差分の差分法
完全に説明変数が外生的であるという仮定の下で
E [ ( y ̄ 11 − y ̄ 12 ) − ( y ̄ 21 − y ̄ 22 ) ] = δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) {\displaystyle E\left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})}
となる。一般性を失わずに、 D 22 = 1 {\displaystyle D_{22}=1} かつ D 11 = D 12 = D 21 = 0 {\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0} であると仮定すれば、差分の差分法による推定量は以下のように与えられる。
δ ^ = ( y ̄ 11 − y ̄ 12 ) − ( y ̄ 21 − y ̄ 22 ) {\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})} ,
ここでこの推定量は D s t {\displaystyle D_{st}} が示唆する処置の処置効果として解釈できる。
γ ̄ s = 1 n ∑ i = 1 n γ s = γ s {\displaystyle {\overline {\gamma }}_{s}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s}~=~\gamma _{s}} ,
λ ̄ t = 1 n ∑ i = 1 n λ t = λ t {\displaystyle {\overline {\lambda }}_{t}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}~=~\lambda _{t}} ,
D ̄ s t = 1 n ∑ i = 1 n D s t = D s t {\displaystyle {\overline {D}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}D_{st}~=~D_{st}} ,
ε ̄ s t = 1 n ∑ i = 1 n ε i s t {\displaystyle {\overline {\epsilon }}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{ist}} ,
とし、単純化のために s = 1 , 2 {\displaystyle s=1,2} かつ t = 1 , 2 {\displaystyle t=1,2} とする。すると
( y ̄ 11 − y ̄ 12 ) − ( y ̄ 21 − y ̄ 22 ) {\displaystyle ({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})}