多重解像度解析
閉部分空間の系列 { V j : j ∈ Z } ⊂ L 2 ( R ) {\displaystyle \left\{V_{j}:j\in \mathbf {Z} \right\}\subset L^{2}(\mathbf {R} )} が次の条件1〜5を満たすとき、 { V j } j ∈ Z {\displaystyle \left\{V_{j}\right\}_{j\in \mathbf {Z} }} は多重解像度解析を成すという。 A c {\displaystyle A^{c}} は A {\displaystyle A} の閉包を表す。
V j ⊂ V j + 1 , j ∈ Z {\displaystyle V_{j}\subset V_{j+1},\ j\in \mathbf {Z} }
∩ j ∈ Z V j = { 0 } , ( ∪ j ∈ Z V j ) c = L 2 ( R ) {\displaystyle \cap _{j\in \mathbf {Z} }V_{j}=\{0\},\ (\cup _{j\in \mathbf {Z} }V_{j})^{c}=L^{2}(\mathbf {R} )}
f ( x ) ∈ V j ⟺ f ( 2 x ) ∈ V j + 1 {\displaystyle f(x)\in V_{j}\Longleftrightarrow f(2x)\in V_{j+1}}
2次元の場合は、まず、関数 f j ( x , y ) {\displaystyle f_{j}(x,y)} をスケーリング関数 φ {\displaystyle \phi } で基底展開する。
f j ( x , y ) = ∑ k 1 ∑ k 2 c k 1 , k 2 ( j ) 2 j φ ( 2 j x − k 1 ) φ ( 2 j y − k 2 ) = ∑ k 1 ∑ k 2 c k 1 , k 2 ( j ) φ j , k 1 ( x ) φ j , k 2 ( y ) {\displaystyle f_{j}(x,y)=\sum _{k_{1}}\sum _{k_{2}}c_{k_{1},k_{2}}^{(j)}2^{j}\phi (2^{j}x-k_{1})\phi (2^{j}y-k_{2})=\sum _{k_{1}}\sum _{k_{2}}c_{k_{1},k_{2}}^{(j)}\phi _{j,k_{1}}(x)\phi _{j,k2}(y)}
φ j , k 1 ( x ) φ j , k 2 ( y ) {\displaystyle \phi _{j,k_{1}}(x)\phi _{j,k_{2}}(y)} に対して、
φ j , k 1 ( x ) {\displaystyle \phi _{j,k_{1}}(x)} は φ j − 1 , k 1 ( x ) {\displaystyle \phi _{j-1,k_{1}}(x)} と ψ j − 1 , k 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{j-1,k_{1}}(x)} に分解し、
信号 x {\displaystyle x} の離散ウェーブレット変換は、一組のフィルターを通すことによって計算される。ここではリフティングスキームではなく1989年に発表された手法を説明する。
下記の関係性を満たす y l o w [ k ] {\displaystyle y_{\mathrm {low} }[k]} と y h i g h [ k ] {\displaystyle y_{\mathrm {high} }[k]} を x [ k ] {\displaystyle x[k]} から計算するのが離散ウェーブレット変換である。j は入力依存の何らかの整数。 φ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} はスケーリング関数、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} はウェーブレット関数。
∑ k x [ k ] φ ( 2 j t − k ) = ∑ k y l o w [ k ] φ ( 2 j − 1 t − k ) + ∑ k y h i g h [ k ] ψ ( 2 j − 1 t − k ) {\displaystyle \sum _{k}x[k]\phi (2^{j}t-k)=\sum _{k}y_{\mathrm {low} }[k]\phi (2^{j-1}t-k)+\sum _{k}y_{\mathrm {high} }[k]\psi (2^{j-1}t-k)}
C言語による、CDF 9/7 ウェーブレット変換(JPEG-2000で利用)のリフティングを用いた高速な実装は、dwt97.c を参照。