テンソル場
↑ 矢野健太郎. “幾何学部門報告”. p. 103, 左上. 2023年11月6日閲覧。に「リッチ計算」と書かれているためこの訳を採用
( ω ( f X ) ) ( p ) = f ( p ) ω ( p ) ( X ( p ) ) = ( f ω ) ( p ) ( X ( p ) ) {\displaystyle (\omega (fX))(p)=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))}
が任意の p ∈ M および滑らかな函数 f に対して成立する。したがって、余ベクトル場を余接束の切断と見るだけでなく、ベクトル場を函数へ写す線型写像としても見ることができる。二重双対空間の構成により、ベクトル場も同じく余ベクトル場を函数に写す写像と見做せる(つまり、余ベクトル場から始めて自然に同じ論法を適用して進めていくことができる)。
M 上の通常の一つのテンソル(場ではなく)をベクトルおよび余ベクトル上の多重線型写像として構成するのと完全に平行して、M 上の一般の (k,l)-テンソル場を T ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(M)} の l 個のコピーと T ∗ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)} の k 個のコピー上で定義され、C(M) に値を取る C(M)-線型写像と見做すことができる。
テンソル場の記法はテンソル空間の記法と似ていて紛らわしいことがある。つまり、接束 TM = T(M) は多様体 M 上の (1,0)-テンソル場(即ちベクトル場)全体の成す像空間であることを強調するために
T 0 1 ( M ) = T ( M ) = T M {\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}
と書かれることもある。これをテンソル空間の場合の非常によく似た記法
T 0 1 ( V ) {\displaystyle T_{0}^{1}(V)}
と混同しないようにしたい。後者はテンソル空間が一つしかないが、前者では多様体 M の各点に対してテンソル空間が定義される。
M 上の無限回微分可能テンソル場全体の成す集合を表すのに筆記体の T を使って書くことがあるが、
T n m ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}
を M 上の無限回微分可能 (m,n)-テンソル束の切断全体の成す空間とすれば、テンソル場はこの集合の一つの元である。
より正確に言えば、テンソル場は多様体の各点に対して空間
V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}
のテンソルを割り当てる。ここで V はその点における接空間であり、V は余接空間である。接束および余接束も参照。
二つのテンソル束 E → M および F → M に対して、E の切断の空間から F の切断の空間への写像 A: Γ(E) → Γ(F) がそれ自体 E ⊗ F のテンソル切断と見做せるための必要十分条件は、各引数に関して A(fs,...) = fA(s, ...) が成り立つことである。ただし、f は M 上の滑らかな函数である。つまり、テンソルは切断全体の成すベクトル空間上の線型写像であるだけではなく、切断全体の成す加群上の C(M)-線型写像にもなっていなければならない。この性質は例えばリー微分や共変微分はテンソルでないことや、捩率テンソルや曲率テンソルが作り方からテンソルとなることなどの確認に利用できる。