Johnson多面體

**詹森多面體**，有譯作**約翰遜多面體**或**莊遜多面體**，是指每個面都是正多邊形的嚴格凸多面體（凸正多邊形多面體）。其不要求每個面皆要是相同的多邊形，也不要求每個頂角要相等。詹森多面體的一個例子是正四角錐（_J_1），其由 4 個正三角形和 1 個正方形組成。一些作者會將詹森多面體定義為正多面體、半正多面體、均勻多面體、稜柱、反稜柱之外，所有由正多邊形面組成的凸多面體。這些立體由諾曼・詹森在 1966 年命名；1969 年，維克托・查加勒證明只有 92 個這樣的立體。

在任何嚴格凸多面體中，每個頂點至少要是三個面的公共頂點，而且這些面的角度總和要小於 360 度。由於正多邊形的角度至少為 60 度，因此每個頂點最多只能是 5 個面的公共頂點。正五角錐（_J_2）就是一個包含了有五個面的公共頂點之頂點的一個例子。

雖然沒有明確限制組成詹森多面體之多邊形面的邊數，但事實證明，所有非正多面體、半正多面體、均勻多面體、稜柱、反稜柱的詹森多面體的面都是由三、 四、 五、 六、 八或十邊形組成。

1966 年，諾曼・詹森給出了一個詹森多面體的清單，裡面包含了 92 種詹森多面體（不包括 5 個柏拉圖立體、13 個阿基米德立體、無限多的柱狀均勻多面體，即稜柱和反稜柱）並給予了名稱和編號。他並沒有證明這些立體僅有 92 個，但他確實猜想不存在其他這種性質的立體。維克托・查加勒在 1969 年証明諾曼・詹森所列出的 92 種詹森多面體是完整的，不存在其他有此性質的立體。

在詹森多面體中異相雙四角帳塔柱又稱為偽小斜方截半立方體，是唯一一個具有局部等角的特性，其所有頂點都是 3 個正方形和 1 個三角形的公共頂點。然而其不完全具備點可遞的特性，也就是存在有一組頂點無法透過將立體旋轉、平移或鏡射等幾何變換將頂點變換到另外一個頂點，或者說其頂點並沒有全部位於同一個對稱性的軌道內，因此其只能算是詹森多面體無法歸類在阿基米德立體。

## 命名

詹森多面體的命名遵循著一個靈活且精確的描述規則。因此許多詹森多面體可以用不同的方式命名，而不會影響其描述的準確性。大多數詹森多面體可以由前幾種棱錐、帳塔、罩帳、柏拉圖立體、阿基米德立體、稜柱和反稜柱構成；特定立體的名稱的反映這些成分。其命名主要從這些立體開始，加入一系列前綴或後綴到單詞上以表示添加、切割和旋轉等變換：

* 「**雙 -**」（**Bi-[<>]**）兩個相同的立體底面對底面貼合所形成的立體。對於帳塔和罩帳，組合的結果還可以分成相同相位（「**同相 -**」，**ortho-**）和不同相位（「**異相 -**」，**gyro-[\*]**）兩種。正八面體在此命名規則下可以命名為雙四角錐 [4<>]。
* 「**- 柱**」（**Elongated[=]**）代表在目標立體的其中一個底面疊上角柱。若同時包含「雙 -」前綴，則代表角柱包夾在雙立體的兩立體之間。小斜方截半立方體在此命名規則下可以命名為同相雙四角帳塔。
* 「**- 反角柱**」或「**- 反稜柱**」（**Gyroelongated[z]**）代表在目標立體的其中一個底面疊上反角柱。若同時包含「雙 -」前綴，則代表反角柱包夾在雙立體的兩立體之間。正二十面體在此命名規則下可以命名為雙五角錐反角柱 [5<z>]。
* 「**側_立體_-**」（**Augmented[+]**）表示在立體的側面上疊上特定立體，例如「側錐 -」表示在目標立體的側面上疊上錐體、「側帳塔 -」表示在目標立體的側面上疊上帳塔、「側罩帳 -」表示在目標立體的側面上疊上罩帳。
* 「**- 欠_立體_**」（**Diminished[-]**）表示目標立體缺少局部的結構，例如正二十面體欠側錐表示少從正二十面體上切去一個側錐（五角錐）的結果。
* 「**旋 -**」（**Gyrate[\*]**）表示旋轉立體上的局部特定結構。

後三種操作「**側_立體_-**」、「**- 欠_立體_**」和「**旋 -**」可在同個較大的立體上重複套用，因此還有「二 -」（Bi-）、「三 -」（Tri-）的前綴，表示該種操作的套用次數，例如「二側錐 -」表示在目標立體的兩個面上疊上錐體、「二旋側帳塔 -」代表該立體有兩個側帳塔的局部構造被旋轉、「- 欠三側錐」代表從目標立體切去三個側錐的結果。

在面數較多的立體中，「**側_立體_-**」和「**- 欠_立體_**」操作可以作用於相對面和非相對面。對於相對面，會用前綴「對 -」（Para-）來稱之，而非相對面的情況在詹森多面體可能是相鄰的，因此會用前綴「鄰 -」（meta-）稱之，另一種情況則是有相隔一個面，此時則以「間 -」稱之。

最後幾個詹森多面體的名稱是基於其構成的多邊形組合來命名的。其名稱由諾曼・詹森使用以下命名法命名：

* 「新月」（lune）定義為在正方形兩對側各有一個三角形的多邊形組合，也就是三角形 - 正方形 - 三角形帶。
* 「屋頂」（Spheno-，日語：屋根）表示由兩個相鄰「新月」組成的楔形多邊形組合。
* 「廣底... 屋頂」（Hebespheno-，日語：広底... 屋根）表示有三個「新月」狀組成，其中第三個「新月」狀插在兩個「新月」狀中間，形成的鈍狀多邊形組合。
* 「球狀 -」（Corona，日語：球形 -）表示由八個三角形組成的冠狀多邊形組合。
* 「加長型球狀 -」（Megacorona，日語：長球形 -）表示由 12 個三角形組成，比「球狀」更大的冠狀多邊形組合。

## 分類

詹森多面體的構成方法之一是將其他由正多邊形面組成的凸多面體和下面幾種立體的拼合：

* **棱錐**：以正三、四、五邊形為底而成的角錐。如：正四角錐（J1）、正五角錐（J2）
* **帳塔（平頂塔）** ：有兩個在空間中平行的正多邊形，其中一個的邊數是另一個的兩倍。在兩者間加入三角形和正方形。如：正三角帳塔（J3）、正四角帳塔（J4）、正五角帳塔（J5）。
* **罩帳**：有兩個在空間中平行的正多邊形，其中一個的邊數是另一個的兩倍。在兩者間加入三角形和正五邊形。如：正五角罩帳（J6）、正五角罩帳反角柱（J25）。

另一種方法就是將這些凸多面體「切除」或「加上」一些立體。如：小斜方截半二十面體欠一側帳塔 (J76)。也有一些是將這些凸多面體旋轉局部來構成。如：單旋側帳塔小斜方截半二十面體（J72）。

有九個詹森多面體不能以這些方法取得。如：球狀屋頂（J86）、扭稜反角柱及其它。

## 立體介紹

### 棱錐及塔

前 6 個詹森多面體是底面邊數少於 5 的棱錐、帳塔或罩帳。底面邊數達到 6 或以上若要讓面維持正多邊形的話要嘛共面要嘛無法構造僅能以非正多邊形存在因此不屬於詹森多面體。

#### 錐體

前 2 個詹森多面體 J1 及 J2 是錐體，分別為正四角錐和正五角錐。正三角錐因為是正多面體（正四面體）所以不算在詹森多面體內。這些立體皆代表正多面體的局部。

#### 帳塔

接下來 3 個詹森多面體 J3、J4、J5 是帳塔，分別是正三角帳塔、正四角帳塔和正五角帳塔。正二角帳塔已退化為三角柱，而三角柱算是均勻多面體，因此也不算在詹森多面體內。

#### 罩帳

接下來的 1 個詹森多面體 J6 是罩帳，即正五角罩帳。正四角罩帳和正六角罩帳因無法滿足所有面皆為正多邊形的條件，因此不屬於詹森多面體。

### 錐體衍生

詹森多面體編號 7 至 11 是由錐體衍生而來。

#### 錐柱及錐反角柱

錐柱及錐反角柱皆為錐體與各種柱狀立體組合而成，其中，錐柱為錐體和柱體底面對體面疊合而成；而錐反角柱為錐體和反角柱底面對體面疊合而成。

錐柱及錐反角柱被歸類為詹森多面體的最大底面邊數皆僅有 5，也就是六角錐柱和六角錐反角柱皆不屬於詹森多面體。特別地，在錐反角柱，底面邊數為 3 的三角錐反角柱也不是詹森多面體，因為三角反角柱若要滿足所有面都是正多邊形的條件時，會產生互相共面的面。

#### 雙錐、雙錐柱及雙反角錐柱

在雙錐體中，歸類為詹森多面體底面邊數最大為 5，即雙五角錐，而雙四角錐若滿足所有面都是正多邊形的條件會變成正多面體（正八面體）因此沒有歸類在詹森多面體中。而雙錐柱在底面邊數為 3、4 和 5 時皆為詹森多面體。雙反角錐柱則是在底面邊數為 5 時，也就是雙五角錐反角柱若滿足所有面都是正多邊形的條件會變成正多面體（正二十面體）因此沒有歸類在詹森多面體中；而底面邊數為 3 時若滿足所有面都是正多邊形的條件時，其面會出現共面的情況，因此也不屬於詹森多面體。

### 帳塔及罩帳衍生

詹森多面體編號 18 至 48 是由帳塔及罩帳衍生而來。

#### 帳塔及罩帳與柱體或反柱體組合

帳塔及罩帳與柱體或反柱體可以組合出帳塔柱（帳塔與稜柱的組合）、罩帳柱（罩帳與稜柱的組合）、帳塔反角柱（帳塔與反角柱的組合）和罩帳反角柱（罩帳與反角柱的組合）。

這些立體被歸類為詹森多面體的最高底面邊數同樣是 5，即正五角帳塔柱、正五角罩帳柱、正五角帳塔反角柱和正五角罩帳反角柱。同樣在罩帳的組合中，僅有底面邊數為 5 的正五角罩帳柱和正五角罩帳反角柱是詹森多面體，底面邊數是 4 或以下、6 或以上皆無法滿足所有面都是正多邊形的情況。而所有這些立體在底面邊數為 2 的情況也非詹森多面體，其中，正二角帳塔柱會出現共面的情況，而正二角帳塔反角柱則為凹多面體。

#### 雙帳塔

雙帳塔為兩個帳塔底面對底面貼合所形成的立體。在凸多面體的情況下，又可以分成同相雙帳塔和異相雙帳塔。其是否屬於詹森多面體與帳塔的情況類似，然而也有一些例外情況，例如異相雙三角帳塔在所有面都是正多邊形的條件下會是一種阿基米德立體 —— 截半立方體，所以不會被歸類在詹森多面體中。

#### 帳塔罩帳與雙罩帳

帳塔罩帳為帳塔與罩帳的組合，而雙罩帳則為兩個罩帳底面對底面貼合所形成的立體，兩者在凸多面體的條件下與雙帳塔一樣可分為同相與異相，分別為同相帳塔罩帳、異相帳塔罩帳、同相雙罩帳和異相雙罩帳。與罩帳的情況一樣，僅有底面邊數為 5 的情況時能被歸類在詹森多面體，即同相五角帳塔罩帳、異相五角帳塔罩帳、同相雙五角罩帳和異相雙五角罩帳。而異相雙五角罩帳若在所有面都是正多邊形的條件下，則其與截半二十面體無異。

#### 雙帳塔柱

雙帳塔柱為在雙帳塔的兩個帳塔中間再加一個柱體所構成的立體，與雙帳塔一樣，可分成同相與異相。其中，同相雙四角帳塔柱在所有面都是正多邊形的條件下與小斜方截半立方體等價。

#### 帳塔罩帳柱與雙罩帳柱

帳塔罩帳柱為在帳塔罩帳兩底面相聯的中間再加入一個柱體構成的立體，而雙罩帳柱為在雙罩帳的兩個罩帳中間再加一個柱體所構成的立體。與帳塔罩帳與雙罩帳一樣，可分成同相與異相。這兩種立體和罩帳一樣，僅有底面邊數為 5 的情況可被歸類為詹森多面體。

#### 雙帳塔反角柱、帳塔罩帳反角柱與雙罩帳反角柱

雙帳塔反角柱、帳塔罩帳反角柱與雙罩帳反角柱皆為在原組合立體的底面與底面之間加入反角柱所組成的立體。與雙帳塔柱、帳塔罩帳柱與雙罩帳柱不同，雙帳塔反角柱、帳塔罩帳反角柱與雙罩帳反角柱並不分同相與異相，僅有在每個立體各存在手性鏡像。

### 側錐柱體

詹森多面體編號 49 至 57 是側錐柱體。側錐柱體是指在柱體側面上疊上錐體所形成的立體。能在保持凸多面體和每個面都是正多邊形的情況下在側面加入錐體的柱體最大的底面邊數為 6。三角柱三個側面都能加入錐體形成滿足詹森多面體條件的側錐三角柱，分別有側錐三角柱、二側錐三角柱和三側錐三角柱。

四角柱不能在相鄰側面上疊上錐體，否則會變成凹多面體，因此四角柱最多只能加入兩個側錐，分別為側錐四角柱和二側錐四角柱，然而這兩個立體分別與四角錐柱和雙四角錐柱相同，因此不在此節列出。

五角柱也不能在相鄰側面上疊上錐體，否則會變成凹多面體，因此五角柱最多只能加入兩個側錐，分別為側錐五角柱和間二側錐五角柱。

六角柱同樣不能在相鄰側面上疊上錐體，否則會變成凹多面體，然而六角柱有六個側面，因此最多可以加入三個側錐。在加入兩個側錐的情況下，可以分成加在相對側面上的二側錐六角柱和加在相隔一個側面之側面上的二側錐六角柱，因此有對二側錐六角柱和間二側錐六角柱兩種。另外兩種屬於詹森多面體的側錐六角柱為側錐六角柱和三側錐六角柱。

### 正多面體衍生

詹森多面體編號 58 至 64 的立體可以藉由在正多面體上疊上錐體或移除局部來構造。能夠形成詹森多面體的側錐正多面體有正四面體、立方體和正十二面體，而側錐正四面體同於雙三角錐因此不在此列出；側錐立方體與側錐四角柱、四角錐柱和雙四角錐柱相同因此也不在此列出，下表將列出側錐正十二面體的情況。

而能夠移除局部構成詹森多面體的正多面體有正二十面體。

#### 側錐正十二面體

正十二面體不能在相鄰側面上疊上錐體，否則會變成凹多面體，因此正十二面體最多只能加入三個側錐。在加入兩個側錐的情況下，可以分成加在相對側面上的二側錐正十二面體和加在（相對）相鄰的側面上的二側錐正十二面體，因此有對二側錐正十二面體和間二側錐正十二面體兩種。

#### 正二十面體欠側錐和側錐正二十面體欠側錐

可此從正二十面體移除五角錐來構造新的立體，稱為正二十面體欠側錐。最多可以從正二十面體移除 3 個五角錐。移除掉 3 個五角錐的正二十面體還可以進一步地在其中一個三角形面上疊上三角錐構成側錐正二十面體欠側錐。

### 阿幾米德立體衍生

詹森多面體編號 65 至 83 的立體可以藉由在阿幾米德立體上疊上帳塔、移除局部或旋轉局部來構造。

#### 側帳塔阿幾米德立體

能夠在面上疊上帳塔購造成詹森多面體的阿幾米德立體有截角四面體、截角立方體和截角十二面體。這些立體皆不能在相鄰面上疊上帳塔，否則會變成凹多面體。因此截角四面體僅有一個六邊形面可以疊上三角帳塔；而截角立方體最多可以在兩個八邊形面上疊上四角帳塔，對於疊上兩個四角帳塔的情況，其必須疊在相對的八邊形面上。截角十二面體最多可以疊上 3 個五角帳塔。

#### 旋轉局部或移除局部的阿幾米德立體

此外還有一些其他立體也可以視為是旋轉局部或移除局部的阿幾米德立體，例如 J37（異相雙四角帳塔柱）可以視為是旋轉一側四角帳塔的小斜方截半立方體。

### 基本立體

詹森多面體編號 84 至 92 的立體不能以切除、增加角錐、帳塔、罩帳等方法取得。

#### 扭稜反角柱

扭稜反角柱可以透過將反角柱截角後交錯來構造。可以構成詹森多面體的扭稜反角柱底面邊數最大只能到 4，更大的底面邊數無法以所有面皆為正多邊形的形式存在；而扭稜三角反角柱若要滿足有面皆為正多邊形的條件則會與正二十面體無異，因此不列入詹森多面體。

#### 其它立體

## 外接球詹森多面體

有 25 個詹森多面體存在外接球，這意味著這 25 個詹森多面體的頂點都可以位於同一個球面上。這些立體包括編號為 1 至 6、11、19、27、34、37、62、63 和 72 至 83 的詹森多面體。這些立體皆與正多面體有分割、旋轉局部或移除局部的關聯。

## 參考資料

* Victor A. Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN.  The first proof that there are only 92 Johnson solids.

## 外部連結

* Sylvain Gagnon 之 "Convex polyhedra with regular faces", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
* Paper Models of Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* George W. Hart 描述之詹森多面體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 92 種立體的圖片
* 埃里克・韋斯坦因. Johnson 多面體. MathWorld.
* 詹森多面體虛擬模型
* Magnetic Blocks 之 Educational toy system for making Johnson solids and other polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Vladimir Bulatov 之詹森多面體的虛擬模型 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）