オイラー予想
箇条書きされている式は、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想の反例である。 そうではない式は、n 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想に従う例である。
オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。
しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって n = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、27 + 84 + 110 + 133 = 144 が成り立つことが確認された。
この発見から n = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 2682440 + 15365639 + 18796760 = 20615673 という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に解決された。
また、2004年にはジム・フライによってn=5の場合の反例85282 + 28969 + 3183 + 55 = 85359が発見された。