解析的階層
全ての自然数 n {\displaystyle n} に対してこの帰納的定義でクラス Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} 、 Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} を定める。
クラトフスキとタルスキは1931年、どんな二階算術言語の式も冠頭標準形を持つことを示した。 そしてそれゆえ、そのような式はある n {\displaystyle n} に対する Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} か Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} である。どんな式にも無意味な量化を追加することができるため、いったんある n {\displaystyle n} に対する Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} や Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} に属した式は n {\displaystyle n} より大きい m {\displaystyle m} に対する Σ m 1 {\displaystyle \Sigma _{m}^{1}} や Π m 1 {\displaystyle \Pi _{m}^{1}} にも必ず属することになる。