複比
{\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda \\[6pt]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda \\[6pt]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }}\\[6pt]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}
後述の非調和群を参照。
複比(ふくひ、英: double ratio)は、幾何学における概念の1つで、交差比(こうさひ、英: cross-ratio)および非調和比(ひちょうわひ、英: anharmonic ratio)とも呼ばれ、4つの共線上の点、特に射影直線上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。
( A , B ; C , D ) = A C ⋅ B D B C ⋅ A D {\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}
ここで、各距離の符号は線の向きによって決まり、距離はユークリッド空間に射影されて測定される。(4つの点の1つが直線の無限遠点である場合、その点を含む2つの距離は式から削除される。)複比が正確に-1の場合、点DはAとBに対するCの調和共役であり、調和比と呼ばれる。したがって、複比は、4つ組の調和比からの偏差を測定するものとみなせる。そのため非調和比とも呼ばれる。
複比は線形分数変換の下で不変である。これは本質的に4つの同一線上の点の唯一の射影不変量である。このことは射影幾何学の根底にある重要な性質である。
複比は、古代よりおそらくはユークリッドによって定義され、パップスによってその重要な普遍性特性に注目した考察がなされた。19世紀には広く研究されるようになった。
射影平面上で1点で交わる4線(英: concurrent lines)や、リーマン球面上の4点についての派生した概念も存在する。双曲幾何学のケイリー・クラインモデルでは、特定の複比により点間の距離が表される。