極大トーラス
コンパクトリー群の数学的理論において特別な役割はトーラス部分群によって、とくに極大トーラス (maximal torus) 部分群によって果たされる。
コンパクトリー群 G のトーラス (torus) とは G のコンパクト連結可換部分リー群(したがって標準的なトーラス T に同型)である。極大トーラス (maximal torus) はそのような部分群の中で極大なものである。すなわち、T を含む任意のトーラス T′ に対して T = T′ が成り立つとき T は極大トーラスである。どんなトーラスもある極大トーラスに含まれている。これは単純に次元を考えることによってわかる。非コンパクトリー群は非自明なトーラスを持つとは限らない(例えば R は持たない)。
G の極大トーラスの次元を G の階数 (rank) と呼ぶ。すべての極大トーラスは共役であることが分かるから階数は well-defined である。半単純群に対しては階数は付随するディンキン図形のノードの個数に等しい。