微分作用素
数学における微分作用素(びぶんさようそ、differential operator)は、微分演算 (D = d⁄dx) の函数として定義された作用素である。ひとまずは表記法の問題として、微分演算を(計算機科学における高階函数と同じ仕方で)入力函数を別の函数を返す抽象的な演算と考えるのが有効である。
本項では、最もよく扱われる種類である線型作用素を主に扱う。しかし、シュヴァルツ微分(英語版)のような非線型微分作用素も存在する。
自乗可積分函数全体の成す函数空間において、標準的なスカラー積が
⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) ̄ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx}
で定義される。ここに g(x) 上の横棒は、g(x) の複素共役を表している。さらに f または g が x → a および x → b において消えているという条件を加えれば、T の随伴を
T ∗ u = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k D k [ a k ( x ) ̄ u ] {\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u]}
により定義することができる。この定義式は上記のスカラー積の定義に陽に依存していない。それゆえに、これを随伴作用素の定義として採用することもある。この定義式に従って定義された T* は T の形式随伴と呼ばれる。
(形式)自己随伴作用素とは、自身の(形式)随伴作用素に等しい作用素を言う。
函数空間 F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} から他の函数空間 F 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}} への写像 A {\displaystyle A} が存在し、 u ∈ F 1 {\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}} の像となるような函数 f ∈ F 2 {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}} (つまり f = A ( u ) {\displaystyle f=A(u)} )が存在することを仮定する。
微分作用素は、 u {\displaystyle u} およびその
P ( x , D ) = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) D α {\displaystyle P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}
なる形を含む高階微分によって有限生成される作用素を言う。