確率変数の収束
しかし、それは、それら2つの列の差や比によって定義される列を研究することによって容易に扱うことができる。
例えば、等しい有限の平均と分散を持つような n 個の無相関(英語版)確率変数 Yi, i = 1, ..., n の平均が
X n = 1 n ∑ i = 1 n Y i {\displaystyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}
で与えられるとすると、n が無限大へと近付く時、Xn は確率変数 Yi の共通の平均 μ へと確率収束(下記参照)する。この結果は大数の弱法則として知られる。別のタイプの収束は、中心極限定理を含む別の有用な定理において重要となる。
以下では、(Xn) を確率変数列とし、X を確率変数とし、それらすべては同一の確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} 上で定義されるものとする。
このタイプの収束により、ある与えられた確率分布によってより良くモデル化されるようなランダム実験の列における結果を期待することができる。
分布収束は、この記事内で述べられる全ての他のタイプの収束も意味するという点において、最も弱い収束である。しかしながら、実際の現場において、分布収束は非常によく利用される; 最もよく現れるのは、中心極限定理の応用においてである。
Xn が X へと分布収束し、Xn と Yn の差が 0 へと確率収束するなら、Yn もまた X へ分布収束する: X n → d X , | X n − Y n | → p 0 ⇒ Y n → d X {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {p}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}
Xn が X へ分布収束し、Yn が定数 c へ分布収束するなら、それらの結合ベクトル (Xn, Yn) は (X, c) へ分布収束する: X n → d X , Y n → d c ⇒ ( X n , Y n ) → d ( X , c ) {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ (X,c)} provided c is a constant.
ここで Yn が定数へ収束するという条件が重要であることに注意されたい。もしその収束がある確率変数 Y へのものであったら、(Xn, Yn) が (X, Y) へ収束するという結論は得られない。