第二量子化
相互作用のないN 個の同種粒子系を考え、それぞれの粒子に k = 1 , 2 , ... , N {\displaystyle k=1,2,\dots ,N} というように番号k を付ける。k 番目の粒子の1粒子エネルギー固有状態を α , β , ⋯ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\cdots } というようにラベル付けし、その集まりを { ψ k α , ψ k β , ... } {\displaystyle \{\psi _{k_{\alpha }},\psi _{k_{\beta }},\dots \}} と表す。N 個すべての粒子について書き下すと、
{ ψ 1 α , ψ 1 β , ... } {\displaystyle \{\psi _{1_{\alpha }},\psi _{1_{\beta }},\dots \}}
{ ψ 2 α , ψ 2 β , ... } {\displaystyle \{\psi _{2_{\alpha }},\psi _{2_{\beta }},\dots \}}
⋮ {\displaystyle \quad \vdots }
{ ψ N α , ψ N β , ... } {\displaystyle \{\psi _{N_{\alpha }},\psi _{N_{\beta }},\dots \}}
第一量子化では、どの番号の粒子がどの1粒子エネルギー固有状態にあるかを考える。しかしそれでは、本来区別できない粒子がk という粒子の番号で区別されている。
[ φ ^ ( r ) , π ^ ( r ′ ) ] = i ħ δ ( 3 ) ( r − r ′ ) , [ π ^ ( r ) , π ^ ( r ′ ) ] = [ φ ^ ( r ) , φ ^ ( r ′ ) ] = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}{\hat {\phi }}({\boldsymbol {r}}),{\hat {\pi }}({\boldsymbol {r'}}){\big ]}&=i\hbar \delta ^{(3)}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}),\\{\big [}{\hat {\pi }}({\boldsymbol {r}}),{\hat {\pi }}({\boldsymbol {r'}}){\big ]}&={\big [}{\hat {\phi }}({\boldsymbol {r}}),{\hat {\phi }}({\boldsymbol {r'}}){\big ]}=0\end{aligned}}}
ここで δ {\displaystyle \delta } はデルタ関数である。なお、基本変数の場がオブザーバブルでない場合は、場についての交換関係は、必ずしもこのような交換関係でなくてもよくなる。実際、粒子はボース粒子とフェルミ粒子に大別されるが、フェルミ粒子の場合は、この交換関係を全て反交換関係に置き換えて正準量子化する。
時間発展については、ハイゼンベルク描像を採用して場の演算子が引き受けることで、ローレンツ共変性などが自然な形で現れる。