丟番圖逼近
丟番圖分析（英語：Diophantine approximation）是數論的一個分支。最經典的丟番圖逼近主要用於有理數逼近實數，亦即實數的有理逼近相關問題。其中有理數一般用分數形式表達，且一律要求分子為整數，分母為正整數，通常要求是最簡分數。
丟番圖逼近的名稱源於古希臘數學家丟番圖。這是因為有理逼近可以歸結為求不等式整數解的問題，而求方程式整數解的問題一般稱為丟番圖方程式（或不定方程式），故而得名。事實上，丟番圖逼近與不定方程式的研究確有頗多相關。
丟番圖逼近的首要問題是尋求實數的最佳（有理）丟番圖逼近，簡稱最佳逼近。具體來說，對於一個實數 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
  ，希望找到一個「最優」的有理數 
  
    
      
        p
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle p/q}
   作為 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
   的近似，使在分母不超過 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   的所有有理數中，
  
    
      
        p
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle p/q}
   與 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
   的距離最小。這裡的「距離」可以是歐氏距離，即兩數之差的絕對值；也可以用 
  
    
      
        
          |
        
        q
        α
        −
        p
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |q\alpha -p|}
   等方式度量。滿足此類要求的有理數 
  
    
      
        p
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle p/q}
   稱為實數 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
   的一個最佳逼近。關於如何尋找實數的最佳逼近及相關論題，已於 18 世紀隨著連分數理論的發展得到基本解決。
其後，該領域的主要注意力轉向對有理逼近的誤差進行估計、度量，以給出儘可能精確的上下界（一般用分母的函數表示）。作為分母的函數，這種上下界的階與 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
   的性質密切相關。當 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha}
   分別為有理數、代數數、超越數時，其最佳逼近誤差下界的階是不同的。基於這種思想，萊歐維爾在 1844 年建立了有關代數數逼近的一個基本結論，並由此具體地構造出了一個超越數（參見萊歐維爾數），證明了它的超越性。這在人類歷史上尚屬首次。由此可見，丟番圖逼近與數論的另一分支 —— 超越數論緊密相關。
除了上述最經典的單個實數的有理逼近問題，該領域還包括多個實數的聯立逼近，非齊次逼近，實數的代數數逼近，一致分布（均勻分布）等方面。甚至連 p 進數上的丟番圖逼近也有頗多研究。