ABC猜想

**abc 猜想**（英語：_abc_ conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫・奧斯特萊及大衛・馬瑟在 1985 年提出。abc 猜想以三個互質正整數 a, b, c 描述，c 是 a 及 b 的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於 2012 年提出論文證明，經過 8 年同行審查後於 2020 年 4 月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一 BOINC 項目「ABC@Home」。

abc 猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安・哥德費爾德稱 abc 猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。（Goldfeld 1996）

## 內容

對正整數 _n_， $\operatorname {rad} (n)$ 表示 $n$ 的質因數的積，稱為 _n_ 的**根基**（radical）。例如

　
: rad(16) = rad(24) = 2,

　
: rad(17) = 17,

　
: rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,

　
: rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數 _a_, _b_, _c_ 彼此互質，且 _a_ + _b_=_c_，「通常」會有 _c_ < rad(_abc_)，例如：

　
: $a=2$ , $b=7$ , $c=9$ ： $\operatorname {rad} (abc)=42>c$ 。

　
: $a=9$ , $b=16$ , $c=25$ ： $\operatorname {rad} (abc)=30>c$ 。

但是也有反例，例如：

　
: $a=3$ , $b=125$ , $c=128$ ：因為 $125=5^{3}$ ， $128=2^{7}$ ，故此 $\operatorname {rad} (abc)=30<c$ 。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使 rad (_abc_) < _c_，是較特殊的情況。ABC@Home 計劃目的在尋找更多這樣的例子。

**abc 猜想（一）** 

　
: 對於任何 $\varepsilon >0$ ，只存在有限個互質正整數的三元組 (_a_, _b_, _c_)，_c_ = _a_ + _b_，使得

　
: $c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }$

abc 猜想也有以下等價的表述方式：

**abc 猜想（二）** 

　
: 對於任何 $\varepsilon >0$ ，存在常數 $C_{\varepsilon }>0$ ，使得對於互質正整數的三元組 (_a_, _b_, _c_)，_c_ = _a_ + _b_，有：

　
: $c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },$

abc 猜想第三個表述方式，用到了三元組 (_a_, _b_, _c_) 的**品質**（quality），定義為：

　
: $q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}$

例如：

* _q_(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
* _q_(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad (_abc_) > _c_，因此 _q_(_a_, _b_, _c_) < 1。_q_ 大於 1 的情況較少出現。

**abc 猜想（三）** 

　
: 對於任何 $\varepsilon >0$ ，只存在有限個互質正整數的三元組 (_a_, _b_, _c_)，_c_ = _a_ + _b_，使得

　
: $q(a,b,c)>1+\epsilon $

abc 猜想中的 ε 不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

　
: $a_{n}=3^{2^{n}}-1$ , $b_{n}=1$ , $c_{n}=3^{2^{n}}$

這三個正整數互質，且有 $a_{n}+b_{n}=c_{n}$ 。注意到 $a_{n}$ 可被 $2^{n+2}$ 整除，因此有

　
: $\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}$ :

因此

　
: $c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})$

當 _n_ 趨向無限大時， ${\frac {2^{n+1}}{3}}$ 也趨向無限大。因此不存在常數 _C_，使得 _c_ < _C_ rad(_abc_) 對所有適合條件的三元組都成立。

## 可得出的結果

如果 abc 猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在 abc 猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

* Thue–Siegel–Roth 定理
* 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯・懷爾斯已證一般情形） （Granville 2002）
* Mordell 猜想（格爾德・法爾廷斯已證一般情形）（Elkies 1991）
* Erdős–Woods 猜想，除了有限多的反例。（Langevin 1993）
* 存在無限多非維費里希素數（Silverman 1988）
* Marshall Hall 猜想的弱形式（Nitaj 1996）
* 費馬－卡塔蘭猜想（Pomerance 2008）
* 用勒讓德符號構成的 L 函數 _L_(_s_, _χd_) 沒有 Siegel 零點（需要 abc 猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）（Granville 2000）
* 對有至少 3 個簡單零點的多項式 _P_(_x_)，在整數 _x_ 取的所有值中，只有有限個次方數。
* Tijdeman 定理的推廣形式，關於 _ym_ = _xn_ + _k_ 的解的個數（定理是 _k_=1 的情形），及 Pillai 猜想，關於 _Aym_ = _Bxn_ + _k_ 的解的個數。
* 等價於 Granville–Langevin 猜想
* 等價於修改後的 Szpiro 猜想（Oesterlé 1988）
* Brocard 問題 _n_! + _A_= _k_2，對任何給定的整數 _A_，都只有有限個解。（Dąbrowski 1996）

## 理論結果

abc 猜想導出 _c_ 有 _abc_ 的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

　
: $c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}$ （Stewart & Tijdeman 1986）,

　
: $c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}$ （Stewart & Yu 1991）,

　
: $c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}$ （Stewart & Yu 2001）.

上述的上界中，_K_1 是不依賴 _a_, _b_, _c_ 的常數，而 _K_2 和 _K_3 是（以可有效計算的方式）依賴於 ε 的常數，但不依賴於 _a_, _b_, _c_。上述的上界對 _c_> 2 的三元組都成立。

## 計算結果

2006 年，荷蘭的萊頓大學數學系與 Kennislink 科學研究所合作，開展 ABC@Home 計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組 _a_, _b_, _c_ 使得 rad (_abc_) < _c_。雖然有無限個例子或反例不能解決 abc 猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的 _q_ 是上節定義的**品質**。

截至 2014 年 4 月 (2014-04)，ABC@Home 找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出 c 不大於 263 的所有三元組 (a,b,c)。

## 歷史

1996 年，艾倫・貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將 $\operatorname {rad} (abc)$ 用 $\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)$ 取代，在此 $\omega $ 是 $a,b,c$ 的不同質因數的數目。

2007 年，呂西安・施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。

2012 年 8 月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的 abc 猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。當 Vesselin Dimitrov 和阿克沙伊・文卡泰什在 2012 年 10 月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果。2012 年 12 月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含 27 條重要的修改。2012 年 12 月 - 2013 年 2 月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了 18 處錯誤，當中很多也是打字錯誤。望月新一在網上公開了 2013 年以及 2014 年的檢驗進度報告。2018 年 8 月，皮特・舒爾策和 Jakob Stix 指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。

## 參考文獻

### 引用

### 來源

## 外部連結

* ABC@home（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 分布式計算項目 ABC@Home.
* Easy as ABC（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
* 埃里克・韋斯坦因. abc Conjecture. MathWorld.
* Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
* Bart de Smit's ABC Triples webpage（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The amazing ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
* Questions about Number（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Barry Mazur
* Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on MathOverflow
* ABC Conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.