ガロア拡大での素イデアルの分解
上のような体の拡大が与えられると、不分岐な点は有限個しかない。
不分岐な場合には、ガロア群の作用の横断性により、上記で導入された体 Fj は、全て同型となる。言わば、有限体 F' となり、
F = A / p {\displaystyle F=A/p}
を含む。数え上げると [ L : K ] / [ F ′ : F ] {\displaystyle [L:K]/[F':F]}
が B での P の素因子の数に等しいことが分かる。軌道安定化公式により、この数は | G | / | D | {\displaystyle |G|/|D|}
にも等しい。ここに定義により、p の 分解群である D は与えられた Pj をそれ自身へ写すことにより G の元の部分群である。すなわち、ガロア理論により L/K の次数と G の位数は等しいので、分解群 D の位数は剰余体拡大 F'/F の次数である。フロベニウス元の理論はさらに、j に対し D の元を同一視し、有限体の拡大のガロア群を生成する。