シュテファン＝ボルツマンの法則
積分はゼータ関数の特殊値の知識を用いて計算される。 ガンマ関数を用いたリーマンゼータ関数の定義式
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ u s − 1 e u − 1 d u {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{s-1}}{\mathrm {e} ^{u}-1}}du}
により、この積分は
∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = Γ ( 4 ) ζ ( 4 ) = 6 ⋅ π 4 90 = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}dx=\Gamma (4)\zeta (4)=6\cdot {\frac {\pi ^{4}}{90}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
となる。
従って、シュテファン=ボルツマン定数は
σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}
と計算される。