運動エネルギー
運動エネルギー(、英: kinetic energy)は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語の κίνησις(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。
として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 q ( t ) {\displaystyle q(t)} と一般化運動量 p ( t ) {\displaystyle p(t)} である。元のラグランジアンでポテンシャルが q ̇ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、
p i ( t ) = ∂ L ∂ v i = m i v i {\displaystyle p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}}
l j ( t ) = ∂ L ∂ ω j = I j ω j {\displaystyle l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}}
( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは
K = ∑ i 1 2 m i p i 2 + ∑ j 1 2 I j l j 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}}
となる。