格子 (数学)
数学における、特に初等幾何学および群論における、n-次元空間 R 内の格子(こうし、英: lattice)とは、実ベクトル空間 R を生成するような R の離散部分群をいう。すなわち、R の任意の格子は、ベクトル空間としての基底から、その整数係数線型結合の全体として得られる。ひとつの格子は、その基本領域あるいは原始胞体(英語版)による正多面体空間充填 (regular tiling) と見ることもできる。
格子には多くの顕著な応用があり、純粋数学では特にリー環論、数論および群論に関係がある。応用数学でいえば、まず暗号理論において、いくつかの格子問題の計算が困難であることに起因する符号理論に関連する。また、物理科学においてもいくつかのやり方で応用があり、例えば物質科学および固体物理学では、「格子」は結晶構造の「枠組み」の同義語であり、結晶において原子や分子が隣接して占める正多面体状の三次元的な空間配列を意味する。より一般に、物理学において格子モデルが(しばしば計算物理の手法を用いて)研究される。
通常は R の Z-格子を考える一方で、この概念は任意の体上の任意の有限次元ベクトル空間に対して一般化することができる。それは以下のような内容である。
K を体、V を n-次元 K-ベクトル空間とし、
B = { v 1 , ... , v n } {\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}
を V の K 上の基底とする。さらに、R を K に含まれる環とすれば、V において B の生成する R-格子 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は
L = { ∑ i = 1 n a i v i ∣ a i ∈ R , v i ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mid a_{i}\in R,\mathbf {v} _{i}\in B\right\}}
で与えられる。一般に異なる基底は異なる格子を生成するが、それらの基底の間に R の一般線型群 GLn(R) に属する遷移行列 T があれば(つまり、T の全ての成分は R に属し、T の全ての成分が再び R に属す。