偏差値
偏差値90以上(あるいは10以下)は、上位(下位)0.00315%。
偏差値100以上(あるいは0以下)は、上位(下位)0.00002%。
例えば、全受験者数が100万人の学力試験の場合、偏差値80以上の者は、ほぼ1350人となる(日本の実際の統計では、10代における同じ年齢の人口はおおよそ110〜120万人程度。40代は180〜200万人程度)。
偏差値は全ての実数を取りうるが、偏差値が±50区間(0~100)を外れる割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。
偏差値による優劣の判断は元の数字の特性に依存する。学力テストなど高い得点ほど良い場合は偏差値が高いほど良いとされる。また、ゴルフのスコアのように低い得点ほど良い場合は、偏差値も低い方が良いとされる。射的など目標にどれだけ近いかとする場合は中心である50が最も良いとされ、それから離れるほど悪い結果とされる。
データの値 xi に対する偏差値 Ti は次の式で定義される。
T i = 10 ( x i − μ x ) σ x + 50 {\displaystyle T_{i}={\frac {10(x_{i}-\mu _{x})}{\sigma _{x}}}+50}
ここで、
μ x = 1 N ∑ i = 1 N x i σ x = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ x ) 2 = 1 N ∑ i = 1 N x i 2 − μ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{x}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\\&\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\mu _{x}}^{2}}}}\\\end{aligned}}}
N:データの大きさ、xi:データの各値、μx:平均値、σx:標準偏差
なお、分子 xi − μx は偏差である。特に、値 xi が平均値 μx に等しいときは、偏差が 0 となり、偏差値は 50 となる。また、値 xi が全て等しいときは、標準偏差 σx = 0 となり、偏差値がこの式では定義できない。この場合、値の偏差値を全て 50 とする。