オイラー類
, x 2 n , − x 2 n − 1 ) {\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})}
で与えられ、オイラー類が消滅することを示している。これはまさに、円の上の普通の切断の n 個のコピーである。
偶数次元の球面のオイラー類が 2[S] ∈ H(S, Z) と対応するように、2つのバンドルのホイットニー和のオイラー類は 2つのバンドルのオイラー類のカップ積であるという事実を使うと、偶数次元の球面の接バンドルには非自明な部分バンドルが存在しないことが分かる。
球面の接バンドルは、安定的自明バンドルであるが自明なバンドルではないので、すべての他の特性類はその上では消滅し、オイラー類は単に、球面の接バンドルの非自明性を検出する通常のコホモロジー類である。さらに深い結果を証明するには、第二コホモロジー作用素(英語版)(secondary cohomology operation)や K-理論を使う必要がある。
オイラー類は、以下の性質を満たし、これらの性質は特性類の公理である。
函手性(Functoriality): F → Y が別の向き付けられた、実ベクトルバンドルで、f : Y → X が連続で向きを保つ写像 F → E により被覆されているとすると、e(F) = f*e(E) である。特に、e(f*E) = f*e(E) である。
ホイットニー(Whitney)の和公式: F → X を別の向き付けられた実ベクトルバンドルとすると、これらの直和のオイラー類は、 e ( E ⊕ F ) = e ( E ) ⌣ e ( F ) {\displaystyle e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F)} で与えられる。
正規化(Normalization): E がどこでも 0 とならない切断を持つと、e(E) = 0 である。
向き(Orientation): E を E とは反対の向きとすると、e(E) = −e(E) である。
「正規化」は、オイラー類によって 0 にはならない切断の存在が分かるという性質であることに注意する。
他の特性類とは「異なり」、オイラー類はひとつの次元に集中していて、バンドル e(E) ∈ H のランクに依存している。すなわち、e0, e1, .... があるわけではない。特に、c0(E) = p0(E) = 1 ∈ H(X; Z) であり、w0(E) = 1 ∈ H(X; Z/2Z) であるが、e0 は存在しない。このことは、以下に述べるように、オイラー類が不安定であるという事実を反映している。