ジャイロベクトル空間
ここで、 β w {\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }} は β w = 1 1 + | w | 2 c 2 {\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}} で与えられるベータ因子である。
他の双曲幾何学的モデルが円板や半平面を用いるのに対し、この公式は空間全体を用いるモデルを与える。
固有速度ジャイロ空間は、実内積空間Vに固有速度ジャイロ加算 ⊕ U {\displaystyle \oplus _{U}} とスカラー倍 r ⊗ {\displaystyle \otimes } v = s sinh(r sinh(|v|/s))v/|v| (r は実数、v ∈ V、 v ≠ 0、 r ⊗ {\displaystyle \otimes } 0 = 0 )を加えたものである。
ブースト行列 B(v) はブーストBを表しており、vの要素、すなわち v1, v2, v3 が行列の要素に現れる。 行列の要素は3次元ベクトル vの要素に依存しており、B(v)という表記はこれを意味するものである。 実際のところ、各要素は4次元ベクトルの要素で表すこともできる。これは、4次元ベクトルの要素のうち3つは3次元ベクトルと同じだからである。しかし、ブーストを3次元ベクトルでパラメトライズする場合、2つのブーストの合成の4×4行列表現 B(u ⊕ {\displaystyle \oplus } v) が3次元ベクトルの合成 u ⊕ {\displaystyle \oplus } v の要素で表せるという利点がある。しかし、合成結果のブーストに対しても回転行列をかける必要がある。なぜなら、ブーストの合成(2つの4×4行列の積)が純粋なブーストではなくブーストと回転の合成となるからである。具体的には、回転 Gyr[u,v] を用いてB(u)B(v) = B(u ⊕ {\displaystyle \oplus } v)Gyr[u,v] = Gyr[u,v]B(v ⊕ {\displaystyle \oplus } u) となる。
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Florian Girelli, Etera R.