Erf(x)

在數學中，**誤差函數**（英語：Error function）是一個特殊函數，符號 $erf$ 。誤差函數在機率論，統計學以及偏微分方程式中都有廣泛的應用。它的定義如下：

　
: $\operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

## 分類

**互補誤差函數**，記為 erfc，在誤差函數的基礎上定義：

　
: ${\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\,.$

**虛誤差函數**，記為 _erfi_，定義為：

　
: $\operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).$

**複誤差函數**，記為 _w_(_z_)，也在誤差函數的基礎上定義：

　
: $w(z)=e^{-z^{2}}{\textrm {erfc}}(-iz).$

## 詞源

誤差函數來自測度論，後來與測量誤差無關的其他領域也用到這一函數，但仍然使用誤差函數這一名字。

誤差函數與標準常態分布的積分累積分布函數 $\Phi $ 的關係為

　
: $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).$

## 性質

誤差函數是奇函數：

　
: $\operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)$

對於任何 複數 _z_:

　
: $\operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}$

其中 ${\overline {z}}$ 表示 _z_ 的 複共軛。

複數平面上，函數 _ƒ_ = exp(−_z_2) 和 _ƒ_ = erf(_z_) 如圖所示。粗綠線表示 Im (_ƒ_) = 0，粗紅線表示 Im (_ƒ_) < 0， 粗藍線為 Im (_ƒ_) > 0。細綠線表示 Im (_ƒ_) = constant，細紅線表示 Re (_ƒ_) = constant<0，細藍線表示 Re (_ƒ_) = constant>0。

在實數軸上， _z_→ ∞時，erf (_z_) 趨於 1，_z_→ −∞時，erf (_z_) 趨於−1 。在虛數軸上， erf (_z_) 趨於 ±i∞。

### 泰勒級數

誤差函數是整函數，沒有奇異點（無窮遠處除外），泰勒展開收斂。

誤差函數泰勒級數：

　
: $\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$

對每個複數 _z_ 均成立。
上式可以用迭代形式表示：

　
: $\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}$

誤差函數的導數：

　
: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.$

誤差函數的 不定積分為：

　
: $z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}$

### 逆函數

**逆誤差函數** 可由 麥克勞林級數表示：

　
: $\operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!$

其中， _c_0 = 1 ，

　
: $c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.$

即：

　
: $\operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\ $

**逆互補誤差函數**定義為：

　
: $\operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).$

### 漸近展開

互補誤差函數的漸近展開，

 

　
: $\mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,$

其中 (2_n_– 1)!! 為 雙階乘，_x_ 為實數，該級數對有限 _x_ 發散。對於 $N\in \mathbb {N} $ ，有

　
: $\mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)\,$

其中餘項用以 大 O 符號表示為

　
: $R_{N}(x)=O(x^{-2N+1}e^{-x^{2}})$ as $x\to \infty $ .

餘項的精確形式為：

　
: $R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{-2N+1}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,$

對於比較大的 x, 只需漸近展開中開始的幾項就可以得到 erfc (_x_) 很好的近似值。

### 連分式展開

互補誤差函數的連分式展開形式：

　
: $\mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{1}=1,\quad a_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.$

## 初等函數近似表達式

* 

　
: $\operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4})^{4}}}$ (最大誤差： 5・10−4)

其中， _a_1 = 0.278393, _a_2 = 0.230389, _a_3 = 0.000972, _a_4 = 0.078108

* 

　
: $\operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}$ (最大誤差：2.5・10−5)

其中， _p_ = 0.47047, _a_1 = 0.3480242, _a_2 = −0.0958798, _a_3 = 0.7478556

* 

　
: $\operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6})^{16}}}$ (最大誤差： 3・10−7)

其中， _a_1 = 0.0705230784, _a_2 = 0.0422820123, _a_3 = 0.0092705272, _a_4 = 0.0001520143, _a_5 = 0.0002765672, _a_6 = 0.0000430638

* 

　
: $\operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}$     (maximum error: 1.5·10−7)

其中， _p_ = 0.3275911, _a_1 = 0.254829592, _a_2 = −0.284496736, _a_3 = 1.421413741, _a_4 = −1.453152027, _a_5 = 1.061405429

以上所有近似式適用範圍是： _x_≥ 0. 對於負的 _x_, 誤差函數是奇函數這一性質得到誤差函數的值， erf (_x_) = −erf(−_x_).

另有近似式：

　
: $\operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}$

其中，

　
: $a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.$

該近似式在 0 或無窮的鄰域非常準確，_x_ 整個定義域上，近似式最大誤差小於 0.00035，取 _a_≈ 0.147 ，最大誤差可減小到 0.00012。

逆誤差函數近似式:

　
: $\operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln(1-x^{2})}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)}}.$

## 數值近似

下式在整個定義域上，最大誤差可低至 $1.2\cdot 10^{-7}$ ：

　
: $\operatorname {erf} (x)={\begin{cases}1-\tau &\mathrm {for\;} x\geq 0\\\tau -1&\mathrm {for\;} x<0\end{cases}}$

其中，

　
: ${\begin{array}{rcl}\tau &=&t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368\cdot t+0.37409196\cdot t^{2}+0.09678418\cdot t^{3}\right.\\&&\qquad -0.18628806\cdot t^{4}+0.27886807\cdot t^{5}-1.13520398\cdot t^{6}+1.48851587\cdot t^{7}\\&&\qquad \left.-0.82215223\cdot t^{8}+0.17087277\cdot t^{9}\right)\end{array}}$

　
: $t={\frac {1}{1+0.5\,|x|}}$

## 與其他函數的關係

誤差函數本質上與標準常態累積分布函數 $\Phi $ 是等價的，

　
: $\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$

可整理為如下形式：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}$

 $\Phi $ 的逆函數為常態分位函數，即機率單位函數，

　
: $\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).$

誤差函數為標準常態分布的尾機率 Q 函數的關係為，

　
: $Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).$

誤差函數是米塔 - 列夫勒函數的特例，可以表示為合流超幾何函數，

　
: $\mathrm {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).$

誤差函數用正則 Γ 函數 P 和 不完全 Γ 函數表示為

　
: $\operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn} (x)P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} (x) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).$

 $\scriptstyle \operatorname {sgn} (x)\ $ 為 符號函數.

### 廣義誤差函數

廣義誤差函數為：

　
: $E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.$

其中，_E_0(_x_) 為通過原點的直線， $\scriptstyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}$ 。_E_2(_x_) 即為誤差函數 erf (_x_)。

_x_> 0 時，廣義誤差函數可以用 Γ 函數和 不完全 Γ 函數表示，

　
: $E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0.\ $

因此，誤差函數可以用不完全 Γ 函數表示為：

　
: $\operatorname {erf} (x)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\ $

### 互補誤差函數的迭代積分

互補誤差函數的迭代積分定義為：

　
: $\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,$

可以展開成冪級數：

　
: $\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,$

滿足如下對稱性質：

　
: $\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}$

和

　
: $\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.$

## 函數表

## 注釋

## 參見

* 古德溫 - 斯塔頓積分

## 參考文獻

## 外部連結

* MathWorld – Erf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）