超楕円曲線
スーパー楕円曲線(英語版)(Superelliptic curve) スーパー楕円曲線とは、固定された m に対し、f が次数 d の多項式のとき、
y m = f ( x ) {\displaystyle y^{m}=f(x)}
の形の方程式で定義される曲線を言う。m = 2 で d > 4 のときは、超楕円曲線である。m = 3 で d = 4 のときは三次曲線である。スーパー楕円曲線の上の整数点を探すディオファントス問題は、超楕円方程式の解を求めるときに使う方法と同じ方法によりとくことができる。ジーゲル(Siegel)の恒等式を使い、ツエ(Thue)の方程式を求めることができる。
w 2 = v 2 g + 2 f ( 1 / v ) {\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v)}
により与えられる。
2つのチャートを貼り合わせる写像は、
( x , y ) ↦ ( 1 / x , y / x g + 1 ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})}
と、
( v , w ) ↦ ( 1 / v , w / v g + 1 ) {\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1})}
により、これらが定義されるところはどこでも定義される。
実際、幾何学的に端的に言うと、曲線 C は射影平面の分岐する二重被覆として定義されていることを前提としており、分岐は f の根で発生し、無限遠点では奇数の n に対しても発生する。このように、射影直線の自己同型を使い、分岐を無限遠点から移動することにより、n が 2g + 1 と 2g + 2 の場合は統一することができる。