三等分角

**三等分角**是古希臘平面幾何里尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？」

三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案 。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾・汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。

如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。

## 背景簡介

### 尺規作圖法

在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

　
: 直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

　
: 圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，確定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
* 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」等等。

### 問題敘述

三等分角問題的完整敘述是：

關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。「角」可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連接它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角 AOB 指的是由三點 A, O, B 以及線段 AO 和 OB 構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如 _α_ 表示。兩個角 AOB 和 A'O'B' 相等，指的是以下條件：如果將線段 OA 沿點 A 延長為射線，在上面作一點 C 使得 OC $=$ O'A'，同時將線段 OB 沿點 B 延長為射線，在上面作一點 D 使得 OD $=$ O'B'，則 CD $=$ A'B'。

一個角 _α_ 等於另一個角 _β_ 的三分之一，指的是角 _β_ 等於角 _α_ 的三倍。而一個角 AOB 等於角 AOC 的 _k_ 倍（_k_ > 1 為自然數），指的是可以找到點 B1, B2, ... , Bk 等，使得 _k_ 個角 AOB1, B1OB2, ... , Bk-1OBk 都等於 AOC，並且點 Bk 就是點 B。

### 二等分角問題

與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分…… 但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

## 不可能性的證明

1837 年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的:15。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾 (全名：尼爾斯・阿貝爾) 開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

### 尺規可作性和規矩數

在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為坐標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（坐標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點 O 和 A，以 OA 為單位長度，射線 OA 為 x- 軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系，平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示，整個平面可以等價於 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

設 E 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一個非空子集。如果某直線 ${\mathcal {l}}$ 經過 E 中不同的兩點，就說 ${\mathcal {l}}$ 是 E- 尺規可作的，簡稱 E- 可作。同樣地，如果某個圓 ${\mathcal {C}}$ 的圓心和圓上的某個點是 E 中的元素，就說 ${\mathcal {C}}$ 是 E- 可作的。進一步地說，如果 $\mathbb {R} ^{2}$ 里的某個點 P 是某兩個 E- 可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點 P 是 E- 可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有 E- 尺規可作的點的集合記作 s(E)，那麼當 E 中包含超過兩個點的時候，E 肯定是 s(E) 的真子集。從某個點集 E0 開始，經過一步能作出的點構成集合 E1 $=$ s(E)，經過兩步能作出的點就是 E2 $=$ s(E1)，…… 以此類推，經過 n 步能作出的點集就是 En $=$ s(En-1)。而所有從 E 能尺規作出的點集就是：

　
: $C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}$ 。:521

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設 H 是從集合 E0 $=$ {(0,0), (0,1)} 開始，尺規可作點的集合：H $=$ _C_(E0)，那麼規矩數定義為 H 中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。

　
: 定義：實數 a 和 b 是規矩數若且唯若 (a, b) 是 H 中的一個點。:522

可以證明，有理數集 $\mathbb {Q} $ 是所有規矩數構成的集合 K 的子集，而 K 又是實數集 $\mathbb {R} $ 的子集。另外，為了在複數集 $\mathbb {C} $ 內討論問題，也會將平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 看作複平面 $\mathbb {C} $ ，同時定義一個複數 a+bi 是（復）規矩數若且唯若點 (a, b) 是 H 中的一個點。所有復規矩數構成的集合 L 也包含 $\mathbb {Q} $ 作為子集，並且是複數集 $\mathbb {C} $ 的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。:522

### 域的擴張與最小多項式

以集合的觀念來說，L 與 $\mathbb {Q} $ 、 $\mathbb {C} $ 之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明 L 是有理數域 $\mathbb {Q} $ 的擴域，是實數域 $\mathbb {C} $ 的子域。記作 $\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C} $ 。域是抽象代數中的概念，是能夠進行「加減乘除」運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線 OA（也就是實數軸）上所有的有理數坐標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數 z），那麼也能做出任意 pz+q 的點，甚至於任何形如：

　
: : ${\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}$

的點（其中 P1 和 P2 是兩個多項式）。有理數域 $\mathbb {Q} $ 和所有因為 z 而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為 $\mathbb {Q} $ 關於 z 的擴張，記作 $\mathbb {Q} (z)$ 。然而， $\mathbb {Q} (z)$ 中的元素並沒有表面上那麼「多」。一般來說，如果有一個多項式 P 使得 P(z)=0，那麼 $\mathbb {Q} (z)$ 中的元素都可以寫成 λ1+λ2z+...+λdzd-1 的形式，其中 d 是 P 的階數。這樣的情況稱為域 $\mathbb {Q} $ 的有限擴張，因為 $\mathbb {Q} (z)$ 可以看成關於 $\mathbb {Q} $ 的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得 m(z) $=$ 0 的多項式中階數最小的，並稱 m 是 z 最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定 1, z, ... , zdm-1 是 $\mathbb {Q} (z)$ 的一個基底， $\mathbb {Q} (z)$ 是一個 dm 維的 $\mathbb {Q} $ - 線性空間（dm 是 m 的階數）:68。這時候也稱 dm 是域擴張 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$ 的階數，記作：

　
: $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}$ :512

### 規矩擴張的階數

對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新坐標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是 L，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在 L 裡面。

　
: 直線的方程是： $ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)$

　
: 圓的方程是： $(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)$

無論是兩個 (1) 類方程，兩個 (2) 類方程，還是一個 (1) 類和一個 (2) 類方程聯立求解，得到的 x 和 y 值都會是形同

　
: ${\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}$

的數值。所以復規矩數 _z_ $=$ _x_+_yi_ 滿足一個二次方程：

　
: $(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}$

其中的 _p_1+_p_2_i_、_q_1+_q_2_i_ 以及 _t_ 都是 L 中的元素:523:78-79。這意味著，域擴張 L⊆L(z) 的階數最多是 2（最小多項式的階數至多是 2）。這又說明，從 L 開始，經過一系列（_n_ 次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了 _n_ 次域擴張：

　
: $\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}$ 。

而每次域擴張的階數：[Lk : Lk-1]都不超過 2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理：:523-524

其中的 _s_ 是某個小於 _n_ 的自然數（_n_ 是已知所有有理數坐標點時，作出 _z_ 對應的點要經過的基本步驟數目）。

### 三等分角的反證

上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為 $2^{s}$ 。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是 $\theta $ 的角，均可以由尺規作圖得到 角度為 ${\frac {\theta }{3}}$ 的角。這等價於說在已知單位長度和 $\cos {\theta }$ 的時候能做出 $\cos {\frac {\theta }{3}}$ 的長度。設 L 是包含了 $\cos {\theta }$ 和單位長度 1 的域。用尺規作圖可以得到 $z=\cos {\frac {\theta }{3}}$ ，說明域擴張的階數是 2 的冪次：

　
: $[\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}$

然而根據三倍角公式：

　
: $\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z$ 。

運用多項式的知識可以證明， $z$ 在 L 中的最小多項式的階數必定不大於 3，也就是說是 1，2 或者 3:512。比如說當角度 $\theta =60^{\circ }$ 時，L 就是 $\mathbb {Q} $ （ $\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} $ ）三倍角公式變成：

　
: $4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}$ ，即是：

　
: $8z^{3}-6z-1=0$

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集 $\mathbb {Q} $ ，所以可以證明 $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3$ 。然而 3 不是 2 的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分:525-526。 $\Box $

## 能夠尺規三等分的角度

以上的證明通過一個反例： $\theta =60^{\circ }$ 說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角 $\theta $ 等價於說 $[\mathrm {L} (\cos {\frac {\theta }{3}}):\mathrm {L} ]=1$ :58。要注意的是，這個條件與 $\cos {\theta }$ 本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度 $\theta $ 即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角 $\theta $ 作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度 $3\pi /7$ 就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個 $3\pi /7$ 的角，它的五倍角就是 $15\pi /7$ ，等於將圓周繞過一圈後的 $\pi /7$ ，這正是 $3\pi /7$ 的三分之一。可以證明，角度 $2\pi /N$ 可以用尺規三等分，若且唯若自然數 N 本身無法被三整除。

從證明中還可看出，只要自然數 k 只含有 2 以外的質因子，根據 k 倍角公式得到的 k 階多項式就說明 $\cos {\frac {\theta }{k}}$ 的最小多項式階數整除 k，所以不是 2 的冪次，從而無法用尺規作圖 k 等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（ $2\pi /N$ 可以五等分，當且僅當 N 不是 5 的倍數；而不管 N 是多少， $2\pi /N$ 都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

## 三等分角的方法

用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。

### 無限次步驟

尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用

　
: ${\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots $

這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為 $\theta $ 的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角 $\theta $ ，得到 ${\frac {\theta }{4}}$ 。同樣地，可以作出 ${\frac {\theta }{4^{2}}}$ 、 ${\frac {\theta }{4^{3}}}$ 等所有形同 ${\frac {\theta }{4^{n}}}$ 的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到

　
: ${\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}$ 。

### 二刻尺

如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角 _a_ 三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出:4。

首先，在直尺上有兩個刻度，相距 _AB_。把角上的直線延長，並作一個半徑為 _AB_ 的圓。

把直尺的一點固定在 _A_，並將直尺繞著點 _A_ 移動，直到其中一個刻度位於點 _C_，另一個刻度位於點 _D_，也就是說，_CD_ $=$ _AB_。這時，角 _b_ 就是角 _a_ 的三分之一。

要證明 $a=3b$ ，我們需要利用**直線上的鄰角**(adjacent angles on straight line)，**三角形的內角和**(angle sum of triangle) 及**等腰三角形底角**(base angle, isosceles triangle)。

證明：

 1. $e+c=180^{\circ }$ 。
2. $e+2b=180^{\circ }$ 。
3. 兩式相減，得 $c=2b$ 。
4. $d+2c=180^{\circ }$ ，因此 $d=180^{\circ }-2c$ ，把上式代入，得 $d=180^{\circ }-4b$ 。
5. $a+d+b=180^{\circ }$ ，因此 $a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }$ 。

所以， $a-3b=0$ ，或 $a=3b$ 。證畢。:4-5

或者，可以利用**三角形的外角**(Exterior Angle of a Triangle) 作證明。

$$
b+b=c
$$

$$
b+c=a
$$

$$
\Rightarrow {b}+2b=a
$$

$$
\Rightarrow {a}=3b
$$

同樣也可證明。

### 藉助其他形狀或工具

尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角 AOB，做其角平分線 OC。以直線 OC 為準線，點 A 為焦點，作一雙曲線；同時以 O 為圓心，OA 為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角 AOB 內側的交點為 D，那麼角 AOD 等於角 AOB 的三分之一。此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極坐標中，阿基米德螺線的方程是：

　
: $\rho =c\theta $

其中的 $\rho $ 是極徑（離原點的距離）， $\theta $ 是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度 $\rho _{0}$ ，然後對比找出 ${\frac {\rho _{0}}{3}}$ 對應的角度即可。:8

## 相關條目

* 莫雷角三分線定理
* 規矩數
* 三等分角線

## 參考來源

## 外部連結

* HPM 通訊第 6 卷第 6 期，3 大作圖題（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
* 三等分任意角可能嗎？（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）