勾股逆定理

**畢氏定理**（英語：Pythagorean theorem / Pythagoras' theorem）是平面幾何中一個基本而重要的定理。畢氏定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（較短直角邊古稱勾長、較長直角邊古稱股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。畢氏定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

此定理又稱**勾股定理**、**商高定理**、**畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理**或**百牛定理**。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。

《周髀算經》記述公元前一千多年，商高以 $(3,4,5)$ 這組畢氏三元數為例解釋了畢氏定理要素，論證「弦長平方必定是兩直角邊的平方和」，確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。其判定方法因後世不明其法而被忽略。

古埃及在公元前 2600 年的紙莎草記載有 $(3,4,5)$ 這一組畢氏三元數，而古巴比倫泥板紀錄的最大的一個畢氏三元數組是 $(12709,13500,18541)$ 。

有些參考資料提到法國和比利時將畢氏定理稱為驢橋定理，但驢橋定理是指等腰三角形的二底角相等，非畢氏定理。

畢氏定理有四百多個證明，如微分證明，面積證明等。

## 定理

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是 $a$ 和 $b$ ，斜邊長度是 $c$ ，那麼可以用數學語言表達：

　
: : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

或

　
: : ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$

餘弦定理是畢氏定理的一個推廣。畢氏定理現約有 400 種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

## 其他形式

如果 $c$ 是斜邊的長度而 $a$ 和 $b$ 是另外兩條邊的長度，畢氏定理可以寫成：

$$
a^{2}+b^{2}=c^{2}\,
$$

如果 $a$ 和 $b$ 知道， $c$ 可以這樣寫：

$$
c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,
$$

如果斜邊的長度 $c$ 和其中一條邊（ $a$ 或 $b$ ）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：

　
: $a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.\,$

或

　
: $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.\,$

簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長。

## 畢氏三元數組

**畢氏三元數組**是滿足畢氏定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的正整數組 $(a,b,c)$ ，其中的 $a,b,c$ 稱為**畢氏三元數**。例如 $(3,4,5)$ 就是一組畢氏三元數組。

任意一組畢氏三元數 $(a,b,c)$ 可以表示為如下形式： $a=k(m^{2}-n^{2}),b=2kmn,c=k(m^{2}+n^{2})$ ，其中 $k,m,n\in \mathbb {N*} ,m>n$ 。

## 歷史

這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現畢氏三元數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

### 畢氏三元數

畢氏三元數的發現時間較早，例如埃及的紙草書裡面就有 $(3,4,5)$ 這一組畢氏三元數，而巴比倫泥板涉及的最大的一個畢氏三元數組是 $(13500,12709,18541)$ 。後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載。在中國，《周髀算經》中也記述了 $(3,4,5)$ 這一組畢氏三元數；金朝數學家李冶在《測圓海鏡》中，通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係，建立了系統的天元術，推導出 692 條關於勾股形的各邊的公式，其中用到了多組畢氏三元數作為例子。

### 普遍定理的發現

巴比倫人得到的畢氏三元數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世，不過在他死後一千年，5 世紀的普羅克勒斯給歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派：

普魯塔克和西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯，但沒有任何證據表明畢達哥拉斯證明了畢氏定理，以素食聞名的畢達哥拉斯殺牛更是不可思議。

在中國，記載秦朝的算數書並未記載畢氏定理，只是記錄了一些畢氏三元數。定理首次載於書面則是在成書於西漢但內容收集整理自公元前一千多年以來的《周髀算經》「榮方問於陳子」一節中：

因此此定理也被稱之為陳子定理。

東漢末年趙爽《周髀算經注》《勾股圓方圖注》記載：

在《九章算術注》中，劉徽反覆利用畢氏定理求圓周率，並利用「割補術」做「青朱出入圖」完成畢氏定理的幾何圖形證明。

直至現時為止，仍有許多關於畢氏定理是否不止一次被發現的辯論。

### 證明

畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來，流傳下來書面證明最早見於《幾何原本》第一冊的第 47 個命題。在中國，東漢末年吳國的趙爽最早給出畢氏定理的證明。巴勒蒂・克爾什納・蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了畢氏定理。

## 證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 _Pythagorean Proposition_ 一書中總共提到 367 種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明畢氏定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於畢氏定理，所以不能作為畢氏定理的證明（參見循環論證）。

### 趙爽勾股圓方圖證明法

中國三國時期趙爽為證明畢氏定理作「勾股圓方圖」即「弦圖」，按其證明思路，其法可涵蓋所有直角三角形，為東方特色畢氏定理無字證明法。2002 年第 24 屆國際數學家大會（ICM）在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片，郵資圖就是這次大會的會標 — 中國古代證明畢氏定理的趙爽弦圖。

### 劉徽「割補術」證明法

中國魏晉時期數學家劉徽依據其「割補術」為證畢氏定理另闢蹊徑而作「青朱出入圖」。劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補 — 以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

### 利用相似三角形的證法

有許多畢氏定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設 $ABC$ 為一直角三角形，直角於 $\angle C$ （看右圖）。從點 _$C$_ 畫上三角形的高，並將此高與 ${\overline {AB}}$ 的交叉點稱之為 $H$ 。此新 $\bigtriangleup ACH$ 和原本的 _$\bigtriangleup ABC$_ 相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有 $A$ 這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理， $\bigtriangleup CBH$ 和 $\bigtriangleup ABC$ 也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

　
: ${\overline {BC}}=a,{\overline {AC}}=b,{\text{ and }}{\overline {AB}}=c,\!$

所以

　
: ${\frac {a}{c}}={\frac {\overline {HB}}{a}}{\text{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {\overline {AH}}{b}}.\,$

可以寫成

　
: $a^{2}=c\times {\overline {HB}}{\text{ and }}b^{2}=c\times {\overline {AH}}.\,$

綜合這兩個方程式式，我們得到

　
: $a^{2}+b^{2}=c\times {\overline {HB}}+c\times {\overline {AH}}=c\times ({\overline {HB}}+{\overline {AH}})=c^{2}.\,\!$

換句話說:

　
: $a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!$

### 歐幾里得的證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出畢氏定理的以下証明。設 $\bigtriangleup ABC$ 為一直角三角形，其中 _A_ 為直角。從 _$A$_ 點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

* 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS 定理）
* 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
* 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
* 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理 3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

1. 設 $\triangle ABC$ 為一直角三角形，其直角為 $\angle CAB$ 。
2. 其邊為 ${\overline {BC}}$ 、 ${\overline {AB}}$ 、和 ${\overline {CA}}$ ，依序繪成四方形 $CBDE$ 、 $BAGF$ 和 $ACIH$ 。
3. 畫出過點 $A$ 之 ${\overline {BD}}$ 、 ${\overline {CE}}$ 的平行線。此線將分別與 ${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {DE}}$ 直角相交於 $K$ 、 $L$ 。
4. 分別連接 ${\overline {CF}}$ 、 ${\overline {AD}}$ ，形成兩個三角形 $BCF$ 、 $BDA$ 。
5. $\angle CAB$ 和 $\angle BAG$ 都是直角，因此 $C$ 、 $A$ 和 $G$ 都是共線的，同理可證 $B$ 、 $A$ 和 $H$ 共線。
6. $\angle CBD$ 和 $\angle FBA$ 皆為直角，所以 $\angle ABD$ 相等於 $\angle FBC$ 。
7. 因為 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {BD}}$ 分別等於 ${\overline {FB}}$ 和 ${\overline {BC}}$ ，所以 $\triangle ABD$ 必須全等於 $\triangle FBC$ 。
8. 因為 $A$ 與 $K$ 和 $L$ 在同一直線上，所以四方形 $BDLK$ 必須二倍面積於 $\triangle ABD$ 。
9. 因為 $C$ 、 $A$ 和 $G$ 在同一直線上，所以正方形 $BAGF$ 必須二倍面積於 $\triangle FBC$ 。
10. 因此四邊形 $BDLK$ 必須和 $BAGF$ 有相同的面積 = ${\overline {AB}}^{2}$ 。
11. 同理可證，四邊形 $CKLE$ 必須有相同的面積 $ACIH={\overline {AC}}^{2}$ 。
12. 把這兩個結果相加， ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}$
13. 由於 ${\overline {BD}}={\overline {KL}}$ ， ${\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}={\overline {BD}}\left({\overline {BK}}+{\overline {KC}}\right)={\overline {BD}}\times {\overline {BC}}$
14. 由於 $CBDE$ 是個正方形，因此 ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}$ 。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第 1.47 節所提出的

由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

### 圖形重新排列證法

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為 $(a+b)^{2}$ 。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為 $a^{2}+b^{2}$ ，右方餘下面積為 $c^{2}$ ，兩者相等。證畢。

 

## 畢氏定理的逆定理

畢氏定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中 ${\overline {AB}}=c$ 為最長邊:

* 如果 $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$ ，則 $\triangle ABC$ 是直角三角形。其中 $\angle C$ 是直角。
* 如果 $a^{2}+b^{2}>c^{2}\,$ ，則 $\triangle ABC$ 是銳角三角形（若無先前條件 ${\overline {AB}}=c$ 為最長邊，則該式的成立僅滿足 $\angle C$ 是銳角）。
* 如果 $a^{2}+b^{2}<c^{2}\,$ , 則 $\triangle ABC$ 是鈍角三角形。其中 $\angle C$ 是鈍角。

（這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）

## 逆定理的證明

畢氏定理的逆定理的證法數明顯少於畢氏定理的證法。以下是一些常見證法。

### 同一法

構造 $\triangle A'B'C'$ ，使 $a'=a,b'=b,\angle C'=90^{\circ }$ 。

根據畢氏定理， $c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$ ，從而 $\triangle A'B'C'\cong \triangle ABC(SSS)$ 。

因此， $\angle C=90^{\circ }$ 。

### 餘弦定理

根據餘弦定理， $\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$ 。由於 $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$ ，故 $\cos C=0\,$ ，從而 $\angle C=90^{\circ }$ 。

### 相似三角形

在 ${\overline {AB}}$ 邊上截取點 $D$ 使 $\angle DCB=\angle A$ 。

在 $\triangle CDB\,$ 與 $\triangle ACB\,$ 中，

。

從而， ${\frac {\overline {BC}}{\overline {BA}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}\Rightarrow {\overline {BD}}={\frac {a^{2}}{c}}$ ，以及 ${\frac {\overline {CD}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}\Rightarrow {\overline {CD}}={\frac {\overline {ab}}{c}}$ 。

另一方面， ${\overline {AD}}={\overline {AB}}-{\overline {BD}}=c-{\frac {a^{2}}{c}}={\frac {b^{2}}{c}}$ ，故由 ${\frac {\overline {DC}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {a}{b}}$ 知， $\triangle ACD\sim \triangle CBD$ 。

因而， $\angle BDC=\angle CDA=90^{\circ }$ ，所以 $\angle ACB=\angle CDB=90^{\circ }$ 。

### 非歐幾何

畢氏定理是由歐幾里得幾何的公理推導出來的，其在非歐幾里得幾何中是不成立的。因為畢氏定理的成立涉及到了平行公設。

## 參考文獻

## 外部連結

* 畢氏定理（MathWorld） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

## 參見

* 直角三角形
* 畢氏三元數
* 餘弦定理
* 雷射測距儀
* 青朱出入圖
* 《史記・夏本紀》記載大禹治水：「陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山。」其中的規和矩就是運用畢氏定理的實用工具之一。