ムーア・ペンローズ逆行列
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} の列が線型独立の場合( m ≥ n {\displaystyle m\geq n} )、 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} は可逆である。この場合の明示的な式は以下の通り。
つまり、 A + {\displaystyle A^{+}} は A {\displaystyle A} の左逆行列となる: A + A = I n {\displaystyle A^{+}A=I_{n}}
つまり、 A + {\displaystyle A^{+}} は A {\displaystyle A} の右逆行列となる: A A + = I m {\displaystyle AA^{+}=I_{m}}
これは、固有値が0と1の正規行列の特殊なケースである。 A {\displaystyle A} が直交射影行列、つまり、 A = A ∗ {\displaystyle A=A^{*}} かつ A 2 = A {\displaystyle A^{2}=A} であれば、擬似逆行列は行列自体と自明に一致する:
スカラーとベクトルの擬似逆行列を定義することもできる。この場合、これらを行列として扱うことになる。スカラー x {\displaystyle x} の擬似逆行列は、 x {\displaystyle x} がゼロの場合はゼロになり、それ以外の場合は x {\displaystyle x} の逆数となる: