解析接続
O(a,r) によって、 a を中心とする半径 r の開円板を表すことにすると f0 は O(0,1) において定義され、 f(1+i)/2 は O((1+i)/2,1/√2) において定義されていることになる。この 2つの開円板の共通部分では f0(z) = f(1+i)/2(z) であり
h ( z ) = { f 0 ( z ) ( z ∈ O ( 0 , 1 ) ) , f 1 + i 2 ( z ) ( z ∈ O ( 1 + i 2 , 1 ) ) {\displaystyle h(z)={\begin{cases}f_{0}(z)&\left(z\in O\left(0,1\right)\right),\\f_{1+i \over 2}(z)&\left(z\in O\left({1+i \over 2},1\right)\right)\end{cases}}}
という関数を定義できる。この h(z) は、共通部分では f0(z) = f(1+i)/2(z) の値を取り、それ以外では、定義されている方の関数の値を取る関数である。これは Re(z) = 1 という線を越えて、 f0 の定義域を拡げることができることを意味している。このように級数で表現でき、定義域が異なるが、共通部分では同じ値を取る関数を用いて定義域を拡げていく手法、あるいは、 f0(z)に対して 上で与えたような h(z) のように定義域を拡げた関数のことを解析接続という。