アルティン加群
環の場合と違って、アルティン加群だがネーター加群でないものが存在する。例えば、 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } の p-primary component、つまり、 Z [ 1 / p ] / Z {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} } を考えよ。これは Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -加群としてp-準巡回群 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} と同型である。真増大列 ⟨ 1 / p ⟩ ⊂ ⟨ 1 / p 2 ⟩ ⊂ ⟨ 1 / p 3 ⟩ ⊂ ⋯ {\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots } は無限に続き、 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} は(従って Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } も)ネーター的でない。しかしすべての真の(この仮定は一般性を失わない)降鎖列は止まる。そのような列は整数 n 1 , n 2 , n 3 , ...