刘维尔方程

在物理學中，**劉維定理**（Liouville's theorem）是古典統計力學與哈密頓力學中的關鍵定理。該定理斷言相空間的分布函數沿著系統的軌跡是常數 —— 即給定一個系統點，在相空間遊歷過程中，該點鄰近的系統點的密度關於時間是常數。換一種表述，就是共軛相空間裡，一個哈密頓系統的相體積不可壓縮。

它以法國數學家約瑟夫・劉維爾命名。這也是辛拓撲與遍歷論中的有關數學結果。

## 劉維爾方程式

劉維爾方程式描述了相空間分布函數（儘管數學中準確術語是測度，物理學家一般稱為分布）的時間演變。考慮一個動力系統具有正則坐標 $q_{i}$ 與共軛動量 $p_{i}$ ，這裡 $i=1,\dots ,d$ 。則相空間分布 $\rho (p,q)$ 確定了系統在無窮小相空間體積 $d^{d}q\,d^{d}p$ 中出現的機率 $\rho (p,q)\,d^{d}q\,d^{d}p$ 。**劉維爾方程式**（Liouville equation）決定了 $\rho (p,q;t)$ 關於時間 $t$ 的演化：

　
: ${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q^{i}}}{\dot {q}}^{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.\,$

時間導數用點標記，根據這個系統的哈密頓方程式求值。這個方程式說明了相空間中密度的守恆性（該定理得名於約西亞・吉布斯）。劉維定理斷言

　
: 分布函數沿著相空間的任何軌跡是常數。

這個定理的一個簡單證明是觀察到 $\rho $ 的演化由連續性方程式清晰地給出：

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}^{i})}{\partial q^{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.$

即 $(\rho ,\rho {\dot {q}}^{i},\rho {\dot {p}}_{i})$ 是一個守恆流。注意到此式與劉維爾方程式的差是

　
: $\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}^{i}}{\partial q^{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q^{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q^{i}}}\right)=0,$

這裡 $H$ 是哈密頓量，並利用了哈密頓方程式。這就是說，若將相空間中的運動視為系統點的一個流體，注意到相空間中的速度場 $({\dot {p}},{\dot {q}})$ 的散度為零（由哈密頓方程式得出），由連續性方程式得出密度 $d\rho /dt$ 的隨流導數等於零的定理。

另一個證明是考慮通過相空間中的一朵「點雲」的軌跡。直接證明這朵雲沿著一個坐標方向拉伸比如 $p_{i}$ ，則在對應的 $q^{i}$ 方向收縮，從而乘積 $\Delta p_{i}\Delta q^{i}$ 保持不變。

等價地，由諾特定理，守恆流的存在意味著有一個對稱。對稱在時間轉換下不變，而這個對稱的生成元（或諾特荷）是哈密頓量。

## 物理解釋

所期望的粒子總數是分布在相空間上的積分：

　
: $N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q).\,$

習慣上相空間測度有一個正規化因子，但此處將其忽略。在簡單情形，一個非相對論粒子在力場 $\mathbf {F} $ 下在歐幾里得空間運動，具有坐標 $\mathbf {x} $ 與動量 $\mathbf {p} $ ，劉維定理可以寫成

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0.\,$

這不同於符拉索夫方程式，或有時天體力學中的波茲曼方程式。後者有六維相空間，用於描述大量無碰撞粒子在重力或電磁場的影響下的運動。

在古典統計力學中，粒子數 $N$ 非常大（譬如：對一個實驗室規模系統為亞佛加厥常數數量級）。令 $\partial \rho /\partial t=0$ 給出了這個系統的穩定狀態的一個方程式，可用來尋找在一個給定的統計系綜中可達到的微觀態。穩定狀態方程式由 $\rho $ 等於哈密頓量 $H$ 的任何函數滿足：特別地，它由馬克士威 - 波茲曼分布 $\rho \propto e^{-H/kT}$ 滿足，這裡 $T$ 是溫度 $k$ 是波茲曼常數。

另見正則系綜與微正則系綜。

## 其他表述

### 帕松括號

此定理經常用帕松括號表述為

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}\,$

或利用**劉維爾算子**（Liouville operator 或 Liouvillian）

　
: ${\hat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right],\,$

寫成

　
: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\hat {L}}\rho =0.\,$

### 遍歷論

在遍歷論與動力系統中，由目前給出的物理考慮啟發，有相應的結果也稱為劉維定理。在哈密頓力學中，相空間是一個自然賦有一個光滑測度的光滑流形（局部這個測度是 6_n_- 維勒貝格測度）。該定理說這個光滑測度在哈密頓流下不變。更一般地，我們可以描述一個光滑測度在一個流下不變的充分必要條件。哈密頓力學情形便是一個推論。

### 辛幾何

在辛幾何方面，此定理斷言辛結構（2 - 形式，由 $\Delta p_{i}$ 與 $\Delta q_{i}$ 的楔積之和組成）的 d 次冪在其哈密頓演化下的李導數為零。辛結構的 d 次冪就是相空間中上面所說的測度。

事實上，辛結構自身（不僅是 d 次冪）也不變。因此，在這種情形下，辛結構也稱為龐加萊不變量。從而關於龐加萊不變量的定理是劉維定理的推廣。

還可以進一步推廣。在不變哈密頓形式化 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的框架下，不變相空間中的辛結構的存在性定理是關於龐加萊不變量定理的一個深入推廣。

### 量子力學

劉維爾方程式在量子力學中的類比描述了一個混合態的時間演化。正則量子化得出這個定理的一個量子力學版本。這個過程利用哈密頓力學描述古典系統，經常用於產生古典系統的量子類比。古典變量重新解釋為量子算子，而帕松括號用交換子代替。在這種情形，所得方程式是

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],\,$

這裡 ρ 是密度矩陣。

將其應用到一個可觀測量的期望值，相應的方程式由埃倫費斯特定理給出，具有形式

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle ,\,$

這裡 $A$ 是一個可觀測量。注意符號不同，這由算子的穩定性與狀態時間相關之假設得出。

### 劉維定理之破壞

2005 年，有論文發現當 x 與 p 不是辛形式的時候，尤其演化中存在幾何相位，流體密度將可能被壓縮。

## 注釋

* 劉維爾方程式對平衡與非平衡系統都成立。這是非平衡統計力學的基本方程式。它對碰撞系統的逼近稱為波茲曼方程式。
* 劉維爾方程式積分變為漲落定理的證明，由此可推出熱力學第二定律。它也是線性傳播係數（比如切變粘性、熱傳導率或電傳導率）的格林 - 久保關係的推導關鍵部分。
* 事實上任何哈密頓力學，高等統計力學或辛幾何的教材中都會推導劉維定理。

## 參考文獻

* В.И. 阿諾爾德，著。齊民友，譯。古典力學中的數學方法（第 4 版）. 北京：高等教育出版社，2006 年 1 月.