ランベルトの余弦則
ランベルト面(放射または拡散)の状況を図1および2に示す。概念の明確化のため、光度エネルギーあるいは輝度ではなく、光子を用いて考える。円内の楔状領域は、各々が同角度 dΩ をもち、ランベルト面において、楔状領域に照射される1秒あたりの光子数 (photons) は定数である。
各々の楔状領域の長さは、円の直径とcos(θ) の積と見ることができる。また、単位立体角あたりの放出光子の最大値は、法線上に位置し、θ=90°で零に最小化される。 数学的には、法線上の輝度は /光子数/(s·cm·sr) で表され、垂直の楔状領域から放射される毎秒の光子数は/dΩ dA で表される。 垂直の楔状領域から角度 θ で放射される毎秒の光子数は /cos(θ) dΩ dA で表される。
図2は観察点からどのように見える化を表す図である。単位領域の真上からみると、dA0 の開口部を通して dΩ0 の立体角の領域 dA が観察される。 単位領域から観察する場合、前記開口部は立体角 dΩ をなす、と一般化することが可能である。この法線上の観察点は/dΩ dA 光子/秒で記録され、測定輝度は
I 0 = I d Ω d A d Ω 0 d A 0 {\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}} /(s·cm·sr).
となる。法線との間の角度 θ の観察点からは、同じ開口部 dA0 を通して単位領域 dA が観察され、立体角の dΩ0 cos(θ) の角度を持つ。この観察点において、/cos(θ) dΩ dA 光子/秒が記録され、測定放射輝度は
I 0 = I cos  ( θ ) d Ω d A d Ω 0 cos  ( θ ) d A 0 = I d Ω d A d Ω 0 d A 0 {\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}} photons/(s·cm·sr),
となり、法線上の観察点と同じになる。
ある領域が、外部光源により照射された結果として放射を行っている場合、当該領域に降り注ぐ放射照度(エネルギー、あるいは光子/時/単位面積)は、面の法線と光の入射角との間の余弦に比例する。 ランベルト面の拡散は、ランベルト面の放射における余弦則と同様の拡散を入射光に対して行う。これは、ランベルト面の放射は法線から光源への角度に依存するが、法線から観察者の角度には依存しないことを意味する。例えば、仮に月の表面がランベルト面だと仮定すると、月の明暗境界線に近づくにつれて、太陽からの入射光の入射角が大きくなるため、明るさは相当減ると考えられるかもしれない。しかし実際はそのような明るさの減少は無いため、月は非ランベルト面であると言える。また実際は、ランベルト面に比べると、斜めの角度の入射角における光のほうがより拡散される。ランベルト面の放射体からの放射については、入射する放射の総量には依存しないが、放射体自身からの放射に依存する。例えば、太陽がランベルト面の放射体であると仮定すると、太陽の面全体で等しい明度であると言えるかもしれない。しかし実際は周辺減光があるため、太陽は非ランベルト面であると言える。ランベルト面の放射体の一例としては、黒体がある。