コーシーの凝集判定法
∑ n = 1 ∞ f ( n ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) + ⋯ = f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 3 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) ) + ⋯ ≤ f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ = f ( 1 ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 4 ) + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots \\&=&\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}
2番目の不等式を示すため、級数を2の冪乗個ずつの項に再度くくり直す。ただしこのとき以下のように1項ずつくくり方をずらすことで、 ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} のそれぞれの括弧内で「最後」に並んでいた f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle f(2^{n})} が、 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)} のそれぞれの括弧内では「先頭」に並ぶようにする。