跡 (線型代数学)
跡は行列式の微分と対応付けられる。即ち、リー群における行列式のリー環における対応物が跡である。それを示すのが行列式の微分に対するヤコビの公式である。
特に、「単位元 I における微分係数」という特別の場合には
det ( I + A ) = 1 + tr  ( A ) + o ( A ) {\displaystyle \det(I+A)=1+\operatorname {tr} (A)+o(A)}
(o はランダウの記号)という意味で行列式の微分がちょうど跡になる( tr = det I ′ {\displaystyle \operatorname {tr} =\operatorname {det} '_{I}} )。このことから、リー環の間の跡写像とリー環からリー群への指数写像(あるいは具体的に行列の指数函数)との間の関係を
det ( exp  ( A ) ) = exp  ( tr  ( A ) ) {\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}
と書くことができる。
ベクトル空間 V の次元が n であるとき、跡写像は V 上の線型写像の空間としての行列リー環 gln(k) からスカラーのリー環(自明なリー括弧積を持つ可換リー環と見て得られる)k への写像と見ることができる。
体 K 上のベクトル空間 V 上の線形写像 f が有限次元の像を持つとき、V の有限個の元 x1, ..., xn と双対空間 V* の元 y1, ..., yn が存在して f(z) = ∑ yi(z) xi (∀z ∈ V) となっている。このとき、∑yi(xi) は x1, ..., xn と y1, ..., yn の選び方によらず f のみによって定まる量となり、f の跡あるいは指標 (distribution character) tr(f) とよばれる。