冪數

**冪數**（英語：powerful number）也稱為**冪次數**，是指一正整數 $n$ ，其所有質因數的平方亦是 $n$ 的因數，換言之，若存在一質因數 $p$ ，則 $p^{2}$ 也是 $n$ 的因數。

冪數可表示為一個平方數及立方數的乘積，若 $a$ 及 _$b$_ 為正整數（包括 1 在內）， $a^{2}b^{3}$ 即為冪數。而平方數及立方數本身（及整數的更高次方）也是冪數。

保羅・艾狄胥及喬治・塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究，而數學家 Solomon W. Golomb 將這類的數命名為「powerful number」，「powerful」應該是指數字由許多冪所組成，但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是 1000 以內冪數的列表：

　
: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS 數列 A001694）。

## 數學性質

冪數的質因數分解中，各質因數指數均大於 1。

冪數的倒數和收斂，其值為：

　
: $\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)$

其中

　
: _p_ 為所有的質數

　
: $\zeta (s)$ 為黎曼 ζ 函數

　
: $\zeta (3)$ 為阿培里常數。

若用 _k_(_x_) 來表示當 1≤_n_≤_x_ 時，冪數 _n_ 的個數，則 _k_ 滿足以下的不等式

　
: $cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots $

。

佩爾方程式 _x_2-8_y_2=1 有無限多個正整數解，因此存在無限多組連續的冪數（若 _x_、_y_ 為正整數解，則 _x_2 及 8_y_2 即為二個連續的冪數），其中最小的是 8 和 9。而 8 和 9 恰好也是唯一一組連續的次方數（卡塔蘭猜想，後來已被數學家普雷達・米哈伊列斯庫證明）。

### 冪數的和與差

每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差：(_k_ + 1)2 = _k_2 + 2k +12，因此 (_k_ + 1)2 - _k_2 = 2_k_ + 1。而每一個 4 的倍數都可以表示為二個彼此差 2 的正整數，其平方的差：(_k_ + 2)2 - _k_2 = 4_k_ + 4。以上數字均可表示為二平方數的差，因此可就是二個冪數的差。

但無法被 4 整除的偶數（即奇偶數）無法表示為二個平方數的差，但不確定是否可表示為二個冪數的差，然而 Golomb 發現以下的等式

　
: 2=33-52

　
: 10=133-37

　
: 18=192-73=32(33-52)

以上的等式未包括 6，Golomb 猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差，不過後來 Narkiewicz 發現 6 也可以表示為二個冪數的差：

　
: 6=5473-4632

而且可以找到無限多組的冪數，二個冪數之間的差為 6。而 McDaniel 證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法。

保羅・艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和，後來由 Roger Heath-Brown 證實了保羅・艾狄胥的猜想。

## 一般化

冪數的質因數分解中，所有的指數均不小於 2。以此概念再延伸，若一整數的質因數分解中，所有的指數均不小於 _k_，可稱為 _k_- 冪數。

　
: (2k+1}-1)k, 2k(2k+1-1)k, (2k+1-1)k+1

是由 k - 冪數所組成的等差數列，若 _a_1, _a_2, ..., _a_s 是由 _k_- 冪數所形成的等差數列，公差為 d，則

　
: _a_1(_a_s+_d_)k, _a_2(_a_s+_d_)k, ..., _a_s(_a_s+_d_)k, (_a_s+d)k+1

則是由 _s_+1 個項 _k_- 冪數所組成的等差數列。

以下是一個有關 _k_- 冪數的恆等式：

　
: _a_k(_a_n+...+1)k+_a_k+1(_a_n+...+1)k+...+_a_k+_n_(_a_n+...+1)k=_a_k(_a_n+...+1)k+1

因此可以找到無窮多組的 _k_- 冪數，其個數為 _n_+1 個，而這些 _k_- 冪數的和也是 _k_- 冪數。Nitaj 證明了存在無窮多組互質的 3 - 冪數 _x_、_y_、_z_，滿足 _x_+_y_=_z_ 的形式。Cohn 找到一個可產生無窮多組互質，且非立方數的 3 - 冪數 _x_、_y_、_z_，可滿足 _x_+_y_=_z_ 的方法：以下的數組

　
: _X_=9712247684771506604963490444281, _Y_=32295800804958334401937923416351, _Z_=27474621855216870941749052236511

是方程式式 32_X_3 + 49_Y_3 = 81_Z_3 的解（因此 32_X_3、49_Y_3 及 81_Z_3 即為上述的 3 - 冪數數組）。令 _X_′=_X_(49_Y_3 + 81_Z_3), _Y_′ = −_Y_(32_X_3 + 81_Z_3), _Z_′ = _Z_(32_X_3 − 49_Y_3)，再除以其最大公因數即為一組新的解。

## 関連項目

* 阿喀琉斯數
* 次方數

## 註解

## 延伸閱讀

* J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, _Math. Comp._ **67** (1998), 439--440. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, _Acta Litt. Sci. Szeged_ **7**(1934), 95--102.
* Richard Guy, Section B16 in _Unsolved Problems in Number Theory_, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
* D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, _Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7_, Birkhäuser, Boston, 1988.

## 外部連結

* Powerful number in mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）