胡蝶定理
= ( P M − X M ) ⋅ ( M Q + X M ) ( P M + M Y ) ⋅ ( Q M − M Y ) {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)}} }
= ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 ( ∵ P M = M Q ) {\displaystyle \mathrm {\qquad \qquad \;={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}\quad (\because PM=MQ)} }
となり、ゆえに
( M X ) 2 ( M Y ) 2 = ( P M ) 2 − ( M X ) 2 ( P M ) 2 − ( M Y ) 2 {\displaystyle \mathrm {{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}} }
であるから、MX = MY 即ち M が XY の中点であることが従う。
このほか射影幾何学を用いた証明も存在する。