滑らかな射
X ⊂ P n {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}} を滑らかな射影多様体とすると、その射影錐とは P n + 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}} の X {\displaystyle X} と交わる全ての直線の和集合として定義される。例えば、
Proj ( C [ x , y ] ( x 4 + y 4 ) ) {\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}
の射影錐は、スキーム
Proj ( C [ x , y , z ] ( x 4 + y 4 ) ) {\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}
である。 z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} のチャートでは、これは
Spec ( C [ X , Y ] ( X 4 + Y 4 ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}
というスキームになっており、これをアフィン直線 A Y 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}} に射影すると、原点で退化する4点の族になっている。このスキームが非特異であることは、ヤコビ行列を使う判定法を使っても確かめられる。
スキーム上の任意のベクトル束 E → X {\displaystyle E\to X} は滑らかな射である。例えば P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} に付随するベクトル束(associated vector bundle) O ( k ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(k)} については、これは重みつき射影空間から1点を除いたもの
O ( k ) = P ( 1 , ... , 1 , k ) − { [ 0 : ⋯ : 0 : 1 ] } → P n {\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}
であることから分かる。ここで、上記の射は
[ x 0 : ⋯ : x n : x n + 1 ] → [ x 0 : ⋯ : x n ] {\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}
で定義されるものである。直和束 O ( k ) ⊕ O ( l ) {\displaystyle O(k)\oplus O(l)} はファイバー積
O ( k ) ⊕ O ( l ) = O ( k ) × X O ( l ) {\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}
を用いて表すことができることにも言及しておく。