一意分解環
A がGCD整域(つまり、任意のふたつの元についてそれらの最大公約数が存在する整域)であって、(ACCP) を満たす。
A がシュライヤー整域かつ分解整域である。
A が前シュライヤー整域かつ分解整域である。
A は任意の因子が単項生成であるという因子論 (divisor theory) を持つ。
A はクルル環で、任意の因子的イデアルが主イデアルとなる。
A がクルル環で、しかも高さ 1 の素イデアルはすべて主イデアルである
実用上は、2. と 3. の条件が UFD の確認にはもっとも有用である。たとえば PID において任意の素イデアルは素元によって生成されるから、2. から直ちに PID が UFD となることが従う。
他の例としては、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるようなネーター整域が考えられる。実際、任意の素イデアルが高さ有限だから、それは(高さに関する帰納法で)高さ 1 の素イデアルを含み、それは主イデアルと仮定したから、2. によりその環は UFD になる。