中央値
中央値は平均値と同様に集団の代表値を得る目的で使う。例えば年収からなるデータの場合を考えてみると分かりやすい。
一部の富裕層が平均年収をつり上げてしまう例を考える。人口100人の集落で、90人が年収200万円だとしても、10人が年収5000万円であれば平均年収は680万円となる。
一方中央値は、年収が低い順(高い順)に国民を並べたときに丁度真ん中になる人の年収を表している。この場合、中央値はあいかわらず200万円であり、一部の富裕層の年収が中央値に与える影響はゼロになる。
例えば一人の億万長者が小さな町に引っ越してくれば平均年収はつり上がってしまうが、年収の中央値はたかだか一順位分変わるに過ぎない。
分布が対称であるデータに対しては、中央値は平均値に等しい。ただし、分布が対称でなくても、中央値と平均値が等しくなることもある。
以下の性質により、平均値よりも、全体の傾向を表す代表値として適切である場合が多い。 平均値は、測定ミスなどによって発生する外れ値(他の値より著しく異なる値)に大きく影響され、誤差が大きくなったり、無意味な値となることがある。そのため、刈り込み、ロバスト統計などの対策が必要になる。しかし、中央値は外れ値にほとんど影響されないので、対策は不要である。 たとえばデータが正値のみといったように限定されている場合、そうでない場合と比べて分布はより非対称になりやすく、少数の大きな値に引きずられて平均値は大多数の分布より大きくずれることがある。しかし、中央値ではそういった影響はほとんどない。 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } を含むデータに対しても中央値は有限となることがある。
1次元の確率分布 f(x) に対し、
∫ − ∞ m f ( x ) d x ≥ 1 2 a n d ∫ m ∞ f ( x ) d x ≥ 1 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{m}f(x)\,\mathrm {d} x\geq {\frac {1}{2}}\;\mathrm {and} \;\int _{m}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\geq {\frac {1}{2}}}
を満たす m を、中央値と呼ぶ。