Arcoth

**反雙曲函數**是雙曲函數的反函數。與反圓函數不同之處是它的前綴是 **ar** 意即 area（面積），而不是 arc（弧）。因為雙曲角是以雙曲線、通過原點直線以及其對 x 軸的映射三者之間所夾面積定義的，而圓角是以弧長與半徑的比值定義。

## 數學符號

符號 $\mathrm {sinh} ^{-1},\mathrm {cosh} ^{-1}$ 等常用於 $\mathrm {arsinh} ,\mathrm {arcosh} $ 等。但是這種符號有時在 $\mathrm {sinh} ^{-1}x$ 和 ${\frac {1}{\mathrm {sinh} x}}$ 之間易造成混淆。

## 主值

下表列出基本的反雙曲函數。

## 反雙曲函數的導數

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},\qquad x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},\qquad x{\text{ ≠ }}0\\\end{aligned}}$

求導範例：
設 _θ_ = arsinh _x_，則：

　
: ${\frac {d\,\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

## 冪級數展開式

　
: $\operatorname {arsinh} \,x$

　
: $=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots $

　
: $=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

　
: $\operatorname {arcosh} \,x$

　
: $=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)$

　
: $=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1$

　
: $\operatorname {artanh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

　
: $\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} \,x^{-1}$

　
: $=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots $

　
: $=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1$

　
: $\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} \,x^{-1}$

　
: $=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)$

　
: $=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1$

　
: $\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} \,x^{-1}$

　
: $=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots $

　
: $=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1$

　
: $\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)=2\operatorname {arcosh} x$

　
: $\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)=2\operatorname {arsinh} x$

## 反雙曲函數的不定積分

　
: ${\begin{aligned}\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C\\\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,\qquad x>1\\\int \operatorname {artanh} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C,\qquad |x|<1\\\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C,\qquad |x|>1\\\int \operatorname {arsech} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin \,x+C,\qquad x\in (0,1)\\\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\left|\operatorname {arsinh} \,x\right|+C,\qquad x\neq 0\end{aligned}}$

使用分部積分法和上面的簡單導數很容易得出它們。

## 註釋

## 外部連結

* Inverse trigonometric functions（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathWorld

## 參見

* 雙曲函數