交代代数
を満たすことが示せる。またこれより任意の x, y に対して
[ x , y , x ] = 0 , {\displaystyle [x,y,x]=0,}
即ち、柔軟恒等式(英語版)
( x y ) x = x ( y x ) {\displaystyle (xy)x=x(yx)}
を満たすことが分かる。
さて以上により、交代代数の結合子は交代的であり、逆に結合子が交代的な任意の多元環は交代代数であることがわかる。また条件の対称性を考えれば、以下の三条件
左交代性: x ( x y ) = ( x x ) y , {\displaystyle x(xy)=(xx)y,}
右交代性: ( y x ) x = y ( x x ) , {\displaystyle (yx)x=y(xx),}
柔軟性: ( x y ) x = x ( y x ) {\displaystyle (xy)x=x(yx)}
のうちの任意の二つを満足する多元環は、従って残りの一つも同時に満足して、交代代数であることが確認できる。
交代的結合子は常に完全歪対称であるが、逆は係数体の標数が 2 でない限りにおいて正しい。
↑ 引数の任意の二つを入れ替えると符号が変わる ((−1)-倍される) という性質のことを「交代性」と呼んでいる文献もあるが、一般にそれは「歪対称性」(skew-symmetric) あるいは「反対称性」(anti-symmetric) と呼ばれる性質である。多くの文脈では同じ概念を指すことになるため混同しても影響のないこともあるが、特に標数 2 の体も含めて考える場合には注意すべきである
↑ ので(ループ(英語版)(単位的準群)は必ずしも群ではないけれども)用語の濫用で単元ループのことを単元群と呼ぶことも稀にある。
( ( x a ) y ) a = x ( a y a ) , {\displaystyle ((xa)y)a=x(aya),}
( a x ) ( y a ) = a ( x y ) a {\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}
が成り立つ。
単位的交代代数において、乗法逆元は存在すれば一意である。さらに任意の可逆元 x と任意の元 y に対し
y = x − 1 ( x y ) , {\displaystyle y=x^{-1}(xy),}
即ち、結合子 [x, x, y] は消える。また、x, y ともに可逆ならば、その積 xy もまた可逆で
( x y ) − 1 = y − 1 x − 1 {\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}
が成り立つ。従って、可逆元全体の成す集合は積について閉じており、ムーファング・ループ(英語版)を成す。交代環におけるこの単元ループ(単元準群)は結合環における単元群に対応する概念である。
ツォルンの定理によれば、任意の有限次元非結合的交代代数は一般八元数代数である。