ガトー微分
高階のフレシェ導函数が、同型 L(X, Y) = L(X, L(X, Y)) の反復適用によって、多重線型写像として自然に定義されるのに反して、高階ガトー導函数はこの方法で定義することはできない。その代わり、X の開集合 U 上の函数 F: U → Y の h-方向への n-階ガトー導函数は
(2) d n F ( u ; h ) = d n d τ n F ( u + τ h ) | τ = 0 {\displaystyle d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}}
で定義される。つまりこれは、多重線型写像ではなくて、h に関する n-次の斉次函数になる。
あるいはまた、少なくとも F がスカラー値函数である特別の場合には、高階導函数の別な候補として、F の二次変分としての函数
(3) D 2 F ( u ) { h , k } = lim τ → 0 D F ( u + τ k ) h − D F ( u ) h τ = ∂ 2 ∂ τ ∂ σ F ( u + σ h + τ k ) | τ = σ = 0 {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}}