コピュラ (統計学)
C ( u , v ) = [ max ( u − θ + v − θ − 1 , 0 ) ] − 1 / θ {\displaystyle C(u,v)=\left[\max \left(u^{-\theta }+v^{-\theta }-1,0\right)\right]^{-1/\theta }} ( − 1 ≤ θ < 0 {\displaystyle -1\leq \theta <0} または 0 < θ {\displaystyle 0<\theta } )
で表されるアルキメデスコピュラはクレイトン (Clayton) コピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは φ ( t ) = 1 θ ( t − θ − 1 ) {\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\theta }}\left(t^{-\theta }-1\right)} である。
θ = 0 のときは積コピュラに、θ = -1 のときはフレシェ-ヘフディング下界になる。
V C ( B ) = Δ x n y n Δ x n − 1 y n − 1 ⋯ Δ x 1 y 1 C ( t ) ≥ 0 {\displaystyle V_{C}\left(B\right)=\Delta _{x_{n}}^{y_{n}}\Delta _{x_{n-1}}^{y_{n-1}}\cdots \Delta _{x_{1}}^{y_{1}}C(\mathbf {t} )\geq 0}
ここで Δ x i y i C ( t ) = C ( t 1 , ... , t i − 1 , y i , t i + 1 , ... , t n ) − C ( t 1 , ... , t i − 1 , x i , t i + 1 , ... , t n ) {\displaystyle \Delta _{x_{i}}^{y_{i}}C(\mathbf {t} )=C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},y_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})-C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},x_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})} である。