次元解析
原子構造を古典物理学が説明できないということも次元解析から理解できる。
水素原子は電子がクーロン力で惑星のように陽子に束縛されている。その軌道の半径 a ( [ a ] = L {\displaystyle [a]={\mathsf {L}}} )は、
電子の質量m (次元は [ m ] = M {\displaystyle [m]={\mathsf {M}}} )
電気素量e ( [ e ] = T I {\displaystyle [e]={\mathsf {TI}}} )
真空の誘電率ε0 ( [ ε 0 ] = M − 1 L − 3 T 4 I 2 {\displaystyle [\varepsilon _{0}]={\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{4}{\mathsf {I}}^{2}} )
で表されると考えられる。
ポンプ、送風機や発電用水車などのターボ機械は内部流れが複雑であるため、その挙動を表すナビエ-ストークス方程式を直接解くことができない。しかしその運転状態は以下の条件を与えるとおおよそ決まることが分かっている:
作動流体の密度 ρ (次元は [ ρ ] = M L − 3 {\displaystyle [\rho ]={\mathsf {ML}}^{-3}} )
機械の大きさ D ( [ D ] = L {\displaystyle [D]={\mathsf {L}}} )
回転速度 N ( [ N ] = T − 1 {\displaystyle [N]={\mathsf {T^{-1}}}} )
流量 Q ( [ Q ] = L 3 T − 1 {\displaystyle [Q]={\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-1}} )
このとき、次の未知量を推測する:
圧力 P ( [ P ] = M L − 1 T − 2 {\displaystyle [P]={\mathsf {ML}}^{-1}{\mathsf {T}}^{-2}} )
ばねにつながれた物体が、速度に比例した大きさの抵抗(粘性抵抗力)を受けながら一次元運動することを考える。運動方程式は以下である
m x ̈ = − c x ̇ − k x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-c{\dot {x}}-kx}
式に現れる定数は、物体の質量 m、粘性抵抗の比例係数 c、ばね定数 k の3つで、それぞれの次元は [ m ] = M , [ c ] = M T − 1 , [ k ] = [ M T − 2 ] {\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[c]={\mathsf {MT}}^{-1},[k]=[{\mathsf {MT}}^{-2}]} である。
この運動では、特徴的な時間尺度 (characteristic time scale) が2つ存在する。即ち、
減衰時間: τ = m c {\displaystyle \tau ={\frac {m}{c}}}
固有周期: 1 ω = m k {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}
の2つの時間が現象を特徴づけており、時間尺度の競合が起こる。
次元解析を行う際に用いる次元は国際単位系の基本単位に対応する7つの次元に限る必要はなく、扱う問題に応じて独立した次元を選ぶことができる。たとえば加速度のない流れでは質量、長さ、時間に加えて力を独立次元とみなすことでより厳密な情報が得られるというブリッジマン(1921)に由来する方法がある。
また長さの次元 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} に対して、3方向 (x , y , z) を区別して次元解析してもよい。この方法はHuntley(1955)に由来し、方向性次元解析(vectorial dimensional analysisまたはCosta(1971)によって指向解析 (directional analysis)と呼ばれる。重力や境界層など、特別な方向をもつ物理現象に対しては方向性次元解析が有効になる場合がある。
例として、流れの中に、流れに平行に置かれた平板が受ける抗力の問題を考える。抗力 F、平板の面積 S、流速 u、流体の密度 ρ、粘性 μ、平板前縁から流れに沿って測った距離を x とする。
次のような物理的な関係式があるとする:
f ( q 1 , q 2 , ... , q n ) = 0 {\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}
ここでq1, ..., qn はn 個の物理変数であり、k 種類の独立な基本単位で表されている。このとき、上式は次の数学的に等価な式に書き換えることができる:
F ( π 1 , π 2 , ... , π p ) = 0 {\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{p})=0}
ここでπ1, ..., πp はq1, ..., qn で構成されるp = n - k 個の 無次元パラメータである:
π i = q 1 a 1 q 2 a 2 ⋯ q n a n , i = 1 , ... , p {\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},\quad i=1,\dots ,p}
ここで指数ai は有理数である(適当にべき乗すれば常に整数としてよい)。