完全トーティエント数
ほとんどの完全トーティエント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の累乗数 (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...) は全て完全トーティエント数である。これは 3 の累乗数 3 が
φ ( 3 k ) = φ ( 2 × 3 k ) = 2 × 3 k − 1 {\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\times 3^{k})=2\times 3^{k-1}}
を満たすことから証明できる。
Venkataraman は1975年に素数 p が p = 4×3 + 1 の形で表されるとき、3p が完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数 p > 3 に対して 3p が完全トーティエント数であるとき、p≡1 (mod 4) である (Mohan, Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした 3p の全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えば p = 17 の場合 p≡1 (mod 4) を満たし、3p = 51 となるが、51 は完全トーティエント数ではない。