光束腰

在光學中，**高斯光束**（英語：**Gaussian beam**）是橫向電場以及輻照度分布近似滿足高斯函數的電磁波光束。許多雷射都近似滿足高斯光束的條件，在這種情況中，雷射在光諧振腔中以 TEM00 波模（橫向基模）傳播。當它在滿足近繞射極限的鏡片中發生折射時，高斯光束會變換成另一種不同參數的高斯光束，因此，高斯光束是雷射光學中一種方便、廣泛應用的模型。

描述高斯光束的數學函數是亥姆霍茲方程式的一個近軸近似解（屬於小角近似的一種）。這個解具有高斯函數的形式，代表了光束中電場分量的復振幅。儘管電磁波的傳播包括電場和磁場兩部分，研究其中任一個場，就足以描述波在傳播時的性質。

高斯光束中，場的行為可以通過幾個參數加以刻畫，如光斑大小，曲率半徑，古依相移等。

亥姆霍茲方程式的近軸近似解可能不止一個。笛卡爾坐標系下求解可得一類稱為厄米 - 高斯模的解，在柱坐標中求解則得到一類稱為拉蓋爾 - 高斯模的解。對這兩類解，最低階都是高斯光束，高階解則描述了光學諧振腔中的高階橫向模。

## 數學形式

高斯光束作為電磁波的橫向電磁模，通過求解近軸亥姆霍茲公式，可得電場的振幅

　
: $E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,$

這裡

　
: $r$ 為徑向坐標，以光軸中心為參考點

　
: $z$ 為軸向坐標，以光軸上光波最狹窄（束腰）位置為參考點

　
: $i$ 為虛數單位（即 $i^{2}=-1$ ）

　
: $k={2\pi  \over \lambda }$ 為波數（以「弧度 / 米」為單位）

　
: $E_{0}=|E(0,0)|$

　
: $w(z)$ 為當電磁場振幅降到軸向的 1/_e_、強度降到軸向的 1/_e_2 的點的半徑

　
: $w_{0}=w(0)$ 為雷射的束腰寬度

　
: $R(z)$ 為光波波前的曲率半徑

　
: $\zeta (z)$ 為軸對稱光波的 Gouy 相移，對高斯光束的相位也有影響

此外，上式中默認忽略了含時項 $e^{i\omega t}$ 。

對應的輻照度時域平均值為

　
: $I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,$

這裡 $I_{0}=I(0,0)$ 為光波束腰中心處的輻照度。常數 $\eta \,$ 為光波所在傳播介質中的波阻抗。在真空中， $\eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } $ 。

## 波束參數

高斯光束的許多性質由一系列波束參數決定，下面將分別予以介紹。

### 束腰

對於在自由空間傳播的高斯光束，其腰斑位置的半徑在光軸方向總大於一個最小值 $w_{0}$ ，這個最小值被稱為束腰（beam waist）。波長為 $\lambda $ 的光波的腰斑位置在 $z$ 軸上的分布為

　
: $w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .$

這裡將 $z=0$ 定義為束腰的位置。

　
: $z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

被稱為瑞立距離。

### 瑞立距離和共焦參數

與束腰軸向距離等於瑞立距離 $z_{R}$ 處的束寬為

　
: $w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,$

這兩點之間的距離稱作共焦參數或光束的焦深。

　
: $b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .$

### 曲率半徑

 $R(z)$ 是光束波前的曲率半徑，它是軸向距離的函數

　
: $R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .$

### 光束偏移

當 $z\gg z_{\mathrm {R} }$ ，參數 $w(z)$ 與 $z$ 呈線性關係，趨近於一條直線。這條直線與中央光軸的夾角被稱為光束的「偏移」，它等於

　
: $\theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).$

在遠離束腰的位置，光束彎散的總角度為

　
: $\Theta =2\theta \ .$

由於這一性質，聚焦於一個小點的高斯雷射在遠離這個點的傳播過程中迅速散開。為了保持雷射的準直，雷射束必須具有較大的直徑。束寬和光束偏移的這一關係是由於繞射的緣故。非高斯光束同樣會表現這一效應，但是高斯光束是一種特殊情況，其束寬和偏移的乘積是可能達到的最小值。

由於高斯光束模型使用了近軸近似，當波前與光傳播方向傾斜程度大於 30 度之後，這種模型將不再適用。通過上述偏移的表達式，這意味著高斯光束模型僅對束腰大於 $2\lambda /\pi $ 的光束適用。

雷射束的質量可以用束參數乘積（BBP）來衡量。對於高斯光束，BBP 的數值就是光束的偏移量與束腰 $w_{0}$ 的乘積。實際光束的 BPP 通過計算光束的最小直徑和遠場偏移量的乘積來獲得。在波長一定的情況下，實際光束的 BPP 數值與理想雷射束的 BPP 數值的比值被稱為「M2」。高斯光束的 M2 值為 1，而所有的是雷射束的 M2 值均大於 1，並且質量越好的雷射的 M2 值越接近 1。

### Gouy 相位

光束的軸向上的相位延遲，或稱 Gouy 相位為

　
: $\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .$

當光束通過焦點時，除了正常情況下平面波的相移 $e^{-ikz}$ 外，多出一個額外的 Gouy 相移 $\pi $ 。

### 複數形式的光束參數

可以通過複數形式的光束參數 $q(z)$ 囊括光斑尺寸與曲率半徑的資訊，

　
: $q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .$

倒數 $1/q(z)$ 顯式提供了 $q(z)$ ， $w(z)$ 與 $R(z)$ 間的關係：

$$
{1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda  \over \pi w^{2}(z)}.
$$

光束參數的複數形式在高斯光束傳播的分析中有著重要地位，特別是當使用光線傳遞矩陣分析光諧振腔中光束傳播。

利用複數光束參數 $q$ ，具有一個橫向維度的高斯光束電磁場與下式成比例

　
: ${u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).$

在二維的情況中，可以將散光的光束表達為乘積的形式

　
: ${u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),$

對於圓對稱的普遍情況， ${q}_{x}={q}_{y}={q}$ 且 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，可以得出

　
: ${u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).$

## 功率和輻照度

### 流經孔隙的功率

流經距離 _z_ 軸半徑為 _r_ 的圓的功率為

　
: $P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,$

這裡

　
: $P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}$ 為電磁波傳播的總能量

流經以 $r=w(z)\,$ 為半徑的圓的能量占總能量的比值為

　
: ${P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .$

類似的，占光波總能量約 90% 的部分將流經半徑為 $r=1.07\cdot w(z)\,$ 的圓形面積，總能量的 95% 通過 $r=1.224\cdot w(z)\,$ 的圓形面積，總能量的 99% 會通過 $r=1.52\cdot w(z)$ 的圓。

### 輻照度的峰值和平均值

在與束腰的軸向距離為 $z$ 的位置，利用洛必達法則，可以計算該位置的輻射照度峰值

　
: $I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

可以看出，輻照度峰值為平均值的兩倍，後者等於總能量除以半徑為 $w(z)$ 的圓的面積。

## 相關條目

* 平頂光束
* 雷射光束光點分析儀
* 貝索光束

## 參考文獻