エタール基本群
関手 F {\displaystyle F} は通常 C {\displaystyle C} において表現可能ではないが、 C {\displaystyle C} の(一般には)無限個の対象によって表現可能な、pro-representable 関手である。つまり有向集合 I {\displaystyle I} によって添字付けされる C {\displaystyle C} の対象 X i {\displaystyle X_{i}} ( i ∈ I {\displaystyle i\in I} )からなる射影系 { X j → X i ∣ i < j ∈ I } {\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}} が存在し
F ( Y ) = lim → i ∈ I  Hom C  ( X i , Y ) {\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}
が成り立つ。さらに X i {\displaystyle X_{i}} はすべてガロア被覆で取れる。ガロア被覆とは # Aut X  ( X i ) = deg  ( X i / X ) {\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)} が成り立つものである。
基本群の最も基本的な例は体 k の基本群 π1(Spec k) である。この群は絶対ガロア群 Gal(ksep / k) と同型であることが定義から簡単に示される。ガロア群のこの解釈はグロタンディークのガロア理論と呼ばれている。