超階乗
ニール・スローンとサイモン・プラウフは1995年に The Encyclopedia of Integer Sequences において、最初の n 個の階乗の積として超階乗を定義した。
n $ = sf  ( n ) := ∏ k = 1 n k ! . {\displaystyle n\$=\operatorname {sf} (n):=\prod _{k=1}^{n}k!.}
この超階乗は 1, 2, ..., n の差積(ファンデルモンド行列式)としても与えられる:
sf  ( n ) = Δ ( 1 , 2 , ... , n ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( j − i ) . {\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\Delta (1,2,\dotsc ,n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i).}
この超階乗は次の式を満たす。ここで G はバーンズのG関数、H はハイパー階乗である。
sf  ( n ) = G ( n + 2 ) = ( n ! ) n − 1 H ( n − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {sf} (n)=G(n+2)={\frac {(n!)^{n-1}}{H(n-1)}}.}
最初の幾つかの値は次のように与えられる。
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ... (A000178)