ロドリゲスの回転公式
R 上のベクトル r = [rx ry rz] を、単位ベクトル n = [nx ny nz] を軸に、右手の法則に基づく回転角度 θ だけ回転させた結果得られたベクトルを s = [sx sy sz] とすると、s は以下のように表される。
s = ( cos  θ ) r + ( 1 − cos  θ ) ( n ⋅ r ) n + ( sin  θ ) ( n × r ) = ( cos  θ ) r + ( 1 − cos  θ ) { n × ( n × r ) + r } + ( sin  θ ) ( n × r ) = r + ( sin  θ ) ( n × r ) + ( 1 − cos  θ ) { n × ( n × r ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {s}}&=(\cos \theta ){\boldsymbol {r}}+(1-\cos \theta )({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {n}}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\\&=(\cos \theta ){\boldsymbol {r}}+(1-\cos \theta )\{{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})+{\boldsymbol {r}}\}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\\&={\boldsymbol {r}}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})+(1-\cos \theta )\{{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\}\end{aligned}}}