フィボナッチ数
フィボナッチ数列の隣接2項の商は黄金数 φ に収束する。この性質は初期値 (F0 = 0, F1 = 1) に依らない。
lim n → ∞ F n F n − 1 = φ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}=\phi }
これは次のように導出される:
x = lim n → ∞ F n F n − 1 {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}} が収束するとすれば、
x = lim n → ∞ F n − 1 + F n − 2 F n − 1 = lim n → ∞ ( 1 + 1 F n − 1 / F n − 2 ) = 1 + 1 x {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n-1}+F_{n-2}}{F_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{F_{n-1}/F_{n-2}}}\right)=1+{\frac {1}{x}}}
x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0}
自然数 p, q の最大公約数を r とすると、Fp と Fq の最大公約数は Fr である。
これより以下を導くことができる。
m が n で割り切れるならば、Fm は Fn で割り切れる。 連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。
フィボナッチ数列は、漸化式 Fn = Fn−1 + Fn−2 を全ての整数 n に対して適用することにより、n が負の整数の場合に拡張できる。そして F−n = (−1)Fn が成り立つ。この式より、負の番号の項は次のようになる。