冪級数
ただし N {\displaystyle \mathbb {N} } は自然数全体の集合であり、したがって N n {\displaystyle \mathbb {N} ^{n}} は順序付けられた n 個の自然数の組全体の集合である。
そのような級数の理論は一変数の級数よりもトリッキーで、収束域は複雑である。例えば、冪級数 ∑ n = 0 ∞ x 1 n x 2 n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}} は2つの双曲線の間の集合 { ( x 1 , x 2 ) : | x 1 x 2 | < 1 } {\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}} で絶対収束する。(これは log 凸集合の例である、つまり ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} が上の領域に属するときの点 ( log  | x 1 | , log  | x 2 | ) {\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)} 全体の集合は凸集合である。より一般に、c = 0 のとき、絶対収束領域の内部は常にこの意味で log 凸集合であることを示すことができる。)一方、この収束領域の内部では、通常の冪級数のときとまったく同様に、項別に微分・積分ができる。