ケイリー・ハミルトンの定理
特に A の行列式は c0 であるから、トレースを含む表示(トレース恒等式(英語版))として
det ( A ) = 1 n ! B n ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! s n ) {\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n})}
と書ける。同様に、
A − 1 = 1 det A ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) n + k − 1 A n − k − 1 k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\dfrac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})}
なる表示もできる。
例えば、ベル多項式の最初の方は B0 = 1, B1(x1) = x1, B2(x1, x2) = x 21 + x2, B3(x1, x2, x3) = x 31 + 3x1x2 + x3, ... であるから、これらを用いて 2次の場合の固有多項式の係数 ci を具体的に計算すれば
c 2 = B 0 = 1 , c 1 = − 1 1 !
B n − 1 = I n , B i − 1 − A B i = c i I n ( i = 1 , ⋯ , n − 1 ) , − A B 0 = c 0 I n {\displaystyle {\begin{aligned}&B_{n-1}=I_{n},\\&B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\qquad (i=1,\cdots ,n-1),\\&-AB_{0}=c_{0}I_{n}\end{aligned}}}
を得る。これにそれぞれ(比較に用いた t に応じて)A を掛けて足し合わせた
p ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + c 0 I n = A n B n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 ( A i B i − 1 − A i + 1 B i ) − A B 0 {\displaystyle {\begin{aligned}p(A)&=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}\\&=A^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}\end{aligned}}}
は畳み込み和として全ての項が打ち消し合うから、p(A) = O となる。(証明終)
固有値が重複を持つ場合、つまり適当な i ≠ j に対して λi = λj となるものが存在するとき、上記の方程式系は少なくとも2つの方程式が一致してしまうから、それにより方程式系を一意に解くことができない。そのような場合には、固有値 λ の重複度が m とすれば、p(x) の m − 1 階までの導函数がその固有値において消えるから、線型独立な方程式
d k f ( x ) d x k | x = λ = d k r ( x ) d x k | x = λ ( ∀ k = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ) {\displaystyle {\frac {d^{k}f(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }={\frac {d^{k}r(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }\qquad (\forall k=1,2,\cdots ,m-1)}
を新たに m − 1 本追加して、係数 ci を決めるのに必要な n 個の方程式系を得ることができる。
全ての点 (λi, f(λi)) を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、シルベスターの公式(英語版)が導かれる。