怠け仕出し屋の数列
f ( n ) = n + ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) . {\displaystyle f(n)=n+(n-1)+f(n-2).}
となる。ƒ(n − 2)の項の展開を最後の項がƒ(0)になるまで行うと
f ( n ) = n + ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ⋯ + 1 + f ( 0 ) . {\displaystyle f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).}
となる。カットする前は1つのピースしかないので f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} である。よって、次のように書き換えられる。
f ( n ) = 1 + ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) . {\displaystyle f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).}
等差数列の合計の式を用いてシンプルな式にすると、以下の式になる。
f ( n ) = 1 + n ( n + 1 ) 2 = n 2 + n + 2 2 . {\displaystyle f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}