勾配 (ベクトル解析)
スカラー関数 f (x1, x2, x3, ..., xn) の勾配(勾配ベクトル場)は、ベクトル微分作用素 ∇(ナブラ記号)を用いて、∇ f あるいは ∇→ f と書かれる。勾配を grad f と書くことも広く行われている。
f の勾配 ∇ f とは、各点 x において任意の空間ベクトル v とのドット積が f の v に沿う方向微分に一致するベクトル場として一意的に定義される。式で書けば、勾配は
( ∇ f ( x ) ) ⋅ v = D v f ( x ) {\displaystyle (\nabla f(x))\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)}
で決定されるということである。直交座標系において、勾配は成分が f の偏微分で与えられるベクトル場
∇ f = ∂ f ∂ x 1 e 1 + ⋯ + ∂ f ∂ x n e n {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}
U を R の開集合とし、関数 f : U → R がフレシェ微分可能とすると、f の全微分は f のフレシェ導関数であり、従って ∇f は U から空間 R への写像で
lim h → 0 ‖ f ( x + h ) − f ( x ) − ∇ f ( x ) ⋅ h ‖ ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h\|}{\|h\|}}=0}
を満たすものである(中黒はドット積)。
この帰結として、勾配が通常の微分が持つ微分法則を満足することがわかる。