數學史

context: zh_tw: 古巴比倫數學指從早期蘇米爾到希臘化時期和幾乎是基督教曙光這段時期，任何美索不達米亞（現伊拉克）人的數學。巴比倫的數學主要來自兩個獨立的時期：公元前 2000 年的最初的幾百年（舊巴比倫時期）和公元前 1000 年的幾個世紀（塞琉古帝國時期）。之所以命名為巴比倫數學，是因為巴比倫是當時數學研究中的中心。接著，在阿拉伯帝國之後，美索不達米亞，特別是巴格達，則再次成為了阿拉伯數學研究的中心。
qas: question: zh_tw: 什麼被稱為古巴比倫數學？
en: What is known as Babylonian Mathematics?
answers: zh_tw: text: 任何美索不達米亞（現伊拉克）人的數學

question: zh_tw: 什麼型別的數學？
en: What type of mathematics?
answers: zh_tw: text: 巴比倫

context: zh_tw: 巴比倫數學是用 60 進位制的計數系統寫成的。現代文明中的 60 秒是一分鐘，60 分鐘是一小時，一個圓周是 360（60x6）度，以及用 “分” 和 “秒” 來表示非 整數的弧度，都是來自巴比倫的這套計數系統。之所以選擇 60 進位制，可能是因為 60 可以被 2、3、4、5、6、10、12、15、20 和 30 整除。同時，不 像埃及、希臘或羅馬，古巴比倫人使用的是真正的位值制系統，左側的數字代表較大的值，和現代的十進位制系統非常相似。巴比倫計數系統的強大之處在於，分數 可以像整數一樣方便的表示，而分數乘法和整數乘法沒有區別，這也和現代計數系統相似。巴比倫人的計數法要優於文藝復興之前的任何一個文明，這套計數法的力量允許人們 達到非凡計算能力和計算精確度。例如，巴比倫泥板 YBC 7289 將根號 2 計算到了（十進位制）小數點後 5 位。然而，巴比倫人缺乏類似十進位制的小數點，因此要確認一個符號的進位，通常只能根據上下文來判斷。在塞琉 古帝國時期，巴比倫人發明了零的符號，作為空數位的佔位符，然而這隻用在數字的中間，零沒有出現在數字的末尾，因此巴比倫人發明了非常接近但並非真正的進 位系統。
qas: question: zh_tw: 是誰開始將一小時劃分成 60 分鐘、一分鐘劃分成 60 秒？
en: Who started the division of the hour into 60 minutes and of the minute into 60 seconds
answers: zh_tw: text: 古巴比倫人

context: zh_tw: 古希臘數學被認為是源於泰勒斯（公元前 624 到 546 年）和畢達哥拉斯（公元前 582 到 507 年）。雖然他們的影響程度依然是有爭議的，但他們或許受到了埃及和巴比倫數學的啟發。根據傳說，畢達哥拉斯曾前往埃及向祭司學習數學、幾何以及天文學。
qas: question: zh_tw: 向埃及祭司學習的是哪些科目？
en: What subjects were learned from Egyptian religious figures?
answers: zh_tw: text: 數學、幾何以及天文學

context: zh_tw: 在 公元前 212 年，秦始皇下令焚燒一切不被大秦帝國認可的書籍，史稱焚書坑儒，儘管命令並沒有被絕對遵守，但這導致了我們對在此之前的中國數學不甚瞭解。在 焚書之後的公元前 212 年，成書於漢朝的，被認為是擴充套件了數學的部分相關著作，如今也已遺失。在這類著作中，最重要的是《九章算術》，此書完整的標題首次出現在公元 179 年，但在這之前也有提到過部分。本書包括了 246 個應用題，包含了農業、商業、求塔的高度、工程學和測繪學，還包括了關於直角三角形的 pi 數值的內 容。它還證明了勾股定理，以及高斯消元的公式。劉徽在公元 3 世紀所作的註釋中，給出了精確到小數點後 5 位的圓周率。到了公元 5 世紀，祖沖之將 pi 計算到了小數點後 7 位，儘管他更多是靠計算上的毅力而不是理論的創新，但 這依然是之後 1000 年間最準確的 pi 值。他也發明了現稱為卡瓦列裡原理的方法計算球的體積。
qas: question: zh_tw: 何時出現《九章算術》完整標題？
en: When did the full title of Mathematical arts come to be?
answers: zh_tw: text: 公元 179 年

context: zh_tw: 在九世紀，波斯數學家穆罕默德・伊本・穆薩・花拉子米寫下了很多關於印度 - 阿 拉伯數字和方程解法的重要書籍。他在公元 825 年寫成的《印度數字的計算》，加上肯迪的著作，共同把印度數學和印度數字傳入西方。Algorithm（演算法）這個單詞就是來自花拉子米名字的拉丁化拼寫 Algoritmi；而 algebra（代數）這個單詞則來自他的一本書，《消去與還原》（Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala）。他對根為整數的二次方程給出了詳盡的代數解法，是為了代數本身而講授初等形式代數的第一人。他同時也討論了兩種解方程的基本方法，“消去” 和 “平衡”，也就是把方程一側被減去的項，轉移到方程的另一側，從而將一側的項 “消去” 了。花拉子米把這種方法稱為 al-jabr。他的代數學不再僅僅注重 “給出的一系列問題，而是從基本術語開始講解，給出所有可能出現的方程形式，從而明確了真正的研究物件”。他是為了方程本身而研究方程，他的研究是 “在一般意義上的研究，不僅僅是為了解決一個問題，而是為了能透過它解決無限多個問題”。
qas: question: zh_tw: 演算法這個詞從什麼語言衍生而來？
en: In what language is the word Algoritmi derived from?
answers: zh_tw: text: 拉丁化

context: zh_tw: 代數學的更深遠發展是由 Al-Karaji 在他的專著《al-Fakhri》中作出的。其中，他將數學方法進行了擴充套件來 incorporate integer powers and integer roots of unknown quantities。在 Al-Karaji 在公元 1000 年左右寫成的一本書中，出現了一份很接近歸納法的數學證明，被用來證明二項式定理、帕斯卡三角形和立體積分求合的命題。數學史學家 F.Woepcke，讚揚 Al-Karaji 是 “引入代數微積分理論的第一人。” 同樣在公元 10 世紀，Abul Wafa 將丟番圖的著作翻譯成了阿拉伯語。lbn al-Haytham  是第一個推匯出四次冪和的公式的數學家，他使用的方法可以非常容易推廣出能求任意次冪和的公式。他為了求拋物面面積而計算了積分，並且能夠將他的結果推廣 到任何四次以內的多項式中。因此可以說，他差點就發現了計算多項式積分的通用公式，然而他並不關心高於四次的多項式。
qas: question: zh_tw: 是誰在 10 世紀將丟番圖的作品翻譯成阿拉伯語？
en: Who translated the work of Diophantus into Arabic in the 10th century?
answers: zh_tw: text: Abul Wafa

question: zh_tw: 這本書寫於哪一年？
en: when was the book written?
answers: zh_tw: text: 公元 1000 年

context: zh_tw: 11 世紀晚期，Omar Khayyam 寫成了《歐幾里得困難的討論》，對歐幾里得《幾何原本》中他認為存在的缺陷進行了討論，特別是關於平行公設的問題（即著名的第五公設）。他也是第一個發現了三次方程幾何上的一般解，對曆法改革也施加了重要的影響。13 世紀，Nasir al-Din Tusi 推進了球面三角學的發展，他也寫下了關於歐幾里得平行公設具有影響力的著作。16 世紀，Ghiyath al-Kasi 將圓周率的值計算到了小數點後 16 位。Kashi 也提出了一個求 n 次方根的演算法，他的這個演算法是數個世紀後保羅・魯非尼和威廉・喬治・霍納提出的方法的一個特例。
qas: question: zh_tw: 喀什是如何計算 n 次方根的？
en: How did Kashi calculate nth roots?
answers: zh_tw: text: 提出了一個求 n 次方根的演算法

context: zh_tw: 因為導航和大面積精確地圖的需求驅動，三角幾何學成長為數學的一個重大分支。Bartholomaeus Pitiscus 首次使用了該詞語，在 1595 年出版了《三角幾何學》。Regiomontanus 的正弦和餘弦函式表則在 1533 年出版。
qas: question: zh_tw: 為何三角幾何學成長那麼快？
en: Why did trigonometry grow so fast?
answers: zh_tw: text: 導航和大面積精確地圖的需求

context: zh_tw: 除 了研究天空的應用數學以外，應用數學伴隨著皮埃爾・德・費馬和布萊茲・帕斯卡的工作而開拓了新的領域。帕斯卡和費馬奠定了機率論研究的基根，並對賭博遊戲 進行討論而發展了相應的組合數學。帕斯卡還利用他最新研究出來的機率論提出了帕斯卡賭注。帕斯卡試圖表明，皈依宗教的理由在於，儘管成功的機率很低，但得 到的獎賞卻是無限的。某種程度上，這預示了 18 到 19 世紀發展的功利主義的出現。
qas: question: zh_tw: 誰的工作幫助開拓了數學到新的領域？
en: Whose correspondence helped spread mathematics to new ares?
answers: zh_tw: text: 皮埃爾・德・費馬和布萊茲・帕斯卡

question: zh_tw: 效用論什麼時候被想出來？
en: When was the utility theory thought of?
answers: zh_tw: text: 18 到 19 世紀

question: zh_tw: 帕斯卡的什麼理論預示了功利主義理論？
en: What theory of Pascal's foreshadowed utility theory?
answers: zh_tw: text: 機率論

context: zh_tw: 在 19 世紀期間，數學的抽象程度顯著增加了。卡爾・弗里德里希・高斯是這股浪潮的縮影。姑且不談他對科學的貢獻，他在複變函式、幾何學和收斂級數上做出了革命性的工作。它也是給出代數基本定理和二次互反律令人滿意的證明的第一人。
qas: question: zh_tw: 卡爾・弗里德里希・高斯最重要的發現是什麼？
en: which is the most important discovery of Carl friedrich Gauss?
answers: zh_tw: text: 代數基本定理和二次互反律

context: zh_tw: 同時，數學的侷限性也第一次被發現了。挪威人尼爾斯・阿貝爾和法國人埃瓦里斯特・伽羅瓦證明了高於四次的多項式方程不存在通行的代數解法，也就是阿貝爾 - 魯菲尼定理。其它 19 世紀的數學家應用了這個定理，從而證明了僅靠尺規作圖將三等分任意角、將一個立方體擴大兩倍，或者構造一個和正方形面積相等的圓，都是 不可能的。而自古希臘以來數學家就在嘗試解決這三個難題了。在另一方面，幾何學僅有三維的侷限性，因引數空間和超複數的提出而被克服了。
qas: question: zh_tw: 尼爾斯・阿貝爾的國籍是什麼？
en: What nationality is Niels Henrik Abel?
answers: zh_tw: text: 挪威人

question: zh_tw: 數學家徒勞地嘗試了什麼？
en: What did the mathematicians vainly attempted?
answers: zh_tw: text: 解決這三個難題