Koszul联络

在數學中，纖維叢上一個**聯絡**是一個定義叢上平行移動的裝置；即將鄰近點連接或等價的一種方法。如果纖維叢是向量叢，則平行移動的概念要求線性。這樣的聯絡等價於一個共變導數，共變導數是一個能對截面關於底流形的切方向求微分的算子。聯絡在這個意義下，對任意向量叢，推廣了光滑流形切線束的線性聯絡概念，經常叫做**線性聯絡**。

向量叢上的聯絡也經常稱為**科斯居爾聯絡**，以讓 - 路易・科斯居爾命名，他給出了描述這個聯絡的一個代數框架
（Koszul 1950）。

## 形式定義

設 _E_ → _M_ 是光滑流形 _M_ 上的光滑向量叢。記 _E_ 的光滑截面的空間為 Γ(_E_)。_E_ 上一個**聯絡**是一個 **R**- 線性映射

　
: $\nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M),$

使得萊布尼茲法則

　
: $\nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df$

對 _M_ 上所有光滑函數 _f_ 與 _E_ 的所有光滑截面 σ 成立。

如果 _X_ 是 _M_ 上一個切向量場（即切線束 _TM_ 的一個截面），我們可以定義一個**沿著 _X_ 的共變導數：**

　
: $\nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

通過縮並 _X_ 與聯絡 ∇ 中的共變指標（即 ∇Xσ = (∇σ)(_X_)）。共變導數滿足如下性質：

　
: ${\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma \end{aligned}}.$

反之，任何滿足如上性質的算子定義了 _E_ 上一個聯絡，聯絡在這種意義下也稱為 _E_ 上的**共變導數**。

## 向量值形式

設 _E_ → _M_ 是一個向量叢。一個 _r_ 階 _E_- 值微分形式是張量積叢 _E_⊗Λr_T_\*_M_ 的一個截面。這種形式的空間記作

　
: $\Omega ^{r}(E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{r}T^{*}M).$

一個 _E_- 值 0 - 形式就是 _E_ 的一個截面，即

　
: $\Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).$

在這種記法下，_E_ → _M_ 上一個聯絡是線性映射

　
: $\nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).$

這樣一個聯絡看作向量叢值形式的外導數的推廣。事實上，給定 _E_ 上一個聯絡 ∇ 有惟一的一種方法將 ∇ 延拓成共變外導數或稱外共變導數

　
: $d^{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).$

不像通常的外導數，這裡不必有 (_d_∇)2 = 0 。事實上，(_d_∇)2 與聯絡 ∇ 的曲率直接相關，參見下面。

## 仿射性質

任何向量叢上都有聯絡，但是聯絡不是惟一的。如果 ∇1 與 ∇2 是 _E_ → _M_ 上兩個聯絡則他們的差是一個 _C_∞- 線性算子。即

　
: $(\nabla _{1}-\nabla _{2})(f\sigma )=f(\nabla _{1}\sigma -\nabla _{2}\sigma )$

對 _M_ 上所有光滑函數 _f_ 與 _E_ 的所有截面 σ 成立。從而推出差 ∇1 − ∇2 由 _M_ 上一個取值於自同態叢 End (_E_) = _E_⊗_E_\* 的 1 - 形式誘導

　
: $(\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(\mathrm {End} \,E).$

反之，如果 ∇ 是 _E_ 上一個聯絡而 _A_ 是 _M_ 上取值為 End (_E_) 的 1 - 形式，則 ∇+_A_ 是 _E_ 上一個聯絡。

換句話說，_E_ 上聯絡的空間是一個對 Ω1(End _E_) 的仿射空間。

## 與主叢及埃雷斯曼聯絡的關係

設 _E_ → _M_ 是一個秩 _k_ 向量叢，令 F (_E_) 是 _E_ 的主標架叢。則 F (_E_) 上一個（主）聯絡誘導了 _E_ 上一個聯絡。首先注意到 _E_ 的截面與左等變映射 F (_E_) → **R**k 一一對應（這由考慮 _E_ 在 F (_E_) → _M_ 上的拉回可以看出來，同構於平凡叢 F (_E_) × **R**k）。給定 _E_ 的一個截面 σ，設對應的等變映射為 ψ(σ)。則 _E_ 上的共變導數由

　
: $\psi (\nabla _{X}\sigma )=X^{H}(\psi (\sigma ))$

給出，這裡 _X_H 是 _X_ 的水平提升（回憶到水平提升由 F (_E_) 上一個聯絡確定）。

反之，_E_ 上一個聯絡確定了 F (_E_) 上一個聯絡，且這兩個構造是互逆的。

_E_ 上一個聯絡也等價地由 _E_ 上一個線性埃雷斯曼聯絡確定。這提供了構造相關的主聯絡的一個方法。

## 局部表示

設 _E_ → _M_ 是一個秩 _k_ 向量叢，令 _U_ 是 _M_ 的一個開子集使得 _E_ 在 _U_ 上平凡。
給定 _E_ 在 _U_ 上一個局部光滑標架 (_e_1, …,_e_k)，_E_ 的任何截面 σ 可寫成 $\sigma =\sigma ^{\alpha }e_{\alpha }$ （使用愛因斯坦記號）。那麼 _E_ 上一個聯絡限制在 _U_ 上具有形式：

　
: $\nabla \sigma =(\mathrm {d} \sigma ^{\alpha }+{\omega ^{\alpha }}_{\beta }\sigma ^{\beta })e_{\alpha },$

這裡

　
: ${\omega ^{\alpha }}_{\beta }\,e_{\alpha }=\nabla e_{\beta }.$

這裡 ωαβ 定義了一個 _k_ × _k_ 矩陣，矩陣元取值為 _U_ 上的 1 - 形式。事實上，給定任何如上形式的矩陣定義了 _E_ 限制在 _U_ 上一個聯絡。這是因為 ωαβ 確定了一個 1 - 形式 ω 取值於 End (_E_)，這個表達式定義 ∇ 為聯絡 d+ω，這裡 d 是 _E_ 在 _U_ 上的平凡聯絡（定義為用局部標架對截面微分）。在這種情景下 ω 也稱為 ∇ 關於這個局部標架的**聯絡形式**。

如果 _U_ 是一個具有坐標 (_x_i) 的坐標鄰域，則我們可以寫成

　
: ${\omega ^{\alpha }}_{\beta }={{\omega _{i}}^{\alpha }}_{\beta }\,\mathrm {d} x^{i}.$

注意坐標與纖維指標在表達式中混合在一起。係數函數 ωiαβ 對指標 _i_ 具有張量性（它們定義了一個 1 - 形式）但對指標 α 與 β 不是。對纖維指標的轉換法則更加複雜。設 (_f_1, …,_f_k) 是 _U_ 上另一個光滑局部標架，將坐標轉換矩陣記作 _t_（即 _f_α = _e_β_t_βα）。關於標架 (_f_α) 的聯絡矩陣由矩陣表達式給出

　
: $\varpi =t^{-1}\omega t+t^{-1}\mathrm {d} t,$

這裡 d_t_ 是對 _t_ 的分量取外導數得到的 1 - 形式矩陣。

此局部坐標中關於這個局部標架場 (_e_α) 的共變導數由如下表達式給出：

　
: $\nabla _{X}\sigma =X^{i}(\partial _{i}\,\sigma ^{\alpha }+{{\omega _{i}}^{\alpha }}_{\beta }\sigma ^{\beta })e_{\alpha }.$

## 平行移動與和樂

向量叢 _E_ → _M_ 上一個聯絡 ∇ 定義了 _E_ 上沿著 _M_ 的一條曲線的平行移動概念。設 γ : [0, 1] → _M_ 是 _M_ 上一條光滑道路。_E_ 的沿著 γ 的一個截面 σ 稱為**平行**，如果

　
: $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}\sigma =0$

對所有 _t_ ∈ [0, 1] 成立。更形式地，我們可考慮 _E_ 通過 γ 的拉回 γ\*_E_。這是 [0, 1] 上在 _t_ ∈ [0, 1] 處纖維為 _E_γ(_t_) 的纖維叢。_E_ 上的聯絡 ∇ 拉回到 γ\*_E_ 上一個聯絡。γ\*_E_ 的一個截面 σ 平行若且唯若 γ\*∇(σ) = 0.

假設 γ 在 _M_ 中從 _x_ 到 _y_。如上定義平行截面的等式是一個一階常微分方程式從而對任何可能的初始條件有惟一解。即對任何向量 _v_ 屬於 _E_x 存在 γ\*_E_ 的惟一平行截面 σ 滿足 σ(0) = _v_。定義**平行移動映射**

　
: $\tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,$

為 τγ(_v_) = σ(1)。可以證明 τγ 是一個線性同構。

平行移動可以用來定義聯絡 ∇ 以 _M_ 中一點 _x_ 為基點的和樂群。這是 GL (_E_x) 的一個子群，由沿著基於 _x_ 環路的所有平行移動映射組成：

　
: $\mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma $ 是一個基於 _x_ 的環路 $\}.$

一個聯絡的和樂群本質上與這個聯絡的曲率相關。

## 曲率

_E_ → _M_ 上聯絡 ∇ 的**曲率**是一個 _M_ 上 2 - 形式 _F_∇，取值於自同態叢 End (_E_) = _E_⊗_E_\*，即

　
: $F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M).$

曲率定義為表達式

　
: $F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s,$

這裡 _X_ 與 _Y_ 是 _M_ 上的切向量場，_s_ 是 _E_ 的一個截面。可以驗證 _F_∇ 對 _X_ 與 _Y_ 都是 _C_∞- 線性的，從而確實定義了一個 _E_ 的叢同態。

正如上面所提及的，共變外導數 _d_∇ 作用在 _E_ 值形式上的平方不必是零。無論如何算子 (_d_∇)2 嚴格有張量性（即 _C_∞- 線性）。這意味著它由一個取值於 End (_E_) 的 2 - 形式誘導，這個 2 - 形式恰好就是如上給出的曲率形式。對一個 _E_- 值形式 σ 我們有

　
: $(d^{\nabla })^{2}\sigma =F^{\nabla }\wedge \sigma .$

一個**平坦聯絡**是曲率形式恆等於零的聯絡。

## 例子

* 一個經典共變導數或仿射聯絡在 _M_ 的切線束上，或更一般地在切線束與其對偶餘切叢的張量叢上，定義了一個聯絡。
* 勒維奇維塔聯絡是黎曼流形的切線束上一個聯絡。
* 外導數是 _E_ = _M_ × **R**n（_M_ 上平凡向量叢）上一個平坦聯絡。
* 更一般地，在任何平坦向量叢（即所有轉移函數是常數）上有一個典範平坦聯絡，由在任何平凡化下的外導數給出。

## 參考文獻

* Chern, Shiing-Shen, Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951
* Darling, R. W. R., Differential Forms and Connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46800-0
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Classics Library, New York: Wiley-Interscience, 1996 [1963], ISBN 0-471-15733-3
* Koszul, J. L., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique, 1950, **78**: 65–127
* Wells, R.O., Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, 1973, ISBN 0-387-90419-0