三角多項式
三角多項式は、実数直線上で定義され 2π の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。
基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと (Rudin 1987, Thm 4.25) が挙げられる(これはストーン–ヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である)。より具体的に書けば、「任意の連続函数 ƒ および実数 ε > 0 に対して、適当な三角多項式 T が存在して全ての z に対して |ƒ(z) − T(z)| < ε とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「ƒ のフーリエ級数の部分和の算術平均は ƒ に一様に収束する」から、これに基づいて ƒ の近似三角多項式 T を求める具体的な方法が得られる。
次数 N の三角多項式は、それが零函数でない限りにおいて、[a, a + 2π) (a ∈ R) の形の任意の開区間に 2N 個の根の最大値を持つ (Powell 1981, p. 150)。