不相容可觀察量

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為**可觀察量**（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在古典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

## 數學表述

### 本徵態

假設，物理量 $O$ 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 ${\hat {O}}$ ，可能有很多不同的本徵值 $O_{i}$ 與對應的本徵態 $|e_{i}\rangle $ ，這些本徵態 $|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成了具有正交歸一性的基底：

　
: $\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$ ；

其中， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態 $|\psi \rangle $ ，都可以用這基底的本徵態表示為

　
: $|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle $ ；

其中， $c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle $ 是複係數，是在量子態 $|e_{i}\rangle $ 裏找到量子態 $|\psi \rangle $ 的機率幅。

假設，量子態 $|\psi \rangle $ 等於這些本徵態之中的一個本徵態 $|e_{k}\rangle $ ，則對於這量子系統，測量可觀察量 $O$ ，得到的結果必定等與本徵值 $O_{k}$ ，機率為 1，量子態 $|\psi \rangle $ 是「確定態」。

### 統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為

　
: $|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle $ 。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符 ${\hat {O}}$ 的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態 $|e_{i}\rangle $ ，則改變為這本徵態的機率為 $p_{i}=|c_{i}|^{2}$ ，測量結果是本徵值 $O_{i}$ ，得到這本徵值的機率也為 $p_{i}$ 。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態 $|e_{i}\rangle $ 。

將算符 ${\hat {O}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle $ ，會形成新量子態 $|\phi \rangle $ ：

　
: $|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle $ 。

從左邊乘以量子態 $\langle \psi |$ ，經過一番運算，可以得到

　
: $\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$ 。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量 $O$ 的期望值：

　
: $\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$ 。

### 厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量 $O$ 的期望值是實數：

　
: $\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$ 。

對於任意量子態 $|\psi \rangle $ ，這關係都成立：

　
: $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 是 ${\hat {O}}$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle $ 。因此，

　
: ${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

## 不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於 0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：

　
: $[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$ ；

其中， ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 分別是可觀察量 $A$ 、 $B$ 的算符。

這兩種算符 ${\hat {A}}$ 與 ${\hat {B}}$ 絕對不會有共同的基底。一般而言， ${\hat {A}}$ 的本徵態與 ${\hat {B}}$ 的本徵態不同假設量子系統的量子態為 $|\psi \rangle $ 。對於算符 ${\hat {A}}$ ，所有本徵值為 $a_{i}$ 的本徵態 $|\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成一個基底。量子態 $|\psi \rangle $ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

　
: $|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle $ ；

其中， $c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle $ 是複係數，是在量子態 $|\alpha _{i}\rangle $ 裏找到量子態 $|\psi \rangle $ 的機率幅。

對於算符 ${\hat {B}}$ ，所有本徵值為 $b_{i}$ 的本徵態 $|\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成了另外一個基底。量子態 $|\psi \rangle $ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

　
: $|\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle $ ；

其中， $d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle $ 是複係數，是在量子態 $|\beta _{i}\rangle $ 裏找到量子態 $|\psi \rangle $ 的機率幅。

對於量子系統的可觀察量 $A$ 做測量，可能得到的結果是各種本徵態 $|\alpha _{i}\rangle $ 的本徵值 $a_{i}$ ，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為 $a_{i}$ 的機率是 $|c_{i}|^{2}$ 。

假設測量的結果是本徵值 $a_{j}$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\alpha _{j}\rangle $ 。假若立刻再測量可觀察量 $A$ ，由於量子態仍舊是本徵態 $|\alpha _{j}\rangle $ ，所得到的測量值是本徵值 $a_{i}$ 機率為 1。假若立刻再對本徵態 $|\alpha _{j}\rangle $ 測量可觀察量 $B$ ，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值 $b_{k}$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\beta _{k}\rangle $ 。

根據不確定性原理，

　
: $\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$ 。

設定 $\chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$ 。假設， $A$ 與 $B$ 是兩個不相容可觀察量，則 $\chi >0$ 。而 $A$ 的不確定性與 $B$ 的不確定性的乘積 $\Delta A\ \Delta B$ ，必定大於或等於 $\chi $ 。

## 實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

### 位置與動量

位置 $x$ ，動量 $p$ 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

　
: $\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}$ ，

　
: $\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}$ 。

### 角動量

在三維空間裏，角動量算符的 x - 分量 ${\hat {L}}_{x}$ 是厄米算符。因為

　
: $\langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle $ ；

其中， $y$ 與 $z$ 分別是位置的 y - 分量與 z - 分量， $p_{y}$ 與 $p_{z}$ 分別是動量的 y - 分量與 z - 分量。

類似地，角動量算符的 y - 分量 ${\hat {L}}_{y}$ 也是厄米算符。

## 參閱

* 位置算符
* 動量算符
* 角動量算符
* 哈密頓算符

## 註釋

## 參考文獻