クリフォード代数
ただし
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}
は極化恒等式(polarization identity)によって Q と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。
標数 2 の場合の二次形式とクリフォード代数は例外的な場合になる。特に、char(K) = 2 であれば、二次形式が対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式が直交基底を持つということは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。
この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び x と表記する
x ̄ = α ( t x ) = t ( α ( x ) ) . {\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (^{t}\!x)={}^{t}\!(\alpha (x)).}
2 つの反自己同型のうち転置はより基本的である。
これらの演算は全て対合であることに注意しよう。それらは Z-次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、x が pure で次数 k であれば、
α ( x ) = ± x t x = ± x x ̄ = ± x {\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad {}^{t}\!x=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}
ただし符号は以下の表によって与えられる:
e 2 e 3 = − e 3 e 2 , e 3 e 1 = − e 1 e 3 , e 1 e 2 = − e 2 e 1 , {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2},\,\,\,\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3},\,\,\,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1},\!}
および
e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1\!}
を生み出す。クリフォード代数 Cl0,3(R) の一般の元は
A = a 0 + a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 2 e 3 + a 5 e 3 e 1 + a 6 e 1 e 2 + a 7 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle A=a_{0}+a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+a_{5}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+a_{6}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\!}