双球座標系
である。したがって計量テンソルは
g = a 2 ( cosh  τ − cos  σ ) 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 sin 2  σ ] {\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}}
である。 これより、微小体積要素は
d V = d σ d τ d φ a 3 sin  σ ( cosh  τ − cos  σ ) 3 {\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}}
となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる: