ルベーグ＝スティルチェス積分
平面上の有限長曲線 γ: [a, b] → R とボレル可測函数 ρ: R → [0, ∞) に対し、γ の ρ により重み付けられたユークリッド長さを
∫ a b ρ ( γ ( t ) ) d l ( t ) {\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,dl(t)}
と定める。ただし l(t) は区間 [a, t] に制限したときの γ の弧長とする。これを短く γ の ρ-長さなどと呼ぶこともある。この概念は様々な応用において極めて有用である。例えばぬかるみを移動する人間の速度は泥の深さに依存するので、位置 z 付近での歩行速度の逆数を ρ(z) と書けば、横断線 γ の ρ-長さは γ に沿ってぬかるみを渡るのに掛かる時間を表すものとなる。また、等角写像の研究に有用な極値的長さ (extremal length) も、曲線の ρ-長さの概念を用いるものである。