ベルヌーイ多項式
を得る。この作用素を x のような m-次多項式の上に作用させる限り、右辺の和は n を 0 から m まで動かした有限和にすることができる。
ベルヌイ多項式の積分表示は有限差分としての表示から得られるノルルンド–ライス積分で与えられる。
オイラー多項式に対する一つの明示公式が
E m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 2 n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}}
で与えられる。これはまた、オイラー数 Ek を用いれば
E m ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) E k 2 k ( x − 1 2 ) m − k {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}}
とも書ける。
は第二種スターリング数をあらわす。上記とは反対に、ベルヌーイ多項式を用いて、下降階乗冪を
x n + 1 _ = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {n+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}
と表すこともできる。ここで、
[ n k ] = s ( n , k ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}=s(n,k)}
は第一種スターリング数を表す。
と理解することができるから、上記の明示式を
B m ( x ) = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n n + 1 Δ n x m {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}x^{m}}
と書くこともできる。この式を上で述べた(微分による定義の)等式から導くこともできる。x に関する微分 D に対して、前進差分 Δ は
Δ = e D − 1 {\displaystyle \Delta =e^{D}-1}
に等しいから、メルカトル級数を用いて
D e D − 1 = log  ( Δ + 1 ) Δ = ∑ n = 0 ∞ ( − Δ ) n n + 1 {\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}}
周期ベルヌーイ多項式 Pn(x) は、x の小数部分におけるベルヌーイ多項式の値に等しい。これらの関数は、オイラーの和公式の積分に関連した和の剰余項を提供するために用いられる。最初の多項式はのこぎり波関数である。
厳密にいえば、これらの関数は多項式ではまったくないので、より適切に周期ベルヌーイ関数と呼ばれるべきである。
以下の性質は興味深い。任意の x に対して:
任意の k ≠ 1 に対して、Pk(x) は連続である。
Pk'(x) は存在して、k = 0, k ≥ 3 のとき連続である。
k ≥ 3 に対して Pk'(x) = kPk−1(x) が成り立つ。
不定積分は、
∫ a x B n ( t ) d t = B n + 1 ( x ) − B n + 1 ( a ) n + 1 {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}
∫ a x E n ( t ) d t = E n + 1 ( x ) − E n + 1 ( a ) n + 1 {\displaystyle \int _{a}^{x}E_{n}(t)\,dt={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}}
である。定積分は、
∫ 0 1 B n ( t ) B m ( t ) d t = ( − 1 ) n − 1 m ! n ! ( m + n ) ! B n + m for m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1}
∫ 0 1 E n ( t ) E m ( t ) d t = ( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m ! n ! ( m + n + 2 ) ! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}
のような式が知られている。