二次曲面 (射影幾何学)
このときには曲超平面 p ∗ {\displaystyle p^{\ast }} は定義されず、点 p は二次曲面 Q の特異点 (singular point, singularity) と呼ばれる。
上記の接超平面は、Q に全く含まれるか、または Q と一点のみで交わるかの何れかを満たす直線全ての交わりであることがわかる。
超平面上の点 [ u ] {\displaystyle [u]} に対して、その超平面が二次曲面 Q と [ v ] {\displaystyle [v]} において接する条件は、 u ⋅ F ′ ( v ) = 0 {\displaystyle u\cdot F'(v)=0} である。これはまた v ⋅ F ′ ( u ) = 0 {\displaystyle v\cdot F'(u)=0} なる条件とも同値である。
点 [ v ] {\displaystyle [v]} が特異点となる条件は F ′ ( v ) = 0 {\displaystyle F'(v)=0} と書ける。二次曲面が特異点を持つための必要十分条件は、係数行列 M が対角行列となるようにしたとき対角成分に零が一つ以上現れることである。これにより、二次曲面 Q 上の特異点全体の成す集合が部分射影空間となることがわかる。