線型代数学の基本定理
数学の分野における線型代数学の基本定理(せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra)とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解
A = U Σ V T {\displaystyle A=U\Sigma V^{T}\ }
に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 A ∈ R m × n {\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n}} (行列 A {\displaystyle A} は m {\displaystyle m} 個の行と n {\displaystyle n} 個の列を持つ)は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す:
続いて、次が成立する:
R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} において、 k e r ( A ) = ( i m ( A T ) ) ⊥ {\displaystyle \mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }} である。