故障率
故障率は次のように定義される:
規定の条件下における特定の測定間隔の間に、あるアイテムの母集団内で起こった故障総数を、その集団が費やした合計時間で割ったもの。(MacDiarmid, et al.)
故障率 λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} は、しばしば時間 t {\displaystyle t} 以前に故障がない場合に特定の間隔で故障が発生する確率と考えられがちだが、1を超えることもあるので実際には確率ではない。故障率を誤ってパーセント(%)で表現すると、特に修理可能なシステム、故障率一定型でないシステム、または動作時間が異なる複数のシステムについて測定する場合に、この尺度を正しく認識できない可能性がある。故障率 λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} は、信頼性関数 R ( t ) = 1 − F ( t ) {\displaystyle R(t)=1-F(t)} (時刻 t {\displaystyle t} 以前に故障が発生しない確率。生存関数とも呼ばれる)を用いて次のように定義される。
λ ( t ) = f ( t ) R ( t ) {\displaystyle \lambda (t)={\frac {f(t)}{R(t)}}} ,
ここに f ( t ) {\displaystyle f(t)} は(最初の)故障までの時間分布(すなわち故障密度関数)である。
ある種の工学的な仮定(たとえば、故障率一定型に関する上記の仮定に加えて、考慮されるシステムには関連する冗長性がないという仮定)の下では、複雑なシステムの故障率は、単位が一貫している限り、その構成要素の個々の故障率の単純な合計となる(たとえば、100万時間当たりの故障数)。これにより、個々の構成要素またはサブシステムをテストすることが可能になり、それらの故障率を加算してシステム全体の故障率を得ることができる。
単一故障点をなくすために「冗長」部品を追加すると、ミッション故障率は改善するが、直列故障率(ロジスティクス故障率とも呼ばれる)は悪化する。つまり、追加の部品は平均重大故障間隔(mean time between critical failures、MTBCF)を改善させる反面、何かが故障するまでの平均時間は悪化する。
と表される。ここに T {\displaystyle {T}} は故障時間である。
この故障分布関数は、故障密度関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} の積分で、
F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ {\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \!}
である。これによりハザード関数は、
h ( t ) = f ( t ) 1 − F ( t ) = f ( t ) R ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}}
と定義できる。
故障分布のモデル化においては、多くの確率分布を用いることができる(確率分布のリスト(英語版)を参照)。
一般的なモデルは、指数密度関数に基づく指数故障分布、
F ( t ) = ∫ 0 t λ e − λ τ d τ = 1 − e − λ t {\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t}\!}
である。
これに対するハザード率関数は、