ラグランジュ点
L2 は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、両天体のうち質量の小さい天体の外側に位置するラグランジュ点である。太陽からみて地球より遠くにある物体は、通常は地球よりも長い公転周期を持つ。しかし、その物体が太陽から見て地球の裏側にある場合には、地球の重力の影響が加わり、これを考慮すると、その物体の公転周期は短くなる。もし太陽-地球系のL2にその物体があれば、この効果によって公転周期が地球と等しくなる。太陽-地球系のL2は地球から約150万 km(1/100天文単位)の位置にある。
太陽-地球系のL2は、地球によって太陽からの放射物が遮られているために、宇宙空間での観測を行うのに適した場所である。L2付近にある物体には太陽光が遮光されており、得られた観測結果の較正を行いやすい。地球-月系のL2は、月から 61,500 kmの位置にあり、月の裏側をカバーする通信衛星の位置として都合が良いとされる。
天体Mの質量 M M {\displaystyle M_{M}} が天体Eの質量 M E {\displaystyle M_{E}} に比べて非常に小さい場合には、L1とL2は天体Mからほぼ等しい距離(以下の式のr)の位置になる。これはヒル圏 (Hill sphere) の半径に等しく、R を天体Eと天体Mの距離として以下の式で表される。
r ≈ R M M 3 M E 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{M}}{3M_{E}}}}}
この半径rの円軌道で天体Mの周囲を回る物体の軌道周期は、天体Mが天体Eの周囲を回る公転周期の0.58倍となる。
L3 は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、天体Eと天体Mのうち質量の大きい天体の外側に位置するラグランジュ点である。
太陽-地球の系におけるL3は、地球から見て太陽の裏側にあり、太陽からL3までの距離は太陽から地球までの距離よりもやや近い。この位置の物体は、太陽より近い場所にありながらも、地球と太陽の引力を合わせて受け、地球と同じ公転周期になっている。
したがって、ラグランジュ点を解析的に求める問題は、 r A ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}'} だけが変数となる次の方程式の解を求めることに帰着できる。
0 = F G E ( r A ) + F G M ( r A ) + F w ( r A ) {\displaystyle 0={\boldsymbol {F}}_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})+{\boldsymbol {F}}_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})+{\boldsymbol {F}}_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})}
以上の方程式の解の意味するところは、概要で述べた通り「回転座標系の天体Aについて解の位置 r A {\displaystyle r_{A}} では、Eの重力、Mの重力および遠心力の3つの力が釣り合う(ゼロとなる)」ということに他ならない。ここで、以下のそれぞれの条件を満たすポテンシャル U G E ( r A ) {\displaystyle U_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})} 、 U G M ( r A ) {\displaystyle U_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})} 、 U w ( r A ) {\displaystyle U_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})} を考える。
F G E ( r A ) = − ∇ U G E ( r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})=-\nabla U_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})}
L4 と L5 は、正三角形解またはトロヤ点などとも呼ばれるラグランジュ点である。天体Eと天体Mを結ぶ線分を一辺とする正三角形の3番目の各頂点の位置にある。天体Mが天体Eの周りを公転する軌道上で、天体Mに先行あるいは追従する相対位置にある。仮定の通り、公転の中心は天体Eと天体M系の重心にある。回転しない座標系からみると三角解点では、天体Eの重力と天体Mの重力の合力が、ちょうど両者の重心への向心力として働いている。三角解点の軌道長半径は天体Eと天体Mの間の距離よりわずかに短く、天体Mの軌道長半径よりわずかに長い。
仮に天体Eの質量が天体Mより大きいとすると、それらの質量比 M E / M M {\displaystyle M_{E}/M_{M}} が24.96倍以上ならば、L4とL5は安定な均衡点となることが分かっている。
太陽-地球系のL4とL5は、地球が太陽を回る公転軌道上において、地球より60度先行した位置、および、同じく60度後ろの位置にある。L4とL5は、後述するように摂動に対して安定な平衡点であるため、1969年にジェラルド・オニールの提案したスペースコロニーの設置場所候補として採用されている。