射影多様体
H p ( X , F ) = H p ( P r , F ) , p ≥ 0 {\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbf {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}
を用いて X = P n {\displaystyle X=\mathbf {P} ^{n}} の場合に帰着することで示される.ここで右辺の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は零拡張によって射影空間上の層と見る.すると結果は任意の整数 n に対する F = O P r ( n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{r}}(n)} に対する直接計算から従い,任意の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対しては大して難しくなくこの場合に帰着される.
上の 1 の系として,f がネータースキームからネーター環への射影射ならば,高次順像 R p f ∗ F {\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}} は coherent である.同じ結果は固有射 f に対しても成り立ち,チャウの補題の助けを借りて示すことができる.
ネーター位相空間上の層コホモロジー群 H は空間の次元よりも真に大きい i に対して消える.したがって, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のオイラー標数と呼ばれる量
ヒルベルトスキームは,H の(関手的な意味での)点が射影スキーム X の閉部分スキームに対応するという意味で,X のすべての閉部分多様体をパラメトライズする.そのようなものとして,ヒルベルトスキームはモジュライ空間,すなわち点が他の幾何学的対象をパラメトライズする幾何学的対象の例である.より正確には,ヒルベルトスキームはヒルベルト多項式が所定の多項式 P に等しい閉部分多様体をパラメトライズする.グロタンディークによる深い定理によって,k 上のスキーム H X P {\displaystyle H_{X}^{P}} であって,任意の k-スキーム T に対して全単射
{ 射 T → H PX } ↔ { T 上平坦な X ×k T の閉部分スキームで,Hilbert 多項式が P であるもの }
があるようなものが存在する.
P の余次元 1 の任意の既約閉部分集合は超曲面である,すなわち,ある斉次既約多項式の零点集合である.