コホモロジー
各群 Hk(X) がある rk ∈ Nに対して Z と同型であるようなよくあるケースにおいて、単に H k ( X ; A ) = A r k {\displaystyle H_{k}(X;A)=A^{r_{k}}} である。一般に、Hk(X) と H k ( X ; A ) {\displaystyle H_{k}(X;A)} の間の関係はほんの少しだけ複雑で、再び普遍係数定理によってコントロールされる。
さらに重要なことには、次元公理を完全に落とすことができる。すべての他の公理を満たす群を定義する異なる方法がたくさんある。例えば次のものがある。
安定ホモトピー群(英語版) π k S ( X ) {\displaystyle \pi _{k}^{S}(X)}
コボルディズム群の様々な異なるバージョン。 M O ∗ ( X ) , M S O ∗ ( X ) , M U ∗ ( X ) {\displaystyle MO_{*}(X),MSO_{*}(X),MU_{*}(X)} など。このうち最後(complex cobordism として知られている)は特に重要である。Daniel Quillen による定理によって形式群(英語版)の理論とつながりがあるためである。
K-理論の様々な異なるバージョン。
コホモロジーは現代の代数トポロジーにおいて基本的であるが、その重要性はホモロジーの発展の後約40年の間認識されていなかった。双対セル構造 の概念は、Henri Poincaré が彼のポワンカレ双対定理の証明において用いたが、コホモロジーのアイデアの起源を含んでいた。しかしこのことは後になって分かった。
コホモロジーの様々な前身があった。1920年代中ごろ、J. W. Alexander(英語版)と Solomon Lefschetz は多様体上のサイクルの交叉理論を作った。n 次元多様体 M において、共通部分が空でない p-サイクルと q-サイクルは、一般の位置(英語版)にあれば、共通部分 (p + q − n)-サイクルをもつ。これによってホモロジー類の積を定義することができる。
Hp(M) × Hq(M) → Hp+q−n(M).
Alexander(英語版)は1930年までに最初のコチェインの概念を、X における対角線の小さい近傍に関連がある空間 X 上の p-コチェインに基づいて、定義していた。
1931年に、Georges de Rham(英語版)はホモロジーと外微分形式を関連付け、ド・ラームの定理を証明した。この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される。
1934年に、Lev Pontryagin はポントリャーギンの双対定理を証明した。これは位相群に関する結果である。これは(いくらか特別なケースとして)群指標の言葉によるポワンカレ双対とアレクサンダー双対(英語版)の解釈を提供した。