有界作用素
上記の正定数 M の下限は L の作用素ノルムと呼ばれ、 ‖ L ‖ o p {\displaystyle \|L\|_{\mathrm {op} }\,} と記述される。 X から Y への有界作用素全体の集合を L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} として, L ∈ L ( X , Y ) {\displaystyle L\in {\mathcal {L}}(X,Y)} に対して ‖ L ‖ L ( X , Y ) {\displaystyle \|L\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}} によって作用素ノルムを表すこともある.
一般的に、有界作用素は有界関数ではない。後者は、すべての v に対し L(v) のノルムが上から評価されている必要があるが、これは L が零作用素でないと起こり得ない。有界作用素は局所有界関数(英語版)である。
線形作用素が有界であることと、連続であることは必要十分である。