代数的整数
以下は α ∈ K が代数的整数であることの同値な定義である。ここで K は代数体(有理数体 Q の有限拡大)とする。原始元定理より、この K は適当な代数的数 θ ∈ C によって K = Q(θ) とすることもできる。
f (α) = 0 を満たすモニック多項式 f (x) ∈ Z[x] が存在する。
α の Q 上の最小モニック多項式 f (x) ∈ Z[x] が存在する。
Z[α] が有限生成 Z-加群となる。
αM ⊆ M を満たす有限生成 Z-部分加群 0 ≠ M ⊂ C が存在する。
代数的整数は有限拡大 K / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。
代数的整数をこのように定義する背景には次のような考え方がある。まず、有理数に対する整数のように、代数的数全体の集合の中で「整数の集合」S が何らかの方法で定義できたとする。すると S は次の性質を持っているはずである。