平行線公準
アラビア数学者のイブン・アル・ハイサム (965-1039) は背理法を用いた平行線公準の証明を試みた。その過程で、彼は幾何学に運動(英語版)と変換の概念を導入した。彼はランベルトの四角形(英語版)を定式化し(この名前は18世紀の数学者ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトにちなむ。ボリス・アブラモヴィッチ・ローゼンフェルドは、これを「イブン・アル・ハイサム=ランベルトの四角形」と呼んだ)、その証明しようと試みた過程にはランベルトの四角形やプレイフェアの公理に類似した考え方が含まれている。
ペルシアの学者ウマル・ハイヤーム (1050-1123) は、別の命題から第5公準を証明しようと試みた。その命題とは「哲学者(アリストテレス)による基本的原則」の5つの公理のうちの4番目に基づくものである。彼の使った命題は双曲幾何学の可能性を排除するものであったが、結果として楕円幾何学と双曲幾何学に関する初期の結果をいくつか得ている。サッケーリの四角形もまた、最初に考えたのはハイヤームであり、11世紀後半の書籍Explanations of the Difficulties in the Postulates of Euclid(ユークリッド公準の困難性に関する解説)第1巻に書かれている。ハイヤームは前後の時代のユークリッド幾何の研究者(ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリも含む)とは異なり、平行線公準そのものを証明しようとしたのではなく、先述の(「哲学者による基本的原則」から作った)命題から導こうとした。