デカルト閉圏
デカルト閉圏の例として以下のようなものが挙げられる。
集合全体が写像を射として成す、集合の圏 Set はデカルト閉である。この圏における直積 X × Y は X と Y との直積集合、冪対象 Z は Y から Z への写像全体の成す配置集合である。随伴性は以下の事実写像 f: X × Y → Z はそれが誘導する写像 g : X → Z (g(x)(y) = f(x,y) for all x ∈ X, y ∈ Y) と自然に同一視できる。によって表される。
有限集合が写像を射として成す、有限集合の圏も同じ理由でデカルト閉である。
G を群とするとき、G-集合全体の成す圏もデカルト閉である。Y, Z をふたつの G-集合とするとき、冪対象 Z は Y から G への配置集合に G の作用を (g.F)(y) = g.(F(g.y)) (g ∈ G, F: Y → Z, y ∈ Y) によって定めたものである。
有限 G-集合の圏もやはりデカルト閉圏になる。
小さい圏が関手を射として成す、圏の圏 Cat もデカルト閉圏である。冪対象 C は D から C への関手全体が自然変換を射として成す関手圏で与えられる。
カリー化と「適用」はともにスコット位相に関して連続であり、カリー化は適用を伴って随伴を導く。
ハイティング代数はデカルト閉な半順序集合である。位相空間から重要な例が生じる。X を位相空間とすると、X の開集合の全体を対象とする圏 O(X) が考えられる。その対象 U から V への射は、U が V の部分集合であるときただ一つのみ存在し、そうでないときには存在しないものとして定められる。この包含関係による半順序集合はデカルト閉であり、この圏における U と V との直積は U と V との共通部分によって与えられ、冪対象 U は U ∪(X\V) の開核である。
デカルト閉ではない圏の例には以下のようなものが挙げられる。
固定された体上のベクトル空間全体の成す圏や有限次元ベクトル空間の圏はともにデカルト閉ではない。これらの圏は「直和」と呼ばれる直積は持つけれども、直積関手の右随伴が存在しない(これらの圏は対称モノイド閉圏ではある。ベクトル空間の間の線型写像全体の成す集合は再びベクトル空間をなすという意味で閉であり、直積の代わりにテンソル積を考えれば Hom-集合の間に同様の同型が存在する)。
アーベル群の圏も同様の理由でデカルト閉ではない。