変分モンテカルロ法
ここで、モンテカルロ法により積分を評価する際、 | Ψ ( X , a ) | 2 / ∫ d X | Ψ ( X , a ) | 2 {\displaystyle |\Psi (X,a)|^{2}/\int dX~|\Psi (X,a)|^{2}} を確率分布関数として標本点を選びだせば、エネルギー期待値 E ( a ) {\displaystyle E(a)} をいわゆる局所エネルギー E loc ( X ) = H ^ Ψ ( X , a ) / Ψ ( X , a ) {\displaystyle E_{\textrm {loc}}(X)={\hat {H}}\Psi (X,a)/\Psi (X,a)} の平均値として評価することができる。 E ( a ) {\displaystyle E(a)} が所与の変分パラメータ a {\displaystyle a} について得られたならば、エネルギーを最小化するよう変分パラメータを最適化することにより、基底状態波動関数の可能な限り最適な表現を得ることができる。VMC は、多次元積分を数値積分により評価するという点以外は他の変分法と全く変りがない。この問題においては、ありうる全ての配座 から構成される多体ヒルベルト空間の次元が典型的には物理系のサイズに対し指数関数的に大きくなるため、モンテカルロ積分が特に重要となる。エネルギー期待値を数値的に評価するための他の手法は、モンテカルロ法をもちいるものよりもずっと小さい系にしか適用できないことが一般的である。
量子モンテカルロ計算においては、試行関数の質が非常に重要となってくる。そのため、波動関数をできる限り基底状態に近くなるよう最適化することが欠かせない。数値シミュレーションの分野において、関数最適化問題は非常に重要な研究課題である。量子モンテカルロ法では、多次元関数の最小化問題にまつわる通常の困難に加えて、コスト関数(通常はエネルギー)その微分(効率的な最適化のために必要となる)の推定に統計的ノイズが乗るという問題がある。
多体試行関数の最適化には、さまざまなコスト関数とさまざまな戦略が用いられる。量子モンテカルロ最適化においてよく用いられるのはエネルギー、分散、およびそれら二つの線形結合の最適化である。分散最適化法は、波動関数の厳密解の分散が既知である場合に有用である(波動関数の厳密解はハミルトニアンの固有関数であるから、局所エネルギーの分散はゼロである)。したがって、分散最適化は下限があり、正定値で、最低値が既知であるという点で理想的である。しかし、エネルギー最適化のほうが分散最適化よりもより効率的であることを複数の研究者が見い出している。
また、変分モンテカルロ法でも拡散モンテカルロ法でも通常は最低エネルギー状態が興味の対象であって、分散最低状態ではない。