傅立叶变换家族中的关系

在數學領域的諧波分析中，連續傅立葉變換（continuous Fourier transform, CFT）與傅立葉級數 （Fourier series, FS）有非常微妙的關係。而且連續傅立葉變換也與離散時間傅立葉變換（discrete time Fourier transform, DTFT）和離散傅立葉變換（discrete Fourier transform, DFT）有很近的關係。傅立葉變換家族通常就是指這四種變換。

通過利用 Dirac delta 函數 $\delta (t)$ ，CFT 可以應用到時間離散 （time-discrete）或時間周期（time-periodic）信號。實際上，FS、 DTFT 和 DFT 都可以由最廣泛的 CFT 得到。從理論上看，它們也都是 CFT 的特殊情況。

在信號理論和數位訊號處理（digital signal processing, DSP）中，DFT 擴展用於近似計算連續信號的頻譜，其變換的對象只是一個採樣點的有限序列，而且可以由快速傅立葉變換（fast Fourier transform, FFT）實現。

## 家族中各個變換的定義

下表中左上、左下、右上和右下分別對應了傅立葉變換家族中 CFT、FS、DTFT 和 DFT 四個變換對的定義。

顯然，上表是從時域信號的角度來劃分的：表的列區分了連續時間和離散時間的信號，而表的行則區分了時間上非周期的信號和時間上周期的信號。其中重要的參量符號解釋為：

 * $x[n]$ 和 $X[k]$ 都為無限序列，其採樣間隔，即間隔時間和間隔頻率分別為 $T_{s}$ 和 $f_{0}=1/T_{0}$ ；
* ${\bar {x}}(t)$ 和 ${\bar {X}}(f)$ 都為周期函數，且時間周期和頻率周期分別為 $T_{0}$ 和 $f_{s}=1/T_{s}$ ；
* $x_{n}$ 和 $X_{k}$ 都為有限序列，且序列長度都為 $N$ ；

## 關係推導所需的公式

前面表中的定義都可以通過 Dirac delta 函數 $\delta (t)$ 的擴展形式 ，即 Dirac comb 函數，由 CFT 引入或推導。為計算離散和 / 或周期信號的 CFT，我們需要引入一些公式，並使用傅立葉變換的一些特性。以下集中給出：

**1. Dirac comb 函數的傅立葉變換**

Dirac comb 函數的定義為

　
: : $\Delta _{T}(t){\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$

在電氣工程中通常又稱作衝擊串（impulse train）或採樣函數 （sampling function）。其重要的傅立葉變換為：

　
: : $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {2\pi k}{T}}t}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi nTf}$

這個變換在傅立葉變換家族中各個變換之間轉換上起關鍵作用。

**2. 傅立葉變換的卷積定理（convolution theorem）** 

這包括了傅立葉變換的時域卷積和頻域卷積：

　
: : ${\begin{aligned}x_{1}(t)\ast x_{2}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{1}(f)\cdot X_{2}(f)\\x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{1}(f)\ast X_{2}(f)\end{aligned}}$

**3. 泊松求和公式（Poisson summation formula）** 

由 Dirac comb 函數的傅立葉變換和卷積定理，容易證明泊松求和公式：

　
: : ${\begin{aligned}1.\qquad &\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}\\2.\qquad &\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-i2\pi nTf}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\end{aligned}}$

若第 1 和第 2 公式中分別取 $t=0$ 和 $f=0$ ，得到相同等式：

　
: : $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T}}\right)$

這表明，傅立葉變換時時域函數 $x(t)$ 和頻域函數 $X(f)$ 分別以 $T$ 和 $1/T$ 為間隔採樣，則所有時域採樣點的總和與所有頻域採樣點擴大 $1/T$ 的總和相等。

## 各種變換之間的關係

 
圖中立方體包含了頻域和時域兩個平面上各種變換的關係，同時兩平面相連的四個邊則分別代表了 CFT、FS、DTFT 和 DFT。其中參量符號與前面表中相同，另外增加：

 * ${\tilde {X}}_{k}$ 為由 FS 和 DTFT 推導 DFT 得到的 DFT' 頻域形式，與傳統 DFT 的頻域 $X_{k}$ 有關係： $X_{k}=T_{0}{\tilde {X}}_{k}$ ；
* 圖中粗的雙箭頭（ $\leftrightarrow $ ）表示每個函數和其變換之間的聯繫；

總的說來，各種變換之間的轉換是一個周期擴展或採樣的過程：

* 如果時域進行周期擴展，則頻域為採樣；如果時域進行採樣，則頻域為周期擴展；
* 一個轉換中，周期擴展的周期與採樣的間隔有倒數關係；
* 頻域的周期擴展或者採樣，都有一個周期或採樣間隔作係數；

這裡的周期擴展就是與 Dirac comb 函數相卷積，而採樣則是與 Dirac comb 函數相乘。

從 CFT 分別到 FS 和 DTFT 的轉換都容易推導，下面具體說明 FS 和 DTFT 到 DFT/DFT' 轉換的推導，最後說明連續 FT 與 DFT/DFT' 的關係。

### 由 DTFT 推導 DFT

設 DTFT，及對應的 CFT 為：

　
: : ${\begin{aligned}x[n]&\quad {\stackrel {\mathcal {DTFT}}{\longleftrightarrow }}\quad {\bar {X}}(f)\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\bar {X}}(f)\end{aligned}}$

在時域作周期為 $T_{0}$ 的擴展，有:

　
: : ${\begin{aligned}&\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)\ast \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT-iNT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iNT)\right)\delta (t-nT)\end{aligned}}$

其中代入了 $T_{0}=NT$ ，而由於 $n$ 和 $i$ 的求和區間都為 $-\infty $ 到 $\infty $ ，可以用 $n-iN$ 代替 $n$ 得到最後一步推導。取：

　
: : ${\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iNT)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n-iN]\\&=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})\end{aligned}}$

在頻域作帶係數 $1/T_{0}$ 且間隔也為 $1/T_{0}$ 的採樣，有：

　
: : ${\begin{aligned}&{\bar {X}}(f)\cdot {\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {i}{T}}\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\end{aligned}}$

取：

　
: : ${\tilde {X}}_{k}={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)={\frac {1}{T_{0}}}{\bar {X}}\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)$

 

### 由 FS 推導 DFT

設 FS，及對應的 CFT 為：

　
: : ${\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {FS}}{\longleftrightarrow }}\quad X[k]\\{\bar {x}}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad \sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right).\end{aligned}}$

在時域作間隔為 $T$ 採樣，有：

　
: : ${\begin{aligned}&{\bar {x}}(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})\right)\cdot \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(t-iT_{0})\cdot \delta (t-nT)\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})\right)\cdot \delta (t-nT)\end{aligned}}$

取：

　
: : $x_{n}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})={\bar {x}}(nT)$

在頻域作帶係數 $1/T$ 且周期也為 $1/T$ 擴展，有：

　
: : ${\begin{aligned}&\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\ast \left({\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {iN}{T_{0}}}\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k-iN}{T_{0}}}\right)\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\end{aligned}}$

其中也代入了 $T_{0}=NT$ ，而由於 $k$ 和 $i$ 的求和區間都為 $-\infty $ 到 $\infty $ ，可用 $k-iN$ 替代 $k$ 得到最後一步推導。 取：

　
: : ${\begin{aligned}{\tilde {X}}_{k}&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k-iN}{T_{0}}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X[k-iN]\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)\end{aligned}}$

 

### CFT 與 DFT 的關係

前面 FS 到 DFT 和 DTFT 到 DFT 的推導都得到相同的 $x_{n}$ 和 ${\tilde {X}}_{k}$ 。這裡的 $x_{n}$ 和 ${\tilde {X}}_{k}$ 可看作一種 DFT 變換對，有關係：

　
: : ${\begin{aligned}{\tilde {X}}_{k}&={\frac {1}{T_{0}}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}\ x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}kn}\\x_{n}&=T\sum \limits _{k=0}^{N-1}\ {\tilde {X}}_{k}e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn}\end{aligned}}$

記為：

　
: : $x_{n}\quad {\stackrel {\mathcal {DFT'}}{\longleftrightarrow }}\quad {\tilde {X}}_{k}$

對比傳統 DFT 變換對的 $x_{n}$ 和 $X_{k}$ ，顯然有：

　
: : $X_{k}=T_{0}{\tilde {X}}_{k}.$

這一對變換的等式右邊係數的乘積為 $T/T_{0}=1/N$ ，符合我們在 DFT 中的說明，因而完全可以將這裡的 DFT' 看作傳統 DFT 的另一種變換形式 。

而由前面轉換的推導過程可得到：

　
: : $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}\cdot \delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\begin{matrix}\displaystyle {\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\tilde {X}}_{k}\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)}\\\displaystyle {={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{k}\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)}\end{matrix}}$

為一對 CFT，其中要求 $T_{0}=NT$ 。加之如果 $x(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}X(f)$ ，則有：

　
: : $x_{n}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0}){\begin{matrix}\displaystyle {\quad {\stackrel {\mathcal {DFT'}}{\longleftrightarrow }}\quad {\tilde {X}}_{k}={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)}\\\displaystyle {\quad {\stackrel {\mathcal {DFT}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{k}={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)}\end{matrix}}$

其中可以任選 $T_{0}$ 和 $T$ 。這樣就建立了 CFT 和 DFT 之間的雙向關係。但應注意到，此時我們已經將 DFT' 和 DFT 都做了周期拓展，即 $n,k\in \mathbb {Z} $ 。

## 參看

* 傅立葉變換
* 傅立葉級數
* 離散時間傅立葉變換
* 離散傅立葉變換

## 參考文獻

1. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). _Discrete-time signal processing_, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
2. Sklar, B., (2001). _Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition_, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887