スターリング数
{ n k } = { n − 1 k − 1 } + k { n − 1 k } {\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}+k\,\left\{{n-1 \atop k}\right\}}
なる漸化式で計算できる。この漸化式は、上記の級数展開による定義から導出できる。その漸化式に従うと、第2種スターリング数は下表のよう計算される。
第2種スターリング数 { n k } {\displaystyle \{{\textstyle {n \atop k}}\}} は、第1種スターリング数に符号補正を施した ( − 1 ) n + k [ n k ] {\displaystyle (-1)^{n+k}[{\textstyle {n \atop k}}]} に対して逆行列の関係、すなわち、
∑ k = 0 N ( − 1 ) n + k [ n k ] { k m } = δ n m {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{N}(-1)^{n+k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]\,\left\{{k \atop m}\right\}=\delta _{nm}}
の関係を満たす。ただし、 N ≥ n , m {\displaystyle N\geq n,m} とする。また、 δ n m {\displaystyle \delta _{nm}} はクロネッカーのデルタである。
∑ k = 0 n [ n k ] = n ! , ∑ k = 0 n 2 k [ n k ] = ( n + 1 ) ! , ∑ k = 0 n ( − 1 ) k [ n k ] = 0 ( n ≥ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=n!,\\&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}2^{k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=(n+1)!,\\&\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=0\quad (n\geq 2)\end{aligned}}}
第1の関係式は、 1 n ̄ = n ! {\displaystyle 1^{\overline {n}}=n!} から導かれる。第2の関係式は 2 n ̄ = ( n + 1 ) ! {\displaystyle 2^{\overline {n}}=(n+1)!} から導かれる。第3の関係式は n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} に関して、 ( − 1 ) n ̄ = 0 {\displaystyle (-1)^{\overline {n}}=0} であることから導かれる。