余弦定理
第一余弦定理は正弦定理の一部と同値となる。ここではそれも含めた証明を行う。
辺 b の対角が直角 β = π/2 の場合は、cos β = 0 となり cos β を含む第一余弦定理は
a = b cos γ
c = b cos α
となる。辺 b は直角三角形の斜辺であるため、これは余弦関数の定義そのものである。
以下、β と γ は直角ではないとする。すなわち cos β と cos γ は 0 ではないとする。
正弦定理により
a sin  α = b sin  β = c sin  γ ⋯ 1 {\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }\quad \cdots \quad {\text{1}}\quad }
が、加比の理から
b cos  γ sin  β cos  γ = c cos  β sin  γ cos  β = b cos  γ + c cos  β sin  β cos  γ + sin  γ cos  β ⋯ 2 {\displaystyle {b\cos \gamma \over \sin \beta \cos \gamma }={c\cos \beta \over \sin \gamma \cos \beta }={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \beta }\quad \cdots \quad {\text{2}}\quad }