プロカ方程式
この項で解説するのは、プロカ方程式を導出する最も単純なラグランジアン密度であるプロカ形式である。質量を持つベクトル場を記述する形式として、他にシュテュッケルベルク形式がある。プロカ形式は、シュテュッケルベルク形式における補助スカラー場を0とした場合と等しい形式である。
プロカ形式のラグランジアン密度は以下のように表記される。
L = − 1 4 F μ ν F μ ν + 1 2 m 2 A ν A ν {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\nu }A^{\nu }}
ここで、Aνは実ベクトル場で、 F μ ν ≡ ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} (Aνが電磁場の場合は電磁場テンソル)である。このラグランジアン密度はベクトル場の質量項が存在するためにゲージ不変性を破っている。
上記のラグランジアン密度をオイラー=ラグランジュ方程式
∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ A ν ) ) − ∂ L ∂ A ν = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}