フレアーホモロジー
アティヤ-フレアー予想はインスタントンフレアーホモロジーとラグラジアン交叉フレアーホモロジーを結び付けます:曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } に沿ってヒーガード分解(英語版)を持つ3次元多様体 Y を考えます。するとゲージ同値を法とした平坦接続の空間は、次元が6g − 6のシンプレクティック多様体である。ここの g は曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } の種数である. ヒーガード分解では、 Σ {\displaystyle \Sigma } は2つの異なる3次元多様体の共通の境界で;境界をもった3次元多様体の上のゲージ同値を法とした平坦接続の空間 (同じことだが、各々の3次元多様体へ拡張した Σ {\displaystyle \Sigma } の上の接続の空間) が Σ {\displaystyle \Sigma } の上の接続の空間のラグランジュ部分多様体である。このようにして、これらのラグラジアンフレアーホモロジーができる。代わりに、3次元多様体 Y のインスタントンフレアーホモロジーを考えることもできる。アティヤ-フレアー予想とは、これら2つが同型であろうということを述べている。Salamon & Wehrheim (2008) はこの予想を証明するためのプログラムを提示している。
これらのフレアーホモロジーの多くは完全で厳密に構成されているわけではなく、多くの同値関係が予想はされているものの、証明されてはいない。テクニカルな困難は、擬正則曲線のコンパクト化は、解析の中にある。ホーファーは、クリス・ウィスコスキ(Kris Wysocki) とエドゥアルド・ゼンダー(Eduard Zehnder)の協力を得て、「高次元多様体」の理論と「一般化されたフレドホルム理論」を経て、新しい解析的な基礎を開発している。高次元多様体のプロジェクトは未だに完全ではないが、横断性がより簡単な方法を使って示された重要なケースがある。