摂動完全均衡
右の利得行列をもつ正規形ゲームによって,摂動完全均衡のアプローチが非常に簡単に説明できる.
この例における 2 つのナッシュ均衡は (a1, b1) と (a2, b2) である.このどちらが (あるいは両方が) 摂動完全均衡であるかを検討しよう.プレーヤー A は戦略 a1 をプレーしたいと思い,かつプレーヤー B は戦略 b1 をプレーするとすると,両者は 3 の利得を得ることになる.しかしプレーヤー A が,プレーヤー B は小さな誤り確率で戦略 b2 をプレーしてこないともかぎらないというふうに不確かに思う.a1 が,このプレーヤー 2 の誤り確率があってもなおプレーヤー 1 の最適な選択であり,したがって摂動完全である,ということを確かめるには,次のことを確認しなければならない:プレーヤー 1 が a1 を選んだときの期待利得が,a2 を選んだときの期待利得以上である.
ε をプレーヤー B の誤り確率とし,これは非常に小さいものと仮定する.すなわち,その余事象の確率 (正しくプレーする確率) が 1 − ε である.ここで 0 < ε < 1 とする.
すると,a1 を選んだときのプレーヤー 1 の期待利得は,
次の戦略形ゲームから始める:
G = ⟨ I , ( M i ) i ∈ I , ( P i ) i ∈ I ⟩ {\displaystyle G=\langle I,(M_{i})_{i\in I},(P_{i})_{i\in I}\rangle } .
ここで I はプレーヤーの集合を表し,Mi は純粋戦略 Si 上の確率分布からなる混合戦略の集合,そして Pi はプレーヤー i の期待利得関数である.
プレーヤーの起こしうる誤りを描くための中心的なアイデアは,どの純粋戦略も 0 でない確率でプレーされうる,と仮定することである.そのような変動ゲームでは,ni 個の純粋戦略をもった各プレーヤー i ∈ I について, ε i = ( ε i 1 , ε i 2 , . . . , ε i n i ) {\displaystyle \varepsilon _{i}=(\varepsilon _{i}^{1},\varepsilon _{i}^{2},...,\varepsilon _{i}^{n_{i}})} を,正の確率の集合であって次をみたすものとする: ε i ≫ 0 , ∑ j = 1 n i ε i j < 1 {\displaystyle \varepsilon _{i}\gg 0,\;\sum _{j=1}^{n_{i}}\varepsilon _{i}^{j}<1} .
したがって,変動ゲームにおける混合戦略の集合は,
M i ε = { m i ∈ M i ∣ m i k ≥ ε i k , k = 1 , .