ネーターの定理
G δ = ε i j k ε i p j q k {\displaystyle G_{\delta }=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}p^{j}q^{k}} とすると、 δ A = ε i j k ε i { A , p j q k } = ε i j k ε i ( ∂ A ∂ q α ∂ p j q k ∂ p α − ∂ A ∂ p α ∂ p j q k ∂ q α ) = ε i j k ε i ( ∂ A ∂ q j q k − ∂ A ∂ p k p j ) = ε i j k ε i ( ∂ A ∂ q j q k + ∂ A ∂ p j p k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta A&=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\{A,p^{j}q^{k}\}=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{\alpha }}}{\frac {\partial p_{j}q_{k}}{\partial p_{\alpha }}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{\alpha }}}{\frac {\partial p_{j}q_{k}}{\partial q_{\alpha }}}\right)\\&=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}p_{j}\right)=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}+{\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}p_{k}\right)\end{aligned}}}
ここで ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} は レヴィ=チヴィタ記号である。
δ A ( q i , p i ) = ∇ A ⋅ δ ( q i , p i ) = ∇ A ⋅ ( ∂ G δ ∂ p i , − ∂ G δ ∂ q i ) = ( ∂ A ∂ q i ∂ G δ ∂ p i − ∂ A ∂ p i ∂ G δ ∂ q i ) = { A , G δ } {\displaystyle \delta A(q^{i},p^{i})=\nabla A\cdot \delta (q^{i},p^{i})=\nabla A\cdot \left({\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)=\left({\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)=\{A,G_{\delta }\}}
ハミルトニアンが微少変換 δ {\displaystyle \delta } について不変ならば、 δ H ( q i , p i ) = { H , G δ } = 0 {\displaystyle \delta H(q^{i},p^{i})=\{H,G_{\delta }\}=0} が成り立つ。
M ν ρ μ = x ν T ρ μ − x ρ T ν μ − i ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) ( S ν ρ ) i j φ j {\displaystyle M_{\nu \rho }^{\mu }=x_{\nu }T_{\rho }^{\mu }-x_{\rho }T_{\nu }^{\mu }-i{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}(S_{\nu \rho })_{i}{}^{j}\phi _{j}}
となる。この M ν ρ μ {\displaystyle M_{\nu \rho }^{\mu }} を角運動量密度という。 M ν ρ μ {\displaystyle M_{\nu \rho }^{\mu }} は ν,λ について反対称である。 保存則は
∂ μ M ν ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }M_{\nu \rho }^{\mu }=0}
であり、角運動量の保存則を表している。 対応するネーターチャージ
M ν ρ = ∫ d 3 x M ν ρ 0 {\displaystyle M_{\nu \rho }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,M_{\nu \rho }^{0}}
は角運動量とブースト演算子となる。
で書かれている場合には、ネーターカレントはパラメータの成分毎に
j a μ ≡ − ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) δ a φ i − L X a μ {\displaystyle j^{a\mu }\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta ^{a}\phi _{i}-{\mathcal {L}}X^{a\mu }}
と書くことができて、それぞれに連続の方程式
∂ μ j a μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{a\mu }=0}
を満たす。
ネーターカレントの時間成分を空間積分した
Q a ≡ ∫ d 3 x j 0 a {\displaystyle Q^{a}\equiv \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,j^{0a}}
はネーターチャージと呼ばれる。 これは微小変換の生成子(無限小生成作用素)
[ i Q a , φ i ( x ) ] = δ a φ i ( x ) {\displaystyle [iQ^{a},\phi _{i}(x)]=\delta ^{a}\phi _{i}(x)}
となる。