ブラーマグプタの公式
円 O に内接する四角形の頂点を A, B, C, D とし
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
とする。∠ABC = t と置くと、内接四角形の定理から ∠CDA = 180° − t となる。ここで三角形の面積の公式より
△ABC = (1/2) ab sint
△CDA = (1/2) cd sin(180° − t) = (1/2)cd sint
従って
四角形ABCDの面積 = △ABC + △CDA
= (1/2) ab sin t + (1/2) cd sin t
= (1/2)(ab + cd) sin t ... (1)
また、余弦定理によれば
AC = a + b − 2ab cos t
AC = c + d − 2cd cos(180° − t) = c + d + 2cd cos t
この二式より cos t を求めると