ルンゲ＝レンツベクトル
古典論と同様に E < 0 となる束縛状態について、
D ^ = A ^ − 2 m E {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {D}}}={\frac {\hat {\boldsymbol {A}}}{\sqrt {-2mE}}}}
を導入すれば、ˆL との交換関係として、SO(4)に対応する
[ L ^ i , L ^ j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k L ^ k {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}
[ D ^ i , L ^ j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k D ^ k {\displaystyle [{\hat {D}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\hat {D}}_{k}}
[ D ^ i , D ^ j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k L ^ k {\displaystyle [{\hat {D}}_{i},{\hat {D}}_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}
が成り立つ。すなわち、SO(3)またはそれと局所同型なSU(2)に対応していた ˆL の交換関係がなすリー代数は、SO(4)のものに拡張される。さらに、
カシミール演算子としては、ˆI, ˆK の線形結合として
C 1 ^ = I ^ 2 + K ^ 2 = 1 2 ( L ^ 2 + D ^ 2 ) {\displaystyle {\hat {C_{1}}}={\hat {\boldsymbol {I}}}^{2}+{\hat {\boldsymbol {K}}}^{2}={\frac {1}{2}}({\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}+{\hat {\boldsymbol {D}}}^{2})}
C 2 ^ = I ^ 2 − K ^ 2 = L ^ ⋅ D ^ {\displaystyle {\hat {C_{2}}}={\hat {\boldsymbol {I}}}^{2}-{\hat {\boldsymbol {K}}}^{2}={\hat {\boldsymbol {L}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {D}}}}
をとることができる。ここで、ˆL·ˆD = 0 であるから、SO(4)のなすリー代数を ˆI = ˆK に制限してよい。よって、s = s′ であり、ˆC1 のとり得る値は