ワイルスカラー
{\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}
ここで、 h + {\displaystyle h_{+}} および h × {\displaystyle h_{\times }} それぞれ重力波の偏極における「 +モード」と「×モード」であり、二重ドットは二階時間微分を表わす。
しかし、上述の解釈が成り立たなくなるような例も知られている。それは、円筒対称性を持つアインシュタイン方程式の真空厳密解の場合である。たとえば、静的な(無限に長い)円筒は、「クーロン」的ワイル要素 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} から期待される重力場だけでなく、非零の「横波」成分 Ψ 0 {\displaystyle \Psi _{0}} および Ψ 4 {\displaystyle \Psi _{4}} を持つことがある。さらに、純粋に外向きのアインシュタイン・ローゼン波(英語版)が非零の「内向き横波」成分 Ψ 0 {\displaystyle \Psi _{0}} を持つことも知られている。
上述の定義に従うと、ワイル-NPスカラーを計算する前に関連する四つ組を縮約して定義されるワイルテンソル(英語版)をみつけることができる。 この方法はしかし、ニューマン・ペンローズ形式(英語版)の考え方を完全に反映したものではない。それとは違い、まずスピン係数(英語版)を計算した上で五つのワイル-NPスカラーを次のニューマン・ペンローズ方程式(英語版)から導出することができる。
Ψ 0 = D σ − δ κ − ( ρ + ρ ̄ ) σ − ( 3 ε − ε ̄ ) σ + ( τ − π ̄ + α ̄ + 3 β ) κ , {\displaystyle \Psi _{0}=D\sigma -\delta \kappa -(\rho +{\bar {\rho }})\sigma -(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma +(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa \,,}