対数平均
平均値の定理から、導関数 f' が割線の傾きに等しくなるような実数 ξ が区間 (x, y) の中に存在する。すなわち
∃ ξ ∈ ( x , y ) : f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( y ) x − y . {\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.}
対数平均は関数 f に自然対数 ln を、そしてその導関数 f' に 1/ξ を代入し、ξ について解くことで得られる。
1 ξ = ln  x − ln  y x − y ∴ M lm = ξ = x − y ln  x − ln  y {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln {x}-\ln {y}}{x-y}}\\\therefore \quad &M_{\text{lm}}=\xi ={\frac {x-y}{\ln {x}-\ln {y}}}\end{aligned}}}