クネーザーの定理 (組み合わせ論)
となる。そこで
A ( e ) = A ∪ ( B + e ) , B ( e ) = B ∩ ( A − e ) {\displaystyle A(e)=A\cup (B+e),B(e)=B\cap (A-e)}
とおく。
A ( e ) + B ( e ) ⊂ ( A + B ) ∪ ( ( B + e ) + ( A − e ) ) = A + B {\displaystyle A(e)+B(e)\subset (A+B)\cup ((B+e)+(A-e))=A+B} より
| A + B | ≥ | A ( e ) + B ( e ) | {\displaystyle |A+B|\geq |A(e)+B(e)|}
が成り立つ。また g ∈ B ∖ B ( e ) = B ∖ ( A − e ) {\displaystyle g\in B\backslash B(e)=B\backslash (A-e)} ならば g + e ∈ ( B + e ) ∖ A = A ( e ) ∖ A {\displaystyle g+e\in (B+e)\backslash A=A(e)\backslash A} となることから | B | − | B ( e ) | ≤ | A ( e ) | − | A | {\displaystyle |B|-|B(e)|\leq |A(e)|-|A|} つまり