方べきの定理
この節では、円をその中心点の名前を借りて円 O のように呼ぶことはせず、独立した記号を与えることとする。
平面上に点 O, P と、O を中心とする円 ω がある。P を通る直線 l {\displaystyle \ell } が ω と1つまたは2つの共有点をもつとし、それを A, B とする(共有点が1つのときは A=B として扱う)。
さて、P と ω が動かずに、 l {\displaystyle \ell } がさまざまに動くとき、A, B はつられてさまざまに動くが、 PA ⋅ PB {\displaystyle {\text{PA}}\cdot {\text{PB}}} の値は変化しないことが方べきの定理からわかる。P≠O のとき、直線 OP を考えることにより、
PA ⋅ PB = | PO − r | ⋅ ( PO + r ) = | PO 2 − r 2 | {\displaystyle {\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=|{\text{PO}}-r|\cdot ({\text{PO}}+r)=|{\text{PO}}^{2}-r^{2}|}
と表すことができる。P=O のときにも、ω の任意の直径を考えることにより、やはり