半正定矩阵

在線性代數裡，**正定矩陣**（英語：**positive-definite matrix**）是埃爾米特矩陣的一種，有時會簡稱為**正定陣**。在線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式（複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。

## 定義

一個 $n\times n$ 的實對稱矩陣 $M$ 是**正定**的，若且唯若對於所有的非零實係數向量 $\mathbf {z} $ ，都有 $\mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0$ 。其中 $\mathbf {z} ^{T}$ 表示 _$\mathbf {z} $_ 的轉置。對於複數的情況，定義則為：一個 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 **$M$** 是正定的若且唯若對於每個非零的複向量 $\mathbf {z} $ ，都有 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ 。其中 _$\mathbf {z} ^{*}$_ 表示 $\mathbf {z} $ 的共軛轉置。

 
這樣的定義仰賴一個事實：對於任意的埃爾米特矩陣 $M$ 及複向量 _$\mathbf {z} $_ ， $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} $ 必定是實數。

## 正定矩陣

對於 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 $M$ ，下列性質與「 $M$ 為正定矩陣」等價：

 1. $M$ 的所有的特徵值 $\lambda _{i}$ 都是正的。
2. 半雙線性形式 $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ 定義了一個 **$\mathbb {C} ^{n}$** 上的內積。實際上，所有 **$\mathbb {C} ^{n}$** 上的內積都可視為由某個正定矩陣通過此種方式得到。
3. **$M$** 是向量 ${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$ 構成的格拉姆矩陣，其中 _**$k\in \mathbb {Z} ^{+}$**_ 。更精確地說， **$M=[m_{ij}]$** 定義為： $m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}$ 。換句話說， **$M$** 具有 $A^{*}A$ 的形式，其中 _$A$_ 不一定是方陣，但必須是單射的。
4. **$M$** 的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的（西爾維斯特準則）。明確地說，就是考察 **$M$** 左上角大小 **$1\times 1,\ldots ,n\times n$** 的子矩陣的行列式。對於半正定矩陣而言，相應的條件應改為所有的主子式非負。但順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子：
5. 存在唯一的下三角矩陣 $L$ ，其主對角線上的元素全是正的，使得 $M=LL^{*}$ 。其中 $L^{*}$ 是 $L$ 的共軛轉置。這一分解被稱為科列斯基分解。

對於實對稱矩陣，只需將上述性質中的 $\mathbb {C} ^{n}$ 改為 $\mathbb {R} ^{n}$ ，並將「共軛轉置」改為「轉置」即可。

### 二次型

由以上的第二個等價條件，可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件：用 $\mathbb {K} $ 代表 $\mathbb {C} $ 或 $\mathbb {R} $ ，設 $\mathbb {V} $ 是 $\mathbb {K} $ 上的一個向量空間。一個埃爾米特型：

　
: $B:V\times V\rightarrow K$

是一個雙線性映射，使得 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ 總是 $B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$ 的共軛。這樣的一個映射 _$B$_ 是**正定**的若且唯若對於 $\mathbb {V} $ 中所有的非零向量 _$\mathbf {x} $_ ，都有 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$ 。

## 負定、半定及不定矩陣

與正定矩陣對應，一個 $n\times n$ 的埃爾米特矩陣 $M$ 是**負定矩陣**（英語：**negative-definite matrix**）若且唯若對所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有 $z^{*}Mz<0\,$ 。

 $M$ 是**半正定矩陣**（英語：**positive semi-definite matrix**）若且唯若對於所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有 $z^{*}Mz\geq 0$ 。

 $M$ 是**半負定矩陣**（英語：**negative semi-definite matrix**）若且唯若對於所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有 $z^{*}Mz\leq 0$ 。

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那麼稱其為**不定矩陣**（英語：**indefinite matrix**）。

可以看出，上一節中正定矩陣的第一個等價性質只需作出相應改動，就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當 **$M$** 是半正定時，相應的格拉姆矩陣不必由線性獨立的向量組成。對於任意矩陣 $A$ ， $A^{*}A$ 必是半正定的，並有 $\mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)$ （兩者的秩相等）。反過來，任意的半正定矩陣都可以寫作 $M=A^{*}A$ ，這就是科列斯基分解。

一個埃爾米特矩陣 _**$M$**_ 是負定矩陣若且唯若 **$M$** 的所有奇數階順序主子式小於 $0$ ，所有偶數階順序主子式大於 $0$ 。當 **$M$** 是負定矩陣時， **$M$** 的逆矩陣也是負定的。

## 相關性質

若 $M$ 為半正定矩陣，可以記作 $M\geq 0$ 。如果 $M$ 是正定矩陣，可以記作 $M>0$ 。這個記法來自泛函分析，其中的正定矩陣定義了正算子。

對於一般的埃爾米特矩陣， $M$ 、 $N$ ， $M\geq N$ 若且唯若 $M-N\geq 0$ 。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義 $M>N$ 。

## 非埃爾米特矩陣的情況

一個實矩陣 **$M$** 可能滿足對於所有的非零實向量 _$\mathbf {x} $_ ， $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$ ，卻不是對稱矩陣。舉例來說，矩陣

　
: ${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$ 就滿足這個條件。對於 $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 並且 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0} $ ， ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0$ 。

 
一般來說，一個實係數矩陣 **$M$** 滿足對所有非零實向量 _$\mathbf {x} $_ ， $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$ ，若且唯若對稱矩陣 $(M+M^{T})/2$ 是正定矩陣。

對於復係數矩陣，情況可能會不太一樣。主要考慮如何擴展 _$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$_ 這一性質。要使得 _$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} $_ 總為實數，矩陣 **$M$** 必須是埃爾米特矩陣。因此，若 _$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} $_ 總是正實數， **$M$** 必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將 _$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$_ 擴展為 _$\Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0$_ ，則等價於 $(M+M^{*})/2$ 為正定矩陣。

## 參見

* 確定雙線性形式
* 矩陣的平方根
* 舒爾補
* 正定核
* 正定函數
* 科列斯基分解
* 線性矩陣不等式
* 合同矩陣

## 參考資料

* Roger A. Horn and Charles R. Johnson. _Matrix Analysis,_ Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
* Rajendra Bhatia. _Positive definite matrices,_. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

## 外部連結

* 正定矩陣
* 關於對稱矩陣的一些討論