巡回群
「巡回的」という修飾辞がついているので少々紛らわしいところではあるが、生成元 g が無限個の元を生成するというような場合には各 g は n が異なれば異なるから、(これを無限の長さの循環だということ自体は可能であるのだが)文字通りの意味では巡回しない。このような群は無限巡回群 (infinite cyclic group) と呼ばれ、必ず整数全体の成す加法群 Z に同型になる。さらにいえば、巡回群は必ず(高々)可算(有限または可算無限)個の元しかもたないので(非可算無限個の元をもつ)円周群は巡回群とは「ならない」(円周群は任意の正整数についてそれを位数とする有限巡回群をただひとつ持つので、ある意味で有限巡回群の無限版と看做すことができるものだが、それは無限巡回群ではない)。
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。またそのとき、位数 n の巡回群を Zn で表すこともあるが、この記号は数論的な文脈では p-進整数環や素イデアルによる環の局所化の記法と衝突するので問題となりうる。他の標準的な記号としては剰余群の記法に従って Z/nZ, Z/n, Z/(n) などが用いられる。本項ではこれら複数の記法を記号の衝突を避ける目的で使い分けるものとする。後述の巡回群の部分群と記法節も参照のこと。
また、群を乗法的に書く場合には、位数 n の巡回群を Cn で表す(n = ∞ の場合も許す)。例えば gg = g は C5 において正しい(このことの加法的な対応物は 「3 + 4 = 2 は Z/5Z において正しい」である)。