明示公式
のコーシーの主値により与えられる対数積分である。ゼータ函数の零点を意味する項 li(x) は、li が 0 と 1 で分岐点を持ち、複素変数 ρ が x > 1 で Re(ρ) > 0 の領域内へ解析接続されることへ注意を払う必要がある。他の項も零点に対応し、主要項 li(x) は s = 1 での極から来ていて、多重度 −1 の零点と考えられる。また残る小さな項は自明な零点から来る。この公式は、リーマンゼータ函数の零点が「期待」された点の周囲での素数の振動を制御していることを意味する。(この級数の最初のいくつかの項のグラフは、Zagier 1977を参照)
リーマンの素数の数え上げ函数 π にかえて、チェビシェフ函数 ψ {\displaystyle \psi } の正規化 ψ 0 {\displaystyle \psi _{0}} を使うと、リーマンの公式のより単純な形への変形でき、 フォン・マンゴルト(von-Mangoldt)の明示公式
ψ 0 ( x ) = 1 2 π i ∫ 0 ∞ ( − ζ ′ ( s ) ζ ( s ) ) x s s d s = x − ∑ ρ x ρ ρ − log  ( 2 π ) − log  ( 1 − x − 2 ) / 2 {\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}ds=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-\log(1-x^{-2})/2}