双対基底
形式的に言えば、δj は反変計量テンソル、δij は共変計量テンソルと見なされ、これは添字の上げ下げ(英語版) の最も簡単な例である。
ある双対基底と基底の組合せは、V の基底の空間から V* の基底の空間への写像を与え、これはまた同型でもある。実数のような位相体に対して、双対の空間は位相空間であり、これはそれらの空間の基底のスティーフェル多様体(英語版)の間の位相同型を与える。
有限次元においては、二重直交性の条件は双対の各元に対し n 個の線型独立条件を課すことが代替的に分かる(なぜならば、n 個の基底ベクトルが存在し、それらは線型独立であるからである)。したがって、双対空間の次元は n であることにより、その双対集合の各元は一意的に定められる。
ある n 次元ベクトル空間 V 上の双対ベクトルの作用については、V の元を n×1 の列ベクトルと見なし、双対空間 V* の元を 左行列乗算(英語版)による線型汎関数として作用する 1×n の行ベクトルと見なすことで分かる。