费曼-海尔曼定理
量子力學中，費曼–海爾曼定理描述的是一個體系的能量對某個參量的導數與哈密頓量算符對同一參量的導數的期望值之間的關係。根據這一定理，通過求解薛丁格方程得到電子密度的空間分布後，體系中的所有力都能通過經典靜電學求出。
該理論分別被不同的物理學家獨立地證明過，包括 Paul Güttinger（1932）、泡利（1933）、海爾曼 （1937）以及費曼（1939）。該定理的表達式如下：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              E
            
            
              
                
                  d
                
              
              
                λ
              
            
          
        
        =
        ∫
        
          
            ψ
            
              ∗
            
          
          (λ)
          
            
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          H
                          ^
                        
                      
                    
                    
                      λ
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    d
                  
                
                
                  λ
                
              
            
          
          ψ
          (λ)
           
          
            
              d
            
          
          τ
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}} E}{{\rm {d}}{\lambda}}}=\int {\psi ^{*}(\lambda){\frac {{\rm {d}}{{\hat {H}}_{\lambda}}}{{\rm {d}}{\lambda}}}\psi (\lambda)\ {\rm {d}}\tau },}
  
式中

  
    
      
        
          
            
              
                H
                ^
              
            
          
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}_{\lambda}}
   表示依賴於連續變化的參變量
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda}
  的哈密頓量；

  
    
      
        ψ
        (λ)
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\lambda)\,}
   是該哈密頓量的本徵函數，通過哈密頓量間接依賴於
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda}
  ；

  
    
      
        E
        
      
    
    {\displaystyle E\,}
   為能量，即哈密頓量的本徵值；

  
    
      
        
          
            d
          
        
        τ
      
    
    {\displaystyle {\rm {d}}\tau }
  為積分微元。上述積分在全空間進行。