擬環
擬環 R が「s-単位的」であるとは、R の任意の有限集合 r1, r2, ..., rt ごとに、各 i に対して sri = ri = ris を満たす R の元 s が取れることをいう。
この普遍性の意味で R^ は R を含む「もっとも一般の」環である。
また、(n, r) を n へ写す自然な全射単位的環準同型 R^ → Z が存在して、その核は R^ における R の像となるが、j が単射ゆえ R が R^ に(両側)イデアルとして埋め込まれること、および剰余環 R^/R が Z に同型となることが確かめられる。即ち、
「任意の擬環はある単位的環のイデアルであり、単位的環の任意のイデアルは擬環である」。
ここで j 決して全射にならないことに注意が必要である。これはつまり、R がもともと単位元を持つ環であったとしても、得られる単位的環 R^ というのは R のものとは異なる新しい単位元を持ったより大きな環になる(R の単位元は R^ においてはもはや単位元でない)ということを意味する。
擬環に対する単位元の添加の過程を圏論的に定式化することもできる。すべての単位的環と単位的環準同型のなす圏(単位的環の圏)を Ring, すべての擬環と擬環準同型の成す環(擬環の圏)を Rng で表せば、環の圏 Ring は擬環の圏 Rng の(充満でない)部分圏で、上記 R^ の構成(単位元添加)は包含函手 I: Ring → Rng の左随伴になる。これはつまり、単位的環の圏 Ring は反射子 j: R → R^ を備えた Rng の反射的部分圏であるということである。