量子色力学
量子色力学(以下、QCDと表記)はゲージ群 SU(3) に基づくヤン=ミルズ理論である。カラー SU(3) の電荷を持つディラック場(クォーク)同士の相互作用を媒介するゲージ場はグルーオンである。
グルーオンと相互作用するディラック場についてのQCDラグランジアン密度は以下のように記述される。
L QCD = ∑ ψ ( i ψ ̄ j γ μ ( D μ ψ ) j − m ψ ψ ̄ j ψ j ) − 1 4 G μ ν a G a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QCD}}=\sum _{\psi }\left(i{\bar {\psi }}^{j}\gamma ^{\mu }({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}-m_{\psi }{\bar {\psi }}^{j}\psi _{j}\right)-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G^{a\mu \nu }}
ここで、ディラック場 ψ j {\displaystyle \psi _{j}} はカラーの添え字 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} を持ち、その共変微分は
( D μ ψ ) j = ∂ μ ψ j − i g s G μ a [ T a ] j k ψ k {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}=\partial _{\mu }\psi _{j}-ig_{s}G_{\mu }^{a}[T^{a}]_{j}{}^{k}\psi _{k}}
である。 gs は強い相互作用のゲージ結合定数で、T(a=1,...,8) は SU(3) の生成子である。
G μ a {\displaystyle G_{\mu }^{a}} はSU(3)c のゲージ場、即ちグルーオンである。 ゲージ場の強度は
G μ ν a = ∂ μ G ν a − ∂ ν G μ a + g s f a b c G μ b G ν c {\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }G_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }G_{\mu }^{a}+g_{s}f^{abc}G_{\mu }^{b}G_{\nu }^{c}}
となる。 ここで f は SU(3) の構造定数である。
ラグランジアンに
L QCD ′ = L QCD + g s 2 θ 16 π 2 G μ ν a G ~ a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}'_{\text{QCD}}={\mathcal {L}}_{\text{QCD}}+{\frac {g_{s}^{2}\theta }{16\pi ^{2}}}G_{\mu \nu }^{a}{\tilde {G}}^{a\mu \nu }}
という変換を施しても運動方程式は変化しない。 ここで G ~ a μ ν = ε μ ν ρ σ G ρ σ a {\displaystyle {\tilde {G}}^{a\mu \nu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }G_{\rho \sigma }^{a}} である。