ジェフィメンコ方程式
ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル ( φ , A ) {\displaystyle (\phi ,{\boldsymbol {A}})} から導出される。その過程を以下説明する。
電磁スカラーポテンシャル φ {\displaystyle \phi } の勾配ベクトル場は、次式である:
∇ φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ∇ ( ρ ( s , t − ) R ) d 3 s = 1 4 π ε 0 ∫ V [ ∇ ρ ( s , t − ) R + ρ ( s , t − ) ∇ ( 1 R ) ] d 3 s . {\displaystyle \nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\nabla \left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}+\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.
E ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ V [ ( ρ ( s , t − ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ ρ ( s , t − ) ∂ t ) ( r − s ) − 1 | r − s | c 2 ∂ J ( s , t − ) ∂ t ] d 3 s . {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.
ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル ( φ , A ) {\displaystyle (\phi ,{\boldsymbol {A}})} から導くことができる。ここに、 φ {\displaystyle \phi } と A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} はポテンシャル形式のマクスウェル方程式から導出され、以下のように与えられる 。
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( s , t r ) | r − s | d 3 s , A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( s , t r ) | r − s | d 3 s . {\displaystyle {\begin{aligned}&\phi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho ({\boldsymbol {s}},t_{\mathrm {r} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}},\\&{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},t_{\mathrm {r} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.\\\end{aligned}}}