命題論理
もし φ {\displaystyle \phi } が整式の集合 S {\displaystyle \mathbb {S} } から統語的に帰結するなら φ {\displaystyle \phi } は S {\displaystyle \mathbb {S} } から意味論的に帰結する
この設定のもとでは変形規則によって与えられた表現から論理的に等価な表現を導くことができる。こういった変形規則による別の表現の導出について、特別な例として表現を単純化すること、与えられた表現が前もって区別された特別な表現(普通、論理学の公理だと解釈される)のうちどれかと等価かどうか決定すること、などが問題にされる。
命題論理における言語は命題変数(命題をはめ込む枠)と文演算子(結合子)からなっている。形式文法によって帰納的にその言語の表現や整式が、原子式や文演算子の一定の組みあわせとして定義される。公理の集合は空集合でも、空でない有限集合でも、可算無限集合でもいいし、あるいは公理図式によって与えられてもいい。加えて、意味論によって真かどうかの値付け(または解釈)が定められる。それによってどの整式が正しい、つまり定理であるかを決めることができるようになる。
以下では標準的な命題論理の大筋を解説する。しかしこの他にも、ほぼ等価ではあるが、言語を構成している演算子や変数が違ったり、あるいは公理や推論規則が違ったりして、ここで説明するものと見かけが異なる方法も存在する。