完全順列
}{k!}},\quad n\geqq 0}
となる。この一般項から、別の漸化式が得られる。
a n = n a n − 1 + ( − 1 ) n , n ≧ 1 {\displaystyle a_{n}=na_{n-1}+(-1)^{n},\quad n\geqq 1}
また、n個のものを並べ替える順列をランダムに作ったとき完全順列になる確率は、一般項の式の両辺を n! で割った
a n n ! = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! , n ≧ 0 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}},\quad n\geqq 0}
で表される。さらに n → ∞ とすると、指数関数のマクローリン展開
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
に x = -1 を代入した式になっているので、自然対数の底 e の逆数 1/e となる。パーセントで表すとおよそ36.788%である。
完全順列の総数をモンモール数 (英: Montmort number) という。モンモール数はしばしば !n と書かれる。これはフランスの数学者 ピエール・モンモール(フランス語版) に因んで名づけられた。
モンモール数を小さい順に並べると
0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A166)
である。