部分和分
部分和分を特に級数に対して考えたものは、ふつうアーベルの級数変形法 (Abel transformation) と呼ばれるものである。すなわち、二つの数列 (an), (bn) (n = 0, 1, 2, ...) に対して、それらの項ごとの積から得られる和
S N = ∑ n = 0 N a n b n {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}
の振舞いを知りたいとする。ここで Bn = ∑nk=0 bk と置けば、b0 = B0, bn = Bn − Bn−1 (n ≥ 1) であって、かつ
S N = a 0 b 0 + ∑ n = 1 N a n ( B n − B n − 1 ) = a 0 b 0 − a 0 B 0 + a N B N + ∑ n = 0 N − 1 B n ( a n − a n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1})\\&=a_{0}b_{0}-a_{0}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1})\end{aligned}}}
すなわち
∑ n = 0 N a n b n = a N B N − ∑ n = 0 N − 1 B n ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})}