普遍係数定理
H o m R ( C ∗ , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)} をMに関する C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体(英: dual cochain complex)という。
定義 ―
H n ( C ∗ ; M ) := H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M):=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のMに係数を持つホモロジー加群という。
H n ( C ∗ ; M ) := H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M):=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のMに係数を持つコホモロジー加群という。
次の定理が成立することが知られている:
定理 (Torに関する普遍係数定理) ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で、各nに対し C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものとする。このとき
0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ M ) → β Tor R  ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0}
が短完全系列となるα、βが存在する。
しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(自然ではなく)分裂する。