変位演算子
量子光学における1つのモードの変位演算子(へんいえんざんし)とは、次のようなシフト演算子である。
D ^ ( α ) = exp  ( α a ^ † − α ∗ a ^ ) {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}
ここで α {\displaystyle \alpha } は光学位相空間(英語版)での変位の大きさ、 α ∗ {\displaystyle \alpha ^{*}} はその変位の複素共役、 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} と a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} は生成消滅演算子である。 この名前は位相空間での局在状態を大きさ α {\displaystyle \alpha } だけ変位できることに由来する。 また真空状態に作用することでコヒーレント状態に変位させる。
D ^ ( α ) | 0 ⟩ = | α ⟩ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }
| α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } はコヒーレント状態で、消滅演算子の固有状態である。
変位演算子を表す2つの方法がある。それぞれ、
D ^ ( α ) = e − 1 2 | α | 2 e + α a ^ † e − α ∗ a ^ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}
D ^ ( α ) = e + 1 2 | α | 2 e − α ∗ a ^ e + α a ^ † {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}
変位演算子は、多重モードの変位に一般化できる。 多重モードの生成演算子は次のように定義される。
A ^ ψ † = ∫ d k ψ ( k ) a ^ † ( k ) {\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}
ここで k {\displaystyle \mathbf {k} } は波数ベクトルであり、大きさは振動数 ω k {\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }} とつながっている。
| k | = ω k / c {\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}
この定義を使うと、多重モード変位演算子は次のように書ける。
D ^ ψ ( α ) = exp  ( α A ^ ψ † − α ∗ A ^ ψ ) {\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}
また多重モードのコヒーレント状態は次のように定義できる。
| α ψ ⟩ ≡ D ^ ψ ( α ) | 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }