シェルピンスキーのカーペット
近年、シェルピンスキーのカーペット上のブラウン運動が、複数の学術関係者による研究の対象となっている。Martin Barlow(英語版) と Richard Bass(英語版) は、シェルピンスキーのカーペット上のランダムウォークが単なる平面でのランダムウォークよりもゆっくり拡散することを示した。後者では n ステップ後の平均距離が n 、つまり √n に比例するが、シェルピンスキーのカーペット上では n に比例し、β > 2 である。彼らはまた、このランダムウォークが強い大偏差不等式を満足し、楕円ハルナック不等式を満たしつつ、放物線ハルナック不等式は満たさないという性質を持つことを示した。このような具体例の存在は長年の未解決問題だった。