ユークリッド環
377, Theorem 7.4.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7.
↑ Motzkin, Theodore (1949), “The Euclidean algorithm”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (12): 1142–1146, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, http://projecteuclid.org/handle/euclid.bams/1183514381
↑ Weinberger, Peter J. (1973), “On Euclidean rings of algebraic integers”, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS) 24: 321–332
↑ Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), “Euclidean rings of algebraic integers”, Canadian Journal of Mathematics 56 (1): 71–76, doi:10.4153/CJM-2004-004-5, http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf
全ての PID がユークリッドというわけではない。例えば d = −19, −43, −67, −163 のときの二次体 Q(√d) の整数環は PID だがユークリッドでない。他方、d = −1, −2, −3, −7, −11 の場合にはユークリッドになる。
しかし、自明なイデアル類群を持つ Q の有限次拡大体の多くにおいて、その整数環はユークリッドになる(ただし、必ずしも体のノルムの絶対値に関してというわけではない。後述)。拡張リーマン予想 (ERH) を仮定すると、K が Q の有限次拡大で、かつ K の整数環が無限個の単元を持つ PID ならば、その整数環はユークリッドであることが従う。 特にこのことを自明な類群を持つ総実二次体の場合に応用できる。さらに(ERH の仮定なしに)体 K が Q のガロワ拡大で自明類群を持ち、かつ階数 (unit rank) が 3 より真に大きいならば、その整数環はユークリッドである。 ここから直ちに得られる系として、数体 K が Q 上ガロワで類群が自明かつ拡大次数が 8 より大きいならば、その整数環はユークリッドでなければならない。