Frölicher-Nijenhuis括号

在數學中，**弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號**（Frölicher–Nijenhuis bracket）是光滑流形上向量場的李括號到向量值微分形式的推廣。它在研究聯絡，特別是埃雷斯曼聯絡，以及更一般的研究切叢的投影中很有用。此括號由阿爾弗雷德・弗勒利歇爾與阿爾伯特・奈恩黑斯於 1956 年引入，與斯豪滕 1940 年的工作有聯繫。

它與奈恩黑斯–理察森括號和斯豪滕–奈恩黑斯括號相關但不是一回事。

## 定義

設 Ω\*(_M_) 是光滑流形 _M_ 上微分形式的外代數。這是一個分次代數，其次數由形式的階數給出：

　
: $\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).$

一個階數為 ℓ 的分次導子是一個映射：

　
: $D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)$

它對常數是線性的且滿足

　
: $D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).$

從而，特別地，關於一個向量的內乘定義了一個階數 ℓ = -1 的分次導子，而外導數是一個階數 ℓ = 1 的導子。

記所有階數為 ℓ 的導子的向量空間為 DerℓΩ\*(_M_)。這些空間的直和是一個分次向量空間其齊次分量由所有給定階分次導數組成；記成：

　
: $\mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{*}(M).$

這形成一個分次李代數，其李括號為導子的反交換子，在階數分別為 _d_1 和 _d_2 的齊次導子 _D_1 和 _D_2 上的定義為：

　
: $[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1}.$

任何取值於 _M_ 的切叢的向量值微分形式 _K_ ∈ Ωk(_M_, T_M_) 定義了一個階數 _k_ -1 的分次導子，記作 _i_K，稱為插入算子。對 ω ∈ Ωℓ(_M_)，

　
: $i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {sign}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})$

沿著 _K_ ∈Ωk(_M_, T_M_) 的 奈恩黑斯–李導數定義為

　
: ${\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]=d\,{\circ }\,i_{K}-(-1)^{k-1}i_{K}{\circ }\,d,$

這裡 _d_ 是外導數而 _i_K 是插入算子。

弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號定義為滿足下式的惟一向量值微分形式：

　
: $[\cdot ,\cdot ]:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M)\to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]$

使得

　
: ${\mathcal {L}}_{[K,L]}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].$

如果 _k_ = 0，故 _K_ ∈ Ω0(_M_, T_M_) 是一個向量場，得到了李導數的通常同倫公式：

　
: ${\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]=d\,{\circ }\,i_{K}+i_{K}\,{\circ }\,d.$

 $\phi \otimes X$ 與 $\psi \otimes Y$ （這裡 φ 與 ψ 是形式，_X_ 與 _Y_ 是向量場）的弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號的明確表達式為

　
: $\left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L}}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).$

## 形式環的導子

Ω\*(_M_) 上任何導子，存在惟一元素 _K_ 與 _L_ 屬於 Ω\*(_M_, T_M_) 使得

　
: $i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}.\,$

這些導子的李括號如下給出。

* 形為 ${\mathcal {L}}_{K}$ 的導子組成與所有 _d_ 可交換的李超代數。其括號為：

　
: : $[{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}$

　
: 這裡右邊的括號是弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號。特別地弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號在 $\Omega (M,\mathrm {T} M)$ 上定義了一個分次李代數結構，擴充了向量場的李括號。

* 形為 $i_{L}$ 的導子組成在函數 Ω0(_M_) 上消沒的李超代數。其括號為

　
: : $[i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}$

　
: 這裡右邊的括號是奈恩黑斯–理察森括號。

* 不同類型的導子之括號為

　
: : $[{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}$

　
: 其中 _K_ 屬於 Ωk(_M_, T_M_)，_L_ 屬於 Ωl+1(_M_, T_M_)。

## 應用

殆復結構 _J_ 的奈恩黑斯張量，是 _J_ 與自己的弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號。一個殆復結構是復結構若且唯若奈恩黑斯張量是零。

有了弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號可以定義一個向量值 1 - 形式（這是一個投影）的曲率與余曲率。這是聯絡的曲率概念之推廣。

斯豪滕–奈恩黑斯括號與弗勒利歇爾－奈恩黑斯括號有一個一般的推廣；細節請參見斯豪滕–奈恩黑斯括號一文。

## 參考文獻

* Frölicher, A.; Nijenhuis, A., Theory of vector valued differential forms. Part I., Indagationes Mathematicae, 1956, **18**: 338–360 .
* Frölicher, A.; Nijenhuis, A., Invariance of vector form operations under mappings, Communicationes Mathematicae Helveticae, 1960, **34**: 227–248 .
* P. W. Michor, Frölicher–Nijenhuis bracket, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* Schouten, J. A., Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen, Indagationes Mathematicae, 1940, **2**: 449–452 .