ベルヌーイ多項式
M n < 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}
を満たすことを示した。n が法 4 に関して 2 であるときは、
M n = 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}}
(ここで ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} はリーマンゼータ関数)となる。一方で、最小値は n が法 4 に関して 0 でない限り
m n > − 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}
を満たす。n が法 4 に関して 0 であるときは、
m n = − 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}}
である。これらの評価は実際の最大値・最小値に極めて近く、またレーマーはより精緻な評価も与えている。
ベルヌーイ多項式は下降階乗冪 x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} を用いて
B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } x n + 1 _ {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {n+1}}}
と展開できる。ここで、 B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)} および
{ n k } = S ( n , k ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}