体_(数学)

在抽象代數中，**體**（德語：Körper，英語：Field）是一種具有加法跟乘法的集合（代數結構），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，**體**正是**數體**以及四則運算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是環的一種。但區別在於體要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p 進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois 理論，由 ÉvaristeGalois 在 1830 年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中 Galois 理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程式不能有公式解的問題。

## 正式定義

給定集合 $K$ ，它具有了以下兩種二元運算：

 * $+:K\times K\to K$ （其中 $+(a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a+b$ ）
* $\times :K\times K\to K$ （其中 $\times (a,\,b)$ 慣例上簡記為 $a\times b$ 或 $a\cdot b$ 甚至是 $ab$ ）

滿足：

 1. $\left(K,\,+\right)$ 為交換群，且其單位元素為 $0_{K}$ 。
2. $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 為交換群。
3. 分配律：對所有 $a,\,b,\,c\in K$ ， $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$ 。

那稱「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 為體」，加法跟乘法不重要的時候，亦可將 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 簡稱為 $K$ 。

### 慣用符號與稱呼

(1) 體的代號：

有時會基於德語 Körper ，以字母 $K$ 代稱體，但也會基於英語 Field 以 $F$ 代稱。

(2) 加法與乘法：

習慣上， $\times $ 被稱為**乘法**， $\left(K-\{0_{K}\},\,\times \right)$ 的單位元素會記為 $1_{K}$ ，並稱為 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 的**乘法單位元素**。

類似地， $+$ 被稱為**加法**， $0_{K}$ 被稱為體的**加法單位元素**。所以在省略括弧後，仍依照**先乘後加**的方式閱讀。

(3) 減法與除法：

對於任意 $a,\,b\in K$ ，會依據群的習慣，將 $a$ 的加法反元素記做 $-a$ ，並將 $b+(-a)$ 簡記為 $b-a$ ，並可暱稱為**減法**。

類似地，若 $a\neq 0_{K}$ ， $a$ 的乘法反元素記做 ${\frac {1}{a}}$ ，並將 $b\times {\frac {1}{a}}$ 簡記為 ${\frac {b}{a}}$ ，並可暱稱為**除法**。

## 基本性質

以上的定理也證明了，只要 $\left(K,\,+\right)$ 為交換群且有分配律，就足以決定 $0_{K}$ 相關乘法的值。所以正式定義中把 $0_{K}$ 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

* 體 _F_ 中的所有非零元素的集合（一般記作 _F_×）是一個關於乘法的阿貝爾群。_F_× 的每個有限子群都是循環群。
* 若存在正整數 _n_ 使得 0 = 1 + 1 + ... + 1（_n_ 個 1），那麼這樣的 _n_ 中最小的一個稱為這個體的**特徵**，特徵要麼是一個質數 _p_，要麼是 0（表示這樣的 _n_ 不存在）。此時 $F$ 中最小的子體分別是 $\mathbb {Q} $ 或有限體 $\mathbb {F} _{p}$ ，稱之為 $F$ 的**素體**。
* 一個交換環是體若且唯若它的理想只有自身和零理想。
* 在選擇公理成立的假設下，對每個體 _F_ 都存在著唯一的一個體 _G_（在同構意義上），_G_ 包含 _F_，_G_ 是 _F_ 的代數擴張，並且 _G_ 代數封閉。_G_ 稱作由 _F_ 確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構並不是唯一的，因此又說 _G_ 是 _F_ 的一個代數閉包。

## 例子

* 許多常見的數體都是體。比如說，全體複數的集合 $\mathbb {C} $ 與其加法和乘法構成一個體。全體有理數的集合 $\mathbb {Q} $ 與其加法和乘法也是一個體，它是 $\mathbb {C} $ 的**子體**，並且不包含更小的子體了。
* 代數數體：代數數體是有理數體 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張體，也就是說代數數體是 $\mathbb {Q} $ 上的有限維向量空間。代數數體都同構於 $\mathbb {C} $ 的子體，並且這個同構保持 $\mathbb {Q} $ 不變，即這個同構把每個有理數都映射到它自身。代數數體是代數數論研究的物件。
* 代數數構成的體：所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個體，記作 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ 。 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ 是有理數體 $\mathbb {Q} $ 的代數閉包（見下）。 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ 是特徵為零的代數封閉的體的一個例子。
* 全體實數的集合 $\mathbb {R} $ 對於加法和乘法構成一個體。實數體是複數體 $\mathbb {C} $ 的子體，也是一個有序體。後者使得實數體上能夠建立起微積分理論。
* 所有的實代數數的集合也構成一個體，它是 $\mathbb {R} $ 的一個子體
* 任意一個有限體的元素個數是一個質數 q 的乘方，一般記作 **F**q，就是所謂的伽羅瓦體。任意一個元素個數是質數 q 的體都同構於 **Z**/_p_**Z** = {0, 1, ..., _p_− 1}。令 _p_ = 2, 就得到最小的體：**F**2。**F**2 只含有兩個元素 0 和 1，運算法則如下：
* 設 _E_ 和 _F_ 是兩個體，_E_ 是 _F_ 的子體，則 _F_ 是 _E_ 的 **擴張體**。設 _x_ 是 _F_ 中的一個元素，則存在著一個最小的同時包含 _E_ 和 _x_ 的 _F_ 的子體，記作 _E (x)_，_E (x)_ 稱作 _E_ 在 _F_ 中關於 _x_ 的**單擴張**。比如說，複數體 $\mathbb {C} $ 就是實數體 $\mathbb {R} $ 在 $\mathbb {C} $ 中關於虛數單位 _i_ 的單擴張
* 每一個有乘法單位元素的環 _R_ 都對應著一個包含它的體，稱為它的分式體，記作 _K_(_R_)。分式體的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類，再將環「嵌入」其中（詳見分式體）。可以證明，_K_(_R_) 是包含 _R_ 的「最小」的體。
* 設 _F_ 是一個體，定義 _F (X)_ 是所有以 _F_ 中元素為係數的分式的集合，則 _F (X)_ 是 _F_ 的一個擴張體。_F (X)_ 是 _F_ 上的一個無窮維的向量空間，這是體的超越擴張的一個例子。
* 設 _F_ 是一個體，_p_(_X_) 是多項式環 _F_[_X_] 上的一個不可約多項式，則商環 _F_[_X_]/<_p_(_X_)> 是一個體。其中的 <_p_(_X_)> 表示由 _p_(_X_) 生成的理想。舉例來說，**R**[_X_]/<_X_2 + 1 > 是一個體（同構於複數體 $\mathbb {C} $ ）。可以證明，_F_ 的所有單擴張都同構於此類形式的體。
* 若 _V_ 是體 _F_ 上的一個代數簇，則所有 _V → F_ 的有理函數構成一個體，稱為 _V_ 的**函數體**。
* 若 _S_ 是一個黎曼曲面，則全體 _S → C_ 的亞純函數構成一個體。
* 由於序數的類不是集合，因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的體。但它滿足體的所有條件，且其任意封閉子集（如小於 $2^{2^{n}}$ 的所有自然數構成的子集）都是體。

## 有限體

有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道 $\mathbb {F} _{2}$ 為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素 $1\neq 0$ 。

通常來說，最簡單的質數階體，就是 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}$ ，在這個體上的加法與乘法等同於在整數 $\mathbb {\mathbb {Z} } $ 上的運算，然後除以 n，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，如果說這個 n 為質數，通常我們將這個體記作 $\mathbb {F} _{p}$ 。

如果我們將向量空間 ${\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}$ ，則我們將 V 稱作有限體向量空間，其中 $n=\dim {\mathit {V}}$ ，可知這個向量空間中，有 $p^{n}$ 個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是 $GL_{n}(\mathbb {F} _{p})$ ，則此矩陣的元素有 $(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})$

## 歷史

歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念：第一個是解多項式方程式的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於 1770 年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程式的根 _x_1, _x_2, _x_3 的置換，在以下的表達

(_x_1 + ω_x_2 + ω2_x_3)3

(其中 ω 是三次方程式的單位根) 只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內・德爾・費羅 和 弗朗索瓦・韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程式關於未知 _x_ 到一個 _x_3 的二次方程式。四次方程式上也和三次方程式一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在 1770 年有著更全面的延伸。

## 建構體

## 伽羅瓦理論

請參見伽羅瓦理論

## 體的不變數

## 應用

## 參見

* 特徵 (代數)
* 環論
* 體論
* 有序體

## 參考文獻