交代群
交代群 An (n ≥ 3)の生成元と関係式による表示には以下のものが知られている。ひとつはCarmichaelによる(対称な)表示
生成元 V1, ..., Vn−2 と
関係式 V3i = (Vi Vj) = e (1 ≤ i < j ≤ n−2)
で、これは交代群 An を定める。この表示は V i ↦ ( i , n − 1 , n ) {\displaystyle V_{i}\mapsto (i,n-1,n)} という対応から得られる。
もうひとつはMooreによる表示
生成元 x1, ..., xn−2 と
関係式 x31 = x2i = e (2 ≤ i ≤ n−2) (xi xi+1) = e (1 ≤ i ≤ n−3) (xi xj) = e (1 ≤ i ≤ n−4, i+1 < j)
で、これも交代群 An を定める。この表示は x i ↦ ( 1 , 2 ) ( i + 1 , i + 2 ) {\displaystyle x_{i}\mapsto (1,2)(i+1,i+2)} という対応から得られる。
交代群(こうたいぐん、英: alternating group, 独: Alternierende Gruppe)とは、有限集合の偶置換全体がなす群である。集合 {1,...,n} 上の交代群は n 次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、An もしくは Alt(n), A n {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{n}} という記号で表す。これは n 変数の交代式を不変とするような変数の置換がなす群と思ってもよい。
例として、4つの元からなる集合 {1, 2, 3, 4} の交代群 A4 は以下のようになる。A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}(巡回置換記法を参照)