二次平面曲线

**圓錐曲線**（英語：conic section），又稱**圓錐截痕**、**圓錐截面**、**二次平面曲線**，是數學、幾何學中透過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的曲線，包括圓，橢圓，拋物線，雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線在約西元前 200 年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為（橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義）：動點到一定點（焦點）的距離與其到一定直線（準線）的距離之比為常數（離心率 $e$ ）的點的集合是圓錐曲線。對於 $0<e<1$ 得到橢圓，對於 $e=1$ 得到拋物線，對於 $e>1$ 得到雙曲線。

## 定義

設 $F$ 為定點， $l$ 為定直線， $e$ 為正常數，稱滿足 ${\frac {|PF|}{|Pl|}}=e$ 的動點 $P$ 的軌跡為**圓錐曲線**。

其中 $F$ 為其焦點， $l$ 為準線， $e$ 為離心率。

由此可知，圓錐曲線的極坐標參數方程式為 $\rho =e(d-\rho \cos \theta )$ 或 $\rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}$ （正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起）。
其中 $\theta $ 為 $PF$ 與極軸的夾角， $d$ 為定直線 $x=d$ ，即準線到焦點的距離。

將參數方程式轉換成直角坐標方程式易得，

　
: 當 $e=1$ 時，曲線為拋物線。

　
: 當 $e\neq 1$ 時，

　
: 當 $0<e<1$ 時，曲線為橢圓。

　
: 當 $e>1$ 時，曲線為雙曲線。

## 圓錐曲線的類型

橢圓，圓：當平面只與圓錐面一側相交，交截線是閉合曲線的時候，且不過圓錐頂點，結果為近似橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。

拋物線：截面僅與圓錐面的一條母線平行，結果為拋物線。

雙曲線：截面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。

在平面通過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。

## 幾何性質

### 橢圓（ellipse）

橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長（2a）。

### 拋物線（Parabola）

拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。

### 雙曲線（Hyperbola）

雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長（2a）。

### 離心率

對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點 - 準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是 $a/e\ $ ，這裡的 $a\ $ 是橢圓的半長軸，或雙曲線的半貫軸。從中心到焦點的距離是 $ae\ $ 。

在圓的情況下， $e=0$ 且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到 L 的距離的 e 倍的所有點組成是沒有意義的。

圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。

對於一個給定的 $a\ $ ， $e\ $ 越接近於 1，半短軸就越小。

## 笛卡兒坐標

在笛卡兒坐標系內，二元二次方程式的圖像可以表示圓錐曲線，並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程式有如下形式

　
: $Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

　
: 此處參數 $A\,$ ， $B\,$ 和 $C\,$ 不得皆等於 $0\ $ 。

### 矩陣表示

上述方程式可以使用矩陣表示爲

　
: $\left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0$

亦可以寫作

　
: $\left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0$

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (參見齊次坐標)

下文中記 $A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]$ ，記 $A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$ 。

### 類別

藉由 $A_{Q}$ ，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

* 若 $\det(A_{Q})=0$ ，則圓錐曲線 $Q$ 退化。
* 若 $\det(A_{Q})\neq 0$ ，則圓錐曲線 $Q$ 未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

* 若 $\det(A_{33})>0$ , 方程式表示一個橢圓；
  * 對於橢圓，當 $(A+C)\det(A_{Q})<0$ 時， $Q$ 爲一個實橢圓；當 $(A+C)\det(A_{Q})>0$ 時 $Q$ 爲一個虛橢圓。（例如， $2x^{2}+y^{2}+10=0$ 沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
  * 特別的，若 $A=C$ ， $B=0$ 且 $D^{2}+E^{2}-4AF>0\,$ ，作爲橢圓的特殊情況， $Q$ 表示一個圓。
* 若 $\det(A_{33})=0$ ， $Q$ 表示一條拋物線；
* 若 $\det(A_{33})<0$ ， $Q$ 表示一條雙曲線；
  * 若 $A+C=0$ ， $Q$ 表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

* 若 $\det(A_{33})>0$ ，作爲橢圓的退化， $Q$ 爲一個點。
* 若 $\det(A_{33})=0$ ，作爲拋物線的退化， $Q$ 爲兩條平行直線。
  * 若 $D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$ ， $Q$ 爲兩條不重合的平行直線。
  * 若 $D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$ ， $Q$ 爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時 $A_{Q}$ 的秩爲 1）
  * 若 $D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$ ， $Q$ 直線不存在與實平面中。
* 若 $\det(A_{33})<0$ ，作爲雙曲線的退化， $Q$ 爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中， $A$ 和 $B$ 爲多項式係數，而非半長軸 $A$ 和半短軸 $B$ 。

### 不變數

矩陣 $A_{Q}$ 、 $A_{33}$ 的行列式，以及 $A+C$ （ $A_{33}$ 的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。 常數項 $F$ 以及 $D^{2}+E^{2}$ 僅在旋轉中保持不變。

### 離心率

 $Q$ 的離心率可被寫作關於 $Q$ 係數的函數。 若 $\det(A_{33})=0$ ， $Q$ 爲 拋物線，其離心率爲 1。其它情況下，假設 $Q$ 表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

　
: $e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},$

此處若 $\det(A_{Q})$ 爲負則 $\eta =1$ ；若 $\det(A_{Q})$ 爲正則 $\eta =-1$ 。

此外，離心率 $e$ 也是下述方程式的一個正根

　
: $\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,$

此處 $\Delta =\det(A_{33})$ 。對於橢圓或拋物線，該方程式只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

### 轉換爲標準方程式

對於橢圓或雙曲線， $Q$ 可用變換後的變數 $x',y'$ 表示爲如下所示的標準形式

　
: ${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,$

或等價的

　
: ${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,$

此處， $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 爲 $A_{33}$ 的特徵值，也即下述方程式的兩根：

　
: $\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0$

同時， $S=\det(A_{Q})$ ， $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})$ 。 

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

## 極坐標

圓錐曲線的**半正焦弦**（semi-latus rectum）通常指示為 $\ell $ ，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿著垂直於主軸（長軸）的直線度量的距離。它有關於半長軸 $a$ ，和半短軸 $b$ ，通過公式 $a\ell =b^{2}\ $ 或 $\ell =a(1-e^{2})\ $ 。

在極坐標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正 _x_ 軸上，給出自方程式

　
: $r={\ell  \over (1-e\cos \theta )}$ ，

或者，

　
: ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )$ ，

如上，對於 $e=0$ 得到一個圓，對於 $0<e<1$ 得到橢圓，對於 $e=1$ 得到拋物線，對於 $e>1$ 得到雙曲線。

## 齊次坐標

在齊次坐標下圓錐曲線可以表示為：

　
: $A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;$

或表示為矩陣：

　
: ${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$

矩陣 $M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}$ 叫做「圓錐曲線矩陣」。

 $\Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}$ 叫做圓錐曲線的行列式。如果 $\Delta =0$ 則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味著圓錐曲線是兩個直線的聯合（兩相交直線，兩平行直線或兩重合直線）或一點。。

例如，圓錐曲線 ${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$ 退化為兩相交直線： $\{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}$ 。

類似的，圓錐曲線有時退化為兩重合直線（兩直線重合成一條）: $\{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}$ 。

 $\delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}$ 被稱為圓錐曲線的判別式。如果 $\delta =0$ 則圓錐曲線是拋物線，如果 $\delta <0$ 則是雙曲線，如果 $\delta >0$ 則是橢圓。如果 $\delta >0$ 且 $A_{1}=A_{2}$ ，圓錐曲線是圓；如果 $\delta <0$ 且 $A_{1}=-A_{2}$ ，它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面 $\mathbb {CP} ^{2}$ 中，兩個圓錐曲線共有四個點（如果考慮重根），所以永不多於 4 個交點並總有 1 個交點（可能性：4 個不同的交點，2 個單一交點和 1 個雙重交點，2 個雙重交點，1 單一交點和 1 個三重交點，1 個四重交點）。如果存在至少一個重根 $>1$ 的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。

進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠（與無窮遠線的交點）。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是 $(1,i,0)$ 和 $(1,-i,0)$ ，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。

## 參考文獻

## 外部連結

* Conic sections（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Special plane curves（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* 埃里克・韋斯坦因. Conic Section. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld.
* 埃里克・韋斯坦因. Focus. MathWorld.
* Determinants and Conic Section Curves
* Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.