ウィーナー＝池原の定理
素数定理は、リーマンゼータ関数 ζ(s) の対数微分で定義される
f ( s ) = − ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s {\displaystyle f(s)=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}
にウィーナー=池原の定理を適用することで示すことができる。実際、ζ(s) はRe(s)=1上で零点を持たず、かつ s=1 での留数1の1位の極を除いて、半平面Re(s) ≥ 1で解析的である。
よって、
g ( s ) = f ( s ) − 1 s − 1 {\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {1}{s-1}}}
はRe(s) ≥ 1で解析的であり、ディリクレ級数におけるウィーナー=池原の定理の系からチェビシェフ関数ψ(x)は
ψ ( x ) ∼ x x → ∞ {\displaystyle \psi (x)\sim x\quad x\to \infty }
を満たす。
解析的整数論では、次のメリン=スティルチェス変換、もしくはディリクレ級数に適用した次の系が応用される。