アフィン空間
, p n ) {\displaystyle V\leftrightarrow K^{n};\ {\overrightarrow {\mathrm {OP} }}=p_{1}\mathbf {a} _{1}+p_{2}\mathbf {a} _{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {a} _{n}\leftrightarrow (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}
により、A は V および K と一対一に対応する。ゆえに、紛れのおそれの無い場合には、位置座標の空間 K を K 上の n-次元アフィン空間と呼ぶこともある。
またしばしば台集合と原点の対 (A, O) を V と同一視して扱う。たとえば、A の点 O, P, Q およびスカラー t に対して
O + t O P → + ( 1 − t ) O Q → {\displaystyle \mathrm {O} +t{\overrightarrow {\mathrm {OP} }}+(1-t){\overrightarrow {\mathrm {OQ} }}}
は点 O の取り方によらないからこれを
t P + ( 1 − t ) Q = O + t O P → + ( 1 − t ) O Q → {\displaystyle t\mathrm {P} +(1-t)\mathrm {Q} =\mathrm {O} +t{\overrightarrow {\mathrm {OP} }}+(1-t){\overrightarrow {\mathrm {OQ} }}}
のように表すことがある。任意の線型結合を考える代わりに点に関するこのようなアフィン結合だけを考えることにも意味がある。
アフィン空間 A の部分集合 S に対し、付随するベクトル空間 V(S) がアフィン結合に関して閉じているとき、S を A の部分アフィン空間あるいはアフィン部分空間または単に部分空間であるという。もう少しはっきり述べれば、アフィン空間 (A, V) に対し、A の部分集合 S, V の k-次元部分線型空間 W の組 (S, W) がふたたびアフィン空間となるとき、(S, W) をアフィン空間 (A, V) の r-次元部分アフィン空間という。またこのとき、W = V(S) あるいは W = Vect(S) などとあらわし、W の元を S 上のベクトルとよぶ。
部分アフィン空間 S は、任意の一点 p を固定することにより、点 p の S 上のベクトルによる平行移動で得られる点の全体として
S = p + W {\displaystyle S=\mathbf {p} +W}
と書くことができる。
1-次元の部分アフィン空間を直線(アフィン直線)、2-次元の部分アフィン空間を平面(アフィン平面)などとよぶ。