結合法則
( ( P ↔ Q ) ↔ R ) ↔ ( P ↔ ( Q ↔ R ) ) {\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}
( P ↔ ( Q ↔ R ) ) ↔ ( ( P ↔ Q ) ↔ R ) {\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}
接合否定 (joint denial) は結合的でない真理函数結合子の例である。
ベクトルの交叉積(ベクトル三重積): a → × ( b → × c → ) ≠ ( a → × b → ) × c → ( ∃ a → , b → , c → ∈ R 3 ) . {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad (\exists {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}).}
実数の対ごとの算術平均: ( x + y ) / 2 + z 2 ≠ x + ( y + z ) / 2 2 ( ∀ x , y , z ∈ R , x ≠ z ) . {\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {R} ,x\neq z).}
集合の差: ( A ∖ B ) ∖ C {\displaystyle (A\setminus B)\setminus C} は A ∖ ( B ∖ C ) {\displaystyle A\setminus (B\setminus C)} と一致しない(論理学における否定論理包含(英語版)の場合と比較せよ)。
数学における結合性(けつごうせい、英: associative property, associativity)は、一部の二項演算が持つ性質である。演算が結合的であるために満たされるべき条件を結合法則(けつごうほうそく、英: associative law; 結合律、結合則)という。命題論理において、結合則(結合規則)は形式的証明における式に対する妥当(英語版)な置換規則(英語版)のひとつに挙げられる。
ひとつの式の中に同じ結合的演算が一度に複数現れる場合、それらの演算を施す順番は、被演算子の並びの順を変えない限りにおいて、結果に影響を与えない。つまり、(必要ならば中置記法と括弧を使った式に書き換えて)そのような式における括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わることはない。例えば、等式:
や
を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている(そして被演算子の現れる位置は変わっていない)けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。