代数関数
正確に言えば、一変数 x の次数 n の代数関数とは、ある多項式方程式
a n ( x ) y n + a n − 1 ( x ) y n − 1 + ⋯ + a 0 ( x ) = 0 {\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\dotsb +a_{0}(x)=0}
を満たす関数 y = f(x) である、ただし係数 ai(x) は係数が適当な集合 S に属する x の多項式関数である。
n 次方程式は n 個の根を持つから、多項式方程式は陰伏的に、ただ 1 つの関数ではなく、n 個の関数(これらは分枝あるいは枝と呼ばれる)を定義する。例えば単位円の方程式 y 2 + x 2 = 1 {\displaystyle y^{2}+x^{2}=1\,} を考えよう。これは全体に渡る符号の違いのみを除けば y を決定するから、したがって 2 つの枝を持つ: y = ± 1 − x 2 . {\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}