U-统计量

**U - 統計量**是統計學中一類特定的、具有對稱性的統計量，它在估計理論中扮演重要角色。名稱中的「 U」為不偏（unbiased）之意。在初等統計學中，U - 統計量與最小變異數不偏估計量 (UMVUE) 有密切聯繫。

U - 統計量的一個重要性是，對機率分布來說，其可估計參數的最小變異數不偏估計量 是一個 U - 統計量。 因此通過研究 U - 統計量的一般性質，可以系統地了解這些估計量的統計學性質。

U - 統計量在無母數統計中尤其重要，不少用於估計和統計檢定的統計量，在形式上都是 U - 統計量。U - 統計量通常具有良好的漸近常態性，這方便了基於它的統計推論。 近年來，U - 統計量在研究複雜的隨機過程和隨機網絡類型數據的隨機性質方面，發揮了作用。

目前，統計學家們對 U - 統計量性質的了解，幾乎全都基於 Hoeffding 發表於 1948 年的經典論文。在這篇論文裡，Hoeffding 給出了 U - 統計量最重要的性質 —— 它的 ANOVA 分解。

## 定義

定義 $h(x_{1},\ldots ,x_{r}):\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} $ 為一個函數，其具有對稱性，即交換任意 $x_{i},x_{j}$ 的位置， $h$ 的值保持不變。對隨機變數 $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ，基於 $h$ 的 U - 統計量定義如下：

　
: $U_{n}={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq n}h(X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{r}})$

這裡， $h(\cdot )$ 稱為 U - 統計量的**核函數（Kernel function）** ，而核函數的維數 $r$ 稱為該 U - 統計量的**度（degree）** 。

### 兩樣本 U - 統計量

定義 $h(x_{1},\ldots ,x_{r};y_{1},\ldots ,y_{s}):\mathbb {R} ^{r+s}\to \mathbb {R} $ 為一個函數，其對 $X$ 和 $Y$ 分別具有對稱性，即交換任意 $x_{i_{1}},x_{i_{2}}$ 的位置或交換任意 $y_{j_{1}},y_{j_{2}}$ 的位置， $h$ 的值保持不變（但不能隨意交換 $x_{i},y_{j}$ ）。對隨機變數 $X_{1},\ldots ,X_{m};Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ ，基於 $h$ 的兩樣本 U - 統計量定義如下：

　
: $U_{m,n}={\frac {1}{{\binom {m}{r}}{\binom {n}{s}}}}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq m}\sum _{1\leq j_{1}<\cdots <j_{s}\leq n}h(X_{1},\ldots ,X_{r};Y_{1},\ldots ,Y_{s})$

目前在機器學習中，最常見的情形是 $r=s=1$ ，例如能量距離和最大平均差異（MMD）。

## Hoeffding 的 ANOVA 分解定理

### 定理表述

**Hoeffding 的 ANOVA 分解定理**是現代 U - 統計量理論的基礎。為表述該定理，定義： $\mu =\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})]$ 。
對所有 $1\leq k\leq r$ ，定義**投影函數**：

$$
a_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})|X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{k}=x_{k}]-\mu
$$

然後定義**正交化投影函數**：

 $g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})$ ， $g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})$ ，等等，每一個 $g_{k}$ 都定義為相應的 $a_{k}$ 減去之前定義過的所有 $g_{1},\ldots ,g_{k-1}$ ，直至最後一個函數 $g_{r}$ ：

$$
g_{r}(x_{1},\ldots ,x_{r})=a_{r}(x_{1},\ldots ,x_{r})-\sum _{j=1}^{r-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{j}\leq r}g_{j}(x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{j}})
$$

Hoeffding 的 ANOVA 分解定理的內容是：

$$
U_{n}-\mu ={\binom {n}{r}}^{-1}\sum _{k=1}^{r}{\binom {n-k}{r-k}}\cdot \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}g_{k}(X_{i_{1}},\ldots ,X_{i_{k}})
$$

### 分解項的性質

所有的正交化投影函數 $g_{k}$ 都滿足：

$$
\mathbb {E} [g_{k}(X_{1},\ldots ,X_{k})|X_{1},\ldots ,X_{k-1}]=0
$$

因此，所有的分解項之間是互不相關的，並且度為 $k$ 的分解項之平均的階為 $O_{p}\left(n^{-k/2}\right)$ .

在大多數應用中，一個 U - 統計量的 ANOVA 分解中最重要的是前一項或前兩項。根據分解項的性質，可以得到如下的兩項 ANOVA 分解式：

$$
U_{n}-\mu ={\frac {r}{n}}\sum _{i=1}^{n}g_{1}(X_{i})+{\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum _{1\leq i<j\leq n}g_{2}(X_{i},X_{j})+O_{p}(n^{-3/2})
$$

### 定理應用

* U - 統計量的漸近常態性是 Hoeffding 的 ANOVA 分解定理的簡單推論。具體而言，有如下結論：記 $\xi _{1}^{2}=\mathrm {Var} (g_{1}(X_{1}))$ ，則:

　
: $n^{1/2}\left(U_{n}-\mu \right)\ {\stackrel {d}{\to }}\ N\left(0,r^{2}\xi _{1}^{2}\right)$

同時，分解定理也指出了應該如何正確地一階逼近 U - 統計量的變異數，和對其進行 t - 標準化。

* 由該定理出發，在不同強度的假設條件下，可以用一項或兩項的 Edgeworth 展開來高精度地逼近 U - 統計量的分布。

 

## 具體例子

* 度為 1 的例子：令 $h(x)=x$ ，則 U - 統計量 ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h(X_{i})={\bar {X}}_{n}$ 是樣本均值。
* 度為 2 的例子：令 $h(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|$ ，則 U - 統計量

　
: ${\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}h(X_{i},X_{j})$

稱為「平均成對偏差」。

* 另一個度為 2 的例子：令 $h(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2$ ，則 U - 統計量有如下變形：

　
: ${\frac {1}{\binom {n}{2}}}\sum _{1\leq i<j\leq n}h(X_{i},X_{j})=\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)$

這正是人們熟知的樣本變異數 $S_{n}^{2}$ 。 

* 度為 3 的例子：樣本偏度定義中的分子項：

　
: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{3}$

展開後可以寫成一個 U - 統計量。

* 在機器學習中，用核函數方法進行一樣本或兩樣本無母數統計檢定時，檢定統計量是一個能量距離或最大平均差異（MMD），兩者均為 U - 統計量或表達式包含兩樣本 U - 統計量。

## 參見

* V - 統計量

## 參考文獻