擬似逆行列
n 次正方行列 I n − A + A {\displaystyle I_{n}-A^{+}A} は、 ker  A {\displaystyle \ker A} への直交射影である。
A {\displaystyle A} を m × n {\displaystyle m\times n} 行列とする。連立一次方程式 A x = b {\displaystyle Ax=b} に対して 方程式が解を持つとき k {\displaystyle k} を任意の n {\displaystyle n} 次元列ベクトルとして、すべての解は x = A + b + ( I n − A + A ) k {\displaystyle x=A^{+}b+(I_{n}-A^{+}A)k} と表せる。ノルム ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} が最小の解は A + b {\displaystyle A^{+}b} で与えられる。 A {\displaystyle A} が正則なら A + = A − 1 {\displaystyle A^{+}=A^{-1}} で、ただ一つの解を持つ。 方程式が解を持たないとき前述の x {\displaystyle x} は ‖ A x − b ‖ 2 {\displaystyle \|Ax-b\|^{2}} を最小にするベクトル(最小2乗解)である。