交換子部分群
導来部分群は特性部分群ゆえ、G の任意の自己同型はそのアーベル化の自己同型を引き起こす。また、アーベル化はアーベル群ゆえ、内部自己同型は自明に作用する。従って準同型定理から準同型写像
Out  ( G ) → Aut  ( G ab ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\text{ab}})}
が得られる。
数学、特に抽象代数学における群の交換子部分群(こうかんしぶぶんぐん、英: commutator subgroup)あるいは導来部分群(どうらいぶぶんぐん、英: derived subgroup)とは、交換子全体が生成する部分群である。
交換子部分群は商がアーベル群となる最小の正規部分群であるという点で重要である。すなわち、商 G/N がアーベル群となる必要十分条件は正規部分群 N が交換子部分群を含むことである。ある意味で交換子部分群はアーベル群との差異を表していて、交換子部分群が大きいほどアーベル群との隔たりが大きいと言える。