ワイトマンの公理系
物理学において、ワイトマンの公理系(Wightman axioms)(ガーディング・ワイトマンの公理系(Gårding–Wightman axioms)ともいう)とは場の量子論を数学的に厳密に定式化する試みの一つである。アーサー・ワイトマン(Arthur Wightman)は、1950年代初期には既にこの公理系を定式化していたが、実際に出版されたのはハーグ・ルエル散乱理論(英語版)がその重要性を認めた後、1964年のことである。
ワイトマンの公理系は構成的場の理論の文脈で議論され、場の理論の厳密な扱いの基礎と、摂動的な手法の厳密な基礎を提供することを意図している。ミレニアム問題のひとつ(ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題)には、ヤン-ミルズ理論においてワイトマン公理系を確立することが含まれている。
光線の射影空間の上の対称作用素は、基礎となっているヒルベルト空間へ「持ちあげる」(lift)することができる。これは各々の群の元 (a, L) ができるので、ヒルベルト空間上のユニタリもしくは反ユニタリ作用素 U(a, L) の族を得て、(a,L) により変換された光線 Ψ は、U(a, L) ψ を意味する光線と同じである。単位元と連結な群の元だけに注目すると、反ユニタリな場合は起きない。
(a, L) と (b, M) を 2つのポアンカレ変換として、(a, L).(b,M) で群の積を表すとすると、物理的解釈から、U(a, L)[U(b, M)]ψ を含む光線は(任意のΨに対し)、U((a, L). (b, M))ψ を含む光線であるはずであることが分かる(群作用の結合性)。光線からヒルベルト空間へ戻ると、これらの2つのベクトルはフェーズが異なっているかもしれず(また、ユニタリ作用素を選ぶのでノルムの中にないかもしれない)、2つの群の元 (a, L) と (b, M) である、つまり、群の表現ではなくて、射影表現(英語版)である。これらのフェーズは各々の U(a) を再定義することにより、例えばスピンが 1/2 の粒子に対し、いつもキャンセルできるとは限らない。ウィグナーは(ポアンカレ群に対し?)得ることのできる最良のものは、
U ( a , L ) U ( b , M ) = ± U ( ( a , L ) .
ワイトマンの公理系の出発点となるアイデアの一つは、ポアンカレ群のユニタリ表現をなすヒルベルト空間の存在である。これにより、(ローレンツ・ブーストと対応して)エネルギー、運動量、角運動量、重心の概念が確立される。
また、4次元運動量(英語版)のスペクトルを正エネルギー側の光円錐(とその境界)に限定するという安定性条件がある。しかし、これは局所性原理(英語版)を満たすには不十分である。このためワイトマンの公理は、共変なポアンカレ群の表現(英語版)をなす量子場と呼ばれる位置依存作用素を導入する。
場の量子論は紫外発散の問題があるので、時空のある点における場の値はうまく定義できない。これを回避するためにワイトマンの公理では、テスト函数の上に「なすりつける」(smearing over a test function)ことで、自由場でさえ発生する紫外発散の問題を取り扱う考え方を導入した。公理系は非有界作用素を扱うので、作用素の定義域を指定する必要がある。
あるテクニカルな前提の下で、ユークリッド的な場の量子論がウィック回転させるとワイトマンの場の量子論になることが示されている。オスターワルダー・シュラーダーの定理(英語版)(Osterwalder-Schrader theorem)を参照。この定理は、ワイトマンの公理系を満たす 2 と 3 次元の相互作用のある理論の再構成のキーとなるツールである。