アフィン群
ベクトル空間 V が与えられたとき、V の原点を「忘れる」ことにより V の台となるアフィン空間 A が得られ、V は A に平行移動として作用する。このとき、V 上の一般線型群 GL(V) を V に自然に作用させれば、その元による線型変換は自己同型となるから、半直積を定義することができて、A のアフィン変換群が V の GL(V) による半直積
A f f ( A ) = V ⋊ G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {Aff} (A)=V\rtimes \mathrm {GL} (V)}
として書き表される。
V の基底をとって行列の形で考えれば、
A f f ( n , K ) = K n ⋊ G L ( n , K ) {\displaystyle \mathrm {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n,K)}
と書くことができる。ここでの GL(n, K) の K への自然な作用は行列のベクトルとの積である。