微分ガロア理論
微分体 F に対し、G が F の分離的代数拡大のとき、F の微分が G の微分に一意に拡大できる。 従って、G は F の微分体の構造の一意の拡大を有する。
F と G は Con(F) = Con(G) を満たす微分体であって、G は F の初等微分拡大だとする。 a ∈ F、y ∈ G、Dy = a (つまり、G は a の不定積分を含む)だとする。 このとき、 c1, ..., cn ∈ Con(F) と u1, ..., un, v ∈ F が存在し、
a = c 1 D u 1 u 1 + ⋯ + c n D u n u n + D v {\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}
である(リウヴィルの定理)。 言い換えると、初等的な不定積分(つまり、不定積分が最悪でも、F の初等微分拡大に含まれる)関数のみが、定理に記す形式を有する。 従って、直感的には、初等的な不定積分のみが、単純な関数と単純な関数の有限個の対数の和になる。
G/F がピカール・ベシオ拡大であるとする。このとき G が F のリウヴィル拡大であることと、微分ガロア群の単位成分が可解であることは同値である。さらに、G が F のリウヴィル拡大であることと、G が F のあるリウヴィル拡大体に埋め込まれることも同値である。
a 1 , ⋯ , a n ∈ F {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F} に対し、斉次線型微分方程式
D n y + a 1 D n − 1 y + ⋯ + a n − 1 D y + a n y = 0 {\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0} ... (1)
を考える。 定数体上で一次独立な (1) の解は、高々 n 個存在する。 F の拡大 G が微分方程式 (1) に対するピカール・ベシオ拡大(英:Picard-Vessiot extension)であるとは、G が (1) の解全体で生成された微分体であって、かつ Con(F) = Con(G) を満たすことである。
微分体F の拡大 G がリウヴィル拡大(英:Liouville extension)であるとは、Con(F) = Con(G) が代数閉体であって、部分体の増大列
F = F0 ⊂ F1 ⊂ ... ⊂ Fn = G
が存在して、各拡大 Fk+1 : Fk が有限次代数拡大または積分拡大または指数拡大になっていることをいう。有理関数体 C(x) のリウヴィル拡大は、有理関数・指数関数・代数方程式の根をとる操作およびそれらの不定積分を有限回組み合わせてできる関数の集まりになっている。明らかに対数関数や三角関数、それらの逆関数も C(x) 上リウヴィル的な関数であり、特に初等微分拡大はリウヴィル拡大である。
C(x) 上の初等拡大に含まれるがリウヴィル拡大には含まれないような関数の例としては e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} の不定積分がある。