普遍代数学
本節での説明が実際にはどのように用いられるのかを見るために、群の定義を考えよう。群の通常の定義は、一つの二項演算 ∗ に対する以下の公理系によって与えられる
結合律: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; (形式化すると ∀x,y,z. x ∗ (y ∗ z)=(x ∗ y) ∗ z)。
単位律: 元 e が存在して任意の元 x に対し e ∗ x = x = x ∗ e が成り立つ(形式化すると ∃e ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e)。
反転律: 単位元は明らかに唯一であり、この唯一の単位元 e に対して各 x は x ∗ i = e = i ∗ x を満たす i を持つ(形式化すると ∀x ∃i. x ∗ i = e = i ∗ x)。
(文献によっては演算に対する「閉性律」と呼ばれる「x ∗ y がまた台集合 A に属する」という条件を設けるものもあるが、普遍代数学の観点ではこれは既に ∗ を二項演算と呼んだ時点で含まれている。)
この群の定義は普遍代数学の観点からは問題を孕むものになっている。それは、単位元と逆元に関する公理において、純粋に等式のみで与えられるのではなくて、「~であるような...が存在する」といった箇所があることである。これでは不便なので、零項演算 e と単項演算 ~ を追加して群の性質を普遍量化された等式のみで書き表そう。