順序群
順序群 G とその正錐 G に対し、G が無孔 (unperforated) であるとは、適当な自然数 n に対して n⋅g ∈ G ならば必ず g ∈ G が成り立つことを言う。 無孔であることは、正錐 G に「隙間」("gap") がないことを意味する。
順序群の順序が全順序ならば全順序群(または線型順序群)といい、順序が束(つまり任意の二元集合が上限を持つ) ならば束群 (lattice-ordered group; l-group) と呼ぶ。
リース群は束群より少し弱い性質を満たす無孔順序群である。つまり、リース群は
リースの補間条件: G の任意の元 x1, x2, y1, y2 は、xi ≤ yj を満たすならば適当な z ∈ G が存在して xi ≤ z ≤ yj とすることができる
を満足する。
二つの順序群 G, H に対して、写像 f: G → H が順序群の準同型であるとは、f は抽象群の準同型であってかつ単調写像となっていることを言う。順序群の全体は、順序群の準同型を射として圏を成す。
順序群(特に順序加群)は体の賦値を定義するのに用いられる。