コンパクト群
リー群でない群、したがって多様体の構造を持たない群の中で、例は p 進整数のなす加法群 Zp やそれから構成されるものである。実は任意の射有限群はコンパクト群である。これはガロワ群がコンパクト群であることを意味し、無限次の代数拡大の理論にとって基本的な事実である。
ポントリャーギン双対性により可換コンパクト群の例がたくさん与えられる。これらは可換離散群と双対である。
コンパクト群論の非コンパクト群への影響はワイルのユニタリトリック(英語版)によって定式化された。一般の半単純リー群の中には極大コンパクト部分群があり、そのような群の表現論は、多くがハリシュ゠チャンドラ(英語版)によって発展されたが、表現のそのような部分群への制限(英語版)やワイルの指標の理論のモデルを集中的に用いる。