操作変数法
もし追加的な共変数 W {\displaystyle W} があるのならば、 W {\displaystyle W} で条件付けた下での操作変数 Z {\displaystyle Z} として定義が変更される。
パールの定義のエッセンスは
興味のある方程式は"構造的"なものであり、単なる"回帰"ではない。
誤差項 U {\displaystyle U} は X {\displaystyle X} が定数である時に Y {\displaystyle Y} に影響を与えるすべての外生的要因を表している。
操作変数 Z {\displaystyle Z} は U {\displaystyle U} と独立でなければならない。
操作変数 Z {\displaystyle Z} は X {\displaystyle X} が定数ならば、 Y {\displaystyle Y} に影響を与えてはならない。(除外制約)
操作変数 Z {\displaystyle Z} は X {\displaystyle X} と独立ではない。
ということである。
これらの条件は方程式の特定の関数形に依存しておらず、ゆえに非線形方程式、つまり誤差項 U {\displaystyle U} が非加法的である場合にも適用できる。これらの条件はまた複数の方程式からなるシステムにも適用でき、そこでは X {\displaystyle X} (と他の要因)がいくつかの中間的な変数を通して Y {\displaystyle Y} に影響を与える。操作変数は X {\displaystyle X} の原因である必要はない。そのような原因の代理変数は、条件1から5を満たすならば、操作変数としてまた使えるだろう。また、除外制約(条件4)は条件2と3から導けるので省略できる。
今またここで操作変数法の詳細を考えよう。以下のような形でデータが生成されるとする。
y i = X i ′ β + e i , {\displaystyle y_{i}=X_{i}'\beta +e_{i},}
ここで
i {\displaystyle i} は観測値の添え字、
y i {\displaystyle y_{i}} は被説明変数、
X i {\displaystyle X_{i}} は説明変数と定数のベクトル、
e i {\displaystyle e_{i}} は X i {\displaystyle X_{i}} とは異なる y i {\displaystyle y_{i}} に影響を与えるすべての要因を表す観測できない誤差項、
β {\displaystyle \beta } は観測できないスカラー値のパラメータ、
上付きの添え字 ′ {\displaystyle '} は行列ないしはベクトルの転置、
とする。
パラメータ β {\displaystyle \beta } は X i {\displaystyle X_{i}} の各要素が一単位動き、他の y i {\displaystyle y_{i}} に変動を与えるすべての要因が一定である時に y i {\displaystyle y_{i}} が受ける因果効果を表している。計量経済学的な目的は β {\displaystyle \beta } を推定することである。単純化のために、 e {\displaystyle e} は互いに無相関で、同じ分散である分布から生成されるものとする。つまり誤差項は自己相関がなく分散均一である。