动量定理

在古典力學裏，**動量**（momentum，**p**）被量化為物體的質量和速度的乘積（ $\mathbf {p} =m\mathbf {v} .$ ）。例如，一輛快速移動的重型卡車擁有很大的動量。若要使這重型卡車從零速度加速到移動速度，則需要使到很大的作用力；若要使重型卡車從移動速度減速到零，則也需要使到很大的作用力；若卡車輕一點或移動速度慢一點，則它的動量也會小一點。

動量在國際單位制中的單位為 kg・m/s。有關動量的更精確的量度的內容，請參見本頁的動量的現代定義部分。

一般而言，一個物體的動量指的是這個物體在它運動方向上保持運動的趨勢。動量實際上是牛頓第一定律的一個推論。動量是個向量，其方向與速度方向相同。動量同時也是一個守恆量，這表示為在一個封閉系統內動量的總和不可改變。在古典力學中，動量守恆暗含在牛頓定律中，但在狹義相對論中依然成立，（廣義）動量在電動力學、量子力學、量子場論、廣義相對論中也成立。

勒內・笛卡兒認為宇宙中總的「運動的量」是保持守恆的，這裡所說的「運動的量」被理解為「物體大小和速度的乘積」—— 但這不宜被解讀為現代動量定律的表達方式，因為笛卡爾並沒有把「質量」這個概念與物體「重量」和「大小」之間的關係區分開來，更重要的是他認為速率（純量）而不是速度（向量）是守恆的。因此對於笛卡兒來說：一個移動的物體從另一個表面彈回來的時候，該物體的方向發生了改變但速率沒有發生改變，運動的量應該沒有發生改變。

## 古典力學中的動量

物體在任何一個參考系中運動時，它都具有在_該參考系_中的動量。需要注意的是，動量是一個參考系決定量。也就是說，同一個物體在一個參考系中具有確定的動量，但在另一個參考系中卻有可能具有不同的動量。

物體動量的數值取決於兩個物理量的數值：運動物體在參考系中的質量與速度。在物理學中，動量以小寫的 $\mathbf {p} $ （黑體代表 **$\mathbf {p} $** 是一個向量）表示，動量的定義如下：

　
: $\mathbf {p} =m\mathbf {v} $

動量對時間的一階導數的定義如下：

　
: ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+v{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$

其中 **p** 為動量，t 為時間，d 為微分算符。

當物體在運動中質量不變的情形下， ${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=0$ ，此時，可以將動量對時間的一階導數簡寫作

　
: ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}$

一個物體的速度包括了該物體的速率與運動方向。因為動量由速度決定，所以動量也具有數量與方向，是一個空間向量。例如，要表示出 5 kg 的保齡球的動量的話，可以以它有以 2m/s 的速率向西運動的狀態來說明；但是，只認為該保齡球具有 10 kg・m/s 的動量的想法是不全面的，因為沒有表示出它的運動方向。

### 定理

**動量定理**指出：

$$
\sum \mathbf {I} =\Delta \mathbf {p}
$$

### 推導

設一個質量為 m 的物體，初速度為 v，那麼初動量為 p=mv, 在淨力 F 的作用下，經過一段時間 t 速度變為 $v^{'}$ ，末動量則變為 $p^{'}=mv^{'}$ 。物體的加速度為 $a={\frac {v^{'}-v}{t}}$ 。由牛頓第二定律 $F=ma={\frac {mv^{'}-mv}{t}}$ 可得 $Ft=mv^{'}-mv$ ，即 $Ft=p^{'}-p$ 。 
在動量定理的推導過程中，我們假定淨力 F 是恆定的，但是在實際生活當中要比這個複雜的多。如用球拍擊打球或是用腳踢踢球時作用力就不是恆定的。但可以證明，動量定理不但適用於定力，也可以隨時間而變化的變力，對於變力的情況，動量定理中的 F 應理解為在作用時間內的平均值。此時作用力 $\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 也稱作動量的變化率。

## 碰撞中的動量守恆

動量具有一個特殊屬性：只要是在一個封閉系統中，它總會保持恆定，即使是物體碰撞發生時。而對動能而言，非彈性碰撞的物體的動能將不會守恆。因此，當碰撞過後可利用動量守恆來計算未知速度。

在物理學上，這個特殊屬性被用來來解決兩個相碰物體的問題。因為動量始終保持恆定，碰撞前動量的總和一定與碰撞後動量的總和相等：

　
: : $m_{1}\mathbf {v} _{1{\text{i}}}+m_{2}\mathbf {v} _{2{\text{i}}}=m_{1}\mathbf {v} _{1{\text{f}}}+m_{2}\mathbf {v} _{2{\text{f}}}$

　
: 其中，i 表示碰撞前的初量，f 表示碰撞後的末量。要注意的是此時 $\mathbf {v} $ 為向量。

通常來說，我們只需知道碰撞前（或碰撞後）物體的速度便可計算出碰撞後（或碰撞前）物體的速度。碰撞有兩種類型，兩種類型中動量都守恆：

* 彈性碰撞中，動能保持恆定；
* 非彈性碰撞中，動能不保持恆定

## 彈性碰撞

彈性碰撞的一個較好的例子是兩個撞球之間的碰撞。當兩個球相碰時，除了動量保持恆定外，碰撞前後動能的總和也將保持不變：

　
: : ${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{i}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{i}}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{f}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{f}}}^{2}$

因為每個因式中都含有係數 ${\frac {1}{2}}$ ，所以亦可將該係數移除。

### 正向碰撞（一維）

正碰即對心碰撞（head on collision），兩物體沿著一條直線碰撞後仍沿原來直線運動，屬於彈性碰撞中的一種。

* 遵循動量守恆

　
: : $m_{1}v_{1{\text{i}}}+m_{2}v_{2{\text{i}}}=m_{1}v_{1{\text{f}}}+m_{2}v_{2{\text{f}}}$

* 遵循能量守恆

　
: : ${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{i}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{i}}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1{\text{f}}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2{\text{f}}}^{2}$

聯立兩方程式可得出，兩物體最終速度 

　
: : $v_{1{\text{f}}}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1{\text{i}}}+{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2{\text{i}}}$

　
: : $v_{2{\text{f}}}={\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1{\text{i}}}+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2{\text{i}}}$

### 斜向碰撞（二維）

可以分別以 $x$ 方向以及 $y$ 方向的動量守恆決定出碰撞前後的速度關係。

## 動量守恆定律

動量是守恆量。動量守恆定律表示為：一個系統不受外力或者所受外力之和為零，這個系統中所有物體的總動量保持不變。它的一個推論為：在沒有外力干預的情況下，任何系統的質心都將保持等速直線運動或靜止狀態不變。動量守恆定律可由力學能對空間平移對稱性推出。

在隔離系統（不存在外力）中總動量將是一個守恆量，這暗含在牛頓運動第一定律之中。

因為動量是向量，所以子彈從起先靜止的槍中射出後，儘管子彈和槍都在運動，但由於子彈的動量與槍的動量等值反向，它們相互抵消，使得子彈與槍形成的系統中動量的總和依然為零。

若有系統外合（淨）力為零，則系統內各質點交互作用力亦為零（可視為牛頓第三定律，作用力反作用力原理），故動量變化為零，所以動量守恆。動量守恆定律具有普適性，適用於宏觀、微觀系統，參考系。

## 動量的現代定義

### 相對論力學中的動量

在相對論力學中，動量被定義為：

　
: $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} $

其中：

 * $m$ 表示運動物體的靜止質量；
* $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$ ；
* _u_ 表示物體與觀察者之間的相對速度；
* _c_ 表示光速。

當物體在低速極限（u/c -> 0）下運動時，相對論力學的動量式可變化為牛頓力學的動量式： $m\mathbf {u} $ 。

阿爾伯特・愛因斯坦由勞倫茲變換下的四維矢量守恆發展提出了相對論的四維動量。其中四維矢量可從量子場論使用格林函數自然導出。四維動量被定義為：

　
: $\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)$

其中， $p_{x}$ 表示_相對論_動量的 $x$ 分量， $E$ 表示系統的總能量：

　
: $E=\gamma mc^{2}\;$

令速度等於零，可得到一個物體的靜止質量和能量之間的關係 E=mc²。

矢量的「長度」保持恆定被定義為：

　
: $\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -E^{2}/c^{2}$

#### 無靜止質量物體的動量

無靜止質量物體，譬如光子亦有動量。計算的公式為：

　
: $p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {E}{c}}$

　
: : 其中

　
: $h$ 表示普朗克常數；

　
: $\lambda $ 表示光子的波長；

　
: $E$ 表示光子的能量；

　
: $c$ 表示光速。

#### 動量的普適性

動量是平移守恆的諾特荷。因此，甚至連場也與其他物質一樣具有動量，而不止是粒子。但是，在彎曲時空（非閔考斯基式）中，動量根本沒有被定義。

### 量子力學中的動量

在量子力學中，動量被定義為波函數的一個算符。海森堡不確定性原理定義了單一觀測系統中一次測定動量和位置的精確極限。在量子力學中，動量與位置是一對共軛物理量。

對單個不帶電荷且沒有自旋的粒子來說，動量算符可被寫作：

　
: $\mathbf {p} ={\hbar  \over i}\nabla =-i\hbar \nabla $

其中， $\nabla $ 表示梯度算符。這是動量算符的一個普通形式，而非最普遍的一個。

### 電磁學中的動量守恆

當電場和 / 或磁場移動時，它們帶有動量。電磁波（可見光、紫外線、無線電波等）也有動量，即使是沒有靜止質量的光子，也同樣帶有動量。這被應用在諸如太陽帆上。

## 參考文獻

## 參看條目

* 角動量
* 守恆定律
* 牛頓擺