2状態系
2状態系の演算子の記述には、パウリ行列による表現が適用できる。エルミート演算子
σ ^ 1 = | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}=|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|}
σ ^ 2 = − i ( | 1 ⟩ ⟨ 2 | − | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}=-i(|1\rangle \langle 2|-|2\rangle \langle 1|)}
σ ^ 3 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{3}=|1\rangle \langle 1|-|2\rangle \langle 2|}
を導入すると、これらは関係式
σ ^ 1 2 = σ ^ 2 2 = σ ^ 3 2 = I ^ {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{2}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{3}^{\,2}={\hat {I}}}
2状態系のハミルトニアンは2次元複素ヒルベルト空間のエルミート作用素であり、基底の選択の下、状態ベクトルに2×2行列として作用する。基底として完全正規直交基底 |1⟩, |2⟩ を取れば、ハミルトニアンは
H ^ = H 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + H 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + H 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + H 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {H}}=H_{11}|1\rangle \langle 1|+H_{12}|1\rangle \langle 2|+H_{21}|2\rangle \langle 1|+H_{22}|2\rangle \langle 2|}
の形で表すことができる。このとき、ハミルトニアンの行列要素 Hαβ は基底の正規直交性より
H α β = ⟨ α | H ^ | β ⟩ ( α , β = 1 , 2 ) {\displaystyle H_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {H}}|\beta \rangle \quad (\alpha ,\beta =1,2)}
と書ける。また、ハミルトニアンのエルミート性から対角成分の実数条件
H 11 = H 11 ∗ , H 22 = H 22 ∗ {\displaystyle H_{11}=H_{11}^{*},\,H_{22}=H_{22}^{*}}
及び非対角成分の条件