ロジャース＝ラマヌジャン恒等式
以下の q-級数の関係式をロジャース=ラマヌジャン恒等式と呼ぶ。
∑ n = 0 ∞ q n 2 ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q n ) = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 4 ) ( 1 − q 5 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}}}
∑ n = 0 ∞ q n 2 + n ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q n ) = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 3 ) ( 1 − q 5 n − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-3})(1-q^{5n-2})}}}
1番目の式を第1恒等式、2番目の式を第2恒等式と呼ぶ。これらは q の関数として、|q|<1 で収束するほか、q を不定元とする形式的ベキ級数としても見ることができる。