ヴァイエルシュトラスの楕円函数
上記の不変量を用いて
j ( ω 1 , ω 2 ) = 1728 g 2 3 Δ {\displaystyle j(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1728g_{2}^{3}}{\Delta }}}
と定めると、 Δ および g2はともに次数 −12 の斉次函数であるから j は次数 0 の斉次関数である。つまり τ = ω2/ω1 ならばつねに
j ( ω 1 , ω 2 ) = j ( 1 , τ ) {\displaystyle j(\omega _{1},\omega _{2})=j(1,\tau )}
が成り立つ。したがってこれは周期比 \tau=ω2/ω1 によってのみ定まるので1変数関数
j ( τ ) = j ( 1 , τ ) = 1728 g 2 3 ( 1 , τ ) Δ ( 1 , τ ) {\displaystyle j(\tau )=j(1,\tau )={\frac {1728g_{2}^{3}(1,\tau )}{\Delta (1,\tau )}}}
が定義される。これをフェリックス・クラインの j-不変量、j-函数、あるいは単に j-不変量 (j-invariant) という。