共变微分

數學上，**協變導數**或稱**共變導數**是在流形上定義沿著向量場的導數的方法之一。

事實上，除了引入的風格不同之外，協變導數和聯絡沒有實質上的區別。

在黎曼和偽黎曼流形理論中，協變導數通常指列維 - 奇維塔聯絡。

這裡，我們給出一個向量相對於向量場的協變導數 (也稱為**張量導數**) 的傳統的帶指標記號的簡介；張量的協變導數是同一概念的推廣。

本條目中，我們使用愛因斯坦記號。我們假設讀者熟悉微分流形的概念特別是關於切向量的概念。

## 一般概念

向量 **u** 的沿著向量 **v** 的**協變導數** $\nabla $ (也寫作 **D**) 是一個定義第三個稱為 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ (也作 **Dvu**) 的向量的規則，它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何對象，和所選基 (坐標系統) 無關。固定一個坐標系之後，這個導數和向量基自身的變換規則相同 (共變變換)，所以有這個名字。

在歐幾里得空間的情形，如果有一個標準正交坐標系，一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。

在這樣的系統中，平移其中一個向量到另一個的原點，保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的協變導數可以取每個分量的導數。

但是在一般情況，我們必須把坐標系的變化考慮在內。在彎曲空間中，例如地球表面（作為一個球面），平移沒有嚴謹的定義，而和它相似的概念，平行移動，依賴於向量被平移的路徑。例如，在二維歐幾里得平面極坐標中，導數包含了額外的項用於表述坐標格點自身如何「轉動」。在其他的情況下，還有額外的項描述坐標格點如何擴張，收縮，扭轉，交織，等等。

這是一個二維歐氏空間中的極坐標中的曲線的一個例子。在曲線參數 _t_ 的向量 (比如說加速度，不在圖中) 可以表達在坐標系 $({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$ 中，其中 ${\mathbf {e} }_{r}$ 和 ${\mathbf {e} }_{\theta }$ 是極坐標中的單位切向量，用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後，極坐標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的協變導數（克里斯托費爾符號可以表達這個變化）。

(可能最好不要把 t 看作時間參數，至少在廣義相對論的應用中不要這樣。它只是一個任意參數沿著路徑光滑而單調的變化。）

另一個例子：向量 **e** 在球上位於赤道上的一點 Q，方向朝北。假設我們首先沿著赤道平行移動該向量直到 P（然後保持它和自己平行））著子午線把它拖到北極 N 然後（保持方向）繼續沿著另一條子午線移動它回到 Q。然後我們注意到沿著封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量；它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生，它發生的原因是球的曲面上的_曲率_。如果我們沿著無窮小閉曲面依次沿著兩個不同方向然後返回，我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。

### 備註

定義中的向量 **u** 和 **v** 是定義在同一點 _p_ 的。而且協變導數 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 也是 _p_ 的一個向量。

協變導數的定義不用空間的度量。但是，一個給定的度量唯一的確定了一個特殊的協變導數，稱為列維 - 奇維塔聯絡。

導數的性質暗示者 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 依賴於 _p_ 周圍的情況，就像純量函數在一點 _p_ 沿著曲線的導數依賴於 _p_ 點周圍一樣。

在協變導數中關於點 _p_ 圍的信息可以用來定義向量的平行移動。而且曲率，撓率和測地線也可以只用協變導數來定義。

偶爾，術語「協變導數」指一個一般向量叢沿著基空間的一個切向量的截面的導數；參看「聯絡形式」中的「向量叢」的有關章節。

## 形式化定義

### 函數

給定流形 $M$ 上一點 $p$ 和其上一個實函數 $f$ ， $f$ 在 $p$ 點沿 $\mathbf {v} $ 的共邊導數是一個定義在 $p$ 處的純量，記為 $(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$ ， $(\nabla _{\mathbf {v} }f)_{p}$ 等於實函數 $f$ 在 $p$ 處沿向量 **v** 方向的通常導數， $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 也可以記為 ${\mathbf {v} }f$ 或者 $df({\mathbf {v} })$ 。

### 向量場

向量場 ${\mathbf {u} }$ 在向量 ${\mathbf {v} }$ 方向的**協變導數** $\nabla $ 記為 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對任意向量場 **u, v, w** 和純量函數 _f_ 和 _g_ 由下列性質定義:

 1. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對於 ${\mathbf {v} }$ 代數式線性所以 $\nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }$
2. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 對於 ${\mathbf {u} }$ 可加，所以 $\nabla _{\mathbf {v} }({\mathbf {u} }+{\mathbf {w} })=\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {w} }$
3. $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 遵守乘積法則， 也就是說 $\nabla _{\mathbf {v} }f{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+{\mathbf {u} }\nabla _{\mathbf {v} }f$ 其中 $\nabla _{\mathbf {v} }f$ 如前所定義。

注意 $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }$ 在點 _p_ 依賴於 **v** 在 _p_ 點的值以及 **u** 在 _p_ 的一個鄰域的值，因為最有一個性質乘積法則的要求。這表示協變導數不是一個張量。

### 餘向量場

給定餘向量場 (或者說 1 - 形式) $\alpha $ ，其協變導數 $\nabla _{\mathbf {v} }\alpha $ 可以用下邊的對於所有向量場 **u** 都滿足的恆等式來定義

　
: $\nabla _{\mathbf {v} }(\alpha ({\mathbf {u} }))=(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )({\mathbf {u} })+\alpha (\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }).$

餘向量場沿著一個向量場 **v** 的協變導數還是一個餘向量場。

### 張量場

一旦定義了向量和余向量場的協變導數，它就可以定義到任一張量場上，這要用如下的恆等式，其中 $\varphi $ 和 $\psi $ 是任意兩個張量:

　
: $\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),$

並且，若 $\varphi $ 和 $\psi $ 是同一個張量叢的張量場，則

　
: $\nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .$

沿著向量場 **v** 的協變導數也還是同類型的張量場。

## 坐標表示

給定坐標函數 $x^{i},\ i=0,1,2,...$ ，任何切向量都可以用它的在基 $e_{i}={\partial  \over \partial x^{i}}$ 中的分量表示。 協變導數是一個向量，所以可以表示為基向量的線性組合 Γk**e**k，其中 Γk 是分量（參看愛因斯坦記號)。 
要給定協變導數，給定每個基向量場 **e**j 沿著 **e**i 的協變導數就可以了

　
: $\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}{\mathbf {e} }_{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}{\mathbf {e} }_{k},$

係數 $\Gamma _{ij}^{k}$ 稱為**克里斯托費爾符號**。
然後使用定義中的規則，我們發現對於一般的向量場 ${\mathbf {v} }=v^{i}e_{i}$ and ${\mathbf {u} }=u^{i}e_{i}$ 可以得到

　
: $\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }=(v^{i}u^{j}\Gamma ^{k}{}_{ij}+v^{i}{\partial u^{k} \over \partial x^{i}}){\mathbf {e} }_{k},$

這個公式的第一項代表了坐標系對於協變導數的 "扭轉"，而第二項代表了向量場 _u_ 的分量的變化。特別的有

　
: $\nabla _{{\mathbf {e} }_{j}}{\mathbf {u} }=\nabla _{j}{\mathbf {u} }=\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}\right){\mathbf {e} }_{i}$

用語言描述的話：協變導數是一般的沿著坐標的導數加上關於坐標改變的校正項。在物理教科書中，協變導數有時只用這個方程中的分量形式表述。

一個常用的記法是，用一個分號表示協變導數，而用一個逗號表示普通導數。在這個記號下，我們把同樣的公式寫作::

　
: $\nabla _{j}{\mathbf {v} }\equiv v^{i}{}_{;j}\;\;\;\;\;\;v^{i}{}_{;j}=v^{i}{}_{,j}+v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}$

這再次表明了向量場的協變導數不僅僅是從沿著坐標的微分中得到 $v^{i}{}_{,j}$ ，而且是通過 $v^{k}\Gamma ^{i}{}_{kj}$ 依賴於向量 **v** 本身的。

## 相關條目

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* 列維 - 奇維塔聯絡
* 克里斯托費爾符號