トポス (数学)
Xを位相空間とするとき、Xの開集合のなす圏 O(X) の上に族の合併操作からグロタンディーク位相が定まる。そこから得られるトポスは(普通の意味での)X 上の層の圏 Sh(X) である。位相空間の間の連続写像 f:X → Y はトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) を導く。逆に、Yがハウスドルフ性などよい分離性を持つ空間のときにはトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) は必ずこのようにして得られる。したがって、トポスの理論は位相空間の理論の(圏の言葉による)言い換えを与えていると考えることができる。
Setsは一点空間の上の層の圏と見なせるが、任意の点 x ∈ X について { x } → X が導くトポスの射 Sets ≡ Sh({x}) → Sh(X) は「xにおけるファイバーをとる」関手と「x上の摩天楼層」関手から構成されている。また、X → pt(一点空間)が導くトポスの射 Sh(X) → Sets は「定数層」関手と「大域切断」関手から構成されている。
Gを(離散)群とする。G をただ一つの対象からなる圏と見なすとき G 上の前層の圏と G が作用する集合の圏 BG とは同一視される。 このとき位相空間X上のG-torsor と Sh(X) から BG へのトポスの射との間に自然な対応がある。 同様にして、「加群の分類トポス」とよばれる(グロタンディーク)トポス Aが存在し、(C, J)上の加群の層と Sh(C, J) から A へのトポスの射が自然に対応する。この対応は A における「普遍的な加群の層」対象 E を考え、Sh(C, J) からAへの射fに対し E のfによる引き戻し fEを対応させることで与えられる。さらには環の層などほかの構造についても同様のことが成立している。