線形多自由度系の振動
多自由度系では多数の変数や係数を扱うため、行列とベクトルを使って運動方程式を記す。自由度が n の線形多自由度系の一般的な運動方程式は、次のように書き表される。
ここで、ẍ, ẋ, x, f は n 次元縦ベクトル、M, C, K は n 次正方行列で、以下のように表される。
x ̈ = ( x ̈ 1 x ̈ 2 ⋮ x ̈ n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {x}}}={\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\\\vdots \\{\ddot {x}}_{n}\end{pmatrix}}} , x ̇ = ( x ̇ 1 x ̇ 2 ⋮ x ̇ n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\begin{pmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{pmatrix}}} , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} , f = ( f 1 f 2 ⋮ f n ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}}
x は変位ベクトルと呼ばれる。その成分の x は、静的な釣り合いの位置を原点とした各自由度の変位あるいは一般化座標を表している。ẋ は速度ベクトル、ẍ は加速度ベクトルと呼ばれる。成分の ẋ は x の時間1階微分すなわち各自由度の速度を意味し、ẍ は x の時間2階微分すなわち各自由度の加速度を意味する。
f は外力ベクトルと呼ばれる。成分の f は各一般化座標に対応して作用する外力で、一般的には時間の関数である。
M は質量行列や慣性行列、質量マトリックスや慣性マトリックスと呼ばれる。K は剛性行列や剛性マトリックスと呼ばれる。C は減衰行列や減衰マトリックスと呼ばれる。各成分の m, c, k は質量、粘性減衰係数、剛性(ばね定数)を表す。ここでの m は慣性係数ともいい、いわゆる質量だけでなく慣性モーメントなども含む。また、k は復元係数ともいい、通常のばね定数の他に回転ばね定数なども含む。
線形多自由度系の一般基礎式2.1は、線形1自由度系の基礎式1.1と形式は同じで、変位と外力がベクトルに、質量とばね定数と粘性減衰係数が行列に置き換わった式となる。ただし、対象の系の規模が大きくなり、複雑なものとなると、ニュートンの運動法則から運動方程式を導出するのは容易ではない。実際に多自由度系の運動方程式を立てる際は、エネルギーのスカラー量から形式的に運動方程式を導けるラグランジュの運動方程式が便利で、間違いを犯しにくく、多用されている。
得られた固有値あるいは固有角振動数の値を式3.4に代入すれば、0 以外の u の解が得られる。ここで得られる u の各成分は一意な値を持たず、定まるのは各成分の互いの比 u1 : u2 : ... : un だけである。一つの固有値あるいは固有角振動数に対応して一つの u が定まり、u は n 個存在する。このような固有値と固有ベクトルの組は固有ペアと呼ばれる。r 次の固有角振動数 ωr に対応する u を ur を表現すれば、 ur は
というベクトルである。ただし、上記のとおり、各成分 u1r, u2r, ..., unr は互いの比の値を表している。
式3.8で表されるベクトルが式3.4における固有ベクトルであり、振動工学では固有モード、振動モード、固有振動モード、基準振動モード、モードベクトルなどと呼ぶ。n 自由度系には n 個の固有角振動数があり、固有角振動数それぞれに対応する形で n 個の固有モードが存在している。各自由度の振幅比を決める固有モードは、固有角振動数が「振動の速さ」を表しているのに対して、「振動の形」を表していると言える。自由度の数の分だけ固有角振動数が存在し、それら固有角振動数に対応して固有モードが存在していることが、線形多自由度系の特有な性質といえる。
各々の固有モードを、対応する固有角振動数が小さい順に1次固有モード、2次固有モード、...、r 次固有モード、...、n 次固有モードと呼ぶ。特に、基本振動数(1次の固有角振動数)に対応する固有モードは基本モードと呼ばれる。固有モード ur を次数が低い順に並べて作る、下記のような行列をモード行列やモードマトリックスという。