不定積分
閉区間上のルベーグ可積分関数 f(x) に対しても、定義域内の定数 a {\displaystyle a} を一つ固定するとき、任意の定数 C {\displaystyle C} を用いて表される
F ( x ) := ∫ a x f ( t ) d t + C {\displaystyle F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C}
を f(x) の a {\displaystyle a} を基点とする不定積分と呼ぶことができる。ただし、 a ≤ x {\displaystyle a\leq x} の場合は ∫ a x f ( t ) d t = ∫ [ a , x ] f d μ {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt=\int _{[a,x]}f\,d\mu } であり、 x ≤ a {\displaystyle x\leq a} の場合は ∫ a x f ( t ) d t := − ∫ [ x , a ] f d μ {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt:=-\int _{[x,a]}f\,d\mu } である。
一変数関数 f(x) に対して、定義域内の任意の閉区間 [a, b] 上の定積分が F(b) − F(a) に一致する関数 F(x) を関数 f(x) の 不定積分 (indefinite integral) と言う。