バーンバウム＝オルリッチ空間
すなわち
Ψ ( x ) = ∫ 0 x ( Φ ′ ) − 1 ( t ) d t {\displaystyle \Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt}
を満たすものとする。ここで次のヤングの不等式が成立することに注意されたい:
a b ≤ Φ ( a ) + Ψ ( b ) . {\displaystyle ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).}
このときノルムは次で与えられる。
‖ f ‖ Φ = sup { ‖ f g ‖ 1 ∣ ∫ Ψ ∘ | g | d μ ≤ 1 } . {\displaystyle \|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi \circ |g|\,d\mu \leq 1\right\}.}
空間 L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} はこのノルムが有限であるような可測函数の空間となる。
LΦ 上の同値なノルムとして、次のものがある(Rao & Ren 1991, §3.3)。
‖ f ‖ Φ ′ = inf { k ∈ ( 0 , ∞ ) ∣ ∫ X Φ ( | f | / k ) d μ ≤ 1 } . {\displaystyle \|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\}.}
LΦ(μ) はこのノルムが有限であるような可測函数の空間となる。