重み付き残差法
重み付き残差法には重み関数の選び方によっていくつかの方法がある。
選点法:重み関数としてディラックのデルタ関数を適用する。
最小二乗法
モーメント法
ガラーキン法(英語版)
重み関数として未知数の基底関数を用いる。つまり、 χ i = ψ i {\displaystyle \chi _{i}=\psi _{i}}
とする。
すると上述の離散化方程式は、 ⟨ χ i , r ( U ) ⟩ = ⟨ ψ i , ∑ k = 1 N L ( ψ k ) α k − f ⟩ = ∫ ψ i ( ∑ k = 1 N L ( ψ k ) α k − f ) d x = 0 , i = 1 , 2 , ... , N {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \chi _{i},r(U)\rangle &=\left\langle \psi _{i},\sum _{k=1}^{N}L(\psi _{k})\alpha _{k}-f\right\rangle \\&=\int \psi _{i}\left(\sum _{k=1}^{N}L(\psi _{k})\alpha _{k}-f\right)dx=0,\quad i=1,2,\dots ,N\end{aligned}}}
となる。
この関係より未知のパラメータ α k {\displaystyle \alpha _{k}} を求めるが、このときの近似解 U = ∑ k = 1 N ψ k α k {\displaystyle U=\sum _{k=1}^{N}\psi _{k}\alpha _{k}}
を真の解 u {\displaystyle u} のガラーキン近似であるという。