リンドハード理論
まず長波長極限 ( q → 0 {\displaystyle q\to 0} )を考える。リンドハード公式の分母について、
E k − q − E k = ħ 2 2 m ( k 2 − 2 k → ⋅ q → + q 2 ) − ħ 2 k 2 2 m ≃ − ħ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}} ,
また分子について、
f k − q − f k = f k − q → ⋅ ∇ k f k + ⋯ − f k ≃ − q → ⋅ ∇ k f k {\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}} .
これらをリンドハード公式に代入し、極限 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} をとると、