ペンローズ・タイル
各種のペンローズ・タイリングに共通する特徴の多くは代入則で与えられる五角形階層構造に由来している。代入則はしばしばタイリングあるいはタイルの集合のインフレーションおよびデフレーション、あるいは合成(composition)および分解(decomposition)と呼ばれる。代入則によって、各タイルはもとのタイリングで使われていたタイルと同じ形状でより小さいタイルに分解される。その逆の操作を行えば、小さいタイルからより大きいタイルが「合成」されることになる。このことから、ペンローズ・タイリングは自己相似性を持っておりフラクタルと見なせることがわかる。
ペンローズが最初にP1タイリングを発見したときは、五角形を6つの小さい五角形(正十二面体の展開図の半分)と5つの半ダイアモンドに分解した(図参照)。この過程を繰り返すと五角形の間の隙間がスター、ダイアモンド、ボート、および他の五角形で埋め尽くされることを発見した。ペンローズは、この過程を無限に繰り返すことで五角形対称性を持つP1タイリングの1つを得た。
このペンローズ・タイルは無断でトイレットペーパーの図柄に使われたが、裁判の結果、ペンローズに対する不遜を理由として使用禁止となった。特許となったペンローズ・タイルは、ペンタプレックス社がパズルとして商品化している。また近年、電気剃刀用の網刃として実用化されている。
最初のペンローズ・タイリング(あとに示すタイリングP1)は、ロジャー・ペンローズが1974年の論文で導入した6つのプロトタイルからなる非周期集合で、四角形ではなく五角形に基づいている。平面を正五角形でタイリングしようとしても必ず隙間ができるが、ヨハネス・ケプラーが1619年の著作「世界の調和」で示したようにその隙間は五芒星(星形多角形)、十角形およびそれらに関連する形になる。ケプラーはこのタイリングを5つの多角形によるタイリングに拡張して周期パターンがないことを発見し、どのように拡張しても新しい特徴が導入されるため非周期タイリングになるということを既に推測していた。このようなアイディアの痕跡はアルブレヒト・デューラーの著作にも見られる。ケプラーから着想を得たことを認めつつ、ペンローズはこれらの形の組み合わせ規則を発見し、非周期集合を得た。ワンのタイルと同じように、辺を修飾することによって組み合わせ規則を導入できる。ペンローズ・タイリングは、ケプラーの有限Aaパターンの完成形とみなすことができる。