ボゴリューボフ変換
U θ ≡ exp  ( θ G φ ) = exp  [ θ ( a ^ 1 a ^ 2 e i φ − a ^ 1 † a ^ 2 † e − i φ ) ] G φ ≡ ( a ^ 1 a ^ 2 e i φ − a ^ 1 † a ^ 2 † e − i φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}U_{\theta }&\equiv \exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })]\\G_{\phi }&\equiv ({\hat {a}}_{1}{\hat {a}}_{2}e^{i\phi }-{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }e^{-i\phi })\end{aligned}}}
演算子 G φ {\displaystyle G_{\phi }} は反エルミート G φ † = − G φ {\displaystyle G_{\phi }^{\dagger }=-G_{\phi }} である。
このユニタリー演算子 U θ {\displaystyle U_{\theta }} によって、以下のように2つの異なる調和振動子の生成消滅演算子を混ぜる変換をボゴリューボフ変換という。
次の調和基底でのボゾン的な生成消滅演算子(作用素)の正準交換関係を考える。
[ a ^ , a ^ † ] = 1 . {\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}
新しい作用素のペアを、
b ^ = u a ^ + v a ^ † , {\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}
b ^ † = u ∗ a ^ † + v ∗ a ^ {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~}
と定義する。ここに後者は前者のエルミート共役である。
スクイーズ変換は、これらの作用素の正準変換である。変換が正準であるような定数 u と v の条件を見つけるため、交換子を計算すると、
2種類のフェルミ粒子の生成消滅演算子を考える。この場合のユニタリー演算子は、簡単のために位相を φ = 0 {\displaystyle \phi =0} とすると、
U θ = exp  ( θ G φ ) = exp  [ θ ( b ^ 1 b ^ 2 − b ^ 2 † b ^ 1 † ) ] {\displaystyle U_{\theta }=\exp(\theta G_{\phi })=\exp[\theta ({\hat {b}}_{1}{\hat {b}}_{2}-{\hat {b}}_{2}^{\dagger }{\hat {b}}_{1}^{\dagger })]}
ボゴリューボフ変換は、
以上のことは有限個の生成消滅演算子において成り立つ。しかし無限個の生成消滅演算子にボゴリューボフ変換してできた無限個の新しい生成消滅演算子は、ユニタリー変換では結びつかない。つまり元の生成消滅演算子からできる量子論と新しい生成消滅演算子からできる量子論はユニタリー同値ではなくなり、フォン・ノイマンの一意性が成立しなくなる。よって物理量を計算しても異なる値となる。これをユニタリー非同値性という。