汎函数計算
つまり、行列環の有限な次元 n について {I, T, T, ..., T} は線型従属だから、∑i αiT = 0 を満たす少なくとも一つが 0 でないスカラー αi が存在するが、これはつまり多項式 ∑i αix が件のイデアルに属することを意味する。さて多項式環は主イデアル整域であるから、件のイデアルはある多項式 m によって生成され、それはまさに作用素(今の場合は行列) T の最小多項式に他ならない。だから例えば、スカラー α が行列 T の固有値となるための必要十分条件が、α が最小多項式 m の根となることなどがわかる。また、行列 T の指数函数を計算するのにも最小多項式 m を利用することができる。
一方、無限次元の場合の多項式汎函数計算はあまり有益なものとならない。例えばずらし作用素 (unilateral shift) の多項式汎函数計算を考えれば、この作用素の零化イデアルは自明なものとなり、従って考察の対象は多項式よりも一般の写像を用いた汎函数計算へと移っていくことになる。そういった一般の汎函数計算を主題とする研究は、対角行列や乗算作用素に対してその汎函数計算の意味がどのようなものであるべきかがはっきりするという理由からスペクトル論と近しい関係にあるものと考えられる。
汎函数計算の技術的な取扱いについては、以下の各項へ:
正則汎函数計算(英語版)
連続汎函数計算(英語版)
ボレル汎函数計算(英語版)