フレシェ空間
半ノルム ǁ ⋅ ǁ とはベクトル空間 X から実数全体の成す集合への写像で、任意のベクトル x, y とスカラー c について、以下の三条件
‖ x ‖ ≥ 0 , {\displaystyle \|x\|\geq 0,}
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,}
‖ c ⋅ x ‖ = | c | ‖ x ‖ {\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}
を満たすもののことであったのを思い出そう。ここでさらに ǁxǁ = 0 が実は x = 0 を導くならば ǁ ⋅ ǁ はノルムになるが、以下の如くフレシェ空間の構成を可能にするという点において半ノルムのほうが有効である。
フレシェ空間の構成にあたって、ベクトル空間 X と X 上の半ノルム族 ǁ ⋅ ǁk で以下の二性質を満たすものから始めるのが典型的である。
点 x ∈ X が ǁxǁk = 0 を全ての k ≥ 0 に対して満たすならば x = 0 である。