佩尔数

**佩爾數**是一個自古以來就知道的整數數列，由遞推關係定義，與斐波那契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比的冪成正比。它出現在 2 的算術平方根的近似值以及三角平方數的定義中，也出現在一些組合數學的問題中。

## 定義

佩爾數由以下的遞推關係定義：

　
: $P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是說，佩爾數的數列從 0 和 1 開始，以後每一個佩爾數都是前面的數的兩倍加上再前面的數。最初幾個佩爾數是：

　
: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS 數列 A000129）。

佩爾數也可以用通項公式來定義：

　
: $P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.$

對於較大的 _n_， $\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}$ 的項起主要作用，而 $\scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}$ 的項則變得微乎其微。因此佩爾數大約與白銀比 $\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})$ 的冪成正比。

第三種定義是以下的矩陣公式：

　
: ${\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.$

從這些定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下的恆等式，與斐波那契數的卡西尼恆等式類似：

　
: $P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},$

這個恆等式是以上矩陣公式的直接結果（考慮矩陣的行列式）。

## 2 的算術平方根的近似值

佩爾數出現在 2 的算術平方根的有理數近似值中。如果兩個大的整數 _x_ 和 _y_ 是佩爾方程的解：

　
: $\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,$

那麼它們的比 ${\tfrac {x}{y}}$ 就是 $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 的一個較精確的近似值。這種形式的近似值的數列是：

　
: $1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots $

其中每一個分數的分母是佩爾數，分子則是這個數與前一個佩爾數的和。也就是說，佩爾方程的解具有 ${\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$ 的形式。 ${\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}$ 是這些近似值中的第八個，在公元前 3 或 4 世紀就已經為印度數學家所知。公元前 5 世紀的古希臘數學家也知道這個近似值的數列；他們把這個數列的分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

這些近似值可以從 $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 的連分數展開式推出：

　
: ${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.$

取這個展開式的有限個項，便可以產生 $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 的一個近似值，例如：

　
: ${\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.$

## 素數和平方數

**佩爾素數**是既是佩爾數又是素數的數。最初幾個佩爾素數是：

　
: 2, 5, 29, 5741, …… （OEIS 數列 A086383）。

與斐波那契素數相似，僅當 _n_ 本身是素數時 $P_{n}$ 才有可能是素數。

唯一的既是佩爾數又是平方數、立方數或任意整數次方的數是 0, 1, 以及 169 = 132。

然而，佩爾數與三角平方數有密切的關係。它們出現在以下佩爾數的恆等式中：

　
: ${\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.$

等式的左面是平方數，等式的右面是三角形數，因此是三角平方數。

Santana 和 Diaz-Barrero 在 2006 年證明了佩爾數與平方數之間的另外一個恆等式，並證明了從 $P_{1}$ 到 $P_{4n+1}$ 的所有佩爾數的和總是平方數：

　
: $\sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.$

例如，從 $P_{1}$ 到 $P_{5}$ 的和是 $0+1+2+5+12+29=49$ ，是 $P_{2}+P_{3}=2+5=7$ 的平方。 $P_{2n}+P_{2n+1}$ 就是這個和的平方根：

　
: 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS 數列 A002315）。

## 勾股數

如果一個直角三角形的邊長為 _a_、_b_ 和 _c_（必須滿足勾股定理 _a_2+_b_2=_c_2），那麼 (_a_,_b_,_c_) 稱為勾股數。Martin 在 1875 年描述，佩爾數可以用來產生勾股數，其中 _a_ 和 _b_ 相差一個單位。這個勾股數具有以下形式：

　
: $(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).$

用這種方法產生的勾股數的序列是：

　
: (3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

## 佩爾 - 盧卡斯數

**佩爾 - 盧卡斯數**由以下的遞推關係定義：

　
: $Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是說，數列中的最初兩個數都是 2，後面每一個數都是前一個數的兩倍加上再前面的一個數。這個數列的最初幾個項是（OEIS 數列 A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾 - 盧卡斯數的通項公式為：

　
: $Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.$

這些數都是偶數，每一個數都是以上 $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 的近似值中的分子的兩倍。

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Pell Number. MathWorld.