離散時間フーリエ変換
名称が暗に示している通り、{x[n]} は連続時間関数 x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} の値(標本)を表している。このときの標本化間隔を T {\displaystyle T\,} としたとき、各標本の採取時刻は t = n T {\displaystyle t=nT\quad } であり、 1 / T = f s {\displaystyle 1/T=f_{s}\,} がサンプリング周波数となる。DTFTは次の連続時間フーリエ変換の近似である。
X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t {\displaystyle X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}
標本化定理で示されるように、次のくし型関数の変調に x ( n T ) {\displaystyle x(nT)\,} の値を使用すると見ることもできる。
Δ T ( t ) = T ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }
したがって、
X ( ω + 2 π k ) = X ( ω ) {\displaystyle X(\omega +2\pi k)=X(\omega )\,}
となる。DTFT X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} の別の表記 X ( e i ω ) {\displaystyle X(e^{i\omega })\,} は次の特徴がある。
周期性を強調している。
DTFT とその元になっている x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} のフーリエ変換 X ( f ) {\displaystyle X(f)\,} (または X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} )との違いを明確化する。
DTFT とZ変換との関係を強調している。
ただし、実際に周波数領域の手法でDTFTを形成したとき、その類似性は不明瞭となる。したがって、下表でも使われている通り X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} の記法もよく使われている。