階数・退化次数の定理
を満たす n × (n − r) 行列であることに注意されたい。したがって、X の n − r 個の各列は、Ax = 0 の特殊解である。さらに、以下に示すように Xu = 0 であれば u = 0 であることから、X の n − r 個の列は線型独立である:
X u = 0 ⇒ [ − B I n − r ] u = 0 ⇒ [ − B u u ] = [ 0 0 ] ⇒ u = 0 . {\displaystyle X{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}-B\\I_{n-r}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}-B{\boldsymbol {u}}\\{\boldsymbol {u}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}
したがって、X の列ベクトルは Ax = 0 に対する n − r 個の線型独立な解の集合を構成する。