非交和
{Ai | i ∈ I} を I で添え字づけられた集合族とする。この族の非交和 (disjoint union) は集合
⨆ i ∈ I A i := ⋃ i ∈ I { ( x , i ) ∣ x ∈ A i } {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}:=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)\mid x\in A_{i}\}}
である。非交和の元は順序対 (x, i) である。ここで i はどの Ai から元 x が来たかを指し示す補助的な添字として働く。
集合 Ai の各々は自然に集合
A i ∗ := { ( x , i ) ∣ x ∈ A i } {\displaystyle A_{i}^{*}:=\{(x,i)\mid x\in A_{i}\}}
に同型である。この同型を通して、Ai は自然に非交和に埋め込まれていると考えることができる。 i ≠ j に対して、集合 Ai* と Aj* とは集合 Ai と Aj とが互いに素でないときでさえ互いに素である。
集合論において集合の族の直和 (英: direct sum) は、以下の緊密に関連した二種類の概念を指して用いられる。
識別された和 (discriminated union): 通常の合併の操作を少し改変して、合併に属する元がもともとどの集合に入っていたか識別することができるようにしたもの。
交わりを持たない和 (disjoint union): その族に属する部分集合のどの二つも互いに素 (pairwise disjoint) であるときの、通常の合併。
前者は識別のための補助的な添字を付与することで各集合は互いに素となるから後者の意味での直和でもあり、前者のことも非交和と呼ぶ場合もある。これらをともに「直和」と呼ぶのは直積の双対であることを示すもので、圏論の言葉で言えば集合の圏における圏論的直和(これは同型を除いて一意に定まる)の普遍性を上記の二つはともに満たす。
本項においては主に前者について扱い、それを非交和と呼称する。後者については和集合#定義を参照のこと。