リーマン球面
f ( α , β ) = ( a α + b β , c α + d β ) = ( α β ) ( a c b d ) {\displaystyle f(\alpha ,\beta )=(a\alpha +b\beta ,c\alpha +d\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}
と書くことができる。 この様に、一次分数変換は、2-次複素正則行列により記述することができる。 ここで、二つの行列は、それらが非零定数倍だけ異なるとき、かつその場合に限り、同一の一次分数変換を表す。したがって、一次分数変換の全体は射影線型変換の全体 PGL2(C) に完全に一致する。
リーマン球面にフビニ・スタディー計量を入れると、全ての一次分数変換が等長になるとは限らない。 例えば、伸縮と平行移動はそうでない。 等長写像全体は PGL2(C) の真の部分群 PSU2 を形成する。この部分群は回転群 SO(3), つまり R 内の単位球面の等長変換群と同型である。