ヘンストック＝クルツヴァイル積分
数学の微分積分学周辺領域におけるヘンストック=クルツヴァイル積分(ヘンストッククルツヴァイルせきぶん、英: Henstock–Kurzweil integral; HK積分)、またはダンジョワ積分(ダンジョワせきぶん、英: Denjoy integral)あるいはペロン積分(ペロンせきぶん、英: Perron integral)は、いくつかある函数の積分法の定義のうちの一つで、リーマン積分を一般化したものであり、場合によってはルベーグ積分よりも有用なものとなりうる。
この積分を初めて定義したのはダンジョワ(英語版)で1912年のことである。ダンジョワは
f ( x ) = 1 x sin  ( 1 x 3 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right)}
のような函数を積分することができるような、積分法の定義に興味を持っていた。この函数は点 x = 0 に特異点を持ち、かつルベーグ可積分でないが、それでも 0 を含む十分小さい区間 [−ε, δ] を除いて積分を計算し、その後 ε, δ → 0 とするのは自然に思われる。
任意の函数 f: [a, b] → R について、a < c < b とすると、 f が区間 [a, b] 上でヘンストック=クルツヴァイル積分であることの必要十分条件は、 f が [a, c] および [c, b] の両区間でともにヘンストック=クルツヴァイル積分可能であることであり、またこのとき区間に対する加法性
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}
が成立する。また、ヘンストック=クルツヴァイル積分は線型、すなわち α, β を実数とすると f, g が可積分ならば αf + βg も可積分で、
∫ a b ( α f + β g ) ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx}
が成り立つ。