アポロニウスの円束
あるいは別の方法として、ふたつの円束の直交性を根軸の定義性質—一つの束 P の根軸上の任意の点 X から P に属する任意の円への接線の長さは全て等しい—から知ることもできる。X を中心としそれら接線の長さに等しい半径を持つ円は、P に属するすべての円と垂直に交わることが、この定義性質から従う。根軸上の点すべてで同じことを行えば P に直交する円からなる円束が得られる。
より一般に、任意の円束に対して、それに属するすべての円と直交する円全てからなる円束が一意に存在する—そのような二つの円束は互いに共軛であるという 。与えられた円束が楕円型ならばその共軛円束は双曲型であり、逆もまた然り—この場合においてそれら二つの円束は Apollonian circles を成す。抛物型円束の共軛円束はまた抛物型である—この共軛円束は、その共通接点はもとの円束のそれと一致するが、共通接線はもとの円束のそれと共通接点において直交する。