反対称交換相互作用
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta E&=2\lambda \sum \limits _{m}{\frac {J(nn'mn')}{E_{n}-E_{m}}}\langle n|\mathbf {L_{i}} |m\rangle \cdot [\mathbf {S_{i}} ,(\mathbf {S_{i}} \cdot \mathbf {S_{j}} )]\\&+2\lambda \sum _{m'}{\frac {J(nn'nm')}{E_{n'}-E_{m'}}}\langle n'|\mathbf {L_{j}} |m'\rangle \cdot [\mathbf {S_{j}} ,(\mathbf {S_{i}} \cdot \mathbf {S_{j}} )]\\&=2i\lambda \sum \limits _{m,m'}\left[{\frac {J(nn'mn')}{E_{n}-E_{m}}}\langle n|\mathbf {L_{i}} |m\rangle -{\frac {J(nn'nm')}{E_{n'}-E_{m'}}}\langle n'|\mathbf {L_{j}} |m'\rangle \right]\cdot [\mathbf {S_{i}} \times \mathbf {S_{j}} ]\\&=\mathbf {D} _{ij}\cdot [\mathbf {S} _{i}\times \mathbf {S} _{j}].\end{aligned}}}
実際の結晶では、隣接するイオンの対称性からベクトル D i j {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}} の大きさと方向が決まる。位置 A {\displaystyle A} および B {\displaystyle B} に位置するイオン1および2のカップリングを考えるとき、線分 A B {\displaystyle AB} の中点 C {\displaystyle C} として、次のような規則が得られる。
が反転対称中心の場合、 D = 0 {\displaystyle \mathbf {D} =0}
A B {\displaystyle AB} に垂直な鏡映対称面 σ {\displaystyle \sigma } が C {\displaystyle C} を通るとき、 D ∥ σ {\displaystyle \mathbf {D} \parallel \sigma } または D ⊥ A B {\displaystyle \mathbf {D} \perp AB}
A {\displaystyle A} および B {\displaystyle B} が鏡映対称面 σ {\displaystyle \sigma } 上にあるとき、 D ⊥ σ {\displaystyle \mathbf {D} \perp \sigma }
A B {\displaystyle AB} に垂直な2回回転対称軸 C 2 {\displaystyle C_{2}} が C {\displaystyle C} を通るとき、 D ⊥ C 2 {\displaystyle \mathrm {D} \perp C_{2}}