二項係数
が等しいことに注意すれば、二項係数を下降階乗冪を用いて
( f k ) = ( f ) k k ! = ( f − k + 1 ) ⋯ ( f − 2 ) ⋅ ( f − 1 ) ⋅ f 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋯ k {\displaystyle {\binom {f}{k}}={\frac {(f)_{k}}{k!}}={\frac {(f-k+1)\cdots (f-2)\cdot (f-1)\cdot f}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}}}
と書くとき、対応する多重集合係数は下降階乗冪を対応する上昇階乗冪で置き換えた
( ( r k ) ) = r ( k ) k ! = r ⋅ ( r + 1 ) ⋅ ( r + 2 ) ⋯ ( r + k − 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋯ k {\displaystyle \left(\!\!{\binom {r}{k}}\!\!\right)={\frac {r^{(k)}}{k!}}={\frac {r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdots (r+k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}}}
として与えられる。
(nk) に関して以下の評価
( n k ) k ≤ ( n k ) ≤ n k k ! ≤ ( n ⋅ e k ) k {\displaystyle \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}
が 1 ≤ k ≤ n に対して成立する。スターリングの近似からは √n (2nn) ≥ 2, 一般に
n ( m n n ) ≥ m m ( n − 1 ) + 1 ( m − 1 ) ( m − 1 ) ( n − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {n}}{\binom {mn}{n}}\geq {\frac {m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}}}
が m ≥ 2 かつ n ≥ 1 に対して成立する。また n → ∞ のとき近似
( 2 n n ) ∼ 4 n π n {\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}
が成り立つ。n, k がともに 1 より十分大きければスターリング近似からは以下の漸近近似
log 2  ( n k ) ∼ n H ( k n ) {\displaystyle \log _{2}{\binom {n}{k}}\sim nH\left({\frac {k}{n}}\right)}
が成り立つというものである。n < N なる二項係数 (nk) の総数は 1/2N(N + 1) であるから、これは d で整除可能なものの占める密度が 1 に収束することを意味する。
別の事実として、整数 n ≥ 2 が素数となる必要十分条件は、中間二項係数
( n 1 ) , ( n 2 ) , ... , ( n n − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}
の全てが n で整除可能なことである。実際、p が素数ならば、0 < k < p なる任意の k に対して p は
( p k ) = p ⋅ ( p − 1 ) ⋯ ( p − k + 1 ) k ⋅ ( k − 1 ) ⋯ 1 {\displaystyle {\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}}
を割り切る。これは分子は素因数 p を含むが分母は p を素因数に持たないことによる。
t を不定元として、任意の非負整数 k に対して式
( t k ) = ( t ) k k ! = ( t ) k ( k ) k = t ( t − 1 ) ( t − 2 ) ⋯ ( t − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 2 ⋅ 1 {\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}}
は t に関する有理係数多項式である。この意味において、t には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。
各 k に対し、多項式 (tk) は p(0) = p(1) = ...
二項係数の q-類似はガウスの二項係数(英語版)と呼ばれる。
ガンマ函数やベータ函数を用いて
( x y ) = Γ ( x + 1 ) Γ ( y + 1 ) Γ ( x − y + 1 ) = 1 ( x + 1 ) B ( x − y + 1 , y + 1 ) {\displaystyle {\binom {x}{y}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (x-y+1,y+1)}}}
と書けば、二項係数の2つの引数を任意の実数または複素数まで一般化することができる。この定義においてガンマ函数の性質を用いれば、
( x y ) = sin  ( y π ) sin  ( x π ) ( − y − 1 − x − 1 ) = sin  ( ( x − y ) π ) sin  ( x π ) ( y − x − 1 y ) {\displaystyle {\binom {x}{y}}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {-y-1}{-x-1}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {y-x-1}{y}}}
が満たされることも分かる。特に
( x y ) ⋅ ( y x ) = sin  ( ( x − y ) π ) ( x − y ) π {\displaystyle {\binom {x}{y}}\cdot {\binom {y}{x}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}}
( z + k k ) ≈ e z ( H k − γ ) Γ ( z + 1 ) {\displaystyle {\binom {z+k}{k}}\approx {\frac {e^{z(H_{k}-\gamma )}}{\Gamma (z+1)}}}
にも表れている。ここに、Hk は k番目の調和数で、γ はオイラー–マスケローニ定数である。さらに、k → ∞ かつ適当な複素数 x に対して j/k → x なるとき、漸近公式
( z + k j ) ( k j ) → ( 1 − j k ) − z , ( j j − k ) ( j − z j − k ) → ( j k ) z {\displaystyle {\frac {\binom {z+k}{j}}{\binom {k}{j}}}\to \left(1-{\frac {j}{k}}\right)^{-z},\quad {\frac {\binom {j}{j-k}}{\binom {j-z}{j-k}}}\to \left({\frac {j}{k}}\right)^{z}}
が成り立つ。
二項係数の和について、二項定理を用いると
∑ i = 0 k ( n i ) ≤ ∑ i = 0 k n i ⋅ 1 k − i = ( 1 + n ) k {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq \sum _{i=0}^{k}n^{i}\cdot 1^{k-i}=(1+n)^{k}}
という単純で粗い上界が得られる。
1852年、クンマーは非負整数 m, n および素数 p に対し、(m + nm) を整除する最大の p-冪が p であるとき、c は m と n を加えるときに生じる p-進表示における繰り上がりの数に等しいことを示した。同じことだが、(nk) における素因子 p の冪指数は k⁄p の小数部 が n⁄p の小数部よりも大きくなるような非負整数 j の総数に等しい。これにより、(nk) が n⁄gcd(n,k) で割り切れることが導かれる。したがって特に、任意の正整数 r および s < p なる正整数 s に対して p は (ps) を割り切る。しかしより高次の p-冪に対してこれは正しくない(例えば 9 は (96) を割り切らない)。
Singmaster (1974) は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数 d を固定して、f(N) は n < N なる二項係数 (nk) のうち d で割り切れるものの総数を表すものとすると、
lim N → ∞ f ( N ) N ( N + 1 ) / 2 = 1 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {f(N)}{N(N+1)/2}}=1}