奇数
奇数(きすう、英: odd number)とは、2 で割り切れない整数である。対義語で、2 で割り切れる整数は偶数という。
正負を問わず、−15, −3, 1, 7, 19 などはすべて奇数である。十進法では、一の位が 1, 3, 5, 7, 9 である数は奇数である。二進法では、2 の位(即ち一の位)が 1 ならば奇数で、一の位が 0 ならば偶数である。一般に 2n 進法(n は自然数)において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、一の位(n の位)を見るだけで判別できる。
偶数と奇数は、位数が 2 の体の例を与える。
平方数(四角数)のうち奇数であるのは、2n − 1番目の平方数のみである。
最小の正の奇数である 1 から n 番目の正の奇数(2n − 1)までの全ての奇数を足し合わせると、n 番目の平方数に等しくなる。
数論的関数を用いて、以下が知られている。
σ 1 ( N ) / N = n / d {\displaystyle \sigma _{1}(N)/N=n/d} (n, d ∈ N) かつ ω(N) = k が成り立つような正の奇数 N は、 ( d + 1 ) 4 k {\displaystyle (d+1)^{4^{k}}} より小さい。(ペース・ニールセン)
6 以外の完全数は奇数の立方和で表せる。
約数の和は平方数と平方数の2倍の数の場合のみ奇数である。これは平方数の約数の個数が奇数になることと、偶数の素数が2しかないためである。