ピカール＝リンデレーフの定理
解の一意性を理解するために、次のような例を考えてみよう。微分方程式は停留点(英語版)を持つことができる。例えば、方程式 dy/dt = ay ( a < 0 {\displaystyle a<0} ) の定常解は y(t) = 0 であり、これは初期条件 y(0) = 0 で得られる。別の初期条件 y(0) = y0 ≠ 0 から始まる解 y(t) は停留点に向かっていくが、到達には無限時間を要するので、(全ての有限時間に対する)解の一意性が保証されている。
しかし、有限時間内で定常解に到達するような方程式では、一意性は成立しない。例えば、dy/dt = ay という方程式の場合、初期条件 y(0) = 0 に対応する解が y(t) = 0 または
y ( t ) = { ( a t 3 ) 3 t < 0 0 t ≥ 0 {\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0\end{cases}}}
のように少なくとも2つ存在するため、系の前の状態は t = 0 の後の状態によって一意に決まらない。関数 f (y) = y は y = 0 で無限の傾きを持つため、リプシッツ連続ではなく、定理の仮説に反しており、一意性定理は適用されない。
解として y ( t ) = tan  ( t ) {\displaystyle y(t)=\tan(t)} を持つ初期値問題
y ′ ( t ) = 1 + y ( t ) 2 , y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2},\qquad y(0)=0}
に関して実際にピカール反復を計算してみる。 φ n ( t ) → y ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)} となるように φ 0 ( t ) = 0 {\displaystyle \varphi _{0}(t)=0} から始めて、
φ k + 1 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + ( φ k ( s ) ) 2 ) d s {\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}
と反復すると、次のようになる。