複素解析
数学の一分野である複素解析(ふくそかいせき、英: complex analysis)は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり、関数論とも呼ばれる。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、(流体力学などの)理論物理学、(数値解析や回路理論をはじめとした)工学などの多くの分野で用いられている。
正則関数の重要な性質に、正則関数の連結な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう(一致の定理)、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの解析接続とよばれる。このような原理によってリーマンゼータ関数など、限られた領域上でしか収束しない級数によって定義されていた関数を複素平面全体に正則関数や有理型関数として拡張することが可能になる。場合によっては自然対数などのように複素平面内の単連結でない領域への解析接続が不可能なこともあるが、リーマン面とよばれる曲面を導入することでその上の正則関数としての「解析接続」を考えることができる。
孤立特異点は、可除特異点、極 、真性特異点に分類される。除去可能な特異点とは、その点における値を適当に取り直すことにより、複素函数をその近傍で解析的にすることができるときに言う。極とは、複素函数 f(z) の特異点 z = a であって、(z − a)f(z) において除去可能な特異点となる自然数 n が存在するものをいう。真性特異点とは、除去可能でも極でもない孤立特異点をいう。