ZFC系統無法確定的命題列表

**ZFC 系統無法確定的命題列表**乃一數學命題列表。在 ZFC 系統（ZF 公理加上選擇公理，公理化集合論之典範）被假設為相容的前提下，以下的數學命題被證明了與 ZFC 系統彼此獨立。與 ZFC 獨立（有時稱為在 ZFC 中不能確定）乃指該命題不能從 ZFC 的公理出發而被證明或證否。

## 公理化集合論

1931 年，庫爾特・哥德爾證明了第一個 ZFC 獨立結果，其為「ZFC 本身之相容性，乃獨立於 ZFC」（哥德爾不完備定理）。

而以下命題亦獨立於 ZFC：

* 連續統假設（或稱 CH；哥德爾製造了一個 CH 為真的 ZFC 模型，繼而證明了 CH 不能在 ZFC 中被證否；保羅・寇恩其後發明了力迫法去展示了一個 CH 為假的 ZFC 模型，證明了 CH 不能在 ZFC 中被證明；以下 4 條獨立性結果亦是來自哥德爾 / 寇恩。）；
* 廣義連續統假設 (GCH);
* 可構造性公理 （Axiom of constructibility）(_V_ = _L_);
* 鑽石原則 （Diamond principle）(◊);
* 馬丁公理 （Martin's axiom）(MA);
* MA + ¬CH. (獨立性由 Robert M. Solovay 及 Stanley Tennenbaum 證明）

我們有以下之推導鏈：

　
: _V_ = _L_ → ◊ → CH.

　
: _V_ = _L_ → GCH → CH.

　
: CH → MA

另一個亦為獨立於 ZFC 的命題是：

如果集合 _S_ 的元素少於集合 _T_（在勢的意義上），那麼 _S_ 的子集合少於 _T_。

好一些與大基數存在性有關的命題，並不能在 ZFC 中被證明（以 ZFC 為相容的前提下）。它們與 ZFC 的彼此獨立，以 ZFC 的相容性為前提，而這是大部份集合論學者所相信的情況。這些命題可以足夠強以致能證明 ZFC 的相容性。這亦帶出了它們與 ZFC 相容並不能被 ZFC 所證明（透過哥德爾不完備定理）的結果。以下這些命題皆歸入此類：

* 不可達基數的存在性
* Mahlo 基數的存在性
* 可測基數（measurable cardinal）（首先由烏拉姆所猜想）的存在性
* 超緊致基數（supercompact cardinal）的存在性

### 假設合適大基數相容的情況下

若默認了一個合適的大基數的相容性，那麼以下命題可以被證明是獨立於 ZFC 公理的：

* Proper forcing axiom
* Open coloring axiom
* Martin's maximum
* Existence of 0#
* Singular cardinals hypothesis
* 射影決定性（在不假定選擇公理的狀況下，甚至完全的決定公理也適用此）

## 實數線上的集合論

有很多實數線上的基數不變量跟測度理論與貝爾綱定理相關的好些命題有所連結，而其獨立於 ZFC。當非平凡的關係可以在他們之間被證明，大部份的基數不變量皆介於ℵ1 與 2ℵ0 之間。這是一個實數線集合論的主要研究範圍（見 Cichoń's diagram）。MA 有一個趨勢使得大部份有趣的基數不變量皆等於 2ℵ0。

A subset _X_ of the real line is a strong measure zero set if to every sequence (εn) of positive reals there exists a sequence of intervals (_In_) which covers _X_ and such that _In_ has length at most εn. Borel's conjecture, that every strong measure zero set is countable, is independent of ZFC.

A subset _X_ of the real line is $\aleph _{1}$ -dense if every open interval contains $\aleph _{1}$ -many elements of _X_. Whether all $\aleph _{1}$ -dense sets are order-isomorphic is independent of ZFC.

## 序理論

蘇斯林問題（Suslin's problem）提出一個指定的特性列表能否刻畫一個實數 **R** 的有序集合。這是在 ZFC 中未決的。 一條 _Suslin line_ 是指一個滿足該指定的特性列表但不與 **R** 序同構的有序集。鑽石原則證明了 Suslin line 的存在性，而 MA + ¬CH 推導出 EATS（every Aronszajn tree is special；每一個 Aronszajn tree 皆為特別）， 而推導出（但不等價於）Suslin line 的不存在性。Ronald Jensen 證明了 CH 並不推出 Suslin line 的存在性。

假設不可達基數的相容性之前提下，Kurepa tree 的存在性與 ZFC 獨立。

Existence of a partition of the 序數 $\omega _{2}$ into two colors with no monochromatic uncountable sequentially closed subset is independent of ZFC, ZFC + CH, and ZFC + ¬CH, assuming consistency of a Mahlo cardinal. This theorem of Shelah answers a question of H. Friedman.

## 抽象代數

## 數論

『一個人能否寫下一個具體的多項式 _p_ ∈ **Z**[_x_1,..._x_9] 使得命題「存在著整數 _m_1,...,_m_9 使得 _p_(_m_1,...,_m_9)=0」』為無法被 ZFC 證明或證否（假設 ZFC 相容）。這來自尤里・馬季亞謝維奇對希爾伯特第十問題的解析；這多項式被建構使得它有整數根若且唯若 ZFC 乃不相容。

## 測度理論

富比尼定理對於正函數的一個更強版本，當中該函數不再假設為可被測度而僅僅那 2 個迭代積分（Iterated integral）有明確定義並存在，為獨立於 ZFC。另一方面，CH 意味了存在著一個單位平方上的函數，其迭代積分不相等 —— 該函數只為「等價於勢 ω1 良序關係的 [0, 1] 序」之指示函數。類似例子可以以 MA 去構建。另一方面，強富比尼定理的相容性由 Harvey Friedman 首次展示。它亦可以由 Freiling's axiom of symmetry 的一個變種推導而出。

## 拓撲學

正規 Moore Space 猜想（每一個正規的 Moore Space 皆為可度量），能夠在假設 CH 或 MA + ¬CH 的情況下被證否，而能夠在假設一個意味大基數存在性的公理的情況下被證明。因此，granted large cardinals, 正規 Moore Space 猜想獨立於 ZFC。

## 泛函分析

## 模型論

## 參考

## 外部連結

* What are some reasonable-sounding statements that are independent of ZFC? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, mathoverflow.net