写像12相
(条件2. かつ 3. の場合は「f は全単射である」となる。これは n = x の場合のみ成立可能である。)
写像 f に、4種類の同値関係が定義される:
等しい
N の置換による違いを除いて、等しい
X の置換による違いを除いて、等しい
N および X の置換による違いを除いて、等しい
結局、写像 f に適用する条件は、上記の3条件と4つの同値関係の、3 × 4 = 12通りがある。
写像の同値類を数え上げる12種の問題は、各々は同じ難易度ではなく、また、これらを統一的に解く方法は知られていない。12種の問題のうち、2つの問題は自明(同値類の数は0または1)であり、5つの問題は解が n, x の乗法的な公式で与えられる。残る5つの問題は、組合せに関わりのある関数(スターリング数、分割数など)によって解が与えられる。