フーリエ級数
フーリエ級数のようなものが考えられる背景には、関数の直交性がある。 (−π, π) 上で定義された二乗可積分関数の空間 L(−π, π) を考える。 f(x), g(x) ∈ L(−π, π) に対して、内積
⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ := 1 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ∗ d x {\displaystyle \left\langle f(x),g(x)\right\rangle :={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)^{*}dx}
g(x) は g(x) の複素共役であり、実数値のときは、g(x) と等しい
を定義すると、自然数 m, n ≥ 1 に対し
⟨ cos  m x , cos  n x ⟩ = δ m n ⟨ sin  m x , sin  n x ⟩ = δ m n ⟨ cos  m x , sin  n x ⟩ = 0 ⟨ 1 , 1 ⟩ = 2 ⟨ 1 , cos  m x ⟩ = 0 ⟨ 1 , sin  m x ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \cos mx,\cos nx\rangle &=\delta _{mn}\\\langle \sin mx,\sin nx\rangle &=\delta _{mn}\\\langle \cos mx,\sin nx\rangle &=0\\\langle 1,1\rangle &=2\\\langle 1,\cos mx\rangle &=0\\\langle 1,\sin mx\rangle &=0\end{aligned}}}
この m を +∞ にした極限
∑ n = − ∞ ∞ c n e i n x = lim m → + ∞ ∑ n = − m m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}=\lim _{m\to +\infty }\sum _{n=-m}^{m}c_{n}e^{inx}}
をフーリエ級数という。左辺は
∑ n = − ∞ ∞ c n e i n x = lim k , m → + ∞ ∑ n = − k m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}=\lim _{k,m\to +\infty }\sum _{n=-k}^{m}c_{n}e^{inx}}
の意味ではないことに注意しなければならない。