リーマンゼータ関数
2つのゼータ関数値の関係を表す、次の等式がある。
∏ p : prime p s + 1 p s − 1 = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) , { s ∣ s ∈ R + } {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},\quad \{s\mid s\in \mathbb {R^{+}} \}}
この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。
∏ p : prime p s + 1 p s − 1 = ∏ p : prime p s + 1 p s − 1 p s − 1 p s − 1 = ∏ p : prime 1 − p − 2 s ( 1 − p − s ) 2 = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\frac {p^{s}-1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}} .