フィールツ・パウリ理論
− 3 m 2 h = κ 2 T {\displaystyle -3m^{2}h={\frac {\kappa }{2}}T}
が導かれる。このとき、Fierz-Pauli場の運動方程式は
( ◻ − m g 2 ) h μ ν = − κ ~ 2 ( T μ ν − 1 3 η μ ν T + 1 3 m g 2 ∂ μ ∂ ν T ) {\displaystyle (\Box -m_{g}^{2})h_{\mu \nu }=-{\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T+{\frac {1}{3m_{g}^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T\right)}
と書き直すことができ、右辺をまとめて S μ ν {\displaystyle S_{\mu \nu }} と置くと、クライン-ゴルドン方程式のグリーン関数 Δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \Delta (x-x')} を用いた解の表示
h μ ν ( x ) = ∫ d 4 x ′ Δ ( x − x ′ ) S μ ν ( x ′ ) {\displaystyle h_{\mu \nu }(x)=\int d^{4}x'\,\Delta (x-x')S_{\mu \nu }(x')}
を与えることができる。
S e f f = κ ~ 2 ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 T μ ν ( − k ) D μ ν ρ σ ( k ) T ρ σ ( k ) {\displaystyle S_{\mathrm {eff} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\,T^{\mu \nu }(-k)D_{\mu \nu \rho \sigma }(k)T^{\rho \sigma }(k)}
D μ ν ρ σ ( k ) = [ 1 2 ( η μ ρ η ν σ + η μ σ η ν ρ ) − 1 3 η μ ν η ρ σ ] ( − i k 2 + m g 2 − i ε ) {\displaystyle D_{\mu \nu \rho \sigma }(k)=\left[{\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \rho }\eta _{\nu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }\eta _{\nu \rho }\right)-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\rho \sigma }\right]\left({\frac {-i}{k^{2}+m_{g}^{2}-i\epsilon }}\right)}
となる。これは極限 m g → 0 {\displaystyle m_{g}\to 0} のもとで、ゼロ質量の場合の伝搬関数