線形回帰
回帰係数の推定量 β ^ i {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{i}} は正規分布 N ( β i , σ 2 ( X ⊤ X ) i i − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(\beta _{i},\sigma ^{2}({\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}})_{ii}^{-1}\right)} に従うことから
T = β ^ i − β i ( X ⊤ X ) i i − 1 S 2 {\displaystyle T={\dfrac {{\hat {\beta }}_{i}-\beta _{i}}{\sqrt {({\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}})_{ii}^{-1}S^{2}}}}}
は自由度 n − p − 1 {\displaystyle n-p-1} の t {\displaystyle t} 分布に従う。
ここで ( X ⊤ X ) i i − 1 {\displaystyle ({\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}})_{ii}^{-1}} は行列 X ⊤ X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}}} の第 ( i + 1 , i + 1 ) {\displaystyle (i+1,i+1)} 成分である。(添え字 i {\displaystyle i} は0から始まることに注意。)
これより適当な有意水準 α {\displaystyle \alpha } で
帰無仮説: β i = 0 {\displaystyle \beta _{i}=0}
対立仮説: β i ≠ 0 {\displaystyle \beta _{i}\neq 0}
を検定することできる。