オブザーバブル
P ( a n ) = ‖ | a n ⟩ ⟨ a n | ψ ⟩ ‖ 2 . {\displaystyle P(a_{n})={\big \|}|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\psi \rangle {\big \|}^{2}.}
これが量子論の基本的な性質である。これらのことをボルンの規則という。
尚この P ( a n ) {\displaystyle P(a_{n})} は、確率が満たさなければならない以下の条件をきちんと満たしている。
∑ n P ( a n ) = 1 , P ( a n ) ≥ 0. {\displaystyle \sum _{n}P(a_{n})=1,P(a_{n})\geq 0.}
測定値(各固有値)にその出現確率を掛けて合計した値、つまり測定値の期待値(平均値)は
∑ n P ( a n ) a n = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \sum _{n}P(a_{n})a_{n}=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle }
で表される。これは実数値である。
オブザーバブルを測定するとその観測過程が、非決定論的ではあるが確率的には予測可能な形で状態に変化を与える。すなわち、単一のベクトルで記述されていた状態が、観測により統計的集団へ不可逆的に変化する(現実の測定ではこの集団に含まれるいずれかのベクトルに収縮すると解釈できる)。それゆえオブザーバブルは一般には非可換である。ただし何をもって「観測」と解釈するかは観測問題と呼ばれる一大問題で、現在でも議論が続いている。