類体論
任意のモジュラス m に対して存在定理より H = Pm に対応するアーベル拡大体が存在する。この拡大体は m によって決まるので Km で表す。この体は射類体(英語版)と呼ばれている。
射類体の導手 fKm/K は m を割るが一致するとは限らない。例えば有理数体のモジュラス m = (2) に対する射類体は有理数体に一致するので導手は f = (1) である。またこの例から分かるように異なるモジュラスに対する射類体が等しくなるということもある。
ガロア・コホモロジーを使う文脈では、類体論の相互法則は次のように述べられる(ブラウアー群も参照)。
K を有限次代数体、L を K の有限次ガロア拡大(アーベルでなくともよい)とする。L のイデール類群 CL にはガロア群 Gal(L/K) が作用するので、CL をガロア加群と見て群のコホモロジーを取ったものを H(Gal(L/K), CL) と書く(q は任意の整数、定義については Neukirch (2015, p. 15) を参照)。このとき、invariant map(直訳: 不変量写像)と呼ばれる同型写像
i n v L / K : H 2 ( G a l ( L / K ) , C L ) → ≃ 1 [ L : K ] Z / Z {\displaystyle \mathrm {inv} _{L/K}:H^{2}(\mathrm {Gal} (L/K),C_{L}){\stackrel {\simeq }{\to }}{\tfrac {1}{[L:K]}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }
が存在する。この同型によって 1/[L : K] が定める右側の群の元に対応する左側の H(Gal(L/K), CL) の元を uL/K と書く。これを基本類(fundamental class)という。
L/K を代数体の有限次アーベル拡大とする。アルティン相互法則が成り立つような2つのモジュラスの最大公約数でもアルティン相互法則が成り立つ。したがってアルティン相互法則が成り立つ最小のモジュラスが存在する。このモジュラスを導手(英: conductor、独: führer)と呼び、記号では fL/K と表す。