ビュフォンの針
この問題を数学的に表現すると以下のようになる: 長さ l {\displaystyle l} の針を、間隔 t {\displaystyle t} で平行線が描かれた床に落としたときに、線と針が交差する確率はどれくらいか?
針の中心から近いほうの線までの距離を x {\displaystyle x} とし、針と線がなす角の小さい方を θ {\displaystyle \theta } とする。
0 {\displaystyle 0} から t / 2 {\displaystyle t/2} における x {\displaystyle x} の確率密度関数は
{ 2 t : 0 ≤ x ≤ t 2 0 : elsewhere. {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\frac {t}{2}}\\0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}
である。
また、 0 {\displaystyle 0} から π / 2 {\displaystyle \pi /2} における θ {\displaystyle \theta } の確率密度関数は