モールの定理
モールの定理により、弾性荷重を作用させたはりの、曲げモーメント相当量 M ̄ {\displaystyle {\overline {M}}} とせん断力相当量 Q ̄ {\displaystyle {\overline {Q}}} を求めることが出来れば、与系のたわみとたわみ角が求まる。 しかし、元の弾性曲線方程式には、支点などによって設定されたたわみとたわみ角の境界条件があることを考えれば、弾性荷重を作用させるはりも、同等の境界条件を曲げモーメント相当量とせん断力相当量が満たしていなければならない。
このように境界条件を満たすために仮想的に考えられたはりを、共役ばりといい、与系のはりと共役ばりの変位と断面力を対応させて変換することで作ることができる。
代表的な与系の条件に対する共役ばりの条件は表2のようになり、この変換表を代表的なはりに適用すると表3のようになる。 このように、単純ばりは同じ単純ばりのままだが、片持ちばりでは左右が逆になり、ゲルバーばりはヒンジの位置が変わるなど、与系のはりと共役ばりでは異なるはりとなる。
すると、弾性曲線方程式を(1) M ′′ = − p {\displaystyle M''=-p} と(2) E I v ′′ = − M {\displaystyle EIv''=-M} の2段階に分けることができる。 この時、(1)は与系の曲げモーメントを力の釣り合いなどによって求めて簡易に解決できる。 一方、(2)において、 z = M / E I {\displaystyle z=M/EI} とすると、 v ′′ = − z {\displaystyle v''=-z} と記号が違うだけで(1)と同じ形に変形できる。 ゆえにzを新しい荷重(弾性荷重もしくはz荷重と呼ばれる)としてはりに作用させ、(1)と同様に力の釣り合いなどから曲げモーメントに相当する量 M ̄ {\displaystyle {\overline {M}}} を求めると、これがそのままたわみと等しくなる。また、たわみ角 θ = v ′ {\displaystyle \theta =v'} であり、せん断力 Q = M ′ {\displaystyle Q=M'} であることを考慮すると、弾性荷重に対するせん断力に相当する量 Q ̄ {\displaystyle {\overline {Q}}} が、たわみ角と等しくなる。