ハイネの和公式
2 φ 1 [ a , b c ; q , c a b ] = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ 2 φ 1 [ c b , c a b c b ; q , b ] = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ∑ n = 0 ∞ ( c b ; q ) n ( c a b ; q ) n ( q ; q ) n ( c b ; q ) n b n ) = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ∑ n = 0 ∞ ( c a b ; q ) n ( q ; q ) n b n ) = ( b ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( ( c a ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ) = ( c a ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},{\frac {c}{ab}}\\{\frac {c}{b}}\end{matrix}};q,b\right]\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{n}({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}({\frac {c}{b}};q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{ab}};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}b^{n}\right)\\&={\frac {(b;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\left({\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }}}\right)\\&={\frac {({\frac {c}{a}};q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }({\frac {c}{ab}};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}