上昇と下降
環の拡大 A⊆B が上昇性質 (going-up property) を満たす、上昇定理が成り立つとは、
p 1 ⊆ p 2 ⊆ ⋯ ⊆ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}
が A の素イデアルの鎖で
q 1 ⊆ q 2 ⊆ ⋯ ⊆ q m {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}}
q 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯ ⊇ q n {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}
に拡張できることをいう。
環準同型をもった環の拡大のケースの一般化がある。f : A → B を(単位的)環準同型であって B が f(A) の環拡大であるとする。このとき f が上昇性質 (going-up property) を満たすとは f(A) に対して B において上昇性質が成り立つことである。
同様に、f(A) が環拡大であれば、f が下降性質 (going-down property) を満たすとは下降性質が f(A) に対して B において成り立つということである。
A⊆B のような普通の環の拡大のケースでは、包含写像を考えればよい。