フレシェ空間
先の定義とは別に、ある意味でより実用的な定義が以下のように与えられる。位相線型空間 X がフレシェ空間であるとは以下の三条件を満たすことを言う:
X はハウスドルフ空間である。
X の位相は半ノルムの可算族 ‖•‖k (k = 0,1,2,...) から誘導される。これは、X の部分集合 U が開であることと、U の各点 u において適当な K ≥ 0 と ε > 0 を選べば、集合 {v : ‖u - v‖k < ε for all k ≤ K} が U に含まれるようにすることができることとが同値となることを意味する。
X はこの半ノルム族に関して完備である。
半ノルム族で定義されるフレシェ空間 X においては、X 内の点列 (xn) が x に収束することと、その点列が所与の半ノルムの各々に関して x に収束することとが同値になる。
(通常の多様体が局所的にユークリッド空間であるのと同様にして)「局所的に」フレシェ空間であるような空間としてフレシェ多様体の概念を考えることができる。またリー群の概念をフレシェ多様体に対するものへ拡張することもできる。これは例えば(通常の)コンパクト C-多様体 M が与えられれば、その上の C-微分同相 ƒ: M → M の全体が、いま言った意味での一般化されたリー群を成すことから有用で、この意味でのリー群によって M の対称性の群をとらえることができるようになる。リー群とリー環との間の関係も、いくらかはこの拡張された意味のリー群についても成り立つ。