接続 (微分幾何学)
逆に c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った共変微分 ∇ d t Y c ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}Y_{c(t)}} が定義できていれば、
∇ d t Y c ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\nabla }{dt}}Y_{c(t)}=0}
が恒等的に成立している事をもって、Yは c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行と呼ぶことで平行の概念を定義できる。
このように平行移動と共変微分は実質的に同値な概念であり、多様体のベクトル場に対して平行移動・共変微分を定義できる構造を多様体(の接バンドル)の接続という。接続概念により、(何ら構造が定義されていない)多様体では無関係なはずの点 c ( t ) {\displaystyle c(t)} におけるベクトル Y c ( t ) {\displaystyle Y_{c(t)}} と点 c ( t + Δ t ) {\displaystyle c(t+\Delta t)} におけるベクトル Y c ( t + Δ t ) {\displaystyle Y_{c(t+\Delta t)}} におけるベクトルを「接続」して関係づけて考える事ができる。
, e ̄ n ( t ) ) {\displaystyle {\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{n}(t))} として行列 A ( t ) {\displaystyle A(t)} を e ( t ) = e ̄ ( t ) A ( t ) {\displaystyle e(t)={\bar {e}}(t)A(t)} により定義すると、接続形式の定義より、 e ( 0 ) ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)} = ∇ d t e ( t ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{\nabla \over dt}e(t)\right|_{t=0}} = ∇ d t e ̄ ( t ) A ( t ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{\nabla \over dt}{\bar {e}}(t)A(t)\right|_{t=0}} = e ̄ ( 0 ) d A d t ( 0 ) {\displaystyle ={\bar {e}}(0){dA \over dt}(0)} = e ( 0 ) d A d t ( 0 ) {\displaystyle =e(0){dA \over dt}(0)} が成立する。ここで ∇ d t e ( t ) {\displaystyle {\nabla \over dt}e(t)} は成分ごとの微分 ( ∇ d t e 1 ( t ) , ...
ISBN 978-4000110143。https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html。
Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6 上記の2つの書籍の英語版
小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』裳華房、1989年5月15日。ISBN 978-4785310585。
矢野 健太郎『接続の幾何学』河出書房、1948年。
Chris Wendl. “Differential geometrie I”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 3: Connections”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 4: Natural constructions on vector bundles”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 5: Curvature on bundles”. 2023年8月24日閲覧。
Marcelo Epstein (2014/7/15). Differential Geometry: Basic Notions and Physical Examples. Mathematical Engineering. Springer. ISBN 978-3319069197
Ivan Kolář, Jan Slovák, Peter W.