二階導數

微積分中，函數 $f$ 的**二階導數**（英語：second derivative 或 second order derivative）是其導數的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法：

　
: ${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},$

其中 ${\boldsymbol {a}}$ 為加速度， ${\boldsymbol {v}}$ 為速度， $t$ 為時間， ${\boldsymbol {x}}$ 為位置，而 $\mathrm {d} $ 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ 是位置 ${\boldsymbol {x}}$ 對時間的二階導數。

繪製函數圖形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（ $\cup $ ）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（ $\cap $ ）。

## 二階導數的冪法則

連續兩次用一階導數的冪法則，則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

公式對任意實數 $n$ 成立。

## 記法

函數 $f$ 的二階導函數常記為 $f''$ ，其於 $x$ 處取值為 $f''(x)$ 。換言之，

　
: $f''=\left(f'\right)',$

其中 $'$ 表示一階求導。若用萊布尼茲記法表示導數，則因變數 $y$ 關於自變數 $x$ 的二階導數記為

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.$

此種寫法的理由是， ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ 表示對 $x$ 求導，從而求導兩次應寫成：

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.$

### 其他記法

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$ 。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

　
: ${\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}$

上式中， $y''(x)$ 為二階導數，但 ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$ 則不然。 $\mathrm {d} u$ 表示微分算子施用於 $u$ 的結果，即 $\mathrm {d} (u)$ ，而 $\mathrm {d} ^{2}u$ 表示微分算子疊代兩次的結果，即 $\mathrm {d} (\mathrm {d} (u))$ 。最後 $\mathrm {d} u^{2}$ 是先微分再平方，即 $(\mathrm {d} (u))^{2}$ 。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的鏈式法則亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

## 例

考慮

　
: $f(x)=x^{3},$

運用冪法則， $f$ 的導數 $f'$ 由下式給出：

　
: $f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

 $f$ 的二階導數即是對導數 $f'$ 再次求導的結果，由下式給出：

　
: $f^{\prime \prime }(x)=6x.$

另一個例子，考慮正弦函數 $\sin $ 。有

　
: $\sin '(x)=\cos(x),$

而再次求導後，得到

　
: $\sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).$

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

## 與圖像的關係

### 凹向

函數 $f$ 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即**凹性**（concavity）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切線總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」著。

### 拐點

若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為**拐點**（inflection point）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 $f(x)=x^{4}$ 有 $f''(0)=0$ ，但 $f$ 在實數系上為凸，無拐點。

### 二階導數檢驗

二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 $f$ 的駐點（即滿足 $f'(x)=0$ 的點 $x$ ）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

* 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$ ，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極大值。
* 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$ ，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極小值。
* 若 $f^{\prime \prime }(x)=0$ ，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

## 極限

二階導數若存在，則可以衹用一個極限寫出：

　
: $f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

以上極限稱為二階對稱導數。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商：

　
: ${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 $f$ 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符號函數 $\operatorname {sgn} $ ，其定義為：

　
: $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}$

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 $x=0$ 處，二階對稱導數存在：

　
: ${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$

## 二次近似

正如導數與線性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影隨形。某函數 $f$ 於某點的二次近似，是一個二次函數，與 $f$ 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 $f$ 於 $a$ 附近的二次近似可寫成：

　
: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

## 本徵值與本徵函數

因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 $v''=\lambda v$ 的函數解 $v$ （**本徵向量**）與常數 $\lambda $ （**本徵值**）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量。

舉例，以閉區間 $[0,L]$ 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷條件（即 $v(0)=v(L)=0$ ），則諸本徵值為 $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ ，對應本徵向量（亦稱本徵函數） $v_{j}$ 由

　
: $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$

給出。此處 $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$ ， $j$ 為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量。

## 高維推廣

### 黑塞方陣

二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏導數 ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ 。對於三元函數 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} $ ，二階偏導數包括

　
: ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},$

以及混合偏導數

　
: ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$

還有其他次序的混合偏導數，如 ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$ ，但由二階導數的對稱性，衹要 $f$ 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為**黑塞方陣**（英語：Hessian 或 Hessian matrix）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗）。

### 拉普拉斯算子

另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到**拉普拉斯算子**（Laplace operator 或 Laplacian）。拉氏微分算子記作 $\nabla ^{2}$ 或 $\Delta $ 。以三維情形為例，定義為

　
: $\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

## 參見

* 啁啾度 —— 某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

## 註

## 參考文獻

## 延伸閱讀

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