ロピタルの定理
lim x → 0 2 sin  x − sin  2 x x − sin  x = lim x → 0 2 cos  x − 2 cos  2 x 1 − cos  x = lim x → 0 − 2 sin  x + 4 sin  2 x sin  x = lim x → 0 − 2 cos  x + 8 cos  2 x cos  x = − 2 + 8 1 = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos x+8\cos 2x}{\cos x}}\\&={\frac {-2+8}{1}}\\&=6\end{aligned}}}
この例は∞/∞形の不定形を持つ。 n {\displaystyle n} が正の整数であるとき、
lim x → ∞ x n e − x = lim x → ∞ x n e x = lim x → ∞ n x n − 1 e x = n lim x → ∞ x n − 1 e x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}}
である。冪乗が 0 となってその極限が 0 となるまでロピタルの定理を繰り返し適用する。
これは レイズドコサインフィルタ (en) のインパルス応答と0/0形の不定形を持つ例である。