コーシー＝シュワルツの不等式
特に λ = ⟨ x | y ⟩ | ⟨ x | y ⟩ | {\displaystyle \lambda ={\frac {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}} とすると、これは絶対値 1 であり、
Re  ⟨ x | λ y ⟩ = Re  λ ̄ ⟨ x | y ⟩ = Re  ⟨ x | y ⟩ ̄ ⟨ x | y ⟩ | ⟨ x | y ⟩ | = | ⟨ x | y ⟩ | {\displaystyle \operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\bar {\lambda }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\frac {{\overline {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}=|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}
であるから、定理の主張が得られる。