級数
写像 f: X → Y で Y が位相アーベル群のとき、X の各点 a に対し、 f a ( x ) = { 0 ( x ≠ a ) f ( a ) ( x = a ) {\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&(x\neq a)\\f(a)&(x=a)\end{cases}}} で定義される写像の台は一元集合 {a} であり、このとき各点収束の位相に関して(すなわち、和が無限直積位相群 Y に値をとるものとして) f = ∑ a ∈ X f a {\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}} が成立する。
任意添字集合 I 上の関数の和として1の分割 ∑ i ∈ I φ i ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1} を構成することもできる。作り方から、形の上では非可算添字を持つ級数の和の概念が必要であるように見えるが、x が与えられるごとに和における非零項は有限個しかないので、この和において非可算和が生じることは無い。
( 0.1 , 0.01 , ⋯ , 0. 00 ⋯ 0 ⏟ N − 1 1 , ⋯ ) {\displaystyle (0.1,0.01,\cdots ,0.\underbrace {00\cdots 0} _{N-1}1,\cdots )}
であるから、0 が続いた後に必ず 1 が現れるはずだ(から等しくは無い)ということになる。しかしこれらの数列の極限は
1 − s N = 0. 00 ⋯ 0 ⏟ N − 1 1 → 0 ( N → ∞ ) , {\displaystyle 1-s_{N}=0.\underbrace {00\cdots 0} _{N-1}1\to 0\quad (N\to \infty ),}
s N = ∑ i = 1 N 9 ⋅ 10 − i → 1 ( N → ∞ ) {\displaystyle s_{N}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}9\cdot 10^{-i}\to 1\quad (N\to \infty )}
と定まるので、級数 0.999... の値は 1 なのである。
公比を使うことで超幾何級数:
r F s [ a 1 , a 2 , ... , a r b 1 , b 2 , ... , b s ; z ] := ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b s ) n n ! z n {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}
の打切り誤差(剰余項)を評価することができる。