自由電子
自由電子(じゆうでんし、英: free electron)とは、束縛を受けていない電子のこと。電子気体(フェルミ気体)とも呼ばれることがある。通常、電子は(ごく弱いものであったとしても)何らかの束縛を受けているため、自由電子は実在しないが、問題を簡潔にし自然科学への理解を助ける(理想化)。この自由電子を用いたモデルを、自由電子モデル(自由電子模型、Free electron model)と言う。現実の電子系について、それらが自由電子であると仮定する近似を自由電子近似と言う。
金属に関する議論においては、伝導電子と同じ意味で自由電子という言葉が用いられることがあるが、電子同士の多体相互作用等を無視している。金属の伝導電子は、電気伝導や熱伝導を担う。
ここで k {\displaystyle \mathbf {k} } は波数ベクトル、 Ω r {\displaystyle \Omega _{r}} は電子の存在する空間の体積である。 この平面波は固体物理学や物性物理学でよく用いられる。ほとんど自由な電子模型や強結合近似、マフィンティンポテンシャルを用いた近似などのバンド構造を調べる上で基本となり、そのエネルギー固有状態はブロッホ関数となる。
時間依存シュレーディンガー方程式
− ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) = i ħ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
の解は次のように与えられることがわかる。
Ψ ( r , t ) = 1 Ω r e i k ⋅ r − i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}}
ω ( k ) = ħ k 2 2 m {\displaystyle \omega ({\boldsymbol {k}})={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}
ここで ω ( k ) {\displaystyle \omega ({\boldsymbol {k}})} は周波数である。