体積要素
λ i j = ∂ φ i ∂ u j {\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}
ここで添字 i は 1 から n を、j は 1 から 2 を走る。n-次元空間のユークリッド計量から、集合 U 上の計量 g = λλ を計算でき、その行列要素は以下のように与えられる。
g i j = ∑ k = 1 n λ k i λ k j = ∑ k = 1 n ∂ φ k ∂ u i ∂ φ k ∂ u j {\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}}
この計量の行列式は次のようになる。
det g = | ∂ φ ∂ u 1 ∧ ∂ φ ∂ u 2 | 2 = det ( λ T λ ) {\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{\mathrm {T} }\lambda )}