スペクトル定理
次に考える一般化は、ヒルベルト空間上の有界な自己共役作用素に対するスペクトル定理である。そのような作用素は固有値を持たないこともある。その例として、L[0, 1] 上の t の乗算に関する作用素
[ A φ ] ( t ) = t φ ( t ) . {\displaystyle [A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;}
が挙げられる。
定理: A をあるヒルベルト空間 H 上の有界な自己共役作用素とする。このとき、ある測度空間 (X, Σ, μ) と X 上のある本質的に有界な実数値可測函数 f およびあるユニタリ作用素 U:H → Lμ(X) が存在して、次が成立する。
U ∗ T U = A {\displaystyle U^{*}TU=A\;}
ここで T は乗算作用素
[ T φ ] ( x ) = f ( x ) φ ( x ) {\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x)\;}
であり、 ‖ T ‖ = ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }} である。