変数分離
未知関数 F (x, y, z ) と、それが満たす偏微分方程式
∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y + ∂ F ∂ z = 0 ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0\qquad \qquad (1)}
を考える。関数 F (x, y, z ) が
F ( x , y , z ) = X ( x ) + Y ( y ) + Z ( z ) ( 2 ) {\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)\qquad \qquad (2)}
の形に書けると仮定すると、(1)式は
d X d x + d Y d y + d Z d z = 0 {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}
となる。なぜなら ∂F /∂x = dX /dx などが成り立つからである。
いま、X' (x ) は x のみに依存し、Y' (y ) は y のみに依存し、そしてZ' (z ) についても同様である。