順序集合
上で述べた概念は以下の性質を満たす:
順序を反映する写像は単射である。実際 f(x) = f(y) ⇒f(x) ≤ f(y) かつ f(x) ≥ f(y) ⇒ x ≤ y かつ x ≥ y ⇒ x = y である。
f が順序埋め込みである必要十分条件は f が順序を保存し、しかも順序を反映することである。また全単射 f: S → T とその逆関数 f: T → S が順序同型なら f, f は順序同型である。
順序を保つ写像と順序を保つ写像の合成は順序を保つ。順序を反映する写像と順序を反映する写像の合成も順序を反映する。
P を順序集合とし、a, b を P の元とするとき、閉区間 [a, b] と開区間 (a, b) を以下のように定義する:
[ a , b ] := { x ∈ P ∣ a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]:=\{x\in P\mid a\leq x\leq b\}}
( a , b ) := { x ∈ P ∣ a < x < b } {\displaystyle (a,b):=\{x\in P\mid a<x<b\}}
さらに [a, b) および (a, b] を以下のように定義し、半開区間と呼ぶ:
[ a , b ) := { x ∈ P ∣ a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b):=\{x\in P\mid a\leq x<b\}}
( a , b ] := { x ∈ P ∣ a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]:=\{x\in P\mid a<x\leq b\}}
文献によっては (a, b), [a, b), (a, b] のことを ]a, b[, [a, b[, ]a, b] と表す場合もある。
半順序集合が局所有限(英語版)であるとは、全ての区間が有限集合であることをいう。例えば、整数全体の成す集合は通常の大小関係による半順序に関して局所有限である(端点の無い無限区間のようなものは今考えていない)。
順序集合における区間の概念と、区間順序(英語版)として知られる特定の半順序の類いとを混同してはならない。
2つの半順序集合(の台集合)の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
辞書式順序: ( a , b ) ≤ ( c , d ) ⟺ a < c ∨ ( a = c ∧ b ≤ d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)\iff a<c\lor (a=c\land b\leq d)}
積順序: ( a , b ) ≤ ( c , d ) ⟺ a ≤ c ∧ b ≤ d {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)\iff a\leq c\land b\leq d}
( a , b ) ≤ ( c , d ) ⟺ ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)\iff (a<c\land b<d)\lor (a=c\land b=d)}
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。
N × N 上の直積狭義順序の反射閉包
N × N 上の積順序
N × N 上の辞書式順序