スペクトル (関数解析学)
定義からただちに、有界作用素としての S が逆作用素を持たないことが導かれる。領域 D は X の真部分集合であってもよいので、表現
( T − λ ) S = I X {\displaystyle \,(T-\lambda )S=I_{X}}
は、Ran(S) が D に含まれる場合にのみ意味を持つ。同様に、
S ( T − λ ) = I D {\displaystyle \,S(T-\lambda )=I_{D}}
は D ⊂ Ran(S) であることを意味する。したがって、λ が T のレゾルベント集合に含まれることは、
T − λ I : D → X {\displaystyle T-\lambda I\colon D\to X}
が全単射であることを意味する。
この逆は、T を有界とする仮定を加えれば成り立つ。閉グラフ定理により、T − λ: D → X が全単射なら、この(代数的)逆写像は必ず有界な作用素となる(X の完備性が閉グラフ定理の適用に必要であることに注意されたい)。したがって、有界な場合と異なり、複素数 λ が T のスペクトルに含まれる条件は、純粋に代数的なものとなる。すなわち、閉じた T に関して、T - λ が全単射でないならば、λ は T のスペクトルに含まれる。