数論的関数
が成立するとき、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の平均位数は ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} であるという。
従って、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} は、だいたい ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} がほぼ ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。
(3) 正規位数
任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して
( 1 − ε ) ψ ( n ) < a ( n ) < ( 1 + ε ) ψ ( n ) {\displaystyle (1-\varepsilon )\psi (n)<a(n)<(1+\varepsilon )\psi (n)\!}
が成立するとき、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の正規位数は ψ ( n ) {\displaystyle \psi (n)} であるという。
平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。 平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。
a ( n ) = ∑ j ≥ 0 a ( b j ( n ) q j ) {\displaystyle \scriptstyle a(n)=\sum _{j\geq 0}a(b_{j}(n)q^{j})} を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。
特に、q加法的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} が a ( b q j ) = a ( b ) {\displaystyle \scriptstyle a(bq^{j})=a(b)} ( j ≥ 0 , b = 0 , 1 , ... , q − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (j\geq 0,\ b=0,\ 1,\ldots ,\ q-1)} を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。
互いに素である正整数 m と n に対して、 f ( m n ) = f ( m ) f ( n ) {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)} が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。
つまり、
a ( n ) = ∏ p ; prime a ( p ν p ( n ) ) {\displaystyle a(n)=\prod _{p;\operatorname {prime} }a(p^{\nu _{p}(n)})}
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、 f ( m n ) = f ( m ) f ( n ) {\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)} が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
a ( n ) = ∏ p ; prime a ( p ) ν p ( n ) {\displaystyle a(n)=\prod _{p;\operatorname {prime} }a(p)^{\nu _{p}(n)}}
が成立する数論的関数である。