概マシュー作用素
数理物理学の分野における概マシュー作用素(がいマシューさようそ、英: almost Mathieu operator)とは、量子ホール効果の研究に現れる、次のような作用素のことを言う。
[ H ω λ , α u ] ( n ) = u ( n + 1 ) + u ( n − 1 ) + 2 λ cos  ( 2 π ( ω + n α ) ) u ( n ) . {\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n).\,}
この作用素はヒルベルト空間 l 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )} 上で自己共役作用素として働く。ここで α , ω ∈ T , λ > 0 {\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0} はパラメータである。純粋数学の分野では、この作用素の重要性は、エルゴード的なシュレーディンガー作用素のよく知られた例であるという事実に起因する。例えば、(今ではすべて解かれた)シュレーディンガー作用素に関するバリー・サイモンの「21世紀のための」15の問題は、概マシュー作用素を取り上げたものであった。
λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} に対して、概マシュー作用素はしばしばハーパーの方程式(Harper's equation)と呼ばれる。