角運動量の合成
3つめの保存する角運動量として、スピンと関連するような、古典力学では記述できないものがある。しかし、角運動量の合成はスピンにおいても適応できる。
一般に角運動量保存の法則は回転群(SO(3)(英語版)やSU(2)で表現される)を示唆しており、球対称は角運動量の保存を示唆している。もし2つ以上の物理系が保存される角運動量を持つ場合、それらを合成して合成系の全角運動量、つまり全系の保存量を作ることが有効である。それぞれの系の角運動量の固有状態から保存する全角運動量の固有状態を構築することを角運動量の合成と呼ぶ。
角運動量の合成の適用は、相互作用がなく角運動量が保存するような系どうしの間に相互作用があるような場合に有用である。系間の相互作用によって系の球対称性は壊されるが、全系の角運動量は保存量のままである。このことはシュレディンガー方程式を解くにあたって有用となる。
例として、ヘリウム原子内の1,2という電子を考える。もし電子-電子間相互作用が無く、電子-核相互作用のみがある場合、2つの電子は互いに独立に核のまわりを回転し、エネルギーは変わらない。つまり、演算子l(1)もl(2)も保存する。しかし電子間距離d (1, 2)に依存する電子-電子相互作用が生まれると、2つの電子の同時で等しい回転だけがd (1, 2)についての不変量を残す。