アレクサンダー多項式
アレクサンダー多項式は対称である。すなわち任意の結び目 K に対して
Δ K ( t − 1 ) = Δ K ( t ) {\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}
が成立する。
定義節に挙げた定義に従えば、このことはポアンカレ双対同型 H 1 X ̄ ≃ H o m Z [ t , t − 1 ] ( H 1 X , G ) {\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)} の一つの表現になっている。ここで G は、ローラン多項式環 Z[t, t] の商体の、Z[t, t] による剰余環で、これは Z[t, t]-加群とみなすことができる。また H1X は H1X は共軛 Z[t, t]-加群、即ち単にアーベル群とみたときは Z[t, t] と同じものだが、被覆変換 t が t として作用するものである。