グリーンの恒等式
∫ U ( ψ Δ φ − φ Δ ψ ) d V = ∮ ∂ U ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S . {\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}
上式において ∂φ/∂n は φ の、面素 dS に対する外向き法線ベクトル n の方向での方向微分である。すなわち
∂ φ ∂ n = ∇ φ ⋅ n = ∇ n φ {\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi }
である。このことは特に、境界上で消失する函数に対する L2 内積において、ラプラシアンは自己共役であることを意味する。
{\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}
この系として、整理されていない項はベクトルグリーン函数との比較によって発散に関して書くことが出来る:
P ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ Q ) ] − Q ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ P ) ] = ∇ ⋅ [ P ( ∇ ⋅ Q ) − Q ( ∇ ⋅ P ) ] . {\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}
この結果は、右辺のベクトルのスカラー倍の発散を拡張することで確かめることが出来る。
∑ m p m ∇ q m = ( P ⋅ ∇ ) Q + P × ∇ × Q , {\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} ,}
∑ m q m ∇ p m = ( Q ⋅ ∇ ) P + Q × ∇ × P . {\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .}
これらの結果は、ベクトル成分の評価を介して厳密に証明することも出来る。以上より、右辺は次のようなベクトル形式で表される。
∑ m p m ∇ q m − ∑ m q m ∇ p m = ( P ⋅ ∇ ) Q + P × ∇ × Q − ( Q ⋅ ∇ ) P − Q × ∇ × P . {\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .