楕円有理関数
その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数 q ( k ) ≡ exp  ( − π K ′ ( k ) / K ( k ) ) {\displaystyle q(k)\equiv \exp(-\pi K'(k)/K(k))} を用いるとその関係は q ( 1 / L n ) = { q ( 1 / ξ ) } n {\displaystyle q(1/L_{n})=\{q(1/\xi )\}^{n}} と表せる。そうして ξ {\displaystyle \xi } を与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値として 1 / L n {\displaystyle 1/L_{n}} が求まる(楕円nome関数 q ( k ) {\displaystyle q(k)} の逆関数 k = k ( q ) {\displaystyle k=k(q)} の値は | q | ≪ 1 {\displaystyle |q|\ll 1} のとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる)。
多くの場合、特にnが = 23、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。 楕円有理関数は、チェビシェフ多項式と密接な関係にあり、三角関数がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。