ケルビン・ストークスの定理
∂ P 1 ∂ v − ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ − ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle }
が分かる。さらに、合成関数の微分を考慮すると、以下の2つの式が得られる。
∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u = ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ u ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v = ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ v {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\\&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{aligned}}}
ψ : D → R 3 {\displaystyle \psi :\mathbb {D} \to {\mathbb {R} }^{3}} を微分可能な3変数ベクトル値関数とする.
S {\displaystyle \mathbb {S} } を D {\displaystyle \mathbb {D} } の ψ {\displaystyle \psi } による像集合とする.
Γ {\displaystyle \Gamma } を Γ ( t ) = ψ ( γ ( t ) ) {\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))} で定まる空間曲線とする。
このとき、次のケルビン・ストークスの定理が成り立つ。ここで、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (あるいは、HTML表記のR)は、n次元実数ベクトル空間を意味する。
Theorem 1 ( Kelvin–Stoke’s theorem)
上記の γ , D , ψ , S {\displaystyle \gamma ,\mathbb {D} ,\psi ,\mathbb {S} } および Γ {\displaystyle \Gamma } を考える。