ウィグナーのD行列
注:ここで定義されるd行列の行列要素は実数である。よく使われるz-x-z規約のオイラー角では、上式における係数 ( − 1 ) m ′ − m + s {\displaystyle (-1)^{m'-m+s}} は ( − 1 ) s i m − m ′ {\displaystyle (-1)^{s}i^{m-m'}} と置き換わり、半数が純虚数となる。d行列の要素の実数性は量子力学的応用上好ましく、ここでz-y-z規約を採用した理由の一つである。
d行列の要素はa, bを非負としてヤコビ多項式(英語版、ドイツ語版、フランス語版、スペイン語版) P k ( a , b ) ( cos  β ) {\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )} と関連づけることができる。
k = min ( j + m , j − m , j + m ′ , j − m ′ ) {\displaystyle k=\min(j+m,j-m,j+m',j-m')}
とし、
したがって、ウィグナーのD行列(の複素共役)の行と列は { J i } {\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}} および { − P i } {\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}} が生成する同型リー代数の既約表現を張る。
R ( α , β , γ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} と時間反転演算子との交換関係から帰結する、ウィグナーのD行列の重要な性質として、以下がなりたつ。
⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = ⟨ j m ′ | T † R ( α , β , γ ) T | j m ⟩ = ( − 1 ) m ′ − m ⟨ j , − m ′ | R ( α , β , γ ) | j , − m ⟩ ∗ {\displaystyle \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =\langle jm'|T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T|jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|j,-m\rangle ^{*}}