ロビンソン算術
正確にいえばQは量化子を持たない真な論理式、真な有界論理式、真なΣ1論理式は証明できるが、真なΠ1論理式は必ずしも証明できない。例えば 5 + 7 = 7 + 5 はQで証明可能だが、一般的な言明 x + y = y + x は証明できない。同様に Sx ≠ x は証明できない(Burgess (2005))。
Qは公理系ZFCのある部分理論で解釈できる。詳しくいえば外延性の公理、空集合の公理、対の公理を持てばよい。この公理はS'(Tarski et al. (1953))やST(Burgess (2005))などという。詳しくは一般集合論を見よ。
Qの状況は非常に複雑である。QはPAよりも弱い有限公理化可能な一階の理論と考えられ、それらの公理は存在量化をただひとつ持ち、PAが不完全であるのと同様にゲーデルの不完全性定理の意味で不完全であり、本質的に決定不能である。ロビンソンは(Robinson (1950))において、任意の計算可能関数が表現可能ならしめるPAの公理が何であるかを考えることにより、Qの公理(Q1)–(Q7)を導き出した。PAの帰納法の公理図式は上記(Q3)の証明にのみ必要であり、表現可能性の証明の他の部分には全く必要がない。それゆえ任意の計算可能関数はQにおいて表現可能である(Mendelson (1997): Th 3.