ローラン級数
上記の開アニュラス A の外側では与えられたローラン級数は発散する。つまり、A の外部の点においては正冪部分か負冪部分の冪級数が発散する。
アニュラス A の境界上では、内側の境界と外側の境界(というのは一般的な言い方ではないけれども)のそれぞれで f(z) が滑らかに繋がらない点が少なくとも一つずつ存在する。
もちろん、r が 0 に取れることも R が無限大に取れることもある。それとは反対に、必ずしも r < R である必要もない。これらの半径は
r = lim sup n → ∞ | a − n | 1 n {\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{1 \over n}}
1 R = lim sup n → ∞ | a n | 1 n {\displaystyle {1 \over R}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{1 \over n}}
によって計算することができる。後者の上限が 0 であるときに R を無限大としてとる。
上記の議論とは逆に、アニュラス A = {z | r < |z − c| < R} と A 上定義された正則関数 f(z) から始めるなら、c を中心とし、少なくとも A 上では収束するローラン級数で f(z) を表すものが一意的に存在する。
例として、関数
f ( z ) = 1 ( z − 1 ) ( z − 2 i ) {\displaystyle f(z)={1 \over (z-1)(z-2i)}}
を考える。この関数は分母が 0 になるために関数が定義できない点として z = 1 と z = 2i を特異点としてもつ。
複素関数 f(z) の点 c の周りでの(あるいは点 c を中心とする)ローラン級数は以下で与えられる:
∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}
ここで、an はコーシーの積分公式の一般化である線積分
a n = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z ( z − c ) n + 1 . {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.}
によって与えられる定数である。負冪の部分、すなわち
∑ n = − ∞ − 1 a n ( z − c ) n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-c)^{n}}
をローラン級数の主要部という。
積分路 γ は点 c を内部に含む自己交差を持たない反時計回りの有限長閉曲線で、f(z) が正則であるようなアニュラス A 上にとる。f(z) に対するこの展開はこのアニュラスの内部であればどこでも有効である。 実際に上記の積分公式を用いてローラン級数を計算することは、積分計算が困難であるなどの理由から稀であって、代わりに既に知られたテイラー展開を組み合わせる方法に依ることが多い。an や c といった定数は複素数に取ることが主である。他のものである可能性もあるがそれについては後に譲る。
複素係数ローラン級数は複素解析における、殊に特異点の周りでの関数の振る舞いを調べる重要な道具である。
例えば、関数 f(x) = e を考える。ただし、f(0) = 0 と置く。実関数としては、これは各点で無限回微分可能である。一方、複素関数としてはこれは点 x = 0 において微分可能ではない。 指数関数のテーラー展開に −1/x を代入することにより、得られるローラン級数が収束すること、およびそのローラン級数が特異点である x = 0 を除く各複素数点 x において f(x) と一致することなどが確かめられる。
さらに一般に、ローラン級数はアニュラス上定義された正則関数を表示するのに用いられる。これは円板 (disk) 上定義された正則関数が冪級数で表されるのと同様である。さて、
∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}
を与えられたローラン級数で、複素数の係数 an を持ち、中心 c も複素数とする。ここで、内半径r および外半径 R が一意的に存在して以下を満たす:
与えられたローラン級数が開アニュラス A := {z | r < |z − c| < R} 上で収束する。ここでローラン級数が収束するというのは、正冪部分の冪級数と負冪部分の級数(を w = 1 / (z − c) の冪級数と見たもの)がともに収束することを意味する。さらにいえばこの収束性は広義一様収束(任意のコンパクト部分集合上で一様)である。また、収束ローラン級数はこの開アニュラス上で正則な関数 f(z) を定義する。