群論
群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示
G = ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }
を通して与えられる。抽象群を与えるための最も重要な方法は、群 G とその正規部分群 H による商群あるいは剰余群と呼ばれる群 G/H を構成する操作である。代数体上のイデアル類群は早くから扱われてきた剰余群の例であり、数論において非常に重要である。群 G が集合 X 上の置換群であるとき、その剰余群 G/H はもはや X に作用しないものだが、抽象群を考えることによってこのような問題を心配する必要も無くなる。
具体的な群から抽象群へ視点を移すことにより、その群がどのように実現されているかということとは無関係に(現代的な言葉で言えば、同型のもとで不変な)群の性質について考察することが自然なものとなった。またこのような性質による群の分類も、有限群、捩れ群、単純群、可解群などといったものが考えられる。また、個々の群の性質を探ることよりも、群のクラスに対して広く適用できるような結果を確立する方法が求められた。このような新しいパラダイムは、数学の発展に対して傑出した重要性を持つものであり、ダフィット・ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーターおよび彼らに師事した数学者たちによって、抽象代数学が構築されていく前兆となるものであった。
置換群や行列群は、群が空間 X にその内在的な構造を保つように作用するという、変換群の概念の特別の場合である(置換群の場合は X は集合で、行列群の場合は X はベクトル空間であった)。変換群の概念は対称変換群(あるいは「対称性の群」)の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。
変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。ここで扱う群それ自体は、離散群かもしれないし連続群となるかもしれない。
同一化操作(E)は、分子をそのままにしておくことからなる。これは、任意の軸を中心とした任意の数の全回転に相当する。つまり同一性操作は、すべての分子がもつ対称操作である。軸周りの回転(Cn)は、分子を特定の回転軸を中心とした角度360°/n(nは整数)を通る回転である。例えば、水分子(H2O)において、酸素原子と二つの水素原子を含む平面上で二つのO-H結合のなす角を二等分する軸を中心に180度回転した場合は、開始時と同じ構成になる。この場合、n = 2となるので、水分子はC2の対称要素をもつ。複数の回転軸を有する分子において、nの値が最も大きいCn軸が最高位の回転軸または主軸である。例えばボラン(BH3)の場合、回転軸の最高次数はC3なので、回転軸の主軸はC3となる。鏡映(σ)は、分子内に位置する対称面に対し分子を反転する操作である。対称面が回転主軸に対して垂直な場合をσh(水平)といい、回転の主軸を含む他の平面は、σvまたはσdである。例えば、水分子(H2O)において、対称面は主軸を含むものしかないので、2つの対称要素σvを持つことになる。反転操作(i)は反転中心に対し分子を対称移動する操作である。水分子においては、反転中心が存在しない。回転反射操作または転義回転(improper rotation)(Sn)は回転してから、ついで回転軸に垂直な面内での鏡映という順序の操作を一つあるいはそれ以上繰り返す操作である。水分子においては転義軸を持たない。以上より、水分子は、E,C2,二つのσvを対称要素として持つことが分かる。これから水分子はC2vの点群に属することが分かる。