根体
実際、X の同値類を α = X と書けば、K[X]/(P) = K(α) は P の根体である。
前の節で述べたことは以下のように言い直せることを注意しておく:
K が体、P が K 上の既約多項式で、L を P の少なくとも一つの根 β を含む K の拡大体とすれば、K[X]/(P) から L への体の準同型(これは必ず単射になる)f が一意的に存在して f(a) = a (∀a ∈ K) および f(X) = β とできる。
実際、K[X] から L への環準同型で、K の元をそれ自身に写し、かつ X を β に写すものはただ一つであり、P の生成するイデアルはこの準同型の核であるから、準同型定理により、環準同型 f: K[X]/(P) → L で所期の性質を満足するものが得られる。L は体であるから、この f は必ず単射である。これらの性質を用いれば、K[X]/(P) の各元は X の線型結合であるということから、f が X の行き先のみによって決まることがわかる。
この性質は特に、P の K 上の任意の根体が K[X]/(P) に同型となることを保証する(先の記法で書けば、L = K(β) ととって作った上記の準同型の像は K と β を含む L の部分体であるから、それは L 全体に他ならない)。