ブラック–ショールズ方程式
ブラック-ショールズ方程式によるオプション価格において、株価、満期までの残存期間、行使価格、金利は全て市場で観測可能であるが、ボラティリティのみが直接観測不可能で何らかの方法で推定しなくてはならない。そこでブラック-ショールズ方程式による理論上のオプション価格が現実価格と等しいと仮定して実際のオプションの市場価格から逆算されたボラティリティのことをインプライド・ボラティリティ(英: implied volatility)と言う。ブラック-ショールズ方程式が正しければ、あらゆる水準の株価、満期までの残存期間、行使価格、金利においてインプライド・ボラティリティは等しいはずだが、実際に計算されるインプライド・ボラティリティはそうではないことが知られている。
もし株式に配当が含まれたとしても、ブラック–ショールズ方程式は細部の変更のみで成立する。ここで St で表される株式には配当が存在し、その配当は連続的に支払われるものとする。単位時間当たりの配当利回りを q とする。この時、株価の従う確率微分方程式は
d S t = σ S t d W t + ( μ − q ) S t d t {\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+(\mu -q)S_{t}dt}
となる。ただし、この株式を保有していると配当が得られるので、自己資金充足的なポートフォリオは次の確率積分方程式を満たす。
a t S t + b t B t = a 0 S 0 + b 0 B 0 + ∫ 0 t a s d S s + ∫ 0 t b s d B s + ∫ 0 t a s q S s d s {\displaystyle a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}=a_{0}S_{0}+b_{0}B_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}dS_{s}+\int _{0}^{t}b_{s}dB_{s}+\int _{0}^{t}a_{s}qS_{s}ds}
あとは全く同様の議論を繰り返すことで次の偏微分方程式が得られる。