半双線型形式
1 2 ニコラ・ブルバキ 1970, p. 11。
↑ 「エルミート形式」という語はここで言う意味とは別の、エルミート多様体上のある種の微分形式のことを指すのにもつかわれる。
↑ ニコラ・ブルバキ 1970, p. 38。
B = A, G = A と取った(および特に E = F とした)準双線型写像は準双線型形式 (forme sesquilinéaire) と呼ばれる。(変換を右肩に載せる「冪記法」は群論ではよく用いられる)
ラインホルト・ベーア(英語版)は、自身の著書 Linear Algebra and Projective Geometry (1952) の 5 章において、上記の環 A として体 F をとり、F-線型空間 V と、逆転準同型 J として V 上の反線型写像 α を考えて得られる、V 上の半双線型形式を用いて互いに双対な線型多様体の特徴付けを行った。ベーアはこのような形式を A 上の α-形式と呼んだ。通常の半双線型形式は α が複素共軛であるときであり、また α が恒等写像ならば双線型形式が得られる。
*-環と呼ばれる代数構造において、逆転準同型は ∗ で表され、それによって構築される半双線型形式を考えることができる。そのようなものの特別の場合として、歪対称双線型形式、エルミート形式、歪エルミート形式はより広い文脈において考えることができる。
特にL-理論(英語版)において ε-対称形式という用語も見られ、ε = ±1 の場合として対称形式と歪対称形式が含まれる。同様に ε-エルミート形式(ε は A の中心元)において ε = 1 はエルミート形式、ε = −1 は歪エルミート形式に対応する。