アンリ・ルベーグ
これは数学的技術よりも歴史的な位置づけに重点を置いた解説である。現代数学的な取り扱いについてはルベーグ積分を参照のこと。
積分とはくだけて言えば関数のグラフの下の領域の面積を求めることに対応する数学的な操作である。積分論のもっとも古い現れは紀元前3世紀のアルキメデスらによる求積法であるが、この時代のものは高い幾何学的対称性を持った図形にしか適用できない方法論だった。17世紀になり、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツにより独立に、大まかに言えば微分(関数がグラフ上の与えられた点においてどれだけ急に変化するかを計る方法)の逆操作としてとらえた積分の概念が見いだされた。これを出発として様々なクラスの積分が初めて計算可能となった。しかしながら、ユークリッド幾何学に基づいていたアルキメデスの方法と異なり、この時点でニュートンやライプニッツの微積分法には厳密な基礎付けが与えられていなかった。
19世紀になってようやくオーギュスタン=ルイ・コーシーにより関数の極限に関する厳密な理論が出来上がり、続いてベルンハルト・リーマンによって今日リーマン積分と呼ばれる定式化が達成された。この積分を定義するにあたっては、グラフの下の領域を細い長方形に分割しそれぞれの長方形の面積を足しあわせた量について、分割をどんどんと細かくしていったときの極限が考察される。しかし、関数によってはこの極限が一つの数に確定するとはかぎらず、そのような関数はリーマン可積分でないことになる。
ルベーグはこの問題を部分的に解決する新しい積分の方法を発明した。関数の定義域を細分して「長方形」の面積を足し合わせるかわりに、ルベーグは関数の値域の分割に着目して面積の計算のための基本領域を設定した。