一般化モーメント法
データは制約を満たすほど近づかない。)
仮説 H 0 {\displaystyle H_{0}} の下で以下のJ検定統計量は漸近的に自由度 k-l のカイ2乗分布に従う。
J ≡ T ⋅ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ^ ) ) ′ W ^ T ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ^ ) ) → d χ k − l 2 {\displaystyle J\equiv T\cdot {\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},{\hat {\theta }}){\bigg )}'{\hat {W}}_{T}{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},{\hat {\theta }}){\bigg )}\ {\xrightarrow {d}}\ \chi _{k-\ell }^{2}} under H 0 , {\displaystyle H_{0},}
ここで θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} はパラメーター θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} の一般化モーメント法による推定量、k はモーメント条件の数(ベクトル g の次元)、l は推定パラメーターの数(ベクトル θ の次元)である。行列 W ^ T {\displaystyle {\hat {W}}_{T}} は Ω − 1 {\displaystyle \Omega ^{-1}} に確率収束しなくてはならない。
一般化モーメント法(いっぱんかモーメントほう、英: generalized method of moments, GMM)とは、計量経済学において統計モデルのパラメーターを推定するための一般的な方法である。
一般化モーメント法においては、モデルについてのいくつかのモーメント条件が特定されている必要がある。これらのモーメント条件はモデルのパラメーターとデータの関数である。例えば、真のパラメーターの下で期待値が0となるようなものがある。この時、一般化モーメント法はモーメント条件の標本平均のあるノルムを最小化する。
一般化モーメント法による推定量は一致性、漸近正規性を持つことが知られ、さらにモーメント条件以外の情報を使わないすべての推定量のクラスにおいて統計的に効率的であることも知られている。
一般化モーメント法はラース・ハンセンにより1982年に、カール・ピアソンが1894年に導入したモーメント法の一つの一般化として提案された。ハンセンは一般化モーメント法とそれのファイナンスへの応用により2013年のノーベル経済学賞を受賞した。