アーベルの総和公式
数列 ( a n ) n = 0 , 1 , ⋯ {\displaystyle (a_{n})_{n=0,1,\cdots }} と実数 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} に対し、 その総和を A ( x ) = ∑ 0 ≤ n ≤ x a n {\displaystyle A(x)=\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}} と定める。 また関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} が 0 < t < x {\displaystyle 0<t<x} において微分可能とする。このとき
∑ n = 0 x a n f ( n ) = A ( x ) f ( x ) − ∫ 0 x A ( t ) f ′ ( t ) d t {\displaystyle \sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt}
が成り立つ。
より一般に、 f ( t ) {\displaystyle f(t)} が x < t < y {\displaystyle x<t<y} において微分可能なとき
∑ n = x y a n f ( n ) = A ( y ) f ( y ) − A ( x ) f ( x ) − ∫ x y A ( t ) f ′ ( t ) d t {\displaystyle \sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt}
が成り立つ。