キリングベクトル場
を仮定すると、 K μ = δ 0 μ {\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }} であり、 K μ = g μ ν K ν = g μ ν δ 0 ν = g μ 0 {\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}}
である。ここで、 g ρ 0 g ρ σ = δ 0 σ {\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }} より、キリングの条件 K μ ; ν + K ν ; μ = K μ , ν + K ν , μ − 2 Γ μ ν ρ K ρ = g μ 0 , ν + g ν 0 , μ − g ρ σ ( g σ μ , ν + g σ ν , μ − g μ ν , σ ) g ρ 0 {\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}}
各々のキリングベクトルは、測地線(英語版)(geodesics)に沿って保存される量に対応する。この保存量はキリングベクトルと測地線の接ベクトルとの間の計量積である。すなわち、同じアフィンパラメータ λ {\displaystyle \lambda } の測地線に沿って、方程式 d d λ ( K μ d x μ d λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}(K_{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }})=0} が成立する。これは、対称性をもつ時空の運動を解析的に研究する目的を持っている。