円柱座標変換
同様に、
X ⋅ ( ∂ I 2 ∂ θ × ∂ I 2 ∂ ζ ) = r 0 ⋅ X r {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \zeta }}\right)={{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}} (5-2-6)
x -y -z 空間における運動を表す曲線
c ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\left({\begin{array}{l}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{array}}\right)} (8-1-1)
が、r -θ-ζ空間に値を取る曲線
γ ( t ) = ( r ( t ) θ ( t ) z ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{array}{l}r(t)\\\theta (t)\\z(t)\\\end{array}}\right)} (8-1-2)
と、円柱座標変換&Phi:を用いて、
c ( t ) = Φ ( γ ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\Phi (\gamma (t))} (8-1-3)
と表せるとき、γ(t ) を「曲線c (t ) の円柱座標表示」、あるいは「運動c (t ) の円柱座標表示」と呼ぶ。
式(8-1-3)は、
X を、x -y -z 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。
( div  X ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = 1 r ( ∂ ( r ⋅ X r ) ∂ r ) ( r , θ , ζ ) + 1 r ( ∂ X θ ∂ θ ) ( r , θ , ζ ) + ( ∂ X z ∂ z ) ( r , θ , ζ ) {\displaystyle (\operatorname {div} X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (r\cdot {{X}_{r}})}{\partial r}}\right)(r,\theta ,\zeta )+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta )+\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)(r,\theta ,\zeta )}
r -θ-ζ空間内の直方体L を
L = { ( r θ ζ ) | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ζ ≤ z 0 } {\displaystyle L=\left\{\left.\left({\begin{matrix}r\\\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq r\leq {{r}_{0}}\\0\leq \theta \leq 2\pi \\0\leq \zeta \leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-1-2)
と定義する。L の3辺の長さはそれぞれ、r0 , θ0 , 2πである。M は、L のΦによる像集合である。すなわち
M = Φ ( L ) {\displaystyle M=\Phi (L)} (3-1-3)
である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。