平均寿命
素粒子や放射性核種などでは、平均寿命はそれらが自然対数の底の逆数まで減少するのにかかる時間のことであり、下に示すように崩壊定数 λ とは逆数の関係にある。また、半減期とは平均寿命に比例関係あり、平均寿命の ln(2) ≈ 0.693 倍が半減期に相当する。
平均寿命を τ、崩壊定数を λ として示すと次式になる。
τ = ∫ 0 ∞ e − λ t d t {\displaystyle \tau =\int _{0}^{\infty }e^{-{\lambda }t}dt}
この定積分は広義積分であるから
F ( ∞ ) − F ( 0 ) = lim t → ∞ − 1 λ e − λ × t − ( − 1 λ e − λ × 0 ) {\displaystyle F(\infty )-F(0)=\lim _{t\rightarrow \infty }{-{\frac {1}{\lambda }}}e^{-\lambda \times t}-(-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda \times 0})}
これを計算すると
0 + 1 λ = 1 λ = τ {\displaystyle 0+{\frac {1}{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}=\tau }
と平均寿命との関係が得られた。あるいは半減期の導出同様、平均寿命が経過すると自然対数の底の逆数にまで減少する関係から