平方根
一般の環において、a の平方根 b を b = a のことと定めるならば、一般には平方根は符号を除いて一意とは限らない。
たとえば合同類環 Z/8Z を考えれば、この環において単位元 1 は相異なる四つの平方根を持つ(具体的には ±1, ±3)。他方、元 2 は平方根を持たない。詳細は平方剰余の項を参照されたい。
他の例として四元数体 H において、−1 は ±i, ±j, ±k を含む無数の平方根を持つ。実は −1 の平方根の全体はちょうど集合
{ a i + b j + c k ∣ a 2 + b 2 + c 2 = 1 } {\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}}
であり、したがって各平方根は絶対値が等しく、この集合は三次元空間内の二次元単位球面を描く。四元数#−1 の平方根も参照。
零元 0 の平方根は、定義により、0 自身または零因子である。四元数体のような可除環では零因子が存在しないから、一般に 0 の平方根は 0 のみである。しかし、零因子が存在しうる一般の環では必ずしもそうでないことは、反例として任意の自然数 n に対するZ/nZ を考えればよい(この場合、n は零因子であり、実際に n = 0 を満たす)。
) 2 ( 4 n ) x n {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}x^{n}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}}
が |x| < 1 で成り立つ。
x > 0, 自然数 n に対して帰納的に
f n ( x ) = x + x + x + x + . . . {\displaystyle f_{n}(x)={\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+...}}}}}}}}}
(x および根号の個数は n)と定めると、函数列 (fn) は漸化式
f n + 1 ( x ) 2 = x + f n ( x ) {\displaystyle f_{n+1}(x)^{2}=x+f_{n}(x)}
に従い、(fn) は α(x) > 0 に収束するならば α(x) − α(x) − x = 0 でなければならないから、
lim n → ∞ f n ( x ) = x + 1 4 + 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\sqrt {x+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {1}{2}}}
が成り立つ。