コラッツの問題
コラッツ予想の反例を探すにあたって、上記の事前計算を使うと加速させることができる。もし、与えられた b と k で、不等式
f k ( a 2 k + b ) = a 3 c ( b ) + d ( b ) < a 2 k + b {\displaystyle {f^{k}}\left(a\ {2^{k}}+b\right)=a\ {3^{c\left(b\right)}}+d\left(b\right)<a\ {2^{k}}+b}
が成り立ったとすると、すべての a についても成立する。そうすると、最初の反例(存在するとして)は、 2 を法として b と合同ではないと言える。
例えば、最初の反例は必ず奇数である。なぜならば f (2n) = n で、2n よりも小さいからである。同様に、最初の反例は mod 4 で3と合同である。なぜならば、f (4n + 1) = 3n + 1 で、4n + 1 より小さいからである。コラッツ予想の反例でないすべての a には、上記不等式が成立する k が存在する。なので、ある数のコラッツ予想の検証するとき、合同なクラスを検証するとよい。k が増加したときの検証は、より小さい k で除外されなかった b についてのみ検証すればよい。指数関数的に小さい割合だけが残ることになる。例えば mod 32 では、b = 7, 15, 27, 31 だけが残る。
この予想は、初期値が2 ≈ 2.95×10までは成り立つことがコンピュータで確認されている。この数値は、コンピュータのスピードアップとテスト技術の向上に伴って更新され続けている。
しかしこういったコンピューターでの検証は、予想が真であるという証拠にはならない。ポリア予想、メルテンス予想(英語版)、スキューズ数の場合に示されているように、非常に大きな数において予想の反例が見つかることがある。
3 3 2 1 + 3 2 2 2 + 3 1 2 5 + 3 0 2 6 2 7 − 3 4 = 250 47 {\displaystyle {\frac {3^{3}2^{1}+3^{2}2^{2}+3^{1}2^{5}+3^{0}2^{6}}{2^{7}-3^{4}}}={\frac {250}{47}}}
となり、先の例で得たサイクルの2番目に対応している。
コラッツ予想が正しいことを仮定すると、(1 0) と (0 1) が正の整数(それぞれ1と2)によって生成される唯一のパリティサイクルであることが示される。
有理数の分母が3の倍数でない場合、この拡張されたコラッツ数列はすべて同じ分母を持ち、このとき分子の列はコラッツ関数の「3n + d」への一般化を適用することによって得ることができる。
T d ( x ) = { x 2 if x ≡ 0 ( mod 2 ) , 3 x + d 2 if x ≡ 1 ( mod 2 ) . {\displaystyle T_{d}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}},\\[4px]{\frac {3x+d}{2}}&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}