転置行列
m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 A には f の転置写像 f が対応する。これは W の双対空間 W から V の双対空間 V への線形写像 f : W → V で、y ∈ W に対して
t f = y ∗ ∘ f {\displaystyle {}^{t}f=y^{*}\circ f}
によって定義される。この定義は y ∈ W と y ∈ W の自然なペアリングを y(y) = ⟨y, y⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して
⟨ f ( x ) , y ∗ ⟩ = ⟨ x , t f ( y ∗ ) ⟩ {\displaystyle \langle f(x),y^{*}\rangle =\langle x,{}^{t}f(y^{*})\rangle }
という関係式によって書き直すこともできる。