振動準位
二原子分子において2つの原子核の運動をばねによって結ばれた2つの粒子の調和振動子で近似する。2つの原子核が一直線上の位置 x1, x2 にあるとすると、フックの法則からそれぞれの核にはたらく力は
m 1 d 2 x 1 d t 2 = − k x {\displaystyle m_{1}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}=-kx}
m 2 d 2 x 2 d t 2 = k x {\displaystyle m_{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=kx}
x はばねの変位(l0をばねに伸び縮みが無いときの長さとしたとき x = x2 − x1 − l0)、k はばね定数を表す。マイナス符号は、2つの核に反対向きの力が働くことを示す。
ここで換算質量 μ {\displaystyle \mu } を導入し、2つの核の相対運動を一方を固定した1つの粒子の運動で表す。 はじめの式を m1、2つ目の式を m2 で割り、2式を引いて整理すると
μ d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle \mu {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}
μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}