勒让德微分方程

數學上，**勒壤得函數**指以下**勒壤得微分方程式**的解：

　
: $(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}P(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}+n(n+1)P(x)=0.$

為求解方便一般也寫成如下史特姆 - 萊歐維爾形式:

　
: ${\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.$

上述方程式及其解函數因法國數學家阿德里安 - 馬里・勒壤得而得名。勒壤得方程式是物理學和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程式。當試圖在球坐標中求解三維拉普拉斯方程式（或相關的其他偏微分方程式）時，問題便會歸結為勒讓德方程式的求解。

勒壤得方程式的解可寫成標準的冪級數形式。當方程式滿足 $|x|<1$ 時，可得到有界解（即解級數收斂）。並且當 n 為非負整數，即 $n=0,1,2,\ldots $ .

## 正交性

勒壤得多項式的一個重要性質是其在區間 $-1\leq x\leq 1$ 關於 L2 內積滿足正交性，即：

　
: $\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

其中 $\delta _{mn}$ 為克羅內克 δ 記號，當 $m=n$ 時為 1，否則為 0。 
事實上，推導勒壤得多項式的另一種方法便是關於前述內積空間對多項式 ${1,x,x^{2},\ldots }$ 進行格拉姆 - 施密特正交化。之所以具有此正交性是因為如前所述，勒壤得微分方程式可化為標準的 Sturm-Liouville 問題：

　
: ${\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),$

其中本徵值 $\lambda $ 對應於原方程式中的 $n(n+1)$ 。

## 部分實例

下表列出了前 11 階（n 從 0 到 10）勒壤得多項式的表達式：

前 6 階（n 從 0 到 5）勒壤得多項式的曲線如下圖所示：

## 在物理學中的應用

在求解三維空間中的球對稱問題，譬如計算點電荷在空間中激發的電位時，常常要用到勒壤得多項式作如下形式的級數展開：

　
: ${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )$

其中 $r$ 和 $r'$ 分別為位置向量 $\mathbf {x} $ 和 $\mathbf {x} ^{\prime }$ 的長度 (其中 $r$ 和 $r'$ 分別為對位置向量 $\mathbf {x} $ 和 $\mathbf {x} ^{\prime }$ 的長度進行測量的結果)， $\gamma $ 為兩向量的夾角 ( $\gamma $ 為對兩向量的夾角展開估計的結果)。當 $r>r'$ 時上式成立。該式計算了在 $\mathbf {x} '$ 處的點電荷激發的電場在 $\mathbf {x} $ 點引起的電位大小。在對空間中連續分布的電荷引起的電位大小進行計算時 (當計算由連續分布之電荷所產生的電位時)，將涉及對上式進行積分 (需積分上式中間項)。這時，上式右邊的勒壤得多項式展開將對此積分的計算帶來很大的方便 (逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解，此級數之第一項叫做電單極矩，第二項叫做電偶極矩，第三項叫做電四極矩)。

靜電場中具有軸對稱邊界條件的問題可以歸結為在球坐標系中用分離變數法求解關於電位函數的拉普拉斯方程式 $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0$ （與和對稱軸的夾角無關）。若設 ${\widehat {\mathbf {z} }}$ 為對稱軸， $\theta $ 為觀測者位置向量和 ${\widehat {\mathbf {z} }}$ 軸的夾角，則勢函數的解可表示為：

　
: $\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).$

其中 $A_{\ell }$ 和 $B_{\ell }$ 由具體邊界條件確定。

 

## 其他性質

勒壤得多項式的奇偶性由其階數確定。當階數 k 為偶數時， $P_{k}(x)$ 為偶函數；當階數 k 為奇數時， $P_{k}(x)$ 為奇函數，即：

　
: $P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x).\,$

### 遞迴關係

相鄰的三個勒壤得多項式具有三項遞迴關係：

　
: $(n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}\,$

另外，考慮微分後還有以下遞迴關係：

　
: ${x^{2}-1 \over n}{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.$

　
: $(2n+1)P_{n}={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].$

其中最後一個式子在計算勒壤得多項式的積分中較為有用。

使多項式的值：

## 移位勒壤得多項式

移位勒壤得多項式 ${\tilde {P_{n}}}(x)$ 的正交區間定義在 $[0,1]$ 上，即：

　
: $\int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.$

其顯式表達式為：

　
: ${\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.$

相應的羅德里格公式為：

　
: ${\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,$

下表列出了前 4 階移位勒壤得多項式：

## 分數階勒壤得多項式

分數階勒壤得多項式通過將分數階微分和通過 Γ 函數定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。

## 極限關係

**大 Q 勒壤得多項式→**勒壤得多項式****

令大 q 雅可比多項式中的 $c=0$ , 即勒壤得多項式

令連續 q 勒壤得多項式 q->1 得勒壤得多項式

$$
\lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)
$$

小 q 勒壤得多項式→**勒壤得多項式**

$$
\lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)
$$

## 參見

* 高斯求積
* 伴隨勒壤得多項式
* 勒壤得有理函數

## 外部連結

* 沃爾夫勒姆（Wolfram）數學世界對勒壤得多項式的介紹（英文） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 參考文獻

* 2. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4（參見 第 8 章 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和第 22 章 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））