平均場ゲーム理論
さらに、混合戦略は測定可能な関数 π : E × R + → P ( A ) {\displaystyle \pi :\mathbb {E} \times \mathbb {R} ^{+}{\xrightarrow[{}]{}}{\mathcal {P(A)}}} , これは各状態 i ∈ E {\displaystyle i\in {\mathcal {E}}} と t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} ごとに可能なアクションのセットに対する確率測度 π i ( t ) ∈ P ( A ) {\displaystyle \pi _{i}(t)\in {\mathcal {P(A)}}} に関連付ける。したがって、 π i , a ( t ) {\displaystyle \pi _{i,a}(t)} は、時間 t {\displaystyle t} において、状態 i {\displaystyle i} のプレイヤーが戦略の下で行動 a {\displaystyle a} をとる確率である。さらに、レート行列 { Q a ( m π ( t ) ) } a ∈ A {\displaystyle \{Q_{a}({\bf {m}}^{\pi }(t))\}_{a\in {\mathcal {A}}}} は母集団分布の経時的な進化を定義し、ここで m π ( t ) ∈ P ( E ) {\displaystyle {\bf {m}}^{\pi }(t)\in {\mathcal {P({\mathcal {E}})}}} は時刻 t {\displaystyle t} における母集団分布である。