平面グラフ
平面グラフには、無限面がただ一つある。
Gが単純グラフで平面的グラフならば、Gは、次数が5以下の頂点を持つ。
Gが平面的グラフならば、|E(G)|≦3|V(G)|-6。ただし、|V(G)|≧3。
Gが平面的2部グラフならば、|E(G)|≦2|V(G)|-4。ただし、|V(G)|≧3。
Gが平面的グラフならば、|E(G)|≦(κ(|V(G)|-2))/(κ-2)が成り立つ。ここでκは内周であり、グラフGの最短の閉路長である。
連結平面グラフについて、|V(G)|-|E(G)|+f=2 が成り立つ。ここで|V(G)|は頂点の数、|E(G)|は辺の数、fは面の数である。(オイラーの公式)
種数gの曲面S上に描かれた連結グラフGが、Sをf個の領域に分割しているとする。このとき、|V(G)|-|E(G)|+f=2-2gが成り立つ。(オイラーの公式)
グラフが非平面的であるのは、K3,3またはK5をマイナーとして含むとき、かつそのときに限る。(ワグナーの定理)
グラフが平面グラフである必要十分条件は、5角形グラフあるいは6角形グラフに縮小しうるようなグラフをもとのグラフが含まないことである(クラトフスキの定理)。別の表現では、グラフが平面的グラフである必要十分条件は、K5またはK3,3と位相同型な部分グラフを含まないことである。
平面的グラフの部分グラフは総て平面的グラフである。