昇降演算子
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j,m\rangle .\end{aligned}}}
この結果と
J z | j , m ± 1 ⟩ = ħ ( m ± 1 ) | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle J_{z}|j,m\pm 1\rangle =\hbar (m\pm 1)|j,m\pm 1\rangle }
を比較すると、 J ± | j , m ⟩ {\displaystyle J_{\pm }|j,m\rangle } は | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle |j,m\pm 1\rangle } のスカラー倍となる。
これは量子数を増減させるという昇降演算子の性質を表している。
J + | j , m ⟩ = α | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = β | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\alpha |j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\beta |j,m-1\rangle .\end{aligned}}}