ベッチ数
円に対するベッチ数の列は、1, 1, 0, 0, 0, ... ポアンカレ多項式は、 1 + x {\displaystyle 1+x\,} .
2-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 2, 1, 0, 0, 0, ... ポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) 2 = 1 + 2 x + x 2 {\displaystyle (1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\,} .
3-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... ポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) 3 = 1 + 3 x + 3 x 2 + x 3 {\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,} .
同様に、n-次元トーラスに対して ポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}\,} (キネットの定理(英語版)により)、ベッチ数は二項係数である。
無限次元の複素射影空間のベッチ数の列は、1, 0, 1, 0, 1, ... と周期的となるので、周期の長さは 2 である。この場合は、ポアンカレ函数は多項式ではなく、無限級数
1 + x 2 + x 4 + ⋯ {\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }
となる。これは、幾何級数であり、次の有理函数として書き表すことができる。
1 1 − x 2 = 1 + x 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{2})^{3}+\dotsb .
k を非負の整数 として、空間 X の k 次ベッチ数 bk(X) は、X の k 次ホモロジー群 Hk(X) のランクとして定義される。ホモロジー群は有理数体 Q 上のベクトル空間とすることもできるので、Hk(X; Q) のベクトル空間の次元としてベッチ数を定義することもできる。普遍係数定理は、ねじれのない単純な場合には(係数の取り方に依存せず)これらの定義が同じであることを示している。
またベッチ数を係数にもつ多項式としてポアンカレ多項式を定義する。すなわち、X のポアンカレ多項式 PX(t) とは b0(X)+b1(X)t+b2(X)t+...+bn(X)t のことである。