コンウェイのチェーン表記
コンウェイのチェーン表記は、このクヌースの矢印表記の一般化、拡張である。以下チェーンの各項はすべて自然数であるものとする。
コンウェイはまず長さが 3 のチェーンを、クヌースの矢印表記を用いて次のように与えた。
( 4 ) a → b → c = a ↑ ⋯ ↑ ⏟ c 本 b = a ↑ c b {\displaystyle (4)\qquad a\rightarrow b\rightarrow c=a\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{c{\text{本}}}b=a\uparrow ^{c}b} ( a → b = a b {\displaystyle a\rightarrow b=a^{b}} とも書き換えられる)
このチェーンによって (3) を書き換えると次のような式になる。これは末尾 → c のチェーンを末尾 → (c − 1) のチェーンに分解する式となっている。
この式の a を部分チェーン X に置き換えることで、長さが 4 以上のチェーンに対する式が得られる。
( 6 ) X → b → c = X → { X → ( b − 1 ) → c } → ( c − 1 ) = X → ( X → ( ⋯ → ( X → ( X ⏟ b ) → ( c − 1 ) ) → ⋯ ) → ( c − 1 ) ) → ( c − 1 ) ⏟ b − 1 {\displaystyle (6)\qquad X\rightarrow b\rightarrow c=X\rightarrow \left\{X\rightarrow (b-1)\rightarrow c\right\}\rightarrow (c-1)=\underbrace {X\rightarrow {\biggl (}X\rightarrow {\biggl (}\cdots \rightarrow {\Bigl (}X\rightarrow (\quad X} _{b}\quad \underbrace {)\rightarrow (c-1){\Bigr )}\rightarrow \cdots {\biggr )}\rightarrow (c-1){\biggr )}\rightarrow (c-1)} _{b-1}}
さらにコンウェイはチェーン末尾の→ 1は無視されるとした。従って式 (5), (6) を繰り返して末項を 1 にすることで、長さが 1 短いチェーンへと分解することができる。
( 7 ) a 1 → ⋯ → a n → 1 = a 1 → ⋯ → a n {\displaystyle (7)\qquad a_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow a_{n}\rightarrow 1=a_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow a_{n}}
また、この規則から長さが 2 のチェーンは累乗となる。
さらにコンウェイはチェーン途中の→ 1の右側の全ても無視されるとした。それにより4つ組チェーンの計算も行える。
a → b → ⋅ ⋅ ⋅ → z → 1 → ⋅ ⋅ ⋅ = a → b → ⋅ ⋅ ⋅ → z {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow \cdot \cdot \cdot \rightarrow z\rightarrow 1\rightarrow \cdot \cdot \cdot =a\rightarrow b\rightarrow \cdot \cdot \cdot \rightarrow z}
矢印表記やチェーン表記の拡張版として、クリス・バード(Chris Bird)によって考案された回転矢印表記というものもある。この表記法ではその矢印の回転を繰り返すことにより、非拡張チェーンを遥かに超える巨大な数が表記可能となる。これは2chの巨大数スレッドで一時期ある程度使われたことがある。ただしこれは発想こそ単純であるものの、ピーター・ハーフォードの拡張チェーン表記とほぼ同等の増加速度であり、それと比べると若干定義が複雑なことと、配列表記の方が効率的に数の大きさを爆発させることができることもあり、近年ではこの回転矢印表記が用いられることはほとんどなくなっている。