豊穣圏
通常の函手の公理は、それと対応するいまいったような射を含む可換図式で置き換えられる。
より詳細に述べれば、一つは図式
が可換となることであり、これは等式で書けば
T a a ∘ id a = id T ( a ) {\displaystyle T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)}}
と書ける。ただし I は M のモノイド単位対象である。これは通常の函手 F に対する条件 F(ida) = idF(a) に対応する。いま一つは、図式
が可換となることであり、これは通常の函数に対する条件 F(fg) = F(f)F(g) に対応する。