凸最適化
よくある例として、与えられた凸関数 g i ( x ) : i = 1 , ... , m {\displaystyle g_{i}(x):i=1,\dots ,m} を用いて以下のように連立不等式をみたす集合として定義される:
X := { x ∈ R n : g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , ... , m } {\displaystyle {\mathcal {X}}:=\{x\in \mathbb {R^{n}} :g_{i}(x)\leq 0,i=1,\dots ,m\}}
こういった事情を踏まえて以下のような定義が与えられることもある:
minimize f ( x ) s u b j e c t t o g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , ... , m {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {minimize} &&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}
ここで、関数 f , g 1 ... g m : R n → R {\displaystyle f,g_{1}\ldots g_{m}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } は凸である。