ランベルトのW関数
もう一つの、区間 (−∞, −1/e] 上で定義される実函数な枝 W−1 は、L1 = ln(−x), L2 = ln(−ln(−x)) と書けば、x が十分 0 に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。
x ≥ e なるとき、
ln  ( x ) − ln  ( ln  ( x ) ) + ln  ( ln  ( x ) ) 2 ln  ( x ) ≤ W 0 ( x ) ≤ ln  ( x ) − ln  ( ln  ( x ) ) + e e − 1 ln  ( ln  ( x ) ) ln  ( x ) {\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}}
という上下の評価が成り立つ。また もう一つの枝 W−1 の評価は u > 0 に対して
− 1 − 2 u − u < W − 1 ( − e − u − 1 ) < − 1 − 2 u − 2 3 u {\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-{\sqrt {2u}}-{\frac {2}{3}}u}
となる。
式 2 はディラトン場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する 1+1-次元(空間一次元・時間一次元)における R=T(英語版)あるいは「直列」(lineal) 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的二重井戸型デルタ函数モデル(英語版)の固有エネルギーが導かれる。
量子力学的三体問題(英語版)の特別の場合、具体的には(三次元)水素分子イオンの固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 1 の(あるいは式 2 の)右辺を x に関する無限次多項式の比とした
を考える。各 ri, si は実定数、x は固有エネルギーと核間距離 R の函数である。式 3 は、その特別の場合として式 1 および 2 も含めて、遅延微分方程式(英語版)の成す大きなクラスに関係する。
"W" 函数の基礎物理問題への応用は、1 で表される通常の W 函数の場合でさえも、近年の原子分子光学物理学(英語版)の分野に見られるように、尽くされてはいない。
h ( x ) = e − W ( − ln  ( x ) ) = W ( − ln  ( x ) ) − ln  ( x ) ( x ≠ 1 ) {\displaystyle h(x)=e^{-W(-\ln(x))}={\frac {W(-\ln(x))}{-\ln(x)}}\quad (x\neq 1)}
を得る。
W を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる:
一つ目の等式 ∫ 0 π W ( 2 cot 2  ( x ) ) sec 2  ( x ) d x = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }W(2\cot ^{2}(x))\sec ^{2}(x)dx=4{\sqrt {\pi }}} はガウス積分を極座標で書き表すときに現れる。
∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = 2 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.
Plots of the Lambert W function on the complex plane
z = Re(W0(x + iy))
z = Im(W0(x + iy))
z = |W0(x + iy)|
Superimposition of the previous three plots