ロワの恒等式
ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。
間接効用関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} は、次のラグランジュの関数
L = u ( x 1 , x 2 ) + λ ( w − p 1 x 1 − p 2 x 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}
で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、包絡線定理(英語版)より、目的関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は
ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 ( i {\displaystyle i} ) についての需要関数を得るためにシェパードの補題(英語版)を書き直したものである。
まず、間接効用関数 v ( p , w ) {\displaystyle v(p,w)} の変数である富ないし所得 w {\displaystyle w} に、支出関数(英語版)(expenditure function)を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用は u {\displaystyle u} で表している:
v ( p , e ( p , u ) ) = u {\displaystyle v(p,e(p,u))=u}
この等式は、価格の一覧(価格ベクトル p {\displaystyle p} )と、その価格の下で効用 u {\displaystyle u} を得るために必要な最小限の支出 e ( p , u ) {\displaystyle e(p,u)} に対して、得られる効用(間接効用関数の返り値)は u {\displaystyle u} である、という意味である。
(効用の水準を一定に保ったまま)等式の両辺をある単一の財の価格 p i {\displaystyle p_{i}} で偏微分すると