接続 (ベクトル束)
( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} は測地線完備である。
全ての点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。
ある点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。
M上の任意の2点P、Qに対し、PとQの両方を通る( ∇ {\displaystyle \nabla } に関する)測地線が存在する。
gが定める距離に関し、Mの有界閉集合はコンパクトである。
Mがコンパクトであれば、M上の任意のリーマン計量gは必ず完備な距離を定めるので、Hopf-Rinowの定理からgが定めるレヴィ-チビタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に関してMが測地線完備な事が従う。
しかし一般の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対してはこのような事は成立するとは限らない。実際Mがコンパクトであっても、M上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラスが知られている。
ここで接続行列のウェッジ積 ω ∧ ω {\displaystyle \omega \wedge \omega } は行列積 ( ω i k ∧ ω k j ) {\displaystyle (\omega ^{i}{}_{k}\wedge \omega ^{k}{}_{j})} の事である。 Ω ∧ ω {\displaystyle \Omega \wedge \omega } や Ω ∧ Ω {\displaystyle \Omega \wedge \Omega } も同様に定義する。 第二構造方程式は曲率の定義を成分で書く事で得られる。一般化されたビアンキの第二恒等式は第二構造方程式から従う。
なお、一般化されたビアンキの第二恒等式においてk=1の場合がビアンキの第二恒等式(英: second Bianchi identity)である。
点P∈Mを固定するとき、Pから出てP自身へと戻る各閉曲線Cに沿った平行移動はEPからEP自身への線形同型写像 φ C : E P → E P {\displaystyle \varphi _{C}~:~E_{P}\to E_{P}} を定めると、曲線の連結CC'に対し φ C C ′ = φ C ′ ∘ φ C {\displaystyle \varphi _{CC'}=\varphi _{C'}\circ \varphi _{C}} となるし、Cの逆向きの曲線を C ̄ {\displaystyle {\bar {C}}} とすると、 φ C ̄ = φ C − 1 {\displaystyle \varphi _{\bar {C}}=\varphi _{C}{}^{-1}} となる事が容易に示せる。
よって
H o l ( E , ∇ , P ) := { φ C ∣ C {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C} はPから出てP自身へと戻る閉曲線 } {\displaystyle \}}
とすると、 H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} はEPの自己線形同型のなす群の部分群をなす。 H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} をPにおけるEの ∇ {\displaystyle \nabla } に関するホロノミー群(英: holonomy group)という。
{d \over dt}s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}} = d s i d t ( a ) ( e i ( x ( a ) ) ) + s i ( a ) d d t φ a , t − 1 ( e i ( x ( t ) ) ) | t = a {\displaystyle ={ds^{i} \over dt}(a)(e_{i}(x(a)))+s^{i}(a)\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}}
であるので、これを共変微分の成分表示
∇ s d t | t = a = d s i d t ( a ) e i ( x ( a ) ) + s i ( a ) ω i j ( d x d t ( a ) ) e j ( x ( a ) ) {\displaystyle \left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))}
と比較する事で、以下が結論付けられる:
定理 (接続形式の平行移動による特徴づけ) ― 曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 上の平行移動を φ a , t {\displaystyle \varphi _{a,t}} とし、曲線状定義されたEの基底を e 1 , .
捩率テンソルの性質を見る。
定理 ― 捩率テンソルは以下を満たす:
T ∇ ( X , Y ) = − T ∇ ( Y , X ) {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)=-T_{\nabla }(Y,X)}
T ∇ ( X , Y ) {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)} はX、Y双方に関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である。
ここでX、YはM上の任意の可微分なベクトル場である。
上述の定理と前に述べた定理から、以下の系が従う:
系 ― 捩率テンソルはバンドル写像 T M × T M → T M {\displaystyle TM\times TM\to TM} であるとみなせる。
接続 ∇ {\displaystyle \nabla } と捩率テンソルも局所座標で
∇ X s = ( X l ∂ s i ∂ x l + X j s k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}s=\left(X^{\ell }{\partial s^{i} \over \partial x^{\ell }}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}}
となるものを選ぶ。(このような関数の存在性に関しては隆起関数の項目を参照)。
すると φ {\displaystyle \varphi } の定義から、 s Q = φ ( Q ) s Q {\displaystyle s_{Q}=\varphi (Q)s_{Q}} for ∀ Q ∈ M {\displaystyle \forall Q\in M} であるので、
∇ X s = ∇ X φ s = X φ + φ ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s=\nabla _{X}\varphi s=X\varphi +\varphi \nabla _{X}s}
である。 φ {\displaystyle \varphi } の定義より、 X φ | P = φ ( P ) ∇ X s | P = 0 {\displaystyle X\varphi |_{P}=\varphi (P)\nabla _{X}s|P=0} なので、 ∇ X s | P = 0 {\displaystyle \nabla _{X}s|_{P}=0} が任意の P ∈ U {\displaystyle P\in U} に対して成立し、これは ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} がsに関して局所演算子である事を意味する。
φ a , b : v = s P ( a ) ∈ E P ( a ) ↦ s P ( b ) ∈ E P ( b ) {\displaystyle \varphi _{a,b}~:~v=s_{P(a)}\in E_{P(a)}\mapsto s_{P(b)}\in E_{P(b)}}
は切断 s {\displaystyle s} の取り方によらずwell-definedである。
定義 ― φ a , b ( v ) ∈ E P ( b ) {\displaystyle \varphi _{a,b}(v)\in E_{P(b)}} を v ∈ E P ( a ) {\displaystyle v\in E_{P(a)}} の曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った平行移動(英: parallel transportation along P ( t ) {\displaystyle P(t)} )という。
ユークリッド空間の場合と違い、どの曲線に沿って平行移動したかによって平行移動の結果が異なる事に注意されたい。すなわち曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った平行移動を φ a , b ( v ) {\displaystyle \varphi _{a,b}(v)} 、曲線 Q ( t ) {\displaystyle Q(t)} に沿った平行移動を ψ a ′ , b ′ ( v ) {\displaystyle \psi _{a',b'}(v)} とするとき、たとえ P ( a ) = Q ( a ′ ) {\displaystyle P(a)=Q(a')} 、 P ( b ) = Q ( b ′ ) {\displaystyle P(b)=Q(b')} であっても φ a , b ( v ) = ψ a ′ , b ′ ( v ) {\displaystyle \varphi _{a,b}(v)=\psi _{a',b'}(v)} であるとは限らない。