グラハム数
13 ≤ n ≤ 2 ↑↑↑ 6 = 2 → 6 → 3 = hyper  ( 2 , 5 , 6 ) = 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 = 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑ 2 ↑↑ 2 ↑↑ 65536 = 2 2 2 2 2 2 = 4 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 65536 2 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}13\leq n\leq 2\uparrow \uparrow \uparrow 6=&2\rightarrow 6\rightarrow 3=\operatorname {hyper} (2,5,6)\\=&2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 65536\\=&{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{2}{2}}{2}}{2}}{2}}{2}={}^{{}^{{}^{{}^{4}{2}}{2}}{2}}{2}={}^{{}^{{}^{{2}^{{2}^{{2}^{2}}}}{2}}{2}}{2}={}^{{}^{{}^{65536}{2}}{2}}{2}\end{aligned}}}
の範囲にあることになる。
なお、強いて「グラハム数を十進法で表した時の桁数」を考えるなら、log10Gとなるが、Gは十分な巨大数なので、この場合にあってはlog10という関数で厳密には元の数より小さくなるものの、巨大数としては無視できるレベルでしかなく、近似に吸収されてしまう。すなわち、log10G≒Gである。
近年は巨大数の研究・開発がより進み、現在ではグラハム数を遥かに上回る数も多数登場していて、例えばコンウェイのチェーン表記を用いて" 3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3} "(コンウェイのテトラトリと呼ばれる数)などと書くだけでグラハム数よりも大きな数を表現可能である。
チェーン表記を用いても G = 3→2→(G(4) + 1) を簡潔に表すことはできないが、次の不等式が成立する。
3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}
先述の通り、グラハム数自体は桁数を指数で表現することすら不可能なほど大きく、スーパーコンピュータでもG(3)の計算すら望めないが、末尾の数字を計算する方法は確立しており、ある程度の桁数は判明している。
3→2→(G(4) + 1) を十進法で表したときの末尾10桁は 2,464,195,387 であり、暗黒通信団が末尾100万桁を記した書籍も出版し、その後、暗黒通信団のウェブサイトで末尾1,600万桁を記したPDF形式のファイルも公開している。
3 → 2 → ( G 63 ( 4 ) + 1 ) , 3 → 2 → ( G 62 ( 3 → 2 → ( 5 ) ) + 1 ) {\displaystyle 3\rightarrow 2\rightarrow \left(G^{63}(4)+1\right),~3\rightarrow 2\rightarrow \left(G^{62}\left(3\rightarrow 2\rightarrow (5)\right)+1\right)}