ZFCから独立な命題の一覧
ZFCの無矛盾性 - 1931年ゲーデルが、ZFCでは証明できない命題が存在することを初めて示した(ゲーデルの不完全性定理)。とくにZFCの無矛盾性それ自体がZFCで決定不能であることを証明した。
連続体仮説 (CH) - 1940年、ゲーデルはCHが成り立つZFCのモデルを構築することにより、CHがZFCで反証できないことを示した。その後1963年、コーエンが、強制法という手法を用いてCHの否定が成り立つZFCのモデルを示し、CHがZFCで証明できないことを示した。
一般連続体仮説 (GCH)
逐次積分可能だが積分順序交換できない2変数の有界関数の存在
構成可能公理(英語版) (V = L)
ダイヤモンド原理 (◊)
マーティンの公理 (MA)
MA + ¬CH - ソロヴェイおよびテネンバウムによる。
| S | < | T | {\displaystyle |S|<|T|} ならば | P ( S ) | < | P ( T ) | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|<|{\mathcal {P}}(T)|}
ボレル予想 - 任意の強零集合(英語版)は可算であるという予想。
任意の א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -稠密な実数の部分集合が順序同型であるかどうか - 実数の部分集合 X が א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -稠密であるとは、任意の開区間が X の元を א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 個以上含むことを言う。
ススリン線の存在(SH) - ダイヤモンド原理から従うことが知られている 。逆にMA + ¬CHからはススリン木が存在しないことが従う 。 また、CHを仮定してもススリン木の存在は証明できない。
クレパ木の存在(KH) - ただし到達不能基数の存在が無矛盾であるとき。
フビニの定理の拡張
ある種のディオファントス方程式の解の存在性(ヒルベルトの第10問題)
群論におけるホワイトヘッドの問題(英語版)(シェラハ、1974年) - A を任意のアーベル群とするとき、Ext(A, Z) = 0 ならば A は自由アーベル群か?
バナッハ環に対するカプランスキー予想:コンパクトハウスドルフ空間X上の複素数値連続関数のなす環C(X)からバナッハ環へのC代数準同型は常に連続であるという予想