双対グラフ
任意の連結グラフのカットセットは、グラフの頂点を2つのサブセットに分けたとき、この2つのサブセットどうしをつなぐ辺の集合である。グラフからカットセットを取り除くと、必然的にグラフは少なくとも2つの連結成分に分割される。最小カットセット(ボンドとも呼ばれる)は、カットセットのすべてのサブセットがそれ自体カットではないという特性を持つカットセットである。連結グラフの最小カットセットは、必然的にそのグラフを2つのグラフに分割する。単純なサイクルは、連結サブグラフのうち、サイクルの各頂点が2つの辺を持つようなものである。
接続平面グラフGはGのすべての単純サイクルは、Gの双対の最小カットセットとみなすことができ、またその逆も成り立つ。これは、ジョルダン曲線定理の一種として見ることができる。単純な各サイクルは、Gの面をサイクルの内側の面とサイクルの外側の面に分離し、サイクル辺の双対は内部から外部へと交差する辺となる。任意の平面グラフの内周(グラフがもつ最小サイズのサイクル)はその双対グラフの辺連結度(グラフがもつ最小サイズのカットセット)に等しい。
この二重性は個々のカットセットとサイクルから定義されたベクトル空間まで及ぶ。グラフのサイクル空間(英語版)とは の集合であるすべての頂点が偶数の次数を持っているようなサブグラフ(オイラーグラフ)の集合である。サイクル空間は2要素有限体上のベクトル空間と見なすことができ、2組の辺の対称差はベクトル空間でのベクトル加算演算として機能する。同様の加算により、グラフのカット空間はすべてのカットセットのファミリーとして定義される。