ド・ブランジュの定理
最初のバージョンは非常に長く、小さなミスもあったのでこの証明について懐疑的な見方があったが、これらの誤りをステクロフ研究所(英語版)の”レニングラード幾何学的函数論セミナー”の人たちの助けを借りて修正した。ド・ブランジュが1984年にそこを訪問したときのことである。
ド・ブランジュは次のような結果を証明した。この結果は、 ν = 0 {\displaystyle \nu =0} はミリンの予想(従って、ビーベルバッハの予想)を含む。 ν > − 3 / 2 {\displaystyle \nu >-3/2} と σn が、正の整数 n に対し極限を 0 とする実数であるとし、
ρ n = Γ ( 2 ν + n + 1 ) Γ ( n + 1 ) ( σ n − σ n + 1 ) {\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}
が非負で、非増加で、極限 0 を持つとする。そのときには、全てのリーマン写像函数 F(z) = z + ... は単位円板上で単葉であり、
F ( z ) ν − z ν ν = ∑ n = 1 ∞ a n z ν + n {\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}
を満たし、
∑ n = 1 ∞ ( ν + n ) σ n | a n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}
の最大値は、ケーベ函数 z/(1 − z) となる。