大正準集団
大正準集団(だいせいじゅんしゅうだん、英語: grand canonical ensemble)とは、統計力学において、外界との間でエネルギーと物質を自由にやり取りできる開放系を無数に集めた統計集団である。グランドカノニカルアンサンブルとも呼ばれる。
大正準集団は等温等化学ポテンシャル条件にある系を表現する統計集団であり、外界の温度と化学ポテンシャルをパラメータとして特徴付けられる。
大正準分布は、小正準分布、正準分布とは体積が十分に大きい極限において熱力学的に等価である。
一粒子のエネルギー固有値εjをもつ固有状態jについて、フェルミオンの場合、粒子数njは0もしくは1のみをとるので大分配関数は、
Ξ ( j ) ( β , μ ) = ∑ n j = 0 1 e − β ( ε j − μ ) n j = 1 + e − β ( ε j − μ ) {\displaystyle \Xi ^{(j)}(\beta ,\mu )=\sum _{n_{j}=0}^{1}e^{-\beta (\epsilon _{j}-\mu )n_{j}}=1+e^{-\beta (\epsilon _{j}-\mu )}}
となる。これから粒子数の期待値を計算すると、
⟨ n j ⟩ = 1 β ∂ ∂ μ ln  Ξ ( j ) ( β , μ ) = 1 β ∂ ∂ μ ln  ( 1 + e − β ( ε j − μ ) ) = 1 e β ( ε j − μ ) + 1 {\displaystyle \langle n_{j}\rangle ={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln \Xi ^{(j)}(\beta ,\mu )={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln(1+e^{-\beta (\epsilon _{j}-\mu )})={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{j}-\mu )}+1}}}
となる。これがフェルミ分布関数である。