クリストッフェル記号
となる。さらに余因子行列を行列式で割ったものは逆行列となるが、それは反変版の基本計量テンソルに他ならない。つまり、Gij = gg。よって
∂ g ∂ x k = g g i j ∂ g i j ∂ x k = g g i j ( g i a { a j k } + g a j { a i k } ) = g ( δ a j { a j k } + δ a i { a i k } ) = g ( { a a k } + { a a k } ) = 2 g { a a k } {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}&=gg^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=gg^{ij}\left(g_{ia}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+g_{aj}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)\\&=g\left(\delta _{a}^{j}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+\delta _{a}^{i}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)=g\left(\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}+\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\right)\\&=2g\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\end{aligned}}}