ゲーゲンバウアー多項式
∫ − 1 1 C n ( α ) ( x ) C m ( α ) ( x ) ( 1 − x 2 ) α − 1 2 d x = π 2 1 − 2 α Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{nm}}
ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ:
C n ( α ) ( cos  θ ) = ∑ r = 0 ∞ Γ ( α + r ) Γ ( n + α − r ) r ! ( n − r ) ! [ Γ ( α ) ] 2 cos  ( 2 r − n ) θ {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (n+\alpha -r)}{r!(n-r)![\Gamma (\alpha )]^{2}}}\cos(2r-n)\theta }
α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} の場合がルジャンドル多項式に、 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。