モース理論
モース函数の考え方は、非退化臨界点しか持たない多様体上の函数を考えることへと一般化することができる。モース・ボットの函数(Morse–Bott function)は、多様体上の滑らかな函数であって、臨界点の集合は閉じた多様体であり、法線の方向にヘッセ行列が非退化である。(同じことであるが、臨界点でのヘッセ行列の核は、臨界部分多様体への接空間に等しくなる。)モース函数は、臨界多様体が 0 次元のときの特別な場合である。(従って、臨界点でのヘッセ行列はすべての方向へ非退化、つまり、核を持たない。)
指数は、非常に自然に、ペア
( i − , i + ) , {\displaystyle (i_{-},i_{+}),}
と考えることができる。ここに i− は、臨界多様体の与えられた点での不安定な多様体の次元であり、i+ は i− に臨界多様体の次元をプラスした次元である。モース・ボットの函数が、臨界軌跡上の小さな函数で摂動されると、摂動された函数の臨界多様体の上のすべての臨界点の指数は、i− と i+との間に存在することとなる。
b を f : M → R の非退化臨界点とすると、b の近傍 U の中に近傍座標系(英語版)(chart) (x1, x2, ..., xn) が存在し、すべての i に対し x i ( b ) = 0 {\displaystyle x_{i}(b)=0} と
f ( x ) = f ( b ) − x 1 2 − ⋯ − x α 2 + x α + 1 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
が U 全体で成り立つ。ここに α は b での f の指数に等しい。モースの補題の系として、非退化な臨界点は孤立点である。(複素領域への拡張は、複素モース補題(Complex Morse Lemma)を参照、一般化についてはモース・パレの補題(英語版)(Morse-Palais lemma)を参照)