正規直交基底
ツォルンの補題とグラム・シュミットの正規直交化法を用いて(あるいはもっと単純に、整列順序と超限帰納法を用いて)、「任意の」ヒルベルト空間が基底を持つこと、従って正規直交基底を持つことが示される。さらに、一つの空間のどの二つの正規直交基底も同一の濃度を持つことが示せる(このことは、大きいほうの基底が可算濃度となりうるかどうかで場合分けして、通常の有限次元ベクトル空間の場合(ベクトル空間の次元定理(英語版))の証明とほぼ同じ方法で示せる)。ヒルベルト空間が可分となるのは、それが可算正規直交基底をもつときであり、かつそのときに限る(これは選択公理を用いなくとも言える)。