フレシェ微分
∂ f ∂ x i ( a ) = D f ( a ) ( e i ) = J f ( a ) e i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i}}
で与えられる。この導函数は線型写像であるから、任意のベクトル h ∈ R に対して、f の h に沿っての方向微分が
D f ( a ) ( h ) = ∑ i = 1 n h i ∂ f ∂ x i ( a ) {\displaystyle Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}
で与えられる。f の全ての偏導函数が存在して連続ならば、f はフレシェ微分可能(実は C-級)である。逆は成り立たない(函数がフレシェ微分可能でも、連続な偏導関数を持たないことが起こり得る)。
で与えられる函数 f は (0, 0) においてガトー微分可能で、任意の (a, b) に対して g(a, b) = 0, 従って線型作用素となる導函数を持つが、f は (0, 0) において連続でなく(これは曲線 (t, t) に沿って原点に近づければわかる)、従って f は原点においてフレシェ微分可能とはなり得ない。
もっと微妙な例というのが、
f ( x , y ) = { x 2 y x 4 + y 2 x 2 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
は連続函数、つまり (0, 0) においてガトー微分可能で、そのガトー導函数 g(a, b) = 0 はやはり線型となるが、f はフレシェ微分可能でない。仮にフレシェ微分可能であるとすると、そのフレシェ導函数はガトー導函数と一致せねばならず、それは零作用素なのだから、極限
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) | x 2 y x 4 + y 2 | {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|}