ポントリャーギン双対
局所コンパクト可換群 G がコンパクトとなることは、その双対群 G が離散群となることに同値である。逆に、G が離散群であるとき、かつそのときに限りG はコンパクトである。
G が局所コンパクトあるいは可換であるか否かに関わらず、任意の位相群 G に対してボーアコンパクト化が定義される。コンパクトアーベル群と離散アーベル群の間のポントリャーギン双対性を用いて、任意の局所コンパクト可換位相群のボーアコンパクト化を特徴付けることができる。G のボーアコンパクト化 B(G) とは、H を G と(抽象群として)同じ群構造をもつが位相を離散位相に取り替えたものとするとき、H のことをいう。包含写像
ι : H ↪ G ^ {\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow {\hat {G}}}
は連続準同型であるから、双対射
G ∼ G ^ ^ → H ^ {\displaystyle G\sim {\widehat {\hat {G}}}\to {\hat {H}}}
はコンパクト群への射で、これが必要な普遍性を満たすことは簡単に示せる。
双対群上のハール測度を適当な定数倍に取り替えることにより、フーリエ変換の G 上のコンパクト台連続函数の集合への制限が等距線型写像となるようにすることができる。またそれをユニタリ作用素 F : L μ 2 ( G ) → L ν 2 ( G ^ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}({\hat {G}})} に一意的に拡張することができる。ここで ν は双対群上のハール測度である。
コンパクトではない局所コンパクト群 G に対し、空間 L(G) は L(G) を含まないことに注意が必要である。したがって、そのような稠密集合への制限にはいくつかの技術的な手法を用いなければならない。
(Loomis, 1953) に従い、G および G のハール測度の組が互いに対応(随伴、同伴)するということを、それらの測度に関する積分の下フーリエ反転公式が成立するということによって定める。フーリエ変換のユニタリ指標は
∫ G | f ( x ) | 2 d μ ( x ) = ∫ G ^ | f ^ ( χ ) | 2 d ν ( χ ) {\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\hat {G}}|{\hat {f}}(\chi )|^{2}\,d\nu (\chi )}
が G 上のコンパクト台付き複素数値連続函数に対して成立することを含意している。
このフーリエ変換のユニタリ拡張を自乗可積分函数の空間上のフーリエ変換と考えることができる。双対群もそれ自身の逆フーリエ変換を持ち、それはフーリエ変換の逆変換(あるいはユニタリ性があるから随伴)として特徴付けられる。フーリエ反転公式の内容は次のように述べられる。
フーリエ変換をコンパクト台付き連続函数の空間へ制限したものの随伴作用素は逆フーリエ変換 L ν 2 ( G ^ ) → L μ 2 ( G ) {\displaystyle L_{\nu }^{2}({\hat {G}})\to L_{\mu }^{2}(G)} である。ここで G および G の測度は対応するものをとる。
G = R の場合、G = R であり、R における通常のフーリエ変換が
μ = ( 2 π ) − n / 2 × Lebesgue measure , {\displaystyle \mu =(2\pi )^{-n/2}\times {\mbox{Lebesgue measure}},}
ν = ( 2 π ) − n / 2 × Lebesgue measure {\displaystyle \nu =(2\pi )^{-n/2}\times {\mbox{Lebesgue measure}}}
と置くことにより得られる。G = T の場合は双対群 G は自然に正数全体の成す加法群 Z に同型であり、上述の作用素 F は周期函数のフーリエ級数の係数の計算に特殊化される。
G が有限群ならば離散フーリエ変換が得られる。この場合は直接証明するほうが簡単である。