マイヤーの関係式
( ∂ H ∂ T ) p = ( ∂ U ∂ T ) p + p ( ∂ V ∂ T ) p = ( ∂ U ∂ T ) V + ( ∂ U ∂ V ) T ( ∂ V ∂ T ) p + p ( ∂ V ∂ T ) p = ( ∂ U ∂ T ) V + [ ( ∂ U ∂ V ) T + p ] ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}&=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\\&=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\\&=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+p\right]\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\\\end{aligned}}}
となり、関係式
C p − C V = [ ( ∂ U ∂ V ) T + p ] ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle C_{p}-C_{V}=\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+p\right]\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
が得られる。さらに熱力学的状態方程式
この節では、定積熱容量と定圧熱容量の間に成り立つ、一般的な関係式をまず導く。そして、この関係式を理想気体に適用してマイヤーの関係式を導く。
定積熱容量および定圧熱容量は系の内部エネルギー U、あるいはエンタルピー H の偏微分として
C V = ( ∂ U ∂ T ) V , C p = ( ∂ H ∂ T ) p {\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V},~C_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}
で与えられる。エンタルピーは、体積 V と圧力 p により
H = U + p V {\displaystyle H=U+pV}
で定義される。
従って、偏微分の連鎖律を用いると