量子ウォーク
量子ウォークの時間発展作用素は U = S C {\displaystyle U=SC} で定義される 。ここで、
C = ⨁ x ∈ Z H {\displaystyle C=\bigoplus _{x\in \mathbb {Z} }H}
はコイン作用素と呼ばれる作用素である 。但し、 H {\displaystyle H} は H C {\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}} 上のユニタリ作用素で、量子コインと呼ばれる 。また、 S {\displaystyle S} はシフト作用素と呼ばれる作用素で、
S | x , J ⟩ = { | x + 1 , R ⟩ : J = R | x − 1 , L ⟩ : J = L {\displaystyle S|x,J\rangle ={\begin{cases}|x+1,R\rangle &:J=R\\|x-1,L\rangle &:J=L\end{cases}}}
を満たす 。但し、 | x , J ⟩ := | x ⟩ ⊗ | J ⟩ ∈ H P ⊗ H C {\displaystyle |x,J\rangle :=|x\rangle \otimes |J\rangle \in {\mathcal {H}}_{P}\otimes {\mathcal {H}}_{C}} である 。