正規作用素
有限次元の実または複素ヒルベルト空間(内積空間)H 上の正規作用素 T が部分空間 V を保つならば、T はその直交補空間 V も保つ(この主張は T が自己随伴ならば自明である)。
[証明]. PV を V の上への直交射影とすれば V の上への直交射影は 1H − PV である。T が V を保つことは (1H − PV)TPV = 0 または TPV = PVTPV で表されるという事実を用いれば、目的は X ≔ PVT(1H − PV) = 0 を示すことに言い換えられる。(A, B) ↦ tr(AB) が H の自己準同型全体の成すベクトル空間上の内積となることから、tr(XX) = 0 を示せば十分である。そこでまずは XX を直交射影で書きなおせば
X X ∗ = P V T ( 1 H − P V ) 2 T ∗ P V = P V T ( 1 H − P V ) T ∗ P V = P V T T ∗ P V − P V T P V T ∗ P V {\displaystyle XX^{*}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}}