数論的ゼータ函数
解析接続の主要な問題であるクリティカル帯内での極の位数と整数点での ζX (s) の留数は、X の重要な数論的不変量により表されることが予想されている。上記の基本的性質とネター正規化(英語版)(Noether normalization)を基礎としたジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)による議論により、X のゼータ函数は最大次元の X の既約成分の数に等しい位数を持っている s = n に極を持つことが示された。 第二に、ジョン・テイト(John Tate)はで、
o r d s = n − 1 ζ X ( s ) = r k O X × ( X ) − r k P i c ( X ) {\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Pic} (X)}
つまり、極の位数は、可逆な正則函数(regular function)の群とピカール群のランクにより表されることが予想した。
例えば、X を q 個の元を持つ有限体のスペクトルとすると、
ζ X ( s ) = 1 1 − q − s {\displaystyle \zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}}
となる。
X を整数の環のスペクトルとすると、ζX (s) はリーマンゼータ函数となる。さらに一般的には、X を代数体の整数のスペクトルとすると、ζX (s) はデデキントゼータ函数となる。
スキーム X 上のアフィン空間と射影空間のゼータ函数は、それぞれ、
ζ A n ( X ) ( s ) = ζ X ( s − n ) ζ P n ( X ) ( s ) = ∏ i = 0 n ζ X ( s − i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _{X}(s-n)\\\zeta _{\mathbf {P} ^{n}(X)}(s)&=\prod _{i=0}^{n}\zeta _{X}(s-i)\end{aligned}}}
で与えられる。
この式の後半は、任意の共通部分を持たない閉じた部分スキームと開いた部分スキーム U と V の合併に対して、