有限アーベル群
任意の素数 p に対し、G のシロー p-部分群(G の元からなる素数 p の冪を位数に持つ極大な部分群)を Gp と書く。
G は適当な p に関するシロー部分群 Gp の直積である。
(このねじれ冪零群の一般性質は、とくに有限アーベル群の場合には、ベズーの定理から容易に導かれる).)
クロネッカーの定理を Gp に適用すれば、ただちに G のより細かい分解が得られる。フロベニウスとスティッケルバーガー(英語版)は
G の非自明な準素(あるいは素冪)位数巡回部分群の直積への分解が同型を除いてただ一つ存在する
ことを示した。以下のことがわかる:
G, H, K が有限アーベル群で、二つの直積群 G × H と G × K が互いに同型ならば、H と K も同型である
G の位数の任意の約数 d に対し、G は少なくとも一つ位数 d の部分群を含む
任意の整数 n > 0 に対し、位数 n のアーベル群の(同型を除いた)個数は p(k1)⋯p(kr) に等しい。ただし、p k11 ⋯p krr は n の素因数分解であり、p(k) は整数 k に対する分割数である。