ファインマン–カッツの公式
の解 v ( t , x ) {\displaystyle \;v(t,x)\;} は、
v ( t , x ) = E x [ f ( W T − t ) exp  ( − ∫ 0 T − t k ( W s ) d s ) + ∫ 0 T − t g ( t + θ , W θ ) exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) d θ ] , t ∈ [ 0 , T ] , x ∈ R d , {\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[f(W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)+\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\;}
で与えられる。 v ( t , x ) {\displaystyle \;v(t,x)\;} は一意である 。 ただし、 E x {\displaystyle \;E^{x}\;} は、初期時刻 t = 0 {\displaystyle \;t=0\;} において x {\displaystyle \;\mathbf {x} \;} から出発するブラウン運動に関する期待値を表す 。
ファインマンが経路積分による量子化を発見したのが、この公式の研究の発端である 。カッツは、シュレディンガー方程式ではなく拡散方程式を考察することで、確率過程として数学的に厳密な定式化を行った。ファインマン-カッツの公式は拡散方程式に対する公式であることに注意すべきである。実時間でのシュレディンガー方程式に対する解までこみでファインマン-カッツの公式と呼ぶこともあるが、拡散方程式に対してのみこう呼ぶのが厳密には正しい。実時間のシュレディンガー方程式に対しては、測度論を基礎にして解の公式を構成することはできない。実時間での経路積分を、虚時間の理論でファインマン・カッツの公式を適用したあとで時間パラメータに関しての解析接続によって導こうという方法論は、一般的に適用可能な数学的厳密性を持ったアプローチなのか否かはおそらくわかっていない。現在のところ、時間を無限に分割し、分点ごとに積分し、その後で極限値をとることで経路積分は定義されていると考えるのが一般的に適用可能なアプローチである。