アレフ数
任意の無限順序数の濃度はアレフ数である。また、どのアレフ数もある順序数の濃度である。濃度がアレフ数である順序数のうち最小のものはアレフ数の始数である。濃度がアレフ数である任意の集合はある順序数と等濃であり、したがって整列可能 (well-orderable) である。
任意の有限集合は整列可能であるが、その濃度はアレフ数ではなく、有限の自然数である。
任意の無限集合の濃度がアレフ数であるという仮定は、ZF におけるすべての集合の整列の存在と同値であり、これは選択公理と同値である。ZFC 集合論では選択公理を含むため、すべての無限集合の濃度はアレフ数である(すなわちその始数と等濃である)ことが導かれ、したがってアレフ数の始数をありとあらゆる無限濃度の代表元のクラスとして扱うことができる。
選択公理のない ZF のもとで濃度を考えた場合、「任意の無限集合の濃度はアレフ数である」ことを証明することはできない。濃度がアレフ数である集合は厳密に整列可能な無限集合となるからである。ZF のもとで濃度の代表元を構成する代替手段として、スコットのトリックが使われることがある。
慣習的に最小の無限順序数は ω と表記され、濃度 אω はアレフたちの中で
{ א n : n ∈ { 0 , 1 , 2 , ... } } {\displaystyle \{\aleph _{n}:n\in \{\,0,1,2,\dots \}\}}
の最小上界である。
אω はツェルメロ・フレンケル集合論においてすべての実数からなる集合の濃度に等しくないことが証明できる最初の不可算濃度である;任意の正整数 n に対して矛盾なく 2 = אn と仮定でき、さらに 2 は好きなだけ大きいと仮定できる。共終数が א0 である特別な濃度、つまり א0 からそれへの非有界関数が存在し、それの設定を避けることを強制されるだけである(イーストンの定理(英語版)を見よ)。
数学を基礎付ける集合論において、アレフ数(アレフすう、英: aleph number)は無限集合の濃度(あるいは大きさ)を表現するために使われる順序数のクラスである。
名称はそれらを表記するのに使われる文字、ヘブライ文字の第一文字アレフ (א) に由来する。
自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート א0(aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも)であり、次に大きい濃度がアレフ・ワン א1, 次はアレフ・ツー א2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 אα を定義することができる。
概念はゲオルク・カントールまでさかのぼる。彼は濃度の概念を定義し無限集合には異なる濃度があることに気付いた。
アレフ数は代数学や微積分でよく見る無限大 (∞) とは異なる。アレフ数は集合の大きさを測るものだが、一方無限大は一般に(関数や数列が「無限大に発散する」とか「限りなく増大する」という形で現れる)実数直線上の非有限極限、あるいは拡大実数直線の極点として定義される。