積分因子
n {\displaystyle n} 次元多様体 M {\displaystyle M} の領域 U {\displaystyle U} で定義された 1-形式 ψ {\displaystyle \psi } について
ψ = f d g {\displaystyle \psi =f\,dg}
が成立するような関数 f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} (ただし f ≠ 0 {\displaystyle f\neq 0} ) が存在するとき、 1 / f {\displaystyle 1/f} を ψ {\displaystyle \psi } の積分因子と呼ぶ。1-形式 ψ {\displaystyle \psi } の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する。
M {\displaystyle M} の任意の点 x {\displaystyle x} について、点 x {\displaystyle x} の近傍 V {\displaystyle V} が存在し、 V {\displaystyle V} 内の任意の x {\displaystyle x} の近傍 W {\displaystyle W} に、区分的 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -級曲線 γ {\displaystyle \gamma } であって γ ̇ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} が定義されるすべての点で ψ { γ ̇ ( t ) } = 0 {\displaystyle \psi \{{\dot {\gamma }}(t)\}=0} を満たすような曲線 γ {\displaystyle \gamma } によって点 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.