魔六角陣
魔六角陣の大きさが1と3のみであるという証明を以下に示す。
まず、各列の和を M とする。1辺が n である六角形に入る数字は 1~3n(n-1)+1 なので、入る数字の合計 s は
s = 1 2 ( 9 n 4 − 18 n 3 + 18 n 2 − 9 n + 2 ) {\displaystyle s={1 \over {2}}(9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2)}
となる。列の数は 2n-1 なので M は
M = s 2 n − 1 = 9 n 4 − 18 n 3 + 18 n 2 − 9 n + 2 2 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle M={s \over {2n-1}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}}
で表される。この式を変形すると
32 M = 72 n 3 − 108 n 2 + 90 n − 27 + 5 2 n − 1 {\displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}}
この式の両辺は整数であるため、 5/(2n-1) は整数でなければならない。これが整数になるのは 2n-1 が 5 の約数であるときである。よって n=1,3 である。
魔六角陣(まろっかくじん)は、魔方陣の六角形版で、左斜め・右斜め・横のいずれの方向の和も等しくなるように 1 から始まる連続した数字をあてはめたものである。
大きさ1和 = 1
大きさ3和 = 38
魔六角陣は、大きさ1のものと大きさ3のものの二つしか存在しない。また、鏡像・対称なものを除くと共に1種類しか数字の当てはめ方が存在しないことが知られている。
魔六角陣は多くの人によって再発見されている。現在判明している最も古い発見者はエルンスト・フォン・ハッセルベルグで、1887年に発表している。