デュアメルの原理
次の非同次の波動方程式を考える。
u t t − c 2 u x x = f ( x , t ) {\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)\,}
ただし初期条件は
u ( x , 0 ) = u t ( x , 0 ) = 0. {\displaystyle u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.\,}
とする。この解は次のように書ける。
u ( x , t ) = 1 2 c ∫ 0 t ∫ x − c ( t − s ) x + c ( t − s ) f ( ξ , s ) d ξ d s . {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.\,}
すると、
P ( ∂ t , ξ ) H ( t , ξ ) = δ ( t ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}
が超函数の意味で成立する。したがって
u ^ ( t , ξ ) = ( H ( ⋅ , ξ ) ∗ F ^ ( ⋅ , ξ ) ) ( t ) {\displaystyle {\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)}
= ∫ 0 ∞ G ( τ , ξ ) F ( t − τ , ξ ) d τ {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau }
= ∫ − ∞ t G ( t − τ , ξ ) F ( τ , ξ ) d τ {\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau }
が元の偏微分方程式の解として得られる(ただし x に戻るための逆変換が必要となる)。