ラグランジュ力学
ラグランジュ関数(ラグランジアン、Lagrangian)は、物理的な力学系の動力学を記述するために用いられる関数である。 ラグランジアン L ( q , q ̇ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} は一般に運動エネルギー T とポテンシャル V の差
L ( q , q ̇ , t ) = T − V {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T-V}
の形で書かれる。
ラグランジアンはエネルギーの次元を持つスカラーであるが、観測可能な物理量ではなく、その値自体に物理的な意味があるわけではない。特に、座標と時間の任意関数 f ( q , t ) {\displaystyle f(q,t)} の時間による全微分を加える変換
L ′ ( q , q ̇ , t ) = L ( q , q ̇ , t ) + d d t f ( q , t ) {\displaystyle L'(q,{\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {d}{dt}}f(q,t)}
を行っても全く同じ力学系を表す。 この全微分は連鎖律により
d d t f ( q , t ) = q ̇ i ⋅ ∂ f ∂ q i + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(q,t)={\dot {q}}_{i}\cdot {\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}
この作用は平方根の中に微分を含む形のため扱いが困難である。 補助変数 γi(λ) を導入して別の形に書くことが出来る。
S [ X , γ ] = 1 2 ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 η μ ν X ̇ i μ X ̇ i ν − m i 2 c 2 ) γ i d λ {\displaystyle S[X,\gamma ]={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}d\lambda }
この作用積分は多くの系の運動項と同じく一般化速度の二次形式で書かれている。作用積分の段階では運動は時間的なものに限定されない。また、質量 m がゼロの場合にも意味を持つ。
力学変数 X に関する運動方程式は
δ S [ X , γ ] δ X i μ ( λ ) = − p ̇ i μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0}
であり、一般化運動量は
p i μ ( λ ) = 1 γ i ( λ ) η μ ν X ̇ i ν ( λ ) {\displaystyle p_{i\mu }(\lambda )={\frac {1}{\gamma _{i}(\lambda )}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )}