リミットサイクル
あるいは、安定な平衡点と不安定なリミットサイクルが不安定な平衡点に遷移する場合もある。ホップ分岐は局所分岐の1種である。リミットサイクルが関わる大域分岐としては、ホモクリニック分岐やリミットサイクル同士が衝突するサドルノード分岐などがある。
周期軌道の安定性は、ポアンカレ写像の構成や周期軌道周りの線形化方程式(変分方程式)の構成から判別できる。適当な n − 1 次元の局所断面を取り、ポアンカレ写像を設定することで連続力学系の周期解を離散力学系の写像に置き換えることができる。写像が漸近安定な不動点を持つ場合は元の周期軌道が漸近安定である。ポアンカレ写像は、リミットサイクルを見出したポアンカレ自身がリミットサイクルを考察するために生み出した手法である。あるいは、周期軌道からの微小なズレを想定して周期軌道に対する線形化方程式を構成することによって、フロケ理論を適用することができる。線形化方程式のフロケ乗数あるいはフロケ指数から周期軌道の安定性が決定できる。ただし、ポアンカレ写像による方法も線形化方程式による方法も、任意の微分方程式系に適用できる解析的な一般的手法は存在しない。ポアンカレ写像であれば対象の系ごとに個別に工夫して構成する必要があり、フロケ乗数による判定であれば数値計算による手法がある。