Atan2
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
重複する4つの半平面を用いたコンパクトな式:
atan2  ( y , x ) = { arctan  ( y x ) if x > 0 , π 2 − arctan  ( x y ) if y > 0 , − π 2 − arctan  ( x y ) if y < 0 , arctan  ( y x ) ± π if x < 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y<0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi &{\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
ここでは前者の y 2 ≠ 0 {\displaystyle y_{2}\neq 0} または x 2 > 0 {\displaystyle x_{2}>0} のケースのみにおいて考える。最初に、下記の考察を行う:
− atan2  ( y , x ) = atan2  ( − y , x ) {\displaystyle -\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {atan2} (-y,x)} において y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} または x > 0 {\displaystyle x>0} .
Arg  ( x + i y ) = atan2  ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,x)} であり、 Arg {\displaystyle \operatorname {Arg} } は複素数の偏角の数値計算である。
θ ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]} である限り、 θ = Arg  e i θ {\displaystyle \theta =\operatorname {Arg} e^{i\theta }} が成り立つ(オイラーの公式により)。