ビオ・サバールの法則
rot  rot  A = μ 0 j {\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}
となるが、 rot  rot  A = grad  div  A − ∇ 2 A {\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {grad} \operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}} および、クーロンゲージ div  A = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {A}}=0} を適用することで
∇ 2 A = − μ 0 j {\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}
となる。今度はベクトルになっているが、演算子がスカラーなので各ベクトル成分に対して独立に同じ方程式を立てているに過ぎず、また、式の形上もスカラーポテンシャルの時と係数を除いて同じなので同じ方法を使って構成すれば
と表すことができる。 これを ds′ に関して回路一周分線積分すれば立体角の変化dΩを得ることができる。
d Ω = ( ∮ C 2 d s ′ × r r 3 ) ⋅ d s {\displaystyle \mathrm {d} \Omega \ =\left(\oint _{C_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}
回路上の微小電流要素が点Pに作る磁場はビオ・サバールの法則を積分して、
H = ∮ C 2 1 4 π I d s ′ × ( − r ) r 3 {\displaystyle {\boldsymbol {H}}=\oint _{C_{2}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-{\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}}
と得られるが、この両辺に ds を内積で乗じ、先の式を代入すると