Kuramoto模型

**藏本模型**（Kuramoto model）是一種用來描述同步的數學模型，由日本物理學家藏本由紀（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具體說來，它描述了大量耦合振子的同步行為。這個模型原本是為了描述化學振子、生物振子而構建，後發現具有廣泛的應用，例如神經振盪，以及振盪火焰的動力學。驚人的是，一些物理系統的行為也符合這個模型，比如耦合約瑟夫森結的陣列。

這個模型假設，所有振子都是完全相同的或幾乎完全相同的，相互之間的耦合很弱、並且任意兩個振子之間的相互作用強度取決於它們相位差的正弦。

## 定義

在藏本模型最常見的版本中，每個振子都有一個固有的自然頻率 $\omega _{i}$ ，並與所有其它振子以相同的強度耦合。驚人的是，在 $N\to \infty $ 的極限下，通過巧妙的變換並使用平均場方法，這個完全非線性的模型是可以精確求解的。

這個模型最常見的形式由以下方程組給出：

$$
{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}},\quad i=1,\cdots ,N
$$

系統由 $N$ 個極限環振子組成， $\theta _{i}$ 是第 $i$ 個振子的相位， $K$ 是耦合強度。

也可以在系統中加入噪聲。這種情況下，方程變為

$$
{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}+\zeta _{i},\quad i=1,\cdots ,N
$$

其中 $\zeta _{i}$ 是漲落，並且是時間的函數。如果考慮白噪聲的情況，則：

$$
\langle \zeta _{i}(t)\rangle =0,
$$

$$
\langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')
$$

其中 $D$ 代表噪聲強度。

## 變換

使得這個模型（至少在 $N\to \infty $ 的極限下）能夠精確求解的變換如下所示：

定義「序」參量

$$
Re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{e^{i\theta _{j}}}
$$

 $R$ 表徵了這群振子的相位相關性， $\psi $ 是平均相位。方程兩邊乘以 $e^{-{\text{i}}\theta _{i}}$ ，只考慮虛部得到：

$$
{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+KR\sin {(\psi -\theta _{i})}
$$

因此振子的方程組就不是顯式耦合的；相反，序參量支配了系統的行為。通常還會做進一步的變換，變換到一個轉動的坐標系，其中所有振子相位的統計平均為零（即 $\psi =0$ ）。最終，方程變為：

$$
{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-KR\sin {\theta _{i}}
$$

## 大 N 極限

考慮 $N\to \infty $ 的情況。自然頻率的分布記為 $g(\omega )$ （假設已經歸一化）。設在時刻 $t$ ，在所有自然頻率為 $\omega $ 的振子中，相位為 $\theta $ 的振子所占比例為 $\rho (\theta ,\omega ,t)$ 。歸一化要求

$$
\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta ,\omega ,t)d\theta }=1
$$

振子密度的連續性方程為

$$
{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial \theta }}=0
$$

其中 $v=\omega +KR\sin {(\psi -\theta )}$ 是振子的漂移速度。

最終，在連續統極限下重新寫出序參量。 $\theta _{i}$ 應該用系綜平均來代替，求和替換為積分，得到

$$
Re^{i\psi }=\int _{0}^{2\pi }{\int _{-\infty }^{\infty }{\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )e^{i\theta }d\omega }d\theta }
$$

## 解

所有振子隨機漂移的不相關態對應均勻分布解 $\rho ={\frac {1}{2\pi }}$ 。這種情況 $R=0$ ，振子之間沒有關聯。系統整體處於統計穩定態，儘管每個振子單獨來看都在以自然頻率不停運動。

當耦合足夠強時，可能會出現完全同步的解。在完全同步態中，所有振子以相同頻率運動，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的狀態。從數學上來說，對鎖相的振子

$$
\rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin {\frac {\omega }{KR}}\right)
$$

對漂移的振子，

$$
\rho \propto {\frac {1}{\omega -KR\sin {(\theta -\psi )}}}
$$

## 與哈密頓系統的聯繫

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密頓系統中，哈密頓量具有形式：

$$
{\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\omega _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}{(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}
$$

用正則變換變成作用量 - 角度的形式，作用量為 $I_{i}={\frac {1}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})$ ，角度（相位） $\theta _{i}=\arctan {\frac {q_{i}}{p_{i}}}$ ，在作用量 $I_{i}\equiv I$ 為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換後的哈密頓量

$$
{\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\omega _{i}I_{i}}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}
$$

哈密頓運動方程為

$$
{\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\cos {(\theta _{j}-\theta _{i})}}
$$

$$
{\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}/I_{i}}}(I_{i}+I_{j})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}
$$

因為 ${\frac {dI_{i}}{dt}}=0$ ，所以 $I_{i}=I$ 確定的流形是不變的，並且相位動力學 ${\frac {d\theta _{i}}{dt}}$ 就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統描述了某些量子 - 經典系統，包括玻色 - 愛因斯坦凝聚。

## 模型的變體

模型有兩種類型的變體，一種改變模型的拓撲結構，另一種改變耦合函數的形式。

### 改變拓撲

除了具有全連拓撲的原始模型，足夠稠密的複雜網絡拓撲也可以用同樣的平均場處理。而對於局域的行為，例如鏈形或環形網絡上的情況，不能再使用經典的平均場方法，所以只能具體問題具體分析，儘可能利用對稱性獲取解的信息。

### 改變相位的相互作用

藏本把兩個振子之間的相位相互作用用第 1 個傅立葉分量來近似，即 $\Gamma (\phi )=\sin \phi $ ，其中 $\phi =\theta _{j}-\theta _{i}$ 。通過把高階傅立葉分量包括進來，可以得到更好的近似

$$
\Gamma (\phi )=\sin \phi +a_{1}\sin {(2\phi +b_{1})}+\cdots +a_{n}\sin {(2n\phi +b_{n})}
$$

例如，對於弱耦合 Hodgkin-Huxley 神經元的網絡，其同步行為可以用一些振子來表示，這些振子的相互作用函數保留前四階傅立葉分量。高階項的引入也能帶來有趣的同步現象，例如異宿環、部分同步態、以及奇美拉態。

## 參考資料