クルル・シュミットの定理
加群が組成列を持つとき(あるいは同じことだが、ネーター加群かつアルティン加群であるとき)、直既約分解は存在する。またフィッティングの補題により長さ有限な直既約加群の自己準同型環は局所環である。したがって、クルル・シュミットの定理より、この分解は順序と同型を除いて一意である。この「組成列を持つ」という条件を単に「アルティン加群である」という条件に緩めると、クルル・シュミットの定理の類似は成り立たない。
群 G {\displaystyle G\ } に主組成列が存在すれば、 G {\displaystyle G\ } は有限個の直既約群の直積に分解される (ただし、 G {\displaystyle G\ } 自身が直既約群である場合も有り得るものとする)。
この直既約分解は順序と同型を除いて一意的である。つまり、
G = H 1 × H 2 × ⋯ × H m = K 1 × K 2 × ⋯ × K n {\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{m}=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}}
を2通りの分解とすれば、 m = n {\displaystyle m=n} であり、直既約群の組 { H i } 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle \{H_{i}\}_{1\leq i\leq m}} と { K j } 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle \{K_{j}\}_{1\leq j\leq m}} は、適当な m {\displaystyle m\ } 次の置換 σ {\displaystyle \sigma } によって H i ≈ K σ ( i ) {\displaystyle H_{i}\approx K_{\sigma (i)}} とすることができる。