テイト・シャファレヴィッチ群
キャッセルズ・テイト対(Cassels–Tate pairing)はアーベル多様体 A とその双対 Â に対して定義される双線型対(英語版) Ш(A) × Ш(Â) → Q/Z である。キャッセルズはこれを楕円曲線の場合に導入した。この場合、A と Â は同一視できるので、この対は交代形式である。この形式の核は可除な元のなす部分群であり、テイト・シャファレヴィッチ予想が正しければこれは自明な群である。テイトはこの対をテイト双対性(英語版)の変形版として一般のアーベル多様体に拡張した。A の偏極を選ぶと A から Â への写像が定まり、これが Q/Z に値を持つ Ш(A) 上の双線型対を誘導する。楕円曲線の場合と異なり、これは交代的とは限らず歪対称でもないかもしれない。
キャッセルズは楕円曲線の場合にこのペアリングは交代的であることを示した。これから、Ш の位数が有限であればそれは平方数であることがわかる。