随伴関手
圏CとDの余単位-単位随伴は2つの関手 F : C ← D と G : C → D および2つの自然変換(それぞれ、この随伴の余単位射および単位射と呼ばれる)
ε : F G → 1 C η : 1 D → G F {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \colon &FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta \colon &1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}
であって、これらの合成
F → F η F G F → ε F F {\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}
G → η G G F G → G ε G {\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}
がそれぞれ、FとG上の恒等変換1F and 1Gとなることをいい、これらの自然変換をそれぞれcounitとunitと呼ぶ。
このとき、 FはGの左随伴であり GはFの右随伴であるという。この関係を ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G} 、または単に F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G} と書く。
(ε,η)に関する上の条件を等式で書くと、counit-unit恒等式と呼ばれる
普遍射の意味での右随伴関手 G : C → D {\displaystyle G:C\to D} が与えられたとして、以下の手順を行う。
関手 F : C ← D {\displaystyle F:C\gets D} と自然変換 η {\displaystyle \eta } を構成する Dの各対象Yに対して、YからGへの普遍射 ( F ( Y ) , η Y ) {\displaystyle (F(Y),\eta _{Y})} を選ぶ。すなわち、 η Y : Y → G ( F ( Y ) ) {\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))} が得られ、対象関数Fと射の族 η {\displaystyle \eta } を得る 各射 f : Y 0 → Y 1 {\displaystyle f:Y_{0}\to Y_{1}} について、 ( F ( Y 0 ) , η Y 0 ) {\displaystyle (F(Y_{0}),\eta _{Y_{0}})} は普遍射であることから、 η Y 0 {\displaystyle \eta _{Y_{0}}} を通して η Y 1 ∘ f {\displaystyle \eta _{Y_{1}}\circ f} を分解し、 F ( f ) : F ( Y 0 ) → F ( Y 1 ) {\displaystyle F(f):F(Y_{0})\to F(Y_{1})} を得る。
左随伴と右随伴を持つ関手。G を位相空間から集合への関手で、各位相空間にその台集合を割り当てるものとする (位相を忘れる)。G は左随伴 F を持ち、集合 Y 上に離散位相を定める。G は右随伴 H も持ち、Y に密着位相を定める。
懸垂とループ空間。位相空間XとYに対して、Xの懸垂 SXからYへの連続写像のホモトピー類がなす空間 [SX, Y] はXからYのループ空間ΩYへの連続写像のホモトピー類がなす空間と自然同型である。これはホモトピー論で重要である。
ストーン–チェックコンパクト化。KHausをコンパクトハウスドルフ空間の圏とし、G : KHaus → Topを位相空間の圏への包含関手とする。このとき、Gは左随伴F : Top → KHausを持ち、ストーン–チェックコンパクト化となる。この随伴のcounitは各位相空間Xからそのストーン–チェックコンパクト化の中への連続写像である。