二個の平方数の和
となり、故に
x 2 + 3 y 2 = f p ( f ≦ 3 ) {\displaystyle x^{2}+3y^{2}=fp\quad (f\leqq 3)}
となるが、法3で考えると f = 2 {\displaystyle f=2} はありえない。 f = 3 {\displaystyle f=3} の場合は両辺を3で除して
3 ( x 3 ) 2 + y 2 = p {\displaystyle 3\left({\frac {x}{3}}\right)^{2}+y^{2}=p}
となる。合成数については x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明に倣う。なお、 2 | ( x 2 + 3 y 2 ) {\displaystyle 2\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)} であれば、 x , y {\displaystyle x,y} は共に偶数か共に奇数であるが、奇数であれば 4 | ( x 2 + 3 y 2 ) , 8 ⧸ | ( x 2 + 3 y 2 ) {\displaystyle 4\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right),8\not {\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)} である。従って、素因数2の冪指数は偶数である。