超球面
八元射影直線 OP に等しい。
V n = ∫ φ n − 1 = 0 2 π ∫ φ n − 2 = 0 π ⋯ ∫ φ 1 = 0 π ∫ r = 0 R d n V {\displaystyle V_{n}=\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }\int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\int _{r=0}^{R}d^{n}V\,}
を積分することによって再び得ることができる。(n − 1) 次元球面の体積要素は、2 次元球面の面積要素を一般化するが、
d S n − 1 V = sin n − 2  ( φ 1 ) sin n − 3  ( φ 2 ) ⋯ sin  ( φ n − 2 ) d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 {\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}
によって与えられる。角度座標上の直交基底の自然な選択は j = 1, 2, ..., n − 2 に対してゲーゲンバウアー多項式
漸化式は結合して図にかかれているように表面積に対して「逆向きの」漸化関係を与えることができる:
S n − 1 = n 2 π S n − 1 + 2 {\displaystyle S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n-1+2}}
すると添え字を n から n − 2 にシフトすることで漸化式
V n = 2 π n V n − 2 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}
S n − 1 = 2 π n − 2 S n − 1 − 2 {\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-1-2}}
を得る、ただし S0 = 2, V1 = 2, S1 = 2π, V2 = π.
V n {\displaystyle V_{n}} に対する漸化関係も 2 次元極座標での積分を経由して証明できる: