対称式
k 個の要素の選び方は、二項係数を用いて nCk 通りあることが分かるので、 σk は、 nCk 個の k 次の単項式の和である。
たとえば、2 変数なら
σ1 = x1 + x2
σ2 = x1 x2
3 変数なら
σ1 = x1 + x2 + x3
σ2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
σ3 = x1 x2 x3
が基本対称式である。根と係数の関係により、基本対称式は、 x1,x2,...,xn を根とするモニックな n 次多項式の係数として現れる。
t n − σ 1 t n − 1 + σ 2 t n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ n − 1 t + ( − 1 ) n σ n = ∏ k = 1 n ( t − x k ) = ( t − x 1 ) ( t − x 2 ) ⋯ ( t − x n ) {\displaystyle t^{n}-\sigma _{1}\ t^{n-1}+\sigma _{2}\ t^{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{n-1}\ t+(-1)^{n}\ \sigma _{n}=\prod _{k=1}^{n}(t-x_{k})=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n})}
集合 A の濃度を |A| とするとき
σ k ( x 1 , ⋯ , x n ) = ∑ λ ⊂ Λ n , | λ | = k ( ∏ t ∈ λ x t ) {\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum _{\lambda \subset \Lambda _{n},|\lambda |=k}\left(\ \prod _{t\in \lambda }x_{t}\right)}
という対称式の事を k 次の基本対称式(きほんたいしょうしき、elementary symmetric polynomial)という。変数を省略して σk とも書く。変数の数 n に混乱の恐れがあれば、σn,k のように n を明示する。
σk は、x1 x2 ... xk という k 次の単項式と同型な単項式からなる、単型の対称式である。
すなわち、n 個の変数 {x1,x2,...,xn} から、k 個の変数を選んで掛け合わせて k 次の単項式を作る。この時、 k 個の変数の組み合わせを全て考えて、k 次の単項式を足し合わせてできた対称式である。