楕円曲線
E(Q) のねじれ部分群は次の15個の群: N = 1, 2, ..., 10, 12 に対する Z/NZ あるいは、N = 1, 2, 3, 4 に対する Z/2Z × Z/2NZ のうちの一つである(メーザーのねじれ定理(英語版)を参照)。また f(x) = x + ax + bx + c を整数係数の三次式とすると、楕円曲線 y = f(x) 上の点 P = (x, y) が G に属するならば、P は整数点であり、y は y = 0 でない限り、f の判別式を割り切る(ナゲル・ルッツの定理(英語版)を参照)。 全ての場合の例が知られている。さらに、Q 上で定義されモーデル・ヴェイユ群が同じねじれ群を持つ楕円曲線は、パラメトライズされた族となる。
一般の代数体上の楕円曲線のねじれ部分群について、次のようなことが知られている。ロイック・メレル(英語版)(Loic Merel)による定理は、与えられた整数 d に対し、同型を除いて、次数(英語版) d の数体 K 上に定義された代数曲線の E(K) のねじれ群として作ることが可能な群は、有限個しかない。さらに詳しくは、次数 d の数体 K 上の任意の楕円曲線 E に対し、任意の E(K) の捩れ点は d のみに依存して定まる定数 B ( d ) {\displaystyle B(d)} よりも小さな位数を持つ。この定理は、d > 1 に対して、捩れ点が素数である位数 p の場合は、
p < d 3 d 2 {\displaystyle p<d^{3d^{2}}}
となることを言っている。
が、非特異な多様体を与える。標数が問題にならない場合は、各々の方程式は、適切な変数変換により前の方程式となる。
一つの典型例を挙げると、全ての曲線の点 (x, y) が上の方程式を満たし、そのような点 x と y が K の代数的閉包に属するとする。K に属する座標を持つ点は、K-有理点と呼ばれる。
一般の体 k 上の楕円曲線は、射影平面 P(k) の非特異三次曲線
y 2 z + a 1 x y z + a 3 y z 2 = x 3 + a 2 x 2 z + a 4 x z 2 + a 6 z 3 {\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}\,}
と書くことができる。この式は、三次曲線の変曲点が (0, 1, 0) にあり、その接線が z = 0 であるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すと
y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+{a_{1}}xy+{a_{3}}y=x^{3}+{a_{2}}x^{2}+{a_{4}}x+a_{6}\,}
となる。
}
一方 P が整数点であるとき、この絶対値は B に対して指数関数的に減少する。というのは、P が整数点であるとき x = exp  h x ( P ) {\displaystyle x=\exp h_{x}(P)} となる一方、標準的高さは m 1 , m 2 , ... , m r {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{r}} の正定値二次形式としてあらわされることから、対数的高さも正定値二次形式で近似されるので、
φ ( P ) = O ( − | x | 1 / 2 ) = O ( exp − ( h x ( P ) / 2 ) ) = O ( exp − c 4 B 2 ) {\displaystyle \phi (P)=O(-|x|^{1/2})=O(\exp -(h_{x}(P)/2))=O(\exp -c_{4}B^{2})}
となるからである( c 4 > 0 {\displaystyle c_{4}>0} もE と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数である。)。このことから、整数点の大きさに対する上からの評価が得られる。
この方法は E(K) が知られているときには整数点の大きさに対する計算可能な上界を与えるが、前にも述べたように E(K) 自体を特定するアルゴリズムが知られていないため、この方法は一般の楕円曲線に対しては理論上は必ずしも有効ではない。
数学における楕円曲線(だえんきょくせん、英: elliptic curve)とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う。
楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする(必ず可換な)群をなすように、和を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。
楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形
Y 2 Z + a 1 X Y Z + a 3 Y Z 2 = X 3 + a 2 X 2 Z + a 4 X Z 2 + a 6 Z 3 {\displaystyle Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}}
により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である(有理変換によってそのような曲線に変換される)。そしてこの形にあらわされているとき、O は実は射影平面の「無限遠点」である。
また、係数体(英語版)の標数が 2 でも 3 でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。
y 2 = x 3 + a x + b . {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b\ .}
非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。