分数小波变换

**分數小波變換**（Fractional wavelet transform，縮寫：FRWT）是傳統小波變換（Wavelet transform）的推廣。該變換的提出改進了了小波變換和分數傅立葉變換的局限性。分數小波變換繼承了傳統小波變換的多解析度特性，同時，類似於分數傅立葉變換，可以表示分數階域的信號特徵。

## 定義

分數傅立葉變換（FRFT）是傅立葉變換（FT）的推廣，它在光學、通信、信號和圖像處理方面是一個強有力的分析工具。然而，由於分數傅立葉變換使用全局核函數，它只強調了存在某些成分，而沒有說明這些成分的時間定位。因此，對非平穩信號進行 FRFT 頻譜分析時需要在時間 - FRFT 域進行聯合分析。

對 FRFT 的一個修改時短時分數傅立葉變換（STFRFT）。STFRFT 的思想時使用具有時間局域性的窗函數將信號分段，然後對每一段進行 FRFT 頻譜分析。STFRFT 可以在時間 - FRFT 域進行聯合分析，然而，由於窗函數的長度是預先固定的，STFRFT 並不能在時間域和 FRFT 域均提供良好的解析度。換而言之，STFRFT 的解析度受到不確定性原理的約束，即窄窗具有較好的時間解析度和較差的 FRFT 譜解析度；寬窗具有較好的 FRFT 譜解析度和較差的時間解析度。然而多數實際信號高頻成分持續時間較短，而低頻成分持續時間較長。

Mendlovic 和 David 推廣了小波變換，提出了分數小波變換（FRWT）。

FRWT 被定義為 FRFT 和小波變換（WT）的級聯，即：

$$
{\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}
$$

其中，變換的核函數 ${\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)$ 為：

$$
{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}
$$

其中 $A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}$ ， $F_{\alpha }(u)$ 表示 $f(t)$ 的 FRFT。然而，由於時間信號在變換中丟失，這並不是時間 - FRFT 聯合分布。

此外，Prasad 和 Mahato 將信號和母小波的 FRFT 來表達信號的 WT，並稱這種表達為 FRWT。即：

$$
{\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}
$$

其中 $F(u\sin \alpha )$ 和 $\Psi (u\sin \alpha )$ 表示 $f(t)$ 和 $\psi (t)$ 的傅立葉變換（參數縮放了 $\sin \alpha $ 倍）。顯然，這種所謂的 FRWT 與普通 WT 是相同的。

最近， Shi 等人通過引入與 FRFT 有關的分數卷積提出了新的關於 FRWT 的定義。任意平方可積函數 $f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )$ 的 FRFT 定義為：

$$
W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt
$$

其中 $\psi _{\alpha ,a,b}(t)$ 是對母小波 $\psi (t)$ 的 Chirp 調製和連續仿射變換，即：

$$
\psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }
$$

其中， $a\in \mathbb {R^{+}} $ 是尺度參數； $b\in \mathbb {R} $ 是位移參數。對應的逆 FRWT 變換為：

$$
f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db
$$

其中 $C_{\psi }$ 是與選用的小波相關的常數，該常數決定了重建能否進行，即容許性條件（Admissibility condition）：

$$
C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty
$$

其中 $\Psi (\Omega )$ 表示 $\psi (t)$ 的傅立葉變換。容許性條件表明 $\Psi (0)=0$ ，即 $\int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0$ 。因此，連續分數小波必須表現出震盪的性質，並在分數傅立葉域中體現出帶通濾波器的特性。從這點來看， $f(t)$ 的 FRWT 變換可以用 FRFT 域來表示，即：

$$
W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du
$$

其中 $F_{\alpha }(u)$ 表示對 $f(t)$ 的 FRFT， $\Psi (u\csc \alpha )$ 表示 $\psi (t)$ 的傅立葉變換（參數縮放了 $\csc \alpha $ 倍）。當 $\alpha ={\pi }/{2}$ 時，FRWT 退化為傳統的小波變換。文獻對此類 FRWT 進行了深入的討論。

## 分數小波變換的多分辨分析（MRA）

該文概述了分數小波變換及其多分辨分析。

## 參考文獻