多重ガンマ関数
R b > 0 {\displaystyle \Re b>0} , Q = b + b − 1 {\displaystyle Q=b+b^{-1}} において、函数
Γ b ( w ) = Γ 2 ( w | b , b − 1 ) Γ 2 ( Q 2 | b , b − 1 ) , {\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w|b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}|b,b^{-1}\right)}}\ ,}
は変換 b → b − 1 {\displaystyle b\to b^{-1}} のもとで不変であり、関係式
Γ b ( w + b ) = 2 π b b w − 1 2 Γ ( b w ) Γ b ( w ) , Γ b ( w + b − 1 ) = 2 π b − b − 1 w + 1 2 Γ ( b − 1 w ) Γ b ( w ) . {\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}
Γ 1 ( w | a ) = a a − 1 w − 1 2 2 π Γ ( a − 1 w ) , {\displaystyle \Gamma _{1}(w|a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}
以下は多重ガンマ関数の周期性と呼ばれる性質であり、通常のガンマ関数における関係式 Γ(x+1)=xΓ(x) の一般化であるといえる。
Γ N ( w | a 1 , . . . , a N ) = Γ N − 1 ( w | a 1 , . . . , a N − 1 ) Γ N ( w + a N | a 1 , . . . , a N ) . {\displaystyle \Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w|a_{1},...,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}|a_{1},...,a_{N})\ .}