几何中心

_n_ 維空間中一個對象_**X**_的**幾何中心**或**形心**是將_**X**_分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是_**X**_中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是**重心**。

如果一個對象具有一致的密度，或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心，那麼它的幾何中心和質量中心重合，該條件是充分但不是必要的。

有限個點總存在幾何中心，可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。

## 性質

一個凸對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部，比如一個環或碗的幾何中心不在內部。

## 三角形的中心

**形心**是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點。

### 三條中線共點證明

用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

　
: ${\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}\cdot {\frac {AD}{DB}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1$

因此三線共點。

中心分每條中線比為 2:1，這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的 1/3。如右圖所示：

如果三角形是由均勻材料做成的薄片，那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾坐標是三個頂點的坐標算術平均值。也就是說，如果三頂點位於 $(x_{a},y_{a})$ ， $(x_{b},y_{b})$ ，和 $(x_{c},y_{c})$ ，那麼幾何中心位於：

　
: ${\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})$

三角形的中心一般用字母 _G_ 表示。在任何一個三角形中，外心 _O_、中心 _M_、九點圓圓心 _F_ 和垂心 _H_ 四點共線，且 ${\overline {OG}}:{\overline {OF}}:{\overline {OH}}=1:2:3$ 。這個定理最早由歐拉證明，故稱為歐拉線定理，這條線稱為歐拉線。類似的有，內心 _I_、中心 _G_ 和奈格爾點 _N_ 三點共線，且 ${\overline {IG}}:{\overline {IN}}=1:3$ 。

三角形中心的等角共軛點稱為類似重心。

### 中心分中線為 2:1 的證明

設三角形 _ABC_ 的中線 _AD_，_BE_ 和 _CF_ 交於三角形的中心 _G_，延長 _AD_ 至點 _O_ 使得

　
: $AG=GO.\,$

那麼三角形 _AGE_ 和 _AOC_ 相似（公共角 _A_，_AO_ = 2 _AG_，_AC_ = 2 _AE_），所以 _OC_ 平行於 _GE_。但是 _GE_ 是 _BG_ 的延長，所以 _OC_ 平行於 _BG_。同樣的，_OB_ 平行於 _CG_。

從而圖形 _GBOC_ 是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分，對角線 _GO_ 和 _BC_ 的交點使得 _GD_ = _DO_，這樣

　
: $GO=GD+DO=2GD.\,$

所以， $AG=GO=2GD\,$ ，或 $AG:GD=2:1\,$ ，這對任何中線都成立。

### 性質

* 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
* 頂點到重心的距離是中線的 ${\tfrac {2}{3}}$ 。
* 重心、外心、垂心、九點圓圓心四點共線。
* 重心、內心、奈格爾點、類似重心四點共線。
* 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
* 在直角座標系中，若頂點的座標分別為 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 、 $(x_{3},y_{3})$ ，則重心的座標為：

　
: $\left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)$

* 三線坐標中、重心的座標為：

　
: $bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C$

## 四面體的中心

類似三角形的中心的結論對四面體也成立，四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成 3:1。這個結論能自然推廣到任何 $n$ - 維單形。如果單形的頂點集是 ${v_{0},...,v_{n}}$ ，將這些頂點看成向量，幾何中心位於：

　
: ${\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}\;.$

## 多邊形的中心

一個由 N 個頂點 _（xi , yi）_ 確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算：

記號 _（ xN , yN）_ 與頂點 _（ x0 , y0）_ 相同。多邊形的面積為：

　
: $A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})$

多邊形的中心由下式給出：

　
: $C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})$

　
: $C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})$

## 有限點集的中心

給定有限點集 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ 屬於 $\mathbb {R} ^{n}$ ，它們的中心定義 $C$ 為

　
: $C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}$ 。

## 面積中心

面積中心和質量中心非常類似，面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的，質量中心將位於面積中心。

對於兩部分組成的圖形，將有如下等式：

　
: ${\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}$

 ${\overline {y}}$ 是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。 $A$ 是特定部分的面積。

當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時，先計算各部分的面積中心，然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心：

　
: ${\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}$

　
: ${\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}$

這裡從 _y_- 軸到中心的距離是 ${\overline {x}}$ ，從 _x_- 軸到中心的距離是 ${\overline {y}}$ ，中心的坐標是 $({\overline {x}},{\overline {y}})$ 。

## 積分公式

一個平面圖形的中心的橫坐標（_x_ 軸）由積分

　
: $C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}$ 給出。

這裡 _f_（_x_）是對象位於在橫坐標 _x_ 點 _y_ 軸上的長度，是在 _x_ 圖形的測度。這個公式能由區域關於 _y_- 軸的第一矩得出。

這個過程等價於取加權平均。假設 _y_- 軸表示頻率，_x_- 軸表示欲求平均值的變量，那麼沿著 _x_- 軸的中心即 ${\bar {x}}$ 。從而中心可以想像成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。

對任意維數 _n_，由相同的公式得出 $\mathbb {R} ^{n}$ 中一個對象的中心第一個坐標，假設 _f (x)_ 是對象在坐標 _x_ 的截面（也就是說，對象中第一個坐標為 _x_ 的所有點的集合）的（_n_-1）- 維測度。

注意到分母恰是對象的 _n_- 維測度。特別的，在 _f_ 為正規時，即分母為 1，中心也稱為 _f_ 的平均。

當對象的測度為 0 或者積分發散，這個公式無效。

## 圓錐和稜錐的中心

圓錐或稜錐的中心位於連接頂點和底的中心的線段上，分比為 3:1。

## 對稱中心

如果中心確定了，那麼中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心，取決於對稱的種類。另外可以知道，如果一個對象具有傳遞對稱性，那麼它的中心是不確定的或不在內部，因為一個傳遞變換群沒有不動點。

## 地理中心

地理學中，地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心。

## 參見

* 重心列表
* 帕普斯中心定理
* K - 平均算法
* 中點
* 外心
* 內心
* 垂心
* 奈格爾點
* 類似中線
* 歐拉線
* 西瓦定理

## 參考文獻

## 外部連結

* _Encyclopedia of Triangle Centers_ by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
* Triangle centers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* Characteristic Property of Centroid（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
* Barycentric Coordinates（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
* Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Interactive animations showing Centroid of a triangle（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and Centroid construction with compass and straightedge（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）