多項定理
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 k 1 ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n k m ≥ 1 ( n k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m + ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。
n個の (x1 + x1 + ... + xm) の積を一度に展開し切ることを考える。
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⋯ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) ⏟ n factors {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}}
一度に展開すると、それぞれの (x1 + x1 + ... + xm) から x1, ..., xm の1つだけを取った文字 n個の総乗の総和となる。
これらの積のうち、並び替えて x1...xm (k1 + ... + km = n) になるものは、k1個の x1、...、km個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 (nk1, ..., km)、すなわち x1...xm の係数は n!/k1!...km! となる。