ゲルファント＝レヴィタン＝マルチェンコ方程式
一次元の無限に広がった直線領域でのシュレディンガー方程式を
( − d 2 d x 2 + u ( x ) ) φ ( x ) = λ φ ( x ) ( − ∞ < x < ∞ ) {\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)\right)\varphi (x)=\lambda \varphi (x)\quad (-\infty <x<\infty )}
と表す。ここで、ポテンシャルu(x) は遠方(|x|→ ∞)で十分早くゼロに近づくものとする 。
このとき、固有値λは実数値のみをとり、波動関数としてはλ>0となる連続スペクトルに対応する連続スペクトル状態とλj<0となる有限個の離散スペクトルに対応する束縛状態が存在する。連続スペクトル状態において、λ=k(kは実数)とすると、|x|→ ∞で平面波eに漸近するJost解と呼ばれる解の組は、反射係数r (k )及び透過係数t (k )で特徴付けられる。一方、束縛状態では、λj=(iκj)(κj>0)とすると、束縛状態は有限個(j=1,...,N)で、かつ縮退は生じない。また、対応するJost解の規格化係数をcjとすると、規格化されたJost解は、|x|→ ∞でcjeの形で指数的に減衰する。
連続スペクトル状態の反射係数r (k )、束縛状態のκj、規格化係数cj で定まる{r (k ), κj, cj (j=1,...,N)}の組を散乱データと呼ぶ。散乱の順問題では、入射波がポテンシャル関数によって、どのように散乱されるを議論するが、逆問題では与えられた散乱データから元のポテンシャル関数がどのように求まるかを考える。