階乗冪
下降階乗冪を一般化するものとして、函数 f に対しその減少算術整数列上で評価した値の積を
[ f ( x ) ] k / − h = f ( x ) ⋅ f ( x − h ) ⋅ f ( x − 2 h ) ⋯ f ( x − ( k − 1 ) h ) {\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}
と書く。ここで −h は公差、k は因子の数を示す。同様に上昇階乗冪の一般化は
[ f ( x ) ] k / h = f ( x ) ⋅ f ( x + h ) ⋅ f ( x + 2 h ) ⋯ f ( x + ( k − 1 ) h ) {\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}
で与えられる。この記法の下で上昇階乗冪は [x] であり下降階乗冪は [x] である。
{\displaystyle (x)^{(n)}=(x)_{n}^{+}=x^{\overline {n}}=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1).}
また、自然数 n, k に対して
( n ) k = n k _ = n P k = n ! ( n − k ) ! , {\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}={}_{n}P_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}},}
n ( k ) = n k ̄ = ( n + k − 1 ) ! ( n − 1 ) ! {\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}}
と書くことができる。ここで感嘆符 "!" は階乗を表す。
数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪(かいじょうべき、英: factorial power) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) と上昇階乗冪 (rising factorial) とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある。
階乗冪は冪あるいは冪函数の類似であり、特殊函数論あるいは組合せ論に広く応用を持つ。