不足角
不足角におけるデカルトの定理(英: Descartes' theorem on total angular defect)とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°( 4 π {\displaystyle 4\pi } )に等しいという定理である(上表も参照)。
より一般には、多面体のオイラー標数 χ = 2 − 2 g {\displaystyle \chi =2-2g} (ここで g は「穴の数」を表す)を用いて、不足角の総和は 2 π χ {\displaystyle 2\pi \chi } で表される。
これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。