積分法
特にルベーグ積分は非常に柔軟な方法で「測度」の概念を拡張する方法に基づくものである。ルベーグ積分の記法
∫ A f ( x ) d μ {\displaystyle \int _{A}f(x)\,{\rm {d}}\mu }
は、各値に割り当てられた重みが μ となるような関数値の分割から得られる重み付き和を示唆するものである。ここに A は積分領域を表す。
微分幾何学で考察される「多様体上の微積分」には、微積分でよく使われている記法に別な解釈を与えることができる。この立場では、f (x) と dx は微分形式 ω = f (x) dx として理解され、新たに外微分と呼ばれる微分作用素 d が導入されて、微積分学の基本定理はより一般のストークスの定理:
∫ A d ω = ∫ ∂ A ω {\displaystyle \int _{A}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial A}\omega }
として述べることができる。ストークスの定理からグリーンの定理、ガウスの発散定理および微積分学の基本定理が導出できる。
もう少し新しいところでは、超準解析のような新しい現代的な手法を通じて、無限小が厳密な意味を持って再登場している。これらの方法は黎明期の直観を正当化するのみならず、新たな数学を切り開くものとなった。
これらの積分の概念の間には差異はあるけれども、多くの部分では重なっている。例えば、楕円形の水泳プールの表面積は、プールを幾何学的に楕円として扱って、無限小の和あるいはリーマン積分やルベーグ積分として計算しても、微分形式を備えた多様体として計算しても、結果として得られる値は皆同一である。
(a = x(α), b = x(β) なる条件の下)
∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( x ( t ) ) d x d t d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(x(t)){dx \over dt}dt.}