パドヴァン数列
パドヴァン数列は、漸化式 a 0 = a 1 = a 2 = 1 , a n = a n − 2 + a n − 3 {\displaystyle a_{0}=a_{1}=a_{2}=1,\,a_{n}=a_{n-2}+a_{n-3}} で表される数列である。
第0~22項の値は次のとおりである:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000931)
この、各項が2つ前と3つ前の項の和で与えられる数列は、イタリアの建築家リチャード・パドヴァン(英語版)にちなんでパドヴァン数列と呼ばれている。
パドヴァン数列の特性方程式
x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0}
の唯一の実数解より,パドヴァン数列の連続する2項の比はプラスチック比
ρ = 9 + 69 18 3 + 9 − 69 18 3 = 1.324717957244746 ⋯ {\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}=1.324717957244746\cdots }
に次第に近づくことになる。