超フィルター
B を最小元 0 を持った束、U を B 上の真のフィルターとする。このとき U が超フィルターとなることと次が同値。
x ∉ U ならば、ある y ∈ U が有って、x ∧ y = 0。
更に、B がブール代数のとき、以下ふたつの条件も超フィルターであることとそれぞれ同値である。
x ∨ y ∈ U ならば、x ∈ U または y ∈ U (素フィルター)。
x ∈ B ならば、x ∈ U または ¬x ∈ U。
A, B をブール代数、Φ: A → B をブール代数の準同型、U を B 上の超フィルターとする。U の Φ による逆像 Φ(U) = {x ∈ A : Φ(x) ∈ U}(≕ StΦ(U))は A 上の超フィルターとなる。ブール代数 B に空間 Ult(B) を、準同型 Φ に写像 StΦ を対応させる対応はブール代数の圏から位相空間の圏への関手を与える(詳しくはストーンの表現定理を参照)。
逆にブール代数 B 上に超フィルター U が与えられたとき、μU: B → 2 ≔ {0, 1} を
μ U ( x ) := { 1 x ∈ U 0 x ∉ U {\displaystyle \mu _{U}(x):={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\notin U\end{cases}}}
と定義すると、μU はブール代数間の準同型となる。このことから B の超フィルター全体 St(B) と 2 への準同型全体 Bool(B, 2) は自然に同一視出来る。
U, V をそれぞれ X, Y 上の超フィルターとする。このとき X × Y 上のフィルター U × V, U ⋅ V を以下のように定義する。
U × V ≔ {C ⊆ X × Y : ある A ∈ U, B ∈ V が存在して、A × B ⊆ C}
U ⋅ V ≔ {C ⊆ X × Y : {x ∈ X : {y ∈ Y : (x, y) ∈ C} ∈ V} ∈ U}
U × V は U, V の各要素の直積からなるフィルター基から生成されたフィルターである。 以下、X と Y を集合、r: X × Y → Y × X を r(x, y) ≔ (y, x) で定義される成分の入れ替え写像だとする。