剰余類環
数学において、自然数 n を法とする合同類環(ごうどうるいかん)あるいは剰余(類)環(じょうよ[るい]かん、英: residue [class] ring modulo n, 独: Restklassenring modulo n)は、整数を n で割った「剰余」を抽象的な類別として捉えたものである。
本項は剰余類環 Z/nZ の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。
n ≥ 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。したがって、ふたつの整数が同じ剰余類に属するのは、それらの差が n で整除されるときであり、かつそのときに限る。n を法とする剰余類の全体は、以下に述べる加法と乗法に関して n を法とする合同類環あるいは剰余類環と呼ばれる環を成す。剰余類環はしばしば Z/nZ, Z/n, Zn などで表される。
剰余類に対する加法および乗法は、代表元 (representive, Vertreter) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元(これは通常の整数)に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは a の属する剰余類を [a] と表せば
法 3 に関する剰余類は
0 := [ 0 ] = { ... , − 6 , − 3 ; 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , ... } {\displaystyle \mathbf {0} :=[0]=\{\ldots ,-6,-3;0,3,6,9,12,\ldots \}} : 3 で割り切れるもの
1 := [ 1 ] = { ... , − 5 , − 2 ; 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , ... } {\displaystyle \mathbf {1} :=[1]=\{\ldots ,-5,-2;1,4,7,10,13,\ldots \}} : 3 で割って 1 余るもの
2 := [ 2 ] = { ... , − 4 , − 1 ; 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ... } {\displaystyle \mathbf {2} :=[2]=\{\ldots ,-4,-1;2,5,8,11,14,\ldots \}} : 3 で割って 2 余るもの
の三種類である。ここでたとえば、1 + 2 を計算したいときは、4 ∈ 1 および 8 ∈ 2 で 4 + 8 = 12 ∈ 0 だから 1 + 2 = 3 とすればよい。このようにして Z/3Z = {0, 1, 2} における演算表
が得られる。(Z/3Z, +, ×) は環であり、この場合さらに体となり、F3 で表される(英語で体を意味する "field" に由来)。