作用 (物理学)
最も一般的には、時間と(場の作用に関しては)空間の関数に対するスカラー値の汎関数 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を作用と呼ぶ。
古典力学において、作用汎関数に与えられる関数は初期時刻 ti と終端時刻 tf の間の系の経路 q(t) である。ここで q は一般化座標である。作用 S [ q ( t ) ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}(t)]} は初期時刻 ti と終端時刻 tf の間のラグランジアン L の時間積分
S [ q ( t ) ] = ∫ t i t f L [ q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}(t)]=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}L[{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t),t]\,\mathrm {d} t}
同時刻における2つの時間発展の差
ε ( t ) = x p e r ( t ) − x t r u e ( t ) {\displaystyle \varepsilon (t)=x_{\mathrm {per} }(t)-x_{\mathrm {true} }(t)}
はすべての時刻において充分小さいものとする。摂動に関する仮定から、時間発展の両端においてこの差分は正確に 0 に等しい。
作用積分の変分
δ S = S p e r − S t r u e {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{\mathrm {per} }-{\mathcal {S}}_{\mathrm {true} }}
について、作用の差はラグランジアンの差の積分に置き換えられる。
S p e r − S t r u e = ∫ t i t f [ L ( x p e r , x ̇ p e r , t ) − L ( x t r u e , x ̇ t r u e , t ) ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {per} }-{\mathcal {S}}_{\mathrm {true} }=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left[L(x_{\mathrm {per} },{\dot {x}}_{\mathrm {per} },t)-L(x_{\mathrm {true} },{\dot {x}}_{\mathrm {true} },t)\right]\mathrm {d} t}
簡単な問題を例にとり、オイラー=ラグランジュ方程式を通じて作用原理を用いることの利点を示す。ユークリッド空間上の直線を自由粒子(質量 m, 速度 v とする)が運動をしているとする。この運動をオイラー=ラグランジュ方程式を用いて極座標の形式に書き直すことを考えよう。ポテンシャルがない場合、ラグラジアンは単純に運動エネルギーに等しく、直交座標 (x, y) では、
L = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( x ̇ 2 + y ̇ 2 ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}
となる。ドットは曲線の媒介変数(通常は時刻 t に対応する)に関する微分を表す。
一方で極座標 (r, φ) によってラグランジアンを書き直せば
L = 1 2 m ( r ̇ 2 + r 2 φ ̇ 2 ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)}
となる。各成分 r と φ に関するオイラー=ラグランジュ方程式は、それぞれ、