代数数域

**代數數體**是數學中代數數論的基本概念，數體的一類，有時也被簡稱為**數體**，指有理數體 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張形成的擴張體。任何代數數體都可以視作 $\mathbb {Q} $ 上的有限維向量空間。

對代數數體的研究，或者更一般地說，對有理數體的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

## 定義

### 預備知識

代數數體是體的一類。體是裝備了兩個二元運算（通常稱之為「加法」、「乘法」）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見體）。體的一個重要的例子是有理數體 $\mathbb {Q} $ 。

**體的擴張**

體的擴張研究各類體之間的關係，最早的應用包括多項式方程式一般求根公式問題等。在給定的體 F 中加入不屬於此體的元素（一般以集合 S 記錄），規定相互間的運算法則後，「最小的」將它們都包含在內的體 L 稱為「F（添加 S 中元素得到）的擴張體」。稱 F 是 L 的子體。一般將「F 到 L 的體擴張」記作 F⊂L 或 L/F。

**向量空間**

另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個體 F 為係數體的向量空間（通常稱作 F 上的向量空間或 F-向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以 F 中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以 F 中元素組成的有序數組： $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ 。其中的 n 是基中向量的個數，也稱為空間的維數。

**有限擴張**

設 L 是體 F 的一個擴張體。將 L 中的元素看作向量，以 F 作為係數體，可以證明 L 是一個 F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱 L 是 F 的有限擴張。L 作為 F-向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作[L : F]。

### 定義

若體 L 是有理數體 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張，則稱之為代數數體:3。

## 例子

最小最基本的代數數體是有理數體 $\mathbb {Q} $ 。因為 $\mathbb {Q} $ 自身是 $\mathbb {Q} $ -向量空間，維數是 1。因此 $\mathbb {Q} $ 是 $\mathbb {Q} $ 自身的體擴張， $[\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.$

高斯有理數 $\mathbb {Q} (i)$ （i 為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數體的例子，它是所有形同：

　
: : $a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q} $

的數構成的集合。可以證明， $\mathbb {Q} (i)$ 是體，而且是 $\mathbb {Q} $ -向量空間，以 $\{1,i\}$ 為基，空間維數是 2。所以 $\mathbb {Q} (i)$ 是 $\mathbb {Q} $ 的二次擴張， $[\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.$

給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數 d，二次體 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ 在 $\mathbb {Q} $ 中添加 d 的平方根而得的擴張體。與高斯有理數體類似，可以證明 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ 是 $\mathbb {Q} $ -向量空間，以 $\{1,{\sqrt {d}}\}$ 為基，空間維數是 2，即 $[\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.$

考慮多項式方程式 $x^{n}=1$ 的 n 個複根 $\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}$ ，它們被稱做 n 次單位根，具體可以寫作：

　
: : $\xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.$

在 $\mathbb {Q} $ 中添加 $\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}$ 得到的擴張體稱為 n 次分圓體，記作 $\mathbb {Q} (\xi _{n})$ 。可以證明 $\mathbb {Q} (\xi _{n})$ 是有限維 $\mathbb {Q} $ -向量空間，維數為 $\varphi (n)$ （ $\varphi $ 是數論中的歐拉函數），即 $[\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).$

實數體 $\mathbb {R} $ 、複數體 $\mathbb {C} $ 和 p 進數體 $\mathbb {Q} _{p}$ 都不是 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張，因此都不是代數數體。任何有限體都不是 $\mathbb {Q} $ 的擴張體，因此也不是代數數體。

全體規矩數構成的體 ${\mathcal {C}}$ 和全體代數數構成的體 ${\mathcal {A}}$ （有時也被簡稱為代數數體，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張，因此都不是代數數體。

## 代數數體與代數數

代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數。給定一個代數數體 L，依定義，體擴張 $\mathbb {Q} \subset L$ 是有限擴張。設其次數為正整數 m。將 L 看作是 m 維 $\mathbb {Q} $ -向量空間，在 L 中任意選一個不屬於 $\mathbb {Q} $ 的數 z，它可以被看作是 m 維 $\mathbb {Q} $ -向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的 m + 1 個向量：

　
: : $1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}$

它們都屬於 L。根據向量空間的性質，它們是線性相依的。即存在不全為零的 m + 1 個有理數： $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}$ ，使得：

　
: : $a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{m}z^{m}=0$ .

考慮非零多項式 $P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}$ ， $P(z)=0$ ，即 z 是多項式 $P$ 的根。所以 z 是代數數。由上可知，任一代數數體的元素都是代數數。

## 代數整數

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數:4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數 n 都是一次整係數多項式 X - n 的根，因此是代數整數。給定代數數體 F，F 中所有代數整數構成一個環，稱作 F 中的（代數）整數環，也稱為 F-整數環，記作 ${\mathcal {O}}_{F}$ 。例如 $\mathbb {Q} $ 上的代數整數環就是 $\mathbb {Z} $ ，因此在代數數體研究中 $\mathbb {Z} $ 也被稱作「有理整數」（有理數體中的整數），以區別於其餘的代數整數。

代數數體 F 中的整數環 ${\mathcal {O}}_{F}$ 與 $\mathbb {Z} $ 有不同的代數性質。 ${\mathcal {O}}_{F}$ 不一定是唯一分解整環。舉例來說，設 $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$ ，F 中的整數環是 ${\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 。 $2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}$ 都是 ${\mathcal {O}}_{F}$ 中的「質數」。正整數 6，作為 ${\mathcal {O}}_{F}$ 中的元素，它的質因數分解有兩種方式：

　
: $6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).$

有理整數的唯一分解性質在不少代數數體的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是： ${\mathcal {O}}_{F}$ 的每個理想都可以唯一表示為質理想的乘積，即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一質因子分解」的不足，在歷史上使代數數論發展起來。

## 代數數體的基

### 整數基

設 F 為 n 次代數數體，F 的整數基是任一由 n 個 F-整數組成的集合：

　
: : $B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}$

使得任一個 F-整數 x 都能唯一地表示為這 n 個 F-整數的整線性組合，即：

　
: : $\forall x\in {\mathcal {O}}_{F},\;\;\exists !\;(m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$ ，使得 $x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.$

換句話說，整數基 B 是 ${\mathcal {O}}_{F}$ 作為自由 $\mathbb {Z} $ -模的基。給定 F 的一組整數基 B，可以證明，所有 F 中元素 x 都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即：

　
: : $\forall x\in F,\;\;\exists !\;(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$ ，使得 $x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.$

這說明 B 是 F 作為 n 維 $\mathbb {Q} $ -向量空間的一組基。而且由於 B 中元素都是 F-整數，故 B 名為整數基。此外可以證明，x 是 F-整數若且唯若所有 $q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}$ 都是有理整數。

### 乘冪基

設 F 為 n 次代數數體。作為 n 維 $\mathbb {Q} $ -向量空間，F 包含如下形式的基：

　
: : $B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}$

其中每個元素都是某個特定的數 β 的乘冪。根據體擴張理論中的本原元定理，這樣的 β 一定存在，稱為體擴張 $\mathbb {Q} \subset F$ 的本原元。如果 β 不僅是本原元，還是 F-整數，那麼這時 B 也是整數基，稱作乘冪整數基，稱 F 為單衍體（monogenic field）。

## 參見

* 狄利克雷單位定理，S - 單位
* 庫默爾擴張
* 閔可夫斯基定理 幾何數論
* Chebotarev 稠密定理
* 射線類群
* 分解群
* 虧格體

## 注釋

## 參考來源

* Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2
* Serge Lang, _Algebraic Number Theory_, second edition, Springer, 2000
* Richard A. Mollin, _Algebraic Number Theory_, CRC, 1999
* Ram Murty, _Problems in Algebraic Number Theory_, Second Edition, Springer, 2005
* Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
* Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften **322**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften **323**, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
* Andre Weil, _Basic Number Theory_, third edition, Springer, 1995