二次形式
これは射影幾何学の基本的構成である。この方法で、三元実二次形式を円錐曲線として視覚化することができる。
二次形式に深く関係した、より幾何学的な色合いの濃い概念に、二次空間 (quadratic space) がある。これは、体 k 上のベクトル空間 V と V 上の二次形式 q: V → k の組 (V, q) である。二次空間の例としては、三次元ユークリッド空間 E に(各点 (x, y, z) と原点との間の)通常の距離(ユークリッドノルム)の平方
q ( x , y , z ) = d ( ( x , y , z ) , ( 0 , 0 , 0 ) ) 2 = ‖ ( x , y , z ) ‖ 2 = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}q(x,y,z)&=d{\bigl (}(x,y,z),(0,0,0){\bigr )}^{2}\\&={\bigl \Vert }(x,y,z){\bigr \Vert }^{2}\\&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{aligned}}}
を合わせたものが挙げられる。逆に二次空間に付随する二次形式は、その空間に計量を与えるものと理解される。
有理整数環 Z 上の二次形式は整係数二次形式あるいは整二次形式 (integral quadratic forms) と呼ばれ、対応する加群は二次格子(あるいは単に格子ともいう)である。整係数二次形式は数論および位相空間論において重要である。
二次形式が(x + xy + y のように)整数係数をもつ、あるいは同じことだが、(Q や R といった)標数 0 の体上のベクトル空間 V における格子 Λ が与えられたとき、二次形式 Q が Λ に関して整であるための必要十分条件は、それが Λ 上整数値をとる(つまり、x, y ∈ Λ ならば Q(x, y) ∈ Z となる)ことである。
これは現代的な用語法に従ったものだが、歴史的な慣習では少し事情が異なる場合がある。以下に詳しく述べる。
数学における二次形式(にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2 個の二次形式は
a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}
の形である。
x, y は変数。係数 a, b, c は内少なくとも 1 つは 0 でない。すなわち二次形式は非零多項式である。
二次形式は数学のいろいろな分野(数論、線型代数学、群論(直交群)、微分幾何学(リーマン計量)、微分位相幾何学(4次元多様体の交叉形式)、リー理論(英語版)(キリング形式)など)で中心的な位置を占める概念である。