Ε均衡
ゲームと非負の実数 ε とを所与として,戦略プロファイルが ε 均衡であるとは,どのプレーヤーにとっても,自分の戦略からの単独での逸脱によって,期待利得を ε より大きく改善することができないことをいう.任意のナッシュ均衡は,ε = 0 の場合の ε 均衡に等しい.
形式的に書こう.N 人のプレーヤーがいて,各プレーヤーの行動集合が A i {\displaystyle A_{i}} , 効用関数が u であるようなゲームを G = ( N , A = A 1 × ⋯ × A N , u : A → R N ) {\displaystyle G=(N,A=A_{1}\times \cdots \times A_{N},u:A\to \mathbb {R} ^{N})} とする.戦略の組 σ ∈ Δ = Δ 1 × ⋯ × Δ N {\displaystyle \sigma \in \Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{N}} が G の ε 均衡であるとは,
u i ( σ ) ≥ u i ( σ i ′ , σ − i ) − ε for all σ i ′ ∈ Δ i , i ∈ N {\displaystyle u_{i}(\sigma )\geq u_{i}(\sigma _{i}',\sigma _{-i})-\varepsilon \;{\mbox{for all}}\;\sigma _{i}'\in \Delta _{i},i\in N}
であるときをいう.
ε 均衡の概念は,無限に継続する可能性のある確率ゲームの理論において重要である.ナッシュ均衡が存在しないが,0 より厳密に大きい任意の ε について ε 均衡が存在するような,簡単な確率ゲームの例がある.
おそらくもっとも簡単な例は,エヴェレットにより提案された,次のようなマッチングペニーの変種だろう.プレーヤー 1 はペニー硬貨を隠し,プレーヤー 2 はそれが表か裏かを推測する.プレーヤー 2 が正しく当てたならば,プレーヤー 1 からペニーをもらってゲームが終了する.プレーヤー 2 が,表と推測して外したならば,両プレーヤーの利得を 0 としてゲームが終了する.プレーヤー 2 が裏と推測して外したならば,ゲームは繰りかえす.もしゲームが永久に続くならば,両プレーヤーの利得は 0 になる.
パラメータ ε > 0 を所与として,プレーヤー 2 が,(ゲームのステージによらず,それ以前のステージとも独立に) 表を確率 ε, 裏を確率 1 − ε と推測するような任意の戦略プロファイルは,このゲームの ε 均衡になる.このような戦略プロファイルにおけるプレーヤー 2の 期待利得は少なくとも 1 − ε になる.