スペクトル分解 (関数解析学)
h ∈ H とし、それに対応する σ(T) ⊂ R 上のスペクトル測度を μh とする。ルベーグの分解定理を応用することで、μh は以下の三つの互いに特異的な部分に分解される:
μ = μ a c + μ s c + μ p p . {\displaystyle \,\mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }.}
ここで μac はルベーグ測度に関して絶対連続であり、μsc はルベーグ測度に関して特異的であり、μpp は純粋な点測度である。
これら三種類の測度はすべて線型作用の下で不変である。Hac を、スペクトル測度がルベーグ測度に関して絶対連続であるようなベクトルからなる部分空間とする。同様に Hpp と Hsc も定義する。これらの部分空間は T の下で不変である。例えば、h ∈ Hac および k = T h であるなら、χ を σ(T) 内のあるボレル集合の特性関数とすれば、
⟨ k , χ ( T ) k ⟩ = ∫ σ ( T ) χ ( λ ) ⋅ λ 2 d μ h ( λ ) = ∫ σ ( T ) χ ( λ ) d μ k ( λ ) {\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda )}
一方、λ が h の本質的値域に含まれるなら、集合の列 {Sn = h(B1/n(λ))} を考える。この各 Sn は正の測度を持つ。fn を Sn の特性函数とすれば、直接的な計算により
‖ ( T h − λ ) f n ‖ p p = ‖ ( h − λ ) f n ‖ p p = ∫ S n | h − λ | p d μ ≤ 1 n p μ ( S n ) = 1 n p ‖ f n ‖ p p {\displaystyle \|(T_{h}-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\|(h-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{S_{n}}|h-\lambda \;|^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\|f_{n}\|_{p}^{p}}
が得られる。このことから、Th − λ は下に有界ではなく、したがって可逆でないことが分かる。
λ を μ( h({λ})) > 0 が成立するようなものとするなら、λ は Th の点スペクトルに含まれる。すなわち、その本質的値域から λ だけを含むようなある開球 Bε(λ) を選ぶことが出来る。f を h(Bε(λ)) の特性函数とすると、