アスコリ＝アルツェラの定理
アスコリ=アルツェラの定理は、より一般に、d-次元ユークリッド空間 R に値を取る函数 fn に対しても成立し、その証明は非常に簡潔である。すなわち、R-値の場合の結果を d 回適用することで、第一座標において一様収束する部分列を選び、その中から第二座標において一様収束する部分列を選ぶ、という手順を繰り返せばよい。上述の例は、ユークリッド空間に値を取る函数の場合に対しても容易に一般化される。
有界性と同程度連続性の定義は、任意のコンパクト距離空間、あるいはさらに一般のコンパクトハウスドルフ空間に対して一般化される。X をコンパクトハウスドルフ空間とし、C(X) を X 上の実数値連続函数の空間とする。部分集合 F ⊂ C(X) が同程度連続であるとは、すべての x ∈ X と ε > 0 に対し、x が次を満たす近傍 Ux を持つことをいう。
集合 F ⊂ C(X, R) が各点有界(pointwise bounded)であるとは、すべての x ∈ X に対して次が成立することをいう。
アスコリ=アルツェラの定理の別の場合は、コンパクトハウスドルフ空間 X 上の実数値連続函数の空間 C(X) に対しても同様に成り立つ (Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.7):
X をコンパクトハウスドルフ空間とする。このとき、C(X) の部分集合 F が一様ノルムによって導かれる位相において相対コンパクトであるための必要十分条件は、それが同程度連続かつ各点有界であることである。
したがってアスコリ=アルツェラの定理は、コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数の環の研究における基本的な結果である。
上述の結果には様々な一般化が存在する。