固有値分解
冪計算の応用として、行列の指数関数
e A := ∑ n = 0 ∞ 1 n ! A n {\displaystyle e^{A}\mathrel {:=} \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}}
の計算もまた、 A {\displaystyle A} の固有値分解が既知であれば容易になる。固有値分解 A = P Λ P − 1 {\textstyle A=P\Lambda P^{-1}} に対して冪計算が A n = P Λ n P − 1 {\displaystyle A^{n}=P\Lambda ^{n}P^{-1}} であることと、行列の指数関数の各種性質から、
e A = e P Λ P − 1 = P e Λ P − 1 = P ( ∑ x = 0 ∞ 1 n ! Λ n ) P − 1 = P ( e λ 1 e λ 2 ⋱ e λ d ) P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{A}&=e^{P\Lambda P^{-1}}\\&=Pe^{\Lambda }P^{-1}\\&=P\left(\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda ^{n}\right)P^{-1}\\&=P\left({\begin{smallmatrix}e^{\lambda _{1}}&&&\\&e^{\lambda _{2}}&&\\&&\ddots &\\&&&e^{\lambda _{d}}\end{smallmatrix}}\right)P^{-1}\end{aligned}}}
と計算できる。
他にも、様々な工学的応用がある。