結び目理論
何かの分類をするために、それとは別のものでパラメータ付けしようというのは数学の各分野でよくおこなわれることである。結び目についても、与えられた 2 つの結び目が同値かどうかを判断する "指標" として結び目不変量を考える。
結び目不変量は同値(つまり同じ)結び目には同じ指標が当てられるようにした(対偶を考えれば、与えられた 2 つの結び目が互いに異なる不変量を持つなら同値ではない)もののことである。たとえば、2 つの結び目が同値なら有限回のライデマイスター移動で移りあうので、結び目不変量はライデマイスター移動の各手順で変わることはない。簡単な例としては、絡み数や3彩色可能性などがある。
ただし、逆が成り立つとは限らない。つまり、同じ不変量を持つからといってそれらの結び目が同じかどうかは分からない。この性質を持つ、つまり不変量の値が同じである結び目たちが常に同値となる不変量は全ての結び目を区別することができ、完全な不変量という。