半微分可能性
実数直線内のある区間 I 上で定義される、微分可能な実数値関数 f の微分が至る所でゼロであるなら、平均値の定理を適用することにより、その関数は定数であることが示される。その f の微分可能性の仮定は、連続性と片側微分可能性の仮定へと弱めることが出来る。以下では、右微分可能関数の場合を示すが、左微分可能関数についても同様の議論が成立する。
定理: f を、実数直線内の任意の区間上で定義される、実数値連続関数とする。f が、その区間内の上限でないようなすべての点 a ∈ I において右微分可能であり、その右微分が常にゼロであるなら、f は定数関数である。
証明: 背理法を用いる。f(a) ≠ f(b) を満たすような a < b が区間 I 内に存在すると仮定する。すると、
ε := | f ( b ) − f ( a ) | 2 ( b − a ) > 0 {\displaystyle \varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0}
が成立する。c を、f の差分商の絶対値が ε より大であるような、区間 (a,b] 内のすべての x の下限とする。すなわち、