ファウルハーバーの公式
ファウルハーバーの公式は一見複雑に見えるが、二項定理と似ていることに着目すれば、略式の表示を与えることができる。例えば、(n + B) を二項展開すると nB + 2nB + nB であるが、n の冪はそのままの意味にとり、B の冪は添え字を下付きにしたベルヌーイ数を意味するものと考える。言い換えると、nB0 + 2nB1 + B2 を略式で (n + B) と表すことを許すものと約束する。このとき、ファウルハーバーの公式は
1 k + 2 k + ⋯ + n k = ( n + B ) k + 1 − B k + 1 k + 1 {\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\dotsb +n^{k}={\frac {(n+B)^{k+1}-B^{k+1}}{k+1}}}
と表現できる。
より正確に記述するために、多項式環 Q[b] から Q への線型写像 T を T(b) = Bj で定義しておけば、公式は
S k ( n ) = T ( ( n + b ) k + 1 − b k + 1 ) k + 1 {\displaystyle S_{k}(n)={\frac {T((n+b)^{k+1}-b^{k+1})}{k+1}}}
と表せる。
なお、略式の表示を許せば、ベルヌーイ数の定義も
B 0 = 1 , ( B − 1 ) k + 1 = B k + 1 ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle B_{0}=1,\quad (B-1)^{k+1}=B^{k+1}\quad (k=1,2,\cdots )}
と簡潔に表現できる。