射影集合
Σ n + 1 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}} 集合であるとは、あるポーランド空間 Y {\displaystyle Y} と Π n 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}} 集合 C ⊆ X × Y {\displaystyle C\subseteq X\times Y} について、 A {\displaystyle A} が C {\displaystyle C} の射影となること; すなわち、 A = { x ∈ X | ( ∃ y ∈ Y ) ⟨ x , y ⟩ ∈ C } {\displaystyle A=\{x\in X|(\exists y\in Y){\langle }x,y{\rangle }\in C\}} となること。
射影集合のクラスの列 Σ n 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}} (n=1,2,......)は包含関係に関する狭義単調増加列になる。射影集合全体がなしているこの階層構造を射影階層と呼ぶ。第三節のポーランド空間 Y {\displaystyle Y} が何であるかは重要ではなく、不可算なポーランド空間(ベール空間, カントール空間, 実数直線等)を一つ固定しておいても良い。