複素測度
複素測度 μ に対し、その変分(variation)あるいは絶対値(absolute value) |μ| は次の式で定義される:
| μ | ( A ) = sup ∑ n = 1 ∞ | μ ( A n ) | {\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}
ここで A は Σ に属し、上限は合併が A となるような素集合 (An)n の列すべてに対して取られるものとする。集合 A を有限の回数で可測部分集合へと区分するとき、同値な定義を得ることが出来る。
|μ| は非負の有限測度であることが分かる。複素数が極形式で表現されるのと同様に、複素測度に対しては極分解(polar decomposition)が存在する:実数値の可測関数 θ で、
d μ = e i θ d | μ | {\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |\,}
を満たすようなものが存在する。ただしこの式は
∫ X f d μ = ∫ X f e i θ d | μ | {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}
が任意の絶対可積分可測関数 f に対して成立することを意味する。ここで f が絶対可積分であるとは
∫ X | f | d | μ | < ∞ . {\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}
が成り立つことを言う。ラドン=ニコディムの定理を使うことで、この変分が測度であることと、極分解の存在を証明することが出来る。