CKM矩陣

**卡比博 - 小林 - 益川矩陣**（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM 或 KM matrix）是粒子物理標準模型的一個重要組成成份，它表徵了頂類型和底類型夸克間通過 W 粒子弱交互作用的耦合強度。對二代夸克情形，它是由義大利物理學家卡比博在 1963 年首先給出的，通常被稱為卡比博矩陣或卡比博角。1973 年日本物理學家小林誠和益川敏英把它推廣到三代夸克。三代矩陣含有相位，可以用來解釋弱交互作用中的電荷宇稱對稱性破缺（CP 破壞），也被經常用來解釋宇宙重子數不對稱。CKM 矩陣在輕子中的對應是牧 - 中川 - 坂田矩陣（Maki-Nakagawa-Sakata 或 MNS）。

## 內容

### 歷史

早期的粒子物理模型包涵三種夸克 — 上夸克、下夸克和奇異夸克。在研究強子的弱衰變中，人們發現奇異數守恆的過程要比不守恆的過程進行得快約 20 倍。為解釋此現象，卡比博引入了一個下夸克和奇異夸克（這兩種夸克有相同的量子數）之間的混合角 _θ_c。上夸克與下夸克和奇異夸克的交互作用耦合分別正比於此角的餘弦（cos_θ_c）和正弦（sin_θ_c）。實驗上 sin_θ_c 約為 0.23。

1973 年，在一篇發表在日本期刊《理論物理學進展》上的題為「弱交互作用可重整化理論中的 CP 破壞」的論文中，小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克。他們發現雖然一般的三維么正矩陣有九個實參數，但是只有四個具有物理意義，而其它的都可以被吸收到夸克波函數的位相中而不為觀測。四個物理參數中的一個是位相因子，它提供了 CP 破壞的微觀機制，同時猜測了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎分享了 2008 年諾貝爾物理學獎。

如今，尋找 CKM 矩陣參數的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。

### 參數化表示

CKM 矩陣是一個三維么正矩陣。
小林誠和益川敏英當初給的表示是:

　
: ${\begin{bmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{3}&-\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\\\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}+\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}-\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}$

在標準參數化下，它可以由三個混合角（_θ_12，_θ_13，_θ_23）和一個相位（_δ_）表示為

　
: : ${\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.$

其中（_u_，_c_，_t_）和（_d_，_s_，_b_）分別代表三代頂類型（上、粲、頂）和底類型（下、奇異、底）夸克，_c_12，_s_12 等是 cos_θ_12，sin_θ_12 等的簡寫。
目前實驗給出的數據：

　
: θ12 = 13.04±0.05°

　
: θ13 = 0.201±0.011°

　
: θ23 = 2.38±0.06°

　
: δ13 = 1.20±0.08

實驗上 CKM 矩陣參數滿足 _s_13<<_s_23<<_s_12<<1。
描寫這一重要特性的一個常用參數化表示是由美國物理學家林肯・沃芬斯坦給出的。記

　
: : $s_{12}=\lambda ={\frac {|V_{us}|}{\sqrt {|V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2}}}},\quad s_{23}=A\lambda ^{2}=\lambda \left|{\frac {V_{cb}}{V_{us}}}\right|,\,\,$

　
: : $s_{13}e^{i\delta }=V_{ub}^{*}=A\lambda ^{3}(\rho +i\eta )={\frac {A\lambda ^{3}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})(1-A^{2}\lambda ^{4})^{1/2}}{(1-\lambda ^{2})^{1/2}[1-A^{2}\lambda ^{4}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})]}},$

截止到 _λ_3，CKM 矩陣為

　
: : ${\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}.$

### 么正三角形

CKM 矩陣也可用所謂的么正三角形來圖像表示。最常見的是正交關係

　
: : $V_{ud}V_{ub}^{*}+V_{cd}V_{cb}^{*}+V_{td}V_{tb}^{*}=0$

用測量最精確的項（_V_cd_V_\*cb）來歸一，此關係可以表示為複平面上的三角形，其三頂點坐標分別為（0，0），（1，0）
和（ ${\bar {\rho }}$ ， ${\bar {\eta }}$ ），如右圖所示。它的面積與位相參數表示化無關，是刻劃 CP 破壞的不變量。文獻中稱之為雅爾斯廓格（Jarlskog）不變量。

### 數學推導

CKM 矩陣的數學推導相當平庸。首先任意一個三維矩陣可以寫成歐拉形式 _V_=_V_2_V_1_V_3，其中對角塊矩陣 _V_1，_V_2，_V_3 有以下形式（_X_ 代表非零元）

　
: : : $V_{1}={\begin{bmatrix}X&X&0\\X&X&0\\0&0&X\end{bmatrix}},\quad V_{2,3}={\begin{bmatrix}X&0&0\\0&X&X\\0&X&X\end{bmatrix}}$

其次注意到任意一個二維么正矩陣可以表為（_ε_，_η_，_ρ_ 為么模複數，_c_=cos_θ_，_s_=sin_θ_）

　
: : $U={\begin{bmatrix}\epsilon c&\epsilon \eta s\\-\rho s&\rho \eta c\end{bmatrix}}$

由此

　
: : ${\begin{bmatrix}\epsilon ^{*}&0\\0&\rho ^{*}\end{bmatrix}}U{\begin{bmatrix}1&0\\0&\eta ^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}$

因此可以通過一系列對角么正矩陣作矩陣變換

　
: : $V\rightarrow DVD'=DV_{2}D''D''^{*}V_{1}D'''^{*}D'''V_{3}D'=V_{2}'V_{1}'V_{3}'$

使得

　
: : $V_{2}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{2}&-s_{2}\\0&s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}},\quad V_{3}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{3}&s_{3}\\0&-s_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}$

在上式中 _V_2' 仍是與 _V_2 同形的一般么正矩陣，
但可以繼續在 _V_ 上左、右相乘與 _V_2' 和 _V_3' 對易的對角矩陣，即
diag（_α_，_β_，_β_）型矩陣（_α_，_β_ 么模），使得

　
: : $V_{1}'={\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}&0\\-s_{1}&c_{1}&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}$

最後將所有的對角（相位）變換矩陣吸收到夸克波函數中去，_V_2'，_V_1'，_V_3' 相乘即得 CKM 矩陣。

## 參數測量

CKM 矩陣元實驗測定和最新數據的詳細資料，可參閱粒子數據組的網頁和出版物

　
: $V_{CKM}={\begin{bmatrix}0.97427\pm 0.00015&0.22534\pm 0.00065&0.00351_{-0.00014}^{+0.00015}\\0.22520\pm 0.00065&0.97344\pm 0.00016&0.0412_{-0.0005}^{+0.0011}\\0.00867_{-0.00031}^{+0.00029}&0.0404_{-0.0005}^{+0.0011}&0.999146_{-0.000046}^{+0.000021}\end{bmatrix}}.$

沃爾芬斯坦參數： $\lambda =0.22535\pm 0.00065,A=0.817\pm 0.015,{\bar {\rho }}=0.136\pm 0.018,{\bar {\eta }}=0.348\pm 0.014$

　
: 和雅爾斯廓格不變量： $J=(2.96_{-0.16}^{+0.20})\times 10^{-5}$

## 獨立變量的計算

考慮有 _N_ 代夸克 (2_N_ 種風味)，那麼

* 一個 _N_ × _N_ 的么正矩陣需要 _N_2 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 _VV_† = _I_，其中 _V_† 是 _V_ 的共軛轉置，而 _I_ 是單位矩陣) 。
* 其中 2_N_− 1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 _N_2 − (2_N_ − 1) = (_N_ − 1)2 個。
  * 這其中有 _N_(_N_− 1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
  * 而剩下的 (_N_ − 1)(_N_− 2)/2 個就是造成 CP 破壞的複數相位。

當 _N_= 2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為**卡比博角度**，由尼古拉・卡比博發明。

在標準模型中，_N_= 3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

## 與重子生成的關係

CP 破壞是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在 (即反物質消失) 的沙卡洛夫三條件（熱力學非平衡，重子數不守恆，C 和 CP 對稱性不守恆）之一，因此 CKM 矩陣在粒子宇宙學中有著重要應用。但是現在公認的結論是實驗測量到 CP 破壞的數量級，遠不足以解釋觀測到的重子不對稱度，因此重子生成必須有其他的來源。

## 參考資料

### 書籍

* 鄭大培，李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的規範理論]. 牛津大學出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7.
* H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱交互作用和現代粒子物理學]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8.

### 論文

## 外部連結

* 粒子物理數據組（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）首頁
* 康奈爾大學的 CLEO（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）實驗
* 高能加速器研究機構 (KEK（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）) 的 BELLE（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗
* SLAC 國家加速器實驗室 (SLAC（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）) 的 BaBar（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗
* 費米國家加速器實驗室（FNAL（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））的 D0（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和 CDF（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）實驗
* 歐洲核子研究中心（CERN（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））的 LHCb（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗