双曲型偏微分方程式
A j := ( ∂ f 1 j ∂ u 1 ⋯ ∂ f 1 j ∂ u s ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f s j ∂ u 1 ⋯ ∂ f s j ∂ u s ) , for j = 1 , ... , d {\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d}
を定義する。
この時、系 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} が双曲的であるとは、すべての α 1 , ... , α d ∈ R {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} } に対し、行列 A := α 1 A 1 + ⋯ + α d A d {\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}} が対角化可能であり、その固有値が全て実数であることを言う。
行列 A {\displaystyle A} が「異なる」実固有値を持つ場合には、対角化可能である。この場合、系 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} は厳密に双曲的(strictly hyperbolic)であると言う。