正規行列
数学の特に線型代数学において正規行列(せいきぎょうれつ、英: normal matrix)は、複素数に成分をとる正方行列であって、自身のエルミート共軛と可換となるような行列を言う。式で書けば、複素正方行列 A が正規であるとは、
A ∗ A = A A ∗ {\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}
が成り立つことを言う。ただし、A の共軛転置を A で表した。
成分が実数の行列 A に対しては A =A が成り立つから、それが正規であるのは AA = AA が成り立つときである。
正規性に対しては、対角化可能性を調べるのが便利である。すなわち、行列が正規であるための必要十分条件は、それが対角行列とユニタリ行列に関して相似となることである。即ち、AA = AA を満たす任意の行列 A は対角化可能である。
正規行列の概念は無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素の概念、および C-環における正規元の概念に拡張することができる。行列の場合には正規性は可換性を保つが、非可換な状況に置いても拡張は可能である。これにより、正規作用素や C-環の正規元は、より解析学と馴染む。