数列
数列の有限和や絶対収束に対する自然な意味での「和」の概念を、それ以外の特に発散級数に対して延長する試みを総和法という。素朴な和の概念からはしばしば奇異に映る性質を有する。
チェザロ和: lim n → ∞ s 1 + s 2 + ⋯ + s n n , s k = a 1 + a 2 + ⋯ + a k {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}}{n}},\quad s_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}}
アーベル和
繰り込み
2つの数列 (xn), (yn) が連立漸化式
{ x n + 1 = a x n + b y n y n + 1 = c x n + d y n {\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n}\end{cases}}}
を満たしているとする。これを二元の定数係数連立線型漸化式という。漸化式を
x n + 1 = A x n A := ( a b c d ) , x n := ( x n y n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{n+1}=A{\boldsymbol {x}}_{n}\quad A:={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {x}}_{n}:={\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}}}
とおけば、連立漸化式を平面上の点列の一次変換による移動の様子として捉えることができる。A をこの連立線型漸化式の係数行列と呼ぶ。また、
x n = A n − 1 x 0 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{n}=A^{n-1}{\boldsymbol {x}}_{0}}
のように、隣接二項間および三項間の定数係数線型漸化式が得られる。先に述べたこれらの漸化式の解法は、係数行列の冪を求める方法に対応している。特に、定数係数連接三項間漸化式の特性多項式は係数行列の特性多項式に一致する。
もう少し一般に、
y n + 1 = A y n + b {\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{n+1}=A{\boldsymbol {y}}_{n}+{\boldsymbol {b}}}
の形の点列の変換(アフィン変換)は、変換の不動点、つまり
y ∞ = A y ∞ + b {\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{\infty }=A{\boldsymbol {y}}_{\infty }+{\boldsymbol {b}}}
を満たす点 y∞ をとれば、x′n ≔ y′n − y∞ とおくことにより、線型漸化式
x n + 1 = A x n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{n+1}=A{\boldsymbol {x}}_{n}}
に帰着される。
これらのことは、さらに高次化することができる。
添字を 2 つ持つような数列 (am,n)m,n∈N は格子 Λ ≔ {(m, n) ∈ N × N} 上で定義される関数である。
二重数列 (am,n) が極限
lim m → ∞ n → ∞ a m , n {\displaystyle \lim _{m\to \infty \atop n\to \infty }a_{m,n}}
を持つとは、任意に与えられた ε > 0 に対し十分大きな番号 N をとれば、m, n > N のとき常に |am,n − α| < ε とできるような定数 α が存在することである。これは二重極限
lim m → ∞ lim n → ∞ a m , n , lim n → ∞ lim m → ∞ a m , n {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{m,n},\quad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{m,n}}
などと一般には異なる。フビニの定理も参照。
二重級数
∑ m , n a m , n {\displaystyle \sum _{m,n}a_{m,n}}
は格子点の全体 Λ = N × N に整列順序を入れることによって通常の単純級数(一重級数)に書き直せる。とくに Λ を可算個の有限または無限集合の非交和(直和)
Λ = K 1 ⊔ K 2 ⊔ ⋯ (disjoint) {\displaystyle \Lambda =K_{1}\sqcup K_{2}\sqcup \cdots \quad {\text{(disjoint)}}}
に分解するとき、各 Ki 上で和