シュレーディンガー場
4勾配を展開すると、全体の発散は無視され、 1 c {\displaystyle {\frac {1}{c}}} に比例する項はまた、非相対論的極限で消える。 これらの統合によって、
L A = i ħ A ^ † A ^ ′ + ħ 2 2 m [ 1 c 2 A ^ ′ A ^ ′ † − ∂ x A ^ ∂ x A ^ † ] = i ħ A ^ † A ^ ′ + ħ 2 2 m [ − ( ∂ x ( A ^ ∂ x A ^ † ) − A ^ ∂ x ∂ x A ^ † ) ] = i ħ A ^ † A ^ ′ + ħ 2 2 m A ^ ∂ x ∂ x A ^ † . {\displaystyle {\begin{aligned}L_{A}&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\hat {A}}'{{\hat {A}}'}^{\dagger }-\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[-(\partial _{x}({\hat {A}}\,\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })-{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }.\end{aligned}}}
シュレーディンガー場(シュレーディンガーば)とは、量子力学と場の量子論で用いられる、シュレーディンガー方程式に従う量子場のことである。名前は エルヴィン・シュレーディンガーにちなんで名付けられた。同種多粒子系のシュレーディンガー方程式によって記述することもできるが、粒子数が変化する場合には場の理論による記述の方が優れている。
シュレーディンガー場は、量子シュレディンガー場の古典極限でもある。この場での古典波動はシュレーディンガー方程式を満たしている。 量子力学的波動関数とは異なり、粒子間に相互作用がある場合、方程式は非線形シュレディンガー方程式になる。 この方程式は、相互作用のある同種粒子系の古典波動極限を表す。
シュレディンガー場の経路積分はコヒーレント状態経路積分として知られている。これは、場自体が消滅演算子、すなわち、その固有状態が調和振動のコヒーレント状態と考えることができるからである。
シュレーディンガー場はボーズ・アインシュタイン凝縮 、 超電導に対するBogolyubov-de Gennes方程式、 超流動 、および一般に多体理論を扱う上で有用である。また、非相対論的量子力学を代替する形式としても有用である。
シュレーディンガー場は、 クライン・ゴルドン場の非相対論的極限である。
⟩ {\displaystyle \psi (k)|...,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}}}\,|...,n_{k}-1,\ldots \rangle }
そのため、演算子
∑ k ψ † ( k ) ψ ( k ) = ∫ x ψ † ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \sum _{k}\psi ^{\dagger }(k)\psi (k)=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)}
粒子の総数をカウントする。
これで、 ψ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi (x)} 、 ψ † ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)} の行列要素が調和振動子に似た交換関係があることが容易に見て取れる。
[ ψ ( x ) , ψ ( y ) ] = [ ψ † ( x ) , ψ † ( y ) ] = 0 {\displaystyle [\psi (x),\psi (y)]=[\psi ^{\dagger }(x),\psi ^{\dagger }(y)]=0}
[ ψ ( x ) , ψ † ( y ) ] = δ ( x − y ) {\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)}
そのため、配位空間にある粒子が実際に存在するのは困難ではない。
オペレーター ψ † ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)} は粒子を除去および置換し、xに粒子が存在するかどうかを検出するセンサーとして機能する。
ファインマン図の拡張は、 多体摂動論と呼ばれる。 プロパゲーターは
G ( k ) = 1 i ω − k 2 2 m . {\displaystyle G(k)={1 \over i\omega -{k^{2} \over 2m}}.\,}
相互作用の頂点は、2体ポテンシャルのフーリエ変換である。 あらゆる相互作用で、入射する外線と放射する外線の数は等しくなります。