群 (数学)
次の2つの同値な条件を満たす群を冪零群 という。
Γ 1 ( G ) = [ G , G ] {\displaystyle \Gamma _{1}(G)=[G,G]} とし、以下 Γ i + 1 ( G ) = [ G , Γ i ( G ) ] {\displaystyle \Gamma _{i+1}(G)=[G,\Gamma _{i}(G)]} と定めるとき、ある r が存在して Γ r = { e } {\displaystyle \Gamma _{r}=\{e\}} となる。
G の部分群の列
{ e } = G 0 < G 1 < ⋯ < G n = G {\displaystyle \{e\}=G_{0}<G_{1}<\cdots <G_{n}=G}
であって、各 Gi が G の正規部分群であり、Gi/Gi − 1 が G/Gi − 1 の中心に含まれるようなものが存在する。
可換群および有限 p 群はべき零群である。また、べき零群は可解群である。
可解性・べき零性の遺伝:べき零群の部分群および剰余群はべき零群である。可解群の部分群および剰余群は可解群である。逆に G の正規部分群 N と剰余群 G/N がともに可解群なら G は可解群である。(べき零群の場合には同様の主張は成り立たない。)
群 G が、G の部分群の有限列 G0, G1, ..., Gn で 2 条件
{ e } = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G n − 1 ◃ G n = G {\displaystyle \{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dotsb \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G}
Gi+1/Gi (0 ≤ i < n) は全てアーベル群
を満たすもの(アーベル的正規列)を持つとき、G は可解群であるという。
最小位数の非可解群は5次の交代群 A5 である。
奇数位数の有限群はすべて可解であることが、ジョン・G・トンプソンらによって証明されている(ファイト・トンプソンの定理)。トンプソンはこの業績によりフィールズ賞を受けた。
標数 0 の体上において、代数方程式が代数的に可解となることと、その方程式のガロア群が可解群となることは同値である(一般の正標数では同値にならない)。このことが可解群の名の由来である。また、4 次以下の交代群は可解であるのに対し、5 次の交代群 A5 は可解でなく、したがってそれは 「5 次の一般代数方程式はべき根のみによって解くことは出来ない」という命題の証明となる。
群 G と群 H に対し、その直積集合 G × H 上に
( g 1 , h 1 ) ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 g 2 , h 1 h 2 ) {\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})}
という積を定めることで群となる。これを群の(外部)直積または構成的直積という。また、群 G がその部分群 H1, H2 の(内部)直積である、あるいは直積に分解されるとは、以下の条件
H1 と H2 は G の部分群で G = H1H2 = {h1h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} が成り立つ。
H1 ∩ H2 = {1G}, ただし 1G は G の単位元。
H1 の元と H2 の元は可換である。
がすべて満たされることをいう。
G = H 1 × H 2 {\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}}
で表す。右辺の直積を構成的直積と呼ぶこともある。G の部分群という構造を落として、H1, H2 の外部直積をつくったものと内部直積とは、二つの自然な埋め込み