ゲルマン行列
{ λ a , λ b } = 4 3 δ a b + 2 ∑ i = 1 8 d a b c λ c {\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}+2\sum _{i=1}^{8}d_{abc}\lambda _{c}}
ここで、dabc は添え字a, b, c について、完全対称な実係数である。dabc のうち、ゼロでないものをa < b < c を満たすもので代表させて表すと、
d 118 = d 228 = d 338 = 1 3 {\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}
d 888 = − 1 3 {\displaystyle d_{888}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}}
d 146 = d 157 = d 256 = d 344 = d 355 = 1 2 {\displaystyle d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}={\frac {1}{2}}}
d 247 = d 366 = d 377 = − 1 2 {\displaystyle d_{247}=d_{366}=d_{377}=-{\frac {1}{2}}}
d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 {\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}}
により、リー代数となり、その構造は
[ T a , T b ] = i ∑ i = 1 8 f a b c T c {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{i=1}^{8}f_{abc}T_{c}}
で定まる構造定数 fabc で規定される。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、fabc は添え字a, b, c について、完全反対称である。
{T1,T2,T3}の組は、
[ T 1 , T 2 ] = i T 3 , [ T 2 , T 3 ] = i T 1 , [ T 3 , T 1 ] = i T 2 {\displaystyle [T_{1},T_{2}]=iT_{3},\quad [T_{2},T_{3}]=iT_{1},\quad [T_{3},T_{1}]=iT_{2}}
と交換子積について閉じており、SU(2)に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はSU(2)に対応する部分リー代数をなす。
このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は
C 1 = ∑ a T a 2 {\displaystyle C_{1}=\sum _{a}T_{a}^{\,2}}
C 2 = ∑ a d a b c T a T b T c {\displaystyle C_{2}=\sum _{a}d_{abc}T_{a}T_{b}T_{c}}
で与えられる。