伯恩施坦不等式
在機率論中，伯恩施坦不等式（Bernstein inequalities）給出了隨機變數的和對平均值偏離的機率。在最簡單的情況下，設
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}
  是獨立的伯努利隨機變數，取值 + 1 和 - 1 的機率各是 1/2，則對任意正數
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon}
  

  
    
      
        
          P
        
        
          (
          
            
              |
              
                
                  
                    1
                    n
                  
                
                
                  ∑
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    X
                    
                      i
                    
                  
                
              
              |
            
            >
            ε
          
          )
        
        ≤
        2
        exp
        ⁡
        
          
            (
            
              −
              
                
                  
                    n
                    
                      ε
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    2
                    (
                    1
                    +
                    ε
                    
                      /
                    
                    3
                    )
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} \left (\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}\right|>\varepsilon \right)\leq 2\exp {\left (-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{2 (1+\varepsilon /3)}}\right)}}
  
伯恩施坦不等式由謝爾蓋・伯恩施坦於 1920 年代證明，並於 1930 年代發表。之後，這些不等式多次被其他數學家獨立地發現。因此，伯恩施坦不等式的一些特例也被稱為 Chernoff 界，Hoeffding 不等式，以及吾妻不等式。