準同型
なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型(たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism)、全準同型(ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism)とも言われる。
準同型写像 f が逆写像 f を持ち、なおかつ f もまた準同型であるとき、f は同型写像あるいは単に同型であるという。f が同型ならば f も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 A, B の間に準同型写像が存在するとき、A と B とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
体の準同型(単位元を持つ環としての準同型)は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像(環上の加群としての準同型)は全単射ならば同型である。
まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。