自己数
以下の漸化式により基数10のいくつかの自己数を得ることができる:
C 1 = 9 {\displaystyle C_{1}=9} ,
C k = 8 ⋅ 10 k − 1 + C k − 1 + 8 {\displaystyle C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8} .
基数2の場合:
C k = 2 j + C k − 1 + 1 {\displaystyle C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1} ,
(j は桁数)。
任意の基数 b {\displaystyle b} に対して以下のように一般化できる:
C k = ( b − 2 ) b k − 1 + C k − 1 + ( b − 2 ) {\displaystyle C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)\,}
ここでC1 = b − 1(偶数の場合)、C1 = b − 2(奇数の場合)。
これにより任意の基数において自己数が無限に存在することが示される。
n {\displaystyle n} を自然数とする。基数 b > 1 {\displaystyle b>1} に対して b {\displaystyle b} -自己関数 F b : N → N {\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } を以下のように定義する:
F b ( n ) = n + ∑ i = 0 k − 1 d i . {\displaystyle F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.}
ここで k = ⌊ log b  n ⌋ + 1 {\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1} は基数 b {\displaystyle b} における桁数、