円積問題
与えられた円に対し、それに近い面積の正方形を近似的に求める方法はバビロニアの数学者にも既に知られていた。紀元前1800年頃のエジプトのリンド数学パピルスには、直径が d の円の面積は 8/9 d 、即ち 64/81 d だと記載されている。シュルバ・スートラにはインドの数学者(英語版)による近似の手法(精度は劣るが)が記録されている。また、インドの数学者たちは与えられた正方形に対して、それに近い面積の円を近似的に作図する方法も与えている。
古代ギリシアで円の正方形化に最初に取り組んだのは、イオニア学派のアナクサゴラスだとされている。キオスのヒポクラテス(英語版)は円積問題に取り組む過程で、いくつかの三日月形(2つの円弧で囲まれた領域)の正方形化を達成している。ソフィストのアンティポンは、円に内接する正多角形に注目した。多角形は正方形化できるので、円の内接多角形の辺の数を倍々に増やして円を正多角形で埋めつくせば円と同じ面積の正方形を求められると彼は主張した。
{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.1415929203539823008\dots }
シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、1914年、小数点8桁まで正確な近似値
π ≈ ( 9 2 + 19 2 22 ) 1 4 = 2143 22 4 = 3.1415926525826461253 ... {\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\tfrac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525826461253\dots }
を用いた作図を見出した。
ロバート・ディクソンは、1991年、小数点以下4桁の精度にすぎないがコハニスキの近似といわれる次の近似を用いて作図した:
π ≈ 40 3 − 2 3 = 3.141533 ... {\displaystyle \pi \approx {\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}\ }}=3.141533\dots }