素朴集合論
x が集合 A の要素である場合、 x は A に属している、または x は A に含まれると表現する。これは x ∈ A で表される。記号 ∈ は、1889年にジュゼッペ・ペアノによって導入された、ギリシャ文字の小文字のイプシロン「ε」から派生したもので、 ἐστί (「is」の意味)という単語の最初の文字である。記号 ∉ は、x ∉ A という表記でよく用いられ「x は A に含まれない」という意味になる。
「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。かつ (and)、または (or)、もし〜ならば (if ... then)、〜でない (not)、 ある〜に対して(for some)、すべての〜に対して (for every) は、通常の数学と同様に扱われる。便利であるため、素朴集合論とその形式主義は、集合論自体のより形式的な設定を含め、より高度な数学でも用いられている。
集合論の最初の発展は素朴集合論であった。19世紀の終わりに、無限集合の研究の一環としてゲオルク・カントールによって構築され、ゴットロープ・フレーゲが自身の著書 Grundgesetze der Arithmetik で発展させた。
素朴集合論は、大きく異なる概念を指し示すことがある。たとえば以下のものである。
公理的集合論の非形式的な表現。たとえば、ポール・ハルモスの Naive Set Theoryのようなもの。
カントールの理論およびその他の非形式的システムの初期・後期版。
ラッセルのパラドックスを生み出したフレーゲの理論や、ジュゼッペ・ペアノとリヒャルト・デーデキントの理論など、明らかに矛盾した理論(公理的かどうかにかかわらず)。
空集合は多くの場合 Ø で示され、場合によっては { } {\displaystyle \{\}} で表されるが、これは要素がまったくない集合である。集合はその要素によって完全に定まるため、空集合は1種類だけである(空集合の公理を参照)。空集合には要素がないが、他の集合の要素である可能性はある。したがって、前者には要素がなく、後者には1つの要素があるため、 Ø ≠ {Ø} である。数学においては、検討すべき唯一の集合を、空集合だけから構築することができる。