コラッツの問題
コラッツ写像は、分母が奇数である既約分数に拡張できる。ここで偶奇性の判定は分子の偶奇性によって判定し、それ以外は定義域が整数の場合と同様に行う。すなわち、分子が偶数であれば2で割り、奇数であればその有理数に3を掛けて1を足すこととする。「ショートカット」した定義を使用する場合、任意の周期的かつ既約なパリティ列は一意な有理数によって生成されることが知られている。逆に、分母が奇数であるすべての有理数は、周期的なパリティ列を持っていると予想されている (周期性予想、periodicity conjecture)。
長さ n のパリティ列が奇数を正確に m 個含むとして、そのインデックスを k0 < ... < km−1 で表すとすると、パリティサイクルを生成する有理数が次のように決定される:
例えば、長さ7のパリティサイクル (1 0 1 1 0 0 1) は、0, 2, 3, 6 の位置にパリティ1 (すなわち奇数) が存在している。従って m = 4, ki = 0, 2, 3, 6 (for 0 ≦ i ≦ 3) と置くと、周期列を生成する有理数が次のように求まる。
有理数と類似の拡張として、コラッツ写像の2-進整数環 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} への拡張が挙げられる。この環は部分環として奇数分母の有理数全体からなる環を含んでいる。このとき写像は
で与えられ、これは Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 上でwell-definedな連続写像であり、かつハール測度を保存する。加えて、その力学系はエルゴードであることが知られている。
厳密な議論ではないヒューリスティクスであるが、ステップを経るごとに数の大きさがどのようになるかを考察する。今、n が偶数ならば、次のステップで大きさは半分になる。また、n が奇数ならば、次のステップで 3n + 1 になるが、これは必ず偶数であるから、その次に (3n + 1)/2 になることまでは確定している。ここまでを一つのステップと解釈すれば、このステップで大きさは約 3/2 倍になる。1回のステップを経た後に偶数になるか、奇数になるかが半々であると考えると、1/2 の確率で数の大きさは 1/2 倍になり、残る 1/2 の確率で数の大きさは 3/2 倍になる。よって、1回のステップで、数の大きさは (1/2) × (3/2) 倍になると期待される。これは 1 より小さな値であるから、ステップを経るごとに「確率的に」小さくなると考えられる。この意味で、いつかは 1 に到達するとの予想は確からしい。
確率論の言葉を用いるとこれは無限のステップ数を取る極限で1に平均収束するということであり、厳密には予想の確からしさとは無関係である。ストレンマイヤーは1957年にマルティンゲールの理論を用いて上記の議論を精密化し、任意のコロモゴルフ測度の下で有限ステップ内に数の大きさが1に概収束(確率1で収束)することを証明した。