中線定理

**中線定理**，又稱**阿波羅尼奧斯定理**，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

## 中線定理

對任意三角形 $\triangle ABC$ ，設 $I$ 是線段 ${\overline {BC}}$ 的中點， ${\overline {AI}}$ 為中線，則有如下關係：

$$
{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,
$$

### 證明

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入 $I$ ：

　
: $|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}$

得出

　
: $|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}$

 $I$ 是 $BC$ 的中點，因此 ${\overrightarrow {IB}}$ 和 ${\overrightarrow {IC}}$ 相反，可知式中兩個標積抵消。又因 ${\overline {IC}}={\overline {IB}}$ ，得出

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,$

### 另一個證法

這可能是阿波羅尼烏斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設 $H$ 是從 $A$ 到 $BC$ 的垂足，則 $\triangle BHA$ 和 $\triangle AHC$ 是直角三角形。用勾股定理可得

　
: ${\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

　
: ${\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

　
: ${\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

所以

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

把 $BH$ 和 $HC$ 用 $BI$ 和 $IH$ 表達出來（記得 $I$ 是 $BC$ 的中點，因此 $BI=IC$ ）。注意到雖然現在的情形假設 $H$ 在線段 $BI$ 上，但其
他情形也可以用這個方法。

　
: ${\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,$

　
: ${\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,$

代入前式：

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,$

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,$

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,$

 $\triangle IHA$ 是直角三角形 (H 為 $\triangle ABC$ 於 ${\overline {BC}}$ 之垂足)
，因此

　
: ${\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,$

代入前式得出

　
: ${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

## 中線的向量表達式

設 $I$ 是線段 $BC$ 的中點，則有 ${\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}$

## 中線的另一條定理

用標積表示 $AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$ ，其中 $H$ 是 $A$ 到線 $BC$ 的垂足。

從上得到中線的另一條定理 $\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH$ 。

實際上

　
: $AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}$

 ${\overrightarrow {AI}}$ 投影在 ${\overrightarrow {BC}}$ 上是 ${\overrightarrow {HI}}$ ，因而有 ${\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$ .

這兩個共線向量的標積可等於 $BC\times IH\,$ 或其負數，因此取絕對值。

## 參見

* 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
* 平行四邊形恆等式