AA树

**AA 樹**在電腦科學一種形式的自平衡二元搜尋樹用於高效存儲和檢索序數據。 AA 樹的名稱是由它的發明者 Arne Andersson 而來。

AA 樹是紅黑樹的一種變種，是 Arne Andersson 教授在 1993 年年在他的論文 "Balanced search trees made simple" 中介紹，設計的目的是減少紅黑樹考慮的不同情況，區別於紅黑樹的是，AA 樹的紅節點只能作為右葉子，從而大大簡化了維護 2-3 樹的模擬。維護紅黑樹的平衡需要考慮 7 種不同的情況:

因為 AA 樹有嚴格的條件 (紅節點只能為右節點)，故只需考慮 2 種情形:

## 旋轉平衡

平衡一顆紅黑樹需要記錄其顏色，而 AA 樹是在每個節點記錄其 "level" 這相當於紅黑樹節點的黑高度

1. 所有葉節點的 level 都是 1
2. 每個左孩子的 level 恰好為其父親的 level 減一
3. 每個右孩子的 level 等於其父親的 level 或為其父親的 level 減一
4. 每個右孫子的 level 嚴格小於其祖父節點的 level
5. 每一個 level 大於 1 的節點有兩個子節點

兩個 level 相同的點之間的邊_水平邊_，也就是紅黑樹上的紅邊。往右的水平邊是允許的，但不可連續 (紅黑樹性質)；不能有向左的水平邊 (AA 樹性質)。因為 AA 樹的條件比紅黑樹嚴格，所以重新平衡一顆 AA 樹會比重新平衡一顆紅黑樹容易。

插入和刪除會讓 AA 樹變的不平衡 (即違反它的性質)。恢復平衡只需兩種操作:"skew" 和 "split". Skew 是一個右旋轉使得子樹中向左的水平邊變成向右的水平邊；Split 是一個左旋並增加子樹根節點的 level (請看範例) 使得連續向右的水平邊消失。平衡插入和刪除操作的實現是由 skew 及 split 決定是否旋轉，而不是在主程式中判斷。

```
**function** skew **is**
    **input:** T, a node representing an AA tree that needs to be rebalanced.
    **output:** Another node representing the rebalanced AA tree.

    **if** nil(T) **then**
        **return** Nil
    **else if** nil(left(T)) **then**
        **return** T
    **else if** level(left(T)) == level(T) **then**
        _Swap the pointers of horizontal left links._
        L = left(T)
        left(T) := right(L)
        right(L) := T
        **return** L
    **else**
        **return** T
    **end if**
**end function**
```

Skew: 

```
**function** split **is**
    **input:** T, a node representing an AA tree that needs to be rebalanced.
    **output:** Another node representing the rebalanced AA tree.

    **if** nil(T) **then**
        **return** Nil
    **else if** nil(right(T)) **or**  nil(right(right(T))) **then**
        **return** T
    **else if** level(T) == level(right(right(T))) **then**
        _We have two horizontal right links. Take the middle node, elevate it, and return it._
        R = right(T)
        right(T) := left(R)
        left(R) := T
        level(R) := level(R) + 1
        **return** R
    **else**
        **return** T
    **end if**
**end function**
```

Split: 

## 插入

在遞迴的實做中，除了葉節點之外，在每次的遞迴結束後呼叫 skew 和 split 即可

```
**function** insert **is**
    **input:** X, the value to be inserted, and T, the root of the tree to insert it into.
    **output:** A balanced version T including X.

    _Do the normal binary tree insertion procedure. Set the result of the_
    _recursive call to the correct child in case a new node was created or the_
    _root of the subtree changes._
    **if** nil(T) **then**
        _Create a new leaf node with X._
        **return** node(X, 1, Nil, Nil)
    **else if** X < value(T) **then**
        left(T) := insert(X, left(T))
    **else if** X > value(T) **then**
        right(T) := insert(X, right(T))
    **end if**
    _Note that the case of X == value(T) is unspecified. As given, an insert_
    _will have no effect. The implementor may desire different behavior._

    _Perform skew and then split. The conditionals that determine whether or_
    _not a rotation will occur or not are inside of the procedures, as given_
    _above._
    T := skew(T)
    T := split(T)

    **return T**
**end function**
```

## 刪除

在大部分的二元搜尋樹，刪除一個內部節點可以轉換成交換內部節點及其最接近的前驅或後繼節點，這取決於使用者。
為了平衡這顆樹，有幾中方法，Andersson 教授描述的 original paper（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）是最基本的，儘管它還能再被優化。刪除後第一件事是降低其 level (如果可以)，於是，整個 level 必須 skew 和 split，這個方法最受到歡迎的，因為它的概念易懂，可以列舉成下列三個簡單步驟:

1. 如果可以的話，減少其 level
2. Skew 其 level.
3. Split 其 level.

```
**function** delete **is**
    **input:** X, the value to delete, and T, the root of the tree from which it should be deleted.
    **output:** T, balanced, without the value X.
   
    **if** nil(T) **then**
        return T
    **else if** X > value(T) **then**
        right(T) := delete(X, right(T))
    **else if** X < value(T) **then**
        left(T) := delete(X, left(T))
    **else**
        _If we're a leaf, easy, otherwise reduce to leaf case._ 
        **if** leaf(T) **then**
            return Nil
        **else if** nil(left(T)) **then**
            L := successor(T)
            right(T) := delete(value(L), right(T))
            value(T) := value(L)
        **else**
            L := predecessor(T)
            left(T) := delete(value(L), left(T))
            value(T) := value(L)
        **end if**
    **end if**

    _Rebalance the tree. Decrease the level of all nodes in this level if_
    necessary, and then skew and split all nodes in the new level.
    T := decrease_level(T)
    T := skew(T)
    right(T) := skew(right(T))
    **if not** nil(right(T))
        right(right(T)) := skew(right(right(T)))
    **end if**
    T := split(T)
    right(T) := split(right(T))
    return T
**end function**
```

```
**function** decrease_level **is**
    **input:** T, a tree for which we want to remove links that skip levels.
    **output:** T with its level decreased.

    should_be = min(level(left(T)), level(right(T))) + 1
    **if** should_be < level(T) **then**
        level(T) := should_be
        **if** should_be < level(right(T)) **then**
            level(right(T)) := should_be
        **end if**
    **end if**
    return T
**end function**
```

這個網站展示了良好的刪除示範 Andersson paper（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

## 效能

AA 樹的性能和紅黑樹是很類似的。儘管 AA 樹比紅黑樹做較多次旋轉，卻較容易實做，故二者效能相似。但是 AA 樹高度較淺，故查找時間較快

## 參見

* 紅黑樹
* B 樹
* AVL 樹
* 左傾紅黑樹

## 引用

## 外部連結

* A. Andersson. Balanced search trees made simple（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A. Andersson. A note on searching in a binary search tree（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* AA-Tree Applet（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Kubo Kovac
* BSTlib - Open source AA tree library for C by trijezdci
* AA Visual 2007 1.5 - OpenSource Delphi program for educating AA tree structures
* Thorough tutorial Julienne Walker with lots of code, including a practical implementation
* Object Oriented implementation with tests（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* A Disquisition on The Performance Behavior of Binary Search Tree Data Structures (pages 67-75) - Comparison of AA trees, red-black trees, treaps, skip lists, and radix trees
* An example C implementation
* An Objective-C implementation（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）