有限アーベル群の構造定理
この定理の証明法はいくつも存在する。筋の良い証明の一つは群の表現論を用いるもので、ほかにも例えば有限群の指標を用いるものもある。
以下に示すものは完全に群論の枠組みに収まるもので、分解の存在性は補題 1 による(それには補題 2 を用いる)。
補題 1 ― 冪数 e を持つ任意の有限アーベル群 G に対し、G の位数 e を持つ任意の巡回部分群は、G の直積因子である。
ψ が演算 "+" の分解であるということは、準同型定理により、それがこの準同型の核(すなわち h が部分群 H ≔ G′ ∩ ⟨gk⟩ 上を亙るときの対 (h, −h) 全体の成す集合)上消えていることを意味する。つまり φ′′ は H 上 φ′ に一致する. ⟨gk⟩ の位数は C の位数を割り切るから、ゆえに φ′′ は常に存在し、したがって補題が従う。
補題 2 ― e, m は正整数で m は e を割り切るものとし、H を巡回群 Z/mZ の部分群とする。