可微分多様体
C 級多様体 M に対し、多様体上の実数値 C 級関数全体の集合は点ごとの和と積によって多元環をなし、スカラー場代数 (algebra of scalar fields) あるいは単に the algebra of scalars と呼ばれる。この多元環は乗法単位元として定数関数 1 を持ち、代数幾何学における正則関数の環の微分可能な類似物である。
多様体をその algebra of scalars から再構成することができる。まずは集合として、しかし位相空間としても。これはバナッハ・ストーンの定理(英語版)の応用であり、よりフォーマルにはC-環のスペクトル(英語版)として知られている。まず、M の点と多元環準同型 φ: C(M) → R の間には1対1の対応がある。準同型 φ は C(M) の余次元 1 のイデアル(すなわち φ の核)と対応する。これは極大イデアルでなければならない。
外微分法によって勾配、発散、回転作用素の一般化ができる。
各点における微分形式の束はその点における接空間上のすべての反対称多重線型写像からなる。それは自然に多様体の次元以下の各 n に対し n 形式に分割される。n 形式は n 変数の形式で、n 次の形式とも呼ばれる。1 形式は余接ベクトルであり、0 形式は単にスカラー関数である。一般に、n 形式は余接ランク n で接ランク 0 のテンソルである。しかしすべてのそのようなテンソルが形式であるわけではない。形式は反対称でなければならないからである。
ソフス・リー (Sophus Lie) に因んだリー微分は多様体 M 上のテンソル場の多元環上の微分(英語版)である。M 上のすべてのリー微分からなるベクトル空間は
[ A , B ] := L A B = − L B A {\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A}
で定義されるリーブラケット(英語版)に関して無限次元リー環をなす。
リー微分は M 上のフロー(active(英語版)微分同相写像)の無限小生成子としてベクトル場によって表現される。逆にみると、M の微分同相の群はリー群論の直接の類似の方法でリー微分の付随するリー環の構造を持つ。
2つの多様体の間の微分可能な関数は部分多様体の適切な概念や他の関連する概念を定式化するために必要である。f: M → N が m 次元の可微分多様体 M から n 次元の可微分多様体 N への微分可能な写像であれば、f の微分は写像 df: TM → TN である。これは Tf とも記され、接写像 (tangent map) と呼ばれる。M の各点においてこれは一方の接空間から他方への線型変換である:
d f ( p ) : T p M → T f ( p ) N . {\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}
f の p での階数 (rank) はこの線型変換の階数である。
通常関数のランクは点ごとの性質である。しかしながら、関数が最大のランクを持てば、ランクは点の近傍で定数のままである。微分可能な関数は"通常"最大のランクを持つ。その正確な意味はサード (Sard) の定理によって与えられる。ある点で最大ランクの関数ははめ込みや沈めこみと呼ばれる:
m ≤ n で、f: M → N が p ∈ M においてランク m を持てば、f は p でのはめ込み (immersion) と呼ばれる。
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