シュレーフリ記号
シュレーフリ記号を拡張した拡張シュレーフリ記号は、一様多胞体を表すことができる。拡張シュレーフリ記号を含めてシュレーフリ記号ということもある。
一様多胞体とは、各ファセットが1次元低い一様多胞体(必ずしも合同ではない)で、各頂点の近傍が合同な多胞体である。たとえば、一様多面体(3次元一様多胞体)には正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反正角柱、およびそれらを一般化した星型多面体が含まれる。
なお、一様多胞体は各頂点の近傍が合同なため、拡張シュレーフリ記号以外に、ディンキン図形(コクセター・ディンキン図形)や頂点形状でも記述できる(ただし、4次元以上の一様多胞体の頂点形状を簡潔に記述することは難しい)。一様多面体はワイソフ記号でも記述できる。またすでに述べたとおり、アルキメデスの正角柱(およびその高次元への一般化)はシュレーフリ記号の直積でも記述できる。
n次元正多胞体とそのシュレーフリ記号 {p1,p2,...,pn - 1} には以下の性質がある。
数値の個数は n - 1 個である。
正多胞体では数値は全て整数だが、星型正多胞体では1つが分数である。
3次元以上の狭義の正多胞体では、数値は 3, 4, 5 の3種類しか現れない(星型正多胞体では5/2、ユークリッド空間充填形では6が加わる)。5次元以上では3, 4の2種類しか現れない。
m 次元要素は m 次元正多胞体 {p1,p2,...,pm - 1} である。
m 次元要素の近傍の適切な n - m - 1 次元超断面(n - m - 1 次元超平面との共通部分、断面の一般次元への拡張)は、 n - m - 1 次元正多胞体 {pm + 2,pm + 3,...,pn - 1} である。
双対多胞体は {pn - 1,pn - 2,...,p1} である。
特に、正多面体とそのシュレーフリ記号 { p, q } には以下の性質がある。
面は正 p 角形である。
各頂点には q 個の面が集まっている。つまり、頂点近傍の適切な平面での断面は正 q 多角形である。つまり、頂点を切頭すると正 q 多角形が現れる。
双対多面体は { q, p } である。