特異点解消
もっと複雑な特異点として x = yz を考える。これは x = yz = 0 に沿って特異点を持つ。 原点にあるもっとも悪い特異点でブローアップすると、x = yz と x = yz で定義される特異点が生まれる。m と n がともに3以上なら、これらは元の特異点より悪くなっている。
特異点を解消すると、全変換(強変換と例外因子の和集合)は単純正規交叉型の特異点を持つ代数多様体になっている。この型の特異点を解消することなく特異点を解消できないか、つまり滑らかな点と単純正規交叉している点の集合上で同型となるような解消を見つけられないか考えることは自然である。強変換が因子(つまり、滑らかな代数多様体に余次元(英語版)1の部分代数多様体として埋め込みが可能)の場合には、単純正規交叉点を避けた強型の解消が存在することが知られている。ホイットニーの傘から、正規交叉特異点でのブローアップを避けて特異点を解消することは不可能であることがわかる。
この組は marked ideal と呼ばれ、イデアルの位数が d よりも大きい点の集合はその co-support と呼ばれる。marked ideal に対して解消が存在することの証明は次元に関する帰納法でなされる。帰納法は次の2つのステップに分かれる。
次元 n − 1 の marked ideal の関手的な非特異化から、次元 n の最大位数の marked ideal の関手的な非特異化を示す。
次元 n の最大位数の marked ideal の関手的な非特異化から、次元 n の(一般の)marked ideal の関手的な非特異化を示す。
ここで、marked ideal が最大位数(maximal order)であるとは、その co-support におけるある点でイデアルの位数が d に等しいことをいう。強型の解消においては、代数多様体の点での局所環のヒルベルト・サミュエル関数を使うことが鍵となる。これは解消不変量の1つである。
特異点を改良するために"もっとも悪い"特異点の軌跡でのブローアップを考えることは自然である。ホイットニーの傘(英語版) x = yz は z 軸を特異集合として持ち、ほとんどの点は通常2重点であるが原点ではより複雑なピンチ・ポイント(英語版)特異点を持っている。したがって、もっとも悪い特異点でブローアップとするという考えでは原点でのブローアップからはじめることになる。しかし、原点でブローアップしてもある座標チャートの上では同じ特異点ができてしまう。したがって"もっとも悪い"(ように見える)特異点でブローアップしても特異点は改善されない。代わりに、z 軸に沿ってブローアップすることで特異点を解消できる。
Bierstone & Milman (1997) のように、ある意味で"もっとも悪い"特異点でブローアップすることにより上手くいくアルゴリズムもあるが、この例が示すように"もっとも悪い"の定義は慎重に行う必要がある。
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強非特異化には多くのやり方があるが、本質的にはどれも同じ結果になる。どのやり方でも大域的な対象(非特異化の対象とする代数多様体)は局所的なデータ(代数多様体のイデアル層(英語版)と例外因子(英語版)と一回の操作でどのくらいイデアルの解消をすべきかを表す"位数")に置き換えられる。この局所的なデータによってブローアップの中心が定義される。中心は局所的に定義されるので、これらが貼り合わさって大域的な中心となることが保証されるかが問題となる。これは各イデアルを解消するのにどのようなブローアップを許容するかを定義することでなされる。適切に行えば、中心は自動的に貼り合わさる。もう一つの方法は、代数多様体と解消の履歴(前の局所的な中心)に依存する局所的な不変量を、中心が不変量の最大軌跡から構成されるように定義する方法である。この定義では、この選択が有意義で例外因子に横断的な滑らかな中心を与えるようになされる。
いずれの場合でも問題はイデアル層と付加データ(例外因子とイデアルに対して解消を進める道標となる位数 d)の組の特異点を解消することに帰着される。