類体論
類体論の主要な結果は少し用語と記号を準備すれば簡単に述べることができる。以降、この節を通して K は任意の有限次代数体を表すものとする。
この同型写像の逆写像から得られる写像
( , L / K ) : C K → G a l ( L / K ) a b {\displaystyle (\quad ,L/K):C_{K}\to \mathrm {Gal} (L/K)^{\mathrm {ab} }}
をノルム剰余記号(norm residue symbol)という。以上から、有限次ガロア拡大 L/K に対して完全系列
1 → N L / K C L → C K → ( , L / K ) G a l ( L / K ) a b → 1 {\displaystyle 1\to N_{L/K}C_{L}\to C_{K}\xrightarrow {(\quad ,L/K)} \mathrm {Gal} (L/K)^{\mathrm {ab} }\to 1}
が存在することがわかる。これがガロア・コホモロジーの文脈で述べられる類体論の相互法則である。
なお、L や K が局所体の場合にも、イデール類群 CL を L の乗法群 L に置き換えれば同様のことが成り立つ。局所体の場合と大域体の場合をまとめて扱えるように、共通する上述の性質を抽象化したものが類構造(英語版)である。
コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。