チェバの定理
線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する。 三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF:FBで高さが等しいので、
A F F B = △ A F O △ B F O . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.}
同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF:FBで高さが等しいので、
A F F B = △ A F C △ B F C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.}
この2式より、
A F F B = △ A F C − △ A F O △ B F C − △ B F O = △ A O C △ B O C . {\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC-\triangle AFO \over \triangle BFC-\triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.}
三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD:DCで高さが等しいので、
B D D C = △ B D O △ C D O .
同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE:EAで高さが等しいので、
C E E A = △ C E B △ A E B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.}
この2式より、
C E E A = △ C E B − △ C E O △ A E B − △ A E O = △ C O B △ A O B . {\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB-\triangle CEO \over \triangle AEB-\triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.}
すなわち、定理の左辺は
△ A O C △ B O C ⋅ △ B O A △ C O A ⋅ △ C O B △ A O B {\displaystyle {\triangle AOC \over \triangle BOC}\cdot {\triangle BOA \over \triangle COA}\cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}}
であるので1に等しい。