密度行列
前の章で述べたように、混合状態を単純な方法で記述した場合、見かけ上の記述が異なるにもかかわらず、実質的に同一の量子状態を表している(=観測結果では両者を区別できない)、という事が起こりうる。
しかし密度行列を用いて混合状態を記述した場合にはこのような問題は生じない。
実際、2つの量子状態が実質的に同一である(=観測結果では両者を区別できない)という事は、この2つの量子状態に対する関数 E ( A ) {\displaystyle E(A)} が同一であるということを意味し、 E ( A ) {\displaystyle E(A)} が同一であるという事は対応する密度行列ρが同一だという事を意味するからである。したがって実質的に同一の量子状態が相異なる2つの密度行列で表示できる事はありえない。
情報理論では、確率1/2で表がでるコインを単位として、事象の確率がコイン何枚分に相当するかを考える。例えば確率1/8=(1/2)で起こる事象があったとき、この確率はコイン3枚全てが表になる確率に相当するので、この事象の「自己情報量」は
3 = − log 2  ( 1 / 8 ) {\displaystyle 3=-\log _{2}(1/8)}
であると定義する。より一般に、確率pで起こる事象があった場合、この事象の底aに対する自己情報量を
− log a  p {\displaystyle -\log _{a}p}
により定義する。コインを単位にする場合は、底のaは2である。
また値1、2、3、...を取る確率変数Xがあった時、X=jであるという事象の自己情報量は
L j = − log a  Pr [ X = j ] {\displaystyle L_{j}=-\log _{a}\Pr[X=j]}
であるので、Ljの期待値
状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } に対し、状態空間における | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 方向の射影作用素をPψとする。
密度行列が何らかの純粋状態の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } を用いて
ρ = P ψ {\displaystyle \rho =P_{\psi }}
と書ける時、 ρ {\displaystyle \rho } は純粋状態にあるという。前節で述べたように、ブラ-ケット記法では上式は
ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}
を意味する。