临界阻尼

**阻尼**（英語：**damping**）是指任何振動系統在振動中，由於外界作用（如流體阻力、摩擦力等）和 / 或系統本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表徵。

在實際振動中，由於摩擦力總是存在的，所以振動系統最初所獲得的能量，在振動過程中因阻力不斷對系統做負功，使得系統的能量不斷減少，振動的強度逐漸減弱，振幅也就越來越小，以至於最後的停止振動，像這樣的因系統的力學能，由於摩擦及轉化成內能逐漸減少，振幅隨時間而減弱振動，稱為阻尼振動。

* 當阻尼較強時，阻尼振子幾乎沒有振動，振幅逐漸減小，達到穩定平衡，稱為過阻尼。
* 當阻尼較弱時，阻尼振子必須緩慢的經由多次振動逐漸把振幅減小，最後回到平衡位置，因此達成穩定平衡的時間較久，稱為次阻尼。
* 另一種情形是阻尼振子以最平穩的速度，最短的時間達到穩定平衡，稱為臨界阻尼。

## 詞源

「阻尼」源自英語「damping」，其動詞形式「damp」意為阻抑、減弱。1933 年 8 月 21 日至 9 月 2 日召開的中央研究院物理研究所第一次名詞審查會議上，名詞審查委員會主任委員楊肇燫以「尼」字有逐步減阻之義，提出將該詞譯作「阻尼」而獲贊同，自此被採納而定案。

不同於漢語中「尼」經常作為音譯語素的情況（如「比丘尼」「尼龍」「突尼西亞」），「阻尼」是用兩個同義語素對「damping」進行的意譯。

## 阻尼模型

在物理學和工程學上，阻尼的力學模型一般是一個與振動速度大小成正比，與振動速度方向相反的力，該模型稱為**粘性**（或**黏性**）**阻尼模型**，是工程中應用最廣泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能較好地模擬空氣、水等流體對振動的阻礙作用。本條目以下也主要討論粘性阻尼模型。然而必須指出的是，自然界中還存在很多完全不滿足上述模型的阻尼機制，譬如在具有恆定摩擦係數的桌面上振動的彈簧振子，其受到的阻尼力就僅與自身重量和摩擦係數有關，而與速度無關。

除簡單的力學振動阻尼外，阻尼的具體形式還包括電磁阻尼、介質阻尼、結構阻尼等等。儘管科學界目前已經提出了許多種阻尼的數學模型，但實際系統中阻尼的物理本質仍極難確定。下面僅以力學上的粘性阻尼模型為例，作一簡單的說明。

粘性阻尼可表示為以下式子：

　
: $\mathbf {F} =-c\mathbf {v} $

　
: 其中 **F** 表示阻尼力，**v** 表示振子的運動速度（矢量），_c_ 是表示阻尼大小的常數，稱為**阻尼係數**，國際單位制單位為牛頓・秒 / 米。

上述關係類比於電學中定義電阻的歐姆定律。

在日常生活中阻尼的例子隨處可見，一陣大風過後搖晃的樹會慢慢停下，用手撥一下吉他的弦後聲音會越來越小，等等。阻尼現象是自然界中最為普遍的現象之一。

## 例子：彈簧阻尼器振子

理想的彈簧阻尼器振子系統如右圖所示。分析其受力分別有：

* **彈性力**（_k_ 為彈簧的勁度係數，_x_ 為振子偏離平衡位置的位移）： $F_{\mathrm {s} }=-kx$
* **阻尼力**（_c_ 為阻尼係數，_v_ 為振子速度）： $F_{\mathrm {d} }=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}$

假設振子不再受到其他外力的作用，於是可利用牛頓第二定律寫出系統的振動方程式：

　
: $\sum F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

其中 _a_ 為加速度。

### 運動微分方程式

上面得到的系統振動方程式可寫成如下形式，問題歸結為求解位移 _x_ 關於時間 _t_ 函數的二階常微分方程式：

　
: $m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$

將方程式改寫成下面的形式：

　
: ${\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0.$

然後為求解以上的方程式，定義兩個新參量：

　
: $\omega _{n}={\sqrt {k \over m}}$

　
: $\zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.$

上面定義的第一個參量，ωn，稱為系統的（無阻尼狀態下的）**固有頻率**。
第二個參量，ζ，稱為**阻尼比**。根據定義，固有頻率具有角速度的因次，而阻尼比為無因次參量。

微分方程式化為：

　
: ${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.$

根據經驗，假設方程式解的形式為

　
: $\ x=e^{\gamma t}\ $

其中參數 $\ \gamma \ $ 一般為複數。

將假設解的形式代入振動微分方程式，得到關於 γ 的特徵方程式：

　
: $\gamma ^{2}+2\zeta \omega _{n}\gamma +\omega _{n}^{2}=0.$

解得 γ 為：

　
: $\gamma =\omega _{n}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}).$

### 系統行為

系統的行為由上小結定義的兩個參量 —— 固有頻率 ωn 和阻尼比 ζ—— 所決定。特別地，上小節最後關於 $\gamma $ 的二次方程式是具有一對互異實數根、一對重實數根還是一對共軛複數根，決定了系統的行為。

#### 臨界阻尼

當 $\zeta =1$ 時， $\gamma \ $ 的解為一對重實根，此時系統的阻尼形式稱為**臨界阻尼**。現實生活中，許多大樓內房間或衛生間的門上在裝備自動關門的扭轉彈簧的同時，都相應地裝有阻尼鉸鏈，使得門的阻尼接近臨界阻尼，這樣人們關門或門被風吹動時就不會造成太大的聲響。

#### 過阻尼

當 $\zeta >1$ 時， $\gamma \ $ 的解為一對互異實根，此時系統的阻尼形式稱為**過阻尼**。當自動門上安裝的阻尼鉸鏈使門的阻尼達到過阻尼時，自動關門需要更長的時間。如記憶枕。

#### 次阻尼

當 $0<\zeta <1$ 時， $\gamma \ $ 的解為一對共軛虛根，此時系統的阻尼形式稱為**次阻尼**。在次阻尼的情況下，系統將以圓頻率 $\omega _{\mathrm {d} }=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$ 相對平衡位置作往復振動。

## 方程式的解

* 對於次阻尼體系，運動方程式的解可寫成：

　
: $x(t)\ =\ Ae^{-\zeta \omega _{n}t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )$

其中

　
: $\omega _{\mathrm {d} }=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

是有阻尼作用下系統的固有頻率，_A_ 和 φ 由系統的初始條件（包括振子的初始位置和初始速度）所決定。該振動解代表的是一種振幅按指數規律衰減的簡諧振動，稱為**衰減振動**（見上圖中 $\varsigma <1$ 的位移 - 時間曲線所示）。

* 對於臨界阻尼體系，運動方程式的解具有形式

　
: $x(t)\ =\ (A+Bt)e^{-\omega _{n}t}$

其中 _A_ 和 _B_ 由初始條件所決定。該振動解表徵的是一種按指數規律衰減的非週期運動。

* 對於過阻尼體系，定義

　
: $\omega ^{*}=\omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}$

則運動微分方程式的通解可以寫為：

　
: $x(t)=Ae^{\lambda _{1}t}+Be^{\lambda _{2}t}$

其中 _A_ 和 _B_ 同樣取決於初始條件，λ1 與 λ2 為特徵方程式的兩個相異實根。該振動解表徵的是一種同樣按指數規律衰減的非週期蠕動。從上面的位移 - 時間曲線圖中可以看出，過阻尼狀態比臨界阻尼狀態蠕動衰減得更慢。對於臨界阻尼狀態，振子可能越過平衡位置至多一次，而過阻尼狀態下振子不會越過平衡位置。

## 相關條目

* 阻尼比
* 共振
* 簡諧運動
* RLC 電路
* 振動
* 有阻尼的弦波
* 等阻尼

## 相關書籍

* 倪振華編著，《振動力學》，西安交通大學出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1
* R. W. Clough, J. Penzien, _Dynamics of Structures_, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W. 克拉夫，J. 彭津著，王光遠等譯，《結構動力學》，科學出版社，北京，1981）

## 外部連結

* 阻尼諧振子 Java 模擬 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 阻尼正比於速度或固體接觸面摩擦

## 參考文獻