バナッハ＝タルスキーのパラドックス
しかしながら、それらの幾何学的な形状に対してはこのような変換が可能なのである。
この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。2次元ユークリッド平面においては成り立たないものの、2次元においても分割に関するパラドックスは存在する: 円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の正方形を作ることが出来るのである。これはタルスキーの円積問題(en:Tarski's circle-squaring problem)として知られている。
2次元ユークリッド平面においては、合同変換ではなく面積を保つ変換に条件をゆるめると、バナッハ=タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、1929年にジョン・フォン・ノイマンが証明した。この定理は次のように述べることが出来る。
A と B を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として
A = ⋃ i = 1 n A i , B = ⋃ i = 1 n B i {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}}
と表すことが出来る。ここで、全ての i について、面積を保つ変換 f i {\displaystyle f_{i}} が存在して
B i = f i ( A i ) {\displaystyle B_{i}=f_{i}(A_{i})}
とする事が出来る。
定理の証明を与える。ここでの方法はバナッハとタルスキーによるものと似ているが全く同一ではない。証明は本質的に4つのステップに分かれる。
2つの生成元を持つ自由群 F 2 {\displaystyle F_{2}} の「パラドキシカルな分割」を見つける。
自由群 F 2 {\displaystyle F_{2}} と同型な3次元の回転群を見つける。
2で作った回転群のパラドキシカルな分割と選択公理を用いて2次元球面の分割を作る。
3の2次元球面の分割を3次元球の分割に拡張する。
それぞれのステップの詳細について述べる。