ケプラー三角形
三辺が 1 , φ , φ {\displaystyle 1,{\sqrt {\phi }},\phi } であるケプラー三角形において次の円と正方形を考える:
ケプラー三角形に外接する円
一辺が φ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} の正方形
このとき、円周( π φ {\displaystyle \pi \phi } )と正方形の周長( 4 φ {\displaystyle 4{\sqrt {\phi }}} )は0.1%以下の誤差の範囲で一致する。 したがって近似的に π ≈ 4 / φ {\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\phi }}} が成り立つがこれは偶然の一致(英語版)であり、正方形と円の周囲長を完全に一致させることは不可能である(仮に一致できた場合、円積問題における古典的な(不可能な)問題を解決できてしまうため)。言い換えると、円周率 π {\displaystyle \pi } が超越数であるため π ≠ 4 / φ {\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\phi }}} である。
ケプラー三角形はエジプトのピラミッドのデザインに現れている。ギザの大ピラミッドにある部屋の床面の対角線に部屋の幅を加えたものを部屋の奥行で割ると、黄金比に非常に近くなる。ただし、この関係を調査したさまざまな学者によると、古代エジプト人はおそらく円周率 π {\displaystyle \pi } と黄金比 φ {\displaystyle \phi } の間の数学的一致を知らなかったと考えられている。