交換環上的代數

在**數學**中，交換環上的**代數**或**多元環**是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱**代數**。

本頁面中的環都是指有單位的環，並使用麼環一詞表示則是不一定有單位的環。

## 定義

給定一個交換環 $A$ 。

### 代數

給定一個四元組 $(E,+,.,\times )$ 。如果以下兩個條件成立：

 1. $(E,+,\cdot )$ 是一個 $A$ - 模。
2. $\times $ 是一個 $E$ 的內部運算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ ），並且是 $A$ - 雙線性的。也就是說內部運算 $\times $ 符合以下三點：
   * $\forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z$
  * $\forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z$
  * $\forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)$

那麼我們說四元組 $(E,+,\cdot ,\times )$ 是一個 $A$ 上的**代數**（或稱 **$A$ - 代數**），或簡稱集合 $E$ 是一個 **$A$ - 代數**。

### 結合代數、有單位的代數、交換代數

設 $(E,+,\cdot ,\times )$ 為一個 **$A$ - 代數**。

* 如果內部運算 $\times $ 符合結合律，那麼我們說 $E$ 是一個**結合代數**。
* 如果內部運算 $\times $ 有一個單位元素（即 $\exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E}$ ），那麼此單位元素是唯一的並且我們說 $E$ 是一個**有單位的代數**。
* 如果內部運算 $\times $ 符合交換律，那麼我們說 $E$ 是一個**交換代數**。

**註**：有些作者用結合代數來稱呼**結合且有單位**的代數，或是用交換代數來稱呼**結合、有單位且交換**的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

## 等價定義

一樣給定一個交換環 $A$ 。

給定一個四元組 $(E,+,\cdot ,\times )$ 。 這是一個 **$A$** 上的**結合代數**（ **$resp.$ 結合且有單位的代數**、 **$resp.$ 結合、有單位且交換的代數**）若且唯若以下三個條件成立：

 1. $(E,+,\cdot )$ 是一個 $A$ - 模。
2. $(E,+,\times )$ 是一個麼環（ $resp.$ 一個環、 $resp.$ 一個交換環）。
3. $\times $ 是一個 $E$ 的內部運算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ ），並且是 $A$ - 雙線性的。

註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為：

 * $\times $ 是一個 $E$ 的內部運算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ ），並符合 $\forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)$

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數：

* 給定一個**結合且有單位**的 $A$ - 代數 $E$ 就等於給定一個二元組 $(E,f)$ ：其中 $E$ 是一個環，而 $f:A\rightarrow E$ 是一個滿足 $f(A)\subset Z(E)$ 的環同態。（ $Z(E)$ 代表環 $E$ 的中心，也就是 $Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}$ ）。

原因是如果 $E$ 是一個結合且有單位的 $A$ - 代數，那麼 $E$ 是一個環並且 $f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E$ 是一個環同態，滿足 $f(A)\subset Z(E)$ 。反過來看，如果 $E$ 是一個環，而 $f:A\rightarrow E$ 是一個滿足 $f(A)\subset Z(E)$ 的環同態，那麼我們可以定義外部運算 $\cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x$ （即 $a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x$ ）。 $E$ 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 $A$ - 模並且成為一個結合且有單位的 $A$ - 代數。

將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法：

* 給定一個**結合、有單位且交換**的 $A$ - 代數 $E$ 就等於給定一個二元組 $(E,f)$ ：其中 $E$ 是一個**交換環**，而 $f:A\rightarrow E$ 是一個的環同態。

## 代數同態

設 $E,F$ 是 $A$ - 代數， $A$ - 模間的同態 $\phi :E\rightarrow F$ 被稱作 $A$ - 代數間的**同態**，若且唯若它滿足 $\forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$ 。因此所有 $A$ - 代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

## 結構常數

設 $E$ 是 $A$ - 代數。當 $E$ 是個自由的有限秩 $A$ - 模（當 $A$ 為域且 $\dim _{A}E<\infty $ 時自動成立）時，可選定一組基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ，並將乘法寫作

　
: $e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad $ （採用愛因斯坦記號）

此時常數 $c_{ij}^{k}\in A$ 稱作 $E$ 對基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ 的**結構常數**。

## 例子

* 對於 $n\geq 2$ ，矩陣環 ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的 $\mathbb {R} $ - 代數。
* 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 $\{X,Y\}=(XY+YX)/2$ ，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
* 歐氏空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 $\mathbb {R} $ - 代數。這是一個李代數的例子。
* 四元數 $\mathbb {H} $ 是一個非交換但結合且有單位的 $\mathbb {R} $ - 代數。
* 八元數 $\mathbb {O} $ 是一個非交換、非結合但有單位的 $\mathbb {R} $ - 代數。
* 考慮所有在正無窮有極限且極限為 0 的函數 $\mathbb {R} \to \mathbb {R} $ 所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的 $\mathbb {R} $ - 代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。

## 參見

* 結合代數
* 代數同態
* 李代數

## 文獻

* Nicholas Bourbaki, _Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3_ ISBN 2-903684-00-6