微分積分学の基本定理
またさらに、 f {\displaystyle f} は単に局所可積分であるとした場合でも、関数 F {\displaystyle F} はほとんど至るところ微分可能かつほとんど至るところ d F d x ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}(x)=f(x)} である。
実数直線上では、この事実はルベーグの微分定理と同値となる。これらの結果は、より大きなクラスの積分可能な関数を定めるヘンストック=クルツヴァイル積分においても成立する。
より高い次元では、ルベーグの微分定理は、「ほとんどすべての x {\displaystyle x} について、関数 f {\displaystyle f} の x {\displaystyle x} を中心とする半径 r {\displaystyle r} の球上における平均値が、 r {\displaystyle r} が 0 {\displaystyle 0} に近づくとき、 f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)\,} に近づく」という形で微積分の基本定理を一般化する。