スティルチェス＝ウィガート多項式
数学においてスティルチェス=ウィガート多項式(スティルチェス=ウィガートたこうしき、英: Stieltjes–Wigert polynomials)とは、トーマス・スティルチェスとカール・セヴェリン・ウィガート(英語版)の名にちなむ、基本階層構造(英語版)における q {\displaystyle q} -超幾何直交多項式のある族のことを言う。その重み函数は、正の実直線 x > 0 上の
w ( x ) = k π x − 1 / 2 exp  ( − k 2 log 2  x ) {\displaystyle w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}
で与えられる。
スティルチェス=ウィガート多項式に対するモーメント問題(英語版)は不定である。すなわち、同様の直交多項式の族を与える多くの測度が存在する(クレインの条件を参照)。
Koekoek et al. (2010) の 14.27 節では、この多項式の持つ性質の詳細なリストが与えられている。
この多項式はq超幾何級数およびqポッホハマー記号を用いて
S n ( x ; q ) = 1 ( q ; q ) n 1 φ 1 ( q − n , 0 ; q , − q n + 1 x ) {\displaystyle \displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}}}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x)}
で与えられる。ここで q = e である。