4個4

**4 個 4** 是種數學遊戲。它的目標是尋找最簡單的數學表達式來表達由 0 到某個最大值的所有整數，其中只使用 4 這個數字和常見的數學符號。大部分這個遊戲的版本要求每條數式剛好有 4 個 4，但部分變化要求每個表達式最多有 4 個 4。

## 使用的數學符號

4 個 4 通常可以使用的數學符號或運算有：

* 四則運算（ $+,-,\times ,\div $ ）和括號
* 並列數字（ $44$ ）
* 冪（ $x^{y}$ ）
* 階乘（ $x!$ ）
* 小數點（ $.$ ）
* 根號（ ${\sqrt {x}}$ ）

也有一些變體允許使用其他的運算：

* 純小數（ $.4$ ，代表 $0.4$ ）
* 倒數（ $x'$ ，代表 ${\frac {1}{x}}$ ）
* 雙階乘（ $x!!$ ）
* 次階乘（ $!x$ ）
* 循環小數（ $0.{\overline {4}}$ ）
* Gamma 函數（ $\Gamma (x)$ ）
* 百分號（ $x\%$ ）

通常不允許使用對數（ $\log x$ ），因為使用對數可以得到一般解：

　
: $n=-\log _{\sqrt {4}}\log _{\sqrt {4\times 4}}{\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}}=-{\sqrt {4}}\log _{4}\log _{4}{\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}}$ （ $n$ 個根號）

## 一些解答

以下是由 4 個 4 表示 0 到 25 的解答，有些數字列出一個以上的解答，不過可能還有其他的答案。藍色的算式表示只用 4 個 4、四則運算、括號，並且不允許並列數字（例如 44），黑色的算式表示有用到並列數字，或是有用到其他的運算。

```
 0  =  4 ÷ 4 × 4 − 4  =  44 − 44
 1  =  4 ÷ 4 + 4 − 4  =  44 ÷ 44
 2  =  4 −(4 + 4)÷ 4  = (44 + 4) ÷ 4!
 3  = (4 × 4 − 4)÷ 4  =  (4 −√4) +(4 ÷ 4)
 4  =  4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! + 4!
 5  = (4 × 4 + 4)÷ 4  = (44 − 4!)÷ 4
 6  =  4 +(4 + 4)÷ 4  = 4.4 + 4  ×.4
 7  = (4 + 4)−(4 ÷ 4) =  44 ÷ 4  − 4
 8  =  4 ÷ 4 × 4 + 4  = 4.4 −.4  + 4
 9  =  4 ÷ 4 + 4 + 4  =  44 ÷ 4  −√4
10  =  4 ÷√4 + 4 *√4  = (44 − 4) ÷ 4
11  = (4!+ 4)÷ 4 + 4  = (4! + 4) ÷ 4 + 4
12  =  4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4
13  = (4 −.4)÷.4 + 4  =  44 ÷ 4  +√4
14  =  4 ×(4 −.4)−.4  =   4 + 4  + 4 +√4
15  =  4 × 4 − 4 ÷ 4  =  44 ÷ 4  + 4
16  =  4 × 4 + 4 − 4  = (44 − 4) ×.4
17  =  4 × 4 + 4 ÷ 4  = (44 + 4!)÷ 4
18  =  4 × 4 + 4 −√4  = (44 ÷√4) − 4
19  =  4!− 4 −(4 ÷ 4) =  (4 + 4  −.4)÷.4
20  =  4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷√4
21  =  4!− 4 + 4 ÷ 4  = (44 −√4) ÷√4
22  =  4!÷ 4 + 4 × 4  =  44 ÷(4  −√4)
23  =  4!+ 4 ÷ 4 −√4  = (44 +√4) ÷√4
24  =  4 × 4 + 4 + 4  = (44 + 4) ÷√4
25  =  4!− 4 ÷ 4 +√4  =  (4 + 4 + √4)÷.4
```

## 相關遊戲

### 小町算

在 $1\operatorname {\square } 2\operatorname {\square } 3\operatorname {\square } 4\operatorname {\square } 5\operatorname {\square } 6\operatorname {\square } 7\operatorname {\square } 8\operatorname {\square } 9=100$ 這條數式中，填入 $+,-,\times ,\div $ 或空白，令它成為一條完整的數式。

一些變化玩法：

* 不容許使用乘法（ $\times $ ）和除法（ $\div $ ）
* 容許使用括號、冪和平方根
* 改變右邊的數值
* 逆置左邊（改為 $9\operatorname {\square } 8\operatorname {\square } 7\operatorname {\square } 6\operatorname {\square } 5\operatorname {\square } 4\operatorname {\square } 3\operatorname {\square } 2\operatorname {\square } 1=100$ ）

#### 解答

##### 正序

　
: $1\times 2\times 3\times 4+5+6+7\times 8+9=100$

　
: $1+2+3+4+5+6+7+8\times 9=100$

　
: $123-45-67+89=100$

　
: 參見：其他只用加減的解答（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（日語）

##### 逆序

　
: $98-76+54+3+21=100$

### 世紀謎題

使用 1 至 9 共 9 個數字，每個數字都只可以用一次，利用帶分數的形式來表示 100。共有 10 組答案：

　
: $81{\frac {5643}{297}}=100$

　
: $81{\frac {7542}{396}}=100$

　
: $82{\frac {3546}{197}}=100$

　
: $91{\frac {5742}{638}}=100$

　
: $91{\frac {5823}{647}}=100$

　
: $91{\frac {7524}{836}}=100$

　
: $94{\frac {1578}{263}}=100$

　
: $96{\frac {1428}{357}}=100$

　
: $96{\frac {1752}{438}}=100$

　
: $96{\frac {2148}{537}}=100$

### 年份問題

年份問題（Year Puzzle）玩法基本上和 4 個 4 相同，但使用該年年分裡的數字取代 4 個 4。

### 24 點

**24 點**是在 1 至 13 抽四個數（可以重複），用那些數配合各類數學符號算出 24。這個遊戲可以用撲克牌來玩。

## 外部連結

* Bourke, Paul. _Four Fours Problem_.
* Wheeler, David A. 2002. _The Definitive Four Fours Answer Key_.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* John Valentine's _Four Four's page_. [2004-10-10]. （原始內容存檔於 2004-10-12）.