リーマンの写像定理
リーマンの写像定理の一意性と影響力の詳細を以下に列挙する。
たとえ相対的に単純なリーマンの写像でも(例えば、円の内部から正方形の内部への写像)初等関数のみを使い明確な公式として表すことはできない。
平面上の単連結な開集合は非常に難しい。例えば、集合それ自身は有界であったとしても、境界は無限の長さをもついたるところで微分可能でなくフラクタルな曲線が存在する。そのような集合が角度を保持するような方法でうまく正規な円板に写像することができるという事実は、直感に反するように見える。
さらに複雑な領域のリーマンの写像定理の類似は正しくない。次に単純である場合は、二重連結な領域(doubly connected domain)(一つだけ穴を持った領域)である。