偏最小二乘回归

**偏最小平方迴歸（英語：Partial least squares regression， PLS 迴歸）** 是一種統計學方法，與主成分迴歸有關係，但不是尋找響應和獨立變數之間最小變異數的超平面，而是通過投影預測變數和觀測變數到一個新空間來尋找一個線性迴歸模型。因為數據 _X_ 和 _Y_ 都會投影到新空間，PLS 系列的方法都被稱為雙線性因子模型。當 Y 是分類數據時有「偏最小平方判別分析（英語：Partial least squares Discriminant Analysis， PLS-DA）」，是 PLS 的一個變形。

偏最小平方用於查找兩個矩陣（_X_ 和 _Y_）的基本關係，即一個在這兩個空間對共變異數結構建模的隱變數方法。偏最小平方模型將試圖找到 _X_ 空間的多維方向來解釋 _Y_ 空間變異數最大的多維方向。偏最小平方迴歸特別適合當預測矩陣比觀測的有更多變數，以及 _X_ 的值中有多重共線性的時候。相比之下，標準的迴歸在這些情況下不見效（除非它是吉洪諾夫正則化）。

偏最小平方算法被用在偏最小平方路徑建模中， 一個建立隱變數（原因不能沒有實驗和擬實驗來確定，但一個典型的模型會基於之前理論假設（隱變數影響衡量指標的表現）的隱變數模型）這種技術是結構方程式模型的一種形式，與經典方法不同的是基於組件而不是基於共變異數。

偏最小平方來源於瑞典統計學家 Herman Wold，然後由他的兒子 Svante Wold 發展。偏最小平方的另一個詞（根據 Svante Wold）是_投影到潛在結構_，但偏最小平方法依然在許多領域占據著主導地位。儘管最初的應用是在社會科學中，偏最小平方迴歸今天被廣泛用於化學計量學和相關領域。它也被用於生物訊息學，sensometrics，神經科學和人類學。而相比之下，偏最小平方迴歸最常用於社會科學、計量經濟學、市場行銷和戰略管理。

## 底層模型

偏最小平方的一般多元底層模型是

　
: $X=TP^{\top }+E$

　
: $Y=UQ^{\top }+F$

其中 $X$ 是一個 $n\times m$ 的預測矩陣， $Y$ 是一個 $n\times p$ 的響應矩陣； $T$ 和 $U$ 是 $n\times l$ 的矩陣，分別為 $X$ 的投影（「X 分數」、「組件」或「因子」矩陣）和 $Y$ 的投影（「Y 分數」）； $P$ 和 $Q$ 分別是 $m\times l$ 和 $p\times l$ 的正交_載荷_矩陣，以及矩陣 $E$ 和 $F$ 是錯誤項，假設是獨立同分布的隨機常態變數。對 $X$ 和 $Y$ 分解來最大化 $T$ 和 $U$ 之間的共變異數。

## 算法

偏最小平方的許多變數是為了估計因子和載荷矩陣 $T,U,P$ 和 $Q$ 。它們中大多數構造了 $X$ 和 $Y$ 之間線性迴歸的估計 $Y=X{\tilde {B}}+{\tilde {B}}_{0}$ 。一些偏最小平方算法只適合 $Y$ 是一個列向量的情況，而其它的算法則處理了 $Y$ 是一個矩陣的一般情況。算法也根據他們是否估計因子矩陣 $T$ 為一個正交矩陣而不同。 
最後的預測在所有不同最小平方算法中都是一樣的，但組件是不同的。

### PLS1

PLS1 是一個 $Y$ 是向量時廣泛使用的算法。它估計 $T$ 是一個正交矩陣。以下是偽代碼（大寫字母是矩陣，帶上標的小寫字母是向量，帶下標的小寫字母和單獨的小寫字母都是純量）：

```
 1  **function** PLS1($X,y,l$)
 2  $X^{(0)}\gets X$
 3  $w^{(0)}\gets X^{T}y/||X^{T}y||$, an initial estimate of $w$.
 4  $t^{(0)}\gets Xw^{(0)}$ 
 5  **for** $k$ = 0 **to** $l$
 6      $t_{k}\gets {t^{(k)}}^{T}t^{(k)}$ (note this is a scalar)
 7      $t^{(k)}\gets t^{(k)}/t_{k}$
 8      $p^{(k)}\gets {X^{(k)}}^{T}t^{(k)}$
 9      $q_{k}\gets {y}^{T}t^{(k)}$ (note this is a scalar)
10      **if** $q_{k}$ = 0
11          $l\gets k$, **break** the **for loop**
12      **if** $k<l$
13          $X^{(k+1)}\gets X^{(k)}-t_{k}t^{(k)}{p^{(k)}}^{T}$
14          $w^{(k+1)}\gets {X^{(k+1)}}^{T}y$
15          $t^{(k+1)}\gets X^{(k+1)}w^{(k+1)}$
16  end **for**
17  **define** $W$ to be the matrix with columns $w^{(0)},w^{(1)},...,w^{(l-1)}$.
    Do the same to form the $P$ matrix and $q$ vector.
18  $B\gets W{(P^{T}W)}^{-1}q$
19  $B_{0}\gets q_{0}-{P^{(0)}}^{T}B$
20  **return** $B,B_{0}$
```

這種形式的算法不需要輸入 $X$ 和 $Y$ 定中心，因為算法隱式處理了。這個算法的特點是收縮於 $X$ （減去 $t_{k}t^{(k)}{p^{(k)}}^{T}$ ），但向量 $y$ 不收縮，因為沒有必要（可以證明收縮 $y$ 和不收縮的結果是一樣的）。用戶提供的變數 $l$ 是迴歸中隱藏因子數量的限制；如果它等於矩陣 $X$ 的秩，算法將產生 $B$ 和 $B_{0}$ 的最小平方迴歸估計。

## 擴展

2002 年，一個叫做正交投影（英語：Orthogonal Projections to Latent Structures， OPLS）的方法提出。在 OPLS 中，連續變數數據被分為預測的和不相關的訊息。這有利於改進診斷，以及更容易解釋可視化。然而，這些變化只是改善模型的可解釋性，不是生產力。 L-PLS 通過 3 個連接數據塊擴展了偏最小平方迴歸。 同樣，OPLS-DA（英語：Discriminant Analysis， 判別分析）可能被應用在處理離散變數，如分類和生物標誌物的研究。

## 軟體實現

大多數統計軟體包都提供偏最小平方迴歸。
R 中的『pls』包提供了一系列算法。

## 參見

* 特徵提取
* 數據挖掘
* 機器學習
* 迴歸分析
* 典型相關
* Deming regression
* 多線性子空間學習
* 主成分分析
* 總平方和

## 擴展閱讀

* Kramer, R. Chemometric Techniques for Quantitative Analysis. Marcel-Dekker. 1998. ISBN 0-8247-0198-4.
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## 參考文獻

## 外部連結

* imDEV （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） free Excel add-in for PLS and PLS-DA
* PLS in Brain Imaging
* on-line PLS （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） regression (PLSR) at Virtual Computational Chemistry Laboratory
* Uncertainty estimation for PLS （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A short introduction to PLS regression and its history （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）