モノイド対象
集合の圏 Set(に集合の直積をモノイド積とするモノイド圏の構造を入れたもの)におけるモノイド対象とは、通常の意味のモノイドである。
位相空間の圏 Top(に位相空間の直積をモノイド積としたもの)におけるモノイド対象は位相モノイド(英語版)という。
モノイドの圏(英語版) Mon(のモノイドの直積)に関するモノイド対象は、可換モノイド(英語版)に他ならない。これはエックマン–ヒルトンの定理(英語版)から容易に従う。
完備結び半束の圏(英語版) Sup(モノイド構造は半束の直積で入れる)のモノイド対象は単位的quantale(英語版)となる。
アーベル群の成すモノイド圏 (Ab, ⊗Z, Z) におけるモノイド対象は環である。
可換環 R に対し R-加群のモノイド圏 (R-Mod, ⊗R, R) のモノイド対象は R-結合多元環である。 R-次数付き加群の圏におけるモノイド対象は次数付き R-多元環である。 R-鎖複体の圏におけるモノイド対象は次数付き微分多元環である。
ベクトル空間の圏 K-Vect(やはりテンソル積でモノイド構造を入れる)のモノイド対象はK-代数であり、余モノイド対象は K-余代数である。
任意の圏 C に対し、その自己函手の圏 [C,C] は函手の合成および恒等函手 IC の誘導するモノイド構造を持つ。このモノイド圏 [C,C] におけるモノイド対象は C のモナドである。
有限積持つ任意の圏に対し、任意の対象は対角射 ΔX: X → X を通じて余モノイド対象となる。双対的に、有限余積持つ任意の圏において、任意の対象は idX ⊔ idX: X ⊔ X → X を通じてモノイド対象となる。