テイラーの定理
関数 f: R → R が a ∈ R において微分可能であることは、次と同値である。
f ( x ) = f ( a ) + L ( x − a ) + h ( x ) | x − a | , lim x → a h ( x ) = 0 {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})|\mathbf {x} -\mathbf {a} |,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0}
となるような線型汎関数 L: R → R と関数 h: R → R が存在する。
この条件が成り立つとき、L = df(a) は点 a における f の(一意的に定義される)微分である。さらに、このとき f の a における偏微分が存在し、f の a における微分は
d f ( a ) ( v ) = ∂ f ∂ x 1 ( a ) v 1 + ⋯ + ∂ f ∂ x n ( a ) v n {\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}}