アデール環
整数の射有限完備化 Z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}} は、環 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } の逆極限
Z ^ = lim ← Z / n Z {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
である。中国の剰余定理により、これは全てのp-進整数環の積に同型である。
Z ^ = ∏ p Z p . {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}
整アデールの環(ring of integral adeles) AZ は、積
A Z = R × Z ^ {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }=\mathbb {R} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}}
である。
有理アデールの環(ring of rational adeles) AQ はテンソル積
A Q = Q ⊗ Z A Z {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }}
アデール環の可逆元の群をイデール群(idele group, idèle group)と言う。イデールの概念はイデアルの修正であって、シュヴァレー (Chevalley) によって導入され、"ideal element"(略して "id. el.")と名前を付けた。ここでイデールはアデールの部分集合であるが、イデールの位相はアデールの位相の制限位相ではない。なぜなら逆元を求める写像はこの位相で連続でなくなる。代わりに、イデールは xy = 1 である全てのペア (x, y) ∈ A × A からなる閉部分集合に誘導位相を入れたものと同一視される。イデール群は、局所整な単元の部分群に関して局所体の単数群の制限直積(英語版)(restricted product)として実現される。イデールは局所コンパクトな位相群をなす。
主イデール(principal idele)は、数体や函数体の可逆元の対角埋め込みによって与えられ、主イデールによるイデール群の商は、イデール類群(idele class group)である。 これは類体論の重要な対象で、体のアーベル拡大を記述する。局所類体論(英語版)(local class field theory)の局所相互写像の積は、数体と函数体の最大アーベル拡大のガロア群へイデール群からの準同型を与える。ガウスの二次相互法則を高度に一般化したアルティン相互法則は、この積が数体の乗法群上では 0 となることをいっている。このようにして、イデール類群から体の絶対ガロア群のアーベル的な部分への大域相互法則が得られる。