天体力学
そこでカール・フリードリヒ・ガウス (1777-1855) は同年9月からケレスの軌道計算に取り組み、11月にケレスの軌道計算に成功した。ガウスはフランツ・フォン・ツァハ (1754-1832) へ計算結果を送り、ツァハとヴィルヘルム・オルバース (1758-1840) はガウスの予測通りの位置にケレスを再発見した。さらに翌年に発見された小惑星パラスの軌道計算にも成功し、ガウスはゲッティンゲン大学の天文台のポストを得た。ガウスはさらに天体力学の研究を進め、その成果を1809年に『天体運行論』 (羅: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum) として出版した。軌道決定に関するガウスの方法(英語版)はラグランジュやラプラスによるものよりコンパクトである。なお『天体運行論』は最小二乗法に関する解説が含まれていることでも知られる。
またオイラーの研究には観測データからのパラメータ推定に関する先駆的な業績が含まれている(当時最小二乗法は考案されていなかった)。
トビアス・マイヤー (1723-1762) はオイラーの木星と土星の理論を発展させ太陽-地球-月系に応用することにより、月の天文表を作成し1753年に出版した。その正確さは1760年までにジェームズ・ブラッドリー (1693-1762) の観測によって裏付けられ、1767年に創刊された航海年鑑の基礎となった。
レオンハルト・オイラーは三体問題を求積するために運動の積分を探し求めたものの、必要な数の積分を得ることはできなかった。そこで三体が同一直線に乗る配位の特殊解に目を向け、1766年に三体問題に関する論文 Considerationes de motu corporum coelestium の中で制限三体問題の平衡点であるラグランジュ点のうち直線解と呼ばれる L1, L2 を発見した。ラグランジュは1772年にすべての平衡点、特に正三角形解を発見した。ラグランジュはまた一般三体問題の18本の方程式を7本の方程式に帰着できることを示している。
円制限三体問題におけるヤコビ積分(英語版)は1836年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1804-1851) によって導入された。
軌道の接成分 T ′ {\displaystyle T'} 、軌道面内の T ′ {\displaystyle T'} の法線成分 N ′ {\displaystyle N'} 、軌道面の法線成分 W ′ {\displaystyle W'} 。
前者の立場では、軌道要素 { a , e , i , Ω , ω , t 0 } {\displaystyle \{a,e,i,\Omega ,\omega ,t_{0}\}} に関するガウスの摂動方程式は次により与えられる。ここに p {\displaystyle p} は半直弦である。
d a d t = p μ 2 a 1 − e 2 { e sin  f R ′ + p r S ′ } {\displaystyle {\frac {da}{dt}}={\sqrt {\frac {p}{\mu }}}{\frac {2a}{1-e^{2}}}\left\{e\sin fR'+{\frac {p}{r}}S'\right\}}
d e d t = p μ { sin  f R ′ + ( cos  f + cos  E ) S ′ } {\displaystyle {\frac {de}{dt}}={\sqrt {\frac {p}{\mu }}}\left\{\sin fR'+(\cos f+\cos E)S'\right\}}
d i d t = r cos  ( f + ω ) n a 2 1 − e 2 W ′ {\displaystyle {\frac {di}{dt}}={\frac {r\cos(f+\omega )}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}W'}
理科年表2021年版による、太陽系惑星の質量および元期2021年7月5.0日TT=JD2 459 400.5TTの平均軌道要素。黄道と平均春分点は2001年1月1.5日TT=JD2 451 545.0TTの値による。
d π d t = + 1 − e 2 n a 2 e ∂ R ∂ e + tan  ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\varpi }{dt}}=+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial R}{\partial e}}+{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial R}{\partial i}}}
d Ω d t = + 1 n a 2 1 − e 2 sin  i ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}=+{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}{\frac {\partial R}{\partial i}}}
摂動関数 R {\displaystyle R} が与えられたならば、それを摂動展開し惑星方程式を逐次的に解くことにより軌道要素の時間変化が計算できる。
惑星は厳密には球形ではなく、自転による変形および潮汐力による潮汐変形を被る。このような変形は軸対称であり、近似的に中心軸から計った角度 ψ {\displaystyle \psi } の関数として P 2 ( cos  ψ ) {\displaystyle P_{2}(\cos \psi )} という形に表現できる。また潮汐変形の程度はラブ数(英語版)によって定量化される。
主慣性モーメント A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} を持つ天体がその外部につくる重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } の表式
Φ = − G M r − G ( A + B + C − 3 I ) 2 r 3 {\displaystyle \Phi =-{\frac {{\mathcal {G}}M}{r}}-{\frac {{\mathcal {G}}(A+B+C-3I)}{2r^{3}}}}
はマッカラーの公式と呼ばれる。ここに I {\displaystyle I} は天体の重心とポテンシャルの評価点を結ぶ軸まわりの慣性モーメントであり、評価点の座標を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} とするとき
I = A x 2 + B y 2 + C z 2 r 2 {\displaystyle I={\frac {Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}}{r^{2}}}}
により与えられる。