微分作用素
L ∗ u = ( − 1 ) 2 D 2 [ ( − p ) u ] + ( − 1 ) 1 D [ ( − p ′ ) u ] + ( − 1 ) 0 ( q u ) = − D 2 ( p u ) + D ( p ′ u ) + q u = − ( p u ) ′′ + ( p ′ u ) ′ + q u = − p ′′ u − 2 p ′ u ′ − p u ′′ + p ′′ u + p ′ u ′ + q u = − p ′ u ′ − p u ′′ + q u = − ( p u ′ ) ′ + q u = L u {\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}
この作用素は、ストゥルム・リウヴィル理論で中心的な役割を果たし、そこではこの作用素の固有函数(固有ベクトルに対応)が考えられている。
最もよくある微分作用素は、微分をとる操作。変数 x について一階微分をとる作用素のよくある記法として
d d x , D , D x , ∂ x {\displaystyle {d \over dx},\quad D,\quad D_{x},\quad \partial _{x}}
などが挙げられる。より高次の、n-階微分をとる作用素は
d n d x n , D n , D x n {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}},\quad D^{n},\quad D_{x}^{n}}
などで書かれる。変数 x の函数 f の微分を
[ f ( x ) ] ′ f ′ ( x ) {\displaystyle [f(x)]'\quad f'(x)}
などで表すこともある。 記号 D を使うことは、ヘヴィサイドにより始められ、彼は微分方程式の研究の中で
∑ k = 0 n c k D k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}
の形の微分作用素を考えた。最も良く見かける微分作用素のひとつに、