セール双対性
が存在する。 ここで ⊗ {\displaystyle \otimes } はベクトル束のテンソル積である。とくに両辺の次元を比較すると、等式
h i ( X , E ) = h n − i ( X , K X ⊗ E ∗ ) {\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })}
が成り立つ。 ポアンカレ双対のときと同様に、セール双対の主張する同型も層係数コホモロジーのカップ積に由来する。すなわち、カップ積と H n ( X , K X ) {\displaystyle H^{n}(X,K_{X})} 上の自然なトレース写像を合成したもの
H i ( X , E ) × H n − i ( X , K X ⊗ E ∗ ) → H n ( X , K X ) → k {\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k}
が完全ペアリング(英語版)になる。トレース写像は、ドラームコホモロジーの積分( n {\displaystyle n} 形式を X {\displaystyle X} 全体で積分するという写像)の層係数コホモロジーにおける類似である。