コンパクト化
相異なる μ , ν ∈ ω X {\displaystyle \mu ,\nu \in \omega X} について、超フィルターの一般論から、ある C ∈ μ , D ∈ ν {\displaystyle C\in \mu ,D\in \nu } が存在して C ∩ D = ∅ {\displaystyle C\cap D=\varnothing } 。 このとき U := ω X ∖ ( ω D ) {\displaystyle U:=\omega X\setminus (\omega D)} とすると μ ∈ U {\displaystyle \mu \in U} かつ ν ∉ U {\displaystyle \nu \notin U} となって、 ω X {\displaystyle \omega X} はT1空間。
C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を ω X {\displaystyle \omega X} 上の有限交叉的な閉集合族とする。このとき ω F {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}} が閉基であることから、 X {\displaystyle X} 上の有限交叉的な閉集合族 { C λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{C_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} で ⋂ C = ⋂ λ ∈ Λ ω C λ {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {C}}=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }} となるものが存在( ω C 0 ∩ ω C 1 ∩ ⋯ ∩ ω C n − 1 = ∅ ⇔ C 0 ∩ C 1 ∩ ⋯ ∩ C n − 1 = ∅ {\displaystyle \omega C_{0}\cap \omega C_{1}\cap \cdots \cap \omega C_{n-1}=\varnothing \Leftrightarrow C_{0}\cap C_{1}\cap \cdots \cap C_{n-1}=\varnothing } に注意)。
アレクサンドロフの一点コンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている:

(有限次元の)多様体や単体的複体などの幾何学の代表的な研究対象はハウスドルフ性と局所コンパクト性を満たすので、その一点コンパクト化はハウスドルフ性を満たす。
しかし無限次元ヒルベルト空間をはじめ解析学の研究対象には局所コンパクトではないものも多く、一点コンパクトのハウスドルフ性が保証されない。この為このような研究分野では一点コンパクトの適応範囲は限定的になる。