平面波
即ち、 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} の点 z は、n 個の整数 z1 , ... , zd によって、
z = z 1 e 1 + ⋯ + z d e d {\displaystyle {\boldsymbol {z}}={z}_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\cdots +{z}_{d}{\boldsymbol {e}}_{d}}
のように展開することが出来る。この展開は、一意的である。
又、d 次正則行列 A に対し、 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} を、
A Z d = { A ( z 1 ⋮ z d ) | z 1 , ... , z d ∈ Z } {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}=\left\{\left.A{\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{d}\\\end{pmatrix}}\ \right|{\begin{matrix}z_{1},\dots ,z_{d}\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}\right\}}
実正弦平面波は重ね合わせの計算などが面倒であることから、計算上のテクニックとして、実正弦平面波の値域をオイラーの公式を用いて複素数域に拡張した複素正弦波が発案された。古典物理では、複素平面正弦波は実正弦平面波の重ね合わせを計算するための便宜にすぎないが、量子力学では複素平面正弦波を用いなければ説明がつかない現象があるため、計算上の便宜のためだけのものではない。
複素正弦平面波は数学的には、振幅 A(複素定数)、波数ベクトル K(実定数ベクトル)、位相項 δ(実定数)の3つの定数/定数ベクトルで特徴付けられる。一般に、d 次元の複素正弦平面波は、
A exp  i ( 2 π ( K ⋅ X + δ ) ) {\displaystyle A\exp i(2\pi ({\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {X}}+\delta ))}
の形で表される。