勒贝格测度

在測度論中，**勒貝格測度**（Lebesgue measure）是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為 1，2，3 的情況，勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為**勒貝格可測集**；勒貝格可測集 _A_ 的測度記作 _λ_ (_A_) 。一般來說，我們允許一個集合的勒貝格測度為 ∞ ，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，**R**n 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫 - 塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

勒貝格測度以法國數學家昂利・勒貝格命名。勒貝格於 1901 年首次提出這一測度，次年又給出勒貝格積分的定義，並收錄進他的學位論文中。

## 問題起源

人們知道，區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更複雜的集合。

我們想構造一個映射 _m_ ，它能將實數集的子集 _E_ 映射到非負實數 _m_(_E_) ，並稱這個數為集合 _E_ 的**測度**。最理想的情況下，_m_ 應該具有以下性質：

* _m_ 對於實數集的所有子集 _E_ 都有定義。
* 對於一個區間 [_a_, _b_]，_m_([_a_, _b_]) 應當等於其長度 _b_ − _a_。
* _m_ 具有可數可加性。如果 (_E_n) 是一列不相交的集合，並且 _m_ 在其上有定義，那麼 $m\left(\bigcup _{n}E_{n}\right)=\sum _{n}m(E_{n})$ ，其中 ⋃ 表示並集。
* _m_ 具有平移不變性。設集合 _E_ 及 _E_+_k_ = {_x_+_k_ : _x_ ∈ _E_} （即將 _E_ 的每個元素各加上同一個實數 _k_ 所得到的集合），則 _m_(_E_+_k_) = _m_(_E_) 。

遺憾的是，這樣的映射是不存在的。人們只能退而求其次，尋找滿足其中部分條件的映射。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度，它只滿足有限可加性。

## 定義

區間 $I=[a,b]$ 的長度定義為 $|I|=b-a$ 。對 $E\subseteq \mathbb {R} $ ，勒貝格外測度定義為

對每一列能覆蓋 $E$ 的開區間 $\{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ，作長度和 $\mu =\sum _{k=0}^{\infty }{|I_{k}|}$ 。所有這些 $\mu $ 組成一個有下界的數集，下確界稱為勒貝格外測度，記做 $\lambda ^{*}(E)$ 。

勒貝格測度定義在勒貝格 σ 代數上。若集合 $E$ 滿足：

　
: 對所有 $A\subseteq \mathbb {R} $ ，皆有 $\lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c}),$

則 $E$ 為勒貝格 σ 代數的元素，稱為**勒貝格可測集**。對勒貝格可測集，其勒貝格測度 $\lambda (E)$ 就定義為勒貝格外測度 $\lambda ^{*}(E)$ 。

不在勒貝格 σ 代數中的集合不是勒貝格可測的，這樣的集合確實存在，故勒貝格 σ 代數嚴格包含於 $\mathbb {R} $ 的冪集。

## 例子

* 任何區間都是勒貝格可測的。閉區間 $[a,b]$ 、開區間 $(a,b)$ 的勒貝格測度都等於區間長度 $b-a$ 。
* 如果 _A_ 是區間 [_a_, _b_] 和 [_c_, _d_] 的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 (_b_−_a_)(_d_−_c_)。
* 博雷爾集都是勒貝格可測的。反之不然，存在不是博雷爾集的勒貝格可測集。
* 可數集的勒貝格測度為 0。特別是，有理數集的勒貝格測度為 0，儘管有理數集是稠密的。
* 康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。
* 假設決定性公理成立，則實數集的所有子集都是勒貝格可測的。假設選擇公理成立，則可以構造出勒貝格不可測的集合，例如維塔利集。決定性公理與選擇公理是不相容的。
* 奧斯古德曲線（Osgood curve）是平面簡單曲線，但具有大於 0 的勒貝格測度。龍形曲線是另一個例子。

## 性質

設集合 _A_ 與 _B_ 是在 **R**n 上的集合。勒貝格測度有如下的性質：

1. 如果 _A_ 是一列區間 (_In_) 的笛卡爾積 $\prod _{n}I_{n}$ ，則 _A_ 是勒貝格可測的，並且 $\lambda (A)=\prod _{n}\left|I_{n}\right|$ ，其中 | _I_ | 表示區間 _I_ 的長度。
2. 如果 _A_ 是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集 (_En_) 的併集，則 _A_ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda \left(A\right)=\sum _{n}\lambda (E_{n})$ 。
3. 如果 _A_ 是勒貝格可測的，那麼它相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的補集也是可測的。
4. 對於每個勒貝格可測集 _A_ ， $\lambda (A)\geq 0$ 。
5. 如果 _A_ 與 _B_ 是勒貝格可測的，且 _A_ ⊆ _B_ ，則 $\lambda (A)\leq \lambda (B)$ 。
6. 可數多個勒貝格可測集的交集或者併集，仍然是勒貝格可測的。
7. $\mathbb {R} ^{n}$ 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒貝格可測的。
8. 勒貝格可測集「幾乎」是開集，也「幾乎」是閉集。具體來說， $E$ 是勒貝格可測集若且唯若對任意的 $\varepsilon >0$ 存在開集 $G$ 與閉集 $F$ 使得 $F\subset E\subset G$ 且 $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon $ 。此性質曾用來定義勒貝格可測性。（見勒貝格測度的正則性定理）
9. 勒貝格測度既是局部有限的，又是內正則的，所以是拉東測度。
10. 非空開集的勒貝格測度嚴格大於 0，所以勒貝格測度的支集是全空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 。
11. 如果 _A_ 是勒貝格零測集，即 $\lambda (A)=0$ ，則 _A_ 的任何一個子集也是勒貝格零測集。
12. 如果 _A_ 是勒貝格可測的，且 _B_ = {_x_+_k_ : _x_ ∈ _A_} （即將 _A_ 平移 _k_ 個單位），則 _B_ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (B)=\lambda (A)$ 。
13. 如果 _A_ 是勒貝格可測的，且 _B_ = {_kx_ : _x_ ∈ _A_} （即將 _A_ 縮放 _k_ 倍， $k>0$ ），則 _B_ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (B)=k^{n}\cdot \lambda (A)$ 。
14. 更一般地，設 _T_ 是一個線性變換，det(_T_) 為其行列式。如果 _A_ 是勒貝格可測的，則 _T_(_A_) 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (T(A))=|\det(T)|\lambda (A)$ 。
15. 設 _f_ 是一個從 _A_ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的連續單射函數。如果 _A_ 是勒貝格可測的，則 _f_(_A_) 也是勒貝格可測的。

簡要地說， $\mathbb {R} ^{n}$ 的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的 σ- 代數，且 _λ_ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1$ 的測度。

勒貝格測度是 σ- 有限測度。

## 零測集

 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 _A_ 是**零測集**，如果對於任意 $\varepsilon >0$ ，_A_ 都可以用可數多個盒（即 _n_ 個區間的乘積）來覆蓋，且其總體積最多為 $\varepsilon $ 。所有可數集都是零測集。

如果 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集的豪斯多夫維數小於 $n$ ，那麼它是關於 _$n$_ 維勒貝格測度的零測集。在這裡，豪斯多夫維數是相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的歐幾里得度量（或任何與其利普希茨等價的度量）而言。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於 $n$ ，但具有正的 $n$ 維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯 - 沃爾泰拉 - 康托爾集，它的拓撲維數為 0，但 1 維勒貝格測度為正數。

為了證明某個集合 _A_ 是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合 _B_，與 _A_ 的對稱差是零測集，然後證明 _B_ 可以用開集或閉集的可數交集和併集生成。

## 勒貝格測度的構造

勒貝格測度的現代構造基於外測度，並應用卡拉西奧多里擴張定理。

固定 $n\in \mathbb {N} .$ $\mathbb {R} ^{n}$ 中的**盒子**是形如 $B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ 的集合，其中 $b_{i}\geq a_{i}$ ，連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為 $\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$

對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的任何子集 _A_，可以定義它的外測度 $\lambda ^{*}(A):$

　
: $\lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}$ 是可數個盒子的集合，它們的併集覆蓋了 $A{\Bigr \}}.$

然後定義集合 _A_ 為勒貝格可測的，如果對於所有集合 $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ ，都有：

　
: $\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S\setminus A).$

這些勒貝格可測的集合形成了一個 σ 代數。對於任何勒貝格可測的集合 _A,_ 其勒貝格測度定義為 $\lambda (A)=\lambda ^{*}(A)$

勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理，存在實數 **R** 的一個勒貝格不可測的子集。如果 _A_ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集，且其測度為正，那麼 _A_ 便有勒貝格不可測的子集。

1970 年，Robert M. Solovay 證明了，在不帶選擇公理的策梅洛 - 弗蘭克爾集合論中，勒貝格不可測集的存在性是不可證的（見 Solovay 模型）。

## 與其他測度的關係

若 _A_ 博雷爾可測，則其博雷爾測度與勒貝格測度一致；然而，更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一個局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量 $\mathbb {R} ^{n}$ 的維數比 _n_ 低的子集是很有用的，例如 **R**³ 上的曲線、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。

可以證明，無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。

## 參看

* 勒貝格密度定理
* 劉維爾數集的勒貝格測度

## 參考文獻