関数の極限
このことを理解するために次の例を挙げる。
x が 2 に近づくときの f ( x ) = x x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} の値を考える。この場合、f(x) は x が 2 のときに定義されており、値は 0.4 である。
f ( 1.9 ) = 0.4121 {\displaystyle f(1.9)=0.4121}
f ( 1.99 ) = 0.4012 {\displaystyle f(1.99)=0.4012}
f ( 1.999 ) = 0.4001 {\displaystyle f(1.999)=0.4001}
x が 2 に近づくにつれて f(x) が 0.4 に近づいていく。したがって、 lim x → 2 f ( x ) = 0.4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4} である。このように f ( c ) = lim x → c f ( x ) {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)} であるとき、f(x) は x = c で連続であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。
例として、