自己回帰移動平均モデル
{\displaystyle \gamma _{m}=E\left[\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,X_{t-i}X_{t-m}\right]+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m}.}
さらに
E [ ∑ i = 1 p φ i X t − i X t − m ] = ∑ i = 1 p φ i E [ X t X t − m + i ] = ∑ i = 1 p φ i γ m − i , {\displaystyle E\left[\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,X_{t-i}X_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,E[X_{t}X_{t-m+i}]=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,\gamma _{m-i},}
これにより次の Yule-Walker方程式が導かれる。
γ m = ∑ i = 1 p φ i γ m − i + σ ε 2 δ m . {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\gamma _{m-i}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m}.}
{\displaystyle {\mbox{E}}(X_{t})={\mbox{E}}(c)+\varphi {\mbox{E}}(X_{t-1})+{\mbox{E}}(\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0.}
従って、次のようになる。
μ = c 1 − φ , {\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }},}
ここで μ {\displaystyle \mu } は平均である。c = 0 なら、平均も 0 になり、分散は次のようになる。
var ( X t ) = E ( X t 2 ) − μ 2 = σ 2 1 − φ 2 . {\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=E(X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}.}
自己共分散は次の式で表される。
B n = E ( X t + n X t ) − μ 2 = σ 2 1 − φ 2 φ | n | . {\displaystyle B_{n}=E(X_{t+n}X_{t})-\mu ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|n|}.}