アトキンソン・スティグリッツの定理
もし δ i = ∂ V i / ∂ Y 1 ∂ V i / ∂ C 1 , ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{1}}{\partial V_{i}/\partial C_{1}}}\;,\quad (i=1,2)} であれば、グループ1への限界税率は δ 1 + 1 {\displaystyle \delta _{1}+1} となる。さらには、
δ 1 = − ( 1 − ν δ 2 1 + ν ) {\displaystyle \delta _{1}=-\left({\frac {1-\nu \delta _{2}}{1+\nu }}\right)\;}
であり、ここで ν {\displaystyle \nu } を以下のように定義する。
ν = λ 2 ( ∂ V 2 / ∂ C 1 ) N 1 γ {\displaystyle \nu ={\frac {\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})}{N_{1}\gamma }}\;}
条件から δ 1 < δ 2 {\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}} であり、 − 1 < δ 1 < δ 2 {\displaystyle -1<\delta _{1}<\delta _{2}} となることがわかる。よってグループ1への限界税率は正となる。
λ 1 > 0 {\displaystyle \lambda _{1}>0} and λ 2 = 0 {\displaystyle \lambda _{2}=0} のケースではグループ2への限界税率が負となる。一括徴税すると能力的弱者への徴税が強者よりも多くなってしまう。