XyY

在顏色感知的研究中，**CIE 1931 XYZ 色彩空間**（也叫做 **CIE 1931 色彩空間**）是其中一個最先採用數學方式來定義的色彩空間，它由國際照明委員會（CIE）於 1931 年創立。

CIE XYZ 色彩空間是從 1920 年代後期 W. David Wright（Wright 1928）和 John Guild（Guild 1931）做的一系列實驗中得出的。他們的實驗結果合併到了 CIE RGB 色彩空間的規定中，CIE XYZ 色彩空間再從它得出。本文即闡述這兩種色彩空間。

## 三色刺激值

人類眼睛有對於短（S, 420-440nm）、中（M, 530-540nm）和長（L, 560-580nm）波長的光感受器（稱為視錐細胞，需要注意的是，人類尚有一單色的夜視光感測器 --- 視桿細胞 --- 其最敏感的感知頻譜範圍約在 490-495nm）。因此，根據三種視錐細胞的刺激比例，便能描述任一種顏色的感覺，此稱為 LMS 空間。

色彩空間指的是用一種客觀的方式敘述顏色在人眼上的感覺，通常需要三色刺激值。更精確地說，首先先定義三種主要顏色（primary color），再利用顏色疊加模型，即可敘述各種顏色。需要注意的是，三種主要顏色未必需要是真正的顏色（也就是該種顏色無法真的被創造出來）。

在三色加色法模型中，如果某一種顏色和另一種混合了不同份量的三種原色的顏色，均使人類看上去是相同的話，我們把這三種原色的份量稱作該顏色的三色刺激值。CIE 1931 色彩空間通常會給出顏色的三色刺激值，並以 X、Y 和 Z 來表示。

色彩空間是指任何一種替每個顏色關聯到三個數（或三色刺激值）的方法，CIE 1931 色彩空間就是這種色彩空間之一。但是 CIE XYZ 色彩空間是特殊的，因為它是基於人類顏色視覺的直接測定，並充當很多其他色彩空間的定義基礎。

在 CIE XYZ 色彩空間中，三色刺激值並不是指人類眼睛對短、中和長波（S、M 和 L）的反應，而是一組稱為 X、Y 和 Z 的值，約略對應於紅色、綠色和藍色（但要留意 X、Y 和 Z 值並不是真的看起來是紅、綠和藍色，而是從紅色、綠色和藍色導出來的參數），並使用 CIE 1931 XYZ 顏色匹配函數來計算。兩個由多種不同波長的光混合而成的光源可以表現出同樣的顏色，這叫做「同色異譜」（metamerism）。當兩個光源對標準觀察者（CIE 1931 標準色度觀察者）有相同的視現顏色的時候，它們即有同樣的三色刺激值，而不管生成它們的光的光譜分佈如何。

## CIE _xy_ 色度圖

因為人類眼睛有響應不同波長範圍的三種類型的顏色傳感器，所有可視顏色的完整繪圖是三維的。但是顏色的概念可以分為兩部分：明度和色度。例如，白色是明亮的顏色，而灰色被認為是不太亮的白色。換句話說，白色和灰色的色度是一樣的，而明度不同。

CIE Yxy 色彩空間故意設計得 _Y_ 參數是顏色的明度或亮度的測量。顏色的色度接著通過兩個導出參數 _x_ 和 _y_ 來指定，它們是所有三個三色刺激值 _X_、_Y_ 和 _Z_ 的函數所規範化的三個值中的兩個：

　
: $x={\frac {X}{X+Y+Z}}$

　
: $y={\frac {Y}{X+Y+Z}}$

　
: $z={\frac {Z}{X+Y+Z}}=1-x-y$

導出的色彩空間用 x, y, Y 來指定，它叫做 CIE xyY 色彩空間並在實踐中廣泛用於指定顏色。

_X_ 和 _Z_ 三色刺激值可以從色度值 _x_ 和 _y_ 與 _Y_ 三色刺激值計算回來：

　
: $X={\frac {Y}{y}}x$

　
: $Z={\frac {Y}{y}}(1-x-y)$

右側的圖象展示了相對色度圖。外側曲線邊界是光譜軌跡，波長用奈米標記。注意這個色度圖是指定人類眼睛如何體驗給定頻譜的光的工具。它不能指定物體的顏色（或印刷墨水），因為在觀察物體的時候看到的色度還依賴於光源。

數學上，_x_ 和 _y_ 是投影坐標，色度圖的顏色占據了實投影平面的一個區域。

色度圖展示了 CIE XYZ 色彩空間一些有趣性質：

* 色度圖展示了對一般人可見的所有色度。這個用顏色展示的區域叫做人類視覺的色域。在 CIE 繪圖上所有可見色度的色域是用顏色展示的馬蹄鐵形狀。色域的曲線邊界叫做「光譜軌跡」並對應於單色光，波長用奈米標記。色域底下的直線邊界叫做「紫線」，這些顏色儘管在色域的邊界上，但沒有匹配的單色光。更少飽和的顏色位於圖形內部而白色位於中央。
* 所有可見色度對應於 _x_、_y_ 和 _z_ 的非負值（因此對應於 _X_、_Y_ 和 _Z_ 的非負值）。
* 如果你在色度圖上選擇了任何兩點，則位於這兩點之間直線上任何顏色都可以用這兩個顏色混合出來。這得出了色域的形狀必定是凸形的。混合三個光源形成的所有顏色都可以在色度圖內的源點形成的三角形內找到（對於多個光源也如是）。
* 兩個同等明亮顏色的等量混合一般不位於這個線段的中點。用更一般術語說，在 _xy_ 色度圖上距離不對應於兩種顏色之間的差別程度。設計了其他色彩空間（特別是 CIELuv 和 CIELab）來滿足這個問題。
* 給定三個真實光源，這些光源不能覆蓋人類視覺的色域。幾何上說，在色域中沒有三個點可以形成包括整個色域的三角形，更簡單的說，人類視覺的色域不是三角形。
* 平直能量頻譜的光對應於點 (_x_,_y_) = (1/3,1/3)。

## CIE XYZ 色彩空間定義

### 實驗結果 — CIE RGB 色彩空間

CIE RGB 色彩空間是 RGB 色彩空間之一，以單色（單一波長）原色的特定集合著稱。

在 1920 年代，W. David Wright（Wright 1928）和 John Guild（Guild 1931）獨立進行了一系列人類視覺實驗，提供了 CIE XYZ 色彩空間規定的基礎。

實驗使用 2 度視角的圓形屏幕。屏幕的一半投影上測試顏色，另一半投影上觀察者可調整的顏色。可調整的顏色是三種原色的混合，它們每個都有固定的色度，但有可調整的明度。

觀察者改變三種原色光的明度直到觀察到混合的顏色匹配了測試顏色。不是所有顏色都可使用這種技術匹配。當沒有匹配的時候，可變數量的一種原色被增加到測試顏色上，用餘下兩種原色混合與它匹配。對於這種情況，增加到測試顏色上原色的數量被認為是負值。通過這種方式，可以覆蓋完整的人類顏色感知。當測試顏色是單色的時候，可以把使用的每種原色的數量繪製為測試顏色的波長的函數。這三個函數叫做這個特定實驗的「顏色匹配函數」。

儘管 Wright 和 Guild 的實驗使用了各種強度的各種原色，和一些不同的觀察者，所有他們的結果都被總結為標準 CIE RGB 顏色匹配函數 ${\overline {r}}(\lambda )$ , ${\overline {g}}(\lambda )$ 和 ${\overline {b}}(\lambda )$ ，它們是通過使用標準波長為 700 nm（紅色）、546.1 nm（綠色）和 435.8 nm（藍色）的三種單色原色獲得的。顏色匹配函數是匹配單色測驗顏色所需要的原色的數量。這些函數展示於右側的（CIE 1931）繪圖中。注意 ${\overline {r}}(\lambda )$ 和 ${\overline {g}}(\lambda )$ 在 435.8nm 處為零， ${\overline {r}}(\lambda )$ 和 ${\overline {b}}(\lambda )$ 在 546.1nm 處為零，而 ${\overline {g}}(\lambda )$ 和 ${\overline {b}}(\lambda )$ 在 700 nm 處為零，因為在這些情況下測試顏色是原色之一。選擇波長 546.1 nm 和 435.8 nm 的原色是因為它們是容易再生的水銀蒸氣放電的色線。1931 年選擇的 700 nm 波長難於再生為單色光束，選擇它是因為眼睛的顏色感知在這個波長相當不變化，所以在這個原色波長上的小誤差將對結果有很小的影響。

經過 CIE 的特別委員會的深思熟慮之後確定了顏色匹配函數和原色（Fairman 1997）。在圖的短波和長波的側的取捨點某種程度上是隨意選擇的；人類眼睛實際上能看到波長直到 810 nm 的光，但是敏感度要數千倍低於綠色光。定義的這些顏色匹配函數叫做「1931 CIE 標準觀察者」。注意：不是指定每種原色的明度，而是將這種曲線常規標準化為在其下有固定的面積。這個面積按如下規定而固定為特定值

　
: $\int _{0}^{\infty }{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda $

結果的規範化顏色匹配函數經常對源照度按 r:g:b 比率 1:4.5907:0.0601 縮放、和為源輻射功率按比率 72.0962:1.3791:1 縮放來重新生成真正的顏色匹配函數。通過提議標準化原色，CIE 建立了客觀顏色表示法的一個國際系統。

給定這些縮放了顏色匹配函數，帶有頻譜功率分布 $I(\lambda )$ 的一個顏色的 RGB 三色刺激值給出為：

　
: $R=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda $

　
: $G=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda $

　
: $B=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda $

這些都是內積，並可以被認為是無限維頻譜到三維顏色的投影。

### 格拉斯曼定律

你可能會問：「為什麼可以使用不同原色和它們的不同實際使用強度來總結 Wright 和 Guild 的結果？」還可能問：「要匹配的測試顏色不是單色會怎樣？」。對這兩個問題的答案在於人類色彩感知的（幾乎）線性。這種線性被表達為格拉斯曼定律。

CIE RGB 空間可以被用來以常規方式定義色度：色度坐標是 _r_ 和 _g_:

　
: $r={\frac {R}{R+G+B}},$

　
: $g={\frac {G}{R+G+B}}.$

### 從 Wright–Guild 數據構造 CIE XYZ 色彩空間

在使用 CIE RGB 顏色匹配函數開發了人類視覺的 RGB 模型之後，特殊委員會的成員希望開發出與 CIE RGB 色彩空間有關的另一個色彩空間。它假定 Grassmann 定律成立，這個新空間通過線性變換而有關於 CIE RGB 空間。新空間將以三個新顏色匹配函數來定義： ${\overline {x}}(\lambda )$ 、 ${\overline {y}}(\lambda )$ 和 ${\overline {z}}(\lambda )$ 。帶有頻譜功率分布 I (λ) 的顏色的對應的 XYZ 三色刺激值為給出為：

　
: $X=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {x}}(\lambda )\,d\lambda $

　
: $Y=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda $

　
: $Z=\int _{0}^{\infty }I(\lambda )\,{\overline {z}}(\lambda )\,d\lambda $

選擇這個新色彩空間是因為它有如下性質：

1. 新顏色匹配函數在所有地方都大於等於零。在 1931 年，計算是憑藉手工或滑尺進行的，正值的規定有用於計算簡化。
2. ${\overline {y}}(\lambda )$ 顏色匹配函數精確的等於「CIE 標準適應光觀察者」（CIE 1926）的適應光發光效率函數 V (λ）。它是描述感知明度對波長的變換的亮度函數。亮度函數可以構造為 RGB 顏色匹配函數的線性組合的事實是沒有任何方式來保證的，但是被認為幾乎是真實的，因為人類視覺的幾乎線性本質。還有，這個要求的主要原因是計算簡單。
3. 對於恆定能量白點，要求為 _x_ = _y_ = _z_ = 1/3。
4. 由於色度定義和要求 _x_ 和 _y_ 為正值的優勢，可以在三角形 [1,0]，[0,0]，[0,1] 內見到所有顏色的色域。在實踐中必須把色域完全的充入這個空間中。
5. ${\overline {z}}(\lambda )$ 可以在 650 nm 處被設置為零而仍保持在實驗誤差範圍內。為了計算簡單規定可以這樣做。

用幾何術語說，選擇新色彩空間等於在 _rg_ 色度空間中選擇一個新三角形。在右側的圖形中，_rg_ 色度坐標展示在兩個黑色軸上，還有 1931 標準觀察者的色域。展示為上述要求所確定的是紅色 CIE _xy_ 色度軸。要求 XYZ 坐標非負意味著 Cr, Cg, Cb 形成的三角形必須包圍標準觀察者的整個色域。連接 Cr 和 Cb 的直線由 ${\overline {y}}(\lambda )$ 函數等於亮度函數的要求來確定，它叫做 alychne。 ${\overline {z}}(\lambda )$ 函數在 650 nm 處為零的要求意味著連接 Cg 和 Cr 的直線必須是 Kr 區域內的色域的切線。這定義了點 Cr 的位置。均等能量點定義自 _x_ = _y_ = 1/3 的要求對連接 Cb 和 Cg 的直線做了限制，最後，色域充入空間的要求對此線作了第二個限制，它要非常靠近在綠色區域的色域，這規定了 Cg 和 Cb 的位置。上面描述的變換是從 CIE RGB 空間到 XYZ 空間的線性變換。CIE 特殊委員會確定了標準變換如下：

　
: ${\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\frac {1}{b_{21}}}{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}={\frac {1}{0.17697}}{\begin{bmatrix}0.49&0.31&0.20\\0.17697&0.81240&0.01063\\0.00&0.01&0.99\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}$

要求 3 確定了 XYZ 顏色匹配函數的積分必須相等，可通過要求 2 確定的適應光發光效率函數的積分得到它。必須注意到制表的敏感度曲線有一定量的任意性在其中。單獨的 _X_、_Y_ 和 _Z_ 敏感度曲線可以按合理的精度測量。但是整體的光度曲線（它事實上是這個三個曲線的加權和）是主觀的，因為它涉及到問測試人兩個光源是否有同樣的明度，即使它們是完全不同的顏色。同樣的，X、_Y_ 和 Z 的曲線的相對大小（magnitude）也是任意的。你也可以定義有兩倍幅值的 _X_ 敏感度曲線的有效色彩空間。這個新色彩空間將有不同的形狀。CIE 1931 和 1964 XYZ 色彩空間的敏感度曲線被縮放為有相同的曲線下面積。

## 問題和解決

* 1924 發光效率函數 V（λ，CIE 1926）嚴重的低估了在 460 nm 波長下的敏感度。Judd（1951）和 Vos（1978）提議了一個修改版本的發光效率函數，這也給出了一組新的 XYZ 顏色匹配函數。參見 Stiles 與 Burch（1955）。
* CIE 1964 標準觀察者顏色匹配函數是為 10 度視角定義的。它們是從 Stiles 與 Burch（1959），和 Speranskaya（1959）的工作得出的。1931 標準觀察者視角是 2 度。對於 10 度實驗，指導觀察者忽略中心 2 度斑點。推薦對多於 4 度視角使用 1964 增補標準觀察者。
* CIE 1931 色彩空間的一個問題是它沒有給出估量顏色差別的直接方式。希望在色度圖上距離能對應於在兩個顏色之間的差別程度。測量兩個顏色之間的差別的想法是 D.L. MacAdam 開發的並總結於 MacAdam 橢圓的概念中。基於 MacAdam 的工作，在 1960 年開發了 CIE L\*u\*v\* 色彩空間，它後來被 CIE L\*a\*b\* 色彩空間所替代，二者都設計為在顏色空間中相等的距離對應於相等的 MacAdam 所測量的顏色差別。儘管它們比 CIE 1931 系統有明顯的改進，它們沒有完全免除扭曲。

## 引用

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## 參見

* 假想色

## 外部連結

* Tabulated data（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* CIE home page\* （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* CIE Color Space (Gernot Hoffman)
* Poynton Color FAQ（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* GSU hyperphysics（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Introduction to Colour Science (Limited theory, but some nice graphics)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://colorusage.arc.nasa.gov/lum\_and\_chrom.php（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vision/colspa.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* https://web.archive.org/web/20080416044228/http://www.efg2.com/Lab/Graphics/Colors/Chromaticity.htm
* https://web.archive.org/web/20071130222804/http://www.fis.unipr.it/~fermi/PagInternet\_English/GCA\_Color\_Theory.html