テレゲンの定理
テレゲンの定理は t 1 ≠ t 2 {\displaystyle t_{1}\neq t_{2}} であったとしても、以下の形で成立する。
∑ i = 1 N V i ( t 1 ) ⋅ I i ( t 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}V_{i}(t_{1})\cdot I_{i}(t_{2})=0}
これの意味するところは、電位差の列 V 1 , V 2 , ... , V N {\displaystyle {V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{N}}} と電流の列 I 1 , I 2 , ... , I N {\displaystyle {I_{1},I_{2},\dotsc ,I_{N}}} のサンプリングをそれぞれの列内で同時刻に行っていれば、電位差と電流のサンプリング時刻はテレゲンの定理の保存する情報に影響しないということである。
ある連結有向グラフ(それぞれの枝に向きを定義したグラフ)を考える。枝 (branch) の数を b {\displaystyle b} 、節点 (node) の数を n {\displaystyle n} と置く。電気回路においては、枝はふたつの端子を持つ素子であり、節点はそれらの接続点である。それぞれの枝には電位差 W k {\displaystyle W_{k}} と電流 F k {\displaystyle F_{k}} が定められているとする。このとき k = 1 , 2 , ... , b {\displaystyle k=1,2,\ldots ,b} である、それぞれ枝の方向に対して、一定の規則で正の向きを定める。 W 1 , W 2 , ... , W b {\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots ,W_{b}} がキルヒホッフの電圧則 (Kirchhoff's voltage law, KVL) に従い、また F 1 , F 2 , ... , F b {\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{b}} がキルヒホッフの電流則 (Kirchhoff's current law, KCL) に従うならば、以下の関係が成立する。
∑ k = 1 b W k F k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0}
このようにして作られた ( n − 1 ) × b {\displaystyle (n-1)\times b} の行列を規約接続行列 (reduced incidence matrix) と呼び、 A {\displaystyle \mathbf {A} } で表す。
とり去った行に対応する節点を基準節点と呼び、この電位を0とする。そして基準節点以外の各節点の電位を w i {\displaystyle w_{i}} と定める。これを並べた次元 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} のベクトルを w {\displaystyle \mathbf {w} } とする。このとき枝の電位差 W k {\displaystyle W_{k}} は、始点節点の電位 w b {\displaystyle w_{b}} 、終点節点の電位 w e {\displaystyle w_{e}} を用いて
W k = w b − w e {\displaystyle W_{k}=w_{b}-w_{e}}
であるから、
W = A T w {\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {w} }
と書ける。ここで W {\displaystyle \mathbf {W} } は W k {\displaystyle W_{k}} を並べた次元 b {\displaystyle b} のベクトルである。また同様に F k {\displaystyle F_{k}} を並べたベクトル F {\displaystyle \mathbf {F} } を定義する。