多様体
m 次元 C 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。
f: M → R
これは、多様体上の点 p ∈ M に対して実数値 f(p) を対応させる関数である。特定の局所座標を考えているわけではないので、この関数の変数は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標ではなく単に点を表している。
多様体上には局所座標を貼ることができるためこの座標を用いた微積分などの計算が可能である。 M には座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が与えられていて
φ λ : U λ → U λ ′ {\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }}
とすれば
f ∘ φ λ − 1 : U λ ′ → R {\displaystyle f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}:U'_{\lambda }\to R}
つまり q = φλ(p) ∈ U′λ に対し
f ∘ φ λ − 1 ( q ) = f ( φ λ − 1 ( q ) ) = f ( p ) {\displaystyle f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}(q)=f(\varphi _{\lambda }^{-1}(q))=f(p)}