三分損益法

**十二律**是中國傳統音樂使用的音律，後來逐漸傳入到朝鮮、日本、越南等東南亞國家。律，本指用來定音的竹管，古人用 12 個不同長度的律管，吹出 12 個高度不同的標準音高，以定出音階的高低，故這十二個標準音高也叫十二律。

中國古代以「三分損益法」定律，將十二個音逐個導出；而前五個音與主音的數學關係較為簡單，同時也是常用音階，故又與十二個音並稱**五音十二律**。

## 音調

* 黃鐘 - Huáng Zhōng - 主音 / 純一度 - 1 : 1 -  播放
* 大呂 - Dà Lǚ - 半音 - 37 : 211 -  播放
* 太簇 - Tài Cù - 大二度 - 32 : 23 -  播放
* 夾鐘 - Jiá Zhōng - 小三度 - 39 : 214 -  播放
* 姑洗 - Gū Xiǎn - 大三度 - 34 : 26 -  播放
* 仲呂 - Zhòng Lǚ - 完全四度 - 311 : 217 -  播放
* 蕤賓 - Ruí Bīn - 增四度 - 36 : 29 -  播放
* 林鐘 - Lín Zhōng - 純五度 - 3 : 2 -  播放
* 夷則 - Yí Zé - 小六度 - 38 : 212 -  播放
* 南呂 - Nán Lǚ - 大六度 - 33 : 24 -  播放
* 無射 - Wú Yì - 小七度 - 310 : 215 -  播放
* 應鐘 - Yìng Zhōng - 大七度 - 35 : 27 -  播放

十二律分為陰陽兩類，奇數六律為**陽律**，叫做**六律**；偶數六律為**陰呂**，稱為**六呂**，合稱**律呂**。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

## 三分損益法

相傳三分損益法為管仲所發明。

司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「…… 九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管，長為 81 單位，定為「宮音」。然後將 81 乘上 2/3，就得到 54 單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度 54 乘上 4/3，得到 72 單位，定為「商音」。將商音 72 乘 2/3，得 48 單位，為「羽音」。羽音 48 乘 4/3，得 64 單位，為「角音」。而這**宮**、**商**、**角**、**徵**、**羽**五個音高，被稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂，「琴瑟尚宮，鍾尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宮，細不過羽」，要舍卻彈奏中的「煩手」（複雜多變）。《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、速度變化的「淫聲」、以能使人保持平和「中聲」為美的思想。 「畢氏學派」中的「**五度相生律**」與三分損益法相似，但是五度相生律與三分益損法上下生成次序有不同，產生的音階相對應為中國音階中的燕調式，與中國流行的宮調式不同。

### 三分損益與十二律的相關物理

在聲學中，聲高指物體振動的頻率。取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲絃），則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。將這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為「八度音」。由此，便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度，所得到的十二律（宮調）：

**黃鐘**（C）： $81$ (_n_ = 0)

**林鐘**（G，由黃鐘三分損而來）： ${81\times {\frac {2}{3}}}=54$ (_n_ = 0 + 7 = 7)

**太簇**（D，由林鐘三分益而來）： ${54\times {\frac {4}{3}}}=72$ (_n_ = 7 - 5 = 2)

**南呂**（A，由太簇三分損而來）： ${72\times {\frac {2}{3}}}=48$ (_n_ = 2 + 7 = 9)

**姑冼**（E，由南呂三分益而來）： ${48\times {\frac {4}{3}}}=64$ (_n_ = 9 - 5 = 4)

**應鐘**（B，由姑冼三分損而來）： ${64\times {\frac {2}{3}}}=42{\frac {2}{3}}\approx 42.66666666667$ (_n_ = 4 + 7 = 11)

**蕤賓**（F#，由應鐘三分益而來）： ${42{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}}=56{\frac {8}{9}}\approx 56.88888888889$ (_n_ = 11 - 5 = 6)

**大呂**（C#，由蕤賓三分益而來）： ${56{\frac {8}{9}}\times {\frac {4}{3}}}=75{\frac {23}{27}}\approx 75.85185185185$ (_n_ = 6 - 5 = 1)

**夷則**（G#/Ab，由大呂三分損而來）： ${75{\frac {23}{27}}\times {\frac {2}{3}}}=50{\frac {46}{81}}\approx 50.56790123457$ (_n_ = 1 + 7 = 8)

**夾鐘**（D#/Eb，由夷則三分益而來）： ${50{\frac {46}{81}}\times {\frac {4}{3}}}=67{\frac {103}{243}}\approx 67.42386831276$ (_n_ = 8 - 5 = 3)

**無射**（A#/Bb，由夾鐘三分損而來）： ${67{\frac {103}{243}}\times {\frac {2}{3}}}=44{\frac {692}{729}}\approx 44.9492455418381344307$ (_n_ = 3 + 7 = 10)

**仲呂**（F，由無射三分益而來）： ${44{\frac {692}{729}}\times {\frac {4}{3}}}=59{\frac {2039}{2187}}\approx 59.93232738911751257430269776$ (_n_ = 10 - 5 = 5)

**清黃鐘**（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）： ${59{\frac {2039}{2187}}\times {\frac {2}{3}}}=39{\frac {6265}{6561}}\approx 39.954884926078341716201798506254$ (_n_ = 5 + 7 = 12)

* 注意，最後一個「清黃鐘」的長度 39.9548849，與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是「**黃鐘不能還原**」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。 ${\frac {2^{6}\times 4^{6}}{3^{12}}}\approx 0.49327018427257211995310862353488$
* 另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「12 音階」為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。

從上面所計算出來的結果，對照《史記・律書》中的文字，便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》，便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一、81 分」才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，並附上與西方「_參考音名_」與「_十二平均律_的誤差」計算。

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若不照音高排列，而是如上表照三分損益法排列十二律，則會發現其順序與五度圈自 C 開始往順時鐘方向的音位排列恰巧一樣。

## 音律與曆法的配合

由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個，於是在中國上古時代，人們便把十二律和十二月聯繫起來，又名**十二月律**。例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月。依照《禮記・月令》上的記載，它們之間的對應為：

孟春之月，律中太簇； 
仲春之月，律中夾鐘； 
季春之月，律中姑洗； 
孟夏之月，律中仲呂； 
仲夏之月，律中蕤賓； 
季夏之月，律中林鐘； 
孟秋之月，律中夷則； 
仲秋之月，律中南呂； 
季秋之月，律中無射； 
孟冬之月，律中應鐘； 
仲冬之月，律中黃鐘； 
季冬之月，律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」，其徵驗的方法則是憑「吹灰」。據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰，只要到了某個月分，相對應的那一隻律管中的灰就會自動地飛揚出來，這便是「**吹灰候氣**」、「**夷則為七月之律**」等詞彙的典故。當然以今日的觀點，吹灰候氣並沒有現實的根據。

值得注意的一點，十二律中最基本的是黃鐘，而中國曆法最基本的則是含有冬至的月分。《月令》中所列出的，正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月分 —— 子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支，以六十年甲子為一個週期，而 60 又包含 2、3、4、5、6、10、12、15、30、60 等公約數，所以不同時期規律出現的天象，會在 60 年內集中重複，這些看似奇異的現象實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。

## 參考

## 延伸閱讀

[編]

　
: 《欽定古今圖書集成・經濟彙編・樂律典・律呂部》，出自陳夢雷《古今圖書集成》

## 外部連結

* 戴振鐸：〈廣義三分損益律與朱載堉十二平均律及純律的關係〉。
* 《史記》中記載的「律數」