有理点
複素射影平面(英語版)上の点 (a, b, c) は、za, zb, zc がすべて実数となるような複素数 z が存在するとき、R-有理点(通常は、実有理点と呼ぶ)である。そうでなければ、複素数の点と呼ぶ。この記述は高次元の複素射影空間へ一般化される。
V を体 K 上の代数多様体とする。V がアフィン多様体、つまり V を係数が K に属する多項式方程式系 fj(x1, ..., xn) = 0, j = 1, ..., m の零点集合であるとすると、V の K-有理点 P は、体 K に属する数の順序付きの n-個の組 (x1, ..., xn) であり、同時にすべての方程式の共通解となる。一般に V の K-有理点は、V のアフィン開部分集合の K-有理点である。
V が射影空間 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} の中の斉次多項式 f 1 , ...
スキーム論の用語では、スキーム X の K-有理点は、まさに射 Spec K → X のことである。K-有理点の集合を通常、X(K) で表す。
体 k 上に定義されたスキームや多様体 X に対し、剰余体 k(x) が k に同型であれば、点 x ∈ X も有理点と呼ばれる。
点 (3, −67/4) は、方程式 y + 67/4 = 2 (x − 3) で与えられる直線上の有理点の無限集合のひとつの元である。この有理点の集合は、群演算 (a, b) + (r, s) = (a + r, b + s + 91/4) と単位元 (0, −91/4) を持つ可換群を形成する。この直線上に整数点は存在しないことを示すことができる。この直線は単純なタイプの代数曲線であり、代数多様体である。有理点を有限個しかもたない、もしくは有理点をまったくもたない代数曲線(たとえば、円錐曲線 x + y + 1 = 0)も存在する。