ボース気体
T c = ( N V f ζ ( 3 / 2 ) ) 2 / 3 h 2 2 π m k {\displaystyle T_{c}=\left({\frac {N}{Vf\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk}}}
さらに、ここでは臨界温度以下の結果を計算することはできない。なぜなら上記の方程式を用いた粒子数は負になるからである。 ここでの問題点は、トーマス=フェルミ近似は基底状態の縮退度を0としていることで、これは間違っている。 凝縮を受け入れる基底状態が無いため方程式が破綻する。 しかし上記の方程式は励起状態では粒子数を比較的正確に評価しており、そこへ基底状態を単純に付け加えることは悪い近似ではないことがわかる。
N = N 0 + Li α ( z ) ( β E c ) α {\displaystyle N=N_{0}+{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}}
ここで N0 は基底状態凝縮の粒子数で、次のように与えられる。
N 0 = g 0 z 1 − z {\displaystyle N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}}
この方程式は絶対零度まで解くことができる。 図1に α = 3/2 におけるこの方程式の解の結果を示す。これは箱の中のボース気体に相当し、k = εc = 1 とする。
ここで Λ は熱的波長である。調和トラップ中の質量を持つボース気体では α = 3 で、臨界エネルギーは次のように与えられる。
1 ( β E c ) α = f ( ħ ω β ) 3 {\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}}
ここで V(r) = mωr / 2 は調和ポテンシャルである。Ec は体積だけの関数である。
このグランドポテンシャルの方程式は、項別に被積分関数のテイラー級数を積分することにより、 または Li1(zexp(−βE)) のメリン変換に比例するとすることにより解くことができる。ここで Lis(x) は多重対数関数である。解は次のように与えられる。
Ω ≈ − Li α + 1 ( z ) ( β E c ) α {\displaystyle \Omega \approx -{\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha +1}(z)}{\left(\beta E_{c}\right)^{\alpha }}}}
このボース気体における連続体近似の問題点は、基底状態が実質的に無視されることで、ゼロエネルギーで縮退度がゼロになることである。 この問題点はボース=アインシュタイン凝縮を扱うときには重大で、次章で扱う。
全粒子数はグランドポテンシャルから次のように与えられる。
N = − z ∂ Ω ∂ z ≈ Li α ( z ) ( β E c ) α {\displaystyle N=-z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}\approx {\frac {{\textrm {Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}}
多重対数関数項は実で正でなければならず、最大値は z = 1 のときで ζ(α) に等しい。ここで ζ はリーマンゼータ関数である。 N を固定すると、β の最大値は臨界値 βc で、このとき以下のようになる。
N = ζ ( α ) ( β c E c ) α {\displaystyle N={\frac {\zeta (\alpha )}{(\beta _{c}E_{c})^{\alpha }}}}
これは臨界温度 Tc = 1/kβc に相当し、これ以下ではトーマス=フェルミ近似は破綻する。 上記の方程式は臨界温度について解くことができ、次のようになる。
T c = ( N ζ ( α ) ) 1 / α E c k {\displaystyle T_{c}=\left({\frac {N}{\zeta (\alpha )}}\right)^{1/\alpha }{\frac {E_{c}}{k}}}
たとえば α = 3/2 で、上述の値 Ec を用いると、次のようになる。