単体的ホモロジー
σ = (v0,...,vk)を向き付けられたk-単体とし、自由アーベル群C kと基底の1つとみなす。境界演算子
∂ k : C k → C k − 1 {\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}
は次のように定義される準同型である。
∂ k ( σ ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( v 0 , ... , v i ^ , ... , v k ) , {\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}
ここで、向き付けられた単体
( v 0 , ... , v i ^ , ... , v k ) {\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}
はσのi番目の面であり、σからそのi番目の頂点を削除することによって得られる。
C kの亜群の要素
Z k := ker  ∂ k {\displaystyle Z_{k}:=\ker \partial _{k}}
は、サイクルと呼ばれ、亜群
B k := im  ∂ k + 1 {\displaystyle B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}}
は境界で構成されていると言われる。