ディラックのデルタ関数
Sink関数による近似の形をオイラーの公式を用いて変形すれば
φ k ( x ) = sin  k x π x = 1 2 π i x [ e i k x − e − i k x ] = 1 2 π ∫ − k k e i k ′ x d k ′ {\displaystyle \phi _{k}(x)={\frac {\sin kx}{\pi x}}={\frac {1}{2\pi ix}}\left[e^{ikx}-e^{-ikx}\right]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-k}^{k}e^{ik'x}dk'}
であり、フーリエ変換における基本的な関係式
δ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k x d k {\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk}
が得られる。この表式は量子場の理論で非常によく利用される。 フーリエ変換とその逆変換
f ^ ( k ) = F [ f ] = ∫ f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f}}(k)={\mathcal {F}}[f]=\int f(x)\,e^{-ikx}dx}
佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値
δ ( x ) := − 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) {\displaystyle \delta (x):={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)}
と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば
− 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) = − 1 2 π i ( 1 x − 1 x ) = 0 {\displaystyle {\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x}}\right)=0}
である。また、デルタ関数の最も重要な性質である
∫ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \int \delta (x)f(x)\,dx=f(0)}
は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開できる。
デルタ関数は実軸上滑らかで有界な関数の空間 C b ∞ ( R ) {\displaystyle C_{b}^{\infty }(\mathbb {R} )} 上の汎関数になっているが、 C b ∞ ( R ) {\displaystyle C_{b}^{\infty }(\mathbb {R} )} の双対空間の中でデルタ関数に弱収束するような関数の族 φt、つまり
∫ − ∞ ∞ f ( x ) φ t ( x ) d x → f ( 0 ) ( t → 0 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi _{t}(x)dx\rightarrow f(0)\quad (t\rightarrow 0)}
が任意の f ∈ C b ∞ ( R ) {\displaystyle f\in C_{b}^{\infty }(\mathbb {R} )} について成り立つような族 φt がいくつか知られている。同様にして、滑らかかつ有界とは別な条件を満たす関数の空間の上の汎関数としての弱収束の表示も与えられている。以下に代表的例を 2 つ挙げる。
Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族
φ k ( x ) = sin  k x π x ( k ∈ R ) {\displaystyle \phi _{k}(x)={\frac {\sin kx}{\pi x}}\quad (k\in \mathbb {R} )}
は、デルタ関数の満たすべき条件
∫ − ∞ ∞ φ k ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi _{k}(x)\,dx=1}
を満たす。ただし、これは左辺を広義積分 lim a → ∞ ∫ − a a {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}} として解釈した際に成立する等式である。上記の例と違ってこの関数族は k → ∞ としても各点収束しないが、任意のコンパクト台の滑らかな関数 f に対して
lim k → ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) φ k ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\phi _{k}(x)\,dx=f(0)}
が成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、
lim k → ∞ sin  k x π x = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\sin kx}{\pi x}}=\delta (x)}
と表現される。