スピノール
クリフォード代数の言葉を用いて、任意のスピン群のスピン表現のすべてを詳細に記述することができる。そしてクリフォード代数の分類(英語版)を通して、それら表現の間の様々な関係が得られる。幾何代数(英語版)の型を導入することによりアド・ホックな構成の必要がほとんどなくなる。
クリフオード代数の性質を用いることにより、スピノルからなる既約空間すべての数と型を決定することができるようになる。この観点でスピノルとは、複素数全体 C 上定義されたクリフオード代数 Cln(C)(あるいはもっと一般的に、実数全体 R 上定義された Clp,q(R) )の基本表現の元のことである。いくつかの場合には、Spin(p, q) の作用の下でスピノルが既約成分に分かれるのをはっきり見て取ることができる。
詳しく述べれば、V を非退化双線型形式 g を備えた有限次元複素ベクトル空間とするとき、幾何代数 (V, g) のクリフォード代数とは、V によって生成され、反交換関係 xy + yx = 2g(x, y) を基本関係式として定まる代数 Cl(V, g) のことである。これは、ガンマ行列全体あるいはパウリ行列全体の生成する代数の抽象化になっている。