準フロベニウス環
右 R 加群として s o c ( R R ) ≅ R / J {\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J} でありかつ左 R 加群として s o c ( R R ) ≅ R / J {\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}
可換環 R に対して、以下は同値である:
R はフロベニウス
R は準フロベニウス
R は唯一の極小イデアルを持つ局所アルティン環の有限個の直和である。(そのような環は「0次元ゴレンスタイン局所環」の例である。)
環 R が右擬フロベニウス (right pseudo-Frobenius) とは、以下の同値な条件の1つを満たすことである:
すべての忠実右 R 加群は右 R 加群の圏の生成素(英語版)である。
R は右自己移入的かつ Mod-R の余生成加群(英語版)である。
R は右自己移入的かつ右 R 加群として有限余生成である。
R は右自己移入的かつ右 カシュ環である。
R は右自己移入的、半局所、かつ半単純成分 soc(RR) は R の本質部分加群である。
R は Mod-R の余生成加群かつ左 カシュ環である。
環 R が右有限擬フロベニウス (right finitely pseudo-Frobenius) とは、すべての有限生成忠実右 R 加群が Mod-R の生成加群であることをいう。