指数関数
( d / d x − 1 ) exp  ( x ) = 0 {\displaystyle (d/dx-1)\exp(x)=0}
を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。
一般の指数関数 a の導関数は自然対数 ln を用いて、合成関数の微分公式より、
d d x a x = d d x e x ln  a = d ( x ln  a ) d x d e x ln  a d ( x ln  a ) = ( ln  a ) a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln a}={\frac {{d}(x\ln a)}{{d}x}}{\frac {{d}{e}^{x\ln a}}{{d}(x\ln a)}}=(\ln a)a^{x}}
となる。a = e とすれば ln e = 1 なので最初の公式に戻る。
複素指数函数の場合と同様に、テイラー級数表示における変数を p-進数とすることにより、p-進数の全体 Qp 上の関数として p-進指数関数が定義される。