BCH符号
まず説明を簡単にするため、特殊なBCH符号を例とする。一般のBCH符号は次節で説明する。
有限体 G F ( q ) {\displaystyle GF(q)} ( q {\displaystyle q} は素数冪)を定める。そして、 n = q m − 1 {\displaystyle n=q^{m}-1} および 2 ≤ d ≤ n {\displaystyle 2\leq d\leq n} となるように正の整数 m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} , d {\displaystyle d} を定める。これらから、 G F ( q ) {\displaystyle GF(q)} 上で符号語長 n {\displaystyle n} 、最小ハミング距離 d {\displaystyle d} 以上の多項式符号を構築する。
2元BCH符号では、上述の誤り位置多項式を解くことで誤り位置がわかり、そのビット位置を反転させればよい。
となる。 m 3 ( x ) {\displaystyle m_{3}(x)} を求めるため、(1)を繰り返し適用して以下の線型関係式を得る。
1 = 0 α 3 + 0 α 2 + 0 α + 1 {\displaystyle 1=0\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+0\alpha +1}
α 3 = 1 α 3 + 0 α 2 + 0 α + 0 {\displaystyle \alpha ^{3}=1\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+0\alpha +0}
α 6 = 1 α 3 + 1 α 2 + 0 α + 0 {\displaystyle \alpha ^{6}=1\alpha ^{3}+1\alpha ^{2}+0\alpha +0}
α 9 = 1 α 3 + 0 α 2 + 1 α + 0 {\displaystyle \alpha ^{9}=1\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+1\alpha +0}
α 12 = 1 α 3 + 1 α 2 + 1 α + 1 {\displaystyle \alpha ^{12}=1\alpha ^{3}+1\alpha ^{2}+1\alpha +1}
これらの右辺は線型従属でなければならず、そこから線型従属式 α 12 + α 9 + α 6 + α 3 + 1 = 0 {\displaystyle \alpha ^{12}+\alpha ^{9}+\alpha ^{6}+\alpha ^{3}+1=0} が得られる。