シュニレルマン密度
シュニレルマンの定理は、和集合がどのように蓄積されるかについて、最初の見方を与えている。この結論は、一見、 σ {\displaystyle \sigma } が優加法性(superadditive)を持っていることが、不幸に見えるが、シュニレルマンは次のような結果を示し、彼の目指した目的へほぼ到達した。
定理. A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} を自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } の部分集合とする。 σ A + σ B ≥ 1 {\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1} であれば、
A ⊕ B = N . {\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}
となる。言い換えると、 σ A + σ B > 1 {\displaystyle \sigma A+\sigma B>1} かつ A が 0 を含んでいるならば A + B はすべての整数を含んでいる。
実際、 n ∉ A + B {\displaystyle n\notin A+B} ならば、 n および n − a i {\displaystyle n-a_{i}} の形の数は B に含まれないから、 B ( n ) ≤ n − 1 − A ( n − 1 ) ≤ n − A ( n ) {\displaystyle B(n)\leq n-1-A(n-1)\leq n-A(n)} となり、よって σ A + σ B ≤ ( A ( n ) + B ( n ) ) / n ≤ 1 {\displaystyle \sigma A+\sigma B\leq (A(n)+B(n))/n\leq 1} となる。