倒空间

**倒易點陣**（英語：reciprocal lattice），又稱**倒（易）晶格**、**倒（易）格子**，是物理學中描述空間波函數的傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性，倒晶格描述的是動量空間，亦可認為是 k 空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格（正晶格）。

## 數學描述

### 一維晶格

對於以 ${\boldsymbol {a}}$ 為基矢的一維晶格，其倒格子的基矢為

　
: ${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

### 二維晶格

對於以 $({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}})$ 為基矢的二維晶格，定義其二維平面法線向量為 ${\boldsymbol {n}}$ ，其倒格子的基矢為

　
: ${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}})}}$

　
: ${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

### 三維晶格

對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 $({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$ ，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢 $({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$

　
: ${\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}})}}$

　
: ${\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}$

　
: ${\boldsymbol {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}}{{\boldsymbol {a_{3}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}})}}$

### 倒晶格與正晶格的關係

倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係

　
: ${\boldsymbol {a_{i}}}\cdot {\boldsymbol {b_{j}}}=2\pi \delta _{ij}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}$

定義三維中的倒晶格向量 **G**

　
: $\mathbf {G} =h{\boldsymbol {b_{1}}}+k{\boldsymbol {b_{2}}}+l{\boldsymbol {b_{3}}}$

其中 (h,k,l) 為密勒指數，向量 **G** 的模長與正晶格的晶面間距有以下關係

　
: $\mathbf {|G_{hkl}|} ={\frac {2\pi }{d_{hkl}}}$

向量 **G** 和正晶格向量 **R** 有以下關係

　
: $\mathbf {R} =c_{1}{\boldsymbol {a_{1}}}+c_{2}{\boldsymbol {a_{2}}}+c_{3}{\boldsymbol {a_{3}}}$

　
: $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {G\cdot R} }=1$

三維倒晶格中的晶胞體積 ΩG 和正晶格的晶胞體積 Ω 有以下關係

　
: $\Omega _{G}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}$

## 倒晶格的物理意義

在此以一維晶格為例。在一個以 ${\boldsymbol {a}}$ 為基矢的一維晶格中，其波函數應該為布洛赫波

　
: $\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

定義其倒晶格向量

　
: ${\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots $

　
: ${\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}$

　
: ${\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n$

以及一個函數

　
: ${\begin{alignedat}{2}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}$

由於 $u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$ 是一個布洛赫波包，滿足

　
: $u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})$

所以

　
: $u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})$

也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質

　
: ${\begin{aligned}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi _{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}$

可見，倒晶格向量 **G** 描述了波函數在以 **k** 為基矢的動量空間（k 空間）內的周期性。其向量單位，即倒晶格的基矢 ${\boldsymbol {b_{i}}}$ 是描述 k 空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位，即倒晶格的晶胞，稱為第一布里淵區。由于波矢 **k** 和動量與波函數對應的能量密切相關，在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。

## 倒晶格與晶體衍射

晶體衍射滿足布拉格定律

　
: ${\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d_{n}}}\\\end{alignedat}}$

定義入射波波矢為 ${\boldsymbol {k}}$ ，則上述公式可變換為

　
: ${\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\\mathbf {|G_{hkl}|} ={\cfrac {2\pi }{d_{hkl}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|\mathbf {G} |\\\end{array}}$

因此滿足布拉格定律的晶體衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

進一步將以上公式轉化為向量形式，定義入射波波矢為 ${\boldsymbol {k_{i}}}$ ，反射波波矢為 ${\boldsymbol {k_{o}}}$ ，可以得到

　
: ${\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k_{o}}}-{\boldsymbol {k_{i}}}=\mathbf {G} $

這個形式也和勞厄方程式相符。

晶體衍射的想法也可以用來解釋能帶結構中，為什麼能量的分布是不連續的。

## 常見布拉菲晶格的倒晶格

### 簡單立方晶體

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}=a{\hat {x}}$

　
: ${\boldsymbol {a_{2}}}=a{\hat {y}}$

　
: ${\boldsymbol {a_{3}}}=a{\hat {z}}$

體積為

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}=a^{3}$

可推得倒晶格的素格子基矢

　
: ${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi  \over a}{\hat {x}}$

　
: ${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi  \over a}{\hat {y}}$

　
: ${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi  \over a}{\hat {z}}$

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 $2\pi  \over a$ 。

### 面心立方晶體 (FCC)

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

體積為

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 4}$

可推得倒晶格之素格子基矢

　
: ${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi  \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi  \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi  \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

### 體心立方晶體 (BCC)

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)$

體積為

　
: ${\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 2}$

可推得倒晶格之素格子基矢

　
: ${\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi  \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi  \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)$

　
: ${\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi  \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在布拉菲晶格中，三軸互為九十度的 $({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},{\boldsymbol {a_{3}}})$ (立方，正方，斜方) 的晶體結構，是很容易被證明其倒晶格空間之三軸 $({\boldsymbol {b_{1}}},{\boldsymbol {b_{2}}},{\boldsymbol {b_{3}}})$ 與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

## 參閱

* 晶體學
* 對偶空間
* 電子衍射
* 埃瓦爾德球（英語：Ewald's sphere）
* 密勒指數（英語：Miller index）
* 布里淵區

## 外部連結

* （英文）http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
* （英文）DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）