双曲線関数
sech  x = 1 cosh  x , cosech  x = 1 sinh  x {\displaystyle \operatorname {sech} x={1 \over \cosh x},\;\operatorname {cosech} x={1 \over \sinh x}}
も定義できる。また、例えば cosh を cos hyp や c o s {\displaystyle {\mathfrak {cos}}} などと表すこともあり cosech は長いので csch と書くこともある。
このように定義された、双曲線正弦関数、双曲線余弦関数、双曲線正接関数、双曲線余接関数、双曲線正割関数、双曲線余割関数を総称して双曲線関数という。
指数関数 e は x を複素変数に拡張できるので、指数関数で定義されている双曲線関数自体も x を複素変数にとってもよい。
双曲線関数はいずれも名称が長いため、読むときは省略されて、sinh はシャインあるいはシンチ、cosh はコッシュあるいはコシャイン、tanh はタンチとも読まれる。
記号としての sinh, cosh , tanh はヨハン・ハインリヒ・ランベルトが導入した。
x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
である。単位円の面積で三角関数を定義したのと同じように双曲線を用いて双曲線関数を定義することができる。
標準形の双曲線上の点 A と x軸上の点 B(1, 0) を取り、線分 AO, BO と双曲線の囲む領域の面積が θ/2 であるとき、A の座標を (cosh θ, sinh θ) として、双曲線関数 cosh, sinh が定義される。
ちなみに、三角関数の定義に現れた θ は、弧度法における角度に対応していたが、双曲線関数では角度には対応しない。
このように三角関数と双曲線関数は非常に似通った関数として定義され、いろいろな場面でその類似性が現れる。定義に双曲線を用いる関数を双曲線関数と呼ぶことに合わせて、定義に単位円を用いる三角関数を円関数 (circular function) と呼ぶこともある。