ホッジ理論
一般に、ホッジ理論はコンパクト多様体 M 上の任意の楕円型複体に適用できる。
E0, E1, ..., EN を M 上の計量を持つベクトル束とし、
L i : Γ ( E i ) → Γ ( E i + 1 ) {\displaystyle L_{i}\colon \Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}
をこれらベクトル束の切断の空間上に作用する微分作用素として、これらの成す複体
Γ ( E 0 ) → Γ ( E 1 ) → ⋯ → Γ ( E N ) {\displaystyle \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \dotsb \to \Gamma (E_{N})}
が楕円型であるとする。これらの直和
L = ⨁ L i : E ∙ → E ∙ ( E ∙ = ⨁ Γ ( E i ) ) {\displaystyle L=\bigoplus L_{i}\colon {\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\quad ({\mathcal {E}}^{\bullet }=\bigoplus \Gamma (E_{i}))}
より一般的には、n-次元トーラス T 上では、k-形式の様々な方向を考えることができて、 H dR k ( T n ) {\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})} の基底ベクトルを作ることに使うことができる nCk 個のそのような選び方がある。従って、n-次元トーラスのド・ラームコホモロジー群の k-次ベッチ数は、nCk である。
さらに詳しくは、微分可能多様体 M に対して、あるリーマン計量を与えることができて、ラプラシアン Δ は次で定義される。
Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d\,}
ここで d は外微分であり、δ は余微分である。ラプラシアンは微分形式の外積代数上に作用する(次数付き) 線型微分作用素として同次(homogeneous)である。次数 k の各々の成分への作用を別々にみることができる。
M がコンパクトで向き付け可能であれば、(ホッジ理論により)k-形式の空間上に作用するラプラシアンの核の次元は、次数 k のド・ラームコホモロジー群の次元に等しくなる。ラプラシアンは、閉形式の各々のコホモロジー類の中の調和形式を一意に取り出す。特に M 上の全ての調和 k-形式の空間は H(M; R) に同型となる。各々のそれらの空間の次元は有限で、k-番目のベッチ数で与えられる。