半群
D ( A ) = { u ∈ H 2 ( ( 0 , 1 ) ; R ) ∣ u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 } {\displaystyle D(A)=\{u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} )\mid u(0)=u(1)=0\}}
を定義域とする二階微分作用素とすれば、先ほどの初期値/境界値問題は空間 X 上の常微分方程式の初期値問題
{ u ̇ ( t ) = A u ( t ) ; u ( 0 ) = u 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}\end{cases}}}
として解釈することができる。発見的方法のレベルでいえば、この問題の解は u(t) = exp(tA)u0 という形をしている「はず」である。しかし厳密に言えば tA の冪とは何であるかということに意味を与えなければならない。t の函数としては、exp(tA) は X から X への作用素からなる半群であり、時刻 t = t0 において初期状態 u0 をとり、任意の時刻 t において状態 u(t) = exp(tA)u0 をとるものである。このとき、作用素 A はこの半群の無限小生成作用素と呼ばれる。