Tor関手
つまり、次の自然同型が存在する。
T o r n R ( ⨁ i A i , ⨁ j B j ) ≃ ⨁ i ⨁ j T o r n R ( A i , B j ) . {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j}\right)\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j}).}
有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Zk のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、A が有限生成であるときにはいつでも TorZ1(A, B) を計算することができる。
加群 M ∈ Mod-R が平坦であることと、TorR1(M, – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての n ≥ 1 に対して TorRn(M, – ) = 0 でさえある。実は、TorRn(A, B) を計算するには、射影分解の代わりに A あるいは B の平坦分解を使ってもよい。