リウヴィル場理論
で、ここに Δ = g − 1 / 2 ∂ μ ( g 1 / 2 g μ ν ∂ ν ) {\displaystyle \Delta =g^{-1/2}\partial _{\mu }(g^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })} は、そのような空間の中のダランベール演算子(ダランベール作用素)である(また、ラプラス作用素も参照のこと)。空間の計量がユークリッド計量の場合は、標準的な記法を使い、この方程式が古典的なリウヴィル方程式となる。
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) φ ( x , y ) = 4 π b e 2 b φ ( x , y ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\phi (x,y)=4\pi be^{2b\phi (x,y)}.}
リウヴィル場理論は、共形場理論で、ワイル対称性(英語版) (Weyl symmetry) を特別な方法で体現している。 この理論の中心電荷 c {\displaystyle c} は、表現 c = 1 + 6 ( b + 1 / b ) 2 {\displaystyle c=1+6(b+1/b)^{2}} を通して、作用の中に現れるパラメータの項で与えられる。