テイラーの定理
f へのより強い正則性の仮定のもとで、テイラー多項式の剰余項
R k + 1 ( x ) = r k ( x ) = f ( x ) − P k ( x ) {\displaystyle R_{k+1}(x)=r_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x)}
に対するいくつかの正確な公式がある。最も一般的なものたちは以下のものである。
平均値形の剰余項 ― f: R → R を閉区間 [a, x] 上 k 回連続微分可能、開区間 (a, x) 上 k + 1 (k ≥ 0) 回微分可能であるとする。 (x<a のときは区間をそれぞれ [x, a], (x, a) とする。) このとき
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( ξ L ) ( k + 1 ) ! ( x − a ) k + 1 {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{\mathrm {L} })}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}
となる実数 ξL が a と x の間(両端は含まない)に存在する。これはラグランジュの剰余項である。同様に、
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( ξ C ) k ! ( x − ξ C ) k ( x − a ) {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{\mathrm {C} })}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)}
( x − t ) k d t {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt\\&=f(a)-{\Big [}(x-t)f'(t){\Big ]}_{a}^{x}+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{2}f''(a)+\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}(x-t)^{2}f'''(t)\,dt\\&=\dots \\&=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt\end{aligned}}}
最後の項 R k + 1 ( x ) = ∫ a x f ( k + 1 ) ( t ) k ! ( x − t ) k d t {\displaystyle R_{k+1}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt} が求める剰余項である。