ラングランズ・シャヒーディの方法
大域的L-函数は、素晴らしい性質を持っていると言われている。 もし、条件
L ( s , π , r ) , L ( s , π ~ , r ) {\displaystyle L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)\ } が複素変数 s の整函数へ拡張される。
L ( s , π , r ) , L ( s , π ~ , r ) {\displaystyle L(s,\pi ,r),\ L(s,{\tilde {\pi }},r)\ } 垂直な帯状領域に境界を持つ。
(Functional Equation) L ( s , π , r ) = ε ( s , π , r ) L ( 1 − s , π ~ , r ) {\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,{\tilde {\pi }},r)} .
を満たすと、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は函数等式を満たす。垂直な帯状領域での境界の研究の前進は、ゲルバート(S. S. Gelbart)とシャヒーディ(F. Shahidi)によりもたらされた。 さらに、高次で分岐する指標によるツイストを考慮して、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は、完全函数となる。
他の結果としては、L-函数が 0 にならないことである。一般線型群のランキン・セルバーグの積により、 L ( 1 + i t , π 1 × π 2 ) {\displaystyle L(1+it,\pi _{1}\times \pi _{2})} が任意の実数 t に対して 0 にはならない。
設定は、局所体 F 上に定義された連結で準分岐的簡約群 G と、レヴィ部分群(Levi subgroup)を持っていることを考える。例えば、G = Gl はランク l の古典群(英語版)(classical group)で、最大レヴィ部分群は GL(m) × Gn の形をしているものを考える。ここに Gn はランクが n の古典群で、Gl, l = m + n と同じ形をしているとする。フェイドゥーン・シャヒーディ(英語版)(F. Shahidi)は、M(F) の既約表現の局所係数の理論を開発した。 表現から放物的に得られる表現の相互作用の理論とペアとなっているウィタッカーモデル(英語版)(Whittaker model)の一意性のおかげで、局所係数は定義される。
アイゼンシュタイン級数におけるロバート・ラングランズ(Robert Langlands)の理論の汎函数方程式に現れる大域相互作用素は、局所相互作用の積として分解することができる。M が最大レヴィ部分群のとき、局所係数は適切に選択されたアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数から出てきて、部分的なL-函数の積を意味する汎函数方程式を満たす。