半角正接置換
半角正接置換は、幾何的に解釈することも可能である。たとえば、右図のように単位円 x + y = 1 を設定し、座標 (−1, 0) を通過する傾き t の直線を考える。また、この直線と単位円の交点のうち、(−1, 0) でない方を (cos θ, sin θ) とおく。するとこのとき t = tan θ/2 であって、連立方程式:
{ x 2 + y 2 = 1 y − 0 = t ( x + 1 ) w h e r e x ≠ − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\y-0=t\,(x+1)\end{cases}}\qquad {\rm {where}}\quad x\neq -1}
が成り立つ。これを x 、y について解けば、
x = 1 − t 2 1 + t 2 , y = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
すなわち、
cos  θ = 1 − t 2 1 + t 2 , sin  θ = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
が導かれる。