ミルナーのK理論
体 F の K2 の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。
K ∗ M ( F ) := T ∗ F × / ( a ⊗ ( 1 − a ) ) . {\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a))\ .}
このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号 { a 1 , ... , a n } {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} を a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n {\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}} の像として定義すると、n = 2 は、シュタインバーグの記号(英語版)(Steinberg symbol)である。
テンソル代数のテンソル積は、 K ∗ M ( F ) {\displaystyle K_{*}^{M}(F)} を次数付き可換(英語版)(graded-commutative)である次数付き環とする積 K m × K n → K m + n {\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}} を導く。