与えられた数より小さい素数の個数について
↑ s = σ + it と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
↑ s = 1/2 + it として ξ ( t ) = Γ ( s 2 + 1 ) ( s − 1 ) π − s / 2 ζ ( s ) {\displaystyle \xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,} で定義する。ここに、Γ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる ξ とは異なることに注意。
↑ 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 p 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。
↑ ξ の積表示とは、次の等式のこと。 ξ ( t ) = ξ ( 0 ) ∏ α ( 1 − t 2 α 2 ) {\displaystyle \xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)} ここに α は ξ の零点で、実部が正であるものをわたる。
リーマン予想:「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」
リーマンゼータ関数 ζ(s) の s = 1 を除く全複素平面への解析接続
整関数 ξ(t)
離散関数 J(x)