体电流密度

在電磁學裏，**電流密度**（current density）是電荷流動的密度，即每單位截面面積電流量。電流密度是一種向量，一般以符號 $\mathbf {J} $ 表示。採用國際單位制，電流密度的單位是安培／米 2（ampere/meter2，A/m2）。

## 定義

**電流密度** _J_ 可以簡單地定義為通過單位面積 _A_（國際單位：m2）的電流 _I_（國際單位：A）。它的量值由極限給出：

　
: $J=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I(A)}{A}}$

當電流密度作為向量 **J** 時，在曲面 _S_ 上進行曲面積分後，再對持續時間 _t_1 到 _t_2 積分，得到 (_t_2 − _t_1) 這段時間流過該面的電荷總量：

　
: $q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t$

計算通量所用到的面積可實可虛，可平可曲，可為截面也可為表面。例如，對於通過導體的載流子來說，這裡遇到的面積是導體的截面。

## 重要性

對於電力系統和電子系統的設計而言，電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關，而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如，隨著積體電路的尺寸越變越小，雖然較小的元件需要的電流也較小，為了要達到晶片內含的元件數量密度增高的目標，電流密度會趨向於增高。更詳盡細節，請參閱莫耳定律。

在高頻頻域，由於趨膚效應，傳導區域會更加侷限於表面附近，因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的電阻是有限的正值，會以熱能的形式消散功率。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒，並且防止絕緣材料遭到損壞，電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高，材料與材料之間的互連部分會開始移動，這現象稱為電遷移（electromigration）。在超導體裡，過高的電流密度會產生很強的磁場，這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察，可以用來探測固體內在的物理性質，包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域，材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論，來解釋很多機要的實驗觀察。

安培力定律描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安培力定律的一個重要參數，

## 計算電流密度

### 自由電流

大自然有很多種載有電荷的粒子，稱為「帶電粒子」，例如，導電體內可移動的電子、電解液內的離子、電漿內的電子和離子、強子內的夸克。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：

　
: $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=qn(\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)$ ；

其中， $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ 是在位置 $\mathbf {r} $ 、在時間 $t$ 的電流密度向量， $q$ 是帶電粒子的電荷量， $n(\mathbf {r} ,t)$ 是帶電粒子密度，是單位體積的帶電粒子數量， $\rho (\mathbf {r} ,t)$ 是電荷密度， $\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)$ 是帶電粒子的平均漂移速度。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為

　
: $\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} $ ；

其中， $\mathbf {E} $ 是電場， $\mathbf {J} $ 是電流密度， $\sigma $ 是電導率，是電阻率的倒數。

　
:

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

　
: $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')$ ；

其中， $\mathbf {r} '$ 和 $t'$ 分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率 $\sigma $ 在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的線性響應函數（linear response function）推導。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當 $\Delta t<0$ 時， $\varepsilon _{r}(\Delta t)=0$ ，則這積分的上限可以延伸至無窮大：

　
: $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')$ 。

做一個對於時間與空間的傅立葉變換，根據摺積定理，可以得到

　
: $\mathbf {J} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )$ ；

其中， $\sigma (\mathbf {k} ,\omega )$ 是參數為波向量 $\mathbf {k} $ 和角頻率 $\omega $ 的電導率複函數。

許多物質的電導率是張量，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

## 穿過曲面的電流

穿過曲面 $\mathbb {S} $ 的電流 $I$ 可以用面積分計算為

　
: $I=\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$ ；

其中， $\mathbf {J} $ 是電流密度， $\mathrm {d} \mathbf {a} $ 是微小面元素。

## 連續方程式

由於電荷守恆，從某設定體積流出的電流的淨流量，等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達，

　
: $\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }{\rho \ \mathrm {d} r^{3}}=-\ \int _{\mathbb {V} }{\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)\mathrm {d} r^{3}}$ ；

其中， $\rho $ 是電荷密度， $\mathrm {d} r^{3}$ 是微小體元素， $\mathbb {V} $ 是閉曲面 $\mathbb {S} $ 所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面 $\mathbb {S} $ 所包圍的體積 $\mathbb {V} $ 流出來，中間和右邊的體積分的負號表示，隨著時間的前進，體積內部的電荷量逐漸減少。

根據散度定理，

　
: $\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}$ 。

所以，

　
: $\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} r^{3}$ 。

注意到對於任意體積 $\mathbb {V} $ ，上述方程式都成立。所以，兩個被積式恆等：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {J} =-\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ 。

稱這方程式為連續方程式。

## 參閱

* 霍爾效應
* 量子霍爾效應
* 超導現象
* 漂移速度

## 參考文獻