伊藤の補題
である。
ウィーナー過程の性質により、 B ( t i ) − B ( t i − 1 ) {\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})} は平均 0 分散 t i − t i − 1 {\displaystyle t_{i}-t_{i-1}} の 正規分布に従う。すなわち、 E ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) = 0 {\displaystyle E(B(t_{i})-B(t_{i-1}))=0} 、 E ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 2 ) = t i − t i − 1 {\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=t_{i}-t_{i-1}} 、 E ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 4 ) = 3 ( t i − t i − 1 ) 2 {\displaystyle E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})=3(t_{i}-t_{i-1})^{2}} となるから結局 E ( S ) = t {\displaystyle E(S)=t} であり、分割を細かくする極限で