ポアソン多様体
( M , ω ) {\displaystyle \,(M,\omega )\,} をシンプレクティック多様体とする。このとき、 M {\displaystyle M} 上にポアソン構造が次のようにして定義できる。
{ f , g } = ω ( X f , X g ) {\displaystyle \,\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})\,}
ここで、 X f , X g {\displaystyle \,X_{f},X_{g}\,} はそれぞれ f , g {\displaystyle \,f,g\,} から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。