一様空間
一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。
定義 ― Xを集合とし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合族とする。もし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む一様構造の中で包含関係に関して最小なもの U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が存在すれば、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を生成する(英: generate)という。
ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、Xと S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の選び方によっては S ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {U}}} となる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が前一様構造であればこうした問題は起こらない:
任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ∈Λに対し、 x λ ∈ U [ x λ 0 ] {\displaystyle x_{\lambda }\in U[x_{\lambda _{0}}]}
任意のd∈Dと任意のε>0に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ , τ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、 d ( x λ , x τ ) < ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x_{\tau })<\varepsilon }
定理 (同程度連続性の擬距離の集合による特徴づけ) ― X、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} 、Φを上の定理と同様に取り、DをY上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致するものとする。このとき、Φが同程度連続である必要十分条件は任意のx ∈ Xと任意のd ∈ Dと任意のε > 0に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、
d ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε {\displaystyle d(f(x),f(y))<\varepsilon }
が成立する事である:
定理 (アスコリ=アルツェラの定理) ― Xを位相空間、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、C(X,Y)をXからYへの連続関数全体の集合とし、ΦをC(X,Y)の部分集合とする。 このとき
Φは同程度連続
任意のx ∈ Xに対し、 { f ( x ) ∣ f ∈ Φ } {\displaystyle \{f(x)\mid f\in \Phi \}} はYで相対コンパクト
であれば、ΦはC(X,Y)で相対コンパクトである。
Xが局所コンパクトであるかもしくは第一可算公理を満たす場合は、逆にΦがC(X,Y)で相対コンパクトであれば、1, 2を満たす。
任意のε>0と任意の e ∈ E {\displaystyle e\in E} に対し、あるδ>0とある有限部分集合 D ′ ⊂ D {\displaystyle D'\subset D} が存在し、全てのx1, x2∈Xに対し、
max d ∈ D ′ d ( x 1 , x 2 ) < δ ⇒ e ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) < ε {\displaystyle \max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow e(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon }
任意のe∈Eに対し、ある有限部分集合D'⊂Dとμ(0)=0を満たすある単調増加な連続写像 μ : R ≥ 0 → R ≥ 0 {\displaystyle \mu ~:~\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0}} が存在し、全てのx1, x2∈Xに対し、
e ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ μ ( max d ∈ D ′ d ( x 1 , x 2 ) ) {\displaystyle e(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \mu (\max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2}))}