類数問題
数学における、(虚二次体の)ガウスの類数問題 (英: Gauss class number problem)とは、普通は、各 n ≥ 1 に対し類数が n である虚二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} (ただし d は負の整数)の完全なリストを求める問題である。この名前はカール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなむ。また、代数体の判別式(英語版)の観点から記述することもできる。これと関連する問題として、実二次体の場合や、 d → − ∞ {\displaystyle d\to -\infty } のときどのような振る舞いを示すか、というものがある。
この問題の困難な点は、範囲の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対して類数を計算することは易しく、類数の無効(ineffective)な下限がいくつか存在するが(つまり、それらは計算されない定数を含む)、しかし有効な範囲を求めること(そしてリストの完全性の証明)は難しい。
d → − ∞ {\displaystyle d\to -\infty } のとき h ( d ) → ∞ {\displaystyle h(d)\to \infty }
ただし、h(d)は二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の類数を表す。