疫学における区画モデル
∂ t i ( t , a ) + ∂ a i ( t , a ) = s ( a , t ) ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 − μ ( a ) i ( a , t ) − γ ( a ) i ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)}
∂ t r ( t , a ) + ∂ a r ( t , a ) = − μ ( a ) r ( a , t ) + γ ( a ) i ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)}
上式において、
F ( a , t , i ( ⋅ , ⋅ ) ) = ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 {\displaystyle F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}
R 0 ( 1 − P ) ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , I ( t ) ) = D F E = ( N ( 1 − P ) , 0 ) {\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}
R 0 ( 1 − P ) > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , I ( t ) ) = E E = ( N R 0 ( 1 − P ) , N ( R 0 ( 1 − P ) − 1 ) ) {\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right)}
を満たす。
つまり
P < P ∗ = 1 − 1 R 0 {\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}
ならば、予防接種計画は病気の根絶には成功せず、それどころか、ワクチン接種をしなかった場合よりは低いレベルではあるが、流行し続けることになる。つまり、この数理モデルは、基本再生産数が18ほど高い病気を根絶するためには、少なくとも94.4%の新生児にワクチンを接種する必要があることを示唆している。
パルス予防接種戦略(英語版)では、特定の年齢集団(幼児や高齢者など)にワクチンを接種することを繰り返す。この方法を用いると、感受性個体の集団は直ちに除去され、集団全体から(麻疹といった)感染症を排除することが可能となる。T時間単位毎に、感受性保持者の一定の割合pが(病気の動態に対して)比較的短い時間内に接種を受ける。これにより、感受性保持者と予防接種済みの集団について、次のようなインパルス微分方程式が導かれる。
d S d t = μ N − μ S − β I N S , S ( n T + ) = ( 1 − p ) S ( n T − ) , n = 0 , 1 , 2 , ... d V d t = − μ V , V ( n T + ) = V ( n T − ) + p S ( n T − ) , n = 0 , 1 , 2 , ...