フルヴィッツの定理 (複素解析)
f を複素平面の開集合上の解析関数で、z0 において m 位の零点を持つとし、{fn} はコンパクト部分集合上 f に一様収束する関数列とする。ρ > 0 を 0 < |z−z0| ≤ ρ において f(z) ≠ 0 となるようにとって固定する。δ を円周 |z−z0| = ρ 上 |f(z)| > δ であるようにとる。fk(z) は選んだ円板上一様収束するから、ある N が存在して、|fk(z)| ≥ δ/2 がすべての k ≥ N と円周上のすべての z に対して成り立つ。このとき商 fk′(z)/fk(z) は円周 |z−z0| = ρ 上のすべての z に対してきちんと定義されている。モレラの定理によって
f k ′ ( z ) f k ( z ) → f ′ ( z ) f ( z ) . {\displaystyle {\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.}
は一様収束である。円板内の fk(z) の零点の個数を Nk とすれば、偏角の原理によって次が成り立つ。