軌道力学
標準的な前提の下で、双曲線軌道を公転する天体は、無限遠点で双曲線過剰速度( v ∞ {\displaystyle v_{\infty }\,\!} )と呼ばれる軌道速度に到達する。この速度は、以下の式で表される。
v ∞ = μ − a {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}
ここで、
μ {\displaystyle \mu \,\!} は標準重力パラメータ、
a {\displaystyle a\,\!} は双曲線軌道の負の軌道長半径である。
双曲線過剰速度は、質量当たりの軌道エネルギーに関係がある。
2 ε = C 3 = v ∞ 2 {\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}
軌道力学(きどうりきがく)は、弾道学と天体力学の応用で、ロケットや宇宙船の軌道に関する現実的な問題を解決するための学問である。これらの物体の軌道は、ニュートン力学と万有引力から計算することができる。軌道力学は、宇宙探査ミッションの設計や制御の基本原理である。天体力学は、重力の下での、軌道力学よりも広範な領域を扱い、宇宙船も恒星系、惑星、衛星、彗星等を含めた天体も、どちらも対象となる。軌道力学は、軌道マヌーバ、軌道平面の変更、惑星間移動も含めた宇宙船の軌道に対象を絞っており、ミッションの計画者が宇宙機の推進を予測するために用いられる。一般相対性理論は、ニュートンの法則より正確に軌道を計算し、高い精確さが必要な場面や太陽近傍等の重力が非常に強い環境では必須である。
標準的な前提の下で、楕円軌道を公転する物体の質量当たりの軌道エネルギー( ε {\displaystyle \epsilon \,} )は負となり、この軌道の軌道エネルギー保存の方程式は、次のような形になる。
v 2 2 − μ r = − μ 2 a = ε < 0 {\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}
ここで、
v {\displaystyle v\,} は周回する天体の軌道速度、
r {\displaystyle r\,} は中心の天体から周回する天体までの距離、
a {\displaystyle a\,} は軌道長半径の長さ、
μ {\displaystyle \mu \,} は標準重力パラメータである。
ここから次の結論が得られる。
所与の軌道長半径では、質量当たりの軌道エネルギーは軌道離心率に依存しない。
ビリアル定理を用いると、次のことが分かる。
質量当たりの位置エネルギーの時間平均は、2εに等しい。 rの時間平均は、aである。
質量当たりの位置エネルギーの時間平均は、-εに等しい。
脱出速度の公式は、以下のように簡単に導くことができる。全ての宇宙船の単位質量当たりのエネルギーは、単位質量当たりの位置エネルギーと単位質量当たりの運動エネルギーという2つの成分から成り立っている。単位質量当たりの位置エネルギーは、惑星の質量Mと関係があり、次の式で与えられる。
一方、単位質量当たりの運動エネルギーは、次の式で与えられる。
エネルギー保存の法則から、単位質量当たりの合計の軌道エネルギー
は、中心の天体から宇宙船までの距離 r {\displaystyle r} には依存しない。これより、天体は、この値が負ではない時に無限大 r {\displaystyle r} に達し、これは、以下を意味する。
地球表面からの脱出速度は、約11km/sであるが、太陽の重力があるため、物体を無限の距離まで送るにはこの速度では不十分である。地球から太陽までの距離で地球の近傍以外の場所から太陽系の外への脱出速度は、約42km/sであるが、地球から打ち上げられる宇宙船は、方向が同じであれば地球の公転速度も利用することができる。