ガロワ加群
素数の分解群に制限された表現の性質によって与えられる、表現に関する非常に多くの条件が存在する。これらの条件に対する用語は幾分混沌としている。同じ条件に対して異なる名前が付いたり、異なる意味に同じ名前が用いられたりする。条件には例えば以下のものがある。
アーベル表現 (abelian representation)。これは表現のガロワ群の像が可換であることを意味する。
絶対既約表現 (absolutely irreducible representation)。これは体の代数的閉包上既約のままである。
バルソッティ・テイト表現 (Barsotti–Tate representation)。これは有限平坦表現と同様である。
クリスタル表現 (crystalline representation)。
ド・ラーム表現 (de Rham representation)。
有限平坦表現 (finite flat representation)。(この名前は少しミスリーディングである。有限ではなく実は射有限 (profinite) なのだ。)これは有限平坦群スキーム上のガロワ群の表現の射影極限として構成できる。
良い表現 (good representation)。これは有限平坦表現と同様である。
ホッジ・テイト表現 (Hodge–Tate representation)。
既約表現 (irreducible representation)。
数論において現れる多くの対象は自然にガロワ表現である。例えば、L が代数体 K のガロワ拡大であれば、L の整数環 OL は L/K のガロワ群に対して OK 上のガロワ加群である(ヒルベルト・シュパイザーの定理(英語版)参照)。K が局所体であれば、その分離閉包の乗法群は K の絶対ガロワ群に対する加群であり、その研究は局所類体論(英語版)につながる。大域類体論に対しては、代わりに K のすべての有限次分離拡大のイデール類群の和集合が用いられる。
補助的な対象から生じガロワ群を研究するために使うことのできるガロワ表現も存在する。例の重要な族はアーベル多様体の l-進テイト加群(英語版)である。