乘積定則

**乘積法則**（英語：Product rule），也稱**積定則**、**萊布尼茲法則**，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數 $f,g$ 及其導數 $f',g'$ ，則它們的積 $fg$ 的導數為：

　
: $(fg)'=f'g+fg'\,$

這個法則可衍生出積分的分部積分法。

## 萊布尼茲的發現

人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設 _u_(_x_) 和 _v_(_x_) 為 _x_ 的兩個可導函數。那麼，_uv_ 的微分是：

　
: ${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

由於 _du_·_dv_ 的可忽略性，因此有：

　
: $d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,$

兩邊除以 _dx_，便得：

　
: ${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

　
: $(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,$

## 例子

* 假設我們要求出 _f_(_x_) = _x_2 sin(_x_) 的導數。利用乘積法則，可得 _f_'(_x_) = 2_x_ sin(_x_) + _x_2cos(_x_)（這是因為 _x_2 的導數是 2_x_，sin(_x_) 的導數是 cos (_x_)）。
* 乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果 _c_ 是實數，_f_(_x_) 是可微函數，那麼 _cf_(_x_) 也是可微的，其導數為 (_c_ × _f_)'(_x_) = _c_ × _f_ '(_x_)。
* 乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

## 證明一：利用面積

假設

　
: $h(x)=f(x)g(x),\,$

且 _f_ 和 _g_ 在 _x_ 點可導。那麼：

　
: $h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)$

現在，以下的差

　
: $f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)$

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

　
: $f(w){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)$

因此，(1) 的表達式等於：

　
: $\lim _{w\to x}\left(f(w)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)$

如果 (5) 式中的四個極限都存在，則 (4) 的表達式等於：

　
: $\left(\lim _{w\to x}f(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)$

現在：

　
: $\lim _{w\to x}f(w)=f(x)\,$

因為當 _w_ → _x_ 時，_f_(_x_) 不變；

　
: $\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)$

因為 _g_ 在 _x_ 點可導；

　
: $\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)$

因為 _f_ 在 _x_ 點可導；以及

　
: $\lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,$

因為 _g_ 在 _x_ 點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5) 的表達式等於：

　
: $f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,$

## 證明二：使用對數

設 _f_ = _uv_，並假設 _u_ 和 _v_ 是正數。那麼：

　
: $\ln f=\ln u+\ln v.\,$

兩邊求導，得：

　
: ${1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v$

把等式的左邊乘以 _f_，右邊乘以 _uv_，即得：

　
: ${d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.$

## 證明三：使用導數的定義

設 $h(x)=f(x)g(x),\,$

且 _f_ 和 _g_ 在 _x_ 點可導。那麼：

$$
h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}
$$

　
: : $=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}$

　
: $=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}$

　
: $=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}$

　
: $=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ .

## 推廣

* 若有 $n$ 個函數 $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ ，則：

　
: $\left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}$

* （萊布尼茲法則）若 $f,g$ 均為可導 $n$ 次的函數，則 $fg$ 的 $n$ 次導數為：

　
: $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

其中 ${n \choose k}$ 是二項式係數。

## 應用

乘積法則的一個應用是證明以下公式：

　
: ${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

其中 _n_ 是一個正整數（該公式即使當 _n_ 不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果 _n_ = 1， ${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}$

假設公式對於某個特定的 _k_ 成立，那麼對於 _k_+ 1，我們有：

　
: ${\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}$

因此公式對於 _k_+ 1 也成立。

## 參見

* 除法定則
* 倒數定則
* 鏈式法則
* 分部積分法