一次関数
一次函数は(任意の多項式函数がそうであるように)連続かつ微分可能(とくになめらか)である。一次関数 f(x) = ax + b の導関数は
f ′ ( x ) = a {\displaystyle f'(x)=a}
という定数関数で、それより高階の導函数は常に 0 となる。特に傾き a が a = f′(0) として求められる。b = f(0) であるから、この一次関数を
f ( x ) = f ′ ( 0 ) x 1 ! + f ( 0 ) 0 ! {\displaystyle f(x)={\frac {f'(0)x}{1!}}+{\frac {f(0)}{0!}}}
の形に書けば、これは一次関数のテイラー展開に他ならない。また展開の中心を x = x0 に変更すれば
f ( x ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}
となるが、これは上で通る二点 (x1, y1), (x2, y2) から定まる式として述べたものの、一方を他方に近づけた極限に等しい。あるいはこれは一次函数に関する平均値の定理を述べたものと看做すこともできる。
また f の原始関数の一つは
F ( x ) := a x 2 2 + b x {\displaystyle F(x):={\frac {ax^{2}}{2}}+bx}
で与えられる。