1の冪根
複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n ≥ 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、
ζ n = cos  2 π n + i sin  2 π n {\displaystyle \zeta _{n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}
は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。n と互いに素な自然数 m に対して ξn は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。
方程式 x = 1 を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、
x = cos  2 π k n + i sin  2 π k n ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle x=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}\quad (k=1,2,\cdots ,n)}
であるが、1 の原始n乗根 ξn を一つ選べば、
x = ξ n k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle x={\xi _{n}}^{k}\quad (k=1,2,\cdots ,n)}
と書くことができる。
また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。