外積代数
平面 R はベクトル空間であり、
e 1 = ( 1 , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}=(1,0),\quad {\boldsymbol {e}}_{2}=(0,1)}
という 2 つの単位ベクトルの組はその基底となっている。ここで、
v = v 1 e 1 + v 2 e 2 , w = w 1 e 1 + w 2 e 2 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2},\quad {\boldsymbol {w}}=w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}}
という 2 つの成分表示された R のベクトルが与えられたとすると、v, w を 2 つの辺とする平行四辺形が一意に存在する。この平行四辺形の面積は、行列式を用いて
A = | det ( v w ) | = | v 1 w 2 − v 2 w 1 | {\displaystyle A=\left|\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {v}}&{\boldsymbol {w}}\end{pmatrix}}\right|=|v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}|}
と表される。いま、v, w の外積を
u ∧ v ∧ w = ( u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 − u 1 v 3 w 2 − u 2 v 1 w 3 − u 3 v 2 w 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}\wedge {\boldsymbol {w}}\\&\quad =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})\end{aligned}}}
となる。これはスカラー三重積の通常の定義とよく似ている。
3-次元における通常のクロス積やスカラー三重積は幾何学的・代数的の両面で解釈することができる。クロス積 u × v は u と v の両方に直交し、大きさがそれらの張る平行四辺形の面積の大きさに等しいようなベクトルとして解釈することができ、これはまた u と v を列ベクトルとする行列の小行列式を成分に持つベクトルとして解釈することもできる。 u, v, w のスカラー三重積は幾何学的には(符号付)体積を表し、代数的には u, v, w を列ベクトルとする行列の行列式となっている。3-次元における外積についても同様の解釈が許される。事実として、正の向きを持つ正規直交基底の存在性に関して、外積はこれらの概念をより高い次元へと一般化する。