空間 (数学)
幾何学的位相幾何学では(位相空間の「型」の別な「種」である)多様体が研究される。多様体は局所的にユークリッド空間に同相な位相空間である。低次元多様体の同相類は完全に分類されている。
上で述べた線型空間と位相空間という二つの構造はともに、位相線型空間構造の台となる構造である。つまり、位相線型空間は(実または複素)線型空間でも、(実は等質な)位相空間でもある。しかし、勝手な線型空間と位相空間の構造を組み合わせても、一般には位相線型空間は得られない。位相線型空間となるためには、二つの構造が両立する必要がある。つまり(線型空間としての構造を定める)線型演算が(その位相空間の構造において)連続でなければならない。
任意の(実または複素)有限次元線型空間は(それを位相線型空間とする位相がただ一つ存在するという意味で)線型位相空間と看做せる。従って、「(実または複素)有限次元線型空間」と「有限次元位相線型空間」という二つの構造は互いに同値である(つまり、互いに他の台構造と成り得る)。このことから、有限次元位相線型空間の任意の可逆線型変換は同相になる。しかし、無限次元の場合には、一般には異なる位相構造が与えられた線型構造と両立し得るし、従って一般には同相でない可逆線型変換が存在し得る。
二点間の距離は距離空間において定義される。任意の距離空間は位相空間でもある。有界集合やコーシー列は(単に位相空間であるというだけではダメで)距離空間において定義される概念である。距離空間の間の同型写像は等長写像と呼ばれる。距離空間が完備であるとは、任意のコーシー列が収斂するときにいう。完備でない距離空間は、必ずその完備化と呼ばれる完備距離空間に等長に埋め込める。コンパクト距離空間は常に完備であり、コンパクトでない完備距離空間の例として実数直線が挙げられる。一方、単位開区間 (0, 1) は完備でない。
位相空間が距離化可能(あるいは距離付け可能)であるとは、それが距離空間の台にできることをいう。任意の多様体は距離化可能である。
任意のユークリッド空間は完備距離空間である。さらにユークリッド空間に内在する幾何学的概念は全て距離空間の言葉で特徴付けられる。例えば、与えられた二点 A, C を結ぶ線分は、A と B との間の距離と B と C の間の距離との和が、A と C の間の距離に等しくなるような点 B の全体として得られる。
一様空間に距離を入れることはできないが、それでも一様連続性、コーシー列、完備性や完備化といった概念を定義することができる。任意の一様空間は位相空間にもなる。任意の位相線型空間は(距離化可能か否かは決まらないが)必ず一様空間になる。もっと一般に、任意の位相アーベル群は一様空間になるが、他方で非可換な位相群は左不変と右不変の二種類の一様構造を持ちうる。有限次元位相線型空間は必ず完備になるが、無限次元の場合は必ずしも完備とは限らない。