フレドホルム理論
理論の古典的な結果は、フレドホルムの定理であり、その中の一つがフレドホルムの交代定理(Fredholm alternative)である。
一般理論からの重要な結果の一つが、函数空間が同程度連続であれば、核がコンパクト作用素であることである。
関連する優れた結果がアティヤ=シンガーの指数定理であり、この定理はコンパクト多様体上の楕円作用素のindex (dim ker – dim coker)は一定となるという定理である。
ここに解は
φ ( x ) = ∫ R ( ω ; x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle \phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy}
である。この解が存在する必要十分条件がフレドホルムの定理の一つである。レゾルベントはみな共通に λ = 1 / ω {\displaystyle \lambda =1/\omega } のべきに拡張され、この場合にはリウヴィル・ノイマン級数(英語版)として知られていて、積分方程式は次のようになる。
g ( x ) = φ ( x ) − λ ∫ K ( x , y ) φ ( y ) d y {\displaystyle g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy}
また、レゾルベントは次の交代的な形で書くことができる。
R ( λ ) = 1 I − λ K . {\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}