五格骨牌

**五格骨牌**（Pentomino），又稱**五連塊**、**五連方**、**五連方塊**或**傷腦筋十二塊**，是由五個全等正方形連成的多格骨牌，反射或旋轉視作同一種共有十二種，可以英文字母代表。五格骨牌的相關問題及遊戲是娛樂數學中流行的問題。五格骨牌的謎題，最早是英國人亨利・杜德耐於 1907 年所發明，書名《坎特伯雷趣題和其他奇特問題》（Canterbury Puzzles and Other Curious Problems）。

五格骨牌中每一個都滿足康威準則，因此用任何一個都可以密鋪整個平面。所有具有對掌性的五格骨牌都可以在不鏡射的條件下密鋪整個平面。

## 歷史

五格骨牌的正式定義是由美國教授所羅門・格倫布在 1953 年開始定義，後來列在 1965 年出版的書籍《Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings》中。之後馬丁・加德納在《科學美國人》雜誌 1965 年 10 月的數學遊戲專欄中介紹，引起大家的興趣。格倫布創建了五格骨牌的英文 pentomino，源自古希臘語 πέντε / _pénte_（5），而 - omino 是採用 domino（西洋骨牌），刻意的將 domino 前面的 d 視為是希臘文字首 di- （二個）的變形。格倫布用 12 個和五格骨牌外形較類似的英文字母來為五格骨牌命名。

約翰・何頓・康威有另外一個針對五格骨牌命名的系統，其中用 O 來代替 I、Q 來代替 L、R 來代替 F、S 來代替 N。此命名法中，一些五格骨牌和其名稱的關係較不直覺，不過好處是使用了連續的 12 個英文字母。在討論康威生命遊戲時會用到這個命名系統，例如用 R 骨牌來代替 F 骨牌。

## 對稱性

* F, L, N, P, Y 的骨牌由於既非線對稱亦非點對稱，所以總共有 8 種固定五格骨牌，旋轉後可以產生四種骨牌，鏡射後再旋轉後可以產生另外四種骨牌，其空間對稱群只有恆等函數。
* T, U 的骨牌由於有一條和格線平行的對稱軸，因此只有 4 種固定五格骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函數外，還包括相對於對稱軸的鏡射。
* V, W 的骨牌由於有一條和格線有 45 度夾角的對稱軸，因此只有 4 種固定五格骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函數外，還包括相對於對稱軸的鏡射。
* Z 的骨牌有一個對稱點，是二次的旋轉對稱，因此也只有 4 種固定五格骨牌，旋轉後可以產生二種骨牌，鏡射後再旋轉可以產生另外二種骨牌。其空間對稱群有二個元素，除了恆等函數外，也包括 180 度的旋轉。
* I 的骨牌有兩條對稱軸（都平行格線）跟一個對稱點，因此只有 2 種固定五格骨牌。其空間對稱群有四個元素：恆等函數，兩個鏡射以及 180 度的旋轉。I 的骨牌是 n = 2 的二面體群，也稱為克萊因四元群。
* X 的骨牌有四條對稱軸跟一個對稱點，因此只有唯一一種固定五格骨牌。其四條對稱軸分別平行格線以及二條對角線，也有四次的旋轉對稱。其對稱軸是 n = 4 的二面體群，有八個元素。

F, L, N, P, Y 和 Z 的骨牌有對掌性，因此若考慮無法翻面的單面骨牌，要加上這些骨牌的鏡射（F', L', N', Q', Y', Z'），共有 18 種單面骨牌。若骨牌不允許旋轉（固定骨牌），本段分類的第一類要乘以 8，後面三類（T、U、V、W、Z）要乘以 4，I 要算 2 次，X 只算 1 次，因此共有 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 個固定的五格骨牌。

以下是 L, F, N, P, Y 骨牌的八種可能放法：

      

## 長方形填充

標準的**五格骨牌謎題**是用五格骨牌密鋪長方形，骨牌不能重疊，也不能留下沒有骨牌的空格。每個五格骨牌的面積都等於五個單位方形，因此長方形的面積需等於 60 個單位方形。可能的尺寸有 6×10, 5×12, 4×15 及 3×20。狂熱智力遊戲玩家可能會徒手玩幾個小時來求解這類問題。另一個問題的挑戰性更大，是計算某一尺寸下有幾種解法，一般會需要配合搜索算法來進行。

6×10 的問題最早是由 Colin Brian 及 Jenifer Haselgrove. 所解出，共有 2339 個解答，2339 個解答中，不考慮若將整個長方形旋轉或是鏡射的解，旦若其中部份五格骨牌旋轉或是鏡射，則視為是不同的解。5×12 的問題有 1010 個解，4×15 的問題有 368 個解，3×20 的問題只有二個解（圖中的是其中一個解，將 L, N, F, T, W, Y, Z 方塊組成的方塊組鏡射後，可得到另一個解）。

另一個比較簡單（對稱性較高）的問題，是中間挖掉 2×2 方塊的 8×8 正方形，此問題最早由達納・斯科特在 1958 年解出，共有 65 種解。斯科特的求解方式也是回溯法電腦程式的早期應用之一。此問題的變體是正方形中的 4 個空格在其他的位置，大部份的變體都可以解，除非空格都集中在某兩個角附近，讓兩個角都要用 P 骨牌填充，或是強迫在角落放入 T 骨牌或 U 骨牌，使得出現其他五格骨牌無法填滿的格子。

目前已有高效的演算法可求解五格骨牌的密鋪問題，像高德納也有創建類似的演算法。若在現今的個人電腦上執行，只要幾秒鐘就能解出五格骨牌的擺放方式。

利用所有的 _n_ 格骨牌來密鋪長方形的問題，只有在 _n_ = 0, 1, 2 和 5 時才有解。

## 平面填充

所有 12 種五格骨牌都滿足康威準則，因此都可以只用同一種五格骨牌，來填滿整個平面。

## 五立方體及立體填充

**五立方體**（pentacube）是由五個立方體組成的多連立方體，共有 29 個，其中有 12 個是高度為 1 的五格骨牌，另外 17 個是非平面的。

**五立方體填充問題**（pentacube puzzle）是由五立方體中 12 個高度為 1 的平面五立方體，填滿三維的長方體。五立方體的體積是單位立方體的 5 倍，要填滿的長方體體積就是單位立方體的 60 倍，可能的尺寸有 2×3×10（12 個解）、2×5×6（264 個解）及 3×4×5（3940 個解 solutions），以下就是這幾種情形的各一個解

五立方體其實有 29 個，因此也可能會想是否可以用所有的五立方體（包括平面及非平面的）來填滿長方體。不過 29 個五立方體的體積是單位立方體的 29×5=145 倍，可能的長方體尺寸只有 29×5×1，而高度只有 1，無法將非平面的五立方體放入，因此不可能用 29 個五立方體來填滿長方體。

## 雙人遊戲

以十二塊為基礎，可作一個雙人遊戲。每人輪流在一個 8×8 的格網上放其中一塊，使得每塊不重疊而沒有一塊用多於一次。最後一個放的人勝。這個遊戲是先手勝的。這個遊戲稱為「格倫布遊戲」。

1960 年，桌上遊戲設計師艾力克斯・蘭多夫以此遊戲增加限放規則的補天棋。

## 建築

有時，一些 Plattenbau 建築的外牆會以以五格骨格為裝飾，主要出現在東歐。圖案主要是以 6×10 長方形問題的解為主。

## 腳註

## 參考資料

* Pritchard, D. B. Golomb's Game. Brain Games. Penguin Books. 1982: 83–85. ISBN 0-14-00-5682-3.

## 相關條目

* 龍博士
* 平鋪拼圖問題
* 都會棋
* 所羅門・格倫布

## 外部連結

* Pentomino, Homepage：有各種矩形的全部解
* George Huttlin's Pentomino Webpage：以十二塊砌成英文字母
* Eric Harshbarger's Pentominoes Page （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Pentomino
* 拼圖筆記，高文山
* 這裏可以下載雙人遊戲 (Pentacubes)
* 啟發積木線上遊戲。拖動，旋轉和翻轉積木瓷磚放在一起的圖片或解決數字拼圖，玩 Tetromino 或發現 PEG 紙牌的解決方案。