ハウスドルフ次元
Kenneth Falconer、服部 久美子・村井 浄信(訳)、2006、『フラクタル幾何学』、共立出版〈新しい解析学の流れ〉 ISBN 4-320-01801-X
K.J.ファルコナー、畑 政義(訳)、1989、『フラクタル集合の幾何学』初版、近代科学社 ISBN 4-7649-1013-6
山口 昌哉・畑 政義・木上 淳、1993、『フラクタルの数理』初版、岩波書店〈岩波講座 応用数学1 [対象7]〉 ISBN 4-00-010511-6
本田 勝也、2002、『フラクタル』初版、朝倉書店〈シリーズ非線形科学入門1〉 ISBN 978-4-254-11611-3
石村 貞夫・石村 園子、1990、『フラクタル数学』初版、東京図書 ISBN 4-489-00332-3
青木 統夫、2004、『測度・エントロピー・フラクタル』初版、共立出版〈非線形解析III〉 ISBN 4-320-01773-0
山口 昌哉、1986、『カオスとフラクタル ―非線形の不思議―』、講談社〈ブルーバックス B-652〉 ISBN 4-06-132652-X
B.マンデルブロ、広中 平祐(監訳)、2011、『フラクタル幾何学 下』、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉 ISBN 978-4-480-09357-8
新井 仁之、2023、『ルベーグ積分講義 ―ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち―』改訂版、日本評論社 ISBN 978-4-535-78945-6
を満たすならば
dim H  ( f ( X ) ) = dim H  ( X ) {\displaystyle \dim _{H}(f(X))=\dim _{H}(X)}
が成り立つ。これによって、位相幾何学で同相写像の存在によって2つの集合を「同じ」と見なすように、フラクタル幾何学では双リプシッツ写像の存在によって「同じ」と見なす取り組み方が成立する。
R の部分集合を Aとし、R の部分集合を Bとすると、これらの直積集合 A × B = {(x, y) ∈ R | x ∈ R, y ∈ R} のハウスドルフ次元について一般的に成り立つ関係は
dim H  ( A × B ) ≤ dim H  ( A ) + dim H  ( B ) {\displaystyle \dim _{H}(A\times B)\leq \dim _{H}(A)+\dim _{H}(B)}
である。しかし、後述の dimB に対して dimH(X) = dimB(X) が満たされるならば、
dim H  ( A × B ) = dim H  ( A ) + dim H  ( B ) {\displaystyle \dim _{H}(A\times B)=\dim _{H}(A)+\dim _{H}(B)}
が成り立つ。
射影に関しては、X を R の部分空間へ写す正射影を p(X) とすると
dim H  ( p ( X ) ) ≤ dim H  ( X ) {\displaystyle \dim _{H}(p(X))\leq \dim _{H}(X)}
が一般的な関係として成り立つ。