ナッシュの埋め込み定理
定理 (M, g) をリーマン多様体とし、ƒ: M → R をユークリッド空間 R の中への短い(英語版)(short) C 級埋め込み(あるいははめ込み)とする。ただし n ≥ m + 1.すると、任意の ε > 0 に対し、埋め込み(あるいははめ込み)ƒε: M → R であって以下の条件を満たすものが存在する。
(i) C 級である。
(ii) 等長的である:M の点 x における接空間 TxM の任意の 2つのベクトル v, w に対して、 g ( v , w ) = ⟨ d f ε ( v ) , d f ε ( w ) ⟩ . {\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .}
(iii) ƒ に ε-close である: 任意の x ∈ M に対し、 | f ( x ) − f ε ( x ) | < ε .