双代数
したがって ∇ 2 ( ( x 1 ⊗ x 2 ) ⊗ ( y 1 ⊗ y 2 ) ) = ∇ ( x 1 ⊗ y 1 ) ⊗ ∇ ( x 2 ⊗ y 2 ) {\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})} あるいは ∇ を省いて積を並置で書いて ( x 1 ⊗ x 2 ) ( y 1 ⊗ y 2 ) = x 1 y 1 ⊗ x 2 y 2 {\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}} ;
同様に,(K, Δ0, ε0) は明らかな方法で余代数であり,B ⊗ B は余代数で余単位と余積は
ε 2 := ( ε ⊗ ε ) : ( B ⊗ B ) → K ⊗ K ≡ K {\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}
Δ 2 := ( i d ⊗ τ ⊗ i d ) ∘ ( Δ ⊗ Δ ) : ( B ⊗ B ) → ( B ⊗ B ) ⊗ ( B ⊗ B ) {\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}
である.