リッチフロー
{\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}
これらの表現から、独立な唯一の接続 1-形式 (connection one-form)
ω 1 2 = p y d x − p x d y {\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy}
を導くことができる。もう一つの外微分は、
d ω 1 2 = p y y d y ∧ d x − p x x d x ∧ d y = − ( p x x + p y y ) d x ∧ d y . {\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}
である。これは曲率 2-形式 (curvature two-form)
Ω 1 2 = − exp  ( − 2 p ) ( p x x + p y y ) σ 1 ∧ σ 2 = − Δ p σ 1 ∧ σ 2 {\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}
を与える。このことから、
Ω 1 2 = R 1 212 σ 1 ∧ σ 2 .
規格化(一意化)という言葉は、正確には幾何学における特異な性質を滑らかにして取り除く方法を示唆しており、幾何化という言葉は滑らかな多様体上の幾何学を示唆していることに注意する。幾何学はフェリックス・クラインのエルランゲンプログラムに似た方法を使う。(詳細は、幾何化予想を参照)特に幾何化の結果は等長的ではない幾何学かも知れない。定数曲率の場合を含むほとんどの場合に幾何学は一意的である。この分野の重要な問題は、実数での定式と複素数での定式の間の相互関係である。特に2次元多様体というよりも複素曲線を規格化における多くの議論は説明する。
リッチフローは体積を保存はしないので、リッチフローを規格化や幾何化へ適用する際に注意すべき事項は、体積を保存するようなフローを得るようにリッチフローを正規化する必要があることである。このことに失敗すると、問題は(たとえば)与えられた 3次元多様体がサーストンの標準的な形の一つへ変化する代わりに、サイズが縮小してしまうだろう。
n次元リーマン多様体のモジュライ空間の一種を構成することは可能で、リッチフローは実際このモジュライ空間の中へ幾何学的フロー (geometric flow) をもたらす(直感的に言うとフローに沿って粒子が流れる)。
となる。
次に、与えられた任意の滑らかな函数 h(x, y) に対し、外微分
d h = h x d x + h y d y = exp  ( − p ) h x σ 1 + exp  ( − p ) h y σ 2 {\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}}
を計算し、ホッジ双対
⋆ d h = − exp  ( − p ) h y σ 1 + exp  ( − p ) h x σ 2 = − h y d x + h x d y . {\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}
を得て、もう一つの外微分
d ⋆ d h = − h y y d y ∧ d x + h x x d x ∧ d y = ( h x x + h y y ) d x ∧ d y {\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}
を得る。(ここに、外積の反可換な性質を使う。)つまり、
d ⋆ d h = exp  ( − 2 p ) ( h x x + h y y ) σ 1 ∧ σ 2 {\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}