微分方程式
y ( x ) = A exp  ( − ∫ P ( x ′ ) d x ′ ) {\displaystyle y(x)=A\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right)}
となる。一階線型常微分方程式の一般解は、斉次方程式の解を利用し A を x の関数とみなす定数変化法によって求められる。
y ( x ) = { ∫ Q ( x ′ ) exp  ( ∫ P ( x ′′ ) d x ′′ ) d x ′ + C } exp  ( − ∫ P ( x ′ ) d x ′ ) . {\displaystyle y(x)=\left\{\int Q(x')\exp \left(\int P(x'')\,\mathrm {d} x''\right)\mathrm {d} x'+C\right\}\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right).}
ここで C ≠ 0 は積分定数である。
すべての項が未知関数を含むか 0 であるような線型微分方程式を線型斉次微分方程式と呼び、斉次でない線形微分方程式は線型非斉次微分方程式と呼ばれる。同じ意味の言葉として斉次方程式をしばしば同次方程式と呼ぶことがある。 例えば、
d d x f ( x ) + f ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=0}
は斉次な方程式であり、右辺に α を加えた、
d d x f ( x ) + f ( x ) = α {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\alpha }
は非斉次な方程式である。
より一般の線形常微分方程式について、
( ∑ k = 0 n g k + 1 ( x ) d k d x k ) f ( x ) = g 0 ( x ) , g n + 1 ( x ) = 1 {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1}
右辺の関数 g0(x) がゼロならこの方程式は斉次である。 斉次方程式の特徴として、方程式の解 s(x) が得られたとき、その定数倍 cs(x) も方程式の解となる。また、斉次方程式の解の線形結合もその斉次方程式の解になる。
また、非斉次な方程式の解 sin(x) が得られたとき、元の方程式を斉次な形にしたときの解 shom(x) を用いて、非斉次方程式の新たな解 sin(x) + shom(x) を作ることができる。
解析学において、微分方程式(、英: differential equation)とは、未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である。
数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける関数があらわになっていなくても、その導関数(の満たすべき方程式)を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。
物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。
方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。
微分方程式は大きく線型微分方程式と非線型微分方程式に分類される。線形微分方程式の例として、例えばシュレーディンガー方程式が挙げられる。シュレーディンガー方程式は、量子系の状態の時間発展を記述する方法の一つとして広く用いられている。非線型微分方程式の例として、例えばナビエ–ストークス方程式(NS方程式)が挙げられる。NS方程式は流体の運動を記述する基本方程式であり、物理学の応用としても重要な方程式である。しかし、NS方程式の解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。
y 1 d 2 z ( x ) d x 2 + ( 2 y 1 ′ ( x ) + P ( x ) y 1 ( x ) ) d z ( x ) d x = R ( x ) , y 1 ′ ( x ) = d y 1 ( x ) d x , {\displaystyle {\begin{aligned}&y_{1}{\frac {\mathrm {d} ^{2}z(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\Bigl (}2y'_{1}(x)+P(x)y_{1}(x){\Bigr )}{\frac {\mathrm {d} z(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x),\\&y'_{1}(x)={\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}},\end{aligned}}}
に変換される。この常微分方程式は、導関数 dz/dx に関して一階線型常微分方程式なので、求積法で解ける。その一般解を
z = ψ ( C 1 , C 2 , x ) {\displaystyle z=\psi (C_{1},C_{2},x)~~}
とすると、二階線型常微分方程式の一般解は、
y = y 1 ψ ( C 1 , C 2 , x ) {\displaystyle y=y_{1}\psi (C_{1},C_{2},x)~~}
で与えられる。なお、C1, C2 は積分定数である。 x の既知関数を含む二階線型常微分方程式で、求積法で解ける微分方程式は少ないが、 次の微分方程式などが知られている。