倍立方问题

**倍立方**是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的著名問題，和三等分角、化圓為方問題被並列為古希臘尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。倍立方問題的內容是：

 **「能否用尺規作圖的方法作出一立方體的稜長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍？」** 

倍立方問題的實質是能否通過尺規作圖從單位長度出發作出 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的問題。

三大難題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾・汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，三等分角問題的答案是否定的。運用類似的方法，可以證明倍立方問題的答案同樣是否定的。具體來說，給定單位長度後，所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而如果能夠作出 ${\sqrt[{3}]{2}}$ ，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規作圖作出給定立方體體積兩倍的立方體是不可能的。

如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，作出給定立方體體積兩倍的立方體是可行的。

## 背景簡介

### 相關傳說

傳說中，這問題的來源，可追溯到公元前 429 年。一場瘟疫襲擊了希臘提洛島（Delos），造成四分之一的人口死亡。島民們去神廟請示阿波羅的旨意，神諭說：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了 8 倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的 2 倍，但形狀卻變為一個長方體…… 第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。 

開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗，覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等於已知正方形的 2 倍，那麼作一個正方體，使它的體積等於已知正方體體積的 2 倍，還會難嗎？

### 尺規作圖法

在敘述倍立方問題前，首先需要介紹尺規作圖。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

　
: 直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

　
: 圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，將兩個端點同時移動，或者只固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，確定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
* 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」，等等。

### 問題敘述

倍立方問題的完整敘述是：

如果將給定線段的長度定為單位長度，則倍立方問題實質上就是要作出長度為單位長度的 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 倍的線段。

### 倍平方

與倍立方問題相比，倍平方問題要簡單得多。給定一個單位長度的線段，只需做一個以它為邊長的正方形，以正方形的對角線為邊長的正方形，面積就是 2. 也即是說，尺規作圖可以作出長度為單位長度的 ${\sqrt {2}}$ 倍的線段。然而， ${\sqrt[{3}]{2}}$ 和 ${\sqrt {2}}$ 雖然形狀相近，卻有本質性的區別。數學家們直到十九世紀後，才從群論和域論的工具中了解了這個區別。

## 不可能性的證明

### 倍立方不可能性的證明

證明使用反證法。倍立方問題是指已知單位長度 1，要作出 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的長度。反設 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 可以作出，說明它是一個規矩數。所以域擴張的階數 $[\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]$ 應該是 2 的冪次。然而， $z={\sqrt[{3}]{2}}$ 的最小多項式是：

　
: $z^{3}-2=0$

這說明域擴張 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 的階數是 3，不是 2 的冪次，這與先前的結論矛盾。所以，用尺規方法無法作出一個立方體，使得它的體積是已知立方體的兩倍。

## 倍立方的方法

如果放寬條件，比如使用有刻度的直尺（二刻尺）或摺紙等，則倍立方是有可能的：

### 二刻尺作圖

1. 作一個邊長為 1 的等邊三角形 ABC。
2. 把 AB 延長，作線 AD ，使得 BD = 1。
3. 把 BC 延長，作線 BE。
4. 把 D 和 C 相連並延長，作線 DF。
5. 利用直尺上的刻度，作線 AGH，使得 GH = 1 ，其中 G 和 H 分別在 DF 和 BE 之上。
6. AG 的長度就是 ${\sqrt[{3}]{2}}$ ，作圖完畢

#### 證明

由 $\angle CBD=120^{\circ },{\overline {BC}}={\overline {BD}}$

得

　
: $\angle BCD=30^{\circ },\angle ACG=90^{\circ }$

又根據餘弦定理

$$
{\overline {CD}}={\sqrt {{\overline {BC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}-2{\overline {BC}}\cdot {\overline {BD}}cos\angle CBD}}={\sqrt {3}}
$$

現在設 ${\overline {AG}}=x$ ，則 ${\overline {CG}}={\sqrt {x^{2}-1}}$ 由孟氏定理

　
: ${\frac {\overline {DB}}{\overline {BA}}}\cdot {\frac {\overline {AH}}{\overline {HG}}}\cdot {\frac {\overline {GC}}{\overline {CD}}}=1$

可得

　
: ${\frac {(x+1){\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {3}}}=1$

兩邊平方後整理

　
: $(x+1)^{2}(x^{2}-1)-3$

　
: $=x^{4}+2x^{3}-2x-4$

　
: $=(x+2)(x^{3}-2)=0$

此方程式有唯一正實根

　
: $x={\sqrt[{3}]{2}}$

### 摺紙

將一張正方形紙折三等份留下痕跡之後，點 P 折向正方形的邊 AB，並且點 P 的位置要使得左三等分點 Q 折到與右三等分線重合。此時有 ${\frac {\overline {PB}}{\overline {AP}}}={\sqrt[{3}]{2}}$ 。

#### 證明

將圖中左邊被折的點命名為 C，以及 AB 邊上右三等分點命名為 D。

設正方形連長為 1 以及 AC 長度為 $x$ ，則有 CP 長度為 $1-x$ ，AP 長度通過勾股定理為 ${\sqrt {1-2x}}$ ；另一方面 PQ 長度為 ${\frac {1}{3}}$ ，PD 長度為 ${\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}$ 。

根據相似三角形（ $\triangle ACP\sim \triangle DPQ$ ），可以得到方程：

　
: ${\frac {x}{1-x}}={\frac {{\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}}{\frac {1}{3}}}$

取其正根解得 $x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$ ，又由於 PB 長度為 $1-{\sqrt {1-2x}}$ ，於是代入 $x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$ 得 ${\frac {1-{\sqrt {1-2x}}}{\sqrt {1-2x}}}={\sqrt[{3}]{2}}$ ，證畢。

## 相關條目

* 三等分角
* 化圓為方
* 蔓葉線

## 參考來源

 

## 外部連結

* HPM 通訊第 6 卷第 6 期，3 大作圖題 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用其他曲線）用尺規作圖，來求解倍立方問題。