実解析的アイゼンシュタイン級数
正定値整数係数二次形式 Q(m, n) = cm + bmn + an に対するエプシュタインのゼータ函数(Epstein zeta function) ζQ(s) (Epstein 1903)は、
ζ Q ( s ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) 1 Q ( m , n ) s {\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}\ }
で定義される。
エプシュタインのゼータ函数は、本質的には、z の特殊値に対する実解析的アイゼンシュタイン級数の特別な場合である。理由は、
z = − b 2 a + i − b 2 + 4 a c 2 a {\displaystyle z={\frac {-b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}}
に対して、
Q ( m , n ) = a | m z + n | 2 {\displaystyle Q(m,n)=a|mz+n|^{2}\ }
となるからである。
このゼータ函数の名称はポール・エプシュタイン(英語版)(Paul Epstein)にちなんでいる。