自然変換
自然変換(しぜんへんかん、英: natural transformation)とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。
関手 F, G : C → D の間の自然変換 τ : F ⇒ G は、よい条件を満たす C の各対象によってパラメータ付けられた射の族 {τx: Fx → Gx}x ∈ C によって構成される。逆に、C の各対象によってパラメータ付けられた族 {τx: Sx → Tx}x ∈ C が関手の間の自然変換を構成する場合、射の族 {τx}x ∈ C は x で自然である (natural in x) とも表現される。
自然変換は圏や関手と並んで非常に基本的な構成物であり、随伴、極限、モナド、モノイド圏など多くの場面で自然変換、あるいは射の自然性は議論されている。
小さい集合の圏 Set へのHom関手 C(_, _) : C × C → Set を持つ圏 (すなわち、局所的に小さい圏) C に対して、C の対象 A ∊ C を用いて C(A, _) : C → Set や C(_, A) : C → Set で表される関手、またはこれらと自然同型な関手を表現可能関手と呼ぶ。表現可能関手 F : C → Set は定義から自然同型 τ : C(A, _) ≅ F を (ある A ∊ C に対して) 持つ。これはすなわち、全ての F の値 FX は、A ∊ C からのある射と1対1対応するということである。このことは、米田の補題と呼ばれる次の主張に一般化される。
米田の補題 ― 局所的に小さい圏 C からの集合値関手 F : C → Set と対象 A ∊ C に対して、C(A, _) から F への自然変換の集合 Nat(C(A, _), F) と集合 FA の間に全単射が存在して、この写像は自然変換 α : C(A, _) ⇒ F を恒等射の像 αA(1A) に写す。
米田の補題は圏論において最も重要な結果であるとも評され、様々な帰結をもたらすとても基礎的な補題である。
自然変換の垂直合成 τ ⋅ σ {\textstyle \tau \cdot \sigma } と水平合成 τ ∗ σ {\textstyle \tau *\sigma } に対して、相互交換法則 (interchange law) と呼ばれる次の等式が成り立つ。
圏、関手と自然変換は、圏よりも高次の2次元的な構造を与える。このような構造を (ストリクト) 2-圏(英語: Strict 2-category)と呼び、小さな圏の圏 Cat (に自然変換を構造として付加したもの) は2-圏の代表的な例である。