複素平面
複素数平面は、実数体 R 上の2次元線形空間である。(1, i) は、複素数平面の基底である。
複素数の絶対値により、複素数平面は乗法的ノルム空間である。
係数体を複素数体 C とすると、C は複素「直線」(次元 1)である。
複素数 z = r(cosα + i sinα)(r ≥ 0, α は実数)に cosβ + i sinβ(β は実数)を掛けると、z の偏角が β 増える。このことから、虚数単位 i = cosπ/2 + i sinπ/2 は、実数直線における実数単位 1 を原点中心、反時計回りに 90° 回転した位置にあると考えることができる。そこで、実数直線を拡張し、実軸と虚軸からなる座標平面を導入すると、複素数の演算が幾何学的な操作に対応し、見通しが良くなる。この平面を複素平面という。複素平面では、複素数の実部、虚部が点(位置ベクトル)のそれぞれ x座標(x成分)、y座標(y成分)に対応する。
絶対値は、複素平面においては、その複素数が表す点と原点 O(0) の距離に等しい。複素共役は、実軸対称に当たる。
複素数 z を直交座標表示すると、z = x + yi(x, y は実数)となり、加法・減法・実数倍 は、幾何学的には平面上の平行移動および原点中心の拡大縮小(英語版)に対応する。