ディリクレ固有値
ディリクレラプラシアンは、数理物理学の様々な問題に現れる。例えば、理想化された太鼓のモードや、理想化されたプールの表面での小さな波や、近軸近似における理想化された光ファイバーのモードなどに関する問題で現れる。この最後の例は、ダブルクラッドファイバー(英語版)との関係で最も実用的である。そのようなファイバーにおいて、ほとんどのモードは領域を一様に埋めるか、あるいはほとんどの半直線はその核と交差するという事実が重要である。最も単純な形の領域は、円状対称である。ポンプのモードは、ダブルクラッドファイバー増幅器において用いられるアクティブコアを避けるべきではない。そのような応用に対して渦状領域は、ディリクレラプラシアンのモードの境界での挙動により、特に効果的となる。
次の定理は、幾何光学における半直線の性質と似たディリクレラプラシアンの境界での挙動に関するものである:半直線の角運動量は、その半直線がチャンクにぶつかるまで、境界の渦状の部分で反射する度に増加する。(光軸と平行なものを除く)すべての半直線は、角運動量の超過のためにチャンクの付近を必ず通る。同様に、ディリクレラプラシアンのモードはチャンクの付近でゼロで無い値を取る。そのモードの境界での微分の法線成分は、圧力と解釈できる。その圧力が表面について積分されたものが力となる。そのモードは伝播方程式の(縦座標への自明な依存性を持つ)定常解なので、その力の総和は必ずゼロとなる。同様に、その力の角運動量もゼロとならなければならない。しかし、物理系に対して同様の結果が得られないという事実に関する正式な証明が存在する。