刘徽割圆术

三國時代數學家劉徽的**割圓術**是中國古代數學中「一個十分精彩的算法」。在此之前，圓周率採用「徑一周三」的實驗數據。東漢科學家張衡採用 $\pi ={\frac {736}{232}}=3.172$ 和 $\pi ={\sqrt {10}}=3.16$ 。劉徽認為 $\pi ={\sqrt {10}}$ 過大。。東漢天文學家王蕃採用 $\pi ={142 \over 45}=3.156$ 。這些圓周率都是實驗值，都只準確到二位數字。劉徽是中國數學史上最先創造了一個從數學上計算圓周率到任意精確度的迭代程序的數學家。他自己通過分割圓為 192 邊形，計算出圓周率在 3.141024 與 3.142704 之間，取其近似，並以 ${157 \over 50}$ 表示。這個數值準確到三位數字，比前人的圓周率數值都准，但他自己次承認這個數值偏小。後來劉徽發明一種快捷算法，可以只用 96 邊形得到和 1536 邊形同等的精確度，從而得令他自己滿意的 $\pi =3.1416$ 。

劉徽割圓術簡單而又嚴謹，富於程序性，可以繼續分割下去，求得更精確的圓周率。南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算 11 次，分割圓為 12288 邊形，得圓周率 $\pi $ =3.1415926，成為此後千年世界上最準確的圓周率。

## 圓面積公式

劉徽割圓術是建立在圓面積論的基礎之上的。他首先論證，將圓分割成多邊形，分割來越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓面積沒有差別了。他說，將 6 邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘 3，得 12 邊形的面積。將 12 邊形的一邊長乘半徑，再乘 6，得 24 邊形面積。越割越細，多邊形和圓面積的差越小。如此割了再割，最後終於和圓合為一體，毫無差別了。

　
: 6 邊形的面積顯然和圓面積相差很多。

　
: 內接正 12 邊形面積 = 6 邊形面積 + 6 個藍色三角形面積，向圓面積趨近了一步。

　
: 正 24 邊形面積 = 6 邊形面積 + 6 個藍色三角形面積 + 12 個黃色三角形面積，更加接近圓面積了。

　
: 顯然：

　
: 正 12 邊形面積 < 正 24 邊形面積 < 正 48 邊形面積 < 正 96 邊形面積……< 內接 6\*2N 邊形面積 < 圓面積。

劉徽明顯已經掌握了無窮小分割和極限的概念：

　
: $\lim _{N\to \infty }$ 內接 6\*2N 邊形面積 $\longrightarrow $ 圓面積。

　
: 他又指出：6 邊形之外，遺留了半徑的一小段 d ，稱為余徑。將余徑 d 乘多邊形的一邊，所得長方形 ABCD，已經越出圓周範圍之外。如果將圓周分割得很細，余徑 d 趨向於 0，而長方形 ABCD 的面積也趨向於 0。

顯然，劉徽之所以研究余徑，目的是從上限和下限兩個方面逐步逼近圓面積：

　
: $\lim _{N\to \infty }$ 內接 6\*2N 邊形面積 $\longrightarrow $ 圓面積 $\longleftarrow \lim _{N\to \infty }$ 內接 6\*2N 邊形面積 + 6\*2N\*d\*L。

劉徽進一步證明圓面積 = 圓周 / 2 × 半徑。

　
: 關於多邊形的面積，劉徽有如下公式：

　
: 2 N 邊形的面積 = N 邊形的半周長 ×R。

　
: = $L\times {\frac {N}{2}}\times R$ ,

　
: 其中 L 為 N 邊形的單邊長，R 為圓半徑。

　
: 此公式可用劉徽出入相補原理證明： 將內接 2N 邊形，分割，然後重新排列成寬為 L x N/2, 高為 R 的長方形；

　
: 顯然 2N 邊形的面積 = 長方形面積 = ${\frac {N}{2}}\cdot L\cdot R$ =N 邊形的半周長 \* R

　
: 當 $N\longrightarrow \infty $

　
: N 邊形的半周長 $\longrightarrow $ 圓的半周長

　
: $\lim _{N\to \infty }$ 2N 邊形面積 = N 邊形的半周長 \* R $\longrightarrow $ 圓面積

　
: 所以

　
: 圓的半周長 \* R = 圓面積

　
: 因此

　
: 圓周 = 2\* 圓面積 / R

　
: 圓周率 ${\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}$ 圓周 / 直徑 = 2\* 圓面積 /(R\*2R)= 圓面積 / R2

　
: = $\lim _{N\to \infty }$ 2N 邊形的面積 / R2

## 割圓術程序

劉徽從半徑 1 尺圓的內接正 6 邊形開始，逐次分割為 12 邊形，24 邊形，48 邊形，96 邊形。反覆使用勾股定理求得各多邊形的邊長，又用劉氏多邊形面積公式求多邊形面積。

### 分割 6 邊形為 12 邊形

令圓直徑為 2 尺，折半得半徑 1 尺。圓內接正 6 邊形的邊長也是 1 尺。
如圖：

　
: 半徑 OA=r=1 尺 = 10 寸

　
: 6 邊形單邊長 AB=M=10 寸

　
: 從圓心 O 作 AB 的垂直平分線 OC，將 AB 平分為二，

　
: AP=BP=M/2，AP+BP=AB

　
: 垂直平分線 OC 和圓周相交於 C，

　
: 作直線 AC

　
: AC 就是 12 邊形的一邊，

OAP 是一個直角三角形

　
: 弦 = 半徑 = r=10 寸

　
: 勾 = AP=M/2=5 寸

　
: 股 OP 可用勾股定理求得：

　
: 令弦長 = X，股長 = G， 句長 = M/2，則：

　
: ${}G^{2}=r^{2}-\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}=100-25=75$ 平方寸

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}$

　
: 因為 1 寸 =100000 忽

　
: 1 平方寸 =10000000000 平方忽

　
: ${}G={\sqrt {750000000000}}=866025{2 \over 5}$ 忽

APC 是一個小直角三角形

令小弦 AC 長度為 m，令小句 PC 長度為 j

　
: ${}j=r-G=1000000-866025{2 \over 5}=133974{3 \over 5}$ 忽

　
: 用勾股定理求 m：

　
: ${}m^{2}=\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}$

　
: = ${}(500000)^{2}+(133974.6)^{2}=267949193445$ 平方忽

　
: 12 邊形的一邊長度 $=m={\sqrt {267949193445}}=517638.09$ 忽

　
:

　
: 12 邊形的一邊長度的一半 $={m \over 2}={517638.09 \over 2}=258819.045$ 忽

### 分割 12 邊形為 24 邊形

將上一輪的多邊形邊長 m 作為新一輪割圓的開始，
作替換 M=m=12 邊形的一邊長度 $=517638.09$ 忽
繼續將此多邊形的一邊平分，周而復始，重複使用：

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}$

　
: ${}j=r-G$

　
: ${}m^{2}=\left({\frac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}$

　
: ${}={\frac {M^{2}}{4}}+j^{2}$

　
: 由上 M^2 已有現成數值 ${}M^{2}=267949193445$

　
: ${\frac {M^{2}}{4}}={267949193445 \over 4}=66987298361$

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-66987298361}}=965925{4 \over 5}$

　
: ${}j=r-G=1000000-965925{4 \over 5}=34074{1 \over 5}$

　
: ${}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}=66987298361+(34074{1 \over 5})^{2}=68148349466$

　
: 24 邊形一邊長度 $m={\sqrt {68148349466}}=261052{2 \over 5}$

### 分割 24 邊形為 48 邊形

將第二輪的多邊形邊長 m 作為第三輪割圓的起點，
作替換 $M=m=261052{2 \over 5}$

　
: ${}M^{2}=m^{2}=68148349466$

　
: : ${\frac {M^{2}}{4}}={68148349466 \over 4}=17037087366$

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-17037087366}}=991444{4 \over 5}$

　
: ${}j=r-G=1000000-991444{4 \over 5}=8555{1 \over 5}$

　
: ${}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}={68148349466 \over 4}+(8555{1 \over 5})^{2}=17110278813$

　
: 開平方，得 48 邊形一面 $m={\sqrt {17110278813}}=130806$ 忽

根據劉徽多邊形面積公式：

　
: 96 邊形的面積 = 48 邊形的半周長 × 半徑 = $m\times {\frac {48}{2}}\times r$ ,

所以 96 邊形的面積 $A_{96}=130806\times {\frac {48}{2}}\times 1000000$

　
: $={130806\times 24\times 1000000}=31393440000000$ 平方忽

　
: $A_{96}={\frac {31393440000000}{10000000000}}=313{584 \over 625}$ 平方寸

### 分割 48 邊形為 96 邊形

將第三輪的多邊形邊長 m 作為第四輪割圓的起點

作替換 $M=m=130806$ 忽

　
: $M^{2}=m^{2}=17110278813$

　
: : ${\frac {M^{2}}{4}}={17110278813 \over 4}=4277569703$

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}={\sqrt {1000000000000-4277569703}}=997858{9 \over 10}$

　
: ${}j=r-G=1000000-997858{9 \over 10}=2141{1 \over 10}$

　
: ${}m^{2}=({\frac {M}{2}})^{2}+j^{2}={17110278813 \over 4}+(2141{1 \over 10})^{2}=4282154012$

　
: 開方得

　
: 96 邊形的一邊 $m={\sqrt {4282154012}}=65438$ 忽

根據劉徽多邊形面積公式：

　
: 192 邊形的面積 $A_{192}=$ 96 邊形的半周長 × 半徑 = $m\times {\frac {96}{2}}\times r$

所以 192 邊形的面積 $A_{192}=65438\times {\frac {96}{2}}\times 1000000$ 平方忽

　
: $={65438\times 48\times 1000000}=3141024000000$ 平方忽

　
: $A_{192}={\frac {3141024000000}{10000000000}}=314{64 \over 625}$ 平方寸

## 劉徽圓周率不等式

劉徽利用多邊形面積差的幾何學，得出圓周率的雙邊不等式。

　
: 如圖：

　
: 黃色代表 N 邊形面積 $A_{N}$

　
: 黃色 + 綠色代表 2N 邊形面積 $A_{2N}$

　
: 綠色代表 2N 邊形面積與 N 邊形面積之差 $D_{2N}$ = $A_{2N}-A_{N}$

　
: 長方形 ABCD 面積 $=2\times D_{2N}$

　
: C 代表圓面積。

　
: 如下不等式成立：

　
: $A_{2N}<C<A_{2N}+1\times D_{2N}$

或

　
: $A_{2N}<C<A_{N}+2\times D_{2N}$

當 N=96，2N=192：

　
: 192 邊形面積 $A_{192}=314{64 \over 625}$

　
: 96 邊形的面積 $A_{96}=313{584 \over 625}$

　
:

　
: 192 邊形面積和 96 邊形的面積之差（差冪） $=D_{192}=A_{192}-A_{96}=314{64 \over 625}-313{\frac {584}{625}}$

　
: $D_{192}={105 \over 625}$

　
: $A_{192}<C<A_{96}+2\times D_{192}=A_{192}+D_{192}$

　
: $314{64 \over 625}<C<313{584 \over 625}+2\times {105 \over 625}=314{64 \over 625}+{105 \over 625}$

　
: $314{64 \over 625}<C<314{169 \over 625}$

　
: 即

　
: $3.141024<\pi <3.142704$

劉徽認為這個面積已經超過圓面積，所以將 192 邊形的面積的整數部分定為圓面積：

　
: 圓面積～192 邊形面積 = $314{64 \over 625}=314.1024\approx 314$

　
: 所以圓周率 = 圓面積 / 半徑 2 $\approx {\frac {314}{100}}={157 \over 50}(=3.14)$

這就是徽率。

實際上只要計算精確度夠高，劉徽割圓術可以計算到任何精確度，不僅限於二位小數點。

## 圓周率捷法

劉徽在得圓周率 = 3.14 之後，將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發現 3.14 這個數值還是偏小。於是繼續割圓到 1536 邊形，求出 3072 邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率 $={3927 \over 1250}=3.1416$ 。但是劉徽卻不敘述「分割 96 邊形為 192 邊形」，「分割 192 邊形為 384 邊形」，「分割 384 邊形為 768 邊形」，「分割 768 邊形為 1536 邊形」：因為他發現了一個快捷的算法，只要利用 96 邊形的數據經過一次除法和一次加法，就可以獲得和計算到 1536 邊形同等的精確度 $\pi =3.1416$ ，省去了 4 次開方計算；畢竟在三國時代用籌算進行開方相當的繁難。

劉徽圓周率捷法乃是以他素有研究的多邊形面積差為基礎的。

　
: 令 $D_{2N}$ 表示 2N 邊形的面積 $A_{2N}$ 和 N 邊形的面積 $A_{N}$ 差

$$
D_{2N}=A_{2N}-A_{N}
$$

　
: $D_{96}$ ， $D_{192}$ ， $D_{384}$ ， $D_{768}\cdots $ 形成一個等比級數:

　
: $D_{192}\approx {1 \over 4}\times D_{96}$

　
: $D_{384}\approx {1 \over 4}\times D_{192}$

　
: $D_{768}\approx {1 \over 4}\times D_{384}$

　
: 因此

　
: ${\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\frac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\frac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

　
: ${}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.$

其中

　
: $F={\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.$

　
: ${}=\pi =A_{192}+\left({\frac {1}{3}}\right)D_{192}\sim {3927 \over 1250}=3.1416.\,$

劉徽圓周率捷法，可以解釋如下幾個問題：

　
: 1) 為什麼劉徽割圓術以多邊形面積為基礎，因為圓周率捷法必須用到多邊形面積差。

　
: 2) 劉徽對割圓術的陳述為什麼止於 96 邊形。因為他發明了一個便捷的方法，只用 96 邊形數據，就可以算出相當於 1536 邊形 (甚至 12288 邊形) 的精確度。

　
: 3) 晉武庫一段的作者，非劉徽莫屬，而不可能出自祖沖之。面積差法本來就是他推求不等式 $A_{192}<\pi <A_{192}+D_{192}$ 的基礎。從 $\pi <A_{192}+D_{192}$ 到 $\pi <A_{192}+{1 \over 3}\times D_{192}$ 一脈相承。何況九章算術中全無「祖沖之注」的痕跡，而且一字不提祖沖之密率 $\pi \approx {355 \over 113}$ 。

劉徽的 $\pi $ = $3927 \over 1250$ 後來見於印度數學中，足證古印度數學採用劉徽注《九章算術》

## 割圓術迭代公式

如令半徑 = 1，
從

　
: ${}G={\sqrt {r^{2}-{\frac {M^{2}}{4}}}}$

　
: ${}j=r-G$

　
: ${}m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+j^{2}$

可簡化為：

　
: ${}G={\sqrt {1-{\frac {M^{2}}{4}}}}$

　
: ${}m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+(1-G)^{2}$

　
: $m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+1-2\times G+G^{2}$

　
: $m^{2}={\frac {M^{2}}{4}}+1-2\times G+1-{\frac {M^{2}}{4}}$

　
: $m^{2}=2-2\times G=2-2\times {\sqrt {1-{\frac {M^{2}}{4}}}}$

　
: $m^{2}=2-{\sqrt {4-{M^{2}}}}$

　
: 由此可得劉徽割圓術迭代公式：

　
: $2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}$

　
: 圓周率 = 3\*2^N \* m

### π 的連平方根表示式

根據劉徽割圓術迭代公式：

　
: : $2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}$

　
: 圓周率 = 3\*2^N \* m

從半徑 = 1 的內接 6 邊形開始：

　
: 各多邊形的一邊長 m：

　
: $m_{6}=M=1$

　
: ${}m_{12}={\sqrt {2-{\sqrt {2+1}}}}$

　
: ${}m_{24}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}$

　
: ${}m_{48}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}$

　
: ${}m_{96}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}$

半徑 = 1 圓形正內接多邊形面積：

　
: ${}\pi \approx A_{24}=m_{12}\cdot 6={\sqrt {2-{\sqrt {2+1}}}}\cdot 6$

　
: ${}\pi \approx A_{48}=m_{24}\cdot 12={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}\cdot 12$

　
: ${}\pi \approx A_{96}=m_{48}\cdot 24={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}\cdot 24$

　
: ${}\pi \approx A_{192}=m_{96}\cdot 48={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}\cdot 48$

## 祖率

南北朝數學家祖沖之，並沒有發明新的方法計算圓周率，而是將劉徽割圓術的計算，繼續分割到 12288 邊形，又用劉徽多邊形面積公式，求得 24576 邊形的面積：

　
: $A_{24576}=3.14159261864<\pi $ 。

再用劉徽圓周率不等式：

　
: $A_{24576}=3.14159261864<\pi <A_{24576}+D_{24576}$ 。

　
: 其中：

　
: $D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021$

　
: $A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021$ 。

　
: 得不等式：

　
: $3.14159261864<\pi <3.141592706934$ 。

取八位有效數字即得祖沖之著名的圓周率不等式：

　
: $3.1415926<\pi <3.1415927$ 。

祖沖之算得的圓周率準確到小數點後 7 位，保持了世界最準確圓周率達 900 年之久。祖沖之熟悉何承天調日法，以 3 為弱率， 以 4 為強率，通過調日法計算 7 次得圓周率約率 ${22 \over 7}>\pi $ ，計算 23 次得密率 ${355 \over 113}>\pi $ 。

根據調日法計算出來的約率和密率都是強率；所謂約率只意味這個數值和圓周率的誤差較大，並無約率「小於」圓周率的意思。

## 和阿基米德割圓術比較

希臘數學家阿基米德用阿基米德割圓術計算圓周率，他的論證以計算線長為依據，在推導過程中不考慮多邊形面積面積，和劉徽的以面積計算為中心的割圓術成對照。他用兩套不同的方法方法，先多次分割圓的切線，證明 π> ${223 \over 71}$ ；另用內接多邊形，計算到 96 邊形，證明 π< ${22 \over 7}$ ，從而得到不等式

　
: ${223 \over 71}<\pi <{22 \over 7}$ 。

　
: 也就是 $3.140845<\pi <3.142857$

劉徽得到的圓周率弱值 3.141024 和強值 3.142704 都比阿基米德準確。

　
: 十七次調日值　阿基米德弱值 3.140845 ＜ 劉徽弱值 3.141024 ＜ **π** ＜ 二十三次調日值　祖沖之密率 3.14159292035 ＜ 劉徽強值 3.142704 ＜ 七次調日值　阿基米德強值 3.142857 。

。

## 參見

* 割圓術 (趙友欽)
* 《九章算術》

## 參考

## 延伸閱讀

* 吳文俊主編 《中國數學史大系》第三卷 第一章第三節 劉徽的割圓術 152-164 頁 ISBN 7-303-04557-0
* 傅海倫編著 《中外數學史概論》 第四章 第三節 劉徽的割圓術 49-52 頁 ISBN 987-7-03-018477-1