公理的集合論
モース-ケリー集合論を参照。
圏論における議論の目的の一つに、群やその間の準同型といった数学的対象全体の性質を議論することがある。しかし、これらを素朴に実装する (すなわち、内包原理を一般に適用する) ことは集合論上のパラドックスを引き起こすため、例えばZFCのような形式的な体系においては認められない。
マックレーンは『圏論の基礎』において、ユニバース (無限集合 ω を要素に持つグロタンディーク宇宙) を導入することでこの問題を回避している。ユニバースの要素となる集合を"小さい"集合、そうでないものを"大きい"集合とし、ユニバースの内側で通常の数学が行えるようにすることで、すべての小さい集合の圏 Set やすべての小さい圏の圏 Cat といったものの議論が可能になる。
グロタンディーク宇宙の存在は到達不能基数の存在と等価である (正確に書くと、任意のグロタンディーク宇宙 U はある到達不能基数 κ で U = Vκ と表すことができ、逆に任意の到達不能基数 κ に対して濃度が κ であるようなグロタンディーク宇宙が存在する)。到達不能基数はZFCのモデルを提供するため、これはZFCよりも強い公理系をなす。