ローレンツ群
ローレンツ群のリー代数の部分代数はを共役による違いを除いて列挙することができる。そこから、制限ローレンツ群の閉じた部分群を共役の違いを除いて列挙することができる。(詳細については(Hall 2004)を参照のこと。) その結果は上の表に挙げた生成系により容易に表現できる。
その一次元部分代数はもちろんローレンツ群の四つの共役類に次のように対応する。
X 1 {\displaystyle X_{1}} により放物型1パラメータ部分代数 SO(0, 1) が生成される。
X 3 {\displaystyle X_{3}} によりブーストの1パラメータ部分代数 SO(1, 1) が生成される。
X 4 {\displaystyle X_{4}} により回転の1パラメータ部分代数 SO(2) が生成される。
X 3 + a X 4 {\displaystyle X_{3}+aX_{4}} ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} は任意) により斜航型変換の1パラメータ部分代数が生成される。
(厳密に言うと、最後の生成子は a が違えば違う類に対応するため、無限の類に対応する。)二次元部分代数については、
X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} により放物型全体のアーベル部分代数が生成される。
X 1 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{3}} により、アフィン群 A(1) に同型な非アーベル部分代数が生成される。
SL(2, C) の楕円型要素は
P 1 = [ exp  ( i θ / 2 ) 0 0 exp  ( − i θ / 2 ) ] {\displaystyle P_{1}=\left[{\begin{matrix}\exp(i\theta /2)&0\\0&\exp(-i\theta /2)\end{matrix}}\right]}
であり、 ξ = 0, ∞ を不動点として持つ。作用を X ↦ P1 X P1* のように書き、項を集めると、スピノル写像により次の制限ローレンツ変換に対応づけられる。