リー環の指数写像
複素平面で中心が 0 にある単位円は、1 における接空間が複素平面の虚数直線 { i t : t ∈ R } {\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}} と同一視できるリー群である(円群と呼ばれる)。このリー群の指数写像は i t ↦ exp  ( i t ) = e i t = cos  ( t ) + i sin  ( t ) , {\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}
つまり、通常の複素指数関数と同じ公式で与えられる。
分解型複素数平面 z = x + y ȷ , ȷ 2 = + 1 , {\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,} において、虚数直線 { ȷ t : t ∈ R } {\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace } は単位双曲線(英語版)群 { cosh  t + ȷ sinh  t : t ∈ R } {\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace } のリー環をなす、なぜならば指数写像は ȷ t ↦ exp  ( ȷ t ) = cosh  t + ȷ sinh  t {\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t}