動的意味論
もし [ [ φ ] ] = { w , v } {\displaystyle [\![\varphi ]\!]=\{w,v\}} ならば、 C {\displaystyle C} を φ {\displaystyle \varphi } によって更新することは新たな文脈 C [ φ ] = { w , v } {\displaystyle C[\varphi ]=\{w,v\}} を返すことであることになる。したがって、 φ {\displaystyle \varphi } という主張は現実世界が u {\displaystyle u} である可能性を除外する試みとして理解されることになる。
形式的な観点からすれば、共通部分的更新は、お好みの静的意味論を動的意味論に引き上げるためのレシピであると見做すことができる。例えば、古典命題意味論を出発点とした場合、このレシピは次のような共通部分的更新意味論をもたらす。
古典命題論理に基づく共通部分的更新意味論:
C [ P ] = { w ∈ C ∣ w ( P ) = 1 } {\displaystyle C[P]=\{w\in C\mid w(P)=1\}}
C [ ¬ φ ] = C − C [ φ ] {\displaystyle C[\neg \varphi ]=C-C[\varphi ]}
C [ φ ∧ ψ ] = C [ φ ] ∩ C [ ψ ] {\displaystyle C[\varphi \land \psi ]=C[\varphi ]\cap C[\psi ]}
動的意味論の最初の体系は、ファイル変化意味論や談話表示理論と密接に関連しており、イレーネ・ハイムとハンス・カンプによって同時期に独立に開発された。これら体系は、ロバ照応を捉えることを目的としている。ロバ照応は、モンタギュー文法のような意味論への古典的アプローチでは、合成的な扱いが難しい言語現象である。ロバ照応の例としては、悪名高いロバ文がある。これは、中世の論理学者ウォルター・バーリーが最初に気付き、ピーター・ギーチが現代で注目したものである。
ロバ文(関係節): Every farmer who owns a donkey beats it. ロバ文(条件文): If a farmer owns a donkey, he beats it.
一階述語論理によってこれら文の真理条件を捉えるためには、"a donkey"という不定名詞句を、代名詞"it"に対応する変項を作用域として持つ全称量化子へと、翻訳する必要があるであろう。
ロバ文の一階述語論理による翻訳: ∀ x ∀ y ( ( farmer ( x ) ∧ donkey ( y ) ∧ own ( x , y ) ) → beat ( x , y ) ) {\displaystyle \forall x\forall y(\,({\text{farmer}}(x)\land {\text{donkey}}(y)\land {\text{own}}(x,y))\rightarrow {\text{beat}}(x,y)\,)}