作用量

在物理學裏，**作用量**（英語：**action**）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。

## 歷史

皮埃爾・德・費馬於 1662 年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

戈特弗里德・萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於 1682 年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744 年，皮埃爾・莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747 年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德・歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是 $\int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!$ 。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫・拉格朗日、威廉・哈密頓、理察・費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

## 概念

微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於古典力學中的一個單獨粒子、關於古典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

## 作用量形式

在古典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

### 作用量（泛函）

最常見的作用量是一個泛函 ${\mathcal {S}}\,\!$ ，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在古典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點 $t_{1}\,\!$ ， $t_{2}\,\!$ 之間廣義座標 $\mathbf {q} (t)\,\!$ 的演變。

作用量 ${\mathcal {S}}\,\!$ 定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量 $L\,\!$ 對於時間的積分：

　
: ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!$ 。

根據哈密頓原理，正確的演化 $\mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!$ 要求平穩的作用量 ${\mathcal {S}}\,\!$ （最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。

### 簡略作用量（泛函）

**簡略作用量**也是一個泛函，通常標記為 ${\mathcal {S}}_{0}\,\!$ 。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量 ${\mathcal {S}}_{0}\,\!$ 定義為廣義動量 $\mathbf {p} \,\!$ 沿著路徑的積分：

　
: ${\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!$ ；

其中， $\mathbf {q} \,\!$ 是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量 ${\mathcal {S}}_{0}\,\!$ 是平穩的。

### 哈密頓主函數

　
: 主條目：哈密頓主函數。

**哈密頓主函數**是由哈密頓 - 雅可比方程式定義的。哈密頓 - 雅可比方程式是古典力學的另一種表述。哈密頓主函數 $S\,\!$ 與泛涵 ${\mathcal {S}}\,\!$ 有密切的關係。固定住初始時間 $t_{1}\,\!$ 和其對應的座標點 $\mathbf {q} _{1}\,\!$ ；而准許時間上限 $t_{2}\,\!$ 和其對應的座標點 $\mathbf {q} _{2}\,\!$ 的改變。取 $t_{2}\,\!$ 和 $\mathbf {q} _{2}\,\!$ 為函數 $S\,\!$ 的參數。換句話說，作用量函數 $S\,\!$ 是拉格朗日量對於時間的不定積分：

　
: $S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!$ 。

更加地，可以證明 $\mathbf {P} \,\!$ 是某常數向量 $\mathbf {a} \,\!$ 。所以，

　
: $S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!$ 。

### 哈密頓特徵函數

　
: 主條目：哈密頓特徵函數。

假若，哈密頓量 $H\,\!$ 是守恆的；

　
: $H=\alpha \,\!$ ；

其中， $\alpha \,\!$ 是常數。

設定**哈密頓特徵函數** $W\,\!$ 為

　
: $W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!$ 。

則哈密頓特徵函數 $W\,\!$ 是一個作用量。

更加地，

　
: ${\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!$ 。

對於時間積分：

　
: $W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!$ 。

這正是簡略作用量的方程式。

### 哈密頓 - 雅可比方程式的其他解

　
: 主條目：哈密頓 - 雅可比方程式。

哈密頓 - 雅可比方程式是古典力學的一種表述。假若，哈密頓 - 雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數 $S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!$ 分出的每一個項目 $S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!$ 也稱為 "作用量"。

### 作用量 - 角度座標

　
: 主條目：作用量 - 角度座標。思考一個作用量 - 角度座標的廣義動量變數 $J_{k}\,\!$ ，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：

　
: $J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!$ 。

這變數 $J_{k}\,\!$ 稱為廣義座標 $q_{k}\,\!$ 的作用量；相應的正則座標是**角度** $w_{k}\,\!$ 。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數 $q_{k}\,\!$ 被用來積分。作用量 $J_{k}\,\!$ 等於，隨著 $q_{k}\,\!$ 沿著閉路徑， $S_{k}(q_{k})\,\!$ 的改變。應用於幾個有趣的物理系統， $J_{k}\,\!$ 或者是常數，或者改變非常地慢。因此， $J_{k}\,\!$ 時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。

### 哈密頓流作用量

參閱重言 1 形式。

## 數學導引

哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點 $t_{1}\,\!$ 、 $t_{2}\,\!$ 的運動是正確運動，則作用量泛函 ${\mathcal {S}}\,\!$ 的一次變分 $\delta {\mathcal {S}}\,\!$ 為零。用數學方程式表示，定義作用量為

　
: ${\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!$ 。

其中， $L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$ 是系統的拉格朗日函數，廣義座標 $\mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!$ 是時間的函數。

假若， $\mathbf {q} (t)\,\!$ 是系統的正確運動，則 $\delta {\mathcal {S}}=0\,\!$ 。

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設 $\mathbf {q} (t)\,\!$ 是系統的正確運動，讓 ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!$ 成為一個微擾 $\delta \mathbf {q} \,\!$ ；微擾在軌道兩個端點的值是零：

　
: ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!$ 。

取至 ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!$ 的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

　
: $\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!$ 。

這裏，將拉格朗日量 $L\,\!$ 展開至 ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!$ 的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目，

　
: $\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!$ 。

邊界條件 ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!$ 使第一個項目歸零。所以，

　
: $\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!$ 。

要求作用量泛函 ${\mathcal {S}}\,\!$ 平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾 ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!$ ，一次變分 $\delta {\mathcal {S}}\,\!$ 必須等於零：

　
: $\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!$ 。

請注意，還沒有對廣義座標 $\mathbf {q} (t)\,\!$ 做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：

　
: ${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!$ 。

在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於廣義座標 $q_{k}\,\!$ 的廣義動量 $p_{k}\,\!$ ，又稱為**共軛動量**，定義為

　
: $p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!$ 。

假設 $L\,\!$ 不顯性地跟廣義座標 $q_{k}\,\!$ 有關，

　
: ${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!$ ，

則廣義動量 $p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!$ 是常數。在此種狀況，座標 $q_{k}\,\!$ 稱為**循環座標**。舉例而言，如果用極座標系 $(r,\ \theta ,\ h)\,\!$ 來描述一個粒子的平面運動，而 $L\,\!$ 與 $\theta \,\!$ 無關，則廣義動量是守恆的角動量。

## 參閱

* 拉格朗日力學
* 哈密頓力學
* 諾特定理
* 愛因斯坦 - 希爾伯特作用量
* 最小作用量原理

## 外部連結

* [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Edwin F. Taylor 加了註釋的參考書目。
* 最小作用量原理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）非常好地互動解釋。

## 參考文獻

* Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7. 這領域最常引用的參考書。
* 列夫・朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0. 這本書一開始就講解最小作用量原理。
* Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
* Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
* Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
* Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。