グラハム数
グラハム数は巨大すぎて、通常の指数では桁数の表現すら事実上不可能である。そのため、次のような特殊な関数を用いる。
まず、クヌースの矢印表記を使い、x, y を自然数としたとき、演算子「↑」を次のように定義する。
x ↑ y = x y {\displaystyle x\uparrow y=x^{y}}
さらに「↑↑」を次のように再帰的に定義する。
x ↑↑ 1 = x {\displaystyle x\uparrow \uparrow 1=x}
x ↑↑ y = x ↑ { x ↑↑ ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow \uparrow y=x\uparrow \left\{x\uparrow \uparrow \left(y-1\right)\right\}}
つまり、
x ↑↑ y = x ↑ x ↑ ⋯ ↑ x ⏟ y = x x ⋅ ⋅ ⋅ x ⏟ y {\displaystyle x\uparrow \uparrow y=\ \underbrace {x\uparrow x\uparrow \cdots \uparrow x} _{y}=\underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}}} _{y}}
となる( ⏟ y {\displaystyle \underbrace {} _{y}} は、x が y 個あることを表す)。ただし、演算は右から行う。
コンウェイのチェーン表記
グラハム数(グラハムすう、英: Graham's number)は、ラムゼー理論に関する未解決問題の解の推定値の上限として得られた自然数である。数学の証明で使われたことのある最大の数として1980年にギネスブックに認められた。
極めて巨大な自然数であり、指数表記を用いるのは事実上不可能なため、特別な表記法を用いて表される。
G(x) を実際に計算してみると、
G(1) = 3↑3 = 3→3→1 = 3→3 = 3 = 27
G(2) = 3↑↑3 = 3→3→2 = 3↑(3↑3) = 3↑G(1) = 3↑27 = 7625597484987
G(3) = 3↑↑↑3 = 3→3→3 = 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑G(2) = 3↑↑7625597484987(トリトリ)
= 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⏟ 高 さ 7625597484987 = 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⏟ 高 さ 7625597484986 ≈ exp 10 7 , 625 , 597 , 484 , 986  ( 1.09902 ) {\displaystyle =\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高 さ }}7625597484987}=3^{\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高 さ }}7625597484986}}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.