ガロア理論
ジョセフ・ロットマン『ガロア理論』関口次郎訳(改訂新版)、シュプリンガー・フェアラーク東京、2000年6月20日。ISBN 4-431-70890-1。 ジョセフ・ロットマン『ガロア理論』関口次郎訳(改訂新版)、丸善出版、2000年6月20日。ISBN 978-4-621-06266-1。
Tignol, Jean‐Pierre『代数方程式のガロアの理論』新妻弘訳、共立出版、2005年3月。ISBN 978-4-320-01770-2。 - 代数方程式の解法を歴史的に解説。
Dehn, Edgar (2017-06-21) [1960], Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43900-6 - 1930年にコロンビア大学出版局から出版された版の復刊。
Edwards, Harold (1984) (英語), Galois Theory, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 101 (3rd printing ed.), Springer, pp. 172, ISBN 0-387-90980-X, https://archive.org/details/galoistheory00edwa_0 - ガロアの原論文に則って解説。原論文の英訳付き。
ガロア理論では、加減乗除ができるような数の範疇での代数方程式を考察対象とする。例えば、有理数や複素数の範囲で多項式で表わされる方程式の解を考えたり、整係数の多項式で素数を法とした解を考えたりする。
代数方程式が "代数的に解ける" かどうか、つまり係数に対する四則演算と根号の有限個の組合せで解が表せるかどうかが問題になる。四次までの代数方程式についてはこれが可能。
例えば二次の多項式 x − 2ax + b = 0 の二つの根は
a ± a 2 − b {\displaystyle a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}
と表すことができる。
一般に、与えられた多項式 p(以下技術的な仮定として p の分離性を仮定する)の根が(当該)多項式の係数の四則演算と冪根によって表せるかどうかは、係数の作る体 K の適当な冪根拡大に根が含まれるかどうか、あるいは別の見方をすれば、与えられた多項式の根を全て添加して、その上では多項式 p が一次式の積に分解するようにした体(多項式 p の分解体; splitting field)L が、体 K の冪根拡大になっているか、と定式化できる。
より一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群であることに対応している。
例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群
Gal  ( M / K ) = Gal  ( L / K ) / Gal  ( L / M ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (M/K)=\operatorname {Gal} (L/K)/\operatorname {Gal} (L/M)}
は巡回群になる。
L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 Gal(L/K) が可解群になっているかどうか。 このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。
一方、最も一般的な設定の下では群 Gal(L/K) は n 次の対称群になる。 特に、5 次以上の一般の多項式の対称性を表す 5 次の対称群は可解群ではない。 このことから 5 次以上の代数方程式は一般に可解でない(代数的な根の公式が存在しない)。
X への作用の推移性を外すことは K の有限次分離拡大体の代わりに K 上の有限エタール代数を考えることに対応し、こうして K 上の有限エタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の反変圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム Spec(K) の上のエタール層を表しており、埋め込みK → K に対応する射 Spec(K ) → Spec(K) が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 FK : A → HomK(A, K ) が、圏同値 : Spec(K) 上のエタール層の圏 EtK ≡ G が連続的に作用する集合の圏 BG をひき起こしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手 F K s e p : Et K → ( S e t s ) {\displaystyle \operatorname {F} _{K^{\mathrm {sep} }}:\operatorname {Et} _{K}\to (\mathrm {Sets} )} からガロア群を復元できることが分かる。また、上の圏同値によって、体 K上の ガロアコホモロジーは、Spec(K) 上のエタール・コホモロジー理論と同値となる。
ガロアは1832年の(死の原因となる)決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」(独: Galois-Theorie)と名づけた。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた(数の)集合を「体」(独: Körper)と名づけた。また、デデキントとウェーバー(英語版)は1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した。
ソフス・リーによって導入されたリー群は代数方程式に対するガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。