極化恒等式
ここで中線定理を使用すると、次のことがわかる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\forall \ x,y\in V}
以降、必要に応じて、この3つの表現を使う。
α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} とすると、ノルム ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} の斉次性と劣加法性を使用して ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \leq 0} を示すことができる:
⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ , x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in V}
‖ x − y ‖ 2 = ‖ y − x ‖ 2 {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}} より、明らかに成り立つ。
⟨ α x + z , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ , x , y , z ∈ V {\displaystyle \langle \alpha x+z,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,\quad x,y,z\in V}
まず ⟨ − x , y ⟩ = − ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle -x,y\rangle =-\langle x,y\rangle } を示す。
⟨ − x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ − x + y ‖ 2 − ‖ − x − y ‖ 2 ) = 1 4 ( ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x + y ‖ 2 ) = − ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle -x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|-x+y\|^{2}-\|-x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(\|x-y\|^{2}-\|x+y\|^{2}\right)=-\langle x,y\rangle } 途中 ‖ a ‖ = ‖ − a ‖ {\displaystyle \|a\|=\|-a\|} を用いた。