バナッハの不動点定理
バナッハの縮小原理にはいくつかの逆が存在する。以下の結果は、Czesław Bessaga が1959年に示したものである:
f : X → X を、各反復 f が唯一つの不動点を持つような抽象的な集合の写像とする。このとき q ∈ (0, 1) とすると、X 上のある完備距離が存在して、f は縮小写像となり、q はその縮小定数となる。
実際、このような種類の逆を得る上では非常に弱い仮定で十分である。例えば、f : X → X を唯一つの不動点 a を持つT1空間上の写像で、X 内の各 x に対して f(x) → a が成り立つものとする。このとき、X 上の距離で、それに関して f が縮小定数 1/2 についてバナッハの縮小原理の条件を満たすようなものが存在する。この場合、その距離は実際には超距離である。
↑ http://www.emis.de/journals/BJMA/tex_v1_n1_a1.pdf
↑ Hitzler, Pascal; Seda, Anthony K. (2001). “A ‘Converse’ of the Banach Contraction Mapping Theorem”. Journal of Electrical Engineering 52 (10/s): 3–6.
↑ Hitzler, Pascal; Seda, Anthony (2010). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. Chapman and Hall/CRC
↑ Seda, Anthony K.; Hitzler, Pascal (2010). “Generalized Distance Functions in the Theory of Computation”. The Computer Journal 53 (4): 443–464.