ホモトピー群
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト–ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理(英語版)とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。
トーラスなどのいくつかの空間では、すべての高次ホモトピー群(すなわち2次以上のホモトピー群)は自明である。これらはいわゆるaspherical space(英語版)である。しかしながら、球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列(英語版)はまさにこの目的のために構成されたのである。
n連結空間のあるホモトピー群はフレヴィッツの定理を用いてホモロジー群と比較して計算できる。
ファイブレーションのホモトピー群の長完全列。
フレヴィッツの定理、いくつかのバージョンがある。
Blakers–Masseyの定理(英語版)、ホモトピー群に対する切除とも呼ばれる。
Freudenthalの懸垂定理(英語版)、ホモトピー群に対する切除の系。
n 次元球面 S において、基点 a を選ぶ。基点 b を持つ空間 X に対し、πn(X) を、基点 a を基点 b に写す写像
f : S → X
のホモトピー類全体の集合と定義する。とくに、同値類は球面の基点上定数なホモトピーによって与えられる。同値なことだが、πn(X) を n 次元立方体から X への、n 次元立方体の境界を b へ写す写像 g: [0,1] → X のホモトピー類の群として定義できる。
n ≥ 1 に対して、ホモトピー類全体は群をなす。群演算を定義するために、次のことを思い出そう:基本群において、2つのループ f と g の積 f ∗ g は次のように定義される:
f ∗ g = { f ( 2 t ) if t ∈ [ 0 , 1 / 2 ] g ( 2 t − 1 ) , if t ∈ [ 1 / 2 , 1 ] {\displaystyle f\ast g={\begin{cases}f(2t)&{\text{if }}t\in [0,1/2]\\g(2t-1),&{\text{if }}t\in [1/2,1]\end{cases}}}