パウリ行列
[ X 1 , X 2 ] = X 3 , [ X 2 , X 3 ] = X 1 , [ X 3 , X 1 ] = X 2 {\displaystyle [X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}}
を満たす。su(2) はトレースが 0 かつ反エルミート
Tr  ( X ) = 0 X † = − X {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (X)&=0\\X^{\dagger }&=-X\end{aligned}}}
である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、
exp  ( ∑ k = 1 3 t k X k ) ( t 1 , t 2 , t 3 ∈ R ) {\displaystyle \exp(\sum \limits _{k=1}^{3}t_{k}X_{k})\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )}
の形で与えることができる。
{ σ i 2 = I = − i σ 1 σ 2 σ 3 σ i σ j = − σ j σ i ( i ≠ j ) {\displaystyle {\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}}
が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて
σ i σ j = δ i j I + i ∑ k = 1 3 ε i j k σ k ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)}
と書くことができる。
パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 su(2) の生成子である。パウリ行列に −i/2 を乗じた
X 1 = − i 2 σ 1 = [ 0 − i / 2 − i / 2 0 ] X 2 = − i 2 σ 2 = [ 0 − 1 / 2 1 / 2 0 ] X 3 = − i 2 σ 3 = [ − i / 2 0 0 i / 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&-i/2\\-i/2&0\end{bmatrix}}\\X_{2}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{bmatrix}}\\X_{3}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}-i/2&0\\0&i/2\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
は su(2) の基底であり、交換関係
添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。
上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
σ 0 = I = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}