ルベーグの微分定理
R 上の実数値または複素数値ルベーグ可積分関数 f があるとき、ルベーグ可測集合 A に f ⋅ 1 A {\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}} ( 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} は集合 A の指示関数)のルベーグ積分を対応させる「不定積分」は集合函数
A ↦ ∫ A f d λ {\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda }
を定める。ここで λ は n-次元ルベーグ測度。
この積分の x における「微分」は
lim B → x 1 | B | ∫ B f d λ {\displaystyle \lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda }
と定義される。ここで |B| は x を中心とする球体 B のルベーグ測度で、B → x は B の直径が限りなく 0 に近づくことを意味する。
ルベーグの微分定理 (Lebesgue 1910) によれば、ほとんど全ての x ∈ R に対してこの極限値は存在して f(x) に等しい。実際にはこれよりわずかに強い次の主張が成り立つ。不等式
が測度 0 であることを示せば十分である。
ε > 0 を任意にとって固定する。空間 L(R) におけるコンパクト台な連続関数の稠密性より、
‖ f − g ‖ L 1 = ∫ R n | f ( x ) − g ( x ) | d x < ε {\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon }
を満たす連続関数 g をとることができる。ここで、差を次のように書き直す。
1 | B | ∫ B f ( y ) d y − f ( x ) = ( 1 | B | ∫ B ( f ( y ) − g ( y ) ) d y ) + ( 1 | B | ∫ B g ( y ) d y − g ( x ) ) + ( g ( x ) − f ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.
| 1 | B | ∫ B f ( y ) d λ ( y ) − f ( x ) | = | 1 | B | ∫ B ( f ( y ) − f ( x ) ) d λ ( y ) | ≤ 1 | B | ∫ B | f ( y ) − f ( x ) | d λ ( y ) {\displaystyle \left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y)}
において、最右辺はほとんど全ての x において 0 に収束する。このような点を f のルベーグ点(英語版)という。
この定理はより一般的に、球体 B の族を以下の性質(bounded eccentricity)を持つ集合族 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} で置き換えても成り立つ。
「ある固定された定数 c > 0 があって、 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} の任意の元 U に対し、 | U | ≥ c | B | {\displaystyle |U|\geq c\,|B|} を満たして U を包含するような球体 B が存在する。」
さらに任意の点 x ∈ R に対し、x が属すようないくらでも測度の小さい V {\displaystyle {\mathcal {V}}} の元が存在するものとする。