記号の濫用
同値関係の同値類を [x] でなく x と書くのは記号の濫用である。形式的には、集合 X を同値関係 ∼ によって分割したとき、各 x ∈ X に対し、同値類 {y ∈ X | y ∼ x} は [x] と表記される。しかし実際には、議論がもとの集合の個々の元ではなく同値類にあるとき、角括弧を落とすのが一般的である。あるいは、実際には個々の元の方を考えているのに、同値類を指す記号を用いることもある。
前者の例としては、例えば、合同算術において、n を法とした x の合同類を単に x と書いたり、ルベーグ積分論において、測度空間上の可測関数を「ほとんどいたるところ等しい」という関係で割った空間(たとえば L)を考えるときに、同値類をもとの関数と同じ記号で表したりする(ここで注意すべきことであるが、商空間では「関数 f の x における値 f(x)」というものは全く意味を持たない)。
後者の例としては、例えば、群 G の既約表現の同値類の全体をここでは仮に A と書くと、G の既約表現は普通 (π, V) ∈ A あるいは π ∈ A と書かれる。
デカルト積はしばしば結合的と見ることができる:
( E × F ) × G = E × ( F × G ) = E × F × G . {\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G.}
これはもちろん厳密には正しくない。x ∈ E, y ∈ F, z ∈ G とすると、等式 ((x, y), z) = (x, (y, z)) は (x, y) = x, z = (y, z) を意味することになってしまい、また等式 ((x, y), z) = (x, y, z) は無意味である。
この概念は圏論において自然同型の概念を用いて厳密にできる。