オイラー＝ロトカの方程式
次に、集団全体の人口は指数関数的に増加(または減少)しているとして、 B ( t ) = A e r t {\displaystyle B(t)=Ae^{rt}} の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、
A e r t = ∫ 0 ω A e r ( t − a ) l ( a ) b ( a ) d a {\displaystyle Ae^{rt}=\int _{0}^{\omega }Ae^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da}
つまり、
1 = ∫ 0 ω e − r a l ( a ) b ( a ) d a . {\displaystyle 1=\int _{0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.}
となる(連続時間形のロトカ=オイラーの方程式)。
連続変数としての年齢 a {\displaystyle a} を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。
1 = ∑ a = 0 ω e − r a l ( a ) b ( a ) {\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)}
単位時間ステップ(1年)の成長率 e r {\displaystyle e^{r}} を λ {\displaystyle \lambda } 置き変えると、先に示した離散時間の方程式
1 = ∑ a = 0 ω λ − a l ( a ) b ( a ) {\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)}
が得られる。