オイラーの分割恒等式
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法
8 = 1+2+5
8 = 1+3+4
8 = 1+7
8 = 2+6
8 = 3+5
8 = 8
と奇数の自然数に分割する方法
8 = 1+1+1+1+1+1+1+1
8 = 1+1+1+1+1+3
8 = 1+1+1+5
8 = 1+1+3+3
8 = 1+7
8 = 3+5
の個数は等しく 6 である。
自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q(n) で表すと、
Q(1) = 1, Q(2) = 1, Q(3) = 2, Q(4) = 2, Q(5) = 3, Q(6) = 4, Q(7) = 5, Q(8) = 6, Q(9) = 8, Q(10) = 10, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A9)
などと続く。
( 2 ) + ( 6 ) → P [ 1 + 1 ] + [ 3 + 3 ] → U 2 + 6 {\displaystyle (2)+(6){\xrightarrow {\quad P\quad }}[1+1]+[3+3]{\xrightarrow {\quad U\quad }}2+6}
3 + 5 → I 3 + 5 {\displaystyle 3+5{\xrightarrow {\quad I\quad }}3+5}
( 8 ) → P [ ( 4 ) + ( 4 ) ] → P [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] → P [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] → U ( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) → U ( 4 + 4 ) → U 8 {\displaystyle (8){\xrightarrow {P}}[(4)+(4)]{\xrightarrow {P}}[(2)+(2)]+[(2)+(2)]{\xrightarrow {P}}[1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1]{\xrightarrow {U}}(2+2)+(2+2){\xrightarrow {U}}(4+4){\xrightarrow {U}}8}
このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。