Mellin变换

在數學中，**梅林變換**是一種以冪函數為核的積分變換，與雙邊拉普拉斯變換有密切關聯。梅林變換定義式如下：

　
: $\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx.$

而其逆變換為

　
: $\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.$

梅林變換有許多應用。出於它與狄利克雷級數的聯繫，它也被用以證明黎曼 ζ 函數與素數計數函數有關的的函數方程；進一步地，它也與解析數論有關，如在佩龍公式中。

同時，它與伽馬函數密切相關，很多常見函數的梅林變換中都需要用到伽馬函數或它衍生出的貝塔函數；這使得它被運用在梅林 - 巴恩斯積分和超幾何函數的理論中，衍生出了在計算機代數系統中使用的，可以快速計算大量定積分的 Meijer\_G - 函數。

## 與其他變換之關係

之所以伽馬函數與積分變換的理論聯繫密切，是因為伽馬函數同時是指數函數的拉普拉斯變換和冪函數的梅林變換，這也展示了兩種積分變換之間的聯繫。

### 雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示，如下式

　
: $\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示，如下式

　
: $\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

### 傅立葉變換

傅立葉變換可以用梅林變換來表示，如下式

　
: $\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ $

梅林變換變換也可以用傅立葉來表示，如下式

　
: $\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ $

## 範例

### Cahen–Mellin 積分

對於 $c>0$ ， $\Re (y)>0$ ，且 $y^{-s}$ 在主要分支（principal branch）上，我們有

　
: $e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$

其中 $\Gamma (s)$ 為 Γ 函數。

### 數論

假設

　
: $\Re (s+a)<0$

我們有

　
: $f(x)={\begin{cases}0&x<1\\x^{a}&x>1\end{cases}}$

其中

　
: ${\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {1}{s+a}}$

## 圓柱坐標系下的拉普拉斯算子

在任何維度的圓柱坐標系中，拉普拉斯算子總是會包含下式

　
: ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)$

例如，拉普拉斯算子在二維空間的極坐標表示法

　
: $\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}$

或是在三維空間的柱坐標表示法

　
: $\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

而利用梅林變換可以很簡單的處理此項

　
: ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}$

　
: ${\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F$

舉例來說，二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式

　
: $r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0$

或是

　
: ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0$

利用梅林變換，可以轉換成一個簡諧振子的形式

　
: $F_{\theta \theta }+s^{2}F=0$

通解為

　
: $F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )$

若給定邊界條件

　
: $f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)$

其梅林變換為

　
: $F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)$

則通解可以寫成

　
: $F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}$

最後利用逆變換以及卷積定理

　
: ${\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}$

其中

　
: $m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}$

可以得到

　
: $f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right\}x^{m-1}\,dx$

## 參考文獻

* Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. 2004. ISBN 0-8247-5402-6.