単純群
有限単純群は、それがすべての有限群の「基本的な構成部品」となっているという意味で重要である。これは素数が整数の基本的な構成部品となっていることに似ている。これはジョルダン・ヘルダーの定理という、与えられた群の任意の二つの組成列は長さが等しく、順序と同型を除いて同じ因子を持つという定理が表現していることである。多くの共同研究によりダニエル・ゴレンスタインは1983年に有限単純群の分類が完成したと宣言したが、いくつかの問題が現れた(特に2004年に解決した、準薄群(英語版)の分類)。
手短に言えば、有限単純群は18の族のいずれかに属するか、26の例外の一つであるかのどちらかに分類される。
Cp – 素数位数の巡回群
An – 交代群( n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} ) 交代群は一元体上のリー型の群と考えることもでき、その場合は次の族に分類することもできるので、非アーベル有限単純群の族はすべてリー型の群であるとも見なせる。
リー型の群の16種類の族の一つ ティッツ群(英語版)は一般的にこの形をしていると考えられる。しかし厳密にいえば、それはリー型の群ではなく、リー型の群の指数2の部分群である。
26種類の例外、散在群の一つ。そのうち20種類はモンスター群の部分群または部分商(英語版)であり、"Happy Family"と呼ばれている。残りの6種類はpariahと呼ばれている。