フィボナッチ多項式
F 2 n ( x ) = F n ( x ) L n ( x ) . {\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}
ビネットの公式と同様に、閉形式表現は次のようになる:
F n ( x ) = α ( x ) n − β ( x ) n α ( x ) − β ( x ) , L n ( x ) = α ( x ) n + β ( x ) n . {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n}.}
ただし
α ( x ) = x + x 2 + 4 2 , β ( x ) = x − x 2 + 4 2 {\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}
は次の(t に関する)方程式の解である:
t 2 − x t − 1 = 0. {\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}