論理学の歴史
この時期は、特に1950年代とそれ以降は、数理論理学の概念が哲学的思考に影響を与え始めた時期でもある。例えば、時制論理は時間で修飾された文を表現し、推理するために形式化された体系である。哲学者アーサー・プライアーは1960年代においてこの分野の発展に大きな役割を果たした。様相論理は形式論理学の射程を拡張してモダリティの要素(例えば、論理的可能性や必要性)を包含するようにした。ソール・クリプキの思想、特に可能世界に関する思想と今日クリプキ意味論と呼ばれている形式的体系は分析哲学に重大な影響を及ぼした。彼の最もよく知られ最も影響力を持った著作は『名指しと必然性』(1980年)である。義務論理は様相論理と緊密に関係している: 義務論理は義務、許可、その他関連する概念の論理的特徴を把握しようとする。アレクシウス・マイノングの弟子エルンスト・マリーはホワイトヘッドとラッセルの命題計算の統語論に基づいて『義務の基本法則』(独:Grundgesetze des Sollens)で初めて形式的な義務体系を提議した。第二次世界大戦後に創始された他の論理体系としてイランの数学者ロトフィ・ザデーが1965年に始めたファジィ論理がある。
共義語は論理学的に必須の単語であるが、自義語 (羅: categoremata) とは違って単独で何かを意味することができず、他の言葉と伴うことで「共に意味する」ことができる。「と」、「ない」、「全ての」、「もし」などが共義語の例である。
推断 (羅: consequentia) の理論。推断は仮定的・条件的な命題、つまり二つの命題が「もし...ならば~」という形でつながった命題である。例えば「人間が走るなら神は存在する」(羅: Si homo currit, Deus est)。オッカムのウィリアムの『論理学大全』で推断の理論の完全に発達した姿がみられる。そこでオッカムは「質量的な」推断と「形式的な」推断とを区別しているが、これは大まかに言ってそれぞれ現代の論理包含と論理的示唆と同等である。同様の説明がヨハネス・ブリダヌスおよびサクソニアのアルベルトゥスによってもなされている。
この流れの最後に位置する重要な作品としてはヨハネス・ポインソト(1586年-1664年、聖トマスのヨハネスとして知られる)の『論理学』、フランシスコ・スアレス(1548年–1617年)の『形而上学的論争』、ジョバンニ・ジローラモ・サッケーリ(1667年–1733年)の『実証論理学』(羅:Logica Demonstrativa)がある。
ラプラスが定積分の計算を間違えたために月の軌道に関する誤りが起き、それが50年近く存続したとしても、誤りがひとたび見つけられると大きな論争を起こすことなく正されるとC・S・パースは述べている。パースはこれを伝統論理学にまつわる不確かさと、そして特に形而上学における推論と対比させているのである。真に「正確な」論理学は数学的な、つまり「図式的」・「記号的」な思考に基づくと彼は主張した。「こういった方法に則る者たちは[...]ひとたび疑われるとすぐに正されるものを除いてあらゆる誤りから免れるだろう。」 また、現代論理学は「抽象的」であるよりもむしろ「構成的」である; つまり、自然言語(あるいは妥当性に関する心理学的直観)から導き出した一般原理を抽象化・定式化するよりもむしろ、形式的な方法によって一般原理を構成し、その後に自然言語における解釈を模索するのである。これは完全に記号的である、つまり(中世論理学者が共義語と呼んだ)論理的に不変なものと自義語の両方が記号で表される。最終的に、現代論理学は心理的・認識論的・形而上学的な問いを堅く退ける。
量化子による表現「全ての人間」は「全ての人間」と論理的・意味論的形式において異なり、普遍命題「全てのAはBである」は二つの「関数」、つまり「-はAである」と「-はBである」の、前者を満足する-は全て後者も満足するような合成命題であるとフレーゲは主張した。現代の記法では、これは以下のように表現される
(x) Ax -> Bx
日本語で書き下せば「全ての(任意の)xについて、AxならばBxである」となる。単称命題だけは主語-述語の形式をとり、還元できずに単称である、つまり一般命題に還元できない。対照的に普遍命題と特殊命題は単純な主語-述語の形式を決してとらない。「全ての哺乳類」が「全ての哺乳類は陸生である」という文の論理的主語であれば、文全体を否定するために述部を否定して「全ての哺乳類が陸生『というわけではない』」という文を与えるであろう。しかしこの場合はそうではない。このような通常言語文の関数的な分析は後に哲学と言語学に甚大な影響を与えた。
これはフレーゲの計算においては、ブールの「一次」命題が「二次」命題から異なった形で表せることを意味する。「全ての住民はヨーロッパ系かアジア系のどちらかである」は
(x) [ I(x) -> (E(x) v A(x)) ]
と表せるのに対して「全ての住民がヨーロッパ系であるか全ての住民がアジア系であるかのどちらかである」は
(x) (I(x) -> E(x)) v (x) (I(x) -> A(x))
フレーゲはブールの計算を否定して次のように述べている: