ケーリー＝ディクソンの構成法
構成法の次の段階は、乗法と共役の一般化である。
複素数 a と b の順序対 (a, b) に対して、乗法を
( a , b ) ( c , d ) := ( a c − d ∗ b , d a + b c ∗ ) {\displaystyle (a,b)(c,d):=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
で定義する。積の定義式には少し違う形のものを用いる場合があるが、結果として得られる構成法は、基底の符号の違いを除いて今のものと一致する構造を導く。
積の因子の順番がここでは少し奇妙に映るかもしれないが、これは次の段階で重要な意味をもつ。(a, b) の共役 (a, b) を
( a , b ) ∗ := ( a ∗ , − b ) {\displaystyle (a,b)^{*}:=(a^{*},-b)}
で定義する。
これらの演算は対応する複素数での演算の直接の拡張になっている。実際、a と b を複素数の中の実数の部分集合からとれば、定義式における共役が外見上は何もしないことと同じである(恒等変換になる)から、複素数での演算と同じ意味になる。