N=4 超対称ヤン・ミルズ理論
この理論のラグランジアンは、
L = tr  { − 1 2 g 2 F μ ν F μ ν + θ I 8 π 2 F μ ν F ̄ μ ν − i λ ̄ a σ ̄ μ D μ λ a − D μ X i D μ X i + g C i a b λ a [ X i , λ b ] + g C ̄ i a b λ ̄ a [ X i , λ ̄ b ] + g 2 2 [ X i , X j ] 2 } {\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\}}
上のラグランジアンは、より単純な 10次元ラグランジアン
L = tr  { 1 g 2 F I J F I J − i λ ̄ Γ I D I λ } {\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\}}
から始めることで理解することができる。ここに、I と J は 0 から 9 までを渡り、 Γ I {\displaystyle \Gamma ^{I}} は 32 × 32 のガンマ行列 ( 32 = 2 10 / 2 ) {\displaystyle (32=2^{10/2})} である。4次元のラグランジアンはさらに位相項である θ I {\displaystyle \theta _{I}} を加えることにより得ることができる。
i = 4 から 9 までのゲージ場の成分 A i {\displaystyle A_{i}} は、余剰次元をコンパクト化することでスカラーとなる。 これにより、SO(6) R-対称性(英語版)を余剰次元での回転として解釈することができる。
T 上へのコンパクト化により、全てのスーパーチャージ(supercharges)は保存され、4次元理論で N =4 を与える。この中で共形対称性を言うことは、超共形場理論(英語版)(superconformal field theory)を構成するコンパクト化をも再現する。
理論のタイプIIB超弦理論での解釈は、D3-ブレーンが積み重なった配位でのワールドヴォリューム理論である。