位相空間
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」 という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ(連結である)が、二つの交わらない閉区間を合併した [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] {\displaystyle [0,1]\cup [2,3]} という位相空間は連結ではない。
点xの近傍Nはx ∈ O ⊂ Nを満たし、距離空間における開集合Oは B ε ( x ) ⊂ O {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)\subset O} を満たす。したがって以下のように基本近傍系の概念を定義すると、距離空間においては { B ε ( x ) ∣ ε > 0 } {\displaystyle \{B_{\varepsilon }(x)\mid \varepsilon >0\}} が基本近傍系になっている事がわかる。また一般の位相空間でも開近傍全体の集合が基本近傍系になる事がわかる。
定義 (基本近傍系) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、xをXの点とし、 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} をxの近傍系とする。 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} の部分集合 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} が以下を満たすとき、 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} をxにおける基本近傍系という:
O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事から O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合は準開基の有限積集合の(有限または無限)和集合として書き表せる。
開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある:
命題 (開基と基本近傍系の関係) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の各点xに対し、開集合からなる基本近傍系 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} が定義されているとき、
⋃ x ∈ X N x {\displaystyle \bigcup _{x\in X}{\mathcal {N}}_{x}}
は O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基である。また B {\displaystyle {\mathcal {B}}} を O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基とすると、
N x = { B ∈ B ∣ x ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}\mid x\in B\}}
はxの基本近傍系である。
lim λ → ∞ x λ = a {\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }x_{\lambda }=a} 、 lim Λ x = a {\displaystyle \lim _{\Lambda }x=a}
等と表す。
B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} をxの基本近傍系とするとき、以上の定義における「xの任意の近傍U」を「 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} の任意の元U」に変えたとしても定義としては同値になる。
よって特に、距離空間から定義される位相空間の場合は、「xの任意のεー近傍」としてもよい。従って点列の収束に関しては位相空間におけら収束と本章の冒頭にあげた距離空間における収束の定義は一致する。
そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} においては
有界閉集合である事
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
ハイネ・ボレルの定理の結論部分
の3つは同値となる。しかも上記の2,3はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。
したがって2もしくは3の一方を満たす(同値なので実は2,3の両方を満たす)事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の2に関しては若干の補正が必要になり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分における「点列」を「有向点族」に置き換える必要がある。詳細はコンパクト空間を参照。
近傍系は以下の性質を満たす:
定義 (ハウスドルフの公理系) ― 点xの近傍系を N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} で表すとき、Xの任意の部分集合N、N'、Mに対して以下が成立する。
N , N ′ ∈ N x ⇒ N ∩ N ′ ∈ N x {\displaystyle N,N'\in {\mathcal {N}}_{x}\Rightarrow N\cap N'\in {\mathcal {N}}_{x}}
N ∈ N x , M ⊃ N ⇒ M ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x},~M\supset N\Rightarrow M\in {\mathcal {N}}_{x}}
N ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}} であれば、ある L ∈ N x {\displaystyle L\in {\mathcal {N}}_{x}} が存在し全ての y ∈ L {\displaystyle y\in L} に対して N ∈ N y {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{y}}
ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける:
を入れた距離空間 ( R n , d p ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})} を考えてみると、ε-N論法やε-δ論法による極限の議論で用いるε-近傍はpに依存して異なるにもかかわらず、収束の有無や収束先の点はpによらず一致する。
より一般に、ユークリッド空間をゴム膜のように連続変形したものは、元のユークリッド空間とは距離空間としては異なるが、位相空間としては同一であり、収束するか否かという性質も互いに保たれて不変である。
以上のように、連続性や収束性といった概念を考えたり、連続変形を対象とした研究を行ったりするときには、距離空間の概念は柔軟性に欠けるところがあり、位相空間というより弱い概念を考える積極的動機の一つとなる。
他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。