分数階微積分学
}{(k-a)!}}x^{k-a}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}}
が成り立つものと考えることができる。そのため、たとえば x の半微分(二分の一階導函数)は
d 1 / 2 d x 1 / 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 / 2 + 1 ) x 1 − 1 / 2 = Γ ( 2 ) Γ ( 3 / 2 ) x 1 / 2 = 2 π 1 / 2 x − 1 / 2 = 2 π − 1 / 2 x 1 / 2 = 2 x π {\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-1/2+1)}}x^{1-1/2}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma (3/2)}}x^{1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}x^{-1/2}=2\pi ^{-1/2}x^{1/2}=2{\sqrt {\frac {x}{\pi }}}}
で与えられる。これをもう一回行うと、