線型連続体
A は上に有界であるからπ1(A ) もまた上に有界でなければならない。π1(A ) はI の部分集合であるから、π1(A ) は上限をもつ(つまり、上限性質をもつ)。b をπ1(A ) の上限としよう。 もし、b がπ1(A )に属するならば、π1の全射性より、少なくとも一つのc∈ I に対して、b × c はA に含まれるから(b × I )∩A は空ではない。そこで、b × I はI と同じ順序型をもつことに注意すれば、あるc' ∈ Iが存在して、(b × I )∩A は、b × c' という上限をもち、これがまさしくA の上限である。 もし、b がπ1(A )に属さないならば、b × 0 はA の上限である。なぜならば、もしd < b なるd と、あるe∈ I に対して、d × e がA の上界であるならば、dはπ1(A ) の上界に属するb より小さい元になってしまい、b が上限であることに反する。