複素数
複素数体 C の代数的な構造は、体および多項式の概念により、自然に構成することができる。
体とは、四則演算ができてよく知られた計算法則を満たすものである(例えば有理数体など)。実数全体の成す集合 R は体である。また、係数体が R の多項式全体の成す集合 R[X] は、通常の加法、乗法に関して環を成す(多項式環と呼ばれる)ことに注意する。
剰余環 R[X]/(X + 1) は、R を含む体であることは示すことができる。この拡大体において、X, −X(の属する剰余類)は −1 の平方根である。この剰余環の任意の元は、多項式の除法の原理より、a + bX(a, b は実数)の形の多項式を代表元に一意に持つ。ゆえに、R[X]/(X + 1) は R 上の2次元ベクトル空間であり、(1, X)(が属する剰余類)はその基底である。
R[X]/(X + 1) の元(剰余類)a + bX(a, b は実数)を、実数の順序対 (a, b) に対応させると、前節で述べた体が得られる。この2つの体は体同型である。
複素数の複素数乗 z は
z ω = exp  ( ω log  z ) {\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z)}
として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。特に ω = 1/n(n は自然数)の形のときは、複素数 z の n乗根 √z を表し、値は一意に定まらない。
対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗に対して成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、
a b c = ( a b ) c {\displaystyle a^{bc}=(a^{b})^{c}}
は a, b, c が複素数である場合には一般には成立しない。この式の両辺を今述べたような多価の値を持つものと見なす場合、左辺の値の全体は右辺の値の全体の成す集合の部分集合になっていることに注意する。
複素数 A と実数 ω により定まる、一変数 t の関数 Ae は時間 t に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示はフェーザ表示と呼ばれ、電気・電子工学における回路解析や、機械工学・ロボット工学における制御理論、土木・建築系における振動解析で用いられている。
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i(複号同順)
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i
a + b i c + d i = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}
n, m は整数とする。
zz = z
(z) = z
(zw) = zw
ケーリー=ディクソン構成は、C(を R-線型環、つまり乗法を持つ R-線型空間と見て)の正則表現と近しい関係にある。すなわち、複素数 w に対して、R-線型写像 fw を
f w : C → C ; z ↦ w z {\displaystyle f_{w}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ;\;z\mapsto wz}
とすると、fw の(順序付き)基底 (1, i) に関する表現行列は、実二次正方行列
( Re  ( w ) − Im  ( w ) Im  ( w ) Re  ( w ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\quad \operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}}}
である(つまり、#行列表現で述べた行列に他ならない)。これは C の標準的な線型表現だが、唯一の表現ではない。実際、
J = ( p q r − p ) , ( p 2 + q r + 1 = 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad (p^{2}+qr+1=0)}