分散 (確率論)
2乗可積分確率変数 X の分散は期待値を E[X] で表すと
V [ X ] = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] {\displaystyle V[X]=E{\big [}(X-E[X])^{2}{\big ]}}
で定義される。これを展開して整理すると
V [ X ] = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 − 2 X E [ X ] + ( E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X E [ X ] ] + E [ ( E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] E [ X ] + ( E [ X ] ) 2 ( ∵ E [ X ] = C o n s t ) = E [ X 2 ] − ( E [ X ] ) 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}V[X]&=E{\big [}(X-E[X])^{2}{\big ]}\\&=E{\big [}X^{2}-2XE[X]+(E[X])^{2}{\big ]}\\&=E[X^{2}]-2E{\big [}XE[X]{\big ]}+E{\big [}(E[X])^{2}{\big ]}\\&=E[X^{2}]-2E[X]E[X]+(E[X])^{2}(\because E[X]=Const)\\&=E[X^{2}]-(E[X])^{2}\\\end{alignedat}}}
推計統計学では、母集団の分散と標本の分散を区別する必要がある。