ベレの方法
この初期値問題を離散化し、数値的に解くため、タイムステップ Δ t > 0 {\displaystyle \Delta t>0} を選び、サンプル点列 t n = n Δ t {\displaystyle t_{n}=n\,\Delta t} を考える。このとき、問題は厳密解 x → ( t n ) {\displaystyle {\vec {x}}(t_{n})} をよく近似する点群列 x → n {\displaystyle {\vec {x}}_{n}} をもとめることに帰着する。
オイラー法が1階微分方程式中の1次微分を前進差分近似するのに対し、ベレ積分は2次微分を中心差分近似すると見ることができる。
拘束条件下にある多粒子系は、ベルレ法を用いるほうがオイラー法よりも単純に解くことができる。質点間の拘束条件はたとえば距離を特定値に拘束したり引力を印加したりする条件が考えられるが、粒子間をばねで繋いだと考えることができる。無限に硬いばねを用いれば、このモデルはベルレ法で解くことができる。
一次元の場合、i番目の質点の時刻tにおける、拘束されない位置を x ~ i ( t ) {\displaystyle {\tilde {x}}_{i}^{(t)}} 、実際の位置を x i ( t ) {\displaystyle x_{i}^{(t)}} とすると、これらの間の関係は以下のようなアルゴリズムで得ることができる。
d 1 = x 2 ( t ) − x 1 ( t ) , {\displaystyle d_{1}=x_{2}^{(t)}-x_{1}^{(t)},}
d 2 = ‖ d 1 ‖ , {\displaystyle d_{2}=\|d_{1}\|,}
d 3 = d 2 − r d 2 , {\displaystyle d_{3}={\frac {d_{2}-r}{d_{2}}},}
x 1 ( t + Δ t ) = x ~ 1 ( t + Δ t ) + 1 2 d 1 d 3 , {\displaystyle x_{1}^{(t+\Delta t)}={\tilde {x}}_{1}^{(t+\Delta t)}+{\frac {1}{2}}d_{1}d_{3},}
同じ議論として、タイムステップを半分 t n + 1 / 2 = t n + 1 2 Δ t {\displaystyle t_{n+1/2}=t_{n}+{\tfrac {1}{2}}\Delta t} にした v → n + 1 / 2 = x → n + 1 − x → n Δ t {\displaystyle {\vec {v}}_{n+1/2}={\tfrac {{\vec {x}}_{n+1}-{\vec {x}}_{n}}{\Delta t}}} は v → ( t n + 1 / 2 ) {\displaystyle {\vec {v}}(t_{n+1/2})} の2次近似である。
精度を犠牲にすれば、時刻t + Δtにおける速度を次のように近似することもできる。
v → ( t + Δ t ) = x → ( t + Δ t ) − x → ( t ) Δ t + O ( Δ t ) {\displaystyle {\vec {v}}(t+\Delta t)={\frac {{\vec {x}}(t+\Delta t)-{\vec {x}}(t)}{\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t)}