リーマン和
となる。
f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} は [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で
∑ k = 1 n x k − 1 2 Δ x k ≤ ∑ k = 1 n ξ k 2 Δ x k ≤ ∑ k = 1 n x k 2 Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}}
の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限で収束するので、
∫ 1 2 x 2 d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n ξ k 2 Δ x k = 7 3 {\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}}
が得られる。