集合半環
実数直線 R 内の区間全体の成す集合族は R 上の集合半代数を成す(二つの区間の差は、それらの位置関係により、0, 1, 2 個の何れかの個数の区間の非交合併になる)。
実数直線 R 内の有界区間全体の成す族は、R 上の集合半代数でない集合半環になる。
実数直線 R 内の、空区間および a < b に対する半開区間 ]a, b] 全体の成す族は、先の二例に含まれる集合半環になる。
二つの集合半環 S 1 , S 2 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}} がそれぞれ集合 X1, X2 上で与えられているとき、 A 1 × A 2 , ( A i ∈ S i ) {\displaystyle A_{1}\times A_{2},\quad (A_{i}\in {\mathcal {S}}_{i})} なる形の直積集合の全体は、直積集合 X1 × X2 上の集合半環になる。 S 1 , S 2 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}} がともに集合代数となる場合であっても、その直積族は必ずしも集合環を成さない(もちろん、集合半代数にはなる)。以上から特に、n 個の有界区間の直積全体の成す族や、n 個の有限半開区間の直積全体の成す族などは R 上の集合半環を与える。
集合半環 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む最小の集合環は、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する元の有限合併として得られる集合全体の成す族に一致する。これはまた、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する元の有限非交合併の全体が成す族とも同じである。
次の拡張について述べた主張において、空集合を含む集合族 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上の「測度」とは、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} から正の拡張実数全体 [0, +∞] への写像(集合函数)で、空集合上で 0 かつ σ-加法性を持つものを言う。
集合半環 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} と S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 上で定義された測度 μ に対し、μ を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の生成する集合環へ延長し、その集合環上の測度にすることができる。