調和振動子
量子力学における1次元の調和振動子の運動をアニメーションで示す(図1)(図2)。青い曲線が粒子の波動関数の実部である。緑の曲線が粒子の存在確率密度である。
量子力学では粒子の運動状態を波動関数で表す。波動関数は一般に複素数で与えられる。波動関数の絶対値の2乗が存在確率密度を表す。図1、図2に示される存在確率密度の変動は古典論での粒子の単振動に対応している。
波動関数は一般に
ψ ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ C n φ n ( x ) exp  ( − i ω ( n + 1 2 ) t ) {\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\phi _{n}(x)\exp \left(-i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}
とかける。ただし C n {\displaystyle C_{n}} は波束を決定する係数である。初期条件として零点振動の中心を x 0 {\displaystyle x_{0}} だけ変位させた波束
ψ ( x , 0 ) = A exp  ( − m ω 2 ħ ( x − x 0 ) 2 ) {\displaystyle \psi (x,0)=A\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x-x_{0})^{2}\right)}
を選ぶ(ただし x 0 {\displaystyle x_{0}} は任意の定数)と、係数 C n {\displaystyle C_{n}} はエルミートの多項式の直交性から
ξ 0 = 0.0 {\displaystyle \xi _{0}=0.0} では 1 ≦ n {\displaystyle 1\leqq n} の n {\displaystyle n} に対して C n = 0 {\displaystyle C_{n}=0} になる。すなわち波動関数が
ψ ( x , t ) = C 0 φ 0 ( x ) exp  ( − i ω 2 t ) {\displaystyle \psi (x,t)=C_{0}\phi _{0}(x)\exp \left(-{\frac {i\omega }{2}}t\right)}
となる。波動関数は定常波のように振動する。この振動が零点振動である。存在確率密度が時間変化しない定常状態となる。エネルギー固有値は零点エネルギー E n = 1 2 ħ ω {\displaystyle E_{n}={\frac {1}{2}}\hbar \omega } であり、エネルギー状態は基底状態である。基底状態はエネルギーが0の状態ではないので波動関数は運動する。