中国の数学
中国における三角法の未発達状態は、宋代の間にゆっくりと変化して進歩が始まり、そこで中国の数学者は暦科学と天文計算における球面三角法の必要性を主張し始めた。博学者で中国の科学者、数学者、官僚の沈括(1031-1095)は三角関数を使って和音と円弧の数学的問題を解いた。沈括の「交差する円の技法」公式で、彼は円sの円弧の近似を s = c + 2v/d と算出した(ここでdは直径、vは余弦、cは円弧の範囲内の弦の長さ)とヴィクター・カッツは書いている。サル・レスティボは、13世紀に数学者で天文学者の郭守敬(1231年-1316年)によって開発された球面三角法の基礎を、円弧の長さに関する沈の研究が提供したと書いている 。歴史学者L. Gauchetとジョゼフ・ニーダムが述べているように、郭守敬は彼の計算に球面三角法を用いて中国の暦体系と天文学を改善した。
沈括と郭守敬の三角法に関する研究の成果にもかかわらず、中国の三角法に関するもう1つの重要な研究は1607年まで再び発表されることはなく、中国の官吏で天文学者の徐光啓(1562年-1633年)とイタリアの マテオ・リッチ(1552年-1610年)による共著『ユークリッド原論』を待つことになる。
3世紀に、劉徽は九章算術の注釈本を著すと、ピタゴラスの定理(九章により既知のもの)および三角測量や四角測量の使用を扱う『海島算経』も執筆した。数学的測量における彼の功績は、西洋で千年かかって到達したものを上回った。彼は自身の円周率演算式(en:Liu Hui's π algorithmを参照)でπ= 3.1416を計算した、最初の中国の数学者である。彼は円柱の体積の正確な公式を見つけるためのカヴァリエリの原理の使用法を発見し、さらに西暦3世紀に微分積分学の要素を開発した。
4世紀に、祖沖之という別の有力な数学者が大明暦を導入した。 このカレンダーは、ある期間に起こりうる多くの宇宙論的サイクルを予測するために特別に計算された。彼の人生についてはほとんど知られていない。今日では、唯一の情報源として『隋書』があり、祖沖之が数学者の一人だという事が分かっている。彼は劉徽の円周率演算式(96角形)を使ってそれを1万2288角形に適用し、小数点以下7桁までの正確な円周率の値(3.1415926<π<3.1415927)を得た。これは以後900年にわたって利用可能な最も正確なπの近似値となった。彼はまた自分の天文学と数学の仕事においてこの無理数を分数で近似化するために何承天の調日法を使って、円周率の近似値となる良い分数の密率 355 113 {\displaystyle {\tfrac {355}{113}}} を得た。三上義夫は、1585年にオランダの数学者Adrian Anthoniszoomがそれを再発見するまで、ギリシャ人もヒンズー教徒もアラブ人もこの近似分数について知らず、「それゆえ中国人はヨーロッパよりも丸一千年以上早く、全ての小数値の中で最も精緻なものを持っていた」と述べている。
元王朝の転覆後、中国はモンゴルが好む知識を疑わしく感じるようになった。官吏は数学や物理学を避けるようになり、植物学および薬理学を支持した。科挙にはほとんど数学が含まれておらず、そのことが直近の発展を妨げていた。Martzloffは次のように書いている。
明朝の数学を避ける方針に呼応して、学者らは数学にあまり注意を払わなかった。顧応祥や唐順之などの優れた数学者は天元術を知らなかったようである。それらを口頭説明する対話者がいないことで、そのテキストが急速に理解できなくなってしまった。さらに悪いことに、ほとんどの問題がもっと基本的な方法で解決できた。そのため平均的な学者にとって天元術は数秘術のように思えた。Wu Jingが以前の王朝のすべての数学的作品を『九章算術』注釈本にまとめたとき、彼は天元術と増乗開平法(ホーナー法)を省いてしまった。
代わりに、数学的進歩は計算道具に集中するようになった。15世紀に、そろばんは算盤(さんばん)の形状になった。速くて正確、使いやすくて持ち運びが簡単な計算法として、算木を急速に上回った。そろばんによる計算の「珠算」は、複数の新しい作品に影響を与えた。1592年に程大位によって出版された17巻の著作『算法統宗』は、300年以上にわたって使用され続けた。
ユークリッドの最初と3番目の定義およびプラトンの「線の始まり」と非常によく似ており、『墨子』は「点は出産時における胎児の頭の位置のように(線分の)終わりあるいは始まりにあるかもしれない。(その不可視性に関して)それに類似するものは何もない」と述べている。デモクリトスの原子論者と同様に、『墨子』は点が最小単位であり半分にすることはできない、それ以上は「何もない」から分割できない、と述べた。「長さの比較」や「平行」の定義を提示しながら空間および有界空間の原則とともに 、同じ長さの2線は常に同じ場所で終わると述べた。また、厚さの質がない平面は互いに接触することができないため積み重ねることができないという事実も説明していた 。同書は、体積の定義とともに、円周、直径、半径という単語認識を提示した。
数学的発展の歴史には証拠がいくつか欠落している。特定の数学的古典についてはまだ議論中である。例えば『周髀算経』は紀元前1200-1000年頃とされるが、紀元前300-250年の間に書かれたと確信している学者も多い。『周髀算経』は勾股定理(ピタゴラスの定理の特殊ケース)の徹底的な証明を含んでいるが、より天文計算に集中して掘り下げている。しかし、最近の考古学的発見である清華簡(紀元前305年頃)は、既知の10進法での最初の掛け算九九表など、秦代以前の数学のいくつかの側面を明らかにしている。
そろばんは紀元前2世紀に「算木計算」と並んで最初に言及された。算木計算(籌算)とは、連続した正方形格子に小さな竹棒が配置されるものである。