ギャンブラーの誤謬
この誤謬は、以前の試行での失敗により後続の試行で成功する確率が高まるという誤った信念につながる。公正な16面のサイコロにおいて、それぞれの目が出る確率は1/16 (6.25%)である。1の目が1回でも出ればプレイヤーの勝ちというルールの場合、サイコロを16回投げたときにプレイヤーが勝つ(少なくとも1回は1の目が出る)確率は次の通りである。
1 − [ 15 16 ] 16 = 64.39 % {\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{16}\,=\,64.39\%}
1回目で負ける確率は15/16 (93.75%)である。誤謬に基づけば、プレーヤーは1回負けた後は勝つ可能性が高くなる。しかし実際には、残りの15回の試行でプレイヤーが勝つ(少なくとも1回は1の目が出る)確率は次の通りである。
1 − [ 15 16 ] 15 = 62.02 % {\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{15}\,=\,62.02\%}
1回負けるごとに、プレイヤーが勝つ確率は約2%低下する。5回負けた後の残りの11回で勝つ確率は、約0.5 (50%)まで低下している。連続して負けた後の1回の試行で負ける確率は増えも減りもしていないが、残りの試行回数が減っているため、残りの試行で勝つ確率は低下する。最終的に残りの試行が1回となったときには、勝つ確率は1回の試行で勝つ確率と同じ1/16 (6.25%)になる。
そのような議論が誤謬であるかどうか、すなわち、我々の宇宙の発生からは他の宇宙の存在や宇宙発生の試行について何も述べることはできないという主張についての哲学的議論は進行中である。スタンフォード大学の学生によるものを含む3つの研究で、遡及的ギャンブラーの誤謬の存在が検証された。3つの研究はいずれも、人々はギャンブラーの誤謬を遡及的に、また将来の事象に対して持っていると結論付けた。3つの研究の著者はいずれも、彼らの発見は重要な「方法論的意味合い」を持っているが、調査と研究を必要とする「重要な理論的意味合い」も持っていると結論付けた。ある研究の著者は、「このような推論プロセスを完全に理解するには、それらが将来の予測にどのように影響するかを調べるだけでなく、過去の認識についても調べる必要がある」と述べている。
別の心理学的な観点では、ギャンブラーの誤謬はバスケットボールのホットハンドの誤謬に対応するものと見なすことができる。これは、人は前の事象と同じ結果(ポジティブ・リーセンシー(positive recency)と呼ばれる)を予測する傾向があり、結果として、高得点者は得点を上げ続けると信じるというものである。ギャンブラーの誤謬では、前の事象の反対の結果(ネガティブ・リーセンシー(negative recency))を予測し、その結果、ルーレットのボールが6回続けて黒に入った後は赤に入ると予測する。エイトンとフィッシャーは、人はホットハンドの誤謬に対してポジティブ・リーセンシーを示すという理論を立てた。それは、この誤謬が人の行動の結果によるものであり、人は無生物がホットハンドを持つとは思っていないためである。人の行動はランダムとは見なされず、結果を生成する過程がランダムではないと考えると、人の行動の結果にはムラが生まれる可能性が高くなる。ギャンブラーの誤謬を示す人は、ホットハンドの誤謬も示す可能性が高く、1つの構成要素が2つの誤謬の原因であることが示唆される。
4回連続で表が出た後の次の試行で表が出る確率は、次式の通りである。
Pr ( A 5 | A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = Pr ( A 5 ) = 1 2 {\displaystyle \Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}}
5回連続で表が出る確率は1/32 = 0.03125(3%を少し上回る)であるが、これが「1回目のコイントスの前における確率」であることに人が気づかないことが、この誤謬の原因である。最初の4回のトスの後では、その結果はすでに不明ではないため、それらの確率は1(100%)に等しい。その前の4回のコイントスの結果が表であったときに、「過去の試行の結果が将来の確率に影響を与え、5回目の結果が裏になる確率が高くなるだろう」という推論が、誤謬の元を形成する。