有界函数
有界函数の概念の重要で特別な場合として、X を自然数全体の集合 N と取って有界数列(bounded sequence)が考えられる。すなわち、ある数列 (a0, a1, a2 , ...) が有界であるとは、ある実数 M が存在して、すべての自然数 n に対して
| a n | ≤ M {\displaystyle |a_{n}|\leq M}
が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合(にベクトル空間の構造を入れたもの)は数列空間を成す。
この定義は、距離空間 Y に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 X 上で定義される函数 f が有界であるとは、Y 内のある a に対して適当な実数 M を取れば、距離函数 d で測った a と f(x) との距離が M 以下にできること、すなわち
d ( f ( x ) , a ) ≤ M {\displaystyle d(f(x),a)\leq M}
が X 内のすべての x に対して成立することを言う。この場合、a を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ M を取ることができる。