有限幾何学
有限射影平面は、空でない集合 X {\displaystyle X} (その要素は「点」と呼ばれる)、および、次の条件を満たすような X {\displaystyle X} の部分集合の空でない族 L {\displaystyle L} (その要素は「直線」と呼ばれる)から構成される。
2つの異なる任意の点が与えられたとき、それらを含むような直線がただ一つだけ存在する。
2つの異なる任意の直線の交わり(集合の意味での交わりである)はただ一つの点を含む。
どの3点も同一直線にないような4点集合が存在する。
最初の二つの公理は、点と直線の役回りが入れ代わっていることをのぞけばほとんど同一である。これは射影平面幾何に対して、この幾何で真であるような命題は、点と直線あるいは直線と点を入れ換えても真である、という意味での双対原理を示唆する。 第三の公理は、4点の存在を要求するだけだが、最初の二つの公理を満たすためには少なくとも7点が必要である。
位数 n {\displaystyle n} の有限平面とは、各直線が n {\displaystyle n} 個の点を含むもの(アフィン平面の場合)、または各直線が n + 1 {\displaystyle n+1} 個の点を含むもの(射影平面の場合)である。有限幾何における有名な未解決問題の一つとして、
有限平面の位数は常に素数の冪であろうか?
という問題がある。これは真であると予想されているが、証明は得られていない。
q = p k {\displaystyle q=p^{k}} 要素を持つ有限体上の射影平面またはアフィン平面を使うことにより、 n {\displaystyle n} が素数冪の時には常に位数 n {\displaystyle n} のアフィンおよび射影平面が存在する。 有限体から構成されない平面も存在するが、それらも含めすべて既知の有限平面は素数冪の位数である。
現在のところ、この問題に関するもっとも一般的な結果は、1949年のBruck–Ryserの定理である。