矩阵还原
矩陣還原是在只有部分觀察值時填充矩陣缺失的條目的任務。自然地，各種數據集都以矩陣形式表示。一個例子是電影評級矩陣，如 Netflix 問題所示：給定一個評級矩陣，其中如果客戶
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  看過電影
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  那麼數據點
  
    
      
        (
        i
        ,
        j
        )
      
    
    {\displaystyle (i,j)}
  的值代表客戶
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  給電影
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  的評分，否則會該處沒有值，我們希望預測這種沒有值的數據點，以便就接下來要看什麼向客戶提出好的建議。另一個示例是術語文檔矩陣：文檔集合中使用的單詞頻率可以表示為矩陣，其中每個數據點對應於相關術語出現在指定文檔中的次數。
對還原後矩陣中的自由度數沒有任何限制，這個問題是不確定的，因為可以為隱藏的數據點分配任意值。因此，我們需要對矩陣進行一些假設來創建一個適定問題，比如假設它具有最大行列式，是正定的，或者是低秩的。  
例如，可以假設矩陣具有低秩結構，接下來試圖找到最低秩的矩陣，或者，如果還原後的矩陣的秩是已知的，那麼一個秩 - r 的矩陣會與已知數據點匹配。該圖顯示，可以在零錯誤（右側）的條件下還原部分顯示的秩 1 矩陣（左側），因為所有缺少數據點的行都應與第三行相同。在 Netflix 問題的情況下，由於用戶偏好通常可以通過少數因素來描述，例如電影類型和發行時間，因此評分矩陣會是低秩的。其他應用包括計算機成像，需要重建圖像中丟失的像素，從局部距離信息中檢測傳感器在網絡中的全局位置，以及多類學習。矩陣完成問題通常是 NP - 難問題，但是在其他假設下，有一些有效的算法可以以很高的概率實現精確的重構。
從統計學習的角度來看，矩陣還原問題是矩陣正則化的一種應用，矩陣正則化是向量正則化的推廣。例如，在低秩矩陣還原問題中，可以應用核範數形式的正則化懲罰
  
    
      
        R
        (X)
        =
        λ
        ‖
        X
        
          ‖
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle R (X)=\lambda \|X\|_{*}}