病的な (数学)
病的な例はしばしばいくらかの好ましくないかまたは珍奇な特性をもつ。その特性はある理論の中では有意義を成り立たせるように説明するのが難しい。そのような病的な振る舞いはしばしば新しい理論とより一般的な結果をもたらす新しい研究を促す。たとえば、これらのいくつかの重要な歴史的な例は次のようである:
古代ギリシアにおけるピタゴラス学派による無理数の発見。例えば単位正方形の対角線の長さとしての 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 。
有理数の濃度は整数の濃度と等しい。
いくつかの代数体は一意分解環でないような整数環をもつ。例えば、体 Q ( − 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} 。
フラクタルその他の非整数次元図形(ハウスドルフ次元を見よ)の発見。
ワイエルシュトラス関数:至る所連続だが至る所微分不能な実関数の例。
実解析および超函数論でのテスト関数:実数直線上で無限回微分可能であって、与えられた有限区間の外側はすべて 0 となる関数。
反例によってある定理の有用性が脅かされた時に、その有用性を主張する立場の者が、そのような例は病的である、と述べることがしばしばある。有名な反例に、アレクサンダーの角付き球面と呼ばれるものがある。それは、『空間 R への球面 S の位相的埋め込みは、「行儀の悪い」挙動が生じる可能性を防ぐための追加条件が課されない限り、空間を「きれいに」分割するとは限らない』、という例である(ジョルダン-シェーンフリースの定理(英語版)を参照されたい)。
病的な事象を探す研究者は、特に解析学や集合論の分野においては、広く応用可能な一般的な定理を見つけることよりも、既存の定理の不完全さを指摘することに興味を覚えるような実験主義者(英語版)であると言うことができるかも知れない。それらのいずれの活動も、数学の発展上重要な役割を担っている。