C0半群
コーシー問題と関連して、たいていある線型作用素 A が与えられたときに、それが強連続半群の生成素となるかどうかという点が問題になる。この問題の答えとなるような定理は、生成定理と呼ばれる。強連続半群を生成する作用素に関するひとつの完璧な特徴づけは、ヒレ-吉田の定理によって与えられた。また、より実践的に重要でありながら、確認するのが簡単な条件はルーマー-フィリップスの定理によって与えられた。
を満たすようなものは、上のコーシー問題の軟解と呼ばれる。
すべての古典解は、軟解である。軟解が古典解であるための必要十分条件は、それが連続的微分可能であることである。
次の定理は、抽象的コーシー問題と強連続半群の関係に関するものである。
定理 A をバナッハ空間 X 上の閉作用素とする。以下の主張は同値である:
すべての x∈X に対して、抽象的コーシー問題には唯一つの軟解が存在する。
作用素 A はある強連続半群を生成する。
A のレゾルベント集合は空でなく、すべての x ∈ D(A) に対して、抽象的コーシー問題には唯一つの古典解が存在する。
これらの主張が成立するとき、コーシー問題の解は u(t) = T(t)x によって与えられる。ただし、T は A によって生成される強連続半群である。