一般相対性理論における測地線
この最後の方程式は粒子が時間的測地線に沿って運動していることを示している。質量のない光子のような粒子では、代わりにヌル測地線(右辺の −1 を 0 で置き換えたもの)に沿うことになる。後者を固有時について微分し、クリストッフェルの公式
Γ λ α β = 1 2 g λ τ ( ∂ g τ α ∂ x β + ∂ g τ β ∂ x α − ∂ g α β ∂ x τ ) {\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}
を用いることによりこれら二つの方程式が互いに矛盾していないことを示すことができるのは重要である。この方程式は電磁場を含んでいないので、電磁場が零になる極限でも適用可能である。上付き添字のついた g は、計量テンソルの逆を意味する。一般相対性理論では、テンソルの添字の上げ下げは、計量テンソルおよびその逆と縮約することにより行われる。
アルベルト・アインシュタインは、測地線の運動方程式は何も無い空間に対する場の方程式から、つまりリッチ曲率が零になるという事実から導出できると考えていた。
It has been shown that this law of motion — generalized to the case of arbitrarily large gravitating masses — can be derived from the field equations of empty space alone. According to this derivation the law of motion is implied by the condition that the field be singular nowhere outside its generating mass points.
—Albert Einstein,Einstein (2003, p. 113)
測地線方程式が重力の特異点を記述する場の方程式から得られるという主張は、しばしば物理学者と哲学者の両方から繰り返されるが、この主張は依然論争の的である。より議論の少ない主張として、場の方程式が流体もしくは塵の運動を決定することと、特異点の運動を決定することとは別であるというものが挙げられる。
若干整理すると、以下を得る。