逆三角関数
atan2 関数は 2つの引数を取り、与えられた y, x に対して y/x の逆正接関数値を計算する関数だが、その返り値は (−π, π] の範囲に定める。言い換えると、atan2(y, x) は座標平面の x軸の正の部分と点 (x, y) の間の角度に反時計回りの角度(上半平面、y > 0)に正の符号、時計回りの角度(下半平面、y < 0)に負の符号を付けたものである。atan2 関数は最初多くのコンピュータ言語に導入されたが、今日では他の科学や工学の分野においても一般的に用いられている。なお、マイクロフトのExcelでは引数の順番が逆になっている。
atan2 は標準的な arctan、すなわち終域を (−π/2, π/2) に持つ、を用いて次のように表現できる:
atan2  ( y , x ) = { arctan  y x x > 0 arctan  y x + π y ≥ 0 , x < 0 arctan  y x − π y < 0 , x < 0 π 2 y > 0 , x = 0 − π 2 y < 0 , x = 0 u n d e f i n e d y = 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan {\dfrac {y}{x}}&\qquad x>0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}-\pi &\qquad y<0,x<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\\mathrm {undefined} &\qquad y=0,x=0\end{cases}}}
各三角関数は引数の実部において周期的であり、2π の各区間において2度すべてのその値を取る。正弦と余弦は(k を整数として)周期を 2πk − π/2 で始め 2πk + π/2 で終わり、2πk + π/2 から 2πk + 3/2π までは逆にする。コサインとセカントは周期を 2πk で始め 2πk + π で終わらせそれから 2πk + π から 2πk + 2π まで逆にする。タンジェントは周期を 2πk − π/2 から始め 2πk + π/2 で終わらせそれから 2πk + π/2 から 2πk + 3/2π まで(前へ)繰り返す。コタンジェントは周期を 2πk で始め 2πk + π で終わらせそれから 2πk + π から 2πk + 2π まで(前へ)繰り返す。
この周期性は k を何か整数として一般の逆において反映される:
sin  y = x ⇔ y = arcsin  x + 2 k π or y = π − arcsin  x + 2 k π {\displaystyle \sin y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin x+2k\pi }
k = 1 − x 2 {\displaystyle k=1-x^{2}}
と置換する。すると
d k = − 2 x d x {\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
そして
∫ x 1 − x 2 d x = − 1 2 ∫ d k k = − k {\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
x に逆置換すると
∫ arcsin  x d x = x arcsin  x + 1 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
が出る。