楕円函数
一般に複素函数 f の周期とは任意の z ∈ C に対して f(z + ω) = f(z) を満たす複素数 ω の総称である。f の二つの周期 a, b が存在して、f の任意の周期 ω が整数 m, n を用いて ω = ma + nb の形に書けるとき、a および b を f の基本周期 (fundamental periods) という。任意の楕円函数は周期の基本対を必ず持つが、それは一意的には定まらない(後述)。
a および b を楕円函数の基本周期として格子を描くとき、それとまったく同じ格子が ps − qr = 1 を満たす整数 p, q, r, s を用いて a′ = pa + qb, b′ = ra + sb とした周期 a′ および b′ によっても得られる。言葉を替えれば、a, b が楕円函数の基本周期ならば a′, b′ も同じ楕円函数の基本周期となる。また、係数に関する条件は行列 ( p q r s ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}} の行列式が 1 であるということであり、したがってこの行列がモジュラー変換群に属するということである。