オイラー作用素
数学においてオイラー作用素(オイラーさようそ、英: Euler operator)あるいはテータ作用素(テータさようそ、英: theta operator)θ は、
θ = z d d z {\displaystyle \theta =z{d \over dz}}
と定義される微分作用素である。オイラー作用素は z に関する任意の単項式を固有関数に持ち、特に
θ ( z k ) = k z k , k = 0 , 1 , 2 , ... {\displaystyle \theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\ldots }
を満たす(すなわち、斉次多項式に作用するとき固有値としてその次数を返す)から、ときに斉次次数 (homogeneity) 作用素とも呼ばれる。n-変数における斉次次数作用素 θ は
θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k {\displaystyle \vartheta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}
で与えられる。一変数のときと同様に、θ の固有空間は斉次多項式全体から成る空間であり、対応する固有値は斉次多項式の次数である。