条件付き独立
X ⊥ ⊥ A , B ⟹ X ⊥ ⊥ A ∧ X ⊥ ⊥ B {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \implies \quad X\perp \!\!\!\perp A\quad \land \quad X\perp \!\!\!\perp B}
X ⊥ ⊥ A , B ⟺ Pr ( X ) = Pr ( X ∣ A , B ) {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,\,B\quad \iff \quad \Pr(X)=\Pr(X\mid A,\,B)}
また、
X ⊥ ⊥ A , B ⟹ X ⊥ ⊥ B ⟺ Pr ( X ) = Pr ( X ∣ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}&X\perp \!\!\!\perp A,\,B\\&\implies X\perp \!\!\!\perp B\\&\iff \Pr(X)=\Pr(X\mid B)\end{aligned}}}
以上から、 Pr ( X ∣ B ) = Pr ( X ∣ A , B ) ( ⟺ X ⊥ ⊥ A ∣ B ) {\displaystyle \Pr(X\mid B)=\Pr(X\mid A,\,B)\quad (\iff X\perp \!\!\!\perp A\mid B)}
X ⊥ ⊥ A ∣ B ⟺ Pr ( X ∣ A , B ) = Pr ( X ∣ B ) {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B\quad \iff \quad \Pr(X\mid A,\,B)=\Pr(X\mid B)}
また、
X ⊥ ⊥ B ⟺ Pr ( X ∣ B ) = Pr ( X ) {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp B\quad \iff \quad \Pr(X\mid B)=\Pr(X)}
このとき、
Pr ( X ∣ A , B ) = Pr ( X ) ( ⟺ X ⊥ ⊥ A , B ) {\displaystyle \Pr(X\mid A,\,B)=\Pr(X)\quad (\iff X\perp \!\!\!\perp A,\,B)}
以下に示すような、Stack Exchangeでの議論が参考になる
基本的な定義から、条件付き独立の記述に関する一連の規則は、導き出される 。
これらの規則は、PearlとPazによって「グラフォイド公理」と呼ばれるようになった。 X ⊥ ⊥ A ∣ B {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B} は「 X {\displaystyle X} から A {\displaystyle A} へのすべての道は集合 B {\displaystyle B} によって包含される」と解釈される。