LL分析器

**LL 剖析器**是一種處理某些上下文無關文法的自頂向下剖析器。因為它從**左**（**Left**）到右處理輸入，再對句型執行**最左推導**出語法樹（**Left** derivation，相對於 LR 剖析器）。能以此方法剖析的文法稱為 **LL 文法**。

本文中將討論表格驅動的剖析器，而非通常由手工打造（非絕對，參看如 ANTLR 等的 LL (\*) 遞迴下降剖析器生成器）的遞迴下降剖析器。

一個 LL 剖析器若被稱為 LL (_k_) 剖析器，表示它使用 _k_ 個詞法單元作向前探查。對於某個文法，若存在一個剖析器可以在不用回溯法進行回溯的情況下處理該文法，則稱該文法為 **LL(_k_) 文法**。這些文法中，較嚴格的 **LL (1) 文法**相當受歡迎，因為它的剖析器只需多看一個詞法單元就可以產生剖析結果。那些需要很大的 _k_ 才能產生剖析結果的程式語言，在剖析時的要求也比較高。

## 概覽

對於給定的上下文無關文法，剖析器嘗試尋找該文法的最左推導。例如，給定一個文法 $G$ ：

 1. $S\to E$
2. $E\to (E+E)$
3. $E\to i$

對 $w=((i+i)+i)$ 的最左推導如下：

　
: $S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ (E+E)\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ ((E+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+i)$

通常，選擇一條規則來展開給定的（最左的）非終結符時，有多個選擇的可能。前一個關於最左推導的例子中， 在第 2 步：

　
: $S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(?)}{\Rightarrow }}\ ?$

我們有兩條規則可以選擇：

為了提高剖析的效率，剖析器必須能夠儘可能確切地、無回溯地進行規則的選擇。對於一些文法，它可以透過偷看不回推（即讀取之後不將它退回輸入流）的輸入符號來做到這點。在我們的例子中，如果剖析器知道下一個無回推符號是 $($ ，那麼唯一正確可用的就是規則 2。

通常， $LL(k)$ 剖析器可以向前探查 $k$ 個符號。然而，給定一個文法，若存在一個能辨識該文法 $LL(k)$ 剖析器，則其 $k$ 值的確定問題是不可判定的。也就是說，無法判定需要向前探查多少個符號才能辨識它。對於每一個 $k$ 的取值，總存在無法被 $LL(k)$ 剖析器辨識的語言，而 $LL(k+1)$ 剖析器卻可以辨識它。

通過上述梗概，下面我們給出 $LL(k+1)$ 的形式化定義：

設 $G$ 是一個上下文無關文法，且 $k\geq 1$ 。對於任意兩個最左推導，若且唯若滿足下述條件時，我們稱 $G$ 是 $LL(k)$ 文法：

 1. $S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\beta \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wx$
2. $S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\gamma \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wy$

以下條件成立：串 $x$ 中長度為 $k$ 的字首等價於串 $y$ 中長度為 $k$ 的字首，表明 $\beta \ =\ \gamma $ .

在該定義中， $S$ 文法的開始符號， $A$ 是任意非終結符。之前取得的輸入 $w$ ，以及還沒回推的 $x$ 和 $y$ 均為終結符串。希臘字母 $\alpha $ , $\beta $ 和 $\gamma $ 代表任意終結符和非終結符組成的串（也可能是空字串）。字首長度與用於儲存向前探查結果的緩衝區尺寸一致，並且該定義表明了，緩衝區足以區分任意兩個不同單詞的推導。

本剖析器可以處理特定形式文法的符號串。

本剖析器由以下部件組成：

* 一個_輸入緩衝區_，存放輸入符號串（由語法建立的）。
* 一個_剖析棧_，用於儲存等待處理的終結符與非終結符的。
* 一張_剖析表_，標記了是否存在可用於目前剖析棧與下一個輸入符號的語法規則。

剖析器根據剖析棧的棧頂符號（行）以及當前輸入流中的符號（列）來決定使用哪一條規則。

當剖析器一開始執行時，剖析棧中已經有兩個符號：

```
[ S, $ ]
```

'$' 時一個特殊的終結符，用於表示剖析棧的棧底或者輸入的結束；而 'S' 則時文法的開始符號。剖析器會嘗試根據它在輸入流中看到的符號來覆寫剖析棧中的資料，但只會將仍需修改的資料存回剖析棧中。

## 實際的例子

### 設定

為解釋 LL 剖析器的工作方式，我們創造了以下這個小語法：

1. S → F
2. S → ( S + F )
3. F → 1

並處理以下輸入：

　
: **( 1 + 1 )**

這個語法的剖析表如下：

　
:

（注意到有一列特殊終端符號，在這裡表示為 $，是用來標示輸入結束的。）

### 剖析流程

剖析器先從輸入資料流中讀到第一個 '('，以及堆疊中的 'S'。從表格中他發現必須套用規則 (2)；它必須將堆疊中的 'S' 重寫為 '(S + F)'，並將規則的號碼輸出。最後堆疊變成：

```
[ (, S, +, F, ), $ ]
```

再來它移除輸入及堆疊中的 '('：

```
[ S, +, F, ), $ ]
```

現在剖析器從輸入資料流中抓到一個 '1'，所以他知道必須套用規則 (1) 與規則 (3)，並將結果輸出。則堆疊變成：

```
[ F, +, F, ), $ ]
[ 1, +, F, ), $ ]
```

接下來的兩個步驟中，剖析器讀到 '1' 及 '+'，因為他們跟堆疊中的資料一樣，所以從堆疊中移除。最後堆疊剩下：

```
[ F, ), $ ]
```

再接著的三個步驟中，堆疊中的 'F' 會 '1' 被取代，而規則 (3) 會被輸出。再來堆疊與輸入資料流中的 '1' 與 ')' 都會被移除。而剖析器看到堆疊與輸入資料流都只剩下 '$' 的時候，就知道自己的事情做完了。

在這個例子中，剖析器接受了輸入資料，並產生以下輸出（規則的代號）：

　
: [ 2, 1, 3, 3 ]

這的確是從輸入的左邊優先推導。我們可以看出由左至右的輸入順序為：

　
: S → ( S + F ) → ( F + F ) → ( 1 + F ) → ( 1 + 1 )

## 備註

由以上範例可以看出剖析器根據堆疊最上層為非終端符號、終端符號、還是特殊符號 $ 來決定採取三種不同的步驟：

* 若堆疊最上層為非終端符號，則根據輸入資料流中的符號對照剖析表，決定要用語法中的哪條規則來取代堆疊中的資料，順帶輸出規則的號碼。若表格中並沒有這麼個規則，則回報錯誤並終止執行。
* 若堆疊最上層為終端符號，則與輸入資料流中的符號比較。若相同則移除，若不同則回報錯誤並終止執行。
* 若堆疊最上層為 '$'，並且輸入資料流中也是 '$'，則表示剖析器成功的處理了輸入，否則將回報錯誤。不管怎樣，最後剖析器都將終止執行。

這些步驟會持續到輸入結束，然後剖析器成功處理了一則左邊優先推導，或者會回報錯誤。

## 建構 LL (1) 剖析表格

為了要填滿剖析表格，我們必須決定剖析器在堆疊看到非終端 (nonterminal) 符號 _A_ 又在輸入資料流看到 _a_ 的時候應該選用哪一條文法規則。我們可以輕鬆的發現到這種規則應該有 _A_ → _w_ 一類的格式，並且語言中的 _w_ 應至少有一個字串由 _a_ 開頭。為了這個目的，我們設定 _第一個集合_(first set) 的 _w_，記作 **Fi**（_w_），表示可以在 _w_ 中找到的所有字串的集合，如果空字串也屬於 _w_ 的話還要再加上 ε。而透過文法規則 _A_1 → _w_1, ..., _A_n → _w_n，就可以使用以下方法演算每條規則的 **Fi**(_w_i) 及 **Fi**(_A_i) 了：

1. 將每個 **Fi**(_w_i) 及 **Fi**(_A_i) 初始成空集合
2. 將 _Fi_(_w_i) 加入每條 _A_i → _w_i 規則中的 **Fi**(_A_i)，_Fi_ 定義如下：
  * 所有的 _a_ 皆為終端符號時，_Fi_（_a_ _w'_ ）= { _a_ }
  * **Fi**（_A_）不包含 ε 時，相對於每個非終端符號 _A_，_Fi_（_A_ _w'_ ）= **Fi**（_A_）
  * **Fi**（_A_）包含 ε 時，相對於每個非終端符號 _A_，_Fi_（_A_ _w'_ ）= **Fi**（_A_）\ { ε } ∪ _Fi_（_w'_ ）
  * _Fi_(ε) = { ε }
3. 針對每條 _A_i → _w_i 規則，將 **Fi**(_w_i) 加入 **Fi**(_A_i)
4. 重複步驟 2 與步驟 3，直到所有 **Fi** 集合固定下來。

不幸的是，第一集合還不夠用來產生出剖析表。由於規則中右手邊的 _w_ 可能無限制的被覆寫成空字串，所以剖析器也在 ε 位於 **Fi**（_w_）並且輸入資料流中的符號可以符合 _A_ 的時候套用 _A_ → _w_。所以還需要一個記作 **Fo**（_A_）的 _A_ 的_跟隨集合_(follow set)，表示可以由開始的符號衍生出 _αAaβ_ 字串的終端符號 _a_ 的集合。非終端符號的跟隨集合可以用以下方法得出：

1. 將每個 **Fo**(_A_i) 初始成空集合
2. 若存在 _A_j → _wAiw'_ 格式的規則，則
  * 若終端符號 _a_ 存在 _Fi_（_w'_ ）中，則將 _a_ 加入 **Fo**(_A_i)
  * 若 ε 存在 _Fi_（_w'_ ）中，則將 **Fo**(_A_j) 加入 **Fo**(_A_i)
3. 重複步驟 2 直到所有 **Fo** 集合固定下來

現在我們可以清楚定義每條規則要放在剖析表的哪裡了。若 _T_[_A_,_a_] 用以表示表格中代表非終端符號 _A_ 及終端符號 _a_ 的規則，則

　
: _T_[_A_,_a_] 包含 _A_ → _w_ 規則，若且唯若

　
: _a_ 在 **Fi**（_w_）之中，或

　
: ε 在 **Fi**（_w_）之中，且 _a_ 在 **Fo**（_A_）之中。

若表格的每格中都僅包含一個規則，則剖析器總是知道該套用什麼規則，所以可在不用回溯的前提下剖析字串。在此情形下，這個語法可以稱為 _LL (1) 語法_。

## 建構 LL (_k_) 剖析表格

剖析表格可能（一般來說，在最差狀況下）必須有 _k_ 次的指數複雜度的觀念在 1992 年左右 PCCTS 發表後改觀，它示範了許多程式語言可以用 LL (_k_) 來有效率的處理，而不會觸發剖析器的最差狀況。再者，在某些必須無限前瞻的狀況下，LL 剖析也是合理的。相反的，傳統剖析器產生器，如 yacc 使用 LALR (1) 剖析表格建立被限制的 LR 剖析器，這種剖析器只能向後看固定的一個語彙符號。

## 參見

* 編譯器剖析器比較表
* 抽象語法樹
* 由上而下剖析
* 由下而上剖析

## 外部連結

* An easy explanation of First and Follow Sets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（使用一種比 c 較直觀的方法解釋產生 First 與 Follow 集合的過程）
* A tutorial on implementing LL(1) parsers in C#