三個の平方数の和
8 N + 3 {\displaystyle 8N+3} の形の自然数は高々三個の平方数の和で表されるから
8 N + 3 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 + ( 2 z + 1 ) 2 {\displaystyle 8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}}
N = x ( x + 1 ) 2 + y ( y + 1 ) 2 + z ( z + 1 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}}
となる整数 x , y , z {\displaystyle x,y,z} が存在する。故に全ての自然数は高々三個の三角数の和で表される。