K函数
K 函數是 hyper 階乘函數在複數上的擴展，如同 Γ 函數是階乘函數在複數上的擴展。
K 函數的定義為：

  
    
      
        K
        (z)
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            (
            −
            z
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        exp
        ⁡
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      z
                    
                  
                  
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
            +
            
              ∫
              
                0
              
              
                z
                −
                1
              
            
            ln
            ⁡
            (
            t
            !
            )
            
            d
            t
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (z)=(2\pi)^{(-z-1)/2}\exp \left [{\begin {pmatrix} z\\2\end {pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln (t!)\,dt\right].}
  還可以寫成閉合形式：

  
    
      
        K
        (z)
        =
        exp
        ⁡
        
          [
          
            
              ζ
              
                ′
              
            
            (
            −
            1
            ,
            z
            )
            −
            
              ζ
              
                ′
              
            
            (
            −
            1
            )
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (z)=\exp \left [\zeta ^{\prime}(-1,z)-\zeta ^{\prime}(-1)\right].}
  其中，
  
    
      
        
          ζ
          
            ′
          
        
        (z)
      
    
    {\displaystyle \zeta ^{\prime}(z)}
  表示黎曼 ζ 函數的導函數，而
  
    
      
        
          ζ
          
            ′
          
        
        (
        a
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta ^{\prime}(a,z)}
  則表示赫爾維茨 ζ 函數的導函數，即

  
    
      
        
          ζ
          
            ′
          
        
        (
        a
        ,
        z
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            [
            
              
                
                  d
                  ζ
                  (
                  s
                  ,
                  z
                  )
                
                
                  d
                  s
                
              
            
            ]
          
          
            s
            =
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \zeta ^{\prime}(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left [{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}
  另一種使用多伽瑪函數的表示形式是：

  
    
      
        K
        (z)
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              ψ
              
                (
                −
                2
                )
              
            
            (z)
            +
            
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  z
                
                2
              
            
            −
            
              
                z
                2
              
            
            ln
            ⁡
            (
            2
            π
            )
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (z)=\exp \left (\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln (2\pi)\right).}
  或者使用廣義多伽瑪函數表示為：

  
    
      
        K
        (z)
        =
        A
        
          e
          
            ψ
            (
            −
            2
            ,
            z
            )
            +
            
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  z
                
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}.}
  其中 A 表示格萊舍常數（Glaisher constant）。
K 函數與 Γ 函數和巴尼斯 G 函數關係密切。對於自然數 n，我們有：

  
    
      
        K
        (n)
        =
        
          
            
              (
              Γ
              (n)
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
              G
              (n)
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G (n)}}.}
  還可以更簡單地寫為：

  
    
      
        K
        (
        n
        +
        1
        )
        =
        
          1
          
            1
          
        
        
        
          2
          
            2
          
        
        
        
          3
          
            3
          
        
        ⋯
        
          n
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K (n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}
  前幾項為：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS 中的第 A002109 號數列).