ヒース–ジャロー–モートン・フレームワーク
最後の方程式により、無リスクのショートレート f ( t , t ) ≜ r ( t ) {\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)} が定義できる。HJMフレームワークではリスク中立測度 Q {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} } の下での f ( t , s ) {\displaystyle \textstyle f(t,s)} の変動が以下のように定まる。
d f ( t , s ) = μ ( t , s ) d t + Σ ( t , s ) d W t {\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)dW_{t}}
ここで W t {\displaystyle \textstyle W_{t}} は d {\displaystyle \textstyle d} 次元のウィーナー過程であり、 μ ( u , s ) {\displaystyle \textstyle \mu (u,s)} , Σ ( u , s ) {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}(u,s)} は F u {\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}} 適合過程である。今、 f {\displaystyle \textstyle f} の変動に基いて、 P ( t , s ) {\displaystyle \textstyle P(t,s)} の変動と、リスク中立価格付けを満たす為に必要な条件を見つけよう。ここで以下の確率過程を定義する。