パラコンパクト空間
Moreover x ∈ V {\displaystyle x\in V} , because ∀ i = { 1 , . . . , n } {\displaystyle \forall i=\{1,...,n\}} we have U i ̄ ⊆ U {\displaystyle {\bar {U_{i}}}\subseteq U} and we know that x ∉ U {\displaystyle x\notin U} . Then C := X ∖ V {\displaystyle C:=X\setminus V} is closed set without x {\displaystyle x} which conatins W U {\displaystyle W_{U}} . So x ∉ W U ̄ {\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}} and we've reached contradiction. And it easy to see that { W U : U ∈ O } {\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,} is an open refinement of O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} .
数学において、パラコンパクト空間 (paracompact space) はすべての開被覆が局所有限(英語版)な開細分を持つような位相空間である。これらの空間は Dieudonné (1944) によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規であり、ハウスドルフ空間がパラコンパクトであることと、任意の開被覆に対しそれに従属する 1 の分割を持つことは同値である。パラコンパクト空間の定義にハウスドルフであることを含める場合もある。
パラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は常に閉であるが、これはパラコンパクト部分集合に対しては正しくない。そのすべての部分空間がパラコンパクト空間であるような空間は遺伝的パラコンパクト (hereditarily paracompact) と呼ばれる。これはすべての開部分空間がパラコンパクトであると要求することと同値である。
チコノフの定理(コンパクト位相空間の任意の集まりの積はコンパクトである)はパラコンパクト空間には一般化されない、つまり、パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らない。しかしながら、パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はつねにパラコンパクトである。
すべての距離空間はパラコンパクトである。位相空間が距離化可能であることとパラコンパクトかつ局所距離化可能なハウスドルフ空間であることは同値である。