特性関数 (確率論)
確率変数の特性関数は、測度が有限な空間上の有界な連続関数の積分であるため、常に存在する。
特性関数は空間全体について一様連続である。
ゼロ付近では根を持たない (φ(0) = 1)。
有界である (|φ(t)| ≤ 1)。
エルミート関数である(φ(−t) = φ(t))。原点を中心として対称性のある確率変数の特性関数は実数関数であり偶関数である。
累積分布関数と特性関数の間には全単射が存在する。すなわち、2 つの任意の確率変数 X1 と X2 について、次が成り立つ: F X 1 = F X 2 ⇔ φ X 1 = φ X 2 . {\displaystyle F_{X_{1}}=F_{X_{2}}\ \Leftrightarrow \ \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}.}
確率変数 X に最大 k-次のモーメントがある場合、その特性関数 φX は実数直線全体について k 階連続微分可能である。このとき、次が成り立つ: E X k = ( − i ) k φ X ( k ) ( 0 ) .