ベクトル解析
Xをベクトル場とし、 ユークリッド空間上の曲線Cが x ( u ) = ( x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , x 3 ( u ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))} 、u∈[a,b]とパラメーター表示されているとし、積分
∫ a b X ( x ( u ) ) ⋅ d  x d  u ( u ) d  u {\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {X} (\mathbf {x} (u))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}(u)\operatorname {d} u}
を考える。ここで「・」は内積である。
スカラー場に対する線積分と同様の議論で、上述の積分はベクトル場Xと曲線Cのみに依存し、Cのパラメトライズの方法によらない。そこで上述の積分を
∫ C X ⋅ d  x {\displaystyle \int _{C}\mathbf {X} \cdot \operatorname {d} \mathbf {x} }
と変数変換しても、この変数変換がSの向き付けを変えないなら、すなわちヤコビアン
∂ ( u 1 , u 2 ) ∂ ( w 1 , w 2 ) > 0 {\displaystyle {\partial (u_{1},u_{2}) \over \partial (w_{1},w_{2})}>0}
が恒等的に成り立つなら、面積分の値は替わらないことを容易に示せる。
そこでFのS上での面積分を
∫ S F d  S {\displaystyle \int _{S}F\operatorname {d} S}
とSのパラメトライズの方法によらない形で表記する。
1の面積分
∫ S d  S {\displaystyle \int _{S}\operatorname {d} S}
はSの面積に等しい事が知られており、従って d  S {\displaystyle \operatorname {d} S} は面積の微小量を表していると考えられる。この d  S {\displaystyle \operatorname {d} S} の事を面素という。
Sが閉曲面のときはそのことを強調して、面積分の事を
∮ S d  S {\displaystyle \oint _{S}\operatorname {d} S}
とも表記する。