傅里叶积分

**傅立葉轉換**（法語：Transformation de Fourier，英語：Fourier transform，縮寫：FT）是一種線性積分轉換，用於函數（應用上稱作「信號」）在時域和頻域之間的轉換。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫・傅立葉系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。

傅立葉轉換在物理學和工程學中有許多應用。傅立葉轉換的作用是將函數分解為不同特徵的正弦函數的和，如同化學分析來分析一個化合物的元素成分。對於一個函數，也可對其進行分析，來確定組成它的基本（正弦函數）成分。

經過傅立葉轉換生成的函數 ${\hat {f}}$ 稱作原函數 $f$ 的傅立葉轉換，應用意義上稱作**頻譜**。在特定情況下，傅立葉轉換是可逆的，即將 ${\hat {f}}$ 通過逆轉換可以得到其原函數 $f$ 。通常情況下， $f$ 是一個實函數，而 ${\hat {f}}$ 則是一個複數值函數，其函數值作為複數可同時表示振幅和相位。高斯函數是傅立葉轉換的固有函數。

## 定義

一般情況下，若「傅立葉轉換」一詞不加任何限定語，則指的是「連續傅立葉轉換」（連續函數的傅立葉轉換）。定義傅立葉轉換有許多不同的方式。本文中採用如下的定義：（連續）傅立葉轉換將可積函數 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} $ 表示成複指數函數的積分形式或級數形式。

　
: ${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx$ ， $\xi $ 為任意實數。 $\xi $ 的定義域為頻域。

若約定自變數 $x$ 表示_時間_（以秒為單位），轉換變數 $\xi $ 表示頻率（以赫茲為單位）。在適當條件下， ${\hat {f}}$ 可由**逆傅立葉轉換**（inverse Fourier transform）由下式得到 $f$ ：

　
: $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi $ ， $x$ 為任意實數。 $x$ 的定義域為時域。

傅立葉逆定理表明 $f$ 可由 ${\hat {f}}$ 確定，傅立葉在其 1822 年出版的著作《熱分析理論 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》（法語：Théorie analytique de la chaleur）中首次引入這個定理。雖然現在標準下的證明直到很久以後才出現。 $f$ 和 ${\hat {f}}$ 常常被稱為_傅立葉積分對_ 或_傅立葉轉換對_。

## 簡介

傅立葉轉換源自對傅立葉級數的研究。在對傅立葉級數的研究中，複雜的週期函數可以用一系列簡單的正弦或餘弦波之和表示。傅立葉轉換是對傅立葉級數的擴展，由它表示的函數的週期趨近於無窮。

## 應用

傅立葉轉換在醫學、數據科學、物理學、聲學、光學、結構力學、量子力學、數論、組合數學、機率論、統計學、信號處理、密碼學、大氣科學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。例如在信號處理中，傅立葉轉換的典型用途是將複雜的信號分解成具有不同振幅的單一頻率分量，並以此實現濾波等操作；進一步的，量子力學中位置空間的波函數的傅立葉轉換是動量空間的波函數。

## 基本性質

### 線性性質

兩函數之和的傅立葉轉換等於各自轉換之和。嚴格數學描述是：若函數 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 的傅立葉轉換 ${\mathcal {F}}[f]$ 和 ${\mathcal {F}}[g]$ 都存在， $\alpha $ 和 $\beta $ 為任意常係數，則 ${\mathcal {F}}[\alpha f+\beta g]=\alpha {\mathcal {F}}[f]+\beta {\mathcal {F}}[g]$ ；傅立葉轉換算符 ${\mathcal {F}}$ 可經歸一化成為么正算符。

### 平移性質

若函數 $f\left(x\right)$ 存在傅立葉轉換，則對任意實數 $\omega _{0}$ ，函數 $f(x)e^{i\omega _{0}x}$ 也存在傅立葉轉換，且有 ${\mathcal {F}}[f(x)e^{i\omega _{0}x}]={\hat {f}}(\omega -\omega _{0})$ 。式中花體 ${\mathcal {F}}$ 是傅立葉轉換的作用算子，平體 ${\hat {f}}$ 表示轉換的結果（複函數）， $e$ 為自然對數的底， $i$ 為虛數單位 ${\sqrt {-1}}$ 。

### 微分關係

若函數 $f\left(x\right)$ 當 $|x|\rightarrow \infty $ 時的極限為 0，且其導函數 $f'(x)$ 的傅立葉轉換存在，則有 ${\mathcal {F}}[f'(x)]=i\omega {\mathcal {F}}[f(x)]$ ，即導函數的傅立葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因子 $i\omega $ 。更一般地，若 $f(\pm \infty )=f'(\pm \infty )=\ldots =f^{(k-1)}(\pm \infty )=0$ ，且 ${\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]$ 存在，則 ${\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]=(i\omega )^{k}{\mathcal {F}}[f]$ ，即函數 _k_ 階導函數的傅立葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因子 $(i\omega )^{k}$ 。

### 摺積特性

若函數 $f\left(x\right)$ 及 $g\left(x\right)$ 都在 $(-\infty ,+\infty )$ 上絕對可積，則摺積函數 $f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-\xi )g(\xi )d\xi $ （或者 $f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\xi )g(x-\xi )d\xi $ ）的傅立葉轉換存在，且 ${\mathcal {F}}[f*g]={\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]$ 。摺積性質的逆形式為 ${\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )*G(\omega )]=2\pi {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]\cdot {\mathcal {F}}^{-1}[G(\omega )]$ ，即兩個函數的摺積的傅立葉逆轉換等於兩函數各自的傅立葉逆轉換的乘積乘以 $2\pi $ 。

### 帕塞瓦爾定理

若函數 $f\left(x\right)$ 可積且平方可積，則 $\int _{-\infty }^{+\infty }f^{2}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }|F(\omega )|^{2}d\omega $ 。其中 $F\left(\omega \right)$ 是 $f\left(x\right)$ 的傅立葉轉換。

更一般化而言，若函數 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 皆為平方可積函數，則 $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{*}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )G^{*}(\omega )d\omega $ 。其中 $F\left(\omega \right)$ 和 $G\left(\omega \right)$ 分別是 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 的傅立葉轉換， $*$ 代表複共軛。

## 傅立葉轉換的不同變種

傅立葉轉換也可以寫成角頻率形式： _ω_ = 2_πξ_ 其單位是弧度每秒。

應用 ξ=ω/（2π）到上述公式會成為下面的形式：

　
: ${\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx.$

根據這一形式，（傅立葉）逆轉換變為：

　
: $f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .$

若不按照本文中使用的，而像這樣定義傅立葉轉換，那它將不再是 _L_2(**R**n) 上的一個么正轉換 。另外這樣的定義也使傅立葉轉換與其逆轉換顯得不太對稱。

另一個形式是把 (2_π_)n 均勻地分開給傅立葉轉換和逆轉換，即定義為：

　
: ${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx$

　
: $f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .$

根據這一形式，傅立葉轉換是再次成為 _L_2(**R**n) 上的一個么正轉換。它也恢復了傅立葉轉換和逆轉換之間的對稱。

所有三種形式的變化可以通過對正向和反向轉換的複指數核取共軛來實現。核函數的符號必須是相反的。除此之外，選擇是習慣問題。

如上所討論的，一個隨機變數的特徵函數是相同的傅立葉轉換斯蒂爾切斯其分布的測量，但在這種情況下它是典型採取不同的慣例為常數。通常情況下特徵函數的定義 $E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu _{X}(x)$

在上面「非統一角頻率」形式的情況下，存在的 2π 無因子出現在任一積分的，或在指數。不同於任何約定的上面出現的，本公約採取的指數符號相反。

### 傅立葉級數

連續形式的傅立葉轉換其實是傅立葉級數（Fourier series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對於週期函數，其傅立葉級數是存在的：

　
: $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},$

其中 $F_{n}$ 為復振幅。對於實值函數，函數的傅立葉級數可以寫成：

　
: $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]$

其中 _a_n 和 _b_n 是實頻率分量的振幅。

傅立葉分析最初是研究週期性現象，即傅立葉級數的，後來通過傅立葉轉換將其推廣到了非週期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非週期性現象視為週期性現象的一個特例，即其週期為無限長。

### 離散時間傅立葉轉換

離散傅立葉轉換是離散時間傅立葉轉換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT 在時域上離散，在頻域上則是週期的。DTFT 可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。

### 離散傅立葉轉換

為了在科學計算和數位訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉轉換，必須將函數 _x_n 定義在_離散_點而非連續域內，且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下，使用離散傅立葉轉換，將函數 _x_n 表示為下面的求和形式：

　
: $X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\dots ,N-1$

其中 $X_{k}$ 是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度為 ${\mathcal {O}}(n^{2})$ ，而快速傅立葉轉換（FFT）可以將複雜度改進為 ${\mathcal {O}}(n\log n)$ 。計算複雜度的降低以及數字電路計算能力的發展使得 DFT 成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。

### 在阿貝爾群上的統一描述

以上的傅立葉轉換都可以被統一描述為任意局部緊緻的阿貝爾群上的傅立葉轉換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中，一個轉換從一個群轉換到它的對偶群（dual group）。此外，將傅立葉轉換與摺積相聯繫的摺積定理在調和分析中也有類似的結論。傅立葉轉換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介紹。

### 時頻分析轉換

小波轉換，Chirplet 轉換和分數傅立葉轉換的都是為了得到時間信號的頻率訊息。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。

### 傅立葉轉換家族

主條目：傅立葉轉換家族中的關係

下表列出了傅立葉轉換家族的成員。容易發現，函數在時（頻）域的離散對應於其像函數在頻（時）域的週期性。反之連續則意味著在對應域的信號的非週期性。下表給出詳細的情形：

## 常用傅立葉轉換表

下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉轉換。對於函數 $f(x)$ , $g(x)$ 和 $g(x)$ ，它們的傅立葉轉換分別表示為 ${\hat {f}}$ , ${\hat {g}}$ 和 ${\hat {h}}$ 。只包含了三種最常見的形式。注意條目 105 給出了一個函數的傅立葉轉換與其原函數，這可以看作是傅立葉轉換及其逆轉換的關係。

### 函數關係

下表列出的常用的傅立葉轉換對可以在 Erdélyi (1954) 或 Kammler (2000，appendix) 中找到。

### 平方可積函數

### 分布

### 二元函數

**注釋**

_400：_ 變數 $\xi _{x}$ 、 $\xi _{y}$ 、 $\omega _{x}$ 、 $\omega _{y}$ 、 $\nu _{x}$ 、 $\nu _{y}$ 為實數。二重積分是對整個平面積分。

_401：_ 這兩個函數都是高斯函數，而且可能不具有單位體積。

_402：_ 此圓有單位半徑，如果把 ${\text{circ}}(t)$ 認作階梯函數 $u(1-t)$ ; Airy 分布用 $J_{1}$ （一階第一類貝索函數）表達。（Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3）

 

### 三元函數

## 參見

## 參考資料

### 引用

### 來源

## 外部連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：傅立葉轉換
* Encyclopedia of Mathematics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）
* 埃里克・韋斯坦因. Fourier Transform. MathWorld.