分岐群 (数学)
また、フィルトレーション G i {\displaystyle G_{i}} の研究は本質的に i G {\displaystyle i_{G}} の研究と同値である。 s , t ∈ G {\displaystyle s,t\in G} に対して、 i G {\displaystyle i_{G}} は次を満たす。
i G ( s ) ≥ i + 1 ⇔ s ∈ G i {\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}}
i G ( t s t − 1 ) = i G ( s ) {\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)}
i G ( s t ) ≥ min { i G ( s ) , i G ( t ) } {\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}}
π {\displaystyle \pi } を L {\displaystyle L} の素元とすると、 s ↦ s ( π ) / π {\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi } は単射 G i / G i + 1 → U L , i / U L , i + 1 , i ≥ 0 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0} を誘導する。ここで、 U L , 0 = O L × , U L , i = 1 + p i {\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}} である。
K を Q2 上 x 1 = 2 + 2 {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}} で生成される拡大体とする。x1 の共役は x 2 = 2 − 2 {\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}} と x3 = −x1 と x4 = −x2 である。
簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを π と置く。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は π を生成し、(2)=π である。
x1 − x3 = 2x1 で、これは π に入る。
x 1 − x 2 = 4 − 2 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}} は π に入る。