勒让德变换

**勒壤得轉換**（英語：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安 - 馬裡・勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。該操作是一個實變數的實值凸函數的對合轉換。它經常用於古典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變數微分方程式的求解。

## 概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 $f(x)\,\!$ 改用一個新函數 $f^{\star }(p)\,\!$ 來表示，其變數 $p\,\!$ 是 $f(x)\,\!$ 的導數， $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 。而 $f^{\star }(p)\,\!$ 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距

換句話說，從 $(x,f(x))\,\!$ x 值到 y 值的函數，轉換成 $(p,f^{\star }(p))\,\!$ f (x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安 - 馬裡・勒壤得所發明的，因此稱為**勒壤得轉換**。稱函數 $f^{\star }(p)\,\!$ 為 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換；

用方程式表示

　
: $f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 。

此式子表示 $f^{\star }(p)=pu-f(u)$ 中的 u 對 $f^{\star }(p)$ 而言是個參數，且參數 u 會滿足 ${{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 的 $u$ 。即求算表達式關於變數 $u\,\!$ 的極值。

 
為方便討論，把討論限定在 $f(x)$ 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 $p=f'(x_{0})$ 也就是斜率不變的狀況下，對每個 $x_{0}$ 而言，所有與曲線 $(u,f(u))$ 相交且斜率為 $f'(x_{0})$ 的直線族為 $y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!$ 。若令 $u=x_{0}$ ，該直線即是 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的切線方程式。把 x 當作常數並由右圖直接觀察可知，在 $u=x_{0}$ 的情況下， $y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]$ 值是最小的，也就是說直線方程式中 $[f'(x_{0})u-f(u)]$ 這部分是最大的，而正好 $f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ ，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 $f(x)\,\!$ 設定的函數關係可以用 $(x,\ y=f(x))\,\!$ 點集合來表示；也可以用切線 (在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數 p 有一對一的關係) 集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得 - 芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

## 定義

給定區間 _I_ ⊂ ℝ和凸函數 _f_ : _I_ → ℝ，則其勒壤得轉換為函數 _f\*_ : _I\*_ → ℝ，

　
: $f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}$

其中 $\sup $ 表示上確界，定義域 $I^{*}$ 為

　
: $I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.$

當 _f_(_x_) 為凸函數時，這個函數有良好的定義。

不難將勒壤得轉換推廣到定義在凸集 _X_ ⊂ ℝn 上的凸函數 _f_ : _X_ → ℝ：其轉換 _f \*_ : _X\*_ → ℝ為定義在

　
: $X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}$

上的函數

　
: $f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,$

其中 $\langle x^{*},x\rangle $ 表示 _x_\* 和 x 的點積。

### 從導數的角度理解勒壤得轉換

對於實數軸上具有可逆一階導數的凸函數 $f$ ，其勒壤得轉換 $f^{*}$ 的一階導數與 $f$ 的一階導數互為反函數，反過來說，這個條件可以給出至多相差一個常數的 $f^{*}$ 。

### 最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 $L(x,\ p)=px-f(x)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的最大值，設定 $L(x,\ p)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的偏導數為零：

　
: ${\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!$ 。

則

　
: $p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 $L(x,\ p)\,\!$ 的二階導數是負數：

　
: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!$ ；

用方程式 (1) 來計算函數 $f\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$ 。代入 $L(x,\ p)\,\!$ 方程式，即可以得到想要的形式：

　
: $f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

計算 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

1. 找出導函數 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ ，
2. 計算導函數 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$ ，
3. 代入 $F(x)\,\!$ 方程式來求得新函數 $f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 $f^{\star }(p)\,\!$ ；其新自變數為 $p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。

### 反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 $f(x)\,\!$ 與 $f^{\star }(p)\,\!$ 的一階導數是互相的反函數；

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!$ ，

或者，

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!$ ，

則 $f\,\!$ 與 $f^{\star }\,\!$ 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

　
: ${\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!$ ，

　
: ${\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

思考下述運算：

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

所以，

　
: $f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ ；

這裏， $x=g(p)\,\!$ 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

　
: $f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!$ ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

## 數學性質

以下討論，函數 $f\,\!$ 的勒壤得轉換皆標記為 $f^{\star }\,\!$ 。

### 標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

　
: $f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

　
: $f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

由此可知，一個 $r\,\!$ 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 $s\,\!$ 次齊次函數；這裏，

　
: ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!$ 。

### 平移性質

　
: $f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!$ ，

　
: $f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!$ 。

### 反演性質

　
: $f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!$ 。

### 線形變換性質

讓 $A\,\!$ 成為一個從 $R^{n}\,\!$ 到 $R^{m}\,\!$ 的線形變換。對於任何定義域為 $R^{n}\,\!$ 的凸函數 $f\,\!$ ，必有

　
: $\left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!$ ；

這裏， $A^{\star }\,\!$ 是 $A\,\!$ 的伴隨算子定義為

　
: $\left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!$ 。

## 例子

### 例一

指數函數

　
: $f(x)=e^{x}$

的勒壤得轉換為

　
: $f^{*}(p)=p(\ln p-1)$ ，

因為它們的一階導數 _ex_ 與 ln _p_ 互為反函數。

## 應用

### 熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 $U\,\!$ 是外延量（extensive）熵 $S\,\!$ ，體積 $V\,\!$ ，與化學成份（chemical composition） $N_{i}\,\!$ 的顯函數

　
: $U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!$ 。

對於 $-PV\,\!$ ，函數 $U\,\!$ （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 $H\,\!$ ：

　
: $H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!$ ，

　
: $P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 $TS\,\!$ ，函數 $H\,\!$ 勒壤得轉換為吉布斯能函數 $G\,\!$  :

　
: $G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!$ ，

　
: $T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

對於 $TS\,\!$ ，函數 $U\,\!$ 勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函數 $A\,\!$  :

　
: $A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!$ ，

　
: $T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

### 古典力學 (哈密頓力學)

在古典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 是廣義坐標 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ 與廣義速度 ${\dot {\mathbf {q} }}\,\!$ 的函數；而哈密頓量 ${\mathcal {H}}\,\!$ 將函數的自變數轉換為廣義坐標 $\mathbf {q} \,\!$ 與廣義動量 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ ：

　
: $\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!$ ，

　
: ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!$ 。

### 正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變， $(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!$ ，

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!$ ，

　
: $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!$ ；

這裏， $\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!$ 是舊正則坐標， $\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!$ 是新正則坐標， ${\mathcal {H}}\,\!$ 是舊哈密頓量， ${\mathcal {K}}\,\!$ 是新哈密頓量， $G\,\!$ 是生成函數。

## 參閱

* 哈密頓力學
* 切觸幾何
* 正則變換

## 參考文獻

* Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
* Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.