ハイネの和公式
2 φ 1 [ a , b c ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n ( q ; q ) n ( c ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) ∞ ( c q n ; q ) ∞ ( q ; q ) n ( c ; q ) ∞ ( b q n ; q ) ∞ z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( ( c q n ; q ) ∞ ( b q n ; q ) ∞ ) z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( b q n ) m ) z n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( z q m ) n ) b m = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( q ; q ) m ( ( a z q m ; q ) ∞ ( z q m ; q ) ∞ ) b n = ( b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ∑ m = 0 ∞ ( c b ; q ) m ( z ; q ) m ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) m ( a z ; q ) m ( z ; q ) ∞ = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ 2 φ 1 [ c b , z a z ; q , b ] {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{\infty }(cq^{n};q)_{\infty }}{(q;q)_{n}(c;q)_{\infty }(bq^{n};q)_{\infty }}}z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left({\frac {(cq^{n};q)_{\infty }}{(bq^{n};q)_{\infty }}}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}(bq^{n})^{m}\right)z^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(zq^{m})^{n}\right)b^{m}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}}{(q;q)_{m}}}\left({\frac {(azq^{m};q)_{\infty }}{(zq^{m};q)_{\infty }}}\right)b^{n}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {({\frac {c}{b}};q)_{m}(z;q)_{m}(az;q)_{\infty }}{(q;q)_{m}(az;q)_{m}(z;q)_{\infty }}}\\&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]\\\end{aligned}}}