離散幾何学
離散幾何学(りさんきかがく、英: discrete geometry)または組合せ幾何学(くみあわせきかがく、英: combinatorial geometry)とは、離散的な幾何的対象についての組合せ的な性質および構成手法について研究する幾何学の一分野である。離散幾何学のほとんどの問題は点、直線、平面、円、球面、多角形などの基本的な幾何的対象の有限または離散的な集合にまつわるものであり、この主題ではそれらが「どのように交叉するか」や「どのようにより大きな対象を被覆しうるのか」といった組合せ的な性質に焦点を当てる。
離散幾何学は凸幾何学(英語版)や計算幾何学と多くを共有するほか、有限幾何学、組合せ最適化、デジタル幾何学(英語版)、差分幾何学(英語版)、幾何的グラフ理論(英語版)、トーリック幾何学、組合せ位相幾何学(英語版)とも近い関係にある。
差分幾何学とは微分幾何学の概念に対応する離散の概念の研究分野である。滑らかな曲線や曲面の代わりに、多角形やメッシュ、単体複体が登場する。コンピュータグラフィクスや位相的組合せ論の研究に用いられる。
この領域のトピックには以下が含まれる。
離散ラプラス作用素(英語版)
外差分法(英語版)
和分差分学
離散モース理論(英語版)
スペクトル形状解析(英語版)
多面体や図形の敷き詰めはケプラーやコーシーのような人々によって長きにわたって研究されてきたが、現代的な離散幾何学の起源は19世紀後半である。初期に研究されたテーマはテュー(英語版)による円充填の密度や、レイ(英語版)とシュタイニッツ(英語版)による射影配置(英語版)、ミンコフスキーによる数の幾何学(英語版)、そして、テイト、ヒーウッド(英語版)、ハドウィガー(英語版)による地図の彩色だった。
ラースロー・フェイェス・トート(英語版)、H・S・M・コクセター、ポール・エルデシュが離散幾何学の基礎を築いた。
接続構造は、その公理的定義に見出せるように、(アフィン(英語版)、射影、メビウス(英語版)などの)平面を一般化する。接続構造はそれらの高次元のものについても一般化するものであり、有限の構造は時に有限幾何と呼ばれる。
形式的には、接続構造とは3つ組
C = ( P , L , I ) . {\displaystyle C=(P,L,I).\,}
のことである。ここで、P は「点」の集合、L は「直線」の集合、そして、I ⊆ P × L は 接続(英語版) 関係である。I の元は旗(英語版)と呼ばれる。また、
( p , l ) ∈ I , {\displaystyle (p,l)\in I,}
であるとき、点 p は直線 l 上にあるという。
この領域のトピックには以下が含まれる。
点と直線の配置(英語版)
直線アレンジメント(英語版)
超平面アレンジメント(英語版)
建物
有向マトロイドは、有向グラフの性質や順序体上の線型空間(特に順序線型空間(英語版))におけるベクトル同士の位置関係の性質を抽象化する数学的構造である。なお、通常の(非有向)マトロイドは、有向とは限らないグラフや順序づけられているとは限らない線型空間におけるベクトル同士の位置関係の性質を抽象化するものである。