楕円型作用素
非負の数 p に対し、p-ラプラシアンとは次で定義される非線形楕円型作用素のことを言う。
L ( u ) = − ∑ i = 1 d ∂ i ( | ∇ u | p − 2 ∂ i u ) . {\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u).\,}
同様の非線形作用素は氷床力学(英語版)に現れる。グレンの流動則に従って、氷のコーシー応力テンソル(英語版)は次で与えられる。
τ i j = B ( ∑ k , l = 1 3 ( ∂ l u k ) 2 ) − 1 3 ⋅ 1 2 ( ∂ j u i + ∂ i u j ) {\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}(\partial _{l}u_{k})^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j})\,}
ここに B はある定数である。すると、定常状態における氷床の速度は、次の非線形楕円型システムの解で与えられる。
∑ j = 1 3 ∂ j τ i j + ρ g i − ∂ i p = Q {\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q\,}
ここに ρ は氷の密度、g は重力加速ベクトル、p は圧力、Q はある外力項である。
D {\displaystyle D} を、任意の階数のベクトル束の間の(非線型であることもある)微分作用素とする。一次形式 ξ {\displaystyle \xi } に関するその主表彰 σ ξ ( D ) {\displaystyle \sigma _{\xi }(D)} を取る(基本的に、今行っていることは最高次の共変微分 ∇ {\displaystyle \nabla } をベクトル場 ξ {\displaystyle \xi } で置き換える作業である)。
D {\displaystyle D} が弱楕円型(weakly elliptic)であるとは、すべてのゼロでない ξ {\displaystyle \xi } に対して σ ξ ( D ) {\displaystyle \sigma _{\xi }(D)} が線型の同型写像であることを言う。
D {\displaystyle D} が(一様)強楕円型(strongly elliptic)であるとは、ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} が存在して
( [ σ ξ ( D ) ] ( v ) , v ) ≥ c ‖ v ‖ 2 {\displaystyle ([\sigma _{\xi }(D)](v),v)\geq c\|v\|^{2}}
がすべての ‖ ξ ‖ = 1 {\displaystyle \|\xi \|=1} と v {\displaystyle v} に対して成り立つことを言う。