逆函数定理
逆写像定理(と陰函数定理)は「ある点の周りで一定な階数(英語版)を持つ滑らかな写像がその点の近くで特定の形の正規形を持つこと」を述べた階数一定定理 (constant rank theorem) の特殊な場合とみることができる。
具体的に、滑らかな写像 F: M → N は点 p の近くで階数が一定とすれば、p の近傍 U と F(p) の近傍 V が存在して、微分同相 u: TpM → U および v: TF(p)N → V で F(U) ⊆ V かつ微分 dFp: TpM → TF(p)N が v ∘ F ∘ u に等しくなるようなものが取れる。つまり、F は p の近くでその微分「のようにみえる」ということである。階数函数の半連続性から、その点の近くで微分が階数一定となるような点全体の成す集合は、もとの写像の定義域の稠密な開部分集合であることが従う。ゆえに階数一定定理は定義域の全体に亙って「生成的に」適用できる。
F の微分が点 p において単射(あるいは全射)ならば p の適当な近傍でも単射(あるいは全射)ゆえ F は階数一定、従って階数一定定理が適用される。