ヤコビアン予想
いま N > 1 を固定した正整数とし、X1, ..., XN を変数とし、体 k 上に係数を取る多項式 f1, ..., fN を考えよう。そしてベクトル値関数 F: k → k を次のごとく定義する:
F(c1, ..., cN) = (f1(c1, ...,cN),..., fN(c1,...,cN)).
(F は多項式写像である。)
F のヤコビアン(これは JF と書かれる)は偏微分 ∂ f i / ∂ X j {\displaystyle \partial f_{i}/\partial X_{j}} からなる N × N 行列(ヤコビ行列)の行列式として定義される。
J F = | ∂ f 1 ∂ X 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ X N ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f N ∂ X 1 ⋯ ∂ f N ∂ X N | , {\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{N}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{N}}}\end{matrix}}\right|,}
このとき JF 自身 X1, ..., XN の N 変数の多項式関数である。