非線形シュレディンガー方程式
空間的変数x、時間的変数tを持つ複素数値関数φ=φ(x, t)に対し、次の非線形偏微分方程式
i φ t + p φ x x + q | φ | 2 φ = 0 ( i = − 1 ) {\displaystyle i\phi _{t}+p\phi _{xx}+q|\phi |^{2}\phi =0\qquad (i={\sqrt {-1}})}
を(一次元)非線形シュレディンガー方程式と呼ぶ。但し、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表しており、p、q は定数である。
変数の適当なスケール変換の下では、
i φ t + φ x x + 2 ε | φ | 2 φ = 0 ( ε = ± 1 ) {\displaystyle i\phi _{t}+\phi _{xx}+2\epsilon |\phi |^{2}\phi =0\qquad (\epsilon =\pm 1)}
の形に帰着させることができる。ここでε=±1はpq の符号に対応する。この方程式は、1次元シュレディンガー方程式のポテンシャル関数V の項を非線形項-2ε|φ|に置き換えた形となっている。ε=-1の場合は、斥力型のポテンシャルの場合に対応する。一方、ε=+1の場合、引力型のポテンシャルの場合に対応し、自己集束の効果を表す。