モノイド
任意の一元集合 {x} は x • x = x と置くことによりモノイドとなる。これを自明なモノイドという。
任意の単位的環の元の全体は、加法あるいは乗法に関してそれぞれモノイドを成す。 整数全体、有理数全体、実数全体、複素数全体は加法あるいは乗法に関してそれぞれモノイドを成す。 与えられた環に係数を持つ n-次正方行列の全体は行列の加法または行列の乗法に関してモノイドを成す。
任意の有界半束は冪等可換モノイドである。 特に、任意の有界束は交わりについても結びについてもモノイドとなる(モノイドの単位元はそれぞれ束の最大元および最小元で与えられる)。したがって、束であるハイティンク代数やブール代数はそのようなモノイド構造を持つ。
(0 を含む)自然数の全体 N0 は加法に関して 0 を単位元とするモノイドを成し、また乗法に関して 1 を単位元とするモノイドを成す。N0 の加法に関する部分モノイドは自然数モノイド(英語版) (numerical monoid) と呼ばれる。
部分集合 S がモノイド M の生成系 (generator) であるとは M の任意の元が S の元だけから二項演算を繰り返して得られることをいう(生成系に属する元を生成元という)。モノイド M がその部分集合 S で生成されるとき M = ⟨S⟩ などと書く。
⟨ S ⟩ = { s k 1 e k 1 s k 2 e k 2 ⋯ s k m e k m ∣ ∃ m ∈ N , ( k 1 , ... , k m ) ∈ N m , e k j ∈ N , s k j ∈ S } . {\displaystyle \langle S\rangle =\{s_{k_{1}}^{e_{k_{1}}}s_{k_{2}}^{e_{k_{2}}}\cdots s_{k_{m}}^{e_{k_{m}}}\mid \exists m\in \mathbb {N} ,(k_{1},\ldots ,k_{m})\in \mathbb {N} ^{m},e_{k_{j}}\in \mathbb {N} ,s_{k_{j}}\in S\}.}
M の各元 x に対し x = 1M を M の単位元とする規約を設けるならば、⟨S⟩ における S の元の冪が零となることも許し、⟨S⟩ は S を含む最小の部分モノイドを表す。
M が有限個の元からなる生成系をもつとき、有限生成 (finitely generated) あるいは有限型 (finite type) であるという。特に、M のただ一つの元 f で生成されるモノイド ⟨f⟩ は単項生成モノイドあるいは巡回モノイド (cyclic monoid) と呼び、集合としては f の冪全体の成す集合 {f, f, ...} に一致する。
モノイドにおいて、元 x の自然数冪を
x := x,
x := x • ... • x (n 個の x の積、n > 1)
と定義することができる。このとき、指数法則 x = x • x の成立は明らかである。定義から直接従うこととして、単位元 e が一意に存在するので、任意の x に対して x := e と定義すると、指数法則は任意の非負整数冪に対してなお有効である。
モノイドにおいては、可逆元(あるいは単元)の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである。
元 x が逆元 y を持つ場合には、x の負の整数冪を x := y および x := y • ... • y(n 個の y の積、n > 1)と定義することができて、先ほどの指数法則が n, p を任意の整数として成立する。このことが x の逆元がふつう x と書かれることの理由である。モノイド M の単元の全体は M の演算 • に関して単元群と呼ばれる群を成す。この意味で任意のモノイドは必ず少なくとも一つの群を含む(ただし、それが単位元のみからなる自明な群である場合もある)。