作用 (数学)
集合 A には、その各元 x に対して x 自身を返す「なにもしない」変換(恒等変換)が自然に備わっているので、作用域として別の集合 Ω が任意に与えられたとき、Ω の各作用素 ω を恒等変換(恒等作用素)として Ω の A への「なにもしない」作用を定めることができる。これを Ω の A への自明な作用という。
作用 (σ, Ω, A) に対して、A の部分集合 B が作用 σ について閉じているとき、つまり A 上の作用素 σ(ω): A → A の定義域の制限 σ(ω)|B: B → B によって写像
σ | B : Ω × B → B ; ( ω , x ) ↦ σ ( ω ) | B ( x ) {\displaystyle \sigma |_{B}\colon \Omega \times B\to B;\ (\omega ,x)\mapsto \sigma (\omega )|_{B}(x)}
を考えると組 (σ|B, Ω, B) が再び作用になるとき、B は作用 σ に関して Ω-安定(あんてい、stable)であるとか Ω-不変(ふへん、invariant)もしくは固有(こゆう、proper)であるなどといい、また B は A の部分 Ω-代数系あるいは部分表現であるという。