フーリエ積分作用素
数学の解析学の分野におけるフーリエ積分作用素(フーリエせきぶんさようそ、英: Fourier integral operator)は、偏微分方程式の理論において用いられるある重要な作用素である。フーリエ積分作用素の類には、微分作用素や古典的な積分作用素が、特別な場合として含まれる。
フーリエ積分作用素 T は次のように与えられる:
( T f ) ( x ) = ∫ R n e 2 π i Φ ( x , ξ ) a ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }
ここで f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} は f のフーリエ変換を表し、a(x,ξ) は x についてコンパクトな台を持つ表象であり、Φ は ξ について次数 1 の実数値同次函数である。また、a の台の上では det ( ∂ 2 Φ ∂ x i ∂ ξ j ) ≠ 0 {\displaystyle \textstyle \det({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\partial \xi _{j}}})\neq 0} が成立することも、仮定する必要がある。これらの設定の下で、a の次数がゼロであるなら、T は L から L への有界作用素であることが示される。