一般相対性理論の数学
テンソルの分類は純粋に数学の問題である。しかしながら、一般相対性理論では、物理的な解釈を持つあるテンソルを、物理に対応するテンソルの微分形式として分類することができる。一般相対性理論で有用なテンソルの分類の例として、エネルギー・運動量テンソルのセグレ分類(英語版)(Segre classification) やワイルテンソル(英語版)(Weyl tensor) のペトロフ分類(英語版)(Petrov classification) がある。これらのテンソルの分類は様々な方法があり、それらの内のいくつかはテンソル不変量を使っている。
を得る。
添字を入れ替える前の式から入れ替えた式を引き、クリストッフェル記号の対称性を思い起すと、
∇ σ , μ V ν − ∇ μ ; σ V ν = ∂ μ Γ ρ σ ν V ρ − ∂ σ Γ ρ μ ν V ρ + Γ α σ ν Γ ρ α μ V ρ − Γ α μ ν Γ ρ α σ V ρ {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }V_{\rho }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }V_{\rho }}
いくつかの物理量はその成分のすべてが独立ではないテンソルで表現されることがある。そのようなテンソルの重要な例としては、対称テンソルと反対称テンソルを含む。反対称テンソルは、回転を表現することによく使われる (たとえば、渦流テンソル(英語版)(vorticity tensor))。
4次元でランクR のテンソルは一般に4 個の成分を持つが、対称あるいは反対称といった制約によって独立な成分の数が減る。例えば、ランク 2の対称テンソル T {\displaystyle \scriptstyle T} は T a b = T b a {\displaystyle \scriptstyle T_{ab}\;=\;T_{ba}} を満たし、独立な成分は10個となる。一方、ランク 2の反対称テンソル P {\displaystyle \scriptstyle P} は P a b = − P b a {\displaystyle \scriptstyle P_{ab}\;=\;-P_{ba}} を満し、独立な成分は6個である。2よりも大きなランクに対しては、添字のうちどれが対称、あるいは反対称なペアであるかは明示的に示さなければならない。
ランク 2の反対称テンソルは、一般相対性理論の中で重要な役割を果たす。そのようなテンソルの集合は、しばしば双ベクトル(英語版)とも呼ばれ、双ベクトル空間と呼ばれる 6次元のベクトル空間を形成する。
∇ a ( X b + Y b ) = ∇ a X b + ∇ a Y b , ∇ a ( X b Y c ) = Y c ( ∇ a X b ) + X b ( ∇ a Y c ) , ∇ a ( f ( x ) X b ) = f ∇ a X b + X b ∇ a f = f ∇ a X b + X b ∂ f ∂ x a , ∇ a ( c X b ) = c ∇ a X b , c is constant {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})&=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b},\\\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})&=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c}),\\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}{\partial f \over \partial x^{a}},\\\nabla _{a}(cX^{b})&=c\nabla _{a}X^{b},\quad c{\text{ is constant}}\end{aligned}}}
一般相対性理論では、通常、共変微分というときは、レヴィ・チヴィタ(のアフィン)接続についての共変微分のことをいう。定義により、レヴィ・チヴィタ接続は平行移動の下に計量を保存するので、計量テンソル上に作用するとき共変微分は 0となる(その逆も同じ)。このことは、(逆)計量テンソルをとり、微分の添字の上げ下げに使うことができることを意味する。
∇ a T b = ∇ a ( T c g b c ) = g b c ∇ a T c {\displaystyle \nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}}