楕円軌道
逆二乗の法則に従う力は保存力であり、ポテンシャルは V = −k/r で与えられる。 このポテンシャルの下での運動を記述するハミルトン関数は
H = p r 2 2 m + p φ 2 2 m r 2 − k r {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{p_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{p_{\phi }}^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}}
である。この系は保存系であり、エネルギーを保存する。また、変数 φ はハミルトン関数に含まれない循環座標であり、これに共役な角運動量も保存する。 2次曲線は二つのパラメータ L, e で表されるため、二つの保存量により運動が決定される。この2次曲線の形は、パラメータeの値によって変わる。
保存エネルギーを E、保存角運動量を J とすると