次元解析
この中で長さの次元 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} を含んでいるのは初期変位 x のみなので、式に含めることができない。なぜなら式の左辺と右辺では次元が一致しなくてはならず、初期変位を含めるならば両辺に同じだけかける必要があり、それならば無くても同じだからである。
次元が T {\displaystyle {\mathsf {T}}} になるように m と k を組み合わせる方法は一つしかない。結果次の式が求まる。
T = A m k {\displaystyle T=A{\sqrt {\frac {m}{k}}}}
比例係数 A は無次元量の定数で次元解析から求めることはできない。この運動の運動方程式を直接解くと周期は
T = 2 π m k {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
となり、A = 2π のもとで両者は見事に一致している(固有振動も参照)。このように簡単な問題ならば次元を考えるだけで見通しが立つ。式の次元が合うことは必須の要請であるので、式の間違いをチェックする場合にも使える。
ここで、 M {\displaystyle {\mathsf {M}}} は質量、 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} は長さ、 T {\displaystyle {\mathsf {T}}} は時間、 I {\displaystyle {\mathsf {I}}} は電流の次元を表す。ところが、これらの量をどう組み合わせても、長さの次元 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} を持った量を構成することができない。すなわち、水素原子は一定の大きさをとることができない。そこでニールス・ボーアは、このようなミクロの世界では次元が M L 2 T − 1 {\displaystyle {\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}} のプランク定数 h が関係していると考えた。以上の4つの物理量を組み合わせて長さの次元を持つ量を作ると、
a = ε 0 h 2 m e 2 {\displaystyle a={\frac {\epsilon _{0}h^{2}}{me^{2}}}}
が導かれる。これはボーア半径の π 倍である。
以上の次元解析的議論により、ボーアは h が必須であることを確信した。