P進量子力学
とする。例えば、数 r = 12 = 2×3 を考える。定義に沿って、
| 12 | 2 = 2 − 2 = 1 / 4 | 12 | 3 = 3 − 1 = 1 / 3 | 12 | 5 = 5 0 = 1 | 12 | 7 = 7 0 = 1 ⋮ ⋮ . {\displaystyle {\begin{aligned}|12|_{2}&=2^{-2}=1/4\\|12|_{3}&=3^{-1}=1/3\\|12|_{5}&=5^{0}=1\\|12|_{7}&=7^{0}=1\\\vdots &\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{aligned}}\ .}
を得る。すると、
| 12 | ∞ × ∏ p : prime | 12 | p = 12 ⋅ 1 4 ⋅ 1 3 ⋅ 1 ⋯ = 1 {\displaystyle |12|_{\infty }\times \prod _{p:{\text{prime}}}|12|_{p}=12\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot 1\dotsb =1}
となり、確かに積公式が成り立っている。
弦理論では、同じ積公式がツリーレベルで成り立つのみならず、全体の確率振幅への一般化が成り立つと提案されている。詳細は本記事の後方に記載する。