概周期函数
概周期函数にはいくつかの同値でない定義が存在する。第一の定義はハラルト・ボーアによって与えられた。彼の興味は、初めは有限ディリクレ級数に注がれていた。実際、リーマンゼータ函数 ζ(s) に関する級数を有限にするために打ち切ることで、次の型の項の有限和が得られる。
e ( σ + i t ) log  n {\displaystyle e^{(\sigma +it)\log n}\,}
ただし s は実部 σ と虚部 it の和 (σ + it) として書かれている。σ を固定し、複素平面内の単一の縦軸にのみ注意することで、上の表現を書き換えた次のものを考えることが出来る。
n σ e ( log  n ) i t . {\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}
このようなnについての項の「有限」和を取る事で、領域 σ < 1 への解析接続の困難さを避けることが出来る。ここで「振動数」 log n はすべて通約できない(それらは整数 n が乗法独立である限り、有理数上で線形独立である。したがってそれらの素因数分解に帰着される)。
独立な振動数の三角多項式のタイプを考えるための、この初めの動機をもって、様々なノルムに基づいて基礎函数の集合の閉包を議論するために解析学が利用された。
その他のノルムを使った理論は、エイブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチ(英語版)、ヴィアチェスラフ・ステパノフ(英語版)、ヘルマン・ワイル、ジョン・フォン・ノイマン、アラン・チューリング、サロモン・ボホナーやその他の研究者によって1920年代および1930年代に発展された。
あるいは
x ( t ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ r n cos  ( 2 π n f 0 t + φ n ) ] {\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})\right]}
となる。但し f 0 = 1 T {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{T}}} は基本周波数であり、フーリエ係数は次のようになる:
a n = r n cos  ( φ n ) = 2 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) cos  ( 2 π n f 0 t ) d t {\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }
b n = r n sin  ( φ n ) = − 2 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) sin  ( 2 π n f 0 t ) d t {\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }
但し t 0 {\displaystyle t_{0}\ } は任意の時間: − ∞ < t 0 < + ∞ {\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ } .