フーリエ級数の収束
f が有界変動関数の場合、そのフーリエ級数は至るところで収束する(ディニ・テスト(英語版)を参照)。
f が連続でそのフーリエ級数が絶対総和可能の場合、フーリエ級数は一様収束する。
フーリエ級数が各点収束しても一様収束しないような連続関数が存在する。
しかしながら、連続関数のフーリエ級数が各点収束する必要はない。そのことは最も簡単には、L(T) のディリクレ核が収束しないことと、バナフ=シュタインハウスの一様有界性原理(英語版)を用いることで証明できる。これはベールの範疇定理を使った典型的な存在証明であり、証明は非構成的である。このことは、与えられた x に対してフーリエ級数が収束するような連続関数の族について、その族が円上の連続関数がなすバナッハ空間において第一類であることを示す。 従って各点収束するフーリエ級数はある意味で非典型的 であり、多くの連続関数のフーリエ級数は与えられた点について収束しない。しかしながらカルレソンの定理(英語版)によって、与えられた連続関数のフーリエ級数がほとんど至るところで収束することが示されている。
f がα > 1/2 について α-ヘルダークラスに属するならば、 ヘルダー条件における定数 ||f ||Lipα、α のみに依存する定数 cα について、
‖ f ‖ A ≤ c α ‖ f ‖ L i p α , {\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},}
‖ f ‖ K := ∑ n = − ∞ + ∞ | n | | f ^ ( n ) | 2 ≤ c α ‖ f ‖ L i p α 2 , {\displaystyle \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2},}
が成り立つ。また ||f ||K はクレイン代数におけるノルムである。条件にあった 1/2 が基本的な役割を果たしていることに注意する。1/2 ヘルダー関数はウィーナー代数に属さないのである。またこの定理は、よく知られている α-ヘルダー関数のフーリエ係数の大きさの上限、O(1/n) を改良することはできず、このときフーリエ級数は総和可能ではない。
f が有界変動関数でありかつある α > 0 について α-ヘルダークラスに属するなら、関数 f はウィーナー代数に属する。