微分ガロア理論
数学において、ある種の初等関数の不定積分は初等関数で表せない。 この様な関数としては、 e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} が良く知られており、その不定積分は、統計学で馴染みの深い誤差関数 erf  x {\displaystyle \operatorname {erf} x} である。 他の例としては、シンク関数 sin  x x {\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}} や x x {\displaystyle x^{x}} 等がある。
初等関数の概念は、単に慣習的なものであることに気付くべきである。 仮に、初等関数の定義に誤差関数を含めれば、その定義の下では e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} の不定積分が初等関数になるのである。