点と直線の距離
{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}
ここで、次の等式を考える。但し第2式から第3式への変形には、上の2乗した等式を用いた。
( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = a 2 ( x 0 − m ) 2 + 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) + b 2 ( y 0 − n ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) . {\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}).}
一方で、点(m, n)がax + by + c =0上にあることから、次の式も成り立つ:
( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = ( a x 0 + b y 0 − a m − b n ) 2 = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 .