リプシッツ連続
F(x) は変数 x に関する上半連続写像で、{F(x)} は閉凸集合とする。このとき、適当な定数 C に対して
( x 1 − x 2 ) T ( F ( x 1 ) − F ( x 2 ) ) ≤ C ‖ x 1 − x 2 ‖ 2 ( ∀ x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}\quad (\forall x_{1},x_{2})}
を満たすならば、F は片側リプシッツ (one-sided Lipschitz) である。
このような写像 F が、非常に大きなリプシッツ定数 K を持つが片側リプシッツ定数 C は穏当な大きさあるいは負にさえなる、というようなことも起こり得る。そのような函数の例として
F : R 2 → R ; F ( x , y ) = − 50 ( y − cos  ( x ) ) {\displaystyle F\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ;\;F(x,y)=-50(y-\cos(x))}
はリプシッツ定数 K = 50 および片側リプシッツ定数 C = 0 を持つ。片側リプシッツだがリプシッツでないような例は F(x) = e (C = 0) で与えられる。
実数全体で定義された函数 f(x) = √x + 5 はリプシッツ定数 K = 1 を持つリプシッツ函数である。実際これは至る所微分可能で、その一階導函数の絶対値は 1 で抑えられる(後述の#性質節最初の項目を参照)。 同様に正弦函数 sin(x) もリプシッツ連続である。これもその導函数(つまり余弦函数 cos(x) )が絶対値に関して 1 で抑えられることによる。 実数全体で定義された函数 f(x) = |x| はリプシッツ定数 1 のリプシッツ連続函数である(逆向きの三角不等式による)。これは微分可能でないリプシッツ連続函数の例である。より一般に、ベクトル空間上で定義されたノルムは、付随する距離函数に関するリプシッツ連続函数(リプシッツ定数 1)である。
f(x) = |x|(上記参照)