ポワンカレ計量
上半平面から円板への写像でもう一つ広く用いられるものが、q-写像
q = exp  ( i π τ ) {\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}
である。ここに q はノームで τ は半周期比を表す。前節での記法を用いれば、τ は上半平面 Im τ における座標である。q = 0 はこの写像の像に含まれないから、この写像は穴あき円板に値を取るものになっていることに注意。
上半平面上のポアンカレ計量から、この q-円板上の計量
d s 2 = 4 | q | 2 ( log  | q | 2 ) 2 d q d q ̄ {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dq\,d{\bar {q}}}
が誘導される。この計量に関するポテンシャルは
Φ ( q , q ̄ ) = 4 log  log  | q | − 2 {\displaystyle \Phi (q,{\bar {q}})=4\log \log |q|^{-2}}
で与えられる。
ポアンカレ円板模型におけるポアンカレ計量テンソルは、単位円板 U = {z = x + iy : |z| = √x + y < 1 } 上に
d s 2 = d x 2 + d y 2 ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d z d z ̄ ( 1 − | z | 2 ) 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}}
で与えられる。対応する体積形式は
d μ = d x d y ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d x d y ( 1 − | z | 2 ) 2 {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}}
である。このポアンカレ計量は、z1, z2 ∈ U に対して
ρ ( z 1 , z 2 ) = tanh − 1  | z 1 − z 2 1 − z 1 z ̄ 2 | {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}\right|}
と書くことができる。
この計量テンソルに対する測地線は、円板の境界上にある端点において円板の境界と直交するような円弧である。