ラグランジアン (場の理論)
ラグランジアン密度 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は J・m の次元を持つ。 kg・m の単位系で、相互作用項 mΦ を連続質量密度 ρ を含む項に置き換える。 (連続体でなく)点を場の発生源として取り扱うのは数学的に難しいので、この取扱いが必要となる。 その結果、古典重力場のラグランジアンは
L ( x , t ) = − ρ ( x , t ) Φ ( x , t ) − 1 8 π G ( ∇ Φ ( x , t ) ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}
となる。ここで、 m・kg・s で表す G は重力定数である。 Φ についての積分の変分は、
量子電磁気学(QED)のラグランジアン密度は、
L Q E D = i ħ c ψ ̄ D / ψ − m c 2 ψ ̄ ψ − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }=i\hbar c{\bar {\psi }}{D}\!\!\!\!/\ \psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
である。ここで、 F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }} は電磁テンソルであり、D はゲージ共変微分(英語版)であり、 D / {\displaystyle {D}\!\!\!\!/} は γ σ D σ {\displaystyle \scriptstyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }\!} に対するファインマンのスラッシュ記法である。 D σ = ∂ σ − i e A σ {\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }} で、 A σ {\displaystyle A_{\sigma }} は電磁場の四元ポテンシャルである。
一般相対論の電磁場のラグランジアン密度も、上記のアインシュタイン・ヒルベルト作用を含んでいる。純粋な電磁場のラグランジアンは、正に物質ラグランジアン L matter {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}} である。ラグランジアンは、
L ( x ) = j μ ( x ) A μ ( x ) − 1 4 μ 0 F μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) g μ ρ ( x ) g ν σ ( x ) + c 4 16 π G R ( x ) = L Maxwell + L Einstein-Hilbert {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein-Hilbert}}\end{aligned}}}
である。