フロベニウス自己準同型
もしそうだとすると、 F p 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}} での元 b による積がフロベニウス自己準同型を適用することと可換となってしまう。しかし、
b ⋅ a = b a ≠ F ( b ) ⋅ a = b p a {\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a}
であるから、これは正しくない。前者は A の始まる F p 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}} -代数構造の b 作用であり、後者はフロベニウスにより引き起こされた F p 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}} 上の作用である。結局、Spec A 上のフロベニウス写像は F p 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}} -スキーム上の射ではない。
絶対フロベニウス写像は、次数 p の純粋な非分離射である。この微分は 0 である。絶対フロベニウス写像は積を保存し、このことは任意の 2つのスキーム X と Y に対し、FX×Y = FX × FY であることを意味する。
S のフロベニウス写像を同型とすると、フロベニウス写像は S の群の自己同型の部分群を生成する。S = Spec k が有限体のスペクトルとすると、自己同型は素体上の体のガロア群となり、フロベニウス写像とその逆は、双方とも自己同型群を生成する。加えて、X と X は X と同一視される。従って、数論的フロベニウス写像と幾何学的フロベニウス写像は、X の自己準同型であり、それらは X 上の k のガロア群の作用を導く。
K-点 X(K) の集合を考える。この集合はガロア作用を伴う。そのような各々の点 x は、構造層から x での剰余体への準同型 OX → k(x) ≅ K に対応し、x へのフロベニウス作用は剰余体へフロベニウス準同型を適用することである。このガロア作用は、数論的フロベニウスの作用に一致する。合成写像
O X → k ( x ) → F k ( x ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {F}}k(x)}
は、合成写像
O X → F X / S a O X → k ( x ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {F_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}
と、数論的フロベニウスの定義により、同じものとなる。結局、数論的フロベニウスは、明らかに X の自己準同型として、ガロア群の作用を示している。