ビネ方程式
ビネ方程式では、力の中心周りの円運動に対応する力の法則を導くことはできないが、円運動の中心と力の中心が一致していない場合は力の法則を導くことができる。力の中心を通過する円運動を考えることにする。このような円軌道の(逆)極方程式は、半径を D とすると次のように表わされる。
D u ( θ ) = sec  θ {\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta }
u を二階微分し、ピタゴラスの三角恒等式(英語版)を用いると次を得る。
D d 2 u d θ 2 = sec  θ tan 2  θ + sec 3  θ = sec  θ ( sec 2  θ − 1 ) + sec 3  θ = 2 D 3 u 3 − D u {\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u}
これらを組み合わせると、次のようにビネ方程式が得られる。
F = m ( r ̈ − r θ ̇ 2 ) = − m ( h 2 u 2 d 2 u d θ 2 + h 2 u 3 ) = − m h 2 u 2 ( d 2 u d θ 2 + u ) {\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}