完備測度
測度空間 (X, Σ, μ)が完備であるための必要十分条件は、次が成立することである: X上の実数値 Σ-可測関数列が必ずしも可測とは限らないX上の実数値関数fに概収束するとき、fもまた Σ-可測関数である。 これは、X上の実数値 Σ-可測関数の全体が成す集合M(X)が、概収束という位相において閉じている、つまり完備であることを意味している。
マハラムの定理によると、すべての完備測度は連続体上の測度と、有限あるいは可算無限の数え上げ測度に分解可能である。