ワトソンの五重積
0 = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m q m ( m + 1 ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) = ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q m ( m + 1 ) ( n ↦ − ( m + 1 ) ) = ∑ m = − ∞ ∞ ( − 1 ) m ( q 6 ) m ( m − 1 ) ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 2 n − 2 q 3 n 2 − 3 n + 2 z 3 n − 2 = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m + 2 n − 2 q 6 m ( m − 1 ) + 3 n 2 − 3 n + 2 z 3 n − 2 = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − 2 − k q ( 3 n − 2 − 2 k ) ( 3 n − 1 − 2 k ) + 2 j 2 z 3 n − 2 ( m ↦ n − k ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad (n\mapsto {-(m+1)})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}(q^{6})^{m(m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{2n-2}q^{3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^{2}}z^{3n-2}\qquad (m\mapsto {n-k})\\\end{aligned}}}