ベッセル関数
第1種及び第2種のベッセル関数から、球ベッセル関数(spherical Bessel functions)と球ノイマン関数(spherical Neumann functions)がそれぞれ以下のように定義される。
j α ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 J α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle j_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}J_{\alpha +1/2}(x)}
n α ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 N α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle n_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}N_{\alpha +1/2}(x)}
これらの関数は、球ベッセル微分方程式
Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}
非整数の α {\displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)} とがベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える。他方で α {\displaystyle \alpha } が整数の場合には、 J − n ( x ) = ( − 1 ) n J n ( x ) {\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)} という関係が成り立つため、2つの解は線形従属となる。整数次数に対して J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第2の解は、第2種ベッセル関数によって与えられる。