エルデシュ数
協力グラフ (collaboration graph) とは、著者たちを頂点(ノード)とし、共著のある著者同士を辺(エッジ)で結んでできるグラフである。このグラフにおいて、2人の著者を結ぶ道(パス)の長さの最小値を、その2人の間の距離と定義する(そのような道がなければ距離は ∞ とする)。このとき、エルデシュ数は、協力グラフにおけるエルデシュとの距離と定義される。
何をもって共著と認めるかについては、やや曖昧さがある。エルデシュ数プロジェクトのウェブサイトを運営するジェラルド・グロスマンによれば、2つの頂点を辺で結ぶ基準は、共同研究の結果公表された共同の著作であって、共著者は何人いても構わない。研究発表ではない著作、例えば初等的な内容の教科書、歴史書や伝記、翻訳書などは含まれない。
エルデシュ数を印刷物で初めて紹介したのは、解析学者のキャスパー・ゴフマンとされる。彼は、1969年に「そしてあなたのエルデシュ数は?」という題目で、エルデシュ数についての記事を書いている。
アメリカ数学会は、エルデシュに限らず、任意の2人の数学者間の距離を算出するオンラインサービスをMathSciNet上で提供している。
2004年7月時点の、アメリカ数学会のサービスを元にしたデータでは、単著のみで共著を書いたことのない者は約84,000名、共著を書いたことはあるがエルデシュとつながっていない者は約50,000名、有限のエルデシュ数を持つ者は約268,000名であった。有限のエルデシュ数を持つ者のみで考えると、その最大値は 13、中央値は 5、平均値は 4.65 であり、8 以下の者が99.5パーセント以上を占めた。2014年までのフィールズ賞受賞者は、全員 5 以下のエルデシュ数を持っている。
今日、異分野間の共同研究も盛んに行われているため、数学者でない科学者でエルデシュ数を持つ者も多い。例えば、政治学者のスティーヴン・ブラムス(英語版)のエルデシュ数は 2 である。同じくエルデシュ数 2 を持つ統計学者のジョン・テューキーを通じて、生物医学の分野もエルデシュとつながっている。多くの共同研究がある遺伝学者のエリック・ランダー(英語版)は、数学者のダニエル・クレイトマンと共著があり、クレイトマンのエルデシュ数は 1 であるため、多くの遺伝学者がエルデシュ数を持つ。