距離空間の圏
入射距離空間を初めて導入して研究したのは Aronszajn & Panitchpakdi (1956) であるが、それは圏として Met が研究されるよりも時期が早い(入射距離空間は、距離球体のヘリー性(英語版)の言葉で内在的に定義することもでき、その定義に基づいて Aronszajn と Panitchpakdi は「超凸空間」(hyperconvex space) と呼んでいた)。任意の距離空間に対し、それを等距離埋め込み可能な最小の入射距離空間が存在する。そのような入射距離空間を、もとの距離空間の距離包絡 (metric envelope) あるいは緊密包(英語版) (tight span) と呼ぶ。
距離空間の圏 Met において距離空間の有限集合の圏論的直積は、それらの台となる点集合に対する集合論的直積に、距離函数を成分ごとに各因子空間の中で測った距離の上限によって与える。それはすなわち、上限ノルムで与えられる直積距離函数(英語版)である。これに対して、距離空間の無限直積は、各因子における距離に上限があるとは限らないから、存在しないことがあり得る。すなわち、Met は完備でないが有限完備ではある。Met に余積(圏論的直和)は存在しない。