陰計算
d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}
とベルヌイ多項式の微分法則
d d x B n ( x ) = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}
も同じ形をしている。このような類似性に基づいて umbral な証明が(表面的には)構築される。これは決して正しくは無いが、しかし何故かうまく行くようにみえる。例えば、ベルヌーイ数 bk の下付き添字の n − k を冪指数のように見せかけて
B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) b n − k x k = ( b + x ) n {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n}}
と書けば、両辺を微分して所期の結果
B n ′ ( x ) = n ( b + x ) n − 1 = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x)}
を得るのである。上記に現れた変数 b を "umbra" と呼ぶ(ラテン語で「日影」「陰影」の意)。