解析接続
リーマン球面 C 上の点 a, b を結ぶ曲線、すなわち
φ : [0,1] → C
φ(0) = a, φ(1) = b
という連続関数を考え、この曲線上の全ての点に関数要素を与える。与え方は無数にあるが、任意の t0 ∈ [0,1] および、ある正の実数 ε > 0 に対して |t − t0| ≤ ε を満たす t ∈ [0,1] における関数要素が t0 を中心とする関数要素の直接接続となるように各点に関数要素を与える。
要は十分近い点で定義されている関数要素同士は、互いに直接接続となるように定めるということである。
このような関数要素の族を与えることが可能なとき、a を中心とする関数要素はこの曲線に沿って解析接続可能 (analytically continuable) であるという。曲線を定めると、その曲線に沿った解析接続は一意に決まる。
要は、与えられた曲線上に中心を持つ関数要素を次々と取っていくことで曲線に沿った解析接続ができる。
a を中心とする関数要素 fa(z) が与えられたとき、 a を始点とするあらゆる連続曲線を考え、それらの曲線に沿った解析接続を行って得られる関数をワイエルシュトラスの解析関数という。
2つの曲線 φ0(t) と φ1(t) がホモトープであり、そのホモトピーが
H(s,t): [0,1] × [0,1] → C
H(0,t) = φ0(t) ,H(1,t) = φ1(t)
を満たすとする。