極小モデル
理論の基本的アイデアは、各々の双有理同値類の中に、「できるだけ単純な」多様体を見つけることで多様体の双有理分類を単純化することである。この文の詳細な意味は、次のような問題を開発することへ発展した。すなわち、もともとは曲面に対して、任意の双有理な射(regular map) f : X → X ′ {\displaystyle f:X\rightarrow X'} が同型であるような滑らかな多様体 X {\displaystyle X} を見つけることを意味していた。
現代的な定式化では、理論の目標は次のようになる。射影多様体 X {\displaystyle X} が与えられたと仮定し、簡単のため非特異とする。2つの場合がありうる。
もし X {\displaystyle X} が小平次元 κ ( X , K X ) = − 1 {\displaystyle \kappa (X,K_{X})=-1} であるときは、 X {\displaystyle X} に双有理な多様体 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} と、射影多様体 Y {\displaystyle Y} への射(morphism) f : X ′ → Y {\displaystyle f:X'\rightarrow Y} を探し、dim Y {\displaystyle Y} < dim X ′ {\displaystyle X'} で一般型のファイバー F {\displaystyle F} が豊富なラインバンドルであるような反標準クラス − K F {\displaystyle -K_{F}} を持つものを探す。