位相体
任意の局所コンパクトな位相体は第一可算公理を満たす。しかし、逆は必ずしも成り立つとは限らない。 例えば、有理数体に絶対値により得られる距離による位相を入れた場合、第一可算公理を満たすが局所コンパクトではない。
一般に第一可算公理を満たす位相体に対しては、以下のことが成立する。
第一可算公理を満たす位相体を K とし、局所コンパクトな位相体を K′ とする。 R を K の稠密な部分環とし、R′ を K′ の部分環で、R と同型であるとする。 f を R から R′ への同型写像としたとき、K から K′ の中への同型写像 φ で、φ を R に制限したものが f に一致するものが唯一存在する。
以下の位相体は局所コンパクトである。
離散位相による位相体
実数体 R に通常の位相(絶対値が導く距離に関する距離空間としての位相)を入れたもの
複素数体 C に通常の位相(絶対値によって導かれる距離空間の位相)を入れたもの
p-進数体 Qp に p-進位相(p-進付値の導く距離位相)を入れたもの