中央値
実確率変数 X の累積分布関数を F(x) とするとき、 F(x) は実数値非単調減少関数、右連続関数となる。この時、次の不等式を満たす実数 m を中央値(メディアン)と呼ぶ。
∫ − ∞ m d F ( x ) ≥ 1 2 and ∫ m ∞ d F ( x ) ≥ 1 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}
ただし、積分記号はリーマン=スティルチェス積分の意味である。
データの大きさが有限値(n とする)である場合は、以下のように簡単に記述することができる。(ただし、同一の順位が無いと仮定する。)
データの値を x1, x2, ..., xn とする。それらを小さい順に並べ替えたものを x′1, x′2, ..., x′n とするとき、 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} の中央値 Q 1 2 ( x ) {\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)} は