芽 (数学)
f と g が x において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所的な性質を共有し、したがって可微分あるいは解析的芽などについて話すことは意味をなす: 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも x のある近傍上で解析的である。
さらに、終域 Y がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす: [f]x + [g]x を定義するために、まず近傍 U と V 上でそれぞれ定義された代表元 f と g を取ると、[f]x + [g]x は写像 f + g(ここで f + g は U ∩ V 上定義されている)の x における芽である。(同様にしてより一般の線型結合を定義できる。)
X から Y への写像の x における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、X と Y が多様体であれば、ジェット(英語版)の空間 J kx (X, Y) (写像(-芽)の x における有限項のテイラー級数)は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。
位相空間 X の点 x における X 上の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の茎(英語版)は一般に F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる:
C x 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}\,} は x における連続関数芽の空間 (space of germs of continuous functions) である。
C x k {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}\,} は各自然数 k に対して x において k 回微分可能な関数芽の空間 (space of germs of k-times-differentiable functions) である。
C x ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }\,} は x において無限回微分可能な(「滑らかな」)関数芽の空間 (space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions) である。
C x ω {\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }\,} は x において解析関数芽の空間 (space of germs of analytic functions) である。