加群の根基
R を環とし M を左 R-加群とする。M の部分加群 N は商 M/N が単純加群であるときに極大 (maximal) あるいは cosimple と呼ばれる。加群 M の根基 (radical) は M のすべての極大部分加群の共通部分である
r a d ( M ) = ⋂ { N ∣ N is a maximal submodule of M } {\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of M}}\}\,}
同じことだが、
r a d ( M ) = ∑ { S ∣ S is a superfluous submodule of M } {\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of M}}\}\,}
これらの定義は soc(M) に対して直接的な双対の類似をもつ。