克喇末-克勒尼希关系

**克喇末 - 克勒尼希關係式**（英語：**Kramers–Kronig relations**）是數學上連結複面上半可析函數實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味著反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味著相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫・克勒尼希和漢斯・克喇末為名。

## 公式定義

給定一複數變數 $\omega $ 的複值函數 ${\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ ，其中 $\chi _{1}$ 和 $\chi _{2}$ 是實值函數。假設此函數 $\chi (\omega )$ 在複數平面上半部可析，且當 $|\omega |$ 趨向無限大時，它在上半平面趨於零的速度比 $1/|\omega |$ 快或與之相等，那麼 $\chi (\omega )$ 滿足以下關係：

　
: $\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '$

和

　
: $\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',$

其中 ${\mathcal {P}}$ 表示柯西主值。因此可析函數的實部和虛部並不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

## 推導

推導克喇末 - 克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數 $\chi (\omega ^{\prime })$ 和實數 $\omega $ 函數 ${\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}$ 在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

　
: $\oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0$

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和 $|\omega |$ 成正比，因此只要 $\chi (\omega ^{\prime })$ 消失比 ${1}/{\omega ^{\prime }}$ 快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

　
: $\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.$

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末 - 克勒尼希關係式：

　
: $\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.$

分母裡的虛數 $i$ 意味者這是連系實部和虛部的公式。把 $\chi (\omega )$ 分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

## 物理理解

可以將 Kramers-Kronig 關係應用於響應函數理論。物理上，響應函數 $\chi (t-t^{\prime })$ 概括系統對在時間 $t^{\prime }$ 的作用力 $F(t^{\prime })$ 在另一時間 $t$ 的反應 $P(t)$ ：

　
: $P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }$

因為系統不能在施力前有任何反應因此當 $t^{\prime }>t$ ， $\chi (t-t^{\prime })=0$ 。
可以證明這因果關係意味著 $\chi (\tau )$ 的傅立葉變換 $\chi (\omega )$ 在 $\omega $ 複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應，因此 $\omega $ 很大時， $\chi (\omega )$ 會趨近於 0。從這些物理考量，可知物理反應函數 $\chi (\omega )$ 通常符合克喇末 - 克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數 $\chi (\omega )$ 的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末 - 克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函數的積分路徑是從 $-\infty $ 到 $\infty $ ，其中出現了負頻率。幸運的是，多數系統中，正頻響應決定了負頻響應，這是因為 $\chi (\omega )$ 是實數變量 $\chi (t-t')$ 的傅立葉變換，根據對實數進行傅立葉變換的性質， $\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$ ， $\chi _{1}(\omega )$ 是頻率 $\omega $ 的偶函數，而 $\chi _{2}(\omega )$ 是 $\omega $ 的奇函數。

根據該性質，積分可以從正負無窮區間約化為 $[0,\infty )$ 的區間上。考慮實部 $\chi _{1}(\omega )$ 的第一個關係，積分函數上下同乘 $\omega '+\omega $ 可得：

　
: $\chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

由於 $\chi _{2}(\omega )$ 為奇函數，第二項為零，剩下的部分為

　
: $\chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

類似的推導亦可用於虛部：

　
: $\chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。

## 參考文獻