和分差分学
Δ f ( x ) = f ( x ) ⟺ f ( x + 1 ) − f ( x ) = f ( x ) ⟺ f ( x + 1 ) = 2 f ( x ) ⟺ ∃ C : f ( x ) = C ⋅ 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)-f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)=2f(x)\\\iff &\exists C:f(x)=C\cdot 2^{x}\end{aligned}}}
微分作用素の作用の下で不変な函数が e を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では2 を底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。
数学の一部門としての差分法(さぶんほう、英: difference calculus, calculus of finite difference)あるいは和分差分学(わぶんさぶんがく、英: discrete calculus)は、(微分法および積分法を柱とする)微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が(極限の概念を定式化し得る)連続的な空間上の函数(特に実数直線上で定義された函数)に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 Z 上で定義された函数(すなわち数列)に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。