zetavg/zh-tw-wikipedia huggingface dataset:
Ⅳ

**4**（四）是 3 與 5 之間的自然數，是第一個合成數。

## 數學性質

* 第 1 個合數，同時也是最小的偶合數，正因數有 1、2 和 4。

　
: 質因數分解為 $2^{2}$ 。
* 第 4 個虧數，真因數和為 3，虧度為 1。前一個為 3、下一個為 5。
* 第 3 個高合成數。前一個為 2、下一個為 6。
* 第 1 個半質數。下一個為 6。
* 第 2 個平方數，為 2 的平方。前一個為 1、下一個為 9。
* 第 4 個十進位的哈沙德數。前一個為 3、下一個為 5。
  * 第 3 個全哈沙德數，即在所有進位制中皆為哈沙德數。前一個為 2、下一個為 6。
* 第 1 個十進位的奢侈數。下一個為 6。
* 十進位中最小的史密夫數。下一個為 22。
* 正方形為第 2 個可作圖多邊形。前一個為 3、下一個為 5。
* 第 2 個不含 1 和 2 的所有因數減一都是質數的數字，前一個是 3，下一個是 6。
* 四面體數
* 中心三角形數
* ${{2}+{2}}={{2}\times {2}}={{2}^{2}}=4$ 。
* 自然數中第一個非斐波那契數
* 4 的倍數均是兩個平方數的差。 $4x=(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$
* 每 4 個連續的自然數相乘加一，必定會等於一個平方數， $x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^{2}+3x+1)^{2}$
* 四平方和定理：每個自然數可表示成最多 4 個平方數的和
* 正四面體是最小面數的正多面體。
* 在一個平面的地圖上，一定可以用四種顏色來填每個區域而相鄰的區域顏色不相同，即四色定理。
* 最小的非循環群有四個元素，即克萊因四元群。4 亦是最小的非簡單群的階。
* 笛卡兒直角坐標系將平面分成 4 份。
* 最基本最常見的四種運算，加、減、乘、除，稱之為四則運算。
* 第四級的超運算為迭代冪次。
* 數學遊戲：4 個 4。

### 基本運算

## 各領域中與「四」相關的事物

### 科學

* 四種基本的相互作用力：電磁力、弱相互作用、強相互作用、萬有引力。
* 相對論將宇宙視為四維空間。
* 麥克斯韋方程組主要為四條。
* 四則運算
* 鈹的元素序數是 4。

### 漢語

* 漢語基本的四聲∶平聲、上聲、去聲、入聲，簡稱平上去入。普通話中的四聲則分成陰平、陽平、去聲、上聲，無入聲。
* 四呼：現代漢語音韻學的概念
* 在漢語、韓語和日語中，「四」的讀音近似「死」，被認為是不吉祥的數字。漢字文化圈對四有一定禁忌，例如：一些住宅沒有 4 座、4 樓或 4 室。船艦的舷號、車輛的車牌號碼及航空器註冊編號常會避免出現 4。
* 書法：四體書
* 文房四寶
* 四：音似世，意為有長久、萬年。

### 神話

* 四神
* 四靈
* 四兇
* 四海龍王

### 儒家

* 四書，儒家最重要的四本典籍∶大學、中庸、論語、孟子。
* 四部：多指經、史、子、集。
* 四端：惻隱之心（仁之端）、羞惡之心（義之端）、辭讓之心（禮之端）、是非之心（智之端），出自《孟子・公孫丑上》
* 國之四維是禮、義、廉、恥，出自《管子・牧民篇》
* 四勿：非禮勿視、非禮勿聽、非禮勿言、非禮勿動，出自《論語・顏淵》
* 四毋：毋意、毋必、毋固、毋我，出自《論語・子罕》
* 四不：不妄動，動必有道。不徒語，語必有理。不苟求，求必有義。不虛行，行必有正。

### 佛教

* 四法界：中國佛教華嚴宗基本教義之一，對萬有的四種認識層次，分為事法界、理法界、理事無礙法界、事事無礙法界。
* 四諦
* 四大天王
* 四大皆空指的是地、水、風、火四大要素，不是酒色財氣或功名利祿。
* 四相：我、人、眾生、壽者。
* 四面佛

### 基督教

* 四福音書：《馬太福音》、《馬可福音》、《路加福音》、《約翰福音》。
* 四活物

### 人物

* 戰國四公子：孟嘗君田文、平原君趙勝、信陵君魏無忌、春申君黃歇
* 初唐四傑：王勃、楊烱、盧照鄰、駱賓王
* 四大美人：貂蟬、西施、楊貴妃、王昭君。
* 元曲四大家：關漢卿、馬致遠、鄭光祖、白樸
* 明末四公子：方以智、冒襄、陳貞慧、侯方域
* 清初四藩：清初封有功的明將吳三桂、尚可喜、孔有德、耿仲明等四人為王
* 四人幫
* 香港四大天王，1990 年代香港樂壇的四大紅星：劉德華、張學友、黎明、郭富城
* 香江四大才子
* 台灣歌壇四大天王：周杰倫、王力宏、羅志祥、林俊傑
* 台灣歌壇四大天后：蔡依林、孫燕姿、蕭亞軒、梁靜茹
* 台灣歌壇四大教主：蔡依林、王心凌、張韶涵、楊丞琳
* 台灣政壇的國民黨四公子：連戰、錢復、陳履安、沈君山。
* 說法不一的民國四公子

### 著作

* 四書：論語、孟子、大學、中庸
* 四大名著：三國演義、水滸傳、西遊記、紅樓夢
* 東漢時期的農業著作：四民月令

### 政治

* 文革時期的破四舊。
* 中共中央總書記胡錦濤針對兩岸關係提出的意見：四不原則。

### 地理

* 四個基本方向：東、南、西、北。
* 亞洲四小龍：香港、新加坡、台灣、韓國
* 亞洲四小虎：馬來西亞、泰國、菲律賓、印尼
* 四大洋

### 節日

* 一年有四季（四時）。
* 四孟：孟春、孟夏、孟秋、孟冬，四季的第一個月。

### 時間與曆法

* 在公曆紀年方面，人類對公元前 4 年、公元 4 年，公元前 4 世紀及公元 4 世紀均有記載。
* 現代國際通用的西曆將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 4 日，分別為 1 月 4 日、2 月 4 日、3 月 4 日、4 月 4 日、5 月 4 日、6 月 4 日、7 月 4 日、8 月 4 日、9 月 4 日、10 月 4 日、11 月 4 日和 12 月 4 日。
* 四月或 4 月代表公曆一年十二個月中的第四個月。

### 體育

* 在棒球中，4 是二壘手的代號。

## 在其它領域中

* D（小寫「d」）是拉丁字母的第 **4** 個字母。
* 在英文數目名稱中，4（four）是唯一一個擁有字母的數目和本身所指的數目相同的。
* 四肢或四體即雙手雙腳。
* 四美：
1. 良辰、美景、賞心、樂事。
2. 仁、義、忠、信。
3. 治、安、顯、榮。
4. 音樂、珍味、文章、言談。
* 古代人生四大樂事：久旱逢甘露，他鄉遇故知；洞房花燭夜，金榜題名時。
* 四民：舊稱士、農、工、商。
* 四君子：
  * 樹木：梅竹蘭菊
  * 中醫學：人參、白朮、茯苓、甘草
* 曲目：發四喜
* 在樂理中，簡譜上的 Fa 音用 4 表示。
* 在塑膠分類標誌中，代表低密度聚乙烯。
* 在汽車上，有標上「4x4」或「4WD」之標誌表示該車有「四輪傳動」之功能，使車輛傳動性能增加。
* 在占星學星座分為火象、土象、風象、水象四個屬相。
* 撲克牌四種花色：黑桃、愛心、方塊、梅花。
* 西方人認為四葉草代表幸運。
* 漫威漫畫中的神奇 4 俠的標誌。
* 在單選題題目中，多為四個選項。

## 另見

* 四的禁忌
* 名稱以「4」開頭的所有條目
* 名稱以「四」開頭的所有條目

## 參考文獻
Ⅵ

**6**（六）是 5 與 7 之間的自然數。

## 數學性質

* 第 2 個合數，正因數有 1、2、3 和 6。前一個為 4、下一個為 8。

　
: 質因數分解為 $2\times 3$ 。
* 第 1 個完全數，其中，6 = $2^{1}\times \left(2^{2}-1\right)$ 對應的梅森質數為 3。下一個為 28。
  * 第 1 個半完全數。下一個為 12。
  * 由於 6 不能被所有比它小的半完全數整除，因此是第 1 個本原半完全數。下一個為 20。
* 第 2 個歐爾調和數，因數調和平均數為 2。前一個為 1、下一個為 28。
* 第 4 個高合成數。前一個為 4、下一個為 12。
* 第 4 個不尋常數，大於平方根的質因數為 3。前一個為 5、下一個為 7。
* 6 是第 2 個半質數，前一個為 4、下一個為 9。
  * 連續 2 個質數的乘積： ${{2}\times {3}}=6$ 。下一個為 15。
* 第 5 個無平方數因數的數。前一個為 5、下一個為 7。
* 第 3 個普洛尼克數，為 2 與 3 的乘積。前一個為 2、下一個為 12。
* 3 的階乘。前一個為 2、下一個為 24。
* 第 2 個質數階乘，即前 2 個質數的乘積。前一個為 2、下一個為 30。
* 第 6 個十進位的哈沙德數。前一個為 5、下一個為 7。
  * 第 4 個全哈沙德數，即在所有進位制中皆為哈沙德數。前一個為 4。同時也是最大的全哈沙德數。
* 第 2 個十進位的奢侈數。前一個為 4、下一個為 8。
* 正六邊形為第 4 個可作圖多邊形。前一個為 5、下一個為 8。
* 第 3 個不含 1 和 2 的所有因數減一都是質數的數字，前一個是 4，下一個是 8。
* 第 3 個三角形數，第 2 個六邊形數
* 最小的非阿貝爾群是對稱群 $S_{3}$ ，有 6 個元素。
* $S_{6}$ 是唯一一個有外自同構群的有限對稱群。
* 6 階希臘拉丁方陣不存在。
* 除了 6 的兩個質因數 2 與 3，所有質數都可表達為 6k±1（k 是正整數）的形式。
* 有 6 邊相等、6 角相等的正多邊形為正六邊形。
* 自守數
* $6={{{1}\times {2}}\times {3}}=3!$ （參見階乘）
* $6={{{1}\times {2}}\times {3}}={{{1}+{2}}+{3}}$

### 基本運算

## 在科學中

* 碳的原子序數
* 南斗六星

## 在時間和曆法上

* 在公曆紀年方面，人類對公元前 6 年、公元 6 年，公元前 6 世紀及公元 6 世紀均有記載。
* 現代國際通用的西曆將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 6 日，分別為 1 月 6 日、2 月 6 日、3 月 6 日、4 月 6 日、5 月 6 日、6 月 6 日、7 月 6 日、8 月 6 日、9 月 6 日、10 月 6 日、11 月 6 日和 12 月 6 日。

## 在自然界中

* 蜜蜂建造的蜂房是六邊形。

## 在歷史中

* 秦始皇滅六國，完成中國統一
* 三省六部中的的六部：吏部、戶部、禮部、兵部、刑部、工部

## 在體育中

* 在棒球中，6 是游擊手的代號。

## 在人類文化中

* 在漢語，6 和「祿」字同音，又有成語「六六大順」，有吉祥的意思。大寫為「陸」，有陸續的意思，如 168、163 等。
* 在樂理中，簡譜上的 la 音用 6 表示。
* 在塑膠分類標誌中，代表聚苯乙烯。
* 古人有「六畜興旺」的說法。
* 六姓，中文姓氏。
* 莊子提出齊物論：六合（上、下、東、南、西、北）。
* 儒家提出六藝：禮、樂、射、御、書、數。
* 易經：六爻
* 武術有六合拳。

## 在佛教中

佛教：

* 六根：眼、耳、鼻、舌、身、意。
* 六塵：色、聲、香、味、觸、法。
* 六識：眼識、耳識、鼻識、舌識、身識、意識。
* 七情六慾：六慾指色慾、形貌欲、威信姿態欲、言語音聲欲，細滑欲、人想欲。
* 六道輪迴：的六道分別是指天道、阿修羅道、人道、畜生道、餓鬼道、地獄道。

## 在中醫學上

* 六腑：膽、胃、膀胱、三焦（脊神經）、大腸和小腸。
* 六鬱：氣鬱、濕鬱、痰鬱、熱鬱、血鬱、食鬱。

## 在其它領域中

* 東南亞及大洋洲地區的電話區號開首數字
* 美國情景喜劇《六人行》
* 《死神來了》系列電影中危險的數之一
* 上帝於第 6 天創造了生物，因此制訂了 6 天工作，第 7 天是休息日
* 在中國大陸網路用語中，為「某一操作或某一動作十分熟練、順暢」，「一個人在某一事件中表現得極為出彩」的意思。
* 在聖經中的意思是撒旦的數字。
* 六君子
* 六和塔
* 三六九
* 六芒星
* 香港恆常舉行的彩票項目六合彩。

## 另見

* 名稱以「6」開頭的所有條目
* 名稱以「六」開頭的所有條目

## 參考文獻
Ⅶ

**7**（七）是 6 與 8 之間的自然數。

## 數學性質

* 第 4 個質數。前一個為 5、下一個為 11。
  * 第 2 對孿生質數之一，其為（5、 7）。
  * 第 4 個階乘質數（ $3!+1$ ）。前一個是 5、下一個是 23。
  * 第 2 個胡道爾質數
  * 第 2 個幸運質數
  * 第 4 個陳質數（陳質數）
  * 第 3 個瓦格斯塔夫質數
  * 十進制下，既是可右截短質數，也是可左截短質數
  * 十進制下的可交換質數
  * 第 2 個梅森質數（ $2^{3}-1$ ），對應的完全數為 28， $2^{2}\left(2^{3}-1\right)$ 。前一個為 3、下一個為 31。
  * 高斯質數之一。
* 第 6 個虧數，真因數和為 1，虧度為 6。前一個為 5、下一個為 8。
* 第 5 個不尋常數，大於平方根的質因數為 7。前一個為 6、下一個為 10。
* 第 6 個無平方數因數的數。前一個為 6、下一個為 10。
* 第 4 個十進位的自我數。前一個為 5、下一個為 9。
* 第 7 個十進位的哈沙德數。前一個為 6、下一個為 8。
* 第 5 個十進位的等數位數。前一個為 5、下一個為 10。
* 第 2 個快樂數
* 999,999 除以 7 剛好是 142,857，以 7 為分母的真分數的循環節為該六個數字的不同順序。

　
: * $1/7=0.142857142...$
* $2/7=0.285714285...$
* $3/7=0.428571428...$
* $4/7=0.571428571...$
* $5/7=0.714285714...$
* $6/7=0.857142857...$

* 若某數之末位的二倍與剩餘數字的差為 7 的倍數，則某數為 7 的倍數。

　
: 例如：336133，一開始 ${{33613}-{{2}\times {3}}}=33607$ ，然後 ${{3360}-{{2}\times {7}}}=3346$ ，接著 ${{334}-{{2}\times {6}}}=322$ ，最後 ${{32}-{{2}\times {2}}}=28$ 為 7 的倍數，故 336133 為 7 的倍數。
* 正三邊形、正四邊形、正五邊形、正六邊形均可以以尺規作圖的方式畫出，但正七邊形卻不可。
* 西爾維斯特數列的第 3 項
* Frieze 群有七種
* 7 維空間是除了 3 維空間外唯一能定義二元叉積的空間，參見七維叉積。
* 佩蘭數列的第 8 項

### 基本運算

## 在科學中

* 在酸鹼度中，中性的 pH 為 7
* 氮的原子序數。
* 北斗七星主要由七顆亮星組成。
* 彩虹經常被分為七種顏色： 紅、 橙、 黃、 綠、 藍、 靛、 紫。
* 生物界分為七個等級：界、門、綱、目、科、屬、種。
* 鋰的原子量為 7。

## 在體育中

* 在棒球中，7 是左外野手的代號。

## 在人類文化中

* 《華盛頓海軍條約》簽訂前，裝備了 16 寸炮的七艘戰艦：科羅拉多號戰艦、馬里蘭號戰艦、西維吉尼亞號戰艦、納爾遜號戰艦、羅德尼號戰艦、長門號戰艦、陸奧號戰艦，被稱為七大戰艦（Big seven）。
* 在基督教及猶太教信仰中，上帝用 6 天創造世界，第 7 天休息。
* 目前通用曆法中的一週亦為 7 天，星期日一般被定為公眾假期。
* 在西方文化中，7 普遍被視為幸運數字，而有 Lucky 7 的說法。
* 西方古典音樂有 7 個音階，受到畢達哥拉斯學派的重視。
* 在樂理中，簡譜上的 ti 音用 7 表示。
* 著名罐裝汽水品牌 —— 七喜。
* 連鎖式便利店──7-Eleven。
* 在粵語裏，7 的中國數字大寫「柒」被廣泛用作粗口之用，加上其粵語的母音和「執」字相同（「執」字可演變成「執笠」，在粵語中意指結業），故如同 4 的中國數字音「死」字一樣，甚少使用。
* Windows 7、Windows Phone 7 為微軟作業系統。
* 吃角子老虎機的大獎圖樣是 7。
* 世界共有七大洲。
* 早起開門七件事，柴、米、油、鹽、醬、醋、茶。
* 竹林七賢。
* 全真七子。
* 武當七俠。
* 日本春天七草， 是指水芹、薺菜、鼠麴草、繁縷、寶蓋草、蔓菁、蘿蔔。
* 日本秋天七草， 是指胡枝子、葛藤、瞿麥、女蘿、蘭草、桔梗和狗尾草。
* 七夕。
* 在動漫家庭教師 HITMAN REBORN! 中，73 的原石正是創造這個世界的基石，分別代表七個「阿爾柯巴雷諾奶嘴」、七枚「彭哥列指環」、七枚「瑪雷指環」。
* 在動漫妖精的尾巴中有許多設定跟 7 有關。
* 1~10 中，用閩南語文音或白音唸，唯一一個發音相同的。
* 在日本 7 有帶來幸運之意味。
* 音樂有 7 個音符，是指 do、re、mi、fa、so、la、Si/Ti。
* 戰國七雄分別為齊國、楚國、燕國、秦國、韓國、趙國、魏國。
* 格林童話當中的狼和七隻小山羊。
* 喜、怒、哀、懼、愛、惡、欲為七情。
* 七宗罪：傲慢、妒忌、暴怒、懶惰、貪婪、暴食、色慾。
* 七美德：謙卑、寬容、耐心、勤勉、慷慨、節制、貞潔 。
* 牌七
* 香菸品牌七星香菸。
* 著名小說哈利波特有七部。
* 九龍巴士 7 號線
* 城巴 7 號線

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 7 日，分別為 1 月 7 日、2 月 7 日、3 月 7 日、4 月 7 日、5 月 7 日、6 月 7 日、7 月 7 日、8 月 7 日、9 月 7 日、10 月 7 日、11 月 7 日和 12 月 7 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 7 年、公元 7 年，公元前 7 世紀及公元 7 世紀均有記載。
* 農曆七月俗稱鬼月

## 另見

* 名稱以「7」開頭的所有條目
* 名稱以「七」開頭的所有條目

## 參考
Ⅷ

**8**（八）是 7 與 9 之間的自然數。

## 數學性質

* 第 3 個合數，正因數有 1、2、4 和 8。前一個為 6、下一個為 9。

　
: 質因數分解為 $2^{3}$ 。
* 第 7 個虧數，真因數和為 7，虧度為 1。前一個為 7、下一個為 9。
* 第 2 個立方數，為 2 的立方。前一個為 1、下一個為 27。
* 第 6 個斐波那契數。前一個為 5、下一個為 13。
* 第 8 個十進位的哈沙德數。前一個為 7、下一個為 9。
* 第 3 個十進位的奢侈數。前一個為 6、下一個為 9。
* 正八邊形為第 5 個可作圖多邊形。前一個為 6、下一個為 10。
* 8 是第 4 個不含 1 和 2 的所有因數減一都是質數的數字，前一個是 6，下一個是 12。
* 8 是十進制單位數中最大的偶數。
* 8 是八進位的底，八進位經常用於計算機科學。在八進位，一個數字使用 3 bits 表示。
* 正八面體是其中一個柏拉圖立體，正多面體之一。

### 基本運算

## 在科學中

* 八大行星：太陽系內的行星總數，分別為水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星及海王星。
* 氧的原子序數

## 在體育中

* 在棒球中，8 是中外野手的代號。

## 中國習俗

由於「八」和「發財」的「發」在粵語中諧音，因此不少廣東人認為「八」是一個吉祥的數字。經影視媒體的渲染，加上在普通話和絕大多數漢語方言里都有這種諧音，所以不少生意人都以 8 為商品價錢的尾數（如 $888）。而在住宅，8 字尾的樓層（如 18、28、38 樓）會較為值錢（但因 58 諧音「唔發」，加上「唔」粵語是「不」、「否定」的意思，58 類似「不發」，所以有著相反形勢）。

## 趣味

* ∞，懶惰的 8，橫躺的 8

## 在其它領域中

* 八字
* 八字命理
* 八卦
* 八仙
* 八德
* 八識
* 八姓
* 八家將
* 八達通
* 八大藝術
* 八榮八恥
* 永字八法
* 唐宋八大家
* 八歧大蛇
* 八國聯軍
* 天國八福
* 《天龍八部》
* 香港八景
* 羊城八景
* 中國八大名菜
* 上古八大姓

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 8 日，分別為 1 月 8 日、2 月 8 日、3 月 8 日、4 月 8 日、5 月 8 日、6 月 8 日、7 月 8 日、8 月 8 日、9 月 8 日、10 月 8 日、11 月 8 日和 12 月 8 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 8 年、公元 8 年，公元前 8 世紀及公元 8 世紀均有記載。

## 另見

* 名稱以「8」開頭的所有條目
* 名稱以「八」開頭的所有條目

## 參考文獻

## 參見

* 八部
ⅧB_族

**VIIIB 族**（中國大陸常稱 **VIII 族**，CAS 法稱 **VIIIB 族**）是指元素週期表上第 8、第 9 和第 10 族的合稱。此三族元素的原子半徑十分相近，因此它們具有相似的性質。其中位於第 4 週期的 VIIIB 族元素合稱為鐵系元素，皆具有鐵磁性；位於第 5 和第 6 週期者則合稱為鉑系元素，皆為耐高溫且耐腐蝕的銀白色貴金屬；而位於第 7 週期者皆為具極高放射性、非常不穩定的人造超重元素。

## 定義

* 按照元素周期表縱列（新 IUPAC 命名法），VIIIB 族包括：

　
: 8 族元素：鐵、釕、鋨、𨭆

　
: 9 族元素：鈷、銠、銥、䥑

　
: 10 族元素：鎳、鈀、鉑、鐽
* 按照化學性質的相似性，VIIIB 族包括：

　
: 鐵系金屬：鐵、鈷、鎳

　
: 鉑系金屬：釕、銠、鈀、鋨、銥、鉑
Ⅸ

**9**（九）是 8 與 10 之間的自然數。

## 數學性質

* 第 4 個合數，同時是最小的奇數合數，正因數有 1、3 和 9。前一個為 8、下一個為 10。

　
: 質因數分解為 $3^{2}$ 。
* 第 8 個虧數，真因數和為 4，虧度為 5。前一個為 8、下一個為 10。
* 第 3 個半質數。前一個為 6、下一個為 10。
* 第 3 個平方數，為 3 的平方。前一個為 4、下一個為 16。
* 第 5 個十進位的自我數。前一個為 7、下一個為 20。
* 第 9 個十進位的哈沙德數。前一個為 8、下一個為 10。
* 第 4 個十進位的奢侈數。前一個為 8、下一個為 12。
* 十進制中最大的單位數
* 第四個幸運數
* 在十進位裏，若且唯若一個數的各位數字之和是 9 的倍數，該數一定是 9 的倍數。例如： 2916=9×324 ， 2+9+1+6=18=9×2
* 其相反數 - 9 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數。前一個為 - 15，後一個為 - 8（OEIS 數列 A328933）。

### 基本運算

## 度量衡

* 日本氣象廳公布的 2011 年日本東北地方太平洋近海地震標準震級為 **9.0** 級。

## 在自然科學中

* 氟的原子序數是 **9**。

## 在地理中

* 九州
* 九龍
* 九份
* 九如
* 九寨溝

## 在體育中

* 在棒球中，9 是右外野手的代號。

## 文化習俗

### 中國大陸

九在中國被認為是一個至陽的虛數、極數，常表示最多、無數的意思，如：九天／九重霄／九重天（形容天空非常高）、九盤（形容彎曲的道路）、九幽（形容極遙遠幽深的地方）、九五至尊等。

另外，九與漢字「久」同音，因此九被當成是代表長久的數字。中國南方一些地區結婚習俗，迎娶新娘時，新郎會包一封一般是 9999 元（或更多「9」）的紅包給新娘的家人及親朋好友，以表示長久之意。

### 日本

日語裡「九」與「苦」同音。日本人忌於 12 月 29 日（明治維新前為農曆年廿九）布置新年裝飾。

### 台灣

台語「九」的讀音可分為文讀「kiú」及白讀「káu」，且各自有各自的使用時機。不過，某些操台語者會刻意將文讀轉以白讀發音，藉此雙關同音「狗」字以作為辱罵字眼。

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 9 日，分別為 1 月 9 日、2 月 9 日、3 月 9 日、4 月 9 日、5 月 9 日、6 月 9 日、7 月 9 日、8 月 9 日、9 月 9 日、10 月 9 日、11 月 9 日和 12 月 9 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 9 年、公元 9 年，公元前 9 世紀及公元 9 世紀均有記載。

## 其他

* 英文字母 **I**（小寫 "i"）是拉丁字母的第 9 個字母。
* 九命怪貓
* 九尾狐
* 龍生九子
* 九柱神
* 九流
* 九宮格
* 九型人格
* 9 號球
* 九重天
* 九泉
* 911 事件
* 東方 Project 角色琪露諾被稱為「⑨」和「笨蛋」。
* 9-nine-

## 另見

* 名稱以「9」開頭的所有條目
* 名稱以「九」開頭的所有條目

## 參考資料
ↂ

**10000** 是 9999 與 10001 之間的自然數，十進制表示的第一個五位數，中文書寫「一萬」。

## 在數學中

* 合數，正因數有 1、2、4、5、8、10、16、20、25、40、50、80、100、125、200、250、400、500、625、1000、1250、2000、2500、5000 和 10000。

　
: 質因數分解為 $2^{4}\times 5^{4}$ 。
* 過剩數，真因數和為 14211，盈度為 4211。
  * 半完全數，和為本身的其中一組因數為 2、 4、 8、 10、 16、 20、 25、 40、 50、 100、 125、 200、 250、 400、 500、 1250、 2000、 5000。
* 平方數，為 100 的平方。
* 十進位的哈沙德數。
* 十進位的節儉數。
* 平方數，1002。上一個為 9801，下一個為 10201。
* 二重平方數（四次方數），104。上一個為 6561，下一個為 14641。
* 1/10000 = 0.0001 ，百分率為 0.01%（100ppm）。
* 頭四個質數拼成三組數再相乘可組成 10000。(73-35)×(5×2)2= 10000
* 10000=1002。10000=104。
* 分解式：10000= 1000×10= 1000×5×2= 5×2×5×2×5×2×5×2= 24×54
* 萬角數

## 在人類文化中

在受中國文化影響的國家中，如中國、朝鮮、日本等，大數是以四個數字為一組的，如個、十、百、千、萬，然後十萬、百萬、千萬、億。這和大多數西方國家的三個數字一組的大數命名方法不同。古希臘也使用萬（Myriade）來計數。

在中國傳統文化中，常用「萬」這個漢字來表達很大、無窮的意思。使用萬字的成語很多，如「萬籟俱寂」、「萬馬千軍」、「萬般無奈」等等，都是很大、無窮的意思。同樣的用法也在萬歲這個稱呼中出現。

**萬**是中國的一個姓氏。「萬」也是「卐」的讀音。

10000 是中國電信的客戶服務熱線。
Ↄ

**克勞狄字母**是羅馬皇帝克勞狄一世發明的三個拉丁字母的合稱。克勞狄字母於克勞狄一世任內期間偶見使用，在其死後則被廢除。

## 歷史

克勞狄一世於其監察官任內（47 年 - 48 年）往拉丁語中引入了這三個字母，此舉動可能受到了其祖先演說家克勞狄的啟發，而後者也曾修改過拉丁字母。

## 字母

* Ↄ ↄ，拉丁語名為 antisigma，表示字母組合 BS 或 PS。由於未發現相關銘文，因此 Ↄ 的字形尚存在爭議。弗朗茨・畢歇勒認為其字形與羅馬數字變體 Ↄ 等同，但海因里希・凱爾根據普里西安的作品抄本，認為它反而像兩個相連的 C (Ↄ+Ϲ)，而後者也是希臘字母 Σ 的一個變體，很容易被後人誤認為是 X。里維羅・奧利弗認為克勞狄一世可能通過根據希臘字母 Ψ 的阿卡迪亞變體或創造了這個字母。
* Ⅎ ⅎ，拉丁語名為 digamma inversum，表示輔音 V。
* Ⱶ ⱶ，其音值尚未明確，可能為一個出現在雙唇音[p][b][m]之前的閉央元音[ɨ]或[ʉ]，後來用於轉寫古希臘語的 Υ。字母Ⱶ的消失可能與這種閉央元音的消失有關，且在字母Ⱶ消失後，字母 Y 被引入拉丁語中。

## 編碼

Unicode5.0 版本已將收錄克勞狄字母收錄完畢。

## 腳註

### 註釋

### 引用
←

**箭頭**是一種符號，用於指明方向、表達趨勢或其他抽象用途。

## Unicode

### Unicode 表中之箭頭
⇒

在命題演算，或在數學的邏輯演算中，**實質條件**、**實質蘊涵**或**蘊涵算子**是一種二元的真值泛函的邏輯運算符，它有著如下形式：

　
: 若 A，則 B。

這裡的 A 和 B 是陳述變量（可以被語言中任何有意義的可表示的句子所替代）。在這種形式的陳述中，第一項這裡的 A，叫做前件；第二項這裡的 B，叫做後件。

這個算子使用右箭頭「→」（有時用符號「⇒」或「⊃」）來符號化，其語義僅爲「如果 A 為真，那麼 B 亦為真」。它的常見寫法見下：

 * $A\to B$
* $A\supset B$
* $A\Rightarrow B$

須注意的是， $\Rightarrow $ 更常用於語意蘊含（等同符號 $\vDash $ ）。這也是大多數初學者易搞混的點。

## 真值表

涉及實質蘊涵的真值表定義如下：

　
:

由此可見， $A\to B$ 等價於 $\neg A\lor B$ 。

## 形式性質

實質條件不要混淆於蘊涵關係 $\models $ 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立：

* 如果 $\Gamma \models \psi $ 則 $\emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi $ 對於某些 $\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma $ 。（這是演繹定理的特定形式。）
* 上述的逆命題
 * $\rightarrow $ 和 $\models $ 而二者都是單調的；就是說如果 $\Gamma \models \psi $ 則 $\Delta \cup \Gamma \models \psi $ ，並且如果 $\phi \rightarrow \psi $ 則 $(\phi \land \alpha )\rightarrow \psi $ 對於任何 α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質：

* 左分配律： $A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$
* 傳遞律：( $A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$
* 冪等律： $A\rightarrow A$
* **真理保持**: 在其下所有變量被指派為真值『真』的釋義生成真值『真』作為實質蘊涵的結果。
* 前交換律：( $A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))$

注意 $A\rightarrow (B\rightarrow C)$ 邏輯等價於 $(A\land B)\rightarrow C$ ；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。

## 對自然語言的符號表示

在介紹邏輯的課本中經常包括的常見的練習是符號表示。這些練習給學生自然語言的一個句子或一段文本，學生必須把它們轉換成符號語言。這是通過識別普通語言的等價的邏輯術語而完成的，這通常包括實質條件、析取、合取、否定和（經常的）雙條件。更高級的邏輯書籍和介紹性讀物的後續章節經常增加等號、存在量詞和全稱量詞。

用來識別實質條件的、在普通語言中的一些短語包括，「如果 / 當」、「僅當」、「假定」、「假如」、「假設」、「蘊涵」、「即使」和「萬一」。很多這些短語指示前件，另一些指示後件。正確識別「蘊涵方向」是重要的。比如，「A 僅當 B」被如下陳述捕獲

A → B

而「A 當 B」被如下陳述正確捕獲

B → A

蘊涵算符的中文意思包括「那麼」「則」「是因為」「如果…… 就……」。

## 同其他條件陳述的比較

使用這個算子是邏輯學家規定的，作為結果，它產生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯為假設的，任何實質條件的整句陳述結果都是真值成立的。所以陳述句如「假設 $2$ 是奇數，則蘊涵了 $2$ 是偶數」這樣違反自然語言直覺的推理蘊涵是真的。類似的，後件為真的任何實質條件陳述都是真的。所以陳述「如果豬接管了農場並謀殺了農民，則巴黎是在法國」是真的。

這些有爭議的真值推理陳述句出現，是因為自然口語的人經常易受誘惑，而把**實質條件**和直陳條件或其他條件陳述如反事實條件，混淆在一起了。通過不把條件陳述讀做「如果」和「則 / 那麼」可以減輕這種誘惑。最常見的方式是把 _A → B_ 讀做「要麼不是情況 $A$ 要麼是情況 $B$ （或二者）」，或更簡單的「要麼 $A$ 為假 要麼 $B$ 為真（或二者）」。（當 $A$ 為假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。這種陳述等價的自然口語方式，即是使用否定和析取 (或) 的邏輯符號 $\neg A\vee B$ 而獲得的。）

## 引用

* Brown, Frank Markham（2003）, _Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations_, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
* Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), _The Blackwell Guide to Philosophical Logic_, Blackwell.
* Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), _The Stanford Encyclopedia of Philosophy_, Eprint（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Quine, W.V.（1982）, _Methods of Logic_, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
* Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. _Philosophia_ **5**（1975）: 269–286.

## 外部連結

* 陳力恆：〈如言、選言發微〉
* 陳力恆：〈關聯詞之邏輯關聯（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）〉
⇧

**換檔鍵**（**Shift 鍵**，也有稱作「**上檔鍵**」）通常印上向上箭頭標記。普遍有兩顆，多數位於 Ctrl 鍵之上；亦有一些鍵盤只設有一顆 Shift 鍵。

## 功能

輸入英文字時，若 CapsLock 為關閉狀態，同時按著 Shift 鍵，英文字會變成大寫；若 CapsLock 為開啟狀態，則輸入時同時按著 Shift 鍵，英文字會變成小寫。

一些大多數符號鍵及數字鍵有兩個符號，其中在下面的可以直接按，在上面的要先按住 shift 鍵不放後才能按。如分號鍵（;）按住 shift 來輸入會變成冒號（:）。

在微軟 Windows Vista 之前的作業系統中，切換至倉頡或速成輸入法時，按著 Shift 和字母鍵會出現該英文字母的小寫；而 Vista 中，切換至倉頡或速成輸入法時，按著 Shift 和字母鍵則會出現該英文字母的大寫。

滑鼠拖曳檔案時，按著 Shift 鍵，會變成移至。點選檔案時，按著 Shift 鍵，會變成選擇該兩檔案之間所有檔案。
∀

在謂詞邏輯中，**全稱命題**是對論域內所有成員的性質或關係的論斷結果的陳述。在符號邏輯中，**全稱量詞**∀是用來指示全稱量化的符號。

與它相對的，表示至少一個事物為真的量詞為存在量詞。

## 基礎

要表達「2 乘以所有自然數都等於該自然數和自己相加的和」，一種方式的是：

　
: $2\times 0=0+0$ ，且 $2\times 1=1+1$ ，且 $2\times 2=2+2$ ，且 $2\times 3=3+3$ ，以此類推。

因為使用了「且」一詞，這看上去是邏輯合取。然而形式邏輯中的合取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義。

因此將該命題改述為

　
: **對於任意**自然數 $n$ ， $2\times n=n+n$ 。

這便是一個使用全稱量化的單一命題。該命題比原命題更精確，因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為真，因為任何自然數 $n$ 都使命題 $2\times n=n+n$ 成立。反之，命題「對任何自然數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 則為假，因為當 $n$ 取 1 時， $2\times 1>2+1$ 便不成立。儘管_大多數_自然數 $n$ 都滿足 $2\times n>2+n$ ，但存在至少一個反例足以舉證全稱命題為假。

然而，「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」是真命題，因為所有的反例均不是合數。這說明了論域的重要性 —— 確定變量 $n$ 的取值範圍。
限制存在量化的論域要使用邏輯條件。例如「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」邏輯等價於「對任何自然數 $n$ ，如果 $n$ 為合數，則 $2\times n>2+n$ 」。這裡「如果…… 則」的句子構造出了邏輯條件。

 
在符號邏輯中，使用全稱量詞「∀」（倒置的無襯線體字母「A」）來表示全稱量化。所以如果 $P(n)$ 是謂詞「 $2\times n>2+n$ 」，而 $\mathbb {N} $ 則是自然數集，那麼有

　
: $\forall {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n)$

表示的是假命題「對任何自然數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」。

類似地，若命題 $Q(n)$ 陳述的是「 $n$ 為合數」，那麼有

　
: $\forall {n}{\in }\mathbb {N} \,Q(n)\;\!\;\!{\rightarrow }\;\!\;\!P(n)$

表示的是真命題「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」。

圓括號也有時用來表示全稱量化。

　
: $(n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)$

## 性質

### 否定

注意到一個量化的命題函數的結果是一個命題；因此像命題一樣，量化的函數也可被否定。數學家和邏輯學家用來表示否定的符號是： $\lnot \ $ 。

舉例來說，定義 $P(x)$ 為命題函數「 $x$ 已婚」；則對所有活人組成的論域 $U$ ，考慮全稱量化「對給定的任何活人 $x$ ，此人都已婚」：

$$
\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)
$$

顯然，這個命題為假，於是我們可以切實地說：「並非都是這樣的情況，即：對給定的任何活人 $x$ ，此人都已婚」，或以符號記作：

 $\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$ .

花點時間來考慮，準確地說，對全稱量詞進行否定就意味：如果並非對論域中的_每一個_元素來說命題均為真的話，則必存在至少一個元素使命題為假。這就是說，對命題函數 $P(x)$ 的否定是邏輯等價於「存在著某個沒有結婚的活人 $x$ 」的，或記作：

$$
\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot \ P(x)
$$

一般地，則有，對一個命題函數的全稱量化的否定是該命題函數的否定的一個存在量化；可用符號表示為：

$$
\lnot \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \lnot \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot \ P(x))
$$

### 推理規則

推理規則是指由假設到結論的過程中證明一個邏輯步驟成立的規則。有若干推理規則利用了全稱量詞。

**普遍例證**（Universal instantiation）推定出的結論是這樣的：若已知命題函數普遍成立，則其必對論域中任何隨意給出的元素均成立。將此符號化地表示為

$$
\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ P(c)
$$

其中 $c$ 是論域中可完全隨意確定的某個元素。

**普遍概括**（Universal generalization）推定出的結論是這樣的：若命題函數對論域中任何隨意給出的元素均成立，則其普遍成立。以符號表示為：對某個可隨意確定的 c，

$$
P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)
$$

特別重要的是必須注意到， $c$ 必須是完全隨意確定的；否則便不能遵循該邏輯：若 $c$ 不是隨意確定的、而是論域中的一個特定元素，則 $P(c)$ 僅說明蘊意著該命題函數的某個存在量化可成立。

## 參考資料

* Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.
* Franklin, J. and Daoud, A. Proof in Mathematics: An Introduction. Quakers Hill Press. 1996. ISBN 978-1-876192-00-6. （ch. 2）

## 參見

* 存在量化（∃，there exists）
* 量化 (數理邏輯)
* 絕對的普遍性 —— 假如全稱量化的範圍為絕對一切事物
∁

在集合論和數學的其他分支中，存在**差集**的兩種定義：**相對差集**（差集）和**絕對差集**（補集）。

## 相對差集

若 $A$ 和 $B$ 是集合，則 $A$ 在 $B$ 中的相對差集（簡稱**差集**）是由所有屬於 $B$ 但不屬於 $A$ 的元素組成的集合。

 $A$ 在 $B$ 中的差集記為 $B\setminus A$ 或 $B-A$ 。

形式上：

　
: $B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}$

例如：

　
: * $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$
* $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$
* 若 $\mathbb {R} $ 是實數集合， $\mathbb {Q} $ 是有理數集合，則 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $ 為無理數集合。

下列命題給出一些差集同聯集和交集等集合論運算相關的一些常用性質。

**命題 1**：若 $A,B,C$ 是集合，則下列等式恆成立：

　
: * $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
* $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
* $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
* $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
* $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
* $A\setminus A=\varnothing $
* $\varnothing \setminus A=\varnothing $
* $A\setminus \varnothing =A$

## 絕對差集

若給定全集 $U$ ，則 $A$ 在 $U$ 中的差集稱為 $A$ 的**絕對差集**（又稱為**補集**），記為 $A^{C}$ ，即：

　
: $A^{C}=U\setminus A$

（注意：根據 ISO 與中華人民共和國國家標準， $A$ 中子集 $B$ 的補集記作 $\complement _{A}B$ 。）

例如，若全集為自然數集合，則奇數集合的補集為偶數集合。

下列命題給出一些補集同聯集和交集等集合論運算相關的一些重要性質。

**命題 2**：若 $A$ 和 $B$ 是全集 $U$ 的子集，則下列恆等式成立：

　
: 德摩根定律：

　
: * $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
* $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

　
: 補集律：

　
: * $A\cup A^{C}=U$
* $A\cap A^{C}=\varnothing $
* $\varnothing ^{C}=U$
* $U^{C}=\varnothing $

　
: 對合：

　
: * $(A^{C})^{C}=A$

　
: 差集和補集的關係：

　
: * $A\setminus B=A\cap B^{C}$
* $(A\setminus B)^{C}=A^{C}\cup B$

上述表明，若 $A$ 為 $U$ 的非空子集，則 ${A,A^{C}}$ 是 $U$ 的一個分割。

## 補集的符號

補集的符號為「∁」（Unicode：U+2201）。

## 參考文獻

## 參見

* 集合代數
* 樸素集合論
* 對稱差
* 布林運算
* 交集
* 聯集
∂

數學符號**∂**（HTML 元素：**&#8706;** 或 **&part;**，Unicode: U+2202）或 **$\partial $** 是 _d_ 的一種變體，主要用於表示偏導數，例如 ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ （讀作「_z_ 對 _x_ 的偏導數」）。

## 總覽

這一符號於 1786 年由勒讓德首次引入，但直到 1841 年雅可比的使用才使得它真正開始流行起來。

**∂** 也被用於表達以下含義：

* 雅可比矩陣， ${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}$
* 拓撲學中一個集的邊界
* 同調代數中鏈復形的邊緣算子
* 微分分級代數中的邊緣算子
* 復微分形式中的杜比爾特算子
* 西里爾字母「д」兩種手寫體的其中一種

這一符號在英語中可以讀作「del」，「dee」，「partial dee」，「partial」（專用於 LaTeX），「curly dee」，或「dabba」，中文一般讀作「偏」。

## 參閱

* 字母 Δ
* 數學符號表

## 參考文獻
∃

在謂詞邏輯中，**存在量化**是對論域內至少一個成員的性質或關係的論斷。在符號邏輯中，**存在量詞**「∃」是用來指示存在量化的符號。

它相對於聲稱某些謂詞對所有事物都為真的全稱量化。

## 基礎

要表達「某些自然數自乘得 25」這個命題，一種方式是：

　
: $0\times 0=25$ ，或 $1\times 1=25$ ，或 $2\times 2=25$ ，或 $3\times 3=25$ ，以此類推。

因為使用了「或」一詞，這看上去是邏輯析取。然而形式邏輯中的析取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義，因此該命題並不能在形式邏輯中解讀。

因此將該命題改述為

　
: **存在**自然數 $n$ ， $n\times n=25$ 。

也可表達為

　
: **對於某些**自然數 $n$ ， $n\times n=25$ 。

這便是一個使用存在量化的單一命題。該命題比原命題更精確，因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為真，因為 5 是自然數，而當把 5 代入 $n$ 時，可以得到 $5\times 5=25$ 。儘管_大多數_自然數 $n$ 都不滿足 $n\times n=25$ ，但存在至少一個解足以舉證存在命題為真。反之，「存在偶數 $n$ ， $n\times n=25$ 」為假，因為一個偶數解也不存在。

然而，「存在奇數 $n$ ， $n\times n=25$ 」為真，因為 5 是奇數。這演示了論域的重要性 —— 確定變量 n 的取值範圍。限制存在量化的論域要使用邏輯合取。例如「存在奇數 $n$ ， $n\times n=25$ 」邏輯等價於「存在自然數 $n$ ， $n$ 是奇數且 $n\times n=25$ 」。這裡的「且」構造出了邏輯合取。

 
在符號邏輯中，使用存在量詞「∃」（反寫的無襯線體的字母 "E"）來表示存在量化。所以如果 $P(a,b,c)$ 是謂詞「 $a\times b=c$ 」，而 $\mathbb {N} $ 則是自然數集，那麼有

　
: $\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)$

表示的是真命題「存在自然數 $n$ ， $n\times n=25$ 」。

類似的，如果 $Q(n)$ 是謂詞「 $n$ 是偶數」，那麼有

　
: $\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}$

表示的是假命題「存在自然數 $n$ ， $n$ 是偶數且 $n\times n=25$ 」。

## 引用

* Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.

## 參見

* 全稱量化（∀，for all）
* 量化 (數理邏輯)
∃!

在謂詞邏輯和依賴於它的技術領域中，**唯一量化**或**唯一存在量化**，嘗試形式化對於「精確」的一個事物，或對於精確的特定類型的一個事物為真的某個事物的概念。唯一量化的一般化是計數量化。

例如:

　
: 恰有一個自然數 _x_ 使得 _x_ - 2 = 4。

符號化寫為:

　
: ∃!_x_ ∈ **N**, _x_ - 2 = 4

符號 ∃! 叫做「唯一量詞」或「唯一存在量詞」。它通常被讀作「有且僅有一個」、「恰有一個」、「存在唯一一個」（存在著這個符號的在文法上和如何閱讀上的多個變體）。

## 簡約為普通量詞

唯一量化通常被認為是全稱量化 (「對於所有」，∀)、存在量化 (「對於某個」，∃) 和等式 (「等於」，=) 的組合。因此，如果 _P_(_x_) 是要在其上量化的謂詞 (在我們上面例子中的 _P_(_x_) 是 「_x_ - 2 = 4」)，那麼 ∃!_x_, _P_(_x_) 意味著:

　
: $\exists x(P(x)\land \forall y(P(y)\rightarrow x=y))$

該表述等價於:

　
: $\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))$

「正好存在一個 _x_ 使得 _P_(_x_)」的陳述還可以寫為兩個更弱的陳述的邏輯合取。其中第一個簡單的存在量化：∃_x_，_P_(_x_)。第二個是唯一性，有些人寫為 !_x_, _P_(_x_)。它被定義為: ∀_x_, ∀_y_, _P_(_x_) ∧ _P_(_y_) → _x_ = _y_。

這兩個陳述的合取:

　
: $\exists x\,P(x)\land \forall x\,\forall y\,(P(x)\land P(y)\to x=y)$

邏輯等價於前面給出的單一陳述。但是實際上，證明唯一存在性通常要分別證明這兩個陳述。

另存在一種等效表述，優點是相當簡潔:

　
: $\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x)$

## 參見

* 量化 (數理邏輯)
∅

**空集合**（英語：empty set）是不含任何元素的集合，數學符號為 $\emptyset $ 、∅或 { }。

## 符號

空集的標準符號由尼古拉・布林巴基小組創造，寫作∅（ $\varnothing $ ），首先見於他們在 1939 年出版的《數學原本卷一：集合論》（Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats）。這符號也可寫作 $\emptyset $ ，有時候採用近似字符「Ø」，也可以使用大括號 $\{\;\}$ 表示。

這符號源自北歐語言的拉丁字母「Ø」，但常被誤會為希臘字母「φ」。（φ 有兩個寫法：小寫的 $\varphi $ 和縮小了的大寫 $\phi \,$ ，後者常被誤用為空集符號。 $\phi \,$ 的中間為一長豎，中間的圈也較小，與 $\varnothing $ 的斜線和大圓不同。）。

提出用北歐字母為符號的，是布爾巴基小組成員安德烈・韋伊。他在自傳寫道：

空集符號∅的 Unicode 編碼為 U+2205，TeX 代碼是 `\emptyset` 或 `\varnothing`（後者是 AMS 符號，很多人較喜歡後者的字形）。

## 性質

（這裡採用數學符號）。

* 對任意集合 $A$ ，空集是 $A$ 的子集；

　
: $\forall A:\varnothing \subseteq A$
* 對任意集合 $A$ ，空集和 $A$ 的聯集為 $A$ ：

　
: $\forall A:A\cup \varnothing =A$
* 對任意集合 $A$ ，空集和 $A$ 的交集為空集：

　
: $\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing $
* 對任意集合 $A$ ，空集和 $A$ 的笛卡兒積為空集：

　
: $\forall A:A\times \varnothing =\varnothing $
* 空集的唯一子集是空集本身：

　
: $\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing $
* 空集的冪集是僅包含空集的集合：

　
: $2^{\varnothing }=\left\{\varnothing \right\}$
* 空集的元素個數（即它的勢）為零；特別是，空集是有限的：

　
: $\mathrm {card} \left(\varnothing \right)=0$

集合論中，兩個集合相等，若它們有相同的元素；那麼僅可能有一個集合是沒有元素的，即空集是唯一的。

考慮空集為實數線（或任意拓撲空間）的子集，空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集，是它的子集，因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集，是它的子集，因此空集是開集。另外，空集是緊緻集合，因為凡有限集合都是緊緻的。

空集的閉包是空集。

## 空集和 0

根據定義，空集有 0 個元素，或者稱其勢為 0。然而，這兩者的關係可能更進一步：在標準的自然數的集合論定義中，0 被定義為空集。

## 常見問題

空集不是「無」；它是「內部」沒有元素的集合，但這個集合是「存在」的，即「有」這個集合。這通常是初學者的一個難點。可以將集合想像成一個裝有其元素的袋子──袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。

有些人會想不通上述第一條性質，即空集是任意集合 $A$ 的子集。按照子集的定義，這條性質是說 $\left\{\right\}$ 的每個元素 _x_ 都屬於 $A$ 。若這條性質不為真，那{}中至少有一個元素不在 $A$ 中。由於 $\left\{\right\}$ 中沒有元素，也就沒有 $\left\{\right\}$ 的元素不屬於 $A$ 了，得到 $\left\{\right\}$ 的每個元素都屬於 $A$ ，即 $\left\{\right\}$ 是 $A$ 的子集。

## 空集的運算

空集（作為集合）上的運算也可能使人迷惑。（這是一種「空運算」。）
例如：空集元素的和為 0（「空和」），而它們的積為 1（見空積）。這可能看上去非常奇怪，空集中沒有元素，他們是怎麼相加和相乘的呢？
最終，這些運算的結果更多被看成是運算的問題，而不是空集的。比如，可以注意到 0 是加法的單位元素，而 1 是乘法的單位元素。

## 公理化集合論

在諸如策梅洛 - 弗蘭克爾集合論的公理化集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如：若 $A$ 是集合，則分離公理允許構造集合 $B=\left\{x\in A|x\neq x\right\}$ ，它就可以被定義為空集。

## 範疇論

若 _A_ 為集合，則恰好存在一個從 $\left\{\right\}$ 到 $A$ 的函數 $f$ ，即空函數。故此，空集是集合和函數的範疇的唯一初始物件。

空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間，即通過定義空集為開集；這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始物件。

## 哲學層面

儘管空集在數學中是一個標準，並被廣泛接受，仍然有人對它表示懷疑。

Jonathan Lowe 認為，這一概念「無疑是數學歷史上的里程碑，……；不需要假設其在計算時的有效性要基於其確實表達了某些物件」，但在另一方面，「我們所知的空集只是它 (1) 是個集合，(2) 沒有元素，(3) 在沒有元素的集合中唯一。然而，有很多東西『沒有元素』，在集合論角度而言，叫做非集合。為什麼它們沒有元素是顯而易見的，因為它們不是集合。不清楚的是，為什麼在集合中，沒有元素的集合是唯一的。僅僅通過約束是不可能將這麼一個實體變出來的。」

在 "To be is to be the value of a variable…"，Journal of Philosophy，1984（在書 _Logic, Logic and Logic_ 中再次發表）中，小 George Boolos 認為許多集合論中的結論，也可以透過對個體進行複數量化來得到，所以無需把集合具體化為包含其他實體作為元素的實體。

## 參考資料
∇

**Del 算子**或稱 **Nabla 算子**，在中文中也叫**向量微分算子**、**劈形算子**、**倒三角算子**，符號為 $\nabla $ ，是一個向量微分算子，但本身並非一個向量。

其形式化定義為：

$$
\nabla ={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} r}
$$

在 $n$ 維空間中，分母 $\mathrm {d} r$ 為含 $n$ 個分量的向量，因而 $\nabla $ 本身就是個 $n$ 維向量算子。

三維情況下， $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} $ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

二維情況下， $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} $ 或 $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

 $\nabla $ 作用於不同類型的量，得到的就是不同類型的新量：

　
: $\nabla $ 直接作用於函數 $F(r)$ （不論 $F$ 是純量還是向量），意味著求 $F(r)$ 的梯度，表示為： $\nabla F(r)$ （純量函數的梯度為向量，向量的梯度為二階張量）；

　
: $\nabla $ 與非純量函數 $F(r)$ 由點積符號 $\cdot $ 連接，意味著求 $F(r)$ 的散度，表示為： $\nabla \cdot F(r)$ ；

　
: $\nabla $ 與非純量（三維）函數 $F(r)$ 由叉積符號 $\times $ 連接，意味著求 $F(r)$ 的旋度，表示為： $\nabla \times F(r)$ 。

## 名稱

Nabla 算子的名字來自希臘語中一種被稱為納布拉琴的豎琴。相關的詞彙也存在於亞拉姆語和希伯來語中。

該符號的另一常見的名稱是 _atled_，因為它是希臘字母 Δ 倒過來的形狀。除了 _atled_ 外，它還有一個名稱是 _del_。

Del 算子在標準 HTML 中寫為 & nabla，而在 LaTeX 中為 \nabla。在 Unicode 中，它是十進位數 8711，也即十六進位數 0x2207。

Del 算子在數學中用於指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用於指代微分幾何中的聯絡（可以視為更廣意義上的梯度算子）。它由哈密爾頓引入。

## 參見

* 在圓柱和球坐標系中的 del

## 參考
∈

在數學領域，集合的**元素**（英語：element）指構成該集合的任意對象，也可以稱作**成員**（英語：member）。

## 集合

 $A=\{1,2,3,4\}$ 表示集合 $A$ 中有四個元素，分別是數字 1、2、3、4。由集合 $A$ 中元素組成的集合是 $A$ 的子集，例如 $\{1,2\}$ 。

集合本身也可以是元素。例如，集合 $B=\{1,2,\{3,4\}\}$ 的元素不是 1、2、3、4 四個數，而是數字 1、2 和集合 $\{3,4\}$ 這三個元素。

集合的元素還可以是任何東西。例如，集合 $C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}$ 的元素為 red、green 和 blue。

## 符號和術語

符號「∈」表示「是 $X$ 中的元素」的關係，這種關係也稱**集合隸屬關係**（英語：set membership）。可以用

　
: $x\in A$

表示「 $x$ 是 $A$ 中的元素」，也可以表達為「 $x$ 是 $A$ 的成員」、「 $x$ 在 $A$ 中」或「 $x$ 屬於 $A$ 」。

有時也用「 $A$ 包含 $x$ 」表達集合隸屬關係，但因為這樣的說法也可以用來表達「 $x$ 是 $A$ 的子集」，應該謹慎使用，避免歧義。不過使用符號時沒有歧義，可以用

　
: $A\ni x$

來表達「 $A$ 包含 $x$ 」。

不隸屬的關係可以用符號「 $\not \in $ 」表示，記作

　
: $x\notin A$

意思是「 $x$ 不是 $A$ 的元素」。

符號∈最早見於朱塞佩・皮亞諾 1889 年的論文 _Arithmetices principia, nova methodo exposita_。他在第 X 頁上寫道：

> Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …
> 
> 

意思是

> 符號 ∈ 表示「是」。所以 a ∈ b 被讀作 a 是 b； …
> 
> 

該符號源自希臘字母「E」的小寫「ϵ」，是單詞ἐστί 的第一個字母，意思為「是」。

## 集合的勢

## 參見

* 單位元
* 單元素集合

## 注釋

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Halmos, Paul R., Naive Set Theory, 數學大學生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6  含有內容需登入查看的頁面 (link) - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
* Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始內容存檔於 2015-03-14）
* Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4  含有內容需登入查看的頁面 (link) - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".
∎

**墓碑符號**∎（tombstone），在數學中用來表示證明完畢，以取代傳統上使用的拉丁文縮寫 Q.E.D.（意為「證明完畢」）。

該符號在 Unicode 中的代碼為 U+220E ∎ 。此外還有其他一些變體，可以是空心或實心的矩形或正方形。

它有時又被稱為**哈爾莫斯符**（halmos），以最早將這一符號用於數學的數學家保羅・哈爾莫斯的名字命名。

## AMS-LaTeX

在 AMS-LaTeX 中，使用證明環境 \begin{proof} ... \end{proof}可自動在證明的結尾加上該符號。同時也可通過 \qedsymbol 或 \qed 命令顯示此符號。

## 參見

* Q.E.D.
* 檔案結尾
* 方塊元素
* 傳輸結束字元

## 參考文獻

* Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic, 2007-09-29 [2010-06-26], （原始內容存檔於 2019-11-04）  引文格式 1 維護：日期與年 (link)
∏

**積**（英語：Product）是數學中多個不同概念的稱呼。算術中，兩個數或多個數相乘得到的結果稱為它們的積或乘積。

當相乘的物件多於兩個時可以稱為**連乘**的時候，常常使用連乘號∏表示，類似多個物件的加法使用求和符號∑。

一般約定，相乘的物件只有一個的時候，乘積是物件本身；沒有相乘的物件時也可以約定所謂的空積為 1。

 

## 代數物件的積

各種代數結構中的物件可以通過定義不同的二元運算得到不同的積。比如說，平面向量可以定義點積，三維向量可以定義叉積和混合積。常見的積還包括：

* 向量空間中兩個向量的內積
* 矩陣集合中矩陣的乘積
* 矩陣的阿達馬乘積
* 矩陣的克羅內克乘積
* 張量的外積
* 張量的張量積
* 兩個函數的

## 代數結構的積

在研究抽象代數中的代數結構時，常常會用到代數結構的積的概念。兩個代數結構的積，一般定義為將兩個代數結構里的元素通過一個二元映射對應為一個新的元素，然後將新的元素通過適當的規則組成的新的代數結構。如果兩個代數結構的元素個數都是有限個，那麼它們的積的元素個數將會是它們分別元素個數的乘積。這也是這種新代數結構被稱為積的原因之一。

常見的代數結構的積有：

* 笛卡兒積
* 向量空間的直積
* 群子集的乘積
* 群的自由積
* 拓撲空間的積

## 注釋

## 參考來源
∑

**Sigma**（大寫 Σ，小寫 σ，中文音譯：**希格瑪**），是第十八個希臘字母。在現代的希臘數字代表 200。

在希臘語中，若一個單字的最末一個字母是小寫 sigma，要把該字母寫成 ς，此字母又稱 _final sigma_（Unicode: U+03C2 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））。

大寫 Σ 可以表示：

* 數學上的求和符號（又稱和式號）。
* 粒子物理學中的一類重子（Σ 重子）。

 
小寫 σ 可以表示：

* σ 鍵，化學上一類原子軌道「頭碰頭」形成的化學鍵。
* 統計學上的標準差。
* 除數函數。
* σ- 代數。
* RNA 聚合酶的 σ 因子。
* 恆星光度的 斯特藩 - 玻爾茲曼常數。
* 應力。

西里爾字母的С及拉丁字母的 S 都源於 Sigma，而西里爾字母С的直接起源是 Sigma 的一個彎月形變體 Ϲ。

## 參看

* Ʃ ʃ（拉丁字母）、Ϛ ϛ (Stigma)
−

**加號**和**減號**（「**+**」和「**−**」，合稱**加減號**），是用來表示正數和負數、加法與減法的數學符號。此組符號還因為各種相對其他事物的類似之處而被賦予了豐富的抽象含義。

## 歷史

十五世紀的歐洲，人們通常使用字母 P 和 M 作為加號和減號。P 來自拉丁語 plus 的首字母，意為「更多」；M 來自拉丁語 minus 的首字母，意為「更少」。1494 年，盧卡・帕西奧利在威尼斯出版了自己的數學手冊，其中首次使用了 p̄ 和 m̄（帶橫線的 P 和 M）表示加減。

加號 **+** 即拉丁語 et 的簡化，意為「與」，和符號 **&** 的來歷相似。減號 **−** 則可能源自 m̄ 上的波浪號，也可能只是 m 的簡寫。

## 字元編碼

Unicode 減號和等號同高同寬。在大部份字型，其亦和數字同寬，以利對位。

**連字暨減號**（**hyphen-minus sign**）是 ASCII 版本的減號，亦用作連字號（hyphen）。其通常較加號短，高度亦不同。當只能用 ASCII 的場合可用來取代減號。

## 參見

* 加法
* 減法
* 正數
* 負數
* 正負號

## 參考資料
−0

**−0** 或**負零**代表 **0** 的相反數，等於 0。特定情況下，−0 可能具有特殊意義。
在電腦科學中，−0 主要用來表達浮點數，以及在某些時候對整數進行有符號數處理。

在普通應用中，−0 有可能被用來表示一個可以四捨五入為零的負數，或者是一個從負方向上趨近於零的數。

在統計力學中，特定的系統在反轉分布的狀態下，可以被認為擁有−0 的絕對溫度。

## 電腦科學

### 表示法

在對於整數的 1+7 位元的符號數值表示法中，負零是用二進位代碼 10000000 表示的。在 8 位元一補數中，負零是用二進位代碼 11111111 表示，但二補數表示法則沒有負零的概念。在 IEEE 754 二進位浮點數算術標準中，指數和尾數為零、符號位元為一的數就是負零。

在 IBM 的普通十進位算數編碼規範中，運用十進位來表示浮點數。這裡負零被表示為指數為編碼內任意合法數值、所有係數均為零、符號位元為一的數。

### 性質與處理

在程式語言，例如 C、C#、C++ 和 Java，一個表達式的結果可能是負零（比如對一個負數算術下溢時的結果），此時負零和正零是等效的。因此一個簡單的比較不能夠確定一個數是負零。確定一個數是負零的辦法包括：

1. 使用 IEEE 754 中定義的 `copysign()` 函式複製零的符號到任意非零的數上。
2. 用一個正數來除以這個零 —— 得到的無窮能夠反映出零的符號
   * ${\frac {x}{+0}}=+\infty $ (x>0)
  * ${\frac {x}{-0}}=-\infty $ (x>0)
3. 在 Java 中，用 `Double` 類中的 equals 方法，能夠分辨出正零和負零，例如：
  * Double negativeZero = new Double(-0.0); 
  negativeZero.equals (-0.0); // 結果：真 
  negativeZero.equals (0.0); // 結果：假
4. 在 C 語言中，使用一個依賴於本地硬體表示法的不方便的辦法。例： `*(int *)&var == 0x80000000`（var 在 IEEE 754 中編碼單精度）。

其他對於負零的運算有：

 * ${\frac {-0}{x}}=-0$ (x>0)
* ${\frac {-0}{x}}=+0$ (x<0)
* ${\frac {+0}{x}}=-0$ (x<0)
* ${\frac {-0}{+\infty }}=-0$
* ${\frac {-0}{-\infty }}=+0$
* ${\frac {+0}{-\infty }}=-0$
* $(-0)\cdot (-0)=+0$
* $(-0)-(+0)=-0$
* $(-0)-(-0)=0$
* $(+0)+(-0)=0$
* $(-0)+(-0)=-0$
* $x\cdot (-0)=-0$ (x>0)
* $x+(-0)=x$

## 自然科學

在氣象學中，處於統計學的原因，−0 常常用來表示一個低於零度卻又不足以約分成 - 1 的溫度（無論華氏溫標還是攝氏溫標），比如−0.2 度，它不能被列為零度因為零度顯然不會小於零。然而低於零度的天數往往是比較冬季寒冷程度的一個基本統計資料，所以它並不能被忽略。不過它又沒有低到能夠約分為 - 1 度，所以就被記錄為−0 度。

在統計力學中，一個系統可能會有負的絕對溫度，但是和直覺相反，這並不是極端寒冷，反而是極端炎熱，比任何一個正的溫度都要高 (意指−0 = 無限)。在相關文獻裡，−0 就是最高的溫度。

## 參考資料

* Floating point types. MSDN C# 語言詳述. [2005 年 10 月 15 日]. （原始內容存檔於 2006 年 8 月 24 日）.
* Division operator. MSDN C# 語言詳述. [2005 年 10 月 15 日]. （原始內容存檔於 2005 年 11 月 21 日）.
* Thomas Wang. Java Floating-Point Number Intricacies. 2000 年 3 月 [2007-07-07]. （原始內容存檔於 2005-09-21）.
* Specification. General Decimal Arithmetic: Encoding Strawman 4d, version 0.96. [2005 年 10 月 16 日]. （原始內容存檔於 2012 年 2 月 17 日）.  — 一個包含有負零的「十進位」浮點數規範

## 延伸閱讀

* Michael Ingrassia. Fortran 95 SIGN Change. Sun Developer Network. [2005 年 10 月 15 日]. （原始內容存檔於 2012 年 2 月 17 日）. ——Fortran 語言中（Fortran 95）`SIGN` 函式的一個變化以適應負零
* JScript data types. MSDN JScript. [2005 年 10 月 16 日]. （原始內容存檔於 2005 年 11 月 10 日）. ——JScript 的浮點數從定義上即包括負零
* A look at the floating-point support of the Java virtual machine. Javaworld. [2005 年 10 月 16 日]. （原始內容存檔於 2012 年 2 月 17 日）. ——Java 虛擬機器中負零的表示法
* Bruce Dawson. Comparing floating point numbers. [2007-07-07]. （原始內容存檔於 2007-07-03）. —— 在比較浮點數時是怎麼處理負零的
* John Walker. Minus Zero. UNIVAC Memories. [2005 年 10 月 17 日]. （原始內容存檔於 2012 年 2 月 17 日）. ——UNIVAC® 1100 系列電腦中的一補數

## 參見

* 0
* 數學
* 電腦科學
* 程式語言
−1

在數學中，**負一**寫作 **−1**，是 1 的加法反元素，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為 ${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$ 。

在軟體開發中，用來表示變數包含無用的資訊，亦能作為函式錯誤時的傳回值。

在程式語言中，取決於第一個元素是用 0 還是 1 表示，−1 可以用來索引陣列的最後一個元素，或者倒數第二個元素。

−1 和 1 有許多相似但略有不同的特性。

## 代數性質

將一數字乘上 - 1 的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及 1 是乘法運算的單位元素之公理，對於實數 x，我們得到

　
: $x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

這裡我們使用了 "任意實數 x 乘上 0 等於 0"，將 x 從等式中約掉。

　
: $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

也就是，

　
: $x+(-1)\cdot x=0\,$

故 (−1) ・_x_ 是 _x_ 的相反數。

### 負一平方

−1 的平方亦即−1 乘於−1，等於 1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

　
: $0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1 是 1 的加法反元素」。
再使用分配律，我們得到

　
: $0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

第三個等式依據是：1 是乘法運算的單位元素。然後在等式前後加上 1

　
: $(-1)\cdot (-1)=1$

以上運算適用於任意環。

### 負一的平方根

複數 $i$ 滿足 ${{i}^{2}}=-1$ ，也可視為 - 1 的平方根。另一個能滿足 _x_2 = −1 的複數 _x_ 是−_i_。四元數的代數包含複數平面，等式 _x_2 = −1 擁有無限多組解。

### 負一的乘冪

我們定義 $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ ，即代數 x 的−1 次方，或代數 x 的倒數。可將此定義結合指數定律 $x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} $ 。
負數整數形式的指數可以拓展到環的反元素，定義 $x^{-1}$ 作為 $x$ 的乘法反元素。

函式或矩陣右上的 - 1 不是指數，而是反函式與反矩陣。例如： $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函式， $\sin ^{-1}(x)$ 是反正弦函式。

### 負一的對數

包括 - 1 在內的所有負數在實數體中是沒有對數的，但在複數域，根據歐拉恆等式 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，可以得出 - 1 的自然對數 $\ln {(-1)}=i\pi $ 。

## 維數

空集的歸納維數被定義為 - 1。在抽象幾何學中，空多胞形的維數亦被定義為 - 1。

## 計算機的表示法

大多數計算機系統使用二補數來表示負號整數。此系統中，所有位元皆為一以表示 - 1，若以 8-bit 有號整數系統表示，即為 "11111111"，或十六進位制的 "FF"。若將 - 1 解讀為無號整數，_n_ 個一將表示為 2n− 1，且較有號整數系統能容納更大數值。例如，8-bit 的 "11111111" 表示為 ${{{2}^{8}}-{1}}=255$ 。

在 _Setun_ 計算機中 $-1$ 以倒轉的阿拉伯數字一「1」表示。

## 參見條目

* 1：-1 的相反數
* 數表

## 參考文獻
−1+i

**$2i$** 是距離原點兩個單位的高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式式 $x^{2}+4=0$ 的正虛根。日常生活中通常不會用 $2i$ 來計量事物，例如無法具體地描述何謂 $2i$ 個人，邏輯上 $2i$ 個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用 $2i$ 來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與 $2i$ 相鄰的純虛數之高斯整數有 $i$ 和 $3i$ ，然而複數不具備有序性，即無法判斷 $2i$ 與 $3i$ 間的大小關係，因此無法定義 $i$ 與 $3i$ 何者為 $2i$ 的前一個虛數、何者為 $2i$ 的下一個虛數。

## 性質

 * **$2i$** 不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為 0、虛部為 2，輻角為 90 度（ ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度），其也能表達為 $2e^{i\pi /2}$ 或 $2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)$ 。
* **$2i$** 是一個高斯整數，高斯整數分解為 $(1+i)^{2}$ ，或 $(1+i)(1+i)$ ，其中，1+_i_ 為 2_i_ 的高斯質因數。
* 所有複數的可以表達為 **$2i$** 之冪的線性組合。換句話說若進位制以 **$2i$** 為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為 2i 進制，由高德納於 1955 年發現。
* 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以 $2i$ 的商，換言之，則 $z-z^{*}=2i\,Im(z)$ 。

　
: $Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}$
* 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以 $2i$ 的商。

　
: $\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$
* **$2i$** 等於最小的質數和虛數單位的積，即 $p_{_{1}}\times i=2i$ ，其中 $p_{n}$ 為第 $n$ 個質數。
* 虛數單位和虛數單位的倒數相差 **$2i$** 。
* 任意數與 $2i$ 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉 90 度。

### 2_i_ 的冪

 $2i$ 的前幾次冪為 1、 2_i_、 −4、 −8_i_、 16、 32_i_、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在 1、_i_、−1、−_i_ 中變化。其中，實數項為−4 的冪 ，虛數的正值項為 16 的冪的 2 倍 、虛數的負值項為 16 的冪的−8 倍，因此這種特性使得 $2i$ 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

### 2_i_ 的平方根

 **$2i$** 的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即 ${\sqrt {2i}}=1+i$ ，反過來說 **$2i$** 正好是實數單位與虛數單位相加的平方， $(1+i)^{2}=2i$ 。

## 相關數字

### −2_i_

 $-2i$ 是 $2i$ 的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。

### 1+_i_

 $1+i$ 是 $2i$ 的平方根，由於其冪次為 1+_i_、 2_i_、 −2+2_i_、 −4、 −4−4_i_、 −8_i_...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於 $-1+i$ 為底數的進位制， $-1+i$ 做為底數更為適合。

### −1+_i_

 $-1+i$ 是 $-2i$ 的平方根。由於其冪次為−1+_i_、 −2_i_、 2+2_i_、 −4、 4−4_i_、 8_i_...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以 $-1+i$ 為底數並用 1 和 0 表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如 $1-i$ ，但對高斯整數而言，以 $1-i$ 為底並不是一個優良的選擇。

除了 $-1+i$ 外，其他 $-n+i$ 形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以 $-1+i$ 為例，其表達的範圍較為均勻，而 $-2+i$ 、 $-3+i$ 等則會越來越狹長。

## 參見

* 虛數單位
* -2

## 參考文獻
−10

**負整數**，在數學中是指小於 0 的整數。負整數是負數與整數的交集。和整數一樣，負整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體 **Z-**或 $\mathbb {Z} ^{-}$ 來表示。在任何大於 0 的自然數前面加上性質符號「−」，所得的數即為負整數，例如−1、−2、−3 等。負整數可以被認為是自然數的擴展。負整數與 0 則統稱為非正整數。

## 性質

負整數是指小於零的整數。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。

### 負整數的平方

由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同

　
: ${(-n)}^{2}={n}^{2}$

### 負整數的方根

若不考慮複數，負整數不能取平方根，但能夠取奇數次的方根。在複數域中，負整數的平方根為其相反數平方根的虛數單位倍。

　
: ${\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}$

### 負整數的對數

在實數域中，負整數的對數不存在。但在複數域，根據歐拉恆等式 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，可以得出 - 1 的自然對數 $\ln {(-1)}=i\pi $ ，再依據對數性質 $\log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N$ ，負整數的對數 $\ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}$ ，得到：

　
: $\ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi $

### 負整數的因數

負整數的正因數與其相反數的正因數相同。在質因數分解中，能夠透過將負一提出來完成質因數分解，而除了 - 1 外，其他的質因數亦與其相反數相同。

## 部分的負整數

**-1**

* 負數單位。
* 最大的負整數、最大的負奇數。
* 平方根為虛數單位。

**-2**

* 負數，因數有 - 2、-1、1 和 2。

　
: 質因數分解， $-1\times 2$ 。
* 最大的負偶數。
* 立方體下閉集合中歐拉示性數的最小值。

**-3**

* 負數，因數有 - 3、-1、1 和 3。

　
: 質因數分解， $-1\times 3$ 。
* 負三分貝為半能點。
* 二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 為簡單歐幾里得整環。
* 四維超立方體（或四維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值

**-4**

* 負數，因數有 - 4、-2、-1、1、2 和 4。

　
: 質因數分解， $-1\times 2^{2}$ 。
* 五維超立方體（或五維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值
* 平方根為 2i

**-6**

* 負數，因數有 - 6、-3、-2、-1、1、2、3 和 6。

　
: 質因數分解， $-1\times 2\times 3$ 。
* 廣義的三角形數、廣義的六邊形數與雙 Pochhammer 三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS 數列 A039683）。

**-7**

* 負數，因數有 - 7、-1、1 和 7。

　
: 質因數分解， $-1\times 7$ 。
* 二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]$ 為簡單歐幾里得整環。

**-10**

* 負數，因數有 - 10、-5、-2、-1、1、2、5 和 10。

　
: 質因數分解， $-1\times 2\times 5$ 。
* 六維超立方體（或六維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值

**-11**

* 負數，因數有 - 11、-1、1 和 11。

　
: 質因數分解， $-1\times 11$ 。
* 二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]$ 為簡單歐幾里得整環。

**-40**

* 負數，因數有 - 40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20 和 40。

　
: 質因數分解， $-1\times 2^{3}\times 5$ 。
* 華氏及攝氏溫標的平等點，即 - 40℉=-40℃。

## 參見

* 正整數

## 註釋

## 參考文獻
−273.15℃

絕對零度（英語：absolute zero）是熱力學的最低溫度，是粒子動能低到量子力學最低點時物質的溫度，絕對零度是僅存於理論的下限值，其熱力學溫標寫成 0**K**，等於攝氏溫標零下 273.15 度（即−273.15℃）或華氏溫標零下 459.67 度（即−459.67℉）。物質的溫度取決於其內原子、分子等粒子的動能。根據馬克士威 - 波耳茲曼分佈，粒子動能越高，物質溫度就越高。理論上，若粒子動能低到量子力學的最低點時，物質即達到絕對零度，不能再低。然而，根據熱力學定律，絕對零度永遠無法達到，只可無限逼近。因為任何空間必然存有能量和熱量，也不斷進行相互轉換而不消失。所以絕對零度是不存在的，除非該空間自始即無任何能量熱量。在此一空間，所有物質完全沒有粒子振動，其總體積並且為零 (絕對真空)。

有關物質接近絕對零度時的行為，可初步觀察德布洛伊波長。定義如下：

　
: $\lambda _{th}\equiv {\frac {h}{\sqrt {2\pi mkT}}}$

其中 $h$ 為普朗克常數、 $m$ 為粒子的質量、 $k$ 為波茲曼常數、 $T$ 為絕對溫度。可見熱德布洛伊波長與絕對溫度的平方根成反比，因此當溫度很低的時候，粒子物質波的波長很長，粒子與粒子之間的物質波有很大的重疊，因此量子力學的效應就會變得很明顯。著名的現象之一就是在 1995 年首次被實驗證實的玻色 - 愛因斯坦凝聚，當時溫度降至只有 1.7×10-7 K .

## 逼近絕對零度的方法

和外太空宇宙背景輻射的 3K 溫度做比較，實現玻色 - 愛因斯坦凝聚的溫度 1.7×10-7K 遠小於 3K，可知在實驗上要實現玻色 - 愛因斯坦凝聚是非常困難的，因為這代表著我們需要將溫度降到宇宙背景輻射之下，而目前僅知在整個可知宇宙環境中只有回力棒星雲之溫度符合該條件，而造成該星雲溫度如此之低的原因之一為絕熱膨脹。要製造出如此極低的溫度環境，主要的技術是雷射冷卻和蒸發冷卻。

* 雷射冷卻
* 蒸發冷卻

## 負溫度

在常用的攝氏或華氏溫標下，以負數形式表示的溫度只是單純的比此兩種表示方式下的零數值溫度更低的溫度。然而某些熱力學系統是可以達到真正意義上的負溫度的，換句話說，這些系統在熱力學定義下的溫度（以熱力學溫標 K 表示）可以是一個負的值。一個具有負溫度的系統並不是說它比絕對零度更冷。恰恰相反，從感官上來講，具有負溫度的系統比任意一個具有正溫度的系統都更熱一些。當分別具有正負溫度的兩個系統接觸時，熱量會由負溫度系統流向正溫度系統。

大多數常見的系統都無法達到負溫度，因為增加能量也會使得它們的熵增加的。但是，某些系統能夠持有的能量是有上限的，當能量達到這個上限時，它們的熵實際上會減少。因為溫度是由能量和熵之間的關係來定義的，所以即使能量在不停的增加，這個系統的溫度仍會變成負值。所以，當能量增加時，對於處於負溫度的系統，描述其狀態的波茲曼因子會增大而不是減小。因此，沒有一個完備的系統 —— 包括電磁系統 —— 能夠達到負溫度，這是因為能量狀態不會達到最大，所以不會有負溫度出現。但是，對於準均衡系統（如因自旋而導致不均衡的電磁場）這一理論並不適用，所以準均衡系統是可能達到負溫度的。

2013 年 1 月 3 日，有物理學家聲稱首次製造出了高等自由態的負溫度系統，該系統是由鉀原子組成的量子氣體。

## 參見

* 溫度
* 熱力學
* 普朗克溫度

## 參考文獻
−3

在數學中，**負三**記作**−3**，是介於負四與負二之間的整數，為 3 的加法反元素或相反數，即其與三的和為零，偶爾會被視為 3 的逆反詞或相對概念。日常生活中通常不會用負三來計量事物，例如無法具體地描述何謂負三頭牛或持有負三顆蘋果。

負三經常在訊號處理領域被提及，因為負三分貝約為能量的一半。因此，負三分貝又稱為半能點，經常在濾波器、濾光器和放大器中使用。在國際單位制基本單位的表示法中，負三偶爾也會做為冪次來表達立方倒數，比如密度的單位 kg･m-3。

## 性質

* 負三為第二大的負奇數。最大的負奇數為負一，而負三為負一的三倍。
* 負三與無理數 $10\log _{10}\left({\tfrac {1}{2}}\right)\approx -3.0103$ 的值十分接近，因此在訊號處理領域中經常使用負三分貝代表能量為一半的情況。
* 負三是最大的負基本判別式，同時，在 2-rank 為 0 時，負三是絕對值最小的基本判別式。
* 負三能使連續三個奇數的乘積加一為平方數。有這種性質的奇數只有 - 3 和 1，而所有滿足 n (n+2)(n+4)+1 為平方數的整數只有 11 個，分別為 - 4, -3, -2, 0, 1, 2, 8, 10, 18, 112, 1272。
* 負三能使二次體 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的類數為 1，即 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 的類數為 1，亦即其整數環為唯一分解整環，且這個二次體在複平面上形成了一個六角網格，每個六邊形又可分成 6 個三角形（三角網格）。
  * 而根據史塔克 - 黑格納理論，包含負三，有此性質的負數只有 9 個，其對應的自然數稱為黑格納數。
  * 此外負三也能使二次體 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 成為簡單歐幾里得整環（simply Euclidean fields，或稱歐幾里得範數整環，Norm-Euclidean fields），即 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 為簡單歐幾里得整環。有此性質的負數只有 - 11, -7, -3, -2, -1（OEIS 數列 A048981）。若放寬條件，則負十五也能列入。
  * 若考慮正數，則 - 3 是第七個有此性質的數，前一個是 - 7、下一個是 - 2。
* 負三與負三的乘積為正九，即負三的平方為九，因此負三為九的平方根之一，即九的負平方根。
* 現有兩數 i 和 j，i 和 j 的乘積與六倍 i 和 j 的和相等，且其和與 i、j 皆為整數的結果只有 8 個解，負三是其中之一。
* 負三為四維超立方體（或四維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值。

### 負三的因數

負三的因數有 - 3, -1, 1 和 3，這些因數與 3 的因數相同。在質因數分解中，雖然能夠透過將負一提出來完成質因數分解，
即 $-3=\,$ $-1\times 3$ ，然而算術基本定理一般以探討正整數的質因數分解為主，因此一般不會對負的整數進行質因數分解。

### 負三次冪

若一數的冪為負三次，則其可以視為立方的倒數，例如日常生活中常用的密度 CGS 制單位 g/cm3，其因此可以表示為質量乘以長度的立方倒數，計為 ML-3，此時負三用以表示立方的倒數。

而立方倒數中的相關議題還有立方倒數和。自然數的負三次次方和（立方倒數和）會收斂並趨近於阿培里常數，即：

 * $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-3}}$ =　 ${\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right\}\approx 1.202056903$

即全體自然數的負三次方和會收斂在這個數。其值約為 1.202056903。同時其也是 Zeta 函式代入 3 的結果。

## 表示方法

負三通常以在 3 前方加入負號表示，通常稱為「負三」或大寫「負叄」、「負叄」或「負參」，而在某些場合中，會以「零下三」表達 - 3，例如在表達溫度時。而在英語中通常以 negative three（負三）表示，比較不會以 minus three（減三）表示。

在二進制時，尤其是計算機運算，負數的表示通常會以二補數來表示，即將所有位數填上 1，再向下減。此時，負三計為「......11111101(2)」，例如，在八位元的二補數二進制中，負三會以「11111101(2)」表示，正三會以「00000011(2)」；而在使用負號的表示法中，負三計為「-11(2)」，亦有在最高位填 1 表示其為負之表示法，此時負三表示為「10000011(2)」。

## 在其他領域中

* 當分貝數為負三時，能量約為一半，又稱為半能點。
* 智慧型不足輕度與中度的分界為智力測驗平均值的負三個標準差上
* 關於十的負三次冪 10-3 ， 其為 SI 字首之一，可以用 m （Milli）表示。例如：1 毫米為 10-3 米、1 毫克為 10-3 克。
  * 同時 10-3 也能代表毫，以及日本的單位毛。
* 密度的因次是 ML-3，對應的 SI 制單位可以表示為 kg･m-3。 而加加速度的因次與單位也能用負三次冪表示，其因次計為 LT-3、對應的單位可以用 m･s-3 表示 。
* 部分紀年方法或計算機程式容許負值的公元年，此時負三年代表的意義為公元前 4 年，同理，對世紀而言負三世紀代表公元前 4 世紀。
* 《-3℃》為岩井由紀子 1987 年發行的單曲。
* 火星和木星有時會被歸類在負三等星。此外負三等星亦用於火流星的定義：比負三等星亮的流星稱為火流星。
  * 當金星位於相對於地球上的太陽背光位置時，其平均視星等約為負三等。而金星實際上的視星等會在−4.92 等和−2.98 等之間變動，平均約在−4.14 等左右。
* 協調世界時為 UTC−3 表示比協調世界時慢 3 小時。
* 硫酸兩個 pKa，分別是−3.0 和 1.99。
* 3 - 氟丙烯的沸點是−3 °C。

## 參見

* 3
* -3 dB（半能點）
* 前 3 年

## 註釋

## 參考文獻
∓

**正負號**（±、 $\pm $ ）是一種數學符號，用來表示近似值的精確度，或表示兩個可能的量。

## 例子

* 表示一個範圍： $100\pm 5$ 表示介於 95 和 105 之間。
* 使用百分比： $230\pm 10\%$ 表示介於 207 和 253 之間。
* 表示一個二次方程式的解。

它也可以配合**負正號**（ $\mp $ ）使用，例如： $x\pm y\mp z$ 表示 $x+y-z$ 或 $x-y+z$ ，而不是 $x+y+z$ 或 $x-y-z$ （ $\mp $ 上方的 $-$ 須和 $\pm $ 上方的 $+$ 對應； $\mp $ 下方的 $+$ 須和 $\pm $ 下方的 $-$ 對應）。

## 電腦顯示

在 ISO 8859-1,7,8,9,13,15,16，正負號的碼在十六進制是 B1。因為 Unicode 首 256 個碼和 ISO-8859-1 相同的，所以這個符號在 Unicode 是 U+00B1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。在 HTML 的字元實體參照是 `&#xb1;`。負正號（∓）較不常見，在 Unicode 是 U+2213 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

## 參見

* 數學符號表
∖

在集合論和數學的其他分支中，存在**差集**的兩種定義：**相對差集**（差集）和**絕對差集**（補集）。

## 相對差集

若 $A$ 和 $B$ 是集合，則 $A$ 在 $B$ 中的相對差集（簡稱**差集**）是由所有屬於 $B$ 但不屬於 $A$ 的元素組成的集合。

 $A$ 在 $B$ 中的差集記為 $B\setminus A$ 或 $B-A$ 。

形式上：

　
: $B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}$

例如：

　
: * $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$
* $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$
* 若 $\mathbb {R} $ 是實數集合， $\mathbb {Q} $ 是有理數集合，則 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $ 為無理數集合。

下列命題給出一些差集同聯集和交集等集合論運算相關的一些常用性質。

**命題 1**：若 $A,B,C$ 是集合，則下列等式恆成立：

　
: * $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
* $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
* $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
* $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
* $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
* $A\setminus A=\varnothing $
* $\varnothing \setminus A=\varnothing $
* $A\setminus \varnothing =A$

## 絕對差集

若給定全集 $U$ ，則 $A$ 在 $U$ 中的差集稱為 $A$ 的**絕對差集**（又稱為**補集**），記為 $A^{C}$ ，即：

　
: $A^{C}=U\setminus A$

（注意：根據 ISO 與中華人民共和國國家標準， $A$ 中子集 $B$ 的補集記作 $\complement _{A}B$ 。）

例如，若全集為自然數集合，則奇數集合的補集為偶數集合。

下列命題給出一些補集同聯集和交集等集合論運算相關的一些重要性質。

**命題 2**：若 $A$ 和 $B$ 是全集 $U$ 的子集，則下列恆等式成立：

　
: 德摩根定律：

　
: * $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
* $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

　
: 補集律：

　
: * $A\cup A^{C}=U$
* $A\cap A^{C}=\varnothing $
* $\varnothing ^{C}=U$
* $U^{C}=\varnothing $

　
: 對合：

　
: * $(A^{C})^{C}=A$

　
: 差集和補集的關係：

　
: * $A\setminus B=A\cap B^{C}$
* $(A\setminus B)^{C}=A^{C}\cup B$

上述表明，若 $A$ 為 $U$ 的非空子集，則 ${A,A^{C}}$ 是 $U$ 的一個分割。

## 補集的符號

補集的符號為「∁」（Unicode：U+2201）。

## 參考文獻

## 參見

* 集合代數
* 樸素集合論
* 對稱差
* 布林運算
* 交集
* 聯集
∗

**星號**（英文：asterisk，拉丁文：asteriscum，意謂「小星星」，來自希臘文 ἀστερίσκος）是印刷符號或字形。之所以稱為星號是因為與一般人印象中的星星相似。電腦科學家與數學家常稱之為「**star**」或「**星**」（例如「A\* 搜尋演算法」和「C\*- 代數」）。

星號起源於歐洲封建時代，族譜印製者要表示出生日期的符號。最初的形狀是六芒，每一芒都像是由中央散開的淚珠。因此，有些電腦界的圈子稱之為「**splat**」（狀聲詞，類似中文的「啪」），或許是因為許多早期的列式印表機印出來的星號看起來像是被壓扁的蟲子。

很多文化有自己獨特的星號。中國與日本用的是「※」，看起來像是漢字的「米」。阿拉伯式的星號是六芒星。於某些字體，星號是五芒，阿拉伯星號則為八芒。

## 用法

### 書面文字

* 註腳。
* 有時可用一個或數個星號取代一個單字的部分字母（尤其是髒話），緩和可能冒犯他人的語氣；或是規避關鍵字過濾。譬如：b\*\*ch。
* 製作無序列表時，可能以星號來表示項目。

### 語言學

#### 歷史語言學

在歷史語言學，字旁的星號表示這個字是重建而未經證實的歷史形式。

#### 語言學中的衍生學派

* 在衍生語法中，特別是句法學的領域，字旁或句旁的星號代表該字或該句不合語法。

### 電腦科學

* 在正規表達式中，星號用以表示一種模式可能重複出現零或多次。這種用法叫做 Kleene 星號或 Kleene 閉包。得名於克萊尼。
  * 在統一建模語言，星號用來指示零到多個類。

### 電腦介面

* 某些電腦介面，例如是 Unix shell 及微軟的命令提示字元 (Command prompt)，星號是通配符及任何一種字符。俗稱「萬用字元」。一種常見的萬用字元的用途為在電腦上尋找一個檔案。舉例：使用者想尋找一個檔案名為 Document 1，搜索字詞可以以 Doc\* 及 D\*ment\* 找到該檔案。

### 程式語言

* 很多程式語言和計算器使用星號作為乘法符號，因為 QWERTY 鍵盤中並沒有乘號。在特定語言中它還有一些特定意義，例如：
  * 在 C 與 C++ 中，星號是取值運算子，用以獲取指標指向的值。這個運算子也是取址運算子 `&` 的逆運算。
  * 在 Common Lisp 程式語言，全局變量的名字按慣例陪襯上星號，\*LIKE-THIS\*。

### 數學

星號在數學上頻繁使用，當中包括：

* 複數的共軛複數（更常用的表示法是 ${\bar {z}}$ ）。
* 兩個群的自由積
* 任意二元運算的中綴表示法。
* 卷積，比如 _f ∗ g_ 是 _f_ 與 _g_ 的卷積。
* 環的乘法群，特別是在這個環是域的時候，比如 $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} -\{0\}$
* 某個集合中任意一點，比如計算黎曼和或將單連通群收縮為單元素群時 { ∗ }。
* 向量空間 _V_ 的對偶空間符號為 _V\*_。
* 兩個光滑流形之間的光滑映射 _f_ 的前推記為 _f_\*。
* 向量空間 $*:A^{k}\rightarrow A^{n-k}$ 上的霍奇對偶算子。

星號在所有數學分支中也經常用於表示由一個字母表示的兩個數學實體之間的對應 —— 一個有星號，一個沒有。

### 醫學

* 著名的「生命之星」圖案包含一個類似 \* 號的六角星形。

### 人類遺傳學

* 人類遺傳學中，\* 是用來表示某一個體屬於某一單倍群且不屬於其任何子群（參看 \* (haplogroup)）.

### 電話通訊

* 在音頻式電話，\*（通常稱作**星**鍵，臺灣常俗稱**米字鍵**）是其中一個特別鍵，在 0 字左邊。
* Asterisk 是免費／開源軟體式電話用戶交換機 (PBX).

### 電子郵件、即時通訊

* 隨著 Markdown 的發展，以及電子郵件平台、論壇、社群平台的支援，人們開始以星號包圍一個字來表示強調（這是斜體的語法）。
* 用以表示動作，例如「Bob: \*jump\*」。
* 在聊天室和即時通訊，星號有時用於糾正誤字。星號用在句子之前或之後修正。例如發送「\* 漿」來修正剛才打錯的「你要喝米將嗎？」。

### 板球

* 在電視轉播比賽比賽中，它用作顯示球員的資料。例如 47\* 是代表比賽中第 47 名球員。

### 經濟學

### 教育

* 在 GCSE 考試，A\*（A 星）是代表特等級，在 A 級中比較突出。
* 在香港中學會考的中國語文科及英國語文科中，Level 5\* 是指在 Level 5 之中較優的考生；而香港中學文憑考試全面採用數字評級，5\*\*（讀作「五星星」）級為最高之評級，5\*（讀作「五星」）緊隨其後，皆為取得 5 級學生當中成績較突出者。

### 電子遊戲

### 棒球

* 近年，星號是用來標準一次「良好的防守」。[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

### 賽馬

* 在賽馬比賽中，一名騎師獲得特別讓磅時，會使用星號或其他符號表示馬匹獲得減輕負重的單位。

### 流行文化

* Red Hot Chili Peppers 使用八角星號作為他們的標記。
* 男子音樂組合 NSYNC 經常寫作「N\*SYNC」或「\*NSYNC」。

## 編碼

Unicode:

* U+066D ٭ ARABIC FIVE POINTED STAR ，HTML：`&#1645;`,
* U+2217 ∗ ASTERISK OPERATOR ，HTML：`&#8727;` `&lowast;`, and
* U+2731 ✱ HEAVY ASTERISK ，HTML：`&#10033;`.

類似符號

## 參見

* 阿拉伯文星號
* Star (字體)

## 參考資料
√3

**3 的主平方根**是一個正的實數，它的平方等於 3，記為：

　
: ${\sqrt {3}}$ 。

其最初 60 個數字為：

　
: 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580... （OEIS 數列 A002194）

它是一個無理數，近似值分別為: $2$ 、 ${\frac {7}{4}}$ 、 ${\frac {26}{15}}$ 、 ${\frac {97}{56}}$ 、 ${\frac {362}{209}}$ 、 ${\frac {1351}{780}}$ 、 ${\frac {131719}{76048}}$ 。

## 幾何學

如果把一個邊長為 1 的等邊三角形切成兩個全等的直角三角形，則直角三角形的斜邊長度為 1，直角邊為 ${\tfrac {1}{2}}$ 和 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ 。因此，60 度的正切等於 ${\sqrt {3}}$

它是邊長為 1 的正六邊形的互相平行的兩邊之間的距離。

如圖：

在邊長為 1 的正六邊形 $ABCDEF$ 中， $BD={\sqrt {3}}.$

 
它是單位立方體（棱長為 1 的立方體）的對角線長度。

如圖：

在棱長為 1 的立方體 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中， $AC_{1}={\sqrt {3}}.$

## 參見

* 2 的主平方根
* 5 的主平方根
* 平方根
* 無理數

## 註釋

## 參考文獻

* M. F. Jones, "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100", _Math. Comp_ **22** (1968): 234 - 235.
* H. S. Uhler, "Approximations exceeding 1300 decimals for ${\sqrt {3}}$ , ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ , $\sin({\frac {\pi }{3}})$ and distribution of digits in them" _Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A._ **37** (1951): 443 - 447.
* Wells, D. _The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers_ Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 23

## 外部連結

* 證明 3 的平方根是無理數
* MathWorld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）