素数が無数に存在することの証明
現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である。
n は2以上の整数とする。n と n + 1 は互いに素 なので、N2 := n(n + 1) は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、N2 と N2 + 1 は互いに素なので、N3 := N2(N2 + 1) は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。
オイラーによる証明は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。
素数は有限個の p1, ..., pn からなると仮定する。各素数 pi に対し、等比級数の公式により
1 1 − p i − 1 = ∑ k = 0 ∞ 1 p i k {\displaystyle {\frac {1}{1-{p_{i}}^{-1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{p_{i}}^{k}}}}
が成り立つ。i = 1, ..., n における両辺の総乗を取ると、任意の自然数は素数の積として一意に表せる(算術の基本定理)ことより、
∏ i = 1 n 1 1 − p i − 1 = ∏ i = 1 n ∑ k = 0 ∞ 1 p i k = ∑ m = 1 ∞ 1 m {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-{p_{i}}^{-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{p_{i}}^{k}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}}
を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は調和級数であり、発散するので、矛盾する。
フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。
整数全体からなる集合 Z に、両方向への無限等差数列
a Z + b = { a x + b ∣ x ∈ Z } {\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\{ax+b\mid x\in \mathbb {Z} \}}
(ただし、a, b は整数で、a ≠ 0)全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、(空集合であるか)任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。
任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、
a Z + b = Z ∖ ( ⋃ i = 1 a − 1 ( a Z + b + i ) ) {\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\mathbb {Z} \setminus \left(\bigcup _{i=1}^{a-1}(a\mathbb {Z} +b+i)\right)}
という表示により、閉集合でもある。p1, ..., pn が素数全体と仮定すると、
A := ⋃ i = 1 n p i Z {\displaystyle A:=\bigcup _{i=1}^{n}p_{i}\mathbb {Z} }
は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 A の補集合 A = Z∖A は開集合である。ところが ±1 以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、A = {±1} である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。