計量テンソル
2次元のユークリッド計量(平らな空間、直交直線座標系)では、その全域において、計量テンソルがクロネッカーデルタまたは単位行列となる。すなわち
g = [ 1 0 0 1 ] , d s 2 = ( d x 1 ) 2 + ( d x 2 ) 2 {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}
で与えられ、曲線の長さは良く知られた
L = ∫ a b ( d x 1 ) 2 + ( d x 2 ) 2 {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }
で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る。
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。