ガウス和
数学におけるガウス和(ガウスわ、英: Gauss sum)あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に
G ( χ ) := G ( χ , ψ ) = ∑ χ ( r ) ⋅ ψ ( r ) {\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}
で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r) は加法群 R から(複素平面の)単位円への群準同型で、χ(r) は単数群 R から単位円への群準同型である。単元でない r については χ(r) = 0 と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。
このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 − s, χ) を関連付ける方程式が
G ( χ ) / | G ( χ ) | {\displaystyle G(\chi )\ /\ |G(\chi )|}
を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。