ワイエルシュトラスの因数分解定理
である。
以上の性質を利用すると、本定理を証明するために必要な次の補題が証明できる。
補題: | z | < 1 , n ∈ N 0 {\displaystyle |z|<1,\ n\in \mathbb {N} _{0}} に対し、
| log  E n ( z ) | < | z | n + 1 n + 1 1 1 − | z | {\displaystyle |\log E_{n}(z)|<{\frac {|z|^{n+1}}{n+1}}{\frac {1}{1-|z|}}}
証明: log  E n ( z ) {\displaystyle \log E_{n}(z)} に対して、上のいくつかの式を適用すると次のようになる。
log  E n ( z ) = log  ( 1 − z ) + h n ( z ) = − h ∞ ( z ) + h n ( z ) = − r n ( z ) {\displaystyle \log E_{n}(z)=\log(1-z)+h_{n}(z)=-h_{\infty }(z)+h_{n}(z)=-r_{n}(z)}
代数学の基本定理から 2つのことが分かる。
複素平面内の有限列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} に対し、正確にその数列の値に零点を持つ多項式 p ( z ) {\displaystyle p(z)} が存在する。 p ( z ) = ∏ n ( z − a n ) {\displaystyle p(z)=\,\prod _{n}(z-a_{n})}
複素平面内のすべての多項式函数 p ( z ) {\displaystyle p(z)} は、因数分解 p ( z ) = c ∏ n ( z − a n ) {\displaystyle p(z)=c\prod _{n}(z-a_{n})} を持つ。ここで、c は 0 でない定数で、an は p の零点である。
上記の方法を整函数へ拡張する方法を考える。その場合の最大の問題点は、一般の整函数の場合、数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有限でない、つまり、零点が可算無限個存在する場合もあり得るということである(例えば、 s i n z {\displaystyle sin\ z} )。
もし、無限数列 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} が集積点を持てば、一致の定理により { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} を零点とする函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は、複素平面全体で恒等的に 0 である。一方、無限数列 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} が有界であれば、必ず集積点を持つ(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)。
従って、函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が、 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} の要素を零点とし、かつ複素平面全体で恒等的に 0 ではないためには、 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は有界であってはならないことになる。これは任意の正数 R {\displaystyle R} に対して自然数 N {\displaystyle N} が決まり、 n > N {\displaystyle n>N} であれば | a n | > R {\displaystyle |a_{n}|>R} となるという条件と同値である。