Topos理论

數學中，**拓撲斯**（**topos**）是一種範疇，性狀類似拓撲空間上的集合層範疇。

## 格羅滕迪克拓撲斯（幾何中的拓子）

自 1940 年代層的引入，數學中一個重要的主題便成了用空間上的層研究空間。亞曆山大・格羅滕迪克以引入**拓子**的概念，詳細說明了這個想法。在數學中，常常有這樣的情況：拓撲直覺很有效，但是並沒有拓撲空間，這時拓撲斯便顯出它的功效；有時可以找到一個拓撲斯，使得直覺形式化。這個程式化的想法最偉大的成就是概形的平展拓撲斯的引入。

### 等價構造

令 _C_ 為一範疇。Giraud 的一個定理斷言，以下命題等價：

* 有小範疇 _D_ 和包含關係 _C_ $\hookrightarrow $ Presh(_D_) 使得其存在保持有限極限的左伴隨。
* _C_ 是格羅滕迪克 site 上的層範疇。
* _C_ 滿足以下的 Giraud 公理

有如上之性質的範疇稱為「（格羅滕迪克）拓撲斯」。這裡 Presh (_D_) 表示從 _D_ 到幾何範疇的反變函子範疇；如此的反變函子常被稱為預層。

#### Giraud 公理

範疇 _C_ 的 Giraud 公理是：

* _C_ 的生成元構成小集合，且允許所有小的余極限。進一步，余極限與纖維積可交換。
* _C_ 中的和是不交的。換句話說，_X_ 和 _Y_ 在它們和上的纖維積是 _C_ 的初對象。
* _C_ 中所有等價關係皆為有效的。

最後一個公理需要最多解釋。若 _X_ 為 _C_ 中對象，_X_ 上一等價關係 _R_ 為 _C_ 中映射 _R_→_X_×_X_，使得所有映射 Hom (_Y_,_R_)→Hom(_Y_,_X_)×Hom(_Y_,_X_) 是集合中的等價關係。因為 _C_ 有餘極限，我們可構作兩映射 _R_→_X_ 的余等化子 _X_/_R_。這等價關係是有效的，若典範映射

　
: $R\to X\times _{X/R}X\,\!$

是同構。

#### 例子

Giraud 定理已經給出了「sites 上的層」作為例子的完全列表。注意不等價的 sites 常常給出等價的拓撲斯。如介紹所示，普通拓撲空間上的層激發了很多拓撲斯理論的基本定義和結果。

集合的範疇是特別而重要的情形：它在拓撲斯理論中扮演了點的角色。確實，一個集合可被理解成單點上的層。

更多外來的例子和拓撲斯理論存在的理由來自代數幾何。對一概形甚至是棧，我們可關聯平展拓撲斯，fppf 拓撲斯，Nisnevich 拓撲斯……

### 幾何態射

如果 _X_ 和 _Y_ 是拓撲斯，一個**幾何態射**_u_: _X_→_Y_ 是一對伴隨函子 (_u_∗,_u_∗)，使得 _u_∗保持有限極限。注意 _u_∗由於有右伴隨而自動保持余極限。

通過 Freyd 伴隨函子定理，給定一幾何態射 _X_ → _Y_ 相當於給定一保持有限極限和所有小余極限的函子 _u_∗: _Y_ → _X_。

因此拓撲斯間的幾何態射可以被看成 locales 的映射的類似。

若 _X_ 和 _Y_ 是拓撲空間，_u_ 是其間的連續映射，層上的前推和拉回給出相關拓撲斯間的幾何態射。

#### 拓撲斯的點

拓子 _X_ 中的點是從集合的拓子到 _X_ 的幾何態射。

若 _X_ 是普通拓撲空間，_x_ 是 _X_ 的點，那麼把層 _F_ 帶到它的莖 _Fx_ 的函子有右伴隨（「摩天大樓層」函子），因此 _X_ 的普通點同時決定了一個拓撲斯理論中的點。這些可以用沿連續映射 _x_: _1_ → _X_ 的拉回前推來構造。

#### 基本幾何態射

一幾何態射 (_u_∗,_u_∗) 被稱為**基本**的，若 _u_∗有進一步左伴隨 _u_!，或等價地（由伴隨函子定理）若 _u_∗不僅保持有限而且保持所有小極限。

### 賦環拓撲斯

一個**賦環拓撲斯**是對 _(X,R)_，其中 _X_ 是一拓撲斯而 _R_ 是 _X_ 中交換環對象。大部分賦環空間的構造可用在賦環拓撲斯上。_X_ 中 _R_ 模對象範疇是有足夠內射元的阿貝爾範疇。更有用的阿貝爾範疇是擬凝聚 _R_ 模子範疇：它們是有展示的 _R_ 模。

除賦環空間，另一類重要的賦環拓撲斯是德利涅 - 芒福德棧的平展拓撲斯。

### 拓撲斯的同倫理論

## 基本拓撲斯（邏輯中的拓撲斯）

### 介紹

### 形式定義

### 解釋

### 進一步的例子

## 參見

* 範疇論
* 格羅滕迪克拓撲

## 參考資料

### 補充來源

**一些論文**
:

* John Baez: "Topos theory in a nutshell. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" A gentle introduction.
* Steven Vickers: "Toposes pour les nuls （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" and "Toposes pour les vraiment nuls. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" Elementary and even more elementary introductions to toposes as generalized spaces.
* Illusie, Luc, What is a ... topos? (PDF), Notices of the AMS, [2011-02-05], （原始內容存檔 (PDF) 於 2020-08-01）

以下是對範疇論和拓撲斯易學的介紹。 它們適合對數理邏輯和集合論瞭解較少的人，甚至是非數學家。

* F. William Lawvere and Stephen H. Schanuel (1997) _Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories_. Cambridge University Press. An "introduction to categories for computer scientists, logicians, physicists, linguists, etc." (cited from cover text).
* F. William Lawvere and Robert Rosebrugh (2003) _Sets for Mathematics_. Cambridge University Press. Introduces the foundations of mathematics from a categorical perspective.

格羅滕迪克對拓撲斯基礎性的工作：

* Grothendieck and Verdier: _Théorie des topos et cohomologie étale des schémas_ (known as SGA4)". New York/Berlin: Springer, ??. (Lecture notes in mathematics, 269–270)

以下專著包括對部分或全部拓撲斯理論的介紹，但並非主要為初學者而寫。 越靠後難度越高。

* Colin McLarty (1992) _Elementary Categories, Elementary Toposes_. Oxford Univ. Press. A nice introduction to the basics of category theory, topos theory, and topos logic. Assumes very few prerequisites.
* Robert Goldblatt (1984) _Topoi, the Categorial Analysis of Logic_ (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. A good start. Reprinted 2006 by Dover Publications, and available online （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Robert Goldblatt's homepage. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* John Lane Bell (2005) _The Development of Categorical Logic_. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version available online （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at John Bell's homepage. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk (1992) _Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory_. Springer Verlag. More complete, and more difficult to read.
* Michael Barr and Charles Wells (1985) _Toposes, Triples and Theories_. Springer Verlag. Corrected online version at https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html. More concise than _Sheaves in Geometry and Logic_, but hard on beginners.

**專家的參考文獻，不適合初次學習**
:

* Francis Borceux (1994) _Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves_, Volume 52 of the _Encyclopedia of Mathematics and its Applications_. Cambridge University Press. The third part of "Borceux' remarkable magnum opus", as Johnstone has labelled it. Still suitable as an introduction, though beginners may find it hard to recognize the most relevant results among the huge amount of material given.
* Peter T. Johnstone (1977) _Topos Theory_, L. M. S. Monographs no. 10. Academic Press. ISBN 0123878500. For a long time the standard compendium on topos theory. However, even Johnstone describes this work as "far too hard to read, and not for the faint-hearted."
* Peter T. Johnstone (2002) _Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium_. Oxford Science Publications. As of early 2010, two of the scheduled three volumes of this overwhelming compendium were available.

**以拓撲斯的特殊應用為目的的書**
:

* Maria Cristina Pedicchio and Walter Tholen, eds. (2004) _Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory_. Volume 97 of the _Encyclopedia of Mathematics and its Applications_. Cambridge University Press. Includes many interesting special applications.