単射
正の実数 x に対して、その自乗 x を対応させる写像 f: R+ → R は単射である。ただし、正の実数全体のなす集合を R+ と表した。実際、x, y > 0 で x = y ならば、x = y となる。
ところがひとたびこれの定義域を実数の全体 R に拡張すると、これは単射でなくなる。実際、x, y ∈ R で x = y ならば、y = ±x となるから、像 x はちょうど二つの元 ±x の像となっている(ただし 0 は 0 だけの像である)。
集合 A とその部分集合 B が与えられるとき、B の元 b (これはもちろん A の元でもあるので)を A の元としての b 自身に対応させることで、B を A に包含させる写像、包含写像(ほうがんしゃぞう、inclusion)
B ↪ A ; b ↦ b {\displaystyle B\hookrightarrow A;\ b\mapsto b}
が定まる。これは単射を与え、標準単射あるいは自然な単射 (canonical injection) とも呼ばれる。
集合 X からその冪集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} への写像を x ↦ { x } {\displaystyle x\mapsto \{x\}} と定義すると,この写像は単射となる.この写像は任意の集合の濃度はその冪集合の濃度を超えないことを証明するときに現れる.