冪集合
( P ( S ) , ⊂ o p p ) ∋ A ⟼ ≃ A c = S ∖ A ∈ ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })\ni A\ {\stackrel {\simeq }{\longmapsto }}\ A^{c}=S\smallsetminus A\in ({\mathcal {P}}(S),\subset )}
によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる(双対性:ド・モルガンの法則)、対称差は不変(自己双対性)などを見て取ることができる。
順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} の部分集合である集合族
M ⊂ P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)}
が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作
sup ( M ) = ⋃ M = ⋃ m ∈ M m , inf ( M ) = ⋂ M = ⋂ m ∈ M m {\displaystyle \sup({\mathfrak {M}})=\bigcup {\mathfrak {M}}=\bigcup _{m\in {\mathfrak {M}}}m,\quad \inf({\mathfrak {M}})=\bigcap {\mathfrak {M}}=\bigcap _{m\in {\mathfrak {M}}}m}