アトラクター
周期アトラクター消滅後にも、カオス軌道の中で元の周期的な振る舞いが一定時間ごとに(間欠的に)起こる特徴を持ち、このような振る舞いを間欠性カオスという。準周期崩壊ルートとは、準周期アトラクターが位相ロッキングと呼ばれる振動数比の有理数化(すなわち周期アトラクター化)を経てカオスに至る道筋である。最終的なカオスへの遷移自体は、上記の周期倍カスケードや間欠カオスによって起こる。
特に周期倍分岐ルートはもっとも有名なカオス発生の道筋で、多数の低次元系で周期倍カスケードの例が見つかってきた。周期倍分岐ルートは上述のローレンツ方程式やエノン写像でも起き、他にはレスラー方程式
x ̇ = − y − z {\displaystyle {\dot {x}}=-y-z}
y ̇ = x + a y {\displaystyle {\dot {y}}=x+ay}
z ̇ = b − c z + x z {\displaystyle {\dot {z}}=b-cz+xz}
で起こるものなどが知られる。レスラー方程式のアトラクターの周期倍分岐の例を以下に示す。図は xy-平面へ射影した軌道を示し、パラメータは a = 0.1 と b = 0.1 を固定で、c を変化させている。
レスラー方程式のアトラクターの分岐
c = 4.0(1周期アトラクター)
c = 6.0(2周期アトラクター)
c = 8.5(4周期アトラクター)
c = 8.7(8周期アトラクター)
c = 9.0(ストレンジアトラクター)
c = 12.0(3周期アトラクター)
c = 12.6(6周期アトラクター)
c = 13.0(ストレンジアトラクター)
c = 18.0(ストレンジアトラクター)
時間発展の法則があらかじめ分かっている系であれば、数値計算からアトラクターを描くことは容易なことである。しかし、実現象の実験データなどでは、その背後の時間発展法則は不明確なことが多い。さらに、時間発展法則が推定できる場合でも、その系を構成する複数の状態変数の内の一部、極端には1つの状態変数しか測定できないことも多い。このような状況の測定データから系の振る舞いを再構成する問題は、多くの工学者や科学者にとって重要な課題である。1つの状態変数の時系列データから系のアトラクターを再現する手法はアトラクターの再構成(英語: attractor reconstruction)として知られ、特に、不規則的な時系列データについて決定論的な力学系の観点から解析を試みる上でアトラクターの再構成が解析の基礎となる。
アトラクターの再構成のために現在広く利用されているのが、測定された時系列データを時間遅れ座標系へ変換する手法である。1次元離散時間の時系列データ u(t) が得られたとする。これに対して適当な時間遅れ τ と適当な次元 m を決め、u(t) から次のような m 次元ベクトル u ∈ R を各 t に対して作る。
u ( t ) = ( u ( t ) , u ( t + τ ) , u ( t + 2 τ ) , ⋯ , u ( t + ( m − 1 ) τ ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)=(u(t),\ u(t+\tau ),\ u(t+2\tau ),\cdots ,\ u(t+(m-1)\tau ))}
ここで、m は埋め込み次元と呼ばれる。
松本 隆・徳永 隆治・宮野 尚哉・徳田 功、2002、『カオスと時系列』初版、培風館〈情報数理シリーズB-7〉 ISBN 4-563-01497-4
Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6 [原著]Steven H. Strogatz (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press
伊東 敬祐、1993、『カオスって何だろう ―予測できないカオスを予測する』、ダイヤモンド社 ISBN 4-478-83006-1
デニー・グーリック、前田 恵一・原山 卓久(訳)、1995、『カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ』初版、産業図書 ISBN 4-7828-1009-1 [原著]Denny Gulick (1992). Encounters with Chaos. McGraw-Hill
J. M. T. Thompson; H. B. Stewart、武者 利光(監訳)、橋口 住久(訳)、1988、『非線形力学とカオス ―技術者・科学者のための幾何学的手法』第1版、オーム社 ISBN 4-274-07431-5 [原著]J. M. T. Thompson; H. B. Stewart (1986). Nonlinear Dynamics and Chaos: Geometrical Methods for Engineers and Scientists. John Wiley & Sons
ブラッセレーターはイリヤ・プリゴジンらが導入した化学振動反応のモデルで、x と y は時間変化する分子濃度を表す。代表的な化学振動反応であるベロウソフ・ジャボチンスキー反応では、条件によっては反応物質濃度の安定なリミットサイクル振動が起きることが知られている。ブラッセレーターのa と b も分子濃度を表すが、ここでは定常状態にあり、パラメータだとする。(a, b) = (1.0, 2.2) のとき、ブラッセレーターの軌道が相平面上で閉曲線に接近していくのが観察できる。
離散力学系の場合、写像を繰り返し合成したときにある繰り返し数で元の状態に戻るような点列が周期軌道と呼ばれる。周期が T だとすると、(x0, f(x0), f(x0), ..., f(x0)) という点列の集合が離散力学系における周期軌道で、このような周期軌道にも近くの点を引き込む漸近安定な場合がある。漸近安定な周期軌道が、離散力学系における周期アトラクターである。エノン写像の例では、パラメータが (a, b) = (1, 0.3) のときに周期 4 の漸近安定な周期軌道が存在する。