位相のずれ
入射平面波を部分波展開すると以下のように表せる(レイリーの公式)。
e i k ⋅ r = ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) i l j ( k r ) P l ( cos  θ ) {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)i^{l}j(kr)P_{l}(\cos \theta )}
これは r {\displaystyle r\ } が非常に大きいところでは、
e i k ⋅ r → ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 i k ( e i k r r − ( − 1 ) l e − i k r r ) P l ( cos  θ ) ( r → ∞ ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\to \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{2ik}}({\frac {e^{ikr}}{r}}-(-1)^{l}{\frac {e^{-ikr}}{r}})P_{l}(\cos \theta )\quad (r\to \infty )\quad \cdots (1)}