オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
B をブラウン運動とすると、
U t = exp  ( β t ) B ( 1 − e − 2 β t 2 β ) {\displaystyle U_{t}=\exp(\beta t)B\left({\frac {1-e^{-2\beta t}}{2\beta }}\right)}
はオルンシュタイン=ウーレンベック過程である。Utは以下の微分方程式の解である。
d U t = β U t d t + d B t {\displaystyle dU_{t}=\beta U_{t}\,dt+dB_{t}}
r t = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) + ∫ 0 t σ e θ ( s − t ) d W s {\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}\,dW_{s}}
r 0 {\displaystyle r_{0}} が定数であると仮定するとき、 r t {\displaystyle r_{t}} の1次モーメントは以下のように計算できる。
E ( r t ) = r 0 e − θ t + μ ( 1 − e − θ t ) {\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}
s ∧ t = min ( s , t ) {\displaystyle s\wedge t=\min(s,t)} とおくと、伊藤積分の等長性 を用いて次のような共分散関数が得られる。