ライプニッツの積分法則
積分の上限と下限がxの関数ではなく定数の場合は、
d d x ( ∫ a b f ( x , t ) d t ) = ∫ a b ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}
となる。これは(1)式の第一項と二項の微分が零の場合と同じである。
a ( x ) = a {\displaystyle a(x)=a} そして b ( x ) = x {\displaystyle b(x)=x} の場合は、次のようになる。
d d x ( ∫ a x f ( x , t ) d t ) = f ( x , x ) + ∫ a x ∂ ∂ x f ( x , t ) d t , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt,}
これは(1)式の第一項の微分が1、第一項の微分が零の場合と同じである。