上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或電流）階躍函數下的反應，可用**上昇時間**（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間，值可以用相對參考輸入的比率或是百分比來表示。在模擬電路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出階躍高度的 10% 及 90%（或 0.1 及 0.9）。不過，也常會使用其他的值若是在控制理論中，依照 Levine (1996, p. 158)，上昇時間定義為「響應從終值的 x% 上昇到 y% 所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以 0% 至 100% 的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是 5% 至 95% 的，過阻尼系統會是 10% 到 90% 的上昇時間。依照 Orwiler (1969, p. 22)，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間。，

## 簡介

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的調光器，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制類比開關，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

### 影響上昇時間的因素

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有電路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純 RC 電路，輸出的上昇時間（10% 至 90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的 2.2 倍，2.2 _RC_。

### 其他定義

有關上昇時間，也有其他和 Levine (1996, p. 158) 不同的定義，偶爾會出現：。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應 50% 時的切線，再繪圖計算和 X 軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義。另一種定義是由 Elmore (1948, p. 57) 引入，用到概率論及統計學的概念。考慮階躍響應 _V_(_t_)，重新定義傳播延遲 _tD_ 為一次導數 _V′_(_t_) 的矩，也就是

　
: $t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.$

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間 _tr_

　
: $t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}$

## 典型系統的上昇時間

### 符號及標示

所有分析用到的符號及假設條列如下：

* 根據 Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定義 _x%_ 為低準位的百分比，_y%_ 為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
* _t_1 是待分析系統的輸出到達穩態值 _x%_ 的時間，而 _t_2 是輸出到達穩態值 _y%_ 的時間，兩者單位都是秒。
* _tr_ 是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

　
: $t_{r}=t_{2}-t_{1}.$

* _fL_ 為待分析系統較低截止頻率（-3 dB 點）的值，單位為赫茲。
* _fH_ 為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫茲。
* _h_(_t_) 是待分析系統在時域下的衝激響應。
* _H_(_ω_) 是待分析系統在頻域下的頻率響應。
* 帶寬定義為

　
: $BW=f_{H}-f_{L}\,$

　
: 因為較低的截止頻率 _fL_ 往往遠小於較高截止頻率 _fH_，因此

　
: $BW\cong f_{H}\,$

* 所有分析的系統，其頻率響應都延伸到 0（低通系統），因此

　
: $f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW$ 。

* 為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為 1 的電路，所有信號都假設是電壓：輸入是 _V_0 伏特的階躍函數，因此

　
: ${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}$

* _ζ_ 是特定二階微分方程的阻尼比，_ω_0 則是自然頻率。

### 計算上昇時間的簡單範例

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

#### 高斯響應系統

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

　
: $|H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

其中 _σ_ > 0 為常數，和高截止頻率有以下的關係：

　
: $f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .$

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通濾波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好。對應的衝激響應可以用頻率響應的反傅立葉變換計算而得。

　
: ${\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}$

直接代入階躍響應的定義

　
: $V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].$

為了要確認系統由 10% 上昇到 90% 需要的時間，需要求解以下方程：

　
: ${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],$

利用誤差函數的定義，可以找到 _t_ =  - _t_1 = _t_2 的數值，因為 _tr_ = _t_2 - _t_1 = 2_t_,

　
: $t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},$

因此

　
: $t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.$

#### 一階低通 RC 電路

針對一階低通 RC 電路，10% 至 90% 的上昇時間和網路時間常數 _τ_ = _RC_ 成正比：

　
: $t_{r}\cong 2.197\tau \,$

比例常數可以用輸入信號為 _V_0 的階躍函數時，系統的階躍反應而得：

　
: $V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

求解時間

　
: ${\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},$

最後可得

　
: $\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)$

而 _t_1 及 _t_2 滿足以下條件

　
: ${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,$

求解方程可得 _t_1 和 _t_2 的解析式

　
: $t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})$

　
: $t_{2}=\tau \ln {10}\,$

上昇時間和時間常數成正比：

　
: $t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197$

另外，根據

　
: $\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},$

則

　
: $t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},$

因為上截止頻率等於頻寬

　
: $t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.$

另外，若考慮 20% 至 80% 的上昇時間，_tr_ 會變成：

　
: $t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}$

#### 一階低通 LR 電路

等於一個簡單的一階低通 RL 電路，其 10% 至 90% 的上昇時間和電路時間常數 _τ_ = _L⁄R_ 成正比。其和 RC 電路的差異只在於不同電路中時間常數 _τ_ 的表示方式不同。因此可得到下式

　
: $t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197$

### 阻尼二階系統

根據 Levine (1996, p. 158)，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從 0% 到達終值 100% 的時間。二階欠阻尼系統的上昇時間如下：

　
: $t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]$

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函數近似如下：

　
: $t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,$

中 _ζ_ 是阻尼比，_ω_0 是電路的自然頻率。

### 級聯模組的上昇時間

考慮 _n_ 個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為 _tri_, _i_ = 1,...,_n_，其階躍響應沒有過沖，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為 _trS_.。其輸出的上昇時間 _t_r0 為

　
: $t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}$

依照 Valley & Wallman (1948, pp. 77–78)，此結果可以用中心極限定理來說明，已由 Wallman (1950) 證明。此問題的詳細分析可以參考 Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),，他指出 Elmore (1948) 是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人。

## 相關條目

* 下降時間
* 頻率響應
* 衝激響應
* 階躍響應
* 安定時間

## 腳註

## 參考資料