动能定理

**功**（英語：work），也叫**機械功**，是物理學中表示力對位移的累積的物理量，指從一種物理系統到另一種物理系統的能量轉變，尤其是指通過使物體朝向力的方向移動的力的作用下能量的轉移。與機械能相似的是，功也是純量，國際單位制單位為焦耳。

「功」一詞最初是法國數學家賈斯帕 - 古斯塔夫・科里奧利創造的。

由動能定理，若一個外力作用於一物體使之動能從 _Ek0_ 增至 _Ek_，那麼，此力所作的機械功為：

　
: $W=\Delta E_{\rm {k}}=E_{\rm {k}}-E_{\mathrm {k} 0}={\tfrac {1}{2}}m(v^{2}-v_{0}^{2})\,\!$

其中 _m_ 是物體的質量，_v_ 是物體的速度。

機械功就是力與位移的內積：

　
: $W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}$

若力與位移的夾角小於直角，則機械功為正，亦稱為力作正功。若力與位移的夾角大於直角，則機械功為負，或力作負功，或物體克服力作功。

若力的方向與位移方向垂直，則此力不作功：

　
: $W=0$

## 簡介

即使存在力，也可能沒有作功。例如，在等速率圓周運動中，向心力沒有作功，因為做圓周運動的物體的動能沒有發生變化。同樣的，桌上的一本書，儘管桌對書有支持力，但因沒有位移而沒有作功。

## 單位

國際單位制中功的單位為焦耳（J）。焦耳被定義為用 1 牛頓的力對一物體使其發生 1 米的位移所作的機械功的大小。因次相同的單位牛・米有時也使用，但是一般牛・米用於力矩，使其跟功和能區別開。

非國際單位制單位包括爾格、英尺・磅、千瓦時（kW・h）、大氣壓力、馬力時（HP・h）。而由於具有相同的物理量─熱能，偶爾會見到以熱量熱能形式表示的測量單位，如：卡路里（cal）、BTU 等。

## 功與能

功與能息息相關，根據系統能量的守恆，內部總能量的變化等於添加的熱能加上環境對系統所作的功。見熱力學第一定律。

$$
\mathrm {d} E=\delta Q+\delta W
$$

### 只有機械能時的情況

1. 保守力作功使「存」在物體中的位能釋放出來，亦即**保守力作功等於負的位能變化**：

$$
W=-\Delta U
$$

2. 非保守力作功時，**若有保守力作負功則優先化為位能，剩下的功才化為物體的動能**，即**非保守力作功等於總力學能（動能 + 位能）變化**：

$$
W=\Delta E=\Delta E_{\rm {k}}+\Delta U
$$

3. 綜合以上兩點，一物體所受的淨力包含了保守力與非保守力，非保守力使總力學能變，而保守力將之部份化為位能，二者相加，即**淨力作功等於動能變化**：

$$
W=\Delta E_{\rm {k}}
$$

根據這些公式證明功是與作用力相關的能量，所以作功是能被測量的，是一種具有物理單位的能量。

上面所討論的作功、能量原理也適用於非機械能，例如電器和能源等，其原理是相同的。

## 約束力

約束力決定了系統中物件的位移，將其限制在範圍內（以斜面加重力為例，當物體受到無法再伸長的緊繩約束使其不能再下滑，物體就會_卡_在斜面上）。它消除了在該方向上所有的位移，即物體平行此力的速度被約束為 0，因此**約束力不對系統作功**。

例如：用一根繩子系上一個小球作等速率圓周運動，小球會受到來自繩子，方向指向圓心的一個向心力。這個力的方向和球速度的方向垂直，所以這個力不作功（W=0）。又如桌上有一本書，施加外力會使書在桌面上移動。如果再對書施加一個垂直的力（實際上書受到的重力和支持力就屬於這個力），和其欲移動之方向垂直，則此約束力（施加的垂直力）不作功。

磁場中的帶電粒子受到磁力（勞侖茲力）的大小為 F = q**v×B**，其中 q 為電荷，v 是粒子速度，而 B 為磁場強度。外積結果恆垂直於兩原向量，因此 F⊥v。而兩垂直向量的內積恆零，因此磁力作的功 W = F・v = 0。磁力可改變此粒子運動的方向，但是永遠無法改變運動速度（也就是動能）。

## 數學計算

對於一移動的物體而言，作功量 / 時間可以從距離 / 時間（即速度 $v$ ）來計算。因此，在任何時刻，力作功的功率（焦耳 / 秒、瓦），其值為力的純量積（矢量）和作用點上的速度矢量。力的純量積和速度被歸類為瞬時功率。

而正如速度可能會隨著時間的推移以獲得更長的距離，同一條路徑上的總功率也同樣是作用點沿著同一條路徑上之瞬時功率的時間積分的總和。

功是指質點受外力作用位移而產生的量，當質點移動時，它沿著曲線 $X$ 和速度 $v$ 在所有的時間 $t$ 。少量的功 $\delta W$ 發生在瞬時時間 $\mathrm {d} t$ 能夠寫成：

　
: $\delta W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t$

其中 $\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} $ 是在 $\mathrm {d} t$ 內的瞬時功率，這些少量功的總和超過該質點運動位移所產生的功量。

　
: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} $

其中 $C$ 的位移是從 $\mathbf {x} (t_{1})$ 到 $\mathbf {x} (t_{2})$ ，計算質點位移的積分。

如果力的方向總是沿著這條線，力的大小為 $F$ ，那麼此積分可簡化為：

　
: $W=\int _{C}F\,\mathrm {d} s$

其中 $s$ 是沿著直線的位移，假設 $F$ 固定，且沿著此直線，則此積分可進一步簡化成：

　
: $W=\int _{C}F\,\mathrm {d} s=F\int _{C}\mathrm {d} s=Fs$

其中 $s$ 是質點沿著直線前進的距離。

此計算可歸納為恆定力並非沿著線而是沿著質點。在此情況下內積 $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =F\cos \theta \,\mathrm {d} s$ ，其中 $\theta $ 是力矢量和運動方向之間的角度。即：

　
: $W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Fs\cos \theta $

一般常見的情況，施加的力和速度矢量對物體成 $90^{\circ }$ （向心力朝下物體繞一圓圈運動），由於 $\cos 90^{\circ }=0$ ，所以不作功。因此可以延伸至重力對於星球在圓形軌道上運動不作功（此為理想情況，一般情況下軌道略呈橢圓形）。

此外物體作等速率圓周運動受到機械外力作用時，作的功也為 0，就像在一理想情況之無摩擦力的離心機中作等速率圓周運動一般。

計算功在時間和力作用在一直線路徑上的數值只適用在最簡單的情況下，如上文所述。如果力會變化，或物體沿曲線方向移動，物體可能轉動甚至並非剛性物體，那麼其所作的功只和作用力的角度、路徑有關，並且只有部分的力平行在作用點上形成的速度才作功
（相同方向為正，反方向為負值），此處的力可以被描述為純量或是切線分量的純量。（ $F\cos \theta $ ，其中 $\theta $ 是力和速度之間的夾角）。

至於功最普遍的定義如下：力作功是其沿著作用點上的路徑之切線分量的純量也就是線性積分。

### 轉矩和轉動

轉矩是從相等但方向相反的力作用於剛性體上兩個不同的點所形成。這些力總和為零，但它會對物體影響形成轉矩 **Τ**，計算作功形成的轉矩公式為：

　
: $\delta W=\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}\delta t$ ，其中 **T.ω** 是作用在時間點 δ_t_ 上。這些少量的功之和大於剛性體運動軌跡所產生的功。

　
: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt$ ，此積分是計算剛體沿軌跡運動與時間變化的角速度 ω，可以說與運動的路徑息息相關。

如果角速度矢量保持恆定的方向，那麼可以寫成：

　
: ${\vec {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} $ ，其中 φ 為轉動角度，單位矢量 **S**。在此情況下，功的轉矩可寫成：

　
: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} d\phi $ ，其中 _C_ 是從 _φ（t1）_ 到 _φ（t2）_ 的運動軌跡。此積分取決於 _φ（t）_ 的值，因此與路徑相關。

如果轉矩 **T** 與角速度矢量一致，那麼可寫成：

　
: $\mathbf {T} =\tau \mathbf {S} $

而且若轉矩和角速度是恆定的，那麼功可寫成這個形式：

　
: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1})$ 。

此結果可以更簡單的理解，如圖所示。這股力將通過圓弧的距離 _s=rφ_，所作的功即是：

　
: $W=Fs=Fr\phi $ ，導出轉矩 _τ=Fr_，得：

　
: $W=Fr\phi =\tau \phi $

以上，請注意只有轉矩在角速度矢量方向的部分才有作功。

### 力與位移

力與位移都是矢量。功是力與位移的內積，為純量。

　
: $W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}=Fd\cos \theta $            （1）

其中 $\theta $ 是力矢量和位移矢量的夾角。

為使此式正確，力須為常矢量，路徑須為一條直線。

如力隨時間變化或路徑不為直線，上式不再適用，此時需使用曲線積分。故功的一般公式為：

　
: $W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}$            （2）

其中

　
: $\textstyle _{C}$ 是路徑

　
: ${\vec {F}}$ 是力矢量

　
: ${\vec {x}}$ 是位移矢量

表達式 $\delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$ 是一個非恰當微分， $\textstyle {W_{C}}$ 與路徑有關，求微分後不能得到 ${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}$ 。

非零力可以不作功，這一點與衝量不同。衝量是力對時間的累積。衝量是矢量，所以圓周運動時雖向心力不作功，但產生了對物體的非零衝量。

### 力矩

力矩所作功可由下式計算得到：

　
: $W=\tau \theta \ $

其中 $\tau $ 為力矩。

## 功與動能

功動能定理（The work–kinetic energy theorem）或稱功能定理（The work–energy theorem）、功能原理（The work–energy principle），意指淨力作用在物質上（淨力作功）的功等於物質的動能變化量

淨力 _W_ 在質點上所作的功等於其動能的變化量 $E_{k}$ ,

　
: $W=\Delta E_{\rm {k}}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}$ ,

 $v_{1}$ and $v_{2}$ 分別是質點的初速度和末速度，m 則是質量。

### 概述

功與能的原理由牛頓第二運動定律推導，其中包括作用在質點上的淨力和約束反力對質點造成的位移量。

對於勻變速直線運動的情形，推導如下式。

　
: $W=Fd=mad=ma\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}\right)={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}$ ， $d={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}$ ， $v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2ad$

一般情況下的推導則如下式。

　
: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \over dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$ 。

## 注釋

## 參考

* Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th ed. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics 3rd ed., extended version. W. H. Freeman. 1991. ISBN 0-87901-432-6.