超現実数
この一連の定義は再帰的であり、形式や数といった対象の成す宇宙を定めるためにはある種の数学的帰納法が必要になる。「有限な帰納法」を通じて到達できる超現実数は二進分数(英語版)(二進有理数)に限られるから、より広い宇宙へ到達するには何らかの形での超限帰納法を与えなければならない。
超現実数の指数函数は、本質的には ω の正冪上での振る舞い(すなわち、上で見た函数 g(a))が分かれば(有限値に対してはよく知られた指数函数であるから、その振る舞いと合わせて)決定される。前者の例のみ以下に与えるが、加えてその変域の大部分において g(a) = a が満足される(例えば、実数成分が正と任意の有限数の場合や、適当な回数反復した ω の冪の塔 ω の場合はそうである)。
exp(ω) = ω.
exp(ω) = ω および log(ω) = ω.
exp(ω⋅log(ω)) = exp(ω⋅ω) = ω. ここからわかるように、先に見た「ω の冪」を函数とみたものは exp とは両立しない。両立するのであれば、exp(ω⋅log(ω)) の値は ω となることが要求される(次項も参照)。
exp(ε0) = ω.
log(ε0) = ε0/ω.
これにより、超現実数 x が正であるための必要十分条件は、0 ∈ dom(x) かつ x(0) = +1 となることであり、同様に x が負であるための必要十分条件は 0 ∈ dom(x) かつ x(0) = −1 となることであるとわかる。
二つの超現実数 x, y の積 xy は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、xy ≔ σ(L, R) で定義される。ただし
L ≔ {uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y)}∪{uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y)},
R ≔ {uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y)}∪{uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y)}.
乗法単位元は 1 ≔ {(0, +1)} で与えられる(つまり、超現実数 1 は定義域が順序数の 1 で 1(0) = +1 を満たす函数を言う)。
一般の冪は x ≔ exp(y⋅log x) として定義することができ、2 = exp(ω⋅log(2)) = ω のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり(特に ω を底とするときには)この定義と「ω の冪」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。
と定義すれば、σ(L(x), R(x)) = x が成り立つ。
このもう一つの実現法が優位である点は、等価性 (equality) が(帰納的に定義された関係ではなく)恒等関係 (identity) として書けることである。しかし、コンウェイによる超現実数の実現と異なり、この符号展開はあらかじめ順序数の全体が構成されている必要がある(コンウェイの実現では順序数も超現実数の特別の場合として一緒に構成されたのであった)。
それでも、順序数をあらかじめ構成する必要を除いた同様の構成法も作ることができる。実例として、定義域が超現実数の部分集合で推移律 ∀g ∈ dom(f)[∀h ∈ dom(g)[h ∈ dom(f)]] を満たし、値域が {−, +} であるような函数のクラスとして超現実数の全体を再帰的に定義する方法が挙げられる。この場合「より単純」という関係は非常に簡単に定義される—x が y より簡単とは x ∈ dom(y) を満たすときに言う。全順序付けは x, y を順序対の集合と見て(函数は通常の通り定義したものとして)定義される。x = y であるか、さもなくば超現実数 z ≔ x ∩ y は x または y の定義域に属す(あるいは両方に属すこともあるが、この場合符号は不一致でなければならない)から、x < y となるのは x(z) = − または y(z) = + の何れかまたは両方が成り立つときである。これら函数を符号列に変換することは難しくない—dom(f) の元をその単純さの順(つまり、包含関係の順)に並べて、f に対して並べた元の順番に符号を書き下したものを割り当てればよい。そうすると、順序数の全体は値域が {+} であるような超現実数として自然に生じる。