ヒルベルト空間
常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である。スツルム・リウヴィル問題は区間 [a, b] 上の未知関数 y に対する常微分方程式
− d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y = λ w ( x ) y {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}
で、一般斉次ロビン境界条件
{ α y ( a ) + α ′ y ′ ( a ) = 0 β y ( b ) + β ′ y ′ ( b ) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)=0.\end{cases}}}
を満足するものである。関数 p, q, および w は所与で、方程式の解となる関数 y および定数 λ を求める。同問題は、この系の固有値と呼ばれる特定の値の λ に対してだけ解を持つのだが、それのことはこの系に対するグリーン関数によって定まる積分作用素にコンパクト作用素のスペクトル論を適用した結果として得られる。さらにはこの一般論からの別な帰結として、固有値 λ を無限大に発散する単調増大列に並べることができる。
線型代数学で言うような正規直交基底の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる。ヒルベルト空間 H における正規直交基底とは、H の元からなる族 {ek}k ∈ B で、条件
直交性: B のどの相異なる二元についても、対応する H の元は互いに直交する(⟨ek, ej⟩ = 0 for all k, j in B with k ≠ j)。
正規性: 族 ek (k ∈ B) の各元のノルムは 1 である(‖ek‖ = 1 for all k in B)。
完全性: 族 ek (k ∈ B) の張る部分空間は H において稠密である。
を満足するものを言う。
上記基底の条件の最初の二つを満たすようなベクトルの集合は正規直交系と呼ばれる(B が可算のときは、正規直交列とも呼ぶ)。正規直交系は常に一次独立系である。ヒルベルト空間のベクトルの成す正規直交系については、その完全性条件を次のように言い換えることもできる。
全ての k ∈ B に対して ⟨v, ek⟩ = 0 を満たす v ∈ H が存在するならば、必ず v = 0 である。
これは、u およびその弱偏導関数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分関数となるような関数 u からなるヒルベルト空間 H10(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 H10(Ω) の任意の元 v に対して
a ( u , v ) = b ( v ) {\displaystyle a(u,v)=b(v)}
を満たすような u を空間 H10(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、a および b はそれぞれ
a ( u , v ) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v , b ( v ) = ∫ Ω g v {\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv}
で与えられる連続な双線型形式および連続な線型汎関数である。ポアソン方程式は楕円型だから、ポアンカレの不等式から双線型形式 a が強圧的であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。
多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は抛物型偏微分方程式やある種の双曲型偏微分方程式に対しても、適当な修正を施せば通用する。
定義から、任意のヒルベルト空間はバナッハ空間であり、さらに中線定理
‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 = 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 ) {\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})}
も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式によってノルムから一意的に定まる。実ヒルベルト空間における極化恒等式は
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2})}
であり、複素ヒルベルト空間の場合は
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 + i ‖ u + i v ‖ 2 − i ‖ u − i v ‖ 2 ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2})}
で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間となることを示している。