道 (位相幾何学)
「厳密な意味」("on the nose") で道の合成に結合性を要求したい場面では、X 内の道として、適当な実数 a > 0 に対する区間 [0, a] からの写像を定義として採用することを考えればよい。この意味での道 f に対して、その長さを |f| ≔ a と定義すれば、道の合成を(上で定義したものからやや変更して)
と定めることにより(先の定義では f, g, fg の長さが全て 1 となるように定めていた)、この定義のもと |fg| = |f| + |g| であり、この合成は厳密に結合的となる。前の定義で結合性が成り立たなかったのは、(fg)h および f(gh) が同じ長さ 1 を持つにもかかわらず、(fg)h の中点は g と h の間にある一方、f(gh) の中点は f と g の間にあったからであった。修正した定義では (fg)h と f(gh) は同じ長さ |f| + |g| + |h| を持ち、かつ中点をともに |f|+|g|+|h|⁄2 の位置に持つ(だけでなく、より一般に曲線全体に亙って同じ媒介変数で追跡することができる)。