ベズーの定理
定理の特別な場合、特に直線・円錐曲線・三次曲線の交点に関しては、17世紀より考察されてきた。コリン・マクローリン、レオンハルト・オイラー、ガブリエル・クラメールらが定理を主張したが、証明は与えられなかった。ベズーがこの定理の証明を公表したのは、1779年に出版した Théorie générale des équations algébriques においてである。しかし、彼は多変数の方程式について現代的な代数の記法を知らなかったため、その証明は非常に煩雑なものであった。定理が成り立つための正確な設定も行わなかったため、現代的には彼の証明は正しくなく、ヒューリスティクスに類するものと見なされている。正確な証明を初めて与えたとされるのは1873年のジョルジュ・アンリ・アルファン(英語版)であり、1930年にはファン・デル・ヴェルデンが初等的な証明を与えた。
ベズーの定理やその多次元化において、最も繊細な部分は、適切な重複度を定義することにある。点 P を2つの射影曲線 X と Y の共通点としよう。点 P における X と Y の交叉数または交叉重複度とは、交わりの重複度を表す正整数であり、代数的に定義される。
例えば、P が X においても Y においても非特異な点であり、P における X の接線と Y の接線が一致しないならば、P における交叉数は 1 である。この場合を、しばしば「X と Y は点 P において横断交叉する」と表現する。逆に、接線が一致するならば、交叉数は 2 以上である。
ベズーの定理の主張における「重複度を込めた交点の総数」とは、全ての交点における交叉数の総和を意味する。