円柱座標変換
但しvx , vy , vz は、それぞれv(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。
また、
{ v r ( t ) = v ( t ) ⋅ N r ( c ( t ) ) v θ ( t ) = v ( t ) ⋅ N θ ( c ( t ) ) v z ( t ) = v ( t ) ⋅ N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{v}_{r}(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{r}(c(t))\\{v}_{\theta }(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{\theta }(c(t))\\{v}_{z}(t)=v(t)\cdot {\textbf {N}}_{z}(c(t))\\\end{array}}\right.
次に、
∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ d r = ∫ M ( ∂ X z ∂ z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left({{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)}}\ \ d\theta dr=\int _{M}{\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)dxdydz}} (5-3-10)
を示す。
∫ z = 0 z = ζ 0 ∂ X ζ ( r , θ , ζ ) ∂ ζ d ζ = X ζ ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) {\displaystyle \int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{{\frac {\partial {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\ }{\partial \zeta }}d\zeta }={{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}\ (r,\theta ,0)} (5-3-11)
なので、
} (5-1-2)
が成立することに注意すると、f の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。
∫ M f d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{M}{f\ dxdydz}=\int _{z=-{{z}_{0}}}^{z={{z}_{0}}}{\int _{x=-{{r}_{0}^{}}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}^{y=\ {\sqrt {{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}} (5-1-3)
また、式(3-1-2)の直方体L に対しM = Φ(L )(式(3-1-3))であることと、ヤコビアン(式(2-1-5))に注意して、積分の変数変換公式を用いると、
∫ M f d x d y d z = ∫ L ( f ∘ Φ ) ⋅ ( det J Φ ) d r d θ d ζ = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0 r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ ) d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}^{}{f\ dxdydz}&=\int _{L}{(f\circ \Phi )\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta }\\&={\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int _{\zeta =-{{z}_{0}}}^{\zeta ={{z}_{0}}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} (5-1-4)
が分かる。
以上、まとめると、
式(1-1-1)の円柱座標変換Φ はr -θ-ζ空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、
Φ ( − 3 , 2 π , 7 ) = ( − 3 0 7 ) {\displaystyle \Phi (-3,2\pi ,7)=\left({\begin{matrix}-3\\0\\7\end{matrix}}\right)} (1-3-1)
のように、どのような (r, θ, ζ) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。
しかし、本記事では特段の断りがない限り、Φ の定義域は式(1-3-2) に定める領域 V に制限されているものとする。V は、r -θ-ζ の部分集合であり、閉集合である(開集合ではない)。
( x y z ) = I 3 ( r , θ ) = Φ ( r , θ , z 0 ) = ( r cos  ( − θ ) r sin  ( − θ ) z 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)={{\mathbf {I} }_{3}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,{{z}_{0}})=\left({\begin{matrix}r\cos(-\theta )\\r\sin(-\theta )\\{{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right)} (3-2-10)
Δ1 , Δ2 , Δ3 は、それぞれD1 , D2 , D3 のI1 , I2 , I3 による像集合となっている:
{ Δ 1 = I 1 ( D 1 ) Δ 2 = I 2 ( D 2 ) Δ 3 = I 3 ( D 3 ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{\Delta }_{1}}={{\mathbf {I} }_{1}}({{D}_{1}})\\{{\Delta }_{2}}={{\mathbf {I} }_{2}}({{D}_{2}})\\{{\Delta }_{3}}={{\mathbf {I} }_{3}}({{D}_{3}})\\\end{array}}\right.} (3-2-11)
ここで、“=”は集合としての等号である。例えば、Δ1 = I1(D1) とは、Δ1 とI1 (D1) が集合として等しいことを意味している。
Δ1 , Δ2 , Δ3 それぞれの法線ベクトルを、NΔ1 , NΔ2 , NΔ3と書く:
定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域(r = 0 となる点を含む)である。
ここで以下が成立する。” ∘ {\displaystyle \circ } ”は、合成関数の意味である。
{ X r = ( X x ∘ Φ ) cos  θ + ( X y ∘ Φ ) sin  θ X θ = − ( X x ∘ Φ ) sin  θ + ( X y ∘ Φ ) cos  θ X ζ = X z ∘ Φ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{r}}=({X}_{x}\circ \Phi )\cos \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\sin \theta \\{{X}_{\theta }}=-({X}_{x}\circ \Phi )\sin \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\cos \theta \\{{X}_{\zeta }}={{X}_{z}\circ \Phi }\\\end{array}}\right.} (4-1-4)
またはこれを逆に解くと