フィンスラー多様体
F の均一性により、M 上の微分可能な曲線 γ: [a, b] → M の長さ
L [ γ ] := ∫ a b F ( γ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) d t {\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t}
は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ は、もしその十分に短いセグメント γ|[c,d] が γ(c) から γ(d) までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数
E [ γ ] := 1 2 ∫ a b F 2 ( γ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) d t {\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\mathrm {d} t}
が固定端点 γ(a) = x, γ(b) = y をもつ微分可能な曲線 γ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ は測地線である。