Verma模

**Verma 模**（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自 Daya-Nand Verma。Verma 模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用 Verma 模來證明以下命題：最高權為 $\lambda $ 的最高權表示的維數有限，若且僅若 $\lambda $ 是支配整權（dominant integral weight）。

## Verma 模的定義

設：

 * $F$ 為一域；
* ${\mathfrak {g}}$ ，為 $F$ 上一半單李代數；
   * ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 為其泛包絡代數
  * ${\mathfrak {b}}$ 為其一 Borel 子代數
     * ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ 為其泛包絡代數
  * ${\mathfrak {h}}$ 為其一嘉當子代數
* $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ 為一固定之權。
* $F_{\lambda }$ 為 $F$ 上的一維向量空間， 賦與 ${\mathfrak {b}}$ - 模結構： ${\mathfrak {h}}$ 的作用為「乘以 $\lambda $ 」，正根的作用為零。由於 $F_{\lambda }$ 是一左 ${\mathfrak {b}}$ －模，他同時亦是一左 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模。
* 由 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理， ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 有一自然右 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模結構。由於 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 亦是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模， 所以是 $({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))$ - 雙模。
* 定義（最高權為 $\lambda $ 之）**Verma 模** 為

　
: $M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }$

此自然地是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模。從 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理可知： $M_{\lambda }$ ，作為一向量空間，同構於

　
: ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }$

其中 ${\mathfrak {g}}_{-}$ 為 ${\mathfrak {g}}$ 之負根生成之子李代數。

## 基本性質

作為 ${\mathfrak {g}}$ －模，Verma 模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是 $1\otimes 1$ 的像（其中前 $1$ 為 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 之單位，後 $1$ 為域 $F$ 之單位元）；其權為 $\lambda $ 。

Verma 模是 weight modules，即 $M_{\lambda }$ 是其權子空間之直和。每一權子空間 $M_{\mu }$ 是有限維的，其維度是 $M_{\mu }$ 權 $\lambda -\mu $ 寫成正根之和之方法之數（參見 Kostant partition function）。

Verma 模有一重要性質：若 $V$ 為任一最高權模，其最高權為 $\lambda $ ，則存在一 ${\mathfrak {g}}$ 滿射： $M_{\lambda }\to V$ 。換言之，任何最高權模都是 $M_{\lambda }$ 的商模。

 $M_{\lambda }$ 內存在唯一極大子模，而 $M_{\lambda }$ 與此子模之商是不可約的。

Verma 模 $M_{\lambda }$ 本身不可約 若且僅若 當其最高權 $\lambda $ 分解成基本權（fundamental weight）之和時，每一系數都不是 $\{0,1,2,\ldots \}$ 。

稱 Verma 模 $M_{\lambda }$ 為 **regular**，若其最高權 λ 位於一支配權 ${\tilde {\lambda }}$ 之仿射 Weyl 軌跡上。換言之，存在 Weyl 羣的元素 w，使

　
: $\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$ ，

其中 $\cdot $ 是 Weyl 羣的仿射作用。

稱 Verma 模 $M_{\lambda }$ 為 **singular**，若 λ 的仿射軌跡上無支配權。此時，存在權 ${\tilde {\lambda }}$ 使 ${\tilde {\lambda }}+\delta $ 落於基本 Weyl 室之牆上；（其 中 δ 為各基本權之和）。

## Verma 模之間的態射

設 $\lambda ,\mu $ 為兩權。若存在態射

　
: $M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ ，

則 ${\mathfrak {g}}$ 的 Weyl 羣 $W$ 的
仿射作用 $W$ 必然能把 $\mu $ 帶到 $\lambda $ 。此為 Harish-Chandra 無限小中心特徵標定理之一推論。

每一 Verma 模 態射都是單射。態射空間之維度

　
: $dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1$

其中 $\mu ,\lambda $ 為任何兩權。因此，存在一非零態射 $M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且僅若 $M_{\mu }$ 同構於 $M_{\lambda }$ 的一（唯一）子模。

Verma 模態射的完整分類來自 I.N. 伯恩斯坦、I.M. 蓋爾芳特 與 S.I. 蓋爾芳特 的工作與 N. Verma 的工作。簡言之，

> 存在非零態射
> 
>  $M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且僅若 存在一串權
> 
> 　
> : : $\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda $
> 
> 使得存在正根 $\gamma _{i}$ 使 $\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$ （其中 $s_{\gamma _{i}}$ 是根反映（根系），而 $\delta $ 是所有基本權之和）且對每一 $1\leq i\leq k$ ， $(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$ 為一自然數（其中 $H_{\gamma _{i}}$ 是根 $\gamma _{i}$ 之對偶根（coroot））。
> 
> 

若 Verma 模 $M_{\mu }$ 與 $M_{\lambda }$ 俱為 regular，則僅存支配權 ${\tilde {\lambda }}$ 與 Weyl 羣元 _w_, _w_′使

　
: P $\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$

而且

　
: $\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},$

其中 $\cdot $ 為 Weyl 羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight）。存在非零態射

　
: $M_{\mu }\to M_{\lambda }$

若且僅若，在 Weyl 羣 _W_ 的 Bruhat 次序中，

　
: $w\leq w'$ 。

## Jordan-Holder 序列

設

　
: $0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }$

為一 ${\mathfrak {g}}$ －模序列，其中 B/A 為不可約表示，其最高權為 μ。則存在非零態射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

推論：
設 $V_{\mu },V_{\lambda }$ 為二最高權表示。若

　
: $V_{\mu }\subset V_{\lambda }$

則存在非零態射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

## 伯恩斯坦 - 蓋爾芳特 - 蓋爾芳特 分解

設 $V_{\lambda }$ 為李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的一有限維不可約表示，其最高權為 λ。我們已知：存在非零態射

　
: $M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }$

若且僅若，在其 Weyl 羣的 Bruhat 次序中，

　
: $w\leq w'$ 。

以下定理描述如何分解 $V_{\lambda }$ 成 Verma 模的正合序列。
（此定理出現於 伯恩斯坦 - 蓋爾芳特 - 蓋爾芳特 1975 年的論文）:

> 
> 存在由 ${\mathfrak {g}}$ －態射組成的正合序列
> 
> 　
> : $0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$
> 
> 其中 _n_ 為 Weyl 羣最長元之長度。
> 
> 

一般研究員簡稱其為「BGG 分解」。
廣義 Verma 模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣 _G_ 與其拋物子羣 _P_。參閲、與。

## 參攷

* Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
* Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
* Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
* Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

### 註解

## 參見

* 李代數表示論
* 泛包絡代數
* 廣義 Verma 模
* 最高權表示

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