アイゼンシュタイン整数
Z [ ω ] := { a + b ω ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [\,\omega \,]:=\{a+b\,\omega \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}
である。Z[ω] は複素数体 C の部分環であるから、整域である。
Q を有理数体とし、
Q ( ω ) := { a + b ω ∣ a , b ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} (\,\omega \,):=\{a+b\omega \mid a,b\in \mathbb {Q} \}}
と定義する。Z[ω] は Q[ω] の代数的整数環である。Q[ω] は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、アイゼンシュタイン整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。
アイゼンシュタインがアイゼンシュタイン整数を導入した動機は、3乗剰余の問題、すなわち、
整数 n と素数 p に対して合同式 x ≡ n (mod p) が解を持つのはいかなる場合か。
という問題に答えるためである。1796年に平方剰余の相互法則を証明したガウスはその後、高次の相互法則について研究した。彼は1828年と1832年に、4乗剰余に関する論文を刊行し、4乗剰余を考える際には、有理整数環 Z に 1 の原始4乗根を付加した環を考えることが本質的であることを示した。3乗剰余の問題に対してはアイゼンシュタイン整数環が本質的であることは、その類似である。アイゼンシュタインは、1844年に3乗剰余の相互法則を定式化し、証明を与えた。