カジュダン–ルスティック多項式
カジュダン・ルスティック多項式は、ヘッケ環の標準的な基底と自然な基底の間の変換係数として現れている。Inventiones(英語版) 誌の論文において、カジュダン・ルスティックはカジュダン・ルスティック予想として知られている2つの同値な予想を提出した。この予想は、複素半単純リー群およびリー環の表現論において長年の懸案であった問題と、カジュダン・ルスティック多項式の q = 1 での値とを結びつけるものであった。
W を有限ワイル群とし、ρ を対応するルート系の正ルートの総和の半分(ワイルベクトル)とおく。W の元 w に対し、Mw を最高ウェイト −w(ρ) − ρ のヴァーマ加群とし、Lw をその既約商、すなわち最高ウェイト −w(ρ) − ρ の既約加群とする。Mw と Lw はともに、W に対応する複素半単純リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の局所有限なウェイト加群であり、代数的指標が意味を持つ。一般に g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 X の指標を ch(X) とかく。カジュダン・ルスティック予想とは次のようなものである:
と求められる。カジュダン・ルスティック多項式は
q ( l ( w ) − l ( x ) ) / 2 D ( P x , w ) − q ( l ( x ) − l ( w ) ) / 2 P x , w = ∑ x < y ≤ w ( − 1 ) l ( x y ) q ( − l ( x ) + 2 l ( y ) − l ( w ) ) / 2 D ( R x , y ) P y , w {\displaystyle {\begin{aligned}&q^{(\ell (w)-\ell (x))/2}D(P_{x,w})-q^{(\ell (x)-\ell (w))/2}P_{x,w}\\&\qquad =\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (xy)}q^{(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))/2}D(R_{x,y})P_{y,w}\end{aligned}}}
という関係式の左辺を q, q の多項式とみたときに定数項がないことを用いて帰納的に計算することができる。この公式を手で計算するのは、コクセター群の階数が3を超えると非常に大変であるが、コンピュータで計算するのには向いている。ただし、階数が大きくなれば、W の位数が大きくなるため、この多項式の族の数が膨大になり、コンピュータの記憶容量を超えてしまう限界がある。