命題論理
(例えば「すべての猫はほ乳類である」から「たまが猫なら、たまはほ乳類である」を推論できる、など。)
一階論理の道具立てを使うと、公理あるいは推論規則によって様々な理論を定式化し、論理計算として取り扱えるようになる。最も有名な例は算術だが、ほかにも集合論やメレオロジーが挙げられる。
様相論理は命題計算ではとらえきれないような様々な推論を可能にしている。様相論理では、例えば「 ρ {\displaystyle \rho } は必然的である」から ρ {\displaystyle \rho } を推論でき、 ρ {\displaystyle \rho } からは「 ρ {\displaystyle \rho } は可能である」が推論できる。
多値論理では文の真理値として真と偽以外のものも許容される。(例えば「真でもあり偽でもある」とか「真でも偽でもない」がよく追加される。またファジィ論理では真と偽の間の無限にこまかい「真実である度合い」が導入される。)これらの論理学ではしばしば命題計算とは異なった計算手法が必要になる。
A → Aを証明する。
下記にその証明の一例を挙げる(より厳密に証明しようとすればより多くのステップを要する)。