因果集合
ある因果集合内のリンク (link) とは、 x ≺ y {\displaystyle x\prec y} となる一対の要素 x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in C\,\!} で、 x ≺ z ≺ y {\displaystyle x\prec z\prec y} となる z ∈ C {\displaystyle z\in C\,\!} は持たない。
チェーン (chain) とは、 i = 0 , ... , n − 1 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-1} について x i ≺ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}} となる要素の列 x 0 , x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}} である。チェーンの長さ n {\displaystyle n} は使われた関係の数である。
これは二つの因果集合要素の間の測地線を定義するために用いることができる。
二つの要素 x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in C} 間の測地線は次の条件を持つリンクのみで構成されたチェーンである:
x 0 = x {\displaystyle x_{0}=x\,\!} および x n = y {\displaystyle x_{n}=y\,\!}
チェーンの長さ n {\displaystyle n} は x {\displaystyle x\,} から y {\displaystyle y\,} へのチェーン全体にわたる最大.
一般的には、二つの要素の間に一つ以上の測地線が存在する。
Myrheimは、そのような測地線の長さは二つの時空点を結ぶある時間的測地線に沿った固有時に直接比例するべきであることを最初に示唆した。平坦な時空にまき散らされて生成された因果集合を用いて、この予想の検証がなされている。この比例関係が成立することは示され続けてきており、曲がった時空にまき散らされた因果集合でも同様に成り立つことが予想されている。
因果集合の正しい動力学を開発する課題が進行中である。これらは、どの因果集合が物理的に現実的な時空に一致するかを決定する規則の集合を与えるであろう。因果集合動力学を開発する最も有名なアプローチは量子力学の歴史の和 (sum-over-histories) による立場に基づいている。このアプローチは、因果集合の一要素を同時に成長 (growing) させることによって"因果集合の和 (sum-over-causal sets) "を実行しうる。各要素は量子力学の規則に従って足し合わされ、干渉は大きな多様体様の時空がその貢献に最も重要であることを確かにするであろう。当面のところ最も良い動力学モデルは各要素が確率に従って足し合わせられる古典モデルである。このモデルはDavid Rideoutとen:Rafael Sorkinによるもので、古典逐次成長力学 (classical sequential growth : CSG) 動力学として知られている。古典逐次成長力学モデルは新しい要素を次々と足し合わせていくことで因果集合を生成する方法である。新しい要素をどのように足し合わせていくかの規則が規定されており、モデルのパラメータに依存して異なる因果集合を生じる。