ルンゲの定理
z0 が z と同じ成分中の点であれば、z から z0 への区分線型な経路をとる。2つの点が経路上充分近くであれば、最初の点でのみ極を持つすべての有理函数は、第二の点でローラン展開することができる。このローラン級数は、第二の点でのみ極を持ち、K 上でもとの函数に一様に近い有理函数を与えるように、級数展開を打ち切ることができる。z から z0 への経路にそって進むと、もとの函数 (z − w) は z0 でのみ極を持つ有理函数を与えるように変形することができる。
z0 が無限遠点であれば、上の手順により、有理函数 (z − w) を、R > 0 で極を持つ有理函数 g で近似することができる。ここで R は K のどの元も w < R となるような十分に大きな値である。 g の 0 近傍でのテイラー級数展開は、K 上の多項式近似を与えることにより打ち切ることができる。
複素解析では、ルンゲの定理(英: Runge's theorem)(ルンゲの近似定理(英: Runge's approximation theorem)としても知られている)は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲの名前に因む。この定理は以下の内容である。
C を複素数の集合、K を C のコンパクト部分集合、f を K を含む開集合上で正則な函数とする。 C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \backslash K} 中のすべての有界連結な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ一様収束する有理函数列 ( r n ) n ∈ N {\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が存在し、函数 ( r n ) n ∈ N {\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }} のすべての極は A の元である。
A のすべての複素数が有理函数列 ( r n ) n ∈ N {\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }} の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 ( r n ) n ∈ N {\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }} がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。