コーシー＝シュワルツの不等式
標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示すると
( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}
となるが、特にユークリッド空間(実数空間)R(つまり各成分 xi, yi が実数)の場合については、この不等式は n に関する数学的帰納法で証明することができる。各 xi, yi が負でない場合を示せばよい。n = 1 のときは明らかに成立。n = 2 のときは、
( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) − ( x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 = ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) 2 ≥ 0 {\displaystyle ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}