ベッツの法則
まず途中に羽根車が設置されているチューブ状の流管を考え、はじめに速度v1 であった流体が羽根車を通過し仕事をすることによってその速度を減じ、一定速度v2 で遠方へ流れていくような状況を仮定する(v1 > v2 )。羽根車は薄い円盤状で流管の断面全体を覆っており、その面積はS とする。また、圧力差は羽根車の回転面前後で局所的に生じているだけで両遠方では互いに等しいとする。
このとき羽根車を挟んで連続的に流体速度が変化するとし、また羽根車の前後で流体の密度ρや温度が変化しないと仮定するとちょうど羽根車の位置での流体速度はv1 とv2 の単純な平均となるので、それをvavg とすれば以下のように書ける。
v a v g = 1 2 ( v 1 + v 2 ) {\displaystyle v_{\rm {avg}}={\frac {1}{2}}(v_{1}+v_{2})}
これより単位時間当りに羽根車を通過する質量流量 m ̇ {\displaystyle {\dot {m}}} は
m ̇ = ρ S v a v g = 1 2 ρ S ( v 1 + v 2 ) {\displaystyle {\dot {m}}=\rho Sv_{\rm {avg}}={\frac {1}{2}}\rho S(v_{1}+v_{2})}
となる。この m ̇ {\displaystyle {\dot {m}}} を用いると羽根車前後での単位時間当りの流体の運動エネルギー変化は以下のように書ける。