平行軸の定理
平行軸の定理は平面領域 D の断面二次モーメント(面積慣性モーメント)にも適用される。
I z = I x + A r 2 , {\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}
ここで Iz は平行軸に対する D の面積慣性モーメント、Ix は幾何中心に対する D の面積慣性モーメント、A は平面領域 D の面積、r は新たな軸 z から D の幾何中心までの距離である。
D の幾何中心は、均一な密度で同じ形状を有する物理的なプレートの重心と一致する。
平面と平行に動く剛体の質量特性は、平面上にある剛体の質量中心 R = (x, y) と、R を通りこの平面に垂直な軸周りの極慣性モーメント IR によって定義される。平行軸の定理は任意の点 S の周りの慣性モーメント IS と質量中心 R を中心とする慣性モーメント IR の間に便利な関係を与える。
質量中心 R には
∫ V ρ ( r ) ( r − R ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0}
という性質がある。ここで r は物体の体積 V にわたって積分される。平面運動をしている物体の極慣性モーメントは、任意の基準点 S に対して計算することができる。
I S = ∫ V ρ ( r ) ( r − S ) ⋅ ( r − S ) d V . {\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV.}
慣性モーメント IR を用いて慣性モーメント IS を求めるために、S から質量中心 R へのベクトル d = R−S を導入すると、