プロパゲーター
S F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 e − i p ⋅ ( x − y ) ( γ μ p μ + m ) p 2 − m 2 + i ε = ( γ μ ( x − y ) μ | x − y | 5 + m | x − y | 3 ) J 1 ( m | x − y | ) . {\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).}
となる。
これは次の式でファインマンのプロパゲーターに関連付けられている。
S F ( x − y ) = ( i ∂ / + m ) G F ( x − y ) {\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)}
ここに ∂ / := γ μ ∂ μ {\displaystyle \partial \!\!\!/:=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }} である。
2つのスカラー場の作用素の交換子はパウリ・ジョルダン函数 Δ ( x − y ) {\displaystyle \Delta (x-y)} を次のように定義する。
⟨ 0 | [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] | 0 ⟩ = i Δ ( x − y ) {\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\Delta (x-y)}
で、ここに
Δ ( x − y ) = G a d v ( x − y ) − G r e t ( x − y ) {\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\mathrm {adv} }(x-y)-G_{\mathrm {ret} }(x-y)}
である。
これは Δ ( x − y ) = − Δ ( y − x ) {\displaystyle \,\Delta (x-y)=-\Delta (y-x)} 満たし、 ( x − y ) 2 < 0 {\displaystyle (x-y)^{2}<0} であればゼロである。
位置空間のプロパゲーターは、クライン-ゴルドン方程式のグリーン函数である。このことは、位置空間のプロパゲーターが次の式を満たす函数 G(x,y) であることを意味する。
( ◻ x + m 2 ) G ( x , y ) = − δ ( x − y ) {\displaystyle (\square _{x}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)}
ここに、
x , y {\displaystyle x,y} は、ミンコフスキー時空の 2つの点
◻ x = ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \square _{x}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}} は x {\displaystyle x} 座標上に作用する ダランベール演算子 (d'Alembertian operator)
δ ( x − y ) {\displaystyle \delta (x-y)} はディラックのデルタ函数
とする。(相対論的な場の量子論の計算の典型として、光速 c は 1 であるという単位系を使う。)
空間を4次元のミンコフスキー時空へ制限すると、プロパゲーターの式のフーリエ変換が可能となり、次の式を得る。
( − p 2 + m 2 ) G ( p ) = − 1 . {\displaystyle \,(-p^{2}+m^{2})G(p)=-1~.}
この式は、方程式 xf(x)=1 は、ε がゼロとなる極限で、解
2つのスカラー場の作用素の反交換関係は、次式によって Δ 1 ( x − y ) {\displaystyle \Delta _{1}(x-y)} 函数を定義する。
⟨ 0 | { Φ ( x ) , Φ ( y ) } | 0 ⟩ = Δ 1 ( x − y ) {\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}
ここに
Δ 1 ( x − y ) = Δ + ( x − y ) + Δ − ( x − y ) {\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y)}
である。この式は、 Δ 1 ( x − y ) = Δ 1 ( y − x ) . {\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).} を満たす。