偏微分方程式
シュレーディンガー方程式は量子力学の核心となる偏微分方程式である。
偏微分方程式(へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE)は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。
波動方程式は時間変数 t を含む双曲型偏微分方程式
ψ t t = c 2 ∇ 2 ψ = c 2 ( ψ x x + ψ y y + ψ z z ) {\displaystyle \psi _{tt}=c^{2}\nabla ^{2}\psi =c^{2}(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})}
のことである。この方程式は光波や音波といった波を記述するもので、定数 c は波の速さを示している。より身近な現象として、ひもの振動であるとか太鼓の鼓面の振動などといったものもこの方程式に従う。波動方程式の解は基本的には正弦波を重ね合わせることによって得られる。
以上の例はすべて、 与えられた線形作用素 A と既知関数 f によって、Aψ = f という形に表されるという意味で線型である。 重要な非線型方程式には、
流体を記述するナビエ-ストークス方程式
一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式
非線形波動を記述するKdV方程式・mKdV方程式 (これらの方程式は可積分系でも研究されている)
クレローの方程式
非線形シュレディンガー方程式
などがある。
非常に重要で基礎的な偏微分方程式として、
ψ x x + ψ y y + ψ z z = 0 {\displaystyle \psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=0}
なる楕円型偏微分方程式をラプラス方程式と呼ぶ。これはまた、∇(ナブラ)や Δ(ラプラス作用素)といった微分作用素を用いて
∇ 2 ψ = 0 , Δ ψ = 0 {\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =0,\quad \Delta \psi =0}
のようにも書かれる。ラプラス方程式の解は調和関数と呼ばれ、重力場や静電場といった物理的なベクトル場のポテンシャルを与える。