面 (幾何学)
高次元幾何学において、超多面体の面とは、その任意の次元の要素を言う。k 次元の面を k-次元面 (k-face) と呼ぶ。通常の多面体の多角形面は、二次元面である。超多面体の面全体の成す集合には超多面体自身と空集合が含まれ、一貫性のため空集合の「次元」は −1 が与えられる。任意の n-次元超多面体に対し、その面集合は −1 ≤ k ≤ n なる任意の k に対する k-次元面のすべてからなる。
この意味で例えば、立方体の面集合は、空集合、頂点 (零次元面)、辺 (一次元面)、正方形面 (二次元面) と立方体自身 (三次元面) からなる。
四次元の多胞体の面は以下のように分類できる:
四次元面: 多胞体自身
三次元面: 多面体胞(英語版)
二次元面: 多角形面
一次元面: 辺
零次元面: 頂点
(−1)-次元面: 空集合
多面体的組合せ論(英語版)のような一部の分野では、超多面体(ポリトープ)は定義により凸である。この場合は厳密に、ポリトープ P の面とは P と 任意の閉半空間(英語版)でその境界が P の内部と交わらないものとの交わりを言う。この定義から、ポリトープの面全体の成す集合がポリトープ自身と空集合を持つことが従う。
抽象超多面体(英語版)論や星型超多面体(英語版)論などほかの分野では、超多面体の凸性は前提としない。抽象論においてもやはり、面全体の成す集合には超多面体自身と空集合を含める。