ケイリー・ハミルトンの定理
余因子行列の証明において、B の係数 Bi は随伴行列の基本関係式の右辺だけに基づいて決定することができる。実は導かれた最初の n 本の式は、多項式 p(t)In をモニック多項式 Int − A で除した商 B を決定するものと解釈することができ、また最後の式はその除した剰余が零であるという事実を表すと解釈できる。この割り算は行列係数多項式の環において行われる。実際、非可換環係数の場合においてさえも、モニック多項式 P によるユークリッド除法(余り付き除算)は定義され、通常(可換環上)と同様に次数に関する条件を満たす商と剰余が常に一意的に取り出される(ここで P がどちら側因子であるかは決まっていることが前提である。今の場合は左因子である)。
と書けるし、この場合の行列式
1 24 ( ( tr  A ) 4 − 6 tr  ( A 2 ) ( tr  A ) 2 + 3 ( tr  ( A 2 ) ) 2 + 8 tr  ( A 3 ) tr  ( A ) − 6 tr  ( A 4 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}((\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3(\operatorname {tr} (A^{2}))^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4}))}
は cn−4 を表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。
係数 ck に対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式(英語版)やファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズム(英語版)などから導ける。
A の固有多項式を定義する行列 tIn − A は多項式行列である。多項式全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列
B ( t ) := adj  ( t I n − A ) {\displaystyle B(t):=\operatorname {adj} (tI_{n}-A)}
が存在して、基本関係式により
が成り立つ。
この B(t) もまた t を変数とする多項式行列であるから、各 i に対して行列の各成分から t の項だけを取り出してまとめたものを係数行列 Bi として、
と書き直すことができる(B(t) の定義の仕方から、t より高次の冪は現れないことに注意)。これは、多項式行列を、「行列を係数とする多項式」(定数成分行列の線型結合)で表す便法である(それを強調するために t は係数として左側に書いている)。
さて等式 1 を積の双線型性により展開すれば
単因子論を用いると、簡単に導出できる。ただし、単因子標準形の存在・一意性の証明にはかなりの工程を要する。
文献に掲載されている方法による。
xI − A の単因子標準形は、 deg  det ( x I − A ) = n {\displaystyle \deg \det(xI-A)=n} より、
P ( x ) ( x I − A ) Q ( x ) = ( e 1 ( x ) ⋱ e n ( x ) ) {\displaystyle P(x)(xI-A)Q(x)={\begin{pmatrix}e_{1}(x)&&\\&\ddots &\\&&e_{n}(x)\\\end{pmatrix}}}
の形となる。ここで、ek(x) はモニック多項式、ek−1(x) | ek(x)(つまり ek(x) は ek−1(x) で割り切れる)である。
単因子論で知られている結果として、最後の単因子 en(x) は A の最小多項式 φA(x) に等しい。
p A ( x ) = det ( x I − A ) = det P ( x ) − 1 ⋅ ( e 1 ( x ) ⋯ e n − 1 ( x ) φ A ( x ) ) ⋅ det Q ( x ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(x)&=\det(xI-A)\\&=\det P(x)^{-1}\cdot (e_{1}(x)\cdots e_{n-1}(x)\phi _{A}(x))\cdot \det Q(x)^{-1}\end{aligned}}}
故に固有多項式 pA(x) は最小多項式 φA(x) で割り切れると分かる。故に p(A) = O(証明終)