ポアソン核
上半平面でのポアソン核の表現を得ることも出来る。標準的な R のデカルト座標を
( t , x ) = ( t , x 1 , ... , x n ) {\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n})}
で表す。上半平面は、次の集合で定義される。
H n + 1 = { ( t ; x ) ∈ R n + 1 ∣ t > 0 } . {\displaystyle H^{n+1}=\{(t;\mathbf {x} )\in \mathbf {R} ^{n+1}\mid t>0\}.}
H に対するポアソン核は、次で与えられる。
P ( t , x ) = c n t ( t 2 + | x | 2 ) ( n + 1 ) / 2 . {\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{(t^{2}+|x|^{2})^{(n+1)/2}}}.}
ただし
c n = Γ [ ( n + 1 ) / 2 ] π ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}}
である。