弧長
X はユークリッド空間 R や、より一般の距離空間であるとし、C を空間 X 内の曲線とする。すなわち、C は実数直線内の閉区間 [a, b] から X への連続写像 f : [a, b] → X の像である。
区間 [a, b] に対して 区間の分割
a = t 0 < t 1 < ⋯ < t n − 1 < t n = b {\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b}
を考えれば、曲線 C 上に有限個の点 f (t0), f (t1), ... , f (tn-1), f (tn) をとることができる。f (ti) から f (ti+1) への距離をそれぞれ d(f (ti)), d(f (ti+1)) で表せば、これはこの2点を結ぶ線分の長さである。
曲線 C の弧長 L = L(C) は
L ( C ) = sup a = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = b ∑ i = 0 n − 1 d ( f ( t i ) , f ( t i + 1 ) ) {\displaystyle L(C)=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
で与えられる。ただし、上限 sup は区間 [a, b] の分割個数 n をいくらでも大きくとってできる分割すべてに亘ってとる。
が成り立つ。これらは、十分小さな増分 Δx, Δy に対する距離の公式から求めた式で、Δx, Δy の代わりにその極限を取ったものと考えればわかりよい。
また、極座標系において r = f (θ) で定義された函数の θ = α から θ = β までの間の弧長 s は
s = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ {\displaystyle s=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{\!\!2}}}\,d\theta }
で与えられる。
単純曲線まで含めても多くの場合、弧長は閉じた形の式(英語版)では得られず、積分は数値的に行われることになる。弧長の閉じた形の公式を持つ曲線には、懸垂線、円、擺線、対数螺旋、抛物線、半立方抛物線(英語版)、直線などが挙げられる。また、楕円の弧長の閉じた形の式を導こうとする試みから、楕円積分の理論が発展した。
弧長 L は有限にも無限にもなりうるが、L ≠ ∞ ならば C は有限長(rectifiable; 求長可能)であるといい、さもなくば無限長(non-rectifiable; 求長不能)であるという。この弧長の定義において、C は可微分函数 f で定義されている必要はない。実際のところ、一般の距離空間上で考えている場合には、微分可能性を定義することが一般には期待できない。
曲線は様々な方法で媒介変数表示されうる。そこで曲線 C が定義写像 f 以外に媒介変数表示 g: [c, d] → X をも持つ場合を考える。f および g が単射であるときには、連続単調写像 S: [a, b] → [c, d] が存在して、g(S(t)) = f (t) が成り立ち、逆写像 S: [c, d] → [a, b] が存在する。明らかに、任意の
∑ i = 0 n − 1 d ( f ( t i ) , f ( t i + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}
の形の和は、ui = S(ti) とおけば、
∑ i = 0 n − 1 d ( g ( u i ) , g ( u i + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}d(g(u_{i}),g(u_{i+1}))}
の形の和に等しく、逆もまた同様である。従って弧長は、それが媒介変数の取り方に依らないという意味で、曲線に内在する性質であることがわかる。
曲線に対するこの弧長の定義は、実数値函数に対する全変分(全変動)の定義の類似である。