コルモゴロフの三級数定理
A = 2 {\displaystyle A=2} とすると級数の値は順に (i) 0, (ii) 0, (iii) ∑ n = 1 ∞ V a r ( X n ) = ∑ n = 1 ∞ n − 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (X_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-2}<\infty } となって定理の仮定が全て満たされるため、このランダムな調和級数は概収束する。
一方、例えば「逆数の和」を「逆数の正の平方根」に代えて同様の確率的な級数
∑ n = 1 ∞ ± 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}}}
を作ると、定理の条件 (iii) が満たされず、確率1で発散する。注意すべきことに、確率的でない交項級数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n / n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}/{\sqrt {n}}}
は収束する。
また条件 (i) より ∑ n = 1 ∞ Y n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}} も概収束する。
よって ∑ n = 1 ∞ E [ Y n ] {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {E} [Y_{n}]} は有限値に収束しなければいけない。
あとは条件 (iii) さえ示せばよい。
ここで各 n {\displaystyle n} に対し Y n {\displaystyle Y_{n}} と Y n ′ {\displaystyle Y'_{n}} が独立同分布になるよう確率変数列の複製を作り、 ∑ n = 1 ∞ Z n = ∑ n = 1 ∞ ( Y n − Y n ′ ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-Y'_{n})} とおく。各項 ( Y n − Y n ′ ) {\displaystyle (Y_{n}-Y'_{n})} は期待値が0で、絶対値が常に2以下であるので、マルチンゲールの一般論より