群の直和
群の直和は可換である。つまり、ふたつの部分群の直和の場合には、
G = H + K = K + H
である。また次の意味で結合的でもある。G = H + K, K = L + M であれば、
G = H + (L + M) = (H + L) + M である。
G = H + K であれば、次のことが証明できる:
すべての h ∈ H, k ∈ K に対して、h*k = k*h である。
すべての g ∈ G に対して、g = h*k となるような唯一の h ∈ H, k ∈ K が存在する。
商において和の簡約がある。つまり (H + K)/K は H と同型である。
上記の主張は G = ∑Hi の場合にも一般化できる、ただし {Hi} は部分群の有限集合。
i ≠ j であれば、すべての hi ∈ Hi, hj ∈ Hj に対して、hi * hj = hj * hi である。
各 g ∈ G に対して、{hi in Hi} の唯一の集合が存在して
g = h1*h2* ... * hi * ... * hn
商において和の簡約がある。つまり ((∑Hi) + K)/K は ∑Hi に同型である。