チェビシェフフィルタ
遮断周波数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} での利得は 1 / 1 + ε 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}} だが、そこから落ち込み続けて除去帯域となる。この様子を示したのが右図である。ただし、遮断周波数は一般に −3dBとなる周波数だが、チェビシェフフィルタでは成り立たない。
チェビシェフフィルタの次数は、アナログ回路でフィルタを実装したときのリアクタンス部品(コイルなど)の個数に等しい。
リップルはdBで与えられることが多い。
リップル(dB) = 20 log 10  1 1 + ε 2 {\displaystyle 20\log _{10}{\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}
したがって、 ε = 1 {\displaystyle \epsilon =1} のときリップルは 3dB となる。
複素平面の j ω {\displaystyle j\omega } 軸上の零点を許せば、除去帯域のリップルが生じる代わりにロールオフがより急勾配になる。しかしこれは除去が不完全になることを意味する。そのようなフィルタを楕円フィルタと呼ぶ。
受動回路でローパスのチェビシェフフィルタを実装するには、Cauer形のトポロジーを使う。n次チェビシェフフィルタのコイルとコンデンサの値は以下の式で計算できる。
G 1 = 2 A 1 cosh  ( f H ) Y {\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}\cosh(f_{H})}{Y}}}
G k = 4 A k − 1 A k cosh 2  ( f H ) B k − 1 G k − 1 {\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}\cosh ^{2}(f_{H})}{B_{k-1}G_{k-1}}}} , k =2,3,4,...n,
G1、Gk はコイルとコンデンサの値を意味する。fH は3dB周波数であり、 f H = f C cosh  ( 1 n cosh − 1  1 ε ) {\displaystyle f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\epsilon }}\right)} で計算できる。係数 A、Y、β、Ak、Bk は以下の式で計算できる。
Y = sinh  ( β 2 n ) {\displaystyle Y=\sinh({\frac {\beta }{2n}})}
群遅延は位相を角周波数について微分したものと定義され、信号に含まれる異なる周波数成分の位相差による歪みの尺度である。
τ g = − d d ω arg  ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}
左図は ε=0.5 の五次第一種チェビシェフフィルタの利得と群遅延を示したものである。通過帯域では利得にも群遅延にもリップルがあるが、除去帯域にはそれがないことがわかる。