剛体
ここでは、剛体の並進運動を棚に上げ、重心を通る軸の周りの回転運動についてだけ記述する。軸とz軸を重ね、軸に沿っての運動はないものと考える。この場合に重要になる物理量が慣性モーメントI(一般的な慣性モーメントについて→慣性モーメント)である。慣性モーメントは、
I = ∑ k m k r k 2 {\displaystyle I=\sum _{k}m_{k}r_{k}^{2}}
が定義であり、剛体を構成する各粒子の、質量と軸からの距離の2乗の積であり、決して変形しない剛体にとって固有に定められた定数である。
一般に剛体では粒子が連続的に分布している(連続体)ので、慣性モーメントは次のような積分として計算される。
I ⟶ ∫ V r 2 d m = ∫ V r 2 ρ ( r ) d V {\displaystyle I\longrightarrow \int _{V}r^{2}\,dm=\int _{V}r^{2}\rho (r)\,dV} = ∫∫∫ V r 2 ρ ( r ) d x d y d z {\displaystyle {}=\iiint _{V}r^{2}\rho (r)\,dx\,dy\,dz}
ここで、積分領域のVは剛体の体積を表す。
3次元空間において、剛体の静力学的な自由度は6である。 剛体の自由度が6であることは次のように示される。
剛体に固定された点の位置は3次元空間において3つの自由度で指定される。
剛体に固定された第2の点を考えれば、第1の点との距離が変化しないという剛体の条件から、2つの自由度で指定される。
直線上にない第3の点を考えれば、第1と第2の点との距離が変化しないという剛体の条件から、1つの自由度で指定される。
第4の点以降は、第1と第2、第3の点との距離が変化しないという剛体の条件から自由度が増えることなく決まってしまうので合計の自由度が6であることが示される。
これは第1と第2の点を結ぶ軸の方向が2つの自由度で指定され、この軸の周りの回転1つの自由度で指定されると言い換えることもできる。すなわち、3つの自由度で剛体の位置が指定され、残り3つの自由度で剛体の姿勢が指定される。自由度の選び方にはある程度の任意性があるが、通常は剛体の位置は重心座標で指定され、剛体の姿勢は重心周りの回転角で指定されることが多い。