一元二次方程

**一元二次方程式式**是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程式。

例如， $x^{2}-3x+2=2$ ， $\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$ ， $t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程式。

一元二次方程式式的一般形式是 $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$

其中， $ax^{2}$ 是二次項， $bx$ 是一次項， $c$ 是常數項。 $a\neq 0$ 是一個重要條件，否則就不能保證該方程式未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程式之後， $a\neq 0$ 也可以省略不寫。當然，一元二次方程式式有時會出現虛數根。

 

## 歷史

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前 2000 年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程式了。在大約公元前 480 年，中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根。公元前 300 年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7 世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式，它同時容許有正負數的根。

11 世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕・巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作 _Liber embadorum_ 中，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程式的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：

　
: **在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程式的兩邊同時開二次方根。**

將其轉化為數學語言：解關於 $x$ 的方程式 $ax^{2}+bx=-c$

在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即 $4a$ ，得 $4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$

在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即 $b^{2}$ ，得 $4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

然後在方程式的兩邊同時開二次方根，得 $2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$

## 解法

阿貝爾指出，任意一元二次方程式都可以根據 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三個係數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程式的**根**。

一般來說，一元二次方程式有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合 $a\neq 0$ 的原則就可以了。

### 因式分解法

把一個一元二次方程式變形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 後，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程式。

將方程式左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程式。解這兩個一元一次方程式，得到的兩個解都是原方程式的解。

如果一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 存在兩個實根 $x_{1},x_{2}$ ，那麼它可以因式分解為 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 。

例如，解一元二次方程式 $x^{2}-3x+2=0$ 時，可將原方程式左邊分解成 $\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$ ，所以 $x-1=0\quad x-2=0$ ，可解得 $x_{1}=1\quad x_{2}=2$

### 公式解法

對於 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ ，它的根可以表示為 $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

當 $c\neq 0$ 時也寫成 $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}$

#### 公式解的證明

公式解可以由配方法得出。首先先將一元二次方程式的一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 除以 $a$ （ $a$ 在一元二次方程式中不為零），將會得到 $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ ，即 $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數到等式的左邊，使等式左邊有完全平方 $x^{2}+2xy+y^{2}$ 的樣子。

當 $2xy={\frac {b}{a}}x$ 時，得到 $y={\frac {b}{2a}}$ ，亦即當式子的兩邊加上 $y^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ 將得到 $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ ，現在式子的左邊變成了一個完全平方式了，並且可以看出是 $\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)$ 的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了 $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

接下來，對式子的兩邊開根號 $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

最後，式子兩邊同時減去 ${\frac {b}{2a}}$ 得公式解 $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

#### 一般化

一元二次方程式的求根公式在方程式的係數為有理數、實數、複數或是任意數體中適用。

公式中的根式 ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 $b^{2}-4ac$ 的數當中任何一個」。在某些數體中，有些數值沒有平方根。

#### 根的判別式

對於**實係數**一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$ ， $\Delta =b^{2}-4ac$ 稱作一元二次方程式根的**判別式**。根據判別式，一元二次方程式的根有三種可能的情況：

* 如果 $\Delta >0$ ，則這個一元二次方程式有兩個不同的實數根。如果係數都為有理數，且 $\Delta $ 是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。
* 如果 $\Delta =0$ ，則這個一元二次方程式有兩個相等的實數根。而且這兩個根皆為 $x=-{\frac {b}{2a}}$
* 如果 $\Delta <0$ ，則這個一元二次方程式有兩個不同的複數根，兩根互為共軛複數。這時根為 ${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}$ ，其中 ${\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}$

### 非實係數一元二次方程式

即係數為非實數時的一元二次方程式，將係數擴展到複數域內，此時要注意**根的判別式不適用於非實係數一元二次方程式**。

### 根與係數

根據韋達定理可以找出一元二次方程式的根與方程式中係數的關係。

### 圖像解法

一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根的幾何意義是二次函數 $y=ax^{2}+bx+c$ 的圖像（為一條拋物線）與 $x$ 軸交點的 x 坐標。

另外一種解法是把一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 化為 $x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 的形式。

則方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根，就是函數 $y=x^{2}$ 和 $y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 交點的 X 坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程式根的近似值。

### 計算機法

在使用計算機解一元二次方程式時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據以下公式去解

可以進行符號運算的程序，比如 Mathematica，可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

## 參見

* 方程式
* 三次方程式
* 和平方
* 差平方
* 平變異數
* 配方法

## 參考資料

## 外部連結

* 101 uses of a quadratic equation: Part I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Part II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）