三角関数の公式の一覧
パフヌティ・チェビシェフは、n 倍角の正弦関数と余弦関数の値を、(n − 1) 倍角と (n − 2) 倍角の値を用いて表す方法を発見している。
cos(nx) は、以下のように表される。
cos  ( n x ) = 2 ⋅ cos  x ⋅ cos  ( ( n − 1 ) x ) − cos  ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)\,}
同様に sin(nx) は以下のように表される。
sin  ( n x ) = 2 ⋅ cos  x ⋅ sin  ( ( n − 1 ) x ) − sin  ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)\,}
tan(nx) は以下のようになる。
tan  ( n x ) = H + K tan  x K − H tan  x {\displaystyle \tan(nx)={\frac {H+K\tan x}{K-H\tan x}}\,}
ここで、H/K = tan((n − 1)x) である。
ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。
sin 2  18 ∘ + sin 2  30 ∘ = sin 2  36 ∘ . {\displaystyle \sin ^{2}{18^{\circ }}+\sin ^{2}{30^{\circ }}=\sin ^{2}{36^{\circ }}.\,}
ピタゴラスの定理やオイラーの公式などから以下の基本的な関係が導ける。
cos 2  θ + sin 2  θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!}
ここで sin θ は (sin(θ)) を意味する。
この式を変形して、以下の式が導かれる:
sin  θ = ± 1 − cos 2  θ {\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
cos  θ = ± 1 − sin 2  θ {\displaystyle \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
cos  ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ even k ≥ 0 ( − 1 ) k / 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , ... } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin  θ i ∏ i ∉ A cos  θ i ) {\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
いずれの場合にも、「有限個の角の正弦関数と残りの角の余弦関数の積」の和となる。無限の和に見えるが、j 以上のすべての i で θi=0 が成り立つ場合、j 以上の k は計算する必要がなく有限項の計算となる。
シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。
複素数 a1, ..., an は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。
A n , k = ∏ 1 ≤ j ≤ n j ≠ k cot  ( a k − a j ) {\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}
と置く(A1,1 のときこの値は1とする)と、以下の式が成り立つ。
cot  ( z − a 1 ) ⋯ cot  ( z − a n ) = cos  n π 2 + ∑ k = 1 n A n , k cot  ( z − a k ) . {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}
自明でない単純な例として、n = 2 のときの例をあげる。
cot  ( z − a 1 ) cot  ( z − a 2 ) = − 1 + cot  ( a 1 − a 2 ) cot  ( z − a 1 ) + cot  ( a 2 − a 1 ) cot  ( z − a 2 ) {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})}
tan  ( 2 n + 1 ) θ = ∑ k = 0 n ( ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k + 1 ) tan 2 k + 1  θ ) ∑ k = 0 n ( ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k ) tan 2 k  θ ) = tan  θ ⋅ ∑ k = 0 n ( ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k + 1 ) x k ) ∑ k = 0 n ( ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k ) x k ) {\displaystyle \tan(2n+1)\theta ={\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}\tan ^{2k+1}\theta }{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}\tan ^{2k}\theta }{\biggr )}}}=\tan \theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}}{\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}}}
となる。ここで
tan  ( 2 n + 1 ) θ = 0 {\displaystyle \tan(2n+1)\theta =0}
が成り立つのは、
θ = 0 , ± π 2 n + 1 , ± 2 π 2 n + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ± n π 2 n + 1 {\displaystyle \theta =0,\pm {\frac {\pi }{2n+1}},\pm {\frac {2\pi }{2n+1}},\cdot \cdot \cdot ,\pm {\frac {n\pi }{2n+1}}}
の場合なので、
cos  24 ∘ + cos  48 ∘ + cos  96 ∘ + cos  168 ∘ = 1 2 . {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
上の式を一般化する場合分母に21が出てくるため、単位として度よりもラジアンを使用した方がよい。
cos  ( 2 π 21 ) + cos  ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos  ( 4 ⋅ 2 π 21 ) + cos  ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos  ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos  ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
α, β の算術平均の正接について以下が成り立つ。
tan  ( α + β 2 ) = sin  α + sin  β cos  α + cos  β = − cos  α − cos  β sin  α − sin  β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}
α, β のいずれかが 0 である場合、これは正接関数の半角公式に一致する。