偉柏電動力學

**偉柏電動力學**（Weber’s Electrodynamics）

韋伯 (1804 - 1891) 發現兩帶電質點間的作用力與其相對速度與距離有關，是最早提出力的作用與速度有關的科學家，這個理論能有效的解釋靜電學中電磁吸引、感應電流等現象。若有一組帶電粒子 與 ，分別座落於 與 上，其速度分別為 與 ，則帶電質點 2 對 1 的韋伯力 (Weber’s force) 其值可表示成 $F_{21}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})$

其中 ${\vec {r}}={\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}$ 為兩個帶電質點間的相對距離，相對速度可表示成 ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\dot {r}}{\widehat {r}}$

而韋伯電動力學中最重要的結果是其作用力的形式符合牛頓第三運動定律的 strong form，也就是兩個質點間的作用力大小相等且方向相反，力在質點的連心線的沿長線上，而 Weber’s force 也可以符合古典力學中的 Galilean Transformation。

## 韋伯電動力學的拉格朗日方程

根據韋伯電動力學，我們可以知道兩個帶電質點之間的位能可以下列形式表式： $U={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})$

其中 $q_{1}$ 與 $q_{2}$ 分別為質點 1 和 2 的帶電量， ${\vec {r}}={\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}$ 為兩個帶電質點間的距離。而平面上質點的動能可以表示成 $T={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

因此 Lagrangian 可以寫成 $L=T-U$
 $L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1+{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})$

其中

$$
{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}-{\frac {2{\dot {r}}}{rc^{2}}}
$$

$$
{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\ddot {r}}-{\frac {2{\ddot {r}}}{rc^{2}}}-{\frac {2{\dot {r}}}{r^{2}c^{2}}}
$$

$$
{\frac {\partial L}{\partial r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}(1+{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}})
$$

$$
{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta )}}=mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}
$$

$$
{\frac {\partial L}{\partial {\theta }}}=0
$$

將上列式子代入拉格朗日方程：

$$
{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0
$$

$$
{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\theta }}}=0
$$

可得到 equation of motion

$$
m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})
$$

$$
{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}
$$

由 polar coordinates 可以知道

$$
m{\ddot {r}}-mr{\ddot {\theta }}=F_{r}
$$

$$
{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=rF_{e}
$$

所以運動議程可以寫成以下的形式

$$
F_{r}=q_{1}q_{2}{\frac {1}{r^{2}}}(1-{\frac {{\dot {r}}-2{\dot {r}}{\ddot {r}}}{c^{2}}})
$$

$$
F_{e}=0
$$

從上式我們可以知到 r 方向的作用力即為韋伯力，另外，注意到 θ 方向是沒有作用力的，即兩個帶電質點間沒有扭力 (torque) 作用，因此韋伯電動力學中的作用力是在兩個質點連心線上，遵守牛頓第三運動定律的 strong form，此結果和麥克斯韋爾 - 洛倫茲電動力學中的洛倫茲力有很大的不同，接下來的部分將會對兩種不同形式的電動力學做討論。

## 韋伯電動力學與麥克斯韋爾電動力學的比較

在前面我們有提到，韋伯電動力學是遵守牛頓第三運動定律的，因此韋伯電動力學能夠自動的滿足線動量守恆，然而洛倫茲力很明顯的是不遵守的，這意味著一組相互作用的電荷的線動量有可能增加或減少，即使它們不與外界的物體作用。由上面的證明也可知道韋伯力在角動量方面也是守恆的，而麥克斯韋爾電動力學中則否，這意味著相互作用的電荷之間的角動量有可能增加或減少，即便它們不與外界的物體作用。

另外，洛倫茲力也不屬於保守力，且討論高速質點運動時，磁感應的部分必需被修正。

## 參考資料

* A. K. T. Assis, and H. T. Silva, 「Comparison Between Weber’s Electrodynamics and Classical Electrodynamics,」 J. O. Phys., Vol. 55, No. 3, pp. 393-404, 2000.
* T. E. Phipps, Jr., 「Weber-type Laws of Action-at-a-Distance in Modern Physics,」 Apeiron, No. 8, pp. 18-35, 1990.
* D. L. Bergman, 「The Troubled Theories Of Magnetic Induction,」 Science Newsletter, Vol. 3, No. 3, 2000.
* A. K. T. Assis, J. Fukai, and H. B. Carvalho, 「Weberian Induction,」 Phys. Lett. A, Vol. 268, pp. 274-278, 2000.