ポアソン方程式
より一般的には、n次元空間R(n ≧3)の有界領域Ωでf (ξ1,...,ξn)が1階連続微分可能とすると、
u 0 ( x 1 , ⋯ , x n ) = − Γ ( n 2 ) 2 ( n − 2 ) π n 2 ∫ ⋯ ∫ Ω f ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) r 2 − n d ξ 1 ⋯ d ξ n ( r = ( ξ 1 − x 1 ) 2 + ⋯ + ( ξ n − x n ) 2 ) {\displaystyle u_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})=-{\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{2(n-2)\pi ^{\frac {n}{2}}}}\int \cdots \int _{\Omega }f(\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})r^{2-n}\,d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}\quad (r={\sqrt {(\xi _{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(\xi _{n}-x_{n})^{2}}})}
で与えたu0(ξ1,...,ξn)は、Ωの内部で2階連続微分可能で
Δ u 0 ( x 1 , ⋯ , x n ) = f ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \Delta u_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},\cdots ,x_{n})\,}
を満たす。