アーベル群の圏
忘却函手(英語版) Ab → Set はアーベル群の群構造を忘れて、その台集合を割り当てる(各群準同型も単に集合間の写像と見なす)ものである。この函手は忠実ゆえ、アーベル群の圏 Abは具体圏(英語版)である。この忘却函手は左随伴(任意の集合に、それが生成する自由アーベル群を割り当てる函手)を持つが、右随伴は持たない。
アーベル群の圏 Ab において直極限をとる操作は完全函手である。整数の加法群 Z は生成対象(英語版) であるから、したがってアーベル群の圏 Ab はグロタンディエック圏(英語版)になる(実際には、Ab はグロタンディエック圏の原型例である)。
アーベル群の圏 Ab に属する対象が入射対象となるための必要十分条件は、それが可除群となることである。また射影対象となるための必要十分条件は、それが自由アーベル群となることである。Ab は射影的生成対象 Z と入射的余生成対象(英語版) Q/Z を持つ。
二つのアーベル群 A, B が与えられたとき、それらのテンソル積 A ⊗ B が定義され、ふたたびアーベル群を成す。テンソル積を備えた Ab は対称モノイド圏を成す。
アーベル群の圏 Ab はデカルト閉でない(したがってトポスにもならない)。これは指数対象がないためである。