凯莱-迪克森代数

在數系理論中，**凱萊 - 迪克森構造**以定義在實數集的代數結構為基礎構造出新的代數系統序列。序列中每一個代數系統的維度都是其前一個的 2 倍。所有通過該過程產生的代數系統，即所謂的凱萊 - 迪克森代數系。它擴展了複數的概念，屬於超複數的範疇。

**凱萊 - 迪克森構造**的代數系統中，都有範數和共軛的概念。從廣義的概念上講，集合中的一個元素和它的共軛的乘積等於它的範數的平方。

一個有趣的現象是，在凱萊 - 迪克森構造的代數系統序列中的每一個代數系統比起其前一個系統，除了有一個更高的維度數之外，都將失去前一個系統所擁有的一個特定性質。

## 寫為有序對的複數

複數可以被寫成實數 _a_ 和 _b_ 的有序對 (_a_, _b_)。同時加法運算為對應分量相加，乘法則定義為

　
: $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,$

一個第二分量為零的複數伴隨著一個實數：複數 (_a_, 0) 就是實數 _a_。

另一個重要的複數運算是共軛。(_a_, _b_) 的共軛 (_a_, _b_)\* 如下給出

　
: $(a,b)^{*}=(a,-b).\,$

共軛具有性質

　
: $(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0),\,$

這是一個非負實數。這樣，共軛定義了一個「範數」，使複數成為了實數域上的賦范線性空間：複數 _z_ 的範數為

　
: $|z|=(z^{*}z)^{1/2}.\,$

此外，對於任何非零複數 _z_，共軛給出一個乘法逆元

　
: $z^{-1}={z^{*}/|z|^{2}}.\,$

既然複數由兩個獨立的實數組成，則全體複數構成實數域上的線性空間。

此外，作為較高維的數，複數可以說比實數缺少了一個代數性質：一個實數的共軛是其自身。

## 四元數

構造的下一步是推廣乘法和共軛。

複數 $a$ 和 $b$ 的有序對 $(a,b)$ 的乘法定義為

　
: $(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,$

公式中的細微變化是合理的；構造的結果是產生在忽略基的記號下是同一的結構。

因子的次序似乎很奇怪，但對於下一步意義重大。
定義 $(a,b)$ 的共軛 $(a,b)^{*}\,$

　
: $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,$

這些符號是它們在複數情況下的直接推廣：如果 $a$ 和 $b$ 是從複數集的實數子集中選取，則共軛在公式中的表現沒有影響，所以這些運算和在複數下一樣。

一個元素和它的共軛之積為非負實數：

　
: $(a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0).\,$

同之前一樣，共軛運算產生了一個範數和任一有序對的逆。所以在前述情況下，這些有序對組成了一個有些像實數的代數。它們被稱為四元數，由威廉・哈密頓於 1843 年命名。

由於四元數由獨立的兩個複數組成，它們構成實數域上的 4 維線性空間。

四元數的乘法並不完全和實數相同。它是非交換的，也就是說如果 $p$ 和 $q$ 是四元數，並不總能得到 $pq=qp$ 。

## 八元數

從這裡開始，所有步驟看起來是一樣的。

這次，四元數 $p$ 和 $q$ 的有序對 $(p,q)$ 的乘法和共軛定義如同四元數一樣：

　
: $(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,$

然而，注意到四元數是非交換的，因子在乘法公式中的次序變得很重要 —— 如果最後一個因子是 $r^{*}q$ 而不是 $qr^{*}$ ，從一個元素與其共軛的積的公式得不到一個實數。

由與之前完全一樣的原因，共軛運算產生了一個範數和任一非零元的逆。

這個由約翰・格雷夫斯在 1843 年描述的代數被稱為八元數或者「凱萊數」。

由於八元數由獨立的兩個四元數組成，它們構成實數域上的 8 維線性空間。

八元數的乘法比四元數還要奇怪。除了非交換，它還是非結合的：如果 $p$ , $q$ 和 $r$ 都是八元數，則並不總能得到

　
: $(pq)r=p(qr).\ $

## 進一步的代數

緊接著八元數的代數是十六元數。它保留了一個叫冪結合性的代數性質：如果 $s$ 是一個十六元數，則 $s^{n}s^{m}=s^{n+m}$ 。但失去了作為交錯代數的性質，從而不再是合成代數。

凱萊 - 迪克森構造能繼續進行下去，產生如三十二元數、六十四元數等代數結構，每一步產生一個冪結合代數，其維數為前一步產生的代數的兩倍。

## 一般凱萊 - 迪克森構造

Albert (1942, p. 171) 給出一個略為一般化的結論。_A_ 是一個帶對合的代數，定義 _B_=_A_⊕_A_ 上的積和對合為

　
: $(p,q)(r,s)=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,$

　
: $(p,q)^{*}=(p^{*},-q)\ $

這裡 γ 為一個和 \* 以及左乘右乘可交換的加性映射。（在實數上 γ 的所有選擇等價於−1,0 或 1）
在這種構造中，_A_ 是一個帶對合的代數，意味著：

* _A_ 對於 + 是阿貝爾群。
* _A_ 有一個適合對 + 的左右分配律的乘法。
* _A_ 有一個對合 \*，這裡 _x_\*\* = _x_, (_x_+_y_)\* = _x_\*+_y_\*, (_xy_)\* =_y_\*_x_\*。

由凱萊 - 迪克森構造生成的代數 _B_=_A_⊕_A_ 仍然是帶對合的代數。

_B_ 繼承自 _A_ 而未改變的性質有

* 若 _A_ 有單位元 1A，則 _B_ 有單位元 (1A, 0)。
* 若 _A_ 有性質 _x_+_x_\*、 _xx_\* 與所有元素結合且交換，則 _B_ 也有此性質。這一性質意味著任何元素引起一個交換、結合的 \*- 代數，特別的，該代數滿足冪結合性。

_A_ 的其他性質僅誘導出 _B_ 的較弱性質：

* 若 _A_ 是交換的並具有平凡對合，則 _B_ 是交換的。
* 若 _A_ 是交換的和結合的，則 _B_ 是結合的。
* 若 _A_ 是結合的，_x_+_x_\*、 _xx_\* 與所有元素結合且交換，則 _B_ 是交錯的。

## 參考資料

* Albert, A. A., Quadratic forms permitting composition, Annals of Mathematics. Second Series, 1942, **43** (1): 161–177 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1968887, MR0006140, （原始內容存檔於 2016-03-24）  (see p. 171)
* Baez, John, The Octonions, Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, **39**: 145–205 [2011-01-04], ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, （原始內容存檔於 2009-04-21） . _(See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）")_
* Dickson, L. E., On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1919, **20** (3): 155–171 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1967865, （原始內容存檔於 2016-10-06）
* Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner, 1978
* Hamilton, William Rowan, On Quaternions, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, **3**: 1–16 [2011-01-04], ISSN 1393-7197, （原始內容存檔於 2010-12-18）

## 外部連結

* Hyperjeff, _Sketching the History of Hypercomplex Numbers_ (1996-2006).