円周率の無理性の証明
ハロルド・ジェフリーズは、この証明法はメアリー・カートライト(英語版)が1945年にケンブリッジ大学の試験問題として出したもので,彼女はそれをどこからとったのかを明らかにしていないと書いている(注:証明の詳細については英語版の記述を見られたい)。
π 2 = b a {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {b}{a}}} と置き、自然数 n に対し、
I n ( x ) = ∫ − 1 1 ( 1 − z 2 ) n cos  x z d z {\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos xz\,dz}
と置く。このとき、 b 2 n + 1 n ! I n ( π 2 ) {\displaystyle {\frac {b^{2n+1}}{n!}}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)} は整数となる。また、十分大きな n に対し、 0 < b 2 n + 1 I n ( π 2 ) n ! < 1 {\displaystyle 0<{\frac {b^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1} が言える。これらは矛盾する。