シンプレクティック数値積分法
を N {\displaystyle N} 区間の時間積分の集積 S ( t ) = ∏ i = 1 N S ( h ) {\displaystyle S(t)=\prod _{i=1}^{N}S(h)} (ここに h = t / N {\displaystyle h=t/N} とおいた) と書くとき、 S ( h ) {\displaystyle S(h)} を既知のシンプレクティック写像 exp  ( h A ) {\displaystyle \exp(hA)} , exp  ( h B ) {\displaystyle \exp(hB)} を用いて
exp  { h ( A + B ) } = ∏ k [ exp  ( c k h A ) exp  ( d k h B ) ] + O ( h n + 1 ) {\displaystyle \exp \left\{h(A+B)\right\}=\prod _{k}\left[\exp(c_{k}hA)\,\exp(d_{k}hB)\right]+{\mathcal {O}}\left(h^{n+1}\right)}
という形に近似することである。この右辺が求める n {\displaystyle n} 次のシンプレクティック積分子であり、シンプレクティック性を満足することが保証され、ハミルトニアン
H ~ = H + h n H n + O { h n + 1 } {\displaystyle {\tilde {H}}=H+h^{n}H_{n}+{\mathcal {O}}\left\{h^{n+1}\right\}}
を保存する。
が成立し、それぞれのハミルトンベクトル場に沿う時間 t {\displaystyle t} の発展すなわち指数写像を S ( t ) := exp  ( t D ) {\displaystyle S(t):=\exp \left(tD\right)} , exp  ( t A ) {\displaystyle \exp(tA)} , exp  ( t B ) {\displaystyle \exp(tB)} と書く(これはシンプレクティック写像である)。 H A {\displaystyle H_{A}} および H B {\displaystyle H_{B}} が可積分であるという仮定により exp  ( t A ) {\displaystyle \exp(tA)} , exp  ( t B ) {\displaystyle \exp(tB)} はその具体的な表示が既知である。ここでの問題は、真のハミルトニアンに関する指数写像
S ( t ) = exp  ( t D ) = exp  { t ( A + B ) } {\displaystyle S(t)=\exp \left(tD\right)=\exp \left\{t(A+B)\right\}}
特に H A = 1 2 p 2 {\displaystyle H_{A}={\frac {1}{2}}p^{2}} , H B = V ( q ) {\displaystyle H_{B}=V(q)} の場合、変換 exp  ( h B ) {\displaystyle \exp(hB)} は ( q , p ) ↦ ( q , p − h V ′ ( q ) ) {\displaystyle (q,p)\mapsto (q,p-hV'(q))} 、変換 exp  ( h A ) {\displaystyle \exp(hA)} は ( q , p ) ↦ ( q + h p , p ) {\displaystyle (q,p)\mapsto (q+hp,p)} と表示できるため、このスキーム S 1 s t = exp  ( h A ) exp  ( h B ) {\displaystyle S_{\mathrm {1st} }=\exp(hA)\exp(hB)} 全体としては
p n + 1 = p n − h d V d q ( q n ) {\displaystyle p_{n+1}=p_{n}-h{\frac {dV}{dq}}(q_{n})}
q n + 1 = q n + h p n + 1 {\displaystyle q_{n+1}=q_{n}+hp_{n+1}}
と表示できる。このスキームはオイラー法を修正したものとみなせるため、シンプレクティックオイラー法と呼ばれることもある。
シンプレクティック数値積分法 (シンプレクティックすうちせきぶんほう, symplectic integrator) とは、正準力学系の運動方程式に特化した常微分方程式の数値解法のことをいう。系のシンプレクティック形式およびハミルトニアンを保存するため、ルンゲ=クッタ法のような汎用の数値積分法に比べて良い性質を示す。このために天体力学などの分野で採用されている。
2次のシンプレクティック法は次式で与えられる。なおこの積分スキームはリープ・フロッグ法あるいはベレの方法、Strörmer法など分野毎に異なった名称で知られている。
S 2 n d ( h ) = exp  ( h 2 A ) exp  ( h B ) exp  ( h 2 A ) {\displaystyle S_{\mathrm {2nd} }(h)=\exp \left({\frac {h}{2}}A\right)\,\exp(hB)\,\exp \left({\frac {h}{2}}A\right)}
上述の H A = 1 2 p 2 {\displaystyle H_{A}={\frac {1}{2}}p^{2}} , H B = V ( q ) {\displaystyle H_{B}=V(q)} の場合にはこれは次のスキームに帰着する。
q n + 1 / 2 = q n + h 1 2 p n {\displaystyle q_{n+1/2}=q_{n}+h{\frac {1}{2}}p_{n}}
p n + 1 = p n − h d V d q ( q n + 1 / 2 ) {\displaystyle p_{n+1}=p_{n}-h{\frac {dV}{dq}}\left(q_{n+1/2}\right)}
q n + 1 = q n + 1 / 2 + h 1 2 p n + 1 {\displaystyle q_{n+1}=q_{n+1/2}+h{\frac {1}{2}}p_{n+1}}
中心天体からの重力が支配的であるような天体力学の典型的な問題では、系のハミルトニアンは中心天体によるケプラー問題の部分 H K e p {\displaystyle H_{\mathrm {Kep} }} と、天体間相互作用による摂動部分 H i n t {\displaystyle H_{\mathrm {int} }} に分割できる。
H = H K e p + H i n t {\displaystyle H=H_{\mathrm {Kep} }+H_{\mathrm {int} }}
それを踏まえて、ハミルトニアンをこの二項に分割してシンプレクティック積分子を適用する数値解析手法が Wisdom & Holman (1991, 1992) および Kinoshita et al. (1991) によって提案され、従来の手法より誤差が小さくなるなどの良好な性質を持つことが示された。