ユークリッドの運動群
運動群 E(n) は向きを保つ等長変換 (direct isometry, déplacement) 全体の成す部分群 E(n) を持つ。これは n-次元空間における剛体を動かすものという意味で剛体運動 (rigid motions) などとも呼ばれる。この群には平行移動、回転がすべて含まれ、またこれらによってこの群 E(n) は生成される。E(n) は特殊ユークリッド群 (special Euclidean group) SE(n) とも呼ばれる。
またこれと対照に、向きを逆にする等長変換 (indirect isometries, opposite isometries) がある。E(n) は E(n) の指数 2 の部分群であり、運動群を E(n) で割った剰余類の自明でない唯一の類は、向きを逆にする変換の全体に一致する。即ち、任意の向きを逆にする等距変換(例えば向きを逆にする鏡映)R が一つ与えられれば、向きを逆にする任意の等長変換は向きを保つ適当な変換 D によって DR の形に書ける。
運動群 E(n) の持つ自由度は n(n + 1)/2 である(例えば、n = 2 のとき 3, n = 3 のとき 6 になる)。これら自由度のうち n は平行移動の自由度に割かれており、残りの n(n − 1)/2 は回転対称性ということになる。