エルミート形式
引数の一方が線型で他方が半線型となるが、線型と半線型は上記と逆に仮定する流儀もある。 条件 1, 2 はこの写像が半双線型となることを言うものであるが、実は条件 3 の仮定のもと 1 から 2, あるいは 2 から 1 が導かれるから、一方の条件は不要である。ここでは明確化のために両者を掲げてある。
エルミート半双線型形式は複素数体 C 上で意味を成す概念である(実数体 R 上では任意のエルミート半双線型形式が対称双線型形式になる)。複素線型空間(あるいは複素ヒルベルト空間)上の内積(エルミート内積)は非退化正定値のエルミート半双線型形式である。
より一般に、環上の加群 M に対して、係数環 R 上定義される任意の対合的反自己同型(英語版) σ に関する半双線型形式 ⟨,⟩: M × M → R がエルミートであるとは、⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ を満たすことを言う。さらに、ε は係数環の中心元として、ε-エルミートであるとは ⟨x, y⟩ = ε⟨y, x⟩ となるときに言う。