交代行列
より内在的に述べれば、ベクトル空間 V 上の歪対称線型変換は適当な内積に関して、V 上の二重ベクトル(英語版)(これは単純二重ベクトル(英語版) v ∧ w の和)として定義することができる。その対応は、v* はベクトル v の双対ベクトルとして、写像 v ∧ w ↦ v* ⊗ w − w* ⊗ v により与えられ、直交座標系に関する場合これはちょうど上で述べた意味での通常の歪対称行列に一致する。この特徴付けはベクトル場の回転(これは自然な 2-ベクトル)を無限小回転と解釈することに利用できる(それゆえに「回転」と呼ばれる)。
A を n×n 交代行列とすると、A の行列式は
det ( A ) = det ( A ⊤ ) = det ( − A ) = ( − 1 ) n det ( A ) {\displaystyle \det(A)=\det(A^{\top })=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)}
を満足する。特に n が奇数ならばこれは 0 に等しい。この結果はカール・グスタフ・ヤコビに因んでヤコビの定理と呼ばれる。
偶数次元の場合はもっと興味深い結果がある。次数 n が偶数であるときの A の行列式は A の成分に関する斉次多項式(代数形式)の完全平方式
det ( A ) = Pf  ( A ) 2 {\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}}
として書くことができる。ゆえに、実交代行列の行列式は常に非負である。ここで現われた形式 Pf(A) は A のパフ多項式(パフ式、パフ形式)と呼ばれる。