四重積 (ベクトル解析)
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) = ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) {\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)}
を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。
また、特別な場合である
‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}}
も有用な公式でラグランジュの恒等式(英語版)と呼ばれる。