確率密度関数
確率密度関数または確率質量関数を任意の媒介変数でパラメータ化することがしばしばある。例えば、正規分布の密度は平均 μ および分散 σ を用いて下記のように表現できる。
f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 σ 2 π exp  [ − 1 2 ( x − μ σ ) 2 ] . {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\biggl [}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}{\biggr ]}.}
このとき密度の族の定義域と族のパラメータの定義域との違いに留意することが重要である。パラメータの値が異なると、同じ標本空間(変数が取り得る全ての値の集合で、同一である)に属する異なる確率変数の分布を表現することになる。
g ( y ) = f ( x ) | det ( d x d y ) | {\displaystyle g(\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )\left\vert \det \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} \mathbf {y} }}\right)\right\vert }
ここで微分は H の逆関数のヤコビ行列の y における値である。
独立性を仮定してデルタ関数を用いると、以下のように同じ結果が得られる。
独立な確率変数 Xi, i = 1, 2, ...n の確率密度関数が fXi(xi) で与えられる時、Y = G(X1, X2, ...Xn) の確率密度関数を計算できる。次の式は、Y の確率密度関数 fY(y) と fXi(xi) をデルタ関数で結合するものである。
f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ⋯ ∫ − ∞ ∞ f X 1 ( x 1 ) f X 2 ( x 2 ) ⋯ f X n ( x n ) δ ( y − G ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ) d x 1 d x 2 ⋯ d x n {\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(x_{2})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})\delta (y-G(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}))\,dx_{1}\,dx_{2}\,\cdots dx_{n}}