ガウス＝クズミン分布
1928年、クズミンは次の評価を与えた。
| Δ n ( s ) | ≤ C exp  ( − α n ) . {\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.}
1929年、ポール・レヴィはこの評価を次のように改善した。
| Δ n ( s ) | ≤ C 0.7 n . {\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.}
その後エデュアルト・ヴィルズィングは、λ = 0.30366...(ガウス=クズミン=ヴィルズィング定数)に対して、次の極限
Ψ ( s ) = lim n → ∞ Δ n ( s ) ( − λ ) n {\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}
が [0, 1] 内のすべての s について存在すること、およびその関数 Ψ(s) は解析的であり Ψ(0) = Ψ(1) = 0 を満たすことを示した。その後のさらなる評価は、K.I. Babenko によって示されている。