伽瑪函數

在數學中， $\Gamma \,$ **函數**（**伽瑪函數**；Gamma 函數），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 $n$ 為正整數，則：

　
: $\Gamma (n)=(n-1)!$

根據解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上：

　
: $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t,}}$ $\Re (z)>0.$

數學家勒讓德首次使用了希臘字母 Γ 作為該函數的記號。在機率論和組合數學中此函數很常用。

## 定義

 $\Gamma \,$ 函數可以通過尤拉（Euler）第二類積分定義：

　
: $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t}}$

對複數 $z\,$ ，我們要求 $\mathrm {Re} (z)>0$ 。

$$
\Gamma $ 函數還可以通過對 $\mathrm {e} ^{-t}\,$ 做泰勒展開，解析延拓到整個複數平面： $\Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}
$$

這樣定義的 $\Gamma $ 函數在全平面除了 $z=0,-1,-2,\ldots $ 以外的地方解析。

 $\Gamma $ 函數也可以用無窮乘積的方式表示：

　
: $\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}$

這說明 $\Gamma (z)$ 是亞純函數，而 ${\frac {1}{\Gamma (z)}}$ 是全純函數。

## 歷史動機

Γ 函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 $y=(x-1)!$ 所給定的點 $(x,y)$ ，並要求 $x$ 要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於 $x$ 值的大小。而最簡單的階乘公式 $x!=1\times 2\times \cdots \times x$ 不能直接應用在應用在 $x$ 值為分數的時候，因為它被限定在 $x$ 值為正整數而已。相對而言，並不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 $x!$ ，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ 函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義體擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ 函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的 (除了正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 $k\sin(m\pi x)$ ，會給出其他函數有著階乘性質。

## 無窮乘積

 $\Gamma \,$ 函數可以用無窮乘積表示：

　
: $\Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}$

　
: $\Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}$

其中 $\gamma \,$ 是尤拉 - 馬歇羅尼常數。

## Γ 積分

　
: $1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }{\mathrm {e} }^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x$

$$
\implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x
$$

## 遞迴公式

 $\Gamma \,$ 函數的遞迴公式為： $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ ，

對於正整數 $n\,$ ，有

　
: $\Gamma (n+1)=n!$ ，

可以說 $\Gamma \,$ 函數是階乘的推廣。

### 遞迴公式的推導

$$
\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x
$$

我們用分部積分法來計算這個積分：

$$
\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x
$$

當 $x=0\,$ 時， ${\tfrac {-0^{n}}{{\mathrm {e} }^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0$ 。當 $x\,$ 趨於無窮大時，根據羅必達法則，有：

 $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0$ .

因此第一項 $\left[{\tfrac {-x^{n}}{{\mathrm {e} }^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$ 變成了零，所以：

$$
\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x
$$

等式的右面正好是 $n\Gamma (n)\,$ , 因此，遞迴公式為：

　
: ${\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,$ .

## 重要性質

* 當 $z\to 0^{+}$ 時， $\Gamma (z)\to +\infty $
* 歐拉反射公式（余元公式）：

　
: $\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$ .

　
: 由此可知當 $\ z={\tfrac {1}{2}}$ 時， $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$ .

* 伽馬函數還是負自然指數函數的梅林轉換: $\Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).$
* 乘法定理：

　
: $\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$ 。

　
: $\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)$ .

* 此外：

　
: $\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}$ .

* 使用乘法定理推導的關係：

　
: $\Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).$

　
: $\Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.$

　
: $\Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).$

　
: $\Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).$

　
: $\Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.$

　
: $\Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).$

此式可用來協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等的累計機率。

* 極限性質

對任何實數 α

　
: $\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} $

### 斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計 $\Gamma (z)$ 函數的增長速度。公式為：

　
: $\Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$

其中 e 約等於 2.718281828459。

### 特殊值

　
: ${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}$

**連分數表示**

伽馬函數也可以在複數域表示為兩個連分數之和：

$$
\Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}
$$

## 導數

對任何複數 _z_，滿足 _Re(z) > 0_，有

　
: ${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt$

於是，對任何正整數 _m_

　
: $\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,$

其中 γ 是歐拉 - 馬歇羅尼常數。

## 複數值

　
: $\Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,$

## 解析延拓

注意到在 $\Gamma $ 函數的積分定義中若取 $z\,$ 為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程式

　
: $\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)$

並注意到函數 $\sin(\pi z)\,$ 在整個複平面上有解析延拓，我們可以在 $\mathrm {Re} (z)<1$ 時設

　
: $\Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}$

從而將 $\Gamma \,$ 函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在 $z=0,-1,-2,-3\cdots $ 有單極點，留數為

　
: $\mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.$

## 程式實現

許多程式語言或試算表軟體有提供 Γ 函數或對數的 Γ 函數，例如 EXCEL。而對數的 Γ 函數還要再取一次自然指數才能獲得 Γ 函數值。例如在 EXCEL 中，可使用 GAMMALN 函數，再用 `EXP[GAMMALN(X)]`，即可求得任意實數的伽瑪函數的值。

* 例如在 EXCEL 中：`EXP[GAMMALN(4/3)]`=0.89297951156925

而在沒有提供 Γ 函數的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如 Robert H. Windschitl 在 2002 年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字 24 位元：

　
: $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$

## 參見

* 雙伽瑪函數
* 多伽瑪函數
* 倒數伽瑪函數
* 伽瑪分布

## 參考文獻

## 外部連結

* 神奇的 Gamma 函數 (上)
* 神奇的 Gamma 函數 (下)