カーライル円
正五角形の作図は、次の方程式の複素数解を求める問題と同値である:
z − 1 = 0.
この解のひとつは、z0 = 1 であり、これは点 P0 (1, 0) に対応する。この解に対応する因数 (x − 1) で左辺を割ると、方程式は以下のようになる。
z + z + z + z + 1 = 0.
ここで、方程式の解は ω = exp  ( 2 π i / 5 ) {\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/5)} を用いて ω, ω, ω, ω と書ける。これらに対応する点を P1, P2, P3, P4 とする。さらに
p1 = ω + ω, p2 = ω + ω
とおくと、
p1 + p2 = − 1, p1 p2 = −1. (ω = ω と ω = ω を用いれば、p1, p2 の定義式をこれらに代入し、4次方程式と比較して得られる。)
これにより、p1, p2 は次の二次方程式の解と分かる。( ω = ω 4 ̄ , ω 2 = ω 3 ̄ {\displaystyle \omega ={\overline {\omega ^{4}}},\omega ^{2}={\overline {\omega ^{3}}}} よりp1, p2 が実数であることに注意)
x + x − 1 = 0.
この二次方程式のカーライル円は、 線分 (0, 1) (−1, −1) を直径にもつ、すなわち中心を (−1/2, 0) にもつ円である。