フェルマー＝カタラン予想
ダーモン・グランヴィルの定理 (証明にはファルティングスの定理を使う) から、上記の不等式を満たす組 (m, n, k) を一つ固定するごとに、解 (a, b, c) が高々有限個しか存在しないことが知られている。一方、フェルマー=カタラン予想は、 上記の不等式を満たす全ての (m, n, k) の場合を合わせても有限個しか存在しないという予想なので、ダーモン・グランヴィルの定理よりも遥かに強い主張である。
今まで見つかっている解の中では、m, n, k のうち1つは 2 である。また、その中では m, n, k は互いに素である。m, n, k が全て 3 以上で a, b, c が互いに素であるような解はないという予想(ビール予想)がある。a, b, c が 1 より大きい公約数をもつ場合としては 3 3 + 6 3 = 3 5 {\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}} などがある(この場合は 3 が公約数)。
ABC予想からフェルマー=カタラン予想を導くことができる。つまり、ABC予想が真ならばフェルマー=カタラン予想も真である。