自由粒子
波動関数 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} および ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )} は一般には(自乗可積分ではあっても)絶対可積分とは限らないため、一般の場合の解を得るには前節の議論を修正する必要がある。
非相対論的量子力学において、初期状態が ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )} である自由粒子のシュレーディンガー方程式は以下のとおりである:


である。ここでx=(x1,...,xd)はd次元空間Rの元であり、m>0は質量を表す定数である。物理的には次元dは3とするが、方程式の解法は3以外のdに関しても同様なので、以下dは3とは仮定しない。