リー環の拡大
e e t G ̄ s H ̄ e − t G ̄ = e t G ̄ e s H ̄ e − t G ̄ = ( 1 , e t G ) ( e s H , 1 ) ( 1 , e − t G ) = ( φ e t G ( e s H ) , e t G ) ( 1 , e − t G ) = ( φ e t G ( e s H ) φ e t G ( 1 ) , 1 ) = ( φ e t G ( e s H ) , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}}
である.
d d s e A d e t G ̄ s H ̄ | s = 0 = A d e t G ̄ H ̄ {\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}}
L ( λ l ⊗ G 1 , λ m ⊗ G 2 ) = γ l m K ( G 1 , G 2 ) {\displaystyle L(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2})}
でなければならない,K の対称性により
γ m n = γ n m {\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm}}
であり,結合性により
γ k + l , m = γ k , l + m {\displaystyle \gamma _{k+l,m}=\gamma _{k,l+m}}
である.l = 0 として γlm = γ0,l+m が分かる.この最後の条件は前のを含んでいる.このことを用いて,f(n) = γ0,n と定義する.すると定義方程式は
L ( λ m ⊗ G 1 , λ m ⊗ G 2 ) = f ( l + m ) K ( G 1 , G 2 ) {\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=f(l+m)K(G_{1},G_{2})}
となる.すべての i ∈ Z に対して,定義
f ( n ) = δ n i ⇔ γ l m = δ l + m , i {\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{lm}=\delta _{l+m,i}}
は実際対称結合双線型形式
Not all αn, n ∈ Z, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy
2 α ′ α n − = 1 2 p + ∑ p ∈ Z α n − p I α p I . {\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}
The quantitity on the left is given a name,
2 α ′ α n − ≡ 1 p + L n , L n = 1 2 ∑ p ∈ Z α n − p I α p I , {\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}
the transverse Virasoro mode.
When the theory is quantized, the alphas, and hence the Ln become operators.
をすることも一般的である,ただし λ の省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである;元は実際には関数 S → g である.するとリーブラケットは
であり,これは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数において中心項"なし"の交換関係の1つとして実現可能である.m = n = 0 として,g に同型な部分代数が得られる.(定義をさかのぼることで分かるように)それは S から G への定数写像の集合を生成し,これは exp が全射のとき(たとえば G がコンパクトのとき)明らかに)G に同型である.G がコンパクトならば,g の基底 (Gk) を Gk が歪エルミートであるように選ぶことができる.結果として,
T i n † = ( λ n G i ) † = − λ − n G i = − T i − n {\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}}
である.そのような表現はユニタリと呼ばれる,なぜならば代表元
H ( λ ) = e θ n k T k − n ∈ G {\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}
がユニタリだからである.ここで,T の下の添え字のマイナスは慣習であり,和の規約が使われ,λ は(定義により)右辺の T たちに埋もれている.
リー群論,リー環論,およびそれらの表現論において,リー環の拡大 (Lie algebra extension) e とは,与えられたリー環 g を別のリー環 h によって「拡大」することである.拡大はいろいろな方法で生じる.2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある.別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である.拡大は,例えば射影群表現(英語版)からリー環を作るときに,自然に生じる.そのようなリー環は中心電荷を持つ. w 有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて,2つの拡大,中心拡大と微分による拡大を施すと,untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る.中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のカレント代数(英語版)を構成できる.ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である.
中心拡大は物理学で必要とされる,なぜならば量子化された系の対称性を表す群は通常古典的な対称変換群の中心拡大であり,同様に量子系の対応する symmetry リー環は一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからである.カッツ・ムーディ代数は統一超弦理論の対称変換群であると予想されている.中心拡大されたリー環は場の量子論,特に共形場理論,弦理論とM理論において,支配的な役割を果たす.
後半の大部分はリー環の拡大が実際有用である分野である数学と物理学双方での応用の背景資料に割かれている.かっこつきリンク,(背景資料),はそれが有益であろうところで提供される.
{\displaystyle {\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}}
K の非退化性により,最左辺と最右辺で K の左の引数は等しい.
対称非退化結合形式 K と 2-コサイクル φ が与えられると,導分 d を
K ( ν − 1 ( ρ G 1 ) , G 2 ) ≡ K ( d ( G 1 ) , G 2 ) {\displaystyle K(\nu ^{-1}(\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})}
によって,あるいは K の対称性と φ の反対称性を用いて
K ( d ( G 1 ) , G 2 ) = − K ( G 1 , d ( G 2 ) ) {\displaystyle K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2}))}
によって定義できるという観察は系を導く.