ガウスの補題 (数論)
( p q ) = sgn  ∏ i = 1 q − 1 2 ∏ k = 1 p − 1 2 ( k p − i q ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}
を示した。p と q を入れ替えることで直ちに平方剰余の相互法則を得る。
「第二補充法則」のおそらく最も簡単な証明 においても用いられる:
( 2 p ) = ( − 1 ) ( p 2 − 1 ) / 8 = { + 1 if p ≡ ± 1 ( mod 8 ) − 1 if p ≡ ± 3 ( mod 8 ) {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}+1{\text{ if }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1{\text{ if }}p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}}
ガウスの補題は、平方剰余の相互法則の知られている証明のうち、決してすべてではないが、多くで 使われる。
例えば、ゴットホルト・アイゼンシュタイン はガウスの補題を用いて p が奇素数のときに
( a p ) = ∏ n = 1 ( p − 1 ) / 2 sin  ( 2 π a n / p ) sin  ( 2 π n / p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {(2\pi an/p)}}{\sin {(2\pi n/p)}}}}
となることを証明し、この式を用いて平方剰余の相互法則を証明した。円関数ではなく楕円関数を使うことで、彼は三次(英語版)や四次の相互法則(英語版)を証明した。
レオポルト・クロネッカー は補題を用いて