ラグランジュ補間
ラグランジュ基底多項式を
を用いて、 l j ( x ) = l ( x ) l ′ ( x j ) ( x − x j ) {\textstyle \ell _{j}(x)={\frac {\ell (x)}{\ell '(x_{j})(x-x_{j})}}} と書き直す。これは重心重み付け (barycentric weight)を w j = 1 l ′ ( x j ) {\textstyle w_{j}={\frac {1}{\ell '(x_{j})}}} と定めれば簡潔に
と書くことができる、これを重心ラグランジュ補間の「第一形」と呼ぶ。
この形の多項式補間を考えることの利点は、補間多項式 L ( x ) = l ( x ) ∑ j = 0 k w j x − x j y j {\textstyle L(x)=\ell (x)\sum \limits _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}} を評価するときに、重み wj が事前に分かっていれば、O(n) で計算できることである(ラグランジュ基底 lj(x) を個別に計算するのは O(n) 掛かる)。