トーマス＝フェルミ模型
一方で、ΔV 中の電子数は次のように表わされる。
Δ N = n ( r ) Δ V {\displaystyle \Delta N=n({\boldsymbol {r}})\ \Delta V}
ここで n(r) は電子密度である。
ΔV 内の電子数と ΔVph 内の電子数は等しいから、
n ( r ) = 8 π 3 h 3 p F 3 ( r ) {\displaystyle n({\boldsymbol {r}})={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{\mathrm {F} }^{3}({\boldsymbol {r}})}
位置 r における p から p + dpの運動量をもつ電子の存在確率は、絶対零度におけるフェルミ分布から以下のように書ける。
F r ( p ) d p = { 4 π p 2 ( 4 / 3 ) π p F 3 ( r ) d p p ≤ p F ( r ) 0 otherwise {\displaystyle F_{\boldsymbol {r}}(p)~\mathrm {d} p={\begin{cases}{\dfrac {4\pi p^{2}}{(4/3)\pi p_{\mathrm {F} }^{3}({\boldsymbol {r}})}}\mathrm {d} p&p\leq p_{\mathrm {F} }({\boldsymbol {r}})\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}