点と直線の距離
Q P → ⋅ n = a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})} , ‖ n ‖ = a 2 + b 2 , {\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
であるから、
d = | a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
点Qが直線上の点であることと c = − a x 1 − b y 1 {\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}} から、
d = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
点と直線の最短距離を表す公式は他にも考えられる。以下の導出は、やはり直線がx軸にもy軸にも平行でないことを必要とする。
点P(x0, y0)と方程式 y = m x + k {\displaystyle y=mx+k} で与えられる直線を考える。すると、点Pを通る法線の方程式は y = x 0 − x m + y 0 {\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}} となる。
この2直線の交点は、直線上の点の中で点Pから最も近い点である。したがって、
m x + k = x 0 − x m + y 0 . {\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}
これをxについて解けば、
x = x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 . {\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}
交点のy座標は、いま得られたx座標の式を直線の方程式に代入すれば求められて、
y = m ( x 0 + m y 0 − m k ) m 2 + 1 + k . {\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.