確率行列
数学における確率行列(かくりつぎょうれつ、英: stochastic matrix)とは、マルコフ連鎖の遷移確率を表す正方行列である。全ての成分が、確率を表す非負実数となっている。文脈によって遷移行列、置換行列、マルコフ行列と呼ばれることもある(順にtransition matrix, substitution matrix, Markov matrix)。また英語では probabilistic matrix と呼ばれることもある。
確率行列は20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて導入され、確率論、統計学、数理ファイナンス、線形代数学、計算機科学、集団遺伝学といった様々な分野で活用されてきた。
確率行列には、いくつかの異なる定義・形式がある :
右確率行列(right stochastic matrix)とは、任意の行の和が1となる非負実数成分の正方行列である。
左確率行列(left stochastic matrix)とは、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。
二重確率行列(doubly stochastic matrix)とは、任意の行、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。
同様にして、確率ベクトル(英語版)(stochastic vector または probability vector) を、全ての成分が非負の実数で和が1となるベクトルと定義できる。右確率行列の全ての行(左確率行列の全ての列)は確率ベクトルである。
数学の文献での慣習に従い、本項では行ベクトルが確率ベクトルとなる右確率行列について述べる。
一般に定常な確率ベクトルは複数存在するかもしれないが、確率行列の全ての成分が正であれば(より一般的には、確率行列が既約かつ非周期的(エルゴード的(英語版)(ergodic))であれば)、このようなベクトルは一意的であり、任意の状態 i {\displaystyle i} に対し次の極限をとることで計算できる。
lim k → ∞ ( P k ) i , j = π j {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(P^{k}\right)_{i,j}={\boldsymbol {\pi }}_{j}}
ここで π j {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{j}} は行ベクトル π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} の第 j {\displaystyle j} 成分。これより、長期的に見たとき状態 j {\displaystyle j} に到る確率は初期状態 i {\displaystyle i} に依らないことが分かる。どのような初期分布から計算しても極限では同一の定常分布に到るという事実はエルゴード定理の一形態であり、多様な散逸構造(系が時間発展し、安定的な状態に達する)において一般的に成り立っている。
直観的には確率行列はマルコフ連鎖を表し、(行ベクトルとしての)確率分布に右確率行列を右から作用させることは、元の分布の確率質量を(総和1を保ちつつ)次の確率分布へ再分配することに相当する。この作用を反復していくとマルコフ連鎖の定常状態に収束する。
状態 5 は吸収状態であり、吸収までの時間は離散的相型分布(英語版)に従う。系が状態 2 から始まったとする(ベクトルで表すと [ 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ] {\displaystyle [0,1,0,0,0]} )。ネズミが死んでしまう状態は平均生存時間に寄与しないから、状態 5 は考えなくてよい。すると初期状態と遷移確率を表す行列は次のように縮小化できる。
τ = [ 0 , 1 , 0 , 0 ] , T = [ 0 0 1 2 0 0 0 1 0 1 4 1 4 0 1 4 0 0 1 2 0 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=[0,1,0,0],\qquad T={\begin{bmatrix}0&0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{4}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}}}
また、
( I − T ) − 1 1 = [ 2.75 4.5 3.5 2.75 ] {\displaystyle (I-T)^{-1}{\boldsymbol {1}}={\begin{bmatrix}2.75\\4.5\\3.5\\2.75\end{bmatrix}}}