局所連結空間
位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 X が局所連結(きょくしょれんけつ、英: locally connected)であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。
1. 局所連結性は定義によって位相空間の局所的性質(英語版)である、すなわち或る位相的性質 P に対して空間 X が性質 P を有することと X の各点 x が性質 P を持つ集合の近傍基を持つことは同値である。それに応じて、局所的性質によって持たれるすべての「メタ性質」(metaproperties) は局所連結性に対して成り立つ。特に:
2. 空間が局所連結であることと連結部分集合の基底を持つことは同値である。
3. 空間の族 { X i } {\displaystyle \{X_{i}\}} の非交和 ∐ i X i {\displaystyle \coprod _{i}X_{i}} が局所連結であることと各 X i {\displaystyle X_{i}} が局所連結であることは同値である。特に、一点は必ず局所連結であるから、任意の離散空間は局所連結であることが従う。一方離散空間は完全不連結なので、連結であるのは高々一点からなるときに限る。
4. 逆に、完全不連結空間が局所連結であることと離散であることは同値である。これは有理数全体が局所連結でないという前に述べた事実を説明するために使うことができる。