球函数に対するプランシュレルの定理
写像 U : L 2 ( K ∖ G / K ) → L 2 ( R , λ 2 d λ ) ; f ↦ f ~ {\displaystyle U\colon L^{2}(K\backslash G/K)\to L^{2}(\mathbb {R} ,\lambda ^{2}\,d\lambda );\;f\mapsto {\tilde {f}}} はユニタリで、f ∈ L(K\G/K) による畳み込み作用素を f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} による乗算作用素へ写す。
球函数 Φλ はラプラス作用素
Δ Φ λ = ( λ 2 + 1 ) Φ λ {\displaystyle \Delta \Phi _{\lambda }=(\lambda ^{2}+1)\Phi _{\lambda }}
の固有函数であり、また R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
S = { f ∣ sup t | ( 1 + t 2 ) N ( I + Δ ) M f ( t ) sinh  ( t ) | < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{f\mid \sup _{t}|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\sinh(t)|<\infty \}}
G を半単純リー群、K を G の極大コンパクト部分群とする。G 上のコンパクト台付き両側 K-不変函数からなるヘッケ環 Cc(K\G/K) はヒルベルト空間 H=L(G / K) に畳み込みで作用する。G ⁄ K は対称空間ゆえ、この ∗-代数は可換である。その像の、作用素ノルムに関する閉包は、単位的でない可換 C-環 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} であり、ゲルファント同型によってそのスペクトル X 上の連続函数で無限遠で消えているものの全体と同一することができる。このスペクトルの点は、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} から C への連続 ∗-準同型、即ち A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} の指標で与えられる。
S′ で H 上の作用素の集合 S の交換団を表すならば、 A ′ {\displaystyle {\mathfrak {A}}'} は H 上の G の正則表現の交換団と同一視することができる。そうして、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} は H における K-不変ベクトル全体の成す部分空間 H0 を変えない。さらに言えば、それが H0 上で生成する可換フォンノイマン環は極大可換部分環である。
ただし、M′ は A の K における正規化群とする。対 (s, λ) に対応する標準経絡作用素とは、
A ( s , λ ) F ( k ) = ∫ σ ( N ) ∩ s − 1 N s F ( k s n ) d n {\displaystyle A(s,\lambda )F(k)=\int _{\sigma (N)\cap s^{-1}Ns}F(ksn)\,dn}
によって誘導表現上で定義されるものをいう。ここに、σ はカルタン対合である。これは経絡関係式(準同型性)
A ( s , λ ) π λ ( g ) = π s λ ( g ) A ( s , λ ) {\displaystyle A(s,\lambda )\pi _{\lambda }(g)=\pi _{s\lambda }(g)A(s,\lambda )}
を満足する。このような経絡作用素およびそこに現れる積分の重要な性質は、ワイルの小部屋の選び方に付随するワイル群上の長さ函数 l について
l ( s 1 s 2 ) = l ( s 1 ) + l ( s 2 ) {\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2})}
が成り立つ限りにおいて、乗法的なコサイクル条件
F と f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} との間の関係性はフーリエ反転公式:
F ( cosh  t ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ~ ( i λ ) cos  ( λ t ) d λ {\displaystyle F(\cosh t)={2 \over \pi }\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(i\lambda )\cos(\lambda t)\,d\lambda }
によって逆転するから、結果として点 i に対する球反転
f ( i ) = 1 2 π 2 ∫ 0 ∞ f ~ ( λ ) λ d λ ∫ − ∞ ∞ sin  λ t / 2 sinh  t cosh  t 2 d t = 1 2 π 2 ∫ − ∞ ∞ f ~ ( λ ) λ π 2 tanh  ( π λ 2 ) d λ {\displaystyle f(i)={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\lambda \,d\lambda \int _{-\infty }^{\infty }{\sin \lambda t/2 \over \sinh t}\cosh {t \over 2}\,dt={1 \over 2\pi ^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh({\pi \lambda \over 2})\,d\lambda }
が得られる。
{\displaystyle \partial _{t}^{2}+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}=\partial _{t}^{2}+2\coth(2t)\partial _{t}.}
であるから、Sf(t) = f(2t) と置いて
( Δ 2 − R 2 ) S f = 4 S Δ 2 f {\displaystyle (\Delta _{2}-R_{2})Sf=4S\Delta _{2}f}
であり、M0 = ES に対するフレンステッド-イェンゼンの基本降下関係式
Δ 3 M 0 f = 4 M 0 Δ 2 f {\displaystyle \Delta _{3}M_{0}f=4M_{0}\Delta _{2}f}
が導かれる。Mf が M0f の SU(2) 上の平均化で得られるとすると、同じ関係式が M0 を M に代えて成立する。
拡大 Ef は変数 y に関して定数で、従って変換 gs で不変である。一方 H 上の適当な函数 F に対して、
Q F = ∫ K 1 F ∘ g s d s {\displaystyle QF=\int _{K_{1}}F\circ g_{s}\,ds}
で定義される函数 QF は変数 y に依存しない。変数変換によって直截に
∫ H 3 F d V = ∫ H 2 ( 1 + b 2 + x 2 ) 1 / 2 Q F d A {\displaystyle \int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}(1+b^{2}+x^{2})^{1/2}QF\,dA}