ヴィラソロ代数
従って最高ウェイト h {\displaystyle h} のヴァーマ加群は L 0 {\displaystyle L_{0}} の固有空間によって分解され、固有値 h + n {\displaystyle h+n} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) の固有空間の次元は n {\displaystyle n} の分割数 p ( n ) {\displaystyle p(n)} となる。 またこのときの n {\displaystyle n} をその固有空間のレベルと呼ぶ。
最高ウエイトベクトル v h {\displaystyle v_{h}} によって生成される最高ウエイト表現 V h {\displaystyle V_{h}} には 以下の条件によって定まる不偏内積 ( ⋅ , ⋅ ) : V h ⊗ V h → C {\displaystyle (\cdot ,\cdot ):V_{h}\otimes V_{h}\rightarrow \mathbb {C} } が定義される:
( L n w 1 , w 2 ) = ( w 1 , L − n w 2 ) , ( v h , v h ) = 1 , w 1 , w 2 ∈ V h . {\displaystyle (L_{n}w_{1},w_{2})=(w_{1},L_{-n}w_{2}),\quad (v_{h},v_{h})=1,\qquad w_{1},w_{2}\in V_{h}.}
最高ウエイト表現の2つのベクトルはレベルが異なるとき不変内積について直交する。 どの複素数の組 ( h {\displaystyle h} , c {\displaystyle c} ) についても、既約最高ウェイト表現が一意的に存在する。
既約でない最高ウェイト表現はカッツ行列式から求められる。 レベルNのカッツ行列とは、整数 N の分割 ( n 1 , n 2 , ... ) {\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots )} と ( n 1 ′ , n 2 ′ , ... ) {\displaystyle (n'_{1},n'_{2},\ldots )} (つまり n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ {\displaystyle n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots } となる正整数の有限列)に対して、内積
( L − n 1 ′ L − n 2 ′ ⋯ v h , L − n 1 L − n 2 ⋯ v h ) {\displaystyle (L_{-n'_{1}}L_{-n'_{2}}\cdots v_{h},L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots v_{h})}
を成分にもつ p ( n ) × p ( n ) {\displaystyle p(n)\times p(n)} 行列のことで、 その行列式をカッツ行列式という。 ヴィラソロ代数の中心 c を
c = 1 − 6 ( p − q ) 2 p q {\displaystyle c=1-6{(p-q)^{2} \over pq}}
とパラメトライズし、整数r, sに対して
h r , s ( c ) = ( p r − q s ) 2 − ( p − q ) 2 4 p q {\displaystyle h_{r,s}(c)={{(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}} \over 4pq}}