波束
波が時刻 t = 0 で φk(x, 0) = e であった場合、その後の時間変化は波動方程式を解くことで求まり、t = t では φk(x, t) = e となる。この平面波を重ね合わせることで、ガウス波束の時間変化がわかる。
ψ ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ α ( k ) φ k ( x , t ) d k {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\alpha (k)\varphi _{k}(x,t)dk}
α ( k ) = a 2 π 4 exp  [ − a 2 2 ( k ′ − k ) 2 ] {\displaystyle \alpha (k)={\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{\pi }}}\exp \left[-{\frac {a^{2}}{2}}(k'-k)^{2}\right]}
ただしその挙動は、波動方程式によって決められる分散関係 ω = ω(k) によって大きく異なる。