Product_log

**朗伯 W 函數**（英語：Lambert W function，又稱為**歐米加函數**或**乘積對數**），是 _f_(_w_) = _we_w 的反函數，其中 _e_w 是指數函數，_w_ 是任意複數。對於任何複數 _z_，都有：

　
: $z=W(z)e^{W(z)}.$

由於函數 _f_ 不是單射，因此函數 _W_ 是多值的（除了 0 以外）。如果我們把 _x_ 限制為實數，並要求 _w_ 是實數，那麼函數僅對於 _x_ ≥ −1/_e_ 有定義，在 (−1/_e_, 0) 內是多值的；如果加上 _w_ ≥ −1 的限制，則定義了一個單值函數 _W_0(_x_)（見圖）。我們有 _W_0(0) = 0，_W_0(−1/_e_) = −1。而在 [−1/_e_, 0) 內的 _w_ ≤ −1 分支，則記為 _W_−1(_x_)，從 _W_−1(−1/_e_) = −1 遞減為 _W_−1(0−) = −∞。

朗伯 _W_ 函數不能用初等函數來表示。它在組合數學中有許多用途，例如樹的計算。它可以用來解許多含有指數的方程，也出現在某些微分方程的解中，例如 _y'_(_t_) = _a_ _y_(_t_ − 1)。

　
:

## 微分和積分

朗伯 $W\,$ 函數的積分形式為

　
: $W(x)={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-v\cot v\right)^{2}+v^{2}}{x+v\csc v\cdot e^{-v\cot v}}}{\rm {d}}v,|\arg \left(x\right)|<\pi \,$

　
: $W(x)=\int _{-\infty }^{-{\frac {1}{e}}}{-{\frac {1}{\pi }}}\Im \left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}W(x)\right]\ln \left(1-{\frac {z}{x}}\right){\rm {d}}x\,$

 

若 $x\not \in \left[-{\frac {1}{e}},0\right],k\in {\mathbb {Z} }\,$ , 若 $x\in \left(-{\frac {1}{e}},0\right),k=1,\pm 2,\pm 3,...\,$

　
: $W_{k}(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {t-\ln t+\ln x+(2k+1)\pi {\rm {i}}}{t-\ln t+\ln x+(2k-1)\pi {\rm {i}}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}+2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right){\rm {i}}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}\,$

把被積函數的實部和虛部分離出來：

　
: $W_{k}(x)=1+\left(\ln x-1+2k\pi {\rm {i}}\right)e^{{\frac {\rm {i}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}+{\rm {i}}\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\right]\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}$

　
: ${}_{W_{k}(x)=1+{\frac {\left(\ln x-1\right)\cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}-2k\pi \sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+{\rm {i}}\left[\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}\right]}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}}$

 
設 $W_{k}(x)=u+v{\rm {i}},x=t+s{\rm {i}}$ ，則有 $\left(u+v{\rm {i}}\right)e^{u+v{\rm {i}}}=t+s{\rm {i}}$ ，展開分離出實部和虛部，

$$
e^{u}\left(u\cos v-v\sin v\right)=t,e^{u}\left(u\sin v+v\cos v\right)=s$ , 當 $s=0$ 時，易知 $u=-v\cot v
$$

 

　
: ${}_{W_{k}(x)={\frac {\left(1-\ln x\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}-2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}\cot {\frac {\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}+{\frac {\left(\ln x-1\right)\sin {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}+2k\pi \cos {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln {\frac {\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k+1\right)^{2}\pi ^{2}}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\pi ^{2}}}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{t+1}}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {2\pi \left(t-\ln t+\ln x\right)}{\left(t-\ln t+\ln x\right)^{2}+\left(4k^{2}-1\right)\pi ^{2}}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}}}{\rm {i}},}$

　
: $W_{0}(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\arg \left(t-\ln t+\ln x+\pi {\rm {i}}\right)\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}},x>0$

若 $x>{\frac {1}{e}}$ ，上式還可化為 $W_{0}(x)=1+\left(\ln x-1\right)e^{-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\arctan {\frac {\pi }{t-\ln t+\ln x}}\cdot {\frac {\rm {{d}t}}{t+1}}}$

由隱函數的求導法則，朗伯 $W\,$ 函數滿足以下的微分方程：

　
: $z\left[1+W(z)\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}W(z)=W(z)$ ， $z\neq -{\frac {1}{e}}\,,$

因此：

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}W(z)={\frac {W(z)}{z\left[1+W(z)\right]}}$ ， $z\neq -{\frac {1}{e}}\,.$

函數 $W(x)\,$ ，以及許多含有 $W(x)\,$ 的表達式，都可以用 $w=W(x)\,$ 的變量代換來積分，也就是說 $x=we^{w}\,$

　
: $\int W(x){\rm {d}}x=x\left[W(x)+{\frac {1}{W(x)}}-1\right]+C$

　
: $\int _{0}^{1}W(x){\rm {d}}x=\Omega +{\frac {1}{\Omega }}-2\approx 0.330366$

其中 $\Omega $ 為歐米加常數。

## 性質

 $1\,$ 、 $z^{z^{z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}}}}=\lim _{n\to \infty }(z\upuparrows n)=-{\frac {W(-\ln z)}{\ln z}}$ ，

其中 $\upuparrows $ 是高德納箭號表示法。

$$
2\,$ 、若 $z>0\,$ ，則 $\ln W(z)=\ln z-W(z)\,
$$

## 泰勒級數

 $W_{0}\,$ 在 $x=0\,$ 的泰勒級數如下：

　
: $W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots $

收斂半徑為 ${\frac {1}{e}}\,$ 。

 

## 加法定理

　
: $W(x)+W(y)=W\left[{\frac {xy}{W(x)}}+{\frac {xy}{W(y)}}\right]\,$

　
: $x>0,y>0\,$

## 複數值

實部

　
: $\Re \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\cos \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\,$ , $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

虛部

　
: $\Im \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\sin \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\,$ , $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

模長

　
: $|W(x+y{\rm {i}})|=W({\sqrt {x+y}})\,$

模角

　
: $\arg \left[W(x+y{\rm {i}})\right]=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}\arctan \left[\cot(k\arctan {\frac {x}{y}})\right]\,$ , $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

共軛值

　
: ${\overline {W(x+y{\rm {i}})}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-k)^{k-1}}{k!}}{\sqrt {(x^{2}+y^{2})^{k}}}\left[\cos \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)-{\rm {i}}\sin \left(k\arctan {\frac {x}{y}}\right)\right]\,$ , $x^{2}+y^{2}<{\frac {1}{e^{2}}}\,$

## 特殊值

　
: $W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}i$

　
: $W\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 2$

　
: $W\left(-{1 \over e}\right)=-1$

　
: $W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,$ （歐米加常數）

　
: $W(e)=1\,$

　
: $W(e^{e+1})=e\,$

　
: $W\left({\frac {1}{e^{1-{\frac {1}{e}}}}}\right)={\frac {1}{e}}$

　
: $W(-{\frac {1}{e}})=-1$

　
: $W({\pi }e^{\pi })=\pi $

　
: $W(k{\ln k})={\ln k}$ $(k>0)$

　
: $W({\rm {i}}\pi )=-{\rm {i}}\pi $

　
: $W(-{\rm {i}}\pi )={\rm {i}}\pi $

　
: $W({\rm {i}}\cos 1-\sin 1)={\rm {i}}$

　
: $W(-{\frac {3}{2}}{\pi })=-{\frac {3}{2}}{\pi }{\rm {i}}$

　
: $W(-{\frac {\sqrt[{7}]{8}}{7}}{\ln 2})=-{\frac {32}{7}}{\ln 2}$

　
: $W(-{\frac {\sqrt {3}}{54}}{\ln 3})=-{\frac {9}{2}}{\ln 3}$

　
: $W(-{\frac {\ln 2}{4}})=-4{\ln 2}$

　
: $W\left(-1\right)={\frac {e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\arctan {2\pi  \over t-\ln t}{\rm {d}}t}-\cos \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]+\pi \sin \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]-{\rm {i}}\left\{\pi \cos \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]+\sin \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\ln {\left(t-\ln t\right)^{2} \over 4\pi ^{2}+\left(t-\ln t\right)^{2}}{\rm {d}}t\right]\right\}}{e^{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{1 \over t+1}\arctan {2\pi  \over t-\ln t}{\rm {d}}t}}}\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}$

　
: $W(-{\frac {\ln k}{k}})=-\ln k$

　
: $W\left[-{\frac {\ln(x+1)}{x(x+1)^{\frac {1}{x}}}}\right]=-{\frac {x+1}{x}}\ln(x+1)>,-1<x<0$

## 應用

許多含有指數的方程都可以用 $W\,$ 函數來解出。一般的方法是把未知數都移到方程的一側，並設法化為 $Y=Xe^{X}\,$ 的形式。

### 例子

**例子 1**

　
: $2^{t}=5t\,$

　
: $\Rightarrow 1={\frac {5t}{2^{t}}}\,$

　
: $\Rightarrow 1=5t\,e^{-t\ln 2}\,$

　
: $\Rightarrow {\frac {1}{5}}=t\,e^{-t\ln 2}\,$

　
: $\Rightarrow -{\frac {\ln 2}{5}}=(-\,t\,\ln 2)\,e^{-t\ln 2}\,$

　
: $\Rightarrow -t\ln 2=W_{k}\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)\,$

　
: $\Rightarrow t=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}\,$

更一般地，以下的方程

　
: $Q^{ax+b}=cx+d\,$

其中

　
: $Q>0\land Q\neq 1\land c\neq 0$

兩邊同乘: ${\frac {a}{c}}$ ，

得到： ${\frac {a}{c}}Q^{ax+b}=ax+{\frac {ad}{c}}\,$

同除以： $Q^{ax}\,$ ，

得到： ${\frac {a}{c}}Q^{b}=\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)Q^{-ax}\,$

同除： $Q^{\frac {ad}{c}}\,$ ， 

$$
{\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}=\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)Q^{-\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right)}\,
$$

可以用變量代換

令 $t=ax+{\frac {ad}{c}}$

化為

　
: $tQ^{-t}={\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

即： $t\left(e^{\ln Q}\right)^{-t}={\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

同乘： ${\ln Q}\,$

得出

　
: $t{\ln Q}\cdot e^{-t\ln Q}={\ln Q}\cdot {\frac {a}{c}}Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$

故 $t{\ln Q}=-W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$

帶入 $t=ax+{\frac {ad}{c}}$

為

　
: $\left(ax+{\frac {ad}{c}}\right){\ln Q}=-W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$

因此最終的解為

　
: $x=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

若輔助方程： $xe^{x}=-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}$ 中，

　
: $-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left(-\infty ,-{\frac {1}{e}}\right)$ ,

輔助方程無實數解，原方程亦無實解；

若： $-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left\{-{\frac {1}{e}}\right\}\cup \mathbf {[} 0,+\infty )$ ,

輔助方程有一實數解，原方程有一實解：

　
: $x=-{\frac {W_{k}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}$

若: $-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\in \left(-{\frac {1}{e}},0\right)$ ,

輔助方程有二實解，設為 $W\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$ ，

 ${\rm {W}}_{-1}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)$ ，

為

$$
x_{1}=-{\frac {W\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}
$$

$$
x_{2}=-{\frac {{\rm {W}}_{-1}\left(-{\frac {a\ln Q}{c}}\,Q^{b-{\frac {ad}{c}}}\right)}{a\ln Q}}-{\frac {d}{c}}
$$

**例子 2**

用類似的方法，可知以下方程的解

　
: $x^{x}={\mathrm {t} }\,,$

為

　
: $x={\frac {\ln {\rm {t}}}{W(\ln {\rm {t}})}}\,$

或

　
: $x=\exp \left(W_{k}\left[\ln({\rm {t}})\right]\right).$

**例子 3**

以下方程的解

　
: $x\log _{b}{x}=a\,$

具有形式

　
: $x={\frac {a{\ln b}}{W_{k}\left(a{\ln b}\right)}}$

 

**例子 4**
: $x^{a}-b^{x}=0\,$

　
: $a>0\,$  : $b>0\,$  : $x>0\,$

取對數，

　
: $a\ln x=x\ln b\,$

　
: ${\frac {\ln x}{x}}={\frac {\ln b}{a}}\,$

　
: $e^{\frac {\ln x}{x}}=e^{\frac {\ln b}{a}}\,$

　
: $x^{\frac {1}{x}}=b^{\frac {1}{a}}\,$

取倒數，

　
: $\left({\frac {1}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}=b^{-{\frac {1}{a}}}\,$

　
: ${\frac {1}{x}}=-{\frac {\ln b}{aW\left(-{\frac {1}{a}}\ln b\right)}}\,$

最終解為 : $x=-{\frac {a}{\ln b}}W_{k}\left(-{\frac {\ln b}{a}}\right)\,$

**例子 5**
: $(ax+b)^{n}=u^{cx+d}\,$

兩邊開 $n\,$ 次方並除以 $a\,$ 得

$$
x+{\frac {b}{a}}={\frac {u^{{\frac {c}{n}}x+{\frac {d}{n}}}}{a}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,
$$

令 $u=e^{\ln u}\,$ ，

化為

$$
x+{\frac {b}{a}}={\frac {e^{{\frac {c\ln u}{n}}x+{\frac {d\ln u}{n}}}}{a}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,
$$

兩邊同乘

 $-{\frac {c\ln u}{n}}u^{-{\frac {c}{n}}x-{\frac {cb}{na}}}\,$ ，

$$
\left(-{\frac {c\ln u}{n}}x-{\frac {cb\ln u}{na}}\right)e^{-{\frac {c\ln u}{n}}x-{\frac {cb\ln u}{na}}}=-{\frac {c\ln u}{na}}u^{{\frac {d}{n}}-{\frac {cb}{na}}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\,
$$

最終得

$$
x_{k}=-{\frac {n}{c\ln u}}W_{k}\left[-{\frac {c\ln u}{na}}u^{{\frac {d}{n}}-{\frac {cb}{na}}}\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+{\rm {i}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\right]-{\frac {b}{a}}\,
$$

$$
k\in {\mathbb {Z} }\,
$$

## 一般化

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：

　
: $e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

其中 _a_0, _c_ 與 _r_ 為實常數。

其解為 $x=r+{\tfrac {W\left({\frac {ce^{-cr}}{a_{o}}}\right)}{c}}$

Lambert W 函數之一般化 包括:

* 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 「Journal of Classical and Quantum Gravity」 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：

　
: $e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)$

　
: 其中 _r_1 和 _r_2 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 _x_ 但 _r_i 和 _a_o 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 「hypergeometric」（超幾何分布）函數與 「Meijer G「，但屬於不同類函數。當 _r_1 = _r_2，(2) 的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2) 式代表著 「dilaton」（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能 Delta 位勢阱給不等電位於一維空間。

* 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氫分子離子。於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 _x_：

　
: $e^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)$

　
: 其中 _r_i 與 _s_i 是相異實常數而 _x_ 是特徵能和內核距離 R 之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由於哈代的「虛假導數」概念，多根的特殊情況得以解決。

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見。

## 圖象

* 朗伯 W 函數在複平面上的圖像
* * * *

## 計算

_W_ 函數可以用以下的遞推關係算出：

　
: $w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

## 參考來源

## 外部連結

* MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）