ミンコフスキーの不等式
S を測度空間、1 ≦ p ≦ ∞ を任意の実数、f と g を L(S) の要素すなわち p乗可積分関数とする。このとき f + g も L(S) に含まれ、
‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}
が成立する。 1 < p < ∞ における等号成立の必要十分条件は、f と g が正の線形従属であること、すなわち、ある c ≧ 0 が存在して f = c・g もしくは g = c・f と書けることである。これらの事実から、ミンコフスキーの不等式とはL(S)に対する三角不等式の一般化と言える。
ヘルダーの不等式と同様、ミンコフスキーの不等式も数え上げ測度によって有限次元ベクトル空間における特別な場合を考えることができる:
( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}
ここで x1, ..., xn, y1, ..., yn は任意の実数または複素数であり、n はベクトル空間の次元である。