ピカールの逐次近似法
但し、この逐次近似法で構成する関数列 {φn(t)} が適切に定義され、その存在と収束が保証される必要がある。そのために次の条件を要請する。
R(または R × C)の有界閉領域
E = { ( t , x ) : | t − τ | ≤ r , ‖ x − ξ ‖ ≤ ρ } {\displaystyle E=\{(t,{\boldsymbol {x}}):\,|t-\tau |\leq r,\,\|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\xi }}\|\leq \rho \}}
で f は連続で有界、すなわちある M が存在して
‖ f ( t , x ) ‖ ≤ M {\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {x}})\|\leq M}
かつ、 x についてのリプシッツ条件
‖ f ( t , x ) − f ( t , y ) ‖ ≤ L ‖ x − y ‖ {\displaystyle \|{\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {y}})\|\leq L\|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\|}