内部自己同型
2つの内部自己同型の合成は再び内部自己同型である(上に述べたように (x) = x である)。この演算によって G のすべての内部自己同型からなる集合 Inn(G) はそれ自身群であり、G の内部自己同型群と言う。
Inn(G) は G の自己同型全体からなる自己同型群 Aut(G) の正規部分群である。商群
Aut(G)/Inn(G)
を外部自己同型群といい、Out(G) と書く。外部自己同型群はある意味で G の自己同型のうちどのくらいが内部自己同型でないかを測る。すべての非内部自己同型は Out(G) の非自明な元と対応するが、異なる非内部自己同型が Out(G) の同じ元に対応することもある。
G の元 a と Inn(G) の元 ƒ(x) = x を対応させることによって、商群 G/Z(G) と内部自己同型群の間の同型が得られる(Z(G) は G の中心)
G/\operatorname{Z}(G) \cong \operatorname{Inn}(G).
これは第一同型定理の帰結である。なぜならば、Z(G) はちょうど、対応する内部自己同型として恒等写像を与える G の元全体からなる部分群だからである。
すべての内部自己同型は実際に群 G の自己同型である、すなわち G から G への全単射な準同型(すなわち (xy) = xy)である。
内部自己同型群 Inn(G) が自明である(すなわち単位元のみからなる)ことと G が可換群であることが同値であることが従う。
Inn(G) は群の中心についての基本的な結果によって自明なときにしか巡回群にならない。
その対極として、内部自己同型によってすべての自己同型が尽くされることもある。自己同型が内部自己同型しかなく中心が自明な群を complete(英語版) と呼ぶ。n が 2 でも 6 でもないとき n 次対称群は complete である。n = 6 のときは対称群は 1 つだけ非自明な外部自己同型の類を持つ。n = 2 のときは対称群は可換ゆえ中心は自明でなく、外部自己同型を持たないにもかかわらず complete ではない。
完全群(英語版) G の内部自己同型群が単純群であるとき、G を 準単純(英語版) という。