デデキントゼータ関数
(1) 自明な零点
ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} と ζ K ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta _{K}(1-s)} との関係式から自明な零点を求めることができる。 K が総実体のとき 任意の正整数 k に対して、 ζ K ( − 2 k ) = 0 {\displaystyle \zeta _{K}(-2k)=0} 。 K が総実体ではないとき 任意の正整数 k に対して、 ζ K ( − k ) = 0 {\displaystyle \zeta _{K}(-k)=0} 。
(2) 非自明な零点
s が、 Re  s > 0 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>0} である零点とすれば、 R s s = 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle Rs\ s=1/2} であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。
n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす:
ζ K ( 1 − s ) = | D K | s − 1 / 2 ( cos  π s 2 ) r 1 + r 2 ( sin  π s 2 ) r 2 ( 2 ( 2 π ) − s Γ ( s ) ) n ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(1-s)=|D_{K}|^{s-1/2}\left(\cos {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{1}+r_{2}}\left(\sin {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{2}}(2(2\pi )^{-s}\Gamma (s))^{n}\zeta _{K}(s)} 。
但し、 r 1 , 2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} は K の実共役体、虚共役体の個数とする。
特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式
ζ ( 1 − s ) = 2 ( 2 π ) − s cos  ( π s 2 ) Γ ( s ) ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (s)\ \zeta (s)}
ζ K ( s ) = ζ ( s ) ∏ p ; odd  prime ( 1 − ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 p − s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)\!\!\!\!\!\!\!\prod _{p;\operatorname {odd} \ \operatorname {prime} }\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)}
が成立する。二通りに表された ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を比較することにより、
r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d | n ( − 1 ) ( d − 1 ) / 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}}
が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。
さらなる応用として、K を別の二次体 ( Q ( − 2 ) , Q ( − 3 ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})} にすることで、上と同じ方法で、 x 2 + 2 y 2 , x 2 + 3 y 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}+2y^{2},\ x^{2}+3y^{2}} の形での表し方の数を求めることができる。