単葉関数
複素平面のある領域 D で定義された単葉正則関数の列 { fn(z) } ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) が f (z) に広義一様収束するのであれば、f (z) は D で単葉正則関数かまたは定数となる。
なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、 D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } はコンパクトであるからボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理により全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から g (z) は D で 0 となるが、これは f (z) が定数でないという仮定に反するからである。
D ′ {\displaystyle D'\ } の境界 ∂ D ′ {\displaystyle \partial D'\ } 上に g (z) の零点があると都合が悪いので、そのような場合には D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } の内側に、z1、z2 を含み、しかもその境界上に g (z) の零点が来ないように領域を取り、これを改めて D ′ {\displaystyle D'\ } とする(このような操作は g (z) の零点が有限個であるから可能である)。
g (z) は ∂ D ′ {\displaystyle \partial D'\ } に零点を持たず、また ∂ D ′ {\displaystyle \partial D'\ } はコンパクトであるから、 ∂ D ′ {\displaystyle \partial D'\ } 上の|g (z) | の最小値は正数である。