アローの不可能性定理
アローは n {\displaystyle n} 人( n {\displaystyle n} は有限)の個人から成る社会の構成員全員の選好関係 ⪰ i {\displaystyle \succeq _{i}} の列 (「選好プロファイル」) ( ⪰ 1 , ... , ⪰ n ) {\displaystyle (\succeq _{1},\ldots ,\succeq _{n})} を独立変数とし、「社会的選好」と呼ばれる選好関係 ⪰ {\displaystyle \succeq } を従属変数とする関数を考え、 それを「社会的厚生関数」(選好集計ルール) と呼んだ。ここで社会的選好 ⪰ {\displaystyle \succeq } は次の2つの公理を満たすことを仮定する (ただし x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} は選択肢 x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上にランクされる (好ましい) ことを表す; ⪰ {\displaystyle \succeq } は数の不等号とは異なる; 記号 ⪰ {\displaystyle \succeq } の代わりに「関係」(relation) を表す R の文字が使われることも多い):
完備性. 任意の2つの選択肢 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対し、 x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} もしくは y ⪰ x {\displaystyle y\succeq x} が成立する。
社会的選択理論では、アローの定理の否定的結論から逃れることを試みて、多くの研究が行われてきた。ここではそれらのうちいくつかを、(i) アローの社会厚生関数と同様の定義域を持つ関数 (人々の選好順序のプロファイルを独立変数とする関数) を考察するもの、(ii) その他の種類のルールを考察するもの、に分類して採り上げる。
しかしそのアプローチでは、個人の選好の強度を考慮したり、効用 (の増減あるいは絶対レベルを) を個人間で比較することが可能になる。たとえば選択肢の良し悪しを個人の効用の合計によってはかるベンサム流の功利主義は Harsanyi (1955) によって正当化されている。また、選択肢の良し悪しを最も効用の低い個人の効用によって測るロールズ流の maximin 原理は Hammond (1976) によって正当化されている。
最後に、ある種のルールを考察するアプローチとは言えないが、「個人選好と同じように社会的選好があると考えるのはおかしい」というブキャナンらの批判がある。少なくとも一部は誤解にもとづくこの類いの初期の批判に対しては、アロー自身が答えている (Arrow, 1963, Chapter 8)。
1人はC > A > Bと投票
すると、2つの選択肢の間を取り出した多数票は、AはBに勝ち、BはCに勝ち、CはAに勝つことから、3すくみの関係になっている。この状況では、「多数票を得た候補が選挙に勝つ」という極めて基本的な多数決の要件を満たすような集計ルールは、社会的選好が推移的(または非循環的)でなければならないとすると、IIA基準を満足できない。つまり、仮にそのようなルールがIIA基準を満たすとすると、多数票は尊重されるので、社会的選好としてAはBに勝ち(A > Bが2票に対してB > Aは1票)、BはCに勝ち、CはAに勝つので循環が生じる。これは社会的選好が推移的であるとする仮定に矛盾する。
従って、アローの定理が本当に述べているのは多数決制の選挙制度が非自明なゲームだということで、殆どの選挙制度の結果を予見するにはゲーム理論を援用すべきだということである。任意のゲームには効率的な均衡が存在するとは限らないので、これは不本意な結果と見ることもできる。例えば、票は投じたものの本来誰1人として望んでいなかったような結果が出てしまう場合がある。
従って、社会的に完備な選好の順序付けを出力できねばならず、投票者の選好が同一である場合は、同一の結果を決定論的に出すことができなければならない。
無関係な選択肢からの独立性(英語版)(IIA). 選択肢 x と y にかかわる社会的選好が、それら2つの選択肢に関する個人の選好のみで決まること。また一般に、個人の選好がその他の「無関係な」選択肢 z (ある特定の部分集合の外にあるもの)について変化したとしても、元の部分集合に関する社会的選好が影響されないこと。これは例えば、候補者が2人である選挙に第3の候補が追加されたとしても、その第3の候補者が勝つ場合を除いて選挙結果が影響されないことである。
パレート効率性 (全会一致性). 社会の全員の選好が「x は y よりも望ましい」と一致している場合、社会的選好も「x は y よりも望ましい」となること。(すなわち「すべての個人 i {\displaystyle i} について x ≻ i y {\displaystyle x\succ _{i}y} 」ならば, x ≻ y {\displaystyle x\succ y} となる)
なお、以上の4条件は1963年に発表された第2版に基づく。1952年の初版では、パレート効率性に代えて次の2つの条件が挙げられており、計5条件とされていた。
単調性(英語版)(社会と個人の価値観の正相関):もし何れかの個人がある選択肢の評価を上げて選好順位を変えたなら、社会的選好順位も同じ選択肢の順位を上げるかまたは変化なしとなり、順位を却って下げる結果にはならないこと。