Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式

在數學分析中有一類關於索博列夫空間中的範數的**索博列夫不等式**（英語：Sobolev inequality; 俄語：Соболев неравенство）。 這些不等式可以用於證明**索博列夫嵌入定理**，給出某些索博列夫空間的包含關係。而 Rellich-Kondrachov 定理指出在稍強的條件下，一些索博列夫空間可以被緊嵌入到另一個空間。這類不等式得名於蘇聯數學家謝爾蓋・利沃維奇・索博列夫。

## 索博列夫嵌入定理

令 _Wk,p_(**R**n) 表示包含 **R**n 上所有滿足前 k 階弱導數屬於 _Lp_ 的實值函數的索博列夫空間。其中 k 是非負整數且有 1 ≤ _p_ < ∞。索博列夫嵌入定理的第一部分指出如果 _k_ > _ℓ_且 1 ≤ _p_ < _q_ < ∞滿足 (_k_ − _ℓ_)_p_ < _n_ 和

　
: ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k-\ell }{n}},$

那麼

　
: $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})$

並且該嵌入連續。在 _k_ = 1 且_ℓ_ = 0 的特殊情形，索博列夫嵌入定理給出

　
: $W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})$

其中 _p_∗是 p 的索博列夫共軛，如下給出

　
: ${\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.$

這個索博列夫嵌入定理的特例可由 Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式直接得出。

索博列夫嵌入定理的第二部分用於嵌入到 Hölder 空間 _Cr,α_(**R**n)。如果 (_k_ − _r_ − _α_)/_n_ = 1/_p_ 其中 _α_ ∈ (0, 1)，則有嵌入

　
: $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).$

索博列夫嵌入的這個部分可由 Morrey 不等式直接得出。直觀的說，這種包含關係表示足夠高階的弱導數存在性意味著一些經典導數的連續性。

### 推廣

索博列夫嵌入定理對於有其他適當定義域 M 的索博列夫空間 _Wk,p_(_M_) 也成立。特別的，索博列夫嵌入的兩個部分在滿足下列條件時成立

* M 是 **R**n 上有利普希茨邊界（Lipschitz boundary）的有界開集（或者邊界滿足錐條件）
* M 是緊黎曼流形
* M 是有利普希茨邊界的緊帶邊黎曼流形
* M 是滿足單射半徑 _δ_ > 0 且截面曲率有界的完備黎曼流形。

### Kondrachov 嵌入定理

在有 _C_1 邊界的緊流形上，**Kondrachov 嵌入定理**指出如果 _k_ > _ℓ_且 _k_ − _n_/_p_ > _ℓ_ − _n_/_q_ 則索博列夫嵌入

　
: $W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)$

是全連續（緊）的。

## Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式

假設 u 是 **R**n 上擁有緊支集的連續可微實值函數。對於 1 ≤ _p_ < _n_ 存在常數 C 只依賴於 n 和 p 使得

　
: $\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.$

其中 1/p\* = 1/p - 1/n。 $1<p<n$ 的情形由索博列夫給出， $p=1$ 的情形由 Gagliardo 和 Nirenberg 獨立給出。Gagliardo–Nirenberg–索博列夫不等式可以直接導出索博列夫嵌入

　
: $W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).$

**R**n 上其他階的嵌入可由適當的迭代得到。

## Hardy–Littlewood–索博列夫引理

索博列夫給出的索博列夫嵌入定理的最初的證明基於如下定理，有時被稱為 Hardy–Littlewood–索博列夫分數次積分定理。一個等價陳述被稱為**索博列夫引理**。

令 0 < _α_ < _n_ 且 1 < _p_ < _q_ < ∞。令 _Iα_ = (−Δ)−_α_/2 是 **R**n 上的 Riesz 勢。那麼，對於 q 如下定義

　
: $q={\frac {pn}{n-\alpha p}}$

存在常數 C 只依賴於 p 使得

　
: $\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.$

如果 _p_ = 1，則有兩個替代估計。第一個是更經典的弱估計：

　
: $m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},$

 
其中 1/_q_ = 1 − _α_/_n_。另一個估計是

$$
\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},
$$

　
: ${\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.$

其中 $Rf$ 是向量值 Riesz 變換。Riesz 變換的有界性意味著一族不等式可由上述不等式統一表達。

Hardy–Littlewood–索博列夫引理導出索博列夫嵌入本質上是利用 Riesz 變換和 Riesz 勢的關係。

## Morrey 不等式

假設 _n_ < _p_ ≤ ∞。存在常數 C 只依賴於 p 和 n，使得

　
: $\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$

　
: $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).$

對所有 _u_ ∈ _C_1(**R**n) ∩ _Lp_(**R**n)，其中

　
: $\gamma =1-{\frac {n}{p}}.$

因此如果 _u_ ∈ _W_1,_p_(**R**n)，則 u 在一個零測集上重新定義後，實際上為指數 γ 的 Hölder 連續。

一個類似的結果在帶有 _C_1 邊界的有界定義域 U 上成立。此時，

　
: $\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}$

其中常數 C 現在依賴於 _n_, _p_ 和 U。這一不等式可由前一不等式利用從 _W_1,_p_(_U_) 到 _W_1,_p_(**R**n) 的保范延拓得到。

## 一般索博列夫不等式

令 U 為 **R**n 上帶有 _C_1 邊界的有界開集。（U 也可以無界，但這種情況下，它的邊界如果存在，則必須是充分好的。）假設 _u_ ∈ _Wk,p_(_U_)，考慮兩種情況：

### _k_ < _n_/_p_

這時 _u_ ∈ _Lq_(_U_)，其中

　
: ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.$

有估計

　
: $\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}$ ,

常數 C 只依賴於 _k_, _p_, _n_ 和 U。

### _k_ > _n_/_p_

這裡 u 屬於 Hölder 空間，更精確的：

　
: $u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),$

其中

　
: $\gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}$

有估計

　
: $\|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},$

常數 C 只依賴於 _k_, _p_, _n_, _γ_ 和 U。

## _p=n, k=1_ 情形

如果 $u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})$ ，則 u 是有界平均振動函數且有

　
: $\|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},$

對於某個常數 C 只依賴於 n。這個估計是龐加萊不等式的推論。

## 納什不等式

納什不等式，由約翰・納什引入，指出存在一個常數 _C_ > 0，滿足對所有 _u_ ∈ _L_1(**R**n) ∩ _W_1,2(**R**n),

　
: $\|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.$

這個不等式由傅立葉變換的基本性質導出。實際上，在半徑為 ρ 的球的補集上的積分，

　
:

由帕塞瓦爾定理。另一方面，有

　
: $|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}$

，在半徑為 ρ 的球上的積分給出

　
:

其中 _ωn_ 是 n 維球的體積。選擇 ρ 最小化 (**1**) 和 (**2**) 的和，再次使用帕塞瓦爾定理：

　
: $\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}$

給出不等式。

在 _n_ = 1 的特殊情形，納什不等式可以擴展到 _Lp_ 情形，此時是 Gagliardo-Nirenberg - 索博列夫不等式的推廣。實際上，如果 I 是有界區間，則對所有 1 ≤ _r_ < ∞和所有 1 ≤ _q_ ≤ _p_ < ∞如下不等式成立

　
: $\|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},$

其中

　
: $a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.$

## 參考文獻

* Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Paris: Masson, 1983, ISBN 0-8218-0772-2
* Evans, Lawrence, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998, ISBN 0-8218-0772-2
* Leoni, Giovanni (2009), _A First Course in Sobolev Spaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ , Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Zbl 1180.46001 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, MAA （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Vladimir G., Maz'ja, Sobolev spaces, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 1985 , Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
* Nikol'skii, S.M., Imbedding theorems, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4