共振寬度

**品質因子**或 **Q 因子**是物理及工程中的無因次參數，是表示振子阻尼性質的物理量，也可表示振子的共振頻率相對於頻寬的大小，
高 Q 因子表示振子能量損失的速率較慢，振動可持續較長的時間，例如一個單擺在空氣中運動，其 Q 因子較高，而在油中運動的單擺 Q 因子較低。高 Q 因子的振子一般其阻尼也較小。

## 說明

Q 因子較高的振子在共振時，在共振頻率附近的振幅較大，但會產生的共振的頻率範圍比較小，此頻率範圍可以稱為頻寬。例如一台無線電接收器內的調諧電路 Q 因子較高，要調整接收器對準一特定頻率會比較困難，但其選擇性較好，在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q 因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小，也比較穩定。

系統的 Q 因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統（例如防止門突然關閉的阻尼器）其 Q 因子為 1⁄2，而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其 Q 因子也較高。音叉的 Q 因子大約為 1000，原子鐘、加速器中的超導射頻或是光學共振腔的 Q 因子可以到 1011 甚至更高。

Q 因子的概念是來自電子工程中，評量一調諧電路或其他振子的「品質」。

## 定義

Q 因子可定義為在一系統的共振頻率下，當信號振幅不隨時間變化時，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例（此時系統儲存能量也不隨時間變化）：

　
: $Q=2\pi \times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}}.\,$

大部份的共振系統都可以用二階的微分方程式表示，Q 因子中 2_π_ 的係數，使 Q 因子可以表示成只和二階微分方程式係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的電感及電容中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間動能及位能的和，損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。

針對高 Q 因子的系統，也可以用下式計算的 Q 因子，在數學上也是準確的：

　
: $Q={\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},\,$

其中 _fr_ 為共振頻率，Δ_f_ 為頻寬，_ωr_ = 2_πfr_ 是以角頻率表示的共振頻率，Δ_ω_ 是以角頻率表示的頻寬

在像電感等儲能元件的規格中，會用到和頻率有關的 Q 因子，其定義如下：

　
: $Q(\omega )=\omega \times {\frac {\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}},\,$

其中 _ω_ 是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件（電感或是電容），也可用上式來定義 Q 因子，此時 Q 因子會等於無功功率相對有功功率的比例。

## Q 因子及阻尼

Q 因子可決定一個簡單阻尼諧振子的量化特性（有關數學的細節及不同系統的行為，請參考諧振子及線性時不變系統理論等條目）。

* 低 Q 因子的系統（_Q_ < ½）是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪，當偏離穩態輸出平衡點時，會以指數衰減的方式，漸近式的回到穩態輸出。其衝激響應是二個不同速度的指數衰減函數的和。當 Q 因子減少時，衰減較慢的響應函數其影響會變明顯，因此整個系統會變慢。一個 Q 因子很低的二階系統其步階響應類似一階系統。
* 高 Q 因子的系統（_Q_ > ½）是次阻尼系統。次阻尼系統在特定頻率的輸入下，其輸出會振盪，其振幅也會指數衰減。Q 因子略高於 ½ 的系統可能會振盪一或二次。若 Q 因子提高，阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音，沒有阻尼的諧振系統其 Q 因子是無限大，類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階低通濾波器有很高的 Q 因子，其步階響應一開始會快速上昇，在平衡點附近震盪，最後才收斂到穩態的值。
* Q 因子為 ½ 的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪，也不會有過沖的情形。臨界阻尼系統和次阻尼系統一様，會對階躍有快速的響應，臨界阻尼可以使系統在不過沖的條件下有最快的反應，實際的系統若要求更快的反應，一般會允許一定程度的過沖，若系統不允許過沖，可能會使反應時間放慢，以提供一定的安全係數。

在負回授系統中，閉迴路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的相位裕度可以決定閉迴路系統的 Q 因子，當相位裕度減少時，對應的二階閉迴路系統振盪會變大，也就是 Q 因子提高。

### 常見系統的 Q 因子

* 單位增益的 Sallen–Key 拓撲結構濾波器為臨界阻尼系統，Q 因子為 $1/2$ )。
* 巴特沃斯濾波器（有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器）為次阻尼系統，Q 因子為 $1/{\sqrt {2}}$ 。
* 貝塞爾濾波器（有最平坦群延遲的連續時間濾波器）為次阻尼系統，Q 因子為 $1/{\sqrt {3}}$ 。

## Q 因子的物理意涵

根據物理學，Q 因子等於 $2\pi $ 乘以系統儲存的總能量，除以單一週期損失的能量，也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。

Q 因子是無因次的參數，是比較系統振幅衰減的時間常數和振盪週期後的結果。當 Q 因子數值較大時，Q 因子可近似為系統從開始振盪起，一直到其能量剩下原來的 $1/e^{2\pi }$ （約 1/535 或 0.2%），中間歷經的振盪次數。

共振的頻寬可以用下式表示

　
: $\Delta f={\frac {f_{0}}{Q}}\,$ ,

其中 $f_{0}$ 為共振頻率， $\Delta f$ 為頻寬，也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。

Q 因子、阻尼比 ζ 及衰減率 α 之間有以下的關係

　
: $\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha  \over \omega _{0}}.$

因此 Q 因子可表示為

　
: $Q={\frac {1}{2\zeta }}={\omega _{0} \over 2\alpha },$

而指數衰減率可表示為

　
: $\alpha =\zeta \omega _{0}={\omega _{0} \over 2Q}.$

二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示

　
: $H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{0}}{Q}} _{2\zeta \omega _{0}=2\alpha }s+\omega _{0}^{2}}}\,$

若此系統的 $Q>0.5$ （次阻尼系統），系統有二個共軛複數極點，其實部為 $\alpha $ 。衰減參數 $\alpha $ 表示其衝激響應指數衰減的速率。Q 因子大表示其衰減率較慢，因此 Q 因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高 Q 因子的鐘，用鎚子敲擊後，其輸出近似純音，且可以維持很長的時間。

## 電子系統

對電子共振系統而言，Q 因子表示電阻的影響，若針對機電共振系統（例如石英晶體諧振器），也包括摩擦力的影響。

### RLC 電路

理想串聯 RLC 電路的 Q 因子為：

　
:

其中 $R$ 、 $L$ 及 $C$ 分別是電路的電阻、電感和電容，若電阻值越大，Q 因子越小。

並聯 RLC 電路的 Q 因子恰為對應串聯電路 Q 因子的倒數：

　
:

若將電阻、電感和電容並聯形成一電路，並聯電阻值越小，其阻尼的效果越大，因此 Q 因子越小。

若是電感和電容並聯的電路，而主要損失是電感內，和電感串聯的電阻 R，其 Q 因子和串聯 RLC 電路相同，此時降低寄生電阻 R 可以提昇 Q 因子，也使頻寬縮小到需要的範圍內。

### 儲存元件

個別儲存元件的 Q 因子和對應信號頻率有關，一般是電路的共振頻率。電感器的 Q 因子為：

$$
Q={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega L}{R_{L}}}
$$

其中：

 * $\omega $ 為頻率。
* $L$ 為電感。
* $X_{L}$ 為電感器的感抗。
* $R_{L}$ 為電感內的電阻。

 
電容器的 Q 因子為：

$$
Q={\frac {X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega CR_{C}}}
$$

其中:

 * $\omega $ 為頻率。
* $C$ 為電容。
* $X_{C}$ 為電容器的容抗。
* $R_{C}$ 為電容內的電阻。

## 力學系統

對於一個有阻尼的質量－彈簧系統，可以用 Q 因子表示簡化的黏滯阻尼或阻力對系統的影響，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系統的 Q 因子可以用下式表示：

　
: $Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,$

其中 M 是質量，k 是彈簧常數，而 D 是阻力係數，可用下式來定義：

　
: $F_{\text{damping}}=-Dv$

其中 $F_{\text{damping}}$ 是阻力， $v$ 是速度。

## 雷射系統

雷射系統中，光學共振腔的 Q 因子可以用下式表示

　
: $Q={\frac {2\pi f_{o}\,{\mathcal {E}}}{P}},\,$

其中 $f_{o}$ 為共振頻率， ${\mathcal {E}}$ 為共振腔中儲存的能量， $P=-{\frac {dE}{dt}}$ 為耗散的能量。光學共振腔的 Q 因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振光子的平均壽命和 Q 因子成正比，若雷射共振腔中的 Q 因子突然地調高，共振腔會輸出雷射脈衝，其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度，此技術稱為為 Q 切換。

## 相關條目

* 阻尼比
* 衰減率
* 相位裕度
* 頻寬
* 品質因子表
* 散逸因數

## 參考資料