シュワルツ超函数
⟨ f ∗ S , φ ⟩ = ⟨ S , f ~ ∗ φ ⟩ {\displaystyle \langle f*S,\varphi \rangle =\langle S,{\tilde {f}}*\varphi \rangle }
を満たす超函数として定まる。
函数 f と超函数 S との畳み込みを定義する別な方法として、
τ x φ ( y ) = φ ( y − x ) {\displaystyle \tau _{x}\varphi (y)=\varphi (y-x)}
で定義されるテスト函数上の平行移動作用素 τx を使って、随伴によって超函数まで延長するという判り易いものもある (Rudin 1991, §6.29)。この場合の、コンパクト台を持つ函数 f と超函数 S との畳み込みは、各点 x ∈ R における値が
( f ∗ S ) ( x ) = ⟨ S , τ x f ~ ⟩ {\displaystyle (f*S)(x)=\langle S,\tau _{x}{\tilde {f}}\rangle }
で与えられる函数である。このコンパクト台付き函数と超函数との畳み込みが滑らかな函数であることを示すことができる。超函数 S も同様にコンパクト台を持つならば、f ∗ S もコンパクトな台を持ち、ティッチマーシュの畳み込み定理 (Hörmander 1983, Theorem 4.3.3) から
ch  ( f ∗ S ) = ch  f + ch  S {\displaystyle \operatorname {ch} (f*S)=\operatorname {ch} f+\operatorname {ch} S}
が従う。ここで ch は凸包を表す。
適当な状況の下では、函数と超函数、あるいはさらに超函数同士の畳み込みを定義することができる。
F が D(U) 上の連続線型作用素であるから、この延長の一意性は保障されているが、しかし存在性については変数変換の公式、逆函数定理、1の分割などを用いた議論が必要である (Hörmander 1983, Theorem 6.1.2)。
F が R の開集合 V から R の開集合 U の上への可微分同相写像であるような特別の場合には、変数変換は次の積分
∫ V φ ∘ F ( x ) ψ ( x ) d x = ∫ U φ ( x ) ψ ( F − 1 ( x ) ) | det d F − 1 ( x ) | d x {\displaystyle \int _{V}\varphi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\psi (F^{-1}(x))|\det dF^{-1}(x)|\,dx}
で与えられる。従ってこの特別の場合に F は随伴公式
⟨ F ♯ S , φ ⟩ = ⟨ S , | det d ( F − 1 ) | φ ∘ F − 1 ⟩ {\displaystyle \langle F^{\sharp }S,\varphi \rangle =\langle S,|\det d(F^{-1})|\varphi \circ F^{-1}\rangle }
によって定まる。
緩増加超函数 f ∈ S′(R) に対し、定数 C > 0 と正の整数 M, N が存在して、任意のシュワルツ函数 φ ∈ S(R) に対して
⟨ f , φ ⟩ ≤ C ∑ | α | ≤ N , | β | ≤ M sup x ∈ R n | x α D β φ ( x ) | = C ∑ | α | ≤ N , | β | ≤ M p α , β ( φ ) {\displaystyle \langle f,\varphi \rangle \leq C\sum _{|\alpha |\leq N, \atop |\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)|=C\sum _{|\alpha |\leq N, \atop |\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\varphi )}
となるようにできる。この評価に加え函数解析学の手法をいくつか用いることにより、緩増加連続函数 F と多重指数 α で f = D F となるようなものの存在を示すことができる。