超積
直積対象 ∏ i ∈ I M i {\textstyle \prod _{i\in I}M_{i}} 上の代数演算は、通例の如く成分ごとに定義する(例えば、各因子が二項演算 “+” を持つとき、(a + b)i ≔ ai + bi とする)ものとして、さらに同値関係 ~ を a ∼ b : ⟺ { i ∈ I : a i = b i } ∈ U {\displaystyle a\sim b:\!\iff \{i\in I:a_{i}=b_{i}\}\in U} で定める。このとき所期の超積とは、この直積対象の同値関係 ~ による商 ∏ i ∈ I M i / U {\textstyle \prod _{i\in I}M_{i}/U} を言う。
添字集合 I 上に有限加法的測度 m を
と定義することができて、直積対象の二つの元が同値であるというのを、それらが添字集合上殆ど至る所一致することと定めると、超積はこの同値類全体の成す集合に生成される。 同様にして他の種類の関係も拡張できる:
(ただし、[a] は a の ~ に関する同値類を表す)。特に、任意の Mi が順序体のとき、それらの超積もまた順序体にできる。