逆ガンマ分布
逆ガンマ分布(ぎゃくガンマぶんぷ、英語: inverse gamma distribution)は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数(英語版) α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 、尺度母数(英語版) β > 0 {\displaystyle \beta >0} で、台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} の上で
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}
と定義される。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数である。尺度母数について
f ( x ; α , β ) = 1 β f ( x / β ; α , 1 ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)}
である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}
ここで分子の Γ {\displaystyle \Gamma } は不完全ガンマ関数である。