ミルナー数
f が有限のミルナー数 μ を持っているとし、 g 1 , ... , g μ {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }} をベクトル空間と考えて局所代数の基底とすると、f のミニバーサルな変形は次で与えられる。
F : ( C n × C μ , 0 ) → ( C , 0 ) , {\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}
F ( z , a ) := f ( z ) + a 1 g 1 ( z ) + ⋯ + a μ g μ ( z ) , {\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}
ここに、 ( a 1 , ... , a μ ) ∈ C μ {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }} である。 これらの変形(あるいはアンフォールディング(unfolding))は多くの科学で非常に興味を持たれている。
f ( x , y ) = x 3 + x y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{3}+xy^{2}} とすると、
A f = O / ⟨ 3 x 2 − y 2 , x y ⟩ = ⟨ 1 , x , y , x 2 ⟩ . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}-y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .}
が成り立つので、この場合は、 μ ( f ) = 4 {\displaystyle \mu (f)=4} となる。