ラングランズ・プログラム
2008年にゴ・バオ・チャウ(Ngô Bảo Châu)は、所謂「基本補題(英語版)」と称される補助的だが非常に難しい主張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである。
非常に広い脈絡において、既存の概念を用いて、ラングランズプログラムは構築される。これには例えば、それより少し前にハリッシュ=チャンドラ(英語版)と Gelfand (1963) が定式化していたカスプ形式の哲学や、半単純リー群に関するハリシュ=チャンドラの手法及び結果、セルバーグの跡公式などが含まれる。
初めこそ非常に新しかったラングランズの研究も、技術的に深められる中で、豊かに体系立った仮説的な構造(いわゆる函手性)を伴って数論との直接的な繋がりを提示するものとなった。
例えば、ハリッシュ=チャンドラの仕事において、半単純(あるいは簡約)リー群に対してできることは、任意の代数群に対してできるはずであるという原理を見ることができる。
ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプログラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけを考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。単純な場合だと、代数曲線のエタール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック(moduli stack)上で定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける。