集合半環
Q ⊂ ⋃ i ∈ I 0 Q i {\displaystyle Q\subset \bigcup _{i\in I_{0}}Q_{i}}
から、不等式
μ ( Q ) ≤ ∑ i ∈ I 0 μ ( Q i ) {\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i\in I_{0}}\mu (Q_{i})}
が得られ、より強く (a fortiori)
μ ( Q ) ≤ ∑ i = 1 + ∞ μ ( Q i ) {\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})}
が成り立つ。以上を合わせて、不等式の鎖
μ ( P ) − ε ≤ μ ( Q ) ≤ ∑ i = 1 + ∞ μ ( Q i ) ≤ ∑ i = 1 + ∞ ( μ ( P i ) + ε 2 i ) = ∑ i = 1 + ∞ μ ( P i ) + ε {\displaystyle \mu (P)-\epsilon \leq \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})\leq \sum _{i=1}^{+\infty }(\mu (P_{i})+{\epsilon \over 2^{i}})=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})+\epsilon }
が得られるから、あとは ε を 0 にする極限をとって結論を得る。
延長の一意性に付いては、測度の加法性と S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の生成する集合環の元の表し方から明らかである。何となれば、集合環の元 A は半環 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元 Ai によって A= A1 ∪ ... ∪ An と書けるから μ(A) = μ(A1) + ... + μ(An) を満たさねばならない。延長の存在性に対しては、今得た A の値を定める等式が A の分解の仕方に依らないことを見れば、問題なく測度が定義されていることが保証できる。
集合半環およびそれが生成する集合環を、集合半代数およびそれが生成する集合代数に取り換えた同様の主張は、同じく成立し、その証明は直ちに先の主張に帰せられる。
集合半環を用いるか集合半代数を用い得るかは大抵は些細な問題である。集合半代数を用いる場合は、最終的に σ-集合代数上の測度を得る構成と整合していて、この場合よけいな「集合環」の概念を用いることなく議論をすることができる。集合半環を用いる場合は、最初の σ-加法性の確認の手間を減らすことができるし、それ以外のこともσ-集合環やδ-集合環上の測度を構成する目的であれば完全に正当化できる。
集合 X の部分集合族 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が X 上の集合半環であるとは、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は空集合 ∅ を含む。 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} における任意の差は S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元の有限非交和に書ける。 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は有限交叉に関して閉じている。
の三条件を満たすことを言う。
さらに追加の条件として、全体集合 X が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する場合には、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は集合半代数 (semi-algebra of sets) であるという。