一般化された複素構造
複素化された接バンドル T ⊗ {\displaystyle \otimes } C の部分バンドル E を正則部分バンドル L of (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C の T ⊗ {\displaystyle \otimes } C 上への射影として定義する。一般化された概複素構造の定義の中では、L と L の複素共役の交叉が唯一原点となる。なぜならば、そうでないとすると、それらは、 (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C を完全に張ることができなくなるからである。しかし、これらの射影の交叉は自明であるとは限らない。従って一般には、ある部分バンドル Δ が存在して、この交叉は次の形をしている。
E ∩ E ̄ = Δ ⊗ C {\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbf {C} }
Δ のファイバーの次元の中に開近傍が定数となるような点を、正則点(regular point) と言う。
通常の複素幾何学では、概複素構造が複素構造となる条件である可積分性は、正則な部分バンドルの切断と他の正則な部分バンドルの切断とのリーブラケットとなっていることと同値である。
一般化された複素幾何学では、ベクトル場というよりも、ベクトル場と1-形式との直和に注目している。そのような形式的な和のリーブラケットは1990年に導入され、次の式で定義され、クーランブラケット(英語版)と呼ばれる。
[ X + ξ , Y + η ] = [ X , Y ] + L X η − L Y ξ − 1 2 d ( i ( X ) η − i ( Y ) ξ ) {\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}
ここに L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} はベクトル場 X にそったリー微分で、d は外微分で、i は内積である。
N-次元多様体 M を考える。 M の接バンドルT とは、ファイバーが M のすべての接ベクトルからなるような M 上のベクトルバンドルのことである。このとき、T の切断は M 上のベクトル場である。M の余接バンドルをTと書く。これは、その切断が M 上の1-形式となるような M 上のベクトルバンドルである。
複素幾何学では多様体の接バンドルの上の構造を考える。シンプレクティック幾何学では、代わりに、余接バンドルの外冪に注目する。一般化された複素構造では、これらの2つの分野を複素数の上で接バンドルと余接バンドルの直和 (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) の切断として扱うことで、2つの分野を統一して表す。それらは複素ベクトル場と複素1-形式との形式的な和である。接バンドルと余接の直和のことを、一般化された接バンドルと言う。
ファイバーは複素符号(英語版)を持つ内積 (N, N) が与えられていて、X と Y がベクトル場で、ξ と η が 1-形式であれば、X+ξ と Y+ηの内積は次のように定義される。
⟨ X + ξ , Y + η ⟩ = 1 2 ( ξ ( Y ) + η ( X ) ) {\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))}
複素微分形式 ΛT ⊗ {\displaystyle \otimes } C の空間は、C の中の複素共役によって複素共役作用素を持つ。このことにより、正則と反正則(英語版)である 1-形式と (m, n)-形式を定義する。これらの微分形式は、m 個の正則成分と n 個の反正則成分をもっている、同次多項式である。特に、すべての (n,0)-形式は、複素函数との積に局所的に関連しており、従ってそれらは複素直線バンドルを形成する。
(n,0)-形式は反正則接ベクトルや正則1-形式でゼロとなるので、ピュアスピノルである。このようにこのラインバンドルは、一般複素構造を定義する標準バンドルとして使うことができる。消滅因子(annihilator)を (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C から複素化された接バンドルへ限定すると、反正則ベクトルバンドルの部分空間を得る。従って、(T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C の上の一般化された複素構造は、通常の接バンドル上の複素構造を定義する。
ベクトル場の基底のちょうど半分は正則なので、これらの複素構造はタイプ N である。実際、複素多様体と、複素数と ∂ {\displaystyle \partial } -閉 (2,0)-形式により定義される複素多様体のピュアスピノルをかけて得られる複素多様体は、タイプ N の一般化された複素多様体となる。