加法
2つの量があり、その2つの量を「合わせた量」を求める時の演算を加法と定義すれば多くの場合に適用できる。単に「数が大きくなる演算が加法」とすれば、正の数でしかその定義は成り立たないが、「合わせた量」で定義すると、負の数でも分数や小数でも定義できる。
また加える順番は結果には関係なく、加える順番を自由に変えたとしても、得られる結果は常に等しくなる。このことは 2 つのコップに水が入っていたとして、どちらの水をどちら側へ注いでも水の量は変わらないことなどから類推できる。
加法の逆の操作として減法を考えたときに、減法の結果として正の数から負の数が得られることがある。減法によって新しい数を作ったとき、
a − b = c
ここで得られた数 c は減法の性質から、次のような関係が成り立つ。
c + b = a
つまり、初めに a − b という引き算によって得られた新しい数 c は、b に加えた結果が a に等しくなる性質を持つ。 具体的に 2 から 5 を引いた数を c としたとき、5 に c を足した数は 2 になる。2 は 5 より小さいので、これは加法の結果がより小さな数を与えることを示している。
上の式で a を 0 としたとき、c は b との和が 0 となる数である。この c を (−b) と書くことにする。(−b) の足し算は b の引き算と同じ結果を常に与える。したがって、正の数の減法は負の数の加法で置き換えられる。
a − b = a + (−b)
さらに、スカラー量だけでなく、ベクトル、行列にも加法が定義されるようになるが、いずれも交換法則、結合法則を満たすものである。