合同数
このとき、n が奇数の合同数ならば 2An = Bn を、偶数の合同数ならば 2Cn = Dn を満たす。さらに、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想が正しければ、合同数はそのような数に限る。
与えられた n に対して、上記の条件を満たすか否か判定するのは易しい。したがって、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想が肯定的に解決されれば、合同数問題も自動的に解けたとみなせる。
さて、n を 8 で割ったあまりが 5 または 7 の場合、An = Bn = 0 であり、n を 8 で割ったあまりが 6 の場合、Cn = Dn = 0 である。したがって、これらの場合は上記の条件を満たすため、以下の事実が期待される。
平方因子をもたない整数 n を 8 で割ったあまりが 5, 6, 7 のいずれかである場合、n は合同数であろう。
これは合同数問題の一部であるが、これさえも未だ証明されていない。なお、この命題の逆は成り立たない。n = 34 がその最初の反例であり、8 で割ったあまりは 2 であるが、これは合同数である。実際、直角三角形 (24,17/6,145/6) の面積が 34 である。