ゼルニケ多項式
動径多項式は以下のような式となる。
R 0 0 ( ρ ) = 1 {\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}
R 1 1 ( ρ ) = ρ {\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}
R 2 0 ( ρ ) = 2 ρ 2 − 1 {\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}
R 2 2 ( ρ ) = ρ 2 {\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}
R 3 1 ( ρ ) = 3 ρ 3 − 2 ρ {\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}
R 3 3 ( ρ ) = ρ 3 {\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}
R 4 0 ( ρ ) = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 {\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}
R 4 2 ( ρ ) = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 {\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}
R 4 4 ( ρ ) = ρ 4 {\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}
2つの指数 n,m を並べて、1つの指数 j に統合する方法として、Nollにより提案されたのは、
j = n ( n + 1 ) 2 + | m | + { 0 , m > 0 ∧ n ∈ { 0 , 1 } ( mod 4 ) ; 0 , m < 0 ∧ n ∈ { 2 , 3 } ( mod 4 ) ; 1 , m ≥ 0 ∧ n ∈ { 2 , 3 } ( mod 4 ) ; 1 , m ≤ 0 ∧ n ∈ { 0 , 1 } ( mod 4 ) . {\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\in \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\in \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\in \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\in \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}
とするものである。初めの20項を下表に示す。