ヒレ–吉田の定理
A をバナッハ空間 X の線形部分空間 D(A) 上で定義される線形作用素とし、ω を実数とし、M > 0 とする。このとき、A が、 ‖ T ( t ) ‖ ≤ M e ω t {\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}} を満たすような強連続半群 T を生成するための必要十分条件は
D(A) が X において稠密であること、および
λ > ω を満たすようなすべての実数 λ が A のレゾルベント集合に含まれ、そのような λ とすべての正の整数 n に対し
‖ ( λ I − A ) − n ‖ ≤ M ( λ − ω ) n {\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}}
が成立すること、である。
X をバナッハ空間としたとき、X 上の作用素からなる1パラメータ半群とは、非負の実数によって特徴づけられる作用素の族 {T(t)} t ∈ [0, ∞) で
T ( 0 ) = I , {\displaystyle T(0)=I,}
T ( s + t ) = T ( s ) ∘ T ( t ) ∀ t , s ≥ 0 {\displaystyle T(s+t)=T(s)\circ T(t)\quad \forall \ t,s\geq 0}
を満たすようなもののことを言う。この半群が強連続、あるいはC0半群であるための必要十分条件は、写像
t ↦ T ( t ) x {\displaystyle t\mapsto T(t)x}
がすべての x ∈ X に対して連続であることである。ここで [0, ∞) は通常位相を持ち、X はノルム位相を持つ。
1パラメータ半群 T の無限小生成素とは、X 上の(possibly proper な)部分空間上で定義される、次のような作用素 A のことである。
A の定義域は、