和田の湖
数学的議論に慣れた者にとっては蛇足であろうことを、2点補足として述べる。
まず、慣れていない者にとっては、永遠に運河を掘り続ける、というところが受け入れがたく感じられるかもしれない。しかし、カントール集合やコッホ曲線を構成する際のように、無限個の集合を扱うとか、無限回の操作を行う、などと数学者たちはわりと平気で言う。現実に絵が描けるか、ということもあまり気にはされず、抽象的な概念として把握できれば十分だと考えられている。実際、掘り方に紛れがないようにもう少し丁寧にルールを定めておけば、島の中の1点を選んだときに、その点が(とんでもなく遠い未来になる可能性もあるが)いつかは掘られていずれかの湖の一部となるか、掘られた湖の縁となって(幅のない)陸として残るか、運命はすでに定まっている。よって、「永遠に運河を掘り続ける」というのは単なるたとえ話であって、B, R, G, Z は集合としてきちんと把握できる。
また、境界とは何を意味するのか、数学的に正確な定義を知っておかねばならない。一般に、(ユークリッド空間における位相においては)点 P が領域 D の境界上の点であるとは、点 P を中心としてどんなに小さな円を書いたとしても、その円の内部に D 内の点と D 外の点の両方が含まれることを意味する。上記の構成を行うと、Z 上の任意の点を中心とする円は、必ず3つの湖の全てと交わる。これで、Z が3つの湖の共通の境界であることが理解されよう。