整域
整域 R が与えられたとき、R を部分環として含む最小の体が同型を除いて一意に定まり、R の分数体あるいは商体と呼ばれる。分数体は R の任意の元 a および b(≠ 0) に対する「分数」 a ⁄ b の全体(を適当な同値関係で割ったもの)からなるものと考えることができる。例えば、整数全体の成す整域の商体は有理数全体の成す体である。また、体の商体は同型を除いて自分自身と一致する。
各整数 n ≥ 0 に対して、適当な整数 a, b を用いて a + bi√n の形に書ける複素数全体の成す集合は C の部分環となるから、整域を成す。特に n = 1 の場合の整域はガウス整数環と呼ばれる。
p-進整数環。
U を複素数平面 C の領域(連結開集合)とするとき、正則函数 f: U → C 全体の成す環 H(U) は整域である。同様に解析的多様体の領域上で定義される解析函数全体の成す環も整域を成す。
可換環 R とそのイデアル P に対し、剰余環 R⁄P が整域となるための必要十分条件は P が素イデアルとなることである。また、R が整域であることは零イデアル (0) が素イデアルとなることと同値である。
任意の正則局所環は整域である(実はUFDになる)。
以下のような環は整域にならない。
n ≥ 2 のとき、任意の非自明な環上の n×n 行列全体の成す環。
単位区間上の連続函数全体の成す環。
m が合成数であるときの剰余環 Z⁄mZ。
乗法単位元を持つ可換環 Z × Z。