フェルマー数
フェルマー数は次の漸化式を満たす:
Fn = (Fn−1 − 1) + 1
Fn = Fn−1 + 2F0 ⋯ Fn−2
Fn = Fn−1 − 2(Fn−2 − 1)
Fn = F0 ⋯ Fn−1 + 2
フェルマー数は全て奇数であるから、4番目の式から、どの2つのフェルマー数も互いに素であると分かる。
フェルマー数は、例えば次の合同式を満たす。
n ≥ 2 ならば、Fn ≡ 17 or 41 (mod 72)
n ≥ 2 ならば、Fn ≡ 17, 37, 57 or 97 (mod 100)
2 + 1 (m ≥ 2) の形の素数はフェルマー数である。一般に、a + 1 (a ≥ 2) が素数ならば、a は偶数で m は 2 の累乗となる。実際、a + 1 は奇数だから a すなわち a は偶数である。また、m が 1 より大きい奇数 k で割れるならば a + 1 で割れる。
このことから、2 + 1 (m ≥ 2) が素数ならば、m = 2 を満たす自然数 n が存在する。つまり 2 + 1 = Fn である。