分配函数 (数学)
.. ) ) d x 1 d x 2 ⋯ . {\displaystyle Z(\beta )=\int \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)dx_{1}dx_{2}\cdots .}
となる。
H が有限次元の行列や無限次元のヒルベルト空間上の作用素やC*-環のような観測可能量のとき、トレースとして表すことが一般的であるので、
Z ( β ) = tr ( exp  ( − β H ) ) {\displaystyle Z(\beta )={\mbox{tr}}\left(\exp \left(-\beta H\right)\right)}
と表す。H が無限次元のときにも、上記の記述が意味を持つには、アーギュメントがトレースクラス、つまり和が存在して有界であるような形をしている必要がある。
確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} の個数は可算である必要はなく、その場合には和が汎函数積分(英語版)に置き換わる。汎函数積分には多くの記法があるが、一般的な書き方をすると
Z = ∫ D φ exp  ( − β H [ φ ] ) {\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-\beta H[\phi ]\right)}
となる。
これは場の量子論の分配函数である。
一般的に、分配函数を変形するには、補助函数を導入することが必要となる。このことは、分配函数を場の量子論の相関函数の母函数として使うことの例を与える。この詳細は以下で議論する。