球体
詳細は「超球体の体積」を参照
n-次元ユークリッド空間における、半径 R の n-次元ユークリッド超球体の n-次元超体積は
V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}}
で与えられる。ただし Γ はオイラーのガンマ函数(階乗の非整数引数への拡張と見做される)。整数値または半整数値におけるガンマ函数の特殊値(英語版)の明示公式を用いれば、ガンマ函数の値の評価を抜きにして、ユークリッド超球面の体積は
V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k , {\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}
V 2 k + 1 ( R ) = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 {\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}
で与えられることがわかる。奇数次元の場合の式に現れる二重階乗 (2k + 1)!! は (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1) と定義されるものである。