フォック状態
つまり生成消滅演算子の多重モード状態への作用は、それら自身のモードの粒子数(あるいは占有数)を1だけ増加または減少させるだけである。異なるモードに対応する演算子はヒルベルト空間の異なる部分空間に作用する。
たとえば、
真空状態(どの状態にも粒子が無い状態) | 0 1 , 0 2 , ⋯ , 0 i , ⋯ ⟩ {\displaystyle |0_{1},0_{2},\cdots ,0_{i},\cdots \rangle } にモード i {\displaystyle i} の生成消滅演算子が作用すると、
第二量子化理論では、ハミルトニアン密度関数は次のように与えられる。
H = 1 2 m ∇ i ψ ∗ ( x ) ∇ i ψ ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\nabla _{i}\psi (x)}
全ハミルトニアンは、次のように与えられる。
H = ∫ d 3 x H = ∫ d 3 x ψ ∗ ( x ) ( − ∇ 2 2 m ) ψ ( x ) ( ∴ H = − ∇ 2 2 m ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\quad (\therefore {\mathfrak {H}}=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}})}
自由粒子のシュレーディンガー方程式 は、
H ψ n ( + ) ( x ) = − ∇ 2 2 m ψ n ( + ) ( x ) = E n 0 ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\tfrac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}
フェルミ粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = − | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =-|1_{2},1_{1}\rangle }
となる。
ここで数演算子は、ボース粒子とフェルミ粒子を区別せずに(つまり対称性を考慮せずに)粒子を数えるだけの演算子であることに注意。 この2種類の粒子の差を見るには、生成消滅演算子が必要となる。
このように複数の同種モードがある場合、ボース粒子のフォック状態は対称性を、フェルミ粒子のフォック状態は反対称性を持たなければならない。 これらの性質を満たすため、以下で述べるように、多重モードのフォック状態をテンソル積を用いて構成する。 テンソル積は、粒子がフェルミ粒子かボース粒子かによって、基となる1粒子ヒルベルト空間の交代積または対称積でなければならない。