ディラック方程式
ディラック方程式は ħ = 1 , c = 1 {\displaystyle \hbar =1,c=1} とする自然単位系では
i γ μ ∂ μ ψ ( x ) − m ψ ( x ) = 0 {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0}
と表される。ψ は4成分スピノルの場(ディラック場)である。
ψ ( x ) = ( ψ 1 ( x ) ψ 2 ( x ) ψ 3 ( x ) ψ 4 ( x ) ) {\displaystyle \psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\\psi _{3}(x)\\\psi _{4}(x)\\\end{pmatrix}}}
m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分 ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }} は
i γ 0 ∂ ψ ∂ t + i γ ⋅ ∇ ψ − m ψ = 0 {\displaystyle i\gamma ^{0}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+i{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \nabla \psi -m\psi =0}
となる。移項して左から γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}} を掛ければ
i ∂ ψ ∂ t = H ψ = − i α ⋅ ∇ ψ + β m ψ {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial {}t}}=H\psi =-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi +\beta m\psi }
と表すことができる。 ただし α j = γ 0 γ j , β = γ 0 {\displaystyle \alpha ^{j}=\gamma ^{0}\gamma ^{j},\beta =\gamma ^{0}} である。ここで H = − i α ⋅ ∇ + β m {\displaystyle H=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m} はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。