パーセバルの定理
ここで、 R {\displaystyle \Re } は実部を意味する。 a n {\displaystyle a_{n}} と b n {\displaystyle b_{n}} を a n / 2 − i b n / 2 {\displaystyle a_{n}/2-ib_{n}/2} とする場合もある。
より一般に、可換位相群 G とそのポントリャーギン双対 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} が与えられたとき、パーシヴァルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ変換がヒルベルト空間 L(G) と L 2 ( G ^ ) {\displaystyle L^{2}({\widehat {G}})} の間のユニタリ作用素であることを言っている(積分には2つの群上の適切にスケールされたハール測度を用いる)。G が単位円周 T のとき、 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} は整数 Z であり、上で議論された場合である。G が実数直線 R のとき、 G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} も R であり、ユニタリ変換は実数直線上のフーリエ変換である。G が巡回群 Zn のときも自己双対であり、ポントリャーギン・フーリエ変換は応用分野でのいわゆる離散フーリエ変換である。