円の面積
S 4 = ∫ 0 π 2 r 2 cos 2  t d t = r 2 ∫ 0 π 2 1 + cos  2 t 2 d t = r 2 2 [ t + sin  2 t 2 ] 0 π 2 = π r 2 4 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r^{2}\cos ^{2}t\,dt\\&=r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}\,dt\\&={\frac {r^{2}}{2}}\left[t+{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi r^{2}}{4}}\end{aligned}}}
である。全円の面積 S は S = 4 S 4 {\displaystyle S=4S_{4}} なので、
S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}}
になる。