定義可能実数
ペアノ算術のような算術の形式的理論による定義可能性もある。
算術の言語は 0、1、後続者関数、足し算、掛け算を表す記号を持ち、それらは自然数上での通常の解釈がされることを想定している。 実数 a {\displaystyle a} が算術において定義可能である (または算術的である) とは、 そのデデキント切断がその算術の言語の述語として定義できることである。 すなわち、算術の言語における一階の式 φ {\displaystyle \varphi } で自由変数を3つ持つもので、
となるものが存在すること。ここでm,n,pは正の整数の上を動くものとしている。
second-order language of arithmeticは一階算術の言語に加えて、 自然数全体の部分集合全てをわたる量化記号と変数を使用するものである。 実数が二階算術で定義可能であるときそれを解析的であるという.
全ての計算可能実数は算術的である。算術的実数は実数の部分体を成しており、解析的実数も同様である。 全ての算術的数は解析的であるが、解析的数で算術的でないものが存在する。 解析的数は可算個しかないので、ほとんどの実数は解析的でなく、算術的でもない。
Specker sequenceの極限は、計算可能ではないが解析的な実数の一例である。
算術的実数と解析的実数の定義は算術的階層と解析的階層の中で階層化することができる。 一般に、実数が計算可能であることと、そのデデキント切断が算術的階層の最下層にある Δ 1 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{0}} に位置することは同値である。 同様に、算術的なデデキント切断で定義される実数の集合は解析的階層の最下層を構成する。