強正則グラフ
I を単位行列、J を matrix of ones(英語版)(全成分が1の行列)で、いずれも v 次(行列)であるとする。強正則グラフの隣接行列 A は2つの方程式を満たさねばならない。まず、
A J = J A = k J {\displaystyle AJ=JA=kJ}
これはグラフの正則性を述べなおした自明な関係である。これより、k は隣接行列の固有値で、全成分が1のベクトルがそれに対する固有ベクトルであることがわかる。
次は2次式の関係式で、グラフの強正則性を表す。
A 2 = k I + λ A + μ ( J − I − A ) {\displaystyle {A}^{2}=k{I}+\lambda {A}+\mu ({J-I-A})}
左辺の ij-成分は、頂点 i から頂点 j への長さ2の道の本数を表す。右辺の最初の項は頂点 i を自分自身と結ぶ、つまり k 本の「出」と「入り」の辺の数である。第2項は頂点 i と頂点 j が隣接しているときに、2辺でこれらを結ぶ道の本数を表す。第3項は頂点 i と頂点 j が隣接していないときの本数である。これら3つの場合は排他的で、かつ全てを尽くしているから、単純に和をとって等式が得られる。
逆に、グラフの隣接行列がこれら2条件を満たし、完全グラフでも空グラフでもないとき、強正則グラフである。