ホップ分岐
ホップ分岐も、ピッチフォーク分岐と同様に、超臨界と亜臨界の二種類がある。リミットサイクルは、第一リアプノフ係数(the first Lyapunov coefficient)と呼ばれる値が負ならば軌道安定であり、このとき分岐は超臨界である。第一リアプノフ係数が負でないならば、リミットサイクルは不安定であり、分岐は亜臨界である。
ホップ分岐の正準系(英語版)は、
d z d t = z ( ( λ + i ) + b | z | 2 ) , {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}
である。ここで、z , b は複素数 、 λ {\displaystyle \lambda } はパラメーターである。b を、
b = α + i β . {\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}