自励系
非自励系にこのような一般的性質はなく、相空間上で2つの軌道が交わったり、ある軌道が異なる時刻で自身と交わることがありえる。また、非自励系の軌道の形は、初期値 x0 だけでなく、初期時刻 t0 の値にも依存して決まる。
もし自励系がハミルトン系であれば、各軌道に沿ってハミルトニアンは一定となる。すなわち、2n 個の従属変数
q = ( q 1 , q 2 , ⋯ , q n ) {\displaystyle {\boldsymbol {q}}=(q_{1},\ q_{2},\cdots ,\ q_{n})}
p = ( p 1 , p 2 , ⋯ , p n ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=(p_{1},\ p_{2},\cdots ,\ p_{n})}
に対して実数値関数 H(q, p) を定義し、これらが正準方程式
d q i d t = ∂ H ( q , p ) ∂ p i , d p i d t = − ∂ H ( q , p ) ∂ q i , ( i = 1 , 2 , ⋯ n ) {\displaystyle {\dfrac {dq_{i}}{dt}}={\dfrac {\partial H({\boldsymbol {q}},\ {\boldsymbol {p}})}{\partial p_{i}}},\ {\dfrac {dp_{i}}{dt}}=-{\dfrac {\partial H({\boldsymbol {q}},\ {\boldsymbol {p}})}{\partial q_{i}}},\ (i=1,2,\cdots n)}
を構成するとき、ハミルトニアン H(q, p) の値は任意の解(軌道)に沿って一定である。