汎函数行列式
ζ S ′ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ − log  λ n λ n s , {\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\log \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}
が得られ、従って汎函数行列式はうまく定義でき、定義は
det S = exp  ( − ζ S ′ ( 0 ) ) . {\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}
により与えられる。ゼータ函数の解析接続はゼロで正規(regular)であるから、この式は行列式の定義として厳密であることになる。
この種類のゼータ函数正規化の作用素の行列式は、 ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + a ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}} の形の和を評価する際、'a'を渡る積分が ∑ n = 0 ∞ l o g ( n + a ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }log(n+a)} を与えるときにも現れる。この和はまさに調和振動子の汎函数行列式の対数と考えることができ、最後の値は − ∂ s ζ H ( 0 , a ) {\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)} に等しい。ここに ζ H ( s , a ) {\displaystyle \zeta _{H}(s,a)} はフルビッツのゼータ函数である。
さらに、次の解を与える。
ψ 1 0 ( x ) = 1 A sinh  x A , ψ 2 0 ( x ) = x . {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}
このことは次の最終的な表現を与える。
det ( − d 2 d x 2 + A ) det ( − d 2 d x 2 ) = sinh  L A L A . {\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}