最小作用の原理
K ( q b , t b ; q a , t a ) = ⟨ q b | e − i ħ H ^ ( t b − t a ) | q a ⟩ {\displaystyle K(q_{b},t_{b};q_{a},t_{a})=\left\langle q_{b}\left|e^{-{i \over {\hbar }}{\hat {H}}(t_{b}-t_{a})}\right|q_{a}\right\rangle }
は、古典論における作用積分S を用いて
K ( q b , t b ; q a , t a ) = lim N → ∞ ∫ q a ( t a ) q b ( t b ) ∏ i = 0 N − 1 c i d q i e i ħ S [ q ] = ∫ q a ( t a ) q b ( t b ) D q e i ħ S [ q ] {\displaystyle {\begin{aligned}K(q_{b},t_{b};q_{a},t_{a})&=\lim _{N\to \infty }\int _{q_{a}(t_{a})}^{q_{b}(t_{b})}\prod _{i=0}^{N-1}c_{i}dq_{i}\,e^{{i \over {\hbar }}S[q]}\\&=\int _{q_{a}(t_{a})}^{q_{b}(t_{b})}{\mathcal {D}}q\,e^{{i \over {\hbar }}S[q]}\end{aligned}}}
で与えられる。
力学における初期の変分原理であるモーペルテュイの原理(Maupertuis' principle)は、1747年にフランスの数学者モーペルテュイによって考え出された。モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。一個の質点からなる系において、運動エネルギー K とすると
δ ∫ 2 K d t = 0 {\displaystyle \delta \int 2K\,dt=0}
が成り立つ経路を運動する。質点が運動する経路の長さを L、質点の速度を v として、dL = v dt であるから
δ ∫ m v d L = 0 {\displaystyle \delta \int mv\,dL=0}
となる。つまり、質点の運動は、運動量 mv と経路の微小片 dL の積の積分に対する停留値問題に帰着する。
系の全エネルギーを E、ポテンシャル・エネルギーを V とすると