ステレオ投影
( ξ , η ) → ( x , y , z ) = ( ξ 1 + ξ 2 + η 2 , η 1 + ξ 2 + η 2 , − 1 + ξ 2 + η 2 2 + 2 ξ 2 + 2 η 2 ) {\displaystyle (\xi ,\eta )\to (x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)}
となる。
一般に、球面上の任意の点 Q から
E は Q を通る直径に垂直、かつ
E は Q を含まない
という条件を満たす任意の平面 E の上への立体射影を定義することができる。E がこれら条件を満たす限りにおいて、Q でない任意の点 P に対して P, Q を通る直線と E との交わりは、P の E の上への立体射影として定義されるべき点 P′ ただ一つである。
ここまでで述べた立体射影の定式化は何れも本質的に同じ性質を有する。これらは何れも射影点を除き至る所定義された滑らかな全単射(微分同相)であり、共形(等角)であって面積を保存しない。
より一般に、(n + 1)-次元ユークリッド空間 E 内の n-次元超球面 S に対して立体射影を考えることができる。S の点 Q と E 内の超平面 E に対して、点 P ∈ S ∖ {Q} の立体射影 P′ は直線 PQ と E との交点とする。球面上の直交座標系 (xi, i = 0, ..., n) および平面上の直交座標系 (Xi, i = 1, ..., n) に関して、Q = (1, 0, 0, ..., 0) からの射影は
ステレオ投影は、前節で与えたような数式を用いて、コンピューターに算出させることができる。しかし、手でグラフを描くには、これらの数式は扱いにくい。代わりに、目的に特化して設計されたグラフ用紙を使うのが一般的である。このグラフ用紙を作るには、半球上に緯線と経線の格子を置き、それらを円盤の上にステレオ投影した曲線を描く。これをステレオネットまたはウルフネットという。ウルフネットの名は、ロシア人の鉱物学者であるジョージ・ウルフ(George (Yuri Viktorovich) Wulff) に由来する。
このネットの中心付近の区画と端の方の区画を比べることで、ステレオ投影の面積が歪む特性を見ることができる。この二つの区画は球面上では同じ面積を持っていた。円盤上では、端の方の区画は中心の区画の4倍近くの面積を面積を持っている。球の上の格子の目が細かければ細かいほど、その面積の比は4倍に近づく。
格子線を見ることで、この投影の正角性も見ることが出来る。球面上の緯線と経線は直角に交わるが、ウルフネット上のそれらの像も同じく直角で交わっている。
ウルフネットの使い方の例を説明する。 まずウルフネットが描かれた薄い紙を2枚用意し、片方をもう片方の上に重ね、互いの中心を揃えて鋲で止める。 仮に、下側の単位半球面上の点(0.
X i = x i 1 − x 0 ( i = 1 , ... , n ) {\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\ldots ,n)}
で与えられる。s = ∑nj=1 Xj と置けば、逆写像は
x 0 = s 2 − 1 s 2 + 1 , x i = 2 X i s 2 + 1 ( i = 1 , ... , n ) {\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}},\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\ldots ,n)}
となる。さらにより一般に、S を射影空間 P 内の(非特異)二次超曲面とする。つまり、S は斉次座標(英語版) xi に関する非特異二次形式 f(x0, ..., xn+1) の零点の軌跡である。S 上の任意の点 Q と Q を含まない P 内の超平面 E を固定すれば、点 P ∈ S ∖ {Q} の立体射影は、直線 QP と E との唯一の交点と定められる。前と同じく、この立体射影は共形かつ「小さい」集合の外側で可逆である。この立体射影は二次超曲面を有理超曲面として与えるものである。この構成は代数幾何学および共形幾何学(英語版)において役割を果たす。
x = r ( φ ) cos  ( λ − λ 0 ) , y = r ( φ ) sin  ( λ − λ 0 ) {\displaystyle x=r(\varphi )\cos(\lambda -\lambda _{0}),\quad y=r(\varphi )\sin(\lambda -\lambda _{0})}
r ( φ ) = 2 a exp  ( − q ( φ ) ) ( 1 + e ) 1 + e ( 1 − e ) 1 − e {\displaystyle r(\varphi )={\frac {2a\exp(-q(\varphi ))}{\sqrt {(1+e)^{1+e}(1-e)^{1-e}}}}}
に投影する。ただし、 q ( φ ) {\displaystyle q(\varphi )} は、緯度 φ {\displaystyle \varphi } に対する等長緯度である。
以前は正角性に注目して使用されることも多かったが、近年ではメルカトル図法、横メルカトル図法(ガウス・クリューゲル図法)、斜軸メルカトル図法、ランベルト正角円錐図法などにほとんど置き換わり、ごく狭い国(オランダなど)や北極・南極などに限られるようになった。ただし天気図については、気圧や気温の傾斜を正角で観察する必要がある上に、北半球や南半球全体で考察することが増えたため、平射図法の使用が増えている。また「全ての小円が必ず円になる」という性質に着目して、クレーターが多い月面の全図に使われた例 がある。
この節では、単位球面を北極から赤道を通る平面に投影する場合を扱う。その他の場合は後述。
三次元空間 R 内の単位球面は、x + y + z = 1 と表すことができる。ここで、点 N ≔ (0, 0, 1) を"北極"とし、M を球面の残りの部分とする。平面 z = 0 は球の中心を通る。"赤道" はこの平面と球面の交線である。
M 上の任意の点 P に対して、N と P を通る直線が一意的に存在し、この直線は平面 z = 0 とちょうど一点 P′ で交わる。P の立体射影による像を、その点 P′ と定義する。
球面上の直交座標 (x, y, z) と平面上の (X, Y) を用いると、立体射影とその逆写像は、次の式で与えられる。
( X , Y ) = ( x 1 − z , y 1 − z ) , {\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),}
( x , y , z ) = ( 2 X 1 + X 2 + Y 2 , 2 Y 1 + X 2 + Y 2 , − 1 + X 2 + Y 2 1 + X 2 + Y 2 ) . {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}