因子 (代数幾何学)
さらに X が正規かつネーター的と仮定すると、カルティエ因子(に対応するヴェイユ因子)D に対して、それから定まる可逆層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} の定義は
O X ( D ) ( V ) = { f ∈ k ( X ) ∣ v Z ( f ) ⩾ − v Z ( D ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)(V)=\{f\in k(X)\mid v_{Z}(f)\geqslant -v_{Z}(D)\}} 、ただし、Z は V との交わりが空でない素因子全体を渡る
と書き換えられる。したがって、カルティエとは限らないヴェイユ因子 D に対してもこの定義式によって層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} が定義される。D がカルティエでないときは、この O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は可逆層にならないが、X の滑らかな点全体のなす開集合 U = X に制限すると可逆層になる。X が正規であるので、X \ U の X での余次元は 2 以上であることから、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は階数が 1 の反射的層 (reflexive sheaf) である。このことから、k(X) の階数1の反射的部分層を与えることとヴェイユ因子を与えることは同値であり、階数1の反射的部分層の同型類はヴェイユ因子の線形同値類と1対1に対応していることがわかる。
カルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } , E = { ( V j , h j ) } {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\},\;{\mathcal {E}}=\{(V_{j},h_{j})\}} に対してその和や差 D ± E {\displaystyle {\mathcal {D}}\pm {\mathcal {E}}} を { ( U i ∩ V j , g i ⋅ h j ± 1 ) } {\displaystyle \{(U_{i}\cap V_{j},g_{i}\cdot h_{j}^{\pm 1})\}} で定義すれば、X 上のカルティエ因子全体 CDiv (X) は主因子 (1) を零元とするアーベル群になる。 2つのカルティエ因子 D , E {\displaystyle {\mathcal {D}},\;{\mathcal {E}}} はその差 D − E {\displaystyle {\mathcal {D}}-{\mathcal {E}}} が主因子になるとき線形同値 (linearly equivalent) であるといい、 D ∼ E {\displaystyle {\mathcal {D}}\sim {\mathcal {E}}} で表す。