行列ノルム
実行列 A ∈ R に対し、以下の不等式が成立する:
‖ A ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ≤ r ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}
‖ A ‖ F ≤ ‖ A ‖ ∗ ≤ r ‖ A ‖ F {\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}
‖ A ‖ max ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ m n ‖ A ‖ max {\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}
1 n ‖ A ‖ ∞ ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ m ‖ A ‖ ∞ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}
1 m ‖ A ‖ 1 ≤ ‖ A ‖ 2 ≤ n ‖ A ‖ 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}}
ここで r は行列 A のランクである。
他にも次のような関係は有用である:
‖ A ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ 1 ‖ A ‖ ∞ {\displaystyle \|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}
これはヘルダーの不等式の特殊例である。
行列の成分ごとのノルムとは、m 行 n 列の行列を mn 成分のベクトルと見なして、ベクトルの通常のノルムを考えたものである。例えばベクトルの p ノルムを利用すれば
‖ A ‖ p = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p ) 1 / p {\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{\!\!1/p}}
というノルムが得られる。特別の場合として、p = 2 のときはフロベニウスノルムが、p = ∞ のときは最大値ノルムがそれぞれ得られる。