ゲルシュゴリンの定理
i を上で述べたように選んだならば、選び方から xi ≠ 0 だから、両辺を xi で割って絶対値を取れば
| λ − a i i | = | ∑ j ≠ i a i j x j x i | ≤ ∑ j ≠ i | a i j x j x i | ≤ ∑ j ≠ i | a i j | = R i {\displaystyle |\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}}
を得る。ここで最後の不等号が成り立つことは
| x j x i | ≤ 1 for j ≠ i {\displaystyle \left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{for }}j\neq i}
による。