有理標準形
このような部分空間の基底は v と線型独立な限りその連続する冪による像とによって得られる。この基底に関する線形変換の表現行列はモニック多項式の同伴行列であり、この多項式(線形変換の部分空間への制限の最小多項式)は線形変換の巡回部分空間への作用を同型を除いて決定し、部分空間を生成するベクトル v の選び方に依らない。
巡回部分空間による直和分解は常に存在し、それを見つけるのは多項式の分解を必要としない。しかしながら、巡回部分空間はより小さな巡回部分空間の直和へと分解されるかもしれない(本質的には中国剰余定理による)。したがって、単に巡回部分空間への分解を求め、対応する最小多項式を知るだけでは相似性を決定するには十分でない。相似な行列に対し同じ巡回部分空間への分解が得られるように付加的な条件を課す必要がある:対応する最小多項式の列は、各多項式が次の多項式を整除しなくてはならない(そして 0 次元の自明な巡回部分空間を除外するために定数多項式 1 も許さない)。このようにして得られる多項式の列は行列の単因子と呼ばれ、行列が互いに相似であるのは、同一の単因子をもつとき、かつそのときに限る。行列 A の有理標準形は対応する最小多項式が A の単因子となるような巡回部分空間への分解に沿った基底の表現行列として得られる。行列が互いに相似であるのは、同一の有理標準形をもつとき、かつそのときに限る。