対合環
自明な ∗-環: 任意の可換環は、恒等写像を自明な対合と見て、∗-環にすることができる。
∗-環および実 ∗-多元環の最もよく知られた例として、複素数体 C 上で複素共軛を対合と見たものが挙げられる。
より一般に、適当な元の平方根(たとえば、虚数単位 √−1)を添加して得られる拡大体はもとの体(これを自明な ∗-環と見て)の上の ∗-多元環である。添加した平方根の符号反転が主対合を与える。
適当な D に対する二次の整数環(英語版) も一つ前の例と同じ方法で対合を定めて可換 ∗-環になる。特に、二次体は適当な二次整数環上の ∗-多元環になる。
四元数体、分解型複素数環、二重数環などを含む様々な超複素数系は、自身のもつ共軛をとる主対合のもとで ∗-環であり、また実数体を自明な ∗-環と見て ∗-多元環である。しかし、ここで上げた三つは何れも複素多元環でないことに注意。
フルヴィッツの四元整数環(英語版)は、四元数の共軛に関して、非可換 ∗-環を成す。
実数体 R 上の n-次全行列環は、行列の転置に関して、実 ∗-多元環を成す。
複素数体 C 上の n-次全行列環は、行列の随伴に関して、複素 ∗-多元環を成す。 一般化して、ヒルベルト空間上の有界線型作用素全体の成す多元環は、エルミート共軛にもとで、複素 ∗-多元環を成す。
多項式環 R[x] は、P *(x) = P (−x) と置くことにより、係数環 R を自明な可換 ∗-環として、∗-多元環を成す。
∗-環において、写像 −∗: x ↦ −x を考える。標数 2 の場合には、これはもとの ∗ と恒等的に同じものになるが、それ以外の場合には ∗-構造を定めない。実際、1 ↦ −1 であり、反乗法的でもないが、それ以外の公理(加法性、対合性)は満足するから、x ↦ x の定める ∗-多元環と極めてよく似た性質を持つ。
この写像で不変な元 a = −a は歪エルミートであると言う。
複素数の全体に複素共軛を考えた ∗-環において、実数の全体はエルミート元の全体と一致し、純虚数の全体は歪エルミート元の全体に一致する。