モースポテンシャル
さらに、以下のような位置演算子の行列要素の解析的表現も重要である(ここで l > n , N = λ − 1 / 2 {\displaystyle l>n,N=\lambda -1/2} とする)。
⟨ Ψ l | x | Ψ n ⟩ = 2 ( − 1 ) l − n + 1 ( l − n ) ( 2 N − n − l ) ( N − n ) ( N − l ) Γ ( 2 N − l + 1 ) l ! Γ ( 2 N − n + 1 ) n ! {\displaystyle \left\langle \Psi _{l}|x|\Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{l-n+1}}{(l-n)(2N-n-l)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-l)\Gamma (2N-l+1)l!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}}}
固有エネルギーを元々の変数で書くと:
E n = h ν 0 ( n + 1 / 2 ) − [ h ν 0 ( n + 1 / 2 ) ] 2 4 D e {\displaystyle E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\left[h\nu _{0}(n+1/2)\right]^{2}}{4D_{\mathrm {e} }}}}
となる。ここで h {\displaystyle h} はプランク定数、 n {\displaystyle n} は振動状態を表す量子数、 ν 0 {\displaystyle \nu _{0}} は振動数の単位量であり、質量 m {\displaystyle m} とポテンシャルのパラメータを使って次のように書ける。