レヴナー微分方程式
D 上の正定置の実部をもち正規化されていて、p(0) = 1 である正則函数 p(z) は、ヘルグロッツの表現定理(英語版)(Herglotz representation theorem)により、次のように記述される。
p ( z ) = ∫ 0 2 π 1 + e − i θ z 1 − e − i θ z d μ ( θ ) . {\displaystyle \displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}}
ここに μ は円の確率測度である。点の測度を取ることは、|κ(t)| = 1 である函数
p t ( z ) = 1 + κ ( t ) z 1 − κ ( t ) z {\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}
を一つ選びだすこととなる。最初にこのことは、Loewner (1923)により考案された。
単位円板上の単葉函数の不等式は、スリット写像(slit mappings)のコンパクト部分集合へ一様に収束する密度を使い証明することができます。