伽罗瓦理论基本定理

**伽羅瓦理論基本定理**是抽象代數中的定理，通過群的概念來描述特定體擴張的細緻結構。定理說明了，如果某個體擴張 L/K 是有限伽羅瓦擴張，則此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域（即子擴張 K⊂F⊂L 中的 F）之間有一一對應關係。

## 簡介

伽羅瓦理論最初研究的目標是域上多項式方程式的根式通解問題。18 世紀時，數學家已經知道，任意的二次方程式、三次方程式和四次方程式可以通過配方法開方求解。但對五次以上的多項式方程式，一直沒有發現通用的根式求解方法。19 世紀初，伽羅瓦和阿貝爾創造了群論，將多項式的不同根之間的關係用群來表示，從而揭示了多項式的根的根本性質:8-9。

從阿廷起，數學家開始使用體擴張的理論，更嚴謹地表述伽羅瓦的理論，先將多項式的性質轉化為體擴張中的性質，然後通過研究體擴張對應的自同構群，利用群論的知識來解析體擴張的結構，從而對多項式及其根的性質進行更深刻的刻畫:52。

給定體擴張 L/K，L 上的自同構里，在 K 上平凡（即為恆等映射）的環自同構稱為 L 中的 K-自同構。所有 L 中的 K-自同構組成一個群，稱為體擴張 L/K 的 K-自同構群，簡記為 Aut(_L/K_)。K-自同構在 K 上是恆等映射，因此不屬於 K 的元素在 K-自同構的作用下仍被映射到不屬於 K 的元素上:15-16。

如果存在 L/K 的子擴張 K⊂F⊂L，則 L/F 的 F-自同構也構成一個群：Aut(_L/F_)。它是 Aut(_L/K_) 的子群，因為在 F 平凡的自同構必然也在其子體 K 上平凡:18。反過來，給定 Aut(_L/K_) 的某個子群 H，則可以定義群作用的不動點集合：

　
: $L^{H}:=\{x\in L;\;\forall \tau \in H,\;\tau (x)=x\}$

可以證明，這個集合是一個域，稱為子群 H 的不變域。它是 K 的擴張體，是 L 的子體，即是 L/K 的中間域:18。顯然

　
: $K\subset L^{\mathrm {Aut} (L/K)}.$

一個自然的猜想是：_K_ = _L_Aut(_L/K_)，即所有不屬於 K 的元素，都會在某個 K-自同構的作用下被映射到其他的元素上去。然而這個命題只對特定的體擴張成立:20-21。

如果某個不屬於 K 的元素 a 是 K 上的代數元，設其為某個 K-多項式 f 的根，則 a 在 L 中任一個 K-自同構 τ 的作用下的像仍是 f 的一個根:16。事實上，如果設：

　
: $f=\lambda _{0}+\lambda _{1}X+\cdots +\lambda _{k}X^{k},\;\,\lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in K,\;\,f(a)=0,$

那麼

　
: $0=\tau (0)=\tau (f(a))=\tau (\lambda _{0}+\lambda _{1}a+\cdots +\lambda _{k}a^{k})=\lambda _{0}+\lambda _{1}\tau (a)+\cdots +\lambda _{k}\tau (a)^{k}=f(\tau (a)).$

這說明，K-自同構將 K-多項式的根進行重新排列:17。因此，對 K-自同構的研究可以幫助了解 K-多項式的根。

為了討論多項式的根，引入正規擴張的概念。給定一個體擴張 L/K，任一 K-不可約多項式如果有一個根在 L 中，那麼全部根都在 L 中。這樣的擴張稱為正規擴張:29:108。正規擴張中，K-自同構可以將多項式的根映射到它的任意其他根上。因此，對 L 中任一個不屬於 K 的元素，都有 K-自同構將其映射到它的極小多項式的任意其他根上:130。另外再假定任意元素的極小多項式都沒有重根（這樣的擴張稱為可分擴張:42）。這時，一個 K-自同構或某些 K-自同構組成的群的不動點集合將和 K-多項式的根產生密切聯繫。這樣的體擴張稱為伽羅瓦擴張:42。若 L/K 是伽羅瓦擴張，它的 K-自同構群稱為伽羅瓦群，記作 Gal(_L/K_):125。當 L/K 是有限擴張時，伽羅瓦群是有限群，其元素個數等於體擴張的次數，並且有 _K_ = _L_Aut(_L/K_):51-52。而伽羅瓦理論基本定理更進一步，給出了 Gal(_L/K_) 的子群和 L/K 的中間域的對應關係。

## 對應關係

從前述中已經知道，給定 Aut(_L/K_) 的某個子群 H，其不變域：

　
: $L^{H}:=\{x\in L;\;\forall \tau \in H,\;\tau (x)=x\}$

是 L/K 的一個中間域。給定中間域 F，則 Aut(_L/F_) 是 Aut(_L/K_) 的子群。如果 L/K 是有限的伽羅瓦擴張，那麼伽羅瓦理論基本定理說明，L/K 的伽羅瓦群 Gal(_L/K_) 的子群與 L/K 的中間域之間有一一對應關係:51：

　
: 對伽羅瓦群 Gal(_L/K_) 的每一個子群 H，唯一對應一個中間域，即其不變域： $H\longrightarrow L^{H}$

　
: 對體擴張 L/K 的每一個中間域，唯一對應一個群： $F\longrightarrow \mathrm {Gal} (L/F),$ 它是 L/K 的伽羅瓦群 Gal(_L/K_) 的子群。

這兩種敘述是互洽的，也就是說:162-163，

　
: $\forall H\subset \mathrm {Gal} (L/K),\;\mathrm {Gal} (L/L^{H})=H.$

　
: $\forall K\subset F\subset L,\;L^{\mathrm {Gal} (L/F)}=F.$

### 基本性質

中間域與伽羅瓦群的子群之間有一個反向的包含對應關係：如果伽羅瓦群的某個子群 _H_1 是另一個子群 _H_2 的子群，那麼 _H_1 對應的中間域 _L_H1 是 _H_2 對應的中間域 _L_H2 的擴張體:51。

伽羅瓦群的子群的元素個數，以及它在伽羅瓦群中的指數，和對應的中間域相關的擴張體的次數相同。如果 H 是 Gal(_L/K_) 的子群，那麼 |_H_| = [_L_ : _LH_]，[Gal(_L/K_) : _H_] = [_LH_ : _K_]:51。

給定伽羅瓦擴張 L/K 的中間域 F 和 L 中的 K-自同構 σ，則 σ 作用在 F 上得到的像集 $\sigma (F):=\{\sigma (x);\;x\in F\}$ 也是一個中間域。設 F 對應的伽羅瓦群子群是 H，則中間域 σ(F) 對應的子群是 σHσ-1。如果 F/K 是正規擴張，則對於任意的 K-自同構 σ，_σ_(_F_) = _F_。這也說明對於任意的 K-自同構 σ，σHσ-1 = _H_。這樣的子群 H 稱為正規子群。體擴張 F/K 是正規擴張若且唯若其對應的子群 _H_ = Gal(_L/F_) 是正規子群。對於正規子群 H，可以定義 Gal(_L/K_) 對 H 的商群 _G_ = Gal(_L/K_)/_H_。這個商群和 Gal(_F/K_) 是同構的:51-52。

## 例子

### 克萊因四元群

從有理數體 $K=\mathbb {Q} $ 出發。設擴張體 $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ 。L 是在有理數體中添加根號 2 與根號 3 得到的擴張體，也可以看成是 $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})({\sqrt {3}})$ ，即先在有理數體中添加根號 2，再在其中添加根號 3 得到的擴張體。因此其中每個元素可以表達成如下的形式：

　
: $(a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\;a,b,c,d\in \mathbb {Q} .$

可以證明體擴張 L/K 是可分正規擴張，即伽羅瓦擴張。它的 K-自同構群 _G_ = Gal(_L/K_) 為 L 中所有對有理數為恆等映射的同構。設有 K-自同構 σ，則 σ 將任何有理數映射到它自身，將根號 2 映射到自身或負根號 2 上，將根號 3 映射到自身或負根號 3 上。這是因為：

　
: ${\begin{aligned}\left(\sigma ({\sqrt {2}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {2}})\cdot \sigma ({\sqrt {2}})=\sigma ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})=\sigma (2)=2,\\\left(\sigma ({\sqrt {3}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {3}})\cdot \sigma ({\sqrt {3}})=\sigma ({\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}})=\sigma (3)=3.\end{aligned}}$

這說明自同構群 G 中包含四個元素：e、σ、τ、τσ。具體為：

　
: ${\begin{array}{ll}e({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;e({\sqrt {3}})={\sqrt {3}},\;&\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;\sigma ({\sqrt {3}})={\sqrt {3}}\\\tau ({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}},\;&(\tau \sigma )({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;(\tau \sigma )({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}\end{array}}$

_G_ = {_e_, _σ_, _τ_, _τσ_} 同構於克萊因四元群，它的子群包括 _He_ = {_e_}, _Hσ_ = {_e_, _σ_}, _Hτ_ = {_e_, _τ_}, _Hτσ_ = {_e_, _τσ_} 以及 G 自身。考慮在這些子群的作用下，保持不變的元素構成的集合：

* L 中所有的元素都在 e 下不變，所以 _LHe_ = _L_，
* σ 將根號 2 轉換到負根號 2，而保持根號 3 不變，所以 $L^{H_{\sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ ，
* τ 將根號 3 轉換到負根號 3，而保持根號 2 不變，所以 $L^{H_{\tau }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ，
* τσ 將根號 2 與根號 3 分別轉換到負根號 2 與負根號 3，因此只有根號 6 經歷了兩次轉換而保持原號，所以 $L^{H_{\tau \sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$ ，
* 由於根號 2 和根號 6 在 σ 作用下變號，根號 3 在 τ 作用下變號，所以只有有理數能夠在所有的自同構下保持不變，即 $L^{G}=\mathbb {Q} =K$ 。

以上的結論說明體擴張 L/K 真正的中間域有 3 個，分別是： $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ 和 $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$ 。:53-54

### 非交換群的例子

以下給出一個伽羅瓦群不是交換群（阿貝爾群）的例子。設有多項式 _P_ = _X_3 - 2，這是一個在 $K=\mathbb {Q} $ 上不可約的有理係數多項式。他在 $\mathbb {Q} $ 上對應的分裂體是 $L=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )$ ，其中的 _θ_ = 3√2 是 2 的三次方根，ω = _e_2_iπ_⁄3 是三次單位根。體擴張 L/K 是可分正規擴張，因此是伽羅瓦擴張。考慮其伽羅瓦群 _G_ = Gal(_L/K_)。與上一個例子類似地，它裡面的 K-自同構必然也是只可能是對 θ 和 ω 產生轉換。設有 K-自同構 σ，則它將 θ 和 ω 轉換後的結果滿足：

　
: ${\begin{array}{ll}2=\sigma (2)=\sigma (\theta ^{3})=\left(\sigma (\theta )\right)^{3},\\1=\sigma (1)=\sigma (\omega ^{3})=\left(\sigma (\omega )\right)^{3}.\end{array}}$

所以 σ 作用在 θ 上的結果有三種：θ、ωθ 或 _ω_2_θ_，而 σ 作用在 ω 上的結果有兩種：ω 或 _ω_2。這是因為 _σ_(_ω_) 的結果不可能是 1，否則會與 _σ_(1) = 1 矛盾。這表明 G 中元素有六個，可以表示為：_G_ = {_e_, _f_, _f_2, _g_, _gf_, _gf_2}. 其中：

　
: $f(\theta )=\omega \theta ,\;f(\omega )=\omega ,\quad g(\theta )=\theta ,\;g(\omega )=\omega ^{2}.\quad fg=gf^{2}.$

下面給出由伽羅瓦理論基本定理指出的子群與中間域的對應關係：

* 與上例一樣，在平凡子群 {_e_} 作用下不變的是 L 中所有元素，在群 G 所有元素作用下不變的只有 K 中元素。所以平凡子群對應著 L 而 G 對應著 K。
* G 僅有一個三元子群 _Hf_ = {_e_, _f_, _f_2} ，在其作用下不變的是 ω，因此它對應的是中間域 $\mathbb {Q} (\omega )$ 。 $[\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]=2$ ，等於 Hf 在 G 中的指數。Hf 是 G 的正規子群，所以 $\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} $ 是正規擴張。
* G 有三個二元子群，分別是 _Hg_ = {_e_, _g_}, _Hgf_ = {_e_, _gf_}, _Hfg_ = {_e_, _gf_2}. 它們對應的中間域分別是 $\mathbb {Q} (\theta )$ 、 $\mathbb {Q} (\omega \theta )$ 和 $\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta )$ 。這些中間域都是有理數體的三次擴張體，與對應子群在 G 中的指數相等。由於這三個二元子群都不是 G 的正規子群，所以相應的，這些中間域也不是有理數體的正規擴張。事實上，它們各自是在有理數體中添加多項式 P 的一個根得到的擴張體，但另外兩個根都不在其中。:52-53

## 應用

從上述例子可見，伽羅瓦理論基本定理的作用是將體擴張的中間域結構，轉化為特定群的子群來描述。將難以用直接的方法刻畫的中間域，和可以用群論中的成熟方法刻畫的有限群子群對應起來:51。

伽羅瓦基本定理的最初應用是在使用伽羅瓦理論證明五次或以上的多項式方程式沒有代數解求根公式的問題上。其證明的主要思路是將「開 n 次方」的過程轉化為「在基體中添加 n 次方根」生成的體擴張。將多項式有代數解的問題轉化為某個分裂體是否可以通過有限次特定的體擴張得到的問題。而這些體擴張是否滿足條件，則可以由伽羅瓦基本定理將其轉化為判定「特定的伽羅瓦群是否有某種特殊的子群和商群（稱為可解群）」的問題。阿貝爾 - 魯菲尼定理說明了：一般的五次或以上的多項式方程式，其對應的伽羅瓦群是 n 元置換群 ${\mathfrak {S}}_{n}$ （n 大於等於 5），而這個群唯一的非平凡正規子群：n 元交替群 ${\mathfrak {A}}_{n}$ 是不交換的單純群，無法滿足要求。因此，不存在使用根式求解一般的五次或以上的多項式方程式的方法:191-244。

## 推廣

對於無限的伽羅瓦擴張，伽羅瓦理論基本定理不再成立，因為這時伽羅瓦群的子群個數會比中間域的個數要多。然而，在給伽羅瓦群裝備了一定的拓撲結構（Krull 拓撲）後，可以證明體擴張的中間域和所有的閉子群之間有一一對應的關係。因此，在此拓撲下，有推廣的伽羅瓦理論基本定理：

　
: 給定無限伽羅瓦擴張 L/K，其伽羅瓦群 _G_ = Gal(_L/K_) 的所有**閉子群**與 L/K 之間存在一一對應關係：

　
: $H\longrightarrow L^{H},\qquad F\longrightarrow \mathrm {Gal} (L/F)$

　
: 子擴張 F/K 是伽羅瓦擴張，若且唯若中間域 F 對應的子群 _H_ = Gal(_L/F_) 是伽羅瓦群 G 的正規子群。擴張的次數[_F_ : _K_]有限，若且唯若 H 在 G 中的指數有限，或當 H 是 G 的開子群。。

## 參見

* 伽羅瓦理論

## 注釋

## 參考來源