コーシーの函数方程式
加法性から明らかに f(0) = 0 および x は任意として、自然数 n に対して f(nx) = n⋅f(x) が分かる。これにより 0 = f(x + (−x)) = f(x) + f(−x) から f((−1)⋅x) = (−1)⋅f(x) および自然数 d に対して f(d⋅x/d) = d⋅f(x/d) から f((1/d)⋅x) = (1/d)⋅f(x). ゆえに任意の有理数 q = ±n/d (n, d は自然数) に対して、f(qx) = f((±n/d)⋅x) = f(n⋅((±1/d)⋅x))= n⋅f((±1/d)⋅x) = n⋅f((1/d)⋅((±1)⋅x)) = (n/d)⋅f((±1)⋅x) = (±n/d)⋅f(x) = q⋅f(x).
コーシーの『解析教程』第5章「ある条件を満たす一変量の連続関数を決定すること.」の §1 には "二つの同じ形の一変量の関数を互いに加えたり乗じたりするとき, その和または積として, それぞれの関数の変化量の和または積の同じ形の関数が与えられるという性質をもつ連続関数を探し出すこと." という節題が付けられていて、(上で見た方程式を含む)以下の方程式およびその実連続函数解が考察されている:
実函数 Φ: R → R は至る所連続で、変数 x, y は 1, 2 では任意の実数、3, 4 では正の実数を動くものとして Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y): 解は線型函数 Φ(x) = ax, Φ(x + y) = Φ(x) × Φ(y): 解は指数函数 Φ(x) = A, Φ(xy) = Φ(x) + Φ(y): 解は対数函数 Φ(x) = aLog(x), Φ(xy) = Φ(x) × Φ(y): 解は冪函数 Φ(x) = x.
明らかに零函数はこの何れの方程式も満たし、自明な解と呼ばれる。
函数 f: Q → Q が加法的ならば、f は Q-線型である。