ザリスキー位相
トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。定義を拡張することで、グロタンディークは、閉包がそれ自体よりも大きい(同じではなく)生成点(英語版)(generic point)と言う考え方を導入した。閉点は A の極大イデアルに対応する。しかし、注意すべきは、スペクトルや射影スペクトルは未だ T0 空間となることである。なぜなら、 A の素イデアルである2点 P, Q をとり、 P は Q を含まないとすると、D(Q) は P を含み、Q を含まない開集合となるからである。
まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。しかし、これらの事実は直感とは食い違い、連結空間以外の開集合をコンパクトとすることは期待できなく、アフィン多様体(例えば、ユークリッド空間)に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。グロタンディエクは、この問題をスキームの固有性(properness)という考え方(実際、スキームの射)を定義することにより解決した。この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。
環のスペクトル(アフィンスキーム)
スペクトル空間(英語版)(Spectral space)
これらの位相についての極めて有効な事実は、それらの基底(basis)が特別な単純元、つまり、f の個別多項式(もしくは、射影多様体の同時多項式) D(f) からなることを示すことができることである。実際、これらが基底を形成することは、与えられた 2つのザリスキー閉集合の交叉の公式から理解することができる(これを繰り返し、(S) の生成元によち生成される主イデアルへ適用する)。これらを識別可能(distinguished)もしくは基本(basic)開集合と呼ぶ。
ヒルベルトの基底定理とネーター環の基本性質により、全てのアフィン座標環と射影座標環はネーター環である。結果として、ザリスキー位相を持つアフィン空間も射影空間も、ネーター位相空間(Noetherian topological space)であり、これら空間の任意の部分空間はコンパクトであることを意味する。
k が有限体でない場合は、多様体はハウスドルフ空間ですらない。