算術の基本定理
算術の基本定理の主張が、任意の自然数 ≧2 について「素数の積に分解される(素因数分解の存在)」という主張と「素因数分解があれば一意に決まる(分解の一意性)」という主張の大きく 2 つの部分からなっていることに留意すべきである。なぜならば、分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。一意性の証明にはいくつかの方法があるが、以下の事実(ユークリッドの補題)
を用いることが多い。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べる。
この定理の整数の場合への自然な一般化は「0 以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である(この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる)。同様の主張はもっと一般の環などにおいても(成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で)意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。
定理 ― 0 以外の整数 n ≠ 0 は一意的に単数と素数の積に表される:
n = ε p 1 n 1 p 2 n 2 ⋯ p k n k = ε ∏ i = 1 k p i n i {\displaystyle n=\varepsilon p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\varepsilon \prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}}
ただし、ε は単数 ±1、 0 < p1 < p2 < ... < pk は素数、 ni は正の整数である。
定理の反例となる「素数の積で表せないような自然数 ≧2 」の存在を仮定すると、自然数の整礎性により、そのような数には最小の数(最小の反例)があるはずである。定義より素数は既に素数の積に表されているので、最小の反例 n は合成数であり、適当な自然数 a ≠ 1, b ≠ 1 をとれば n = ab とできるが、a < n かつ b < n ゆえ、n の最小性から右辺の各因子 a, b は素数の積として表され、n も素数の積で表せることとなり、矛盾する。ゆえに、任意の自然数 ≧2 は素数の積に表される。