固有振動
波動方程式を解くために、変数分離法を用いる。 関数y(x,t)がxの関数X(x)とtの関数T(t)の積の形で表されると仮定して
y ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) {\displaystyle y(x,t)=X(x)T(t)} ... (3-5)
とおく。(3-5)を(3-4)に代入して整理し、両辺をX(x)T(t)でわると
1 X ( x ) ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = 1 v 2 T ( t ) ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 {\displaystyle {1 \over {X(x)}}{\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}T(t)}}{\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}} ... (3-6)
このとき左辺はxのみの関数、右辺はtのみの関数であり、xとtは独立変数である。両辺が等しいということは両辺の値が定数であるということになる。この定数をKとおくと(3-6)から
∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − K X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-KX(x)=0} ... (3-7)
∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 − K v 2 T ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}-Kv^{2}T(t)=0} .
X(x)は任意の関数であるから α 2 − k 2 = 0 {\displaystyle {\alpha }^{2}-k^{2}=0} を考える。つまり α = ± k {\displaystyle \alpha =\pm k} である。したがって解は X ( x ) = e k x {\displaystyle X(x)=e^{kx}} と X ( x ) = e − k x {\displaystyle X(x)=e^{-kx}} であり、またその線形結合の X ( x ) = C 1 e k x + C 2 e − k x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{kx}+C_{2}e^{-kx}} も解である。 k = K {\displaystyle k={\sqrt {K}}} から
X ( x ) = C 1 e K x + C 2 e − K x ( C 1 , C 2 {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}\quad (C_{1},C_{2}} は定数)
iii)K<0のとき
実数の定数k用いて K = − k 2 {\displaystyle K=-k^{2}} とすると
質量mの物体を一端を固定したばね定数kのばねの他端に取り付けて、摩擦の無い水平面上に置く。 右向きを正にx軸をとり、ばねが自然長の時の物体の位置を0とする。 物体を正の向きに移動させるとばねが伸び、負の向きに移動させるとばねは縮む。 いずれもばねはフックの法則に従うため、物体の変位をx、物体がばねから受ける力をFとすると
F = − k x {\displaystyle F=-kx} ... (1-1)
が成り立つ。また物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、 ニュートンの運動方程式は
m d 2 x d t 2 = F {\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F} ... (1-2)
である。 (1-1)と(1-2)から
m d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx} ... (1-3)
を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は
x = A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle x=A\sin(\omega t+\phi )} ... (1-4)
となる。ただし A , ω , φ {\displaystyle A,\omega ,\phi } は定数で ω = k / m {\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}} である。 このときのωがばね-質量系の固有角振動数である。
「弦に関する波動方程式の解法」と同様にして変数分離法で波動方程式を解いていくと、xについての方程式は次の解を得る。
K=0のとき... X ( x ) = a x + b {\displaystyle X(x)=ax+b} ... (4-7)
K>0のとき... X ( x ) = C 1 e K x + C 2 e − K x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}} ... (4-8)
K<0のとき... X ( x ) = C 3 cos  − K x + C 4 sin  − K x {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}} ... (4-9)
一端が閉口で他端が開口の管の場合
ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。左端が閉口で右端が開口な長さ l {\displaystyle l} の管について考えると、左端が閉口による条件は y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} 、右端が開口による条件は P ( l , t ) = 0 {\displaystyle P(l,t)=0} つまり ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} 。
線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦に関して、 v = T / ρ {\displaystyle v={\sqrt {T/\rho }}} とおくと
∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}
の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、
y n ( x , t ) = A n sin  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} ...