母関数
平方数の列 an = n の各種母関数を以下に示す。
数列 {an} の通常型母関数とは、形式的冪級数
G ( a n ; x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
のことである。単に「母関数」と言った場合、通常型母関数を意味することが多い。
an が離散確率変数の確率質量関数なら、その通常型母関数を確率母関数(英語版)と呼ぶ。
通常型母関数は多重添字を持つ列に対するものに一般化できる。例えば、二重数列 {am,n}(n と m は自然数)の通常型母関数は
G ( a m , n ; x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ a m , n x m y n {\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}}
である。
f p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p 2 n x n = 1 1 − p 2 x {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{2n}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}
D G ( n 2 ; s ) = ∑ n = 1 ∞ n 2 n s = ζ ( s − 2 ) {\displaystyle DG(n^{2};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)}