連続的双対空間
i → ∞ ) {\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|\to 0\quad ({\text{as. }}i\to \infty )}
を満たすことであることを意味する。また(必ずしも仮定しなければならないわけではないが)通常は考えるクラス A {\displaystyle {\mathcal {A}}} は、次のような条件
V の各点は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に属する適当な集合 A に含まれる、
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の任意の二元 A, B に対してその上界となる(つまり A ∪ B ⊂ C を満たす)集合 C が A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に属する、
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} はスカラー倍に関して閉じている
などを満足することを仮定する。これらの条件がすべて満たされている時、対応する V′ 上の位相はハウスドルフとなり、また集合族
U A = { x ∈ V : ‖ φ ‖ A < 1 } ( A ∈ A ) {\displaystyle U_{A}=\{x\in V:\|\varphi \|_{A}<1\}\qquad (A\in {\mathcal {A}})}
1 < p < ∞ なる実数 p に対して l は数列 a = (an) で p-ノルム
‖ a ‖ p = ( ∑ n = 0 ∞ | a n | p ) 1 / p {\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
が有限となるもの全体の成すバナハ空間空間である。このとき、q は 1/p + 1/q = 1 を満たすものとすれば l の連続的双対は自然に l と同一視される。即ち、各元 φ ∈ (l)′ に対応する l の元は数列 (φ(en)) で与えられる。ただし、en は標準基底ベクトルすなわち、n 番目の項が 1 でそれ以外はすべて 0 となるような数列である。逆に、数列 a = (an) ∈ l に対応する l 上の連続線型汎関数 φ は任意の b = (bn) ∈ l に対して φ(b) = ∑n anbn と置くことにより与えられる(ヘルダーの不等式の項を参照)。