群のコホモロジー
導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い。n ≥ 0 に対して C(G, M) を G から M への関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を(非斉次)n 次の双対鎖という。双対境界作用素を
d n + 1 : C n ( G , M ) → C n + 1 ( G , M ) , φ ↦ d n + 1 φ ; {\displaystyle d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M),\ \varphi \mapsto d^{n+1}\varphi ;}
d n + 1 φ ( g 1 , ... , g n + 1 ) = g 1 φ ( g 2 , ... , g n + 1 ) + ∑ i = 1 n ( − 1 ) i φ ( g 1 , ... , g i − 1 , g i g i + 1 , g i + 2 , ... , g n + 1 ) + ( − 1 ) n + 1 φ ( g 1 , ...