上密度

**自然密度**（英語：**natural density**），又稱**漸進密度**（英語：**asymptotic density**），是數論中度量自然數子集大小的工具之一。

## 簡介

以平方數集和自然數集的大小關係為例：

　
: 平方數集與自然數集都是可數無窮集，我們能夠在兩個集合間建立一一映射（對於任意的自然數 $n$ 都可以找到對應的平方數 $n^{2}$ 與之對應，反之亦然），即兩個集合是等勢的。

　
: 然而，這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識，因為所有平方數都是自然數，而卻有許多自然數不是平方數，且隨著自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化，可以得到自然密度這一概念。

考慮自然數的一個子集 $A$ 和整數區間 $[1,n]$ ：

　
: 如果從整數區間 $[1,n]$ 中隨機選取一個整數，那麼這個整數屬於 $A$ 的概率應該等於 $A$ 與整數區間 $[1,n]$ 的交集中的所有元素在整數區間 $[1,n]$ 中的占比。當 $n$ 趨近於無窮時，若上述概率也趨近於某個極限，則將該極限定義為 $A$ 的自然密度。

　
: $A$ 的自然密度也可以被理解為：任取一個自然數，該自然數屬於 $A$ 的概率。

自然密度（以及一些其他類型的密度）也是概率數論的研究對象。

與施尼勒爾曼密度不同，並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。

## 定義

對於一個自然數集的子集 $A$ ，當 $n$ 趨向於無窮時，若 $A$ 中不大於 $n$ 的元素個數與 $n$ 的比值收斂到 $\alpha $ ，則稱 $A$ 的自然密度為 $\alpha $ 。

更進一步，若定義 $a(n)$ 為 $A$ 里不大於 $n$ 的元素個數，那麼命題「 $A$ 的自然密度為 $\alpha $ 」等效於：

　
: ${\frac {a(n)}{n}}\to \alpha $ ，當 $n\to \infty $

從定義中可以看出，若 $\alpha $ 是某個集合 $A$ 的自然密度，則一定有 $0\leq \alpha \leq 1$ 。

### 上自然密度

設 $A$ 是自然數集 $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$ 的一個子集。對任何 $n\in \mathbb {N} $ ，定義 $A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A$ ， $a(n)=|A(n)|$ 。

則 $A$ 的**上自然密度**（英語：**upper asymptotic density**）為：

　
: ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

其中 $\limsup $ 是上極限。 ${\overline {d}}(A)$ 也可簡稱為 $A$ 的**上密度**。 

### 下自然密度

同樣地，定義 A 的**下自然密度**（英語：**lower asymptotic density**）為：

　
: ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

### 自然密度的其他定義方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定義，我們也可以說 $A$ 的**自然密度** $d(A)$ 是：

　
: 若 ${\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)$ ，則 $d(A)$ 等於 ${\overline {d}}(A)$ （或 ${\underline {d}}(A)$ ） 。

2. 自然密度的定義還可以表示為：

　
: $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$ （若極限存在）

3. 可以證明，下述命題也是自然密度的定義：

　
: 若將自然數集 $\mathbb {N} $ 的子集 $A$ 寫作一個遞增數列：

　
: $A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}$

　
: 那麼

　
: ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$

　
: ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$

　
: $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$ （若極限存在）

### 推廣

一個稍弱的密度定義是**上 Banach 密度**（英語：**upper Banach density**）。對於 $A\subseteq \mathbb {N} $ ，定義 $d^{*}(A)$ 為：

　
: $d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}$

## 性質

* 若對於集合 $A$ 存在 $d(A)$ ，則對於其補集 $A^{\complement }$ ， $d(A^{\complement })=1-d(A)$ 成立。
* 若 $d(A)$ ， $d(B)$ 及 $d(A\cup B)$ 均存在，則 $\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}$ 成立。
* 自然數集的自然密度為 $1$ ，即 $d(\mathbb {N} )=1$ 成立。
* 對於自然數集的任意有限子集 $F$ , 有 $d(F)=0$ 成立。
* 對於平方數集 $A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}$ ，有 $d(A)=0$ 成立。
* 對於偶數集 $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}$ ，有 $d(A)=0.5$ 成立。更一般地，對於等差級數組成的集合 $A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}$ ，有 $d(A)={\frac {1}{a}}$ 成立。
* 對於質數集合 $P$ ，由質數定理知： $d(P)=0$ 成立。
* 無平方數因數的數的集合的自然密度為 ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ 。更一般地，無 $n$ 次方因數的數的集合的自然密度為 ${\frac {1}{\zeta (n)}}$ ，其中 $\zeta (n)$ 是黎曼 ζ 函數。
* 過剩數集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise 在 1998 年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在 0.2474 與 0.2480 之間。
* 所有在二進位表示法中位數為奇數的自然數的集合，即 $A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}$ ，不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。

　
: 其上自然密度為：

　
: ${\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}$

　
: 而其下自然密度為：

　
: ${\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}$

* 同樣，所有十進位表示法中以 $1$ 開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為 ${\frac {5}{9}}$ 而其下自然密度為 ${\frac {1}{9}}$ 。
* 對區間 [0,1] 上的任意 Equidistributed 序列 $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ，定義單調集族 $\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$ :

　
: : $A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}$

　
: 則依定義有：

　
: 對於任意的 $x$ ， $d(A_{x})=x$ 。

* 若 $S$ 有正的上自然密度，則塞邁雷迪定理表明 $S$ 包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy 定理表明， $S$ 內一定存在差為平方數的兩個元素。

## 其他密度函數

用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如，集合 $A$ 的**對數密度**（英語：logarithmic density）可以定義為：

　
: $\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}$ （若極限存在）

同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。

## 相關條目

* 狄利克雷密度
* 施尼勒爾曼密度

## 參考

* Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics **195**. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002.
* Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, **57**: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始內容存檔於 2020-08-21）.
* Steuding, Jörn. Probabilistic number theory (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始內容 (PDF) 存檔於 December 22, 2011）.
* Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics **46**. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.

## 參考文獻