ナビエ–ストークス方程式
粘性率 μ や χ は温度や圧力の関数であり一定ではないが、多くの場合に粘性率は一定とみなされる。 この場合は粘性率の勾配を含む項を落として
D v D t = − 1 ρ grad  p + μ ρ Δ v + λ + μ ρ grad  Θ + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\frac {\mu }{\rho }}\Delta {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\operatorname {grad} \Theta +{\boldsymbol {g}}}
となる。また、体積粘性率 χ は小さいので、χ = 0 に選べば
D v D t = − 1 ρ grad  p + ν Δ v + ν 3 grad  Θ + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+\nu \Delta {\boldsymbol {v}}+{\frac {\nu }{3}}\operatorname {grad} \Theta +{\boldsymbol {g}}}
となる(ストークスの仮説)。ここで ν = μ/ρ は動粘性率である。
上記の、非圧縮性流れに対するナビエ–ストークス方程式は、未知数として圧力 p {\displaystyle \;p\;} と流速 v {\displaystyle \;{\boldsymbol {v}}\;} を含んでいる。したがって未知数決定に必要な方程式の数が足りない。そこで、質量保存則から導かれる連続の式(非圧縮性流れについては次の形)
∇ ⋅ v = d i v v = 0 (for incompressible flow) {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\mathrm {div} \,{\boldsymbol {v}}=0\quad {\text{(for incompressible flow)}}}
と連立することによって、原理的には解くことが可能である。もし一般解が求まれば、流体の挙動を完全に知る事ができることになるが、未だに一般解は発見されていない。また、解の存在可能性についても明らかとはなっておらず、物理学と数学の両方に跨る重要な課題の一つとなっている(ミレニアム懸賞問題、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ参照)。従って、極めて特殊な制約条件の問題を除いて数値解析によって近似的に解を求める。
流れが主流方向を持ち(逆流、再循環および剥離がない)、幾何的な変形が緩やかなときに行う近似法を境界層近似という。