三角関数
sinx/x の x → 0 における極限が 1 であることを証明するときに、中心角 x ラジアンの扇形の面積を2つの三角形の面積ではさんだり、弧長を線分の長さではさんだりして、いわゆるはさみうちの原理から証明する方法がある。これは一般的な日本の高校の教科書にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある。ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。例えば面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。このことが循環論法と呼ばれているのである。
単位円板の面積が π であることを自明な概念と考えてしまえば循環論法にはならないが、これはいくつかの決められた公理・定義から論理的演繹のみによって証明されたものだけを正しいと考える現代数学の思想とは相反するものである。循環論法を回避する方法の 1 つは、正弦関数と余弦関数を上述のような無限級数で定義するものである(これは三角関数の標準的な定義の 1 つである。
三角関数の変数に対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものにおける位相などが挙げられる。
三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f(x) の累乗は (f(x)) = f(x)・f(x) や (f(x)) = 1/f(x) のように書くが、三角関数の累乗は sinx のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f(x)) と同じく、sinx などと表す(この文脈では、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x または (sin x) のように表される)。文献または著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 を添え字にする代わりに関数の頭に arc を付けることがある(たとえば sin の逆関数として sin の代わりに arcsin を用いる。Arc を付けて Arcsin と表すこともある)。
三角関数に似た性質をもつ関数として、指数関数、双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。
cosa = −cosb cosc + sinb sinc cosα
cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosa
である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sinx を arcsinx と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を
− π 2 ≤ sin − 1  x ≤ π 2 0 ≤ cos − 1  x ≤ π − π 2 < tan − 1  x < π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\pi }{2}}&\leq \sin ^{-1}x\leq {\frac {\pi }{2}}\\0&\leq \cos ^{-1}x\leq \pi \\-{\frac {\pi }{2}}&<\tan ^{-1}x<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sinx, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。