两面角

**二面角**（英語：dihedral angle）是兩個相交平面之間的夾角。在立體幾何中，它被定義為一條直線和兩個半平面的聯集，這條直線是兩個半平面的公共邊。在高維中，二面角表示兩個超平面之間的夾角。

在化學中，二面角是分子中的兩個分別由三個原子組成的平面之間的夾角，一共涉及四個原子，公共邊是一個化學鍵（兩個原子），平面則由另兩個原子分別與該化學鍵構成。

## 立體幾何

一條直線和兩個半平面的聯集組成的圖形叫做**二面角**，這條直線叫做**二面角的棱**，這兩個半平面叫做**二面角的面**。

由直線 $l$ 、半平面 $\alpha $ 和半平面 $\beta $ 組成的二面角，記作：「二面角 $\alpha -l-\beta $ 」，也可記作「 $^{2}\angle l$ 」。

也可在直線 $l$ 外、半平面 $\alpha $ 和半平面 $\beta $ 內，分別取點 $P$ 和點 $Q$ ，將這個二面角記作「二面角 $P-l-Q$ 」。

在 二面角 $\alpha -l-\beta $ 的棱 $l$ 上任取一點 $O$ ，以點 $O$ 為垂足，在半平面 $\alpha $ 和 $\beta $ 內分別作射線 $OA$ 和射線 $OB$ 垂直於棱 $l$ ，那麼射線 $OA$ 和射線 $OB$ 所構成的 $\angle AOB$ 叫做**二面角的平面角**。

在非解析幾何方法中，常通過建立二面角的平面角，通過求出平面角的大小，來求出二面角的大小：

$$
\because AB\perp OB
$$

 $\therefore OB$ 為 $OA$ 在平面 $\beta $ 中的射影。

$$
\because OA\perp l,OB\perp l
$$

 $\therefore \angle AOB$ 是二面角 $\alpha -l-\beta $ 的平面角。

## 解析幾何

若兩個相交平面在笛卡兒坐標中的方程式分別為

　
: $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$

　
: $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,\,,$

則它們之間的二面角 $\varphi $ 為：

　
: $\cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}\,\,.$

另一種方法是計算兩個平面的法向量 **n**A 和 **n**B 之間的夾角：

　
: $\cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,\,,$

其中 **n**A • **n**B 是兩個向量的點積，|**n**A| |**n**B| 是兩個向量的模的乘積。

任何平面也可以由位於該平面的兩個非共線向量來描述；他們的叉積是平面的法向量。因此，二面角可以由三個向量 **b**1、**b**2 和 **b**3 定義，形成兩對非共線向量：

　
: $\varphi =\operatorname {atan2} \left({\big (}[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\times [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]{\big )}\cdot {\frac {\mathbf {b} _{2}}{|\mathbf {b} _{2}|}}\,\,,\,\,[\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}]\cdot [\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}]\right)\,\,,$

其中 atan2 是二個參數的反正切函數變體，一般而言，atan2 (y, x) 等價於 atan (y/x)。

## 立體化學

在化學中，**扭轉角**（英語：torsion angle）被定義為二面角的特定例子，描述了通過化學鍵連接的分子的兩個部分的幾何關係。

在立體化學中，分子中的每三個（非共線）原子都決定了一個平面。當兩個這樣的平面相交時，它們之間的角度便是二面角。二面角用於描述具體的分子構象。角度在 0° 和 ±90° 之間的立體化學構象被稱為 _syn_（s，順）；在 ±90° 和 180° 之間的為 _anti_（a，反）。類似地，角度在 30° 和 150° 之間或 - 30° 和 - 150° 之間的被稱為 _clinal_（c，錯），而在 0° 和 ±30° 或 ±150° 和 180° 之間的被稱為 _periplanar_（p，疊）。

這兩種術語可以組合起來，以定義四個角度範圍：0° 至 ±30° 為順疊（sp）；30° 至 90° 和 - 30° 至 - 90° 為順錯（sc）；90° 至 150° 和 - 90° 至 - 150° 為反錯（ac）；±150° 至 180° 為反疊（ap）。順疊構象也被稱為順式（_syn_- 或 _cis_-）構象；反疊構象也被稱為反式（_anti_- 或 _trans_-）構象；順錯構象也被稱為鄰位交叉、間扭（_gauche_ 或 _skew_）構象。

例如，對於正丁烷，可以用兩個中心碳原子和任一個甲基碳原子來分別指定兩個平面。本節開頭（上圖）所示的 _syn_- 構象具有 60° 的二面角，比 180° 二面角的 _anti_- 構象更不穩定。

對於大分子使用，建議使用符號 T，C，G+，G-，A+ 和 A-分別表示 ap，sp，+sc，-sc，+ac 和 - ac。

### 蛋白質

拉氏圖（也稱為 Ramachandran 圖或 [_φ_,_ψ_] 圖），由 G・N・Ramachandran、C・Ramakrishnan 和 V・Sasisekharan 在 1963 年最初開發，是一種形象化蛋白質結構中能量（位阻）允許的胺基酸殘基的二面角 _ψ_ 與 _φ_ 的關係的方式。右圖展示了骨架二面角 _φ_ 和 _ψ_ 的定義（Ramachandran 稱為 _φ_ 和 _φ'_）。

在蛋白質鏈中，三個二面角被定義為 _φ_（phi），_ψ_（psi）和 _ω_（omega），如圖所示。肽鍵的平面性通常使得 _ω_ 被限制為 180°（典型 _trans_ 情況）或 0°（罕見 _cis_ 情況）。_trans_ 和 _cis_ 異構體的 α- 碳之間的距離分別為大約 3.8 和 2.9 Å。_cis_ 異構體主要在 Xaa-Pro 肽鍵（其中 Xaa 是任何胺基酸）中觀察到。

側鏈二面角傾向於聚集在 180°，60° 和 - 60° 附近，稱為 _trans_，_gauche+_ 和 _gauche-_構象。某些側鏈二面角的穩定性受到 _φ_ 和 _ψ_ 值的影響。例如，當 _ψ_ 接近 - 60° 時，_gauche+_ 旋轉異構體的側鏈中的 γ- 碳和下一個殘基的氮之間就會有直接的位阻相互作用。

#### 從二面角轉換為鏈中的笛卡兒坐標

在聚合物特別是蛋白質中，常常用內部坐標來描述主鏈，也即把二面角和鍵長按照順序列表。但是，某些類型的計算化學反而使用笛卡兒坐標。在計算結構最佳化中，一些程序需要在迭代過程中在這些表示法之間來迴轉換，這項工作可能占用大部分計算時間。對於有很多迭代或長鏈的過程，它也可能引入累積的數值不準確性。雖然所有的轉換算法會產生數學上相同的結果，但它們的運算速度和數字精度不同。

## 幾何

每個多面體在每條邊上都有一個二面角，用於描述以該邊為公共邊的兩個面的關係。該二面角也被稱為**面角**，其計算的是多面體的內角。面角 0° 意味著兩個面法向量是反向平行的，而且兩個面相互重疊，這意味著它是退化多面體的一部分。面角為 180° 意味著這些面是平行的，如在鑲嵌中。在多面體的凹部，可以存在大於 180° 的面角，在基礎數學二面角的取值範圍上有爭議目前認為取值為 [0，180]。

邊遞移多面體中的每個二面角大小相同。這包括 5 個正多面體，4 個星型正多面體，兩個擬正多面體和兩個擬正對偶多面體。

給定一個在共同頂點 P 上相交且具有邊 AP、BP 和 CP 的多面體的三個面，包含 APC 和 BPC 的面之間的二面角的餘弦為：

　
: $\cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}\,\,.$

## 參見

* 阻轉異構
* 順反異構

## 參考資料

## 外部連結

* 木工中的二面角 - Tips.FM
* 5 個正多面體的分析（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），給出了這些精確值的逐步推導