ミンコフスキーの不等式
1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } であって、ほとんど全ての y ∈ S 2 {\displaystyle y\in S_{2}} に対して F ( ⋅ , y ) ∈ L p ( S 1 ) {\displaystyle F(\cdot ,y)\in L^{p}(S_{1})} 、かつ関数 y ↦ ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p {\displaystyle y\mapsto \|F(\cdot ,y)\|_{p}} は L 1 ( S 2 ) {\displaystyle L^{1}(S_{2})} に属するならば、ほとんど全ての x ∈ S 1 {\displaystyle x\in S_{1}} に対して F ( x , ⋅ ) ∈ L 1 ( S 2 ) {\displaystyle F(x,\cdot )\in L^{1}(S_{2})} 、かつ関数 x ↦ ∫ F ( x , y ) d μ 2 ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int F(x,y)d\mu _{2}(y)} は L p ( S 1 ) {\displaystyle L^{p}(S_{1})} であって、次の不等式が成り立つ:
‖ ∫ S 2 F ( ⋅ , y ) d μ 2 ( y ) ‖ p ≤ ∫ S 2 ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p d μ 2 ( y ) {\displaystyle \left\|\int _{S_{2}}F(\cdot ,y)d\mu _{2}(y)\right\|_{p}\leq \int _{S_{2}}\left\|F(\cdot ,y)\right\|_{p}d\mu _{2}(y)}