ペティス積分
( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} を測度空間、 B {\displaystyle B} をバナッハ空間とし、 f : X → B {\displaystyle f:X\to B} および E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } を定める。次を満たすような A ∈ B {\displaystyle A\in B} が存在するとき、それを f {\displaystyle f} の E {\displaystyle E} についてのペティス積分と呼ぶ:
⟨ v , A ⟩ = ∫ E ⟨ v , f ( t ) ⟩ d μ ( t ) ∀ v ∈ B ′ . {\displaystyle \langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle \,d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.}
但し B ′ {\displaystyle B'} は B {\displaystyle B} の双対空間とする。このような A {\displaystyle A} は次のように表記される:
A = ∫ E f ( t ) d μ ( t ) . {\displaystyle A=\int _{E}f(t)\,d\mu (t).}
数学の分野におけるペティス積分(ペティスせきぶん、英: Pettis integral)あるいはゲルファント-ペティス積分(イズライル・ゲルファントとビリー・ジェームス・ペティス(英語版)の名にちなむ)とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。