P-形式電磁気学
1-形式 A はゲージ対称性
A → A + d α {\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +d\alpha }
を持っている。ここに α は任意の固定された 0-形式で、d は外微分、密度(英語版)(density) 1 を持ち、連続の方程式
d ∗ J = 0 {\displaystyle d*\mathbf {J} =0}
を満たすゲージ不変であるベクトルカレント(英語版)(vector current)を J とする。ここの * はホッジ双対である。
代わりに、J を (d − 1)-閉形式とする。
F は外微分 F = d A {\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} } として定義されるゲージ不変2-形式である。
A は運動方程式
d ∗ F = ∗ J {\displaystyle d*\mathbf {F} =*\mathbf {J} }
を満たす(この方程式は明らかに連続の方程式を意味している)。
これは下記の作用から導くことができる。
S = ∫ M [ 1 2 F ∧ ∗ F − A ∧ ∗ J ] {\displaystyle S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge *\mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge *\mathbf {J} \right]}
ここに M は時空多様体である。