数論の有効な結果
1900年から1950年までの間に証明された解析的整数論の主要な結果の多くは、実際には有効でなかった。下に主要な例を列挙する。
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
1929年の整数点についてのジーゲルの定理
1934年、ハンス・ハイルブロン(英語版)(Hans Heilbronn)とエドワード・リンフット(英語版)(Edward Linfoot)の類数 1の問題
1935年、ジーゲルの零点(英語版)(Siegel zero)について
ジーゲルの零点を基礎とするジーゲル・ウォルフィッツの定理
理論的に不完全なままの具体的情報として、類数の下限(ある数体の族に対するイデアル類群の類数が、どのように増大するかに対して)や分母による代数的数の最良な有理数近似の境界があったが、後者はアクセル・トゥエ(英語版)(Axel Thue)の仕事以後、ディオファントス方程式の結果として直接的に理解されるようになった。証明中でリウヴィル数に使った結果は、平均値の定理を適用する方法で有効であったが、(現在トゥエ・ジーゲル・ロスの定理として知られているものへの)改良は有効でなかった。
その後の結果、特にアラン・ベイカーの成果によって上記の状況から変化した。定性的に言うとベイカーの定理の主張は弱く見えるが、式に陽的な定数を含んでいるため、(完全だろうと推測される)解のリストが実際に全ての解の集合であることを計算機を使って証明することができる。