特異ホモロジー
バウンダリ作用素の像は B n ( X ) = im  ( ∂ n + 1 ) {\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})} であり特異 n-バウンダリの群 (group of singular n-boundaries) と呼ばれる。
∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0} であることを示すことができる。そして X {\displaystyle X} の n {\displaystyle n} 次ホモロジー群は剰余群
H n ( X ) = Z n ( X ) / B n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X)}
で定義される。 H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)} の元はホモロジー類 (homology class) と呼ばれる。
X と Y がホモトピー同値な2つの位相空間であれば、すべての n ≥ 0 に対して、
H n ( X ) = H n ( Y ) {\displaystyle H_{n}(X)=H_{n}(Y)\,}
である。これはホモロジー群が位相的不変量であることを意味する。
とくに、X が連結可縮空間であれば、 H 0 ( X ) = Z {\displaystyle H_{0}(X)=\mathbb {Z} } を除いて、すべてのそのホモロジー群は 0 である。
特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明の概略は以下のようである。連続写像 f: X → Y は次の準同型を誘導する。
f ♯ : C n ( X ) → C n ( Y ) . {\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}
次のことが直ちにわかる。
∂ f ♯ = f ♯ ∂ , {\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}
すなわち f# はチェイン写像であり、次のホモロジーの準同型を得る。
f ∗ : H n ( X ) → H n ( Y ) . {\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}
f と g がホモトピー同値ならば f* = g* であることを示そう。