超球の体積
比例関係は n-次元球体と (n − 1)-次元球体の体積の関係に関する漸化式の証明にも使われる。比例式の証明の際に見たように、n-次元球の体積は (n − 1)-次元球体の体積の積分として書くことができる。置換の代わりに、比例関係を被積分関数に現れる (n − 1)-次元球体の体積に適用し、
を得る。被積分関数は偶関数であるため、対称性によって積分区間を [0, R] に制限することができる。区間 [0, R] 上で u = (x/R) なる置換を適用することができるから、式は
と書き換えられる。この積分はベータ関数 Β(x) と呼ばれるよく知られた特殊関数のある値に等しく、求める体積はベータ関数を用いて
となる。階乗と二項係数との関係とほぼ同じ意味で、ベータ関数はガンマ関数を用いて表されるから、その関係式を適用して
が得られる。値 Γ(1/2) = √π を用いて1次元漸化式
が得られる。
2次元漸化式と同様に、体積公式の帰納法による証明を得るために同じ手法を使用することができる。
a n = { 2 if n = 2 k + 1 π if n = 2 k {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}2&{\text{if }}n=2k+1\\\pi &{\text{if }}n=2k\end{cases}}}
具体的に書けば、
V n ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)} = { 2 R ( 2 k ) ( 2 k − 2 ) ⋯ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 ( 2 k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 V 2 k ( R ) if n = 2 k + 1 π R ( 2 k − 1 ) ( 2 k − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 ( 2 k ) ( 2 k − 2 ) ⋯ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 V 2 k − 1 ( R ) if n = 2 k {\displaystyle ={\begin{cases}2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R)&{\text{if }}n=2k+1\\\pi R{\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R)&{\text{if }}n=2k\end{cases}}}
次が知られていることがディリクレの時代から知られている:
定理 ― 正の実数 p1, ..., pn, R に対し、
B p 1 , ... , p n ( R ) = { x = ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n : | x 1 | p 1 + ⋯ + | x n | p n ≤ R } {\displaystyle B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(R)=\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}\leq R\}} の体積(通常のl-ノルムにより定義される体積要素 d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle dx_{1}\cdots dx_{n}} により定まる体積) V p 1 , ... , p n ( R ) {\displaystyle V_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(R)} は以下のように書ける:
V p 1 , ... , p n ( R ) = 2 n ( 1 p 1 ) ! ⋯ ( 1 p n ) ! ( 1 p 1 + ⋯ + 1 p n ) ! R 1 p 1 + ⋯ + 1 p n {\displaystyle V_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(R)={\frac {2^{n}\left({\tfrac {1}{p_{1}}}\right)!\cdots \left({\tfrac {1}{p_{n}}}\right)!}{\left({\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}\right)!
n-次元球の体積についてのいくつかの証明においての重要なステップであり、それ以外にも有用性のある一般的な事実は、半径 R の n-次元球の体積は R に比例すること、つまり
である。このときの比例定数は単位球の体積に等しい。 上記の関係は帰納法による簡単な証明がある。基底段階は n = 0 であり、比例することは自明である。帰納段階は、次元 n − 1 で比例することが真であると仮定する。n-次元球体と一つの超平面との交わりは (n − 1)-次元球体であることに注意する。n-次元球体の体積を (n − 1)-次元球体の体積の積分
として書く時、帰納法の仮定により n − 1-次元球体の半径から R-倍の因子を括りだして
と書くことができる。変数変換 t = x/R を施して導かれる
は次元 n における比例関係を示すものになっている。帰納法によって、全ての次元で比例関係は真である。