ベルトランの逆説
問題の確率を計算するために、正三角形を回転させ、1辺が半径に垂直になるようにする。選ばれた点が、辺と半径との交点より中心に近ければ、弦は1辺より長い。この辺は半径の中点を通るので、求める確率は2分の1である。
弦の選び方3「無作為な中点」方式円の内部の点を無作為に選び、それが中点となるような弦を考える。もし選ばれた点が、与えられた円と中心が同じで、半径がその2分の1である円の内側にあれば、弦は正三角形の1辺より長い。従って、求める確率は4分の1である。
これらの方式は以下のような図で表される。弦は中点と(中点が円の中心である場合を除き)1対1に対応する。上に記した3つの選択方式は以下のような中点の分布を示す。方式1と2では一様でなく、方式3では一様な分布となる。一方、弦自体を描いた場合(下段)、方式2では円が視覚的に一様に塗り潰されているのに対し、方式1と3はそうではない。
もちろん、弦を選ぶための他の方式も容易に想像することができ、異なる確率を与えるものも多い。