Archimedes

**阿基米德**（希臘語：´Αρχιμήδης；前 287 年 — 前 212 年），希臘化時代的數學家、物理學家、發明家、工程師、天文學家。出生於西西里島的敘拉古，據說他在亞歷山卓求學時期，發明了阿基米德式螺旋抽水機，今天的埃及仍在使用。第二次布匿戰爭時，羅馬大軍圍攻敘拉古，阿基米德死於羅馬士兵之手。

阿基米德對數學和物理學的影響極為深遠，被視為古希臘最傑出的科學家。美國數學史學家埃里克・坦普爾・貝爾在其《數學大師》一書中將阿基米德與牛頓和高斯並列為有史以來最偉大的三位數學家。

## 傳記

阿基米德於約前 287 年出生於義大利南部海岸的港口城市敘拉古，當時是大希臘的自治殖民地。其生日是根據拜占庭希臘裔歷史學家約翰・策策斯的阿基米德活了 75 歲的說法推算的。 依照阿基米德的《數沙子》，阿基米德之父名為菲迪亞斯（希臘文：Φειδίας，Pheidias），是一個天文學家，除此之外我們對其一無所知。普魯塔克於《名人傳》中寫道，阿基米德與敘拉古的統治者希倫二世有血緣關係。其友赫拉克利特（Heracleides）為阿基米德撰寫的傳記已經失傳，使他生活點滴成為謎團。 我們無從得知他是否結婚，或育有後代。他在年輕時可能曾在古埃及亞歷山大港學習，科農和埃拉托斯特尼是他的同輩。他把科農稱作是他的朋友，他在另兩本著作《機械理論方法》和《奶牛問題》之引言裡提到了埃拉托斯特尼。

約公元前 212 年，阿基米德死於第二次布匿戰爭中，當時馬克盧斯將軍領導的羅馬軍隊在歷時兩年攻城戰後占領了敘拉古城。根據來自普魯塔克的知名說法：當城市被占領時，阿基米德還在思考一個數學畫圖問題。一名羅馬士兵要求他去面見馬克盧斯將軍。他拒絕了，說要完成這個難題。士兵憤怒難當，揮劍殺死了阿基米德。關於阿基米德之死，普魯塔克的一個不太出名說法認為他在嘗試向羅馬士兵投降的時候死亡。按照這個故事，阿基米德當時攜帶著數學儀器，士兵以為是什麼貴重物件，因而殺了他。依記載，馬克盧斯將軍對阿基米德之死感到很生氣，他認為阿基米德是重要的科學家並下令不得傷害他。馬克盧斯曾稱阿基米德為「幾何學的巨人」。

相傳阿基米德的遺言是「別打擾我的圓圈」，指當時他被羅馬士兵打擾時正在研究的數學畫圖法中的圓圈。在拉丁語中常作「Noli turbare circulos meos」，但沒有確鑿證據表明阿基米德確實說了這些話，這在普魯塔克的說法中也沒有出現。公元 1 世紀，瓦萊里烏斯・馬克西姆斯在《難忘的事跡名言》（英：_Memorable Doings and Sayings_）中記載為：「...sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'」（「…… 以雙手保護著沙塵，說：『求你了，別打擾它！』」）。這句話對應的純正希臘語版本是 "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε!" （拉丁文轉寫：Mē mou tous kuklous taratte!）。

阿基米德之墓上刻著其最喜愛的數學證明的雕塑，包括高度、直徑相同的球面和圓柱體。他曾證明球表面積等於其外切圓柱體側面表面積，球的體積是外切圓柱體體積的 2/3。公元前 75 年，阿基米德死後 137 年，羅馬演說家西塞羅在西西里擔任財務官。他聽說了阿基米德之墓的故事，但當地沒有人能告訴他其之具體位置。最終，他在敘拉古的阿格里真托之門附近尋到其墓，無人照料，灌木叢生。西塞羅打掃了其墓，得以閱覽其上鐫刻的碑文和雕刻。 1960 年前期，敘拉古當地麗景酒店曾發現一座墳墓，據稱屬於阿基米德，但沒有任何證據可以表明這一點。如今，無人知曉其墓地的具體位置。

「阿基米德傳」的標準版本，在他死後許久才由古羅馬歷史學家寫就。敘拉古攻城由波利比烏斯在記於其《通史》（英文：「Universal History」）中，大約在阿基米德死後 70 年寫就，此後被普魯塔克和蒂托・李維引用。此文主要著墨與其為保衛城市所建的「戰爭機器」，未有詳述阿基米德為人。

## 生平

### 亞歷山大里亞求學

公元前 287 年，阿基米德出生在西西里島東南端的敘拉古城。阿基米德的父親是天文學家和數學家，所以他從小受家庭影響，十分喜愛數學。在當時古希臘的輝煌文化已經逐漸衰退，經濟、文化中心逐漸轉移到托勒密王朝的亞歷山大城，大概在他九歲時，父親送他到埃及的亞歷山大城唸書，亞歷山大城是當時西方世界的知識、文化中心，學者雲集，舉凡文學、數學、天文學、醫學的研究都很發達，阿基米德在這裡隨許多著名的數學家學習，包括有名的幾何學大師歐幾里得。

### 回到敘拉古

在經過許多年的求學歷程後，阿基米德回到故鄉敘拉古。據說敘拉古的國王希倫二世與阿基米德的父親是朋友，一說國王與他們是親戚關係。總之，阿基米德受到國王的禮遇，經常出入宮廷，並常與國王、大臣們暢談國事或閒話家常。阿基米德在這種優裕的環境下，作了幾十年的研究工作，並在數學、力學、機械方面取得了許多重要的發現與成就，成為上古時代歐洲最有創建的科學家。

據說阿基米德經常為了研究而廢寢忘食，走進他的住處，隨處可見數字和方程式，地上則是畫滿了各式各樣的圖形，牆上與桌上也無法倖免地成了他的計算板。

### 布匿戰爭時期

公元前 3 世紀末，正是羅馬共和國與迦太基，為了爭奪西西里島的霸權而開戰的時期。地處西西里島的敘拉古一直都是投靠羅馬，但是公元前 216 年迦太基大敗羅馬軍隊，敘拉古的新國王希羅尼姆斯（希倫二世的孫子），立即見風轉舵與迦太基結盟，羅馬共和國於是派馬克盧斯將軍領軍從海路和陸路同時進攻敘拉古。國難當前，保家衛國的責任感促使阿基米德奮起抗敵，於是他絞盡腦汁，日以繼夜的發明各種禦敵武器。

當時阿基米德造了巨大的起重機，可以將敵人的戰艦吊到半空中，然後重重摔下使戰艦在水面上粉碎；他還利用槓桿原理製造出一批投石機，凡是靠近城牆的敵人，都難逃他飛石與標槍的攻擊。這些武器弄得羅馬軍隊驚慌失措、人人害怕，連大將軍馬克盧斯也不得不承認「這是場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭」、「阿基米德簡直是神話中的百手巨人」。

### 阿基米德之死

由於久攻不下，馬克盧斯決定改變策略，以圍城的持久戰來斷絕城內糧食，這個妙計使得阿基米德也無可奈何。公元前 212 年，敘拉古城終於被羅馬軍隊攻陷。相傳羅馬軍隊進城時，阿基米德還在自家前的地上畫圖研究幾何問題。羅馬士兵走近沉思中的阿基米德，要求他立刻前去面見馬克盧斯，並踩壞了畫在沙地上的圖形。阿基米德大罵：「別碰我的圓！」一氣之下的士兵便殺了阿基米德。

## 成就

### 數學

對於阿基米德來說，工程機械和物理上的發明只是次要的，他更感興趣而且投注更多時間的是純理論上的研究，尤其是在數學和天文學方面。在數學方面，他利用「逼近法」算出球表面積、球體積、拋物線、橢圓面積，後世的數學家依據這種方法加以發展成近代的「微積分」。他還研究出螺旋形曲線的性質，現今的「阿基米德螺線」曲線，就是為紀念他而命名。另外他在《數沙者》一書中，他創造了一套記錄龐大數目的方法，簡化了記數的方式。

經由研究阿基米德再生羊皮書上的文字，科學家發現了失傳的阿基米德手稿，並加以解讀。在殘卷《方法》命題 14 中，阿基米德提出無窮大的概念，是現代集合論的基礎。在殘卷《Stomachion》（中文譯名為「阿基米德小房」，英文譯名直譯為「阿基米德盒子」）中，由教士約翰・麥隆納斯於公元 1229 年 4 月 14 日抄寫，想在耶穌復活周年日，當作禮物獻給教會，阿基米德經由一種類似七巧板的圖形遊戲，研究以十四片碎片組成正方形的所有拼法（一共 17152 種方法，並可分成 536 個大類），成為組合學最早的開端。

當阿基米德經常被視為一個機械裝置的工程師時，他也做了有關於數學領域的貢獻。普魯塔克寫道：「他將他全部的情感和野心完全的投注在那些單純的猜測裡頭，而在那裡可能不需要有庸俗的生活。」

阿基米德使用無窮小量的數學分析方式，類似現在的微積分。通過反證法，他甚至可以讓問題的答案達到任意精確度，同時也給出答案所在的範圍。這種技術被稱為窮舉法，並且他使用這種方法計算出了圓周率的近似值。他做出圓的外接多邊型和內接多邊型。隨著多邊形的邊數增加，將會越來越接近圓。

阿基米德將歐幾里得提出的趨近觀念作了有效的運用，他提出圓內接多邊形和相似圓外切多邊形，當邊數足夠大時，兩多邊形的周長便一個由上，一個由下的趨近於圓周長。他先用六邊形，以後逐次加倍邊數，到了九十六邊形，阿基米德計算出其面積，並且指出圓周率的值: ${223 \over 71}$ <Π < ${\frac {22}{7}}$ ；: 也就是 $3.140845<\pi <3.142857$

他還證明了圓面積等於圓周率乘以半徑的平方。在_球體和圓柱的研究_中，阿基米德假設，一個任意的數在自加足夠多的次數之後，會大於任意一個給定的數。這被稱為實數的阿基米德性質。另外他算出球的表面積是其內接最大圓面積的四倍。而他導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二，這個定理就刻在他的墓碑上。

在其著作《圓的測量》中，阿基米德給出了 3 的平方根的近似值，介於 265 ⁄ 153 (約為 1.7320261) 和 1351 ⁄ 780 (約為 1.7320512) 之間。其實際值大約為 1.7320508，這是一個非常準確的近似值。他直接給出了結果卻沒有給出任何計算方法的解釋。由此，約翰・沃利斯作出如下評價：「這就像是故意的，似乎阿基米德已經決定不向後人們透露他的算法的秘密，只是強迫他們接受他的結果。」

### 幾何學

阿基米德是第一位講科學的工程師，在他的研究中，使用歐幾里得的方法，先假設，再得到結果，他不斷地尋求一般性的原則用於特殊的工程上。他的作品始終融合數學和物理，因此阿基米德成為物理學之父。

他應用槓桿原理於戰爭，保衛西拉斯鳩的事蹟是家喻戶曉的。而他也以同一原理導出部分球體的體積、回轉體的體積（橢球、回轉拋物面、回轉雙曲面），此外，他也討論阿基米德螺線（例如：蒼蠅由等速旋轉的唱盤中心向外走去所留下的軌跡），圓、球體、圓柱的相關原理，成就斐然。

### 天文學

在天文學方面，阿基米德曾運用水力製作一座天象儀，球面上有日、月、星辰和五大行星，根據記載，這個天象儀不但運行精確，連何時會發生月食、日食都能加以預測。晚年的阿基米德開始懷疑地球中心學說 (地心說)，並猜想地球有可能繞太陽轉動，這個觀念一直到哥白尼時代才被人們提出來討論。

### 其他

雖然槓桿原理不是阿基米德發現的，但是他在他的衛面平衡研究中解釋了其工作原理。以亞里斯多德的追隨者為主的逍遙學派學校中曾出現過更早的關於槓桿的描述，也有說是阿爾庫塔斯。根據帕普斯所述，阿基米德關於槓桿的研究曾引出過其非常著名的一句話：「給我一個支點，我可以舉起整個地球。」普魯塔克曾描述過阿基米德是如何設計滑輪機構的，該機構可以讓水手們利用槓桿原理提起那些過重的無法單憑人力搬運的物品。阿基米德也被認為曾改進過投射器的威力和準確度，並且發明了在第一次布匿戰爭中使用的計程器。這個計程器是一種車輛的形式，在每行駛過一定距離後車上的齒輪機構就會向特定容器中投入一個球。

西塞羅在他的對話錄《國家論》中曾大致提到過阿基米德，這部對話錄描述了一段發生在公元前 129 年的虛構的談話。公元前 212 年，據說在占領敘拉古之後，馬庫斯・克勞狄斯・馬塞勒斯將軍將兩部用於天文學的機械裝置帶回了羅馬，這兩部裝置顯示了太陽，月亮和五個行星的運動。西塞羅還提到了由泰勒斯和歐多克索斯設計的類似裝置。對話錄表明，馬塞勒斯將其中一部機器據為已有，另外一部則捐贈給了羅馬的功德廟。馬塞勒斯持有的那一部後來被公開展示，據西塞羅說，加勒斯向斐勒斯演示的過程被後者記錄如下

> 這是一段關於天象儀或是太陽系儀的描述。帕普斯曾說過，阿基米德有一些手稿（現已丟失）被命名為「球體製造」，其中有關於此類機械裝置的製造方法。在這方面的現代研究主要集中在安提基特拉機械上，這是另外一個可能出於相同目的而設計的古代機械。製造這類機械需要極其尖端的差動齒輪知識和技術。這曾一度被認為已經超出了古代的技術能力範疇，但 1902 年發現的安提基特拉機械可以證明早在古希臘這類裝置就已經出現了。
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## 著作

* 《方法論》
* 《浮體論》：此書討論物體的浮力，研究了旋轉拋物體在流體中的穩定性
* 《球與圓柱論》：此書從幾個定義和公理出發，推出關於球與圓柱面積和體積等 50 多個命題
* 《平面圖形的平衡或其重心》：此書從幾個基本假設出發，通過嚴格的幾何方法論證力學原理，並求出若干平面圖形的重心
* 《數沙者》：此書主要講述設計一種可以表示任何大數目的方法
* 《槓桿論》
* 《劈錐曲面體與球體論》
* 《拋物線求積》
* 《螺線論》

## 軼事

### 真假皇冠

希倫二世國王，請金匠用純金打造了一頂純金王冠，做好了以後，吹哨者密報金匠造假摻了「白銀」在裡面，但是又不能把王冠毀壞來鑑定。阿基米德想了好久，一直沒有好方法，吃不下飯也睡不好覺。有一天，他在洗澡的時候發現，當他坐在浴盆裡時水位上升了，這使得他想到了：「上升了的水位正好應該等於王冠的體積，所以只要拿與王冠等重量的金子，放到水裡，測出它的體積，看看它的體積是否與王冠的體積相同，如果王冠體積更大，這就表示其中造了假，摻了銀。」

阿基米德想到這裡，不禁高興的從浴盆跳了出來，赤身裸體跑了出去，邊跑還邊喊著：「尤里卡，尤里卡！」（希臘語:εύρηκα，意即「發現了！」）然經過證明之後，王冠中確實含有白銀，阿基米德成功的揭穿了金匠的舞弊詭計，國王對他當然是更加的信服了。

後來阿基米德將這個發現進一步總結出浮力理論，為浮體學建立了基本的定理，並寫在他的《浮體論》著作裡，也就是：物體在流體中所受的浮力，等於物體所排開的流體的重量。

### 舉起地球

阿基米德對於機械的研究源自於他在亞歷山大城求學時期。有一天阿基米德在久旱的尼羅河邊散步，看到農民提水澆地相當費力，經過思考之後他發明了一種利用螺旋作用在水管裡旋轉而把水吸上來的工具，後世的人叫它做「阿基米德螺旋提水器」，埃及一直到二千年後的現在，還有人使用這種器械。這個工具成了後來螺旋推進器的先祖。

當時的歐洲，在工程和日常生活中，經常使用一些簡單機械，譬如螺絲、滑車、槓桿、齒輪等，阿基米德花了許多時間去研究，發現了「槓桿原理」和「力矩」的觀念，對於經常使用工具製作機械的阿基米德而言，將理論運用到實際的生活上是輕而易舉的。他曾說只要給他一個支點和棒子，他就可以舉起整個地球（當然這只是比喻，因為太空沒有重力）。

剛好此時國王希倫二世遇到了一個棘手的問題：他替埃及托勒密王造了一艘船，但因為船太大太重，無法放進海裡，國王就對阿基米德說：「你連地球都舉得起來，把一艘船放進海裡應該很容易吧？」於是阿基米德迅速地巧妙組合各種機械，造出一架機具。在一切準備妥當後，將牽引機的繩子交給國王，國王輕輕一拉，大船果然移動下水，國王不得不為阿基米德的天才所折服。從這個歷史故事我們可以知道，阿基米德可能是當時全世界對於機械的原理與運用，瞭解最透徹的人。

## 參見

* 阿基米德 導覽
* Arbelos
* 阿基米德公理
* 阿基米德數
* 阿基米德悖論
* 阿基米德立體
* 阿基米德的圓圈
* 戴可利斯
* 以阿基米德命名的事物
* 平方根計算方法
* Pseudo-Archimedes
* Salinon
* 蒸汽大炮
* 張衡

## 注釋

**a.** **^** In the preface to _On Spirals_ addressed to Dositheus of Pelusium, Archimedes says that "many years have elapsed since Conon's death." Conon of Samos lived _c._ 280–220 BC, suggesting that Archimedes may have been an older man when writing some of his works.

**b.** **^** The treatises by Archimedes known to exist only through references in the works of other authors are: _On Sphere-Making_ and a work on polyhedra mentioned by Pappus of Alexandria; _Catoptrica_, a work on optics mentioned by Theon of Alexandria; _Principles_, addressed to Zeuxippus and explaining the number system used in _The Sand Reckoner_; _On Balances and Levers_; _On Centers of Gravity_; _On the Calendar_. Of the surviving works by Archimedes, T. L. Heath offers the following suggestion as to the order in which they were written: _On the Equilibrium of Planes I_, _The Quadrature of the Parabola_, _On the Equilibrium of Planes II_, _On the Sphere and the Cylinder I, II_, _On Spirals_, _On Conoids and Spheroids_, _On Floating Bodies I, II_, _On the Measurement of a Circle_, _The Sand Reckoner_.

**c.** **^** Boyer, Carl Benjamin _A History of Mathematics_ (1991) ISBN 0-471-54397-7 "Arabic scholars inform us that the familiar area formula for a triangle in terms of its three sides, usually known as Heron's formula — _k_ = √_s_(_s_ − _a_)(_s_ − _b_)(_s_ − _c_), where _s_ is the semiperimeter — was known to Archimedes several centuries before Heron lived. Arabic scholars also attribute to Archimedes the 'theorem on the broken chord' ... Archimedes is reported by the Arabs to have given several proofs of the theorem."

**d.** **^** "It was usual to smear the seams or even the whole hull with pitch or with pitch and wax". In Νεκρικοὶ Διάλογοι (_Dialogues of the Dead_), Lucian refers to coating the seams of a skiff with wax, a reference to pitch (tar) or wax.

## 參考文獻

## 延伸閱讀

* Carl Benjamin Boyer. A History of Mathematics. New York: Wiley. 1991. ISBN 0-471-54397-7.
* Clagett, Marshall. Archimedes in the Middle Ages **5 vols**. Madison, WI: University of Wisconsin Press. 1964–1984.
* 愛德華・揚・戴克斯特豪斯. Archimedes. Princeton University Press, Princeton. 1987. ISBN 0-691-08421-1.  Republished translation of the 1938 study of Archimedes and his works by an historian of science.
* Gow, Mary. Archimedes: Mathematical Genius of the Ancient World. Enslow Publishers, Inc. 2005. ISBN 0-7660-2502-0.
* Hasan, Heather. Archimedes: The Father of Mathematics. Rosen Central. 2005. ISBN 978-1-4042-0774-5.
* T. L. Heath. Works of Archimedes. Dover Publications. 1897. ISBN 0-486-42084-1.  Complete works of Archimedes in English.
* Netz, Reviel; Noel, William. The Archimedes Codex. Orion Publishing Group. 2007. ISBN 0-297-64547-1.
* 柯利弗德・皮寇弗. Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them. Oxford University Press. 2008. ISBN 978-0-19-533611-5.
* Simms, Dennis L. Archimedes the Engineer. Continuum International Publishing Group Ltd. 1995. ISBN 0-7201-2284-8.
* Stein, Sherman. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. Mathematical Association of America. 1999. ISBN 0-88385-718-9.

http://www.wilbourhall.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 《阿基米德著作》Heiberg 版的 PDF 掃描件，現屬公共領域]

* 英文翻譯版： 《阿基米德著作》（_The Works of Archimedes_）, trans. T.L. Heath; 補充： 《力學理論方法》（_The Method of Mechanical Theorems_）, trans. L.G. Robinson

## 外部連結

* 《大英百科全書》中的條目：阿基米德（英文）
* * Archimedes，In Our Time (BBC Radio 4) 的《In Our Time》節目。(現在聆聽)
* Archimedes 的作品 - 古騰堡計劃
* 網際網路檔案館中阿基米德的作品或與之相關的作品
* 阿基米德 at the Indiana Philosophy Ontology Project
* PhilPapers 上的阿基米德
* The Archimedes Palimpsest project at The Walters Art Museum in Baltimore, Maryland （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Archimedes and the Square Root of 3. MathPages.com.
* Archimedes on Spheres and Cylinders. MathPages.com.
* Photograph of the Sakkas experiment in 1973 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Testing the Archimedes steam cannon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Stamps of Archimedes
* Archimedes Palimpsest reveals insights centuries ahead of its time （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）