順序対
第一成分と第二成分が等しいときは、連言の右側の条件
( ∀ Y 1 , ∀ Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\forall Y_{1},\,\forall Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}
は Y1 ≠ Y2 となることが絶対に無いので、明らかに真である。
順序対の第一座標は
π 1 ( p ) = ⋃ ⋂ p {\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p}
とすることで簡単に取り出せる。第二座標の取り出しは第一座標のそれより難しいが、
π 2 ( p ) = { ⋃ ⋂ p if ⋂ p = ⋃ p ⋃ ( ⋃ p ∖ ⋂ p ) if ⋂ p ≠ ⋃ p {\displaystyle \pi _{2}(p)={\begin{cases}\bigcup \bigcap p&{\text{if }}\bigcap p=\bigcup p\\[7pt]\bigcup \left(\bigcup p\smallsetminus \bigcap p\right)&{\text{if }}\bigcap p\neq \bigcup p\end{cases}}}
とすればよい。
上述のクラトフスキーによる順序対の定義は順序対が満足すべき特徴づけ
を満足するに「相応しい」ものである。ほかにもこれと同じくらい相応しい、同様あるいはより単純な形の定義として
数学の広範な分野において記号 (a, b) はさまざまな意味で用いられ、そうしたものの中で顕著な例はたとえば実数直線上の開区間を挙げることができるだろう。記号の意味は文脈に完全に依存しており、意味を取るためには文脈に注意しなければならない。そうして時には、区別の明確化のために順序対を ⟨a, b⟩ などの少し異なる記号で表すこともある(が、そういった記号もやはり他で多義的に用いられている)。
順序対 p が与えられたとき、その第一および第二成分への射影はそれぞれ π1(p) および π2(p) のように書くのがふつうである(左射影・右射影の意味で πl(p), πr(p) のように書いてもよい)。この文脈では、自然に n-組 t が第 i-成分への射影 π ni (t) を使って考えられる(必ずしも再帰的でない取り扱いができる)。