光学克尔效应

**克爾效應**（Kerr effect），也稱「二次電光效應」，是物質因響應外電場的作用而改變其折射率的一種效應。克爾效應與泡克耳斯效應不同，前者感應出的折射率改變與外電場平方成正比，後者則與外電場成線性關係；前者可以在液體或非晶物質出現，後者只出現於沒有對稱中心的晶體物質。克爾效應或多或少會出現在每一種物質，但在某些液體會比較顯著。這效應最先由蘇格蘭科學家約翰・克爾（John Kerr）在 1878 年發現。

克爾效應又分為克爾電光效應與克爾光學效應。

## 克爾電光效應

克爾電光效應又稱為「直流克爾效應」。假設施加緩慢外電場於物質樣品，即在連結樣品兩端的電極之間施加電壓，在這影響下，樣品會變為具有雙折射性質，對於光波的偏振平面平行與垂直於外電場的兩種方向，會出現不同的折射率，其差值 $\Delta n$ 為

　
: $\Delta n=\lambda KE^{2}$ ；

其中， $\lambda $ 是光波的波長， $K$ 是「克爾常數」， $E$ 是電場。

假設光波入射於樣品的方向垂直於外電場，則折射率的不同會使得這樣品的物理性質類似波片（waveplate）。假若置放物質於兩塊正交偏振片之間（請參閱條目偏光儀（polariscope）），當設定外電場為零之時，不會有任何光波透射過這兩塊正交偏振片；但當設定外電場為某最佳值之時，幾乎全部光波會透射過這兩塊正交偏振片。

某些極性液體，例如一硝基甲苯（C7H7NO2）、硝基苯（C6H5NO2），會展示出很大的克爾常數。「克爾盒」指的是裝滿了這種液體的小盒。因為克爾效應對於電場變化的響應速度很快，克爾盒時常被用來調制光波，頻率可高達 10 GHz，可以用來製作電控光開關，在高速攝影、雷射通訊方面很有用處，是未來光聯網的重要技術。；由於克爾效應相當微弱，典型的克爾盒需要電壓高達 30 kV 才能達到完全透明。泡克耳斯效應的工作電壓比這低很多。克爾盒的另一大缺點是製作材料硝基苯具有毒性。克爾盒光調制器也可以採用某些透明晶體為克爾效應材料，雖然他們的克爾常數較小。

在有些缺乏反演對稱性的介質裏，克爾效應通常會被更強勁的泡克耳斯效應屏蔽；但是，克爾效應仍舊存在，時常可以獨立地被探測到，不論泡克耳斯效應的貢獻有多強勁。

## 克爾光學效應

克爾光學效應又稱為「交流克爾效應」。在克爾光學效應裏，光波本身的電場造成了折射率的改變，這改變與光波的局域輻照度有關。折射率的變化促成了自聚焦（self-focusing）、自調相（self-phase modulation）、調制不穩定性（modulational instability）的非線性光學效應，是克爾透鏡鎖模技術（Kerr-lens modelocking）的基礎機制。只有當光束非常強勁時，這效應才會變得很顯著，例如，雷射所產生的雷射束。

## 磁光克爾效應

在磁光克爾效應裏，從磁性物質反射出來的光波，其偏振平面會稍微偏轉。這效應與法拉第效應類似，在法拉第效應裏，透射光的偏振平面會稍微偏轉。

## 理論

### 直流克爾效應

在介質裏，電極化向量 $\mathbf {P} $ 與電場 $\mathbf {E} $ 的關係為

　
: $\mathbf {P} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(1)}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(2)}\mathbf {EE} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(3)}\mathbf {EEE} +\cdots $ ，

其中， $\varepsilon _{0}$ 是電常數， ${\boldsymbol {\chi }}^{(n)}$ 是介質的第 n 階電極化率張量。

這是個張量公式。採用直角坐標系，x 坐標、y 坐標、z 坐標分別以下標 1、2、3 代表，這公式表示為

　
: $P_{i}=\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\chi _{ijkl}^{(3)}E_{j}E_{k}E_{l}+\cdots $ 。

在這公式的右手邊，第一項是介質的線式響應，所產生的電極化向量與電場成正比；第二項給出了泡克耳斯效應；第三項給出了直流克爾效應。對於展示出不可忽略的克爾效應的物質，第三項很重要。經過一番運算，第三項以方程式表示為

　
: $P_{i}(\omega )=3\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\chi _{ijkl}^{(3)}(\omega ;0,0,\omega )E_{j}(0)E_{k}(0)E_{l}(\omega )$ 。

在這公式裏，物理量右邊圓括號內的角頻率表示這物理量必須具有的角頻率數值，否則，整個乘積為零。第 3 階電極化率張量 ${\boldsymbol {\chi }}^{(3)}$ 有 34=81 個分量，假設介質為結構各向同性，則由於對稱性，只會有 21 個非零分量，分為 4 種數值:

　
: $\chi _{1}=\chi _{iiii}$ 、

　
: $\chi _{2}=\chi _{jjkk}$ 、

　
: $\chi _{3}=\chi _{jkjk}$ 、

　
: $\chi _{4}=\chi _{jkkj}$

其中，下標 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 的數值可以是 1、2 或 3，但是 $j\neq k$ 。

設想外電場 $\mathbf {E} _{0}$ 的方向為 ${\hat {y}}$ ：

　
: $\mathbf {E} _{0}=E_{0}{\hat {y}}$ 。

光波的的傳播方向為 ${\hat {z}}$ ，光波的電場為

　
: $\mathbf {E} _{L}=(E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}})\cos(kz-\omega t)$ 。

兩個電場合併為

　
: $\mathbf {E} =E_{0}+\mathbf {E} _{L}=\mathbf {E} _{0}{\hat {y}}+(E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}})\cos(kz-\omega t)$ 。

則所有涉及到 z - 坐標的分量都可以被忽略，

將這電場代入第三項，可以得到電極化向量的第三項部分，其 x - 分量、y - 分量分別為

　
: $P_{x}=3\varepsilon _{0}\chi _{xyyx}E_{0}E_{0}E_{x}=3\varepsilon _{0}\chi _{2}E_{0}E_{0}E_{Lx}$ 、

　
: $P_{y}=3\varepsilon _{0}\chi _{yyyy}E_{0}E_{0}E_{y}=3\varepsilon _{0}\chi _{1}E_{0}E_{0}E_{Ly}$ 。

由於直流電場的作用，朝著 x、y 兩個方向的電極化向量造成了折射率不同，因此產生雙折射現象：

　
: $\Delta n=n_{\parallel }-n_{\perp }\approx {\frac {3\varepsilon _{0}(\chi _{2}-\chi _{1})E_{0}E_{0}}{2n}}$ ；

其中， $n_{\parallel }$ 、 $n_{\perp }$ 是偏振光的偏振平面與直流電場分別平行、垂直時傳播於介質的折射率， $n$ 是當沒有直流電場時傳播於介質的折射率。

因此，可以將介質的克爾常數定義為

　
: $K\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{\lambda _{0}E_{0}^{2}}}$ ；

其中， $\lambda _{0}$ 是光波傳播於自由空間的波長。

### 交流克爾效應

在交流克爾效應裏，傳播於介質的光波，假若輻照度夠強勁，就可以自己提供調製電場，不需要施加外電場。對於這案例，假設偏振光的電場為

　
: $\mathbf {E} =E_{y}\cos(\omega t){\hat {y}}$ ；

其中， $\mathbf {E} _{y}$ 是光波的波幅。

將這公式代入偏振方程式，只取線性項與第三項，可以得到

　
: $P_{y}\simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+{\frac {3}{4}}\chi ^{(3)}|E_{y}|^{2}\right)E_{y}\cos(\omega t)$ 。

這像是個線性項和額外的非線性項總和在一起的電極化率：

　
: $\chi =\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }=\chi ^{(1)}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{4}}|E_{y}|^{2}$ 。

由於折射率為

　
: $n=(1+\chi )^{1/2}=\left(1+\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }\right)^{1/2}\simeq n_{0}\left(1+{\frac {1}{2{n_{0}}^{2}}}\chi _{\mathrm {NL} }\right)$ ；

其中， $n_{0}=(1+\chi _{\mathrm {LIN} })^{1/2}$ 是線性折射率。

由於 $\chi _{\mathrm {NL} }\ll n_{0}\,^{2}$ ，應用泰勒展開，可以得到與輻射度有關的折射率：

　
: $n=n_{0}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{8n_{0}}}|E_{y}|^{2}=n_{0}+n_{2}I$ ；

其中， $n_{2}$ 是二次非線性折射率， $I$ 是光波的輻照度。

對於這光波傳播於介質的案例，折射率的變化與光波的輻照度成正比。

大多數介質的 $n_{2}$ 相當微小，一般玻璃的 $n_{2}$ 大約為 10-20 m2 W-1。因此，光波的輻射度至少必須為 1 GW cm-2 才能使得折射率通過交流克爾效應產生顯著變化。

與輻射度有關的折射率是一種非常重要的三次過程，又分為空間調製與時間調製兩種過程。空間調製過程可以改變光束的傳播。時間調製可以改變光波的波幅與相位結構。

藉著空間調製折射率，傳播於介質的強勁光束會改變這介質的折射率，這改變的圖樣模仿光束的橫向輻照度圖樣。例如，高斯光束會造成高斯折射率剖面，類似漸變折射率透鏡（gradient-index lens）所產生的效應；越接近光束的中間區域，折射率越高；越接近邊緣區域，折射率越低。由於介質折射率被改變，使得光束在介質內自動聚焦，這現象稱為自聚焦（self-focus）。

由於光束的自聚焦，峰值輻照度會增加，因此又更加自聚焦。假若這效應贏過了對抗的衍射，則自聚焦會成為主導物理機制，光束會變得越來越狹窄，這時，假若操作不當，則會造成光束塌縮災難，從而損毀介質。

自聚焦與衍射彼此對抗抵銷，這意味著，對於每一種介質，存在一個閾值，只要輻照度不超過這閾值，就不會發生損毀。但是，另一種稱為「小尺寸自聚焦」的現象，會造成局域熱點與光束絲狀形成。為了避免這類問題出現於雷射系統，通常，會先使用空間過濾器將光束波前的粗燥部分加以平滑。

## 相關條目

* B 積分

## 註釋

## 參考文獻