静磁場
δ F [ A ] = ∫ s ∈ R 3 < ν ( s ) ( rot s  [ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | δ A ( s ) > d 3 s {\displaystyle \delta F[A]={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ {d}^{3}\mathbf {s} } (3-5-6)
を得る。 式(3-5-6) に、ベクトル解析の公式を適用する。
div  [ X × Y ] =< Y | rot  [ X ] > − < X | rot  [ Y ] > {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {X} \times \mathbf {Y} ]=<\ \mathbf {Y} \ |\ \operatorname {rot} [\mathbf {X} ]\ >-<\ \mathbf {X} \ |\ \operatorname {rot} [\mathbf {Y} ]\ >} (3-5-7)
K M ( r ) := M ( r ) × n ∂ Ω ( r ) {\displaystyle {\mathbf {K} }_{M}(\mathbf {r} ):=\mathbf {M} (\mathbf {r} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }(\mathbf {r} )} (表面磁化電流密度) (2-4-8)
と置くと、結局、
A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( i M ( s ) | r − s | ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( K M ( s ) | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {{\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} +\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {K} _{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\ } (2-4-9)
となる。
両辺の回転微分を取ると、
F=(f1,f2,f3)をベクトル場とする。このとき、
⟨ F | ∇ ⟩ := f 1 ∂ ∂ x 1 + f 2 ∂ ∂ x 2 + f 3 ∂ ∂ x 3 {\displaystyle \left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle :={f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}}
と定義する。ここで、∇は、
∇ := x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z {\displaystyle \nabla :=\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}}
が得られる。
さて、以上の議論から「物質の磁化Mが既知である場合に限れば、その磁化Mが作り出す磁束密度BMを計算する術が得られた」 ことになる。然しながら、物質の磁化Mが既知でない場合には、上述の関係式のみからは、BMもMも、判らない。上述の関係式は、 一つの拘束条件を与えているに過ぎないのである。(だが、極めて重要な関係式ではある)。
例えば、磁化Miniを帯びた鉄心が空間におかれていたとき、外部からの磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} が与えられたとき、鉄心の磁化は、元々の磁化Miniと、外部からの磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} の影響で、元々の磁化Miniとは異なる新たな磁化Mconを得ることになる。仮に、このMcon が判れば、全系の磁束密度が計算できるのだが、
(難所)元々磁化Miniを帯びている物質に、外部から磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} を印加したとき、最終的に、物質がどのようなMconを得るか?
が、実のところは難しい。そこで、一般には。B-H曲線等の実測結果と、上記の拘束条件を考え合わせ、数値計算によって磁束密度や磁化が計算されるのである。但し、線形物質に関して言えば、上の難所は比較的簡単である。このような特殊な物質に関する問題については、次章で述べることにする。