測度論
目的によっては、"測度" の値域を非負の実数あるいは無限大に制限しないものも有用である。たとえば、可算加法的な集合関数で負符号も許す実数に値をとるものは符号付測度と呼ばれる。同様の関数で複素数に値をとるものは複素測度と呼ばれる。バナッハ空間に値をとる測度はスペクトル測度 (spectral measure) と呼ばれ、主に関数解析学においてスペクトル定理 (spectral theorem) などに用いられる。これらの一般化した測度との区別のため、通常の測度を"正値測度"と呼ぶことがある。
ほかの一般化として有限加法的測度 (premeasure) がある。これは、完全加法性の代わりに有限加法性を課すことを除けば測度と同じである。歴史的には、こちらの定義の方が先に使われていたが、あまり有用ではないことが証明された。
ハドヴィガーの定理 (Hadwiger's theorem) として知られる積分幾何学における注目すべき結果によると、R のコンパクト凸集合の有限和の上で定義された平行移動不変、有限加法的で、必ずしも非負ではない集合関数のなす空間は、(スカラー倍の違いを除き)各 k = 0, 1, 2, ..., n に対して「次数 k の斉次な」測度とそれらの測度の線型結合からなる。「次数 k の斉次な」とは、任意の集合は c > 0 倍すると測度が c 倍になるということである。次数 n の斉次な測度は通常の n 次元体積であり、次数 n − 1 の斉次な測度は「表面積」である。次数 1 の斉次な測度は「平均幅」という誤称をもつ不思議な関数である。次数 0 の斉次な測度はオイラー標数である。
単調性:E1 と E2 が可測集合で E1 ⊆ E2 を満たすならば、
μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ) {\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
E1, E2, E3, ... が可測集合の列で、各 n において En ⊆ En+1 ならば、En たちの和集合は可測で
μ ( ⋃ i E i ) = lim i μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\lim _{i}\mu (E_{i})}
E1, E2, E3, ... が可測集合の列で、各 n において En ⊇ En+1 ならば、En たちの共通部分も可測である。さらに、少なくとも 1 つの n について En の測度が有限値であるならば
μ ( ⋂ i E i ) = lim i μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i}E_{i}\right)=\lim _{i}\mu (E_{i})}
与えられた集合上の測度は 2 段階のステップで定義される。まずその集合の部分集合で測度が定義可能なもの(可測集合という)はどれであるかを決め、次にそれらの部分集合に対し具体的に測度を定義する。測度の定義は形式的に与えられ、その要件は、空集合の測度が 0 であることと、n 個の互いに素な集合の測度の和がそれらの集合の和集合の測度と一致することだけである。前述した面積、体積、個数はいずれも測度であることが容易に確かめられる。
重要なことは上の定義で n が可算個であってもよいということである。このことが測度論をベースにした積分の定義(ルベーグ積分)を従来の定義(リーマン積分)よりも使い易くしており、前者では適切な条件のもと積分と可算和の順番を交換できることを保証できる(有界収束定理)が、後者の場合は同じ条件下であってもこの種の交換は有限和のときにしか保証されない。
この測度の概念で、測度が定義できない集合が存在することが知られている。例えば R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上の測度として面積を考えた場合、面積が定義できない集合が存在する。しかしながら面積を定義できない集合は通常の方法では作れない(そのような集合を作るには選択公理が必要である)ことが知られているため、面積が定義できない集合があるという事実は、 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上で測度論を展開する上であまり障害にならない。ただし面積が定義できない集合が存在することを利用すると、非常に不可解な性質を導くことができることが知られている(バナッハ=タルスキーのパラドックス)。