中心化群と正規化群
群 G における S の正規化群 (normalizer) は次で定義される。
N G ( S ) = { g ∈ G ∣ g S = S g } {\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。中心化群のときに述べた、G を省いたり単集合のときにブレース(中括弧)を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。S の正規化群を S の正規包(英語版) (normal closure) すなわち、S の生成する正規部分群 ⟨⟨S⟩⟩ と混同してはならない。
数学、とくに群論において、群 G の部分集合 S の中心化群 (英: centralizer) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。
G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
群 G の部分群 H に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。
群準同型 T: G → Inn(G) を T(x)(g) = Tx(g) = xgx によって定義すれば、NG(S) と CG(S) を Inn(G) の G への群作用の言葉によって記述できる: S の Inn(G) における安定化群は T(NG(S)) であり、S を固定する Inn(G) の部分群は T(CG(S)) である。