接続 (ベクトル束)
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Shishichi Kobayashi; Katsumi Nomizu (2009). Foundations of Differential Geometry Volume II. Wiley Classics Library. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Zbl 0175.48504
Eにリーマン計量gが定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる:
定理 (平行移動による計量の保存) ― ∇ {\displaystyle \nabla } がEのリーマン計量gと両立するとき、任意の v , v ′ ∈ E P ( a ) {\displaystyle v,v'\in E_{P(a)}} に対し、以下が成立する:
g ( v , v ′ ) = g ( φ a , b ( v ) , φ a , b ( v ′ ) ) {\displaystyle g(v,v')=g(\varphi _{a,b}(v),\varphi _{a,b}(v'))}
曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} 上定義されたEの切断 e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) {\displaystyle e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)} で、各時刻tに対して e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) {\displaystyle e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)} がEPの基底の基底になっており、しかも e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) {\displaystyle e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)} が P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行なものを P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った水平フレーム(英: horizontal frame)という。
Peter Gilkey, JeongHyeong Park, Ramón Vázquez-Lorenzo (2022/5/31). Aspects of Differential Geometry I. Synthesis Lectures on Mathematics & Statistics. 15. Springer. ISBN 978-3-031-02407-8
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Ivan Kolář, Jan Slovák, Peter W.
u = a t + b {\displaystyle u=at+b}
が成立する。
測地線とは d d t P ( t ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}P(t)} が P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行である曲線なので、 d d t P ( 0 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}P(0)} が0でなければ任意のtに対して d d t P ( t ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}P(t)} は0でない。恒等的に同じ点を取る「曲線」は測地線とはみなさなかった事から、測地線は任意の時刻に対して d d t P ( t ) ≠ 0 {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}P(t)\neq 0} である。
P ( t ) {\displaystyle P(t)} が測地線で P ( t ) {\displaystyle P(t)} を変数変換した P ( u ) {\displaystyle P(u)} も測地線であるとすると、
捩率テンソルを
T ( X , Y ) = τ i ( X , Y ) e i {\displaystyle T(X,Y)=\tau ^{i}(X,Y)e_{i}}
と成分表示して得られる2-形式 τ i {\displaystyle \tau ^{i}} を並べてできる縦ベクトル τ = t ( τ 1 , ... , τ m ) {\displaystyle \tau ={}^{t}(\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m})} を考える事ができる。τの事を基底 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する捩率形式(英: torsion form)という。
さらに局所的な基底 e 1 , ... , e n ∈ T M {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM} の双対基底を θ 1 , ... , θ n ∈ T ∗ M {\displaystyle \theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n}\in T^{*}M} とすると、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを θ = t ( θ 1 , ...
逆に接続 ∇ : X × Γ ( E ) → Γ ( E ) {\displaystyle \nabla ~:~{\mathfrak {X}}\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)} とバンドル写像 A : T M ⊕ E → E {\displaystyle A~:~TM\oplus E\to E} が与えられると、
∇ X s = ∇ X ′ s + A ( X , s ) {\displaystyle \nabla _{X}s=\nabla '_{X}s+A(X,s)}
もE上の接続である事を確かめられる。まとめると、以下の定理が成り立つ:
定理 ― ∇ , ∇ ′ {\displaystyle \nabla ,\nabla '} を多様体M上のベクトルバンドルEの2つ接続とする。このとき、
A ( X , s ) := ∇ X s − ∇ X ′ s {\displaystyle A(X,s):=\nabla _{X}s-\nabla '_{X}s}
はバンドル写像 T M ⊗ E → E {\displaystyle TM\otimes E\to E} とみなせる。逆にバンドル写像 A : T M ⊗ E → E {\displaystyle A~:~TM\otimes E\to E} とE上の任意の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対し、