ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題
量子力学はフォン・ノイマンの流儀に従い記述される。特に、純粋状態は射線(すなわち、何らかの可分複素ヒルベルト空間の 1次元部分空間)により与えられる。
ワイトマンの公理系はポアンカレ群がヒルベルト空間に対してユニタリ的に作用することを要請する。別の言い方をすると、そこには位置に依存する量子場と呼ばれる作用素が存在し、共変なポアンカレ群の表現(英語版)を形成する。
時空変換の群は可換なので、作用素は同時に対角化可能である。これらの群の生成子は4つの自己共役作用素 P 0 , P j {\displaystyle P_{0},P_{j}} , j = 1, 2, 3 をもたらし、これは同次群の下で 4次元ベクトルに変換されて、エネルギー・運動量4次元ベクトルと呼ばれる。
ワイトマンの第0公理の第二の部分は、表現 U(a, A) がスペクトル条件を満たすことである。すなわち、エネルギー・運動量の結合スペクトルが次式で示す前方光円錐の閉方に含まれる。
P 0 ≥ 0 , ... , P 0 2 − P j P j ≥ 0. {\displaystyle P_{0}\geq 0,\dots ,P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}
公理の第三の部分は、ヒルベルト空間内の射線で表現される一意な状態が存在し、ポアンカレ群の作用下で不変量となることである。これは真空と呼ばれる。