特性類
という同値関係で P S O ( 2 ) × S O ( 2 ) {\displaystyle PSO(2)\times SO(2)} を割る事により定義される。ここで R ( − θ ) ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle R(-\theta )(e_{1},e_{2})} は ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle (e_{1},e_{2})} を含む平面上で ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle (e_{1},e_{2})} を − θ {\displaystyle -\theta } だけ回転させたものである。この同値類による同値関係を以下 [ ⋅ ] φ C 1 {\displaystyle [\cdot ]_{\varphi _{C_{1}}}} と表す。
写像 ξ {\displaystyle \xi } を
ξ : [ e 1 , e 2 ] ∈ B S O ( 2 ) = G ~ 2 R ∞ ↦ [ e 1 , − e 2 ] ∈ B S O ( 2 ) = G ~ 2 R ∞ {\displaystyle \xi ~:~[e_{1},e_{2}]\in BSO(2)={\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }\mapsto [e_{1},-e_{2}]\in BSO(2)={\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }}
により定義すると、下記の図式が可換になる:
e ( ξ ⊕ η ) = e ( ξ ) e ( η ) {\displaystyle e(\xi \oplus \eta )=e(\xi )e(\eta )} in H ∗ ( X ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )}
すでに述べたように、実ベクトルバンドル ξ = ( π , X , E ) {\displaystyle \xi =(\pi ,X,E)} に対し、 H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})} において c i ( ξ C ) = w i ( ξ ) 2 {\displaystyle c_{i}(\xi _{\mathbb {C} })=w_{i}(\xi )^{2}} が成立する。よってポントリャーギン類の定義より以下が成立する。
定理 ― ξ = ( π , X , E ) {\displaystyle \xi =(\pi ,X,E)} を実ベクトルバンドルとするとき、任意の非負整数iに対し、以下が成立する:
p i ( ξ ) = w 2 i ( ξ ) 2 {\displaystyle p_{i}(\xi )=w_{2i}(\xi )^{2}} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}
{\displaystyle {\begin{matrix}(R(\theta _{j}))_{j=1,\ldots ,m}&{\overset {\mu }{\hookrightarrow }}&R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})&{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}&R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})\\\rho \downarrow &\circlearrowright &\varphi _{\hat {U}}\downarrow &\circlearrowright &\varphi _{\hat {U}}\downarrow \\(e^{i\theta _{j}},e^{-i\theta _{j}})_{j=1,\ldots ,m}&{\overset {\nu }{\hookrightarrow }}&e^{i\theta _{1}}\oplus e^{-i\theta _{1}}\oplus \cdots \oplus e^{i\theta _{m}}\oplus e^{-i\theta _{m}}&=&e^{i\theta _{1}}\oplus e^{-i\theta _{1}}\oplus \cdots \oplus e^{i\theta _{m}}\oplus e^{-i\theta _{m}}.\end{matrix}}}
よって非負整数kに対し、
B ι ∗ ( c k ) = ( 1 ) B ι ∗ B φ U ^ ∗ ( c k ) {\displaystyle B\iota ^{*}(c_{k}){\underset {(1)}{=}}B\iota ^{*}B\varphi _{\hat {U}}{}^{*}(c_{k})} = B ( φ U ^ | S O ( n ) ) ∗ ( c k ) {\displaystyle =B(\varphi _{\hat {U}}|_{SO(n)}){}^{*}(c_{k})} = ( 2 ) B ( φ U ^ | S O ( n ) ) ∗ ( B ν ∗ − 1 ( σ k ( α 1 , .
が成立する。ここで α s {\displaystyle \alpha _{s}} 、 γ t {\displaystyle \gamma _{t}} はそれぞれ H ∗ ( U ( 1 ) m ; Z ) ≈ ⊗ u H ∗ ( U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(U(1)^{m};\mathbb {Z} )\approx \otimes _{u}H^{*}(U(1);\mathbb {Z} )} 、 H ∗ ( O ( 2 ) m ; Z ) ≈ ⊗ v H ∗ ( O ( 2 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(O(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \otimes _{v}H^{*}(O(2);\mathbb {Z} )} のs番目、j番目の H ∗ ( U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(U(1);\mathbb {Z} )} 、 H ∗ ( O ( 2 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(O(2);\mathbb {Z} )} の生成元を表し、(1)は内部自己同型は分類空間に恒等写像を誘導する事から従い、(2)はチャーン類の定義から従い、(3)はρの定義から従い、それ以外の等号は可換図式を追う事で従う。
σ k ( γ 1 , − γ 1 , ... , γ m , − γ m , 0 ) = σ k ( γ 1 , − γ 1 , .
本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。
分類空間の関手Bは直積に関して以下のように振る舞う。
定理 (直積の分類空間) ― G、Hを位相群とするとき、
B ( G × H ) ≈ B G × k B H ≈ w B G × B H {\displaystyle B(G\times H)\approx BG\times _{k}BH\approx _{w}BG\times BH}
が成立する。
ここで「 B G × B H {\displaystyle BG\times BH} 」は位相空間としての直積であり、「 B G × k B H {\displaystyle BG\times _{k}BH} 」はBGとBHの位相空間としての直積から誘導されるコンパクト生成位相(英語版)を入れた位相空間である。「 ≈ {\displaystyle \approx } 」は自然なホモトピー同値であり、「 ≈ w {\displaystyle \approx _{w}} 」は自然な弱ホモトピー同値(英語版)である。 ここで弱ホモトピー同値とは、任意のnに対しホモトピー群πnが同型になる事を指す。
なお圏論的に言えば、「 X × k Y {\displaystyle X\times _{k}Y} 」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている。
, u n ∈ C {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} } を対角成分に置いた行列とする。e1、...、enを C {\displaystyle \mathbb {C} } の標準的な基底とし、eiが張る複素1次元部分空間をEiとすると、Uが対角行列である事から、EiはUの固有値uiに関する固有空間である。
Aが正規化群Nの元である事から、 A U A − 1 ∈ U ( 1 ) n {\displaystyle AUA^{-1}\in U(1)^{n}} である。すなわち | c i | = 1 {\displaystyle |c_{i}|=1} を満たす c 1 , ... , c n ∈ C {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {C} } が存在し、 C = c 1 ⊕ ⋯ ⊕ c n {\displaystyle C=c_{1}\oplus \cdots \oplus c_{n}} とすると、 A U A − 1 = C {\displaystyle AUA^{-1}=C} が成立する。Cも対角行列である事から、 v i = e i A {\displaystyle v_{i}=e_{i}A} としてviが張る複素1次元部分空間をViとすると、ViはCの固有値viに関する固有空間である。
固有値分解の一意性より、ある置換 σ : { 1 , ... , n } → { 1 , ...
n=2mとし、ワイル群 W = W ( S O ( n ) ) {\displaystyle W=W(SO(n))} の具体的な形を決定するため、実ベクトル空間として R n = ( R 2 ) m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}} という同一視をし、以下の2種類の行列を考える:
Pσ: ( R 2 ) m {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{m}} の成分を置換 σ {\displaystyle \sigma } に従って入れ替える置換行列。すなわち ( x j , y j ) j = 1 , ... , m ∈ ( R 2 ) m {\displaystyle (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}} を ( x σ ( i ) , y σ ( i ) ) i = 1 , ... , m ∈ ( R 2 ) m {\displaystyle (x_{\sigma (i)},y_{\sigma (i)})_{i=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}} に写す行列。
Ci:yiの符号を反転する写像。すなわち ( x j , y j ) j = 1 , ... , m ∈ ( R 2 ) m {\displaystyle (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}} を ( x j , ( − 1 ) δ i , j y j ) j = 1 , ...
本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間
B G L n ( C ) = B U ( n ) = G n C ∞ {\displaystyle BGL_{n}(\mathbb {C} )=BU(n)=G_{n}\mathbb {C} ^{\infty }}
のコホモロジー H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の元と1対1対応するので、 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の生成元である。
(3)は C ̄ i {\displaystyle {\bar {C}}_{i}} の定義から従う。
nが偶数の場合と同様、 P σ {\displaystyle P_{\sigma }} 、 C i {\displaystyle C_{i}} が H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上に誘導する写像は、それぞれ γ 1 , ... , γ m {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}} を γ σ ( 1 ) , ... , γ σ ( m ) {\displaystyle \gamma _{\sigma (1)},\ldots ,\gamma _{\sigma (m)}} に写す写像、 γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を − γ i {\displaystyle -\gamma _{i}} に代える写像である。またMによる共役は恒等写像なので、 C ̄ i = C i M {\displaystyle {\bar {C}}_{i}=C_{i}M} が H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上に誘導する写像も γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を − γ i {\displaystyle -\gamma _{i}} に代える写像である。
B ι ∗ ( c k ) = { ( − 1 ) j p j if k = 2 j 0 if k = 2 j + 1 {\displaystyle B\iota ^{*}(c_{k})={\begin{cases}(-1)^{j}p_{j}&{\text{if }}k=2j\\0&{\text{if }}k=2j+1\end{cases}}}
となる事を任意の非負整数kに対して示せば良い。
これまで同様
μ : O ( 2 ) m ↪ O ( n ) , ( A 1 , ... , A m ) ↦ { R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) if n = 2 m R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ⊕ 1 if n = 2 m + 1 {\displaystyle \mu ~:~O(2)^{m}\hookrightarrow O(n),~~(A_{1},\ldots ,A_{m})\mapsto {\begin{cases}R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})&{\text{if }}n=2m\\R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})\oplus 1&{\text{if }}n=2m+1\end{cases}}}
を考え、可換図式
Gが離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する:
定理 ― 離散群Gに対し、Gのアイレンベルグ・マックレーン空間(英語版)(英: Eilenberg-Maclane space) K ( G , 1 ) {\displaystyle K(G,1)} 、およびその普遍被覆空間 π : P → K ( G , 1 ) {\displaystyle \pi ~:~P\to K(G,1)} はGの分類空間、普遍Gバンドルである。
この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。
すなわち ( a 1 ⊕ ⋯ ⊕ a n ) ∈ U ( 1 ) n {\displaystyle (a_{1}\oplus \cdots \oplus a_{n})\in U(1)^{n}} である。よってワイル群 W = N / U ( 1 ) n {\displaystyle W=N/U(1)^{n}} においては、
[ A ] = [ ( a 1 ⊕ ⋯ ⊕ a n ) P σ ] = [ P σ ] ∈ W = N / U ( 1 ) n {\displaystyle [A]=[(a_{1}\oplus \cdots \oplus a_{n})P_{\sigma }]=[P_{\sigma }]\in W=N/U(1)^{n}}
が成立する。
AはNの任意の元だったので、Σnをn次の置換群とするとき、以上の議論から
Σ n → W , σ ↦ [ P σ ] {\displaystyle \Sigma _{n}\to W,~~\sigma \mapsto [P_{\sigma }]}
は全射である。
またこの写像は単射でもある。実際 I {\displaystyle I} をn次の単位行列とする時、 [ P σ ] = [ I ] {\displaystyle [P_{\sigma }]=[I]} であれば、 P σ ∈ U ( 1 ) n {\displaystyle P_{\sigma }\in U(1)^{n}} が成立する必要がある。しかし U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} の元は各eiを定数倍する行列なので、そのような形の P σ {\displaystyle P_{\sigma }} は明らかに σ = i d {\displaystyle \sigma =\mathrm {id} } のケースに限る。
よって S ( k ) {\displaystyle S^{(k)}} も S ( k + 1 ) {\displaystyle S^{(k+1)}} も p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} に対しp-捩れ元を持たない。Λの定義から2-捩れ元はそもそも存在しないので、結局(4)式は同ランクの自由加群の間の写像
B μ Λ ∗ : H k ( B S O ( n ) , Λ ) ≈ Λ r k → H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Λ ≈ Λ r k {\displaystyle B\mu {}_{\Lambda }^{*}~:~H^{k}(BSO(n),\Lambda )\approx \Lambda ^{r_{k}}\to H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda \approx \Lambda ^{r_{k}}} ...(6)
として書ける。
B μ Λ ∗ {\displaystyle B\mu {}_{\Lambda }^{*}} を行列として表してその行列式 | B μ Λ ∗ | ∈ Λ {\displaystyle |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|\in \Lambda } を考えると、(5)式が同型である事から p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} に対し | B μ Λ ∗ | mod p ≠ 0 {\displaystyle |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|{\bmod {p}}\neq 0} であり、したがって | B μ Λ ∗ | ∈ Λ {\displaystyle |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|\in \Lambda } は p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} を約数に持たない。