ガンマ行列
γ 0 = σ 1 ⊗ 1 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j , γ 5 = − σ 3 ⊗ 1 , σ 0 j = − i σ 3 ⊗ σ j , σ j k = 1 ⊗ ε i j k σ i {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{1}\otimes 1,~\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j},~\gamma _{5}=-\sigma _{3}\otimes 1,~\sigma ^{0j}=-i\sigma _{3}\otimes \sigma _{j},~\sigma ^{jk}=1\otimes \epsilon _{ijk}\sigma _{i}}
カイラル表現とディラック表現は次の相似変換で結ばれる。
γ chiral μ = U γ Dirac μ U † , U = 1 2 ( 1 − γ 5 γ 0 ) = 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] {\displaystyle \gamma _{\operatorname {chiral} }^{\mu }=U\,\gamma _{\operatorname {Dirac} }^{\mu }\,U^{\dagger },\quad U={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1-\gamma _{5}\gamma _{0})={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}}
マヨラナ表現では、ガンマ行列は全て純虚数になるように選択される。具体的に γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} および γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} は
γ 0 = [ 0 σ 2 σ 2 0 ] , γ 1 = [ i σ 3 0 0 i σ 3 ] , γ 2 = [ 0 − σ 2 σ 2 0 ] , γ 3 = [ − i σ 1 0 0 − i σ 1 ] , γ 5 = [ σ 2 0 0 − σ 2 ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\\\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\\\end{bmatrix}},\quad \gamma _{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}}
となる。
マヨラナ表現においてディラック方程式は実数で構成される。