完全系
ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のどんなベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } も、同じ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のベクトル達 { | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , ... } {\displaystyle \{|1\rangle ,|2\rangle ,\dots \}} の線形結合で表せる場合、 { | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , ⋯ } {\displaystyle \{|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots \}} は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の完全系を成す、と言う。このとき、任意のベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は以下のように表される。
| ψ ⟩ = c 1 | 1 ⟩ + c 2 | 2 ⟩ + ⋯ = ∑ n c n | n ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle +\cdots =\sum _{n}c_{n}|n\rangle }