代数体
代数体 K の分数イデアルは、イデアルの乗法で、可換な乗法群をなす。単位元は、 ( 1 ) ( = O K ) {\displaystyle (1)(={\mathcal {O}}_{K})} であり、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の逆元は、
a − 1 = { λ ∈ K | λ a ⊂ O K } {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{-1}=\{\lambda \in K|\lambda {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\}}
である。 これを、イデアル群 (ideal group)という。
任意の分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} は、一意的に、
a = ∏ i = 1 r p i e i {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\prod _{i=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}} (各 e i {\displaystyle e_{i}} は、0 ではない有理整数)
と素イデアルの積で表される。
.. , ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} を K の整基底 (integral basis) または整数基という。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は整閉である。つまり、K の元 β に対して、 β r + α r − 1 β r − 1 ⋯ + α 1 β + α 0 = 0 {\displaystyle \beta ^{r}+\alpha _{r-1}\beta ^{r-1}\cdots +\alpha _{1}\beta +\alpha _{0}=0} となる K の元 α 0 , α 1 , ... , α r − 1 {\displaystyle \alpha _{0},\ \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{r-1}} が存在するならば、β は、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元である。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} はデデキント環である。
一般に、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は一意分解整域ではない。
特別な代数体の整数環については、その数論的性質が詳しく研究されており、特別な名称が付けられている。
ディリクレの単数定理で与えられる η 1 , ... , η r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r_{1}+r_{2}-1}} を基本単数系 (fundamental units system) といい、それぞれを、基本単数 (fundamental unit) という。
注意:基本単数系は、K に対して1組しか存在しないわけではない。以下のことにより、一般に、基本単数系は無限に存在する。
η 1 , ... , η r {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r}} を、代数体 K の基本単数系とする。 η 1 ′ , ... , η r ′ {\displaystyle \eta '_{1},\ldots ,\ \eta '_{r}} が、K の基本単数系である必要十分条件は、各 i ( i = 1 , ...