写像の反復
f 2 ( x ) = x {\displaystyle f^{2}(x)={\sqrt {\sqrt {x}}}}
f 3 ( x ) = x {\displaystyle f^{3}(x)={\sqrt {\sqrt {\sqrt {x}}}}}
で与えられる。他の表記法としては f といった書き方もあるが、f 表記の使用が多い。
f については、一般に恒等写像として定義する。すなわち、f (x) = x である。f が逆写像 f : X → X を持つ場合は、
f − n : x ↦ f − 1 ( f − 1 ( ⋯ f − 1 ⏞ n ( x ) ⋯ ) ) {\displaystyle f^{-n}:x\mapsto \overbrace {f^{-1}(f^{-1}(\cdots f^{-1}} ^{n}(x)\cdots ))}
が定義される。
集合 X とその上で定義される写像 f: X → X について、非負整数 n に対する f の n 回反復 f は
f n = f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f ⏞ n {\displaystyle f^{n}=\overbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} ^{n}}
f n : x ↦ f ( f ( ⋯ f ⏞ n ( x ) ⋯ ) ) {\displaystyle f^{n}:x\mapsto \overbrace {f(f(\cdots f} ^{n}(x)\cdots ))}
によって定義される。ここに ∘ は写像の合成、すなわち (f ∘ g)(x) = g(f(x)) を意味する。例えば、
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
という写像であれば、その2回反復および3回反復は