ルジャンドルの関係式
を代入すると
K ( k ) E ′ ( k ) + E ( k ) K ′ ( k ) − K ( k ) K ′ ( k ) = − C {\displaystyle K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)=-C}
が得られる。不完全楕円積分の極限を用いて
− C = K ( k ) E ′ ( k ) + E ( k ) K ′ ( k ) − K ( k ) K ′ ( k ) = lim x → 1 F ( x , 0 ) E ( x , 1 ) + E ( x , 0 ) F ( x , 1 ) − F ( x , 0 ) F ( x , 1 ) = lim x → 1 sin − 1  x ( x + tanh − 1  x − tanh − 1  x ) = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-C&=K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)\\&=\lim _{x\to 1}F(x,0)E(x,1)+E(x,0)F(x,1)-F(x,0)F(x,1)\\&=\lim _{x\to 1}\sin ^{-1}x\left(x+\tanh ^{-1}x-\tanh ^{-1}x\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}
が得られる。