ダランベールの収束判定法
まず基本的な級数であるべき級数
∑ n = 1 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}}
は | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} で収束することは広く知られているがこれを再度ダランベールの収束判定法で確かめることが出来る:
lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | z n + 1 / z n | = | z | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|z^{n+1}/z^{n}\right|\\&=|z|<1\end{aligned}}}
これをモデルケースとして覚えればこの収束判定法も覚えやすい。
次の級数を考える。
∑ n = 1 ∞ n e n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}