偏微分方程式
線型偏微分方程式はその解を基底関数系で線型展開したもので近似することにより一般的に解かれる事が多い(たとえば正弦波関数を使ったフーリエ級数展開)。展開した個々の解の線型結合もまた元の方程式の解になる。また線型偏微分方程式が変数分離可能な構造を持つ場合には変数分離法により低い次元の微分方程式の問題に帰着して解くことが できる場合がある。
しかし非線型な微分方程式に対しては一般的に使える解法理論はなくて、実際上のほとんどの方程式は解析的な方法では解くことが出来ない。(しかし,あるタイプの方程式には解法が存在することがある。たとえば、ホモトピー原理は過少決定性の方程式系を解くための非常に強力な方法である。また、ソリトン方程式に対しては広田の方法を使うのが標準的である。)
あるいは偏微分方程式を容易に解ける方程式から変化したものであるとみなせる場合にはその解を摂動的な展開を用いて表すことで近似解が得られる場合がある。またそれ以外に数値的な近似解法として、有限差分スキームや有限要素法などが挙げられる。 具体的な解が必要であるが解析的な手段を用いては解くことのできない多くの科学や工学上の問題は,このような近似手法により離散化された大規模な数値計算の問題に変換され,もっぱらコンピュータを用いた計算により解かれる。境界条件も含めて近似解を表すための自由度は非常に大きいものになることが普通であるので,計算を行うために扱うデータの量や演算の回数の多さから,計算機の性能向上と共に効率的な近似法や数値解法の開発が進められ発展してきた。
fill in: ディリクレ-ノイマン境界、双曲的/放物的/楕円的変数分離、フーリエ解析、グリーン関数
微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する境界条件を付加して考える。常微分方程式の場合にはそれぞれの解がいくつかのパラメータの値によって特徴付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。このことは、過剰決定的な方程式系でない限りは概ね正しいといえる。
偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションやコンピュータグラフィックス、あるいは天気予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、一般相対性理論や量子力学の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、経済学においても重要な概念であり、特に金融工学において多用される。