ポアンカレ・ベンディクソンの定理
x ̇ = 10 − x − 4 x y 1 + x 2 {\displaystyle {\dot {x}}=10-x-{\frac {4xy}{1+x^{2}}}}
y ̇ = x ( 1 − y 1 + x 2 ) {\displaystyle {\dot {y}}=x\left(1-{\frac {y}{1+x^{2}}}\right)}
計算より、この系の平衡点は xy-平面上に (x, y) = (2, 5) に唯一存在し、かつ渦状点である。この平衡点を覆うよう十分小さな円 D1 を考えれば、その円の境界の任意の点は外向きのベクトルを持つ。また考察により、 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 101 という範囲の四角形 D2 の境界は、内向きまた境界に接するベクトルを持っていることがわかる。よって、四角形から小さな円を切り抜いた領域 D = D2 ∖ D1 にはポアンカレ・ベンディクソンの定理より周期軌道が存在することが言える。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理のもう一つの帰結は、平面では平衡点または周期軌道に収束する振る舞いに限定され、それら以上に複雑な振る舞いは起こらないという点である。よって、平面上の連続力学系ではストレンジアトラクター(カオス)と呼ばれる非周期的な運動の極限集合は存在しえない。連続力学系では、カオスは3次元以上の相空間を持つ系で起こる。また、相空間がトーラス T のときも、トーラス全体を軌道が稠密に覆う新しい種類の極限集合が存在する。