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代数方程

**代數方程**是未知數和常數進行有限次代數運算所組成的方程。代數方程包括有理方程和無理方程。有理方程又包括整式方程與分式方程。

## 解法

一元一次方程都可化為其標準形式 $ax+b=0$ （ $a\neq 0$ ）。解一元一次方程通常使用以下五步進行求解：「去分母」、「去括號」、「移項」、「合併同類項」、「係數化為 1」。

解一元 $n$ 次方程（ $n\geq 2$ ， $n$ 為正整數）往往可以通過因式分解，化為 $n$ 個一次因式的乘積，進而解出方程所有的根。

另外，二次、三次、四次方程還可以利用求根公式求出其所有的根。然而，伽羅瓦理論指出，對於五次及其以上的一元整式方程，並不存在通用的求根公式。

根據代數基本定理，任意復係數一元 $n$ 次方程 $f(x)=0$ 有且僅有 $n$ 個根（ $n$ 為正整數），重根按重數計。

解分式方程通常先將方程兩邊乘以其分數項的最簡公分母，化為整式方程。再解這個整式方程。最後剔除使原方程分母為 0 的所有根。剩下的根即為原方程的根。

解無理方程先將被開方式中帶有未知數的項移到等號的一邊，將常數項移到等號的另一邊。再兩邊乘方，去掉根號，化為有理方程。最後剔除使原方程被開方式小於 0 的所有根。剩下的根即為原方程的根。

可見，由於分式中分母不為 0，根式中被開方式大於或等於 0，因此分式方程與無理方程都有可能產生「增根」。所以，有的分式方程與無理方程沒有解。

## 參見

* 超越方程
* 多項式
* 方程

## 外部連結

* 「代數方程」和「超越方程」 河南教育學院
代数无关

在抽象代數裡，一個體 $L$ 的子集 $S$ 若被稱做**代數獨立**於一子體 $K$ 的話，表示 $S$ 內的元素都不符合係數包含在 $K$ 內的非平凡多項式。這表示任何以 $S$ 內元素排成的有限序列 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ （沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在 $K$ 的非零多項式 $P(x_{1},\cdots ,x_{n})$ ，都會得到：

　
: $P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0$

特別的是，單元素集合 $\{\alpha \}$ 若是代數獨立於 $K$ 的話，若且唯若 $\alpha $ 會是 $K$ 內的超越數或超越函數。一般而言，和於 $K$ 代數獨立集合的所有元素也必然會是 $K$ 內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數 $\mathbb {R} $ 的子集 $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ 並**不**代數獨立於有理數 $\mathbb {Q} $ ，當存在一非零多項式：

　
: $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

 $x_{1}$ 代入 ${\sqrt {\pi }}$ 和 $x_{2}$ 代入 $2\pi +1$ 時會變成 $0$ 。

林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ 為線性獨立於有理數的代數數時， ${\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}$ 便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合 $\{\pi ,{\mbox{e}}\}$ 是否代數獨立於有理數。Nesterenko 在 1996 年證明了 $\{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}$ 是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張 $L/K$ ，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一 $L$ 的最大代數獨立子集於 $K$ 。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。
代数有向完全偏序

在數學領域的序理論中，偏序集合的**緊緻**或**有限元素**是還未包含在緊緻元素之上的成員的任何非空有向子集的上確界所不能包容的那些元素。

注意在數學中還有其他的緊緻性概念，還有在常見的集合論中的術語有限的意義不一致於序理論的「有限元素」的概念。

## 形式定義

在偏序集合 (_P_,≤) 中，元素 _c_ 被稱為是緊緻的 (或有限的)，如果它滿足下列等價的條件中的一個:

* 對於 _P_ 的所有非空有向子集 _D_，如果 _D_ 有上確界 sup (_D_) 且 _c_ ≤ sup(_D_) ，則有 _D_ 的某個元素 _d_ 使得 _c_ ≤ _d_。
* 對於 _P_ 的所有理想 _I_，如果 _I_ 有上確界 sup (_I_) 且 _c_ ≤ sup(_I_)，則 _c_ 是 _I_ 的一個元素。

如果此外偏序集合 _P_ 還是並半格 (就是說它有二元上確界) 則這些條件等價於聲稱:

* 對於 _P_ 的任何非空子集 _S_，如果 _S_ 有上確界 sup (_S_) 且 _c_ ≤ sup(_S_)，則有 _S_ 的某個有限子集 _T_ 使得 _c_ ≤ sup(_T_)。

特別是，如果 _c_ = sup(_S_)，則 _c_ 是 _S_ 的有限子集的上確界。

從定義涉及的概念可輕易的驗證等價性。對並半格的情況要注意任何集合通過閉合在有限 (非空) 上確界下變成帶有相同上確界的有向集合。

在考慮有向完全偏序或完全格的時候，規定上確界存在的額外的要求可以去掉。還要注意是有向完全的並半格幾乎就是完全格 (可能缺乏最小元) -- 詳情參見完全性 (序理論)。

如果存在的話，偏序集合的最小元總是緊緻的。它可能是唯一的緊緻元素，比如實數的單位區間 [0,1]。

## 例子

* 最基本的例子是某個集合的冪集按照集合包含排序。在完全格中，緊緻元素精確的就是有限集合。這個名字「有限元素」的來源。
* 術語「緊緻」來自某個拓撲空間的開集的完全格。在這個次序內，緊緻元素就是緊集。實際上，在並半格中的緊緻性的條件立即轉換成對應的定義。

## 代數偏序

所有元素都是其下緊緻元素的上確界的偏序集合叫做「代數偏序集合」。這種偏序集合是在域理論中最常用的有向完全偏序集合。「代數格」是完全格 _L_，如果 _L_ 的所有元素 _x_ 是在 _x_ 下的緊緻元素的上確界。典型例子 (體現了名字「代數」的動機) 為如下:

對於任何代數 _A_ (比如，群、環、域、格等；甚至是沒有任何運算的單純的集合)，設 Sub (_A_) 是 _A_ 的所有子結構的集合，就是說在 _A_ 的所有運算 (群加法，環加法和乘法等) 下保持封閉的所有子集的集合。這裡的子結構概念包括在代數 _A_ 有零元運算的情況下的空子結構。

那麼:

* 集合 Sub (_A_) 按集合包含排序是個格。
* Sub(_A_) 的最大元是集合 _A_ 自身。
* 對於 Sub (_A_) 中任何 _S_ 和 _T_，_S_ 和 _T_ 的最大下界是 _S_ 和 _T_ 的集合意義下的交集；最小上界是 _S_ 和 _T_ 的併集生成的子代數。
* 集合 Sub (_A_) 是完全格。任何子集的族的最大下界是它們的交集。
* Sub(_A_) 的緊緻元素精確是 _A_ 的有限生成的子結構。
* 所有子結構都是它的有限生成的子結構的併集；因此 Sub (_A_) 是代數格。

還有一個逆命題成立：所有代數格同構於某個代數 _A_ 的 Sub (_A_)。 

有另一個代數格在泛代數中扮演重要角色：對於所有代數 _A_ 我們設 Con (_A_) 是在 _A_ 上所有同餘關係的集合。在 _A_ 上的每個同餘都是積代數 _A_×_A_ 的一個子代數，所以 Con (_A_) ⊆ Sub(_A_x_A_)。我們有著

* Con(_A_) 按集合包含排序是個格。
* Con(_A_) 的最大元素是集合 _A_×_A_，它是對應於恆 (constant) 同態的同餘。最小同餘是 _A_×_A_ 的對角線，對應於同構。
* Con(_A_) 是完全格。
* Con(_A_) 的緊緻元素精確的是有限生成的同餘。
* Con(_A_) 是代數格。

還有一個逆命題成立：通過 G. Grätzer 和 E.T.Schmidt 的一個定理，所有代數格同構於某個代數 _A_ 的 Con (_A_)。

## 應用

緊緻元素在計算機科學中的叫做域理論的形式語義方法中很重要，這裡它們被認為是某種基本元素：緊緻元素表示的信息不能通過從未包含這個知識的任何逼近來獲得。緊緻元素不能從嚴格低於它們的元素逼近。在另一方面，碰巧會有所有非緊緻元素可以獲得為緊緻元素的上確界。這是需要的情況，因為緊緻元素的集合經常小於最初的偏序集合 – 上面的例子就是展示。

## 文獻

參見序理論和域理論中給出的文獻。
代数系统

在泛代數中**代數結構**（英語：Algebraic structure）是在一種或多種運算下封閉的一個或多個集合。

例如，群、環、域、和格的代數結構。更複雜的結構可以被定義為通過引入多個操作，不同的基礎集，或通過改變限定公理。更複雜的代數結構的實例包括向量空間，模和代數 (環論)。關於代數結構的的詳細情況，參見各個連結。

一個代數結構包含集合及符合某些公理的運算或關係。

集 U 上定義二元運算形成的系統稱為代數系統，如果對於任意 a,b∈U, 恆有 f (a・b)∈U。二元運算可推廣至多元運算 F, 則相應的封閉性要求則改為：對於任意 a,b,c,d,……∈U, 恆有 F (a,b,c,d,……)∈U。有的書上對封閉性未作要求，並稱之為廣群。運算 f 是一個從 A×B→C 的映射，若 A=B=C, 則稱運算 f 是封閉的。

## 樣例

### 單個集合的例子

**簡單結構**: **沒有定義**二元運算的情況:

* 集合：沒有定義二元運算的集合 _S_ 可看成是一個退化的代數結構。

## 參閱

* 數學結構
* 結構 (數理邏輯)
* 自由對象

## 參考文獻

## 外部連結

* （英文）Jipsen's algebra structures.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Includes many structures not mentioned here.
* （英文）Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的抽象代數頁面。
* （英文）Stanford Encyclopedia of Philosophy: Algebra（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Vaughan Pratt.
代数范式

在數學中，**布林函數**（Boolean function），又稱**邏輯函數**，描述如何基於對布林輸入的某種邏輯計算確定布林值輸出。它們在複雜性理論的問題和數字電腦的晶片設計中扮演基礎角色。布林函數的性質在密碼學中扮演關鍵角色，特別是在對稱金鑰演算法的設計中（參見 S-box）。

## 有限布林函數

在數學中，**有限布林函數**是如下形式的函數 f : **B**k → **B**，這裡的 **B**= {0, 1} 是布林域，而 _k_ 是非負整數。在 _k_= 0 的情況下，函數簡單的是 **B** 的一個恆定元素。

更一般的說，形如 _f_ : _X_ → **B** 函數，這裡的 _X_ 是任意集合，是布林值函數。如果 _X_ = **M** = {1, 2, 3, …}，則 _f_ 是「二進位序列」，就是說 0 和 1 的無限序列。如果 _X_ = [_k_] = {1, 2, 3, …, _k_}，則 _f_ 是長度為 _k_ 的「二進位序列」

有 $2^{2^{k}}$ 個這種函數。

## 代數範式

布林函數可以唯一的寫為積（AND）之和（XOR）。這叫做**代數範式**（ANF），也叫做 Zhegalkin 多項式。

這裡的 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}$ 。
序列 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}$ 的值因此還唯一的表示一個布林函數。

布林函數的代數次數被定義為出現在乘積項中的 $x_{i}$ 的最高次數。所以 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}$ 有次數 1（線性），而 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}$ 有次數 3（立方）。

 
對於每個函數 $f$ 都有一個唯一的 ANF。只有四個函數有一個參數: $f(x)=0$ ， $f(x)=1$ ， $f(x)=x$ ， $f(x)=1+x$ ；它們都可以在 ANF 中給出。要表示有多個參數的函數，可以使用如下等式：

　
: $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})+x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})$ ，

這裡的 $g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 並且 $h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})+f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})$ 。

實際上，

　
: 如果 $x_{1}=0$ ，則 $x_{1}h=0$ ，並因此 $f(0,\ldots )=f(0,\ldots )$ ；

　
: 如果 $x_{1}=1$ ，則 $x_{1}h=h$ ，並因此 $f(1,\ldots )=f(0,\ldots )+f(0,\ldots )+f(1,\ldots )$ 。

因為 $g$ 和 $h$ 二者都有比 $f$ 少的參數，可以得出遞迴的使用這個過程將完成於只有一個變數的函數。

 
例如，讓我們構造一個 $f(x,y)=x\lor y$ （邏輯或）的 ANF：

　
: $f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y)$ ；

　
: 因為 $f(0,y)=0\lor y=y$ 並且 $f(1,y)=1\lor y=1$ ，可以得出 $f(x,y)=y+x(y+1)$ ；

　
: 通過打開括號我們得到最終的 ANF： $f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy$ 。

## 參見

* 布林代數主題列表
* 真值函數
* 零階邏輯

## 外部連結

* Boolean Planet （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）—boolean functions in cryptography.
代数运算

**代數運算**是指包括數的加、減、乘、除、有理數指數冪、開方及其代數式為對象的運算。如以代數幾何圖形的觀念來看，代數運算即是指對兩幅或多幅輸入圖像進行點對點的加減乘除計算而得到輸出圖像的運算。

 

* 參見代數。
代数连通度

圖 $G$ 的**代數連通度**（algebraic connectivity）是 $G$ 的拉普拉斯矩陣的第二小的特徵值（重特徵值要重複計算）。這個特徵值大於 0 若且唯若 $G$ 是連通圖。這是一個簡單的推論，因為拉普拉斯矩陣的特徵值 0 的重數就是圖的連通分支的個數。這個值的大小反映了整個圖的連通程度。它可以用於分析網絡的穩定性與可同步性。

## 性質

圖 $G$ 的代數連通度大於 0 若且唯若 $G$ 是連通圖。而且，圖的代數連通度的值不大於（頂點）連通度。設一個連通圖有 $n$ 個頂點且直徑為 $D$ ，則代數連通度的一個下界是 ${\frac {1}{nD}}$ ，而且根據 Brendan McKay 的一個結果這個下界可以改進為 ${\frac {4}{nD}}$ 。對於上圖中的例子， $4/18=0.222\leq 0.722\leq 1$ 。

不像傳統的連通度，代數連通度除了與頂點的連接方式有關以外，還與頂點的個數有關。對隨機圖，代數連通度隨頂點數增大而減小，隨平均度的增大而增大。

代數連通度的具體定義依賴於所使用的拉普拉斯矩陣的類型。金芳蓉使用一種重新標度的拉普拉斯矩陣，消除了對頂點數的依賴，所以上下界有所不同。

拉普拉斯矩陣自然地出現在網絡上的同步模型中，例如藏本模型，因而代數連通度標誌了網絡達到同步的容易程度。也可以使用其他度量，例如平均距離（特徵路徑長度），實際上代數連通度與平均距離（的倒數）密切相關。

* 

## Fiedler 向量

代數連通度的相關理論最早由 Miroslav Fiedler 提出。為了紀念他，與代數連通度對應的特徵向量命名為 Fiedler 向量。Fieldler 向量可用於圖的劃分。

### 用 Fiedler 向量對圖進行劃分

以首段中的圖為例，Fiedler 向量為 (0.415, 0.309, 0.069, -0.221, 0.221, -0.794)。負值對應連通程度很差的點 6，及其相鄰的節點 4；而正值對應其他頂點。因此可以根據 Fiedler 向量中的符號把圖分成兩部分：{1, 2, 3, 5} 與 {4, 6}。另外，值 0.069 非常接近 0，可以單獨成為一類，這樣就把圖分成三部分：{1, 2, 5}, {3}, {4, 6}。

## 另見

* 連通圖

## 參考資料
代数逻辑

在數理邏輯中，**代數邏輯**使用抽象代數方法形式化邏輯。

## 邏輯作為代數構成的模型

代數邏輯把邏輯當作特定代數結構構成的模型 (解釋、釋義)，特別是作為格構成的模型，並因而是序理論的分支。

在代數邏輯中:

* 變量默許的全稱量化於某個論域之上。這里沒有存在量化變量或開放公式；
* 項使用基本和定義的運算從變量建造。這里沒有連結詞；
* 公式用通常方式從項建造，並且如果它們邏輯等價則可以寫成等式。要表達重言式，寫一個公式等於真值真；
* 證明的規則是對相等者的等式代換，和一致替換。肯定前件仍然有效，但很少採用。

在下表中，左列包含一個或多個邏輯或數學系統，它是在右列展示的代數結構構成的模型。這些結構要麼是布爾代數要麼是它的嚴格擴展。模態邏輯和其他非經典邏輯典型是「帶有算子的布爾代數」所構成的模型。

代數形式主義在至少以下方面超越了一階邏輯:

* 組合子邏輯，有集合論的表達能力；
* 關係代數，可論證為典範代數邏輯，它可以表達皮亞諾算術和多數公理化集合論，包括正規的 ZFC。

## 歷史

**代數邏輯**有至少兩種意義:

* 早年的布爾代數的研究，
* 當代的數理邏輯分支抽象代數邏輯。

第一種含義開始於十九世紀中期的奧古斯都・德・摩根和喬治・布爾的工作，接續於查爾斯・皮爾士，達到頂點於 Ernst Schröder 的工作。模型論的創立者 Leopold Loewenheim 和 Thoralf Skolem 是遵循代數傳統的邏輯學家。塔斯基是現代數理邏輯主要分支之一的集合論上的模型論的創立者，他在 1940 年的論文中重新闡述了 Schröder 的關係代數並簡化了它的公理。這個論文可以被認為是現代抽象代數邏輯的起點。

代數邏輯可以證明開始於萊布尼茲在 1680 年代寫的許多備忘錄中，直到 1903 年才被 Louis Couturat 在萊布尼茲未發表的遺作中找到並出版。他的邏輯學著作在 Parkinson 和 Loemker 1969 年翻譯成英語之前很少被研究。

在 1847 年奧古斯都・德・摩根和喬治・布爾獨立的出版了開啟現代數理邏輯的小冊子。他們和後來的查爾斯・皮爾士、Hugh MacColl、弗雷格、皮亞諾、伯特蘭・羅素和懷特海都共享了萊布尼茲的合併符號邏輯、數學和哲學的夢想。萊布尼茲方法的頂點被證明為開始於奧古斯都・德・摩根、發展於查爾斯・皮爾士和 Ernst Schröder 的關係代數，並在並塔斯基和他的學生的工作中達到了完全成熟。

上述提到的人物都沒有受到萊布尼茲的影響。有一個例外是模態邏輯之父 Clarence Irving Lewis，他在 1918 年出版了萊布尼茲的邏輯學著作的一個重要片段的英文翻譯。

## 引用

* Brady, Geraldine, 2000. _From Peirce to Skolem: A neglected chapter in the history of logic_. North-Holland.
* Ivor Grattan-Guinness, 2000. _The Search for Mathematical Roots_. Princeton Univ. Press.
* Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., _Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege_. North-Holland: 1-84.
* Loemker Leroy. Leibniz: Philosophical Papers and Letters. Reidel. 1969 (1956).
* Roger Maddux, 1991, "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations," _Studia Logica 50_: 421-55.
* Parkinson, G.H.R., 1966. _Leibniz: Logical Papers._ Oxford Uni. Press.
* Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in _The Ways of Paradox_. Harvard Univ. Press: 283-307.
* Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）," _Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3_: 137-183.
代数闭

在**數學**上，一個體 $F$ 被稱作**代數閉體**，若且唯若任何係數屬於 $F$ 且次數大於零的單變數多項式在 $F$ 裡至少有一個根。代數閉體一定是無限體。

## 例子

舉例明之，實數體並非代數閉體，因為下列實係數多項式無實根：

　
: $x^{2}+1=0$

同理可證有理數體非代數閉體。此外，有限體也不是代數閉體，因為若 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 列出 $F$ 的所有元素，則下列多項式在 $F$ 中沒有根：

　
: $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,$

反之，複數體則是代數閉體；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉體之例子是代數數體。

## 等價的刻劃

給定一個體 $F$ ，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

### 不可約多項式若且唯若一次多項式

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若環 _F_[_x_] 中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何體都是正確的。如果 _F_ 是代數閉體，_p_(_x_) 是 _F_[_x_] 的一個不可約多項式，那麼它有某個根 _a_，因此 _p_(_x_) 是 _x_ − _a_ 的一個倍數。由於 _p_(_x_) 是不可約的，這意味著對於某個 _k_ ∈ _F_\ {0}，有 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _a_)。另一方面，如果 _F_ 不是代數閉體，那麼存在 _F_[_x_] 內的某個非常數多項式 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根。設 _q_(_x_) 為 _p_(_x_) 的某個不可約因子。由於 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根，因此 _q_(_x_) 在 _F_ 內也沒有根。所以，_q_(_x_) 的次數大於一，因為每一個一次多項式在 _F_ 內都有一個根。

### 每一個多項式都是一次多項式的乘積

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於次數 _F_ 內的 _n_≥ 1 的多項式 _p_(_x_) 都可以分解成線性因子。也就是說，存在體 _F_ 的元素 _k_， _x_1， _x_2， ……， _xn_，使得 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _x_1)(_x_ − _x_2) ··· (_x_ − _xn_)。

如果 _F_ 具有這個性質，那麼顯然 _F_[_x_] 內的每一個非常數多項式在 _F_ 內都有根；也就是說，_F_ 是代數閉體。另一方面，如果 _F_ 是代數閉體，那麼根據前一個性質，以及對於任何體 _K_，任何 _K_[_x_] 內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對 _F_ 成立。

### _Fn_ 的每一個自同態都有特徵向量

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若對於每一個自然數 _n_，任何從 _Fn_ 到它本身的線性映射都有某個特徵向量。

_Fn_ 的自同態具有特徵向量，若且唯若它的特徵多項式具有某個根。因此，如果 _F_ 是代數閉體，每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量。另一方面，如果每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量，設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 的一個元素。除以它的首項係數，我們便得到了另外一個多項式 _q_(_x_)，它有根若且唯若 _p_(_x_) 有根。但如果 _q_(_x_) = _xn_ + _a_n − 1_x_n − 1+ ··· + _a_0，那麼 _q_(_x_) 是以下友矩陣的特徵多項式：

　
: ${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

### 有理表達式的分解

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於 _F_ 內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和，其中 _n_ 是自然數，_a_ 和 _b_ 是 _F_ 的元素。

如果 _F_ 是代數閉體，那麼由於 _F_[_x_] 內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於體 _F_ 成立。設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 內的一個不可約元素。那麼有理函數 1/_p_ 可以寫成多項式函數 _q_ 與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和。因此，有理表達式

　
: ${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於 _p_(_x_) 是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。

## 代數閉包

設 $E\supset F$ 為代數擴張，且 $E$ 是代數閉體，則稱 $E$ 是 $F$ 的一個**代數閉包**。可以視之為包含 $F$ 的最小的代數閉體。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何體都有代數閉包。設 $E,E'$ 為任兩個 $F$ 的代數閉包，則存在環同構 $\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'$ 使得 $\sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}$ ；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 $F^{\mathrm {alg} }$ 或 ${\bar {F}}$ 。

## 文獻

* S. Lang, _Algebra_, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, _Algebra I_, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
代數L理論

在數學中，代數 **L 理論**(L-theory) 是 K 理論的二次型，而「L」的命名緣由即意味著它來自於「K 理論」（L 是 K 後面的一個字母）。L 理論一個較為人所知的稱呼是「**厄米 K 理論**」，它在割補理論 (surgery theory) 中佔有重要地位。

## 參見

* K 理論
* 割補理論

## 參考資料

* A. A. Ranicki. Algebraic L-Theory and Topological Manifolds [代數 L - 理論和拓撲流形] (pdf). University of Edinburgh. 2018 年 1 月 28 日 [2019 年 10 月 27 日]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2017 年 7 月 21 日） （英語）.
代數函數

**代數函數**是指只包含常數與自變量相互之間有限次的加、減、乘、除、有理指數冪和開方六種運算的函數。非代數函數則稱為超越函數。

## 例子

 $y=x^{2}$ 表示一拋物線的方程，一以 $x$ 為變數的二次代數函數。

## 參見

* 代數式
* 解析函數
* 複變函數
* 初等函數
* 函數
* 廣義函數
* 特殊函數及人名名詞列表
* 函數類型列表
* 多項式
* 有理函數
* 特殊函數
* 超越函數

## 參考

* Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.
* van der Waerden, B.L. Modern Algebra, Volume II. Springer. 1931.

## 外部連結

* Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Algebraic Function. MathWorld.
* _Algebraic Function_ at PlanetMath.
* Definition of "Algebraic function"（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science
代數分式

**代數分式**是指分子及分母都是代數式的分數，像 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 及 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ . 都是代數分式。

有理分式是指分子及分母都是多項式的分式，像 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 為有理分式，但 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 的分子為根式，不是多項式，因此不是有理分式。

## 術語

在代數分式 ${\tfrac {a}{b}}$ 中，被除數稱為分子，除數稱為分母，兩者都是代數分式的項。

若代數分式的分子或分母中包括複數，則稱為複數分式。

簡分式是其分子或分母都不是分式的代數分式，若一個表示式不是以分式的形式表示，則稱為整式，不過只要將分母設為 1，即可以將整式表示為代數分式，帶分式指整式和分式的代數和。

## 有理分式

若代理分式的 a 和 b 都是多項式，此分式稱為有理代數分式，或簡稱為有理分式。有理分式也稱為有理表示式或有理函數。若有理分式 ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ 滿足 $\deg f(x)<\deg g(x)$ ，稱為真分式，否則稱為假分式，像 ${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ 為真分式，而 ${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ 和 ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ 是假分式。假分式可以表示為整式（可能是常數）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示為

　
: ${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},$

其中第二項為真有理分式，二個真分式的和也會是真分式，有時會將真分式的分母因式分解，再將真分式表示數個真因式，其分母分別為原分母的因式（或因式次方），這稱為部份分式，例如以下等號右邊的即為部份分式

　
: ${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

因此等號右邊的稱為部份分式，例如真分式積分時會先進行部分分式分解，再進行積分，稱為部分分式積分法。

## 無理分式

無理分式是指分式中有變數的冪式為小數，像以下的分式即為無理分式

　
: ${\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.$

將無理分式變為有理分式的過程稱為有理化，每個根式為單項的無理分式可以用以下的方式有理化：找到所有冪次分母的最小公倍數，再將變數用另一變數的冪次取代，使原來的根式都變為新變數的整數冪次，例如在上式中，冪次分母的最小公倍數為 6，因此可以令 $x=z^{6}$ ，得到

　
: ${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

## 腳註

## 參考資料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.
代數同態

在 _A_ 和 _B_ 兩個 _K_- 多元環之間的**同態**是指一個函數 $F:A\rightarrow B$ ，此函數能使得對所有在 _K_ 內的 _k_ 和在 _A_ 內的 _x_、_y_ 來說，

* _F_(_kx_) = _kF_(_x_)
* _F_(_x_ + _y_) = _F_(_x_) + _F_(_y_)
* _F_(_xy_) = _F_(_x_)_F_(_y_)

若 _F_ 是雙射的，則 _F_ 稱為是 _A_ 和 _B_ 之間的**同構**。

## 例子

令 _A_=_K_[_x_] 為在一個體 _K_ 上的所有多項式所組成的集合，且 _B_ 為一個在 _K_ 上所有多項式函數所組成的集合，則 _A_ 跟 _B_ 兩個都會是在 _K_ 上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在 _A_ 內的 $f\,$ 以 ${\hat {f}}(t)=f(t)\,$ 的方式映射至於 _B_ 內的 ${\hat {f}}\,$ 。很簡單便可以知道這個映射 $f\rightarrow {\hat {f}}\,$ 會是一個 _A_ 和 _B_ 兩個代數之間的同態。若 _K_ 是一個有限體的話，則可令

　
: $p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,$

其中 _p_ 是一個在 _K_[_x_] 內的非零多項式。但對所有在 _K_ 內的 _t_， $p(t)=0\,$ ，所以其映射 ${\hat {p}}=0\,$ 都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若 _K_ 是無限的，則令 ${\hat {f}}=0\,$ 。接下來要證明這會使得 $f=0\,$ 。設 $deg(f)=n\,$ 和 $t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,$ 為 _K_ 內 _n_+1 個不同的元素，則對 $0\leq i\leq n$ 都會有 $f(t_{i})=0\,$ 。再利用拉格朗日插值便能得到 $f=0\,$ 。因此映射 $f\rightarrow {\hat {f}}\,$ 是單射的，故而有一個在 _A_ 和 _B_ 之間的同構。
代數學（花拉子米）

**代數學**，直譯為**完成和平衡計算法概要**（阿拉伯語：ٱلْكِتَاب ٱلْمُخْتَصَر فِي حِسَاب ٱلْجَبْر وَٱلْمُقَابَلَة‎ , _al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah_; 拉丁語：Liber Algebræ et Almucabola ) 是波斯數學家花拉子米於公元 820 年左右在巴格達撰寫的關於代數的阿拉伯數學論文。 《代數學》是數學史上具有里程碑意義的著作，將代數確立為一門獨立的學科，並創造了 Algebra（代數學）一詞 。

《代數學》詳盡地介紹了如何求解二次多項式方程的正根。。它是第一個為了代數而教授代數的文本。它發現了代數學最基本的概念：「減少」和「平衡」，即取消等式兩邊的項的過程。 數學歷史學家 Victor 視《代數學》為第一本真正的代數文本。《代數學》於 114 年由切斯特的羅伯特翻譯成拉丁文，被用作歐洲大學主要數學教科書，直到 16 世紀才被取代。

## 參考文獻

## 外部連結

* 19 世紀的《代數學》英文譯本
* 花剌子米官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 彙編譯本注釋節選 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. 杜伊斯堡 - 埃森大學.
* 關於完成與平衡計算的簡明書籍 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 阿拉伯文原文，附英文譯文 (PDF)
* Ghani, Mahbub. The Science of Restoring and Balancing – The Science of Algebra. Muslim Heritage. 5 January 2007 [2021-10-26]. （原始內容存檔於 2013-12-09）.
代數幾何原理

《**代數幾何基礎**》（法語：_Éléments de géométrie algébrique_，簡稱 _EGA_，又譯「代數幾何原理」）是亞歷山大・格羅滕迪克在讓・迪厄多內協助下寫作的一部代數幾何專著。從 1960 年到 1967 年分八部分發表在《高等科學研究所數學出版物》（_Publications mathématiques de l'I.H.É.S._）上，共 1700 餘頁。該書把代數幾何的基礎系統地建立在概形的概念之上。這部著作被視爲現代代數幾何的奠基之作和基本參考書。

各章標題如下：

　
: 第一章 概形之語言（Chapitre Premier. Le langage des schémas.）

　
: 第二章 對幾類態射之初等整體研究（Chapitre II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes.）

　
: 第三章 對凝聚層之上同調研究（Chapitre III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents.）

　
: 第四章 對概形和概形間態射之局部研究（Chapitre IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas.）

另有第零章 《預備知識》（Chapitre 0. Préliminaires），分散在其他各章之前。

該書原計劃寫十三章，後來未能完成。第四章和未能完成的一些內容出現在《代數幾何討論班》中。

格羅滕迪克後來又寫了一個新版，只完成了第一章，1971 年由施普林格出版社出版。新版對術語作了重大的改動：「預概形」改稱「概形」，「概形」改稱「分離概形」。

## 外部連結

* Recherche et téléchargement d』archives de revues mathématiques numérisées《代數幾何基礎》原版的數字化版本下載。
代數幾何與解析幾何

在數學中，**代數幾何與解析幾何**是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓 - 皮埃爾・塞爾在 1956 年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

## 性質的比較

給定一個 $\mathbb {C} $ 上的局部有限型概形 $X$ ，可以考慮相應的複解析空間 $X^{\mathrm {an} }$ 。此對應 $X\mapsto X^{\mathrm {an} }$ 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 ${\mathcal {O}}_{X}$ - 模 $F$ ，同樣可考慮相應的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ - 模 $F^{\mathrm {an} }$ ，這也給出相應的函子。可以證明 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是： ${\mathcal {O}}_{X}$ 是平坦的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ - 模。

### 拓撲性質比較

設 $T\subset X$ 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 $T$ 的性質在 $X$ 中成立，若且唯若在 $X^{\mathrm {an} }$ 中成立：

* 開子集
* 閉子集
* 稠密子集

當 $X$ 為有限型態射時，對於 $X$ 及 $X^{\mathrm {an} }$ 本身，下述性質也是相通的：

* 連通
* 不可約

### 概形性質比較

以下性質對 $X$ 成立，若且唯若對 $X^{\mathrm {an} }$ 成立：

* 非空
* 離散
* 科恩 - 麥考利概形
* $S_{n}$
* $R_{n}$
* 正規
* 既約
* 維度等於 $n$

### 態射性質比較

設 $f:X\to Y$ 為概形的態射， $f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }$ 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 $f$ 成立若且唯若對 $f^{\mathrm {an} }$ 成立：

* 平坦
* 非分歧
* 平展
* 平滑
* 正規
* 既約
* 分離
* 單射（拓撲意義）
* 同構
* 單射（範疇論意義）
* 開浸入

若再要求 $f$ 是有限型態射，則可再加入下述性質：

* 滿射（拓撲意義）
* 優勢態射
* 閉浸入
* 浸入
* 真態射
* 有限態射

### 上同調比較

以下假設 $f:X\to Y$ 是真態射，對任一個凝聚 ${\mathcal {O}}_{X}$ - 模 $F$ ，有自然同構：

　
: $(R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })$

當 $Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} $ 時，遂有層上同調的比較定理：

　
: $H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })$

此時 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 給出範疇的等價。

## 黎曼存在性定理

**黎曼存在性定理**則斷言：若 $X$ 是 $\mathbb {C} $ - 上的局部有限型概形，且 ${\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }$ 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 $\mathbb {C} $ - 概形 $X'$ 及平展態射 $X'\to X$ ，使得 $X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'$ 。此外，函子 $X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }$ 給出從【 $X$ 的有限平展覆蓋】到【 $X^{\mathrm {an} }$ 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 $X$ 為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：

　
: ${\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})$

其中 $x_{0}\in X(\mathbb {C} )$ ，而 ${\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}$ 表示代數基本群 $\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})$ 對有限指數子群的完備化。

## 文獻

* J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） _Annales de l'Institut Fourier_ **6**, 1-42.
* Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). _Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental_ - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.
代數幾何討論班

**瑪麗樹林代數幾何討論班**（法語：Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie，簡稱 SGA）是 20 世紀 60 年代格羅滕迪克等人在法國高等科學研究所指導的一系列討論班。討論班的報告後來陸續出版，成為現代代數幾何的基本參考文獻。部分內容原計劃以更為詳細完整的形式寫進《代數幾何基礎》，但沒有實現。

討論班的具體情況如下。除 SGA 2 由北荷蘭出版公司出版以外，其他各卷都屬於施普林格出版社的 Lecture Notes in Mathematics 系列。

法國數學會正在進行 LaTeX 排版和再版。
代數式

**代數式**（英語：Algebraic expression）是指用基本的運算符號，例如加、減、乘、除、乘方、開方等，把數或表示數字的字母連起來的式子，即用字母表示常數或變量的表達式，其中也可包含數字。

## 分類

代數式在實數範圍內分為有理式、無理式，其中有理式包括整式和分式，整式又包括單項式和多項式。

## 書寫規則

* 數字相乘除必須寫出得數。
* 數字和字母或是兩個以上的字母相乘應並列寫。例如「 $20$ × $a$ 」應寫成「 $20a$ 」。
* 數字和字母相除時應按照分數形式書寫。例如「 ${\frac {a}{4}}$ 」。
* 如數字出現非整的情況，則要寫成最簡分數，數值大於 1 則要寫成假分數。

## 參閱

* 分數
* 表達式
代數拓撲

**代數拓撲**（英語：Algebraic topology）是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。其基本目標是通過尋找拓撲空間的具有代數結構的不變數，從而將拓撲空間分類。

儘管代數拓撲學主要通過代數研究拓撲問題，但有時也可以使用拓撲學知識解決代數問題。例如，代數拓撲學可以方便地證明自由群的任何子群又是一個自由群。

## 代數拓撲的主要分支

代數拓撲的幾個主要分支如下：

### 同倫群

在數學中，同倫群是一個用於分類拓撲空間。基本群是同倫群最簡單的例子，記錄了空間中環結的訊息。直觀上來說，同倫群記錄了拓撲空間中的基本形狀，即「孔洞」的訊息。

### 同調

在代數拓撲和抽象代數中，**同調**（homology，名稱部分來源於希臘語ὁμός _homos_ = "同"）是一類將一個阿貝爾群或模的序列聯繫到一個給定數學物件（如拓撲空間、群等）的過程

### 餘調

在同調論中，**餘調**是對一個在餘鍵複形（co-chain）上定義一個阿貝爾群的序列的過程的統稱。換言之，餘調是對「餘鍵」、餘圈（cocycle）和上邊際（coboundary）的抽象研究。餘調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變數的方法，但其代數結構比同調更為精煉。餘調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講，餘鍵的基本意義是為同調的鏈賦予某種「量」。

### 流形

**流形**是局部上近似於歐幾里得空間的拓撲空間。更精確的說，_n_- 流形上的每一點都有一個同胚於 _n_ 維歐式空間的鄰域。舉例來說，直線和圓都是一維流形，但數字 _8_ 則不是。二維流形也稱作曲面。二維流形的例子有平面、球面和環面等可看作三維空間中的物體的物件，但也包括克萊因瓶和實射影平面等不可看作三維空間裡的物體，而必須看作四維空間裡的物體的物件。

### 紐結理論

_紐結理論_是對（數學意義上的）紐結的研究。雖然紐結的概念是受現實生活中的繩結啟發，對數學家而言「繩結」的兩端是粘連在一起的，因而不能解開。在數學上，紐結的精確定義為圓在三維歐幾里得空間 **R**3 的嵌入。若一個紐結能由另一個紐結通過對 **R**3 變形而得到（亦稱環境同痕），我們就將其視為同一個紐結。這樣的對環境的轉換相當於對一個線圈進行連續操作，但避免剪開線圈或使線圈穿過自身。

### 複形

**單體複形**是拓撲空間的一類，由點、線段、三角形等單體「粘合」而成。單體複形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。單體在組合學中對應於抽象單體。

**CW 複形**是一種拓撲空間，由 J.H.C. 懷特海德為迎合同倫論的需要而引入。這類空間比單體有更良好的範疇學性質，且仍舊保留其組合學的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。

## 代數不變數方法

這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲，蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構造空間 X 的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過函子，把空間映射到相應的代數範疇上。例如，通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到群上。

實現這個目標的主要方法是通過基本群，或者更一般的同倫論，和同調及餘調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本訊息，但它們經常是非交換的，可能很難使用。（有限）單體複形的基本群的確有有限表示。

另一方面來講，同調和餘調群是交換群，並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類，並且特別易於使用。

## 同調的結果

通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單體複形的 _n_- 階同調群的自由階等於 _n_- 階貝蒂數（Betti number），所以可以直接使用單體複形的同調群來計算它的歐拉示性數。作為另外一個例子，閉流形的最高維的積分餘調群可以探測可定向性：該群同構於整數或者 0，分別在流形可定向和不可定向時。這樣，很多拓撲訊息可以在給定拓撲空間的同調中找到。

在只定義在單體複形的單純同調之上，還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆餘調或Čech 餘調或層餘調來研究定義在流形上的微分方程式的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的，並且對於閉可定向流形，通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆餘調導出的是一樣的。

## 在範疇論中

一般來講，所有代數幾何的構造都是函子式的：概念範疇，函子和自然轉換起源於此。基本群，同調和餘調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的**不變數**；而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態，而這些同態可以用於證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

## 代數拓撲的問題

代數拓撲的經典應用包括：

* 布勞威爾不動點定理：每個從 _n_ 維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。
* _n_ 維球面可以有一個無處為 0 的連續單位向量場若且唯若 _n_ 是奇數。（對於 _n_=2，這有時被稱為 "毛球定理"。）
* 博蘇克 - 烏拉姆定理：任何從 _n_ 維球面到歐氏 _n_ 維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。
* 任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思，因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說，任何自由群 _G_ 可以實現為圖 _X_ 的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個 _G_ 的子群 _H_ 是某個 _X_ 的覆蓋空間 _Y_ 的基本群；但是每個這樣的 _Y_ 又是一個圖。所以其基本群 _H_ 是自由的。

代數拓撲中最著名的問題之一是龐加萊猜想，它已經由俄國數學家格里戈里・佩雷爾曼於 2003 年解決。同倫論領域包含了很多懸疑，如表述球面的同倫群的正確方式等。

## 重要著作

## 參考文獻

### 引用

### 來源
代數擴張

**代數擴張**（英語：Algebraic extension）是抽象代數中體擴張的一類。一個域擴張 L/K 被稱作**代數擴張**，若且唯若 L 中的每個元素都是某個以 K 中元素為係數的非零多項式的根。反之則稱之為**超越擴張**。最簡單的代數擴張例子有： $\mathbb {C} /\mathbb {R} $ 、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} $ 。

## 定義

代數擴張的基礎是代數元的概念。給定體擴張 L/K，L 某個元素如果是一個以 K 中元素為係數的非零多項式的根，則稱其為 K 上的**代數元**。如果 L 中所有元素都是 K 上的代數元，就稱體擴張 L/K 為代數擴張。

## 次數

設有體擴張 L/K，L 可以看作是 K 上的向量空間，將其維度稱作這個擴張的**次數**，記作 [L:K]。有限次數的擴張（簡稱**有限擴張**）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張 L/K，則 L 裡的任一元素 α 生成的子擴張 K(α)/K 都是 K 的有限擴張。但代數擴張本身並不一定是有限擴張，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

## 代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張 L/K 中，L 中的每個元素 α 都是某個以 K 中元素為係數的多項式（以下簡稱 K-多項式，所有 K-多項式的集合記作 _K_[_X_]）f 的根。所有以 α 為根的 K-多項式中次數最低者稱作 α 的**極小多項式**（通常要求其為首一多項式，即最高次項係數等於一，以保證唯一性）。極小多項式總是不可約多項式。

若 K-多項式 f 不可約，則商環 _L_ := _K_[_X_]/( _f_ ) 是 K 的一個體擴張，它的次數[_L_ : _K_] = deg(_f_)，而且不定元 X 在商環中的像是在 f 的一個在 L 中的根，其極小多項式正是 f。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如 $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ 就是在實數體中添加了虛數單位 i 得到的擴張體：複數體 $\mathbb {C} $ 。

給定體擴張 L/K，如果 K-多項式 f 可以在 L 中分解成一次因子的積，則稱 f 在 L 中**分裂**。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張 K'/K 使得 f 分裂；K' 裡滿足此性質的「最小」子擴張稱作 f 在 K 上的**分裂體**。f 在 K 上的任兩個分裂體至多差一個 K 上的同構（即：一個限制在 K 上的部分為恆等映射的環同構）。

## 正規擴張

正規擴張是研究多項式的根時所用到的概念。一個代數擴張 L/K 被稱作**正規擴張**，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

* 固定代數閉包 _K_alg，任何 K 上的（即在 K 上是恆等映射的）域嵌入 _σ_ : _L_ → _K_alg，都有 _σ_(_L_) = _L_。
* 存在一族在 L 上分裂的多項式 $(f_{i})_{i\in I}\subset K[X]$ ，使得 L/K 是在 K 中添加它們的根生成的體擴張。
* _K_[_X_]中任何不可約多項式若在 L 裡有根，則在 L 裡分裂（全部的根都在 L 裡面）。

正規擴張可以看作是體擴張語言中對多項式的刻畫。一個正規擴張對應著 _K_[_X_]里的一個多項式。

### 例子

 * $x^{2}+1\,$ 在 $\mathbb {R} $ 上的分裂體是 $\mathbb {C} $ 。
* $x^{3}+2\,$ 在 $\mathbb {Q} $ 上的分裂體是 $\mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})$ 。
* $(x^{2}-2)(x^{2}-3)\,$ 在 $\mathbb {Q} $ 上的分裂體是 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$ 。
* $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} $ 是正規體擴張， $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} $ 卻不是，因為後者並沒有包括 $x^{3}-2\,$ 的所有根，欠了 ${\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}$ 。

## 可分擴張

設 L/K 為代數擴張，如果 α 的極小多項式沒有重根，則稱 α **可分**（重根的存在性與體擴張的選取無關，可分性等價於 (_f_, _f'_ ) = 1，這可以直接在 K 中計算）。所有可分元素形成一個中間域 K⊂F⊂L，[_L_ : _K_]s := [_L_s : _K_]稱作 L/K 的**可分次數**。若 _L_s = ; _L_，則稱 L/K 是**可分擴張**。

當 L/K 是有限擴張時，定義**不可分次數**[_L_ : _K_]i := [_L_ : _K_]/[_L_ : _K_]s。當基體的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限體的擴張也都是可分的。

## 參考文獻

* Serge Lang, _Algebra_ (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

## 外部連結

* 簡介 Galois 理論 / 李華介 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
代數整數

在數學裡，**代數整數**（**algebraic integer**）是複數中的一類。一個複數 α 是代數整數若且唯若它是某個個整系數的首一多項式 $P(x)$ 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是 1。

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是**代數整數**。所有代數整數構成一個環，通常記作 $\mathbb {A} $ 。

如果 $P(x)$ 是整係數本原多項式（即系數的最大公因數是 1 的多項式），但非首一多項式，則 $P$ 的根都不是代數整數。

## 定義

以下是代數整數四種相互等價的定義。設 K 為代數數域（有理數域 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張）。根據本原元定理，K 可以寫成 $K=\mathbb {Q} (\theta )$ 的形式。其中 $\theta \in \mathbb {C} $ 是某個代數數。設有 $\alpha \in K$ ，則 α 是代數整數若且唯若以下命題之一成立：

1. 存在整係數多項式： $P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]$ ，使得 $P(\alpha )=0$ 。
2. α 在 $\mathbb {Q} $ 上的極小首一多項式是整係數多項式。
3. $\mathbb {Z} [\alpha ]$ 是有限生成的 $\mathbb {Z} $ -模。
4. 存在有限生成的 $\mathbb {Z} $ -子模： $M\subset \mathbb {C} $ ，使得 $\alpha M\subseteq M$ 。

## 例子

* 有理數域 $\mathbb {Q} $ 中的代數整數就是整數。換句話說， $\mathbb {A} $ 和 $\mathbb {Q} $ 交集是整數環 $\mathbb {Z} $ 。這可以用整係數多項式的一個簡單性質證明。如果一個整係數多項式

 $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}$

　
: 有一個根是有理數： $\scriptstyle r={\frac {p}{q}}$ ，其中 _p_、_q_ 是互素的整數，那麼必然有：分母 _q_ 整除 $a_{m}$ ，以及分子 _p_ 整除 $a_{0}$ 。因此，由於代數整數是某個首一多項式的根，如果它是有理數，那麼它的分母整除多項式的最高冪次項，也就是說整除 1。所以這個有理數的分母是 1，即是說它是整數。反過來，所有的整數 _n_ 都是整係數首一多項式 $\displaystyle x-n$ 的根，所以是代數整數。

* 一個給定的代數數域 $\mathbb {K} $ 與 $\mathbb {A} $ 的交集稱為這個數域的（代數）整數環，記作 ${\mathcal {O}}_{K}$ 。這個整數環中的代數整數不再只是整數。比如說，給定一個數域： $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ，那麼對應的整數環中不僅有整數，還有 ${\sqrt {2}}$ ，因為 ${\sqrt {2}}$ 是首一多項式 $\scriptstyle x^{2}-2$ 的根。
 * $\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 不是代數整數。這是因為 $\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 在有理數域上的最小多項式是 $\scriptstyle 2x^{2}-1$ ，不是一個首一多項式。
 * $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 是一個代數整數。它是多項式 $\scriptstyle x^{2}-x-1$ 的根。一般來說，如果整數 $\scriptstyle d$ 除以 4 餘 1，那麼 $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$ 也是代數整數，因為它是多項式 $\scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}$ 的根。
* 給定素數 p，p 次單位根 $\zeta _{p}$ 也是一個代數整數，因為是首一多項式 $\displaystyle x^{p}-1=0$ 的根。實際上，p 次分圓域 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的整數環就是 $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ 。

## 性質

* 兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
* 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
* 任何從整數出發，透過和、積與開方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
* 代數整數是裴蜀整環。

## 參見

* 整性
* 高斯整數
* 艾森斯坦整數
* 單位根
* 狄利克雷單位理論
* 基本單位 (數論)

## 參考來源

* Daniel A. Marcus, _Number Fields_（數域）, third edition, Springer-Verlag, 1977
代數方程組

**代數方程**是未知數和常數進行有限次代數運算所組成的方程。代數方程包括有理方程和無理方程。有理方程又包括整式方程與分式方程。

## 解法

一元一次方程都可化為其標準形式 $ax+b=0$ （ $a\neq 0$ ）。解一元一次方程通常使用以下五步進行求解：「去分母」、「去括號」、「移項」、「合併同類項」、「係數化為 1」。

解一元 $n$ 次方程（ $n\geq 2$ ， $n$ 為正整數）往往可以通過因式分解，化為 $n$ 個一次因式的乘積，進而解出方程所有的根。

另外，二次、三次、四次方程還可以利用求根公式求出其所有的根。然而，伽羅瓦理論指出，對於五次及其以上的一元整式方程，並不存在通用的求根公式。

根據代數基本定理，任意復係數一元 $n$ 次方程 $f(x)=0$ 有且僅有 $n$ 個根（ $n$ 為正整數），重根按重數計。

解分式方程通常先將方程兩邊乘以其分數項的最簡公分母，化為整式方程。再解這個整式方程。最後剔除使原方程分母為 0 的所有根。剩下的根即為原方程的根。

解無理方程先將被開方式中帶有未知數的項移到等號的一邊，將常數項移到等號的另一邊。再兩邊乘方，去掉根號，化為有理方程。最後剔除使原方程被開方式小於 0 的所有根。剩下的根即為原方程的根。

可見，由於分式中分母不為 0，根式中被開方式大於或等於 0，因此分式方程與無理方程都有可能產生「增根」。所以，有的分式方程與無理方程沒有解。

## 參見

* 超越方程
* 多項式
* 方程

## 外部連結

* 「代數方程」和「超越方程」 河南教育學院
代數無關

在抽象代數裡，一個體 $L$ 的子集 $S$ 若被稱做**代數獨立**於一子體 $K$ 的話，表示 $S$ 內的元素都不符合係數包含在 $K$ 內的非平凡多項式。這表示任何以 $S$ 內元素排成的有限序列 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ （沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在 $K$ 的非零多項式 $P(x_{1},\cdots ,x_{n})$ ，都會得到：

　
: $P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0$

特別的是，單元素集合 $\{\alpha \}$ 若是代數獨立於 $K$ 的話，若且唯若 $\alpha $ 會是 $K$ 內的超越數或超越函數。一般而言，和於 $K$ 代數獨立集合的所有元素也必然會是 $K$ 內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數 $\mathbb {R} $ 的子集 $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ 並**不**代數獨立於有理數 $\mathbb {Q} $ ，當存在一非零多項式：

　
: $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

 $x_{1}$ 代入 ${\sqrt {\pi }}$ 和 $x_{2}$ 代入 $2\pi +1$ 時會變成 $0$ 。

林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ 為線性獨立於有理數的代數數時， ${\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}$ 便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合 $\{\pi ,{\mbox{e}}\}$ 是否代數獨立於有理數。Nesterenko 在 1996 年證明了 $\{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}$ 是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張 $L/K$ ，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一 $L$ 的最大代數獨立子集於 $K$ 。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。
代數獨立

在抽象代數裡，一個體 $L$ 的子集 $S$ 若被稱做**代數獨立**於一子體 $K$ 的話，表示 $S$ 內的元素都不符合係數包含在 $K$ 內的非平凡多項式。這表示任何以 $S$ 內元素排成的有限序列 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ （沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在 $K$ 的非零多項式 $P(x_{1},\cdots ,x_{n})$ ，都會得到：

　
: $P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0$

特別的是，單元素集合 $\{\alpha \}$ 若是代數獨立於 $K$ 的話，若且唯若 $\alpha $ 會是 $K$ 內的超越數或超越函數。一般而言，和於 $K$ 代數獨立集合的所有元素也必然會是 $K$ 內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數 $\mathbb {R} $ 的子集 $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ 並**不**代數獨立於有理數 $\mathbb {Q} $ ，當存在一非零多項式：

　
: $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

 $x_{1}$ 代入 ${\sqrt {\pi }}$ 和 $x_{2}$ 代入 $2\pi +1$ 時會變成 $0$ 。

林德曼 - 魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ 為線性獨立於有理數的代數數時， ${\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}$ 便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合 $\{\pi ,{\mbox{e}}\}$ 是否代數獨立於有理數。Nesterenko 在 1996 年證明了 $\{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}$ 是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張 $L/K$ ，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一 $L$ 的最大代數獨立子集於 $K$ 。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。
代數組合學

**代數組合學**是組合數學中與抽象代數相關的分支，它可以意指解決組合問題的抽象代數方法，或涉及代數問題的組合學方法。相關的數學課題包括了

* 擬陣
* 多胞體
* 有限幾何
* 組合交換代數
* 格 (數學)

## 相關書目

* Takayuki Hibi, _Algebraic combinatorics on convex polytopes_, Carslaw Publications, Glebe, Australia, 1992
* Melvin Hochster, _Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes_. Ring theory, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171--223. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 26, Dekker, New York, 1977.
* Ezra Miller, Bernd Sturmfels, _Combinatorial commutative algebra_, Graduate Texts in Mathematics, vol. 227, Springer-Verlag, New York, NY, 2005. ISBN 0-387-22356-8
* Richard Stanley, _Combinatorics and commutative algebra_. Second edition, Progress in Mathematics, vol. 41. Birkhäuser, Boston, MA, 1996. ISBN 0-8176-3836-9
* Bernd Sturmfels, _Gröbner bases and convex polytopes_, University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. ISBN 0-8218-0487-1
代數結構

在泛代數中**代數結構**（英語：Algebraic structure）是在一種或多種運算下封閉的一個或多個集合。

例如，群、環、域、和格的代數結構。更複雜的結構可以被定義為通過引入多個操作，不同的基礎集，或通過改變限定公理。更複雜的代數結構的實例包括向量空間，模和代數 (環論)。關於代數結構的的詳細情況，參見各個連結。

一個代數結構包含集合及符合某些公理的運算或關係。

集 U 上定義二元運算形成的系統稱為代數系統，如果對於任意 a,b∈U, 恆有 f (a・b)∈U。二元運算可推廣至多元運算 F, 則相應的封閉性要求則改為：對於任意 a,b,c,d,……∈U, 恆有 F (a,b,c,d,……)∈U。有的書上對封閉性未作要求，並稱之為廣群。運算 f 是一個從 A×B→C 的映射，若 A=B=C, 則稱運算 f 是封閉的。

## 樣例

### 單個集合的例子

**簡單結構**: **沒有定義**二元運算的情況:

* 集合：沒有定義二元運算的集合 _S_ 可看成是一個退化的代數結構。

## 參閱

* 數學結構
* 結構 (數理邏輯)
* 自由對象

## 參考文獻

## 外部連結

* （英文）Jipsen's algebra structures.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Includes many structures not mentioned here.
* （英文）Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的抽象代數頁面。
* （英文）Stanford Encyclopedia of Philosophy: Algebra（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Vaughan Pratt.
代數群

在代數幾何中，一個**代數群**（或**群簇**）是一個群是一個代數簇，其**簇**之**乘**與**逆**由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學) 中的群對象。

在數學中，域 $k$ 上的**代數群**有幾種等價的描述：

* 光滑 $k$ - 代數簇範疇中的群對象。
* $\mathrm {Spec} (k)$ 上的分離、有限型群概形。
* 一個 $k$ - 代數簇 $G$ 配上 $e:\mathrm {Spec} (k)\to G$ （單位元）、 $m:G\times G\to G$ （群的二元運算）及 $i:G\to G$ （逆），使之滿足群論所要求的公理。

可以將代數群設想為李群的代數幾何版本，代數群一樣有切空間及李代數，卻沒有指數映射（某些冪零群除外）；李群可以表成 $\mathrm {R} $ - 代數群的覆疊空間。

代數群的典型例子包括 $\mathrm {GL} (n)$ 及橢圓曲線。仿射代數群必可表為 $\mathrm {GL} (n)$ 的子群，因此又稱線性群。當 $k$ 是完美域時，Chevalley 定理斷言：設 $G$ 為 $k$ - 代數群，則存在短正合序列

　
: $1\to B\to G\to A\to 1$

在此 $B$ 是線性群、 $A$ 是阿貝爾簇。準此，線性群與阿貝爾簇是代數群的基本構件。既非線性亦非阿貝爾簇的典型例子是帶奇點的代數曲線之廣義雅可比簇 $\mathrm {Pic} _{X/k}^{0}$ 。 

## 參見

* 代數簇

## 文獻

* Briand Conrad, _A Modern Proof of Chevalley's Theorem on Algebraic Groups_.
* Humphreys, J.E., _Linear algebraic groups_, Graduate Texts in Mathematics, No. 21. Springer-Verlag.
* Milne, J. S., _Algebraic and Arithmetic Groups.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_
* Mumford, D., _Abelian varieties_, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5.
* Springer, T.A., _Linear algebraic groups_, 2nd. ed., Progress in Mathematics 9. Boston: Birkhäuser.
* Waterhouse, W.C., _Introduction to Affine Group Schemes_, Graduate Texts in Mathematics, No. 66. Springer-Verlag.
* Andre Weil, _Variétés abéliennes et courbes algébriques_. Paris: Hermann & Cie.
代數記譜法

**代數記譜法**（Algebraic notation）是西洋棋裡用來記錄、描述棋子移動的一種方法。目前已成為最普遍的記譜法，所有西洋棋有關的組織、書籍、雜誌、報紙都使用這種方法來記譜，最早出現於 1173 年的波斯象棋。

在英語系國家，自 1980 年代起，代數記譜法已經取代 19 世紀常用的描述記譜法，可是描述記譜法在 1980～1990 之時還是偶而可見到有人使用。歐洲國家除了英國，在代數記譜法被廣泛應用之前都是使用描述記譜法。

## 棋盤上格子的命名法

為了便於記錄棋譜，棋盤上離白方最近的那一行定為 1，最遠的那一行定為 8。位於白方最左邊的那一列定為 a，最右邊的那一列定為 h。這樣，白方左下角的第 1 格的坐標就是 a1，白方王所在的原始位置就是 e1，黑方后所在的原始位置就是 d8。

## 棋子的命名法

每一個棋子，都分配一個大寫字母用作標識，而國際流行的是英文對應單詞的首字母，當然這個依不同國家會有所不同（例如法國選手會使用 F 作為「主教」的縮寫，這起源於法語 fou）。按照英文首字母來說，K（**K**ing）代表「王」，Q（**Q**ueen）代表「皇后」（后），R（**R**ook）代表「城堡」（車），B（**B**ishop）代表「主教」（象），N（K**n**ight）代表「騎士」（馬）。「兵」通常並不指派字母。

## 棋子移動的記譜法

棋子的每一步移動都由指示棋子的字母加上目標方格的坐標表示。例如，**Be5**（象移動到 e5）、**Nf3**（馬移動到 **f3**）。對於兵的移動，不使用指示棋子的字母，僅給出目標方格。例如，**c5**（兵移動到 **c5**）。

### 吃子

當一個棋子被吃時，需在目標格子之前添加一個「x」（或乘號「×」）。例如，**Bxe5**（象吃 **e5** 上的棋子）。當一個兵進行吃子時，該兵用吃子前所在的格子的字母代表，例如 **exd5**（格子上的兵吃掉 **d5** 上的棋子）。在較早的德語、俄語或義大利語出版物中，有時會使用冒號 (:) 來代替「x」，無論是在「x」所在的相同位置（**B:e5**）還是在末尾（**Be5:**）。

對於吃子的一步，可以在末尾添加 **「ep」** 進行強調，也可以不加。如 **exd6 ep** 代表 **e** 線上的兵吃掉 **d6** 的棋子。

一些出版物（如《西洋棋開局百科》）在吃子時省略了所有提示（例如，用 **Be5** 代替 **Bxe5**；用 **ed6** 代替 **exd6** 或 **exd6 ep**）。

### 消除歧義

當兩個（或更多）相同的棋子都可以移動到同一個格子時，被移動的棋子通過指定棋子的字母來標識唯一，後跟（按優先級降序）：

1. 出發的格子的字母（如果它們不同）；或
1. 出發的格子的數字（如果它們不同）；或
1. 出發的格子的字母以及數字（這僅在很少的情況下發生，即玩家擁有三個及以上相同的棋子（升變造成）可以移動到同一個格子）

在圖中，兩個黑車都可以合法地移動到 **f8**，因此 **d8** 格子上的車到 **f8** 的移動被消歧義為 **Rdf8**。對於 **a** 線上的兩個白車都可以移動到 **a3**，需要提供移動棋子的數字，即 **R1a3**。

在 h4 上的白后移動到 **e1** 的情況下，單獨的字母和數字都不足以消除與其他白后的歧義。因此，這一步寫成 **Qh4e1**。

如上所述，可以插入「x」和「ep」來表示吃子；例如，如果最後一種情況是吃子，則將其寫成 **Qh4xe1** 或 **Qh4xe1 ep**。

### 升變

當棋子升變時，升級成的棋子放移動符號的末尾，例如：**e8Q**（升級到皇后）。在標準的 FIDE 符號中，不使用標點符號；在可移植式棋局記號法和許多出版物中，升變由等號 ( 如 **e8=Q** ) 表示。西洋棋文獻中使用的其他符號包括括號（例如 **e8(Q)**）和正斜槓（例如 **e8/Q**）。

### 王車易位

王車易位由特殊符號 **0-0**（短易位）和 **0-0-0**（長易位）表示，FIDE 標準使用數字 0（**0-0** 和 **0-0-0**），PGN 則使用字母 O（**OO** 和 **OOO**）。

### 將軍

將對手的國王置於將軍狀態的舉動通常附加符號 **「+」** 。或者有時會使用匕首 (**†**) 或縮寫 **「ch」** 。一些出版物用諸如「**dis ch**」之類的縮寫或帶有特定符號的方式指示發現的將軍。雙重將軍通常表示與將軍相同，但有時被專門表示為 **「dbl ch」** 或 **「++」** ，特別是在較早的西洋棋文獻中。《西洋棋開局百科》全書省略了所有將軍指示。

### 將死

完成移動時的將死由標準 FIDE 符號和 PGN 中的符號「#」表示。

## 表示勝負的記譜法

**½–½** 表示棋賽的結果是和棋。**1-0** 表示棋賽的結果是白方勝。**0-1** 表示棋賽的結果是白方輸。

## 參見

* 福斯夫－愛德華茲記號法
* 可移植式棋局記號法

## 參考文獻

## 外部連結

* FIDE rules on algebraic notation（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（see appendix C）
* Algebraic Chess Notation Exercise
代數閉包

在**數學**上，一個體 $F$ 被稱作**代數閉體**，若且唯若任何係數屬於 $F$ 且次數大於零的單變數多項式在 $F$ 裡至少有一個根。代數閉體一定是無限體。

## 例子

舉例明之，實數體並非代數閉體，因為下列實係數多項式無實根：

　
: $x^{2}+1=0$

同理可證有理數體非代數閉體。此外，有限體也不是代數閉體，因為若 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 列出 $F$ 的所有元素，則下列多項式在 $F$ 中沒有根：

　
: $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,$

反之，複數體則是代數閉體；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉體之例子是代數數體。

## 等價的刻劃

給定一個體 $F$ ，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

### 不可約多項式若且唯若一次多項式

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若環 _F_[_x_] 中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何體都是正確的。如果 _F_ 是代數閉體，_p_(_x_) 是 _F_[_x_] 的一個不可約多項式，那麼它有某個根 _a_，因此 _p_(_x_) 是 _x_ − _a_ 的一個倍數。由於 _p_(_x_) 是不可約的，這意味著對於某個 _k_ ∈ _F_\ {0}，有 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _a_)。另一方面，如果 _F_ 不是代數閉體，那麼存在 _F_[_x_] 內的某個非常數多項式 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根。設 _q_(_x_) 為 _p_(_x_) 的某個不可約因子。由於 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根，因此 _q_(_x_) 在 _F_ 內也沒有根。所以，_q_(_x_) 的次數大於一，因為每一個一次多項式在 _F_ 內都有一個根。

### 每一個多項式都是一次多項式的乘積

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於次數 _F_ 內的 _n_≥ 1 的多項式 _p_(_x_) 都可以分解成線性因子。也就是說，存在體 _F_ 的元素 _k_， _x_1， _x_2， ……， _xn_，使得 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _x_1)(_x_ − _x_2) ··· (_x_ − _xn_)。

如果 _F_ 具有這個性質，那麼顯然 _F_[_x_] 內的每一個非常數多項式在 _F_ 內都有根；也就是說，_F_ 是代數閉體。另一方面，如果 _F_ 是代數閉體，那麼根據前一個性質，以及對於任何體 _K_，任何 _K_[_x_] 內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對 _F_ 成立。

### _Fn_ 的每一個自同態都有特徵向量

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若對於每一個自然數 _n_，任何從 _Fn_ 到它本身的線性映射都有某個特徵向量。

_Fn_ 的自同態具有特徵向量，若且唯若它的特徵多項式具有某個根。因此，如果 _F_ 是代數閉體，每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量。另一方面，如果每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量，設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 的一個元素。除以它的首項係數，我們便得到了另外一個多項式 _q_(_x_)，它有根若且唯若 _p_(_x_) 有根。但如果 _q_(_x_) = _xn_ + _a_n − 1_x_n − 1+ ··· + _a_0，那麼 _q_(_x_) 是以下友矩陣的特徵多項式：

　
: ${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

### 有理表達式的分解

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於 _F_ 內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和，其中 _n_ 是自然數，_a_ 和 _b_ 是 _F_ 的元素。

如果 _F_ 是代數閉體，那麼由於 _F_[_x_] 內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於體 _F_ 成立。設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 內的一個不可約元素。那麼有理函數 1/_p_ 可以寫成多項式函數 _q_ 與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和。因此，有理表達式

　
: ${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於 _p_(_x_) 是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。

## 代數閉包

設 $E\supset F$ 為代數擴張，且 $E$ 是代數閉體，則稱 $E$ 是 $F$ 的一個**代數閉包**。可以視之為包含 $F$ 的最小的代數閉體。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何體都有代數閉包。設 $E,E'$ 為任兩個 $F$ 的代數閉包，則存在環同構 $\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'$ 使得 $\sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}$ ；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 $F^{\mathrm {alg} }$ 或 ${\bar {F}}$ 。

## 文獻

* S. Lang, _Algebra_, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, _Algebra I_, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
代數閉體

在**數學**上，一個體 $F$ 被稱作**代數閉體**，若且唯若任何係數屬於 $F$ 且次數大於零的單變數多項式在 $F$ 裡至少有一個根。代數閉體一定是無限體。

## 例子

舉例明之，實數體並非代數閉體，因為下列實係數多項式無實根：

　
: $x^{2}+1=0$

同理可證有理數體非代數閉體。此外，有限體也不是代數閉體，因為若 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 列出 $F$ 的所有元素，則下列多項式在 $F$ 中沒有根：

　
: $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1\,$

反之，複數體則是代數閉體；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉體之例子是代數數體。

## 等價的刻劃

給定一個體 $F$ ，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

### 不可約多項式若且唯若一次多項式

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若環 _F_[_x_] 中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何體都是正確的。如果 _F_ 是代數閉體，_p_(_x_) 是 _F_[_x_] 的一個不可約多項式，那麼它有某個根 _a_，因此 _p_(_x_) 是 _x_ − _a_ 的一個倍數。由於 _p_(_x_) 是不可約的，這意味著對於某個 _k_ ∈ _F_\ {0}，有 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _a_)。另一方面，如果 _F_ 不是代數閉體，那麼存在 _F_[_x_] 內的某個非常數多項式 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根。設 _q_(_x_) 為 _p_(_x_) 的某個不可約因子。由於 _p_(_x_) 在 _F_ 內沒有根，因此 _q_(_x_) 在 _F_ 內也沒有根。所以，_q_(_x_) 的次數大於一，因為每一個一次多項式在 _F_ 內都有一個根。

### 每一個多項式都是一次多項式的乘積

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於次數 _F_ 內的 _n_≥ 1 的多項式 _p_(_x_) 都可以分解成線性因子。也就是說，存在體 _F_ 的元素 _k_， _x_1， _x_2， ……， _xn_，使得 _p_(_x_) = _k_(_x_ − _x_1)(_x_ − _x_2) ··· (_x_ − _xn_)。

如果 _F_ 具有這個性質，那麼顯然 _F_[_x_] 內的每一個非常數多項式在 _F_ 內都有根；也就是說，_F_ 是代數閉體。另一方面，如果 _F_ 是代數閉體，那麼根據前一個性質，以及對於任何體 _K_，任何 _K_[_x_] 內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對 _F_ 成立。

### _Fn_ 的每一個自同態都有特徵向量

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若對於每一個自然數 _n_，任何從 _Fn_ 到它本身的線性映射都有某個特徵向量。

_Fn_ 的自同態具有特徵向量，若且唯若它的特徵多項式具有某個根。因此，如果 _F_ 是代數閉體，每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量。另一方面，如果每一個 _Fn_ 的自同態都有特徵向量，設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 的一個元素。除以它的首項係數，我們便得到了另外一個多項式 _q_(_x_)，它有根若且唯若 _p_(_x_) 有根。但如果 _q_(_x_) = _xn_ + _a_n − 1_x_n − 1+ ··· + _a_0，那麼 _q_(_x_) 是以下友矩陣的特徵多項式：

　
: ${\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

### 有理表達式的分解

體 _F_ 是代數閉體，若且唯若每一個係數位於 _F_ 內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和，其中 _n_ 是自然數，_a_ 和 _b_ 是 _F_ 的元素。

如果 _F_ 是代數閉體，那麼由於 _F_[_x_] 內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於體 _F_ 成立。設 _p_(_x_) 為 _F_[_x_] 內的一個不可約元素。那麼有理函數 1/_p_ 可以寫成多項式函數 _q_ 與若干個形為 _a_/(_x_ − _b_)n 的有理函數之和。因此，有理表達式

　
: ${\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}$

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於 _p_(_x_) 是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。

## 代數閉包

設 $E\supset F$ 為代數擴張，且 $E$ 是代數閉體，則稱 $E$ 是 $F$ 的一個**代數閉包**。可以視之為包含 $F$ 的最小的代數閉體。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何體都有代數閉包。設 $E,E'$ 為任兩個 $F$ 的代數閉包，則存在環同構 $\sigma :E{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}E'$ 使得 $\sigma |_{F}=\mathrm {id} _{F}$ ；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 $F^{\mathrm {alg} }$ 或 ${\bar {F}}$ 。

## 文獻

* S. Lang, _Algebra_, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, _Algebra I_, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
代文雯

**代文雯**（1996 年 2 月 24 日 —），出生於山東省，中國內地女演員，畢業於中央戲劇學院播音與主持系。2015 年正式出道。2016 年在新《射鵰英雄傳》中飾演成吉思汗女兒華箏公主。在《慶餘年》中飾演沈重妹妹沈小姐。此外她還出演過《大俠日天》、《眾王駕到》、《娘道》、《九州・天空城 II》等作品。

## 影視作品

### 電視劇 / 網絡劇

### 電影

## 綜藝節目

## MV

## 主持

9 月 26 日，2020 年度電影頻道「星辰大海」青年演員優選計劃公佈侯選人名單

2018 年 10 月 25 日 出席「時代能量・時裝之夜」年度盛典

## 參考文獻

## 外部連結

* 代文雯的新浪微博
代斯

**穆克代斯・庫爾班**（維吾爾語：مۇكدەپ قۇربان‎，拉丁維文：Mukkadas Kurban，1991 年 8 月 14 日 —），暱稱**代斯**，中國大陸維吾爾族女演員，生於新疆烏魯木齊。

## 影視作品

### 電視劇

### 電影

## 外部連結

* 穆克代斯・庫爾班在豆瓣電影上的簡介 （簡體中文）
* 穆克代斯・庫爾班在時光網上的簡介（簡體中文）
* 穆克代斯・庫爾班的新浪微博
* 嘉行傳媒上代斯的簡介 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
代斯克

**代斯克**（匈牙利語：Deszk），是匈牙利瓊格拉德州所轄的一個村。總面積 52.05 平方公里，總人口 3662，人口密度 70.4 人 / 平方公里（2011 年 1 月 1 日）。

## 參考文獻
代斯兰

**代斯蘭**（法語：Desseling，法語發音：[dɛslɛ̃]；洛林語：Desselé）是法國摩澤爾省的一個市鎮，屬於薩爾堡 - 薩蘭堡區。

## 地理

代斯蘭（48°47'5"N, 6°50'39"E）面積 5.05 平方千米，位於法國大東部大區摩澤爾省，該省份為法國東北部內陸省份，是洛林的一部分，西南接默爾特 - 摩澤爾省，東臨下萊茵省，北與盧森堡和德國接壤。

與代斯蘭接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿斯農庫爾、貝勒福雷、弗里堡、蓋爾芒日。

代斯蘭的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

代斯蘭的郵政編碼為 57260，INSEE 市鎮編碼為 57173。

## 政治

代斯蘭所屬的省級選區為薩爾堡縣。

## 人口

代斯蘭於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 101 人。

## 參見

* 摩澤爾省市鎮列表

## 參考文獻
代斯勒

**塞巴斯蒂安・代斯勒**（Sebastian Deisler，1980 年 1 月 5 日 —）出生於德國的羅拉赫，是德國著名的足球運動員，曾被譽為新世紀德國足球的未來。
他司職右邊前衛，職業生涯起始於德國足球俱樂部門興格拉德巴赫，也曾是德國國家隊中的一員，現已退役。

代斯勒在他年僅 6 歲時加入了 _FV Turmringen_ 足球俱樂部。在他的職業生涯中，他不斷對抗著膝部的傷病，他也因此而兩次無緣世界盃。在因傷缺席德甲 03-04 賽季大半個賽季的聯賽後，代斯勒患上了抑鬱症。幸運的是，在他第一個孩子出生以後，他變得更加樂觀了。然而，在 2007 年 1 月 16 日，代斯勒因無法忍受他不斷受傷的膝蓋而宣布退役，退役時，他年僅 27 歲。

## 俱樂部生涯

### 門興格拉德巴赫

代斯勒從 1995 年開始為門興格拉德巴赫俱樂部效力一直到 1999 年結束。他 1998 年開始進入一隊，在 98-99 賽季中，門興格拉德巴赫以第 17 位的成績不幸降級，代斯勒在這個賽季中在聯賽上陣 17 場及打入一個入球。在球隊降級以後，代斯勒轉投柏林赫塔，當時聯賽前五的強隊。

### 柏林赫塔

代斯勒從 1999 年至 2002 年一直效力於德甲的柏林赫塔。在此期間，代斯勒為球隊在德甲中出場 57 次並且打入 9 粒入球。在之後的兩個賽季，代斯勒為球隊在歐洲聯盟杯中也出場了 5 次。遺憾的是，在此期間，他未能在歐洲賽場上取得任何進球。

### 拜仁慕尼黑

代斯勒從 2002 年開始為拜仁慕尼黑效力。拜仁並沒有透露代斯勒轉會所花的費用。然而，在幾次傷病的影響下，四個賽季代斯勒的德甲出場總數僅為 62 場，一共打進 8 球。他在歐洲冠軍杯的比賽中登場 13 次。在 06-07 賽季，他在拜仁僅僅獲得了 5 次出場機會，其中只有一次在歐冠賽場。在下半賽季，代斯勒宣布退役。拜仁主席赫內斯表示，他到 2009 年 6 月 30 日結束的合同將被暫停而非取消，因為赫內斯認為，代斯勒能夠重返賽場
。

## 國際賽生涯

代斯勒為德國國家隊從 2000 年效力至 2006 年，進行了 36 場比賽並且打進了 3 粒入球。2000 年 2 月 23 日代斯勒第一次為國家隊登場，友誼賽的對手是荷蘭國家隊。2000 年 9 月 2 日，代斯勒在對陣希臘的比賽中取得了他的第一個國家隊入球。最終，德國以 2 比 0 獲勝，獲得了 2002 年世界盃的參賽資格。

由於傷病，代斯勒錯過了 2002 年的世界盃、2004 年歐洲杯以及 2006 年德國世界盃。他的最後一場國家隊比賽是 2006 年 3 月 1 日對陣義大利國家隊的友誼賽。

## 榮譽

**拜仁慕尼黑**

* 德國甲組聯賽冠軍：2003 年、2005 年、2006 年；
* 德國足協盃：2003 年、2005 年、2006 年；
* 德國聯賽盃：2001 年、2004 年；

**德國國家隊**

* 歐洲 U-19 足球錦標賽亞軍：1998 年；
* 聯合會杯季軍：2005 年；

## 統計

### 俱樂部

\* **注釋:** 在 2004 年 4 月，代斯勒為拜仁預備隊在第三級的德國足球地區聯賽南部賽區打入一球。

### 國家隊

## 個人生活

代斯勒有一個來自巴西的女友尤尼斯・多斯・桑托斯・桑塔納（Eunice Dos Santos Santana）和一個名為拉斐爾（Raphael）的孩子，但仍然是末婚。在 2007 年，他開始寫一本書。.

他的教育程度為應用科學大學（德國教育的一種形式）水平，興趣是籃球、食物、音樂以及電影。

## 參考資料

## 外部連結

* FootballDatabase provides Sebastian Deisler's profile and stats （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Observer Sport Extra: Deisler the danger （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
代斯林根

**代斯林根**（德語：Deißlingen）是德國巴登 - 符騰堡州的一個市鎮。總面積 32.15 平方公里，總人口 5994 人，其中男性 2950 人，女性 3044 人（2011 年 12 月 31 日），人口密度 186 人 / 平方公里。

## 參見

* 巴登 - 符騰堡州市鎮列表

## 參考
代斯波托瓦茨

**代斯波托瓦茨**是塞爾維亞的城鎮，由波莫拉夫列州負責管轄，位於該國東部，距離首都貝爾格勒約 130 公里，面積 623 平方公里，海拔高度 264 米，2011 年人口 4,212。
代斯洛赫

**代斯洛赫**（德語：Desloch）是德國萊茵蘭 - 普法爾茨州的一個市鎮。總面積 6.37 平方公里，總人口 367 人，其中男性 189 人，女性 178 人（2011 年 12 月 31 日），人口密度 58 人 / 平方公里。

## 參見

* 萊茵蘭 - 普法爾茨州市鎮列表

## 參考
代斯特尔尼克区

**代斯特爾尼克區**（斯洛維尼亞語：Občina Destrnik）是斯洛維尼亞的一個區，位於該國東北部，面積 34.4 平方公里，2002 年人口 2496。人口密度約 73 人 /km2。該區首府為代斯特爾尼克。

## 參見

* 斯洛維尼亞行政區劃

## 參考資料

## 外部連結

* Municipality of Destrnik on Geopedia（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Destrnik municipal site（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
代斯特尔山麓巴德明德尔

**代斯特山麓巴特明德**（德語：Bad Münder am Deister）是德國下薩克森州的一個市鎮。總面積 107.69 平方公里，總人口 17376 人（2015 年），人口密度 160 人 / 平方公里。

## 參見

* 下薩克森州市鎮列表

## 參考
代斯特尔贝亨

**代斯特爾貝亨**（荷蘭語：Destelbergen，荷蘭語發音：[ˌdɛstəlˈbɛrɣə(n)] （ 聆聽））是比利時佛拉蒙大區東法蘭德斯省根特區的一個市鎮，通行荷蘭語，是佛拉蒙社群的一部分，面積 26.71 平方公里，人口 18,026 人（2018 年 1 月 1 日）。

## 參考文獻

## 外部連結

* 維基共享資源上的相關多媒體資源：代斯特爾貝亨
代斯特山麓巴特明德

**代斯特山麓巴特明德**（德語：Bad Münder am Deister）是德國下薩克森州的一個市鎮。總面積 107.69 平方公里，總人口 17376 人（2015 年），人口密度 160 人 / 平方公里。

## 參見

* 下薩克森州市鎮列表

## 參考
代斯特爾尼克

**代斯特爾尼克**（斯洛維尼亞語：Destrnik 發音：[ˈdeːstəɾnik]），是斯洛維尼亞東北部的一個聚居地，也是代斯特爾尼克區的首府。它位於普圖伊北部的斯洛維尼亞山區（斯洛維尼亞語：Slovenske gorice）。當地傳統上屬於下施蒂里亞地區，現在包含在波德拉夫統計區統計區中。 [2]

## 參考文獻

## 外部連結

* Destrnik on Geopedia （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Destrnik municipal site （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
代斯特里

**代斯特里**（法語：Destry，法語發音：[dɛstʁi]；德語：Destrich；洛林語：Dèhhry）是法國摩澤爾省的一個市鎮，屬於福爾巴克區。

## 地理

代斯特里（48°56'38"N, 6°35'6"E）面積 6.93 平方千米，位於法國大東部大區摩澤爾省，該省份為法國東北部內陸省份，是洛林的一部分，西南接默爾特 - 摩澤爾省，東臨下萊茵省，北與盧森堡和德國接壤。

與代斯特里接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：阿尚、巴龍維爾、布呂朗日、朗德羅夫、馬爾蒂爾、瑞士。

代斯特里的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

代斯特里的郵政編碼為 57340，INSEE 市鎮編碼為 57174。

## 政治

代斯特里所屬的省級選區為薩拉爾布縣。

## 人口

代斯特里於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 96 人。

## 參見

* 摩澤爾省市鎮列表

## 參考文獻
代斯珀塔尔

**代斯珀塔爾**（德語：Despetal，意為「**代斯珀河谷**」）是德國下薩克森邦的一個市鎮。總面積 15.03 平方公里，總人口 1335 人，其中男性 650 人，女性 685 人（2011 年 12 月 31 日），人口密度 89 人 / 平方公里。

## 參見

* 下薩克森邦市鎮列表

## 參考
代斯納河_(卡梅尼采河支流)

**代斯納河**是捷克的河流，屬於卡梅尼采河的左支流，河道全長 2.3 公里，流域面積 50.8 平方公里，發源自伊澤拉山脈，河口處在坦瓦爾德。

## 參考資料

* https://mesto-desna.cz/%7Ctitle=Město Desná – Oficiální stránky města
代斯納河_(摩拉瓦河支流)

**代斯納河**是捷克的河流，位於該國東部奧洛穆茨州，處於順佩爾克縣，屬於摩拉瓦河的左支流，河道全長 43 公里，流域面積 338 平方公里。

## 參考資料

* Štefáček, Stanislav (2008). Encyklopedie vodních toků Čech, Moravy a Slezska. Příbram: Baset. p. 256. ISBN 978-80-7340-105-4.
* "Charakteristiky toků a povodí ČR - Desná" (in Czech). VÚV TGM. Retrieved 2018-05-07.
代斯維爾_(伊利諾伊州)

**代斯維爾**（英語：Daysville）是位於美國伊利諾伊州奧格爾縣的一個非建制地區。該地的面積和人口皆未知。

## 地理

代斯維爾的座標為 41°58′50″N 89°13′11″W，而該地的平均海拔高度為 213 米（即 699 英尺）。

## 參考文獻
代斯蒙特

**代蒙**（法語：Desmonts）是法國盧瓦雷省的一個市鎮，位於該省北部，和埃松省接壤，屬於皮蒂維耶區。該市鎮總面積 4.76 平方公里，2009 年時的人口為 176 人。

## 人口

代蒙人口變化圖示

## 參見

* 盧瓦雷省市鎮列表

## 參考文獻
代日

**代日**（羅馬尼亞語：Dej，羅馬尼亞語發音：[deʒ]；匈牙利語：Dés；德語：Desch, Burglos）是羅馬尼亞的城市，位於該國西部，距離首府克盧日 - 納波卡 60 公里，由克魯日縣負責管轄，面積 109.12 平方公里，海拔高度 285 米，2009 年人口 38,610。

## 友好城市

* 法國 博韋
代日_(上卢瓦尔省)

**代日**（法語：Desges，法語發音：[dɛʒ]）是法國上羅亞爾省的一個市鎮，屬於布里尤德區。

## 地理

代日（45°1'2"N, 3°27'8"E）面積 16.83 平方千米，位於法國奧弗涅 - 隆 - 阿爾卑斯大區上羅亞爾省，該省份為法國中南部省份，北起多姆山省和羅亞爾省，西接康塔爾省，南至洛澤爾省，東臨阿爾代什省。

與代日接壤的市鎮（或舊市鎮、城區）包括：奧韋爾、拉貝塞爾聖馬里、沙澤勒、皮諾勒、塔亞克、旺特日。

代日的時區為 UTC+01:00、UTC+02:00（夏令時）。

## 行政

代日的郵政編碼為 43300，INSEE 市鎮編碼為 43085。

## 政治

代日所屬的省級選區為阿列峽 - 熱沃當縣。

## 人口

代日於 2019 年 1 月 1 日時的人口數量為 56 人。

## 參見

* 上羅亞爾省市鎮列表

## 參考文獻
代日韻目

**代日韻目**是中國歷史上在電報紀日用的韻目，以這些韻母漢字紀日的方法則被稱為**韻目代日**。清政府開通電報之初，因為發送電報非常昂貴，按字論價，「字字是金」，所以節約用字就非常重要。為此發明了一種新的紀日辦法，用地支代替月份，用韻目代替日期。這種方法在電報領域一直延用到中華人民共和國建國初期，前後使用了 70 餘年。在其他領域也有使用，甚至有些人日記都是以韻目代日。歷史上一些著名的事件也是以此命名的，如：馬日事變、文夕大火、艷電、皓電、巧電等。

## 韻目

韻目是中國傳統音韻學中概念。從《韻目表》中挑選出來代替日期的韻目，總共有三十個，分別代表三十天（實際使用二十九個）。前面十五天用的是韻目上平聲的全部，接後是韻目上聲的十個，再來是韻目去聲的五個（實際使用四個）；最後是用於表示公曆的三十一日、《韻目表》中沒有的「世」。

## 代日韻目表

粗體為選擇代表日期的韻目。

### 替代與補充

30 日，按規律該用去聲的第三十個韻目「陷」，但是於軍隊有不吉利之意，忌用，便用「卅」（卅，拼音：sà，就是三十）字代替。

公曆 31 日沒有韻目可用，通常都用「世」或「引」字來代替；「世」字是「卅一」的合寫，「引」字則像阿拉伯數字「31」。

### 例子

根據上表，「東日」是 1 日；「馬日」代表 21 日，馬日事變是發生在（1927 年 5 月）21 日；文夕大火發生在（1938 年 11 月）12 日夜；艷電則是 29 日的電報，在歷史上特指 1938 年 12 月 29 日的此次電報。

## 參見

* 平水韻

## 參考資料

* 明密碼電報新書，《電報新編》（此來源中 16 日入聲韻目為「棄」，但「棄」是去聲非入聲，應有誤。）
* 韻目代日電碼表，《電報新編》（另一版）
* 國內電報規則（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），中華民國交通部
代旭

**代旭**（1989 年 10 月 28 日 —），出生於北京，中國大陸影視演員，畢業於中央戲劇學院。代表作《無證之罪》。

## 影視作品

### 電視劇

### 電影

## 參考資料

## 外部連結

* 代旭的新浪微博
* 代旭在網際網路電影資料庫（IMDb）上的資料（英文）
* 代旭在豆瓣電影上的簡介 （簡體中文）
代明

**代明**（德語：Demmin）是德國梅克倫堡 - 西波美拉尼亞邦的市鎮，隸屬於梅克倫堡湖區郡，總面積為 81.62 平方公里，截至 2020 年總人口為 10564 人。

## 參考來源
代明县

**代明郡**（Landkreis Demmin）是德國梅克倫堡 - 西波美拉尼亞邦中東部的一個郡，郡治代明。

在 2011 年梅克倫堡 - 西波美拉尼亞邦的郡改革中，代明郡與周邊幾個郡和新布蘭登堡市合併為梅克倫堡湖區郡，郡治新布蘭登堡。

## 地理

代明郡北面與北西波美拉尼亞郡，東面與東西波美拉尼亞郡，東南面與梅克倫堡 - 施特雷利茨郡，南面與米里茨郡，西面與居斯特羅郡相鄰。
代明宮

**代明宮**，慣稱**太陽媽廟**（臺灣閩南語：Thài-iâng-má-biō），是一座位於臺灣基隆市仁愛區的廟宇，原為基隆地區最早設立的齋教龍華派**源齋堂**。2010 年 2 月 27 日，該廟發生火災並導致其中不少神像與古物損毀。

## 沿革

代明宮的前身是佛堂「源齋堂」，屬齋教龍華派壹是堂派。創建者張賜歡篤信佛教與齋教，曾前往福建鼓山湧泉寺皈依三寶，後來又到福州「一是堂」受法，成為齋教龍華派的「太空」，最後回到雞籠建佛堂。該佛堂正殿供奉三寶佛，中殿奉祀太陽帝君、太陰皇君，後殿供奉觀世音菩薩。

創立後自咸豐年間開始歷經多次改建，後來於二次大戰中受創後重建。此次重建將一樓做為市場，租金作為廟宇費用，而廟宇則蓋在二樓，並將太陽、太陰扶正，改稱「代明宮」。性質上屬私廟，住持由張家人世襲。2010 年 2 月 27 日上午該廟發生火災，不少神像與古物受損燒毀。

基隆靈泉寺的創建者善慧法師，早年隨張賜歡加入龍華派，法名普傑，後來才由善智法師攜同至福建湧泉寺，禮景峰和尚受戒出家。

## 圖片

* *

## 註釋

## 參考文獻

## 相關條目

* 齋教
* 龍華教
* 善慧法師
代明湖

**代明湖**（德語：Demminer See），是德國的湖泊，位於該國東北部，由梅克倫堡 - 前波莫瑞州負責管轄，處於梅克倫堡湖區縣，長 0.4 公里、寬 0.3 公里，面積 0.09 平方公里，海拔高度 67 米。
代昭王

**代昭王朱充燿**（1497 年 —1547 年），明朝第五代代王，懿王朱俊杖的庶第一子。他在正德五年（1510 年）受封泰順王，嘉靖九年（1530 年）襲封代王。他在位十七年。嘉靖二十六年（1547 年）朱充燿去世，兩年後其子朱廷埼就嗣位。

## 參考資料

* 《明史》