標本 (統計学)
母集団分布を F とするとき、母集団から抽出された(無作為)標本 (random sample) とは分布 F に従う独立同分布確率変数列 x1, x2, ..., xn のことである。この確率変数列の長さn を標本のサイズ(サンプルサイズ)という。とりうる標本の全体が成す集合 Ω, 確率を定めうる集合の全体 M (⊂ 2^Ω), 分布を表す確率測度 P からなる確率空間 (Ω, M, P) を標本空間という。
例えば母集団の分布 F が母平均 E[X] = m, 母分散 V[X] = σ を持つならば、標本 x1, x2, ... は i を任意の番号として平均 E[xi] = m, 分散 V[xi] = σ を満たす。
標本から適当な操作を行って新たに作り出される確率変数を統計量と呼ぶ。統計量は(同じ量でも)標本の採り方に依存して定まり、一般に母集団の分布とは異なる分布に従う。統計量の従う分布を標本分布と呼ぶ。
例えば標本 x = (x1, x2, ..., xn) に対し、その平均
x ̄ := x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\bar {\mathbf {x} }}:={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
を取る操作を考えるとき、x の標本 x の取り方をさまざまに考えるものとして得られる確率変数は統計量である。この統計量は標本平均と呼ばれ、X などで表す。母集団の分布 F が母平均 E[X] = m, 母分散 V[X] = σ を持つならば、標本平均 X の従う標本分布について、平均 E[X] = m, 分散 V[X] = σ/n を得る。