井戸型ポテンシャル
本質的なE<V1の場合のみを考慮する。この時、正の方向については無限遠で波動関数が0となれば十分であるので、境界条件が変わりψ(0)=ψ(∞)=0となる。0<x<Lの時の波動関数をψin、L<xの時の波動関数をψoutと分割してシュレーディンガー方程式を解くと、さらに接続条件、ψin(L)=ψout(L), ψ'in(L)=ψ'out(L) が加わる。
解くと、
ψ in ( x ) = A sin  k x {\displaystyle \psi _{\text{in}}(x)=A\sin kx}
ψ out ( x ) = B exp  ( − λ x ) {\displaystyle \psi _{\text{out}}(x)=B\exp(-\lambda x)}
E = ħ 2 k 2 2 m {\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}{k}^{2}}{2m}}}
A sin  k L = B exp  ( − λ L ) {\displaystyle A\sin kL=B\exp(-\lambda L)}
{ λ = − k cot  k L k 2 + λ 2 = 2 m V 1 ħ 2 {\displaystyle {\begin{cases}\lambda &=-k\cot kL\\k^{2}+\lambda ^{2}&={\dfrac {2mV_{1}}{\hbar ^{2}}}\end{cases}}}
となる。
となる。 境界での連続性と微分可能性の条件である式(6)と式(7)から求まる4つの式を、A,B,t,rについて解くと、
A = t ( k + k ′ ) 2 k e n − m {\displaystyle A={\frac {t\left(k+k'\right)}{2k}}e^{n-m}} (14)
B = t ( k − k ′ ) 2 k e n + m {\displaystyle B={\frac {t\left(k-k'\right)}{2k}}e^{n+m}} (15)
t = 4 k k ′ ( k ′ + k ) 2 e 2 ( n − m ) − ( k ′ − k ) 2 e 2 ( n + m ) {\displaystyle t={\frac {4kk'}{\left(k'+k\right)^{2}e^{2\left(n-m\right)}-\left(k'-k\right)^{2}e^{2\left(n+m\right)}}}} (16)