切映射

假設 _φ_ : _M_ → _N_ 是光滑流形之間的光滑映射；則 _φ_ 在一點 _x_ 處的**微分**在某種意義上是 _φ_ 在 _x_ 附近的最佳線性逼近。這可以視為通常微積分中全導數的推廣。確切地說，它是從 _M_ 在 _x_ 處的切空間到 _N_ 在 _φ_(_x_) 處的切空間的一個線性映射，從而可以將 _M_ 的切向量「前推」成 _N_ 的切向量。

映射 _φ_ 的微分也被一些的作者稱為 _φ_ 的**導數**或**全導數**，有時它自己也之稱為**前推**（pushforward）。

## 動機

設 _φ_:_U_→_V_ 是從 **R**m 的一個開集 _U_ 到 **R**n 的開集 _V_ 的一個光滑映射。對任何 _U_ 中的給定點 _x_， _φ_ 在 _x_ 的雅可比矩陣（關於標準坐標）是 _φ_ 在 _x_ 的全微分的矩陣表示，這是一個從 **R**m 到 **R**n 的線性映射：

　
: $\mathrm {d} \varphi _{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .$

我們希望將其推廣到 _φ_ 是「任何」兩個光滑流形 _M_ 與 _N_ 之間的光滑映射。

## 光滑映射的微分

令 _φ_ : _M_ → _N_ 是光滑流形間的光滑映射。給定某點 _x_ ∈ _M_，_φ_ 在 _x_ 的**微分**或 **（全）導數**是從 _M_ 在 _x_ 的切空間到 _N_ 在 _φ_(_x_) 的切空間一個線性映射

　
: $\mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\ ,$

映射 d_φ_x 運用到切向量 _X_ 上有時稱為 _X_ 由 _φ_ 的**前推**。前推的確切定義取決於我們怎樣定義切向量（不同的定義可參見切空間）。

如果我們定義切向量為通過 _x_ 的曲線等價類，那麼微分由

　
: $\mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)$

給出，這裡 _γ_ 是 _M_ 上滿足 _γ_(0) = _x_ 的一條曲線。換句話說，一條曲線 _γ_ 在 0 處切向量的前推恰好是 _φ_ $\circ $ _γ_ 在 0 處的切向量。

另一種方式，如果切向量定義為作用在光滑實值函數上的導子，那麼微分由

　
: $\mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )$

給出，這裡 _X_ ∈ _TxM_，從而 _X_ 是定義在 _M_ 上的一個導子而 _f_ 是 _N_ 上一個光滑實值函數。根據定義，在給定 _M_ 上 _x_ 處 _X_ 的前推在 _T_φ(_x_)_N_ 中，從而定義了一個 N 上的導子。

取定 _x_ 與 _φ_(_x_) 附近的坐標卡以後，_F_ 局部由 **R**m 與 **R**n 之間的光滑映射

　
: ${\hat {\varphi }}:U\rightarrow V$

確定。而 d_φ_x 具有表示（在 _x_ 附近）：

　
: $\mathrm {d} \varphi _{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},$

這裡使用了愛因斯坦求和約定，偏導數對 _x_ 坐標卡相應的 _U_ 中的點取值。

線性擴張得到如下矩陣

　
: $(\mathrm {d} \varphi _{x})_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.$

從而光滑映射 _φ_ 在每一點的微分是切空間之間的一個線性變換。從而在某些選定的局部坐標下，它表示為相應的從 **R**m 到 **R**n 光滑映射的雅可比矩陣。一般情形，微分不要求可逆。如果 _φ_ 是一個局部微分同胚，那麼在 _x_ 點的前推是可逆的，其逆給出 _T_φ(_x_)_N_ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空間之間的線性同構。

微分經常有其他一些記法，比如

　
: $D\varphi _{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .$

從定義可得出複合函數的微分便是微分的複合（即，具有函子性質），這便是光滑函數微分的鏈式法則。

## 切叢上的微分

光滑映射 _φ_ 的微分以顯而易見的方式誘導了從 _M_ 的切叢到 _N_ 的切叢的一個叢映射（事實上是向量叢同態），記為 d_φ_ 或 _φ_\*，滿足如下的交換圖表：

這裡 _πM_ 與 _πN_ 分別表示 _M_ 與 _N_ 切叢的叢投影。

等價地（參見叢映射），_φ_\* = d_φ_ 是從 _TM_ 到 _M_ 上的拉回叢 _φ\*TN_ 的叢映射，這可以看成 _M_ 上向量叢 Hom (_TM_,_φ_\*_TN_) 的一個截面。

## 向量場的前推

給定了一個光滑映射 _φ_:_M_→_N_ 與 _M_ 上一個向量場 _X_，一般不能定義 _X_ 通過 _φ_ 的前推為 _N_ 的一個向量場。譬如，如果映射 _φ_ 不是滿射，則在 _φ_ 的像外部沒有自然的方式定義拉回；如果 _φ_ 不是單射也有可能在給定一點拉回不止一種選擇。無論如何，可以用「沿著映射的向量場」概念將難處變精確。

_M_ 上 _φ\*TN_ 的一個截面稱為**沿著 _φ_ 的向量場**。例如，如果 _M_ 是 _N_ 的一個子叢而 _φ_ 是包含映射，那麼沿著 _φ_ 的向量場恰好是 _N_ 沿著 _M_ 的切叢的一個截面；特別的，_M_ 上的向量通過 _TM_ 包含到 _TN_ 中定義這樣一個截面。這種想法推廣到任何光滑映射。

假設 _X_ 是 _M_ 上一個向量場，即 _TM_ 的一個截面。那麼，運用逐點微分得出 _X_ 的前推 _φ_\*_X_，這是一個沿著 _φ_ 的向量場，即 _M_ 上 _φ\*TN_ 的一個截面。

任何 _N_ 上的向量場 _Y_ 定義了 _φ\*TN_ 的一個拉回截面 _φ\*Y_ 使得 (_φ\*Y_)x = _Y_φ(_x_)。_M_ 上一個向量場 _X_ 與 _N_ 上一個向量場 _Y_ 稱為 **_φ_- 相關**的，如果作為沿著 _φ_ 的向量場有 _φ\*X_ = _φ\*Y_。換句話說，對任何 _x_ 屬於 _M_，有 d_φ_x(_X_)=_Y_φ(_x_)。

在某些情形，給定 _M_ 上一個向量場 _X_，_N_ 上只有惟一的向量場 _Y_ 與 _X_ _φ_- 相關。特別地，這在 _φ_ 是微分同胚時自然成立。在這種情況下，前推定義了 _N_ 上一個向量場 _Y_，由

　
: $Y_{x}=\varphi _{*}(X_{\varphi ^{-1}(x)}).$

給出。一個更一般的情形是 _φ_ 為滿射（比如纖維叢的叢投影）。這時 _M_ 上的向量場 _X_ 稱為**可投影**的，如果對任何 _y_ 屬於 _N_, d_φ_x(_X_x) 與 _x_ 屬於 _φ_-1({_y_}) 的取法無關。這恰好是保證 _X_ 的前推可以作為 _N_ 上的一個良定的向量場的條件。

## 參閲

* 拉回

## 參考文獻