米迪定理
米迪定理說明如果將
  
    
      
        
          
            a
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{p}}}
  化為 b 進位小數（其中 p 為質數，a 是小於 p 的正整數），且小數的循環節長度是偶數，則有以下性質：

若將這個分數用循環小數寫成
  
    
      
        0.
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  3
                
              
              .
              .
              .
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              .
              .
              .
              
                a
                
                  2
                  n
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle 0.{\overline {a_{1} a_{2} a_{3}...a_{n} a_{n+1}...a_{2n}}}}
  ，則

  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        +
        
          a
          
            i
            +
            n
          
        
        =
        b
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=b-1}
  

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        …
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        …
        
          a
          
            2
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^{n}-1.}
  這個定理還可再推廣為廣義米迪定理：若把長度 2n 的循環節劃分為長度為 k 的
  
    
      
        
          
            
              2
              n
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2n}{k}}}
  個組，即
  
    
      
        0.
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                a
                
                  k
                
              
              
                a
                
                  k
                  +
                  1
                
              
              ⋯
              
                a
                
                  2
                  k
                
              
              ⋯
              
                a
                
                  2
                  n
                  −
                  k
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  2
                  n
                  −
                  k
                  +
                  2
                
              
              ⋯
              
                a
                
                  2
                  n
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle 0.{\overline {a_{1} a_{2}\cdots a_{k} a_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1} a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}}}
  ，則
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        .
        .
        .
        
          a
          
            k
          
        
        +
        
          a
          
            k
            +
            1
          
        
        
          a
          
            k
            +
            2
          
        
        .
        .
        .
        
          a
          
            2
            k
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            2
            n
            −
            k
            +
            1
          
        
        
          a
          
            l
            −
            k
            +
            2
          
        
        .
        .
        .
        
          a
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1} a_{2}...a_{k}+a_{k+1} a_{k+2}...a_{2k}+...+a_{2n-k+1} a_{l-k+2}...a_{2n}}
  是
  
    
      
        
          b
          
            k
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle b^{k}-1}
  的倍數。