アベル・プラナの和公式
2 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = − i ∮ C cot  π z f ( z ) d z = − i ∮ C 2 − C 1 cot  π z f ( z ) d z = − ∫ C 2 ( 1 + i cot  π z ) f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) − ∫ C 1 ( 1 − i cot  π z ) f ( z ) d z + ∫ C 1 f ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=-i\oint _{C}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-i\oint _{C_{2}-C_{1}}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{2}}f(z)-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{1}}f(z)dz\\\end{aligned}}}
であるが、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は仮定により正則であるから、
2 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = 2 ∫ a b f ( z ) d z − ∫ C 1 ( 1 − i cot  π z ) f ( z ) d z − ∫ C 2 ( 1 + i cot  π z ) f ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=2\int _{a}^{b}f(z)dz-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\\end{aligned}}}