ユークリッド空間
特に (e1, e2, ..., en) が V の正規直交基底であるような座標系を直交座標系と呼ぶ。(S, V) の座標系 (O; B) が一つ固定されると、任意の P ∈ S に対して、ただ一つの x = (x1, x2, ..., xn) ∈ R が存在して、
O P → = x 1 ⋅ e 1 + ⋯ + x n ⋅ e n {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=x_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+\cdots +x_{n}\cdot \mathbf {e} _{n}}
が成り立つ。そこで、この x ∈ R を座標系 (O; B) における P の座標と呼ぶ。
いったん直交座標系が固定されると、n-次元ユークリッド空間 (S, V) は n-次元の標準的ユークリッド空間 (R, R) と同一視することができるので、ユークリッド空間といったら標準的ユークリッド空間のことを指す場合も多い。
なお、n-次元ユークリッド空間の定義において、「実内積空間」を「実ベクトル空間」に置き換えて得られる空間を n-次元アフィン空間と呼ぶ。ユークリッド空間は計量(内積)をもった特別なアフィン空間であるということができる。計量をもたないアフィン空間においては、二点間の距離や線分のなす角などは定義されないが、ユークリッド空間においてはこれらの概念を以下に述べる仕方で定義することができる。