テプリッツ行列
行列を使った方程式の一般形
A x = b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}
は、n元線型方程式系を表す。この A がテプリッツ行列であった場合、その系はやや特殊となる(自由度が n ではなく 2n − 1 になる)。したがって、テプリッツ系は通常より解きやすいと期待される。
これは次の変形で調べることができる。
A U n − U m A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {U}}_{n}-{\boldsymbol {U}}_{m}{\boldsymbol {A}}}
これは階数が2で、 U k {\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{k}} は down-shift operator である。特に単純な計算で次のように示すことができる。
A U n − U m A = [ a − 1 ⋯ a − n + 1 0 ⋮ ⋱ − a − n + 1 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ⋯ − a n − n − 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {U}}_{n}-{\boldsymbol {U}}_{m}{\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}a_{-1}&\cdots &a_{-n+1}&0\\\vdots &\ddots &&-a_{-n+1}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &-a_{n-n-1}\end{bmatrix}}}