接束
M が滑らかな n 次元多様体であれば、それはチャート (Uα, φα) のアトラスをもつ、ただし Uα は M の開集合で
φ α : U α → R n {\displaystyle \phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbf {R} ^{n}}
は微分同相である。U 上のこれらの局所座標は TxM と R の間の同型を各 x ∈ U に対して生じる。そうすると写像
φ ~ α : π − 1 ( U α ) → R 2 n {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbf {R} ^{2n}}
を
φ ~ α ( x , v i ∂ i ) := ( φ α ( x ) , v 1 , ⋯ , v n ) {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }(x,v^{i}\partial _{i}):=(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n})}
によって定義できる。
が存在する。この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には(下のセクションで記述される)自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束(ファイバーがベクトル空間であるファイバー束)の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能(英語版) (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き(英語版) であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ⊕ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 S はすべての n に対して枠付きであるが、(Bott-Milnor と Kervaire の結果によって)n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。