生成消滅演算子
量子的な調和振動子の状態ベクトルで生成消滅演算子を行列表示すると、
a † = ( 0 0 0 ... ... 1 0 0 ... ... 0 2 0 ... ... 0 0 3 ... ... ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 n 0 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ) {\displaystyle a^{\dagger }=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&\dots &\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\dots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&{\sqrt {n}}&0\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{array}}\right)}
a = ( 0 1 0 0 ... 0 ... 0 0 2 0 ... 0 ... 0 0 0 3 ... 0 ... 0 0 0 0 ⋱ ⋮ ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ n ... 0 0 0 0 ...
物理的には、 a ^ ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}(f)\ } は状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } の粒子を消滅させ、 a ^ † ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }(f)\ } は状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } の粒子を生成させる。
自由場の真空状態は粒子の無い状態である。つまり、
a ( f ) | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle a(f)|0\rangle =0}
ここで | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } は真空状態である。
| f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } が規格化 ⟨ f | f ⟩ = 1 {\displaystyle \langle f|f\rangle =1} されている場合、 a ^ † ( f ) a ^ ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }(f){\hat {a}}(f)\ } は状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } の粒子数を与える。