線型代数群
代数的閉体 k 上のトーラス torus とは (Gm) と同型な群を指す。ここで n はある自然数であり、 (Gm) は k 上の乗法群 Gm の n 個のコピーの直積である。線型代数群 G に対して、 G の極大トーラス maximal torus とは G に含まれるトーラスであって、より大きなトーラスに含まれていないものを指す。例えば、k 上の GLn に含まれる対角行列群は GLn の極大トーラスで (Gm) と同型である。理論における基本的な結果は、代数的閉体 k 上において G のどんな極大トーラスも適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである。G の階数 rank は極大トーラスの次元を指す。
任意の体 k に関して、 k 上のトーラス torus T とは k 上の線型代数群であって、k の代数的閉包への底変換 base change T k ̄ {\displaystyle T_{\bar {k}}} がある自然数 n に対して k ̄ {\displaystyle {\bar {k}}} 上 (Gm) と同型であることを指す。k 上分裂トーラス split torus とは n はある自然数に対して k 上 (Gm) と同型な群を指す。実数 R 上分裂しないトーラスの例としては
T = { ( x , y ) ∈ A R 2 ∣ x 2 + y 2 = 1 } {\displaystyle \mathbf {T} =\{\,(x,y)\in \mathbf {A} _{\mathbf {R} }^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}}
アフィンでない代数群は非常に異なった振る舞いをする。特に、適当な体上の射影多様体となるような滑らかな連結群スキームをアーベル多様体と呼ぶ。線型代数群とは対照的に、任意のアーベル多様体は可換である。にも拘らず、アーベル多様体は豊かな理論を持つ。一次元アーベル多様体のことである楕円曲線の場合でさえ、その理論は数論において中心的であり、例えばフェルマーの最終定理などを含めた広い応用がある。