ハミング限界
∑ k = 0 t ( n k ) ( q − 1 ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k}}(q-1)^{k}}
C {\displaystyle C} に存在する符号語の総数を M {\displaystyle M} とする。全ての符号語から球の和集合をとると、結果として得られる符号語の総数は F q n {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}} 以内となる。それぞれの球は重ならないので、それぞれの要素数の総和をとると、次が成り立つといえる。
M × ∑ k = 0 t ( n k ) ( q − 1 ) k ≤ | F q n | = q n {\displaystyle M\times \sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k}}(q-1)^{k}\leq \vert \mathbb {F} _{q}^{n}\vert =q^{n}}
従って、次が導かれる。
A q ( n , d ) ≤ q n ∑ k = 0 t ( n k ) ( q − 1 ) k {\displaystyle A_{q}(n,d)\leq {\frac {q^{n}}{\sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k}}(q-1)^{k}}}}