ランダムに配した点がなす直線
ランダムに配した点がなす直線(ランダムにはいしたてんがなすちょくせん 英:Alignments of random points)とは、平面上の一定領域に多数の点がランダム配置されている場合に(点3つ以上が重なる)直線が幾つも引けることが統計学的に言えると示したもの。
これはレイラインや同様の神秘的な配置が、その信者から提唱された超自然的・超人類学的な説明とは対照的に、偶然の産物に過ぎない可能性があるとのデモンストレーションとして提起されたものである。このテーマは、コンピュータビジョンや天文学の分野でも研究されている。
研究の多くが、平面上のランダム点同士による直列配置を数学で説明している。
これらの全てで、線の幅 w {\displaystyle w} は重要なパラメータである。というのも、実世界は数学的な図上の点では表現できないし、直列配置だと認めるのに、厳密に直線状に乗っている必要はないからである。
アルフレッド・ワトキンスはレイラインの古典作品『The Old Straight Track(古い直線路)』で、直列配置とみなされて構わないとする許容範囲のしきい値として地図上に引く鉛筆線の幅を用いた。例えば1/50000の縮尺地図に幅1mmの鉛筆線を引くと、実際には幅50mに相当する。
一辺Lの正方形にランダム配置されたn個の点の中から、偶然にも最大幅wおよび最大距離dとなるであろう3点の直列配置の数をより正確に数式で表すと次の通り。
μ = π 3 w L ( d L ) 3 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}
エッジ効果(正方形の境界を越えるため失われた直列配置)が含まれる場合、その数式は次のようになる。
μ = π 3 w L ( d L ) 3 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( 1 − 3 π ( d L ) + 3 5 ( 4 π − 1 ) ( d L ) 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}
こういった数学的知見から、以下に直列配列と思わしきものの"それらしさ"を概算する。なお、対象は"有意の"点が一様に分布した平面を仮定している。
一辺 d {\displaystyle d} で面積が d 2 {\displaystyle d^{2}} となる小さな領域に n {\displaystyle n} 個のポイントがあるとする。すべての点がある直線から w 2 {\displaystyle {\frac {w}{2}}} の距離に収まっているとする。(線幅は領域サイズに比べ十分小さい、つまり w << d {\displaystyle w<<d} とする。)
ランダムに配置された点が全部で k {\displaystyle k} 個であるとすると、この中から n {\displaystyle n} 個の組を取り出す組み合わせは、
n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}
であらわされる。
では、こうした手法を用いるとき、これらの点が直線をなす(collinearである)確率はどうやって求めればよいか。近似を用いて粗い精度で考察してみたい。