ベクトルの共変性と反変性
V のベクトル v は基底 f を構成する各 Xi の線形結合として一意に表される。
ここで v [f] は S のスカラーであり、ベクトル v の基底を f にとったときの成分 (components, entries ) と呼ばれる。v の成分を列ベクトル v[f] で表すと次のようになる:
v [ f ] = [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ⋮ v n [ f ] ] {\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\begin{bmatrix}v^{1}[{\boldsymbol {f}}]\\v^{2}[{\boldsymbol {f}}]\\\vdots \\v^{n}[{\boldsymbol {f}}]\end{bmatrix}}}
これにより (2) は行列の積の形に書き直せる。
v = f v [ f ] {\displaystyle v={\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]}
ベクトル v を f′ を基底として表現すると、次のようになる。
v = f ′ v [ f ′ ] {\displaystyle v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']}
ただし、ベクトル v そのものは基底の選び方によらず不変であるので、二つの表現は互いに等しい。
f v [ f ] = v = f ′ v [ f ′ ] {\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]=v={\boldsymbol {f}}'{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']}
このv の不変性と、 (1) の基底 f と f′ の関係を組み合わせて、
f v [ f ] = f A v [ f A ] {\displaystyle {\boldsymbol {f}}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]={\boldsymbol {f}}A{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}A]}
ここから次の変換規則を得る。
v [ f A ] = A − 1 v [ f ] {\displaystyle {\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}A]=A^{-1}{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]}