変分原理
変分法
物理学
作用積分S を、
S [ q ( t ) ] := ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) d t , {\displaystyle S\left[q(t)\right]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}
とする。L はラグランジアン、q(t) は一般化座標、 q ̇ ( t ) := d q ( t ) / d t {\displaystyle {\dot {q}}(t):=dq(t)/dt} はその時間微分、すなわち一般化速度である。ここで、ある時刻t1、t2 において、q(t1)、q(t2) は固定されているとする。
この作用積分 S に対する変分原理は、作用積分に対する停留値問題を考えることであり、
δ S [ q ( t ) ] = δ ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) d t = 0 {\displaystyle \delta S\left[q(t)\right]=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt=0}
ということに相当する。 変分は、一般化座標 q を、
q ( t ) → q ( t ) + δ q ( t ) , {\displaystyle q(t)\to q(t)+\delta q(t),}
と時刻 t 上で δq だけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は仮想的な変位を与えることであり、これは時間 t に対する微小変位 dq とは異なった概念である。