ラマヌジャン・ピーターソン予想
| τ ( p ) | ≤ 2 p 11 / 2 {\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}
を満たすであろうと述べる。
本予想は20世紀の数論と代数幾何学を牽引した重要な予想の一つとなり、後にヴェイユ予想に帰着され、1974年にドリーニュがヴェイユ予想を解決したことにより解決された。
一般ラマヌジャン予想 (generalized Ramanujan conjecture) またはラマヌジャン・ピーターソン予想 (Ramanujan–Petersson conjecture) は、狭義にはPetersson (1930)にて提出されたもので、他のモジュラー形式や保型形式へのラマヌジャン予想の一般化である。広義には多くのバリエーションが存在し、中でもオリジナルのような1変数正則保型形式と異なり、多変数や非正則の保型形式を扱う場合については反例も知られ、未解決である。
実際は、保型形式のL-函数はオイラー積 (1) を満たすが、完全乗法性を持たないので(2)を満たさない。しかし、1916年にラマヌジャンは、保型形式のL-函数が次の関係式を満たすであろうことを発見した。
L ( s , τ ) = ∏ p ( 1 − τ ( p ) p s + 1 p 2 s − 11 ) − 1 . {\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {\tau (p)}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s-11}}}{\biggr )}^{-1}.} (3)
ここに、τ(p) はラマヌジャンのタウ函数である。(3) の中の項 +1/(p) は、完全乗法性からの差異と考えられる。上のL-函数をラマヌジャンのL-函数と言う。