フレドホルムの交代定理
フレドホルムの交代定理は、線型の楕円型偏微分方程式を解くために用いることが出来る。基本となる結果は次のものである:方程式とバナッハ空間が適切に定められるなら、次のいずれかが成り立つ。
(1) 同次方程式が非自明な解を持つ。
(2) 非同次方程式がデータの選び方に対して一意に解かれる。
この内容について以下で述べる。典型的な楕円型作用素 L の分かりやすい例として、ラプラシアンに低階の項をいくつか加えたものが考えられる。適切な境界条件が課され、適切なバナッハ空間 X(これは境界条件と解の適切性を保証する)上で表現されることで、L は X からそれ自身への非有界作用素となり、問題は次を解くこととなる:
L u = f , u ∈ d o m ( L ) ⊆ X . {\displaystyle Lu=f,\qquad u\in dom(L)\subseteq X.}
ここで f ∈ X はデータとして与えられるある函数で、これに対する解を得ることを考える。フレドホルムの交代定理は、楕円型方程式の理論と組み合わされることで、この方程式の解を構成することを可能にする。
具体例として、次のような楕円型境界値問題が挙げられる。
( ∗ ) L u := − Δ u + h ( x ) u = f in Ω . {\displaystyle (*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{in }}\Omega .}
境界条件は次のものとする。