三角形不等式

**三角不等式**是數學上的一個不等式，表示從 A 到 B 再到 C 的距離永不少於從 A 到 C 的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

## 幾何

### 純量

在三角形 ABC 中，這個式子用純量可以寫作 ${\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}$ 。

當該式取不等號時，可以由歐幾里得第五公設導出；歐幾里得給出的證明記載於《幾何原本》第一卷命題 20：（證明所用的輔助圖像見右）

現在，我們有三角形 ABC。延長 ${\overline {AB}}$ 至點 D，並使 ${\overline {BD}}={\overline {BC}}$ ，聯結 ${\overline {DC}}$ 。

那麼，三角形 BCD 為等腰三角形，所以 $\angle BDC=\angle BCD$ 。記它們均為 $\alpha $ 。

根據歐幾里得第五公設，角 $\beta $ 也就是 $\angle ACD$ 大於角 $\alpha $ （ $\angle BCD$ ，也就是 $\angle BDC$ ）；

由於角 $\beta $ 對應邊 ${\overline {AD}}$ ，角 $\alpha $ 對應邊 ${\overline {AC}}$ ，因此 ${\overline {AD}}>{\overline {AC}}$ （大角對大邊，命題 19）。

又由於 ${\overline {DB}}={\overline {BC}}$ ，所以 ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}$ ，即證。

如果我們將該式左右各減去 ${\overline {BC}}$ ，便能得到 ${\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}$ ，這便是三角不等式的另一種表達方法：**三角形的兩邊之差小於第三邊**。

當該式取等號的時候，其已經不屬於歐氏幾何的範疇，這種情況只有可能在球面三角形中出現，此時 $\left|a-b\right|\leq c\leq a+b$ ，而 a, b, c 為三角形三邊的長。

### 向量

用向量的寫法，這個不等式可以寫成：

　
: $\left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|$

上式和純量的寫法明顯是等價的。

考慮到 ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ ，該式也可以寫成： $\left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|$ ，這種情況的形式和下方實數中的形式是一致的。

如果根據向量構建平面直角坐標系，則可以用代數的方式予以證明。

還是以右圖中的三角形為例子。假設在坐標系中，向量 ${\overrightarrow {AB}}$ 的方向向量為 $(x_{1},y_{1})$ ，向量 ${\overrightarrow {BC}}$ 的方向向量為 $(x_{2},y_{2})$ ，

那麼因為 ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ ，得向量 ${\overrightarrow {AC}}$ 的方向向量為 $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 。

因此， $\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$ ， $\left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}$ 。

所以， $\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}$ 。

而 $(2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}^{2}y_{2}^{2}+4x_{2}^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}$ ， $(2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}$ ，

兩者相減再配方，得到 $(2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1})^{2}$ ，該式實際上是 $(\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}$ 的值。

若且唯若 $x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}$ 時，該式的值為 0，而此時我們可以推出 $x_{1}=kx_{2},y_{1}=ky_{2},k\in \Re $ ，這說明 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 、 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 都是平行的。而由於 $x_{1}$ ，也就是向量 ${\overrightarrow {AB}}$ 的終點和 $x_{2}$ ，也就是向量 ${\overrightarrow {BC}}$ 的起點是相同的，顯然 ${\overrightarrow {AB}}$ 和 ${\overrightarrow {BC}}$ 共線。這種情況在歐氏幾何中是不可能的，只有在非歐幾何的情況下才能成立。用 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 平行也一樣能夠推出 ${\overrightarrow {AB}}$ 和 ${\overrightarrow {BC}}$ 共線。

其他任何情況，也就是 $x_{1}y_{2}\neq x_{2}y_{1}$ 時，該式取到不等號，適用於歐氏幾何。

將向量形式的三角不等式兩邊減去相同的向量，同樣能夠推出三角形的兩邊之差小於第三邊。

## 實數

在實數中，此式依然成立： $\left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|$ 。

證明如下：

考慮到實數的平方必然是非負數，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

　
: $a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}$

　
: $2ab\leq \left|2ab\right|$

對於 $(a<0,b>0)\lor (b<0,a>0)$ （即 a, b 彼此異號）， $2ab<\left|2ab\right|$ ；

對於 $(a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)$ （即 a, b 彼此同號）， $2ab=\left|2ab\right|$ 。

像幾何中的情況一樣，該式的推論為： $\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|$ 。

## 反方向

在閔可夫斯基空間，三角不等式是反方向的：

　
: ||_x_ + _y_|| ≥ ||_x_|| + ||_y_||     對所有 _x_, _y_ $\in $ _V_，使得 ||_x_|| ≥ 0, ||_y_|| ≥ 0 和 _tx_ _ty_ ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

## 參見

* 次加性

## 參考文獻