関数方程式
関数方程式の求解は非常に難しいこともあるが、いくつかの解法が知られている。
対合を考えることによる解法
対合を考えることは有益である。例えば、関数
f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
を考える。これが
f ( f ( x ) ) = x {\displaystyle f(f(x))=x}
を満たすことに注意すれば、さらに f を繰り返し施した結果として、f の偶数回の合成でx、奇数回の合成でf(x)となることがわかる。こういった考え方は様々な場合に適用することができて、たとえば
f ( x ) = 1 1 − x , f ( x ) = 1 − x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}},\quad f(x)=1-x}
などに対しても同様のことができる。
例1: 実数値関数fに関する方程式 f ( x + y ) 2 = f ( x ) 2 + f ( y ) 2 , x , y ∈ R {\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2},x,y\in \mathbb {R} } を解くことを考える。 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} とすると、
f ( 0 ) 2 = f ( 0 ) 2 + f ( 0 ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}}