カー解
カー解(カーかい、Kerr solution)、カー計量(Kerr metric)あるいはカー・ブラックホール解とは、一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式の厳密解の一つで、真空中を定常的に回転する軸対称なブラックホールを表現している。ニュージーランドの数学者ロイ・カー(Roy Kerr)によって1963年に発見された。カー計量によって表現される時空には、時間並進と回転に関する2つの等長変換群(アイソメトリー)が作用する。ペトロフ(A. Z. Petrov)による分類によれば、カー計量はDタイプに属する。
すぐ後に、さらに電荷を帯びた カー・ニューマン解(Kerr‐Newman)も発見され、角運動量・質量・電荷の3つのパラメータを持つブラックホール解として、その後、一般相対性理論の描く時空の姿の理解に広く使われている。
カー・ブラックホールでは、事象の地平面の外側には、回転の影響により、観測者が一点に留まれないエルゴ領域 (ergo region) と呼ばれる領域が形成される。
カー自身が彼の論文の中で使った座標ではないが、カー計量はボイヤー(R. H. Boyer)とリンキスト(R. W. Lindquist)によって導入された座標(ボイヤー・リンキスト座標)を用いて次のような形に書かれるのが一般的である。
d s 2 = − ( 1 − 2 M r Σ ) d t 2 − 4 a M r sin 2  θ Σ d t d φ + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 + ( r 2 + a 2 + 2 a 2 M r sin 2  θ Σ ) sin 2  θ d φ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=&-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)dt^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}dtd\phi \\&+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\end{aligned}}}
ここで、
Σ = r 2 + a 2 cos 2  θ , Δ = r 2 − 2 M r + a 2 {\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,\quad \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\,}