分数微积分

數學上，**分數微積分（fractional calculus）** 是數學分析的一個分支，它研究微分算子 $D={\frac {d}{dx}}$ 和積分算子 _J_ 的實數次冪的可能應用（通常不寫作 _I_, 以避免和其他 _I_ 形符號產生混淆）。

在這個上下文中，_冪_指反覆應用，和

　
: $\,f^{2}(x)=f(f(x))$

中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題

　
: ${\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}$

作為微分算子的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的，

　
: $D^{n}$

對於實數值的 _n_，使得當 _n_ 為整數時，若 _n_>0, 它等同於通常的冪 _n_ 次操作，當 _n_<0, 它等同於 n 次積分 _J_。

討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪 _D_n 組成的半群可以看作一個_連續_的半群中取_離散_值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，_分數_是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是_分數微積分_已成為習慣用法。

## 歷史緣由

在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在 1695 年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾 (Liouville) 在 1832 年的論文中獨立奠定的，奧利弗・黑維塞 (Oliver Heaviside) 在 1890 年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在 19 世紀跟 20 世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

## 試探法

一個很自然的想法是問，是否存在一個算子 $H$ 起到**半導數**的作用，即使得：

　
: : $H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)$

結論是：這樣的算子是存在的，對於任意 $a>0$ , 存在一個算子 $P$ , 滿足：

　
: : $(P^{a}f)(x)=f'(x)$ ，

或者換一個說法， ${\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ 的定義可以從正整數 _n_ 擴充到所有的實數 _n_.

在這裡我們引入 Γ 函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ 函數的定義如下：

　
: : $n!=\Gamma (n+1)$ ，

假設對函數 $f(x)$ $(x>0)$ 在 0 到 _x_ 上求積分，我們可以形式的定義積分算子 _J_:

　
: : $(Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt$

重複這個過程，可得：

　
: : $(J^{2}f)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt$ ,

這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的**柯西公式**，即：

　
: : $(J^{n}f)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt$

我們可以直截了當的寫出任意實數 _n_ 的積分算子。

直接利用 $\Gamma $ 函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式

　
: : $(J^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt$

這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明 _J_ 算子滿足如下關係

　
: : $(J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt$

這個性質叫**微分積分算符**的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子 _D_ 一般來說不對易也不具有疊加性。

## 分數微分在一個簡單函數上的應用

假設有一個函數

　
: $f(x)=x^{k}\;$ 。它的一階導數一般是：

　
: $f'(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;$ 。重複這一過程，得到更一般的結果：

　
: ${\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;$ ，將階乘用伽瑪函數替換，可得：

　
: ${\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}\;$ 。當 k = 1, 並且 a = 1/2 時我們可以得到函數 $x$ 的半導數：

　
: ${\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\dfrac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\dfrac {1!}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}x^{\frac {1}{2}}={\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}$ 。重複這一過程，得：

　
: ${\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}x^{\frac {1}{2}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (1)}}x^{0}={\dfrac {2{\sqrt {\pi }}x^{0}}{2{\sqrt {\pi }}0!}}=1$ ，這正是期望的結果：

　
: $\left({\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\dfrac {d}{dx}}x=1$ 。

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子， $(1+i)$ 階導數作用後， $(1-i)$ 階導數再作用，可以得到二階導數。同時如果 _a_ 為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果（當 $0<\alpha <1$ ）。

　
: : $D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt$

對於任意的 $\alpha $ , 由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義，需要在分數微分前先進行整數微分。例如

　
: : $D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)$

## 拉普拉斯變換

我們可以藉由拉普拉絲變換提出一個問題。已知

$$
{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)
$$

以及

$$
{\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)
$$

然後繼續下去，我們可以推斷:

$$
J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}
$$

舉例來說:

$$
J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}
$$

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

$$
{\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}
$$

然後為了方便，令 _p_(_x_) = _x_α − 1 ，我們發現到:

$$
{\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}
$$

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

## 分數階積分

## 分數階微分

## 應用

**WKB 近似**

對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時，系統哈密頓量 $H=p^{2}+V(x)$ 中 $V(x)$ 的倒數 $V^{-1}(x)$ 可由對態密度的半階微分求出

　
: : $V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}n(x)$

這裡採用了自然單位制，即 $\hbar =2m=1$

## 相關條目

* Γ 函數
* 拉普拉絲變換

## 參考文獻

## 外部連結

* 任意階微積分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MathWorld - Fractional calculus （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* MathWorld - Fractional derivative （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
* Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame