振動積分作用素
数学の調和解析の分野における振動積分作用素(しんどうせきぶんさようそ、英: oscillatory integral operator)とは、次の形式で記述される積分作用素のことを言う:
T λ u ( x ) = ∫ R n e i λ S ( x , y ) a ( x , y ) u ( y ) d y , x ∈ R m , y ∈ R n . {\displaystyle T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbf {R} ^{m},\quad y\in \mathbf {R} ^{n}.}
ここで、函数 S(x,y) は作用素のフェーズ(phase)と呼ばれ、函数 a(x,y) は作用素のシンボル(英語版)と呼ばれる。λ はパラメータである。しばしば、S(x,y) は滑らかな実数値函数で、a(x,y) は滑らかかつコンパクトな台を持つ函数であると仮定される。通常、大きな値を取る λ に対する作用素 Tλ の挙動に、研究の興味は注がれる。
振動積分作用素は、数学の多くの分野(解析学、偏微分方程式論、積分幾何学(英語版)、数論など)や、物理学の分野において、たびたび扱われる。振動積分作用素の性質は、エリアス・スタインとその学派によって研究されている。