メビウス変換
適当な計量を入れることにより、D はポアンカレ円板模型と呼ばれる先程のものとは異なる双曲平面の模型にすることができるが、この群は、この模型における H の向きを保つ等距変換全体の成す群に一致する。
本節に述べたふたつの部分群は、何れも H の等距変換群としてえられるから、これらは互いに同型である。具体的な同型写像は、開円板を上半平面に全単射に写す変換
f ( z ) = z + i i z + 1 {\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}
と共軛変換によって得られる。
メビウス群 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の極大コンパクト部分群は
M 0 := { z ↦ u z − v ̄ v z + u ̄ : | u | 2 + | v | 2 = 1 } {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\}}
で与えられる。
と直積に分解される場合に注意を向けよう。二次元ベクトル ξ には SL(2, C) が上で与えた作用と両立するような仕方で作用する。ここで、エルミート行列からなる空間における SL(2, C) の表現の核が {±I} となることは明らかである。
PSL(2, C) の天球への作用も立体射影を用いて幾何学的に記述することができる。まずは、x0 = 1 で与えられる R 内の超平面を考え、その超平面と未来方向零錐 Nとの交わりとして得られる球面 S と天球とを同一視する。この球面の北極 (1,0,0,1) から平面 x3 = 0 の上への立体射影は、x1 + x2 + x3 = 1 とするとき、
(1, x1, x2, x3)
なる座標を持つ点を
( 1 , x 1 1 − x 3 , x 2 1 − x 3 , 0 ) {\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right)}
へ写す。
複素座標函数
ζ = x 1 + i x 2 1 − x 3 {\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}}}
を導入すれば、この立体射影の逆変換は S 上の各点 (x1, x2, x3) に対して
メビウス変換が双曲型 (hyperbolic) であるとは、それがトレースが実数である行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} で
( tr H ) 2 > 4 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}>4}
なる条件を満たすものによって表現されるときにいう。メビウス変換が双曲型となるのは、λ が正の実数となるときであり、かつそのときに限る。
そしてそのようなことが起きるためには、メビウス変換がガウス平面上の平行移動を定める行列
( 1 1 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}
に共軛な行列によって定義されるものであることが必要十分である。
C に与えられた点を不動点として持つ抛物型メビウス変換の全体に恒等変換をあわせて考えた集合は、
{ ( 1 b 0 1 ) : b ∈ C } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}:b\in \mathbb {C} \right\}}
の形の行列全体の成す群に同型な群を成す。これは(メビウス群の、あるいは線型代数群としての SL(2, C) の)ボレル部分群の冪単根基の例である(この概念は簡約リー群全般に対して定義される)。
メビウス変換 f が抛物型の場合は、不動点 γ はただひとつである。この点を ∞ へ移す変換は
g ( z ) = 1 z − γ {\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}
あるいは、γ 自身が無限遠点のときは恒等変換であり、変換 gfg は無限遠点を固定するので、平行移動
g f g − 1 ( z ) = z + β {\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta }
となる。β はこの平行移動の長さあるいは移動距離 (translation length) と呼ばれる。したがって、抛物型変換の不動点公式は
1 f ( z ) − γ = 1 z − γ + β {\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta }
であり、これを f について解いて(行列の形に書けば)