ホッジ予想
ホッジの元来の予想
整数ホッジ予想 X を複素射影多様体とすると、H(X, Z) ∩ H(X) の中のすべてのコホモロジー類は、X の上の整数係数の代数的サイクルのコホモロジー類である。
であった。ところが、現在はこれが誤りであることが知られている。最初の反例は、Atiyah & Hirzebruch (1961) により提出され、K-理論を使い、トーション (torsion) を持つホッジ類の例として反例が構成された。トーションを持つホッジ類とは、ある正の整数 n に対し n α = 0 となるようなホッジ類 α のことをいう。そのような(トーションを持つ)コホモロジー類はサイクルの類にはなりえない。Totaro (1997) はこれらの結果をコボルディズムのフレームワークの中で再解釈し、トーションを持つ類の多くの例を見つけた。
整数ホッジ予想の最も単純な修正は、

トーションの剰余をとった整数ホッジ予想 (Integral Hodge conjecture modulo torsion) X を複素射影多様体とする。すると、H(X, Z) ∩ H(X) のすべてのコホモロジー類は、X の整数係数を持つ代数的サイクルのトーション類とコホモロジー類の和となる。
同値なことではあるが、H(X, Z) ∩ H(X) をトーション類で割ると、全ての類は整係数代数的サイクルのコホモロジー群の像 (image) となる。しかしこれも誤っている。Kollár (1992) は非代数的ではあるが代数的なサイクルの整数倍となっているホッジ類 α の例を見つけた。
ホッジ予想(ホッジよそう、英: Hodge conjecture)は、代数幾何学の大きな未解決問題であり、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連している。ホッジ予想は、複素解析多様体のあるホモロジー類(ホッジ類)は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想である。この定式化は、スコットランドの数学者ウィリアム・ホッジにより、1930年から1940年のド・ラームコホモロジーの記述を、複素多様体の場合に存在する余剰な構造を含む記述へと拡張する仕事の結果として得られた。1950年の米国のマサチューセッツ州ケンブリッジで行われた、国際数学者会議でホッジが提起すると、ホッジ予想は非常に注目をあびるようになった。クレイ数学研究所は、ミレニアム懸賞問題の一つとして、解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払う事を約束している。
X を複素 n 次元のコンパクトな複素多様体とすると、X は実 2n 次元の向き付け可能な微分可能多様体である。従って、X 上のコホモロジー群は 0 から 2n まで以外では消える。X をケーラー多様体と仮定すると、複素数を係数とするコホモロジーの分解が存在して、
H k ( X , C ) = ⨁ p + q = k H p , q ( X ) , {\displaystyle H^{k}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus \nolimits _{p+q=k}H^{p,q}(X),}
となる。ここに H(X) は、タイプが (p, q) の調和形式により表されるコホモロジー類である。すなわち、これらは、ある局所座標 z1, ..., zn を選択すると、ある調和函数と
d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ̄ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ̄ j q . {\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.}