弱位相
X と Y を位相ベクトル空間とするとき、連続線型作用素の空間 L(X,Y) に下記のように弱作用素位相を定義できる:
定義 ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、もしくはより一般に位相体とし、X、YをK上の位相ベクトル空間とし、L(X,Y)をXからY連続線形写像全体の集合とする。
このとき、任意のx ∈ Xと任意のα ∈ Yに対し、
T ∈ L ( X , Y ) ↦ α ( T ( x ) ) ∈ K {\displaystyle T\in L(X,Y)\mapsto \alpha (T(x))\in K}
が連続になる最弱の位相をL(X,Y)の弱作用素位相という。
X 上の弱位相の場合と同様、L(X,Y)上の弱作用素位相もセミノルムによって特徴づけられる: