中点連結定理
台形 ABCD (BC ∥ DA) において、脚 AB,CDの中点をそれぞれM,Nとするとき、中点連結 MN が底辺 BC や DA と平行で、その長さの 2倍が底辺 BC と DA の和に等しい。
底辺 BC を延長し、直線 AN との交点をEとすると、点Nの設定からND = NC, BC ∥ DAの錯角より∠NDA=∠NCE, 対頂角より∠AND=∠ENC,これより一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことが示されたので、△NDA≡△NCE、合同な図形の対応する辺でDA = CE、また、AN = EN 即ち点Nは線分AEの中点であることがわかる。線分MNが△ABEの中点連結であることから、中点連結定理を用いてMN ∥ BE, 2MN = BE 即ち、2MN = BC + DA
台形では、脚の中点を結ぶ線分を「中点連結」と呼び、三角形の場合と同様、方向は底辺と平行になるが、長さは底辺の相加平均となる。
中点連結定理は、三角形の2つの性質を含んでいる。即ち、
a. 三角形の中点連結は、底辺と平行の方向を持つ。
b. 三角形の中点連結は、底辺の半分の長さを持つ。
の両方をまとめて指す定理である。従ってその逆は、それぞれの結論と仮定の一部を入れ替えて、
a. 三角形の底辺を除く一辺の中点から、残りの一辺上の点に向けて、底辺と平行な方向に線分を引くと、残りの辺上の点は、その辺の中点となる。
b. 三角形の底辺を除く一辺の中点から、残りの一辺上の点に向けて、底辺の半分の長さの線分を引くと、残りの辺上の点は、その辺の中点となる。
となるが、このうち b. の内容は、反例を示すことで、容易に否定的に証明される。このことから、一般に中点連結定理の逆と呼ばれる定理は、a. の内容であり、より簡単に「三角形の底辺を除く一辺の中点から、底辺の平行線を引くと、残りの辺の中点を通る」と表現される。この内容は真である。 三角形 ABC において、辺 AB の中点 M から引いた底辺 BC の平行線と、残りの辺 AC との交点を N とするとき、点 N は辺 AC の中点となることを示そう。
証明 — 線分 MN の延長上に、MD = BC となる点 D をとる。四角形 MBCD は、一組の対辺 MD, BC が平行かつ等長であることから、平行四辺形である。