微分環
環 R とその上の写像 ∂: R → R の組 (R, ∂) が微分環であるとは、二つの条件
を満たす、すなわち ∂ が R の加法群の間の準同型(加法的写像)で積に関してライプニッツ則を満足するものであるときに言う。注意すべきは、ここで環は非可換となる場合もありうるから、通常よく用いられる微分を後ろに書くある種の標準形 ∂(xy) = x⋅∂y + y⋅∂x は積の可換性が保証されない場面では適切でないことである。 作用素のレベルで見れば、環の乗法を M: R × R として
なる等式として積の法則を書くこともできる。ただし、f × g は写像の直積で、各対 (x, y) を対 (f(x), g(x)) へ写す。
数学において、微分環(びぶんかん、英: differential ring)、微分体(びぶんたい、英: differential field)、微分多元環(びぶんたげんかん、英: differntial algebra)は、それぞれ有限個の微分(英語版)(加法的または線型な単項演算で積の微分法則(ライプニッツ則)を満足する)を備えた環、体、多元環である。微分環の微分はしばしば ∂, δ, d, D 等の記号を用いて表される。微分体の自然な例として、複素数体上の一変数有理関数体 C(t) に微分として普通の意味での微分 D = d⁄dt をとったものを挙げることができる。
そのような代数系自身の研究およびそれら代数系の微分方程式の代数的研究に対する応用を研究する分野を微分代数学 (Differntial Algebra) と呼ぶ。微分環はジョセフ・リット(英語版)が導入した。
A が単位的多元環ならば、その乗法単位元を 1 として ∂(1) = 0 である(∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1))。従って、例えば 標数 0 の微分体 K は、常に有理数体を K の定数体の部分体として含む。
任意の環は、零準同型(その任意の元を零元に写す)を自明な微分とみて、微分環である。
一変数有理係数有理式体 Q(t) は、∂(t) = 1 と正規化することで決まる、微分体として一意な構造を持つ(体の公理および微分の公理は、微分が t に関する通常の微分となることを保証する)。例えば、積の可換性と積の微分公式により、∂(u) = u⋅∂(u) + ∂(u)⋅u= 2u∂(u) が成り立つ。
微分体 Q(t) は微分方程式 ∂(u) = u の解を持たないが、指数関数 e を含むより大きい微分体に拡大して、この微分方程式がそこで解を持つようにすることができる。任意の微分方程式系に対する解を有する微分体を微分的閉体(英語版)という。自然な代数的もしくは幾何学的対象としては現れないが、このような微分体は存在する。(濃度を適当に上から抑えるとき)すべての微分体は、単一の大きな微分的閉体の中に埋め込める。微分体は、微分ガロア理論の研究対象である。
自然に生じる微分の例として、偏微分、リー微分、パンシェルル微分、多元環の元に関する交換子等がある。