周期写像
特に、U が可縮であれば、ホモトピーの差異を除ききちんと定義できる微分同相が存在する。
Xb から X0 への微分同相写像は、コホモロジー群の同型
H k ( X b , Z ) ≅ H k ( X b × U , Z ) ≅ H k ( X 0 × U , Z ) ≅ H k ( X 0 , Z ) {\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} )}
を引き起こし、ホモトピー写像はコホモロジー上に恒等写像を引き起こすので、この同型は b から 0 への経路のホモトピー類のみに依存する。
局所周期写像だけでは、基礎空間 B のトポロジーの情報が得られない。大域的な周期写像は、この情報(局所周期写像の情報)が依然として有効であるように構成される。大域的周期写像の構成することの困難は、B のモノドロミーに起因する。もはや、ファイバー Xb と X0 を関連付ける一意な微分同相のホモトピー類は存在しない。代わりに、B の中の経路の異なるホモトピー類は、別な微分同相のホモトピー類を引き起こすことができる。従って、コホモロジー群の別な同型を引き起こすことができる。結局、もはや各々のファイバーにはうまく定義できる旗多様体が存在しなくなる。代わりに、旗多様体は基本群の作用の差異を除いてのみ定義することができる。
偏極のない場合は、上記の B の中の曲線のホモトピー類により引き起こされるすべての自己同型からなる GL(H(X0, Z)) の部分群として、モノドロミー群 Γ を定義する。旗多様体は放物型部分群によるリー群の商であり、モノドロミー群はリー群の数論的部分群である。偏極のない大域的周期領域(global unpolarized period domain)は Γ の作用による偏極のない局所周期領域の商である(従って、二重コセット(英語版)(double coset)の集まりである)。偏極を持つ場合は、モノドロミー群の元は双線型形式 Q を保つことも要求され、偏極を持つ大域的周期領域は、同様な方法で Γ による商として構成される。どちらの場合も、周期写像は B の点を Xb 上のホッジフィルトレーションのクラスへ写す。