二重数
二重数平面上の“単位円”は、実部 a が ±1 である二重数全体からなる集合である。これは、二重数 z = a + bε に対して、その“共軛”が z = a − bε であり、
zz = a = 1
であることによる。
exp  ( b ε ) = 1 + b ε {\displaystyle \exp(b\varepsilon )=1+b\varepsilon }
が成立する(テイラー展開に ε = 0 を適用すれば2次以降の項が全て消える)ことに注意すれば、この指数函数を ε軸に対して適用しても“単位円”の半分 (a = 1 の部分) しか被覆できない。
二重数 z = a + bε に対して、a ≠ 0 のとき、m = b/a とすると、
z = a(1 + m ε) = a exp(mε)
は z の極分解であり、傾き m はその偏角になる。二重数平面における“回転”の概念は、
(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q)ε
が成り立つことから、垂直剪断(せんだん)変換と同値である。
二重数平面はガリレイ不変量と呼ばれる研究においてガリレイの素朴な時空を表すのに利用できる。これは速度 v の古典的な事象変換が
( t ′ , x ′ ) = ( t , x ) ( 1 v 0 1 ) ⟺ t ′ = t , x ′ = v t + x {\displaystyle (t',x')=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\iff t'=t,\,x'=vt+x}
のように見えることによる。
二重数の 1つの応用先として自動微分の理論がある。ここでは上記の実数体上の二重数を考える。任意の実係数多項式 P(x) = p0 + p1x + p2x + ... + pnx が与えられたとき、多項式函数の定義域を実数から二重数へ直接に拡張して
P ( a + b ε ) = P ( a ) + b P ′ ( a ) ε {\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon }
を得る。ただし、P′ は多項式函数 P の導函数である。実数上ではなく二重数上で計算したことにより、この式を多項式の微分の計算に用いることができるようになった。より一般に、二重数の除法を定義して、f(a+bε) = f(a)+bf ′(a)ε で定まる二重数変数の超越函数の定義へ進むことができる。二重数上のこれらの函数の合成を計算して、その結果の ε の係数を調べることによって、その合成函数の導函数を自動的に計算することができる。
二重数の応用は物理学にもあり、そこでは二重数は非自明な超空間の最も簡単な例を与える。虚数単位 ε に沿う方向はフェルミ的方向といい、実成分はボソン的方向と呼ばれる。フェルミ的方向というのはパウリの排他原理にフェルミオンが従うという事実からくるものである。座標変換のもとで、量子力学的波動函数は符号を変え、従って二つの座標がともに動くならば消えるという物理学的な考え方が、ε = 0 なる代数的関係式でとらえられている。