ホモロジカルミラー対称性予想
(p,q)-調和微分形式の空間の次元 h (同じことであるが、コホモロジー、つまり、完全形式を modulo とする閉形式)は、ホッジダイアモンドと呼ばれるダイアモンドの形に並べることができる。たとえば、3-次元多様体に対しては、ホッジダイアモンドは 0 から 3 までの範囲の p × q のダイアモンドの形にすることができ、
となる。ミラー対称性では、元の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元 h とすると、ミラー対称である相手の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元は h となる.すなわち、全てのカラビ・ヤウ多様体に対して、ホッジダイアモンドは π の回転しても変わらなく、ミラー対称であるカラビ・ヤウ多様体のホッジダイアモンドは π/2 の回転で入れ替わる。
1-次元カラビ・ヤウ多様体と見なすことのできる楕円曲線の場合には、ホッジダイアモンドは非常に簡単で、次のようになる。
K3曲面の場合には、2-次元のカラビ・ヤウ多様体と見なすことができるが、ベッチ数が、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる。