複素線積分
複素解析における線積分(せんせきぶん、英: line integral)とは、複素平面内の道に沿った積分であり、特に道がジョルダン曲線の場合の線積分を周回積分(しゅうかいせきぶん、英: contour integral)ということがある。
線積分は複素解析の手法である留数計算と密接に関連している。
線積分のひとつの使い方として、実変数だけの方法を使うことでは容易には分からない、実数直線に沿った積分の計算がある。
線積分の方法は以下を含む。
複素数値関数の複素平面内の曲線に沿った直接の積分、
コーシーの積分公式の応用、
留数定理の応用。
これらの積分や和を求めるために、これらのうちのひとつ、あるいは、複数を組み合わせた、また、極限をとる様々な方法を使うことができる。
( ∫ R + ∫ M + ∫ N + ∫ r ) f ( z ) d z = 2 π i ( R e s z = i f ( z ) + R e s z = − i f ( z ) ) = 2 π i ( − π 4 + 1 16 i π 2 − π 4 − 1 16 i π 2 ) = − i π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=i}f(z)+\mathrm {Res} _{z=-i}f(z)\right)\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}\end{aligned}}}
と計算できる。
R と r をそれぞれ大円、小円の半径とし、上側の線分を M、下側の線分を N と書く。R → ∞ および r → 0 の極限はまだとっていない。2つの円周部分からの積分の寄与はいずれも極限をとると消える。例えば、ML補題により大円に沿った積分は次のように上から抑えられる:
| ∫ R f ( z ) d z | ≤ 2 π R ( log  ( R ) ) 2 + π 2 ( R 2 − 1 ) 2 → 0 {\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log(R))^{2}+\pi ^{2}}{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0}
↑ John Stalker (1998). Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. p. 77. ISBN 0-8176-4038-X. https://books.google.com/books?id=yl3GIXd3dFIC&pg=PP12&dq=%22calculus+of+residues%22#PPA77,M1
↑ Joseph Bak & Donald J. Newman (1997). Complex Analysis. Springer. Chapters 11 & 12, pp. 130–156. ISBN 0-387-94756-6. https://books.google.com/books?id=JX2YSgfZwbYC&pg=PA130&dq=%22contour+integral%22#PPA130,M1
↑ Steven George Krantz (1999). “Chapter 2”. Handbook of Complex Variables. Springer. ISBN 0-8176-4011-8. https://books.google.com/books?id=aYU2AdF_0dIC&pg=PT13&dq=Calculus++Residues+inauthor:krantz#PPT47,M1
↑ Dragoslav S.