チャーン・サイモンズ形式
多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を A {\displaystyle \mathbf {A} } とすると、以下のようにして、(チャーン・サイモンズ)p-形式の族を定義することができる。
1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。
T r [ A ] . {\displaystyle {\rm {Tr}}[\mathbf {A} ].}
3-次元では、チャーン・サイモンズ 3-形式 は次の式で与えられる。
T r [ F ∧ A − 1 3 A ∧ A ∧ A ] . {\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}
5-次元では、チャーン・サイモンズ 5-形式 は次の式で与えられる。
T r [ F ∧ F ∧ A − 1 2 F ∧ A ∧ A ∧ A + 1 10 A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ] {\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}