鏡映
標準内積が与えられた2次元実計量ベクトル空間 Rにおいて、ベクトル v, a に対し
Ref a  ( v ) = v − 2 v ⋅ a a ⋅ a a {\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2\,{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}\,a}
を a に直交する原点を含む直線による鏡映、あるいは単に a に関する鏡映という。ただしここで v·a は v と a の点乗積である。
Refaは線形変換であり、特に v と a が直交するなら Refa(v) = v であり、v が a のスカラー倍ならば Ref(v) = -v となる。したがって原点を固定する鏡映の固有値は 1 と −1であることも分かる。
n 次元計量ベクトル空間においても同様に、v の aに直交する原点を含む超平面による鏡映を
Ref a  ( v ) = v − 2 v ⋅ a a ⋅ a a {\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2\,{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}\,a}
と定義する。
一般に、点cを通り、aに直交する超平面による鏡映は
Ref a , c  ( v ) = v − 2 ( v − c ) ⋅ a a ⋅ a a {\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2\,{\frac {(v-c)\cdot a}{a\cdot a}}\,a}
と表される。