双複素数
双複素数の全体は、複素数体 C 上の多元環として二次元であり、C は実数体 R 上二次元であるから、双複素数の全体は R 上四次元の多元環になる。実は、双複素数は実多元環としての取り扱いのほうが複素多元環としてのそれよりも古く、実多元環として「テッサリン」と呼ばれたのが1848年であるのに対し、複素多元環としての扱いは1892年まで導入されなかった。
R 上四次元のテッサリン代数 T の基底は、冒頭に挙げた行列表示を z = 1 および z = −i に特殊化して得られる行列 k = ( 0 i i 0 ) , j = ( 0 1 1 0 ) {\textstyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\,j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} (これらの積が上記の乗積表に従うことに注意せよ)を与えればよい。単位行列をテッサリンの 1 に同一視して、各テッサリンは t ≔ w + zj の形をしている。
「可換超複素数系」(commutative hypercomplex numbers) としてのテッサリン代数は Clyde M. Davenport (1978, 1991, 2008) が提唱した(ダヴェンポートの乗積表では、上掲の乗積表の j と −k が入れ替わっている)。特にダヴェンポートは、テッサリン代数 T と二つの複素数平面の直和 C ⊕ C との間の同型対応の有効性について注意している。テッサリンはデジタル信号処理にも応用された。
↑ Corrado Segre (1892), “Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici (The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities)”, Mathematische Annalen 40: 413-467, doi:10.1007/bf01443559, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0040&DMDID=DMDLOG_0034&L=1
↑ G. Baley Price (1991) An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X
↑ F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) The Mathematics of Minkowski Space-Time with an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers, Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 978-3-7643-8613-9
双複素数のノルムは合成性質(乗法性)を持つ。すなわち、ふたつの双複素数の積に対する二次形式は、個々の双複素数に対する二次形式同士の積に等しい: N(st) = N(s)N(t)。二次形式の積に関するこの性質を示した式はブラフマグプタ–フィボナッチの等式と呼ばれる。双複素数のノルムがこの性質を満たすことは、双複素数全体の成す環が合成代数を成すことを言うものである。実は、双複素数環は複素数体 C とその上の二次形式 z を一元数とするケイリー–ディクソン構成において二元数として生じる。
一般の双複素数は、行列 ( w i z i z w ) {\textstyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}} として表現することができる。この行列式は w + z となるから、上記の二次形式の合成性質は行列式の乗法性として理解できる。