キャッソン不変量
クリスティーヌ・レスコップ(Christine Lescop)は、キャッソン・ウォーカー不変量の向き付けられたコンパクト 3-次元多様体への拡張 λCWL を定義した。この定義は、次の性質をもつことで一意に特徴付けられる。
M の第一ベッチ数 は 0 でれば
λ C W L ( M ) = 1 2 | H 1 ( M ) | λ C W ( M ) {\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)} .
M の第一ベッチ数が 1 であれば、
λ C W L ( M ) = Δ M ′ ′ ( 1 ) 2 − t o r s i o n ( H 1 ( M , Z ) ) 12 {\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}
ここに Δ は対称で、1 で正の値の値を取るように正規化されたアレクサンダー多項式である。
M の第一ベッチ数が 2 であれば、
1990年、クリフォード・タウベス(英語版)(Clifford Taubes)は、ホモロジー 3-球面 M の SU(2) キャッソン不変量が、 A / G {\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}} のオイラー特性類として、ゲージ理論的な解釈を持つ。ここに、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} は M 上の SU(2) 接続の空間であり、 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} はゲージ変換の群である。彼はチャーン・サイモンズ不変量を A / G {\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}} 上の S 1 {\displaystyle S^{1}} に値を持つモース函数として導き、SU(3) キャッソン不変量が摂動と独立であることにとって重要であることを指摘した。(Taubes (1990))
ボーデン(Boden)とヘラルド(Herald) (1998) は SU(3) キャッソン不変量を定義した。