ガウスの連分数
{\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }
これを無限に続けると、連分数展開
f 1 f 0 = 1 1 + k 1 z 1 + k 2 z 1 + k 3 z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
が得られる。
ガウスの連分数では、関数列 f i {\displaystyle f_{i}} を 0 F 1 {\displaystyle {}_{0}F_{1}} , 1 F 1 {\displaystyle {}_{1}F_{1}} , 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} の形の超幾何関数とする。等式 f i − 1 − f i = k i z f i + 1 {\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}} は整数部分だけずらした関数間の恒等式から生じる。これらの恒等式は、級数展開をして係数を比較したり、何度か微分して消えることを確かめるといった方法で示すことができる。
e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
次式で与えられる誤差関数 erf (z)
erf  ( z ) = 2 π ∫ 0 z e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt}
もまた、クンマーの超幾何関数として
erf  ( z ) = 2 z π e − z 2 1 F 1 ( 1 ; 3 2 ; z 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2})}
と計算でき、ガウスの連分数表示を用いると全ての z に対し成り立つ有用な公式が得られる。
e z = 1 F 1 ( 1 ; 1 ; z ) {\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)} , 1 / e z = e − z {\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}} より
e z = 1 1 + − z 1 + z 2 + − z 3 + 2 z 4 + − 2 z 5 + ⋱ {\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
e z = 1 + z 1 + − z 2 + z 3 + − 2 z 4 + 2 z 5 + ⋱ {\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}
これを使って少し計算すると、e の簡単な連分数表示が得られる。
この節では、1個以上のパラメータが負の整数である場合は考えないことにする。そのような場合、超幾何関数は定義されないか、または多項式に退化するために連分数展開が有限回で止まるからである。その他の自明な状況も排除するものとする。
0 F 1 {\displaystyle {}_{0}F_{1}} と 1 F 1 {\displaystyle {}_{1}F_{1}} の場合、級数は任意の点で収束し、左辺の分数関数は有理型関数になる。右辺の連分数は極を含まない任意の閉で有界な集合上一様に収束する。
2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} の場合、展開の収束半径は 1 で、左辺の関数はこの円板の内部で有理型関数を表す。右辺の連分数はこの円板内部の任意の点で収束する。
円板の外部では、連分数は +1 から無限遠点までを除いた実軸に沿って解析接続された関数を表す。+1 が分岐点、+1から無限遠点への実軸上の半直線が分岐截線とされることが多い。右辺の連分数はこの領域で有理型関数へ収束し、また極を含まない任意の有界閉集合上で収束は一様である。
ヨハン・ハインリヒ・ランベルトはこの形式の連分数のいくつかの例を1768年に発表し、またレオンハルト・オイラーとジョゼフ=ルイ・ラグランジュは同様の構造についての研究を行った。しかし、以下の節に記すような算法を基にして、これらの連分数の一般的な形式を導いたのはカール・フリードリヒ・ガウスであった(1813年)。
ガウスは連分数の形式を与えはしたが、その収束性についての証明は与えなかった。ベルンハルト・リーマンと L.W.トーメは部分的な結果を得ていたが、これらの連分数の収束性に関して最終的な結論がまとめられたのは1901年、エドワード・ヴァン・ヴレック(英語版)によってであった。