动量映射

在數學，尤其在辛幾何中，**動量映射**是一個與辛流形上的李群的哈密頓作用有關的工具，可用於構造作用的守恆量。動量映射推廣了經典的 動量和角動量。它在各種辛流形的建立中是一個重要的部分，包括將會在後面討論的 **symplectic** (**Marsden–Weinstein**) **quotients**，以及 symplectic cuts 和 sums。

## 正式定義

令 _M_ 是一個配有辛形式 ω 的流形。假定一個李群 _G_ 通過辛同胚作用在 _M_ 上（也就是每個 _G_ 中的 _g_ 保持 ω ）。令 ${\mathfrak {g}}$ 是 _G_ 上的李代數， ${\mathfrak {g}}^{*}$ 是它的對偶，且令

　
: $\langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} $

是兩者間的 pairing。任一 ${\mathfrak {g}}$ 中的 ξ 誘導了 _M_ 上的一個向量場 ρ(ξ) 以描述 ξ 的無限小作用。更精確地說，向量場 $\rho (\xi )_{x}$ 在 _M_ 上一點 _x_ 是

　
: $\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,$

其中 $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ 是指數映射並且 $\cdot $ 表示 _M_ 上的 _G_- 作用。令 $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 表示 向量場與 ω 的縮並。由於 _G_ 通過辛同胚作用，它意味著對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的 ξ， $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 是閉形式。

一個在 (_M_，ω) 上的 _G_- 作用的**動量映射**是一個映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的 ξ 滿足

　
: $d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega $

。這裡 $\langle \mu ,\xi \rangle $ 是通過 $\langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle $ 定義的從 _M_ 到 **R** 的函數。動量映射在差一個積分的常數的程度上是唯一定義的。

一個動量映射經常也要求是 _G_- 等價的，這裡 _G_ 通過余伴隨作用作用在 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 上。如果群是緊的或半單的，那麼總是選擇積分常數使動量映射是余伴隨等價的；但是通常余伴隨作用必須被修正以使映射等價 (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ${\mathfrak {g}}^{*}$ ，as first described by Souriau (1970).

## 哈密頓群作用

動量映射的定義要求 $\iota _{\rho (\xi )}\omega $ 是閉形式。在實際中一個更強的假定是有用的。_G_- 作用被稱作是**哈密頓**的若且唯若當以下的條件滿足。首先，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中的每一個 ξ，1 - 形式 $\iota _{\rho (\xi )}\omega $ 是恰當的，這意味著它對於一些光滑函數

　
: $H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .$

等於 $dH_{\xi }$ 。
如果這成立，那麼我們可以選擇 $H_{\xi }$ 使映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 為線性。第二個使 _G_- 作用是哈密頓的的要求是映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 是一個從 ${\mathfrak {g}}$ 到 _M_ 在泊松括號下的光滑函數的代數的李代數同態。

如果 _G_ 在 (_M_，ω) 上的作用在這個意義上是哈密頓的，那麼一個動量映射是映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ，這樣 $H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle $ 定義了一個李代數同態 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 滿足 $\rho (\xi )=X_{H_{\xi }}$ . 這裡 $X_{H_{\xi }}$ 是一個由哈密頓函數 $H_{\xi }$ 通過

　
: $\iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.$

定義的向量場。

## 例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle _G_ = U(1)，the Lie algebra dual ${\mathfrak {g}}^{*}$ is naturally identified with **R**，and the 動量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when _M_ is the cotangent bundle of **R**3 and _G_ is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，_G_ is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and **R**3. The six components of the 動量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

## Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group _G_ on the symplectic manifold (_M_，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 動量映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ . From the Hamiltonian condition it follows that $\mu ^{-1}(0)$ is invariant under _G_.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that _G_ acts freely and properly on $\mu ^{-1}(0)$ . Thus $\mu ^{-1}(0)$ and its quotient $\mu ^{-1}(0)/G$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from _M_; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to $\mu ^{-1}(0)$ equals the restriction of ω to $\mu ^{-1}(0)$ . Thus the quotient is a symplectic manifold，called the **Marsden–Weinstein quotient**，**symplectic quotient** or **symplectic reduction** of _M_ by _G_ and is denoted $M/\!\!/G$ . Its dimension equals the dimension of _M_ minus twice the dimension of _G_.

## 參見

* Poisson-Lie group
* Toric manifold
* Geometric Mechanics
* Kirwan map

## 注釋

## 參考資料

* J.-M. Souriau, _Structure des systèmes dynamiques_, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
* S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, _The Geometry of Four-Manifolds_, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
* Dusa McDuff and Dietmar Salamon, _Introduction to Symplectic Topology_, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
* Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4
* Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics **222**. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.