ガロアの逆問題
n > 1 を任意の整数とする。複素平面上の格子 Λ の周期の比を τ とすると、この格子は周期の比が nτ であるような部分格子 Λ′ を持つ。そのような部分格子の集合は有限集合であり、Λ の基底変換によりモジュラー群 PSL(2, Z) が作用している。j をフェリックス・クラインの楕円モジュラー関数 とする。多項式 φn を、共役な部分格子にわたって (X − j(Λi)) の積をとったものとして定義する。X の多項式として、φn は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 係数のj(τ)の多項式を係数としている。
互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は PGL(2, Z/nZ) として作用している。これから、φn の Q ( J ( τ ) ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))} 上のガロア群は PGL(2, Z/nZ) と同型であることがわかる。
ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 φn を特殊化したときの Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のガロア群が PGL(2, Z/nZ) となるような有理数が無限(更に、稠密)に多く存在する。群の族 PGL(2, Z/nZ) には無限に多くの非可解群が含まれている。