次元論 (代数学)
.. , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} で生成されるイデアルの高さは高々 s である。逆に、高さ s の素イデアルは s 個の元で生成できる。(証明: p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} をそのようなイデアルの上にある極小素イデアルとする。すると s ≥ dim  R p = ht  p {\displaystyle s\geq \operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}} である。逆は基本定理の証明の途中で示されている。)
A → B {\displaystyle A\to B} がネーター局所環の射であれば、
dim  B / m A B ≥ dim  B − dim  A {\displaystyle \operatorname {dim} B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \operatorname {dim} B-\operatorname {dim} A}
である。等号は A → B {\displaystyle A\to B} が平坦であれば、あるいはもっと一般的に上昇定理が成り立てば、成り立つ。(ここで、 B / m A B {\displaystyle B/{\mathfrak {m}}_{A}B} は特別ファイバー(英語版)と考える。
R を環とし M をその上の加群とする。R の元の列 x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} は次のとき正則列と呼ばれる。 x 1 {\displaystyle x_{1}} は M {\displaystyle M} の零因子でなく、 x i {\displaystyle x_{i}} は各 i = 2 , ... , n {\displaystyle i=2,\dots ,n} について M / ( x 1 , ... , x i − 1 ) M {\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M} の零因子でない。
R を局所環とし、その極大イデアルを m とする。すると、M の深さは m における任意の極大正則列 x i {\displaystyle x_{i}} の長さの上限である。 depth  M ≤ dim  R {\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \operatorname {dim} R} であることを(例えば帰納法によって)示すのは容易である。