球面波
球面波を記述する式には次の2通りのものが存在する。
ψ ( r , t ) = f ( r ± v t ) r ⋯ ( 1 ) ψ ( r , t ) = 1 r F ( t ± r v ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {f(r\pm vt)}{r}}\qquad \cdots (1)\\\psi (r,t)&={\frac {1}{r}}F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)\qquad \cdots (2)\end{aligned}}}
ただしここでr は波源からの距離、t は時刻、v は位相速度(ただしv > 0)である。
上式は次のようにして導き出せる。
3次元の波動方程式は以下である:
Δ ψ ≡ ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 ⋯ ( 3 ) {\displaystyle \Delta \psi \equiv {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\qquad \cdots (3)}
ただしここでは波源を原点、すなわち ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)} としている。まずこれを球座標に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる(ラプラス作用素#三次元を参照)。
Δ ψ = 2 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ r 2 {\displaystyle \Delta \psi ={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}
ここで
点波源を中心とする球面の単位面積あたりに単位時間運ばれるエネルギー、すなわち波の強度 I {\displaystyle I} は以下のようになる。
I ( r ) = 2 π 2 ρ v ν 2 ( A r ) 2 = 2 π 2 ρ v ν 2 A 2 r 2 {\displaystyle I(r)=2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}\left({\frac {\mathcal {A}}{r}}\right)^{2}={\frac {2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}{\mathcal {A}}^{2}}{r^{2}}}}
ただし ρ {\displaystyle \rho } は媒質の密度、 ν {\displaystyle \nu } は振動数である。
この式より調和球面波の強度に関して逆2乗の法則が成り立っていることがわかる。