スターリングの近似
である。故に
log  Γ ( z ) = log  2 π 2 − z + ( z − 1 2 ) log  z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 + O ( z − 2 m ) {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {\log 2\pi }{2}}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}+O\left(z^{-2m}\right)}
を得る。最初の数項を書き下せば
スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号を用いて、
log  n ! = n log  n − n + O ( log  n ) {\displaystyle \log n!=n\log n-n+O(\log n)}
である。O(log n) における次の項は (1/2)log 2πn である。故に、次によい近似の漸近公式(英語版)は
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
である。(ここで記号 ∼ {\displaystyle \sim } は両辺の比が(n → ∞ のとき) 1 に収束することを意味する。)
n! の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。そのような評価として、任意の正の整数 n に対して
2 π n n + 1 / 2 e − n ≤ n ! ≤ e n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq en^{n+1/2}e^{-n}}
f ( 2 m + 1 ) ( n ) d n = lim N → ∞ ( z − 1 ) log  N + [ n log  n − n − ( n + z − 1 ) log  ( n + z − 1 ) + ( n + z − 1 ) ] n = 1 N + 1 2 { log  N − log  ( N + z − 1 ) − log  z } + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = lim N → ∞ ( N + z − 1 2 ) { log  N − log  ( N + z − 1 ) } + ( z − 1 2 ) log  z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = − z + 1 + ( z − 1 2 ) log  z − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) ( 1 − 1 z 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!
| ∫ − ε ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u − ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | ≤ | z O ( ε 4 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | = | O ( z − 1 3 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | {\displaystyle \left|\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du-\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|\leq \left|zO(\varepsilon ^{4})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|=\left|O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|}
となる。