柯西-黎曼方程
複分析中的柯西 - 黎曼微分方程（英語：Cauchy–Riemann equations），又稱柯西 - 黎曼條件。是提供了可微函數在開集中為全純函數的充要條件的兩個偏微分方程，以柯西和黎曼得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾的著作中。後來歐拉將此方程組和解析函數聯繫起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於 1851 年問世。
在一對實值函數 
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle u (x,y)}
   和 
  
    
      
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle v (x,y)}
   上的柯西 - 黎曼方程組包括兩個方程：

(1a)     
  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}
  和

(1b)    
  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}
  通常，
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   和 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   取為一個複函數的實部和虛部：
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        =
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f (x+iy)=u (x,y)+iv (x,y)}
  。假設 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   和 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   在開集 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   上連續可微，則若且唯若 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   和 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   的偏微分滿足柯西 - 黎曼方程組 (1a) 和 (1b)，
  
    
      
        f
        =
        u
        +
        i
        v
      
    
    {\displaystyle f=u+iv}
   是全純的