ECT理论-牛顿引力理论

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在牛頓引力場中，粒子運動的拉格朗日量為：

 * $L={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})$

其中 ${\vec {v}}$ — 粒子速度， $\varphi ({\vec {x}})$ — 牛頓引力勢
粒子運動方程由最小作用量原理 $\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt=0$ 決定：

　
: $0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta L}dt$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \left({\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-m\varphi ({\vec {x}})\right)}dt$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {v}}-m\delta \varphi ({\vec {x}})\right)}dt$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\vec {v}}\cdot {\frac {d\delta {\vec {x}}}{dt}}-m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt$

　
: $=m{\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}|_{t1}^{t2}-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot \delta {\vec {x}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\cdot \delta {\vec {x}}\right)}dt$

　
: $=-\int \limits _{t1}^{t2}{\left(m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})\right)}\cdot \delta {\vec {x}}dt$

因此有： $m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+m\nabla \varphi ({\vec {x}})=0$ 即： ${\vec {a}}=-\nabla \varphi ({\vec {x}})$ ，這是牛頓引力場中的粒子運動方程。
考慮在牛頓引力場中無壓理想流體的運動，則拉格朗日量變為：

 * $L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})\right)dV}$

其中： $\rho $ — 流體質量密度， $dV$ — 體積元。
牛頓引力場本身的拉格朗日量為：

 * ${{L}_{g}}=\int {\left(-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

同時考慮引力場和無壓理想流體，其總拉格朗日量為：

 * $L=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

為了得到引力場的運動方程，只對 $\varphi ({\vec {x}})$ 取變分我們有：

　
: $0=\delta S=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta Ldt}$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\delta \int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi )\right)dV}dt}$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi )\right)dV}dt}$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{4\pi G}}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi )\right)dV}dt}$

　
: $=\int \limits _{t1}^{t2}{\int \limits _{\Sigma }{\left(-{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\right)}+\int {\left(-\rho \delta \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{4\pi G}}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi \right)dV}dt}$ ，其中 $\Sigma $ - 包圍體積 V 的邊界

　
: $=\int {\left(-\rho +{\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi \right)\delta \varphi ({\vec {x}})dV}dt$

因此有引力場運動方程 ${{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho $ 。
這樣，我們有包含引力場和無壓理想流體的總拉格朗日密度為：

 * $\not {L}={\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi $

按照分析力學原理，我們有守恆量 --- 哈密頓量（其中： ${\dot {\varphi }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ）為：

　
: ${\begin{aligned}&H=\int {\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {{v}_{i}}}}}+{\dot {\varphi }}{\frac {\partial \not {L}}{\partial {\dot {\varphi }}}}-\not {L}\right)}dV\\&=\int {\sum \limits _{i=1}^{3}{{{v}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{v}_{i}}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV}\\&\mathop {} ^{}+\int {{\dot {\varphi }}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\varphi }}}}\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&\mathop {} ^{}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left(\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\right)dV}-\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\rho \varphi ({\vec {x}})-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+\rho \varphi ({\vec {x}})+{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}$

其中 $\rho \varphi ({\vec {x}})$ 代表理想流體與引力場的相互作用能，可以將它歸為理想流體的能量，也可以把它歸為引力場的能量，我們現在把它歸為引力場的能量，這時需要從引力場運動方程解出： $\rho ={\frac {1}{4\pi G}}{{\nabla }^{2}}\varphi $ ，代入上式得：

　
: ${\begin{aligned}&H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\&=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}\\\end{aligned}}$

　
: $=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+{\frac {1}{4\pi G}}\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}$

其中： $\Sigma $ 為包圍體積 V 邊界。體積 V 是全空間。
一般我們考慮有限區域的理想流體和引力場的情況，這時邊界是無限遠處，無限遠處的邊界條件是 $\varphi \nabla \varphi \to O({\frac {1}{{r}^{3}}})$ ， $d{\vec {S}}\to O({{r}^{2}})$ ，其積 $\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}\to O({\frac {1}{r}})$ ，因此 $\int \limits _{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d{\vec {S}}}=0$ . 考慮到有限區域的理想流體和引力場以及邊界條件，我們有：

 * $H=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

在分析力學中我們稱哈密頓量為能量，因此又可寫為：

 * $E=\int {\left({\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$

哈密頓量是守恆量即 ${\frac {dH}{dt}}=0$ 也即 ${\frac {dE}{dt}}=0$ 。
從上面的結果我們看到： ${\frac {1}{2}}\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$ 代表理想流體的動能密度 ${{T}_{m}}$ ， ${\frac {1}{8\pi G}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi $ 代表引力能密度 ${{T}_{g}}$ ，這時我們看到總能量密度是 $\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}$ ，引力能貢獻的是負能。當然，如果將相互作用能歸為理想流體的能量，則引力能貢獻的是正能，數值仍然是 ${{T}_{g}}$ 。
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