二次剩余

在數論中，特別在同餘理論裏，一個整數 $X$ 對另一個整數 $p$ 的**二次剩餘**（英語：Quadratic residue）指 $X$ 的平方 $X^{2}$ 除以 $p$ 得到的餘數。

當存在某個 $X$ ，式子 $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 成立時，稱 **「 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘」** 

當對任意 $X$ ， $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 不成立時，稱 **「 $d$ 是模 $p$ 的二次非剩餘」** 

研究二次剩餘的理論稱為**二次剩餘理論**。二次剩餘理論在實際上有廣泛的應用，包括從噪音工程學到密碼學以及大數分解。

## 前幾個自然數的二次剩餘

下表列出了 1 至 25 對 2 至 25 的二次剩餘。

## 研究歷史以及基本概念

從 17 世紀到 18 世紀，費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究，證明了一些定理並作出了一些相關的猜想，但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》（_Disquisitiones Arithmeticae_，1801 年）中首次引入了術語「二次剩餘」與「二次非剩餘」，並聲明在不至於導致混淆的行文中，可以省略「二次」兩字。

為了得到關於一個整數 $n$ 的所有二次剩餘（在一個完全剩餘系中），我們可以直接計算 0, 1,…, _n_ − 1 的平方模 $n$ 的餘數。但只要注意到 _a_2 ≡(_n_ − _a_)2(mod _n_)，我們就可以減少一半的計算量，只算到 _n_/2 了。於是，關於 $n$ 的二次剩餘的個數不可能超過 _n_/2 + 1（_n_ 為偶數）或 (_n_ + 1)/2（_n_ 為奇數）。

兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。

## 基本結論

### 質數二次剩餘

對於質數 2，每個整數都是它的二次剩餘。

以下討論 $p$ 是奇質數的情況：

對於 $X$ ， $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 而言，能滿足「 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘」的 $d$ 共有 ${\frac {(p+1)}{2}}$ 個（剩餘類），分別為：

 $0^{2},1^{2},...\left({{\frac {(p-1)}{2}}-1}\right)^{2},\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}$ （0 計算在內）

此外是 ${\frac {(p-1)}{2}}$ 個二次非剩餘。但在很多情況下，我們只考慮乘法群 **Z/_p_Z**，因此不將 0 包括在內。這樣，每個二次剩餘的乘法逆元仍然是二次剩餘；二次非剩餘的乘法逆元仍然是二次非剩餘。二次剩餘的個數與二次非剩餘的個數相等，都是 ${\frac {(p-1)}{2}}$ 。此外，兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘，二次剩餘和二次非剩餘的乘積是二次非剩餘。

應用二次互反律可以知道，當 $p$ 模 4 餘 1 時，-1 是 $p$ 的二次剩餘；如果 $p$ 模 4 餘 3，那麼，-1 是 $p$ 的二次非剩餘。

要知道 d 是否為模 p 的二次剩餘，可以運用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

### 質數乘方的二次剩餘

每個奇數的平方都模 8 餘 1，因此模 4 也餘 1。設 _a_ 是一個奇數。_m_ 為 8，16 或 2 的更高次方，那麼 _a_ 是關於 _m_ 的二次剩餘若且唯若 _a_ ≡ 1(mod 8)。

> 比如說，在模 32 時，所有的奇數的平方分別是：
> 
> 　
> : 12 ≡ 152 ≡ 1
> 
> 　
> : 32 ≡ 132 ≡ 9
> 
> 　
> : 52 ≡ 112 ≡ 25
> 
> 　
> : 72 ≡ 92 ≡ 17
> 
> 模 8 都餘 1。而偶數的二次剩餘是：
> 
> 　
> : 02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
> 
> 　
> : 22 ≡ 62≡ 102 ≡ 142≡ 4
> 
> 　
> : 42 ≡ 122 ≡ 16
> 
> 

可以看出，關於 8，16 或 2 的更高次方的二次剩餘是具有 4k(8_n_ + 1) 形式的所有數，其中 $k$ 、 $n$ 為整數。

對於奇質數 $p$ 以及與 $p$ 互質的整數 $A$ ， $A$ 是關於 $p$ 的若干次乘方的剩餘若且唯若它是關於 $p$ 的剩餘。

設模的是 _p_n（n 次乘方），

　
: 那麼 _p_k_A_ 

　
: 當 _k_ ≥ _n_ 時是模 _p_n 的剩餘；

　
: 當 _k_ < _n_ 並為奇數時是模 _p_n 的非剩餘。

當 _k_ < _n_ 並為偶數時，

　
: 如果 $A$ 是關於 $p$ 的剩餘，那麼 _p_k_A_ 就是模 _p_n 的剩餘；

　
: 如果 $A$ 是關於 $p$ 的非剩餘，那麼 _p_k_A_ 就是模 _p_n 的非剩餘。

### 合數二次剩餘

首先可以看出，

　
: 如果 _a_ 是模 _n_ 的剩餘，並且 _p_k 整除 _n_，那麼 _a_ 是模 _p_k 的剩餘。

　
: 如果 _a_ 是模 _n_ 的非剩餘，那麼存在 _p_k 整除 _n_，使得 _a_ 是模 _p_k 的非剩餘。

對於模合數的情況，兩個剩餘的乘積仍然是剩餘，剩餘和非剩餘的乘積必為非剩餘，但是兩個非剩餘的乘積則可能是剩餘、非剩餘或 0。

> 
> 比如，對於模 15 的情況 
> 
> _**1**_, 2, 3, _**4**_, 5, _**6**_, 7, 8, _**9**_, _**10**_, 11, 12, 13, 14（粗斜體為二次剩餘）。 
> 兩個二次非剩餘 2 和 8 的乘積是二次剩餘 1，但另外兩個二次非剩餘 2 和 7 的乘積是二次非剩餘 14。
> 
> 

## 相關記號

高斯使用 **R** 和 **N** 來分別表示二次剩餘及二次非剩餘。例如：2 R 7，5 N 7，並且 1 R 8，3,5,7 N 8。儘管這種記號在某些方面來說十分簡潔，但現今最常用的是勒讓德符號，或稱二次特徵（見狄利克雷特徵）。對於整數 _a_ 及奇質數 _p_，

　
:

　
: 

　
: 

　
: 

　
:

之所以將 0 另分一類有兩個原因。首先，這使公式和定理敘述方便。其次，二次特徵是一個從乘法群 **Z/pZ** 射到複數域的群同態， $({\tfrac {np}{p}})=0$ 可以將這個同態擴張到整數構成的乘法半群。

相比高斯的記號，勒讓德符號的優勢在於可以寫在公式里（作為一個數字值）。此外勒讓德符號可以推廣到三次以至高次剩餘。

勒讓德符號中的分母只限奇質數，對於一般的奇合數，有推廣的雅可比符號。雅可比符號的性質比前者複雜。如果 _a_ **R** _m_ 那麼 $({\tfrac {a}{m}})=1$ ，如果 $({\tfrac {a}{m}})=-1$ 那麼 _a_ **N** _m_。但如果 $({\tfrac {a}{m}})=1$ ，我們不能知道 _a_ **R** _m_ 還是 _a_ **N** _m_。

## 推廣

二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意 $X$ ， $X^{n}\equiv d{\pmod {p}}$ 中 $d$ 是否為模 $p$ 的 $n$ 次剩餘的問題。

## 相關條目

* 勒讓德符號
* 同餘
* 歐拉準則
* 二次互反律
* 三次互反律

## 注釋及參考來源

* 閔嗣鶴、嚴士健，《初等數論》，第二版，高等教育出版社，2001 年。

## 外部連結

* 李宗儒，高斯二次互反律