楕円幾何学
楕円幾何学のモデルとして代表的なのは球面と射影平面の二つである。
球面について
平面においては二本の平行線は決して交わることはないが、同じ二次元の広がりを持つ球面においては、赤道に対し垂直に引かれた二本の "直線" は、平行であるように見えるものの、極において交わる。ただし、ここでいう "直線" とは、任意の二点に対しその間を結ぶ最短の曲線を線分として、その延長として得られる曲線(測地線)を球面上で定義される直線としているものである。すなわち球面上の直線とは大円(その中心が球の中心と一致する円の周)のことである。
このような意味での直線をもつ球面はリーマン球面と呼ばれ、楕円幾何学の一つのモデル(球面モデル)になっている。また、このような球面上の幾何学を球面幾何学という。たとえば角度や距離といった幾何学でおなじみの概念は、測地線の意味での直線という概念によって自然に定義され、この幾何学モデルの中では三角法の類似物として球面三角法が定義されるが、たとえば正弦定理一つとってみても、それは我々の良く知る三角法とは大きく様相を違えるものになっていることを知ることができるだろう。