バナッハ環
可除多元環であるようなすべての実バナッハ環は、実数環、複素数環あるいは四元数環と同型である。したがって、可除多元環であるような複素バナッハ環は、複素数環のみである(この事実はゲルファント=マズールの定理として知られる)。
零因子を持たず、すべての主イデアルが閉であるような単位的実バナッハ環は、実数環、複素数環あるいは四元数環と同型である。
零因子を持たない可換な実単位的ネーターバナッハ環は、実数環あるいは複素数環と同型である。
(零因子を持つ持たないにかかわらず)可換な実単位的ネーターバナッハ環は、有限次元である。
バナッハ環の恒特異元(permanently singular elements)の概念は位相的零因子(英語版)の概念に一致する。すなわち、バナッハ環 A に対してその拡大バナッハ環 B を考えるとき、A における特異元のうちには適当な拡大バナッハ環 B 内にその乗法的逆元を持つものが存在するが、A の位相的零因子は A の任意のバナッハ拡大 B において恒に特異である。
A を C 上の単位的「可換」バナッハ環とする。A は単位元を持つ可換環であるため、A の各非可逆元は A の適当な極大イデアルに属す。A 内の極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は閉であるため、 A / m {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}} は体であるようなバナッハ環であり、ゲルファント=マズールの定理から、A のすべての極大イデアルの集合と A から C へのすべての非ゼロな準同型の集合 Δ(A) の間には全単射が存在することが分かる。集合 Δ(A) は A の構造空間(英語版)あるいは指標空間(character space)と呼ばれ、その元は指標(character)と呼ばれる。
指標 χ は A 上の線型汎関数で、乗法的 χ(ab) = χ(a)⋅χ(b) かつ χ(1) = 1 を満たす。指標の核は閉であるような極大イデアルであるため、すべての指標は自動的に A から C への連続写像となる。さらに、指標のノルム(すなわち作用素ノルム)は 1 である。A 上の各点収束の位相(すなわち、A* の弱-∗ 位相より導かれる位相)が備えられることで、指標空間 Δ(A) はコンパクトなハウスドルフ空間となる。