カーダー・パリージ・ザン方程式
高さの関数 h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} を関数 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} を用いて、 h ( x → , t ) = ( 2 ν / λ ) ln  W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)=\left(2\nu /\lambda \right)\ln W\left({\vec {x}},t\right)} と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。
∂ W ∂ t ( x → , t ) = ν ∇ 2 W ( x → , t ) + λ 2 ν η ( x → , t ) W ( x → , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).}
これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。