置換積分
∫ 0 2 x cos  ( x 2 + 1 ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx.}
u = x + 1 で x から u に変数変換する。ここで、du = 2x dx なので x dx = (1/2)du である。また、x = 0 に対して u = 0+ 1 = 1 であり、x = 2 に対して u = 2+ 1 = 5 であるので、
∫ x = 0 x = 2 x cos  ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ u = 1 u = 5 cos  ( u ) d u = 1 2 ( sin  ( 5 ) − sin  ( 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1))\end{aligned}}}
と計算できる。
連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ。
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.}
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
d d t ∫ f ( x ) d x = d d x ∫ f ( x ) d x ⋅ d x d t = f ( x ) g ′ ( t ) = f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) = d d t ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int f(x)\,dx&={\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx\cdot {\frac {dx}{dt}}\\&=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\\&={\frac {d}{dt}}\int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}}}
この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。
また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t) dt に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。