チェビシェフの不等式
任意の実数確率変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a が得られる。この不等式に Y = (X − μ), a = (σk) を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。
また直接証明する方法もある。事象 A に対し IA が A の指示関数に従う確率変数である(つまり IA は A が起これば 1、そうでなければ 0)とする。すると
Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) = E  ( I | X − μ | ≥ k σ ) = E  ( I [ ( X − μ ) / ( k σ ) ] 2 ≥ 1 ) {\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}
≤ E  ( ( X − μ k σ ) 2 ) = 1 k 2 E  ( ( X − μ ) 2 ) σ 2 = 1 k 2 {\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}} と証明される。