ファブリ・ペロー干渉計
Δ ν c = 1 2 π τ c ⇒ γ ~ q ( ν ) = 1 π Δ ν c / 2 ( Δ ν c / 2 ) 2 + ( ν − ν q ) 2 {\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}}
ピーク高を 1 となるように規格化すると、次のローレンツィアン線を得る。
γ q , L ( ν ) = π 2 Δ ν c γ ~ q ( ν ) = ( Δ ν c / 2 ) 2 ( Δ ν c / 2 ) 2 + 4 ( ν − ν q ) 2 . {\displaystyle \gamma _{q,\mathrm {L} }(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}
全ての q について上記のフーリエ変換を行えば、共振器の完全なモードスペクトルが得られる。
線幅 Δνc と自由スペクトル領域 ΔνFSR は周波数に依存しないことから、波長空間では線幅が適切に定義できず、自由スペクトル領域は波長に依存してしまうことから、ファブリ・ペロー共振器の解析は周波数空間で行うのが自然である。
であり、R1 = R2 のときピーク値は 1 となる。
A′trans を循環場アプローチにより導出する場合、鏡を透過する光が e だけ位相シフトを受けることを考慮して以下のように導出される。
E circ = i t 1 E inc + r 1 r 2 e − i 2 φ E circ ⇒ E circ E inc = i t 1 1 − r 1 r 2 e − i 2 φ , {\displaystyle E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},}
E trans = i t 2 E circ e − i φ ⇒ E trans E inc = − t 1 t 2 e − i φ 1 − r 1 r 2 e − i 2 φ {\displaystyle E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}
ΔνAiry = ΔνFSR のとき(エアリー分布 A′trans の図における赤実線)よりも反射率 R1R2 が低い場合、エアリー分布のピークに半値全幅を定義できなくなる。限界点は次が成り立つときである。
Δ ν A i r y = Δ ν F S R ⇒ 1 − R 1 R 2 2 R 1 R 2 4 = 1 ⇒ R 1 R 2 ≈ 0.02944 {\displaystyle \Delta \nu _{Airy}=\Delta \nu _{FSR}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944}
二つの鏡の反射率が等しい場合、これは R1 = R2 ≈ 17.2% のときに相当する(エアリー分布 A′trans の図における赤実線)。
ファブリ・ペロー共振器のエアリー分布のフィネスは線幅とフィネスに関する上図においては右のグラフに緑線で、青線のローレンツィアンフィネス Fc と共に表わされている。これは次のように定義される。
E ~ q ( ν ) = ∫ − ∞ + ∞ E q ( t ) e − i 2 π ν t d t = E q , s 1 ( 2 τ c ) − 1 + i 2 π ( ν − ν q ) {\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}}
これを規格化して周波数積分が 1 となるように変換すると、次を得る。
γ ~ q ( ν ) = 1 τ c | E ~ q ( ν ) E q , s | 2 = 1 τ c 1 ( 2 τ c ) − 2 + 4 π 2 ( ν − ν q ) 2 , {\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,\mathrm {s} }}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}
ローレンツィアンスペクトル形状の半値全幅 (FWHM) Δνc を用いると、以下のように書き直せる。