Delta位勢壘

在量子力學裏，**Delta 位勢壘**是一個壘內位勢為狄拉克 Delta 函數，壘外位勢為 0 的位勢壘。**Delta 位勢壘問題**專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被 Delta 位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

## 定義

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程式為

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!$ ；

其中， $\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數， $m\,\!$ 是粒子質量， $x\,\!$ 是粒子位置， $E\,\!$ 是能量， $\psi (x)\,\!$ 是波函數， $V(x)\,\!$ 是位勢，表達為

　
: $V(x)=\lambda \delta (x)\,\!$ ；

其中， $\delta (x)\,\!$ 是狄拉克 Delta 函數， $\lambda \,\!$ 是狄拉克 Delta 函數的強度。

## 導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域： $x<0\,\!$ 與 $x>0\,\!$ 。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程式的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

　
: $\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!$ ，

　
: $\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!$ ；

其中， $A_{r}\,\!$ 、 $A_{l}\,\!$ 、 $B_{r}\,\!$ 、 $B_{l}\,\!$ 都是必須由邊界條件決定的常數，下標 $r\,\!$ 與 $l\,\!$ 分別標記波函數往右或往左的方向。 $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!$ 是波數。

由於 $E>0\,\!$ ， $\psi _{L}\,\!$ 與 $\psi _{R}\,\!$ 都是行進波。這兩個波必須滿足在 $x=0\,\!$ 的邊界條件：

　
: $\psi _{L}=\psi _{R}\,\!$ ，

　
: ${\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$ 。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在 $x=0\,\!$ 並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有 $-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$ 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程式。將薛丁格方程式積分於 $x=0\,\!$ 的一個非常小的鄰域：

　
: : $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!$ ；(1)

其中， $\epsilon \,\!$ 是一個非常小的數值。

方程式 (1) 右邊的能量項目是

　
: $E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!$ 。(2)

在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的極限，這項目往著 0 去。

方程式 (1) 左邊是

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!$ (3)

根據狄拉克 Delta 函數的定義，

　
: $\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!$ 。(4)

而在 $\epsilon \to 0\,\!$ 的極限，

　
: $\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!$ ，(5)

　
: $\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!$ 。(6)

將這些結果 (4)，(5)，(6) 代入方程式 (3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在 $x=0\,\!$ ，

　
: ${\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$ 。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

　
: $A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!$ ，

　
: $ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!$ 。

### 反射與透射

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間， $x<0\,\!$ 或 $x>0\,\!$ 。可是，在 Delta 位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在 Delta 位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定 $A_{r}=1\,\!$ ， $A_{l}=r\,\!$ ， $B_{l}=0\,\!$ ， $B_{r}=t\,\!$ 。求算反射的機率幅 $r\,\!$ 與透射的機率幅 $t\,\!$ ：

　
: $r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!$ ，

　
: $t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!$ 。

反射係數是

　
: $R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!$ 。

透射係數是

　
: $T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!$ 。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在古典力學裏，透射係數等於 0，粒子不可能會透射過位勢壘。

* 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
* 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克 Delta 函數的強度，Delta 位勢壘與 Delta 位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

## 參閱

* 自由粒子
* 無限深方形阱
* 有限深方形阱
* 有限位勢壘
* 球對稱位勢
* Delta 位勢阱
* 量子穿隧效應