ルート系
ルート系の概念は最初1889年頃ヴィルヘルム・キリング(英語版) (Wilhelm Killing) によって導入された(ドイツ語,Wurzelsystem).彼は複素数体上のすべての単純リー環を分類しようとしたときにそれらを用いた.キリングはもともと分類で間違いを犯していて,例外型の階数 4 のルート系を2つ挙げていたが,実際には1つしかなく,今では F4 と呼ばれるものである.カルタンが後にこの誤りを,キリングの2つのルート系が同型であることを示すことで,訂正した.
キリングはカルタン部分環(と今では呼ばれているもの)H を考えることによって,リー環 L の構造を研究した.そして彼は特性多項式 det(adLx − t), ただし x ∈ H, の根を研究した.ここでここで「根」(root) は H の関数として考える,あるいは実際双対ベクトル空間 H の元として考える.根のこの集合は上で定義されたように H のルート系をなす,ただし内積はキリング形式である.