群環
代数学において、与えられた群および環に対する群環(ぐんかん、英: group ring)は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環(代数)の構造を持ち、群多元環(ぐんたげんかん、英: group algebra; 群代数)(あるいは短く群環)と呼ばれる。
群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。
環 K[G] の積の定義の仕方から、その環としての中心は G 上で定義されたK-値類函数(つまり、G の各共軛類上で定数となる函数)の全体に一致する。これは配置集合 K の部分線型空間で、各共軛類 c ∊ C の指示函数の族 (1c)c∊C を標準基底に持つ(これらの指示函数は K の標準基底によって1c = ∑s∊cδs と分解できる)。
また、K 上の非退化な対称双線型形式(内積)を
( f ∣ h ) = 1 g ∑ s ∈ G f ( s ) h ( s − 1 ) {\displaystyle (f\mid h)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f(s)h(s^{-1})}
で定義することができる。
既約指標の全体はこの類函数の空間の正規直交基底を成す
これにより、(この部分空間の次元を考えて)
既約表現の(同型類の)総数は、群の共軛類の数 h に等しい
ゆえに、群 G の K 上の既約表現 (S1, ρ1), ... (Sh, ρh) が(同型を除いて)存在して、それらの指標 χ1, ..., χh が群環 K[G] の中心の基底を成す。
R [ G ] → C c ( G ; R ) ; ∑ g ∈ G a g g ↦ ∑ g ∈ G a g δ g {\displaystyle R[G]\to C_{c}(G;R);\;\sum _{g\in G}a_{g}\,g\mapsto \sum _{g\in G}a_{g}\delta _{g}}
は多元環の同型である。しばしばここでいう Cc(G; R) を(1. の場合と同じく) R[G] などとも書き、G の R 上の群環と呼ぶ。
G が有限群ならば、この Cc(G; R) は G から R への写像全体の成す空間 R (= R(G) = Hom(G, R)) に他ならない。これは無限群の場合には一般には成り立たないが、それでも以下に示すような意味で群環 R[G] と写像空間 R は互いに双対の関係にある:
群環の元
x = ∑ g ∈ G a g g {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}\,g}
と R-値写像 f: G → R の対に対して、内積
( x , f ) = ∑ g ∈ G a g f ( g ) ∈ R {\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g)\quad \in R}
が矛盾なく定まる(右辺が実質有限和であることに注意せよ)。