アルティン相互法則
アルティン相互法則の別な表し方には、ラングランズ・プログラムに沿って、数体のアーベル拡大に付随するアルティンのL-函数をイデール類群の指標に付随するヘッケのL-函数に関連付ける方法がある。
数体 K のヘッケ指標(量指標(Größencharakter))は、K のイデール類群の準指標であると定義される。ロバート・ラングランズは、ヘッケ指標を K のアデール環の上の簡約代数群 GL(1) 上の保型形式と解釈した。
E⁄K をガロア群 G を持つアーベル的ガロア拡大とすると、任意の指標 σ: G → C (つまり、群 G の1-次元複素表現)に対し、K のヘッケ指標 χ が存在して、
L E / K Artin ( σ , s ) = L K Hecke ( χ , s ) {\displaystyle L_{E/K}^{\operatorname {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\operatorname {Hecke} }(\chi ,s)}
を満たす。ここに左辺は指標 σ を持つ拡大に付随するアルティン L-函数であり、右辺はヘッケ指数 χ に付随するヘッケ L-函数である(Gelbart 1975, Section 7.D)。
アルティン相互法則のL-函数の等式としての定式化は、直接の対応関係はまだ足りないが、n-次元表現への一般化した定式化になる。