リースの拡張定理
E を実ベクトル空間とし、F ⊂ E をその部分ベクトル空間とする。また K ⊂ E を凸錐とする。
線型汎函数 φ: F → R が K-正(K-positive)であるとは、錐 K 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う:
φ ( x ) ≥ 0 for x ∈ F ∩ K . {\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}
線型汎函数 ψ: E → R が φ の K-正拡張(K-positive extension)であるとは、それが φ の定義域においては φ に等しく、錐 K 内のすべての点に対して 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う:
ψ | F = φ and ψ ( x ) ≥ 0 for x ∈ K . {\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.}
一般に F 上の K-正線型汎函数は、E 上の K-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、x-軸の負の開区間を除いた上半平面として K を取る場合が挙げられる。このとき F が実軸であるなら、正の線型汎函数 φ(x, 0) = x はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。
しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する:すべての y ∈ E に対して、y − x ∈K を満たすある x∈F が存在する。すなわち、E = K + F である。