外接円
初等幾何学における多角形の外接円(がいせつえん、英: circumscribed circle, circumcircle)は、その多角形の全ての頂点を通る円をいう。外接円の中心を外心 (circumcenter) といい、その半径を外接半径 (circumradius) という。
外接円を持つ多角形は、円内接多角形 (inscribed polygon), cyclic polygon (輪状多角形) あるいは、そのすべての頂点が同一円周上にある(つまり、共円である)ことにより共円多角形 (concyclic polygon)などと呼ばれる。任意の正単純多角形や任意の等脚台形、任意の三角形、任意の長方形は共円多角形の例となる。
よく似た概念の一つに最小包含円(英語版) (minimum bounding circle) があり、これはその多角形を完全に含む最小の円をいう。(多角形のすべての頂点が同一円周上にある必要はないことより)必ずしも任意の多角形に外接円が存在するとは限らないが、任意の多角形は最小包含円をただ一つ持つ(それを線形時間で構成するアルゴリズムがある)。多角形が外接円を持つ場合であっても、外接円と最小包含円が一致するとは限らない。例えば鈍角三角形の最小包含円は最長辺を直径とする円で、これは最長辺の対角の頂点を通らない。
四角形が特定の条件—例えば対角が補角(互いに加えて180°あるいはπラジアン)となること—を満たすとき、円を外接させることができる。
これを満たす代表的な四角形として、長方形・等脚台形があげられる。
外接円の半径は
R = 1 4 ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( a b + c d ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
で表すことができる(ブラーマグプタの公式)。s は周長の半分である。
4つの辺の長さを a, b, c, d、対角線の長さを p, q とすると、ac + bd = pq が成り立つ(トレミーの定理)。
外接円と内接円の両方が存在する四角形を双心四角形という。