ガロワコホモロジー
ガロワコホモロジーの現在の理論は代数的整数論においてイデアル類群のガロワコホモロジーが自身を L-関数とのつながりから取り除く過程の時に類体論を定式化する1つの方法であることが実現されたときに1950年頃一体となった。ガロワコホモロジーはガロワ群がアーベル群であるという仮定を全くしないので、これは非アーベルコホモロジー論(英語版)であった。それは類構造(英語版)の理論として抽象的に定式化された。1960年代の2つの発展は position を turn around した。1つ目に、ガロワコホモロジーはエタールコホモロジー(大雑把に言うと 0 次元スキームに適用するときの理論)の基本的な layer として現れた。2つ目に、非可換類体論がラングランズ哲学の一端として着手された。
ガロワコホモロジーと同一視できる初期の結果は代数的整数論と楕円曲線の数論においてかなり前から知られていた。正規基底定理は L の加法群の一次コホモロジー群が消えることを意味している。これは一般の体拡大についての結果であるが、リヒャルト・デデキントにある形で知られていた。乗法群に対する対応する結果はヒルベルトの定理90として知られており、1900年以前に知られていた。クンマー理論は理論の別のそのような早期の部分であった。これは m 次冪写像から来る連結準同型の記述を与える。
実はしばらくの間巡回とは限らない群の 1-コサイクルの乗法的な場合はエミー・ネーターにちなんで名づけられたネーターの方程式が解決できることとして定式化された。それらはこの名前でガロワ理論のエミール・アルティンの扱いにおいて現れ、1920年代はたぶん folklore だった。