エジプト式分数
小さな奇素数 p = 2m + 1 (3, 5, 7, 11, 23) に対しては、恒等式 2/2m + 1 = 1/m + 1 + 1/(m + 1)(2m + 1) が用いられている。この方法は奇素数に限らず、任意の奇数に対して使用できる。
以下、特に断らない限り、単に「分数」といった場合、正の真分数、すなわち 0 より大きく 1 より小さな分数のみを考えているものとする。
例えば 2/5 は単位分数の和として 1/5 + 1/5 と表せるが、エジプト式分数では同じ単位分数を繰り返し用いることはせず、2/5 = 1/3 + 1/15 のように表す。いかなる分数に対してもこのような単位分数展開が必ず存在することは自明ではないが、後述するように今日ではあらゆる分数が無数に多くの単位分数展開を持つことが証明されている(#強欲算法の節参照)。さらに例を挙げると、3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28 = 1/6 + 1/7 + 1/14 + 1/21 であって、前者の展開は項数が最小であり、後者の展開は最大分母の値が最小である。このように、どのような単位分数展開が最も「単純」であるか、は明らかではない。
1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/35 + 1/45 + 1/55 + 1/77 + 1/105
である。
1 の単位分数展開で分母の和が 50 および 100 となるものは、それぞれ
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24,
1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15.
および
1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/21 + 1/56,
1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/8 + 1/12 + 1/24 + 1/42,
1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/24 + 1/45.
である。
なお、正整数の逆数の和である調和級数は無限大に発散するから、(真分数に限らず)任意の正の有理数は単位分数の和で表すことができる。ただし、調和級数の発散は非常にゆっくりであるため、比較的小さな有理数であっても多くの単位分数が必要になる。例えば 10 を単位分数の和で表すには、2万個を超える項が必要である。
エジプト式分数(エジプトしきぶんすう、単にエジプト分数とも、英: Egyptian fraction)とは、いくつかの異なる単位分数(分子が 1 の分数)の和、あるいは分数をそのように表す方式を意味する。例えば、通常 5/6 で表す分数を 1/2 + 1/3 などと表す。任意の正の有理数はこの形式で表すことができるが、表し方は一意ではない。この形式で分数を扱う方法は、古くは古代エジプトのリンド・パピルスに見られ、ヨーロッパでは中世まで広く用いられた。現代でも数論の分野において、エジプト式分数に端を発する数学上の未解決問題が多く残されている。
エジプト式分数に関するオープンプロブレムを以下に挙げる。