二百四十角形
正二百四十角形においては、中心角と外角は1.5°で、内角は178.5°となる。一辺の長さが a の正二百四十角形の面積 S は
S = 60 a 2 cot  π 240 {\displaystyle S=60a^{2}\cot {\frac {\pi }{240}}}
cos  ( 2 π / 240 ) {\displaystyle \cos(2\pi /240)} は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。
cos  2 π 240 = cos  π 120 = cos  ( 1.5 ∘ ) = ( 2 + 2 ) ( 30 − 6 5 + 5 + 1 ) + ( 2 − 2 ) ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 16 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{240}}=\cos {\frac {\pi }{120}}=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}