マルコフ＝角谷の不動点定理
単一のアフィン写像 T の不動点の集合は、上述の結果より、空でないコンパクト凸集合 C となる。族 S 内の他の写像は T と可換であるため、それらに対して C は不変である。単一の写像に対する結果を逐次的に適用することにより、S の任意の有限部分集合には、T を部分集合について変化させた時のコンパクト凸集合 C の共通部分として与えられる空でない不動点の集合が含まれることが分かる。C のコンパクト性より、集合
C S = { y ∈ C | T y = y , T ∈ S } = ⋂ T ∈ S C T {\displaystyle C^{S}=\{y\in C|Ty=y,\,T\in S\}=\bigcap _{T\in S}C^{T}\,}
は空でない(さらにコンパクトかつ凸である)ことが従う。