シュレーディンガー描像
シュレーディンガー方程式より、状態ベクトルのノルムが時間によって変化しないことがわかる。
よって時間発展演算子はユニタリでなければならない。つまり、
⟨ ψ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t 0 ) | U ^ † ( t , t 0 ) U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ = ⟨ ψ ( t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|{\hat {U}}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }
よって
U ^ † ( t , t 0 ) U ^ ( t , t 0 ) = I ^ {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {I}}}
時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}\ } から t {\displaystyle t\ } への時間発展は、 t 0 {\displaystyle t_{0}\ } から中間の時間 t 1 {\displaystyle t_{1}\ } への時間発展と t 1 {\displaystyle t_{1}\ } から t {\displaystyle t\ } への時間発展をあわせたものと見ることも出来る。よって、次の式を得る。
U ^ ( t , t 0 ) = U ^ ( t , t 1 ) U ^ ( t 1 , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {U}}(t,t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})}