シュレーディンガー場
シュレーディンガー場は、ヒルベルト状態空間を拡張して、任意の粒子数の構成を含めることで定義されます。 この一連の状態のほぼ完全な基礎は、次のような元の集合です。
| N ; x 1 , ... , x N ⟩ {\displaystyle |N;x_{1},\ldots ,x_{N}\rangle \,}
これは粒子の総数とそれぞれの位置によってラベル付けされている。 粒子が離れた位置にある任意の状態は、これらの状態の重ね合わせによって記述されます。
ψ 0 | 0 ⟩ + ∫ x ψ 1 ( x ) | 1 ; x ⟩ + ∫ x 1 x 2 ψ 2 ( x 1 , x 2 ) | 2 ; x 1 x 2 ⟩ + ... {\displaystyle \psi _{0}|0\rangle +\int _{x}\psi _{1}(x)|1;x\rangle +\int _{x_{1}x_{2}}\psi _{2}(x_{1},x_{2})|2;x_{1}x_{2}\rangle +\ldots \,}
この形式では、位置を互いに入れ替えることができる2つの状態は実際には同じであるため、積分では重複を避ける必要がある。 また、同じ位置に複数の粒子がある状態はまだ定義されていないことに注意する必要がある。 ψ 0 {\displaystyle \psi _{0}} は粒子が存在しないという振幅であり、その絶対値二乗は系が真空にある確率である。
シュレーディンガー表現を再現するためには、基底状態の内積を
, x N ) = V 1 ( x 1 ) + V 2 ( x 2 ) + ⋯ + V N ( x N ) {\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{N})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+\cdots +V_{N}(x_{N})\,}
である場合には、 V 1 = V 2 = ⋯ = V N {\displaystyle V_{1}=V_{2}=\cdots =V_{N}} となる。 また
V ( x 1 . . . , x N ) = V 1 , 2 ( x 1 , x 2 ) + V 1 , 3 ( x 2 , x 3 ) + V 2 , 3 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle V(x_{1}...,x_{N})=V_{1,2}(x_{1},x_{2})+V_{1,3}(x_{2},x_{3})+V_{2,3}(x_{1},x_{2})\,}
であれば V 1 , 2 = V 1 , 3 = V 2 , 3 {\displaystyle V_{1,2}=V_{1,3}=V_{2,3}} などのような結果を得られる。
シュレーディンガー方程式の形式では、ポテンシャルの制限はアドホックであり、古典的な波の極限に到達するのは困難である。 また、系が環境に対して開いている場合、粒子が出入りする可能性があるため、有用性が限定される。
場 ψ {\displaystyle \psi } の正準運動量は
Π ( x ) = i ψ † . {\displaystyle \Pi (x)=i\psi ^{\dagger }.\,}
正準交換関係は、各点で独立した調和振動子のそれに近い。
[ ψ ( x ) , ψ † ( y ) ] = δ ( x − y ) . {\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y).}
場のハミルトニアンは
H = S − ∫ Π ( x ) d d t ψ = ∫ | ∇ ψ | 2 2 m + ∫ x y ψ † ( x ) ψ † ( y ) V ( x , y ) ψ ( x ) ψ ( y ) {\displaystyle H=S-\int \Pi (x){d \over dt}\psi =\int {|\nabla \psi |^{2} \over 2m}+\int _{xy}\psi ^{\dagger }(x)\psi ^{\dagger }(y)V(x,y)\psi (x)\psi (y)\,}