ベクトル空間
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ⊗F W あるいは単に V ⊗ W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g: V × W → X; (v, w) ↦ g(v, w) が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v ↦ g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の(形式的な)有限和
v 1 ⊗ w 1 + v 2 ⊗ w 2 + ⋯ + v n ⊗ w n {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}_{2}+\dotsb +{\boldsymbol {v}}_{n}\otimes {\boldsymbol {w}}_{n}}
T(V) はベクトル空間としては、単純テンソルあるいは分解可能型テンソルと呼ばれる記号
v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v n {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {v}}_{2}\otimes \dotsb \otimes {\boldsymbol {v}}_{n}}
によって生成される(ただし、テンソルの階数(英語版) n は任意に動かすものとする)。乗法は二つのベクトル空間に対してテンソル積を定義するときとほとんど同じで、基底元についてはそれらの記号をテンソル積 ⊗ で結合することで与え、一般には加法に対する分配律を以って基底元に対する積を延長する。スカラー倍の積は ⊗ と可換であるものとする。こうして得られる T(V) においては、一般に v1 ⊗ v2 と v2 ⊗ v1 との間には何の関係も成立しない。この二つの元を強制的に等しいものと定めると対称代数 S(V) が、あるいは強制的に v1 ⊗ v2 = − v2 ⊗ v1 と置けば外積代数 ⋀ ( V ) {\textstyle \bigwedge (V)} がそれぞれ得られる。
基礎とする体 F を明示したい場合には、F-多元環あるいは F-代数という言葉がよく用いられる。
ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である。ボルツァーノの研究はアウグスト・フェルディナント・メビウスが1827年に提唱した重心座標系(英語版) (英: barycentric coordinates) の概念を用いて構築されたものであった。ベクトルの定義の基礎となったのは、ジュスト・ベラヴィティス(英語版)の双点 (英: bipoint) の概念で、これは一方の端点を始点、他方の端点を終点とする有向線分である。ベクトルは、ジャン=ロベール・アルガン(英語版)とウィリアム・ローワン・ハミルトンにより複素数の表現として見直され、後の四元数や双四元数(英語版)の概念へと繋がっていく。これらの数はそれぞれ R, R, R の元であり、これらに対する線型結合を用いた取扱いは、1867年のエドモンド・ラゲール(彼は線型方程式系も定義した)まで遡れる。
順序体(特に実数体)上で、凸解析の概念を考えることができる。最も基本的なものは、非負線型結合全体からなる錐、および和が 1 となる非負線型結合全体からなる凸集合である。凸集合はアフィン空間の公理と錐体の公理を組み合わせたものとして見ることができ、これは凸集合の標準空間である n-単体がアフィン超平面と象限との交わりであることを反映したものになっている。このような空間は特に線型計画問題において用いられる。
普遍代数学の言葉で言えば、ベクトル空間はベクトルの有限和に対応する係数の有限列全体の成す普遍ベクトル空間 K 上の代数であるが、一方アフィン空間はここでいう(和が 1 の有限列全体の成す)普遍アフィン超平面上の代数であり、また錐体は普遍象限上の代数、凸集合は普遍単体上の代数である。これは、「座標に対する(可能な)制限和」を用いて公理を幾何化したものである。
線型代数学における多くの概念は凸解析における対応する概念があって、基本的なものとしては基底や(凸包のような形での)生成概念など、また重要なものとしては(双対多角形、双対錐体、双対問題のような)双対性などが含まれる。しかし線型代数学において任意のベクトル空間やアフィン空間が標準空間に同型となるのとは異なり、任意の凸集合や錐体が単体や象限に同型となるわけではない。むしろ単体から多面体の上への写像が一般化された重心座標系(英語版)によって常に存在し、またその双対写像として多面体から(面の数と等しい次元の)象限の中への写像がスラック変数(英語版)によって存在するが、これらが同型となることは稀である(ほとんどの多面体は単体でも象限でもない)。
基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの(有限または無限)集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。この条件は、任意のベクトル v が、基底元の有限線型結合
v = a 1 v i 1 + a 2 v i 2 + ⋯ + a n v i n {\displaystyle v=a_{1}{\boldsymbol {v}}_{i_{1}}+a_{2}{\boldsymbol {v}}_{i_{2}}+\dotsb +a_{n}{\boldsymbol {v}}_{i_{n}}}
(ak がスカラーで vik が基底 B の元 (k = 1, ..., n))として表されることを意味し、また極小性は B が線型独立性を持つようにするためのものである。ここでベクトルの集合が線型独立であるというのは、その何れの元も残りの元の線型結合として表されることがないときに言い、これはまた方程式
a 1 v i 1 + a 2 v i 2 + ⋯ + a n v i n = 0 {\displaystyle a_{1}{\boldsymbol {v}}_{i_{1}}+a_{2}{\boldsymbol {v}}_{i_{2}}+\dotsb +a_{n}{\boldsymbol {v}}_{i_{n}}={\boldsymbol {0}}}