テンソル積
すなわち
v = ∑ i a i ξ i , w = ∑ j b j η j {\displaystyle v=\sum _{i}a_{i}\xi _{i},\quad w=\sum _{j}b_{j}\eta _{j}}
に対して、これらのテンソル積は
v ⊗ w := ∑ i , j a i b j ( ξ i ⊗ η j ) {\displaystyle v\otimes w:=\sum _{i,j}a_{i}b_{j}(\xi _{i}\otimes \eta _{j})}
と定められる。ベクトルのテンソル積は以下の性質を満たす: ベクトル v, v′, v′′ ∈ V および w, w′, w′′ ∈ W とスカラー λ ∈ F に対して
すなわち、写像 ⊗: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w は F-双線型写像である。これらの性質は、テンソル積がベクトルの和に対して分配的であり、スカラー倍に対して結合的であるように捉えることができる(これらが「積」と呼ぶ由縁である)。
ベクトルのテンソル積は一般には可換でない。実際、V ≠ W のとき v ∈ V, w ∈ W に対して、それらのテンソル積は v ⊗ w ∈ V ⊗ W および w ⊗ v ∈ W ⊗ V で属する空間自体が異なる。また V = W のときでも v ⊗ w と w ⊗ v は一般には異なる。
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, ..., ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, ..., ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V ⊗ F W ( = V ⊗ W ) := span F  ( ( ξ i , η j ) ∣ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) {\displaystyle V\otimes _{F}W(=V\otimes W):=\operatorname {span} _{F}((\xi _{i},\eta _{j})\mid 1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)}
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ⊗ W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "⊗" を用いて ξi ⊗ ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
∑ i , j c i j ( ξ i ⊗ η j ) {\displaystyle \sum _{i,j}c_{ij}(\xi _{i}\otimes \eta _{j})}
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ⊗ w が定義できる。実際、基底ベクトル ξ ∈ V と η ∈ W のテンソル積 ξ ⊗ η ∈ V ⊗ W は与えられているから、任意のベクトルの積はこれを双線型な仕方で拡張して得られる。