半ノルム
数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム(はんのるむ、英: seminorm, semi-norm; セミノルム)は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。
半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として 劣線型(ドイツ語版、英語版)かつ凸である。
各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。
定義から、絶対斉次性の式で λ = 0 とおくことにより、直ちに p(0) = 0, すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル x ≠ 0 も半ノルムが p(x) = 0 となることが起きうる。
劣加法性(三角不等式とも呼ばれる)において y = −x と置けば、絶対斉次性によって
半正定値性: p ( x ) ≥ 0 ( ∀ x ∈ V ) {\displaystyle p(x)\geq 0\quad (\forall x\in V)}
が従う。また λ = −1 を考えることで、
反転対称(英語版)性: p ( x ) = p ( − x ) ( ∀ x ∈ V ) {\displaystyle p(x)=p(-x)\quad (\forall x\in V)}
が分かる。また、三角不等式を x − y + y に適用して