自由境界問題
∫ Ω ( ∇ 2 u + f ) ( v − u ) d x ≥ 0 for all v ≤ φ . {\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla ^{2}u+f)(v-u)\,\mathrm {d} x\geq 0{\text{ for all }}v\leq \varphi .}
この定式化は、弱解の定義を許すものである:最後の方程式に対して、部分積分を行うことにより
∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ ( v − u ) d x ≤ ∫ Ω f ( v − u ) d x for all v ≤ φ {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (v-u)\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }f(v-u)\,\mathrm {d} x{\text{ for all }}v\leq \varphi }
が得られる。この定義では、多くの楕円型境界値問題の弱定式化と同様に、u が一階微分を持つことのみ要求されている。