代数的K理論
ジョン・ミルナー(John Milnor)は、K2 の正しい定義を発見した。ミルナーの定義は、A のスタインバーグ群 (K-理論)(英語版)(Steinberg group) St(A) の中心である。
これは写像
φ : St  ( A ) → G L ( A ) , {\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}
あるいは、行列の基本変形の群のシューアの乗数(英語版)(Schur multiplier)の核としても定義することができる。
体に対する K2 はスタインバーグの記号(英語版)(Steinberg symbol)により決定される。このことが松本の定理を導く。
任意の有限体に対し、K2 が 0 であることを計算することができる。K2(Q) の計算は複雑である。テイト(Tate)は、
相対的K-群(relative K-group)は、K0 と同様に「ダブル」を用いて定義される。
K 1 ( A , I ) = ker  ( K 1 ( D ( A , I ) ) → K 1 ( A ) ) . {\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}
次の自然な完全系列が存在する。
K 1 ( A , I ) → K 1 ( A ) → K 1 ( A / I ) → K 0 ( A , I ) → K 0 ( A ) → K 0 ( A / I ) . {\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}