素数の間隔
リーマン予想のもとではさらに良い結果が得られる。ハラルド・クラメールはリーマン予想が、間隔gnはランダウの記号を用いて
g n = O ( p n log  p n ) , {\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}
であることを暗示していることを証明した。のちに、この間隔はさらに小さいと予想した。おおまかに言うと、クラメールの予想は
g n = O ( ( log  p n ) 2 ) . {\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}
という内容である。Firoozbakhtの予想は p n 1 / n {\displaystyle p_{n}^{1/n}} ( p n {\displaystyle p_{n}} はn番目の素数)はnの厳密に減少する関数である。すなわち、
p n + 1 1 / ( n + 1 ) < p n 1 / n for all n ≥ 1. {\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}
である。
しかし、n個の数の素数の間隔は、n!よりもずっと小さい数で生じることがある。例えば、素数の間隔が14よりも大きい最初の場所は523と541の間であるが、その一方で15!は1 307 674 368 000という非常に大きな数である。
素数の平均間隔は整数の自然対数が大きくなるにつれて長くなり、したがって関係する整数と、これに対する素数の間隔との比は小さくなる(漸近的に0になる)。これは素数定理の結果であるヒューリスティックな観点から見ると、自然対数に対する間隔の長さの比が固定の正数k以上である確率はeであると予想される。結果として比は任意に大きくなる。実際、整数の桁数に対する間隔の比は際限なく増加する。これはエリック・ウェストジンティウスによる結果の帰結である。
逆に、双子素数の推論は、無限に多い整数nに対してgn = 2を仮定している。