階乗素数
階乗素数(かいじょうそすう、英: factorial prime)とは、階乗との差が 1 である素数のことである。つまり、n! ± 1(n は自然数)と表される素数のことである。
階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。n! ± k (2 ≤ k ≤ n) は 2 以上の自然数 k で割りきれるから、連続する n − 1 個の合成数である。例えば、素数 13! − 23 = 6227020777 の次の素数は 13! + 67 = 6227020867 であり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数 360653 と 360749 の間には95個の合成数が並んでいる。
2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは 308084! + 1 である。十進法表示したときの桁数は144万9771桁にも及ぶ。