排中律
なぜなら、直観主義では自然数が全体として完全であるとは考えないからである。 (Kleene 1952:49-50)
実際、ヒルベルトとブラウワーはそれぞれ、排中律を無限に適用する例を示している。ヒルベルトの例は「素数は有限個か無限個か」(Davis 2000:97) であり、ブラウワーの例は「全ての数学的種は有限か無限か」(Brouwer 1923 in van Heijenport 1967:336) である。
一般に、直観主義では有限な集合に関して排中律の適用を許すが、無限集合(例えば、自然数)に対しては許さない。したがって、「無限集合 D に関する全ての命題 P について、P であるかまたは P でないかのどちらかである」(Kleene 1952:48) という言い方は、直観主義では絶対できない。詳しくは、数学基礎論と直観主義を参照されたい。
排中律についての推定的反例として、嘘つきのパラドックスあるいはクワインのパラドックスがある。Graham Priest の dialetheism では、排中律を定理とするが、嘘つきのパラドックスは真でもあり偽でもあると説明する。この場合、排中律は真だが、真であるがゆえに選言は排他的ではなく、選言肢の一方が逆説的だったり、両者がともに真でありかつ偽であることもありうるとする。
論理の古典的体系では、同一律、無矛盾律とともに、思考の三原則を成す。ただし、論理体系によっては等価な別の主張(二重否定の除去やパースの法則など)が公理として採用されることもある。
直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない(すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない)。ただし、排中律の二重否定 ¬¬(P ∨ ¬P) や三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。
誤謬の一種である誤った二分法のことを「排中の誤謬」(英語: the fallacy of the excluded middle)と呼ぶことがあるが、それぞれの定義の通りこれらは異なる概念である。