J-不変量
{\displaystyle j(\tau )={\frac {27(1+8\gamma )^{3}}{\gamma (1-\gamma )^{3}}}.}
任意の 4つの根に対して、
τ = i 3 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 , 1 , 1 − γ ) 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 , 1 , γ ) {\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,\gamma \right)}}}
となる。
方法 3: β の 3次式を解く方法。
j ( τ ) = 64 ( 1 + 3 β ) 3 β ( 1 − β ) 2 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {64(1+3\beta )^{3}}{\beta (1-\beta )^{2}}}.}
すると、任意の 3つの根に対し、
τ = i 2 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 , 1 , 1 − β ) 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 , 1 , β ) {\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,\beta \right)}}}