ボレル集合
数学におけるボレル集合(ボレルしゅうごう、英: Borel set)は、位相空間の開集合系(あるいは閉集合系)から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。
位相空間 X {\displaystyle X} に対し、 X {\displaystyle X} 上のボレル集合全体の成す族(ボレル集合族)は完全加法族(σ-集合体)を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。 X {\displaystyle X} 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である(全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある)。
ボレル集合は測度論において重要である。これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合(あるいは閉集合)上での値のみから一意に定まることによる。ボレル集合体上で定義された測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。
文脈によっては、位相空間の(開集合ではなくて)コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の(開集合を用いた)定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。