二重交換団
{\displaystyle S\subseteq S^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\ldots =S^{2n}=\ldots }
ただし n > 1 とする。
S1 および S2 をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。
( S 1 ∪ S 2 ) ′ = S 1 ′ ∩ S 2 ′ . {\displaystyle (S_{1}\cup S_{2})'=S_{1}'\cap S_{2}'.}
また S 1 = S 1 ′′ {\displaystyle S_{1}=S_{1}''\,} および S 2 = S 2 ′′ {\displaystyle S_{2}=S_{2}''\,} を仮定すると(これは例えばフォン・ノイマン環に対して成り立つ)、上の等式より次式が得られる。
( S 1 ′ ∪ S 2 ′ ) ′′ = ( S 1 ′′ ∩ S 2 ′′ ) ′ = ( S 1 ∩ S 2 ) ′ . {\displaystyle (S_{1}'\cup S_{2}')''=(S_{1}''\cap S_{2}'')'=(S_{1}\cap S_{2})'.}