P進ホッジ理論
p 進ホッジ理論(ピーしんホッジりろん、英: p-adic Hodge theory)とは、剰余体の標数が素数 p である標数0の局所体(例えば p 進数体 Qp)のp 進ガロア表現の分類や研究をする数学の理論である。この理論はジャン=ピエール・セールとジョン・テイトによるアーベル多様体のテイト加群(英語版)とホッジ・テイト表現の研究にはじまる。ホッジ・テイト表現はホッジ分解に似た p 進コホモロジーの分解と関係があることに因み、p 進ホッジ理論という名前がつけられた。代数多様体のエタール・コホモロジーから生じる p 進ガロア表現を研究対象として発展を遂げた。この理論における多くの基本的な概念はジャン=マルク・フォンテーヌ(英語版)により生み出された。
B c r i s ⊗ K 0 H d R ∗ ( X / K ) ≅ B c r i s ⊗ Q p H e ́ t ∗ ( X × K K ̄ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}
が存在するだろうと予想した。ここで、 H d R ∗ ( X / K ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)} にはクリスタリン・コホモロジーとの比較を使って φ 作用を持つ K0 ベクトル空間としての構造をいれている。この予想は Ccris と呼ばれる。予想 CdR と 予想 Ccris はファルティングスによって証明された。
X を K 上の(良い還元をもつ)固有かつ滑らかなスキームとし、V をその i 次の p 進エタール・コホモロジー群から得られる p 進ガロア表現とすると、これら2つの予想を前述の B∗ 許容表現の考え方にあてはめることにより、
D B ∗ ( V ) = H d R i ( X / K ) {\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K)}
が成り立つことが分かる。このことから、デュドネ加群とは V に関係のある他のコホモロジーだという見方もできる。