ホモロジー (数学)
チェイン複体 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})} において、有限個を除いて An がすべてゼロであり、ゼロでない An はすべて有限生成アーベル群(ないしは有限次元ベクトル空間であるとすると、そのチェイン複体のオイラー標数を
χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( A n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}
によって定義できる(右辺の rank は、アーベル群の場合はその階数を意味し、ベクトル空間の場合には次元を意味する)。オイラー標数は、実はホモロジー群だけで計算できることがわかる。つまり、
χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( H n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}
が成り立つ。これは、特に代数的位相幾何学においては、チェイン複体の元となった対象 X の重要な不変量 χ を計算する 2 つの方法を与えている。