トゥシャール多項式
トゥシャール多項式は、次の漸化式
T n + 1 ( x ) = x ( 1 + d d x ) T n ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}
および
T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}
を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。
陰記法 T(x)=Tn(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。
T n ( λ + μ ) = ( T ( λ ) + T ( μ ) ) n . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.}
T n + 1 ( x ) = x ( 1 + T ( x ) ) n . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}
トゥシャール多項式の母関数は
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) n ! t n = e x ( e t − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!