環 (数学)
任意の単体的複体には、面環あるいはスタンレー-レイズナー環と呼ばれる環が付随している。この環には単体的複体の組合せ論的性質がたくさん反映されているので、これは特に代数的組合せ論において扱われる。特に、スタンレー-レイズナー環に関する代数幾何学は単体的多胞体の各次元の面の数を特徴付けるのに利用された。
環の加法や乗法に関する定義からの直接的な帰結として、環の様々な性質が導かれる。
特に、定義から (R, +) はアーベル群であるから、加法単位元の一意性や各元に対する加法逆元の一意性など群論の定理を適用して得られる性質はたくさんある。乗法についても同様にして単元に対する逆元の一意性などが示される。
しかし、環においては乗法と加法を組み合わせた様々な特徴的性質も存在する。例えば、
任意の元 a について a0 = 0a = 0 が成り立つ。
単位的環において 1 = 0 ならば、その環にはたった一つの元しか含まれない。
乗法の単位元が存在するとき −a = (−1)a が成り立つ。
(−a)(−b) = ab が成り立つ。
などが任意の環において示される。
R の部分集合 S が R における加法と乗法について環になっているとき、S は部分環であるという。ただし、R が単位的であるときは、S が(単位的環としての)部分環であるためには S が R における単位元を含むことを課す。
R の元で他のどの元との積も可換になっているものを集めた集合 Z(R) はRの中心と呼ばれる。Z(R) は R の可換な部分環になっている。