メビウスの帯
実際にメビウスの帯をつくってはさみで平行に切断すると以下のような性質を持っていることがわかる。直感に反したこれらの現象は子供向けの手品として演じられることもあり、マーティン・ガードナーは、メビウスの帯がパーティー用の出し物として紹介されている最初の文献は1881年にパリで発行されたガストン・ティサンディエルによる科学遊びについての本だとしている。1904年には「アフガン・バンド」という名前がついたが、その由来は不明である。
180°ひねってつくったメビウスの帯をセンターラインで切断すると、輪は2つに分かれずに大きな1つの輪になる。この輪は720°ひねられた状態で表裏が分かれており、つまりメビウスの帯ではない。
帯の幅1/3のところを切ってゆくと、輪を2周したところでちょうど切り終わる。こうすると元の帯の2倍の長さ、1/3の幅の720°ひねられた輪と元の帯と同じ長さ、1/3の幅のメビウスの帯が1つずつでき、それらがホップ絡み目状に絡まっている。
540°ひねってつくられたメビウスの帯をセンターラインに沿って切ると、三葉結び目状の帯が1本できる。これを解くと、8回のねじれがある帯となる。また、180°を1回としたとき、n回(nは奇数)ひねった帯をセンターラインに沿って切るとトーラス結び目(2,n)の形をした帯ができる。これには2n+1回のねじれがある。
切断された帯に更にねじれを加え、両端を再接続させるとparadromic rings(ポルトガル語版)という帯になる。
破線がセンターライン
ホップ絡み目
三葉結び目
数学的には、メビウスの帯は連結・コンパクトで向き付け不可能な種数1・境界成分数1の2次元多様体(曲面)であるといえる。向き付け不可能とは表と裏の区別をつけることができないということである(単側性ともいう)。例えばメビウスの帯のある部分に(裏側にもインクがにじむように、あるいは帯が透明な素材でできていると考えて)「あ」という文字を書き、それを帯に沿って1周させて元の位置に戻すと、文字が反転して鏡像になってしまう。一般に曲面が向き付け不可能であることは、その曲面にメビウスの帯が含まれていることと同値となる。メビウスの帯は境界(近傍がユークリッド半平面と同相な点の集合のことで、帯の端の部分)を持っているが、その個数は1つであり、2つの境界成分を持つひねりの無い通常の帯(アニュラス)とは異なる。
メビウスの帯は3次元ユークリッド空間 R に埋め込むことができ、媒介変数 r , t (-1≦r≦1 ,0≦t≦π)を使えば
x = ( r cos  t + 2 ) cos  2 t {\displaystyle x=(r\cos {t}+2)\cos {2t}\,}
y = ( r cos  t + 2 ) sin  2 t {\displaystyle y=(r\cos {t}+2)\sin {2t}\,}
z = r sin  t {\displaystyle z=r\sin {t}\,}
と表示することができる。