キャッソン不変量
非公式には、キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の基本群の群 SU(2) への表現の共役類の数の半分である。このことは次のように詳細に記述することができる。
コンパクトな向き付けられた 3-多様体 M の表現空間は、 R ( M ) = R i r r ( M ) / S O ( 3 ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(M)=R^{\mathrm {irr} }(M)/SO(3)} として定義される。ここに R i r r ( M ) {\displaystyle R^{\mathrm {irr} }(M)} は π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} の既約 SU(2) 表現の空間を表す。 M {\displaystyle M} のヒーガード分解(英語版)(Heegaard splitting) Σ = M 1 ∪ F M 2 {\displaystyle \Sigma =M_{1}\cup _{F}M_{2}} に対し、キャッソン不変量は ( − 1 ) g 2 {\displaystyle {\frac {(-1)^{g}}{2}}} と R ( M 1 ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{1})} と R ( M 2 ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{2})} との代数的交叉の積に等しい。