運動の積分
ある種の第一積分 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})} は、その「等高線」 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) = a {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a} が考えている領域を稠密に埋め尽くすことがある。この場合、その積分の値が指定されても、運動可能な領域の次元を引き下げることができないため、このような積分はリウヴィルの定理における可積分性の条件からは除外される。このような状況では状態空間内の任意の点の近傍を任意の等高線 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) = a ′ {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a'} が通過するため、この意味でこの種の第一積分は無限多価の積分と呼ばれる。一方、そうではない有限多価の積分(典型的には一価の積分)は孤立積分 (isolating integral) と呼ばれ、求積に用いることができる。