進化的安定戦略
すでに述べたように行列ゲームでは
E ( σ , ε δ σ + ( 1 − ε ) δ τ ) = E ( σ , ε σ + ( 1 − ε ) τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\varepsilon \delta _{\sigma }+(1-\varepsilon )\delta _{\tau })=E(\sigma ,\varepsilon \sigma +(1-\varepsilon )\tau )}
という単純な関係があり、しかも行列ゲームの利得関数は行列を用いて簡単に表記できるので、線形性
E ( ∑ i ν i σ i , ∑ j ε j δ τ j ) = ∑ i , j ν i ε j E ( σ i , δ τ j ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sum _{i}\nu _{i}\sigma _{i},\sum _{j}\varepsilon _{j}\delta _{\tau _{j}})=\sum _{i,j}\nu _{i}\varepsilon _{j}{\mathcal {E}}(\sigma _{i},\delta _{\tau _{j}})}
, m {\displaystyle {\mathrm {d} x_{i} \over \mathrm {d} t}(t)=\left(\mathbf {q} _{i}-\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)\right)^{T}A\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))x_{i}(t)~~~~~~{\text{for }}i=1,\ldots ,m} ...(Eq-R3)
ここで q x ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)} は平均混合戦略
q x ( t ) = ∑ j = 1 m x j ( t ) q j {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)=\textstyle \sum _{j=1}^{m}x_{j}(t)\mathbf {q} _{j}} ...
である。(Eq-R3)の導出は(Eq-R2)のそれと同様なので省略する。
2つの混合戦略 σ ∗ = ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma _{*}=(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} 、 σ = ( q i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma =(q_{i})_{i=1,\ldots ,n}} の距離を
d ( σ ∗ , σ ) := ∑ i = 1 n | p i − q i | 2 {\displaystyle \mathrm {d} (\sigma _{*},\sigma ):={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|^{2}}}} ...(2)
により定義するとき、進化的安定性を以下のように異なる角度から特徴づける事ができる:
定理2(進化的安定性の別定義との同値性) ― Gを対象な行列ゲームとし、EをGの利得関数とする。 このとき、Gにおける混合戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} が進化的に安定である必要十分条件は以下の性質(局所優位性、local superiority)を満たす事である: ある ε 0 > 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}>0} が存在し、任意の混合戦略 σ ≠ σ ∗ {\displaystyle \sigma \neq \sigma _{*}} に対し、
系R2 ― (Eq-R2)の初期値 p ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (0)} が Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} の内部 Δ n ∘ = Δ n ∖ ∂ Δ n {\displaystyle {\Delta _{n}}^{\circ }=\Delta _{n}\setminus \partial \Delta _{n}} に属していれば任意の時刻tに対し、 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} は Δ n ∘ {\displaystyle {\Delta _{n}}^{\circ }} に属している。
Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} はコンパクトであるので、以上の性質と前述の解の局所的存在性・一意性から次が従う:
定理R3 ― (Eq-R2)は任意の初期値 p ( 0 ) ∈ Δ n {\displaystyle \mathbf {p} (0)\in \Delta _{n}} に対し、任意の時刻tにおいて解が一意に存在する。
次の事実も知られている:
定理R4(行列ゲームの連続レプリケーター方程式と一般化されたロトカ・ヴォルテラの方程式との関係性) ― 写像
{ ( p 1 , ... , p n ) ∈ Δ n | p n > 0 } → R > 0 n − 1 , ( p 1 , ... , p n ) ↦ ( p 1 / p n , .
ゲーム理論における重要な均衡概念としてナッシュ均衡があり、進化的安定性は ( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle (\sigma _{*},\sigma _{*})} のナッシュ均衡性と関係がある。本項で考えているゲーム(2人対称戦略型ゲーム)の場合、混合戦略の組 ( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle (\sigma _{*},\sigma _{*})} がナッシュ均衡であるとは任意の混合戦略σに対し、
E ( σ ∗ , σ ∗ ) ≥ E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})\geq E(\sigma ,\sigma _{*})} ...(3)
が成立する事を言う。特に任意の混合戦略σに対して(3)式の不等号がイコールなしで成り立つ場合、 ( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle (\sigma _{*},\sigma _{*})} は狭義ナッシュ均衡であるという。
定理3から明らかに以下の事実が成りたつ:
定理4(ナッシュ均衡との関係) ― 任意の2人対称戦略型ゲームに対し、次が成立する:
( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle (\sigma _{*},\sigma _{*})} は狭義ナッシュ均衡 ⇒ σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} は進化的安定 ⇒ ( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle (\sigma _{*},\sigma _{*})} はナッシュ均衡
しかし定理4の逆向きの包含関係は一般には成立しない。
まず行列ゲームに対する連続レプリケーター方程式を記述する。n×nの行列 A = ( a i j ) i , j {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j}} とn行の縦ベクトルpに対し、積Apの第i行を
( A p ) i {\displaystyle (A\mathbf {p} )_{i}}
という記号で書くことにすると、利得関数が
E ( i , j ) = a i j {\displaystyle E(i,j)=a_{ij}}
と記述できる行列ゲームにおいて、純粋戦略iを取る個体の利得の期待値 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} は明らかに
f i ( p ( t ) ) = ( A p ( t ) ) i {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))=(A\mathbf {p} (t))_{i}}