行列指数関数
X, Y を n次複素正方行列、a, b を複素数とし、n次単位行列を I、n次正方零行列を O でそれぞれ表すことにする。また、X の転置を X、共役転置を X と表すことにする。行列の指数関数は以下の性質を満たす:
e = I
ee = e
ee = I
XY = YX ならば ee = ee = e.
Y が正則ならば e = YeY.
exp(X) = (exp X). このことから X が対称行列ならばその行列乗 e もまた対称であり、X が歪対称であるなら e は直交行列になる。
exp(X) = (exp X). このことから X がエルミートならば e もまたエルミートであり、X が歪エルミートならば e はユニタリ行列になる。
実数(あるいはスカラー)x, y について、通常の指数関数が e = ee を満たすことはよく知られている。同じことは可換な行列に対しても成り立つ。即ち、行列 X, Y が交換可能(XY = YX)ならば
e X + Y = e X e Y {\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}}
が成り立つ。しかし可換でない行列については上記の関係は成り立たない。この場合、ベイカー=キャンベル=ハウスドルフの公式(英語版)が e の計算に利用できる。
逆は一般には成り立たない。即ち、等式 e = ee は X と Y が可換であることを意味しない。
エルミート行列について、行列指数関数の跡に関係する2つの注目すべき定理を挙げる。ゴールデン–トンプソン不等式(英語版) は以下の定理である。