順序集合
S, T を順序集合とし、f: S → T を写像とする。このとき
f: S → T が順序を保つ(英語版)(order-preserving)(同調 (isotone) とも)とは、
任意の x, y ∈ S に対して x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f (y)
f: S → T が順序を逆にする(order-reversing(英語版))とは、
任意の x, y ∈ S に対して x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
上の2つを合わせて単調 (monotone) 写像という。
f が順序を反映する (order-reflecting) とは、
任意の x, y ∈ S に対して f (x) ≤ f (y) ⇒ x ≤ y
f が順序埋め込み(英語版)であるとは、
任意の x, y ∈ S に対して x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y)
f が順序同型写像(英語版)であるとは、f が順序埋め込みな全単射であることをいう。
f: S → T が順序埋め込みであるとき、S は f によって T に(順序集合として)埋め込まれるという。 また順序同型 f: S → T が存在するとき、S と T は順序同型あるいは単に同型であるという。
上で述べたようにアレクサンドロフ位相は [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} のような「下に閉じた」集合すらも開集合と見なしてしまう。アレクサンドロフ位相からこのような不自然さを取り除いたのがスコット位相である。順序集合 P 上のスコット位相 (Scott topology) とは、以下の2条件を満たす P の部分集合 O 全体の集合を開集合族とする位相である:
O ⊂ P は上方集合である
P の有向部分集合 A で(A を自然に有向点族と見なしたときの)A の極限がO に入っていれば、A の点でO に含まれるものが存在する
後者の条件は内点概念の点列による特徴づけ(O の内点x に収束する点列はO と共通部分を持つ)に類似しており、この条件が「下に閉じた」集合を排除する。
よって実数体にスコット位相を入れた際、実数体上の開集合は以下のもののいずれかになる:
( a , ∞ ) {\displaystyle (a,\infty )} for some a