グリーン関数 (多体理論)
n 粒子因果グリーン関数は次のように定義される。
G ( r 1 t 1 , r 2 t 2 , ... , r 2 n t 2 n ) = ( − i ) n ⟨ T [ ψ ( r 1 , t 1 ) ... ψ ( r n , t n ) ψ † ( r n + 1 , t n + 1 ) ... ψ † ( r 2 n , t 2 n ) ] ⟩ {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{1}t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}t_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {r}}_{2n}t_{2n})=(-i)^{n}\langle T[\psi ({\boldsymbol {r}}_{1},t_{1})\dotsc \psi ({\boldsymbol {r}}_{n},t_{n})\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{n+1},t_{n+1})\dotsc \psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{2n},t_{2n})]\rangle }
⟨ A ^ ⟩ = ∫ ⟨ ψ ^ † ( r ) A ^ ( r ) ψ ^ ( r ) ⟩ d r = ∓ ∫ lim r ′ → r , τ ′ → τ + 0 A ^ ( r ) G τ ( r τ , r ′ τ ′ ) {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int \langle {\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}){\hat {A}}({\boldsymbol {r}}){\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}})\rangle d{\boldsymbol {r}}=\mp \int \lim _{{\boldsymbol {r}}'\to {\boldsymbol {r}},\tau '\to \tau +0}{\hat {A}}({\boldsymbol {r}})G^{\tau }({\boldsymbol {r}}\tau ,{\boldsymbol {r}}'\tau ')}
2体の演算子の平均値は、一般に2粒子グリーン関数を必要とする。