同型写像
グラフ同型を参照。
解析学において、2つのヒルベルト空間の間の同型写像は和とスカラー倍と内積を保つ全単射である。
logical atomism(英語版) の早期の理論において、facts と true propositions の間の形式的な関係はバートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって同型であると理論化された。この方向の考えの例はラッセルの Introduction to Mathematical Philosophy(英語版) において見つけられる。
サイバネティックスにおいて。Good Regulator(英語版) あるいは Conant-Ashby theorem は "Every Good Regulator of a system must be a model of that system" と述べられる。Whether regulated or self-regulating an isomorphism is required between regulator part and the processing part of the system.
2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある。したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい。
群や環を含むほとんどの代数的構造に対して、準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である。
位相幾何学において、射とは連続写像のことであるが、同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる。解析学において、射は可微分関数であり、同型写像は微分同相とも呼ばれる。
標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるような標準的な写像(英語版)である。2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは、それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう。例えば、有限次元ベクトル空間 V から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である。一方、V は双対空間に同型であるが、一般には標準的にではない。
同型写像は圏論を用いて形式化される。ある圏の射 f: X → Y が同型射であるとは、両側逆射を持つことをいう。すなわち、その圏における別の射 g: Y → X があって、gf = 1X かつ fg = 1Y となる。ただし 1X と 1Y はそれぞれ X と Y の恒等射である。
0 から 5 までの整数が 6 を法とした加法でなす群 (Z6, +) を考える。また、群 (Z2 × Z3, +) を考える。これは x 座標が 0 か 1 で y 座標が 0 か 1 か 2 の順序対で、加法は x 座標は 2 を法とし、y 座標は 3 を法とする。
これらの構造は以下の対応によって同型である:
(0,0) → 0
(1,1) → 1
(0,2) → 2
(1,0) → 3
(0,1) → 4
(1,2) → 5
あるいは一般に (a, b) → (3a + 4b) mod 6.
例えば、(1, 1) + (1, 0) = (0, 1) であり、もう一方に翻訳すると 1 + 3 = 4 である。
これらの2つの群は集合が異なる元を含むという意味で違って「見える」にもかかわらず、それらは実際同型であり、構造は全く同じである。より一般に、2つの巡回群 Zm と Zn の直積が Zmn と同型であるのは、m と n が互いに素であるとき、かつそのときに限る。
この直観の定式化は圏論の発展の動機づけである。
しかしながら、自然同型と等号の区別が通常されない場合がある。普遍性によって特徴づけられる対象に対してである。実は、同じ普遍性を共有する2つの対象の間には、自然でなければならない一意的な同型が存在する。典型的な例は実数の集合であり、無限十進展開、無限二進展開、コーシー列、デデキント切断、多くの他の方法によって定義できる。形式的にはこれらの構成は異なる対象を定義するが、すべて同じ普遍性の解である。これらの対象はちょうど同じ性質を持つから、構成の手法は忘れてそれらを等しいと考えることができる。これが "the set of the real numbers" と言う時に誰もがやっていることである。同じことは商空間で起こる:それらは一般に同値類の集合として構成される。しかしながら、集合の集合を話すことは直観に反するかもしれず、商空間は一般に、しばしば「点」と呼ばれる未決定な対象の集合とこの集合への全射との対と考えられる。
任意の同型(選択に依存するもの)と自然同型(一貫してできるもの)との区別を描きたい場合、自然でない同型には ≈ を書き、自然同型には ≅ と書くことができる。例えば V ≈ V* と V ≅ V** である。この慣習は広く用いられているものではなく、自然でない同型と自然同型を区別したい著者は一般に明示的に違いを述べる。
一般に、2つの対象が「等しい」と言うことは、これらの対象が住んでいるより大きい(周囲の)空間の概念が存在するときのためにとってある。ほとんどの場合、(上の整数の集合の例のように)与えられた集合の2つの部分集合の等号について話すが、抽象的に表示された2つの対象については話さない。