指数関数の原始関数の一覧
以下は不定積分の一覧である。右辺につく積分定数は省略している。
∫ e x d x = e x {\displaystyle \int e^{x}\;\mathrm {d} x=e^{x}}
∫ f ′ ( x ) e f ( x ) d x = e f ( x ) {\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm {d} x=e^{f(x)}}
∫ e c x d x = 1 c e c x {\displaystyle \int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫ a c x d x = 1 c ⋅ ln  a a c x {\displaystyle \int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{cx}} ( a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a>0,\ a\neq 1} )
∫ x e c x d x = e c x c 2 ( c x − 1 ) {\displaystyle \int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
∫ x 2 e c x d x = e c x ( x 2 c − 2 x c 2 + 2 c 3 ) {\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫ e x 2 d x = e x 2 ( ∑ j = 0 n − 1 c 2 j 1 x 2 j + 1 ) + ( 2 n − 1 ) c 2 n − 2 ∫ e x 2 x 2 n d x ( n > 0 ) {\displaystyle \int e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;\mathrm {d} x\quad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}} ここで c 2 j = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 j − 1 ) 2 j + 1 = ( 2 j ) ! j ! 2 2 j + 1 {\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}} とする。
∫ x x ⋅ ⋅ x ⏟ m d x = ∫ x ↑↑ m d x = ∫ x → m → 2 d x = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n ( n + 1 ) n − 1 n !