ヘルムホルツの定理
3 次元の任意のベクトル場 F(x) に対し、スカラーポテンシャル φ(x) とベクトルポテンシャル A(x) で
を満たすものが存在する。すなわち任意のベクトル場 F を、スカラー場 φ の勾配 ∇ φ = grad φ で表される項とベクトル場 A の回転 ∇ × A = rot A で表される項に分解して表示できる。これをヘルムホルツの定理と呼ぶ。φ の前に負号がついているのは、スカラーポテンシャルの物理的な意味に則するためであり、数学的には負号をつけなくても良い。
φ と A の取り方は一意的ではなく、φ に任意の定数 c を加えたものや、A に任意のスカラー場 χ の勾配 grad χ を加えたものも上記の分解定理を満たしている。
grad  φ ′ = grad  ( φ + c ) = grad  φ {\displaystyle \operatorname {grad} \phi '=\operatorname {grad} \left(\phi +c\right)=\operatorname {grad} \phi }