ラマヌジャンの和公式
ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。 n {\displaystyle n} が負の整数であれば
1 ( q ; q ) n = 1 ∏ k = n − 1 1 ( 1 − q 1 + k ) = ∏ k = n − 1 ( 1 − q 1 + k ) = 0 ( − n ∈ N ) {\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-q^{1+k})}}}}=\prod _{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad (-n\in \mathbb {N} )}
であるから、q二項定理は
( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n {\displaystyle {\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}
と書ける。 k {\displaystyle k} を任意の正の整数として
ラマヌジャンの和公式(ラマヌジャンのわこうしき、Ramanujan's summation formula)は、q超幾何級数 1 ψ 1 {\displaystyle {_{1}\psi _{1}}} の和を与える公式である。
1 ψ 1 [ a b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( b a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ( b a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ ( | q | < 1 , | b / a | < | z | < 1 ) {\displaystyle {_{1}\psi _{1}}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}