基底変換
R に対する標準基底は {e1, ..., en} で与えられる。ここで ej は j 番目の成分が 1 でその他の成分が 0 であるような R の元である。
T : R → R を線型変換としたとき、T の m × n 行列とは、j = 1, ..., n に対して第 j 列が T(ej) であるような行列 t のことを言う。このとき、R 内のすべての x に対して T(x) = tx が成立する。ただし、x はある列ベクトルと見なし、右側からの乗算は行列乗算(英語版)である。線型代数学における基本的な事実として、R から R へのすべての線型変換からなるベクトル空間 Hom(R, R) は、R 上の m × n 行列の空間 R への自然な同型である、という事実がある。すなわち、線型変換 T : R → R はすべての意志や目的に対して、行列 t と同値である。
さらに以下の簡単な結果を利用する。
定理 V と W をベクトル空間とし、{α1, ..., αn} を V に対する基底とし、{γ1, ..., γn} を W 内の任意の n 個のベクトルとする。このとき、j = 1, ..., n に対して T(αj) = γj を満たすような線型変換 T : V → W が唯一つ存在する。
この唯一つの T は T(x1α1 + .
抽象的ベクトル空間の理論において、基底変換の概念は影響の少ないもので、わずかな自然科学の法則を与えるものに過ぎないように思われる。しかし、結合多元環の理論においては、比喩的な表現を用いれば毛虫が蝶に変化するように、基底変換が十分な影響を与える場合が存在する。それは以下のようなものである。
分解型複素数平面において、「対角基底」(diagonal basis)の代替となるものが存在する。通常の双曲線 xx − yy = 1 は、基底変換を経て、xy = 1 に変わる。双曲線を決まった場所に残す平面の各変換は、基底変換を法として、互いに対応する。文脈的な違いは、ローレンツブーストと圧搾写像(英語版)を区別するほど十分に深いものである。それらの写像に関する文献の概観は、根底をなす基底変換を用いることで得られる。
2 × 2 の実行列から、アーサー・ケイリーによる線型代数の分類の始まりを知ることが出来る。彼の協力者であるジェームス・コックル(英語版)は、1849年、2 × 2 実行列と同じ環(行列基底が異なるだけ)である coquaternion あるいは分解型四元数の環を提唱した。再び、それはケーリーの行列環とコックルの分解型四元数環を統合する基底変換の概念であった。
ある基底変換は、2 × 2 の複素行列を複四元数(biquaternion)へ変換する。
{\displaystyle [\mathbf {R} ]={\begin{bmatrix}\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {c} _{\beta }\end{bmatrix}}.}
空間内の任意のベクトルは、その成分をこの行列の逆に左から掛けることによって、この新しい基底へと変換することが出来ることに再び注意されたい。