自乗
ほとんどのプロセッサは自乗専用の命令を持たず、自乗は乗算命令で実現される。
数学的には、自乗を指数を 2 とする冪関数を用いて計算しても、単純に定義通り乗算を行っても得られる結果は同じである。しかしながら、前者は指数関数と対数関数を計算する必要があるのに対して(これらの計算はテイラー展開を基礎に行われる)、後者は 1 回の乗算をするだけで済む。計算速度を重視する上で、自乗の計算を行う機会は非常に多いため、冪の計算について自乗で置き換えられる部分については可能な限り単純な乗算をするように実装することが好ましい。このような事情から、計算速度の最適化を目的とする冪関数自身の実装や冪関数を含むプログラムのコンパイラの実装では、「数 x の指数 2 の冪乗」は「数 x と x 自身の乗算」に置き換えられるようになっていることが多い。
正方形の面積は、辺の長さの自乗である。一般に、面積はある長さの自乗に比例する形で表すことができる。 S ◻ = a 2 , S ◯ = π r 2 , S △ = 3 4 a 2 , e t c . {\displaystyle S_{\square }=a^{2},\,\quad S_{\bigcirc }=\pi r^{2},\quad S_{\triangle }={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2},\quad \mathrm {etc.} \,}
比例関数を積分すると自乗の比例となることから、積分を暗黙に含む物理現象の公式には自乗が現れる。 フックの法則が成り立つ場合、エネルギーは変位の自乗に比例する。 初速0の等加速度運動では、移動距離は経過時間の自乗に比例する。
関数としての自乗は、偶関数、x ≥ 0 で単調増加かつ x ≤ 0 では単調減少、最小値が f (0) = 0、x = 0 を含むあらゆる点で無限回微分可能、という性質を持ち、これらは偏差や誤差を扱うのに便利な性質である。分散、最小二乗法などは自乗を使っているが、仮に自乗以外の関数を使った場合、算出や応用がはるかに困難になる。