曲面 (数学)
媒介付けられた曲面(短く、媒介曲面)は、ユークリッド平面(典型的には R)の開部分集合の位相空間(よくあるのは、次元が 3 以上のユークリッド空間)への連続函数による像を言う。この函数は連続的微分可能と仮定するのが通例であり、本項でも常にそのように仮定する。
より具体的に、R 内の媒介曲線は、媒介変数と呼ばれる二つの変数 u, v に関する函数の三つ組
として与えられる。ただし、そのような函数の像が曲線になることが起こり得る(例えば、三つの函数すべてが v に関して定数のときはそうである)から、更なる条件を課す必要があり、それは一般にヤコビ行列
が媒介変数のほとんど全ての値に対して階数 2 であるという形に述べることができる。ここで「ほとんど全て」というのは、階数 2 となる値の集合が媒介表示の変域の稠密開部分集合を含むという意味で言う。高次元空間内の曲面の場合も、ヤコビ行列の列の数が違うだけで、同じ形に条件を述べることができる。
媒介曲線上の正則でない点は非正則 (irregular) であると言う。非正則点にはいくつか種類がある。
媒介変数を取り換えるとき、非正則点が正則点に変わることが起こり得る。例えば、単位球面をオイラー角で媒介表示したときの極点は非正則だが、これを正則にするには座標軸の役割を入れ替えて極点でないようにすれば十分である。
その一方で、円錐の方程式
を考えるとき、この円錐の頂点すなわち原点 (0, 0, 0) (t = 0) は非正則点であって、かつ媒介変数をどのように選んでも非正則であることは変わらない。そうでなければ接平面が一意に存在しなければならないことに注意する。このように接平面の定義されない非正則点は特異 (singular) であると言う。
別な種類の特異点も存在する。自己交叉点 (self-crossing points) は曲面が自分自身と交叉する点を言う(これは媒介変数の少なくともふたつ別々の値が同じ点を表しているという状況になっている)。