匹配濾波器

在訊號處理中，**匹配濾波器**可以用來解調基頻帶脈波訊號，基頻帶脈波訊號意指訊號內容為同一波形訊號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其 SNR (Signal Noise Ratio) 為最大的，匹配濾波器需要事先知道

1. 傳送的訊號

2. 訊號的同步

才能解調出傳送的訊號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試（similarity measure）。

## 最高 SNR 證明

假設
g (t)：傳送訊號

w (t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h (t)：未知波形

y (t)：解調結果

$$
1.x(t)=g(t)+w(t)
$$

 $2.y(t)=[g(t)+w(t)]\ast h(t)$ 　

$$
=g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)
$$

$$
=G(t)+N(t)
$$

$$
3.SNR=|G(T)|^{2}/E[N^{2}(T)]|
$$

SNR = 訊號瞬間功率 / Noise 平均功率

訊號瞬間功率

$$
|G(T)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df
$$

雜訊平均功率

$$
E[N^{2}(T)]={\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df
$$

$$
SNR={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}
$$

$$
\leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}
$$

$$
={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df
$$

4. 當

$$
H_{opt}(f)=k[G(f)e^{j2\pi fT}]^{*}$ , $SNR_{max}={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df
$$

所以

$$
h_{opt}(t)=k\int _{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df
$$

$$
=k\int _{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz
$$

$$
=kg(T-t)
$$

(備註) 柯西 - 施瓦茨不等式

若

$$
\int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty $ 且 $\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty
$$

則

$$
|\int _{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx
$$

當 $A=kB^{*}$ 時，等號成立。

## 匹配濾波器頻率響應

$$
\ x=s+v,\,
$$

$$
\ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,
$$

$$
\mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.
$$

$$
\ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,
$$

$$
\ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,
$$

$$
\mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.
$$

如果我們限制分母為 1, 最大化 $\mathrm {SNR} $ 的問題可以被簡化為最大化分子.

於是可以使用 拉格朗乘數

　
: $\ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1$

　
: $\ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)$

　
: $\ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0$

　
: $\ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h$

　
: $\ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.$

因為 $ss^{\mathrm {H} }$ 是一維，他只有一個非零特徵值。此特徵值 =

　
: $\ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,$

　
: $\ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.$

## 匹配濾波器模式辨識

若欲偵測一特定訊號 h [n]，我們可以將 h [n] 時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維訊號

　
: $y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]$

 

　
: x [n] : 數入訊號 ，h [n]：欲偵測的特定訊號，且假設當 $\tau _{1}\leq n\leq \tau _{2}$ 時， h [n]≠0

二維訊號

　
: $y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]$

　
: 假設當 $\tau _{1}\leq m\leq \tau _{2},\rho _{1}\leq m\leq \rho _{2}$ 時， h [m,n]≠0

 
類比結果：

但由於卷積是線性的，當訊號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

 
**標準化公式**

 
一維訊號

當 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ ≠0

　
: $y[n]=$ ${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}|h[s]|^{2}}}$

當 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ =0

　
: $y[n]=0$

 
二維訊號

當 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ ≠0

　
: $y[m,n]=$ ${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{v=\rho _{1}}^{\rho _{2}}|h[s,v]|^{2}}}$

當 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ = 0

　
: $y[m,n]=0$

 
標準化後的類比結果：

## 參考文獻

1. Haykin,S. / Moher,M. Haykin: Communication Systems 5/E （中文）.
2. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

## 參見

* 霍夫變換
* 拉東變換
* 週期圖法
* 疊代稀疏漸近最小方差算法