多様体
射影空間: n 次元ベクトル空間の 1 次元部分空間全体を射影空間という。
原点を通る直線は
y=m x
のように書かれるが、これらの直線はmの値と対応し、あらためて一つの点と考えることができる。直線の集合は図形ではないが、このように直線を点に読み替えることで直線のなす集合にも適当な座標系を入れることができ、多様体という図形として扱えるようになる。
N の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) |λ ∈ Λ} に対し、各座標近傍 (Uλ, φλ)
φ λ : U λ → U λ ′ ⊂ H m {\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }\subset H^{m}}
において Wλ = { a ∈ Uλ | φλ(a) ∈ G} という集合を考えたとき
∂ N := ⋃ λ ∈ Λ W λ {\displaystyle \partial N:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }W_{\lambda }}
を N の境界という。∂N が空でないとき N を 境界のある m 次元位相多様体という。境界のある m 次元位相多様体の境界は m − 1 次元位相多様体になる。