函数的平方根
指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された。
R 上での f(f(x)) = x の解(実数の対合)は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる。特殊解はbc ≠ 1 に対して f(x) = (b − x)/(1 + cx) である。これは c = 0 あるいは |b| ≅ |c| ≫ 1 (f(x) = 1/x) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 f に対して、任意の可逆函数 Ψ による函数的共役 Ψ − 1 ∘ f ∘ Ψ {\displaystyle \Psi ^{-1}\circ f\circ \Psi } もまた解であることを注記している。
任意の函数的 n-乗根(n= 1⁄2 だけでなく、連続、負、無限小の n も含む)をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る 。