佩服數

在數論中，**佩服數**（英文：Admirable numbers），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為「**佩服數**」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」。

所有大於 3 的質數的 6 倍都是佩服數，因此佩服數有無窮多個。

## 定義

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為佩服數。

例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數 2，使得 $(1+3+4+6)-2=12$ ，同時，12 也是最小的佩服數。

更為嚴格地說，佩服數是指使得公式 $\sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n$ 成立的正整數，其中 σ 指的是因數和函數，即 $n$ 的所有正因數（包括其本身 _n_）之和。 $d\,^{\prime }$ 是 n 的其中一個因數。

例如 20 的因數有 1、2、4、5、10、20，其因數和函數的結果為 $\sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42$ ，存在一個因數 1，使得 $\sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2$ ，所以 20 可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數。

## 例子

最小的一些佩服數是：

　
: 12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS 數列 A111592）

以上列出的佩服數都是偶數。最小的**奇佩服數**是 945，同時最小的奇過剩數、奇半完全數也是 945。

前幾個奇佩服數是：

　
: 945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS 數列 A109729）

連續的佩服數比連續的過剩數還要少。在 1012 以下，只有兩組連續佩服數，分別是 (29691198404, 29691198405) 和 (478012798575, 478012798576)。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度，而佩服數的成長率非線性的，例如小於 100 的佩服數有 13 個、小於 1,000 的佩服數有 65 個、小於 10,000 的佩服數有 379 個（OEIS 數列 A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於 3 的質數的六倍都是佩服數，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數。

## 相關的數列

### 盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

　
: 12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS 數列 A153501）

例如 18 的因數有 1、2、3、6、9、18 有一個因數 3，使得 $\left(1+2+3+6+9\right)-3=18$ 。

有這種性質的數最小的奇數是 173369889，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS 數列 A181595），但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundant-perfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如 18 雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義，因此 18 不是佩服數。

### 相容數

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的數叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字 N 和 M，分別各存在一個因數 dN 和 dM，N 將其他不是本身、不是 dN 的因數相加後，再減掉 dN，得到 M、而 M 將其他不是本身、不是 dM 的因數相加後，再減掉 dM，得到 N。

例如 30 和 40：

　
: 30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

　
: 40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

　
: (24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS 數列 A109797）和（OEIS 數列 A109798）

### 虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上 d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

　
: 2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……

例如 10 的因數有 1、2、5、10 有一個因數 2，使得 $(1+2+5)+2=10$

特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficient-perfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己，在這個定義中 1 也符合，因為 1 不含自己的因數和是 0，1 減去零是 1，當然可以整除 1。

最小的幾個虧完全數是：

　
: 1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS 數列 A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

　
: 10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS 數列 A060326）

### 楚姆克勒數

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如 48 的因數可以分為兩組：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24} 和 {2, 12, 48}，其中 1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此 48 是一個楚姆克勒數。

所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是：

　
: 6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS 數列 A083207）

## 參見

* 高合成數
* 完全數
* 婚約數
* 親和數
* 豐數
* 虧數
* 梅森質數
* 半完全數

## 註釋

## 參考文獻

## 外部連結

* Charles R Greathouse IV, Table of n, a (n) for n = 1..10000 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）