岩澤理論
代数体 F に複素共役や Gal(F/Q) が作用している場合には、その作用でイデアル類群を固有空間(eigenspace)に分解することができ、分解したものたちに対して同様の公式が得られる。
まず複素共役の場合を見る。F をCM体、p を奇素数、F∞/F を円分 Zp 拡大とする。このとき、Fn のイデアル類群のシロー p 部分群 An には自然に複素共役が作用し、複素共役が±1倍で作用する部分空間 A±n の直和 An = A+n ⊕ A−n に分解できる。A+n をプラス部分(+-part)、A−n をマイナス部分(−-part)という。それぞれの部分空間に対して岩澤類数公式が成り立ち、対応する λ と μ をそれぞれ λ と μ とすると、F∞/F の λ と μ は λ = λ + λ, μ = μ + μ と分解できる。同様の方法で岩澤加群 X を X に分解したとき、X は F の最大実部分体 F の円分 Zp 拡大の岩澤加群と同型になるので、プラス部分は実部分の寄与、マイナス部分は全体と実部分の差と考えられる。マイナス部分の λ については、木田の公式と呼ばれるリーマン・フルヴィッツの公式の類似が成り立つことが知られている。
典型的なCM体は奇素数 p についての p 分体 F = Q(ζp) である。これの最大実部分体の類数は p で割れないという予想をヴァンディバー予想(英語版)という。
p を素数、F∞/F を有限次代数体 F の Zp 拡大とする。第 n 層 Fn のイデアル類群 Cl(Fn) のシロー p 部分群(p 部分)を An とする。ここでの動機というのは、F = Q(ζp) のとき、そのイデアル類群の p 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。An は有限 p 群 なのでその位数 #An はある整数 en を用いて #An = p と書ける。岩澤は、ある3つの整数 μ, λ, ν(最初の2つは非負整数)が存在して、n が十分大きいとき
e n = μ p n + λ n + ν {\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu }
が成り立つことを示した。これを岩澤類数公式(Iwasawa class number formula)といい、この公式に現れる3つの数を岩澤不変量(Iwasawa invariant)という。3つのうちどれか1つを指し示したいときは、例えば岩澤 λ 不変量などという。
F の Zp 拡大すべての合成を ~F とすると
G a l ( F ~ / F ) ≅ Z p d {\displaystyle \mathrm {Gal} ({\tilde {F}}/F)\cong \mathbb {Z} _{p}^{d}}
が成り立つことが知られている。ここで d は r2 + 1 ≤ d ≤ [F : Q] を満たすある整数、r2 は F の複素素点の個数である。このことから、F が総実体でなければ無限に多くの Zp 拡大が存在することがわかる。ここに出てきた定数 d が、実は d = r2 + 1 であろうというのがレオポルト予想(英語版)である。レオポルト予想は、有理数体のアーベル拡大体や虚二次体のアーベル拡大体については正しいことが知られている。
円分 Zp 拡大ではない Zp 拡大の例としては、虚二次体の反円分 Zp 拡大(anti-cyclotomic Zp-extension)というものがあげられる。p を5以上の素数、K を虚二次体とする。K の r2 は1で [F : Q] は2であるから、この場合はレオポルト予想が自明に成立する。したがって K にはガロア群が Z2p と同型になる唯一の拡大体 K (2)∞ が存在する。Gal(K (2)∞ /K) には複素共役が作用しており、複素共役が±1倍で作用する部分群を Γ とすると、Gal(K (2)∞ /K) は Γ の直積に分解できる。Γ の固定体 K −∞ は円分的ではない Zp 拡大 になっている。これを反円分 Zp 拡大という。
実際、このような拡大列が与えられれば、Fn のガロア群は加法群 Z/pZ と同型であり、F∞ のガロア群(無限次代数拡大のガロア群なので射有限群)Γ はこれらが自然な射影によって成す逆系の逆極限(Z の射有限完備化)、つまり Zp である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意の p の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が Γ であるとも述べられる。
Zp 拡大の基本的な例は円分 Zp 拡大(cyclotomic Zp-extension)である。自然数 n に対して ζn で1の原始 n 乗根を表すものとする。例えば複素数体の中で考え、ζn ≔ exp(2πi/n) とする。奇素数 p に対して、有理数体に1の原始 p 乗根をすべて添加した体、つまり Q(ζp) の合成体 ∪n ≧ 0 Q(ζp) は Q(ζp) 上の Zp 拡大である。また、この合成体を有理数体 Q 上の拡大体とみると、これはガロア拡大で、そのガロア群 Gal(∪n ≧ 0 Q(ζp)/Q) は Gal(Q(ζp)/Q)×Zp と同型であるので、これの部分体で Q 上の Zp 拡大であるものが存在する。これを Qcyc∞ と書き、有理数体の円分 Zp 拡大という。任意の有限次代数体 F に対して合成体 FQcyc∞ は Zp 拡大になる。これを F の円分 Zp 拡大という。円分 Zp 拡大の存在から、任意の代数体に対して少なくとも1つは Zp 拡大が存在することがわかる。
代数体 F の Zp 拡大は一般に無限に存在しうる。