モース-ケリー集合論
置換公理は、サイズ制限公理で証明できるすべて(ある形式の選択公理を除く)を証明できる。
サイズ制限公理と I が集合であること (故に宇宙は空集合でない)から空集合の集合性を証明できる。故に空集合の公理は不要である。もちろんこのような公理は追加できるが、その場合は公理に細かな修正が必要になりうる。集合 I は極限順序数 ω {\displaystyle \omega } より大きい集合になりうるため、 I は ω {\displaystyle \omega } と同一とはみなされない。この場合、 ω {\displaystyle \omega } の存在は何らかの形式のサイズ制限公理に基づく。
フォン・ノイマン順序数のクラスは整列可能である。(パラドックスの可能性があるため)これは集合ではなく、故にこのクラスは真のクラスであり、そしてすべての真のクラスは V と同じ大きさを持つ。故に V も整列可能である。
MK は、二階述語論理(これが表す二階の対象は述語言語ではなく集合内のものである)を背景に持つ ZFC である、二階の ZFC と混同されうる。二階の ZFC の言語はMK と類似し(同じ外延性を持つ集合とクラスは区別できないが)、実際の証明において、これらの統語的要素はほぼ同一である(同一であるのは MK が強い形のサイズ制限公理を含む場合に限る)。しかし、二階の ZFC の意味論は MK と大きく異なる。例えば、 MK が無矛盾であれば MK は可算な一階モデルを持つが、一方で二階 ZFC は可算モデルを持たない。