ヘルダーの不等式
( ∑ k = 1 n | a k | ) p ≤ n p − 1 ∑ k = 1 n | a k | p {\displaystyle \textstyle \left(\sum \limits _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)^{p}\leq n^{p-1}\sum \limits _{k=1}^{n}|{a_{k}}|^{p}}
を得ることができる。例えば n = 2 のときは、正の実数 a, b に対して
( a + b ) p ≤ 2 p − 1 ( a p + b p ) {\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}(a^{p}+b^{p})}
となる。またこれらは 0 < p < 1 のときには同様に逆向きの不等式が成り立つ。
∑ i = 1 n 1 p i = 1 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{p_{i}}}=1} のとき、
0 < p1, ..., pn ≤ ∞, 0 < p < ∞ で 1/p = 1/p1 + ... + 1/pn とし、1 ≤ k ≤ n に対して fk が L に属しているとする。このとき f1, ..., fn までの積は L に属し、
‖ ∏ k = 1 n f k ‖ L p ≤ ∏ k = 1 n ‖ f k ‖ L p k {\displaystyle \left\|\textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{L^{p}}\leq \textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{L^{p_{k}}}}
が成り立つ。