ルジャンドル多項式
非負整数 k、m で
k ≧ m
を満たすものに対し、ルジャンドル陪多項式Pk(t) を
P k m ( t ) = 1 2 k ( 1 − t 2 ) m / 2 ∑ j = 0 ⌊ ( k − m ) / 2 ⌋ ( − 1 ) j ( 2 k − 2 j ) ! j ! ( k − j ) ! ( k − 2 j − m ) ! t k − 2 j − m {\displaystyle P_{k}{}^{m}(t)={\frac {1}{2^{k}}}(1-t^{2})^{m/2}\sum _{j=0}^{\lfloor (k-m)/2\rfloor }{(-1)^{j}(2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}}
と定義する。Pk(t) はルジャンドルの陪微分方程式
ルジャンドル多項式は初め、1782年にアドリアン=マリ・ルジャンドルにより、ニュートン・ポテンシャル(英語版)
1 | x − x ′ | = 1 r 2 + r ′ 2 − 2 r r ′ cos  γ = ∑ l = 0 ∞ r ′ l r l + 1 P l ( cos  γ ) {\displaystyle {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )}
の展開の係数として定義された。ここに、r, r′ はそれぞれベクトル x, x′ の長さであり、γ はそれらのベクトルのなす角である。上記の級数は r > r′ が満たされる場合に収束し、質点に対応する重力ポテンシャルもしくは点電荷に対応するクーロンポテンシャルを極座標表示する際に用いることができる。