離散フーリエ変換 (一般)
逆離散フーリエ変換は、以下の式で与えられる:
v j = 1 n ∑ k = 0 n − 1 f k α − j k . ( 3 ) {\displaystyle v_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}.\qquad (3)}
ここで、 1 / n {\displaystyle 1/n} は R {\displaystyle R} における n {\displaystyle n} の乗法逆元である。(もしこれが存在しないならば、DFTは逆変換できない。)
証明:式(2)を式(3)の右辺に代入すると
1 n ∑ k = 0 n − 1 f k α − j k = 1 n ∑ k = 0 n − 1 ∑ j ′ = 0 n − 1 v j ′ α j ′ k α − j k = 1 n ∑ j ′ = 0 n − 1 v j ′ ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k .