非圧縮性
固体力学において、体積ひずみという概念がある。ここでは、体積ひずみ ε V {\displaystyle \epsilon _{V}} と体積変化率 J {\displaystyle J} との関連性について述べ、非圧縮性のもとで体積ひずみが0となることを示す。
変形勾配テンソル F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} は、変位勾配テンソル H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} と恒等テンソル I {\displaystyle {\boldsymbol {I}}} を用いると次のように表される。
F = I + H , F i j = δ i j + H i j {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {H}},\quad F_{ij}=\delta _{ij}+H_{ij}}
ここで、変形勾配テンソル H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} は
d u = H d X , H i j = ∂ u i ∂ X j {\displaystyle d{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {H}}d{\boldsymbol {X}},\quad H_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}}