相対論的量子力学
ローレンツ不変な相対性理論の分散関係 E 2 = m 2 c 4 + p → 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+{\vec {p}}^{\ 2}c^{2}} を量子(演算子)化することで最初の相対論的な量子力学の方程式が考案された。
− ħ 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( t , x ) = ( − ħ 2 c 2 ∇ 2 + m 2 c 4 ) ψ ( t , x ) {\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,\mathbf {x} )=\left(-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi (t,\mathbf {x} )}
これをクライン-ゴルドン方程式という。このとき E = i ħ ∂ t {\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}} 、 p → = − i ħ ∇ → {\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}} と量子化してある。この方程式はローレンツ変換に対して不変であり、確かに特殊相対性理論を満たしていることがわかる。ダランベルシアンを用いて書き直せば時空を同等に扱っているのはより明らかとなる。クライン-ゴルドン方程式は相対論的量子力学の基礎方程式であり、相対論的量子力学の方程式はこれを満たさねばならない。またクライン-ゴルドン方程式にはスピンの概念は入っておらず、スピンが0の粒子を記述する方程式である。