九章算术

《**九章算術**》九卷，是現存最早的中國古代數學著作之一，《算經十書》中最重要的一種。其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現今定本的。在四庫全書中為子部天文演算法算書類。

《九章算術》內容豐富，題材廣泛，共九章，分為二百四十六題二百零二術，不但是漢代重要的數學著作，在中國和世界數學史上也佔有重要的地位。作為中國古代數學的系統總結，對中國傳統數學的發展有了深遠的影響。

## 歷史

根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期，但是其基本內容在西漢後期已經基本定型。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，就是「九章」。

1984 年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。

由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法，卻很少有任何解釋和說明，所以有很多人曾為《九章算術》作注，提出了簡括的證明，證明了一些算法的正確性。較為著名的有在三國時期魏元帝景元四年（263 年），劉徽為《九章》作注，加上自己的心得體會，使其便於被了解，而可以流傳下來。唐代李淳風又重新做注（656 年），《算經十書》之一，也是國子監算學館的教材和明算科的考試項目。

## 體例

《九章算術》共收有 246 個數學問題，分為九大類，在一個或幾個問題之後，列出這個問題的解法。

1. 方田章：主要是田畝**面積**的計算和**分數**的計算，是世界上最早對分數進行系統敘述的著作。
2. 粟米章：主要是糧食**交易**的計算方法，其中涉及許多**比例**問題。
3. 衰分章：主要內容為**分配比例**的算法。
4. 少廣章：主要講開平方和開立方的方法。
5. 商功章：主要是土石方和用工量等**工程數學**問題，以**體積**的計算為主。
6. 均輸章：計算**稅收**等更加複雜的**比例**問題。
7. 盈不足章：**雙設法**的問題。
8. 方程章：主要是**聯立一次方程組**的解法和**正負數的加減法**，在世界數學史上是第一次出現。
9. 勾股章：**畢氏定理**的應用。

## 內容

### 實數系統

《九章算術》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）。

《九章算術》出現負數概念，方程式章為了配合方程式術的算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載。

《九章算術》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形。

### 比例與盈虧算法

粟米章所述今有術，即是四項比例算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」。

今有術在《九章算術》應用非常廣泛，為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術，為配分比例算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」。

《九章算術》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法，就是均輸章的均輸術。《九章算術》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種算法。

盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；通過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算術》則匯集這五種問題，並給出算法。

盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程式問題，用這種模式算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解。

### 求積與勾股

《九章算術》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算術》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要，《九章算術》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法，這些體積算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系。

勾股計算，《九章算術》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似。

勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算術》給出推求勾、股、弦，都是整數的算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的算法。

《九章算術》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積算法、面積算法、線段算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章。

### 開方與方程式

《九章算術》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算術》記載的這些算法非常詳盡，經由這些論述，可以了解中國古代代數學發展的成果。

開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程式、二項三次方程式，而且可以解出一般的二次數值方程式和三次數值方程式。它是中國古代解出高次數值方程式的基礎，在數學的發展也有重要地位。

方程式章所論「方程式」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程式術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消去法，在理論上、算法上與今天加減消去完全一樣。

在方程式章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程式，可見這是世界上最早的一次不定方程組。

## 影響

《九章算術》總結了自先秦以來的中國古代數學，它既包含了以前已經解決了的數學問題，又有漢朝時新發現的數學成就。一般認為，它在數學史上，標誌著中國古代數學體系的形成，是中國古代數學體系的初期代表作。

《九章算術》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數學知識，但是卻沒有《九章算術》的系統論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例，從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究，唐、宋時，為國家明令規定的教科書，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數學書。

《九章算術》中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關於比例算法的問題，它和後來在 16 世紀西歐出現的三一律的算法一樣。關於雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹算法，13 世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。

《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同於西方以演繹為主的敘述方式，中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有名。

《九章算術》隋、唐時，流傳到了日本和朝鮮，對其古代的數學發展也產生了很大的影響，之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲，現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本。

## 譯本

* 俄譯本：«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
* 德譯本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
* 英譯本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康生）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
* 法譯本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
* 日譯本：川原秀城「劉徽註九章算術」（『中国天文学・数学集』所収、1980 年 11 月、朝日出版社）

## 參考文獻

### 引用

### 來源

## 外部連結

* 從《九章算術》看古代數學與儒學的關係
* 《九章算術》原文（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）