高木の存在定理
例えば、K を有理数体として m = (4) とする。イデアル (3) は 3/1 を生成元としてとるとこれは 3 と 1 は mod 4 で等しくないので条件はみたさないが、-3/1 をその生成元としてとれば -3 と 1 mod 4 で等しく、これは条件をみたす。したがってイデアル (3) は P4 に属する。一方で -3/1<0 であるため、(3) は P4∞ には属さない。)
Im と Pm の間にある任意の群 H を m を法とする合同群と呼び、商 Im/H を一般化されたイデアル類群と呼ぶ。
L/K を有限次拡大とする。Im の部分群 Nm(L/K) を L の分数イデアルのノルムになっているような元全体として定める。これは p(p は K の素イデアルで m と互いに素なもの、f は体拡大 L/K におけるこれの上にある素イデアルの剰余次数)で生成される Im の部分群である。Hm(L/K) = Pm・Nm(L/K) と置く。これは m を法とする合同群で、拡大 L/K に対する合同群と呼ばれる。
高木の存在定理とは、K の任意の合同群 H に対して H = Hm(L/K) となるようなアーベル拡大 L が存在するという定理である。アルティン相互法則を使って、これを「一般化されたイデアル類群 Im/H とガロア群がアルティン写像によって同型となるような K のアーベル拡大が存在する」と言い表すこともできる。