位错

**差排**（英語：dislocation），在材料科學中，指晶體材料的一種內部微觀缺陷，即原子的局部不規則排列（晶體缺陷）。從幾何角度看，差排屬於一種線缺陷，可視為晶體中已滑移部分與未滑移部分的分界線，其存在對材料的物理性能，尤其是力學性能，具有極大的影響。「差排」這一概念最早由義大利數學家和物理學家維托・伏爾特拉於 1905 年提出。

理想差排主要有三種形式：**刃差排**（edge dislocation）和 **螺旋差排**（screw dislocation）及**混合差排**（mixed dislocation）兼有前面兩者的特徵。

數學上，差排屬於一種拓撲缺陷，有時稱為「孤立子」或「孤子」。這一理論可以解釋實際晶體中差排的行為：可以在晶體中移動位置，但自身的種類和特徵在移動中保持不變；方向（伯格斯向量）相反的兩個差排移動到同一點，則會雙雙消失，或稱「湮滅」，若沒有與其他差排發生作用或移到晶體表面，那麼任何單個差排都不會自行「消失」（即伯格斯向量始終保持守恆）。

## 差排的幾何概念

刃差排和螺差排是主要的兩種差排類型。然而實際晶體中存在的差排往往是混合型差排，即兼具刃型和螺型差排的特徵。

晶體材料由規則排列的原子構成，一般把這些原子抽象成一個個體積可忽略的點，把它們排列成的有序微觀結構稱為**空間點陣**。逐層堆垛的原子構成一系列點陣平面的，稱為**晶面**（可以將晶體中原子的排列情況想像成把橙子規則地裝進箱子裡的樣子）。具體的排列情況如圖 2 所示。在無差排的晶體（完整晶體）中，晶面（圖 2 中的紅色平行四邊形）以等間距規則地排列。

### 刃差排

若一個晶面在晶體內部突然終止於某一條線處，則稱這種不規則排列為一個**刃差排**。如圖 3 和圖 4 所示，刃差排附近的原子面會發生朝差排線方向的扭曲以致錯位。刃差排可由兩個量唯一地確定：第一個是差排線，即多餘半原子面終結的那一條直線；第二個是**伯格斯向量**（Burgers vector，簡稱**伯氏向量**或**柏氏向量**），它描述了差排導致的原子面扭曲的大小和方向。對刃差排而言，其伯氏向量方向垂直於差排線的方向。

利用彈性力學理論可求得刃差排導致的應力場為：

　
: $\sigma _{xx}={\frac {-\mu b}{2\pi (1-\nu )}}{\frac {y(3x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

　
: $\sigma _{yy}={\frac {\mu b}{2\pi (1-\nu )}}{\frac {y(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

　
: $\tau _{xy}={\frac {\mu b}{2\pi (1-\nu )}}{\frac {x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

其中 μ 為材料的剪切模量，b 為伯格斯向量，ν 為泊松比，x 和 y 為直角坐標分量。
從上述解中可以看出，在含有多餘半原子面的一側（ $y>0$ ），材料承受壓應力（ $\sigma _{xx}<0$ ）；在多餘半原子面「消失」的一側（ $y<0$ ），材料承受拉應力（ $\sigma _{xx}>0$ ）。

### 螺旋差排

如圖 5 所示，將規則排列的晶面想像成一疊間距固定的紙片，若將這疊紙片剪開（但不完全剪斷），然後將剪開的部分其中一側上移半層，另一側下移半層，形成一個類似於樓梯拐角處的排列結構，則此時在「剪開線」終結處（這裡已形成一條垂直紙面的差排線）附近的原子面將發生畸變，這種原子不規則排列結構稱為一個**螺旋差排**。

可以看出，螺旋差排的伯氏向量平行於其差排線方向。

儘管形象不甚直觀，但螺旋差排的應力場卻遠比刃差排的應力場容易求解。在一級近似下，螺旋差排應力場只有一個剪應力分量不為零：

　
: $\tau _{r}={\frac {-\mu b}{2\pi r}}$

式中 μ 為材料的剪切模量，b 為伯氏向量，r 為所在點的極坐標極軸分量。
該應力解顯示，螺旋差排附近的應力場呈軸對稱式分布，大小從內到外遞減。但需要注意的是在差排核心區（r=0）處按上述解將得出應力無窮大，這是不符合實際情況的。因此上述應力表達式不適用於差排核心的嚴重畸變區。

### 混合差排

如前所述，刃差排的伯氏向量**垂直**於差排線的方向，螺差排的伯氏向量**平行**於其差排線方向。但實際材料中差排的伯氏向量往往既非平行又非垂直於差排線方向，這些差排兼具了刃差排和螺旋差排的特徵，稱為**混合差排**。

## 差排的觀測

### 間接觀測

若材料中的差排線與材料表面相交（俗稱差排「露頭」），則交點處附近由於差排應力場的存在，其化學穩定性將低於表面的其它部分。若用酸性腐蝕劑（如氫氟酸和硝酸的混合溶液）對這樣的表面進行腐蝕，則差排「露頭」處的腐蝕速度將遠高於其它部分，可形成一個「腐蝕坑」。再利用一些表面顯微觀察技術（如**掃描電子顯微鏡**、**干涉顯微鏡**等等）便可以觀察到差排的「露頭」位置。圖 6 中展示了在干涉顯微鏡下，經上述方法製備得到矽片表面差排腐蝕坑的形態，根據腐蝕坑邊緣的形狀可以確定矽片的晶體學取向 —— 橢圓形代表矽片表面為 (100) 晶面，三角形代表矽片表面為 (111) 晶面。

若施加外力令材料發生一系列微小變形，則每次變形後某一特定差排都將處於不同的位置。如果每次變形後都對材料表面進行腐蝕，則同一差排形成的一系列腐蝕坑將粗略地顯示出差排運動的軌跡。

進行上述觀測的前提是材料表面能加工到具有足夠高的光潔度，或者說足夠低的粗糙度。

* * *

### 直接觀測

利用**穿透式電子顯微鏡**（transmission electron microscope，簡稱 TEM）可直接觀察到材料微結構中的差排。TEM 觀察的第一步是將金屬樣品加工成電子束可以穿過的薄膜。在沒有差排存在的區域，電子通過等間距規則排列的各晶面時將可能發生衍射，其衍射角、晶面間距及電子波長之間滿足布拉格定律（Bragg's law）。而在差排存在的區域附近，晶格發生了畸變，因此衍射強度亦將隨之變化，於是差排附近區域所成的像便會與周圍區域形成襯度反差，這就是用 TEM 觀察差排的基本原理，因上述原因造成的襯度差稱為**衍射襯度**。

在圖 7 和圖 8 中，中間稍亮區域（晶粒）里的暗線就是所觀察到差排的像。由於多晶材料中不同晶粒的晶體學取向不同，因此晶粒之間亦存在襯度差別，這就是圖 7 和圖 8 中中間區域較周圍區域更亮的原因。值得注意的是，圖中差排像所具有的「蜿蜒」的形態，這是差排線在厚度方向穿過試樣（薄膜）的差排在 TEM 下的典型形態；還需注意的是圖中差排像的終結處實際上是因為差排線到達了試樣表面，而非終結在了試樣內部。所有差排都只能以**差排環**的形式終結於晶粒的內部。

用 TEM 觀察差排時，放大倍數一般選在 5 萬到 30 萬倍之間，這遠未達到 TEM 放大倍數的極限。部分 TEM 還配有對試樣進行在觀察中原位加熱 / 變形的裝置，可以直接對差排的運動進行實時觀察。

**場離子顯微鏡**（field ion microscopy，簡稱 FIM）和**原子探針**（atom probe）技術提供了放大倍數更高（一般在 300 萬倍以上）的觀測方法，可在原子尺度對材料表面的差排進行直接觀測。

## 差排源

材料中的差排密度會隨著塑性形變的進行而增加，其數量大致滿足關係： $\tau \propto \rho ^{1/2}$ ，其中 $\tau $ 為塑性流動應力， $\rho $ 為差排密度。由這一關係可以推測，材料內部必然存在著差排的起源與增殖的機制，這些機制在外加應力的作用下將被激活，以提供增加的差排數。

人們已發現材料中存在以下三種差排的起源（成核）機制：均勻成核、晶界成核和界面成核，其中最後一種包括各種沉澱相、分散相或增強纖維等等。

差排的增殖機制主要也有三種機制：弗蘭克 - 里德差排源（Frank-Read source）機制、雙交滑移增殖機制，和爬升增殖機制。

## 差排的滑移與晶體塑性

在 1930 年代以前，材料塑性力學行為的微觀機理一直是嚴重困擾材料科學家重大難題。1926 年，蘇聯物理學家雅科夫・弗侖克爾（Jacov Frenkel）從理想完整晶體模型出發，假定材料發生塑性切變時，微觀上對應著切變面兩側的兩個最密排晶面（即相鄰間距最大的晶面）發生整體同步滑移。根據該模型計算出的理論臨界分剪應力 τm 為：

$$
\tau _{m}={\frac {G}{2\pi \ }}\,
$$

其中 _G_ 為剪切模量。一般常用金屬的 _G_ 值約為 104MPa～105MPa，由此算得的理論切變強度應為 103MPa～104MPa。然而在塑性變形試驗中，測得的這些金屬的屈服強度僅為 0.5～10MPa，比理論強度低了整整 3 個數量級。這是一個令人困惑的巨大矛盾。

1934 年，埃貢・歐羅萬（Egon Orowan）、麥可・波拉尼（Michael Polanyi）和傑弗里・因格拉姆・泰勒（Geoffrey Ingram Taylor）三位科學家幾乎同時提出了塑性變形的差排機制理論，解決了上述理論預測與實際測試結果相矛盾的問題，，。差排理論認為，之所以存在上述矛盾，是因為晶體的切變在微觀上並非一側相對於另一側的整體剛性滑移，而是通過差排的運動來實現的。一個差排從材料內部運動到了材料表面，就相當於其差排線掃過的區域整體沿著該差排伯格斯向量方向滑移了一個單位距離（相鄰兩晶面間的距離）。這樣，隨著差排不斷地從材料內部發生並運動到表面，就可以提供連續塑性形變所需的晶面間滑移了。與整體滑移所需的打斷一個晶面上所有原子與相鄰晶面原子的鍵合相比，差排滑移僅需打斷差排線附近少數原子的鍵合，因此所需的外加剪應力將大大降低。

在對材料進行「冷加工」（一般指在絕對溫度低於 0.3_Tm_ 下對材料進行的機械加工，_Tm_ 為材料熔點的絕對溫度）時，其內部的差排密度會因為差排的萌生與增殖機制的激活而升高。隨著不同滑移系差排的啟動以及差排密度的增大，差排之間的相互交截的情況亦將增加，這將顯著提高滑移的阻力，在力學行為上表現為材料「越變形越硬」的現象，該現象稱為**加工硬化**（work hardening）或**應變硬化**（strain hardening）。纏結的差排常能在塑性形變初始發生時的材料中找到，纏結區邊界往往比較模糊；在發生動態回復（recovery）過程後，不同的差排纏結區將分別演化成一個個獨立的胞狀結構，相鄰胞狀結構間一般有小於 15° 的晶體學取向差（小角晶界）。

由於差排的積累和相互阻擋所造成的應變硬化可以通過適當的熱處理方法來消除，這種方法稱為退火。退火過程中金屬內部發生的回復或再結晶等過程可以消除材料的內應力，甚至完全恢復材料變形前的性能。

## 刃差排的爬升

差排可以在包含了其伯格斯向量和差排線的平面內滑移。螺差排的伯氏向量平行於差排線，因此它可以在差排線所在的任何平面內滑移。而刃差排的伯氏向量垂直於差排線，所以它只有一個滑移面。但刃差排還有一種在垂直於其滑移面方向上的運動方式，這就是**爬升**，即構成刃差排的多餘半原子面的伸長或縮短。

爬升的驅動力來自於晶格中空位的運動。如圖 9 所示，若一個空位移到了刃差排滑移面上與差排線相鄰的位置上，則差排核心處的原子將有可能「躍遷」到空位處，造成半原子面（差排核心）向上移動一個原子間距，這一刃差排「吸收」空位的過程稱為正爬升。若反之，有原子填充到半原子面下方，造成差排核心向下移動一個原子間距，則稱為負爬升。

由於正爬升導致了多餘半原子面的退縮，所以將使晶體在垂直半原子面方向收縮；反之，負爬升將使晶體在垂直半原子面方向膨脹。因此，在垂直半原子面方向施加的壓應力會促使正爬升的發生，反之拉應力則會促使負爬升的發生。這是爬升與滑移在力學影響上的主要差別，因為滑移是由剪應力而非正應力促成的。

差排的滑移與爬升另一處差異在於溫度相關性。溫度的升高能大大增加差排爬升的概率。相比而言，溫度對滑移的影響則要小得多。

## 參考資料

## 延伸閱讀

## 外部連結

* 清華大學「材料科學與工程概論」課程網上教程 —— 差排
* Helmut Föll 教授的網站 ——「晶體中的缺陷」（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文） 第 5 章詳細介紹差排相關知識
* 掃描隧道顯微鏡照片展（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文） 金屬表面的原子尺度顯微照片（包括表面差排），維也納技術大學物理學教研組製作