コリオリの力
列車が停止している場合: 地球の回転系から見ると、列車の速度はゼロであり、したがってコリオリ力もゼロであり、列車とその乗客は通常の重量を回復する。北極上空の固定慣性系から見ると、列車は地球と一緒に回転して、重力の力の0.34%が、その慣性系で円運動をするのに必要な求心力を提供し、残りの力が回転系で測定されるので、列車と乗客を前の西進の場合よりも「軽く」する。
列車は東進する場合:列車は地球の回転方向に動くので、コリオリの項は回転軸から外側(上)に向かう。この上向きの力によって、列車は静止しているときよりも軽く見える。地球の赤道に沿って移動する速度の関数としての10-キログラム (22 lb)の物体にかかる力のグラフ(回転フレーム内で測定)。(縦軸が効果による力の大きさ。正の速度は東向き、負の速度は西向きである)。北極上空の慣性系から見ると、列車は静止していたときの2倍の速度で回転しているので、その円軌道を引き起こすのに必要な求心力は増加し、線路に作用する重力からの力は減少する。列車と一緒に回転する回転系では、遠心力成分がより大きくなり、前の2つのケースよりも列車と乗客が軽くなる。
このことは、西に飛ぶ高速の弾丸が下に偏向し、東に飛ぶ弾丸が上に偏向する理由も説明している。
一般に、加速度の原因となる運動の方向に沿って水平に観察すると、加速度は常に(正のφの場合)右に90度回転しており、進行方向に向きに関係なく同じ大きさである。
別のケースとして、φ=0°とする赤道運動を考える。この場合、Ωは北軸またはn軸に平行である:
Ω = ω ( 0 1 0 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\ ,} v = ( v e v n v u ) , {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}v_{e}\\v_{n}\\v_{u}\end{pmatrix}}\ ,} a C = − 2 Ω × v = 2 ω ( − v u 0 v e ) . {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{C}=-2{\boldsymbol {\Omega \times v}}=2\,\omega \,{\begin{pmatrix}-v_{u}\\0\\v_{e}\end{pmatrix}}\ .}
したがって、東への運動(つまり球体の回転と同じ方向)はエトヴェシュ効果(英語版)として知られる上向きの加速度をもたらし、上向きの運動は西向きの加速度をもたらす。
A X {\displaystyle A_{\mathrm {X} }} , ダウンレンジ加速度
A Y {\displaystyle A_{\mathrm {Y} }} , 垂直方向の加速度、正は上向きの加速度を示す。
A Z {\displaystyle A_{\mathrm {Z} }} , クロスレンジ加速度、正は右向きの加速度を示す
V X {\displaystyle V_{\mathrm {X} }} , ダウンレンジの速度
V Y {\displaystyle V_{\mathrm {Y} }} , 鉛直方向の速度、正は上向きの速度を示す。
V Z {\displaystyle V_{\mathrm {Z} }} , クロスレンジの速度、正は右向きの速度を示す。
ω {\displaystyle \omega } = 0.00007292 rad/sec, 地球の角速度。(恒星日に基づく)
θ l a t {\displaystyle \theta _{\mathrm {lat} }} , 緯度、正が北半球を示す。
φ a z {\displaystyle \phi _{\mathrm {az} }} , 真北から時計回りに測定した方位角。
m ( a 1 ′′ f 1 + a 2 ′′ f 2 + a 3 ′′ f 3 ) = F − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ ) {\displaystyle m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})=F-2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')}
ここで、
a 1 ′′ f 1 + a 2 ′′ f 2 + a 3 ′′ f 3 {\displaystyle a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3}}
は、この回転座標系での加速度であり、
− 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ ) {\displaystyle -2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')}
が、この座標系での「みかけの力」即ち慣性力になる。
上で示した
f 1 ′ = 0 {\displaystyle f_{1}'=0}
f 2 ′ = − ω f 3 {\displaystyle f_{2}'=-\omega f_{3}}
f 3 ′ = ω f 2 {\displaystyle f_{3}'=\omega f_{2}}
上空で気圧の差があれば気圧の高いほうから低いほうに向かって空気塊を動かそうとする力が働く。この力を気圧傾度力という。等圧線が平行かつ気圧傾度力が一定ならば空気塊は等圧線に対して直角に気圧の高いほうから低いほうへ加速される。北半球ではその進行方向右向きコリオリの力が働く。コリオリの力は速度に比例して大きくなるため空気塊は右に曲がりながら速度を上げ最終的には気圧傾度力とコリオリの力は正反対の向きにつりあう。すると空気塊は加速されない向きも変えない安定した風になる。この風を地衡風という。
4 m {\displaystyle 18.4\mathrm {m} } の間で投げたとする。地球の角速度 ω {\displaystyle \omega } は ω = 7.29 × 10 − 5 r a d / s {\displaystyle \omega =7.29\times 10^{-5}\mathrm {rad/s} } であるから、コリオリの力による加速度の大きさは
a ′ = 2 ω v ′ = 4.03 × 10 − 3 m / s 2 {\displaystyle a'=2\omega v'=4.03\times 10^{-3}\mathrm {m/s^{2}} }
である。通過するのにかかる時間 t {\displaystyle t} は t = 0.661 s {\displaystyle t=0.661\mathrm {s} } であるから等加速度運動とみなすとずれの距離 x {\displaystyle x} は
x = 1 2 a ′ t 2 ≒ 0.88 m m {\displaystyle x={1 \over 2}a't^{2}\fallingdotseq 0.88\mathrm {mm} }
つまり 1 m m {\displaystyle 1\mathrm {mm} } にも満たない。
以下では、地球の公転は無視し、地球は半径 R {\displaystyle R} の球形とする。 静止座標系として、地球の中心を原点とし、地軸の北極方向を z {\displaystyle z} 軸、赤道面を x y {\displaystyle xy} 平面とする座標系を考える。
次に、地球表面の点で、地球の自転とともに動くを観測点 P {\displaystyle P} を考える。
P = R [ cos  α cos  ( ω t + δ ) cos  α sin  ( ω t + δ ) sin  α ] {\displaystyle P=R{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos(\omega t+\delta )\\\cos \alpha \sin(\omega t+\delta )\\\sin \alpha \end{bmatrix}}}
ただし、 R {\displaystyle R} は地球の半径、 α {\displaystyle \alpha } は観測点 P {\displaystyle P} の緯度、 ω {\displaystyle \omega } は地球の自転の角速度 ω = 2 π / ( 24 × 60 × 60 s ) {\displaystyle \omega =2\pi /(24\times 60\times 60~\mathrm {s} )} 、 t {\displaystyle t} は時刻、 δ {\displaystyle \delta } は時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} における P {\displaystyle P} の位置を表すパラメータだが、以下コリオリの力に関係ないので δ = 0 {\displaystyle \delta =0} とする。