ウィグナー関数
P(x, p) が物理的な(正の)密度行列を持つためには、全ての純粋状態 |θ⟩ に対して以下を満たす必要がある。 ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) P θ ( x , p ) ≥ 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0}
コーシー・シュワルツ不等式を用い、純粋状態においては以下のように有界である。 − 2 h ≤ P ( x , p ) ≤ 2 h {\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq P(x,p)\leq {\frac {2}{h}}}
古典極限 ħ → 0 においては非有界となる。 このことから、 P(x, p) は x 座標空間においては確率密度関数に帰着し、通常は非常に局在化した、運動量方向にデルタ関数のかかった分布になる。つまり、古典極限は「尖って」いる。このことから、この有界性は不確定性原理を反映し、ウィグナー関数が位相空間上で完全に局在化した関数になることを防いできると言える。
ウィグナー関数(ウィグナーかんすう、英: Wigner function)とは、ユージン・ウィグナーにより1932年に導入された、古典統計力学を量子補正するための関数である。その目標は、シュレーディンガー方程式に表われる波動関数を位相空間上の確率分布と結びつけることであった。ウィグナーの擬確率分布関数(英: Wigner quasiprobability distribution)、ウィグナー・ビレ分布 (英: Wigner–Ville distribution) とも。
ウィグナー関数は量子力学的波動関数 ψ(x) のすべての空間的自己相関の母関数である。 従って、ウィグナー関数と密度行列との間の写像により、実位相空間上の関数とヘルマン・ワイルが1927年に導入したエルミート演算子とを表現論的な文脈で対応づけられる(ワイル量子化(英語版))。ウィグナー関数は密度行列をウィグナー・ワイル変換(英語版)したものとみなすことができ、よって密度行列の位相空間上での表現とみなせる。1948年、ジャン・ビレ(フランス語版)によって独立にスペクトログラムの一種、信号エネルギーの局所時間・周波数表示方法として再導入された。
1949年、ホセ・エンリケ・モヤル(英語版)は量子化された運動量の母関数としてウィグナー関数を再導入し、これを用いて全ての量子期待値を計算する方法を確立し、位相空間上における量子力学の基礎を築いた(位相空間表示(英語版)を参照)。統計力学、量子化学、量子光学、古典光学、および電子工学、地震学、音楽の時間周波数解析、生物学のスペクトログラム、音声合成、エンジンの設計など、信号処理を伴う幅広い分野で応用されている。