微分
n 個の実数値変数をもつ多変数関数 f(x1, ..., xn) が与えられたとする(f はスカラー値でなくベクトル値でもよい)。各 xj について、xj を除く n − 1 個の変数の値を固定することにより、f(x1, ..., xn) を変数 xj のみをもつ1変数関数とみなすことができる。そのようにみた上で f(x1, ..., xn) を変数 xj について微分するのが偏微分とよばれる操作である。
f(x1, ..., xn) が R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の開集合 D で定義されているとする。点 ( a 1 , ... , a n ) ∈ D {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in D} に対し、xj 以外の変数を xk = ak とおいて固定し、
f ( a 1 , ... , a j − 1 , x j , a j + 1 , ... , a n ) {\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x_{j},a_{j+1},\dots ,a_{n})}
という xj の1変数関数を考える。その xj = aj における微分係数
lim h → 0 f ( a 1 , ... , a j − 1 , a j + h , a j + 1 , ... , a n ) − f ( a 1 , ... , a j − 1 , a j , a j + 1 , ... , a n ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j}+h,a_{j+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j},a_{j+1},\ldots ,a_{n})}{h}}}
関数 f(x1, ..., xn) について、偏微分は f の各座標軸方向への変化を測る。f の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。
ベクトル v = (v1, ..., vn) に対して、関数 f の点 a = (a1, ..., an) における v 方向への方向微分係数とは、
lim h → 0 f ( a + h v ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}}
のことである。xj 軸正の方向の単位ベクトルを ej とするとき、ej 方向への方向微分係数は、xj に関する偏微分係数に他ならない。
f が点 a においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v について、点 a における v 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v に関して線型である。特に、v = (v1, ..., vn) に対して方向微分係数 Dvf(a) は
D v f ( a ) = ∑ j = 1 n v j ∂ f ∂ x j ( a ) {\displaystyle D_{v}f(a)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)}
によって与えられる。
f(x) = (f1(x), ..., fm(x)) が x = a において微分可能であることと、各成分 fi(x) がすべて x = a において微分可能であることは同値である。また
f ′ ( a ) = ( f 1 ′ ( a ) , ... , f m ′ ( a ) ) {\displaystyle f'(a)=(f'_{1}(a),\dots ,f'_{m}(a))}
が成り立つ。
ベクトル値関数 f(x) が区間 I の各点で微分可能なとき、f(x) は区間 I において微分可能であるという。
ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。f′′(a) は、f(x) が R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、加速度ベクトルとよばれる。