共役類
↑ 行列に対して類似の関係を線型代数学では相似と呼ぶ。
↑ これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 a と b が等しいことと a と b が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。
↑ 証明:a = gbg であれば、a = (gbg)(gbg)...(gbg) = gbg。
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役 (きょうやく、conjugate) であるとは、G の元 g が存在して
b = gag
を満たすことである。ここで元 gag を a のように表すこともある。
共役性は同値関係であり、したがって G を同値類に分割することが直ちに示せる。G の元 a を含む同値類
a = { a | g ∈ G }
は a の共役類 (conjugacy class) と呼ばれる。群 G の共役類が C1, ..., Ch であるとき数 k(G) := h を類数 (class number) と呼ぶ。
共役類はその元を記述することによって、あるいはより短く「6A」で「位数 6 の元のある共役類」を意味し「6B」は位数 6 の元の別の共役類を意味するなどと指定されることがある。このとき共役類 1A は単位元の共役類である。ある場合には、共役類は統一的な方法で記述できるかもしれない ― 例えば、対称群においてそれらは巡回構造(すなわち巡回置換)によって記述することができる。