卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程

**卡東穆塞夫 - 彼得韋亞斯維利方程**(Kadomtsev-Petviashvili equation)，簡稱 KP 方程，是 1970 年蘇聯物理學家波里斯・卡東穆塞夫 和弗拉基米爾 - 彼得韋亞斯維利創立以模擬非線性波動的非線性偏微分方程：

　
: $\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$

其中 $\lambda =\pm 1$ .

## 解析解

卡東穆塞夫 - 彼得韋亞斯維利方程有解析解

### 行波解

$$
u(x,y,t)=C5+12.*_{C}2*\tanh(_{C}1+_{C}2*x+_{C}3*y-(.50000000000000000000*(8.*_{C}2^{4}+_{C}3^{2}))*t/_{C}2)
$$

代人參數： C5 = 1, \_C1 = 0, \_C2 = 1, \_C3 = 3

得： $u=1+12.*tanh(x+3*y-8.5000000000000000000*t)$

 

### Sech 函數亮孤立子解

利用 sech 函數展開法可得卡東穆塞夫 - 彼得韋亞斯維利方程的 sech 函數解和 tanh 函數解。

 

$$
u:=a*sech(a*x+b*y+c*z-(a^{4}+3*b^{2}+3*c^{2})/a)*t
$$

參數：a = -2 .. 2, b = -2 .. 2, c = 0

### tanh 函數解

 $u:=2*a^{2}*tanh(a*x+b*y+(8*a^{4}-3*b^{2})/a)^{2}*t$ 。

參數：a = 2, b = -2；

 

### 雅可比橢圓函數解

通過朗斯基行列式展開法可得卡東塞穆夫 - 彼得韋亞斯維利方程多個雅可比橢圓函數解。

$$
u4:={\frac {(-4*m^{2}*k[1]^{2}*g)}{({\sqrt {1-m^{2}}}*sn(\xi [1],k)*sin(\xi [2])+dn(\xi [1],k)*cos(\xi [2])*cn(\xi [1],k))^{2})}}
$$

其中：

$$
g=(m^{2}-1)*sn(\xi [1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*sn(\xi [1],k)^{4}+cos(\xi [2])^{2};-2*sn(\xi [1],k)^{2}*cos(\xi [2])^{2}+m^{2}*sn(\xi [1],k)^{4}*cos(\xi [2])^{2}
$$

$$
\xi [1]=k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1]
$$

$$
\xi [2]={\sqrt {1-m^{2}}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2]
$$

代入後得：

$$
f4:=-4*m^{2}*k[1]^{2}*((m^{2}-1)*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}
$$

$$
-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)^{2}+(2-2*m^{2})*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y
$$

$$
+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)^{4}+
$$

$$
cos({\sqrt {(1-m^{2})}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)
$$

$$
-\gamma [2])^{2})/(sqrt(1-m^{2})*JacobiSN(k[1]*x+\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-
$$

$$
3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)*sin({\sqrt {(}}1-m^{2})*(k[1]*x+\lambda [1]*y+
$$

$$
(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2])+JacobiDN(k[1]*x+\lambda [1]*y+
$$

$$
(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k)*cos({\sqrt {1-m^{2}}}*(k[1]*x+\lambda [1]*y+
$$

$$
(-4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t)-\gamma [2])*JacobiCN(k[1]*x+
$$

$$
\lambda [1]*y+(4*m^{2}*k[1]^{3}+16*k[1]^{3}-3*\sigma ^{2}*\lambda [1]^{2}/k[1])*t+\gamma [1],k))^{2}
$$

## 參考文獻

1. \* 谷超豪 《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》 上海科學技術出版社
2. \* 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》 科學出版社 2007 年
3. 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》 科學出版社
4. 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
5. \* 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》 科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
6. Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
7. Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
8. Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
9. Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
10. Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
11. Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
12. David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
13. George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759