レイリー・プレセット方程式
液体がニュートン流体であると仮定すると、極座標における半径方向の運動に対する非圧縮性ナビエ-ストークス方程式は
ρ L ( ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ r ) = − ∂ P ∂ r + μ L [ 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ u ∂ r ) − 2 u r 2 ] {\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}
と与えられる。 動粘度 ν L = μ L ρ L {\displaystyle \nu _{L}={\frac {\mu _{L}}{\rho _{L}}}} を代入し変形すると
となる。ここで、 S {\displaystyle S} は表面張力である。 この境界で質量輸送が無いならば、面積当たりのこの力はゼロになる必要があるので、
P ( R ) = P B − 4 μ L R d R d t − 2 S R {\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{R}}}
ゆえに運動量保存の結果から
P ( R ) − P ∞ ρ L = P B − P ∞ ρ L − 4 μ L ρ L R d R d t − 2 S ρ L R = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 {\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}