Coth

在數學中，**雙曲函數**是一類與常見的三角函數（也叫圓函數）類似的函數。最基本的雙曲函數是**雙曲正弦**函數 $\sinh $ 和**雙曲餘弦**函數 $\cosh $ ，從它們可以導出**雙曲正切**函數 $\tanh $ 等，其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數。

雙曲函數的定義域是實數，其自變量的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。

## 基本定義

最簡單的幾種雙曲函數為：

* 雙曲正弦：

　
: $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
* 雙曲餘弦：

　
: $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
* 雙曲正切：

　
: $\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$
* 雙曲餘切：當 $x\neq 0$

　
: $\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$
* 雙曲正割：

　
: $\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$
* 雙曲餘割：當 $x\neq 0$

　
: $\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$

函數 $\cosh x$ 是關於 y 軸對稱的偶函數。函數 $\sinh x$ 是奇函數。

如同當 $t$ 遍歷實數集 $\mathbb {R} $ 時，點（ $\cos t$ , $\sin t$ ）的軌跡是一個圓 $x^{2}+y^{2}=1$ 一樣，當 $t$ 遍歷實數集 $\mathbb {R} $ 時，點（ $\cosh t$ , $\sinh t$ ）的軌跡是單位雙曲線 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

　
: $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$

參數 _t_ 不是圓角而是雙曲角，它表示在 _x_ 軸和連接原點和雙曲線上的點（ $\cosh t$ , $\sinh t$ ）的直線之間的面積的兩倍。

## 歷史

在 18 世紀，約翰・海因里希・蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線 $xy=1$ 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 $y=x$ 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角 $u$ ，在漸近線即 x 或 y 軸上需要有的 $x$ 或 $y$ 的值。顯見這裡的底邊是 $\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，垂線是 $\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

 * $\cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}$
* $\sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 $xy=1$ 下雙曲角的 ${1 \over 2}$ 。

## 虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果 $x$ 是實數而 $i^{2}=-1$ ，則

　
: $\cos(ix)=\cosh(x),\quad $ $-i\sin(ix)=\sinh(x).$

所以雙曲函數 $\cosh $ 和 $\sinh $ 可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成 $\cosh $ 函數，後者形成了 $\sinh $ 函數。 $\cos $ 函數的無窮級數可從 $\cosh $ 得出，通過把它變為交錯級數，而 $\sin $ 函數可來自將 $\sinh $ 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數 $i$ ，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子 $(-1)^{n}$ ，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

　
: $e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$

　
: ${\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

* 雙曲正弦：

　
: $\sinh x=-i\sin(ix)\!$
* 雙曲餘弦：

　
: $\cosh x=\cos(ix)\!$
* 雙曲正切：

　
: $\tanh x=-i\tan(ix)\!$
* 雙曲餘切：

　
: $\coth x=i\cot(ix)\!$
* 雙曲正割：

　
: $\operatorname {sech} x=\sec(ix)\!$
* 雙曲餘割：

　
: $\operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

## 與三角函數的類比

奧古斯都・德・摩根在其 1849 年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉・金頓・克利福德在 1878 年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角 α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角 $\alpha $ 得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函數與三角函數有如下的關係:

* 正弦同樣是從 x 軸到曲線的半弦。
* 餘弦同樣是從 y 軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
* 正切同樣是過 x 軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
* 餘切同樣是從 y 軸與過終邊和曲線交點的切線與 y 軸的交點和曲線連線之長度。
* 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
* 餘割同樣是 y 軸與過終邊和曲線交點的切線與 y 軸的交點和原點之距離。
* 角的量值可以從 0 到無限大，但 $\alpha $ 實際上只會介於 $0$ 到 $2\pi $ （360 度）之間，其餘是 $\alpha $ 的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從 $0$ 到無限大，但 $\alpha $ 實際上不會超過 ${\frac {\pi }{4}}$ （45 度），故無法如三角函數一樣有周期性。

## 恆等式

與雙曲函數有關的恆等式如下:

　
: $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

* 加法公式：

　
: $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

　
: $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

　
: $\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}$

* 二倍角公式：

　
: $\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x$

　
: $\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1$

* 半角公式：

　
: $\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}$

　
: $\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}$

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係，雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，並將含有有兩個 $\sinh $ 的積的項（包括 $\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y$ ）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

* 三倍角公式：

　
: 三角函數的三倍角公式為：

　
: $\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x$

　
: $\cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x$

　
: 而對應的雙曲函數三倍角公式則是：

　
: $\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x$

　
: $\cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x$

* 差角公式：

　
: 三角函數的差角公式為： $\cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y$

　
: 而對應的雙曲函數的差角公式則是： $\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$

## 雙曲函數的導數

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,$

　
: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,$

## 雙曲函數的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

　
: $\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

　
: $\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

　
: $\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

　
: $\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi $ （羅朗級數）

　
: $\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

　
: $\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi $ （羅朗級數）

其中

　
: $B_{n}$ 是第 $n$ 項伯努利數

　
: $E_{n}$ 是第 $n$ 項歐拉數

## 雙曲函數的積分

　
: $\int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C$

　
: $\int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C$

　
: $\int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C$

　
: $\int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C$

　
: $\int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C$

　
: $\int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C$

## 與指數函數的關係

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

　
: $e^{x}=\cosh x+\sinh x$

和

　
: $e^{-x}=\cosh x-\sinh x$

## 複數的雙曲函數

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數 $\sinh z$ 和 $\cosh z$ 是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

　
: ${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}$

所以:

　
: ${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}$

　
: ${\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為 $2\pi i$ （對雙曲正切和餘切是 $\pi i$ ）。

## 反雙曲函數

**反雙曲函數**是雙曲函數的反函數。它們的定義為：

　
: ${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}$

## 參考文獻

## 參見

* 反雙曲函數
* 雙曲函數符號
* 三角函數
* 古德曼函數