オイラー＝ラグランジュ方程式
d d ε I [ u ̄ + ε δ ] | ε = 0 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}I[{\bar {u}}+\epsilon \delta ]{\bigg |}_{\epsilon =0}=0}
である。この微分を計算すると
d d ε I [ u ̄ + ε δ ] = d d ε ∫ Ω F ( u ̄ + ε δ , ∂ u ̄ + ε ∂ δ , x ) = ∫ Ω { δ i ( x ) ∂ F ∂ v i ( u ε , ∂ u ε , x ) + ∂ δ i ∂ x μ ( x ) ∂ F ∂ m i , μ ( u ε , ∂ u ε , x ) } d d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}I[{\bar {u}}+\epsilon \delta ]&={\frac {d}{d\epsilon }}\int _{\Omega }F({\bar {u}}+\epsilon \delta ,\partial {\bar {u}}+\epsilon \partial \delta ,x)\\&=\int _{\Omega }\left\{\delta _{i}(x){\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}(u_{\epsilon },\partial u_{\epsilon },x)+{\frac {\partial \delta _{i}}{\partial x^{\mu }}}(x){\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u_{\epsilon },\partial u_{\epsilon },x)\right\}\,d^{d}x\\\end{aligned}}}
一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。 例えば振り子の運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、 縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、 振り子の角度に着目する事で、角度という1変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。 (ここでは振り子の長さは一定であると仮定している)。 もちろんニュートン方程式で立式した後極座標に変換すれば同一の式が得られるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。