ビュフォンの麺
平行線が無限に、等間隔に引かれているとし、長さが平行線間の距離以下である針をランダムに投げる。針が着地したとき、平行線と交わる確率はいくらか?
これを解くのに、 l {\displaystyle l} を針の長さ、 D {\displaystyle D} を平行線間の距離とする。また θ {\displaystyle \theta } を針の向きと平行線群の法線方向がなす鋭角、 x {\displaystyle x} を針の中点と最も近い平行線との距離とする。針が平行線と交わるための条件は x < l cos  θ 2 {\displaystyle x<{\frac {l\cos \theta }{2}}} である。
ここで x , θ {\displaystyle x,\theta } はそれぞれ一様分布に従う確率変数で、標本空間は横と縦の辺長が D 2 {\displaystyle {\frac {D}{2}}} と π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} の長方形とする。
針が平行線と交わるという事象は、標本空間が x = l 2 cos  θ {\displaystyle x={\frac {l}{2}}\cos \theta } で表される曲線で切り取られる左側の部分で表せる。この面積は