整域
整域の原型的な例は、整数全体の成す環 Z である。
任意の体は整域である。逆に任意のアルティン整域は体になる。特に任意の有限整域は有限体になる(より一般に、ウェダーバーンの小定理により、任意の有限域は有限体である)。整数環 Z は非アルティン的無限整域の例であって、体を成さない。アルティンでないことは、イデアルの無限降鎖 Z ⊃ 2 Z ⊃ ⋯ ⊃ 2 n Z ⊃ 2 n + 1 Z ⊃ ⋯ {\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots } を持つことによる。
係数環が整域であるような多項式環は整域となる。例えば、整係数の一変数多項式環 Z[X] や実係数の二変数多項式環 R[X,Y] は整域である。
各整数 n ≥ 1 に対して、適当な整数 a, b を用いて a + b√n の形に書ける実数全体の成す集合は R の部分環を成すから、それ自体整域となる。
代数幾何学において整域は既約代数多様体に対応する。既約代数多様体は、零イデアルによって与えられる唯一つの生成点 (generic point) を持つ。整域は簡約かつ既約な環としても特徴付けられる。前者の条件はその環の冪零元根基 (nilradical) が零であることを保証するもので、それ故その環の極小素イデアルすべての交わりが零となることが出る。後者の条件はこの環の極小素イデアルがただ一つであることを保証するものである。これらのことから、簡約かつ既約な環の極小素イデアルは零イデアルただ一つということになり、これが整域であることを得る。逆は明らかで、任意の整域は冪零元を持たないから、零イデアルは唯一の極小素イデアルになる。