カタラン数
Cn は、縦横 nマスずつの格子において、次の図のように対角線を跨がずに格子点を通って、向かい合った点を最短距離で繋ぐ道順の総数と説明できる。
上記の図は C4 = 14 の場合に対応している。
となる。
母関数は
1 − 1 − 4 x 2 x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) x n n + 1 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\displaystyle {2n \choose n}{\frac {x^{n}}{n+1}}}
となる。
n が十分大きいとき、次の式でカタラン数を近似することができる(なおこれはウォリスの公式から証明できる):
C n ∼ 4 n n 3 / 2 π . {\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}.}
n = 2 − 1(メルセンヌ数)のときのみ Cn は奇数となり、それ以外の n における Cn は偶数となる。
2n人が円になって手を交差させないで握手をする場合の数はカタラン数 Cn である。