ボホナー空間
測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 L(T; X) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の(等号はほとんど至る所についてのものであるような)コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては
‖ u ‖ L p ( T ; X ) := ( ∫ T ‖ u ( t ) ‖ X p d μ ( t ) ) 1 / p < + ∞ for 1 ≤ p < ∞ , {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,}
‖ u ‖ L ∞ ( T ; X ) := e s s s u p t ∈ T ‖ u ( t ) ‖ X < + ∞ {\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty }
が成立する。言い換えると、L 空間の研究においてよくあるように、L(T; X) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、T の μ-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは(より技術的には正しい)同値類と言うよりは、L(T; X) の「関数」と言う記号の濫用がよく見受けられる。