自己同形数
n > 1 を満たす k 桁の自己同形数が与えられたとき, 高々 2k 桁の自己同形数 n' を発見することができる。
n ′ = ( 3 ⋅ n 2 − 2 ⋅ n 3 ) mod 10 2 k . {\displaystyle n'=(3\cdot n^{2}-2\cdot n^{3})\ {\bmod {10^{2k}}}\,.}
この式は以下のように求めることができる。10 より大きい桁の部分を a {\displaystyle a} とする。 a = n ′ − n ≡ 0 mod 10 k {\displaystyle a=n'-n\equiv 0\ {\bmod {10^{k}}}} である。 n ′ 2 ≡ n ′ mod 10 2 k {\displaystyle n'^{2}\equiv n'{\bmod {10^{2k}}}} であるので
( n + a ) 2 = n 2 + 2 n a + a 2 ≡ n + a mod 10 2 k {\displaystyle (n+a)^{2}=n^{2}+2na+a^{2}\equiv n+a\ {\bmod {10^{2k}}}}
a 2 ≡ 0 mod 10 2 k {\displaystyle a^{2}\equiv 0\ {\bmod {10^{2k}}}} より整理すると