角谷の不動点定理
Cambridge, MA: MIT
1 2 Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). “Chapter 17”. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3rd ed.). Springer
↑ Starr, Ross M. (1997). General Equilibrium Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56473-1. https://books.google.co.jp/books?id=Lv3VtS9CcAoC&pg=&redir_esc=y&hl=ja
↑ Glicksberg, I.L. (1952). “A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem, with Application to Nash Equilibrium”. Proceedings of the American Mathematical Society 3 (1): 170–174. doi:10.2307/2032478.
角谷の不動点定理は、アービング・グリックスバーグとキー・ファン(英語版)によって無限次元の局所凸位相ベクトル空間へ拡張された。この場合における定理を説明するために、次の定義が必要となる:
ケン・ビンモアは、ゲーム理論に関する自身の著書の中で、研究集会の際になぜ彼の講演に多くの経済学者が参加するのか角谷に尋ねられたことを記している。ビンモアが、それはおそらく角谷の不動点定理のせいだろうと答えると、角谷は困惑してこのように答えたという。「角谷の不動点定理とは何だ?」。
角谷の原著論文を含むいくつかの文献では、上半連続性(英語版)の概念を用いた次のような定理の表現も見られる:
S を、ユークリッド空間 R の空でないコンパクトな凸部分集合とする。φ: S→2 を S 上の上半連続(英語版)な集合値函数で次の性質を満たすものとする:φ(x) はすべての x ∈ S に対して空でなく、閉かつ凸である。このとき、φ は不動点を持つ。
この角谷の定理の内容は、本記事の始めに説明された内容と全く同じものである。
この定理は、コンパクトなハウスドルフ値域空間 Y に対して集合値函数 φ: X→2 が閉グラフを持つための必要十分条件は、それが上半連続であり、すべての x に対して φ(x) が閉集合であることを述べた、集合値函数に対する閉グラフ定理を使うことで証明できる。すべてのユークリッド空間は(距離空間となって)ハウスドルフであるため、角谷の定理のこの別の表現において φ は閉値であることが要求され、閉グラフ定理によって二つの主張は同値であることが従う。