層係数コホモロジー
この系列が完全系列であることと、 φ {\displaystyle \varphi } が単射であり、かつ、 C ≅ B / A {\displaystyle {\mathcal {C}}\cong {\mathcal {B}}/{\mathcal {A}}} であることとは同値である。この短完全系列からは、層の切断の系列が導出される。
0 → Γ ( X , A ) → φ ∗ Γ ( X , B ) → ψ ∗ Γ ( X , C ) {\displaystyle 0\ \rightarrow \ \Gamma (X,{\mathcal {A}})\ {\stackrel {\varphi _{*}}{\rightarrow }}\ \Gamma (X,{\mathcal {B}})\ {\stackrel {\psi _{*}}{\rightarrow }}\ \Gamma (X,{\mathcal {C}})}
が得られる。しかしながら、一般に ψ ∗ {\displaystyle \psi _{*}} が全射であるとは限らない。この系列の右側にどのような系列を補完すると、長完全系列が出来上がるのかということが、層コホモロジーの動機のひとつである。代表的な例として、クザン問題がある。