交代多重線型形式
↑ Spivak (1965) は V 上の k-余ベクトル全体の成す空間を表すのに Ω k ( V ) {\displaystyle \Omega ^{k}(V)} を用いているが、ふつうは Ω k ( V ) {\displaystyle \Omega ^{k}(V)} は専ら V 上の微分 k-形式の空間を表すのに用いられる。
V の基底を ( v 1 , ... , v n ) {\textstyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} とし、その双対基底を ( φ 1 , ... , φ n ) {\textstyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})} とすれば、楔積の集合
は A k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)} の基底を成す。したがって、V が n-次元のとき、 A k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)} の次元は ( n k ) = n ! ( n − k ) ! k ! {\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}} に等しい。
V 上の k-重線型交代形式は(特に係数体が R のとき)、k-階の多重余ベクトル (multicovector of degree k) または k-重余ベクトル(あるいは短く k-余ベクトル; k-covector)と呼ばれ、k-重線型交代形式全体の成すベクトル空間を共変テンソルの空間 T k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(V)} の部分空間と見なすとき、一般には A k ( V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)} あるいはそれと同型な k-次外冪の記法で ⋀ k V ∗ {\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}} (V* は V の双対空間)などと書く。線型汎函数(多重線型 1-形式)は自明に交代的であるから A 1 ( V ) = T 1 ( V ) = V ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}_{1}(V)=V^{*}} であり、また 0-形式はスカラーのことと約束することにより A 0 ( V ) = T 0 ( V ) = R {\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}_{0}(V)=\mathbb {R} } であることに注意する。
↑ Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd ed.). New York: Springer. pp. 22–23. ISBN 978-1-4419-7399-3
↑ Halmos, Paul R. (1958). Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd ed.). New York: Van Nostrand. pp. 50. ISBN 0-387-90093-4