重複度 (数学)
代数幾何学において、代数多様体の2つの部分多様体の共通部分は既約多様体の有限個の和集合である。そのような共通部分の各 component に対して交叉重複度 (intersection multiplicity) が取り付けられる。この概念は次の意味で局所的(英語版)である。この成分の任意の生成点(英語版)の近傍において起こることを見ることでそれを定義できる。一般性を失うことなく、交叉重複度を定義するために2つのアフィン多様体(アフィン空間の部分多様体)の共通部分を考えることができるということが従う。
したがって、2つのアフィン多様体 V1 と V2 が与えられると、V1 と V2 の共通部分の既約成分 W を考えよう。d を W の次元(英語版)とし、P を W の任意の生成点とする。W の P を通る一般の位置(英語版)にある d 個の超平面との共通部分は一点 P にreduceされる既約成分をもつ。したがって、共通部分の座標環のこの成分における局所環は素イデアルを 1 つしかもたず、したがってアルティン環である。それゆえこの環は基礎体上有限次元ベクトル空間である。その次元が V1 と V2 の W における交叉重複度 (intersection multiplicity) である。
この定義によってベズーの定理とその一般化を正確に述べることができる。
この定義は多項式の根の重複度を次のように一般化する。多項式 f の根はアフィン直線上の点で、その多項式によって定義される代数的集合の成分である。