導来関手
アーベル圏 A を考える上での重要な仮定は、圏 A が充分単射的であることである。この充分単射的とは、A の全ての対象 A に対し、A の単射対象 (injective object) であるような I が存在して、モノ射 A → I が存在することである。
共変的な左完全関手 F : A → B の右導来関手は、次の様に定義される。A の対象 X より始めると、充分な単射対象を使って、次の形の長完全系列を構成することができる。
0 → X → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ {\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }
ここに I は全て単射的な対象である(これは X の単射分解として知られている)。関手 F をこの完全系列へ適用し、第一項を落とすと、鎖複体
0 → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) → F ( I 2 ) → ⋯ {\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }
を得る。
注意:一般にはこれはもはや完全系列ではない。しかし、i 次のホモロジー (F(I) からの射の核を、F(I) への射の像で割ったもの)を計算することができる。この結果を RF(X) と呼ぶ。もちろん、多くのことを検証する必要がある。つまり、最終的な結果は与えられた X の単射分解に依存せず、射 X → Y は自然に射 RF(X) → RF(Y) を誘導するので、実際に関手となっている。左完全性は、
層コホモロジー: X を位相空間とすると、X 上の全てのアーベル群の層の圏は、充分な単射的対象を持つアーベル圏である。そのような層 L に大域切断の群 L(X) を対応させる関手は左完全であり、右導来関手は層コホモロジー関手であり、通常、H(X, L) と書かれる。少し一般化し、(X, OX) を環付き空間とすると、OX-加群の全ての層の圏は充分単射的な加群を持つアーベル圏であり、再度、大域切断関手の右導来関手として層コホモロジーを構成することができる。
エタール・コホモロジーは、スキーム上のコホモロジー論である。これはエタール景上のアーベル群の層の大域切断関手の右導来関手である。
Ext関手: R が環であれば、全ての左 R-加群の圏は、充分に単射的な対象をもったアーベル圏である。左 R-加群 A を固定すれば、Hom関手 Hom(A, -) は左完全で、その右導来関手はExt関手 ExtR(A, -) である。
Tor関手: 左 R-加群の圏も充分な射影的対象を持っている。A が固定された右 R-加群であれば、A とのテンソル積は左 R-加群上の右完全な共変関手を与え、その左導来関手はTor関手 TorRi (A, -) を与える。
群コホモロジー (Group cohomology): G を群とすると、G-加群 M は、自己同型群として G が作用するアーベル群 M である。この M は群環 ZG 上の加群と同一である。G-加群は、充分な単射対象を持つアーベル圏を形成する。G が固定する M の元の全てから構成される M の部分群を M と書く。これは左完全関手であり、この右導来関手は群コホモロジー関手でもあり、一般的には、H(G, M) と書かれる。
導来関手と長完全系列は、いくつかのテクニカルな意味で「自然」である。
第一に、
0 → A 1 → f 1 B 1 → g 1 C 1 → 0 α ↓ β ↓ γ ↓ 0 → A 2 → f 2 B 2 → g 2 C 2 → 0 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&{\xrightarrow {}}&A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&{\xrightarrow {}}&0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&{\xrightarrow {}}&A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&{\xrightarrow {}}&0\end{array}}}
(この図の行は完全)の形の可換図式が与えられると、結果として得られる長完全系列は、次の可換図式により関係付けられる。