ウォリス積分
ウォリス積分 I m {\displaystyle I_{m}} (m は 0 以上の整数)は
I m := ∫ 0 π 2 sin m  θ d θ = ∫ 0 π 2 cos m  θ d θ {\displaystyle I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta }
で定義される。部分積分によって
I m + 1 = m ( I m − 1 − I m + 1 ) {\displaystyle I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})}
すなわち漸化式
I m + 1 I m − 1 = m m + 1 {\displaystyle {\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}}
が得られる。これより m の偶奇に応じて I m {\displaystyle I_{m}} の値が求まる。
I 2 n + 1 = 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 ⋯ 2 3 ⋅ 1 = ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) !