普遍係数定理
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー(例えばMを係数にもつ特異コホモロジー)に適用する場合は注意が必要である。
これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、
∂ n ∗ : H o m R ( C n , M ) → H o m R ( C n + 1 , M ) , c ↦ c ∘ ∂ n + 1 {\displaystyle \partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}}
と定義すると
∂ n + 1 ∗ ∘ ∂ n ∗ = 0 {\displaystyle \partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0}
であるので H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} はコチェイン複体である。
Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように、チェイン複体 C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体 H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m R ( C ∗ ; M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))} により定義する。
このとき以下の定理がしたがう:
定理 (Extに関する普遍係数定理) ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものする。このとき、