谷山–志村予想
1955年、「代数的整数論に関する国際会議」が9月8日から9月13日までの日程で東京と日光を会場として開催された。外国からはアンドレ・ヴェイユやジャン=ピエール・セールが招かれ、日本からは志村五郎や谷山豊が参加した。この会議で多くの人から問題が集められ配布された。その中で谷山は次の問題を(他の問題とともに)提出した。
問題12. C {\displaystyle C} を代数体 k {\displaystyle k} 上で定義された楕円曲線とし k {\displaystyle k} 上 C {\displaystyle C} の L {\displaystyle L} -函数を L C ( s ) {\displaystyle L_{C}(s)} とかく:
ζ C ( s ) = ζ K ( s ) ζ K ( s − 1 ) / L C ( s ) {\displaystyle \zeta _{C}(s)=\zeta _{K}(s)\zeta _{K}(s-1)/L_{C}(s)} 〔ママ〕
は k {\displaystyle k} 上 C {\displaystyle C} の zeta 函数である. もし Hasse の予想が ζ C ( s ) {\displaystyle \zeta _{C}(s)} に対し正しいとすれば, L C ( s ) {\displaystyle L_{C}(s)} より Mellin 逆変換で得られる Fourier 級数は特別な形の −2 次元の automorphic form でなければならない.
この時、ヤコビアン J 0 ( N ) := J a c ( X 0 ( N ) ) {\displaystyle J_{0}\left(N\right):=\mathrm {Jac} (X_{0}\left(N\right))} は、ヘッケ作用素によって次のように分解される。
J 0 → ⨁ f ( A f ) m f . {\displaystyle J_{0}\rightarrow \bigoplus _{f}\left(A_{f}\right)^{m_{f}}.}
ここで、 f {\displaystyle f} に関する和は、新形式 f ∈ S 2 ( Γ 0 ( M f ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma _{0}\left(M_{f}\right)\right)} に 入れたある同値関係によって分類される同値類の代表元についての和、 M f {\displaystyle M_{f}} は N {\displaystyle N} の約数、 m f {\displaystyle m_{f}} は N / M f {\displaystyle N/M_{f}} の約数の数である。