アルティン・リースの補題
環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)
ネーター局所環の真のイデアル I に対して、 ⋂ n = 1 ∞ I n = 0 {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}
の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して
I k + 1 ∩ N = I ( I k ∩ N ) {\displaystyle I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)}
が成り立つ。すると N = I N {\displaystyle N=IN} なので中山の補題によって N = 0 {\displaystyle N=0} である。