エネルギー・運動量テンソル
T μ ν ( x ) = 2 c − g δ S [ g , X , γ ] δ g μ ν ( x ) = c − g ∫ ∑ i 1 γ i X ̇ i μ X ̇ i ν δ 4 ( X i − x ) d λ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[g,X,\gamma ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}={\frac {c}{\sqrt {-g}}}\int \sum _{i}{\frac {1}{\gamma _{i}}}{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \lambda }
と導かれる。補助変数 γi から導かれる拘束条件 γ = 1 m i d τ i d λ {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{m_{i}}}{\frac {\mathrm {d} \tau _{i}}{\mathrm {d} \lambda }}} を用いれば
T μ ν ( x ) = 1 − g ∑ i m i c ∫ u i μ u i ν δ 4 ( X i − x ) d τ i {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{i}m_{i}c\int u_{i}^{\mu }u_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \tau _{i}}
となる。