加算性白色ガウス雑音
X i {\displaystyle X_{i}} を指数iのコード名の符号化されたメッセージとすると、
n R = H ( W ) = I ( W ; W ^ ) + H ( W | W ^ ) ≤ I ( W ; W ^ ) + n ε n ≤ I ( X ( n ) ; Y ( n ) ) + n ε n = h ( Y ( n ) ) − h ( Y ( n ) | X ( n ) ) + n ε n = h ( Y ( n ) ) − h ( Z ( n ) ) + n ε n ≤ ∑ i = 1 n h ( Y i ) − h ( Z ( n ) ) + n ε n ≤ ∑ i = 1 n I ( X i ; Y i ) + n ε n {\displaystyle {\begin{aligned}nR&=H(W)\\&=I(W;{\hat {W}})+H(W|{\hat {W}})\\&\leq I(W;{\hat {W}})+n\epsilon _{n}\\&\leq I(X^{(n)};Y^{(n)})+n\epsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Y^{(n)}|X^{(n)})+n\epsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Z^{(n)})+n\epsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}h(Y_{i})-h(Z^{(n)})+n\epsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}I(X_{i};Y_{i})+n\epsilon _{n}\end{aligned}}}
したがって、エラーは U {\displaystyle U} 、 V {\displaystyle V} 、 E i {\displaystyle E_{i}} のいずれかが起きた時に生じる。多数のものを扱う法則により、nが無限に近づくにつれて P ( U ) {\displaystyle P(U)} は0に収束し、漸近等分割性を結びつけることにより、 P ( V ) {\displaystyle P(V)} に同じものが適用できる。よって十分に大きい n {\displaystyle n} では、 P ( U ) {\displaystyle P(U)} と P ( V ) {\displaystyle P(V)} はともに ε {\displaystyle \epsilon } より小さくなる。 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} において、 X n ( i ) {\displaystyle X^{n}(i)} and X n ( j ) {\displaystyle X^{n}(j)} が独立であるので、 X n ( i ) {\displaystyle X^{n}(i)} と Y n {\displaystyle Y^{n}} も独立であるとわかる。よって漸近等分割性を結びつけることにより、 P ( E j ) = 2 − n ( I ( X ; Y ) − 3 ε ) {\displaystyle P(E_{j})=2^{-n(I(X;Y)-3\epsilon )}} となる。