ベクトル空間の双対系
同じ体 K 上の二つのベクトル空間(あるいはより一般に可換環 K 上の加群)X, Y および双線型形式 ⟨⟩: X × Y → K からなる三つ組 (X, Y, ⟨⟩) が双対対であるとは、
∀ x ∈ X ∖ { 0 } ∃ y ∈ Y : ⟨ x , y ⟩ ≠ 0 , {\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0,}
∀ y ∈ Y ∖ { 0 } ∃ x ∈ X : ⟨ x , y ⟩ ≠ 0 {\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}
を満たすときに言う。またこのとき、双線型形式 ⟨⟩ は X と Y との間に双対性を定めると言う。
二つの元 x ∈ X, y ∈ Y が ⟨x, y⟩ = 0 を満たすとき、x と y とは互いに直交すると言う。
二つの集合 M ⊂ X, N ⊂ Y が直交するとは、それらが元ごとに直交すること、すなわち M の任意の元と N の任意の元とが必ず直交することを言う。