エーレンフェストの定理
エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem)は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。
ポテンシャル U {\displaystyle U} の影響下にある質量 m {\displaystyle m} の粒子Aの状態が、波動関数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} であらわされているものとする。この状態にある粒子A(およびそれと同じ状態にある複数の粒子)の位置 r = ( x , y , z ) {\displaystyle {\textbf {r}}=(x,y,z)} を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } 、 ⟨ y ⟩ {\displaystyle \langle y\rangle } 、 ⟨ z ⟩ {\displaystyle \langle z\rangle } とする。このとき、
m d 2 d t 2 ⟨ x ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ x ⟩ m d 2 d t 2 ⟨ y ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ y ⟩ m d 2 d t 2 ⟨ z ⟩ = − ⟨ ∂ U ∂ z ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle x\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle y\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial y}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle z\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial z}}\right\rangle \end{aligned}}}