超準解析
バーンスタインとロビンソンは、もし T {\displaystyle T} が多項式的コンパクトならば、超有限添数 w {\displaystyle w} があって、行列係数 a w + 1 , w {\displaystyle a_{w+1,w}} が無限小となることを示す。次に、 ∗ H {\displaystyle {}^{\ast }H} の部分空間 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} を考える。もし y ∈ ∗ H w {\displaystyle y\in {}^{\ast }H_{w}} が有限なノルムを持つなら、 ∗ T y {\displaystyle {}^{\ast }Ty} は ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} に無限に近い。
いま T w {\displaystyle T_{w}} を ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} 上の作用素 P w ∘ T {\displaystyle P_{w}\circ T} とする。ここで P w {\displaystyle P_{w}} は ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} への直交射影である。
超準解析の優美さや幾つかの側面からの魅力にもかかわらず、批判もまた表明されている。エレット・ビショップ(英語版)、アラン・コンヌ、ポール・ハルモスによる批判は超準解析に対する批判(英語版)にある。
この証明では、全ての正整数で割り切れるような無限大超自然数 γ {\displaystyle \gamma } を取れば、 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } が超有限巡回群 ∗ Z / ( γ ) {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {Z} /(\gamma )} に埋め込めることが用いられている。(なぜならどんな有理数も分母が γ {\displaystyle \gamma } の形に通分できるから。)移行原理によれば ∗ Z / ( γ ) {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {Z} /(\gamma )} は ∗ M {\displaystyle {}^{\ast }M} に忠実かつ K {\displaystyle K} -リプシッツに作用している。その作用を適当に無限小だけ変形することで、 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } の M {\displaystyle M} への忠実かつ K {\displaystyle K} -リプシッツな作用が得られる。
超準解析のモデルを構成する基本的な手法である超積構成はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されている。