類数公式
定理(類数公式) K のデデキントゼータ函数 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、 R ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} で絶対収束し、s = 1 に唯一の一位の極を持つ複素平面全体で定義される有理型函数へ拡張(解析接続)できる。その極における留数は
lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K ( s ) = 2 r 1 ⋅ ( 2 π ) r 2 ⋅ h K ⋅ Reg K w K ⋅ | D K | {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}
である。
これが最も一般的な「類数公式」である。特別な場合、例えば K が Q の円分拡大体のときには、より精密な類数公式が存在する。
ディリクレは1839年に二次体の類数公式の証明を出版したが、イデアル類というより、二次形式の言葉で書かれていた。ガウスは既にこの公式を1801年には知っていたと考えられる。
この記述は、ダベンポート (Davenport)のものに従う。
d を基本判別式(英語版)とし、h(d) を判別式 d を持つ二次形式の同値類の数とする。 χ = ( d m ) {\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)} をクロネッカーの記号(英語版)とする。すると χ {\displaystyle \chi } はディリクレ指標である。 χ {\displaystyle \chi } のディリクレのL-級数を L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} と書くことにする。d > 0 に対し t > 0 とし、u > 0 である u をペル方程式 t 2 − d u 2 = 4 {\displaystyle t^{2}-du^{2}=4} の最小の解として、
ε = 1 2 ( t + u d ) . {\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}
と書くことにする。(すると ε は実二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の基本単数、もしくは基本単数の二乗となる)