位相空間
本節では位相空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} から別の位相空間 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} に向かって定義された関数f: X → Yの連続性の概念を定義する。後述するように位相空間における連続性の概念は、距離空間における連続性の定義で「点列」を「有向点族」に置き換える事で定義可能であるが、近傍や開集合といった、位相空間の概念を使った別定義も可能であり、両者の定義は同値となる。
なお、紛れがなければ、fが2つの位相空間の間の写像である事を強調して、「f: X → Y」ではなく
f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
という表記を用いる事もある。
まずノルムとは何かを簡単に説明する:
定義 (ノルム) ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } とするとき、K上ベクトル空間Vのノルムとは写像
‖ ⋅ ‖ : V → K {\displaystyle \|\cdot \|~:~V\to K}
で以下の3性質を満たすものの事である。ここでx、yはVの元でαはKの元である:
‖ x ‖ = 0 ⇔ x = 0
‖ ax ‖ = |a|‖ x ‖
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の代表的なノルムとして、p≧1に対するlノルム
‖ v ‖ p = ( | v 1 | p + ⋯ + | v n | p ) 1 / p {\displaystyle \|v\|_{p}=(|v_{1}|^{p}+\cdots +|v_{n}|^{p})^{1/p}}
が知られている。ここでv=(v1,...,vn)である。
このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の内核作用素が I n t {\displaystyle \mathrm {Int} } に一致するものがただ一つ存在する O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は具体的には以下のように書ける:
O = { O ⊂ X ∣ O = I n t ( O ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid O=\mathrm {Int} (O)\}}
A ̄ = ( ( A c ) ∘ ) c {\displaystyle {\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}} である事を用いて、以上の結果を閉包作用素の結果に翻訳できる:
定理 (閉包作用素による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像
内部および閉包は以下のようにも特徴づけられる事が知られている:
命題 (内部および閉包の特徴づけ) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の任意の部分集合Aに対し次が成立する:
A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} はAに含まれる最大の開集合 ⋃ O ∈ O , O ⊂ A O {\displaystyle \bigcup _{O\in {\mathcal {O}},O\subset A}O} に一致する。
A ̄ {\displaystyle {\bar {A}}} はAを含む最小の閉集合 ⋂ F ∈ F , A ⊂ F F {\displaystyle \bigcap _{F\in {\mathcal {F}},A\subset F}F} に一致する。
内部の概念は以下を満たす:
定理 (内部の性質) ― 位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する:
A ∘ ⊂ A {\displaystyle A^{\circ }\subset A} ( A ∘ ) ∘ = A ∘ {\displaystyle (A^{\circ })^{\circ }=A^{\circ }} ( A ∩ B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ {\displaystyle (A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }} X ∘ = X {\displaystyle X^{\circ }=X}
連続体(れんぞくたい、英: continuum)とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはより一般にコンパクト連結ハウスドルフ空間のことを言う。
ユークリッド空間上の閉曲面は連続体となるが、連続体論ではこのような「常識的な」空間に留まらず幅広く連続体一般を研究する。
具体的にはヒルベルト空間の無限次元部分集合であるにもかかわらずコンパクトな ヒルベルト立方体
∏ n ∈ N [ 0 , 1 / n ] {\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }[0,1/n]} 、
フラクタル図形のシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群は自明となるが可縮空間ではないワルシャワの円などが研究対象となる。