非対角長距離秩序
ρ 1 ( x , y ) = 1 V ∑ k ⟨ n ^ k ⟩ e − i k ( x − y ) = ⟨ n ^ 0 ⟩ V + 1 V ∑ k ≠ 0 ⟨ n ^ k ⟩ e − i k ( x − y ) {\displaystyle \rho _{1}(x,y)={\frac {1}{V}}\sum _{k}\langle {\hat {n}}_{k}\rangle e^{-ik(x-y)}={\frac {\langle {\hat {n}}_{0}\rangle }{V}}+{\frac {1}{V}}\sum _{k\neq 0}\langle {\hat {n}}_{k}\rangle e^{-ik(x-y)}}
と表すことができる。但し、 n ^ k = a ^ k † a ^ k {\displaystyle {\hat {n}}_{k}={\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}} であり、第二式から第三式の移行では、波数 k = 0 {\displaystyle k=0} の成分とそれ以外の成分の項を分けている。 | x − y | → ∞ {\displaystyle |x-y|\to \infty } とする極限をとると第二項の指数 e − i k ( x − y ) {\displaystyle e^{-ik(x-y)}} は激しく振動し、打ち消しあいゼロとなるため、
lim | x − y | → ∞ ρ 1 ( x , y ) = ⟨ n ^ 0 ⟩ V {\displaystyle \lim _{|x-y|\to \infty }\rho _{1}(x,y)={\frac {\langle {\hat {n}}_{0}\rangle }{V}}}