫頭」；父親單永魁是弦師；大伯單永生和三叔單永槐分別是西河大鼓和評書演員。妻子王全桂，比單田芳年長 8 歲。

## 參考文獻

* 《言歸正傳 —— 單田芳說單田芳》ISBN 9787500848776

## 注釋

## 外部連結

* 單田芳的博客 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
单位

**單位**可以指：

* 單位 (社會組織)，即工作單位，是計劃經濟時期乃至當代中華人民共和國的一個專有名詞，是對人所工作的組織機構的泛指統稱。
* 單位房，公寓大廈中的單一的一戶房屋。
* 單位元，某二元運算的單位元 $e$ 與集合中任何元素 $a$ 的運算結果都等於 $a$ 。
  * 單位數字，數字 1，整數乘法的單位元
* 單位 (環論)，環的乘法可逆元（但不一定是上述「單位元」）
* 計量單位，指給定的某一基礎物理量，常伴隨著某種表示法。
* 面額單位，貨幣的面額單位。

## 相關條目

* 名稱以「单位」開頭的所有條目
* 名稱以「單位」開頭的所有條目
单位_(中国)

**單位**，即**工作單位**，是中華人民共和國從計劃經濟時期乃至當代市場經濟時期的一個專有名詞，是對人所工作的組織機構的泛指統稱。「單位」按性質可以分為機關單位、事業單位、企業單位，按規模可以分為「大單位」、「小單位」。

1949 年中華人民共和國建國起 30 年間，由於實行「企業辦社會」等政策，單位具有很強的社會管理功能，職工的住房、伙食、醫療、子女入學等社會福利與服務均由單位提供，許多單位自行設立食堂、醫院、成人高等學校、中小學、幼兒園、公安局、保衛處，部分行業系統設立專門人民法院、專門人民檢察院，有時結婚與外出旅行等個人事項也需要單位批准。一個較大的單位往往就是一個完整的小社會。改革開放轉型為社會主義市場經濟後，單位的種種社會職能逐漸減弱消失。1989 年，《中華人民共和國城市居民委員會組織法》通過後，單位的大部分社會職能由城市居民自治組織居民委員會取代，單位行使的政府職能則上交地方政府。

## 參考文獻

## 參見

* 大院
* 編制、幹部
单位_(代数)

單位又被稱為可逆元素。在數學裡，於一 (有單位的) 環 $R\,$ 內的**可逆元素**是指一 $R\,$ 的可逆元素，即一元素 $u\,$ 使得存在一於 $R\,$ 內的 $v\,$ 有下列性質： $uv=vu=1_{R}\,$ ，其中 $1_{R}\,$ 是乘法單位元素。

亦即， $u\,$ 是 $R\,$ 內乘法么半群的一_可逆_元素。

## 可逆元素群

　
: _主條目：單位群_

 $R\,$ 的可逆元素組成了一於乘法下的群 $U(R)\,$ ，稱做 $R\,$ 的**可逆元素群**(或單位群)。可逆元素群 _U_(_R_) 有時亦被標記成 _R_\* 或 _R_×。

在一可交換單作環 _R_ 內，可逆元素群 _U_(_R_) 以乘法作用於 _R_ 上頭。此一作用的軌道 (orbit) 被稱為_結合_集合；換句話說，存在一於 _R_ 上的等價關係～，且當 _r_~_s_ 時，表示存在一可逆元素 _u_ 使得 _r_=_us_。

_U_ 是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 _f_ : _R_ → _S_ 都可導出一群同態 _U_(_f_) : _U_(_R_) → _U_(_S_)，當 _f_ 會將可逆元素映射至可逆元素時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環 _R_ 是一個除環若且唯若 _R_\* = _R_ \ {0}。

## 例子

* 在整數環 $\mathbb {Z} $ 裡，可逆元素為 ±1。其每一軌道內都有兩個元素 _n_ 和−_n_。
* 任一單位根均是某一單作環 $R$ 內的可逆元素。（若 $r$ 是一單位根，且 $r^{n}=1$ ，則 $r^{-1}=r^{n-1}$ 亦為 $R$ 的元素）。
* 在代數數論裡，狄利克雷單位定理證明了許多代數整數環內可逆元素的存在域。例如，在環 $\mathbb {Z} ({\sqrt {5}})$ ， $({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1$ ，因此 $({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1$ 都是可逆元素。
* 在環 $M(n,F)$ ，於一體 $F$ 上的 $n\times n$ 矩陣內，其可逆元素恰好就是可逆矩陣。
单位_(度量衡)

**單位**係指給定的某一基礎物理量，單位的給定皆屬人為。常伴隨著某種表示法，例如公尺、秒、公斤等，以方便人們在溝通某一量時有共通的概念。

**計量單位**（英語：unit of measurement）又稱**度量單位** （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），為單位的具體統稱，為人類計算一個數額的方法。例如，在數字中，單位一般為「1」；在計算長度的時候，單位可以是「奈米」、「公釐」、「公分」、「公寸」、「米」、「公里」、「光年」等；在計算時間的時候，單位可以是「微秒」、「秒」、「分鐘」、「時」、「日」、「星期」、「月」、「年」、「世紀」等。

## 單位制

由選定的基本單位和它們的導出單位組成的一系列量度單位的總稱。

## 基本單位

各種物理量都有它們的量度單位，並以選定的物質在規定條件下所顯示的數量作為基本量度單位的標準，在不同時期和不同的學科中，基本量的選擇何以不同。如物理學上以時間、長度、質量、溫度、電流強度、發光強度、物質的量這 7 個物理單位為基本量，它們的單位依次為：秒、米、公斤、克耳文（克氏）、安培、燭光、莫耳。

## 導出單位

由於基本量根據有關公式推導出來的其他量，叫做導出量。導出量的單位叫做導出單位。如速度的單位是由位移和時間單位組成的用「m/s」表示。

## 組合單位

由其他量的單位組合而成的單位叫做組合單位。如壓力的單位帕斯卡（Pa）可以用力的單位牛頓（N）和面積的單位平方公尺（m2）組成，即：牛頓 / 平方公尺（N/m2）。

## 計量單位混淆引發的事故和災難

* 火星氣候軌道器墜毀事故：因噴氣推進實驗室與承包商洛馬公司之間將英制單位，公制單位混淆，致使軌道器在入軌火星時進入了錯誤的軌道，最終在稠密的火星大氣中解體。
* 加拿大航空 143 號班機事故：因機組人員加油時混淆英製與公製造成飛機飛行中燃料耗盡，最後滑翔降落在一個廢棄軍用機場
* 大韓航空 6316 號班機空難：機組人員誤將 1500 公尺理解為 1500 英尺而貿然操縱飛機下降以致飛機失速墜毀

## 備註

## 參見

* 度量衡
* 國際單位制
* 國際單位制詞頭
* 漢語外來詞
* UCUM
* 長度
* 計量

## 參考文獻

## 外部連結

* 羅馬（即奧斯曼）和埃及度量衡之間的算術轉換習慣（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 從 1642 年的手稿，在阿拉伯語中，這是有關單位的測量.
单位一

在因次分析中，**無因次量**（dimensionless quantity）又稱**無量綱量**、**因次為一的量**（quantity of dimension one）指的是沒有因次的量。它是個單純的數字，因次為 1。

無因次量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無因次量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有因次量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無因次量常寫作兩個有因次量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無因次量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的因次均為 _L_（長度），因此相除後得出的量是沒有因次的。

## 屬性

* 雖然無因次量本身沒有因次，但是它也有時被加以無因次的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg 或 mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的因次相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在因次，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無因次量有：%=0.01，百分率；‰=0.001，千分率；ppm=10−6，百萬分率；ppb（=10−9，十億分率；ppt=10−12，兆分率（萬億分率）以及角度單位（度、弧度、梯度）等等。
* 兩個具有相同因次之比是沒有因次的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體 **A** 對物體 **B** 施大小為 _F_ 的作用力，那 **B** 也會向 **A** 施大小為 _f_ 的力。兩個力的比率 _F_/_f_ 永遠等於 1（見牛頓第三定律），而不取決於測量 _F_ 和 _f_ 所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的 _F_/_f_ 不經常等於 1，而在我們從國際單位制轉用厘米 - 克 - 秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢 π 定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無因次量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無因次量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢 π 定理就不成立了。

## 白金漢 π 定理

白金漢 π 定理的另一項推論為，如果 _n_ 個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有 _k_ 個獨立的因次，則可以產生 _p_ = _n_ − _k_ 個獨立的無因次量。

### 例子

某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有 _n_ = 5 個變量

這 _n_ = 5 個變量共由以下 _k_ = 3 個因次組成：

* 長度：_L_ (m)
* 時間：_T_ (s)
* 質量：_M_ (kg)

根據該定理，通過組合這 _n_ = 5 個變量，可以得出 _p_ = _n_ − _k_ = 5 − 3 = 2 個獨立的無因次量。此例中的這兩個無因次量分別為：

* 雷諾數（描述流體流動的無因次量）
* 功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無因次量）

## 例子

* 在 10 個蘋果中，有 1 個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為 1 個蘋果 / 10 個蘋果 = 0.1 = 10%，這是個無因次量。
* 角：角度的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無因次量。當所用的（無因次）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的 360 分之 1。
* 圓周率是個無因次量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

## 無因次量列表

下表中所有的量均為無因次量：

## 無因次的物理常數

一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波茲曼常數等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為 1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

* α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常數，α ≈ 1/137；
* μ 或 β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
* αs：強相互作用的耦合常數；
* αG：重力的耦合常數，αG ≈ 1.75×10−45。

## 注釋

## 參見

* 因次分析
* 標準化
* 白金漢 π 定理

## 參考文獻

## 外部連結

* John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
* Huba, J. D., 2007, _NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ Naval Research Laboratory. p. 23 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 24 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 25 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."
单位偶

在數學中，**單位偶**（unit doublet）是狄拉克 δ 函數的導數。其可用於對信號進行微分運算。假設 _u_1 是單位偶，則

　
: $(x*u_{1})(t)={\frac {dx(t)}{dt}}$

其中 \* 表示卷積符號。

單位偶在零以外的點的值都為零。其在任意包含零點的區間的積分都為零。而在任意包含零點的區間對其絕對值進行積分的話，得到的結果為無窮大。此函數可看作是兩個矩形的極限情形，其中一個矩形位於第二象限，另一個位於第四象限。每個矩形的寬度為 k、長度為 1/k2，而 k 則趨向於零。

## 參考文獻
单位元

**單位元素**，也稱為**恆等元**、**中立元**（英語：Identity element, neutral element）是集合裏的一種特別的元素，與該集合裏的二元運算有關。當單位元素和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元素被使用在群和其他相關概念之中。

設 $(S,*)$ 為一帶有一二元運算 $*$ 的集合 $S$ （稱之為原群），則 _$S$_ 內的一元素 $e$ 被稱為**左單位元素**若對所有在 _S_ 內的 _a_ 而言， $e*a=a$ ；且被稱為**右單位元素**若對所有在 _S_ 內的 _a_ 而言， $a*e=a$ 。而若 _$e$_ 同時為左單位元素及右單位元素，則稱之為**雙邊單位元素**，又簡稱為**單位元素**。

對應於加法的單位元素稱之為**加法單位元素**（通常被標為 0），而對應於乘法的單位元素則稱之為**乘法單位元素**（通常被標為 1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

## 例子

如最後一個例子所示，有若干個左單位元素是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元素。同樣地，右單位元素也一樣。但若同時存在有右單位元素和左單位元素，則它們會相同且只存在單一個雙邊單位元素。要證明這個，設 $I$ 為左單位元素且 $r$ 為右單位元素，則 $I=I*r=r$ 。特別地是，不存在兩個以上的單位元素。若有兩個單位元素 $e$ 和 $f$ 的話，則 $e*f$ 必同時等於 $e$ 和 $f$ 。

一個代數**沒有**單位元素也是有可能的。最一般的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元素的原因在於相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元素的原因則在於任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交－因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

## 另見

* 反元素
* 加法反元素
* 么半群
* 單作
* 擬群
单位分数

**單位分數**，或稱**分數單位**，是分子是 1，分母是正整數並寫成分數的有理數。因此單位分數都是某一個正整數的倒數，1/n。例如 1/2、1/3、1/4、1/5 等都是單位分數。

## 基本代數

單位分數的積必為單位分數。

　
: ${\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{nm}}$

但加法、減法及除法的結果不一定為單位分數

　
: ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}={\frac {n+m}{nm}}$

　
: ${\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}={\frac {n-m}{nm}}$

　
: ${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$

## 其他

它們的和

$$
\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}
$$

就是調和級數，隨著 _n_ 增大，它會逐漸接近 ln (_n_)+γ。

所有單位分數之和趨向無限。

$$
\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\to \infty
$$

 

 
所有有理數都可以寫成單位分數之和（參閱古埃及分數）。
单位制

**計量單位制** （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（system of measurement units）又稱**計量系統**（system of measurement），簡稱**計量制**、**單位制**（system of units），是計量單位和它們彼此相關規則的集合。 為了科學和商業的目的，歷史上計量系統一直是重要的，受到管制和定義的。現代使用的計量系統包括公制，英制和美制。中國傳統的計量單位制叫度量衡。

## 歷史

法國大革命引發了衡量標準體系公制，並且已經遍布全球，取代了大多數慣用的衡量單位。在大多數系統中，長度（距離），質量和時間是**基本量**。

後來的科學發展顯示，可以加入電荷或電流來擴展基本量的集合，通過這些基本量可以方便地定義許多其他的計量單位。（然而，這樣的集合對於電子單位並不是必備的。例如，高斯單位僅有長度、質量和時間作為基本量，而安培是以其他的單位定義的）。至於其他的量，例如功率和速度，是來自基本量的集合：例如，速度就是每單位時間的距離。 以歷史來說，各種各樣不同的單位使用了相同類型的量：在不同的背景下，長度以英寸，英尺，碼，英尋，桿，鏈，浪，英里，海里，里格，而且它們彼此之間的轉換倍數並不是以 10 的指數。這種情形在它們自己的情況下是符合要求的。

使用更加普遍和一致的系統（基於更合理的基礎單位）的偏好只會隨著科學的發展而更加地擴散。 改變計量系統具有大量的財務和文化成本，必定會抵消使用更合理的系統所能獲得的優勢。 然而，壓力逐漸增大，包括從科學家和工程師轉變為更合理，也是國際一致的測量基礎。

## 公制

自 1795 年在法國採用第一個明確定義的系統以來，公制已經演變。在這種演變過程中，這些系統的使用遍及全世界，首先是非英語國家，然後是英語國家。

公制單位的倍數和約數乘以 10 的冪相關，並且它們的名稱由詞頭前綴形成。 這種關係與十進位數字系統兼容，它極大地促進了公制單位的便利性。

在早期的公制系統中，有兩個基本單位，長度的米和質量的克。 其他單位的長度和質量，以及所有面積，體積和衍生單位如密度的單位都來自這兩個基本單位。

## 備註

## 參考資料
单位区间

**區間**（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，一般以集合形式表示。

## 簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示**排除**，方括號表示**包括**。例如，開區間 $(10,20)$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，但不包括 $10$ 或 $20$ 。另一方面，閉區間 $[10,20]$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，以及 $10$ 和 $20$ 。

## 嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集 $T$ 的子集 $S$ ，使得若 $x$ 和 $y$ 均屬於 $S$ ，且 $x<z<y$ ，則 $z$ 亦屬於 $S$ 。

特別重要的情況是當 $T=\mathbb {R} $ 。

 $\mathbb {R} $ 的區間有以下十一種（ $a$ 和 $b$ 為實數且 $a<b$ ）：

 1. $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$
2. $[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$
3. $[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}$
4. $(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}$
5. $(a,\infty )=\{x\mid x>a\}$
6. $[a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}$
7. $(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}$
8. $(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}$
9. $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} $ 自身，實數集
10. $[a,a]=\{a\}$ ，即單元素集合
11. $\varnothing $ ，即空集

1、5、7 稱為**開區間**（因為它們是開集）；2、6、8、10 稱為**閉區間**（因為它們是閉集）；3、4 稱為**半開區間**、**半閉區間**或**半開半閉區間**；而 9、11 同時為**開區間**和**閉區間**，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11 為**有界區間**；5、6、7、8、9 為**無界區間**；10 為單點。

## 區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在 1950、60 年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

　
: $T\times S=\{x\mid {}$ 屬於 $T$ 的某些 $y$ ，及屬於 $S$ 的某些 $z$ ，使得 $x=y\times z\}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集 $[a,b]$ 及 $[c,d]$ ：

　
: $[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

　
: $[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

　
: $[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

　
: ${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集 $X(Y+Z)$ 是 $XY+XZ$ 的子集。

## 另一種寫法

在法國及其他一些歐洲國家，用 $][$ 代替 $()$ 來表示開區間，例如：

　
: $\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

　
: $\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

　
: $\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

　
: $\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

國際標準化組織編制的 ISO 31-11 也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將 $[1,2.3]$ 寫成 $[1;2,\!3]$ 。若只把小數點寫成逗號，就會變成 $[1,2,\!3]$ ，此時不易判斷究竟是 $1.2$ 與 $3$ 之間，還是 $1$ 與 $2.3$ 之間的閉區間。

## 參考
单位双曲线

在幾何學中，**單位雙曲線**是指笛卡爾平面上滿足隱函數 $x^{2}-y^{2}=1$ 的點的集合或滿足 $y^{2}-x^{2}=1$ 的點的集合（互為_共軛_）. 單位雙曲線屬於等軸雙曲線，有漸近線 $y=x$ 和 $y=-x$ ，離心率等於 ${\sqrt {2}}.$

## 漸近線

通常，曲線的漸近線是指曲線收斂到的直線。在代數幾何和代數曲線理論中，引入了射影平面，此時漸近線是指在無窮遠處與曲線相切的線.

　
: 等軸雙曲線 $f=x^{2}-y^{2}-1$ 在ℝ² 中相應的投影曲線是 $F=x^{2}-y^{2}-z^{2}$ ，與 _z_ = 0 交於點 _P_ = (1 : 1 : 0) 和 _Q_ = (1 : −1 : 0). _P_ 和 _Q_ 都在 _F_ 上 simple，有切線 _x_ + _y_ = 0, _x_ − _y_ = 0，即我們熟悉的初等幾何中的漸近線.

 
  

　
:

 

## 參數化

參數化單位雙曲線的直接方法之一是利用雙曲線 _xy_ = 1 可以用指數函數： $(e^{t},\ e^{-t})$ 參數化的特點.

這一雙曲線可以通過具有矩陣 $A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$ 的線性映射映射到單位雙曲線.

　
: $(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

參數 _t_ 是**雙曲角度參數**，即雙曲函數的參量.

## 參考文獻
单位向量

數學上，賦範向量空間中的**單位向量**就是長度為 1 的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如： $\mathbf {\hat {i}} $ 。歐幾里得空間中，兩個單位向量的點積就是它們之間角度的餘弦（因為它們的長度都是 1）。

一個非零向量 $\mathbf {u} $ 的**正規化向量** $\mathbf {\hat {u}} $ 就是平行於 $\mathbf {u} $ 的單位向量：

　
: $\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

這裡 $\|\mathbf {u} \|$ 是 $\mathbf {u} $ 的範數（長度）。**正規化向量**有時候也可以當作**單位向量**的同義詞。

一組基的元素通常被選為單位向量。在三維直角坐標系中，通常是 $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} $ ，分別為沿著 $x,y,z$ 方向的單位向量：

　
: $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

在其他坐標系中，如極坐標系、球坐標系，使用不同的單位向量，符號也會不一樣。

## 參考文獻
单位圆

在數學中，**單位圓**（英語：Unit circle）是指半徑為單位長度的圓，通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為 $(0,0)$ 、半徑為 1 的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義。單位圓通常表示為 _S_1。多維空間中，單位圓可推廣為單位球。

如果單位圓上的點 $(x,y)$ 位於第一象限，那麼 $x$ 與 $y$ 是斜邊長度為 1 的直角三角形的兩條邊，根據勾股定理， $x$ 與 $y$ 滿足方程：

　
: $x^{2}+y^{2}=1\,\!$

由於對於所有的 _$x$_ 來說 $x^{2}=(-x)^{2}$ ，並且所有這些點相對於 _x_ 軸或者 _y_ 軸的反射點也都位於單位圓上，因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

## 單位圓與三角函數

事實上，不僅僅是正弦與餘弦，而且所有六個標準三角函數 — 正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用正矢（versin）與外正割（exsec）— 都可以在單位圓表示出來。

在直角三角形中，正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於 0 且小於 ${\frac {\pi }{2}}$ 時才有意義。但是，在單位圓上，對於任意的實數角度，這些函數都有直觀的意義。

* 正弦函數與餘弦函數可以用如下方法定義。

設 $(x,y)$ 是單位圓上的一個點。設角 $t$ 的起始邊為 _x_ 軸的正方向，角度按照逆時針方向測量。那麼角 _t_ 的終邊和單位圓會有一個交點。因此：

　
: $\cos(t)=x\,\!$

　
: $\sin(t)=y\,\!$

另外，從 $x^{2}+y^{2}=1$ 可以得到

　
: $\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!$

從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數，對於任意的整數 $k$ 有恆等式

　
: $\cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!$

　
: $\sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!$

這些恆等式的依據是在角度 _$t$_ 增加任意圈數或者減小任意圈數的時候 _x_ 與 _y_ 坐標保持不變。一圈 $=2\pi $ 弧度。

## 複數的圓群

複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示， $a+bi$ 表示為 $(a,b)$ 。在這種表示下，單位圓是不斷增加的群，在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。

## 參見

* 三角函數
* 角
* 單位球
* 單位正方形
* 單位圓盤
* 圓群
单位圆盘

數學中，繞平面上給定點 _P_ 的**開單位圓盤**（open unit disk），是與 _P_ 的距離小於 1 的點集合：

　
: $D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,$

繞 _P_ 的**閉單位圓盤**（closed unit disk）是與 _P_ 的距離小於或等於 1 的點集合：

　
: ${\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,$

單位圓盤是圓盤與單位球體的特例。

若無其它修飾語，術語單位圓盤用於繞原點關於標準歐幾里得度量的開單位圓盤 $D_{1}(0)$ 。它是以原點為中心的半徑為 1 的圓周的內部。這個集合可以與所有絕對值小於 1 的複數等價。當視為複平面 **C** 的一個子集時，開單位圓盤經常記作 $\mathbb {D} $ 。

## 開單位圓盤、平面、上半平面

函數

　
: $f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}$

是一個從開單位圓盤到平面的實解析雙射函數；它的逆函數也是解析的。作為實二維解析流形，從而開單位圓盤同構於整個平面。特別地，開單位圓盤同胚於整個平面。

但在開單位圓盤與整個平面之間沒有共形雙射函數。作為一個黎曼曲面，從而開單位圓盤與複平面不同。

在開單位圓盤與開上半平面之間存在共形雙射。所以作為黎曼曲面，開單位圓盤（雙全純或共形等價）同構於上半平面，兩者經常是可以互換的。

更一般地，黎曼映射定理指出複平面的每個單連通開子集若不同於複平面自己則有到開單位圓盤的一個共形雙射。

一個從開單位圓盤到開上半平面的共形雙射是莫比烏斯變換

　
: $g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}.$

幾何上，我們可想像實軸彎曲收縮使得上半平面成為圓盤的內部而實軸成為圓盤的邊界，只在最上面留下無窮遠點。從單位圓盤到上半平面的一個共形雙射也可構造為兩個球極平面投影的複合：首先去單位球面的南極點作為投影中心，單位圓盤向上球極投影到單位上半球面；然後這個半球面投影到與該球面相切的一個豎直半平面，取投影中心為切點在球面上的對徑點。

單位圓盤與上半平面作為哈代空間不是可互換的區域。這個差別是因為單位圓周有有限（一維）勒貝格測度但實直線不是。

## 拓撲概念

如果考慮作為帶有標準拓撲的平面的子空間，開單位圓盤是一個開集，而閉單位圓盤是一個閉集。開或閉單位圓盤的邊界是單位圓周。

開單位圓盤與閉單位圓盤不是微分同胚的，因為後者是緊集而前者不是。但是從代數拓撲的視角來看他們有許多同樣的性質：兩者都是可縮的從而同倫等價於一個單點。這意味著他們的基本群平凡，且所有同倫群除了第零個同構於 **Z** 之外都是平凡的。一個點（從而對開或閉圓盤也對）的歐拉示性數等於 1。

任意從閉單位圓盤到自身的連續映射至少有一個不動點（我們甚至不要求雙射或滿射）；這是布勞威爾不動點定理 _n_=2 的情形。這個論斷對開單位圓盤不成立：考慮映射

　
: $f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right),\,$

它將開單位圓盤的每個點稍微向右移動。

開單位圓盤的單點緊化同胚於球面：想像開單位圓盤的邊界向上彎曲收縮，直到它成為一點；這說明開單位圓盤同胚於去掉北極點的球面；添上那點成為（緊）球面。

## 雙曲空間

通過開單位圓盤上引入一個新度量（龐加萊度量），開單位圓盤常常作為雙曲平面的一個模型。利用如上提到的開單位圓盤與上半平面的共形映射，這個模型可轉換成雙曲平面的龐加萊半平面模型。龐加萊圓盤與龐加萊半平面都是雙曲空間的共形模型，即模型中的角度與雙曲空間中的角度相同，從而保持了小圖形的形狀（但不保持尺寸）。

雙曲平面的另一個模型也是構造在開單位圓盤上：克萊因模型。它不是共形的，但這個模型中的直線對應於雙曲空間中的直線。

## 關於其它度量的單位圓盤

數學中也考慮關於其它度量的單位圓盤。例如關於計程車度量與切比雪夫距離的圓盤看起來像正方形（但它們的拓撲與歐幾里得情形是一樣的）。

歐幾里得圓盤的面積是 π 而周長是 2π。與之相比地是，計程車幾何中單位圓盤的周長（相對於計程車度量）是 8。1932 年，Stanisław Gołąb 證明了在由一個範數給出的度量中，單位圓盤的周長可取 6 與 8 之間的任何值，且得到極值若且唯若單位圓盤分別是正六邊形與平行四邊形。

## 相關條目

* 單位圓盤圖

## 參考文獻

* S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 1­79.

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Unit disk. MathWorld.
* On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson
单位工程

**單位工程**是指具備獨立施工條件並能形成獨立使用功能的建築物及構築物。從施工的角度看，單位工程就是一個獨立的交工系統，有自身的專案管理方案和目標，按業主的投資及質量要求下，如期建成交付生產和使用。
单位數字

**1**（**一**／**壹**）是 0 與 2 之間的自然數，是最小的正奇數。

## 數學性質

* 1 是最小的正整數。
* 在數論中，1 是最小的自然數。
* 1 是唯一一個既不是質數也不是合數的自然數
* 第 1 個虧數，真因數和為 0，虧度為 1。下一個為 2。
* 第 1 個歐爾調和數，因數調和平均數為 1。下一個為 6。
* 第 1 個高合成數。下一個為 2。
* 第 1 個無平方數因數的數。下一個為 2。
* 第一個超級冪數，有由多於一種方式構成的次方數。下一個為 16。（OEIS 數列 A117453）
  * 第 1 個平方數，為 1 的平方。下一個為 4。
  * 第 1 個立方數，為 1 的立方。下一個為 8。
* 第 1 個佩爾數。前一個為 0、下一個為 2。
* 第 1 個和第 2 個斐波那契數。前一個是 0、下一個是 2。
* 0 與 1 的階乘皆為 1，前一個 - 1 的階乘不存在，下一個階乘為 2 的階乘為 2。
* 第 1 個十進位的自我數。下一個為 3。
* 第 1 個十進位的哈沙德數。下一個為 2。
  * 第 1 個全哈沙德數，即在所有進位制中皆為哈沙德數。下一個為 2。
* 第 1 個十進位的等數位數。下一個為 2。
* 第 1 個幸運數
* 第 1 個快樂數
* 偶質數的數量
* 第 1 個三角形數
* 1 不能作為進位制的底。
* 1 不能做對數的底。
* 1 的倒數是 1。
* 1 的任意次方根是 1，即 ${\sqrt[{n}]{1}}=1$ 。
* 在階乘，0!=1!=1
* 相反數是 - 1
* 任何質數的真因數和皆為 1
* 1 是唯一一個真因數和為 0 的正整數
* 在機率論中，任一樣本空間中必然發生的隨機事件之機率定義為 1。
* 1 是正數、整數、有理數、代數數、實數、複數。
* 在幾何學中，單位圓和單位球的半徑都是 1。
* 歐拉恆等式， ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，把數學上五個重要的常數以簡約的方式連繫起來。公式中包含 **1**、**0**、自然對數的底 _e_、圓周率_**π**_及複數的虛數單位_**i**_。
* 1 在十進制下是第 1 個卡布列克數
* 任何底數為自然數的進位制裡的 1 都寫作 1，即 1(2)=1(3)=1(4)=1(8)=1(10)=1(12)=1(16)
* 1 是任何自然數的因數
* 0.999…=1
* 巴都萬數列的第 1 項、第 2 項和第 3 項
* 1 是費氏數列中，僅有的 3 個平方數之一（另外兩個是 0 與 144）。

## 在科學中

* 在計算機科學中，1 經常用在布林運算的真值表中，表示「真」值。
* 在幾何光學中，真空的折射率是 1。
* 在天文學中，太陽與地球間之平均距離為 1 個天文單位。
* 在化學中，氫的原子序數是 1。
* 在 ASCII 中，1 為「Start of Heading」。
* 在倉頡輸入法中，「一」是二十四個基本字型之一，稱為倉頡字母。

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 1 日，分別為 1 月 1 日、2 月 1 日、3 月 1 日、4 月 1 日、5 月 1 日、6 月 1 日、7 月 1 日、8 月 1 日、9 月 1 日、10 月 1 日、11 月 1 日和 12 月 1 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 1 年、公元 1 年，公元前 1 世紀及公元 1 世紀均有記載。

## 在電子訊號與資訊系統中

* 在數位電路中，不使用精確的電壓值來代表訊號的值，只使用 0 和 1 兩個值。1 表示高於預先規定的閾值電壓，被稱為高電平或者邏輯 1。與之對應，0 表示低於預先規定的閾值電壓，被稱為低電平或者邏輯 0。
* 於 JavaScript 裡，1 代表布林值 `true`。
* 在雙音多頻信號的電話系統中，按鍵 1 是由 1209 赫茲 (高頻) 和 697 赫茲 (低頻) 的正弦信號所組成。

## 在人類文化中

* A（小寫為 **a**）是拉丁字母的第 **1** 個字母。
* 在以部首檢字法為主的中文字典中，「一」往往是第一個部首和第一個字；口頭上「一」還被讀作「么（yāo）」。
* 用於單位。如一瓶、一罐、一箱等。
* 在人類文化中，「一」別賦予了萬物之始的意義：「惟初太極，道立於一，造分天地，化成萬物，凡一之屬皆從一」（《說文解字》）。
* 英文中也以「The Great One」（偉大的一，太一）指代聖經中的上帝耶和華。
* 貨幣中的基本面額，如 1 美元、1 歐元、1 人民幣、1 新臺幣。
* 在樂理中，簡譜上的 do 音用 1 表示；器樂演奏時的譜子用類似「1=C」的符號來定調。
* 在塑膠分類標誌中，代表聚對苯二甲酸乙二酯。
* 在香港電影分級制度中，第 1 級（常寫作「I 級」）的電影適合任何年齡人士觀看。
* 在百家姓中，排第 1 位的姓氏是趙。
* 在儒略曆中，1 月 Januarius 名字來自古羅馬神話的神雅努斯。
* 在男同志文化中，1 號表示性行為中的插入方。
* 世界第一
* 第一名，冠軍、最佳。

## 在軍事政治中

* 一黨制
* 單一制
* 一院制
* 第一次世界大戰

## 在體育中

* 在棒球中，1 是投手的代號。
* 以 "1" 開頭的：一壘手

## 注釋

## 參見

* 名稱以「1」開頭的所有條目
* 1 年
* 前 1 年
单位映射

**恆等函數**（英語：Identity function）是數學中對於傳回和其輸入值相同的函數的稱呼。換句話說，恆等函數為函數 $f(x)~=~x$ 。

## 定義

設 M 為一集合，於 M 上的恆等函數 f 被定義於一具有定義域和陪域 M 的函數，其對任一 M 內的元素 x，會有 $f(x)=x$ 的關係。

於 M 上的恆等函數 f 通常標記為 $\operatorname {Id} _{m}$ 或 ${1}_{m}$ 。

## 代數性質

設 _f_ : _M_ → _N_ 為任一函數，則會有 _f_ o idM = _f_ = idN o _f_（其中 "o" 為函數複合）。特別地是，idM 會是所有由 _M_ 至 _M_ 的函數所組成之么半群的單位元。

因為么半群的單位元是唯一的，也可以反過來把 _M_ 上的恆等函數定義為這個么半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中 _M_ 的自同態並不必然是函數。

## 例子

* 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
* 在任意一個 _n_ 維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣 _I_n，不論其基為何。
* 在任意一個度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，即只包含這個恆等函數的平凡群 _C1。_

## 參見

* 內含映射
单位根

數學上， **$\,n\,$ 次單位根**是 $\,n\,$ 次冪為 1 的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正多邊形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

## 定義

　
: $z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )$

這方程的複數根 $z\,$ 為 **$n\,$ 次單位根**。

單位的 $n\,$ 次根有 $n\,$ 個：

　
: $e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)$ 。

## 本原根

單位的 $n\,$ 次根以乘法構成 $n$ 階循環群。它的生成元是 $n\,$ 次**本原**單位根。 $n\,$ 次本原單位根是 $e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}$ ，其中 $k\,$ 和 $n\,$ 互質。 $n\,$ 次本原單位根數目為歐拉函數 $\varphi (n)$ 。

## 例子

一次單位根有一個: $1\,$ 。

二次單位根有兩個: $+1\,$ 和 $-1\,$ ，只有 $-1\,$ 是本原根。

三次單位根是

　
: $\left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},$

其中 ${\mathrm {i} }\,$ 是虛數單位；除 $1\,$ 外都是本原根。

四次單位根是

　
: $\left\{1,+{i},-1,-{i}\right\},$

其中 $+{\mathrm {i} }\,$ 和 $-{\mathrm {i} }\,$ 是本原根。

## 和式

當 $n\,$ 不小於 $2\,$ 時， $n\,$ 次單位根總和為 $0\,$ 。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

　
: $\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi k{n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0$ 。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

　
:

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的 $x^{n-1}\,$ 項係數為零得出。
单位根_(计量经济学)

在計量經濟學的自我迴歸模型裡，如果在 $y_{t}=a+by_{t-1}+\varepsilon _{t}$ 裡，係數 $|b|=1$ ，那麼一個**單位根**是存在的。其中： $y_{t}$ 是在 _t_ 時刻的變數，_b_ 是斜率係數， $\varepsilon _{t}$ 是誤差項。

如果單位根存在，時間序列可以說是有一個隨機趨向。

## 參見

* 迪基 - 福勒檢定
单位正方形

直角坐標系中坐標在 (_x_,_y_) 處的**單位正方形**是 _x_ 與 _y_ 坐標都在單位區間 0 到 1 之內的正方形。

區間究竟是開區間還是閉區間，每個人的判斷會有所不同，在使用時要清楚地進行定義，但是最常用的是閉區間 [0,1]。

## 參見

* 單位球
* 單位圓
* 單位立方體
单位球

數學上，**單位球面**是到固定中心點距離為 1 的點的集合，其中距離可以是任何推廣了的距離概念。**單位球**是單位球面所包圍的區域。通常一個特定的點被表示為所研究的空間的原點，並且單位球面或單位球通常以該點為中心。因此通常單位球或者單位球面就是指以原點為中心的單位球或球面。

單位球面就是半徑 1 的球面。單位球的重要之處是任何球面可以通過平移和縮放的組合來變換為單位圓。這樣一般情況的球的屬性可以歸約到對於單位球的研究。

## 歐氏空間的單位球

_n_ 維歐氏空間中，單位球面是所有滿足如下方程的點 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 的集合

　
: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$

而閉單位球是所有滿足如下不等式的點的集合

　
: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.$

### 一般的面積和體積公式

_n_- 維歐氏空間的單位球體積，和單位球面的面積，出現在很多數學分析的公式中。_n_ 維空間中的單位球面的表面積，經常記為 $\omega _{n}$ ，可以用 Γ 函數表示。它是

　
: $\omega _{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ .

單位球的體積則是 ${\frac {\omega _{n}}{n}}$ .

## 賦范向量空間中的單位球

精確一點的說，賦范向量空間 $V$ 中的**開單位球**，設範數為 $\|\cdot \|$ ，由下式表示

　
: $\{x\in V:\|x\|<1\}$ .

它位於 $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ 中的**閉單位球**的內部，

　
: $\{x\in V:\|x\|\leq 1\}$ .

後者是前者和它們的公共邊界 $(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ 的**單位球面**的不交併集，

　
: $\{x\in V:\|x\|=1\}$ .

### 討論

單位球的_形狀_完全取決於所選的範數；它可能有_角_，例如它可以看起來象 $[-1,1]^{n}$ ，也就是在選取 $R^{n}$ 中的範數 $l_{\infty }$ 的情況。_圓球_可以理解為一般的希爾伯特空間範數的情況，在有限維的情況中依賴於歐氏距離；它的邊界就是通常所指的單位球面。

## 推廣

### 度量空間

上面的三個定義都可以直接推廣到度量空間中相對於某個原點的相應概念。但是，拓撲上的考慮（內部，閉包，邊界）不一定可以同樣的推廣（例如，在超度量空間，所有三者同時是即開且閉集合），而單位球在某些度量空間甚至可能是空集。

### 二次型

若 $V$ 是有實二次型 $F:V\rightarrow R$ 的線性空間，則 $\{x\in V:F(x)=1\}$ 有時稱為 $V$ 的**單位球面**。二維的例子有雙曲複數和對偶數。當 $F$ 可以取負值時，則 $\{x\in V:F(x)=-1\}$ 稱為**反球面**。

## 參看

* 單位圓
* 單位正方形
* 單位圓盤
* 球面
* 球 (數學)
* 數學符號表
单位矢量

數學上，賦範向量空間中的**單位向量**就是長度為 1 的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如： $\mathbf {\hat {i}} $ 。歐幾里得空間中，兩個單位向量的點積就是它們之間角度的餘弦（因為它們的長度都是 1）。

一個非零向量 $\mathbf {u} $ 的**正規化向量** $\mathbf {\hat {u}} $ 就是平行於 $\mathbf {u} $ 的單位向量：

　
: $\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

這裡 $\|\mathbf {u} \|$ 是 $\mathbf {u} $ 的範數（長度）。**正規化向量**有時候也可以當作**單位向量**的同義詞。

一組基的元素通常被選為單位向量。在三維直角坐標系中，通常是 $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} $ ，分別為沿著 $x,y,z$ 方向的單位向量：

　
: $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

在其他坐標系中，如極坐標系、球坐標系，使用不同的單位向量，符號也會不一樣。

## 參考文獻
单位矩阵

在線性代數中， $n$ 階**單位矩陣**，是一個 $n\times n$ 的方形矩陣，其主對角線元素為 1，其餘元素為 0。單位矩陣以 $I_{n}$ 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為 $I$ （或者 $E$ ）。（在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的 **1** 表示，否則無法與 $I$ 作區別。）

　
: $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

一些數學書籍使用 $U$ 和 $E$ （分別意為「單位矩陣」和「基本矩陣」），不過 $I$ 更加普遍。

特別是單位矩陣作為所有 $n$ 階矩陣的環的單位，以及作為由所有 $n$ 階可逆矩陣構成的一般線性群 $GL(n)$ 的單位元素（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。

這些 $n$ 階矩陣經常表示來自 $n$ 維向量空間自己的線性變換， $I_{n}$ 表示恆等函數，而不理會基。

有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：

　
: $I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)$

也可以克羅內克爾 δ 記法寫作：

　
: $(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$

## 性質

根據矩陣乘法的定義，單位矩陣 $I_{n}$ 的重要性質為：

　
: $AI_{n}=A$ 且 $I_{n}B=B$

單位矩陣的特徵值皆為 1，任何向量都是單位矩陣的特徵向量。具有重數 $n$ 。因為特徵值之積等於行列式，所以單位矩陣的行列式為 1。因為特徵值之等於跡數，單位矩陣的跡為 $n$ 。

## 參考資料
单位立方体

**單位立方體**是邊長為 1 的立方體。三維單位立方體的體積是 1，表面積是 6。_單位立方體_也用來表示多於三維的 _n_ 維空間中的「立方體」，通常表示 _n_ 維坐標系中區間 [0, 1] 之間的 [0, 1]n 集合。

## 參見

* 單位球
单位群

在環中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個乘法群，叫環的**單位群**。對環（域）來說，單位群所有元素，和環（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由環的素理想，分式理想，理想類群來度量。

整數環 Z 的單位只有 1，-1，單位群同構於循環群 C2。模 n 的剩餘類環 Zn 單位群記為 U（Zn）。僅有 U（Z3），U（Z4），U（Z6），U（Z8），U（Z12），U（Z24）非單位元的階均為 2；非單位元的階均為其他素數 p（p > 2）的單位群不存在。

## 單位

算術基本定理說明 Z 環的乘法結構為：每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和 ±1 乘。這對 OK 的理想的唯一分解對一部分理想正確，不能全正確是因為 ±1，因為整數 1 和 - 1 是 Z 環的可逆元素（即單位，兩者組成一個乘法群叫單位群，記為 Z×，是個 2 階循環群）。更普遍的是，在 OK 的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群，記為 O×，群素元稱為 OK 的單位，這個群比 2 階循環群 Z× 階大。由狄利克雷單位定理可得：單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式：

　
: OK $\simeq $ Z⊕r⊕（有限循環群）。

有限循環群即為 K 的單位群 O×。[1]
OK 單元群的階大小，OK 的格結構，類數公式可以求出。

## 例子

由在線 GNU 項目 sagemath.org 可容易看出 2 次域單位的判別式、類數、因子分解等各種情況。

　
: Q7:=QuadraticField(-11);Q7;

　
: O7:=MaximalOrder(Q7);O7;

　
: Discriminant(Q7) ;

　
: ClassGroup(Q7);

　
: a:=O7!5;a;

　
: aa:=O7!500;aa;

　
: Factorization(a);

　
: Factorization(aa);

　
: Q17:=QuadraticField(17);Q17;

　
: FundamentalUnit(Q17);

　
: Discriminant(Q17) ;

　
: ClassGroup(Q17);

 

　
: Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field

　
: Maximal Order of Q7

　
: -11

　
: Abelian Group of order 1

　
: Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7

　
: 5

　
: 500

　
: [ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]

　
: <-1, 0>

　
: [ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]

　
: <-1, 0>

　
: Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field

　
: -Q17.1 + 4

　
: 17

　
: Abelian Group of order 1

　
: Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17

## 參考連結
单位词头

**國際單位制前置詞**（英語：metric prefix）表示單位的倍數和分數，目前有 24 個前置詞，大多數是**千**的整數次冪。

## 常見單位

* 長度（m） ：Mm, km, dm, cm, mm, dmm, cmm, μm, nm, pm, fm
* 質量（g）：kg, dg, cg, mg
* 容積（L）：dL, cL, mL
* 頻率（Hz）：MHz, kHz
* 壓力（Pa）：MPa, kPa, hPa
* 時間 （s） ：h, min, s
* 資訊量（Byte）：TB, GB, MB, kB（常與二進位乘數前置詞 TiB, GiB, MiB, kiB 發生混淆，應注意區分）

## 新增國際單位制前置詞

現在有人提議用「xenta」或「xona」（或其他以 x 字開頭的前置詞）作為代表 1027 的國際單位制前置詞；以及用一個以 x 字開頭的前置詞（目前沒有具體的拼法）作為代表 10-27 的國際單位制前置詞。

為了維護縮寫原則，即是用英文大楷字母來代表大數，而用英文小楷字母來代表小數，「X」將會是代表 1027 的國際單位制符號，而「x」將會是代表 10-27 的國際單位制符號。另外，在 _ISO 2955_ 的國際標準中，「u」已經獲接納為代替「μ」來代表 10-6 的國際單位制符號。

「xona」來自英文數字前置詞「nona」，「nona」意指九。但是現在有少部份人依然提議用「novetta」作為代表 1027 的國際單位制前置詞，不過若其獲接納的話，就會喪失前置詞順序與英文字母倒序的對應，以至喪失前置詞與其倒數之前置詞的對應。

現在有一些人提議用一些英文大楷字母代替一些英文小楷字母來代表數量，例如用「K」代替「k」來代表 103，用「H」代替「h」來代表 102，和用「D」代替「da」來代表 101，旨在調和國際單位制符號標準。另外，有一些人提議把一些不符合 10±3n 結構的國際單位制符號剔除。不過，國際度量衡大會暫時擱置對這兩個提議的決定。

2022 年 11 月 18 日在法國巴黎舉行的第 27 屆國際計量大會採納了英國國家物理實驗室度量衡學負責人理察・布朗的建議，增加了四個新的前置詞，分別是 ronna、quetta、ronto 和 quecto；其中，ronna 和 quetta 表示極大的數字，分別表示有效數字後有 27 個零和有 30 個零，ronto 和 quecto 則用於表示極小的數字，分別表示小數點後有 27 個零和 30 個零。這是 1991 年以來，國際單位制首次新增內容。布朗表示：「之所以選擇 ronna、quetta、ronto 和 quecto 為新增單位前置詞，是因為只有字母 r 和 q 尚未被用作單位前置詞，同時這 4 個單詞發音聽起來像希臘語發音，並滿足大單位前置詞以 a 結尾、小單位前置詞以 o 結尾的慣例。」

## 中文相關

兩岸四地使用的國際單位制前置詞法源不同。中華民國用的前置詞（或稱前綴詞、前置詞）依據中華民國經濟部標準檢驗局公告的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》。中華人民共和國依據中華人民共和國國務院公布的行政法規《中華人民共和國法定計量單位》。香港和澳門不受上列兩種規定所限。

須特別留意的是，源自中文大數系統的「兆」字在中國大陸和台灣的國際單位制前置詞中均使用，但含義並不相同。古代中文大數有四個進位系統，分別為上數、中數、下數、萬進，中國大陸按照下數體系中的「十萬曰億，十億曰兆」將「兆」用作百萬「mega-」（106），而台灣和日本則按照萬進系統「萬萬曰億，萬億曰兆」將「兆」用作萬億「tera-」（1012）。因此，表示發電廠發電能力的 MW，在臺灣稱為「百萬瓦」、中國大陸稱為「兆瓦」；表示頻率的 MHz，台灣稱為「百萬赫」，但也常稱為「兆赫」。

 

## 參考資料

## 相關條目

* 國際單位制
* 國際單位制基本單位
* 國際單位制導出單位
* 二進位前置詞
* 十進位
* 中文數字
* 計量單位統一代碼 (UCUM)

## 外部連結

* 用於構成十進倍數和分數單位的前置詞－《現代漢語詞典》2002 年增補版（商務印書館）第 1755 頁表 4
* 國務院關於在我國統一實行法定計量單位的命令－中華人民共和國國務院
* 國務院關於在我國統一實行法定計量單位的命令（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－北京市質量技術監督局
* 法定計量單位（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－江西省質監局計量處
* 水利水電量、單位及符號的一般原則（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－中國水利科技資訊網
* 法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）－經濟部標準檢驗局
单位重

**比重量**（specific weight），也稱為**單位重（量）** （unit weight）、**重量密度**（weight density），是指物質單位體積的重量。

水在地球上 4°C 時的單位重量約為 9.807 kN/m3 或 62.43 lbf/ft3，是一常用的數值。

單位重量通常會用希臘字母「_γ_」來表示。

## 定義

一物質的比重量（_γ_）定義為該物質密度（ρ）與標準重力（g）的乘積。

$$
\gamma =\rho \,g
$$

物質密度的定義為單位體積的質量，通常以 kg/m3 為單位。標準重力是重力造成的加速度，通常以 m/s2 為單位，地球上的標準重力計為 9.81 m/s2。

比重量與密度有所不同，並不是物質的固定性質，而是取決於重力加速度的數值，會因測量的所在地而有所不同。

## 應用

### 流體力學

在流體力學中，比重量代表重力於單位體積液體所施加的力。因此，比重量的單位是以每單位體積所受的力來表示（例：N/m3 或 lbf/ft3）。比重量可視為液體的一種性質。

### 土壤力學

比重量是一個經常用來解決土方工程的土壤性質。在土壤力學中，比重量可能指：

* **濕單位重（** $\gamma $ **）** ：含水和空氣的土壤的單位重量，公式為

　　 $\gamma ={\frac {(1+w)G_{s}\gamma _{w}}{1+e}}$ ，其中

　　_γw_ 是水的單位重量

　　w 是含水量

　　_Gs_ 是土壤固體的比重

　　e 是孔隙率

* **乾單位重（** $\gamma _{d}$ **）** ：當土壤中的孔隙只有空氣並且沒有水時的單位重，公式為

　　 $\gamma _{d}={\frac {G_{s}\gamma _{w}}{1+e}}={\frac {\gamma }{1+w}}$ ，其中

　　γ 是濕單位重

　　_γw_ 是水的單位重量

　　w 是含水量

　　_Gs_ 是土壤固體的比重

　　e 是孔隙率

* **飽和單位重（** $\gamma _{s}$ **）** ：土壤中的孔隙完全被水填滿時的單位重，公式為

　　 $\gamma _{s}={\frac {(G_{s}+e)\gamma _{w}}{1+e}}$ ，其中

　 _γw_ 是水的單位重量

　　_Gs_ 是土壤固體的比重

　　e 是孔隙率

* **浸水單位重（** $\gamma \prime $ **）** ：土壤中的孔隙完全被水填滿時的單位重，經常用於計算土壤的有效應力，公式為

　
: $\gamma ^{'}=\gamma _{s}-\gamma _{w}$ ，其中

　
: _γs_ 是飽和單位重

　
: _γw_ 水的單位重量

### 土木及機械工程

在土木工程和機械工程中，比重量可用於確定一結構體在承載負荷，並且維持在不發生變形之下的重量。

## 常用比重量

### 水的比重量

### 空氣的比重量

## 參見

* 密度
* 比重
* 相對密度

## 參考資料
单位阶梯函数

**單位階躍函數**，又稱**黑維塞階躍函數**，通常用 H 或 θ 表記，有時也會用 u、**1** 或 𝟙 表記，是一個由奧利弗・亥維賽提出的階躍函數，參數為負時值為 0，參數為正時值為 1。

分段函數形式的定義如下：

　
: $H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$

另一種定義為：

　
: $H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

或

　
: $H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)$

它是個不連續函數，其微分是狄拉克 δ 函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分布函數。

事實上， $x=0$ 的值在函數應用上並不重要，可以任意取。

## 連續函數逼近

 * $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}$

有許多可以以解析方式近似的函數，以下是二個例子：

 * $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\ $
* $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\ $

## 積分表示

　
: ${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$

## 參見

## 參考資料
单体

在高分子化學中，**單體**是可與同種或他種分子通過共價鍵連接生成聚合物的小分子。英文的「單體」（monomer）一詞來源於希臘語的「一」（_μόνος_ ）和「部分」（_μέρος_）。

## 分類

單體可以按聚合反應的方式分為兩類：加成聚合單體和縮合聚合單體。

### 加成聚合單體

含有雙鍵、三鍵或環狀結構的單體分子可以進行加成聚合反應（加聚）。

如：

* 乙烯等烯烴同系物（C=C 雙鍵），生成聚乙烯等產物；
* 環氧乙烷（環狀結構），生成聚環氧乙烷。

### 縮合聚合單體

含有兩個或更多可以互相反應並生成水或其他可以脫離的小分子的官能團的單體分子之間可以進行縮合聚合反應（縮聚）。

如：

* 雙酚 A 和光氣（-OH 和醯鹵縮合），生成聚碳酸酯；
* 乙二醇和對苯二甲酸（-OH 和 - COOH 縮合），生成聚對苯二甲酸乙二酯。

## 官能度

單體在聚合反應中生成新鍵的數目被稱為官能度，它表示單體在反應中所能連接的分子數目：

如：

* 乙烯含有一個雙鍵，打開後可以連接兩個分子，官能度為 2；
* 丙三醇含有三個羥基可以參與聚合反應，官能度為 3。

只有官能度為 1 的分子只能生成二聚物，官能度為 2 的單體可以生成線型聚合物，官能度大於 2 的分子可以生成體型聚合物。通常體型聚合物比線型聚合物有更高的強度。

## 天然聚合物單體

在生化反應中，也有很多天然單體縮聚反應。如：

* 澱粉和纖維素是單糖縮聚的產物；
* 蛋白質由胺基酸單體分子縮聚而成；
* DNA 和 RNA 由核苷酸單體按照空間特定部位和特殊形態的要求縮聚而成。

## 參見

* 蛋白質亞基
* 聚合物
* 寡聚物
* 高分子
单体元素

**單體元素**（英語：free element），或稱**自由元素**，指不與其他元素結合或化學鍵合的化學元素，例如氧分子（O2）和碳均可以作為單體元素出現。單體元素所有原子氧化數均為 0，幾乎不與其他原子鍵合。抗腐蝕金屬金和鉑也是單體元素。

## 另見

* 抗腐蝕金屬

## 參考資料
单体内核

**單核心**（英語：Monolithic kernel），也譯為**整合式核心**、**單體式核心**，一種作業系統核心架構，此架構的特性是整個核心程式是一個單一二進位執行檔，在核心空間以監管者模式（Supervisor Mode）來執行。相對於其他類型的作業系統架構，如微核心架構或混核心架構等，這些核心會定義出一個高階的虛擬介面，由該介面來涵蓋描述整個電腦硬體，這些描述會集合成一組硬體描述用詞，有時還會附加一些系統呼叫，如此可以用一個或多個模組來實現各種作業系統服務，如行程管理、共時（Concurrency）控制、記憶體管理等。

## 概論

單核心被視作為運行在單一位址空間的單一的行程，核心提供的所有服務，都以特權模式，在這個大型的核心位址空間中運作，這個位址空間被稱為核心空間（kernel space）。它通常是以單一靜態二進位檔案的方式被儲存在磁碟，或是快取記憶體上，在啟動之後被載入記憶體中的核心空間，開始運作。

它的優點是設計簡單。在核心之中的通訊成本很小，核心可以直接調用核心空間內的函式，跟使用者空間的應用程式呼叫函式一樣，因此它的效能很好。在 1980 年代之前，所有的作業系統都採用這個方式實作；即使到了現在，主要的作業系統也多採用這個方式。

微核心的支持者認為，單核心的移植性不佳，即使有的單核心將其運作從整體性運作拆分成幾個服務模組，並讓各模組各自運作，其作業系統的程式碼依然是高度緊密的，很難修改成其他類型的作業系統架構。此外，所有的模組也都在同一塊定址空間內執行，倘若某個模組有錯誤、瑕疵（Bug），執行時就會損及整個作業系統運作。反過來，如果整塊性架構的作業系統在開發設計時相當完善，並經測試驗證後具有高度可靠性，則作業系統內的各軟體組件因具有高度緊密性，如此在系統的低階運作上將格外有效率。

## 可載入性的模組

現在多數採行整塊性架構設計的作業系統，如 OpenVMS、Linux、FreeBSD、以及 Solaris 等，都已經能在運作執行階段中，以動態方式來載入（Load）、解除安裝（Unload）可執行的模組，不過這些模組是屬於二進位程式碼的層次，或稱映像層次，而非核心架構的層次。即使單核心進行模組化轉化，也不會與微核心或混核心架構的核心產生區分上的混淆，因為微核心、混核心的模組是屬於系統架構的層次。

就實務上，**動態載入 / 解除安裝模組**的作法，等於是用一種較簡易的方式來彈性管控執行中的作業系統核心，若沒有動態載入 / 解除安裝機制，作業系統的核心想要進行任何的調整、變換，都必須重新啟動才能達成。因此模組化是必然且必要的，如此才能讓核心功效輕鬆地擴展、延伸，此外也能適時減輕硬體的執行運作負擔。

另外，有些整塊性作業系統為了讓它的核心空間達到最小化，也會運用動態載入 / 解除安裝機制來達成此一目標。

## 部分整塊性架構的作業系統舉例

* 傳統 Unix 核心
  * BSD
  * Solaris
* 類 Unix 系統（Unix-like）的核心
  * FreeBSD
  * OpenBSD
  * NetBSD
  * Linux
  * LynxOS
  * Syllable Desktop
* DOS
  * DR-DOS
  * MS-DOS
    * Microsoft Windows 9x 系列（95、98、98SE、Me）
  * FreeDOS
* Mac OS（從最初版到 Mac OS 8.6 版）
* OpenVMS
* XTS-400

## 相關條目

* 核心（Kernel）
* 外核心（Exokernel）
* 混核心（Hybrid kernel）
* 微核心（Microkernel）
* 奈内核（Nanokernel）

## 參考文獻
单体红山茶

**單體紅山茶**（學名：_Camellia uraku_）為山茶科山茶屬的植物。分布在日本等地，目前由人工引種栽培，是很好的園林樹種，據有觀賞價值。

## 參考文獻
单例模式

**單例模式**，也叫**單子模式**，是一種常用的軟體設計模式，屬於創建型模式的一種。在應用這個模式時，單例對象的類必須保證只有一個實例存在。許多時候整個系統只需要擁有一個的全局對象，這樣有利於我們協調系統整體的行為。比如在某個伺服器程序中，該伺服器的配置信息存放在一個文件中，這些配置數據由一個單例對象統一讀取，然後服務進程中的其他對象再通過這個單例對象獲取這些配置信息。這種方式簡化了在複雜環境下的配置管理。

實現單例模式的思路是：一個類能返回對象一個引用（永遠是同一個）和一個獲得該實例的方法（必須是靜態方法，通常使用 getInstance 這個名稱）；當我們調用這個方法時，如果類持有的引用不為空就返回這個引用，如果類保持的引用為空就創建該類的實例並將實例的引用賦予該類保持的引用；同時我們還將該類的構造函數定義為私有方法，這樣其他處的代碼就無法通過調用該類的構造函數來實例化該類的對象，只有通過該類提供的靜態方法來得到該類的唯一實例。

單例模式在多執行緒的應用場合下必須小心使用。如果當唯一實例尚未創建時，有兩個執行緒同時調用創建方法，那麼它們同時沒有檢測到唯一實例的存在，從而同時各自創建了一個實例，這樣就有兩個實例被構造出來，從而違反了單例模式中實例唯一的原則。 解決這個問題的辦法是為指示類是否已經實例化的變量提供一個互斥鎖（雖然這樣會降低效率）。

## 構建方式

通常單例模式在 Java 語言中，有兩種構建方式：

* 懶漢方式。指全局的單例實例在第一次被使用時構建。
* 餓漢方式。指全局的單例實例在類裝載時構建。

## 例子

### Java

在 Java 語言中，單例模式（餓漢模式）應用的例子如下述代碼所示：

在 Java 程式語言中，單例模式（懶漢模式）應用的例子如下述代碼所示 （此種方法只能用在 JDK5 及以後版本（注意 INSTANCE 被聲明為 volatile），之前的版本使用「雙重檢查鎖」會發生非預期行為）：

### C++

在 C++ 程式語言中，單例模式應用的例子如下述代碼所示（這裡僅僅提供一個示例；由於加入了鎖，這代碼是執行緒安全的）：

### GO

GO 語言中的單例模式:

### Objective-C

OC 語言中的單例模式:

### PHP

PHP 語言中的單例模式:

## 參考文獻

## 外部連結

* A Q&A page （java.sun.com）
* Java 單例對象同步問題探討 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參見

* 多例模式
单依纯

**單依純**（2001 年 12 月 23 日 —），浙江東陽人，中國女歌手。2020 年考入浙江音樂學院，主修流行演唱，師從王滔。同年，參加浙江衛視音樂選秀節目《2020 中國好聲音》，最終獲得總冠軍。導師與其流行演唱之路啟蒙者為李健，兩人過去已在另一檔節目《我想和你唱》中合作過，單依純那時與奪得《中國好聲音》總冠軍後皆不止一次提及說李健是她很崇拜的歌手，因為李健的歌曲裡總是有她想學習的情感表達技巧。

## 經歷

單依純出生於浙江省東陽市三單鄉，童年時在母親影響下就喜歡唱歌，包括流行歌曲和越劇。小學至高中先後在東陽市三單鄉中小學、東陽市第三高級中學就讀，經常參加校園文藝演出。

上海世博會期間，單依純參與杭州網義工分會在學校舉辦的「第二課堂」活動以及完美（中國）浙江分公司組織的「完美童年，城市與鄉村牽手看世博」活動，並以優異的繪畫成績分別獲得「海寶」和世博會門票。讀三年級時，她接觸入門級聲樂課，由此更加熱愛唱歌。她多次在東陽市童聲大賽中獲獎，並且在浙江杭州維也納金色大廳新春音樂會比賽中獲得獨唱二等獎。六年級時，其演唱的歌曲《山裡的陽光》成為校歌。2018 年，她作為素人嘉賓參與錄製湖南衛視音樂互動節目《我想和你唱》第三季，與歌手李健同台合作。

2020 年，單依純參加普通高等學校藝術類專業招生統一考試，以全國專業第一名的成績考入浙江音樂學院流行音樂系，師從音樂人王滔。同年報名參加浙江衛視音樂選秀節目《2020 中國好聲音》，在盲選階段獲得李健和謝霆鋒的轉身，並選擇加入李健戰隊；隨後於搶位戰環節獲勝，成為李健戰隊五強學員。節目播出後，單依純及其競演曲目《永不失聯的愛》受到廣泛關注，亦得到原唱周興哲的認可。後續的比賽階段中，她都取得優異的成績，最終奪得總冠軍。期間，她在 11 月 12 日參演「還有詩和遠方・詩畫浙江篇」主題晚會。11 月 23 日，簽約百沐娛樂。12 月 31 日，參加《「美好有你」浙江衛視 2020-2021 跨年晚會》。

2021 年 1 月 15 日，浙江衛視音樂競技節目《天賜的聲音》第二季開播，單依純以「飛行合伙人」身份參賽。1 月 17 日，擔任 2020 全民 K 歌年度盛典頒獎之夜表演嘉賓。5 月，參加愛奇藝音樂競技節目《爆裂舞台》。7 月，加盟芒果 TV 說唱音樂綜藝節目《說唱聽我的》第二季。9 月，參加東方衛視音樂競技節目《我們的歌》第三季。12 月 11 日，單依純獲得第三屆 TMEA 騰訊音樂娛樂盛典年度最具潛力歌手。12 月 14 日，她為電影《誤殺 2》演唱的片尾曲《螢火蟲》上線。12 月 31 日，加盟江蘇衛視跨年演唱會，與此同時，她還與胡夏在《啟航 2022—— 中央廣播電視總台跨年晚會》中合作演唱了歌曲《遇見未來》。

2022 年 1 月 2 日，發行個人首張專輯《勇敢額度》。1 月 23 日，她為手遊《和平精英》演唱的森之鹿靈時裝印象曲《森之戀歌》正式上線；1 月 30 日，她參與錄製的由中央廣播電視總台文藝節目中心打造的全新品牌節目《生龍活虎迎春來》播出；同時，在遼寧衛視春節聯歡晚會中與孫楠共同演唱了歌曲《出發的心》；2 月 25 日，單依純在上映的脫貧攻堅主題電影《你是我的一束光》中飾演了參與扶貧的音樂老師，而這也是她的熒幕首秀；4 月 24 日，參與錄製的港樂競唱獻禮節目《聲生不息》在湖南衛視、翡翠台同時播出；5 月 14 日，發行個人單曲《星芒》。；7 月 5 日，她為電視劇《星漢燦爛》演唱的主題曲 & 片尾曲《星漢燦爛》上線；7 月 11 日，她為慶祝自己從聲生不息畢業，發行個人首支粵語單曲《靚仔日記》。8 月 4 日，加盟央視七夕晚會 ；8 月 8 日，發行第七支個人單曲《愛的奇幻旅行》。9 月 10 日，在中央廣播電視總台中秋晚會中演唱了歌曲《推開世界的門》；11 月 25 日，單依純獲得第 29 屆東方風雲榜「最佳新銳歌手」榮譽；12 月 17 日，單依純成功舉辦「給你勇敢」線上演唱會；12 月 26 日，參加 2023 年中央廣播電視總台春節聯歡晚會第一次聯排，並有望於 2023 年 1 月 21 日除夕夜登上央視春晚舞台；12 月 31 日， 加盟《2023 江蘇衛視跨年演唱會》，與譚詠麟共同演唱歌曲《一生中最愛》，與鍾楚曦、張純燁等人共同演唱歌曲《獅子山下》；同日，參加《啟航 2023—— 中央廣播電視總台跨年晚會》，與陳偉霆演唱《千年永寧》。

2023 年 1 月 1 日，發行第八支個人單曲《同心向未來》；1 月 19 日，在山東衛視春節聯歡晚會上演唱了歌曲《如願》；1 月 21 日，單依純首登《2023 年中央廣播電視總台春節聯歡晚會》，與黃霄雲、宋軼、宋祖兒等人合唱歌曲《綠水青山》；1 月 24 日，加盟《奮進新征程 ——2023 中國網絡視聽年度盛典》；2 月 4 日，單依純為電視劇《三體》演唱的插曲《讓我隨風》上線；3 月 16 日，與胡夏在中國文聯文藝助力鄉村振興原創歌曲專場演出中合唱了歌曲《月亮舞台》；3 月 25 日，參加《2022 微博之夜》，表演節目《飛雲之下》。

## 音樂作品

### 錄音室專輯

### 單曲

## 綜藝節目

### 《2020 中國好聲音》參賽記錄

### 《天賜的聲音》第二季參賽記錄

### 《為歌而讚》參賽記錄

### 《說唱聽我的》第二季參賽記錄

### 《爆裂舞台》參賽記錄

### 《我們的歌》第三季參賽記錄

### 《聲生不息》參賽記錄

### 其他節目

## 榮譽及獎項

## 個人演唱會

## 晚會 / 活動

## 社會活動

## 廣告代言推廣

## 參演電影

## 參考資料

## 外部連結

* 單依純的新浪微博
单侧花

**單側花**（學名：_**Orthilia secunda**_）為鹿蹄草科單側花屬下的一個種。

## 參考文獻
单侧花属

**單側花屬**（學名：_Orthilia_）是鹿蹄草科下的一個屬，為草本植物。該屬共有 2 種，分布於歐洲、亞洲和非洲。

## 參考文獻
单侯村关帝庙石旗杆

**單侯村關帝廟石旗杆**，位於中國河北省張家口市南留莊鎮單侯村東，為張家口市蔚縣的一個省級文物保護單位，類型為古建築，公布時間為 1993 年 7 月 15 日。

單侯村關帝廟石旗杆的歷史年代為清代。

## 參考文獻
单倍型

**單倍型**是指生物體的一條染色體上來自於某一單親的一組緊密相連的等位基因組合。 每個人有兩條單倍型，分別來自雙親。

## 參考文獻
单倍型类群

在分子演化的研究中，**單倍群**（Haplogroup）是一組類似的單倍型（Haplotype），它們有一個共同的單核苷酸多態性祖先。因為單倍群由相似的單倍型組成，所以可以從單倍型來預測單倍群。單核苷酸多態性試驗被用來確認單倍型。單倍群以字母來標記，並且以數字和一些字母來做補充，例如 O3e1. Y 染色體和粒線體單倍群有不同的單倍群標記方法。單倍群可用來標記數千年前的祖先來源。

在人類遺傳學中，最常被拿來研究的單倍群是 Y 染色體（Y-DNA）單倍群和粒線體 DNA（mtDNA）單倍群，這兩個都可以被用來定義遺傳群體。Y 染色體脫氧核糖核酸單倍群僅能以父系遺傳，同時 mtDNA 僅能以母系遺傳。

基於遺傳標記的人類單倍型分類，特別是藉助唯一事件多樣性（UEPs），在過去幾年中快速發展著。

## 單倍群群體遺傳學

一般被認為對於某個存活到現在的特定單倍型突變，自然選擇並不存在偏好與否，所以除去突變率（其會根據不同的標記而變化）群體遺傳學中主要影響單倍群比例的原因是遺傳漂變。

### 人類 Y 染色體 DNA 單倍型類群

人類 Y 染色體 DNA（Y-DNA）單倍型類群被命名為 A 到 T，其中部分被更進一步以數字及小寫拉丁字母細分。主 Y 染色體單倍型類群編號的設計係由 Y 染色體協會建立。

Y 染色體亞當是由研究人員命名，用來指稱人類父系的最近共同祖先。主要的 Y 染色體單倍群及其在前歐洲殖民地發生狀況的地理分佈如下：

### 人類粒線體 DNA 單倍體群

人類粒線體 DNA 單倍體群被標為不同字母: 
A, 
B, 
C, 
CZ, 
D, 
E, 
F, 
G, 
H,pre-HV, 
HV, 
I, 
J, 
pre-JT, 
JT, 
K, 
L0, 
L1, 
L2, 
L3, 
L4, 
L5, 
L6, 
L7, 
M, 
N, 
O, 
P, 
Q, 
R, 
S, 
T, 
U, 
UK, 
V, 
W,
X, 
Y, and
Z.

## 定義群體

單倍群可以用來定義遺傳學群體和地理分佈。例如，以下是 mtDNA 單倍群一般性區域分佈：

* 非洲人：L0、L1、L2、L3、L4、L5、L6
* 西部歐亞人：H、T、U、V、X、K、I、J、W
* 東部歐亞人：A、B、C、D、E、F、G、Y、Z
* 美洲原住民：A、B、C、D、X
* 澳洲 - 美拉尼西亞人：P、Q、S

粒線體單倍群分為 3 群，以 3 個連續的字母 L、M、N 表示。人類第一次在群內分離成 L0 和 L1-6。L1-6 隨後引伸出其他群，其中的 L3 分離成 M 和 N 群。M 群組成包括人類第一波由離開非洲，順著南部沿海地區向東的大遷移​​路線。

## Y 染色體 DNA 單倍型類群和粒線體 DNA 單倍體群的相同之處

以下是 Y 染色體 DNA 單倍型類群和粒線體 DNA 單倍體群大約的相同之處：

## 參看

* 國際人類基因組單體型圖計劃
* 遺傳系譜學
* 遺傳學

## 註釋

## 參考文獻

* [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 外部連結

### 一般資料

* World Families Network

### 新聞

* 印地安人的母系基因池，_Journal of Human Genetics_
* Dienekes' Anthropology Blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） frequent highlights of new results.

### 所有單倍體群

* https://web.archive.org/web/20040728005528/http://www.scs.uiuc.edu/~mcdonald/WorldHaplogroupsMaps.pdf

### Y 染色體 DNA 單倍型類群

* Y Chromosome Consortium
* ISOGG Y-DNA Haplogroup Tree 2006（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* DNA Heritage's Y-haplogroup map
* Haplogroup Predictor
* The Y Chromosome Consortium (2002), A Nomenclature System for the Tree of Human Y-Chromosomal Binary Haplogroups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Genome Research, Vol. **12**(2), 339-348, February 2002. (Detailed hierarchical chart（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） has conversions from previous naming schemes)
* DNA Consulting's Conversion Chart for Male Haplogroups （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PDF)
* Semino et al (2000), The Genetic Legacy of Paleolithic Homo sapiens sapiens in Extant Europeans, Science, Vol **290** (paper which introduced the "Eu" haplogroups).

### 粒線體 DNA 單倍體群

* graphical mtDNA haplogroup skeleton（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The Making of the African mtDNA Landscape
* Do the Four Clades of the mtDNA Haplogroup L2 Evolve at Different Rates?
单倍型类群N_(Y-DNA)

**單倍群 N-M231** 是一個 Y 染色體 DNA 單倍群，與單倍群 O 共同源自單倍群 NO，主要分布於歐亞大陸最北部的烏拉爾人、雅庫特人、尤卡吉爾人等，起源於東亞南部。

## 起源

單倍群 N 約 3-4 萬年前分化出來。

## 分布

## 系統樹

以下系統樹主要基於 ISOGG 於 2017 年的分類。

* NO-M214(NO)
  * N-M231(N)
    * N-Z4762/CTS11499/L735/M2291(N1)
      * N-L729(N1a)
        * N-M46/Page70/Tat(N1a1)
          * N-M178(N1a1a)
            * N-F1419(N1a1a1)
              * N-L708/Z1951(N1a1a1a)
                * N-P298(N1a1a1a1)
                  * N-M2118(N1a1a1a1b)
                    * N-M2118\*(N1a1a1a1b)
                    * N-M1982(N1a1a1a1b1)
                    * N-A9408(N1a1a1a1b2)
                  * N-L392(N1a1a1a1a)
                    * N-CTS10760(N1a1a1a1a1)
                      * N-B479(N1a1a1a1a1c)
                      * N-PH1266/Y28526/F4134(N1a1a1a1a1b)
                      * N-CTS2929/VL29(N1a1a1a1a1a)
                        * N-Z4908(N1a1a1a1a1a1)
                          * N-L550/S431(N1a1a1a1a1a1a)
                            * N-B215/L1025(N1a1a1a1a1a1a1)
                        * N-CTS9976(N1a1a1a1a1a2)
                    * N-Z1936(N1a1a1a1a2)
                      * N-Z1928/CTS2733(N1a1a1a1a2a)
                        * N-Z1925(N1a1a1a1a2a)
                          * N-Z1926(N1a1a1a1a2a2a1a1)
                        * N-PH3340/Y13850(N1a1a1a1a2a1c)
                          * N-L1034(N1a1a1a1a2a1c1)
                          * N-Y24361(N1a1a1a1a2a1c2)
                    * N-B197/Y16323(N1a1a1a1a3)
                      * N-F4205(N1a1a1a1a3a)
                      * N-B202(N1a1a1a1a3b)
                * N-B211(N1a1a1a2)
                  * N-BY10355(N1a1a1a2a)
                    * N-B180(N1a1a1a2a1)
                    * N-BY10361/Y23469(N1a1a1a2a2)
                  * N-B181(N1a1a1a2b)
                    * N-CTS4556(N1a1a1a2b1)
                    * N-B229(N1a1a1a2b2)
                      * N-B230(N1a1a1a2b2a)
                      * N-B231(N1a1a1a2b2b)
            * N-Y24317(N1a1a1a2b2b)
              * N-B187(N1a1a2)
            * N-F4063/P83(N1a1a3)
              * N-Y9641.2/Z8835.2(N1a1a3a)
              * N-Y125664(N1a1a3b)
        * N-F1008/L666(N1a2)
          * N-M128(N1a2a)
            * N-F710(N1a2a1)
            * N-CTS1350(N1a2a2)
          * N-B523(N1a2b）
            * N-P63(N1a2b1)
              * N-B168(N1a2b1a)
              * N-B169(N1a2b1b)
                * N-B170(N1a2b1b1)
                * N-B175(N1a2b1b2)
            * N-FGC10872/Y3195(N1a2b2)
              * N-FGC10847/Y3185(N1a2b2a)
                * N-VL97/Z35068(N1a2b2a1)
              * N-Y23786(N1a2b2b)
                * N-B528/Y24384(N1a2b2b1)
            * N-B525(N1a2b3)
      * N-F2930/M1881/V3743(N1b)
        * N-CTS582(N1b1)
          * N-Y6374/Z8029(N1b1a)
            * N-CTS7324(N1b1a1)
              * N-CTS142(N1b1a1a)
              * N-CTS39(N1b1a1b)
            * N-L272(N1b1a2)
              * N-CTS304(N1b1a2a)
              * N-F4208(N1b1a2b)
                * N-Y15972(N1b1a2b1)
          * N-CTS962(N1b1b)
            * N-CTS1016(N1b1b1)
        * N-M1819(N1b2)
    * N-Y6503(N2)

## 其他

## 參考文獻
单倍型类群P_(Y-DNA)

**單倍群 P** （或 **P-P295、K2b2**）是一個 Y 染色體 DNA 單倍群 。

## 起源與分佈

單倍群 P (K2b2) 與單倍群 K2b1 (SM) 共同源於單倍群 K2b。

P\*(P-P295) 少量分布於阿埃塔人和安達曼人等，雖然今天東西伯利亞和中亞都有發現 P\*，但是 P\* 可能起源於東南亞，然後向北邊遷移。

P\*(P-P295) 有兩個分支：P1 (P-M45) 和 P2 (P-B253)。

P1 是單倍群 Q 和單倍群 R 的祖先，目前單倍群 R 主要分佈在印歐人、巴斯克人、馬扎爾人、巴什基爾人、烏孜別克人、柯爾克孜人、阿爾泰人等中，單倍群 Q 主要分佈於美洲原住民、楚科奇人、堪察加人、葉尼塞人、圖瓦人、土庫曼人等中。

P2 目前少量分佈於菲律賓。

## 其他

## 參考文獻
单倍型类群_D_(Y-DNA)

**單倍群 D-M174**（英語：Haplogroup D-M174）又名 D1（ISOGG 2019），是人類 Y 染色體 DNA 單倍群之一，與單倍群 D2 源於單倍群 D。

## 起源與分布

單倍群 D1 於距今約 6 萬年前首次出現於亞洲（可能是東南亞或者中亞）。

單倍群 D1 主要在藏族、日本人、阿伊努人、安達曼人中高頻分布，此外也見於其他東亞、東南亞與中亞民族。該單倍群的主要支系包括 D-M15、D-P47、D-M64.1 等。其中，M15 主要見於藏族、瑤族、彝族等人群，P47 常見於藏族、納西族、普米族等，而 M64.1（M55）則為日本所特有，包括阿伊努族、大和族、琉球族等。

## 系統樹

以下系統樹基於 ISOGG2019 年 6 月 19 日版本（ver.14.106）

* **DE** (YAP)
  * **D** (CTS3946)
    * **D1** (M174/Page30, IMS-JST021355)
      * **D1a** (CTS11577)
        * **D1a1** (F6251/Z27276)
          * **D1a1a** (M15) 青藏高原、雲貴高原、廣西
          * **D1a1b** (P99) 青藏高原、蒙古高原、哈薩克斯坦
        * **D1a2** (Z3660)
          * **D1a2a** (M64.1/Page44.1, M55) 日本
          * **D1a2b** (Y34637) 安達曼人
      * **D1b** (L1378) 菲律賓
    * **D2** (A5580.2) 奈及利亞、沙烏地阿拉伯、敘利亞

 

## 參考文獻