志村多様体
ここに、任意の z ∈ S に対して、h(z) は最初の加える数に自明に作用し、 z / z ̄ {\displaystyle z/{\bar {z}}} (それぞれ z ̄ / z {\displaystyle {\bar {z}}/z} )を通して第二の(第三の)加える数(第三の和)へそれぞれ作用する。
h(i) の随伴作用はカルタン対合(英語版)(Cartan involution)を GR の随伴群上に引き起こす。
GR の随伴群は、H 上で h の射影が自明となるような Q 上に定義された要素 H を持たない。
これらの公理から X は一意な複素多様体の構造(離散的でもよい)を持ち、全ての表現 ρ: GR → GL(V) に対して、族 (V, ρ ⋅ h) がホッジ構造の正則な族をなし、さらに、ホッジ構造の変形を形成し、X はエルミート対称空間(英語版)(hermitian symmetric domain)の有限個の合併となることを示すことができる。
志村多様体はラングランズ・プログラムの中で際立った役割を果たす。典型的な定理として、アイヒラー・志村の合同関係式があり、これはモジュラー曲線のハッセ・ヴェイユのゼータ函数が、明示的にあたえられるウェイト 2 のモジュラ形式のL-函数の積であることを意味している。実際、この定理の一般化の過程で、志村五郎はこの多様体を導入し、彼の相反法則を証明した。他の数体上の群 GL2およびその内部形式(つまり四元数の乗法群)からさだまる志村多様体のゼータ函数は、アイヒラー(Eichler)、志村、久賀、伊原により研究された。彼らの結果を基礎として、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)は次の予想を立てた。ある数体上に定義された任意の代数多様体 W のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は、保型形式のL-函数の積となるのではないだろうか、すなわち、保型表現の集まりから発生するはずである。しかし、このタイプの記述は哲学的な性質であるが、W が志村多様体のときは証明されている。 ラングランズのことばから引用する。