ロジスティック写像
分岐が起きるときのパラメータの値は分岐点と呼ばれる。ここでは、a = 1 が分岐点である。
分岐の結果、ロジスティック写像の軌道は xf 1 = 0 ではなく、xf 2 = 1 − 1/a へ収束するようになる。詳しく言えば、パラメータ 1 < a ≤ 2 であれば、0 と 1 を除く区間 (0, 1) 上の値から出発する軌道は、単調増加あるいは単調減少しながら xf 2 に収束する。収束の仕方の違いは、初期値がどの範囲にあるかに依る。0 < x0 < 1 − 1/a では単調増加で収束し、1 − 1/a < x0 < 1/a では単調減少で収束し、1/a < x0 < 1 では最初の1ステップを除いて単調増加で収束する。
また、分岐によって不動点 xf 1 = 0 は不安定化するが、a > 1 以降も不動点として存在し続ける。この不安定不動点 xf 1 にたどり着く初期値が、xf 1 自身以外に存在しないわけではない。それが x0 = 1 で、a の値にかかわらずロジスティック写像は f (1) = 0 を満たすので、x0 = 1 に写像を1回適用すると xf 1 = 0 に写る。この x = 1 のように、有限回の写像の反復で不動点に直接行き着くような点は最終的不動点などと呼ばれる。
と言っても、時刻 n は物理的な時間を本当に意味しているわけではなく、何かしらの現象の進行を表している便宜的なラベルのようなものである。
後で詳述するように、ロジスティック写像は生き物の個体数の変化を考える式として世に広まった側面を持つ。この場合、xn は、ある世代における生き物の個体数を、生息環境で可能な最大生息個体数で割った値を意味している。差分方程式 (1-2) によって、n 世代目の個体数から n+1 世代目の個体数が計算できるというのが、生物個体数モデルとしてのロジスティック写像の意味である。個体数が増えていくと、個体数の増加速度は下がってくるだろうから、この効果をロジスティック写像では (1 − xn) という項で取り入れている。例えば、ある世代で個体数が最大生息個体数に近くて xn = 0.9999 だとすれば 項 (1 − xn) は 0 にとても近い数値になるので、次の世代の個体数 xn+1 は急激に減ることになる。
「ロジスティック写像」の名の中に出てくる写像とは、ある集合の要素をまたある集合の要素に対応させる規則を指す用語である。関数に似たようなものだが、関数を数以外の集合も扱うような場合も含めてより一般化したのが写像といえる。写像という視点からは、ロジスティック写像は実数の1点を実数の1点へ対応させる規則だといえる。ただし、「関数」と「写像」に数学全体で共有されている厳密な呼び分けは存在しておらず、実際のところ、どちらの言葉を使うかは各分野の習慣に依るところが大きい。力学系分野では、式 (1-2) のような差分方程式を写像として捉え、写像という語で呼ぶことが多い。
ロジスティック写像を写像の形で表現すると、
や
のように記される。写像がパラメータ a に依存していることを明確にするために、
このロジスティック方程式に、1階常微分方程式の数値解法の一つであるオイラー法による差分化近似を施すことによって、ロジスティック写像が導出できる。オイラー法の差分化近似とは、適当な時間間隔(時間刻み幅)Δt を導入し、増殖率 dN/dt を以下のように近似することである。
この近似の結果、次のロジスティック写像が導かれる。
ただし、この式の xn と a は、元のパラメータ、変数、時間刻み幅と次のような関係を持つ。
Δt が十分小さければ、式 (5-8) は元の式 (5-6) の有効な近似として働き、Δt → 0では元の式の解と一致する。一方で、Δt が大きいと、元の式の解から外れていく。また、式 (5-10) の関係から、Δt を大きくすることはパラメータ a を大きくすることに相当する。よって、Δt を大きくするほど、元の方程式との誤差を単に大きくするだけでなく解にカオス的振る舞いを生み出すことになる。