シンクホーンの定理
S → x 1 Φ ( x 0 − 1 S x 0 − 1 ) x 1 = ∑ i ( x 1 B i x 0 − 1 ) S ( x 1 B i x 0 − 1 ) ∗ {\displaystyle S\to x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}
が二重確率であるような正定値であるスケール因子 x 0 , x 1 {\displaystyle x_{0},x_{1}} が存在する。言い換えれば、それは次の 2 つの式を満たす。
x 1 Φ ( x 0 − 1 I x 0 − 1 ) x 1 = I , {\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}
x 0 − 1 Φ ∗ ( x 1 I x 1 ) x 0 − 1 = I , {\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}
ここで、 I {\displaystyle I} は恒等演算子を示す。