位置空間と運動量空間
ラグランジュ力学におけるラグランジアン L(q, dq/dt, t) は大抵、配位空間(英語版)で定義される。 ここで q = (q1, q2,..., qn) は n組の一般化座標である。 オイラー=ラグランジュ方程式は次のように書ける。
d d t ∂ L ∂ q ̇ i = ∂ L ∂ q i , q ̇ i ≡ d q i d t . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}
ここでドット記号 ·◌ は1階時間微分を表す。 各一般化座標について、対応する正準運動量を
p i = ∂ L ∂ q ̇ i , {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}
と定義すると、オイラー=ラグランジュ方程式は次のように変形される。
p ̇ i = ∂ L ∂ q i . {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}
ラグランジアンは運動量空間でも表現され、L′(p, dp/dt, t) となる。 ここで p = (p1, p2,..., pn) はn組の一般化運動量である。ルジャンドル変換により、一般化座標空間でのラグランジアンの全微分の変数が変更される。