多項式環
体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。
ダフィット・ヒルベルトに端を発する多項式環 K[X1, ..., Xn] のイデアルと K の代数的集合 との間の関係に関する基本的な結果のいくつかは零点定理(ドイツ語: Nullstellensatz)と呼ばれる。
(弱形:係数が代数閉体の場合)K を代数的閉体とすると K[X1, ..., Xn] の任意の極大イデアル m は m = ( X 1 − a 1 , ... , X n − a n ) , ( a = ( a 1 , ... , a n ) ∈ K n ) {\displaystyle m=(X_{1}-a_{1},\dotsc ,X_{n}-a_{n}),\quad (a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {K} ^{n})} の形に書ける。
体 K に係数を持つ n-変数 X1, ..., Xn に関する多項式は一変数の多項式と同様にして定義される(特に n = 1 のときは一変数多項式に他ならない)が、この概念は少々ややこしい。任意の多重添字 α ≔ (α1, ..., αn) で各 αi が非負整数とするとき
と置く。積 X を多重次数 α の単項式と呼ぶ。(多変数の)多項式は K に係数を持つ単項式の線型結合 p = ∑ α p α X α {\textstyle p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }} で、有限個の係数 pα だけが零でないようなものをいう。 単項式 X の(全)次数 (degree) はしばしば |α|で表され、 | α | = ∑ i = 1 n α i {\textstyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}} と定義される。