3乗剰余の相互法則
{\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.}
マルティネットの定理。 p ≡ q ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle {\mathit {p}}\equiv {\mathit {q}}\equiv {\text{1}}{\pmod {\text{3}}}} が素数であるとする。 p q = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2})} このとき [ L p ] 3 [ L q ] 3 = 1 ⟺ [ q p ] 3 [ p q ] 3 = 1. {\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.}
シャリフィの定理。 p = 1 + 3 x + 9 x 2 {\displaystyle {\mathit {p}}={\text{1}}+{\text{3}}{\mathit {x}}+{\text{9}}{\mathit {x}}^{2}} を素数とする。このとき、 xの約数は3乗剰余(mod p )。