Lax 对
Lax 對定義。一個非線性偏微分方程 

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        t
        ,
        u
        ,
        …
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F (x,t,u,\dots)=0}
  
的 Lax 對 是一對線性微分算子
  
    
      
        L
        =
        L
        (
        u
        ,
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle L=L (u,\lambda)}
  

  
    
      
        M
        =
        M
        (
        u
        ,
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle M=M (u,\lambda)}
  

  
    
      
        [
        L
        ,
        M
        ]
        =
        L
        M
        −
        M
        L
      
    
    {\displaystyle [L,M]=LM-ML}
    是交換子。
如果  
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        t
        ,
        u
        ,
        …
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F (x,t,u,\dots)=0}
  可以表示為 Lax 方程：

  
    
      
        
          L
          
            t
          
        
        +
        [
        L
        ,
        M
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle L_{t}+[L,M]=0}
   , 且 
  
    
      
        L
        ϕ
        =
        λ
        (t)
        ϕ
      
    
    {\displaystyle L\phi =\lambda (t)\phi }
   , 則 
  
    
      
        
          λ
          
            t
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda _{t}=0}
   , 並且 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi}
   滿足

  
    
      
        
          ϕ
          
            t
          
        
        =
        M
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi _{t}=M\phi }