倒立振子
倒立振子は動力学および制御論における古典的な問題であり、制御アルゴリズム(PID制御、状態空間表示、ニューラルネットワーク、ファジィ制御、遺伝的アルゴリズムなど)の試験用ベンチマークとして広く用いられている。この問題はリンクの追加や台車への移動指令、台車をシーソーの上に載せるなどの様々な拡張が可能である。また、ロケットやミサイルは空気抵抗の力の中心が重心よりも前側にあるため空気力学的に不安定であり、その誘導制御問題と倒立振子問題は関連している。このような問題を理解するため、単純なロボット台車の上に載せた倒立振子が用いられることが多い。手の上に箒を立てる遊びや、自律平衡型の輸送機械であるセグウェイなどもこの問題の解である。
フィードバックに頼らず倒立振子を安定化する別の方法として、支点を上下に高速に振動させる方法がある。このような装置をカピッツァの振り子(英語版)と呼ぶ。支点を(加速度と振幅の意味で)十分に強く振動させることにより、直感には強く反するが倒立振子に加えられた擾乱から回復することが可能となる。支点が単振動する場合は、振り子の動きはマシュー方程式により記述することができる。
倒立振子(とうりつしんし 英: inverted pendulum)とは、支点よりも重心が高い位置にある振り子をいう。写真に示すように、支点を台車に載せて実装する、台車駆動型倒立振子がよく知られている。ほとんどの応用例において振り子はある回転軸まわりにのみ運動するよう固定されており、自由度は1に制限されている。振り子は吊り下げられた状態が安定であり、したがって倒立振子は本質的に不安定であるため倒立状態を保つためには常に能動的に制御する必要がある。このためには支軸に直接トルクを加えたり、支点を水平方向もしくは鉛直方向に移動させることにより振り子の錘の回転速度を変化させることにより総トルクを変化させたりしてフィードバック系を構築する。支点を動かす型の倒立振子の一番簡単な例は、箒を手の上に立たせる系である。倒立振子は動力学と制御論における古典的な問題であり、制御戦略の試験用ベンチマークとして用いられる。また、パーソナルモビリティ分野において二輪倒立振子(例: セグウェイ)や自立安定一輪車(例: ホンダ・U3-X)などの形式で応用されつつある。
別の種類の倒立振子として、高層建築に用いられる傾斜計が挙げられる。建築物の基部にワイヤの一端を固定し、他端につけた浮きを建築物の最上部に油で浮かべ、浮きの平衡位置の変化を測定することで傾斜を検出する。
一つ目の方程式から、外力 F によらず水平方向の反力を計算する方法が得られる。 二つ目の方程式は鉛直方向の反力の計算に用いることができる。一つ目の運動方程式は F − R x = M x ̈ {\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}} を R x = m ( x ̈ + l θ ̇ 2 sin  θ − l θ ̈ cos  θ ) {\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )} に代入して次のように得られる。
( M + m ) x ̈ − m l θ ̈ cos  θ + m l θ ̇ 2 sin  θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}
この方程式をよく見れば、ラグランジュ法による方程式と同じであることがわかる。二つ目の方程式を得るには、振り子の運動方程式と、常に振り子に直交する単位ベクトルとのドット積をとる必要がある。このベクトルは物体系の x 座標と呼ばれることが多い。慣性座標系ではこのベクトルは単純な二次元座標変換を用いて以下のように表わされる。
Franklin, Gene; Powell, J. D.; Emami-Naeini, Abbas (2005). Feedback control of dynamic systems (5 ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
「現代制御理論を使った倒立振り子の実験」『トランジスタ技術』5月号、CQ出版、1993年、315-322頁。
「現代制御理論を使った倒立振り子の実験」『トランジスタ技術』6月号、CQ出版、1993年、367-373頁。
「現代制御理論を使った倒立振り子の実験」『トランジスタ技術』7月号、CQ出版、1993年、363-370頁。
v2 の表式を展開すると以下のようになる。
v 2 2 = x ̇ 2 − 2 l x ̇ θ ̇ cos  θ + l 2 θ ̇ 2 {\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}
すると、ラグランジアンは次のように書ける。
L = 1 2 ( M + m ) x ̇ 2 − m l x ̇ θ ̇ cos  θ + 1 2 m l 2 θ ̇ 2 − m g l cos  θ {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }
ここで、オイラー・ラグランジュの運動方程式は次の表式である。
d d t ∂ L ∂ x ̇ − ∂ L ∂ x = F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}