レヴィ・チヴィタ接続
曲率はクリストッフェル記号 Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} を用いて以下のように表すことができる:
定理 ― R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j = R i j k l ∂ ∂ x i {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} と成分表示すると、以下が成立する:
R i j k l = ∂ Γ i l j ∂ x k − ∂ Γ i k j ∂ x l + Γ i k m Γ m l j − Γ i l m Γ m k j {\displaystyle R^{i}{}_{jk\ell }={\partial \Gamma ^{i}{}_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma ^{i}{}_{kj} \over \partial x^{\ell }}+\Gamma ^{i}{}_{km}\Gamma ^{m}{}_{\ell j}-\Gamma ^{i}{}_{\ell m}\Gamma ^{m}{}_{kj}}
以下のようにも成分表示できる:
↑ この名称は L ̄ ( x , v ) = g x ( v , v ) 2 {\displaystyle {\bar {L}}(x,v)={\tfrac {g_{x}(v,v)}{2}}} が物理学的にエネルギーに対応している事による。これは L ̄ ( x , v ) {\displaystyle {\bar {L}}(x,v)} が質量m=1の場合の運動エネルギー | v | 2 2 {\displaystyle {\tfrac {|v|^{2}}{2}}} と同じ形をしている事から了解できるであろう。より正確には、ローレンツ多様体上で考えた L ̄ ( x , v ) {\displaystyle {\bar {L}}(x,v)} が一般相対性理論における4元エネルギーである。対応する測地線方程式は自由落下に相当する。なお、質量mの場合のラグランジアン L ̄ ( x , v ) = m g x ( v , v ) 2 {\displaystyle {\bar {L}}(x,v)={\tfrac {mg_{x}(v,v)}{2}}} に対応する測地線方程式も、両辺をmで割ればよいのでm=1の場合と同一になる。
1 2 成分表示の添字の取り方は文献によって異なるので注意されたい。我々は#Kobayashi-Nomizu-1 p.
また、
ξ : U ⊂ R 2 → M {\displaystyle \xi ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M}
を任意のなめらかな関数とし、
X := ξ ∗ ( ∂ ∂ x 1 ) {\displaystyle X:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)} 、 Y := ξ ∗ ( ∂ ∂ x 2 ) {\displaystyle Y:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}\right)}
とし、 φ t X ( Q ) := e x p Q ( t X ) {\displaystyle \varphi _{t}^{X}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tX)} 、 φ t Y ( Q ) := e x p Q ( t Y ) {\displaystyle \varphi _{t}^{Y}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tY)} に沿った平行移動を
m次元リーマン多様体Mが別のリーマン多様体 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の余次元1の部分リーマン多様体、すなわち M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} 、 dim  M ̄ = dim  M + 1 {\displaystyle \dim {\bar {M}}=\dim M+1} の場合は、以下が成立する:
定理 ― i≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、
S e c u ( e i , e j ) = S e c ̄ u ( e i , e j ) + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}
ここで e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} における主方向で κ 1 , .