角速度
角速度は物体が回転運動する平面に対して時計回りか反時計回りかいずれか一つの方向を正とし、他方を負とするように定義される。また符号の正負は、幾何学的には角速度の向きに対応づけることができる。標準的に用いられる右手系の座標系では、角速度の符号は反時計回りを正として定義され、角速度の向きは右手の法則に従い、回転面が反時計回りに見える方向を向くように定められる。
角速度はしばしばスカラーやベクトルとして扱われるが、鏡映反転により向きが変ってしまうなどの性質から、厳密にいえば擬スカラーや擬ベクトルとして扱われる。2次元空間上では回転平面の軸は一つに限られるため、角速度は擬スカラーとなり、3次元空間においては回転平面の軸は自由な方向を向くことができるため、角速度は擬ベクトルとなる。
また、角速度の絶対値(またはノルム)をしばしば角速度の大きさと呼ぶが、文脈によっては、角速度の大きさを含めて単に「角速度」と呼ぶことがある。
位置ベクトルと角速度のベクトル積は、三重積の公式から
ω × r = v − r r 2 ( r ⋅ v ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {v}}-{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{2}}}({\boldsymbol {r}}\cdot {\boldsymbol {v}})}
となる。動径方向の単位ベクトル er = r/r を導入すれば
v = v r e r + ω × r {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}
である。動径方向の速度成分を持たないとき、すなわち原点からの距離が変化しないとき
v = ω × r {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}
となる。特に原点を固定点とする剛体回転では、単一の角速度によってすべての粒子の速度が同じ形で表される。