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在數學中，一個數 $x$ 的**平方根** $y$ 指的是滿足 $y^{2}=x$ 的數，即平方結果等於 $x$ 的數。例如，4 和 - 4 都是 16 的平方根，因為 $4^{2}=(-4)^{2}=16$ 。

任意非負實數 $x$ 都有唯一的非負平方根，稱為**主平方根**或**算術平方根**（英語：principal square root），記為 ${\sqrt {x}}$ ，其中的符號 ${\sqrt {\quad }}$ 稱作根號。例如，9 的主平方根為 3，記作 ${\sqrt {9}}=3$ ，因為 $3^{2}=3\times 3=9$ 並且 3 非負。被求平方根的數稱作**被開方數**（英語：radicand），是根號下的數字或者表達式，即例子中的數字 9。

正數 $x$ 有兩個互為相反數的平方根：正數 ${\sqrt {x}}$ 與負數 $-{\sqrt {x}}$ ，可以將兩者一起記為 $\pm {\sqrt {x}}$ 。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學對象都可考慮其「平方根」（例如矩陣的平方根）。

* MS 的 Excel 中和大部分程式語言以 "sqrt ()" 表示。

## 歷史

耶魯大學的巴比倫藏品 YBC 7289 是一塊泥板，製作於前 1800 年到前 1600 年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形，標註了 ${\sqrt {2}}$ 的六十進位數字 1;24,51,10。十六進位的 1;24,51,10 即十進位的 1.41421296，精確到了小數點後 5 位（1.41421356...）。

萊因德數學紙草書大約成書於前 1650 年，內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。

古印度的《繩法經》大約成書於前 800 年到前 500 年之間，書中記載了將 2 的平方根的計算精確到小數點後 5 位的方法。

古希臘的《幾何原本》大約成書於前 380 年，書中還闡述了如果正整數不是完全平方數，那麼它的平方根就一定是無理數 —— 一種無法以兩個整數的比值表示的數（無法寫作 _m/n_，其中 _m_ 和 _n_ 是整數）。

中國的《書》成書於漢朝（約前 202 年到前 186 年之間），書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的 latus（正方形邊）的首個字母「L」被不少歐洲人採用；亨利・布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成 latus 的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的 radix（平方根），1220 年 Leconardo 在《_Practica geometriae_》中使用℞（R 右下角的有一斜劃，像 P 和 x 的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福・魯登道夫在 1525 年的書 _Coss_ 首次使用，據說是小寫 r 的變型；後來數學家笛卡兒給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的（即「⎷‾」），因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至 18 世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為 2 時，省略不寫），從而形成了現在人們熟知的開方運算符號 ${\sqrt[{n}]{\,\,}}$ 。

## 實數的平方根

 $x$ 的平方根亦可用指數表示，如：

　
: $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$

 $x$ 的絕對值可用 $x^{2}$ 的算數平方根表示：

　
: $|x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)$

### 正數的平方根

若正整數 $x$ 是平方數，則其平方根是整數。若正整數 $x$ 不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數 $x$ 、 $y$ ，以下式成立：

　
: ${\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}$

### 負數的平方根

負數的平方根在複數範圍內同樣有定義。

負數有兩個平方根，它們為一對共軛的純虛數。

以虛數單位 $i={\sqrt {-1}}$ 可將負數 $x$ 的平方根表示為

　
: $\pm {\sqrt {-x}}i$ ，其中 ${\sqrt {-x}}i={\sqrt {x}}$ 。

例如 - 5 的平方根有兩個，它們分別為 ${\sqrt {5}}i$ 和 $-{\sqrt {5}}i$ 。

對於負數 $x$ 、 $y$ ，以下式成立：

　
: ${\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}$

## 負數與複數的平方根

正數和負數的平方都是正數，0 的平方是 0，因此負數沒有實數平方根。然而，我們可以把我們所使用的數字集合擴大，加入負數的平方根，這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字，記作 $i$ （也可以記作 $j$ ，比如電學場景中 $i$ 一般表示電流），稱之為虛數單位，定義即為 $i^{2}=-1$ ，故 $i$ 是 - 1 的平方根，而且 $(-i)^{2}=i^{2}=-1$ ，所以 $-i$ 也是 - 1 的平方根。通常稱 - 1 的主平方根是 $i$ ，如果 $x$ 是任意非負實數，則 $-x$ 的主平方根就是：

　
: ${\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}$

之所以等式右側（包括其對應的負值）是 $-x$ 的主平方根，是因為：

　
: $(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x$

對於任何一個非零的複數 $z$ 都存在兩個複數 $w$ 使得 $w^{2}=z$ 。

### 虛數的主平方根

虛數 $i$ 的主平方根可以根據以下公式計算：

　
: ${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

這個公式可以通過用代數方法推導，只需找到特定的實數 $a$ 和 $b$ ，滿足

　
: ${\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}$

就可以得到方程組

　
: ${\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}$

的解：

　
: $a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

其中，主平方根即為

　
: $a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

這個公式還可以通過棣美弗公式得到，設

　
: $i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

就可以推出

　
: ${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}$

### 複數的主平方根

首先，我們將複數 $x+iy$ 看作是平面上的點，即笛卡兒坐標系中的 $(x,y)$ 點。這個點也可以寫作極坐標的 $(r,\varphi )$ ，其中 $r\geq 0$ ，是該點到坐標原點的距離， $\varphi $ 則是從原點到該點的直線與實數坐標軸（ $x$ 軸）的夾角。複分析中，通常把該點記作 $re^{i\varphi }$ 。如果

　
: $z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi $

那麼我們將 $z$ 的主平方根定義為：

　
: ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}$

因此，平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。 ${\sqrt {1+x}}$ 的泰勒級數也適用於複數 $x(\left\vert x\right\vert <1)$ 。

上面的公式還可以用三角函數的形式表達：

　
: ${\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)$

### 代數公式

如果使用笛卡兒坐標的形式表達複數 _z_，其主平方根可以使用如下公式：

　
: ${\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}$

其中，方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同（為 0 時取正）；主值實部永遠非負。

在虛數裡，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：

 * ${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$
* ${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$
* ${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$

所以這是錯誤的：

　
: $-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

## 多項式的平方根

例：若 $x\in \mathbb {R} $ ， ${\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!$

## 2 的主平方根

數學史中，最重要的平方根可以說是 ${\sqrt {2}}$ ，它代表邊長為 1 的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫畢達哥拉斯常數，其值到小數點 14 位約為 1.4142135623731。

 ${\sqrt {2}}$ 是無理數，可由歸謬法證明：

1. 設 ${\sqrt {2}}$ 為有理數，可表示為 ${\frac {p}{q}}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 為互質之正整數。
2. 因為 $\left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2$ ，故 $p^{2}$ 是 2 的倍數， _$p$_ 也是 2 的倍數，記為 $2k$ ，其中 $k$ 為正整數。
3. 但是 $2q^{2}=p^{2}=4k^{2}$ ，故 $q^{2}=2k^{2}$ ， $q^{2}$ 是 2 的倍數， _$q$_ 也是 2 的倍數。
4. 依上兩式， $p$ 、 $q$ 都是 2 的倍數，和 $p$ 、 $q$ 為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證 ${\sqrt {2}}$ 不是有理數，即 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。

## 計算方法

### 因數計算

 ${\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}$ 。

 

注意，6 的質因數分解為 2 × 3，不能寫成某個數的平方，因此 $2{\sqrt {6}}$ 就是最簡結果
。

### 中算開方

《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法、增乘開平方法；明代數學家王素文，程大位發明珠算開平方法，而朱載堉《算學新說》首創用 81 位算盤開方，精確到 25 位數字。

### 長除式算法

長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是 $.(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b$ 。

1. 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如 98765.432 內小數點前的 65 是一組，87 是一組，9 是一組，小數點後的 43 是一組，之後是單獨一個 2，要補一個 0 而得 20 是一組。如 1 04.85 73 得四組，順序為 1' 04. 85' 73'。
2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
3. 將上一步所得之差乘 100，和下一組數加起來。
4. 將記下的數乘 20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
5. 記下的數一次隔兩位記下。
6. 重覆第 3 步，直到找到答案。
7. 可以在數字的最右補上多組的 00' 以求得理想的精確度為止。

下面以 ${\sqrt {200}}$ 為例子：

$$
{\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}
$$

$$
{\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421
$$

四捨五入得答案為 14.14。

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見 n 次方算法。

利用高精度長式除法可以計算出 1 至 20 的平方根如下：

### 牛頓法

如果要求 $S\,(S>1)$ 的平方根，選取 $1\,<\,x_{0}\,<\,S$

　
: $x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)$

例子：求 ${\sqrt {125348}}$ 至 6 位有效數字。

　
: $x_{0}=3^{6}=729.000\,\!$

　
: $x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472$

　
: $x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365$

　
: $x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191$

　
: $x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045$

　
: $x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045$

因此 ${\sqrt {125348}}\approx 354.045$ .

### 連分數

平方根可以簡便地用連分數的形式表示，關於連分數請見連分數，其中 1 至 20 的主平方根分別可用連分數表示為： 
 ${\sqrt {1}}=1$ 
 ${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]$ 
 ${\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]$ 
 ${\sqrt {4}}=2$ 
 ${\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]$ 
 ${\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]$ 
 ${\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]$ 
 ${\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]$ 
 ${\sqrt {9}}=3$ 
 ${\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]$ 
 ${\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]$ 
 ${\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]$ 
 ${\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]$ 
 ${\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]$ 
 ${\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]$ 
 ${\sqrt {16}}=4$ 
 ${\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]$ 
 ${\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]$ 
 ${\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]$ 
 ${\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]$ 

連分數部分均循環，省略號前為 2 或 4 個循環節。

### 巴比倫方法

巴比倫求平方根的算法實際上很簡單：（假設要求一個數 N 的平方根）

1. 預測一個平方根 $x$ ，初始另一個值 $y$ ，且 $xy=N$
2. 求預測值與初始值的均值： $x=x={\frac {x+y}{2}}$
3. 比較 $x$ 和 $y$ 的差值是否達到精度，如果無，繼續步驟

### 重複的算術運算

這個方法是從佩爾方程式演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

### 尺規作圖

#### 問題

給定線段 _AB_ 和 1，求一條長為 ${\sqrt {AB}}$ 的線段。

#### 解法

1. 畫線 _AB_，延長 _BA_ 至 _C_ 使 $AC=1$
2. 以 _BC_ 的中點為圓心，_OC_ 為半徑畫圓
3. 過 _A_ 畫 _BC_ 的垂直線，垂直線和圓弧交於 _D_，_AD_ 即為所求之長度

#### 證明

將整個過程搬到直角座標上，已知 _AC_=1，設

* _O_= $(0,0)$
* _AB_= $n$
1. 直徑為 _BC_ 的圓就是 $x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}$ （圓的方程式式： $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ）（其中 $r$ 表示半徑。）
2. 將 $\left({\frac {n+1}{2}}-1\right)$ （_A_,_D_ 所在的 _x_ 座標）代入上面的方程式式
3. $\left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}$
4. 解方程式，得 $y={\sqrt {n}}$ 。

另也可參見射影定理。

## 參見

* 方根
* 增乘開平方法
* 二項式定理
* 牛頓法

## 外部連結

* Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
* The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
* 開方公式的推導 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 平方根計算器 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

## 參考資料