PI控制器

**PID 控制器**（比例 - 積分 - 微分控制器），由比例單元（**P**roportional）、積分單元（**I**ntegral）和微分單元（**D**erivative）組成。可以透過調整這三個單元的增益 $K_{p}$ ， $K_{i}$ 和 $K_{d}$ 來調定其特性。PID 控制器主要適用於基本上線性，且動態特性不隨時間變化的系統。

PID 控制器是一個在工業控制應用中常見的反饋迴路部件。這個控制器把收集到的數據和一個參考值進行比較，然後把這個差別用於計算新的輸入值，這個新的輸入值的目的是可以讓系統的數據達到或者保持在參考值。PID 控制器可以根據歷史數據和差別的出現率來調整輸入值，使系統更加準確而穩定。

PID 控制器的比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）分別對應目前誤差、過去累計誤差及未來誤差。若是不知道受控系統的特性，一般認為 PID 控制器是最適用的控制器。藉由調整 PID 控制器的三個參數，可以調整控制系統，設法滿足設計需求。控制器的響應可以用控制器對誤差的反應快慢、控制器過衝的程度及系統震盪的程度來表示。不過使用 PID 控制器不一定保證可達到系統的最佳控制，也不保證系統穩定性。

有些應用只需要 PID 控制器的部份單元，可以將不需要單元的參數設為零即可。因此 PID 控制器可以變成 PI 控制器、PD 控制器、P 控制器或 I 控制器。其中又以 PI 控制器比較常用，因為 D 控制器對回授雜訊十分敏感，而若沒有 I 控制器的話，系統不會回到參考值，會存在一個誤差量。

## 反饋迴路基礎

PID 迴路是要自動實現一個操作人員用量具和控制旋鈕進行的工作，這個操作人員會用量具測系統輸出的結果，然後用控制旋鈕來調整這個系統的輸入，直到系統的輸出在量具上顯示穩定的需求的結果，在舊的控制文檔里，這個過程叫做「復位」行為，量具被稱為「測量」，需要的結果被稱為「設定值」而設定值和測量之間的差別被稱為「誤差」。

一個控制迴路包括三個部分：

1. 系統的傳感器得到的測量結果
2. 控制器作出決定
3. 通過一個輸出設備來作出反應

控制器從傳感器得到測量結果，然後用需求結果減去測量結果來得到誤差。然後用誤差來計算出一個對系統的糾正值來作為輸入結果，這樣系統就可以從它的輸出結果中消除誤差。

在一個 PID 迴路中，這個糾正值有三種算法，消除目前的誤差，平均過去的誤差，和透過誤差的改變來預測將來的誤差。

比如說，假如利用水箱在為植物提供水，水箱的水需要保持在一定的高度。可以用傳感器來檢查水箱裡水的高度，這樣就得到了測量結果。控制器會有一個固定的用戶輸入值來表示水箱需要的水面高度，假設這個值是保持 65％的水量。控制器的輸出設備會連在由馬達控制的水閥門上。打開閥門就會給水箱注水，關上閥門就會讓水箱裡的水量下降。這個閥門的控制信號就是控制變量。

PID 控制器可以用來控制任何可被測量及可被控制變量。比如，它可以用來控制溫度、壓力、流量、化學成分、速度等等。汽車上的巡航定速功能就是一個例子。

一些控制系統把數個 PID 控制器串聯起來，或是連成網絡。這樣的話，一個主控制器可能會為其他控制輸出結果。一個常見的例子是馬達的控制。控制系統會需要馬達有一個受控的速度，最後停在一個確定的位置。可由一個子控制器用來管理速度，但是這個子控制器的速度是由控制馬達位置的主控制器來管理的。

連合和串聯控制在化學程序控制系統中相當常見。

## 歷史及應用

PID 控制器可以追溯到 1890 年代的調速器設計。PID 控制器是在船舶自動操作系統中漸漸發展。1911 年 Elmer Sperry 開發的控制器是最早期 PID 型控制器的其中之一，而第一個發表 PID 控制器理論分析論文的是俄裔美國工程師尼古拉斯・米諾爾斯基（Minorsky 1922）。米諾爾斯基當時在設計美國海軍的自動操作系統，他的設計是基於對舵手的觀察，控制船舶不只是依目前的誤差，也考慮過去的誤差以及誤差的變化趨勢，後來米諾爾斯基也用數學的方式加以推導。他的目的是在於穩定性，而不是泛用的控制，因此大幅的簡化了問題。比例控制可以在小的擾動下有穩定性，但無法消除穩態誤差，因此加入了積分項，後來也加入了微分項。

當時在新墨西哥號戰艦上進行測試，利用控制器控制舵的角速度，利用 PI 控制器可以角度誤差維持在 ±2° 以內，若加上 D 控制，角度誤差維持在 ±1/6°，比最好的舵手還要好。

不過因為海軍人員的抗拒，海軍那時候未使用這套系統，在 1930 年代也有其他人作出類似的研究。

在自動控制發展的早期，用機械設備來實現 PID 控制，是由槓桿、彈簧、阻尼及質量組成，多半會用壓縮氣體驅動。氣動控制器還一度是工業上的標準。

電子的類比控制器可以用電晶體、真空管、電容器及電阻器組成。許多複雜的電子系統中常會包括 PID 控制，例如磁碟的讀寫頭定位、電源供應器的電源條件、甚至是現代地震儀的運動偵測線路。現代電子控制器已大幅的被這些利用單晶片或 FPGA 來實現的數位控制器所取代。

現代工業使用的 PID 控制器多半會用 PLC 或有安裝面板的數位控制器來實現。軟體實現的好處是相對低廉，配合 PID 實現方式調整的靈敏度很大。在工業鍋爐、塑膠射出機械、燙金機及包裝行業中都會用到 PID 控制。

變化的電壓輸出可以用 PWM 來實現，也就是固定週期，依要輸出的量去調整週期中輸出高電位的時間。對於數位系統，其時間比例有可能是離散的，例如週期是二秒，高電位時間設定單位為 0.1 秒，表示可以分為 20 格，精度 5%，因此存在一量化誤差，但只要時間解析度夠高，就會有不錯的效果。

## 理論

PID 是以它的三種糾正算法而命名。受控變數是三種算法（比例、積分、微分）相加後的結果，即為其輸出，其輸入為誤差值（設定值減去測量值後的結果）或是由誤差值衍生的信號。若定義 $u(t)$ 為控制輸出，PID 演算法可以用下式表示：

　
: $\mathrm {u} (t)=\mathrm {MV} (t)=K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

其中

　
: $K_{p}$ ：比例增益，是調適參數

　
: $K_{i}$ ：積分增益，也是調適參數

　
: $K_{d}$ ：微分增益，也是調適參數

　
: $e$ ：誤差 = 設定值（SP）- 回授值（PV）

　
: $t$ ：目前時間

　
: $\tau $ ：積分變數，數值從 0 到目前時間 $t$

用更專業的話來講，PID 控制器可以視為是頻域系統的濾波器。在計算控制器最終是否會達到穩定結果時，此性質很有用。如果數值挑選不當，控制系統的輸入值會反覆振盪，這導致系統可能永遠無法達到預設值。

PID 控制器的一般轉移函數是：

　
: $H(s)={\frac {K_{d}s^{2}+K_{p}s+K_{i}}{s+C}}$ ,

其中 _C_ 是一個取決於系統帶寬的常數。

### 比例控制項

比例控制考慮當前誤差，誤差值和一個正值的常數 Kp（表示比例）相乘。Kp 只是在控制器的輸出和系統的誤差成比例的時候成立。比如說，一個電熱器控制器是在目標溫度和實際溫度差 10°C 時有 100% 的輸出，而其目標值是 25°C。那麼它在 15°C 的時候會輸出 100%，在 20°C 的時候會輸出 50%，在 24°C 的時候輸出 10％，注意在誤差是 0 的時候，控制器的輸出也是 0。

比例控制的輸出如下：

　
: $P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}$

若比例增益大，在相同誤差量下，會有較大的輸出，但若比例增益太大，會使系統不穩定。相反的，若比例增益小，若在相同誤差量下，其輸出較小，因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小，當有干擾出現時，其控制信號可能不夠大，無法修正干擾的影響。

#### 穩態誤差

比例控制在誤差為 0 時，其輸出也會為 0。若要讓受控輸出為非零的數值，就需要產生一個穩態誤差或偏移量。

### 積分控制項

積分控制考慮過去誤差，將誤差值過去一段時間和（誤差和）乘以一個正值的常數 Ki。Ki 從過去的平均誤差值來找到系統的輸出結果和預定值的平均誤差。一個簡單的比例系統會震盪，會在預定值的附近來回變化，因為系統無法消除多餘的糾正。通過加上負的平均誤差值，平均系統誤差值就會漸漸減少。所以，最終這個 PID 迴路系統會在設定值穩定下來。

積分控制的輸出如下：

　
: $I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }$

積分控制會加速系統趨近設定值的過程，並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大，趨近設定值的速度越快，不過因為積分控制會累計過去所有的誤差，可能會使回授值出現過衝的情形。

### 微分控制項

微分控制考慮將來誤差，計算誤差的一階導，並和一個正值的常數 Kd 相乘。這個導數的控制會對系統的改變作出反應。導數的結果越大，那麼控制系統就對輸出結果作出更快速的反應。這個 Kd 參數也是 PID 被稱為可預測的控制器的原因。Kd 參數對減少控制器短期的改變很有幫助。一些實際中的速度緩慢的系統可以不需要 Kd 參數。

微分控制的輸出如下：

　
: $D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

微分控制可以提昇整定時間及系統穩定性。不過因為純微分器不是因果系統，因此在 PID 系統實現時，一般會為微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及雜訊。實際上較少用到微分控制，估計 PID 控制器中只有約 20% 有用到微分控制。

## 參數調試

PID 的參數調試是指透過調整控制參數（比例增益、積分增益 / 時間、微分增益 / 時間）讓系統達到最佳的控制效果。穩定性（不會有發散性的震盪）是首要條件，此外，不同系統有不同的行為，不同的應用其需求也不同，而且這些需求還可能會互相衝突。

PID 只有三個參數，在原理上容易說明，但 PID 參數調試是一個困難的工作，因為要符合一些特別的準則，而且 PID 控制有其限制存在。歷史上有許多不同的 PID 參數調試方式，包括齊格勒－尼科爾斯方法等，其中也有一些已申請專利。

PID 控制器的設計及調試在概念上很直覺，但若有多個（且互相衝突）的目標（例如高穩定性及快速的暫態時間）都要達到的話，在實際上很難完成。PID 控制器的參數若仔細的調試，會有很好的效果，相反的，若調適不當，效果會很差。一般初始設計常需要不斷的電腦模擬，並且修改參數，一直達到理想的性能或是可接受的妥協為止。

有些系統有非線性的特性，若在無載下調試的參數可能無法在滿載下動作，可以利用增益規劃的方式進行修正（在不同的條件下選用不同的數值）。

### 穩定性

若 PID 控制器的參數未挑選妥當，其控制器輸出可能是不穩定的，也就是其輸出發散，過程中可能有震盪，也可能沒有震盪，且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因為過大增益造成，特別是針對延遲時間很長的系統。

一般而言，PID 控制器會要求響應的穩定，不論程序條件及設定值如何組合，都不能出現大幅振盪的情形，不過有時可以接受臨界穩定的情形。

### 最佳性能

PID 控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關，也會隨應用而不同。

兩個基本的需求是調整能力（regulation，干擾拒絕，使系統維持在設定值）及命令追隨 （設定值變化下，控制器輸出追隨設定值的反應速度）。有關命令追隨的一些準則包括有上昇時間及整定時間。有些應用可能因為安全考量，不允許輸出超過設定值，也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。

### 各方法的簡介

有許多種調試 PID 控制器參數的方法，最有效的方式多半是建立某種程序，再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差，若是系統的響應時間到數分鐘以上，更可以看出人工調試效率的不佳。

調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路「離線」有關，也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件（例如不加負載），而且控制器的輸出只需考慮理論情況，不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件，控制器的輸出需考慮實際的系統
。若控制迴路可以離線，最好的調試方法是對系統給一個步階輸入，量測其輸出對時間的關係，再用其響應來決定參數。

### 人工調整

若需在系統仍有負載的情形進行調試（線上調試），有一種作法是先將 $K_{i}$ 及 $K_{d}$ 設為零，增加 $K_{p}$ 一直到迴路輸出震盪為止，之後再將 $K_{p}$ 設定為「1/4 振幅衰減」（使系統第二次過衝量是第一次的 1/4）增益的一半，然後增加 $K_{i}$ 直到一定時間後的穩態誤差可被修正為止。不過若 $K_{i}$ 可能會造成不穩定，最後若有需要，可以增加 $K_{d}$ ，並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值，不過若 $K_{d}$ 太大會造成響應太快及過衝。一般而言快速反應的 PID 應該會有輕微的過衝，只是有些系統不允許過衝。因此需要將回授系統調整為過阻尼系統，而 $K_{p}$ 比造成震盪 $K_{p}$ 的一半還要小很多。

調整 PID 參數對系統的影響如下

### 齊格勒－尼科爾斯方法

齊格勒－尼科爾斯方法是另一種啟發式的調試方式，由 John G. Ziegler 和 Nathaniel B. Nichols 在 1940 年代導入，一開始也是將 $K_{i}$ 及 $K_{d}$ 設定為零，增加比例增益直到系統開始等振幅振盪為止，當時的增益稱為 $K_{u}$ ，而振盪週期為 $P_{u}$ ，即可用以下的方式計算增益：

### PID 調試軟體

大部份現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試，而是用 PID 調試及最佳化軟體來達到一致的效果。軟體會收集資料，建立模型，並提供最佳的調試結果，有些軟體甚至可以用參考命令的變化來進行調試。

數學的 PID 調試會將脈衝加入系統，再用受控系統的頻率響應來設計 PID 的參數。若是響應時間要數分鐘的系統，建議用數學 PID 調試，因為用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到，有些數位的迴路控制器有自我調試的程序，利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。

也有其他調試的公式，是依不同的性能準則所產生。許多有專利的公式已嵌入在 PID 調試軟體及硬體模組中。

一些先進的 PID 調試軟體也可以在動態的情況下用演算法調整 PID 迴路，這類軟體會先將程序建模，給微擾量，再根據響應計算參數。

## PID 控制的限制

PID 控制可以應用在許多控制問題，多半在大略調整參數後就有不錯的效果，不過有些應用下可能反而會有差的效果，而且一般無法提供最佳控制。PID 控制的主要問題是在於其為回授控制，係數為定值，不知道受控系統的資訊，因此其整體性能常常是妥協下的結果。在沒有受控系統模型的條件下，PID 控制最佳的控制器，但若配合系統模型，可以有進一步的提昇。

當 PID 控制器單獨使用時，若因應用需求，需調整 PID 迴路增益使控制系統不會過衝，其效果有可能很差。PID 控制器的缺點還包括無法處理受控系統的非線性、需在反應時間及調整率之間妥協、無法針對參數的變動而反應（例如系統在暖機後特性會改變）、以及大擾動下的波形落後。

PID 控制器最顯著的提昇是配合前饋控制，加入有關系統的資訊，只用 PID 控制器來控制誤差。另外，PID 控制器也有一些小幅的改善方式，例如調整參數（增益規劃或是依性能進行適應性的調整）、提昇性能（提高取樣率、精度及準度，若有需要加入低波濾波器），或是用多個串接的 PID 控制器。

### 線性

PID 控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性，若應用在一些非線性的系統，其效果可能會有變化。以暖通空調中常見的溫度控制，可能是採用主動加熱（用加熱器加熱），但冷卻是使用被動冷卻（不加熱，自然冷卻），其冷卻速度比加熱速度慢很多，輸出若有過衝，下降速度很慢，因此 PID 控制需調整為不會過衝的過阻尼，以減少或避免過衝，但這也延長了整定時間，使性能變差。

### 雜訊對微分器的影響

微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻雜訊會有放大效果，因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器，只有一個有限頻寬的微分器或高通濾波器。一般為了移除高頻的雜訊，會在量測時加入低通濾波器，若低通濾波器和微分器對消，濾波效果也就受限了，因此低雜訊的量測設備相當重要。實務上可以使用中值濾波器，調昇濾波效率及實際上的性能。有時可以將微分器關閉，對控制性能的影響不大，此時稱為 PI 控制器。

## PID 演算法的修改

基本的 PID 演算法在一些控制應用的條件下有些不足，需進行小幅的修改。

### 積分飽和

積分飽和是理想 PID 演算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動，其積分量會有大幅的變化，大到輸出值被上下限限制而飽和，因此系統會有過衝，而且即使誤差量符號改變，積分量變小，但輸出值仍被上下限限制，維持在上限（或下限），因此輸出看似沒有變化，系統仍會持續的過衝，一直要到輸出值落在上下限的範圍內，系統的回授量才會開始下降。此問題可以用以下方式處理：

* 在程序變數離開可控制範圍時，暫停積分。
* 讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
* 重新計算積分項，使控制器輸出維持上下限之間的範圍內。

### PI 控制器

PI 控制器（比例 - 積分控制器）是不用微分單元的 PID 控制器。

控制器的輸出為

　
: $K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt$

其中 $\Delta $ 為設定值 SP 和量測值 PV 的誤差：

　
: $\Delta =SP-PV$ .

PI 控制器可以用 Simulink 或 Xcos 之類的軟體進行建模，方式是使用「flow chart」圖框，其中用以下的拉氏運算子：

　
: $C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}$

其中

　
: $G=K_{P}$ = 比例增益

　
: $G/\tau =K_{I}$ = 積分增益

 $G$ 值的選擇需在減少過衝以及增加安定時間之間取捨。

微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感，PI 控制器因為沒有微分單元，在訊號雜訊大時，在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢，因此相較於調適到最佳值的 PID 控制器，PI 控制器會較慢到達設定值，受干擾後也比較慢恢復到正常值。

PDF 控制（pseudo-derivative feedback control）可以視為是 PI 控制器的變體，比例控制器的輸入由誤差值改為回授值。

### 不動作區

許多 PID 迴路是控制機械元件（例如閥）。機械保養是一筆可觀的費用，磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是不動作區，都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話，PID 迴路可以有輸出的遲滯現象以減少輸出狀態的改變。若變化小，仍在不動作區內，讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區，實際的狀態才會隨之變化。

### 設定值的步階變化

若系統的設定值有步階變化，比例單元和微分單元也會有對應的變化，特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大，因此有些 PID 演算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。

**設定值斜坡變化**
: 此修改方式下，設定值會用線性或是一階濾波的方式，由原始值變到新的值，避免因為步階變化產生的不連續。

**只對程序變數（回授量）微分**
: 此修改下，PID 控制器只針對量測的程序變數（PV）微分，不對誤差微分。程序變數是實際的物理量，較不易有瞬間的變化，而誤差可能因為設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。

**設定值加權**
: 設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量，誤差量的設定值乘以一個 0 到 1 之間的加權，積分單元的誤差量需使用真實的設定值，以避免穩態誤差。這兩個參數不影響對負載變化及量測雜訊的響應，可以提昇對設定點變化的響應。

### 前饋控制

PID 控制器若再配合前饋控制（開迴路控制），可以再提昇其控制性能。在前饋控制中考慮系統的已知資訊（例如理想加速度或是慣量），再將輸出加到 PID 控制器的控制輸出，以提昇整體的系統性能。前饋量可能是控制輸出主要的部份，而 PID 控制器只用來補償目標值和開迴路控制器輸出之間的誤差。因為前饋輸出不會受到回授的影響，因此也不會造成系統的振盪，可以在不影響穩定性的條件下提昇系統的響應。前饋可以依目標值及其他量測到的干擾量來產生，目標值加權是一種簡單的前饋控制方式。

例如，在大部份的運動控制系統中，為了要使機械負載加速，致動器要產生更大的力。若用速度環的 PID 控制器來控制負載速度，比較理想的方式是先得到理想的瞬間加速度值，適量調整加權後再加到 PID 的輸出中。因此控制器輸出中有一部份是不隨機械速度而改變的輸出，再用 PID 根據實際輸出和目標的差異去增加或是減少輸出。這類有前饋控制的 PID 控制器可以加快控制系統的反應速度。

### 無衝擊運轉

有時 PID 控制器會規劃為無衝擊（bumpless）的特性，在參數變化時重新計算適當的積分累計值，使輸出不會因參數變化有不連續的改變。

## 串級 PID 控制器

二個 PID 控制器可以組合在一起，得到較佳的效果，這稱為串級 PID 控制。以兩個 PID 控制器組成的串級 PID 控制為例，其中一個 PID 控制器在外迴路，控制像液面高度或是速度等主要的物理量，另一個 PID 控制器是內迴路，以外迴路 PID 控制器的輸出做為其目標值，一般是控制較快速變化的參數，例如流量或加速度等。若利用串級 PID 控制，可以增加控制器的工作頻率，並降低其時間常數。

例如一個溫控的循環水浴設備有二個串級的 PID 控制器，分別有各自的熱電偶溫度感測器。外迴路的控制器控制水溫，其感測器距加熱器很遠，直接量測整體水溫，其誤差量是理想水溫及整體水溫的差值。外迴路 PID 控制器的輸出即為內迴路控制器的目標值，內迴路控制器控制加熱器，其感測器是在加熱器上，其誤差量是加熱器的理想溫度及量測到溫度的差值，其輸出會使加熱器維持在設定值附近。

內外迴路控制器的參數可能會差很多，外迴路的 PID 控制器有較長的時間常數，對應所有的水加熱或是冷卻需要的時間。內迴路的 PID 控制器反應會比較快。每個控制器可以調整到符合其真正控制的系統，例如水槽中所有的水，或是加熱器本身。

## 其他 PID 的形式及其表示法

### 理想的 PID 及標準形 PID

工業上常看到 PID 控制器，而許多工業相關資料中看到的都是「標準形」的 PID，其中比例增益 $K_{p}$ 也作用在 $I_{\mathrm {out} }$ 及 $D_{\mathrm {out} }$ 兩項，和上述「理論」段落看到的形式不同。「標準形」的 PID 為：

　
: $\mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)$

其中

　
: $T_{i}$ 為積分時間

　
: $T_{d}$ 為微分時間

在標準形中，每一個參數有其明確的物理意義，輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定，加上微分項可以預測若控制系統不改變的話， $T_{d}$ 時間後的誤差，而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出，希望在 $T_{i}$ 時間後可以完全消除誤差，而輸出的值會再乘以單一的增益 $K_{p}$ 。

在理想的平行式 PID 中，其方程式如下：

　
: $\mathrm {MV(t)} =K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

其中的增益和標準形 PID 係數的關係是： $K_{i}={\frac {K_{p}}{T_{i}}}$ 及 $K_{d}=K_{p}T_{d}\,$ 。平行式 PID 中的參數都視為單純的增益，最泛用，靈活性也最高，但較沒有物理意義，因此只用在 PID 的理論處理中，標準形 PID 雖在數學上比較複雜，在工業中較常使用。

### 倒數增益

許多情形下，PID 控制器處理的變數是無因次的量，是某個最大值的比例，介於 0 到 100% 之間，而轉換為實際物理量（如泵浦速率或是水加熱的功率）是在 PID 控制器外，而這些控制變數是有因次的物理量（例如溫度）。此時 $K_{p}$ 增益多半不會表示為「每變化一度的輸出」，而會以溫度的形式 $1/K_{p}$ 表示，代表「100% 輸出下的溫度（變化）」，代表輸出由 0 變到 1（0% 變為 100%）下的溫度變化。

### 只針對過程變數進行微分控制

在大部份的商業控制系統中，是用過程變數取代誤差作為微分項的輸入，其原因是當目標值有不連續變化時，微分控制會產生很大的突波，若目標值不變，改變過程變數的效果和改變誤差相同，因此有些 PID 控制器會用過程變數作為微分項的輸入，不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

　
: $\mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{e(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)$

### 只針對過程變數進行微分及比例控制

大部份的商業控制系統也提供選擇，讓過程變數作為微分控制及比例控制的輸入，因此誤差只作為積分控制的輸入，這也不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。

上述的修改可以避免目標值有不連續變化時，輸出值有對應不連續的變化，若目標值有步階變化，這項調整就相當重要。

　
: $\mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)$

也有些雙自由度（2-DoF）PID 控制架構除了一般的 PID 控制外，再加上只針對過程變數進行的微分及比例控制，再分別用增益進行調整，目標是同時對目標步階響應以及雜訊抑制都有良好的性能。

### PID 控制器的拉氏轉換

有關會將 PID 控制器進行拉氏轉換：

　
: $G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}$

PID 控制器的拉氏轉換也代表著控制器的傳遞函數，因此可以確認整體系統的傳遞函數。

### PID 的極零點對消

PID 控制器可以寫成以下的形式

　
: $G(s)=K_{d}{\frac {s^{2}+{\frac {K_{p}}{K_{d}}}s+{\frac {K_{i}}{K_{d}}}}{s}}$

若受控設備的傳遞函數如下：

　
: $H(s)={\frac {1}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}$

又令

　
: ${\frac {K_{i}}{K_{d}}}=\omega _{0}^{2}$

　
: ${\frac {K_{p}}{K_{d}}}=2\zeta \omega _{0}$

則

　
: $G(s)H(s)={\frac {K_{d}}{s}}$

因此若受控設備有不穩定的極點，看似可以用此方式消除，不過實際上有些差異，由干擾到輸出的閉迴路傳遞函數中仍有不穩定的極點，因此仍可能會發散。

### 串級型或交互型

另一種 PID 控制器的表示法為串級型（series）或稱為交互型（interacting）

　
: $G(s)=K_{c}{\frac {(\tau _{i}{s}+1)}{\tau _{i}{s}}}(\tau _{d}{s}+1)$

其中參數和標準型的參數有以下的關係

　
: $K_{p}=K_{c}\cdot \alpha $ , $T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha $

　
: $T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}$

而

　
: $\alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}$ .

上述作法可表示為二個串級的 PD 控制器及 PI 控制器，在早期類比電路的時代較容易實現，雖然控制器已經數位化，不過仍有些維持此形式。

### 離散化的控制器

若要在微處理機（MCU）或是 FPGA 中實現 PID 控制或是分析其性能，就需要將控制器離散化。一階微分可以用後向有限差分表示，積分項也離散化，若取樣時間為 $\Delta t$ ，積分項可以用下式近似

　
: $\int _{0}^{t_{k}}{e(\tau )}\,{d\tau }=\sum _{i=1}^{k}e(t_{i})\Delta t$

微分項可近似為

　
: ${\dfrac {de(t_{k})}{dt}}={\dfrac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}$

因此 PID 控制器的離散化可以將 $u(t)$ 微分，再用一階導數及二階導數的定義求得 $u(t_{k})$ ，可以得到

　
: $u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})\right]$

其中 $T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}$

## 偽代碼

以下是一段實現 PID 演算法的偽代碼：

```
previous_error = 0
integral = 0 
start:
  error = setpoint - measured_value
  integral = integral + error*dt
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = Kp*error + Ki*integral + Kd*derivative
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start
```

此例中有兩個變數在迴圈前需初始化為 0，然後開始迴圈。目前的誤差（error）是用目前目標值（setpoint）減去系統反饋值（measured\_value）而得，然後再進行積分和微分運算，比例項、積分項及微分項乘以各自參數後得到輸出（output）。在實際系統中，這會透過數位類比轉換器轉換為類比訊號，作為受控系統的控制量。目前的誤差量及積分會儲存，以便下次計算微分及積分時使用，程式會等待 dt 秒後開始，迴圈繼續進行，透過類比數位轉換器讀取新的系統反饋值及目標值，再計算誤差量及輸出。

## 參見

* 控制理論
* 反饋
* 不穩定
* 振盪

## 注釋

## 參考文獻

* Minorsky, Nicolas. Directional stability of automatically steered bodies. J. Amer. Soc. Naval Eng. 1922, **34** (2): 280–309. doi:10.1111/j.1559-3584.1922.tb04958.x.

## 外部連結

* 改善 PID 微分和積分的方法及其它控制系統的計算機自動設計 CAutoD
* 學習 PID 和其他系統調試是如何工作的（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* PID 控制器實驗室，PID 調試的 Java applets（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 一系列的 PID 調試的 Java Applets
* PID 調試的問答
* PID 控制系統算法的資訊和教程
* 用 Excel 模擬基本的 PID
* 如果用電子部件製作一個 PID 控制器查看 22 頁
* 關於 PID 控制器的文章，教材
* 一個控制系統的一部分
* PID 定速控制應用（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* PID 馬達定速與定角控制公式比較（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Ang, K.H., Chong, G.C.Y., and Li, Y. (2005)， **PID control system analysis, design, and technology**. _IEEE Transactions on Control Systems Technology_, 13 (4). pp. 559-576. ISSN 1063-6536（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Understanding Servo Tune (其中包括 PID 調整方法範例) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* LabView360 技術文章 PID（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）