クロネッカー積
クロネッカー積はある種の行列方程式の簡便な表現を得るのに利用することができる。例えば、A, B, C が与えられていて、X を未知とするときの、方程式 AXB = C を考えると、この方程式は
( B ⊤ ⊗ A ) vec  ( X ) = vec  ( A X B ) = vec  ( C ) {\displaystyle (B^{\top }\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (AXB)=\operatorname {vec} (C)}
の形に書き下すことができる。ここで、vec(X) は、行列 X の各列を縦に積んで一つの列ベクトルの形にした、X のベクトル化である。このときクロネッカー積の性質から、方程式 AXB = C がただ一つの解をもつための必要十分条件が A および B がともに非特異であること (Horn & Johnson 1991, Lemma 4.3.1) が従う。
X を行順に列ベクトルとしたものを x とすれば AXB は (A ⊗ B)x と書ける (Jain 1989, 2.8 Block Matrices and Kronecker Products)。
A = (aij) を m × n 行列、B = (bkl) を p × q 行列とすると、それらのクロネッカー積 A ⊗ B は
A ⊗ B = [ a 11 B ⋯ a 1 n B ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B ⋯ a m n B ] {\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}}
で与えられる mp × nq 区分行列である。もっとはっきり成分を示せば、 A ⊗ B は
三次モーメントは、 μ 3 = E [ x ⊗ x t ⊗ x t ] {\displaystyle \mu _{3}=E[x\otimes x^{t}\otimes x^{t}]}
2変数での例
[ a b ] ⊗ [ a b ] ⊗ [ a b ] = [ a ⋅ a a ⋅ b b ⋅ a b ⋅ b ] ⊗ [ a b ] = [ a a ⋅ a a a ⋅ b a b ⋅ a a b ⋅ b b a ⋅ a b a ⋅ b b b ⋅ a b b ⋅ b ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b\\b\cdot a&b\cdot b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa\cdot a&aa\cdot b&ab\cdot a&ab\cdot b\\ba\cdot a&ba\cdot b&bb\cdot a&bb\cdot b\end{bmatrix}}}
四次モーメントは、 μ 4 = E [ x ⊗ x t ⊗ x t ⊗ x t ] {\displaystyle \mu _{4}=E[x\otimes x^{t}\otimes x^{t}\otimes x^{t}]}
一般に k 次モーメントは、 μ k = E [ x ⊗ k ] {\displaystyle \mu _{k}=E[x^{\otimes k}]} と書かれる。