ガンベル分布
ガンベル分布の確率変数を X とするとき、キュムラント母関数 KX(t) は
K X ( t ) = log  M X ( t ) = μ t + log  Γ ( 1 − η t ) ( t < 1 η ) {\displaystyle K_{X}(t)=\log M_{X}(t)=\mu t+\log \Gamma (1-\eta t)\quad {\biggl (}t<{\frac {1}{\eta }}{\biggr )}}
で与えられる。 このとき、n 次のキュムラント κn は
κ n = ∂ n ∂ t n K X ( t ) | t = 0 = { μ + γ η ( n = 1 ) η k ( n − 1 ) ! ζ ( n ) ( n ≥ 2 ) {\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}K_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}={\begin{cases}\mu +\gamma \eta &\,(n=1)\\\eta ^{k}(n-1)!\zeta (n)&\,(n\geq 2)\end{cases}}}
となる。ここで ζ(n) はゼータ関数である。
ガンベル分布を用いることで、ある河川の水位の年間の最大値のデータが過去10年分あれば、来年の最大水位を確率分布のかたちで予想することができる。 また稀にしか発生しない地震や洪水などの自然災害の発生する確率を予測することができる。 サンプルデータの分布が正規型または指数型である場合に、ガンベル分布は極値理論はこれらの予測に有用である。 ガンベル分布は最大値の分布をモデル化するが、最小値をモデル化するには元の値の負の値を使用するとよい。
ガンベル分布は、一般化極値分布(フィッシャー・ティペット分布とも呼ばれる)の特殊なケースである。 一般化極値分布は他には、対数ワイブル分布や二重指数分布(ラプラス分布)などがある。 確率密度分布を原点で反転させ、次に正の半直線に制限すると、ゴンペルツ分布が得られる。
多項ロジットモデル(離散選択理論では一般的)の潜在変数の定式化では、潜在変数の誤差はガンベル分布に従い、ガンベル分布を持つ2つの確率変数の差はロジスティック分布になる。