レヴィの連続性定理
次の状況を考える。
確率変数の列 { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \scriptstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} がある。これらは必ずしも同一の確率空間上で定義されていなくてもよい。
それらに対応する特性関数の列 { φ n } n = 1 ∞ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }} がある。定義より φ n ( t ) = E [ e i t X n ] ∀ t ∈ R , ∀ n ∈ N {\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \,[e^{itX_{n}}]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} } である。ここで E {\displaystyle \operatorname {E} } は期待値をとる演算子。
特性関数列が何らかの関数 φ {\displaystyle \varphi } に各点収束する
φ n ( t ) → φ ( t ) ∀ t ∈ R {\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} }