光線轉換矩陣分析

**光線轉換矩陣分析**(又稱 **ABCD 矩陣分析**)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣 (ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理 (accelerator physics) 中，用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見電子光學。

以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸 (optical axis) 都處於小角度 (θ 為徑度)、短距離 (x)。

## 定義

光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的 z 軸。一光線與輸入面呈 θ1，從距離光軸 _x_1 的入射面進入系統，並在距光軸的 _x_2 的輸出面呈 θ2 射出，而 _n_1, _n_2 分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

　
: ${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

當

　
: $A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}$

且

　
: $C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}$

這個關係式以光線轉化矩陣 (RTM, M) 將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M 代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根據折射定律與幾何關係，可以證明 RTM 行列式值 (determinant) 即是兩個折射率的比值。

　
: $\det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}$

因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M 等於 1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路。

## 範例

若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

　
: $\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$

其中 d 表示兩參考平面的距離 (沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:

　
: ${\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

兩光線各別的參數可表示如下:

　
: ${\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}$

另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

　
: $\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}$

其中 f 為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為 d 的空間與薄透鏡的複合系統:

　
: $\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}$

注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

　
: $\mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}$

因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。

## 光線轉化矩陣表格

**簡易的光學元素**

## 共振穩定性

RTM 在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具 100% 反射率、曲率半徑 R 相互距離為 d 的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為 R/2，彼此間的距離為 d 的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為 a lens equivalent duct 或 lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的 RTM 如下:

　
: $\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}$

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性 (等同於共振器)，意即 RTM 可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的」eigenrays」，入射向量在每個 mentioned sections 的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於 1。 使得：

　
: $\mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

此為一本徵方程式：

　
: $\left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0$

其中 I 為一 2x2 單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

　
: $\operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0$

可導出以下特徵方程式：

　
: $\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0$

其中

　
: $\operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}$

是 RTM 的軌跡，且

　
: $\operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1$

是 RTM 行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

　
: $\lambda ^{2}-2g\lambda +1=0$

其中

　
: $g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}$

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

　
: $\lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,$

現在，考慮一個光線通過系統 N 次:

　
: ${\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}$

如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即 λN 必須是有限的。吾人假設 g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為 λ+λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於 1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

　
: $\lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }$

以 g=cos (φ) 表示。

假設 $g^{2}<1$ 且 $r_{+}$ , $r_{-}$ 是 $\lambda _{+}$ , $\lambda _{-}$ 的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:

　
: $c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}$ ,

 $c_{+}$ and $c_{-}$ 為某常數

再通過 N 個波導後，輸出則為:

　
: $\mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}$

這代表一個週期函數。

## 高斯光束的光線轉化矩陣

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束 (Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為 λ0，曲率半徑為 R，光點大小 w，折射率 n，我們可以定義出一複數光束參數 (complex beam parameter) q:

　
: ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}$

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

　
: ${\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}$

其中 k 為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為 1，利用矩陣乘法:

　
: $q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,$

且

　
: $1=k(Cq_{1}+D)\ $

由上式除以下式可得:

　
: $q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}$

此方程式常以倒數形式表示:

　
: ${1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}$

### 範例：:Free space

假設一光束通過一距離為 d 的空間，光線轉化矩陣為: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$ 因此

　
: $q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d$

這表示，通過一空間會增加半徑 d。

### 範例：薄透鏡

假設一光束通過一焦距為 f 的薄透鏡，光線轉化矩陣為:

　
: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}$

因此

　
: $q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}$

　
: ${\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}$

再次強調，只有 q 的實部會被影響，曲率半徑會減少 1/f。

## 另見

* 傳遞矩陣法
* 幾何光學

## 參考文獻

## 外部連結

* Thick lenses (Matrix methods)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* ABCD Matrices Tutorial（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Provides an example for a system matrix of an entire system.
* ABCD Calculator（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
* Simple Optical Designer (Android App)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.