逆数学
逆数学においては、Big Five以外の体系も研究されている。それらはAfter Fiveとも呼ばれる。
再帰的内包公理よりも弱い体系が定義できる。 RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} は、初等関数算術EFA(指数関数を含む算術の基本公理 + Δ 0 0 {\displaystyle \Delta _{0}^{0}\,} 帰納法)に Δ 1 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{0}\,} 内包公理を付け加えた体系である。 RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} 上で、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は、可算な体の上で多項式が高々有限の根しかもたないことや、有限アーベル群の分類定理などと同値である。
RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} は EFA {\displaystyle {\mbox{EFA}}\,} と同じ証明論的順序数 ω 3 {\displaystyle \omega ^{3}\,} をもち、 EFA {\displaystyle {\mbox{EFA}}\,} 上 Π 2 0 {\displaystyle \Pi _{2}^{0}\,} 文について保存的な拡大になっている。
WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に弱弱ケーニッヒの補題「無限路を持たない無限2進木のある部分木は、長さ n {\displaystyle n\,} の葉がどれだけ存在するかを一様に推定できる」(無限路を持たない二分木の長さ n の枝の本数と 2 n {\displaystyle 2^{n}} の比は n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } でゼロに収束する)を追加した公理系である。 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 上で「任意のコンパクト距離空間における任意のボレル測度は可算加法的である」等の測度論の定理と同値になる。 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} のモデル理論は、アルゴリズム的ランダム列の理論と関連する。