分離拡大
一方、2 = 0 であるような体上では、最大公約数は g であり、g(X) = (X + 1) は 1 = −1 を二重根としてもつ。一方、多項式 h は係数体がなんであれ相異なる根をもたない、実際 h(X) = (X − 2) の微分は 2(X − 2) であり h を割り切るので、(X − α) の形の因子を α = 2 に対して確かにもつ。
有理あるいは実係数の多項式は相異なる根をもたないかもしれないが、この段階で有理あるいは実係数の既約多項式であって相異なる根をもたないものが存在するか否かを問うことは自然である。多項式 h(X) = (X − 2) は相異なる根をもたないが、非自明な因子 (X − 2) をもつので既約ではない。実は、有理あるいは実係数の既約多項式であって相異なる根をもたないものは存在しないということは正しい。体論の言葉でいえば、Q あるいは R のすべての代数拡大は分離的でありそれゆえこれらの体は両方とも完全である。