インダクタンス
(3):マクスウェル方程式 ∇ × H = j + ε ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+\varepsilon {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}} と電場の時間微分 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}} が無視できるほど小さいという仮定から従う。ここで ε はインダクタの芯を構成する物質の誘電率である。
(6):インダクタの内部では磁力線が密につまっておりしかもその向きが揃っているのに対し、インダクタの外側では磁力線はちらばっており向きも揃っていない。従ってインダクタの長さが十分長ければ、(6)の右辺の線積分は積分経路が CP 上にあるときの積分値の方が積分経路が CP 上にあるときの積分値と比べはるかに大きいため、後者の積分は無視できる。
(7)の両辺を P に関して積分することで、
(8)の左辺の積分内は時刻のみに依存する値なので、 |S|を S の面積とすれば、
が成り立つ。
一方(8)の右辺は以下のように変形できる:
ここで μ はインダクタの芯を構成する物質の透磁率であり、(11)は磁束の定義から従う。 一方(10)は以下の理由により従う:インダクタが十分長いという仮定より、インダクタを構成する円柱のどの断面でも磁束はほぼ等しくなる。
(A)は(8)、(9)、(12)から従う。
上述した自己インダクタンスの式 V = L d I d t {\displaystyle V=L{\tfrac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}} と相互インダクタンスの式 V = M d I d t {\displaystyle V=M{\tfrac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}} をマクスウェル方程式から導く。
まず相互インダクタンスの式の証明の概略を述べる。前述のように相互インダクタンスは次のような手順で生じる。
一次コイルの電流の時間変化 d I 1 d t {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}} が一次コイル内の磁束の時間変化 d Φ 1 d t {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \Phi _{1}}{\mathrm {d} t}}} を生む。Φ1 のうち割合 k が二次コイルに流れ込む。