核型空間
任意のトレースクラス作用素はヒルベルト・シュミット型であり,二つのヒルベルト・シュミット作用素の積はトレースクラスである.
定義3:核型空間とは,その位相がヒルベルト半ノルムの族により定義される位相ベクトル空間であって,任意のヒルベルト半ノルム p に対しより大きなヒルベルト半ノルム q であってVq から Vp への自然な写像がヒルベルト・シュミット型になるものが存在する,という性質をみたすもの.
任意の局所凸位相ベクトル空間からバナッハ空間への核作用素の概念を用いれば,以下のもっと短い定義を与えることができる:
定義4:核型空間とは,局所凸位相ベクトル空間であって任意の半ノルム p に対し V から Vp への自然な写像が核作用素となるもの.
定義5:核型空間とは,局所凸位相ベクトル空間であってバナッハ空間への任意の連続線形写像が核作用素となるもの.
グロタンディークが用いた定義は次のものに近い:
定義6:核型空間とは,局所凸位相ベクトル空間 A であって,任意の局所凸位相ベクトル空間 B に対し A と B の射影的テンソル積から単射的テンソル積への自然な写像が同型になるもの.
実はこの定義は B がバナッハ空間の場合を考えれば十分であり,さらに言えば絶対収束する数列のなすバナッハ空間 l について確かめれば十分である.
(位相ベクトル空間の部分集合 B が有界であるとは,0の任意の近傍 U に対し正の実数 λ が存在して B が λU に含まれること.) これは核型フレシェ空間に対するハイネ・ボレルの定理の言い換えであり,有限次元の場合の類似である.
核型空間の任意の部分空間,および閉部分空間による任意の商空間は核型である.
A が核型で B を任意の局所凸位相ベクトル空間とすれば,A と B の射影的テンソル積から単射的テンソル積への自然な写像は同型写像である.大まかに言うと,このことはテンソル積のふさわしい定義が一つしかないことを意味する.この性質は核型空間 A を特徴づける.
位相ベクトル空間の測度の理論において,核型フレシェ空間の双対空間上の任意の連続なシリンダー測度はラドン測度に拡張できる,という基本的な定理がある.シリンダー測度の構成は容易なことが多いが,それがラドン測度でなければ応用上十分でないから (例えば,一般に可算加法性すら満たさない),この結果は有用である.
定義1:核型空間とは,局所凸位相ベクトル空間であって,任意の半ノルム p に対しより大きい半ノルム q で Vq から Vp への自然な写像が核型となるものが存在する,という性質を持つもの.
これは,平たく言えば,ある半ノルムの単位球が与えられたとき,別の半ノルムの単位球で「より小さい」ものをその内側に見つけることが出来ることを,あるいは0の任意の近傍が「より小さい」近傍を含むことを意味する.この条件はすべての半ノルム p に対して確かめる必要はない;位相を生成する半ノルムの集合,つまり位相の準基底となる半ノルムの集合について確かめれば十分である.
抽象的なバナッハ空間と核作用素を用いる代わりに,ヒルベルト空間とトレースクラス作用素の言葉で定義をあたえることも出来て,こちらの方が理解しやすい.(ヒルベルト空間に対しては核作用素のことをトレースクラス作用素と呼ぶことが多い.) 半ノルム p がヒルベルト半ノルムであるとは,Vp がヒルベルト空間になあること.言い換えれば,p がV 上の半正定値半双線形形式から来ること.
定義2:核型空間とは,その位相がヒルベルト半ノルムの族により定義される位相ベクトル空間であって,任意のヒルベルト半ノルム p に対しより大きなヒルベルト半ノルム q であってVq から Vp への自然な写像がトレースクラスになるものが存在する,という性質をみたすもの.
トレースクラス作用素の代わりにヒルベルト・シュミット作用素を用いる人もいて,少し差異を生じる.