二項式分布

在機率論和統計學中，**二項式分布**（英語：Binomial distribution）是 $n$ 個獨立的是 / 非試驗中成功的次數的離散機率分布，其中每次試驗的成功機率為 $p$ 。這樣的單次成功 / 失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當 $n=1$ 時，二項式分布就是伯努利分布。二項式分布是顯著性差異的二項試驗的基礎。

## 詳述

### 機率質量函數

一般來說，若隨機變數 ${\mathit {X}}$ 服從母數為 ${\mathit {n}}$ 和 ${\mathit {p}}$ 的二項式分布，我們記作 $X\sim b(n,p)$ 或 $X\sim B(n,p)$ 。n 次試驗中正好得到 _k_ 次成功的機率由機率質量函數給出：

　
: $f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

對於 $k=0,1,2,\cdots ,n$ ，其中 ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

是二項式係數（這就是二項式分布的名稱的由來），又記為 $C(n,k)$ ， $_{n}C_{k}$ ，或 $^{n}C_{k}$ 。該公式可以用以下方法理解：我們希望有 $k$ 次成功（機率為 $p^{k}$ ）和 $n-k$ 次失敗（機率為 $(1-p)^{n-k}$ ）。然而， _$k$_ 次成功可以在 _${\mathit {n}}$_ 次試驗的任何地方出現，而把 _$k$_ 次成功分布在 _${\mathit {n}}$_ 次試驗中共有 $C(n,k)$ 個不同的方法。

在製造二項式分布機率的參考表格時，通常表格中只填上 ${\frac {n}{2}}$ 個值。這是因為 $k>{\frac {n}{2}}$ 時的機率可以從它的補集計算出：

　
: $f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p)\,$

因此，我們要看另外一個 _$k$_ 和另外一個 $p$ （二項式分布一般不是對稱的）。然而，它的表現不是任意的。總存在一個整數 $M$ ，滿足:

　
: $(n+1)p-1<M\leq (n+1)p\,$

作為 _$k$_ 的函數，表達式 $f(k;n,p)$ 當 $k<M$ 時單調遞增， $k>M$ 時單調遞減，只有當 $(n+1)p$ 是整數時例外。在這時，有兩個值使 $f$ 達到最大： $(n+1)p$ 和 $(n+1)p-1$ 。 _$M$_ 是伯努利試驗的最可能的結果，稱為眾數。注意它發生的機率可以很小。

### 累積分布函數（機率分布函數）

累積分布函數可以表示為：

　
: $F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

其中 $\lfloor x\rfloor \,$ 是小於或等於 $x$ 的最大整數。

它也可以用正則化不完全貝塔函數來表示：

　
: ${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt\end{aligned}}$

## 期望和變異數

如果 $X\sim B(n,p)$ （也就是說， $X$ 是服從二項式分布的隨機變數），那麼 _$X$_ 的期望值為

　
: $\operatorname {E} [X]=np$

變異數為

　
: $\operatorname {Var} [X]=np(1-p).$

這個事實很容易證明。首先假設有一個伯努利試驗。試驗有兩個可能的結果：1 和 0，前者發生的機率為 _$p$_ ，後者的機率為 $1-p$ 。該試驗的期望值等於 $\mu =1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$ 。該試驗的變異數也可以類似地計算： $\sigma ^{2}=(1-p)^{2}\cdot p+(0-p)^{2}\cdot (1-p)=p(1-p)$ .

一般的二項式分布是 $n$ 次獨立的伯努利試驗的和。它的期望值和變異數分別等於每次單獨試驗的期望值和變異數的和：

　
: $\mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).$

## 眾數和中位數

通常二項式分布 $B(n,p)$ 的眾數等於 $\lfloor (n+1)p\rfloor $ ，其中 $\lfloor \cdot \rfloor $ 是取整函數。然而，當 $(n+1)p$ 是整數且 _$p$_ 不等於 0 或 1 時，分布有兩個眾數： $(n+1)p$ 和 $(n+1)p-1$ 。當 _$p$_ 等於 0 或 1 時，眾數相應地等於 0 或 $n$ 。這些情況可以綜述如下：

　
: ${\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{若 }}(n+1)p{\text{ 是 0 或 非 整 数 }},\\(n+1)\,p\ {\text{ 和 }}\ (n+1)\,p-1&{\text{若 }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{若 }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

一般地，沒有一個單一的公式可以求出二項式分布的中位數，甚至中位數可能是不唯一的。然而有幾個特殊的結果：

* 如果 $np$ 是整數，那麼平均數、中位數和眾數相等，都等於 _$np$_ 。
* 任何中位數 $m$ 都位於區間 $\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil $ 內。
* 中位數 _$m$_ 不能離平均數太遠： $\left\vert m-np\right\vert \leq \min\{\ln 2,\ \max\{p,1-p\}\}$ 。
* 如果 $p\leq 1-\ln 2$ ，或 $p\geq \ln 2$ ，或 $\left\vert m-np\right\vert \leq \min\{p,1-p\}$ （除了 $p={\frac {1}{2}}$ 、 $n$ 是奇數的情況以外），那麼中位數是唯一的，且等於 $m=\mathrm {round} (np)$ 。
* 如果 $p={\frac {1}{2}}$ ，且 $n$ 是奇數，那麼區間 ${\frac {1}{2}}(n-1)\leq m\leq {\frac {1}{2}}(n+1)$ 中的任何數 _$m$_ 都是二項式分布的中位數。如果 $p={\frac {1}{2}}$ 且 _$n$_ 是偶數，那麼 $m={\frac {n}{2}}$ 是唯一的中位數。

## 兩個二項式分布的共變異數

如果有兩個服從二項式分布的隨機變數 $X$ 和 $Y$ ，我們可以求它們的共變異數。利用共變異數的定義，當 $n=1$ 時我們有

　
: $\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.$

第一項唯若 $X$ 和 $Y$ 都等於 1 時非零，而 $\mu _{x}$ 和 $\mu _{y}$ 分別為 $X=1$ 和 $Y=1$ 的機率。定義 $p_{B}$ 為 _$X$_ 和 _$Y$_ 都等於 1 的機率，便得到

　
: $\operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,$

對於 _n_ 次獨立的試驗，我們便有

　
: $\operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,$

如果 $X$ 和 $Y$ 是相同的變數，便化為上面的變異數公式。

## 與其他分布的關係

### 二項式分布的和

如果 $X\sim B(n,p)$ 和 $Y\sim B(m,p)$ ，且 $X$ 和 $Y$ 相互獨立，那麼 $X+Y$ 也服從二項式分布；它的分布為

　
: $X+Y\sim B(n+m,p).\,$

### 伯努利分布

伯努利分布是二項式分布在 $n=1$ 時的特殊情況。 $X\sim B(1,p)$ 與 $X\thicksim \mathrm {Bern} (p)$ 的意思是相同的。相反，任何二項式分布 $B(n,p)$ 都是 $n$ 次獨立伯努利試驗的和，每次試驗成功的機率為 $p$ 。

### 卜瓦松二項式分布

二項式分布是卜瓦松二項式分布的一個特殊情況。卜瓦松二項式分布是 _$n$_ 次獨立、不相同的伯努利試驗 ( $p_{i}$ ) 的和。如果 _$X$_ 服從卜瓦松二項式分布，且 $p_{1}=\cdots =p_{n}=p$ ，那麼 $X\sim B(n,p)$ 。

### 常態近似

如果 _$n$_ 足夠大，那麼分布的偏度就比較小。在這種情況下，如果使用適當的連續性校正，那麼 $B(n,p)$ 的一個很好的近似是常態分布：

　
: ${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))$

　
: ${\mathcal {Var}}(x)=np(1-p)$

 _$n$_ 越大（至少 30），近似越好，當 _$p$_ 不接近 0 或 1 時更好。不同的經驗法則可以用來決定 _$n$_ 是否足夠大，以及 _$p$_ 是否距離 0 或 1 足夠遠：

* 一個規則是 $np$ 和 $n(1-p)$ 都必須大於 5。

### 卜瓦松近似

當試驗的次數趨於無窮大，而乘積 _$np$_ 固定時，二項式分布收斂於卜瓦松分布。因此母數為 $\lambda =np$ 的卜瓦松分布可以作為二項式分布 $B(n,p)$ 的近似，如果 _$n$_ 足夠大，而 _$p$_ 足夠小。

## 極限

* 當 _$n$_ 趨於 $\infty $ ， _$p$_ 趨於 0，而 _$np$_ 固定於 $\lambda >0$ ，或至少 _$np$_ 趨於 $\lambda >0$ 時，二項式分布 $B(n,p)$ 趨於期望值為 λ 的卜瓦松分布。
* 當 _$n$_ 趨於 $\infty $ 而 _$p$_ 固定時，

　
: : ${X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}$

　
: 的分布趨於期望值為 0、變異數為 1 的常態分布。這個結果是中央極限定理的一個特殊情況。

## 例子

一個簡單的例子如下：擲一枚骰子十次，那麼擲得 4 的次數就服從 $n=10$ 、 $p={\frac {1}{6}}$ 的二項式分布。

## 參見

* 機率論
* 機率分布
* 卜瓦松分布
* 負二項式分布

## 參考文獻