算術級数定理
次式の形の級数をディリクレ級数という。
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
ディリクレ級数は、
| ∑ n = 1 ∞ a n n s | ≤ sup | a n | ∑ n = 1 ∞ 1 n R s ≤ sup | a n | ( 1 + ∫ u = 1 ∞ d u u R s ) {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\right|\leq \sup {|a_{n}|}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\Re {s}}}}\leq \sup {|a_{n}|}\left(1+\int _{u=1}^{\infty }{\frac {du}{u^{\Re {s}}}}\right)}
であるから、 a n {\displaystyle a_{n}} が有界であれば R s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} で絶対収束し、 R s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} のコンパクトな部分領域で絶対一様収束する。
算術級数定理(さんじゅつきゅうすうていり、theorem on arithmetic progressions)は、初項と公差が互いに素である算術級数(等差数列)には無限に素数が存在する、という定理である。ペーター・グスタフ・ディリクレが1837年にディリクレのL関数を用いて初めて証明した。そのため、定理はしばしばディリクレの算術級数定理と呼ばれる。
である。但し、 χ ̄ ( k ) {\displaystyle {\overline {\chi }}(k)} は χ ( k ) {\displaystyle \chi (k)} の複素共役を表す。補題により、 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} は s = 1 {\displaystyle s=1} に極を持ち、他の L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は s = 1 {\displaystyle s=1} で正則であり、且つ、 L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} であるから、左辺は s = 1 {\displaystyle s=1} で有界ではない。従って、右辺も s → 1 + {\displaystyle s\to 1+} で発散しなければならず、そのためには p ≡ k {\displaystyle p\equiv k} となる素数が無数に存在しなければならない。