ツェルメロ＝フレンケル集合論
部分集合は通常、集合の内包的記法(英語版)を用いて表される。たとえば偶数は、整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の合同式 x ≡ 0 ( mod 2 ) {\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}} を満たす部分集合として表すことができる。
{ x ∈ Z : x ≡ 0 ( mod 2 ) } . {\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}
一般に、集合 z {\displaystyle z} の部分集合で1つの自由変項 x {\displaystyle x} の式 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} に従うものは、以下のように表現できる:
{ x ∈ z : φ ( x ) } . {\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}.}
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す(それぞれの φ {\displaystyle \phi } に1つずつ公理が対応するため、これは公理型である)。厳密には、ZFCの言語では、 φ {\displaystyle \phi } はすべての自由変項 x , z , w 1 , ..
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。
一方、分出公理は少なくとも1つの集合が存在することを主張するため(前述)、空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } の存在を証明するために使用できる。証明方法の1つは、どの集合も持たない属性 φ {\displaystyle \phi } を使うことである。たとえば、 w {\displaystyle w} が既存の集合である場合、空集合は次のように構成できる。
∅ = { u ∈ w ∣ ( u ∈ u ) ∧ ¬ ( u ∈ u ) } . {\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}
したがって、空集合の公理は、ここで示す9つの公理によって示すことができる。外延性の公理は、空集合が一意であることを意味する( w {\displaystyle w} によらない)。記号「 ∅ {\displaystyle \varnothing } 」はしばしばZFCの言語に追加される(英語版)。