テンソル
, e j q ) {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}})}
によりその成分として (p + q)-次元配列が得られる。基底の取り方を変えれば異なる成分が得られるが、T は各引数に関して線型であるから、成分は多次元配列としてのテンソルの変換法則を満足する。したがって、T の成分の成す多次元配列はその意味において確かにテンソルを成していることが分かる。さらに言えば、そのような性質を持つ多次元配列は必ず多重線型写像 T の成分として実現できる。そのような事情により、多重線型写像をテンソルに基づく内在的対象を与えるものとして見ることができる。
テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 V を V の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間(つまり V の二重双対(英語版) V )と同一視するのが普通である。V からその二重双対への自然な線型写像が常に、V のベクトルを「V に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」と看做すことによって与えられる。V が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、しばしば V をその二重双対と同一視することは有用である。
テンソルは添字の組に対して対応する成分の値を与えるような関数によって表されていると考えることができる。それぞれの添字について何通りの自由度があるかという数は次元とよばれることがある。例えば階数3で次元2、5、7のテンソルを考えることにすると、添字の組は<1, 1, 1> から <2, 5, 7>まで動き、70通りの添字の組があることになる。
テンソル場は多様体の各点にテンソルを与えたものである。従って次元が <2, 5, 7> のベクトル場を考えるときは、上の例のようにして単に70個の値を考える代わりに空間内のそれぞれの点が70個の値を付与されることになる。言い方を変えれば、問題にしている空間を定義域としてテンソルに値を持つ関数を考えることになる。
線形でないような関係もあるが、たいていの関係は微分可能性を満たしており、局所的には多重線形写像を足しあわせたもので近似できる。従って物体の解析に際してたいていの量はテンソルとして表示すると取り扱いが便利になる。
簡単な例として、水の上の船を考えることにする。目標は力が与えられたときの船の反応を記述することである。力はベクトルで表され、船の反応は速度の変化(加速度)ベクトルとして現れる。船の形状による影響から一般には加速度の方向は力の方向とは異なったものになる。