完全環
R を環とする。このとき R は以下の同値な条件のうちいずれでもが成り立てば半完全である。
R/J(R) は半単純加群であり冪等元は J(R) を法として持ち上がる、ただし J(R) は R のジャコブソン根基。
R は冪等元の完全直交系 e1, ..., en をもち、各 ei R ei は局所環。
すべての単純左(右)R-加群は射影被覆をもつ。
すべての有限生成左(右)R-加群は射影被覆をもつ。
有限生成射影 R {\displaystyle R} -加群の圏はクルル・シュミット圏である。
左完全環 R の以下の同値な定義は (Anderson,Fuller & 1992, p.315) にある。
すべての左 R 加群は射影被覆をもつ。
R/J(R) は半単純加群であり J(R) は左 T-冪零 (left T-nilpotent)(つまり、J(R) の元のすべての無限列に対して、ある n が存在して、最初の n 項の積が 0 である)、ただし J(R) は R のジャコブソン根基である。
(Bass' Theorem P) R は主右イデアルについて降鎖条件を満たす。(間違っていない。右主イデアルについてのこの条件は環が左完全であることと同値である。)
すべての平坦左 R-加群は射影加群である。
R/J(R) は半単純でありすべての 0 でない左 R 加群は極大部分加群を含む。
R は冪等元の無限直交集合を含まず、すべての 0 でない右 R 加群は極小部分加群を含む。