複素数の絶対値
非退化性: | z | = 0 ⟺ z = 0 {\displaystyle |z|=0\iff z=0}
乗法性: | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|}
三角不等式: | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}
複素数の乗法的ノルムは幾何学的定義の絶対値に等しいことの証明は、以下の流れになる:
z の極形式表示を r(cos θ + i sin θ) とする。
|cos θ + i sin θ| = 1 を証明すればよい。
ド・モアブルの定理より、θ が有理数の場合については、 |cos θ + i sin θ| = 1が示される。
ノルム関数 |•| は、三角不等式より連続である。
θ を有理数列で近似していくと、余弦関数、正弦関数、ノルム関数の連続性より、|cos θ + i sin θ| = 1(証明終)