球函数に対するプランシュレルの定理
に属する函数 f の球変換である。コンパクト台付きの滑らかな SO(2)-不変函数の球変換は、ちょうど R 上の函数で指数的増加条件
| F ( λ ) | ≤ C e R ⋅ | I m λ | {\displaystyle |F(\lambda )|\leq Ce^{R\cdot |{\rm {Im}}\,\lambda |}}
を満足する C 上の正則函数の制限となっているものになる。これらの結果はともに、球函数がこの増加条件を満足することを直接確かめることと、関係式 ( M 1 ∗ F ) ∼ = F ~ {\displaystyle (M_{1}^{*}F)^{\sim }={\tilde {F}}} を用いることにより、SL(2,C) における対応する結果から降下法によって演繹することができる。
G 上の函数として φλ は、 H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} の境界を R と同一視すれば、L(R) 上で定義される球主系列表現の行列要素に一致する。この表現は公式
π λ ( g − 1 ) ξ ( x ) = | c x + d | − 1 − i λ ξ ( g ( x ) ) {\displaystyle \pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (x)=|cx+d|^{-1-i\lambda }\xi (g(x))}
で与えられる。
この r は r = sinh t と置くことにより、原点からの双曲距離と関係する。
また、ラプラス作用素は
Δ n = − L n − R n 2 − ( n − 1 ) R n {\displaystyle \Delta _{n}=-L_{n}-R_{n}^{2}-(n-1)R_{n}}
によって与えられる。ただし、
L 2 = ∂ b 2 + ∂ x 2 , R 2 = b ∂ b + x ∂ x {\displaystyle L_{2}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2},\quad R_{2}=b\partial _{b}+x\partial _{x}}
および
L 3 = ∂ b 2 + ∂ x 2 + ∂ y 2 , R 3 = b ∂ b + x ∂ x + y ∂ y {\displaystyle L_{3}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2},\quad R_{3}=b\partial _{b}+x\partial _{x}+y\partial _{y}}
とする。H 上の SU(2)-不変函数および H 上の SO(2)-不変函数は r または t の函数
単模な局所コンパクト群 G に対する抽象的なプランシュレルの公式の最初の版は、ジーゲルとモートナーによる。同じころ、ハリッシュ=チャンドラ、ゲルファントとナイマークは、実二次特殊線型群 SL(2 R) および複素半単純リー群、特にローレンツ群に対する明示公式を導いた。またモートナーは、極大コンパクト部分群 K に対応する「位相的」対称空間 G/K に対する、より単純な抽象公式を導いている。ゴドマンはより具体的で申し分のない形で、G/K 上の球函数のクラスである正定値帯球函数に対する公式を与えている。G が半単純リー群のとき、それら球函数 φλ は、ユークリッド空間の有限鏡映群の作用による商に値をとる径数 λ で添字付けられるから、問題はこの径数付けのもとでプランシュレル測度を明示的に決定することが中心課題となる。常微分方程式のスペクトル論からワイルの考え方を一般化して、ハリッシュ=チャンドラは、 彼に名高い c-函数 c(λ) を球函数 φλ の漸近挙動を記述するために導入して、c(λ)dλ をプランシュレル測度として提唱した。彼が示したのは、公式の G が複素または実階数 1 である特別の場合であり、これは特に G/K が双曲空間である場合をカバーしている。一般の場合については、c-函数およびいわゆる球フーリエ変換の性質に関する二つの予想に還元される。c-函数に対する明示公式は、後にバーニュ=マーシーが古典的半単純リー群の広範なクラスに対するものを得ている。
↑ Helgason 1984, pp. 492–493, historical notes on the Plancherel theorem for spherical functions
↑ Harish-Chandra 1951
↑ Harish-Chandra 1952
↑ Gelfand & Naimark 1948
↑ Guillemin & Sternberg 1977
1 2 3 Harish-Chandra 1958a
1 2 Harish-Chandra 1958b
↑ Gindikin & Karpelevič 1962
↑ Harish-Chandra 1966, section 21
↑ このスペクトルは G 上の畳み込みに関する両側 K-不変可積分函数全体の成す可換バナッハ ∗-環(これは A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} の稠密 ∗-部分代数)と一致する。
↑ μ のラドン・ニコディムの定理の意味での同値類がただ一つ
↑ Davies 1990
↑ Lax & Phillips 1976
↑ Helgason 1984, p. 38
↑ Anker 1991
↑ Jorgenson & Lang 2001
1 2 3 Flensted-Jensen 1978
↑ Helgason 1984, p.
A ( s 1 s 2 , λ ) = A ( s 1 , s 2 λ ) A ( s 2 , λ ) {\displaystyle A(s_{1}s_{2},\lambda )=A(s_{1},s_{2}\lambda )A(s_{2},\lambda )}
を満たすことである。これは s ∈ W に対して、小部屋の内部にある各点 X について X と sX とを結ぶ線分が交叉する小部屋の総数である。正の制限ルートの総数に等しい長さを持つ唯一の最長元 s0 は、ワイルの小部屋 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} を − a + ∗ {\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}} の上へ写す唯一の元である。ハリッシュ=チャンドラの積分公式により、これはハリッシュ=チャンドラの c-函数
c ( λ ) = c s 0 ( λ ) {\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda )}
に対応する。一般に c 函数は、ξ0 を L(K/M) における定数函数 1 として、等式
A ( s , λ ) ξ 0 = c s ( λ ) ξ 0 {\displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0}}
によって定義される。経絡作用素の満たすコサイクル条件から、c-函数の同様の乗法的性質
ξ 0 ( z ) = π − 1 ( 1 + | z | 2 ) − 2 {\displaystyle \xi _{0}(z)=\pi ^{-1}(1+|z|^{2})^{-2}}
は SU(2) で固定され、
Φ λ ( g ) = ( π λ ( g ) ξ 0 , ξ 0 ) {\displaystyle \Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0})}
が成り立つ。この表現 πλ は既約であり、これとユニタリ同値なものは λ の符号を変えたものに限る。
W f ( λ , z ) = ∫ G / K f ( g ) π λ ( g ) ξ 0 ( z ) d g {\displaystyle Wf(\lambda ,z)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(z)\,dg}
で与えられる L 2 ( H 3 ) {\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})} から L([0,∞) × C)(最初の因子には測度 λdλ を入れる)の上への写像 W はユニタリであり、かつ L 2 ( H 3 ) {\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})} の球主系列への直積分分解を与える。
a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の元 λ に対して、上で述べたように球函数 φ λ を定めると、Cc(K\G/K) に属する函数 f の球変換は
f ~ ( λ ) = ∫ G f ( g ) φ − λ ( g ) d g {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{G}f(g)\varphi _{-\lambda }(g)\,dg}
で定義され、球反転公式は
f ( g ) = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ ( g ) | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda }
であることを述べる。ここで、ハリッシュ=チャンドラの c-函数 c(λ) は
c ( λ ) = c 0 ⋅ ∏ α ∈ Σ 0 + 2 − i ( λ , α 0 ) Γ ( i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 [ 1 2 m α + 1 + i ( λ , α 0 ) ] ) Γ ( 1 2 [ 1 2 m α + m 2 α + i ( λ , α 0 ) ] ) {\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\cdot \prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}[{1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})])\Gamma ({1 \over 2}[{1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})])}}
G が複素半単純リー群で、それがコンパクト半単純リー群である極大コンパクト部分群 U の複素化に一致するとする。G および U のリー環をそれぞれ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} および u {\displaystyle {\mathfrak {u}}} とすれば
g = u ⊕ i u {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}\oplus i{\mathfrak {u}}}
が成り立つ。U の極大トーラスを T, そのリー環を t {\displaystyle {\mathfrak {t}}} とするとき、
A = exp  i t , P = exp  i u {\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\quad P=\exp i{\mathfrak {u}}}
と置けば、カルタン分解
G = P ⋅ U = U A U {\displaystyle G=P\cdot U=UAU}
が得られる。U の有限次元既約表現 πλ は適当な λ ∈ t ∗ {\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}} 添字付けられる。対応する指標公式とワイルの次元公式から、明示的に
χ λ ( e X ) = T r π λ ( e X ) ( X ∈ t ) , d ( λ ) = dim  π λ {\displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})={\rm {Tr}}\,\pi _{\lambda }(e^{X})\quad (X\in {\mathfrak {t}}),\qquad d(\lambda )=\dim \pi _{\lambda }}
が示される。K1 は SO(2) と可換であるから、F が SO(2)-不変ならば QF もそうである、特に F SU(2)-不変ならばそうなり、この場合 QF は r または t の函数で、故に MF は
M ∗ F ( t ) = Q F ( t / 2 ) {\displaystyle M^{*}F(t)=QF(t/2)}
で定義することができる。従って、上記積分公式から
∫ H 3 F d V = ∫ H 2 M ∗ F d A {\displaystyle \int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}M^{*}F\,dA}
を得、それから SO(2)-不変な f に対して
M ∗ ( ( M f ) ⋅ F ) = f ⋅ ( M ∗ F ) {\displaystyle M^{*}((Mf)\cdot F)=f\cdot (M^{*}F)}
となるから以下の随伴公式
∫ H 3 ( M f ) ⋅ F d V = ∫ H 2 f ⋅ ( M ∗ F ) d V {\displaystyle \int _{H^{3}}(Mf)\cdot F\,dV=\int _{H^{2}}f\cdot (M*F)\,dV}
が得られる。この帰結として
M ∗ Δ 3 = 4 Δ 2 M ∗ {\displaystyle M^{*}\Delta _{3}=4\Delta _{2}M^{*}}