多元数
任意の二つの多元環のテンソル積はふたたび多元環とすることができるから、これにより多くの様々な超複素数系の例を作り出すことができる。
特に複素数体 C(を実数体 R 上の多元環と見たもの)とのテンソル積をとれば、四次元の双複素数環 C ⊗R C, 八次元の双四元数(英語版)環 C ⊗R H, 十六次元の複素八元数環 C ⊗R O が得られる。
この記法の添字については、この多元環の単純基底元のうち p 個が ei = +1 を満たし、かつ q 個が ej = −1 を満たすということ、また R はこれが実数体上の多元環(各元の係数が実数)であることを示唆するものである。
幾何代数(英語版)と呼ばれるこれら多元環は体系的な集合を成し、特に古典力学、量子力学、電磁気学、相対性理論における回転、位相、スピンなどを含む物理学的問題に非常に有効なことが知られている。例えば:
複素数体 Cl0,1(R), 分解型複素数環 Cl1,0(R), 四元数体 Cl0,2(R), 分解型双四元数(英語版)環 Cl0,3(R),
余四元数(英語版)環 Cl1,1(R) ≈ Cl2,0(R):二次元空間の自然代数 (natural algebra)
Cl3,0(R): 三次元の自然代数、パウリ行列の代数
時空代数(英語版) Cl1,3(R)
多元環 Clp,q(R) の元全体は、多元環 Clq+1,p(R) の偶部分環 Cl 0q+1,p (R) を成す。このことはより大きな代数における回転をパラメータ付けするために利用することができる。これはつまり、複素数と二次元空間の回転の間の、あるいは四元数と四次元空間の回転の間の、また分解型複素数と 1 + 1次元空間の双曲的回転(ローレンツ変換)の間の、ほかにも同様の、それぞれ近しい関係があるということである。
ケーリー=ディクソン構成やその変形である分解型の構成法では八次元以上になると乗法に関して結合的でなくなるが、クリフォード線型環は何次元であっても結合的なままである。