T分布
統計学および確率論において、t分布(ティーぶんぷ、またはスチューデントのt分布、英: Student's t-distribution)は、連続確率分布の一つであり、正規分布する母集団の平均と分散が未知で標本サイズが小さい場合に平均を推定する問題に利用される。また、 2つの平均値の差の統計的有意性を検討するt検定で利用される。t分布は、一般化双曲型分布の特別なケースである。
t分布は1908年にウィリアム・シーリー・ゴセットにより発表された。当時の彼はビール醸造会社であるギネスビールに雇用されており、ギネスビールでは秘密保持のため従業員による科学論文の公表を禁止していたので、彼はこの問題を回避するため「スチューデント」というペンネームを使用して論文を発表した。
その後、ロナルド・フィッシャーがこの論文の重要性を見抜きスチューデントのt分布と呼んだため、このように呼ばれるようになった。
f ( t ∣ X ̄ , S ) = Γ ( ( ν + 1 ) / 2 ) ν π Γ ( ν / 2 ) ( 1 + t 2 / ν ) − ( ν + 1 ) / 2 t = X ̄ − μ S / n {\displaystyle {\begin{aligned}f(t\mid {\overline {X}},S)&={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\\t&={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}}
である。これが、t分布が母標準偏差σ にはよらないという性質の反映である。不偏標準偏差 S {\displaystyle S} は既知であるから、tの確率分布から母平均値μの確率分布を求めることができ、これを用いてμの区間推定や、仮説検定を行うことができる。
t分布を用いた母集団の平均値μの区間推定では、t=0について対称な区間で、その区間に亘る確率密度の積分値が95%となる区間(95%信頼区間)を考え、これに対応するμの区間を信頼区間 (CI) とする方法が広く用いられている(99%信頼区間を用いる場合も有る)。
t分布を用いた母集団の平均値μの仮説検定では、tの値が予め定めたα水準の下での信頼区間(95%あるいは99%)に含まれるか否かを判定基準とし、含まれる場合は母集団の平均値がμであるという仮説(帰無仮説)は棄却されず、区間からはみ出す場合は仮説を棄却する。