導来圏
導来圏によって、すべての導来函手 RF をひとつの函手へ要約することができる。いわゆる全導来函手 R F : D + ( A ) → D + ( B ) {\displaystyle RF\colon D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow D^{+}({\mathcal {B}})} である。この函手は合成 D + ( A ) ≅ K + ( Inj  ( A ) ) → K + ( B ) → D + ( B ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\cong K^{+}(\operatorname {Inj} ({\mathcal {A}}))\rightarrow K^{+}({\mathcal {B}})\rightarrow D^{+}({\mathcal {B}})} である。ここに第一の圏同値は上で述べたものである。古典的な導来函手は、 R n F ( X ) = H n ( R F ( X ) ) {\displaystyle R^{n}F(X)=H^{n}(RF(X))} を通して、全導来函手へ関連付いている。 R n F {\displaystyle R^{n}F} は双対鎖複体を忘れコホモロジーのみを保持している一方、 R F {\displaystyle RF} は双対鎖複体を保持している、ということもできる。
ホモトピー同値は擬同型であることが容易に示せるので、上の構成の第二段階は省略できる場合がある。標準的函手
K ( A ) → D ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}})}
の存在が明らかであるので、定義は通常この方法で与えられる。
具体的な状況において導来圏の射を直接に扱うことは非常に困難であるか不可能である。そこで導来圏に同値なより扱い易い圏を探すことになる。古典的には、射影分解と単射分解による2つの(双対な)アプローチがある。どちらの場合にも、上の標準函手を適当な部分圏へ制限することで圏同値となる。
以下では導来圏の文脈における単射分解の役割を述べる。これは右導来函手を定義する基礎となり、位相空間上の層コホモロジーやエタール・コホモロジーや群コホモロジーのような進んだコホモロジー論へ重要な応用を持つ。
このテクニックを応用するために、問題のアーベル圏が十分単射的対象を持つことを仮定する必要がある。十分単射的対象を持つとは、圏のすべての対象 X がある単射対象 I への単射を持つという意味である。(写像も単射対象も一意である必要はない。)たとえば、グロタンディークアーベル圏(英語版)は十分単射的対象を持つ。X を単射対象 I へ埋め込み、この射の余核を単射対象 I へ埋め込みと、繰り返すと X の単射分解、つまり(一般には無限の)完全系列