全集

數學上，特別是在集合論和數學基礎的應用中，**全類**（Universe，若是集合，則為**全集**）大約是這樣一個類，它（在某種程度上）包含了所有的研究物件和集合。

## 在特定場合下

這個一般概念有數個精確的版本。最簡單的可能就是，任意集合都可以是全集。當研究一個特定集合的時候，這個集合就是全集。若研究實數，則所有實數的集合實數線 **$\mathbb {R} $** 就是全集。在 1870 年代和 1880 年代，康托爾第一次發展現代樸素集合論和勢的概念以應用於實分析，這時他默認地使用著的全集就是實數線 $\mathbb {R} $ 。康托爾一開始關心的也只是 **$\mathbb {R} $** 的子集。

這種全集概念在文氏圖的應用中有所反映。在文氏圖中，所有的操作按例都是在一個表示全集 $U$ 的大長方形內進行。集合通常表示為圓形，但這些集合只能是 _$U$_ 的子集。集合 $A$ 的補集則為長方形中表示 _$A$_ 的圓形的外面的部分。嚴格地說，這是 _$A$_ 對 _$U$_ 的_相對補集'_ $U\backslash A$ **；但在 _$U$_ 是全集的場合下，這可以被當成是 _$A$_ 的_絕對補集'_** $A^{C}$ 。同樣的，有一個稱為空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。要是沒有全集，空交集就會是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即 _$U$_ ）下的所有東西組成的集合。

在基於布林格的代數方法研究基礎集合理論時，這種慣例非常有用。但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裡所有集合的類並不是布林格，而僅僅是相對有補格。相反， _$U$_ 的冪集，即 _$U$_ 的所有子集組成的集合，是一個布林格。上述的絕對補集是布林格中的補運算；而空交集 _$U$_ 則作為布林格中的最大元（或空交）。這裡，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的聯集）的德・摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。

## 在一般數學中

然而，當考慮過給定集合 $X$ 的子集（在康托爾的例子中， $X=\mathbb {R} $ ），可能就會進一步關心 _$X$_ 的子集組成的集合。
（例如： _$X$_ 上的一個拓撲就是一個 _$X$_ 的子集組成的集合。）
這些不同的 _$X$_ 的子集組成的集合本身，一般而言並不是 _$X$_ 的子集，卻是 _$X$_ 的冪集 $\mathbf {P} X$ 的子集。當然，這還沒有完；可以進一步考慮 _$X$_ 的子集組成的集合所組成的集合，等等。另一個方向是：可以考慮笛卡兒積 $X\times X$ ，或從 _$X$_ 映射到其自身的函數。接著，還可以考慮笛卡兒積上的函數，或從 _$X$_ 映射到 $X\times \mathrm {P} X$ 的函數，等等。

這樣，儘管主要關心的是 _$X$_ ，仍然需要一個比 _$X$_ 大很多的全集。順著上面的思路，可能需要 _$X$_ 上的**超結構**。這可以通過結構遞迴來定義，如下：

* 設 $\mathbf {S} _{0}X$ 為 _$X$_ 自身。
* 設 $\mathbf {S} _{1}X$ 為 _$X$_ 和 $\mathbf {P} X$ 的聯集。
* 設 $\mathbf {S} _{2}X$ 為 $\mathbf {S} _{1}X$ 和 $\mathbf {P} (\mathbf {S} _{1}X)$ 的聯集。
* 一般的，設 $\mathbf {S} _{n+1}X$ 為 $\mathbf {S} _{n}X$ 和 $\mathbf {P} (S_{n}X)$ 的聯集。則 _$X$_ 上的超結構，寫作 $\mathbf {S} X$ ，為 $\mathbf {S} _{0}X$ ， $\mathbf {S} _{1}X$ ， $\mathbf {S} _{2}X$ ，等等，的聯集；或

　
: $\mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!$

注意到，無論初始集合 _$X$_ 如何，空集總是屬於 $\mathbf {S} _{1}X$ 。重定義空集為馮・諾伊曼序數 $[0]$ 。則 $\{[0]\}$ ，是僅含有空集為元素的集合，屬於 $\mathbf {S} _{2}X$ ；定義為馮・諾伊曼序數 $[1]$ 。類似的， $\{[1]\}$ 屬於 $\mathbf {S} _{3}X$ ，則 $\{[0]\}$ 和 $\{[1]\}$ 的聯集 $\{[0],[1]\}$ 也屬於該集合；定義為馮・諾伊曼序數 $[2]$ 。重複這個過程，所有的自然數都通過其馮・諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若 $x$ 和 $y$ 屬於這個超結構，則 $\{\{x\},\{x,y\}\}$ （這個集合表示了有序對 $(x,y)$ ）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡兒積。而且，這個超結構也包含各種函數和關係，因為他們可以被表示為笛卡兒積的子集。以及，還能夠得到有序 _n_ 元組，表示定義域為馮・諾伊曼序數 $[n]$ 的函數。等等。

所以，就算僅從 $X=\{\}$ 出發，也可以構造大量的用於數學研究的集合，它們都是在 {} 上的超結構裡的某個元素。但是，這樣 $\mathbf {S} \{\}$ 的每個元素都會是有限集合。每個自然數都屬於 $\mathbf {S} \{\}$ ，但「所有」自然數的集合 $\mathbb {N} $ 不屬於 $\mathbf {S} \{\}$ （儘管它是 $\mathbf {S} \{\}$ 的「子集」）。實際上， _$X$_ 上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。這樣，它可以被認為是「有限主義數學的全集」。可以想像一下，假若 19 世紀的有限主義者利奧波德・克羅內克當時能使用到這個全集的話；他會相信每個自然數都存在，而集合 **$\mathbb {N} $** （一個 "完全的無窮大"）則不然。

然而，對一般的數學家（它們不是有限主義者）來說， $\mathbf {S} \{\}$ 是不足夠的，因為儘管 **$\mathbb {N} $** 是 $\mathbf {S} \{\}$ 的子集，但 **$\mathbb {N} $** 的冪集仍然不是。特別的，任意的實數集合都不是。所以，需要重新開始這個過程，來構造 $\mathbf {S} (\mathbf {S} \{\})$ 。不過，為簡單起見，就只用給出的自然數集合 **$\mathbb {N} $** 來構造 $\mathbf {S} \mathbb {N} $ ，即 **$\mathbb {N} $** 上的超結構。這通常被認為是「一般數學的全集」。其意思是指，一般研究的所有數學對象，都已作為這個全集的元素而包含其中。例如：任何通常的實數的構造方式（比如通過戴德金分割）都會屬於 **$\mathbf {S} \mathbb {N} $** 。即使是非標準分析，也能夠在自然數的一個非標準模型上的超結構中進行。

應當注意，這個部分在觀念上有些改變，這裡全集是任何被關心的集合 $U$ 。上個部分中，被研究的集合是全集的_子集_；而現在，它們是全集的_元素_。這樣儘管 $\mathbf {P} (\mathbf {S} X)$ 是一個布林格，但相應的 $\mathbf {S} X$ 不是。因此，幾乎不直接採用布林格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。作為替代，可以採用獨立的布林格 $\mathbf {P} A$ ，這裡 $A$ 是 $\mathbf {S} X$ 中任意相應的集合；則 $\mathbf {P} A$ 是 $\mathbf {S} X$ 的子集（實際上它屬於 $\mathbf {S} X$ ）。

## 在集合論中

正式來說，可以給出一個精確定義，來說明為何 **$\mathbf {S} \mathbb {N} $** 為一般數學的全集；這是策梅洛集合論的模型。策梅洛集合論是由恩斯特・策梅洛最初在 1908 年提出的公理集合論。策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化 "一般" 數學，完成了康托爾在三十年之前開始的課題。但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作，特別是模型論，是不夠的。舉一個戲劇性的例子：上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成！
最後一步，構造 $\mathbf {S} $ 成為一個無限聯集，需要代換公理；這條公理在 1922 年被加入策梅洛集合論，成為如今通用的策梅洛 - 弗蘭克爾集合論。所以，儘管一般數學可以在 **$\mathbf {S} \mathbb {N} $** _中_進行，_對_ **$\mathbf {S} \mathbb {N} $** 的討論則不再 "一般"，而是轉向元數學的領域。

但是，若在超級的集合論中，可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。回到 $X=\{\}$ （空集），並用（標準的）符號 $V_{i}$ 表示 $\mathbf {S} _{i}\{\}$ 。則有 $V_{0}=\{\}$ ， $V_{1}=\mathbf {P} \{\}$ ，等等，和前面一樣。但是，所謂 "超結構" 現在只是這個列中的下一項： $V_{\omega }$ ，這裡 $\omega $ 為第一個無窮序數。按照序數知識，得到：

　
: $V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!$

可以對_任意_序數 $i$ 定義 $V_{i}$ 。所有 $V_{i}$ 的聯集為馮・諾伊曼全集 $V$ ：

　
: $V:=\bigcup _{i}V_{i}\!$ 。注意，每個單獨的 _$V_{i}$_ 都是集合，但他們的聯集 _$V$_ 是一個真類。跟代換公理差不多時候加入 ZF 系統的正則公理斷言，_每個_集合都屬於 _$V$_ 。

## 參見

* 自由物件

## 參考書目

* Mac Lane, Saunders (1998). _Categories for the Working Mathematician_. Springer-Verlag New York, Inc.

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Universe, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 埃里克・韋斯坦因. Universal Set. MathWorld.