アーベル多様体
アーベル多様体の 偏極(polarisation)とは、アーベル多様体からその双対への 同種 であって次の性質を持つものを言う。アーベル多様体の 二重双対 について対称であり、付随するグラフ射(graph morphism)に沿ったポアンカレバンドルの引き戻しが豊富であること(このことは正定値二次形式の類似である)という性質を持つことである。偏極アーベル多様体は有限個の自己同型群を持つ。主偏極(principal polarisation)は同型の偏極を言う。曲線の任意の有理基底を取り、曲線を種数が 1 より大きな時に偏極ヤコビ多様体から再び構成できるので、曲線のヤコビ多様体は自然に主偏極を持っている。すべての主偏極アーベル多様体ではないが曲線のヤコビ多様体となる。ショットキー問題(英語版)(Schottky problem)を参照のこと。偏極は、A の自己準同型環 E n d ( A ) ⊗ Q {\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} } の上にロサティ対合(英語版)(Rosati involution)を引き起こす。
アーベル函数(abelian function)はアーベル多様体上の有理型函数であり、独立な 2n 個の周期を持ち、従って n 個の複素変数の周期函数とみなすことができる。同じことだが、アーベル多様体の函数体上の函数である。例えば、19世紀には楕円積分のことばで表現される超楕円積分(英語版)(hyperelliptic integral)へ大きな興味が集まった。このことは、J が同種の中の違いを除いて楕円曲線の積となるかと問うことに帰結する。