シルベスター方程式
証明 X ↦ A X + X B {\displaystyle X\mapsto AX+XB} で定まる線型写像 S : M n → M n {\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}} を考える。
(i) A {\displaystyle A} と − B {\displaystyle -B} が共通の固有値を持たないとする。このときそれらの固有多項式 f ( z ) {\displaystyle f(z)} と g ( z ) {\displaystyle g(z)} の最大公約数は定数 1 {\displaystyle 1} である。よって複素係数多項式 p ( z ) {\displaystyle p(z)} と q ( z ) {\displaystyle q(z)} を、 p ( z ) f ( z ) + q ( z ) g ( z ) = 1 {\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1} が成り立つようにとることができる(ベズーの補題)。ケイリー・ハミルトンの定理より、行列多項式として f ( A ) = 0 = g ( − B ) {\displaystyle f(A)=0=g(-B)} であるので、 g ( A ) q ( A ) = I {\displaystyle g(A)q(A)=I} 。