下極限

在微積分學中，**上極限和下極限**（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上極限和下極限，可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說，數列 $\{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 的上極限為 1，下極限為 -1。
函數的上極限和下極限可以用類似方式考慮。。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點的上確界和下確界。

## 定義

序列 $(x_{n})$ 的上極限定義是

　
: $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$ ；

或者

　
: $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$ 。

同樣的，序列 $x_{n}$ 的下極限定義是

　
: $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$ ；

或者

　
: $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$ 。

這些定義在任意的偏序集都適用，只需要上確界和下確界存在。
在完全格裡，上確界和下確界總是存在，所以其中的序列一定有上極限和下極限。

每當 $\liminf x_{n}$ 和 $\limsup x_{n}$ 都存在，那麼

　
: $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ 。

上極限和下極限也記為 $\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ 和 $\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ 。

## 實數數列

實數集 **R** 的數列對微積分很重要。**R** 不是完備格，但可以加入正負無窮以得到完備全序集 $[-\infty ,+\infty ]$ ，形成完備格。那麼在 $[-\infty ,+\infty ]$ 中數列 $(x_{n})$ 收斂若且唯若 $\liminf x_{n}=\limsup x_{n}$ ，而這時 $\lim x_{n}$ 等於上面的共同值。

若實數數列 $(x_{n})$ 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 _a_，使得對任意小的正實數 $\epsilon $ ，都存在足夠大的正整數 _N_，使得對所有 $n\geq N$ ，都有 $x_{n}<a+\epsilon $ 。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 _N_ 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$ 的上界。

若實數數列 $(x_{n})$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 _b_，使得對任意小的正實數 $\epsilon $ ，都存在足夠大的正整數 _N_，使得對所有 $n\geq N$ ，都有 $x_{n}>b-\epsilon $ 。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 _N_ 使得這實數是數列 $(x_{n})_{n\geq N}$ 的下界。

設 $(x_{n})$ 是整數數列。若其上極限為實數 _a_，由於 $\lfloor a\rfloor $ 也符合上述條件，故此 _a_ 必是整數。在條件中取 $\epsilon <1$ ，得出 _a_ 是最小的實數，使得存在正整數 _N_，對所有 $n\geq N$ ，都有 $x_{n}\leq a$ 。因此 _a_ 是最大的整數，使得有無限個 $x_{n}=a$ 。同樣地，若其下極限為實數 _b_，則 _b_ 是最小的整數，使得有無限個 $x_{n}=b$ 。

若 $I=\liminf x_{n}$ 和 $S=\limsup x_{n}$ ，那麼區間 $[I,S]$ 不一定包含任何的 $x_{n}$ ，但是輕微擴大了的 [I-ε,S+ε]
對任意小的 ε > 0 都會包含除了有限項外所有的 _x_n。區間 [_I_, _S_] 是適合這個性質的最小閉區間。

### 例子

* 設 $x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$ ，則 $\liminf x_{n}=-1$ ， $\limsup x_{n}=1$ 。閉區間 [-1, 1] 中不包含任何 $x_{n}$ 。
* 考慮數列 $x_{n}=\sin \!n$ 。應用 π 的無理數性質，可以證明 $\liminf x_{n}=-1$ 和 $\limsup x_{n}=+1$ 。
* 一個數論例子是

　
: : $\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})$

　
: 其中 ${p_{n}}$ 是第 $n$ 個素數。

## 集的序列

集合 _X_ 的冪集 _P_(_X_) 是完備格。對於 _P_(_X_) 中的序列，也就是 _X_ 的子集的序列，其上下極限也有用處。

若 $X_{n}$ 是這樣的序列，那麼 _X_ 的元素 _a_ 屬於 $\liminf X_{n}$ ，若且唯若存在自然數 $n_{0}$ 使得對於所有 $n>n_{0}$ ，_a_ 在 $X_{n}$ 裡。元素 _a_ 屬於 $\limsup X_{n}$ ，若且唯若對所有自然數 $n_{0}$ ，都存在一個指數 $n>n_{0}$ 使得 _a_ 在 $X_{n}$ 裡。換句話說， $\limsup X_{n}$ 包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有無限多個 _n_，使得它在集合 $X_{n}$ 裡；而 $\liminf X_{n}$ 包含了所有這樣的元素，其中的每一個，都有除了有限多個外的所有 _n_，使得它在 $X_{n}$ 裡。

以集合論的標準語言來說，一個集合序列的下確界是這些集合的可數交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

　
: $\inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}$ 。

令 $I_{n}$ 為自 $X_{n}$ 起的集合的下確界。那麼序列 $I_{n}$ 非遞減，因為 $I_{n}\subset I_{n+1}$ 。所以，第 1 至 _n_ 個下確界的併集就是第 _n_ 個下確界。下極限就是這序列的極限：

　
: $\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$ 。

上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合，也就是它們的可數並：

　
: $\sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}$ 。

上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交（其中每個上確界都包含在前一個裡面）。

　
: $\limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)$ 。

例子或應用可見波萊爾－坎泰利引理，柯西 - 阿達馬公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

## 注釋

## 引用

* Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536.
* González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.