正規化
関数を台で定積分した逆数を正規化定数(英語版) (normalizing constant) という。確率密度関数は台で定積分した値が 1 でなければならない。関数に正規化定数を掛けることによって、(確率密度関数の他の要件も満たせば)確率密度関数が作れる。
例えば、次の関数と台があったときに、
p ( x ) = e − x 2 / 2 , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}
台の範囲で定積分すると次式の値になる。
∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}
この値の逆数 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}} が正規化定数である。