卡爾·高斯

**約翰・卡爾・佛烈德利赫・高斯**（德語：Johann Carl Friedrich Gauß  ，1777 年 4 月 30 日 —1855 年 2 月 23 日），德國數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，並享有「**首席數學家**」（拉丁語：Princeps mathematicorum）的美譽。

## 生平

高斯出生在布藍茲維公國的布藍茲維，他的母親是一個貧窮石匠的女兒，在成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。雖然她十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似於文盲，也因此沒有記下高斯的出生日期，只記得他是在耶穌升天節的前八天（即復活節後 39 天）出生的。他的父親曾做過工頭、商人的助手和一個小保險公司的評估師。高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債帳目，而這件事情也已經成為一個軼事並流傳至今。他曾說，他能夠在腦袋中進行複雜的計算。他小時候於就讀學校附近的教堂接受洗禮及堅振禮。

據說高斯在 9 歲時，就發現了一種快速計算等差數列求和的技巧，在很短的時間內計算完成了他的小學老師在黑板上給出的問題，雖然該問題的詳細數字尚有爭議，但現在普遍認為這個問題是：計算從 1 到 100 這 100 個自然數之和。高斯所使用的方法是：將第 1 個數字與最後 1 個數字相加、第 2 個數字與倒數第 2 個數字相加…… 以此類推，可以得到 50 對 101，所以 101×50=5050 便是答案。

小時候高斯家裡比較貧窮，而且他父親不認為學問實用，但高斯依舊喜歡看書。據傳高斯在小時候，冬天吃完飯後他父親就會要他上床睡覺，以節省燃油，但當他上床睡覺時，他會將蕪菁的內部挖空，裡面塞入棉布卷，當成燈來使用以繼續讀書。

當高斯 12 歲時，他已經開始懷疑幾何原本中的基礎證明。當他 16 歲時，預測在歐氏幾何之外必然會產生一門完全不同的幾何學，即非歐幾里德幾何學。他導出了二項式定理的一般形式，將其成功的運用在無窮級數，並發展了數學分析的理論。

高斯的老師布呂特內爾與他的助手馬丁・巴爾特斯很早就認識到了高斯在數學上的天賦，當時普魯士元帥卡爾・威廉・斐迪南也對這個天才兒童留下了深刻印象，並與布呂特內爾從高斯 14 歲起資助其學習與生活。這也使高斯能夠在公元 1792 年進入 Carolinum 學院（今天布藍茲維工業大學的前身）學習，並在那裡開始對高等數學作研究：獨立發現二項式定理的一般形式、數論上的「二次互反律」、質數定理、及算術 - 幾何平均數。1795 年，高斯轉入哥廷根大學學習。1796 年，19 歲的高斯完成《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，成為第一位用尺規作圖成功畫出正 17 邊形的人。自古希臘時代以來，尺規作圖問題就一直困擾著數學家，這一發現也導致高斯選擇了數學作為一生的志業。高斯對此結果感到非常滿意，以至於他要求在自己的墓碑上刻一個正十七邊形，但因容易被錯看成圓形而被石匠拒絕。

1796 年是高斯工作諸多的一年。他於 3 月 30 日發現了正十七邊形的尺規作圖方法。他進一步的改良了模運算的方法，大大的簡化了在整數上的運算。 4 月 8 日，他給出二次互反律的第一個證明。這個非凡的定律讓數學家能確定同餘運算下任何二次方程式的可解性。5 月 31 日，他猜測質數是如何在整數之間分布，此猜想於 1896 年由法國數學家雅各・阿達馬和比利時數學家德拉瓦・萊普森先後給出獨立證明。同年 7 月 10 日，高斯發現，每個正整數都可以表示為最多三個三角數的和，並在他的日記中記下：「ΕΥΡΗΚΑ！num =Δ+Δ'+Δ」。10 月 1 日，他發表了有限體中一多項式解的個數的結果，150 年後，安德烈・韋伊由此給出了韋伊猜想。

1798 年，高斯完成了他的巨作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae），該作直到 1801 年才正式出版。

高斯於公元 1805 年 10 月 5 日與來自布藍茲維的 Johanna Elisabeth Rosina Osthoff 小姐（1780-1809）結婚。在公元 1806 年 8 月 21 日迎來了他生命中的第一個孩子 Joseph。此後，他又有兩個孩子。威廉敏娜（1809－1840）和路易斯（1809－1810）。1807 年高斯成為哥廷根大學的教授和當地天文台的台長。

高斯信教且保守。他的父親死於 1808 年 4 月 14 日，晚些時候的 1809 年 10 月 11 日，他的第一位妻子 Johanna 也離開人世。次年 8 月 4 日高斯迎娶第二位妻子弗雷德妮卡・威廉妮（1788－1831）。他們又有三個孩子：歐根（1811－1896）、威廉（1813－1883）和 特雷瑟（1816-1864）。

1831 年 9 月 12 日他的第二位妻子也死去，1837 年高斯開始學習俄語。1839 年 4 月 18 日，他的母親在哥廷根逝世，享年 95 歲。

1855 年 2 月 23 日凌晨一時許，77 歲的高斯因心臟病發作，在哥廷根天文台的躺椅上去世。

## 貢獻

18 歲的高斯發現了最小平方法，並猜測了質數定理。通過對足夠多的測量數據的處理後，可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨後專注於曲面與曲線的計算，並成功得到高斯鐘形曲線（常態分布曲線）。其函數被命名為標準常態分布（或高斯分布），並在機率論中大量使用。

在高斯 19 歲時，僅用尺規便構造出了 17 邊形。並為流傳了 2000 年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充。

高斯總結了複數的應用，並且嚴格證明了每一個 n 階的代數方程式必有 n 個實數或者複數解。1801 年，在他的第一本著名的著作《算術研究》中，作出了二次互反律的證明，成為數論繼續發展的重要基礎。這部著作的第一章，引入同餘的概念，並用符號≡表示。

高斯在最小平方法基礎上創立的測量平差理論的幫助下，測算天體的運行軌跡。他用這種方法，測算出了小行星穀神星的運行軌跡。

穀神星於 1801 年被義大利天文學家皮亞齊發現，但因病他耽誤了觀測，從而失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中的「豐收女神」對它命名，稱為穀神星，並將自己以前觀測的數據發表出來，希望全球的天文學家一起尋找。高斯通過以前 3 次的觀測數據，計算出了穀神星的運行軌跡。奧地利天文學家海因里希・歐伯斯根據高斯計算出的軌道成功地發現了穀神星。高斯將這種方法發表在其著作《天體運動論》（拉丁語：Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中。

高斯推導了復活節日期的計算公式，得到了每年復活節的日期，並進而獲得了他此前並未被詳細記錄的出生日期。

1818 年至 1826 年間，高斯主導了漢諾威公國的大地測量工作。通過最小平方法為基礎的測量平差的方法和求解線性方程組的方法，顯著地提高了測量的精度。

高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計算。在五到六年間，經他親自計算過的大地測量數據超過 100 萬個。當高斯領導的三角測量外場觀測走上正軌後，高斯把主要精力轉移到處理觀測成果的計算上，寫出了近 20 篇對現代大地測量學具有重大意義的論文。在這些論文中，他推導了由橢圓面向圓球面投影時的公式，並作出了詳細證明。這個理論直至現在仍有應用的價值。

漢諾威公國的大地測量工作至 1848 年結束。這項大地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯在理論上的仔細推敲，在觀測上力圖合理和精確，在數據處理上儘量周密和細緻，就不能圓滿的完成。在當時的不發達的條件下，布設了大規模的大地控制網，精確地確定 2578 個三角點的大地坐標。

為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現的問題，在這段時間內高斯亦從事了曲面和投影的理論，並成為了微分幾何的重要理論基礎。相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間。高斯的思想被近 100 年後的物理學所認可。

高斯試圖在漢諾威公國的大地測量中通過測量 Harz 的 Brocken——Thüringer Wald 的 Inselsberg—— 哥廷根的 Hohen Hagen 三個山頭所構成的三角形的內角和，以驗證非歐幾何的正確性，但未成功。後來高斯朋友的兒子鮑耶・亞諾什在 1823 年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇於探索的精神表示了讚揚。1840 年，俄國學者羅巴切夫斯基用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文，這篇論文的發表引起了高斯的注意。他非常重視這一論證，積極建議哥廷根大學聘請羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63 歲的高斯開始學習俄語，並最終掌握了這門外語。高斯、亞諾什和羅巴切夫斯基後來被並稱為微分幾何的始祖。

出於對實際應用的興趣，高斯發明了日光反射儀。日光反射儀可以將光束反射至大約 450 公里外的地方。高斯後來不止一次地為原先的設計作出改進，試製成功了後來被廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

19 世紀 30 年代，高斯發明了磁強計。他辭去了天文台的工作，而轉向物理的研究。他與威廉・韋伯（1804－1891）在電磁學領域共同工作。他比韋伯年長 27 歲，以亦師亦友的身份與其合作。1833 年，通過受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發送出電報。這不僅是從韋伯的實驗室與天文台之間的第一個電話電報系統，也是世界首創的第一個電話電報系統。

1840 年，他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，並且定出了地球磁南極和磁北極的位置。次年，這些位置得到美國科學家的證實。

高斯在數個領域進行研究，但只把他認為已經成熟的理論發表出來。他經常對他的同事表示，該同事的結論自己以前已經證明過了，只是因為基礎理論的不完備而沒有發表。事實上高斯把他的研究結果都記錄了起來。他死後，他的 20 部紀錄著他的研究結果和想法的筆記被發現，證明高斯所說的是事實。一般人認為，20 部筆記並非高斯筆記的全部。

## 紀念

下薩克森邦和哥廷根大學圖書館已經將高斯的全部著作數位化，並放置於網際網路上。

根據 Dunnington 的資料，高斯的信仰基於對真理的尋求。他相信「精神個性上的不朽，像是個人在死後的持久性，還有最後命令的東西，以及永恆的、正義的、無所不知和無所不能的上帝。」高斯也堅持對宗教的寬容，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。

## 家庭

高斯個人的生活因為他的第一任妻子 Johanna Osthoff 在 1809 年早逝，以及他的孩子 Louis 也相繼死去而顯得黯然失色。高斯跌入一個他從來沒有完全恢復的憂鬱深淵。他後來再婚，對象是他第一任妻子的朋友，名叫 Friederica Wilhelmine Waldeck，但通常稱作 Minna。當他的第二任妻子在長期的病痛後死於 1831 年時，他的其中一個女兒 Therese 接手了整個家庭並且照顧高斯直到他的生命結束。他的母親則從 1817 年居住在他家直到 1839 年她死去。

高斯有六個小孩。Johanna 所生的小孩有 Joseph（1806–1873）、Wilhelmina（1808–1846）和 Louis（1809–1810）。高斯的所有小孩當中，據說 Wilhelmina 最接近他的天賦，但她年輕時就去世了。高斯與 Minna Waldeck 也有３個小孩：Eugene (1811–1896)、Wilhelm （1813–1879）和 Therese（1816–1864）。Eugene 在語言和計算方面有著和高斯相同的天賦。Therese 在直到高斯去世之前照顧著整個家庭，之後才結婚。

高斯最後與他的兒子發生了衝突。他不希望他的任何一個兒子進入數學或科學的領域，唯恐「玷汙了家人的名字」。高斯希望 Eugene 成為一名律師，但 Eugene 想學習語言類別的。而 Eugene 與高斯的另一個爭執是－高斯拒絕支付由 Eugene 所舉辦的派對的費用。Eugene 很生氣，所以在大約 1832 年時移居美國，他在那裡相當成功。

## 人格

高斯是個充滿熱情且工作認真的完美主義者。他從來不是個多產作家，他拒絕發布他認為不完整和有瑕疵的作品，這符合他個人的座右銘。他的個人日記裡有說到，他在幾年還是幾十年前就已提出了一些重要的數學發現，與他同一時代的人發表了他的發現。數學歷史學家艾瑞克・梵鐘估計，若高斯及時發表他的發現，將使高等數學往前推 50 年。

高斯不喜歡教學是眾所皆知的，教授的學生不多。有人說他只參加過 1828 年在柏林的科學會議，但他的一些學生卻成為了具有影響力的數學家，其中包括理察・戴德金、黎曼和佛烈德利赫・貝塞爾。索菲・熱爾曼建議在她死後由高斯接受她的榮譽學位。

高斯往往都是很優雅地拒絕提出他怎麼發現這些數學原理的直覺。他更喜歡他們來自＂無中生有＂，所以消除了所有他如何發現這些數學原理的痕跡。

## 著作

* 1799 年：關於代數基本定理的博士論文（Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra）
* 1801 年：算術研究 （Disquisitiones Arithmeticae）
* 1809 年：天體運動論（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）
* 1827 年：曲面的一般研究（Disquisitiones generales circa superficies curvas）
* 1843-1844 年：高等大地測量學理論（上，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 1）
* 1846-1847 年：高等大地測量學理論（下，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 2）

## 紀念活動

從 1989 年直到 2001 年的年底，他的肖像和他所發現的常態分布與哥廷根地標性建築一起被放入德國 10 馬克的鈔票中。另一方面，在漢諾威有和他有關的日光反射儀以及三角測量方法。在德國也發行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票（第 725 號）發行於 1955 年−他死後的第 100 周年；另外兩種郵票（第 1246 號。第 1811 號）發行於 1977 年，他出生的第 200 周年。

Daniel Kehlmann 在 2005 年寫的一本小說《測量世界》（德語：Die Vermessung der Welt，2006 年出版英文版《Measuring the World》），以小說的歷史鏡頭來探索高斯的一生和工作，藉此與另一位德國地理學家亞歷山大・馮・洪堡作對比。2012 年，由小說改編而成的同名電影《測量世界》上映。

2007 年，他的半身像被引進德國巴伐利亞邦雷根斯堡瓦爾哈拉神殿。

在高斯的榮耀中，以他命名的事物包括：

1. 用在磁場的 CGS 制計量單位以高斯來命名。
2. 月球上的坑洞以他來命名。
3. 小行星 1001 又稱為「高斯星」。
4. 高斯號探險船，是德國遠征南極時所使用的船。

2018 年 4 月 30 日，Google 以首頁塗鴉紀念高斯的 241 歲誕辰。

## 參見

* 神童
* 高斯單位制
* 高斯光學

## 注釋

## 參考文獻