有向集合
有向集合の例には以下のようなものが挙げられる。
自然数全体の成す集合 N に通常の大小関係による順序 ≤ を入れたものは有向集合である(さらに全順序集合でもある)。
自然数の対全体の成す集合 N × N に順序を ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) ⟺ n 0 ≤ m 0 ∧ n 1 ≤ m 1 {\displaystyle (n_{0},n_{1})\leq (m_{0},m_{1})\iff n_{0}\leq m_{0}\wedge n_{1}\leq m_{1}} で定めると有向集合にすることができる。
実数 x0 に対して、それ以外の実数全体の成す集合 R ∖ {x0} は a ≤ b ⟺ | a − x 0 | ≥ | b − x 0 | {\displaystyle a\leq b\iff |a-x_{0}|\geq |b-x_{0}|} とおくことにより有向集合となる。この状況は実数が「x0 へ向かう向き」を持つという。これは半順序でも全順序でもないような有向集合の例になっている。
↑ Kelley 1975, p. 65.
↑ Gierz, p. 2.