射影作用素
で表される。これは内積を使えば
P A = ∑ i ⟨ u i , ∙ ⟩ u i {\displaystyle P_{A}=\sum _{i}\langle u_{i},\bullet \rangle u_{i}}
と書くこともできる。行列 A は U の直交成分が消える部分等距変換であり、A は U を考えている全体空間へ埋め込む等長変換になっている。従って PA の値域は A の終空間 (final space) であり、また AA が U 上の恒等変換であることは明らかである。
上記の議論で正規直交条件は落とすこともできる。即ち、u1, ..., uk を(必ずしも正規直交でない)基底とし、それらを列ベクトルに持つ行列を A と書けば、求める射影は
P A = A ( A ⊤ A ) − 1 A ⊤ {\displaystyle P_{A}=A(A^{\top }A)^{-1}A^{\top }}
と書ける。この場合も行列 A は U の全体空間への埋め込みになっているが、しかし一般にはもはや等距変換ではない。ここで行列 (AA) はノルムを回復する「正規化因子」である。実際、階数 1 の作用素 uu は ‖u‖ ≠ 1 のとき射影にならないが、これをuu = ‖u‖ で割って得られる u(uu)u は u で張られる部分空間の上への射影になる。
この射影の値域となるベクトル空間が(基底ではなくて)枠 (frame) で張られているとき(つまり生成元の数が次元の値よりも大きいとき)には、上記の公式は