線型写像
線型写像 f: V → W に対して
Im  ( f ) = f ( V ) := { f ( v ) ∈ W ∣ v ∈ V } ⊂ W , {\displaystyle \operatorname {Im} (f)=f(V):=\{\ f(v)\in W\mid v\in V\ \}\subset W,}
Ker  ( f ) := { v ∈ V ∣ f ( v ) = 0 } ⊂ V {\displaystyle \operatorname {Ker} (f):=\{v\in V\mid f(v)=0\ \}\subset V}
をそれぞれ、f の像 (image), 核 (kernel) という。これらはそれぞれの空間の線型部分空間であり、またこれらの次元
rk ( f ) := dim  ( Im  ( f ) ) , nul  ( f ) := dim  ( Ker  ( f ) ) {\displaystyle {\text{rk}}(f):=\dim \left(\operatorname {Im} (f)\right),\quad \operatorname {nul} (f):=\dim \left(\operatorname {Ker} (f)\right)}
線型写像がいくつか与えられたとき、それらから新たな線型写像を作り出す操作がいくつか存在する。
成分を体 K にもつ m 行 n 列の行列をA とするとき、f(x) = Ax (x ∈ K) は数ベクトル空間 K から K への K-線型写像を定める。これとは逆に、V と W が有限次元のベクトル空間で、それぞれの空間の基底が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視できるから、V から W への任意の線型写像は行列として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。
V の基底を { v 1 , ⋯ , v n } {\displaystyle \{v_{1},\cdots ,v_{n}\}} 、 W の基底を { w 1 , ⋯ , w m } {\displaystyle \{w_{1},\cdots ,w_{m}\}} とおく。
Vの要素 ( a 1 v 1 + ⋯ + a n v n ) {\displaystyle (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})} の線型写像 f: V → W について、線形性の定義から
f ( a 1 v 1 + ⋯ + a n v n ) = a 1 f ( v 1 ) + ⋯ + a n f ( v n ) {\displaystyle f(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})=a_{1}f(v_{1})+\cdots +a_{n}f(v_{n})}
が成り立つ。各基底の行き先 f(vj) が分かれば、この写像は一つに決まる。このとき
f: V → W および g: W → X が線型ならば、その合成 g ∘ f は V から X への線型写像を定める。