量子ウォーク
長時間平均測度 μ ∗ ( x ) {\displaystyle \mu _{*}(x)} を用いて、 c ∗ ≡ ∑ x μ ∗ ( x ) {\displaystyle c_{*}\equiv \sum _{x}\mu _{*}(x)} とおくと、 0 ≤ c ∗ < 1 {\displaystyle 0\leq c_{*}<1} となり、確率が保存されていない場合がある 。二段階目はその残りの 1 − c ∗ {\displaystyle 1-c_{*}} に対応する以下の極限定理である 。
X n / n ⇒ Z ( n → ∞ ) . {\displaystyle X_{n}/n\Rightarrow Z\;\;(n\to \infty ).}
但し、 Z {\displaystyle Z} は下記のような密度関数を持つ 。
ν ( x ) = c ∗ δ 0 ( x ) + ( 1 − c ∗ ) w ( x ) f K ( x ; r ) . {\displaystyle \nu (x)=c_{*}\delta _{0}(x)+(1-c_{*})w(x)f_{K}(x;r).}
ここで、実数 0 < r < 1 {\displaystyle 0<r<1} と多項式 w ( x ) {\displaystyle w(x)} はそれぞれの量子ウォークモデルに依存して決まる 。