函数の全微分
一般の場合において、点 p ∈ M における全微分 df(p): TpM → R は接ベクトル v ∈ TpM に対して、その方向への方向微分を割り当てる。接ベクトル v = ·γ(0)(γ は γ(0) = p を満たす M 内の曲線)に対し、
[ d f ( p ) ] ( v ) = d d t ( f ∘ γ ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle [{\mathit {df}}(p)](v)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}(f\circ \gamma (t))\right|_{t=0}}
である。従って全微分 df(p) は M の点 p における余接空間 T∗pM の元である。
df を適当な座標系のもとで表示するために、点 p の近傍 U で定義された写像 y: U → R で y(p) = 0 となるものをとる。R の標準基底を e1, ..., en とすれば、相異なる n この曲線 γi(t) := y(t · ei) は ·γ1(0), ..., ·γn(0) が TpM の基底であり、
完全微分方程式 (total differential equation) は、全微分に関する方程式として書ける微分方程式である。外微分の性質により、このような方程式は空間の内在的かつ幾何学的な性質を記述するものと理解することができる。
全微分可能な函数 f: R → R の点 p ∈ R における全微分商 (total derivative) は、函数
h ↦ f ( p + h ) − f ( p ) {\displaystyle h\mapsto f(p+h)-f(p)}
を近似する線型写像であり、h1, ..., hn が十分小さいとき
f ( p + h ) − f ( p ) ≈ ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) h i ( h = ( h 1 , ... , h n ) ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,h_{i}\quad (h=(h_{1},\dots ,h_{n}))}
と書くことができる。
現代数学において、この写像は f の p における全微分 (total differential) df(p) と呼ばれる(この意味において、全微分商と全微分は同義である)。微分小 dxi を h の第 i-成分 hi を対応させる写像 dxi(h) = hi と見れば、写像としての等式