スターリングの近似
| ∫ ε ∞ e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u | ≤ 2 ε ∫ ε ∞ | 2 u ( 1 + u ) ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } | d u = 2 ε z [ − e − z { u − log  ( 1 + u ) } ] ε ∞ = 0 − 2 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } ≈ 2 z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
ここで
c n = 1 n ∫ 0 1 x n ̄ ( x − 1 2 ) d x {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx}
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
ln  Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln  z − z + 1 2 ln  2 π + 1 12 ( z + 1 ) + 1 12 ( z + 1 ) ( z + 2 ) + 59 360 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) + 29 60 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) ( z + 4 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (z)&=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \\&\quad +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots \end{aligned}}}
これは、 R z > 0 {\displaystyle \Re z>0} のとき収束する。
これとウォリスの公式の系 lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = π {\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\sqrt {\pi }}\;} と比較すると、
4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = 4 n ( a n n n + 1 / 2 e − n ) 2 n a 2 n ( 2 n ) 2 n + 1 / 2 e − 2 n = a n 2 2 a 2 n {\displaystyle {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\frac {4^{n}(a_{n}n^{n+1/2}e^{-n})^{2}}{{\sqrt {n}}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}}={\frac {a_{n}^{2}}{{\sqrt {2}}a_{2n}}}}
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! 2 a 2 n a n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}{\frac {{\sqrt {2}}a_{2n}}{a_{n}}}={\sqrt {2\pi }}}
を得る。
より正確に記すと、次のようになる。
n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}}
ここで
1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n . {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.}
スターリングの公式は以下の級数(スターリング級数)の近似(初項で打ち切ったもの)である。
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)}