微分動的計画法
次式のダイナミクスを考える。
これは制御入力 u {\displaystyle \mathbf {u} } のもとでの状態 x {\displaystyle \textstyle \mathbf {x} } の時刻 i {\displaystyle i} から i + 1 {\displaystyle i+1} までの時間発展を表している。 総コスト J 0 {\displaystyle J_{0}} は、ランニングコスト l {\displaystyle \textstyle \ell } と最終コスト l f {\displaystyle \ell _{f}} の和として与えられ、状態 x {\displaystyle \mathbf {x} } と終端時刻までに適用する制御系列 U ≡ { u 0 , u 1 ... , u N − 1 } {\displaystyle \mathbf {U} \equiv \{\mathbf {u} _{0},\mathbf {u} _{1}\dots ,\mathbf {u} _{N-1}\}} によって定まる:
J 0 ( x , U ) = ∑ i = 0 N − 1 l ( x i , u i ) + l f ( x N ) , {\displaystyle J_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {U} )=\sum _{i=0}^{N-1}\ell (\mathbf {x} _{i},\mathbf {u} _{i})+\ell _{f}(\mathbf {x} _{N}),}