円周群
により、上記の群準同型写像は同相である。またこの指数写像は明らかに R から T への全射となるが、単射でなく、準同型の核は 2π の整数倍全体の成す集合となるから、第一同型定理により
T ≅ R / 2 π Z {\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }
を得る。角度にスケール変換を施せば T ≅ R/Z も同様に言える。
複素数は実二次正方行列としても実現できる(複素数#行列表現を参照)。そのとき単位複素数は行列式 1 の直交行列に対応する。具体的には
e i θ ⟷ ( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) {\displaystyle e^{i\theta }\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
と対応する。したがって、円周群は二次の回転群 SO(2) に同型である。この同型を幾何学的に解釈すれば、単位複素数による乗法は複素数平面上の通常 (proper) の回転を与え、またそのような回転はこの形に書けるということを表している。