最大値最小値定理
初等解析学における最大値・最小値の定理または最大値の定理(さいだいちのていり、英: extreme value theorem; 極値定理)は、実数値函数 f が有界閉区間 [a,b] 上で連続ならば f は最大値および最小値にそれぞれ少なくとも一点で到達することを述べるものである。式で書けば、適当な実数 c, d ∈ [a,b] が存在して
f ( c ) ≥ f ( x ) ≥ f ( d ) ( ∀ x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad (\forall x\in [a,b])}
が成り立つ。関連する定理として、有界性定理(ゆうかいせいていり、英: boundedness theorem)は、有界閉区間 [a,b] 上で連続な函数 f はその区間上で有界であることを述べる。これは適当な実数 m, M が存在して
m ≤ f ( x ) ≤ M ( ∀ x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad (\forall x\in [a,b])}
が満たされるという意味である。最大値定理は、有界性定理における上界と下界の存在を強めて、最小上界を最大値として、および最大下界を最小値として、それぞれ実現する点が定義域内に存在することまでをも主張するのである。
最大値の定理はロルの定理の証明に利用される。また、ヴァイエルシュトラスによる定式化では、最大値の定理は「コンパクト空間から実数直線の部分集合への連続写像は最大値および最小値をとる」と述べられる。
最大値の原理ともいう。
連続函数 f が有界閉区間 [a, b] 上で上に有界でないとすると、各自然数 n に対して点 xn ∈ [a,b] を f(xn) > n となるものが取れるから、数列 {xn} が作れる。区間 [a, b] は有界ゆえ、ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理から {xn} の収斂部分列 {xnk} が取れることが従い、いまその収斂先を x とすると区間 [a, b] が閉ゆえ x はこの区間に属する。f は x で連続であるから(f は x において点列連続(英語版)で)部分列 {f(xnk)} は実数 f(x) へ収斂しなければならないが、f(xnk) > nk ≥ k が任意の k について成り立つことから {f(xnk)} は正の無限大 +∞ へ発散することが従うから、これは矛盾である。従って f は有界閉区間 [a, b] において有界である。