HMFモデル
熱力学極限(粒子数 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の極限)で系の統計分布は一体分布関数で記述できるようになる。この1体分布関数は、粒子密度
ρ = A e β cos  θ {\displaystyle \rho =Ae^{\beta \cos \theta }}
( A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} は定数)を導き、 B = 0 {\displaystyle B=0} ならば粒子は一様に分布し、 B ≠ 0 {\displaystyle B\neq 0} ならばクラスターを形成する。定数 B {\displaystyle B} はセルフコンシステント条件
B = J 2 I 1 ( β B ) I 0 ( β B ) {\displaystyle B={\frac {J}{2}}{\frac {I_{1}(\beta B)}{I_{0}(\beta B)}}}
( I n {\displaystyle I_{n}} は修正ベッセル関数)を満足し、これが非自明解 B ≠ 0 {\displaystyle B\neq 0} を持つ条件が
T < T c := J 2 {\displaystyle T<T_{c}:={\frac {J}{2}}}
と求まる。すなわち、温度 T c {\displaystyle T_{c}} より低温のときにのみ熱平衡状態としてクラスター状態が可能である。そして熱力学的安定性の要求から、低温側ではクラスター状態が安定であり、一方高温側では一様状態が安定であることが結論される。この転移は2次相転移である。