ベクトル測度
ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、(非原子的(英語版)な)ベクトル測度の値域は閉かつ凸である 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド(ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合)である。この定理は、数理経済学や、ビッグバン制御理論、および統計理論(英語版)において用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるシャープレー=フォークマンの補題(英語版)を用いることによって証明される
区間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から成る集合体を考える。そのような任意の集合 A {\displaystyle A} に対して
μ ( A ) = χ A {\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}\,}
を定義する。ここで χ {\displaystyle \chi } は A {\displaystyle A} の指示関数である。この μ {\displaystyle \mu } がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から L 空間 L ∞ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{\infty }([0,1])} への関数と見なされたとき、 μ {\displaystyle \mu } は可算加法的ではないベクトル測度である。
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から L 空間 L 1 ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{1}([0,1])} への関数と見なされたとき、 μ {\displaystyle \mu } は可算加法的なベクトル測度である。
これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。