1+1+1+1+…
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 − 2 1 − s ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}
の s = 0 における値である。しかしながら上記2つの式は 0 において有効でないので、リーマンのゼータ関数の解析接続を用いなければならない。
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin  π s 2 Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin {\frac {\pi s}{2}}\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}
これを使うことで( Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} なので)以下を得る。