臨界点 (数学)
臨界点は陰方程式によって定義された平面曲線の研究において、とくにそれらの描画(英語版)と位相の決定に対して、重要な役割を果たす。この節で用いられる臨界点の概念は、前の節のそれとは異なって見えるかもしれない。実はそれは以下で与えられる臨界点の一般の概念の単純な場合への特殊化である。
陰方程式 f(x, y) = 0 によって定義される曲線 C を考える。ただし f は2変数の微分可能関数であり、よくあるのは多項式である。曲線の点はデカルト座標が方程式を満たすユークリッド平面の点である。 π y ( ( x , y ) ) = x {\displaystyle \pi _{y}((x,y))=x} と π x ( ( x , y ) ) = y {\displaystyle \pi _{x}((x,y))=y} で定義される、曲線を座標軸に写す、2つの標準的な射影 πy と πx がある。それらはそれぞれ「y 軸に平行な射影」および「x 軸に平行な射影」と呼ばれる。
C の点が πy に対して臨界とは、C への接線が存在して y 軸に平行なことをいう。その場合、臨界点と接線の πy による像は x 軸の同じ点であり、臨界値と呼ばれる。したがって点が πy に対して臨界であるのはその座標が方程式系
関数 f(x) = x + 2x + 3 はいたるところ微分可能であり、導関数は f′(x) = 2x + 2 である。この関数はただ1つの臨界点 −1 をもつ、なぜならばそれは 2x0 + 2 = 0 なる唯一の数 x0 だからである。この点で f は(大域的)最小値をとる。対応する臨界値は f(−1) = 2 である。f のグラフは下に凸な放物線であり、臨界点は頂点の横座標で、そこで接線は水平で、臨界値は頂点の縦座標でこの接線と y 軸との交点によって表せる。
関数 f(x) = x はすべての x に対して定義され、x ≠ 0 に対して微分可能で、微分は f′(x) = 2x/3 である。x ≠ 0 に対して f′(x) ≠ 0 だから、f の臨界点は x = 0 のみである。関数 f のグラフはこの点において垂直な接線を持つカスプを持つ。対応する臨界値は f(0) = 0 である。
関数 f(x) = x − 3x + 1 はいたるところ微分可能で、微分は f′(x) = 3x − 3 である。x = −1 と x = 1 において2つの臨界点を持つ。対応する臨界値は、f の極大値である f(−1) = 3 と、極小値である f(1) = −1 である。この関数は大域的な最大値も最小値も持たない。f(2) = 3 だから、臨界値は非臨界点においてもとられることがわかる。幾何学的には、これは一点 (x = −1) におけるグラフの水平接線が他の点 (x = 2) において鋭角にグラフと交わりうることを意味する。
関数 f(x) = 1/x は臨界点を持たない。点 x = 0 は関数の定義域に含まれないから臨界点とは考えない。