ディラック・スピノル
計量表示と群表現については、物理学の文献においても、慣用されるいくつかの取り方がある。ディラック表記のガンマ行列は、普通、 μ {\displaystyle \mu } を0から3の値として、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} と書かれる。この表記において、0は時間に、1から3は空間のx、y、zに相当する。
(+ - - -) の計量表示は時々西海岸計量と呼ばれる。一方 (- + + +) は東海岸計量と呼ばれる。今日では、(+ - - -) の計量表示が一般的であり、以下で例を示す際もこちらを用いる。計量表示を切り替える場合は、全ての γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} に i {\displaystyle i} を乗じる。
計量表示を定めても、4×4行列による群表現を構築する方法は沢山あり、多くの方法が広く使われている。ここでの例を極力一般化した形で見せるために、最後の段階まで群表現を固定せずに、話を進める。最後に、著名な大学院向け教科書で行われているように、「カイラル (chiral) 表現」もしくは「ワイル (Weyl) 表現」と呼ばれる群表現を代入する。
まず電子と陽電子についてのスピンの向きを選択する。上で議論したパウリ代数の例と同様、スピンの向きを3次元単位ベクトル ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} で定義する。ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めと同様に、方向 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} のスピンに対応するスピン演算子は、 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} と ( i γ 2 γ 3 , i γ 3 γ 1 , i γ 1 γ 2 ) = − ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) i γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle (i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2})=-(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3})i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}} との内積として定義する:
σ ( a , b , c ) = i a γ 2 γ 3 + i b γ 3 γ 1 + i c γ 1 γ 2 {\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}}
注目すべきは、上のが1の累乗根で有ることで、すなわち、二乗すると1になる。続けて、この演算子から、ディラック代数の、 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} の方向に合わせたスピンを持つ部分代数を、映し出す射影作用素を、導くことができる:
P ( a , b , c ) = 1 + σ ( a , b , c ) 2 {\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1+\sigma _{(a,b,c)}}{2}}}
この段階で、電荷を +1 (陽電子) に取るか -1 (電子) に取るか選択する必要がある。ペスキンとシュレーダーの教科書での取り決めに従うと、電荷の演算子は Q = − γ 0 {\displaystyle Q=-\gamma ^{0}} となる。即ち、電子の状態は、この演算子についての固有値 -1 を取り、一方陽電子の状態は固有値 +1 を取ることになる。
注目すべきは、 Q {\displaystyle Q} もまた1の累乗根となることである。その上、 Q {\displaystyle Q} は σ ( a , b , c ) {\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}} と交換関係がある。 これらはディラック代数に対する交換するオブザーバブルの完全集合を形成する。この例で続けて、 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} の方向のスピンを持つ電子の表現を求める。
v ( p , 1 ) = E + m [ p 1 − i p 2 E + m − p 3 E + m 0 1 ] {\displaystyle v(\mathbf {p} ,1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\dfrac {-p_{3}}{E+m}}\\0\\1\end{bmatrix}}} 及び v ( p , 2 ) = E + m [ p 3 E + m p 1 + i p 2 E + m 1 0 ] {\displaystyle v(\mathbf {p} ,2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {p_{3}}{E+m}}\\{\dfrac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\\1\\0\\\end{bmatrix}}}