シュワルツシルト解
d s 2 = [ 1 + ( d w d r ) 2 ] d r 2 + r 2 d φ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left[1+\left({\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}
これをある固定時間の下 (t = const., dt = 0) での赤道面 (θ = π/2) におけるシュワルツシルト計量での距離
d s 2 = ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 + r 2 d φ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}
と比較すると、w(r) の積分表式は次のように書けることがわかる。
w ( r ) = ∫ d r r r s − 1 = 2 r s r r s − 1 + constant {\displaystyle w(r)=\int {\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{s}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}
この解がフラムの双曲面である。
シュワルツシルト解の R > rs における空間曲率を左図のように図示することができる。シュワルツシルト解の一定時間・赤道面 (θ = π/2, t = const.) における断面を考える。この平面上を運動する粒子の位置は残りのシュワルツシルト座標 (r, φ) により表わすことができる。ここにもうひとつ仮想のユークリッド次元 w(時空の一部ではない)を追加したところを想像してみよう。そして、(r, φ) 平面を w 方向に次のように窪んだ曲面(フラムの双曲面)と置き換える。
w = 2 r s ( r − r s ) . {\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}
この曲面は、その上で測る距離がシュワルツシルト計量により定義するものと一致するという性質を持つ。なぜなら、上記の w の定義により、次の式が成り立つ。
d w 2 + d r 2 + r 2 d φ 2 = − c 2 d τ 2 = d r 2 1 − r s r + r 2 d φ 2 {\displaystyle \mathrm {d} w^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}}