超越数
ω > 0 {\displaystyle \scriptstyle \omega >0} 、整数 d ≥ 2 {\displaystyle \scriptstyle d\geq 2} 、 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∑ k = 1 ∞ α [ ω d k ] {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{[\omega d^{k}]}} 。(田中)
ヘッケ=マーラー級数:無理数 ω > 0 {\displaystyle \scriptstyle \omega >0} と、 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∑ k = 1 ∞ [ k ω ] α k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }[k\omega ]\alpha ^{k}} 。(マーラー)
整数 d ≥ 2 {\displaystyle \scriptstyle d\geq 2} 、 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∏ k = 0 ∞ ( 1 − α d k ) {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }(1-\alpha ^{d^{k}})} 。
e + π , e − π , e π , π e , π π , e e , π e , π 2 , e π 2 {\displaystyle e+\pi ,e-\pi ,e\pi ,{\frac {\pi }{e}},{\pi }^{\pi },e^{e},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},e^{\pi ^{2}}} などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。一方で、
π + e π , π e π , e π n {\displaystyle \pi +e^{\pi },\pi e^{\pi },e^{\pi {\sqrt {n}}}} (n は正の整数)
は、超越的であると証明されている。