最小公倍数
公倍数は最小公倍数の倍数である。
証明
a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の最小公倍数を l {\displaystyle l} とする. a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の一般の公倍数を m {\displaystyle m} とし, m = q l + r , ( 0 < r < l ) {\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)} と置く。 変形して r = m − q l {\displaystyle r=m-ql} ...1 1右辺は m {\displaystyle m} は a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数、 l {\displaystyle l} も同じく a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数。 よって1の左辺 r {\displaystyle r} は a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数になる。 しかし 0 < r < l {\displaystyle 0<r<l} となり、最小公倍数 l {\displaystyle l} よりも一般公倍数 r {\displaystyle r} が小さく矛盾. すなわち r = 0 {\displaystyle r=0} 。