部分積分
f が k 回連続微分可能であり、更に k 次までの導関数が無限大で 0 に収束する時、そのフーリエ変換は以下の関係式を満たす。
( F f ( k ) ) ( ξ ) = ( 2 π i ξ ) k F f ( ξ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )}
ここで f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} は f {\displaystyle f} の k {\displaystyle k} 次導関数を表す。
導関数のフーリエ変換に対して部分積分を適用すると、以下の結果を得る。
( F f ′ ) ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i y ξ f ′ ( y ) d y = [ e − 2 π i y ξ f ( y ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ ( − 2 π i ξ e − 2 π i y ξ ) f ( y ) d y = 2 π i ξ ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i y ξ f ( y ) d y = 2 π i ξ F f ( ξ ) .
∫ y 1 y 2 x ( y ) d y ⏞ A 1 + ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x ⏞ A 2 = x i y i | i = 1 i = 2 {\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={\biggl .}x_{i}y_{i}{\biggl |}_{i=1}^{i=2}}
近傍で曲線が滑らかであれば、これは不定積分に一般化できる。
∫ x d y + ∫ y d x = x y {\displaystyle \int xdy+\int ydx=xy}
変形して、
∫ x d y = x y − ∫ y d x {\displaystyle \int xdy=xy-\int ydx}
つまり部分積分は、青色の領域の面積が領域全体の面積と赤色の領域の面積から導かれることに相当すると考える事が出来る。
またこのように可視化することにより、関数 f ( x ) {\textstyle f(x)} の積分が分かっている時に逆関数 f − 1 ( x ) {\textstyle f^{-1}(x)} の積分が部分積分で求められることが理解出来る。実際、関数 x ( y ) {\textstyle x(y)} と y ( x ) {\textstyle y(x)} は逆関数の関係にあり、積分 ∫ x d y {\textstyle \int xdy} は ∫ y d x {\textstyle \int ydx} が分かっていれば上記のようにして計算可能である。
部分積分を高次元の場合に対して拡張することが出来る。
Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} を区分的に滑らかな境界 Γ {\displaystyle \Gamma } を持つ有界な開集合とし、 n {\displaystyle \mathbf {n} } を Γ {\displaystyle \Gamma } への外向き単位面法線ベクトル、 u {\displaystyle u} と v {\displaystyle \mathbf {v} } をそれぞれ Ω {\displaystyle \Omega } の閉包において連続微分可能な関数およびベクトル値関数として定義する。
この時、 ∇ ⋅ ( u v ) = ∇ u ⋅ v + u ∇ ⋅ v {\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {v} )=\nabla u\cdot \mathbf {v} +u\nabla \cdot \mathbf {v} } に対してガウスの発散定理を適用すると、
∫ Ω ∇ ⋅ ( u v ) d Ω = ∫ Ω ( ∇ u ⋅ v + u ∇ ⋅ v ) d Ω = ∫ Γ ( u v ) ⋅ n d Γ {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {v} )\,d\Omega =\int _{\Omega }(\nabla u\cdot \mathbf {v} +u\nabla \cdot \mathbf {v} )\,d\Omega =\int _{\Gamma }(u\mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,d\Gamma }