フィールツ・パウリ理論
質量を持つFierz-Pauli場 m g ≠ 0 {\displaystyle m_{g}\neq 0} について、その運動方程式の勾配およびトレースからFierz-Pauli場 h μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }} はtransverse-traceless条件を満足することが導かれる。
∂ μ h μ ν = 0 , h = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }=0,\ \ h=0}
それ故に、結局 h μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }} はクライン–ゴルドン方程式と同じ形の方程式
( ◻ − m g 2 ) h μ ν = 0 {\displaystyle (\Box -m_{g}^{2})h_{\mu \nu }=0}
を満足することになる。対応して、2階対称テンソル h μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }} には10個の独立な成分が存在するが、Fierz-Pauli場にはtransverse条件 ∂ μ h μ ν = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }=0} が4つの、traceless条件 h = 0 {\displaystyle h=0} が1つの条件を課すため、Fierz-Pauli場はスピン-2つまり5自由度の場となる。
一方、線型化されたアインシュタイン方程式に対応する m g = 0 {\displaystyle m_{g}=0} (massless極限) の場合、運動方程式からはtransverse-traceless条件が導かれないものの、上述のゲージ対称性が回復し、Fierz-Pauli場の物理的な自由度は重力波に対応する2へと削減される。