ドット積
cos  θ = a ⋅ b ‖ a ‖ ‖ b ‖ = a x b x + a y b y + a z b z ( a x 2 + a y 2 + a z 2 ) ( b x 2 + b y 2 + b z 2 ) {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}{\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|}}={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt {\left(a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}\right)\left(b_{x}{}^{2}+b_{y}{}^{2}+b_{z}{}^{2}\right)}}}}
から求めることが可能である。逆にベクトルのなす角をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。
したがってドット積は(ノルムを通して)、通常のユークリッド空間における長さ、角度に一致する計量を矛盾なく定めるものである。つまり、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} でユークリッドの幾何学を考えることと、ドット積を定めることとが等価であることがわかる。