クリーネの不動点定理
この両辺に単調関数 f {\displaystyle f} を繰り返し適用すると f n ( ⊥ ) ⊑ f n ( k ) {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n}(k)} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) が得られるが、 k {\displaystyle k} は f {\displaystyle f} の不動点であるからすなわち f n ( ⊥ ) ⊑ k {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq k} が成り立つ。 よって M {\displaystyle \mathbb {M} } は k {\displaystyle k} 以下の元からなる鎖であり、 sup ( M ) {\displaystyle \sup(\mathbb {M} )} はその上限であるから、 sup ( M ) {\displaystyle \sup(\mathbb {M} )} もまた k {\displaystyle k} 以下である。 斯くして M {\displaystyle \mathbb {M} } が f {\displaystyle f} の最小不動点であることが示された。