平坦射
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が平坦とすると、次がすべて成り立つ。
X の任意の点 x と y = f (x) の任意の一般化 y′ に対して、x の一般化 x′ で y′ = f (x′) となるものが存在する。
X の任意の点 x に対して f ( Spec  O X , x ) = Spec  O Y , f ( x ) {\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}} が成り立つ。
Y の任意の既約閉部分集合 Y ′ に対して、f (Y ′) の任意の既約成分から Y ′ への射は支配的である。
Z と Z ′ を Y の2つの既約閉部分集合で Z は Z ′ に含まれているものとする。このとき、f (Z) の任意の既約成分 T に対して f (Z ′) の既約成分 T ′ で T を含むものが存在する。
X の任意の既約成分 T に対して f (T) の閉包は Y の既約成分である。
Y が既約で生成点 y の逆像 f (y) が既約であれば X も既約である。
f が閉であれば、X の任意の連結成分の像は Y の連結成分。
Y の任意の副構成可能部分集合 Z に対して f − 1 ( Z ̄ ) = f − 1 ( Z ) ̄ {\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}} が成り立つ。
平坦射(へいたんしゃ、英: flat morphism)とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキーム X からスキーム Y への射 f であって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、X のすべての点 P に対して
f P : O Y , f ( P ) → O X , P {\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}
が平坦写像になるもののことをいう。環の写像 A → B {\displaystyle A\to B} が平坦とは、準同型であってこれにより B が平坦 A 加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦という。
平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。
平坦性は生成的性質(英語版)である(このことを以下では一般平坦性(英語版)と呼ぶ)。つまり、(ある有限性の条件の下で)スキームの射はほとんどの点で平坦であり、平坦性が崩れるのは例外的な部分集合においてである。