GNS表現
GNS表現を構成する基本的なアイデアは、状態 φ {\displaystyle \varphi } から内積を導入し、この内積から定まるノルムについての完備化により、ヒルベルト空間を構成することである。 φ ( A ∗ B ) = ⟨ A , B ⟩ {\displaystyle \varphi (A^{\ast }B)=\langle A,B\rangle } と定めると状態の線形性と正値性からは、 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } は非退化条件 ⟨ A , A ⟩ = 0 ⇔ A = 0 {\displaystyle \langle A,A\rangle =0\Leftrightarrow A=0} を除いて、内積の性質を満たす。ここで、部分集合 N = { A ∈ A | φ ( A ∗ A ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {N}}=\{A\in {\mathfrak {A}}|\,\varphi (A^{\ast }A)=0\}} を考えると N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} は左イデアルであり、同値類 ξ A = A + N {\displaystyle \xi _{A}=A+{\mathfrak {N}}} による商空間 A / N {\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {N}}} を考えることができる。