アイゼンシュタイン級数
q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} とし、
E 4 ( τ ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n {\displaystyle E_{4}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}}
E 6 ( τ ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n {\displaystyle E_{6}(\tau )=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}}
E 8 ( τ ) = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n {\displaystyle E_{8}(\tau )=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}}
として、
a = θ 2 ( 0 ; e π i τ ) = θ 10 ( 0 ; τ ) {\displaystyle a=\theta _{2}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{10}(0;\tau )}
b = θ 3 ( 0 ; e π i τ ) = θ 00 ( 0 ; τ ) {\displaystyle b=\theta _{3}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{00}(0;\tau )}
∑ k = 0 n σ ( k ) σ ( n − k ) = 5 12 σ 3 ( n ) − 1 2 n σ ( n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\frac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\frac {1}{2}}n\sigma (n)}
となる。
L, M, N の函数の間の前述の関係式に直接関係しないこのタイプの他の等式は、ラマヌジャンとギウゼッペ・メルフィ(英語版)(Giuseppe Melfi)により証明された。例として、挙げると、
∑ k = 0 n σ 3 ( k ) σ 3 ( n − k ) = 1 120 σ 7 ( n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{120}}\sigma _{7}(n)}
∑ k = 0 n σ ( 2 k + 1 ) σ 3 ( n − k ) = 1 240 σ 5 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)={\frac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)}
∑ k = 0 n σ ( 3 k + 1 ) σ ( 3 n − 3 k + 1 ) = 1 9 σ 3 ( 3 n + 2 ) .