冪乗
以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が 0 でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。
底(英語版) b および冪指数 e をもつ冪は、底の右肩に冪指数を乗せて b のように書かれる。
b n = b × ⋯ × b ⏟ n 個 {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n{\text{ 個}}}}
であり、b は b の n-乗や、n-次の b-冪などと呼ばれる。
特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が 2 である冪(2 乗) b は「b の平方 (square of b)」または「b-自乗 (b-squared)」と呼ばれ、冪指数が 3 である冪(3 乗) b は「b の立方 (cube of b, b-cubed)」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、... というように「n 乗」という言い方が一般的である。
冪指数が −1 である冪 b は 1/b であり、「b の逆数」(または乗法逆元)と呼ばれる。一般に冪指数が負の整数 n である冪 b は、b × b = b という性質を保つように、底 b が 0 でないとき b := 1/b と定義される。
冪乗は、任意の実数または複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数である冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数であり、冪指数を固定して底を変数と見なせば冪函数である。整数乗の冪に限れば、行列などを含めた多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができる。冪指数まで同種の対象に拡張すると、その上で定義された自然指数函数と自然対数函数をもつ完備ノルム環(例えば実数全体 R や複素数全体 C など)を想定するのが自然である。
体は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば実数全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て無限集合であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 F2 = {0,1} で、加法は 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法は 0 • 0 = 1 • 0 = 0 • 1 = 0, 1 • 1 = 1 で与えられる。
有限体における冪演算は公開鍵暗号に応用を持つ。例えばディフィー・ヘルマン鍵交換は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である離散対数は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。
任意の有限体 F は、素数 p がただ一つ存在して、任意の x ∈ F に対して px = 0 が成り立つ(x を p 個加えれば零になる)という性質を持つ。例えば二元体 F2 では p = 2 である。この素数 p はその体の標数と呼ばれる。F を標数 p の体として F の各元を p-乗する写像 f(x) = x を考える。これは F のフロベニュース自己準同型と呼ばれる。新入生の夢(英語版)(幼稚な二項定理)とも呼ばれる等式 (x + y) = x + y がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は F の素体上のガロワ群の生成元であるため数論において重要である。
函数 f の n-階導函数はふつう f と書かれるように、冪記法は冪指数を括弧で囲んで書くこともある。