遅延ポテンシャル
ベクトルポテンシャル
スカラーポテンシャル
ジェフィメンコ方程式
グリーン関数
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、以下が成り立つ。
rot  [ f F ] = grad  [ f ] × F + f ⋅ rot  [ F ] {\displaystyle \operatorname {rot} [f{\boldsymbol {F}}]=\operatorname {grad} [f]\times {\boldsymbol {F}}+f\cdot \operatorname {rot} [{\boldsymbol {F}}]} (S2-2-1)
rot  [ F × G ] = ⟨ G | ∇ ⟩ F − ⟨ F | ∇ ⟩ G + F div  [ G ] − G div  [ F ] {\displaystyle \operatorname {rot} [{\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {G}}]=\left\langle \ {\boldsymbol {G}}\ |\ \nabla \ \right\rangle {\boldsymbol {F}}-\left\langle \ {\boldsymbol {F}}\ |\ \nabla \ \right\rangle {\boldsymbol {G}}+{\boldsymbol {F}}\operatorname {div} [{\boldsymbol {G}}]-{\boldsymbol {G}}\operatorname {div} [{\boldsymbol {F}}]} (S2-2-2)
∂ 2 G a d v ∂ 2 z = k 2 z 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 + exp  ( i k r ) ∂ 2 ∂ z 2 [ − 1 4 π r ] − i k exp  ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k z 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}z}}={\frac {{k}^{2}{z}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{z}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-15)
以上から、
Δ [ G a d v ] = k 2 exp  ( i k r ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 4 π r 3 + 1 4 π exp  ( i k r ) Δ [ 1 r ] + {\displaystyle \Delta [{G}_{\mathrm {adv} }]={k}^{2}\exp(ikr){\frac {({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}{4\pi {r}^{3}}}+{\frac {1}{4\pi }}\exp(ikr)\Delta [{\frac {1}{r}}]+}
= μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle ={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6e)
を得る。ここで、(2-6-6a) から(2-6-6b)の式変形では、 ω {\displaystyle \omega } に依存しない項を” ∫ d ω {\displaystyle \int \ d\omega } ”の外に括りだしている。 (2-6-6b) から (2-6-6c)の式変形では、 式(2-3-4)、即ち k = ω / c {\displaystyle k=\omega /c} を考慮した。 また、 (2-6-6d)から、 (2-6-6e)の式変形は、(2-1-5b) に、tretを代入したものである。
以下の記述は、例えば、を参照のこと。 F = ( f 1 , f 2 , f 3 ) {\displaystyle F=(f_{1},f_{2},f_{3})} をベクトル場とする。このとき、
⟨ F | ∇ ⟩ := f 1 ∂ ∂ x 1 + f 2 ∂ ∂ x 2 + f 3 ∂ ∂ x 3 {\displaystyle \left\langle \ {\boldsymbol {F}}\ |\ \nabla \ \right\rangle :={f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}} (S2-1-1)
と定義する。ここで、∇は、
∇ := x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z {\displaystyle \nabla :={\boldsymbol {\hat {x}}}{\partial \over \partial x}+{\boldsymbol {\hat {y}}}{\partial \over \partial y}+{\boldsymbol {\hat {z}}}{\partial \over \partial z}} (S2-1-3)
である。
一方、式(2-1-1)右辺を、 (2-1-5b) の電流密度”i”に作用させると、
− μ 0 i ( r , ω ) = − μ 0 2 π ∫ − ∞ ∞ i ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle -{\mu }_{0}{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-{\frac {{\mu }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-9)
同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 R = s − r {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {s}}-{\boldsymbol {r}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、
∂ ∂ x s [ 1 | r − s | ] = ( x r − x s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({x}_{\boldsymbol {r}}-{x}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3a)
∂ ∂ y s [ 1 | r − s | ] = ( y r − y s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({y}_{\boldsymbol {r}}-{y}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3b)
を意味する。<F|∇>のことを、”F・∇”と書くこともある。
Gを、ベクトル場としたとき、<F|∇>をGに作用させると、
⟨ F | ∇ ⟩ G = f 1 ∂ g 1 ∂ x 1 + f 2 ∂ g 2 ∂ x 2 + f 3 ∂ g 3 ∂ x 3 = ( J [ G ] ) ⋅ F {\displaystyle \left\langle \ {\boldsymbol {F}}\ |\ \nabla \ \right\rangle {\boldsymbol {G}}={f}_{1}{\partial {g}_{1} \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial {g}_{2} \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial {g}_{3} \over \partial {x}_{3}}=(J[{\boldsymbol {G}}])\cdot {\boldsymbol {F}}} (S2-1-4)
が成り立つ。ここで、J[G]は、Gのヤコビ行列(ヤコビアンではない)を意味する。