协变经典场论

近年來，**協變經典場論**又引起了研究者的興趣。動力學在這裡用有限維空間的在時空中的給定時間點上的場來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。
本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。

## 記法

本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令 ${\bar {\Gamma }}(\pi )$ 表示有緊支撐的 $\pi \,$ 的截面。

## 作用量積分

一個經典場論數學上可以如下表述

* 一個纖維叢 $({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})$ ，其中 ${\mathcal {M}}$ 表示一個 $n\,$ 維時空。
* 一個**拉格朗日量形式** $\Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M$

令 $\star 1\,$ 代表 $M\,$ 上的體積形式，則 $\Lambda =L\star 1\,$ ，其中 $L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R} $ 是**拉格朗日量函數**。
我們在 $J^{1}\pi \,$ 上選擇纖維化坐標 $\{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,$ ，使得

　
: $\star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}$

**作用量積分**定義為

　
: $S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,$

其中 $\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )$ ，並定義於開集 $\sigma ({\mathcal {M}})\,$ ，而 $j^{1}\sigma \,$ 代表其第一射流延長 (jet prolongation)。

## 作用量積分的變分

截面 $\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$ 的變分由曲線 $\sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,$ 給出，其中 $\eta _{t}\,$ 是一個 ${\mathcal {E}}\,$ 上的 $\pi \,$ - 豎直向量場 $V\,$ 的流，它在 ${\mathcal {M}}\,$ 上有緊支撐。
截面 $\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$ 稱為變分的**駐點**，如果

　
: $\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,$

這等價於

　
: $\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,$

其中 $V^{1}\,$ 代表 $V\,$ 的第一延長，按李導數的定義。
使用嘉當公式， ${\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,$ ， 斯托克斯定理以及 $\sigma \,$ 的緊支撐，可以證明這等價於

　
: $\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,$

## 歐拉－拉格朗日方程

考慮一個 ${\mathcal {E}}$ 的 $\pi \,$ - 豎直向量場

　
: $V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$

其中 $\beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,$ 。採用切觸形式 $\theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi \,$ ，我們可以計算 $V\,$ 的第一延長。然後得到

　
: $V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,$

其中 $\gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,$ 。
據此，可以證明

　
: $i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,$

因而

　
: $(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,$

分部積分並考慮 $\sigma \,$ 的緊支撐，臨界條件變為

因為 $\beta ^{\alpha }\,$ 為任意函數，我們得到

　
: ${\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,$

這些就是**歐拉－拉格朗日方程組**。

## 參看

* 經典場論
* 外代數
* 纖維叢
* 射流
* 量子場論

## 參考

* Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
* Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
* De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
* Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
* Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., _Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory_, November 2003
* Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., _Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories_, May 1995