コワレフスカヤのコマ
固定点周りの剛体の運動は、オイラー角で指定されることに表されるように、3つの自由度を持つ。従って、系に3個の保存量が存在すれば、運動が完全に決定され、可積分系となる。 まず系には、全エネルギー
1 2 ( A ω 1 2 + B ω 2 2 + C ω 3 2 ) + m g ( γ 1 ξ 0 + γ 2 η 0 + γ 3 ζ 0 ) = c o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}(A\omega _{1}^{\,2}+B\omega _{2}^{\,2}+C\omega _{3}^{\,2})+mg(\gamma _{1}\xi _{0}+\gamma _{2}\eta _{0}+\gamma _{3}\zeta _{0})=\mathrm {const.} }
が常に保存量として存在する。ここで、第一項は運動エネルギー、第二項は重力ポテンシャルでの位置エネルギーである。 また、鉛直方向の角運動量
L z = A ω 1 γ 1 + B ω 2 γ 2 + C ω 3 γ 3 = c o n s t . {\displaystyle L_{z}=A\omega _{1}\gamma _{1}+B\omega _{2}\gamma _{2}+C\omega _{3}\gamma _{3}=\mathrm {const.} }
も常に保存量となる。従って、これら以外に独立な保存量が1つ存在すれば、系は可積分である。 オイラーのコマの場合には、
A 2 ω 1 2 + B 2 ω 2 2 + C 2 ω 3 2 = c o n s t .