ソディの6球連鎖
2つの核球 O1とO2の接点を中心とする適当な半径(例えば1)の球に関する反転を考える。まず、2つの核球は平行な2平面 O'1, O'2となる(図2では緑色)。外球 O0および連鎖球 S1, ..., Sxは、O1, O2の両方と接するから、反転するとO'1, O'2に接し、2平面間の距離を直径とする同一半径の球 O'0, S'1, ..., S'xとなる。互いに接する関係を考慮すると、O0'(図2の青球)を中心とし、S1', ..., Sx'に周りを囲まれた状態となることが分かる。これよりxは6しかあり得ず、元の連鎖数も6ということになる。また、反転によって球の半径がどのように変化するかを調べることにより、冒頭の関係式も示せる。
K = 3 ( a 1 a 2 + a 2 c 1 + c 1 a 1 − ( a 1 + a 2 + c 1 + 1 2 ) 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {3\left(a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right)}}}
とおくと、
c 2 = ( a 1 + a 2 + c 1 − 1 ) / 2 − K c 3 = ( 3 a 1 + 3 a 2 − c 1 − 3 ) / 2 − K c 4 = 2 a 1 + 2 a 2 − c 1 − 2 c 5 = ( 3 a 1 + 3 a 2 − c 1 − 3 ) / 2 + K c 6 = ( a 1 + a 2 + c 1 − 1 ) / 2 + K {\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K\end{aligned}}}
が成り立つ。これより、c1+c4=c2+c5=c3+c6であるから、再び冒頭の関係式を得る。