双対ベクトル空間
線型写像 f: V → W に対し、その転置(または双対)f*: W* → V* は
f ∗ ( φ ) = φ ∘ f ( φ ∈ W ∗ ) {\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\quad (\varphi \in W^{*})}
で定義される。得られた汎函数 f*(φ) ∈ V* は φ の f に沿った引き戻しと呼ばれる。
任意の φ ∈ W* および v ∈ V に対し恒等式
[ f ∗ ( φ ) , v ] = [ φ , f ( v ) ] {\displaystyle {\bigl [}f^{*}(\varphi ),v{\bigr ]}={\bigl [}\varphi ,f(v){\bigr ]}}
が満足される。ここで左辺の括弧 [•,•] は V とその双対との双対性を表す内積であり、右辺のは W とその双対との双対性を表す内積である。この等式は転置を特徴づけるものであり、形の上では随伴の定義と同じである。
対応 f ↦ f* は V から W への線型作用素の空間から W* から V* への線型写像の空間への単射線型写像を与える。