射影空間
複素射影空間の場合、2k 番目のコホモロジー群 H 2 k ( C P n , Z ) {\displaystyle H^{2k}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )} は k 個の超平面の正しい交わり(それは CPn−k と同一視できる)で生成されているので、複素射影空間のコホモロジー環の構造は CPn の部分多様体の交わりの次数が次数の積になることをも意味している。これは、ベズーの定理の高次元化である。また、CPn はケーラー多様体であるので、ホッヂ分解が成り立つが、次元の理由によりそのホッヂ数は
h p , q = dim  H p ( C P n , Ω q ) = { 1 p = q ≤ n 0 otherwise {\displaystyle h^{p,q}=\dim H^{p}(\mathbb {C} P_{n},\Omega ^{q})={\begin{cases}1&p=q\leq n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
で与えられる。
部分多様体の交わりと次数に関する理論(交点理論)は射影空間 KPn (より正確にはスキーム論的な P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} )に対してチャウ環 (Chow ring) CH(KPn) を考える事で任意の体 K 上へ一般化される。チャウ環もコホモロジー環と類似の記述
C H ∗ ( P K n ) ≅ Z [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} _{K}^{n})\cong \mathbb {Z} [h]/(h^{n+1})}
を持っている。