チャーン類
チャーン類の理論には一般化があり、通常のコホモロジーが一般コホモロジー論(英語版)へ置き換わる。そのような一般化が可能である理論は、複素向き付け(英語版)可能(complex orientable)という。チャーン類の形式的な性質は同じままであり、一点だけ異なっている重大な部分がある。それは線束のテンソル積の第一チャーン類をファクタの第一チャーン類の項で計算するルールが、(通常の)加法的ではなく、形式群(英語版)の法則(formal group law)に従う。
チャーン多項式は、チャーン類を扱い、系統的に考え方を関連付ける便利な方法である。定義により、複素ベクトル束 E に対し、そのチャーン多項式(Chern polynomial) ct は、
c t ( E ) = 1 + c 1 ( E ) t + ⋯ + c n ( E ) t n . {\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}
により与えられる。これは新しい不変量ではない。単純に、形式的変数 t は、次数 ck(E) の跡(track)を追い続ける。特に、 c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)} は E の全チャーン類(total Chern class) c ( E ) = 1 + c 1 ( E ) + ⋯ + c n ( E ) {\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)} により完全に決定される。また、逆も成立する。
ホイットニー和公式は、(以下に見るように)チャーン類の公理のひとつであるが、いわば、
c t ( E ⊕ E ′ ) = c t ( E ) c t ( E ′ ) {\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E')}
の意味で、ct は加法的である。
そこで、 E = L 1 ⊕ . . .
微分可能多様体 M の上の複素ランク(複素階数) n のエルミートである複素ベクトル束 V が与えられると、V の各々のチャーン類の表現(チャーン形式とも言う) ck(V) は、V の曲率形式 Ω の特性多項式を係数として与えられる。
det ( i t Ω 2 π + I ) = ∑ k c k ( V ) t k {\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}
この行列式は、M 上の偶数の複素微分形式の可換代数に係数を持つ t の多項式を、各々の要素として持つ n × n 行列の環である。V の曲率形式 Ω は次のように定義される。
Ω = d ω + 1 2 [ ω , ω ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}
ここに、ω 接続形式であり、d を外微分である。さらに、ω を V のゲージ群のゲージ形式(英語版)として表すこととする。ここでは、スカラー t は行列式からの和を生成する不定元であり、I は n × n 単位行列を表すとする。
与えられた表現がチャーン類を表しているということは、完全形式を加えること違いを除いて、ここでは「類」を意味する。すなわち、チャーン類は、ド・ラームコホモロジーの意味でコホモロジー類である。
c ( C P n ) = d e f c ( T C P n ) = c ( O C P n ( 1 ) ) n + 1 = ( 1 + a ) n + 1 {\displaystyle c(\mathbb {C} P^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} P^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}} ,
が成り立つ。ここに a はコホモロジー群 H 2 ( C P n , Z ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {Z} )} の標準的生成子(つまり、E を E の双対としたとき、 c 1 ( E ∗ ) = − c 1 ( E ) {\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)} であることに注意して、トートロジー線束 O C P n ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(-1)} の第一チャーン類の負の部分である)。
特に、任意の k ≥ 0 に対し、
c k ( C P n ) = ( n + 1 k ) a k {\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} P^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}}
となる。
層の完全系列
0 → O C P n → O C P n ( 1 ) ⊕ ( n + 1 ) → T C P n → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} P^{n}\to 0}
が存在する。ここに O C P n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}} は構造層(つまり自明ベクトル束)であり、 O C P n ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)} はセールのツイスト層(英語版)(Serre's twisting sheaf)(つまり、超平面バンドル(英語版)(hyperplane bundle)である。
全チャーン類 c = 1 + c1 + c2 + ... の加法性(つまり、ホイットニーの和公式)
(アラケロフ幾何学(英語版)(Arakelov geometry)を参照)