リンドラー座標
t − t 0 = arctanh  ( 1 E [ s ( P 2 + Q 2 ) − E 2 − ( P 2 + Q 2 ) x 0 2 ] ) + arctanh  ( 1 E E 2 − ( P 2 + Q 2 ) x 0 2 ) x = x 0 2 + 2 s E 2 − ( P 2 + Q 2 ) x 0 2 − s 2 ( P 2 + Q 2 ) y − y 0 = P s ; z − z 0 = Q s {\displaystyle {\begin{aligned}t-t_{0}&=\operatorname {arctanh} \left({\frac {1}{E}}\left[s\left(P^{2}+Q^{2}\right)-{\sqrt {E^{2}-\left(P^{2}+Q^{2}\right)x_{0}^{2}}}\right]\right)+\\&\quad \quad \operatorname {arctanh} \left({\frac {1}{E}}{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}\right)\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}+2s{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}-s^{2}(P^{2}+Q^{2})}}\\y-y_{0}&=Ps;\;\;z-z_{0}=Qs\end{aligned}}}
いくつか選んだある世界点を通るヌル測地線の「軌跡」をプロットすると(つまり、 t = 0 の超断面に投影すると)、リンドラー地平面に直交する半円と見紛うような曲線群が得られる(図を参照)。
ここで、 ε ∈ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \scriptstyle \epsilon \;\in \;\left\{-1,\,0,\,1\right\}} はそれぞれ時間的、光的、空間的測地線に対応する。これにより四つめの一次積分が以下のように得られる。
x ̇ 2 = ( ε + E 2 x 2 ) − P 2 − Q 2 {\displaystyle {\dot {x}}^{2}=\left(\epsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{2}} .
これで測地方程式の完全な解が得られた。
ヌル測地線(英語版)の場合、 E 2 x 2 − P 2 − Q 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {E^{2}}{x^{2}}}\,-\,P^{2}\,-\,Q^{2}} から E が非零のとき、 x 座標は区間 0 < x < E P 2 + Q 2 {\displaystyle \scriptstyle 0\,<\,x\,<\,{\frac {E}{\sqrt {P^{2}\,+\,Q^{2}}}}} を覆うことがわかる。
リンドラーのくさび上の任意の世界点を通るヌル測地線を得るのに完全な七つのパラメータは以下のようになる。
t = c g arctanh  ( c T X ) ≈ X ≫ c T c 2 T g X X ≈ c 2 T g t ≈ T ≈ t c 2 g {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {c}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{gX}}\\X&\approx {\frac {c^{2}T}{gt}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{g}}\end{aligned}}}
この項のこれより下では、 g=1 および c=1 と置くこととし、 X および x の単位は c^2/g = 1 となるように置くこととする。g=1 光秒/(秒) と置くのと g=1 光年/(年) とするのとでは全く異ることに注意されたい。c=1 とすることを決めても、固有加速度 g の大きさを表わす単位には選択の余地がある。例えば、長さ (X および x) の単位として光年を使うものとすれば、時間 (T および t) の単位は年となり、g = 1 光年/(年) となり、これは約9.5 メートル/(秒) に等しいが、長さ (X および x) の単位として光秒を使うものとすれば、時間 (T および t) の単位は秒となり g = 1 光秒/(秒)、すなわち 299792458 メートル/(秒) に等しくなる。