積の微分法則
f ′ = q ′ ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) − q ′ ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) = ( 1 2 ( u + v ) ( u ′ + v ′ ) ) − ( 1 2 ( u − v ) ( u ′ − v ′ ) ) = 1 2 ( u u ′ + v u ′ + u v ′ + v v ′ ) − 1 2 ( u u ′ − v u ′ − u v ′ + v v ′ ) = u v ′ + u ′ v {\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\&=\left({1 \over 2}(u+v)(u'+v')\right)-\left({1 \over 2}(u-v)(u'-v')\right)\\&={1 \over 2}(uu'+vu'+uv'+vv')-{1 \over 2}(uu'-vu'-uv'+vv')=uv'+u'v\end{aligned}}}
を得る。この証明だと先ほどの証明のように函数の値が正か負かというのは問題にならないし、函数 q の性質も随分容易に示される。
これらの証明は函数の値が数値あるいはそれと同様の性質を持つ対象ならば意味を成す。特に行列などは、先ほどの対数の c を変化させる方法で c に代入することに意味を持たせることができるから、これを適用できる。
抽象代数学では、積の法則の方が公理として先にあって、そこから導分作用素(微分作用素)と呼ばれるものが「定義」される。