概念記法
「系列の一般理論の若干のトピックス」という題名の第3章の主要な成果は,今日,祖先関係と呼ばれるものに関連している。フレーゲは,xに手続きfを適用した結果がyであることを,
⊢ f ( x , y ) {\displaystyle \vdash f(x,y)}
と表す(この記事では,現代記法で,xfy と書く)。また,フレーゲは,「xが性質Fを持ち,かつ,xに手続きfを適用した結果もつねに性質Fを持つ」とき,「性質Fはf系列において遺伝的である」(この記事では,Her(F)と書く)と言う。
∀ x ( F x → ∀ y ( x f y → F y ) ) ≡ H e r ( F ) {\displaystyle \forall x(Fx\to \forall y(xfy\to Fy))\equiv Her(F)}
である。また,この記事では,「f系列でのxのすべての子ども(xに手続きfを適用した結果のすべて)が性質Fを持つ」ことをIn(x,F)と書く。すなわち,
∀ a ( x f a → F a ) ≡ I n ( x , F ) {\displaystyle \forall a(xfa\to Fa)\equiv In(x,F)}
である。
数学的帰納法の証明の最初の論理的分析(第3章§23- 系列の一般理論)。後述「祖先関係」の「数学的帰納法」。
である。また,第二階の量化の考えも見られる。
論理学の歴史
Ancestral relation (祖先関係)
Frege's propositional calculus
命題関数の発明(第1章§9 関数)。「水素は二酸化炭素より軽い」を表す式言語において,「水素」の代わりに「酸素」あるいは「窒素」を代入することができる。そこで,「水素」を項,「二酸化炭素より軽い」を関数と呼ぶ。項Aの関数をΦ(A)のように書く。フレーゲは,それまで名辞(主語-述語)で表されていた命題を,関数で表したのである。