加群の長さ
加群 M が有限の長さをもつこととアルティンかつネーターであることは同値である。
M が有限の長さをもち N が M の部分加群であれば、N もまた有限の長さをもち、length(N) ≤ length(M) が成り立つ。さらに、N が M の真の部分加群であれば(すなわち M に等しくなければ)、length(N) < length(M) である。
加群 M1 と M2 が有限の長さをもてば、それらの直和もそうであり、直和の長さは M1 と M2 の長さの和に等しい。
0 → L → M → N → 0 {\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}
を R-加群の短完全列とする。このとき M が有限の長さをもつことと L と N が有限の長さもつことは同値であり、
length(M) = length(L) + length(N)
が成り立つ(この主張は前の 2 つを意味する)。
加群 M の組成列は
0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N n = M {\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}
の形の鎖であって
N i + 1 / N i is simple for i = 0 , ... , n − 1 {\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\mbox{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}
であるようなものである。すべての長さ有限の加群 M は組成列をもち、すべてのそのような組成列の長さは M の長さに等しい。