コホモロジー
K O ∗ ( X ) {\displaystyle KO_{*}(X)} (実周期的 K-理論)、 k O ∗ ( X ) {\displaystyle kO_{*}(X)} (実 connective)、 K U ∗ ( X ) {\displaystyle KU_{*}(X)} (複素周期的)、 k U ∗ ( X ) {\displaystyle kU_{*}(X)} (複素 connective)など。
Brown–Peterson ホモロジー(英語版)、Morava K-理論(英語版)、Morava E-理論、そして形式群の代数を使って定義される他の理論。
楕円ホモロジー(英語版)の様々なバージョン。
これらは一般化されたホモロジー論 (generalised homology theories) と呼ばれる。それらは普通のホモロジーよりもはるかに多くの情報をもっているが、計算するのは大変なことがしばしばある。それらの研究は(Brown の表現可能性定理(英語版)によって)安定ホモトピー(英語版)に強く結びついている。
コホモロジー論 E は E ∗ ( X ) {\displaystyle E^{*}(X)} が次数環であるときに乗法的 (multiplicative) という。
代数トポロジーにおいて、空間のコホモロジー群は次のように定義できる(Hatcher を参照)。位相空間 X が与えられたとき、チェイン複体
⋯ → C n → ∂ n C n − 1 → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow C_{n}{\stackrel {\partial _{n}}{\rightarrow }}\ C_{n-1}\rightarrow \cdots }
を、特異ホモロジー(あるいは単体的ホモロジー)の定義でのように、考えよ。ここで、Cn は X における特異 n-単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群であり、∂n は n 次バウンダリ作用素である。
さて各 Cn をその双対空間 C*n = Hom(Cn, G) で置き換え、∂n を転置
δ n : C n − 1 ∗ → C n ∗ {\displaystyle \delta ^{n}\colon C_{n-1}^{*}\rightarrow C_{n}^{*}}
で置き換えて、コチェイン複体
⋯ ← C n ∗ ← δ n C n − 1 ∗ ← ⋯ {\displaystyle \cdots \leftarrow C_{n}^{*}{\stackrel {\delta ^{n}}{\leftarrow }}\ C_{n-1}^{*}\leftarrow \cdots }