伴随映射

在數學中，一個李群 _G_ 的**伴隨表示**（adjoint representation）或**伴隨作用**（adjoint action）是 _G_ 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 _G_ 在自身上的共軛作用的線性化形式。

## 正式定義

設 _G_ 是一個李群， ${\mathfrak {g}}$ 是它的李代數（我們將其等價於 _G_ 中恆同元素的切空間 _T_e_G_）。利用方程 $\Psi (g)=\Psi _{g}$ 對 _g_ 屬於 _G_，定義一個映射

　
: $\Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,$

這里 $\mathrm {Aut} (G)$ 是 _G_ 的自同構群而自同構 $\Psi _{g}$ 定義為

　
: $\Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,$ 對所有 _h_ 屬於 _G_。

從而 Ψg 在恆同處的微分是李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg：

　
: $\mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,$

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 是 ${\mathfrak {g}}$ 的一個保持李括號的線性變換。映射

　
: $\mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$

將 _g_ 映為 Adg 稱為 **G** 的**伴隨表示**（adjoint representation）。這確實是 _G_ 的一個表示因為 $\mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ 是 $\mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})$ 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 _G_ 的維數相同。

### 李代數的伴隨表示

我們可以由李群 _G_ 的一個表示通過在恆同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

　
: $\mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,$

給出李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的**伴隨表示**：

　
: $\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,$

這里 $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ 是 $\mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ 的李代數，可以與 ${\mathfrak {g}}$ 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

　
: $\mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,$

對所有 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 成立。詳情請見李代數的伴隨表示。

## 例子

* 如果 _G_ 是一個 _n_ 維阿貝爾群，_G_ 的伴隨表示是 _n_ 維平凡表示。
* 如果 _G_ 是一個矩陣李群（即 GL (_n_,**C**) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 _n_×_n_ 矩陣代數（即 ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ 的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(_x_) = _gxg_−1 給出。
* 如果 _G_ 是 SL2(**R**)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），_G_ 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 _G_ 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

## 性質

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

_G_ 在伴隨映射下的像記為 AdG。如果 _G_ 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 _G_ 的中心。從而，如果 _G_ 中心平凡，則連通李群 _G_ 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 _G_ 不連通，伴隨映射的核是 _G_ 的單位分支 _G_0 的中心化子。由第一同構定理我們有

　
: $\mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,$

## 半單李群的根

如果 _G_ 半單，伴隨表示的非零權組成一個根系。為了說明這是怎麼回事，考慮特例 _G_=SLn(**R**)。

我們可取對角矩陣 diag (_t_1,...,_t_n) 的群是 _G_ 的極大環面 _T_。用 _T_ 中元素的共軛作用為

　
: ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.$

從而 _T_ 在 _G_ 的李代數的對角部分上的作用平凡，在非對角元素上有本徵向量 _t_i_t_j-1。_G_ 的根是權 
diag (_t_1,...,_t_n)→_t_i_t_j-1。這是 _G_=SLn(**R**) 的根系作為 _e_i−_e_j 形式的向量集合的標準描述之說明。

## 變體與類比

伴隨表示也能對任何域上的代數群定義。

**餘伴隨表示**（co-adjoint representation）是伴隨表示的逆步表示。亞歷山大・卡里洛夫（Alexandre Kirillov）觀察到任何向量在餘伴隨表示中的軌道是一個辛流形。按照表示論中稱之為**軌道方法**的哲學（另見卡里洛夫特徵標公式（Kirillov character formula）），一個李群 _G_ 的不可約表示應該以某種方式用其餘伴隨表示標記。這種關係在冪零李群時最密切。

## 參考

* Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics **129**, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6
* Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics **222**, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0