モーリーの定理
ここでは、三角関数を利用した証明を挙げる。
a, b, c を以下のように定義する。
∠ BAC = 3 a ∘ {\displaystyle \angle {\text{BAC}}=3a^{\circ }}
∠ ABC = 3 b ∘ {\displaystyle \angle {\text{ABC}}=3b^{\circ }}
∠ ACB = 3 c ∘ {\displaystyle \angle {\text{ACB}}=3c^{\circ }}
∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180 ∘ {\displaystyle \angle {\text{BAC}}+\angle {\text{ABC}}+\angle {\text{ACB}}=180^{\circ }}
なので
a ∘ + b ∘ + c ∘ = 60 ∘ {\displaystyle a^{\circ }+b^{\circ }+c^{\circ }=60^{\circ }}
計算を簡単にするために外接円の半径を 1 とすると、3辺の長さは
AB = 2 sin  3 c ∘ {\displaystyle {\text{AB}}=2\sin 3c^{\circ }}
BC = 2 sin  3 a ∘ {\displaystyle {\text{BC}}=2\sin 3a^{\circ }}
CA = 2 sin  3 b ∘ {\displaystyle {\text{CA}}=2\sin 3b^{\circ }}
sin 2  b ∘ = sin 2  ( 60 ∘ + a ∘ ) + sin 2  ( 60 ∘ + c ∘ ) − 2 sin  ( 60 ∘ + a ∘ ) sin  ( 60 ∘ + c ∘ ) cos  b ∘ {\displaystyle \sin ^{2}b^{\circ }=\sin ^{2}(60^{\circ }+a^{\circ })+\sin ^{2}(60^{\circ }+c^{\circ })-2\sin(60^{\circ }+a^{\circ })\sin(60^{\circ }+c^{\circ })\cos b^{\circ }}
∴ PR = 8 sin  a ∘ sin  b ∘ sin  c ∘ {\displaystyle \therefore {\text{PR}}=8\sin a^{\circ }\sin b^{\circ }\sin c^{\circ }}
同様に
PQ = 8 sin  b ∘ sin  a ∘ sin  c ∘ {\displaystyle {\text{PQ}}=8\sin b^{\circ }\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }}
QR = 8 sin  a ∘ sin  c ∘ sin  b ∘ {\displaystyle {\text{QR}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin b^{\circ }}
これより
PR = PQ = QR {\displaystyle {\text{PR}}={\text{PQ}}={\text{QR}}}
となり、3辺が等しいことが示された。