完備束
半順序集合に対して、それから生成される「最大の」完備束を考えることは一般には出来ない(なぜなら、離散順序集合に対してそれを考えればそれは自由完備束となるから)。
しかし、半順序集合に対して、それから生成される「最小の」完備束を考えることはできる。
これを具体的に構成する方法がホルブルク・マクニール(英語版) によりデデキント切断を一般化することで与えられてる(デデキント・マクニール完備化(英語版))。
半順序集合 ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} の任意の部分集合が下限(最大下界)及び上限(最小上界)を持つとき、 ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} を完備束という。
半順序集合 ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} の部分集合 A {\displaystyle A} に対し、 その下限を ⋀ A {\displaystyle \bigwedge A} と書き A {\displaystyle A} の結び(英: meet)といい、 その上限を ⋁ A {\displaystyle \bigvee A} と書き A {\displaystyle A} の交わり(英: join)という。
⋀ L {\displaystyle \bigwedge L} は ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} の最小元、 ⋁ L {\displaystyle \bigvee L} は ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} の最大元となるので、完備束は有界束の特別なクラスである。