加速

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

**加速度（英語：Acceleration）** 是物理學中的一個物理量，是一個矢量，主要應用於古典物理當中，一般用字母 $\mathbf {a} $ 表示，在國際單位制中的單位為米每二次方秒（ $\mathrm {m/s^{2}} $ ）。加速度是速度矢量對於時間的變化率，描述速度的方向和大小變化的快慢。

在古典力學中，牛頓第二定律說明了力和加速度成正比，這定律又稱為「加速度定律」。假設施加於物體的淨外力為零，則加速度為零，速度為常數，由於動量是質量與速度的乘積，所以動量守恆。在電動力學裏，呈加速度運動的帶電粒子會發射電磁輻射。

## 簡述

簡單地說，速度描述了位置是如何變化的，而加速度描述了速度是如何變化的。比如，水平地向前扔出一個物體，起初它的速度朝向正前，然而由於重力它開始在向前的同時向下墜落，即其速度改變了。這裡改變物體速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。

加速度具有向量性質，即需要用大小和方向同時描述一個加速度。在光滑水平面上向前運動的物體，如果向左或向右施以力，即給予了不同的加速度，則其速度會發生變化（包含了速率及方向），然而向左的加速度和向右的加速度顯然引起了不同的效果。同樣，施力的大小不同，引起的加速度不同，最終的結果也不一樣，亦可以從向量的加成性來看。作為一個矢量，加速度的疊加和分解分別遵循平行四邊形法則和三角形法則。

具體而言，加速度描述的是速度隨時間的變化率。需要注意的是，由於速度也是矢量，因此加速度不為零的物體速度的大小（稱之為速率）也不一定會發生變化，實際上，如果加速度保持與速度垂直，速度大小就一直不會改變，同時方向一直改變。這種情況在生活中最常見的是圓周運動，比如在被拴在一端固定的線的另一端的一個小物體在線保持繃直時做的運動，又比如帶電粒子在僅受靜磁場的勞侖茲力 $\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} $ 時做的運動。

### 直線運動中的平均加速度和瞬時加速度

設質點 A 呈一維運動， $t$ 時刻位於 $x(t)$ 處，經過 $\Delta t$ 時間後位於 $x(t+\Delta t)$ 處，則定義質點 A 在 $t$ 時刻的瞬時速度（簡稱速度）為

　
: $v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

其中， ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ 表示位移對時間的一階導數，在時間 - 位移圖上表現為求斜率。

首先，定義 $t$ 時刻到 $t+\Delta t$ 時刻之間的**平均加速度**為

　
: ${\bar {a}}={\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}$

平均加速度粗略地表示了在該段時間內物體速度的變化情況。如果 $\Delta t$ 越小，該段時間內速度的波動就越小，描述的速度變化情況也就越精細，從而定義質點 A 在 $t$ 時刻的**瞬時加速度**為

　
: $a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} x}{\mathrm {d} t^{2}}}$

瞬時加速度，簡稱加速度。進而有

　
: $v(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}a(t)\mathrm {d} t+v(t_{0})$

在直線運動時，矢量約化為帶符號的純量，其絕對值表示該物理量的大小。速度為正表示向右，速度為負表示向左（二維空間座標中）。加速度與速度方向相同（即符號相同）時表示物體不斷加速，不同則表示物體不斷減速。

右圖畫出了三個質點在 $t=0$ 從坐標原點以相同的速度 $v_{0}$ 出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置 $x$ 關於時間的曲線。可以將其想像為在光滑桌面上，三個木塊以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。

在位移 - 時間圖上，加速度由曲線的凹凸性表示，加速度為正的部分表現為凸函數，反之為凹函數，亦可以從微分的角度來分析。

### 曲線運動中的加速度

設質點 A 在空間中運動，原點 O 指向 A 的矢量 $\mathbf {r} $ 為其矢徑，則可類似定義其速度矢量和加速度矢量為

　
: $\mathbf {v} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}$

　
: $\mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

右圖表現的是一個質點沿一曲線運動的軌跡，表示出了兩次微分的過程，為了清晰表示，這裡使用差分（ $\Delta t$ 並不趨於 0）近似代替了微分，因此表現的是平均速度和平均加速度。可以看出，加速度與速度都具有方向和大小，並且即使在同一時刻兩者方向也不一定相同。加速度與速度方向平行的分量表示速度大小的變化率（相同則加速，相反則減速），而與速度垂直的分量表示速度方向的變化率（速度矢量轉動的角速度）。

在 $\Delta t$ 足夠小時，可以將那一小段曲線運動（稱作元弧）近似看作直線運動或圓周運動。

### 伽利略變換

在古典物理下，即速度遠小於光速、研究宏觀物體時，可以使用伽利略變換來研究不同參考系間的加速度的聯繫，簡單來說就是座標間的轉換，但仍有保持一定的不變量：

　
: $\mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {a} _{\text{rel}}$

其中， $\mathbf {a} $ 為物體在參考系 $S$ 下的加速度， $\mathbf {a} '$ 為物體在參考系 $S'$ 下的加速度， $\mathbf {a} _{\text{rel}}$ 為參考系 $S'$ 在參考系 $S$ 下的加速度。

考慮站在地面看火車上的人拋出一個小球，這個公式表達：小球相對於地面的加速度 $\mathbf {a} $ ，等於小球相對於火車的加速度 $\mathbf {a} '$ 加上火車相對於地面的加速度 $\mathbf {a} _{\text{rel}}$ 。這個式子是矢量表達式，即三個加速度矢量的方向不在同一條直線上時，要使用矢量加法計算。

### 牛頓第二定律

加速度最主要的應用之一是牛頓第二定律。簡單地說，牛頓第二定律表明，感受到淨外力的作用，物體的加速度與淨外力成正比，與質量成反比，加速度方向沿淨力方向，在國際單位制中表示為

　
: $\mathbf {F} =m\mathbf {a} $

其中 $\mathbf {F} $ 表示物體所受淨外力， $m$ 為物體質量， $\mathbf {a} $ 為物體的加速度。

在古典物理下，牛頓第二定律廣泛適用。此外，牛頓第二定律要求所處參考係為慣性參考系。由於古典物理的研究幾乎都會或多或少地涉及到物體在力的作用下的運動，又由於牛頓第二定律和伽利略變換極具簡潔性，所以，牛頓第二定律是古典動力學裏的重要基礎定律，質點運動亦然。

### 慣性力

當帶質量物體加速時，慣性是物體維持原有運動狀態的傾向，慣性力是對於這傾向的衡量。因為慣性力實際上並不存在，只有原本將該物體加速的作用力實際存在，因此慣性力又稱為假想力。更具體而言，根據牛頓第二定律，

　
: $\sum _{i}\mathbf {F} _{i}=m\mathbf {a} $

其中， $\mathbf {F} _{i}$ 是第 $i$ 個作用力， $\mathbf {a} $ 是物體的加速度。

重新編排，可以得到

　
: $\sum _{i}\mathbf {F} _{i}-m\mathbf {a} =0$

設定慣性向量 $\mathbf {I} =-m\mathbf {a} $ ，這物體的動力系統滿足方程式

　
: $\sum _{i}\mathbf {F} +\mathbf {I} =0$

想像這慣性向量為由於加速度運動而產生的一種力，稱為慣性力。因為慣性力與所有作用於這物體的外力的向量總和為零，這動力系統可以視為處於動力平衡狀態。藉著這機制，可以將動力系統約化為靜力系統，用靜力學發展出的方法來解析動力問題。

慣性力在平日生活中其實很常見，例如，停止不動的火車突然向前方加速，則所有站立乘客都會向後方傾移，這便是慣性力效應，從另外一個角度而言也是為了提供乘客們有足夠的摩擦力來進行移動。

### 加加速度

將位移對於時間進行一階求導得到了速度，二階求導得到了加速度。可能會想到，可以通過進行三階求導來得到一個諸如加加速度的物理量。

在工程學中經常需要用到加加速度，特別是在交通工具設計以及材料等問題。交通工具在加速時將使乘客產生不適感，這種不適感不僅來自於**加速度**，也與加加速度有關。在這種情況中，加速度反應人體器官在加速度運動時所感受到的力（見牛頓第二定律），加加速度則反應這作用力的變化快慢。較大的加加速度將會使人體產生相當的不適感，例如在電梯升降，汽車、火車等加速和轉彎的過程中（在這些情況中加速度和加加速度的效應一般會同時存在）。人體需要時間適應加速度的變化，假若加加速度超過安全標準，則可能會發生像車禍造成的頸部扭傷（whiplash）一類的人體傷害。因而在設計交通工具時加加速度是必須考慮的因素。

在物理學裏，加加速度現在主要應用在混沌理論領域。

### 角加速度

角加速度涉及繞著固定軸轉動的物體，例如，想像一個圓盤和一個垂直固定於其中心的木棍，兩隻手合拍住木棍並前後磨擦，造成木棍與圓盤共同轉動（例如，在地上高速旋轉的陀螺，繞著固定點轉動）。在圓盤上做一個標記（如一條半徑），則繞著固定軸轉動的物體可以簡單地用純量角弧（即該標記轉動的角弧）來做定量描述。

旋轉運動可以與直線運動相類比：位移、速度、加速度，分別對應於角弧、角速度、角加速度。直線運動中已有的定律和方法可以直接帶入，用於旋轉運動，例如，使用已有的勻加速直線運動理論來研究勻角加速度固定軸轉動。

在國際單位制中，角加速度的單位為弧度每二次方秒（ $\mathrm {rad/s^{2}} $ ）。其定義式為

　
: $\alpha (t)={\frac {\mathrm {d} \omega (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d^{2}} \theta (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

其中， $\alpha $ 為物體角加速度， $\omega $ 為物體角速度， $\theta $ 為物體轉過的角弧。

## 加速度的分解

處理關於空間加速度矢量的問題，除了直接計算矢量之外，更多的時候可以將加速度按照適當坐標軸分解，即將矢量形式的加速度表示為相互獨立的不同方向上的純量的形式。因為純量的計算要容易很多，因此這是解決問題常用的方法。

### 按坐標系分解

#### 平面直角坐標系

在平面直角坐標系中，

　
: $\mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j} $

其中 $\mathbf {i} $ 和 $\mathbf {j} $ 分別為 _x_、_y_ 坐標軸上的單位矢量，皆為常矢量。

這種分解方式的優點在於，形式簡便，思維簡單；因為單位矢量不會變化，故質點在二個方向上的投影等價於直線運動，並將其疊加，使得問題完全化為代數問題，並且可以直接使用直線運動的已有結論。

#### 極坐標系

在二維空間裡，極坐標系用半徑坐標 $r$ 、角坐標 $\theta $ 來表示質點的位置。半徑坐標是極點與質點的直線距離；角坐標是極點與質點的連線對於極軸的角弧。在任意點的兩個單位矢量分別為沿半徑向外的 $\mathbf {e} _{r}$ 和垂直於半徑指向角坐標正方向的 $\mathbf {e} _{\theta }$ 。不論是直角坐標或是極坐標都可以互相來駔變換，坐標和坐標之間有一定的轉換量，使用以方便所在的坐標系為主。

從極坐標 $r$ 和 $\theta $ 可以計算出直角坐標：

　
: $x=r\cos \theta $

　
: $y=r\sin \theta $

在極坐標系中，位置 $\mathbf {r} $ 、速度 $\mathbf {v} $ 、加速度 $\mathbf {a} $ 分別為

　
: $\mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r}$

　
: $\mathbf {v} =r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}$

　
: $\mathbf {a} =\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }$

##### 極坐標系分解的推導

兩個單位矢量 $\mathbf {e} _{r}$ 、 $\mathbf {e} _{\theta }$ 會隨質點所處位置不同而變化，並可通過分析得出結論，在質點運動的時候

　
: $\mathrm {d} \mathbf {e} _{r}=\mathrm {d} \theta \mathbf {e} _{\theta }$

　
: $\mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }=-\mathrm {d} \theta \mathbf {e} _{r}$

其中，經過微小時間 $\mathrm {d} t$ 後，單位矢量 $\mathbf {e} _{r}$ 、 $\mathbf {e} _{\theta }$ 的微小變化分別為 $\mathrm {d} \mathbf {e} _{r}$ 、 $\mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }$ 。

應用微分的萊布尼茲法則

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(a\ b)=a\ {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} t}}+b\ {\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}$

在極坐標系下，速度 $\mathbf {v} $ 、加速度 $\mathbf {a} $ 分別為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {v} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(r\mathbf {e} _{r})\\&=r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}\\\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{r}\right)\\&=r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {e} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {e} _{r}}{\mathrm {d} t}}\\&=-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\mathbf {e} _{r}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\theta }\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }\\\end{aligned}}$

#### 按自然坐標系分解

假設一個質點移動於二維平面。在質點軌道的任意位置，二維自然坐標系的一個坐標軸方向（切向）保持與軌道切線方向平行，另一個坐標軸方向（法向）則與軌道法線平行。分解按右圖。向量可以無限地做拆解，所以只需要選擇對於分析最有利的為主！通常以切線方向和法線方向來分解。

簡單地說，加速度的切向分量 $a_{\text{t}}$ 表示速度大小的變化，加速度的法向分量 $a_{\text{n}}$ 表示速度方向的變化，即

　
: $a_{\text{t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

　
: $a_{\text{n}}={\frac {v^{2}}{\rho }}$

其中， $v$ 為此時刻的速度大小， $\rho $ 為此時刻的曲率半徑。

### 按功能分解

#### 等速率圓周運動 向心加速度

若質點以不變的速率（速度大小）沿著圓周繞著圓心運動，則質點呈等速率圓周運動，質點具有向心加速度 $\mathbf {a} _{n}$ ，其方向保持沿半徑方向向裏（因此不斷變化），大小為

　
: $a_{\text{n}}=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}$

其中， $\omega $ 是角速度。

這公式也可以從極坐標系分解中，代入與等速率圓周運動相關的特殊值得到。更一般的情況下（非等速率圓周運動），以矢量來表示，

　
: $\mathbf {a} _{\text{n}}=\mathbf {\omega } \times (\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} )$

在矢量式中，令沿半徑向外為正。在平面的情況下，該矢量式約化為上述純量式，這時會得到一個負號，通常以圓座標來表示最為合適。

假設，在一根繩子的一端系上一個小物體（比如石頭），另一端握在手中，大致保持手不動而水平旋轉，則手會明確地感受到繩子的拉力，該拉力的反作用力在繩子的另一端表現為向心力，提供小物體的向心加速度。當轉得越快，向心力會越大，可以定性地驗證上述向量式。從這個實驗，可以看出，向心加速度總是使物體趨向於朝著圓心做運動；如果沒有繩子施予向心力，物體一定會飛奔出去。

再舉一個例子，在遊樂場的巨大旋轉圓盤上，大部分遊客都會站立不穩，總是會向外摔倒，這是因為缺乏向心力施予於遊客。在旋轉圓盤的非慣性系中，遊客會感受到慣性力，但由於缺乏向心力，無法達成平衡狀態，因此被向外「甩」出去，這慣性力又稱為離心力，人們以這個原理製成了離心機。

上述公式不但對於從等速率圓周運動成立，也可以應用於各種圓周運動、甚至任意曲線運動，只是上述的 $v$ 和 $\omega $ 應理解為該時刻的瞬時物理量， $r$ 應以曲率半徑 $\rho $ 替代，表示的是物體的加速度在垂直於路徑方向的分量。

##### 向心加速度的推導

如等速率圓周運動圖所示，某一時刻質點速度為 $\mathbf {v} _{1}$ ，極短時間 $dt$ 過後，質點沿圓周前行，速度變成 $\mathbf {v} _{2}$ 。因為是等速率圓周運動，速度大小保持為 $v$ ，但方向會保持與圓相切（垂直於半徑 $r$ ），不斷改變。關注圖的左上部分，當 $\beta $ 使用弧度值時，速度大小的改變 $dv$ 在 $d\beta $ 極小時近似於 $vd\beta $ ，方向大約沿半徑向裏，則該段時間內的平均加速度大小為

　
: $a_{\text{n}}=v{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} t}}=v\omega $

其中，角速度 $\omega ={\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} t}}$ 。

以上「近似」在 $dt\to 0$ 時精確成立。又因為

　
: $v=\omega r$

所以，

　
: $a_{\text{n}}=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}$

#### 科里奧利效應

給定固定參考系 _S_ 與旋轉參考系 _S'_，從固定參考系 _S_ 觀察，旋轉參考系 _S'_ 以勻角速度轉動。移動於旋轉參考系 _S'_ 的質點因為運動速度而產生的偏轉效應，稱為「科里奧利效應」，這是為紀念法國科學家賈斯帕 - 古斯塔夫・科里奧利而命名。

舉例而言，設想一個巨大的圓盤在地上繞著定點勻角速度轉動（定點運動），而這定點為圓盤的圓心，在圓盤上沿半徑方向有一個直導軌，一個物體被限制在導軌上運動，從圓心勻速向外移動。從地上（固定參考系）觀察，物體的軌跡不是一條直線，而是一條弧形或者螺旋形路線，物體也會感受到導軌的約束力，其方向垂直於導軌，並且指向圓盤旋轉方向（不是角速度向量的方向），這約束力促使物體朝著圓盤旋轉方向加速，使物體的軌跡呈弧形或螺旋形。從圓盤（旋轉坐標系）觀察，物體所感受到的科里奧利力會與導軌施予的約束力相抵消，因此，物體只會呈直線運動。假若，導軌不存在，則物體會逆著圓盤旋轉方向以科里奧利加速度運動。

在科里奧利效應裏，參考系 S' 的物體的柯里奧利加速度與感受到的科里奧利力分別為

　
: $\mathbf {a} _{\text{cor}}=-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} $

　
: $\mathbf {F} _{\text{cor}}=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} $

其中 $\mathbf {a} _{\text{cor}}$ 為科里奧利加速度， ${\boldsymbol {\Omega }}$ 為參考系 S' 在參考系 S 中的角速度矢量， $\mathbf {v} $ 為物體在參考系 _S'_ 中的速度矢量。

在氣象學裏，科里奧利力使得熱帶氣旋在沒有強引導氣流影響下移向兩極。 熱帶氣旋靠近兩極部分含有東風，科里奧利力會將東風拉向兩極；靠近赤道部分含有西風，科里奧利力會將西風拉向赤道。在地球上越接近赤道科里奧利力會越弱，所以科里奧利力影響熱帶氣旋靠近兩極部分會較靠近赤道部分為多。因此，在沒有其他引導氣流抵消科里奧利力的情況下，北半球的熱帶氣旋一般會向北移動，而南半球的熱帶氣旋則會向南移動。

科里奧利力也會開啟氣旋系統的旋轉，但驅動高速度旋轉的主要因素，不是科里奧利力，而是凝結熱。

#### 歐拉力

給定固定參考系 _S_ 與旋轉參考系 _S'_，從固定參考系 _S_ 觀察，旋轉參考系 _S'_ 以非勻角速度 ${\boldsymbol {\Omega }}$ 轉動。從旋轉參考系 _S'_ 觀察，物體因這非勻角速度而感受到的虛設力（fictitious force）稱為「歐拉力」，產生的加速度稱為「歐拉加速度」。歐拉力 $\mathbf {F} _{\text{Euler}}$ 與歐拉加速度 $\mathbf {a} _{\text{Euler}}$ 之間的關係式為

　
: $\mathbf {F} _{\text{Euler}}=m\mathbf {a} _{\text{Euler}}$

設想一個巨大的圓盤在地上繞著定點轉動，而這定點為圓盤的圓心。在圓盤的非圓心位置固定一個物體。圓盤呈非勻角速度運動，則從旋轉參考系 S' 觀察，延著物體的圓形軌跡切向（不是角速度向量的方向），此物體的受力是歐拉力。

歐拉加速度的一般公式為

　
: $\mathbf {a} _{\text{Euler}}=-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} $

其中， $\mathbf {r} $ 是物體在旋轉參考系 S' 的位置。

歐拉力為

　
: $\mathbf {F} _{\text{Euler}}=-m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} $

## 幾種特殊的運動

以下為幾種特殊的運動，因為在不同的模型下質點常被不同地近似處理，並且可以得出的結論較之上面的積分式常能極大地簡省計算量，故有研究的價值。最常運用的就是拋體運動，以及自由落體。

### 勻速直線運動

若某質點保持加速度 $a=0\,\!$ ，則其速度 $\mathbf {v} \,\!$ 的大小和方向不會變化，質點將保持在同一直線上以同一速率（速度大小）運動，這種運動被稱作勻速直線運動。特殊地，若速度 $v=0\,\!$ ，則質點靜止。

勻速直線運動主要出現在牛頓第一定律中，該定律表示：「不受任何力或受淨力為零的物體作勻速直線運動。」由於自然界中大部分力的隨距離增大而減小，故離所有其它物體足夠遠的某一物體的運動能夠在足夠的精度下被近似為勻速直線運動。這種近似常被用於尋找慣性參考系和粒子物理學的運算當中。

### 勻變速直線運動

若某作質點作直線運動並保持加速度 $a\,\!$ 恆定，則質點作勻變速直線運動。在這種情況下，若 $t=0\,\!$ 時刻速度為 $v_{0}\,\!$ ， $t\,\!$ 時刻速度為 $v(t)\,\!$ ，位移為 $s(x)\,\!$ ，則可由上面積分式得出

　
: $v(t)=v_{0}+at\,.$

　
: ${\begin{aligned}s(t)&=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}t\\\end{aligned}}$

以及得出

　
: $a={\frac {v(t)^{2}-v_{0}^{2}}{2s(t)}}$

#### 自由落體運動 重力加速度

自由落體運動是指初速度為 0，加速度恆為豎直向下

的重力加速度 g 的運動，在地球上大約有 $g=9.8\operatorname {m\cdot s^{-2}} $ 。自由落體運動是勻變速直線運動的一種特殊情況。自由落體運動是將地球上的物體下落的狀況進行理想化的抽象模型，當物體在地面附近，且所受空氣阻力遠小於其重力時，在一定精度內可被視作自由落體運動。

### 加速度恆定的運動

加速度是一個矢量，因此「加速度恆定」暗示加速度的大小和方向都不隨時間變化。

當加速度 $\mathbf {a} \,$ 與速度 $\mathbf {v} \,$ 不在同一條直線上時，選取適當的坐標系，可以將其按照平面直角坐標系分解，使質點的運動在其中一個坐標軸上的投影為勻速直線運動，另一個方向上為勻變速直線運動。根據獨立作用原理，兩者的合運動（即質點的軌跡）為一條拋物線的一部分。

#### 拋體運動

拋體運動具體包括平拋運動和斜（上、下）拋運動，和自由落體運動類似，它是在地球上向不同方向拋出的物體在忽略空氣阻力的情況下的運動狀況進行理想化的抽象模型。物體擁有一個非豎直方向的不為零初速度 $\mathbf {v_{0}} \,\!$ ，和豎直向下、大小恆定為重力加速度 g 的加速度，落地前的軌跡為一條拋物線的一部分。這也正是拋物線名字的由來。

### 簡諧運動

再一個例子是簡諧運動，即質點在正弦或餘弦函數形式下的一維運動，一般形式為

　
: $x=A\cos(\omega t+\phi _{0})\,.$

其中， $A\,$ 為振幅， $\omega \,$ 為角頻率， $\phi _{0}\,$ 為初相位。將其對時間求導後可得出

　
: $v=-A\omega \sin(\omega t+\phi _{0})\,$

　
: $a=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\phi _{0})$

由此也可以得出一些有趣的結論，如在任一時刻，

　
: $a=-x\omega ^{2}\,$

　
: $A^{2}=\left({\frac {a}{\omega ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {v}{\omega }}\right)^{2}\,$

## 加速度的應用

### 電磁輻射

加速度的另一個重要應用之處是帶電粒子的電磁輻射（即手機和收音機使用所需要的信號來源）。通過對馬克士威方程組的研究，可以將帶電粒子產生電磁輻射的規律概括性地定性總結為：帶電粒子的加速度產生電磁輻射，並且電磁輻射的強度和加速度大小正相關。電磁輻射常見於用帶電粒子的碰撞實驗中。這類實驗的一個早期著名例子是拉塞福用電子碰撞金箔的實驗，這個實驗導致了對原子結構的深入探索。而這類實驗至今廣泛見於在各種大型粒子對撞機中，帶電粒子以很高的速度運動，經受撞擊後變慢、靜止甚至反彈回來，這個過程中顯然速度發生劇烈改變，一定經受了加速度不為零的過程，也一定會放出輻射。這樣產生的輻射被稱為軔致輻射。

加速度產生電磁輻射的另一個很典型的例子是迴旋加速器（迴旋輻射）。帶電粒子在迴旋加速器中作圓周運動，每半圈加速一次，同時運動半徑增大從而形成螺旋軌道，最後以很高的速度射出。圓周運動需要向心加速度來維持，當速度相當高時，加速度太大以至於因為電磁輻射損失的能量過多，導致迴旋加速器實際對粒子的加速作用有上限。光速可比擬時，這時因為相對論效應而需使用同步加速器。這樣產生的光能量高、偏振高，並且集中在一個很小的錐角里（相對論效應導致的前燈效應），因此是很好的大型物理用同步輻射光源。

### 狹義相對論

狹義相對論用於速度可以和光速相比擬時的運動，並且要求參考系是慣性系。在狹義相對論中，加速度的定義沒有改變。然而，由於在狹義相對論中，不同的參考系有不同的時間和空間度量標準，即當前參考系中的加速度為**當前**參考系中的位移對**當前**參考系中的時間的二階導數，因此在參考系變換（勞侖茲變換）時變得複雜很多。

設有兩個參考系 $S$ 、 $S'$ ，在空間直角坐標系中，三個坐標軸相對應平行，在 $t=t'=0$ 時刻兩坐標系原點對齊，在 $S$ 中 $S'$ 以速率 $v$ 沿 _x_ 正方向運動。

同一事件在兩個參考系中的時空坐標 $(x,y,z,t)$ 、 $(x',y',z',t')$ 變換如下：

　
: ${\begin{cases}x=\gamma (x'+vt)\\y=y'\\z=z'\\t=\gamma \left(t'+{\cfrac {v}{c^{2}}}x\right)\\\end{cases}}$

其中，單撇符號 $'$ 標示該物理量是在 $S'$ 下的測量， $\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ 是勞侖茲因子，用 $\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right)$ 表示一質點的速度， $\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)$ 表示其加速度。表示定義式如下

　
: ${\begin{cases}{\cfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u_{x}\\{\cfrac {\mathrm {d} u_{x}}{\mathrm {d} t}}=a_{x}\end{cases}}$

y、z 方向的定義式與之類似。綜合該定義式，利用坐標轉換的 t 部分，將坐標轉換的 x、y、z 連續兩次進行一階求導。

通過展開，可以得到

　
: ${\begin{cases}a_{x}={\cfrac {a'_{x}}{\gamma ^{3}\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}={\cfrac {1}{\gamma ^{2}}}\left[{\cfrac {a'_{y}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\cfrac {{\frac {vu'_{y}}{c^{2}}}a'_{x}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\right]\\a_{z}={\cfrac {1}{\gamma ^{2}}}\left[{\cfrac {a'_{z}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\cfrac {{\frac {vu'_{z}}{c^{2}}}a'_{x}}{\left(1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\right]\\\end{cases}}$

其中， $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 是勞侖茲因子。

可以看出，在狹義相對論中，加速度的變換公式冗長而複雜，各分量的公式也極不相似。再加上如果要考慮到力，雖然 $\mathbf {F} =m\mathbf {a} $ 仍然成立，但質量也會變得隨參考系的不同而不同。以上原因導致加速度在牛頓力學中那種因為簡潔而具有的優越性，在狹義相對論中不復存在，必須使用更有功能的數學工具，即張量分析。

### 廣義相對論

在廣義相對論中和在量子力學中，大都是從能量、動量等的角度出發（類似於分析力學），而很少會像牛頓第二定律一樣涉及到作用力；實際上，即使在需要表示出「位移的二階導數」這一個量的時候，會趨向於直接使用 ${\ddot {x}}$ ，等價於 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ ，來求解微分方程式。因此，加速度在進階理論中較少被用到。

運用到加速度的其中一個例子是等效原理，簡單地說，它敘述了觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力。比如，觀測者站在地球上靜止的電梯廂中向前方拋球，球會向下墜落，是因為地球的引力；而在遠離任何星體的宇宙中的一個電梯廂，在以重力加速度 $g$ 向上（定義觀測者踩到的地面為下）加速運動時，觀測者拋出一個球，仍然會向「下」墜落，是因為慣性力。作為在封閉電梯廂中的觀測者無法分辨這兩種情況，愛因斯坦據此提出，引力與慣性力等價。等效原理是廣義相對論中的支柱性原理之一。

## 參見

* 慣性力

## 參考文獻