同値類
Gilbert; Vanstone (2005), An Introduction to Mathematical Thinking, Pearson Prentice-Hall
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D'Angelo; West (2000), Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs, Prentice Hall
Cupillari, The Nuts and Bolts of Proofs, Wadsworth
Bond, Introduction to Abstract Mathematics, Brooks/Cole
Barnier; Feldman (2000), Introduction to Advanced Mathematics, Prentice Hall
Ash, A Primer of Abstract Mathematics, MAA
X がすべての車の集合であり,∼ が「同じ色である」という同値関係のとき,ある1つの同値類はすべての緑色の車からなる.X/∼ はすべての車の色の集合と自然に同一視できる.
X を平面内のすべての長方形の集合とし,∼ を「同じ面積を持つ」という同値関係とする.各正の実数 A に対し,面積が A の長方形全体のなす同値類がある.
整数の集合 Z 上の2を法とした同値関係を考える,つまり x ∼ y とはそれらの差 x − y が偶数であることである.この関係はちょうど2つの同値類を生じる:1つはすべての偶数からなり,もう1つはすべての奇数からなる.この関係の下で,[7], [9], [1] はすべて Z/∼ の同じ元を表す.
X を b が 0 でない整数の順序対 (a, b) 全体の集合とし,X 上の同値関係 ∼ を (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc によって定義する.すると対 (a, b) の同値類は有理数 a/b と同一視することができ,この同値関係とその同値類は有理数の形式的な定義に用いることができる.同じ構成は任意の整域の分数体に一般化することができる.
X をユークリッド平面内のすべての直線の集合とし,L ∼ M を L と M が平行と定義すると,互いに平行な直線の集合が1つの同値類をなす(直線は自分自身と平行と考える).この状況では,各同値類は無限遠点を決定する.