ルンゲ＝レンツベクトル
量子力学においては、対称性は保存量と結び付き、エネルギー準位の縮退を導く。水素型原子モデルのエネルギー固有状態は主量子数 n、方位量子数 l、磁気量子数 m で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、n 重に縮退している。空間的に球対称な水素型原子モデルでは、SO(3)で表される回転対称性により、角運動量が保存量となる。但し、回転対称性だけでは −l, −l + 1, ..., 0, ..., l − 1, l の値をとる磁気量子数による (2l + 1) 重の縮退しか説明できない。このことは、さらに別の対称性の存在を示唆する。この対称性こそが、束縛状態で角運動量とルンゲ=レンツベクトルがなすSO(4)の対称性である。
i ħ d A ^ d t = [ A ^ , H ^ ] = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {A}}}}{\mathrm {d} t}}=[{\hat {\boldsymbol {A}}},\,{\hat {H}}]=0}
また、古典論での関係式に類似した下記の関係を満たす。
A ^ ⋅ L ^ = L ^ ⋅ A ^ = 0 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {A}}}=0}
A ^ 2 = m 2 k 2 + 2 m H ^ ( L ^ 2 + ħ 2 ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}^{2}=m^{2}k^{2}+2m{\hat {H}}({\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}+\hbar ^{2})}