ヤコビ記号
であり、補足として
7. ( − 1 n ) = ( − 1 ) n − 1 2 = { 1 if n ≡ 1 ( mod 4 ) , − 1 if n ≡ 3 ( mod 4 ) , {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n-1}{2}}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}},\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}},\end{cases}}}
8. ( 2 n ) = ( − 1 ) n 2 − 1 8 = { 1 if n ≡ 1 , 7 ( mod 8 ) , − 1 if n ≡ 3 , 5 ( mod 8 ) . {\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\tfrac {n^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 1,7{\pmod {8}},\\-1&{\text{if }}n\equiv 3,5{\pmod {8}}.\end{cases}}}
性質4と8を組み合わせると
9. ( 2 a n ) = ( 2 n ) ( a n ) = { ( a n ) if n ≡ 1 , 7 ( mod 8 ) , − ( a n ) if n ≡ 3 , 5 ( mod 8 ) .
( a p ) = { 0 if a ≡ 0 ( mod p ) , 1 if a ≢ 0 ( mod p ) and for some integer x : a ≡ x 2 ( mod p ) , − 1 if a ≢ 0 ( mod p ) and there is no such x . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x\colon \;a\equiv x^{2}{\pmod {p}},\\-1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{array}}\right.}
空積での通常の慣例に従い、(a/1) = 1とする。
下の引数が奇素数である場合、ヤコビ記号はルジャンドル記号と同じである。