単因子
D を単項イデアル整域(たとえば整数環 Z や複素係数の一変数多項式環 C[x] などのユークリッド整域)とする。また Mn×m(D) を D 成分の n×m 行列全体とし、特に m = n のときは、これを Mn(D) と表すことにする。すべての行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn(D) と Q ∈ Mm(D) を使って次の形に変形できる。
P A Q = ( e 1 ⋱ e r 0 ⋱ ) {\displaystyle PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}}
ここで e1, ..., er ≠ 0 かつ e1D ⊇ ... ⊇ erD である。このような e1, ..., er は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列 A の単因子という。右辺の行列は A のスミス標準形 Smith normal form あるいは単因子標準形と呼ばれる。 この行列 P, Q は行列の基本変形をして求めることができる。
F を体とする。
行列 A, B ∈ Mn(F) が相似である必要十分条件は行列 xI − A, xI − B ∈ Mn(F[x]) の単因子が一致することである。
行列 A ∈ Mn(F) の最小多項式は行列 xI − A ∈ Mn(F[x]) の最大次数の単因子(を規格化したもの)と一致する。