フビニ・スタディ計量
により標準基底の上で与えられる。このエルミート計量は、R 上の標準のユークリッド計量として実現される。この計量は、C 上の対角作用の下に不変ではないので、直接、CP の中の商として落とし込むことは不可能である。しかし、この計量は S = U(1) 上の回転群の対角作用の下では不変であるので、上の構成 step (a) が完了れば step (b) が可能となる。
フビニ・スタディ計量(Fubini–Study metric)は、商 CP = S/S 上に誘導された計量であり、そこでは S 2 n + 1 {\displaystyle S^{2n+1}} が標準のユークリッド計量の単位超球面上へ制限することにより、いわゆる「周囲の計量」(round metric)として与えられる。
: Z n ] {\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]} は斉次座標(英語版)(homogenous coordinates)での射影空間 C P n {\displaystyle \mathbb {C} P^{n}} の標準的記法である。すると、2つの点 | ψ ⟩ = Z α {\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }} and | φ ⟩ = W α {\displaystyle \vert \phi \rangle =W_{\alpha }} が空間内に与えられると、これらの間の距離は、
γ ( ψ , φ ) = arccos  ⟨ ψ | φ ⟩ ⟨ φ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ ⟨ φ | φ ⟩ {\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}
あるいは、同じことであるが射影多様体の記法では、
γ ( ψ , φ ) = γ ( Z , W ) = arccos  Z α W ̄ α W β Z ̄ β Z α Z ̄ α W β W ̄ β .
フビニ・スタディ計量は複素射影空間の商空間の構成の中で自然に現れる。
特に、CP を C の中のすべての複素直線からなる空間として、つまり、各々の点に複素数を掛けること(スケーリング)を同一視することによる C ∖ {\displaystyle \setminus } {0} の商空間として定義される。これは、乗法群 C = C ∖ {\displaystyle \setminus } {0} の対角的な群作用による商と一致する。
C P n = { Z = [ Z 0 , Z 1 , ... , Z n ] ∈ C n + 1 ∖ { 0 } } / { Z ∼ c Z , c ∈ C ∗ } . {\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\,\right\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}
この商は、基礎空間 CP 上の複素ラインバンドルとして C\{0} として実現される。(実際、この商は CP 上のトートロジーバンドル(英語版)(tautological bundle)である。)このようにして、CP は、0 でない複素数によるリスケールを modulo とした (n + 1)-個の組 [Z0,...,Zn] の同値類と同一視される。