周期点
周期点 p から始まる周期軌道に対し、非周期点 x から始まる軌道が n → ∞ で収束することがある。ある周期軌道の近くの点が、その周期軌道に引き込まれ近づいていったり、反発して離れたりする問題を安定性という。一般に、写像 f の周期 k の周期点は f の不動点とみなせることから、周期点の存在と安定性の議論は f の不動点の存在と安定性の議論に落とし込むことができる。
k 周期点 p を持つ微分可能な1次元写像 f : R → R について考える。p における反復合成 f の微分 (f )′(p) の絶対値が、
| ( f k ) ′ ( p ) | < 1 {\displaystyle \left|(f^{k})^{\prime }(p)\right\vert <1}
を満たすとき、p は吸引的である、または吸引周期点などという。一方で
| ( f k ) ′ ( p ) | > 1 {\displaystyle \left|(f^{k})^{\prime }(p)\right\vert >1}
を満たすとき、p は反発的である、または反発周期点などという。
周期点 p は吸引的であれば、任意の x ∈ U が n → ∞ で f (x) → p となるような p を含むある開区間 U が存在する。周期点 p は反発的であれば、p ではない点 x ∈ U に対して、f (x) ∉ U を満たす n が存在する。これら自体を吸引的・反発的の定義とする場合もある。
さらに、周期点が双曲型であれば、周期点近傍で系は局所的に構造安定で、微小な摂動があっても定性的挙動は変わらない。一方で、周期点が非双曲型であれば、微小な摂動によって周期点の構造に変化が起き得る。パラメータを有する写像族の分岐現象では、これに係わる非双曲型周期点がしばしば発生する。
周期軌道 O 上のある周期点 p1 ∈ O が吸引的だが、別の周期点 p2 ∈ O が反発的であるというようなことは起こらない。同じ周期軌道上の周期点は全て同じ微分係数の値を持つ。よって、周期点の安定性とは、一つ一つの周期点の性質というよりも、その周期点が含まれる周期軌道全体の性質だといえる。
実際、O = {x0, ... xk−2, xk−1} という周期軌道については、合成関数の連鎖律より
( f k ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( x k − 1 ) ⋅ f ′ ( x k − 2 ) ⋯ f ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f^{k})'(x_{0})=f'(x_{k-1})\cdot f'(x_{k-2})\cdots f'(x_{0})}
が成り立ち、ある周期点における反復写像 f の微分係数は、各周期点における元の写像 f の微分係数の積と等しい。同様のことが R 上の写像の周期点に対するヤコビ行列でも成り立つ。一般的に行列の積 A1A2...An の巡回置換は全て同じ固有値であるので、各周期点のヤコビ行列の固有値は等しくなる。