局所密度近似
上式において、ρは電子密度、εxcは電荷密度ρを持つ均一電子ガスの粒子毎の交換相関エネルギーである。この仮定では空間の各点で(つまり局所的に)電子の交換・相関エネルギー密度 ε x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} が決まっており、 ε x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} はその場所の電子密度 n ( r ) {\displaystyle n({\boldsymbol {r}})} だけの関数になっている。この交換相関エネルギーは交換項と相関項に線形に分解される。
E x c = E x + E c {\displaystyle E_{\mathrm {xc} }=E_{\mathrm {x} }+E_{\mathrm {c} }}
こうすることで、ExとEcについて別々の式を探すことができる。交換項はHEGに対して単純な解析形を取る。相関密度については限定的な式しか厳密に知られておらず、εcに対する膨大な数の異なる近似が生み出された。
LDAを越える試みとは、局所密度近似 (LDA) の問題点を解消する新たな手法を見出す試みの総称である。
局所密度近似は大変成功した近似であるが、実際の系に対する様々な計算の結果、その限界もまた露わになってきた。代表的な問題点とその克服に向けたアプローチについて記述する。
ホーヘンベルグ・コーンの定理によれば、この E x c {\displaystyle E_{\rm {xc}}} は取り扱う系に依存しない普遍的な関数である。よって、もし局所密度近似が妥当であれば、 ε x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} は(計算しやすい)一様電子系について求めた値でも、実際に計算したい系の値でも同じはずである。このようにして、一様電子系についてもとめた ε x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} を用いることが正当化され、実際の計算に用いることができる。
実際に用いられる ε x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} の関数形は、厳密に求められる低密度、高密度の極限からの外挿によるものや、モンテカルロ法を使ったものなどがある。
局所密度近似は、一般化勾配近似(GGA)や混成汎関数といった交換相関エネルギーに対するより洗練された近似の構築において重要である。これは、いかなる近似交換相関汎関数も均一電子ガスの厳密な結果を再現することが望まれるためである。こういったものとして、LDAはこういった汎関数の陽な混成要素としてしばしば取り入れられている。