加群の局所化
この記事において、R は単位元 1 をもつ可換環、M は R 加群とする。
S を R の積閉集合とする、すなわち 1 ∈ S であり、任意の s, t ∈ S に対し、積 st も S の元であるとする。すると S についての M の局所化 (localization) は、SM と表記され、次のような加群として定義される。集合としては、対 (m, s) の同値類からなる、ただし m ∈ M, s ∈ S であり、2つのそのような対 (m, s), (n, t) は、ある元 u ∈ S が存在して
u(sn − tm) = 0
となるときに同値であると考える。この同値類を
m s {\displaystyle {\frac {m}{s}}}
と表すのが一般的である。
この集合を R 加群にするために、
m s + n t := t m + s n s t {\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}:={\frac {tm+sn}{st}}}
および a ∈ R に対し
a ⋅ m s := a m s {\displaystyle a\cdot {\frac {m}{s}}:={\frac {am}{s}}}
と定義する。定義が well-defined であること、すなわち分数の代表系の取り方に依らずに結果が定まることは直ちに確認できる。