一致有界定理

數學上，**一致有界性原理**，又稱**巴拿赫–斯坦豪斯定理**、**共鳴定理**，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空間上的連續線性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子範數意義下一致有界。

定理最早由斯特凡・巴拿赫和胡戈・斯坦豪斯於 1927 年發表，亦由漢斯・哈恩獨立證出。

## 定理內容

設 _X_ 和 _Y_ 為兩個巴拿赫空間。假設 _F_ 為由 _X_ 映向 _Y_ 的若干個連續線性算子的集合。若對於 _X_ 中的任意一個 _x_ ，都有

　
: $\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$

則

　
: $\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .$

### 證明

由於 _X_ 完備，利用貝爾綱定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 _X_ 中的任意一個 _x_, 都有

　
: $\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$

對任意整數 $n\in \mathbb {N} ,$ 記

　
: $X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.$

則 $X_{n}$ 為閉集，且由假設有

　
: $\bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$

貝爾綱定理適用於非空的完備空間 _X_, 故存在 _m_ 使得 $X_{m}$ 的內部非空，即存在 $x_{0}\in X_{m}$ 和 ε > 0 使得

　
: ${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.$

設 _u_ ∈ _X_ 滿足 ǁ_u_ǁ ≤ 1 和 _T_ ∈ _F_, 則有：

　
: ${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為  線  性  }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因  為   }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$

使 _u_ 歷遍 _X_ 的單位球，並取遍 $T\in F,$ 得到

　
: $\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .$

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 （Sokal 2011）.

## 推論

該定理可以推出：若一列有界算子 (_Tn_) 逐點收斂，即對 _X_ 的任意元素 _x_, 序列 (_Tn_(_x_)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 _T_.

注意上述推論並未斷言 _Tn_ 在算子範數的意義下收斂到 _T_, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (_Tn_) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 _T_, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 _Tn_ 一致收斂到 _T_.

另一推論為：賦範空間 _Y_ 的弱有界子集 _S_ 必然有界。

理由是，可以將 _S_ 看成巴拿赫空間 _X_ = _Y\*_ (_Y_ 的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，_S_ 的元素（視為 _X_ 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 _Y\*\*_ 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，_S_ 的任意元素 _s_ 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 _Y_ 的範數。

記 _L_(_X_, _Y_) 為自 _X_ 映向 _Y_ 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 _F_ 為 _L_(_X_, _Y_) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

　
: $R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing $

更甚者，_R_ 在 _X_ 中稠密。原因是，_R_ 在 _X_ 中的補集是 ∪_Xn_, 故為閉集 _Xn_ 的可數並。按照定理的證明過程，每個 _Xn_ 都無處稠密，故 ∪_Xn_ 為第一綱集。所以 _R_ 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為_剩餘集_）是稠密的。如此推理可得**奇點凝聚原理**，即：

　
:

原因是，_R_ 的補集可以寫成第一綱集的可數並

　
: $\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.$

因此其剩餘集 _R_ 稠密。

## 例子：傅立葉級數的逐點收斂

設 $\mathbb {T} $ 為單位圓， $C(\mathbb {T} )$ 為 $\mathbb {T} $ 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 $C(\mathbb {T} )$ 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對 $f\in C(\mathbb {T} ),$ 其傅立葉級數定義為

　
: $\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$

而級數的第 _N_ 階對稱部分和為

　
: $S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$

其中 _DN_ 為第 _N_ 階狄利克雷核。選定 $x\in \mathbb {T} ,$ 然後考慮序列 (_SN_(_f_)(_x_)) 的收斂性。以下式定義泛函 $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C} $ ：

　
: $\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$

則 φN,x 有界。而 φN,x 於 $C(\mathbb {T} )$ 的對偶空間的範數，是帶號測度 (2π)−1_D_N(_x_−_t_) d_t_ 的範數，故

　
: $\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$

可以驗證

　
: ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$

故族 {φN,x} 是 $C(\mathbb {T} )^{\ast }$ ( $C(\mathbb {T} )$ 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 $x\in \mathbb {T} ,$ 傅立葉級數於 _x_ 發散的連續函數在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (_xm_) 為 $\mathbb {T} $ 中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 _xm_ 都發散的連續函數在 $C(\mathbb {T} )$ 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理，一個連續函數 _f_ 的傅立葉級數，幾乎於每一點 $x\in \mathbb {T} $ 都收斂到 _f_(_x_).

## 推廣

受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間。其上的一致有界性原理為（Bourbaki 1987，Theorem III.2.1）:

　
:

若把 _X_ 換成一個貝爾空間而保持 _Y_ 為局部凸的，則結論同樣成立。（Shtern 2001）

Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論：

若 _X_ 為 Fréchet 空間， _Y_ 為賦範空間，_H_ 為由 _X_ 映向 _Y_ 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 _X_ 中的任意元素 _x_，

　
: $\sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,$

則族 _H_ 等度連續。

## 參見

* 桶型空間是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

## 參考文獻

* Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, **9**: 50–61 [2018-12-01], （原始內容存檔 (PDF) 於 2019-05-01） . （法文）
* Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
* Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
* Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
* Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, **118**: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .