無条件収束
無条件収束はしばしば同値な方法で定義される:級数が無条件収束するとは,任意の列 ( ε n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }} で ε n ∈ { − 1 , + 1 } {\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}} なるものに対し,級数
∑ n = 1 ∞ ε n x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}
が収束することをいう.
任意の絶対収束級数は無条件収束するが,逆は一般には成り立たない:X が無限次元のバナッハ空間のとき,Dvoretzky–Rogersの定理の定理により,この空間には無条件収束するが絶対収束しない級数が必ず存在する.しかしながら,X = R のときは,リーマンの級数定理(英語版)によって,級数 ∑ x n {\displaystyle \sum x_{n}} が無条件収束することと絶対収束することは同値である.