二次方程式
二次方程式(にじほうていしき、英: quadratic equation)とは、数学において、二次の多項式関数の零点集合を表す条件のことである。
その零点集合については、特に実数係数であるものについて、幾何学的考察が歴史的に行われ、よく知られている(二元二次方程式については円錐曲線を、一般の多変数二次方程式については二次曲面を参照するとよい)。
以下では、未知数が1個の場合を中心に取り扱う。二次方程式は次数が 2 の代数方程式のことであり、一般に未知数を x として
a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}
の形で表される。二次方程式を解くには、二次方程式の解の公式が知られている他、平方完成を利用する方法、因数分解を利用する方法などがよく知られている。
一元二次方程式を解くことと同値である問題に対する解法は、紀元前20世紀ごろには既に知られていた。
実数係数の二次方程式においては、解の公式に見られるように、 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} の符号が実数解の個数を決める。
二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の重複を込めた解を α, β とするとき、
Δ := a 2 ( α − β ) 2 {\displaystyle \Delta :=a^{2}(\alpha -\beta )^{2}}
を二次方程式の判別式という。これは、解の公式に現れる b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} に等しい。
代数方程式で次数が 2 の場合は、判別式のみで実数解の個数が決定できる:
⊿ > 0 のとき:異なる 2 実数解
⊿ = 0 のとき:実数の重解
⊿ < 0 のとき:1組の共役虚数解