Kan拡張
2つの関手
K : M → C {\displaystyle K:\mathbf {M} \to \mathbf {C} } と T : M → A {\displaystyle T:\mathbf {M} \to \mathbf {A} }
は、Mの任意の対象mとm' およびCの任意の対象cに対して、A上の余冪 C ( K m ′ , c ) ⋅ T m {\displaystyle \mathbf {C} (Km',c)\cdot Tm} を持つとする。さらに以下の余エンドが任意のCの対象cに対して存在すれば、関手TはKに沿った左カン拡張Lを持ち、Cの任意の対象cに対し、
L c = ( L a n K T ) c = ∫ m C ( K m , c ) ⋅ T m {\displaystyle Lc=(\mathrm {Lan} _{K}T)c=\int ^{m}\mathbf {C} (Km,c)\cdot Tm}
が成立する。
双対的に、右カン拡張も次の公式で計算できる。
( R a n K T ) c = ∫ m T m C ( c , K m ) {\displaystyle (\mathrm {Ran} _{K}T)c=\int _{m}Tm^{\mathbf {C} (c,Km)}} .