超球面
上記の二つの漸化式から Vn+2 = 2πVn⁄(n+2) であり、k に関して帰納的に
V 2 k = π k k ! , V 2 k + 1 = 2 ( 2 π ) k ( 2 k + 1 ) ! ! = 2 k ! ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle V_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}},\,V_{2k+1}={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}}
を示すことは容易である。ただし !! は二重階乗を表す。これは奇数 2k + 1 に対して (2k + 1)!! = 1⋅3⋅5⋅...⋅(2k − 1)(2k + 1) と定義されている。
一般に、n-次元単位球体の(n-次元ユークリッド空間内での)体積は
V n = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}
によって与えられる、ただし Γ はガンマ関数であり、Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, Γ(x + 1) = xΓ(x) を満たす。
Vn に R を掛け、R について微分して R = 1 とおくと、閉じた形
S n − 1 = 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) {\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}
を得る。
平行化可能、2 次元球面上(英語版)主 U(1) 束、リー群構造 Sp(1)(英語版), また、 Sp  ( 1 ) ≅ SO  ( 4 ) / SO  ( 3 ) ≅ SU  ( 2 ) ≅ Spin  ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)} .
球面とも呼ばれる。複素構造; リーマン球面参照。リーマン球面 CP に等しい。SO(3)/SO(2). 自己交叉を許して滑らかかつ連続的に3次元空間内で裏返しができる(スメールのパラドックス(英語版))。