WZWモデル
G をコンパクトで単連結なリー群とし、g をその単純リー代数とする。γ を G に値を持つ複素平面上の場とする。さらに、γ をリーマン球面 S上で定義したい。これは無限遠点を加えることで複素平面をコンパクト化したものである。
そこで、WZWモデルは、次で与えられる作用をもつ γ で定義される非線型シグマモデルと定義される。
S k ( γ ) = − k 8 π ∫ S 2 d 2 x K ( γ − 1 ∂ μ γ , γ − 1 ∂ μ γ ) + 2 π k S W Z ( γ ) . {\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {WZ} }(\gamma ).}
ここに ∂μ = ∂/∂x は偏微分であり、和はユークリッド計量のインデックスを渡る普通のアインシュタインの縮約記法を使う。ここに、 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} は g 上のキリング形式であり、従って、第一項は、場の量子論の標準的な力学項である。
項 S W Z {\displaystyle S^{WZ}} は、ベス・ズミノ項 (Wess–Zumino term) と呼ばれ、次のように書くことができる。