ケルビン・ストークスの定理
本節では 層状ベクトル場 (保存力場)に本定理を適用し、スカラーポテンシャルの一意性を基礎づける定理を導く。 一変数の規格化写像 θ [ a , b ] {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}} 、以下のように定義する。これは、狭義単調増加関数である。 θ [ a , b ] : [ 0 , 1 ] → [ a , b ] {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}:[0,1]\to [a,b]}
θ [ a , b ] = s ( b − a ) + a {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}=s(b-a)+a}
区分的になめらかな曲線 c:[a,b]→R, と、区分的に滑らかなベクトル場Fを考える。 Fの定義域は、 c [ [ a , b ] ] {\displaystyle c[[a,b]]} (cの値域)を包含するものとする。
このとき、以下の等式が成り立つ。
∫ c F d c = ∫ c ∘ θ [ a , b ] F d ( c ∘ θ [ a , b ] ) {\displaystyle \int _{c}\mathbf {F} \ dc\ =\int _{c\circ {\theta }_{[a,b]}}\ \mathbf {F} \ d(c\circ {\theta }_{[a,b]})}
従って、定義域が[0,1]のcのみを考えても、一般性を失わないことが判る。 以降、そのように考える。