アフィン接続
M を R の中の曲面とすると、M は自然なアフィン接続を持っていることは容易に分かる。線型接続の観点より、ベクトル場の共変微分はベクトル場の微分により定義され、M から R への写像と見なされ、よって背後の M の接空間の上の直交する射影を結果する。このアフィン接続が捩率を持たないことは容易に分かる。さらに、R 上の内積により引き起こされた M 上のリーマン接続の観点からは、この接続が計量接続であることも容易に分かる。従って、この計量のレヴィ・チヴィタ接続であることも分かる。
アフィン接続を選択することは、(接)ベクトル場を規定することと同値であり、合理的な性質(線型性やライプニッツ則)を満たす。このことは、接バンドル上の共変微分や(線型)接続として、アフィン接続が妥当な定義であることを意味する。アフィン接続の選択は、曲線に沿って変換する接ベクトルを意味する平行移動(英語版)の考え方と同値でもある。このことはまた、標構バンドル(英語版)上の平行性を持つ変換を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、アフィン接続、アフィン群のカルタン接続、あるいは、標構バンドル上の接続の別の記述であることをも意味する。
アフィン接続の主な不変量は、捩率と曲率である。捩率はどのようにして、ベクトル場のリーブラケットがアフィン接続から再現可能かを測る。アフィン接続は、多様体の(アフィン)測地線を定義することに使われる。ここで使われる直線の幾何学である測地線は、通常のユークリッド幾何学からは非常に異なるにもかかわらず、ユークリッド空間の直線の一般化となっている。直線と測地線との違いは、測地線が接続の曲率の中に全ての情報をカプセル化していることである。
これとよく似て、アフィン群 Aff(n) はアフィン構造を保存する A の変換群である。このように、φ ∈ Aff(n) は、
φ ( p + v ) = α ( p ) + T ( v ) {\displaystyle \phi (p+v)=\alpha (p)+T(v)\,}
という意味で、保存変換でなければならない。ここに T は一般線型変換である。φ ∈ Aff(n) を T ∈ GL(n) へ写す写像は、群準同型である。核は、R の変換群である。A の任意の点 p の安定化因子はこのようにして、この射影を使い GL(n) と同一視できる。このことは、アフィン群を GL(n) と R の半直積 をして実現し、アフィン空間を等質空間 Aff(n)/GL(n) として実現する。