区間演算
区間演算では四則演算を以下のようにして行う:
加法: [ x 1 , x 2 ] + [ y 1 , y 2 ] = [ x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}]}
減法: [ x 1 , x 2 ] − [ y 1 , y 2 ] = [ x 1 − y 2 , x 2 − y 1 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]-[y_{1},y_{2}]=[x_{1}-y_{2},x_{2}-y_{1}]}
乗法: [ x 1 , x 2 ] ⋅ [ y 1 , y 2 ] = [ min ( x 1 y 1 , x 1 y 2 , x 2 y 1 , x 2 y 2 ) , max ( x 1 y 1 , x 1 y 2 , x 2 y 1 , x 2 y 2 ) ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[\min(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}),\max(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2})]}
除法:
[ x 1 , x 2 ] [ y 1 , y 2 ] = [ x 1 , x 2 ] ⋅ 1 [ y 1 , y 2 ] , {\displaystyle {\frac {[x_{1},x_{2}]}{[y_{1},y_{2}]}}=[x_{1},x_{2}]\cdot {\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}},}
数式中における区間の表記を簡明にするため、カギ括弧が使われる。 よって [ x ] ≡ [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x]\equiv [x_{1},x_{2}]} を区間の表記のために使うことができる。有限区間全体の集合を表す記号として
[ R ] := { [ x 1 , x 2 ] | x 1 ≤ x 2 and x 1 , x 2 ∈ R ∪ { − ∞ , ∞ } } {\displaystyle [\mathbb {R} ]:=\left\{\,[x_{1},x_{2}]\,|\,x_{1}\leq x_{2}{\text{ and }}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\right\}}
も使われる。区間を成分に持つベクトルについては ( [ x ] 1 , ... , [ x ] n ) ∈ [ R ] n {\displaystyle \left([x]_{1},\ldots ,[x]_{n}\right)\in [\mathbb {R} ]^{n}} または [ x ] {\displaystyle [\mathbf {x} ]} を用いる。