円分多項式
一般に n 次方程式は代数的閉体において、重根を含め n 個の根を持つ。特に、複素数体は代数的閉体であるから、方程式 x − 1 = 0 は複素数の範囲で n 個の根を持つ。
実際 e は k を 1 から n まで変化させると方程式 x − 1 = 0 の n 個の異なる根をすべて与える。複素平面上にあるこれらの根は単位円の弧を n 等分する。これが円分多項式と呼ばれる所以である。
例えば、x − 1 = 0 は i, −1, −i, 1 の4つの根を持ち、k = 1, 2, 3, 4 に対応する。1 と −1 は2乗すると 1 になるので、x − 1 = 0 の根でもある。一方、i, −i は4乗しなければ 1 とならない。この2つを根に持つ方程式が Φ4(x) = x + 1 である。このように n 乗して初めて 1 となる複素数(1 の原始 n 乗根)全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 Φn(x) である。