優収束定理
このとき、すべての fn および f は L に属し、関数列 {fn} は L の意味において f へと収束する。すなわち
lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ p = lim n → ∞ ( ∫ Ω | f n − f | p d μ ) 1 / p = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}=0}
が成立する。
証明のアイデア: 関数列 h n = | f n − f | p {\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}} と、それを支配する関数 ( 2 g ) p {\displaystyle (2g)^{p}} に対して、元の定理を適用すれば良い。