ガロア拡大での素イデアルの分解
全ての素数 p ≡ 3 mod 4 の場合には Z[i] で惰性が残る。すなわち、分解しない。例えば、(7) は Z[i] で素である。この状況の下では、分解群は G の全体であり、この理由は、またしても唯一の素因子が存在してるからである。しかしながら、この状況は p = 2 の場合とは異なっている。今度は σ が剰余体
O L / ( 7 ) O L {\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}}
上で自明には作用しないからである。これは 7 = 49 この元を持つ有限体である。例えば、1 + i と σ(1 + i) = 1 − i is 2i の間の差異は確かに 7 で割ることができない。従って、惰性群は自明な群 {1} である。Z/7Z の上のこの剰余体のガロア群は、位数が 2 であり、フロベニウス元の像により生成される。フロベニウスはまさに σ そのものであり、このことは、全ての整数 a と b に対し、
( a + b i ) 7 ≡ a − b i mod 7 {\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}
である。