消散作用素
が成立することがわかる。したがって A は消散作用素である。
開かつ連結な領域 Ω ⊆ R に対して空間 H = H0(Ω; R) を考える。A = Δ を、コンパクトな台を持つ Ω 上の滑らかな関数からなる稠密部分集合上で定義されるラプラス作用素とする。このとき、部分積分法を用いることで
⟨ u , Δ u ⟩ = ∫ Ω u ( x ) Δ u ( x ) d x = − ∫ Ω | ∇ u ( x ) | 2 d x = − ‖ ∇ u ‖ L 2 ( Ω ; R ) ≤ 0 {\displaystyle \langle u,\Delta u\rangle =\int _{\Omega }u(x)\Delta u(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }{\big |}\nabla u(x){\big |}^{2}\,\mathrm {d} x=-\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}\leq 0}
が得られる。したがって、そのようなラプラス作用素は消散作用素であることが分かる。
消散作用素には次に述べる性質が存在する。
すべての λ > 0 に対して λI − A は単射であり、また λI − A の値域に含まれるすべての z に対して
‖ ( λ I − A ) − 1 z ‖ ≤ 1 λ ‖ z ‖ {\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}z\|\leq {\frac {1}{\lambda }}\|z\|} が成立する。
作用素 λI − A がある λ > 0 に対して 全射であることと、すべての λ > 0 に対して全射であることは同値である。そのような場合、(0, ∞) ⊂ ρ(A) が成立する(ここで ρ(A) は A のレゾルベント集合を表す)。
A が閉作用素であることと、ある λ > 0 に対して(すべての λ > 0 に対する場合も同様) λI − A の値域が閉であることは同値である。