ベイカーの定理
また、 β 0 , β 1 , ... , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{0},\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、次数が d 以下、高さが B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の代数的数としたとき、
Λ = β 0 + β 1 log  α 1 + ⋯ + β n log  α n {\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}
とおくと、 Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} または、 | Λ | > B − C {\displaystyle |\Lambda |>B^{-C}} である。
ここで、C は、n、 d、 A、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
e β 0 α 1 β 1 ⋯ α n β n {\displaystyle e^{\beta _{0}}\alpha _{1}^{\beta _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}
は、超越数である。
系3 α 1 , ... , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β 1 , ... , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、 1 , β 1 , ... , β n {\displaystyle \scriptstyle 1,\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} が、有理数上線形独立な代数的数としたとき、
α 1 β 1 ⋯ α n β n {\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}
は、超越数である。
系3で、 n = 1 {\displaystyle n=1} とすることにより、ゲルフォント=シュナイダーの定理が導かれる。
定理2から得られる系をいくつか挙げる。
系4 α 1 , ... , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない、次数が d 以下の代数的数とし、高さに対して、 α 1 , .