判別分析
S i j {\displaystyle S_{ij}} を、その i {\displaystyle i} 行 j {\displaystyle j} 列に対応させて分散共分散行列 S {\displaystyle {\mathbf {S} }} とし、各変数にかかる係数を n {\displaystyle n} 行 1 {\displaystyle 1} 列に並べた行列を A {\displaystyle {\mathbf {A} }} 、第一群の各変数の平均値から第二群の各変数を引いた数 x i ( f i r s t ) − x i ( s e c o n d ) {\displaystyle x_{i}{\rm {(first)}}-x_{i}{\rm {(second)}}} を n {\displaystyle n} 行 1 {\displaystyle 1} 列に並べた行列を X {\displaystyle {\mathbf {X} }} とすると以下の式が成り立つ。 S A = X {\displaystyle {\mathbf {S} }{\mathbf {A} }={\mathbf {X} }} ゆえに A = S − 1 X {\displaystyle {\mathbf {A} }={\mathbf {S} }^{-1}{\mathbf {X} }}
これにより各変数にかかる係数を求めることができる。 定数項は、 a 0 = − 1 2 ∑ i = 1 n a i { x i ( f i r s t a v e r a g e ) + x i ( s e c o n d a v e r a g e ) } {\displaystyle a_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\left\{x_{i}{\rm {(firstaverage)}}+x_{i}{\rm {(secondaverage)}}\right\}}
W i j = ∑ k = 1 N ( x i ( k ) − x ̄ i ) ( x j ( k ) − x ̄ j ) {\displaystyle W_{ij}=\sum _{k=1}^{N}(x_{i}^{(k)}-{\overline {x}}_{i})(x_{j}^{(k)}-{\overline {x}}_{j})}
第一群と第二群の平方和・積和を、同じ2変数について足し、自由度 N f i r s t + N s e c o n d − 2 {\displaystyle N_{\rm {first}}+N_{\rm {second}}-2} で除す。 S i j = W i j ( f i r s t ) + W i j ( s e c o n d ) N f i r s t + N s e c o n d − 2 {\displaystyle S_{ij}={\frac {W_{ij}{\rm {(first)}}+W_{ij}{\rm {(second)}}}{N_{\rm {first}}+N_{\rm {second}}-2}}}