階乗
s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋅ 4 n − 3 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 4^{n-3}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
これは以下と同値:
s f ( n ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( j − i ) . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i).}
最初のいくつかの値は、次のようになる:
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...... A000178
超階乗は、複素数値にも拡張できる。その結果はバーンズのG関数と呼ばれる。定義は次のようになる。
↑ "階乗". 精選版 日本国語大辞典. コトバンクより2022年2月7日閲覧。
↑ Graham, Knuth & Patashnik, p. 111
↑ この記事の過去の版で「大きな階乗についてはdouble型のような浮動小数点数型を用いるなどの工夫が必要となる」との記述があったが、2021年時点の典型的な64ビットマイクロプロセッサでは、整数型のビット長 > 浮動種数点型の仮数部のビット長 なのでこれはあたらない。
↑ Guy 2004, p. 346
↑ 杉浦 1980, p. 339, 定理 15.7.
↑ Ramanujan 1988, p. 339
1 2 Hadamard 1894
↑ Peter Luschny, Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?.
↑ Digital Library of Mathematical Functions, http://dlmf.nist.gov/5.10
↑ Peter Luschny, On Stieltjes' Continued Fraction for the Gamma Function..
↑ The Factorial Function and Generalizations
↑ Weisstein, Eric W.