エアリー関数
Bi  ( z ) ∼ e 2 3 z 3 2 π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ Γ ( n + 5 6 ) Γ ( n + 1 6 ) ( 3 4 ) n 2 π n ! z 3 n / 2 ] {\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right]}
存在するが |arg(z)| < π/3 でしか適用できない。
π/3 < |arg(z)| < π のときのより正確な Ai(z) および Bi(z) に対する公式、あるいは同じことだが |arg(z)| < 2π/3 だが零でないときの Ai(−z) および Bi(−z) の漸近近似が
A i ( − z ) ∼ sin  ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) !
エアリー関数の定義を
Ai  ( z ) = 1 2 π i ∫ C exp  ( t 3 3 − z t ) d t {\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)dt}
と置くことにより複素数平面まで拡張することができる。ただし、積分路 C は偏角 −π/2 の無限遠点 −∞i から偏角 π/2 の無限遠点 ∞i までとる。あるいは、微分方程式 y′′ − xy = 0 によって Ai(x) および Bi(x) を複素数平面上の整関数に拡張することもできる。
Ai(x) に対する漸近公式は、x の主値をとり、x が負の実軸の近くを除いて有界ならば、複素数平面上でもやはり有効である。Bi(x) に対する漸近公式が有効なのは、x が適当な δ > 0 に対する扇形 {x ∈ C : |arg(x)| < π⁄3 − δ} にあるときである。また、Ai(−x), Bi(−x) に対する公式は x が扇形 {x ∈ C : |arg(x)| < 2π⁄3 − δ} にあるとき有効である。
エアリー関数の漸近的挙動から分かることは、Ai(x), Bi(x) ともに負の実軸上に無限個の零点を持つことである。関数 Ai(x) は複素数平面上に他の零点を持たないが、Bi(x) は扇形 {z ∈ C : π⁄3 < |arg(z)| < π⁄2} にも無限個の零点を持つ。