ライス＝シャピロの定理
x {\displaystyle x} が W e {\displaystyle W_{e}} に属すとき: x ∈ W e , y a.e. y {\displaystyle x\in W_{e,y}{\mbox{ a.e. }}y} が成り立つ。したがって g ( x , y ) = φ h ( x ) {\displaystyle g(x,y)=\varphi _{h(x)}} の定義域は有限である。仮定より f のいかなる有限部分も A に属さないから、 h ( x ) ∉ I n d e x ( A ) {\displaystyle h(x)\notin \mathrm {Index} (A)} が成り立つ。
x {\displaystyle x} が W e {\displaystyle W_{e}} に属さないとき: x ∉ W e , y {\displaystyle x\notin W_{e,y}} が任意の y で成り立つ。したがって φ h ( x ) = f {\displaystyle \varphi _{h(x)}=f} が成り立つ。仮定より f は A に属すから、 h ( x ) ∈ I n d e x ( A ) {\displaystyle h(x)\in \mathrm {Index} (A)} が成り立つ。
したがって N ∖ W e {\displaystyle \mathbb {N} \setminus W_{e}} は I n d e x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Index} (A)} に多対一還元可能である。