留数
g ( ζ ) = ∑ n = − ∞ ∞ b n ζ n {\displaystyle g(\zeta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\zeta ^{n}}
で与えられるならば、Resz=∞ −b−1 を得る。ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。また、孤立特異点 z = a が f(z) の n-位の極であるなら、(z − a)f(z) は正則で、とくに
( z − a ) n f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k − n ( z − a ) k {\displaystyle (z-a)^{n}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k-n}(z-a)^{k}}
とテイラー展開されるので、
a − 1 = 1 ( n − 1 ) ! lim z → a d n − 1 d z n − 1 [ ( z − a ) n f ( z ) ] {\displaystyle a_{-1}={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{{\mathit {dz}}^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]}
と計算することができる。