二重平方数
算術における四乗数(しじょうすう、よんじょうすう、英: biquadratic number; 複平方数)あるいは二重平方数とは、通常、自然数の四乗(fourth power)すなわち「平方の平方」 (biquadratic)
n = n × n = n × n = n × n = n × n × n × n
になっているような数 (forth power of n) を言う。図形数として、八胞体状に積み上げた点の数として表されるため、八胞体数(はちほうたいすう、英: tesseractic number)ともいえる。これは平方数を「四角数」、三乗数を「立方体数」(六面体数)と呼ぶことの延長である。
最小の四乗数は 1 = 1 であり、四乗数は無数にある。小さい数から順に列記すると
1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000583)
である。
広義では有理数あるいはより一般の環での「数」の四乗を考える場合もあり、その際は四乗元と呼ぶ方が誤解が少ない。
各素数 p について剰余環 Z / p k Z ( k = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{k}\mathbb {Z} }~(k=1,2,3,...)} における元の四乗を考察することができる。抽象的に ( Z / p k Z ) × {\displaystyle \left(\mathbb {Z} /{p^{k}\mathbb {Z} }\right)^{\times }} の群構造を利用すると見通しがよい。
四乗数を16=2で割った余りは0または1に限られる。これより四乗数を二進法で書いたときの下4桁、四進法での下2桁、八進法・十六進法での下1桁は非常に限られることがわかる。 なお、32=2で割った余りは、0, 1, 16, 17の4通りに限られる。
四乗数を3で割った余りは、0または1に限られる。 9=3で割った余りは、0, 1, 4, 7の4通りに限られる(三進法で書けば 00, 01, 11, 21)。
四乗数を5で割った余りは、0または1に限られる。 25=5で割った余りは、0, 1, 6, 11, 16, 21の6通りに限られる(五進法で書けば 00, 01, 11, 21, 31, 41)。
その他の素数冪でも同様の議論が可能だが、それほどよい絞り込みはできない。
これらを中国剰余定理を用いて組み合わせることで、合成数を含めた任意の底の位取り記数法における四乗数の末尾の情報が得られる。