一般相対性理論の数学
この見た目にもかかわらず、接続係数は、テンソルの成分ではない。
一般的には、時空の各々の点でD 個の独立な接続係数が存在する。 Γ j i k = Γ i j k {\displaystyle \scriptstyle \Gamma _{ji}^{k}\;=\;\Gamma _{ij}^{k}} であるとき、接続は対称、または捩れがないという。対称な接続は、高々、1⁄2D(D + 1) 個の独立な係数からなる。
任意の曲線 γ {\displaystyle \scriptstyle \gamma } とこの曲線上の2点 A = γ ( 0 ) , B = γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle A\;=\;\gamma (0),\,B\;=\;\gamma (t)} に対して、アフィン接続は、A の接空間のベクトルから B の接空間のベクトルへの写像をもたらす。
X ( t ) = Π 0 , t , γ X ( 0 ) {\displaystyle X(t)\,=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)}
そして X ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \,X(t)} は、微分方程式
R σ μ ν ρ V ρ = ( ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ ) V ρ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }V_{\rho }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma })V_{\rho }}
結局リーマン曲率テンソルは、
R σ μ ν ρ = ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }}
となる。添字は行列を掛けることにより縮約することができ、テンソルを共変とすることができる。このことはアインシュタイン方程式