ねじれ群
ねじれ群の興味深い性質の一つは、それが一階述語論理で定式化できないことである。これは偏に、定義に必要となる
なる形の公理が無限個の選言を含むため、一階論理では許容されないことによる。公理系が無限集合となることを許してこの無限選言を回避することは不可能である(コンパクト性定理から、ねじれ群を特徴付けることのできる一階論理式の集合は存在しないことが導かれる)。
ねじれ群を特徴付ける一階論理の公理系 T {\displaystyle T} が存在したと仮定する。新しい定数記号 c {\displaystyle c} を言語に追加する。そして、全ての正整数 n {\displaystyle n} に対して「 c {\displaystyle c} の次数が n {\displaystyle n} 以上である」という意味の論理式 φ n : c ≠ e ∧ c 2 ≠ e ∧ ⋯ ∧ c n − 1 ≠ e {\displaystyle \varphi _{n}\colon c\neq e\wedge c^{2}\neq e\wedge \cdots \wedge c^{n-1}\neq e} を T {\displaystyle T} に追加する。こうして得られる公理系を T ′ {\displaystyle T'} としよう。すると T ′ {\displaystyle T'} のどの有限部分集合もモデルを持つ。