同型写像
V の基底を選ぶと、これは同型を生む:すべての u, v ∈ V に対して、
v ↦ ∼ φ v ∈ V ∗ such that φ v ( u ) = v T u {\displaystyle v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{such that}}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u} .
これは列ベクトル(V の元)を行ベクトル(V* の元)に転置で変換することに対応するが、基底の異なる選択は異なる同型を与える:同型は「基底のとり方に依存する」のである。より微妙なことに、ベクトル空間 V からその二重双対(英語版) V** = { x: V* → K } への基底のとり方に依らない写像が存在する:すべての v ∈ V と φ ∈ V* に対して、
v ↦ ∼ x v ∈ V ∗ ∗ such that x v ( φ ) = φ ( v ) . {\displaystyle v\ {\overset {\sim }{\mapsto }}\ x_{v}\in V^{**}\quad {\text{such that}}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).}
これは第三の概念、自然同型を導く:V と V** は異なる集合であるが、それらの間の同型写像の「自然」な取り方が存在する。「任意の選択に依存しない同型写像」というこの直観的な概念は自然変換の概念において定式化される;端的には、任意のベクトル空間に対して一貫した方法でベクトル空間とその二重双対を同一視、あるいはより一般に、写す V → ∼ V ∗ ∗ {\displaystyle V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{**}} ことができる。
数学のある分野、特に圏論では、等しいことと同型とを区別するのが大切である。等しいとは2つの対象が全く同じであることであり、一方について正しいすべてのことは他方についても正しい。一方同型は一方の対象の構造のある指定された部分について正しいすべてのことは他方についても正しいことを意味する。例えば、集合
A = { x ∈ Z ∣ x 2 < 2 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\}} と B = { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle B=\{-1,0,1\}\,}
は等しい;それらは整数の同じ部分集合で表示が違うだけである――前者は内包的(英語版)(set builder notation(英語版))であり、後者は外延的(英語版)(明示的な列挙)である。対照的に、集合 {A, B, C} と {1, 2, 3} は等しくはない――前者の元は文字だが後者の元は数である。これらは集合として同型である、なぜならば有限集合は濃度(元の個数)によって同型を除いて決定され、これらは両方とも3つの元を持っているからであるが、同型写像の選び方はたくさんある――1つの同型写像は
A ↦ 1 , B ↦ 2 , C ↦ 3 {\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,\,{\text{B}}\mapsto 2,\,{\text{C}}\mapsto 3}
であり、別の同型写像は
A ↦ 3 , B ↦ 2 , C ↦ 1 {\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,\,{\text{B}}\mapsto 2,\,{\text{C}}\mapsto 1}