広義固有ベクトル
固有値が重複する場合に異なる(通常の)固有ベクトルが得られない例について示す.
A = [ 1 1 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}
とする.A の固有値は,det(λI − A) = 0 を満たす λ であり,これを解くと,(λ − 1) = 0 となり,ただ1つの固有値 λ = 1 が得られる.その代数的重複度は μ = 2 である.例 1 と異なり,
rank  ( λ I − A ) = 1 = 2 ⏟ n − 1 ⏟ γ {\displaystyle \operatorname {rank} (\lambda I-A)=1=\underbrace {2} _{n}-\underbrace {1} _{\gamma }}
で,幾何的重複度は γ = 1 である.すなわち,例 1 とは異なり,固有値 λ = 1 に対する(通常の)固有ベクトルは1つしかない.
では,この固有値 λ = 1 に対する(通常の)固有ベクトルを求めよう.今, x = [ x 1 x 2 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}} とおき,(1I − A)x = 0 を満たすゼロでないベクトルを求めると,