概型
ヴェイユが抽象代数多様体を定義するまでは代数多様体とは射影空間やアフィン空間の部分集合となるようなものだけが考えられていた。ヴェイユがこのように定義された抽象多様体を必要とした理由の一つは、正標数でのヤコビ多様体が非特異射影モデルを持つかどうか不明であるためだった。
1947年時点では、次の5つの流儀が代数幾何学にはあった。
古典的なイタリア学派の流儀
ファン・デル・ヴェルデンの流儀
ヴェイユの『代数幾何学の基礎』の流儀
ザリスキーの付値論を使う流儀
一変数代数関数体を整数論的に扱う流儀
1は厳密性に欠け、2は3に吸収され、5は次元に関する制約があるので、残るは3と4であった。
1949年、ヴェイユは有限体上の一変数代数関数体に対するリーマン仮説を高次元化した予想を、関連する予想とともに提唱した。これはのちにヴェイユ予想と呼ばれることになる数論の予想である。この中でヴェイユは有限体上の代数多様体の有理点の個数から定まると予想される多項式の次数を「ベッチ数」と示唆的な名前で呼んでいる。
1950年、ヴェイユは国際数学者会議で「整数環上の幾何学」(geometry over integers)について言及する。この幾何学に向けた第一歩は数年後にクロード・シュヴァレーと永田雅宜によって踏み出される。
1955年、ジャン=ピエール・セールは「代数的連接層」(Faisceaux algébriques cohérents)と題した論文で代数多様体の新たな定義を与える。
アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型(スキーム)とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。
しかしクルルは聴衆の専門家達に笑われてしまい、このアイデアを放棄してしまった。
1944年、オスカー・ザリスキーは、双有理幾何学の必要のために、抽象的ザリスキー・リーマン空間(英語版)を代数多様体の函数体から定義した。この定義は、(ブローアップの下での)通常の多様体の帰納極限のように、構成はロケール理論(英語版) (locale theory) の類似で、点としては付値環を使った。
1946年、アンドレ・ヴェイユは『代数幾何学の基礎』(Foundations of Algebraic Geometry)と題した著作を発表する。本の序文には、代数幾何学には適切な基礎理論が無いこと、この本の目的は交差理論を確立すること、ザリスキーの影響を受けていることなどが書かれている。ヴェイユは、有限体上の一変数代数関数体に対するリーマン仮説を種数が2以上の場合に証明するために、任意の体上の任意次元の代数多様体に対して使える交差理論を必要としていた。
この本では、生成点は各座標の値が万有体(universal domain)と呼ばれる非常に大きな代数的閉体の元であるような点として定義されている。
また、この本では抽象多様体がアフィン代数多様体を貼り合わせることで定義されている。アフィン代数多様体を貼り合わせて代数幾何学の研究対象とする空間を定義するアイデアは、セールによる代数多様体の定義や現代のスキームの定義に受け継がれている。
数学における概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。
スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。このためヴェイユ・ザリスキ流の代数幾何学(これ自体大幅な形式化によって前の世代の牧歌的なイタリア流代数幾何に引導を渡すものだったのだが)を習得して研究していた同時代の学者たちからは戸惑いのこもった反発を受けた。