並進演算子 (量子力学)
並進演算子が位置基底でのブラに作用すると、
⟨ r | T ^ ( x ) = ⟨ r − x | {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})=\langle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}}|}
よって全てのブラベー格子ベクトル R で、
ψ ( r + R ) = T ^ R ψ ( r ) = c ( R ) ψ ( r ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\boldsymbol {r+R}})&={\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=c({\boldsymbol {R}})\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\psi ({\boldsymbol {r}})\end{aligned}}}
となるようにハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} と T ^ R {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}} の同時固有状態 ψ {\displaystyle \psi } を選ぶことができる。よって以下が成り立つ。
この結果はブロッホの定理として知られる。
運動量演算子が無限小並進演算子の和で書けるため、このとき ˆH は運動量演算子とも交換しなければならない。
このことはエーレンフェストの定理から得られる(運動量演算子 p ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}} が時間に依存しないため)。
[ H ^ , T ^ ( x ) ] = 0 ⇒ [ H ^ , p ^ ] = 0 ⇒ d d t ⟨ p ^ ⟩ = i ħ [ H ^ , p ^ ] = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\boldsymbol {p}}}]=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\boldsymbol {p}}}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\boldsymbol {p}}}]=0\end{aligned}}}
つまり系のハミルトニアンが連続並進に対して不変であれば、系は運動量保存則を持ち、運動量演算子の期待値は一定となる。これはネーターの定理の一つの例である。