忠実加群
A-加群 M の任意の元 x に対して Mx = M とおくと、写像
φ : A → ∏ x ∈ M M x , a ↦ ( a x ) x ∈ M {\displaystyle \phi \colon A\to \prod _{x\in M}M_{x},\quad a\mapsto (ax)_{x\in M}}
は A-準同型である。このとき ker φ = AnnA (M) なので、準同型定理より
A / Ann A  ( M ) ≅ φ ( A ) ⊆ ∏ x ∈ M M x {\displaystyle A/\operatorname {Ann} _{A}(M)\cong \phi (A)\subseteq \prod _{x\in M}M_{x}}
を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は(自然にA-加群と見て) ∏ x ∈ M M x {\displaystyle \prod _{x\in M}M_{x}} の部分加群に同型である。