余等化子
集合の圏において、二つの写像 f, g: X → Y の余等化子は、f(x) ∼ g(x) (∀x ∈ X) を満たす最小の同値関係 ∼ による Y の商である。特に R が集合 Y 上の同値関係で、その各成分への射影 r1, r2: (Y × Y ⊃) R → Y を取れば、r1, r2 の余等化子は商集合 Y/R にちょうど一致する。
群の圏における余等化子も非常によく似ている。f, g: X → Y が二つの群準同型とすれば、それらの余等化子は集合 S = {f(x)g(x) | x ∈ X} の生成する正規部分群(英語版)で割った Y の商群である。
アーベル群の場合は特に単純で、余等化子は剰余群 Y / im(f – g)、すなわち群準同型 f − g の余核に等しい(後述)。
位相空間の圏において円周対象 S は標準 0-単体から標準 1-単体への二つの包含射の余等化子と見ることができる。
余等化子の全体は大きくなりうる。ただ一つの対象とその上の恒等射のみを持つ圏 1 からただ二つの対象とその間の非自明な射がちょうど一つ存在する圏 2 への函手はちょうど二つ存在する。それら二つの函手の余等化子は、自然数全体が加法に関して成すモノイドを単一対象圏と見たものに一致する。特に、このことから任意の余等化射は圏論的全射となることが分かるが、これは必ずしも集合論的全射でない。