ホモトピー
また 2 つの道 α, β の間にホモトピーが存在するとき、α と β は互いにホモトープ (homotop)、ホモトピック (homotopic) である、または、同じホモトピー型であるといい、
α ≃ β {\displaystyle \alpha \simeq \beta }
と表す。また特に、始点と終点をそれぞれ共有する 2 つの道が与えられたとき、その始点と終点を固定するようなホモトピーを道ホモトピーあるいは端点を固定するホモトピーという。直観的には、ホモトピックな 2 つの道は片方を X 内で動かして他方に変形できる。「ホモトピー型が同じである」という関係 ≃ {\displaystyle \simeq } は同値関係であり、同値類が定義できる。この同値関係に関して道 α が属する同値類のことを α のホモトピー類といい、[α] などで表す。
2 つの道を端点で「つなぐ」ことで次のように積 * を定義することができる: 道 α, β に対して、α(1) = β(0) が成り立つとき、
α β ( t ) = { α ( 2 t ) ( 0 ≤ t ≤ 1 2 ) , β ( 2 t − 1 ) ( 1 2 < t ≤ 1 ) .