量子群
)
逆に、最高ウェイト加群が可積分であれば、その最高ウェイトベクトル v は k λ . v = c λ q ( λ , ν ) v {\displaystyle k_{\lambda }.v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v} を満たす。ただし cλ ・ v = dλv は以下を満たす複素数である:
c 0 = 1 , {\displaystyle c_{0}=1,} すべてのウェイト λ, μ に対して、 c λ c μ = c λ + μ , {\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },} すべての i に対して、 c 2 α i = 1 , {\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1,}
そして、ν は優整である。
すべてのホップ代数の場合がそうであるように、2つの加群のテンソル積はまた加群である。Uq(G) の元 x とそれぞれの加群のベクトル v, w に対して、
x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ) , {\displaystyle x\cdot (v\otimes w)=\Delta (x)\cdot (v\otimes w),}
よって k λ . ( v ⊗ w ) = k λ . v ⊗ k λ . w {\displaystyle k_{\lambda }.(v\otimes w)=k_{\lambda }.v\otimes k_{\lambda }.w} であり、余積が Δ1 の場合には、 e i .