フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
1929年、パウル・ベルナイスはフォン・ノイマンの新しい公理系を、クラスと集合を原始概念とすることで修正し始めた。ベルナイスは自身の仕事を 1937年から1954年にかけて、一連の論文として発表した。 ベルナイスは以下のように述べている:
ベルナイスは集合とクラスを2-ソート論理で扱い、2 つの原始的帰属概念を導入した:一つは集合の関係で、もう一つはクラスの関係である。これらの原始概念によって、ベルナイスはフォン・ノイマンの1929年の公理系を簡略化した。ベルナイスはまた、その公理系に正則性公理を導入した。
NBG の基本概念体系は「大きな対象」をパラドックスのおそれなしに議論する足場を提供する。例えば、圏論の進展において、「大きい圏」は対象と射が真のクラスをなす圏として定義される。一方、「小さな圏」は対象と射が集合の要素になる圏である。このように、NBG で大きな圏を扱えるため、「すべての集合の圏」や「すべての小さい圏の圏」をパラドックスのおそれなしに議論できる。
しかし、NBG は「すべての圏の圏」を扱えない。大きな圏は「すべての圏の圏」の要素となりえて、かつ NBG は真のクラスが何かの要素になることを許容していないためである。このような「圏」を形式的に議論するための基本概念体系の一つの拡張がクラスの集まりとしての複合体(conglomerate)である。このとき「すべての圏の圏」は、すべての圏からなる複合体を対象全体とし、A と B が対象全体を動くときに A から B へのすべての射からなる複合体を射の全体として定義される。 圏論のためにクラスを集合と同様の基本概念体系に含めるのが妥当であるのかどうかについては、 Muller 2001 を参照せよ。
定理 ― a {\displaystyle a} が集合であるならば、 ∪ a {\displaystyle \cup a} と P ( a ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a)} は集合である。
証明 — 和集合の公理は ∪ a {\displaystyle \cup a} が集合 b {\displaystyle b} の部分クラスであることを主張するので、分出公理から ∪ a {\displaystyle \cup a} が集合であることが導かれる。同様に、冪集合の公理はは P ( a ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a)} が集合 b {\displaystyle b} の部分クラスであることを主張するので、分出公理から P ( a ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a)} が集合であることが導かれる。
無限公理. a {\displaystyle a} のすべての元 x {\displaystyle x} に対して、 x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} の真部分集合である a {\displaystyle a} の元 y {\displaystyle y} が存在するような、空でない集合 a {\displaystyle a} が存在する。
無限公理と置換公理から空集合の存在が導かれる。クラス存在公理に関する議論において、空クラス ∅ {\displaystyle \emptyset } の存在は示されている。ここで ∅ {\displaystyle \emptyset } が集合であることを示そう。