代数多様体
と定義する。このとき、行列の階数が n − r 以下である事は、全ての (n − r + 1)-次の正方小行列の行列式が 0 になることなので、
V ( r ) = { p ∈ V ∣ δ ( p ) ⩾ r } {\displaystyle V(r)=\{p\in V\mid \delta (p)\geqslant r\}}
は V のザリスキー位相の閉集合になる。すなわち、δ はザリスキー位相に関して上半連続である。このことから、δ の最小値を d とすると、 Vsm = V \ V(d + 1) は開集合となる。V の点 p が Vsm に入るとき、V は p で非特異 (non-singular, regular)、あるいは、滑らか (smooth) であるという。V = Vsm となるとき、V は非特異であるという。
点 p でのザリスキ接空間は、座標環 A(V) の点 p に対応する極大イデアル m を用いて、
T p V = ( m / m 2 ) ∨ {\displaystyle T_{p}V=(m/m^{2})^{\vee }}
と書ける。従って、接空間や関数 δ は V の「入れ物」となるアフィン空間の取り方によらない。更に、上に現れた δ の最小値 d は実は V の次元にほかならない。
本節の内容については体上有限生成環の理論も参照。
「概説」の節で述べたアフィン代数多様体の定義を、多項式環のイデアルの観点から整理すると以下のようになる。多項式環 k[x1, ..., xn] の任意のイデアル I に対して V(I) を
V ( I ) = { ( a 1 , ... , a n ) ∈ A k n ∣ f ( a 1 , ... , a n ) = 0 , ( ∀ f ∈ I ) } {\displaystyle V(I)=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {A} _{k}^{n}\mid f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0,\;(\forall f\in I)\}}
で定める。ヒルベルトの基底定理によれば、体上の多項式環はネーター環であるので、任意のイデアル I は有限生成であり、 V(I) は既述の意味でのアフィン代数的集合になる。いま、
(Z1) V ( 0 ) = A k n , V ( k [ x 1 , ... , x n ] ) = ∅ {\displaystyle V(0)=\mathbb {A} _{k}^{n},\quad V(k[x_{1},\ldots ,x_{n}])=\emptyset }
(Z2) V ( I ) ∪ V ( J ) = V ( I J ) {\displaystyle V(I)\cup V(J)=V(IJ)}
V が A m n {\displaystyle \mathbb {A} _{m}^{n}} の中の超曲面である、すなわち、ひとつの方程式で定義されるアフィン代数多様体であるときは、d = n − 1 = trans. deg k k(V) は明らかである。一般の V に対しては、ネーターの正規化補題によって、V は A k d + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d+1}} の中の超曲面と双有理同値になる。双有理同値で、d も関数体の超越次数も不変であるから、一般のアフィン代数多様体に対して d = dim V が言える。このことから、一般の代数多様体に対してもその点における非特異性が矛盾なく定義される。
ネーター局所環 (A, m) に対して、dim A をそのクルル次元として、関係式
dim  A = dim  ( m / m 2 ) ∨ {\displaystyle \dim A=\dim(m/m^{2})^{\vee }}
が成り立つとき、A は正則局所環であるという。従って、代数多様体 X がその点 p で非特異であることは、p を含む X のアフィン開部分多様体の座標環の点 p に対応する極大イデアルの局所化が正則局所環である事と言い換えられる。非特異性をこのように言い換える事によって非特異性は一般の(局所ネーター的)スキームに拡張される。
代数的閉でない体上では「点が足りない」ために点集合としての代数的集合は十分な情報を持たないが、座標環は純代数的に定義できるので、体が代数的閉であるか否かにかかわらず多項式系の情報を正しく反映する。
以上のような状況から、グロタンディークは、点集合としての代数的集合を環のスペクトラムとよばれる、環の素イデアル全体のなす位相空間に置き換えることによって、閉体上の有限生成整域だけでなく、任意の可換環に対して代数幾何学の対象となりうる図形を定義した(アフィンスキーム)。一般のスキームはアフィンスキームの貼り合わせとして定義される。アフィンスキーム上の関数(すなわちもとの可換環の元)はアプリオリには局所的に定義されたものではないが、局所化の理論を用いて可換環の層を対応させ、アフィンスキームの貼り合わせである一般のスキームを環付き空間として定義する多変数複素解析のアイデアが用いられた。このことにより、代数幾何学の幾何学的アイデアが整数論の問題にまで(原理的には)直接適用可能になるなど、代数幾何の応用範囲が大きく広がる事となった。詳しくは概型の項を参照。
スキーム論的な言語では、代数多様体とは(代数的閉とは限らない)「体 k 上の既約で被約な有限型スキーム」と定義される。代数多様体の性質を調べるにあたっては、代数的閉体 k 上の代数多様体を考える場合でさえも、今日ではスキーム論の枠組み・概念を用いるのが最も効率的であると信じられており、また、しばしば本質的でさえある。