傅里葉展開

在數學中，**傅立葉級數**（英語：Fourier series，/ˈfʊrieɪ, -iər/）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式地說，對於滿足狄利克雷定理的週期函數，其傅立葉級數是由一組簡單振盪函數的加權和表示的方法。離散時間傅立葉轉換是一個週期函數，通常用定義傅立葉級數的項進行定義。另一個應用的例子是 Z 轉換，將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅立葉級數也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。

## 歷史

傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫・傅立葉 (1768 年–1830 年)，他提出**任何函數**都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函數的三角級數展開，而認定一個函數有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾・伯努利的贊助。

傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程式，其最初論文雖經拉克爾華、加斯帕爾・蒙日同意，但在 1807 年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的現在被稱為傅里葉逆轉定理的理論後來發表於 1820 年的《熱的解析理論》（熱的傳播，Théorie analytique de la chaleur，Analytical theory of heat）中。將週期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法，可以追溯至公元前 3 世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

## 定義

現在，讓我們考慮一個函數 $s(x)$ ，其中 $x\in \mathbb {R} $ _，且 $s(x)$ 在 長度為 $P$ 的區間上可積。一些常見的可積區間為:_

$$
x\in [0,1]$ ， $P=1
$$

$$
x\in [-\pi ,\pi ]$ , $P=2\pi
$$

我們將用 $\sin(x)$ 與 $\cos(x)$ 的無窮級數來表示 $s(x)$ 。事實上，整個分析的過程就是一個權重的表現，由 $N$ 階的諧波 $\sin({\frac {2\pi nx}{P}})$ 還有 $\cos({\frac {2\pi nx}{P}})$ 搭配上彼此在這個函數 $s(x)$ 中的權重來實現用三角級數來表示整個 $s(x)$ ，其中 $N$ 階諧波在函數中的權重可以藉由在區間上的積分來獲取，其中上述的權重就是所謂的傅立葉係數:

我們可以從部分和開始

普遍來說 N 是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的 x (例如在某一點上不連續)，傅立葉級數也不一定收斂到 $s(x)$ 。

我們還可以利用三角恆等式，去把後面的正弦函數跟餘弦函數合併起來

$$
A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),
$$

然後定義 $A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ 還有 $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$

然後我們習慣將普遍化 $s(x)$ 到整個複數上，藉由歐拉公式去分開餘弦函數變成指數的形式表示。

$$
{\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}
$$

因此，根據定義，我們可以得到:

$$
{\hat {s}}_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\{\hat {s}}_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,
$$

而最後的結論是

### 複數函數

如果 $s(x)$ 是一個複數函數，其中實部跟虛部都是實值函數，其中 $x\in \mathbb {R} $ ，二者都可以被表示為傅立葉級數，那實部跟虛部的係數還有部分和可以被表示為:

$$
c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$ 還有 $c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx
$$

$$
s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.
$$

然後定義 $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$

這與 **Eq.4** 相同，但是如果說 $c_{n}$ 還有 $c_{-n}$ 不再繼續複數共軛。關於 $c_{n}$ 的公式一樣沒有變化:

$$
{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}
$$

## 基本性質

### 傅立葉級數的唯一性

如果有一個定義在 $[-\pi ,\pi ]$ 的函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ , 其中函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 還有 ${\hat {g}}(n)$ 相同，且傅立葉級數都收斂到函數本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是 $f(x)=g(x)$ 。換句話說，如果函數 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可積，傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 為 0，對所有的 $n\in \mathbb {N} $ ，那麼函數 $f(x)=0$

### 捲積

捲積的觀念在傅立葉分析中扮演了重要的角色，所以說了解捲積是必要的。

假設 $f(x)$ 還有 $g(x)$ 在 $\mathbb {R} $ 上可積的函數，定義 $f(x)$ 還有 $g(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的捲積 $(f*g)(x)$ 為:

$$
(f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)dy$ 我們也可以藉由變數變換去得到 $(f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-y)g(y)dy
$$

至於關於摺積的性質，可以參閱條目摺積

然後當我們在考慮一個函數 $f(x)$ 的傅立葉級數的部分和，我們可以將其表示為 $f(x)$ 跟 $D_{N}(x)$ 的摺積，其中 $D_{N}(x)$ 為狄利克雷核。

$$
{\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}dy\cdot e^{inx}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)(\sum _{n=-N}^{N}e^{-in(y-x)})dy\\&=(f*D_{N})(x)\end{aligned}}
$$

這個範例可以讓我們看到，研究函數的傅立葉級數的部分和就是由研究函數跟狄利克雷核的摺積。

### 微分性質

我們說 $f(x)$ 屬於在 $C^{k}(\mathbb {T} )$ $\Rightarrow $ 如果 $f(x)$ 是一個在實數上以 $2\pi $ 為週期的函數，且 $k$ 次可微而且 $k$ 階連續。

* 如果 $f(x)$ 屬於在 $C^{1}(\mathbb {T} )$ ，那麼 $f'(x)$ 傅立葉係數 ${\hat {f'}}(n)$ 可以被用 $f(x)$ 傅立葉係數 ${\hat {f}}(n)$ 的表示，藉由公式 ${\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)$
* 如果 $f(x)$ 屬於在 $C^{k}(\mathbb {T} )$ ， ${\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)$ 。特別的，當固定 $k\geq 1$ ，我們有 ${\hat {f^{(k)}}}(n)$ 趨近於 0 當 $n\rightarrow \infty $ ，且有 ${\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})$ 。

### 黎曼 - 勒貝格引理

如果函數 $f(x)$ 可積，那麼便有 $\lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0$

### Parseval's 定理

如果函數 $f(x)$ 屬於在 $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 之中，那麼便有 $\sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||$

### Plancherel 定理

## 收斂

### 概要

 $s_{N}(x)$ 在 $[x_{0},\ x_{0}+P]$ 近似了 $s(x)$ ，該近似程度會隨著 _N_→ ∞ 逐漸改善。這個無窮和 $s_{\infty }(x)$ 叫做 $s$ 的**傅立葉級數**表示。在工程應用中，一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函數比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅立葉級數絕對收斂且均勻收斂於 _s_(_x_)，只要在 _s_(_x_) 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。  如果一個函數在區間 [x0, x0+P] 上是平方可積的，那麼此傅立葉級數在_幾乎所有_點都收斂於該函數。傅立葉級數的收斂性取決於函數有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性之一。對於廣義函數或分布也可以用範數或弱收斂定義傅立葉係數.

* *

### 傅立葉級數收斂

假設一個函數在 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上是平方可積，則會有:

$$
{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0$ 當 $N\rightarrow \infty
$$

證明:

第一步:

考慮一系列正交基底， $\{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ ，其中 $e_{n}(x)=e^{-inx}$ ，且有

$$
(e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}
$$

然後有 $(f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)$

特別的有， $f(x)$ 的傅立葉級數的部分和 $S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$

然後根據 $f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$ 以及畢氏定理，可以有:

$$
||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$ 替換一下後有 $||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}
$$

如果右邊第一項收斂到 0，再根據正交的性質，可以看出上述式子中的右手邊第二項:

 $||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}$ ，這就證明了 Parseval's 定理。

接下來第二步:

回到證明右邊第一項，因為函數 $f(x)$ 可積，找到一個連續函數 $g(x)$ ，然後根據 Best approximation lemma，可以找到一個三角多項式 p (x)，使得

$$
|f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|
$$

故當 $N\rightarrow \infty $ ，函數 $f(x)$ 跟 $S_{N}(f)(x)$ 的差為 0

## 範例

### 例 1：一個簡單的傅立葉級數

我們現在用上面的公式給出一個簡單函數的傅立葉級數展開式。考慮一個鋸齒波

　
: $s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,$

　
: $s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .$

在這種情況下，傅立葉級數為

　
: ${\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

可以證明，當 _s_ 可微時，傅立葉級數在每個點 _x_ 都收斂於 _s_(_x_)，於是：

　
:

當 _x_= π 時，傅立葉級數收斂於 0，為在 _x_= π 處 _s_ 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理的特例。

這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。

### 例 2：傅立葉誘導

例 1 中我們的函數的傅立葉級數展開式看起來不比 _s_(_x_) = _x/π_ 簡單，因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用，我們舉用傅立葉誘導解熱方程式式的例子。考慮邊長為 _π_ 米的方形金屬版，坐標為 (_x_, _y_) ∈ [0, _π_] × [0, _π_]。如果板內沒有熱源，並且四個邊中三個都保持在 0 攝氏度，而第四條邊 _y_= π，對於 _x_ 屬於 (0,_π_)，保持在溫度梯度 _T_(_x_, _π_) = _x_ 攝氏度，於是可以證明穩態熱分布（或者說在很長一段時間過去後的熱分布）為

　
: $T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.$

這裡，sinh 為雙曲正弦函數。熱方程式的這個解是通過將 **Eq.1** 的每一項乘以 sinh (_ny_)/sinh(_n_π) 得到的。我們示例的函數 _s_(_x_) 的傅立葉級數似乎很複雜，熱分布 _T_(_x_, _y_) 是非平凡的。函數 _T_ 不能寫成解析解。用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分布問題。

### 其他例子

我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續處處不可微的函數。

## 延伸

### 希爾伯特空間的解讀

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為 0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組 n 個互相正交的向量必然是線性獨立的，所以必然可以張成一個 n 維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函數的集合 {_en_ = _einx_; _n_ ∈ **Z**} 是 [−π, π] 平方可積函數 _L_2([−π, π]) 的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素 _f_ 和 _g_ 的如下內積:

　
: $\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

　
: $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,$

　
: $\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$

(這裡的 δmn 是克羅內克函數)，而

　
: $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,$

## 傅立葉級數的收斂性

至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函數，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如 x (t) 的可微性或級數的均勻收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函數表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：

1. 在定義區間上，x (t) 須絕對可積；
2. 在任一有限區間中，x (t) 只能取有限個極值點；
3. 在任何有限區間上，x (t) 只能有有限個第一類間斷點。

滿足以上條件的 x (t) 傅立葉級數都收斂，且：

　
: 1. 當 t 是 x (t) 的連續點時，級數收斂於 x (t)；

　
: 2. 當 t 是 x (t) 的間斷點時，級數收斂於 ${\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]$ .

1966 年，里納特・卡爾松證明了勒貝格二次可積函數的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。

吉布斯現象：在 x (t) 的不可導點上，如果我們只取 (1) 式右邊的無窮級數中的有限項作和 X (t)，那麼 X (t) 在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。

## 參閱

* 離散時間傅立葉級數
* 傅立葉轉換
* 維爾斯特拉斯逼近定理

## 註

## 參考文獻

### 引用

### 來源

* 電機電子類科《工程數學》，ISBN 978-957-584-377-9，作者 陳錫冠、曾致煌，高立出版社。