テンソル空間
↑ テンソルの order と後述する rank を混同してはならない。
↑ 反変テンソルや混合テンソルでも同様の式が満足される。とはいえ、内積が定義されているときなど多くの場合において区別は無関係である。
ベクトル空間 V とその双対空間 V とのテンソル積空間において、自然な「評価」写像
V ⊗ V ∗ → K ; v ⊗ f ↦ f ( v ) {\displaystyle V\otimes V^{*}\to K;\;v\otimes f\mapsto f(v)}
が存在する。この評価写像が引き起こすテンソル空間上の写像
T s r ( V ) → T s − 1 r − 1 ( V ) {\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V)}
はテンソルの縮約と呼ばれる。
, α n ) = T f ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ⊗ α 1 ⊗ ⋯ ⊗ α n ) {\displaystyle f(v_{1},\dots ,v_{m},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})=T_{f}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\otimes \alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{n})}
が成り立つ。
この普遍性を用いれば、(m, n)-型テンソル空間に対して自然同型
T n m ( V ) ≅ L ( V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V ; R ) ≅ L m + n ( V ∗ , ... , V ∗ , V , ... , V ; R ) {\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}\otimes V\otimes \dots \otimes V;\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V;\mathbb {R} )}
が得られる。特に、T 10 (V) ≅ L(V; R) ≅ V, T 01 (V) ≅ L(V; R) = V, T 11 (V) ≅ L(V; V) が成り立つ。