ディガンマ関数
R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0} のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。
ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s − 1 ( 1 + s ) z ) d s s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}e^{-s}-{\frac {1}{(1+s)^{z}}}{\biggr )}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}}
ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s s − e − z s 1 − e − s ) d s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {e^{-s}}{s}}-{\frac {e^{-zs}}{1-e^{-s}}}{\biggr )}\mathrm {d} s}
ψ ( z ) = − γ + ∫ 1 ∞ s z − 1 − 1 s z ( s − 1 ) d s {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{1}^{\infty }{\frac {s^{z-1}-1}{s^{z}(s-1)}}\mathrm {d} s}
ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。
ψ ( 1 − z ) − ψ ( z ) = π cot  ( π z ) {\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)}
但し、 cot  ( π z ) {\displaystyle \cot(\pi z)} は余接関数を表す。