随机变量
給定樣本空間
  
    
      
        (
        S
        ,
        
          F
        
        )
      
    
    {\displaystyle (S,\mathbb {F} )}
  ，如果其上的實值函數

  
    
      
        X
        :
        S
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X:S\to \mathbb {R} }
  是
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} }
   (實值) 可測函數，則稱
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  為（實值）隨機變數。初等機率論中通常不涉及到可測性的概念，而直接把任何
  
    
      
        X
        :
        S
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X:S\to \mathbb {R} }
  的函數稱為隨機變數。
如果
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  指定給機率空間
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  中每一個事件
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  有一個實數
  
    
      
        X
        (e)
      
    
    {\displaystyle X (e)}
  ，同時針對每一個實數
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  都有一個事件集合
  
    
      
        
          A
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{r}}
  與其相對應，其中
  
    
      
        
          A
          
            r
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle A_{r}=}
   {
  
    
      
        e
        :
        X
        (e)
      
    
    {\displaystyle e:X (e)}
   ≤ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  }，那麼
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  被稱作隨機變數。隨機變數一般用大寫拉丁字母或小寫希臘字母（比如
  
    
      
        X
        ,
        Y
        ,
        Z
        ,
        ξ
        ,
        η
      
    
    {\displaystyle X,Y,Z,\xi ,\eta}
  ）來表示，從上面的定義注意到，隨機變數實質上是函數。稱其為變數是指可作為應變數。

例如，隨機擲兩個骰子，整個事件空間可以由 36 個元素組成：

  
    
      
        S
        =
        {
        (
        i
        ,
        j
        )
        
          |
        
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        6
        ,
        ;
        j
        =
        1
        ,
        …
        ,
        6
        }
      
    
    {\displaystyle S=\lbrace (i,j)|i=1,\ldots ,6,;j=1,\ldots ,6\rbrace }
  這裡可以構成多個隨機變數，比如隨機變數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  （獲得的兩個骰子的點數和）或者隨機變數
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  （獲得的兩個骰子的點數差），隨機變數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  可以有 11 個整數值，而隨機變數
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  只有 6 個。

  
    
      
        X
        (
        i
        ,
        j
        )
        :=
        i
        +
        j
        ,
        x
        =
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        12
      
    
    {\displaystyle X (i,j):=i+j,x=2,3,\ldots ,12}
  

  
    
      
        Y
        (
        i
        ,
        j
        )
        :=∣
        i
        −
        j
        ∣
        ,
        y
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
      
    
    {\displaystyle Y (i,j):=\mid i-j\mid ,y=0,1,2,3,4,5}
  又比如，在一次扔硬幣事件中，如果把獲得的背面的次數作為隨機變數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  ，則
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  可以取兩個值，分別是 0 和 1。
如果隨機變數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  的取值是有限的或者是可數無窮盡的值

  
    
      
        X
        =
        {
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        }
      
    
    {\displaystyle X=\lbrace x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,\rbrace }
  則稱
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  為離散隨機變數。
如果
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  由全部實數或者由一部分區間組成，

  
    
      
        X
        =
        {
        x
        
          |
        
        a
        ≤
        x
        ≤
        b
        }
      
    
    {\displaystyle X=\lbrace x|a\leq x\leq b\rbrace}
  , 
  
    
      
        −
        ∞
        <
        a
        <
        b
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty <a<b<\infty}
  則稱
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  為連續隨機變數。