アーベル方程式
上述の二つの方程式は同値である。実際、α を可逆函数とすると、二番目の方程式は
α − 1 ( α ( f ( x ) ) ) = α − 1 ( α ( x ) + 1 ) {\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,}
のように書くことが出来る。すると x = α(y) とすることで、この方程式は
f ( α − 1 ( y ) ) = α − 1 ( y + 1 ) {\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,}
のように書くことが出来る。既知とされる函数 f(x) に対して、問題は函数 α についての函数方程式を解くこととなる。また α(0) = 1 のような追加条件も必要となる可能性がある。
実パラメータ s に対して変数変換 s = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることが出来る。
さらに変換 F(x) = exp(s) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x) が得られる。