フーリエ変換
一般的に言って、f(x) が凝縮されればされるほどそのフーリエ変換 ˆf はより拡散される。特に、フーリエ変換のスケール性からわかることとして、関数を x において「圧搾」するならば、そのフーリエ変換は ξ において「伸展」される。したがって、関数とそのフーリエ変換の両方ともを勝手に凝縮させることはできない。
関数とそのフーリエ変換のコンパクト化のあいだの得失評価は不確定性関係の形で定式化することができる。ƒ(x) は絶対可積分かつ自乗絶対可積分であると仮定する。一般性を失うことなく関数 ƒ(x) は
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1}
に正規化されているものと仮定してよい。このとき、プランシュレルの定理により ˆf(ξ) も同様に正規化される。
x = 0 の周りでの拡散を
D 0 ( f ) := ∫ − ∞ ∞ x 2 | f ( x ) | 2 d x {\displaystyle D_{0}(f):=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx}
f(x) および g(x) は絶対可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ ˆf(ξ) および ˆg(ξ) と表す。f(x) および g(x) がともに自乗絶対可積分であるならばパーセバルの定理
∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ̄ d x = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) ̄ d ξ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi }
が成立する。ここで上付きバーは複素共役を表す。
パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によれば
任意の複素数 a, b について h(x) = aƒ(x) + bg(x) であるならば h ^ ( ξ ) = a ⋅ f ^ ( ξ ) + b ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )}
が成り立つ。
上記の絶対可積分関数の定義では、次のような関数は ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx=\infty } のため絶対可積分ではなく、フーリエ変換が定義できない。
・ f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} ( c {\displaystyle c} はゼロ以外の定数)
・ f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} ( n {\displaystyle n} は自然数)
・周期関数( f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} を除く)
このように、周期関数のようなフーリエ級数展開が可能な関数が、絶対可積分関数の意味でフーリエ変換できないことは非常に不便であり、またフーリエ変換の理解を難しくしている。
そこで、フーリエ変換の定義を超関数に拡張することが行われる。