調和級数
劣化調和級数 (depleted harmonic series) は、調和級数の項のうち、分母の十進表示の各位の数のどこかに 9 が現れるものを全て排除することで得られる級数である。劣化調和級数は収束して、その値は 22.92067... となる。実は、十進表示列からどの特定の数字列を取り除いたとしても、そうして得られる級数は収束する。
調和級数の発散をある広義積分との比較によって示すこともできる。これには、調和級数の各項に対応する面積をもつ可算無限個の長方形の集まりを考える。n 番目の項に対応する長方形は、横幅 1、高さ 1/n を持つものとする。これらの長方形の面積の合計は調和級数
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }
の値に一致する。一方、曲線 y = 1/x を考え、x∈ [1, ∞) の部分の下にある面積は広義積分
∫ 1 ∞ d x x = ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\infty }
である。この面積は先ほどの長方形たちによって完全に覆われるから、長方形の面積の合計も同様に無限大となる。もっといえば、
∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 d x x = ln  ( k + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(k+1)}
が示されたということになる。このような手法を一般に積分判定法という。