ド・グアの定理
ここで vol k ( U ) {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)} は U のk-次元体積で、和は要素数がちょうど k 個となる全ての部分集合 I ⊆ { 1 , ... , n } {\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}} の上にわたってとるものとする。
ド・グアの定理および上記の n-単体への一般化は、k = n−1 かつ、U が R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の (n−1)-単体で各頂点が直交座標系の座標軸上にあるような特別な場合である。例えば、n = 3, k = 2 とし、U が x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} -軸上にそれぞれ頂点 A, B, C がある △ A B C ⊆ R 3 {\displaystyle \triangle ABC\subseteq \mathbb {R} ^{3}} であるときを考える。要素数がちょうど2の { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} の部分集合 I {\displaystyle I} は { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} , { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}} , { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} である。