多角数定理
二個の平方数の和
三個の平方数の和
四平方定理
ウェアリングの問題
であるから
b 2 − 4 a = b 2 − 4 ( 2 ( N − b − r m − 2 ) + b ) = ( b − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 4 ( m − 4 m − 2 ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) < ( b − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) < ( b ′ − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-4a&=b^{2}-4\left(2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b\right)\\&=\left(b-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-4\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)\\&<\left(b-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)\\&<\left(b'-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)=0\\\end{aligned}}}
N = 2m - 1 を表すには Pm(2) + (m - 1)Pm(1) とするより他にないから、m 個未満の m 角数の和では表されない自然数がある。N = 9n + 8 は二個の三角数の和で表されない(法 9 の計算で自明)から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N = 8n + 7 は三個の四角数の和で表されない(法 8 の計算で自明)から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m 個未満の m 角数で表されない自然数は有限個である。m ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 108(m - 2) は m - 1 個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 4 ( m − 2 ) 3 14 − 4 3 {\displaystyle N\geq {\tfrac {4(m-2)^{3}}{14-4{\sqrt {3}}}}} は四個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 N ≥ ( m − 2 ) 3 14 − 4 3 {\displaystyle N\geq {\tfrac {(m-2)^{3}}{14-4{\sqrt {3}}}}} は四個の m 角数の和で表される。