ニュートン・コーツの公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b L ( x ) d x = ∫ a b ( ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) ) d x = ∑ i = 0 n f ( x i ) ∫ a b l i ( x ) d x ⏟ w i {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}}
また、以上の導出から重みは関数 f によらず、xi のみによって決まることがわかる。
n 次の開いたニュートン・コーツの公式の場合は、 x i = a + ( i + 1 ) b − a n + 2 {\displaystyle {\displaystyle x_{i}=a+(i+1){\frac {b-a}{n+2}}}\ } ( i = 0 , . . . , n ) {\displaystyle (i=0,...,n)} とし、重みは閉じたものと同様である。