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√Letter

《**方根書簡**》（日語：ルートレター，英語：Root Letter，以符號表示為√Letter）是由日本公司角川遊戲開發，並在 PlayStation Vita 與 PlayStation 4 遊戲主機以及 Windows 上發售的神祕小說冒險遊戲。

本作為角川遊戲企劃的「角川推理遊戲」系列之首部曲。日文版與中文版同步於 2016 年 6 月 16 日發售；遊戲在 2016 年 10 月於歐洲發售，11 月於北美發售。

## 開發

《方根書簡》由角川遊戲工作室（KADOKAWA GAME STUDIO）開發，本作於 2015 年 11 月舉辦的「2015 年秋季角川遊戲媒體簡會」上由角川遊戲的社長安田善巳公布，他也是本作的製作人。本作由曾擔任著名戀愛養成遊戲《LovePlus》系列人設的箕星太朗擔任企劃及人設。

遊戲開發的契機來自社長 安田善巳 與友人協商如何共用遊戲的方式推廣其家鄉島根縣，後來在遇到了箕星太朗和本作的監督 長谷川仁 時，三人確定了本作的大致方向，而遊戲的故事交由日本作家 藤 Dario 編寫。

在 2016 年的台北遊戲展上，索尼電腦娛樂亞洲日本宣布與角川遊戲合作，將推出本作的正體中文化版本。

遊戲在 2017 年 4 月 1 日通過 DMM.com 發售了 Windows 版本。

## 評價

《方根書簡》獲得日本遊戲雜誌《Fami 通》32 分（滿分 40 分）的評價。中國大陸遊戲雜誌《遊戲機實用技術》給出了 21 分（滿分 30 分）的評價，編輯們贊同遊戲的美術和音樂水準，但對於作為一款文字冒險遊戲核心的故事劇本則表示不盡人意。

遊戲在日本發售後，根據 4Gamer 的統計其首周銷量，PlayStation Vita 版本賣出 4,855 份實體版遊戲，而 PlayStation 4 版本賣出 4,052 份；分別在當周銷量榜排名第 11 和第 14 位。

## 參考資料

## 外部連結

* 《方根書簡》官方網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* steam 頁面 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
∛

如果一個數 $x$ 的立方等於 $a$ ，那麼這個數 $x$ 就是 $a$ 的**立方根**，其中 $a$ 稱為**被開方數**，而 $x$ 可以是正數、0、負數或虛數。例如 3 的立方為 27，那麼這個數 3 就是 27 的一個立方根（在實數範圍內）。若 $x$ 是正實數，這個乘積相當於一個邊長為 $x$ 的立方體的體積。

## 符號

在實數系中，實數 $a$ 的立方根通常用 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 表示，可讀作「 $a$ 的立方根」，「立方根 $a$ 」或「根號 $a$ 開三次方」。

值得注意的是，，但在實數系中有且僅有 1 個。即在實數系中，實數 $a$ 的立方根唯一確定。習慣上，三次根號 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 僅用來表示實數解。例如： ${\sqrt[{3}]{1}}$ 僅表示實數 1，而不表示複數 ${\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，與 ${\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ 。

## 1 的立方根

即解 $x^{3}=1$ ，解法如下：

　
: $\Rightarrow x^{3}-1=0$

　
: $\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0$ （立方差）

　
: $\Rightarrow x-1=0$ 或 $x^{2}+x+1=0$

　
: $\Rightarrow x=1$ 或 $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$ （公式解）

令 $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，則 $\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ ；反之，令 $\omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，則 $\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ 。由以上的式子可看出 $\omega $ 的特性有：

 * ${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$
* ${{\omega }^{3}}=1$ （將 $\omega $ 代回 $x^{3}=1$ 求得）

故 $\omega $ 可代表 ${\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$ 中的任何一數，即 $\omega $ 為 1 的立方虛根。

## 數值方法

* 牛頓法： $x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
* 哈雷法： $x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

## 符號史

1220 年義大利人斐波那契第一次使用 $\operatorname {R} x$ 來表達立方根， $\operatorname {R} $ 源於拉丁文 radix 的首字母，意思為「根、方根」。

十七世紀初時，法國數學家笛卡兒（1596－1650）在他的著作幾何學中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中「√」為小寫 r 的變形。到了 18 世紀中葉，數學家盧貝（Loubere）將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（根指數為 2 時，省略不寫）。從而，形成了我們現在所用的開方符號 ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。

## 參見

* 方根

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。立方根. MathWorld.
∜

在數學中，**根號**被用來表示一個數 x 的平方根或 n 次方根，分別寫做 ${\sqrt {x}}$ 及 ${\sqrt[{n}]{x}}$ ，有時在文字系統不支援數學式的時候，會使用「√」來代替平方根。

## 用例

### 平方根

在√下以橫式書寫，必要時須加強橫線長度或以不同大小的根號來表示嵌套算式。

　
: ${\sqrt {2\,}},\quad {\sqrt {x\,}},\quad {\sqrt {x+y+z+w+\cdots \;}},\quad {\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+\cdots \ }}\;}}\;}}\,}}$

運算次序因橫線所及之處而有所不同。在某些印刷情況下，在後方有其他算式時不易判斷運算次序，因此可使用乘號或是括號來分離。

　
: ${\sqrt {x}}\,y=\left({\sqrt {x}}\right)y={\sqrt {x}}\cdot y\neq {\sqrt {xy}}$

非負數的平方根代表該數的 1/2 次方，根號有時會以冪來表示。

　
: ${\sqrt {x}}=x^{1/2}$

### 高次方根

對於三次以上的方根，會在 √ 左上有加上一個小數字來表示其次數。通常只在次數是整數時才會用根號表示，而非整數次數的情況通常就以冪次表示。

　
: ${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{x}}&=x^{1/3}\\{\sqrt[{4}]{x}}&=x^{1/4}\\&\vdots \\{\sqrt[{n}]{x}}&=x^{1/n}\end{aligned}}$

## 符號

## 參見

* 方根
* 數學符號
∞SAKA_OBACHAN_ROCK／大阪ROMANESUKU

《**∞SAKA OBACHAN ROCK／大阪 ROMANESUKU**》（**∞SAKA おばちゃん ROCK／大阪ロマネスク**），為日本男偶像團體關西傑尼斯 8 的第 4 張單曲。

## 概要

初回限定盤附有一張小海報及 "敬請期待 A 券"("敬請期待 B 券" 附在 DVD『Heat up!』中)，通常盤則附有 8 頁寫真歌詞本。
「大阪ロマネスク」為專輯『KJ1 F・T・O』的收錄曲，本單曲則另外收錄新錄製的單曲版。

## 收錄歌曲

### 初回限定盤

1. ∞SAKA おばちゃん ROCK
  * 作詞：久保田洋司、関ジャニ∞、作曲・編曲：馬飼野康二
2. 大阪ロマネスク [Single Version]
  * 作詞：相田毅、作曲：谷本新、編曲: ha-j
3. ∞SAKA おばちゃん ROCK（Original karaoke）
4. 大阪ロマネスク [Single Version]（Original karaoke）

### 通常盤

1. ∞SAKA おばちゃん ROCK
2. 大阪ロマネスク [Single Version]
3. いつか、また…。 

  * 作詞・作曲：飯田建彥、編曲：大坪直樹
4. ∞SAKA おばちゃん ROCK（オリジナル・カラオケ）
5. 大阪ロマネスク [Single Version]（オリジナル・カラオケ）
∞無限

《**∞無限**》是台灣歌手熊仔創作的第一張概念專輯，以「人格特化療程」為專輯概念。由亞神音樂娛樂於 2015 年 7 月 8 日發行。此專輯榮獲金音獎多項大獎及金曲獎入圍。

## 曲目

## 音樂錄影帶

## 入圍及獎項

## 演唱會

演唱會名為「人格特化療程」，於台北及高雄舉辦。

## 軼聞

* 熊仔為了製作專輯，而休學於台大電信所。
* 熊仔於大港開唱演出後，放置於藝人休息區裝有衣物及筆記型電腦的背包失竊。電腦中有許多專輯的音樂素材，導致熊仔得重新錄製。
* 在第 27 屆金曲獎頒獎典禮，最佳國語專輯獎的頒獎人張清芳在介紹入圍者時，因不認識熊仔，而稱呼其為「那個胖子」。事後，熊仔以新歌《那個胖子 Feat. 阿芳姐》回應。

## 參考文獻
∥

**平行**是一個幾何學術語。在平面幾何中，永遠不會相交的多條直線，或者多個平面彼此互相**平行**。在歐幾里得幾何中，由平行公設，一個平面上的直線外指定一個點，就能指定出一條與它平行的直線。在非歐幾何中，根據空間曲率的不同，在一條直線外指定一個點可以作多條或零條與它平行的直線。

在三維空間或一般的歐幾里得空間中，直線或平面的平行關係視乎其方向向量或法向量，但與二維平面一樣，在一條直線外面指定一個點也只能表示一條與它平行的直線，並且在一個平面外指定一個點也只能指定一個與它平行的平面。然而，在一個平面外指定一個點可以指定和它平行的直線是無數條（這些直線都在與它平行的唯一一個平面上）。

## 平行線

在歐幾里得空間中，直線的**方向向量**是一個單位向量 $b$ ，使得原點到直線上所有點的向量都能表示為 $a+\lambda b,\ \lambda \in \mathbb {R} $ 。若干個由方向向量 $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$ 確定的直線相互平行若且唯若這些向量**全部相等**或只差一個正負號。

在歐幾里得空間中，平面的**法向量**是一個單位向量 $e$ ，使得平面上所有的向量都與 $e$ 垂直。直線與平面平行若且唯若直線不屬於平面，並且直線的方向向量與平面的法向量**垂直**。而平面與平面相互平行若且唯若它們的法向量相等或只差一個正負號。

### 平面解析幾何中的平行

在笛卡兒坐標系中，設兩條直線的表達式為：

　
: $({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

　
: $({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

那麼兩條直線 $({\mathcal {D}}_{1})$ 與 $({\mathcal {D}}_{2})$ 平行若且唯若 $a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2}$ ，並且 $a_{1}c_{2}\neq c_{1}a_{2}$ （否則兩直線重合）。

### 角度關係

平面上，用一條直線截另外兩條直線線時，會截出兩個交點，構成八個角，稱為**三線八角**。這八個角中有對頂角、同位角、同側內角、同側外角、內錯角和外錯角這幾種關係。當所截的兩條直線平行時，這些角有相等或互為補角（相加等於 180° 度）的關係。這些角度關係對解決平面幾何問題十分有用。

## 外部連結

* Constructing a parallel line through a given point with compass and straightedge （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
∧

在邏輯和數學中，**邏輯合取**或**邏輯與**或**且**是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」，其結果為「真」，否則其結果為「假」。

## 相關名稱

　
: 基本符號： $\land $

　
: 英文名：logical conjunction

　
: 中文名：邏輯與，合取，交集，按位與，邏輯乘，與門，...

　
: 命題邏輯中的二元連接詞合取，是一個兩元算子，集合論中的交集算子，二進位中的邏輯乘算子，按位與（Bitwise AND），邏輯閘中的「與」門（AND gate），程式語言中的 & 或 and 運算符等等。

## 基本定義

　
: 邏輯與（logical conjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。

　
: 邏輯與 $\land $ 是個二元算子，運算結果取值為真的條件是，若且唯若兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句，沒有第三種取值，或說值域為 {真，假} 或是 {T,F} 或是 {0,1}。未知真又未知假的語句是猜想；既真又假，既不真又不假的語句是悖論。

　
: 複合命題 $~A\land B$ ，讀作 A 合取 B，在 GCT 邏輯中，也叫聯言命題。也有稱為合取命題的。

## 真值表定義

**A 與 B** 的真值表（也寫作 **A** $\land $ **B**（邏輯學），**A && B**（計算機科學），或 **A $\cdot $ B**（電子學））。

 $~A\land B$ 的真值表:

## 推理規則

### 合成與分解規則

#### 合取引入規則

**合取引入規則**（∧+）（conjunction introduction rule）或**聯言推理的合成式**，是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提，_A_ 和 _B_，可以直觀地推出他們的合取。

其形式如下：

　
: _A_,

　
: _B_.

　
: 因此 _A_ 且 _B_.

形式化為：

　
: $\mathbf {A} ,$

　
: $\mathbf {B} $

　
: $\vdash A\land B$

下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證：

　
: 小橘子是正妹。

　
: 小橘子是車神。

　
: 因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

　
: 1 小於 2

　
: 6 大於 5

　
: 因此，1 小於 2，而且 6 大於 5。

還有一個例子如下：

　
: 有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題

　
: 因此有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

#### 合取消去規則

**合取消去規則**（∧-）（Conjunction elimination rule）或**聯言推理的分解式**，是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。

其形式如下：

　
: _A_ 且 _B_。

　
: 因此 _A_。

... 或者，

　
: _A_ 且 _B_.

　
: 因此 _B_.

用邏輯運算符描述為，

形式化為:

　
: $A\land B$

　
: $\vdash A$

或者，

　
: $A\land B$

　
: $\vdash B$

例如:

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 因此有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

或者

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 因此有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題

另一個例子如下：

　
: 1 小於 2，而且 6 大於 5。

　
: 因此 1 小於 2。

或者

　
: 1 小於 2，而且 6 大於 5。

　
: 因此 6 大於 5。

還有一個例子如下：

　
: 小橘子是正妹也是車神。

　
: 因此小橘子是正妹。

或者

　
: 小橘子是正妹也是車神。

　
: 因此小橘子是車神。

## 性質

邏輯與滿足以下性質：

* 結合律: $A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C$
* 交換律: $A\land B\equiv B\land A$
* 分配律: $(A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))$

　
: : : $(A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))$

* 冪等律: $A\land A\equiv A$
* 單調性: $(A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))$

　
: : : $(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))$

* **保真性**: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。
* **保假性**: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。

如果用二進位來表達真（1）和假（0），邏輯與運算與算術乘法運算一致。

## 計算機科學中的運用

### 位運算

邏輯與常在位運算中使用，比如：

* 0 and 0 = 0
* 0 and 1 = 0
* 1 and 0 = 0
* 1 and 1 = 1
* 1100 and 1010 = 1000

### 編程中的使用

在高等計算機編程中，邏輯合取「與」通常由內置算符 and 或 & 號來表達。很多程式語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。

布爾「與」也在 SQL 的運算符中使用。有些資料庫區分大小寫，需要 "AND" 符號。

在計算機科學中，AND 運算符可以用來構造位屏蔽，以選擇二進位序列的一部分。比如 `1001**1**101 AND 0000**1**000 = 0000**1**000` 用來取二進位序列的第五位。

## 交集運算

集合論中的交運算是用邏輯與來定義的：_x_ ∈ _A_ ∩ _B_ 若且唯若 (_x_ ∈ _A_) ∧ (_x_ ∈ _B_)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質，諸如結合律，交換律，分配律，及德・摩根定律。

## 註釋

## 參見

* 與門

## 相關網頁

* Wolfram Mathematics Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* All Math Words Encyclopedia Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hazewinkel, Michiel (編), Conjunction, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Property and truth table of AND propositions. （原始內容存檔於 May 6, 2017）.

template:Common logical symbols
∨

**邏輯或**（logical or）又稱**邏輯析取**（logical disjunction）、**邏輯選言**，是邏輯和數學概念中的一個二元邏輯算符。其運算方法是：如果其兩個變量中有一個真值為「真」，其結果為「真」，兩個變量同時為假，其結果為「假」。

## 定義

**邏輯或**是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為假時，其結果為假。

## 真值表

**A 或 B** 的真值表（也寫作 **A** $\lor $ **B**（邏輯學），**A || B**（計算機科學），或 **A + B**（電子學））。

## 性質

邏輯或滿足以下性質：

* 結合律: $A\lor (B\lor C)\equiv (A\lor B)\lor C$
* 交換律: $A\lor B\equiv B\lor A$
* 分配律: $(A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))$

　
: : : $(A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))$

　
: $(A\lor (B\equiv C))\equiv ((A\lor B)\equiv (A\lor C))$

* 冪等律: $A\lor A\equiv A$
* 單調性: $(A\rightarrow B)\rightarrow ((C\lor A)\rightarrow (C\lor B))$

　
: : : $(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\lor C)\rightarrow (B\lor C))$

* **保真性**: 所有變量的真值皆為「真」的命題在**邏輯或**運算後的結果為真。
* **保假性**: 所有變量的真值皆為「假」的命題在**邏輯或**運算後的結果為假。

## 計算機科學中的運用

### 位運算

**邏輯或**常在位運算中使用，比如：

* 0 or 0 = 0
* 0 or 1 = 1
* 1 or 0 = 1
* 1 or 1 = 1
* 1100 or 1010 = 1110

`or` 運算符可以用來將比特域中的位設定為 1，方法是把此域和一個各位均為 1 的常量域取邏輯或運算。

### 編程中的使用

### 邏輯運算

### 併集運算

_x_ ∈ _A_ ∪ _B_⇔（ 若且唯若） (_x_ ∈ _A_) ∨ (_x_ ∈ _B_).

## 自然語言

就如其他在數理邏輯中形式化的概念一般，自然語言中的「或」和邏輯的「或」高度相關，但有差異。像例如在「你給我打電話，或者寄信給我」這例子中，其真實的意思往往是「你要不就給我打電話，要不就給我寄信，但不要同時寄信和打電話。」，也就是會排除掉兩者皆成立的狀況；在另一方面，在「小橘子姐姐開賽車的駕駛技術神乎其技，因此她很努力，或者她很有天分」這例子中，兩者皆成立的狀況通常並未排除。也就是說，在自然語言中，「或」可以指「邏輯或」，或者是「邏輯異或」。

## 注釋

## 參見

## 相關網頁

* Wolfram Mathematics Disjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* All Math Words Encyclopedia Disjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
∩

數學上，兩個集合 $A$ 和 $B$ 的**交集**是含有所有既屬於 _$A$_ 又屬於 _$B$_ 的元素，而沒有其他元素的集合。

## 基本定義

 $A$ 和 $B$ 的交集寫作「 $A\cap B$ 」。形式上：

　
: $x$ 屬於 $A\cap B$ 若且唯若
 * $x$ 屬於 $A$ 且 $x$ 屬於 $B$ 。

例如：集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ 的交集為 $\{2,3\}$ 。數字 $9$ **不屬於**素數集合 $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ 和奇數集合 $\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$ 的交集。

若兩個集合 $A$ 和 $B$ 的交集為空，就是說它們彼此沒有相同的元素，則他們**不相交**，寫作： $A\cap B=\varnothing $ 。例如集合 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 不相交，寫作 $\{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing $ 。

更一般的，交集運算可以對多個集合同時進行。例如，集合 $A,B$ ， $C$ 和 $D$ 的**交集**為 $A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))$ 。交集運算滿足結合律。即：

　
: $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

## 任意交集

以上定義可推廣到任意**非空**集合的集合的交集。若 M 是一個非空集合，其元素本身也是集合，則 $x$ 屬於 M 的**交集**，若且唯若對任意 M 的元素 $A,x$ 屬於 $A$ 。符號表示為：

　
: $\left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\right)$ 。

這一概念也蘊涵了前述的定義，例如， $A\cap B\cap C$ 是集合 ${A,B,C}$ 的交集。
（若 M 為空集，有時候談論它的交集也是有意義的，請見空交集。）

這一概念的表示符號有多種。
集合論者有時用 $\bigcap M$ ，有時用 $\bigcap _{A\in M}A$ 。後一種寫法可以一般化為 $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ ，表示集合 $\{A_{i}:i\in I\}$ 的交集。這裡 $I$ 非空，而對於每個 $I$ 裡的 $i,A_{i}$ 是一個集合。

當索引集 $I$ 為自然數集合時，這種符號表示與無限序列相類似：

　
: $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$

為了排版方便，上述符號也可以寫成 " $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots $ "，儘管嚴格說來，像 $A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots $ 這樣的寫法是無意義的。（這個例子是可數個集合的交集，相當常用，可以參看 $\sigma $ - 代數條目中的例子。）

最後，注意當符號 $\cap $ 寫在其他符號**之前**，而不是**之間**的時候，需要寫得大一號。（在 HTML 中，可以使用字體 `⋂`，或者嘗試 `∩`。）

## 參見

* 樸素集合論
* 併集
* 補集
* 對稱差
∪

在集合論和數學的其他分支中，一組集合的**聯集**，是這些集合的所有元素構成的集合，而不包含其他元素。

## 基本定義

若 $A$ 和 $B$ 是集合，則 $A$ 和 $B$ 聯集是有所有 $A$ 的元素和所有 $B$ 的元素，而沒有其他元素的集合。 $A$ 和 $B$ 的聯集通常寫作 " $A\cup B$ "。形式上：

　
: $x$ 是 $A\cup B$ 的元素，若且唯若
 * $x$ 是 $A$ 的元素，或
* $x$ 是 $B$ 的元素。

舉例：
集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ 的聯集是 $\{1,2,3,4\}$ 。數 $9$ **不屬於**質數集合 $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ 和偶數集合 $\{2,4,6,8,10,\ldots \}$ 的聯集，因為 $9$ 既不是質數，也不是偶數。

更通常的，多個集合的聯集可以這樣定義：
例如， $A,B$ 和 $C$ 的聯集含有所有 $A$ 的元素，所有 $B$ 的元素和所有 $C$ 的元素，而沒有其他元素。形式上：

　
: $x$ 是 $A\cup B\cup C$ 的元素，若且唯若 $x$ 屬於 $A$ 或 $x$ 屬於 $B$ 或 $x$ 屬於 $C$ 。

## 代數性質

二元聯集（兩個集合的聯集）是一種結合運算，即

　
: $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 。事實上， $A\cup B\cup C$ 也等於這兩個集合，因此圓括號在僅進行聯集運算的時候可以省略。

相似的，聯集運算滿足交換律，即集合的順序任意。

空集是聯集運算的單位元素。即 $\varnothing \cup A=A$ ，對任意集合 $A$ 。可以將空集當作零個集合的聯集。

結合交集和補集運算，聯集運算使任意冪集成為布林代數。例如，聯集和交集相互滿足分配律，而且這三種運算滿足德・摩根律。若將聯集運算換成對稱差運算，可以獲得相應的布林環。

## 無限聯集

最普遍的概念是：任意集合的聯集。若 M 是一個集合的集合，若且唯若存在 $M$ 的元素 $A$ 滿足 $x$ 是 $A$ 的元素時， $x$ 是 $M$ 的聯集的元素。即：

　
: $x\in \bigcup M\iff \exists A{\in }M,x\in A$ 。

 $M$ 可以稱作集合的搜集（collection of sets）或者集合空間（system of sets）， $M$ 的聯集是一個集合，這就是公理集合論中的聯集公理。

例如： $A\cup B\cup C$ 是集合 $\{A,B,C\}$ 的聯集。同時，若 $M$ 是空集， $M$ 的聯集也是空集。有限聯集的概念可以推廣到無限聯集。

上述概念有多種表示方法：

集合論者簡單地寫

　
: $\bigcup M$ ，

而大多數人會這樣寫

　
: $\bigcup _{A\in M}A$ 。

後一種寫法可以推廣為

　
: $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ ，

表示集合 $\{A_{i}\ :\ i\in I\}\ $ 的聯集。這裡 $I$ 是一個集合， $A_{i}$ 是一個 $i$ 屬於 $I$ 的集合。

在索引集 $I$ 是自然數集合的情況下，上述表示和求和類似：

　
: $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ 。

同樣，也可以寫作 " $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots $ ".
（這是一個可數的集合的聯集的例子，在數學分析中非常普遍；參見 $\sigma $ - 代數）。最後，要注意的是，當符號 " $\cup $ " 放在其他符號_之前_，而不是_之間_的時候，要寫的大一些。

交集在無限聯集中滿足分配律，即

　
: $\bigcup _{i\in I}\left(A\cap B_{i}\right)=A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}$ 。

結合無限聯集和無限交集的概念，可得

　
: $\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}A_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i,j}\right)$ 。

## 參考

* 樸素集合論
* 交集
* 補集
* 對稱差
* 互斥聯集
* 布林運算

## 參考文獻
∫

**∫**符號 $\int $ 是數學中用來表示積分的符號。此符號由德國數學家戈特弗里德・萊布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）於 17 世紀末開始使用。此符號的形狀基於ſ（長 s）字符，因為積分是一種極限的求和（sum），故此選用ſ作為積分符號的基礎。

∫符號的 Unicode 代碼是 U+222B，在 LaTeX 中的代碼是 `\int` 。在 HTML 代碼中，此符號可以寫作 `&#x222b;`（十六進位），`&#8747;`（十進位）或者 `&int;`（命名實體）。

早期的 IBM PC 的代碼頁 437 字符集中，使用了一對字符⌠和⌡（各自的為代碼 244 和 245）來顯示積分符號。在隨後的 MS-DOS 代碼頁中放棄了這種方式，但是出於兼容性考慮仍在 Unicode 中保留了這兩個字符（分別是 U+2320 和 U+2321）。

積分符號∫與國際音標符號ʃ（念做 esh）看起來十分相似，但是不應混淆。

相關的符號還包括∬（二重積分，U+222C）, ∭（三重積分，U+222D）, ∮（曲線積分，U+222E）, ∯（面積分，U+222F）, 以及 ∰（體積分，U+2230）。

## 在不同語言中的排版方式

在不同的語言中，積分符號的形狀會有細微的差別。

* * *

另一處不同點是定積分中極限的位置。在英文文獻中，極限通常在積分符號右側，如： $\int _{0}^{T}f(t)\;dt$

但是按照德文和俄文的傳統，極限在積分符號的上下方，使得被積式占據更多的垂直空間，如： $\int \limits _{0}^{T}f(t)\;\mathrm {d} t$

## 另見

* 長 s
* F 孔

## 參考資料

* Stewart, James. Integrals. Single Variable Calculus: Early Transcendentals 5th edition. Belmont, CA: Brooks/Cole. 2003: 381 [2006-06-26]. ISBN 0-534-39330-6.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)
* Zaitcev, V.; Janishewsky, A.; Berdnikov, A., Russian Typographical Traditions in Mathematical Literature (PDF), 存档副本，EuroTeX'99 Proceedings, 1999 [2010-12-30], （原始內容 (PDF) 存檔於 2012-09-28）

## 外部連結

* Fileformat.info （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
∴

在邏輯論證及數學證明中，**所以符號**（**∴**）通常用於邏輯結果之前，例如三段論的結論。該符號由正立三角形的三個頂點組成，讀作「所以」。

該符號一般不用於正式寫作，僅用於數學及速記。

## 使用示例

### 三段論

　
: 所有的神都是永生的。

　
: 宙斯是神。

　
: ∴ 宙斯是永生的。

### 數學

　
: _x_ + 1 = 10

　
: ∴ _x_ = 9

## 參見

* 因為符號
* 證明完畢

## 參考文獻
≅

**≅**（Unicode：`U+2245`）可能指：

* 近似
* 合同 (數學)
  * 全等

## 參見

* ≡
≈

**等號**表示相等關係的符號，讀作「等於」，是在西元 1557 年由羅伯特・雷科德發明的。在數學等式中，等號被放置在具有相同值的兩個（或更多個）表達式之間。在 Unicode 和 ASCII 中，它是 U+003D = 相等符號 ，HTML：`&#61;`。

## 歷史

「相等」在英文中 equals 的詞源為拉丁文「æqualis」（來自 aequus），意為「均勻，相同或相等」。相等符號的第一次使用，出現在威爾斯數學家 羅伯特・雷科德所撰寫的《The Whetstone of Witte》，相當於現代數學表示法的 $14x+15=71$ 。相等符號的原始形式比現在要寬得多。在他的書中解釋了他的「Gemowe 線」的設計（意思是雙線，拉丁文 gemellus）：

> 
> _… to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes : is equalle to : I will ſette as I doe often in woorke vſe, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicauſe noe .2. thynges, can be moare equalle._
> 
> 

> 
> … to avoid the tedious repetition of these words: "is equal to", I will set (as I do often in work use) a pair of parallels, or Gemowe lines, of one length (thus =), because no two things can be more equal.
> 
> 

根據蘇格蘭聖安德魯斯大學數學史網站：

相等符號 '=' 並不立即流行。符號 || 和 æ（或 œ，來自拉丁文 aequalis，意思是相同）也被用來表達相等，被廣泛應用於 17 世紀。

## 數學意義

在數學中，等號可在特定情況 ( $x=2$ ) 中用作簡單的事實語句，或者創建定義 (設 $x=2$ )，條件語句（如果 $x=2$ ，則...），或者表達恆等式 $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ 。

 

## 相關符號

### 約等

表達約等的是「波浪」等號。

* ≈ (U+2248 ≈ UNICODE 2248)
* ≃ (U+2243 ≃ UNICODE 2243)，≈ 和 = 的混合，也用於代表漸近於
* ≅ (U+2245 ≅ UNICODE 2245)，另一個 ≈ 和 = 的混合，有時用來代表同構、同餘關係又或幾何學的全等
* ~ (U+007E ~ UNICODE 007E)，有時用來代表正比、和等價關係有關、幾何學的相似，又或代表隨機變數根據概率分佈的分佈情況。
* ≒ (U+2252 ≒ UNICODE 2252)，用於日本、韓國和臺灣

### 不等

代表不等的是等號加上斜線「≠」（U+2260 ≠ UNICODE 2260）。在 LaTeX，此為 "\neq" 指令。

過去大多數程式語言受限於 ASCII 字元集，故以 `~=`、`!=`、、`=/=` 或 `<>` 等代表布林運算的不等操作符。

### 恆等

符號「≡」（U+2261 ≡ TRIPLE BAR）代表恆等，也有同餘等意思。

### 人名翻譯（日語）

拉丁語的人名中的「-」符號，日文翻譯時改用「=」。例，「Hārūn al-Rashīd」（哈倫・拉希德）的日文翻譯是「ハールーン・アッ＝ラシード」。

## 參考書目

## 參見

* 等於
* 恆等式
* 關係運算子
* 二加二等於五
≒

**近似**，或稱**逼近**（英語：Approximation）是指一個事物和另一事物類似，但不是完全相同。近似可以用在許多性質上（量、數值、影像或說明），是指幾乎一樣，但沒有完全一樣的情形。

近似最常用在數字上，也常用在數學函數、形狀及物理定律中。

在科學上，會將一物理現象轉換為一個有相似結構的模型。當準確的模型難以應用時，會用一個較簡單的模型來近似，簡化中間的計算，例如用球棒模型來近似實際化學分子中原子的分佈。在資訊不完整，無法確切陳述特定事物時，也可以用近似的方式處理。

近似的種類會依照可以取得的資訊、需要的準確程度及使用近似可以節省的時間及精力而定。

## 數學

逼近理論（Approximation theory）是數學中的一個分支，是一種量化的泛函分析。丟番圖逼近是用有理數來逼近實數。當一個數的真正數值未知或難以獲得時，就可以用近似（即逼近）的方式處理。有時存在一些已知的近似值可以表示其真正數值，而又不會有太大的誤差，例如圓周率 π 常簡寫為 3.14159，或是√2 用 1.414 來表示。

當使用數字的有效數字很小時，也會出現數值逼近的情形，運算常會帶來捨入誤差，因此會產生逼近。像對數表、計算尺及計算器在計算大部份的運算時也都會有數值逼近。像電腦計算的結果就是以有限位數的有效數字來呈現，因此也有數值逼近，不過可以藉由設計．使其逼近誤差更低，產生更準確的結果。在電腦處理時，當一個小數無法用有限位數的二進數小數表示時，就會產生數值逼近。

和函數逼近有關的是函數的漸近值，也就是當函數的一個或數個變數無限制的變大時，函數所對應的數值。例如級數 (_k_/2)+(_k_/4)+(_k_/8)+...(_k_/2^_n_) 會漸近等於 _k_。可惜上述的關係沒有類似等號的固定符號來表示。有些數學書籍是用≈表示逼近等於，用～表示表示漸近等於，但也有其他書籍的表示方式恰好相反。

另一個例子是在進化演算法中，為了加速收斂的速率所導入的適應度逼近，可以針對適應度函數建模，以選擇較佳的搜尋方式。

## 科學

在科學實驗中也有逼近的情形．科學理論的預測可能會和實際量測的結果不同，其原因可能因為有一些實際情形下的因素，在理論中沒有考慮到。例如在考慮自由落體的運動時，未考慮阻力對物體的影響，因此理論也是對實際情形的一種逼近。若因為量測技術的限制，使得量測值和實際值不同，此情形的量測值也是實際值的逼近。

在科學史上，許多定理會隨著時間演進，考慮更多的因素和影響，早期的定理也就成為後來定理的一個逼近。例如依照對應原理，較新的定理會取代較早期的定理，在適當的條件下，二個的結果相同，但較新的定理可以考慮較多的因素或是適用在一些特別的情形，此時較早期的定理就是較新的定理的一個近似，例如系統「大」的情況下，較早期的古典物理學可以認為是較晚期量子物理學的一個近似。

有些物體問題難以直接分析，或是在現有可有的解析工具下進展有限，因此利用近似可以在簡化問題的複雜程度下，得到夠精確的結果。例如物理學家多半會假設地球為一球體，既使有更精確的方式可以描述地球的形狀，但假設地球為一球體時，一些物理特性（像重力）的計算會容易很多。

在分析多個星體圍繞一恆星運轉時（即多體問題），也會用近似的方式處理。由於各星體之間都會有萬有引力，在計算上相當困難。近似的解法是利用疊代方式進行，一開始先只假設恆星不動，不考慮恆星以外各星體之間的作用力，若需要更精確的結果，則以第一次計算的位置為準，在考慮更多作用力的情形下再進行一次疊代，一直到有夠精確的結果出現為止。利用微擾理論來修正誤差，可以得到更精確的結果。

在最佳化演算法中，有些問題的最佳解很不容易取得，或是時間複雜度太高，此時可以用近似演算法，設法找出夠好的解，而不一定是最佳解。

## 符號

一般會用波浪狀或有加點的等點來表示：

* ≈ (Unicode 2248), 表達近似的是「波浪」等號。
* ≃ (Unicode 2243), ≈ 和 = 的混合，也用於代表漸近於
* ≅ (Unicode 2245), 另一個 ≈ 和 = 的混合，有時用來代表同構、同餘關係又或幾何學的全等。
* ~ (Unicode 007E), 有時用來代表正比、和等價關係有關、幾何學的相似，又或代表隨機變數根據概率分佈的分佈情況。
* ≒ (Unicode 2252), 在日本、韓國與臺灣使用

## 相關條目

## 參考資料

## 外部連結
≒JOY

**≒JOY**（日語：≒JOY／ニアリーイコールジョイ _niari ikōru jyoi_ \*/?）是 2022 年成立的日本女子聲優偶像團體，為 = LOVE 和≠ME 的姐妹團體，同樣由指原莉乃擔任總製作人，為指原莉乃與代代木動畫學院合作的偶像企劃第三彈。團名以英文讀做「Nearly Equal Joy」，簡稱「niajoy」（ニアジョイ）。

## 成員

## 外部鏈接

* 官方網站
* ≒JOY 的 Twitter 帳戶
* YouTube 上的≒JOY 頻道
≠

數學上，**不等號**（ $\neq $ ）是表示兩物件**不相等**的符號，與**等號**（ $=$ ）相對。

## 習慣用語和不等號的關係

以上的用語是較為常用的。
≠ME

**≠ME**（日語：≠ME／ノットイコールミー _notto ikōru mī_ \*/?）是 2019 年成立的日本女子聲優偶像團體，為 = LOVE 和≒JOY 的姐妹團體，與 = LOVE 同樣由指原莉乃擔任總製作人。團名以英文讀做「Not Equal Me」（不等於我），有著「希望體驗到與現在為止不同的自己」的含義。簡稱「noime」（ノイミー）。

## 歷史

**2018 年**

* 11 月 12 日，指原莉乃在個人 Twitter 發表聲優偶像「=LOVE」的姐妹團甄選活動。指原表示曾經考慮是否要為 = LOVE 招收「2 期生」，但最後決定改採另立新團體的方式進行新成員募集。

**2019 年**

* 2 月 24 日，成員正式披露，同時發表團體名稱為「≠ME」。其中一名成員因學業因素缺席而未公布姓名。
* 4 月 8 日，先前未公布姓名的成員於官方 Twitter 發表。

**2019 年**

* 10 月 24 日，於ぴあアリーナ MM 舉辦與 = LOVE 的合同演唱會「=LOVE ≠ME スペシャルコンサート『24girls 2020』」。

**2021 年**

* 1 月 28 日，在 17LIVE 的直播上宣布將在 4 月 7 日發行迷你專輯，實現唱片出道。
* 4 月 7 日，發行第 1 張迷你專輯《超特急 ≠ME 方向》。
* 6 月 1 日，2 日，在中野太陽廣場舉行首場演唱會
* 7 月 14 日，發行第 1 張單曲《你在這個夏天，墜入情網》。
* 10 月 9 日，於富士急ハイランド コニファーフォレスト舉辦與 = LOVE 的合同演唱會「イコノイフェス 2021」。
* 11 月 10 日，發行第 2 張單曲《理想鄉的小星星》。

**2022 年**

* 1 月 26 日，因為單曲「てゆーか、みるてんって何？」在 TikTok 突然受到大熱、決定開設官方團體 TikTok 。
* 2 月 16 日，發行第 3 張單曲《巧克力憂鬱》。

## 成員

## 作品

※「最高排位」為該作品在 Oricon 週榜的最高名次。

### 單曲

### 迷你專輯

### 配信樂曲

### 原創樂曲

以下為收錄於以非「≠ME」名義發行之唱片中的歌曲作品。

### 特別歌曲

## 媒體演出

### 電視

* 目標！程式設計之星 ～程星★小孩大集合～（めざせ！プログラミングスター 〜プロスタ★キッズ大集合〜；2019 年 4 月 6 日 - ，BS 日視） - 與 = LOVE 共同演出
* noime 的加班練習（ノイミーのイノコリ；2020 年 9 月 20 日・10 月 4 日・18 日，TBS 頻道）
* ≠ME 的 前輩，請告訴我！（≠ME の 先輩、教えてください！；2021 年 1 月 31 日 - 2021 年 3 月 28 日，BS Sky PerfecTV!）
* ≠ME 前輩，請告訴我多一點！！（≠ME 先輩、も～っと教えてください！；2021 年 4 月 16 日 - ，BS Sky PerfecTV!） - 隔週播出（每月播出兩次）
* 等愛非我，喜歡嗎？（イコノイ、どーですか？；2021 年 4 月 19 日 - ，TBS 電視台） - 與 = LOVE 共同演出

### 電台

* noime station（ノイミーステーション；2021 年 3 月 30 日 - ，ABC 電台） - 每月以 3 名成員為一組輪替演出
* 與 noime 同樂（ノイミーといっしょ；2021 年 4 月 3 日 - 2021 年 6 月 26 日 ，日本廣播電台） - 鈴木主持，其他成員輪替演出
* Gene Z（ジェネ Z；2021 年 4 月 4 日 - ，bayfm）- 蟹澤參與演出
* ≠ME 鈴木與富田的 RinRin7（≠ME 鈴木と冨田のりんりん７；2021 年 7 月 3 日 - ，日本廣播電台） - 鈴木、富田及永田主持

### 網路配信

* noime 的意義。（のいみーのいみ。；2019 年 10 月 10 日 - ，SHOWROOM） - 每週四直播，每次演出人數為 4 人
* ≠ME 革命～初次挑戰！！身體衝撞綜藝 & 情人節告白錦標賽（≠ME 革命〜初挑戦！体当たりバラエティ & バレンタイン告白選手権；2020 年 2 月 14 日，AbemaTV）
* 等愛非我頻道（イコラブ ノイミー チャンネル；2020 年 8 月 11 日 - ，YouTube） - 與 = LOVE 的共同 YouTube 頻道
* noime 的假期（ノイミーの休日；2021 年 1 月 30 日 - ，niconico 頻道）

## 註釋

## 參考資料

## 外部鏈結

* 官方網站
* ≠ME 的 Twitter 帳戶
* YouTube 上的≠ME 官方頻道 （日語）
* ≠ME 的 SHOWROOM 專頁 （日語）
* ≠ME × SHOWROOM 成員個人配信的 SHOWROOM 專頁 （日語）
≡

**≡**（Unicode：`U+2261`，HTML：`&equiv;`）可以指：

## 數學

* 恆等，代表兩邊的表達式永遠相等。
* 同餘，代表兩邊的餘數相等。
* 若且唯若，邏輯中的雙條件句。

## 化學

* 三鍵，兩顆原子之間可建立的其中一種共價鍵（以鍵線式表示）。

## 參見

* ☰，易經中的乾卦（統一碼值為 U+2630）
* Ξ，希臘字母 Xi 的大寫。
* ≅
≤

表達式 **a ≤ b** 可能指：

* _a_ 小於等於 _b_（見不等）。
* _a_ 是 _b_ 的子群。

## 參見

* ≥
≥

數學上，**不等**是表明兩個物件的大小或者順序的二元關係，與**相等**相對。不等關係主要有四種：

 * $a<b$ ，即 $a$ **小於** $b$
* $a>b$ ，即 $a$ **大於** $b$

上述兩個屬於**嚴格不等**。

 * $a\leq b$ ，即 $a$ **小於等於** $b$
* $a\geq b$ ，即 $a$ **大於等於** $b$
* $a\neq b$ ，即 $a$ **不等於** $b$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了**不等式**。

若不等關係對變數的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變數的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號 $a\gg b$ 表示 $a$ 「遠大於」 $b$ 。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是 10 個數量級的差異。和方程式相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程式的輸出滿足一個特定的結果。

## 性質

不等具有下列性質：

**三一律：**
: 對任意實數 $a$ 、 $b$ ，只有下列之一是真的：
 * $a<b$
* $a=b$
* $a>b$

**調換性質：**
: 對任意實數 $a$ 、 $b$ ：

 * $a<b$ 和 $b>a$ 是等價的。
* $a\leq b$ 和 $b\geq a$ 是等價的。

**遞移性：**
: 對任意實數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ：

* 如果 $a<b$ 且 $b<c$ ，則 $a<c$ 。
* 如果 $a\leq b$ 且 $b\leq c$ ，則 $a\leq c$ 。
* 如果 $a<b$ 且 $b\leq c$ ，則 $a<c$ 。
* 如果 $a\leq b$ 且 $b<c$ ，則 $a<c$ 。
* 如果 $a=b$ 且 $b=c$ ，則 $a=c$ 。

**加法性質：**
: 對任意實數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ：

* 若 $a>b$ ；則 $a+c>b+c$ 。
* 若 $a<b$ ；則 $a+c<b+c$ 。

**乘法性質：**
: 對任意實數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且有 $c\neq 0$ ：

* 若 $c$ 為 正數 且 $a>b$ ；則 $ac>bc$ 。
* 若 $c$ 為 正數 且 $a<b$ ；則 $ac<bc$ 。
* 若 $c$ 為 負數 且 $a>b$ ；則 $ac<bc$ 。
* 若 $c$ 為 負數 且 $a<b$ ；則 $ac>bc$ 。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知 $A>B$ ， $C>D$ ，不可以認為 $A-C>B-D$ ，但根據此描述可知 $A-D>B-C$ 是真的。

## 連鎖表示法

 * $a<b<c$ 代表「 $a<b$ 且 $b<c$ 」。
* $a\leq b\leq c$ 代表「 $a\leq b$ 且 $b\leq c$ 」。
* $a<b\leq c$ 代表「 $a<b$ 且 $b\leq c$ 」。
* $a\leq b<c$ 代表「 $a\leq b$ 且 $b<c$ 」。

## 舉例

* 若 $x>0$ ；則

　
: : $x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},$

* 若 $x>0$ ；則

　
: : $x^{x^{x}}\geq x\,$

* 若 $x,y,z>0$ ；則

　
: : $(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,$

* 若 $x,y,z>0$ ；則

　
: : $x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},$

* 若 $a,b>0$ ；則

　
: : $a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,$

* 若 $a,b>0$ ；則

　
: : $a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,$

* 若 $a,b,c>0$ ；則

　
: : $a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,$

* 若 $a_{1},\ldots ,a_{n}>0$ ；則

　
: : $a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

* 對於實數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，若 $a<b$ 且 $c<d$ ；則 

　
: $a+c<b+d$

  * 證明
  
  　
  :

## 參見

* 二元關係
* 偏序關係
* 不等號
* 不等式列表
⊂

**子集**（subset）亦稱部分集合，爲某集合中一部分的集合；關係相反時則稱作**父集**、**母集**、**超集**。子集與父集關係上以「包含」稱呼。

若 $A$ 和 $B$ 為集合，且 _$A$_ 的所有元素都是 $B$ 的元素，則可表示為：

 * $A$ 是 $B$ 的**子集**（或稱 $A$ **包含於** $B$ ）； $A\subseteq B$
* $B$ 是 $A$ 的**父集**／**超集**（或稱 $B$ **包含** $A$ ）； $B\supseteq A$

任何集合 $B$ 皆是本身的子集（ $B\subseteq B$ ）。而 _$B$_ 的子集中不等於 _$B$_ 的集合，稱為**真子集**，若 _$A$_ 是 _$B$_ 的真子集，寫作 $A\subsetneqq B$ 。

## 定義

假設有 _$A$_ 和 _$B$_ 兩個集合，如果 _$A$_ 中的每個元素都是 _$B$_ 的元素，則：

　
: * _$A$_ 是 _$B$_ 的**子集**，記作 $A\subseteq B$

　
: 也可以說
 * $B$ 是 _$A$_ 的**超集**，記作 $B\supseteq A$

如果 _$A$_ 是 $B$ 的子集，但 $A$ 不等於 $B$ （即 $B$ 中至少存在一個元素不在 $A$ 集合中），則：

　
: * $A$ 是 $B$ 的**真子集**，記作 $A\subsetneqq B$

　
: 也可以說
 * $B$ 是 _$A$_ 的**真超集**，記作 $B\supsetneqq A$

## 符號

符號 $\subseteq $ 表示任何子集關係，符號 $\subsetneqq $ 表示真子集關係。 $\subset $ 也是一個很常見的符號，但其含義容易混淆。

有人用 $\subset $ 和 $\supset $ 表示任何子集和超集關係，即 $\subseteq $ 和 $\supseteq $ 所分別代表的含義。所以在這些作者的文章中，對於任意集合 $A$ ， $A\subset A$ 始終成立。

也有人用 $\subset $ 和 $\supset $ 表示真子集和真超集的概念，即 $\subsetneqq $ 和 $\supsetneqq $ 所分別代表的含義。這樣 $\subseteq $ 和 $\subset $ 就類似於不等符號 $\leq $ 和 $<$ 的關係。例如如果 $x\leq y$ ，那麼 $x$ 可能等於 $y$ 也可能不等於，而如果 $x<y$ ，那麼 $x$ 就一定不等於 $y$ 。換用 $\subset $ 表示真子集，如果 $A\subseteq B$ ，那麼 $A$ 可能等於 $B$ 也可能不等於，而如果 $A\subset B$ ，那麼 $A$ 就一定不等於 $B$ 。

ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配：使用 $\subseteq $ 表示子集關係， $\subset $ 表示真子集關係；或者使用 $\subset $ 表示子集關係，使用 $\subsetneqq $ 表示真子集關係。

## 舉例

* 集合 $\left\{1,2\right\}$ 是集合 $\left\{1,2,3\right\}$ 的真子集。
* 自然數集合是有理數集合的真子集。
* 集合 $\{x:x$ 是大於 2000 的素數 $\}$ 是集合 $\{x:x$ 是大於 1000 的奇數 $\}$ 的真子集。
* 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
* 空集，寫作 $\varnothing $ ，是任意集合 $X$ 的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

## 性質

**命題 1**：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：**包含**是一種偏序關係。

**命題 2**：若 $A,B,C$ 是集合，則：

　
: 自反性：

　
: * $A\subseteq A$

　
: 反對稱性：

　
: * $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ 若且唯若 $A=B$

　
: 傳遞性：

　
: * 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 則 $A\subseteq C$

這個命題說明：對任意集合 $S$ ， _$S$_ 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

**命題 3**：若 $A,B,C$ 是集合 _$S$_ 的子集，則：

　
: 存在一個最小元和一個最大元：

　
: * $\varnothing \subseteq A\subseteq S$ （ $\varnothing \subseteq A$ 由命題 1 給出）

　
: 存在並運算：

　
: * $A\subseteq A\cup B$
* 若 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq C$ 則 $A\cup B\subseteq C$

　
: 存在交運算：

　
: * $A\cap B\subseteq A$
* 若 $C\subseteq A$ 且 $C\subseteq B$ 則 $C\subseteq A\cap B$

**命題 4**: 對任意兩個集合 $A$ 和 $B$ ，下列表述等價：

　
: * $A\subseteq B$
* $A\cap B=A$
* $A\cup B=B$
* $A-B=\varnothing $
* $B\subseteq A'$

這個命題說明：表述 " $A\subseteq B$ "，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

## 參考文獻

## 參見

* 冪集：某集合的全部子集組成的集合。
⊕

在數位邏輯中，邏輯算符**互斥或**（英語：Exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型。與一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。

對於命題 $p,q$ ， $p$ 互斥或 $q$ 通常記作 $p\operatorname {XOR} q$ 或 $p\oplus q$ 。在程式語言中，常寫作 `p ^ q`。

## 真值表

互斥或運算 $p\oplus q$ 的真值表如下：

無論怎樣改變同一行中 $p,q,p\oplus q$ 的位置，真值表都是成立的。

## 其他表示

在數學和工程學中，常常用其他的邏輯運算子來表示互斥或算符。互斥或算符可以使用邏輯算符邏輯與 $\land $ ，邏輯或 $\lor $ 和邏輯非 $\lnot $ 表示為：

　
: ${\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}$

另外，互斥或算符可以被推廣，得到關於 _n_ 個運算元的互斥或運算：_n_ 個運算元的 _n_ 維互斥或的值為真若且唯若其中值為真的運算元有奇數個。

互斥或也可以被表示為：

　
: $p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))$

互斥或還可以看作是邏輯等價關係的非運算。

## 性質

**交換律**： $p\oplus q=q\oplus p$

**結合律**： $p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

**恆等律**： $p\oplus 0=p$

**歸零律**： $p\oplus p=0$

**自反**： $p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

## 與抽象代數的關係

儘管算子 $\wedge $ （邏輯合取）與 $\lor $ （邏輯析取）是邏輯系統中最為常見的算子，但結構上，系統 $(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\lor )$ 只是么半群。因此，這兩個系統無法合成為一個更大的結構，比如環或半環。

但是，帶有邏輯互斥或的系統 $(\{T,F\},\oplus )$ 是一個交換群。因此，算子 $\wedge $ 與 $\oplus $ 的結合在集合 $\{T,F\}$ 上作用就產生了最基本的二元域 $F_{2}$ 。這個域可以得出所有運用 $(\land ,\lor )$ 可以得到的結果，並且由於附帶了域的結構，可以進行代數上的進一步分析。

## 類似符號

## 應用

### 使用互斥或運算交換兩個 int 類型變數的數值

 **C/C++** 

 **Java** 

 **C#** 

雖然 XOR 運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

## 參考來源

## 參見

* 互斥或閘
* 互斥或密碼
⊢

**蘊涵**（英語：Entailment）在命題邏輯和謂詞邏輯中用來描述在兩個句子或句子的集合之間的聯繫，一般使用⇒符號表示。

## 語義蘊涵

$$
A\models B
$$

語義蘊涵也叫做邏輯蘊涵（Logical Implication），亦可以讀作 B 是 A 的語義後承。

陳述句子集合 **A** 語義上蘊涵句子集合 **B**。

形式定義：集合 **A** 蘊涵集合 **B**，若且唯若在其中 **A** 中所有句子都為真的所有模型中，在 **B** 中的所有句子也是真的。在圖表形式中，它看起來像：

我們需要蘊涵的定義要求 **A** 的所有的模型也是 **B** 的模型，因為像知識庫這樣的形式系統在被問到事實的集合（**A**）是否蘊涵命題（**B**）的時候，不可能知道在用戶頭腦中對此的解釋。

在語用學（語言學）中，蘊涵有不同的但密切相關的意思。

如果對於公式 **X** 有 $\varnothing \models X$ 則 **X** 被稱為 "有效的" 或是 "重言式"。

## 語法蘊涵

$$
A\vdash B
$$

陳述句子集合 **A 語法**蘊涵句子集合 **B**。它可以讀作 "B 可以證明自 A"，或 B 是 A 的語法後承。

定義：**A 語法**蘊涵 **B**，如果通過假定所有 **A** 中所有的句子並通過對它們應用一個有限序列的推理規則（比如來自命題演算的），你可以推導出 **B** 中的所有句子。

當然，這與特定的邏輯（證明演算）有關。在討論多個邏輯的情況下，在 $\vdash $ 符號上放置下標是很有用的。

## 在語義和語法蘊涵之間的聯繫

理想上，語義蘊涵（semantic consequence）和語法蘊涵（syntactic consequence）等價，但這不總是可行。（參見哥德爾不完備定理，它陳述了包含為真但不能證明的句子的一些語言（比如算術））。在這種情況下，把等價分成兩部分是有用的：

演繹系統 **S** 對於語言 **L** 是完備的，若且唯若 $A\models _{L}X\to A\vdash _{S}X$ ：就是說，所有有效的論證都是可證明的。

演繹系統 **S** 對於語言 **L** 是可靠的，若且唯若 $A\vdash _{S}X\to A\models _{L}X$ ：就是說，所有可證明的論證都是有效的，沒有無效的論證是可證明的。

## 與實質蘊涵的聯繫

在很多情況下，蘊涵符合於實質蘊涵：就是說， $A,X\models Y$ 若且唯若 $A\models X\to Y$ 。但是在一些多值邏輯中這不是真的。

## 參見

* 邏輯等價
* 實質蘊涵
* 文字蘊涵
* 蘊涵門
⊥

**垂直**是一個幾何術語。在平面幾何中，如果一條直線與另一條直線相交，且它們構成的任意相鄰兩個角相等，那麼這兩條直線相互垂直。術語「垂直」（符號：**⊥**）衍生一個形容詞（垂直）或者名詞（垂線）。因此，根據圖一，直線 AB 通過 B 點與直線 CD 相互垂直。像圖一這樣，如果一條直線與另一條直線垂直，那麼它們構成的兩個角稱為**直角**，或者 **90° 角**。

**垂足**指兩條互相垂直的線相交的點。

垂直的概念對線段和射線也通用，只需看一者所在的直線是否與另一者所在的直線垂直就可以了。如圖一中，線段 AB 和線段 CD 相互垂直。甚至線段 AB 的一端不一定要在線段 CD 上（即可定向伸縮），它們仍被認為是垂直的。

空間幾何中，有直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的垂直關係。垂直可以看做是歐幾里得空間（或內積空間）中的正交關係在二維和三維空間中的特例。

## 解析幾何中的垂直

在笛卡兒坐標系中，兩條被如下等式所表示的直線 $L$ 和 $M$

　
: $({\mathcal {D}}_{1}):y=ax+b$

　
: $({\mathcal {D}}_{2}):y=cx+d$

那麼垂直的情況有兩種：

1. 只要沒有一條是豎直（斜率 =∞）的，那麼 $a$ 和 $c$ 就是這兩條直線的斜率。若且唯若直線 $({\mathcal {D}}_{1})$ 和 $({\mathcal {D}}_{2})$ 的斜率的積為**-1** 時，即 $ac=-1$ 時，這兩條直線在這個平面垂直。
2. 除此之外，若有一條直線是豎直的，那麼另一條直線與它垂直若且唯若其斜率為 **0**。

如果兩條直線的表達式為：

　
: $({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

　
: $({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

那麼只有一種情況：兩條直線在這個平面相互垂直若且唯若 $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

假如用 $V_{1}=(a_{1},b_{1})$ 和 $V_{2}=(a_{2},b_{2})$ 來表示兩條直線的方向向量，那麼上面垂直的充分必要條件就是兩個方向向量正交的充分必要條件。這說明了垂直實際上是正交關係（在二維和三維空間）的一個特例。

## 空間幾何中的垂直

三維空間中不僅有直線與直線的垂直，也有直線與平面、平面與平面的垂直。

* **直線與直線的垂直**：在三維空間中，判斷兩條直線之間的垂直關係比在平面上要困難。過其中一條直線作平行於另一條直線的平面，將另一條直線投影到這個平面上。如果這個投影與第一條直線垂直，那麼就說兩條直線垂直。
* **直線與平面的垂直**：一條直線與一個平面垂直若且唯若它與平面中的每一條直線都垂直。一個等價的說法是兩者垂直若且唯若直線平行於平面的法向量。
* **平面與平面的垂直**：兩個平面相互垂直若且唯若它們的法向量相互垂直。一個更幾何的方法是看兩個平面的交線（如果沒有說明兩平面平行）。選擇一個平面，過兩平面交線上的一點作一條垂直於交線並在平面中的直線，如果這條直線與另一個平面垂直，那麼兩平面垂直。

## 垂線的作圖

用尺規作一條過點 P 與直線 AB 相互垂直的直線，過程如下（見圖二）：

* 步驟一（紅色）：以點 P 為圓心作一個圓交直線 AB 於點 A' 和 B'，點 A' 和 B' 與點 P 等距。
* 步驟二（綠色）：以點 A' 和 B' 為圓心，以 PA' 和 PB' 為半徑作圓。令兩圓的另一交點為 Q。
* 步驟三（藍色）：連接 PQ 以作出所求垂線。

為證明直線 PQ 與直線 AB 垂直，使用三角形 SSS 全等定理證明三角形 QPA' 和 QPB' 全等以求得三角形 OPA' 和 OPB' 也全等。然後使用三角形 SAS 全等定理證明角 POA 和 POB 相等。

## 參看

* 平行
* 投影
* 正交

## 參考來源

* R.A. 詹森 著，單壿 譯。近代欧氏几何学。上海教育出版社. 1999. ISBN 9787532063925.
* 盛為民。解析几何学。浙江大學出版社. 2008. ISBN 9787308061490.
⊿_(Perfume專輯)

《**⊿**》（Triangle）是日本流行電音組合 Perfume 第三張專輯。於 2009 年 7 月 8 日發行。唱片公司為 Tokuma Japan Communications。

## 概要

* 距離前作專輯「GAME」發行 1 年 3 個月的專輯。
* 專輯標題名為「⊿」，官方讀法為「Triangle」，意思為三角形。此標題的由來是源於拉丁語中的「**Tri**」一字，即是「3」的意思，表示了這是 Perfume **第三張**專輯，以及**三位**成員的意念。
* 選擇使用三角形圖案作為專輯標題，是為了能對聽眾方面增加衝擊性。Perfume 三位成員對於圖案擺放的方法也考慮了很久，由於他們不喜歡三角形的頂點朝向正上方，同時希望表達「Perfume 三人都是平等的，三位一體，並不會偏向任何一邊」這樣的想法，最後決定以倒著擺放的三角形作為最終的標題。
* 專輯取得了 Oricon 公信榜專輯榜週榜冠軍，打破了前作自身初動銷售張數的記錄。
* 「願い（願望）」此曲當初並沒有決定收錄在本專輯，但是製作人中田康貴在觀看 Perfume 在 2009 年 5 月舉行的演唱會「エスキモー pino presents ディスコ！ディスコ！ディスコ！」時，重新認識到這首歌中良好的地方，因此在製作截止的前一天，急忙決定收錄這首歌。他在其後一晚製作了此曲的混音版本，作為專輯收錄的一部份。
* 收錄「edge」的重新混音版本「⊿-mix」，歌曲長達 8 分 43 秒。包含本身單曲收錄的原本及另一混音版本在內，此曲合共有 3 個版本。
* DVD 收錄了「I still love U」的 PV。PV 中有三人露出微妙表情的場景，實際上是他們是在接受腳底按摩，攝影機特地沒有拍攝到這個部份。作為此專輯的宣傳，Perfume 曾在電視上表演這首歌。

## 收錄曲

### CD

### DVD（初回限定盤）

1. 「I still love U」 Special Video Clip
2. 「NIGHT FLIGHT」 LIVE@代々木第一體育館 May 10th,'09
3. 「edge」 LIVE@代々木第一體育館 May 10th,'09 ⊿-version
4. 「love the world」 TV-SPOT
5. 「Dream Fighter」 TV-SPOT
6. 「ワンルーム・ディスコ」 TV-SPOT

## 商業搭配

## 關連項目

* Perfume Second Tour 2009『直角二等邊三角形 TOUR』

## 參考文獻
⋀

在邏輯和數學中，**邏輯合取**或**邏輯與**或**且**是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」，其結果為「真」，否則其結果為「假」。

## 相關名稱

　
: 基本符號： $\land $

　
: 英文名：logical conjunction

　
: 中文名：邏輯與，合取，交集，按位與，邏輯乘，與門，...

　
: 命題邏輯中的二元連接詞合取，是一個兩元算子，集合論中的交集算子，二進位中的邏輯乘算子，按位與（Bitwise AND），邏輯閘中的「與」門（AND gate），程式語言中的 & 或 and 運算符等等。

## 基本定義

　
: 邏輯與（logical conjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。

　
: 邏輯與 $\land $ 是個二元算子，運算結果取值為真的條件是，若且唯若兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句，沒有第三種取值，或說值域為 {真，假} 或是 {T,F} 或是 {0,1}。未知真又未知假的語句是猜想；既真又假，既不真又不假的語句是悖論。

　
: 複合命題 $~A\land B$ ，讀作 A 合取 B，在 GCT 邏輯中，也叫聯言命題。也有稱為合取命題的。

## 真值表定義

**A 與 B** 的真值表（也寫作 **A** $\land $ **B**（邏輯學），**A && B**（計算機科學），或 **A $\cdot $ B**（電子學））。

 $~A\land B$ 的真值表:

## 推理規則

### 合成與分解規則

#### 合取引入規則

**合取引入規則**（∧+）（conjunction introduction rule）或**聯言推理的合成式**，是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提，_A_ 和 _B_，可以直觀地推出他們的合取。

其形式如下：

　
: _A_,

　
: _B_.

　
: 因此 _A_ 且 _B_.

形式化為：

　
: $\mathbf {A} ,$

　
: $\mathbf {B} $

　
: $\vdash A\land B$

下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證：

　
: 小橘子是正妹。

　
: 小橘子是車神。

　
: 因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

　
: 1 小於 2

　
: 6 大於 5

　
: 因此，1 小於 2，而且 6 大於 5。

還有一個例子如下：

　
: 有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題

　
: 因此有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

#### 合取消去規則

**合取消去規則**（∧-）（Conjunction elimination rule）或**聯言推理的分解式**，是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。

其形式如下：

　
: _A_ 且 _B_。

　
: 因此 _A_。

... 或者，

　
: _A_ 且 _B_.

　
: 因此 _B_.

用邏輯運算符描述為，

形式化為:

　
: $A\land B$

　
: $\vdash A$

或者，

　
: $A\land B$

　
: $\vdash B$

例如:

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 因此有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

或者

　
: 有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題，而且有一些 PSPACE 問題不是 NL 問題

　
: 因此有一些 EXPSPACE 問題不是 PSPACE 問題

另一個例子如下：

　
: 1 小於 2，而且 6 大於 5。

　
: 因此 1 小於 2。

或者

　
: 1 小於 2，而且 6 大於 5。

　
: 因此 6 大於 5。

還有一個例子如下：

　
: 小橘子是正妹也是車神。

　
: 因此小橘子是正妹。

或者

　
: 小橘子是正妹也是車神。

　
: 因此小橘子是車神。

## 性質

邏輯與滿足以下性質：

* 結合律: $A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C$
* 交換律: $A\land B\equiv B\land A$
* 分配律: $(A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))$

　
: : : $(A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))$

* 冪等律: $A\land A\equiv A$
* 單調性: $(A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))$

　
: : : $(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))$

* **保真性**: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。
* **保假性**: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。

如果用二進位來表達真（1）和假（0），邏輯與運算與算術乘法運算一致。

## 計算機科學中的運用

### 位運算

邏輯與常在位運算中使用，比如：

* 0 and 0 = 0
* 0 and 1 = 0
* 1 and 0 = 0
* 1 and 1 = 1
* 1100 and 1010 = 1000

### 編程中的使用

在高等計算機編程中，邏輯合取「與」通常由內置算符 and 或 & 號來表達。很多程式語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。

布爾「與」也在 SQL 的運算符中使用。有些資料庫區分大小寫，需要 "AND" 符號。

在計算機科學中，AND 運算符可以用來構造位屏蔽，以選擇二進位序列的一部分。比如 `1001**1**101 AND 0000**1**000 = 0000**1**000` 用來取二進位序列的第五位。

## 交集運算

集合論中的交運算是用邏輯與來定義的：_x_ ∈ _A_ ∩ _B_ 若且唯若 (_x_ ∈ _A_) ∧ (_x_ ∈ _B_)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質，諸如結合律，交換律，分配律，及德・摩根定律。

## 註釋

## 參見

* 與門

## 相關網頁

* Wolfram Mathematics Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* All Math Words Encyclopedia Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Hazewinkel, Michiel (編), Conjunction, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Property and truth table of AND propositions. （原始內容存檔於 May 6, 2017）.

template:Common logical symbols
⋁

**邏輯或**（logical or）又稱**邏輯析取**（logical disjunction）、**邏輯選言**，是邏輯和數學概念中的一個二元邏輯算符。其運算方法是：如果其兩個變量中有一個真值為「真」，其結果為「真」，兩個變量同時為假，其結果為「假」。

## 定義

**邏輯或**是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：若且唯若其兩個變量的真值都為假時，其結果為假。

## 真值表

**A 或 B** 的真值表（也寫作 **A** $\lor $ **B**（邏輯學），**A || B**（計算機科學），或 **A + B**（電子學））。

## 性質

邏輯或滿足以下性質：

* 結合律: $A\lor (B\lor C)\equiv (A\lor B)\lor C$
* 交換律: $A\lor B\equiv B\lor A$
* 分配律: $(A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))$

　
: : : $(A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))$

　
: $(A\lor (B\equiv C))\equiv ((A\lor B)\equiv (A\lor C))$

* 冪等律: $A\lor A\equiv A$
* 單調性: $(A\rightarrow B)\rightarrow ((C\lor A)\rightarrow (C\lor B))$

　
: : : $(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\lor C)\rightarrow (B\lor C))$

* **保真性**: 所有變量的真值皆為「真」的命題在**邏輯或**運算後的結果為真。
* **保假性**: 所有變量的真值皆為「假」的命題在**邏輯或**運算後的結果為假。

## 計算機科學中的運用

### 位運算

**邏輯或**常在位運算中使用，比如：

* 0 or 0 = 0
* 0 or 1 = 1
* 1 or 0 = 1
* 1 or 1 = 1
* 1100 or 1010 = 1110

`or` 運算符可以用來將比特域中的位設定為 1，方法是把此域和一個各位均為 1 的常量域取邏輯或運算。

### 編程中的使用

### 邏輯運算

### 併集運算

_x_ ∈ _A_ ∪ _B_⇔（ 若且唯若） (_x_ ∈ _A_) ∨ (_x_ ∈ _B_).

## 自然語言

就如其他在數理邏輯中形式化的概念一般，自然語言中的「或」和邏輯的「或」高度相關，但有差異。像例如在「你給我打電話，或者寄信給我」這例子中，其真實的意思往往是「你要不就給我打電話，要不就給我寄信，但不要同時寄信和打電話。」，也就是會排除掉兩者皆成立的狀況；在另一方面，在「小橘子姐姐開賽車的駕駛技術神乎其技，因此她很努力，或者她很有天分」這例子中，兩者皆成立的狀況通常並未排除。也就是說，在自然語言中，「或」可以指「邏輯或」，或者是「邏輯異或」。

## 注釋

## 參見

## 相關網頁

* Wolfram Mathematics Disjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* All Math Words Encyclopedia Disjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
⋂

數學上，兩個集合 $A$ 和 $B$ 的**交集**是含有所有既屬於 _$A$_ 又屬於 _$B$_ 的元素，而沒有其他元素的集合。

## 基本定義

 $A$ 和 $B$ 的交集寫作「 $A\cap B$ 」。形式上：

　
: $x$ 屬於 $A\cap B$ 若且唯若
 * $x$ 屬於 $A$ 且 $x$ 屬於 $B$ 。

例如：集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ 的交集為 $\{2,3\}$ 。數字 $9$ **不屬於**素數集合 $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ 和奇數集合 $\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$ 的交集。

若兩個集合 $A$ 和 $B$ 的交集為空，就是說它們彼此沒有相同的元素，則他們**不相交**，寫作： $A\cap B=\varnothing $ 。例如集合 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 不相交，寫作 $\{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing $ 。

更一般的，交集運算可以對多個集合同時進行。例如，集合 $A,B$ ， $C$ 和 $D$ 的**交集**為 $A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))$ 。交集運算滿足結合律。即：

　
: $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

## 任意交集

以上定義可推廣到任意**非空**集合的集合的交集。若 M 是一個非空集合，其元素本身也是集合，則 $x$ 屬於 M 的**交集**，若且唯若對任意 M 的元素 $A,x$ 屬於 $A$ 。符號表示為：

　
: $\left(x\in \bigcap \mathbf {M} \right)\leftrightarrow \left(\forall A\in \mathbf {M} ,x\in A\right)$ 。

這一概念也蘊涵了前述的定義，例如， $A\cap B\cap C$ 是集合 ${A,B,C}$ 的交集。
（若 M 為空集，有時候談論它的交集也是有意義的，請見空交集。）

這一概念的表示符號有多種。
集合論者有時用 $\bigcap M$ ，有時用 $\bigcap _{A\in M}A$ 。後一種寫法可以一般化為 $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ ，表示集合 $\{A_{i}:i\in I\}$ 的交集。這裡 $I$ 非空，而對於每個 $I$ 裡的 $i,A_{i}$ 是一個集合。

當索引集 $I$ 為自然數集合時，這種符號表示與無限序列相類似：

　
: $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$

為了排版方便，上述符號也可以寫成 " $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots $ "，儘管嚴格說來，像 $A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots $ 這樣的寫法是無意義的。（這個例子是可數個集合的交集，相當常用，可以參看 $\sigma $ - 代數條目中的例子。）

最後，注意當符號 $\cap $ 寫在其他符號**之前**，而不是**之間**的時候，需要寫得大一號。（在 HTML 中，可以使用字體 `⋂`，或者嘗試 `∩`。）

## 參見

* 樸素集合論
* 併集
* 補集
* 對稱差
⋃

在集合論和數學的其他分支中，一組集合的**聯集**，是這些集合的所有元素構成的集合，而不包含其他元素。

## 基本定義

若 $A$ 和 $B$ 是集合，則 $A$ 和 $B$ 聯集是有所有 $A$ 的元素和所有 $B$ 的元素，而沒有其他元素的集合。 $A$ 和 $B$ 的聯集通常寫作 " $A\cup B$ "。形式上：

　
: $x$ 是 $A\cup B$ 的元素，若且唯若
 * $x$ 是 $A$ 的元素，或
* $x$ 是 $B$ 的元素。

舉例：
集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ 的聯集是 $\{1,2,3,4\}$ 。數 $9$ **不屬於**質數集合 $\{2,3,5,7,11,\ldots \}$ 和偶數集合 $\{2,4,6,8,10,\ldots \}$ 的聯集，因為 $9$ 既不是質數，也不是偶數。

更通常的，多個集合的聯集可以這樣定義：
例如， $A,B$ 和 $C$ 的聯集含有所有 $A$ 的元素，所有 $B$ 的元素和所有 $C$ 的元素，而沒有其他元素。形式上：

　
: $x$ 是 $A\cup B\cup C$ 的元素，若且唯若 $x$ 屬於 $A$ 或 $x$ 屬於 $B$ 或 $x$ 屬於 $C$ 。

## 代數性質

二元聯集（兩個集合的聯集）是一種結合運算，即

　
: $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 。事實上， $A\cup B\cup C$ 也等於這兩個集合，因此圓括號在僅進行聯集運算的時候可以省略。

相似的，聯集運算滿足交換律，即集合的順序任意。

空集是聯集運算的單位元素。即 $\varnothing \cup A=A$ ，對任意集合 $A$ 。可以將空集當作零個集合的聯集。

結合交集和補集運算，聯集運算使任意冪集成為布林代數。例如，聯集和交集相互滿足分配律，而且這三種運算滿足德・摩根律。若將聯集運算換成對稱差運算，可以獲得相應的布林環。

## 無限聯集

最普遍的概念是：任意集合的聯集。若 M 是一個集合的集合，若且唯若存在 $M$ 的元素 $A$ 滿足 $x$ 是 $A$ 的元素時， $x$ 是 $M$ 的聯集的元素。即：

　
: $x\in \bigcup M\iff \exists A{\in }M,x\in A$ 。

 $M$ 可以稱作集合的搜集（collection of sets）或者集合空間（system of sets）， $M$ 的聯集是一個集合，這就是公理集合論中的聯集公理。

例如： $A\cup B\cup C$ 是集合 $\{A,B,C\}$ 的聯集。同時，若 $M$ 是空集， $M$ 的聯集也是空集。有限聯集的概念可以推廣到無限聯集。

上述概念有多種表示方法：

集合論者簡單地寫

　
: $\bigcup M$ ，

而大多數人會這樣寫

　
: $\bigcup _{A\in M}A$ 。

後一種寫法可以推廣為

　
: $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ ，

表示集合 $\{A_{i}\ :\ i\in I\}\ $ 的聯集。這裡 $I$ 是一個集合， $A_{i}$ 是一個 $i$ 屬於 $I$ 的集合。

在索引集 $I$ 是自然數集合的情況下，上述表示和求和類似：

　
: $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ 。

同樣，也可以寫作 " $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots $ ".
（這是一個可數的集合的聯集的例子，在數學分析中非常普遍；參見 $\sigma $ - 代數）。最後，要注意的是，當符號 " $\cup $ " 放在其他符號_之前_，而不是_之間_的時候，要寫的大一些。

交集在無限聯集中滿足分配律，即

　
: $\bigcup _{i\in I}\left(A\cap B_{i}\right)=A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}$ 。

結合無限聯集和無限交集的概念，可得

　
: $\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}A_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i,j}\right)$ 。

## 參考

* 樸素集合論
* 交集
* 補集
* 對稱差
* 互斥聯集
* 布林運算

## 參考文獻
⋅

在數學中，**乘法**（英語：multiplication）是加法的連續運算，同一數的若干次連加，其運算結果稱為**積**（英語：product）。

　
: $\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n$

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。
但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 $n\times a$ ，唸作「n times a」。

## 表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示「五乘以二」：

 * $5\times 2$
* $5\cdot 2$
* $5*2$
* $(5)(2)$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「 $\times $ 」表示乘法是威廉・奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於 1618 年他寫的附錄，和約於 1628 年寫作的、1631 年出版的書《數學之鑰》（_Clavis Mathematicae_）內出現。以「 $\times $ 」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「 $\cdot $ 」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托馬斯・哈里奧特在 1631 年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「 $*$ 」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是 FORTRAN（福傳）程式語言，事實上可以追溯到更早 ——1659 年，Johann Rahn（1622 年－1676 年）在 _Teutsche Algebra_ 一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代數中，乘號經常省略掉，形式如 $5x$ 和 $xy$ 。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即 $5\times 2$ 不會表示成 $52$ 。

乘積可以用大寫希臘字母 Π（Pi， $\Pi $ ）來表示：

　
: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

## 定義

兩個整數的積是：

　
: $mn=\sum _{k=1}^{n}m$

這是「將 m 加到自己 n 次」的簡化說法。更清晰來說：

　
: $mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

* 交換律： $xy=yx$
* 結合律： $(xy)z=x(yz)$
* 分配律： $x(y+z)=xy+xz$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即 $1x=x$ ，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即 $0x=0$ 。

當 $x$ 是量， $y$ 是自然數，乘法的遞迴定義：

　
: $0x=0$

　
: $xy=x+x(y-1)$

## 歷史

最早最詳細的關於十進位制乘法的規則，首見西元 400 年左右孫子算經。孫子乘法在 9 世紀經花拉子米介紹而流行於阿拉伯國家，13 世紀被翻譯成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中國，在 9 世紀初經花拉子米介紹到阿拉伯，但都未能流行。

## 計算

* 電腦有特別的演算法來處理大數之間的相乘，見乘法演算法。
* 華人小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
* 史豐收速演算法提出了用「本個 + 後進」的方式來計算乘法。
* 尺規作圖作乘法的方法：給定長為 $1$ 的線，以及兩條線 $AB$ 和 $AC$ ，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為 $AB$ 和 $AC$ ， $AB$ 垂直 $AC$ 於 $A$ 。在 $AB$ 上畫出點 $D$ 使 $DA=1$ ，連 $D$ 、 $C$ 為 $DC$ 。畫一條通過 $B$ 、平行 $DC$ 的線，延長 $AC$ ，此兩條線的交於 $E$ ， $EA$ 即為所求之線。

## 參考
⌘

**⌘**可以指：

* 帶四環方形，在部份歐洲國家是文化遺產地點的標記。
* Command 鍵，蘋果鍵盤當中的一個按鍵。
⌚

**手錶**，或稱為**腕錶**，是指戴在手腕上、用以計時及顯示時間的儀器。大多是利用皮革、橡膠、尼龍布、不銹鋼等材料，製成錶帶，將顯示時間的「錶頭」束在手腕上。本來作為儀器的「錶」應該帶金字旁，但過去也多直接寫成「表」，並非後來漢字簡化影響。
現今已有擁有電子電路板和反射式液晶顯示屏的電子錶，而且使用普遍。近年來，擁有嵌入式系統的智能手錶也開始出現並逐漸被人們接受。

## 歷史

1571 年，萊徹斯特伯爵向伊莉莎白一世贈送了帶有鐘錶計時功能的手鐲。
1810 年 6 月 8 日，史上第一隻腕錶是亞伯拉罕・路易・寶璣受那不勒斯王后卡洛琳・繆拉，拿破崙的妹妹（the Queen of Naples）委託，製作出史上第一隻腕錶 N°2639。
1868 年由百達翡麗為匈牙利的 Koscowicz 伯爵夫人製造了可綁在手腕上的鐘表，但這種形式的鐘表，在當時並不流行。
1880 年英國陸軍即已開始為部隊大規模訂購手腕上佩戴的腕錶並在此後的布爾戰爭中廣泛應用。

從 19 世紀中期有人將計時掛錶裝上皮帶，戴在手腕上使用開始，逐步改進、縮小體形、美化樣式，發展成為手錶。

手錶的普及化要推遲至二十世紀初。在 1904 年，經營珠寶的法國商人路易斯・弗朗索瓦・卡地亞接到飛行員好友亞伯托・桑托斯・杜蒙的抱怨：當駕駛飛機時要把懷錶從口袋裡拿出來十分困難，希望他協助解決這個問題，以便在飛行途中也能看到時間。因此卡地亞便想出了用皮帶及扣，將懷錶綁在手上的方法，以解決好友的難題。而這種綁在手上的懷錶，就是現今的手錶。

1911 年卡地亞正式將這種形式的鐘錶商業化，推出了著名的 Santos 手錶。自此以後，手錶便開始普及。

經歷一個世紀的改進，1967 年瑞士人首度將石英鐘做成石英錶，手錶之後也由手動 / 自動上發條的形式，發展到用石英、電子等動力顯示時間，並混合了較為簡單的其他功能，例如計時、月相、量度脈搏等；現代手錶增加了更多複雜的功能，如：電子手帳、MP3、手機等形式。而部份手錶亦同時變成了手飾的一種，重點已不在顯示時間，而在於其設計、品牌、材質（如貴金屬及鑽石）等特徵上，另外隨著科技的發達，也開始有廠商將手錶與科技來結合，連上網路，成為新 3C 產品。

## 手錶的類型

### 以機芯類型來分類

#### 機械

* 手動機械錶
* 自動機械錶

#### 電子

* 指針式石英錶
* LCD 顯示數位錶
* LED 顯示數位錶

#### 機械及電子

* 人動電能
* 電子式機械錶
* 光動能錶

### 以功能來分類

* 協調世界時 UTC
* 陀飛輪
* 計時碼錶
* 航天手錶
* 萬年曆錶
* 鬧錶
* 停秒
* 語音報時 (三問錶)
* 軍用手錶
* 飛行錶
* 潛水錶
* 登山錶
* 緊急求救錶
* 護士錶 (醫生錶)
* 點字手錶
* 智能手錶

## 停秒

停秒是手錶的其中一種功能，當錶冠拔起時，手錶會停止運行。絕大部份的石英手錶皆有此功能，但在機械錶上，則只會出現於軍用或較高級的手錶上。以方便對時及當作計時功能使用。不過隨著機械機芯製造技術的成熟，目前許多機械機芯已配有此功能，例如精工 7s 以外的機械機芯都有停秒功能。

## 手錶部件

* 表殼
* 外圈
* 表鏡
* 錶盤
* 子錶盤
* 標記
* 指針
* 錶冠
* 推桿
* 錶帶

## 相關條目

* 計時工具的歷史
* 手錶品牌列表

## 備註
⌛

**沙漏**是一種計時儀器，又有**沙鐘**、**沙壺**等別稱。沙漏通常由兩個連在一起的流沙池組合而成，而內裏則視乎計算的時間密封裝有一定的流沙。

## 流沙池

形狀各有不同，最傳統及普遍的是漏斗形（大概和半個球體狀相似，但稍尖），球中央開一孔，連接另一流沙池，另一邊則由木板蓋著。其餘則五花八門，如三角形、四角形、五角形、柱形…… 不規則形皆有，而且兩個流沙池可有不同的外形。目前最常見的質料是玻璃。

## 流沙

粗沙、幼沙、細沙甚至小石子也可作流沙，只要能夠在兩流沙池內互相流動就可作流沙，流速快慢不拘。

## 歷史

### 發展流程

沙漏最早被發現於中國、希臘、義大利等地，被使用於航海，澳洲國會使用沙漏作為會議議程計時之用。

計時儀器的發展：

* 日光鐘 → 水鐘、香印 → 沙鐘 → 機械鐘。

前三種是古代所用的，機械鐘現已廣泛被人們採用，成為人們生活中不可缺少的一份。

沙漏正是停在沙鐘這一階段。沙漏是由漏刻（水鐘）演變而成的。

### 漏刻

漏刻同樣是一計時儀器。中國古代時，人們發現瓷器內的水會由裂縫中有規律地漏出來。於是便研製了漏刻出來，在一個留有小孔的漏壺內注入水（或水銀）後，水會一滴一滴地漏進另一容器 - 箭壺中。在箭壺蓋開一小洞，再插一箭桿，箭桿上刻上時間，再用一浮木把箭桿托起便能知道大體時間了。

後來，人們知道壺內水越多，流速越快，水越少，流速越慢，會影響計時的精確度，於是在壺上再加一漏壺，水一流走，馬上補充水份，計算時間得以準確。

據梁代《漏刻經》記載:「漏刻之作，蓋肇於軒轅之日，宣乎夏商之代」。這說明，早在公元前三、四千年的父系氏族公社時期，中華大地就已經出現了漏刻。

### 沙漏

漏刻有一壞處，在氣候寒冷時壺內水份會變冷甚致結冰，以致流速極慢或不流，但用水銀又過於昂貴，因而改用沙代替水，並將之簡化，稱之為「沙漏」。

## 運作原理

流沙由一個流沙池流到另一個流沙池，直至流光，因為內裏是密封的，所以流完的時間每次都會相同，流沙池上繪有刻度，從而得知時間。同樣可控制流沙量而獲得不同時間。每一邊流完後都可倒轉，再次使用。

## 用處

* 計算時間。
* 有欣賞和商業價值，經包裝的沙漏款式新穎，常被用作裝飾品。
* 葡萄牙探險家斐迪南・麥哲倫的航行中，他就在他的每一艘船上放置 18 個沙漏，用以計算時間及紀錄日誌。

## 最著名的沙漏 - 五輪沙漏

* 五輪沙漏於 1360 年由詹希元研製成功。宋濂為此撰寫一篇《五輪沙漏銘》。
* 脫離了傳統天文儀器的輔助，變成一種機械性的時鐘，和現代時鐘運作原理接近。
* 流沙流出時帶動初輪，其他各級機械齒輪亦被初輪帶動族轉。最後帶動在水面上水平族轉的中輪，這中輪軸心有一指針，指針在一有刻線的圓盤上轉動，可顯示時間。
* 還設有兩木人站在五輪沙漏上，每過一段時間，便會自動擊鼓報時。

## 相關連結

* 漏盡通
* 日晷

## 注釋

## 參考文獻

* 沙漏 - 天文儀器
* 漏刻 - 天文儀器
* 甚麼是沙漏？
* 沙漏
⌥

**Option 鍵**是蘋果標準鍵盤中的按鍵，一般位於 Control 鍵與 Command 鍵之間。現代的蘋果桌上型電腦和筆記型電腦的鍵盤上有兩個 Option 鍵，分別位於空格鍵兩側。

蘋果通常使用 ⌥（U+2325）來代表 Option 鍵。

從 20 世紀 90 年代開始，蘋果電腦的 Option 鍵上也有「Alt」字樣，但實現的功能與類 Unix 系統或 Windows 系統的 Alt 鍵不同。特別要注意它不是用來存取選單或快速鍵，而是用作其他命令代碼的修飾鍵，也有助於存取附加符號。從這個角度說它類似 IBM PC 相容機鍵盤上的 AltGr 鍵。

## 用途

### 替代鍵盤輸入

在 Mac OS 中，按住 `⌥ Option` 的同時輸入字元可轉換為對應的特殊字元（死鍵）：

另外，按住 `⌥ Option`+`⇧ Shift`：

 

### 快速鍵

* `⌘ Command`+`⌥ Option`+ `電源按鈕` 或 `⏏ eject`：將 Mac 置於睡眠狀態
* `⌘ Command`+`⌥ Option`+`esc`：強制結束應用程式
* `⌘ Command`+`⌥ Option`+`control`+ `電源按鈕` 或 `⏏ eject`：登出所有 app，然後關閉 Mac（如果任何打開的文稿有未儲存的更改，系統將詢問是否要儲存這些更改）
* `⌥ Option`+`←` 或 `→`：游標跳至上／下一個詞
* `⌥ Option`+`↑` 或 `↓`：游標跳至上／下一行文字尾
* `⌘ Command`+`⌥ Option`+`D`：顯示或隱藏 Dock

（部分）

### 選擇啟動磁碟

若 Mac 上有使用 Boot Camp 安裝 Windows，啟動時按住 `⌥ Option` 鍵不放，便可選擇開機使用的作業系統。 

### 下載檔案

按住 `⌥ Option` 並點擊瀏覽器（如 Safari，Chrome 等）中的超連結，可下載指定的 URL 檔案。 

## 注釋

## 參考資料

## 外部連結

* Mac 鍵盤快速鍵 - Apple 支援（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
⏩️

**快轉**（英語：fast forward）是指以快於正常的速度播放音訊或影片。在播放器等地方的媒體控制按鈕和介面上，該功能通常以兩個指向右邊的實心箭頭來表示。快轉符號在 unicode 中表示為 U+23E9 ⏩ 。

## 參考文獻
⏰

**鬧鐘**是被設計成會在特定的時間向人發出訊號的時鐘，鬧鐘的主要功能是喚醒熟睡的人，或是用來提醒其它事務。多數的鬧鐘使用聲音做為訊號，有些使用光線、震動或氣味。當按下鬧鐘上的按鈕後，訊號即會停止，有些鬧鐘則會在某段時間後自動停止並發出訊號。部份手機、手錶鬧鐘也有鬧鐘功能。

傳統的鬧鐘用力學的原理操作，在鬧鐘上面設定鬧鈴。近來出現的數位鬧鐘可發出其他聲音。簡單的數位鬧鐘只發出嗶嗶聲；較新穎的能發出更多元化的聲音。有些鬧鐘可在指定時間開收音機。

對於有聽覺障礙的人而言，傳統式的、即會發出聲響的鬧鐘沒有任何作用，因此有專門為有聽覺障礙的人設計的鬧鐘。此類鬧鐘可能會在設定的時間發出強光、移動、氣味、或以其它發出聲音以外的方式喚醒熟睡者。
⏱

**計時器**，又稱**秒錶**、**停錶**，是測量時間通過的儀器或人員，在一般的情況下，後者通常利用時鐘或碼錶來協助。此外，像是運動競賽的事件中，守時器記錄時間、經歷的時間、或剩餘的時間。

## 相關條目

* 原子鐘
* 計時碼錶
* 全自動時計
* 會議角色
* 裁判
* 碼錶
* 時間旅行

## 外部連結

* 關於建造圓形投影觀測站的論文 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 是手稿，阿拉伯文，從 1473，約報時。
* NIST: A Walk Through Timekeeping （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
⏲

**定時器**是一種測量時間間隔的特殊類型時鐘。定時器發出提示的聲音代表時間間隔已到。

定時器有兩大類：硬體和軟體定時器。

## 硬體定時器

### 機械計時器

機械計時器使用鐘錶來測量時間。

機械定時器的最簡單和最古老的類型是沙漏 ，其中砂通過一個狹窄的開口從一個室到另一個固定量以測量的時間間隔。

### 工業用定時器

一種凸輪計時器採用了小型同步交流電機轉動凸輪對梳開關觸點。該計時器的最常見的應用是現在在洗衣機、乾燥器和洗碗機等家電。這種類型的定時器通常具有齒輪系和凸輪之間的摩擦離合器，從而使凸輪可轉向重置時間。

### 電子式定時器

## 軟體定時器

這些類型的定時器；它們只存在程式代碼。它們依靠的準確性石英晶體諧振器運行該軟體的硬體設備。

### 軟體應用

現在，當人們在使用越來越多的行動電話，也有模仿舊機械計時器，但其具有還高度複雜的功能的定時器的應用程序。這些應用程序也更容易每天使用，因為它們可以無需購買或攜帶單獨的設備，今天定時器僅僅是一個手機或平板電腦的應用軟體。烹調時有些應用程序是倒數計時器、秒錶計時器，等等。

應用程序可能優於沙漏或機械計時器。 沙漏不是很準確、清晰，而且可能會堵塞。 機械計時器缺乏應用程式的支持，諸如音量調節的個性化需求。大多數應用程式也將提供可選的報警聲。

## 另請參見

* 蠟燭、倒數計時、滴灌、沙漏、水鐘
* 定時開關
* 計時器

## 參考文獻

## 外部連結

* NIST Recommended Practice Guide: Special Publication 960-12 Stopwatch and Timer Calibrations（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
①

**1**（**一**／**壹**）是 0 與 2 之間的自然數，是最小的正奇數。

## 數學性質

* 1 是最小的正整數。
* 在數論中，1 是最小的自然數。
* 1 是唯一一個既不是質數也不是合數的自然數
* 第 1 個虧數，真因數和為 0，虧度為 1。下一個為 2。
* 第 1 個歐爾調和數，因數調和平均數為 1。下一個為 6。
* 第 1 個高合成數。下一個為 2。
* 第 1 個無平方數因數的數。下一個為 2。
* 第一個超級冪數，有由多於一種方式構成的次方數。下一個為 16。（OEIS 數列 A117453）
  * 第 1 個平方數，為 1 的平方。下一個為 4。
  * 第 1 個立方數，為 1 的立方。下一個為 8。
* 第 1 個佩爾數。前一個為 0、下一個為 2。
* 第 1 個和第 2 個斐波那契數。前一個是 0、下一個是 2。
* 0 與 1 的階乘皆為 1，前一個 - 1 的階乘不存在，下一個階乘為 2 的階乘為 2。
* 第 1 個十進位的自我數。下一個為 3。
* 第 1 個十進位的哈沙德數。下一個為 2。
  * 第 1 個全哈沙德數，即在所有進位制中皆為哈沙德數。下一個為 2。
* 第 1 個十進位的等數位數。下一個為 2。
* 第 1 個幸運數
* 第 1 個快樂數
* 偶質數的數量
* 第 1 個三角形數
* 1 不能作為進位制的底。
* 1 不能做對數的底。
* 1 的倒數是 1。
* 1 的任意次方根是 1，即 ${\sqrt[{n}]{1}}=1$ 。
* 在階乘，0!=1!=1
* 相反數是 - 1
* 任何質數的真因數和皆為 1
* 1 是唯一一個真因數和為 0 的正整數
* 在機率論中，任一樣本空間中必然發生的隨機事件之機率定義為 1。
* 1 是正數、整數、有理數、代數數、實數、複數。
* 在幾何學中，單位圓和單位球的半徑都是 1。
* 歐拉恆等式， ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，把數學上五個重要的常數以簡約的方式連繫起來。公式中包含 **1**、**0**、自然對數的底 _e_、圓周率_**π**_及複數的虛數單位_**i**_。
* 1 在十進制下是第 1 個卡布列克數
* 任何底數為自然數的進位制裡的 1 都寫作 1，即 1(2)=1(3)=1(4)=1(8)=1(10)=1(12)=1(16)
* 1 是任何自然數的因數
* 0.999…=1
* 巴都萬數列的第 1 項、第 2 項和第 3 項
* 1 是費氏數列中，僅有的 3 個平方數之一（另外兩個是 0 與 144）。

## 在科學中

* 在計算機科學中，1 經常用在布林運算的真值表中，表示「真」值。
* 在幾何光學中，真空的折射率是 1。
* 在天文學中，太陽與地球間之平均距離為 1 個天文單位。
* 在化學中，氫的原子序數是 1。
* 在 ASCII 中，1 為「Start of Heading」。
* 在倉頡輸入法中，「一」是二十四個基本字型之一，稱為倉頡字母。

## 時間與曆法

* 現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 1 日，分別為 1 月 1 日、2 月 1 日、3 月 1 日、4 月 1 日、5 月 1 日、6 月 1 日、7 月 1 日、8 月 1 日、9 月 1 日、10 月 1 日、11 月 1 日和 12 月 1 日。
* 此外，在公曆紀年方面，人類對公元前 1 年、公元 1 年，公元前 1 世紀及公元 1 世紀均有記載。

## 在電子訊號與資訊系統中

* 在數位電路中，不使用精確的電壓值來代表訊號的值，只使用 0 和 1 兩個值。1 表示高於預先規定的閾值電壓，被稱為高電平或者邏輯 1。與之對應，0 表示低於預先規定的閾值電壓，被稱為低電平或者邏輯 0。
* 於 JavaScript 裡，1 代表布林值 `true`。
* 在雙音多頻信號的電話系統中，按鍵 1 是由 1209 赫茲 (高頻) 和 697 赫茲 (低頻) 的正弦信號所組成。

## 在人類文化中

* A（小寫為 **a**）是拉丁字母的第 **1** 個字母。
* 在以部首檢字法為主的中文字典中，「一」往往是第一個部首和第一個字；口頭上「一」還被讀作「么（yāo）」。
* 用於單位。如一瓶、一罐、一箱等。
* 在人類文化中，「一」別賦予了萬物之始的意義：「惟初太極，道立於一，造分天地，化成萬物，凡一之屬皆從一」（《說文解字》）。
* 英文中也以「The Great One」（偉大的一，太一）指代聖經中的上帝耶和華。
* 貨幣中的基本面額，如 1 美元、1 歐元、1 人民幣、1 新臺幣。
* 在樂理中，簡譜上的 do 音用 1 表示；器樂演奏時的譜子用類似「1=C」的符號來定調。
* 在塑膠分類標誌中，代表聚對苯二甲酸乙二酯。
* 在香港電影分級制度中，第 1 級（常寫作「I 級」）的電影適合任何年齡人士觀看。
* 在百家姓中，排第 1 位的姓氏是趙。
* 在儒略曆中，1 月 Januarius 名字來自古羅馬神話的神雅努斯。
* 在男同志文化中，1 號表示性行為中的插入方。
* 世界第一
* 第一名，冠軍、最佳。

## 在軍事政治中

* 一黨制
* 單一制
* 一院制
* 第一次世界大戰

## 在體育中

* 在棒球中，1 是投手的代號。
* 以 "1" 開頭的：一壘手

## 注釋

## 參見

* 名稱以「1」開頭的所有條目
* 1 年
* 前 1 年