基本アーベル群
基本アーベル群 (Z/2Z) は四つの元 {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} からなる。加法は成分ごとに mod 2 で計算すればよい(例えば (1, 0) + (1, 1) = (0, 1))。実はこれはクラインの四元群である。
(必ずしも有限でない)集合の対称差によって生成される群は、任意の元が位数 2 である。そのような群は、任意の元が自身を逆元に持つからアーベル群でなければならない: xy = (xy) = yx = yx。そのような群(つまりブール群)はクラインの四元群の成分数を任意個にした一般化である。
(Z/pZ) は n 元で生成され、n は生成に必要な元の最低個数である。特に、集合 {e1, ..., en} を各 ei は第 i-成分が 1 でそのほかの成分が 0 のベクトルとすれば、これは極小生成系を成す。
任意の基本アーベル群は極めて単純な有限表示を持つ: ( Z / p Z ) n ≅ ⟨ e 1 , ... , e n ∣ e i p = 1 , e i e j = e j e i ⟩ . {\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle .}