ウィルソンの定理
p = 2 の場合は明らかに成り立つので、以下 p は奇素数とする。p は素数だから法 p に関する原始根 a が存在する。このとき、フェルマーの小定理より、
a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}
aは原始根だから、a, a, ..., a(≡1) はそれぞれ p を法として還元すると、1, 2, ..., p − 1 の並べ替えである。よって、
a 1 a 2 ⋯ a p − 1 ≡ ( p − 1 ) ! ( mod p ) {\displaystyle a^{1}a^{2}\dotsm a^{p-1}\equiv (p-1)!{\pmod {p}}}
となる。一方、