レイノルズの輸送定理
基準形状(変形なし形状) κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} における座標 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} と写像 χ {\displaystyle \chi } によって、変形形状における座標 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} を表す。
x = χ ( X , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\chi ({\boldsymbol {X}},t)}
上記の変換に伴って、積分領域を変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} から基準形状(変形なし形状) κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} に、積分変数を d v {\displaystyle {\textrm {d}}v} から d V {\displaystyle {\textrm {d}}V} に変換する。
D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = D D t ∫ κ 0 θ ( χ ( X , t ) , t ) J d V {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V}
レイノルズの輸送定理(レイノルズのゆそうていり)は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} 上の積分で表される物理量 θ {\displaystyle \theta } の物質時間導関数(物質時間微分)について成立する次の式のことである:
D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}