擬環
例えば無限次元ベクトル空間 V 上の有限階(つまり dim f(V) < ∞)の線型作用素 f: V → V 全体の成す集合に、通例の如く点ごとの和と作用素の合成を積として入れたものは、擬環にはなるが単位的でない(単位元がもしあるならそれは恒等写像でなければならないが、恒等写像はこの空間に入っていない)。また、 0 に収斂する実数列全体の成す集合に、項ごとの演算を入れたものも、単位的でない擬環の例になる。
他にも、シュヴァルツ超函数論で用いられる試験函数の空間の多くは、シュヴァルツ空間のように無限遠に零点を持つ減少函数からなり(加法と乗法は点ごとの和と積で入れる)、したがって点ごとの積に関して単位元となりうる唯一の函数である「各点で値 1 をとる函数」はこの空間に入らないから、これらは非単位的である。また特に、何らかの位相空間上で定義されたコンパクト台付き実数値連続函数全体の成す集合に点ごとの和と積を入れたものは擬環になるが、台となる位相空間がコンパクトでない限り単位的環にならない。
必ずしも単位的でない環とは、集合 R に二つの二項演算、加法 "+" と乗法 "∗" が定義されていて、
(R, +) はアーベル群、
(R, ∗) は半群、
乗法は加法に対して分配的である
という条件を満足するものである。必ずしも単位的でない環としての準同型(擬環準同型)は、単位的環準同型と同様だが、単位元を保つという条件 "f(1) = 1" を要求しない。つまり、必ずしも単位的でない環の間の(擬)環準同型 f: R → S とは、R の任意の元 x, y に対して
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xy) = f(x)f(y)
を満たすものを言う。
しかし、R, S が単位元を持つ環のとき、擬環準同型 f: R → S が R の単位元 1 を S の単元 s へ写すならば、s = 1 となることは示せる。さらにこのとき、擬環準同型が R の任意の非零元を非零因子へ写すことは、1 が 1 に写ることから従う。系として、「擬環準同型が単元を単元へ写すならば、R の単位元は S の単位元へ写る」ことを得る。