交換子
環 R の元 A を一つ固定して、上に挙げた有用な関係式の最初のものを考えると、これは写像
D A : R → R ; B ↦ [ A , B ] {\displaystyle D_{A}\colon R\to R;\quad B\mapsto [A,B]}
に対する積の微分法則と解釈することができる。言い換えれば、写像 DA は環 R 上の導分(微分作用素)を定める。
ベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式の特別な場合だが、交換子を用いて書ける次の恒等式
e A B e − A = B + [ A , B ] + 1 2 ! [ A , [ A , B ] ] + 1 3 ! [ A , [ A , [ A , B ] ] ] + ⋯ {\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots }
は有用である。