ピタゴラスの定理
であるから2辺比夾角相等より △ ACD ∼ △ ABC {\displaystyle \triangle {\text{ACD}}\sim \triangle {\text{ABC}}} 。
∴ ∠ ADC = ∠ ACB {\displaystyle \therefore \angle {\text{ADC}}=\angle {\text{ACB}}}
同様に
∠ BDC = ∠ BCA {\displaystyle \angle {\text{BDC}}=\angle {\text{BCA}}}
となるから
となる。
(1) より
一方
であるから、(2), (3) より
(1), (4) より
∠ ACB = π 2 {\displaystyle \angle {\text{ACB}}={\frac {\pi }{2}}}
ゆえに △ABC は ∠C = π/2 の直角三角形である。
第二余弦定理
c = a + b − 2ab cos C
はピタゴラスの定理を C = π/2 = 90° → cos C = 0 の場合として含む。 つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。
△ABC と合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が a + b の正方形(以下「大正方形」)が、内側に一辺が c の正方形(以下「小正方形」)ができる。
(大正方形の面積)=(小正方形の面積)+(直角三角形の面積)× 4
である。大正方形の面積は (a + b), 小正方形の面積は c, 直角三角形1個の面積は 1 2 a b {\displaystyle {\frac {1}{2}}ab} である。これらを代入すると、
( a + b ) 2 = c 2 + 1 2 a b × 4 {\displaystyle (a+b)^{2}=c^{2}+{\frac {1}{2}}ab\times 4}
整理して
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
を得る。
正方形を用いた証明の視覚化
正方形を用いた証明2
正方形を用いた証明3
ピタゴラスの定理は、逆も真となる。すなわち、△ABC に対して
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が成立すれば、△ABC は ∠C = π/2 の直角三角形となる。
初等幾何学におけるピタゴラスの定理(、英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、
c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
という等式の形で述べられる。
現在の日本では三平方の定理()とも呼ばれている。戦前の日本では勾股弦の定理()と呼ばれていた。「ピタゴラス」と冠しているが、彼が発見したかは定かでない。
ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。例えば、2次元直交座標系において、座標が分かっている2点間の距離を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。
(a, b, c) で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。