部分積分
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} が恒等テンソルに等しい時は、発散定理の式を得る。
∫ Ω ∇ G d Ω = ∫ Γ n ⊗ G d Γ {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes {\boldsymbol {G}}\,d\Gamma \,}
添字表記で表すと以下のようになる。
∫ Ω F i j k . . . . G l m n . . . , p d Ω = ∫ Γ n p F i j k . . . G l m n . . . d Γ − ∫ Ω G l m n . . . F i j k . . . , p d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,}
ここで F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} と G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} がともに2階のテンソルであるような特殊な場合を考え、1つの添字の縮約を取ると、