両側ラプラス変換
{ F f } = F ( s = i ω ) = 1 2 π { B f } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)}
が通常用いられることが多い。上のようなフーリエ変換を用いて、両側ラプラス変換を
{ B f } ( s ) = { F f } ( − i s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is)}
と表すことが出来る。フーリエ変換は通常、実数に対して存在するように定義されるが、上の定義ではその像が帯状領域 a < I ( s ) < b {\displaystyle a<\Im (s)<b} に含まれ、これは実軸を含まない。
連続な確率密度関数 ƒ(x) の積率母関数は、 { B f } ( − s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-s)} と表される。