テンソルの縮約
(ベクトルと双対ベクトルに対する)基本の縮約演算をもう少し違ったやり方でテンソルの対に対して一般化することができる。テンソルの対 T, U に対してそれらのテンソル積 T ⊗ U はテンソルになるから、これが共変添字と反変添字をそれぞれ少なくとも一つ持てば縮約を行える。T がベクトルで U が双対ベクトルであるときには上で述べた基本の縮約にちょうど一致する。
抽象添字記法において、二つのテンソルの縮約は同じ項の因子として両者を併置 (juxtaposed) することで表される。これはテンソル積を複合テンソルを得るものとして実現するものである。この複合テンソルにおける二つの添字の縮約は、二つのテンソルの縮約を期待通りに実現する。
例えば、行列は第一添字に関して反変、第二添字に関して共変な (1, 1)-型テンソルとして表現することができる。一つの行列の成分が Λβ でもう一つの行列の成分が Μγ とすれば、それらの積は縮約
Λ α β M β γ = N α γ {\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }}
で与えられる。これはテンソルの対の縮約の一つの例を与えている。
ベクトルと微分形式との内部積(英語版)も二つのテンソルの間の縮約の特別の場合である。
で与えられる。一般の縮約は、同じ文字でラベル付けされた共変添字と反変添字の対として表される(和の規約により、そのような添字に関して和が取られる)。縮約によって得られるテンソルはもともとのテンソルの添字を継承する。例えば、(2, 2)-型テンソル T の二番目と三番目の添字に関する縮約は、
T a b b c = ∑ b T a b b c = T a 1 1 c + T a 2 2 c + ⋯ + T a n n c = U a c {\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}}
として表される (1, 1)-型テンソル U を新たに作り出す。これと対照に、非混合二項テンソル
T = e i e j {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\mathbf {e} ^{j}}
は縮約できない。これらの基底ベクトルを点乗積すれば、得られるのは二階のテンソルである反変計量テンソル
g i j = e i ⋅ e j {\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}}
である。