卡迪森-辛格問題

數學上，**卡迪森 - 辛格問題**（英語：Kadison–Singer problem）於 1959 年提出，有關泛函分析，問某個特定 C\*- 代數上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的 C\*- 代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013 年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出 1940 年代保羅・狄拉克對量子力學理論基礎的研究。1959 年，理察・卡迪森與艾沙道爾・辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森 - 辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於 2013 年，亞當・馬庫斯、丹尼爾・斯皮爾曼、尼基・斯里瓦斯塔瓦合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲 SIAM 頒發波利亞獎。

馬 - 斯 - 斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究 C\*- 代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍無法用 C\*- 代數的語言來描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾・安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉 C\*- 代數理論的等價形式。安德森於 1979 年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森 - 辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克・威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬 - 斯 - 斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。

## 原問題敍述

先引入若干定義：

**${\boldsymbol {\ell }}^{2}$**
: 平方可和的複序列空間，即 $\ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}$ 。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由 $\langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$ 給出。

**${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$**
: 從 $\ell ^{2}$ 到 $\ell ^{2}$ 的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個 C\*- 代數。

**${\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$**
: 從 $\ell ^{2}$ 到 $\ell ^{2}$ 的對角連續線性算子集合。換言之， $D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}$ 。 $D(\ell ^{2})$ 包含於 $B(\ell ^{2})$ ，故為其子 C\*- 代數。

**態**
: C\*- 代數 $A$ 上的態，是連續線性泛函 $\varphi :A\to \mathbb {C} $ ，將單位元 $I$ 映到 $1$ ，且對任意半正定的 $T\geq 0$ ，有 $\varphi (T)\geq 0$ （即此時 $\varphi (T)$ 要取實值，且該實值為非負）。

**純態**
: 接續上項， $\varphi $ 稱為純態，意思是在 $A$ 上所有態組成的集合中， $\varphi $ 是極端點，即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩 - 巴拿赫定理， $D(\ell ^{2})$ 上的任意泛函，必能延拓到 $B(\ell ^{2})$ 上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森 - 辛格問題是要證明或否證以下命題：

> 對 $D(\ell ^{2})$ 上的任意純態 $\varphi $ ， $B(\ell ^{2})$ 上都存在唯一的態 $\psi $ ，使 $\psi $ 延拓 $\varphi $ ，即兩者限制到 $D$ 時等同。
> 
> 

此命題已證為真。

## 鋪砌猜想敍述

卡迪森 - 辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下**鋪砌猜想**為真：

>  對任意的 $\varepsilon >0$ ，存在正整數 $k$ 使得：對每個 $n$ ，以及對 $n$ 維希爾伯特空間 $\mathbb {C} ^{n}$ 上的每個線性算子 $T$ （可視為 $n\times n$ 方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將 $\{1,\dots ,n\}$ 分劃為 $k$ 份 $A_{1},\dots ,A_{k}$ ，使得
> 
> 　
> : : $\|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|$ 對於每個 $j=1,\ldots ,k$ 都成立。
> 
> 此處 $P_{A_{j}}$ 是正交投影，將 $\mathbb {C} ^{n}$ （坐標以 $1,2,\ldots ,n$ 為下標）映到坐標僅以 $A_{j}$ 元素為下標的子空間。換言之， $P_{A_{j}}TP_{A_{j}}$ 是下標為 $A_{j}$ 元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數 $\|\cdot \|$ 取為譜範數，即來自 $\mathbb {C} ^{n}$ 上歐氏範數的算子範數。
> 
> 

注意命題中， $k$ 只能與 $\varepsilon $ 有關，但不取決於 $n$ 。

## 偏差敍述

尼克・威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論」命題，同樣與卡迪森 - 辛格問題（的肯定答案）等價：

> 設有向量 $u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}$ ，滿足 $\sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I$ （ $d\times d$ 單位方陣），且對每個 $i$ ， $\|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta $ 。則存在一種方法將 $\{1,\ldots ,m\}$ 分劃成兩個子集 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，使得對於 $j=1,2$ 都有
> 
> 　
> : $\left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.$
> 
> 

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

> 
> 設向量 $v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}$ 滿足 $\|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha $ （對所有 $i$ ），還有
> 
> 　
> : $\sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1$ 對滿足 $\|x\|=1$ 的所有向量 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 成立。
> 
> 則可以將 $\{1,\ldots ,m\}$ 分劃成兩個子集 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，使得對 $j=1,2$ ，以及滿足 $\|x\|=1$ 的任意向量 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ ，皆有：
> 
> 　
> : $\left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.$
> 
> 

「偏差」一詞的含義，在 $\alpha $ 較小時顯明：在單位球面上取值恆為 $1$ 的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離 $1/2$ 的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

## 參考文獻

## 外部鏈結

* Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森 - 辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11 [2021-10-16]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-10-21） （英語）.
* 陶哲軒. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [實穩定多項式與卡迪森 - 辛格問題] (網誌). 2013-11-04 [2021-10-16]. （原始內容存檔於 2022-01-19） （英語）.