アルキメデスの牛の問題
でなければならない。このとき、第9の条件より
3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 29 ⋅ 353 ⋅ 4657 2 y 2 = q ( q + 1 ) 2 {\displaystyle 3\cdot 7\cdot 11\cdot 29\cdot 353\cdot 4657^{2}y^{2}={\frac {q(q+1)}{2}}}
である。x = 2q + 1 とおけば、ペル方程式
x 2 − 410286423278424 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-410286423278424y^{2}=1\,}
の整数解を求めることに帰着される。
このペル方程式を解く部分が最も難しい。一般に、ペル方程式はその係数の大きさに比して、最小解が非常に大きくなる場合がある。連分数を用いた効率の良い方法が知られているものの、最小解の y の値は103266桁にも達するため、コンピューターの助けなくして解を求めることは事実上不可能である。現代では、パソコンを用いて解を求めることは易しく、牛の総数(の最小解)はおよそ
7.7602714 × 10 206544 {\displaystyle 7.7602714\times 10^{206544}}
である。