ローレンツ変換
と表すことができる。この表現を用いると、ローレンツ変換がミンコフスキー空間上での虚数角 iθ の回転に相当することが容易に理解できる。
この表式では速度の合成が容易になる。慣性系 S において、速度 u で x-軸方向に等速運動している物体は、慣性系 S′ における速度 u′ は、
u c = tanh  φ {\displaystyle {\frac {u}{c}}=\tanh {\phi }}
とすると、
u ′ c = tanh  ( φ − θ ) {\displaystyle {\frac {u'}{c}}=\tanh {(\phi -\theta )}}
で表される。
相対速度 v の方向が 慣性系 S の x-軸方向と一致する場合にのみ、上の方程式は適用される。v の方向が S の x-軸と一致しない場合には、ローレンツ変換の一般解を求めるよりも、v の方向が S の x-軸と一致するように慣性系の回転を行うほうが、一般に容易である。
上の 4 つの方程式は、行列を用いて表現できる。
[ t ′ x ′ y ′ z ′ ] = [ γ − v c 2 γ 0 0 − v γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ t x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c^{2}}}\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
あるいは、以下のようにも記述できる。
なお、ローレンツ変換は「光速度一定」の帰結である「世界間隔の不変性」を満たす変換として、より一般的に定義される。ここで、時空を記述する 4元ベクトル x=(ct , x, y, z ) に対し、
Λ T g Λ = g {\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }g\Lambda =g\,}
を満たす任意の 4×4 行列 Λ によって与えられる変換
x → x ′ = Λ x {\displaystyle x\rightarrow x'=\Lambda x}
がローレンツ変換となる。但し、T は転置行列を表し、g は
g = ( g μ ν ) = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle g=(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}
で与えられる時空の計量テンソルを表すものとする。
このように定義された行列 Λ の全体は、ローレンツ群として知られる群 SO(3,1) を構成する。
厳密に言うと、このように定義したローレンツ変換はミンコフスキー空間での回転だけでなく、空間反転に相当するパリティ変換 P、時間反転 T を含む。これらの変換は連続的なローレンツ変換とは別個に扱われる場合が多い。例えば実際の物理は連続的なローレンツ変換に対しては不変だが、パリティ対称性の破れ、CP対称性の破れ(CPT定理より T の破れと同義)は実験で観測されている。この点を明確にしたい場合、連続的な回転のみの部分を本義ローレンツ変換と呼ぶことがある。