モジュラー群
有理数に対するモジュラー群の作用は、格子点 (p, q) が分数 p/q を表している正方格子として可視化すると、最も容易に理解することができる(ユークリッドのオーチャード(英語版)(Euclid's orchard)を参照のこと)。この格子においては、既約分数は原点から見ることのできる点である。分数上のモジュラー群の作用は、見ることのできる点を見ることができない(既約な)点へ変換することは決してないし、逆も成り立つ。
p n − 1 / q n − 1 {\displaystyle p_{n-1}/q_{n-1}} と p n / q n {\displaystyle p_{n}/q_{n}} が 連続した2つの連分数の近似分数あれば、行列
( p n − 1 p n q n − 1 q n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}
は GL(2, Z) に属する。特に、a < b かつ c < d である正の整数 a, b, c, d に対し、bc − ad = 1 であれば、a/b と c/d は max(b, d) に対応するファレイ数列において隣接する。連分数の近似分数の特別に重要な例として、フィボナッチ数列とペル方程式の解がある。どちらの場合も、モジュラー群の半群を形成するように数列を並べることができる。