ヘーグナー数
類数 2 {\displaystyle 2} を持つ虚二次体 Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} を与える3つの数字 88 , 148 , 232 {\displaystyle 88,148,232} は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、
e π 88 + 8 744 ≈ 2 508 952 2 − .077 ... e π 148 + 8 744 ≈ 199 148 648 2 − .000 97 ... e π 232 + 8 744 ≈ 24 591 257 752 2 − .000 0078 ... {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}
j ( τ ) = 1 q + 744 + 196 884 q + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots }
ローラン級数の係数 c n {\displaystyle c_{n}} は漸近的に ln  ( c n ) ∼ 4 π n + O ( ln  ( n ) ) {\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))} のように増大し、また低次の係数の増大が 200 000 n {\displaystyle 200\,000^{n}} よりも遅いため、 q ≪ 1 / 200 000 {\displaystyle q\ll 1/200\,000} において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。 τ = ( 1 + − 163 ) / 2 {\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2} とすると q = − exp  ( − π 163 ) {\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})} つまり 1 q = − exp  ( π 163 ) {\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})} となる。