切比雪夫多项式

**切比雪夫多項式**（Chebyshev polynomials）是與棣莫弗定理有關，以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 通常，第一類切比雪夫多項式以符號 _T_n 表示， 第二類切比雪夫多項式用 _U_n 表示。切比雪夫多項式 _T_n 或 _U_n 代表 _n_ 階多項式。

切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程

　
: $(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

和

　
: $(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0$

相應地，第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆 - 劉維爾微分方程的特殊情形。

## 定義

**第一類切比雪夫多項式**由以下遞推關係確定

　
: $T_{0}(x)=1\,$

　
: $T_{1}(x)=x\,$

　
: $T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

也可以用母函數表示

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

**第二類切比雪夫多項式**由以下遞推關係給出

　
: $U_{0}(x)=1\,$

　
: $U_{1}(x)=2x\,$

　
: $U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

此時母函數為

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.$

## 從三角函數定義

第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定

　
: $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,$

其中 _n_ = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是關於 $\cos \theta \,$ 的 _n_ 次多項式，這個事實可以這麼看： $\cos n\theta \,$ 是: $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,$ 的實部（參見棣莫弗公式），而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含 $\sin \theta \,$ 的項中， $\sin \theta \,$ 都是偶數次的，從而可以表示成 $1-\cos ^{2}\theta \,$ 的冪 。

用顯式來表示

　
: $T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}$

儘管能經常碰到上面的表達式，但如果藉助於複函數 cos (_z_), cosh(_z_) 以及他們的反函數，則有

　
: ${\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

類似，第二類切比雪夫多項式滿足

　
: $U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

## 以佩爾方程定義

切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程

　
: $T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!$

在多項式環 R [_x_] 上的解 (e.g., 見 Demeyer (2007), p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程而得出:

　
: $T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!$

## 遞歸公式

兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞歸關係式中直接得出:

　
: $T_{0}(x)=1$

　
: $U_{-1}(x)=1$

　
: $T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

　
: $U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)$

證明的方式是在下列三角關係式中用 $\cos \vartheta $ 代替 $x$

　
: $T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}$ $\cos((n+1)\vartheta )={}$ $\cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}$ $T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}$ $xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)$

## 正交性

_T_n 和 _U_n 都是區間 [−1,1] 上的正交多項式系.

第一類切比雪夫多項式帶權

　
: ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

即:

　
: $\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.$

可先令 _x=_cos (θ) 利用 _Tn_(cos (θ))=cos (nθ) 便可證明.

類似地，第二類切比雪夫多項式帶權

　
: ${\sqrt {1-x^{2}}}$

即:

　
: $\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}$

其正交化後形成的隨機變量是 Wigner 半圓分布).

## 基本性質

對每個非負整數 $n$ ， $T_{n}(x)$ 和 $U_{n}(x)$ 都為 $n$ 次多項式。 
並且當 $n$ 為偶（奇）數時，它們是關於 $x$ 的偶（奇）函數， 在寫成關於 $x$ 的多項式時只有偶（奇）次項。

 $n\geq 1$ 時， $T_{n}$ 的最高次項係數為 $2^{n-1}$ ， $n=0$ 時係數為 $1$ 。

## 最小零偏差

對 $n\geq 1$ ，在所有最高次項係數為 1 的 $n$ 次多項式中 ， $f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)$ 對零的偏差最小，即它是使得 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上絕對值的最大值最小的多項式。 
其絕對值的最大值為 ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ ， 分別在 $-1$ 、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n-1$ 個極值點上達到 。

## 兩類切比雪夫多項式間的關係

兩類切比雪夫多項式間還有如下關係：

　
: ${\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots $

　
: $T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).$

　
: $T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,$

　
: $T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).$

切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例，後者是雅可比多項式的特例.

 
切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出：

　
: $2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots $

## 例子

前幾個第一類切比雪夫多項式是

　
: $T_{0}(x)=1\,$

　
: $T_{1}(x)=x\,$

　
: $T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

　
: $T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

　
: $T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

　
: $T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

　
: $T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

　
: $T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

　
: $T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

　
: $T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

前幾個第二類切比雪夫多項式是

　
: $U_{0}(x)=1\,$

　
: $U_{1}(x)=2x\,$

　
: $U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

　
: $U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

　
: $U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

　
: $U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

　
: $U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,$

第一類切比雪夫多項式前幾階導數是

　
: $T_{n}'(1)=n^{2}\,$

　
: $T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,$

　
: $T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,$

　
: $T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,$

## 按切比雪夫多項式的展開式

一個 _N_ 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下：

　
: $p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)$

多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw 遞推公式計算。

## 切比雪夫根

兩類的 _n_ 次切比雪夫多項式在區間 [−1,1] 上都有 _n_ 個不同的根，稱為**切比雪夫根**, 有時亦稱做 切比雪夫節點 ，因為是多項式插值時的 _插值點_ . 從三角形式中可看出 _T_n 的 _n_ 個根分別是：

　
: $x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

類似地， _U_n 的 _n_ 個根分別是：

 

　
: $x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.$

## 參看

* 切比雪夫節點
* 切比雪夫濾波器

## 參考

* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. _Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,_ Chapter 22. New York: Dover, 1972.