WKB近似

在量子力學裏，**WKB 近似**是一種半古典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治・伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB 近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半古典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

## 簡略歷史

WKB 近似以三位物理學家格雷戈爾・文策爾、漢斯・克喇末和萊昂・布里淵姓氏字首命名。於 1926 年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在 1923 年，數學家哈羅德・傑弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做 WKB 近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了傑弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為 **KWB 近似**，在法國稱為 **BWK 近似**，只有在英國稱為 **JWKB 近似**。

## 數學概念

一般而言，WKB 近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數 $\epsilon \,\!$ 。給予一個微分方程式，形式為

　
: $\epsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0\,\!$ 。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：

　
: $y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$ 。

將這擬設代入微分方程式。然後約去相同指數函數因子。又取 $\delta \rightarrow 0\,\!$ 的極限。這樣，就可以從 $S_{0}(x)\,\!$ 開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目 $S_{n}(x)\,\!$ 。

通常 $y(x)\,\!$ 的漸近級數會發散。當 $n\,\!$ 大於某值後，一般項目 $\delta ^{n}S_{n}(x)\,\!$ 會開始增加。因此 WKB 近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

## 數學例子

設想一個二階齊次線性微分方程式

　
: $\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!$ ；

其中， $Q(x)\neq 0\,\!$ 。

猜想解答的形式為

　
: $y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$ 。

將猜想代入微分方程式，可以得到

　
: $\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\,\!$ 。

取 $\delta \rightarrow 0\,\!$ 的極限，最重要的項目是

　
: ${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!$ 。

我們可以察覺， $\delta \,\!$ 必須與 $\epsilon \,\!$ 成比例。設定 $\delta =\epsilon \,\!$ ，則 $\epsilon \,\!$ 的零次冪項目給出

　
: $\epsilon ^{0}:\qquad S_{0}'^{2}=Q(x)\,\!$ 。

我們立刻認出這是程函方程式。解答為

　
: $S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!$ 。

檢查 $\epsilon \,\!$ 的一次冪項目給出

　
: $\epsilon ^{1}:\qquad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\,\!$ 。

這是一個一維傳輸方程式。解答為

　
: $S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k_{1}\,\!$ ；

其中， $k_{1}\,\!$ 是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為 $S_{0}\,\!$ 可以是正值或負值）。一般的一階 WKB 近似解是這一對近似解的線性組合：

　
: $y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!$ 。

檢查 $\epsilon \,\!$ 的更高冪項目（ $n>2\,\!$ ）可以給出：

　
: $2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\,\!$ 。

## 薛丁格方程式的近似解

解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB 近似涉及以下步驟：

1. 將波函數重寫為一個指數函數，
2. 將這指數函數代入薛丁格方程式，
3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，
4. 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
5. 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!$ ；

其中， $\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數， $m\,\!$ 是質量， $x\,\!$ 是坐標， $V(x)\,\!$ 是位勢， $E\,\!$ 是能量， $\psi \,\!$ 是波函數。

稍加編排，重寫為

　
: $\hbar ^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!$ 。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數 $\phi \,\!$ 的指數（函數 $\phi \,\!$ 與作用量有很密切的關係）：

　
: $\psi (x)=e^{\phi (x)/\hbar }\,\!$ 。

代入方程式 (1)，

　
: $\hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$ ；(2)

其中， $\phi '\,\!$ 表示 $\phi \,\!$ 隨著 $x\,\!$ 的導數。

 $\phi '\,\!$ 可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數 $A(x)\,\!$ 與 $B(x)\,\!$ ：

　
: $\phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!$ 。

注意到波函數的波幅是 $\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!$ ，相位是 $\int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!$ 。將 $\phi '\,\!$ 的代表式代入方程式 (2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：

　
: $\hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$ ，(3)

　
: $\hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!$ 。(4)

### 半古典近似

將 $A(x)\,\!$ 與 $B(x)\,\!$ 展開為 $\hbar \,\!$ 的冪級數：

　
: $A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)\,\!$ ，

　
: $B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)\,\!$ 。

將兩個冪級數代入方程式 (3) 與 (4)。 $\hbar \,\!$ 的零次冪項目給出：

　
: $A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$ ，

　
: $A_{0}(x)B_{0}(x)=0\,\!$ 。

假若波幅變化地足夠慢於相位（ $A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!$ ），那麼，我們可以設定

　
: $A_{0}(x)=0\,\!$ ，

　
: $B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$ 。

只有當 $E\geq V(x)\,\!$ 的時候，這方程式才成立。古典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點， $\hbar \,\!$ 的一次冪項目給出：

　
: $A_{0}'+2A_{0}A_{1}-2B_{0}B_{1}=-2B_{0}B_{1}=0\,\!$ ，

　
: $B_{0}'+2A_{0}B_{1}+2B_{0}A_{1}=B_{0}'+2B_{0}A_{1}=0\,\!$ 。

所以，

　
: $B_{1}=0\,\!$ ，

　
: $A_{1}=-{\frac {B_{0}'}{2B_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB_{0}^{-1/2}\,\!$ 。

波函數的波幅是 $\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!$ 。

定義動量 $p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$ ，則波函數的近似為

　
: $\psi (x)\approx {\cfrac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm i\int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$ ；(5)

其中， $C_{+}\,\!$ 和 $C_{-}\,\!$ 是常數， $x_{0}\,\!$ 是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（ $B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!$ ），那麼，我們可以設定

　
: $A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$ ，

　
: $B_{0}(x)=0\,\!$ 。

只有當 $V(x)\geq E\,\!$ 的時候，這方程式才成立。古典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為

　
: $\psi (x)\approx {\frac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm \int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$ ；(6)

其中， $p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$ 。

### 連接公式

顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在古典轉向點 $E=V(x)\,\!$ ，這兩個近似方程式 (5) 和 (6) 會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在古典轉向點的近似解答。設定 $x_{1}<x<x_{2}\,\!$ 是古典運動允許區域。在這區域內， $E>V(x)\,\!$ ，波函數呈振動形式。其它區域 $x<x_{1}\,\!$ 和 $x_{2}<x\,\!$ 是古典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在古典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點 $x_{2}\,\!$ 附近，將 ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!$ 展開為一個冪級數：

　
: ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{2})+U_{2}(x-x_{2})^{2}+\cdots \,\!$ ；

其中， $U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!$ 是常數值係數。

取至一階，方程式 (1) 變為

　
: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U_{1}(x-x_{2})\psi (x)\,\!$ 。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

　
: $\psi (x)=C_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)+C_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)\,\!$ 。

匹配艾里函數和在 $x<x_{2}\,\!$ 的波函數，在 $x_{2}<x\,\!$ 的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在 $x_{2}\,\!$ 附近的**連接公式**（connection formula）：

　
: $\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x_{2}\\{\cfrac {C_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x_{2}<x\end{cases}}\,\!$ 。

類似地，也可以得到在 $x_{1}\,\!$ 附近的連接公式：

　
: $\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x_{1}\\{\cfrac {2C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x_{1}<x\end{cases}}\,\!$ 。

### 量子化規則

在古典運動允許區域 $x_{1}<x<x_{2}\,\!$ 內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

　
: $\theta _{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!$ ，

　
: $\theta _{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!$ ，

　
: $\alpha =\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx/\hbar \,\!$ 。

那麼，

　
: $\alpha =\theta _{2}-\theta _{1}-\pi /2\,\!$ ，

　
: $-C_{1}\sin \theta _{1}=C_{2}\sin \theta _{2}=C_{2}\sin(\theta _{1}+\alpha +\pi /2)\,\!$ 。

立刻，我們可以認定 $|C_{1}|=|C_{2}|\,\!$ 。匹配相位，假若 $C_{1}=C_{2}\,\!$ ，那麼，

　
: $\alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

所以，

　
: $\alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

假若 $C_{1}=-C_{2}\,\!$ ，那麼，

　
: $\alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

所以，

　
: $\alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：

　
: $\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

### 範例

考慮一個量子諧振子系統，一個質量為 $m\,\!$ 的粒子，運動於諧振位勢 $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!$ ；其中， $\omega \,\!$ 是角頻率。求算其本徵能級 $E_{n}\,\!$ ？

能量為 $E\,\!$ 的粒子，其運動的古典轉向點 $x_{t}\,\!$ 為

　
: $E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{t}^{2}\,\!$ 。

所以，

　
: $x_{t}=\pm {\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\!$ 。

粒子的動量為

　
: $p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!$ 。

將這些變量代入量子化守則：

　
: $\int _{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

經過一番運算，可以得到本徵能量

　
: $E_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$ 。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

## 參閱

* 微擾理論 (量子力學)
* 量子穿隧效應
* 舊量子論

## 參考文獻

### 現代文獻

* Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5.
* Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2.
* Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X.

### 歷史文獻

* Jeffreys, Harold. On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, **23**: 428–436 [2008-11-19]. （原始內容存檔於 2013-05-03）.
* Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 1926, **183**: 24–26.
* Kramers, Hendrik A. Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. Zeitschrift der Physik. 1926, **39**: 828–840.
* Wentzel, Gregor. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. Zeitschrift der Physik. 1926, **38**: 518–529.