群同型
さらにシンプルに G = H と書くことさえある。そのような表記が混乱や曖昧さなく可能であるかどうかは文脈に依る。例えば、等号は群が両方同じ群の部分群であるときには全く適切でない。例も参照。
逆に、群 (G, ∗)、集合 H、全単射 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} が与えられると、
f ( u ) ⊙ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)}
と定義することによって H を群 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) にできる。
H = G かつ ⊙ {\displaystyle \odot } = ∗ であれば、全単射は同型である (q.v.)。
直感的には、群論家は 2 つの同型な群を次のように見る: 群 G のすべての元 g に対して、H のある元 h が存在して、h は g と'同じように振る舞う'(g と同じように群の他の元と演算する)。例えば、g が G を生成すれば、h も H を生成する。これは特に G と H が全単射対応にあることを意味する。したがって、同型写像の定義は極めて自然である。
群の同型写像は群の圏における可逆射としても同等に定義できる。ただしここで可逆は両側逆元を持つことを意味する。
2つの群 (G, ∗) と (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) が与えられたとき、(G, ∗) から (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) への群同型写像 (group isomorphism) はG から H への全単射群準同型である。説明すると、これが意味するのは、群同型写像は全単射関数 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} であってすべての u, v ∈ G に対して
f ( u ∗ v ) = f ( u ) ⊙ f ( v ) {\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v)}
が成り立つということである。
2つの群 (G, ∗) と (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) が同型 (isomorphic) であるとは、一方から他方への同型写像が存在するということである。これは
( G , ∗ ) ≅ ( H , ⊙ ) {\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot )}
と書かれる。
しばしば短く簡潔な表記を用いることができる。適切な群演算があいまいでないときそれらは省略され
G ≅ H {\displaystyle G\cong H}
と書く。