プラクティカル数
. . p k α k {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}} と表す。ここで、素数は小さい順に p 1 < p 2 < ⋯ < p k {\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}} と並んでいるものとする。このとき、 n {\displaystyle n} がプラクティカル数であるのは、各素因数 p i {\displaystyle p_{i}} が十分小さく、 p i − 1 {\displaystyle p_{i}-1} がより小さな約数の和で表せるとき、かつそのときに限る。 これが真であるためには、(1以外の)プラクティカル数の最小の素因数 p 1 {\displaystyle p_{1}} は2であり、 i ( 2 〜 k) に対して、次の素数 p i {\displaystyle p_{i}} は以下の不等式に従わなければならない。
p i ≤ 1 + σ ( p 1 α 1 p 2 α 2 ... p i − 1 α i − 1 ) = 1 + ∏ j = 1 i − 1 p j α j + 1 − 1 p j − 1 , {\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}