概複素構造
ニジェール・ヒッチン(英語版)(Nigel Hitchin)は、多様体 M の上の一般化された概複素構造の考えを導入し、彼の学生であるマルコ・ガルティエリ(英語版)(Marco Gualtieri)とギル・カヴァルカンティ(英語版)(Gil Cavalcanti)の博士論文で詳述された。通常の概複素構造は、複素化された接バンドル TM の各々のファイバーの部分空間の半分の次元の選択である。一般化された概複素構造は、複素化された接バンドルと余接バンドルの直和の各々のファイバーの次元が半分の等方的(isotropic)な部分空間の選択を言う。どちらの場合も、部分バンドル(英語版)とその複素共役の直和が、元のバンドルとなっていることを要求する。
概複素構造を複素構造とするには、半分の次元の空間がリー括弧の下で閉じている必要がある。一般化された概複素構造も一般化された複素構造とするためには、クーランの括弧(英語版)の下で閉じている必要がある。さらに、この半分の次元の空間がどこでもゼロとならない純粋スピノル(英語版)の消滅子(annihilator)であるとき、M は一般化されたカラビ・ヤウ多様体である。
上で議論したように、整合性のある複素構造は一意である。可積分な概複素構造の存在と、複素構造の存在は同値であるので、これは複素構造の定義に使われるときもある。
ナイエンハウステンソルがゼロになること、従ってこれと同値ないくつかの他の基準も存在していて、概複素構造の可積分性をチェックする方法が確立している(実際、これらのそれぞれは文献の中にあります)。
2つの (1, 0)-ベクトル場のリーの括弧は、再び、タイプ (1, 0) である
d = ∂ + ∂ ̄ {\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}
∂ ̄ 2 = 0 {\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}
これらの条件は、一意に整合性を持つ複素構造の存在を意味する。
概複素構造の存在は、トポロジカルな問題であり、上記の議論したように比較的答えやすい。一方、可積分な概複素構造の存在は、非常に難しい解析的な問題である。例えば、S は概複素構造をもつことが知られているが、しかしいまだに、可積分な概複素構造を持つか否かは知られていない。滑らかであることは重要である。実解析的な J に対し、ニューレンダー・ニレンベルグの定理はフロベニウスの定理(英語版)(Frobenius theorem)から従う。C (で、少なくとも滑らかな) J が解析では要求される(テクニカルなより難しい要求としては、正規性仮説により弱めることができる)。