写像度
M, N ともになめらかな多様体で 、f がなめらかな写像であった場合、 deg f を上の定義とは違う方法で計算できる。
M, N はコンパクトな多様体であるので、 任意の f の正則値 y について、 y の逆像 f (y) は有限集合である。よって、正則値 y に対して整数
d ( y ) := ∑ x ∈ f − 1 ( y ) sign  d f x {\displaystyle d(y):=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\operatorname {sign} df_{x}}
を定義することができる。ただし、dfx は f の x における微分、 sign dfx は dfx (を行列としてみたとき)の行列式の符号である。
このように定義すると、 任意の正則値 y について d(y) は deg f と等しい。