ディンキン図形
例えば、記号 A2 は以下を意味する:
2つのつながった頂点をもつディンキン図形 , これはコクセター図形とも解釈できる。
2π/3 (120度) の角度で2つの単純ルートがあるルート系。
ランク 2 のリー環 s l 2 + 1 = s l 3 . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}.}
ルートの対称性(ルートに直交する超平面での鏡映)のワイル群、(位数 6 の)対称群 S3 に同型。
生成元と関係式 ⟨ r 1 , r 2 ∣ ( r 1 ) 2 = ( r 2 ) 2 = ( r i r j ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle } によって表示される抽象コクセター群。
リー環のレベルでは、これらの包含は部分リー環に対応する。
極大部分グラフは以下のようである;図形の自己同型によって関連する部分グラフは "conjugate" とラベル付けられている:
An+1: An, in 2 conjugate ways.
Bn+1: An, Bn.
Cn+1: An, Cn.
Dn+1: An (2 conjugate ways), Dn.
En+1: An, Dn, En. For E6, two of these coincide: D 5 ≅ E 5 {\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}} and are conjugate.
F4: B3, C3.
G2: A1, in 2 non-conjugate ways (as a long root or a short root).
最後に、図式の双対性は、存在すれば、矢印の向きの反転に対応する:Bn と Cn は双対であり、F4 や G2 や simply-laced ADE 図形は自己双対である。
ディンキン図形はいくつかの制約条件を満たさなければならない;これらは本質的に有限コクセター・ディンキン図形(英語版)によって満たされるものに結晶的条件を付け加えたものである。
階数 n ≥ 3 の238個の(コンパクトおよび非コンパクト)双曲群は H(n)i と名付けられ、各階数に対して i = 1, 2, 3, ... とリストされている。