慣性半径
最後の変形は、i,jについてそれぞれ和を展開することで以下のように変形できる事を利用した。こうして、2つ目の定義と1つ目の定義が一致することが示せた。
1 N 2 ∑ i , j ( r i ⋅ r j ) = 1 N 2 ∑ i r i ⋅ ( ∑ j r j ) = 1 N ∑ i r i ⋅ r m e a n = r m e a n ⋅ r m e a n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}
R g 2 = d e f − r m e a n ⋅ r m e a n + 1 N ∑ k = 1 N ( r k ⋅ r k ) {\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}
一方、2つ目の定義の積を同じように計算すると、以下のように計算できる。