中村ナンバー
シンプルゲーム W {\displaystyle W} とプロファイル p {\displaystyle p} のペア ( W , p ) {\displaystyle (W,p)} を選好付きシンプルゲーム(譲渡可能な効用を前提としない投票ゲーム)という。 ( W , p ) {\displaystyle (W,p)} が与えられたとき、任意の x , y ∈ W {\displaystyle x,y\in W} に対して、ある勝利提携 S ∈ W {\displaystyle S\in W} が存在して、すべての i ∈ S {\displaystyle i\in S} に対して x ≻ i p y {\displaystyle x\succ _{i}^{p}y} となることを x ≻ W p y {\displaystyle x\succ _{W}^{p}y} と表す。この ≻ W p {\displaystyle \succ _{W}^{p}} を X {\displaystyle X} 上の支配関係(社会選好)という。
N {\displaystyle N} を個人からなる空でない集合とする。 N {\displaystyle N} の部分集合を提携という。提携の集合 W {\displaystyle W} をシンプルゲーム (投票ゲーム) という(それぞれの提携に 1 または 0 の値を与える提携ゲームと考えることもできる)。ここでは W {\displaystyle W} は空集合でなく、かつ空集合を含まないと仮定する。 W {\displaystyle W} に属する提携は勝利提携、属さない提携は敗北提携という。シンプルゲーム W {\displaystyle W} が単調であるとは、任意の S ∈ W {\displaystyle S\in W} と S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} について、 T ∈ W {\displaystyle T\in W} が成り立つことをいう。 W {\displaystyle W} がプロパーであるとは、任意の S ∈ W {\displaystyle S\in W} に対して N ∖ S ∉ W {\displaystyle N\setminus S\notin W} となることをいう。 W {\displaystyle W} が強いとは、任意の S ∉ W {\displaystyle S\notin W} に対して N ∖ S ∈ W {\displaystyle N\setminus S\in W} となることをいう。