ダランベール演算子
ダランベール演算子に関するグリーン関数 G(x − x′) は、次の方程式を満たすものとして定義される。
◻ G ( x − x ′ ) = δ ( x − x ′ ) δ ( c t − c t ′ ) =: δ ( 4 ) ( x − x ′ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Box G(x-x')&=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\delta (ct-ct')\\&=:\delta ^{(4)}(x-x').\end{aligned}}}
ここで δ(x − x′) はミンコフスキー空間でのディラックのデルタ関数であり、x = (ct, x) と x′ = (ct′, x′) はミンコフスキー空間における2つの点である。
上式を満たすグリーン関数として、遅延グリーン関数
D ret ( x − x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | δ ( c t − c t ′ − | x − x | ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ − ∞ ∞ e i k ( x − x ′ ) k 2 − ( k 0 + i ε ) 2 d 4 k {\displaystyle {\begin{aligned}D_{\text{ret}}(x-x')&={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\delta (ct-ct'-|\mathbf {x} -\mathbf {x} |)\\&={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ik(x-x')}}{\mathbf {k} ^{2}-(k_{0}+i\epsilon )^{2}}}d^{4}k\end{aligned}}}