オークンの法則
( Y ̄ Δ Y − Y Δ Y ̄ ) / ( Y ̄ ( Y ̄ + Δ Y ̄ ) ) = c ( Δ u ̄ − Δ u ) . {\displaystyle ({\overline {Y}}\Delta Y-Y\Delta {\overline {Y}})/({\overline {Y}}({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}}))=c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).}
左辺に ( Y ̄ + Δ Y ̄ ) / Y {\displaystyle ({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}})/Y} (ほぼ1に等しい)を掛けて, 次式を得る:
( Y ̄ Δ Y − Y Δ Y ̄ ) / ( Y ̄ Y ) = Δ Y / Y − Δ Y ̄ / Y ̄ ≈ c ( Δ u ̄ − Δ u ) {\displaystyle ({\overline {Y}}\Delta Y-Y\Delta {\overline {Y}})/({\overline {Y}}Y)=\Delta Y/Y-\Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}\approx c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u)}
オークンの法則の第一形式から始める:
( Y ̄ − Y ) / Y ̄ = 1 − Y / Y ̄ = c ( u − u ̄ ) {\displaystyle ({\overline {Y}}-Y)/{\overline {Y}}=1-Y/{\overline {Y}}=c(u-{\overline {u}})}
− 1 + Y / Y ̄ = c ( u ̄ − u ) . {\displaystyle -1+Y/{\overline {Y}}=c({\overline {u}}-u).}
両辺の一期間の差分をとり、次式を得る:
Δ ( Y / Y ̄ ) = ( Y + Δ Y ) / ( Y ̄ + Δ Y ̄ ) − Y / Y ̄ = c ( Δ u ̄ − Δ u ) . {\displaystyle \Delta (Y/{\overline {Y}})=(Y+\Delta Y)/({\overline {Y}}+\Delta {\overline {Y}})-Y/{\overline {Y}}=c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).}
通分して次式を得る:
Δ Y / Y ≈ Δ Y ̄ / Y ̄ + c ( Δ u ̄ − Δ u ) . {\displaystyle \Delta Y/Y\approx \Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}+c(\Delta {\overline {u}}-\Delta u).}
自然失業率の変化 Δ u ̄ {\displaystyle \Delta {\overline {u}}} は、ほぼ0に等しいと仮定する。また、完全雇用状態での産出量の成長率 Δ Y ̄ / Y ̄ {\displaystyle \Delta {\overline {Y}}/{\overline {Y}}} は、その平均値 k {\displaystyle k} にほぼ等しいと仮定する。すると、最後に次式を得る:
Δ Y / Y ≈ k − c Δ u . {\displaystyle \Delta Y/Y\approx k-c\Delta u.}