外積代数
表現論において、外積代数はベクトル空間の圏における二つの基本シューア函手(英語版)のうちの一つで、もう一方は対称代数である。これらの構成はともに一般線型群の既約表現を生み出すのに用いられる。
内部積は以下の性質
任意の k と任意の α ∈ V について i α : ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( V ) {\displaystyle \textstyle i_{\alpha }\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(V)} である(規約により ⋀(V) = 0 とする)。
v が V (= ⋀(V)) の元ならば iαv = α (v) とする。
任意の α ∈ V に対し、iα は次数 -1 の次数つき微分(英語版) i α ( a ∧ b ) = ( i α a ) ∧ b + ( − 1 ) deg  a a ∧ ( i α b ) {\displaystyle i_{\alpha }(a\wedge b)=(i_{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (i_{\alpha }b)} である。
を満足する。事実として、これら 3 つの性質は、内部積を特徴付けるのに十分で、一般の無限次元の場合においても内部積を同様に定義する。内部積のほかの性質としては
i α ∘ i α = 0 , {\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\alpha }=0,}
i α ∘ i β = − i β ∘ i α {\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\beta }=-i_{\beta }\circ i_{\alpha }}
が挙げられる。
v ∧ w = ( v 1 e 1 + v 2 e 2 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 ) = v 1 w 1 ( e 1 ∧ e 1 ) + v 1 w 2 ( e 1 ∧ e 2 ) + v 2 w 1 ( e 2 ∧ e 1 ) + v 2 w 2 ( e 2 ∧ e 2 ) = ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\\{\boldsymbol {v}}\wedge {\boldsymbol {w}}&=(v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2})\wedge (w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2})\\&=v_{1}w_{1}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{1})+v_{1}w_{2}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2})+v_{2}w_{1}({\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{1})+v_{2}w_{2}({\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2})\\&=(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2})\end{aligned}}}
のように定める。まず最初の部分では楔積に分配法則を適用し、ついで楔積が交代的であるという性質を用いた。最終的に得られた表式の係数はまさに行列 (v w) の行列式である。
正確に言えば、次数付き代数 ⋀(V) の次数付き双対と V 上の重線型交代形式全体の空間の間に対応が存在する。上で定義した重線型代数の楔積は ⋀(V) 上に定義され、余代数の構造を定める余積の双対である。
この余積 (coproduct) は線型写像 Δ: ⋀(V) → ⋀(V) ⊗ ⋀(V) であって、分解可能な元の上では
Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ∑ p = 0 k ∑ σ ∈ Sh p , k − p sgn  ( σ ) ( x σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( p ) ) ⊗ ( x σ ( p + 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) ) {\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} _{p,k-p}}\operatorname {sgn}(\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)})}
によって与えられる。例えば
Δ ( x 1 ) = 1 ⊗ x 1 + x 1 ⊗ 1 , {\displaystyle \Delta (x_{1})=1\otimes x_{1}+x_{1}\otimes 1,}