Z-变换

在數學和訊號處理中，**Z 轉換**（英語：Z-transform）把一連串離散的實數或複數訊號，從時域轉為復頻域表示。

可以把它認為是拉普拉斯轉換的離散時間等價。在時標微積分中會探索它們的相似性。

## 歷史

現在所知的 Z 轉換的基本思想，拉普拉斯就已了解，而 1947 年 W. Hurewicz 用作求解常係數差分方程式的一種容易處理的方式。 後來由 1952 年哥倫比亞大學的取樣控制組的約翰・拉加齊尼和查德稱其為「Z 轉換」。

約翰・拉加齊尼後來發展並推廣了改進或高級 Z 轉換。

Z 轉換中包含的思想在數學裡稱作母函數方法，該方法可以追溯到 1730 年的時候，棣美弗與機率論結合將其引入。
從數學的角度，當把數位序列視為解析函數的（洛朗）展開時，Z 轉換也可以看成是洛朗級數。

## 定義

像很多積分轉換一樣，Z 轉換可以有單邊和雙邊定義。

### 雙邊 Z 轉換

_雙邊_ Z 轉換把離散時域訊號 _x[n]_ 轉為形式冪級數 _X(Z)_。

　
: $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

當中 $n$ 是整數， $z$ 是複數變數，其表示方式為

　
: $z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$

其中 _A_ 為 _z_ 的模，_j_ 為虛數單位，而 ɸ 為_輻角_（也叫_相位角_），用弧度表示。

### 單邊 Z 轉換

另外，只對 _n_ ≥ 0 定義的 _x[n]_，_單邊_ Z 轉換定義為

　
: $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

在訊號處理中，這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位脈衝響應。

單邊 Z 轉換的一個重要例子是機率母函數，其中 _x[n]_ 部分是離散隨機變數取 _n_ 值時的機率，而函數 _X(z)_ 通常寫作 _X(s)_，用 _s_ = _z_−1 表示。Z 轉換的性質（在下面）在機率論背景下有很多有用的解釋。

### 地球物理學定義

地球物理中的 Z 轉換，通常的定義是 _z_ 的冪級數而非 _z_−1 的。例如，Enders Anthony Robinson 和 E. R. Kanasewich 都使用這個慣例。 地球物理定義為：

　
: $X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.$

這兩個定義是等價的；但差分結果會有一些不同。例如，零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義，在單位圓外用另一個定義。
因此，需要注意特定作者使用的定義。

## 逆 Z 轉換

_逆_ Z 轉換為

　
: $x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

其中 _C_ 是完全處於收斂域（ROC）內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下（參見例 2），這意味著路徑 _C_ 必須包圍 _X(z)_ 的所有極點。

這個曲線積分的一個特殊情形出現在 _C_ 是單位圓的時候（可以在 ROC 包含單位圓的時候使用，總能保證 _X(z)_ 是穩定的，即所有極點都在單位圓內）。逆 Z 轉換可以化簡為逆離散傅立葉轉換：

　
: $x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

有限範圍 _n_ 和有限數量的均勻間隔的 _z_ 值的 Z 轉換可以用 Bluestein 的 FFT 算法方便地計算。離散時間傅立葉轉換 (DTFT)— 不要與離散傅立葉轉換（DFT）混淆 — 是通過將 _z_ 限制在位於單位圓上而得到的一種 Z 轉換的特殊情況。

## 收斂域

收斂域（ROC）是指 Z 轉換的求和收斂的複數平面上的點集。

　
: $ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

### 例 1（無 ROC）

令 _x[n]_ = (0.5)n。在區間 (−∞, ∞) 上展開 _x[n]_ 成為

　
: $x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$

觀察上面的和

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$

因此，沒有一個 _z_ 值可以滿足這個條件。

### 例 2（因果 ROC）

令 $x[n]=0.5^{n}u[n]\ $ （其中 _u_ 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 _x[n]_ 得到

　
: $x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.$

觀察這個和

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$

最後一個等式來自無窮幾何級數，而等式僅在 |0.5_z_−1| < 1 時成立，可以以 _z_ 為變數寫成 |_z_| > 0.5。因此，收斂域為 |_z_| > 0.5。在這種情況下，收斂域為複數平面「挖掉」原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

### 例 3（非因果 ROC）

令 $x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ $ （其中 _u_ 是單位階躍函數）。在區間 (−∞, ∞) 上展開 _x[n]_ 得到

　
: $x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.$

觀察這個和

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}$

再次使用無窮幾何級數，此等式只在 |0.5−1_z_| < 1 時成立，可以用 _z_ 為變數寫成 |_z_| < 0.5。因此，收斂域為 |_z_| < 0.5。在這種情況下，收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。

本例與上例的不同之處_僅在_收斂域上。這是意圖展示只有轉換結果是不夠的。

### 實例結論

實例 2 和 3 清楚地表明，若且唯若指定收斂域時，_x[n]_ 的 Z 轉換 _X(z)_ 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖表明，在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形：收斂域_永遠不會_包含極點。

在例 2 中，因果系統產生一個包含 |_z_| = ∞ 的收斂域，而例 3 中的非因果系統產生包含 |_z_| = 0 的收斂域。

在有多個極點的系統中，收斂域可以既不包含 |_z_| = ∞ 也不包含 |_z_| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如，

　
: $x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$

的極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |_z_| <0.75，不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統，因為它包含一個因果項 (0.5)n_u_[_n_] 和一個非因果項 −(0.75)n_u_[−_n_−1]。

一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓（即 |_z_| = 1），那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統（例 2）是穩定的，因為 |_z_| > 0.5 包含單位圓。

如果給定一個沒有收斂域的 Z 轉換（即模糊的 _x[n]_），可以確定一個唯一的 _x[n]_ 滿足下列：

* 穩定性
* 因果性

如果你要穩定性，收斂域必須包含單位圓；如果你需要一個因果系統，收斂域必須包含無窮大，並且系統函數應為一個右邊序列。如果你需要一個非因果系統，那麼收斂域必須包含原點，且系統函數為左邊序列。如果你既要穩定性，也要因果性，系統函數的所有極點都必須在單位圓內。

可以找到唯一的 _x[n]_。

## 性質

**帕塞瓦爾定理**

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

**初值定理**：如果 _x_[_n_] 為因果的，那麼

　
: $x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

**終值定理**：如果 (_z_−1)_X_(_z_) 的極點在單位圓內，則

　
: $x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

## 常見的 Z 轉換對表

這裡：

　
: $u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

是單位階躍函數而

　
: $\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

是離散時間單位衝激函數。兩者通常都不認為是真正的函數，但由於它們的不連續性把它們看成是分布（它們在 _n_ = 0 處的值通常無關緊要，除非在處理離散時間的時候，它們會變成衰減離散級數；在本章節中對連續和離散時間域，都在 _n_ = 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內容）。同時列出兩個「函數」，使得（在連續時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的積分，或（在離散時間域）單位階躍函數是單位衝激函數的求和，因此要令他們的值在 _n_ = 0 處為 1。

## 與傅立葉級數和傅立葉轉換的關係

對於區域 |z|=1（稱為單位圓）內的 z 值，我們可以通過定義 z=ejω 來用單一實變數的函數來表示該轉換。於是雙邊轉換就簡化為了傅立葉級數：

　
:

也被稱作 x [n] 序列的離散時間傅立葉轉換（DTFT）。這個以 2π 為週期的函數是傅立葉轉換的週期性求和，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點，令 X (f) 為任意函數 x (t) 的傅立葉轉換，該函數以某個間隔 T 取樣就與 x [n] 序列相等。於是 x [n] 序列的 DTFT 可以寫作：

　
: $\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).$

若 T 的單位是秒， $\textstyle f$ 的單位即為赫茲。比較兩個數列可得 $\textstyle \omega =2\pi fT$ 為標準化頻率，單位是 radians per sample。數值 ω=2π 對應 $\textstyle f={\frac {1}{T}}$ Hz. ，而且在替換 $\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},$ 後， **Eq.1** 可以表示為傅立葉轉換 X (・)**:**

　
: $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$

若數列 x (nT) 表示線性非時變系統的脈衝響應，這些函數也稱為頻率響應，當 x (nT) 是週期性數列，其 DTFT 在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克 δ 函數表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的離散傅立葉轉換來計算。（參照離散傅立葉變換 #週期性）

## 和拉氏變換的關係

### 雙線性轉換

雙線性轉換可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用 Z 域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

　
: $s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$

將一個拉氏域的函數 $H(s)$ 轉換為 Z 域下的 $H(z)$ ，或是

　
: $z={\frac {2+sT}{2-sT}}$

從 Z 域轉換到拉氏域。藉由雙線性轉換，複數的 s 平面（拉氏變換）可以映射到複數的 z 平面（Z 轉換）。這個轉換是非線性的，可以將 S 平面的整個 _j_Ω 軸映射到 Z 平面的單位圓內。因此，傅立葉變換（在 _j_Ω axis 計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區域包括 _j_Ω 軸。

## 線性常係數差分方程式

線性常係數差分（LCCD）方程式是基於自我迴歸滑動平均的線性系統表達形式。

　
: $\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}$

上面等式兩邊可以同時除以 α0，如果非零，正規化 α0 = 1，LCCD 方程式可以寫成

　
: $y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.$

LCCD 方程式的這種形式有利於更加明確「當前」輸出 _y[n]_ 是過去輸出 _y[n−p]_、當前輸入 _x[n]_ 與之前輸入 _x[n−q]_ 的一個函數。

### 遞移函數

對上述方程式去 Z 轉換（使用線性和時移法則）得到

　
: $Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$

整理結果

　
: $H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$

### 零點和極點

由代數基本定理得知分子有 _M_ 個根（對應於 H 的零點）和分母有 N 個根（對應於極點）。用極點和零點重新整理遞移函數為

　
: $H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}$

其中 _qk_ 為 _k_ 階零點，_pk_ 為 _k_ 階極點。零點和極點通常是複數，當在複數平面（z 平面）作圖時稱為零極點圖。

此外，在 _z_ = 0 和 _z_ = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話，零點和極點的數目總會相等。

通過對分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會導出系統的脈衝響應和線性常係數差分方程式。

### 輸出響應

如果一個系統 _H(z)_ 由訊號 _X(z)_ 驅動，那麼輸出為 _Y(z)_ = _H(z)X(z)_。通過對 _Y(z)_ 部分分式分解並取逆 Z 轉換可以得到輸出 _y[n]_。在實際運用中，在分式分解 ${\frac {Y(z)}{z}}$ 之後再乘 _z_ 產生 _Y(z)_ 的一個形式（含有很容易計算逆 Z 轉換的項）往往很有用。

## 參見

* 高級 Z 轉換
* 雙線性轉換
* 差分方程式（遞迴關係式）
* 離散摺積
* 離散時間傅立葉轉換
* 有限脈波響應
* 形式冪級數
* 拉普拉斯轉換
* 洛朗級數
* 機率母函數
* 星標轉換
* Zak 轉換
* ζ 函數正規化

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Refaat El Attar, _Lecture notes on Z-Transform_, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
* Ogata, Katsuhiko, _Discrete Time Control Systems 2nd Ed_, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
* Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Z-transform, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Z-Transform table of some common Laplace transforms （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mathworld's entry on the Z-transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Z-Transform threads in Comp.DSP （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Z-Transform Module by John H. Mathews
* A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）