二體問題

: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在古典力學裏，**二體問題**（英語：two-body problem）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個古典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的**單體問題**，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（exact solution），即不需藉助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。

## 約化為兩個獨立的單體問題

在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為 $m_{1}\,\!$ 、 $m_{2}\,\!$ ，在時間 $t=0\,\!$ 的初始位置分別為 $\mathbf {x} _{10}\,\!$ 、 $\mathbf {x} _{20}\,\!$ ，初始速度分別為 $\mathbf {v} _{10}\,\!$ 、 $\mathbf {v} _{20}\,\!$ ，計算這兩個粒子的軌跡函數 $\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$ 及 $\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$ 的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：

　
: $\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!$ 、(1)

　
: $\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!$ ；(2)

其中， $\mathbf {F} _{AB}\,\!$ 表示粒子 B 施加於粒子 A 的作用力。

將方程式 (1) 與方程式 (2) 相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式 (1) 與方程式 (2) 的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量 $\mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!$ 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數 $\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$ 和 $\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$ 。

### 質心運動（第一個單體問題）

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：

　
: $\mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!$ ；

其中， $M=m_{1}+m_{2}\,\!$ 是系統的總質量。

質心的加速度為：

　
: ${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!$ 。

由於沒有外力作用，將方程式 (1) 與 (2) 相加，根據牛頓第三定律，可以得到

　
: $M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!$ 。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度 $\mathbf {v} _{cm}\,\!$ 為常數：

　
: $\mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!$ 。

這物理系統的動量守恆：

　
: $m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!$ 。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：

　
: $\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$ 。

### 位移向量運動（第二個單體問題）

將方程式 (1)、(2) 分別除以 $m_{1}\,\!$ 、 $m_{2}\,\!$ ，然後相減，可以得到

　
: ${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!$ 。

其中， $\mathbf {r} \,\!$ 是個從粒子 2 位置指到粒子 1 位置的位移向量。

應用牛頓第三定律， $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!$ 。所以，

　
: ${\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!$ 。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置 $\mathbf {r} \,\!$ 的函數，而不是絕對位置 $\mathbf {x} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {x} _{2}\,\!$ 的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置 $\mathbf {r} \,\!$ 的函數。這樣，相減得到的方程式寫為

　
: $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$ ；

其中， $\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$ 是約化質量。

一旦求得函數 $\mathbf {x} _{cm}(t)\,\!$ 與 $\mathbf {r} (t)\,\!$ ，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式 $\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$ 與 $\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$ ：

　
: $\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!$ 、

　
: $\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!$ 。

## 角動量

兩個粒子的總角動量 $\mathbf {L} _{tot}\,\!$ 為

　
: ${\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!$

其中， $\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!$ 是質心對於原點的角動量， $\mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!$ 是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，

　
: $\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$ 。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為 $0\,\!$ 。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，

　
: $\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!$ 、

　
: $\mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!$ 。

### 角動量守恆與連心力

二體問題的總力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$ 是

　
: ${\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!$ 。

在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力 $\mathbf {F} _{12}\,\!$ 是連心力，則 $\mathbf {F} _{12}\,\!$ 與 $\mathbf {r} \,\!$ 同直線，總力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$ 等於 0。根據角動量守恆定律，

　
: ${\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!$ 。

因此，總角動量 $\mathbf {L} _{tot}\,\!$ 是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐 - 沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$ 不等於 0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。

在很多物理系統裏，作用力 $\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$ 是一種連心力，以方程式表示為

　
: $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$ ；

其中， $r\,\!$ 是徑向距離， ${\hat {\mathbf {r} }}\,\!$ 是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為

　
: $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!$ 。

更詳盡細節，請參閱條目古典連心力問題（classical central force problem）。

### 平面運動與角動量守恆

總角動量與 $\mathbf {r} \,\!$ 的點積為

　
: $\mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!$ 。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於 $\mathbf {L} _{tot}\,\!$ 的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量 $\mathbf {L} _{tot}\,\!$ 垂直於這平面。

## 參閱

* 多體問題
* 克卜勒定律
* 克卜勒問題
* 拉普拉斯 - 龍格 - 冷次向量
* 伯特蘭定理
* 牛頓旋轉軌道定理

## 參考文獻

### 引用

### 來源