平衡点
問題の微分方程式が非線形系の場合、解析的な解が得られることはまれである。しかし、非線形系であっても平衡点を求めることなら可能である。そして、線形系の平衡点に対する安定判別法を非線形の平衡点に対する安定性判別に応用することはできる。1つは、平衡点周りで線形化する方法である。
下記のような一般的な自励系的微分方程式が与えられているとする。
d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f({\boldsymbol {x}})}
この微分方程式の平衡点を xe とする。xe を原点とする新たな変数を y として導入すると、x = xe + y である。f が滑らかであれば、f(xe + y) を xe 周りでテーラー展開し、y の2次以上のオーダーの項を無視することで、
d y d t = D f ( p ) y {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}=Df({\boldsymbol {p}}){\boldsymbol {y}}}
という、平衡点近傍で線形近似した微分方程式を得ることができる。ここで、Df(xe) は次のような xe についての f のヤコビ行列である。
f(xe) = 0 が代数的に解けるときは、平衡点 xe を式で書き表すことができる。例えば、
{ d x d t = x ( 2 − x − y ) d y d t = x − y {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=x(2-x-y)\\{\dfrac {dy}{dt}}=x-y\end{cases}}}
という微分方程式系であれば、
{ x ( 2 − x − y ) = 0 x − y = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x(2-x-y)=0\\x-y=0\end{cases}}}
という連立方程式を解くことにより、(x, y) = (1, 1) と (x, y) = (0, 0) の2点がこの微分方程式系の平衡点であることが分かる。
方程式の係数が変数で与えられているような例としては、次のローレンツ方程式を挙げる。
{ d x d t = σ y − σ x d y d t = r x − y − x z d z d t = x y − b z {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\sigma y-\sigma x\\{\dfrac {dy}{dt}}=rx-y-xz\\{\dfrac {dz}{dt}}=xy-bz\end{cases}}}
今 隆助・竹内 康博、2018、『常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-11348-0
桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5
丹羽 敏雄、2008、『力学系』オンデマンド版、紀伊國屋書店〈紀伊國屋数学業書21〉 ISBN 978-4-320-11348-0
S. ウィギンス、丹羽 敏雄(監訳)、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真(訳)、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
上田 睆亮、2008、『カオス現象論』初版、コロナ社〈現代非線形科学シリーズ12〉 ISBN 978-4-339-02611-5
Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L.