平行移動 (リーマン幾何学)
即ち、任意の s , t ∈ I {\displaystyle s,t\in I} に対し E γ ( s ) {\displaystyle E_{\gamma (s)}} (点γ(s)上のファイバー)と、 E γ ( t ) {\displaystyle E_{\gamma (t)}} (点γ(t)上のファイバー)は共に線形空間であるが、 Γ ( γ ) s t {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}} は、 E γ ( s ) {\displaystyle E_{\gamma (s)}} と E γ ( t ) {\displaystyle E_{\gamma (t)}} との間の線型同型である。
この線形同型のことを、「曲線γに沿う平行移動」という。 この方法で得られたファイバー間の線型同型は、一般には、曲線の選択に依存する:仮にそうでなかった場合には、任意曲線に沿った平行移動を使用して、Mのすべての点上にEの平行セクションを定義出来てしまうので、∇の曲率は0でなければならない。
M上の x を起点とした閉曲線による平行移動を用いれば、確かにx の接ベクトル空間に自己同型を定めることが可能だが、これは必ずしも自明な線型同型とは限らないことに特に注意すべきである。 「x を起点とした閉曲線に沿った平行移動によって定まる自己同型」から成る集合は、 ∇ の ホロノミー群 と呼ばれる 変換群を形成する。この群と、 ∇ の曲率の値との間には密接な関係がある。これは、Ambrose–Singer theoremの一部である。