分布理论

數學分析中，**分布**（distribution）是廣義函數的一種，由法國數學家洛朗・許瓦茲首先於二十世紀五十年代引入，因此又稱**許瓦茲分布**（Schwartz distribution）、**許瓦茲廣義函數**（Schwartz generalized function）。分布推廣了普通意義上的函數概念：對於普通意義上不可導甚至不連續的函數，可以具備分布意義上的導數。事實上，任意局部可積的函數都有分布意義上的弱導數。在偏微分方程式的研究中，常常使用分布來表示方程式的廣義解函數，因為很多時候傳統意義上的解函數不存在或難以求出。分布理論在物理學和工程學中都十分有用，因為在應用中常會出現解或初始條件是分布的微分方程式，例如初始條件可能是一個狄拉克 δ 分布。

廣義函數的概念最早由謝爾蓋・索伯列夫在 1935 年提出。1940 年代末，許瓦茲等人開始建立分布理論，首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。

## 基本理念

很多時候，函數是描述某個物件的性質的手段。傳統的函數是將輸入值和輸出值建立對應關係的映射，是從本質上描述物件性質的方法。分布的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論，特別是不確定性原理的發現，使物理學家拋棄了從本質上確定地表述物件的想法，而是將物件的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得「某個粒子的位置」的訊息，是因為使用了某種測量的工具。物件的性質通過測量才得以表現。分布理論發展了這種概念，通過觀察某個函數 $f$ 與其它函數的「相互作用」來刻畫這個函數。具體來說，我們觀察 $f$ 和一群「測量函數」 $\varphi $ 之乘積的積分： $\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x$ 。之所以使用積分作為「觀察」的方式，一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間，（局部）可積分的函數比（局部）可導的函數要「多得多」；另一方面，則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候，我們往往不要求（也無法做到）知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值，而只能通過多次測量，知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度，這種平均值才是測量和使用函數的最常見方式。而積分則是這種「平均值」的數學表現形式。

分布理論的目的在於建立一種比一般的函數更廣泛的「廣義函數」，稱為**分布**，並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函數上去。也就是說，分布理論建立的分布應當滿足幾個基本的要求：

* 連續的函數屬於分布；
* 可微、可積的函數對應的分布應該也能進行微分 / 求原函數操作，而且結果應該也是分布，並且應該對應於原函數的微分 / 原函數；
* 基本的微積分法則適用於分布；
* 存在適當的收斂定理，可以對分布進行極限操作。

對每一個實數值的「測試函數」 $\varphi $ ，將它映射到積分 $\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x$ ，就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為 $f$ 對應的分布。積分 $\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x$ 的存在性取決於函數 $f$ 與 $\varphi $ 的乘積，所以對 $\varphi $ 要求越高，就能對越多的 $f$ 定義對應的分布。分布理論中選取的「測試函數」的集合是緊支撐的函數空間 D (**R**)，也就是滿足以下兩個條件的 **R** 射到 **R** 函數的集合：

1. 擁有任意階的導函數，並且導函數連續，
2. 除了在某一個緊緻集合（一般可以簡化為一個有限區間）以外，函數的取值都是 0.

一般來說，一個分布就定義為 D (**R**) 射到 **R** 的連續線性泛函。一個分布 $T$ （作用在「測試函數」 $\varphi $ 上）的值一般使用類似內積的符號記為 $\langle T,\varphi \rangle $ 。當「測試函數」空間選為 D (**R**) 的時候，只要 $f$ 局部可積，就能定義它對應的分布。一個函數對應的分布通常記為 $T_{f}$ ，以和 $f$ 區分，而它的值就是：

　
: $\langle T_{f},\varphi \rangle =\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x$

對於機率分布函數 $\mathbb {P} $ ，也可以將它定義為分布 $T_{\mathbb {P} }$ 。對給定的一個測試函數 $\varphi $ ，可以定義分布 $T_{\mathbb {P} }$ 作用在 $\varphi $ 上的值是： $\langle T_{\mathbb {P} },\varphi \rangle =\int \varphi (x)\mathbb {P} (\mathrm {d} x).$ 這樣定義下的 $T_{\mathbb {P} }$ 是線性的泛函，所以滿足分布的定義。

除了對普通的函數可以定義分布，對一些普通意義上無法定義的「函數」也能定義出相應的分布。例如 0 點上的狄拉克 δ 函數就能用分布方式定義為：

　
: $\delta _{0}(\varphi )=\varphi (0).$

也就是說它對每一個函數的「效果」是取其 0 點上的值。

## 嚴格定義

接下來，我們定義 **R**n 中開集 **U** 上的實值分布。在細微的調整之後，我們可以定義相應的複值分布，也可以將 **R**n 替換為任何（仿緊）光滑流形。

首先需要定義 **U** 上的檢定函數空間 D (**U**) （即所謂的「測試函數」），定義其上的拓撲和極限。D (**U**) 上的所有連續線性泛函構成的空間就是分布空間。

### 檢定函數空間

函數 $\varphi $ : **U** → **R** 具有緊支撐集，若且唯若存在 **U** 的緊子集 **K**，使得對任意 **U**\**K** 中的元素 $x$ ，都有 $\varphi (x)=0$ 。

定義 D (**U**) 為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函數（也就是所謂的隆起函數）的集合，則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以通過定義序列的極限而定義。具體如下：

　
: 一列函數 $\left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ 收斂到某個 $\varphi _{\infty }\in D(\mathbf {U} )$ ，若且唯若其滿足以下兩條性質：
1. 存在緊集 $\mathbf {K} \subset \mathbf {U} $ 包含所有 $\varphi _{k}$ 的支撐集：

　
: $\bigcup _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset \mathbf {K} \subset \mathbf {U} .$
2. 對任意多重指標 $\alpha $ , 偏微分序列 $\left(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ 都均勻收斂到 $\partial ^{\alpha }\varphi _{\infty }.$

在如此定義下的拓撲中，D (**U**) 是一個完備、局部凸的拓撲向量空間，且滿足海涅－鮑萊耳定理，但不是可度量的空間（不同胚於任何的度量空間）。而 D (**U**) 上的泛函 $u$ 連續，若且唯若對任意收斂到零的 $\left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ ，都有 $\lim _{k\to \infty }u(\varphi _{k})=0.$

### 分布

**U** 上的**分布**定義為 D (**U**) 上的連續線性泛函。也就是說，如果一個實線性泛函 $S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} $ （或複線性泛函 $S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} $ ）滿足連續性，即對 D (**U**) 中任意的收斂函數列 $\left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ ，都有

　
: $\lim _{n\to \infty }S(\varphi _{n})=S\left(\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}\right)$

那麼就稱此泛函為 **U** 上的一個分布。

另一個更具可操作性的定義是，如果 D (**U**) 上的一個實線性泛函 $S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} $ （或複線性泛函 $S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} $ ）滿足以下的條件：

　
: 對任意的緊子集 $K\in \mathbf {U} $ ，都存在 $C_{K}>0$ 和 $p_{K}\in \mathbb {N} $ ，使得對任意支撐集在 $\operatorname {supp} (\varphi )\subset K$ 的檢定函數 $\varphi $ ，都有

　
: $\langle S,\varphi \rangle \leqslant C_{K}\max _{|\alpha |\leqslant p_{K}}\sup _{x\in K}\vert \partial ^{\alpha }\varphi (x)\vert .$

就稱之為 **U** 上的一個分布。如果存在的正整數 $p$ 使得對任意的 $K\in \mathbf {U} $ ，都有 $p_{K}\leqslant p$ ，那麼最小的這樣的 $p$ 稱為這個分布的階數（order），稱 $S$ 為一個 $p$ 階分布。

**U** 上的分布集合記為 D'(**U**)，是 D (**U**) 的拓撲對偶空間。D'(**U**) 中的元素 $S$ 和 D (**U**) 中的元素 $\varphi $ 之間的對偶關係可以用尖括號表示：

　
: $\mathrm {D} '(\mathbf {U} )\times \mathrm {D} (\mathbf {U} )\ni (S,\varphi )\mapsto \langle S,\varphi \rangle \in \mathbf {R} .$

在弱＊拓撲下，D'(**U**) 為一個局部凸的拓撲向量空間。其中，弱＊收斂的定義為：D'(**U**) 中序列 $\left(S_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ 弱＊收斂到 $S$ 若且唯若對於任意的檢定函數 $\varphi $ ，有

　
: $\langle S_{k},\varphi \rangle {\xrightarrow[{}]{k\to \infty }}\langle S,\varphi \rangle $

### 函數對應的分布

一個局部可積函數 $f:\quad \mathbf {U} \rightarrow \mathbf {R} $ 是指在 **U** 的任意緊子集上都勒貝格可積的函數。局部可積函數包括了所有的連續函數和所有的 Lp 可積函數。在以上定義的 D (**U**) 的拓撲中，每個局部可積的函數都對應著一個 D (**U**) 上的連續線性泛函，也就是 D'(**U**) 中的一個元素，記作 $T_{f}$ 。線性泛函 $T_{f}$ 作用在 D (**U**) 中任一個檢定函數 $\varphi $ 上的取值是：

　
: $\langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.$

一般約定，在不至於引起混淆的時候，可以將 $T_{f}$ 和 $f$ 等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作：

　
: $\langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.$

可以證明，兩個局部可積函數 $f$ 和 $g$ 對應的分布相同，若且唯若它們幾乎處處相等。與函數的分布類似，**U** 上的每個 Radon 測度 $\mu $ 都有一個對應的分布 $T_{\mu }$ ，定義為：

　
: $\langle T_{\mu },\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }\varphi \,\mathrm {d} \mu .$

與函數的對應分布一樣，測度對應的分布在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來，比如將上式寫成 $\scriptstyle {\langle \mu ,\varphi \rangle }$ 。

可以注意到，檢定函數也是局部可積的，所以也有對應的分布。這些分布在 D'(**U**) 上是稠密的（對於以上定義的拓撲來說）。也就是說，任意一個分布 $S\in D\prime (\mathbf {U} )$ 都是某個檢定函數（分布）序列 $\left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ 收斂的極限。對任意的檢定函數 $\phi \in D(\mathbf {U} )$ ，都有：

　
: $\langle \varphi _{n},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle .\;$

## 參見

* 偽微分算子
* 里斯表示定理
* 模糊拓撲
* 弱解

## 參考來源

* Benedetto, J.J., Harmonic Analysis and Applications, CRC Press, 1997 .
* Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E., Generalized functions **1–5**, Academic Press, 1966–1968 .
* Hörmander, L., The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft. **256**, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 .
* Kleinert, H.; Chervyakov, A., Rules for integrals over products of distributions from coordinate independence of path integrals (PDF), Europ. Phys. J., 2001, **C 19** (4): 743–747 [2012-07-14], Bibcode:2001EPJC...19..743K, doi:10.1007/s100520100600, （原始內容存檔 (PDF) 於 2008-04-08） .
* Kleinert, H.; Chervyakov, A., Coordinate Independence of Quantum-Mechanical Path Integrals (PDF), Phys. Lett., 2000, **A 269**: 63 [2012-07-14], doi:10.1016/S0375-9601(00)00475-8, （原始內容存檔 (PDF) 於 2008-04-08） .
* Rudin, W., Functional Analysis 2nd, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
* Schwartz, L., Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions, C.R.Acad. Sci. Paris, 1954, **239**: 847–848 .
* Schwartz, L., Théorie des distributions **1–2**, Hermann, 1950–1951 .
* Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971, ISBN 0-691-08078-X .
* Strichartz, R., A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994, ISBN 0-8493-8273-4 .
* Trèves, François, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press: 126 ff, 1967 .

## 拓展閱讀

* M. J. Lighthill (1959). _Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions_. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
* H. Kleinert, _Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets_, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
* V.S. Vladimirov (2002). _Methods of the theory of generalized functions_. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
* Vladimirov, V.S., Generalized function, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Vladimirov, V.S., Generalized functions, space of, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Vladimirov, V.S., Generalized function, derivative of a, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Vladimirov, V.S., Generalized functions, product of, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Oberguggenberger, Michael, Generalized function algebras, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .