商写像
ベクトル空間 V とその部分線型空間 U ⊂ V に対し、商線型空間 V/U は各 x ∈ V に対する剰余類 x + U の全体からなる。写像 V → V/U; x ↦ x + U を商写像と呼ぶ。
より一般に群 G とその正規部分群 N ⊂ G に対し、剰余群 G/N は各 x ∈ G に対する剰余類 xN の全体からなる。やはり標準的な写像 G → G/N; x ↦ xN を商写像という。
どちらの例も、その基礎には同値関係 ∼ が存在している。ベクトル空間の例では x ∼ y はちょうど x − y ∈ U となるときとし、また群の例でも同様に x ∼ y となることを xy ∈ N で定めればよい。従ってこれらの例を以下の形に一般化することができる。
集合 X とその上の同値関係 ∼ に対し、商集合 X/∼ は同値類 [x] (x ∈ X) の全体の成す集合を言う。