正則ベクトル束
E を複素多様体 M 上の正則ベクトル束とし,E 上にエルミート計量が存在するとする,つまり,ファイバー Ex に滑らかに変化する内積 ⟨•, •⟩ が備わっているとする.すると複素構造と計量構造の両方と両立する E 上の接続 ∇ が一意的に存在する.つまり,∇ が次のような接続である:
(1) E の任意の滑らかな切断 s に対して, p ∇ s = ∂ ̄ s {\displaystyle p\nabla s={\bar {\partial }}s} ただし p は E 値 1 形式(英語版)の (0, 1) 成分を取る.
(2) E の任意の滑らかな切断 s, t と M 上のベクトル場 X に対し, X ⋅ ⟨ s , t ⟩ = ⟨ ∇ X s , t ⟩ + ⟨ s , ∇ X t ⟩ {\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle } ただし X による ∇ s {\displaystyle \nabla s} の contraction を ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} と書いた.(これは ∇ による平行移動(英語版)が計量 ⟨•, •⟩ を保存すると言っても同じである.)
具体的には,局所自明化写像
φ U : π − 1 ( U ) → U × C k {\displaystyle \phi _{U}\colon \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}
は双正則であることを要求する.これは変換関数
t U V : U ∩ V → GL k  ( C ) {\displaystyle t_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} _{k}(\mathbf {C} )}
が正則であると要求することと同値である.複素多様体の接束上の正則構造は,ベクトル値正則関数の(適切な意味での)微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される.