ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
あるヒルベルト空間 H(例えば、有限次元空間 C)と、自己共役作用素からなるある commuting set F ⊆ Hom  ( H , H ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)} を考える。このとき、適切な条件下で、同時(ユニタリ)対角化を行うことが出来る。すなわち、それらの作用素の共通の固有ベクトルからなる正規直交基底 Q が存在する。式で表すと、
( ∀ q ∈ Q , T ∈ F ) ( ∃ σ ∈ C ) ( T − σ ) q = 0 {\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})~(\exists {\sigma \in \mathbb {C} })~(T-\sigma )q=0\,}
となる。
補題: F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} 内のすべての作用素はコンパクトであると仮定する。このとき、すべての閉かつ非ゼロな F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} -不変部分空間 S ⊆ H には、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} に対して共通の固有ベクトルが存在する。
証明(補題): ケース I:すべての作用素がちょうど一つの固有値を持つ場合。このときは、単位長の任意の s ∈ S {\displaystyle s\in S\,} が共通の固有ベクトルとなる。
定理 実あるいは複素ヒルベルト空間 H 上のすべてのコンパクトな自己共役作用素 T に対し、T の固有ベクトルからなる H の正規直交基底が存在する。より具体的に言うと、T の核の直交補空間は、T の固有ベクトルの有限な正規直交基底か、T の固有ベクトルの可算無限個の正規直交基底 {en} で対応する固有ベクトル {λn} ⊂ R が λn → 0 を満たすようなもののいずれかとなる。
言い換えると、コンパクトな自己共役作用素はユニタリ対角化可能ということになる。これがスペクトル定理である。
H が可分であるなら、基底 {en} を T の核の可算な正規直交基底と混合することが出来、T の固有ベクトルと、対応する実固有値 {μn} が μn → 0 を満たすようなものからなる H に対する正規直交基底 {fn} が得られる。
系 可分な実あるいは複素無限次元ヒルベルト空間 H 上のすべてのコンパクトな自己共役作用素 T に対し、T の固有ベクトルと対応する固有値 {μn} ⊂ R で μn → 0 を満たすようなものからなる、H の可算無限個の正規直交基底 {fn} が存在する。
ユニタリ作用素 U のスペクトルは、複素平面内の単位円上に存在する。単位円全体であることもあり得る。しかし、U が恒等作用素にコンパクトな摂動を加えた作用素として与えられるなら、U は可算個のスペクトルのみを持ち、それには 1 が含まれ、有限集合あるいは単位円上で 1 へと収束する列が含まれ得る。より正確に、コンパクトな C に対して U = I + C であると仮定する。このとき、方程式 UU* = U*U = I および C = U − I より、C は正規作用素であることが分かる。C のスペクトルは 0 を含み、有限集合か、あるいは 0 に収束する列を含み得る。U = I + C であることから、U のスペクトルは C のスペクトルを 1 だけシフトすることで得られる。
n × n エルミート行列に対するスペクトル定理の証明は、ある固有ベクトル x の存在を示すことにかかっている。もしもこれが示されたなら、エルミート性により x の線型包と直交補空間のいずれもが T の不変部分空間となる。すると求める結果は反復法により求められる。そのような固有ベクトルの存在を示すには、少なくとも次の二つの方法がある:
代数的に論じること。すなわち、T の特性多項式が複素根を持つことから、T は固有値と対応する固有ベクトルを持つと結論付ける。
固有値を変分的に特徴付けること。すなわち、ƒ(x) = x*Tx = <Tx, x> で定義される関数 ƒ: R → R の閉単位球上での最大値が、最大固有値となる。
注釈 無限次元の場合、第一の手法の一部分はより一般的に適用される。すなわち、必ずしもエルミートでなくてもよく、任意の正方行列が固有ベクトルを持つ、となる。これはヒルベルト空間上の一般的な作用素に対しては単純に真とはならない。
コンパクト自己共役の場合のスペクトル定理も同様に得ることが出来る。すなわち、上述の第二の無限次元に関する議論を拡張することで、ある固有ベクトルを得ることが出来、そののち反復法を使えば良い。