反対称テンソル
( T a b c − T a c b + T b c a − T b a c + T c a b − T c b a ) {\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})}
と書ける。これはまた適当な階数の一般化されたクロネッカーのデルタ(英語版) を用いて、
M [ a b ] = 1 2 ! δ a b c d M c d , {\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},}
T [ a b c ] = 1 3 ! δ a b c d e f T d e f {\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}}
と書くことができる。これは一般に、p-次テンソル S に対して
S [ a 1 ... a p ] = 1 p ! δ a 1 ... a p b 1 ... b p S b 1 ... b p {\displaystyle S_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}S_{b_{1}\dots b_{p}}}
の形にまとめることができる。
数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して反対称 (antisymmetric) もしくは歪対称 (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、交代的 (alternating) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。係数体(英語版)の標数が 2 でないときこれら二つの概念は一致する(多重線型写像の項も参照)。
反対称: T...i...j... = −T...j...i...
交代: ik = ij ⇒ T...ik...ij... = 0
もう少し一般に、添字集合の部分集合 J に関して反対称(resp. 交代的)とは、J の任意の二元に関して反対称(resp. 交代的)となるときに言う。添字については、一般に共変添字 (covariant) も反変添字 (contravariant) も考えるものとする。例えば最初の三文字に関して反対称なテンソルとは
T i j k ... = − T j i k ...