スペクトル密度
連続信号 f(t) のエネルギースペクトル密度は次の式で定義される。
E S D ( ω ) = | 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t | 2 = F ( ω ) F ∗ ( ω ) 2 π {\displaystyle ESD(\omega )=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^{2}={\frac {F(\omega )F^{*}(\omega )}{2\pi }}}
ω は角周波数、F(ω) は f(t) の連続フーリエ変換、F(ω) はその複素共役である。 1 / 2 π {\displaystyle 1/2\pi } という係数は絶対的なものではなく、フーリエ変換での正規化定数の定義に依存する。f(t) が有限エネルギー信号であるとき、その信号のスペクトル密度 ESD(ω) は、信号をフーリエ変換したときの大きさの2乗である。
すなわちESDは信号のエネルギーが周波数についてどのように分布するかを示す。
周波数分布を示すグラフは、ほとんどの場合スペクトル密度を表している。完全な周波数スペクトルを描く場合、振幅と周波数のグラフ(スペクトル密度に相当)と位相と周波数のグラフ(スペクトル密度以外の情報)で表される。信号 f(t) の波形は、完全な周波数スペクトルがあれば再現できる。信号 f(t) をスペクトル密度情報だけから再現することはできない。
スペクトル密度関数の中点を、その信号のスペクトル重心と呼ぶ。すなわち、その周波数を分割点として、上と下でエネルギーが拮抗する。
スペクトル密度は周波数の関数であって、時間の関数ではない。しかし、長い信号の非常に短い期間のスペクトル密度を計算することもでき、それらを時系列に並べることもできる。そのようなグラフをスペクトログラムと呼ぶ。これは、短時間フーリエ変換やウェーブレット変換などのスペクトル解析技法の基本である。
スペクトル密度を信号とみなし、フーリエ変換して得られる信号をケプストラムと呼ぶ。すなわち、スペクトルのスペクトルである。