ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム
φ + θ = π 2 {\displaystyle \varphi +\theta ={\frac {\pi }{2}}} なる φ , θ {\displaystyle \varphi ,\theta } について、ルジャンドルは次の恒等式を得た。
K ( sin  φ ) E ( sin  θ ) + K ( sin  θ ) E ( sin  φ ) − K ( sin  φ ) K ( sin  θ ) = π 2 . {\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={\frac {\pi }{2}}.}
この式は、任意の φ {\displaystyle \varphi } について、以下のようにも書き表すことができる。
K ( sin  φ ) { E ( cos  φ ) − K ( cos  φ ) } + K ( cos  φ ) E ( sin  φ ) = π 2 . {\displaystyle K(\sin \varphi )\left\{E(\cos \varphi )-K(\cos \varphi )\right\}+K(\cos \varphi )E(\sin \varphi )={\frac {\pi }{2}}.}