分離拡大
分離性はケーラー微分を使い研究することができる。F を体 k の有限生成体拡大(英語版)とする。このとき
dim F  Der k  ( F , F ) ≥ t r . d e g k  F {\displaystyle \dim _{F}\operatorname {Der} _{k}(F,F)\geq \operatorname {tr.deg} _{k}F}
ただし等号成立と F が k 上分離的であることは同値。
とくに、F/k が代数拡大であれば、Derk(F, F) = 0 と F/k が分離的であることは同値である。
D 1 , . . . , D m {\displaystyle D_{1},...,D_{m}} を Derk(F, F) の基底とし a 1 , . . . , a m ∈ F {\displaystyle a_{1},...,a_{m}\in F} とする。このとき F が k ( a 1 , . . . , a m ) {\displaystyle k(a_{1},...,a_{m})} 上分離代数的であることと行列 D i ( a j ) {\displaystyle D_{i}(a_{j})} が可逆であることは同値である。とくに、 m = t r . d e g k  F {\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{k}F} であるとき、上の { a 1 , . . . , a m } {\displaystyle \{a_{1},...,a_{m}\}} は分離超越基底 (separating transcendence basis) と呼ばれる。
ある体 F に係数をもつ任意の多項式 f は、deg(f) 個の根をある拡大体 E ⊃ F においてもつときに相異なる根 (distinct roots) をもつと言う。例えば、実係数多項式 g(X) = X + 1 はちょうど deg(g) = 2 つの根、すなわち虚数単位 i とその加法逆元 −i, を複素平面にもつ。したがってたしかに異なる根をもつ。一方、実係数多項式 h(X) = (X − 2) は異なる根をもたない。複素平面において 2 だけがこの多項式の根でありしたがって1つの根しか持たず deg(h) = 2 つではない。
多項式が相異なる根をもつかどうかテストするために、体の拡大を明示的に考えたり根を計算したりする必要はない。多項式が相異なる根をもつことと多項式とその微分の最大公約数(英語版)が定数であることは同値である。例えば、上の段落の多項式 g(X) = X + 1 の微分は 2X であり、標数が 2 でない体上では g(X) − ((1/2) X) 2X = 1 であるので、ベズーの等式により、最大公約数は定数である。