非有界作用素
非有界作用素の共役(adjoint)の定義には、二つの同値な方法がある。
一つ目として、有界作用素の共役を定義するときに用いられるものと同様な方法がある。すなわち、T の共役 T : H2 → H1 は、次の性質を持つような最大の作用素として定義される:
⟨ T x ∣ y ⟩ 2 = ⟨ x ∣ T ∗ y ⟩ 1 , ( x ∈ D ( T ) ) . {\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid T^{*}y\rangle _{1},\quad (x\in D(T)).}
T のより正確な定義は以下のようにする。ベクトルy が、 x ↦ ⟨ T x , y ⟩ {\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle } が T の定義域上の連続線型汎関数となるようなものであるならば、この汎関数を全空間へと拡張したのち、
⟨ T x ∣ y ⟩ 2 = ⟨ x ∣ z ⟩ 1 , ( x ∈ D ( T ) ) {\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\quad (x\in D(T))}
を満たすような z を見つけることが可能である。なぜならば、ヒルベルト空間上の線型汎関数の集合は、内積によってもとの空間自身と同一視できるからである。このような y それぞれに対して、上の条件を満たすz が一意に定められることと、対応する線型汎関数が稠密に定義されていること、すなわち T が稠密に定義されていることは必要十分である。
このとき、Ty = z とすることによって、T が定められる。このようにしてT の値がひとつに定まるためには、T が稠密に定義されていることが必要十分であることに注意されたい。
定義により、T の定義域は、 x ↦ ⟨ T x , y ⟩ {\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle } が T の定義域上で連続となるような元 y ∈ H 2 {\displaystyle y\in H_{2}} からなることが分かる。したがって、T の定義域はどのようなものでもあり得、例えば自明(すなわち、ゼロのみを含む)であるようなこともある。T の定義域は、閉超平面で、その定義上至るところで T が消失することもあり得る。 したがって、定義域上での T の有界性は、必ずしも T の有界性を意味しない。一方で、もし T が全空間で定義されるなら、T はその定義域上で有界であり、したがって連続性により全空間上の有界作用素へと拡張することが出来る。もし T の定義域が稠密であるなら、それには共役 T が存在する。稠密に定義された閉作用素 T が有界であることの必要十分条件は、T が有界であることである。
共役作用素のもう一つの同値な定義は、グラフの直交空間を取ることにより得られる。線型作用素 J : H 1 ⊕ H 2 → H 2 ⊕ H 1 {\displaystyle J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}} を、 J ( x ⊕ y ) = − y ⊕ x {\displaystyle J(x\oplus y)=-y\oplus x} によって定義する。