共面
相異なる四点 x1, x2, x3, x4 が共面であるための必要十分条件は [ ( x 2 − x 1 ) × ( x 4 − x 1 ) ] ⋅ ( x 3 − x 1 ) = 0 {\displaystyle [(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0} が成り立つことである。これは ( x 3 − x 1 ) ⋅ [ ( x 2 − x 1 ) × ( x 4 − x 3 ) ] = 0 {\displaystyle (x_{3}-x_{1})\cdot [(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{3})]=0} とも同値。
三つのベクトル a, b, c が共面で、a, b が直交 (a⋅b = 0) するとき、a および b 方向の単位ベクトルをそれぞれ â および ˆb と書けば、
と c の成分分解が得られる。
ここに、c⋅â および c⋅ˆb は c のそれぞれ a および b 方向の成分を与えるものであることに注意する。