行列差分方程式
方程式を斉次形で y t = A y t − 1 {\textstyle y_{t}=Ay_{t-1}} と書くことにすれば、よく知られた仕方により、初期条件すなわち y の初期値 y0 から反復適用と置換から直ちに
のように各項の値は順次求まり、そして t に関する数学的帰納法によって一般に y t = A t y 0 {\textstyle y_{t}=A^{t}y_{0}} が成立することが証明される。さらに A が対角化可能ならば、A はその固有値と固有ベクトルを用いて書けるから、その解は
の形に与えられる。ここに P はその列ベクトルが A の固有ベクトルの全体からなる n-次正方行列(固有値が全て異なると仮定した場合には必ず可逆)であり、D は A の固有値が主対角線上に並ぶ対角行列である。
この解の様子が上記の安定性について得ることを動機づける。すなわち A が十分な時間経過後に零行列となるための必要十分条件は A の任意の固有値が絶対値に関して 1 より小さいことである。