全有界空間
上述の様な全有界性は、部分的には選択公理に依るものである。選択公理が無い場合、全有界性とプレコンパクト性は区別されなければならない。すなわち、全有界性は初等的な用語で定義出来るが、プレコンパクト性はコンパクト性とコーシー完備化の観点から定義される。全てのプレコンパクト空間は全有界である、すなわち、ある空間の完備化がコンパクトであるならその空間は全有界であるということは、選択公理を要さずに証明できる。しかし、全ての全有界空間がプレコンパクトであるということは、選択公理が無い場合には証明できない。すなわち、選択公理が無い場合には、ある全有界空間の完備化はコンパクトとならないこともあり得る(そのような全有界空間を持つZF集合論のモデルが存在する)。