解析的整数論
ユークリッドは無限個の素数が存在することを示したが、ある数、特に大きな数が素数であるか否かを判断するのに充分な方法を見つけることは非常に困難である。より容易な関連する問題は、素数の分布を漸近的に求めることである。すなわち、与えられた数より小さい数にどのくらいの個数の素数が存在するかの大まかな記述である。中でもガウスは、素数の大きなリストを作成した後、大きな数 N 以下の素数の数は、積分の値
∫ 2 N 1 log t d t {\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log \,t}}\,dt}
に近いであろうと予想した。
1859年、リーマンは複素解析と、現在リーマンゼータ関数として知られる特別な有理型関数を使い、実数 x 以下の素数の個数に関する解析的表現を導き出した。注目すべきことに、リーマンの式の主要項は上の積分に一致し、ガウスの予想は相当に信頼すべきであることを示した。リーマンはこの表現における誤差項、つまり素数の分布の仕方が、ゼータ関数の複素零点に密接に関連することを発見した。リーマンのアイデアと、ゼータ関数の零点上のさらなる情報を用いることにより、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサン(英語版)は、ガウス予想の証明を完成させた。
解析的数論の多くは素数定理に動機づけられた。π(x) を素数個数関数とする。これは任意の実数 x に対して x 以下の素数の個数を与える関数である。例えば、10以下の素数は4つ (2, 3, 5, 7) あるから、π(10) = 4 である。素数定理は、x/ln x が π(x) の良い近似であることを示す定理である(ln は自然対数)。ここで良い近似とは、x → ∞ の極限で x/ln x が素数個数関数 π(x) に漸近することを指す:
lim x → ∞ π ( x ) x / ln  ( x ) = 1. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.}
これは素数分布の漸近法則として知られている。
アドリアン=マリ・ルジャンドルは1779年か1798年に次のことを予想した:π(a) は関数 a/(A log a + B) によって近似される、ただし A と B は不明な定数である。