確率分布
2つの確率変数 X と Y の和 X + Y の確率分布や差 X − Y の確率分布は変数変換公式により計算できる。特に X と Y が独立で、確率密度関数がそれぞれ fX と fY だったとすると、和と差の確率密度関数は
f X + Y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( t − y ) f Y ( y ) d y {\displaystyle f_{X+Y}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(t-y)f_{Y}(y)\,dy}
f X − Y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( t + y ) f Y ( y ) d y {\displaystyle f_{X-Y}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(t+y)f_{Y}(y)\,dy}
となる。
特に和の確率密度関数は2つの分布の確率密度関数の畳み込みである。また、特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、畳み込みのフーリエ変換は周波数領域における積であることから、和の特性関数は2つの分布の特性関数の積となる。
なお、確率変数の和の確率分布が元の分布族に従う場合、その分布は再生性があるという。
無限粒子の遷移率の連続時間のモデル。
実数値確率変数 X の確率分布 P X : B ( R ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle P_{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]} を
P X ( A ) = P ( X ∈ A ) , A ∈ B ( R ) {\displaystyle P_{X}(A)=P(X\in A),\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
で定義する。PX は確率測度(像測度)である。
同様に R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 値確率変数 X の確率分布 P X : B ( R d ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle P_{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})\to [0,1]} は
P X ( A ) = P ( X ∈ A ) , A ∈ B ( R d ) {\displaystyle P_{X}(A)=P(X\in A),\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})}
で定義される確率測度である。
確率変数 X の確率分布が μ であるとき、X は μ に従う確率変数であるといい、記号で X ~ μ と書く。例えば、「X は平均 0、分散 1 の正規分布に従う」のように使い、これを
X ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim N(0,1)}
のように書く。
2つ以上の変数の確率分布を、多次元確率分布と呼ぶ。2変数の確率確率分布を、二次元確率分布と呼ぶ。
例えば、「サイコロ2個を振ったときの出た目の和」は確率変数である。この確率変数 X に対する分布は次の表のようになる。
すなわち、離散型確率変数である場合は、確率分布とは確率変数の値にその確率(確率質量)を対応させる関数(確率質量関数)のことであると言うこともできる。しかし、例えば「次に電話がなるまでの時間」といった、連続型確率変数の場合は、確率変数値での確率が全て 0 となり、確率分布を確率質量関数で表すことができない。
「次に電話がなるまでの時間」は確率変数である。この確率変数 X の分布が次のようになったとする。
この場合の確率を全て表すには、全ての連続区間での確率を求めることになる。次の電話が a - b 時間後になる確率は次の式で表せる:
P ( a < X ≤ b ) = ( 1 2 ) a − ( 1 2 ) b {\displaystyle P(a<X\leq b)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{a}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{b}}
累積分布関数 FX を
同時分布から各変数の分布だけを取り出したものを周辺分布(しゅうへんぶんぷ、marginal distribution)、周辺確率分布と呼ぶ。日本工業規格では、「k次元確率変数の部分集合である k - 1変数の同時分布」と定義している。