モーデル作用素
素数 p {\displaystyle p} に対して、 | τ ( p ) | < 2 p 11 / 2 {\displaystyle |\tau (p)|<2p^{11/2}} が成立する。(「ラマヌジャン予想」と呼ばれる。1974年にドリーニュによって証明された。)
さらに、次の命題を証明した。
素数 p {\displaystyle p} に対して、 τ ( p ) ≡ 1 + p 11 ( mod 691 ) . {\displaystyle \tau (p)\equiv 1+p^{11}(\mod 691).}
1917年、モーデルはこの3つのうち最初の命題を証明した 。 その時の証明の中で、モーデル作用素を定義し、 Δ ( z ) {\displaystyle \Delta (z)} がモーデル作用素の固有状態で、その固有値が τ ( p ) {\displaystyle \tau (p)} であることを示した。
( T ( p ) Δ ) ( z ) = τ ( p ) Δ ( z ) . {\displaystyle (T(p)\Delta )(z)=\tau (p)\Delta (z).}