ウィグナー分布
入力信号が正弦波関数の場合、その時間周波数分布は時間軸から正弦波信号の周波数分だけ平行移動した、水平線となる。たとえば、x(t) = e の場合、以下のようになる。
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ e i 2 π k ( t + τ 2 ) e − i 2 π k ( t − τ 2 ) e − i 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ e − i 2 π τ ( f − k ) d τ = δ ( f − k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}
If y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t − τ ) h ( τ ) d τ then W y ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ W x ( ρ , f ) W h ( t − ρ , f ) d ρ {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}
時間周波数分析(英語版)
短時間フーリエ変換
スペクトログラム
ガボール変換(英語版)
自己相関
ガボール・ウィグナー変換(英語版)
修正ウィグナー分布関数(英語版)
多項式ウィグナー・ビレ分布(英語版)
コーエンクラス分布(英語版)
ウィグナー関数
時間周波数解析における分布間の変換(英語版)
双線型時間周波数分布(英語版)
X ( f ) = | X ( f ) | e i 2 π ψ ( f ) , x ( t ) = | x ( t ) | e i 2 π φ ( t ) , if φ ′ ( t ) = | x ( t ) | − 2 ∫ − ∞ ∞ f W x ( t , f ) d f and − ψ ′ ( f ) = | X ( f ) | − 2 ∫ − ∞ ∞ t W x ( t , f ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}
ウィグナー分布は線形変換ではない。複数の周波数成分が入力信号に存在する場合、各成分の干渉によるうなりに似た交差項(「時間うなり」)が生じる。もともとのウィグナー関数では、この項は期待値を正確に与えるために必要であり、物理的に重要である。対照的に、短時間フーリエ変換ではこの交差項は生じない。ウィグナー分布における交差項の性質のうちいくつかを以下に示す。
x ( t ) = { cos  ( 2 π t ) t ≤ − 2 cos  ( 4 π t ) − 2 < t ≤ 2 cos  ( 3 π t ) t > 2 {\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}
x ( t ) = e i t 3 {\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}
交差項問題を緩和するため、様々な変換が提案されている。修正ウィグナー分布関数(英語版)やガボール・ウィグナー変換(英語版)、コーエンクラス分布(英語版)などが挙げられる。