オンシェルとオフシェル
{\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi \ .}
これを
∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) ∂ μ φ − δ μ ν L ) = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}
と書くことができ、大括弧の中の量を T ν μ {\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }} と書くと、
∂ ν T ν μ = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}
を得る。これはネーターの定理の一つの例であり、保存量がエネルギー運動量テンソルである。すなわちon shellであるような粒子(もしくは場)を考えれば、つまり運動方程式を満たす場のエネルギー運動量テンソルは、唯一の保存量である。
物理学、主に場の量子論において、古典力学的運動方程式を満たす物理系の構成を、オンシェル(on shell)と呼び、そうでないものをオフシェル(off shell)と呼ぶ。
例えば作用の定式化の中での古典力学では、変分原理の極値解はオンシェル(質量殻)であり、オイラー=ラグランジュ方程式はオンシェルの方程式である(すなわち、それらはオフシェルでは成り立たない)。ネーターの定理もまた、オンシェルの定理である。