シャピロの不等式
n = 2 {\displaystyle n=2}
x 1 x 2 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 = 1 ≥ 2 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}=1\geq {\frac {2}{2}}}
より自明である。
n = 3 {\displaystyle n=3}
この場合をネスビットの不等式(英語版)といい、様々な証明が知られている。
正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、 a + 1 a ≥ 2 a ⋅ 1 a = 2 {\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geq 2{\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}=2}