階数・退化次数の定理
⇒ T v = b 1 T w 1 + ⋯ + b n T w n ∵ T u i = o {\displaystyle \Rightarrow T{\boldsymbol {v}}=b_{1}T{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +b_{n}T{\boldsymbol {w}}_{n}\;\;\because T{\boldsymbol {u}}_{i}={\boldsymbol {o}}}
したがって、{Tw1, ..., Twn} は image T の生成系であることが分かる。
あとは、{Tw1, ..., Twn} が線型独立であることを示せばよい。今
c 1 T w 1 + ⋯ + c n T w n = o {\displaystyle c_{1}T{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}T{\boldsymbol {w}}_{n}={\boldsymbol {o}}}
とする。
c 1 T w 1 + ⋯ + c n T w n = T { c 1 w 1 + ⋯ + c n w n } {\displaystyle c_{1}T{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}T{\boldsymbol {w}}_{n}=T\{c_{1}{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}{\boldsymbol {w}}_{n}\}}
より
が成立する。
有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、線型写像の「指数」(index) を用いて定式化することもできる。有限次元の V および W に対し、ある線型写像 T : V → W の指数は
index T = dim(ker T) − dim(coker T)
で定義される。直感的に、dim(ker T) は方程式 Tx = 0 を満たす線型独立な解 x の個数であり、dim(coker T) は Tx = y を解くことができるように y について課すべき独立な制限の個数である。有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、次の式と同値である:
index T = dim(V) − dim(W).
考えている空間における線型写像 T の指数は、T について詳細な解析を行うことなく読み取ることができるということが分かっている。この影響は、より深い結果に対しても同様に現れる:アティヤ=シンガーの指数定理によると、ある微分作用素の指数はその考えている空間の幾何によって読み取ることができるとされている。