半直積
である。従って、アフィン変換群 Aff  ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})} の群演算は、
( A 1 , b 1 ) ( A 2 , b 2 ) = ( A 1 A 2 , A 1 b 2 + b 1 ) {\displaystyle (A_{1},b_{1})(A_{2},b_{2})=(A_{1}A_{2},A_{1}b_{2}+b_{1})}
となり、 G L ( n , R ) {\displaystyle {\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )} と R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の単純な直積群ではないことが分かる。しかし G L ( n , R ) {\displaystyle {\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )} と R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} は共に Aff  ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})} の部分群を成し、とくに R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} は正規部分群になる。 このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = N ⋊ H と表す。
N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
N と H は自明な共通部分をもつ:N ∩ H = 1
G を群とし、H をその部分群、N を正規部分群 (N ◁ G) とすると、以下は同値である。
G = NH かつ N ∩ H = 1.
G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
自然な埋め込み H → G を自然な射影 G → G / N と合成すると、H と商群 G / N の間の同型写像となる。
H 上恒等写像で核が N の群準同型 G → H が存在する。