スコーレム標準形
スコーレム化では y {\displaystyle y} を f ( x ) {\displaystyle f(x)} で置き換える。このとき、 f {\displaystyle f} は新たな関数シンボルであり、置換と同時に y {\displaystyle y} の量化子を除去する。結果として得られる論理式は ∀ x ∀ z . P ( x , f ( x ) , z ) {\displaystyle \forall x\forall z.P(x,f(x),z)} となる。スコーレム項 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は x {\displaystyle x} は含むが z {\displaystyle z} は含まない。これは除去された量化子 ∃ y {\displaystyle \exists y} が ∀ x {\displaystyle \forall x} のスコープには入っているが、 ∀ z {\displaystyle \forall z} のスコープには入っていないためである。この論理式は冠頭標準形なので、量化子のリストにおいて x {\displaystyle x} は y {\displaystyle y} の前にあるが z {\displaystyle z} はそうではない、と言うこともできる。この変換で得られた論理式は、元の論理式が充足される場合のみ充足される。
~(M,\mu \models \Phi )} と表され、ここで M {\displaystyle M} がモデル、 μ {\displaystyle \mu } が自由変項群の評価である。一階述語モデルは全関数シンボルの評価を含むので、任意のスコーレム関数 Φ {\displaystyle \Phi } は ∃ M {\displaystyle \exists M} によって暗黙のうちに存在量化される。結果として、ある変項への存在量化子を論理式の最初での関数群への存在量化子に置換し、それら存在量化子を除去することで、論理式を一階述語論理式のまま扱うことができる。この最後の段階での ∃ f ∀ x . R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \exists f\forall x.R(x,f(x))} を ∀ x . R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \forall x.R(x,f(x))} として扱うことは、関数が ∃ M {\displaystyle \exists M} によって暗黙に存在量化されるという一階述語の充足可能性の定義によるものである。
スコーレム化の正しさを示す例として、論理式 F 1 = ∀ x 1 ... ∀ x n ∃ y R ( x 1 , ... , x n , y ) {\displaystyle F_{1}=\forall x_{1}\dots \forall x_{n}\exists yR(x_{1},\dots ,x_{n},y)} を考える。