テンソル代数
ベクトル空間 V が有限な次元 n を持つとき、テンソル代数の別の見方として「K 上の非可換な n-変数多項式の環」とみることができる。V の基底ベクトルをとって、それを T(V) における非可換変数(あるいは非可換不定元)、すなわち結合性、分配性および K-線型性の他は何の制約も持たない元と見る。
注意すべき点として、V 上の非可換多項式環として適切なのは T(V) よりはむしろ T(V*) の方であることが挙げられる。これは V 上の一次斉次函数は V* の元であること、またベクトル空間上の座標函数 x, ..., x は(ベクトルをその座標成分となるスカラーへ写す函数とみれば)共変ベクトルであることによる。
テンソル代数 T(V) はベクトル空間 V 上の自由多元環とも呼ばれ、また V に関して函手的である。他の自由構成(英語版)がそうであるように、函手 T は適当な忘却函手(英語版)の左随伴となる。今の場合、考えるべき忘却函手は各 K-代数をその台となるベクトル空間へ写すものである。
陽に書けば、テンソル代数の普遍性(V を含む最も一般な多元環であることをきちんと述べたもの)は以下のようなものである: