全射
写像 f: X → Y が全射となる必要十分条件は、それが右消約的であること、即ち「与えられた写像 g1, g2: Y → Z が g1 ∘ f = g2 ∘ f を満たす限り常に g1 = g2 が言えること」である。この性質は、写像とその合成によって定式化されているから、より一般に圏における射 (morphism) とその合成についての性質に一般化できる。即ち、右消約的な射はエピ射あるいは全型射(圏論的全射)であるという。写像が(集合論的)全射 (surjection) ならば、それはちょうど集合の圏における全型射 (epimorphism) になっている。接頭辞の ἐπί はギリシャ語で「上の」を意味する言葉である。
右逆型射をもつ任意の射は全型射であるが、逆は一般には正しくない。射 f の右逆 g は f に対する切断(英語版)と呼ばれ、右逆を持つ射は分裂型全型射 (split epimorphism) であるという。
全射の始域の濃度は、余域の濃度以上である。つまり f: X → Y が全射ならば、X は少なくとも Y の元の(濃度の意味での)個数と等しい数の元を含む。ただし、このことの証明には、Y の任意の元 y に対して f(g(y)) = y を満たす写像 g: Y → X の存在を言うために選択公理が必要になる。g が単射であることを見るのは容易であるから、定義により |Y| ≤ |X| が得られる。
特に、X と Y が同じ数の元を持つ有限集合であるときには、f: X → Y が全射であることと f が単射であることとが同値になる。