零化イデアル
零化イデアルは左 Rickart 環(英語版) や Baer 環(英語版) を定義するのに使われる。
S の(左)零因子の集合 DS は次のように書ける。
D S = ⋃ x ∈ S , x ≠ 0 A n n R ( x ) . {\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S,\,x\neq 0}{\mathrm {Ann} _{R}\,(x)}.}
(0 は零因子と考えている。)
とくに、S = R ととって、R をそれ自身に左 R 加群として作用させることで、DR は R の(左)零因子の集合である。
R が可換ネーター環のとき、集合 DR はちょうど R の素因子の和集合に等しい。
有限次元多元環 A が準フロベニウスである必要十分条件はすべての左イデアル I と右イデアル J に対して
l A ( r A ( I ) ) = I , r A ( l A ( J ) ) = J {\displaystyle \ell _{A}\left(r_{A}\left(I\right)\right)=I,\qquad r_{A}\left(\ell _{A}\left(J\right)\right)=J}
が成り立つことである。