代数幾何学用語一覧
1. モジュライ関手 F があるスキームもしくは代数空間 M で表現可能であったとき、普遍対象(英語版)とは F(M) の要素で恒等射 M → M(これは M の M 値点である)に対応するもののこと。F の値が(付加的な構造とセットの)曲線の同型類なら、普遍対象は普遍曲線(英語版)(万有曲線という訳語もある)ともいう。トートロジー束(英語版)も普遍対象の例の1つと言える。
2. M g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} を種数 g の滑らかな射影曲線のモジュライ空間、 C g = M g , 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}} を種数 g の1標点付きの滑らかな射影曲線のモジュライ空間とする。忘却写像 π : C g → M g {\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}}
を普遍曲線と呼んでいる文献も多い。
曲線が超楕円曲線とは、g2 であること(つまり、次元 1 かつ次数 2 の線形系が存在すること)
局所一意化(英語版)は、付値環を使って弱い形での特異点解消を構成する方法。
スキームの重要な性質の多くは局所的な性格を持っている。つまり、スキーム X がある性質 P を持つのは、X の開部分スキーム Xi による任意の被覆 X= ∪ {\displaystyle \cup } Xi において全ての Xi が性質 P を持つとき、かつそのときに限る。普通は、1つの被覆についてチェックすれば十分で、全てについてチェックする必要はない。ザリスキー位相とエタール位相(英語版)のような他の位相を区別したいときは、ザリスキー局所的な性質ともいう。スキーム X とアフィン開部分スキーム Spec Ai による被覆を考える。環とアフィン・スキームの対応を使うと、局所的性質とは環 Ai の性質である。性質 P が上述の意味で局所的であるのは、対応する環の性質が局所化に関して閉じているとき、かつそのときに限る。例えば、ネーター環のスペクトルで被覆されるものを局所ネータースキームという。
r 次元射影多様体 X の算術種数とは、 ( − 1 ) r ( χ ( O X ) − 1 ) {\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)} のこと。
「#算術種数」と「#幾何種数」参照。
「連接双対性(英語版)」参照。
GIT商(英語版) X / / G {\displaystyle X/\!/G} とは、 X = Spec  A {\displaystyle X=\operatorname {Spec} A} のときは Spec  ( A G ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})} 、 X = Proj  A {\displaystyle X=\operatorname {Proj} A} のときは Proj  ( A G ) {\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})} である。
射影多様体上の直線束が豊富とは、何度かテンソル巾をとると非常に豊富になること。
森の極小モデルプログラムは、3次元以上の代数多様体の双有理分類を目指す研究計画(英語版)。
スキームが純次元 d を持つとは、各既約成分の次元が d であること。
S 上のスキーム X の有効カルティエ因子 D は、X の閉部分スキームであって、S 上平坦かつそのイデアル層が可逆(階数が1で局所自由)であるもの。
ネーター環の局所化は再びネーターであることから、局所ネーターというスキームの性質は上述の意味で局所的である(なのでこの名前がつけられている)。もう1つの例は、環が被約(ゼロでない冪零元を持たないこと)であることである。被約なら、その局所化もそうである。非局所的な性質の例は、分離性である(定義は後述 #分離的)。任意のアフィンスキームは分離的なので、任意のスキームは局所的には分離的である。しかし、アフィンスキームを病的な方法で貼り合わせると非分離的なスキームができあがる。次は、スキームに適用される環の局所的性質の(網羅的ではない)一覧である。X = ∪ {\displaystyle \cup } Spec Ai をスキームのアフィン開部分スキームによる被覆とする。簡単のために、以下では k を体とする。ほとんどの例は底が整数環 Z でも、あるいはより一般の底でも通用する。連結、既約、被約、整、正規、正則、コーエン・マコーレイ、局所ネーター、次元、鎖状。
1.
エタール射の高次元類似物が滑らかな射。滑らかな射には多くの同値な定義がある。次は射 f : Y → X が滑らかであることの同値な定義。 1) 任意の y ∈ Y に対し y のアフィン開近傍 V と x=f(y) のアフィン開近傍 U が存在し、f を V に制限したものは U 上のアフィン n 空間 へのエタール射と射影の合成でかける。 2) f は平坦かつ局所的に有限表示かつ Y の全ての幾何学的点 y ̄ {\displaystyle {\bar {y}}} (代数的閉体のスペクトル k ( y ̄ ) {\displaystyle k({\bar {y}})} から Y への射)に対し幾何学的ファイバー X y ̄ := X × Y S p e c ( k ( y ̄ ) ) {\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))} は k ( y ̄ ) {\displaystyle k({\bar {y}})} 上の(古典的な代数幾何学での意味で)滑らかな n 次元多様体。
2. 完全体 k 上の滑らかなスキーム(英語版)とは、k 上局所有限型の正則スキーム(英語版) X のこと。
3. 体 k 上の滑らかなスキームとは、幾何的に滑らか、つまり X × k k ̄ {\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}} が滑らかなスキーム X のこと。
曖昧な記号。伝統的には、有限次元 k ベクトル空間 V の射影化(英語版)。つまり P ( V ) = Proj  ( k [ V ] ) = Proj  ( Sym  ( V ∗ ) ) {\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}
のこと(多項式関数の環(英語版) k[V] の Proj(英語版))で、これの k 点は V の中の直線に対応する。一方、ハーツホーンや EGA では、P(V) は V の対称代数の Proj。
「ザリスキーの主定理(英語版)」、「形式関数定理(英語版)」、「コホモロジー基底変換定理(英語版)」、「Category:代数幾何学の定理」などを参照。