ポワンカレの円板モデル
および
P = ( u − v ) ⋅ ( s − t ) − ( u ∧ v ) ⋅ ( s ∧ t ) Q = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) − ( u ∧ v ) ⋅ ( u ∧ v ) R = ( s − t ) ⋅ ( s − t ) − ( s ∧ t ) ⋅ ( s ∧ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}P&=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\\Q&=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\\R&=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\end{aligned}}}
によって与えられる。
ビネ–コーシーの恒等式と、各々が単位ベクトルであることとを用いれば、上記公式を点乗積を用いた
P = ( u − v ) ⋅ ( s − t ) + ( u ⋅ t ) ( v ⋅ s ) − ( u ⋅ s ) ( v ⋅ t ) Q = ( 1 − u ⋅ v ) 2 R = ( 1 − s ⋅ t ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}P&=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\\Q&=(1-u\cdot v)^{2}\\R&=(1-s\cdot t)^{2}\end{aligned}}}
に書き直すことができる。