ルジャンドル多項式
このルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば連続質量や電荷分布の上でこの展開を積分するときなどに有用である。
ルジャンドル多項式は、空間の無電荷領域における電位に関するラプラス方程式
∇ 2 Φ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0}
を軸対称な(方位角に依存しない)境界条件のもとで、変数分離法を用いて解く際にも登場する。ここで、 ˆz を対称軸、θ を観測者の位置と ˆz-軸との間の角(天頂角)とするとき、電位は
Φ ( r , θ ) = ∑ l = 0 ∞ [ A l r l + B l r − ( l + 1 ) ] P l ( cos  θ ) {\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta )}
となる。Al と Bl は各問題の境界条件に従って決定される。
三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際にもルジャンドル多項式は現れる。
解析学においてルジャンドルの微分方程式
d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x f ( x ) ] + λ ( λ + 1 ) f ( x ) = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)\right]+\lambda (\lambda +1)f(x)=0}
(λ は任意の複素数とする)は標準的な冪級数法を用いて解けることが知られており、その解は一般にルジャンドル関数と呼ばれる(何れもアドリアン=マリ・ルジャンドルに名を因む)。この方程式は x = ±1 に確定特異点(英語版)を持つから、一般には原点の周りでの級数解の収束半径は 1 である。
λ が非負整数 n = 0, 1, 2, ... のときの解は x = ±1 の両点においても正則であり、かつ級数は途中で止まって多項式となる。さらに 、x = 1 において値 1 を取るという初期条件を課すと、解は一意に定まる。これを n次のルジャンドル多項式と呼び、普通は Pn(x) と記す。また、全ての非負整数についての n次のルジャンドル多項式全体が成す関数族を総称的にルジャンドル多項式と呼ぶ。ルジャンドル多項式は後述する関数空間の内積に関して直交系を成す。