道 (位相幾何学)
道および閉道はホモトピー論と呼ばれる代数的位相幾何学の一分科において中心的な研究主題である。道のホモトピーはその端点を固定した連続変形という概念を明確に定義したものである。
具体的には、X 内の道のホモトピーあるいは道ホモトピー (path-homotopy) とは、I で添字付けられた X 内の道の族 ft: I → X で条件
ft(0) ≔ x0 および ft(1) ≔ x1 は t に依らず一定、
写像 F: I × I → X; F(s, t) ≔ ft(s) は二変数写像として連続
を満たすものを言う。ホモトピーで結ばれた二つの道 f0, f1 はホモトピック(あるいは決まった空間の間の任意の連続写像の上で定義されるより一般の関係としてのホモトピーと区別する場合には特に道ホモトピック)であるという。同様に、閉道の間にも基点を動かさないホモトピーを定義することができる。
位相空間内の道に対してホモトピックであるという関係は同値関係である。この同値関係に関する道 f の属する同値類を f のホモトピー類と呼び、しばしば [f] で表す。