ペアノの公理
1 := S ( 0 ) = { 0 } = { { } } {\displaystyle 1:=S(0)=\{0\}=\{\{\}\}}
2 := S ( 1 ) = { 0 , 1 } = { { } , { { } } } {\displaystyle 2:=S(1)=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}
3 := S ( 2 ) = { 0 , 1 , 2 } = { { } , { { } } , { { } , { { } } } } {\displaystyle 3:=S(2)=\{0,1,2\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる。
自然数の集合が定義されたとき、その構成と自然数上での帰納法から、自然数上の算術や順序を定めることができる。