トモグラフィー
μ ^ ( r cos  θ , − r sin  θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( x , y ) exp  ( i < r ( cos  θ , − sin  θ ) | ( x , y ) > ) d x d y {\displaystyle {\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)\,dxdy}
従って、
p ~ ( r , θ ) = μ ^ ( r cos  θ , − r sin  θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )}
が判る。
証明第二段階
(2) μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π p ~ ( r , θ ) exp  ( i < ( r cos  θ , − r sin  θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } の証明
第一段階の結論、すなわち、
ラジオグラフィー - 放射線を用いる手法。 X線トモグラフィー(X線撮影) 中性子トモグラフィー(中性子イメージング) - 中性子を利用して内部構造を可視化する。 ミューオントモグラフィー(ミュオグラフィ) - 1kmの岩盤でも透過する宇宙から降り注ぐミュー粒子を使用して内部構造を調べる手法。火山のマグマの上昇やピラミッドの内部構造の調査や原子炉の炉心の調査に使用される。
地震波トモグラフィー - 地震波の伝播時間を用いて、地球内部の3次元速度構造を求める手法。
海洋音響トモグラフィー - 海洋中の音波の伝播時間を測定して、音波の伝わった海洋の内部の状態を調べる手法。
弾性波トモグラフィ - 弾性波を使用して地質構造を可視化する。
比抵抗トモグラフィ - 地中の電気伝導度を元に地下構造を可視化する。
音響トモグラフィ - 高周波数の音響波を用いて、地盤や構造物の内部構造、岩盤やコンクリート内部の亀裂、樹木内部の空洞を非破壊で可視化する。
光コヒーレンストモグラフィ - 細胞レベルの高速・高分解能で深さ5mm未満の断層画像化に使用される。
電磁誘導トモグラフィ - 電磁波の伝播経路の伝播特性から内部構造を可視化する。