回転体
曲線が適当な区間を動く媒介変数 t ∈ [a,b] で (x(t),y(t)) と媒介変数表示されているとき、これを x-軸または y-軸の周りに回転させて生成される回転体の体積はそれぞれ
V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t {\displaystyle V_{x}=\int _{a}^{b}\,\pi y^{2}{\frac {dx}{dt}}\,dt}
または
V y = ∫ a b π x 2 d y d t d t {\displaystyle V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}{\frac {dy}{dt}}\,dt}
で与えられる。
なお同じ状況で、回転体の表面積は同曲線が生成する回転面の面積であり、x-軸または y-軸の周りに回転させた場合はそれぞれ
A x = ∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {{\Bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\Big )}^{\!2}}}\;dt}
または
A y = ∫ a b 2 π x ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x{\sqrt {{\Bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\Big )}^{\!2}}}\;dt}
で与えられる。