ヤングの定理
関数がクレローの定理の仮定を満たさない場合、例えば導関数が連続でないとき、偏導関数の対称性は成り立たないことがある。
非対称な関数の例:
この関数はいたるところで連続だが、その代数的導関数は原点において未定義(英語版)である。x 軸に沿って y 導関数は ∂y f |(x, 0) = x であり、したがって:
∂ x ∂ y f | ( 0 , 0 ) = lim ε → 0 ∂ y f | ( ε , 0 ) − ∂ y f | ( 0 , 0 ) ε = 1. {\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f|_{(0,0)}=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\partial _{y}f|_{(\epsilon ,0)}-\partial _{y}f|_{(0,0)}}{\epsilon }}=1.}
同様に y 軸に沿って x 導関数 は ∂x f |(0, y) = −y であり、したがって ∂y∂xf |(0, 0) = −1 である。