反ド・ジッター空間
u ≡ r α 2 {\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}} を用いると、この経路油は以下のように書ける:
d s 2 = α 2 ( d u 2 u 2 + u 2 ( d x μ d x μ ) ) {\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}(\,dx_{\mu }\,dx^{\mu })\right)}
ここで x μ = ( t , x → ) {\displaystyle x^{\mu }=(t,{\vec {x}})} である。変換 z ≡ 1 u {\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}} によって、以下のようにも書ける:
d s 2 = α 2 z 2 ( d z 2 + d x μ d x μ ) {\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu })}
以下のパラメータ表示によって、
{ X 1 = α 2 2 r ( 1 + r 2 α 4 ( α 2 + x → 2 − t 2 ) ) X 2 = r α t X i = r α x i i ∈ { 3 , ⋯ , n } X n + 1 = α 2 2 r ( 1 − r 2 α 4 ( α 2 − x → 2 + t 2 ) ) {\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}))\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\cdots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}))\end{cases}}}
一般相対性理論は、時間、空間そして重力の性質の理論である。重力は、物質とエネルギーの存在から引き起こされる、空間と時間の曲率である。(等式 E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} で表現されるように)エネルギーと質量は等しく(英語版)、空間と時間はそれぞれ光速を変換単位として等価な量に翻訳することができる。
日常的な現象とのアナロジーとして考えよう。重い物質をゴムの平らなシート上に置くことで生じるシート上のくぼみは、近くを進んでいる小さい物質が載っている軌道に影響する。その小さい物質は、重い物質が存在していない時に従う軌道より内側に逸れ、これがいわゆる「重力」である。無論、一般相対性理論では、小さい物質と大きい物質の両方が相互に時空間の曲率に影響する。
物質によって生じる重力の引力は、時空間の負の曲率が原因であり、(トランペットのベルのような)そのシート上の負の曲線のくぼみによる、ゴムシートとのアナロジーで表現できる。
一般相対性理論の非常に重要な特徴は、電磁力学のような従来の力のようではなく、物質とエネルギーの存在によって生じる時空間の形状の変化として重力を記述するということである。
上のアナロジーは、3つ目の次元が重力の影響に対応している様な3次元の超空間(英語版)での一般相対性理論において、重力によって引き起こされる2次元空間の曲率を記述している。