代數學

**代數**是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程式理論、代數結構等等都是代數學的研究對象。

初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。

代數的研究對象不僅是數字，還有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。

 

## 歷史

代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數的方法來做計算。經由此系統的被使用，他們能夠列出含有未知數的方程式並求解，這些問題在今日一般是使用線性方程式、二次方程式和不定線性方程式等方法來解答的。相對地，這一時期大多數的埃及人及西元前 1 世紀大多數的印度、希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的，如在《萊因德數學紙草書》、《繩法經》、《幾何原本》及《九章算術》等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作，以_幾何原本_為其經典，提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程式之更一般的系統之架構。

代數的英語為 algebra ，源於阿拉伯語單字「_al-jabr_」，出自《代數學》（阿拉伯語：al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala）這本書的書名上，意指_移項和合並同類項之計算的摘要_，其為波斯回教數學家花拉子米於 820 年所著。_Al-Jabr_ 此詞的意思為「_重聚_」。傳統上，希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」，但現在則有些爭論，是否花拉子米比丟番圖更適合此稱號。支持花拉子米的人指出其對於約化的成果到今日都還有用途，且他更給出了一個解答二次方程式的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在 _Al-Jabr_ 裡出現的代數比在 _Arithmetica_ 裡出現的更為基本，且 _Arithmetica_ 是簡字的而 _Al-Jabr_ 卻完全是文辭的。另一位波斯數學家歐瑪爾・海亞姆發展出代數幾何，且找出了三次方程式的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世傑解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程式的解了。

代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程式的一般代數解，其發展於 16 世紀中葉。行列式的概念發展於 17 世紀的日本數學家關孝和手中，並於十年後由萊布尼茲繼續發展著，其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾・克拉默也在 18 世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於 19 世紀，一開始專注在今日稱為伽羅瓦理論及規矩數的問題上。

### 發展歷程

符號代數發展的階段可大致區分如下：

* 文辭代數，其發展於巴比倫時期，且直至 16 世紀都還維持著其主流的地位；
* 幾何建構代數，被吠陀時期和古典希臘數學家們所強調著；
* 簡字代數，由丟番圖所發展並寫於巴赫沙里手稿中；及
* 符號代數，在萊布尼茲時期達到尖峰。

代數數個關鍵的發展的時間軸，表述如下：

* 西元前 1800 年左右，舊巴比倫斯特拉斯堡泥板書中記述其尋找著二次橢圓方程式的解法。
* 西元前 1600 年左右，_普林頓 322 號泥板書_中記述了以巴比倫楔形文字寫成的畢氏三元數列表。
* 西元前 800 年左右，印度數學家包德哈亞那在其著作_包德哈爾那繩法經_中以代數方法找到了畢氏三元數，給出了線性方程式和如 $ax^{2}=c$ 與 $ax^{2}+bx=c$ 等形式之二次方程式的幾何解法，且找出了兩組丟番圖方程式組的正整數解。
* 西元前 600 年左右，印度數學家阿帕斯檀跋在其著作 ' 阿帕斯檀跋繩法經_中給出了一次方程式的一般解法和使用多達五個未知數的丟番圖方程組。_
* 西元前 300 年左右，在幾何原本的第二卷裡，歐幾里德給出了有正實數根之二次方程式的解法，使用尺規作圖的幾何方法。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。
* 西元前 300 年左右，倍立方的幾何解法被提了出來。現已知道此問題無法使用尺規作圖求解。
* 西元前 100 年左右，中國數學書《九章算術》中處理了代數方程式的問題，其包括用試位法解線性方程式、二次方程式的幾何解法及用相當於現今所用之消去法來解線性方程組。還應用一次內插法。
* 西元前 100 年左右，寫於古印度的巴赫沙里手稿中使用了以字母和其他符號寫成的代數標記法，且包含有三次與四次方程式，多達五個未知道的線性方程式之代數解，二次方程式的一般代數公式，以及不定二次方程式與方程組的解法。
* 西元 150 年左右，希臘化埃及數學家希羅在其三卷數學著作中論述了代數方程式。
* 200 年左右，希臘化巴比倫數學人丟番圖，他居住於埃及且常被認為是「代數之父」，寫有一本著名的_算術_，此書為論述代數方程式的解法及數論之作。
* 不晚於 473 年，《孫子算經》提出中國餘數定理。
* 499 年，印度數學家阿耶波多在其所著之_阿耶波多書_裡以和現代相同的方法求得了線性方程式的自然數解，描述不定線性方程式的一般整數解，給出不定線性方程組的整數解，而描述了微分方程式。
* 600 年劉焯編制《皇極曆》曾用等間距內插法。
* 625 年左右，中國數學家王孝通在《緝古算經》找出了三次方程式的數值解。
* 628 年，印度數學家婆羅摩笈多在其所著之_梵天斯普塔釋哈塔_中，介紹了用來解不定二次方程式的宇宙方法，且給出了解線性方程式和二次方程式的規則。他發現二次方程式有兩個根，包括負數和無理數根。
* 724 年，僧一行用不等間距內插法計算《大衍曆》
* 820 年，_代數 (algebra)_ 導源於一個運算，其描述於波斯數學家花拉子米所著之完成和平衡計算法概要中對於線性方程式與二次方程式系統性的求解方法。花拉子米常被認為是「代數之父」，其大多數的成果簡化後會被收錄在書籍之中，且成為現在代數所用的許多方法之一。
* 850 年左右，波斯數學家 al-Mahani 相信可以將如加倍立方體問題等幾何問題變成代數上的問題。
* 850 年左右，印度數學家摩訶吠羅解出了許多二次、三次、四次、五次及更高次方程式，以及不定二次、三次和更高次方程式的解。
* 990 年左右，波斯阿爾卡拉吉在其所著之 _al-Fakhri_ 中更進一步地以擴展花拉子米的方法論來發展代數，加入了未知數的整數次方及整數開方。他將代數的幾何運算以現代的算術運算代替，且定義了單項式 $x$ 、 $x^{2}$ 、 $x^{3}$ 、… 和 $1/x$ 、 $1/x^{2}$ 、 $1/x^{3}$ 、… 等並給出上述任兩個相乘的規則。
* 1050 年左右，中國數學家賈憲用賈憲三角形找到了多項式方程式的數值解。
* 1072 年，波斯數學家歐瑪爾・海亞姆發展出來代數幾何，且在 _Treatise on Demonstration of Problems of Algebra_ 中給出了可以以圓錐曲線相交來得到一般幾何解之三次方程式的完整分類。
* 1090 年左右，北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中給出高階等差級數的和。
* 1114 年，印度數學家婆什迦羅在其所著之_代數學'_ 中，認知到一正數會有正負兩個平方根，且解出一個以上未知數的二次方程式、許多三次、四次及更高次多項式方程式、佩爾方程式、一般的不定二次方程式，以及不定三次、四次及更高次方程式。
* 1150 年，婆什迦拉在其所著之 _Siddhanta Shiromani_ 中解出了微分方程式。
* 1202 年，代數傳到了歐洲，斐波那契所著的計算之書對此有很大的貢獻。
* 1247 年南宋數學家秦九韶在《數書九章》中用秦九韶算法（即「霍納法算法」）解一元高次方程式。
* 1248 年，金朝數學家李冶的《測圓海鏡》利用天元術將大量幾何問題化為一元多項式方程式，是一部幾何代數化的代表作。
* 1300 年左右，中國數學家朱世傑處理了多項式代數，發明四元術解答了多達四個未知數的多項式方程組，發明非線性多元方程式的消去法，將相關多項式進行乘法、加法和減法運算，逐步消去，將多元非線性方程組化為單個未知數的高次多項式方程式；並以數值解出了 288 個四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、和十四次次多項式方程式。朱世傑發展了垛積術，給出多種高階等差級數求和公式。
* 1400 年左右，印度數學家瑪達瓦找到了以重複來求超越方程式的解法，求非線性方程式解的疊代法及微分方程式的解法。
* 1515 年，費羅求得了沒有兩次項之三次方程式的解。
* 1535 年，塔爾塔利亞求得了沒有一次項之三次方程式的解。
* 1545 年，卡爾達諾出版了_大術_一書，書中給出了各種三次方程式的解法和其學生費賴瑞對一特定四次方程式的解法。
* 1572 年，拉斐爾・邦貝利認知到三次方程式中的複根並改進了當時流行的符號。
* 1591 年，法蘭索瓦・韋達出版了_分析方法入門_一書，書中發展出了更為良好的符號標記，在未知數不同的次方上。並且使用母音來表示未知數而子音則用來表示常數。
* 1631 年，湯瑪斯・哈里奧特在其死後的出版品中使用了指數符號且首先以符號來表示「大於」和「小於」。
* 1682 年，萊布尼茲發展出他稱做_一般性特徵 (characteristica generalis)_ 之形式規則的符號操作概念。
* 1683 年，日本數學家關孝和在其所著之 _Method of solving the dissimulated problems_ 中發明了行列式、判別式及伯努利數。
* 1685 年，關孝和解出了三次方程式的通解，及一些四次與五次方程式的解。
* 1693 年，萊布尼茲使用矩陣和行列式解出了線性方程組的解。
* 1750 年，加布里爾・克拉默在其所著之 _Introduction to the analysis of algebraic curves_ 中描述了克萊姆法則且研究了代數曲線、矩陣和行列式。
* 1830 年，伽羅瓦理論在埃瓦裡斯特・伽羅瓦對抽象代數的工作中得到發展。

## 分類

* 初等代數：學習以位置標誌符 (place holders) 標記常數和變數的符號，與掌控包含這些符號的表示式及方程式式的法則，來記錄實數的運算性質。（通常也會涉及到_中等代數_和_大學代數_的部分範圍。）
* 抽象代數：討論代數結構的性質，例如群、環、域等。這些代數結構是在集合上定義運算而來，而集合上的運算則適合某些公理。
* 線性代數：專門討論矢量空間，包括矩陣的理論。
* 泛代數，討論所有代數結構的共有性質。
* 計算代數：討論在電腦上進行數學的符號運算的演算法。

## 初等代數

**初等代數**是代數中最基本的一種類型。其教導對象為假定不具有對算術基本原則之類的數學知識之學生。雖然在算術裡，只有數和其算術運算（如加、減、乘、除）會出現；而在代數，數則通常會以 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 、 $x$ 、 $y$ 等符號來標記，表達式則會以 $f(x)$ 、 $g(x)$ 、 $f(g(x))$ 、 $f(x_{1},x_{2})$ 等符號來標記。這是很有用的，因為：

* 它允許對算術定理之一般性公式的描述（如 $\forall a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} ,a+b=b+a$ ），且此為對實數性質做系統性描述的第一步。
* 它允許指涉未知數、將方程式公式化及學習如何去解答（如「找一數 $x$ ，使其 $3x+1=10$ 的方程式成立）。
* 它允許將函數關係公式化（如「若你賣了 $x$ 張票，則你將獲利 $(3x-10)$ 元，亦即 $f(x)=3x-10$ ，其中 $f$ 為其函數，且 $x$ 為此函數輸入的值。」）。

## 抽象代數

**抽象代數**將基本代數和數的算術中的一些相似概念延廣成更一般的概念。

**集合**：不單只考量數的不同類型，抽象代數處理更為一般的概念－_集合_：一群稱為元素之物件的聚集。所有相似類型的數都是一種集合。另一些集合的例子有所有兩階方陣組成之集合、所有兩次多項式組成的集合、所有平面的二維向量所組之集合、及如如整數同餘 $n$ 的群之循環群等各種有限群。集合論是邏輯的一個分支且技術上不屬於代數的一種分支。

**二元運算**：加法 $+$ 的概念被抽象化成了一種_二元運算_，稱之為 \*。對於在集合 $S$ 內的兩個元素 $a$ 和 $b$ ， $a*b$ 會給出集合內的另一個元素（技術上，此條件稱之為封閉性）。加法 $+$ 、減法 $-$ 、乘法 $\times $ 、除法 $\div $ 都是二元運算，且矩陣、向量及多項式等之加法和乘法也是二元運算。

**單位元素**：零和一兩個數被抽象化成**單位元素**的概念。零是加法的單位元素而一則是乘法的單位元素。對於一任意的二元運算 \*，單位元素 $e$ 必須得滿足 $a*e=a$ 和 $e*a=a$ 兩個條件。其在加法中為 $a+0=a$ 和 $0+a=a$ ，而在乘法中則為 $a\times 1=a$ 和 $1\times a=a$ 。但若取正自然數和加法，則其不存在有單位元素。

**反元素**：負數導致出了_反元素_的概念。對加法而言， $a$ 的反元素為 $-a$ ，而對乘法而言，其反元素則為 $1/a$ 。一通常之反元素 $a^{-1}$ 必須滿足 $a*a^{-1}=e$ 和 $a^{-1}*a=e$ 之性質。

**結合律**：整數的加法有一稱為結合律的性質。亦即，數相加的順序不影響其總和。例如： $\left(2+3\right)+4=2+\left(3+4\right)$ 。一般化地，其可以被寫成 $(a*b)*c=a*(b*c)$ 。此一性質在大多數的二元運算中存在著，但不包括減法和除法。

**交換律**：整數的加法有一稱為交換律的性質。亦即，數被加的順序不影響其總和。例如： $2+3=3+2$ 。一般化地，其可以被寫成 $a*b=b*a$ 。只有一些二元運算擁有此一性質。其在整數的加法和乘法上成立，但在矩陣乘法上則不成立。

### 群

結合上面的概念可給出在數學中最重要的結構之一：群。群為一個集合 $S$ 和一二元運算 \* 之結合，使其可有如下性質：

* 此運算是封閉的：若 $a$ 和 $b$ 為 $S$ 之元素，則 $a*b$ 也會是。

　
: : 實際上，提及此性質是很多餘的，因為每一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但封閉性經常被強調為群的一種性質。

* 存在單位元素 $e$ ，使得對每個於 $S$ 內的元素 $a,e*a$ 和 $a*e$ 都會等同於 $a$ 。
* 每一元素都存在一反元素：對每一於 $S$ 內的元素 $a$ ，存在一元素 $a^{-1}$ ，使得 $a*a^{-1}$ 和 $a^{-1}*a$ 都會等同於單位元素。
* 此運算是可結合的：若 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 為 $S$ 的元素，則 $(a*b)*c$ 會等同於 $a*(b*c)$ 。

若一群亦為可交換的－即對任兩個於 $S$ 內的元素 $a$ 和 $b,a*b$ 會等同於 $b*a$ －則此群稱為阿貝爾群。

例如，加法的運算下之整數集合為一個群。在此一群中，其單位元素是 $0$ 且其任一元素 $a$ 的反元素為其負數 $-a$ 。其有關結合律的要求亦是吻合的，因為對任何整數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ 。

非零有理數會形成一個於乘法下的群。在此，其單位元素為 $1$ ，當對於任一有理數 $a$ ， $1\times a=a\times 1=a$ 。 $a$ 的反元素為 ${\frac {1}{a}}$ ，當 $a\times {\frac {1}{a}}=1$ 。

但無論如何，於乘法運算下的整數不會形成一個群。這是因此一整數的乘法反元素通常不會是一個整數。例如， $4$ 是一個整數，但其乘法反元素為 $1/4$ ，不為一個整數。

群的理論被學習於群論中。此一理論的一主要成果為有限簡單群分類，主要發表於 1955 年至 1983 年之間，其目的在於將所有的有限簡單群分類至約 30 種的基本類型中。

半群、擬群和么半群是類似於群的結構，但更具一般性。它們由一個集合和一個封閉二元運算所組成，但不必然滿足其他條件。半群有一_結合_二元運算，但沒有單位元素。么半群是一有單位元素但可能沒有每個元素之反元素的半群。擬群滿足任一元素皆以一唯一的前或後運算轉換成另一元素，但此一二元運算可能不具結合律。

所有的群都是么半群，且所有的么半群都是半群。

### 環和體－具兩個二元運算的結構

群只有一個二元運算。但為了完整說明不同類型的數之行為，具兩個運算子的結構是需要的。其中最重要的為環和體。

**分配律**廣義化了數中的_分配律_，且要求其運算子運算時應採之順序（稱為優先權）。對於整數而言， $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ 且 $c\times (a+b)=c\times a+c\times b$ ，而且 $\times $ 稱之此於 + 上是_可分配_的。

**環**有兩個二元運算 $+$ 和 $\times $ ，其中 $\times $ 於 $+$ 上是可分配的。在第一個運算 $+$ 下，它會形成一個_阿貝爾群_。而在第二個運算 $\times $ 下，其為結合的，但不需要有一單位元素或反元素，所以除法是不被允許的。其加法 $+$ 單位元素寫成 $0$ ，而其 $a$ 的加法反元素則寫成 $-a$ 。

整數是環的一個例子。其有使其為一**整環**的額外性質。

**體**是一具有在運算 $\times $ 下，除了 $0$ 的所有元素會形成一_阿貝爾群_之額外性質的環。其乘法 $\times $ 單位元素寫成 $1$ ，而其 $a$ 的乘法反元素則寫成 $a^{-1}$ 。

有理數、實數和複數都是體的例子。

## 代數

**代數**一詞亦可用來稱呼不同的代數結構，包含有：

* 交換環上的代數
* 集合上的代數
* 布林代數
* 範疇論內的 F - 代數和 F - 對偶代數
* Σ 代數

## 參見

* 代數基本定理
* 電腦代數系統

## 參考文獻

* Donald R. Hill, _Islamic Science and Engineering_ (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, _Introducing Mathematics_ (Totem Books, 1999).
* George Gheverghese Joseph, _The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics_ (Penguin Books, 2000).
* John J O'Connor and Edmund F Robertson, _MacTutor History of Mathematics archive_ (University of St Andrews, 2005).
* _Algebra Help_（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Online algebra tutorials.
* Highlights in the history of algebra
* Explanation of Basic Topics
* I.N. Herstein: _Topics in Algebra_. ISBN 0-471-02371-X
* R.B.J.T. Allenby: _Rings, Fields and Groups_. ISBN 0-340-54440-6

## 外部連結

* Sparknotes' Review of Algebra I and II（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* ExampleProblems.com（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Example problems and solutions from basic（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and abstract（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） algebra.
* Purplemath.com "Your Algebra Resource"（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* What Is Algebra?（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Online Algebra Graphing Calculator - WebGraphing.com（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Step by step algebra problem solver - algebrasolver.com（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Algebra Basics from kwizNET Learning System（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）