多変数の微分
p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする(つまり p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} )。このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとは、
lim x → p ( f ( x ) − ( A ( x − p ) + f ( p ) ) ‖ x − p ‖ ) = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0} (2-2)
f {\displaystyle {\textbf {f}}} の点 p {\displaystyle \mathbf {p} } における「( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の) ベクトル e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} 」に対する偏微分商、即ち ∂ [ e j ] f [ p ] {\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]} を、 ∂ f ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} と書く。 即ち、
∂ f ∂ x j | [ p ] = ∂ [ e j ] f [ p ] = lim t → 0 f ( t e i + p ) − f ( p ) t {\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {e} _{i}+\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}} (1-18)
lim x → p o [ f , p ] ( x ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0} } (2-15)
であることが分かる。
(2-14) は、以下の恒等式
f ( x ) = ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) + o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )} (2-16)
の x {\displaystyle {\textbf {x}}} に p {\displaystyle {\textbf {p}}} を代入すれば直ちに得られる。
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 h {\displaystyle h} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された多変数スカラー値関数とする。
p {\displaystyle {\textbf {p}}} を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする。(つまり、 p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} ) a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} のベクトルとする。( a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。) このとき、
∫ s = 0 s = 1 ( ( ∂ [ a ] h ) ( s a + p ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(\left({{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h\right)(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right)ds}} = h ( a + p ) − h ( p ) {\displaystyle h(\mathbf {a} +\mathbf {p} )-h(\mathbf {p} )} (6-2-1)
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて
T ( x ) = A x + b {\displaystyle T({\textbf {x}})={\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}}} (3-4)
の形で具体的な数式として書ける、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} から R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点( R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} の点) p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、任意の点( R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} の点) p {\displaystyle {\textbf {p}}} において、
( J T ) [ p ] = A {\displaystyle {{(JT)}_{[\mathbf {p} ]}}={\textbf {A}}} (3-5)
である。逆に、任意の点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} において (3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
となるので、
g ∘ f ( x ) {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})} = g ( f ( x ) ) {\displaystyle =\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( f ( x ) − f ( p ) ) + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))}
は、
lim y → f ( p ) ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ y − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} (3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
∂ [ a ] f i | [ p ] = lim t → 0 f i ( p + t a ) − f i ( p ) t = e i ⋅ ( lim t → 0 ( f ( p + t a ) − f ( p ) t ) ) = t e i ⋅ ∂ [ a ] f | [ p ] = ∂ [ a ] f | [ p ] ⋅ e i {\displaystyle {\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}} (1-12)