概周期函数
音声処理、音響信号処理および音楽合成において、準周期信号あるいは準調和信号としばしば呼ばれるものは、実質的には微視的に周期的であるが、必ずしもそうではない波形のことを言う。これは Wikipedia の記事準周期函数において説明されているものとは異なり、周期が実質的には近接する周期と同等であるが、はるか先の時間における周期とは必ずしも同等ではないという意味で、むしろ概周期函数に類似の概念である。これは、(初期の響波の後に)すべての部分波あるいは倍音が調和的となる(すなわち、すべての倍音は元の音の基本周波数の整数倍の周波数である)ような音楽のケースに現れる。
いま信号 x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } が周期 T {\displaystyle T\ } で全周期的(fully periodic)であるなら、その信号は
x ( t ) = x ( t + T ) {\displaystyle x(t)=x(t+T)\ }
あるいは
| x ( t ) − x ( t + T ) | = 0 for all t {\displaystyle \left|x(t)-x(t+T)\right|=0{\text{ for all }}t\ }
を満たす。このフーリエ級数表現は、
x ( t ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos  ( 2 π n f 0 t ) − b n sin  ( 2 π n f 0 t ) ] {\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t)\right]}
ベシコヴィッチの概周期函数の空間 B は、Besicovitch (1926) によって導入された。この空間はセミノルム
| | f | | B , p = lim sup x → ∞ ( 1 2 x ∫ − x x | f ( s ) | p d s ) 1 / p {\displaystyle ||f||_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}
の下での三角多項式である。注意:コンパクトな台を持つ任意の有界函数のように、||ƒ||B,p = 0 となる非ゼロの函数 ƒ が存在する。したがってバナッハ空間を得るためには、それらの函数を除く必要がある。
B 内のベシコヴィッチの概周期函数は、(必ずしも収束しない)展開
∑ a n e i λ n t {\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}}
を持つ。ただし Σ an は有限で λn は実数である。逆に、このような級数はすべてあるベシコヴィッチの周期函数の展開である(一意ではない)。
p ≥ 1 に対するベシコヴィッチの概周期函数の空間 B は、ワイルの概周期函数の空間 W を含む。「null」函数からなる部分空間を除けば、この空間は実数のボーアのコンパクト化上の L 函数の空間と一致する。