群の生成系
有限生成群のすべての商は有限生成であるということは正しい(単純に生成元の商における像をとればよい)が、有限生成群の部分群は有限生成である必要はない。例えば、G を2つの生成元 x と y による自由群とし(これは明らかに有限生成である、なぜならば G = <{x,y}>)、S を n を自然数として yxy の形の G のすべての元からなる部分集合とする。<S> は明らかに可算生成の自由群に同型であるので、有限生成ではありえない。しかしながら、有限生成アーベル群のすべての部分群はそれ自身有限生成である。実は、より強いことが言える。すべての有限生成群からなるクラスは拡大の下で閉じている。これを見るためには、(有限生成)正規部分群と商の生成集合をとれ。すると正規部分群の生成元は商の生成元の原像とともに、群を生成する。