電気双極子遷移
また第1項目と第2項目の和は、光の波長が電子雲の広がりよりも十分に長いならば、以下のように展開できる。
W ( t ) = W D E ( t ) + W D M ( t ) + W Q E ( t ) + ⋯ {\displaystyle W(t)=W_{DE}(t)+W_{DM}(t)+W_{QE}(t)+\cdots \ }
ここで W D E ( t ) {\displaystyle W_{DE}(t)} は電気双極子項、 W D M ( t ) {\displaystyle W_{DM}(t)} は磁気双極子項、 W Q E ( t ) {\displaystyle W_{QE}(t)} は電気四極子項と呼ばれる。電気双極子項以外を無視することを双極子近似という。
電気双極子の項は以下のように表される。
W D E ( t ) ∝ ε ⋅ ∑ ( − e r ) {\displaystyle W_{DE}(t)\propto {\boldsymbol {\epsilon }}\cdot \sum (-e\mathbf {r} )\ }
つまりこれは電磁波の偏り ε {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}} と電気双極子モーメント ∑ ( − e r ) {\displaystyle \sum (-e\mathbf {r} )\ } の相互作用の項である。電気双極子遷移とは、遷移のなかでも相互作用 W D E ( t ) {\displaystyle W_{DE}(t)} 寄与による部分のことを指す。
H 0 = p 2 / ( 2 m ) + V ( r ) {\displaystyle H_{0}=\mathbf {p} ^{2}/(2m)+V(r)}
W ( t ) = − q / m p ⋅ A ( r , t ) − q / m S ⋅ B ( r , t ) + q 2 / ( 2 m ) A 2 ( r , t ) {\displaystyle W(t)=-q/m\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)-q/m\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+q^{2}/(2m)\mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r} ,t)}
時間依存する相互作用項 W ( t ) {\displaystyle W(t)} の第3項目はAについて2次なので、小さな電磁場のときは無視出来る。