小平次元
多重種数は代数多様体の重要な双有理不変量であり、特に、多様体が有理的でないこと(つまり、射影空間に双有理的でないこと)を証明する最も簡単な方法は、d > 0 なるある多重種数 Pd がゼロではないことを示すことである。もし、KX の切断の空間がゼロでないならば、X から射影空間への自然な有理写像が存在して、
P ( H 0 ( X , K X d ) ) = P P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1}} ,
となり、これを d-標準写像と言う。多様体 X の標準環 R(KX) は次数付き環で
R ( K X ) := ⨁ d ≥ 0 H 0 ( X , K X d ) {\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d})}
である。
脚注の算術種数と幾何種数、不正則数も参照のこと。
多重種数 Pd が全ての d > 0 に対して 0 となるとき、X の小平次元を −∞ であると定義する。そうでないとき、Pd/d が有界な最小値 κ となる。n-次元多様体の小平次元は −∞ もしくは、0 から n までの間の整数である。