卡西尔米不变量

在數學裏，**卡西米爾不變量**（又稱**卡西米爾元**或**卡希米爾算子**）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 _J_ 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克・卡西米爾命名。1931 年，他確立了這個概念，以用在他對剛體動力學的描述當中。

## 定義

最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

### 二次卡西米爾元

設 ${\mathfrak {g}}$ 為一個 $n$ 維半單李代數。設 _B_ 為 ${\mathfrak {g}}$ 上非奇異的二次型，並要求 _B_ 在 ${\mathfrak {g}}$ 的伴隨作用下不變，即對 ${\mathfrak {g}}$ 中的任意 _X,Y,Z,_ 都有 $B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.$ （例如，可取 _B_ 為基靈型。）
設

　
: $\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$

為 ${\mathfrak {g}}$ 的基，以及

　
: $\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

為 ${\mathfrak {g}}$ 關於 _B_ 的對偶基，則 _B_ 的**卡西米爾不變量** $\Omega $ 是泛包絡代數 $U({\mathfrak {g}})$ 的元素

　
: $\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 _Ω_ 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 _B_ 可以給出不同的 _Ω_. _B_ 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 $U({\mathfrak {g}})$ 的中心的元素。

### 線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定 ${\mathfrak {g}}$ 在向量空間 _V_ 上的李代數表示 _ρ_ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 _ρ_ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

　
: $\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

此處假定了 _B_ 為基靈型，否則必須指明 _B_.

該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析中有重要作用。假設連通李群 _G_ 的李代數 ${\mathfrak {g}}$ 作用在微分流形 _M_ 上，則在 _M_ 的連續函數空間上，有 _G_ 相應的表示 _ρ_. ${\mathfrak {g}}$ 的元素均由 _M_ 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 _ρ_ 的卡西米爾元，其為 _M_ 上的二階微分算子，且在 _G_ 的作用下不變。

更進一步，若 _M_ 有度量張量，使得 _G_ 的元素作為 _M_ 的保距變換，可遞地作用在 _M_ 上，且一點的穩定子 _G_x 不可約地作用在切空間 _TxM_ 上，則 _ρ_ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論研究偽微分算子時用到。

### 一般情況

每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數 ${\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.$ 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

　
: $C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},$

其中 _m_ 是對稱張量 $\kappa ^{ij\cdots k}$ 的階，且 $X_{i}$ 組成 ${\mathfrak {g}}$ 的基。域 _K_ 上的多項式環 $K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]$ 內，有 _m_ 元對稱齊次多項式

　
: $c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}$

與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，_並非_每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 $X_{i}$ , 都滿足

　
: $[C_{(m)},X_{i}]=0$ .

考慮結構常數 _fijk_，其滿足

　
: $[X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.$

於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

　
: $f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.$

此為伊斯拉埃爾・蓋爾范德所得的結果。 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 _r_, 即其嘉當子代數的維數為 _r_, 則其恰有 _r_ 個卡西米爾元。

## 性質

### 唯一性

一個單李代數中，每個不變二次型皆為基靈型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

### 與 G 上拉普拉斯算子的關係

若 $G$ 為李群，且其李代數為 ${\mathfrak {g}}$ , 則 ${\mathfrak {g}}$ 上的不變二次型對應 $G$ 上的雙不變黎曼度量。並且， ${\mathfrak {g}}$ 的泛包絡代數等同於 $G$ 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下， ${\mathfrak {g}}$ 上雙線性型的卡西米爾元，對應 $G$ 關於雙不變度量的拉普拉斯－貝爾特拉米算子。

### 推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒爾引理，任何既約表示中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力學中許多量子數亦然。

## 例： ${\mathfrak {so}}(3)$

考慮三維歐幾里得空間的旋轉群 SO (3). 其李代數 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克 δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 $L_{x},\,L_{y},\,L_{z}$ 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

　
: $L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$

給出。
考慮 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的一個不可約表示。記其中 $L_{z}$ 的最大特徵值為 $\ell $ , 則 $\ell $ 的可能取值為 $0,1/2,1,3/2,\ldots .$ 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 _I_ 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

　
: $L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.$

在量子力學中，常數 $\ell $ 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示， $\ell $ 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（英語：bosonic representation)，否則稱為費米子表示（英語：fermionic representation)。 

給定 $\ell $ , 得到的矩陣表示是 $(2\ell +1)$ 維的。例如 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的三維表示對應於 $\ell \,=\,1$ , 由下列的生成元給出：

　
: $L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},$

其中照物理學常用的約定加入了 $i$ 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

　
: $L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

當 $\ell \,=\,1$ 時， $\ell (\ell +1)\,=\,2$ , 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

## 特徵值

由於卡西米爾元 $\Omega $ 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 $\langle ,\rangle $ 為 $\Omega $ 定義採用的對稱非退化二次型。記 $L(\lambda )$ 為具有最高權 $\lambda $ 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 $\Omega $ 在 $L(\lambda )$ 的作用為乘常數

　
: $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,$

其中 $\rho $ 為所有正根之和之半。

若 $L(\lambda )$ 非平凡（即 $\lambda \neq 0$ ), 則上述常數非零。原因是，由於 $\lambda $ 是優控的（英語：dominant, 即與任意正根的內積皆非負），若 $\lambda \neq 0$ ，則 $\langle \lambda ,\lambda \rangle >0$ , 且 $\langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0$ , 故 $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0$ . 此結果適用於魏爾完全可約性定理的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法證明該常數非零。

## 參見

* 哈里希・錢德拉同構
* 包立－魯班斯基偽向量

## 參考文獻

* Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics **267**, Springer, 2013
* Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics **222** 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
* Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics **9** Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5

## 延伸閱讀

* Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.