カメラ行列
y ∼ C 0 x = ( I 0 ) ( R t 0 1 ) x ′ = ( R t ) x ′ {\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} _{0}\,\mathbf {x} =\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{array}}\right)\,\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)\mathbf {x} '=\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)\,\mathbf {x} '}
したがって、座標系 (X1',X2',X3') の点を画像座標に関連付けるカメラ行列は、次のような3次元回転行列と3次元平行移動ベクトルの連結となる。
C N = ( R t ) {\displaystyle \mathbf {C} _{N}=\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)}
このタイプのカメラ行列は正規化されたカメラ行列と呼ばれ、焦点距離 = 1 であり、画像座標は原点が軸 X3 と画像平面の交点に位置し、3次元座標と同じ単位で測定されることを仮定している。結果の画像座標は、正規化された画像座標と呼ばれる。
カメラの座標軸 (X1, X2, X3) とある座標軸 (X1', X2', X3') がユークリッド型(直交かつ等方)であると仮定すると、2つの座標系の間にユークリッド3次元変換(回転と平行移動)が唯一存在する。つまりカメラは原点にあり z 軸方向を見ている必要はないということである。
3次元座標の回転と平行移動という2つの操作は、次の2つの 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} 行列として表せる。
( R 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {0} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)} と ( I t 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}\mathbf {I} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)}
ここで R {\displaystyle \mathbf {R} } は 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 回転行列であり、 t {\displaystyle \mathbf {t} } は3次元並進ベクトルである。1番目の行列が3次元点の同次表現に乗算されると、結果は回転した点の同次表現になり、2番目の行列は同様に平行移動を実行する。