ヘッケ環
(W, S) をコクセター行列 M を持つコクセター系とし、係数環 R を固定する(普通は R として複素数体 C のような代数閉体や有理整数環 Z をとる)。q を形式的な不定元として、R 上のローラン多項式の環 A = R[q, q] を考えるとき、これらによって定められるヘッケ環 H とは Ts (s ∈ S) によって生成される A 上の単位的結合多元環で、その基本関係式が
組み紐関係式: s ≠ t のときTsTtTs ... = TtTsTt (両辺はともに mst < ∞ 個の因子の積)
二次の関係式: (Ts − q)(Ts + 1) = 0 (s ∈ S)
で与えられる。この環を不定元 q を R の元に特殊化することで H から得られる個々の環と区別するために、一般ヘッケ環とも呼ぶ。
注意: 最近の本や論文では、ルスティックの用いた変形版の二次関係式 (Ts − q)(Ts + q) = 0 に従っているかもしれない。スカラーを q も含むものに拡張すれば、結果として得られるヘッケ環は上の定義で得られるものと同型である。しかし、多くの公式の形が変わってくるので一般論にすることはできない。