関手
圏として定式化された数学理論の上に関手によってさまざまな自然な構成が与えられるが、自然変換によって2つの構成を比較する「自然な準同型」が記述される。時に2つの見かけ上異なった構成が同等の概念を定めていることがあるが、この状況は2つの関手の間の自然同型になっている自然変換によってとらえられる。
F, G が圏 C と D の間の(共変)関手であるとき、F から G への自然変換 η は C に含まれる全ての対象 X に対し D の射 ηX: F(X) → G(X) を与える。このとき、C の任意の射 f: X → Y に対し、ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX が成り立つ。 これは即ち、以下の図式
が可換になることを意味している。
函手 F から G への自然変換 η が存在して ηX が C に含まれる全ての対象 X に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型であるといい、F ≈η G などと書く。圏 C, D の間の関手 F: C → D, G: D → C について自然同型 GF ≈ IdC, FG ≈ IdD がともに成り立つならば C と D は同等なもの(圏同値)と見なされる(さらにこれら二つの自然同型 (≈) が厳密に等号 (=) で成り立つ圏同型(英語版)を考えることもできるが、実用上これは条件として強すぎる)。
C から D への関手を対象とし、関手の間の自然変換を射とすることで関手圏 Funct(C, D) が考えられる。こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏、層の圏がある。また、群 G が作用する集合の圏は G を圏と見なしたときの Funct(G, Sets) と同値になる。
C をある固定された体上のベクトル空間の圏で、その射として線型写像をとるとき、テンソル積 V ⊗ W は、どちらの引数に関しても共変な関手 C × C → C を定める。