リー群の表現
リー群 G の複素ヒルベルト空間 V 上の表現は、G から B(V) への群準同型 Ψ:G → B(V) であり、有界な逆作用素をもつような V の有界線型作用素の群である。よって、(g,v) → Ψ(g)v で与えられる写像 G×V → V は、連続である。
この定義は無限次元ヒルベルト空間上の表現を扱うことができる。そのような表現は量子力学の中にあるが、次の例のようにフーリエ解析の中にもある。
G=R とし、複素ヒルベルト空間 V を L(R) とすると、表現 Ψ:R → B(L(R)) を Ψ(r)(f(x)} → f(rx) で定義する。
ポアンカレ群の表現については、ウィグナーの分類(Wigner's classification)を参照。