一般化された超幾何関数
P ( n ) Q ( n ) = ( a 1 + n ) ( a 2 + n ) ⋯ ( a r + n ) ( b 1 + n ) ( b 2 + n ) ⋯ ( b s + n ) z n + 1 {\displaystyle {\frac {P(n)}{Q(n)}}={\frac {(a_{1}+n)(a_{2}+n)\dotsm (a_{r}+n)}{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\dotsm (b_{s}+n)}}{\frac {z}{n+1}}}
の形に書くことができる。ここで z は分母分子の最高次係数の比である。歴史的な理由により分母の因子 n + 1 を仮定しているが、必要なら分子に同じ因子を掛ければよいので一般性は失わない。以上から級数は
∑ n = 0 ∞ t n = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ⋯ ( b s ) n z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dotsm (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}\dotsm (b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
の形に書くことができる。この右辺を通常
r F s [ a 1 , a 2 , ... , a r b 1 , b 2 , ... , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]}
と表記する。