ガンマ関数
である。 s = r e i θ {\displaystyle s=re^{i\theta }} とすれば、同様にして
Γ ( z ) = 1 e 2 π i z − 1 ∫ C s z − 1 e − t d s ( z ∈ C ∖ Z ) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )}
を得る。また、相反公式により、
1 Γ ( z ) = sin  π z π Γ ( 1 − z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z e − t d t ( z ∈ C ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\sin {\pi }z}{\pi }}\Gamma (1-z)={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )}
を得る。
この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin  π z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}}}
である。相反公式に z = 1 2 {\displaystyle z={\frac {1}{2}}} を代入すれば
Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 − 1 2 ) = π sin  π 2 = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{\sin {\frac {\pi }{2}}}}=\pi }
となり
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
を得る。