グリーンの恒等式
}
この左辺は、ドット積の定義により、次のようなベクトル形式で書くことが出来る。
∑ m [ p m Δ q m − q m Δ p m ] = P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P . {\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}
右辺は、ベクトル作用素によって表現するにはやや複雑なものとなっている。発散作用素の加法についての分配性より、発散の和は和の発散に等しい。すなわち、
∑ m ∇ ⋅ ( p m ∇ q m − q m ∇ p m ) = ∇ ⋅ ( ∑ m p m ∇ q m − ∑ m q m ∇ p m ) {\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right)}
である。ドット積の勾配に対する次のベクトル恒等式を考える。