フリードバーグ・ナンバリング
Padding lemma により アクセプタブル・ナンバリングは単射ではない。もっといえば任意の帰納的関数は可算無限個の指標を持つ。したがってフリードバーグ・ナンバリングはアクセプタブルでない。
Smn定理の成立するナンバリングはアクセプタブルである。したがってフリードバーグ・ナンバリングに対してはSmn定理が成立しない。クリーネの再帰定理も同様。このことを見るためにフリードバーグ・ナンバリング φ {\displaystyle \varphi } に対して再帰定理が成立すると仮定しよう。そこで f ( x ) = x + 1 {\displaystyle f(x)=x+1} なる全域帰納的関数を考える。すると再帰定理より φ e = φ f ( e ) {\displaystyle \varphi _{e}=\varphi _{f(e)}} なる自然数 e {\displaystyle e} が存在するはずである。ところが対応 i ↦ φ i {\displaystyle i\mapsto \varphi _{i}} は単射であるから e = f ( e ) {\displaystyle e=f(e)} でなければならない。すなわち e = e + 1 {\displaystyle e=e+1} が成り立つ。