特殊相対性理論
i = 1, 2, 3 に対し、4元運動量の定義より、
p i = m d x i d τ = m d x i / d t d τ / d t = m v i 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle p^{i}=m{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {m\mathrm {d} x^{i}/\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau /\mathrm {d} t}}={\frac {mv^{i}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}
である。ここで v = (v, v, v) はこの慣性座標系における質点の速度ベクトルであり、v = |v|である。
v / c → 0 の極限において p は mv に漸近するので、4元運動量の空間部分 (p, p, p) はニュートン力学の運動量 (mv, mv, mv) をローレンツ変換で不変にしたものであるとみなす事ができる。
また、(p, p, p) は質点の「見かけ上の重さ」が
M := m 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle M:={\frac {m}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}
である場合の運動量とみなすこともできる。
以下の事実は、質点の速度が光速を越えない限り座標系の取り替えで因果律が破綻しない事を意味している:
x→ ≦ y→ かつ x→ ≠ y→ ⇔ 全ての慣性座標系で、y→ は x→ より時間的に後に起こる。
実際、どのような慣性座標系を選んでも、その時間軸 e→0 は未来の光円錐内または未来の光円錐上にあるので、x→ ≦ y→ であれば、x→ から y→ までに流れる時間 η(y→ - x→, e→0) は正である。
一方、x→ ≦ y→ でも y→ ≦ x→ でもないとき、すなわち y→ − x→ が空間的なときはこのような関係は成り立たない。y→ − x→ が空間的なとき、以下の3種類の慣性座標系が存在する:
y→ が x→ より後に起こる
y→ と x→ が同時に起こる
x→ が y→ より先に起こる
すなわち空間的な関係にある2点 x→、y→ の時間的な順序関係は慣性系に依存してしまう。これはニュートン力学的な直観に反するが、x→ と y→ には因果関係がないので、どちらが先に起ころうとも因果律が破綻することはない。
力学において、電磁気学の説くところによれば、観測者あるいは観測対象の慣性運動を伴う実験において、その結果には従来のニュートン力学の示すところと不整合が生じ得る (#特殊相対性理論に至るまでの背景)。アルベルト・アインシュタインは1905年に発表した論文において特殊相対性理論を発表し、電磁気学的現象まで含めた慣性系間の等価性を公理として、以下の帰結を示した。
ある観測者に対する、時間の経過と空間中の移動速度との関係 相対運動する座標系における時間の経過 相対運動する座標系における、“ローレンツ収縮”の空間上の形状にかかる効果
質量とエネルギーの等価性
特殊相対性理論はニュートン力学では説明できなかった事柄をことごとく説明しており、とりわけ、ニュートン力学が矛盾をきたす光速度に近い速度で運動する物体の力学的挙動に対して、その実験事実によく整合する。こういった経緯から、特殊相対性理論を含む相対性理論は、現代物理学において重要な一体系として支持されている。定性的には、物体に対するエネルギーの放出・吸収にともなったその質量の減少・増加などが確認されている。
その名の通り、特殊相対性理論は一般相対性理論に包含される特殊論である。一般相対性理論が重力をはじめとする外力(あるいは慣性力)のある非慣性系等の定式化を含むものであるのに対して、特殊相対性理論では慣性力のはたらかない状況(たとえば加減速のない状況)、すなわち慣性系を主眼に据えて扱う。慣性系は非慣性系を含むあらゆる座標系の特殊・特別な場合のひとつであるので、本理論はこれを指すために「特殊」の語を冠して特殊相対論と呼称している。
ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間 V 上の線形変換 φ : V → V でミンコフスキー計量を変えないもの、すなわち任意の4元ベクトル a→、b→ に対し、
η ( φ ( a → ) , φ ( b → ) ) = η ( a → , b → ) {\displaystyle \eta (\varphi ({\vec {a}}),\varphi ({\vec {b}}))=\eta ({\vec {a}},{\vec {b}})}
が成立するものの事である。
ユークリッド空間で内積を変えない線形変換は合同変換であるので、ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間における合同変換の対応物である。
ただし正規直交基底の場合と同様、ローレンツ変換にも
空間方向の向きを保たないもの
時間方向の向きを保たないもの
が存在するのでこのようなものは以下除外して考える。
なお、空間方向の向き、時間方向の向きの両方を保つローレンツ変換を正規ローレンツ変換という事があるが、本項では以下、特に断りがない限り、単にローレンツ変換と言ったならば正規ローレンツ変換を指すものとする。
ローレンツ変換 φ と4元ベクトル b→ を使って
f(x→) = φ(x→) + b→
の形に書ける線形変換をポアンカレ変換という。特殊相対性理論では、2人の観測者が原点で出会ったケースにおいてローレンツ変換に関して議論する事が多いが、これは出会った場所を原点に平行移動した上で議論しているという事なので、実質的にはポアンカレ変換に関する議論である事が多い。
( v x ′ , v y ′ , v z ′ ) = c ( d x ′ , d y ′ , d z ′ ) c d t ′ = c ( γ ( d x − v d t ) , d y , d z ) γ ( c d t + ( v / c ) d x ) = ( v x − V , v y / γ , v z / γ ) 1 + V v x / c 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}(v'_{x},v'_{y},v'_{z})&={\frac {c(\mathrm {d} x',\mathrm {d} y',\mathrm {d} z')}{c\mathrm {d} t'}}\\&={\frac {c(\gamma (\mathrm {d} x-v\mathrm {d} t),\mathrm {d} y,\mathrm {d} z)}{\gamma (c\mathrm {d} t+(v/c)\mathrm {d} x)}}\\&={\frac {(v_{x}-V,v_{y}/\gamma ,v_{z}/\gamma )}{1+Vv_{x}/c^{2}}}.\end{aligned}}}
変分法を用いる事で、以下の事実を示せる:ミンコフスキー空間上の2つの世界点 x→, y→ を結ぶ世界線(で光速度未満のもの)のうち、最も固有時間が長くなるのは、x→ と y→ を直線的に結ぶ世界線である。
x→ から y→ へと直線的に動く観測者は慣性系にいることになるので、これは慣性運動している場合が最も固有時間が長くなる事を意味する。
固有時間が世界線の「長さ」であった事に着目すると、上述した事実は、ユークリッド空間上の二点を結ぶ最短線が直線であることに対応している事がわかる。なお、ユークリッド空間では「最短」であったはずの直線がミンコフスキー空間上では「最大」に変わっているのは、ミンコフスキーノルムの2乗 (ct) − x − y − z の空間部分がユークリッドノルムの2乗 x + y + z とは符号が反対である事に起因する。
ローレンツ変換の具体的な形を求める為、まずは基底をより解析がしやすいものに置き換える。
基底 e→0, e→1, e→2, e→3 の「空間部分」である e→1, e→2, e→3 の張るミンコフスキー空間上の部分空間を E とし、同様に基底 e′→0, e′→1, e′→2, e′→3 の空間部分である e′→1, e′→2, e′→3 の張るミンコフスキー空間上の部分空間を E′ とする。これらはそれぞれの慣性座標系における空間方向を表している。
e→1, e→2, e→3 を E 内で回転した別の正規直交基底に取り替えても、e→0, e→1, e→2, e→3 と実質的に同じ慣性系を表しているとみなしてよい。そこで (e→1, e→2, e→3), (e′→1, e′→2, e′→3) をそれぞれ E 内、E′ 内で回転することで、ローレンツ変換 φ の行列表示 Λ を簡単な形で表すことを試みる。
E と E′ の共通部分 E ∩ E′ を U とすると、U は4次元ベクトル空間上の2つの3次元部分ベクトル空間の共通部分なので、U は2次元(以上)のベクトル空間である。従って E 内で (e→1, e→2, e→3) を回転することで、e→2, e→3 ∈ U としてよく、同様に E′ 内の回転により e′→2, e′→3 ∈ U とできる。