刚布茨

**岡布茨**（**Gömböc**，匈牙利語讀音：匈牙利語發音：[ˈɡømbøt͡s]）是第一個被製造出來的為人所知的具有單單穩態性質的三維凸均勻體，在平面上，單單穩態物體只具有一個穩定和一個不穩定的力學平衡點。1995 年俄羅斯數學家弗拉基米爾・阿諾爾德猜想存在這類三維凸均勻體。2006 年匈牙利科學家多莫科什・加博爾和彼得・瓦爾科尼證明了這類物體存在並構造出來。單單穩態的形態多種多樣，它們中大多數都接近圓形並且有著非常嚴苛的形狀公差要求（大約千分之一）。

**岡布茨**作為第一個被製造出來的單單穩態形狀極為出名。它具有如圖所示的一個尖頂。該形狀解釋了一些陸龜是如何利用它們身體的形狀在其翻過來以後回到平衡點的。**岡布茨**的許多副本被捐贈給了一些機構和博物館，其中最大的一個在中國 2010 年上海世界博覽會上被展出。2017 年 12 月，一個 4.5 公尺（15 英尺）大的**岡布茨**雕塑被安放在了布達佩斯的 Corvin 廣場。

## 命名

如果對物體的「平度」和「扁度」進行定量分析，除球體之外，已發現的單單穩態體近似於球體的，因此，該幾何形狀被命名為岡布茨（Gömböc，gömb 是匈牙利語中的「球形」）。岡布茨一詞最初指的是一種類似香腸的食物：用調味豬肉填充豬胃，類似於肉餡羊肚。在匈牙利文化中有一個關於擬人化岡布茨吞食人的故事。

## 歷史

在幾何學上，具有一個穩定的平衡位置的物體被稱作單穩態的。單單穩態是為了描述一個僅具有一個穩定平衡位置和一個不穩定平衡位置的物體而創造的術語。（先前已知的單穩態多面體不符合單單穩態的定義，因為它具有三個不穩定的平衡點）一個質心偏離了幾何中心的球是單單穩態體，不倒翁則是一個更常見的例子（見左圖）。它不僅具有較低的質心，而且具有特定的形狀。在平衡狀態下，質心和觸地點在垂直於地面的直線上。推動玩具時，其質心上升，偏離該直線。這會產生一個使玩具回到平衡位置的扶正力矩。

上述例子中的單單穩態體不可能是均勻的，也就是說，它們的材料密度在其整體上是變化的。俄羅斯數學家弗拉基米爾・阿諾爾德於 1995 年提出了一個問題，即是否可以構造一個具有單單穩態且又均勻的三維凸多面體（凸集）。凹凸性對於單單穩態很重要，因為構造單單穩態非凸多面體很容易（例如，內部有空腔的球）。凸多面體是指物體上任意兩點之間的直線段均在物體內部，換句話說，該表面沒有凹陷區域，而且每個點都向外突出（或者至少是平坦的）。從經典四頂點定理的幾何和拓撲概論中已經知道，平面曲線具有至少四個曲率極值，更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和至少兩個局部極小值（請參見右圖），表示在二維中不存在凸多邊形的單穩態體。人們普遍認為三維物體應該有至少 4 個極值，而阿諾德推測此數字可能會更小。

## 數學解

2006 年，加博爾・多莫科什和彼得・瓦爾科尼於解決了上述問題。加博爾・多莫科什是一名工程師和建築師，當時是布達佩斯科技經濟大學的力學材料結構系主任。自 2004 年起，他成為了匈牙利科學院最年輕的成員。彼得・瓦爾科尼受過工程師和建築師培訓，他是加博爾・多莫科什的學生，並且是 1997 年國際物理奧林匹克競賽的銀牌得主。2006 年至 2007 年在普林斯頓大學擔任博士後研究員後，他擔任布達佩斯科技經濟大學的助理教授。加博爾・多莫科什以前一直在研究單單穩態問題。1995 年，他在漢堡的一次主要數學會議上遇到了阿諾德，在那兒，阿諾德作了一次闡述了大多數幾何問題都有四個解或極值點的報告。但在一次個人討論中，阿諾德質疑單單穩態體是否需要四個極值點，並鼓勵多加博爾・多莫科什尋找平衡性較小的例子。

該結果的嚴格證明過程可以在他們的工作參考中找到。總體來說，確實存在並且不是唯一的具有一個穩定平衡點和一個不穩定平衡點的三維均質凸多面體（單單穩態體）。這種單單穩態體很難形象化地描述和識別。它們的形態與任何經典的其他的平衡幾何類別都不同。它們應具有最小的平度，並且為避免具有兩個不穩定平衡點，還必須具有最小的扁度。它們是唯一同時具有最小的平整度和薄度的非退化對象。它們對外部形狀微小的變化是非常敏感的。例如，加博爾・多莫科什和彼得・瓦爾科尼的第一個解決方案非常類似於球體，其形狀偏差僅為 10−5。由於其很難通過實驗進行測試，所以被捨棄了。後來，他們又發表了對形狀敏感度較低的方案，形狀偏差為 10−3，即，10 厘米的偏差為 0.1 毫米。

加博爾・多莫科什和他的妻子通過分析卵石並記錄其平衡點，開發了形狀分類系統。在一次實驗中，他們測試了在希臘羅得島海灘上收集的 2,000 個卵石，但沒有在其中發現任何單單穩態體，這說明了發現或建造這樣一個單單穩態體的難度。

加博爾・多莫科什和彼得・瓦爾科尼的方案是構造具有彎曲的邊緣，類似於具有壓縮頂部的球體。上圖為處於平衡狀態的單單穩態體。通過將圖形繞水平軸旋轉 180° 可獲得其不穩定的平衡位置。從理論上講，它將停留在那兒，但是最小的擾動會使它回到穩定點。特別是，其平度和扁度極小，這是具有此屬性的唯一非退化對象類型。加博爾・多莫科什和彼得・瓦爾科尼致力於找到一種多面體解決方案，其表面由最少數量的平面組成。如果有人找到一種多面體的面，邊和頂點的最小數目 F,E 和 V，將會被獎勵一百萬除以 C=F+E+V-2 美元的獎金，其中 C 為單單穩態多面體的機械複雜性。顯然，人們可以用有限數量的離散表面來近似曲線曲線。但是，他們估計要實現這一目標將需要數千個平面。他們希望通過獎勵的方式來激勵大眾找到與他們不同的解決方案。

## 與動物的聯繫

岡布茨的平衡特性與帶外骨骼動物（例如烏龜和甲蟲）的「扶正響應」（即倒置時可以轉身回正的能力）異曲同工。這種能力在戰鬥中或者抵抗掠食者時至關重要。岡布茨僅存在一個穩定點和一個非穩定點，這意味著無論如何推動或旋轉，它都會恢復到這個平衡狀態。相對扁平的動物（例如甲蟲）在很大程度上依賴於通過移動其肢體和翅膀來恢復爬行姿勢，而許多圓拱形烏龜的四肢太短，無法用來矯正自己。

加博爾・多莫科什和彼得・瓦爾科尼用了一年的時間在布達佩斯動物園，匈牙利自然歷史博物館和布達佩斯的各種寵物商店裡測量烏龜，並對它們的外殼進行數位化和分析，試圖在幾何學中「解釋」它們的身體形狀和功能。他們的第一篇生物學論文在被拒了五次後才最終被生物學雜誌《皇家學會報告》所錄用。隨即，它被數個科學期刊所報導，包括科學期刊《自然》和《科學》。報導表明，陸龜的扁平殼有利於游泳和挖掘，但是，鋒利的外殼邊緣阻礙了其翻滾。這些烏龜通常有長長的腿和脖子可以用來推動地面，得以在倒置時能恢復正常位置。相反，「更圓」的烏龜很容易自行滾動，再加上其肢體較短，因此在失去的平衡時很少使用它們。圓拱殼還可以更好地抵抗捕食者的壓碎顎和更好地進行溫度調節。

一些古生物學家已經使用岡布茨理論解釋了烏龜的體型。例如，現代生物力學的先驅之一羅伯特・麥克尼爾・亞歷山大將該理論應用到了在 2008 年有關進化優化的全會報告中。

 

## 與岩石、鵝卵石和柏拉圖立方體的聯繫

岡布茨的發現推動了有關自然形狀演變的研究：儘管岡布茨形狀的鵝卵石几乎沒有，但幾何形狀和靜態平衡點數量之間的聯繫似乎是理解自然形狀演變的關鍵：實驗和數值證據表明，自然磨損會減少沉積顆粒靜態平衡點的數量 N。這項觀察有助於確定控制這一過程的幾何偏微分方程，這些模型不僅為火星卵石的起源和小行星奧陌陌的形狀提供了重要證據。

儘管由於碰撞和摩擦磨損而產生的碎屑都逐漸消除了平衡點，但是其仍無法成為岡布茨的形狀。最終，具有 N = 2 個平衡點的形狀似乎成為了自然演化過程無法達到的終點。同樣的不可見的起點似乎是具有 N = 26 個平衡點的立方體，這證實了柏拉圖的四個古典元素和具有五個柏拉圖立體的宇宙的假說，尤其是他用立方體確定了地球元素。儘管這一說法長期以來僅被視為一個隱喻，但最近的研究證明了它在定性上是正確的：自然生成的碎片的碎片形狀可以用多面體來近似，這些碎片的面、頂點和邊的統計平均值分別為 6，8 和 12，這與其相對應的立方體是一致的。這在洞穴比喻中有很好的體現，柏拉圖認為直觀可見的物理世界（自然產生的碎屑）可能是現象真正本質（立方體）的扭曲陰影。

這一結果受到了包括《科學》、《普及力學》、《量子雜誌》、《連線》、《Futura-Sciences》、義大利語版的《科學美國人》和希臘日報《論壇報》在內的著名科學期刊廣泛報導。2020 年，《科學》將該文章列為年度十大最有趣的研究，並在「年度突破，頂級在線新聞和科學書籍重點」播客中，新聞編輯 David Grimm 與主持人 Sarah Crespi 討論了四個最著名的研究項目，並稱岡布茨研究為迄今為止最具哲學意義的論文。

## 工程應用

由於近似於球體，單單穩態體對精度要求很高，設計製造一個岡布茨所需求的加工精度是驚人的（<0.01％）。但如果拋開均質性這一要求的話，作為一個幾何參考，岡布茨能夠很好地幫助人們找到底部帶重物物體實現自穩定特性的最優形狀。

這激發了由賓夕法尼亞大學的維傑・庫瑪領導的工程師團隊的靈感，他們設計了一種類岡布茨結構的籠子，用於幫助無人機在空中碰撞後保持穩定。

由麻省理工學院和哈佛大學的羅伯特・蘭格領導的團隊設計了一種受岡布茨啟發的膠囊，該膠囊可在胃中釋放胰島素從而代替 1 型糖尿病患者的注射劑。該設計的關鍵在於使膠囊能夠達到胃中的特定位置的特性，該特性是在膠囊的重量分配，形狀設計和自穩定性優化下共同實現的。在論文中，研究者研究了有關岡布茨的論文和烏龜殼的幾何形狀後，通過優化製造了一個輪廓幾乎與岡布茨的正面相同單單穩態膠囊。

在爭奪 2017 年美洲杯帆船賽時，紐西蘭酋長隊開發了一種模擬軟體用以優化其 AC50 雙體船的性能。並決定根據船的所需單單穩態平衡設計需求將為軟體命名為「岡布茨」，以表彰紀念致力於岡布茨形狀開發的相似優化工作。岡布茨軟體正迅速成為所有性能艇的海軍建築師的標準工具。

## 製造

岡布茨嚴格的形位公差極大的限制了它的製造。2006 年夏，第一個岡布茨樣板由三維快速成型技術製造了出來，然而，由於它的加工精度低於所需要求，導致了它經常卡在中間位置而不能恢復到穩定的平衡狀態。後來，通過選用不同的結構材料和使用數控工具機加工，其製造工藝得到了極大的提升。特別地，由於透明（特別是淺色材料）固體材料能更好地表現出其均質性，因此在視覺上更吸引人。目前用於製造岡布茨的材料包括各種金屬、合金和塑料（例如有機玻璃聚甲基丙烯酸甲酯）。除了數控銑削加工之外，還發明了一種特殊的混合技術（鑄造銑削結合）來生產功能強大但質量輕且價格合理的岡布茨模型。
岡布茨模型的平衡特性很容易受到其機械缺陷和表面灰塵的影響。一旦其發生損壞，恢復原始形狀的過程要比重新製造一個複雜得多。雖然從理論上講，平衡特性不應該取決於材料和物體的大小，但實際上，較大和較重的的岡布茨模型更容易在出現缺陷的情況下保持平衡特性。

## 岡布茨模型

2007 年，一系列岡布茨模型被製造了出來，這些模型都被冠以唯一的數字編號 N（N 的取值範圍為 1≤N≤Y，其中 Y 表示當前年份），且每個編號僅被使用一次，需注意的是，岡布茨的製造順序與 N 的順序無關。
最初的岡布茨模型是通過快速成型法製造的，通過使用密度相同的不同材料將其序列號列印在模型內部。現在的岡布茨都是通過數控工具機加工（CNC）製成的，對於每一個岡布茨模型的加工，都需要製造對應的一次性夾具。
在弗拉基米爾・阿諾爾德 70 歲時，多莫科什・加博爾和彼得・瓦爾科尼向其贈送了第一個帶單獨編號的岡布茨模型（岡布茨 001）。該模型隨後被阿諾爾德教授捐贈給了斯捷克洛夫數學研究所展出。
現有的大部分帶編號的岡布茨模型都是私人所有的，很多都是在全球知名機構中被展出。這些模型中的大多數都是通過捐贈計劃到達的其現所在地。

現有兩種不帶序列號的岡布茨模型。一是為中國 2010 年上海世界博覽會會製作的 11 件刻有匈牙利館的徽標的岡布茨作品。二是作為由計算數學基金會每三年頒發一次的史蒂芬・斯馬德數學獎的徽章。

有關每個岡布茨作品的詳細信息，請參見下表。單擊地圖或在線手冊 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）獲取更多信息。

## 藝術

岡布茨啟發了許多藝術家進行創作。

* 由 Ulrike Vahl 執導的屢獲殊榮的短片 Gömböc（2010）描繪了四個與日常挫折和障礙作鬥爭的特立獨行的人，他們都具有百折不饒的精神。
* 由 Márton Szirmai 執導的短片「The Beauty of Thinking」（2012 年）是 GE Focus Forward 電影節的決賽入圍者。它講述了發現岡布茨的故事。
* 丹・理查茲（Dan Richards）在廣受讚譽的小說 Climbing Days（2016）的風景描述中體現了岡布茨獨特的形狀：「在 Montserrat，所有的景觀都是岡布茨形狀的圓頂和柱子。」
* 概念畫家瑞安・甘德舉辦了一個圍繞著自正主題展開的個展，呈現出七個逐漸被黑色火山沙覆蓋的大型岡布茨形狀。
* 作為 Vivien Zhang 繪畫中經常出現的靈感，岡布茨也在世界各地的美術館出現過。
* 2020 年秋天，海牙的 Korzo 劇院和比亞里茨的劇院市政廳演出了法國編舞家 Antonin Comestaz 的單人舞蹈作品《Gömböc》 。

## 媒體

* 岡布茨的發明成為了公眾和媒體的焦點，這重複了 1974 年另一位匈牙利人魯比克・艾爾諾發明魔方時的成功。作為發現岡布茨的表彰，Domokos 和 Várkonyi 被授予了匈牙利功績勳章。紐約時報將其評為 2007 年最有趣的 70 個想法之一。
* 郵票新聞網站顯示，匈牙利於 2010 年 4 月 30 日發布了一版從各個角度展示岡布茨的郵票。翻動郵票冊時，岡布茨模型就仿佛動了起來。這套郵票是和中國 2010 年上海世界博覽會上展出的岡布茨模型一起發售的（3 月 1 日至 10 月 31 日）。Linn's Stamp News 雜誌也進行了報導。
* 岡布茨模型 2009 年 7 月 12 日在英國廣播公司的 QI 系列劇集中和主持人史蒂芬・弗萊一起出現。2020 年 10 月 1 日在美國智力競賽節目危險邊緣中和主持人 Alex Trebek 一起出現。
* 在網際網路劇集 Video Game High School 中，第一季插曲 Any Game In The House 中，角色 Ki Swan 創造了一個兒童遊戲中的擬人化的岡布茨敵人。
* 2018 年 9 月，岡布茨一單面骰子的形式在角色扮演遊戲網絡漫畫 Darths and Droids 中出現。

## 更多

* 不穩定性
* 單穩態多胞體
* 傾覆

## 參考

## 外部連結

* （匈牙利文）（英文）（簡體中文）岡布茨網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* （簡體中文）不倒龜殼球 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）