双極座標系
双極座標系におけるスケール因子を得るために、 x + i y {\displaystyle x+iy} の微分を取る。すると次の式を得る。
d x + i d y = − i a sin 2  ( 1 2 ( σ + i τ ) ) ( d σ + i d τ ) . {\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}
共役複素数を両辺に掛けることで次の式を得る。
( d x ) 2 + ( d y ) 2 = a 2 [ 2 sin  1 2 ( σ + i τ ) sin  1 2 ( σ − i τ ) ] 2 ( ( d σ ) 2 + ( d τ ) 2 ) . {\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}
x と y の等式を組み合わせることで以下を得る。
x + i y = a i cot  ( σ + i τ 2 ) {\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}
この等式は σ と τ が(対数分岐点が焦点にある)x+iy についての解析関数の実部と虚部であることを示している。これにより、(等角写像の一般的理論も踏まえると) σ と τの曲線が直交することが証明される。すなわち、座標系が直交であることも同時に証明される。