自由アーベル群
整数全体は、加法演算のもとで、基底 {1} をもつ自由アーベル群をなす。すべての整数 n は基底元の整係数線型結合(具体的には係数 n を持つ結合 n = n × 1)である。
整数のカルテシアン座標をもつ平面上の点からなる二次元整数格子(英語版)はベクトルの加法(英語版)のもとで基底 {{(0, 1), (1, 0)} をもつ自由アーベル群をなす。 e 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle e_{1}=(1,0)} および e 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle e_{2}=(0,1)} とすれば、元 (4,3) は次のように書ける。
( 4 , 3 ) = 4 e 1 + 3 e 2 {\displaystyle (4,3)=4e_{1}+3e_{2}} ただし'スカラー倍'は 4 e 1 := e 1 + e 1 + e 1 + e 1 {\displaystyle 4e_{1}:=e_{1}+e_{1}+e_{1}+e_{1}} であるように定義される。
任意のアーベル群は、群の元に対する整数によるスカラー倍を:
と定義して整数環 Z 上の加群と考えることができる。
自由加群とはその係数環の直和として表現できる加群のことであるから、自由アーベル群と自由 Z-加群は同値な概念である(任意の自由アーベル群は上で述べたスカラー倍のもとで自由 Z-加群であり、また任意の自由 Z-加群は自由アーベル群からこのようにして得られる。
ベクトル空間の場合とは異なり、すべてのアーベル群が基底をもつわけではないから、基底を持つ場合に対して特別な名前を与えるのである。実例として、任意のねじれ Z-加群、したがって任意の有限アーベル群は自由アーベル群ではない。実際、零元 0 は複数の線型結合に(基底の候補となり得るどのような元の集合上でも)分解することができる(少なくとも適当な正整数 n に対して 0 = 0 b = n b {\displaystyle 0=0\,b=n\,b} と書ける)。