主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
対照的に,直既約部分加群への一意的な分解はそれほど一般化されず,その失敗度合いは PID 上消えるイデアル類群によって測られる.
主イデアル整域でない環に対して,一意分解は二元で生成された環上の加群に対してさえ成り立つとは限らない.環 R = Z[√−5] に対して,加群 R と,2 と 1 + √−5 で生成される部分加群 M は,ともに直既約である.R は M に同型ではないが,R ⊕ R は M ⊕ M に同型である;したがって M 成分の像は直既約部分加群 L1, L2 < R ⊕ R を与え,これは R ⊕ R の異なる分解を与える.R ⊕ R の直既約加群の直和への一意的な分解が成り立たないことは(イデアル類群を通して)R の元の R の既約元への一意分解が成り立たないことに直接に関係する.