算术-几何平均数
兩個正實數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  的算術 - 幾何平均數定義如下：
首先計算
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  算術平均數（相加平均），稱其為
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  。然後計算
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  幾何平均數（相乘平均），稱其為
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{1}}
  ；這是
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  的算術平方根。

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              x
              +
              y
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}}
  
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        =
        
          
            x
            y
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}
  然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
  和
  
    
      
        {
        
          g
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{g_{n}\}}
  ：

  
    
      
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              +
              
                g
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}
  
  
    
      
        
          g
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            
              g
              
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n} g_{n}}}.}
  這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  的算術 - 幾何平均數，記為
  
    
      
        M
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle M (x,y)}
  ，或
  
    
      
        
          a
          g
          m
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)}
  。