アイゼンシュタイン級数
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)={\frac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).}
約数函数に対する畳み込み等式の包括的なリストと関連するトピックは、以下を参照。
S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, pp 136-162, reprinted in Collected Papers, (1962), Chelsea, New York.
Heng Huat Chan and Yau Lin Ong, On Eisenstein Series, (1999) Proceedings of the Amer. Math. Soc. 127(6) pp.1735-1744
G. Melfi, On some modular identities, in Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer and Co. (1998), 371-382.
ラマヌジャン(Ramanujan)は、最初のいくつかのアイゼンシュタイン級数の微分を含む興味深い関係式を導いた。
L ( q ) = 1 − 24 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 − q n = E 2 ( τ ) {\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )}
M ( q ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n = E 4 ( τ ) {\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )}
N ( q ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n = E 6 ( τ ) , {\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ),}
とすると、
q d L d q = L 2 − M 12 {\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}}
}
で与えられる。
ここに、Bn はベルヌーイ数であり、ζ(z) はリーマンゼータ函数であり、σp(n) は約数函数で、n の約数の p 乗の和である。特に、
G 4 ( τ ) = π 4 45 [ 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ] G 6 ( τ ) = 2 π 6 945 [ 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ σ 5 ( n ) q n ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]\\G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right].\end{aligned}}}
を得る。
n を渡る和の部分は、ランベルト級数(英語版)(Lambert series)として表すことができる。すなわち、任意の複素数 |q| ≤ 1 と a に対して、
Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
Serre, Jean-Pierre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.