Theorema Egregium
S e c P := g ( e 1 , R ( e 1 , e 2 ) e 2 ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}:=g(e_{1},R(e_{1},e_{2})e_{2})}
により定義する。断面曲率は e 1 , e 2 {\displaystyle e_{1},e_{2}} の選び方によらずwell-definedである事が知られている。
このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる:
定理 (Theorema Egregiumの再定式化) ― R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の二次元部分多様体 M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する。
断面曲率はMに内在的な量(リーマン計量)のみから定義したので、断面曲率はMに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がMに内在的である事を示している。
K = det | − 1 2 E v v + F u v − 1 2 G u u 1 2 E u F u − 1 2 E v F v − 1 2 G u E F 1 2 G v F G | − det | 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G | ( E G − F 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}
により記述できる。ここでEuはEのu-偏微分を表す。