グリーンの定理
∮ C ( u d x − v d y ) = ∫∫ D ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y , ∮ C ( u d y + v d x ) = ∫∫ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{C}(u\,\mathrm {d} x-v\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}{\biggl (}-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y,\quad \oint _{C}(u\,\mathrm {d} y+v\,\mathrm {d} x)=\iint _{D}{\biggl (}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
であるが、被積分関数はコーシー・リーマンの関係式より、0に等しく、
∮ C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=0}
を得る。