E.ホップの拡張定理
この定理は、完全加法性が簡単に確かめられる小さい有限加法族上で測度を定義してから、それが生成する完全加法族への測度の拡張を行うことが常に可能である点において、優れている。この定理は自明ではない。なぜならばこの定理では、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} を有限加法族からより大きい完全加法族へと拡張し、しかも( μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が σ {\displaystyle \sigma } -有限であるなら)その拡張は一意であり、また拡張した関数の完全加法性も満たされている必要があるためである。
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が σ {\displaystyle \sigma } -有限でないなら、上述のような拡張は必ずしも一意ではない。たとえその拡張自身が σ {\displaystyle \sigma } -有限であっても、その一意性は保証されない。
そのような一例を挙げる:
a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} } に対し、 [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} の形で表される任意の Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の部分集合を有理閉開区間と呼ぶことにする。
X {\displaystyle X} を Q ∩ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)} とし、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} を、 Q ∩ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)} に含まれるすべての有理閉開区間の有限な合併からなる代数とする。実際そのような Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} が代数であることは簡単に証明することができる。また、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に含まれるすべての空でない集合は無限大であることも、簡単に分かる。