多重根号
特定の条件を満たす
x = 2 + 2 + 2 + 2 + ⋯ {\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}
のような無限多重平方根は有理数を表す。根号の中にも x が実現されていることに気付けば方程式
x = 2 + x {\displaystyle x={\sqrt {2+x}}}
が得られるから、この有理数は求められる。つまり、この方程式を解いて x = 2 が分かる(両辺自乗して得られる二次方程式のもう一つの解 x = −1 は不適である。それは、規約により右辺が 2 + x の「正」の平方根を意味するから、左辺 x もまた正でなければならないことによる。)。同じやり方は、一般に n > 0 に対して
n + n + n + n + ⋯ = 1 2 ( 1 + 1 + 4 n ) , {\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {1+4n}}\,),}
同じく
n − n − n − n − ⋯ = 1 2 ( − 1 + 1 + 4 n ) {\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {1+4n}})}
を示すのにも通用する。後者の式は、 x > 0 によって
n = x 2 − x {\displaystyle n=x^{2}-x}
と表すことのできる任意の n に対して、x を値としてとる。