距離函数
部分距離 (partial metric) あるいはp距離 (pmetric) の概念は S. G. Matthews が領域理論の脈絡において導入したものである。p距離とは、大雑把に言えば、距離の公理から「同一点の距離はゼロである」という公理を除いたものになっている。各点はゼロでない大きさ(あるいは重み)を持つと言ってもよい。正式には、集合 X {\displaystyle X} 上のp距離とは、非負実数値函数 p : X × X → R {\displaystyle p\colon X\times X\to \mathbb {R} } であって、次の公理を満足するものである:
p ( x , x ) = p ( x , y ) = p ( y , y ) {\displaystyle p(x,x)=p(x,y)=p(y,y)} ならば x = y {\displaystyle x=y}
p ( x , x ) ≤ p ( x , y ) {\displaystyle p(x,x)\leq p(x,y)}
p ( x , y ) = p ( y , x ) {\displaystyle p(x,y)=p(y,x)}
p ( x , z ) ≤ p ( x , y ) + p ( y , z ) − p ( y , y ) {\displaystyle p(x,z)\leq p(x,y)+p(y,z)-p(y,y)}