ラザフォード散乱
このことは次の等式を含意する。
2 π I b | d b | = I d σ d Ω d Ω {\displaystyle 2\pi Ib\left|\mathrm {d} b\right|=I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega }
クーロンポテンシャルのように球対称な散乱ポテンシャルの場合、dΩ = 2πsin ΘdΘ が得られ、散乱断面積は次のように得られる。
d σ d Ω = b sin  Θ | d b d Θ | {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {b}{\sin {\Theta }}}\left|{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \Theta }}\right|}
最後に、この式に衝突径数の関数形 b(Θ) を代入するとラザフォード散乱断面積が次のように得られる。
d σ d Ω = ( Z 1 Z 2 e 2 8 π ε 0 m v 0 2 ) 2 csc 4  ( Θ 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}mv_{0}^{2}}}\right)^{2}\csc ^{4}{\left({\frac {\Theta }{2}}\right)}}
という形に求まる。散乱角 Θ は散乱後の漸近線について u → 0 を以下の様に解けば得られる。
Θ = 2 θ 0 − π = 2 arctan  b κ = 2 arctan  Z 1 Z 2 e 2 4 π ε 0 m v 0 2 b {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta &=2\theta _{0}-\pi =2\arctan b\kappa \\&=2\arctan {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}mv_{0}^{2}b}}\end{aligned}}}
b は次のように解かれる。
b = Z 1 Z 2 e 2 4 π ε 0 m v 0 2 cot  Θ 2 {\displaystyle b={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}mv_{0}^{2}}}\cot {\frac {\Theta }{2}}}
この結果から散乱断面積を得るには、次の定義を考慮する。
d σ d Ω ( Ω ) d Ω = n I {\displaystyle {{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega }={\frac {n}{I}}}
ここで、n は立体角 dΩ 内に散乱される粒子の数、I は入射強度とする。
E と b に対して散乱角は一意に決定されることから、散乱角 Θ から Θ + dΘ に散乱される粒子数は対応する衝突径数 b から b + db を満たす粒子の数に等しい。