超限帰納法
帰納法や再帰を用いた証明や構成では、しばしば選択公理を用いて、超限帰納法で扱えるような整列された関係を作り出す。しかし、問題にしている関係がすでに整列されている場合は、選択公理を用いずに超限帰納法を用いることができる。例えば、ボレル集合に関する多くの結果は、ボレル階層上のランクに関する超限帰納法によって証明される。ボレル階層のランクは既に整列されているので、整列するために選択公理は必要ない。
次のヴィタリ集合の構成は、選択公理を超限帰納法による証明に使うことができる一つの方法を示している:
まず、実数を整列して(ここで整列可能定理に選択公理を用いる)、列 ⟨ r α ∣ α < β ⟩ {\displaystyle \langle r_{\alpha }\mid \alpha <\beta \rangle } を得る。ここでβ は連続体濃度を持つ順序数である。v0 は r0 とする。v1 は rα1 とする。ここで α1 は rα1 − v0 が 有理数でなくなる最小のものである。続けて各ステップでは、r数列のうち、v数列でこれまでに構成されたどの要素とも有理数差を持たない最小の実数を取り続けていく。