普遍性
体 K 上のベクトル空間 V, W について、任意の双線形写像 f: V × W → X に対して f = f'◦g を満たす準同型 f': T → X がただ1つ存在するような K-ベクトル空間 T と双線形写像 g: V × W → T の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの T を V ⊗ W と表し、V と W のテンソル積と呼ぶ。
テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる:いま、V × W からの双線形写像の集合を与える対応は関手 Bilin(V, W; _): VectK → Set (VectK とは K-ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏)を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 VectK(V ⊗ W, _) ≅ Bilin(V, W; _) が定まり、従って Bilin(V, W; _) は表現可能関手である。双線形写像 g: V × W → V ⊗ W はこのとき、同型 VectK(V ⊗ W, V ⊗ W) ≅ Bilin(V, W; V ⊗ W) によって恒等射が写る先として定まる。
また、カノニカルな双線形写像 g: V × W → V ⊗ W は一点集合からの写像 ψ:*→ Bilin(V, W; V ⊗ W) によっても表される。いま、任意の X ∊ VectK とh:*→ Bilin(V, W; X) に対して、テンソル積の性質から h = h'◦ψ が成り立つような準同型 h': V ⊗ W → X がただ1つ定まる。従って h は一点集合から Bilin(V, W; _) への普遍射である。