軌道長半径
双曲線では、軌道長半径とは2つの分岐の間の半分の距離である。a が x 軸方向にあるとすると、
となる。 半通径と離心率を使うと、
と書ける。 双曲線の主軸は、軌道長半径と同じ方向である。
天体力学では、主星の周りを円または楕円軌道を描いて回る小さな天体の公転周期 T {\displaystyle T} は、以下の式で表せる。
ここで
a {\displaystyle a} は軌道長半径、
μ {\displaystyle \mu } は重力定数と質量の積。
この式から、同じ軌道長半径を持つ楕円軌道の公転周期は、離心率に関わらず同じであることが分かる。
天文学において、軌道長半径は公転周期と並んで最も重要な軌道要素の1つである。太陽系では、軌道長半径はケプラーの第3法則によって公転周期と関係づけられる。
ここで T は年で表した公転周期、a は天文単位で表した軌道長半径である。この式は、アイザック・ニュートンによって導かれた二体問題を記述する次の式から重力の項を単純化したものである。
ここで
G は重力定数、
M は主星の質量、
m は伴星の質量。
通常、M は m よりも充分大きいため、m の影響は無視でき、ケプラーの式が導かれる。