量子ホール効果
ホール効果に現れる整数は、トポロジカル量子数の一例である。この数は、数学において第一チャーン数として知られており、ベリー位相と密接な関係がある。これに関係して、アベル=ハーパー=ホフスタッタ・モデルは極めて面白い。このモデルの量子位相図は、ホフスタッターの蝶として表現される。縦軸は磁場の強さ、横軸は電子密度によって決まる化学ポテンシャルである。色は、整数ホール電導率を表現している。暖色は正の整数を示し、寒色は負の整数を示す。位相図はフラクタルであり、明白な自己相関性が観察できる。物理的なメカニズムとしては、不純物か局所的な系(例:エッジ電流)もしくはその両方が、整数量子ホール効果と分数量子ホール効果に重要な役割を果たしていると考えられる。加えて、クーロン相互作用も、分数量子ホール効果を考える上で重要である。分数量子ホール効果は、整数量子ホール効果はよく似た現象であり、偶数本の磁束量子と束縛状態を形作った複合フェルミオンと呼ばれる電子の性質によるものと説明できる。