リーマン積分
δ を ε/n より小さな正の数とし、ti たちの二つが互いに δ よりも近くにあるならば、δ をさらに小さく取り直し、また ti と δ 以内に xj があってそれらが異なる場合も δ を小さく取り直す。基準点(ti と xj)の数は有限個だから、有限回の取り直しで δ は十分小さく取れているはずである。
ここで、各 ti に対してさらに二つ、ti − δ/2 および ti + δ/2 を識別点に加える(片方が区間 [0, 1] を外れるならばその点は考えない)と、ti は小区間 [ti − δ/2, ti + δ/2] に対応する識別点になる。ti が直接 xj のどれかの上にあるならば、ti は二つの小区間 [ti − δ/2, xj] と [xj, ti + δ/2] の双方に対応する識別点とする。さらに、これら以外の小区間の識別点を選ばなければならないが、その選び方はいま二種類を挙げることができる。一つは全ての識別点を有理数にとる方法で、これによってリーマン和は可能な限り大きくとれて、1 − εよりも大にすることができる。もう一つは、識別点を全て無理数にとる方法で、これによりリーマンはは可能な限り小さくできて、ε で抑えられる。
リーマン積分の定義を、任意の n 次元ユークリッド空間 R に値を持つ函数へ拡張することは容易にできる。つまり線型性に基づいて、f = (f1, ..., fn) に対して
∫ f = ( ∫ f 1 , ... , ∫ f n ) {\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right)}
とすればよい。特に、複素数全体は実ベクトル空間であるから、複素数値函数の積分がこの方法でできる。
リーマン積分は有界区間上でのみ定義されていて、その定義を無限区間にまで拡張して適用することはできない。これを回避する最も単純な方法は、無限区間での積分を有界区間での積分の極限、すなわち広義積分として定義することである。式で書けば
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim x → ∞ ∫ − x x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt}
を考えればよさそうに思われるが、不幸にしてこれでは上手くいかない。平行移動不変性(すなわち函数のリーマン積分は、函数を左右に動かしても値が変化しないこと)が成り立たたなくなるからである。
リーマン積分の定義によく用いられるのがダルブー積分である。これは、ダルブー積分が技術的に単純で、リーマン可積分性とダルブー可積分性が同値になることによる。
微積分学の教科書によっては、一般の点付き分割を用いずに特定の種類の点付き分割のみに限って用いるものがあるが、分割の種類を限定しすぎると、実際にはリーマン積分不能な函数が可積分であるように見えてしまうことがある。
よくある制限は「左側」リーマン和と「右側」リーマン和である。左側リーマン和は各 i に対して ti = xi ととるもので、右側リーマン和は同じく ti = xi+1 ととるものをいう。これらの制限はだけでは問題となるわけではなく、任意の分割を各 ti で再分割することにより左側リーマン和または右側リーマン和を得ることができる。より厳密な言い方をすれば、左側リーマン和全体の成す集合と右側リーマン和全体の成す集合とは、点付き分割全体の成す集合において共終である。
もうひとつのよくある制限は、各区間の等分割を用いるものである。例えば、[0, 1] の n-番目の等分割は区間 [0, 1/n], [1/n, 2/n], ..., [(n − 1)/n, 1] からなる。これもやはりそれ単独で問題となることはないが、その理由は先ほどの左側・右側リーマン和の場合よりも難しい。
しかし、これらの制限を組み合わせて、区間の等分割上で左側または右側リーマン和を考えるのは危険である。