エネルギー
{\displaystyle V({\boldsymbol {r}})\to {\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}}).}
ここで V, ˆV は位置エネルギーおよび位置エネルギー演算子、r, ˆr は粒子の位置および位置演算子である。
1 粒子系のハミルトニアン ˆH は運動エネルギーと位置エネルギーの和として与えられる。
H ^ ( p ^ , r ^ ) = K ^ ( p ^ ) + V ^ ( r ^ ) = p ^ 2 2 m + V ^ ( r ^ ) . {\displaystyle {\hat {H}}({\hat {\boldsymbol {p}}},{\hat {\boldsymbol {r}}})={\hat {K}}({\hat {\boldsymbol {p}}})+{\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}})={\frac {{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\!\!}{2m}}+{\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}}).}
量子力学においては、古典力学とは異なり、定常状態でとり得るエネルギー固有値 E は非負でなければならず、固有値は必ずしも連続的ではなくなる。エネルギーの値がこのように離散的になることの効果が、特に低温での熱的な性質に顕著に現れる。
{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}u({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}=\int _{V}{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}+\int _{A}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\right)\cdot {\boldsymbol {n}}({\boldsymbol {r}}_{A})\mathrm {d} A.}
ここで j は電流密度、A は領域 V の表面およびその面積を表す。また、rA は表面 A 上の点を、n は表面に垂直で領域の外を向いた単位ベクトルを表している。右辺の第 1 項がジュール熱、つまり電磁場と電荷の相互作用によるエネルギーの移動を表し、第 2 項が電磁場の変形によって外部へ流出するエネルギーの流量を表している。第 2 項の被積分関数はポインティング・ベクトルとして次のように定義される。
S ( r , t ) = E ( r , t ) × H ( r , t ) . {\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t).}