エネルギー保存の法則
1918年、エミー・ネーターは論文 „Invariante Variationsprobleme”を出版した。この論文の中で、ネーターが1915年に得た、今日ネーターの第一定理と呼ばれる定理の証明が与えられた。ネーターの定理から、作用積分が不変であるような無限小変換が存在する場合、系はその変換に対して対称であるという。このとき系の対称性に対応した量が保存する。特にエネルギー保存の法則は、時間の並進対称性に対応していることが知られる。
量子力学においてもエネルギー保存の法則は厳密に成立する。量子力学において、あらゆる物理量はそれに対応する自己共役作用素として定義される。閉じた系のエネルギーを与える作用素は、古典力学のハミルトニアンに対応する作用素 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} である。
物理量 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} の期待値の時間微分を計算すると、