Lp空間
は p = 1 (調和級数)に対しては発散するが、p > 1 に対しては収束するからである。
∞-ノルムは上限を使うことで次のように定義できる:
‖ x ‖ ∞ := sup { | x 1 | , | x 2 | , ... , | x n | , | x n + 1 | , ... } . {\displaystyle \ \|x\|_{\infty }:=\sup\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dotsc \}.}
そして対応する有界数列の空間 l も定義できる。によると、
‖ x ‖ ∞ = lim p → ∞ ‖ x ‖ p {\displaystyle \ \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}
は、右辺が有限であるか左辺が無限である場合に成立することが分かる。以上より、1 ≤ p ≤ ∞ に対して l 空間を考えることが出来る。
l について定義される p-ノルムは実際にノルムであり、このノルムの下で l はバナッハ空間となる。より完全に一般的な L 空間は、後述のように、ベクトルが有限あるいは可算個の成分を含む場合のみならず、「任意に多くの成分」として無限個の成分を含むような場合、すなわち函数である場合を考えることで得られる。そこでは p-ノルムを定義する上で、和の代わりに積分が用いられる。
実数 p ≥ 1 に対して、x の p-ノルム(p-乗平均ノルム)あるいは L-ノルムは次で定義される:
‖ x ‖ p := ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p . {\displaystyle \|x\|_{p}:={\Bigl (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}{\Big )}^{\!1/p}.}
この語法のもとでは、上述のユークリッドノルムは 2-ノルム、マンハッタン距離は 1-ノルムと呼ぶことができる。
L-ノルム、最大値ノルム(あるいは一様ノルム)は、 p → ∞ {\textstyle p\to \infty } に対する L-ノルムの極限として、
と定められる(これはチェビシェフ距離である)。
任意の p ≥ 1 に対し、上で定義された p-ノルムおよび最大ノルムは、実際「距離関数」(あるいはノルム)の性質を満たす。すなわち、次を満たす:
長さゼロとなるのは、ゼロベクトルのみである;
ベクトルの長さはスカラー倍に対して正の斉次性を持つ;
二つのベクトルの和の長さは、それらのベクトルの長さの和よりも小さい(三角不等式)。
抽象的に言えば、このことは p-ノルムを備える R はバナッハ空間であることを意味する。このバナッハ空間が R 上の L-空間である(後述)。
統計学において、平均値や中間値、標準偏差のような中心的傾向(英語版)や統計的ばらつきの尺度は、L の距離に関して定義される。そして中心的傾向の尺度は、変分問題の解として特徴付けられる。