ワトソンの五重積
∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) ∑ n = − ∞ ∞ q n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) j q j ( j + 1 ) z j ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k q 2 k 2 z 2 k {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}}
となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は