フィックの法則
第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。x とx + dx にはさまれた体積dx の部分の濃度をcとすると、その中の溶質の量はcdxと書ける。この時間的変化 ∂c/∂t dxを考える。 この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、
∂ c ∂ t d x = J ( x ) − J ( x + d x ) {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}\mathrm {d} x=J(x)-J(x+\mathrm {d} x)} ・・・(1)
ここで第1法則より
J ( x ) = − D ( ∂ c ( x , t ) ∂ x ) , {\displaystyle J(x)=-D\left({\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right),}
J ( x + d x ) = J ( x ) + ∂ J ( x ) ∂ x d x = − D ( ∂ c ( x , t ) ∂ x ) x − ∂ ∂ x ( D ∂ c ( x , t ) ∂ x ) x d x {\displaystyle J(x+\mathrm {d} x)=J(x)+{\frac {\partial J(x)}{\partial x}}\mathrm {d} x=-D\left({\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right)_{x}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right)_{x}\mathrm {d} x}