二次曲面
n − 1-次元二次超曲面は、その拡大係数行列の階数が n + 1 に等しいとき非退化であるといい、そうでないとき退化しているという。二次超曲面が非退化であるとき、係数行列 A と拡大係数行列 R の階数の関係を用いて、二次超曲面は次のように分類される。
rank R − rank A = 0: 錐面
rank R − rank A = 1: 有心二次超曲面
rank R − rank A = 2: 無心二次超曲面
また、退化した二次超曲面は筒面の一種である。今、有心と無心という言葉が出てきたが、これは点対称であるかないかを指す。上の 3 つは、適当な直交変換を行うことによって、次のような陰関数に帰着できる。
錐面
a 1 ′ X 1 2 + a 2 ′ X 2 2 + ⋯ + a n ′ X n 2 = 0 {\displaystyle a'_{1}X_{1}^{2}+a'_{2}X_{2}^{2}+\cdots +a'_{n}X_{n}^{2}=0}
有心二次超曲面
a 1 ′ X 1 2 + a 2 ′ X 2 2 + ⋯ + a n ′ X n 2 = 1 {\displaystyle a'_{1}X_{1}^{2}+a'_{2}X_{2}^{2}+\cdots +a'_{n}X_{n}^{2}=1}
符号数が (n, 0) であるような二次超曲面を楕円面という。楕円面は、二次超曲面の中で唯一の閉じた超曲面である。従って、楕円面によって囲まれた部分(楕円体)にのみ体積が定義できる。その体積 V は、ガンマ関数 Γ(x) を用いて、
V = Γ ( 1 / 2 ) n Γ ( n / 2 + 1 ) 1 | A | {\displaystyle V={\frac {\Gamma (1/2)^{n}}{\Gamma (n/2+1)}}{\sqrt {\frac {1}{|A|}}}}
で与えられる。これは半径 r の球の体積 (4π/3)r の一般化である。
一般な n − 1-次元二次超曲面の定義式は、座標 (x1, x2, ..., xn) に対して
( ∑ i = 1 n a i x i 2 + 2 ∑ i < j n a i j x i x j ) + ( 2 ∑ i = 1 n b i x i ) + ( c ) = 0 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}+2\sum _{i<j}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\right)+\left(2\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}\right)+(c)=0}
で与えられる。ただし、ここで ai, aij のうち少なくとも一つは 0 でないことが要求される。また、次のような行列、及びベクトル
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , A = ( a 1 a 12 ⋯ a 1 n a 12 a 2 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n ) , b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}},\quad A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{12}&a_{2}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}