一次方程式
一次方程式の理論は係数や解を(実数や複素数のような数に限らず)一般の(非可換)体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が(非可換)体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。
A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式
A x = b {\displaystyle Ax=b}
は A が正則ならば解くことができて x = Ab となる。
より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式
τ x = b {\displaystyle \tau x=b}
は意味を持ち、τ の逆作用素 τが存在すれば x = τb となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、
g x + b = 0 ( g ∈ G , b ∈ M ) {\displaystyle gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)}
なども意味を持つ。