エンジェル・プロブレム
三次元の場合に力のある天使が必勝法を持つことの証明は"守護者 (guardian) "という概念を用いる。盤上の任意の大きさの立方体に、その立方体を監視する守護者を置く。守護者はプレイヤーの手番ごとに自分の監視している立方体が"危険"、"安全"、"ほぼ安全"のいずれなのか判断する。"安全"と"ほぼ安全"の定義は証明が成り立つように選ばれており、この判断は純粋に立方体のサイズとそこに含まれるブロックの密度によって決まる。
天使は指示が与えられなければ、上にジャンプし続ける。天使のいる立方体のいくつかが安全でなくなったとき、そのうち最大の立方体を監視する守護者は天使がその立方体のいずれかの辺を通って立方体から離れられるように指示される。守護者が立方体のある面から抜け出るように天使を導くには、その立方体に含まれる小さくすべて安全な立方体群を辿るようにする。各立方体群の守護者は同様に繰り返して天使を導く。天使がある立方体の中を辿る道は、実際に天使がその立方体に到達するまで決まらず、さらにそこに至っても大まかに決まるだけとなる。この性質によって悪魔は十分離れたところから天使の通る道筋を狙ってブロックを置くことができなくなる。
悪魔が天使の通る道にある安全な立方体を危険な状態にするまでにかかる時間が、天使がその立方体に到達する時間より長いと証明されることでこの戦略の有効性が示される。
この証明は2006年に Imre Leader とベラ・バラバシによって公表された。また、実質的に似た証明が2005年に Martin Kutz によってなされている。
Máthé は行儀のよい悪魔 (nice devil) の概念を作った。この悪魔は、かつて天使がいた場所および一つ前の手で天使が行くことができた地点にはブロックを置かない。天使がこの悪魔を相手にする場合には、悪魔の勝利条件を「盤上の有界領域に天使を閉じ込められたか」とする(でなければ、天使はある二地点を延々と行き来するだけで勝利できてしまう。天使が勝つには、その領域から抜け出る必要がある)。証明は大きく二段階からなる。
行儀のよい悪魔に勝つ天使は、本物の悪魔にも勝てる
行儀のよい悪魔に対する明示的な必勝法を示す
二つ目の部分は、天使は(すでに置かれているブロックに加えて)西側の面がすべてブロックされたと仮定して、そのブロックを迷路の壁と見立てて左手法によって迷路の中を進む。つまり、天使は左手を迷路の壁において、壁に沿って進んでいく。この戦略を取る天使を行儀のよい悪魔は捉えられないことが示せる。
一つ目の部分は背理法によるため、この証明からは本物の悪魔に対して直ちに明示的な必勝法を得ることはできない。ただし、Máthé は論文の中で原理上はこの証明から明示的な戦略を導き出すことができるだろうと述べている。