集合の代数学
交わりの存在: A ∩ B ⊆ A {\displaystyle A\cap B\subseteq A} C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} で、かつ C ⊆ B {\displaystyle C\subseteq B} なら、 C ⊆ A ∩ B {\displaystyle C\subseteq A\cap B} が成り立つ。
次の命題は A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} という式を和集合や積集合や補集合を使って表現できることを示している。
命題 8: 任意の2つの集合 A と B について、以下の式は等価である。
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} A ∩ B = A {\displaystyle A\cap B=A} A ∪ B = B {\displaystyle A\cup B=B} A − B = ∅ {\displaystyle A-B=\varnothing } B C ⊆ A C {\displaystyle B^{\mathrm {C} }\subseteq A^{\mathrm {C} }}
この命題は集合の包含関係を和集合や共通部分で表せることを示しており、換言すれば包含関係の記述は公理的に冗長である。