ネヴァンリンナ理論
ネバンリンナ標数を定義する第2の方法は、次式に基づく。
∫ 0 r d t t ( 1 π ∫ | z | ≤ t | f ′ | 2 ( 1 + | f | 2 ) 2 d m ) = T ( r , f ) + O ( 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1)}
ここで、 dm は平面内の面積要素である。この式の左辺は、アールフォルス=清水標数(Ahlfors–Shimizu characteristic)と呼ばれている。境界項 O(1) はほとんどの場合重要ではない。
アールフォルス=清水標数の幾何学的な意味は次の通りである。内側の積分 dm は円盤のイメージの球面面積である |z| ≤ t の倍数を数える(つまり、リーマン面の k 回被覆された部分を k 回と数える)。この面積をリーマン面全体の面積であるπで割ったものが円盤の面積である。この結果は、リーマン面を円盤 |z| ≤ t で被覆している平均的な枚数と解釈することができ、この平均的な枚数を重み 1/t で t に関して積分する。