ベッセル関数
Bessel の積分表示
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π cos  ( n θ − z sin  θ ) d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π cos  ( n θ − z sin  θ ) d θ {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta }
Hansen の積分表示
J n ( z ) = 1 π i n ∫ 0 π e i z cos  θ cos  n θ d θ {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi i^{n}}}\int _{0}^{\pi }e^{iz\cos \theta }\cos n\theta d\theta }
Poisson の積分表示
J n ( z ) = ( z / 2 ) n π Γ ( n + 1 / 2 ) ∫ 0 π cos  ( z cos  θ ) sin 2 n  θ d θ {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {(z/2)^{n}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (n+1/2)}}\int _{0}^{\pi }\cos(z\cos \theta )\sin ^{2n}\theta d\theta }
Schläfli の積分表示
ベッセル解はラプラス方程式またはヘルムホルツ方程式の円柱座標系および極座標系における分離解として見出される。従ってベッセル関数は、電波伝播や静電位差などの解を求める際に重要である(円柱座標系においては整数次数 α = n {\displaystyle \alpha =n} 、極座標系においては半整数次数 α = n + 1 / 2 {\displaystyle \alpha =n+1/2} のベッセル関数がそれぞれ解として得られる)。例えば、
円筒導波管における電磁波
円柱物体の熱伝導
薄い円(か環状の)膜の振動のモード
など。
ベッセル関数はまた、信号処理のような問題で有用な特性を持つ(例えば、FM合成、カイザー窓やベッセルフィルタなど)。
d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + [ 1 − α ( α + 1 ) x 2 ] y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left[1-{\frac {\alpha (\alpha +1)}{x^{2}}}\right]y=0}
に対する2つの線形独立な解を与えている。
量子力学における3次元自由粒子のシュレーディンガー方程式の動径方向の解のうち、正則なものは球ベッセル関数で表され、正則でないものは球ノイマン関数で表される。
また3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル内部の動径方向の解のうち、原点で発散しないものは球ベッセル関数で表され、原点で発散するものは球ノイマン関数で表される。