M/M/1 待ち行列
ρ < 1 であれば時間 t→∞ とするとき定常過程に漸近する。
単位時間内に待ち行列に到着する要求の数の平均値は λ であり、同じく単位時間内にサーバが処理する要求の平均値は μ である。定常過程においては増加と減少がつりあわなければならないので、待ち行列の長さが i である確率を πi とすると、
{ ( λ + μ ) π i = μ π i + 1 + λ π i − 1 if i > 0 λ π 0 = μ π 1 {\displaystyle {\begin{cases}(\lambda +\mu )\pi _{i}=\mu \pi _{i+1}+\lambda \pi _{i-1}&{\text{if }}i>0\\\lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1}\end{cases}}}
でなければならない。上式で左辺は単位時間あたりに状態iから別の状態(=状態 i-1 と状態 i+1)に遷移する確率で、右辺は単位時間にあたりに別の状態(=状態 i-1 と状態 i+1)から状態iに遷移する確率である。当然、全確率は1なので、
∑ i = 0 ∞ π i = 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1}
である。これらを解くことで、πiが以下のようになる事がわかる。
すなわち、定常過程における待ち行列の長さはパラメータ 1 − ρ の幾何分布に従う。よって特に、システム内の要求数の平均は ρ/(1 − ρ) であり、分散は ρ/(1 − ρ) となる。この結果はプロセッサ共有などを含むどんな work conserving service regimeについてもいえる。