連続体濃度
連続体濃度を持つ集合は数学の様々な分野で表れる。以下によく知られた例を挙げる。
R: 実数全体の成す集合。
R における任意の非退化な閉区間あるいは開区間。たとえば単位区間 [0,1] など。
無理数全体の成す集合。
超越数全体の成す集合。
カントール集合。
R: n-次元ユークリッド空間。
C: 複素数全体の成す集合。
Qp: p進数全体の成す集合。
P(N): 自然数全体の成す集合 N の冪集合。
Z: 整数列(すなわち N から Z への写像)全体の成す集合。
R: 実数列全体の成す集合。
C(R): R から R への連続函数全体の成す集合。
O ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {R} ^{n})} : R 上のユークリッド位相(開集合系)。
B R {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} }} : R 上のボレル集合族すなわち、R のボレル集合全体の成す集合。
対角線論法により、「任意の集合に対して、その冪集合のほうが濃度が真に大きい: |A| < 2」というカントールの定理が示される。したがって、自然数全体の成す集合 N の冪集合 P(N) は非可算である。さらに、以下のような議論により、P(N) の濃度は連続体濃度に等しいことが示せる。
実数全体から有理数全体の成す集合の冪集合への写像 f: R → P(Q) を、任意の実数 x に対しそれよりも小さい有理数全体のなす集合 {q ∈ Q | q ≤ x} を対応付けるものとして定める。これは、実数を有理数のデデキント切断として定義すると言う立場からは、本質的には、有理数の集合の冪集合への包含写像だということになる。この写像は、有理数全体の成す集合 Q が R において稠密であることから単射である。有理数全体の成す集合 Q は可算であったから、 c ≤ 2 א 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}} を得る。
各項が0または2の値をとる無限列全体の成す集合 {0, 2} を考える。この集合の濃度は明らかに 2 である(このような二値数列の全体と冪集合 P(N) との間の自然な全単射は指示関数を考えることで与えられる)。