群論
同様に代数的 K-理論は群の分類空間についての重要な手法を与える。あるいは、(無限群の)捩れ部分群という名称は、群論における古い形の位相幾何学の影響を示すものである。
代数幾何学と暗号理論は、同じように群論を至る所で取り入れている。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。
代数的整数論は、群論の特殊な場合である。例として、オイラー積の公式
∑ n ≥ 1 1 n s = ∏ p : prime 1 1 − p − s {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
は「任意の整数は素数の積にただ一通りに分解される」という算術の基本定理に基づく。これがもっと一般の環では必ずしも成立しないことで、イデアル類群や正則素数の概念が生じた。クンマーがフェルマーの最終定理を扱う際に用いている。
リー群(数学者ソフス・リーの名前にちなむ)は、微分方程式と多様体の研究において重要である。これは、連続幾何的構造および解析的構造の対称性を記述するものである。リー群などの群の解析を調和解析という。ハール測度(リー群の平行移動不変積分)は、これはパターン認識や画像処理に使われている。
次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。ここでは群 G は体 K 上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。そのような群は n-次元ベクトル空間 K に線型変換として作用する。この作用により、行列群は概念的には置換群とよく似たものとなり、また作用の幾何学は群 G の性質を示すのに最大限有効に利用することができる。