ピカールの逐次近似法
を満たすものからなる F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は完備な閉部分集合であり、T は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から F {\displaystyle {\mathcal {F}}} への
‖ T φ − T ψ ‖ I 0 ′ ≤ L r 0 ′ ‖ φ − ψ ‖ I 0 ′ ( φ , ψ ∈ F ) {\displaystyle \|T{\boldsymbol {\phi }}-T{\boldsymbol {\psi }}\|_{I_{0}'}\leq Lr_{0}'\|{\boldsymbol {\phi }}-{\boldsymbol {\psi }}\|_{I_{0}'}\quad ({\boldsymbol {\phi }},\,{\boldsymbol {\psi }}\in {\mathcal {F}})}
を満たす縮小写像である。よって、バナッハの不動点定理により、Tφ = φ を満たす F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の不動点、すなわち区間 I0′ 上で定義される初期値問題の解 φ(t) が存在する。
を満たすとする。このとき、
r 0 := min ( r , ρ / M ) {\displaystyle r_{0}:=\min {(r,\rho /M)}}
で定まる区間
I 0 = { t ∈ R : | t − τ | ≤ r 0 } {\displaystyle I_{0}=\{t\in \mathbb {R} :|t-\tau |\leq r_{0}\}}
で {φn(t)} は
‖ φ n ( t ) − ξ ‖ ≤ ρ {\displaystyle \|{\boldsymbol {\varphi }}_{n}(t)-{\boldsymbol {\xi }}\|\leq \rho }
を満たす連続関数として、適切に定義され、極限関数 φ(t) に一様収束する。φn(t) の定義と f の連続性より、φ(t) は
φ ( t ) = ξ + ∫ τ t f ( s , φ ( s ) ) d s {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(t)={\boldsymbol {\xi }}+\int _{\tau }^{t}{\boldsymbol {f}}(s,{\boldsymbol {\varphi }}(s))\,ds}
を満たし、所与の常微分方程式の初期値問題の解である。