横断性 (数学)
(写像の横断性の特別の場合を仮定する)サードの定理を用いて、空間の部分多様体で相補的な次元を持つものの間の、あるいは部分多様体および空間への射の間の横断交叉の全体は、それ自身滑らかな部分多様体となることが示せる。
例えば、向き付けられた多様体の接束の滑らかな切断(英語版)(すなわちベクトル場)を底空間から全空間への射と見たものと零切断(を射または部分多様体と見たもの)は横断的に交わるから、この切断の零点集合(つまりこのベクトル場の特異点集合)は底空間の滑らかな零次元部分多様体(つまり符号付き点集合)を成す。その符号はベクトル場の指数に一致し、従って符号和(つまり零点集合の基本類)は多様体のオイラー標数に等しい。より一般に、向き付けられた滑らかな有限次元閉多様体上のベクトル束に対して、零切断を横断する切断のゼロ点集合は、そのベクトル束の階数に等しい余次元を持つ底空間の部分多様体になり、そのホモロジー類はもとのベクトル束のオイラー類にポワンカレ双対である。