比例ハザードモデル
以下に示すCoxの部分尤度は、ベースライン・ハザード関数のBreslow推定量を用い、それを完全な尤度に当てはめて、その結果が2つの要因の積であることを観測することで得られる。第1の因子は、ベースライン・ハザードが「相殺」された後述の部分的な尤度である。第2の因子は、回帰係数を含まず、打ち切りパターンを介してのみデータに依存する。このように、比例ハザードモデルによって推定された共変量の効果は、ハザード比として知ることができる。
デイヴィッド・コックス卿(英語版)は、比例ハザードの仮定が成り立つ(あるいは成り立つと仮定される)場合、ハザード関数を考慮せずに効果パラメータを推定することが可能であると述べた。このような生存データへのアプローチは、Cox比例ハザードモデルの適用と呼ばれ、Coxモデルまたは比例ハザードモデルと略されることもある。ただし、Coxは、比例ハザード仮定(proportional hazards assumption)の生物学的解釈が非常に難しい場合があることも言及した。
被験者 i の共変量の実現値を Xi = (Xi1, ... , Xip) とする。Cox比例ハザードモデルのハザード関数は、
λ ( t | X i ) = λ 0 ( t ) exp  ( β 1 X i 1 + ⋯ + β p X i p ) = λ 0 ( t ) exp  ( X i ⋅ β ) {\displaystyle \lambda (t|X_{i})=\lambda _{0}(t)\exp(\beta _{1}X_{i1}+\cdots +\beta _{p}X_{ip})=\lambda _{0}(t)\exp(X_{i}\cdot \beta )}
スコア関数は、
l ′ ( β ) = ∑ j ( ∑ i ∈ H j X i − ∑ l = 0 m − 1 ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i − l m ∑ i ∈ H j θ i X i ∑ i : Y i ≥ t j θ i − l m ∑ i ∈ H j θ i ) , {\displaystyle \ell ^{\prime }(\beta )=\sum _{j}\left(\sum _{i\in H_{j}}X_{i}-\sum _{\ell =0}^{m-1}{\frac {\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}}{\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}}}\right),}
そしてヘッセ行列は、