バナッハ＝アラオグルの定理
本節ではバナッハ=アラオグルの定理の記述に必要な概念を定義する。
定義 (ノルム空間の共役空間) ― K上ノルム空間 ( V , ‖ ⋅ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} の共役空間(英: dual space。双対空間とも訳される)VはV上のK値有界線形作用素全体
V ∗ = { α : V → K ∣ α {\displaystyle V^{*}=\{\alpha ~\colon V\to K\mid \alpha } はK上の有界線形作用素 } {\displaystyle \}}
に関数としての定数倍および和に関してベクトル空間とみなしたものである。Vには作用素ノルム
‖ α ‖ V ∗ = sup x ∈ V ∖ { 0 } | α ( x ) | ‖ x ‖ V {\displaystyle \|\alpha \|_{V^{*}}=\sup _{x\in V\setminus \{0\}}{|\alpha (x)| \over \|x\|_{V}}}
によりノルムが入る。
Vの閉単位球Bは上述の作用素ノルム ‖ ⋅ ‖ V ∗ {\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}} に対して定義される:
B ∗ := { α ∈ V ∗ ∣ ‖ α ‖ V ∗ ≤ 1 } {\displaystyle B^{*}:=\{\alpha \in V^{*}\mid \|\alpha \|_{V^{*}}\leq 1\}}