ポアンカレの補題
ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。
H k ( R n ) = { R ( k = 0 ) 0 ( k > 0 ) {\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ^{n})=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {R} &(k=0)\\0&(k>0)\end{matrix}}\right.}
但し、多様体 M に対し、H(M) は商ベクトル空間
H k ( M ) = Z k ( M ) / B k ( M ) {\displaystyle H^{k}(M)=Z^{k}(M)/B^{k}(M)\,}
で定義される k 次のド・ラーム・コホモロジー群であり、Z(M) は
Z k ( M ) = k e r d ∩ A k ( M ) {\displaystyle Z^{k}(M)=\mathrm {ker} \,\mathrm {d} \cap A^{k}(M)\,}
で定義される閉形式の k 次微分形式全体、B(M) は
B k ( M ) = i m d ∩ A k ( M ) {\displaystyle B^{k}(M)=\mathrm {im} \,\mathrm {d} \cap A^{k}(M)\,}
で定義される完全形式の k 次微分形式全体である。
k = 0 の場合は、単に df(x) ≡ 0 ならば f が定数関数となることを述べており、k > 0 の場合が前述したポアンカレの補題と等価な表現となる。すなわち、閉形式(Z (R) の元)が完全形式(B (R) の元)になることを表している。