スレイター行列式
スレイター行列式の他に、ハートリー(Hartree)積というものもある。これは区別できる(エンタングルしていない)フェルミオンの波動関数を表現するものとして利用される。ハートリー積は反対称性は満たしていない。量子化学の分野では主に原子核の波動関数を表すときに用いられる。
χ 1 ( x 1 ) ⋯ χ N ( x N ) {\displaystyle \chi _{1}(x_{1})\dotsb \chi _{N}(x_{N})}
これは置換形式のスレイター行列式に出てくる。各フェルミオンは特定の軌道にのみ局在している。
本来、フェルミオンを交換すると符号は反転すべきであるが、粒子が明確に区別される状況であれば交換の起こる可能性自体を考慮から外すことができるわけである。また、その場合空間的にも離れて存在しているため、2つの粒子が同地点にくると、ほぼゼロになる。
一方、スレイター行列式は、ハートリー積の線形結合で表されるが、その際、添え字のすべての置換パターンが考慮される。これは、すべてのフェルミオンがどの分子軌道にも入り得ることを表し、言い換えれば、すべての粒子が区別できないということを表している。