交换幺半群

在抽象代數中，**么半群**，又稱為**單群**、**亞群**、**獨異點**、**具么半群**或**四分之三群**（英語：Monoid）是指一個帶有可結合二元運算和單位元素的代數結構。

么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，么半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的么半群是個帶有一個物件的範疇。么半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換么半群和語法么半群被用來描述有限狀態自動機，而跡么半群和歷史么半群則是做為進程演算和並行計算的基礎。么半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩 - 羅德斯定理和星高問題。

## 定義

**么半群**是一個帶有二元運算 \*: _M_ × _M_ → _M_ 的集合 _M_ ，其符合下列公理：

* 結合律：對任何在 _M_ 內的 _a_、_b_、_c_ ， (_a_\*_b_)\*_c_ = _a_\*(_b_\*_c_) 。
* 單位元素：存在一在 _M_ 內的元素 _e_，使得任一於 _M_ 內的 _a_ 都會符合 _a_\*_e_ = _e_\*_a_ = _a_ 。

通常也會多加上另一個公理：

* 封閉性：對任何在 _M_ 內的 _a_ 、 _b_ ， _a_\*_b_ 也會在 _M_ 內。

但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。

另外，么半群也可以說是帶有單位元素的半群。

么半群除了沒有反元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有反元素的么半群和群是一樣的。

### 生成元和子么半群

么半群 _M_ 的 **子么半群**是指一個在 _M_ 內包含著單位元素且具封閉性（即若 _x_,_y_∈_N_ ，則 _x_\*_y_∈_N_ ）的子集 _N_。很明顯地， _N_ 自身會是個么半群，在導自 _M_ 的二元運算之下。等價地說，子么半群是一個子集 _N_ ，其中 _N_=_N_\* ，且上標 \* 為克萊尼星號。對任一於 _M_ 內的子集 _N_ 而言，子么半群 _N_\* 會是包含著 _N_ 的最小么半群。

子集 _N_ 被稱之為 _M_ 的**生成元**，若且唯若 _M_=_N_\*。若 _N_ 是有限的， _M_ 即被稱為是**有限生成**的。

### 可交換么半群

運算為可交換的么半群稱之為**可交換么半群**（或稱為**阿貝爾么半群**）。可交換么半群經常會將運算寫成加號。每個可交換么半群都自然會有一個它自身的**代數**預序 ≤ ，定義為下： _x ≤ y_ 若且唯若存在 _z_ 使得 _x+z=y_ 。可交換么半群 _M_ 的**序單位**是一個在 _M_ 內的元素 _u_ ，其中對任一在 _M_ 內的元素 _x_ 而言，總會存在一個正整數 _n_ 使得 _x ≤ nu_。這經常用在 _M_ 是偏序阿貝爾群 _G_ 的正錐體的情況，在這種情況下我們稱 _u_ 是 _G_ 的序 - 單位。有接受任何交換么半群，並把它變成全資格阿貝爾群的代數構造；這個構造叫做格羅滕迪克群。

### 部分可交換么半群

運算只對某些元素而不是所有元素是交換性的的么半群是跡么半群；跡么半群通常出現在並發計算理論中。

## 例子

* 每一個單元素集合 {_x_} 都可給出一個單元素 (當然) 么半群。對定固的 _x_，其么半群是唯一的，當其么半群公理在此例子必須滿足 _x_\*_x_=_x_ 時。
* 每一個群都是么半群，且每一個阿貝爾群都是可交換么半群。
* 每一半格都是等冪可交換么半群。
* 任一個半群 _S_ 都可以變成么半群，簡單地加上一不在 _S_ 內的元素 _e_，並定義 _ee_=_e_ 和對任一在 _S_ 內的 _s_，_es_=_s_=_se_。
* 自然數 **N** 是加法及乘法上的可交換么半群。
* 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素
  * 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數
* 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內 _n×n_ 矩陣所組成的集合

某些固定字母 Σ 的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的么半群。空字元串當成單位元素。這個么半群標記為 Σ\*，並稱為在 Σ 內的**自由么半群**。

* 給定一么半群 _M_，並考慮包含其所有子集的冪集 _P_(_M_)。這些子集的二元運算可以定義成 _S_ \* _T_ = {_s_ \* _t_ : _s_ 在 _S_ 內且 _t_ 在 _T_ 內}。這使得 _P_(_M_) 變成了具有單位元素 {_e_} 的么半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在群子集的乘積下的么半群。
* 設 _S_ 為一集合。由所有函數 _S_ → _S_ 所組成的集合會是在複合函數下的么半群。其單位元素為恆等函數。若 _S_ 為有限的且有 _n_ 個元素，其么半群也會是有限的，且有 _n_n 個元素。
* 廣義化上述的例子，設 _C_ 為一範疇且 _X_ 為 _C_ 內的一對象。由 _X_ 所有自同態組成的集合，標記為 EndC(_X_)，是一在態射複合下的么半群。更多有關範疇論和么半群的關係請見下述。
* 在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元素為一般二維球面類。此外，當 _a_ 標記為環面類且 _b_ 標記為射影平面類，此一么半群的每一個元素 _c_ 都會有一唯一的表示式 _c=na+mb_，其中 _n_ 是大於等於零的整數，_m_ 為 0、1 或 2，且會有 _3b=a+b_。
* 設_<f>_是一個數為 _n_ 的循環么半群，亦即 $<f>=\{f^{0},f^{1},..,f^{n-1}\}$ 。然後， $f^{n}=f^{k}$ ，其中 $0\leq k\leq n$ 。事實上，不同的 _k_ 會給出不同的么半群，且每個么半群都會和另一個同構。

此外，_f_ 也可以想成在點 ${0,1,2,..,n-1}$ 上的函數，給定如下

　
: ${\begin{bmatrix}0&1&2&...&n-2&n-1\\1&2&3&...&n-1&k\end{bmatrix}}$

或等價地表示成

　
: $f(i):={\begin{cases}i+1,&{\mbox{if }}0\leq i<n-1\\k,&{\mbox{if }}i=n-1.\end{cases}}$

 $<f>$ 元素間的乘法即由複合函數給定。

注意當 $k=0$ 時，函數 _f_ 是 $\{0,1,2,..,n-1\}$ 的置換，並給出個數為 _n_ 的唯一循環群。

## 性質

在一么半群內，可以定義一元素 _x_ 的正整數冪：_x_1=_x_ 及 _x_n=_x_\*...\*_x_ (乘上 _n_ 次)，其中 _n_>1。冪的規則 _x_n+p=_x_n\*_x_p 則是很明顯的。

由定義可以證明其單位元素 _e_ 是唯一的。然後，對任一 _x_，可以設 _x_0 為 _e_，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。

_反元素_：一元素 _x_ 稱為可逆，若存在一元素 _y_，使得 _x_\*_y_ = _e_ 且 _y_\*_x_ = _e_。此一元素 _y_ 便稱做 _x_ 的反元素。結合律使得其反元素 (若存在) 是唯一的。

若 _y_ 是 _x_ 的反元素，則可以定義 _x_ 的負冪，以 _x_−1=_y_ 及 _x_−n=_y_\*...\*_y_ (乘上 _n_ 次)，其中 _n_>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼 _x_ 的反元素通常會寫做 _x_−1。所有在么半群 _M_ 內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個么半群都含有一個群。

但並不是每個么半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個么半群，其兩個元素 _a_ 和 _b_ 會有 _a_\*_b_=_a_ 的關係，即使 _b_ 不是單位元素。如此的么半群是不可能包含於一個群內的，
因為在群裡，兩邊一同乘 _a_ 的反元素，就會得到 _b_ = _e_ 的結果，但這不是真的。一個么半群 (M,\*) 若具有消去性，即表示對任何在 _M_ 內的 _a_、_b_、_c_，_a_\*_b_ = _a_\*_c_ 永遠意指 _b_ = _c_ 且 _b_\*_a_ = _c_\*_a_ 也永遠意指 _b_ = _c_。一具有消去性的可交換么半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數 (加法運算下的群) 可以由自然數 (具有消去性的加法運算下的可交換么半群) 建立。但一具有消去性的不可交換么半群則一定不可能包含於一個群之中。

若一么半群有消去性且是有限的，它會是一個群。

一可逆么半群為一么半群，其任一在 _M_ 內的 _a_，總存在一唯一在 _M_ 內的 a-1，使得 a=aa-1a 且 a-1=a-1aa-1。

一么半群 _G_ 的子么半群是 _G_ 的子集 _H_，其包含有單位元素，且若 _x_、_y_ 屬於 _H_，則 _xy_ 屬於 _H_。很清楚地，_H_ 本身也是個么半群，在 _G_ 的二元運算之下。

## 作用和算子么半群

**算子么半群**是一作用在集合 _X_ 上的么半群 _M_。亦即，存在一運算 $ : _M_ × _X_ → _X_ 符合么半群的運算。

* 對任一在 _X_ 內的 _x_：_e$x=x_。
* 對任何在 _M_ 內的 _a_、_b_ 及在 _X_ 內的 _x_：_a $ (b $ x) = (a \* b) $ x_。) = (a \* b) • x_._

運算子么半群也叫做**作用**(因為它們類似於群作用), 轉移系統，半自動機或轉換半群。

## 么半群同態

兩個么半群 (_M_, \*) 和 (_M_′, @) 之間的同態是一個函數 _f_ : _M_ → _M_′，會有如下兩個性質：

* _f_(_x_\*_y_) = _f_(_x_)@_f_(_y_) 對所有在 _M_ 內的 _x_ 和 _y_
* _f_(_e_) = _e_′

其中 _e_ 和 _e_′分別是 _M_ 和 _M_′的單位元素。

不是每一個群胚同態都會是個么半群同態，因為它不一定會維持單位元素。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元素。對於么半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

對射么半群同態稱做么半群同構。

## 么半群同餘和商么半群

**么半群同餘**是相容於么半群乘積的等價關係。就是說它是子集

　
: $\sim \;\subseteq M\times M$

使得它是自反的、對稱的和遞移的 (如同所有等價關係必須的那樣)，還要有如果 $x\sim y\,$ 且 $u\sim v\,$ 對於所有 _M_ 中的 $x,y,u$ 和 $v$ ，則有 $x*u\sim y*v\,$ 的性質。

么半群同餘引發同餘類

　
: $[m]=\{x\in M\vert \;x\sim m\}$

而么半群運算 \* 引發在同餘類上的二元運算 $\circ $ : 

　
: $[u]\circ [v]=[u*v]$

它是么半群同態。它明顯的也是結合的，所以所有同餘類的集合也是么半群。這個么半群叫做**商么半群**，可以寫為

　
: $M/\sim \;=\{[m]\,\vert \;m\in M\}$

一些額外的符號是公用的。給定子集 $L\subseteq M$ ，寫

　
: $[L]=\{[m]\,\vert \;m\in L\}$

對於引發自 _L_ 的同餘類的集合。在這個表示法中，明顯的 $[M]=M/\sim \,$ 。但是一般的說， $[L]\,$ 不是么半群。走相反的方向，如果 $X\subseteq [M]$ 是商么半群的子集，寫

　
: $\bigcup X=\{m\,\vert \;[m]\in X\}$

當然這只是 _X_ 的成員的聯集。一般的說， $\bigcup X$ 不是么半群。

明顯的有 $L\subseteq \bigcup [L]$ 且 $\left[\bigcup X\right]=X$ 。

## 和範疇論的關係

么半群可視之為一類特殊的範疇。么半群運算滿足的公理同於範疇中從一個對象到自身的態射。換言之：

　
: _么半群實質上是只有單個對象的範疇。_

精確地說，給定一個么半群 (_M_,\*)，可構造一個只有單個對象的小範疇，使得其態射由 _M_ 的元素給出，而其合成則由 么半群的運算 \* 給出。

同理，么半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是么半群概念的延伸。許多關於么半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。

么半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 **Mon**，其對象是么半群而態射是么半群的同態。

範疇論中也有么半對象的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的么半群。

## 參考文獻

* John M. Howie, _Fundamentals of Semigroup Theory_ (1995), Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-851194-9

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Monoid, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* 埃里克・韋斯坦因. Monoid. MathWorld.
* _Monoid_ at PlanetMath.