ポリトープ
こんにちでは「超多面体」(polytope) は様々な幾何学的対象を広汎にカバーする語として用いられており、文献によって異なる定義が採用されている。そうした種々の定義の多くは互いに同値でなく、それによって「超多面体」と呼ばれるべき対象の範囲もそれぞれ異なったものとなることに注意すべきである。このようなことは、凸超多面体(英語版)を同様の性質を持つほかの対象を含むように一般化するいくつも異なる方法が存在することを表している。
もともとの考え方はルートヴィヒ・シュレーフリ(英語版)、ソロルド・ゴセット(英語版)らにより広く探られた、二次元および三次元のそれぞれ多角形および多面体の概念の、四次元あるいはそれ以上における対応物への拡張である。
多面体のオイラー標数をより高次の超多面体に対して一般化する試みは、位相幾何学の発展および多面体分割の取り扱い、あるいは超多面体の類似としてのCW複体を導いた。この流儀では、「超多面体」とは適当に与えられた多様体の分割あるいは充填と見なすことができる。この方法で定義される超多面体の例には、単体分割(英語版)可能な点集合が挙げられる。この場合、超多面体は有限個の単体の合併であって、追加の性質として「その任意の二つの単体が空でない交わりを持つとき、それら交わりは必ずもとの二つの単体両方の頂点、辺、あるいはより高次の面に一致していなければならない」という条件を満足する。しかしこの定義では内部構造を持つ星型超多面体(英語版)は許されず、したがってこのような流儀の通じる分野はややもすれば限定的である。
これらファセットもそれ自身 (n − 1)-次元超多面体で、そのさらにファセットはもとの多様体の (n − 2)-次元面(稜(英語版))である。任意の稜は二つのファセットの交わりとして得られる(が、任意の二つのファセットの交わりは必ずしも稜でない—もっと次元が低い面となる可能性がある)。そして稜自身もまた (n − 2)-次元超多面体であって、そのファセットは最初の超多面体の (n − 3)-次元面(峰(英語版))で与えられる。以下同様である。超多面体を囲むこれら部分超多面体のことを、もとの超多面体の面(いわば広義の面、「超面」)と総称する。各零次元面は一点からなり、「頂点」と呼ばれる。各一次元面は一つの線分からなり、「辺」と呼ばれる。各二次元面は一つの多角形からなり、「面」と呼ばれる。各三次元面は一つの多面体からなり、胞(英語版)と呼ばれることがある。
多角形および多面体は古来より知られてきた。
高次元に対する初期の気づきは、1827年にメビウスが「互いに鏡像の関係にある二つの立体は、第四の空間次元を通して回転させることで、一方を他方に重ね合わせられる」ことを発見したときである。1850年代ごろ、例えばケイリーやグラスマンら一握りの数学者たちもまた高次元について考察している。
多角形や多面体の高次元における対応物について初めて考察したのはルートヴィヒ・シュレーフリ(英語版)である。シュレーフリは六つの凸正多胞体(英語版)を1852年に記述しているが、その成果は彼の死後6年を経た1901年まで公表されなかった。1854年ごろリーマンの教授資格論文(英語版)が高次元の幾何学を確固たるものとして打ち立ててより、以って n-次元超多面体の概念も是とされたのである。シュレーフリの超多面体は、彼の生前にあってさえ、数十年の間に幾度も再発見されたのである。
1882年にラインホルト・ホッペ(英語版)はドイツ語で、この多角形や多面体をより一般化する概念を言い表すのに Polytop という語を造語した。やがてアリシア・ブール・スコット(英語版)(論理学者ジョージ・ブールの娘)が英語風に polytope と改変して英語に持ち込んでいる。
1895年、トロルド・ゴセット(英語版)は、シュレーフリの正超多面体の再発見のみならず、半正超多面体(英語版)および高次元の空間充填分割についても調べている。そのころ、双曲空間などの非ユークリッド空間における超多面体の研究も始まった。
重要な節目に達するのは1948年のコクセターの著書 Regular Polytopes(英語版) で、それまでの研究史の要約にコクセター自身による新たな発見が加えられている。