互いに素 (整数論)
整数の中から任意に選んだ2つの数 a と b が互いに素である確率を、ナイーブには、以下のように求めることができる。
a と b が互いに素とは、任意の素数 p に対して、a と b の少なくとも一方が p の倍数でないこと、と言い換える。
p を固定したとき、この事象は、a, b がともに p の倍数である事象の余事象である。
a が p の倍数である確率は 1/p である。(b についても同様)
各 p に対して、これらの試行は独立だから、求める確率は、
∏ p : prime { 1 − ( 1 p ) 2 } = ( ∏ p : prime 1 1 − p − 2 ) − 1 = 1 ζ ( 2 ) = 6 π 2 ≈ 0.6079271. {\displaystyle \prod _{p:{\text{ prime}}}\left\{1-\left({\frac {1}{p}}\right)^{2}\right\}=\left(\prod _{p:{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.6079271.}
ここで、ζ はリーマンのゼータ関数を表す。ζ(2) の値はレオンハルト・オイラーによって求められた。一般に、任意に選んだ k 個の整数が互いに素である確率は 1/ζ(k) で表される。