多項係数
問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか?
この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が 1 個 (k1 = 1), 二種類目の文字 I が 4 個 (k2 = 4), 三種類目の文字 S が 4 個 (k3 = 4), 残りは P が 2 個 (k4 = 2) であるから、多項係数
( 11 1 , 4 , 4 , 2 ) = 11 ! 1 ! ⋅ 4 ! ⋅ 4 ! ⋅ 2 ! = 34650 {\displaystyle {\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34650}
が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は 11! = 39,916,800 とずっと多くなる。
多項係数の応用として、多項分布
P ( X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , ... , X r = k r ) = ( n k 1 , ... , k r ) ⋅ p 1 k 1 ⋅ p 2 k 2 ⋯ p r k r {\displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})={\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}\dotsm {p_{r}}^{k_{r}}}
は離散確率変数に関する確率分布である。