ランベルトのW関数
さらに制約条件として W ≥ −1 を追加すれば一価函数 W0(x) が定義されて、W0(0) = 0 および W0(−1/e) = −1 を得る。それと同時に、下側の枝は W ≤ −1 であって、W−1(x) と書かれる。これは W−1(−1/e) = −1 から W−1(−0) = −∞ まで単調減少する。
ランベルト W 関係は初等函数では表すことができない。ランベルト W は組合せ論において有用で、例えば木の数え上げに用いられる。指数函数を含む様々な方程式(例えばプランク分布、ボーズ–アインシュタイン分布、フェルミ–ディラック分布などの最大値)を解くのに用いられ、またy'(t) = ay(t − 1) のような遅延微分方程式(英語版) の解としても生じる。生化学において、また特に酵素動力学において、ミカエリス–メンテン動力学の経時動力学解析に対する閉じた形の解はランベルト W 函数によって記述される。
} 証明 u = W(x) と置換すれば、 x = u e u , d x d u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle x=ue^{u},\quad {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}} で、 ∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u ( u + 1 ) e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) − 1 2 e − w d w ( u = 2 w ) = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ ( 3 2 ) + 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 2 2 ( 1 2 π ) + 2 ( π ) = 2 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})\\&=2{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})\\&=2{\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}