呂利耶定理
球面三角學中，球面三角形的邊長與面積的關係由呂利耶定理給出。這是海倫公式向非歐幾何的推廣。

在半徑為
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  的球面上的球面三角形
  
    
      
        △
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC}
  ，其三邊
  
    
      
        B
        C
        ,
        C
        A
        ,
        A
        B
      
    
    {\displaystyle BC,CA,AB}
  的邊長（以三邊與球心所成角度表示）為
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  ，半周長為
  
    
      
        p
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        )
      
    
    {\displaystyle p={1 \over 2}(a+b+c)}
  。呂利耶定理給出它在球面上的面積：

  
    
      
        S
        =
        4
        
          R
          
            2
          
        
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              tan
              ⁡
              
                
                  p
                  2
                
              
              tan
              ⁡
              
                
                  
                    p
                    −
                    a
                  
                  2
                
              
              tan
              ⁡
              
                
                  
                    p
                    −
                    b
                  
                  2
                
              
              tan
              ⁡
              
                
                  
                    p
                    −
                    c
                  
                  2
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle S=4R^{2}\arctan \left ({\sqrt {\tan {p \over 2}\tan {\frac {p-a}{2}}\tan {\frac {p-b}{2}}\tan {\frac {p-c}{2}}}}\right)}
  。當球面曲率足夠小，球面近似於平面，從以上公式可得出海倫公式為其極限情形。事實上，當
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  比
  
    
      
        A
        B
        ,
        B
        C
        ,
        C
        A
      
    
    {\displaystyle AB,BC,CA}
  大的多，使得
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        <
        
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle a,b,c<\!\!<1}
  ，可作近似估算

  
    
      
        tan
        ⁡
        x
        ≈
        arctan
        ⁡
        x
        ≈
        x
      
    
    {\displaystyle \tan x\approx \arctan x\approx x}
  ，代入上式便得出海倫公式。