射影多様体
X を体(あるいはより一般にネーター環 A)上の射影スキームとする.X 上の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のコホモロジー(英語版) はセールによる以下の重要な定理を満たす.
H p ( X , F ) {\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})} は任意の p に対して有限次元 k ベクトル空間である.
次のような整数 n0( F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に依存する;Castelnuovo–Mumford 正則性(英語版)も参照)が存在する:
H p ( X , F ( n ) ) = 0 {\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0} for all n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} and p > 0, where F ( n ) = F ⊗ O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)} is the twisting with a power of a very ample line bundle O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
これらの結果は,同型
この節では,すべての代数多様体は複素代数多様体である.複素射影多様体の理論の重要な特徴は,代数的な手法と解析的な手法の交錯である.これらの理論の間の移行は次のつながりによってもたらされる:任意の複素多項式は正則関数でもあるから,任意の複素代数多様体 X は複素解析空間(英語版) X ( C ) {\displaystyle X(\mathbf {C} )} を生み出す.さらに,X の幾何学的な性質は X ( C ) {\displaystyle X(\mathbf {C} )} のそれによって反映される.例えば,後者が複素多様体であることと X が滑らかであることは同値であり,コンパクトであることと X が C 上プロパーであることは同値である.