曲線の特異点
曲線は原点を通るとし y = mx と書く。すると f は
f = ( b 0 + m b 1 ) x + ( c 0 + 2 m c 1 + c 2 m 2 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dotsb }
と書ける。b0 + mb1 が 0 でなければ f = 0 は x = 0 において重複度 1 の解を持ち原点は直線 y = mx と一重に交わる点である。b0 + mb1 = 0 であれば f = 0 は重複度 2 かそれよりも高い解をもち直線 y = mx あるいは b0x + b1y = 0 は曲線に接する。この場合、c0 + 2mc1 + c2m が 0 でなければ曲線は y = mx と二重に交わる点をもつ。x の係数 c0 + 2mc1 + c2m は 0 だが x の係数は 0 でないならば原点は曲線の変曲点である。x, x の係数がともに 0 ならば原点は曲線の起伏点 (point of undulation) と呼ばれる。この分析は曲線の任意の点に適用することが座標軸を変換して原点が与えられた点にあるようにすることによってできる。