サンプリング周波数変換
離散的な場合の畳み込み積分の定義は、
( f ∗ g ) [ m ] = ∑ n f [ n ] g [ m − n ] {\displaystyle (f*g)[m]=\sum _{n}{f[n]\,g[m-n]}}
ただし、上式の [] 記号は、離散的な関数の整数値引数を表している。
対称性により、逆に、F(w), G(w)の積 F(w)G(w) を逆フーリエ変換すると、結果は、f(t), g(t)の畳み込み積分になる:
F − 1 [ F ⋅ G ] = ( f ∗ g ) ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\left[F\cdot G\right]=(f*g)(t)}
この性質を利用すれば、f(t), g(t)の畳み込み積分で一気にサンプリングレート変換を行うことが可能である。 この場合、f(t)を変換前のPCM波形とすれば、F(w)は、音声のスペクトラムに相当するようなフーリエ変換となる。 F(w)の高周波成分をカットするため、G(w)をLPFに相当する関数とする。 理想的なLPFとしては、G(w)を「矩形関数(Rectangular function)」とする方法が有るが、G(w)が矩形関数の時、g(t)は、sinc 関数になるので、LPFを通した後のPCM波形は、f(t)とsinc関数g(t)の畳み込み積分となる。
サンプリング周波数が異なる音声規格間の変換
オーバーサンプリング(A/D、D/A変換を直接せずに、高サンプリング周波数の信号をはさむこと)
スーパーサンプリング(信号の加工を高サンプリング周波数でおこなうこと)
データサイズの節約
変換前のサンプリング周波数が f 1 {\displaystyle f_{1}} 、変換後のサンプリング周波数が f 2 {\displaystyle f_{2}} で、 f 1 {\displaystyle f_{1}} < f 2 {\displaystyle f_{2}} 、かつ、 f 2 {\displaystyle f_{2}} が f 1 {\displaystyle f_{1}} の整数倍の時、 サンプリング周波数 f 2 {\displaystyle f_{2}} でサンプリングし直すには、数学的な概念としては、以下の二段階の処理を行うと考える事が出来る。
拡張 (expansion, 0を追加する)
f 1 / 2 {\displaystyle f_{1}/2} を遮断周波数とするローパスフィルタに通す (補完, Interporation, 0の部分を置き換えることになる)