J-不変量
c 4 = b 2 2 − 24 b 4 , c 6 = − b 2 3 + 36 b 2 b 4 − 216 b 6 {\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}
と定義することができ、
Δ = − b 2 2 b 8 + 9 b 2 b 4 b 6 − 8 b 4 3 − 27 b 6 2 {\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}}
と表すと、これは楕円曲線の判別式を表している。
ここで、楕円曲線の j-不変量を
j = c 4 3 Δ {\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }}
と定義する。
楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は
j = 1728 c 4 3 c 4 3 − c 6 2 {\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}
と書き直すことができる。