広義固有ベクトル
( A − 5 I ) 3 x 3 = [ 0 0 0 14 0 0 0 − 4 0 0 0 3 0 0 0 − 1 ] [ x 31 x 32 x 33 x 34 ] = [ 14 x 34 − 4 x 34 3 x 34 − x 34 ] = [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle (A-5I)^{3}{\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
および
( A − 5 I ) 2 x 3 = [ 0 0 2 − 8 0 0 0 4 0 0 0 − 3 0 0 0 1 ] [ x 31 x 32 x 33 x 34 ] = [ 2 x 33 − 8 x 34 4 x 34 − 3 x 34 x 34 ] ≠ [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle (A-5I)^{2}{\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
である.
xm を行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の広義固有ベクトルとする.xm によって生成される鎖とは次で与えられるベクトルの集合 { x m , x m − 1 , ... , x 1 } {\displaystyle \left\{{\boldsymbol {x}}_{m},{\boldsymbol {x}}_{m-1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{1}\right\}} である:
x m − 1 = ( A − λ I ) x m , {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{m-1}=(A-\lambda I){\boldsymbol {x}}_{m},} x m − 2 = ( A − λ I ) 2 x m = ( A − λ I ) x m − 1 , {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{m-2}=(A-\lambda I)^{2}{\boldsymbol {x}}_{m}=(A-\lambda I){\boldsymbol {x}}_{m-1},} x m − 3 = ( A − λ I ) 3 x m = ( A − λ I ) x m − 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{m-3}=(A-\lambda I)^{3}{\boldsymbol {x}}_{m}=(A-\lambda I){\boldsymbol {x}}_{m-2},}
行列
A = [ 5 1 − 2 4 0 5 2 2 0 0 5 3 0 0 0 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{bmatrix}}}
の固有値は
det ( λ I − A ) = ( λ − 5 ) 3 ( λ − 4 ) 1 = 0 {\displaystyle \det(\lambda I-A)=(\lambda -5)^{3}(\lambda -4)^{1}=0}
の解であり,これを解くと λ1 = 5(代数的重複度 μ1 = 3)および λ2 = 4(代数的重複度 μ2 = 1)が得られる.また,n = 4 である.λ1 = 5 に対して n − μ1 = 4 − 3 = 1 である.
( A − 5 I ) = [ 0 1 − 2 4 0 0 2 2 0 0 0 3 0 0 0 − 1 ] , rank  ( A − 5 I ) = 3. {\displaystyle (A-5I)={\begin{bmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}
( A − 5 I ) 2 = [ 0 0 2 − 8 0 0 0 4 0 0 0 − 3 0 0 0 1 ] , rank  ( A − 5 I ) 2 = 2.
まず,固有値が重複しても異なる(通常の)固有ベクトルが得られる例について示す.
A = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
とする.A の固有値は,det(λI − A) = 0 を満たす λ であり,これを解くと, ( λ − 1 ) 2 = 0 {\displaystyle (\lambda -1)^{2}=0} となり,ただ1つの固有値 λ = 1 が得られる.その代数的重複度は μ = 2 {\displaystyle \mu =2} である.この固有値 λ = 1 に対する(通常の)固有ベクトルを求めてみよう. x = [ x 1 x 2 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}} とおき, ( 1 I − A ) x = 0 {\displaystyle (1I-A){\boldsymbol {x}}=0} を満たすゼロでないベクトルを求めると,
定義:n 個の線型独立な広義固有ベクトルの集合が標準基底 (canonical basis) であるとは,ジョルダン鎖の全体からなることをいう.
したがって,階数 m の広義固有ベクトルが標準基底に入っていることを一度決定すれば,xm によって生成されるジョルダン鎖に入っている m − 1 個のベクトル x m − 1 , x m − 2 , ... , x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{m-1},{\boldsymbol {x}}_{m-2},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{1}} も標準基底に入っていることが従う.
λi を A の代数的重複度 μi の固有値とする.まず,行列 ( A − λ i I ) , ( A − λ i I ) 2 , ... , ( A − λ i I ) m i {\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}} の階数を求める.