絶対値
複素数 z = a + ib に対して、その絶対値は
| z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
で与えられる非負実数値である。b = 0 とすることにより、z が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。
z をガウス平面上の点として解釈すれば、|z| とは原点から z までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。
複素数 z とその複素共軛 z に対して | z | = | z ̄ | {\textstyle |z|=|{\bar {z}}|} が成り立つ。また、 | z | 2 = z z ̄ {\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}} は z が引き起こすガウス平面上の一次変換の母数(モジュラス)である。これを | z | = z z ̄ {\textstyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}} と書けば、これは実数の絶対値を | x | = x 2 {\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}} と定める定義の対応版と見ることができる(実際、実数 x を虚部が 0 の複素数 z ≔ x + 0⋅i と見れば、z = x = z したがって zz = xx = x である)。同様のことはより一般のノルム多元体(あるいはさらに一般の合成代数)において考えることができる。