リーマン予想
という Chebyshev による予想を導くことを示した。この予想はある意味で、4 を法として 3 に合同な素数は 1 に合同なものよりも多いということを言っている。
1923年、ハーディとリトルウッドは、一般リーマン予想は奇数に対するゴールドバッハ予想の弱い形、すなわち十分大きい任意の奇数は3つの素数の和であることを導くことを示したが、1937年、Vinogradov は無条件下での証明を与えた。1997年、Deshouillers(英語版), Effinger, te Riele, および Zinoviev は、一般リーマン予想は5よりも大きい任意の奇数は3つの素数の和であることを導くことを示した。
1934年、Chowla は、一般リーマン予想は次を導くことを示した:等差数列 a mod m の最初の素数はある固定された定数 K に対して高々 Kmlog(m) である。
1967年、Hooley は一般リーマン予想が原始根に関する Artin の予想(英語版)を導くことを示した。
リーマン予想のいくつかの帰結はその否定の帰結でもあり、したがって定理である。(Ireland & Rosen 1990, p. 359) は,Heilbronnの類数定理の彼らの議論において、次のように言っている:
The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)
ここでの証明の手法は本当にすごい.一般リーマン予想が正しいならば,定理は正しい.一般リーマン予想が間違いならば,定理は正しい.したがって,定理は正しい!!
一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである:ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。
このような論法は無理数の無理数乗で表される有理数が少なくとも1つ存在すること(京都大学入試問題)の証明やワイルズによるフェルマーの最終定理の証明などにも見られる(ワイルズの3-5トリック)。