列空間
A の列ベクトルは列空間を張るが、それらが線型独立でない場合には基底を形成しないこともあり得る。幸運なことに、行列の基本変形は列ベクトルの間の依存関係に影響を与えない。このことは、列空間の基底を見つけるためにガウスの消去法を使用することを可能にする。
例えば、行列
A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{ }}}
を考える。この行列の列ベクトルは、列空間を張るが、線型独立でない可能性もあり、その場合にはそれら列ベクトルの集合のある部分集合が、基底を形成する。この基底を見つけるために、A を行既約階段形へと書き下す:
[ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] ∼ [ 1 3 1 4 0 1 1 1 0 2 2 − 3 0 − 1 − 1 4 ] ∼ [ 1 0 − 2 1 0 1 1 1 0 0 0 − 5 0 0 0 5 ] ∼ [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\text{ }}}