離散フーリエ変換
また、この変換を F N {\displaystyle {\mathcal {F}}_{N}} という記号で表し、
F = F N ( f ) {\displaystyle F={\mathcal {F}}_{N}(f)}
のように略記することが多い。
この逆変換にあたる逆離散フーリエ変換(英語: inverse discrete Fourier transform、IDFT)は
f ( x ) = 1 N ∑ t = 0 N − 1 F ( t ) exp  ( i 2 π x t N ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{N}}\sum _{t=0}^{N-1}F(t)\exp \left(i{\frac {2\pi xt}{N}}\right)}
正規化係数(DFT は 1, IDFT は 1/N)や指数の符号は単なる慣習的なものであり、上式とは異なる式を扱うことがある。DFT と IDFT の差について、それぞれの正規化係数を掛けると 1 / N になることと、指数の符号が異符号であるということがだけが重要であり、根本的には同一の変換作用素と考えられる。DFT と IDFT の正規化係数を両方とも 1 / N {\displaystyle 1/{\sqrt {N}}} にすると、両方ともユニタリ作用素(ユニタリ変換)になる。理論的にはユニタリ作用素にするのが好ましいが、実用上数値計算を行うときは上式のように正規化係数を1つにまとめて、スケーリングを一度に行うことが多い。