Zermelo-Fraenkel公理

**策梅洛 - 弗蘭克爾集合論**（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory），含選擇公理時常簡寫為 **ZFC**，是在數學基礎中最常用形式的公理化集合論，不含選擇公理的則簡寫為 **ZF**。它是二十世紀早期為了建構一個不會導致類似羅素悖論的矛盾的集合理論所提出的一個公理系統。

## 介紹

ZFC 旨在構建自一個單一的基本本體論概念集合，和一個單一的本體論假定，就是在論域中所有的個體（就是所有數學對象）都是集合。有一個單一的基本二元關係集合成員關係；集合 $a$ 是集合 $b$ 的成員寫為 $a\in b$ （通常讀做 " $a$ 是 $b$ 的元素 "）。ZFC 是一階理論，所以 ZFC 包括後台邏輯是一階邏輯的公理。這些公理支配了集合的行為和交互。ZFC 是標準形式的公理化集合論。使用 ZFC 的大量的正在進行中的普通數學推導請參見 Metamath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）在線計劃。

在 1908 年，恩斯特・策梅洛提出了第一個公理化集合論，即策梅洛集合論。然而，這個公理系統無法構建出序數的集合；而序數是許多集合論研究的根本工具。此外，Zermelo 的分類公理中使用了被稱作「明確性」的性質，而它的實際意義是有歧義的（此時一階邏輯的概念還未被提出）。在 1922 年，亞伯拉罕・弗蘭克爾和陶拉爾夫・斯科倫獨立的提議了定義「明確性」為可以在一階邏輯中公式化並原子公式僅包括集合的公式。他們還同時提出應該用替代公理取代分類公理，並在體系中添加正規公理（首先由 馮諾依曼提出），從而得到了被稱作 **ZF** 的公理體系。

再向 ZF 增加選擇公理就誕生了 **ZFC**。選擇公理曾飽受爭議，因為選擇函數的存在性是非構造性的；選擇公理確立了選擇函數的存在，而不說明如何構造這些函數。所以使用選擇公理構造的一些集合，儘管可以證明其存在，但可能無法詳細、描述性地構造出。因此，當一個結論依賴於選擇公理時，有時會被明確地指出。

ZFC 一般由一階邏輯寫出，實際上包含了無窮多個公理，因為替代公理實際上是公理模式。Richard Montague 證明了 ZFC 和 ZF 集合論二者都不能用有限個公理來公理化。在另一方面，馮諾伊曼 - 博內斯 - 哥德爾集合論（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以被有限公理化。NBG 的對象同時包括集合和類；類是有含有元素但不在其他任何類中的實體。NBG 和 ZFC 事實上是等價的，即所有不以任何方式提及類的定理在兩個公理體系中同時可以證明或同時不能證明。

依據哥德爾第二不完備定理，ZFC 的一致性不能在 ZFC 之內證明。ZFC 的延展包括了通常意義上的大部分數學，所以 ZFC 的相容性不能在其他數學分支中證明。ZFC 的相容性可從弱不可達基數的存在 (獨立於 ZFC) 而得出。幾乎沒有人懷疑 ZFC 有什麼矛盾；通常認為，如果 ZFC 事實上不自洽，那相應的例子早就應該被發現了。可以肯定的是，ZFC 避開了樸素集合論的三大悖論，羅素悖論、布拉利 - 福爾蒂悖論和康托爾悖論。

文獻中討論過的 ZFC 的缺陷包括：

* 它比幾乎所有普通數學所要求的程度還要強（Saunders MacLane 和所羅門・費弗曼這麼認為）；
* 相對於其他集合論的公理化，ZFC 相對要弱。例如，它不允許全集合（如新基礎）或類（如 NBG）的存在；
* Saunders MacLane（範疇論的締造者之一）和其他人爭論說任何公理化集合論對於實際上的數學工作方式而言都是不正當的。依據他的觀點，數學不是關於抽象對象的搜集和它們的性質的學科，而是關於結構和結構保持的映射的學科。

## 公理

ZFC 有許多等價的形式。下列的公理集合是由丘嫩於 1980 年提出的。公理本身以一階邏輯來敘述，之中的句子只是用來增加對邏輯描述的直覺概念。

### 1. 外延公理

**Axiom of extensionality**

兩個集合相等，若它們有相同的元素。

　
: $\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]$ 。

這個公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式「=」， $x=y$ 可以定義為如下公式的縮寫

　
: $\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall z[x\in z\Leftrightarrow y\in z]$ 。

如此一來，外延公理可寫成：

　
: $\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)],$

若 $x$ 和 $y$ 有相同的元素，則它們屬於同一個集合

### 2. 正規公理

**Axiom of regularity** / **Axiom of foundation**

每個非空集合 _$x$_ 都包含一個成員 _$y$_ ，使得 _$x$_ 和 _$y$_ 不相交。

　
: $\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))]$ 。

### 3. 分類公理

設 $z$ 為一個集合，且 $\phi \!$ 為任一個描述 _$z$_ 內元素 _$x$_ 的特徵的性質，則存在 _$z$_ 的子集 _$y$_ ，包含 _$z$_ 內滿足這個性質的 _$x$_ 。這個「限制」可用來避免羅素悖論之類的悖論。更形式化地說，令 $\phi \!$ 為 ZFC 語言中的任一公式，具有 $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!$ 等自由變數（即 _$y$_ 在 $\phi \!$ 內不是自由變數），則

　
: $\forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi )]$ 。

這個公理是 Z 的一部份，但在 ZF 中就顯得多餘，因為它可以由替代公理和空集公理中導出。

由分類公理構成的集合通常使用集合建構式符號來標記。給定一集合 _z_ 和具有一自由變數 _$x$_ 的公式 $\phi (x)\!$ ，則由所有在 _$z$_ 內，滿足 $\phi \!$ 的 _$x$_ 所組成的集合，標記為

　
: $\{x\in z:\phi (x)\}$ 。

分類公理可以用來證明空集（標記為 $\varnothing $ ）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設 $w$ 是一個已存在的集合，而空集可定義為

　
: $\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}$ .

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

　
: $\varnothing =\{u\in w\mid \lnot (u=u)\}$ .

因此，空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴 _$w$_ ）。通常會以定義性擴展，將符號 $\varnothing $ 加至 ZFC 語言中。

### 4. 配對公理

**Axiom of pairing**

若 _$x$_ 和 _$y$_ 是集合，則存在一個集合包含 _$x$_ 和 _$y$_ 。

　
: $\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)$ 。

這個公理是 Z 的一部份，但在 ZF 中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。

### 5. 聯集公理

**Axiom of union**

對任一個集合 ${\mathcal {F}}$ ，總存在一個集合 $A$ ，包含每個為 ${\mathcal {F}}$ 的某個成員的成員的集合。

　
: $\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A]$ 。

### 6. 替代公理

**Axiom schema of replacement**

令 $\phi \!$ 是 ZFC 語言內的任意公式，其自由變數有 $x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!$ ，但 $B$ 在 $\phi \!$ 則不是自由的。則：

　
: $\forall A\forall w_{1},\ldots ,w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}$ 。

較不形式地說，這個公理敘述：若一個可定義的函數 $f$ 的定義域為一集合，且對定義域的任一 $x$ ， $f(x)$ 也都是集合，則 _$f$_ 的值域會是一個集合的子集。這個限制被需要用來避免一些悖論。

### 7. 無窮公理

**Axiom of infinity**

令 $S(x)\!$ 為 $x\cup \{x\}\!$ ，其中 $x\!$ 為某個集合，則存在一個集合 $X$ ，使得空集 $\varnothing $ 為 _$X$_ 的成員，且當一個集合 $y$ 為 _$X$_ 的成員時， $S(y)\!$ 也會是 _$X$_ 的成員。

　
: $\exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right]$ 。

較口語地說，存在一個有無限多成員的集合 _$X$_ 。滿足無窮公理的最小集合 _$X$_ 為馮諾伊曼序數 $\omega $ ，這個序數也可想成是自然數的集合 $\mathbb {N} $ 。

### 8. 冪集公理

**Axiom of power set**

令 $z\subseteq x$ 為 $\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)$ 。對任一個集合 $x$ ，皆存在一個集合 $y$ ，為 _$x$_ 的冪集的父集。 $x$ 的冪集為一個其成員為所有 _$x$_ 的子集的類。

　
: $\forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]$ 。

### 9. 良序定理

**Well-ordering theorem**

對任一集合 _$X$_ ，總存在一個可良好排序 _X_ 的二元關係 $R$ 。這意指著， _$R$_ 是 _$X$_ 上的全序關係，且 _$X$_ 內每個非空子集在 _$R$_ 下都有一個最小元素。

　
: $\forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X)$ 。

若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令 _$X$_ 為一非空集合，則存在一從 _$X$_ 映射至 _$X$_ 內成員的聯集的函數（稱為「選擇函數」），可使得對所有的 $Y\in X$ 都會有 $f(Y)\in Y$ 。因為當 _$X$_ 為有限集合時，選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只聲明一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。

## 參見

* 康托爾定理
* 公理化集合論
* 策梅洛集合論
* 羅素公理體系
* 新基礎集合論
* ZFC 系統無法確定的命題列表

## 參考資料

## 文獻

## 外部連結

* Metamath. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） An online project building a great deal of mathematics from first-order logic and ZFC. _Principia Mathematica_ done right.
* Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） -- by Thomas Jech.