ΔΣ調變

**Delta-Sigma（ΔΣ）調變**（或稱 **Sigma-Delta（ΣΔ）調變**、**SDM**，中文譯作**積分 - 微分調變**）是一種數位類比互相轉換的實做方法，它是把高位元解析度低頻率訊號用脈波密度調變編碼為低位元解析度高頻率訊號的一種方法（PCM 轉 PWM），可以將量化失真移往更高頻率、減少濾除時對目標頻率的影響，推導自 delta 調變原理的類比至數位或是數位至類比轉換技術。ADC 或是 DAC 可藉由低成本的 CMOS 製程實現此一技術，也就是像數位 IC 一樣的製程。基於上述理由，即便本技術早在 1960 年代已經提出，但是要到近年來由於半導體技術精進才得以普遍的使用。幾乎所有的類比 IC 製造商都有提供 Sigma-Delta 轉換器產品。

## 原理

ADC 可被認為是一個壓控震盪器，控制電壓為被測量的電壓，線性和比例性由負迴授決定。振盪器輸出為一個脈波串，每個脈波為已知，常量，振幅 = V 且持續時間為 dt，因此有一個已知的積分 = Vdt 但是變化的分離間隔。脈波的間隔由迴授電路決定，所以一個低輸入電壓產出一個脈波間的長間隔；而一個高輸入電壓產生一個短間隔。實際上，忽略開關錯誤，脈波間的間隔與該間隔內輸入電壓的平均成反比，因此在該間隔 ts 內，是一個平均輸入電壓的樣本，與 v/ts 成正比。

最終的輸出數是輸入電壓（該電壓由脈波計數決定）的數位化在一個固定加總間隔 = Ndt 產出一個計數，Σ。脈波串的積分為 ΣVdt 其在時間間隔 Ndt 內被生成，因此輸入電壓在加總周期內的平均為 VΣ/N，而且是平均的平均所以只遭受很小的變化。

達成的精度取決於已知 V 的精度和一個計數內 N 的精度及解析度。

上面描述的脈波可被認為是迪拉克方程的形式化分析，計數可被認為 Σ。在 ADC 的轉化中，正是這些脈波串被 delta-sigma 調變所傳遞。
ΔΣ 架構主要是在對訊號的大小做一個粗略的估計，然後量測其誤差，將其積分並補償之，最後輸出的平均值會等於輸入訊號的平均值（若誤差的積分為有限值）。

積分器的數量決定了 ΔΣ 調變電路的**階數（Order）** ，圖 2 中所示為二階 ΔΣ 電路；階數越高時，noise shaping 效果越好，但相對付出代價是穩定度必須妥善考量。

ΔΣ 調變電路也可以用量化器的輸出位元數來分類，當使用 N 階的比較器時，輸出為 _log2N_-bit；基於線性度的考量，常見的 ΔΣ 電路為 1-bit 組態，也就是輸出僅有兩個位準：0 或 1。

## Noise Shaping 效果

由微分器、積分器構成的 ΔΣ 調變電路，會因其微分特性而對量化雜訊（Quantization noise）產生一種高通濾波的效果。一般線性 PCM 中產生的量化雜訊平均分布在各頻率上，基於前述特性，可以將量化雜訊推往高頻，而產生 noise shaping 功效。將取樣頻率設高，因人耳可聽到的頻段相對低頻，而此時將已經被推往高頻的量化雜訊以低通濾波器濾除，便可以得到量化雜訊較少的原訊號。

當 ΔΣ 調變階數越多時，noise shaping 效果也會越顯著，如圖所示為 1~3 階 ΔΣ 的 noise shaping 效果。

## AD 轉換

對於 AD 轉換，可以把它想像為一個壓控振盪器。被測量電壓是壓控振盪器控制電壓，線性度和比例由負回授迴路決定。振盪器的輸出是一連串的已知脈波，寬度 dt，振幅 V，積分為 Vdt。但是，各個脈波之間的時間間隔是可變的。脈波間隔由回授電路決定，低電壓產生長間隔，高電壓產生短間隔。事實上，如果不考慮轉換誤差，脈波間隔和此段時間輸入電壓的平均值成反比。最終，在固定的時間周期 Ndt 內，輸出計數值 Σ 將反映出輸入電壓的大小。脈波的積分為 ΣVdt。平均電壓為 VΣ/N。精確度取決於 V 的準確度，N 中單位計數的準確度和解析度。可以通過改變採樣總時間 Ndt，或者固定比例倒計時等方法，改變輸入電壓和對應數位電壓比例。可以將脈波視為 δ（delta）函數，計數值為 Σ（sigma）。

## 目的

Delta-sigma 調變將類比電壓訊號轉換為脈波頻率或脈波密度，可理解為脈波密度調變 (Pdm)。只要脈波的定時和符號可以恢復，則以已知固定速率表示位元的正脈波和負脈波序列在接收器處非常容易產生、發送和準確地再生。給定來自增量 - 西格瑪調變器的這樣的脈波序列，可以以足夠的精度重建原始波形。相反，在不轉換為脈波流而只是直接傳輸類比訊號的情況下，系統中的所有雜訊都將被添加到類比訊號中，從而降低其質量。使用 Pdm 作為訊號表示是脈波編碼調變 (PCM) 的替代，以奈奎斯特率（Nyquist Rate）採樣和量化為多位元碼。

## 過採樣（Oversampling）

ΔΣ 調變是一種過採樣技術，可降低感興趣頻段 (圖 5 中的綠色) 中的雜訊，從而避免使用高精度類比電路作為抗混疊濾波器。Nyquist 轉換器 (黃色) 和過採樣轉換器 (藍色) 中的總量化雜訊是相同的，但它分布在不同的頻譜上。在 ΔΣ 轉換器中，雜訊在低頻率時會進一步降低，這是感興趣的訊號所在的頻段，而在較高頻率時，雜訊會增加，在那裡它可以被過濾掉。這種技術稱為雜訊整形。

對於一階 Delta-Sigma 調變器，雜訊由傳遞函數為 Hn (Z)=[1−z−1] 的濾波器整形。假設採樣頻率 fs 與感興趣的訊號頻率 f0 相比較大，則期望訊號帶寬中的量化雜訊可以近似為：

　
: $\mathrm {n_{0}} =e_{\text{rms}}{\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\,(2f_{0}\tau )^{\frac {3}{2}}$ .

類似地，對於二階 Delta-Sigma 調變器，雜訊由傳遞函數為 Hn (Z)=[1−z−1] 2 的濾波器整形。帶內量化雜訊可以近似為：

　
: $\mathrm {n_{0}} =e_{\text{rms}}{\frac {\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\,\left(2f_{0}\tau \right)^{\frac {5}{2}}$ .

一般而言，對於 N 階 ΔΣ 調變器，帶內量化雜訊的方差為：

　
: $\mathrm {n_{0}} =e_{\text{rms}}{\frac {\pi ^{N}}{\sqrt {2N+1}}}\,\left(2f_{0}\tau \right)^{\frac {2N+1}{2}}$ .

當採樣頻率加倍時，對於一個 N 階 ΔΣ 調變器，訊號雜訊比提高了 6N+3 分貝。過採樣率越高，訊號雜訊比越高，解析度以位為單位越高。

過採樣給出的另一個關鍵方面是速度 / 解析度的權衡。放在調變器後面的抽取濾波器不僅在感興趣的頻帶內對整個採樣訊號進行濾波 (在較高頻率處去除雜訊)，而且還降低了訊號的頻率，提高了訊號的解析度。這是通過對較高數據速率的位元流進行某種平均來獲得的。

 

 

## 參見

* 脈波編碼調變
* 脈波密度調變
* SACD、Direct Stream Digital

## 參考資料

* "Sigma-delta techniques extend DAC resolution" article by Tim Wescott 2004-06-23
* "Tutorial on Designing Delta-Sigma Modulators: Part I"（2004-03-30）and "Part II"（2004-04-01）a tutorial by Mingliang Liu
* "Gabor Temes' Publications" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* "Bruce Wooley's Delta-Sigma Converter Projects" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* "An Introduction to Delta Sigma Converters" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（which covers both ADC's and DAC's sigma-delta）
* "Demystifying Sigma-Delta ADCs" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。This in-depth article covers the theory behind a Delta-Sigma analog-to-digital converter.
* "Motorola digital signal processors: Principles of sigma-delta modulation for analog-to-digital converters"
* "One-Bit Delta Sigma D/A Conversion Part I: Theory" article by Randy Yates presented at the 2004 comp.dsp conference

### 相關出版品

* J. Candy, G. Temes, _Oversampling Delta-sigma Data Converters_, ISBN 0-87942-285-8
* S. Norsworthy, R. Schreier, G. Temes, _Delta-Sigma Data Converters_, ISBN 0-7803-1045-4
* Mingliang Liu, _Demystifying Switched-Capacitor Circuits_, ISBN 0-7506-7907-7
* R. Schreier, G. Temes, _Understanding Delta-Sigma Data Converters_, ISBN 0-471-46585-2