三維點群

幾何學中，**三維點群**是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群 $O(3)$ 的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。 $O(3)$ 本身則是全體等距同構的歐氏群 $E(3)$ 的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為**全體對稱群**作強調，用以突顯與**旋轉群**（或**真對稱群**）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群 $SO(3)$ 之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱**分子對稱群**。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。 $n$ 階考克斯特群是由 $n$ 個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

## 群結構

 $SO(3)$ 是直接歐氏群 $E^{+}(3)$ 的子群，其元素皆是**直接**等距同構，即保持定向的等距變換。 $SO(3)$ 僅含保持原點不變的直接等距同構。

 $O(3)$ 則是 $SO(3)$ 與點反演生成的群 $\{I,-I\}$ 的直積：（此處點反演以其矩陣 $-I$ 表示，即單位矩陣 $I$ 乘上 $-1$ 。）

　
: $O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.$

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外， $O(3)$ 中僅由直接等距變換組成的子群 $H$ （必包含在 $SO(3)$ 中，亦與 $O(3)$ 中含有點反演的子群 $K$ 一一對應。對應關係如下：

　
: $K=H\times \{I,-I\},$

　
: $H=K\cap SO(3).$

例如，若 $H$ 為 $C_{2}$ ，則 $K$ 為 $C_{\mathrm {2h} }$ ；若 $H$ 為 $C_{3}$ ，則 $K$ 為 $S_{6}$ 。（定義載於下文。）

若直接等距同構群 $H$ 有指數為 $2$ 的子群 $L$ ，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

　
: $M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),$

含有間接等距變換，但不含點反演。式中 $(A,I)$ 與 $A$ 視為等同。舉例 $H$ 為 $C_{4}$ ，而 $M$ 為 $S_{4}$ 。

換言之， $M$ 是將 $H\setminus L$ 中的變換，乘上 $-I$ 得到。此群 $M$ 作為抽象群與 $H$ 同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下， $k$ 重旋轉的循環群 $C_{k}$ 皆是 $O(2)$ 和 $SO(2)$ 的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的 $k$ 重循環群 $C_{k}$ ，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為 $2$ 的子群必正規， $C_{n}$ 在 $C_{n\mathrm {v} }$ 中正規，也在 $C_{n\mathrm {h} }$ 中正規。此處 $C_{n\mathrm {v} }$ 是向 $C_{n}$ 添加過旋轉軸的反射面生成，而 $C_{n\mathrm {h} }$ 則是向 $C_{n}$ 添加與軸垂直的反射面生成。

## 固定原點的三維等距變換

 $\mathrm {R} ^{3}$ 的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群 $O(3,\mathbb {R} )$ ，簡記為 $O(3)$ 。其元素分類如下：

* 子群 $SO(3)$ 中：
  * 單位（恆等變換）；
  * 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為 $180^{\circ }$ ；
  * 繞過原點某軸的旋轉，且角度為 $180^{\circ }$ ；
* 及以上變換但額外乘上點反演（將向量 $x$ 映去 $-x$ ），即：
  * 點反演；
  * 繞過原點的某軸，作角度不為 $180^{\circ }$ 的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
  * 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱**瑕旋轉**。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

## 共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體**具有相同對稱類**，意思是其對稱群 $H_{1},H_{2}$ 在 $O(3)$ 中為共軛子群，即存在 $g\in O(3)$ ，使 $H_{1}=g^{-1}H_{2}g$ 。

舉例：

* 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
* 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉 $g$ ，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的 $g$ 不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取 $g$ 為旋轉。（但空間群則不然，有 $11$ 對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

## 無窮等距變換群

有許多**無窮等距變換群**，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為 $\pi $ 的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群 $O(3)$ 的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論 $O(3)$ 的拓撲閉子群：

* 整個 $O(3)$ 是球對稱群、
* 相應的旋轉群是 $SO(3)$ 、
* 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
  * 添加或不添加過軸的各鏡面反射，
  * 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
  * 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的 $180^{\circ }$ 旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種**圓柱對稱性**。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為**極限點群**或**居里極限群**，得名自最早研究此種群的皮埃爾・居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而 $O(3)$ 、 $SO(3)$ 則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為 $\infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} $ ，次序在下文明確給出。

## 有限等距變換群

三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表。

不別共軛之異，三維有限點群只有：

 * $7$ 個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為**軸向點群**（英語：axial point groups）或**稜柱點群**（英語：prismatic point groups）。
* $7$ 個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
   * $4$ 條三重軸、
  * $4$ 條三重軸及 $3$ 條四重軸、
  * $10$ 條三重軸及 $6$ 條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱相容：七列軸向點群中，有 $27$ 個；七個其他點群中，有 $5$ 個，合共 $32$ 個，稱為**晶體學點群**。

## 七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數 $n$ 標示。每列第 $n$ 個群，含繞某軸的 $n$ 重旋轉，即旋轉 $360^{\circ }/n$ ，故 $n=1$ 對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱**循環對稱**），另三列有其他二重旋轉軸（稱**二面對稱**）。該些群可以視為二維點群添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複 $n$ 次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號、軌形記號、考克斯特記號。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群與帶群。晶體群的 $n$ 僅能取 $1,2,3,4,6$ （晶體學限制定理），而若移除該限制，則 $n$ 可取任意正整數。七列軸向點群為：

對奇數 $n$ ，有抽象群同構 $Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}$ 及 $\mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$ 。

群 $C_{n}$ （包括平凡群 $C_{1}$ ）及 $D_{n}$ 有手性，其他則無手性。

術語**水平**（horizontal, h）與**豎直**（vertical, v）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母 h 和 v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群 $Z_{2}$ ，但是 $O(3)$ 的不同子群（即不共軛）：

 * $C_{\mathrm {i} }$ （等同 $S_{2}$ ）—— **點反演對稱**
* $C_{2}$ —— **二重旋轉對稱**
* $C_{\mathrm {s} }$ （等同 $C_{1\mathrm {h} }$ 和 $C_{1\mathrm {v} }$ ）—— **反射對稱**，生物學又稱**兩側對稱**（英語：bilateral symmetry）。

第一組單軸循環群中， $C_{n}$ 的階為 $n$ （二維情況同樣適用），是由單一個角度為 $360^{\circ }/n$ 的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成 $C_{n\mathrm {h} }$ ，階為 $2n$ 。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入 $n$ 塊通過軸的鏡面，則得到 $C_{n\mathrm {v} }$ ，階亦為 $2n$ 。後者是正 $n$ 稜錐的對稱群。具 $C_{n}$ 或 $D_{n}$ 的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到 $n$ 條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的 $180^{\circ }$ 旋轉，故群不再單軸。新群的階為 $4n$ ，記為 $D_{n\mathrm {h} }$ 。其旋轉子群為 $2n$ 個元素的二面體群 $D_{n}$ ，仍有與主（ $n$ 重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維， $D_{n}$ 包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群 $D_{n}$ 有翻轉但無鏡射。

餘下一類是 $D_{n\mathrm {d} }$ （或 $D_{n\mathrm {v} }$ ），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉 $180^{\circ }/n$ 。 $D_{n\mathrm {h} }$ 是正 $n$ 稜柱和雙稜錐的對稱群。 $D_{n\mathrm {d} }$ 則是正 $n$ 角反稜柱的對稱群，亦是正 $n$ 方偏方面體的對稱群。最後， $D_{n}$ 是稍稍扭過的正 $n$ 稜柱的對稱群。

 $D_{2}$ 及 $D_{2\mathrm {h} }$ 較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。 $D_{2}$ 是下節所有多面體對稱群的子群，而 $D_{2\mathrm {h} }$ 則是多面體群 $T_{\mathrm {h} }$ 與 $O_{\mathrm {h} }$ 的子群。 $D_{2}$ 可以作為下列化學品的對稱群：

* 刀豆蛋白 A 等同四聚體、
* 四個相同具手性配位基的四面體形配合物、
* 四個同手性氟氯甲基的四 (氟氯甲基) 甲烷。

 $D_{2}$ 的元素，與利普希茨四元數的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群 $S_{n}$ 由「先關於水平面作鏡射，再旋轉 $360^{\circ }/n$ 」生成。對於奇數 $n$ ，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群 $C_{n\mathrm {h} }$ ，階為 $2n$ ，故不必用到記號 $S_{n}$ 。然而，對偶數 $n$ ，兩個群有差異，且 $S_{n}$ 僅有 $n$ 個元素。與 $D_{n\mathrm {d} }$ 類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：

 * $C_{1\mathrm {h} }$ 及 $C_{1\mathrm {v} }$ ：階數為 $2$ ，由獨一個鏡射生成。又稱 $C_{\mathrm {s} }$ 。
* $D_{1}$ 與 $C_{2}$ ：階數為 $2$ ，由獨一個 $180^{\circ }$ 旋轉生成。
* $D_{1\mathrm {h} }$ 與 $C_{2\mathrm {v} }$ ：階數為 $4$ ，由一個鏡射與鏡面上一條軸的 $180^{\circ }$ 旋轉生成。
* $D_{1\mathrm {d} }$ 與 $C_{2\mathrm {h} }$ ：階數為 $4$ ，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的 $180^{\circ }$ 旋轉生成。

 $S_{2}$ 是由獨一個點反演生成的 $2$ 階群，又記為 $C_{\mathrm {i} }$ 。

此處「重複」是指作為 $O(3)$ 的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的 $2$ 階群，但祇有一個 $2$ 階抽象群。類似，也有 $S_{2n}$ 與 $Z_{2n}$ 抽象同構。

群的構造亦可描述如下：

 * $C_{n}$ 是由獨一個元素生成，生成元亦稱為 $C_{n}$ ，是繞軸轉 $2\pi /n$ 。群的元素是： $E$ （單位元）， $C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}$ ，對應旋轉角 $0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n$ 。該軸視為豎直軸。
* $S_{2n}$ 由獨一個元素 $C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$ 生成，其中 $\sigma _{\mathrm {h} }$ 是水平面的鏡射。群的元素是 $C_{n}$ 的元素，另加 $C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$ 。
* $C_{n\mathrm {h} }$ 由 $C_{n}$ 與反射 $\sigma _{\mathrm {h} }$ 生成。群的元素是 $C_{n}$ 的元素，另加 $\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$ 。
* $C_{n\mathrm {v} }$ 由 $C_{n}$ 與豎直鏡面的反射 $\sigma _{\mathrm {v} }$ 生成。群的元素是 $C_{n}$ 的元素，另加 $\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }$ 。
* $D_{n}$ 是由 $C_{n}$ 與繞水平面上某軸 $180^{\circ }$ 的旋轉 $U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$ ，其元素是 $C_{n}$ 的元素，另加 $U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U$ 。
* $D_{n\mathrm {d} }$ 由元素 $C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$ 與 $\sigma _{\mathrm {v} }$ 生成。元素是 $C_{n}$ 的元素，加上 $S_{2n}$ 與 $C_{n\mathrm {v} }$ 的額外元素，再加上 $C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$ 。
* $D_{n\mathrm {h} }$ 由元素 $C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }$ 生成。其元素為 $C_{n}$ 的元素，再加上 $C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}$ 的所有額外元素。

取 $n$ 趨向 $\infty $ 的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

## 七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中， $C_{n}$ 表示一條 $n$ 重軸，即旋轉角為 $360^{\circ }/n$ ， $S_{n}$ 則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號，然後括號內為軌形記號，然後為考克斯特記號及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

相關的連續群有：

* 旋轉群 $SO(3)$ ，即所有旋轉的群，亦記作 $\infty \infty $ 或 $K$ 。
* 正交群 $O(3)$ ，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作 $\infty \infty \mathrm {m} $ 或 $K_{\mathrm {h} }$ 。

如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有 $K$ 對稱性，則必有 $K_{\mathrm {h} }$ 對稱性。

## 軌形記號與階

若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於 $2$ 除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將 $2$ 減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

* 無 ${}^{*}$ 或在 ${}^{*}$ 之前的 $n$ ，值為 $(n-1)/n$ ；
* 在 ${}^{*}$ 之後的 $n$ ，值為 $(n-1)/(2n)$ ；
* ${}^{*}$ 與 $\times $ 計為 $1$ 。

此公式同樣適用於壁紙群與帶群：對該等群，特徵數之和為 $2$ ，所以階數是無窮大。亦見壁紙群條目。

## 反射考克斯特群

三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形或半球面。在考克斯特記號，該些群是正四面體對稱 $[3,3]$ 、正八面體對稱 $[4,3]$ 、正二十面體對稱 $[5,3]$ 、二面體對稱 $[p,2]$ 。不可約群的鏡面數是 $nh/2$ ，其中 $h$ 是群的考克斯特數，而 $n$ 是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。

## 旋轉群

有限旋轉群，即 $SO(3)$ 的有限子群，僅有：循環群 $C_{n}$ （正稜錐的旋轉群）、二面體群 $D_{n}$ （正稜柱或雙錐體的旋轉群）、 $T$ （正四面體的旋轉群）、 $O$ （正八面體或正六面體的旋轉群）、 $I$ （正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群 $D_{3}$ 、 $D_{4}$ 等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為**二面體**，二面體群因而得名。

* 若物體的對稱類為 $C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}$ ，則旋轉群為 $C_{n}$ 。
* 若物體的對稱類為 $D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }$ ，則旋轉群為 $D_{n}$ 。
* 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即 $T,\ O,\ I$ 之一。

當且僅當物體有手性時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用熊夫利記號、考克斯特記號，及括號內的軌形記號表示，旋轉群是：

## 旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演：

 * $n$ 為偶數時， $C_{n\mathrm {h} }$ 及 $D_{n\mathrm {h} }$ 、
* $n$ 為奇數時， $S_{2n}$ 及 $D_{n\mathrm {d} }$ （特別地， $S_{2}=C_{\mathrm {i} }$ 是僅由點反演生成的群，另有 $D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }$ 屬於前項）、
* $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$ 。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：

 * $C_{n\mathrm {h} }$ （ $n$ 為偶）及 $S_{2n}$ （ $n$ 為奇）對應 $C_{n}$ 。
* $D_{n\mathrm {h} }$ （ $n$ 為偶）及 $D_{n\mathrm {d} }$ （ $n$ 為奇）對應 $D_{n}$ 。
* $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$ 分別對應 $T,O,I$ 。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：

 * $C_{n\mathrm {v} }$ 、
* $n$ 為奇數時， $C_{n\mathrm {h} }$ 及 $D_{n\mathrm {h} }$ 、
* $n$ 為偶數時， $S_{2n}$ 及 $D_{n\mathrm {d} }$ 、
* $T_{\mathrm {d} }$ 。

上述各群分別對應一個旋轉群 $H$ 及其指標 $2$ 的子群 $L$ ，使得該群是由 $H$ 的元素，加上 $H\setminus L$ 經點反演後的元素得到，如上文所述：

 * $C_{n}$ 是 $D_{n}$ 的指標 $2$ 子群，對應 $C_{n\mathrm {v} }$ 。
* $C_{n}$ 是 $C_{2n}$ 的指標 $2$ 子群， $n$ 為奇時對應 $C_{n\mathrm {h} }$ ， $n$ 為偶時則對應 $S_{2n}$ 。
* $D_{n}$ 是 $D_{2n}$ 的指標 $2$ 子群， $n$ 為奇時對應 $D_{n\mathrm {h} }$ ， $n$ 為偶時對應 $D_{n\mathrm {d} }$ 。
* $T$ 是 $O$ 的指標 $2$ 子群，對應 $T_{\mathrm {d} }$ 。

## 極大對稱群

離散點群中， $O_{\mathrm {h} }$ 和 $I_{\mathrm {h} }$ 並非任何其他離散點群的真子群，故謂**極大**。其公共子群中，最大的是 $T_{\mathrm {h} }$ 。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得 $O_{\mathrm {h} }$ ，亦可加入五重旋轉對稱而得 $I_{\mathrm {h} }$ 。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群： $O_{\mathrm {h} }$ 與 $D_{6\mathrm {h} }$ 。視乎方向，其極大公共子群為 $D_{3\mathrm {d} }$ 或 $D_{2\mathrm {h} }$ 。

## 按抽象群同構分類

下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為： $8$ 階的四元群、 $9$ 階的 $Z_{3}\times Z_{3}$ 、 $12$ 階的雙循環群 $\mathrm {Dic} _{3}$ ，以及十四個 $16$ 階群的其中十個。

下表中，「 $2$ 階元素數」一列，數算 $C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }$ 三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

### 循環群

 $n$ 重旋轉對稱的對稱群為 $C_{n}$ 。其抽象同構類是循環群 $Z_{n}$ ，亦可記作 $C_{n}$ 。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：

* 對於偶階數 $2n$ ，瑕旋轉群 $S_{2n}$ （熊夫利記號），生成元為繞某軸 $180^{\circ }/n$ 的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。 $S_{2}$ 也記為 $C_{\mathrm {i} }$ ，由點反演生成。
* 對於奇數 $n$ ，有階數 $2n$ 的群 $C_{n\mathrm {h} }$ 。該群有一條 $n$ 重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸 $360^{\circ }/n$ 的旋轉，及該鏡射。 $C_{1\mathrm {h} }$ 又可記作 $C_{\mathrm {s} }$ ，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

### 二面群

二維二面體群 $D_{n}$ 有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以 $D_{n}$ 表示的對稱群，有 $n$ 條二重軸，與 $n$ 重的主旋轉軸垂直，但無反射。 $D_{n}$ 是正 $n$ 稜柱、正雙 $n$ 角錐、正 $n$ 角反稜柱、 $n$ 方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令 $D_{n}$ 為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群 $\mathrm {Dih} _{n}$ ，亦可照樣記為 $D_{n}$ 。但除 $D_{n}$ 外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

 * $C_{n\mathrm {v} }$ ，階為 $2n$ ，是正 $n$ 稜錐的對稱群；
* $D_{n\mathrm {d} }$ ，階為 $4n$ ，是正 $n$ 角反稜柱的對稱群；
* 對應奇數 $n$ 的群 $D_{n\mathrm {h} }$ ，其階為 $4n$ 。當 $n=1$ 時，等同 $D_{2}$ ，已於上文討論，故此處可取 $n\geq 3$ 。

注意有以下同構：

　
: $\mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.$

於是可以整理出下表：（有 $12$ 個晶體學點群用粗體標示，另 $D_{1\mathrm {d} }$ 寫成等價的 $C_{2\mathrm {h} }$ ）

### 其他

 $C_{2n\mathrm {h} }$ 的階數為 $4n$ ，同構於抽象群 $Z_{2n}\times Z_{2}$ 。在 $n=1$ 時， $C_{2n\mathrm {h} }$ 等同 $\mathrm {Dih} _{2}$ ，已於上小節討論，故本小節僅考慮 $n\geq 2$ 的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

 
 $D_{n\mathrm {h} }$ 的階數為 $4n$ ，同構於抽象群 $\mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$ 。對於奇數 $n$ ，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為 $8n$ 的群 $D_{2n\mathrm {h} }$ ，其抽象群類別為 $\mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}$ 。（ $n\geq 1$ ）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

## 基本域

點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

## 二元多面體群

考慮三維旋量群 $\mathrm {Spin} (3)$ 到旋轉群 $SO(3)$ 的二重覆疊投映。由於 $\mathrm {Spin} (3)$ 已是單連通，故為 $SO(3)$ 僅有的非平凡連通覆疊。

由子群的對應， $\mathrm {Spin} (3)$ 與 $SO(3)$ 的子群（即旋轉點群）之間有伽羅瓦連接： $\mathrm {Spin} (3)$ 子群投映到 $SO(3)$ ，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是 $\mathrm {Spin} (3)$ 的子群。注意 $\mathrm {Spin} (3)$ 可以等價描述成特殊酉群 $SU(2)$ ，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面 $S^{3}$ 。

有限點群的原像稱為**二元多面體群**，記作 $\langle l,n,m\rangle $ ，與多面體群 $(l,m,n)$ 對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群 $(2,3,5)$ 的原像，便是二元二十面體群 $\langle 2,3,5\rangle $ 。

二元多面體群為：

 * $A_{n}$ : 正 $n$ 邊形的二元循環群，階數 $2n$ 。
* $D_{n}$ : 正 $n$ 邊形的二元二面體群 $\langle 2,2,n\rangle $ ，階數 $4n$ 。
* $E_{6}$ : 二元四面體群 $\langle 2,3,3\rangle $ ，階數 $24$ 。
* $E_{7}$ : 二元八面體群 $\langle 2,3,4\rangle $ ，階數 $48$ 。
* $E_{8}$ : 二元二十面體群 $\langle 2,3,5\rangle $ ，階數 $120$ 。

該些群能按 ADE 分類，而 $\mathbb {C} ^{2}$ 在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點。

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個 Pin 群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在 $\mathrm {Spin} (3)\to SO(3)$ 映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是射影多面體的對稱群。球面確實覆疊射影空間（以及透鏡空間），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

## 參見

## 參考文獻

* Coxeter, H. S. M. 7 The Binary Polyhedral Groups [第 7 章：二元多面體群]. Regular Complex Polytopes [正複多胞形]. Cambridge University Press. 1974: 73–82 （英語）.
* Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. 6.5 The binary polyhedral groups [第 6.5 節：二元多面體群]. Generators and Relations for Discrete Groups [離散群的生成元與關係] 4th edition. New York: Springer-Verlag. 1980: 68. ISBN 0-387-09212-9 （英語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Conway, John Horton; Huson, Daniel H. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups [二維群的軌形記號]. Structural Chemistry (Springer Netherlands). 2002, **13** (3): 247–257. S2CID 33947139. doi:10.1023/A:1015851621002 （英語）.

## 外部鏈結

* 32 個晶體學點群的圖像概覽. （原始內容存檔於 2012-02-04） （英語）. —— 顯示七個無窮序列的前幾項（跳過 $n=5$ ），以及其餘七個多面體群之五。
* 點群性質概覽. [2021-09-17]. （原始內容存檔於 2021-06-16） （英語）.
* Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type [每種對稱型的最簡典範多面體]. （原始內容存檔於 2008-03-16） （英語）.
* Wei, Yi-Shu. Point Groups and Crystal Systems [點群與晶系] (PDF): 4–6. （原始內容 (PDF) 存檔於 2012-10-24） （英語）.
* Levy, Silvio. 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) [第 10.1 節 笛卡爾坐標系中對稱的公式（三維）]. Geometry Formulas and Facts [幾何公式與事實]. The Geometry Center. [2021-09-17]. （原始內容存檔於 2021-04-18） （英語）.