有理化
が成り立つ、という主張に一般化できる。
これは K = Q ( d ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の各元 a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} に対し、その拡大 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } に関する共役元 a − b d {\displaystyle a-b{\sqrt {d}}} を掛ければ
N ( a + b d ) := ( a + b d ) ( a − b d ) = a 2 − b 2 d {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}}):=(a+b{\sqrt {d}})(a-b{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d}
(この N ( a + b d ) {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})} は a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} の(拡大 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } に関する)ノルムと呼ばれる。)が Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。
一般に、体 K の(有限次ガロア)拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元(二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある)をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。