L2_空间

在數學中，**_Lp_ 空間**是由 p 次可積函數組成的空間；對應的**ℓp 空間**是由 _p_ 次可和序列組成的空間。它們有時叫做**勒貝格空間**。

在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構成了巴拿赫空間一類重要的例子。_Lp_ 空間在工程學領域的有限元分析中有應用。

## 基本知識

### 長度、距離與範數

泛函分析中，常常會在某類函數的集合上架設拓撲結構乃至更複雜的結構，以便使用拓撲乃至分析學的知識來討論這些集合的屬性。最常見的附加結構是賦範向量空間。將函數集合作為裝備了範數向量空間來看待，有助於理解函數類的關係和性質。範數是歐幾里德空間中長度概念的推廣。在平面幾何或立體幾何中，長度以及距離是最基本的概念之一。物件的形狀、位置、大小等性質或關係都是建立在長度和距離的定義上。最直觀的長度概念是由平直物理空間中抽象而來，滿足畢氏定理。例如說在平面上，原點到點 $P=(x,y)$ 的向量長度是 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。三維空間中，原點到點 $P=(x,y,z)$ 的向量長度 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ 。長度函數 $l$ 滿足如下的基本性質：

1. 只有零向量的長度是零： $l(v)=0\iff v=0,$
2. 數乘線性： $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\;l(\lambda v)=\lambda l(v),$
3. 滿足三角不等式： $l(u)+l(v)\geqslant l(u+v).$

比如說在更一般的 _n_ 維歐幾里德空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，可以定義向量 $v=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})$ 的歐幾里德長度是

　
: $l(v)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}$

這個函數也滿足以上的基本性質。更一般地，在向量空間 $V$ 中，滿足以上性質的函數： ${\mathcal {N}}:\;V\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ 稱為 $V$ 上的「長度」函數或**範數**。比如在歐幾里德空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 中也可以對給定的實數 _p_ ≥ 1 定義範數：

　
: $\ {\mathcal {N}}_{p}(x)=\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

這個範數稱為 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的 _p_-範數。_p_ = 2 的時候，就是常見的歐幾里德範數。_p_ = 1 的時候，是所謂的曼哈頓距離。當 _p_ 趨於無窮大的時候，_p_-範數趨於一個「極限」範數，稱為均勻範數（也記作 _L_∞-範數），定義為：

　
: $\ {\mathcal {N}}_{\infty }(x)=\|x\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|\cdots ,|x_{n}|).$

對不同的 _p_ 來說，等長度點的集合是不一樣的。比如右圖列出了三種不同範數下單位圓（從原點出發，「長度」等於 1 的點的集合）形狀。

### 可數維度空間的 _p_- 範數

有限維空間中的 _p_-範數可以如 $\mathbb {R} ^{n}$ 一般定義。當空間維數是可數無限時，也可以將 _p_-範數的定義拓展到其上。這個定義一般適用於由數列或序列構成的空間，稱為 $\ell ^{p}$ 空間。常見的有如下例子：

 * $\ell ^{1}$ 空間，所有絕對收斂級數列構成的空間；
* $\ell ^{2}$ 空間，所有平方收斂級數列構成的空間；
* $\ell ^{\infty }$ 空間，所有有界數列構成的空間。

事實上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和數乘定義出向量空間。而 $\ell ^{p}$ 空間則是在這個向量空間中定義如下的 _p_-範數：

　
: $\|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

然而，上式中右側的級數不總是收斂的（有可能其級數和是無窮大）。所以 $\ell ^{p}$ 空間實際上是所有序列集合中，令上式右側的級數能夠收斂的元素組成的子集。

可以證明，隨著 _p_ 增大， $\ell ^{p}$ 空間包含的元素也越多。實際上，如果 _p_ < _q_，那麼 $\ell ^{p}$ 空間是 $\ell ^{q}$ 空間的真子集。比如說，以下的數列：

　
: $a=({\frac {1}{n}})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{n}},\cdots \right)$

不屬 $\ell ^{1}$ ，因為 $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots $ 的和是無窮大。不過，由於

　
: $1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots $

的和是有限的，所以數列 $a$ 屬於 $\ell ^{2}$ .

## _Lp_ 空間

當空間維度是無窮而且不可數的時候（沒有一個可數的基底），無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函數空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定測度空間 (_S_, _Σ_, _μ_) 以及大於等於 1 的實數 _p_，考慮所有從 _S_ 到域 $\mathbb {K} $ （ $\mathbb {K} =\mathbb {C} $ 或 $\mathbb {R} $ ）上的可測函數。考慮所有絕對值的 _p_ 次冪在 _S_ 可積的函數，也就是集合：

　
: ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{p}=\left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\}$

集合中的函數可以進行加法和數乘：

　
: $(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\;\;\lambda \in \mathbb {K} $

從閔可夫斯基不等式可知，兩個 _p_ 次可積函數的和，也是一個 _p_ 次可積函數。另外，容易證明 $\|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p}$ ；閔可夫斯基不等式的積分形式說明三角不等式對 $\|\cdot \|_{p}$ 成立。滿足這樣條件的 $\|\cdot \|_{p}$ 構成一個半範數，令 ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$ 成為一個半賦範向量空間。之所以是半範數，是因為滿足 $\|f\|_{p}=0$ 的函數 $f$ 不一定是零函數。然而可以通過一套標準的拓撲方法從這個半賦範空間得到一個賦範空間：考慮 ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$ 中所有使得 $\|f\|_{p}=0$ 的函數 $f$ 的集合：

　
: $N=\left\{f;\;\|f\|_{p}=0\right\}.$

集合 $N$ 可以看作是映射 $f\mapsto \|f\|_{p}$ 的零空間。對可測函數 $f$ 來說， $\|f\|_{p}=0\iff \mu (f\neq 0)=0\iff f$ 幾乎處處為零（在測度 _μ_ 意義下）。所以

　
: $N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f\;\;\mu -$ 幾乎處處為 0 $\}.$

而 $N$ 同時也是 ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$ 的一個子空間。設 $L^{p}(S,\mu )$ 是 ${\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )$ 關於 $N$ 的商空間。 $L^{p}(S,\mu )$ 中的某個元素 $f$ 可以看作是所有和函數 $f$ 相差一個 $N$ 中元素的函數構成的等價類。這樣定義的空間 $L^{p}(S,\mu )$ 是一個賦範向量空間，稱為 _S_ 上函數關於測度 _μ_ 的 _Lp_ 空間。 $\|\cdot \|_{p}$ 稱為 $L^{p}(S,\mu )$ 函數的 _p_- 範數。

需要注意的是，_Lp_ 空間中的元素嚴格來說並不是具體的函數，而是一族函數構成的等價類。而當需要將 _Lp_ 空間元素當作函數來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函數中抽取的一個代表函數。

與序列空間一樣，在函數空間上也可以定義均勻範數。定義的方法和範數一樣，首先定義：

　
: $\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\;\;\mu -$ 幾乎處處小於等於 $C\}.$

　
: ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{\infty }<\infty \right\}$

 $\|\cdot \|_{\infty }$ 是一個半範數，取 $N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{\infty })=\{f:f\mu -$ 幾乎處處為 0 $\}.$ ，則 ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )$ 關於 $N$ 的商空間是一個賦範向量空間，記作 $L^{\infty }(S,\mu )$ 。

均勻範數與 _p_- 範數之間存在以下關係：

　
: $\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}$

可以證明，_Lp_ 空間是完備的空間，也即是說是一個巴拿赫空間（完備賦範向量空間）。_Lp_ 空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分的相關收斂定理來完成。

### 特例

_Lp_ 空間都是巴拿赫空間，但只有當 _p_ = 2 的時候，_L_2 空間是希爾伯特空間。也就是說，可以為 _L_2 空間中的元素定義內積。具體形式是：

　
: $\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).$

其中的 ${\overline {g(x)}}$ 表示複數的共軛。這個內積是從 2 - 範數自然誘導的內積。_L_2 空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有著重要的運用。

 $\ell ^{p}$ 空間可以看作是 _Lp_ 空間的特例。只要取 _Lp_ 空間中的 $S=\mathbb {N} $ ，測度為 $\mathbb {n} $ 上的計數測度，則對應的 $L^{p}(S,\mu )$ 就是 $\ell ^{p}$ 空間。

## _L_p 空間的性質

### 對偶空間

一個拓撲向量空間的對偶空間是指由這個向量空間上的所有的連續線性泛函構成的泛函空間。對某個大於 1 的實數 _p_，設 _q_ 是滿足 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 的唯一實數，則空間 _Lp_(_S_, _μ_) 的對偶空間 _Lp_(_S_, _μ_)\* 與 _Lq_(_S_, _μ_) 同構。這個關係可以通過一個自然的同構映射展現：

　
: $\kappa _{p}:\;\;L^{q}(S,\mu )\longrightarrow L^{p}(S,\mu )^{*}$

　
: : : $f\qquad \longmapsto \kappa _{p}(f):=\left(g\in L^{p}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right).$

赫爾德不等式保證了其中的泛函 $\kappa _{p}(f)$ 是良好定義並且是連續的。 $\kappa _{p}$ 是一個線性映射，根據赫爾德不等式的極限情況， $\kappa _{p}(f)$ 作為泛函的範數和 $f$ 一樣，這說明 $\kappa _{p}$ 是一個等距映射。此外還可以證明，對偶空間 _Lp_(_S_, _μ_)\* 中的任一線性泛函對偶空間 _G_ 都能表示成某個 $\kappa _{p}(g)$ 的形式，所以 $\kappa _{p}$ 是一個滿射。結合以上性質可以推出， $\kappa _{p}$ 是一個等距同構。在這個同構的意義下，我們常說 _Lp_(_S_, _μ_) 的對偶空間「是」_Lq_(_S_, _μ_)。

以上性質說明，當大於 1 的時候，_Lp_(_S_, _μ_) 是一個自反空間：_Lp_(_S_, _μ_) 的二次對偶空間（對偶空間的對偶空間）「是」它自己（在同構的意義下）。具體來說，從 $\kappa _{p}$ 出發，可以構造出以下的關係：

　
: $j_{p}\colon L^{p}(S,\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\to }}L^{q}(S,\mu )^{*}{\overset {\,\,\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(S,\mu )^{**}$

 $\kappa _{q}$ 與 $\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}$ 的複合映射 _jp_ 是從 _Lp_(_S_, _μ_) 映射到其二次對偶空間的賦值嵌入映射：

　
: : $\forall f\in L^{p}(S,\mu ),\;\;G\in L^{p}(S,\mu )^{*},\;\;\exists g\in L^{q}(S,\mu )$ 使得 $G=\kappa _{p}(g).$

從而

　
: : $\;\;\left[j_{p}(f)\right](G)=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).$

作為兩個等距同構的複合映射，_jp_ 也是等距同構。這說明 _Lp_(_S_, _μ_) 和 _Lp_(_S_, _μ_)\*\* 也是同構關係。

如果測度 _μ_ 是 σ- 有限測度，那麼 _L1_(_S_, _μ_)\* 和 _L∞_(_S_, _μ_) 也是等距同構。可以證明，

　
: $\kappa _{1}:\;\;f\in L^{\infty }(S,\mu )\longmapsto \left(g\in L^{1}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right)$

是 _L∞_(_S_, _μ_) 到 _L1_(_S_, _μ_)\* 上的一個同構。

_L∞_(_S_, _μ_) 則更為複雜。_L∞_(_S_, _μ_)\* 可以被刻畫為所有關於測度 _μ_ 絕對連續的有界帶號有限可加測度的集合。如果承認選擇公理，那麼一般來說，_L∞_(_S_, _μ_)\* 這個集合要比 _L1_(_S_, _μ_)「大得多」。只有對某些簡單的測度 _μ_，_L∞_(_S_, _μ_)\* 會和 _L1_(_S_, _μ_) 同構。

### 嵌入

給定兩個實數：1 ≤ _p_ < _q_ ≤ ∞，當比較 _Lp_(_S_, _μ_) 和 _Lq_(_S_, _μ_) 的時候會發現，前者中包含一些局部行為更加不規則的函數，而後者中則包含了「尾巴更粗」的函數。舉例來說， $L^{1}(\mathbb {R} )$ 中的連續函數（也就是實數體上的勒貝格可積函數）可以在 0 的附近取很大的值，但當自變數趨於無窮大的時候，函數的值必須趨於 0. 而對於 $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ 中的連續函數（有界連續函數），無論自變數多大，函數值都可以不在 0 附近，但反過來說，無論自變數取多少，函數的值也不能超過上界和下界。

假設全集 _S_ 在 _μ_ 中的測度有限，以及 1 ≤ _p_ < _q_ ≤ ∞。那麼由赫爾德不等式有如下限制：

　
: $\|f\|_{p}\leq \mu (S)^{(1/p)-(1/q)}\|f\|_{q}$

這說明空間 _Lq_(_S_, _μ_) 可以被連續地嵌入到 _Lp_(_S_, _μ_) 裡面。換句話說，_Lq_(_S_, _μ_) 到 _Lp_(_S_, _μ_) 上的恆等映射 $I_{p,q}$ 是有界連續映射。 $I_{p,q}$ 的算子範數就是由以上不等式取等號的情形確定的：

　
: $\|I_{p,q}\|=\mu (S)^{(1/p)-(1/q)}.$

### 稠密子空間

研究某個複雜的無窮維賦範空間的時候，常常會使用一個由空間中比較「簡單」的元素構成的稠密子集來逼近空間中的一個元素。假設 1 ≤ _p_< ∞，則空間 _Lp_(_S_, _μ_) 中的元素可以用測度空間 (_S_, _Σ_, _μ_) 上的**簡單可積函數**逼近。給定測度空間 (_S_, _Σ_, _μ_)，其上的一個簡單可積函數指的是形同：

　
: $f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$

的函數。其中的 _aj_ 是實數或複數係數，_Aj_ ∈ _Σ_ 是測度有限的可測集合。由勒貝格積分的構造方法可知，簡單可積函數的集合在 _Lp_(_S_, _μ_) 中稠密。

如果 _S_ 本身也是測度空間，而 _μ_ 是 _S_ 上的鮑萊耳測度，那麼可以通過烏雷松引理證明，所有 _S_ 可測而且測度有限的子集對應的指示函數都可以通過連續函數逼近。所以所有的簡單可積函數可以用連續函數逼近。因而可以證明，_Lp_(_S_, _μ_) 中的連續函數構成的集合在 _Lp_(_S_, _μ_) 中稠密。對於更具體的空間，可以證明更加強的結果。比如說當 _S_ 是 _n_ 維歐幾里德空間，而 _μ_ 是 _S_ 上的正則鮑萊耳測度的時候，可以證明，所有緊支撐的光滑函數的集合在 _Lp_(_S_, _μ_) 中稠密。

## 注釋

## 參見

* 哈代空間
* 赫爾德平均
* 赫爾德空間
* 方均根

## 參考來源

* Adams, Robert A. Sobolev Spaces. New York: Academic Press. 1975. ISBN 978-0-12-044150-1.

## 外部連結

* Proof that _L_p spaces are complete. PlanetMath.