創造的集合と生産的集合
アラン・チューリングのチューリング機械に関する1936年の論文は Φ {\displaystyle \Phi } 関数を計算する万能チューリング計算機の存在を示した。関数 Φ {\displaystyle \Phi } は Φ ( e , x ) = {\displaystyle \Phi (e,x)=} (コード e を持つチューリング機械に入力 x を与えて実行した結果) と定義される。万能という意味は、任意の計算可能な関数 f {\displaystyle f} は f ( x ) = Φ ( e , x ) {\displaystyle f(x)=\Phi (e,x)} の形で書くことができるということである。ここで e {\displaystyle e} は f {\displaystyle f} を計算するチューリング機械のコードである。上の記法によれば Φ ( e , x ) = φ e ( x ) {\displaystyle \Phi (e,x)=\varphi _{e}(x)} であり、対角線関数は自然に d ( x ) = φ x ( x ) + 1 {\displaystyle d(x)=\varphi _{x}(x)+1} と現れてくる。