グレブナー基底
次の連立方程式を解くことを考える。
{ x 3 − 3 x 2 − y + 1 = 0 − x 2 + y 2 − 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{3}-3x^{2}-y+1=0\\-x^{2}+y^{2}-1=0\end{cases}}}
たとえば数式処理システムGAPでは有理数体上の 2 変数多項式環 Q[x, y] におけるイデアル ⟨x − 3x − y + 1, −x + y − 1⟩ の被約グレブナー基底は次のように計算される。
この計算により解の y 座標の値は x に依らない代数方程式 y + y − 11y − 17y + 9y + 17 = 0 の根として計算できる。 x 座標の値は残りの方程式に得られた y 座標の値を代入すれば得られる。
グレブナー基底の定義は分野により様々な形で表現されるが、例えば以下のように表現できる。
F がグレブナー基底であるとは、F による正規化が一意、つまり、任意の g について、 g → F ∗ h _ F and g → F ∗ k _ F {\displaystyle g{\overset {*}{\underset {F}{{}\to {}}}}{\underline {h\!}}\,_{F}\quad {\text{and}}\quad g{\overset {*}{\underset {F}{{}\to {}}}}{\underline {k\!}}\,_{F}} ならば必ず h = k が成立することをいう。
任意の多項式の集合について、どのような項順序を選んでもグレブナー基底を計算できる。ただし項順序により簡約化の結果が異なるため、項順序が異なる場合のグレブナー基底が一致するとは限らない。