定義可能集合
R {\displaystyle {\mathcal {R}}} の加法逆元を定義する式と組み合わせることで、 φ {\displaystyle \varphi } を R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 上の通常の順序を定義することに使うことができる: a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } について、 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} とは b − a {\displaystyle b-a} が非負であることであると定義する。この拡大された構造 R ≤ = ( R , 0 , 1 , + , ⋅ , ≤ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}^{\leq }=(\mathbb {R} ,0,1,+,\cdot ,\leq )} は元の構造の定義による拡大と呼ばれる。これは集合が拡大された方の構造においてあるパラメータの集合から定義可能であるのは、元の構造において同じパラメータの集合から定義可能である場合にかつそのときに限る、という意味で元の構造と同じ表現力を持つ。
R ≤ {\displaystyle {\mathcal {R}}^{\leq }} の理論は量化記号消去を持つ。したがって定義可能集合は多項式の等式と不等式の解のブール結合である; これらは半代数集合と呼ばれる。この実数直線の性質を一般化したものはo-minimalityの研究に繋がる。
{\displaystyle (\pi (a_{1}),\ldots ,\pi (a_{m}))\in A.}
となる。
この結果は、与えられた構造の定義可能な部分集合を分類するために使われることがある。例えば、前述の Z = ( Z , < ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}=(\mathbb {Z} ,<)} の場合、 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} でパラメータを用いずに特定の整数を定義することは不可能である。実際、任意の2つの整数は平行移動とその逆によって互いに移るので Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} でパラメータ無しで定義可能なものは空集合と Z {\displaystyle \mathbb {Z} } それ自身のみである。対照的に、 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} の要素のn-つ組の集合で定義可能なものは無限に存在している: n = 2の場合、 m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } についての { ( a , b ) ∣ a − b = m } {\displaystyle \{(a,b)\mid a-b=m\}} のブール結合などはその例である。特に、どの自己同型(平行移動)も二つの要素の"距離"を保存する。