ジグザグ補題
写像 δ n {\displaystyle \delta _{n}^{}} は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。 c ∈ C n {\displaystyle c\in C_{n}} を、 H n ( C ) {\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})} に属すある同値類の代表元とする。よって ∂ n ′′ ( c ) = 0 {\displaystyle \partial _{n}''(c)=0} 。行方向の完全性より β n {\displaystyle \beta _{n}^{}} は全射なので、 β n ( b ) = c {\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c} となる b ∈ B n {\displaystyle b\in B_{n}} が存在しなければならない。図式の可換性より、
β n − 1 ∂ n ′ ( b ) = ∂ n ′′ β n ( b ) = ∂ n ′′ ( c ) = 0 {\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0}