三次方程式
式の一部を置き換えたことにより簡略化したもの
が求まる。
この解法が見つけられた当時は複素数は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 < 0 {\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0} の時、実数解が虚数で表されるという不合理が生じた。
その後、複素数についての研究が進み
x = a
の解が ω を 1 の虚立方根として
a 3 , ω a 3 , ω 2 a 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},\omega {\sqrt[{3}]{a}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a}}}
の3個あることが知られるようになってからは u の立方根をとる際にも同様に 3 つの場合を考えるようになり、それぞれに対応する v を求めることで