固有値と固有ベクトル
体 K の元を成分とする n次正方行列 A の固有値は、体 K 上に存在するとは限らない。このことを含めて、固有値は 、次のようにして求めることができる。
A の固有値 λ が満たすべき条件は、
A x = λ x {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}}
すなわち
( λ I − A ) x = o {\displaystyle (\lambda I-A){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}}
を満たす x ≠ o が存在することである。ただし、I は単位行列である。
線形方程式・行列式の理論より、この条件は
det ( λ I − A ) = 0 {\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}
となる。この方程式のことを固有方程式(または特性方程式)という。固有方程式は λ についての n次代数方程式であり、A は、この方程式の解として、重複度(代数学的重複度)を込めて(基礎体の代数的閉包上)n個の固有値を持つことが分かる。
特に行列 A が実対称(あるいはエルミート)の場合、固有方程式は永年方程式とも言われる。
実対称かエルミートの固有値は必ず実数になる。
実対称かエルミートである行列の、固有値を異にする固有ベクトルは相互に直交する(内積が 0 である)。
n が大きければ固有値問題は数値的対角化手法(→ヤコビ法、ハウスホルダー法など)によって解くこととなる。行列 A が実対称やエルミートでない場合は、これを解くことは一般に難しくなる。
ヒルベルトは、ヘルムホルツの関連する語法に従ったのだと思われるが、固有値や固有ベクトルを表すために ドイツ語の eigen を冠した最初の人であり、それは1904年のことである。ドイツ語の形容詞 "eigen" は「独特の」「特有の」「特徴的な」「個性的な」といったような意味があり、固有値は特定の変換に特有の性質というものを決定付けるということが強調されている。英語の標準的な用語法で "proper value" ということもあるが、印象的な "eigenvalue" の方が今日では標準的に用いられる。フランス語では valeur propre である。
固有値や固有ベクトルの計算に対する数値的なアルゴリズムの最初のものは、ヤコビが対称行列の固有値固有ベクトルを求める手法として(ヤコビの提出したヤコビ法(電子計算機が発明されたときにフォンノイマンが発見したと思われたが実際はヤコビが既に述べていた)、ガウスによる行列の基本変形操作によるヘッセンベルグ形式への還元、などが知られていた)、1929年にフォン・ミーゼスが公表した冪乗法である。今日最もよく知られた手法の一つに、1961年に Francis と Kublanovskaya が独立に考案したQR法がある。
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