リー代数の表現
数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合(ベクトル空間の準同型)として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。
考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。
リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数、V, W を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群とすると、線型写像 f : V → W {\displaystyle f:V\to W} が、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -同変であるとき、つまり、任意の x ∈ g , v ∈ V {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},v\in V} に対して、 f ( x v ) = x f ( v ) {\displaystyle f(xv)=xf(v)} であるとき、この線型写像は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -線型である。f が全単射であれば、 V , W {\displaystyle V,W} は、同変であるという。同様に、加群の理論の多くのほかの抽象代数学の構成が、この設定から導き出される。部分加群、商、部分商、直和、ジョルダン・ホルダー系列、など、
V を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群とすると、V が次の同値な条件を満たすとき、V を半単純、もしくは完全可約という。
であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群と呼ばれる(用語を省略し、V を表現ということも多い)。
表現 ρ {\displaystyle \rho } が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。
同値な定義であるが、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群をベクトル空間 V と双線型写像 g × V → V {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V} と定義し、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、
[ x , y ] ⋅ v = x ⋅ ( y ⋅ v ) − y ⋅ ( x ⋅ v ) {\displaystyle [x,y]\cdot v=x\cdot (y\cdot v)-y\cdot (x\cdot v)}
であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρx (v) と置くと上の定義に関係付く。