ハーディ空間
円板以外の領域の上でもハーディ空間を定義することは可能で、複素半平面(通常は右半平面あるいは上半平面)上のハーディ空間が多くの応用の場面で用いられている。
上半平面 H 上のハーディ空間 H(H) は、H 上の正則函数 f からなる空間で、次の有界(準)ノルムを備えるものとして定義される。
‖ f ‖ H p = sup y > 0 ( ∫ | f ( x + i y ) | p d x ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int |f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}
これに対応する H(H) は、次で与えられる有界ノルムを備える函数からなる空間として定義される。
‖ f ‖ H ∞ = sup z ∈ H | f ( z ) | . {\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.
F のテイラー係数 cn は Re(f) のフーリエ係数より計算することが出来るので、函数 F ∈ H は単位円上の実超函数 Re(f) によって再構成される。すなわち p < 1 であれば、単位円上の超函数は一般にハーディ空間を扱う上で十分なものとなる。1 以上の自然数 N に対し、0 < N p < 1 であるなら、函数 F(z) = (1−z)(|z| < 1)に見られるように、超函数は H に属する。
単位円上の実超函数が実-H(T) に属するための必要十分条件は、それがある F ∈ H の実部の境界値であることである。単位円上の任意の点 x でのディラック超函数 δx は、すべての p < 1 に対して実-H(T) に属する。p < 1/2 であれば微分 δ′x が属し、p < 1/3 であれば二階微分 δ′′x が属する。以下、同様のことが成り立つ。
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単位円板 D と上半平面 H は、メビウス変換の意味で一方から他方へ写すことが可能となるが、ハーディ空間に対する領域としてそれらは交換可能ではない。この違いの原因は、単位円は有限(1次元)ルベーグ測度を持つが、実数直線は持たないという事実にある。しかし、H に対しては、依然として次の定理が成り立つ。メビウス変換 m : D → H で次を満たすものが与えられたとする。
m ( z ) = i ⋅ 1 + z 1 − z . {\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}
このとき、等長同型 M : H(H) → H(D) で、次を満たすものが存在する。
( M f ) ( z ) = π 1 − z f ( m ( z ) ) . {\displaystyle (Mf)(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}
数学の複素解析の分野におけるハーディ空間(ハーディくうかん、英: Hardy space)あるいはハーディ級(Hardy class)H とは、単位円板あるいは上半平面上のある種の正則函数の空間のことを言う。リース・フリジェシュ (Riesz 1923) によって導入され、その名は論文 (Hardy 1915) の著者であるゴッドフレイ・ハロルド・ハーディにちなむ。実解析におけるハーディ空間は、(超函数の意味で)複素ハーディ空間の正則函数の境界値であるような、実数直線上のある超函数からなる空間で、函数解析学におけるLp空間と関係する。1 ≤ p ≤ ∞ に対し、それら実ハーディ空間 H は L の部分集合であるが、p < 1 に対して L はいくつか望ましくない性質を持つ一方、ハーディ空間はより良い振る舞いをする。
複素数の場合の管状領域(英語版)上の正則函数や、実数の場合の R 上の超函数の空間など、高次元の一般化がいくつか存在する。
ハーディ空間には解析学それ自身において多くの応用が存在すると共に、制御理論(H∞制御理論など)や散乱理論においても多くの応用が存在する。
単位円上のすべての実三角多項式 u に対し、u + iv が単位円板内の正則函数となるように拡張できる実共役多項式 v を次のように定義できる。
u ( e i θ ) = a 0 2 + ∑ k ≥ 1 a k cos  ( k θ ) + b k sin  ( k θ ) ⟶ v ( e i θ ) = ∑ k ≥ 1 a k sin  ( k θ ) − b k cos  ( k θ ) . {\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geq 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geq 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}
この写像 u → v は、1 < p < ∞ のときには L(T) 上の有界線型作用素 H へと拡張される(スカラー倍を除き、それは単位円上のヒルベルト変換である)。