平方因子をもたない整数
{\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}
である。リーマン予想を仮定すれば誤差項はさらに減らせて、
Q ( x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x 17 / 54 + ε ) = 6 x π 2 + O ( x 17 / 54 + ε ) . {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon }\right).}
n 以下の無平方数の個数と round(n/ζ(2)) のレースを A158819 で参照。
したがって無平方数の漸近密度あるいは自然密度(英語版)は
lim x → ∞ Q ( x ) x = 6 π 2 = 1 ζ ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}
ただし ζ はリーマンゼータ関数であり 1/ζ(2) は約 0.6079 である(整数の 3/5 以上は無平方である)。
同様に、Q(x,n) で 1 から x までの n-free な整数(例えば 3-free な整数とは無立方 (cube-free) な整数のこと)の個数を表せば、以下を示すことができる。