中心二項係数
属関数は中心二項係数に適用される。
1 1 − 4 x = 1 + 2 x + 6 x 2 + 20 x 3 + 70 x 4 + 252 x 5 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}
ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。
( 2 n n ) = 2 2 n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) ∼ 4 n π n ( n → ∞ ) {\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\quad (n\rightarrow \infty )}
最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。
単純な境界は次のように与えられる。
4 n 2 n + 1 ≤ ( 2 n n ) ≤ 4 n , ( n ≥ 1 ) .