Z変換
両側Z変換は両側ラプラス変換を離散化したものである。
関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} を周期 T {\displaystyle T} で離散化すると、
f ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle f(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}
である。これを両側ラプラス変換すると、
∫ − ∞ ∞ e − s t { f ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) } d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\{f(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\}dt}
積分は線形性が成り立つので、