ガウス・ボンネの定理
本節では、MがR内の(C級の)曲面で、MにはRの内積から定まるリーマン計量が入っている場合に対し、ガウス・ボンネの定理の幾何学的な意味を見る。
このために断面曲率の幾何学的意味を見る。まず、MがR内の曲面の場合にはMの断面曲率はガウス曲率に一致する:
定理 (Theorema Egregium) ― R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の二次元部分多様体 M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する。
ここで点Pにおける曲面Mのガウス曲率は、TPMの単位ベクトルeに対し、M上の測地線 e x p ( t e ) {\displaystyle \mathrm {exp} (te)} のRにおける曲率を κ ( e ) {\displaystyle \kappa (e)} としたとき、 κ ( e ) {\displaystyle \kappa (e)} が最大となるもの κ ( e 1 ) {\displaystyle \kappa (e_{1})} と最小となるもの κ ( e 2 ) {\displaystyle \kappa (e_{2})} の積で与えられる。
次にMの各点Pに対し、ηPをPにおけるMの単位法線とする。
ここでKPは点PにおけるMのガウス曲率である。
ガウス写像 G : M → S 2 {\displaystyle G~:~M\to S^{2}} が(写像が退化していない点に対して)n:1の写像になっているとき、nの事をガウス写像の写像度という。上記の定理から、M上でガウス曲率を積分したものは、Sの面積に写像度をかけた値になる事が予想される。
上記の直観はド・ラームコホモロジーの一般論で正当化でき、以下の結論が従う:
定理 ― M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} が連結でコンパクトで縁がなければ、ガウス写像 G : M → S 2 {\displaystyle G~:~M\to S^{2}} の写像度 d e g ( G ) {\displaystyle \mathrm {deg} (G)} は
d e g ( G ) = ∫ M G ∗ ( d V ′ ) ∫ S 2 d V ′ = ∫ M K d V 4 π {\displaystyle \mathrm {deg} (G)={\int _{M}G^{*}(dV') \over \int _{S^{2}}dV'}={\int _{M}KdV \over 4\pi }}
に等しい。
すなわち、断面曲率KのM上の積分はガウス写像の写像度の4π倍に等しいが、ガウス・ボンネの定理は、このガウス写像の写像度がMのオイラー標数の1/2に等しい事を意味する。
Mが向き付け不能であっても、面積要素による積分 ∫ d V {\displaystyle \int dV} の代わりに向きを考えない面積要素による積分 ∫ | d V | {\displaystyle \int |dV|} を用いる事で、ガウス・ボンネの定理を向き付け不能な曲面に対して一般化できる:
定理 (向き付け可能性を問わないガウス・ボンネの定理) ― MをコンパクトなC級2次元部分リーマン多様体で縁∂Mが区分的になめらかなものとする。 さらに v 1 , ... , v n {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}} を∂Mがなめらかではない点とし、εiをviにおける∂Mの外角とする。このとき、
∫ M K | d V | + ∫ ∂ M κ d s + ∑ i = 1 n ε i = 2 π χ ( M ) {\displaystyle \int _{M}K|dV|+\int _{\partial M}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi \chi (M)}
が成立する。
任意の向き付け不能な多様体は向き付け可能な2重被覆(orientation covering)を持つので、上記の定理は前述した向き付け可能な場合から容易に従う。
である事が導ける。Mの種数がgで縁がない場合、 χ ( M ) = 2 − 2 g {\displaystyle \chi (M)=2-2g} なので、上記の事実と合わせると、コンパクト縁無し向き付け可能2次元リーマン多様体Mが定曲率cを持つ場合、
c > 1 if g = 0 c = 0 if g = 1 c < 1 if g ≥ 2 {\displaystyle {\begin{array}{ll}c>1&{\text{if }}g=0\\c=0&{\text{if }}g=1\\c<1&{\text{if }}g\geq 2\end{array}}}
が成立する事がわかる。実はこの条件下、実際に定曲率構造がMに入る事が知られている。すなわちg=0の場合は単位球面、g=1の場合はユークリッド平面を格子で割ったトーラスとして曲率1、0の計量が入る。またgが2以上の場合には曲率-1の計量が入る(パンツ分解により具体的に構成できる)。ただしg=1、およびg≧2の場合は定曲率構造は一意ではなく、「定曲率構造全体の空間」はモジュライ空間をなす。