絶対収束
an は一般の(完備性を仮定しない)ノルム空間上の列であり、 ∑ i = 1 ∞ a i = A < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A<\infty } , ∑ i = 1 ∞ ‖ a i ‖ < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty } とする。σ は自然数 N の任意の置換とする。このとき、 ∑ i = 1 ∞ a σ ( i ) = A {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A} である。すなわち収束かつ絶対収束する級数は無条件収束する。(完備とは限らない空間においては絶対収束性から収束性を導けないので、収束性と絶対収束性の両方を仮定する必要がある)
an は絶対収束および収束するから、任意の ε > 0 に対して、ある κ ε , λ ε ∈ N {\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} } が選べて、
∀ N > κ ε , ∑ n = N ∞ ‖ a n ‖ < ε 2 {\displaystyle \forall N>\kappa _{\varepsilon }\ ,\sum \limits _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
および
ノルム空間とは限らない位相線型空間においても、半ノルムの意味での「絶対」収束を論じることができる。位相線型空間 X において、X の元からなる(一般には非可算の)族 (xα)α∈A が絶対総和可能であるとは、以下の二つの条件がみたされるときにいう:
(xα)α∈A) は X において総和可能;
X 上定義された任意の連続半ノルム p に対し、実数からなる族 (p(xα}))α∈A が R {\displaystyle \mathbb {R} } において総和可能。
X がノルム付け可能である場合には、(xα)α∈A) が絶対総和可能であるとき、必然的に可算個の例外を除くすべての xα は 0 に等しい。
絶対総和可能族は核型空間の理論において重要な役割を果たす。
他にも、収束するが絶対収束しない広義リーマン積分の例として、 ∫ R sin  x x d x {\textstyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin x}{x}}dx} がある。
任意の可測空間 A において、実数値関数のルベーグ積分は正部分、負部分によって定義される。 そこで、次の事実
f が可積分なら |f| も可積分。
f が可測なら |f| の可積分性から f の可積分性が導かれる。
は本質的にルベーグ積分の定義に組み込まれている。特にルベーグ積分論を集合 S 上の可算測度に応用することで、ムーア (E. H. Moore) とスミス (Herman L. Smith) によりネットを使って構成された級数の非順序和の概念を再構築できる。 S = N {\textstyle S=\mathbb {N} } が自然数の集合のとき、ルベーグ可積分性と級数の非順序和可能性(無条件収束性)と絶対収束性は同値な概念になる。数え上げ測度も参照のこと。
最後に、これらのすべてはバナッハ空間に値を持つ積分に対しても成り立つ。バナッハ空間に値を持つリーマン積分の定義は普通の積分の自然な拡張である。 ルベーグ積分の拡張は、ダニエル (Percy John Daniell) の関数解析的方法にともなう正値部分と負値部分への分解を回避するために絶対収束性が必要であり、ボホナー積分になる。
G 上の列 yi を、 y 1 = a n 1 , y i = a n i − a n i − 1 {\displaystyle y_{1}=a_{n_{1}},y_{i}=a_{n_{i}}-a_{n_{i-1}}} と定義する。すると、
∑ i = 1 ∞ ‖ y i ‖ = ∑ i = 1 ∞ ‖ a n i − a n i − 1 ‖ = ∑ i = 1 ∞ 2 − i < ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\|y_{i}\|=\sum _{i=1}^{\infty }\|a_{n_{i}}-a_{n_{i-1}}\|=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}<\infty }
すなわち ∑ i = 1 ∞ y i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }y_{i}} は絶対収束するから、仮定よりある A ∈ G があって ∑ i = 1 ∞ y i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }y_{i}} は A に収束する。よって