リース＝ソリンの定理
しかし、ヒルベルト変換は L(R) あるいは L(R) 上で有界とはならず、直接的にリース=ソリンの補間定理を用いることは出来ない。それらの終点の境界が得られない理由を探るためには、簡単な函数 1(−1,1)(x) および 1(0,1)(x) − 1(0,1)(−x) のヒルベルト変換を計算すれば十分である。しかし、すべてのシュワルツ函数 f : R → C に対しては
( H f ) 2 = f 2 + 2 H ( f H f ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)}
が成り立ち、この等式は、すべての n ≥ 2 に対してヒルベルト変換が L(R) からそれ自身への有界作用素を示すために、コーシー=シュワルツの不等式と組合せて用いることが出来る。補間によって、次の評価が得られる:
‖ H f ‖ p ≤ A p ‖ f ‖ p . {\displaystyle \|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}.}
ただし 2 ≤ p < ∞ である。1 ≤ p ≤ 2 の場合にこの評価を適用する上では、ヒルベルト変換の自己共役性が活用される。
B. ミチャギンは、リース=ソリンの定理を次のように拡張した:ここで述べられる拡張は、シャウダー基底(英語版)を伴う数列空間の特別な場合に対して定式化されるものである。
次を仮定する。
‖ A ‖ l 1 → l 1 , ‖ A ‖ l ∞ → l ∞ ≤ M . {\displaystyle \|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }}\leq M.}
このとき
‖ A ‖ X → X ≤ M {\displaystyle \|A\|_{X\to X}\leq M}
が任意の無条件バナッハ空間の列 X 、すなわち、任意の ( x i ) ∈ X {\displaystyle (x_{i})\in X} および ( ε i ) ∈ { − 1 , 1 } ∞ {\displaystyle (\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }} に対して ‖ ( ε i x i ) ‖ X = ‖ ( x i ) ‖ X {\displaystyle \|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}} が満たされるようなものに対して成り立つ。
この証明は、クレイン=ミルマンの定理に基づく。
リース=ソリンの補間定理の証明は、必要な上界を得る上で、アダマールの三線定理(英語版)に主に依っている。Lp空間の双対空間の特徴付けにより、次の等式が成立することが分かる。
‖ T f ‖ q θ = sup ‖ g ‖ p θ ≤ 1 | ∫ ( T f ) g d μ 2 | . {\displaystyle \|Tf\|_{q_{\theta }}=\sup _{\|g\|_{p_{\theta }}\leq 1}\left|\int (Tf)g\,d\mu _{2}\right|.}
C 内の各 z に対し、 f および g の適切な派生形 fz および gz を定義することで、次の整函数
φ ( z ) = ∫ ( T f z ) g z d μ 2 {\displaystyle \phi (z)=\int \left(Tf_{z}\right)g_{z}\,d\mu _{2}}
を得ることが出来る。この z = θ での値は
∫ ( T f ) g {\displaystyle \int (Tf)g}
となる。このとき、直線 Re(z) = 0 および Re(z) = 1 上での Φ の上界を得るために仮定を用いることが出来る。するとアダマールの三線定理によって、直線 Re(z) = θ 上の Φ の補間的な上界を得ることが出来る。あとはその z = θ での上界が求めるものであることを調べればよい。