位相群
位相群の様々な一般化が、連続性条件を緩めることによって得られる。
半位相群 (semitopological group) は、群の乗法が偏連続となる位相を持つ群。すなわち、半位相群 G は各元 c ∈ G の定める二つの写像 x ↦ xc および x ↦ cx が連続になる。
準位相群 (quasitopological group) は、反転演算も連続となるような半位相群を言う。
パラ位相群(英語版) (paratopological group) は、群の乗法が連続となる位相を持つ群(反転は連続とは限らない)、すなわち台となる半群構造が群となるような位相半群(英語版)を言う。
両立する群構造と位相構造を持つ集合 G は位相群であるという。すなわち位相群は、すべての群演算が連続な群を言う。
この定義では入れていないけれども、多くの文献で G 上の位相がハウスドルフであることを仮定する。これは単位元 1 が G において閉集合を成すと仮定することと同値になる。その理由およびいくつか同値な条件は後述する。いずれにせよ、任意の位相群は適当な商をとることでハウスドルフにすることができる。
圏論の言葉で言えば、位相群とは位相空間の圏における群対象(英語版)としてちょうど定義できる。これは通常の群が集合の圏における群対象であると言うのと同じ仕方である。群の定義が射(二項の積、単項の反転、零項の単位元)によって与えられているという意味で圏論的定義となっていることに注意せよ。