層係数コホモロジー
第一は、和の各項がほとんど全てが 0 である、つまり、ある N が存在し、 i ≥ N {\displaystyle i\geq N} でコホモロジーが0である必要がある。さらにランクはアーベル群のランク、もしくはベクトル空間の次元のように、加群の理論からの well-defined な函数で、問題のコホモロジー群の有限の値となっていることである。従って、項の和の有限性とコホモロジー群の有限性という 2つの種類の有限性(英語版)の証明が要求される。
連接層のような理論では、そのような定理があり、χ(F) の値が他の考え方(例えば、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理やグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理(英語版))から、個別の項のランクよりも容易に計算することができる。実践的には、H(X,F) が最も興味が持たれ、他の H(X,F) 上の消滅定理によりランクを計算する一つの方法がある。この方法は、標準的な間接的な層の理論の方法で数値的な結果がもたらされる。