直積集合
直積 ∏ Aλ に対し、各 Aλ をこの直積の直積因子と呼ぶ。各直積因子 Aμ (μ ∈ Λ) に対し、標準的に定まる全射 π μ : ∏ λ ∈ Λ A λ → A μ ; ( a λ ) λ ∈ Λ ↦ a μ {\displaystyle \pi _{\mu }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\to A_{\mu };\;(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mapsto a_{\mu }} を第 μ-成分への射影あるいは簡単に第 μ-射影などと呼ぶ。
必ずしも有限でない集合 Λ で添字付けられる集合の族 {Aλ}λ∈Λ それらの直積は、写像の集合 { a : Λ → A ∣ a ( λ ) ∈ A λ , ∀ λ ∈ Λ } ⊂ Map  ( Λ , A ) ( A := ⋃ λ ∈ Λ A λ ) {\displaystyle \{a\colon \Lambda \to \mathbf {A} \mid a(\lambda )\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}\subset \operatorname {Map} (\Lambda ,\mathbf {A} )\quad (\mathbf {A} :=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })} と定義される。これはまた aλ ≔ a(λ) と置けば、元の族の集合として ∏ λ ∈ Λ A λ = { ( a λ ) λ ∈ Λ ∣ a λ ∈ A λ , ∀ λ ∈ Λ } {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}} と書くこともできる。Λ が有限ならばこれは先に述べた有限直積と一致する。
集合 A に対し、それ自身の(任意個の)直積として得られる集合
A × A , A 2 := A × A , ... {\displaystyle A\times A,\,A^{2}:=A\times A,\,\ldots }
を得る演算を A のデカルト冪 (Cartesian exponentation) と呼ぶ。非負整数 n に対して n-乗デカルト冪 (n Cartesian power) は
A n := ∏ i = 1 n A = A × A × ⋯ × A ⏞ n = { ( a 1 , a 2 , ... , a n ) ∣ a i ∈ A , ∀ i = 1 , ... , n } {\displaystyle A^{n}:=\prod _{i=1}^{n}A=\overbrace {A\times A\times \cdots \times A} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in A,\,\forall i=1,\ldots ,n\}}
( ( a , b ) , c ) ← ↦ ( a , ( b , c ) ) ← ↦ ( a , b , c ) {\displaystyle ((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)}
によって全て同一視(成分の並びを変えずに括弧だけを外)される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で n-項直積 A1 × ⋯ × An は二つの集合の直積をとることの繰り返し
A 1 × ⋯ × A n := ( A 1 × ⋯ × A n − 1 ) × A n {\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{n-1})\times A_{n}}
と定義することは可能である。
多変数の写像 f(x1, ..., xn) は直積集合上の写像 f((xi)i∈I) として理解できる。
二項演算あるいは一般に多項演算は多変数の写像として定式化できる。
二変数の写像 f: A × B → X の一変数化 gb(a) ≔ f(a, b) (a ∈ A, b ∈ B) は集合の圏における等式 X = (X) を与える。これにより、集合の直積は配置集合をとる操作の左随伴となる。