空間ベクトル
ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した:
代数的な虚部(ベクトル)は、幾何的には直線または半径ベクトルであり、それらは一般的には、各々の四元数によって決定され、空間における向きと長さが定まり、それを虚部または単に四元数のベクトルと呼ぶ。
ベラヴィティス(英語版)、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント(英語版)、マシュー・オブライエン(英語版)といったハミルトン以外の何人かの数学者たちは同時期にベクトルに似た概念を開発した。グラスマンの1840年の論文「減衰と流れの理論」は空間解析の最初の体系であって、今日の体系と類似したものであり、今日の外積、内積、ベクトルの微分に相当する概念が含まれていた。グラスマンの業績は1870年代まで不当に無視され続けていた。
ピーター・テイトはハミルトンの後に四元数の基礎を確立した。テイトの1867年の「四元数の初等的理論」には今日の∇(ナブラ)演算子に相当する概念が含まれていた。
ウィリアム・クリフォード(英語版)は1878年に力学原論(英語版)を出版した。ここでクリフォードは完備四元数積から今日の二つのベクトルの外積、内積に相当する概念を抽出した。