補群
群 G に於ける部分群 H の補群とは、 G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいう
H K = G , {\displaystyle HK=G,}
H ∩ K = { e } . {\displaystyle H\cap K=\{e\}.}
ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H, k ∈ K } を、また e は単位元を表す。 なお、同じことであるが、 「任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} が、 h ∈ H , k ∈ K {\displaystyle h\in H,k\in K} を使って g = h k {\displaystyle g=hk} と 一意的 に表すことができる。」 と言い換えることができる。
この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である 。
ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群である必要はない。
従って、 K 1 {\displaystyle K_{1}} は H の補群である。
上の G = C の例において、さらに、
K 2 := { b + b i | b ∈ R } {\displaystyle K_{2}:=\{b+bi|b\in \mathbb {R} \}} とする。まず、これが G の部分群であることと、 H ∩ K 2 = { 0 } {\displaystyle H\cap K_{2}=\{0\}} は容易に確かめられる。さらに、任意の複素数 c = a + b i ( a , b ∈ R ) {\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )} に対して、 c = ( a − b ) + ( b + b i ) {\displaystyle c=(a-b)+(b+bi)} と変形すれば、 a − b ∈ H , b + b i ∈ K 2 {\displaystyle a-b\in H,b+bi\in K_{2}} だから H K 2 = G {\displaystyle HK_{2}=G} も満たす。
従って、 K 2 {\displaystyle K_{2}} も H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。