余因子展開
したがって (←)jσ = τ′(←)i, 故に σ = (→)jτ′(←)i を得る(ただし、(→)j は (←)j の逆置換である (j, j + 1, ..., n) を表すとする)。故に
σ = ( j , j + 1 , ⋯ , n ) τ ′ ( n , n − 1 , ⋯ , i ) {\displaystyle \sigma =(j,j+1,\cdots ,n)\tau '(n,n-1,\cdots ,i)}
ここに現れる2つの巡回置換はそれぞれ n − i個と n − j個の互換の積で表せるから
sgn  σ = ( − 1 ) 2 n − ( i + j ) sgn  τ ′ = ( − 1 ) i + j sgn  τ {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \tau '=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau }
であり、また写像 τ ↔ σ が全単射であったから、
| A | = a i , 1 a ~ i , 1 + a i , 2 a ~ i , 2 + ⋯ + a i , n a ~ i , n = ∑ j ′ = 1 n a i , j ′ a ~ i , j ′ = a 1 , j a ~ 1 j + a 2 , j a ~ 2 , j + ⋯ + a n , j a ~ n , j = ∑ i ′ = 1 n a i ′ , j a ~ i ′ , j {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=a_{i,1}{\widetilde {a}}_{i,1}+a_{i,2}{\widetilde {a}}_{i,2}+\cdots +a_{i,n}{\widetilde {a}}_{i,n}=\textstyle \sum \limits _{j'=1}^{n}a_{i,j'}{\widetilde {a}}_{i,j'}\\&=a_{1,j}{\widetilde {a}}_{1j}+a_{2,j}{\widetilde {a}}_{2,j}+\cdots +a_{n,j}{\widetilde {a}}_{n,j}=\textstyle \sum \limits _{i'=1}^{n}a_{i',j}{\widetilde {a}}_{i',j}\end{aligned}}}