Θ函數

數學中，**Θ 函數**是一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與 D - 膜理論。

Θ 函數最常見於橢圓函數理論。相對於其「_z_」 變量，Θ 函數是擬周期函數（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般下降理論中，Θ 函數是來自線叢條件。

## 雅可比 Θ 函數

雅可比 Θ 函數取二變量 $z\,$ 與 $\tau \,$ ，其中 $z\,$ 為任何複數，而 $\tau \,$ 為上半複平面上一點；此函數之定義為：

　
: $\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}$ 。

若固定 $\tau \,$ ，則此成為一週期為 $1\,$ 的單變量 $(z)\,$ 整函數的傅里葉級數：

　
: $\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$ 。

在以 $\tau \,$ 位移時，此函數符合：

　
: $\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )$ ；

其中 $a\,$ 與 $b\,$ 為整數。

* * * *

## 輔助函數

可定義輔助函數：

　
: $\vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )$

　
: $\vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )$

　
: $\vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).$

其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量 $q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,$ 替換了 $\tau \,$ ，而稱本條目中的 Θ 為 $\theta _{3}\,$ ， $\vartheta _{01}$ 為 $\theta _{0}\,$ ， $\vartheta _{10}$ 為 $\theta _{2}\,$ ， $\vartheta _{11}$ 為 $-\theta _{1}\,$ 。

若設 $z=0\,$ ，則我們可從以上獲得四支單以 $\tau \,$ 為變量之函數，其中 $\tau \,$ 取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我們可以用 Θ 函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

　
: $\vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}$ ,

是為四次費馬曲線。

## 雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣在 Θ 函數之作用；模羣之生成元為 T: τ ↦ τ+1 與 S: τ ↦ -1/τ。我們已有 T 作用之式。設：

　
: $\alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,$

則

　
: $\vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )$

　
: $\vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )$

　
: $\vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )$

　
: $\vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )$

## 以 _nome q_ 表示 Θ 函數

我們可用變量 $w\,$ 與 $q\,$ ，代替 $z\,$ 與 $\tau \,$ ，來表示 ϑ。設 $w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,$ 而 $q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,$ 。則 ϑ 可表示為：

　
: $\vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

而輔助 Θ 函數可表示為：

　
: $\vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},$

　
: $\vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},$

　
: $\vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.$

此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如 p 進數域。

## 乘積表示式

雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數 $w\,$ 和 $q\,$ ，其中 $|q|<1\,$ 而 $w\neq 0\,$ ，則

　
: $\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

此式可以用基本方法證明，如戈弗雷・哈羅德・哈代和愛德華・梅特蘭・賴特共同編著的《數論導引》（英語：_An Introduction to the Theory of Numbers_）。

若用 _nome_ 變量 $q=e^{\pi i\tau }\,$ 與 $w=e^{\pi iz}\,$ 表示，則有：

　
: $\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

由此得到 Θ 函數的積公式：

　
: $\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)$

三重積等式左邊可以擴展成：

　
: $\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$

即

　
: $\vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$ 。

這個式子在 _z_ 取實值時尤為重要。
各輔助 Θ 函數亦有類似之積公式：

　
: $\vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$

　
: $\vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

　
: $\vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

## 積分表示式

雅可比 Θ 函數可用積分表示，如下：

　
: $\vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du$

　
: $\vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.$

　
: $\vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

　
: $\vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du$

## 與黎曼 ζ 函數的關係

黎曼常用關係式

　
: $\vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

以證黎曼 ζ 函數之函數方程。他寫下等式：

　
: $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}$ ；

而此積分於替換 $s\to 1-s$ 下不變。 $z\,$ 非零時之積分，在赫爾維茨 ζ 函數一文有描述。

## 與基本橢圓函數之關係

雅可比用 Θ 函數來構造橢圓函數，並使其有易於計算之形式，因為 Θ 函數中快速收斂的級數往往比積分容易計算。他表示他的橢圓函數成兩枚上述 Θ 函數之商，這可參見雅可比橢圓函數的定義。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比 Θ 構造：

　
: $\wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c$

其中二次微分相對於 _z_，而常數 _c_ 使 $\wp (z)$ 的羅朗級數（於 _z_ = 0）常項為零，因為雅可比橢圓函數單位胞腔內兩極點互為相反數，和為零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有極點留數均為零，所以這是必要的。

## 與模形式之關係

設 η 為戴德金 η 函數。則

　
: $\vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}$ .

## 解熱方程

雅可比 Θ 函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設 _z_ = _x_ 取實值，τ = _it_ 而 _t_ 取正值。則有

　
: $\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)$

此解此下方程：

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)$ 。

於 _t_ = 0 時，Θ 函數成為「狄拉克梳狀函數」（Dirac comb）

　
: $\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)$ ，

其中 δ 為狄拉克 δ 函數，故可知此解是唯一的。
因此，一般解可得自 _t_ = 0 時的（週期）邊界條件與 Θ 函數的卷積。

## 與海森堡羣之關係

雅可比 Θ 函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之 Θ 表示一文。

## 推廣

若 _F_ 為一 _n_ 元二次型，則有一關連的 Θ 函數

　
: $\theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))$

其中 _Z_n 為整數格。此 Θ 函數是模羣（或某適當子羣）上的權 _n_/2 模形式。在其富理埃級數

　
: $\theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)$

中，_R_F(_k_) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。

### 拉馬努金 Θ 函數

### 黎曼 Θ 函數

設

　
: $\mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}$

為一集對稱方矩陣，其虛部為正定，一般稱 _H_n 為「西格爾上半平面」（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之 _n_ 維推廣為辛羣 Sp (2n,**Z**)： 當 _n_ = 1 時， Sp (2,**Z**) = SL(2,**Z**)。同餘子群（congruence subgroup）的 _n_ 維推廣為態射核 ${\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}$ 。

若設 $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ ，則可定義**黎曼 Θ 函數**：

　
: $\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$ ；

　
: $\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)$ ；

其中 $z\in \mathbb {C} ^{n}$ 為一 _n_ 維複向量，上標 _T_ 為轉置。然則雅可比 Θ 函數為其特例（設 _n_ = 1、 $\tau \in \mathbb {H} $ ；其中 $\mathbb {H} $ 為上半平面）。

在 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.$ 的緊緻子集上，黎曼 Θ 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

　
: $\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )$ ；

此方程成立於 $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ , $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ， $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ 。

### q-Θ 函數

## 參考文獻

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, _Handbook of Mathematical Functions_, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. _(See section 16.27ff.)_
* Naum Illyich Akhiezer, _Elements of the Theory of Elliptic Functions_, (1970) Moscow, translated into English as _AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79_ (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_ (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 _(See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)_
* G. H. Hardy and E. M. Wright，_An Introduction to the Theory of Numbers_, fourth edition (1959) , Oxford University Press
* David Mumford，_Tata Lectures on Theta I_ (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
* James Pierpont _Functions of a Complex Variable_, Dover
* Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, _Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces_, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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