コーシー・リーマンの方程式
まず、コーシー・リーマンの方程式は複素形式に書くことができる。
(2) i ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y {\displaystyle {i{\dfrac {\partial f}{\partial x}}}={\dfrac {\partial f}{\partial y}}}
この形式において、コーシー・リーマンの方程式は構造的にヤコビ行列が次の形式のものになる条件に等しい。
( a − b b a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}
ただし、 a = ∂ u / ∂ x = ∂ v / ∂ y {\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y} および b = ∂ v / ∂ x = − ∂ u / ∂ y {\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y} 。
ここで、 z = z0 においてコーシー・リーマン方程式を考える。 f がΩからのCの2実変数の関数であり z0 で微分可能であると仮定する。これは次の線型近似が存在することを仮定することに等しい。
f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) = f x Δ x + f y Δ y + η ( Δ z ) Δ z {\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,}
ただし、 z = x + iy で、 Δz → 0 なので η(Δz) → 0。 Δ z + Δ z ̄ = 2 Δ x {\displaystyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x} および Δ z − Δ z ̄ = 2 i Δ y {\displaystyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y} であるから、以上の式は以下のように書き直すことができる。
Δ f ( z 0 ) = f x − i f y 2 Δ z + f x + i f y 2 Δ z ̄ + η ( Δ z ) Δ z {\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,}
2つのウィルティンガーの微分を以下のように定義する。
数学の複素解析の分野において、コーシー・リーマンの方程式(英: Cauchy–Riemann equations)は、2つの偏微分方程式からなる方程式系であり、連続性と微分可能性と合わせて、複素関数が複素微分可能すなわち正則であるための必要十分条件をなす。コーシー・リーマンの関係式とも呼ばれる。オーギュスタン=ルイ・コーシーおよびベルンハルト・リーマンの両者にちなんで名付けられた。この方程式系に最初に言及したのはジャン・ル・ロン・ダランベールの著作である。後に、レオンハルト・オイラーはこの方程式系を解析関数と結びつけた。コーシーはさらにコーシー・リーマンの方程式を彼の関数論を構築するために用いた。関数論に関するリーマンの論文は1851年に発表された。
実2変数の実数値関数の対 u(x, y), v(x, y) に関するコーシー・リーマンの方程式は次の2つの方程式である。
( 1a ) ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ( 1b ) ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}({\text{1a}})\qquad &{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\[6pt]({\text{1b}})\qquad &{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{aligned}}}