三角形
1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺に立てた垂線といい、垂線と、その辺またはその延長の交点を垂線の足または垂足という。1つの辺に立てた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点を結んだ線分をその三角形の高さという。高さは 3つの辺それぞれに対して定義できる。頂点 A の対辺 a に対する高さを ha とするとき、面積 S は
S = 1 2 a h a {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}} ...1
で求められる。
1つの内角が直角である三角形を直角三角形と呼ぶ。直角三角形の頂点のうち、内角が直角である頂点を直角頂と呼ぶ(図4)。
直角三角形の直角以外の内角 2つは 90度未満となり、これらを直角三角形の鋭角と呼ぶ。それらの和は直角に等しい。
直角三角形の直角の対辺を斜辺という。斜辺は、直角三角形の 3つの辺の中で最も長い辺である。斜辺でない 2辺を、直角をはさむ 2辺と呼ぶ。
直角をはさむ 2辺 a,b と、斜辺 c の間には、次の関係が成り立つ(ピタゴラスの定理)。
a + b = c
逆に、△ABC の 3辺 a,b,c が上の等式を満たすならば、△ABC は辺 c を斜辺とする直角三角形となる(ピタゴラスの定理の逆)。
b ≡ CA ̄ = ( CA → , CA → ) , {\displaystyle b\equiv {\overline {\text{CA}}}={\sqrt {({\vec {\text{CA}}},{\vec {\text{CA}}})}},}
c ≡ AB ̄ = ( AB → , AB → ) , {\displaystyle c\equiv {\overline {\text{AB}}}={\sqrt {({\vec {\text{AB}}},{\vec {\text{AB}}})}},}
16 S 2 = 16 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = 2 ( b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=16s(s-a)(s-b)(s-c)\\&=2(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\end{aligned}}}
ただし、 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} .