ファトゥの補題
したがって、A-An は集合の減少列で、それらの共通部分は空である。A は有限測度を持つ(これがこの証明を二つの場合に分けて考えた理由である)ため、
lim n → ∞ μ ( A − A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A-A_{n})=0}
を得る。したがって、ある n が存在し
μ ( A − A k ) < ε , ∀ k ≥ n {\displaystyle \mu (A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n}
が成立する。したがって、 k ≥ n {\displaystyle k\geq n} に対して
∫ E f k d μ ≥ ∫ A k f k d μ ≥ ( 1 − ε ) ∫ A k φ d μ {\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu \geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu }
が成立する。同時に、
∫ E φ d μ = ∫ A φ d μ = ∫ A k φ d μ + ∫ A − A k φ d μ {\displaystyle \int _{E}\varphi \,d\mu =\int _{A}\varphi \,d\mu =\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu +\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu }
であるため、