モンストラス・ムーンシャイン
その次数付きトレース Tg は正確にこれらのリストの函数の展開となる。
1980年、オリバー・アトキン(英語版)(A. Oliver L. Atkin)、ポール・フォング(Paul Fong)とステファン・スミス(Stephen D. Smith)は、コンピュータ計算によって、 j の係数を、トンプソンの発見した境界の差異を除いた M の表現(次元)に分解することで、そのような次数付き表現が存在することを示した。イーゴル・フレンケル(英語版)(Igor Frenkel)、ジェームズ・レポウスキー(英語版)(James Lepowsky)とアーネ・ミュールマン(Arne Meurman)は、その表現を具体的に構成し、マッカイ・トンプソン予想に実効的な解を与えた。さらにフレンケルらは、構成したムーンシャイン加群 V ♮ {\displaystyle V^{\natural }} と呼ばれるベクトル空間が、頂点作用素代数(英語版)(vertex operator algebra)の加法構造を持ち、その自己同型群が正確に M に一致することを示した。
ボーチャーズは1992年にムーンシャイン加群に関するコンウェイ-ノートン予想を証明し、1998年にこの予想の解決を根拠のひとつとして、フィールズ賞を受賞した。