リーマン積分
なぜならば、そうでなければ長さが δ であると仮定して先ほどの場合に帰着されるからである)。これが起きるのは高々 m − 1 回である。この場合を上手く扱うために、分割 x0, ..., xn を yj+1 で細分してリーマン和とダルブー和との差を評価すると、リーマン和の項 ƒ(ti)(xi − xi+1) は二つの項
f ( t i ) ( x i − x i + 1 ) = f ( t i ) ( x i − y j + 1 ) + f ( t i ) ( y j + 1 − x i + 1 ) {\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i+1})=f(t_{i})(x_{i}-y_{j+1})+f(t_{i})(y_{j+1}-x_{i+1})}
に分かれる。ti ∈ [xi, xi+1] と仮定すると、mj ≤ ƒ(ti) ≤ Mj であるから、この項は yj に対応するダルブー和の対応する項で抑えられる。他の項を抑えるために、yj+1 − xi+1 が δ より小さいことに注意して、δ を ε/2r(m − 1)(ただし r は |ƒ(x)| の上限)より小さく取れば、第二項は ε/2(m − 1) より小さい。これが起きるのは高々 m − 1 回であるから、ダルブー和で抑えられない項の総計は高々 ε/2 になる。従って、リーマン和と s との差は高々 ε になる。
f: R → R を関数とし、I を R 内の区間とし、(D, ξ) を I の点付き分割とするとき、リーマン和 S f ( D , ξ ) {\displaystyle S_{f}(D,\xi )} を以下のように定義する:
S f ( D , ξ ) = ∑ J ∈ D f ( ξ J ) v ( J ) . {\displaystyle S_{f}(D,\xi )=\sum _{J\in D}f(\xi _{J})v(J).}
さらに以下の性質を満たす実数 a が存在するとき、f は I 上リーマン可積分であるといい、a を f の I 上の積分値といい、 ∫ I f ( x ) d x {\textstyle \int _{I}f(x)\,dx} と表す:任意の ε > 0 に対しある δ > 0 が存在し、I の全ての点付き分割 (D, ξ) に対し、
max J ∈ D diam  ( J ) < δ ⟹ | S f ( D , ξ ) − a | < ε . {\displaystyle \max _{J\in D}\operatorname {diam} (J)<\delta \implies \left|S_{f}(D,\xi )-a\right|<\varepsilon .}
大雑把に言って、リーマン積分は函数のリーマン和の分割をどんどん細分していった極限である。この極限が存在するならば、その函数は可積分(積分可能)あるいはもっと明確にリーマン可積分であるという。このときリーマン和は分割を十分細かくすることによっていくらでもリーマン積分に近づけることができる。
重要なことは、分割の大きさはどんどん小さく、極限において 0 となるようにしなければならないことである。さもなくば、ある小区間上で函数を十分に近似することができない。実は、分割の大きさを極限で 0 とすれば積分を定義するのに十分である。具体的に、函数 f のリーマン積分が s に等しいというのは、
上述した定義には、非常に扱いづらいという困った問題が存在する。そこでリーマン積分のより扱いやすい別な定義を与え、それが先ほどの定義によるものと一致することを証明する。