ファルティングスの定理
ここで # C ( F p ) {\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{p})} は C を、p を法として還元したときの点の個数である。さらに場合によってはこれらの方法を使って有理点をすべて決定することができる。たとえば
y 2 = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ( x − 6 ) {\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)}
の有理点は (x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) のみであることがGrant (1994)により示されている。また、平川義之輔と松村英樹(Hirakawa & Matsumura (2018))はこの方法を使って辺の長さが整数となる直角三角形と二等辺三角形の組で、周長と面積が共に一致するものは(相似を除いては)、3辺の長さがそれぞれ (377, 135, 352) と (366, 366, 132) であるものしか存在しないことを示している。