フォン・ノイマンエントロピー
独立系 A と B を記述する 2つの密度行列 ρA , ρB が与えられると、
S ( ρ A ⊗ ρ B ) = S ( ρ A ) + S ( ρ B ) {\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}
を得る。
S(ρ) が任意の 3つの系 A, B, C に対し、強劣加法性を持つ。
S ( ρ A B C ) + S ( ρ B ) ≤ S ( ρ A B ) + S ( ρ B C ) . {\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).} .
これは自動的に、S(ρ) が劣加法性を持つことを意味する。 S ( ρ A C ) ≤ S ( ρ A ) + S ( ρ C ) . {\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).}
以下は、その強劣加法性への一般化に従い、劣加法性を議論する。
フォン・ノイマンは, 密度行列G ρ が与えられるとき、次のようにエントロピーを定義した。
S ( ρ ) = − tr  ( ρ ln  ρ ) . {\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}
これは、固有な拡張である。ギブズエントロピー(英語版)(因子 kB を除き)と量子的な場合のシャノンエントロピーの拡張である。S(ρ) を計算するには、 ρ = ∑ j η j | j ⟩ ⟨ j | {\displaystyle ~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|} の行列の固有値分解(英語版)(Eigendecomposition of a matrix)を計算するのが便利である(行列の対数(Logarithm of a matrix)を参照)。フォン・ノイマンエントロピーは、 エルゴード
S ( ρ ) = − ∑ j η j ln  η j . {\displaystyle S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}
により与えられる。純粋状態に対して密度行列は冪等行列(Idempotent matrix) ρ = ρ であるので、純粋状態のエントロピー S(ρ) は 0 である。