自由電子
P = − n e x {\displaystyle P=-nex}
振動電場の力Fは、電荷eと質量mをもつ電子を加速度aで加速される。
F = m a = m d 2 x d t 2 = − e E {\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-eE}
ここでE、P、xを置き換えると調和振動子の式が得られる。
少し計算をすると、分極密度と電場の関係は次のように表される。
P = − n e 2 m ω 2 E {\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}
固体の周波数依存誘電関数は、
ε ( ω ) = 1 − n e 2 ε 0 m ω 2 {\displaystyle \epsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m\omega ^{2}}}}
プラズマ周波数と呼ばれる共鳴周波数 ω p {\displaystyle \omega _{p}} で誘電関数の符号は負から正に代わり、誘電関数の実部は0になる。
ω p = n e 2 ε 0 m {\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m}}}}
プラズマ周波数は、プラズマ振動共鳴やプラズモンの理解において重要である。
プラズマ周波数の測定値は、多くの材料で理論値とよく一致している。 プラズマ周波数以下では誘電関数は負であり、到来した電磁波は試料の表面で全反射される。一方で、プラズマ周波数以上の電磁波はサンプルを貫くことができる。