メルテンスの定理
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
∑ p ≤ n log  p p = log  n + O ( 1 ) , {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1),}
∑ p ≤ n 1 p = log  log  n + b + o ( 1 ) , {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+b+o(1),}
∏ p ≤ n ( 1 − 1 p ) = e − γ + o ( 1 ) log  n . {\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}}.}
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数(英語版)という。