0.999...
= 1 という概念は崩壊する。』と言って依然として抵抗している。
ナンセンスだ!」
The Straight Dope は「他の掲示板...ほとんどがビデオゲーム」から独立した専用の掲示板で議論を載せている。同様の調子で、0.999... の問題は、アメリカのゲーム開発会社ブリザード・エンターテイメントの Battle.net フォーラムで最初の7年間にとても一般的な話題であることが分かったため、社長の Mike Morhaime は2004年4月1日の記者会見で 0.999... = 1 であると発表した。
「我々はこの問題に対しきっぱりと決着をつけることに大変興奮しています。我々は 0.999... が 1 に等しいのか等しくないのかについての、心痛や心配に立ち会ってきました。ここに次の証明を提示し、我々の顧客に対して、最終的に断固としてこの問題に対処できることを嬉しく思います。」
続くプレスリリースで、極限に基づくものと 10 を掛けるものの2つの証明を提供している。
のいくつかの一般的な議論に見られるが、それもまた論争を引き起こす。多くの著者が 0.999... を定義することを選択する一方で、実数の現代的な取り扱いでは 0 による除算は定義されない。というのは、それが通常の実数の範囲では意味を与えられないからである。しかしながら、0 による除算は複素解析など他の体系では定義されている。複素解析では、拡張された複素平面(リーマン球面)は無限遠点をもつ。ここで、1/0 を無限大であると定義することには意味がある。また、実際その結果は奥深く、工学や物理学にも応用できる。何人かの著名な数学者は、どの数体系も発達するずっと前からそのような定義を論じていた。
冗長な数表記の類例として負の 0 が挙げられる。実数などの数体系においては、"0" は加法に関する単位元を意味し、正の数でも負の数でもない。通常 "−0" は加法に関する 0 の逆元を表すと解釈されるため、−0 = 0 でなければならない。それにもかかわらず、いくつかの科学的な応用では、正と負の 0 を分けて用いる。これはいくつかのコンピュータの数体系(例えば符号付数値表現、1 の補数表現、IEEE 754 で定義されたような浮動小数点表示)でもそうである。IEEE の浮動小数点数の場合は、負の 0 は、与えられた正確な数値を表すには(絶対値が)小さすぎるが、それでもなお負の数である値を表している。したがって、IEEE 浮動点数表示における「負の 0」は本来の意味で"負の 0" ではない。
なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, ... の超冪構成(英語版)に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, ...)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999...;...999000..., はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。これに応じて、「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を
0. 999 ⋯ ⏟ H = 1 − 1 10 H {\displaystyle 0.\underbrace {999\cdots } _{H}=1-{\frac {1}{10^{H}}}}
と理解することができる。このように解釈した "0.999..." は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999... は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた。Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999... < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした。Jose Benardete は自身の著書 Infinity: An essay in metaphysics において、過度に制限された数体系に話を限定する限り、数学以前の自然な直観のいくらかは言い表すことができないのだと主張した。