クロス積
3次元の向き付けられたベクトル空間におけるクロス積は、任意のベクトル v に対してドット積との間に
v ⋅ ( a × b ) = det ⟨ v , a , b ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle }
の関係を満たすベクトルの二項演算である。ここで ⟨ · , · , · ⟩ はベクトルを標準的な基底により列ベクトルと同一視することで得られる3次正方行列である。det は行列式を表す。
幾何的なベクトルの演算として定義できる。
行列式の交代性から、
a ⋅ ( a × b ) = b ⋅ ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0}
2つのベクトルのクロス積は、2つのベクトルが作る平行四辺形の大きさに等しい(図1)。
また、3つのベクトル a、b、cは、平行六面体を定義する。(図2)。この平行六面体の体積 Vについて、
V = | a ⋅ ( b × c ) | {\displaystyle V=|{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})|}
が成り立つ。ここで絶対値記号を付けたのは、3つのベクトルのクロス積が負になる場合を考慮してのことである。
なお、
a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {c}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})}
である。
( ) × ( ) = ( ) ( a 1 ) × ( b 1 ) = ( 0 ) ( a 1 a 2 a 3 ) × ( b 1 b 2 b 3 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ) × ( b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 − a 4 b 5 + a 5 b 4 − a 6 b 7 + a 7 b 6 − a 1 b 3 + a 3 b 1 − a 4 b 6 + a 5 b 7 + a 6 b 4 − a 7 b 5 a 1 b 2 − a 2 b 1 − a 4 b 7 − a 5 b 6 + a 6 b 5 + a 7 b 4 a 1 b 5 + a 2 b 6 + a 3 b 7 − a 5 b 1 − a 6 b 2 − a 7 b 3 − a 1 b 4 − a 2 b 7 + a 3 b 6 + a 4 b 1 − a 6 b 3 + a 7 b 2 a 1 b 7 − a 2 b 4 − a 3 b 5 + a 4 b 2 + a 5 b 3 − a 7 b 1 − a 1 b 6 + a 2 b 5 − a 3 b 4 + a 4 b 3 − a 5 b 2 + a 6 b 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&()\times ()=()\\&(a_{1})\times (b_{1})=(0)\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\\b_{5}\\b_{6}\\b_{7}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}\\-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{6}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{4}-a_{7}b_{5}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{4}b_{7}-a_{5}b_{6}+a_{6}b_{5}+a_{7}b_{4}\\a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}-a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}\\-a_{1}b_{4}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{1}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}\\a_{1}b_{7}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{7}b_{1}\\-a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{4}+a_{4}b_{3}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}