zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
乖女也瘋狂

《**乖女也瘋狂**》（英語：**The Fiery Daddy and His Three Sweeties**）是香港亞洲電視製作的時裝劇集，全劇共 20 集。

## 劇情簡介

為人固執的古董店老闆利潤生有三個讓他頭疼的女兒。長女利海倫，雖然賢良淑德，可惜慘遭身在加拿大的丈夫拋棄，並被逼迫簽離婚協議書，從此對婚姻失去信心。次女利羅娜，性格暴躁且經常作明星夢，因此與父親及男友陳貴摩擦不斷。幼女利茱迪，身為未成年的學生妹，一直追求真摯愛情，卻始終沒等到白馬王子的降臨。

## 演員表

* 喬　宏 飾 利潤生
* 梅愛芳 飾 利海倫
* 符鈺晶 飾 利羅娜
* 龐秋雁 飾 利茱迪
* 孫　興 飾 陳　貴
* 苗金鳳 飾 歐陽芬芳
* 陳穎芝 飾 Maggie
* 江　圖 飾 陳查理
* 丁　櫻 飾 花姑娘
* 徐二牛 飾 周老闆
* 潘志文 飾 甘柏
* 馬寶顓 飾 Sophia
* 詹秉熙 飾 許瑞安
* 區艷蓮 飾 何琳琳
* 駱達華 飾 Gigo
* 凌文海 飾 江祺水
* 榮　飆 飾 彪　哥
* 羅　烈 飾 利錢友
* 羅耀雄 飾 萬事通
* 黎劍星 飾 余　基
* 陳植槐 飾 紅衛兵頭目

## 電視節目的變遷
乖女仔？

**《乖女仔？》**是香港歌手鍾舒漫的第一張個人專輯，於 2007 年 7 月 27 日推出；2007 年 9 月 17 日推出第二版。

## 曲目

## Music Video

## 專輯派台歌曲成績

## 參考文獻
乖小孩

《**乖小孩**》（よいこ）是石川優吾的漫畫，在《Big Comic Spirits》上連載。1998 年 1999 年播放電視動畫。

## 劇情概要

江角風花是一位可愛的女孩，身高 163 公分，體重 53kg，可愛的臉蛋加上玲瓏有緻的身材，連大學生都不禁被她吸引，跟普通少女一樣，風花愛漂亮也喜歡化妝，不過有一點比較特別，就是其實她只是國小五年級的學生！

## 動畫登場人物

**江角風花（配音員：永田亮子）**
: 國小五年級生，有著成熟的身體，但是心裡還只是個單純的國小生，有正義感，十分喜歡摔角，不過很怕痛。

**綱本健司（配音員：阪口大助）**
**鹿島美紀（配音員：大野佐和）**
: 爸爸經商落跑了，留下龐大債務，媽媽天天打工還錢；家境貧苦三餐不繼；在漫畫一開始，不知為何被全班排擠，後來是有正義感的江角幫她解決了這個問題。

**小關顯（配音員：石村和子）**
: 好色，經常吃江角豆腐。

**野口老師（配音員：芳野美樹）**
: 一心想到巴黎旅遊的老師。

**江角志郎（配音員：檜山修之）**
: 高中二年級生，風花的哥哥，比風花還要矮許多。

**母親（配音員：島村薰）**
**旁白（清水美里、濱尾幸慈）**

## 電視動畫

1998 年 11 月 6 日至 1999 年 3 月 26 日在日本 TBS 播出。共 20 集。

### 工作人員

* 原作：石川優吾
* 監修：久保雅一、飯田良弘、澤邊伸政
* 監督：大森貴宏
* 劇本：富田祐弘
* 角色設計：志田正博
* 美術監督：長崎齊
* 色彩設計：海峰重信
* 攝影監督：沖野雅英
* 編輯：關一彥
* 音樂監督：千葉繁
* 音樂：ヨシオ・J・マキ
* 音樂製作：藤田昭彥
* 執行製作人：源生哲雄、都築伸一郎、布川郁司
* 動畫製作人：池田泰弘
* 導演：坂本香、荻野賢
* 製作：TBS・ぴえろ

## 外部連結

* よいこ（日語）
乖張/僅此才有的景色

《**乖張 / 僅此才有的景色**》（日語：**へそ曲がり / ここにしかない景色**）是關西傑尼斯 8 的第 23 張單曲，於 2013 年 4 月 24 日發行，唱片公司為 Imperial Records。

## 概要

此單曲和前作《青鼻涕》發行睽違約 7 個月，同時也是 2011 年的《T.W.L／Yellow Pansy Street》之後，相隔 2 年的雙 A 單曲。

《乖張》是成員大倉忠義演出的朝日電視台晚間連續劇《天氣姐姐》的主題曲。《僅此才有的景色》是為成員錦戶亮主演的電影《來觀光吧！縣廳款待課》的主題曲。

## 收錄曲目

### 初回限定盤 A

1. **乖張**（へそ曲がり）

　
: 作詞、作曲：TAKESHI，編曲：大西省吾
2. **僅此才有的景色**（ここにしかない景色）

　
: 作詞、作曲：A.F.R.O，編曲：大西省吾
3. **This moment**

　
: 作詞：nojo，作曲：nojo、工藤勝洋，編曲：山路一志，銅管樂器編曲：YOKAN

**特典 DVD**

* 「乖張」Music Clip＋製作花絮影像

### 初回限定盤 B

1. **僅此才有的景色**
2. **乖張**
3. **myself**

　
: 作詞、作曲：ZEN，編曲：久米康隆

**特典 DVD**

* 「僅此才有的景色」Music Clip＋製作花絮影像

### 通常盤

1. **乖張**
2. **僅此才有的景色**
3. **This moment**
4. **myself**
5. **就是愛。"8EST"Remix**（愛でした。）
6. 乖張（Off Vocal）
7. 僅此才有的景色（Off Vocal）
8. This moment（Off Vocal）
9. myself（Off Vocal）

## 參考資料

## 外部連結

* 唱片公司介紹頁面（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（日語）
乖離率

**乖離率**（英語：Bias Ratio, **BIAS**），代表當日股票收盤價或盤中市價與移動平均線的差距，以分析股價偏離某時期平均價（平均成本）的程度。乖離率可分為正乖離率與負乖離率，若股價在移動平均線之上，稱為正乖離率；股價在移動平均線之下，則為負乖離率。乖離率可視作某時期的平均報酬率。乖離率是由移動平均線之買賣法則所延伸之技術指標，其判斷依據為當股價偏離移動平均線很遠時，會轉而趨向移動平均線；但買賣法則並未論述偏離程度應達到多少，股價將向移動平均線靠近。

當股價與移動平均線的差距愈遠時，乖離率的絕對值愈大（乖離率可正可負），代表乖離愈大，股價即將有修正偏離的可能；當乖離率呈現正值過大或負值過大情況時，股價均會產生反轉的修正走勢。

「**正乖離**」越正表示「**超買**」（Overbought），將有下跌的壓力；「**負乖離**」越負表示「**超賣**」（Oversold），將有上升的動能，此時股價將有向平均成本移動作調整的機會。當乖離率達到多少意味為超買及超賣，此判斷之標準將見仁見智。

單獨使用乖離率會有買賣點不明確的缺點，僅能解釋成發生反轉的機會增加，尚需佐以經驗法則和其他分析工具來作判斷。

## 公式

　
: : $nBIAS={\frac {Close-MA_{n}}{MA_{n}}}\times {100}\%$

　
: 【註】
1. nBIAS 為 n 日乖離率；
2. Close 為當日收盤價；
3. MA 為移動平均價、MAn 為 n 日移動平均價，n 依需求自訂日數，一般設定 3 日和 6 日。

## 均線乖離率

**均線乖離率**的概念是依據長短天期移動平均線的差值來決定多空的方向。如果股價在長天期均線之上則作多；反之股價在長天期均線之下則作空或者空手。

**〖公式〗**
: : $BIAS_{(MA)}={\frac {MA_{short}-MA_{long}}{MA_{long}}}\times {100}\%$

　
: 【註】
 1. ${\begin{smallmatrix}BIAS_{(MA)}\end{smallmatrix}}$ ：均線乖離率；
2. ${\begin{smallmatrix}MA_{short}\end{smallmatrix}}$ 為短天期均線、 ${\begin{smallmatrix}MA_{long}\end{smallmatrix}}$ 為長天期均線。

## n-mBIAS

**〖公式〗**
: : $n-mBIAS=nBIAS-mBIAS$

**短天期**的乖離率減去**長天期**的乖離率來分析趨勢，一般會採用的天數為 3 天和 6 天。

當 3BIAS 與 6BIAS 交叉時， 3-6BIAS 會趨近於 0，此點即為**支撐點**或**壓力點**，此時可以視為買賣訊號。不過 3-6BIAS 會有訊號過多的問題，實務上可以拉長平均天數來使用（例如：10 天和 25 天）。

## 內部連結

* 技術分析
* 移動平均（MA）
* 隨機指標（KD）
* 相對強弱指數（RSI）
* 指數平滑異同移動平均線（MACD）

## 註釋

## 外部連結

* BIAS 解釋（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* BIAS 舉例（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 3-6BIAS（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
乖龍丈人

**屠本畯**（1542 年 10 月 10 日 —1622 年 11 月 3 日），字**田叔**、**豳叔**、**豳叟**，號**漢陂**、**由叟**、**憨先生**、**憨憎居士**、**乖龍丈人**、**無蓋庵頭陀**，浙江寧波府鄞縣人，明朝政治人物、學者。官至辰州府知府。

## 生平

屠本畯生於嘉靖二十一年壬寅九月二日寅時，以父蔭入仕，初任太常寺典薄，歷官禮部郎中、兩淮運司同知，官至福建鹽運司同知。在福建任職期間，潛心研究海洋生物，萬曆二十四年（1596 年）應余君房之請，寫成《閩中海錯疏》三卷。此書是中國最早的地方海產動物志。

官至辰州府知府。萬曆二十九年（1601），罷官歸家，居鄉二十餘年。晚年自號憨先生、豳叟。卒天啟二年壬戌十月一日戌時。

## 家族

父屠大山，嘉靖二年（1523 年）癸未科進士，「東海三司馬」之一。子屠惟霖，官至陝西慶陽府寧州同知。

## 著作

本畯好讀書，至老不輟，自稱「吾於書飢以當食，渴以當飲，欠身以當枕席，愁及以當鼓吹」。

**著作：**

* 《茗笈》
* 《尚書別錄》六卷
* 《太常典錄》六卷
* 《山林經濟籍》二十四卷
* 《屠本畯詩草》六卷
* 《閩中海錯疏》三卷（浙閩總督采進本）
* 《海味索隱》

**雜劇**

又有雜劇《崔氏春秋補傳》、《飲中八仙記雜劇》。

## 參考資料

## 延伸閱讀

[編]

　
: 在維基文庫**閱讀此作者作品**

　
: 《四明人鑑・明辰州太守屠公本畯》，出自《四明人鑑》

* 甬上屠氏
乗松瑠華

**乗松瑠華**（日語：乗松 瑠華／のりまつ るか _Norimatsu Ruka_，1996 年 1 月 30 日 —），日本足球運動員，日本國家女子足球隊成員。

## 日本國家足球隊

2014 年，她共為日本國家女子足球隊出場 2 次。她也曾代表日本參加 2014 年亞足聯女子亞洲盃。

## 成績

## 參考文獻
乘

在數學中，**乘法**（英語：multiplication）是加法的連續運算，同一數的若干次連加，其運算結果稱為**積**（英語：product）。

　
: $\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n$

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。
但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 $n\times a$ ，唸作「n times a」。

## 表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示「五乘以二」：

 * $5\times 2$
* $5\cdot 2$
* $5*2$
* $(5)(2)$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「 $\times $ 」表示乘法是威廉・奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於 1618 年他寫的附錄，和約於 1628 年寫作的、1631 年出版的書《數學之鑰》（_Clavis Mathematicae_）內出現。以「 $\times $ 」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「 $\cdot $ 」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托馬斯・哈里奧特在 1631 年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「 $*$ 」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是 FORTRAN（福傳）程式語言，事實上可以追溯到更早 ——1659 年，Johann Rahn（1622 年－1676 年）在 _Teutsche Algebra_ 一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代數中，乘號經常省略掉，形式如 $5x$ 和 $xy$ 。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即 $5\times 2$ 不會表示成 $52$ 。

乘積可以用大寫希臘字母 Π（Pi， $\Pi $ ）來表示：

　
: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

## 定義

兩個整數的積是：

　
: $mn=\sum _{k=1}^{n}m$

這是「將 m 加到自己 n 次」的簡化說法。更清晰來說：

　
: $mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

* 交換律： $xy=yx$
* 結合律： $(xy)z=x(yz)$
* 分配律： $x(y+z)=xy+xz$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即 $1x=x$ ，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即 $0x=0$ 。

當 $x$ 是量， $y$ 是自然數，乘法的遞迴定義：

　
: $0x=0$

　
: $xy=x+x(y-1)$

## 歷史

最早最詳細的關於十進位制乘法的規則，首見西元 400 年左右孫子算經。孫子乘法在 9 世紀經花拉子米介紹而流行於阿拉伯國家，13 世紀被翻譯成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中國，在 9 世紀初經花拉子米介紹到阿拉伯，但都未能流行。

## 計算

* 電腦有特別的演算法來處理大數之間的相乘，見乘法演算法。
* 華人小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
* 史豐收速演算法提出了用「本個 + 後進」的方式來計算乘法。
* 尺規作圖作乘法的方法：給定長為 $1$ 的線，以及兩條線 $AB$ 和 $AC$ ，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為 $AB$ 和 $AC$ ， $AB$ 垂直 $AC$ 於 $A$ 。在 $AB$ 上畫出點 $D$ 使 $DA=1$ ，連 $D$ 、 $C$ 為 $DC$ 。畫一條通過 $B$ 、平行 $DC$ 的線，延長 $AC$ ，此兩條線的交於 $E$ ， $EA$ 即為所求之線。

## 參考
乘Bus的Busking

《 **乘 Bus 的 Busking**》（韓語：**버스타고버스킹**，英語：）為韓國 GMTV 於 2018 年推出的音樂綜藝節目，由 孔燦、柳昇佑、Kino 等人共同主持，節目主軸為通過街頭表演者的舞台，讓大眾心靈可暫時得到放鬆的治癒系節目。

## 各集內容

## 註釋與參考資料

### 註釋

### 參考資料

## 外部連結

* 乘 Bus 的 Busking 的 Instagram 帳戶（韓文）
乘上獨角獸

《**騎上獨角獸**》（日語：ユニコーンに乗って，英語：_Riding a Unicorn_）是日本 TBS 電視台於 2022 年 7 月 5 日至 9 月 6 日播出的週二連續劇，由永野芽郁主演。

台灣由 KKTV、friDay 影音、中華電信 MOD、Hami Video 於 7 月 6 日起跟播。

## 登場人物

### 主要人物

* 成川佐奈〈26〉：永野芽郁

　
: 教育系新創企業「DREAM PONY」的年輕 CEO。

　
: 出身貧窮家庭且只有高中畢業，靠著努力自學，於 3 年前創業。

* 小鳥智志〈48〉：西島秀俊

　
: 佐奈的部下。曾在銀行工作約 25 年的上班族大叔，因某件事件轉職到「DREAM PONY」工作。興趣是去圖書館和賞鳥。

* 須崎功〈26〉：杉野遙亮

　
: 與佐奈共同創立「DREAM PONY」的事業夥伴兼 CTO。畢業於慶成大學。

　
: 大型不動產集團企業「須崎不動產」的公子，但選擇不繼承家業而是自己創業。

### 「DREAM PONY」

* 森本海斗 / ミン・ソヌ〈20〉：坂東龍汰

　
: 「DREAM PONY」的程式設計師，真實身份為神秘韓國工程師ミン・ソヌ。大學生。

　
: 曾獲得數學奧林匹克競賽優勝，但是溝通能力差。

* 栗木次郎〈26〉：前原滉

　
: 「DREAM PONY」的創始人之一。與須崎是大學同學。

* 夏井惠實〈29〉：青山黛瑪

　
: 「DREAM PONY」的程式設計師。歸國子女；父親是美國人。

### 佐奈相關人物

* 成川依里〈17〉：武山瑠香

　
: 佐奈相差 9 歲的妹妹。高中生。

* 成川美佳子：奧貫薫

　
: 佐奈與依里的母親。

* 佐奈與依里的父親：岩崎孝宣

　
: 因創業失敗欠債，與美佳子離婚。

### 須崎相關人物

* 倉田凜花〈26〉：石川戀

　
: 美容類網路紅人。須崎的青梅竹馬兼前女友。

* 須崎征一：利重剛

　
: 功的父親。「須崎不動產」社長。

* 須崎聖：片岡京子

　
: 功的母親。

### 其他人物

* 白金貴史：山口貴也

　
: 創業投資公司職員。「DREAM PONY」的負責人。

* 羽田早智〈43〉：廣末涼子

　
: 受佐奈憧憬的大型電信公司「CYBER MOBILE」的 CEO。

* 羽田玲央〈9〉：寺嶋真秀

　
: 早智的兒子。小學 3 年級生；喜愛戶外活動。與喜歡賞鳥的小鳥智志感情很好。

## 製作人員

* 劇本：大北遙
* 導演：青山貴洋、棚澤孝義、泉正英、竹村謙太郎
* 配樂：青木沙也果
* 主題曲：DISH//〈しわくちゃな雲を抱いて〉（Sony Music Records）
* 製作人：松本友香、岩崎愛奈
* 編成：青木伸介、森岡梢
* 製作：TBS SPARKLE、TBS 電視台

## 播出日程

## 相關條目

* 獨角獸企業

## 參考資料

## 外部連結

* 官方網站（日語）
  * 電視劇的 Twitter 帳戶
  * 電視劇的 Instagram 帳戶
  * 電視劇的 TikTok 帳戶
乘丘之战

**乘丘之戰**，是指公元前 684 年（周莊王十三年、魯莊公十年、齊桓公二年、宋閔公八年），魯莊公率軍在乘丘（今山東省濟寧市兗州區境）擊敗齊國、宋國聯軍的作戰。

長勺之戰之後，前 684 年六月，齊、宋兩國聯兵攻魯國，侵入魯都曲阜附近的郎地（今山東省曲阜市附近）。魯國公子偃建議魯莊公發兵首先進攻戰鬥力較弱的宋軍，若擊敗宋軍，齊軍也會不戰而退。魯莊公沒有採納他的建議。公子偃擅自率軍出曲阜南門，進擊宋軍。魯軍以虎皮蒙在戰馬身上，進攻敵軍，以驚嚇宋軍人馬。魯莊公聞訊，怕公子偃有失，也率主力跟進。魯軍最終在乘丘擊敗宋軍，俘獲宋國大夫南宮長萬。齊軍見宋軍敗走，不戰而退。

## 參見

* 中國戰爭列表

## 參考文獻
乘丘县

**乘丘縣**，中國古縣名。

《漢書・地理志》作椉丘縣（椉是乘的本字），西漢於春秋魯國的乘丘之地置乘丘縣，治所在今山東省兗州區西北。屬泰山郡，地處泰山郡西南部，與東平國的樊縣、山陽郡的瑕丘縣相鄰。東漢時省廢。

隋文帝開皇十六年（596 年）再置乘丘縣，屬鄆州。治所在今山東巨野縣大李集鄉。隋煬帝大業初年併入巨野縣。唐高祖武德四年（621 年）分乘氏縣復置，仍屬鄆州。唐太宗貞觀元年（627 年）廢，地入巨野縣。

## 參考文獻

* 《中國行政區劃通史・秦漢卷》
* 《中國行政區劃通史・唐代卷》
乘務員

**乘務員**是交通運輸工具上的服務人員概稱。

一般交通運輸工具的服務人員，可稱為組員或機組人員（Crew），依其工作範圍區分，大概可區分為前艙與後艙。前艙通常指駕駛艙，在前艙服務的人員通常負責運轉工作，例如飛機的機師，或鐵路列車的列車駕駛。

而為後艙通常指客艙，即旅客乘坐的空間。在後艙服務的人員，為了與前艙組員區分，通常稱為乘務員。

飛機的乘務員，依職務分為座艙長和空中服務員。有時尚包含空中保安人員。

鐵路列車的乘務員，依職務分為列車長、列車乘務員或列車駕駛。在臺灣，鐵路乘務員通常專指駕駛動力車的臺鐵乘務員。
乘勝狙擊

《**乘勝狙擊**》（英文 : Burning Hands），香港電視廣播有限公司拍攝製作以賭博懸疑為題材的電視劇，由陳展鵬及林夏薇領銜主演，並由陳山聰、傅嘉莉、單立文、吳岱融、陳秀珠、呂珊、黃子恆、莊思敏、潘志文、徐榮、黃祥興、趙希洛、林子善及黃子雄聯合演出，故事背景以老千、魔術師與賭王為題，編審劉枝華，監製葉鎮輝。

此劇為 2017 無綫節目巡禮 14 部劇集之一，亦為無綫電視 2017 年賀歲劇之一。

此劇的劇照圖片亦都在 TVB Anywhere 網站的登入畫面中在此劇開播時採用。

## 演員表

### 老千集團：千門七傑（成員）

### 蔣家／翟家

### 何家

### 霍家

### 駿昇賭場娛樂城／娛樂集團

### 其他演員

## 收視

## 軼事

* 此劇是林夏薇首度擔正第一女主角。
* 此劇是陳山聰、單立文、傅嘉莉與黃長興繼《財神駕到》後再度合作。
* 此劇是林夏薇、 陳展鵬繼 《單戀雙城》、《天眼》後第三度合作。
* 此劇「伍柏義」原定由馬國明飾演，因要拍攝另一時裝賭博題材電視劇《賭城群英會》而辭演，後改由陳山聰頂上。
* 此劇「霍曦昕」原定由姚子羚飾演，但因被其愛犬咬傷，後改由傅嘉莉頂上。
* 此劇劇名雖帶有「狙擊」，但跟謝天華的狙擊系列是沒有關連的。
* 此劇初期陳山聰飾演的伍柏義對劇中賭王霍駿昇（單立文飾）的女兒霍曦昕（傅嘉莉飾）展開追求，後更打動其與其交往，但最終分手。巧合地現實中陳山聰也曾與澳門賭王何鴻燊的女兒何超雲交往，最終亦是分手收場，陳山聰於劇中可謂「戲如人生」。
* 此劇是陳展鵬繼《巨輪》、《叛逃》後第三度飾演亦正亦邪的角色。

## 記事

* 2016 年 3 月 21 日：此劇在 12:30 於將軍澳電視城一廠 Common Room 舉行造型記者會。
* 2016 年 4 月 25 日：此劇在 15:30 於元朗大旗嶺 744 號地舖 C 室進行拍攝。
* 2016 年 5 月 23 日：此劇在 16:00 於將軍澳電視廣播城民初街教堂進行拍攝。
* 2016 年 7 月 24 日：此劇於炮台山木星街 18 號地下 F-G 舖舉行煞科宴。
* 2017 年 1 月 9 日：此劇在 13:00 於將軍澳唐德街 3 號香港九龍東皇冠假日酒店 1 樓宴會廳 1 舉行「鴻門盛宴」宣傳活動。
* 2017 年 1 月 12 日：此劇在 13:00 於油塘高超道 38 號大本型地下中庭舉行「千門之王　齊賀新歲」宣傳活動。
* 2017 年 1 月 16 日：此劇在 20:00 於灣仔道 223 號金功夫點心火鍋舉行首播飯局​​​​。
* 2017 年 1 月 21 日：此劇在 20:30 於將軍澳工業村駿才街 77 號電視廣播城一廠錄影《保良善心全鳳獻》，出席演員：林夏薇、吳岱融、趙希洛、林子善、徐榮、黃長興、莊思敏及阮政峰。
* 2017 年 1 月 25 日：此劇在 14:00 於銅鑼灣興發街一號維多利亞公園年宵市場 159 號攤位舉行「狙擊開運秘笈」宣傳活動。
* 2017 年 2 月 2 日：此劇在 13:00 於將軍澳重華路 8 號東港城一樓展覽場舉行「人人大贏家」宣傳活動。

## 參考資料

## 外部連結

* 《乘勝狙擊》官方網頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 電節目的變遷
乘勝追擊_(淮海戰役組歌)

乘勝追擊是一首創作於第二次國共內戰時期淮海戰役期間的歌曲，該歌曲首節奏明快，歌詞有催人奮勇前進的感覺。之後新中國成立後成為淮海戰役組歌第一首歌曲。

## 創作緣由

1948 年 11 月初，此時是淮海戰役的第一階段戰。華東野戰軍部隊沿著徐州以東地區的隴海線兩側對從新安鎮撤出的國民黨軍司令黃百韜兵團展開追擊。國民黨軍隊為了避免覆滅的命運，拼命向西逃跑，人民解放軍則極速追擊，很多部隊急行軍中不起灶做飯，有的部隊戰士們一天只吃一頓飯，且是邊走邊吃。由於部隊處在強行軍中，且大多數時間每天要走 130 至 150 里。戰士們在「敵人跑到哪裡，我們追到哪裡，就把他們殲滅在哪裡」的口號鼓舞下沒有一個人掉隊，緊緊咬住黃百韜兵團，最終將其包圍在碾莊地區。文工團員韋明，被這一個追擊的場面深深地震撼了，他激動得無法入眠，在油燈下，伏身在門板上寫下了這一首歌曲 —— 乘勝追擊。由於這首節奏明快，催人奮進的歌詞深深打動了時任華東野戰軍文工團團長沈亞威，隨後他立即動筆，一邊充滿激情地譜寫了曲子，並且邊行軍邊教部隊們演唱。就在部隊到達下一個宿營地的時候，淮海戰場上的第一首歌曲已經在部隊中傳唱開了，後來新中國建立後。這首歌成為了《淮海戰役組歌》中的第一首歌曲。

## 歌詞

## 外部鏈接

* 淮海戰役經典歌曲 —— 乘勝追擊 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

## 引用鏈接
乘勝長驅

《**承勝長驅**》(韓語：**김승우의 승승장구**，**金勝友的承勝長驅**，英語：**Win Win**）是由韓國放送公社製作・播出的晚間電視脫口秀。節目主持人以金勝友為中心，包括有金成洙、鄭在龍、李起光共 4 人。 金成洙下車後李壽根作為後任加入進來。2011 年 11 月 1 日卓在勛作為鄭在龍的後任加入進來。2012 年 10 月 9 日 BEAST 成員李起光因組合活動下車。

## 歷代主持人

* 1 回～26 回 : 張祐榮，泰妍，崔華靜，金申英
* 27 回～52 回 : 金成洙，鄭在龍，李起光 (加入)
* 53 回～87 回 : 鄭在龍，李起光，李秀根 (加入)
* 88 回～132 回 : 李起光，李秀根，卓在勛 (加入)
* 133 回～現在 : 李秀根，卓在勛

## 一日主持人

一日主持人如下：

* 趙權
* 鄭榮和，Krystal
* 李秀根
* 秀智
* 金南珠
* 金炳萬
* 金鐘民
* 金俊昊
* 林時完

## 註釋與參考資料

### 註釋

### 參考資料
乘员返回载具

**應急救生飛船**（英語：Crew Return Vehicle，縮寫：CRV 或 Emergency Rescue Vehicle，縮寫：ERV），是當太空飛船發生故障時，可以運載航天員返回地面。在很多太空站均有設置此項設施。

應急救生飛船有兩個種類:

* 在飛船運行時，當發生太空艙內著火、能源不足、壓力不當等情況時，通過地面控制中心與航天員之間的共同判斷，便需要航天員自行採用手動方式操作應急救生飛船應急返回，氧氣等生命支持物資的消耗量也會隨人數相應增大。
* 在出艙活動時，飛船增加了出艙應急救生模式。地面科技人員會根據航天員出艙活動時可能遇到的情況，歸納總結多種故障，並提出對策，其中絕大多數是針對艙外航天服發生意外的情況。

## 參閱

* 發射逃逸系統
乘坐旅客列车临时身份证明

**乘坐旅客列車臨時身份證明**是由中華人民共和國鐵路公安機關簽發的一種用於旅客實名制購買鐵路客票、進站乘車的臨時身份證件。

## 簡介

2010 年春運期間，廣鐵集團、成都鐵路局試行火車票實名制。2011 年 6 月 1 日，動車組開始實行火車票實名制。2012 年 1 月 1 日起，中國內地全部旅客列車實行車票實名制。

## 申辦

鐵路旅客購票時或購票後、乘車前因有效身份證件未攜帶、丟失等原因無法出示有效證件時，可以至車站鐵路公安制證口辦理臨時乘車身份證明。

任何具有中華人民共和國戶籍且持有第二代居民身份證的中國公民，可憑藉本人身份證號碼及姓名信息或出具所在地公安機關的戶籍證明信（有些地區需要提供一張申請者近期一寸免冠照片）到車站鐵路公安制證口辦理該證。

學生旅客、現役軍人、外籍旅客可出具所在學校、所在部隊或當地使領館的證明信辦理。證明信內容必須包括旅客姓名、性別、出生年月、籍貫、有效身份證件號碼等信息，並加蓋證明單位公章。購票後丟失有效身份證件的，證明信內容應與車票票面記載的旅客身份信息一致。

為了方便旅客出行，減少旅客辦理臨時身份證明的排隊時間，近年來各主要車站開始設立了臨時身份證明自助印表機。旅客在自助印表機首先輸入公民身份號碼，經人臉識別比對通過後即可領取臨時身份證明，無需提供照片。2019 年 5 月 8 日起，公安部鐵路公安局表示，所有辦理臨時身份證明的單位（包括人工辦理窗口和自助設備）不再要求辦證人員提供照片，統一由公安民警從公安機關的人口信息系統中調取身份證存檔照片。

2022 年 1 月 15 日起，12306 手機客戶端可申請電子臨時乘車身份證明，旅客遺失或未攜帶身份證時，可在 12306 手機客戶端上提交電子臨時乘車身份證明申請，通過後即可在車站完成各項業務服務。

## 使用

本證只限於旅客購票、退票、中轉簽證、驗證檢票以及乘車使用。遇車站、列車工作人員查驗實名制購票乘車信息時，該證有等同於購票所用有效身份證件的效力，應出示此證及與證件信息一致的實名制車票。

## 參考文獻
乘坐民航飞机临时身份证明

**乘坐民航飛機臨時身份證明**是由中華人民共和國民航公安機關簽發的一種用於旅客實名乘機的臨時身份證件。

## 申辦

### 具備下列材料之一者，可以申辦

* 旅客的過期、破損身份證或臨時身份證原件；
* 旅客的戶口簿原件及複印件；
* 旅客的中華人民共和國機動車駕駛證。
* 國內機場公安機關 6 個月內為旅客出具的完整的《乘坐民航飛機臨時身份證明》原件。
* 旅客戶籍所在地公安機關出具的戶籍證明原件或者傳真件。

### 具備下列材料之一者，不可以申辦

* 對安檢中發現冒用他人身份證件或使用偽造、變造身份證件的旅客；
* 外籍和港澳台地區的旅客；
* 非申辦旅客本人；
* 根據申辦人提供的材料經公安網絡查實不符的或無法證實是旅客本人的；
* 無法通過公安網絡查詢的旅客。

## 民航臨時乘機證明

常見的辦理方式主要包括人工辦理和自助終端辦理，辦理時旅客需要尋找辦理窗口或終端，花費一定時間成本。現在可以通過微信申辦民航臨時乘機證明，方式有三種：

1. 在微信小程序中搜索點擊「民航臨時乘機證明」；
2. 用微信掃描小程序二維碼；
3. 在微信「城市服務 — 交通出行」中點擊「臨時乘機證明」選項。

旅客登錄後按照提示步驟可以很快完成申請，提交後 60 秒內即可獲得電子防偽二維碼，憑此二維碼辦理值機手續和接受安全檢查，有效期為 15 天。

 

## 北京電子臨時乘機身份證明

如果旅客在北京首都國際機場和北京南苑機場準備乘機時發現身份證遺失，可立即在手機上下載「國門公安」App，按照電子臨時乘機身份證明申請和使用兩個步驟操作，即可順利通過值機、安檢。

## 參考文獻
乘客

**乘客**（英語：Passenger）又稱**搭客**，是乘搭交通工具的人，通常指司機、乘務員以外的人，他們有時又稱為顧客，例如摩天輪的乘客。

乘客光顧各有不同因由，例如遊樂場機動遊戲的乘客。

## 參看

* 安全帶
* 渡輪
* 郵輪
* 升降機
乘客_(1999年電影)

《**乘客**》（法語：_Les passagers_）是一部 1999 年法國電影，由讓 - 克勞德・吉蓋導演，參加第 52 屆坎城影展一種注目單元。影片講述巴黎有軌電車上乘客的故事。

## 演員

* 法比恩・巴布 - 飾安娜
* 菲利普・加爾齊亞諾 - 飾皮埃爾
* 布魯諾・帕特祖魯 - 飾大衛
* 斯特凡・里多 - 飾馬可

## 參考

## 外部連結

* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《乘客》的資料（英文）
乘客_(2008年電影)

《**乘客**》（英語：_Passengers_）是一部 2008 年美國和加拿大合拍的驚悚片，由羅得利・哥賈西亞執導。

## 劇情

在一場死傷慘重的空難之後，年輕的心理治療師克蕾兒桑莫斯（安海瑟薇 飾演）在她的指導教授（安德雷・布勞爾飾演）指派下，答應輔導空難班機中，十名生還旅客。
後來她遇到了艾瑞（派翠克・威爾森 飾演），他也是其中一位生還旅客，一直拒絕接受她的輔導。
克蕾兒拼命地想和艾瑞保持距離，安守治療師與病患的分際，然而，她越深入輔導生還者的內心創痛時，越發現他們回憶起空難意外發生的過程各個有出入，而他們的說詞和航空公司的官方說法大不相同。
當這些生還旅客對於這場空難的記憶慢慢地回復後，他們卻離奇失蹤，克蕾兒懷疑航空公司是幕後的主謀，她決心要查清楚事實的真相 ，而她和艾瑞之間的感情也愈來愈深，很快就產生命運的轉折。

## 演員

* 安・海瑟薇 飾 Claire Summers
* 派翠克・威爾森 飾 Eric Clark
* 安德魯・布瑞格 飾 Perry Jackson
* 黛安・韋斯特 飾 Toni
* 大衛・摩斯 飾 Arkin
* William B. Davis 飾 Eric's grandfather
* Ryan Robbins 飾 Dean
* 可莉・杜瓦 飾 Shannon
* Chelah Horsdal 飾 Janice

## 反響

爛番茄 20%，Metacritic 得分 40，口碑不佳。

## 參考文獻

## 外部連結

* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《Passengers》的資料（英文）
* Box Office Mojo 上《Passengers》的資料（英文）
* 爛番茄上《Passengers》的資料（英文）
* Metacritic 上《Passengers》的資料（英文）
* AllMovie 上《乘客 》的資料（英文）
* 時光網上《乘客》的資料（簡體中文）
* 豆瓣電影上《乘客》的資料 （簡體中文）
乘客_(卡夫卡)

《**乘客**》（Der Fahrgast）為卡夫卡第一本書《沉思》（Betrachtung）中的一篇文章。

## 內容

敘事者在電車上沉思著：沒有把握自己在車上、城裏和家中的位置，對於自己和其他路人的行動亦感到奇怪，無法作出解釋。後來，車子要靠站了，一個姑娘走到臺階旁；敘事者遂仔細描述她的身體和衣著，並自問：她為何能夠不對自己感到驚異及對此沉默不語？
乘客_(消歧义)

**乘客**，是乘搭交通工具的人。也可能指：

* 乘客 (卡夫卡)，卡夫卡的文章
* 乘客 (歌手)（1984 年－），英國歌手
* 乘客 (1999 年電影)，法國電影
* 乘客 (2008 年電影)，美加合拍電影
乘客通告

**乘客通告**（**Notice to Passengers**），是巴士公司提示乘客的常用物品之一，用以通知有關巴士運作上的安排或改動。

## 車站通告

車站通告是巴士公司提示乘客的最常用方法，用途也最廣泛，各類與巴士車務有關的改動都以車站通告的方式張示出來，通常張示在站牌上或候車處旁。

於車站張示的通告主題包括：

* 常規巴士路線的開辦、停辦或永久改動
* 特別巴士路線的安排
* 臨時交通安排或道路工程通知（如交通改道、遷移車站）
* 特別提示（如防治甲型 H1N1 流感、乘客守則、轉乘優惠條款等）

## 車廂通告

車廂通告是另一種巴士公司常用的提示方法，但用途集中於有關行走中路線的永久或臨時改動。

有時巴士公司會以公告形式作溫馨提示，如 2009 年中發出防治甲型 H1N1 流感的車廂通告。

## 手寫通告

當發生突發事故影響巴士服務時，由於需於短時間內通知乘客最新交通安排，根本沒有時間等待總部印發通告，因此車長或站長可能會自行書寫手寫通告，張貼於站頭或車上。

## 網站新聞稿

網站新聞稿是近年巴士公司採用的形式之一，在巴士公司網站上的「新聞稿」專頁或智慧型手機應用程式可找到有關通告。

* 九巴及龍運：http://www.kmb.hk/tc/news/press/archives.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 顯示 2018 年或以後的新聞稿
* 城巴及新巴：http://www.nwstbus.com.hk/whatsNew/pressRelease.aspx?intLangID=2（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 顯示 2014 年或以後的新聞稿
* 嶼巴：http://www.nlb.com.hk/news（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  * 顯示今年的新聞稿

新聞稿除了包括常規巴士路線的開辦／停辦／永久改動、特別巴士路線的安排、大型活動的臨時交通安排外，巴士公司間中會宣傳其業績及工作成果，如。

## 小巴通告

小巴營辦商可能因應需要，而自行發出通告，通常是普通 A4 紙及一般文字檔案格式，沒有統一標準。

## 參考資料
乘广禅师塔和甄叔禅师塔

**乘廣禪師塔和甄叔禪師塔**位於中國江西省萍鄉市上栗縣楊岐山普通寺內，2013 年被列為全國重點文物保護單位。

楊岐山是佛教禪宗五家七宗之楊岐宗祖庭，始建於唐開元年間（713 年），祖師乘廣禪師開山立廣利禪寺。北宋慶曆初年（1041 年）方會禪師在此創楊岐宗，並改稱普通寺。乘廣禪師塔是由花崗岩壘成的八角形古塔，高 2.35 米；甄叔禪師塔形似方亭，高 1.78 米。《乘廣禪師塔銘》劉禹錫撰，唐元和二年建，碑高 2.8 米，寬 0.9 米，1350 字；《甄叔禪師塔銘》，唐大和元年（832 年）建，沙門至閒撰文，僧元幽書寫，碑高 2.8 米，寬 0.9 米，527 字。

## 參考文獻
乘愿

**釋葦舫**（1908 年 —1969 年），俗姓**朱**，法名**乘願**，男，江蘇東台人，中國佛教僧人，曾任中國佛教協會常務理事。

## 參考資料
乘数-加速原理

**加速原理**（英語：The Acceleration Principle）指政府購買增長使計劃支出增加，由此使總收入增加。而總收入增加又提高消費，進而使計劃支出增加又造成總收入增加。如此往復，最終使總收入以一定的倍數增加。

## 相關

* 加速效應

## 參考來源

* http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=604（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 乘數 - 加速原理交互作用
* http://www.investopedia.com/terms/a/acceleration-principle.asp（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.businessdictionary.com/definition/acceleration-principle.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.wisegeek.com/what-is-the-acceleration-principle.htm（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.blurtit.com/124623/what-is-acceleration-principle-accelerator-multiplier-model-and-accelerator-coefficient（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.britannica.com/EBchecked/topic/2855/accelerator-principle（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 乘數 - 加速原理（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - 韋氏詞典
* http://www.jstor.org/discover/10.2307/1907804?sid=21105437581861&uid=3739216&uid=2&uid=4
* http://www.jstor.org/discover/10.2307/2550657?sid=21105437581861&uid=3739216&uid=2&uid=4
* http://qje.oxfordjournals.org/content/67/2/209.full.pdf
* https://fraser.stlouisfed.org/docs/historical/brookings/17623\_03\_0006.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
乘数定价模型

**乘數定價模型**（英語：Multiple Pricing Model，簡稱 Multiples），是一種使用主觀或客觀確定的倍數確定資產或公司價值的定價模型。由於這種模型往往涉及到與同行業公司的比較，也被稱為比較法（英語：Comparables）。目前使用比較廣泛的有如下幾種乘數定價法。

## 市盈率法

將某一公司的市盈率與行業平均水平或主要競爭對手作對比，若其市盈率較高，則認為被高估；反之則認為被低估。這種方法簡單易行，只要用行業平均市盈率乘以公司的會計利潤即可得出公司價值的估計值，但也非常粗略，沒有考慮到各個企業風險不同、發展前景不同等等。為了克服以上缺陷，分析師往往加入自己的主觀判斷，提高或降低某一公司的市盈率預期，但這種方法更加不科學。

## 市淨率法

與市盈率法類似，但是用來作對比的是市淨率而非市盈率。這種方法適用於淨資產數額較大，或者利潤不穩定但資產較穩定的公司，如自然資源企業、銀行、公用事業企業等。問題在於，企業的實際淨資產與財務報表上的帳面價值相差可能非常巨大，分析師需要主觀判斷某些資產的公允價值，容易出現錯誤。

## 市銷率法

與以上兩種方法類似，但是用來作對比的是股票價格與銷售額的比例，即所謂市銷率。這種方法一般用於零售業等銷售額巨大且比較穩定的企業。

## 市價比現金流法

將某一公司的股票價格與自由現金流或經營現金流相除得到的倍數，即市價比現金流。一般認為自由現金流或經營現金流比會計利潤更難操縱，具備很強的客觀性，所以市價比現金流這一倍數可以最大限度地排除主觀因素的影響。但是，這一方法也忽略了財務報表中含有的其他豐富信息。
乘数效应

**乘數效果**（英語：multiplier effect），更完整地說是所得／支出乘數效果，是總體經濟學的一個概念，是指支出的變化導致經濟總需求與其不成比例的變化。這一概念通常與凱因斯經濟學相聯繫，其他一些經濟學學派低估或否認這一效果對於總體經濟，尤其是長期看來的重要性。

當一件事情發生時，而去觸發事情的原因擴大時，其事情所得之結果也會因而以更大的幅度擴大。例如，當市場好景時，政府投資或公共開支擴大、稅收減少時，對國民所得有加倍擴大的作用，從而產生總體經濟的擴張效果。

公式：

　
: 產量變化 = k × 投資變數　　（k 為乘數）

此時 k=1/(1-c)，c = 邊際消費傾向。

例如：已知邊際消費傾向等於 0.8（80％），現在有 1,000,000 歐元的新投資。根據上面的公式，可以得出結論：將產生 5,000,000 產量的增加。因為 k=1/(1-0.8) 等於 5，表示產量將乘以乘數 5。

## 相關條目

* 複雜系統
* 協同效果
* 整全觀
* 系統科學
乘數表

**乘法表**是數學中用於定義一個數系中的乘法運算。

## 在初等算術中

**乘法表**（如教授小學生乘法運算時所使用的那種）是一個表格，其各行和各列以要相乘的數開頭，表格中部的單元格中的數則是該單元格所在的行、列上開頭的數的乘積。

舉例來說，3 × 6 的結果 18 可以通過在表中查 3 和 6 開頭的行列交叉處單元格的內容得到。

表中未列出關於零的運算，這是因為任何數乘以零都等於零。

各國使用的乘法表有可能不太一樣。舉例來說，有的國家的乘法表包含的範圍是從 1×1 到 10×10，有些是從 2×1 到 9×9，還有些是從 1×1 到 12×12。

## 習慣用法

乘法運算的傳統的強記型的學習方式是基於對表中各列的記憶的，以如下的方式：

1 × 7 = 7 
  
2 × 7 = 14 
  
3 × 7 = 21 
  
4 × 7 = 28 
  
5 × 7 = 35 
  
6 × 7 = 42 
  
7 × 7 = 49 
  
8 × 7 = 56 
  
9 × 7 = 63 

### 在中國的使用習慣

在中國，用於基本算術教育的乘法表只包含了上表中從 1×1 到 9×9 的部分，所以通常被稱作「九九表」，又稱九因歌。

為了減少需要記憶的內容和使形式更簡明易用，根據乘數可交換的運算規則，去掉了表中重複的部分。這樣表就變成了一個三角形：

中國的學齡前兒童在記憶以上經過簡化的乘法表是通過口訣來記憶的，例如：「一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五一十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....」。對於像 9×7 這樣的計算，孩子們都能條件反射地將較小的乘數調整到前面，並使用口訣「七九六十三」得到結果。由於任何數與 1 相乘都等於該數自身，所以通常也不用背誦乘數為 1 的行列，這樣最終需要背誦的口訣只有 36 句。

九九表和乘法表不同之處在於乘數、被乘數只限單位數，最高到 9，便於兒童背記；多位數的的乘法留歸算術進位乘法解決，無需要背記。換言之九九表是乘法表的核心。

## 表中的模式

例如，與 6 相乘的運算呈現出以下模式：

```
 _**2**_ × 6 = '**12'**
 _**4**_ × 6 = '**24'**
 _**6**_ × 6 = '**36'**
 _**8**_ × 6 = '**48'**
 _**10**_ × 6 = '**60'**
```

可歸納為：

```
 _**數**_ × 6 = _該數乘以10的一半_ + _**該數**_
```

該法則可方便地用於偶數，其實對於奇數也同樣適用：

```
 _**1**_ × 6 = _05_ +  _**1**_ =  6
 _**2**_ × 6 = _10_ +  _**2**_ = 12
 _**3**_ × 6 = _15_ +  _**3**_ = 18
 _**4**_ × 6 = _20_ +  _**4**_ = 24
 _**5**_ × 6 = _25_ +  _**5**_ = 30
 _**6**_ × 6 = _30_ +  _**6**_ = 36
 _**7**_ × 6 = _35_ +  _**7**_ = 42
 _**8**_ × 6 = _40_ +  _**8**_ = 48
 _**9**_ × 6 = _45_ +  _**9**_ = 54
_**10**_ × 6 = _50_ + _**10**_ = 60
```

另外，與 9 相乘的運算呈現出以下模式：

```
 _**數**_ × 9 = _該數乘以10_ - _**該數**_
```

```
 _**1**_ × 9 = _10_ -  _**1**_ =  9
 _**2**_ × 9 = _20_ -  _**2**_ = 18
 _**3**_ × 9 = _30_ -  _**3**_ = 27
 _**4**_ × 9 = _40_ -  _**4**_ = 36
 _**5**_ × 9 = _50_ -  _**5**_ = 45
 _**6**_ × 9 = _60_ -  _**6**_ = 54
 _**7**_ × 9 = _70_ -  _**7**_ = 63
 _**8**_ × 9 = _80_ -  _**8**_ = 72
 _**9**_ × 9 = _90_ -  _**9**_ = 81
_**10**_ × 9 = _100_ - _**10**_ = 90
```

## 在抽象代數中

乘法表亦可用於定義群、域、環、及其它抽象代數中的二元運算。在此類環境中這些乘法表被稱為凱萊表，可以參看八元數中的例子。

## 清華簡乘法表

收藏在清華大學的清華簡《算表》是世界上最早的十進位乘法表文物

## 參考資料

* 九九表
* 吠陀方形

## 外部連結

* 黑白（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）或彩色（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的可列印的表格
* 乘法口訣大師

## 參考文獻
乘松瑠華

**乗松瑠華**（日語：乗松 瑠華／のりまつ るか _Norimatsu Ruka_，1996 年 1 月 30 日 —），日本足球運動員，日本國家女子足球隊成員。

## 日本國家足球隊

2014 年，她共為日本國家女子足球隊出場 2 次。她也曾代表日本參加 2014 年亞足聯女子亞洲盃。

## 成績

## 參考文獻
乘氏县

**乘氏縣**，中國古縣名。

西漢置，治所在今山東省巨野縣西南。景帝時為侯國。《史記・惠景間侯者年表》：景帝中元五年（前 145 年），以梁孝王子買為乘氏侯，即此。後為縣。屬濟陰郡，南朝宋廢。
乘法

在數學中，**乘法**（英語：multiplication）是加法的連續運算，同一數的若干次連加，其運算結果稱為**積**（英語：product）。

　
: $\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n$

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。
但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 $n\times a$ ，唸作「n times a」。

## 表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示「五乘以二」：

 * $5\times 2$
* $5\cdot 2$
* $5*2$
* $(5)(2)$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「 $\times $ 」表示乘法是威廉・奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於 1618 年他寫的附錄，和約於 1628 年寫作的、1631 年出版的書《數學之鑰》（_Clavis Mathematicae_）內出現。以「 $\times $ 」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「 $\cdot $ 」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托馬斯・哈里奧特在 1631 年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「 $*$ 」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是 FORTRAN（福傳）程式語言，事實上可以追溯到更早 ——1659 年，Johann Rahn（1622 年－1676 年）在 _Teutsche Algebra_ 一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代數中，乘號經常省略掉，形式如 $5x$ 和 $xy$ 。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即 $5\times 2$ 不會表示成 $52$ 。

乘積可以用大寫希臘字母 Π（Pi， $\Pi $ ）來表示：

　
: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

## 定義

兩個整數的積是：

　
: $mn=\sum _{k=1}^{n}m$

這是「將 m 加到自己 n 次」的簡化說法。更清晰來說：

　
: $mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

* 交換律： $xy=yx$
* 結合律： $(xy)z=x(yz)$
* 分配律： $x(y+z)=xy+xz$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即 $1x=x$ ，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即 $0x=0$ 。

當 $x$ 是量， $y$ 是自然數，乘法的遞迴定義：

　
: $0x=0$

　
: $xy=x+x(y-1)$

## 歷史

最早最詳細的關於十進位制乘法的規則，首見西元 400 年左右孫子算經。孫子乘法在 9 世紀經花拉子米介紹而流行於阿拉伯國家，13 世紀被翻譯成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中國，在 9 世紀初經花拉子米介紹到阿拉伯，但都未能流行。

## 計算

* 電腦有特別的演算法來處理大數之間的相乘，見乘法演算法。
* 華人小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
* 史豐收速演算法提出了用「本個 + 後進」的方式來計算乘法。
* 尺規作圖作乘法的方法：給定長為 $1$ 的線，以及兩條線 $AB$ 和 $AC$ ，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為 $AB$ 和 $AC$ ， $AB$ 垂直 $AC$ 於 $A$ 。在 $AB$ 上畫出點 $D$ 使 $DA=1$ ，連 $D$ 、 $C$ 為 $DC$ 。畫一條通過 $B$ 、平行 $DC$ 的線，延長 $AC$ ，此兩條線的交於 $E$ ， $EA$ 即為所求之線。

## 參考
乘法公式

**乘法公式**是數學代數中的公式，其中包括乘法，也有可能有加法、減法、平方或立方。

以下是常見的乘法公式：

1. 分配律： $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
2. 完全平方： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
  * 三項完全平方： $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
3. 差平方： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
  * 三數差平方： $(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!$
4. 平方差： $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
5. 和立方： $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
6. 差立方： $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
7. 立方和： $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
8. 立方差： $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
9. 等冪求和： $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
10. 等冪和差： $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
11. 平方和、平方差延伸： $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!$
12. 多項式平方： $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!$
13. 三數和立方： $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!$

## 相關條目

* 因式分解
* 楊輝三角形
* 二項式定理
乘法分配

根據**乘法分配律**，當兩個數的和與另一個數相乘時，可將被相加的兩個數分別與第三數相乘，再將所得的積相加。公式是： $(a+b)c=ac+bc$ 。像 $1+{\sqrt {2}}$ 或 $1+a$ 這樣的已知數與未知數只能通過兩數之和的形式來簡便地表達，而它們與另一個數的乘積便需要通過乘法分配律來展開。

## 驗證

### 基本驗證

和平方可直接利用因式分解驗證。公式如下：

　
: $(a+b)(c+d)$

$$
=a(c+d)+b(c+d)
$$

$$
=ac+ad+bc+bd
$$

### 簡單驗證

和平方亦可以表格形式驗證：

### 幾何驗證

和平方可透過圖表來驗證。右圖中，是一個 $(a+b)(c+d)$ 的長方形。可在右圖中分割為四部分：

 * $ac$
* $bc$
* $ad$
* $bd$

將四部分加在一起：

　
: $ac+ad+bc+bd$

$$
=a(c+d)+b(c+d)
$$

$$
=(a+b)(c+d)
$$

## 內部連結

* 完全平方
* 乘法公式
* 因式分解
* 恆等式
* 乘法
* 平方
* 平方數
乘法单位

**1**（**一**／**壹**）是 0 與 2 之間的自然數，是最小的正奇數。

## 數學性質

* 1 是最小的正整數。
* 在數論中，1 是最小的自然數。
* 1 是唯一一個既不是質數也不是合數的自然數
* 第 1 個虧數，真因數和為 0，虧度為 1。下一個為 2。
* 第 1 個歐爾調和數，因數調和平均數為 1。下一個為 6。
* 第 1 個高合成數。下一個為 2。
* 第 1 個無平方數因數的數。下一個為 2。
* 第一個超級冪數，有由多於一種方式構成的次方數。下一個為 16。（OEIS 數列 A117453）
  * 第 1 個平方數，為 1 的平方。下一個為 4。
  * 第 1 個立方數，為 1 的立方。下一個為 8。
* 第 1 個佩爾數。前一個為 0、下一個為 2。
* 第 1 個和第 2 個斐波那契數。前一個是 0、下一個是 2。
* 0 與 1 的階乘皆為 1，前一個 - 1 的階乘不存在，下一個階乘為 2 的階乘為 2。
* 第 1 個十進位的自我數。下一個為 3。
* 第 1 個十進位的哈沙德數。下一個為 2。
  * 第 1 個全哈沙德數，即在所有進位制中皆為哈沙德數。下一個為 2。
* 第 1 個十進位的等數位數。下一個為 2。
* 第 1 個幸運數
* 第 1 個快樂數
* 偶質數的數量
* 第 1 個三角形數
* 1 不能作為進位制的底。
* 1 不能做對數的底。
* 1 的倒數是 1。
* 1 的任意次方根是 1，即 ${\sqrt[{n}]{1}}=1$ 。
* 在階乘，0!=1!=1
* 相反數是 - 1
* 任何質數的真因數和皆為 1
* 1 是唯一一個真因數和為 0 的正整數
* 在機率論中，任一樣本空間中必然發生的隨機事件之機率定義為 1。
* 1 是正數、整數、有理數、代數數、實數、複數。
* 在幾何學中，單位圓和單位球的半徑都是 1。
* 歐拉恆等式， ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，把數學上五個重要的常數以簡約的方式連繫起來。公式中包含 **1**、**0**、自然對數的底 _e_、圓周率_**π**_及複數的虛數單位_**i**_。
* 1 在十進制下是第 1 個卡布列克數
* 任何底數為自然數的進位制裡的 1 都寫作 1，即 1(2)=1(3)=1(4)=1(8)=1(10)=1(12)=1(16)
* 1 是任何自然數的因數
* 0.999…=1
* 巴都萬數列的第 1 項、第 2 項和第 3 項
* 1 是費氏數列中，僅有的 3 個平方數之一（另外兩個是 0 與 144）。

## 在科學中

* 在計算機科學中，1 經常用在布林運算的真值表中，表示「真」值。
* 在幾何光學中，真空的折射率是 1。
* 在天文學中，太陽與地球間之平均距離為 1 個天文單位。
* 在化學中，氫的原子序數是 1。
* 在 ASCII 中，1 為「Start of Heading」。
* 在倉頡輸入法中，「一」是二十四個基本字型之一，稱為倉頡字母。

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 1 日，分別為 1 月 1 日、2 月 1 日、3 月 1 日、4 月 1 日、5 月 1 日、6 月 1 日、7 月 1 日、8 月 1 日、9 月 1 日、10 月 1 日、11 月 1 日和 12 月 1 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 1 年、公元 1 年，公元前 1 世紀及公元 1 世紀均有記載。

## 在電子訊號與資訊系統中

* 在數位電路中，不使用精確的電壓值來代表訊號的值，只使用 0 和 1 兩個值。1 表示高於預先規定的閾值電壓，被稱為高電平或者邏輯 1。與之對應，0 表示低於預先規定的閾值電壓，被稱為低電平或者邏輯 0。
* 於 JavaScript 裡，1 代表布林值 `true`。
* 在雙音多頻信號的電話系統中，按鍵 1 是由 1209 赫茲 (高頻) 和 697 赫茲 (低頻) 的正弦信號所組成。

## 在人類文化中

* A（小寫為 **a**）是拉丁字母的第 **1** 個字母。
* 在以部首檢字法為主的中文字典中，「一」往往是第一個部首和第一個字；口頭上「一」還被讀作「么（yāo）」。
* 用於單位。如一瓶、一罐、一箱等。
* 在人類文化中，「一」別賦予了萬物之始的意義：「惟初太極，道立於一，造分天地，化成萬物，凡一之屬皆從一」（《說文解字》）。
* 英文中也以「The Great One」（偉大的一，太一）指代聖經中的上帝耶和華。
* 貨幣中的基本面額，如 1 美元、1 歐元、1 人民幣、1 新臺幣。
* 在樂理中，簡譜上的 do 音用 1 表示；器樂演奏時的譜子用類似「1=C」的符號來定調。
* 在塑膠分類標誌中，代表聚對苯二甲酸乙二酯。
* 在香港電影分級制度中，第 1 級（常寫作「I 級」）的電影適合任何年齡人士觀看。
* 在百家姓中，排第 1 位的姓氏是趙。
* 在儒略曆中，1 月 Januarius 名字來自古羅馬神話的神雅努斯。
* 在男同志文化中，1 號表示性行為中的插入方。
* 世界第一
* 第一名，冠軍、最佳。

## 在軍事政治中

* 一黨制
* 單一制
* 一院制
* 第一次世界大戰

## 在體育中

* 在棒球中，1 是投手的代號。
* 以 "1" 開頭的：一壘手

## 注釋

## 參見

* 名稱以「1」開頭的所有條目
* 1 年
* 前 1 年
乘法原理

**乘法原理**是組合計數的基本計數原理。簡而言之，「若有 $a$ 種方法做某事， $b$ 種方法做另一事，則合共有 $a\cdot b$ 種方法做此兩件事。」

## 舉例

設在港式粉麵店要點一碗湯粉麵，主食有三種：粗麵、幼麵、河粉，要選恰好一款；而配料有兩種選擇：雲吞、牛腩，亦要選恰好一款。問可選配搭數為何。

使用乘法原理，答案是 $3\times 2=6$ ，總共有六種配搭。

抽象一點，考慮從 $A,B,C$ 三件物件選一，再從 $X,Y$ 兩件物件選一。使用乘法原理，可知總共有 $3\times 2=6$ 種選法。本例中，可以窮舉所有可能性驗證：可選的組合有 $AX,AY,BX,BY,CX,CY$ ，共六種。

上述例子中，集合 $\{A,B,C\}$ 和 $\{X,Y\}$ 不交，即兩次選擇中，沒有選項重複出現，但這並非必要，乘法原理即使兩次選擇的選項有相同，仍然成立。從 $\{A,B,C\}$ 選一個元素，然後再選一次，效果等同選取了一個有序對，其兩個分量都在 $\{A,B,C\}$ 中，選法的總數為 $3\times 3=9$ 。

## 應用

集合論中，乘法原理可以視為基數乘積的定義。對於集合 $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$ ，以 $|S_{i}|$ 表示 $S_{i}$ 的元素個數（基數），則有

　
: $|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|,$

其中 $\times $ 表示笛卡兒積。 $S_{i}$ 可以是無窮集，甚至可以考慮無窮多個集合的乘積，參見基數和選擇公理。

## 參見

* 加法原理是另一個基本計數原理。簡而言之，「若有 $a$ 種方法做某事， $b$ 種方法做另一事，但只能選其一，則合共有 $a+b$ 種選擇。」
* 其他組合技巧

## 參考文獻
乘法反元素

數學上，一個數 $x$ 的**倒數**（英語：reciprocal），是指一個與 $x$ 相乘的積為 1 的數，記為 ${\tfrac {1}{x}}$ 或 $x^{-1}$ 。在抽象代數中，倒數所對應的抽象化概念是乘法群的某個元素的「**乘法逆**」，也就是相對於群中「乘法」運算的反元素。

漢語中，名詞**倒數**一般用來表示數字的乘法逆，一般在各種數體如：有理數、實數、複數，以及模 **n** 的同餘類所構成的乘法群中使用。在複數域（實數域）中，每個除了 0 以外的複數（實數）都存在倒數：只要用某個數自身**除** 1（也就是說用 1 **除以**某個數），即可得到它的倒數。用數學記號表示的話：

　
: 一個非零的複數（實數） $a$ 的倒數定義為使得 $a\times b=b\times a=1$ 成立的複數（實數） $b$ ，記作 $b={\frac {1}{a}}=a^{-1}$

　
: 例如， ${\frac {3}{8}}$ 的倒數是 ${\frac {8}{3}}$ ，因為 ${\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1$

每個複數（實數）只有一個倒數。一般來說，並不是對所有的代數結構中的乘法運算，每個元素都存在其乘法逆，如對矩陣乘法來說，秩小於階數的矩陣就沒有乘法逆，或者在環 $Z_{39}$ 中，元素 3 和 18 也沒有乘法逆。一個環中的一個元素有乘法逆若且唯若它是可逆元素，而它的乘法逆是唯一的若且唯若它不是一個零因子，或者說當它是一個正則元。每個非零元素都有乘法逆的環稱為除環。每個非零元素都至多有一個乘法逆的環稱為無零因子環。

## 負倒數

乘積為 - 1 的兩個實數互為負倒數，實數 x 的負倒數記為 $-{\frac {1}{x}}$ 或 $-x^{-1}$ 。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，而 0 沒有倒數或負倒數。

## 參考資料

## 參見

* 乘法
* 除法
* 雙曲線

## 注釋
乘法反方阵

**逆矩陣**（inverse matrix），又稱**乘法反方陣**、**反矩陣**。在線性代數中，給定一個 _n_ 階方陣 $\mathbf {A} $ ，若存在一 _n_ 階方陣 $\mathbf {B} $ ，使得 $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$ ，其中 $\mathbf {I} _{n}$ 為 _n_ 階單位矩陣，則稱 $\mathbf {A} $ 是**可逆**的，且 $\mathbf {B} $ 是 $\mathbf {A} $ 的**逆矩陣**，記作 $\mathbf {A} ^{-1}$ 。

只有方陣（_n×n_ 的矩陣）才可能有逆矩陣。若方陣 $\mathbf {A} $ 的逆矩陣存在，則稱 $\mathbf {A} $ 為非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似，逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

## 求法

### 伴隨矩陣法

如果矩陣 $A$ 可逆，則 $A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}$ 其中 $A^{*}=\mathrm {adj} (A)$ 是 $A$ 的伴隨矩陣， $|A|=\mathrm {det} (A)$ 是 $A$ 的行列式。

注意： $A^{*}$ 中元素的排列特點是 $A^{*}$ 的第 $k$ **列**元素是 $A$ 的第 $k$ **行**元素的代數餘子式。要求得 $A^{*}$ 即為求解 $A$ 的餘因子矩陣的轉置矩陣。

### 初等轉換法

如果矩陣 $A$ 和 $B$ 互逆，則 $AB=BA=I$ 。由條件 $AB=BA$ 以及矩陣乘法的定義可知，矩陣 $A$ 和 $B$ 都是方陣。再由條件 $AB=I$ 以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知，這兩個矩陣的行列式都不為 0。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A 與 B 都是 $n\times n$ 方陣，且 rank (A) = rank (B) = n. 換而言之， $A$ 與 $B$ 均為滿秩矩陣）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行轉換，或者只經由初等列轉換，變為單位矩陣。

因為對矩陣 $A$ 施以初等行轉換（初等列轉換）就相當於在 $A$ 的左邊（右邊）乘以相應的初等矩陣，所以我們可以同時對 $A$ 和 $I$ 施以相同的初等行轉換（初等列轉換）。這樣，當矩陣 $A$ 被變為 $I$ 時， $I$ 就被變為 $A$ 的逆陣 $B$ 。

## 性質

 1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$
3. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ （ $A^{\mathrm {T} }$ 為 A 的轉置）
5. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$ （det 為行列式）

## 廣義逆陣

廣義逆陣（Generalized inverse）又稱偽逆，是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾－彭若斯廣義逆，它是由 E. H. Moore 和 Roger Penrose 分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

## 參見

* 矩陣
* 廣義逆陣
* 除法
乘法器

二進位的**乘法器**（英語：**multiplier**）是數位電路的一種元件，它可以將兩個二進位數相乘。乘法器是由更基本的加法器組成的。乘法器作為基本的功能單元電路被廣泛的應用於各種的訊號處理和變換電路中。

類比乘法器是可以實現兩個類比訊號相乘功能的非線性電子線路。

可以使用一系列計算機算數技術來實現數位乘法器。大多數的技術涉及了對部分積（partial product）的計算（其過程和使用豎式手工計算多位十進位數乘法十分類似），然後將這些部分積相加起來。這一過程與小學生進行多位十進位數乘法的過程類似，不過在這裡根據二進位的情況進行了修改。

## 歷史

亞瑟・亞歷克・羅賓遜（Arthur Alec Robinson）在 1947-1949 年作為一名學徒（後來成為了一名開發工程師）在英國電氣公司工作。在這期間他完成了曼徹斯特大學的研究生學位，研究內容是為早期的 Mark 1 電腦設計相應的乘法器硬體。儘管如此，直到 1970 年，大部分小型計算機都還沒有乘法指令。程式設計師們使用一種叫「乘法例程」的方法進行重複的位移與累計部分積來獲取結果，通常會用循環展開來實現。大型計算機擁有乘法指令，用的也是與「乘法例程」中採取位移和加法一樣的方法。

## 參見

* 布斯乘法算法

## 參考文獻

* Computer Architecture: A quantitative Approach, Hennessy and Patterson, 1990, Morgan Kaufmann Publishers, Inc. Section A.2 (pages A-3 through A-6) and section A.9 (pages A-39 through A-49).

## 外部連結

* Multiplier Designs targeted at FPGAs
* Self-clocking Multiplier using TTL
* Binary Multiplier circuit using Half -Adders and digital gates.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
乘法结合律

在數學中，**結合律**(associative property) 是二元運算可以有的一個性質，意指在一個包含有二個以上的可結合運算子的表示式，只要運算數的位置沒有改變，其運算的順序就不會對運算出來的值有影響。亦即，重新排列表示式中的括號並不會改變其值。例如：

　
: $(5+2)+1=5+(2+1)=8$

上式中的括號雖然重新排列了，但表示式的值依然不變。當這在任何實數的加法上都成立時，我們說「實數的加法是一個可結合的運算」。

結合律不應該和交換律相混淆。交換律會改變表示式中運算元的位置，而結合律則不會。例如：

　
: $(5+2)+1=5+(2+1)$

是一個結合律的例子，因為其中的括號改變了（且因此運算子在運算中的順序也改變了），而運算元 $5$ 、 $2$ 、 $1$ 則在原來的位置中。再來，

　
: $(5+2)+1=(2+5)+1$

則不是一個結合律的例子，因為運算元 $2$ 和 $5$ 的位置互換了。

可結合的運算在數學中是很常見的，且事實上，大多數的代數結構確實會需要它們的二元運算是可結合的。不過，也有許多重要且有趣的運算是不可結合的；其中一個簡單的例子為向量積。

## 定義

形式上，一個在集合 $S$ 上的二元運算 $*$ 被稱之為**可結合的**若其滿足下面的**結合律**：

　
: $(x*y)*z=x*(y*z)\qquad \forall x,y,z\in S$ 。

運算的順序並不會影響到表示式的值，且可證明這在含有「任意」多個 $\ast $ 運算的表示式之下也依然是成立的。因此，當 $\ast $ 是可結合的時，運算的順序可以不需要去規範而不會使其意義不清，所以可以省略掉括號而簡單寫成：

　
: $x*y*z.\,$

不過，需要記住的是，改變運算的順序並不包含或允許以移動表示式中的運算元來改變其真實的運算。

## 例子

一些可結合的運算的例子如下。

* 在算術中，實數的加法和乘法都是可結合的，即：

　
: : $\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {R} .$

* 複數和四元數的加法與乘法是可結合的。八元數的加法也是可結合的，但其乘法則是不可結合的。
* 最大公因數和最小公倍數的運算都是可結合的。

　
: : $\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}\forall x,y,z\in \mathbb {Z} .$

* 因為線性變換是個可表示成矩陣的函數，其中的函數複合則可以用矩陣乘法來表示，立即可知矩陣乘法為可結合的。
* 集合的交集和聯集為可結合的：

　
: : $\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}\forall A,B,C.$

* 若 $M$ 是某個集合且 $S$ 為所有從 $M$ 映射至 $M$ 的函數所組成的集合，則在 $S$ 上的函數複合的運算是可結合的：

　
: : $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad \forall f,g,h\in S$ 。

* 更一般性地，給定四個集合 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 和 $Q$ ，且 $h:M\to N,g:N\to P$ 、 $f:P\to Q$ ，則

　
: : $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$

　
: 和前面一樣。簡單地說，映射的複合總會是可結合的。

* 給定一個有三個元素 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的集合，其運算如下：

是可結合的。不過，此運算不是可交換的。

## 不可結合性

一個在集合 $S$ 上的二元運算 \* 若不滿足結合律，則稱之為**不可結合的**。表示成符號即為：

　
: $(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad \exists x,y,z\in S$ 。

在此一運算下，運算的順序是**有**影響的。減法、除法和冪都是不可結合運算的簡單例子：

　
: ${\begin{matrix}(5-3)-2\neq 5-(3-2)\quad \\(4/2)/2\neq 4/(2/2)\qquad \qquad \\2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}.\quad \qquad \qquad \end{matrix}}$

一般，當不可結合運算在一個表示出現多於一次時，括號就必須被使用來表示其運算順序。不過，數學家會對若干常見的不可結合運算採用一種特別的運算順序的規則。這單純只是個為了減少括號的語法約定。

### 二進位浮點數

在電腦科學中，由於採用二進位浮點數運算，因此加法不符合結合律。

　
: $(a+b)+c\neq a+(b+c)$

以下兩個運算的結果在電腦中不相等：

 * $(0.1+0.2)+0.3$
* $0.1+(0.2+0.3)$

使用相等運算符進行比較，會傳回假（false）。

## 參考文獻

## 參見

* 半群是一個有著封閉可結合二元運算的集合。
* 交換律和分配律是另兩個在二元運算中常被討論的性質。
* 遞移關係
* 冪結合性和可代替性是兩個弱型式的結合律。
乘法表

**乘法表**是數學中用於定義一個數系中的乘法運算。

## 在初等算術中

**乘法表**（如教授小學生乘法運算時所使用的那種）是一個表格，其各行和各列以要相乘的數開頭，表格中部的單元格中的數則是該單元格所在的行、列上開頭的數的乘積。

舉例來說，3 × 6 的結果 18 可以通過在表中查 3 和 6 開頭的行列交叉處單元格的內容得到。

表中未列出關於零的運算，這是因為任何數乘以零都等於零。

各國使用的乘法表有可能不太一樣。舉例來說，有的國家的乘法表包含的範圍是從 1×1 到 10×10，有些是從 2×1 到 9×9，還有些是從 1×1 到 12×12。

## 習慣用法

乘法運算的傳統的強記型的學習方式是基於對表中各列的記憶的，以如下的方式：

1 × 7 = 7 
  
2 × 7 = 14 
  
3 × 7 = 21 
  
4 × 7 = 28 
  
5 × 7 = 35 
  
6 × 7 = 42 
  
7 × 7 = 49 
  
8 × 7 = 56 
  
9 × 7 = 63 

### 在中國的使用習慣

在中國，用於基本算術教育的乘法表只包含了上表中從 1×1 到 9×9 的部分，所以通常被稱作「九九表」，又稱九因歌。

為了減少需要記憶的內容和使形式更簡明易用，根據乘數可交換的運算規則，去掉了表中重複的部分。這樣表就變成了一個三角形：

中國的學齡前兒童在記憶以上經過簡化的乘法表是通過口訣來記憶的，例如：「一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五一十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....」。對於像 9×7 這樣的計算，孩子們都能條件反射地將較小的乘數調整到前面，並使用口訣「七九六十三」得到結果。由於任何數與 1 相乘都等於該數自身，所以通常也不用背誦乘數為 1 的行列，這樣最終需要背誦的口訣只有 36 句。

九九表和乘法表不同之處在於乘數、被乘數只限單位數，最高到 9，便於兒童背記；多位數的的乘法留歸算術進位乘法解決，無需要背記。換言之九九表是乘法表的核心。

## 表中的模式

例如，與 6 相乘的運算呈現出以下模式：

```
 _**2**_ × 6 = '**12'**
 _**4**_ × 6 = '**24'**
 _**6**_ × 6 = '**36'**
 _**8**_ × 6 = '**48'**
 _**10**_ × 6 = '**60'**
```

可歸納為：

```
 _**數**_ × 6 = _該數乘以10的一半_ + _**該數**_
```

該法則可方便地用於偶數，其實對於奇數也同樣適用：

```
 _**1**_ × 6 = _05_ +  _**1**_ =  6
 _**2**_ × 6 = _10_ +  _**2**_ = 12
 _**3**_ × 6 = _15_ +  _**3**_ = 18
 _**4**_ × 6 = _20_ +  _**4**_ = 24
 _**5**_ × 6 = _25_ +  _**5**_ = 30
 _**6**_ × 6 = _30_ +  _**6**_ = 36
 _**7**_ × 6 = _35_ +  _**7**_ = 42
 _**8**_ × 6 = _40_ +  _**8**_ = 48
 _**9**_ × 6 = _45_ +  _**9**_ = 54
_**10**_ × 6 = _50_ + _**10**_ = 60
```

另外，與 9 相乘的運算呈現出以下模式：

```
 _**數**_ × 9 = _該數乘以10_ - _**該數**_
```

```
 _**1**_ × 9 = _10_ -  _**1**_ =  9
 _**2**_ × 9 = _20_ -  _**2**_ = 18
 _**3**_ × 9 = _30_ -  _**3**_ = 27
 _**4**_ × 9 = _40_ -  _**4**_ = 36
 _**5**_ × 9 = _50_ -  _**5**_ = 45
 _**6**_ × 9 = _60_ -  _**6**_ = 54
 _**7**_ × 9 = _70_ -  _**7**_ = 63
 _**8**_ × 9 = _80_ -  _**8**_ = 72
 _**9**_ × 9 = _90_ -  _**9**_ = 81
_**10**_ × 9 = _100_ - _**10**_ = 90
```

## 在抽象代數中

乘法表亦可用於定義群、域、環、及其它抽象代數中的二元運算。在此類環境中這些乘法表被稱為凱萊表，可以參看八元數中的例子。

## 清華簡乘法表

收藏在清華大學的清華簡《算表》是世界上最早的十進位乘法表文物

## 參考資料

* 九九表
* 吠陀方形

## 外部連結

* 黑白（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）或彩色（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的可列印的表格
* 乘法口訣大師

## 參考文獻
乘波体

**乘波體**（waverider），是一種高超音速飛機的設計，提高其超音速升阻比，其用自己的飛行產生一個升力面的衝擊波。

## 歷史

### 早期研究

### 錐型流乘波體

### 星形體

## 設計

## 參考

## 外部連結

* Aerospace Web: Hypersonic Waveriders（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Accurate Automation Corporation（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） has built several model waveriders for low-speed study, including LoFLYTE and NASA's X-43
* ASTRA Waverider
乘波制导

**乘波導引**是軍事上一種控制武器運動的導引方式，通常是使用在各種飛彈系統上，作為導引的訊號以雷達或雷射為主，是一種較為簡單的導引方式。

## 特性

乘波導引常被列為指揮導引的一類，事實上，兩者有相當的差異；指揮導引飛彈內的導引系統只需執行接收指揮的工作，而乘波導引的飛彈則還要感測其在波束中的位置，從而指導飛彈保持在波束中央。

發射載具在標定目標之後，將雷達發射的導引訊號持續照射在目標上，發射載具或者是提供導引訊號的雷達必須配合目標的移動而保持波束的位置。飛彈發射之後會進入導引波束當中，如同跟隨一條看不見的線路飛行，而在這個線路的末端就是飛彈要攻擊的目標。

由於發射導引訊號的雷達必須穩定波束的改變，使用於空對空飛彈方面，對飛行員的工作壓力較大，除了少數早期的產品以外，大多數的乘波導引防空飛彈系統為陸上或者是艦上系統。當半主動雷達導引技術成熟之後，由於乘波導引系統的同時目標接戰數目較少，逐漸由半主動導引取代。
乘浪刨冰

《**破浪刨冰**》（日語：波乗りかき氷）是 AKB48 子團體 Not yet 的第 2 張單曲，於 2011 年 7 月 6 日由日本古倫美亞發行。

## 概要

單曲分為 Type-A、Type-B 和 Type-C，總共三個版本，其中《破浪刨冰》和《フェルメールの手紙》收錄於所有版本；《ハグ友》收錄於 Type-A；《ギリシャの貨物船》收錄於 Type-B；《僕たちのオフショア》收錄於 Type-C，音樂錄影帶、《週末 Not yet》Premium event 節錄影片和優子的交談部屋「橫山篇」「指原篇」「北原篇」收錄於 Type-A；音樂錄影帶製作特輯和 Documentary「優子的軌跡」收錄於 Type-B，Type-C 則附有寫真相一張，三個版本在初回均附贈活動參加券一張。

2011 年 5 月 14 日，Not yet 在有明競技場舉行的《週末 Not yet》發賣紀念活動中首次宣佈於 7 月 6 日發行第 2 張單曲《破浪刨冰》。6 月 6 日，Not yet 官方網站公佈單曲封面，並於 6 月 15 日開始先行音樂下載。音樂錄影帶在伊豆半島下田市的私人海灘拍攝。7 月 6 日，Not yet 在讀賣樂園內的水上遊樂島舉辦紀念特殊活動。Not yet 在《MUSIC JAPAN》 和《Coming Soon!!》等音樂節目上亦有宣傳單曲。

《フェルメールの手紙》是京都市美術館舉辦的「揚・弗美爾的情書展覽」的主題曲。《ハグ友》是《Hop》日本語版的電影主題曲。

## 反應

6 月 17 日，單曲在 Rekochoku 每日指數排第一位，在音樂錄影帶期待度指數則位列第三。發售當天，單曲憑 7.6 萬張的銷量在 Oricon 每日排行榜中排第一位。7 月 8 日，單曲在 Rekochoku 的音樂錄影帶排行榜排第一位。其後，單曲在 TOWER RECORDS 的單曲排行榜位列第一。單曲取得 Oricon 週榜冠軍，這是自 2001 年 9 月早安少女組。子團體 Minimoni 以來再次有子團體連續兩張單曲均取得週榜冠軍。

## 歌曲列表

## 參考資料
乘着歌声的翅膀

《**乘著歌聲的翅膀**》（德語：Auf Flügeln des Gesanges），為德國詩人海涅所作的一首詩，因孟德爾頌將其譜成同名藝術歌曲（Op. 34, No. 2）而廣為傳播。其旋律舒緩、溫柔、甜蜜，通常由女高音演唱。

## 詩
乘碼

**乘碼**（Product code），是藉由許多小型編碼簿相乘而形成。如果一個向量可以用某個獨立的特性來描述的話，例如長度或方向，那麼就可以針對每一個特性分別為此設計一個編碼簿，最後所要的乘碼向量便是將各個小型編碼簿的向量相乘而得到。

## 概要

在相同數目的碼向量下，乘碼編碼簿的效率比完全搜尋的編碼簿差。但是在相同的複雜度與位元率下，它的效果比完全搜尋的編碼簿好。這是因為在相同的複雜度下，乘碼編碼簿的有效碼向量會遠比完全搜尋的編碼簿之碼向量多許多，而且乘碼編碼簿可以在同樣位元率下編碼更大維度的向量。 
以下介紹三種乘碼，分別為增益 / 形狀 VQ（Gain/Shape vector quantization, G/S VQ）、平均值 / 餘值 VQ（Mean/Residual vector quantization, M/R VQ）及內插法 / 餘值 VQ（Interpolating/Residual vector quantization, I/R VQ）。

### 增益 / 形狀 VQ

增益 / 形狀 VQ（Gain/Shape vector quantization, G/S VQ）使用兩個編碼簿，分別用以編碼向量的增益（Gain）和形狀（Shape）。向量的增益指的是這個向量的能量或方差，而向量的形狀則是原影像向量去掉增益後之正常化向量（Normalized vector）。

#### 演算法

* **第一步：**

將原影像切割成不重疊的方塊形成影像向量，令其大小為 n（一般取 n = 4 x 4 = 16）。

* **第二步：**

從形狀編碼簿中，找出和影像向量內積（Inner product）所得值最大的單位能量形狀碼向量， $Y_{j}$ 。

* **第三步：**

給定所選擇的形狀碼向量 $Y_{j}$ 後，找出純量的增益值 ${\sigma _{i}}$ ，其中純量 ${\sigma _{i}}$ 使得重建向量 ${\hat {X}}={\sigma _{i}}Y_{j}$ ，與原向量 X 之間的失真最小。

* **第四步：**

送出形狀碼向量的指標及增益的碼給接收端。

* **第五步：**

將解碼所得知形狀碼向量與增益值相乘，即 ${\hat {X}}={\sigma _{i}}Y_{j}$ 得到重建向量。

### 平均值 / 餘值 VQ

平均值 / 餘值 VQ（Mean/Residual vector quantization, M/R VQ），是將影像方塊的平均值重複拷貝做為該方塊內所有像素的預測值，最後產生整個預測影像。再將原影像減去預測影像，便形成我們的餘值影像。

使用 M/R VQ 的優點是許多的影像向量（由影像方塊所組成）都在不同的平均值附近展現類似的方差，只要將每一個向量的平均值（方塊平均值）在做量化之前予以去除，那麼我們所需要用以表示餘值向量的碼向量就會比較少。

#### 演算法

* **第一步：**

將原影像切割成不重疊的方塊，其大小為 n（一般 n = 4 x 4 = 16），以形成影像向量，並計算每一個方塊的平均值。

* **第二步：**

以純量量化器編碼平均值（一般使用 8 個位元）並送出給接收端，也可以用傳統的壓縮法，如 DPCM，做平均值的編碼以更進一步降低位元率。

* **第三步：**

將該方塊之原影像向量減去量化後之平均值得到平均約等於 0 的餘值。

* **第四步：**

以 VQ 做餘值向量之量化，然後將最接近之餘值碼向量的指標送給接收端。

* **第五步：**

將平均值加回解碼所得之餘值向量得到重建方塊。

### 內插法 / 餘值 VQ

內插法 / 餘值 VQ（Interpolating/Residual vector quantization, I/R VQ），是藉由原影像之次取樣（Subsampling）與內插（Interpolating）得到預測影像，然後再將原影像減去預測影像得到的餘值影像。這個方法基本上和 Mean/Residual vector quantization（M/R VQ）很像，只不過在此用的是次取樣值而非平均值，以及內插法而不是簡單的重複拷貝。

使用 I/R VQ 的優點是，其預測影像會比 M/R VQ 的重複拷貝平均值所得的預測影像還平滑，因此方塊假象（Blocking artifacts）會減少。實驗結果也顯示，在相同的位元率下，I/R VQ 的重建影像品質會比 M/R VQ 的好。

#### 演算法

* **第一步：**

以 L：1 的比例（一般 L = 8）為原影像做次取樣得到 ${\frac {N^{2}}{L^{2}}}$ 的次取樣影像（原影像為解析度為 NxN），每一個次取樣值以純量量化器予以量化，並送出給接收端。

* **第二步：**

傳送端與接收端都利用將量化後之次取樣影像以內插法擴張成 NxN 的預測影像，將原影像減去預設影像得到傳送端的預測影像。

* **第三步：**

將餘值影像切割成不重疊的方塊以形成向量（一般大小為 n = 4 x 4 = 16）。

* **第四步：**

使用 VQ 為餘值向量做量化，並送出最接近的餘值碼向量之指標給接收端。

* **第五步：**

將解碼所得之餘值碼向量加回次取樣 / 內插後之預測影像得到重建影像。

## 參考資料

* 戴顯權，_資料壓縮_
* Bhaskar Ramamurthi and Allen::Gersho, Fellow, IEEE ,_"Classified Vector Quantization of Images "_, IEEE Transactions On Communications, VOL. Com-34, NO. 11, November 1986
* Allen Gersho and Robert M. Gray, _"Vector Quantization And Signal Compression"_[1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
乘积

**積**（英語：Product）是數學中多個不同概念的稱呼。算術中，兩個數或多個數相乘得到的結果稱為它們的積或乘積。

當相乘的物件多於兩個時可以稱為**連乘**的時候，常常使用連乘號∏表示，類似多個物件的加法使用求和符號∑。

一般約定，相乘的物件只有一個的時候，乘積是物件本身；沒有相乘的物件時也可以約定所謂的空積為 1。

 

## 代數物件的積

各種代數結構中的物件可以通過定義不同的二元運算得到不同的積。比如說，平面向量可以定義點積，三維向量可以定義叉積和混合積。常見的積還包括：

* 向量空間中兩個向量的內積
* 矩陣集合中矩陣的乘積
* 矩陣的阿達馬乘積
* 矩陣的克羅內克乘積
* 張量的外積
* 張量的張量積
* 兩個函數的

## 代數結構的積

在研究抽象代數中的代數結構時，常常會用到代數結構的積的概念。兩個代數結構的積，一般定義為將兩個代數結構里的元素通過一個二元映射對應為一個新的元素，然後將新的元素通過適當的規則組成的新的代數結構。如果兩個代數結構的元素個數都是有限個，那麼它們的積的元素個數將會是它們分別元素個數的乘積。這也是這種新代數結構被稱為積的原因之一。

常見的代數結構的積有：

* 笛卡兒積
* 向量空間的直積
* 群子集的乘積
* 群的自由積
* 拓撲空間的積

## 注釋

## 參考來源
乘积_(范畴论)

範疇論中，**積**（或**直積**）的概念提取了集合的笛卡兒積、群的積、環的積、拓撲空間的積等概念的共性。本質上講，一組對象的積是到這些對象都有態射的對象中最具代表性的。

## 定義

給定範疇 _C_。_C_ 中一對象集 {_Xi_ | _i_ ∈ _I_} 的積為滿足下面泛性質的偶 (_X_, (_πi_))，其中 _X_ 為一對象，_πi_ : _X_ → _Xi_（_i_ ∈ _I_）為一組態射：對任意對象 _Y_ 及其到 _Xi_ 的一組態射 _fi_，存在唯一的態射 _f_ : _Y_ → _X_ 滿足，對任意 _i_ ∈ _I_，_fi_ = _πi_ _f_。即，對任意 _i_，下圖可交換。

若該組對象僅有兩個，積通常用 _X_1×_X_2 來表示。上圖變為：

此時，此唯一態射 _f_ 也常表示為 <_f_1,_f_2>。

## 討論

積為範疇論中的一種極限。積也即 _C_ 中離散子範疇的極限。積不一定存在。但若存在，則由其定義易知其在同構的意義下唯一。

空積（_I_ 為空時所得的積）即終對象。

若 _C_ 中對任意基於 _I_ 的對象集均存在積，則該積也可以看做一個從 _C_I 到 _C_ 的函子。

集合 {_X_i} 的積通常記為∏i _X_i。態射 πi 也稱為**自然投影**。如下自然同構成立：

　
: $\operatorname {Hom} _{C}\left(Y,\prod _{i\in I}X_{i}\right)\simeq \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(Y,X_{i})$

（HomC(_U_,_V_) 表示 _C_ 中從 _U_ 到 _V_ 的態射集；左側的積為範疇意義上的積、右側的為集合的笛卡兒積）。

若 _I_ 為有限集，例如 _I_ = {1,...,_n_}，則 _X_1,...,_Xn_ 的積通常記為 _X_1×...×_Xn_。

設 _C_ 存在有限積，採用上述積函子的定義，並用 1 表示 _C_ 的終對象（空積），則下列自然同構成立：

　
: $X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z$

　
: $X\times 1\simeq 1\times X\simeq X$

　
: $X\times Y\simeq Y\times X$

上述為構成一個交換么半群的條件。

## 舉例

* **Set** 的積為集合的笛卡兒積。
* 由偏序構成的範疇：一組元素的積為該組元素的最大下界。

## 參見

* 泛性質
* 上積 – 積的對偶概念
* 極限與上極限
* Equalizer
* 反極限
* 笛卡兒閉範疇
乘积密码

在密碼學中，**乘積密碼**（Product Cipher）通過結合兩個或更多置換的方式製造比單獨的加密方式更安全的密碼以抵抗密碼分析。乘積密碼往往結合的是簡單的置換 / 代換算法。其想法由克勞德・香農提出，在他決定性的論文「加密系統的通信理論」中首次提到。

對於涉及 n 個信息符號的轉換，上述兩個密碼系統（置換和代換）本身都是不足的。香農建議使用組合的置換和代換轉換，也就是乘積密碼。這種組合可以產生比任何一個單獨的密碼系統更強大的密碼系統。這種交替應用替換和置換的方法已被 IBM 用於 Lucifer 密碼系統，並已成為國家數據加密標準的標準，如數據加密標準和高級加密標準。一個只使用替換和互換的乘積密碼被稱為代換 - 置換網絡。費斯妥密碼是乘積密碼的一個重要類別。

## 相關條目

* 代換 - 置換網絡
* 分組加密

## 參考
乘积拓扑

拓撲學和數學的相關領域中，**積空間**是指一族拓撲空間的笛卡兒積，並配備了一個稱為**積拓撲**的自然的拓撲結構。

## 定義

令 _I_ 為（可能無窮的）指標集，並設 _Xi_ 為 _I_ 中由 _i_ 所對應的每一個拓撲空間。置 _X_ = Π _Xi_，也即集合 _Xi_ 的卡積。對於每個 _I_ 中的 _i_，我們有一個**標準投影** _pi_ : _X_ → _Xi_。_X_ 上的**積拓撲**定義為所有投影 _pi_ 在該拓撲下連續的最疏拓撲（也就是開集最少的拓撲）。該乘積拓撲有時也稱為**吉洪諾夫拓撲**。

很明顯，_X_ 上的乘積拓撲可以表述為形為 _pi_−1(_U_) 的集合生成的拓撲，其中 _i_ 屬於 _I_，而 _U_ 是 _Xi_ 的一個開集。換句話說，集合 {_pi_−1(_U_)} 構成 _X_ 上的拓撲的子基。_X_ 的子集是開的若且唯若它是 (可能無窮多的) 的有限個形為 _pi_−1(_U_) 的集合的交集的併集。_pi_−1(_U_) 有時稱為開柱，而它們的交集稱為柱集。

我們可以用構成 _X_ 的空間 _Xi_ 的基來表述乘積拓撲的基。設對於每個 _i_ 屬於 _I_，選取一個集合 _Yi_ 或者是整空間 _Xi_ 或者是該空間的一個基，並且滿足 _Xi_ = _Yi_ 對於除了有限個 _I_ 中的 _i_ 之外的所有 _i_ 成立。令 _B_ 為集合 _Yi_ 的卡積。所有可以這樣構造的 _B_ 集合的族構成乘積空間的一個基。這意味著有限多空間的乘積有一個由 _Xi_ 的基元素的乘積組成的基。

如果指標集為有限（特別是，對於兩個拓撲空間的乘積），則積拓撲有更簡單的表述。這個情況下，每個 _Xi_ 的拓撲的乘積構成 _X_ 上的拓撲的一個基。一般來講，_Xi_ 的拓撲的乘積構成一個稱為 _X_ 上的盒拓撲的基。一般情況下，盒拓撲比積拓撲更細，但是對於有限乘積，它們是相同的。

## 例子

從實直線 **R** 上的標準拓撲開始，定義 _n_ 份 **R** 的乘積，就得到普通的 **R**n 上的歐幾里得拓撲。

康托爾集同胚於可數個離散空間 {0,1} 的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積，每個集合也是採用離散拓撲。

## 屬性

乘積空間 _X_ 加上標準投影，可以用如下的泛性質來刻劃：若 _Y_ 是拓撲空間，並且對於每個 _I_ 中的 _i_，_fi_ : _Y_ → _Xi_ 是一個連續映射，則存在_恰好一個_連續映射 _f_ : _Y_ → _X_ 滿足對於每個 _I_ 中的 _i_ 如下交換圖成立：

這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的積。從上述泛性質可以得出映射 _f_ : _Y_ → _X_ 連續若且唯若 _fi_ = _pi_ o _f_ 對於所有 _I_ 中的 _i_ 連續。在很多情況下，檢查分量函數 _fi_ 的連續性更為方便。檢驗映射 _f_ : _Y_→ _X_ 是否連續通常更難；可以試著用某種方式利用 _pi_ 連續這一點。

除了連續，標準投影 _pi_ : _X_ → _Xi_ 也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到 _Xi_ 上還是開集。反過來不真：若 _W_ 是到所有 _Xi_ 的投影都是開集的積空間的子空間，則 _W_ 不一定是 _X_ 中的開集。（例如，_W_ = **R**2 \ (0,1)2.）標準投影通常不是閉映射。

積拓撲有時稱為_點式收斂拓撲_，因為：_X_ 上的一個序列 （或者網）收斂若且唯若它所有到 _X_i 的投影收斂。特別是，如果考慮所有在空間 _X_ = **R**I 對於所有 _I_ 上的實值函數，在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。

積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理：任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易證明，而其一般情況等價於選擇公理。

## 和其它拓撲概念的聯繫

* 可分離性
  * 每個 T0 空間的積是 T0 的。
  * 每個 T1 空間的積是 T1 的。
  * 每個豪斯多夫空間的積是豪斯多夫的。
  * 每個正則空間的積是正則的。
  * 每個吉洪諾夫空間的積是吉洪諾夫空間。
  * 正規空間的積_不一定_是正規的。
* 緊緻性
  * 每個緊緻空間的積是緊緻的（吉洪諾夫定理）
  * 局部緊緻空間的積_不一定_是局部緊緻的。
* 連通性
  * 每個連通（路徑－連通）空間是連通的（路徑－連通的）。
  * 每個遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。

每個 "局部看起來" 一個標準投影 _F_ × _U_ → _U_ 的空間稱為纖維叢。

## 參看

* 盒拓撲
* 不交並 (拓撲學)
* 商空間
* 子空間拓撲
乘积累加

**乘積累加運算**（英語：**M**ultiply **Ac**cumulate, **MAC**）是在數位信號處理器或一些微處理器中的特殊運算。實作此運算操作的硬體電路單元，被稱為「乘數累加器」。這種運算的操作，是將乘法的乘積結果和累加器 A 的值相加，再存入累加器：

　
: $a\leftarrow a+b\times c$

若沒有使用 MAC 指令，上述的程式可能需要二個指令，但 MAC 指令可以使用一個指令完成。而許多運算（例如卷積運算、點積運算、矩陣運算、數字濾波器運算、乃至多項式的求值運算）都可以分解為數個 MAC 指令，因此可以提高上述運算的效率。

MAC 指令的輸入及輸出的數據類型可以是整數、定點數或是浮點數。若處理浮點數時，會有兩次的數值修約（Rounding），這在很多典型的 DSP 上很常見。若一條 MAC 指令在處理浮點數時只有一次的數值修約，則這種指令稱為「融合乘加運算」/「積和熔加運算」（fused multiply-add, FMA）或「熔合乘法累積運算」（fused multiply–accumulate, FMAC）。

## 積和熔加運算

融合乘加運算的操作和乘積累加的基本一樣，對於浮點數的操作也是一條指令完成。但不同的是，非融合乘加的乘積累加運算，處理浮點數時，會先完成 b×c 的乘積，將其結果數值修約到 N 個位元，然後才將修約後的結果與暫存器 a 的數值相加，再把結果修約到 N 個位元；融合乘加則是先完成 a+b×c 的操作，獲得最終的完整結果後方才修約到 N 個位元。由於減少了數值修約次數，這種操作可以提高運算結果的精度，以及提高運算效率和速率。

積和融加運算可以顯著提升像是這些運算的效能和精度：

* 點積
* 矩陣乘法
* 多項式方程求解（像是秦九韶演算法等）
* 牛頓法求解函數的零點

通常依靠積和融加運算來取得更精確的運算結果。然而，Kahan 指出，如果不加思索地使用這種運算操作，在某些情況下可能會帶來問題。像是平方差公式 _x_2 − _y_2，它等價於 ((_x_×_x_) − _y_×_y_)，若果 x 與 y 已知數值，使用積和融加運算來求結果，哪怕 _x_ = _y_ 時，因為在進行首次乘法操作時無視低位的有效位元，可能會使運算結果出錯，如果是多步運算，第一步就出錯則會連累後續的運算結果接連出錯，比如前述的平方差求值後，再取結果的平方根，那麼這個結果也會出錯。

## 參考資料

## 參見

* 熔合乘法累積指令集
* BLAS
乘著光影旅行

《**乘著光影旅行**》（英語：_Let the Wind Carry Me_）是一部 2009 年的紀錄片，以台灣攝影師李屏賓為主角，由姜秀瓊與關本良兩位導演共同執導。本片於 2009 年金馬國際影展李屏賓專題中首映，並入圍同年金馬奬最佳紀錄片及年度台灣傑出電影兩獎項，隔年於台北電影節拿下百萬首獎。

## 影片內容

影片耗時三年，橫跨歐亞，記錄國際知名攝影師李屏賓的堅持與人生掙扎。多位國際電影名人娓娓道出李屏賓在台灣成長、在香港受到琢磨、進而在國際影壇贏盡喝彩的軌跡，讓觀眾得以透過多部華語經典電影如《花樣年華》及《最好的時光》的幕後製作，領略攝影大師眼中看出去的世界。。

## 製作團隊

## 訪談對象

李屏賓、侯孝賢、是枝裕和、行定勳、舒淇、林嘉欣、王家衞、陳英雄、張震、徐靜蕾、姜文、羅曼・杜里斯、張艾嘉、吉爾布都……

## 得獎紀錄

## 參考文獻

## 外部連結

* 《乘著光影旅行》官方部落格
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《乘著光影旅行》的資料（英文）
* 開眼電影網上《乘著光影旅行》的資料（繁體中文）
* 乘著光影旅行的 Facebook 專頁
* 2009 金馬影展官方部落格入圍名單（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
乘著歌聲的愛情

《**乘著歌聲的愛情**》（韓語：**사랑은 노래를 타고**，英語：**Melody Of Love**），為韓國 KBS 1TV 於 2013 年 11 月 4 日起播出的日日連續劇，由《愛情啊愛情啊》李德健導演執導與《星星月亮都摘給你》洪瑩熙作家合作打造。此劇以音樂劇為背景，講述賢佑與得聆陷入夢想、愛情、友情和親情之間拉扯的故事。

## 演員陣容

### 主要人物

### 孔家

### 朴家

### 韓家

### 銀河劇團

### 特別出演

## 收視率

* 收視最低的集數以**藍色**表示，收視最高的集數以**紅色**表示，而空格則表示該集的收視沒有相關數據。

## 同時段作品

### 同一劇集時段作品

* KBS2 日日連續劇：《紅寶石戒指》、《天上女人》
* MBC 日日連續劇：《歐若拉公主》、《閃耀的羅曼史》
* SBS 日日連續劇：《醜八怪警報》、《好好長大的女兒荷娜》

### 同時間播出競爭作品

* JTBC 日日連續劇：《再也無法忍受》、《貴夫人》
* tvN 金土連續劇：《請回答 1994》、《急診男女》、《岬童夷》（僅於周五）

## 腳註

## 外部連結

* 韓國 KBS 官方網站（韓文）
* 網際網路電影資料庫（IMDb）上《乘著歌聲的愛情》的資料（英文）
* 豆瓣電影上《乘著歌聲的愛情》的資料 （簡體中文）
乘著歌聲的翅膀_(孟德爾頌)

《**乘著歌聲的翅膀**》（德語：Auf Flügelndes Gesanges），是孟德爾頌的《六首聲樂和鋼琴曲》（作品 34，1834 年）中的第二首。這是孟德爾頌為德國浪漫主義詩人海因里希・海涅於 1827 年在《歌集》（Buch der Lieder）中發表的詩《乘著歌聲的翅膀》譜的曲。 李斯特・費倫茨在鋼琴獨奏中表演了這首曲（S. 547）。這首曲已被翻譯成其他語言，並被中國，日本和韓國學校的音樂教科書採用。

## 參考資料

**參照**

## 參見

## 外部連結

* 六首聲樂和鋼琴曲：國際樂譜典藏計劃上的樂譜
乘著白雲

《**乘著白雲**》（日語：雲に乗って）為三枝夕夏 IN db 的第十八張單曲。

## 概要

* 繼前作，三枝夕夏繼續為該曲作詞作曲。此曲為本人首次的 Poetry Reading，挑戰所謂接近 RAP 的歌曲。因為為播放《名偵探柯南》是所演唱的版本和 Full Chorus 版本有很大的不同，因此作為《雲に乗って (TV version)》播放版本，收錄了三首歌曲。
* 繼前作《太陽》，此次初回盤和通常盤封面仍有差異。而且，在初回盤中收錄了 2nd 專輯《U-ka saegusa IN db II》收錄的《Hand to Hand》以及 Live 中合聲等內容的新版本。
* 在公信榜當天排榜中，初登場 8 位。

## 收錄歌曲

1. **雲に乗って**

　
: 作詞・作曲：三枝夕夏 / 編曲：葉山たけし

  * 讀賣電視台・日本電視台動畫《名偵探柯南》片頭曲
2. **流星のノスタルジア**

　
: 作詞・作曲：三枝夕夏 / 編曲：麻井寛史
3. **雲に乗って (TV version)**

　
: 作詞・作曲：三枝夕夏 / 編曲：小澤正澄
4. **Hand to Hand -new ver.-**

　
: 作詞：尾崎春美・三枝夕夏 / 作曲：大野愛果 / 編曲：小澤正澄

　
: 初回盤中收錄
5. **雲に乗って 〜Instrumental〜**

## 收錄專輯

* 三枝夕夏 IN d-best 〜Smile&Tears〜（#1）
* THE BEST OF DETECTIVE CONAN 3 〜名探偵コナン テーマ曲集 3〜 （#1）
* U-ka saegusa IN db Final Best（#1）
乘號

**×**，萬國碼：U+00D7，名稱為「乘號」，亦稱作「叉號」或「交叉」。有以下的可能用法和意思：

* 數學：四則運算中的**乘號**，用作運算：
  * 乘積
  * 向量的外積，與內積相對
  * 集合的笛卡兒積
* 生物學：在基因圖中表示兩種物種的**雜交**
* 中文：標點符號中的**隱諱號**，用以代替不便示眾的文字。
* 日文：稱作「ばつ」（罰）、「ばってん」（罰點）或「ぺけ」，指不正確、錯誤等意思，與圈號**○**：「まる」（丸、圓）相對
* 語文：用以代替有需要存在，但無需要明確表清的「參數」，常與「○」、「□」和「△」共享。例如：

　
: 故事情節中的學校黑板或日記上的日期：○○年△△月□□日（星期 ×）

　
: 語文作業作文題目或例句中的名詞：《×× 公司會議紀錄》、×× 區 ×× 鎮 ×× 村……

* 跨界作品，在流行文化用以表示兩種原本不相干的、人物、概念、作品等的交集，即是時下所說的「Crossover」。
* 同人：表示人物間的戀愛關係和主被動狀況。如「小丁 × 小娜」，就是小丁主動，小娜被動。
* 宗教：釘死聖安德烈的十字架是 X 型的十字架，稱作聖安德烈十字架。

由於這個符號的輸入不太方便，故此在日常溝通時一般用英文字母「x」代之。在 HTML 和 XHTML 上，則可以輸入實體參引 **&times;**、**&#215;**或 **&#x00d7;**。

## 字元編碼

### 其他變形

* U+2297 ⊗ CIRCLED TIMES ，HTML：`&#8855;` `&otimes;`
* U+2715 ✕ MULTIPLICATION X ，HTML：`&#10005;`
* U+2716 ✖ HEAVY MULTIPLICATION X ，HTML：`&#10006;`
* U+2A09 ⨉ N-ARY TIMES OPERATOR ，HTML：`&#10761;`
* U+2A2F ⨯ VECTOR OR CROSS PRODUCT ，HTML：`&#10799;`
* U+2A30 ⨰ MULTIPLICATION SIGN WITH DOT ABOVE ，HTML：`&#10800;`
* U+2A31 ⨱ MULTIPLICATION SIGN WITH UNDERBAR ，HTML：`&#10801;`
* U+2A34 ⨴ MULTIPLICATION SIGN IN LEFT HALF CIRCLE ，HTML：`&#10804;`
* U+2A35 ⨵ MULTIPLICATION SIGN IN RIGHT HALF CIRCLE ，HTML：`&#10805;`
* U+2A36 ⨶ CIRCLED MULTIPLICATION SIGN WITH CIRCUMFLEX ACCENT ，HTML：`&#10806;`
* U+2A37 ⨷ MULTIPLICATION SIGN IN DOUBLE CIRCLE ，HTML：`&#10807;`
* U+2A3B ⨻ MULTIPLICATION SIGN IN TRIANGLE ，HTML：`&#10811;`
* U+2AC1 ⫁ SUBSET WITH MULTIPLICATION SIGN BELOW ，HTML：`&#10945;`
* U+2AC2 ⫂ SUPERSET WITH MULTIPLICATION SIGN BELOW ，HTML：`&#10946;`

## 參見

* 乘法
* X
* 十字