モジュラー曲線
上半平面 H 上の関数 f1 を次で定義する。
f 1 ( τ ) = g 2 ( τ ) g 3 ( τ ) ℘ τ ( 1 N ) {\displaystyle f_{1}(\tau )={\frac {g_{2}(\tau )}{g_{3}(\tau )}}\wp _{\tau }\left({\frac {1}{N}}\right)}
ここで ℘τ(z) = ℘(z; τ, 1) はヴァイエルシュトラスの楕円函数、g2(τ) と g3(τ) は (℘τ′(z)) = 4℘τ(z) − g2(τ)℘τ(z) − g3(τ) が成り立つ関数である。f 1 は Γ1(N) についてのモジュラー関数である。体 Q( j, f1) を関数体に持つ Q 上の非特異射影代数曲線を X1(N) とすると、これが Γ1(N) ⧵H のモデルになる。
jN を jN(τ) = j(Nτ) で定義される上半平面上の関数とする。Q(j, jN) は有理数体 Q 上の超越次元が1の体で、この体に含まれる Q 上代数的な元は Q の元のみである。よって関数体と非特異射影代数曲線の対応により Q 上のある非特異射影代数曲線 X0(N) であってその関数体がこれになるものが存在する。これは Γ0(N) ⧵H の Q 上のモデルになっている。