ハル・ホワイト・モデル
基準財として満期時刻を S とする債券を選択すると、ギルサノフの定理でリスク中立確率を得ることにより、時刻 S に収支 V(S) を有するデリバティブの時刻 t における価値 V(t) は、下式のとおりとなる。
V ( t ) = P ( t , S ) E S [ V ( S ) | F ( t ) ] {\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)|{\mathcal {F}}(t)]}
ここで、 E S {\displaystyle \mathbb {E} _{S}} は、時刻 S のフォワード・リスク中立測度に関する条件付き期待値である。 さらに、良く知られた裁定の議論により、時刻 T に V(T) の収支を有するフォワード価格 F V ( t , T ) {\displaystyle F_{V}(t,T)} は、 F V ( t , T ) = V ( t ) P ( t , T ) {\displaystyle F_{V}(t,T)={\frac {V(t)}{P(t,T)}}} を満たさなければならないので、下式が成り立つ。
F V ( t , T ) = E T [ V ( T ) | F ( t ) ] {\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)|{\mathcal {F}}(t)]}
この様に、ハル・ホワイト・モデルを使って、単一の債券 P(S,T) のみに依存する数多くのデリバティブ V を解析的に価格評価することができる。