フーリエ変換の応用
2 ∫ − ∞ ∞ y ( x , 0 ) sin  ( 2 π ξ x ) d x = b + + b − . {\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}
同様に、y を t について微分し、フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換をすると、次が得られる。
2 ∫ − ∞ ∞ ∂ y ( u , 0 ) ∂ t sin  ( 2 π ξ x ) d x = ( 2 π ξ ) ( − a + + a − ) , {\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right),}
2 ∫ − ∞ ∞ ∂ y ( u , 0 ) ∂ t cos  ( 2 π ξ x ) d x = ( 2 π ξ ) ( b + − b − ) . {\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}
4つの未知の a± と b± についての4つの線形方程式が存在し、初等代数学によって簡単に解くことができる。