結び目理論
幾つかの結び目不変量は合成に関してよく振舞い、多くの結果が得られている。
結び目 K の最小交点数 c ( K ) {\displaystyle c(K)} に関して、 c ( K 1 ♯ K 2 ) ≤ c ( K 1 ) + c ( K 2 ) {\displaystyle c(K_{1}\sharp K_{2})\leq c(K_{1})+c(K_{2})} 。
結び目 K の種数 g ( K ) {\displaystyle g(K)} に関して、 g ( K 1 ♯ K 2 ) = g ( K 1 ) + g ( K 2 ) {\displaystyle g(K_{1}\sharp K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})} 。
結び目 K のホンフリー多項式 P ( K ) {\displaystyle P(K)} に関して、 P ( K 1 ♯ K 2 ) = P ( K 1 ) P ( K 2 ) {\displaystyle P(K_{1}\sharp K_{2})=P(K_{1})P(K_{2})} 。
結び目(絡み目)は三次元空間に浮かんでいるが、これを二次元に射影して二次元の曲線のように表現することができる(ふつうは平面に射影する)。この図式のことを射影図(しゃえいず)または投影図(とうえいず)などという。このとき、
結び目(絡み目)の異なる3つ以上の点が、射影面において同一の点に写されない
射影面において2つの成分が1点で接することがない
という条件を満たすように射影することを正則表示(せいそくひょうじ、regular presentation)という(どんな結び目や絡み目でも適当に位置をずらすことによって正則表示することができる)。正則表示された結び目の図式を正則図式といい、結び目理論においては単に射影図といえば正則なものをさすことが多い。