井戸型ポテンシャル
解くべき方程式は、ポテンシャルの値ごとに領域を分けて、
V ( x ) = { d 2 d x 2 ψ ( x ) = − k 2 ψ ( x ) ( − L 2 < x < L 2 ) d 2 d x 2 ψ ( x ) = k ′ 2 ψ ( x ) ( x < − L 2 , L 2 < x ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\psi (x)&\left(-{\dfrac {L}{2}}<x<{\dfrac {L}{2}}\right)\\{\dfrac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=k'^{2}\psi (x)&\left(x<-{\dfrac {L}{2}},{\dfrac {L}{2}}<x\right)\end{cases}}} (3)
である。( k 2 = 2 m E / ħ 2 {\displaystyle k^{2}=2mE/\hbar ^{2}} , k ′ 2 = 2 m ( V 0 − E ) / ħ 2 {\displaystyle k'^{2}=2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}} とおいた。)
解法
式(3)を解くと、
無限の深さの議論を踏まえて、有限の深さに対して議論をする。この際、簡単のために領域の片側を無限のままにしておき、もう片側を有限定数の深さにする。これを定式化すると、
V ( x ) = { ∞ ( x < 0 ) 0 ( 0 < x < L ) V 1 ( L < x ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &(x<0)\\0&(0<x<L)\\V_{1}&(L<x)\end{cases}}}
(V1>0) となる。