局所可積分函数
定理 1 Lp,loc は完備距離化可能空間である。すなわち、その位相は次の計量によって生成される:
d ( u , v ) = ∑ k ≥ 1 1 2 k ‖ u − v ‖ p , ω k 1 + ‖ u − v ‖ p , ω k u , v ∈ L p , l o c ( Ω ) . {\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}
ここで {ωk}k≥1 は、次の性質を満たす空でない開集合の族である。
ωk ⊂⊂ ωk+1。すなわち ωk は ωk+1 に厳密に含まれている。このことは、コンパクトな閉包を持つ集合が高次の集合に厳密に含まれていることを意味する。
∪kωk = Ω.