Frenet标架

在向量微積分中，**弗勒內 - 塞雷公式**（**Frenet–Serret 公式**）用來描述歐幾里得空間 **R**3 中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說，弗勒內公式描述了曲線的**切向，法向，副法方向**之間的關係。這一公式由法國數學家讓・弗雷德里克・弗勒內（於 1847 年的博士論文中）和約瑟夫・阿爾弗雷德・塞雷（於 1851 年）分別提出。

單位切向量 **T**，單位法向量 **N**，單位副法向量 **B**，被稱作 **弗勒內標架**，他們的具體定義如下：

* **T** 是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。
* **N** 是切向量 **T** 對弧長參數的微分單位化得到的向量。
* **B** 是 **T** 和 **N** 的外積。

弗勒內公式如下：

　
: ${\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

其中 _d_/_ds_ 是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。

## 弗勒內公式

記 **r**(t) 為歐式空間 **R**3 中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗勒內公式只適用於正則曲線，即速度向量 **r**′(t) 和加速度向量 **r**′′(t) 不為零的曲線。

記 _s(t)_ 為 _t_ 時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：

　
: $s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .$

由於假設 **r**′ ≠ 0，因此可以將 _t_ 表示為 _s_ 的函數，因此可將曲線表示為弧長 _s_ 的函數 **r**(s) = **r**(_t_(_s_))。 _s_ 通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 **r**(_s_)，**弗勒內標架** (或**弗勒內基底**) 定義如下：

* 單位切向量 **T**：

　
: : $\mathbf {T} ={d\mathbf {r}  \over ds}.\qquad \qquad (1)$

* 主法向量 **N**：

　
: : $\mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)$

* 副法向量 **B** 定義為 **T** 和 **N** 的外積：

　
: : $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)$

由於 $|\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,$ 所以 **N** 與 **T** 垂直。 方程 (3) 說明 **B** 垂直於 **T** 和 **N**，因此向量 **T**，**N**，**B** 互相垂直。

弗勒內公式如下：

　
: ${\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}$

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。

弗勒內公式有時也被稱作_弗勒內定理_，並且可以寫做矩陣的形式：

　
: ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長 s 求導，可以看成是對切方向的協變導數。

## 參閱

* 曲線仿射幾何
* 曲線微分幾何
* 達布標架
* 運動學

## 注釋

## 參考資料

* Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, **55** (1): 213–230
* Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995
* Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], （原始內容 (PDF) 存檔於 2011-07-16） . Abstract in _J. de Math. '17'_, 1852.
* Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, （原始內容 (PDF) 存檔於 2006-12-29） .
* Griffiths, Phillip, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Mathematics Journal, 1974, **41** (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5 .
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* Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, **16** [2010-03-01], （原始內容 (PDF) 存檔於 2022-03-15） .
* Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .
* Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964
* Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

## 外部連結

* Rudy Rucker's KappaTau Paper.
* Very nice visual representation for the trihedron