ケーニヒの定理 (集合論)
集合論において、ケーニヒの定理(ケーニヒのていり) とは選択公理の下で成り立つ命題で、 I が集合で、全ての I の要素 i について mi と ni は それぞれ基数であり、 m i < n i {\displaystyle m_{i}<n_{i}\!} であるなら
∑ i ∈ I m i < ∏ i ∈ I n i . {\displaystyle \sum _{i\in I}m_{i}<\prod _{i\in I}n_{i}.}
となる。というものである。
ここでの 和 は集合mi達の直和の濃度で、 積 は直積の濃度である。 しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、 その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。
ケーニヒの定理は基数の共終数に関する重要な帰結も持つ。
κ ≥ א 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} ならば κ < κ c f ( κ ) . {\displaystyle \kappa <\kappa ^{cf(\kappa )}.\!}
κに到達する基数の狭義増加なcf(κ)-列をとる この列の要素はどれもκ未満であり、 それらの和はκで、積はκのcf(κ)個のコピーの直積である。
イーストンの定理によると、次の帰結は正則基数のcontinuum functionに対する唯一の非自明な制限である。
κ ≥ א 0 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}} かつ λ ≥ 2 {\displaystyle \lambda \geq 2} ならば κ < c f ( λ κ ) .
ZFC公理系を仮定して証明する。 ∀ i ∈ I A i < B i {\displaystyle \forall i\in I\quad A_{i}<B_{i}} が与えられたとして ∑ i ∈ I A i < ∏ i ∈ I B i {\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i}} を示す。
最初に、和から積への単射があることを証明する。選択公理により、 全ての i について Ai から Bi への 単射 fi を選ぶ。 ここで、 fi は全射にはならない。 なので、各 i に対して fi の値域の外にある Bi の要素が存在する。 それらを xi として、選択公理を再度用いて取り出す。和の上の関数 g を j = i で a が Ai の要素なら g ( i,a ) ( j ) = fi ( a ) かつ j ≠ i で a が Ai の要素なら g ( i,a ) ( j ) = xj とすることによって定義する。