モナド (圏論)
C {\displaystyle C} が圏のとき、 C {\displaystyle C} 上のモナドは関手 T : C → C {\displaystyle T:C\rightarrow C} と2つの自然変換 η : 1 C → T {\displaystyle \eta :1_{C}\rightarrow T} ( 1 C {\displaystyle 1_{C}} は C {\displaystyle C} 上の恒等関手) と μ : T 2 → T {\displaystyle \mu :T^{2}\rightarrow T} ( T 2 {\displaystyle T^{2}} は関手 T ∘ T : C → C {\displaystyle T\circ T:C\rightarrow C} ) から成り、これらは以下の条件をみたす(en:coherence_conditions と呼ばれることもある):
U T ( A , α ) = A {\displaystyle U^{T}(A,\alpha )=A} , U T ( f ) = f {\displaystyle U^{T}(f)=f}
定義から U T ∘ F T = T {\displaystyle U^{T}\circ F^{T}=T} であり、従って T {\displaystyle T} は F T {\displaystyle F^{T}} と U T {\displaystyle U^{T}} に伴うモナドである。
アイレンベルグ-ムーア圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 F ⊣ G : C ⇀ D {\displaystyle F\dashv G:\mathbb {C} \rightharpoonup \mathbb {D} } に対して L ∘ F = F T {\textstyle L\circ F=F^{T}} と U T ∘ L = G {\textstyle U^{T}\circ L=G} を満たす関手 L : D → C T {\displaystyle L:\mathbb {D} \to \mathbb {C} ^{T}} がただ1つ存在するという性質を持つ。
数学の一分野である圏論において、モナド(英語: monad)とは、モノイドに似た構造を備えた自己関手である。モナドは半順序集合上の閉包作用素の一般化や、双圏(英語: bicategory)上のモノイドに似た構造として捉えられ、随伴関手(または随伴1-セル)と強い関係を持つ。双対概念はコモナド(英語版)である。
歴史的に、この構造は「双対標準構成(英: dual standard construction)」「トリプル(英: triple)」「モノイド(英: monoid)」「トライアド(英: triad)」と様々な呼称で呼ばれており、これについてソーンダース・マックレーンは『圏論の基礎』の中で「不幸にも「トリプル」という語がこの意味でしばしば用いられたことが無用な混乱を拡大した」と記している。「モナド」という語彙はライプニッツ(モナド (哲学) を参照)からの借用であるが、これを誰が名付けたかは定かではない。少なくともジャン・ベナブー(英語: Jean Bénabou)の1967年の論文に使用例が存在しており、1969年ごろの段階ではマックレーンもまだ呼称を決定していなかったことをロス・ストリート(英語: Ross Street)が明かしている。