階冪
正の整数におけるn の階冪(かいべき、英: expofactorial)あるいは指数階乗(しすうかいじょう、英: exponential factorial)とは、 1を最初の冪指数、2を最初の底(英語版)として最初の冪乗をつくり、その冪乗を次の指数、3を底としてその次の冪乗をつくりと繰り返し、 n を最後の底としてつくった冪乗の値を示す。つまりは
n $ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 1 {\displaystyle n\$=n^{(n-1)^{(n-2)\cdots {1}}}}
階冪は、漸化式で定義することもできる。
a 0 = 1 , a n = n a n − 1 {\displaystyle a_{0}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}}
階冪の最初の5つの値は、1, 1, 2, 9, 262144, となる。 (オンライン整数列大辞典の数列 A049384) よって262144は4の階冪である。
262144 = 4 3 2 1 {\displaystyle 262144=4^{3^{2^{1}}}}
漸化式を使用すると、最初の6つの階冪は以下のように導ける。
0 $ = 1
1 $ = 1 = 1
2 $ = 2 = 2
3 $ = 3 = 9
4 $ = 4 = 262144
5 $ = 5 = 6206069878 ... 8212890625(183231桁)
階冪は階乗やhyperfactorial(ハイパー階乗)より遥かに大きな値となる。