代数的サイクルの標準予想
ホッジ標準予想はホッジ指数定理(英語版)(Hodge index theorem)上でモデル化された。ホッジ標準予想は、原始的代数的コホモロジー類上のペアのカップ積の定値性(正値性と負値性が次元に従い変化する)のことを言っている。もし定値性が成り立つと、レフシェッツ予想が、予想 Dを意味する。標数が 0 のときには、ホッジ理論の結果、ホッジ標準予想が成立する。正の標数のとき、ホッジ標準予想は曲面の場合のみしか知られていない。
ホッジ標準予想は、C 上の滑らかな射影多様体に対し、全ての有理 (p, p)-クラスは代数的であるというホッジ予想とは異なるので、混乱しないでほしい。ホッジ予想は標数が 0 の体の上の多様体の予想 D とレフシェッツの定理とを含んでいる。テイト予想は、すべての体上のl-進コホモロジーのレフシェッツの定理、キネットの公式、予想 D を含んでいる。