ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
が存在する。
速度 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)} と圧力 p ( x , t ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)} は未知数である。3次元では、3つの方程式と 4つの未知数(3つのスカラー速度と圧力)があるので、補助的な方程式が必要である。この余剰な方程式は、次の流体の非圧縮性を記述する連続の方程式
∇ ⋅ v = 0. {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}
である。この性質のおかげで、ナビエ-ストークス方程式の解は、「発散のない」函数の集合の中に探し求めることができる。この等質な媒体の流れについて、密度と粘性は定数である。
圧力 p は、ナビエ-ストークス方程式の両辺の rot 作用ととる(代わりに curl という記号もある)ことにより省略できる。この場合には、ナビエ-ストークス方程式は渦方程式(英語版)(vorticity-transport equation)へ還元できる。2次元(2D)の場合、これらの方程式は良く知られている [6, p. 321]。(渦度・流れ関数法も参照)
ここでは、問題の函数を周期 1 の空間変数の周期性を持っているとする。さらに詳しくは、次のように e i {\displaystyle e_{i}} を i-方向の単位ベクトルとする。
e 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , e 3 = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1).}
v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} は、全ての i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} に対して、次が成立する場合、周期的である。
全ての ( x , t ) ∈ R 3 × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )} に対し、 v ( x + e i , t ) = v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t)} となる。