ホールの定理
なお、この場合の結婚条件とは、女性の任意の部分集合 I {\displaystyle I} について、結婚したら幸せだという女性が少なくとも1人以上いる男性の数 | ⋃ i ∈ I S i | {\displaystyle |\bigcup _{i\in I}S_{i}|} がその部分集合に含まれる女性の人数 | I | {\displaystyle |I|} 以上でなければならない。これが成り立たないと結婚対象となる男性の人数が( I {\displaystyle I} に属する女性の人数に対して)足りないことを意味するので、この条件が必要条件であることは明らかである。興味深いことに、これは同時に十分条件でもある。
この定理は結婚以外にもいろいろな場面に応用できる。例えば、52枚のトランプを4枚ずつ13の山に分けるとする。結婚定理をこれに適用すると、それぞれの山から1枚ずつカードを選んで、エースからキングまでの13枚を必ず揃えることができるといえる(スートは考慮しない)。
より抽象的な例としては、ある群 G があり、H を G の有限な部分群とする。これに結婚定理を適用すると、G における H の左剰余類の集合と右剰余類の集合のSDRであるような集合 X が必ず存在するといえる。
より一般的問題として、集合の集まりがあったときにそれぞれの集合から(別個とは限らない)元を選ぶことができるには、選択公理が成り立たなければならない。