除法の原理
存在性 証明略 一意性 証明略
整数 n > 1 を一つ選び固定するとき、任意の整数 m は n の冪乗 n (k ≥ 0) に関する剰余の列 (m mod n)k=0,1,2,... によって一意的に特定することができる。具体的には、m に対して n を法とする剰余から n を法とする剰余を引いたものは n で割り切れるので、これを aknとすれば、0 ≤ ak < n かつ、十分大きな k についてはすべて ak = 0 となる。つまり適当な自然数 M が存在して
m = a 0 + a 1 n + a 2 n 2 + ⋯ + a M n M {\displaystyle m=a_{0}+a_{1}n+a_{2}n^{2}+\cdots +a_{M}n^{M}}
と書くことができて、しかもこのような表示は一意的であるということである。これを、整数 m の n を法とする展開、あるいは n-進展開と呼び、はじめに固定した n を展開の基数と呼ぶ。この展開は位取り記数法などの記法の原理的な根拠となる。
十分大きな k についてはすべて ak = 0 となるという制限は、基数が素数 p であるときには p-進距離に関する収束の概念を用いて除くことができて、 p-進整数の p-進展開を与える。また、絶対値の導く距離を入れ、基数 n の負の冪をも同時に考えるならば有理数や実数の n-進展開(小数展開)を考えることができる。
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