開写像と閉写像
関数 f : X → Y が開であることとすべての x ∈ X と x のすべての(いくらでも小さい)近傍 U に対して f(x) のある近傍 V が存在して V ⊂ f(U) であることは同値である。
X の基底について開かどうかを調べれば十分である。つまり、関数 f : X → Y が開であることと f が基本開集合を開集合に写すことは同値である。
開写像と閉写像は開核作用素と閉包作用素によって特徴づけることもできる。f : X → Y を関数とする。このとき
f が開であることとすべての A ⊆ X に対して f(A°) ⊆ f(A)° であることは同値である
f が閉であることとすべての A ⊆ X に対して f(A) ⊂ f(A) であることは同値である
2つの開写像の合成はまた開である。2つの閉写像の合成はまた閉である。
2つの開写像の積は開であるが、2つの閉写像の積は閉とは限らない。
全単射な写像が開であることと閉であることは同値である。全単射連続写像の逆写像は全単射開/閉写像である (and vice-versa)。
全射開写像は閉写像であるとは限らず、同様に全射閉写像は開写像であるとは限らない。
f : X → Y を開または閉な連続写像とする。このとき
f が全射であれば商写像であり、
f が単射であれば位相的埋め込みであり、
f が全単射であれば同相写像である。
最初の 2 つのケースでは、開あるいは閉であることは結果が従うための十分条件に過ぎない。3 つ目のケースでは必要条件でもある。