ファルティングスの定理
1983年のファルティングスの論文は、それ以前に予想されていた多くの主張の結果として得られた。
モーデル予想(Mordell conjecture):数体上の種数が 1 よりも大きな曲線は有限個の有理点しか持たない。
シャファレビッチ予想(Shafarevich conjecture):決められた次元の、決められた数体上の偏極次数を持ち、決められた有限個の座(place)の有限集合の外側では良い還元(英語版)(good reduction)を持つアーベル多様体の同型類は、有限個しか存在しない。
同種定理(Isogeny theorem):同型なテイト加群(英語版)(Tate module)を(ガロア作用、Ql-加群として)もつアーベル多様体は同種である。
モーデルの予想は、Parshin (1971) によってシャファレビッチ予想へ帰着された。ファルティングスの定理の応用の例として、フェルマーの最終定理の弱い形がある。決められた n > 4 に対し、a + b = c には有限個の整数解しか存在しない。なぜなら、n に対し、曲線 x + y = 1 は種数が 1 よりも大きいからである。