排中律
↑ 日本の高校数学では指数関数(数学II)の学習でその存在を自明のものとして扱うが、冪指数に無理数がくる数の存在証明、有理数であるか無理数であるかの証明は本文にある通り容易なことではない。ゲルフォント=シュナイダーの定理も参照。
a b = ( 2 2 ) 2 = 2 ( 2 ⋅ 2 ) = 2 2 = 2 {\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2}
2 は明らかに有理数である。従って証明が完了する。
この論証において、「この数( 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} )は有理数か無理数かのどちらかである」という主張は排中律に基づいている。直観主義では、aが 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} であるのか 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} であるのか特定されていないような上記の論法、あるいは 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} について何らかの証拠(数・実数としての存在可能性、あるいは有理数であるか無理数であるかといった具体的な証明)がない限り、このような主張を認めない。この変形として、ある数が無理数(あるいは有理数)であることの証明や、ある数が有理数かどうかを判定する有限なアルゴリズムなどが考えられる。