サレム数
知られている最小のサレム数は次のレーマー多項式(D・H・レーマー(英語版)にちなんで命名された)
P ( x ) = x 10 + x 9 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1 {\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1}
の最大の実数根であり、およそ x = 1.17628 である。これは最小のサレム数で、かつ既約非円分多項式で最小のマーラー測度だろうと予想されている。
レーマー多項式はより短い十二次多項式
Q ( x ) = x 12 − x 7 − x 6 − x 5 + 1 {\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1}
の因数であり、この多項式の12根はすべて関係式
x 630 − 1 = ( x 315 − 1 ) ( x 210 − 1 ) ( x 126 − 1 ) 2 ( x 90 − 1 ) ( x 3 − 1 ) 3 ( x 2 − 1 ) 5 ( x − 1 ) 3 ( x 35 − 1 ) ( x 15 − 1 ) 2 ( x 14 − 1 ) 2 ( x 5 − 1 ) 6 x 68 {\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}