ヘリーの選択定理
U を実数直線のある開部分集合とし、fn : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。
(fn) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界全変動(英語版)とする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して
sup n ∈ N ( ‖ f n ‖ L 1 ( W ) + ‖ d f n d t ‖ L 1 ( W ) ) < + ∞ , {\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\left\|f_{n}\right\|_{L^{1}(W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,}
が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる;
(fn) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { fn(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。
このとき、fn のある部分列 fnk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。