伴随矩阵

在線性代數中，一個方形矩陣的**伴隨矩陣**（英語：adjugate matrix）是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。

 **$\mathbf {A} $** 的伴隨矩陣記作 $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$ ，或 $\mathbf {A} ^{*}$ 。

## 定義

設 _R_ 是一個交換環，**A** 是一個以 _R_ 中元素為係數的 _n_×_n_ 的矩陣。_A_ 的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

* 定義：**A** 關於第 _i_ 行第 _j_ 列的**餘子式**（記作 **M**ij）是去掉 **A** 的第 _i_ 行第 _j_ 列之後得到的 (_n_ − 1)×(_n_ − 1) 矩陣的行列式。
* 定義：**A** 關於第 _i_ 行第 _j_ 列的**代數餘子式**是：

　
: : $\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$ 。

* 定義：**A** 的**余子矩陣**是一個 _n_×_n_ 的矩陣 **C**，使得其第 _i_ 行第 _j_ 列的元素是 **A** 關於第 _i_ 行第 _j_ 列的**代數餘子式**。

引入以上的概念後，可以定義：矩陣 **A** 的**伴隨矩陣**是 **A** 的余子矩陣的**轉置矩陣**：

　
: $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}$ ，

也就是說，**A** 的**伴隨矩陣**是一個 _n_×_n_ 的矩陣（記作 adj (**A**)），使得其第 _i_ 行第 _j_ 列的元素是 **A** 關於第 _j_ 行第 _i_ 列的**代數餘子式**。
簡言之，伴隨矩陣就是把原來**余子矩陣 C** 每一列的代數餘子式橫著寫：

　
: $\left[\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right]_{ij}=\mathbf {C} _{ji}$ 。

## 例子

### 2x2 矩陣

一個 $2\times 2$ 矩陣 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}$ 的伴隨矩陣是

　
: $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}$

### 3x3 矩陣

對於 $3\times 3$ 的矩陣，情況稍微複雜一點：

　
: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

其伴隨矩陣是：

　
: $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.$

其中

　
: $\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|$

要注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置，因此第 _3_ 行第 _2_ 列的係數是 **A** 關於第 _2_ 行第 _3_ 列的代數餘子式。

### 具體情況

對於數值矩陣，
例如求矩陣 $A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}$ 的伴隨矩陣 $\operatorname {adj} (A)$ ，

只需將數值代入上節得到的表達式中。

即： $\operatorname {adj} (A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})$ 。

其中， $M_{ij}$ 為刪掉矩陣 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式， $C_{ji}$ 為矩陣 $A$ 的餘因子。

 
例如： $\operatorname {adj} (A)$ 中**第 3 行第 2 列**的元素為

　
: $\operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6$

依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是：

　
: $\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}$

## 應用

作為拉普拉斯公式的推論，關於 _n_×_n_ 矩陣 **A** 的行列式，有：

　
: $\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)$

其中 **I** 是 _n_ 階的單位矩陣。事實上，**A** adj(**A**) 的第 _i_ 行第 _i_ 列的係數是

　
: $\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}C_{i,j}$ 。根據拉普拉斯公式，等於 **A** 的行列式。

如果 _i_ ≠ _j_，那麼 **A** adj(**A**) 的第 _i_ 行第 _j_ 列的係數是

　
: $\sum _{k=1}^{n}a_{i;k}C_{j,k}$ 。拉普拉斯公式說明這個和等於 0（實際上相當於把 **A** 的第 _j_ 行元素換成第 _i_ 行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為 0）。

由這個公式可以推出一個重要結論：交換環 _R_ 上的矩陣 **A** 可逆若且唯若其行列式在環 _R_ 中可逆。

這是因為如果 **A** 可逆，那麼

　
: $1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1})$ ，

如果 det (**A**) 是環中的可逆元素那麼公式（\*）表明

　
: $\mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$

## 性質

對 $n\times n$ 的矩陣 **A** 和 **B**，有：

 1. $\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} $ ，
2. $\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$ ，
3. $\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}$ ，
4. $\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}$ ，
5. $\mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )$
6. 當 n>=2 時， $\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} $
7. 如果 **A** 可逆，那麼 $\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}$
8. 如果 **A** 是對稱矩陣，那麼其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果 **A** 是反對稱矩陣，那麼當 _n_ 為偶數時，**A** 的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，_n_ 為奇數時則是對稱矩陣。
9. 如果 **A** 是（半）正定矩陣，那麼其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
10. 如果矩陣 **A** 和 **B** 相似，那麼 $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$ 和 $\mathrm {adj} (\mathbf {B} )$ 也相似。
11. 如果 n>2，那麼非零矩陣 **A** 是正交矩陣若且唯若 $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}$

### 伴隨矩陣的秩

當矩陣 **A** 可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是 _n_。當矩陣 **A** 不可逆時，**A** 的伴隨矩陣的秩通常並不與 **A** 相同。當 **A** 的秩為 _n_-1 時，其伴隨矩陣的秩為 1，當 **A** 的秩小於 _n_-1 時，其伴隨矩陣為零矩陣。

### 伴隨矩陣的特徵值

設矩陣 **A** 在複域中的特徵值為 $\lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$ (即為特徵多項式的 _n_ 個根），則 **A** 的伴隨矩陣的特徵值為

　
: $\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}$ 。

### 伴隨矩陣和特徵多項式

設 $p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )$ 為 $\mathbf {A} $ 的特徵多項式，定義 $q(t)={\frac {p(0)-p(t)}{t}}$ ，那麼：

　
: $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$ ,

其中 $p_{i}$ 是 $p(t)$ 的各項係數：

　
: $p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}$ 。

伴隨矩陣也出現在行列式的導數形式中。

 

## 參見

* 逆矩陣
* 可逆元素
* 余子矩陣
* 行列式

## 參考來源

* Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. _Linear Algebra and its Applications_ 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英語）.
* 居余馬。线性代数 2. 清華大學出版社. 2002 （中文（中國大陸））.

## 外部連結

* 矩陣論參考手冊 (英文)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）