伝送線路
ほとんどの電気回路において、素子に接続される配線の長さはほとんどの場合無視される。これは、ある時刻における、配線における電圧が全ての点で同一であると仮定することができるためである。しかし、電圧が信号が配線を伝達するためにかかる時間と同じくらいの時間で変化する場合、配線長は重要となり、その配線は伝送経路とみなす必要がある。別の言葉で言うなら、配線長に相当する波長に相当する周波数の利用を行う場合、配線長が重要となる。
経験則(インピーダンスの章に記載)では、ケーブルや配線の長さが波長の100分の1を超える場合、これを伝送線路とみなさないといけない。この長さでは、位相の遅延や配線における反射や干渉も重要となり、伝送線路の理論を用いて慎重に設計されていない系の振る舞いを予測不能とする。
伝送線路(でんそうせんろ、英: transmission line)は、電力信号をある地点から別の地点へ送信するための配線のことである。伝送路と同義であるが、伝送路、伝送線路の語は、日本語で広い意味で利用される(参照 : 伝送路)。ここでは、その中で電信方程式に関連し、電子回路などで使用される、高周波信号を伝送するための配線に関する内容に関して述べる。なお、高周波信号を通す伝送線路は導波路(どうはろ、英: waveguide)とも呼ばれる。
一般に、ここで述べる伝送線路を構成するものとして、配線、同軸ケーブル、スタブ、光ファイバー、電力線、導波管などがある。
低損失で高インピーダンスの場合、 R / ω L {\displaystyle R/\omega L} と G / ω C {\displaystyle G/\omega C} の項の1次の成分から、次式が導かれる。
R e ( Γ ) ≈ L C 2 ( R L + G C ) {\displaystyle \mathrm {Re} (\Gamma )\approx {\frac {\sqrt {LC}}{2}}\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,}
I m ( Γ ) ≈ ω L C {\displaystyle \mathrm {Im} (\Gamma )\approx \omega {\sqrt {LC}}\,}
位相の − ω δ {\displaystyle -\omega \delta } の加算は、時間遅延 δ {\displaystyle \delta } に相当するため、 V o u t ( t ) {\displaystyle V_{out}(t)} は次式の様に簡単に算出できる。
V o u t ( x , t ) ≈ V i n ( t − L C x ) e − L C 2 ( R L + G C ) x {\displaystyle V_{out}(x,t)\approx V_{in}(t-{\sqrt {LC}}x)e^{-{\frac {\sqrt {LC}}{2}}\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)x}\,}
∂ 2 I ( x ) ∂ x 2 + ω 2 L C ⋅ I ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0}
これらは、進行方向と逆方向への伝播速度と等しい平面波の波動方程式である。この物理的意味は、電磁波が伝送線路を伝播し、元の波形を妨害する反射成分を生じさせる。これらの方程式は伝送線路の理論の基本となる。
もし、 R {\displaystyle R} と G {\displaystyle G} が無視できない場合、電信方程式は次の形となる。
∂ 2 V ( x ) ∂ x 2 = Γ 2 V ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}=\Gamma ^{2}V(x)}
∂ 2 I ( x ) ∂ x 2 = Γ 2 I ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}=\Gamma ^{2}I(x)}
ただし、
Γ = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) {\displaystyle \Gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}}
そして、特性インピーダンスは次の様になる。
Z 0 = R + j ω L G + j ω C {\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}}
ショート(短絡)もしくはオープン(開放)状態の伝送線路が、A点からB点への伝送線に並列にある場合、これはフィルターとして機能する。スタブを作成する方法は、レッヘル線を利用して粗っぽい周波数測定を行う方法と類似しているが、それは「時代遅れの方法」である。RSGBの無線通信ハンドブックに推奨されている方法は、信号をアンテナから供給している平行な伝送線路の長さの開放線路を取る。伝送線路の自由端を切っていき、受信機で観測される信号の強度が最小となる長さを見つける。この状態で、スタブフィルターはこの周波数と、この周波数の奇数倍波を除去する。もし、スタブの自由端を短絡した場合、スタブは偶数倍波を除去する。