幂级数
在數學中，冪級數（power series）是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個（見「多元冪級數」一節）。單變量的冪級數形式為：

  
    
      
        f
        (x)
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              c
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f (x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_{n}\left (x-c\right)^{n}}
  

  
    
      
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            3
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
  其中的 c 和
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ⋯
        
          a
          
            n
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots }
  是常數。
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ⋯
        
          a
          
            n
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots }
  稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函數，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「無窮次的多項式」。
如果把
  
    
      
        (
        x
        −
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (x-c)}
  看成一項，那麼冪級數可以化簡為
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}
  的形式。後者被稱為冪級數的標準形式。一個標準形式的冪級數完全由它的係數來決定。
將一個函數寫成冪級數
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              x
              −
              c
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty} a_{n}\left (x-c\right)^{n}}
  的形式稱為將函數在 c 處展開成冪級數。不是每個函數都可以展開成冪級數。
冪級數是分析學研究的重點之一，然而在組合數學中，冪級數也占有一席之地。作為母函數，由冪級數概念發展出來的形式冪級數是許多組合恆等式的來源。在電子工程學中，冪級數則被稱為 Z - 變換。實數的小數記法也可以被看做冪級數的一種，只不過這裡的 x 被固定為
  
    
      
        
          
            1
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{10}}}
  。在 p - 進數中則可以見到 x 被固定為
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
  的冪級數。