コンパクト作用素
固定された g ∈ C([0, 1]; R) に対し、線型作用素 T を ( T f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) g ( t ) d t {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,dt} によって定義することができる。この作用素 T はアスコリの定理により実際にコンパクトになる。
もっと一般に、Ω を R の任意の領域とし、積分核 k: Ω × Ω → R をヒルベルト-シュミット核とすると、 ( T f ) ( x ) = ∫ Ω k ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,dy} によって定義される L(Ω; R) 上の作用素 T がはコンパクト作用素である。
リースの補題によれば、恒等作用素がコンパクトであることと空間が有限次元であることとは同値である。