ネットワーク理論
ワッツ・ストロガッツのランダムグラフモデルは、スモール・ワールド特性を持つグラフを生成するモデルである。このモデルを生成するためにはまず格子構造が必要である。ネットワークの各ノードは、当初は、その ⟨ k ⟩ {\displaystyle \langle k\rangle } 隣のノードにリンクされている。もう1つのパラメータとして、再配線確率が必要である。各エッジは確率 p {\displaystyle p} でランダムエッジとして再配線される。このモデルで再配線されるリンクの期待値は p E = p N ⟨ k ⟩ / 2 {\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2} である。
このモデルは、最初は非ランダムの格子構造なので、平均距離が高いとともにクラスター係数が非常に高い。再配線の確率が上がるにつれて、クラスター係数は平均距離よりも遅く減少する。この特徴はクラスター係数の減少を抑えながら、ネットワークの平均距離が大幅に減少することを可能にする。確率 p {\displaystyle p} の値が高いほど、多くのエッジが再配線され、ワッツ・ストロガッツモデルは実質的にランダムなネットワークになる。
結果として、 η {\displaystyle \eta } がべき乗則として分配される場合、ノード次数も同様になる。速い崩壊確率分布ではリンク関数と共に、 ρ ( η ) = e − η {\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }} と f ( η i , η j ) = Θ ( η i + η j − Z ) {\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)} となる。
ヘヴィサイド関数の Z {\displaystyle Z} 定数と Θ {\displaystyle \Theta } を使用すると、スケールフリーのネットワークとなる。
このモデルは、さまざまなノード i , j {\displaystyle i,j} に対するフィットネスにGDPを使用することによって、国家間の貿易を記述することに成功している:
δ η i η j 1 + δ η i η j {\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}}