アフィン多様体
, x n − a n ̄ ⟩ , {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,} により1対1に対応する.ここで x i − a i ̄ {\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}} は多項式 x i − a i {\displaystyle x_{i}-a_{i}} の商環 R における像を表す.スキーム論において,この対応は素イデアルに拡張されアフィンスキーム Spec(R) が定義され,これは圏同値を通して多様体と同一視できる.
座標環 R の元は多様体上の正則関数や多項式関数とも呼ばれる.それらは多様体上の正則関数環 (ring of the regular functions) あるいは単に多様体の環 (ring of the variety) をなす.実際,元 f ̄ ∈ R {\displaystyle {\overline {f}}\in R} は多項式 f ∈ k [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]} の像であり,f は k から k への関数を定義する.f の多様体への制限は,商によって f ̄ {\displaystyle {\overline {f}}} に写される多項式 f の取り方に依らない.
多様体の次元は任意の多様体や代数的集合に付随する整数であり,その重要性はその同値な定義の多さにある(代数多様体の次元(英語版)を参照).