関数の微分
微分のいくつかの性質は、それぞれ対応する導関数の性質をそのまま当てはめた形で表現出来る。
線型性: 定数 a 、b と微分可能な関数f 、gに対して、
d ( a f + b g ) = a d f + b d g . {\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}
積の微分法則: 2つの微分可能な関数f 、gに対して、
d ( f g ) = f d g + g d f . {\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}
抽象代数学においては、これら2つの性質を満たす作用素d を導分(英語版) (derivation) と呼ぶ。
またこの性質により、累乗の微分に関して以下の関係が成り立つ。
d ( f n ) = n f n − 1 d f {\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}
さらに、様々な形に一般化された連鎖律が成り立つ。
y = f(u) が変数u に関する微分可能関数で、かつu = g(x) が変数x に関する微分可能関数である時、
d y = f ′ ( u ) d u = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x .