ソボレフ空間
{X, Y} および {A, B} を補間対とし、T を X + Y 上で定義される A + B への線型写像で X を A に連続的に写し Y を B に連続的に写すものとすると、T は [X, Y]t を [A, B]t に連続的に写す。このとき補間不等式 (interpolation inequality) ‖ T ‖ [ X , Y ] t → [ A , B ] t ≤ C ‖ T ‖ X → A 1 − t ‖ T ‖ Y → B t {\displaystyle \|T\|_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C\|T\|_{X\to A}^{1-t}\|T\|_{Y\to B}^{t}} が成立する(リース-ソリンの定理も参照。
ソボレフ空間に戻って、非整数 s に対する W を整数階の空間 W たちを補間することによって定義する。もちろんこれが矛盾の無い結果を与えることは確認しなければならないことだが、実際次が成り立つ。
函数の滑らかさの基準にはいくつかの種類があり、最も基本的な基準はその連続性である。より強い判定基準は可微分性であり(実際、可微分函数は常に連続となる)、さらに導函数の連続性をも込めれば(そのような函数は C-級であるといわれる)より強い滑らかさの概念が与えられる。 可微分函数は多くの分野、特に微分方程式の理論において重要である。しかしながら20世紀に入ると、そのような C-級(あるいは同様な C, ... といった滑らかさのクラスに属する)函数の空間というものは、微分方程式を研究するための空間として本当に適切なものとは言えない事が理解されるようになる。
ソボレフ空間はそのような偏微分方程式の解を求めるための空間の、現代的な代替物である。
‖ f ‖ 2 := ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + | n | 2 ) k | f ^ ( n ) | 2 {\displaystyle \|f\|^{2}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+|n|^{2})^{k}\,|{\hat {f}}(n)|^{2}}
を用いることができる。いずれの表現も、微分が in をフーリエ係数に掛けることに同値である事実とパーセバルの定理から簡単に従う。
さらに空間 H には H = L と同様の内積を入れることができる。実際、H-内積は L-内積を用いて
⟨ u , v ⟩ H k := ∑ i = 0 k ⟨ D i u , D i v ⟩ L 2 {\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}:=\sum _{i=0}^{k}\langle D^{i}u,D^{i}v\rangle _{L^{2}}}
と定義される。空間 H はこの内積に関してヒルベルト空間となる。
X は m ≥ s について一様 C-正則で、P はH(X) の元 u を ( u , d u d n , ... , d k u d n k ) | G {\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}} へ写す線型写像とする。ここで d/dn は G の法線方向への微分で、k は s より小さい最大の整数である。このとき H0 はちょうど P の核に等しい。
u ∈ H0 ならばその 0 による拡張 u ∈ L(R) を自然な方法で定義することができる。つまり
u ~ ( x ) := { u ( x ) ( x ∈ X ) 0 ( otherwise ) {\displaystyle {\tilde {u}}(x):={\begin{cases}u(x)&(x\in X)\\0&({\mbox{otherwise}})\end{cases}}}
と定めればよい。
s > 1/2とする。写像 H 0 s ( X ) ∋ u ↦ u ~ ∈ H s ( R n ) {\displaystyle H_{0}^{s}(X)\ni u\mapsto {\tilde {u}}\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n})} が連続となることの必要十分条件は s がどんな整数 n を選んでも n + 1/2 の形とはならないことである。