外微分
ただし [Vi, Vj] は括弧積(英語版)を表し、ハットはその元を取り除くことを表す:
ω ( V 0 , ... , V i ∧ , ... , V k ) := ω ( V 0 , ... , V i − 1 , V i + 1 , ... , V k ) . {\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\overset {\wedge }{V_{i}}},\ldots ,V_{k}):=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}
特に、1 形式に対して次が成り立つ: dω(X, Y) = Xω(Y) − Yω(X) − ω([X, Y]), ただし X と Y はベクトル場である。
σ = u dx + v dy を R 上の 1-形式とする。各項に上記の公式を適用することによって(x = x および x = y と考える)次が成り立つ。 d σ = ∑ i = 1 2 ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x + ∑ i = 1 2 ∂ v ∂ x i d x i ∧ d y = ∂ u ∂ x d x ∧ d x + ∂ u ∂ y d y ∧ d x + ∂ v ∂ x d x ∧ d y + ∂ v ∂ y d y ∧ d y = 0 − ∂ u ∂ y d x ∧ d y + ∂ v ∂ x d x ∧ d y + 0 = ( ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x ∧ d y .