ガウシアンビーム
近軸モードには、他にも極座標系において複素振幅が合流型超幾何関数(英語版)に比例する一連のモードがある。
これらのモードは位相特異点をもち、光子の軌道角運動量(英語版)の固有関数である。強度分布は中心に振幅がゼロとなる特異点を持つ、単一の明いリング状になる。振幅は正規化された無次元の動径座標 ρ = r/w0 と縦座標 Ζ = z/zR を用いて以下のように書き下される。
u p m ( ρ , θ ; Z ) = 2 p + | m | + 1 π Γ ( p + | m | + 1 ) Γ ( 1 + | m | + p 2 ) Γ ( | m | + 1 ) i | m | + 1 Z p 2 ( Z + i ) − ( 1 + | m | + p 2 ) ρ | m | e − i ρ 2 ( Z + i ) e i m φ 1 F 1 ( − p 2 , | m | + 1 ; r 2 Z ( Z + i ) ) {\displaystyle u_{pm}(\rho ,\theta ;\mathrm {Z} )={\sqrt {\frac {2^{p+|m|+1}}{\pi \Gamma (p+|m|+1)}}}{\frac {\Gamma (1+|m|+{\frac {p}{2}})}{\Gamma (|m|+1)}}\,\,i^{|m|+1}\mathrm {Z} ^{\frac {p}{2}}(\mathrm {Z} +i)^{-(1+|m|+{\frac {p}{2}})}\rho ^{|m|}e^{-{\frac {i\rho ^{2}}{(\mathrm {Z} +i)}}}e^{im\phi }{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},|m|+1;{\frac {r^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)}
ガウシアンビームの数学的形式は、以下に示す自由空間または一様な誘電率をもつ媒質における電磁波の波動方程式(英語版)を基礎とする。
∇ 2 U = 1 c 2 ∂ 2 U ∂ t 2 {\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}
U は E x {\displaystyle E_{x}} , E y {\displaystyle E_{y}} , E z {\displaystyle E_{z}} , B x {\displaystyle B_{x}} , B y {\displaystyle B_{y}} , B z {\displaystyle B_{z}} の六つの成分のうちどれかを表わす。ガウシアンビームの数式を導出するために、この方程式の解を次のように書き下す。