擬リーマン多様体
接空間は、n 次元微分可能多様体 M の各々の点 p に付随し、TpM と書かれる。接空間は、その元が点 p を通る曲線の同値類と考えることができる n 次元ベクトル空間である。
計量テンソルは非退化であり、滑らかで、対称性を持つ双線形写像で、多様体の各々の接空間での接ベクトルのペアに実数を割り当てる。計量テンソルを g と書くと、これは
g : T p M × T p M → R . {\displaystyle g\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}
と表すことができる。
写像は対称的で双線形であるので、 X , Y , Z ∈ T p M {\displaystyle \scriptstyle X,Y,Z\in T_{p}M} が点 p で多様体 M の接ベクトルであれば、任意の実数 a ∈ R {\displaystyle \scriptstyle a\in \mathbb {R} } に対し、