空積
数学における空積(くうせき、英: empty product)あるいは零項積 (nullary product) は、0 個の因子を掛けた結果である。(考えている乗法演算に単位元が存在する場合に限り)「空積の値は単位元 1 に等しい」という規約を設ける。このことは、空和(すなわち0個の数を足した結果)が零元 0 に等しいと約束することと同様である。
用語 "空積" は算術的演算を議論するときに上の意味で使われることが多い。しかしながら、この用語は集合論の共通部分、圏論の積、コンピュータプログラミングにおける積に対しても使われる。これらは以下で議論される。
a1, a2, a3, ... を数の列とし、
P m = ∏ i = 1 m a i = a 1 ⋯ a m {\displaystyle P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\dotsb a_{m}}
をこの列の最初の m-項の積とする。このとき
P m = a m ⋅ P m − 1 {\displaystyle P_{m}=a_{m}\cdot P_{m-1}}
がすべての m = 1, 2, ... に対して成り立つというためには、P1 = a1 および P0 = 1 とするという規約が必要である。これはつまり、ただ一つの因子からなる "積" P1 の値はその因子自身であり、全く因子を持たない "積" P0 の値は 1 とするということである。一つだけあるいは零個の因子の "積" を許すことで、多くの数学的な公式において考慮すべき場合の数を減らすことができるようになる。そのような "積" は数学的帰納法やアルゴリズムにおける起点として自然に現れる。これらの理由のため「空積の値は 1 であるものと約束する」ことは数学やコンピュータプログラミングにおいて常識である。