四元数
四元数 a + bi + cj + dk について、特に b = c = d = 0 であるものは実数体上のスカラーである。bi + cj + dk で、b, c, d の内少なくとも一つが、0 でないもの (bcd ≠ 0) を純虚 (pure imaginary) という。
四元数 a + bi + cj + dk に対して、a をその実部 (real part) またはスカラー部 (scalar part) といい、bi + cj + dk をその虚部 (imagenary part) または ベクトル部 (vector part) という。四元数のスカラー部は実数であり、ベクトル部は 0 または純虚である。任意の四元数は4次元ベクトル空間のベクトルではあるけれども、ここではベクトルあるいはベクトル元という言葉を、専ら純虚四元数を指すのに用いる。この規約の下、ベクトル元ということはベクトル空間 R の元ということと同じ意味になる。
ハミルトンは純虚四元数を right quaternion(「正しい四元数」)と呼び、実(四元)数を scalar quaternion(「スカラー四元数」)と呼んだ。
四元数をスカラー部とベクトル部に分解して
q = ( r , v → ) ( q ∈ H , r ∈ R , v → ∈ R 3 ) {\displaystyle q=(r,{\vec {v}})\quad (q\in \mathbb {H} ,\,r\in \mathbb {R} ,\,{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3})}
と表すと、加法、乗法の定義式は
q = q s + ‖ q → v ‖ ⋅ U q → v {\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}
と書く(これは qs + ‖ q ‖Uq とは異なることに注意)。q のベクトル部のベルソル Uq→v は純虚な単位四元数ゆえ、その平方は −1 である。従ってこれから、写像
a + b − 1 ↦ a + b U q → v {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}
によって複素数の複製が得られるが、この写像の下で q は複素数 qs + ‖ q→v ‖i の像になる。
以上から、H は実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素数平面の合併であることが分かる。ただし、この合併は −1 の平方根の成す球面全体を(球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえた上で)わたって取ったものである。
四元数
q = a + b i + c j + d k = a + v {\displaystyle q=a+bi+cj+dk=a+\mathbf {v} }
に対して、指数函数は
exp  ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = e a ( cos  ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ sin  ‖ v ‖ ) {\displaystyle \exp(q)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)}
と計算され、その逆函数として対数函数は
ln  ( q ) = ln  ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ cos − 1  a ‖ q ‖ {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\cos ^{-1}{\frac {a}{\|q\|}}}
↑ Ken Shoemake (1985). “Animating Rotation with Quaternion Curves”. Computer Graphics 19 (3): 245-254. doi:10.1145/325165.325242. https://www.cs.cmu.edu/~kiranb/animation/p245-shoemake.pdf. Presented at SIGGRAPH '85.「トゥームレイダー」(1996) は、四元数を利用してスムーズな3次元回転を実現した最初の販売用コンピューターゲームである。例えば、Nick Bobick's, "Rotating Objects Using Quaternions", ゲーム・ディベロッパー (雑誌)(英語版)(1998年7月)を参照。
↑ Girard, P. R. The quaternion group and modern physics (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25–32. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007
↑ Einstein's equations and Clifford algebra Archived 2010年12月17日, at the Wayback Machine., Advances in Applied Clifford Algebras 9 No. 2, 225-230 (1999)
集合としては、四元数全体 H は実数体上の4次元数ベクトル空間 R に等しい。H には3 種類の演算(加法、スカラー乗法、四元数の乗法)が入る。H の二元の和は、R の元としての和で定義され、同様に H の元の実数倍も R におけるスカラー倍として定義される。H の二元の積を定めるには、まず R の基底を決めなければならないが、その元を通例 1, i, j, k と記す。H の各元はこれら基底元の線型結合で表される。つまり
a1 + bi + cj + dk(a, b, c, d は実数)
の形に一意に表される。基底元 1 は H の乗法単位元であるため、通常省略して
a + bi + cj + dk
と表すのが普通である。この基底が与えられたところで、四元数の結合的乗法は、初めに基底元同士の積を定義して、一般の積はそれを分配律を用いて拡張することで定義される。