フェルマーの最終定理
これはノイマン・ベルナイス・ゲーデル流の集合論(NBG集合論)という、通常の集合に加えて類 (class) を考え、ただし集合に対する言明の真偽(証明可能性)は ZFC集合論と同じになる(ZFC の保存的拡大という)ようにした枠組みで定義される。NBG集合論は本質的には ZFC集合論と同じもので、ZFC集合論に到達不能基数の存在公理を付け加えてグロタンディーク宇宙の構成を可能にしたもので置き換えられると考えられている。このことから最終定理の証明のために本当はどれだけの公理が必要なのかについては疑問が呈されてもいて、ZFC よりは弱い体系でも十分なのではないかと言われている。
最終的な証明で重要な役割を果たした谷山–志村予想に関して、ワイルズとテイラーが証明したのは「半安定」と呼ばれる特殊な場合であり、一般的な場合に関しては証明を与えることはできなかったが、フェルマーの最終定理(の反例)からくるであろう反例の可能性を排除するにはこれで十分だった。ちなみに、後に谷山–志村予想に完全な証明を与えたのはワイルズの弟子であるブライアン・コンラッドとフレッド・ダイアモンドであり、今では数論の1つの到達点とされて「モジュラー性定理」とよばれることもある。
1988年に当時西ドイツのマックス・プランク数学研究所にいた、宮岡洋一が証明できそうだというニュースが報道された。
ゲルト・ファルティングスによるモーデル予想の解決(1983年)により、3以上のnに対するフェルマー方程式 x + y = z が整数解をもつならば(つまりフェルマー予想が誤りならば)その解の個数は本質的に(自明な場合を除いて)有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞り込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい(各nに対して非自明な解は高々有限個である)」ことが判明したと言うことはできた。