漸近的自由性
] {\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\alpha _{s}^{2}\left[\beta _{0}+\beta _{1}\alpha _{s}^{2}+\ldots \right]}
nf 種類のクォークをもつSU(N)のゲージ理論のとき、β関数は摂動の1次で以下のようである。
β ( α s ) ∼ − α s 2 β 0 ( α s ) = α s 2 π ( − 11 N 6 + n f 3 ) {\displaystyle \beta (\alpha _{s})\sim -\alpha _{s}^{2}\beta _{0}(\alpha _{s})={\frac {\alpha _{s}^{2}}{\pi }}\left(-{\frac {11N}{6}}+{\frac {n_{f}}{3}}\right)}
もしもこの関数が負であったら、高エネルギーになるにつれ結合定数は 0 に向かい、この理論は漸近的自由性を持つ。このように、SU(3)のゲージ群、つまりQCDの理論はクォークのフレーバー数が 16 以下であれば漸近的に自由な理論である。
SU(3) のとき N = 3, β < 0 を満たすには nf < 33/2 である必要がある。