ホモロジー代数学
ホモロジー代数学(ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra)は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー(英語版)(代数トポロジーの前身)と抽象代数学(加群や syzygy(英語版) の理論)の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。
ホモロジー代数学の発展は圏論の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的関手とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つはチェイン複体 (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーとコホモロジーの両方を通じて研究できる。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを環、加群、位相空間や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的不変量の形で描写する手段を提供してくれる。これをするための強力な手法はスペクトル系列によって与えられる。
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では可換環論、代数幾何学、代数的整数論、表現論、数理物理学、作用素環論、複素解析、そして偏微分方程式論を含む。K-理論はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、アラン・コンヌの非可換幾何もそうである。
環上の加群の圏のようなアーベル圏を固定する。スペクトル(系)列 (spectral sequence) は非負整数 r0 の選択と3つの列の集まりである。
すべての整数 r ≥ r0 に対して、対象 Er。(紙のシートのように)シート (sheet) と呼ばれる。ページ (page) やターム (term) と呼ばれることもある。
dr o dr = 0 を満たす自己準同型 dr : Er → Er。境界写像 (boundary map) や微分 (differential) と呼ばれる。
dr に関する Er のホモロジー H(Er) による Er+1 の同型
二重に次数付けられたスペクトル列は把握するには途方もない量のデータをもっている。しかし、スペクトル列の構造を明確にする、一般的な視覚化のテクニックがある。3つの添え字 r, p, q がある。各 r に対し、グラフ用紙のシートを1枚もっていると想像しよう。