三角法
図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。
SSS, 三辺
SAS, 二辺挟角
ASA, 二角挟辺
AAS
ASS
AAA
三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。
球面三角法とは、球面三角形の角と辺の関係を研究する学問である。球面三角形とは球面上の3つの大円の弧により区切られた図形である。大円とは球の中心を通る平面により球を切ったとき、球の切り口に表れる図形である。球面三角形の余弦定理や正弦定理は三角関数により定義される。歴史的に天文学や航海術に利用された。
図2.2に示すような球面三角形における、ある角の余弦は、前記球面三角形の各辺により、次のように表せる。
cos  A = cos  a − cos  b cos  c sin  b sin  c . {\displaystyle \cos A={\frac {\cos a\,-\,\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}.}
上記式と等価な下記式(球面三角法における余弦定理(英語版))は、球面三角法における基本的な公式であり、さまざまな公式が下記式から演繹される。
cos  a = cos  b cos  c + sin  b sin  c cos  A , {\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,}
cos  b = cos  c cos  a + sin  c sin  a cos  B , {\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,}
cos  c = cos  a cos  b + sin  a sin  b cos  C . {\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.}