交换律

**交換律**（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到 19 世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義。

## 一般用法

**交換律**是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。

## 數學定義

「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中：

1. 在集合 $S$ 的一二元運算 $*$ 被稱之為「可交換」的，若：

　
: $\forall x,y\in S,x*y=y*x$

* 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱 $x$ 在 $*$ 下和 $y$ 「可交換」，即表示：

　
: $x*y=y*x$

3. 一二元函數 $f:A\times A\to B$ 被稱之為「可交換」的，若：

　
: $\forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)$ .

## 歷史

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於 18 世紀末 19 世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於 1814 年寫下的筆記，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在 1844 年的英國皇家學會哲學彙刊中。

## 相關性質

### 結合律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

### 對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 $y=x$ 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 $f$ 來表示加法（一可交換運算），所以 $f(x,y)=x+y$ ，也因此 $f$ 會是個如右圖所見的對稱函數。

## 例子

### 日常生活中的可交換運算

* 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
* 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

### 數學中的可交換運算

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為：

* 實數的加法

　
: : $y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} $

　
: 例如， $4+5=5+4$ ，兩個表示式都等於 9 。

* 實數的乘法

　
: : $yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} $

　
: 例如， $3\times 5=5\times 3$ ，兩者都等於 15 。

* 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。

### 日常生活中的不可交換運算

* 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
* 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

### 數學中的不可交換運算

一些不可交換二元運算有：

* 減法： $0-1\neq 1-0$ ，不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
* 除法： $1\div 2\neq 2\div 1$ ，可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
* 矩陣乘法：

　
: ${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

## 數學結構與交換律

* 阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。
* 交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）
* 域的加法與乘法都是可交換的。
* 中心是一個群最大的可交換子集。

## 註記

## 參考資料

### 書籍

* Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

　
: _Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book._

* Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

　
: _Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book._

* Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

　
: _Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout._

### 文章

* https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

　
: _Article describing the mathematical ability of ancient civilizations._

* Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. _The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text_. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

　
: _Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus._

### 線上資源

* Hazewinkel, Michiel (編), Commutativity, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Krowne, Aaron, _Commutative_ at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.

　
: _Definition of commutativity and examples of commutative operations_
* 埃里克・韋斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.

　
: _Explanation of the term commute_
* Yark. [2008-02-21]. （原始內容存檔於 2010-11-26）.  _Examples of non-commutative operations_ at PlanetMath., Accessed 2007-08-08

　
: _Examples proving some noncommutative operations_
* O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於 2009-09-18）. 

　
: _Article giving the history of the real numbers_
* Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始內容存檔於 2011-05-01）. 

　
: _Page covering the earliest uses of mathematical terms_
* O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於 2009-09-02）. 

　
: _Biography of Francois Servois, who first used the term_

## 另見

* 反交換律
* 二元運算
* 交換子集合
* 交換子
* 分配律
* 結合律
* 遞移關係