レヴナー微分方程式
f t ( z ) = f s ( φ s , t ( z ) ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}}
であることに注意すると、ft(z) は、初期条件
f t ( z ) | t = 0 = f 0 ( z ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z)}}
を持つ常微分方程式
∂ t f t ( z ) = z p t ( z ) ∂ z f t ( z ) {\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}}
を満たす。
常微分方程式のピカール・リンデレフの定理(Picard–Lindelöf theorem)は、これらの方程式が解を持ち、解は z で正則であることを保証している。
レヴナーチェーンは、レヴナー半群から極限をとることを通して再発見された。
f s ( z ) = lim t → ∞ e t φ s , t ( z ) . {\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).
である。a3 は非負であり、|κ(t)| = 1 であるから、コーシー=シュワルツの不等式を使い、
| a 3 | = 2 ∫ 0 ∞ | R α 2 | d t + 4 ( ∫ 0 ∞ R α d t ) 2 ≤ 2 ∫ 0 ∞ | R α 2 | d t + 4 ( ∫ 0 ∞ e − t d t ) ( ∫ 0 ∞ e t ( R α ) 2 d t ) {\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha ^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha \,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha ^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha )^{2}\,dt\right)} = 1 + 4 ∫ 0 ∞ ( e − t − e − 2 t ) ( R κ ) 2 d t ≤ 3 {\displaystyle =1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa )^{2}\,dt\leq 3}
を得る。