プラマーモデル
プラマーモデルに従う物質分布について、半径 r 以内の質量 M(r) は次式により与えられる。
M ( r ) = M r 3 ( r 2 + a 2 ) 3 / 2 {\displaystyle M(r)=M{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}}
また、この分布に従う星団がつくる重力ポテンシャルは万有引力定数 G を用いて次のように求まる。
Φ ( r ) = − G M r 2 + a 2 {\displaystyle \Phi (r)=-{\frac {GM}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}
なおこれは重力多体系のシミュレーションにおいて用いられる ε-処方と等価なポテンシャルとなっている。
プラマーモデルは n=5 のポリトロープモデルとしても得られる。つまり、球状星団内の星が分布関数
f ( r , v ) ∝ ( − E ) 7 / 2 , E = 1 2 v 2 + Φ ( | r | ) {\displaystyle f({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {v}})\propto (-E)^{7/2},\ \ E={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\Phi (|{\boldsymbol {r}}|)}
に従うときプラマーモデルを再現する。