準群
小さい準群 オンライン整数列大辞典の数列 A057991 および ループ オンライン整数列大辞典の数列 A057771 の数 (ただし同型なもの同士は一つと数える) は、下表の通りである 。
この記事の残りでは準群の乗法を単に並置で表して演算子を省略する。
準群は簡約性を持つ。すなわち、ab = ac であれば b = a\(ab) = a\(ac) = c であり、ba = ca であれば b = (ba)/a = (ca)/a = c である。
準群のラテン方格性は、xy = z の3変数のうちどの2個が与えられても3個目の変数が一意に定まることを含意する。
特別に名の付いている弱い結合律がある。
例えば、ボル・ループ(英語版)(Bol loop)は以下のいずれかの恒等式を満たすループである。
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ z(左ボル・ループ)
((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x)(右ボル・ループ)
左かつ右ボル・ループであるときにはムーファン・ループ(moufang loop)と呼ばれる。これは、以下のムーファン恒等式の任意の一つと同値である。
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z
z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x)
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x