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**自然對數**（英語：Natural logarithm）為以數學常數 e 為底數的對數函數，標記作 $\ln x$ 或 $\log _{e}x$ ，其反函數為指數函數 $e^{x}$ 。

自然對數積分定義為對任何正實數 $x$ ，由 $1$ 到 $x$ 所圍成， $xy=1$ 曲線下的面積 。如果 $x$ 小於 1，則計算面積為負數。

　
: $\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,$

 $e$ 則定義為唯一的實數 $x$ 使得 $\ln x=1$ 。

自然對數一般表示為 $\ln x\!$ ，數學中亦有以 $\log x\!$ 表示自然對數。 

## 歷史

### 十七世紀

約翰・納皮爾在 1614 年以及約斯特・比爾吉在 6 年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近 1 的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，約斯特・比爾吉的底數 1.000110000 相當接近自然對數的底數 $e$ ，而約翰・納皮爾的底數 0.999999910000000 相當接近 ${\frac {1}{e}}$ 。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰・納皮爾用了 20 年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs 建議納皮爾改用 10 為底數未果，他用自己的方法於 1624 年部份完成了常用對數表的編制。

形如 $f(x)=x^{p}$ 的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況 $p=-1$ 對應於雙曲線的弓形面積，即雙曲線扇形；其他情況都由 1635 年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出，其中拋物線的弓形面積由公元前 3 世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647 年 Grégoire de Saint-Vincent 將對數聯繫於雙曲線 $xy=1$ 的弓形面積，他發現 x 軸上 $[a,b]$ 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同 $[c,d]$ 對應的扇形，在 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 時面積相同，這指出了雙曲線從 $x=1$ 到 $x=t$ 的積分 $f(t)$ 滿足：

　
: $f(tu)=f(t)+f(u).\,$

1649 年，Alphonse Antonio de Sarasa 將雙曲線下的面積解釋為對數。大約 1665 年，伊薩克・牛頓推廣了二項式定理，他將 ${\frac {1}{1+x}}$ 展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯・麥卡托在 1668 年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

### 十八世紀

大約 1730 年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：

　
: $e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},$

　
: $\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$

1742 年威廉・瓊斯發表了現在的冪指數概念。

## 形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

　
: $\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).$

 $\ln(a)$ 正式定義為積分，

　
: $\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

　
: $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!$

這可以通過將定義了 $\ln(ab)$ 的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元 $x=ta$ 來證實:

　
: $\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)$

　
: $=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).$

冪公式 $\ln(t^{r})=r\ln(t)$ 可如下推出:

　
: $\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).$

第二個等式使用了換元 $u=x^{\frac {1}{r}}$ 。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

　
: $\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).$

## 性質

 * $\ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,$
* $\operatorname {ln} (-1)=i\pi \,$

　
: : (參見複數對數)

 * $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,$
* $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,$
* $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,$
* ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,$
* $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,$

　
:

## 導數

自然對數的導數為

　
: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

證明一 （微積分第一基本定理）: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}$

證明二：按此影片 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

　
: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}$

　
: : : : $=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}$

　
: $=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad $

　
: $=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

設 $u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h$

　
: ${\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}$

　
: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}$

　
: : : : $=\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}$

　
: $={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}$

設 $n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}$

　
: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

　
: : : : $={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

　
: $={\frac {1}{x}}\ln e$

　
: $={\frac {1}{x}}$

用自然對數定義的更一般的對數函數， $\log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}$ ，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

　
: ${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

根據連鎖法則，以 $f(x)$ 為參數的自然對數的導數為

　
: ${\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

右手端的商叫做 $f$ 的對數導數，通過 $\ln(f(x))$ 的導數的方法計算 $f'(x)$ 叫做對數微分。

## 冪級數

自然對數的導數性質導致了 $\ln(1+x)$ 在 0 處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

　
: $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots $

　
: 對於所有 $\left|x\right|\leq 1,$ 但不包括 $x=-1.$

把 $x-1$ 代入 $x$ 中，可得到 $\ln(x)$ 自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於 1 的任何 $x$ 有效的如下級數:

　
: $\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.$

這個級數類似於貝利 - 波爾溫 - 普勞夫公式。

還要注意到 $x \over {x-1}$ 是自身的逆函數，所以要生成特定數 $y$ 的自然對數，簡單把 $x \over {x-1}$ 代入 _$x$_ 中。

　
: $\ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,$

　
: 對於 $\operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.$

自然數的倒數的總和

　
: $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當 $n$ 趨於無窮的時候，差

　
: $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

收斂於歐拉 - 馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

## 積分

自然對數通過分部積分法積分:

　
: $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

假設:

　
: $u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$

　
: $dv=dx\Rightarrow v=x\,$

所以:

　
: ${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

自然對數可以簡化形如 $g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$ 的函數的積分： $g(x)$ 的一個原函數給出為 $\ln(\left\vert f(x)\right\vert )$ 。這是基於連鎖法則和如下事實:

　
: $\ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.$

換句話說，

　
: $\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

且

　
: $\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

### 例子

下面是 $g(x)=\tan x$ 的例子：

　
: ${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}$

設 $f(x)=\cos x$ 且 $f'(x)=-\sin x$ ：

　
: ${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}$

## 與雙曲函數的關係

在 18 世紀，約翰・海因里希・蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線 $xy=1$ 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 $y=x$ 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角 $u$ ，在漸近線即 x 或 y 軸上需要有的 $x$ 或 $y$ 的值。顯見這裡的底邊是 $\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，垂線是 $\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

 * $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
* $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 $xy=1$ 下雙曲角的 ${\frac {1}{2}}$ 。

## 連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

　
: ${\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}$

這些連分數特別是最後一個對接近 1 的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為 $2=1.25^{3}\times 1.024$ ，2 的自然對數可以計算為:

　
: ${\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

進而，因為 $10=1.25^{10}\times 1.024^{3}$ ，10 的自然對數可以計算為:

　
: ${\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

## 複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數 $x$ 得出複數值為 $e^{x}$ 的函數，只需要簡單使用 _$x$_ 為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在 _$x$_ 使得 $e^{x}=0$ ；並且有著 $e^{2\pi i}=1=e^{0}$ 。因為乘法性質仍適用於複數指數函數， $e^{z}=e^{z+2n\pi i}$ ，對於所有複數 $z$ 和整數 $n$ 。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加 $2\pi i$ 的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如， $\log i={\frac {1}{2}}\pi i$ 或 ${\frac {5}{2}}\pi i$ 或 $-{\frac {3}{2}}\pi i$ 等等；儘管 $i^{4}=1$ ， $4\log =i$ 不能定義為 $2\pi i$ 或 $10\pi i$ 或 $-6\pi i$ ，以此類推。

* 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
* * * *

### 主值定義

對於每個非 0 複數 $z=x+yi$ ，主值 $\log z$ 是虛部位於區間 $(-\pi ,\pi ]$ 內的對數。表達式 $\log 0$ 不做定義，因為沒有複數 $w$ 滿足 $e^{w}=0$ 。 

要對 $\log z$ 給出一個公式，可以先將 $z$ 表達為極坐標形式， $z=re^{i\theta }$ 。給定 $z$ ，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向 $\theta $ 增加 $2\pi $ 的整數倍，所以為了保證唯一性而要求 _$\theta $_ 位於區間 $(-\pi ,\pi ]$ 內；這個 _$\theta $_ 叫做幅角的主值，有時寫為 $\operatorname {arg} z$ 或 $\operatorname {atan} 2(y,x)$ 。則對數的主值可以定義為 ：

　
: : $\operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).$

例如， $\operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}$ 。

## 常見科學用法

自然指數有應用於表達放射衰變（放射性）之類關於衰減的過程，如放射性原子數目 $N$ 隨時間變化率 ${\frac {dN}{dt}}=-pN$ ，常數 $p$ 為原子衰變機率，積分得 $N(t)=N(0)\exp(-pt)$ 。

## 註釋

## 參考資料

## 延伸閱讀

* John B. Conway, _Functions of one complex variable_, 2nd edition, Springer, 1978.
* Serge Lang, _Complex analysis_, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
* Gino Moretti, _Functions of a Complex Variable_, Prentice-Hall, Inc., 1964.
* Donald Sarason, _Complex function theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, _A Course in Modern Analysis_, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.