ハミルトニアン
相互作用のない自由粒子系を考える。3次元空間を運動する1粒子の場合、運動エネルギーは以下で与えられる。
T = m 2 ( x ̇ 2 + y ̇ 2 + z ̇ 2 ) = 1 2 m ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) {\displaystyle T={m \over 2}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})={1 \over {2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}
但し、正準運動量 px は
p x = ∂ T ∂ x ̇ = m x ̇ {\displaystyle p_{x}={{\partial T} \over {\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}
であり、py, pz も同様に与えられるものとする。ポテンシャル V は、ゼロであることから、ハミルトニアンは
H = 1 2 m ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) {\displaystyle H={1 \over {2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}
となる。N 粒子系であれば、
H = ∑ i = 1 N 1 2 m ( p x i 2 + p y i 2 + p z i 2 ) {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}{1 \over {2m}}(p_{xi}^{2}+p_{yi}^{2}+p_{zi}^{2})}
である。H は時間 t に対して不変である。