回転 (ベクトル解析)
例えば ∇ ×(v × F) を考える。デカルト座標系に従えば、これは
∇ × ( v × F ) = [ ( ∇ ⋅ F ) + F ⋅ ∇ ] v − [ ( ∇ ⋅ v ) + v ⋅ ∇ ] F {\displaystyle \nabla \times ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {F}})={\bigl [}(\nabla \cdot {\boldsymbol {F}})+{\boldsymbol {F}}\cdot \nabla {\bigr ]}{\boldsymbol {v}}-{\bigl [}(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\bigr ]}{\boldsymbol {F}}}
となることが示される。この場合はベクトル場 v と ∇ とを入れ替えて
v × ( ∇ × F ) = ∇ F ( v ⋅ F ) − ( v ⋅ ∇ ) F {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {F}})=\nabla _{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {F}})-({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {F}}}
とすることができる。
実用に際しては、ほぼ全ての場合において適当な曲線座標系(英語版)の下で回転作用素を適用することになり、その場合はより平易な表現を導出することができるので、上記の定義をそのまま適用する場面と言うのは希である。
記法 ∇ × F は三次元交叉積との類推が元になっており、∇ をベクトル微分作用素のナブラと考えれば直交座標系における回転作用素の表示に対する記憶術として有効なものである。作用素に対する演算を施すような記法は物理学や代数学では広く用いられる。しかし、ある種の複雑な座標系、例えば(プラズマ物理学で一般的な)極トロイド座標系 (polar-toroidal coordinates) などを考えているときには、記法 ∇ × F を斯くの如き作用素同士の演算と解釈したのでは誤った結果を導くことになる。
直交座標系に関して ∇ × F を展開すれば、ベクトル場 F = (Fx, Fy, Fz) に対して、
∇ × F = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {i}}&{\boldsymbol {j}}&{\boldsymbol {k}}\\[5pt]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5pt]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}