Radon变换

數學上，**拉東變換**（又稱**雷登變換**）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數 $f$ 變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數 ${\cal {R}}f$ ( ${\cal {R}}f$ 的意思是對 $f$ 做拉東變換)，而 ${\cal {R}}f$ 的值為函數 $f$ 對該條線 ${\cal {R}}f$ 做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是 $f$ ， $A$ 線則是代表 ${\cal {R}}f$ 。

拉東變換是約翰・拉東在西元 1917 年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。
三次空間拉東變換，是對一個平面積分 (對線積分則是 X 射線轉換)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要參見 Integral geometry。
在複數上有和拉東變換相似的 Penrose 轉換，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

## 簡介

若函數 $f$ 表示一個未知的密度，對 $f$ 做拉東變換，相當於得到 $f$ 投影後的訊號，舉例來說： $f$ 相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的 $f$ 。
因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作**正弦圖**（sinogram），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X 射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子裝配（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震學，而且也是雙曲線偏微分方程式的解。

## 定義

令密度函數 $f({\bf {x}})=f(x,y)$ 是一個的定義域為 ${\bf {R}}^{2}$ 的緊支撐。令 ${\cal {R}}$ 為拉東變換的運算子 (operator)，則 ${\cal {R}}f(x,y)$ 是一個定義在 ${\bf {R}}^{2}$ 空間中的直線 $L$ ，它的定義如下

　
: ${\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|$

可以把直線 $L$ 改寫成一個弧長 $z$ 的參數式

　
: $(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$

 $s$ 是直線 $L$ 和原點的距離，而 $\alpha $ 是垂直於 $L$ 的法線和 $x$ 軸的夾角，
接下來，我們可以令 $(\alpha ,s)$ 當作 ${\bf {R}}^{2}$ 平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

　
: ${\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}$

更進一步，我們可以把 ${\bf {R}}^{2}$ 推廣到 ${\bf {R}}^{n}$ 的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數 $f$ 做拉東變換後的函數 ${\cal {R}}f$ 是定義在 $\Sigma _{n}$ 的超平面上，

　
: ${\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}$

積分的對象是自然超平面測度 (natural hypersurface measure)，而 $d\Delta $ 是原本的 $|d{\bf {x}}|$ 的高維推廣。可以觀察到對 $\Sigma _{n}$ 裡的任意元素，
都是某個軌跡方程式式的解

　
: ${\bf {x}}\cdot \alpha =s.$

而 $\alpha $ 是一個單位向量且屬於 ${\rm {S}}^{n-1}$ ， $s\in \mathbb {R} $ ，n 維的拉東變換可以改寫成定義在 ${\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}$ 上的函數

　
: ${\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )$

也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對 ${\bf {R}}^{n}$ 的 k 維仿射子空間作 (k-dimensional affine subspaces) 積分。
而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在 X 射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

## 與傅立葉變換的關係

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

　
: ${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$

而雙變數 $({\bf {x}})=(x,y)$ 的傅立葉變換是

　
: ${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy$

把拉東變換的運算子的表記從 ${\cal {R}}[f](s)$ 改成 ${\cal {R}}[f](\alpha ,s)$ 。根據投影切片定理學說，

　
: ${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

因此一個初始函數沿著一條線傾角 $\alpha $ 的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到 n 維

　
: ${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds$

## 對偶變換

對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間 $\Sigma _{n}$ 上的函數 $g$ ，而對偶拉東變換的運算子定義為 ${\cal {R}}^{*}$ 。作用在 $g$ 上

　
: ${\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )$

積分的範圍是所有和 $x\in {\bf {R}}^{2}$ 相交的超平面集合，而測度 (measure) $d\mu $ 是集合 $\xi |x\in \xi $ 特殊的機率測度 (Probability measure)，
當對著 $x$ 旋轉時， $d\mu $ 的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

　
: ${\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha $

在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向傳播算法 (back propagation) ，
因為

**交結性質**

根據拉普拉斯算子 $\Delta $ 在 ${\bf {R}}^{n}$ 的定義是

　
: $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間 $\Sigma _{n}$ ，半徑的二階導數

　
: $Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$

也是旋轉不變性。
而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子 (intertwining operator)，是因為

　
: ${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)$

## 重建方法

**重建處理**是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數 $f$ 。重建處理是一種逆問題 (inverse problem)。

**拉東反變換公式**

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式 (analytical formula) $f$ ，是 Filtered Backprojection Formula 或拉東反變換公式，反變換公式為

　
: $f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta $

函數 $h$ 滿足 ${\hat {h}}(k)=|k|$ ，摺積核 (convolution kernel) $h$ 在一些文章中稱作 Ramp filter。

**不適定問題 (ill-posedness)**

直覺上，反變換公式應該和微分類似， ${\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)$ 。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化 (singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness) 呢？首先可以寫出

　
: ${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$

 ${\cal {R}}^{*}$ 即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著 (adjoint to) 拉東變換，因此 $g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$ ，上式變成

　
: ${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$

複數指數函數 $e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$ ，是 ${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}$ 的固有函數 (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue) 為 ${\frac {1}{||{\bf {k}}||}}$ 。 ${\cal {R}}$ 的奇異值 (singular values) 是 ${\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$ ，
因為這些奇異值 (singular values) 會趨近於 0，所以 ${\cal {R}}^{-1}$ 是無界的 (unbounded) 。

## 反變換公式

外顯 (explicit) 且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n 維的反拉東變換可以由

　
: $c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}$

其中

　
: $c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}$

而 $\Delta $ 是拉普拉斯算子 (Laplacian)， $(-\Delta )^{(n-1)/2}$ 是偽微分算子 (pseudodifferential operator)

　
: ${\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).$

 ${\mathcal {F}}$ 是傅立葉變換的運算子 (operator)。

## 參見

* 反摺積
* X-ray 變換
* Funk 變換
* 霍夫變換
* 疊代稀疏漸近最小變異數算法

## 注釋

## 參考

* Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 .
* Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs **39** 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
* Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
* Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
* Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics **32**, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
* Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
* Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; _Translation:_ Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, **5** (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
* Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
* 埃里克・韋斯坦因。拉東變換. MathWorld. .