置換 (数学)
一方でベッチの流儀を使う場合は合成写像として
τ ( σ ( 1 ) ) = ( τ ∘ σ ) ( 1 ) {\displaystyle \tau (\sigma (1))=(\tau \circ \sigma )(1)}
のように書き、時によって合成の記号「∘ 」を省略し σ の後に τ を行う置換を τσ で表した。一般に置換は交換可能ではないので置換の順序には注意が必要である。
二行記法の下の行だけを書くのが一行記法であり、先ほどの例であげた置換は一行記法だと 25431 で表される(成分が複数の文字、例えば二桁の数で表されるような場合には、成分の間にコンマを入れるのが典型的である)。
第三の記法として置換の巡回置換表現(英語版)は、置換を続けて施す効果に焦点を当てたものになっている。これは、置換を(少なくとも二つの元を持つ)軌道に対応する巡回置換の積として表す方法である。相異なる軌道は互いに素(交わりを持たない)から、感覚的には「互いに素な巡回置換に分解する」方法とも言える。このような記法を得るには、以下のようにする。まず S の元 x を σ(x) ≠ x なるようにとり、σ を繰り返し施して得られる像の列 (x σ(x) σ(σ(x)) ...) を、像として x が現れるまで続ける。こうして書き下された値の集合は σ に関して x の属する軌道であり、得られた列はこの軌道に対応する σ の巡回置換成分の括弧書き記法になる。この後、既に書き下された軌道に属さない S の元 y があればそれを取って σ(y) ≠ y であるならば、同様にして対応する巡回置換成分が得られるから、以下これを繰り返して、S の任意の元が何れかの巡回置換に属するかさもなくば σ の不動点となるまで続ける。