Kan拡張
X : A → C {\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} } と F : A → B {\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} } を関手とする。Aが小さい圏でCは余完備である場合は、 X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った左カン拡張 L a n F X {\displaystyle \mathrm {Lan} _{F}X} が存在して、Bの各対象bに対して
( L a n F X ) ( b ) = lim → f : F a → b  X ( a ) {\displaystyle (\mathrm {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)}
により定義される。ただし余極限はコンマ圏 ( F ↓ b ) {\displaystyle (F\downarrow b)} の上で取られるとする。
双対的にAが小さい圏で Cが完備ならば、 X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った右カン拡張が存在し、極限として求められる。