亨得里克·勞侖茲

**亨德里克・安東・勞侖茲**（荷蘭語：**Hendrik Antoon Lorentz**，1853 年 7 月 18 日 —1928 年 2 月 4 日），荷蘭物理學家，曾與彼得・塞曼共同獲得 1902 年諾貝爾物理學獎，並於 1881 年當選荷蘭皇家藝術與科學學院院士，同時還曾擔任多國科學院外籍院士。

勞侖茲以其在電磁學與光學領域的研究工作聞名於世。他通過連續電磁場以及物質中離散電子等概念得到了古典電子理論。這一理論可以在許多問題中派上用場：比如電磁場對運動的帶電粒子的作用力（勞侖茲力）、介質的折射率與其密度的關係（勞侖茲 - 勞侖次方程式）、光色散理論、對於一些磁學現象的解釋（比如塞曼效應）以及金屬的部分性質。在電子理論的基礎上，他還發展了運動介質中的電動力學，其中包括提出了物體在其運動方向上會發生長度收縮的假說（勞侖茲 - 費茲傑羅收縮）、引入了「局部時」的概念、獲得了質量與速度之間的關係並構造了表述不同慣性系間坐標和時間關係的方程組（勞侖茲變換）。勞侖茲的研究工作後來成為狹義相對論與量子物理的基礎。此外，勞侖茲在熱力學、分子運動論、廣義相對論以及熱輻射理論等方面也有建樹。

## 生平

### 早年（1853－1870）

亨德里克・安東・勞侖茲 1853 年 7 月 18 日生於阿納姆。他的祖先來自德國萊茵蘭地區，大多務農。父親赫里特・弗雷德里克・勞侖茲（Gerrit Frederik Lorentz，1822－1893）在海爾德蘭省費爾普（Velp）擁有一片水果苗圃。母親海特勒伊達・范・欣克爾（Geertruida van Ginkel，1826－1861）在烏特勒支省的倫斯沃德長大。在嫁給勞侖茲父親前，她曾守過三年寡。夫婦二人育有三子，但兩子早夭。勞侖茲是和母親與前夫的兒子揚・亨德里克・雅各布一起長大的。在勞侖茲母親去世一年之後，父親與呂貝他・許普克斯（Luberta Hupkes，1819/1820－1897）再婚。

六歲時，勞侖茲開始在當地的蒂默小學學習。在學期間，幼年的勞侖茲在赫爾特・科內里斯・蒂默（曾寫幾過本物理學教材與科普讀物）的指導下學習了基礎的數學與物理學。1866 年，這位未來的科學家通過了阿納姆高等中學（Hogereburgerschool）的入學考試。一批優秀的教師，特別是 H・范德斯塔特（H. van der Stadt，曾寫過多部著名的物理學著作）與雅各布・馬丁・范・貝梅萊納（Jacob Martin van Bemmelena），對於他的學業助益頗深。勞侖茲本人後來也承認他對於物理學的熱愛正是范德斯塔特不斷灌輸的結果。他在這所學校遇到的另外一個重要的人是後來也成為物理學家的赫爾曼・哈加（Herman Haga）。他們是同班同學並且是一生的摯友。除了自然科學外，勞侖茲還對歷史感興趣。他讀過大量荷蘭和英國歷史的著作，並且非常喜歡歷史小說。他非常愛讀沃爾特・司各特、威廉・梅克比斯・薩克雷以及查爾斯・狄更斯這些英國文學家的作品。記憶力出眾的勞侖茲還掌握英語、法語、德語等多國語言，特別是在讀大學前，他還自學了希臘語與拉丁語。不過勞侖茲並不善於交際。靦腆的他即使是在親戚面前也不善言辭。而他對於神秘主義也並不感興趣。他的女兒後來這樣說道：「（勞侖茲）放棄了對於上帝恩典的信賴…… 他將對於宗教的信念…… 轉化為對於理性的至高價值的信仰。」

### 初涉科學界（1870－1877）

1870 年，勞侖茲考入荷蘭最古老的學府，萊頓大學。 勞侖茲在這裡接受過物理學家彼得・賴克（Pieter Rijke）以及數學家彼得・范・海爾（Pieter van Geer）等人的教導。而與勞侖茲關係最為親密的老師是天文學家弗雷德里克・凱澤（Frederik Kaiser）。范德斯塔特曾是凱澤的學生。凱澤也是通過他認識了勞侖茲。勞侖茲也是在讀大學時接觸到了詹姆斯・克拉克・馬克士威所做的基礎工作。赫爾曼・馮・亥姆霍茲、奧古斯丁・菲涅耳以及麥可・法拉第等人的工作對於勞侖茲理解馬克士威的工作幫助很大。1871 年，勞侖茲通過了碩士學位的考試。次年二月，勞侖茲離開萊頓，回到阿納姆準備博士入學考試。他在夜校以及阿納姆當地的蒂默學院教授數學。這份工作令他有充足的時間研究科學。勞侖茲研究的重點是馬克士威的電磁學理論。除此之外，他還利用學校的實驗室進行了一系列光學與電磁學實驗。勞侖茲曾試圖通過研究萊頓瓶的放電過程來證明電磁波存在，但未獲得成功。勞侖茲後來這樣回憶道：「（研究馬克士威的電磁學專著）可能是我一生中最重要的經歷。將光解釋為電磁現象可能是我所知道的最為大膽的設想。這位科學家可能並沒有得到最終的表述。它並不完整，也不能給出許多問題的答案。」

勞侖茲 1873 年通過了博士入學考試，並於 1875 年 12 月 11 日對他的博士論文《論光反射與折射的理論》（_Over de theorie der terugkaatsing en breking the van of het are licht_）進行了答辯。他在這篇論文中基於馬克士威理論給出了這兩種過程的解釋。在完成論文答辯後，勞侖茲回到了阿納姆，繼續之前的教學工作。1876 年夏，他與友人一起去瑞士旅行。此時勞侖茲面對著是否轉向研究數學的抉擇。他在阿納姆的學校的教學效果不錯，並且烏特勒支大學此時也邀請他擔任數學教授。然而，勞侖茲還是想要回母校任職。他婉拒了烏特勒支大學的邀請，並在萊頓當地的一所高中謀得了一份臨時工作。不久，萊頓大學發生了一個重大變故：物理系分為了兩部分，理論物理學與實驗物理學。萊頓大學起初邀請約翰內斯・范德瓦耳斯擔任理論物理學教授。在凡得瓦拒絕後，勞侖茲接受了委任。這是荷蘭國內首個（在歐洲也是首批）理論物理學教授職位。而勞侖茲的工作也促進理論物理學成為一門獨立學科。

### 萊頓（1878－1911）

1878 年 1 月 25 日，勞侖茲正式就任理論物理學教授。上任時，他做了有關物理學中分子理論的報告。依據他的學生所說，這位年輕的教授「有一種特質。他和善又單純，但與學生之間還是保持一定的距離，儘管他本人可能沒有這樣的打算或覺察到這一點」。勞侖茲所教授的課程非常受學生歡迎。儘管占去大量時間，他還是非常喜歡教學。1883 年，在同事海克・卡末林・昂內斯病重無法繼續向醫學生教授普通物理時，勞侖茲承擔下這份教學工作。他在昂內斯康復後繼續講授這一課程直至 1906 年。他的講義後來改編成多本教材。這一系列教材重印多次，還有多種語言譯本。1882 年，勞侖茲開始向公眾普及物理學知識。由於他可以將複雜的科學問題講解得非常清晰，他的演講非常受歡迎。

1880 年夏，勞侖茲結識了凱澤教授的侄女阿萊塔・卡塔里娜・凱澤（Aletta Catharina Kaiser，1858－1931）。他們在那個夏天訂婚，並在翌年初成婚。1885 年，他們的女兒海特勒伊達・德哈斯 - 勞侖茲（Geertruida de Haas-Lorentz）出生。次女約翰娜・威廉明娜、早夭的長子以及次子魯道夫相繼於 1889 年、1893 年與 1895 年誕生。長女後來成為勞侖茲的學生研究物理學與數學，並嫁給了昂內斯的學生，萬德・約翰內斯・德哈斯。

在萊頓任職最初的幾年裡，勞侖茲在國際科學界相對孤立，這多少是因為他的著作甚少在國外面世以及他本人極力避免接觸外界的性格。直到 19 世紀 90 年代中期，他的工作在荷蘭國外都甚少有人問津。1897 年，他首次出席了在德國杜塞道夫召開的自然科學家與醫生會議。 他在這裡認識了路德維希・波茲曼、威廉・維因、亨利・龐加萊、馬克斯・普朗克以及威廉・倫琴等等科學家。在成功創建電子理論並完善電動力學後，勞侖茲在科學界聲名漸起。有關這種理論的專著於 1892 年首次出版。勞侖茲後來積極發展這種理論，並用其解釋多種光學現象（比如色散）、金屬部分性質以及運動介質中的電動力學等等。電子理論最具突破性的成就就是解釋了彼得・塞曼於 1896 年報告的磁場中出現的譜線分裂現象，塞曼效應。1902 年，塞曼與勞侖茲因為這項成就共同榮獲該年的諾貝爾物理學獎。勞侖茲也成為首位獲此殊榮的理論物理學家。 電子理論的成功很大程度上來源於勞侖茲對於新概念與方法的敏感以及結合不同理論框架中元素的能力。歷史學家奧利維爾・達里戈爾（Olivier Darrigol）這樣說：

> 得益於這個國家的開放性，他一視同仁地閱讀德語、英語以及法語的原始文獻。啟發他創意的人們，亥姆霍茲、馬克士威以及菲涅爾，來自彼此相當迥異有時甚至互相衝突的幾種文化環境。對於普通人來說，那種折衷做法可能會導致迷惑，但勞侖茲卻得益於此。
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獲獎後，勞侖茲受到世界各地的邀請去做演講。他曾造訪柏林（1904）與巴黎（1905）等地。1906 年，他前往紐約哥倫比亞大學做了系列講座。此時也有不少大學請勞侖茲出山。慕尼黑大學更是在 1905 年給出了相比萊頓優越得多的條件。但勞侖茲並不想離開這個他熟悉的地方，也不想打破寧靜的小鎮生活。因而在荷蘭教育部改善他的工作環境後，他也就徹底打消了離開的念頭。1909 年，勞侖茲當選荷蘭皇家藝術與科學學院物理學部主任，並擔任此職長達 12 年。

隨著相對論的出現以及量子物理逐漸走進人們視野，人們開始質疑勞侖茲的電子理論以及古典物理普遍有效性。勞侖茲也在一直尋找舊物理困境的出路，但並沒有成功。在勞侖茲《電子理論》蘇聯版的序言中，托里昌・克拉韋茨這樣寫道：「他在教學上的奮鬥堪稱偉績。從中還可以看到作者在科學上的公正。他尊重來自各方的反對，並直面各種困難。在讀了這本書後，你可以親眼看到他為那些舊的信仰所做的一切 —— 但這並沒能拯救它們。」儘管對於對於古典物理仍有眷戀，對於新概念仍然保持謹慎，勞侖茲此時已經清晰意識到舊理論的不完美以及新科學的累累碩果。1911 年秋，聚集著歐洲頂級物理學家的第一次索爾維會議在布魯塞爾召開。會議的主要議題是輻射的量子理論。由於在這一問題上的權威、通曉多國語言以及能將討論拉回正軌的能力，勞侖茲獲薦為會議主席。他的同仁對於勞侖茲在此次高水平會議中的作為賞識有加。阿爾伯特・愛因斯坦將勞侖茲稱作是「智慧與應變的奇蹟」。馬克斯・玻恩也對勞侖茲印象深刻：「他善於表達的眼睛令人一見難忘 —— 其中既可看到友善，也能看到嘲諷。他的演講也是如此：明晰、和緩、有說服力但又能聽到言辭之下的諷刺。勞侖茲彬彬有禮地把持著會議……」

### 哈勒姆（1912－1928）

1911 年，勞侖茲收到邀請出任位於哈勒姆的泰勒斯博物館的館長。荷蘭皇家科學學會就位於這座城市。勞侖茲接受了邀請，並開始尋找他在萊頓的繼任者。他一開始找到了愛因斯坦，但因愛因斯坦已經接受了來自蘇黎世的邀請而未果。勞侖茲後來說服在聖彼得堡工作的保羅・埃倫費斯特。1912 年秋，在埃倫費斯特正式就任後，勞侖茲移居哈勒姆。在泰勒斯博物館，勞侖茲擁有一座私人實驗室。他還負責面向物理教師的講座。而在接下來的十年裡，勞侖茲會在每周一做有關物理新進展的講座。這個講座已經成為了一項為科學界熟知的傳統。其他國家的許多優秀研究者也曾造訪此地。

隨著年齡的增長，勞侖茲也開始在社交活動上，特別是在教育問題以及國際科學合作方面，付出了更大精力。他在海牙創辦了學校並在萊頓組織了首批免費圖書館與閱讀室。他還是索爾維基金會的經理人之一，組建了國際物理研究所，並成立委員會向各國的研究者撥款。在 1913 年的一篇文章中，勞侖茲這樣寫道：「每個人都認識到了合作以及對共同目標的追求最終會產生互敬、團結的友好關係。而這也將促進和平。」但不久後到來的一戰在很長的一段時期內擾亂了交戰國的科學家之間的交流。作為中立國公民的勞侖茲也在盡全力化解分歧，恢復各國研究者以及研究機構間的合作。而在進入戰後組建的國際研究理事會後，勞侖茲和他的支持者試著去打破組織章程中歧視戰敗國的條款。1923 年，勞侖茲加入由國際聯盟組建的旨在加強歐洲國家間科學合作的國際智力合作委員會（International Committee on Intellectual Cooperation），並在之後不久接替亨利・柏格森成為委員會主席。

1918 年，勞侖茲成為須德海工程（Zuiderzeewerken）委員會主席。他在餘生中為此項工程付出了大量的精力，有時還會親自參與工程計算。這些計算涉及諸多因素，需要理論物理學中諸多的數學方法。首座大壩始建於 1920 年，直到勞侖茲逝世多年後才完工。1919 年，對於教學有濃厚興趣的勞侖茲開始負責公共教育。1921 年，他成為荷蘭高等教育部部長。次年，勞侖茲受到加州理工學院的邀請，二度出訪美國，並在多地做了演講。之後，他又在 1924 年秋以及 1926 年冬兩次造訪帕薩迪納。1923 年，勞侖茲退休，但仍會在每周一做慣例的講座。1925 年，萊頓舉辦了勞侖茲博士論文答辯 50 周年的紀念儀式。兩千多人從世界各地趕來出席這次活動，其中包括傑出的物理學家、荷蘭政府代表以及勞侖茲的學生與友人。威廉明娜女王的丈夫亨德里克親王授予勞侖茲荷蘭至高榮譽，大十字奧倫治 - 拿索勳章（Orde van Oranje-Nassau）。荷蘭皇家藝術與科學學院宣布創辦勞侖茲獎章，以獎勵對於理論物理學做出重要貢獻的科學家。

儘管科學方面的創造能力已不復往日，勞侖茲對於物理學的新進展的興趣卻一如既往。鑑於其在科學界的特殊地位，勞侖茲這位「物理學的長者」（埃倫費斯特語）在戰後仍受到委任主持歷次索爾維會議。他在探明新物理學所面對的挑戰方面起到重要的作用。約瑟夫・拉莫爾這樣說：「他是國際會議完美的領導者。他最為博學，也能最早領會現代物理所有問題的要旨。」阿諾・索末菲則這樣說：「（勞侖茲）雖然最年老，但卻最懂得變通。」1927 年 10 月，勞侖茲在第五次索爾維會議中最後一次擔任主席。這次會議主要討論的就是新近建立的量子力學。同年，在完成須德海工程相關計算後，勞侖茲離開了高等教育部，希望能夠全身心地投入科學之中。然而他卻在次年的 1 月中旬染上了丹毒，身體狀況每日愈下。2 月 4 日，勞侖茲病逝。他的葬禮 2 月 9 日在哈勒姆舉行。當天中午，荷蘭全國中斷電報通信 3 分鐘以示哀悼。保羅・埃倫費斯特、歐尼斯特・拉塞福、保羅・郎之萬以及阿爾伯特・愛因斯坦在勞侖茲的墓前做了演講。愛因斯坦在演講中是這樣說的：

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> 勞侖茲終其一生都在細緻入微地進行著可謂藝術的工作。無時不刻的和善、慷慨、公正以及對人和環境深刻的直覺讓他無論走到哪裡，都能執一方之牛耳。所有人都能感受到他並不是去管制人們，而是為他們服務，因而都很樂意跟隨他。
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## 研究工作

### 早期對光的電磁理論的研究

在勞侖茲之前，馬克士威的電動力學理論已經能夠充分描述光在真空中傳播的過程，不過光與物質交互作用的理論仍尚付闕如。勞侖茲在其研究生涯初期通過光的電磁理論在物質的光學性質這一問題上做了一些研究。基於這一理論（或者更準確地說，基於亥姆霍茲利用超距作用給出的解釋），勞侖茲在他的博士論文裡解決了光如何在兩種透明介質的界面上反射和折射的問題。此前他曾試圖通過光彈性理論，即將光解釋為在以太中傳播的機械波，來解決這個問題，但這種方法卻有基礎性的問題。亥姆霍茲曾於 1870 年給出解決方法的基本思路，勞侖茲則做了嚴格的數學證明。最終的結果顯示光的折射與反射確實遵循菲涅爾方程式所給出的邊界條件。勞侖茲還在論文中分析了光的全反射以及晶體和金屬的光學性質。勞侖茲由此藉助電磁理論為現代光學奠定了基礎。此外，勞侖茲對於玻璃與金屬中的光學和電磁學現象分別通過以太與「有質量的物質」解釋。將以太與物質加以區分對於後世進一步認識場有促進作用。在此之前，科學家將場視為物質的力學性質，而不是獨立的物質形態。

在給出光傳播的普遍規律後，勞侖茲又通過分子學說對物質特定的光學性質做了研究。首個分析結果 1879 年在論文《論光的傳播速度與介質密度及組成的關係》(_Over het verband tusschen de voortplantingssnelheid van het licht en de dichtheid en samenstelling der middenstoffen_) 中發表。勞侖茲研究了自由空間中均一且受激電偶極矩與外電場電位成正比的介質，給出了其折射率 $n$ 與密度 $\rho $ 的關係為 ${\frac {n^{2}-1}{(n^{2}+2)\rho }}=\mathrm {const} $ 。丹麥物理學家路德維希・勞侖次（Ludvig Lorenz）曾在 1869 年基於光彈性理論給出此式。這個方程式現在叫作「勞侖茲 - 勞侖次方程式」。勞侖茲的推導過程的一個要點是在外電場之外，還考慮到由於物質極化而產生的定域場。為了達到這個目的，他假設分子都在以太的電洞里，並且會受到其他電洞的影響。右側的常數既與物質極化性有關，又與光的波長有關（也就是說這個常數可以反映物質的色散性質）。這個結果與此前基於光彈性理論得到的結果相同。勞侖茲通過計算還得出分子中存在電荷。電荷會受外電場影響在平衡位置附近振動。這種帶電諧振子正是後來的電子理論的基礎。

### 電子理論

#### 概況

到了 19 世紀 90 年代初，勞侖茲放棄了超距作用的概念，轉而相信電磁作用的傳播速度是有限的。這可能是由於海因里希・赫茲發現了馬克士威所預言的電磁波，以及亨利・龐加萊對於法拉第 - 馬克士威電磁場論的深刻論述（1890）。1892 年，勞侖茲首次闡明了他的電子理論。

勞侖茲的電子理論將物質中離散的電荷作為其主要組分，進而闡釋馬克士威的電磁理論。與運動電荷的交互作用是物質電磁性質以及光學性質的本源。在金屬中，電荷的運動會產生電流。介電質粒子離開平衡位置的話則會令物質發生電極化。物質的介電常數也來源於此。勞侖茲在《馬克士威電磁理論及其在運動物體中的應用》（_La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants_，1892）中首次闡述了電子理論。他在其中還給出了電磁場對運動電荷作用力的一種簡單形式，勞侖茲力。隨後，勞侖茲又進一步完善這一理論，結果發表於《對於運動物體中電學理論以及光學現象的幾種嘗試》（_Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern_，1895）以及 1909 年出版的專著《電子理論及其在光學現象以及熱輻射中的應用》（_The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat_）中。勞侖茲在這部專著中對於電子理論做了最為詳盡的敘述。與 1892 年以與力學原理的關係為基礎不同的是，勞侖茲此時是以真空（以太）中宏觀的馬克士威方程組以及其他唯象方程式為出發點，研究了物質電磁作用的微觀機制。在他看來，這種機制與組成物質的微小粒子（電子）的運動有關。勞侖茲首先假設了電子的大小以及粒子裡外部都存在以太，然後在方程式中引入真空因素來描述電子分布與運動，隨後又引入勞侖茲力來進一步完善微觀方程式。這個方程組是電子理論的基礎，並且可以用統一的方式描述大量現象。

儘管威廉・韋伯、伯恩哈德・黎曼以及魯道夫・克勞修斯等人也曾從運動的離散電荷角度解釋電磁現象，但洛侖茲理論的基礎不同於他們。前者認為電荷之間是直接作用的，勞侖茲則認為電子是依照馬克士威方程組通過周圍環境中定域靜止以太交互作用。這與現在的電磁場的概念十分接近。勞侖茲對以太與物質加以明確的區分，它們並不能直接產生力學聯繫，而只能通過電磁力交互作用。儘管克勞修斯與奧利弗・黑維塞都曾做過類似的表述，但這種點電荷互相作用的理論還是要歸功於勞侖茲。當時學界爭論的一個焦點是勞侖茲力可能違背了力學基本定理之一，牛頓所提出的作用力與反作用力原理。勞侖茲把介電質受以太拖曳替代為物體內部分子在電磁場作用下極化（在引入適當的介電常數時），而正是這種極化態令受力電荷運動。勞侖茲還通過這一點進一步完善了菲涅爾對於菲佐實驗的解釋。此外，勞侖茲還在其 1909 年出版的專著中清楚地敘述了規範變換。這是規範不變性理論發展重要的一步。約瑟夫・拉莫爾等人後來又進一步地發展了勞侖茲電子理論的一些細節。

#### 應用：光色散與金屬導電性

通過將理論運用於多種物理情境，勞侖茲得到了幾個重要結果。在提出電子理論之初，他得到了庫倫定律以及電磁感應定律在作用於通電導體時的表述。而在推導勞侖茲 - 勞侖次方程式過程中，他還引入了「勞侖茲球」的概念。為了分別計算內外電場，勞侖茲構造了一個包圍分子的假想球面，進而引入以此球面作為邊界與極化強度有關的定域場。在論文《論離子電荷與質量引起的光學現象》（_Optische verschijnselen die met de lading en de massa der ionen in verband staan_，1898）中，勞侖茲利用古典電子理論給出了與現代相近的光色散理論。他的基本思路是，不同波長的光的傳播路徑出現不同來源於它們與振動的離散電荷（也就是勞侖茲所說的「離子」）的交互作用。他先寫出了電子的運動方程式，其中電磁場對於電子的作用力會反過來產生電子對其的彈力與摩擦力，進而導致光被吸收。勞侖茲由此得到了色散方程式。在這個方程式中，介電常數與波長服從勞侖茲分布。

在 1905 年發表的一系列論文中，勞侖茲在保羅・德汝德、愛德華・里克（Eduard Riecke）以及約瑟夫・湯姆森等人工作的基礎上，通過電子理論研究了金屬電導率。他研究的出發點是金屬中有大量的自由電荷（電子）在靜止的金屬離子間運動。勞侖茲假設電子運動速度服從馬克士威分布，然後利用分子運動論中的統計方法（波茲曼方程式與累積分布函數）得到了電導率方程式。他還分析了熱電效應，得到了熱導率與電導率的比值。他的結果與維德曼–夫蘭茲定理基本一致。勞侖茲的理論在金屬理論以及分子運動論發展的歷史上具有重要的意義。它是這類運動問題的首個明確解。 但這個理論並不完全與實驗數據相符，並且也不能解釋金屬的磁性，以及金屬比熱為何會有自由電子貢獻的一部分。這些問題來源於勞侖茲忽略了晶格中的離子會輕微偏離平衡位置，以及一些量子力學才能解決的基本缺陷。

#### 應用：磁學、塞曼效應與電子的發現

磁學是電子理論取得成功的另一個領域。勞侖茲給出了法拉第效應（磁場中偏振面旋轉）以及磁光克爾效應（光在磁化介質表面反射後偏振面變化）等現象的解釋。其中最能驗證電子理論有效性的可能就是對於磁場中譜線分裂現象，即塞曼效應，的解釋。1896 年 10 月 31 日，彼得・塞曼向荷蘭皇家科學學會報告了鈉光譜中 D 譜線變寬的實驗結果。幾天之後，勞侖茲在會上給出了這種現象的解釋並對其部分性質做了預測。勞侖茲首先預測這種現象會受到光偏振特性的影響，也就是說沿著磁場方向與垂直於磁場方向觀察到的結果不同。塞曼在次月證實了這一點。勞侖茲還對變寬的譜線的結構做了預測。他提出在與磁場平行的方向上應該能看到兩根譜線，而在垂直於磁場的方向上則應該能看到三根譜線。塞曼在第二年通過更為先進的儀器證實了勞侖茲的第二個預測。勞侖茲分別分析了帶電粒子沿著磁場方向以及在垂直於磁場的平面上的振動。磁場只會對與其垂直振動的粒子產生作用，使譜線分裂，偏移值為 $eH/2mc$ （其中 $H$ 是磁場強度， $e$ 和 $m$ 分別是粒子的帶電量和質量，而 $c$ 則是真空中的光速）。

從實驗數據中，塞曼得到上述實驗涉及到的離子帶負電，而電荷質量比則要比常見離子的電荷質量比大得多。這與約瑟夫・湯姆森通過陰極射線觀察到的粒子（1897）性質相似。而在後者將這種離子命名為「電子」後，勞侖茲本人也開始使用這個術語。譜線分裂的測量結果及其理論解釋給出了電子的兩個主要參數，帶電量與質量，促進科學界接受這種新粒子。對於塞曼效應的解釋儘管是電子理論取得的最大成就之一，但在不久後也開始暴露這個理論的局限。1898 年，科學家發現了比塞曼觀測到的情況複雜得多的譜線分裂（反常塞曼效應）。勞侖茲花了多年時間去完善理論，最終仍是未果。塞曼效應之謎直到電子自旋發現以及量子力學建立之後才完滿解決。

### 運動介質中的電動力學

#### 主要結論

19 世紀物理學中，運動介質中光的傳播與以太的力學性質密切相關。而在光學與電磁學統一後，這個問題就變得更為複雜了。1886 年，勞侖茲第一次闡述了運動介質中的光學。以太的性質一方面要能解釋為什麼地球的運動對於實驗中觀測到的光學現象影響甚少，另一面還要解釋光行差現象，即同時同地靜止與運動的觀察者看到的光的方向不同。當時對於以太有兩種觀點，一是以太完全不能運動、二為運動物體可無阻礙地帶動以太。勞侖茲一開始選擇了折衷方案 —— 以太會以菲涅爾拖曳係數（Fresnel drag coefficient） $k=1-1/n^{2}$ 被物體拖動。但洛侖茲後來發現靜止以太就足以解釋觀測到的現象了。勞侖茲還發現了 1881 年首次麥可遜 - 莫雷實驗中的計算紕漏。明確的結論亟待另一次實驗。

勞侖茲後來又進一步通過電子理論發展了運動介質中的光學。1892 年，他分別研究了完全靜止以及拖曳係數為 $k$ 且可以完全滲透物質的以太裏，運動物體的反射與雙折射現象。勞侖茲通過此項研究徹底摒棄了空氣可以拖動的以太。他通過一個一階係數 $v/c$ （ $v$ 為地球與以太的相對速度， $c$ 是光速）解釋了為什麼光學實驗中探測不到地球與以太的相對運動（「以太風」）。不過 1887 年進行的麥可遜 - 莫雷實驗卻得到應該是以一個二階係數 $v^{2}/c^{2}$ 來描述。為了解釋這個實驗結果，勞侖茲在論文《地球與以太的相對運動》（_De relative beweging van de aarde en den aether_，1892）中提出了物體會在其運動方向上發生長度收縮的假說。愛爾蘭物理學家喬治・費茲傑羅也曾於 1889 年提出了類似的假設（勞侖茲本人並不知道）。因而這個假設現在叫作「勞侖茲 - 費茲傑羅收縮」。勞侖茲認為這一現象來源於分子間作用力在物體穿過以太時發生的變化，本質上也就是在說分子間作用力起源自電磁作用。

勞侖茲又在 1895 年發表的專著《運動物體電磁理論與光學的幾種嘗試》中邁出重要的一步。他在其中討論了電磁理論的協變問題。勞侖茲提出了有關協變性的「對應狀態原理」，即在為相對於以太運動的系統引入適當的局部時 $t'=t-vx/c^{2}$ 的條件下，馬克士威方程組的形式不會發生變化（也就是說一階效應不會被探測到）。由勞侖茲引入的「局部時」在當時並沒有得到科學界的重視。而它在當時的作用也並不明確，勞侖茲可能並不想通過它對於時間的概念再做深入探討，而只是將其作為輔助參量。他還在這本專著中解釋了不考慮地球運動效應時部分實驗（比如石英中偏振面旋轉）的結果，提出了廣義光速公式以及考慮色散時的運動介質的拖曳係數。1889 年，勞侖茲提出了考慮到二階效應時的對應狀態原理，並以此為基礎再次討論了長度收縮效應。他由此得到了相比伽利略變換更為嚴格的慣性系間坐標與時間變換方程組。他還提出這種變換形式對於非電磁作用同樣適用，也就是說這個理論不僅對帶電粒子有效，對於其他有質量的物體也同樣適用。也就是說，勞侖茲這個基於電磁場以及運動粒子研究的理論此時已經超出了牛頓力學的範疇。

在解釋運動物體的電動力學問題時，勞侖茲一直想要為以太與有質量的物質劃定明確的界限，並拒絕對以太的力學性質再做任何假設。愛因斯坦後來在 1920 年這樣評論道：「至於勞侖茲以太的力學性質，人們可以帶點詼諧地說，勞侖茲給它留下的唯一的力學性質就是不動性。不妨補充一句，狹義相對論帶給以太概念的全部變革，就在於它取消了以太的這個最後的力學性質，即不動性。」勞侖茲在狹義相對論出現前做的最後一項工作發表在論文《運動速度低於光速的系統中的電磁現象》(_Electromagnetische verschijnselen in een stelsel dat zich met wille-keurige snelheid, kleiner dan die van het licht, beweegt._，1904）中。勞侖茲在這篇論文中對其理論再做修正。當時的理論尚不能說明是否可以忽略地球運動對於任意階 $v/c$ 的實驗的影響，以及一些新的實驗（比如 1902 年與 1904 年的瑞立 - 布雷斯實驗）的結果。基於電子理論的基本方程式、長度收縮假說以及局部時假說，勞侖茲提出方程式的形式在同一直線上運動的參考系中保持不變。也就是說，運動參考系中表述電磁場的矢量在經過特定變換後保持不變。但這種不變性對於電磁理論中的二階方程式卻並不適用。亨利・龐加萊在同一年補上了這個短板，並將最後的變換形式命名為「勞侖茲變換」。次年，愛因斯坦表述了狹義相對論的最終形式。勞侖茲在 1912 年對於 1904 年的這項工作做了這樣的評價：「你在這篇文章中可以看到，我並沒能夠得到愛因斯坦理論中變換方程式的完整形式…… 相對論的優越之處就在於它首次把相對性原理作為普遍嚴格成立的物理規律。」

20 世紀初，質量與速度的關係的問題也映入了人們的視角。這個問題與「世界的電磁繪景」緊密相關。依據這種理論，電磁現象來源於（或部分來源於）電子的質量。1902 年，馬克斯・亞伯拉罕（Max Abraham）基於粒子形狀不可變（「硬電子」）的假設給出了他的方程式。阿爾弗雷德・布赫雷爾（Alfred Bucherer）則基於電子體積會在運動方向發生縱向收縮的假設提出了另一種形式的方程式。勞侖茲的電子理論也能推出粒子的有效質量與速度之間的關係。依據長度收縮假設，電子縱向長度會變小，橫向寬度保持不變。在這個假設的基礎上，勞侖茲分別給出了電子的橫向質量與縱向質量。而根據他的計算結果，這個模型不僅僅只適用於電磁理論。狹義相對論中，粒子（並不一定帶電）的質量會依照勞侖茲給出的橫向質量 $m=m_{0}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 發生變化。目前已經有許多實驗可以證實這個方程式。而到了 20 世紀 10 年代中期，勞侖茲 - 愛因斯坦相對論方程式也得到了有效的實驗驗證。

#### 勞侖茲與狹義相對論

勞侖茲理論與狹義相對論存在著明顯的不同之處。電子理論中並沒有出現相對性原理以及類似的論述。勞侖茲只是出於對實驗結果的妥協才去忽略地球與以太的相對運動（以達到光速不變的效果）。時間變換也只是勞侖茲引入的一種數學技巧。而長度收縮是動力學（而非運動學）性質，並且是分子間作用力發生真實的變化。在完全了解狹義相對論的理論架構後，勞侖茲在他的講座中對其做了宣傳。但勞侖茲終其一生仍是沒有放棄一些理念：以太（愛因斯坦所說的「多餘的實體」）以及由靜止以太（實驗無法探測）從尤參考系確定的「真實時間」（絕對時間）。與以太有關的從尤參考系的存在造成勞侖茲理論中坐標與時間的變換是非對易的。是否拒絕以太的存在在洛侖茲看來只是個人喜好的問題。勞侖茲與愛因斯坦在統一力學與電動力學方面的工作儘管在方法上有共通之處，但本質上是不同的。電子理論是「世界的電磁繪景」，也就是利用電磁學解釋所有物理規律（古典力學只是其中個例），的核心。而在「電磁世界」（如亞伯拉罕和索末菲）的支持者看來，相對論具有的力學屬性是一種倒退。

然而，電子理論（最終形式）與狹義相對論可觀測的結果是相同的，因而如果僅僅依靠實驗數據是很難從二者中取捨的。對於狹義相對論在多大程度上歸功於電子理論，或者用拉卡托什・伊姆雷的說法，愛因斯坦的研究綱領比起勞侖茲的有何優越之處這個問題，科學史界有長時間的爭論。1973 年，拉卡托什的弟子伊利・扎哈爾（Elie Zahar）得出這樣的結論：勞侖茲 - 費茲傑羅收縮並不像慣常的觀點那樣是一種特例假設，並且勞侖茲當時也有充足的理由在古典力學的框架內解決問題。 在扎哈爾看來，狹義相對論並沒有彌補電子理論的紕漏（某些定律的隨意性），而愛因斯坦的研究綱領的優越之處在廣義相對論中才體現出來。某些研究者並不接受扎哈爾的某些結論，並且認為其並不完整。比如肯尼思・S・沙夫納（Kenneth S. Schaffner）就認為相對論中簡潔概念是物理學家更為接受它的原因之一。而另一個重要的因素是電子理論並不符合電動力學之外的領域，比如當時剛剛發展的量子物理，的新數據。保羅・費耶阿本德認為勞侖茲的理論雖然能給出大量現象的解釋，但許多現象，特別是與原子有關的現象，則要等到量子力學建立後才能得到解釋。而在考察電子理論向現代物理的演變過程時，則需要考慮一些量子的概念。阿瑟・I・米勒（Arthur I. Miller）則再次考慮勞侖茲 - 費茲傑羅收縮假說的源來，但扎哈爾還是拒絕將其作為特例假設。韋策・布勞沃（Wytze Brouwer）認為勞侖茲雖然對於相對論中大部分觀點接受得很快，但卻並沒有接受其中對於以太的批駁。他認為這反映了勞侖茲與愛因斯坦兩人在某些形而上的問題上的分歧，或者用托馬斯・庫恩的說法就是範式的不可公度性。米海爾・揚森（Michel Janssen）認為完善的電子理論並不能視為由一系列特例拼湊而成的理論，愛因斯坦的創新之處在於將勞侖茲的理論架構與時空理論融為一體。不過，對於長度收縮以及時間膨脹等現象，狹義相對論是從時空性質的層面給出的解釋，而在牛頓時空結構基礎上構造的勞侖茲理論則將它們是為不能解釋的巧合。

南希・J・納塞希安（Nancy J. Nersessian）認為「勞侖茲沒能成為愛因斯坦」的主要原因在於二者方法論上的不同：勞侖茲是「自下而上」地構造理論，從電子與以太這些具體的物理概念以及它們的交互作用出發，以此為基礎提出定律與假說；愛因斯坦則選擇了完全相反的「自上而下」的道路，從相對性原理與光速不變原理這樣的基本物理原理推及力學與電動力學的具體定律。勞侖茲不可能選擇第二條道路，因為對於他來說，這個途徑太過主觀，而且他也看不到放棄原有信仰的必要。還有其他的一些研究者也對二人的方法論做了分析。同時還需要注意的是，勞侖茲也進行過非古典的研究並對現代物理的形成做過貢獻。1953 年，愛因斯坦在勞侖茲百年誕辰之際對他做了這樣的評價：

> 
> 我們這個時代的物理學家多半沒有充分了解 H・A・勞侖茲在理論物理學基本概念的發展中所起的決定性作用。造成這件怪事的原因是，勞侖茲的基本觀念已深深地變成了他們自己的觀念，以致他們簡直不能完全體會到這些觀念是多麼大膽，以及它們使物理學的基礎簡化到什麼程度…… 對我個人來說，他比我一生中所碰到的別的任何人都更重要。
> 
> 

### 引力與廣義相對論

勞侖茲對於引力問題的興趣源於在證明質量起源於電磁現象（「世界的電磁繪景」）的嘗試。1900 年，他嘗試統一引力和電磁理論。他在奧塔維亞諾・莫索蒂（Ottaviano Mossotti），威廉・韋伯以及約翰・策爾納（Johann Zöllner）的工作的基礎上提出組成物質的粒子是由兩個（分別帶正電和負電）電子構成的。依據這種假說，粒子間之所以有引力作用是由於異種電荷間的吸引作用比同種電荷間相互排斥的作用更強。這種理論有以下幾個結果：

1. 從粒子（電子）數量去推導可以很自然地得到慣性質量與引力質量相等的結論；
2. 在將引力作用解釋為電磁以太的一種狀態時，其傳播速度有限且與光速相等。

勞侖茲意識到了這並不是用電磁理論來解釋引力現象，而是類比電動力學理論構造新的引力理論。而對於將引力視為超距作用的力學傳統而言，他所得到的結果也是不同尋常的。勞侖茲的理論儘管並不能解釋水星近日點的進動問題，但還是引起了科學界的興趣。

勞侖茲對於廣義相對論的發展非常感興趣。1910 年，他對這個理論的架構以及物理結果做了細緻的研究，並做了一些較為重要的工作。1913 年，勞侖茲得到了廣義相對論的早期形式。這項工作在愛因斯坦和格羅斯曼・馬塞爾合著的《廣義相對論和引力論綱要》（_Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und Theorie der Gravitation_）中發表。他發現場方程式只有在使用對稱的應力 - 能量張量時才會對任意坐標變換協變。愛因斯坦在寫給勞侖茲的信中表示贊同他的結論。勞侖茲後來又對愛因斯坦 1914 年 11 月發表的《廣義相對論的一般理論基礎》(_Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie_) 做了研究。他做了大量的計算（算稿多達 700 餘頁），並在次年年初發表文章，提出了他利用變分原理（哈密頓原理）得到的場方程式。不過，勞侖茲和愛因斯坦此時也在爭論廣義共變性：愛因斯坦囿於「電洞論證」（利用這種悖論得到的解並不遵守共變性）一直在試圖證明對任意坐標變換非協變的方程式，勞侖茲則覺得從尤參考系的存在沒有什麼不合宜之處。

1915 年 11 月，在廣義相對論即將大功告成之際，勞侖茲說服了愛因斯坦與埃倫費斯特接受廣義共變性。他認為這個原理與以太並沒有牴觸之處，因為從經驗來說，物理性質不同的參考系也能是等價的。勞侖茲在之後幾個月里發表了系列文章《論愛因斯坦的引力理論》（_Over Einstein’s theorie der zwaartekracht_，1916）。他在其中利用變分原理給出了對於廣義相對論的另一種表述形式。由於高度複雜，這種主要使用幾何方法的表述很少用到。勞侖茲在其中首次嘗試不用坐標來表述廣義相對論，由於沒有使用圖利奧・列維 - 齊維塔 1917 年在黎曼幾何中引入的平行移動方法，這種表述對於現代讀者來說也不同尋常。在文章的第一部分（發表於 1916 年 2 月 26 日）中，勞侖茲發展了理論的幾何框架；他在裡面給出了彎曲時空中長度、面積以及體積的概念，並得到了質點系與度量張量的拉格朗日量。在第一部分結尾部分與第二部分（發表於 1916 年 3 月 25 日）中，勞侖茲基於之前的幾何方法構造了電磁場的拉格朗日量。不過勞侖茲在之後的文章中放棄了無坐標方法，使用慣常的幾何方法，通過變分原理給出場方程式（1916 年 4 月 28 日發表的第三部分）並試圖利用能量 - 動量給出引力場的表述（1916 年 10 月 28 日發表的第四部分）。而他也在這篇文章中引入了對於廣義相對論發展非常重要的數量曲率的直接幾何解釋。古斯塔夫・赫格洛茨（Gustav Herglotz
）之後也得到了類似的結果。

### 熱輻射與量子理論

1900 年，勞侖茲開始著手研究熱輻射問題。他試圖在電子理論的基礎上解釋熱輻射的性質，特別是推導熱輻射頻譜的普朗克公式。在論文《論金屬長波熱輻射的放出與吸收》（_On the emission and absorption by metals of rays of heat of great wave-lengths_，1903）中，勞侖茲利用金屬中的電子熱運動得到了金屬放出的輻射的分布。他的結果與普朗克公式的長波部分（瑞立 - 金斯公式）相符合。他在這篇文章中還分析了普朗克的理論。他認為這一理論並沒能夠解釋造成這種神秘現象的微觀機制。在接下來的幾年裡，勞侖茲試圖將他的方法運用到任意波長的輻射，以找到能符合實驗數據的電子放出以及吸收輻射的機制，但均告失敗。1908 年，在向羅馬國際數學家大會宣講的報告《論有質量物質與以太間能量分布》（_Le partage de l’énergie entre la matière pondérable et l’éther_）中，勞侖茲提出瑞立 - 金斯公式可以從能量均分原理導出。他得出了這樣的結論：人們可以通過進一步的測量數據來在普朗克公式與瑞立 - 金斯公式間取捨，而瑞立 - 金斯公式將會是系統在過程中無法達到熱平衡的證據。這個結論遭到了威廉・維因等實驗物理學家的批評。他們提出了其他可以批駁瑞立 - 金斯公式的證據。勞侖茲在幾個月後被迫承認：「現在我承認我們面對著巨大的挑戰。如果不對電子理論的基礎做深刻的變革的話，我們不可能通過它推導熱輻射定律。我現在不得不承認普朗克公式是唯一的答案。」由於勞侖茲在科學界的聲望，他在羅馬的演講引起了科學界對於新生的量子問題的關注。

勞侖茲在第一次索爾維會議（1911）中做了題為《能均分定理在熱輻射中的應用》（_Sur l’application au rayonnement du théorème de l’équipartition de l’énergie_）的報告。他在這篇報告中對於用電動力學理論是否可以描述熱輻射現象的問題做了細緻的分析。就這個問題，他認為：「除非從哈密頓量開始推導，否則從所有可以想到的機制推導的結果都將是瑞立公式。」他提出需要更新光與物質交互作用的基本概念。勞侖茲儘管接受了普朗克提出的能量子假說，並以此為基礎在 1909 年提出了普朗克公式的混合推導方法，但並不能同意愛因斯坦更為激進的光子假說。他認為這個假說很難和干涉等等現象調和。1921 年，在和愛因斯坦討論後，他提出了可以在量子與光波動性質間取得平衡的假說。依據這種假說，光是由兩部分組成的 —— 光子的能量以及與能量傳遞無關的波動部分。波在空間某處的「強度」取決於這塊區域中落入的能量子數。儘管這個假說並沒有得到科學界的重視，但其內容與路易・德布羅意幾年後提出的導航波理論接近。

勞侖茲對於量子理論之後發展的態度仍然十分謹慎。從始至終，他都會先去挖掘舊理論的可能性，找到它們的局限。不過他對於 1926 年出現的波動力學非常感興趣，並與其創建者埃爾文・薛丁格積極交流看法。在寫給他的信中，勞侖茲分析了薛丁格的基礎工作「將量子化作為本徵值問題」，並提出電子的速度與波包的群速相等。同時，他注意到了表述粒子物質波疊加的困難（因為這樣的波包在經過一定時間後會消失）而且理論過渡到多自由度系統的過程並不明確。因此，古典理論並不能完滿地解釋波動力學。勞侖茲儘管直至去世時都堅信古典理論，但仍承認量子理論「是當代物理學家最為渴求的、最為可靠的也是他們願意遵循的理論指導。雖然其中一些理論像是詭異的神諭，但我們願意相信真理一直隱藏在它們之後。」

### 熱力學與分子運動論

勞侖茲從學術生涯開始時就深信原子理論。這一點不僅可以從其構造的電子理論看出來，還體現在他對於分子運動論的研究之中。勞侖茲 1878 年在就職演講《物理學中的分子理論》（De moleculaire theorien in de natuurkunde）中闡述了他對物質原子結構的看法。勞侖茲時常關注分子運動論理論的發展。在他看來，其不僅可以證明熱力學框架中的一些結果，同時還可以讓他得到這個領域之外的收穫。

勞侖茲有關分子運動論的第一項研究工作發表在論文《依據分子運動論得到的氣體運動方程式與聲傳播方程式》（_De bewegingsvergelijkingen der gassen en de voortplanting van het geluid volgens de kinetische gastheorie_，1880）中。他在這篇文章中考察了由內部有自由度的分子（多原子分子）組成的氣體系統，得到了與波茲曼方程式（1872）類似的單粒子分布函數方程式。勞侖茲展示了如何利用這個方程式推導流體動力學中的方程式，比如歐拉方程式及納維 - 斯托克斯方程式。文章中的方法可以廣泛地用在推導流體力學方程式過程中以確定最低程度的假設。勞侖茲在這篇文章中還首次通過分子運動論推得牛頓 - 拉普拉斯聲速方程式，並引入了與分子內部自由度有關的係數，體積黏度。勞侖茲之後不久又利用其中結果研究了有溫度梯度以及引力梯度的氣體系統的行為。1887 年，勞侖茲發表了批駁波茲曼 H 定理（1872）原始形式的文章。他認為這個定理不適用於多原子分子氣體。波茲曼承認確實存在紕漏，並在之後不久開始著手完善定理。此外，勞侖茲還在這篇文章中簡化了單原子分子氣體的 H 定理。所得到的結果與現在的教科書中的形式類似。他還提供了新的可以證明速度空間單位體積內碰撞過程中守恆規律的證據。這些結果得到了波茲曼的認可。

勞侖茲在分子運動論方面做的另一項研究工作是利用維里定理推導氣體狀態方程式。1881 年，他在氣體分子彈性球模型基礎上利用維里定理在狀態方程式中引入了氣體分子碰撞過程中的斥力因素。所得到的方程式包含范德瓦爾斯方程式中與體積有關的參量（此前這些參量只是定性引入的）。勞侖茲後來又在 1904 年表示這個方程式可以不通過維里定理導出。1891 年，勞侖茲發表了有關稀釋過程分子過程的文章。他在其中試圖通過溶液幾種組分之間作用力的平衡來描述溶液的性質（包括滲透壓），並且駁斥了波茲曼對於滲透壓的解釋。此外，勞侖茲還從 1885 年開始寫過幾篇研究熱電效應的論文，並且在 20 世紀初利用分子運動論描述金屬中的電子運動。

## 所獲榮譽

* 諾貝爾物理學獎（1902）
* 拉姆福德獎章（1908）
* 富蘭克林獎章（1917）
* 科普利獎章（1918）
* 法國榮譽軍團勳章（1923）
* 奧倫治 - 拿索勳章（1925）
* 倫敦皇家學會（1905）、法國科學院（1910）、愛丁堡皇家學會（1920）以及蘇聯科學院（1925）等機構外籍院士
* 臺夫特高等技術學院（1918）、劍橋大學（1923）、巴黎大學以及萊頓大學（醫學，1925）等大學授予的榮譽博士學位

## 紀念

* 1925 年，荷蘭皇家藝術與科學學院設立了四年頒發一次的勞侖茲獎章，以表彰對於理論物理學做出貢獻的科學家。
* 瓦登海與愛塞湖之間的阿夫魯戴克大堤的一座水閘（Lorentzsluizen）是以勞侖茲的姓氏命名的。
* 荷蘭國內許多街道、廣場與學校都以「勞侖茲」為名。1931 年，阿納姆的松斯貝克公園（Park Sonsbeek）立起了勞侖茲紀念像。哈勒姆的勞侖茲廣場（Lorentzplein）以及萊頓的理論物理研究所也都立有勞侖茲的胸像。勞侖茲工作過的地方中許多都有塑有勞侖茲像的匾牌。
* 1953 年，在勞侖茲誕辰百年之際，萊頓大學將理論物理研究所更名為勞侖茲研究所（Instituut-Lorentz），同時設立了勞侖茲教席（Lorentz Chair），並為國際科學會議建立了勞侖茲中心。
* 月球上的一處撞擊坑是以勞侖茲的姓氏命名的。

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## 著述

**書籍**

**主要論文**

## 註釋

## 引注

## 參考文獻

**圖書**

**論文**

## 外部連結

* 萊頓大學提供的勞侖茲科學出版物列表
* 萊頓大學提供的勞侖茲博士生名單
* 諾貝爾獎官方網站對勞侖茲的介紹
* MacTutor 數學史檔案對勞侖茲的介紹
* 數學譜系計劃對勞侖茲的介紹
* 俄羅斯科學院對勞侖茲的介紹 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）