境界要素法
離散化に用いる要素や節点の数、場の変数の評価点の数が小さくなれば、最終的に得られる代数方程式(多元連立(一次)方程式)の規模(元数、未知量の総数)も小さくなる。線形問題・非線形問題を問わず、汎用の離散化解析手法では支配方程式を最終的に連立一次方程式に帰着させ、この方程式の解から近似解を構成するため、連立方程式の元数の大小は解析時の計算負荷(使用メモリ、計算時間)に直結する。当然のことながら、問題の規模を小さくすれば、計算負荷はより小さく抑えられることになる。
上で示した近似関数を境界積分方程式に代入すると、次の残差方程式を得る。
R ( ξ ) := c ( ξ ) u ~ ( ξ ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ ) u ~ ( x ) d Γ x − ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ ) q ~ ( x ) d Γ x ≠ 0. {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}):=c({\boldsymbol {\xi }}){\tilde {u}}({\boldsymbol {\xi }})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}){\tilde {u}}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}){\tilde {q}}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\neq 0.}
近似関数をN 個の補間関数を用いて定義したことに注意して、残差方程式に対して次のいずれかの条件を課し、N 個の(積分)方程式を導出する。
境界上にN 個の代表点(選点)ξi (i = 1, 2, ... , N ) を置き、この各点で残差について R ( ξ i ) = 0 {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}_{i})=0} であることを求める(選点法)。
N 個の補間関数φi (i = 1, 2, ... , N ) と残差方程式との境界積分を考え、各々が全て 0 となることを求める(ガラーキン法(英語版))。
先に述べた選点法で積分方程式を代数方程式に置き換える場合、次の境界積分の計算が必要となる。
∫ Γ u ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ x , ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ x . {\displaystyle \int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x},\quad \int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}.}
これらの積分は、被積分関数u , q が x = ξi で無限大となる特異性がある。