量子力学の数学的定式化
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が有限次元の場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を
H = ⨁ λ ∈ σ ( A ) H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (A)}{\mathcal {H}}_{\lambda }}
のように直和として表記可能である。ここでAは H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素であり、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} は固有値λに対応する固有空間である。さらに任意の ψ ∈ H λ {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{\lambda }} に対し、
A ( ψ ) = λ ψ {\displaystyle A(\psi )=\lambda \psi }
である。
一方 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合には、Aは非可算無限個のスペクトル点を持ちうるので、単純に上式を無限次元に拡張する事はできない。しかしベクトル空間の「直和」の代わりに「直積分」という概念を用いる事で無限次元の場合も同種の公式が成立する事が知られており、これをAの直積分によるスペクトル分解と呼ぶ。本節では直積分の概念を数学的に定式化し、直積分を用いて上式を無限次元の場合に拡張する。
有界線形作用素の例としてユニタリ作用素がある。後述するように量子力学ではユニタリ作用素は時間発展を記述するのに用いられる。
定義 (ユニタリ作用素) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とする。全射線形作用素 U : H → H {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} が任意の φ , ψ ∈ H {\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}} に対し、
⟨ U ( ψ ) , U ( φ ) ⟩ = ⟨ ψ , φ ⟩ {\displaystyle \langle U(\psi ),U(\varphi )\rangle =\langle \psi ,\varphi \rangle }
を満たすとき、Uをユニタリ作用素という。
上記の条件をみたすときは、明らかにUは単射なので、Uは全単射である事になる。したがってユニタリ作用素とは H {\displaystyle {\mathcal {H}}} から自分自身への同型写像(自己同型写像)である。
なお、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が有限次元の場合には、単射性から全射性が従うため、ユニタリ作用素の定義において全射という条件は必要ない。しかし H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合には、全射ではない単射線形作用素も存在するため、全射の条件は必須となる。
定義から明らかに次が成立する:
定理 ― ユニタリ作用素は有界作用素である
ブラベクトル ψ ∈ H ∗ {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}^{*}} に対し、線形作用素
χ ∈ H ↦ ⟨ ψ , χ ⟩ ∈ C {\displaystyle \chi \in {\mathcal {H}}\mapsto \langle \psi ,\chi \rangle \in \mathbf {C} }
を考えると、コーシー=シュワルツの不等式
⟨ ψ , χ ⟩ ≤ ‖ ψ ‖ ‖ χ ‖ {\displaystyle \langle \psi ,\chi \rangle \leq \|\psi \|\|\chi \|}
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界線形作用素はこの形のものに限られる事が知られている:
Hが有界作用素であれば、シュレディンガー方程式を以下のように解くことができる。まず
e x p ( − i t ħ H ) := ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ⋅ ( − i t ħ ) n H n {\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right):=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\cdot (-{it \over \hbar })^{n}H^{n}}
と定義すると、右辺が一様作用素位相で収束する事をHの有界性から示すことができる。そこで
ψ ( t ) := e x p ( − i t ħ H ) ( ψ ) {\displaystyle \psi (t):=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )}
と定義する。これを形式的に微分すると、
これまで我々はいわゆるシュレディンガー描像で時間発展を記述してきた。すなわち任意のオブザーバブルAは時間に関して不変であり、状態ベクトルψの方が
U t = e x p ( − i t ħ H ) {\displaystyle U_{t}=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)}
により
ψ ( t ) = U t ( ψ ) {\displaystyle \psi (t)=U_{t}(\psi )}
と時間発展するとみなしてきた。一方同じ時間発展をハイゼンベルク描像で記述することも可能である。この場合状態ベクトルψは時間に対して不変であり、オブザーバブルAの方が
A t = U − t A U t {\displaystyle A_{t}=U_{-t}AU_{t}}
と時間発展するとみなせる。
実際、たとえHが H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密に定義されていたとしても D o m ( H 2 ) {\displaystyle \mathrm {Dom} (H^{2})} は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密になるとは限らない為、上述のテイラー展開が意味を持つ集合は非常に小さくなってしまうかもしれない。またたとえψが ⋂ n D o m ( H n ) {\displaystyle \bigcap _{n}\mathrm {Dom} (H^{n})} に入っていたとしても、 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ⋅ ( − i t ħ ) n H n ψ {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\cdot (-{it \over \hbar })^{n}H^{n}\psi } が収束するとは限らない。
そこで本節ではテイラー展開に頼らず e x p ( − i t ħ H ) {\textstyle \mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)} を定義する作用素解析という手法を導入し、 e x p ( − i t ħ H ) {\textstyle \mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)} に関するストーンの定理を導入する事で上述の問題を解決する。
無限次元におけるスペクトル理論について述べる前に、まず有限次元の固有値の性質を調べる。λが A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} の固有値である事は明らかに
ker  ( A − λ I ) ≠ { 0 } {\displaystyle \ker(A-\lambda I)\neq \{0\}}
を意味し、これはA-λIは単射ではない事を意味する。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が有限次元であれば線形写像が単射である事は全射である事と同値なので、λがAの固有値である事はA-λIが全単射でない事と同値である。したがってλがAの固有値ではない場合、A-λIは全単射である為、
R λ := ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle R_{\lambda }:=(A-\lambda I)^{-1}}
が存在し、逆にRλが存在すればλはAの固有値ではない。
しかし無限次元の場合には
単射ではない全射線形作用素
全射ではない単射線形作用素
が存在するため、このような単純な関係は存在しない。スペクトル理論は、上述のような作用素の存在を考慮した上で、固有値・固有ベクトルの理論を適切に「無限次元化」したものである。
実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は何らかのL空間 L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} と同型で、Aは L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} 上で実数値関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} を乗じる作用素として表現できるので、hの像である実数直線R上に測度h*(μ)を入れれば、
L 2 ( X , μ ) ≃ ∫ R ⊕ H λ d h ∗ ( μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )\simeq \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} h_{*}(\mu )} 、 ここで H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )}
と表記できる。 H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )} が{0}でないλの集合がσ(A)と一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をσ(A)に制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
が成立する。
スペクトル測度μは、以上の考察を無限次元に拡張する事を可能にする概念であり、Rのボレル可測部分集合Bに対し、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の閉部分線形空間への正射影変換μ(B)を対応させる。スペクトル測度μの概念を直観的に説明するため、再び有限次元の場合を考えると、Bとスペクトルσ(A)={λ1,...,λn}の共通部分が { λ j 1 , ... , λ j m } {\displaystyle \{\lambda _{j_{1}},\ldots ,\lambda _{j_{m}}\}} であるとき、スペクトル測度μによるBの像μ(B)は、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分空間
V λ j 1 ⊕ ⋯ ⊕ V λ j m {\displaystyle V_{\lambda _{j_{1}}}\oplus \cdots \oplus V_{\lambda _{j_{m}}}}
に射影する射影変換である。
定理 ― 複素数の集合Cはレゾルベント集合ρ(A)とスペクトルσ(A)により、
C = ρ ( A ) ⊔ σ ( A ) {\displaystyle \mathbf {C} =\rho (A)\sqcup \sigma (A)}
と互いに交わらない和として書き表す事ができ、さらにスペクトルσ(A)は点スペクトルσP(A)と連続スペクトルσc(A)と剰余スペクトルσr(A)により、
σ ( A ) = σ P ( A ) ⊔ σ c ( A ) ⊔ σ r ( A ) {\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{P}(A)\sqcup \sigma _{c}(A)\sqcup \sigma _{r}(A)}
と互いに交わらない和として書き表せる。
なお連続スペクトルは本稿で述べたのとは別の定義があり、その定義を採用した場合には連続スペクトルと剰余スペクトルは排他的になるとは限らない。
点スペクトルσP(A)以外ではA-λIが単射になるので、A-λIの像の上で逆写像 ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} が定義できるが、剰余スペクトルでは ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} の定義域は有界ではなく、連続スペクトルでは稠密に定義されているが有界ではなく、レゾルベント集合では全域で定義されていてしかも有界である。
また稠密に定義された線形作用素 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が、拡大 S ⊃ T {\displaystyle S\supset T} でSが閉作用素であるものを持つとき、Tは可閉作用素であるという。
Tが可閉作用素であるとき、Tの拡大線形作用素 S ⊃ T {\displaystyle S\supset T} で上記の性質を満たす(包含関係に関する)最小のもの T ̄ {\displaystyle {\bar {T}}} が必ず存在することが知られており、 T ̄ {\displaystyle {\bar {T}}} をTの閉包作用素という。
Tが可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列ψn∈Dom(T)に対し、n→∞のときψn→0かつT(ψn)→χであればχ=0が成立する事である。
, d {\displaystyle j,k=1,\ldots ,d} に対して成立する閉部分空間 K ⊊ H {\displaystyle {\mathcal {K}}\subsetneq {\mathcal {H}}} は K = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {K}}=\{0\}} に限る。
∑ j = 1 d A j 2 | D + B j 2 | D {\displaystyle \sum _{j=1}^{d}A_{j}{}^{2}|_{D}+B_{j}{}^{2}|_{D}} は本質的に自己共役である
このとき、同型写像
U : H → L 2 ( R d ) {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}
が存在し、
∀ j , k = 1 , ... , d : {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~:~} U A j U − 1 = Q j , {\displaystyle UA_{j}U^{-1}=Q_{j},\quad } U B j U − 1 = P j . {\displaystyle UB_{j}U^{-1}=P_{j}.}
よって特に、(可分性を仮定しなかったにもかかわらず) H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が可分である事が従う。
本節では超関数の概念を定式化するのに必要な概念を導入する。
写像
ι † : H ↪ G ′ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'}
は反線形な埋め込み写像なので、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の共役線形空間をそれぞれ H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} 、 G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} とすると、
ι † : H ∗ ↪ G ′ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}^{*}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'}
ι † : H ↪ G ′ ∗ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'^{*}}
はいずれも線形な埋め込みとなる。
スペクトルとは、有限次元における固有値・固有ベクトルの理論の「無限次元版」であり、量子力学では物理量を観測する時に得られる値の集合となる。本節の目標は、ヒルベルト空間上定義された自己共役作用素のスペクトルの概略を述べる。