列空間
この時点で、第一、第二、第四の列ベクトルは線型独立であることが明白になるが、第三の列ベクトルははじめの二つの列ベクトルの線形結合となっている(具体的に、v3 = −2v1 + v2 である)。したがって、もとの行列の第一、第二および第四の列ベクトル
[ 1 2 1 1 ] , [ 3 7 5 2 ] , [ 4 9 1 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}}
が、その行列の列空間の基底である。ここで、行既約階段形の独立な列ベクトルは、ピボット(英語版)を伴う列ベクトルであることに注意されたい。このことから、階段形へと書き下すことのみで、どの列ベクトルが線型独立であるか決定することが可能となる。
上述の計算法は一般的に、任意のベクトルの集合の間の依存関係を調べるため、および任意の張られる集合から基底を見つけるために用いられる。張られる集合から基底を見つけるための異なる計算方法は、記事「行空間」で述べられている:すなわち、A の列空間の基底を見つけることは、転置行列 A の行空間の基底を見つけることと同値なのである。