オイラー法
簡単な例として、次の1階常微分方程式を考えよう:
y ′ = 3 y + 2 , y ( 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=3y+2,\quad y(0)=y_{0}.}
この方程式に対するのオイラー法は
y n + 1 = y n + h ( 3 y n + 2 ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h(3y_{n}+2)}
という漸化式になる。この漸化式は厳密解を求めることができて、初期値を用いて、
y n = ( y 0 + 2 3 ) ( 1 + 3 h ) n − 2 3 {\displaystyle y_{n}=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)(1+3h)^{n}-{\frac {2}{3}}}
となる。この例では、微分方程式の厳密解を直接に求めることができる。解いて厳密解は
y = ( y 0 + 2 3 ) e 3 x − 2 3 {\displaystyle y=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)e^{3x}-{\frac {2}{3}}}