力矩

在物理學裏，作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，稱為**力矩**（英語：torque 或 moment），也就是扭轉的力。轉動力矩又稱為**轉矩**。力矩能夠使物體改變其旋轉運動。推擠或拖拉涉及到作用力
，而扭轉則涉及到力矩。如圖右，力矩 ${\boldsymbol {\tau }}\,\!$ 等於徑向向量 $\mathbf {r} \,\!$ 與作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 的叉積。

簡略地說，力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 $\cdot $ 米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制單位，力矩的單位則是英尺 $\cdot $ 磅。力矩的表示符號是希臘字母 ${\boldsymbol {\tau }}\,\!$ ，或 $\mathbf {M} \,\!$ 。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 、從轉軸到施力點的位移向量 $\mathbf {r} \,\!$ 、兩個向量之間的夾角 $\theta \,\!$ 。力矩 ${\boldsymbol {\tau }}\,\!$ 以向量方程式表示為

　
: ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$ 。

力矩的大小為

　
: $\tau =rF\sin \theta \,\!$ 。

## 定義

**力矩**等於作用於槓桿的作用力乘以支點到力的垂直距離。例如，3 牛頓的作用力，施加於離支點 2 米處，所產生的力矩，等於 1 牛頓的作用力，施加於離支點 6 米處，所產生的力矩。力矩是個向量。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則來決定。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線，則大拇指指向力矩的方向。

更一般地，如圖右，假設作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 施加於位置為 $\mathbf {r} \,\!$ 的粒子。選擇原點為參考點，力矩 ${\boldsymbol {\tau }}\,\!$ 以方程式定義為

　
: ${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$ 。

力矩大小為

　
: $\tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!$ ；

其中， $\theta \,\!$ 是兩個向量 $\mathbf {F} \,\!$ 與 $\mathbf {r} \,\!$ 之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

　
: $\tau =rF_{\perp }\,\!$ ；

其中， $F_{\perp }\,\!$ 是作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 對於 $\mathbf {r} \,\!$ 的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量 $\mathbf {r} \,\!$ 和作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

## 力矩與角動量之間的關係

假設一個粒子的位置為 $\mathbf {r} \,\!$ ，動量為 $\mathbf {p} \,\!$ 。選擇原點為參考點，此粒子的角動量 $\mathbf {L} \,\!$ 為

　
: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ 。

粒子的角動量對於時間的導數為

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!$ ；

其中， $m\,\!$ 是質量， $\mathbf {v} \,\!$ 是速度， $\mathbf {a} \,\!$ 是加速度。

應用牛頓第二定律， $\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!$ ，可以得到

　
: ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$ 。

按照力矩的定義， ${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$ ，所以，

　
: ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!$ 。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量 $\mathbf {L} \,\!$ 對於時間 $t\,\!$ 的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的淨力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!$ 共同決定角動量的對於時間的變化：

　
: ${\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!$ 。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

　
: $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!$ ；

其中， $I\,\!$ 是物體對於固定軸的轉動慣量， ${\boldsymbol {\omega }}\,\!$ 是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

　
: ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ ；

其中， ${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$ 是物體的角加速度。

## 單位

力矩的定義是距離乘以作用力。根據國際單位制，力矩的單位是牛頓 $\cdot $ 米（Nm）。雖然牛頓與米的次序，在數學上，是可以交換的，但是國際重量測量局（Bureau International des Poids et Mesures）規定這次序應是牛頓 $\cdot $ 米，而不是米 $\cdot $ 牛頓。

根據國際單位制，能量與功量的單位是焦耳，定義為 1 牛頓 $\cdot $ 米。但是，焦耳不是力矩的單位。因為，能量是力點積距離的純量；而力矩是距離叉積作用力的向量。當然，因次相同並不儘是巧合，使 1 牛頓 $\cdot $ 米的力矩，作用 1 全轉，需要恰巧 $2\pi \,\!$ 焦耳的能量：

　
: $E=\tau \theta \,\!$ 。

其中， $E\,\!$ 是能量， $\theta \,\!$ 是移動的角度，單位是弧度。

根據英制，力矩的單位是英尺 $\cdot $ 磅。

## 矩臂方程式

在物理學外，其他的學術界裡，力矩時常會如以下定義：

　
: ${\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!$ 。

右圖顯示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相對位置 $\mathbf {r} \,\!$ 、作用力 $\mathbf {F} \,\!$ （force）。這個定義並沒有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，並不適用於三維空間問題。

## 靜力概念

當一個物體在靜態平衡時，淨力是零，對任何一點的淨力矩也是零。二維空間的平衡要求是

　
: $\sum F_{x}=0\,\!$ ，

　
: $\sum F_{y}=0\,\!$ ，

　
: $\sum \tau =0\,\!$ 。

這裡， $F_{x},\ F_{y}\,\!$ 是作用力 $\mathbf {F} \,\!$ 分別在 x - 軸與 y - 軸的分量。假若，這三個聯立方程式有解，則稱此系統為靜定系統；不然，則稱為靜不定系統。

## 力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

　
: $W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!$ ；

其中， $W\,\!$ 是機械功， $\theta _{1}\,\!$ 、 $\theta _{2}\,\!$ 分別是初始角和終結角， $\mathrm {d} \theta \,\!$ 是無窮小角位移元素。

根據功能定理， $W\,\!$ 也代表物體的旋轉動能 $K_{\mathrm {rot} }\,\!$ 的改變，以方程式表達，

　
: $K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$ 。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率 $P\,\!$ 以方程式表達為

　
: $P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!$ 。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓 - 米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速 rpm，也不是每秒鐘轉速）。

## 力矩原理

**力矩原理**闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的淨力所產生的力矩。力矩原理又名**伐里農定理**(Varignon's theorem)（以法國科學家兼神父皮埃爾・伐里農命名），以方程式表達，

　
: $(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!$ 。

## 參閱

* 馬力
* 扭力轉換器
* 剛體動力學
* 機械平衡（mechanical equilibrium）
* 扭矩扳手（torque wrench）

## 參考文獻

* Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

## 外部連結

* 模擬力矩平衡的 Java 小程式（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* _Torque and Angular Momentum in Circular Motion_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on Project PHYSNET（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Torque Unit Converter（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）