ハーディ空間
興味深い空間として、双対がマルチンゲール-BMO であるようなマルチンゲール-Hが挙げられる (Garsia 1973)。
(p > 1 のときの)バークホルダー=ガンディ不等式や、(p = 1 のときの)バージェス=デービス不等式は、極大函数の L-ノルムを、マルチンゲールの自乗函数
S ( f ) = ( | M 0 | 2 + ∑ n = 0 ∞ | M n + 1 − M n | 2 ) 1 2 {\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}
と関連付ける。マルチンゲール-H は、S(f)∈ L とすることで定義することが出来る (Garsia 1973)。
連続時間パラメータを伴うマルチンゲールもまた考慮することが出来る。古典的理論との直接的な関連は、複素平面内の複素ブラウン運動 (Bt) で、点 z = 0 を時間 t = 0 に出発するものを通じて得ることが出来る。τ を単位円への到達時刻とする。単位円板内の任意の正則函数 F に対して、
M t = F ( B t ∧ τ ) {\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}
がマルチンゲール-H に属するマルチンゲールであるための必要十分条件は、F ∈ H である(Burkholder, Gundy & Silverstein 1971)。
lim r → 1 − | G ( r e i θ ) | = φ ( e i θ ) {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}
が成立することを意味する。
h(z) が内函数であるとは、単位円板上で |h(z)| ≤ 1 を満たし、ほとんど全ての θ に対して極限
lim r → 1 − h ( r e i θ ) {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}
が存在し、その母数が 1 に等しいことを言う。特に、h は H に含まれる。内函数はさらに、ブラシュケ積(英語版)を含む形へ分解することが出来る。
f = Gh と分解される函数 f が H 内にあるための必要十分条件は、外函数 G の式に現れる正の函数 φ が L(T) に属することである。
G を、単位円上の函数 φ によって上述のように表現される外函数とする。α > 0 に対して φ を φ に置き換えることで、次の性質を満たす外函数の族 (Gα) を得ることが出来る。
G1 = G, Gα+β = Gα Gβ and |Gα| = |G| almost everywhere on the circle.
0 < p < 1 のとき、L の凸性の欠如により、H 内の函数 F は単位円上の境界極限函数の実部によって再構成することが出来ない。凸性は満たされないが、ある種の複素凸性、すなわち z → |z| がすべての q > 0 に対して劣調和的となるという性質は満たされる。したがって、
F ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ c n z n , | z | < 1 {\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}
が H に属するのであれば、cn = O(n) であることが示される。フーリエ級数
∑ n = 0 + ∞ c n e i n θ {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}
は超函数の意味である単位円上の超函数 f に収束し、F(re) =(f ∗ Pr)(θ) となる。