環上の加群
↑ 任意の r ∈ R と x ∈ M に対して rx = xr とおくと作用の左右を入れ替えることができる。非可換の場合はたとえば (rs)x = x(rs) でなければならないが、いっぽう公理に従えば (rs)x = r(sx) = (sx)r = (xs)r = x(sr) となってうまくいかない。
f ( r m + s n ) = r f ( m ) + s f ( n ) {\displaystyle f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)}
が満たされるときに言う。ほかの数学的対象に関する準同型が対象の構造を保つのと同じく、加群の準同型も加群の構造を保つ。
全単射な加群の準同型写像は加群の同型写像であり、同型写像を持つふたつの加群は互いに同型であるという。ふたつの同型な加群は、それらの元の表し方が異なるだけであり、実用上は同一視することができる。
加群準同型 f: M → N の核とは f によって 0 に移される元全体から成る M の部分加群である。群やベクトル空間において馴染み深い同型定理は R-加群に対しても成立する。
左 R-加群およびそれらの間の加群準同型の全体は圏を成し、R-Mod で表される。この圏はアーベル圏である。