グロタンディーク群
具体的には、このことは f はすべての有限生成 R-加群 V に対し、等式 f([V]) = χ(V) を満たし、f はそのように写像する唯一の群準同型である。
加法的函数の例は、表現論から来る指標函数である。R を有限次元 k-代数とすると、指標 χV: R → k を、すべての有限次元 R-加群 V と結びつけることができる。χV(x) は、元 x ∈ R の乗法で与えられる V 上の k-線型写像のトレースとして定義される。
適当な基底を選び、対応する区分三角形式の行列として書くと、指標は上記の意味で加法的であることが容易に分かる。普遍性により、このことが「普遍指標」 χ : G 0 ( R ) → H o m K ( R , K ) {\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)} を与え、 χ ( [ V ] ) = χ V {\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}} となる。
k = C とし、R を有限群 G の群環 C[G] とすると、この指標は自然な G0(C[G]) と指標環 Ch(G) の同型を与える。有限群のモジュラー表現論では、k は p 個の元を持つ有限体の代数的閉包 F ̄ p {\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}} でもよい。
さらに一般化すると、三角圏(英語版)のグロタンディーク群も定義することができる。この構成は本質的には同じであるが、完全三角形 X → Y → Z → X[1] に対して関係式 [X] - [Y] + [Z] = 0 を使う。