ボルツマン分布
エネルギーが ε と ε+dε の範囲にある準位の数を g(ε)dε とすれば、この範囲にある粒子の数は f(ε)g(ε)dε で与えられる。系の全粒子数は、全てのエネルギーの範囲で積分して
N = ∫ − ∞ ∞ f ( ε ) g ( ε ) d ε = λ ∫ − ∞ ∞ e − β ε g ( ε ) d ε {\displaystyle N=\int _{-\infty }^{\infty }f(\epsilon )\,g(\epsilon )\,d\epsilon =\lambda \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\beta \epsilon }g(\epsilon )\,d\epsilon }
で与えられる。また、系の全エネルギーは
E = ∫ − ∞ ∞ ε f ( ε ) g ( ε ) d ε = λ ∫ − ∞ ∞ ε e − β ε g ( ε ) d ε {\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon \,f(\epsilon )\,g(\epsilon )\,d\epsilon =\lambda \int _{-\infty }^{\infty }\epsilon \,\mathrm {e} ^{-\beta \epsilon }g(\epsilon )\,d\epsilon }
で与えられる。