常微分方程式の数値解法
その初期値問題 (initial-value problem) とは、初期条件 y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}} を満たす関数 y ( t ) {\displaystyle y(t)} を求めることである。関数 f {\displaystyle f} が第2引数についてリプシッツ連続であるとき、すなわち定数 L {\displaystyle L} が存在し
‖ f ( t , y 1 ) − f ( t , y 2 ) ‖ ≤ L ‖ y 1 − y 2 ‖ {\displaystyle \left\|f(t,y_{1})-f(t,y_{2})\right\|\leq L\|y_{1}-y_{2}\|}
( ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} は R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} のノルム)を満たすとき、その初期値問題には解が一意に存在する(ピカール・リンデレフの定理)。本節では常微分方程式の初期値問題を数値的に解くことについて議論する。
厳密解 y ( t ) {\displaystyle y(t)} から差分商
Δ ( t , η ; h ) = { y ( t + h ) − η h h ≠ 0 f ( t , η ) h = 0 {\displaystyle \Delta (t,\eta ;h)={\begin{cases}{\frac {y(t+h)-\eta }{h}}&h\neq 0\\f(t,\eta )&h=0\end{cases}}}
を導入するとき、数値積分スキーム Φ {\displaystyle \Phi } の局所離散化誤差 (local discretization error) は
Δ ( t , η ; h ) − Φ ( t , η ; h ) {\displaystyle \Delta (t,\eta ;h)-\Phi (t,\eta ;h)}
により定義される。整合性のために h → 0 {\displaystyle h\to 0} の極限で局所離散化誤差(厳密にはその上限)は 0 に収束することが要求される。さらに、この極限で局所離散化誤差が Δ ( t , η ; h ) − Φ ( t , η ; h ) = O ( h p ) {\displaystyle \Delta (t,\eta ;h)-\Phi (t,\eta ;h)=O(h^{p})} を満足するとき、この積分スキーム Φ {\displaystyle \Phi } は p {\displaystyle p} 次精度であるという。