電荷保存則
微視的な電荷密度及び電流密度は何らかの粒子の集合である。
電荷 qi の粒子が位置 ri にあり速度 vi で運動していたとき、
ρ ( r , t ) = ∑ i q i δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}
j ( r , t ) = ∑ i q i v i ( t ) δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}
と表される。ここで δ 3 ( r − r i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})} は、ディラックのデルタ関数を三次元に拡張したもので、r = ( x , y , z )、ri = ( xi , yi , zi )に対し、 δ 3 ( r − r i ) = δ ( x − x i ) δ ( y − y i ) δ ( z − z i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})=\delta (x-x_{i})\delta (y-y_{i})\delta (z-z_{i})} である。
この法則を連続の方程式の形で表すと、
∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=0}
ここで ρ は電荷密度、j は電流密度
この法則はマクスウェルの方程式から導き出せる。