ルンゲ＝クッタ法
古典的ルンゲ゠クッタ法 (RK4) は既に述べた通り以下のブッチャー配列で与えられる:
修正版としてクッタの3/8公式 (英: Kutta's 3/8-rule) が知られている。
他に使われている方法は、ルンゲ=クッタ法のリストに参照。
y ′′ ( t ) = f t ( t , y ) + f ( t , y ) f y ( t , y ) {\displaystyle y''(t)=f_{t}(t,y)+f(t,y)f_{y}(t,y)}
となる。厳密解を y(t) とする。上記式を用いて y(tn+1) の tn に関するテイラー展開を考える
y ( t n + 1 ) = y ( t n ) + h f ( t n , y n ) + 1 2 h 2 ( f t ( t n , y n ) + f ( t n , y n ) f y ( t n , y n ) ) + O ( h 3 ) {\displaystyle y(t_{n+1})=y(t_{n})+hf(t_{n},y_{n})+{\frac {1}{2}}h^{2}(f_{t}(t_{n},y_{n})+f(t_{n},y_{n})f_{y}(t_{n},y_{n}))+O(h^{3})}
2次精度を持つ条件は、局所誤差 e n + 1 , h = y ( t n + 1 ) − y n + 1 = O ( h 3 ) {\displaystyle e_{n+1,h}=y(t_{n+1})-y_{n+1}=O(h^{3})} である。二つの展開式の係数を比較すると、その条件が b 1 + b 2 = 1 {\displaystyle b_{1}+b_{2}=1} , b 2 c 2 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} , かつ b 2 a 21 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}a_{21}=1/2} であることがわかる。