再生核ヒルベルト空間
D {\displaystyle D} は全単射であり、 H Γ {\displaystyle H_{\Gamma }} と H γ {\displaystyle H_{\gamma }} の間の等長写像となる。
vvRKHSのこのような見方はマルチタスク学習で有用ではあるものの、この等長変換はベクトル値の場合の研究をスカラー値の場合の研究に帰結させるものではない。実際、この等長変換によってもともとの核の性質がたびたび無くなり、スカラー値核や入力空間が複雑になりすぎる。
行列値再生核の中でも重要な種類に、スカラー値核と T {\displaystyle T} 次元対称半正定値行列の積で表されるような、分離可能核と呼ばれるものがある。これまでの議論の観点から表せば、分離可能核は X {\displaystyle X} の任意の要素 x , y {\displaystyle x,y} と T {\displaystyle T} の任意の要素 s , t {\displaystyle s,t} に対して以下の式で表される。
γ ( ( x , t ) , ( y , s ) ) = K ( x , y ) K T ( t , s ) {\displaystyle \gamma ((x,t),(y,s))=K(x,y)K_{T}(t,s)}
スカラー値核が入力間の依存関係を表現していたのに対して、行列値核は入力と出力の両方の依存関係を表現していることが分かる。
最後に、このような理論は更に関数空間の関数空間に拡張できるが、このような空間での核を得るのはより難しい。