クヌースの矢印表記
クヌースの矢印(通常の指数計算である a↑b も含む)は右結合である。つまり、 a ↑ b ↑ c {\displaystyle a\uparrow b\uparrow c} と書かれたときこれは a ↑ ( b ↑ c ) {\displaystyle a\uparrow \left(b\uparrow c\right)} を表し、 ( a ↑ b ) ↑ c {\displaystyle \left(a\uparrow b\right)\uparrow c} ではない。
具体例を挙げると、
3 ↑ 2 ↑ 3 {\displaystyle 3\uparrow 2\uparrow 3}
は
3 ↑ ( 2 ↑ 3 ) = 3 ↑ 8 = 3 8 = 6561 {\displaystyle 3\uparrow \left(2\uparrow 3\right)=3\uparrow 8=3^{8}=6561}
だが、
( 3 ↑ 2 ) ↑ 3 = 9 ↑ 3 = 9 3 = 3 ↑ ( 2 × 3 ) = 3 ↑ 6 = 3 6 = 729 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(3\uparrow 2\right)\uparrow 3=&9\uparrow 3=9^{3}\\=&3\uparrow \left(2\times 3\right)=3\uparrow 6=3^{6}\\=&729\end{aligned}}}
ではない。
クヌースの矢印表記(クヌースのやじるしひょうき、英: Knuth's up-arrow notation)とは、1976年にドナルド・クヌースが巨大数を表現するために発明した表記法である。これは、乗算が加算の反復であり、冪乗が乗算の反復であるのと同様の考え方に基づくもので、冪乗の反復(テトレーション)を表す演算の表記法である。例えば宇宙論で使われた最大の数は、クヌースの矢印表記で表すとおよそ 10 ↑↑ 5 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5} である。このように、クヌースの矢印表記は現実世界の事物で例えるにはあまりにも大きすぎるような巨大数を簡単に表現できる表記法の一つである。
クヌースの矢印表記を指す用語として、日本ではタワー表記という呼称も用いられる。一方英語では、テトレーションを指数で表記した時の、まるで塔のように高く積みあがる様子を指した「Power tower」という語はあるが、タワー表記に相当する用語は見受けられない。
クヌースの矢印表記のさらに拡張となる表記法には、コンウェイのチェーン表記などがある。
乗算は、加算の反復によって定義できる。
a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b copies of a {\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ copies of }}a}}
冪乗は、乗算の反復によって定義できる。
a b = a × a × ⋯ × a ⏟ b copies of a {\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{ copies of }}a}}
なお、一部の初期のコンピュータでは、上向き矢印を冪乗演算子に使ったので、それを使うと
a ↑ b = a × a × ⋯ × a ⏟ b c o p i e s o f a = a b {\displaystyle a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b\mathrm {\ copies\ of\ } a}=a^{b}} 。
例として、 グーゴルプレックス 10 10 100 {\displaystyle 10^{10^{100}}} は、10↑10↑100 と書ける。