估计理论

**估計理論**是統計學和信號處理中的一個分支，主要是通過測量或經驗數據來估計概率分布參數的數值。這些參數描述了實質情況或實際對象，它們能夠回答估計函數提出的問題。

例如，估計投票人總體中，給特定候選人投票的人的比例。這個比例是一個不可觀測的參數，因為投票人總體很大；估計值建立在投票者的一個小的隨機採樣上。

又如，雷達的目的是物體（飛機、船等）的定位。這種定位是通過分析收到的回聲（回波）來實現的，定位提出的問題是「飛機在哪裡？」為了回答這個問題，必須估計飛機到雷達之間的距離。如果雷達的絕對位置是已知的，那麼飛機的絕對位置也是可以確定的。

在估計理論中，通常假定信息隱藏在包含雜訊的信號中。噪聲增加了不確定性，如果沒有不確定性，那麼也就沒有必要估計了。

## 使用估計理論的領域

有非常多的領域使用參數估計理論。這些領域包括（當然不局限於以下列出的領域）:

* 信號處理
  * X 射線斷層成像
  * 腦電圖
  * 心電圖
  * 核磁共振
  * 醫學超聲波掃描術
  * 雷達、聲納、地震學 —— 物件的定位
  * 噪聲方差
  * 參數化（例如周期圖和相關圖譜）分析
  * 非參數化（例如 MUSIC、Root-MUSIC 和 ESPRIT）譜分析
  * 維納濾波
  * 粒子濾波器
* 臨床試驗
* 民意調查
* 質量控制
* 通訊
  * 信道參數
  * DC 增益（請看下邊的例子）
* 控制理論
  * 卡爾曼濾波
  * 隨時間改變的執行器（英文：Actuator）
* 網絡入侵偵查系統

測量參數包含噪聲或者其他不確定性。通過統計概率，可以求得最優化的解，用來從數據中提取儘可能多的信息。

## 估計過程

估計理論的全部目的都是獲取一個估計函數，最好是一個可以實現的估計函數。估計函數輸入測量數據，輸出相應參數的估計。

我們通常希望估計函數能最優，一個最優的估計意味著所有的信息都被提取出來了；如果還有信息沒有提取出來，那就意味著它不是最優的。

一般來說，求估計函數需要三步：

* 為了實現一個預測單個或者多個參數的所期望的估計器，首先需要確定系統的模型。這個模型需要將需要建模的過程以及不確定性和和噪聲融合到一起，這個模型將描述參數應用領域的物理場景。
* 在確定模型之後，需要確定估計器的限制條件。這些限制條件可以通過如 Cramér-Rao 不等式這樣的方法找到。
* 下一步，需要開發一個估計器或者應用一個已知的對於模型有效的估計器。這個估計器需要根據限制條件進行測試以確定它是否是最優估計器，如果是的話，它就是最好的估計器。
* 最後，在估計器上運行試驗或者仿真以測試性能。

當實現一個估計器之後，實際的數據有可能證明推導出估計器的模型是不正確的，這樣的話就需要重複上面的過程重新尋找估計器。不能實現的估計器需要拋棄，然後開始一個新的過程。總的來說，估計器根據實際測量的數據預測物理模型的參數。

## 基礎

對於給定模型，估計器需要若干統計 "成分" 才能實現。第一，統計樣本從長度為 N 的隨機向量（Random Variable，RV）中採樣獲得，觀測值構成向量：

　
: $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x[0]\\x[1]\\\vdots \\x[N-1]\end{bmatrix}}.$

第二，有 M 個參數：

　
: ${\boldsymbol {\theta }}={\begin{bmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{M}\end{bmatrix}},$

它們的值需要被估計。第三，用於生成連續數據的概率密度函數（Probability density function，PDF）或離散數據的概率質量函數（Probability mass function，PMF）以參數值為條件（這些概率函數潛在存在），即條件概率為：

　
: $p(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }}).\,$

參數自身可能也存在概率分布（如貝葉斯統計），此時就需要定義貝葉斯概率：

　
: $\pi ({\boldsymbol {\theta }}).\,$

模型形成後，目標是估計參數，估計的參數通常表示為 ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ ，其中 ${\hat {\cdot }}$ 表示估計值。

常用的估計器包括最小均方誤差（Minimum mean squared error，MMSE）估計器，它利用了估計參數和參數實際值之間的誤差：

　
: $\mathbf {e} ={\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\boldsymbol {\theta }}$

作為優化的基礎。該誤差項平方的期望對 MMSE 估計器來說是最小的。

## 估計函數（估計子）

以下是一些相關的估計函數以及相關的主題

* 最大似然估計（Maximum likelihood estimation，簡稱 MLE）
* 貝葉斯估計器（Bayes estimator）
* 矩估計（Method of moments estimators，簡稱 MME）
* Cramér-Rao 界
* 最小二乘法（Least squares）
* 最小均方差（Minimum mean squared error，簡稱 MMSE）
* 最大後驗概率（Maximum a posteriori probability，簡稱 MAP）
* 最小方差無偏估計（Minimum variance unbiased estimator，簡稱 MVUE）
* 非線性系統識別（Nonlinear system identification）
* 最佳線性非偏估計（BLUE）
* 非偏估計，見偏差 (統計學)。
* 粒子濾波器（Particle filter）
* 馬爾可夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，簡稱 MCMC）
* 卡爾曼濾波
* 維納濾波

## 例子：高斯白噪聲中的直流增益

考慮由 $N$ 個獨立採樣點構成的離散信號 $x[n]$ ，它由常數 $A$ 和零均值、方差為 $\sigma ^{2}$ 的加性高斯白噪聲 $w[n]$ （即 ${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ ）構成。方差已知，未知參數為 $A$ 。

信號的模型為：

　
: $x[n]=A+w[n]\quad n=0,1,\dots ,N-1$

參數 $A$ 的兩個可能的估計器是：

 * ${\hat {A}}_{1}=x[0]$
* ${\hat {A}}_{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$ ，即採樣平均（Sample mean）

通過計算兩個估計器的期望可以發現，它們的均值均為 $A$ ：

　
: $\mathrm {E} \left[{\hat {A}}_{1}\right]=\mathrm {E} \left[x[0]\right]=A$

和

　
: $\mathrm {E} \left[{\hat {A}}_{2}\right]=\mathrm {E} \left[{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right]={\frac {1}{N}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {E} \left[x[n]\right]\right]={\frac {1}{N}}\left[NA\right]=A$

兩個估計器的均值沒有差異，然而它們的方差不同：

　
: $\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{1}\right)=\mathrm {var} \left(x[0]\right)=\sigma ^{2}$

和

　
: $\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{2}\right)=\mathrm {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right)={\frac {1}{N^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {var} (x[n])\right]={\frac {1}{N^{2}}}\left[N\sigma ^{2}\right]={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

當 $N>1$ 時， $\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{1}\right)<\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{2}\right)$ ，所以似乎採樣平均 ${\hat {A}}_{2}$ 是一個更好的估計器。

### 最大似然估計

使用最大似然估計繼續上面的例子，噪聲在採樣點 $w[n]$ 上的概率密度函數（pdf）為：

　
: $p(w[n])={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}w[n]^{2}\right)$

此時 $x[n]$ 的概率為（ $x[n]$ 服從分布 ${\mathcal {N}}(A,\sigma ^{2})$ ）：

　
: $p(x[n];A)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x[n]-A)^{2}\right)$

由於相互獨立， $\mathbf {x} $ 的概率為：

　
: $p(\mathbf {x} ;A)=\prod _{n=0}^{N-1}p(x[n];A)={\frac {1}{\left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)^{N}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}\right)$

對上式取自然對數：

　
: $\ln p(\mathbf {x} ;A)=-N\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}$

於是最大似然估計器為：

　
: ${\hat {A}}=\arg \max \ln p(\mathbf {x} ;A)$

計算對數 - 最大似然函數的一階導數：

　
: ${\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)\right]={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]$

令其為 0：

　
: $0={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA$

得到最大似然估計器：

　
: ${\hat {A}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$

它是一個簡單的採樣平均。從這個例子中可以發現，被獨立同分布的加性高斯白噪聲污染的、由未知常數構成的 $N$ 點信號的最大似然估計其就是採樣平均。

### Cramér-Rao 下限

為了找到採樣平均估計器的 Cramér-Rao 下限（CRLB），需要找到 Fisher information 數

　
: ${\mathcal {I}}(A)=\mathrm {E} \left(\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]^{2}\right)=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]$

從上面得到

　
: ${\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]$

取二階導數

　
: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}(-N)={\frac {-N}{\sigma ^{2}}}$

發現負的期望值是無關緊要的（trivial），因為它現在是一個確定的常數

$$
-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]={\frac {N}{\sigma ^{2}}}
$$

最後，將 Fisher information 代入

　
: $\mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {1}{\mathcal {I}}}$

得到

　
: $\mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

將這個值與前面確定的採樣平均的變化比較顯示對於所有的 $N$ 和 $A$ 來說採樣平均都是_等於_ Cramér-Rao 下限。

採樣平均除了是最大似然估計器之外還是最小變化無偏估計器（MVUE）。

這個直流增益 + WGN 的例子是 Kay 的_統計信號處理基礎_中一個例子的再現。

## 相關書籍

* _Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory_ by Steven M. Kay (ISBN 0-13-345711-7)
* _An Introduction to Signal Detection and Estimation_ by H. Vincent Poor (ISBN 0-38-794173-8)
* _Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part 1_ by Harry L. Van Trees (ISBN 0-47-109517-6; website)

## 參見

* 偏差
* 檢測理論
* 資訊理論
* 最大似然估計
* 矩方法
* 最小均方差（MMSE）
* 最大後驗概率（MAP）
* 卡爾曼濾波
* 維納濾波
* 最小平方頻譜分析法（LSSA）