ビーティ数列
m ∈ Br となるための必要十分条件は 1 − 1 r < [ m r ] 1 {\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}} なることである。ここに、[x]1 は c の小数部分 [x]1 ≔ x − ⌊x⌋ である。
m ∈ B r ⟺ ∃ n , m = ⌊ n r ⌋ ⟺ m < n r < m + 1 ⟺ m r < n < m r + 1 r ⟺ n − 1 r < m r < n ⟺ 1 − 1 r < [ m r ] 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}m\in {\mathcal {B}}_{r}&\iff \exists n,m=\lfloor nr\rfloor \iff m<nr<m+1\\&\iff {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}\iff n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n\iff 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}.\end{aligned}}}
さらに言えば、 m = ⌊ ( ⌊ m r ⌋ + 1 ) r ⌋ {\textstyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor } なる条件とも同値である。