位数 (群論)
a の位数が無限であれば、a のすべてのベキも同様に無限の位数をもつ。a の位数が有限であれば、次の公式が a のベキの位数に対して成り立つ:すべての整数 k に対して
ord(a) = ord(a) / gcd(ord(a), k)
とくに、a とその逆元 a は同じ位数をもつ。
任意の群において、
ord  ( a b ) = ord  ( b a ) {\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}
積 ab の位数を a と b の位数に関係付ける一般的な公式は存在しない。実は、a と b の位数が両方有限であるのに ab の位数が無限であったり、a と b の位数が無限であるのに ab の位数が有限であることがある。前者の例は群 Sym  ( Z ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} )} において a(x) = 2-x, b(x) = 1-x で ab(x) = x-1。後者の例は a(x) = x+1, b(x) = x-1 で ab(x) = id。ab = ba であれば、少なくとも ord(ab) は lcm(ord(a), ord(b)) を割り切るということは言える。その結果、有限アーベル群において、m で群の元のすべての位数の最大値を表せば、すべての元の位数は m を割り切ることを証明できる。