多重劣調和函数
で定義したとき Δ の境界で L(φ) ≧ 0 となることが必要であることを示した。
この L は、L(φ1) > 0 かつ L(φ2) > 0 であったとしても L(φ1 + φ2) > 0 となるとは限らない。この不便さを取り除くため、岡は同じような役割を演ずる函数であって和に関して不変であるようなものを探した。
D を C の擬凸状領域とする。x と y を C の座標とし、複素数 ξ に対して x = ξ で定義される解析直線による D の切り口を D(ξ) と表す。Ry(x) を、複素平面における y と D(x) の境界との距離とする。この函数はハルトークスの正則半径に相当する。ハルトークスは
− log  R y ( x ) {\displaystyle -\log R_{y}(x)}
が x に関して劣調和な函数であることを示した。
岡は、この函数がすべての解析直線上で劣調和函数になることを証明した。これは一つの発見であった。ここから多重劣調和函数の概念は誕生した。
φ を 2次元の複素数空間 C 上の実数値関数とし、φ < 0 で定義される領域 Δ が有界領域であったとする。 エウジェーニオ・エリア・レヴィ(英語版)は Δ が擬凸状であるためには L(φ) を