付値環
付値環のいくつかの同値な定義が存在する(dominance の言葉での特徴づけは下記参照)。環 D とその分数体 K について、以下は同値である。
K のすべての 0 でない元 x に対して、x ∈ D あるいは x ∈ D。
D のイデアルは包含関係で全順序が入る。
D の単項イデアルは包含関係で全順序が入る(すなわち D の元は整除可能性(英語版)によって全順序が入る)。
(値群(value group)と呼ばれる)全順序アーベル群 Γ と(付値(valuation)と呼ばれる)全射群準同型 ν:K → Γ with D = { x in K : ν(x) ≥ 0 } ∪ {0} が存在する。
はじめの3つの定義の同値性は容易にわかる。(Krull 1939) の定理によるとはじめの3つの条件を満たす任意の環は4つ目も満たす。Γ を K の単数群の D の単数群による商 K/D とし、ν を自然な射影とする。D の元の剰余類を "正"(positive)とすることによって Γ を全順序群にすることができる。