貴金属比
黄金数(第1貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。
数列 {Mk} を、漸化式
M 0 = 0 , M 1 = 1 , M k + 2 = n M k + 1 + M k {\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}
で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、
M k = μ k − ( − μ ) − k μ + μ − 1 = μ k − ( − μ ) − k n 2 + 4 {\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}
で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、
lim k → ∞ M k + 1 M k = μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }
が成り立つ。
数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、
1 : n + n 2 + 4 2 {\displaystyle 1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} (n は自然数)
で表される比のことである。
線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、
( b − n a ) : a = a : b {\displaystyle (b-na):a=a:b}
が成り立つことを意味する。
n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} を貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)という。第n貴金属数 Mn は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり
M n − 1 M n = n {\displaystyle M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n} (n は自然数)
で特徴付けられる。