二年生の夢
2つ目の等式を証明する。1つ目の等式も2つ目と同様に証明が可能である。
e の冪級数展開を用いて、被積分関数 x を次のように展開する。
よって、与式の左辺は以下のように表せる。
冪級数の一様収束性より、右辺の積分と総和は以下のように交換できる。
ここで、x = exp(− u/n + 1) (0 < u < ∞) による次のような置換積分を考える。
この右辺の定積分は第二種オイラー積分
であるから、次のようになる。
ゆえに