対合環
↑ 記法について: 対合 ∗ は後置により表される単項演算で、そのグリフはミーンライン付近やや上方に中心がくるように右肩にのせて x ↦ x*, x ↦ x (TeX: x^*), のように書くが、"x∗" のように中心がミーンライン上にくるようにはしない(スター記号 * (&ast;) とスター演算記号 ∗ (&lowast;) との混同に注意: アスタリスクの項も参照)。
↑ 即ち(通常の多元環がそうであるように)、R を A の中心に埋め込んで考えるとき、R の元によるスカラー倍は A における乗法として実現できる(例えば行列のスカラー倍はスカラー行列を掛けることと同値)が、R の元が A において中心的(すなわち r ∈ R, x ∈ A ならば rx = xr)であることに注意すれば、r ∈ R, x ∈ A について (rx) = x r = r x となるから、共軛元によるスカラー倍についても A の内部演算として矛盾なく実現される。
↑ X を環 R 上の不定元とすると、二重数環は R[ε] = R[X]/(X) と書けて、その無限小 ε = X mod (X) の生成する単項イデアル (ε) を取れば、R[ε]/(ε) = R になるのであった。