代入法 (統計学)
平均値代入法は欠測データ以外のケースにおける平均値を用いて欠測データを置き換えるもので、その変数の標本平均を変更しないという利点がある。 しかし、平均値代入法では変数に代入される値が一定であって他の変数の影響を受けず、相関が減弱することが多変量分析において問題になる。
平均代入法は、クラス(性別などのカテゴリ)内で実行でき、 y ^ i = y ̄ h {\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\bar {y}}_{h}} ( y ^ i {\displaystyle {\hat {y}}_{i}} は i {\displaystyle i} 番目の記録の代入値、 y ̄ h {\displaystyle {\bar {y}}_{h}} はクラス h {\displaystyle h} 内の標本平均)として表すことができる。 一般化すると:
y ^ m i = b r 0 + ∑ j b r j z m i j + e ^ m i {\displaystyle {\hat {y}}_{mi}=b_{r0}+\sum _{j}{b_{rj}z_{mij}+{\hat {e}}_{mi}}}
ここで、 b r 0 , b r j {\displaystyle b_{r0},b_{rj}} は代入前のデータを用いて y {\displaystyle y} を x {\displaystyle x} で回帰することによって求められる。 z {\displaystyle z} はクラスのダミー変数である。 r {\displaystyle r} はデータあり、 m {\displaystyle m} はデータなしを示す 。
欠測データを処理する最も一般的な方法は、リストワイズ削除(完全ケース削除とも呼ばれる)である。リストワイズ削除では、欠測データのあるすべてのケースが削除される。
リストワイズ削除では、有効なサンプルサイズを減らすことで分析における検出力が低下する。例えば、1000のケースが収集され、80のケースに欠損値があった場合、リストワイズ削除後のサンプルサイズは 920 である。
欠測が完全には無作為でない場合(MAR または MNAR に相当)、リストワイズ削除後に残った標本は元の標本とは異なる、偏ったものになるため、母集団を代表するものではなくなる。
欠測が完全に無作為である場合(MCAR に相当)、リストワイズ削除を用いてもバイアスは増えないが、検出力の低下はまぬがれないし、そのような場合はそもそも稀である 。
ペアワイズ削除(または「使用可能ケース分析」)では、個々の分析において、その分析に必要な変数が欠測しているケースのみを削除する。欠測データがあるケースであっても、その分析に必要な変数が欠測していなければそのケースを含めて分析する。ペアワイズ削除を使用すると、個々の分析の標本数は一致しなくなる。 ペアワイズ削除では用いる変数によって標本数が減ったり減らなかったりするので、100%を超える相関などの数学的にありえない状況を招く可能性がある。
リストワイズ削除には多くの欠点があるものの、簡単に実装できることから、欠測データを処理する手法としてリストワイズ削除が最も広く用いられている。
マルコフ連鎖モンテカルロ法 multiple imputation by chained equations(MICE)が多重代入法ではよく用いられる手法で、fully conditional specification(FCS)や逐次回帰多重代入とも呼ばれる 。MICEは、欠測が無作為である(MAR)データセットに非常にうまく機能することが示されているが、シミュレーション研究を通じて、十分な数の補助変数または潜在変数(潜在クラス分析法により導出)を用いることで、欠測が無作為ではない(MNAR)データセットでも機能することが示唆されている 。
単一代入法では代入の不確実性を考慮しておらず、代入後にはデータが実際の値であるかのように扱われる。代入の不確実性を無視することで、結果のバラツキを過小評価したり、誤った結論に至る可能性がある 。多重代入法では、複数回代入することによって、不確実性と真の値がとったであろう範囲とを記述することができる。
さらに、単一代入法とリストワイズ削除の実装が簡単な場合もあるが、多重代入法の実装もそれほど難しくはない。多重代入法を簡単に実行できるような多様な統計パッケージが多様な統計ソフトウェアに実装されている。たとえば、MICEパッケージを使用すると、RのユーザーはMICEメソッドを使用して多重代入を実行できる。