三角形
3辺の長さを a, b, c とするとき、面積 S は
S = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} ...2
となるが、少し複雑なので、
s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)} (半周長)
とおくと、
S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} ...3
で求められる。これをヘロンの公式と呼ぶ。
しかし、数値計算する上で、上記でない形式の方が計算しやすい場合もある。a, b, c のうち少なくとも1つは無理数だが a, b, c は整数の場合は、a = A, b = B, c = C とおくと、
S = 1 4 2 ( B C + C A + A B ) − ( A 2 + B 2 + C 2 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(BC+CA+AB)-(A^{2}+B^{2}+C^{2})}}} ...3'
が有用である。