停時

在概率論中，尤其在隨機過程的研究中，**停時**是一種特殊的「隨機時刻」。

停止規則和停時理論常在概率論和統計學中被提到和應用，其中著名的有可選抽樣定理。停時同時在數學證明中也被頻繁應用 ——「馴服時間這一連續統」
。

## 定義

對於一列隨機變量 $\{X_{1},X_{2},...\}$ ，停時 $\tau $ 是一個隨機變量：對 $\forall t\in \{0,1,2,...\}\cup \{\infty \},\tau =t$ 能否出現僅依賴於 $X_{1},X_{2},...,X_{t};P(\tau <\infty )=1$ ，即 $\tau $ 是幾乎必然有限的 —— 儘管有部分書的作者忽略了這個條件。停時在決策論中亦有出現，稱為**停時規則**，其中停止規則被描述為在彼時位置和已發生的事件已知的情形下對繼續還是停止一個過程的決定機制，而且幾乎總是會產生在某時刻停止的決定。

另外，更一般化的定義可以 σ 域流的形式給出：設 $(I,\leq )$ 是一個偏序集（常常使用 $I=[0,\infty )$ 或其一個緊子集）， $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )$ 是一個有過濾結構的概率空間，則隨機變量 $\tau :\Omega \to I$ 被稱為一個停時，若 $\forall $ $t$ $\in $ $I$ ， $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ 。為了防止混淆，我們稱其為 ${\mathcal {F}}_{t}$ - 停時，並明確指定其篩選規則。

也就是說， $\tau $ 作為停時，根據對 ${\mathcal {F}}_{t}$ 的了解，我們可以判斷 $\{\tau \leq t\}$ 是否已經發生。

## 例子

為了解釋一些是或不是停時的隨機時刻，考慮一個玩輪盤賭的賭徒，其具有典型的賭場優勢，初始時刻賭資為 100 元：

* 賭且只賭一次，對應於停時 _$\tau $_ = 1，且這是一個停止規則（在停時概念中決定何時停止的規則或條件）。
* 當賭徒破產或贏得 500 元錢時停止賭博是一個停止規則。
* 當賭徒獲得他所能贏得的最大賭資 (此時刻之前以及之後) 時停止賭博不是一個停止規則，且不提供一個停止規則：因為它不僅需要此刻和過去的信息，還需要將來的信息。
* 當賭徒使其賭資翻倍時（資產為負時若必要則允許貸款）不是一個停止規則，因為只有單邊，而且他永遠不能使他的賭資翻倍的概率是正的。（這裡假設存在限制使得備註訣竅體系（加倍賭注法）或者其變異方法（比如將上次的賭金翻三倍下注）不能被使用。這類限制可以包括針對投注的但並不針對借款。）
* 當賭徒使其賭資翻倍或破產時停止賭博是一個停止規則，雖然賭徒賭博的總次數實際上並不一定是有限的，但，他在有限時間內停下來的概率是 1。

## 局部化

停時經常被用來概括一些情景具備的隨機過程特性，在這些情景中需要的條件只在局部意義上被滿足。首先，如果 $X$ 是一個（隨機）過程， $\tau $ 是它的一個停時，那麼 $X^{\tau }$ 就用來表示過程 $X$ 在 $\tau $ 時刻停止。

　
: $X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}$

那麼， $X$ 被認為局部滿足 $P$ 特性，若存在一列停時 $\tau _{n}$ ， $n\to \infty $ ， $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ 滿足特性 $P$ 。常見的例子如下面兩個，其中 $I=[0,\infty )$ ：.

* （**局部鞅**）過程 $X$ 是一個局部鞅，若它是右連續有左極限的，且存在一列停時 $\tau _{n}$ ， $n\to \infty $ ，使得 $1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}$ 對 $\forall n\in N$ 是一個鞅。
* （**局部可積**）非負連續的過程 $X$ 是局部可積的，若存在一列停時 $\tau _{n}$ ， $n\to \infty $ ，使得 $\forall n\in N$ ， $\mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty $ 。

## 停時的類型

停時（表示時間的下標取自 $I=[0,\infty ]$ ）常常依據發生時間能否預測被分成幾類。

若 $\exists {\tau _{n}}$ ， $n\in N$ ， $\forall n$ ，滿足 $0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau $ ，有 $lim_{n\to \infty }x_{n}$ ，則停時 $\tau $ 是**可預測的**。 ${\tau _{n}}$ 被稱為 $\tau $ 的預告，可預測的停時有時則被稱作「可預告的」。例子有連續的適應過程的到達時間。取 $a\in R$ ，設 $X$ 是實值連續過程，若 $\tau $ 是第一個使得 $X=a$ 的時刻，則 $\tau $ 是可被 $\tau _{n}$ 逼近的，即 $\tau _{n}$ 是第一個使得 $|X-a|<1/n$ 的時刻。

可被一列可預測的時刻覆蓋的停時稱為**可接近的**。即， $\tau $ 是可接近的，若：對於部分 $n$ ， $P(\tau =\tau _{n})=1$ ，其中 $\tau _{n}$ 是可預測的時刻。

若停時 $\tau $ 不能被任何遞增的停時序列所逼近，則稱為**完全不可接近的**。等價地， $P(\tau =\sigma <\infty )=0$ ，其中 $\sigma $ 是任取的可預測的時刻。例如泊松跳躍。

每個停時 $\tau $ 都可被惟一分解為一個可接近的時刻和一個完全不可接近的時刻。即，存在惟一的可接近的停時 $\sigma $ 和惟一的完全不可接近的 $\upsilon $ ，使得凡有 $\sigma <\infty $ 則 $\tau =\sigma $ ，凡有 $\upsilon <\infty $ 則 $\tau =\upsilon $ ，若 $\sigma =\tau =\infty $ ，則 $\tau =\infty $ 。在此分解結果中需要說明的是，其中的停時並不一定總是有限的，也可以等於 $\infty $ 。

## 參見

* 最優停止問題
* 秘書問題
* 首中時
* 停止過程
* 停車問題

## 參考文獻

* Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4.

### 延伸閱讀

* Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
* An introduction to stopping times.
* F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)
* Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.