同型定理
環に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念がイデアルの概念に取って代わる。
G を群とする。S を G の部分群とし、N を G の正規部分群とする。このとき
積(英語版) SN は G の部分群であり、
共通部分 S ∩ N は S の正規部分群であり、
商群 (SN)/N と S/(S ∩ N) は同型である。
技術的には、S が N の正規化群の部分群でありさえすれば N のが正規部分群である必要はない。この場合、共通部分 S ∩ N は G の正規部分群とは限らないが、S の正規部分群ではなおある。
R を環とする。A と B を R のイデアルで B ⊆ A ⊆ R とする。このとき
集合 A/B は商 R/B のイデアルであり、
商環 (R/B)/(A/B) は R/A に同型である。
まず群の文脈において4つの同型定理を述べる。