冪乗則
冪乗則(べきじょうそく、power law)は、統計モデルの一つ。最も一般的な冪乗則は、
f ( x ) = a x k + o ( x k ) {\displaystyle f(x)=ax^{k}+o(x^{k})\,}
で表され、定数 c に対して f ( c x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)\propto f(x)} を満たすものである。ここに、a と k は定数、o はランダウの記号である。k はスケーリング指数 (scaling exponent) と呼ばれる。
この関係は、スケール関数の変化に伴い関数の独立変数のスケールが変わると、比例定数は変わるが、関数それ自体の形式は保存されることを意味する。この関係は、両方の変数の対数をとるとより明らかになる。グラフに描けば、両対数グラフにおいて、線型になる。片対数グラフで線型になるのは指数関数。
log  ( f ( x ) ) = k log  x + log  a {\displaystyle \log \left(f(x)\right)=k\log x+\log a} .
この式は、この傾きk の線型関係の形をとり、独立変数のスケーリングは、関数の上か下かの移動を誘導し、関数の形と傾きk の両方が変化しない。
確率分布としては、パレート分布やゼータ分布(英語版)やジップ分布を参照。