ルジャンドルの関係式
完全楕円積分の導関数
k d d k E ( k ) = k d d k π 2 ( 1 − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n 2 n − 1 ) = π 2 ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 ( − 1 2 n − 1 − 1 ) k 2 n = E ( k ) − K ( k ) {\displaystyle {\begin{aligned}k{\frac {d}{dk}}E(k)&=k{\frac {d}{dk}}{\frac {\pi }{2}}\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}\left(-{\frac {1}{2n-1}}-1\right)k^{2n}\\&=E(k)-K(k)\end{aligned}}}
k d d k K ( k ) = k d d k π 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n ) = π 2 ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! !