傑恩斯-卡明斯模型

**傑恩斯 - 卡明斯模型**（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理論模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔 (optical cavity) 交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關 (在電磁輻射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學，量子光學，固態量子信息電路的理論與實驗上。

## 公式

系統哈密頓量

　
: ${\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}$

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM 哈密頓量組成：

　
: ${\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{\text{field}}&=&\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=&\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&=&{\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{array}}$

為方便起見，設真空場能量為 $0$ .

其中：

 * ${\begin{smallmatrix}{\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}$ 場運算符，目的是把量化輻射場轉化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
   * ${\begin{smallmatrix}{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}$ 是玻色子的創生算符
  * ${\begin{smallmatrix}{\hat {a}}\end{smallmatrix}}$ 是玻色子的湮滅算符
 * ${\begin{smallmatrix}{\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}\end{smallmatrix}}$ 是原子耦合區的偏振運算符
* ${\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}$ 與 ${\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|\end{smallmatrix}}$ 是原子的階梯算符
* ${\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}$ 是原子反轉運算符
* ${\begin{smallmatrix}\omega _{a}\end{smallmatrix}}$ 是原子的躍遷頻率
* ${\begin{smallmatrix}\omega _{c}\end{smallmatrix}}$ 是模型的角頻率

### JCM 哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景 (又名旋轉框架 (rotating frame)) ，使得 ${\begin{smallmatrix}H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}}$ ，可以得到：

　
: ${\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).$

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：

 * ${\begin{smallmatrix}(\omega _{c}+\omega _{a})\end{smallmatrix}}$ 是快速震蕩，
* ${\begin{smallmatrix}(\omega _{c}-\omega _{a})\end{smallmatrix}}$ 是慢速震蕩。

為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 ${\begin{smallmatrix}|\omega _{c}-\omega _{a}|\ll \omega _{c}+\omega _{a}\end{smallmatrix}}$ 的時候，快速振盪的 「反向旋轉」項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM 哈密頓量就變成了：

　
: ${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).$

其中，

 * ${\begin{smallmatrix}\hbar \Omega /2=d(\omega _{a}/\hbar V\epsilon _{0})^{1/2}\end{smallmatrix}}$ 是原子場的耦合常數，
* ${\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}}$ 是原子躍遷時刻，
* ${\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}}$ 是腔模的體積。

### 本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為 2 部分有助於對其進行求解:

　
: ${\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II},$

其中，

> 
> $$
> {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{I}&=&\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=&\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{array}}
> $$
> 
> 
> 
> 

>  ${\begin{smallmatrix}\delta =\omega _{a}-\omega _{c}\end{smallmatrix}}$ 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。
> 
> 

為了更好地求解哈密頓量，把 ${\begin{smallmatrix}{\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}\end{smallmatrix}}$ 的本徵態轉換成張量積 ${\begin{smallmatrix}|n,g\rangle ,|n,e\rangle \end{smallmatrix}}$ （ ${\begin{smallmatrix}n\in \mathbb {N} \end{smallmatrix}}$ ，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數 n，狀態 ${\begin{smallmatrix}|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle \end{smallmatrix}}$ 與狀態 ${\begin{smallmatrix}|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle \end{smallmatrix}}$ 會退化為 ${\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}$ ， ${\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}$ 足以在子空間 ${\begin{smallmatrix}{\text{span}}\{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}\end{smallmatrix}}$ 對角化。 ${\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}$ 的元素屬於 ${\begin{smallmatrix}{H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle \end{smallmatrix}}$ 的子空間，表示為：

　
: $H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}$

對於任意正整數 n，能量本徵態 ${\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}}$ 為：

　
: $E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),$

其中， ${\begin{smallmatrix}\Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}\end{smallmatrix}}$ 是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 ${\begin{smallmatrix}|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}$ 的特徵值是：

　
: $|n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle $

　
: $|n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle $

其中， ${\begin{smallmatrix}\angle \alpha _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)\end{smallmatrix}}$

### 薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 ${\begin{smallmatrix}~|\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }~\end{smallmatrix}}$ ，若置一激發態原子於場內，則系統初態為：

　
: $|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle -\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].$

其中 ${\begin{smallmatrix}~|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}$ 是該系統的定態，含時狀態向量是：

　
: $|\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right],t>0$

### 相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :

　
: ${\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

其中，定義算符 $~{\hat {\varphi }}~$ 為

　
: ${\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4$

 $~{\hat {U}}~$ 的么正 (unitary) 被恆等定義：

　
: ${\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},$

　
: $\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},$

么正算符可以計算被密度矩陣 $~{\hat {\rho }}(t)~$ 所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態 $~{\hat {\rho }}(0)~$ ，則有：

　
: ${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)$ ，

　
: $\langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]$ ，

　
: 其中， $~{\hat {\Theta }}~$ 是表示可觀測量的算符。

　
:

## 量子震盪的崩塌和復興

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 ${\begin{smallmatrix}a=(\delta /(2g))^{2}=40\end{smallmatrix}}$ ， 其中 $\delta $ 是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

## 參考資料

## 參考文獻

## 延伸閱讀