LOCC

**LOCC** 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（古典通訊）的縮寫，它是一種用在量子資訊上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許古典通訊，例如：打電話。許多量子資訊的工作必須藉由 **LOCC** 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 $|\psi _{1}\rangle $ 還是 $|\psi _{2}\rangle $ ，其中 $|\psi _{1}\rangle $ 和 $|\psi _{2}\rangle $ 是

　
: $|\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)$

　
: $|\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)$

A 和 B 兩個量子位元是分隔兩地的，並且由_愛麗絲_對量子位元 A 進行操作，由_鮑勃_對量子位元 B 進行操作。首先_愛麗絲_測量量子位元 A 並得到結果 0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 $|\psi _{1}\rangle $ 還是 $|\psi _{2}\rangle $ 。這時候_愛麗絲_藉由打電話把結果告訴_鮑勃_，接著_鮑勃_對量子位元 B 進行測量並得到結果 0，現在_鮑勃_得知波函式塌縮成 $|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$ ，所以推得實驗室製備的貝爾態是 $|\psi _{1}\rangle $ 。

## 糾纏轉換

將一個量子系統分成兩部分，利用 **LOCC** 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明：_愛麗絲_和_鮑勃_分別擁有一個糾纏態 (純態) 的一部分，例如 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )$ 。_愛麗絲_和_鮑勃_都只能對各自的自旋進行操作，也就是 Local Operation 的意思。當然這個操作也包含測量，當_愛麗絲_進行 Sz 的測量後，得到本徵值 +ħ/2，波函式塌縮成 $\mid \uparrow \downarrow \rangle $ ，然後_愛麗絲_透過電話告訴_鮑勃_結果，這就是 Classical Communications，_鮑勃_知道結果後也相應做了一個 Local Operation，現在_鮑勃_做 σx 操作，於是波函式變為 $\mid \uparrow \uparrow \rangle $ 。如果剛才_愛麗絲_測得本徵值 -ħ/2，波函式塌縮成 $\mid \downarrow \uparrow \rangle $ ，則_愛麗絲_立即進行 σx 操作，然後經由電話告訴_鮑勃_，要求_鮑勃_不做任何操作，結果仍然可將波函式透過利用 LOCC 轉換成 $\mid \uparrow \uparrow \rangle $ 。

顯然利用 LOCC 把某個態 $|\psi \rangle $ 轉換成 $|\phi \rangle $ ，A 與 B 之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 $|\phi \rangle $ 的糾纏熵比 $|\psi \rangle $ 的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 $|\psi \rangle $ 和 $|\phi \rangle $ 分別做施密特分解：

　
: $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle $

　
: $|\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle $

將 Schmidt 值由大至小排列然後進行比較。尼爾森 (Nielsen) 在 1999 年提出定理:

　
: : 若 Majorization

　
: $\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'$ ,

　
: 對於所有 $k$ 都成立，則 $|\psi \rangle $ 可利用 LOCC 轉換成 $|\phi \rangle $ 。

然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入**催化態**，LOCC 轉換仍有可能的。

### 催化轉換

Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮

　
: $|\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle $

　
: $|\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle $

　
: $|c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle $

以上三個態已經過施密特分解且係數皆由大至小排列，以下進行 $|\psi \rangle $ 和 $|\phi \rangle $ 驗算係數的前 $k$ 項之和：

　
: : :

以上表格中，若「 $|\psi \rangle $ 的前 $k$ 項之和」比「 $|\phi \rangle $ 的前 $k$ 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，**觀察 $k$ 方向的顏色**便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 $|\psi \rangle $ 可經由 LOCC 轉換成 $|\phi \rangle $ ；如果所有顏色皆為紅色，則表示 $|\phi \rangle $ 可經由 LOCC 轉換成 $|\psi \rangle $ ；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 $|\psi \rangle |c\rangle $ 和 $|\phi \rangle |c\rangle $ ：

　
: ${\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 $k$ 項之和：

　
: : :

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理， $|\psi \rangle |c\rangle $ 透過 LOCC 轉換成 $|\phi \rangle |c\rangle $ 是可以的。由於 $|c\rangle $ 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 $|c\rangle $ 是催化態。

### 塔庫定理

2007 年塔庫（Turgut）證明了定理

### 糾纏轉換和量子多體系統

## 參考文獻