クレブシュ–ゴルダン係数
漸化式はジュリオ・ラカー(英語版)によって発見された。 以下で定義される全角運動量昇降演算子をクレブシュ–ゴルダン係数の定義式の両辺に作用させる。
J ^ ± = j ± ⊗ 1 + 1 ⊗ j ± {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{\pm }={\textrm {j}}_{\pm }\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{\pm }}
左辺は、
J ^ ± | ( j 1 j 2 ) J M ⟩ = C ± ( J , M ) | ( j 1 j 2 ) J M ± 1 ⟩ = C ± ( J , M ) ∑ m 1 m 2 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ± 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{\pm }|(j_{1}j_{2})JM\rangle =C_{\pm }(J,M)|(j_{1}j_{2})JM\pm 1\rangle =C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1\rangle }
右辺は、
上記の定義から分かるように、 j ^ 2 {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}} は j ^ x {\displaystyle {\hat {j}}_{x}} 、 j ^ y {\displaystyle {\hat {j}}_{y}} 、 j ^ z {\displaystyle {\hat {j}}_{z}} と交換する。
[ j ^ 2 , j ^ k ] = 0 ( k = x , y , z ) {\displaystyle [\mathbf {\hat {j}} ^{2},{\hat {j}}_{k}]=0\quad \quad (k=x,y,z)}
2つのエルミート演算子が交換する場合、同時固有ベクトルが存在する。 j ^ 2 {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}} と j ^ z {\displaystyle {\hat {j}}_{z}} は交換するので、それらの同時固有ベクトルを | j m ⟩ {\displaystyle |j\,m\rangle } とすると以下を満たす。
これらのことは、代わりの表現を導入することで簡潔に書ける。
⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ≡ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }
第一の直交関係は
∑ J = | j 1 − j 2 | j 1 + j 2 ∑ M = − J J ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ ⟨ J M | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′ ⟩ = ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′ ⟩ = δ m 1 , m 1 ′ δ m 2 , m 2 ′ {\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}
∑ m ( − 1 ) j − m ⟨ j m j − m | J 0 ⟩ = 2 j + 1 δ J 0 {\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle jmj{-m}|J0\rangle ={\sqrt {2j+1}}~\delta _{J0}}