佐藤超函数
実数直線 R 上の佐藤超函数は、上半平面上のある正則函数と下半平面上の別の正則函数との「差」であると考えられる。従って、佐藤超函数を上半平面上の正則函数 f と下半平面上の正則函数 g との対 (f, g) として定義することができる。
厳密ではないが、実数直線そのものの上では佐藤超函数はちょうど正則函数の差 f − g になっているはずである。この差は同じ正則函数を f, g の双方に同時に加えても変化しない。そこでガウス平面 C の全域で正則な函数 h に対して、佐藤超函数 (f, g) と (f + h, g + h) とは同値な佐藤超函数であると定める。
数学における佐藤超函数(さとうちょうかんすう、hyperfunction)は、函数の一般化で、ある正則函数ともう一つの正則函数との境界上での「差」:
f ( x ) = F ( x + i 0 ) − F ( x − i 0 ) {\displaystyle f(x)=F(x+\mathrm {i} 0)-F(x-\mathrm {i} 0)}
として表される(正則関数 F ( z ) {\displaystyle F(z)} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の定義関数といい、 f ( x ) = [ F ( z ) ] {\displaystyle f(x)=[F(z)]} と記す)。また、略式的には無限位数の極を持つシュワルツ超函数と見なすこともできる。佐藤超函数はグロタンディークらの先駆的な仕事の上に1959年に佐藤幹夫によって導入された。誤解のおそれの無い場合、省略して単に超函数と呼ぶことがある。