グロモフ・ハウスドルフ収束
基点付き距離空間の列 {Xn , pn}n∈ N が基点付き距離空間 (X , p ) に基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束((英: pointed Gromov-Hausdorff convergence))してるとは、任意の r > 0 について { B ̄ ( p n , r ) } n ∈ N {\displaystyle \{{\overline {B}}(p_{n},r)\}_{n\in {\mathbb {N} }}} が B ̄ ( p , r ) {\displaystyle {\overline {B}}(p,r)} にグロモフ・ハウスドルフ収束してることをいう。
有界な距離空間への収束については基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束はグロモフ・ハウスドルフ収束より強い条件になっている。
更に測度距離空間に関する(基点付き)グロモフ・ハウスドルフ収束も定義され活発に研究されている。
コンパクト距離空間の列 {Xn}n ∈ N が一様にコンパクトのとき、ある部分列が存在し、コンパクト距離空間にグロモフ・ハウスドルフ収束する。
このことから直ちに基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束についても同様のことが言えることが分かる。
これの応用である次の定理やその類型がグロモフのプレコンパクト性定理(英: Gromov's compactness theorem)と呼ばれている。
グロモフ・ハウスドルフ収束に関する最も基本的な結果がグロモフ・ハウスドルフ空間のある部分集合が全有界(プレコンパクト)であることを主張する下記のグロモフのコンパクト性条件(英: Gromov's compactness criterion)である。 定理を述べる前に空間の列に関する概念を一つ定義しておく。