ハンドル体
種数 g の3次元ハンドル体 Hg は、次の条件を満たす g 個の2次元円板を持つ。
どの円板も Hg に適切に埋め込まれている。つまり各円板が Hg に含まれており、各円板の境界が Hg の境界に含まれている。
どの2つの円板をとっても互いに共通部分を持たない。
Hg を各円板で切り開くと、3次元球体と同相になる。
これらの円板のことを完備メリディアン円板系(complete meridian disk system)という。Hg を 3次元球体に g 個のハンドルがついた状態で想像したとき、各ハンドル D×I をまっぷたつに分ける円板(D×{0.5} )たちは完備メリディアン円板系となる。右図の種数3のハンドル体の図の場合は、小さく描かれている3つの円板がこの条件を満たす(大きく描かれている円板は3番目の条件を満たさないので不適当である)。
また、逆にコンパクトで向き付け可能な3次元多様体が上の条件を満たす g 個の円板を持てば、それは種数 g のハンドル体となる。
ハンドル体の基本群は、 π 1 ( H g ) = { x 1 , x 2 , . . . , x g | − } {\displaystyle \pi _{1}(H_{g})=\{x_{1},x_{2},...,x_{g}|-\}} となる(階数 g の自由群)。ここで xiは、ハンドル体の上のある1点を基点としてi番目のメリディアン円板と1回だけ交差するループ(のホモトピー類)である。