バーンサイドの補題
3個の元(回転軸の通る辺に接する面の2組と側面の彩色分)を固定する
よって各元が固定する集合の大きさの平均は次の通り。
1 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = 57 {\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right)=57}
したがって立方体の面を3色で塗り分ける方法は57通りある。一般に立方体の面を n 色で塗り分ける方法は次の通り。
1 24 ( n 6 + 3 n 4 + 12 n 3 + 8 n 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right)}