フーリエ変換
フーリエ変換はシュワルツ函数全体の成す空間(シュワルツ空間)をそれ自身に移す同相写像を与える。これにより、緩増加超函数のフーリエ変換を定義することができる。これには上述の絶対可積分函数が全て含まれ、それに加えて緩増加超函数のフーリエ変換がふたたび緩増加超函数となるという利点がある。
超函数のフーリエ変換を定義するいくつかの動機は、以下のふたつの事実に由来する。ひとつめは、ƒ と g が絶対可積分函数でそのフーリエ変換をそれぞれ ˆf, ˆg とするとき、フーリエ変換は乗法公式
∫ R n f ^ ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n f ( x ) g ^ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx}
絶対可積分関数 f(x), g(x), h(x) が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ ˆf(ξ), ˆg(ξ), ˆh(ξ)で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす。