畳み込み級数
特に、 ∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) = ( 1 1 + 1 2 ) + ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ⋯ ⋯ + ( 1 n − 1 + 1 n ) + ( 1 n + 1 n + 1 ) + ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\qquad \cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty \end{aligned}}} のように項がぜんぜん打ち消しあわない場合には無力である。
k を正の整数とすれば ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + k ) = H k k {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}} となる(1/(k − 1) 以降の項がすべて打ち消されて消える)。ここで Hk は k-次調和数である。