集合函数
f ( ⋃ j = 1 m A j ) ≤ ∑ j = 1 m f ( A j ) ( if ⋃ j = 1 m A j ∈ C ) . {\displaystyle f(\bigcup _{j=1}^{m}A_{j})\leq \sum _{j=1}^{m}f(A_{j})\quad ({\text{if }}\bigcup _{j=1}^{m}A_{j}\in {\mathcal {C}}).}
集合函数 f に対して以下のような性質を考えることができる。以下、各集合は全体集合 Ω の適当な部分集合族 C から取るものとする。
f ( A ∪ B ) ≤ f ( A ) + f ( B ) ( if A ∪ B ∈ C ) {\displaystyle f(A\cup B)\leq f(A)+f(B)\quad ({\text{if }}A\cup B\in {\mathcal {C}})}
単調増大列 Aj に対して f ( ⋃ i ∈ N A i ) = sup i ∈ N f ( A i ) ( if ⋃ j ∈ N A j ∈ C ) . {\displaystyle f(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i})=\sup _{i\in \mathbb {N} }f(A_{i})\quad ({\text{if }}\bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\in {\mathcal {C}}).}
⋃ j ∈ N A j = Ω ∧ f ( A j ) < ∞ ( ∀ j ∈ N ) . {\displaystyle \bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j}=\Omega \land f(A_{j})<\infty \quad (\forall j\in \mathbb {N} ).}