シンプレクティック幾何学
汎関数 A H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} に対する変分原理は、 γ ∈ X {\displaystyle \gamma \in X} がハミルトン方程式の周期1の周期解であるのは、 γ {\displaystyle \gamma } が汎関数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の臨界点であるときであり、かつそのときに限る、ことを主張する。この観察から、アーノルド予想は
# C r ( A H ) ≥ ∑ k = 0 dim  M b k ( M ) {\displaystyle \#\mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})\geq \sum _{k=0}^{\dim M}b_{k}(M)} ............(*)
と読みかえられる。この不等式は、有限次元多様体上のモースの不等式のアナロジーである: N {\displaystyle N} を有限次元閉多様体とし、 f : N → R {\displaystyle f:N\to \mathbb {R} } をその上のモース関数とすると、モースの不等式
# C r ( f ) ≥ ∑ k = 0 dim  N b k ( N ) . {\displaystyle \#\mathrm {Cr} (f)\geq \sum _{k=0}^{\dim N}b_{k}(N).}
が成り立つ。
不等式(*)を示すために、フレアーは次のような鎖複体を考えた;
C F ∗ ( H ) = ⨁ x ∈ C r ( A H ) Z 2 ⟨ x ⟩ . {\displaystyle \mathrm {CF} _{*}(H)=\bigoplus _{x\in \mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})}\mathbb {Z} _{2}\langle x\rangle .