各点収束
数学において、各点収束 (英: pointwise convergence) は、関数列の収束の概念の1つである。
{ fn } を定義域と終域の等しい関数の列とする。(さしあたり終域は指定しないが実数と考えてもらってよい。)列 { fn } が f に各点収束する (converge pointwise) とは、定義域のすべての点 x に対して
lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}
が成り立つことをいう。
lim n → ∞ f n = f pointwise {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}
と書くことがある。
論理記号で書けば、
∀ x , ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N ; n ≧ N ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \forall x,\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} \ ;\ n\geqq N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
となる。