非可換幾何
ゲルファント表現によって可換 C*-環は局所コンパクト空間上の連続関数のなす代数系と見なせ、さらにもとの空間は可換C*-環から自然に復元することができる。したがって非可換な C*-環は通常の(局所)コンパクト空間を何らかの意味で変形した非可換な空間を表していると考えることができる。例えば局所コンパクト空間上の(連続または離散)力学系から図形の空間的な情報と力学系による時間発展の情報の両方を持つ非可換なC*-環が得られる。
局所コンパクト空間から得られる測度空間と可換フォン・ノイマン環の間の双対性から、非可換フォン・ノイマン環は非可換測度空間とよばれることもある。
多様体上に葉層構造があたえられたとき、同じ葉の上にある点を同一視して得られる葉の空間はしばしば、「絵に描ける図形」や可微分多様体などの「普通の図形」と比べて病的と見なされるような性質を持った空間になってしまう。各葉の上で畳み込みを積とする非可換な代数を考え、それをすべての葉についてあわせて得られる非可換な作用素環が葉の空間の上の関数の環を表していると考えることができる。