等濃
物議を醸した1878年の論文で、カントールは集合の「濃度」("power") の概念を明示的に定義して、それを用いて自然数全体の成す集合と有理数全体の成す集合が等濃であること(これは無限集合の真部分集合がもとの集合と等濃になるという状況の一つの例を与えている)や、実数全体の成す集合のいくつか(可算無限個でもよい)のコピーの直積集合が実数全体の成す集合ひとつと等濃であることなどを示した。
1891年以降現れたカントールの定理によれば、任意の集合は自身の冪集合(部分集合全体の成す集合)に等濃となることはない。ゆえに一つ無限集合が与えられれば、それを手掛かりにより大きな無限濃度を持つ集合を次々に作り出すことができる。
選択公理が成り立つならば、各集合の基数 (cardinal number) はその集合と同じ濃度を持つ最小の順序数として定義することができる(始数の項を参照)。選択公理がない場合でも、スコットの技法により同じ濃度を持つ最小ランク (minimal ordinal rank) の集合全体の成す集合と見なせる。
任意の二つの集合の濃度が比較可能(互いに等濃であるかさもなくば一方が他方よりも濃度が小さい)であるという条件は、選択公理と同値である。
任意の集合 A に対し、A 上の恒等写像を考えれば、これは A から A への全単射ゆえ A ~ A が成り立つ。
集合がその真部分集合と等濃になる場合がある(例えば自然数全体の成す集合はその真部分集合である偶数全体の成す集合と等濃である)。そのような集合はデデキント無限であると言う。
デデキント無限でない集合が実際に有限集合となることを示すには(選択公理 (AC) よりも弱い)可算選択公理 (ACω) が必要になる。選択公理を持たないツェルメロ–フレンケル集合論 ZF は任意の無限集合がデデキント無限となることを示すには十分な強さではないが、ZF に可算選択公理を加えた ZF+ACω はそれに十分である。集合の有限性と無限性の別な定義では、選択公理を要しない。
↑ 初等幾何学における有向線分の equipollence(英語版)(同方向同長)と混同してはならない。有向線分の equipollence を同値関係とする同値類は幾何学的ベクトルである。
↑ 字義としては、接頭辞 "equi-" は「同じ」「等しい」ことを意味する。"-noumerous", "-numerosity" は「数(の)」、"-pollent", "-pollency" は「勢力(の)」「強さ(の)」の意、また "potency" は「冪」("power") の意で "cardinality" (「濃度」) の別名である。