冪零元
(唯一の元 0 = 1 をもつ零環 {0} を除いて)冪零元は決して単元ではない。すべての 0 でない冪零元は零因子である。
体係数の n 次正方行列 A が冪零であることとその固有多項式が t であることは同値である。
x が冪零であれば、1 − x は単元である、なぜならば x = 0 によって
( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 + ⋯ + x n − 1 ) = 1 − x n = 1. {\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.\ }
であるからだ。より一般に、単元 u とベキ零元 x の和 u + x はそれらが交換する(すなわち ux = xu である)ときには冪零である。