不確定性原理
[H13] Brian C.Hall (2013-07-01). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics 267. Springer
この関係を時間とエネルギーの不確定性関係の一種とみなす場合もある。しかしエネルギーの標準偏差 ⟨ ( Δ H ^ ) 2 ⟩ {\displaystyle {\sqrt {\langle (\Delta {\hat {H}})^{2}\rangle }}} と、状態差が生まれるための経過時間 t との積の下限は ħ / 2 という普遍的な値を持たず、使用する状態差の指標等の詳細に依存する。
一方、エネルギーの測定誤差とエネルギーの測定にかかる時間との間には原理的な不確定性関係は存在しない。1930年のソルヴェイ会議でのアインシュタインとの不確定性原理の論争において、ボーアが測定時間とエネルギーの誤差の不確定性関係を破る光子箱の思考実験を論破したと言われているが、この時のボーアの議論は正確ではない。例えば重力場を電場に、光子を電子に置き換えることによって、光子箱と同様のエネルギー測定の思考実験が作れる。しかしこの場合は一般相対性理論を必要とせず、重力ポテンシャルと時間の遅れの関係式も不必要となるため、ボーアが考えた測定時間とエネルギーの測定誤差の不確定性関係は成立しないことが示される。他の物理量と同様に、エネルギーは任意の時刻で正確に測定できる。例えば一定外部磁場 B 中のスピン S が持つエネルギー H ∝ B·S の精密測定は、スピンの磁場方向成分の精密測定で実現できる。
1 2 Rozema, Lee A.; Darabi, Ardavan; Mahler, Dylan H.; Hayat, Alex; Soudagar, Yasaman; Steinberg, Aephraim M. (2012). “Violation of Heisenberg’s Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements”. Physical Review Letters 109 (10). doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404. ISSN 0031-9007.
↑ Scientists Cast Doubt On Heisenberg's Uncertainty Principle Science Daily 7 September 2012
↑ youtube.com website Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning
↑ 清水明『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』(新版)サイエンス社〈新物理学ライブラリ 別巻2〉、2003年4月、pp.85 f頁。ISBN 4-7819-1062-9。http://www.saiensu.co.jp/?
スピンの特定方向成分の理想測定はその測定時間に原理的制約を持たないため、いくらでも短い測定時間の間に磁場方向のスピンの精密測定はできる。従ってそのエネルギーも測定時間に関係なく精密測定ができる。
時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという説も流布しているが、それに根拠はない。フェルミの黄金律等の摂動論において議論されている有限時間でのエネルギー保存則の破れは、相互作用項を無視した自由ハミルトニアン ˆHo のみに対する議論にすぎない。相互作用があると ˆHo は時間的に保存しないが、相互作用項 ˆV まで取り入れた全ハミルトニアン ˆHo + ˆV 自体は任意の時刻で保存しており、エネルギー保存則は量子力学でも破れることはない。場の量子論では、エネルギー運動量テンソル演算子 ˆT を用いて
∂ μ T ^ μ 0 = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {T}}^{\mu 0}=0}
という局所的表現でエネルギー保存則は与えられる。他の量子系と同様に、短時間でもエネルギー保存則が破れることはない。ファインマンダイアグラムを用いた摂動論において、仮想粒子が実粒子の間を媒介して力を伝達する事象をエネルギー保存則の破れで簡易に説明する場合があるが、厳密に言うとその破れは相互作用項を無視した自由ハミルトニアンの保存則の破れを指す。場の量子論においても相互作用項まで取り入れたエネルギー保存則は破れることはない。