補空間
補空間の定義は(体上でなく環で考えれば)そのまま加群に対しても一般化することができるが、環上の加群の部分加群に対しては常に相補部分加群(補加群)が存在するとはもはや言えなくなる。任意の部分加群が相補部分加群を持つような加群は半単純加群と呼ばれる。この用語を用いれば、例えば任意のベクトル空間は半単純加群であるということができる。例えば整数の加法群 Z を整数環 Z 上の加群と見ると半単純ではない(実際、部分加群 2Z は補加群を持たない)。
「補加群を持つ」と言う代わりに「直和因子である」と言うこともできる。射影加群は適当な自由加群の直和因子(に同型)となるような加群として特徴づけられる。同様に入射加群は任意の拡大加群において補加群を持つことで特徴づけられる。
上記の射影との関係だけでなく U の V における補空間全体の成す集合上への Hom(V/U, U) の単純推移的な作用も、加群(あるいはもっと一般のアーベル圏)の場合に対するものへ引き写すことができる。
バナッハ空間が適当なヒルベルト空間に同型となるための必要十分条件は、その任意の閉部分空間が閉補空間を持つことである。
補空間の存在性については、次の Sobczyk の定理 が利用できる: