接続形式
記号としては、
Ω ∈ Γ ( Ω 2 M ⊗ Hom ( E , E ) ) {\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E))}
となる。
外積接続 D のことばでは、v ∈ E に対し曲率準同型は、
Ω ( v ) = D ( D v ) = D 2 v {\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}
で与えられる。従って、曲率は、(ド・ラームコホモロジーの意味で、)次の系列が鎖複体となることに失敗する度合いを測ることとなる。
Γ ( E ) → D Γ ( E ⊗ Ω 1 M ) → D Γ ( E ⊗ Ω 2 M ) → D ... → D Γ ( E ⊗ Ω n ( M ) ) . {\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M)).}
g が M の開集合の上で定義された G に値を持つ函数であるとき、標構の変換
e α ′ = ∑ β e β g α β {\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}
に対し、接続形式は、
ω α β ( e ⋅ g ) = ( g − 1 ) γ β d g α γ + ( g − 1 ) γ β ω δ γ ( e ) g α δ {\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }}
を通して変換される。もしくは、行列の積
適切な大域的な対象へ ω を拡張するためには、E の切断の規定が異なった場合、どのように振舞うかを見ている必要がある。e の選択に依存することを、ωα = ωα(e) と表すことにする。
e′ を局所規定の別の選択とすると、函数 g の可逆な k × k 行列が存在し、
e ′ = e g , i.e., e α ′ = ∑ β e β g α β . {\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}
となる。両辺に外積接続を適用すると、ω の変換法則は、
ω ( e g ) = g − 1 d g + g − 1 ω ( e ) g {\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g}
となる。特に、ω は、テンソル的な方法での変換はうまくいかない。ある規定から別な規定を選択するときの規則が転換行列 g の部分を含むからである。