剩余半格

在抽象代數中，**剩餘格**是既為格又為么半群的代數結構，使得么半群乘法的每個自變量都是關於這個格次序的伽羅瓦連接的一極。它的一般概念是 Ward 和 Dilworth 在 1939 年介入的。某些例子先於一般概念而存在，包括布爾代數、Heyting 代數、剩餘布爾代數、關係代數和 MV - 代數。剩餘半格省略了交運算∧，比如克萊尼代數和作用代數。

## 定義

在數學中，**剩餘格**是代數結構 **L** = (_L_, ∧, ∨, ·, **I**, /, \) 使得

　
: (i) (_L_, ∧, ∨) 是格，

　
: (ii) (_L_, ·, **I**) 是么半群，

　
: (iii) 對於所有 _L_ 中的 _x_, _y_, _z_，有 _y_ ≤ _x_\_z_ ⇔ _x_·_y_ ≤ _z_ ⇔ _x_ ≤ _z_/_y_（剩餘公理）。

條件 (iii) 的效果是，對每個 _L_ 中的 _x_ 和 _z_，_x_\_z_ 成為最大的 _y_ 使得 _x_·_y_ ≤ _z_，對偶的對於每個 _L_ 中的 _y_ 和 _z_，_z_/_y_ 成為最大 _x_ 使得 _x_·_y_ ≤ _z_。

運算 _x_\_y_ 和 _y_/_x_ 分別叫做 _y_ 對 _x_ 的「右剩餘」和「左剩餘」。如符號所暗示的那樣它們是某種形式的商。更加精確地說，對於一個給定的 _L_ 中的 _x_，一元運算 _x_・和 _x_\ 是在 **L** 和它的序對偶之間的伽羅瓦連接的兩極，並且對偶於兩個函數・_y_ 和 /_y_。通過同樣適用於伽羅瓦連接的推理，我們有了另一個剩餘的定義，就是：

　
: _x_·(_x_\_y_) ≤ _y_ ≤ _x_\(_x_·_y_)，

　
: (_y_/_x_)·_x_ ≤ _y_ ≤ (_y_·_x_)/_x_，

並且要求這些函數必須在 **L** 上是單調的（或反單調的，在被看作從 **L** 到它的序對偶的函數的時候，這是在格理論中表示伽羅瓦連接的更標準的方式）。其意義在於使函數 _x_・和 _x_\ 相互之間是偽逆（pseudoinverse）或伴隨，・_x_ 和 /_x_ 也類似。

最後這個定義純粹依據不等式，注意單調性可以公理化為 _x_·_y_ ≤ (_x_∨_z_)·_y_，其他運算和它們的自變量也類似。而且任何不等式 _x_ ≤ _y_ 可以等價的表示為等式，要麼 _x_∧_y_ = _x_ 要麼 _x_∨_y_ = _y_。這與格和么半群的等式公理化一起生成剩餘格的純等式定義，而它們形成了一個等式類或簇。注意分配律 _x_·(_y_∨_z_) = (_x_·_y_) ∨ (_x_·_z_) 是這些公理的結論所以不需要是定義的一部分。在么半群乘法是∧的時候，剩餘格變成為 Heyting 代數，這種格是分配性的，但是一般的說格不需要是分配性的，而它的・分配在∨之上。

_x_\_y_ 的可供替代的符號是 _x_ → _y_，_y_/_x_ 的可供替代的符號是 _y_ ← _x_，這是在剩餘和邏輯蘊涵之間的類似性所暗示的，而么半群的乘法可以被理解為不需要是交換性的某種形式的合取。當么半群是交換性的時候這兩種剩餘是一致的。

_x_·_y_ 的可供替代的符號包括 _x_◦_y_, _x_;_y_（關係代數），和 _x_⊗_y_（線性邏輯）。**I** 的可供替代的符號包括 _e_ 和 1'。

## 例子

布爾代數和 Heyting 代數是交換剩餘格，在其中 _x_·_y_ = _x_∧_y_（而單位元 **I** 是代數的頂元素 1）而兩個剩餘 _x_\_y_ 和 _y_/_x_ 是同一個運算，就是蘊涵 _x_ → _y_。第二個例子非常一般性，因為 Heyting 代數包換所有有限分配格，和形成完全格的所有鏈或全序，例如實數軸上的單位區間 [0,1]，或者整數和 ± $\infty $ 。

結構 (**Z**, _min_, _max_, +, 0, −, −)（整數帶有兩個剩餘都是減法）是交換剩餘格，使得么半群的單位元不是最大元素 (實際上這裡沒有最小或最大元素)，而么半群的乘法不是這個格的交運算。在這個例子中，不等式就是等式，因為−（減法）不只是 + 的伴隨或偽逆運算而真就是它的逆運算。任何在加法下的全序群比如有理數或實數都可替代這個例子中的整數。任何這些例子的非負部分都假定了 _min_ 和 _max_ 被互換並且−被替代為「monus」（定義為在 _x_ ≤ _y_ 時 _x_-_y_ = 0 其他時候為正常減法）的例子。

更一般性的一類例子是在給定集合 _X_ 的所有二元關係也就是 _X_2 冪集的布爾代數，通過選取么半群乘法・為關係複合，選取么半群單位元為由在所有 _X_ 中 _x_ 的有序對 (_x_,_x_) 構成的恆等關係 **I** 而成為剩餘格。給定在 _X_ 上的兩個關係 _R_ 和 _S_，_S_ 對 _R_ 的右剩餘 _R_\_S_ 是二元關係使得 _x_(_R_\_S_)_y_ 只在對於所有 _X_ 中的 _z_，_zRx_ 蘊涵 _zSy_ 的時候成立（注意與蘊涵的聯繫）。左剩餘是它的鏡像：_y_(_S_/_R_)_x_ 在對於所有 _X_ 中的 _z_，_xRz_ 蘊涵 _ySz_ 的時候成立。

可用在 {0,1} 上的二元關係 <和> 來展示，在其中 0 <1 和 1> 0 是唯一成立的關聯。那麼 _x_(>\<)_y_ 只在 _x_ = 1 的時候成立，而 _x_(</>)_y_ 只在 _y_ = 0 的時候成立，顯示出 <對> 的剩餘是不同的，依賴於我們剩餘在右側還是在左側。這種不同是在 <;> 和 >;<和之間的不同的推論，這裡唯一成立的關聯是 0 (<;>) 0（因為 0<1>0）和 1 (>;<) 1 (since 1>0<1)。如果我們轉而選擇≤和≥，≥\≤和≤/≥是同樣的，因為≤;≥ = ≥;≤，二者在所有 _x_ 和 _y_ 之間總是成立（因為 _x_≤1≥_y_ 並且 _x_≥0≤_y_）。

字母表（集合）Σ 上的所有形式語言的布爾代數 2Σ\* 形成了剩餘格，它的么半群乘法是語言串接 _LM_ 而它的么半群單位元 **I** 是由空字符串 ε 足成的語言 {ε}。右剩餘 _M_\_L_ 構成自所有在 Σ 上的字 _w_ 是的 _Mw_ ⊆ _L_。左剩餘 _L_/_M_ 用 _wM_ 替代了左剩餘中的 _Mw_。

只在 _X_ 為有限的時候 _X_ 上的所有二元關係的剩餘格是有限的，並且只在 _X_ 有最多一個元素的時候是交換的。當 _X_ 為空的時候代數是退化的布爾代數其中 0 = 1 = **I**。只在 Σ 有最多一個字母的時候 Σ 上的所有語言的剩餘格是交換的。只在 Σ 為空的時候它是有限的，這時它由兩個語言 0（空語言 {}）和么半群單位元 **I** = {ε} = 1 構成。

形成有特殊性質的布爾代數的例子請參見剩餘布爾代數。

## 剩餘半格

**剩餘半格**除了省略了交運算∧之外同一於剩餘格。它是代數結構 L = (L, ∨,・, 1, /, \) 滿足上面規定的所有剩餘格等式，除了包含符號∧的之外。定義 _x_ ≤ _y_ 為 _x_∧_y_ = _x_ 的選項就不可用了，只留下了另一個選項 _x_∨_y_ = _y_（或任何等價者）。

通過簡單的省略∧用任何剩餘格製作出剩餘半格。剩餘半格起因於與作用代數的聯繫，它是也是克萊尼代數的剩餘半格，它通常不需要∧。

## 引用

* Ward, Morgan, and Robert P. Dilworth (1939) "Residuated lattices," _Trans. Amer. Math. Soc. 45_: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) _The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth_ Basel: Birkhäuser.