次数付き環
加群論において対応する概念は次数付き加群 (graded module) である。すなわち次数付き環 A 上の左加群 M であって
M = ⨁ i ∈ N 0 M i , {\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}M_{i},}
であり
A i M j ⊆ M i + j {\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}
でもあるようなものである。
次数付き加群の間の準同型 f : N → M {\displaystyle f:N\to M} は、次数付き準同型(graded morphism)と呼ばれるが、加群の準同型であって、次数付けを反映したもの、すなわち、 f ( N i ) ⊆ M i {\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}} が成り立つようなものである。次数付き部分加群(graded submodule)は、それ自身次数付き加群であって集合論的包含が次数付き加群の射であるような部分加群である。明示的に書くと、次数付き加群 N が M の次数付き部分加群であることと、M の部分加群で N i = N ∩ M i {\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}} を満たすことは同値である。