テューキーの範囲検定
少なくとも1 − αの信頼係数を持つ全ての一対比較に対するテューキーの信頼限界は
y ̄ i ∙ − y ̄ j ∙ ± q α ; r ; N − r 2 σ ^ ε 2 n i , j = 1 , ... , r i ≠ j . {\displaystyle {\bar {y}}_{i\bullet }-{\bar {y}}_{j\bullet }\pm {\frac {q_{\alpha ;r;N-r}}{\sqrt {2}}}{\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {\frac {2}{n}}}\qquad i,j=1,\ldots ,r\quad i\neq j.}
である。点推定量および推定分散は、単一の一対比較に対するものと同じである。同時比較に対する信頼限界と単一比較に対する信頼限界との間の唯一の違いは、推定標準偏差の多重度である。
スチューデント化された範囲分布を用いる時には、標本サイズは等しくなければならない。
A > B > C > Dと順位付けされる一組の平均(A, B, C, D)がある時、全ての可能の比較をテューキーの検定を用いて検定する必要はない。冗長性を回避するため、まず最大の平均(A)と最小の平均(D)の比較から始める。平均AとDの比較に対するqs値が分布のq値よりも小さいとすると、帰無仮説は棄却されず、これらの平均の間には統計的有意差はないとされる。最大差のある2つの平均間に有意差がないため、それよりも差が小さい2つの平均の比較からは(標本の大きさが理想的ならば)同じ結論が得られると確実である。この結果、その他の比較を行う必要はない。
概して、テューキーの検定は、常にまず最大平均と最小の平均の比較を行い、次に最大平均と2番目の最小の平均の平均の比較、と最大平均とその他全ての平均が比較される(あるいは有意差が見られなくなる)まで行うことが重要である。この後、2番目の最大の平均と最小平均の比較を同様に行っていく。
全ての標本の大きさが等しい時、この集合に対する信頼係数は厳密に1 − αである。標本の大きさが等しくない場合、信頼係数は1 − αより大きくなる。言い換えれば、テューキー法は標本の大きさが等しくない場合は保守的である。
よくある誤解として分散分析(ANOVA)で有意差があった(全ての群が同じ母集団から来ているという帰無仮説を棄却した)後に、テューキーの検定といった多重比較を行うべき、というものがある。しかし、分散分析で有意差が認められなくても、多重比較で群間に有意差が認められることはありうるため、群間の比較に興味がある時は多重比較の前に分散分析を行うべきではない。
元々はサンプルサイズが等しいときの方法がテューキーの方法と呼ばれており、サンプルサイズが等しくない場合に拡張したものがテューキー・クレーマーの方法である。サンプルサイズが等しい場合、最大タイプIファミリーワイズエラー率は有意水準αと一致する。サンプルサイズが等しくない場合にも、最大タイプIファミリーワイズエラー率がα以下になることが証明されている。