正規分布
平均や分散が未知の正規分布に従うデータから、母数 θ = (μ, σ) を推定したいことがある。これには次の推定量 θ ^ = ( μ ^ , σ ^ 2 ) {\displaystyle {\hat {\theta }}=({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})} がよく用いられる。正規分布 N(μ, σ) からの無作為標本 x1, ..., xn が与えられたとき、
μ ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i σ ^ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − μ ^ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}&={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\\{\hat {\sigma }}^{2}&={\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\mu }})^{2}\end{aligned}}}
は最小分散不偏推定量(英語版)である。
正規分布 N(μ, σ) からの無作為標本 x を取ると、平均 μ からのずれが ±1σ 以下の範囲に x が含まれる確率は 68.27%、±2σ 以下だと 95.45%、さらに ±3σ だと 99.73% となる。
正規分布は、t分布やF分布といった種々の分布の考え方の基礎になっているだけでなく、実際の統計的推測においても、仮説検定、区間推定など、様々な場面で利用される。
正規分布 N(μ, σ) に従う確率変数 X が与えられたとき Z = X − μ/σ と標準化すれば確率変数 Z は標準正規分布に従う。大学レベルの統計入門のクラスでは必ず行われているが、Z 値を求めることで標準正規分布表と呼ばれる変量に対応した確率を表す一覧表を用いて、コンピュータを使うことなく正規分布に従った事象の確率を求めることができる。
不連続値をとる確率変数についての検定の場合でも、連続変数と同様の考え方で正規分布を近似的に用いることがある。これは標本の大きさ n が大きく、かつデータの階級幅が狭いほど、近似の精度が高い。