円 (数学)
L w = ( R + w 1 ) θ + 1 2 k R θ 2 = L { 1 + w 1 R + k L 2 R } = L { 1 + 1 R ( w 1 + 1 2 k L ) } = L { 1 + 1 R ( w 1 + 1 2 ( w 2 − w 1 ) ) } = L { 1 + 1 R w 1 + w 2 2 } = ( R + w 1 + w 2 2 ) θ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}Lw&=&\displaystyle (R+w_{1})\theta +{\frac {1}{2}}kR\theta ^{2}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {w_{1}}{R}}+{\frac {kL}{2R}}\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}(w_{1}+{\frac {1}{2}}kL)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}\left(w_{1}+{\frac {1}{2}}(w_{2}-w_{1})\right)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right\}\\&=&\displaystyle \left(R+{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right)\theta \end{array}}}
ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。
中心の位置ベクトルを c とし、円上の任意の点の位置ベクトルを x とすると、これら二点間の距離は、ベクトルのユークリッドノルム ‖ • ‖ ≔ ‖ • ‖2: (x, y) ↦ √x + y を用いて、‖ x − c ‖ と書けるから、半径 r の円の方程式は ‖ x − c ‖ = r {\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r} となる。各点の成分表示が c ≔ (a, b), x ≔ (x, y) と与えられれば、 r 2 = ‖ x − c ‖ 2 = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} は上記の円の方程式である。
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P1~P6 を取ると、直線 P1P2 と P4P5 の交点 Q1、P2P3 と P5P6 の交点 Q2、P3P4 と P6P1 の交点 Q3 は同一直線上にある。また、Pi における接線と Pj における接線の交点を Rij とすると、3 直線 R12R45, R23R56, R34R61 は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。
円上の点 P における接線は、P を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を (a, b), 半径を r とし、P ≔ (x1, y1) とすれば、垂直条件により接線の方程式は (x1 − a)x + (y1 – b)y = c の形をしていなければならない。これが (x1, y1) を通るから c は決定できて、接線の方程式は
または
の形に書ける。y1 ≠ b ならばこの接線の傾きは
であるが、これを陰函数微分法を用いて求めることもできる。
中心が原点にあるときは、接線の方程式は x 1 x + y 1 y = r 2 {\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}} となり、傾きは d y d x = − x 1 y 1 {\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}} である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル (x, y) と接ベクトル (dx, dy) が常に直交する(つまり、内積が零になる)から、 x d x + y d y = 0 x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0 は微分形の円の方程式である。