伝達問題
∑ j ∫ Ω μ r − 1 ∂ N i ∂ y ∂ N j ∂ y + μ r − 1 ∂ N i ∂ x ∂ N j ∂ x − k 0 2 ε r N i N j d Ω E z = ∫ Γ μ r − 1 N i ∂ E z ∂ n d Γ ( 4 ) {\displaystyle \sum _{j}\int _{\Omega }\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial y}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial y}}+\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial x}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial x}}-k_{0}^{2}\epsilon _{r}N_{i}N_{j}d\Omega E_{z}=\int _{\Gamma }\mu _{r}^{-1}N_{i}{\cfrac {\partial E_{z}}{\partial n}}d\Gamma \ \ \ \ (4)}
n {\displaystyle n} は境界の法線方向ベクトルである。
(4)式の右辺は境界上の磁界を使って表すことができ、 n = − x {\displaystyle n=-x} として
− ∫ Γ μ r − 1 N i ∂ E z ∂ x d Γ = − j ω μ 0 ∫ Γ N i H y d Γ {\displaystyle -\int _{\Gamma }\mu _{r}^{-1}N_{i}{\cfrac {\partial E_{z}}{\partial x}}d\Gamma =-j\omega \mu _{0}\int _{\Gamma }N_{i}H_{y}d\Gamma }
時間領域(time domain)の伝達問題では、時刻t=0にガウシャンパルスを入力し、徐々に時間を経過させて反射波、透過波の時間変化を求める。
なお、求めた時間変化応答にFFTをかけることで一度に周波数帯域の反射・透過特性を求めることができる。
= − j ω μ 0 ∫ Γ N i ∑ m ( a m − b m ) g m d Γ ( 5 ) {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-j\omega \mu _{0}\int _{\Gamma }N_{i}\sum _{m}(a_{m}-b_{m})g_{m}d\Gamma \ \ \ \ (5)}
また、固有モードの規格化条件
∫ Γ f m ( y ) g m ∗ ( y ) d Γ = − β m ∗ | β m | ( 6 ) {\displaystyle \int _{\Gamma }f_{m}(y)g_{m}^{*}(y)d\Gamma =-{\cfrac {\beta _{m}^{*}}{|\beta _{m}|}}\ \ \ \ (6)}
より、
∫ Γ E z g m ′ d Γ = − β m ′ | β m ′ | ( a m e − j β x + b m e j β x ) ( 7 ) {\displaystyle \int _{\Gamma }E_{z}g_{m'}d\Gamma =-{\cfrac {\beta _{m'}}{|\beta _{m'}|}}(a_{m}e^{-j\beta x}+b_{m}e^{j\beta x})\ \ \ \ (7)}