五角化六十面體

在幾何學中，**五角化六十面體**是一種卡塔蘭立體，為由 60 個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。**五角化六十面體**有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或「對映體」），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有 60 個面、150 個邊、92 個頂點。五角化六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角化六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有 120 個頂點的大斜方截半二十面體。

## 性質

五角化六十面體是一個手性多面體，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或「對映體」），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有 60 個面、150 個邊、92 個頂點。在其 92 個頂點中，有 80 個頂點是三階頂點，即 3 個五邊形的公共頂點和 12 個頂點是五階頂點，即 5 個五邊形的公共頂點。

### 構造

五角化六十面體是扭棱十二面體的對偶多面體。事實上，五角化六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面體構造。首先在扭棱十二面體的所有 12 個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面體的所有不與五邊形面相鄰的 20 個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘 60 個三角形面共面則形成五角化六十面體，然而這種方式構造的五角化六十面體會稍微有點形變。

### 二面角

五角化六十面體只有一種二面角，約為 153.18 度：

　
: $\arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx $ 2.67347322717678 $\approx $ 153.178732558°

其中 $\varphi $ 為黃金比例、 $x$ 為 ${\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}$

### 面的組成

五角化六十面體 60 個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有 3 條短邊和 2 條長邊，若令 $x$ 為 ${\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}$ ，則短邊與長邊的比為：

　
: ${\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx $ 0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中 $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 為黃金比例。

　
:

若令 $\xi \approx 0.943\,151\,259\,24$ 為多項式 $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}$ 的根，則長邊與短邊的比值 $l$ 為：

　
: $l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74$ .

也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為 1.74985 單位長。

組成五角化六十面體的五邊形有 4 個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為 $\arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }$ ，約 118 度 8 分，而反餘弦內的值是多項式 $64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1$ 的第一個實根；銳角的角度為 $\arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }$ ，約 67 度 28 分，而反餘弦內的值是多項式 $64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31$ 的第 4 個根。

### 幾何

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角化六十面體的頂點，因為 4 個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角化六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角化六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角化六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：

　
: ${\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx $ 2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為：

　
: ${\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx $ 2.220000699

### 體積與表面積

若要計算五角化六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為 $b$ ，並令常數 $t$ 為：

　
: $t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622$ .

則短邊長為 $b$ 的五角化六十面體表面積（_A_）為：

　
: $A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}$ .

體積（_V_）為：

　
: $V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}$ .

使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度量值：

　
: $\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163$

## 用途

由於五角化六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。

## 參見

* 卡塔蘭立體
* 對偶多面體

## 參考文獻

* Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
* Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因，五角化六十面體 （參閱卡塔蘭立體） 於 MathWorld（英文）