接続 (ファイバー束)
主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである:
定義 (主接続の定義) ― Gをリー群とし、 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} を構造群Gを持つ主バンドルとする。 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~{\mathcal {P}}\to M} のC級の(主バンドルとしての)接続(英: connection)あるいは主接続(英: principal connection) { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} とは、Pの各点pにおけるTpMの部分空間 H p {\displaystyle {\mathcal {H}}_{p}} の族でpに関してC級であり、任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し以下の性質を満たすものである:
T p P = V p ⊕ H p {\displaystyle T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}}
任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対し、 ( R g ) ∗ ( H p ) = H p g {\displaystyle (R_{g})_{*}({\mathcal {H}}_{p})={\mathcal {H}}_{pg}}
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバー空間Fを持つファイバーバンドル、 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} をその上の接続とし、Mの点x0とx0の近傍Vに対し、 π − 1 ( V ) {\displaystyle \pi ^{-1}(V)} の局所座標を π − 1 ( V ) → ∼ U × F {\displaystyle \pi ^{-1}(V){\overset {\sim }{\to }}U\times F} とする。ここでUは R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の開集合である。以下、紛れがなければ π − 1 ( V ) {\displaystyle \pi ^{-1}(V)} とその局所座標 U × F {\displaystyle U\times F} を同一視する。
定理・定義 ― 記号を上述のように取るとき、 ( x , a ) ∈ U × F {\displaystyle (x,a)\in U\times F} における接空間 T x , a ( U × F ) ≈ T x U × T a F {\displaystyle T_{x,a}(U\times F)\approx T_{x}U\times T_{a}F} の元 ( ξ x , η a ) ∈ T x U × T a F {\displaystyle (\xi _{x},\eta _{a})\in T_{x}U\times T_{a}F} に対し、
π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} を接続形式ωが定義されたG-主バンドルとし、
H p : T p P → H p {\displaystyle H_{p}~:~T_{p}P\to {\mathcal {H}}_{p}}
を接続ωに関するPの点pにおける水平射影とし、さらにVをベクトル空間とする。 A k ( P ; V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(P;V)} を V {\displaystyle V} 値k-形式全体の集合とすると、 η ∈ A k + 1 ( P ; V ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)} に対し、
H ∗ ( η ) ( X 1 , ... , X k + 1 ) := η ( H ( X 1 ) , ... , H ( X k + 1 ) ) {\displaystyle H^{*}(\eta )(X_{1},\ldots ,X_{k+1}):=\eta (H(X_{1}),\ldots ,H(X_{k+1}))}
を定義できる。
定義 (主バンドルの共変外微分) ― 外微分 d : A k ( P ; V ) → A k + 1 ( P ; V ) {\displaystyle d~:~{\mathcal {A}}^{k}(P;V)\to {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)} とHとの合成
Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する:
定義・定理 (曲率テンソル) ― ベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対し、
R ( X , Y ) s := ∇ X ∇ Y s − ∇ Y ∇ X s − ∇ [ X , Y ] s {\displaystyle R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s} for X , Y ∈ X ( M ) , s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M),s\in \Gamma (E)}
とすると、RはX、Y、sに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である。よってRは各点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対し、
R u ∈ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E {\displaystyle R_{u}\in T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E^{*}\otimes E}
を対応させるテンソル場とみなせる。
本節ではベクトルバンドルとしての接続(すなわちKoszul接続)と、一般の接続概念や主接続の概念との関係をみる。
特に V = g {\displaystyle V={\mathfrak {g}}} である場合は、 u , v ∈ g {\displaystyle u,v\in {\mathfrak {g}}} に対し、
ρ ∗ ( u ) v = [ u , v ] g {\displaystyle \rho _{*}(u)v=[u,v]_{\mathfrak {g}}}
と g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上のリー括弧 [ ⋅ , ⋅ ] g {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mathfrak {g}}} で書けるので、上記の定義の ρ ∗ ( τ ( ⋯ ) ) η ( ⋯ ) {\displaystyle \rho _{*}(\tau (\cdots ))\eta (\cdots )} の部分を [ τ ( ⋯ ) , η ( ⋯ ) ] g {\displaystyle [\tau (\cdots ),\eta (\cdots )]_{\mathfrak {g}}} に置き換えられる。
上記の定義を使うと共変外微分を以下のように具体的に表記できる:
定理 ― η ∈ A ρ l ( P ; V ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\rho }^{\ell }(P;V)} であれば、以下が成立する:
d ω η = d η + ω ⋅ η {\displaystyle d_{\omega }\eta =d\eta +\omega \cdot \eta }
が成立する事を言う。
ここで e 1 ′ , ... , e n ′ {\displaystyle e'_{1},\ldots ,e'_{n}} は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準的な基底であり、 g e i {\displaystyle ge_{i}} は線形変換 g ∈ G ⊂ G L n ( R ) {\displaystyle g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} をeiに作用させたものである。
構造群Gを持つベクトルバンドルの定義から、G-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。
F G ( E ) u {\displaystyle F^{G}(E)_{u}} を u ∈ M {\displaystyle u\in M} 上のG-フレーム全体の集合とすると、
F G ( E ) := ⋃ u ∈ M F G ( E ) u {\displaystyle F^{G}(E):=\bigcup _{u\in M}F^{G}(E)_{u}}
は自然にM上のG-主バンドルをなし、 F G ( E ) {\displaystyle F^{G}(E)} を構造群Gに関するフレームバンドルという。