単調収束定理
はじめに f が Σ-可測(たとえば の 21.3 節を参照されたい)であることを証明する。この証明のためには、f についての区間 [0, t] の原像が X 上の σ-代数 Σ の要素であることを示せば十分である。なぜならば、(閉)区間は実数上にボレル σ-代数を生成するからである。I = [0, t] を、そのような [0, ∞] の部分区間とする。また
f − 1 ( I ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ I } {\displaystyle f^{-1}(I)=\{x\in X\,|\,f(x)\in I\}}
とする。I は閉区間であり、 ∀ k , f k ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \forall k,f_{k}(x)\leq f(x)} であるため、
f ( x ) ∈ I ⇔ f k ( x ) ∈ I , ∀ k ∈ N {\displaystyle f(x)\in I\Leftrightarrow f_{k}(x)\in I,~\forall k\in \mathbb {N} }
が成立する。したがって、
{ x ∈ X | f ( x ) ∈ I } = ⋂ k ∈ N { x ∈ X | f k ( x ) ∈ I } {\displaystyle \{x\in X\,|\,f(x)\in I\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X\,|\,f_{k}(x)\in I\}}
となる。この可算の共通部分に含まれる各集合は、Σ-可測関数 f k {\displaystyle f_{k}} についてのあるボレル部分集合の原像であるため、Σ の要素である。