距離空間
X を距離空間、Aをその部分集合とする。A の点 x について、ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球(ε-近傍 , ε-開球)B(x; ε) ≔ {y ∈ X | d(x, y) < ε} (これをU(x; ε)とか N(x; ε)などと書くこともある) が A に含まれる時、x を A の内点 といい、 A を点 x の近傍という。 X における x の近傍の全体 V(x)(近傍は X の部分集合なので V(x) は集合族になる)を x の近傍系という。 このようにして X の各点 x に対しX の部分集合の族 V(x) を対応させる対応は位相空間論における近傍系の公理を満たしており、X を位相空間と見なすことができる。
距離空間に対しては、位相空間論の各概念を点列の収束をもちいて次のように特徴づけられることが知られている。Y を X の部分集合とする。
点 y が Y の内部にある ⇔ 補集合 Y に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。
点 y が Y の外部にある ⇔ Y に含まれる点列で、y に収束するものは存在しない。
p を素数としたとき、p-進距離は有理数の(あるいはより一般にp進数の)集合上に定義される距離で、整数 n について有理数 a, b の差 a − b が p の整数倍だが pの整数倍ではないとき、pを a と b の間の p 進距離と定義する。ただし a = b のときは a と b の p 進距離は 0 であると定義する。たとえば 15 − 3 = 12 は 2 の倍数であるが 2 の倍数では無いので、15 と 3 の 2 進距離は 2 = 1/4 である。p 進整数環 Zp は距離空間として離散距離空間 {1, ..., p} の可算個のコピーの直積空間 {1, ..., p} になっている。