ヘッケ指標
イデアルでの定義はイデール的な定義よりも非常に複雑で、ヘッケの定義したことの動機は、(ヘッケのL-函数と呼ばれる)L-函数の構成にあった。 ヘッケのL-函数はディリクレのL-函数の考えを、有理数から他の代数体へ拡張したものである。ヘッケ指標 χ に対し、ヘッケ指標のL-函数は、次のディリクレ級数として定義される。
∑ ( I , m ) = 1 χ ( I ) N ( I ) − s = L ( s , χ ) {\displaystyle \sum _{(I,m)=1}\chi (I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )\,}
の和は、ヘッケ指標のモジュラス m と素な整数イデアルを渡る。記号 N(I) はイデアルノルム(英語版)(ideal norm)を意味する。部分群 Pm 上のヘッケ指標の振る舞いを統制する共通の実数部の条件は、ディリクレ級数がある適切な半平面の領域で絶対収束することを意味している。ヘッケはこれらのL-函数が全複素平面へ有理型接続を持ち、指標が自明であるときには s = 1 でオーダー 1 である極を持ち、それ以外では解析的であることを証明した。原始ヘッケ指標(原始ディリクレ指標に同じ方法である modulus に相対的に定義された)に対し、ヘッケは、これらのL-函数が指標の L-函数の函数等式を満たし、L-函数の複素共役指標であることを示した。
主イデアル上の座と、無限での座を含む全ての例外有限集合の上で 1 である単円の上への写像を取ることで、イデール類群の指標 ψ を考える。