立方体倍積問題
アポローンによってもたらされた疾病を鎮める方法を知るためにデルフォイの神託を求めたデロス島の市民の故事から、「デロス島の問題」(Delian problem)とも呼ばれる。プルタルコスによると、島内の政治問題の解決法を探していたデロス市民が、デルフォイの神託を求めたとされている。神託は、立方体の形状をしたアポローンの祭壇の大きさを2倍にせよと告げた。デロス市民は、この答えを奇妙に感じ、プラトンに相談した。プラトンはこの神託を、与えられた立方体の体積を2倍する数学的問題と解釈し、アポローンがデロス市民に幾何学や数学を勉強させることで、その熱情を鎮めようとしていると説明した。
プルタルコスによると、プラトンはエウドクソス、アルキタス、メナイクモスにこの問題を出題した。メナイクモスは、機械的手段でこの問題を解いたが、プラトンから、純粋に数学的な方法で解決していないと非難された (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)。これが、紀元前350年代の『シシュポス』の中で、この問題が未解決問題として引用された原因かもしれない。
この問題の解決の模索の大きな進歩は、キオスのヒポクラテス(英語版)が、この問題は、ある線分と2倍の長さの別の線分の2つの比例中項を求める問題と等価であると発見したことだった。近代風に言うと、長さaと2aの与えられた線分において、立方体の複製は次を満たす長さrとsの線分を見つけることと等価である。
a : r = r : s = s : 2 a . {\displaystyle a:r=r:s=s:2a.\ }