球面調和関数
が成立する。上式に対してさらに変数分離を適用する事で、複素数 m を適切に選べば
が成立する事がわかる。以下、m が定数である場合の解を求める。
(A2) は初等的に解くことができ、一般解
を得られる。ここで i は虚数単位である。それに対しスツルム=リウヴィル型の微分方程式 (A3) は t = cos θ と変数変換すると、y(t) = Θ(arccos t) はルジャンドルの陪微分方程式
( 1 − t 2 ) y ′′ ( t ) − 2 t y ′ ( t ) + ( k ( k + 1 ) − m 2 1 − t 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left(k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right)y(t)=0}
を満たす。よってルジャンドルの陪多項式 P mk (t) を (B3) のように定義すれば、結論として
がわかる。ここで k は (B2) の条件を満たす整数である。そこで Y mk (θ, φ) を
Y k m ( θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 k + 1 4 π ( k − | m | ) ! ( k + | m | ) ! P k | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2k+1}{4\pi }}{\frac {(k-|m|)!
定理 ― 次が成立する:
L 2 ( R 3 , d x d y d z ) = L 2 ( S 2 , sin  θ d θ d φ ) ⊗ L 2 ( R , r 2 d r ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3},\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z)=L^{2}(S^{2},\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi )\otimes L^{2}(\mathbf {R} ,r^{2}\,\mathrm {d} r)} (ヒルベルトテンソル積)。
上述した定理と定理1から、以下の結論が従う。
系 ― R 上の任意の自乗可積分関数 f(x, y, z) に対し、⟨χk, m|χk, m⟩R < ∞ を満たす R 上の可積分関数の族 {χk, m(r)} で
f ( r , θ , φ ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ k = − m m χ k , m ( r ) Y k , m ( θ , φ ) {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=-m}^{m}\chi _{k,m}(r)Y_{k,m}(\theta ,\phi )}
となるものが一意に存在する。
本節では、球面調和関数の空間に内積を定義し、球面調和関数がこの内積に関して完全直交性を満たすことを示す。
k 次球面調和関数全体のなすベクトル空間を Hk とすると、以上のように定義された内積に対し、以下の事実が成立する事が知られている。
定理 ― 2つの非負整数 k ≠ j に対し、Hk と Hj は (C1) で定義された内積に関して直交する。すなわち任意の f ∈ Hk, g ∈ Hj に対し、⟨f|g⟩S = 0 が成立する。
特に 3 次元空間では次が成立する。
定理 ― ⟨ Y k m ∣ Y j s ⟩ S n − 1 = { 1 if k = j , m = s , 0 otherwise. {\displaystyle \langle Y_{k}^{m}\mid Y_{j}^{s}\rangle _{S^{n-1}}={\begin{cases}1&{\text{if }}k=j,\,m=s,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
Δ s = 1 sin  θ ∂ ∂ θ sin  θ ∂ ∂ θ + 1 sin 2  θ ∂ 2 ∂ φ 2 {\displaystyle \Delta _{s}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}
である。定義より次数 k の球面調和関数は、k 次の斉次多項式 p を単位球面上に制限したものとして表現可能である。p が k 次の斉次多項式である事から、p の極座標表示は
の形に書ける。ラプラス方程式 Δp = 0 の以下、変数分離解
Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)
を求める。R(r) = r とすれば、
1 R Δ r R = 1 R d d r ( r 2 d R d r ) = k ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{R}}\Delta _{r}R={\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)=k(k+1)}
なので、変数分離解をラプラス方程式の極座標表示に代入することで、
1 Y Δ s Y = − k ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{Y}}\Delta _{s}Y=-k(k+1)}