循环数
循環數（英語：cyclic number），是一類特殊的整數，其包含的各個數字的循環排列恰為該數的連續倍數；一個 n 位的循環數的性質是它乘以 1 至 n 都是各個數字的循環排列，乘以 (n+1) 會出現純位數，純位數每個位都是 9。例如，最知名的循環數是 142857：

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142 乘以 7 出現純位數

142857 × 7 = 999999 另一例子為 (0) 588235294117647

588235294117647 × 1 = 588235294117647
588235294117647 × 2 = 1176470588235294
588235294117647 × 3 = 1764705882352941
588235294117647 × 4 = 2352941176470588
588235294117647 × 5 = 2941176470588235
588235294117647 × 6 = 3529411764705882
588235294117647 × 7 = 4117647058823529
588235294117647 × 8 = 4705882352941176
588235294117647 × 9 = 5294117647058823
588235294117647 × 10 = 5882352941176470
588235294117647 × 11 = 6470588235294117
588235294117647 × 12 = 7058823529411764
588235294117647 × 13 = 7647058823529411
588235294117647 × 14 = 8235294117647058
588235294117647 × 15 = 8823529411764705
588235294117647 × 16 = 9411764705882352 乘以 17 出現純位數

588235294117647 * 17 = 9999999999999999 長度為 L 的循環數可以表示為單位分數
  
    
      
        
          
            1
            
              L
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{L+1}}}
  小數表示形式的循環部分。反過來，如果
  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}}
  （其中 p 為質數）的循環長度為 p-1（這樣的質數 p 稱為全循環質數），那麼其循環部分表示的就是一個循環數。例如：

  
    
      
        
          
            1
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            142857
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over 7}=0.{\overline {142857}}}
  
其不同倍數的循環部分則是該循環數的循環排列：

  
    
      
        
          
            1
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            142857
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over 7}=0.{\overline {142857}}}
  

  
    
      
        
          
            2
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            285714
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {2 \over 7}=0.{\overline {285714}}}
  

  
    
      
        
          
            3
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            428571
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {3 \over 7}=0.{\overline {428571}}}
  

  
    
      
        
          
            4
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            571428
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {4 \over 7}=0.{\overline {571428}}}
  

  
    
      
        
          
            5
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            714285
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {5 \over 7}=0.{\overline {714285}}}
  

  
    
      
        
          
            6
            7
          
        
        =
        0.
        
          
            857142
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {6 \over 7}=0.{\overline {857142}}}