Artin群

數學上，**阿廷群**（或 **Artin group、稱廣義辮群）** ，是指有如下展示的群：

　
: ${\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m_{i,j}}=\langle x_{j},x_{i}\rangle ^{m_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }$

其中

　
: $m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}$ .

對 $m<\infty $ ， $\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}$ 表示長度為 $m$ 的 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 的交錯積，以 $x_{i}$ 開首。例如：

　
: $\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}$ ，

　
: $\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}$ 。

若 $m=\infty $ ，按慣例這表示 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 間沒有關係。

在整數 $m_{i,j}$ 中加入 $m_{i,i}=1$ ，可以組成一個對稱矩陣，稱為這個群的考克斯特矩陣（Coxeter matrix）。在 Artin 群中加入所有形為 ${x_{i}}^{2}=1$ 的關係，得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的 Artin 群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從 Artin 群到對應的考克斯特群的群同態的核，稱為**純阿廷群**（**pure Artin group**）。

## Artin 群的類

辮群是 Artin 群的一種，其考克斯特矩陣為 $m_{i,i+1}=3$ ，及當 $|i-j|>1$ 時 $m_{i,j}=2$ 。

用 Artin 群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的 Artin 群：

### 有限型 Artin 群

若 _M_ 是有限型考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群 _W_ = _A_(_M_) 是有限群，那麼 Artin 群 _A_ = _A_(_M_) 稱為**有限型 Artin 群**（**Artin group of finite type**）。其「不可約型」標記為 _A_n , _B_n = _C_n , _D_n , _I_2(_n_) , _F_4 , _E_6 , _E_7 , _E_8 , _H_3 , _H_4。一個有限型純 Artin 群，可以表現為 **C**n 中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾・德利涅和 Brieskorn-Saito 用了這個幾何描述，算出 _A_ 的中心、上同調，及解出字問題和共軛問題。

### 直角 Artin 群

若矩陣 _M_ 中除對角線外的元素都是 2 或∞，則對應的 Artin 群稱為**直角 Artin 群**（**right-angled Artin group**）。這類 Artin 群常用以下的方式標記：任何一個有 _n_ 個頂點的圖 **Γ**，頂點標記為 1, 2, …, n，都可定義一個矩陣 _M_，其中若 _i_ 和 _j_ 在 **Γ** 中相連，則 _m_ij= 2，否則 _m_ij= ∞。與矩陣 _M_ 對應的直角 Artin 群 _A_(**Γ**) 有 _n_ 個生成元 _x_1, _x_2, …, _x_n 及關係

　
: $x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\quad $ 若 _i_ 和 _j_ 在 $\Gamma $ 中相連。

直角 Artin 群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，及有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每個秩為 _r_ 的直角 Artin 群都是一個秩為 _r_-1 的直角 Artin 群的 HNN 擴張，兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積（graph product of groups）。直角 Artin 群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩 1 自由群（即無限循環群）。

Mladen Bestvina 和 Noel Brady 建構了一個非正曲立方複形（nonpositively curved cubical complex）_K_，其基本群是一個給定的直角 Artin 群 _A_(**Γ**)。他們在 Artin 群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證，給出具有性質 (FP2) 的非有限展示群的第一批例子。

## 其他 Artin 群

若一個 Artin 群或一個考克斯特群的對應矩陣中，對所有 _i_ ≠ _j_ 都有 _m_i, _j_ ≥ 3，稱這個群是大型（large type）的；若對所有 _i_ ≠ _j_ 都有 _m_i, _j_ ≥ 4，則稱這個群是超大型（extra-large type）的。

凱尼斯・阿佩爾和 P.E. Schupp 探討 Artin 群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對 Artin 群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型 Artin 群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為：

1. 設 _G_ 為超大型 Artin 或考克斯特群。若 _J_ ⊆ _I_，則 _G_J 有一個展示由考克斯特矩陣 _M_J 定義，且 _G_J 在 _G_ 中的廣義字問題可解。若 _J_, _K_ ⊆ _I_ 則 _G_J ∩ _G_K = _G_ (_J_ ∩ _K_).
2. 超大型 Artin 群是無扭（即無有限目的元素）的。
3. 設 _G_ 為超大型 Artin 群，則集合 {_a_i2 : _i_ ∈ _I_} 自由生成 _G_ 的一個自由子群。
4. 超大型 Artin 或考克斯特群的共軛問題可解。

## 參考

* Mladen Bestvina, Noel Brady, _Morse theory and finiteness properties of groups_. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
* Pierre Deligne, _Les immeubles des groupes de tresses généralisés_. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
* Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, _Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen_. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
* Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. _Artin Groups and Infinite Coxeter Groups._ Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220