表現論
ベクトル空間 V を φ の表現空間(representation space)といい、その次元を(有限であれば)表現の次元と呼ぶ(たとえば、では次数と呼ばれている)。準同型 φ が文脈により明らかな場合は、V 自身を表現と呼ぶことが多い。明らかでない場合は、表現を (V, φ) と記す。
V が有限次元 n のとき、V の基底を選び、F と V して、体 F に成分を持つ行列表現が得られる。
有効な表現、あるいは忠実表現(faithful representation)とは、準同型 φ が単射的であるときの表現 (V, φ) をいう。
表現の定義には 2つの方法がある。表現を定義する第一の方法は、群の作用の考えを使い、行列の積により列ベクトル上へ行列を作用させる方法を一般化したものであり、ベクトル空間 V 上の群 G や結合代数やリー代数 A の表現は、次の 2つの性質((i), (ii))を満たす写像
Φ : G × V → V or Φ : A × V → V {\displaystyle \Phi \colon G\times V\to V\quad {\text{or}}\quad \Phi \colon A\times V\to V}
と定義する。
(i) G の任意の元 g (あるいは、A の任意の元 a )に対し、写像 φ ( g ) : V → V v ↦ Φ ( g , v ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}} は、F 上で線型であること。