レーン＝エムデン方程式
ポリトロープの質量M は、半径r の関数としての密度ρ(r )を空間積分した後、r →αξと置き換えて計算すればよい。
M = ∫ 0 R 4 π ρ r 2 d r = ∫ 0 ξ 1 4 π ρ α 3 ξ 2 d ξ = 4 π ρ c α 3 ∫ 0 ξ 1 θ n ξ 2 d ξ {\displaystyle M=\int _{0}^{R}4\pi \rho r^{2}\ dr=\int _{0}^{\xi _{1}}4\pi \rho \alpha ^{3}\xi ^{2}\ d\xi =4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\int _{0}^{\xi _{1}}\theta ^{n}\xi ^{2}\ d\xi }
ここで、レーン=エムデン方程式を代入し、θ を書き換えると、