オイラーの公式
であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が 1/n よりも早く 0 に近づくときには、極限に影響しない。 本議論において
a n = cos  x n − 1 = − 2 sin 2  x 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\cos {\frac {x}{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2n}}\end{aligned}}}
であるから
a n ∼ − x 2 2 n 2 {\displaystyle a_{n}\sim -{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}}
となる。 したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば
cos  x n = 1 + O ( 1 n 2 ) . {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).}
ゆえに
lim n → ∞ ( cos  x n ) n = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}=1.}
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
cos  n θ + i sin  n θ = ( cos  θ + i sin  θ ) n . {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。 ゆえに f (x) は定数である。 よって f (x) = f (0) より
が成り立つ。 (5) を (4) に代入すると
( cos  x + i sin  x ) ⋅ e − i x = 1 {\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=1}
が導出される。この両辺に e を掛け、任意の複素数 a, b に対して成り立つ指数法則 ee = e を利用すれば
e i x = ( cos  x + i sin  x ) ⋅ e i x e − i x = ( cos  x + i sin  x ) ⋅ e ( i x − i x ) = ( cos  x + i sin  x ) ⋅ e 0 = ( cos  x + i sin  x ) ⋅ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{0}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.\end{aligned}}}
以上より
e i x = cos  x + i sin  x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}