線形多自由度系の振動
式4.1のように一般的な減衰行列 C が運動方程式に存在する場合、正規モード行列によって M と K は対角化できるが、C も同時に対角化することはできない。そのため、不減衰自由振動で可能だったモード座標に変換しての非連成化が不可能となり、モード解析の利点を活かすことができなくなる。そこで、C が下記のような比例粘性減衰として与えられると仮定し、実際の振動解析が行われることも多い。
ここで、α と β は定数で、比例減衰定数と呼ばれる。比例粘性減衰を有する系を比例粘性減衰系などと呼ぶ。比例粘性減衰が成り立つと仮定すれば減衰行列を対角化できる。
式4.8の形で与えられる比例粘性減衰は、特にレイリー減衰やレイリー型減衰と呼ばれる。αM のみで仮定されるものは質量比例型減衰、βK のみで仮定されるものは剛性比例型減衰などと呼ぶ。
実際の減衰が比例粘性減衰になっていることはまれであり、比例粘性減衰はあくまでも近似的なものである。しかし、比例粘性減衰の仮定を導入することで、不減衰系と同じ取り扱いが可能となり、モード解析の手法が適用可能になる。もし減衰が全体に分布しているような構造であれば、適当な比例減衰定数を設定すれば、実際の現象を実用問題ないレベルで再現できるという一定の妥当性もある。減衰は摩擦・材料減衰・流体粘性など様々な要因で起こるため、そもそも減衰の適切な定式化自体が難しいといった事情もある。式2.3のように速度の比例定数として与えられる一般の粘性減衰も、多種多様な発生機構によって減衰が起きるという実情に起因して厳密には成立しない。
式4.8を式4.1に代入した場合、
という運動方程式になる。解を式3.
継続的な外力が作用せず、外乱だけが与えられて起こる振動を自由振動という。自由振動の振動は、系自体が持つ特性によって決まり、系の動特性を知る上で重要な振動の形態である。自由振動は減衰要素が存在しない場合と存在する場合に分かれる。減衰要素と励振力が存在しない場合の式2.1は
となる。ここで、0 は下記のようなゼロベクトルである。
0 = ( 0 0 ⋮ 0 ) {\displaystyle \mathbf {0} ={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}
さらに、M と K は正定値であると仮定する。すなわち、M と K は成分が全て実数の対称行列で、それらの二次形式は常に正となる。実際に、質量行列と剛性行列が正定値行列であることは線形多自由度系の一般的な特徴であり、多くの振動系でこの仮定は満たされる。この条件を満たす M と K を前提にすれば、振動系の具体的な構成に依存しない一般性の高い議論を展開できる。
式3.1は定数係数の線形常微分方程式であるため、その解法に従って解を
という形式で仮定できる。ここで e はネイピア数、λ は未知定数、 u は n 個の未知定数 u から成る下記のような縦ベクトルである。