素数の間隔
{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}
のオーダーである。結果としてOppermannの予想の元では、全ての自然数 n > m {\displaystyle n>m} に対して g n < p n . {\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.} を満たす m {\displaystyle m} (おそらく m = 30 {\displaystyle m=30} )が存在する。
Oppermannの予想よりも弱いAndricaの予想は
g n < 2 p n + 1. {\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}
という内容である。これは連続する平方数の間には素数が必ずあるというルジャンドル予想よりは少し強い。
Polignacの予想は、全ての正の偶数kが無限の頻度で素数の間隔として生じるという内容である。k = 2の場合は双子素数予想である。この予想は特定のkの値についてはまだ証明されておらず、反証もされていないが、張益唐の結果は少なくとも1つ(現在のところ未知)の7千万より小さいkの値については真であることが証明されている。上で議論されたように、この上限は246に改良された。