関数 (数学)
( f − g ) ( x ) := f ( x ) − g ( x ) , {\displaystyle (f-g)(x):=f(x)-g(x),}
( f g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle (fg)(x):=f(x)g(x),}
( f g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}} (ただし g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} )
と定義できる。あるいはまた、実函数(実一変数で実数値の函数) f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } はグラフと呼ばれる平面上の図表(英語版)で特徴づけられる。
四則演算やその他既知の函数を組み合わせた式(ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない閉じた形の式(英語版))によって函数が与えられることも多い。そのような式からは、定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる。例えば、一つ前の例の f は f ( n ) := n + 1 ( n ∈ { 1 , 2 , 3 } ) {\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})} とも定義できる。
この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に平方根が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。
式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる
二次函数は f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} の形(ただし a, b, c は 定数)と書ける函数を言う。
終域の元がベクトルとなっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、(例えば物理的性質をモデル化するような)応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での速度ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。
R(あるいは多様体のように R と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間)上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて、そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる。