Y-Δ变换

**Y-Δ 變換**或稱為**星角變換**，是一種把 Y 形電路轉換成等效的 Δ 形電路，或把 Δ 形電路轉換成等效的 Y 形電路的方法。它可以用來簡化電路的分析。這一變換理論是由亞瑟・肯內利於 1899 年發表。

## 基本的 Y-Δ 變換

設 R1、R2、和 R3 分別是 Y 形電路中從 N1、N2、N3 到中點的阻抗，Ra、Rb、Rc 分別是 Δ 形電路中 N1 與 N3、N1 與 N2、N2 與 N3 之間的阻抗。希望把 Y 形電路換成 Δ 形電路，或把 Δ 形電路換成 Y 形電路後，任意兩個端點之間的阻抗仍然與原來的電路相等。

### 把 Δ 形電路變換成 Y 形電路

變換的基本思路是用 $R'$ 和 $R''$ 計算 Y 形電路端點的阻抗 $R_{y}$ ，其中 $R'$ 和 $R''$ 是 Δ 形電路中對應節點到鄰接節點間的阻抗：

　
: $R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$

其中 $R_{\Delta }$ 是 Δ 形電路的阻抗之和。具體公式如下：

　
: $R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

　
: $R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

　
: $R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

口訣為 Y 形阻抗 = Δ 形同側相鄰阻抗乘積 / Δ 形阻抗之和

### 把 Y 形電路變換成 Δ 形電路

變換的基本思路是計算 Δ 形電路的 $R_{\Delta }$ ：

　
: $R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$

其中 $R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$ 是 Y 形電路中的阻抗兩兩相乘之和， $R_{\mathrm {opposite} }$ 是 $R_{\Delta }$ 所在支路對側的端點在 Y 形電路中對應端點的阻抗。每一支路的阻抗計算公式為：

　
: $R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}$

　
: $R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}$

　
: $R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}$

口訣為 Δ 形阻抗 = Y 形阻抗兩兩相乘之和 / Y 形對側端點阻抗

## 圖論

在圖論中，Y-Δ 變換表示將一個圖的 Y 形子圖用等價的 Δ 形子圖代替。變換後的邊數不變，但頂點數和迴路數會變化。如果這兩個圖可以通過一系列的 Y-Δ 變換互相變換得到，那麼就可以成這兩個圖 **Y-Δ 等價**。例如，佩特森圖就是一個 Y-Δ 等價類。

## 推導

### Δ 形負載到 Y 形負載的變換方程

要將 Δ 形負載 { $R_{a},R_{b},R_{c}$ } 變換成 Y 形負載 { $R_{1},R_{2},R_{3}$ }，需要比較二者對應節點的阻抗。要計算兩種接法的阻抗，需要將電路中的一個節點斷開。

Δ 形電路中 _N_3 斷開後，_N_1 與 _N_2 間的阻抗為

　
: ${\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}$

將 { $R_{a},R_{b},R_{c}$ } 之和用 $R_{T}$ 表示以簡化方程：

　
: $R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

得到

　
: $R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$

Y 形電路中 N1 與 2 的對應阻抗為

　
: $R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}$

由以上兩式得到：

　
: $R_{1}+R_{2}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$   (1)

同理，對於 $R(N_{2},N_{3})$ 與 $R(N_{1},N_{3})$ ，也分別有

　
: $R_{2}+R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$   (2)

 

　
: $R_{1}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}.$   (3)

由此，{ $R_{1},R_{2},R_{3}$ } 的值可以由以上式子的線性組合（相加或相減）求出。

例如，將式 (1) 和式 (3) 相加，然後減去式 (2) 會得到

　
: $R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$

　
: $2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$

於是

　
: $R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.$

其中 $R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

求出所有的阻抗值如下：

　
: $R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$ (4)

 

　
: $R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (5)

 

　
: $R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}$ (6)

### Y 形負載到 Δ 形負載的變換方程

令

　
: $R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$ .

則 Δ 形電路到 Y 形電路的變換方程變為

　
: $R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}$   (1)

 

　
: $R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$   (2)

 

　
: $R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}.$   (3)

將以上式子兩兩相乘得到

　
: $R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (4)

 

　
: $R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (5)

 

　
: $R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (6)

上式之和為

　
: $R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}+R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (7)

將右側式子中的公因式 $R_{a}R_{b}R_{c}$ 提出，約去分子中的 $R_{T}$ 和分母中的一個 $R_{T}$ 後得到

　
: $R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}$

　
: $R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (8)

注意式 (8) 和式 {(1),(2),(3)} 的相似性，

將式 (8) 除以式 (1) 得到

　
: ${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},$

　
: ${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},$

得到 $R_{c}$ 的表達式。同理，將式 (8) 除以 $R_{2}$ 或 $R_{3}$ 也能得到相應的表達式。

 

## 參考文獻

* William Stevenson，「Elements of Power System Analysis 3rd ed.」，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4