熱膨張
長さの変化量 Δ L {\displaystyle \Delta L} は、元の長さLに対して微小であり、その累乗ではごく微小となるため累乗付きの各項はほとんど無視できる。したがって
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \over L}=3\alpha _{L}\Delta T}
この近似値は温度変化やサイズ変化 ( Δ T {\displaystyle \Delta T} と Δ L {\displaystyle \Delta L} ) が小さい場合に当てはまる。大きな変化に関しては当てはまらず、上述式の第3項を(時には第4項も)考慮する必要がある。
同様に、面積熱膨張率は線膨張率の2倍となる。
α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}
こちらも体積と同じ手法(面積では直交2軸)で説明できる。また、大きな変化を扱う場合に当てはまらないのも同様である。簡潔に言うと、固体の長さが1 mから1.01 mに膨張した場合、面積は1 mから1.0201 mに、体積は1 mから1.030301 mに膨張する。
熱膨張は物質の粒子間の間隔を変化させ、それによって物質の体積を変化させる一方で、その質量を無視できる程度に変化させ(無視できる量は質量とエネルギーの等価性に基づく)、したがってその密度が変化して、それに作用する浮力に影響を及ぼす。これは、不均一に加熱された流体の対流において重要な役割を果たし、とりわけ熱膨張は一部の風や海流を発生させる役目を果たしている。
熱膨張を計算する場合、形状が自由に膨張するのか拘束されているかを考慮する必要がある。形状が自由に膨張する場合、温度上昇に起因する膨張やひずみは適用可能な熱膨張率を使って単純に求めることができる。
膨張できないよう形状が拘束されている場合、内部応力が温度変化によって引き起こされる(または変化する)。この応力は、弾性係数またはヤング率で規定される応力/ひずみ関係を通じて、形状が自由膨張した場合に生じるひずみと、そのひずみをゼロに減らすのに必要な応力を考慮することで算出できる。固体物質の場合では、通常だと環境から受ける圧力が物体のサイズに目立つほど影響しないため、一般的に圧力変化の影響を考慮する必要はない。
一般的な工学用の固体は通常、使用が想定された温度範囲で熱膨張率が大幅に変化することはない。そのため極端な高精度が要求されないのなら、膨張率の平均値を取ってその値が一定だと見なして実用的な計算を行うことができる。
気体はそれらが占める容器全体を満たすため、一定圧力での体積熱膨張係数 α V {\displaystyle \alpha _{V}} のみが対象となる。
理想気体の場合、理想気体の状態方程式 p V m = R T {\displaystyle pV_{\mathrm {m} }=RT} を微分することで容易に以下が得られる。
p d V m + V m d p = R d T {\displaystyle p\,\mathrm {d} V_{\mathrm {m} }+V_{\mathrm {m} }\,\mathrm {d} p=R\,\mathrm {d} T}
ここで p {\displaystyle p} は圧力、 V m {\displaystyle V_{\mathrm {m} }} はモル体積( V m = V / n {\displaystyle V_{\mathrm {m} }=V/n} ,で n {\displaystyle n} が気体の物質量)、 T {\displaystyle T} が絶対温度、 R {\displaystyle R} は気体定数である。