ゼッケンドルフの定理
後半(一意性)を示すには次の補題が必要となる。
補題 ― 最大の要素が Fj であるような、連続せず互いに異なったフィボナッチ数の任意の空でない集合について、その和は Fj + 1 より(実際に)小さい。
この補題は j についての帰納法で証明することができる。
さて、和の等しい、互いに異なった連続しないフィボナッチ数の空でない集合 S と T を考える。ここで集合 S′ と T′ を考える。これはそれぞれ S と T から共通する要素を取り除いたものである(つまり、S′ = S \ T, T′ = T \ S である)。S と T の和は等しく、それぞれの集合から S ∩ {\displaystyle \cap } T を取り除いたものであることから、S′ の和と T′ の和もまた等しい。
ここから背理法によって S′ と T′ の一方は空であることを示す。