計量ベクトル空間
様々なベクトル空間に様々な内積が定義できる。
最も単純な例として、実数全体の成すベクトル空間に通常の乗法によって内積 ⟨x, y⟩ := xy を定めたものは内積空間になる。
C の内積の一般形は、正定値エルミート行列 M を用いて ⟨ x , y ⟩ := y † M x = x † M y ̄ {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle :=\mathbf {y} ^{\dagger }\mathbf {M} \mathbf {x} ={\overline {\mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {M} \mathbf {y} }}} の形で与えられ(y は y の随伴行列)、エルミート形式と呼ばれる。実係数の場合は、(正のスケール因子と拡大方向に直交する方向を持つ)二つのベクトルをそれぞれ異なる方向に拡大変換したものを点乗積することに相当する。これは直交変換の違いを除けば、正の重みをもつ点乗積の重み付き和(英語版)版である。
ヒルベルト空間の項には、内積の導く距離が完備となるような内積空間のさまざまな例がある。完備でないような内積を持つ内積空間には、例えば閉区間 [a, b] 上の複素数値連続函数全体の成す空間 C([a, b]) が挙げられる。内積は ⟨ f , g ⟩ := ∫ a b f ( t ) g ( t ) ̄ d t {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,dt} で与える。