グリーン–久保公式
よって ρ ̄ ′ {\displaystyle {\bar {\rho }}'} の時間発展は
ρ ̄ ′ ( t ) = 1 i ħ ∫ − ∞ t [ H ̄ ′ ( t ′ ) , ρ 0 ] d t ′ {\displaystyle {\bar {\rho }}'(t)={1 \over {i\hbar }}\int _{-\infty }^{t}[{\bar {H}}'(t'),\rho _{0}]dt'}
となり、外場 H′(t) の1次まで考えると、系全体の密度演算子は次のようになる。
ρ t o t a l ( t ) = ρ 0 + 1 i ħ ∫ − ∞ t exp  ( − i H 0 ( t − t ′ ) ħ ) [ H ̄ ′ ( t ) , ρ 0 ] exp  ( i H 0 ( t − t ′ ) ħ ) d t ′ {\displaystyle \rho _{\mathrm {total} }(t)=\rho _{0}+{1 \over {i\hbar }}\int _{-\infty }^{t}\exp \left({-{iH_{0}(t-t') \over \hbar }}\right)[{\bar {H}}'(t),\rho _{0}]\exp \left({iH_{0}(t-t') \over \hbar }\right)dt'}
ここで、 状態ρtotal(t) について時間に依らないある物理量 B の統計的期待値を取ると
⟨ B ⟩ = Tr  ( ρ ( t ) B ) = Tr  ( ρ 0 B ) + Tr  ( ρ ′ ( t ) B ) {\displaystyle \langle B\rangle =\operatorname {Tr} (\rho (t)B)=\operatorname {Tr} (\rho _{0}B)+\operatorname {Tr} (\rho '(t)B)}
となる(Tr はトレース:対角和をとることを意味する)。ここで、上式最右辺の第一項の Tr 内は、時間に依存しないのでその期待値をゼロとみなす。従って問題となるのは第二項の部分で、H′(t) = −AF(t) 及び、Tr 内の演算は交換可能で、かつ演算子も循環的に演算順序を変えることができることから、Tr 及び B を積分内に移動し、B、 exp  ( − i H 0 ( t − t ′ ) / ħ ) {\displaystyle \exp(-iH_{0}(t-t')/\hbar )} の順にこれらを先頭に移動すると、