単位の換算
解法2: 360 k m / h = x m / h {\displaystyle 360\,\mathrm {km/h} =\mathrm {x\ m/h} } x m / h = y m / s {\displaystyle \mathrm {x\ m/h} =\mathrm {y\ m/s} } と置くと、 360 k m = x m {\displaystyle 360\,\mathrm {km} =\mathrm {x\ m} } から、 x = 360 × 1000 = 3600 × 10 2 {\displaystyle \mathrm {x} =360\times 1000=3600\times 10^{2}} 一方、 y h = x s {\displaystyle \mathrm {y\ h} =\mathrm {x\ s} } から、 y = 3600 x = 100 {\displaystyle \mathrm {y} =3600\mathrm {x} =100} よって、 360 k m / h = 100 m / s {\displaystyle 360\,\mathrm {km/h} =100\,\mathrm {m/s} }
解法3: 1 k m / h = 1000 m / h = 1000 m / 3600 s = ( 10 / 36 ) m / s {\displaystyle 1\,\mathrm {km/h} =1000\,\mathrm {m/h} =1000\,\mathrm {m} /3600\,\mathrm {s} =(10/36)\,\mathrm {m/s} } > よって 360 k m / h = 360 ( 10 / 36 ) m / s = 100 m / s {\displaystyle 360\,\mathrm {km/h} ={\text{360}}\left(10/{\text{36}}\right)\,\mathrm {m/s} =100\,\mathrm {m/s} }
「私の体重」のような具体的な物理量を、それと比較可能な単位と比較したときに、その単位の何倍であるかを示した数。私の体重が53 kgであるときには、53という(単位の付かない)実数が、物理量の数値である。
教科書によっては、本記事でいうところの「物理量の種類」や、「単位」のことを「物理量」としている場合、あるいは、どれを指しているかあいまいな場合もある。また、「物理量の値」という 用語は、物理量と同義でつかわれる場合が多いが、実は「物理量の数値」と同義で用いられることもある。
式(5-1)と式(5-2)の両辺は量を示しているが、式(5-3)と式(5-4)の両辺は数値を示していて、式(5-3)の [km] と [m] および式(5-4)の下付記号は記号 L の添え字というべきものである。式(5-1), (5-2)の単位記号とは異なり、式(5-3)の [km] と [m] は独立した記号として通常の数学記号と同様の演算規則に従うものではなく、L [km] という記号列が一体となってひとつの数値を表す変数記号を表している。括弧付き量記号と下付単位記号による式(5-4)の表記はISOやJISで数値方程式の項の表記として推奨されているものであり、式(5-3)の表記に比べて {L }km という記号列が一体であることが認識されやすいであろう。
つまり式(5-1), (5-2)は量方程式であり式(5-3), (5-4)は数値方程式なのだが、両者の違いを認識していない場合には、以下の式(5-1), (5-2)と式(5-3), (5-4)の係数のかかり方が逆であることに単位換算の紛らわしさを感じる可能性はある。
これらを式(4-1)に代入すると、 1000 F [ k N ] = 1000 m [ t ] ⋅ 1000 L [ k m ] ( 3600 T 1 [ h ] ⋅ T 2 [ s ] ) {\displaystyle 1000F[\mathrm {kN} ]=1000m[\mathrm {t} ]\cdot {\frac {1000L[\mathrm {km} ]}{\left(3600{T_{1}}[\mathrm {h} ]\cdot {T_{2}}[\mathrm {s} ]\right)}}} となり、両辺約分すると、 F [ k N ] = 1 3.6 m [ t ] ⋅ L [ k m ] ( T 1 [ h ] ⋅ T 2 [ s ] ) {\displaystyle F[\mathrm {kN} ]={\frac {1}{3.6}}m[\mathrm {t} ]\cdot {\frac {L[\mathrm {km} ]}{\left({T_{1}}[\mathrm {h} ]\cdot {T_{2}}[\mathrm {s} ]\right)}}} が得られる。 結論を、JIS/ISO流に数値項に示す単位情報を下付添え字で表す(これは単位そのものと誤認されにくくするためである。)と、 { F } k N = ( 1 / 3.6 ) ⋅ { F } t ⋅ k m ⋅ h − 1 ⋅ s − 1 = ( 1 / 3.6 ) ⋅ { m } t ⋅ { α } k m ⋅ h − 1 ⋅ s − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\{F\}_{\mathrm {kN} }&=(1/3.
数値方程式では、物理量と単位の表記に述べた式(1-2), (1-3), (1-4) のような表記を使う。これを一般式で示すと、
Y [ U ] = f ( X 1 [ U 1 ] , ... , X n [ U n ] ) {\displaystyle Y[\mathrm {U} ]=f({X_{1}}[\mathrm {U} _{1}],\dots ,{X_{n}}[\mathrm {U} _{n}])}
のように、左辺に示す1個の従属変数(統計学用語では目的変数)が、右辺に示す1個以上の独立変数(統計学用語では説明変数)の関数に等しいという等式になる。
すなわち、数値方程式とは、例えば
F / N = m / k g × α / ( m / s 2 ) {\displaystyle F/\mathrm {N} =m/\mathrm {kg} \times \alpha /(\mathrm {m/s^{2}} )} (2-1a)
物理量の表記方法も、さまざまな流儀があるが、以下の記載では次の表記を採用した。
ある物理量の値そのものを表すときには、SI, ISO, JISに準拠した表記を使う。物理量と単位の表記に述べた式(1-1)のごとき表記である。
例えば、「時速360 km/hで飛行する飛行機の速さは、秒速に換算すると何 m/sになるか」という問題を例に取る。
先に述べた変換率方式での方法を具体的に上記の例題に適用すると、次の解法1の手順となる。
解法1: 1 = ( 1000 m 1 k m ) {\displaystyle 1=\left({\frac {1000\,\mathrm {m} }{1\,\mathrm {km} }}\right)} 1 = 3600 s 1 h {\displaystyle 1={\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}} より、 360 k m / h = 360 ( k m ⋅ 1 ) ( h ⋅ 1 ) = 360 ( k m ⋅ 1000 m 1 k m ) ( h ⋅ 3600 s 1 h ) = ( 360 ⋅ 1000 m 3600 s ) = 100 m / s {\displaystyle 360\,\mathrm {km/h} =360\ {\frac {\left(\mathrm {km} \cdot 1\right)}{\left(\mathrm {h} \cdot 1\right)}}=360\ {\frac {\left(\mathrm {km} \cdot {\frac {1000\,\mathrm {m} }{1\,\mathrm {km} }}\right)}{\left(\mathrm {h} \cdot {\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}\right)}}=\left(360\cdot {\frac {1000\,\mathrm {m} }{3600\,\mathrm {s} }}\right)=100\,\mathrm {m/s} }