前加法圏
前加法圏における任意の有限積は余積でもあり、逆も成り立つ。実際、有限積も有限余積も以下の双積条件で特徴付けることができる。
対象 B が対象 A1,...,An の双積であるのは、射影 pj: B → Aj と 入射 ij: Aj → B が存在して、(i1 p1) + ··· + (in pn) が B の恒等射であり、pj ij がAj の恒等射であり、j と k が異なる場合はpj ik が Ak から Aj へのゼロ射であるときであり、またそのときに限る。
この双積は、直和の記法を借用して、A1 ⊕ ··· ⊕ Anと書かれる。これは、よく知られた前加法圏であるAb における双積が直和であることが理由である。しかし、無限直和がいくつかの圏で、例えば Abで、意味を持つのに対して、無限双積は意味をなさない。
n = 0 のときの双積条件は非常に簡単になる。B がゼロ個の双積であるのは、B の恒等射がゼロ射になるときであり、またそのときに限る。言い換えると、hom集合 Hom(B,B) が自明な環であることである。ゼロ個の双積は終対象(ゼロ個の積)であり余終対象(ゼロ個の余積)であるので、結局はゼロ対象になる。実は、「ゼロ対象」という用語はAbのようにゼロ対象がゼロ群になるような前加法圏の研究に由来する。
全ての双積を持つ(ゼロ対象も含む)ような前加法圏を加法圏と呼ぶ。双積は主に加法圏において重要であり、そこではさらなる性質を見出すことができる。