計量ベクトル空間
V の二元 x, y が ⟨x, y⟩ = 0 を満たすならば ǁxǁ + ǁyǁ = ǁx + yǁ が成り立つ。
この等式の証明には、ノルムを定義に従って内積を用いて書いて、各成分に関する加法性に従って展開すれば十分である。「ピタゴラスの定理」という名称はこの結果を幾何学的に解釈したものが綜合幾何学における同名の定理の類似対応物になっていることによる。無論、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理の証明は、基礎に置かれた構造が乏しいために、より複雑なものとなることに注意すべきである。その意味において、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理は、いま述べた内積空間におけるものよりも深い結果である。
ピタゴラスの定理に数学的帰納法を適用することにより、x1, ..., xn がベクトルの直交系、即ち相異なる任意の添字 j, k に対して ⟨xj, xk⟩ =0 を満たすならば
∑ i = 1 n ‖ x i ‖ 2 = ‖ ∑ i = 1 n x i ‖ 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}}
となることが示せる。コーシー=シュワルツの不等式から、⟨,⟩: V × V → F が連続写像となることも分かるから、ピタゴラスの定理を無限和にまで拡張することができる:
線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、英: inner product space)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。
内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。
計量ベクトル空間では様々な定理が成立する。
コーシー=シュワルツの不等式: ⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }
内積空間 V から内積空間 W への線型写像 A: V → W に対して、望ましい性質を持つクラスがいくつか挙げられる。
連続線型写像: A は上で述べた距離に関して連続。同じことだが、x が V の単位閉区間上を動くときの非負実数からなる集合 {ǁAxǁ} が有界。
対称線型作用素: V の任意の元 x, y に対して ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ を満たす。
等長作用素: V の任意の元 x, y に対して ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ を満たす。同じことだが、V の任意の元 x に対して ǁAxǁ = ǁxǁ が成り立つ。任意の等長作用素は単射であり、また等長作用素は内積空間の間の準同型、特に実内積空間の間の準同型は直交作用素である(直交行列と比較せよ)。
等長同型: A は等長作用素かつ全射(従って全単射)。等長同型はユニタリ作用素とも呼ばれる(ユニタリ行列と比較せよ)。
内積空間論の観点からは、互いに等長同型な二つの空間は区別を要しない。スペクトル定理は有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、あるいは一般に正規作用素に対する標準形を与えるものである。スペクトル定理の一般化はヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成り立つ。