DIIS
未定乗数 λ を導入し、ラグランジアンを次のように構成する。
L = ‖ e m + 1 ‖ 2 − λ ( ∑ i c i − 1 ) = ∑ i j c i B i j c j − λ ( ∑ i c i − 1 ) , where B i j = ⟨ e j , e i ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\left\|{\boldsymbol {e}}_{m+1}\right\|^{2}-\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right)\\&=\sum _{ij}c_{i}B_{ij}c_{j}-\lambda \left(\sum _{i}\ c_{i}-1\right),{\text{ where }}B_{ij}=\langle {\boldsymbol {e}}_{j},{\boldsymbol {e}}_{i}\rangle .\end{aligned}}}
全ての係数および未定乗数についての L の偏微分係数をゼロとすることにより (m + 1) 本の線形方程式系が得られ、m 個の係数(と未定乗数)について解かれる。こうして得られた係数を用いて、変分関数を次のように更新する。
p m + 1 = ∑ i = 1 m c i p i . {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{m+1}=\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\boldsymbol {p}}_{i}.}