分体拓扑学

在形式本體論（英語：formal ontology）領域（形上學的一個分支）以及在計算機與信息科學本體領域，**分體拓撲學**（英語：**mereotopology**）是一種關於整體、部分、部分之部分以及部分間邊界之間關係的，用於具體表達分體論及拓撲學概念的一階理論（英語：first-order theory）。

## 歷史與研究動機

分體拓撲學開始於阿爾弗雷德・諾思・懷特黑德的理論，在 1916 年至 1929 年間闡述於他出版的一些著作及文章。懷特黑德的早期研究在尼彭 (Kneebone)(1963 年: chpt. 13.5) 與西門 (Simons)(1987 年: 2.9.1) 的著作中均有討論到。懷特黑德的理論在 1929 年出版的書_歷程與實在 (Process and Reality)_ 中擴大討論到整體與部分的關係，這是夾雜著以諸如切點及連通空間的拓撲觀念一起來討論。儘管懷特黑德有如數學家版的洞察力，他的理論仍是不夠充分且不是很正式的立論，甚至頗有瑕疵。經由證明懷特黑德理論能夠被充分地正式化、且作一些訂正，就此克拉克 (Clarke)(1981 年，1985 年) 確立了現代化的分體拓撲學。 克拉克與懷特黑德的理論在賽門 (Simons)(1987 年: 2.10.2) 及盧卡斯 (Lucas)(2000 年: chpt. 10) 的書上都有討論到。懷特黑德無點幾何學入門觀點包含兩項現代懷特黑德理論的論述，因於基安吉阿卡茅・葛拉 (Giangiacomo Gerla) 的論說，理論上每項不同的論點將在下一章節中陳述說明。

雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於邏輯學家與理論計算機科學家。盧卡斯 (2000 年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力 (1999 年: chpts. 4,5) 論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過一階邏輯的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔 (Cohn) 及瓦力 (Varzi)(2003 年) 的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯 (Roeper)(1997 年) 的著作。關於懷特黑德無點幾何學的數學論述，參見葛拉 (Gerla)(1995 年) 的著述。

巴力・史密斯 (Barry Smith)(1996 年)、安東尼・孔 (Anthony Cohn) 及共同作者、再則瓦力 (Varzi) 單獨個人與其他人，他們所有人都證明分體拓撲學能夠用在形式本體論與本體論，藉此達到正式化關連的作用，諸如在切點、連通空間、邊界、內部、孔洞 (hole) 等等上的應用。

## 卡塞迪與瓦力較優法

卡塞迪與瓦力 (1999 年: chpt.4) 闡述種種的分體論理論於一致的標記法上。這一章節闡述了一些巢狀理論，而這些巢狀理論在 **GEMTC** 的較優理論裡也已發展到頂點了，接著咱們緊跟著他們的解說來走。在 **GEMTC** 的分體拓撲闡述中，有部分為 **GEM** 的傳統理論。卡塞迪與瓦力也沒有說到是否 **GEMTC** 的模型論包含到任何傳統的拓撲空間。

我們以一些論域觀點作為起始論述，它們的元素稱為個體 (即一個分體論同義詞表示 "個體的計算")。卡塞迪與瓦力較偏好限制本體論至實體物件，不過其他人就任意地應用分體拓撲理論來合理化幾何圖形與事件，並藉由提出人工智慧的研究工作來解決問題。

使用一個大寫的拉丁字母來定義一個二元關係及謂詞變量 (predicate)，而謂詞變量的字母關係到一階邏輯的關係。從拉丁字母群 (A-Z) 的後段取用小寫字母來定義變量範圍，且及於整個定義域；而從字母群的初始段取用的小寫字母就用來作為任意個體的名稱。假如以一公式以原子公式表示再接著邏輯雙如言，因此邏輯雙如言右邊的次公式表為原子公式的定義，他們的變量就為非約束形式。否則，變數不是外顯性的量化而是內隱性的全稱量化。底下所提的公理 **Cn** 系列對應到卡塞迪與瓦力 (1999 年: chpt. 4) 著述里的公理 **C.n** 系列。

咱們從拓撲的基本理論談起，如二元關係的_連接_特性；基本原子公式 _Cxy_ 表示 "_x_ 是連接到 _y_"。連結是被控制著，至少，是經由這些公理來達成：

**C1**. $\ Cxx.$ (自反關係)

**C2**. $Cxy\rightarrow Cyx.$ (對稱)

現在假定二元關係為 _E_，定義為：

$$
Exy\leftrightarrow [Czx\rightarrow Czy].
$$

_Exy_ 讀為 "_y_ 包圍 _x_" 且也全然為拓撲關係。而 **C1-2** 的表達結果即 _E_ 是自反關係及傳遞關係，因此亦是預序關係。假如 _E_ 也假定為外延公理，以致於：

$$
(Exa\leftrightarrow Exb)\leftrightarrow (a=b),
$$

接著 _E_ 被證明為反對稱關係且因此變成為一偏序關係。在區域內，標記為 _xKy_，為懷特黑德理論 (1919 年，1925 年) 上的單一最初關係，且為分體拓撲學的起始點。

令_子集_(parthood) 為主要分體論定義上最初的二元關係，且令原子公式 _Pxy_ 定義作 "_x_ 是 _y_ 的一部分 "。咱們假設 _P_ 為一偏序關係。稱其為結果的最簡化分體論 **M**。

假如 _x_ 為 _y_ 的一部分，我們假定 _y_ 包圍 _x_：

**C3**. $\ Pxy\rightarrow Exy.$

**C3** 精巧的連接分體論這個部分到拓撲學的範圍內。

令 _O_ 表示為這個分體論_重覆_的二元關係，定義為：

$$
Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land \ Pzy].
$$

令 _Oxy_ 表示為 "_x_ 與 _y_ 重覆 "，再著手進行 _O_ 的處理，**C3** 的結果為：

$$
Oxy\rightarrow Cxy.
$$

要注意到逆命題 (converse) 是不需要一直堅持著。儘管情況顯示重覆是需要連結的，然而連結的情況是反而是不需要重覆的。假如不是這種情況，拓撲學不會僅是一個分體論模式 (這兒 "重覆" 總是表示為原來的或是定義好的兩種情況之一)。

基礎分體拓撲學 (**MT**) 即表示這個理論含有最初的 _C_ 與 _P_，定義的 _E_ 與 _O_，及公理 **C1-3**，而這些公理可以用來確定 _P_ 即是偏序關係。在 **MT** 中以標準的外延公理分體論 **GEM** 來替代 **M** 產生 **GEMT** 理論.

令 _IPxy_ 表示為 "_x_ 是 _y_ 內之一部分 "，_IP_ 定義為：

$$
IPxy\leftrightarrow (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy)).
$$

令 σ_x_ φ(_x_) 定義為所有在定義域滿足 φ(_x_) 之分體邏輯和 (合併)。σ 為一約束變量前綴 (prefix) 算子。**GEM** 的公理假設 φ(_x_) 是一個一階邏輯則這個和就存在著。根據現成的 σ 及 _IP_ 關係的條件，咱們能定義 _x_ 內部結構， $\mathbf {i} x,$ 而這是 _x_ 所有的內部部分 _z_ 分體之和，或則：

$$
\mathbf {i} x\leftrightarrow \sigma z[IPzx].
$$

這個定義出兩個簡單結果為：

$$
\mathbf {i} W\leftrightarrow W,
$$

這兒 _W_ 表全體的個體部分，且

**C5**. $\ P(\mathbf {i} x)x.$ (子集)

算子 **i** 含有超過兩個公理屬性：

**C6**. $\mathbf {i} (\mathbf {i} x)\leftrightarrow \mathbf {i} x.$ (等冪)

**C7**. $\mathbf {i} (x\times y)\leftrightarrow \mathbf {i} x\times \mathbf {i} y,$

而 _a_×_b_ 為 _a_ 與 _b_ 的分體乘積，在 _Oab_ 不成立時並不定義。**i** 分散在乘積里。

現在看得出來，對於拓撲學的內部算子而言 **i** 為同構。也因此 **i** 的對偶性 (duality)、拓撲閉包算子 **c**，以 **i** 的觀點可以被定義出來，且卡齊米日・庫拉托夫斯基公理對 **c** 而言是一些定理。同樣地，已知 **c** 的公理是類比於 **C5-7**，**i** 依 **c** 可以被定義，且 **C5-7** 可以成為定理。將 **C5-7** 加進 **GEMT** 而產生卡塞迪與瓦力較優分體拓撲理論，**GEMTC**。

_x_ 為_自我連接_，假如它滿足下列謂語變量邏輯：

$$
SCx\leftrightarrow ((Owx\leftrightarrow (Owy\lor Owz))\rightarrow Cyz).
$$

要注意到在定義上 **MT** 不但是單獨、且為充分之最原始的及有定義的謂語變數。謂語變數 _SC_ 可以正式成立需要的條件、是基於所給予的懷特黑德 ' 的_歷程與實在_書中所述：兩個個體之分體邏輯和是能夠存在：他們也必須是連結的。正式定義為：

**C8**. $Cxy\rightarrow \exists z[SCz\land Ozx\land (Pwz\rightarrow (Owx\lor Owy)).$

給予一些分體拓撲 **X**，加 **C8** 到 **X** 結果產生出卡塞迪與瓦力所稱的 **X** 的_懷特黑德衍伸式_，表記為 **WX**。因此這個定理為 **WGEMTC**，它的公理為 **C1-8**。

**C8** 的逆向為 **GEMTC** 定理。因此，已知一 **GEMTC** 的公理，假如 _O_ 及 _SC_ 視為起初的謂語變量，則 _C_ 為一已定義的謂語變量。

假如主要的分體論是沒有原子公式且比 **GEM** 來的弱，這公理確定是缺少原子公式 (**P9** 出於 "卡塞迪與瓦力 1999" 的論述) 那就可以被 **C9** 替代，如此則可以設想沒有一個個體有拓撲邊界：

**C9**. $\forall x\exists y[Pyx\land (Czy\rightarrow Ozx)\land \lnot (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy))].$

當定義域包含有幾何圖形時，則邊界值可以是點、曲線，或面。考慮到其它的本體論時、邊界值能夠代表什麼意思，討論起來不是一件簡單的事情，在卡塞迪與瓦力 (1999 年: chpt. 5) 的著作裡有討論到這些問題。

## 參見

* 分體論
* 無點拓撲學
* 點集拓撲學
* 拓撲學
* 拓撲空間

## 註釋

## 參考資料及延伸閱讀

## 外部連結