レイチャウデューリ方程式
ヌル測地合同を記述する、光学的(もしくはヌル)版レイチャウデューリ方程式もある。
θ ^ ̇ = − 1 2 θ ^ 2 − 2 σ ^ 2 + 2 ω ^ 2 − T μ ν U μ U ν {\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^{2}+2{\widehat {\omega }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }} .
ここで、ハットは横方向のみの膨張、剪断応力、渦度であることを示す。渦度がゼロの場合、ヌルエネルギー条件(英語版)を仮定するとコースティックはアフィンパラメータが 2 / θ ^ 0 {\displaystyle 2/{\widehat {\theta }}_{0}} にに到達する前に生じる。
実際、この状況では次の不等式が成り立つ。
θ ̇ ≤ − θ 2 3 {\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}
これを固有時 τ {\displaystyle \tau } について積分すると、以下を得る。
1 θ ≥ 1 θ 0 + τ 3 {\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}
もし、膨張スカラーの初期値 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} が負ならば、遅くとも固有時 − 3 / θ 0 {\displaystyle -3/\theta _{0}} の後に膨張スカラーは負の無限大に発散し、測地線はコースティック(英語版)に収束する。これは必ずしも曲率特異点が生じることを意味するわけではないが、ちりの運動の数学的説明が破綻することは意味する。
Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7 See chapter 6 for a very detailed introduction to geodesic congruences, including the general form of Raychaudhuri's equation.
Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4 See section 4.1 for a discussion of the general form of Raychaudhuri's equation.
Raychaudhuri, A. K. (1955). “Relativistic cosmology I.”. Phys. Rev. 98 (4): 1123. Bibcode: 1955PhRv...98.1123R. doi:10.1103/PhysRev.98.1123. Raychaudhuri's paper introducing his equation.