有限変形理論
R {\displaystyle \mathbf {R} } の直交性のため、
となる。
その結果、 U {\displaystyle \mathbf {U} } と V {\displaystyle \mathbf {V} } は同じ「固有値」、「principal directions(主方向)」を持つが、「固有ベクトル」(主方向)は、それぞれ N i {\displaystyle \mathbf {N} _{i}} および n i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}
となり、異なる。主方向は以下のように関連している:
この極分解は、 F {\displaystyle \mathbf {F} } が逆行列を持ち、かつ正の行列式を持つため、一意的である。また、この極分解は特異値分解の帰結である。
物体の時間依存変形を含む計算では,変形勾配の時間微分を計算する必要がある場合が多い. このような微分を幾何学的に矛盾なく定義するには微分幾何学に踏み込む必要があるが,この記事ではそのような問題を避ける.
F {\displaystyle \mathbf {F} } の時間微分は次のようになる。
ここで、 m a t h b f V {\displaystyle mathbf{V}} は(物質)速度である。 右辺の導関数は物質速度勾配を表している。微分の連鎖律を適用して空間勾配に変換するのが一般的である、即ち、
ここで、 l {\displaystyle {\boldsymbol {l}}} は'空間速度勾配('spatial velocity gradient) であり、 v ( x , t ) = V ( X , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)} は、 x = x ( X , t ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)} における空間(オイラー)速度である。