グランディ級数
通常の意味ではグランディ級数は収束しないが、総和法の適用によっては収束し、収束値 S = 1/2 に意味を与えることができる。以下では、グランディ級数の各項を
a n = ( − 1 ) n ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )}
とし、第n項目までの部分和を
s n = ∑ l = 0 n − 1 a l {\displaystyle s_{n}=\sum _{l=0}^{n-1}a_{l}}
と表す。
グランディ級数
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , {\displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots ,}
に切り込むための一つの明快な方法は、それを畳み込み級数のように扱い、適当に差分を取ることである:
( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ⋯ = 0 + 0 + 0 + ⋯ = 0. {\displaystyle \left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\cdots =0+0+0+\cdots =0.}
同様に違った括弧の取り方をすると明らかに矛盾した結果が得られる。
1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ⋯ = 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯ = 1. {\displaystyle 1+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\cdots =1+0+0+0+\cdots =1.}
このように、グランディ級数に対して異なる括弧の取り方をすると、0 か 1 かの「値」を得ることができる(このアイデアを発展させたものはアイレンベルク=メイザー・スウィンドル(英語版)と呼ばれ、結び目理論や代数学で用いられることがある)。
無限級数 1 − 1 + 1 − 1 + ... は次のように書き表すことができる。
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}
この級数はグランディ級数(グランディきゅうすう、英: Grandi's series)と呼ばれることがある。グランディ級数という名前は、1703年にこの級数に関する議論において重要な貢献をした、イタリアの数学者であり哲学者である神父のルイージ・グイード・グランディ(英語版)に因む。グランディ級数は発散級数であり、通常の意味では和を持たない。その一方で、グランディ級数のチェザロ和は 1/2 となる。
グランディ級数を発散幾何級数(英語版)として扱う方法を用いると、通常の収束する幾何級数(等比級数)と同じように代数的な操作の下で、グランディ級数に対する第三の値が得られる:
S := 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\displaystyle S:=1-1+1-1+\cdots }
1 − S = 1 − ( 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ ) = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ = S {\displaystyle 1-S=1-\left(1-1+1-1+\cdots \right)=1-1+1-1+\cdots =S}
より S = 1/2 を得る。 同様の結論が −S を計算することでも得られ、S を引き 2S = 1 を解くことで確かめられる。
上記の取り扱いでは、その級数の和がどのような意味を持つのか考えていなかった。それでも、級数に括弧を自由に付けられることを重視し、更にそれらを算術的に扱えることをより重視するならば、次の 2 つの結論に到達する:
級数 1 − 1 + 1 − 1 + ... は和を持たない。
しかしその和は 1/2 でなければならない 。
実際、これらの主張は厳密かつ形式的に示せるが、それは19世紀に成立した明確に定義された数学的概念を用いてのみ行うことができる。17世紀後半にヨーロッパで解析学が導入された後、現代のような厳密な取り扱いがまだない時代には、上述の相反するような解答は、当時の数学者達の間に「終わりなき」「暴力的な」と形容されるような論争を巻き起こす燃料になっていた。