トポロジカル量子数
もう一つの例が、サイン・ゴルドン方程式(英語版)やコルトヴェーグ・ドフリース方程式、石森方程式(英語版)などの厳密可解模型の分野に挙げられる。一次元サイン・ゴルドン方程式は特に単純な例を与える。この場合、問題となる基本群は
π 1 ( S 1 ) = Z {\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }
であり、文字通り回転数(円の回りに円を巻き付けることは整数回しかできない)である。量子サイン・ゴルドン模型は、質量のあるシリング模型(英語版)と等価である。基底励起はフェルミオンとなり、トポロジカル量子数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } はフェルミオンの数である。サイン・ゴルドン模型の量子化により、トポロジカルチャージは「分数」になりうる。紫外繰り込みに関する無矛盾な考察により、分数個のフェルミオンは紫外カットオフよりも上に追い遣られることがわかる。よって、 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } にプランク定数に依存する分数が乗算されることになる。