杜哈梅原理
杜哈梅原理（英語：Duhamel's principle），又稱為齊次化原理，是求解非齊次線性偏微分方程（如熱傳導方程、波動方程）的一種方法。杜哈梅原理以法國數學家杜哈梅的名字命名，他最早在非齊次熱傳導方程中應用了此方法。該方法可以看作是求解非齊次線性常微分方程時使用的常數變易法（Variation of parameters）的推廣。杜哈梅原理將非齊次問題的求解轉化為一組柯西問題（初值問題）的求解。以熱傳導方程為例，熱能分布 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   為 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
   上的函數。初值問題為

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    u
                    
                      t
                    
                  
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  −
                  Δ
                  u
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  =
                  0
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  ∈
                  
                    
                      R
                    
                    
                      n
                    
                  
                  ×
                  (
                  0
                  ,
                  ∞
                  )
                
              
              
                
                  u
                  (
                  x
                  ,
                  0
                  )
                  =
                  g
                  (x)
                
                
                  x
                  ∈
                  
                    
                      R
                    
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin {cases} u_{t}(x,t)-\Delta u (x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty)\\u (x,0)=g (x)&x\in \mathbb {R} ^{n}\end {cases}}}
  其中 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   表示初始的熱分布。而相應的非齊次問題則為

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    u
                    
                      t
                    
                  
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  −
                  Δ
                  u
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  =
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                
                
                  (
                  x
                  ,
                  t
                  )
                  ∈
                  
                    
                      R
                    
                    
                      n
                    
                  
                  ×
                  (
                  0
                  ,
                  ∞
                  )
                
              
              
                
                  u
                  (
                  x
                  ,
                  0
                  )
                  =
                  0
                
                
                  x
                  ∈
                  
                    
                      R
                    
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin {cases} u_{t}(x,t)-\Delta u (x,t)=f (x,t)&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty)\\u (x,0)=0&x\in \mathbb {R} ^{n}\end {cases}}}
  可以將非齊次問題看成是無數個瞬時 
  
    
      
        t
        =
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t=t_{0}}
   的齊次問題的疊加。由於方程是線性的，故將每一個 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0}}
   時刻的齊次問題的解疊加（積分）之後就可以得到非齊次問題的解。這便是杜哈梅原理的基本思想。