フラウンホーファー回折
R 2 + ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 ≃ r − x x ′ + y y ′ r {\displaystyle {\sqrt {R^{2}+(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}\simeq r-{\frac {xx'+yy'}{r}}}
となる。これより、スクリーン上での電場の振幅は
u ( x ′ , y ′ ) = A i λ R exp  ( i k r ) ∫∫ f ( x , y ) exp  ( − i k x x ′ + y y ′ r ) d x d y {\displaystyle u(x',y')={\frac {A}{i\lambda R}}\exp(ikr)\iint f(x,y)\exp \left(-ik{\frac {xx'+yy'}{r}}\right)~\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
となる。これがフラウンホーファー回折の式となる。
すなわち、関数 f (x, y) で表される物体によりフラウンホーファー回折を起こした波の振幅 u (x′, y′) は、関数 f (x, y) のフーリエ変換に対応する。
波数 k の単色光の平面波が、開口関数 f (x, y) で表される開口を通ったときの、距離 R 離れたスクリーン上における振幅分布 u (x′, y′) を考える。なお、入射光として平面波を考えるのは、点光源が無限遠にあると考えるのと同じことである。
フラウンホーファー回折は、開口の中心からスクリーン上の点 (x′, y′) までの距離 r が、十分大きいときの近似である。これは式で書けば、開口内の任意の点 (x, y) に対し
x 2 + y 2 r λ ≪ 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r\lambda }}\ll 1}
が成り立つということである。ここでλは光の波長である。このとき、開口内の点 (x, y) からスクリーン上の点 (x′, y′) までの距離は、 1/r の2次以上の項を無視すると