三次方程式
三次方程式は、代数学の基本定理より、高々 3個の複素数解を持つ。中間値の定理より、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1つの実数解を持つことが分かる。
a3 x + a2 x + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)
が重解を持つ場合、その重解は、左辺を x で微分して得られる二次方程式
3 a3 x + 2 a2 x + a1 = 0
の解でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。重解以外の残りの解も実数である。
虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となり、残りの解は実数である。
三次方程式 a3 x + a2 x + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0) の判別式 D は
D = − 4 a1 a3 + a1 a2 − 4 a0 a2 + 18 a0 a1 a2 a3 − 27 a0 a3
となる。
判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくても
D > 0 の時、3個の相異なる実数解を持つ。
D < 0 の時、1個の実数解と1組の共役な虚数解を持つ。
D = 0 の時は、実数の重解を持つ。
ということが分かる。D = 0 の時さらに
⊿2 = − 2 a2 + 9 a1 a2 a3 − 27 a0 a3
と定義すれば ⊿2 = 0 の時、三重解を持つ。⊿2 ≠ 0 の時、1個の二重解と重複度 1 の実数解を1個持つ。⊿2 > 0 の時(二重解)<(もう一つの実数解)、⊿2 < 0 の時(二重解)>(もう一つの実数解)となる。
3解がいずれも実数であれば、還元不能であるが、代数的な表記でなくてもよければ、虚数を使わずに解を表すことができる。フランソワ・ビエトは、三角関数の三倍角の公式
cos 3α = 4 cos α − 3 cos α
を変形した
cos α = 3/4 cos α + 1/4 cos 3α
(2cos α) = 3(2cos α) + 2cos 3α
と三次方程式
x = px + q
の類似性に着目し、p = 3a, q = ab とおいた式
x = 3ax + ab
を考えた。
(x/a) = 3(x/a) + b/a ... (1)
もし x/a = 2 cos α すなわち x = 2a cos α ならば、
cos  3 α = b 2 a {\displaystyle \cos 3\alpha ={\frac {b}{2a}}} ... (2)
α = 1 3 arccos  b 2 a {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{3}}\arccos {\frac {b}{2a}}}
x = 2 a cos  α = 2 a cos  ( 1 3 arccos  b 2 a ) {\displaystyle x=2a\cos \alpha =2a\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {b}{2a}}\right)}
という解が得られる。
a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 3 ≠ 0 ) x 1 = − a 2 3 a 3 + 2 3 3 2 3 a 3 − 2 3 4 3 2 3 a 3 x 2 = − a 2 3 a 3 − ( 1 − i 3 ) 2 3 6 2 3 a 3 + ( 1 + i 3 ) 4 3 × 2 2 3 2 3 a 3 x 3 = − a 2 3 a 3 − ( 1 + i 3 ) 2 3 6 2 3 a 3 + ( 1 − i 3 ) 4 3 × 2 2 3 2 3 a 3 1 → − 2 a 2 3 + 9 a 1 a 2 a 3 − 27 a 0 a 3 2 2 → 1 + 3 3 → 1 2 + 4 4 3 4 → − a 2 2 + 3 a 1 a 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)\\\\&x_{1}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}+{\frac {\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{3\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}{3\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{2}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\&x_{3}=\color {Red}{-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}-{\frac {\color {MidnightBlue}{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}}{6\color {RedOrange}{{\sqrt[{3}]{2}}a_{3}}}}+{\frac {\color {RedViolet}{\left(1-i{\sqrt {3}}\right)}{\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{3\times 2^{\tfrac {2}{3}}\color {Blue}{\sqrt[{3}]{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}a_{3}}}\\\\&{\begin{array}{|l|}\hline {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}\rightarrow -2{a_{2}}^{3}+9a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}{a_{3}}^{2}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}+{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}^{2}+4{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}^{3}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}\rightarrow -{a_{2}}^{2}+3a_{1}a_{3}\\\hline \end{array}}\end{aligned}}}
一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られている。
a3 x + a2 x + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)
の両辺を a3 で割り
x + A2 x + A1 x + A0 = 0
の形にする。( A n = a n a 3 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{3}}}} )
x = y − A 2 3 {\displaystyle x=y-{\frac {A_{2}}{3}}}
により変数変換を行うと、2次の項が消え、
y 3 + ( A 1 − A 2 2 3 ) y + ( A 0 − 1 3 A 1 A 2 + 2 27 A 2 3 ) = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(A_{1}-{\frac {{A_{2}}^{2}}{3}}\right)y+\left(A_{0}-{\frac {1}{3}}A_{1}A_{2}+{\frac {2}{27}}{A_{2}}^{3}\right)=0}
という三次方程式が得られる。見やすいように一次の係数を p, 定数項を q とし
y + p y + q = 0
と書く。
ここで y = u + v とおくと、
u + v + q + (3uv + p)(u + v) = 0
未知数 u, v がこの方程式を満たすには、
u + v + q = 0
3uv + p = 0
となることが十分であるが、この十分条件を満たす u, v が以下に示すように求まる。根と係数の関係より、u, v を解とする二次方程式は
t 2 + q t − ( p 3 ) 3 = 0 {\displaystyle t^{2}+qt-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0}
この二次方程式を解の公式により解くと、
u 3 , v 3 = − q 2 ± ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 {\displaystyle u^{3},v^{3}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}
故に、実数解の一つとして
y = − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}}