多重ガンマ関数
多重ガンマ関数の定義は所謂ゼータ函数正規化の発想によるものである。ミルナーの深い正規積を用いて多重ガンマ関数を一般化したものを一般正規多重ガンマ関数という:
Γ N , k ( w | a 1 , . . . , a N ) = exp  ( ∂ ∂ s ζ N ( s , w | a 1 , . . . , a N ) | s = − k ) {\displaystyle \Gamma _{N,k}(w|a_{1},...,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})\right|_{s=-k}\right)}
一般正規多重ガンマ関数に対しては、オイラー=ルジャンドルの倍角公式およびラーベの公式の一般化が発見されている。
多重ガンマ関数はヴァイエルシュトラス型の無限積表示を持ち、有理型関数である様子がはっきりと見て取れる。また、この表示からは極のありかも一目瞭然である。 二重ガンマ関数の場合は以下のようになる:
Γ 2 ( w | a 1 , a 2 ) = e λ 1 w + λ 2 w 2 w ∏ ( n 1 , n 2 ) ∈ N 2 ( n 1 , n 2 ) ≠ ( 0 , 0 ) e w n 1 a 1 + n 2 a 2 − 1 2 w 2 ( n 1 a 1 + n 2 a 2 ) 2 1 + w n 1 a 1 + n 2 a 2 , {\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}
ここで、 λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} は w {\displaystyle w} と独立な係数