シュワルツ超函数
これはまた、ヘヴィサイドの階段函数の超函数の意味での微分である。実際、任意のテスト函数 φ に対して
⟨ H ′ , φ ⟩ = − ⟨ H , φ ′ ⟩ = − ∫ − ∞ ∞ H ( x ) φ ′ ( x ) d x = − ∫ 0 ∞ φ ′ ( x ) d x = φ ( 0 ) − lim x → ∞ φ ( x ) = φ ( 0 ) = ⟨ δ , φ ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\langle H',\varphi \rangle &=-\langle H,\varphi '\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }H(x)\varphi '(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)dx=\varphi (0)-\lim _{x\to \infty }\varphi (x)=\varphi (0)\\&=\langle \delta ,\varphi \rangle ,\end{aligned}}}
すなわち、 δ = H′ が成り立つ。ここで limx→∞ φ(x) = 0 なのは台がコンパクトだからである。同様に、ディラックデルタの超函数の意味での微分は
⟨ δ ′ , φ ⟩ = − φ ′ ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta ',\varphi \rangle =-\varphi '(0)}
なる超函数である。後者の超函数は函数でも確率分布でも無い超函数の最初の例である。
引き続いて、R の開集合 U 上で定義される実数値超函数の厳密な定義を与える。少し変えれば複素数値超函数も定義することができるし、R を任意の(パラコンパクト)可微分多様体に取り替えることもできる。
初めに定義すべきは U 上のテスト函数全体の成すベクトル空間 D(U) である。それが定義できたら、そこに D(U) の元の列の極限を定義することによって位相を定める必要がある。そうすればシュワルツ超函数全体の成すベクトル空間が、D(U) 上の連続線型汎函数全体の成すベクトル空間として得られる。
U は開集合で K は U のコンパクト部分集合とする。f が K を台に持つ超函数とするとき、U 内に(K 自身よりも大きな集合の可能性もある)コンパクト台をもつ連続函数 F で適当な多重指数 α に対して f = D F を満たすようなものが存在する。これは局所化を考えることにより、すぐ上で緩増加超函数に対して述べた結果から従う。