スピン構造
スピン構造がベクトル束の随伴スピン束への持ち上げであるのに対して、ベクトル構造とは他の束の随伴ベクトル束への持ち上げを言う。
たとえば、SO(8)-束を考えると、群 SO(8) は三つの八次元表現を持っていて、そのうち二つはスピノル的であり、そのひとつはベクトル表現である。これら三つの表現は同型により互いに取り換えることができて、三対性 (triality) と呼ばれる。SO(8)-ベクトル束 E を与えたとき、付随するスピン束に関する障害は、二次スティーフェル–ホイットニー類 w2(E)(これは Z2-係数二次コホモロジー群の元)である。三対性により、与えられた SO(8)-スピン束 F の随伴ベクトル束の存在に対する障害が、同じコホモロジー群の別の元(これをしばしば ˆw2(F) と書く)であることがわかる。
物理学においてベクトル構造が初めて考慮されたのは、論文 Berkooz, Micha; Leigh, Robert; Polchinski, Joseph; Schwarz, John; Seiberg, Nathan; Witten, Edward. “Anomalies, Dualities and Topology of D=6, N=1 Superstring Vacua”. http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9605184 である。彼らは、I-型の弦理論(英語版)(その配置は、その上に Spin(32)/Z2-主束を持つ10次元多様体からなる)を考えた。そのような束はベクトル構造を持ち、それゆえすべての三重交叉上の遷移函数の三重積が Z2-商の自明元であるとき SO(32)-束に持ち上がる。これが起こるのはちょうど Z2-係数特性 2-コサイクル ˆw2 が消えるときである。
続く年、Sen, Ashoke; Sethi, Savdeep. “The Mirror Transform of Type I Vacua in Six Dimensions”. http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9703157 は、I-型超弦理論は(流束の無い場合において)この特性類が自明である場合に限り無矛盾 (consistent) であることを実証した。より一般に、I-型弦理論においてB-場は Z2-係数二次のコホモロジーに属する類でもあり、彼らはこれが ˆw2 と等しくなければならないことを示している。