交换环

在抽象代數之分支環論中，一個**交換環**（commutative ring）是乘法運算滿足交換律的環。對交換環的研究稱為交換代數學。

某些特定的交換環在下列類包含鏈中：

* **交換環** ⊃ 整環 ⊃ 惟一分解整環 ⊃ 主理想整環 ⊃ 歐幾里得整環 ⊃ 體

## 定義與例子

### 定義

一個帶有兩個二元運算的集合 _R_ 是環，即將環中的任意兩個元素變為第三個的運算。他們稱為加法與乘法，通常記作 + 與 ⋅ ，例如 _a_ + _b_ 與 _a_ ⋅ _b_。為了形成一個群這兩個運算需滿足一些性質：環在加法下是一個阿貝爾群，在乘法下為一個么半群，使得乘法對加法有分配律，即 _a_ ⋅ (_b_ + _c_) = (_a_ ⋅ _b_) + (_a_ ⋅ _c_)。關於加法與乘法的單位元素分別記作 0 和 1。

另外如果乘法也是交換的，即

　
: _a_ ⋅ _b_ = _b_ ⋅ _a_，

環 _R_ 稱為交換的。除非另有特別聲明，下文中所有環假設是交換的。

### 例子

一個重要的例子，在某種意義下是最關鍵的，是帶有加法與乘法兩個運算的整數環 **Z**。因為整數乘法是一個交換運算，這是一個交換環。通常記作 **Z**，是德語詞 _Zahlen_（數）的縮寫。

一個體是每個非零元素 _a_ 是可逆的交換環，即有一個乘法逆 _b_ 使得 _a_ ⋅ _b_ = 1。從而，由定義知任何體是一個交換環。有理數、實數、複數都是體。

2×2 的矩陣不是交換的，因為矩陣乘法不滿足交換律，如下例所示：

　
: ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$ ，不等於 ${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

但是，能被相同的相似轉換對角化的矩陣形成一個交換環。一個例子是關於一個固定節點集合差商的矩陣集合。

如果 _R_ 是一個給定的交換環，關於變數 _X_ 係數位於 _R_ 中的所有多項式形成一個多項式環，記作 _R_[_X_]。對多個變數同樣成立。

如果 _V_ 是某個拓撲空間，例如某個 **R**n 的子集，_V_ 上實值或複值連續函數形成一個交換環。同樣對可微函數或全純函數也對，只要兩者有定義，比如 _V_ 是一個複流形。

## 理想與譜

和體中每個非零元素是乘法可逆不同，環的理論更複雜。有多個概念處理這種情形。首先，_R_ 的一個元素如果有乘法逆稱之為單位。另一種特別的元素類型是零因子，即非零元素 _a_ 使得存在環中一個非零元素 _b_ 使得 _ab_=0。如果 _R_ 沒有零因子，稱為整環，因為在很多方面像整數。

下列許多概念對非交換環也存在，但定義與性質一般更加複雜。例如，交換環中所有理想自動是雙邊的，相當簡化了情形。

### 理想與商環

交換環的內部結構通過考慮它的理想來確定，即在與環中任何元素相乘以及加法下封閉的非空子集 _I_：對所有 _r_ 屬於 _R_，_i_ 與 _j_ 屬於 _I_，_ri_ 與 _i_+_j_ 都要求屬於 _I_。給定 _R_ 的任何子集 _F_ = {_f_j}j ∈ _J_（這裡 _J_ 是某個指標集），由 _F_ 生成的理想是最小的包含 _F_ 的理想。等價地，它有有限線性組合給出

　
: _r_1_f_1 + _r_2_f_2 + ... + _r_n_f_n。

由一個元素生成的理想叫做主理想。若環中所有理想都是主理想稱為主理想環，兩個重要的情形是 **Z** 與一個體 _k_ 上的多項式環 _k_[**X**]。任何環有兩個理想，零理想 {0} 與整個環 _R_。不包含於任何真理想（即 ≠_R_）的理想稱為極大的。一個理想 _m_ 是極大的若且唯若 _R_ / _m_ 是一個體。任何環至少有一個極大理想，這可由與選擇公理等價的佐恩引理得出。

理想的定義使得「除以」 _I_ 中的元素給出另一個環，商環 _R_ / _I_：它是 _I_ 的陪集，兩個運算為

　
: (_a_ + _I_) + (_b_ + _I_) = (_a_ + _b_) + I and (_a_ + _I_)(_b_ + I_) =_ ab _+_ I_。_

例如，環 **Z**/_n_**Z**（也記作 **Z**n），其中 _n_ 是一個整數，是整數模 _n_ 環。它是模算術的基礎。

### 局部化

一個環的局部化是商環的對立面，在商環 _R_ /_I_ 中某些元素（_I_ 中的元素）變為零，而在局部化中某些元素變為可逆的，即乘法逆添進環中。具體的，如果 _S_ 是 _R_ 的一個乘法閉子集（即只要 _s_ 與 _t_ ∈ _S_ 則 _st_ ∈ _S_）在 _R_ 在 _S_ 處的局部化，或分母在 _S_ 中的分式環，通常記作 _S_−1_R_ 由符號

　
: ${\frac {r}{s}}$ 其中 _r_ ∈ _R_, _s_ ∈ _S_

組成，滿足與有理數的約分類似的法則。事實上，在這種語言中 **Q** 是 **Z** 在所有非零整數的局部化。此構造對所有整環 _R_ 也成立。如果 _S_ 由一個固定元素 _f_ 的所有冪組成，局部化寫成 _R_f。

### 質理想與譜

一類特別重要的理想叫做質理想，通常記作 _p_。此概念源於 19 世紀代數學家們意識到，不像 **Z**，在許多環中沒有質數惟一分解（有此性質的環稱為惟一分解整環）。由定義，質理想是一個真理想使得只要環中任何兩個元素 _a_ 與 _b_ 的乘積 _ab_ 屬於 _p_，則 _a_ 與 _b_ 中至少有一個已屬於 _p_。（相反的結論由定義對任何理想成立）。等價地，商環 _R_ / _p_ 是一個整環。另一種表述是說補集 _R_ \ _p_ 是乘法封閉的。局部化 (_R_ \ _p_)−1_R_ 足以重要到賦以單獨的記號：_R_p。這個環只有一個極大理想，即 _pR_p。這樣的環稱為局部環。

由上所述，任何極大理想都是質理想。證明一個理想是素的，或等價的一個環沒有零因子可能非常困難。

質理想是幾何地理解一個環的關鍵步驟，通過環的譜 _Spec R_：它是 _R_ 的所有質理想集合。上已提到，至少有一個質理想，從而譜非空。如果 _R_ 是一個體，惟一的質理想是零理想，從而譜只有一個點。但 **Z** 的譜，包含零理想的一個點，以及任何質數 _p_（生成質理想 _p_**Z**）的一個點。譜賦以一個拓撲叫扎里斯基拓撲，這由將子集 _D_(_f_) = {_p_ ∈ _Spec R_, _f_ ∉ _p_} 設定為開集確定，這裡 _f_ 是任何環元素。此拓撲與分析或微分幾何中遇到的可能不同；例如，一般地存在點不是閉的。譬如，對應於零理想的點 0 ⊂ **Z** 的閉包，是整個 **Z** 的譜。

譜的概念是交換代數與代數幾何的公共基石。代數幾何將 _Spec R_ 賦予一個層 ${\mathcal {O}}$ （將不同的開子集上局部定義的所有函數收集起來的實體）。此空間與層的數據稱為一個仿射概形。給定一個仿射概形，底環 _R_ 可作為 ${\mathcal {O}}$ 的整體截面重新得到。而且，已建立起來的環與放射概形之間的一一對應也與環同態相容：任何 _f_ : _R_ → _S_ 得出一個方向相反的連續映射

　
: _Spec S_ → _Spec R_, _q_ ↦ _f_−1(_q_)，即 _S_ 的任何質理想映到在 _f_ 下的原像，這是 _R_ 的一個質理想。

譜也使局部化和商環是互補的直覺確切化：自然映射 _R_ → _R_f 與 _R_ → _R_ / _fR_ 分別對應於，將環的譜賦以他們的扎里斯基拓撲後，互補的開、閉嵌入。

總之所說的這兩個範疇的等價反應了環的代數性質以幾何方式表現出來。流形局部由 **R**n 給出，與之類似，仿射概形的局部模型是概形，這是代數幾何中研究的物件。從而，環與同態中許多概念都源於幾何直覺。

## 環同態

與通常代數學中一樣，兩個物件之間的一個保持物件的結構的函數 _f_ 無疑稱為同態。在環的情形中，環同態是一個映射 _f_ : _R_ → _S_ 使得

　
: _f_(_a_ + _b_) = _f_(_a_) + _f_(_b_), _f_(_ab_) = _f_(_a_)_f_(_b_) 且 _f_(1) = 1。

這些條件保證 _f_(0) = 0，但保持乘法單位元素 1 的要求不能從其它兩條性質推出。在這種情形下 _S_ 也成為一個 _R_- 代數，理解為 _S_ 中 _s_ 可以被 _R_ 中 _r_ 乘，通過令

　
: _r_ · _s_ := _f_(_r_) · _s_。

_f_ 的核與像定義為 ker (_f_) = {_r_ ∈ _R_, _f_(_r_) = 0} 與 im (_f_) = _f_(_R_) = {_f_(_r_), _r_ ∈ _R_}。核與像分別是 _R_ 與 _S_ 的子環。

## 模

交換代數的外部結構由考慮這個環上的線性代數確定，即研究它的模理論，這與向量空間類似，除了底不必是一個體而可以為任何環 _R_。_R_- 模的理論比向量空間的線性代數要複雜得多。模理論必須處理一些困難比如模沒有基，自由模的秩（即向量空間的維數之類比）可能不是良好定義的，有限生成模的子模不必是有限生成的（除非 _R_ 是諾特環，見下）。

環 _R_ 中的理想可以視為 _R_- 模，也是 _R_ 的子模。另一方面，欲很好的理解 _R_- 模必須知道 _R_ 足夠訊息。然而反過來，交換代數中通過考慮 _R_ 的理想研究其結構的許多技巧，一般對研究模也成立。

## 諾特環

一個環稱為諾特環（為了紀念埃米・諾特，她發展了這個概念），如果理想的升鏈

　
: 0 ⊆ _I_0 ⊆ _I_1 ... ⊆ _I_n ⊆ _I_n + 1 ⊆ ...

成為穩定的，即某個指標 _n_ 後變成常值。等價地，任何理想由有限多個元素生成，或同樣等價地有限生成模的子模是有限生成的。一個環稱為阿廷環（以埃米爾・阿廷命名），如果任何理想的降鏈

　
: _R_ ⊇ _I_0 ⊇ _I_1 ... ⊇ _I_n ⊇ _I_n + 1 ⊇ ...

最終變成穩定的。儘管這兩個條件對稱的出現，諾特環比阿廷環更一般。例如，**Z** 是諾特的，因為任何理想可由一個元素生成，但不是阿廷環，比如有降鏈

　
: **Z** ⊋ 2**Z** ⊋ 4**Z** ⊋ 8**Z** ⊋ ...。

事實上，每個阿廷環是諾特環。

諾特環是一個特別重要的有限性條件。此條件在幾何中經常出現的許多運算下保持：如果 _R_ 是諾特環，則多項式環 _R_[_X_1, _X_2, ..., _X_n]（由希爾伯特基定理）、任何局部化 _S_−1_R_ 以及商環 _R_ / _I_ 都是諾特環。

## 維數

一個環 _R_ 的克魯爾維數（或簡稱維數）dim _R_ 是衡量環的「大小」的一個概念，非常粗略地說是數 _R_ 中無關元素。準確地說，它定義為譜中質理想鏈的長度 _n_

　
: 0 ⊆ _p_0 ⊆ _p_1 ⊆ ... ⊆ _p_n。

例如，一個體是零維的，因為惟一的理想是零理想。一個環是阿廷環若且唯若它是諾特環且是零維的（即其質理想都是極大理想）。整數是 1 維的：任何質理想鏈具有形式

　
: 0 = _p_0 ⊆ _p_**Z** = _p_1，這裡 _p_ 是一個質數

因為 **Z** 中任何理想都是主理想。

如果考慮的環是諾特環，維數表現良好：期待的不等式在這種情形下成立

　
: dim _R_[_X_] = dim _R_ + 1，

（一般地只有 dim _R_ + 1 ≤ dim _R_[_X_] ≤ 2 · dim _R_ + 1）。另外，維數隻取決於一個極大鏈，_R_ 的維數是其所有局部化 _R_p 的維數的上確界，這裡 _p_ 是任意一個質理想。直覺上，_R_ 的維數是 _R_ 譜的一個局部性質。所以，維數經常只對局部環考慮，也因為一般的諾特環仍有可能是無限維，儘管它所有局部化是有限維的。

確定

　
: _k_[_X_1, _X_2, ..., _X_n] / (_f_1, _f_2, ..., _f_m)，其中 _k_ 是一個體而 _f_i 是某個 _n_ 變數多項式

的維數一般不容易。對諾特環 _R_，_R_/_I_ 的維數，由克魯爾主理想定理，至少是 dim _R_ − _n_，如果 _I_ 由 _n_ 個元素生成。如果維數不能再小，即 dim _R_ / _I_ = dim _R_ − _n_，則 _R_ / _I_ 稱為完全交叉。

一個局部環 _R_，即只有一個極大理想 _m_，稱為正則的，如果 _R_ 的（克魯爾）維數等於維數餘切空間 _m_ / _m_2（作為體 _R_ / _m_ 上的向量空間）的維數。

有如下更幾何化的另一個包含鏈：

　
: 科恩 - 麥考利環 ⊃ 葛侖斯坦環 ⊃ 正則環 ⊃ 正則局部環。

## 構造交換環

有多種方法從給定的環構造出新的。這樣構造的目的通常是為了改善環的某種性質使其更易理解。例如，一個整環在其分式體中整閉稱為正規環。這是一個值得嚮往的性質，比如任何正規 1 - 維環必是正則的。將一個環變為正規的稱為正規化。

### 完備化

如果 _I_ 是交換環 _R_ 中一個理想，_I_ 的冪組成 0 的一個拓撲鄰域，這使 _R_ 可視為一個拓撲環。這個拓撲稱為 _I_- 進拓撲。這樣 _R_ 關於這個拓撲可以完備化。形式上，_I_- 進拓撲完備化是環 _R_/_In_ 的反向極限。例如，如果 _k_ 是一個體，_k_[[_X_]]，_k_ 上一個變數形式冪級數環，是 _k_[_X_] 的 _I_- 進完備化，其中 _I_ 是由 _X_ 生成的主理想。類似地，_p_- 進整數環是 **Z** 的 _I_- 進完備化，其中 _I_ 是由 _p_ 生成的主理想。任何同構於它的完備化的環叫做完備。

## 性質

由韋德伯恩定理，任何有限除環是交換的，從而是一個有限體。另一個確保一個環的交換性的性質，屬於雅各布森，如下：對任何 _R_ 中元素 _r_，存在一個整數 _n_ > 1 使得 _r_n = _r_ 如果對每個 _r_ 有 _r_2 = _r_，環稱為布林環。確保環的交換性的更一般的條件也為人所知。

## 相關條目

* 分次環

## 注釋

### 引用

## 參考文獻

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