リーマン幾何学の基本定理
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リーマン幾何学において、リーマン幾何学の基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体(あるいは、擬リーマン多様体)には、捩れのない計量接続が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。ここに、計量接続(あるいは、リーマン接続)は、計量テンソルを保存する接続である。正確には、
リーマン幾何学の基本定理:(M, g) をリーマン多様体(あるいは、擬リーマン多様体)とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。
任意のベクトル場 X, Y, Z に対し、
∂ X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , ∇ X Z ⟩ , {\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,}
m を M の次元とし、ある局所座標系で、標準座標のベクトル場
∂ i = ∂ ∂ x i , i = 1 , ... , m . {\displaystyle {\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\qquad i=1,\dots ,m.}
を考える。すると、局所的に、計量テンソルの要素 gij は、
g i j = ⟨ ∂ i , ∂ j ⟩ {\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle }
として与えられる。接続を特定するためには、すべての i, j と k に対し、
⟨ ∇ ∂ i ∂ j , ∂ k ⟩ {\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle }
であることで充分である。また、局所的には、接続は、m 滑らかな函数であり、
{ Γ l i j } , {\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}
により与えられる。ここに、
∇ ∂ i ∂ j = ∑ l Γ i j l ∂ l {\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}}