因子 (代数幾何学)
ヴェイユ因子は、代数多様体の付値論的な観点から見て自然な因子の取り扱いであり、その直感的な意味もとらえやすいが、正規スキームの上でしか上手く働かないこと、また、スキーム(代数多様体)の射に関する引き戻しが一般に定義できないなど不満足な点もある。これら欠点を補うのがカルティエ因子の概念である。
X を既約で被約な分離的スキームとする。X が既約かつ被約であることによりその関数体 k(X) が定義される。X のアフィン有限開被覆 X = ∪ Ui および 関数体の元 gi が与えられたとき、組 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} がカルティエ因子 (Cartier divisor) であるとは gi / gj が Ui ∩ Uj 上零点も極も持たない、すなわち、Ui ∩ Uj = Spec Aij と書いたとき、gi / gj が Aij の可逆元になることである。2つのカルティエ因子 {(Ui , gi)} , {(Vi , hi)} は Ui ∩ Vj 上 gi / hj が極も零点も持たないとき、これを同一視する。カルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} において、gi が正則であるとき、すなわち、gi ∈ Ai (ただし、Ui = Spec Ai)となるとき、有効 (effective) であるという。ある有理関数 g に対して {(Ui , g)} で定まるカルティエ因子を主因子 (principal divisor) といい、(g) で表す。
L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の自明化 L | U i ≅ O U i {\displaystyle {\mathcal {L}}_{|U_{i}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{i}}} で 0 でない有理切断 s が Ui 上に定める有理関数を si とすると、組 {(Ui , si)} はカルティエ因子を定める。この因子を (s) と書くことにする。別の 0 でない有理切断 t が与えられれば、有理関数 g が存在して t = g.s と書けるので (t) = (s) + (g)、つまり、(t) と (s) は線形同値なカルティエ因子である。
カルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} から定まる可逆層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} に対しては自明化は
k ( X ) ⊃ O X ( D ) | U i = 1 g i O U i {\displaystyle k(X)\supset {\mathcal {O}}_{X}(D)_{|U_{i}}={\frac {1}{g_{i}}}{\mathcal {O}}_{U_{i}}}
で定まっているので、埋め込み O X ( D ) ⊂ k ( X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\subset k(X)} によって k(X) の単位元 1 から定まる有理切断 s に付随する因子 (s) はもとのカルティエ因子 D と一致する。従って 2つのカルティエ因子 D, E に対して、対応する可逆層 O X ( D ) , O X ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D),\;{\mathcal {O}}_{X}(E)} が同型であれば、D と E は線形同値である。
X の可逆層(あるいは、直線束)の全体 Pic (X) はテンソル積を加法、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を単位元、双対を逆元とする演算によってアーベル群になる。これを X のピカール群 (Picard group) と呼ぶ。カルティエ因子 D, E に対して O X ( D + E ) ≅ O X ( D ) ⊗ O X ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D+E)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(E)} 、 O X ( − D ) ≅ O X ( D ) ∨ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)^{\vee }} が成り立つので、アーベル群の同型
CDiv (X) / ∼ ≅ Pic (X)
がある。