スペクトル系列
前節での計算は簡単に一般化できる。n を2以上の整数とし、球面上のファイブレーション(英語版)
F → i E → p S n {\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}
を考える。このとき、セール・スペクトル系列(英語版)
E p , q 2 = H p ( S n ; H q ( F ) ) ⇒ H p + q ( E ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}
がある。つまり、あるフィルトレーション F ∙ {\displaystyle F_{\bullet }} があって、 E p , q ∞ = F p H p + q ( E ) / F p − 1 H p + q ( E ) {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)} となっている。 H p ( S n ) {\displaystyle H_{p}(S^{n})} がゼロではないのは p が0もしくは n の場合だけで、その場合は Z に等しいから、 E p , q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} は p = 0 , n {\displaystyle p=0,n} のところだけからなる2つの直線になっている。したがって E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは
E 1 p , q = Z ̄ 1 p , q B ̄ 1 p , q = ker  d 0 p , q : E 0 p , q → E 0 p , q + 1 im d 0 p , q − 1 : E 0 p , q − 1 → E 0 p , q {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}
E 1 = ⨁ p , q ∈ Z E 1 p , q = ⨁ p , q ∈ Z Z ̄ 1 p , q B ̄ 1 p , q {\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}
Z ̄ 1 p , q {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}} と B ̄ 1 p , q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}} は、以下の写像
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Z 1 p , q = ker  d 0 p , q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}
B 1 p , q = ( im d 0 p , q − 1 : F p C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}
の E 0 p , q {\displaystyle E_{0}^{p,q}} における像としてかけることに注意する。これを使うと
E 1 p , q = Z 1 p , q B 1 p , q + Z 0 p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}}
となる。 Z 1 p , q {\displaystyle Z_{1}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが1つ上がるような要素全体になっており、 B 1 p , q {\displaystyle B_{1}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが0だけ上がるような要素全体の像になっている。
有名なスペクトル系列を以下に列挙する。
超常(extraordinary)コホモロジー論のアティヤ・ヒルツェブルフ・スペクトル系列(英語版)
群の分類空間のホモロジーに対するバー・スペクトル系列(英語版)
mod p 係数ホモロジーと mod p 還元したホモロジーを関係付けるボックシュテイン・スペクトル系列(英語版)
商空間のホモロジーに収束するカルタン・ルレイ・スペクトル系列(英語版)
ファイブレーション(英語版)の引き戻し(英語版)の特異コホモロジーに対するアイレンベルグ・ムーア・スペクトル系列(英語版)
ファイブレーション(英語版)のセール・スペクトル系列(英語版)