スカラーポテンシャル
もしFが保存的ベクトル場(非回転、カールフリー、ポテンシャルとも)で、その成分が連続偏微分を持つ場合、基準点に対するFのポテンシャルは線積分により定義される。
V ( r ) = − ∫ C F ( r ) ⋅ d r = − ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t , {\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}
Cは r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} から r {\displaystyle \mathbf {r} } までのパラメータ化された経路
r ( t ) , a ≤ t ≤ b , r ( a ) = r 0 , r ( b ) = r .
{\displaystyle \mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .}
線積分がその終点 r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} と r {\displaystyle \mathbf {r} } のみを介する経路Cに依存するという事実は、本質的には保存ベクトル場の経路独立特性である。線積分の基本定理は、Vがこのように定義されるならば F = − ∇ V {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V} であることを含んでおり、Vは保存ベクトル場Fのスカラーポテンシャルである。スカラーポテンシャルはベクトル場だけで決まるわけではない。実際、関数の勾配は定数が追加されても影響を受けない。Vが線積分で定義されている場合、Vのあいまいさは基準点 r 0 . {\displaystyle \mathbf {r} _{0}.} の選択の自由度を反映している。