リアプノフ関数
V : R n → R {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
を連続微分可能な実数値関数とする。 V {\displaystyle V} が、原点 0 {\displaystyle 0} において局所的に正値関数である場合、リアプノフ候補関数と呼ぶ。ここで、 V {\displaystyle V\ } が原点において局所的に正値関数であるとは、 0 {\displaystyle 0} のある近傍 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} において、
V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0\,}
V ( x ) > 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 } {\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}
が成り立つこととする。 V {\displaystyle V} が正値関数であるという条件は、
lim x → 0 V ( x ) | x | ≥ 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {V(x)}{|x|}}\geq 0}
ということを保証する。