アーベル多様体の数論
基本的結果(モーデル・ヴェイユの定理)は、K 上のアーベル多様体 A の点(有理点)の群 A(K) は、有限生成アーベル群であると言っている。少なくとも A が楕円曲線の場合は、捩れ部分群については多くのことが知られている。ランクの問題は、L-函数の境界をもたらすと考えられている。(以下を参照)
トルソー(英語版)(torsor)の理論は、ここでセルマー群(Selmer group)やテイト・シャファレヴィッチ群(Tate–Shafarevich group)を導いた。後者は(予想としては有限と考えられている)が、研究がむずかしい。
概念の間にはいくらかの差異がある。整数点(integer point)はアフィン幾何学(affine geometry)の考え方に属し、一方、アーベル多様体は射影幾何学上で定義された性格を持っている。楕円曲線は整数点を有限個しか持たないという基本的な結果は、ディオファントス近似から出てきた。