方向微分
f ( v ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})} を、ベクトル v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関するベクトル値関数とする。このとき、すべてのベクトル u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} に対して、方向 u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} への f ( v ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})} の v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する(あるいは、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} における)微分は、次のベクトルで定義される:
∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α f ( v + α u ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=D{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.
何人かの研究者は、方向微分を正規化を施した後のベクトル v に対して定義しており、その場合その絶対値は考慮から外される。すると、
∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h | v | {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}+h{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {x}})}{h|{\boldsymbol {v}}|}}}
であるか、あるいは f が x において微分可能である場合には、
∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v | v | {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\frac {\boldsymbol {v}}{|{\boldsymbol {v}}|}}}
が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある。すなわち、その定義はベクトルのノルムが定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの f の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。