部分リーマン多様体の接続と曲率
上では M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続のMの接ベクトルバンドルTMへの射影を考えたが、同様に M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続のMの法ベクトルバンドルへの射影を考える事ができる。 Mの点Pに対し、
P r P N : T P M ̄ → N P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}^{N}~:~T_{P}{\bar {M}}\to N_{P}M}
を T P M ̄ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の法ベクトルバンドル N P M {\displaystyle N_{P}M} への射影とする。
定義 ― XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル N M {\displaystyle NM} の切断とするとき、以下のように定義される N M {\displaystyle NM} の接続をMの法接続(英: normal connectionn)、もしくはVan der Waerden Bortolotti接続という:
.. , θ m {\displaystyle \theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}} をその双対基底とすると、断面曲率と主曲率の関係から、
Ω i j = κ i κ j θ i ∧ θ j {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{j}=\kappa _{i}\kappa _{j}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}}
がi≠jを満たすi、jに対して成立する。よってk=m/2とすると、パッフィアンの具体的表記から、
P f ( Ω ) = 1 2 k k ! ∑ σ ∈ S m s g n ( σ ) Ω σ ( 1 ) σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ Ω σ ( m − 1 ) σ ( m ) = 1 2 k k ! ∑ σ ∈ S m s g n ( σ ) κ σ ( 1 ) ⋯ κ σ ( m ) θ σ ( 1 ) ∧ θ σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ θ σ ( m − 1 ) ∧ θ σ ( m ) = κ 1 ⋯ κ m 2 k k ! ⋅ ( 2 k ) !
Pr ( ∇ ̄ X M Y ) = ∇ X Y {\displaystyle \Pr({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y)=\nabla _{X}Y} であったので、以下が成立する:
定理 ―
ガウスの公式(英: Gauss formula): ∇ ̄ X M Y = ∇ X Y + I I ( X , Y ) {\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y=\nabla _{X}Y+\mathrm {I\!I} (X,Y)}
第二基本形式は以下を満たす:
定理 ―
I I ( X , Y ) = I I ( Y , X ) {\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y)=\mathrm {I\!I} (Y,X)}
I I ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y)} はX、Yに対して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形。
また、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} をM上の曲線、 V P ( t ) {\displaystyle V_{P(t)}} を P ( t ) {\displaystyle P(t)} 上のMに接するベクトル場とするとき、以下が成立する:
g ( ρ ( e i ∧ e j ) , e l ∧ e k ) {\displaystyle g(\rho (e_{i}\wedge e_{j}),e_{\ell }\wedge e_{k})} = g ( R ( e i , e j ) e l , e k ) {\displaystyle =g(R(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})} = g ( R ̄ ( e i , e j ) e l , e k ) + g ( I I ( e i , e l ) , I I ( e j , e k ) ) − g ( I I ( e i , e k ) , I I ( e j , e l ) ) {\displaystyle =g({\bar {R}}(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})+g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{\ell }),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{k}))-g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{k}),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{\ell }))} ...(1)
ηをMの単位法線とすると、主方向の定義から、
I I η ( e i , e j ) = { κ i if i = j 0 otherwise {\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(e_{i},e_{j})={\begin{cases}\kappa _{i}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
定理 ―
曲線に沿ったガウスの公式(英: Gauss formula along a curve) ∇ ̄ d t V P ( t ) = ∇ d t V P ( t ) + I I ( d d t P ( t ) , V P ( t ) ) {\displaystyle {{\bar {\nabla }} \over dt}V_{P(t)}={\nabla \over dt}V_{P(t)}+\mathrm {I\!I} \left({d \over dt}P(t),V_{P(t)}\right)}
上では M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続とMの接続の差を第二基本形式として定義したが、同様に M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続とMの法接続の差を考える事ができる。
定義 ― XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル N M {\displaystyle NM} の切断とするとき、
S η ( X ) := ∇ X ⊥ η − ∇ ̄ X M η = − Pr ∇ ̄ X M η {\displaystyle S_{\eta }(X):=\nabla _{X}^{\bot }\eta -{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta =-\Pr {\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta }
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Ivan Kolář, Jan Slovák, Peter W.