修正重力理論
STVGは作用原理を用いて定式化される。 以下の計量の符号は [ + , − , − , − ] {\displaystyle [+,\ -,\ -,\ -]} を使う。 光速は c = 1 {\displaystyle c=1} とし、リッチテンソルは次のように定義される。
R μ ν = ∂ α Γ μ ν α − ∂ ν Γ μ α α + Γ μ ν α Γ α β β − Γ μ β α Γ α ν β {\displaystyle R_{\mu \nu }=\partial _{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \nu }^{\beta }}
まずEinstein-Hilbert Lagrangianから始める。
L G = − 1 16 π G ( R + 2 Λ ) − g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{G}=-{\frac {1}{16\pi G}}\left(R+2\Lambda \right){\sqrt {-g}}}
ここで R {\displaystyle R} はリッチテンソルのトレース、 G {\displaystyle G} は重力定数の変化、 g {\displaystyle g} は計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} の行列式、 Λ {\displaystyle \Lambda } は宇宙定数である。