チャーン・サイモンズ理論
チャーン・サイモンズ理論は、境界がある場合もない場合も任意の位相 3-次元多様体(英語版) M の上で定義される。これらの理論は、シュワルツタイプの位相多様体の理論であるので、Mの上にはどのような計量も導入する必要がない。
チャーン・サイモンズ理論はゲージ理論である。ゲージ群 G を持つ M のチャーン・サイモンズ理論の古典的構成は M の主 G-バンドルによって表すことを意味する。このバンドルの接続は、リー群 G のリー代数に値を持つ(英語版)接続 1-形式 A によって表されることを意味する。一般に、接続 A は個別の座標の張り合わせ(英語版)によってのみきまり、また異なる張り合わせの上の A の値は、ゲージ変換として知られている写像に関係している。これらはゲージ共変微分(英語版)であることにより特徴付けられる。共変微分とは外微分作用素 d と接続 A の和のことを言うが、ゲージ群 G のリー代数の随伴表現の変換となっている。自分自身と共変微分である微分の平方根は、曲率形式あるいは場の強さ(英語版)と呼ばれる g に値を持つ 2-形式 F と解釈することができる。また、これも随伴表現の中で変換する。
2013年、キネット・インテリリゲーター(Kenneth A. Intriligator)とナタン・サイバーグ(Nathan Seiberg)は、これらの 3次元チャーン・サイモンズゲージ理論とそれらの相を、余剰な自由度を伝播するモノポールを使って解決した。発見された多くの真空のウィッテン指数は、質量パラメータを変換することで空間をコンパクト化して計算される。ある真空では、超対称性が破られる計算結果となる。これらのモノポールは凝縮系物性の渦(vortices)に関係している。(Intriligator & Seiberg (2013))
チャーン・サイモンズ理論に物質を加えると一般にはトポロジカルではなくなる。しかしながら、n 個のマヨラナフェルミオンを加えると、パリティアノマリー(英語版)ため、積分するとレベル −n/2 により 1-ループ繰り込みされた純粋チャーン・サイモンズ理論が導出される。言い換えると、n 個のフェルミオンを持つレベル k の理論はフェルミオンを持たないレベル k − n/2 の理論と等価である。
チャーン・サイモンズ項は位相場理論ではないモデルにも加えることができる。3次元では、このことが電磁気学のマックスウェル理論の作用にチャーン・サイモンズ項を加えると、質量を持つ光子がでてくる。この項は、有質量の荷電フェルミオン場(英語版)上の積分により導くことができる。また、例として量子ホール効果にも現れる。10もしくは11次元でのチャーン・サイモンズ項の生成は、全ての10、11次元の超重力理論の作用に現れる。