漸近展開
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯1つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
a 0 = lim x → x 0 f ( x ) , a n = lim x → x 0 f ( x ) − ∑ k = 0 n − 1 a k φ k ( x ) φ n ( x ) ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}
で与えられる。
α f ( x ) + β g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ ( α a k + β b k ) φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
さらに、漸近関数列が { φ ( x ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}} ( φ ( x ) → ∞ ( x → x 0 ) ) {\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))} である場合、
f ( x ) g ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ c n φ ( x ) n ( c n = ∑ k = 0 n a k b n − k ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。