ブレイド群
ここに、L と R は標準的なスターン・ブロコット木(英語版)(Stern-Brocot tree)の上の左と右の移動である。これらの移動はモジュラー群を生成することがよく知られている。
言い替えると、モジュラー群の共通な表示(presentation)は、
⟨ v , p | v 2 = p 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }
であり、ここに、
v = [ 0 1 − 1 0 ] , p = [ 0 1 − 1 1 ] {\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}}
である。
a から v への写像と b から p への写像は、全射群準同型 B3 → PSL(2, Z) である。
B3 の中心は、C に等しく、c が中心に含まれるという事実の結果であり、モジュラー群は自明な中心を持ち、上の全射準同型は核 C を持つ。
ブレイドが与えられ、最初の左側の点の集まりから右の点の集まりへ新しい糸を使って繋ぎ合わせることができ、第一の図式の左側の点と第二の図式の右側の点が関係付けられる(新しく糸でブレイドを作成することなく)るとすると、絡み目や、結び目が得られる。組み紐理論のアレクサンダーの定理は、逆もまた成立するという定理であり、すべての結び目と絡み目は少なくとも一つのブレイドから得られる形となる。そのようなブレイドは、絡み目を切断することにより得ることができる。ブレイドは生成子 σi での語(word)として与えられるので、計算機プログラムで結び目を扱う方法として採用されている。