直交多項式
マクドナルド多項式(英語版)列はアフィンルート系の選び方に依存して決まる多変数直交多項式系である。マクドナルド多項式列はその特別の場合として他の多くの多変数直交多項式族、例えばジャック多項式(英語版)列、ホール–リトルウッド多項式(英語版)列、ヘックマン–オプダム多項式(英語版)列、コーンウィンダー多項式(英語版)列などを含む。アスキー–ウィルソン多項式(英語版、フランス語版、中国語版)列はある種の階数 1 の非被約ルート系に対するマクドナルド多項式の特別な場合である。
直交多項式列 {Pn} をモーメント mn = ∫ x dα(x) を用いて
P n ( x ) = c n det ( m 0 m 1 m 2 ⋯ m n m 1 m 2 m 3 ⋯ m n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m n − 1 m n m n + 1 ⋯ m 2 n − 1 1 x x 2 ⋯ x n ) {\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\det {\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{pmatrix}}}
と表すことができる。ここに任意定数 cn は Pn の正規化に関するものである。