円周率
}{(4^{n}99^{n}\cdot n!)^{4}}}} (ラマヌジャン)
4 π = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 21460 n + 1123 ) ⋅ ( 4 n ) ! 882 2 n + 1 ( 4 n n ! ) 4 {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460n+1123)\cdot (4n)!}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}} (ラマヌジャン)
∑ n = 1 ∞ n e 2 π n − 1 = 1 24 − 1 8 π {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{2\pi n}-1}}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}} (ラマヌジャン)
1 π = 12 C 0 C 0 ∑ n = 0 ∞ ( C 2 n + C 1 ) ⋅ ( 6 n ) ! ( − C 0 ) 3 n ⋅ ( 3 n ) ! ⋅ ( n ! ) 3 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{0}{\sqrt {C_{0}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(C_{2}n+C_{1})\cdot (6n)!}{(-C_{0})^{3n}\cdot (3n)!\cdot (n!)^{3}}}} (チュドノフスキー兄弟(英語版))
しかし、遺題継承運動は1641年に始まって1699年頃には終わってしまい、いったん3.14に統一された円周率の値は江戸時代後半になると揺らぎ始め、古い3.16に逆行するという現象が生じた。文政年間(1818~30年)に出版された算数書とソロバン書を悉皆調査した結果では、円周率の値を3.14とするものと、3.16とするものの2系統があることが明らかにされた。いくらか専門的な数学書では3.14とされているのに、大衆向けの小冊子の中では3.16の方が普通に用いられていた。
当時の識者である橘南谿(1754-1806年)は「いまに至り3.16あるいは3.14色々に論ずれども、なおきわめがたきところあり」と述べ、3.14はまだ確定していないとしている。儒学者の荻生徂徠も和算家の算出した3.14の根拠に納得しなかった。当時の和算家のほとんどは、円に内接する多角形の周を計算することで円周率を計算した。内接多角形の角数を増やすほど求まる円周率の桁は増えていくので、素人目にはその値が増大する一方に見える。「それがいくら増えても3.1416を超えない」ということを和算家たちはついに納得させることができなかったのである。
そのような和算家以外の素人たちを納得させるには、どうしても万人に納得させる「理」に基づいて計算してみせる他はない。それを行うには西洋で行われたように、「円を内接多角形と外接多角形ではさんで、円周率の上限と下限を示すこと」が必要であったが、(次の鎌田による成果を例外として)和算家はついにその方法を取ることがなかった。
18世紀フランスの数学者アブラーム・ド・モアブルは、ある定数 C を取ると、コインを 2n回投げて表が x回だけ出る確率は、n が十分大きいとき
C n exp  { − ( x − n ) 2 n } {\displaystyle {\frac {C}{\sqrt {n}}}\exp \left\{-{\frac {(x-n)^{2}}{n}}\right\}}
で近似できることを、n = 900 における数値計算により見いだした。この正規分布の概念は1738年に出版されたド・モアブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ド・モアブルの友人のジェイムズ・スターリングは後に、 C = 1 2 π {\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} であることを示した。
1751年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、x が 0 でない有理数ならば正接関数 tan x の値は無理数であることを示し、その系(の対偶)として π は無理数であることを導いた。さらに1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンは π が超越数であることを示し、円積問題(与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を作図する問題)は解くことができないことを導いた。
1873年、ウィリアム・シャンクスは彼自身の手で小数点以下第707位までを計算した(ただしその結果は途中で生じた誤りにより小数点以下第527位までしか正しくなかった)。
円弧の長さの計算など、実務上の数値計算では、その用途に応じて必要な桁数の円周率が計算に用いられる。例として、
指輪などの小さなものでは、3.14で設計している。
公認陸上競技場の曲走路の計算では、3.1416を用いている。
NASAのJPLの惑星間航行システムにおける最高精度の計算では、小数点以下15桁までの3.141592653589793を用いている。
観測可能な宇宙が球体だとして、その円周の誤差が水素原子程度になるためには、小数点以下40桁程度を使えば足りる。