ルベーグ積分
非負値可測関数( ∞ {\displaystyle \infty } も値として許す) f の積分を ∫ X f d μ = sup s ↑ f { ∫ X s d μ ∣ s : simple, non-negative } {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\uparrow f}\{\int _{X}s\,d\mu \mid s\colon {\text{ simple, non-negative}}\}}
で定める。
有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の定義関数 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }} (ディリクレの関数)を考える。この関数は至るところ不連続である。
1 Q {\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }} は [0, 1] 上でリーマン可積分ではない:[0, 1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくとも1つは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
1 Q {\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }} は [0, 1] 上でルベーグ可積分である:集合の定義関数の積分は定義より ∫ [ 0 , 1 ] 1 Q d μ = μ ( Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 0 {\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0}