デデキントの補題
エミール・アルティン または Kurt Meyberg に従い、以下のように証明することができる。
Kurt Meyberg は "Algebra"(Teil 2) の中で「アルティンの定理」について述べているが、これはまた別の(しかしながら上記の命題と深く関連した)アルティンによる結果で、以下の内容である。
L {\displaystyle L} と K {\displaystyle K} が可換体で、 L / K {\displaystyle L/K} が有限次拡大のとき、以下の主張は同値である。
(A) L / K {\displaystyle L/K} はガロア拡大である。
(B) [ L : K ] = | A u t ( L / K ) | {\displaystyle [L\colon K]=|\mathrm {Aut} (L/K)|}
(C) L / K {\displaystyle L/K} は正規拡大で、かつ分離拡大である。
(D) L {\displaystyle L} はある K {\displaystyle K} 係数分離多項式の K {\displaystyle K} 上の最小分解体である。
Kurt Meyberg(ドイツ語版) による定式化は以下の通りである。
(乗法的に書かれた)半群 H ≠ ∅ {\displaystyle H\neq \emptyset } と可換体 K {\displaystyle K} 、および H {\displaystyle H} から K ∗ {\displaystyle K^{*}} ( K {\displaystyle K} の単元群)への準同型 σ 1 , ... , σ n ( n ∈ N ) {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}\;\;(n\in \mathbb {N} )} が与えられたとき、以下は同値。
(A1) σ 1 , ... , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は相異なる。
(A2) H {\displaystyle H} から K {\displaystyle K} への写像全体を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とみなして A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} と書くと、 σ 1 , ... , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} の元として線型独立である。