シュワルツの補題
複素関数 f (z) は 複素平面 C の単位円板 D = {z : |z | < 1 } 上で正則かつ |f (z) | < 1 を満たし、さらに f (0) = 0 であるとする。このとき、D の任意の点 z で
| f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle |f(z)|\leq |z|}
が成り立つ。
さらに D - {0} のある点 z0 で |f (z0) | = | z0 | が成り立つか、または |f ' (0) | = 1 ならば、 | a | = 1 を満たす、ある定数 a が存在して、 D で
f ( z ) = a z {\displaystyle f(z)=az\ }
である。
仮定がかなり強い特殊な定理に見えるかもしれないが、これは正規化の結果であり、実際は広く用いることのできる一般的な定理である。