2的自然對數

ln2（OEIS 數列 A002162）約為：

　
: $\ln 2\approx 0.693147$

使用對數公式

　
: $\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.$

可以求出 log2，它約為：（OEIS 數列 A007524）

　
: $\log _{10}2\approx 0.301029995663981195$ 。

數學家理察・施羅培爾在 1972 年證明，不尋常數的自然密度等於 $\ln 2$ 。換言之，若 $u(n)$ 表示不大於 $n$ 的自然數之中，有多少個數 $a$ 具有大於 ${\sqrt {a}}$ 的質因數，則有：

　
: $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.$

## 公式

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.$

　
: $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {1}{2}}\ln 2.$

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1}{2}}(1-\ln 2).$

 $\gamma $ 是歐拉 - 馬歇羅尼常數， $\zeta $ 是黎曼 ζ 函數。

　
: $\ln 2=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k2^{k}}}.$

　
: $\ln 2=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{3^{k}}}+{\frac {1}{4^{k}}}\right){\frac {1}{k}}.$

　
: $\ln 2={\frac {2}{3}}+\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.$ （貝利－波爾溫－普勞夫公式）

　
: $\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)9^{k}}}.$ （基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）

## 積分公式

　
: $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2$

　
: $\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}(1-\ln 2)$

　
: $\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {1}{n}}\ln 2;\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2}{3n}}\ln 2$

　
: $\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\right)=\ln 2$

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}dx=\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}\ln {\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}dx=-1+\ln 2+\gamma $

　
: $\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan xdx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan xdx=\ln 2$

　
: $\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln(\sin x+\cos x)dx=-{\frac {\pi }{4}}\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)dx={\frac {2}{3}}\ln 2-{\frac {5}{18}}$

　
: $\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {1}{4}}-\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {13}{96}}-{\frac {2}{3}}\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}dx=-\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}dx=1-2\ln 2$

　
: $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2$

　
: $\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln x}{x^{3}}}dx=-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2)$

 $\gamma $ 是歐拉 - 馬歇羅尼常數。

## 其他公式

用皮爾斯展開式（A091846）表達 ln2：

　
: $\log 2={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\ldots $ .

用恩格爾展開式 A059180 表達 ln2：

　
: $\log 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\ldots $ .

用餘切展開式 A081785 表達 ln2：

　
: $\log 2=\cot(\operatorname {arccot} 0-\operatorname {arccot} 1+\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 55+\operatorname {arccot} 14187-\ldots )$ .

## 其他對數

### 範例

## 10 的自然對數

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Natural logarithm of 2. MathWorld.
* table of natural logarithms. PlanetMath.
* Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. The logarithm constant:log 2. [2011-01-08]. （原始內容存檔於 2020-02-23）.

## 參見

* 對數
* 自然對數
* 常用對數
* 超越數