対称群
体 K の標数が 0 か n よりも大ならば、マシュケの定理により群環 KSn は半単純であり、この場合整数環上定義された既約表現は(必要ならばその標数を法とする還元を行って)既約表現の完全集合を与える。
しかしそれ以外の任意の標数における対称群の既約表現については知られていない。この文脈では表現の言葉よりも加群の言葉を用いるほうが普通であるが、整数環上定義された既約表現に標数を法とした還元を行って得られる表現は一般には既約でない。こうして得られる加群はシュペヒト加群(英語版)と呼ばれ、任意の既約表現はそれらの加群の中から得られる。いまのところそのような既約加群はあまり知られておらず、それらの分類についてもたいした理解は得られていない。例えば、その次元なども一般にはわかっていない。
任意の体上で対称群の既約加群を決定することは、表現論における重要な未解決問題のひとつであると広くみなされている。
n ≠ 2, 6 のとき Sn は完全群(英語版)(中心と外部自己同型群(英語版)が両方とも自明)である。
n = 2 のとき、自己同型群は自明だが S2 自身は自明でない(巡回群 C2 に同型で、これはアーベル群だから、中心は S2 全体)。
n = 6 のときは位数 2 の外部自己同型をもち、自己同型群は S6 の C2 による半直積となる。
Out  ( S 6 ) = C 2 , Aut  ( S 6 ) = S 6 ⋊ C 2 . {\displaystyle \operatorname {Out} (S_{6})=C_{2},\quad \operatorname {Aut} (S_{6})=S_{6}\rtimes C_{2}.}
実は、6 以外の濃度の任意の集合 X に対して、X 上の対称群の任意の自己同型は内部自己同型である。(Dixon & Mortimer 1996, p. 259) によれば、この結果をはじめて得たのは (Schreier & Ulam 1937) である。
対称群 Sn の群ホモロジーは極めて正則かつ安定である。一次のホモロジー(つまりアーベル化)は
H 1 ( S n , Z ) = { 0 n < 2 Z / 2 n ≥ 2 {\displaystyle H_{1}(S_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbb {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}}
である。n < 2 のときは自明、n ≥ 2 のときは符号写像 sgn: Sn → C2 に対応している。これは以下のように簡単に計算できる。Sn は対合(位数 2 の元、2-サイクル)で生成されるから、写像 Sn → Cp が非自明なのは p = 2 のときであり、またすべての対合は、共軛であるから(アーベル群上の共軛変換は自明なので)そのアーベル化の同じ元へうつる。したがって、唯一可能な写像
S n → C 2 ≅ { ± 1 } {\displaystyle S_{n}\to C_{2}\cong \{\pm 1\}}
は対合を 1 へ移す(自明写像)か −1 へ移す(符号写像)。符号写像が矛盾なく定まっていることは確認すべきことだが、それを認めれば、これで Sn の一次ホモロジーが得られる。