局所体
上で定義された正規付値と、先に挙げた単数群の分解を用いることで、以下のことが得られる。
局所体 K に対して、正整数 n を K の標数が 0 でないときは、K の標数で割り切れない様にとる(K の標数が 0 であるときは n は任意の正整数でよい)。 K × n {\displaystyle K^{\times n}} を K × {\displaystyle K^{\times }} に含まれる n 乗数全体からなる群とし、 U n {\displaystyle U^{n}} を単数群 U に含まれる n 乗数全体からなる群とすれば、
( K × : K × n ) = n ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=n(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)}
が成立する。但し μ n ( K ) {\displaystyle \mu _{n}(K)} は K に含まれる 1 の n 乗根全体のなす群とし、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は K の正規付値である。
K が実数体もしくは複素数体であるときは、上式に類似した
( K × : K × n ) = ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)}
が成立する。