忠実加群
環 A 上の(左または右)加群 M は、その零化イデアル AnnA (M) が {0} であるときに、忠実(英: faithful)であるという。言い換えると、各 α ∈ A ∖ { 0 } {\displaystyle \alpha \in A\setminus \{0\}} の作用が自明でない(ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0)ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 ψ : A → End  ( M ) {\displaystyle \psi \colon A\to \operatorname {End} (M)} が単射である。
任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 ψ : A → End  ( M ) {\displaystyle \psi \colon A\to \operatorname {End} (M)} は、単射準同型 ψ ~ : A / ker  ψ → End  ( M ) {\displaystyle {\tilde {\psi }}\colon A/\ker \psi \to \operatorname {End} (M)} によって分解する。ker ψ は AnnA (M) に他ならないので、 ψ ~ {\displaystyle {\tilde {\psi }}} によって M に A / AnnA (M)-加群としての構造が入り、このとき ψ ~ {\displaystyle {\tilde {\psi }}} は単射なので M は忠実である。