フレドホルム作用素
X と Y がヒルベルト空間であるとき、同じ結論がエルミート共役 T に対して成立する。
T がフレドホルム作用素で K がコンパクト作用素なら、T + K はフレドホルム作用素となる。T についてのコンパクトな摂動の下でも T の指数は一定である。このことは T + s K の指数 i(s) が [0, 1] に含まれるすべての s に対して整数で、かつ i(s) が局所定数函数となることから i(1) = i(0) が成立するという事実により従う。
そのような摂動に関する不変性は、コンパクト作用素以外の作用素に対しても成立する。たとえば T がフレドホルム作用素で S が厳密特異作用素であるとき、T + S は T と指数の等しいフレドホルム作用素となる。ここで、X から Y への有界線形作用素 S が厳密特異であるとは、X の任意の無限次元部分空間 X0 への作用素 S の制限が同型とならないこと、すなわち
inf { ‖ S x ‖ : x ∈ X 0 , ‖ x ‖ = 1 } = 0 {\displaystyle \inf\{\|Sx\|:x\in X_{0},\,\|x\|=1\}=0\,}
が成立することを意味する。