基数関数
数学において、基数関数(cardinal function) (または 基数不変量(cardinal invariant))は 基数を返す関数のことである。
c o v ( I ) = min { | A | : A ⊆ I ∧ ⋃ A = X } {\displaystyle {\rm {cov}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}} . I の "covering number" とは合併演算で X が被覆できる最小の濃度。X は I の元ではないので、add(I) ≤ cov(I) であることが分かる。
u n i f ( I ) = n o n ( I ) = min { | A | : A ⊆ X ∧ A ∉ I } {\displaystyle {\rm {unif}}(I)={\rm {non}}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I{\big \}}} , I の "uniformity number" とは I の元にならない集合の最小の濃度。I がシングルトンを全て要素に持つと考えるときは、add(I) ≤ non(I) であることが分かる。
c o f ( I ) = min { | B | : B ⊆ I ∧ ( ∀ A ∈ I ) ( ∃ B ∈ B ) ( A ⊆ B ) } .
d e p t h ( B ) = sup { | A | : A ⊆ B {\displaystyle {\rm {depth}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }} は 整列集合 } {\displaystyle {\big \}}}
ブール代数 B {\displaystyle {\mathbb {B} }} の Incomparability I n c ( B ) {\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })} とは
I n c ( B ) = sup { | A | : A ⊆ B {\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }} ただし ( ∀ a , b ∈ A ) ( a ≠ b ⇒ ¬ ( a ≤ b ∨ b ≤ a ) ) } {\displaystyle {\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}