Anosov微分同胚

在數學中，尤其是動力系統與幾何拓撲中，流形 M 上的**阿諾索夫映射**（Anosov map）是 M 到自身的一種映射。阿諾索夫系統是 A 公理系統的特例。

**阿諾索夫微分同胚**（Anosov diffeomorphism）由德米特里・維克托羅維奇・阿諾索夫引入，他證明了這種微分同胚的行為在某種意義上是普遍的。

## 概述

有三個相互聯繫但又有區別的定義：

* 若 M 上的可微映射 f 在切叢上有雙曲結構，則稱 f 是一個**阿諾索夫映射**。例子有伯努利映射，以及阿諾爾德貓映射。
* 若這個映射還是一個微分同胚，則稱為**阿諾索夫微分同胚**。
* 若流形上的一個流把切叢分成三個不變子叢，其中一個子叢呈指數衰減，一個指數增大，第三個不增大也不減小，則這個流稱為**阿諾索夫流**。

阿諾索夫證明了阿諾索夫微分同胚是結構穩定的，並且組成了全體映射（流）的開子集（ ${\mathcal {C}}^{1}$ 拓撲）。

並非每個流形上都可以有阿諾索夫微分同胚；例如，球面上就沒有這樣的微分同胚。容許有阿諾索夫微分同胚的最簡單的緊流形是環面：上面有所謂的**線性阿諾索夫微分同胚**，這是沒有模 1 特徵值的同構。可以證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚都與這種同胚拓撲共軛。

對容許有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題，截至 2012 年仍然沒有解決。

另外，也不清楚是否每個 ${\mathcal {C}}^{1}$ 且保持體積的阿諾索夫微分同胚都是遍歷的。阿諾索夫證明了把 ${\mathcal {C}}^{1}$ 換成 ${\mathcal {C}}^{2}$ 的條件下是成立的。

## 黎曼曲面（的切叢）上的阿諾索夫流

負曲率黎曼曲面的切叢上的阿諾索夫流。這個流可以理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切叢上的流。負曲率黎曼曲面可以用福克斯模型來定義，即上半平面與福克斯群的商。設 $\mathbb {H} $ 為上半平面， $\Gamma $ 為福克斯群， $M=\mathbb {H} /\Gamma $ 為負曲率黎曼曲面， $T^{1}M$ 為流形 M 上的單位向量的切叢， $T^{1}\mathbb {H} $ 是 $\mathbb {H} $ 的單位向量的切叢。注意曲面上單位向量的叢是復直線叢的主叢。

### 李向量場

注意 $T^{1}\mathbb {H} $ 同構於李群 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 。這個群是上半平面的保向等距同構組成的群。 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 的李代數是 ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ，由以下矩陣表示

$$
J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}
$$

$$
[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J
$$

指數映射

$$
g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}
$$

定義了流形 $T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 上的右不變流，而 $T^{1}M$ 與此類似。定義 $P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M$ ，這些流定義了 P 和 Q 上的向量場。

### 阿諾索夫流

 $g_{t}$ 是 P 和 Q 上的測地流。根據定義李向量場在群元素的作用下是左不變的，可以得到這些場在 $g_{t}$ 下是左不變的。換句話說，空間 $TP$ 和 $TQ$ 分成了三個一維空間，或子叢，每一個都在測地流作用下不變。最後注意到其中一個子叢的向量場呈指數擴大，另一個不變，第三個呈指數縮小。

精確地說，切叢 $TQ$ 可以寫成直和

$$
TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}
$$

這些空間在測地流的作用下不變；即，在群元素 $g=g_{t}$ 的作用下不變。

要比較不同點 q 處 $T_{q}Q$ 的向量的長度，需要有度量。 $T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ 上的任何內積都可擴張成 P 上的左不變黎曼度量，進而得到 Q 上的黎曼度量。向量 $v\in E_{q}^{+}$ 的長度在 $g_{t}$ 的作用下指數增大。向量 $v\in E_{q}^{-}$ 的長度在 $g_{t}$ 的作用下指數衰減。 $E_{q}^{0}$ 中的向量不變。測地流是不變的

$$
g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}
$$

但另外兩個分別是衰減和增大的：

$$
g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}
$$

$$
g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}
$$

其中 $E_{q}^{+}$ 中的切向量由曲線 $h_{t}$ 在 $t=0$ 處的導數給出。

### 阿諾索夫流的幾何解釋

當作用在上半平面的點 $z=i$ 時， $g_{t}$ 對應了上半平面的一條過點 $z=i$ 的測地線。這個作用就是 ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ 在上半平面的標準莫比烏斯變換，所以

$$
g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}
$$

一般的測地線

$$
{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}
$$

式中 $a,b,c,d$ 是實數，且 $ad-bc=1$ 。曲線 $h_{t}^{*}$ 與 $h_{t}$ 稱為極限圓。極限圓對應於極限球面的法向量在上半平面的運動。

## 另見

* 莫爾斯 - 斯梅爾系統
* 偽阿諾索夫映射

## 參考資料

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", _Encyclopedia of Mathematics_, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Anthony Manning, _Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature_, (1991), appearing as Chapter 3 in _Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces_, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X _(Provides an expository introduction to the Anosov flow on_ SL(2,**R**).)
* _This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License._
* Toshikazu Sunada (砂田 利一), _Magnetic flows on a Riemann surface_, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.