S行列
すなわち t ′ = − ∞ {\displaystyle t'=-\infty } において系の状態ベクトル | ψ I ( t ′ = − ∞ ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t'=-\infty )\rangle } を以下のように設定しておく。
| ψ I ( t ′ = − ∞ ) ⟩ = | Φ i ⟩ H ^ 0 | Φ i ⟩ = E i | Φ i ⟩ ⟨ Φ i | Φ j ⟩ = δ i , j {\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{I}(t'=-\infty )\rangle &=|\Phi _{i}\rangle \\{\hat {H}}_{0}|\Phi _{i}\rangle &=E_{i}|\Phi _{i}\rangle \\\langle \Phi _{i}|\Phi _{j}\rangle &=\delta _{i,j}\end{aligned}}}
このとき状態の時間変化は時間発展演算子を用いて以下のように表せる。
| ψ I ( t ) ⟩ = U ^ ( t , − ∞ ) | ψ I ( − ∞ ) ⟩ = U ^ ( t , − ∞ ) | Φ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {U}}(t,-\infty )|\psi _{I}(-\infty )\rangle ={\hat {U}}(t,-\infty )|\Phi _{i}\rangle }