上半平面
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が
d ( z z ̄ ) | I z | 2 {\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{|\Im z|^{2}}}}
で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」(測地線)は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周(直線も半径無限大であると見なして円に含める)である。上半平面を単位円板
D = { z ∈ C ∣ z z ̄ < 1 } {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid z{\bar {z}}<1\}}
に写す正則な全単射
H ∋ z ↦ z − i z + i ∈ D {\displaystyle {\mathfrak {H}}\ni z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}\in D}
D ∋ w ↦ 1 + w 1 − w i ∈ H {\displaystyle D\ni w\mapsto {\frac {1+w}{1-w}}i\in {\mathfrak {H}}}
が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量
d ( z z ̄ ) ( 1 − | z | ) 2 {\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{(1-|z|)^{2}}}}
をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。