プロパゲーター
G a d v ( x , y ) = lim ε → 0 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) ( p 0 − i ε ) 2 − p → 2 − m 2 = { − 1 2 π δ ( τ x y 2 ) + m J 1 ( m τ x y ) 4 π τ x y if x ≺ y 0 otherwise . {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\text{ if }}x\prec y\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}
この表現もまた、自由スカラー場の交換子の真空期待値(en:vacuum expectation value)の項で表現することができる。この場合は、次のようになる。
G a d v ( x , y ) = − i ⟨ 0 | [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] | 0 ⟩ Θ ( y 0 − x 0 ) . {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0}).}
f ( x ) = 1 / ( x ± i ε ) = 1 / x ± i π δ ( x ) {\displaystyle f(x)=1/(x\pm i\epsilon )=1/x\pm i\pi \delta (x)}
となることに注意すると、シュワルツ超函数の意味で式を置き換えることが可能である。以下の議論では、因果律から要求される符号を正しく選択する。解は、
G ( x , y ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) p 2 − m 2 ± i ε {\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\epsilon }}}
であり、ここに p ( x − y ) := p 0 ( x 0 − y 0 ) − p → ⋅ ( x → − y → ) {\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})} は4元ベクトルの内積である。
上記の表現で積分路(英語版)の変形がどのようにするかにより異なる選択が可能であるが、この選択によりプロパゲーターの形も異なることとなる。積分路の選択は普通、 p 0 {\displaystyle p_{0}} の積分の項の中に記述される。
従って、非積分函数は p 0 = ± p → 2 + m 2 {\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}} で 2つの極を持ち、どのようにして異なるプロパゲーターとなることを避けるのかの選択が難しい。