測地線
と表されることになる。これを測地線の方程式(geodesic equation)という。 s {\displaystyle s} は x ( s ) {\displaystyle x(s)} の始点からの長さを表す弧長パラメータである。たとえば、3次元の空間が平坦である場合は、 g μ ν = d i a g ( 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }^{}={\rm {diag}}(1,1,1)} であり、接続はすべて0となる為、測地線の方程式は単に d 2 x i d s 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}=0} となる。つまり、 x i {\displaystyle x^{i}} は s {\displaystyle s} の1次式であり 通常の直線の方程式を表すこととなる。
この方程式は、最短測地線の満たすべき「2点間の最短距離を示す」という性質、或いは、「測地線 x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} の接ベクトル場はレヴィ-チビタ接続(リーマン接続)に関して平行である」という性質により導かれる。
繰り返しになるが、微分方程式は局所的な情報を与えるものなので、大域的な曲線の長さなどを表すものではなく、したがってこの方程式で定義される測地線が必ずしも最短測地線とはならないことに注意されたい。
回転楕円体面上の測地線は、地球の場合に大圏コースに対応する。経線に沿う測地線は子午線弧 。