リース変換
数学の調和解析の分野におけるリース変換(リースへんかん、英: Riesz transform)とは、次元 d > 1 のユークリッド空間へのヒルベルト変換の一般化の族である。ある函数と、原点に特異性を持つ別の函数の畳み込みであることから、ある種の特異積分作用素(英語版)と見なすことが出来る。より正確に言うと、R 上の複素数値函数 ƒ のリース変換は、j = 1,2,...,d に対して次式で定義される。
ここで定数 cd は次元の正規化
c d = 1 π ω d − 1 = Γ [ ( d + 1 ) / 2 ] π ( d + 1 ) / 2 {\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}}
であり、ωd−1 は (d − 1)-次元球の体積を表す。上式の極限は様々な方法で書き表すことが出来、しばしば主値や、緩増加超函数(tempered distribution)
K ( x ) = 1 π ω d − 1 p . v . x j | x | d + 1 {\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}}
との畳み込みとして書き表される。リース変換は、ポテンシャル論や調和解析における調和ポテンシャルの微分可能性の研究に現れる。特に、カルデロン=ジグムントの不等式の証明に現れる(Gilbarg & Trudinger 1983, §9.4)。