リー代数の表現
リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数への準同型(Lie algebra homomorphism)
ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
であり、交換子をリーブラケットとして持ち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 x を g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} の元 ρx へ写像する。
明らかに、このことは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y に対し、
ρ [ x , y ] = [ ρ x , ρ y ] = ρ x ρ y − ρ y ρ x {\displaystyle \rho _{[x,y]}=[\rho _{x},\rho _{y}]=\rho _{x}\rho _{y}-\rho _{y}\rho _{x}}
リー代数の表現の最も基本的な例は、リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自分自身の上での随伴表現
ad : g → g l ( g ) , x ↦ ad x , ad x  ( y ) = [ x , y ] . {\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto \operatorname {ad} _{x},\quad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y].}
である。実際、ヤコビ恒等式により、 ad {\displaystyle \operatorname {ad} } はリー代数の準同型である。