コヒーレント状態
コヒーレント状態の振幅を α = | α | e i φ {\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\phi }} のように振幅と位相に分けて書くと、異なる光子数 n {\displaystyle n} の状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } にポアソン分布に対応する振幅 P ( n ) {\displaystyle {\sqrt {P(n)}}} と光子1個あたり e i φ {\displaystyle e^{i\phi }} という共通の位相をつけて重ね合わせた状態がコヒーレント状態であることがわかる。
| α ⟩ = ∑ n P ( n ) ( e i φ ) n | n ⟩ = exp  [ − 1 2 | α | 2 ] ∑ n α n n ! | n ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n}{\sqrt {P(n)}}(e^{i\phi })^{n}|n\rangle =\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}{\bigg ]}\sum _{n}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle }
つまりコヒーレント状態は、位相がそろっている反面、光子数分布はランダムである。また真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } は光子数確定状態であり、かつコヒーレント状態でもあることがわかる。
コヒーレント状態は、真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に変位演算子と呼ばれるユニタリー演算子 D ( α ) = exp  ( α a ^ † − α ∗ a ^ ) {\displaystyle D(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})} を作用して作られた状態 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } である。
| α ⟩ = D ( α ) | 0 ⟩ = exp  ( α a ^ † − α ∗ a ^ ) | 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle =D(\alpha )|0\rangle =\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})|0\rangle }