モレラの定理
∫ γ f ( ζ ) d ζ + ∫ τ − 1 f ( ζ ) d ζ = ∮ γ τ − 1 f ( ζ ) d ζ = 0 {\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0}
が成立し、したがって
∫ γ f ( ζ ) d ζ = ∫ τ f ( ζ ) d ζ {\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta }
が成立する。
すると f の連続性を用いて平均変化率を評価すると、F′(z) = f(z) を得る。ここで、微分積分学の基本定理や平均値の定理は、実数値に関するものであるため利用できないことに注意されたい。
すると f は正則函数 F の導函数であるため、それ自身が正則である。正則関数の導関数が正則であるという事実は、正則関数は解析的である、すなわち収束冪級数によって書けるという事実と、冪級数は項別微分できるという事実を用いて、証明できる。これで証明は完成される。