ユークリッド位相
任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。
すなわち、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球 B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} の和集合で与えられる。ここで B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} は、 B r ( p ) := { x ∈ R n : d ( p , x ) < r } ( 0 < r ∈ R , p ∈ R n ) {\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})}
( d {\displaystyle d} はユークリッド距離)で定義される。