複素線積分
このとき、z の分岐切断は (−∞, 0] であり、(3−z) の分岐切断は (−∞, 3] となる。これらの積、つまり f(z) の分岐切断は [0, 3] である。なぜなら、f(z) は実は (−∞, 0) をまたいで連続になるからである。このことは、z = −r < 0 として (−∞, 0) に向かって上半平面から近づくときの f(z) の値が
r 3 4 exp  ( 3 π i 4 ) ( 3 + r ) 1 4 exp  ( 2 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 + r ) 1 4 exp  ( 5 π i 4 ) {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}
であり、一方下半平面から近づくときの f(z) の値が
r 3 4 exp  ( − 3 π i 4 ) ( 3 + r ) 1 4 exp  ( 0 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 + r ) 1 4 exp  ( − 3 π i 4 ) {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})}
Mitrinovic & Jovan D. Keckic (1984). “Chapter 2”. The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications. Springer. ISBN 90-277-1623-4. https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA5,M1
↑ Dragoslav S. Mitrinovic & Jovan D. Keckic (1984). Chapter 5. ISBN 90-277-1623-4. https://books.google.com/books?id=-suKhxfPH5AC&printsec=frontcover&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA108,M1
1 2 3 4 5 Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). Chapter 4. ISBN 01-390-7874-6. https://books.google.com/books?id=fVsZAQAAIAAJ&q=saff+%26+Snider&dq=saff+%26+Snider&hl=en&sa=X&ei=rT7PUPaiL4OE2gXvg4GoBQ&ved=0CFEQ6AEwAw
直接的な方法は多変数解析学における線積分の計算と類似の手法による積分計算を含む。これは以下の手法を用いることを意味する:
積分路の径数付け
積分路は実変数の微分可能な複素数値関数によって径数付けられる、あるいは積分路は断片に分けられ別々に径数付けられる。
径数付けの被積分関数への代入
径数付けを被積分関数に代入することで積分が一実変数の積分となる。
直接計算
積分は実変数の積分と類似の手法で計算される。
f: C → C を向き付けられた滑らかな曲線 γ 上の連続関数とする。z: R → C をその順序(向き)と両立する γ の任意の径数付けとする。すると γ に沿った積分は
∫ γ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}
と記され、
∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)\,dt}
によって与えられる。
この定義は well defined である。つまり、結果は選ばれた径数付けに依存しない。右辺の実積分が存在しない場合には γ に沿う積分は存在しないと言われる。
積分路はしばしば向き付けられた滑らかな曲線のことばで定義される。これらは、滑らかな曲線の「断片」の正確な定義を与え、積分路は断片からなる。
滑らかな曲線とは、曲線 z: [a, b] → C であって、微分が消えず連続で、各点が一度だけ通過される(z が単射である)ものである、ただし終点が始点と一致する場合 (z(a) = z(b)) だけは例外である。終点が始点と一致するような場合には、曲線は閉曲線と呼ばれ、関数は他のいたるところ単射でなければならず、微分はその一致する点で連続でなければならない (z'(a) = z'(b))。閉でない滑らかな曲線はしばしば滑らかな弧と呼ばれる。
曲線の径数付け(英語版)により曲線上の点に自然な順序が入る:x < y のとき z(x) は z(y) より"小さい"。このことは向き付けられた滑らかな曲線 (directed smooth curve) の概念を導く。特定の径数付けに依存しない曲線を考えるのが最も有用である。このことは同じ方向を持つ滑らかな曲線の同値類を考えることによってなされる。すると方向をもつ滑らかな曲線は、ある滑らかな曲線の像である複素平面の点の集合に(径数付けから定まる)自然な順序をいれたものとして定義できる。点のすべての順序付けが滑らかな曲線の自然な順序であるわけではないことに注意。実は、与えられた滑らかな曲線は、そのような順序付けを2つしかもたない。また、ひとつの閉曲線は任意の点を終点として持つことができるが、滑らかな弧の終点となるのは2点のみである。