ハンケル変換
関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。
∫ 0 ∞ f ( r ) g ( r ) r d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) G ν ( k ) k d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r~dr=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k~dk.}
プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。
∫ 0 ∞ | f ( r ) | 2 r d r = ∫ 0 ∞ | F ν ( k ) | 2 k d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r~dr=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k~dk.}
これらのことは、基底の直交性から導かれる。