有限可換群上の調和解析
群 G 上の複素関数からなる集合 C 上において以下の構造を考える。
各点ごとの和とスカラー倍により集合 C は g 次元複素線型空間となり、標準基底は (δs)s ∈ G (ただし δs はデルタ関数を表す)で与えられる。関数 f の標準基底に関する座標は f(s) であり、これを fs とも書く。
線型空間 C には自然なエルミート内積が
⟨ f | h ⟩ = 1 g ∑ s f ̄ ( s ) h ( s ) {\displaystyle \langle f|h\rangle ={\frac {1}{g}}\sum _{s}{\bar {f}}(s)h(s)}
により定義される。このエルミート内積は線型空間 C にエルミート空間の構造を与え、これを l(G) と書く。
線型空間 C には畳み込みと呼ばれる積が
( ∑ s a s δ s ) ∗ ( ∑ t b t δ t ) = ∑ s , t a s b t δ s + t {\displaystyle {\bigg (}\sum _{s}a_{s}\delta _{s}{\bigg )}*{\bigg (}\sum _{t}b_{t}\delta _{t}{\bigg )}=\sum _{s,t}a_{s}b_{t}\delta _{s+t}}
により定義される。この積は群の積を δs * δt = δs + t のように延長した演算になっている。畳み込みは線型空間 C に C 多元環の構造を与える。これを有限群 G の群多元環と呼び、C[G] と書く。