有限生成加群
M を整域 A 上の有限生成加群とし A の分数体を K とする。このとき次元 dim K  ( M ⊗ A K ) {\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)} は M の A 上の生成ランク (generic rank) と呼ばれる。この数は極大 A-線型独立な M のベクトルの数や、M の極大自由部分加群のランクに等しい。(cf. アーベル群のランク。) ( M / F ) ( 0 ) = M ( 0 ) / F ( 0 ) = 0 {\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0} であるので、 M / F {\displaystyle M/F} はねじれ加群である。A が generic freeness によってネーター的であるとき、(M に依存した)ある元 f が存在し、 M [ f − 1 ] {\displaystyle M[f^{-1}]} は自由 A [ f − 1 ] {\displaystyle A[f^{-1}]} -加群である。このときこの自由加群のランクは M の生成ランクである。
さて整域 A が体 k 上代数として有限個の次数 d i {\displaystyle d_{i}} の斉次元によって有限生成であるとしよう。M も次数付けられているとし、 P M ( t ) = ∑ dim k  ( M n ) t n {\displaystyle P_{M}(t)=\sum \operatorname {dim} _{k}(M_{n})t^{n}} を M のポアンカレ級数とする。
ヒルベルト-セールの定理によって、多項式 F が存在して、 P M ( t ) = F ( t ) ∏ ( 1 − t d i ) − 1 {\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}} である。このとき F ( 1 ) {\displaystyle F(1)} が M の生成ランクである。
単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし(英語版) (torsion-free) であることと自由であることは同値である。これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。しかしそれは直接次のようにも示せる。M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。f を A の元であって f M ⊂ F {\displaystyle fM\subset F} とする。このとき f M {\displaystyle fM} は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。しかし今 f : M → f M {\displaystyle f:M\to fM} は M が捩れなしだから同型である。
上記と同じ議論により、デデキント整域(あるいはより一般に半遺伝環)A 上の有限生成加群が捩れなしであること射影的であることは同値である。その結果、 A 上の有限生成加群はねじれ加群と射影加群の直和である。ネーター整域上の有限生成射影加群は一定のランクをもち、そのため A 上の有限生成加群の生成ランクはその射影部分のランクである。