縮閉線
媒介変数 t が弧長変数 s でない場合は少々込み入った形になるが、γ(t) = (x(t), y(t)) を曲線 γ の媒介変数表示とすれば、その縮閉線の媒介変数表示は、曲率半径 R = 1/k と接線角(tangent angle; 接線が始線、つまり x-軸と成す角度)φ を用いた式に表すことができる。R と φ を用いた縮閉線の媒介変数表示は
( X , Y ) = ( x , y ) + R N = ( x − R sin  φ , y + R cos  φ ) {\displaystyle (X,Y)=(x,y)+R{\boldsymbol {N}}=(x-R\sin \varphi ,y+R\cos \varphi )}
で与えられる。ここで単位法ベクトル N = (−sinφ, cosφ) は単位接ベクトル T = (cosφ, sinφ) を90度回転させて得られる。
もちろん、縮閉線の式を x, y およびその導函数のみを用いて表すこともできる。実際、
平面曲線 γ = γ(s) はその弧長変数 s によって媒介変数表示されているとする。この曲線の単位接ベクトル T(s) は、弧長を媒介変数とすることの利点として
T ( s ) = γ ′ ( s ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(s)=\gamma '(s)}
と簡単な形に表すことができる。単位法ベクトル N(s) は T(s) に垂直な単位ベクトルで、対 (T, N) が正の向きとなるようにとる。
曲線 γ の曲率 k は、等式
T ′ ( s ) = k ( s ) N ( s ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}'(s)=k(s){\boldsymbol {N}}(s)}
を γ の定義域の各点 s において満たすものとして定義される。曲率半径はその逆数
R ( s ) = 1 k ( s ) {\displaystyle R(s)={\frac {1}{k(s)}}}
である。