行列指数関数
複素行列の指数関数が常に正則行列であるということに注意する(e の逆行列は e によって与えられる)。これは複素変数の指数関数が常に零でないことに対応する事実である。ゆえに、行列の指数関数 n次正方行列の全体の成す空間から n次元の一般線型群(n次正則行列の群)への写像
exp : M n ( C ) → G L ( n , C ) {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}
を定めている。実は、この写像は全射、すなわちどんな正則行列も何らかの行列乗として書くことができる(ここで実数体 R でなく複素数体 C 上で考えることが本質的に利いてくる)。
2つの行列 X, Y について
‖ e X + Y − e X ‖ ≤ ‖ Y ‖ e ‖ X ‖ e ‖ Y ‖ {\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}}
が成り立つ。ここで || · || は任意の行列ノルムである。