環の圏
環の圏 Ring は具体圏(英語版)、すなわちその対象は集合に追加の構造(いまの場合、加法と乗法)を入れたものであり、その射はそれら構造を保つ写像である。環の圏から集合の圏への自然な忘却函手(英語版) U: Ring → Set が、各環をその台となる集合へ写すことによって(つまり、加法と乗法という演算を「忘れる」ことによって)与えられる。この忘却函手の左随伴 F: Set → Ring は各集合 X に X の生成する自由環を対応させる自由函手である。
環の圏を、アーベル群の圏 Ab 上の、あるいはモノイドの圏 Mon 上の具体圏と見ることもできる。具体的に、乗法あるいは加法をそれぞれ忘れることによって、二つの忘却函手 A: Ring → Ab および M: Ring → Mon が得られる(つまりA は環の加法群を取り出す函手、M は環の吸収元付き乗法モノイドを取り出す函手である)。この二つはいずれも左随伴を持つ。A の左随伴は、任意のアーベル群 X に対し(それを Z-加群と見て)テンソル環 T(X) を割り当てる函手である。また M の左随伴は、任意のモノイド G に整係数モノイド環 Z[G] が対応する。
可換環 R を一つ固定して、すべての R-多元環を対象とし、すべての R-多元環準同型を射とする圏 R-Alg が定義できる。
環の圏は多元環の圏の特別の場合と考えられる。実際、任意の環は一意的な方法で Z-多元環と見なすことができ、環準同型は Z-多元環準同型に他ならないから、環の圏 Ring は Z-多元環の圏 Z-Alg に圏同型(英語版)である 。環の圏に関する多くの言明を、R-多元環の圏に関する言明に一般化することができる。
各可換環 R に対して、R-加群構造を忘れる忘却函手 R-Alg → Ring が考えられる。この函手は左随伴を持ち、それは各環 A に対してテンソル積環 R ⊗Z A に r·(s ⊗ a) ≔ rs ⊗ a を満たすように R-多元環構造を入れたものを対応させる函手となる。