デカルトの円定理
半径 r の円の曲率 k を k = ± 1 r {\displaystyle k=\pm {\frac {1}{r}}} で定義する。大きな円ほど曲率の絶対値は小さい。
k が正のとき、その円は他の円と外接するものとする(図中の黒い円)。同じく負であるとき、その円は他の円と内接(内包)するものとする(図中の大きな赤い円)。k が 0 のときは、半径が無限に大きな円とみなし、直線を表すものとする。
互いに接する4つの円(もしくは3つの円と1つの直線)の曲率を k1, k2, k3, k4 とする。デカルトの定理は、このとき以下の式が成り立つことを主張する。
先に3つの円(もしくは2つの円と1つの直線)が与えられたとき、4つ目の円の曲率は上式を整理した以下の式で与えられる。
複号により解は2つ与えられる。直線への退化を無視すれば、一方の解は常に正で他方は正もしくは負である。負の解は先述したように3つの円を内包する円を表す。