三角函数诱导公式

**誘導公式**是數學三角函數中將角度比較大的三角函數利用角度的周期性，轉換為角度比較小的三角函數的變形公式。誘導公式分為以下六類：

## 公式一（函數關於 2π 的周期性）

 * $\sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z} $
* $\cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z} $
* $\tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z} $
* $\cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z} $
* $\sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z} $
* $\csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

## 公式二（函數關於 π 的周期性）

 * $\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha $
* $\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha $
* $\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha $
* $\cot(\pi +\alpha )=\cot \alpha $
* $\sec(\pi +\alpha )=-\sec \alpha $
* $\csc(\pi +\alpha )=-\csc \alpha $

## 公式三（函數的奇偶性）

 * $\sin(-\alpha )=-\sin \alpha $
* $\cos(-\alpha )=\cos \alpha $
* $\tan(-\alpha )=-\tan \alpha $
* $\cot(-\alpha )=-\cot \alpha $
* $\sec(-\alpha )=\sec \alpha $
* $\csc(-\alpha )=-\csc \alpha $

## 公式四（在單位圓中各三角函數線關於 _y_ 軸的對稱性）

 * $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha $
* $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha $
* $\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha $
* $\cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha $
* $\sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha $
* $\csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha $

## 公式五（可看作在直角三角形中的轉換）

 * $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha $
* $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha $
* $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha $
* $\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha $
* $\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\csc \alpha $
* $\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sec \alpha $

## 公式六

 * $\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha $
* $\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha $
* $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha $
* $\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha $
* $\sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha $
* $\csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha $

## 公式七

 * $\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha $
* $\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha $
* $\tan \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha $
* $\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha $
* $\sec \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\csc \alpha $
* $\csc \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sec \alpha $

## 公式八

 * $\sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha $
* $\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha $
* $\tan \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha $
* $\cot \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha $
* $\sec \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\csc \alpha $
* $\csc \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sec \alpha $

## 內在聯繫

值得注意的是，公式一至八其實都存在著內在聯繫，可以寫成以下形式：

 * $\sin \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $
* $\cos \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $
* $\tan \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $
* $\cot \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $
* $\sec \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $
* $\csc \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

可用如下口訣將聯繫記憶起來：「奇變偶不變，符號看象限」。意思為，當 $k$ 為奇數時， $\sin $ 變為 $\cos $ ， $\cos $ 變為 $\sin $ ， $\tan $ 變為 $\cot $ ， $\cot $ 變為 $\tan $ ， $\sec $ 變為 $\csc $ ， $\csc $ 變為 $\sec $ ；而 $k$ 為偶數時，三角函數則不變換。對於正負號，則要看最後角所在的象限進行判斷，可以使用如下口訣：**CAST**，也可以使用 **ASTC** (All Students Take Calculus) 用來記憶。

* 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
* 第二象限的 S 即是 **Sin**e & Co**S**ecant（正弦以及餘割為正）。
* 第三象限的 T 即是 **Tan**gent & **Cot**angent（正切以及餘切為正）。
* 第四象限的 C 即是 **Cos**ine & Se**C**ant（餘弦以及正割為正）。

## 參考來源

* 数学 4 必修。人民教育出版社. ISBN 978-7-107-20334-3.