離散化
Q d {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}} の数値評価は行列の指数積分を用いるためやや扱いにくい。しかし、はじめに行列を構築し、その指数関数を計算することにより処理することができる。
F = [ − A Q 0 A ⊤ ] T {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}
G = e F = [ ... A d − 1 Q d 0 A d ⊤ ] . {\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}
離散化された駆動雑音は G の右下の区画の転置行列を G の右上の区画にかけあわせることで得られる。
Q d = ( A d ⊤ ) ⊤ ( A d − 1 Q d ) = A d ( A d − 1 Q d ) . {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}
厳密な離散化には重い行列の指数関数や積分操作が含まれているため、処理が難しいことがある。小さな時間ステップに基づき、 e A T ≈ I + A T {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T} と近似した離散モデルで計算するほうがはるかに簡単である。近似解は以下のようになる。
x [ k + 1 ] ≈ ( I + A T ) x [ k ] + T B u [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}
他の可能な近似としては e A T ≈ ( I − A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}} や e A T ≈ ( I + 1 2 A T ) ( I − 1 2 A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}} がある。各々異なる安定特性を持っており、最後の近似は双一次変換やTustin変換と呼ばれ、連続時間系の安定性を持っている。