非ユークリッド幾何学
ユークリッドの著した『原論』(Elements) の1~4巻に於いては、今日で言うところのユークリッド幾何学に関して、古代ギリシア数学の成果がまとめられている。
さて、「原論」では最初にいくつかの公理・公準を述べているが、その中の第5公準が次の、「平行線公準」と呼ばれるものである。
2直線に他の1直線が交わってできる同じ側の内角の和が2直角より小さいなら、この2直線を延長すると、2直角より小さい側で交わる。
これは他の公理に比べて自明性は低く、また明らかに冗長であったので、いくつかの疑念を生ずることとなった。
公理・公準として扱うことは正しいのだろうか? 定理なのでは無いだろうか。
あるいは、もっと自明で簡潔な、同値な命題が存在するのではないだろうか。
ここから、平行線公準の証明の試み、あるいは平行線公準の言い換えの試みが始まった。
ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」(1829年)において、「虚幾何学」と名付けられた双曲幾何学のモデルを構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。
ボーヤイ・ヤーノシュは父・ボーヤイ・ファルカシュの研究を引き継いで、1832年、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学 (Σ) 、および平行線公準の否定を仮定した幾何学 (S) を論じた。更に、1835年「ユークリッド第 11 公準を証明または反駁することの不可能性の証明」において、Σ と S のどちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。
ベルンハルト・リーマンはリーマン球面と呼ばれる楕円幾何学のモデルを構成した。
あわせて4人が3通りの方法を発見した。その結果をまとめると以下のようになる。
なお、ここでは曲がった面上や空間内の「直線」は二点間の最短距離を実現する曲線(つまり測地線)を指すのであって、まっすぐな線のことではない。さらに、平行線は絶対に交わらない二本の直線であって、同角度に伸びている線を意味しない。