二項分布
n が大きく p が十分小さい場合、np は適度な大きさとなるため、λ = np を母数とするポアソン分布が二項分布 B(n, p) の良好な近似を与える。すなわち、n が十分大きいとき、期待値 λ = np とおくと、
P [ X = k ] ≃ λ k e − λ k ! {\displaystyle P[X=k]\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}
が成り立つ(詳細はポアソン分布の項を参照)。この結果は数学者シメオン・ドニ・ポアソンが1837年に著書 Recherches sur la probabilite des jugements (Researches on the Probabilities) の中で与えており、ポアソンの極限定理と呼ばれる。
で与えられるとき、Xは二項分布B(n, p)に従う、という。これはX ∼ B(n, p)と表記される。
ここで、
( n k ) = n C k = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={}_{n}\!\mathrm {C} _{k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}
は n 個から k 個を選ぶ組合せの数、すなわち二項係数を表す。二項分布という名前は、この二項係数に由来している。
n = 1 の場合を特に、ベルヌーイ分布と呼ぶ。
上の定義式は次のように解釈することができる。1回の試行において成功する確率が p であるとき、p は k 回成功する確率を表し、(1 − p) は n − k 回失敗する確率を表している。ただし、k 回の成功は n 回の試行の中のどこかで発生したものであるから、nCk 通りの発生順序がある。これら全てを掛けると、n 回の独立な試行を行ったときの成功回数が k となる確率を求めることができる。