集積点
集積点の特徴づけとして
「x が S の集積点となる必要十分条件は、x が S ∖ {x} の閉包に含まれることである」
を挙げることができる。実際、ある点 y がある集合 T の閉包に属することと y の任意の近傍が T と交わりを持つことが同値であるから、x の任意の近傍が x と異なる S の元を含む(⇔ x の任意の近傍が S ∖ {x} と交わる)という条件は、すなわち x が S ∖ {x} の閉包に属すると言う条件に他ならない。L(S) を S の集積点全体の成す集合とすると、S の閉包について
「S の閉包 cl(S) は S と L(S) との和集合に等しい」
という特徴づけが得られる。実際(cl(S) ⊂ S ∪ L(S) について)、x が S の閉包に属するとすると、x が S に属する場合は何もすることは無いが、そうでない場合は x の任意の近傍が S の点を含み、それは x と異なる(すなわち、x は S の集積点で L(S) に属す)。逆に(cl(S) ⊃ S ∪ L(S) について)、S は明らかに S の閉包に属し、L(S) の元 x についてはx の任意の近傍が(x と異なる)S の点を含むから、やはり x は S の閉包に属する。また、この結果の系として、閉集合の特徴づけ
「S が閉集合であるための必要十分条件は、S がその集積点を全て含むことである」
が得られる。実際、S が閉 ⇔ S = cl(S) ⇔ S = S ∪ L(S) となるが、これは L(S) は S に含まれるという条件に他ならない。あるいは次のようにしても分かる。