グジェゴルチク階層
まず自然数 i で添字付けられた関数族 Ei を導入する。まず次のように定義する:
E 0 ( x , y ) = x + y {\displaystyle E_{0}(x,y)=x+y}
E 1 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle E_{1}(x)=x^{2}+2}
E n ( x ) = E n − 1 x ( 2 ) {\displaystyle E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)} (ただし n > 1)
これらの関数からグジェゴルチク階層を定義する。 E n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}} は n番目の階層であり、次の関数からなる:
Ek (ただし k < n)
ゼロ関数 (Z(x) = 0);
後者関数 (S(x) = x + 1);
射影関数 ( p i m ( t 1 , t 2 , ... , t m ) = t i {\displaystyle p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}} );
(一般)合成関数 (もし h, g1, g2, ... と gm が E n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}} に属すならば f ( u ̄ ) = h ( g 1 ( u ̄ ) , g 2 ( u ̄ ) , ...