リースの表現定理
‖ ψ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X)}
である。また、ψ が正(英語版)であるための必要十分条件は、測度 μ が非負であることである。
注意 有界線形汎函数に対するハーン-バナッハの定理によって、Cc(X) 上のすべての有界線形汎函数が C0(X) 上の有界線形汎函数へと拡張される方法はで唯一つであるうえ、 C0(X) は上限ノルムにおける Cc(X) の閉包であるため、上述した第一の定理の内容は第二の定理を意味するものと考える人がいるかもしれない。しかし、第一の結果は「正の」線型汎函数に対するものであり、必ずしも「有界」線型汎関数に対するものではない。したがって、それら2つの定理は同値ではない。
実際、Cc(X) 上の有界線形汎函数は、その Cc(X) 上の局所凸位相が、C0(X) のノルムである上限ノルムに置き換えられた場合、必ずしも有界線型のままであるとは限らない。そのような一例として、Cc(R) 上では有界であるが C0(R) 上では非有界であるような、R 上のルベーグ測度が考えられる。この事実は、ルベーグ測度の全変動が無限大であることからも分かる。
基礎体が R であるなら、すべての実数 λ に対して Φ ( λ x ) = λ Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)} が成り立つ。
基礎体が C であるなら、すべての複素数 λ に対して Φ ( λ x ) = λ ̄ Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)} が成り立つ。ただし、 λ ̄ {\displaystyle {\bar {\lambda }}} は λ の複素共役を表す。
Φ の逆写像は次のように表される。H* の与えられた元 φ に対し、その核の直交補空間は、H の一次元部分空間である。そこからゼロでない元 z を選び、 x = φ ( z ) ̄ ⋅ z / ‖ z ‖ 2 {\displaystyle x={\overline {\varphi (z)}}\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}} とする。このとき、Φ(x) = φ が得られる。
歴史的に、この定理はしばしばリースとフレシェの1907年の業績として扱われる。
量子力学を数学的に取り扱う際には、この定理は有名なブラ-ケット記法の正当化として考えられる。定理が成立するとき、すべてのブラベクトル ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} には対応するケットベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } が存在し、その対応は明らかなものである。