極値
n 次元ユークリッド空間 R の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。
定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配
∇ f ( p ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) , ... , ∂ f ∂ x n ( p ) ] {\displaystyle \nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}}
が 0 であるとき、点 p を関数 f の停留点(stationary point)あるいは臨界点(critical point)といい、値 f(p) を停留値(stationary value)あるいは臨界値(critical value)という。
点 p が関数 f の極値点であるためには、点 p が関数 f の停留点であることが必要である。
n 次元ユークリッド空間 (R, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる。 関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値(local minimum)といい、点 p を関数 f の極小点(local minimum point)という。この条件は論理式を用いると
∃ ε > 0 [ ∀ q ∈ U [ d ( p , q ) < ε ⟹ f ( p ) ≤ f ( q ) ] ] {\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]}
と表せる。