曲面のリーマン・ロッホの定理
初期の時点においては層係数の 1 次コホモロジー群を幾何学に記述できなかったため、曲面のリーマン・ロッホの定理は不等式で記述された。典型的な例は、Zariski (1995, p. 78)であたえられ、そこでは次のように記載されている。
r ≥ n − π + p a + 1 − i {\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}
ここに、
r は因子 D の完備一次系 |D| の次元である(従って r = h(O(D)) −1 である)
n は D の仮想次数で、自己交叉数 (D.D) で与えられる
π は D の仮想種数で、1 + (D.D + K)/2 に等しい
pa は曲面の算術種数 χ(OF) − 1 である
i は D の特性インデックスで、H(O(K − D)) の次元に等しい(セール双対性により、H(O(D)) の次元に等しい)
この不等式の両辺の間の差は、因子 D の過剰度(superabundance) s と言う。この不等式をリーマン・ロッホの定理の層の理論のバージョンと比較して、D の過剰度は s = dim H(O(D)) で与えられる。因子 D は i = s = 0 (言い換えると O(D) すべての高次コホモロジー群がゼロとなる)のとき正規、s > 0 のときsuperabundantであるという。