滑らかな無限小解析
実数全体 R を定義域とする任意の関数は連続かつ無限回微分可能である。
この事実にもかかわらず、不連続関数 f(x) を f(x) = 1 (x = 0 のとき) かつ f(x) = 0 (x ≠ 0 のとき) とすることによって定義しようと試みることができる。もし排中律が成立するならば、この関数は全域で定義された不連続関数となる。しかしながら、x = 0 も x ≠ 0 も成立しないような、非常にたくさんの x (つまり無限小)が存在する。それゆえ、この関数は全ての実数に対しては定義されない。(訳注:より正確には「全ての実数に対して定義される」の否定が証明できる。だからといって「ある x が存在して f(x) が定義されない」ことは証明できない。もしそれが証明できたとしよう。すると、その x について、NOT (x = 0 OR x ≠0) が証明できる。ところが、グリベンコの定理により、直観主義論理では排中律の二重否定 NOT NOT (x = 0 OR x ≠ 0) は証明できる。こうして矛盾に至る。標準的な数学が無矛盾である限り、SIAは無矛盾であるので、このようなことは起こりえない。