代数数

**代數數**是代數與數論中的重要概念，指任何整係數多項式的複根。

所有代數數的集合構成一個體，稱為**代數數體**（與定義為有理數體的有限擴張的代數數體同名，但不是同一個概念），記作 ${\mathcal {A}}$ 或 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ，是複數體 $\mathbb {C} $ 的子體。

不是代數數的實數稱為超越數，例如圓周率。幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。代數數的集合是可數的，是因為整係數多項式的集合是可數的，代數數的集合是為所有的整係數多項式的解集合的聯集，且可數無限多的可數集的聯集是可數的之故。

## 定義

代數數可以定義為「有理係數多項式的複根」或「整係數多項式的複根」。第一個定義可以具體描述為：

　
: 設 $z$ 為複數。如果存在正整數 $n$ ，以及 $n+1$ 個有理數 $q_{0},q_{1},\cdots ,q_{n}$ ，並且 $q_{n}\neq 0$ ，使得：

　
: $q_{n}z^{n}+\cdots +q_{1}z+q_{0}=0$

　
: 則稱 $z$ 是一個代數數。

這個定義中，由於 $q_{n}z^{n}\cdots +q_{1}z+q_{0}=0$ 可以推出 $a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0$ ，其中整數 $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$ 分別等於 $Mq_{0},Mq_{1},\cdots ,Mq_{n}$ ， $M$ 是 $n+1$ 個有理數 $q_{0},q_{1},\cdots ,q_{n}$ 分母的最小公倍數。所以「存在有理係數多項式使得 $z$ 是其複根」可以推出「存在整係數多項式使得 $z$ 是其複根」。另一方面，由於整數集合是有理數集合的子集，所以「存在整係數多項式使得 $z$ 是其複根」也可以推出「存在有理係數多項式使得 $z$ 是其複根」。這說明兩個定義是等價的。

## 例子

任何有理數 $q$ 都是多項式 $X-q$ 的根，因此每個有理數都是代數數。所有形同 $z=q^{\frac {1}{m}}$ 的無理數也是代數數，因為它是多項式 $X^{m}-q$ 的根。例如 ${\sqrt {2}}$ 和 ${\sqrt[{3}]{3}}$ 是代數數，因為它們分別是方程式 $X^{2}-2=0$ 和 $X^{3}-3=0$ 的根。

黃金比率 $\phi $ 是代數數，因為它是 $X^{2}-X-1=0$ 的根。二次無理數，也就是二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的根，是代數數。虛數單位 $i$ 也是代數數，因為是 $X^{2}+1=0$ 的根。n 次單位根，顧名思義，是 $X^{n}-1=0$ 的根，因此是代數數。高斯整數也是代數數，例如高斯整數 $a+bi$ 是多項式 $X^{2}-2aX+a^{2}+b^{2}$ 的根。

所有規矩數（即可以從單位長度的線段出發，通過尺規作圖法做出的線段的長度數值）都是代數數。因為建立直角坐標系後可以證明，標準的尺規作圖步驟的每一步都相當於計算一個次數不超過 2 的多項式方程式，因此能夠通過有限步做出的線段長度必然是有限個有理係數多項式迭代後得到的多項式的根，從而是代數數。

自然對數的底 $e$ 和圓周率 $\pi $ 都不是代數數。

## 性質

代數數不一定是實數，實數也不一定是代數數。代數數的集合是可數的。證明的方法是將所有整係數的多項式歸類。首先定義 $\mathbb {Z} _{n}[X]$ 為所有 $n$ 次整係數多項式的集合。其次定義 $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]$ 為係數絕對值的和等於 $k$ 的 $n$ 次整係數多項式的集合：

　
: : $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]=\left\{a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n};\;\;a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ,\;a_{n}\neq 0,\;|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|=k\right\}$

 $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]$ 中多項式的任何係數至多有 $2k+1$ 個可能性，最高次項係數至多有 $2k$ 個可能性，因此這樣的多項式個數不超過 $2k(2k+1)^{n}$ 。每個多項式至多有 $n$ 個根。如果將所有 $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]$ 中多項式的根的集合記為 ${\mathcal {A}}_{n}^{k}$ ，則 ${\mathcal {A}}_{n}^{k}$ 的元素個數不超過 $2nk(2k+1)^{n}$ ，即為有限集。

整係數多項式的集合 $\mathbb {Z} [X]$ 可以寫為常數多項式和 $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]$ 的聯集：

　
: : $\mathbb {Z} [X]=\mathbb {Z} \bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+},k\in \mathbb {Z} ^{+}}\mathbb {Z} _{n}^{k}[X].$

而常數多項式沒有根。所以，任一代數數必然是某個 $\mathbb {Z} _{n}^{k}[X]$ 中的多項式的根，即屬於 ${\mathcal {A}}_{n}^{k}$ 。反之任何 ${\mathcal {A}}_{n}^{k}$ 中的元素按定義必然是代數數。因此代數數的集合 ${\mathcal {A}}$ 也可以寫為所有 ${\mathcal {A}}_{n}^{k}$ 的聯集：

　
: : ${\mathcal {A}}=\bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+},k\in \mathbb {Z} ^{+}}{\mathcal {A}}_{n}^{k}.$

而 $\mathbb {Z} ^{+}\times \mathbb {Z} ^{+}$ 是可數集。集合 ${\mathcal {A}}$ 是可數個有限集的聯集，因此是可數的。

由於代數數的集合 ${\mathcal {A}}$ 是可數集，因此在複數平面上，代數數集合的勒貝格測度為零。在此意義上，可以說「幾乎所有」的複數都不是代數數。

給定一個代數數 z，在所有以 $z$ 為根的有理係數多項式中，存在唯一的一個首一多項式，其次數小於等於任何其他以 $z$ 為根的多項式。這個多項式稱為極小多項式。如果極小多項式的次數為 $n$ ，則稱該代數數為 $n$ 次代數數。一次的代數數就是有理數。

所有的代數數都是可計算數，因此是可定義數。

## 代數數體

兩個代數數的和、差、積與商（約定除數不為零）也是代數數。可以驗證，裝備了有理數的加法、乘法運算的代數數集合 ${\mathcal {A}}$ 構成一個體，有時也記為 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ 。每一個係數為代數數的多項式方程式的根也是代數數。因此，代數數體是代數封閉體。實際上，它是含有有理數體的最小的代數封閉體，稱為有理數體的代數閉包。

## 由根式定義的數

任何可以從整數或有理數通過有限次四則運算和正整數次開方運算得到的數都是代數數。反之則不成立：有些代數數不能用這種方法得出，這些代數數是次數為 5 次或超過 5 次的多項式的根。這是伽羅瓦理論的結果（參見五次方程式和阿貝爾 - 魯菲尼定理）。一個例子是 $x^{5}-x-1=0\,$ 的唯一實根（大約為 $1.167303978261418684256\,$ ）。

## 代數整數

**代數整數**是任何整係數首一多項式的根。顯然代數整數是代數數的一部分，但代數數不全是代數整數。所有整數都是代數整數，其餘的有理數則不是代數整數。代數整數的集合記作 $\mathbb {A} $ ，是代數數的子集。在某些上下文中，為了與代數整數區別，整數也被稱作有理整數。

兩個代數整數的和、差與積也是代數整數，這就是說，裝備了整數的加法、乘法運算的代數整數集合構成了一個環，因此 $\mathbb {A} $ 代數中也被稱為代數整數環。

## 參考文獻

* Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991, ISBN 0-13-004763-5, MR1129886
* Ireland, Kenneth; Vosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics **84** Second, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1990, ISBN 0-387-97329-X, MR1070716
* G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) _An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition_, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
* Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 4th, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Orestein Ore 1948, 1988, _Number Theory and Its History_, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)