モチーフ (数学)
ピュアモチーフの圏は、多くの場合 3段階で進行する。以下に、k を任意の体として、周モチーフ(Chow motives) Chow(k) の例を挙げる。
数学で共通にテクニックを適用することは、この構造を保持する射を持っている圏を導入することで対象を研究することである。従って、どのようなときに与えられた 2つの対象が同型であるかと問うたり、あるいは、「特別に良い」表現がそれぞれのクラスに存在するだろうかと問うことができる。代数多様体の分類、つまり、代数多様体の場合へのこの考え方の適用は、対象が非常に高い非線型構造を持っているため、非常に困難である。双有理同値の下に多様体を研究するというように条件を緩めることは、双有理幾何学の分野へ導かれる。問題を扱うもうひとつの方法として、与えられた多様体 X をより線型な性質の問題へ帰着させる方法がある。すなわち、例えば、ベクトル空間のような線型代数のテクニックを使う扱いやすい対象とすることである。この「線型化」がコホモロジーの名前の下で通常使われている。
いくつかの重要なコホモロジーの理論が存在していて、異なる多様体の構造的側面を反映している。(一部は予想ではあるが、)モチーフ理論(theory of motives)は、代数多様体を線型化する普遍的な方法を見つける試みで、モチーフはこれらの特殊なコホモロジーをすべて埋め込むことのできるコホモロジーを提供しようとしている。例えば、興味深い曲線の不変量である滑らかな射影曲線 C の種数は、整数であり、C の第一ベッチ数の次元として表すことができる。従って、曲線のモチーフは種数の情報を持っているはずである。もちろん、種数はむしろ荒い不変量であり、従って、C のモチーフはこの整数よりも多くの情報を持っている。
交叉積を定義するために、サイクルは「動かすことができる」べきで、従って一般の位置でサイクルを交叉させることができる。適当なサイクル上の同値関係(英語版)(equivalence relation on cycles)を選ぶことは、サイクルのペアが交叉できる一般の位置にある同値なペアを持つことを保証する。周群(Chow groups)は有理同値を使い定義されるが、他の同値類も可能であり、各々が異なった種類のモチーフを定義する。強いものから弱いものまであるが、同値の例を挙げる。
有理同値(Rational equivalence)
代数的同値(Algebraic equivalence)
スマッシュべき零同値(Smash-nilpotence equivalence) (ヴォエヴォツキ(Voevodsky)同値と呼ばれることもある)
ホモロジカル同値(Homological equivalence) (ヴェイユコホモロジーの意味で)
数値同値(Numerical equivalence)
文献的には、すべてのピュアモチーフのタイプを、周モチーフと呼んで、代数的同値の観点からこの場合を「代数的同値の下の(modulo)周モチーフ」と呼ぶこともある。