タングル
すると水平な二本の曲線からなるタングル表示は (0) と表せるが、垂直な二本の曲線からなるタングル表示は (0,0) となる。この約束は「正」「負」のひねりを記述するのに必要だ。 しばしばここまで説明してきたような数の組を指して、「有理タングル」と呼ぶこともある。
有理タングル ( a 0 , a 1 , a 2 , ... ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )} に対する分数とは [ a 0 , a 1 , a 2 , ... ] {\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},\dots ]} によって与えられる連分数である。(0,0) に対応する分数は ∞ {\displaystyle \infty } とする。コンウェイは、有理タングルに対する分数は矛盾なく定義され、有理タングルを(タングルの同値による差を除いて)完全に決定することを証明した。また、彼はアレクサンダー多項式を用いて任意のタングルに対して分数を定義した。
タングルの間には和、積、逆数をとる「数論的な」操作がある。
有理タングルの 分子閉包 とはタングルの「北側の」端点どうしと「南側の」端点どうしを結んで得られる絡み目のことである。また 分母閉包 とは同様に「東側の」端点と「西側の」端点を結んで得られる。有理絡み目 はこれらのような閉包として表すことのできる絡み目として定義される。
(スタブ)
正則表示
生成元と関係式
高さ関数を意識しなければならない
一般性を失うことなしに、(タングルの端点が写る)3次元球の境界上の指定された点はある大円上にあると仮定してよい。タングルは、この大円を境界とする平らな円盤への射影が一般的な位置となるように変形することができ、射影図に交差の上下の情報を加えたものを(結び目の正則表示のように) (正則)表示と呼ぶ。
タングル(の表示)は結び目や絡み目の表示の中にしばしば現れ、絡み目を構成するブロックとして使われることもある。(例:モンテシーノス絡み目)