T-test

**司徒頓 _t_ 檢定**（英語：**Student's _t_-test**）是指虛無假說成立時的任一檢定統計有司徒頓 t 分布的統計假說檢定，屬於參數統計。司徒頓 _t_ 檢定常作為檢定一群來自常態分配母體的獨立樣本之期望值是否為某一實數，或是二（兩）群來自常態分配母體的獨立樣本之期望值的差是否為某一實數。舉個簡單的例子，在某個學校中我們可以從某個年級中隨機抽樣一群男生，以檢定該年級男生與全校男生之身高差異程度是否如我們所假設的某個值。

## 由來

司徒頓 _t_ 檢定是威廉・高斯特為了觀測釀酒品質於 1908 年所提出的，「司徒頓 (student)」則是他的筆名。
基於克勞德・健力士（Claude Guinness）聘用從牛津大學和劍橋大學出來的最好的畢業生，以將生物化學及統計學應用到健力士工業流程的創新政策，高斯特受僱於都柏林的健力士釀酒廠擔任統計學家。高斯特提出了 _t_ 檢定以降低啤酒重量監控的成本。高斯特於 1908 年在《Biometrika》期刊上公布 t 檢定，但因其老闆認為其為商業機密而被迫使用筆名，統計學論文內容也跟釀酒無關。實際上，其他統計學家是知道高斯特真實身份的。

## 應用

常見的應用有：

* 單樣本檢定：檢定一個常態分布的母體的均值是否在滿足虛無假說的值之內，例如檢定一群軍校男生的身高的平均是否符合全國標準的 170 公分界線。
* 獨立樣本 t 檢定（雙樣本）：其虛無假說為兩個常態分布的母體的均值之差為某實數，例如檢定二群人之平均身高是否相等。若兩母體的變異數是相等的情況下（同質變異數），自由度為兩樣本數相加再減二；若為異質變異數（母體變異數不相等），自由度則為 Welch 自由度，此情況下有時被稱為 Welch 檢定。
* 配對樣本 t 檢定（成對樣本 t 檢定）：檢定自同一母體抽出的成對樣本間差異是否為零。例如，檢測一位病人接受治療前和治療後的腫瘤尺寸大小。若治療是有效的，我們可以推定多數病人接受治療後，腫瘤尺寸將縮小。
* 檢定一迴歸模型的偏迴歸係數是否顯著不為零，即檢定解釋變數 X 是否存在對被解釋變數 Y 的解釋能力，其檢定統計量稱之為 t - 比例（t-ratio）。

## 前提假設

大多數的 _t_ 檢定之統計量具有 _t_ = _Z_/_s_ 的形式，其中 _Z_ 與 _s_ 是已知資料的函數。_Z_ 通常被設計成對於對立假說有關的形式，而 _s_ 是一個比例母數使 _t_ 服從於 _t_ 分布。以單樣本 _t_ 檢定為例， $Z={\bar {X}}/(\sigma /{\sqrt {n}})$ ，其中 ${\bar {X}}$ 為樣本平均數， $n$ 為樣本數， $\sigma $ 為母體標準差。至於 _s_ 在單樣本 _t_ 檢定中為 ${\hat {\sigma }}/\sigma $ ，其中 ${\hat {\sigma }}$ 為樣本的標準差。在符合零假說的條件下，_t_ 檢定有以下前提：

* _Z_ 服從標準常態分布
* (_n_ - 1)_s_2 服從自由度 (_n_- 1) 的卡方分布
* _Z_ 與 _s_ 互相獨立

## 計算

### 單樣本 _t_ 檢定

檢定虛無假說為一群來自常態分配獨立樣本 _x_i 之母體期望值 _μ_ 為 _μ_0 可利用以下統計量

　
: $t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}}$

其中 $i=1\ldots n$ ， ${\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ 為樣本平均數， $s={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}$ 為樣本標準差，_n_ 為樣本數。該統計量 _t_ 在虛無假說：_μ_ = _μ_0 為真的條件下服從自由度為 _n_− 1 的 t 分布。

### 配對樣本 _t_ 檢定

配對樣本 _t_ 檢定可視為單樣本 _t_ 檢定的擴展，不過檢定的對象由一群來自常態分配獨立樣本更改為兩配對樣本之觀測值之差。

若兩配對樣本 _x_1_i_ 與 _x_2_i_ 之差為 _d_i = _x_1_i_ − _x_2_i_ 獨立且來自常態分配，則 _d_i 之母體期望值 _μ_ 是否為 _μ_0 可利用以下統計量

　
: $t={\frac {{\overline {d}}-\mu _{0}}{s_{d}/{\sqrt {n}}}}$

其中 $i=1\ldots n$ ， ${\overline {d}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}}{n}}$ 為配對樣本差值之平均數， $s_{d}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-{\overline {d}})^{2}}{n-1}}}$ 為配對樣本差值之標準差，_n_ 為配對樣本數。該統計量 _t_ 在虛無假說：_μ_ = _μ_0 為真的條件下服從自由度為 _n_− 1 的 t 分布。

### 獨立雙樣本 _t_ 檢定

#### 同質變異數假設 (Homoscedasticity)、樣本數相等

若兩獨立樣本 _x_1_i_ 與 _x_2_i_ 具有相同之樣本數 _n_，且來自兩個母體變異數相同（同質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值差 _μ_1 - _μ_2 是否為 _μ_0 可利用以下統計量

　
: $t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {2s_{p}^{2}/n}}}$

其中 $i=1\ldots n$ ， ${\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n}x_{1i})/n$ 及 ${\overline {x}}_{2}=(\sum _{i=1}^{n}x_{2i})/n$ 為兩樣本各自的平均數， $s_{p}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{2i}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(2n-2)$ 為樣本之共同變異數。該統計量 _t_ 在虛無假說：_μ_1 - _μ_2 = _μ_0 為真的條件下服從自由度為 2_n_− 2 的 t 分布。

#### 同質變異數假設 (Homoscedasticity)、樣本數不相等

若兩獨立樣本 _x_1_i_ 與 _x_2_j_ 具有不相同之樣本數 _n_1 與 _n_2，且來自兩個母體變異數相同（同質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值之差 _μ_1 - _μ_2 是否為 _μ_0 可利用以下統計量

　
: $t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {s_{p}^{2}/n_{1}+s_{p}^{2}/n_{2}}}}$

其中 $i=1\ldots n_{1}$ ，其中 $j=1\ldots n_{2}$ ， ${\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n}x_{1i})/n$ 及 ${\overline {x}}_{2}=(\sum _{i=1}^{n}x_{2i})/n$ 為兩樣本各自的平均數， $s_{p}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(n_{1}+n_{2}-2)$ 為兩樣本共同之變異數。該統計量 _t_ 在虛無假說：_μ_1 - _μ_2 = _μ_0 為真的條件下服從自由度為 _n_1 + _n_2− 2 的 t 分布。

#### 異質變異數假設 (Heteroscedasticity)

若兩獨立樣本 _x_1_i_ 與 _x_2_j_ 具有相同或不相同之樣本數 _n_1 與 _n_2，且兩者母體變異數不相等（異質變異數假設）的常態分配，則兩母體之期望值之差 _μ_1 - _μ_2 是否為 _μ_0 可利用以下統計量

　
: $t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}}$

其中 $i=1\ldots n_{1}$ ，其中 $j=1\ldots n_{2}$ ， ${\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n_{1}}x_{1i})/n_{1}$ 及 ${\overline {x}}_{2}=(\sum _{j=1}^{n_{2}}x_{2j})/n$ 為兩樣本各自的平均數， $s_{1}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2})/(n_{1}-1)$ 及 $s_{2}^{2}=(\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2})/(n_{2}-1)$ 分別為兩樣本之變異數。該統計量 _t_ 在虛無假說：_μ_1 - _μ_2 = _μ_0 為真的條件下服從自由度為

　
: $df={\frac {(s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}/(n_{1}-1)+(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}/(n_{2}-1)}}$

之 t 分布。這種方法又常稱為 Welch 檢定。

### 其它相關檢定

#### 偏迴歸係數是否為零之檢定

##### 以簡單線性迴歸為例

模型假設：

　
: $y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i},$

其中 _x_i，_i_ = 1, ..., _n_ 為已知，_α_ 與 _β_ 為未知係數，_ε_i 為殘差獨立且服從期望值 0 且變異數 _σ_2 未知的常態分布，_y_i，_i_ = 1, ..., _n_ 為觀測值。我們可以檢定迴歸係數 _β_ 是否相等於特定的 _β_0，通常使 _β_0= 0 以檢定 _x_i 對 _y_i 是否存在解釋能力，在此例（簡單線性迴歸模型）即為檢定迴歸式之斜率是否為零。

令 ${\widehat {\alpha }}$ 與 ${\widehat {\beta }}$ 為最小平方法之估計值， $SE_{\widehat {\alpha }}$ 與 $SE_{\widehat {\beta }}$ 為最小平方法估計值之標準誤差，則

　
: $t={\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\widehat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}$

在虛無假說為 β = β0 的情況下服從自由度為 _n_− 2 之 t 分布，此檢定統計量被稱作「**t 比率 (t-ratio)**」，其中

　
: $SE_{\widehat {\beta }}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\widehat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

由於 ${\widehat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\widehat {y}}_{i}=y_{i}-({\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}x_{i})$ 為殘差（即估計誤差），而 ${\text{SSR}}=\sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{i}^{\;2}$ 為殘差之離均平方和，我們可改寫 _t_ 為

　
: $t={\frac {({\widehat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {{\text{SSR}}/\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}}$

另請參閱：F 檢定

## 電腦軟體

大多數的試算表軟體及統計軟體，諸如 QtiPlot、OpenOffice.org Calc、LibreOffice Calc、Microsoft Excel、SAS、SPSS、Stata、DAP、gretl、R、Python ([1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)、PSPP、Minitab 等，都可以進行 _t_ 檢定運算。

## 參見

* 司徒頓 t 分布
* F 檢定
* 機率分布

## 參考文獻