Von_Neumann-Bernays-Gödel_集合论

在數學基礎中，**馮・諾伊曼 - 博內斯 - 哥德爾集合論**（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，**NBG**）是設計生成同 Zermelo-Fraenkel 集合論與選擇公理一起（ZFC）同樣結果的集合論公理系統，但只有有限數目的公理，即是不使用公理模式。

NBG 首先由馮・諾伊曼在 1920 年代提出，從 1937 年開始由保羅・博內斯作修改，在 1940 年由哥德爾進一步簡化。

不像 ZFC，NBG 只有有限多個公理。Richard Montague 在 1961 年證明，不可能找到在邏輯上等價於 ZFC 的有限數目的公理；因此 NBG 的語言有能力談論真類同談論集合一樣，並且關於集合的陳述在 NBG 中是可證明的，若且唯若它在 ZFC 中是可證明的（就是說 NBG 是 ZFC 的保守擴展）。

## 理論

這個理論的標誌特徵是類和集合的區分。類可以非常大 —— 實際上你可以談論「所有集合的類」。但是有一個結構性限制以避免「所有類的類」或「所有集合的集合」這樣的描述。

成員關係

　
: $a\in s$

只定義在 $a$ 是集合而 $s$ 是集合或類的條件下。

類的構建反映了樸素集合論的構建過程。由於給出了抽象原理，因此從任何帶有成員關係的謂詞邏輯的陳述，都可以形成相應的類。等於、序對、子類等等的概念都變成定義而不是公理的事情 —— 這些定義都是從公式而來的抽象。

集合的構建跟 ZF 裡的處理很相似。有一個謂詞「Rp」定義如下：

　
: $\mathrm {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\iff x\in a)$

就是說，一個集合 _a_ 表示（represent）一個類 _A_，如果 _a_ 的所有元素都是 _A_ 的元素，反之亦然。有些類沒有表示，比如不包含自身的所有集合的類。這樣的類叫做真類。

這種系統的優點是它搭建出一個框架，以允許談論「大對象」，而不會有涉及悖論的顧慮。比如，在範疇論的某些構建中，若然在一個範疇裡，對象的搜集和態射的搜集可以被表示為真類，那這範疇便稱為大範疇。在另一方面，如果一個範疇的對象和態射能「裝進」集合，就稱之為小範疇。因此我們可以容易的談論「所有小範疇的範疇」而不會衍生問題。當然，這樣得出的會是個大範疇。

## NBG 的公理化

在本節中會展示一個 NBG 的公理化（實際上有兩個不同的公理化，第二個是第一個的改進）。可以把它跟 Morse-Kelley 集合論的公理化比較一下。

把 NBG 看作有兩種類別（two-sorted）的理論，小寫字母充當集合變量而大寫字母充當類變量。成員關係的陳述需要是如下形式之一： $x\in y$ 或 $x\in Y$ ，而等式的陳述需要是如下形式之一 $x=y$ 或 $X=Y$ 。通過濫用符號，把 $(\forall x.x\in a\leftrightarrow x\in A)$ 寫為 _a=A_。

這個理論也可以被表達為單一類別（one-sorted）的理論，通過如下定義來區分集合和類：一個類是集合，如果它是另一個類的元素。

公理如下，不帶類字樣的公理是關於集合的。

* **類外延性公理：** $(\forall x.x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$ ：有相同元素的類是相同的。
* **外延性公理：** $(\forall x.x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$ ：有相同元素的集合是相同的。
* **類概括公理（模式）：**如果公式 $\phi $ 不包含修飾類的量詞（但 $\phi $ 還是可以包含類和集合參數），則存在一個對應的類 _A_ 使得對於所有 _x_， $x\in A\leftrightarrow \phi $ 。

在樸素集合論裡，使用非限定的公式構成集合，是產生悖論的原因。在 NBG 系統裡，限定了概括公理的適用情況，並藉此有加以限制的公式構成一個類，從而避免了樸素集合論的悖論。

若把這個公理模式強化，允許量詞修飾類，這樣它就不再是有限可公理化的，可由另一個理論叫做 Morse-Kelley 集合論來描述。

* **配對公理：** $\forall x,y.Set(x),Set(y)\leftrightarrow \exists s=\{x,y\}$ ：對於任何集合 _x_ 和 _y_，有一個集合 $\{x,y\}$ ，它的元素精確地是 _x_ 和 _y_。

注意這個公理允許有序對的定義，並與類概括一起，允許把在集合上的關係適用於類的情況（對於特定的類關係，也可以使用函數、單射或雙射的術語了，只不過是「由類到類」而不是「由集合到集合」）。

* **大小限制公理：**對於任何類 _C_，存在一個集合 _x_ 使得 $Rp(C,x)$ （謂 _x_ 是 _C_ 的表示，即 _C_ 和 _x_ 所包含的元素一樣），若且唯若沒有在 _C_ 和所有集合的類 _V_ 之間的雙射。

這個公理貢獻自馮・諾伊曼，並一下實現了分離公理、替代公理和全局選擇公理。如果需要的話，它可以被弱化為「若類函數的定義域被包含在一個集合中，則其值域亦為集合」；這將去除選擇公理（如果需要可以把它替代為更加有用的局部形式的選擇公理）。完全的大小限制公理蘊涵了全局選擇公理，因為序數的類不是集合，所以有從序數到全集的雙射。

* **併集公理：**對於任何集合 _x_，有一個集合精確的包含 _x_ 的元素的元素。
* **冪集公理：**對於任何集合 _x_，有一個集合精確的包含 _x_ 的子集。
* **無窮公理：**存在一個集合 _y_，空集是 _y_ 的元素，且對每個 _y_ 的元素 _a_ ， $a\cup \{a\}$ 也是 _y_ 的元素。
* **類基礎（正規）公理：**若類 _A_ 不是空類，則存在類 _A_ 的元素 _x_，使得 _x_ 與 _A_ 不具有共同元素（可以理解為不相交）。

## 與類概括公理（模式）等價的一組公理

我們可以用幾個公理來取代 NBG 的類概括公理模式。
我們將用以下的公理作為例子，但不保證它跟正規的方法一樣。

* **集合公理：**對於任何集合 _x_，有一個類 _X_ 使得 _x=X_。

這個公理給予我們某些東西作為起始（結合上第一個公理化中的關於集合存在的那些公理），並且使我們可以處理在公式中的集合參數（parameter）。

注意如果 $A=\{x\mid \phi \}$ 且 $B=\{x\mid \psi \}$ ，則 $\{x\mid \neg \phi \}=V-A$ 且 $\{x\mid \phi \wedge \psi \}=A\cap B$ 。這些已經足夠處理所有命題連結詞。

* **補類公理：**對於任何類 _A_，補集 $V-A=\{x\mid x\not \in A\}$ 是類。
* **交類公理：**對於任何類 _A_ 和 _B_，交集 $A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$ 是類。

現在我們需要處理量化。為了處理多個變量，我們需要能夠表示關係。有序對 $(a,b)$ 被定義為平常的 $\{\{a\},\{a,b\}\}$ （我們假定了其他 NBG 公理所以有配對）。

* **積類公理：**對於任何類 _A_ 和 _B_，類 $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}$ 是類（ $V\times A$ 實際上就是我們所需要的全部）。
* **類逆轉公理：**對於任何類 _R_， 類 $Conv1(R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\}$ 和 $Conv2(R)=\{(b,(a,c))\mid (a,(b,c))\in R\}$ 存在。
* **類結合公理：**對於任何類 _R_，類 $Assoc1(R)=\{((a,b),c))\mid (a,(b,c))\in R\}$ 和 $Assoc2(R)=\{(d,(a,(b,c)))\mid (d,((a,b),c)))\in R\}$ 存在。

通過這些公理，我們可以自由的增加啞變元（dummy argument）並在任意元數關係中重排變元的次序。看起來有點奇特的結合公理，它正是設計用來作調動，使得我們可以把任一變元提到列表前面（加上逆轉公理的輔助）。我們把變元的列表 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 表示為 $(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))$ （它是第一個變元作為它的第一個投影，而列表的「尾部」作為它的第二個投影的有序對）。想法是一直應用 Assoc1 ，直到這個要提到前面的變元位於第二個投影，接著適當地應用 Conv1 或 Conv2 ，把第二個變元提到前面，接著應用 Assoc2 直到最初 Assoc1 一系列應用的效果（現在在被移動的變元之後）被改正。

現在我們觀察到如果 $\{(x,y)\mid \phi (x,y)\}$ 存在，則集合 $\{y\mid (\exists x.\phi (x,y))\}$ 按關係考慮的話，就單純是第一個集合的值域。全稱量詞可以通過存在量詞和否定來定義。

* **類值域公理：**對於任何類 _R_，類 $Rng(R)=\{y\mid (\exists x.(x,y)\in R)\}$ 存在。可以使用前面的公理重排變元，把任何單一變元提到變元列表的前面來被量化。

現在我們需要專注於由原子公式表達的關係。

* **類成員公理：**類 $[\in ]=\{(x,y)\mid x\in y\}$ 存在。
* **類對角公理：**類 $[=]=\{(x,y)\mid \,x=y\}$ 存在。

通過對角公理、加入啞變量，以及重排變量，可以構造斷言它的參數中任意的兩個變量相等這樣的關係；這可以被用來處理重複的變量。

## 引用

* Bernays, Paul. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 1991. ISBN 978-0-486-66637-2.
* John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. _From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931_. Harvard University Press.
* Mendelson, Elliott, 1997 (1964). _An Introduction to Mathematical Logic_, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
* Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in _Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics_, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
* von Neumann-Bernays-Gödel set theory. PlanetMath.