三項系
ジョルダン対とは、ジョルダン三重系の一般化を与える二つのベクトル空間 V+, V− の対を言う。このとき三重積は二つの三重積の対
{ ∙ , ∙ , ∙ } + : V − × S 2 V + → V + , {\displaystyle \{\bullet ,\bullet ,\bullet \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+},}
{ ∙ , ∙ , ∙ } − : V + × S 2 V − → V − {\displaystyle \{\bullet ,\bullet ,\bullet \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}
で置き換わり、これらはしばしば V+ → Hom(V−, V+) および V− → Hom(V+, V−) なる二次写像と見做される。ジョルダン律(ジョルダン三重系の対称律でないほうの公理)は同様に二つに分けられて、ひとつは
{ u , v , { w , x , y } + } + = { w , x , { u , v , y } + } + + { w , { u , v , x } + , y } + − { { v , u , w } − , x , y } + {\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}