項目応答理論
このモデルでは、項目iに正答する確率は次の式で与えられる。
p i ( θ ) = 1 1 + e − D a i ( θ − b i ) {\displaystyle p_{i}({\theta })={\frac {1}{1+e^{-Da_{i}({\theta }-b_{i})}}}}
ここで、定数Dは1.701という値で、ロジスティック関数を累積正規分布関数に近似するためのもので、確率が関数の定義域(一般的に-3 - 3)内で0.01以上異ならないようになっている。なお、IRTモデルは当初は普通の累積正規分布関数が用いられたが、このように近似されたロジスティックモデルを使うことで、大きく計算を単純化することができた。
3パラメータロジスティック(3PL)モデルでは、多肢選択形式の場合において、適当に選択肢を選択しても偶然正答する確率 c i {\displaystyle c_{i}} を考慮に入れ、項目iに正答する確率は次の式で与えられる。
p i ( θ ) = c i + ( 1 − c i ) 1 + e − D a i ( θ − b i ) {\displaystyle p_{i}({\theta })=c_{i}+{\frac {(1-c_{i})}{1+e^{-Da_{i}({\theta }-b_{i})}}}}