初等同値性
N が M の初等部分構造や初等部分モデル であるとは、N と M が同じシグネチャ σ についての構造であって、全ての一階 σ-式 φ(x1, ..., xn) (ただし、x1, ..., xn は自由変数)について a1, ..., an が N の元であるのならば、φ(a1, ..., an) が N で成り立つときかつその時に限り M でも成り立つことをいう:
この定義はTarski, Vaught (1957) で初めて提唱された。 この定義は N が M の部分構造になることを含意する。
N が M の部分構造であるとき、N と M はともに σ に N の全ての要素の定数記号を付け加えたシグネチャ σN についての構造で解釈することができる。このため、N が M の初等部分モデルであるのは、N が M の部分構造であり、かつ N と M が σN-構造として初等的同値であるとき、かつその時に限る。
N が M の初等部分構造(M が N の初等拡大)であるとき、N ⪯ {\displaystyle \preceq } M か M ⪰ {\displaystyle \succeq } N で表すことがある。
下向きレーヴェンハイム-スコーレムの定理はいかなる高々可算なシグネチャの無限一階構造にもその可算初等部分構造を与える; そして、上向きレーヴェンハイム-スコーレムの定理はいかなる無限一階構造にも、その初等拡大をいくらでも大きな濃度のもので与える。