ハッセ・ミンコフスキーの定理
ハッセ・ミンコフスキーの定理は数体 K 上の二次形式を同値を除いて分類する問題を局所体上の類似だがはるかに簡単な問題の集合に帰着する.非特異二次形式の基本的な不変量は,正の整数であるその次元と,乗法群 K/K の元である K の平方を法とした判別式である.さらに,K の任意の座 v に対して,完備化 Kv から来る不変量がある.v の取り方に応じて,この完備化は実数 R, 複素数 C, p 進数 Qp となり,それぞれ異なる種類の不変量を持つ:
R の場合.シルヴェスターの慣性法則により,符号(あるいは慣性の負の指数)は完全不変量である.
C の場合.同じ次元のすべての非特異二次形式は同値である.
Qp とその代数拡大の場合.同じ次元の形式はハッセ不変量(英語版)によって同値を除いて分類される.
これらの不変量はある協調性条件を満たさなければならない:パリティ関係式(判別式の符号は慣性の負の指数に一致しなければならない)と積公式(局所–大域関係式)である.逆に,これらの関係式を満たす不変量の各集合に対して,これらの不変量を持つ K 上の二次形式が存在する.