音響共鳴
響孔の断面積がAで、首の長さがL、本体が一定体積V0 の硬い空洞の共鳴周波数は以下のヘルムホルツ共鳴式によって与えらえる。
f = v 2 π A V 0 L e q {\displaystyle f={\frac {v}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{V_{0}L_{eq}}}}}
ここで、 L e q {\displaystyle L_{eq}} は開口端補正を持つ首の相当長である。
L e q = L + 0.75 d {\displaystyle L_{eq}=L+0.75d} つばのない首
L e q = L + 0.85 d {\displaystyle L_{eq}=L+0.85d} つあのある首
球形空洞では、共鳴周波数式は以下のようになる。
f = v d π 3 8 L e q D 3 {\displaystyle f={\frac {vd}{\pi }}{\sqrt {\frac {3}{8L_{eq}D^{3}}}}}
ここで、Dは球の直径、dは響孔の直径である。
くびがなく響孔だけを持つ球では、L = 0で、球の表面がつばとして機能するため、
f = v π 3 d 8 ( 0.85 ) D 3 {\displaystyle f={\frac {v}{\pi }}{\sqrt {\frac {3d}{8(0.85)D^{3}}}}}
となる。20 °Cの乾燥気体中、dおよびDがメートル単位,fがヘルツ単位の時、これは
f = 72.6 d D 3 {\displaystyle f=72.6{\sqrt {\frac {d}{D^{3}}}}}
となる。
開いている円錐管、すなわち両端が開いている円錐台の形状をした管は、同じ長さの開いている円筒管のものとおおよそ等しい共鳴周波数を持つ。
閉じた円錐管、すなわち一方の端が閉じた完全な円錐または円錐台、の共鳴周波数は以下のより複雑な条件を満たす。
k L = n π − tan − 1  k x {\displaystyle kL=n\pi -\tan ^{-1}kx}
ここで、波数kは
k = 2 π f / v {\displaystyle k=2\pi f/v}
であり、xは円錐台の小端部から頂点までの距離である。xが小さい時、すなわち、円錐がほぼ完全である時、これは
k ( L + x ) ≈ n π {\displaystyle k(L+x)\approx n\pi }
となり、長さがL + xと等しい開いている円筒の共鳴周波数におおよそ等しい共鳴周波数が導かれる。言い換えれば、完全な円錐管は同じ長さの開いている円筒管とほぼ同じように振る舞い、一次的には、完全な円錐がその円錐の閉じた錐台に置き換えられても振る舞いは変化しない。
これは、共鳴の古典的実演である。ガラスには自然共鳴があり、その周波数でガラスは容易に振動する。そのため、その周波数の音波でガラスは動かされてしまう。ガラスを振動させる音波からの力が十分大きければ、振動の大きさはガラスが割れるほど大きくなる。科学実験としてこれを確実に行うためには、練習ならびにガラスとスピーカの注意深い選択が必要である。
この小さな穴を上に移動して「エコーホール」にすると(ドルメッチによるリコーダーの改良)、開いた時に基音の正確にオクターブ上の音を鳴らすことができる。正確のオクターブ上の音を出すには、穴の大きさの微細な調整が必要である。
閉管は、以下のおおよその周波数で共鳴する。
f = n v 4 L {\displaystyle f={nv \over 4L}}
ここでは、"n" は奇数(1、3、5...)である。この種の管は奇数倍音のみを生み出し、その基本周波数は開管のものよりのオクターブ低い(すなわち、周波数は半分)。
より正確な式は以下の通りである。
f = n v 4 ( L + 0.4 d ) {\displaystyle f={nv \over 4(L+0.4d)}} .
ここでも、nが1の時は、
f = v 4 ( L + 0.4 d ) {\displaystyle f={v \over 4(L+0.4d)}}
f ( 4 ( L + 0.4 d ) ) = v {\displaystyle {f(4(L+0.4d))}=v}
f λ = v {\displaystyle {f\lambda }=v}
λ = 4 ( L + 0.4 d ) {\displaystyle \lambda ={4(L+0.4d)}}
となる。vは音速、Lは共鳴管の長さ、dは件の直径、fは共鳴周波数、λは共鳴波長である。
両端が開いている円筒では、端の近くの空気分子は管の内外に自由に動く。この運動は定常波における変位波腹を作り出す。節は、端から離れた円筒の内部に形成される傾向がある。第1倍音では、開管は定常波の厳密に半分を含む(波腹-節-波腹)。したがって、開いた円筒の倍音は、両端が閉じた円筒の倍音と同じやり方で計算される。
開いた管をオーバーブローイング(英語版)することによって、基本周波数のオクターブ上の音を得ることができる。例えば、開いた管の基音がC1だとすると、オーバーブローイングによってC2(C1のオクターブ上)が得られる。
両端が開いている円筒管は、以下のおおよその周波数で共鳴する。
f = n v 2 L {\displaystyle f={nv \over 2L}}
ここで、共鳴節を表わすnは正の整数(1、2、3...)、Lは管の長さ、vは空気中の音速(20 °C [68 °F]で約343メートル毎秒)である。
開口端補正を考慮したより正確な式は以下の通りである。
f = n v 2 ( L + 0.8 d ) {\displaystyle f={nv \over 2(L+0.