調和数 (発散列)
調和数の積分表示
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}
はオイラーによる。この等式は簡単な代数的等式
1 − x n 1 − x = 1 + x + ... + x n − 1 {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}}
を使えば明らかである。また、積分の変数を単純に x = 1 − u と変換すれば、Hn のきれいな組合せ論的展開
H n = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) u k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}du=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}du=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}