射爆理論
このPP (α, γ) は楕円カバレッジ関数(elliptic coverage function, generalized circular error function)と呼ばれる。
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがある場合は、解析式が複雑で容易な近似式は得られていない。
楕円目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 , x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1 , 0 , x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 > 1 {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1,\\0,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}>1\end{cases}}}
P = 1 2 π σ 2 ∫∫ A exp  ( − ( x 1 − μ ) 2 + x 2 2 2 σ 2 ) d x 1 d x 2 A : x 1 2 + x 2 2 ≦ a 2 = 1 2 π σ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a exp  ( − r 2 − 2 μ cos  θ + μ 2 2 σ 2 ) r d r d θ = 1 2 π σ 2 exp  ( − μ 2 2 σ 2 ) ∫ 0 a r exp  ( − r 2 2 σ 2 ) { ∫ 0 2 π exp  ( μ r cos  θ σ 2 ) d θ } d r {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {(x_{1}-\mu )^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2}\quad \quad A:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}-2\mu \cos \theta +\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta \\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\exp(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})\int _{0}^{a}r\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})\{\int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta \}dr\\\end{aligned}}}
上の式の最後に出てくる θ {\displaystyle \theta } の積分には、次の関係を用いる。
射撃と爆撃による成果は撃破の有無によって評価され、これらの兵器の評価値は目標撃破確率で表現される。具体的な評価尺度としては1発の射撃・爆撃によって小目標を撃破する確率を表した単発撃破確率(single shot kill probability; SSKP)が使われる。また、単位時間当たりの平均発射弾数に単発撃破確率を乗じた値を撃破速度と呼ばれる。大目標の撃破では目標撃破確率と期待カバレッジが評価基準となる。
目標撃破確率は、着弾距離、撃破の閾値、目標の特性、弾種が関係する関数であり、つまり目標からのずれである着弾距離分はなれた場所に着弾した規定弾種が、特定の特性を持つ目標に対し、事前に規定された撃破の閾値以上の被害を及ぼし得る確率である。
n 発の弾着があるときに、その最も遠い弾着点と最も近い弾着点の離隔距離を散布界と呼ぶ。統計学では、n 個のデータの範囲(range)をR 、1つの確率変数に従う累積分布関数をF (x ) とするとき、以下の式で表される。 R の累積分布関数: P ( R ≤ r ) = n ∫ − ∞ ∞ { F ( x + r ) − F ( x ) } n − 1 f ( x ) d x {\displaystyle P(R\leq r)=n\int _{-\infty }^{\infty }\{F(x+r)-F(x)\}^{n-1}f(x)dx} R の確率密度関数: p ( r ) = n ( n − 1 ) ∫ − ∞ ∞ { F ( x + r ) − F ( x ) } n − 2 f ( x ) f ( x + r ) d x {\displaystyle p(r)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }\{F(x+r)-F(x)\}^{n-2}f(x)f(x+r)dx} R の期待値(= 平均値): E ( R ) = ∫ − ∞ ∞ { 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − ( F ( x ) ) n } d x {\displaystyle E(R)=\int _{-\infty }^{\infty }\{1-(1-F(x))^{n}-(F(x))^{n}\}dx}
}
上式は円形カバレッジ関数(circular coverage function)と呼ばれ、次の近似式がある。 P a ( α , β ) ≈ α 2 2 S 2 [ 1 − α 2 4 3 S 2 ( 1 − β 2 2 S 2 ) ] exp  ( − β 2 2 S 2 ) , S 2 = 1 − 1 / 3 4 α 2 + 1. {\displaystyle P_{a}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha ^{2}}{2S^{2}}}{\bigg [}1-{\frac {\alpha ^{2}}{4{\sqrt {3S^{2}}}}}(1-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}){\bigg ]}\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}),\quad S^{2}={\frac {1-1/{\sqrt {3}}}{4}}\alpha ^{2}+1.}
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。弾着の分布が楕円形の分布なので、x1 とx2 の2軸を必要とし、分散については σ 1 ≦ σ 2 = σ {\displaystyle \sigma _{1}\leqq \sigma _{2}=\sigma } とする。目標中心と弾着中心 (0, 0) からのずれは (μ1 , μ2) として、ずれのより大きな方向をx1 軸とする。γ = σ2 / σ1 とすれば、単発撃破確率P は、以下の式になる。
6745\sigma }
2次元と3次元の射爆ではそれぞれの公算誤差r2 とr3 は次のようになる。 r 2 = 2 log  2 σ ≒ 1.1774 σ r 3 ≒ 1.5382 σ {\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}&={\sqrt {2\log 2}}\sigma \fallingdotseq 1.1774\sigma \\r_{3}&\fallingdotseq 1.5382\sigma \end{aligned}}}
1次元から3次元の公算誤差はそれぞれPE(probable error)、CEP(circular error probable)、SEP(spherical error probable)と呼ばれる。従来は正規分布の計算は荒い近似だけでも手間であったが、計算機の進歩により容易に高精度な計算が可能になっている。