ベズーの等式
ベズーの等式は2つよりも多い整数に対して拡張することができる:
gcd ( a 1 , a 2 , ... , a n ) = d {\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d}
とおくと、整数 x 1 , x 2 , ... , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} が存在して、
d = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}
が成り立つ。また右辺の形の数式は以下の性質をもつ:
d はこの形の最小の正の整数である
この形の数はすべて d の倍数である
フランス人数学者 エティエンヌ・ベズー(Étienne Bézout 1730年–1783年)がこの等式を多項式に対して証明した。しかしながら、整数に対するこのステートメントは別のフランス人数学者クロード・バシェ(英語版)(Claude Gaspard Bachet de Méziriac 1581年–1638年)の仕事において既に見つかったものである。これらのページにおいてバシェ は(方程式なしに)次を証明する。
“Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre.”(フランス語)(互いに素な2つの数が与えられたとき、一方の倍数が他方の倍数より 1 大きいような最小の倍数を見つけよ。)
この問題(すなわち ax - by = 1)はベズーの方程式の特別なケースであり、バシェはそれを用いてページ199ffに現れる問題を解いた。次も参照。