マルチカノニカル法
このことから、局所的なダイナミクスにおいてはトンネリング時間は拡散プロセスと同じようにスケールすることになり、したがってトンネリング時間はスペクトルのサイズ N の二乗に比例してスケールする。
τ t t ∝ N 2 {\displaystyle \tau _{tt}\propto N^{2}}
しかし、イジングモデルを初めとするいくつかの系では、スケーリングが致命的にスローダウンし、 N 2 + z {\displaystyle N^{2+z}} (ここで z > 0 {\displaystyle z>0} は系に依存する数)に比例してスケールするようになる。
スケーリングを改善し、致命的スローダウンを克服するため、非局所的ダイナミクスが開発されている(ウォルフのアルゴリズムを参照)。しかし、イジングモデルのようなスピン系において致命的スローダウンに陥いらないような局所的ダイナミクスが存在するのかどうかという疑問はいまだに答えの出ない問題である。
ある系とその位相空間 Ω {\displaystyle \Omega } (系のコンフィギュレーション r ∈ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\in \Omega } により張られる空間)とその位相空間上定義される「コスト」関数 F 、 そのスペクトル Γ {\displaystyle \Gamma } : F ( Ω ) = Γ = [ Γ min , Γ max ] {\displaystyle F(\Omega )=\Gamma =[\Gamma _{\min },\Gamma _{\max }]} を考える。
ある量の位相空間上の平均値 ⟨ Q ⟩ {\displaystyle \langle Q\rangle } を計算するには、以下のような積分を実行する必要がある。
⟨ Q ⟩ = 1 V ∫ Ω Q ( r ) p ( r ) d r {\displaystyle \langle Q\rangle ={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }Q({\boldsymbol {r}})p({\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}
ここで p ( r ) {\displaystyle p({\boldsymbol {r}})} は体積あたりの重み、
p ( r ) = 1 V ∫ Ω p ( r ) d r {\displaystyle p({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }p({\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}