万能代换公式

**正切半角公式**，又稱**萬能公式**，這一組公式有四個功能：

1. 將角統一為 ${\frac {\alpha }{2}}$ ；
2. 將函數名稱統一為 $\tan $ ；
3. 任意實數都可以 $\tan {\frac {\alpha }{2}}$ 的形式表達，可用正切函數換元。
4. 在某些積分中，可以將含有三角函數的積分變為有理分式的積分。

因此，這組公式被稱為**以切表弦公式**，簡稱**以切表弦**。它們是由二倍角公式求得的。

　
: $\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

　
: $\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

　
: $\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

　
: $\cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}$

　
: $\sec \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

　
: $\csc \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}$

而被稱為**萬能公式**的原因是利用 $\tan {\frac {\alpha }{2}}$ 的代換可以解決一些有關三角函數的積分。參見三角換元法。

　
: ${\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta }{2}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan {\frac {\theta }{2}}}{1+\tan {\frac {\theta }{2}}}}&={\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}$

## 萬能公式的證明

由二倍角公式，有：

　
: $\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$$
\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}
$$

再由同角三角函數間的關係，得出

　
: $\cos \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\tan \alpha }}={\frac {\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

### 幾何證明

在單位圓內， $t=\tan {\frac {\phi }{2}}$ 。根據相似關係， ${\frac {t}{\sin \phi }}={\frac {1}{1+\cos \phi }}$ ，可得出

　
: $t={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}={\frac {\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}}={\frac {1-\cos \phi }{\sin \phi }}$

。

 
顯然 $\tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}$ 。

## 雙曲函數

此公式亦可以對雙曲函數起到類似的作用，由雙曲線右支上的一點 $(\cosh \theta ,\sinh \theta )$ 給出。從 $(-1,0)$ 到 _y_ 軸給出了如下等式：

　
: $t=\tanh {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}$

可以得到

和

卡爾・維爾斯特拉斯引入這個式子來省去查找原函數的麻煩。

 $\theta $ 在 $T$ 而得出下面的雙曲反正切函數和自然對數之間的關係：

　
: $\operatorname {artanh} t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.$