部分群の指数
素数冪の指数の正規部分群は p-群への全射写像の核であり(Focal subgroup theorem: Subgroupsの項に述べたような、焦点部分群定理(英語版)として精緻化される)面白い構造をもつ。
素数冪の指数の3つの重要な正規部分群が存在し、それぞれあるクラスで最小の正規部分群である:
E(G) はすべての指数 p の正規部分群の共通部分である。G/E(G) は基本アーベル群であり G が全射する最大の基本アーベル p-群である。
A(G) は G/K がアーベル p-群であるようなすべての正規部分群 K(すなわち K は導来群 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} を含む指数 p k {\displaystyle p^{k}} の正規部分群である)の共通部分である:G/A(G) は G が全射する最大のアーベル p-群(基本とは限らない)である。
初等的な観察は指数 2 のちょうど 2 つの部分群をもてないということである、なぜならばそれらの対称差の補集合は 3 番目を生むからである。これは上記の議論の単純な系である(すなわち基本アーベル群のベクトル空間構造の射影化(英語版)
G / E p ( G ) ≅ ( Z / p ) k {\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}} ),
そしてさらに、G はこの幾何学に作用しないし非アーベル構造のどんなことも反映しない(両方の場合においてなぜならば商はアーベルだから)。
しかしながら、それは初等的な結果であり、次のように具体的に確かめられる:与えられた指数 p の正規部分群の集合は射影空間をなす、すなわち射影空間
P ( Hom  ( G , Z / p ) ) . {\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}
詳しく言えば、G から位数 p の(巡回)群への準同型の空間 Hom  ( G , Z / p ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)} は有限体 F p = Z / p {\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p} 上のベクトル空間である。