松原振動数
τ = 0でのグリーン関数G(τ)の不連続性のため、分布関数の評価は難しくなる。 次の和を評価するためにボソンとフェルミオンどちらの重み関数を選択することもできるが、結果は異なる。
G ( 0 ) = ∑ i ω ( i ω − ξ ) − 1 {\displaystyle G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1}}
これは、G(τ)をτ = 0からわずかに遠ざけたとき、収束をコントロールするため、 G ( τ = 0 + ) {\displaystyle G(\tau =0^{+})} での重み関数として h η ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{\eta }^{(1)}(z)} をとらなければならず、 G ( τ = 0 − ) {\displaystyle G(\tau =0^{-})} では h η ( 2 ) ( z ) {\displaystyle h_{\eta }^{(2)}(z)} をとらなければならないと理解できる。
ボソン
G B ( τ = 0 − ) = 1 β ∑ i ω n e i ω n 0 + i ω n − ξ = − n B ( ξ ) , {\displaystyle G_{B}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-n_{B}(\xi ),}
ボース分布関数は双曲線コタンジェント関数と次の関係にある。
n B ( ξ ) = 1 2 ( coth  β ξ 2 − 1 ) . {\displaystyle n_{B}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\right).}
フェルミ分布関数は双曲線タンジェント関数と次の関係にある。
n F ( ξ ) = 1 2 ( 1 − tanh  β ξ 2 ) . {\displaystyle n_{F}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\right).}