正規数
が成り立つことをいう。ここに、 d ( S ↾ n ) {\displaystyle d(S\upharpoonright n)} はギャンブラー d が S の最初の n 個の文字を読み込んだときに持っている金額を表し、limsup は上極限を意味する。
Schnorr, Stimm (1972) は、正規列に対して「成功する」FSG は存在しないことを示し、Bourke, Hitchcock, Vinodchandran (2005) はその逆を示した。すなわち、
文字列が正規であることと、その列に対して「成功する」FSG が存在しないことは同値である
ことが知られている。
有限状態圧縮機 (finite-state compressor) とは、有限オートマトンの状態に応じて文字列(空列もあり得る)を出力する機械のモデルである。有限状態可逆圧縮機(information lossless finite-state compressor、以下 ILFSC)とは、出力データおよび最終状態から入力データを一意に復元できる有限状態圧縮機のことである。言い換えると、アルファベット Σ 上の有限状態圧縮機 C の状態集合が Q であるとき、C が ILFSC であるとは、C に入力したデータを出力データと最終状態のペアに移す写像 f : Σ → Σ × Q が全単射であることを言う。ハフマン符号やシャノン符号といった圧縮の技術は ILFSC を用いて実装することができる。ある ILFSC C が無限列 S を圧縮するとは、