変分法における直接解法
変分法における多くの汎函数は次の形式を取る:
J ( u ) = ∫ Ω F ( x , u ( x ) , ∇ u ( x ) ) d x {\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}
ここに Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} は開である。したがって、 W 1 , p ( Ω , R m ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} 内において J {\displaystyle J} が弱列的下半連続となるような函数 F {\displaystyle F} の特徴付けが非常に重要となる。
一般に、次が成り立つ。
F {\displaystyle F} は次を満たす函数とする。