梅林变换
在數學中，梅林變換是一種以冪函數為核的積分變換，與雙邊拉普拉斯變換有密切關聯。梅林變換定義式如下：

  
    
      
        
          {
          
            
              
                M
              
            
            f
          
          }
        
        (s)
        =
        φ
        (s)
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            s
            −
            1
          
        
        f
        (x)
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}} f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty} x^{s-1} f (x) dx.}
  而其逆變換為

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  M
                
              
              
                −
                1
              
            
            φ
          
          }
        
        (x)
        =
        f
        (x)
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            c
            −
            i
            ∞
          
          
            c
            +
            i
            ∞
          
        
        
          x
          
            −
            s
          
        
        φ
        (s)
        
        d
        s
        .
      
    
    {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s}\varphi (s)\,ds.}
  梅林變換有許多應用。出於它與狄利克雷級數的聯繫，它也被用以證明黎曼 ζ 函數與素數計數函數有關的的函數方程；進一步地，它也與解析數論有關，如在佩龍公式中。
同時，它與伽馬函數密切相關，很多常見函數的梅林變換中都需要用到伽馬函數或它衍生出的貝塔函數；這使得它被運用在梅林 - 巴恩斯積分和超幾何函數的理論中，衍生出了在計算機代數系統中使用的，可以快速計算大量定積分的 Meijer_G - 函數。