接続 (微分幾何学)
主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである。すなわち、
定義 (主接続の定義) ― Gをリー群とし、 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} を構造群Gを持つ主バンドルとする。 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~{\mathcal {P}}\to M} のC級の(主バンドルとしての)接続(英: connection)あるいは主接続(英: principal connection) { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} とは、Pの各点pにおけるTpMの部分空間 H p {\displaystyle {\mathcal {H}}_{p}} の族でpに関してC級であり、任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し以下の性質を満たすものである:
T p P = V p ⊕ H p {\displaystyle T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}}
Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する:
定義・定理 (曲率) ― ベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対し、
R ( X , Y ) s := ∇ X ∇ Y s − ∇ Y ∇ X s − ∇ [ X , Y ] s {\displaystyle R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s} for X , Y ∈ X ( M ) , s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M),s\in \Gamma (E)}
を ∇ {\displaystyle \nabla } に関する曲率(英: curvature)もしくは曲率テンソル(英: curvature tensor)という。
RはX、Y、sに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形であり、よってRは各点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、
R P ∈ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E {\displaystyle R_{P}\in T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E^{*}\otimes E}
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を可微分多様体M上のベクトルバンドルとし(E、Mのいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない)、 Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} をEの切断全体の集合とし、 X ( M ) := Γ ( T M ) {\displaystyle {\mathcal {X}}(M):=\Gamma (TM)} をM上のベクトル場全体の集合とする。
ベクトルバンドルの接続は前述したレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5つの性質のうち3つを使って定義される。
定義 (ベクトルバンドルの接続) ― 関数
∇ : ( X , s ) ∈ X ( M ) × Γ ( E ) ↦ ∇ X s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \nabla ~:~(X,s)\in {\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\mapsto \nabla _{X}s\in \Gamma (E)}
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続(英: Koszul connection)あるいは単に接続(英: connection)といい、 ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} を接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定めるsのX方向の共変微分という:
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときに d s d t {\displaystyle {\tfrac {ds}{dt}}} が入るTeEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。
以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。
このことからベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバーバンドルとし、 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} をその接続とする。
定義 ― M上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義された切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が平行であるとは、
d s d t ( t ) ∈ H s ( t ) {\displaystyle {ds \over dt}(t)\in {\mathcal {H}}_{s(t)}}
が任意のtに対して成立する事をいう。
接続の定義から、
π ∗ | H e : | H e → T π ( e ) M {\displaystyle \pi _{*}|_{{\mathcal {H}}_{e}}:|~{\mathcal {H}}_{e}\to T_{\pi (e)}M}
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
ホロノミー群 G := H o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle G:=\mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} は h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} をリー代数として持つリー群である。
あるG-主バンドル π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} 、およびGのファイバー E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} への作用が一意に存在し、 π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} と E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} へのG作用を使って作った E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} バンドルは π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} と同型である。
主バンドル π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} には主バンドルとしての接続(詳細次章)が一意に存在し、この接続が上述の E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} バンドルに誘導する接続は π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} との接続と同一である。
( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} を開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 上で定義されたEの局所的な基底とするとき、接続形式を以下のように定義する:
定義 (接続形式) ― 行列 ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を
( ∇ X e 1 , ... , ∇ X e m ) = ( e 1 , ... , e m ) ω ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)}
により定義し、Xに ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を対応させる行列値の1-形式 ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を局所的な基底 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する接続∇の接続形式(英: connection form)という
接続形式が与えられれば
∇ X s = X ( s j ) e j + s j ω i j ( X ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s=X(s^{j})e_{j}+s^{j}\omega ^{i}{}_{j}(X)e_{i}}
により接続を再現できるので、この意味において接続形式は接続∇の情報をすべて含んでいる。
多様体M上のベクトル場YとM上の c ( t ) {\displaystyle c(t)} に対し、Yの c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った「方向微分」を定義することを考える。ユークリッド空間における微分を参考にすると、
lim Δ t → 0 Y c ( t + Δ t ) − Y c ( t ) Δ t {\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{Y_{c(t+\Delta t)}-Y_{c(t)} \over \Delta t}}
のように定義するのがよいように思えるが、多様体上では c ( t + Δ t ) {\displaystyle c(t+\Delta t)} と c ( t ) {\displaystyle c(t)} は別の点なので、両者の差 Y c ( t + Δ t ) − Y c ( t ) {\displaystyle Y_{c(t+\Delta t)}-Y_{c(t)}} は意味も持たない。しかし Y c ( t + Δ t ) {\displaystyle Y_{c(t+\Delta t)}} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} まで「平行移動」できれば、平行移動の結果 τ t t + Δ t ( Y c ( t + Δ t ) ) {\displaystyle \tau _{t}{}^{t+\Delta t}(Y_{c(t+\Delta t)})} と Y c ( t ) {\displaystyle Y_{c(t)}} の差を取る事で「方向微分」を定義でき、これをYの c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った共変微分 ∇ d t Y c ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}Y_{c(t)}} という。
“Lecture 5: Connections on principal and vector bundles”. PG course on Spin Geometry. p. 40. 2023年1月12日閲覧。
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↑ 「エーレスマン接続」という訳語は#佐古を参考にした。#佐古に目次にこの名称が確認できる。
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