ピカールの定理
ピカールの大定理(英: Picard's great theorem)は、孤立した真性特異点の近傍の像が高々唯一の点を除き複素平面全体を覆うことを主張する複素解析の定理である。具体的には、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が U δ = { z ∈ C : 0 < | z − z 0 | < δ } {\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }=\{z\in \mathbb {C} :\;0<|z-z_{0}|<\delta \}} で正則であり、 ( z − z 0 ) n f ( z ) {\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)} が有界となる有限な自然数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } が存在しないときに
∃ a ∈ C , ∀ b ∈ C ∖ { a } , ∃ z ∈ U δ , f ( z ) = b {\displaystyle \exists {a\in \mathbb {C} },\forall {b\in \mathbb {C} \setminus \{a\}},\exists {z\in \mathbb {U} _{\delta }},f(z)=b}
であることを主張する。
ピカールの小定理(英: Picard's little theorem)は、大定理の系であり、定数以外の整関数の値域が高々唯一の点を除く複素平面全体に広がることを主張する。言い換えれば、複素平面から二点以上を欠く値域を持つ整関数は定数に限ることを主張する。ピカールの定理はカゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理やリウヴィルの定理を強化したものである。
である。 | J ′ ( v ) − 1 | ≤ 3 {\displaystyle \left|J'(v)-1\right|\leq 3} であるから、シュワルツの補題により | J ′ ( v ) − 1 | ≤ 3 v {\displaystyle |J'(v)-1|\leq {3v}} であり、積分すると
| J ( v ) − v | ≤ 3 2 | v | 2 {\displaystyle |J(v)-v|\leq {{\frac {3}{2}}|v|^{2}}}
となる。任意の | w | < 1 7 {\displaystyle |w|<{\tfrac {1}{7}}} について
J 1 ( v ) = J ( v ) − w J 2 ( v ) = v − w {\displaystyle {\begin{aligned}&J_{1}(v)=J(v)-w\\&J_{2}(v)=v-w\\\end{aligned}}}
とすれば | v | = 1 3 {\displaystyle |v|={\tfrac {1}{3}}} の上で | J 1 ( v ) − J 2 ( v ) | = | J ( v ) − v | ≤ 1 6 < | J 2 ( v ) | {\displaystyle |J_{1}(v)-J_{2}(v)|=|J(v)-v|\leq {\tfrac {1}{6}}<|J_{2}(v)|} であるから、ルーシェの定理により J 1 ( v ) {\displaystyle J_{1}(v)} と J 2 ( v ) {\displaystyle J_{2}(v)} は | v | < 1 3 {\displaystyle |v|<{\tfrac {1}{3}}} の中に同数の根を持つが、 J 2 ( v ) {\displaystyle J_{2}(v)} が根を持つから J 1 ( v ) {\displaystyle J_{1}(v)} も根を持たなければならない。