マイヤー・ヴィートリス完全系列
境界写像 ∂* が次元を下げることは、以下のように明示的に説明することができる。Hn(X) の各元は n-輪体 x の属するホモロジー類であり、各 x は(例えば重心細分によって)像が完全にそれぞれ A および B に含まれる二つの n-鎖 u および v の和として書くことができて、∂x = ∂(u + v) = 0, 即ち ∂u = −∂v が成り立つ。このことは、各鎖の境界である (n − 1)-輪体の像が共に、交わり A ∩ B に含まれることを意味する。従って ∂*([x]) Hn−1(A ∩ B) に属する ∂u のホモロジー類である。x とは別の代表元 x′ をとった場合でも(∂x′ = ∂x = 0 だから)∂u は変わらないし、別の分解 x = u′ + v′ をとった場合でも(∂u + ∂v − ∂u′ − ∂v′ = 0 から)∂u = ∂u′ および ∂v = ∂v′ が言える。ただし、マイヤー・ビートリス完全系列における境界写像が A と B の順番には依存することには注意が必要である。特に、A と B の順番を入れ替えると境界写像の符号が反転する。