デカルトの円定理
3つの円が同じ点で接している場合、デカルトの定理は適用できない。
曲率が全て平方数だった場合を考える。このとき式(2)は
と表せる。オイラーは v, x, y, z の組み合わせがピタゴラスの三つ組になっていることを示した。
( 2 v x ) 2 + ( 2 y z ) 2 = ( v 2 + x 2 − y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vx)^{2}+(2yz)^{2}=(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}}
( 2 v y ) 2 + ( 2 x z ) 2 = ( v 2 − x 2 + y 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle (2vy)^{2}+(2xz)^{2}=(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}}
( 2 v z ) 2 + ( 2 x y ) 2 = ( v 2 − x 2 − y 2 + z 2 ) 2 {\displaystyle (2vz)^{2}+(2xy)^{2}=(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}}
今 k1 が負であったとすると
( − v 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = 2 ( v 4 + x 4 + y 4 + z 4 ) {\displaystyle (-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2(v^{4}+x^{4}+y^{4}+z^{4})}