線型汎函数
数学の特に線型代数学における線型汎函数(せんけいはんかんすう、英: linear functional)は、ベクトル空間からその係数体への線型写像をいう。線型形式 (linear form) 若しくは一次形式 (one-form) あるいは余ベクトル (covector) ともいう。
ユークリッド空間 R のベクトルを列ベクトルとして表すならば、線型汎函数は行ベクトルで表され、線型汎函数のベクトルへの作用は点乗積として、若しくは左から行ベクトルと右から列ベクトルとを行列の乗法で掛け合わせることで与えられる。
一般に、体 k 上のベクトル空間 V に対し、その上の線型汎函数とは V から k への写像 f であって、線型性
f ( v + w ) = f ( v ) + f ( w ) ( v , w ∈ V ) , f ( a v ) = a f ( v ) ( a ∈ k , v ∈ V ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(v+w)&=f(v)+f(w)&(v,w\in V),\\f(av)&=af(v)&(a\in k,v\in V)\end{aligned}}}
を満たすものを言う。V から k への線型汎函数全体の成す集合 Homk(V, k) はそれ自体が k 上のベクトル空間を成し、V の双対空間と呼ばれる(連続的双対空間と区別する必要がある場合には代数的双対空間とも呼ばれる)。考えている係数体 k が明らかなときは、V の双対空間はしばしば V または V′ で表される。