ゲルシュゴリンの定理
従って B(t) に対して対応する k 枚の円板の合併は t の値に依らず残りの n − k 枚の円板と交わらない。各円板は閉だから、A の場合の両者の間の距離を d > 0 とすると、B(t) の場合のそれは t に関して単調減少だから、常に d よりも大きい。B(t) の固有値は t に関して連続だから、B(t) の k 枚の円板の合併に属する任意の固有値 λ(t) に対して、それと残りの n − k 枚の円板との距離もまた t に関して連続になる。明らかに d(0) ≥ d かつ、λ(1) は n − k 枚の円板の上にあると仮定したから d(1) = 0 である。故に 0 < d(t0) < d となる 0 < t0 < 1 が存在するが、これは λ(t0) がゲルシュゴリン円板の外側にあることを意味し、これは不可能である。ゆえに λ(1) は k 枚の円板の合併に属し、定理は証明された。