ロルの定理
である。
ƒ(c) が最大値であることから分子は 0 以下であるので、
f ′ ( c ) = lim h → + 0 f ( c + h ) − f ( c ) h ≤ 0 {\displaystyle f'(c)=\lim _{h\to +0}{f(c+h)-f(c) \over h}\leq 0}
f ′ ( c ) = lim h → − 0 f ( c + h ) − f ( c ) h ≥ 0 {\displaystyle f'(c)=\lim _{h\to -0}{f(c+h)-f(c) \over h}\geq 0}
となる。したがって ƒ′(c) = 0 である。
ƒ(d) < ƒ(a) であるときも同様にして最小値を取る点 c ∈ (a, b) で ƒ′(c) = 0 となることが分かる。
いずれの場合でも ƒ′(c) = 0 となる c ∈ (a, b) が存在することになる。(Q.E.D)