整礎関係
全順序でない整礎関係の例。
正整数全体 {1, 2, 3, ...} に a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b] となる順序を入れたもの。
固定された文字集合上の有限文字列全体に s < t ⇔ s は t の真の部分文字列である、で定まる順序。
自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。
固定された文字集合上の正規表現全体の成す集合に、s < t ⇔ s は t の真の部分表現であるとして定義される関係。
集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。
任意の有限有向非輪状グラフのノード全体の、a R b ⇔ a から b へいく辺があるとして定義される関係。
整礎でない関係の例。
負整数全体 {−1, −2, −3, ...} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
有限文字集合上の文字列全体の成す集合上の、通常の順序関係(辞書式順序)。列 "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" > ⋯ は無限降鎖になる。この関係は、全体集合が最小元(つまり空文字列)を持ったとしても整礎ではない。
有理数全体(または実数全体)の標準的な順序(大小関係)。たとえば、正の有理数(または正の実数)全体は最小元を持たない。