テトレーション
次の条件を満たす関数 F が一意に定まる事が証明されている 。
F (z + 1) = exp (F (x))
F (0) = 1
z→±i∞ のとき F (z) が対数関数の不動点(およそ 0.318 ± 1.337i )に近づく
実数 z < −2 を除く複素平面全域で正則
この関数 F を右図に示す。また、底が e ではない場合についても、底が e 1 / e {\displaystyle e^{1/e}} よりも大きい場合については同様に証明されている。倍精度浮動小数点数近似はオンラインで公開されている。
フーシュマンドは ultra exponential function という関数を導入した。 これはテトレーションの一次近似を表し、 uxpa (x) と表記される。 uxpa は、次の定理によって一意に定められる。
定理 ― 0 < a ≠ 1 {\displaystyle 0<a\neq 1} に対し、連続な関数 f : ( − 2 , + ∞ ) → R {\displaystyle f\colon (-2,+\infty )\to {\mathbb {R} }} が条件
任意の実数 x > − 1 {\displaystyle x>-1} に対し f ( x ) = a f ( x − 1 ) {\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}
f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1}
f {\displaystyle f} は ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} で微分可能
f ′ {\displaystyle f'} は ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} で広義単調増加か広義単調減少
lim x → 0 + f ′ ( x ) = ( ln  a ) lim x → 0 − f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0+}f'(x)=(\ln a)\lim _{x\to 0-}f'(x)}
冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根(英: super-root)と超対数(英語: super-logarithm)と呼ぶ。