近傍系
逆に、任意のフィルター基に関すると同様、基本近傍系 B ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)} から近傍フィルター V ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)} を得ることができる。それには
V ( x ) = { V ⊂ X ∣ ∃ B ∈ B ( x ) s . t . B ⊂ V } {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\left\{V\subset X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}(x)\ \mathrm {s.t.} \ B\subset V\right\}}
とすればよい。
また近傍系は以下のように公理的に特徴づけられる。集合 X とその任意の元 x に対して X の部分集合のなす空でない族 V ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)} が次の 4 つの条件を満たすとき、集合 X 上に V ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)} を近傍系とする位相が唯ひとつ定まる。
∀ U ⊆ X , V ∈ V ( x ) : V ⊆ U ⟹ U ∈ V ( x ) {\displaystyle \forall U\subseteq X,\ V\in {\mathcal {V}}(x):\ V\subseteq U\implies U\in {\mathcal {V}}(x)}
∀ U 1 , .