分數

**分數**（英語：Fraction）是用分式（分數式）表達成 ${\frac {a}{b}}$ 的數（ $a,b\in Z,b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 稱為**分母**（Denominator）而 $a$ 稱為**分子**（Numerator），可視為某件事物平均分成 $b$ 份中佔 $a$ 份，讀作「 $b$ 分之 $a$ 」。中間的線稱為**分線**或**分數線**。有時人們會用 $a/b$ 來表示分數。

## 用法

分數有各種不同的用法與意義：

* 兩個整數的比例： ${\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)$ ，這是兩個數量的比較關係。
* 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
* 整數除法： ${\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)$ ，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
* 等分： ${\frac {1}{3}}$ 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction)，參見古埃及分數。 ${\frac {1}{3}}$ 也就是 $3$ 這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

## 分類

**最簡分數（最簡分數）（Irreducible Fraction）**
: 分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如： ${\frac {4}{~{}15~{}}}$

**真分數（Proper Fraction）**
: 除商小於 1、大於 0 的分數，即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如： ${\frac {3}{~{}7~{}}}$

**假分數（Top-heavy/Improper Fraction）**
: 假分數是指除商不小於 1 的分數，即分子等於或大於分母的分數，可寫成帶分數。例如： ${\frac {5}{~{}3~{}}}$ 和 ${\frac {8}{~{}8~{}}}$

**帶分數（**mixed numeral、**Mixed Fractions、Mixed Numbers）**
: 一個整數（whole number）加一個真分數，例如 $a{\frac {b}{c}}$ ，讀作「a 又 c 分之 b」；又例如 $1{\frac {1}{~{}2~{}}}$ ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與 ${\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}$ 等價。

****十進位分數**（decimal fraction）**
: 分母為 $10$ 的次方的分數稱為**十進位分數**，通常使用小數的形式來表達，例如， ${\frac {1}{100}}$ 一般記為 $0.01$ ，也可以百分率簡記為 $1\%$ ，或是以 $10$ 的冪記為 $10^{-2}$ 。

**單位分數**
: 分子為 1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如： ${\frac {1}{~{}99~{}}}$

**古埃及分數（Egyptian fraction）**
: 將分數表達成單位分數之和。例如： ${\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}$

**繁分數**
: 分子和 / 或分母包含了分數的分數，例如 ${\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}$ 。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化，即前面的式子等於 ${\frac {ad}{~{}bc~{}}}$ 。

**連分數**
: 外觀如 $x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分數，其中 $a_{i}$ 是整數。若只有有限個 $a_{i}$ 非零，則連分數是一個分數。

## 分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

### 約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

#### 約分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比 1 大的整數（它們的公因數）。
約分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

前面的數字的分子和分母皆除以三

**擴分**

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比 1 大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}$

前面的數字的分子和分母皆乘以二

**通分**

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分別化為同分母的分數。

### 加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

 * ${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$
 * ${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}$

### 乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

　
: $\quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})$

　
: $={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}$

## 相關話題

* 有理數
* 倒數
* 除以零
* 法里數列
* 連分數
* 分母有理化
* 偶然對消：一種錯誤的約分方式，某些情形下會恰好有正確的結果

## 外部連結

* Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始內容存檔於 2014-10-21）.
* 埃里克・韋斯坦因. Fraction. MathWorld.
* Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始內容存檔於 2015-04-26）.
* Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始內容存檔於 2020-11-07）.
* Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始內容存檔於 2011-10-11）.
* Online program for exact conversion between fractions and decimals
* Online Fractions Calculator with detailed solution
* Fraction Practice （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.