固有値分解
例えば、行列 ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}} は複素数の固有値 ± i {\displaystyle \pm i} しか持たないため、実行列として考えている場合は固有値を持たない。また、行列 ( 2 1 0 2 ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&1\\0&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}} は固有値を持つが対角化不可能なものの例である。
d {\displaystyle d} 次行列 A ∈ M d ( K ) {\displaystyle A\in M_{d}(K)} が対角化可能である必要十分条件は、 A {\displaystyle A} の固有ベクトルが K d {\displaystyle K^{d}} の基底をなすこと、すなわち一次独立な A {\displaystyle A} の固有ベクトルの d {\displaystyle d} 個組 ( v 1 , ... , v d ) {\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{d})} が存在することである。