古典電磁気学の共変定式
電磁場と相互作用する古典的な荷電粒子系を考えると、電磁場と荷電粒子の相互作用項は
S int [ X , A ] = ∑ i q i ∫ X ̇ i μ ( λ ) A μ ( X i ) d λ = ∫ ∑ i q i ( ∫ X ̇ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\left(\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda \right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}}
で与えられる。X に対する汎関数微分は
となる。ここで導入された拘束電流密度
J b μ ( x ) = c D ν P ν μ ( x ) = ( − div  P , ∂ P ∂ t + rot  M ) {\displaystyle J_{\text{b}}^{\mu }(x)=c{\mathcal {D}}_{\nu }P^{\nu \mu }(x)=\left(-\operatorname {div} {\boldsymbol {P}},{\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}+\operatorname {rot} {\boldsymbol {M}}\right)}
は分極電荷密度と分極電流密度、および磁化電流密度である。