G-结构

在微分幾何中，對一個給定的結構群 _G_，_n_ 維流形 _M_ 上一個 **_G_- 結構**是 _M_ 的切標架叢 _FM_（或 _GL_(_M_)）的一個 _G_- 子叢。

_G_- 結構的概念包括了許多流形上其它結構，其中一些是用張量場定義的。例如，對正交群，一個 _O_(_n_)- 結構定義了一個黎曼度量；而對特殊線性群，一個 SL (_n_,**R**)- 結構就是一個體積形式；對平凡群，一個 {_e_}- 結構由流形的一個絕對平行化組成。

一些流形上的結構，比如複結構，辛結構，或 凱勒結構，都是 _G_- 結構帶上附加的可積性條件。

物理學中的術語是**規範群**。

## 主叢和 _G_- 結構

儘管主叢理論在 _G_- 結構的研究中的角色很重要，但兩個概念是不同的。一個 _G_- 結構是一個切標架叢的主子叢，但是 _G_- 結構叢「由切標架組成」的事實被視為數據的一部分。例如，考慮 **R**n 上兩個黎曼度量。伴隨的 SO (_n_)- 結構是同構若且唯若度量是同構的。但是，因為 **R**n 是可縮的，故下面的 SO (_n_)- 叢作為主叢總是同構。

兩個理論的這個基本差別能夠被在 _G_- 結構下面的 _G_- 叢上添加一個額外的數據：**焊接形式**（solder form）記錄。焊接形式是用一個從 _M_ 的切叢到配向量叢的典範同構將 _G_- 結構下面的 _G_ 叢繫於流形自身的局部幾何上。儘管焊接形式不是一個聯絡形式，經常可以視為一個聯絡形式的前身。

詳細說來，假設 _Q_ 是 _G_- 結構的主叢。如果 _Q_ 是實現為 _M_ 的切叢的壓縮，那麼焊接形式是標架叢的重言形式由包含映射的拉回給出。抽象地，如果將 _Q_ 視為與它作為一個標架叢實現獨立的一個主叢，那麼焊接形式由 _G_ 在 **R**n 上的一個表示 ρ 以及一個叢同構 θ : _TM_ → _Q_ ×ρ **R**n 組成。

## 可積性條件

流形上不少結構，比如複結構，辛結構，或 凱勒結構，均是 _G_- 結構附加一個可積性條件。沒有相應的可積性條件，這些結構稱為一個「殆（幾乎）」結構，比如殆複結構，殆辛結構，或殆凱勒流形。

特別地，一個辛流形結構是比一個辛群的 _G_- 結構更強的概念。流形上一個辛結構是 _M_ 上一個非退化 2 形式 _ω_（這是一個 $Sp$ - 結構，或殆辛結構），以及額外條件 d_ω_ = 0；後者稱為可積性條件。

類似地，葉狀結構對應於 _G_- 結構為分塊矩陣以及可積性條件，這樣便可利用弗羅貝尼烏斯定理。

## _G_- 結構的同構

_M_ 的保持 _G_- 結構的微分同胚集合稱為這個結構的「自同構群」。對一個 _O_(_n_)- 結構它們就是黎曼度量的等距群，而一個 SL (_n_,**R**)- 結構為保持體積的映射。

設 _P_ 是流形 _M_ 上一個 _G_- 結構，_Q_ 是流形 _N_ 上一個 _G_- 結構。那麼 _G_- 結構的**同構**是一個微分同胚 _f_ : _M_ → _N_，使得線性標架的前推 _f_\* : _FM_ → _FN_ 的限制給出了 _P_ 到 _Q_ 的一個映射（注意只要 _Q_ 在 _f_\* 的像中）。_G_- 結構 _P_ 與 _Q_ 是**局部同構**如果 _M_ 有一個開集覆蓋 _U_ 和一族微分同胚 _f_U : _U_ → _f_(_U_) ⊂ _N_ 使得 _f_U 誘導了一個同構 _P_|U → _Q_|f(_U_) 。

一個 _G_- 結構的**自同構**是 _G_- 結構 _P_ 和自己的同構。自同構經常在研究幾何結構的變換群中出現，因為流形上許多重要的幾何結構可實現為 _G_- 結構。

如果 _G_- 結構 _P_ 有一個由可交換向量場 (_V_1,...,_V_n) 組成的整體截面，則稱其為**平坦** _G_- 結構。若一個 _G_- 結構局部同構於平坦 _G_- 結構，則稱為**可積的**（或「局部平坦」）。

一類廣泛的等價問題可以用 _G_- 結構語言闡述。例如，一對黎曼流形是（局部）等價等且僅當
它們的正交標架叢是（局部）同構的 _G_- 結構。在這種看法下，解決一個等價問題的一般過程是建立 _G_- 結構的一個不變量系統使得足以確定一對 _G_- 結構是否為局部等價。

## _G_- 結構的聯絡

設 _Q_ 是 _M_ 上一個 _G_- 結構。主叢 _Q_ 上的一個主聯絡誘導了任何配向量叢的一個聯絡：特別是切叢。_TM_ 以這種方式產生的線性聯絡 ∇ 稱為與 _Q_ **相容**。與 _Q_ 相容的聯絡也稱為**容許的聯絡**。

具體說來，容許聯絡可用活動標架來理解。_TM_ 一個局部截面（即 _M_ 的一個標架）定義了 _Q_ 的一個截面，假設 _V_i 是這個它的一組基。任何聯絡 ∇ 決定了一個取決於基的 1 - 形式 ω：

　
: ∇X Vi = ωij(X)Vj

這裡，作為作為 1 - 形式矩陣 ω ∈ Ω1(M)⊗**gl**(_n_)。一個容許聯絡是 ω 在 _G_ 的李代數 **g** 上的一個取值。

### _G_- 結構的撓率

任何 _G_- 結構伴隨有撓率，和聯絡的撓率有關。注意到一個給定的 _G_- 結構可能有許多不同的容許聯絡，這些聯絡可能有不同的撓率。儘管如此，我們還是能夠獨立地定義 _G_- 結構的撓率如下。

連個容許聯絡的區別是一個 _M_ 上一個取值於伴隨叢 _Ad_Q 的 1 - 形式。這便是說，容許聯絡的空間 _A_Q 是對 Ω1(AdQ) 的一個仿射空間。

容許聯絡的撓率定義了映射

　
: $A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,$

映到係數為 _TM_ 中的 2 - 形式。這個映射是現行的；其線性化

　
: $\tau :\Omega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,$

稱為**代數撓率映射**。給定兩個容許聯絡 ∇ 與 ∇′，它們的撓率張量 _T_∇，_T_∇′ 差一個 τ(∇−∇′)。從而 _T_∇ 在 coker (τ) 中的像與 ∇ 的選取無關。

對任何一個聯絡，_T_∇ 在 coker (τ) 中的像稱為 _G_- 結構的**撓率**。如果一個 _G_- 結構的撓率為 0，稱為**無撓的**。這恰好在 _Q_ 有一個無撓容許聯絡時發生。

### 例：殆複結構的撓率

_G_- 結構的一個例子是殆複結構，這是將一個偶數維流形的結構群約化為 _GL_(_n_,**C**)。這樣的約化由一個 _C_∞- 線性自同態 _J_ ∈ End(_TM_) 使得 _J_2 = −1 惟一確定。在此情形，撓率可明確地算出來：

一個簡單的維數計算說明

　
: $\Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )$ ,

這裡 Ω2,0(_TM_) 是滿足

　
: $B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,$

的形式 _B_ ∈ Ω2(_TM_) 的空間。

從而，一個殆復結構的撓率可以視為 Ω2,0(_TM_) 中一個元素。容易驗證一個殆復結構的張量等於它的尼延黑斯張量。

## 高階 _G_- 結構

一個特定的 _G_- 結構（例如，辛形式）上的壯觀的可積性條件可通過擴張程序處理。在這種情形，擴張後的 _G_- 結構不能構和線性標架從的一個 _G_- 子叢等價。許多情況下，擴張後它自身也是一個主叢，而其結構群可以等價於高階射流群的一個子群。此時，它也稱為一個高階 _G_- 結構（Kobayashi）。一般地，嘉當等價方法運用到這種情形。

## 參見

* 結構群的約化

## 注釋

## 參考資料

* Chern, S.S. The geometry of _G_-structures. Bull. Amer. Math. Soc. 1966, **72**: 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8.
* Gauduchon, P. Canonical connections for almost-hypercomplex structures. Complex Analysis and Geometry. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman: 123–136. 1997.
* Kobayashi, S. Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. 1972. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
* Sternberg, S. Lectures on Differential Geometry (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4. OCLC 43032711.