有限アーベル群の構造定理
n = 1 のときは空列を取ればよい。n > 1 として、位数が n より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解が存在すると仮定する。G を位数 n の有限アーベル群、e をその冪数とすれば、冪数の性質(フランス語版)により G は位数 e の巡回部分群 C1 を持ち、(補題 1 により)適当な部分群 K により G = C1 × K と書ける。帰納法の仮定により、K は適当な巡回部分群の列 C2, ..., Ck の直積であり、i = 2, ..., k − 1 に対して Ci+1 の位数は Ci の位数を割り切る。さらに、e および C1 の定義により C2 の位数は C1 の位数を割り切る。