エルンスト方程式
E = f + i b {\displaystyle {\mathcal {E}}=f+ib}
を定義するとき、上の方程式系はエルンスト方程式
( R e E ) ∇ 2 E = ∇ E ⋅ ∇ E {\displaystyle ({\mathsf {Re}}\,{\mathcal {E}})\nabla ^{2}{\mathcal {E}}=\mathbf {\nabla } {\mathcal {E}}\cdot \mathbf {\nabla } {\mathcal {E}}}
に帰着される。あるいは、エルンストポテンシャルとして E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の代わりに
ξ = 1 − E 1 + E {\displaystyle \xi ={\frac {1-{\mathcal {E}}}{1+{\mathcal {E}}}}}
を用いることもあり、この場合、Ernst 方程式は
( ξ ξ ∗ − 1 ) ∇ 2 ξ = 2 ξ ∗ ∇ ξ ⋅ ∇ ξ = 0 {\displaystyle (\xi \xi ^{*}-1)\nabla ^{2}\xi =2\xi ^{*}\mathbf {\nabla } \xi \cdot \mathbf {\nabla } \xi =0}
となる。