安定ホモトピー理論
数学において、安定ホモトピー理論とは、ホモトピー理論(したがって代数的トポロジー)の一分野で、懸垂を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 Freudenthalの懸垂定理があり、これは、任意の点付き空間 X {\displaystyle X} が与えられたとき、ホモトピー群 π n + k ( Σ n X ) {\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)} が十分に大きい n {\displaystyle n} で安定するということを述べている。特に、球面のホモトピー群 π n + k ( S n ) {\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})} は n ≥ k + 2 {\displaystyle n\geq k+2} で安定する 。例えば、
⟨ id S 1 ⟩ = Z = π 1 ( S 1 ) ≅ π 2 ( S 2 ) ≅ π 3 ( S 3 ) ≅ ⋯ {\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }