二次函數

在數學中，**二次函數**（英語：quadratic function）表示形為 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ （ $a\neq 0\,\!$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常數）的多項式函數，其中， $x$ 為自變數， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於 $y$ 軸的拋物線。

二次函數表達式 $ax^{2}+bx+c$ 的定義是一個二次多項式，因為 $x$ 的最高冪次是 2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式式、二次方程式式。該方程式的解稱為方程式的根或函數的零點。

## 歷史

大約在公元前 480 年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前 300 年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7 世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人，它同時容許有正負數的根。

11 世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕・巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作 _Liber embadorum_，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

## 根

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\,\!$ 的兩個根為：

解方程式後，我們會得到兩個根： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 。則點 $(x_{1},0)$ 和 $(x_{2},0)$ 就是二次函數與 $x$ 軸的交點。根的類型如下：
* 設 $\Delta =b^{2}-4ac\,$ 為一元二次方程式式的判別式，又記作 D。
* 當 $\Delta >0\,\!$ ，則方程式有兩個不相等的根，也即與 $x$ 軸有兩個不重疊的交點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是正數。
* 當 $\Delta =0\,\!$ ，則方程式有兩個相等的根，也即與 $x$ 軸有一個切點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是零。
* 當 $\Delta <0\,\!$ ，則方程式沒有實數根，也即與 $x$ 軸沒有交點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是共軛複數。

設 $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 和 $r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，我們可以把 $ax^{2}+bx+c\,\!$ 因式分解為 $a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 。

## 二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式：

 * $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 稱為**一般形式**或**多項式形式**。
* $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 稱為**因子形式**或**交點式**，其中 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是二次方程式的兩個根， $(r_{1},0)$ , $(r_{2},0)$ 是拋物線與 $x$ 軸的兩個交點。
* $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 稱為**標準形式**或**頂點形式**， $(h,k)$ 即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

$$
h$ 代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 $h
$$

 * $k$ 展開後比較後可得 $k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}$

不通過 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 求 $k$ 及 $h$ 公式：

 * $h=-{\frac {b}{2a}}$
* $k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ (也作 $k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ )

而在三種形式中皆出現的 $a$ 為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

## 圖像

* 係數 $a$ 控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。 $|a|$ 越大，開口越小，函數就增長得越快。
* 係數 $b$ 和 $a$ 控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的 $x$ 坐標）。
* 係數 $b$ 控制了拋物線穿過 $y$ 軸時的傾斜度（導數）。
* 係數 $c$ 控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與 $y$ 軸的交點。

### _x_ 截距

當函數與 $x$ 軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 $A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)$ ，由根與係數的關係得出： $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ 和 $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

　
: ${\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}$

### 頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函數是標準形式，則頂點為 $(h,k)\,\!$ 。用配方法，可以把一般形式 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 化為：

因此在一般形式中，拋物線的頂點是：

如果二次函數是因子形式 $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ ，則兩個根的平均數就是頂點的 $x$ 坐標，因此頂點位於 $a<0\,\!$ 時，頂點也是最大值； $a>0\,\!$ 時，則是最小值。經過頂點的豎直線

又稱為拋物線的對稱軸。

### 最大值和最小值

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ ，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數：

然後，求出 $f'(x)\,\!$ 的根：因此， $-{\frac {b}{2a}}$ 是 $f(x)\,\!$ 的 $x\,\!$ 值。現在，為了求出 $y\,\!$ ，我們把 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $f(x)\,\!$ ：所以，最大值或最小值的坐標為：

## 二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果 $a>0\,\!$ ，則方程式 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果 $a<0\,\!$ ，則方程式 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。

## 二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式：

這個函數描述了一個二次曲面。把 $f(x,y)\,\!$ 設為零，則描述了曲面與平面 $z=0\,\!$ 的交線，它是一條圓錐曲線。

### 最小值 / 最大值

如果 $4AB-E^{2}<0\,$ ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 $4AB-E^{2}>0\,$ ，則當 $A>0$ 時函數具有最小值，當 $A<0$ 具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 $(x_{m},y_{m})\,$ 取得，其中：

如果 $4AB-E^{2}=0\,$ 且 $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。如果 $4AB-E^{2}=0\,$ 且 $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ ，則函數在一條直線上取得最大值 / 最小值。當 $A>0$ 時取得最大值， $A<0$ 時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

## 註釋

## 參考資料

### 參考書目

* 《代數 1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
* 《代數 2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

## 參見

* 拋物線

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Quadratic. MathWorld.