克拉瑪公式

**克萊姆法則**或**克拉瑪公式**（英語：Cramer's rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列・克萊姆（1704 年 - 1752 年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

## 基本方程式

一個線性方程組可以用矩陣與向量的方程式來表示：

 $Ax=c\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$
其中的 $A$ 是一個 $n\times n$ 的方塊矩陣，而向量 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$ 是一個長度為 **n** 的行向量 (中國大陸為列向量）。 $c=(c_{1},c_{2},\cdots c_{n})^{T}$ 也一樣。

克拉瑪公式說明：如果 $A$ 是一個可逆矩陣（ $\det {A}\neq 0$ ），那麼方程式 (1) 有解 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$ ，其中

 $x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$ (1)

當中 $x_{i}$ 是列向量 $x$ 的第 _i 行_（行向量與列向量不一樣，解釋默認列向量）

當中 $A_{i}$ 是列向量 $c$ 取代了 $A$ 的第 _i 列_後得到的矩陣。為了方便，我們通常使用 $\Delta $ 來表示 $\det(A)$ ，用 $\Delta _{i}$ 來表示 $\det(A_{i})$ 。所以等式 (1) 可以寫成為：

　
: $x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,$ 。

## 抽象方程式

設 $R$ 為一個環， $A$ 就是一個包含 _$R$_ 的係數的 $n\times n$ 矩陣。所以：

　
: $\mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,$

當中 $\det(A)$ 就是 _$A$_ 的行列式，以及 $I$ 就是單位矩陣。

## 證明概要

對於 $n$ 元線性方程組 $Ax=c$

把係數矩陣 ${\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}}$ 表示成行向量的形式

$$
A=\left(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}\right)
$$

由於係數矩陣可逆，故方程組一定有解 $x^{*}=A^{-1}c$ .

設 $x^{*}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$ ，即

$$
Ax^{*}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c
$$

考慮 $\Delta _{i}$ 的值，利用行列式的線性和交替性質，有

$$
{\begin{aligned}\Delta _{i}&=det\left(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\Delta \end{aligned}}
$$

於是

$$
x_{i}={\frac {\Delta _{i}}{\Delta }}
$$

## 例子

運用**克萊姆法則**可以很有效地解決以下方程組。

已知：

　
: $ax+by={\color {red}e}\,$

　
: $cx+dy={\color {red}f}\,$

使用矩陣來表示時就是：

　
: ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}$

當矩陣可逆時，x 和 y 可以從克萊姆法則中得出：

　
: $x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}$

　
: 以及

　
: $y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}$

用 3×3 矩陣的情況亦差不多。

已知：

　
: $ax+by+cz={\color {red}j}\,$

　
: $dx+ey+fz={\color {red}k}\,$

　
: $gx+hy+iz={\color {red}l}\,$

當中的矩陣表示為：

　
: ${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}$

當矩陣可逆時，可以求出 x、y 和 z：

　
: $x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$ 、   $y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$ 以及 $z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

### 微分幾何上的應用

**克萊姆法則**在解決微分幾何的問題時十分有用。

先考慮兩條等式 $F(x,y,u,v)=0\,$ 和 $G(x,y,u,v)=0\,$ 。其中的 u 和 v 是需要考慮的變數，並且它們互不相關。我們可定義 $x=X(u,v)\,$ 和 $y=Y(u,v)\,$ 。

找出一條等式適合 $\partial x/\partial u$ 是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算 $F$ 、 $G$ 、 $x$ 和 $y$ 的導數：

　
: $dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

　
: $dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

　
: $dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

　
: $dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

將 $dx$ 和 $dy$ 代入 $dF$ 和 $dG$ ，可得出：

　
: $dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

　
: $dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

因為 $u$ 和 $v$ 互不相關，所以 $du$ 和 $dv$ 的係數都要等於 0。所以等式中的係數可以被寫成：

　
: ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

　
: ${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

　
: ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

　
: ${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

現在用克萊姆法則就可得到：

　
: ${\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

用兩個雅可比矩陣來表示的方程式：

　
: ${\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

用類似的方法就可以找到 ${\frac {\partial x}{\partial v}}$ 、 ${\frac {\partial y}{\partial u}}$ 以及 ${\frac {\partial y}{\partial v}}$ 。

### 基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

### 線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

## 參考文獻

## 外部連結

* Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
* Systems Solver