伯努瓦·曼德勃罗

**本華・曼德博**（法語：**Benoît B. Mandelbrot**，1924 年 11 月 20 日 —2010 年 10 月 14 日）又譯**伯努瓦・曼德勃羅**、**曼德布洛特**，生於波蘭華沙，法國、美國數學家。幼年隨全家移居法國巴黎，大半生均在美國度過，擁有法國和美國的雙重國籍。曼德博的研究範圍廣泛，從數學物理到金融數學，但他最大的成就則是創立了分形幾何。他創造了「碎形」這個名詞，並且描述了曼德博集合。他也致力於向大眾介紹自己的理論，通過面向普通公眾的著作和演講，使他的研究成果廣為人知。

本華・曼德博是他所用的中文名，在他的耶魯大學個人網頁首頁可以見到。

## 早年生活

1924 年，曼德博生於波蘭華沙的一個猶太人家庭。他們家有著濃厚的學術氣氛，母親是一位牙科醫生，父親則是一名服裝商人，而曼德博的數學啟蒙則是得益於他的數學家叔叔，居於巴黎的佐列姆・芒德勃羅伊（Szolem Mandelbrojt）。1936 年，曼德博 11 歲時，因納粹德國對猶太人的威脅日益加劇，隨全家移居法國巴黎。曼德博就讀於巴黎 Rolin 中學，第二次世界大戰爆發後，全家再次逃往法國蒂勒。在那裡，他受到了居於布里夫拉蓋亞爾德的拉比 David Feuerwerker 的資助，得以繼續他的學業。1944 年，曼德博一家回到了巴黎。他在里昂的昂勒帕克中學學習了一段時間之後，於 1945 年考取了巴黎綜合理工學院，於數學家加斯頓・儒利雅和保羅・皮埃爾・萊維門下學習。1947 年曼德博來到加州理工學院，並於 1949 年獲得航空學碩士學位。曼德博回到法國後，於 1952 年在巴黎大學獲得數學科學博士學位。

1949 年到 1958 年間，曼德博供職於法國國家科學研究中心，在這期間，受約翰・馮・紐曼邀請，在新澤西州普林斯頓的普林斯頓高等研究院存取了一年時間。1955 年，他與阿雷特・卡甘結婚，並遷居到瑞士日內瓦，之後則於里爾大學工作。1958 年，曼德博夫婦移居美國，進入了位於紐約州約克鎮的 IBM 公司托馬斯・J・華生研究中心。他在 IBM 公司擔任 IBM 研究員長達 35 年之久，並於之後成為了榮譽研究員。

## 學術生涯

1951 年後，曼德博的研究範圍不僅限於數學理論，更擴充到了資訊理論、經濟學、流體力學等應用領域。他堅信，重尾現象和自相似性結構作為兩大關鍵詞，能夠解決這些領域中的很多問題。

曼德博發現，金融市場中的價格分布並不服從常態分布，而是服從理論上方差無窮大的穩定分布：例如，相對於 $\alpha =2$ （即為常態分布），棉花價格更接近 $\alpha =1.7$ 的穩定分布。「穩定」分布的性質之一就是 n 個服從穩定分布的獨立同分布的隨機變數之和服從尺度參數更大的穩定分布。

曼德博對宇宙學領域亦有貢獻。1974 年，他從碎形學角度提出了奧伯斯佯謬（夜黑佯謬）的一種新的充分但不必要的解釋。他認為，假定宇宙中恆星的分布是分形集（如康托塵埃），那麼奧伯斯佯謬的解釋就不必依賴大爆炸理論。他的模型沒有把大爆炸理論完全排除在外，但即使大爆炸沒有發生過，仍然可以解釋夜黑現象。

1975 年，曼德博提出了「碎形」一詞用於描述這類結構，並在著作《碎形學：形態，概率和維度》（原書《Les objets fractals, forme, hasard et dimension》，1975 年出版；英譯本《Fractals: Form, Chance and Dimension》，1977 年出版）闡述了他的觀點，同時發展了捷克地理學家、人口學家、統計學家 Jaromír Korčák 在 1938 年發表的論文《兩種類型的統計分布》（原文《Deux types fondamentaux de distribution statistique》，英譯版《Two Basic Types of Statistical Distribution》）中的思想。

1979 年，在哈佛大學作為訪問學者的期間，曼德博開始研究碎形集之一 —— 在複平面上一定變換下具有不變性的朱利亞集合。在加斯頓・朱利亞和皮埃爾・法圖學術成果的基礎上，曼德博利用公式 $f_{c}(z)=z^{2}+c$ 反覆迭代，在電腦上作出了朱利亞集合的圖形。在研究朱利亞集合的拓撲結構是怎樣依賴於復參數 $\mu $ 的同時，他還提出了後來以他的名字命名的曼德博集合（曼德博集合今天常常由 $z^{2}+c$ 定義，因此曼德博早期以 $\mu $ 為參數所作的圖像與後來以 $c$ 為參數所得圖像恰如鏡面反射般左右對稱）。

1982 年，曼德博在《大自然的碎形幾何學》一書中發展並更新了他的理論。此書影響巨大，不但使碎形幾何學得以進入主流數學研究範疇，而且深受業餘讀者的歡迎，更使得之前視碎形學為「人工製造」的批評界啞口無言。

1987 年，曼德博離開了工作 35 年又 12 天的 IBM—— 因為公司決定停止他所在部門的純理論研究。隨後他去了耶魯大學，並於 1999 年獲得了他的第一個終身教職，時年 75 歲。2005 年退休時，曼德博已經是耶魯大學的斯特林數學教授。

## 碎形學和規則粗糙性

雖然曼德博提出了碎形這個新名詞，然而在他的《大自然的碎形幾何學》問世之前，就曾有其他數學家對其中引進的一些數學物件做過描述：它們被認為是稀有的、奇特的，與彼時存在的學術領域幾乎沒什麼聯絡，且具有非自然、非本能的特性。曼德博前無古人地分析了這些現象的共同性質 —— 比如自相似性（線性，非線性，抑或統計學意義上的），尺度不變性，以及（通常的）非整數豪斯多夫維數 —— 將它們聚為同類並抽象為可用的基本工具，從而大大拓寬了科學理論對「不光滑」的真實世界的應用。

曼德博還強調了碎形思想可用於構造實際可行的模型，來類比真實世界中的很多「粗糙的」現象。自然界中的分形集有山脈，海岸線，河流流域的形狀；植物，血管和肺部的結構；星系團；還有布朗運動。碎形幾何在人類藝術和娛樂中亦有出現，如音樂，藝術，建築和股票市場的價格走勢。曼德博相信，碎形幾何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人類創造出的歐氏幾何中各種光滑的研究物件更加直觀和自然：

> 雲不是球體，山不是圓錐體，海岸線不是圓，樹皮不是光滑的，閃電傳播的路徑也不是直線。 
> — 曼德博，《大自然的碎形幾何學》緒論
> 
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曼德博曾被視為一個空想家和標新立異者。他不拘形式熱情洋溢的文風以及對視覺和幾何直觀的看重（大量插圖的使用）使得《大自然的碎形幾何學》對於非專業讀者也有相當可讀性。這本書廣泛激發了人們對碎形學的興趣，同時對混沌理論以及科學和數學的其他領域也有貢獻。

## 逝世

2010 年 10 月 14 日，曼德博因胰腺癌在麻薩諸塞州劍橋的臨終病人安養所逝世，享年 85 歲。他離世之後，數學家海因茨・奧托・佩特根說：「如果要論對數學和科學應用的影響，曼德博實在是 50 年內最重要的人物之一。」克里斯・安德森稱他為「改變人類對世界認識的里程碑式人物」。法國總統薩科齊稱曼德博具有「從不被革新性的、驚世駭俗的猜想所嚇退的強大而富有獨創性的頭腦」。薩科齊還說，「他的研究完全在主流領域之外發展，卻形成了現代資訊理論的雛形」。經濟學人所發曼德博的訃告指出，他是一位「超越學術界的名人」，並將他譽為「碎形學之父」。

## 榮譽

以下是本華・曼德博獲得的各種榮譽的一個不完全的清單：

## 著作

* 《大自然的分形幾何學》（The Fractal Geometry of Nature），1982 年

## 參考資料

## 外部連結

* 曼德博在耶魯大學的個人首頁
* 曼德博在 TED 大會的個人首頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 曼德博在 TED 大會的演講：分形和粗糙的藝術 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）