シュレーディンガー方程式
量子力学において、物理量の固有状態を表す状態ベクトルは完全正規直交系をなすため、任意の状態ベクトルはある物理量の固有状態の線型結合に展開することができる。状態ベクトルを展開した際に各々の固有ベクトルにかかる展開係数を波動関数と呼ぶ。状態ベクトル | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } を位置演算子 ˆx の固有ベクトル | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } によって展開すれば、形式的に以下のように表すことができる。
| ψ ( t ) ⟩ = ∫ ψ ( x ′ , t ) | x ′ ⟩ d x ′ . {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\int \psi (x',t)|x'\rangle dx'\,.}
特定の固有ベクトルに対する波動関数は、その双対ベクトル ⟨ x | {\displaystyle \langle x|} を状態ベクトル | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } にかけることで取り出すことができる。
ψ ( x , t ) = ⟨ x | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle \,.}
シュレーディンガー描像では、量子系の時間的変化はその量子系の状態ベクトルや波動関数がその情報を持っていると考える。量子系の状態ベクトルおよび波動関数の時間的変化は、時間に依存するシュレーディンガー方程式によって記述される。状態ベクトル |ψ(t)⟩に関するシュレーディンガー方程式は一般に以下のように表される。
i ħ d d t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle \,.}
ここで i は虚数単位、d/dt は時間に関する微分、 ħ = h / 2 π {\displaystyle \hbar =h/2\pi } はディラック定数である。状態ベクトルの時間微分はヒルベルト空間の元を値に持つ実変数関数の(強)微分として導入される。状態ベクトルの微分とは、以下に示すように、すべての時刻 t において状態ベクトル |ψ(t)⟩ の差分商との差のノルムが 0 に収束するような導関数 d/dt|ψ(t)⟩ のことである。
lim h → 0 ‖ | ψ ( t + h ) ⟩ − | ψ ( t ) ⟩ h − d d t | ψ ( t ) ⟩ ‖ = 0 f o r a l l t ∈ R .
そして時間に対して
∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − i E ħ A e i p ⋅ r − E t ħ = − i E ħ Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {iE}{\hbar }}Ae^{i{\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {r}}-Et}{\hbar }}}=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)}
導関数を示す
積分方程式の右辺を再帰的に展開することにより無限級数として解が求まる。
U ^ ( t − t 0 ) = I + 1 i ħ ∫ t 0 t H ^ ( t 1 ) d t 1 + ⋯ + ( 1 i ħ ) n ∫ t 0 t ⋯ ∫ t 0 t n − 1 H ^ ( t 1 ) ⋯ H ^ ( t n ) d t 1 ⋯ d t n + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t-t_{0})&=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1})dt_{1}+\cdots \\&+\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{\hat {H}}(t_{1})\cdots {\hat {H}}(t_{n})dt_{1}\cdots dt_{n}+\cdots \,.\end{aligned}}}
積分中のハミルトニアンに時間順序演算子 T を作用させ、ハミルトニアンの積を時間順序積に置き換えれば、積分の順序を時間順序演算子に担わせることができる。ハミルトニアンの積の置換は n! 通りあるため、上記の級数は
U ^ ( t − t 0 ) = I + 1 i ħ ∫ t 0 t H ^ ( t 1 ) d t 1 + ⋯ + ( 1 i ħ ) n 1 n ! ∫ t 0 t ⋯ ∫ t 0 t T  { H ^ ( t 1 ) ⋯ H ^ ( t n ) } d t 1 ⋯ d t n + ⋯ .