双曲型集合
M はコンパクトかつ滑らかな多様体、f: M → M は微分同相、Df: TM → TM は f の微分(英語版)とする。f-不変な M の部分集合 Λ が双曲型である、あるいは双曲型構造を持つとは、M の接束の Λ への制限を、安定束 E および不安定束 E と呼ばれる二つの Df-不変な部分束に分解できることを言う。M 上のあるリーマン計量に関して、Df の E への制限は縮小であり、E への制限は拡大となる。したがって、ある定数 0<λ<1 および c>0 が存在し、
T Λ M = E s ⊕ E u , {\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u},}
( D f ) x E x s = E f ( x ) s {\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}} and ( D f ) x E x u = E f ( x ) u {\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}} for all x ∈ Λ , {\displaystyle x\in \Lambda ,}
‖ D f n v ‖ ≤ c λ n ‖ v ‖ {\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|} for all v ∈ E s {\displaystyle v\in E^{s}} and n > 0 {\displaystyle n>0} ,
および
‖ D f − n v ‖ ≤ c λ n ‖ v ‖ {\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|} for all v ∈ E u {\displaystyle v\in E^{u}} and n > 0 {\displaystyle n>0}
が成り立つ。Λ が双曲型であるなら、c = 1 となるようなあるリーマン計量が存在し、そのような計量は適合(adapted)と呼ばれる。