畳み込み
適当な条件の下で, 函数と分布あるいは分布同士の畳み込みが定義できる. f がコンパクト台付き函数で G が分布ならば f ∗ G は, 函数の畳み込みの式を分布版にした
∫ R d f ( x − y ) d G ( y ) {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)dG(y)}
で定義される滑らかな函数である (G が密度函数 g を持てば通常の函数の畳み込みに書き直せる). より一般に, 試験函数 φ に対して結合律
f ∗ ( g ∗ φ ) = ( f ∗ g ) ∗ φ {\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }
が成り立つような一意的な方法で畳み込みの定義を拡張することができて, それは f が分布, g がコンパクト台付き分布のときには有効である.
R 上の複素数値函数 fと g の畳み込みは、それ自身が R 上の複素数値函数として
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ R d f ( y ) g ( x − y ) d y = ∫ R d f ( x − y ) g ( y ) d y {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy}
で定義されるものであるが、右辺の積分が存在してこれが定義可能となるには、fと g が無限遠において十分急速に減少する(英語版)必要がある。とはいえ、たとえば g が無限遠において爆発するとしても、その影響は f が十分に急減少であれば容易に打ち消すことができるから、この積分の存在条件は込み入ったものも考え得る。この問題をクリアする函数の条件としてよく用いられる場合を以下に挙げる。
‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R d ) , g ∈ L q ( R d ) ) {\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d}))}
となるから, 畳み込み積は L × L → L なる連続双線型写像を定めている.
畳み込みに対するヤングの不等式は, 循環畳み込みや離散畳み込みなどほかの文脈でも成立する. また, R 上では先に掲げた不等式はより厳しく評価できる: 先と同様の関係を持つ 1 < p, q, r < ∞ に対し, 定数 Bp,q < 1 が存在して
‖ f ∗ g ‖ r ≤ B p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R ) , g ∈ L q ( R ) ) . {\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq B_{p,q}\lVert f\rVert _{p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} )).