特性類
以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である:
定理 ― 構造群GのファイバーFへの作用が効果的であれば、構造群Gを持つF-バンドルと、構造群G を持つ主G-バンドルと1対1対応する。
この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う:
定理 ― GがFに効果的に作用しているとき、以下が成立する
構造群Gを持つF-バンドル φ {\displaystyle \phi } に対応する主G-バンドルを ρ φ {\displaystyle \rho _{\phi }} とし、cを主G-バンドルの特性類とすると、 c ′ ( φ ) := c ( ρ φ ) {\displaystyle c'(\phi ):=c(\rho _{\phi })} は構造群Gを持つ-Fバンドルの特性類である。
逆に主G-バンドル ρ {\displaystyle \rho } に対応するF-バンドルを φ ρ {\displaystyle \phi _{\rho }} とすると、dを構造群Gを持つF-バンドルの特性類とすると、 d ′ ( ρ ) := d ( φ ρ ) {\displaystyle d'(\rho ):=d(\phi _{\rho })} は主G-バンドルの特性類である。
G n W ≃ G L m ( K ) / ( G L n ( K ) × G L m − n ( K ) ) ≃ { U ( m ) / ( U ( n ) × U ( m − n ) ) when K = C O ( m ) / ( O ( n ) × O ( m − n ) ) when K = R {\displaystyle G_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq {\begin{cases}U(m)/(U(n)\times U(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\O(m)/(O(n)\times O(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{cases}}}
および
G ~ n W ≃ G L m ( K ) / ( G L n + ( K ) × G L m − n ( K ) ) ≃ O ( m ) / ( S O ( n ) × O ( m − n ) ) when K = R {\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}^{+}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq O(m)/(SO(n)\times O(m-n))~~{\text{when }}K=\mathbb {R} }
という同一視ができ、この同一視により、 G n W {\displaystyle G_{n}W} 、 G ~ n W {\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W} に多様体としての構造が入る。
となる θ i ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta _{i}\in [0,2\pi )} 、 ε i ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \varepsilon _{i}\in \{0,1\}} が存在する。ここで C : R 2 → R 2 {\displaystyle C~:~\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} は ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} を ( x , − y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,-y)\in \mathbb {R} ^{2}} に写す写像であり、 ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} はAiが向きを保つときは0、そうでないときは1である。
よって
A = ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A m ) ⋅ P σ = ( ( C ε 1 R ( θ 1 ) ) ⊕ ⋯ ⊕ ( C ε m R ( θ m ) ) ) ⋅ P σ = ( C ε 1 ⊕ ⋯ ⊕ C ε m ) ⋅ ( R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ) ⋅ P σ = ( C 1 ε 1 ⋯ C m ε m ) ⋅ ( R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ) ⋅ P σ {\displaystyle A=(A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{m})\cdot P_{\sigma }=((C{}^{\varepsilon _{1}}R(\theta _{1}))\oplus \cdots \oplus (C{}^{\varepsilon _{m}}R(\theta _{m})))\cdot P_{\sigma }=(C{}^{\varepsilon _{1}}\oplus \cdots \oplus C{}^{\varepsilon _{m}})\cdot (R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m}))\cdot P_{\sigma }=(C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}})\cdot (R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m}))\cdot P_{\sigma }}
をベクトルバンドルξの第iスティーフェル・ホイットニー類という。分類空間の元 w i {\displaystyle w_{i}} を w i ( ξ ) {\displaystyle w_{i}(\xi )} と区別したいときは、 w i {\displaystyle w_{i}} を第i普遍スティーフェル・ホイットニー類(英: i-th universal Stiefel–Whitney class class)という。
チャーン類のときと同様、 w 0 ( n ) := ( ι ∗ ) − 1 ( 1 ) = 1 {\displaystyle w_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1} 、 w m ( n ) := 0 {\displaystyle w_{m}^{(n)}:=0} for m > n {\displaystyle m>n} と定義する。
明らかに以下の事実が従う:
定理 ― : H ∗ ( B O ( n ) ; Z ) = Z [ w 1 ( n ) , ... , w n ( n ) ] {\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [w_{1}^{(n)},\ldots ,w_{n}^{(n)}]}
.. , α n ) ) ) {\displaystyle {\underset {(2)}{=}}B(\varphi _{\hat {U}}|_{SO(n)}){}^{*}(B\nu ^{*}{}^{-1}(\sigma _{k}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})))} = B μ ∗ − 1 ( B ρ ∗ ( σ k ( α 1 , ... , α n ) ) ) {\displaystyle =B\mu ^{*}{}^{-1}(B\rho ^{*}(\sigma _{k}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})))} = ( 3 ) { B μ ∗ − 1 ( σ k ( γ 1 , − γ 1 , ... , γ m , − γ m ) ) if n = 2 m B μ ∗ − 1 ( σ k ( γ 1 , − γ 1 , ... , γ m , − γ m , 0 ) ) if n = 2 m + 1 {\displaystyle {\underset {(3)}{=}}{\begin{cases}B\mu ^{*}{}^{-1}(\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m}))&{\text{if }}n=2m\\B\mu ^{*}{}^{-1}(\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m},0))&{\text{if }}n=2m+1\end{cases}}}
2つの位相群G、Hの間の連続な準同型写像 φ : G → H {\displaystyle \varphi ~:~G\to H} が与えられたとき、φから分類空間の間の写像 B φ : B G → B H {\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH} を定義できる。
この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。 π : P → X {\displaystyle \pi ~:~P\to X} を主G-バンドルとし、 φ : G → H {\displaystyle \varphi ~:~G\to H} を連続準同型写像とするとき、
P × φ H {\displaystyle P\times _{\varphi }H}
を P G × H {\displaystyle PG\times H} を同値関係
( a g , h ) ∼ ( a , φ ( g ) h ) for some g ∈ G {\displaystyle (ag,h)\sim (a,\varphi (g)h)~{\text{ for some}}~g\in G}
で割った空間とする事で、バランス積(balanced product)と呼ばれるX上の主H-バンドル
[ ( a , h ) ] ∈ P × φ H ↦ π ( a ) ∈ X {\displaystyle [(a,h)]\in P\times _{\varphi }H\mapsto \pi (a)\in X}
チャーン類
セグレ類(英語版)(Segre class)
スティーフェル・ホイットニー類
ポントリャーギン類
オイラー類
オイラー標数
それに対し係数環が 2 − 1 ∈ Λ {\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda } を満たすΛの場合はより複雑である。 H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} に関しては、
H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) = Λ [ p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ ] {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )=\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }]}
の形で記述でき、 p 1 , ... , p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}} をポントリャーギン類という。( p i {\displaystyle p_{i}} は4i次のコホモロジー群に属する)。ここで ⌊ ⋅ ⌋ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } は床関数である。 具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って
p i = ( − 1 ) i c 2 i {\displaystyle p_{i}=(-1)^{i}c_{2i}}
と書ける。
代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドル ξ U = ( E U ( 1 ) , B U ( 1 ) , π ) {\displaystyle \xi _{U}=(EU(1),BU(1),\pi )} に対し、 c 1 ( 1 ) ( ξ U ) {\displaystyle c_{1}^{(1)}(\xi _{U})} が H 2 ( B U ( 1 ) , Z ) {\displaystyle H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )} のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが、代数幾何学では ξ U {\displaystyle \xi _{U}} の双対ベクトルバンドル ξ U ∗ {\displaystyle \xi _{U}^{*}} に対して c 1 ( 1 ) ( ξ U ∗ ) {\displaystyle c_{1}^{(1)}(\xi _{U}^{*})} が H 2 ( B U ( 1 ) , Z ) {\displaystyle H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )} のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い。
区別のため代数幾何学の方のチャーン類を c ′ k ( n ) {\displaystyle c'{}_{k}^{(n)}} と書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは
c ′ k ( n ) = ( − 1 ) k c k ( n ) {\displaystyle c'{}_{k}^{(n)}=(-1)^{k}c_{k}^{(n)}}
という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。
P H = P G × H G → P G × G G ≈ P G ↓ ↻ ↓ B H = P G / H → B G = P G / G {\displaystyle {\begin{array}{ccc}PH=PG\times _{H}G&\to &PG\times _{G}G\approx PG\\\downarrow &\circlearrowright &\downarrow \\BH=PG/H&\to &BG=PG/G\end{array}}}
と書ける。 B ι {\displaystyle B\iota } の定義から B ι : B H → B G {\displaystyle B\iota ~:~BH\to BG} はバランス積 P H × ι G → B H = P G / H {\displaystyle PH\times _{\iota }G\to BH=PG/H} の分類写像であったので、上述の議論から B ι {\displaystyle B\iota } は商写像
B H = P G / H → B G = P G / G {\displaystyle BH=PG/H\to BG=PG/G}
に一致する。 B H = P G / H → B G = P G / G {\displaystyle BH=PG/H\to BG=PG/G} は G / H {\displaystyle G/H} をファイバーとするバンドルであり、特にHが正規部分群であれば G / H {\displaystyle G/H} -主バンドルであるので定理が示された。
オイラー類の満たす式「 p i ( ξ ) = e ( ξ ) 2 {\displaystyle p_{i}(\xi )=e(\xi )^{2}} in H ∗ ( X ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )} 」と上記の「 p i ( ξ ) = w 2 i ( ξ ) 2 {\displaystyle p_{i}(\xi )=w_{2i}(\xi )^{2}} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})} 」から、整数係数コホモロジー H ∗ ( X ; Z ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} )} の元 e ̄ ( ξ ) {\displaystyle {\bar {e}}(\xi )} で、
e ̄ ( ξ ) = e ( ξ ) {\displaystyle {\bar {e}}(\xi )=e(\xi )} in H ∗ ( X ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )} 、 e ̄ ( ξ ) = w n ( ξ ) {\displaystyle {\bar {e}}(\xi )=w_{n}(\xi )} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})} 、
を満たす元が一意に存在する。ここでnは ξ {\displaystyle \xi } のファイバーの次元である。このような e ̄ ( ξ ) {\displaystyle {\bar {e}}(\xi )} を整数係数コホモロジーにおけるオイラー類と呼ぶ。以下、紛れがなければ e ̄ ( ξ ) {\displaystyle {\bar {e}}(\xi )} の事を単に e ( ξ ) {\displaystyle e(\xi )} と書く。
“A Concise Course in Algebraic Topology”. 2021年5月20日閲覧。 J. P. May. “A NOTE ON THE SPLITTING PRINCIPLE”. 2022年5月30日閲覧。 Paul Selick. “Fibre Bundles; Characteristic Classes; K-theory”. 2021年6月4日閲覧。 Jamie Walton. “CHARACTERISTIC CLASSES AND THE CHERN CHARACTER”. 2021年6月4日閲覧。
論文 Armand Borel (2018年4月18日). “Topology of Lie Groups and Characteristic Classes”. Bulletin of the American Mathematical Society. 2022年11月25日閲覧。
書籍 森田茂之 (2001/05/23). 微分形式の幾何学2. 岩波講座 現代数学の基礎. 14. 岩波書店. ISBN 9784000110143. https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html 森田茂之, 特性類と幾何学. 現代数学の展開, 岩波書店 ISBN 978-4-00-006292-3 R.ボット、L.W.トゥー 著、三村護 訳『微分形式と代数トポロジー』シュプリンガーフェアラーク東京、1996年10月1日。ISBN 978-4431707073。 原著:Raoul Bott; Loring W. Tu (1982/5/24). Differential Forms in Algebraic Topology.
{ x } {\displaystyle \{x\}} を任意の一点集合とし、 p : X → { x } {\displaystyle p~:~X\to \{x\}} を { x } {\displaystyle \{x\}} への唯一の写像とし、εxを { x } {\displaystyle \{x\}} 上の自明な直線バンドルとし、さらに f x : { x } → B U ( 1 ) {\displaystyle f_{x}~:~\{x\}\to BU(1)} を { x } {\displaystyle \{x\}} の分類写像とする。明らかに ε = p ∗ ( ε x ) {\displaystyle \varepsilon =p^{*}(\varepsilon _{x})} なので、分類定理より、εの分類写像は f x ∘ p {\displaystyle f_{x}\circ p} とホモトープである。 H 2 ( { x } ; Z ) = 0 {\displaystyle H^{2}(\{x\};\mathbb {Z} )=0} なので、 c 1 ∈ H 2 ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle c_{1}\in H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )} の引き戻し c 1 ( ε ) = ( f x ∘ p ) ∗ ( c 1 ) = 0 {\displaystyle c_{1}(\varepsilon )=(f_{x}\circ p)^{*}(c_{1})=0} である。