純非分離拡大
代数拡大 E ⊇ F {\displaystyle E\supseteq F} が純非分離拡大 (purely inseparable extension) であるとは、すべての α ∈ E ∖ F {\displaystyle \alpha \in E\setminus F} に対して、 α {\displaystyle \alpha } の F 上の最小多項式が分離多項式でないということである。F が任意の体であれば、自明な拡大 F ⊇ F {\displaystyle F\supseteq F} が純非分離である。体 F が非自明な純非分離拡大をもつためには、上のセクションで概説したように不完全でなければならない。
純非分離拡大の概念に対するいくつかの同値でより具体的な定義が知られている。 E ⊇ F {\displaystyle E\supseteq F} が代数拡大で標数が(0 でない)素数 p であれば、以下は同値である:
1. E は F 上純非分離
2. 各元 α ∈ E {\displaystyle \alpha \in E} に対してある n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} が存在して α p n ∈ F {\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F} .
3.