ピタゴラス素数
4n + 3 の形の素数が有限個しか存在しないと仮定し、p1, ..., pk がその全てとする。
N = 4 ( p 1 ⋯ p k ) + 3 {\displaystyle N=4(p_{1}\cdots p_{k})+3}
とおくと、N は 4n + 3 の形の数なので、4n + 3 の形の素因子を少なくとも1つ持つ。なぜならば、4n + 1 の形の素因子しか持たなければ、4n + 1 の形の数になるからである。さて、N を p1, ..., pk で割った余りは 3 なので、N はこれらを素因子には持たない。よって、N の 4n + 3 の形の素因子は、リストにはない新しい素数である。これは矛盾であり、したがって 4n + 3 の形の素数は無数に存在する。