スチューデント化残差
誤差が独立で、期待値 0 で 分散 σ の 正規分布に従う場合、i 番の外部スチューデント化残差の確率分布はスチューデントのt分布となる。その自由度は n − m − 1 であり、値域は (-∞, +∞) である。
一方、内部スチューデント化残差の値域は 0 ± r . d . f . {\displaystyle 0\pm {\sqrt {\mathrm {r.d.f.} }}} である。ここで自由度は残差の自由度すなわち n − m である。"i.s.r" で内部スチューデント化残差を表し、誤差は独立同一正規分布 (independent identically distributed Gaussian) 変数と仮定すると、
i . s . r . 2 = r . d . f . t 2 t 2 + r . d . f . − 1 {\displaystyle \mathrm {i.s.r.} ^{2}=\mathrm {r.d.f.} {t^{2} \over t^{2}+\mathrm {r.d.f.} -1}}
ここで t はt分布でその自由度は r.d.f. − 1 である。実は、上式は i.s.r./r.d.f. がベータ分布に従うことを示す。r.d.f. = 3 のとき、内部スチューデント化残差は − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} and + 3 {\displaystyle +{\sqrt {3}}} で一様分布する。
自由度が 1 しかない場合、内部スチューデント化残差を表す上式は適用できない。この場合、内部スチューデント化残差は +1 か -1 のどちらかにそれぞれ 50 パーセントの確率で分布する。