LTIシステム理論
以上を形式的に表すと、線型系は次のような特性を示す。まず、システムに次の入力を与えるとする。
x ( t ) = ∑ n c n x n ( t ) {\displaystyle x(t)=\sum _{n}c_{n}x_{n}(t)\,}
すると、そのシステムの出力は次のようになる。
y ( t ) = ∑ n c n y n ( t ) {\displaystyle y(t)=\sum _{n}c_{n}y_{n}(t)\,}
c n {\displaystyle c_{n}} は任意の定数であり、 y n ( t ) {\displaystyle y_{n}(t)} は入力が x n ( t ) {\displaystyle x_{n}(t)} だけだったときの出力を意味する。
時不変性とは、システムにある入力信号を現時点や T 秒後に与えたとき、T 秒のずれが生じるだけで出力信号が同じになることを意味する。入力 x ( t ) {\displaystyle x(t)} による出力が y ( t ) {\displaystyle y(t)} であるとき、入力 x ( t − T ) {\displaystyle x(t-T)} による出力は y ( t − T ) {\displaystyle y(t-T)} となる。
つまり、入力が遅延すれば、出力もそのぶんだけ遅延する。これを時不変という。
LTIシステム理論の基本的な成果は、任意のLTIシステムをインパルス応答と呼ばれる単一の関数で完全に表せるようになったことである。システムの出力は、インパルス応答を持つシステムへの入力の単純な畳み込みである。この解析手法は、時間領域の観点であるといわれることが多い。離散時間線型シフト不変システムでも同様のことが言え、その場合の信号は離散時間の標本群であり、畳み込みはそれらの列に対するものとなる。
これと等価的に、伝達関数を使ってLTIシステムを周波数領域で解析することもできる。伝達関数とは、システムのインパルス応答をラプラス変換(離散時間の場合はZ変換)したものである。このような変換の特性として、周波数領域のシステムの出力は、入力を変換したものと伝達関数の積で表される。言い換えれば、時間領域での畳み込みと、周波数領域での乗法が等価となっている。
全てのLTIシステムにおいて、固有関数と変換の基底関数は複素指数関数である。システムへの入力が複素波形 A exp  ( s t ) {\displaystyle A\exp({st})} ( A {\displaystyle A} は複素振幅、 s {\displaystyle s} は複素周波数)であるとき、その出力は入力にある複素定数を掛けたもの、例えば B exp  ( s t ) {\displaystyle B\exp({st})} となり、 B {\displaystyle B} は何らかの新たな複素振幅である。
H x ( t ) = H ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle {\mathcal {H}}x(t)={\mathcal {H}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } = ∫ − ∞ ∞ H x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } ( H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため、積分の内側に移動できる) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) H δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau ){\mathcal {H}}\delta (t-\tau )\,d\tau } ( x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} は t に対して一定であり、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau } ( h ( t ) {\displaystyle h(t)} の定義から)
システムに関する全ての情報は、インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} に含まれている。
システムが有界入力-有界出力安定(BIBO安定)であるとは、全ての入力が有界なら出力も有界であることを意味する。数学的には、入力が次の条件を満たすとき
| | x [ n ] | | ∞ < ∞ {\displaystyle \ ||x[n]||_{\infty }<\infty }
出力が次を満足する。
| | y [ n ] | | ∞ < ∞ {\displaystyle \ ||y[n]||_{\infty }<\infty }
すなわち、 x [ n ] {\displaystyle x[n]} の有限の最大絶対値があれば、 y [ n ] {\displaystyle y[n]} の有限の最大絶対値が存在する。このとき、システムは安定であるという。必要十分条件は、インパルス応答 h [ n ] {\displaystyle h[n]} が次を満足することである。
| | h [ n ] | | 1 = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | < ∞ {\displaystyle ||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty }
周波数領域では、収束領域に単位円 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} が含まれていなければならない。システムを伝達関数としてモデル化するとき、系の極を複素平面の単位円に置かなければならない。ジュリーの安定判別法によって特性多項式の係数から安定性が見える。
二次元安定性
二次元信号(例えば画像)の場合では、二元多項式が必ず因数分解できるとは限らないため、フィルターのBIBO安定性の判定は困難である。
B / A {\displaystyle B/A} という比は、周波数 s {\displaystyle s} における伝達関数である。
正弦波は複素共役周波数の複素指数関数の総和であるため、システムの入力が正弦波なら、そのシステムの出力も正弦波となり、おそらく異なる振幅と異なる位相を持つが、周波数は同じになるだろう。
LTIシステム理論は様々な重要なシステムを説明できる。多くのLTIシステムは解析が「容易」とされており、少なくとも時変系や非線型のシステムに比べれば単純である。定数係数の線型な斉次微分方程式としてモデル化されるシステムは、LTIシステムである。例えば、抵抗器とコイルとコンデンサで構成される電気回路(RLC回路)がある。また、理想的なバネ-質量-ダンパ系もLTIシステムであり、数学的にはRLC回路と等価である。
多くのLTIシステムの概念は、連続時間と離散時間(線型シフト不変)とで類似している。画像処理では、時間変数は2次元の空間変数に置き換えられ、時不変性に関する事柄は2次元のシフト不変性に関する事柄に置き換えられる。フィルタバンクやMIMOを解析する場合、信号の配列を考えると分かり易い。