子供のデッサン
例えば、図に示した2つの木は、黒点・白点のそれぞれで同じ次数列(英語版)を持つことが観察できるだろう。ともに、次数が3の黒点を1つ持ち、次数が2の黒点を2つ持ち、次数が2の白点を2つ持ち、そして次数が1の白点を3つ持っている。これが成り立つことは偶然ではない。Γ がデッサンを他のデッサンに変換するとき、両者は必ず同じ次数列を持っている。次数列は、複数知られているガロア群作用の不変量のうちの1つである。
あるデッサンの固定部分群(stabilizer)とは、そのデッサンを変化させない Γ の要素からなる部分群のことである。Γ の部分群と代数体はガロア対応するので、この固定部分群に対応する体、デッサンのモジュライ体(field of moduli of the dessin)がある。デッサンの軌道(orbit)とは、デッサンの集まりであって、各要素はガロア作用により互いに変換され合うもののことである。次数不変量の存在から、デッサンの軌道は有限でなければならず、したがって固定部分群の指数も有限である。同様に、軌道の固定部分群(軌道に含まれる全ての要素を固定する部分群)を定義することができ、対応する軌道のモジュライの体はデッサンの別の不変量である。軌道の固定部分群は、デッサンの固定部分群に含まれる Γ の正規部分群の中で最大のものであり、軌道のモジュライの体はデッサンのモジュライの体の正規閉包となっている。例えば、この節で考えた2つの共役なデッサンについては、軌道のモジュライの体は Q(√21) である。この例では、2つのベールイ関数 f1 と f2 はモジュライの体上で定義されているが、ベールイ関数の定義体がモジュライの体より真に大きくならなければならないデッサンが存在する。
子供のデッサン(こどものデッサン、仏: dessin d'enfant)とは、リーマン面の研究に使われるグラフ埋め込み(英語版)の一種であり、有理数体の絶対ガロア群の作用について組合せ的な不変量を生み出す、数学概念のひとつである。子供の絵(こどものえ)と訳されることもあり、単にデッサンと呼ばれることもある。
子供のデッサンは、向きづけられた曲面に埋め込まれた(英語版)グラフであって、頂点が交互に黒と白で彩色されており、かつグラフの面が円板と同相(topological disk)になるものである。埋め込み先の曲面は、単に平面であることが多い。この彩色が存在するためには、グラフは2部グラフでなければならない。曲面と埋め込みは回転系(英語版)(rotation system)を用いて組合せ的に記述することもできる。回転系とは、グラフの頂点それぞれに対して定義された周囲の辺の巡回型順序(英語版)(cyclic order)であり、曲面上で頂点を小さく時計回りにまわるときに辺を横切る順番に対応するものである。
任意のデッサンは埋め込まれた曲面にリーマン面としての構造を付与する。どのようなリーマン面がこのようにして生じるか、という自然な疑問の答えはベールイの定理によって与えられる。すなわち、子供のデッサンから生じるリーマン面とは、代数体上の代数曲線に他ならない。絶対ガロア群はこのような曲線の全体に作用するので、この対応を通じて子供のデッサン全体にも作用する。
このテーマについての詳細は、Schneps (1994) や Lando & Zvonkin (2004) に記載されている。