パンルヴェ方程式
パンルヴェ方程式は何れもハミルトン系として表現することができる。
例:
q = y , p = y ′ + y 2 + t / 2 {\displaystyle q=y,\quad p=y'+y^{2}+t/2}
とおくと、パンルヴェ II 方程式
y ′′ = 2 y 3 + t y + b − 1 / 2 {\displaystyle y''=2y^{3}+ty+b-1/2}
はハミルトニアン
H = p ( p − 2 q 2 − t ) / 2 − b q {\displaystyle \displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq}
に対するハミルトン系
q ′ = ∂ H ∂ p = p − q 2 − t / 2 {\displaystyle q'={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2}
p ′ = − ∂ H ∂ q = 2 p q + b {\displaystyle p'=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b}
に同値である。
ここでパラメータ α, β, γ, δ は複素定数である。III-型方程式では y と t をスケール変換してパラメータをふたつ減らすことができ、同様に V-型はパラメータをひとつ減らせる。つまりこれらの方程式では本当の意味での独立なパラメータはそれぞれ2つ、および3つである。