ボレル・カンテリの補題
[ E n ] {\displaystyle [E_{n}]} を事象 E n {\displaystyle E_{n}} の指示関数とする(アイバーソンの記法)。ルベーグの単調収束定理より
E  ( ∑ n [ E n ] ) = ∑ n E  ( [ E n ] ) = ∑ n Pr ( E n ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{n}[E_{n}]\right)=\sum _{n}\operatorname {E} ([E_{n}])=\sum _{n}\Pr(E_{n})<\infty }
よって
Pr ( ∑ n [ E n ] = ∞ ) = 0 {\displaystyle \Pr \left(\sum _{n}[E_{n}]=\infty \right)=0}
なぜなら、さもなければ
E  ( ∑ n [ E n ] ) ≥ ∫ { ∑ n [ E n ] = ∞ } ( ∑ n [ E n ] ) d Pr = ∞ {\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{n}[E_{n}]\right)\geq \int _{\{\sum _{n}[E_{n}]=\infty \}}\left(\sum _{n}[E_{n}]\right)\,\mathrm {d} \mathbb {\Pr } =\infty }
となるからである。