リー代数
δ ( [ x , y ] ) = [ δ ( x ) , y ] + [ x , δ ( y ) ] {\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}
が成り立つような線型写像 δ : g → g {\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} のことである。ヤコビ恒等式より、任意の x に対し、 ad  ( x ) {\displaystyle \operatorname {ad} (x)} は微分である。従って、 ad {\displaystyle \operatorname {ad} } の像は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の微分からなる g l ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} の部分代数 Der  ( g ) {\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} に含まれる。 ad {\displaystyle \operatorname {ad} } の像に属する微分は、内部微分 (inner derivation) と呼ばれる。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純であれば、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の全て微分は内部微分である。