離散ウェーブレット変換
最初の離散ウェーブレット変換は、ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールによって示された。ハールウェーブレットによる多重解像度解析は、 2 n {\displaystyle 2^{n}} の長さを持つ数列が入力されると、隣接した値の差分と和を求めるものである。この処理は再帰的に行われ、和の数列は次の処理の入力となる。最終的には、 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} の差分値と一つの和の値を得る。
この単純な離散ウェーブレット変換は、ウェーブレットの一般的な特性を示している。多重解像度解析の計算量は O ( n ) {\displaystyle O(n)} である。また、この変換は、時間及び周波数の両方の特性をつかむことができる。これら2つの特徴は、高速フーリエ変換と比較した場合の多重解像度解析の大きな特徴である。
もっとも一般的な離散ウェーブレット変換は、ベルギーの数学者イングリッド・ドブシーによって1988年に証明された。
↑ I.ドブシー. ウェーブレット10講. ISBN 978-4621062289
↑ 榊原 進. ウェーヴレットビギナーズガイド―数理科学. ISBN 978-4501522704
↑ DiscreteWaveletTransform—Wolfram言語ドキュメント
↑ Single-level discrete 1-D wavelet transform - MATLAB dwt - MathWorks 日本
Stéphane Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing (ISBN 9780124666061)
本来の f(t) に対する離散ウェーブレット変換の定義は、連続ウェーブレット変換の解像度を2倍刻みにした、下記の形である。 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} はウェーブレット関数。j と k は整数。
d k ( j ) = 2 j ∫ R f ( t ) ψ ( 2 j t − k ) ̄ d t {\displaystyle d_{k}^{(j)}=2^{j}\int _{\mathbf {R} }f(t){\overline {\psi (2^{j}t-k)}}dt}
逆離散ウェーブレット変換は以下の形である。
f ( t ) = ∑ j ∑ k d k ( j ) ψ ( 2 j t − k ) {\displaystyle f(t)=\sum _{j}\sum _{k}d_{k}^{(j)}\psi (2^{j}t-k)}
しかしながら、これが使われる事は少なく、多重解像度解析が使われる事が一般的である。Mathematica や MATLAB をはじめとして、多くのソフトウェアでは、多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼ぶ。多重解像度解析の詳細については、そちらの項目を参照。