ケーラー多様体
数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体(ケーラーたようたい、英: Kähler manifold)とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という3つが互いに整合性を持つ多様体である。ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続が、標準直線束上の接続を引き起こす。
滑らかな射影代数多様体はケーラー多様体の重要な例である。小平埋め込み定理により、正の直線束を持つケーラー多様体は、常に射影空間の中へ双正則に埋め込むことができる。
ケーラー多様体の名前はドイツ人数学者エーリッヒ・ケーラー (Erich Kähler) にちなんでいる。
ケーラー多様体は、リッチテンソルが計量テンソルに比例する、つまりある定数 λ に対し R = λ g {\displaystyle R=\lambda g} である場合に、この計量を ケーラー・アインシュタイン (あるいはアインシュタイン・ケーラー)計量と呼ぶ。この命名はアインシュタインの宇宙定数について考えたことにちなむ。さらに詳しくはアインシュタイン多様体の項目を参照のこと。
アインシュタイン性は、リーマン多様体についても定義できる。X がケーラーであれば、クリストフェル記号 Γ β γ α {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }} がゼロとなり、リッチテンソルが非常に簡素化される。従って、ケーラー条件はリッチテンソルと深く関係する。事実、オーバン(Thierry Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)は、チャーン類が c1 = 0 であるコンパクトなケーラー多様体は唯一のリッチ平坦な計量が各々のケーラー類にあることを使いカラビ予想を証明した。しかし、ケーラー多様体が非コンパクトの場合は、さらに状況が複雑になり、いくつかの研究はあるものの最終的な結果はえられていない。