点群
同じ図形に関するふたつの対称操作 a と b との積 a × b を、考えている図形に対し a に続いて b を施してえられる対称操作と定義する。そうすると、ある図形の並進操作以外の対称操作の集合は次のように群の公理を満たしている。
結合法則 : 任意の操作 a, b, c について (a × b) × c = a × (b × c) が成立。
単位元 : 恒等操作 e が存在して、任意の操作 a について a × e = e × a = a となる。
逆元 : 任意の操作 a に対し、a × a = a × a = e となる a が必ず存在する。
この群のことを与えられた図形の点群という。よって対称性や対称操作について数学的に分析するには、群論の知識を用いて行うことができる。
例えば底面が正三角形の三角錐(正四面体ではない)では、頂点から底面に下ろした垂線は3回軸である。また、この垂線と三角錐の稜線を含む面(3つある)は鏡映面である。したがって、この図形では、対称操作として、恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの鏡映操作が可能である。この6つの対称操作が群をつくることは、どの2つの連続操作も1つの操作で表現されることからわかる。
結晶の対称性
分子の電子状態:分子軌道法、混成軌道、ヒュッケル法
結晶場理論、配位子場理論
分子振動:赤外吸収スペクトル、ラマンスペクトル
格子振動