斉次函数
数学における斉次函数(せいじかんすう、英: homogeneous function)は、拡大縮小に関して「引数に因数が掛かれば値にその因子の適当な冪が掛かる」という乗法的な振る舞いをする函数をいう。よりはっきり書けば、体 F 上の二つのベクトル空間 V, W の間の写像 ƒ: V → W と整数 k に対して、写像 ƒ が斉 k-次(斉次次数 k)であるまたは k-次の斉次性を持つとは、
f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}
を任意の零でないスカラー α ∈ F とベクトル v ∈ V に対して満たすことをいう。扱うベクトル空間が実係数の場合には、斉次性をもう少し一般にして、任意の α > 0 に対して上式を満たすことのみを仮定する場合も多い。
斉次函数はベクトル空間から原点を取り去ったものの上で定義することもでき、この事実は代数幾何学において射影空間上の層の定義において用いられている。より一般に、S ⊂ V が体の元によるスカラー乗法で不変な部分空間(「錐」)であるとき、S から W への斉次函数がやはり同じ式で定義できる。