シルヴェスターの慣性法則
0 の数 n0 は A の核の次元であり、A の余階数(退化次数)である。これらは明らかに
n 0 + n + + n − = n {\displaystyle n_{0}+n_{+}+n_{-}=n}
なる関係を持つ。差 sgn(A) = n− − n+ を普通は符号数と呼ぶ(が、A の正負の慣性指数と退化次数の三つ組 (n0, n+, n−) を符号数と呼ぶ文献もある。与えられた次数の非退化形式に対しては、どちらで書いても同じ情報を与えるが、一般には三つ組のほうが情報が多い)。
行列 A が、左上からの k次主小行列式 Δk が何れも非零であるという性質を持つならば、負の慣性指数は列
Δ 0 = 1 , Δ 1 , ... , Δ n = det A {\displaystyle \Delta _{0}=1,\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}=\det A}
の符号変化の数に等しい。
対称行列 A の正負の慣性指数は A の正負の固有値の数でもある。任意の実対称行列 A は A の固有値からなる対角行列 E と固有ベクトルからなる正規直交行列 Q を用いた A = QEQ なる形の固有分解(英語版)を持つ。さらに行列 E = (eij) は E = WDW で D が 0, +1, −1 を成分とする対角行列、W が wii = √|eii| を成分とする対角行列となるようにできる。行列 S = QW は D を A に変換する。