ポリガンマ関数
ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。
( − 1 ) n ψ ( n ) ( 1 − z ) − ψ ( n ) ( z ) = π d n d z n cot  π z {\displaystyle (-1)^{n}\psi ^{(n)}(1-z)-\psi ^{(n)}(z)=\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\operatorname {cot} \pi z}
但し、cot πz は余接関数を表す。
z →∞ (|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。
ψ ( z ) ∼ ln  z − 1 2 z − ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n z 2 n {\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}}
ψ ( n ) ( z ) ∼ ( − 1 ) ( n − 1 ) ( ( n − 1 ) ! z n + n ! 2 z n + 1 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k + n − 1 ) ! ( 2 k ) ! z 2 k + n ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)\sim (-1)^{(n-1)}\left({\frac {(n-1)!}{z^{n}}}+{\frac {n!}{2z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}}}\right)\quad (n=1,2,\cdots )}
但し、B2kはベルヌーイ数である。
数学において、ポリガンマ関数(ぽりがんまかんすう、英: polygamma function)とはガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やトリガンマ関数はポリガンマ関数の一種である。