有向点族
普遍有向点族の概念を用いると、コンパクト性はさらに簡単に特徴づける事ができる:

なお、上述したコンパクト性の普遍有向点列による特徴づけを用いると、チコノフの定理(=コンパクト空間の直積はコンパクト)がほぼ自明に従う。証明は以下のとおりである。まず複数の位相空間の直積
Y = ∏ α X α {\displaystyle Y=\prod _{\alpha }X_{\alpha }}
上の有向点族がY の点y に収束する必要十分条件は明らかに有向点族の各Xαへの射影がy のXαへの射影へ収束する事である。
よって
全てのXαがコンパクト⇒任意のαに対し、Xα上の普遍有向点族は収束する⇒直積Y 上の普遍有向点族は収束する⇒Y はコンパクト。
すなわちチコノフの定理が言えた。
この定理の証明では上で作った関数IとJ(を少し改変したもの)を用いる。
(xλ)λ∈Λを位相空間X 上の任意の有向点族とし、
B = I ( ( x λ ) λ ∈ Λ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=I((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda })}
とし、 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} を B {\displaystyle {\mathcal {B}}} より細かい極大フィルターとする。(このような M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の存在性はツォルンの補題より容易に示せる。)
さらに添え字集合Γを
Γ = { ( A , λ ) ∈ M × Λ ∣ x λ ∈ A } {\displaystyle \Gamma =\{(A,\lambda )\in {\mathcal {M}}\times \Lambda \mid x_{\lambda }\in A\}}
により定義し包含関係の逆順序とΛの順序の直積順序を入れ、h を
γ = ( A , λ ) ∈ Γ ↦ λ ∈ Λ {\displaystyle \gamma =(A,\lambda )\in \Gamma \mapsto \lambda \in \Lambda }
により定義すると有向点族(xh(γ))γ∈Γが(xλ)λ∈Λの部分有向点族となる事が簡単に確かめられる。しかも M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の極大性からこの有向点族の普遍性が従う。
有向点族を定義する為、まず有向集合を定義する。詳細は有向集合の項目を参照。
Jの定義は若干複雑である。 まずフィルター基 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} に対し、集合 Λ B {\displaystyle \Lambda _{\mathcal {B}}} を
Λ B = { ( A , x ) ∣ A ∈ B , x ∈ A } {\displaystyle \Lambda _{\mathcal {B}}=\{(A,x)\mid A\in {\mathcal {B}},~x\in A\}}
により定義し、 Λ B {\displaystyle \Lambda _{\mathcal {B}}} に順序関係
( A , x ) ≥ ( B , y ) ⇔ A ⊂ B {\displaystyle (A,x)\geq (B,y)\Leftrightarrow A\subset B}
を入れると、 Λ B {\displaystyle \Lambda _{\mathcal {B}}} は有向集合とみなせる。
そこで
( A , x ) ∈ Λ B ↦ x ∈ X {\displaystyle (A,x)\in \Lambda _{\mathcal {B}}\mapsto x\in X}
を考えると、これは Λ B {\displaystyle \Lambda _{\mathcal {B}}} を添字集合とする有向点族とみなせるので、この有向点族を J ( B ) {\displaystyle J({\mathcal {B}})} とする。