行列式
1 det ( A ) A ~ = [ Δ 11 det ( A ) Δ 21 det ( A ) ⋯ Δ n 1 det ( A ) Δ 12 det ( A ) Δ 22 det ( A ) ⋯ Δ n 2 det ( A ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Δ 1 n det ( A ) Δ 2 n det ( A ) ⋯ Δ n n det ( A ) ] {\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\Delta _{11}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{21}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{n1}}{\det(A)}}\\{\dfrac {\Delta _{12}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{22}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{n2}}{\det(A)}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\Delta _{1n}}{\det(A)}}&{\dfrac {\Delta _{2n}}{\det(A)}}&\cdots &{\dfrac {\Delta _{nn}}{\det(A)}}\end{bmatrix}}}
は A の逆行列 A に一致する(クラメルの公式)。
なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち (i, j)余因子を (i, j)成分に持つ行列 を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。
関孝和は、最初の手稿からやや後の『大成算成』(建部賢明、建部賢弘と共著、執筆は1683年〈天和3年〉 - 1710年〈宝永7年〉頃)で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。また、田中由真は『算学紛解』(1690年(元禄3年)ごろ)で 5次までの行列式を、井関知辰は『算法発揮』(1690年(元禄3年)刊)で第一行についての余因子展開を一般の場合で与えている。ちなみに関や田中の著作は写本のみであるが、井関の著作は出版がなされている。
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく(一次ではなく)高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。1748年にマクローリンの(死後に刊行された)代数学の著作において4つの未知数に関する4つの方程式の系の解が正しい形で述べられ、行列式の研究が再開されることになった。1750年にクラメルは(証明抜きで)N 個の変数に関する N 個の方程式からなる方程式の解を求める規則を定式化した。この行列式の計算方法は順列の符号に基づく繊細なものだった。
ベズー(1764年)やファンデルモント(1771年、ヴァンデルモンドの行列式の計算)などがそれに続き、1772年にはラプラスによって余因子展開の公式が確立された。さらに翌年にはラグランジュによって行列式と体積との関係が発見されている。
今日の determinant(決定するもの)に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式(今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる)を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。