合理化可能性
以下の用語は,合理化可能性の定義に密接に関係するものである.
ナッシュ均衡は合理化可能均衡である.この均衡では最適戦略だけがプレーされている.合理化可能でない戦略は最適戦略にはならない.
合理化可能な戦略プロファイルはかならずしもナッシュ均衡ではない.ナッシュ均衡では,プレーヤーの信念は事後的には実際にみたされているという意味の整合性条件を要求する.言いかえると,ナッシュ均衡では,プレーヤー i の戦略 si はそのプレーヤーのプレーヤー j に関する信念を所与として最適であり,またプレーヤー j にとっても,プレーヤー i は戦略 si を選ぶであろうと正しく予想しているならば,プレーヤー i のもつ信念にあるとおり行動することが実際に最適になっている.したがって,ナッシュ均衡は整合的な信念の組みあわせにもとづいている.合理化可能戦略ではあるがナッシュ均衡ではないようなゲームの帰結では,少なくとも 1 人のプレーヤーが誤った信念をもっている.合理化可能性だけではナッシュ均衡の十分条件にならない.なぜならば,合理化可能性はどんなプレーヤーの確率的予想をも共有知識として要求せず,したがって信念の整合性もみたされないからである.
プレーヤー i の戦略 σ i ∈ Σ i {\displaystyle \sigma _{i}\in \Sigma _{i}} が σ − i {\displaystyle \sigma _{-i}} に対する最適戦略であるとは,任意の σ i ′ ∈ Σ i {\displaystyle \sigma _{i}'\in \Sigma _{i}} に対して u i ( σ i , σ − i ) ≥ u i ( σ i ′ , σ − i ) {\displaystyle u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})\geq u_{i}(\sigma _{i}',\sigma _{-i})} が成りたつことをいう.
合理性に関する共有知識 (common knowledge of rationality, gemeinsame Wissen der Rationalität) として言われるのは以下のことである:
すべてのプレーヤは合理的であるとみなされる;
全員が合理的に行動する,ということを全員が知っている,ということを全員が知っている......,というように全員の合理性は共有知識である.
したがって, σ − i {\displaystyle \sigma _{-i}} もまた合理的でなければならない.
合理性が共有知識になっているか否かで,プレーヤーの戦略の選択は異なりうることに注意せよ.
この場合,プレーヤーは戦略 b4 を決して選ばない.なぜならばそれはプレーヤー 1 のどの戦略に対しても最適反応にならないからである.すると今度は,プレーヤー 1 にとって,a4 をプレーすることは得にならない.というのもこれは b4 に対してのみ 1 に得な戦略だからである.それゆえ b4 と a4 は合理化できない.残った戦略を見ると,これらは合理化可能であることがわかる:戦略 a1, b3, a3, b1 は,この順で最適反応のサイクルをなしており,a2 と b2 は互いに最適反応になっている.