核 (圏論)
C を零射を持つ圏(category with zero morphisms)または零対象を持つ圏とする。C の射 f: X → Y の核(kernel)とは、対象 K と射 k: K → X の組 <K , k: K → X> であって以下の条件を満たすものである:
f ∘ k {\displaystyle f\circ k} は K から Y への零射である;
射 k′: K′ → X であって f ∘ k′ が零射であるものが任意に与えられると,一意的な射 u: K′ → K が存在して,k ∘ u = k' と射を分解できる。
多くの具体的な(英語版)文脈において,射 k よりも対象 K を「核」と呼んでいることに注意。それらの状況では,K は X の部分集合であり,k を包含写像として再構成すれば十分である;具体的でない場合には,対照的に,K が X の部分対象としてどのように解釈されるべきかを記述するために射 k が必要である。任意の場合において,k が必ず(圏論の意味で)単射であることを示すことができる。K あるいは k 単独ではなく対 (K, k) として核を考えたいこともある。
すべての射が核を持つわけではないが,持つときにはすべてのその核は強い意味で同型である:k: K → X と l: L → X が f: X → Y の核であるとき,一意的な同型射 φ: K → L が存在して l ∘ φ = k となる。
核は抽象代数学からの多くの圏,例えば群の圏や固定された環上の(左)加群(固定された体上のベクトル空間を含む)の圏において,よく知られている。明確には,f: X → Y がこれらの圏の1つの準同型であり,K がその通常の代数的な意味での核であるとき,K は X の部分代数系であり,K から X への包含準同型が圏論の意味での核である。
モノイドの圏においては,圏論的核は群に対してとちょうど同じように存在するが,これらの核は代数的な目的のためには十分な情報を持っていないことに注意。したがって,モノイド論において研究される核の概念はわずかに異なる(#代数的核との関係を参照)。
環の圏 Ring において,圏論的な意味での核は存在しない;実際,この圏は零射すらもたない。それにも拘らず,擬環の圏 Rng における核に対応する,環論において研究される核の概念はある。
基点付き位相空間の圏において,f: X → Y が基点付き連続写像であるならば,基点の原像 K は X の部分空間である。 K から X への包含写像は f の圏論的核である。