フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
例えば、 E {\displaystyle E} が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ: E = { x ∈ V κ : ( V κ , ∈ ) ⊨ ∃ u ∃ v [ x = ( u , v ) ∧ u ∈ v ] } . {\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}
(Lκ, Lκ, ∈) (κ は κ の後続基数)は NBG のモデルである。 NBG のクラス存在公理は (Lκ, Lκ, ∈) の中で真である。例えば、 E {\displaystyle E} が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ: E = { x ∈ L κ : ( L κ , ∈ ) ⊨ ∃ u ∃ v [ x = ( u , v ) ∧ u ∈ v ] } . {\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.} ゆえに、 E ∈ P(Lκ) である。一般連続体仮説が L の中で真というゲーデルの証明において、ゲーデルは P(Lκ) ⊆ Lκ であることを証明した。 したがって、 E ∈ Lκ であり、ゆえに (Lκ, Lκ, ∈) の中で帰属公理は真である。同様に、ほかのクラス存在公理も真である。(順序数のクラスを構成可能集合に移す)ゲーデルの関数を κ 未満の順序数に制限することによって Lκ が整列可能であるため、大域選択公理は真である。したがって、 (Lκ, Lκ, ∈) は NBG のモデルである。
S + Regularity はサイズ制限公理を含意する。Since これは1925年の公理系のうち S + Regularity にない唯一のものであるため、 S + Regularity は自身の1925年の公理系の公理すべてを含意する。
これらの結果は以下の内容を含意する: S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系は無矛盾である。証明: S が無矛盾であれば、 S + Regularity は無矛盾である(結果 1)。背理法を用いて、1925年の公理系が矛盾である、つまり1925年の公理系が矛盾を含意すると仮定する。 S + Regularity は1925年の公理系を含意する(結果 2)ので、 S + Regularity も矛盾を含意する。しかし、これは S + Regularity の無矛盾性に反する。したがって、 S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系も無矛盾である。
S は彼の1929年の公理系であるので、フォン・ノイマンの1925年の公理系は(カントール集合論に近い)1929年のものと相対的に無矛盾である。カントール集合論と1929年の公理系の大きな違いは、クラスとフォン・ノイマンの選択公理である。公理系 S + Regularity はベルナイスとゲーデルによって修正され、NBG と等価な公理系となっていった。
任意のクラス A {\displaystyle A} に対して、 A {\displaystyle A} の 3-組の後ろ 2 要素を入れ替えて得られる 3-組からなるクラス B {\displaystyle B} が存在する。
∀ A ∃ B ∀ x ∀ y ∀ z [ ( x , y , z ) ∈ B ⟺ ( x , z , y ) ∈ A ] {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}
外延性から、 V {\displaystyle V} の直積公理は A × V {\displaystyle A\times V} で表されるただ一つのクラスの存在を含意する。この公理はすべての n {\displaystyle n} -組に対してクラス V n {\displaystyle V^{n}} を定義するのにも用いる: V 1 = V {\displaystyle V^{1}=V} そして V n + 1 = V n × V {\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V} 。 A {\displaystyle A} がクラスならば、外延性は A ∩ V n {\displaystyle A\cap V^{n}} が A {\displaystyle A} の n {\displaystyle n} -組からなるただ一つのクラスであることを含意する。
Case b: φ {\displaystyle \phi } が x i ∈ Y k {\displaystyle x_{i}\in Y_{k}} ( i = n > 1 {\displaystyle i=n>1} )のとき、 V {\displaystyle V} の直積公理を Y k {\displaystyle Y_{k}} に適用してクラス P = Y k × V = { ( x i , x i − 1 ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}} を得る。組の補題の言明 4 を P {\displaystyle P} に適用して P ′ = V × Y k = { ( x i − 1 , x i ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}} を得る。拡大の補題を P ′ {\displaystyle P'} に適用して E i , Y k , n = { ( x 1 , ... , x n ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}} を得る。
Case c: φ {\displaystyle \phi } が x i ∈ Y k {\displaystyle x_{i}\in Y_{k}} ( i = n = 1 {\displaystyle i=n=1} )のとき、 E i , Y k , n = Y k {\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}} である。
ここで Y k {\displaystyle Y_{k}} は ∈ {\displaystyle \in } より前には現れない。
集合変数 x n + q {\displaystyle x_{n+q}} のみを量化する。ここで q {\displaystyle q} は変数の、量化子ネスト深さを表す。
すると、すべての Y 1 , ... , Y m {\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}} に対して、以下を満たす n {\displaystyle n} -組のクラス A {\displaystyle A} がただ一つ存在する:
証明:基礎ステップ: φ {\displaystyle \phi } は論理記号を含まない。定理の仮説は φ {\displaystyle \phi } が x i ∈ x j {\displaystyle x_{i}\in x_{j}} または x i ∈ Y k {\displaystyle x_{i}\in Y_{k}} の形の原子論理式であることを含意する。
Case 1: φ {\displaystyle \phi } が x i ∈ x j {\displaystyle x_{i}\in x_{j}} のとき、 x i ∈ x j . {\displaystyle x_{i}\in x_{j}.} を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラス E i , j , n = { ( x 1 , ...