角谷の不動点定理
b* − a* = (lim bn) − (lim an) = lim (bn − an) = 0
となる。したがって b* と a* は等しい。x = b* = a* とすると、次が得られる。
q* ∈ φ(x) ≤ x ≤ p* ∈ φ(x).
極限点が不動点であることを示す。
p* = q* ならば、p* = x = q* である。この場合 p* ∈ φ(x) なので、x は φ の不動点である。
そうでない場合を考える。二つの点 a と b の間の線分は (1-t)a + tb とパラメータ表現できることを思い出されたい。上述の手順で q<x<p が分かっているので、p と q の間の線分を x の函数として作ることが出来る(以下の分数は単位区間上にあることに注意されたい)。φ(x) は凸であり、
x = ( x − q ∗ p ∗ − q ∗ ) p ∗ + ( 1 − x − q ∗ p ∗ − q ∗ ) q ∗ {\displaystyle x=\left({\frac {x-q^{*}}{p^{*}-q^{*}}}\right)p^{*}+\left(1-{\frac {x-q^{*}}{p^{*}-q^{*}}}\right)q^{*}}
であることから、p* および q* と同様に x も φ(x) に必ず属す。したがって x は φ の不動点である。