分佈式參數系統

**分佈式參數系統**（distributed parameter system）不同於集總參數系統，是狀態空間為無限維度的系統。這類系統也稱為是**無限維系統**。典型的例子是用偏微分方程或是時滯微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

## 抽象發展方程

### 離散時間

假設 _U_、_X_ 和 _Y_ 是希爾伯特空間，而 _$A\,$_  ∈ _L_(_X_), _$B\,$_  ∈ _L_(_U_, _X_), _$C\,$_  ∈ _L_(_X_, _Y_) 和 _$D\,$_  ∈ _L_(_U_, _Y_)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

　
: $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

　
: $y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

其中 _$x\,$_ （狀態）是序列，其值在 _X_ 內， _$u\,$_ （輸入或是控制）是序列，其值在 _U_ 內， _$y\,$_ （輸出）為序列，其值在 _Y_ 內。

### 連續時間

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

　
: ${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$ ,

　
: $y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是時滯微分方程）加到上述的抽象發展方程中，作法是強制使用無界算子。一般會假定 _A_ 狀態空間 _X_ 裡的 C0 半群。假定 _B_、_C_ 和 _D_ 是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定 _B_ 和 _C_ 是無界的。

## 例子：偏微分方程

 $t>0$ 及 $\xi \in [0,1]$ 的偏微分方程如下

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

　
: $w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

　
: $w(t,0)=0,$

　
: $y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間 _U_ 及輸出空間 _Y_ 都選定是複數的集合，狀態空間 _X_ 選定是 _L_2(0, 1)，_A_ 算子定義為: $Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$ 可以證明 _A_ 可以產生 _X_ 空間內的強連續半羣。有界算子 _B_, _C_ 和 _D_ 定義為

　
: $Bu=u,Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0$

## 例子：時滯微分方程

時滯微分方程

　
: ${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

　
: $y(t)=w(t),$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間 _U_ 及輸出空間 _Y_ 都選定是複數的集合，狀態空間 _X_ 選定是 _L_2(−_τ_, 0) 複數的乘積，_A_ 算子定義為

　
: $A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

可以證明 _A_ 可以產生 _X_ 空間內的強連續半羣。有界算子 _B_, _C_ 和 _D_ 定義為

　
: $Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.$

## 傳遞函數

分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是 Z 轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

### 離散時間

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式 $D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$ ，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若 1/_z_ 在 A 的 resolvent set 內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為 $D+Cz(I-zA)^{-1}B$ 。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

### 連續時間

若 _A_ 可產生強連續半群，且 _B_、_C_ 及 _D_ 為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為 $D+C(sI-A)^{-1}B$ ，其中 _s_ 的實部比 _A_ 產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

#### 偏微分方程的傳遞函數

令初始條件 $w_{0}$ 為 0，將對 _t_ 進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

　
: $sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

　
: $W(s,0)=0,$

　
: $Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

這是非齊次線性微分方程，變數為 $\xi $ ，_s_ 為參數，且初始條件為零。其解為 $W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$ 。用此式來代入有 _Y_ 的方式中並且積分，可以得到 $Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ ，因此傳遞函數為 $(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ 。

#### 時滯微分方程的傳遞函數

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 $1/(s-1-e^{-s})$ 。

## 可控制性

在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：

* 精確可控制性（Exact controllability）
* 近似可控制性（Approximate controllability）
* 零可控制性（Null controllability)

### 離散時間下的可控制性

在離散時間系統中，將所有 _U_ 值序列的集合映射到 X 的映射 $\Phi _{n}$ 相當的重要，其表示式為 $\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$ 。 $\Phi _{n}u$ 是初始條件為零時，給定輸入序列 _u_ 下達到的狀態。The system is called

* 系統在時間 _n_ 內為精確可控制（exactly controllable）若 $\Phi _{n}$ 的值域為 _X_。
* 系統在時間 _n_ 內為近似可控制（approximately controllable）若 $\Phi _{n}$ 的值域是 _X_ 內的稠密集。
* 系統在時間 _n_ 內為零可控制（null controllable）若 $\Phi _{n}$ 的值包括 _An_ 的值域。

### 連續時間下的可控制性

在連續時間系統中， $\Phi _{t}$ （表示為 $\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$ ）有和離散時間系統的 $\Phi _{n}$ 一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是 _L_2(0, ∞;_U_)，是在 (0, ∞) 區間內 _U_ 值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如 _L_1(0, ∞;_U_)。當 $\Phi _{t}$ 的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。

* 系統在時間 _t_ 內為精確可控制（exactly controllable）若 $\Phi _{t}$ 的值域為 _X_。
* 系統在時間 _t_ 內為近似可控制（approximately controllable）若 $\Phi _{t}$ 的值域為 _X_ 內的稠密集。
* 系統在時間 _t_ 內為零可控制（null controllable）若 $\Phi _{t}$ 的值包括 ${\rm {e}}^{At}$ 的值域。

### 可觀察性

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

* 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
* 近似可觀察性（approximately observable）
* 最終狀態可觀察性（final state observable）

#### 離散時間下的可觀察性

在離散時間系統的可觀察性中， $\Psi _{n}$ （將 _X_ 映射到所有 _Y_ 值序列空間的映射，若 _k_ ≤ _n_，表示為 $(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$ ，在 _k_ > _n_ 時，數值為 0)。意思是 $\Psi _{n}x$ 是初始條件 _x_，控制輸入為 0 時的 truncated output。有以下幾種可觀察性

* 在時間 _n_ 有精確可觀察性（exactly observable），若存在 _k_n> 0 ，使得 $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$ ，在所有 _x_ ∈ _X_ 時都成立
* 在時間 _n_ 有近似可觀察性（approximately observable），若 $\Psi _{n}$ 為單射
* 在時間 _n_ 有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 _k_n> 0 使得 $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$ ，在所有 _x_ ∈ _X_ 時都成立

#### 連續時間下的可觀察性

在連續時間系統的可觀察性中， $\Psi _{t}$ （表示為 $(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$ ，其中 _s∈[0,t]_，若 _s>t_ 時為零）的角色和 $\Psi _{n}$ 在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是 _L_2(0, ∞, _Y_)，是（等效於）在定義域 _(0,∞)_ 內的 _Y_- 值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如 _L_1(0, ∞, _Y_)。只要選擇了 $\Psi _{t}$ 的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：

* 在時間 _t_ 有精確可觀察性（exactly observable），若存在 _k_t> 0，使得 $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$ ，在所有 _x_ ∈ _X_ 時都成立
* 在時間 _t_ 有近似可觀察性（approximately observable），若 $\Psi _{t}$ 為單射
* 在時間 _t_ 有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 _k_t> 0 使得 $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ ，在所有 _x_ ∈ _X_ 時都成立

## 可控制性和可觀察性的對偶

和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若 $\Phi $ 域以及輔域 $\Psi $ 都選用一般的函數空間 _L_2 時），這些不同概念的對偶如下：

* 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
* 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
* 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

## 相關條目

* 控制理論
* 狀態空間

## 腳註

## 參考資料

* Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995
* Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009
* Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005
* Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999
* Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000
* Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007