積分判定法
調和級数に関する上記の例から、単調減少列 f(n) であって、
lim n → ∞ f ( n ) 1 / n = 0 and lim n → ∞ f ( n ) 1 / n 1 + ε = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }
という意味で
1/n よりも速く 0 に収束するが、
任意の ε > 0 に対して 1/n よりは遅く 0 に収束し、
対応する級数はなおも発散する
ようなものは存在するかという問題が持ち上がる。もしそのような級数が見つかれば、1/n を f(n) に取り換えて同じことを問うことができ、以下同様の議論が続けられる。このようにして級数の発散と収束の境界線を探究することができる。
具体的には、全ての自然数 k に対して級数
は発散する一方、
は全ての ε > 0 に対し収束することが示せる(証明は後述)。ここで lnk は自然対数の k-重の合成を表し、再帰的に
ln k  ( x ) = { ln  ( x ) for k = 1 , ln  ( ln k − 1  ( x ) ) for k ≥ 2.
が得られ、(3) から
∑ n = N M f ( n ) ≤ f ( N ) + ∑ n = N + 1 M ∫ n − 1 n f ( x ) d x ⏟ ≥ f ( n ) = f ( N ) + ∫ N M f ( x ) d x {\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx}
が得られる。これら2つの評価式を合わせると
∫ N M + 1 f ( x ) d x ≤ ∑ n = N M f ( n ) ≤ f ( N ) + ∫ N M f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx}
M を無限大に飛ばすことで評価式 (1) が得られ、かつ収束の必要十分性が示される。