立方体グラフ
1932年、ロナルド・フォスター(英語版)は、フォスター調査(Foster census)の皮切りとして、立方体対称グラフの例の集計をはじめた。設備グラフやピーターセングラフ、ヒーウッドグラフ、メビウス-カントールグラフ(英語版)、パップスグラフ(英語版)、デザルググラフ(英語版)、ナウルグラフ(英語版)、コクセターグラフ(英語版)、トゥッテ-コクセターグラフ(英語版)、ディックグラフ(英語版)、フォスターグラフ(英語版)、ビッグス-スミスグラフ(英語版)など、多くの有名なグラフは立方体かつ対称的であった。
ウィリアム・トーマス・タット(英語版)は、長さ s の各二つの有向路が、ちょうど一回のグラフの対称性によって互いに写される時、そのような s の最小のものによって対称立方体グラフを分類した。彼は、そのような s は多くとも 5 であることを示し、s が 1 から 5 であるような各グラフの例を提示した。
半対称立方体グラフには、グレイグラフ(英語版)(最小の半対称立方体グラフ)やリュブリャナグラフ(英語版)、トゥッテ12-ケージ(英語版)が含まれる。
フルフトグラフ(英語版)は、対称性を持たない最小の立方体グラフの二つの内の一つである。それは、単一のグラフ自己同型(英語版)として、恒等自己同型のみを備える。