ヒルベルト空間
より今日的な取り扱いは Reed & Simon 1975 を参照。
↑ Kac 1966
↑ Dirac 1930
↑ von Neumann 1955
↑ Young 1988, p. 23.
↑ Clarkson 1936.
↑ Rudin 1987, Theorem 4.10
↑ Dunford & Schwartz 1958, II.4.29
↑ Rudin 1987, Theorem 4.11
↑ Weidmann 1980, Theorem 4.8
↑ Weidmann 1980, §4.5
↑ Buttazzo, Giaquinta & Hildebrandt 1998, Theorem 5.17
↑ Halmos 1982, Problem 52, 58
↑ Rudin 1973
↑ Trèves 1967, Chapter 18
↑ See Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Chapter VIII), Folland (1989).
↑ Prugovečki 1981, III, §1.4
↑ Dunford & Schwartz 1958, IV.4.17-18
↑ Weidmann 1980, §3.4
↑ Kadison & Ringrose 1983, Theorem 2.6.4
↑ Dunford & Schwartz 1958, §IV.4.
↑ 添字集合が有限の場合は例えば Halmos 1957, §5、無限の場合は Weidmann 1980, Theorem 3.6 を参照。
↑ Levitan 2001。
最もよく知られたヒルベルト空間の例の一つは、三次元の空間ベクトル全体の成すユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} にドット積を考えたものであろう。二つのベクトル x , y {\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}} のドット積 x ⋅ y {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}} は実数を与える。 x , y {\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}} がデカルト座標系であらわされているときには、ドット積は
( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) := x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3}):=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}
として定まる。このドット積は、条件
対称性: x ⋅ y = y ⋅ x . {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {y}}\cdot {\boldsymbol {x}}.
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L、自乗総和可能数列の空間 l 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 、超関数からなるソボレフ空間 H s {\displaystyle H^{s}} 、正則関数の成すハーディ空間 H 2 {\displaystyle H^{2}} などが挙げられる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理(の厳密な類似対応物)は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影(例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物)は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標(直交座標)によって特定できるのと同様に、座標軸の集合(正規直交基底)に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる(これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである)。