線形予測法
e ( n ) = x ( n ) − x ^ ( n ) = x ( n ) + ∑ i = 1 p a i x ( n − i ) = ∑ i = 0 p a i x ( n − i ) {\displaystyle e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)=x(n)+\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)=\sum _{i=0}^{p}a_{i}x(n-i)}
ここで、係数 a i {\displaystyle a_{i}} について a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} とし、自明な解を防ぐのが一般的である。これにより上述と同じになるが、正規方程式は以下のようになる。
R a = [ 1 , 0 , . . . , 0 ] T {\displaystyle \ Ra=[1,0,...,0]^{\mathrm {T} }}
ここで、インテックス i の範囲は 0 から p、R は (p + 1) 行 (p + 1) 列の行列である。
パラメータの最適化は大きな問題であり、他にも様々な手法が提案されている。
その中でも自己相関手法が最もよく使われており、例えばGSMでの音声符号化に使われている。
行列方程式 Ra = r の解の計算は、比較的時間のかかる処理である。ガウスの消去法を使った解法が最も古くからあるが、R と r の対称性をうまく利用していない。より高速なアルゴリズムとして、1947年に Norman Levinson が考案したレビンソン再帰という再帰的解法がある。その後、Philippe Delsarte らが、これを改良した分割レビンソン再帰というアルゴリズムを発表した。これは、乗除算回数を約半分にしたもので、パラメータベクトルの特殊な対称性をそれぞれの再帰で利用する。