スピン角運動量
そこで単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ Rに対し、Fnを(G11)のように定義し、虚数単位 i と換算プランク定数ħを用いて、
L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }} = i ħ λ ∗ ( F n ) {\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{\mathbf {n} })} ...(J1)
と定義すると、 L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }} はL(R)上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転Fnに対応する演算子」であり、この演算子を軸 n = (x, y, z) ∈ Rの周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。
例えば z 軸の周りの軌道角運動量 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} が球面座標系 (r, θ, φ) を用いて
L ^ z = − i ħ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }}
なので、(Φ3)*が同型写像である事から、
X n = U X m U − 1 {\displaystyle X_{\mathsf {n}}=UX_{\mathsf {m}}U^{-1}}
よって任意のt∈Rに対し、
exp  ( t X n ) = exp  ( t U X m U − 1 ) {\displaystyle \exp(tX_{\mathsf {n}})=\exp(tUX_{\mathsf {m}}U^{-1})} = ∑ n 1 n ! ( t U X m U − 1 ) n = ∑ n 1 n ! U ( t X m ) n U − 1 {\displaystyle =\sum _{n}{1 \over n!}(tUX_{\mathsf {m}}U^{-1})^{n}=\sum _{n}{1 \over n!}U(tX_{\mathsf {m}})^{n}U^{-1}} = U ( ∑ n 1 n ! ( t X m ) n ) U − 1 = U exp  ( t X m ) U − 1 {\displaystyle =U(\sum _{n}{1 \over n!}(tX_{\mathsf {m}})^{n})U^{-1}=U\exp(tX_{\mathsf {m}})U^{-1}}
したがって
M2, 2(C) を複素二次正方行列全体の集合とし、I を単位行列とするとき、Spin(3) = SU(2)は2次元ユニタリ変換全体の集合
U ( 2 ) = { U ∈ M 2 , 2 ( C ) : U ∗ U = I } {\displaystyle U(2)=\{U\in M_{2,2}(\mathbf {C} )~:~U^{*}U=I\}}
の部分集合である。したがって
V 1 / 2 = C 2 {\displaystyle V_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}} ...(H1)
と定義すると、包含写像
i d : U ∈ S U ( 2 ) ↦ U ∈ U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {id} ~:~U\in \mathrm {SU} (2)\mapsto U\in \mathrm {U} (2)}
は Spin(3) = SU(2) の元の V1/2 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、定理3で述べた既約ユニタリ表現の s=1/2 の場合に相当している。すなわち、
π 1 / 2 = i d {\displaystyle \pi _{1/2}=\mathrm {id} } ...(H2)
上式をクレブシュ–ゴルダン分解という。
上式左辺の基底は、
| u , j 1 ⟩ ⊗ | v , j 2 ⟩ {\displaystyle |u,j_{1}\rangle \otimes |v,j_{2}\rangle }
の形式で記述できる。ここで | u , j 1 ⟩ {\displaystyle |u,j_{1}\rangle } は固有値j1に対応するDの固有状態である。一方右辺の基底は
| u , v , w , j ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle }
の形式で記述できる。ここで | u , v , w , j ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle } は W u ⊗ W v {\displaystyle W_{u}\otimes W_{v}} における、固有値jに対応するDの固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数c(u,v,w,j1,j2,j)を用いて
| u , v , w , j ⟩ = ∑ w = | u − v | u + v c ( u , v , w , j 1 , j 2 , j ) | u , j 1 ⟩ ⊗ | v , j 2 ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle =\sum _{w=|u-v|}^{u+v}c(u,v,w,j_{1},j_{2},j)|u,j_{1}\rangle \otimes |v,j_{2}\rangle }
と書ける。c(u,v,w,j1,j2,j)をクレブシュ–ゴルダン係数という。
nがx軸、y軸、z軸であるときの T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }} を T ^ x {\displaystyle {\hat {T}}_{x}} 、 T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{y}} 、 T ^ z {\displaystyle {\hat {T}}_{z}} とし、
T ^ + := T ^ x + i T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{+}:={\hat {T}}_{x}+i{\hat {T}}_{y}}
T ^ − := T ^ x − i T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{-}:={\hat {T}}_{x}-i{\hat {T}}_{y}}
とすると、
T ^ ± ( E z , k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\pm }(E_{z,k})} = ħ u ( u + 1 ) − k ( k + 1 ) ⋅ E z , k ± 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}\cdot E_{z,k\pm 1}}
である。
D ^ + u := ( D ^ u ) ∗ ( X 1 ) + i ( D ^ u ) ∗ ( X 2 ) {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{u}:=({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})+i({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})}
を定義できる。ここでiは虚数単位であり、Xnは(L6)に定義されたものである。具体的には
Wuがスピノール空間Vsのときはu=sで、 T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }} は一粒子のスピン角運動量演算子 S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }}
WuがL(R)の2u+1次元部分空間のときは、 T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }} は一粒子の軌道角運動量演算子 L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }}
Wuは L 2 ( R 3 ) ⊗ V t {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{t}} の2u+1次元部分空間のときは、 T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }} は一粒子の全角運動量演算子 J ^ n {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }}
である。
(D)*を具体的に書き表す。U(t)を
X n = d  U ( t ) d  t | t = 0 {\displaystyle X_{\mathbf {n} }=\left.{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}}
前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す(x,y,z)による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは(x,y,z)とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は一粒子系であっても H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はL(R) とは等しくならない。
したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間Vs をL(R)とは別個に用意し、
H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}
を考える必要がある。ここで添字s ≥ 0は整数もしくは半整数であり、Vsは2s+1 次元の複素計量ベクトル空間である。
一粒子系の波動関数の空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が上述のように表記できるとき、s をその粒子のスピン量子数という。Vs をスピノール空間、Vs の元をスピノールという。s が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、s が整数になるときその粒子をボゾンという。
本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。
ρ : exp  ( A ) ∈ S p i n ( 3 ) → exp  ( ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) ( A ) ) ∈ { L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle \rho ~:~\exp(A)\in {\mathsf {Spin}}(3)\to \exp((\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})(A))\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のユニタリ演算子 } {\displaystyle \}}
が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも
i ħ × {\displaystyle i\hbar \times } (Spin(3)のユニタリ表現が誘導する写像)(Xn) ...(K1)
という形で書けている事がわかる。
複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり(K1)の形で表記できる事がわかる。
よってSpin(3)のユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、(一粒子もしくは複数粒子に対する)軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、Spin(3)のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、Spin(3)のユニタリ表現を使って(K1)の形で表記できる演算子の性質を調べる。
と成分表示できる。
なお基底 e−s, e−(s − 1), ..., es − 1, es は通常、(何らかの軸に関する)スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。
スピンを考慮した場合のオブザーバブル
量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} は、L(R) 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を
A ^ ⊗ i d : L 2 ( R 3 ) ⊗ V s → L 2 ( R 3 ) ⊗ V s , {\displaystyle {\hat {A}}\otimes \mathrm {id} ~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},} ∑ j φ j ( x , y , z ) ⊗ σ j ↦ ∑ j A ^ ( φ j ( x , y , z ) ) ⊗ σ j {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}{\hat {A}}(\phi _{j}(x,y,z))\otimes \sigma _{j}}