メリン変換
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} についての公式を得ることができる。 f ( x ) = 1 e x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}} としたとき M f ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x 1 − e − x d x = ∫ 0 ∞ x s − 1 ∑ n = 1 ∞ e − n x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s − 1 e − n x d x = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x = ∑ n = 1 ∞ Γ ( s ) n s = Γ ( s ) ζ ( s ) {\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}}=\Gamma (s)\zeta (s)} よって
言い換えると、集合
{ M ~ f } ( s ) := 1 2 π { M f } ( 1 2 − i s ) {\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}
を定義することが出来る。この作用素は通常 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} を記号として用いる。このときメリン逆定理(英語版)により、 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} は可逆であって、その逆は
c > 0 {\displaystyle c>0} 、 R ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} および主枝(英語版)上の y − s {\displaystyle y^{-s}} に対して、
e − y = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( s ) y − s d s {\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}
が成立する。ここで Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。