メビウスの反転公式
数論的関数が与えられると、最初の総和を繰り返し適用することによって他の数論的関数の両側無限列を生成することができる。
例えば、オイラーのトーシェント関数 φ {\displaystyle \varphi } に対して変換を繰り返し適用していくと
φ , {\displaystyle \varphi ,} トーシェント関数
φ ∗ 1 = Id , {\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} ,} 恒等写像
Id ∗ 1 = σ 1 = σ , {\displaystyle \operatorname {Id} *1=\sigma _{1}=\sigma ,} 約数関数
メビウスの関数自身から始めると、
μ , {\displaystyle \mu ,} メビウス関数
μ ∗ 1 = ε , {\displaystyle \mu *1=\varepsilon ,} ただし ε ( n ) = { 1 , if n = 1 0 , if n > 1 {\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n=1\\0,&{\mbox{if }}n>1\end{cases}}} は unit function(英語版)
ε ∗ 1 = 1 , {\displaystyle \varepsilon *1=1,} 定値写像
数学において、古典的なメビウスの反転公式 (Möbius inversion formula) は、アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) によって19世紀に数論に導入された。
整除関係によって順序付けられた自然数という古典的な場合に、別の局所有限半順序集合(英語版)が取って代わると、他のメビウス反転公式が得られる。説明は隣接代数を参照。