函数的平方根
sin[2](x) = sin(sin(x)) [赤の曲線]
sin[1](x) = sin(x) = rin(rin(x)) [青の曲線]
sin[1⁄2](x) = rin(x) = qin(qin(x)) [橙の曲線]
sin[1⁄4](x) = qin(x) [橙の曲線より上にある黒の曲線]
sin[–1](x) = arcsin(x) [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]
数学において函数的平方根(かんすうてきへいほうこん、英: functional square root)あるいは半反復(half iterate)とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 g の函数的平方根 f とは、すべての x に対して f(f(x)) = g(x) を満たすもののことを言う。
例えば、f(x) = 2x は g(x) = 8x の函数的平方根である。
同様に、チェビシェフ多項式 g(x) = Tn(x) の函数的平方根は f(x) = cos (√n arccos(x)) である。これは一般には多項式ではない。
また、f(x) = x/(√2+x(1−√2)) は g(x) = x/(2−x) の函数的平方根である。
f が g の函数的平方根であることは、f = g[1⁄2] あるいは f = g1⁄2 と表記される。