ルベーグ測度の正則性定理
実数直線 R 上のルベーグ測度は、正則測度である。すなわち、R に含まれるすべてのルベーグ可測部分集合と、すべての ε > 0 に対して、次を満たすような R の部分集合 C と U が存在する。
C は閉;
U は開;
C ⊆ A ⊆ U;
U \ C のルベーグ測度は、ε より厳密に小さい。
さらに、A が有限ルベーグ測度を持つなら、C はコンパクトであるように選ぶことが出来る(したがって、ハイネ・ボレルの定理により、閉かつ有界であるように選ぶことが出来る)。