汎函数微分
汎函数 F を
F [ φ ( x ) ] = exp  ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) {\displaystyle F[\varphi (x)]=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)}
で与えられるものとする。デルタ函数を試験函数として
δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = lim ε → 0 F [ φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ] − F [ φ ( x ) ] ε = lim ε → 0 exp  ( ∫ ( φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ) g ( x ) d x ) − exp  ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) ε = exp  ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) lim ε → 0 exp  ( ε ∫ δ ( x − y ) g ( x ) d x ) − 1 ε = exp  ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) lim ε → 0 exp  ( ε g ( y ) ) − 1 ε = exp  ( ∫ φ ( x ) g ( x ) d x ) g ( y ) .
を満たすようなシュヴァルツ超函数を言う。試験函数 f のところに φ の第一変分 δφ を代用して、汎函数 F の第一変分 δF が得られることは、傾き (gradient) から函数の微分が得られるのと同様である。また、ノルム 1 の試験函数 f を用いれば、この函数に沿った方向微分が得られる。
物理学では、(偏微分が傾きの成分であるのと同様の意味で、ひとつの汎函数微分の各「成分」を記述する)点 y における汎函数微分を導くのに、一般の試験函数 f(x) ではなくてディラックのデルタ函数 δ(x − y) を用いて
δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = lim ε → 0 F [ φ ( x ) + ε δ ( x − y ) ] − F [ φ ( x ) ] ε {\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}}
とするのが普通である。この手法は、F[φ(x) + εf(x)] が形式的に ε を変数とする級数に(あるいは少なくとも一次までは)展開できる場合にはうまくいく。しかしこの式は数学的に言えば厳密なものでない、なぜなら F[φ(x) + εδ(x − y)] はふつう十分に定義されないからである。
与えられた多様体 M が (連続な/滑らかな/ある種の境界条件を持つなどの) 函数 φ を表現するものとし、汎函数 F が
F : M → R or F : M → C {\displaystyle F\colon M\to \mathbb {R} \quad {\mbox{or}}\quad F\colon M\to \mathbb {C} }
と定義されているとき、F の汎函数微分 δF⁄δφ とは、任意の試験函数 f に対して
⟨ δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( x ) , f ( x ) ⟩ = ∫ δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ = lim ε → 0 F [ φ ( x ) + ε f ( x ) ] − F [ φ ( x ) ] ε = d d ε F [ φ + ε f ] | ε = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}},f(x)\right\rangle &=\int {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x')}}f(x')dx'\\[5pt]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\[5pt]&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\varphi +\varepsilon f]\right|_{\epsilon =0}\end{aligned}}}
離散確率変数のエントロピーは確率密度函数を引数とする汎函数
H [ p ( x ) ] = − ∑ x p ( x ) log  p ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}}
であり、従って
⟨ δ H δ p , φ ⟩ = ∑ x δ H [ p ( x ) ] δ p ( x ′ ) φ ( x ′ ) = d d ε H [ p ( x ) + ε φ ( x ) ] | ε = 0 = − d d ε ∑ x [ p ( x ) + ε φ ( x ) ] log  [ p ( x ) + ε φ ( x ) ] | ε = 0 = − ∑ x [ 1 + log  p ( x ) ] φ ( x ) = ⟨ − [ 1 + log  p ( x ) ] , φ ⟩ .
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}},f({\boldsymbol {r}}')\right\rangle &={\frac {d}{d\varepsilon }}\left.{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon f({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}dr'\right|_{\varepsilon =0}\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {f({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} r'\\&=\left\langle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}},f({\boldsymbol {r}}')\right\rangle .\end{aligned}}}
ゆえに
δ V ( r ) δ ρ ( r ′ ) = 1 4 π ε 0 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {\delta V(r)}{\delta \rho (r')}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}|r-r'|}}}
が成り立つ。いま、r = r1 および r′ = r2 における汎函数微分を評価することができるから、r1 における電位が、r2 における電荷密度の小さな変化の影響を受けてどのくらい変わるかを知ることができるが、一般には評価できない形の式のほうが恐らくは有用である。