反復関数系
合成を伴う関数群 f i {\displaystyle f_{i}} の集合はモノイドを形成する。関数が2つだけの場合、モノイドは二項モノイドとなる。その合成は無限二分木として視覚化され、あるノードでは左右の子ノードのいずれかの関数で合成される。一般化すると、p 個の関数があるとき、P進数木での合成として視覚化できる。
関数合成がこのようになされるため、モノイドの各元はP進数について同型的と見ることができる。すなわち、P進数の各桁がどの関数で合成するかを示しているのである。
二項モノイドの自己同型は合同群(modular group)である。これにより、カントール集合などの多くのフラクタルの自己相似性が説明されると見ることもできる。