被覆空間
p : C → X が被覆で γ が X 内の経路(つまり、単位区間 [0,1] から X の中への連続写像)であり、c ∈ C が γ(0) の上の点(つまり、p(c) = γ(0))ならば、γ 上の C のある経路 ρ (つまり、p o ρ = γ)が一意に存在し、ρ(0) = c である。ρ は、γ の持ち上げ(あるいは、リフト)と呼ぶ。x と y が X の連結な経路で結ばれている場合、この経路は、持ち上げの性質を通して、x 上のファイバーと y 上のファイバーの間の全単射を与える。
さらに一般的には、f : Z → X を 弧状連結で局所弧状連結な空間 Z への X からの連続写像として、基点 z ∈ Z を固定し、f(z) の上にある点 c ∈ C(つまり、p(c) = f(z))をとる。このとき、f の持ち上げ(つまり、連続写像 g : Z → C であって、p ∘ g = f, g(z) = c を満たす)が存在することは、基本群の間の誘導準同型(英語版)(induced homomorphism) f# : π1(Z, z) → π1(X, f(z)) と p# : π1(C, c) → π1(X, f(z)) が、
を満たすことと同値である。
さらに、そのような f の持ち上げ g が存在する場合は、一意的である。
被覆写像の定義では位相空間 C と X にある種の連結性を課すこともある。特に弧状連結や局所弧状連結を要請することが多い。実際、多くの定理はこれらの条件の下でしか成り立たない。被覆写像の全射性を要請しない場合もあるが、もし C が弧状連結で空でないならば全射性は他の公理から従う。
すべての多様体は、連結であることと向き付け不能であることが同値であるような向き付け可能二重被覆を持っている。
一意化定理は、すべての単連結なリーマン面はリーマン球面、複素平面、単位円板に共形同値であるという定理である。
n 個の円のウェッジの普遍被覆は、n 個の生成子を持つ自由群のケイリーグラフ(Cayley graph)である、つまり、ベーテ格子である。
トーラスはクラインの壷の二重被覆である。
すべてのグラフは、二つ折りの二重被覆(英語版)(bipartite double cover)である。すべてのグラフは円のウェッジとホモトピー同値であるので、普遍被覆はケイレーグラフとなる。
コンパクト多様体の同一次元の多様体への埋め込みは、いつも埋め込みの像の被覆である。
有限群のアーベル的な無限分岐被覆グラフは、結晶構造の抽象化したものとみなすことができる。たとえば、抽象グラフとしてのダイアモンドの結晶構造(英語版)(diamond crystal)は、ダイポールグラフ(英語版)(dipole graph) D4 のアーベル的最大被覆グラフである。
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する: X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する(被覆の分類定理)。