方法 (アルキメデスの著書)
(CirP) ∫ − 1 1 1 2 ( 1 − x 2 ) d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx}
となる。これは機械的方法で簡単に修正できる。それぞれの三角形の暗面に面積 x 2 / 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}/2} の三角錐の断面をそれぞれ加えると、断面が一定のプリズムが均衡となる。
2つの円柱の交点の場合は、写本の中ではスライスが失われているが、残りの部分と並行して明白な方法で再構成することができる。x-z平面をスライス方向とすると、円柱の方程式は x 2 < 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\,<\,1-y^{2}} かつ z 2 < 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle z^{2}\,<\,1-y^{2}} となる。これはx-z平面において1辺の長さが 2 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {1-y^{2}}}} である正方形の領域を定義している。よって総体積は
(2Cyl) ∫ − 1 1 4 ( 1 − y 2 ) d y . {\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.}
となる。これは先に出てきた例と同じ積分である。
}
となる。そのため、円錐と球両方のスライスを一緒に計量する場合、結合した断面積は
M ( x ) = 2 π x . {\displaystyle M(x)=2\pi x.}
となる。2つのスライスを支点から距離1で一緒に配置した場合、総重量は反対側で支点からの距離xで面積 2 π {\displaystyle 2\pi } の円によりちょうど均衡となる。これは、すべてをx = 1に移動させれば反対側の底面の半径1で高さ2の円柱で均衡がとれることを意味する。
xは0から2まで範囲であるため、円柱の重心は支点から1の距離にあり、円柱の重さはすべて1の位置にあると考えることができる。均衡の条件は、円錐の体積に球の体積を加えたものが円柱の体積と等しくなることを保証するものである。
円柱の体積は断面積 2 π {\displaystyle 2\pi } と高さ2を掛け算して 4 π {\displaystyle 4\pi } となる。アルキメデスは、円錐の体積も機械的方法で求めることができた。現代的な用語を使えば、関係する積分は放物線の面積の積分と全く同じである。