谷山–志村予想
(cf. Hecke) もしそうであればこの形式はその automorphic function の体の楕円微分となることは非常に確からしい. さて, C {\displaystyle C} に対する Hasse の予想の証明は上のような考察を逆にたどって, L C ( s ) {\displaystyle L_{C}(s)} が得られるような適当な automorphic form を見出すことによつて可能であろうか.(谷山 豊)
問題13. 問題12に関連して, 次のことが考えられる. “Stufe” N {\displaystyle N} の楕円モジュラー函数体を特性づけること, 特にこの函数体の Jacobi 多様体を isogenus〔ママ〕の意味で単純成分に分解すること. また N = q = {\displaystyle N=q=} 素数, 且 q ≡ 3 ( m o d . 4 ) {\displaystyle q\equiv 3\;(\mathrm {mod.} \;4)} ならば, J {\displaystyle J} が虚数乗法をもつ楕円曲線をふくむことはよく知られているが, 一般の N {\displaystyle N} についてはどうであろうか.
つまり、写像
ω : S 2 ( Γ ) → Ω h o l 1 ( X ) , {\displaystyle \omega :{\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)\rightarrow \Omega _{hol}^{1}\left(X\right),}
は同相である。よって、その双対写像
ω ∧ : Ω h o l 1 ( X ) ∧ → S 2 ( Γ ) ∧ , {\displaystyle \omega ^{\wedge }:\Omega _{hol}^{1}\left(X\right)^{\wedge }\rightarrow {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge },}
もまた同相であるから S 2 ( Γ ) ∧ {\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge }} は Ω h o l 1 ( X ( Γ ) ) ∧ {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\left(\Gamma \right)\right)^{\wedge }} と同一視出来る。