有限差分
十分小さな h に対して、この展開は両辺が解析函数に作用するとき有効である。従って Th = e であり、逆に冪指数に関して解いて
h D = log  ( 1 + Δ h ) = Δ h − 1 2 Δ h 2 + 1 3 Δ h 3 + ⋯ {\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\dotsb }
が得られる。この式は両辺が多項式に作用して同じ結果を与えるという意味において正しい。
解析函数に作用する場合でも、右辺の級数の収束は保証されず、漸近級数となり得る。しかし、微分に対するより精密な近似を得ることには利用できる。例えば、例えばこの級数の最初の二項だけを取り出せば、#高階差分の節の最後に述べた f'(x) の二階近似が導かれる。
後退および中心差分に対する同様の公式は
h D = − log  ( 1 − ∇ h ) , h D = 2 arsinh  ( 1 2 δ h ) {\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h}),\quad hD=2\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h})}
となる。