算術の超準モデル
コンパクト性定理を用いて超準モデルの存在を示すことができる。証明の概略は、 c {\displaystyle c} を新たな定数として、ペアノの公理系 P A {\displaystyle \mathrm {PA} } に { n < c : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{n<c:n=1,2,3,...\}} という形の無限個の公理を付け加えた公理系 P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を考え、コンパクト性定理により P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を満たすモデル N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }} の存在を示すというものである。 P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} はペアノの公理系を拡張したものであるため、当然ペアノの公理を満たしている。また通常の自然数では定数 c {\displaystyle c} をいかように解釈しても P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を満たすようにはできないため、 c {\displaystyle c} は超準数であり、 N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }} は超準モデルとなる。
算術の超準モデルを構成するもうひとつの方法は超積に基づくものである。典型的な構成では自然数列全体の成す集合 N N {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }} を用いる。2つの列が同一視されるのは、それらがある固定された非単項超フィルターに属す添字集合の上で一致するときである。このようにして得られた半環は算術の超準モデルとなる。これは超自然数と同一視出来る。