アフィン接続
M 上のアフィン接続(affine connection)は、M 上の主 Aff(n)-バンドルであり、Q の主 GL(n)-部分バンドル P と主 Aff(n)-接続 α (aff(n) に値を持つ Q 上の 1-形式)を伴っていて、これらは次のカルタン条件を満す。α の P への引き戻しの R 成分は、水平な同変 1-形式であり、従って、TM から P ×GL(n) R へのバンドル準同型であり、この準同型が同型であることが要求される。
(M,g) をリーマン多様体 とすると、一意に M 上のアフィン接続 ∇ が存在し、次の性質を持つ。
接続は捩れがない、つまり、T が 0 である。
平行移動が等長である、つまり、接ベクトル間の内積 (g を使い) は保存される。
この接続をレヴィ・チヴィタ接続と呼ぶ。
第二の条件は、リーマン計量 g が平行 ∇g = 0 であるという意味で、接続が計量接続(英語版)である。局所座標系では、接続形式の成分をクリストッフェル記号と呼ぶ。レヴィ・チヴィタ接続の一意性により、g の項としてこれらの成分を表す式が存在する。
すべての t ∈ [a,b] に対し、 ∇ γ ̇ ( t ) X = 0 {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0}
X γ ( a ) = ξ {\displaystyle X_{\gamma (a)}=\xi }
第一の条件は、X が引き戻しバンドル(英語版)(pullback bundle) γ*TM 上の引き戻し接続)(英語版)の観点から、平行であることを意味する。しかし、局所自明化で、第一条件は1階の線型常微分方程式となり、第二の条件であたえられた任意の初期条件に対し一意な解を持つ(たとえば、ピカール・リンデレフの定理(英語版)により)。
このように、平行移動は、直感的な意味で「同じ方向を向く」ことを保ったアフィン接続を使い、曲線に沿って動く接ベクトルの方法をもたらす。このことは曲線の 2つの端点での接空間の間の線型同型をもたらす。この方法で得られた同型は、一般には曲線の選択に依存するそうでなければ、M 上のすべての平行ベクトル場を定義することに使うことができて、∇ が 0 であるときのみこのことが起きる。
線型同値は、線型空間の基底、あるいは標構の上への作用により決定される。従って、平行移動は曲線に沿った(接)標構バンドル(英語版) GL(M) の移動された元の方法として特徴付けることもできる。言い換えると、アフィン接続は、M 内の任意の曲線 γ の GL(M) 内の曲線 γ ~ {\displaystyle {\tilde {\gamma }}} への持ち上げ(lift)をもたらす。