局所凸位相ベクトル空間
V 上の半ノルムとは、次を満たす写像 p: V → R のことを言う:
p は非負あるいは半正定値。すなわち p(x) ≥ 0。
p は正同次あるいは正スケール化可能。すなわち、すべてのスカラー λ に対して p(λx) = |λ|⋅p(x) となる。したがって、特に p(0) = 0 が成り立つ。
p は劣加法的で、次の三角不等式を満たす。p(x + y) ≤ p(x) + p(y)。
p が正定値であるなら、すなわち p(x) = 0 のとき x = 0 であるなら、p はノルムである。一般に半ノルムは必ずしもノルムではないが、半ノルムの族に対する類似の性質である分離性(separatedness)が後述のように定義される。
局所凸空間は、半ノルムの族 {pα}α∈A に沿ったあるベクトル空間 V として定義される。その空間は自然な位相である、半ノルムの始位相(英語版)をもたらす。言い換えると、それはすべての写像
p α , y : V → R ; x ↦ p α ( x − y ) ( ∀ y ∈ V , α ∈ A ) {\displaystyle p_{\alpha ,y}\colon V\to \mathbf {R} ;\;x\mapsto p_{\alpha }(x-y)\quad (\forall y\in V,\,\alpha \in A)}
V を、複素数の部分体 K(通常は C 自身か、実数体 R)上のベクトル空間とする。局所凸空間は、凸集合あるいは半ノルムに関して定義される。