ペロン＝フロベニウスの定理
1 2 山本哲朗『数値解析入門』(増訂版)サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。
↑ Meyer 2000, p. 8.3.6 p. 681
↑ Meyer 2000, p. 8.3.7 p. 683
↑ Langville & Meyer 2006, p. 15.2 p. 167
↑ Keener 1993, p. p. 80
1 2 Meyer 2000, p. chapter 8 page 665
↑ Meyer 2000, p. chapter 8.3 page 670
↑ Gantmacher 2000, p. chapter XIII.3 theorem 3 page 66
↑ Kitchens, Bruce (1998), Symbolic dynamics: one-sided, two-sided and countable state markov shifts., Springer, https://books.google.ru/books?id=mCcdC_5crpoC&lpg=PA195&ots=RbFr1TkSiY&dq=kitchens%20perron%20frobenius&pg=PA16#v=onepage&q&f=false
↑ Meyer 2000, p. claim 8.3.11 p. 675
↑ Gantmacher 2000, p. section XIII.5 theorem 9
正方行列 A (必ずしも正あるいは実でなくてもよい) が既約(irreducible)であるとは、以下の(互いに同値な)定義で述べられている性質が成立することを言う。
定義 1:A は非自明な不変座標部分空間を持たない。ここで、非自明な座標部分空間とは、任意の基底ベクトルの真部分集合によって張られる線型部分空間を意味する。より明確に言うと、基底ベクトル ei1 , ..., eik, n > k > 0 によって張られる任意の線型部分空間に対し、作用 A を施した像は同じ部分空間には含まれない、ということを意味する。
定義 2:A は置換行列 P によって上三角ブロック行列に相似変換されることはない:
P A P − 1 ≠ ( E F 0 G ) . {\displaystyle PAP^{-1}\neq {\begin{pmatrix}E&F\\0&G\end{pmatrix}}.}
ここで E と G は非自明な(すなわち、行列次数がゼロではない)正方行列である。
A が非負行列である場合には、次の異なる定義が存在する:
定義 3:添字 i と j の全てのペアに対し、(A)ij が 0 とならないようなある自然数 m が存在する。
定義 4:行列 A に関連する有向グラフ GA を考える。そのグラフは A のサイズ n と等しい数の頂点を持ち、Aij > 0 である場合に頂点 i から頂点 j への辺が存在するものとする。このとき、行列 A が既約であるための必要十分条件は、その対応するグラフ GA が強連結であることである。
既約でない行列は、可約(reducible)と呼ばれる。