代数曲線
を満たす点 P のことに他ならない。f は多項式であるから、この定義は純代数的であり、体 F の持つ特性については何も仮定する必要はない(特に F が実数体や複素数体である必要はない)。もちろん、点 (0, 0, 0) はこの曲線上の点ではなく、したがって特異点でもないことを断っておく。
同様に、一つの多項式方程式 f(x, y) = 0 で定義されたアフィン代数曲線に対して、その特異点はちょうど 1 × n ヤコビ行列の階数が零、すなわち
f ( P ) = ∂ f ∂ x ( P ) = ∂ f ∂ y ( P ) = 0 {\displaystyle f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0}
を満たす点 P で与えられる。曲線の特異点は双有理不変ではないが、曲線の特異点の位置を特定して分類することは、双有理不変量である幾何種数を計算する一つの方法である。これをうまく行うには、曲線を射影的に考え、曲線に属する全ての特異点が考慮されるために F が代数閉体であることを仮定しなければならない。
とあらわすことができる。 したがって、種数1の曲線は体 F 上に一点でも点をもつならば、 F 上、平面3次曲線に双有理同値であり、このモデルにおいて、共通して識別点 (distinguished point) を無限遠にある変曲点にとることができる。
楕円曲線には、識別点を群演算の単位元とするアーベル群の構造を入れることができる。平面三次曲線モデルにおいて、この群構造に関する意味での三点の和が零となるための必要十分条件は、それら三点が共線である(つまり同一直線上にある)ことである。複素数体上定義された楕円曲線に対して、この群は複素数平面を対応する楕円函数の周期格子(英語版)で割った加法群に同型になる。
二つの二次曲面の交わりは、一般に種数 1 かつ次数 4 の非特異曲線、従ってそれが有理点を持つとき楕円曲線となる。特別の場合には、交線は有理特異四次曲線にもなり得るし、必ずしも相異ならないより小さい次数の曲線(三次曲線と直線、二つの円錐曲線、円錐曲線と二つの直線、四つの直線)に分解されることもある。
「代数曲線は一次元(英語版)の代数多様体である」というのは、n-次元アフィン空間内のアフィン曲線が少なくとも n − 1 本の n-変数多項式によって定義されることを含意する。曲線が定まるためにはそれらの多項式がクルル次元 1 の素イデアルを生成しなければならない。この条件を実際の場面において確かめるのは容易ではない。そこで以下のように非平面曲線を表現する方法はしばしば有効である。
f, g0; g3, ..., gn は n − 1 本の二変数 x1, x2 に関する多項式で f は既約とする。n-次元アフィン空間内の点でその座標が以下の等式および非等式
f ( x 1 , x 2 ) = 0 , g 0 ( x 1 , x 2 ) ≠ 0 ; x 3 = g 3 ( x 1 , x 2 ) g 0 ( x 1 , x 2 ) , ... , x n = g n ( x 1 , x 2 ) g 0 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0,\quad g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0;\\&x_{3}={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}},\ldots ,x_{n}={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}}
を満足するものの全体は、適当な代数曲線の有限個の例外を除く全ての点を表す。
実数体上では、pd は一次式と二次式からなる積に分解される。既約な二次の因子は非実無限遠点を定義し、一次の因子は実点を定義する。点 (a, b, 0) が曲線の無限遠点であることを、(a, b) は漸近方向であると言い表す。q = pd と置くと、対応する漸近線の方程式は
x q x ′ ( a , b ) + y q y ′ ( a , b ) + p d − 1 ( a , b ) = 0 {\displaystyle xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0}
となる。q'x(a, b) = q'y(a, b) = 0 かつ pd−1(a, b) ≠ 0 ならば漸近線は無限遠直線であり、実係数の場合には曲線は放物線のように見える枝を持つ。このことを曲線は「放物的な分枝を持つ」と言い表す。
q x ′ ( a , b ) = q y ′ ( a , b ) = p d − 1 ( a , b ) = 0 {\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0}
ならば、曲線は無限遠に特異点を持ち、複数の漸近線を持ち得る。これらは特異点の接錐の計算法によって計算することができる。
の斉次座標(英語版)に関する意味での解である(正標数の場合には、方程式 P(x, y, z) = 0 も系に加える)。
ここから、p(x,y) あるいは P(x,y,z) が平方因子を持たない(英語版) 限りにおいて特異点が有限個であることが導かれる。ゆえにベズーの定理により特異点の個数が高々 (d − 1) となることが従うが、上記の連立方程式は過剰決定系(英語版)であるから、この上界はぎりぎりの評価(上限)ではない。可約多項式も許すならば、上限は d(d − 1)/2 であり、この値が達成されるのは多項式因子が一次式となるとき、すなわち曲線が d 本の直線の合併となるときである。既約曲線および既約多項式に対しては、特異点の数は高々 (d − 1)(d − 2)/2 である。これは種数を特異点の言葉で表す公式(後述)による。最大値は、種数 0 の曲線で全ての特異点が重複度 2 かつ接線が相異なるようなものによって達成される。
特異点における接線の方程式は、その特異点における定義多項式のテイラー級数の次数最小の非零斉次成分によって与えられる。特異点を座標系の原点に取り直すとき、その特異点における接線の方程式は、従って定義多項式の次数最小の非零斉次成分で与えられ、この斉次成分の次数が特異点の重複度になる。