指示関数
特に、集合 supp(f) を {x ∈ X | f(x) ≠ 0} の閉包(f の台とよばれる)とすると
∫ X f ( ξ ) d ξ = ∫ s u p p ( f ) f | s u p p ( f ) ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{X}f(\xi )\,d\xi =\int _{\mathrm {supp} (f)}f|_{\mathrm {supp} (f)}(\xi )\,d\xi }
が成り立つ。また、一点集合の指示関数は(適当な条件下で)ディラックのデルタ関数をあらわすと考えられる。実際、一点集合 {x} に対して、その可測集合からなる近傍系 Nx でその共通部分が {x} となるものが存在するとき(たとえば {x} 自身が可測となるとき)
inf N ∈ N x χ N = χ { x } , {\displaystyle \inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\chi _{N}=\chi _{\{x\}},}
∫ X χ { x } ( ξ ) f ( ξ ) d ξ := inf N ∈ N x ∫ X χ N ( ξ ) f ( ξ ) d ξ = f ( x ) v o l ( { x } ) {\displaystyle \int _{X}\chi _{\{x\}}(\xi )f(\xi )\,d\xi :=\inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\int _{X}\chi _{N}(\xi )f(\xi )\,d\xi =f(x)\mathrm {vol} (\{x\})}
が成立する。χ{x} はしばしば χx と略記される。