フィルター (数学)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアル(英語版)である。
類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアと H. L. スミスによって導入されたネットの概念がある。
半順序集合 (P, ≤) の空でない部分集合 F は次の条件を満たすときフィルターと呼ばれる。
F の任意の元 x と y について、F の元 z が存在して z ≤ x と z ≤ y が成立している。(F は フィルター基である)(Fは双対順序が有向集合である)
F の任意の元 x について、x ≤ y となるような P の元 y は F に入っている。(F は 上に開いている)(Fは上方集合(英語版)である)
P 全体と一致しないようなフィルターは固有フィルターあるいは真のフィルターともよばれる。この条件はしばしばフィルターの定義の一つとして要請されている。以下この項目でも特に断らない限りフィルターの条件として固有性を仮定する。
上に上げた定義は任意の半順序集合上にフィルターを定義する上で最も一般的な形式であるが、初めフィルターは束に対してだけ定義されていた。束の場合には次の条件によってフィルターを特徴付けることができる:束 (P, ≤) の空でない部分集合 F は、上に開いていて、かつ有限回の交わり操作(最大下界)で閉じている(つまり、x と y が F に入っているなら x ∧ y も F に入っている)とき、およびそのときに限ってフィルターになる。