分散共分散行列
cov  ( A X , B ⊤ Y ) = A cov  ( X , Y ) B {\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {Y} )=\mathbf {A} \,\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\,\mathbf {B} }
もし X {\displaystyle \mathbf {X} } と Y {\displaystyle \mathbf {Y} } が独立ならば、 cov  ( X , Y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=0}
この共分散行列は、シンプルではあるが、非常に多岐にわたる分野でとても有用なツールである。分散共分散行列からは、データの相関を完全に失わせるような写像を作る変換行列を作ることができる。これは、違った見方をすれば、データを簡便に記述するのに最適な基底を取っていることになる。(分散共分散行列のその他の性質やその証明については、en:Rayleigh quotientを参照) これは、統計学では主成分分析 (PCA) と呼ばれており、画像処理の分野では、カルーネン・レーベ変換(英語版) (KL-transform) と呼ばれている。
n {\displaystyle n} 個の相関のある確率変数の確率密度関数、特に n 次のガウス分布に従う確率変数ベクトルの同時確率については、最尤法を参照。