NURBS
NURBSがその名の通り非一様有理Bスプラインであるのに対し、ベジェ曲線は一様非有理Bスプライン(uniform non-rational B-splines、ただし、一様非有理BスプラインとかUNRBSと呼ばれることはない)といえる。
当初はNURBSの利用は自動車メーカー内で用いられるプロプライエタリのCADソフトのみに限定されていた。その後標準的なコンピュータグラフィックスソフトにも採用されていった。 1989年にSilicon Graphicsのワークステーション上で初めてリアルタイムでインタラクティブなNURBSのレンダリングが可能になった。1993年にはCAS Berlinというベルリン工科大学と共働関係にあった小さなスタートアップ企業がNöRBSという名のパーソナルコンピュータ上で動作するNURBSモデラが開発された。こんにちほとんどのプロフェッショナルなデスクトップCGソフトはNURBSの技術を採用している。そのうちのほとんどはそれ専用の企業からNURBSエンジンを購入している。
NURBSの基底関数はB-スプラインの基底関数と同じものを使う(NURBSはB-スプラインの一族に属する)。ふつう N i , n ( u ) {\displaystyle N_{i,n}(u)} で表される。ここで i {\displaystyle i} は i {\displaystyle i} 番目の制御点に対応し、 n {\displaystyle n} は基底関数の次数である。媒介変数の依存性( u {\displaystyle u} )はしばしば問題にならないため N i , n {\displaystyle N_{i,n}} と表されることが多い。
次数 n = 0 {\displaystyle n=0} の関数 N i , 0 {\displaystyle N_{i,0}} は定数関数となる。対応するノットの範囲で1であり、それ以外のノットでは0になる。 同様に考えていくと、 N i , n {\displaystyle N_{i,n}} は N i , n − 1 {\displaystyle N_{i,n-1}} と N i + 1 , n − 1 {\displaystyle N_{i+1,n-1}} の線形近似である。
ノットの追加は文字通りノットをノットベクトルに追加する変形。曲線の次数が d {\displaystyle d} であるとき、 d − 1 {\displaystyle d-1} 個の制御点が新しい d {\displaystyle d} 個の制御点で置き換えられる。ノットの追加は曲線の形状自体は変更しないが、制御点は移動する。ノットは複数回追加できる。
NURBSは1950年代に船体や航空機自動車の外表面形状に使われるような自由曲面を数学的に正確に表現する必要のあったエンジニアらによって開発された。必要に応じていつでも完璧に同一の形状が再生成されるような仕組みはそれ以前にはなく、曲面を表現するにはデザイナーによって形作られた物理的な模型を用いる他なかった。
この開発におけるパイオニアは、共にフランス出身のルノーのエンジニアピエール・ベジェとシトロエンのポール・デ・カスティリョ(英語版) がいる。ベジエとデ・カスティリョはほとんど同時に開発を進めており、そのことを互いに知らなかった。このモデルが一般的にコンピュータグラフィックスのユーザ間でスプライン曲線のひとつであるベジェ曲線として知られているのは彼が自分の研究を出版したからである。いっぽうデ・カスティリョは彼の開発したパラメトリック曲面を評価するためのアルゴリズムとして知られるのみにとどまる。1960年代にNURBSはベジェ曲線の一般化されたモデルであることがわかった。