ザリスキー位相
まずアファイン空間 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} に位相を定義する。 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} は集合としては単に k 上の n 次元ベクトル空間である。位相は(開集合系でなく)閉集合系によって定める。閉集合系は、 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} のすべての代数的集合と定める。つまり、閉集合は
V ( S ) = { x ∈ A n ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ S } {\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\;\forall f\in S\}}
の形の集合である。ただし S は k 上の n 変数多項式からなる任意の集合である。以下の性質は直ちに確かめられる。
V(S) = V((S)), ただし (S) は S の元全体によって生成されたイデアル。
多項式の任意の2つのイデアル I, J に対し、 V ( I ) ∪ V ( J ) = V ( I J ) ; {\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);} V ( I ) ∩ V ( J ) = V ( I + J ) . {\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}
これらの性質より、V(S) の形の集合の有限和や任意交叉もこの形の集合であるから、この形の集合の全体を閉集合系とすることにより位相が定まる。
k を複素数体とし、n = 1 とすると、アファイン空間 A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} の閉集合は、すべての有限集合および全体集合である。したがって、ザリスキ位相の意味での閉集合は、ユークリッド位相の下でも閉集合であるが、ユークリッド位相での閉集合は、有限集合でなければ、全体集合でない限りザリスキ位相では閉集合とならない。例えば整数全体のなす集合 Z は閉集合でない。Z は A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} において稠密でもあり、通常の位相とは大きく異なる。一般に可算無限個の点を持つ集合は A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} の稠密な部分集合となる。さて、 A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} から C( A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} と同一視してザリスキ位相を入れる)への正則関数とは多項式関数のことであり、この関数は連続である。さらに、可算無限個の相異なる点の行き先を定めれば、それらの点を通るような多項式関数は高々一つしか存在しない。このように、ザリスキ位相は A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} 上の正則関数(多項式関数)と相性が良いことが分かる。
これが A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上のザリスキ位相である。
X がアファイン代数的集合であれば(既約であってもなくても、その上のザリスキ位相は単純に、ある A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} への包含から誘導される相対位相と定義される。あるいは同じことだが、以下のことを証明できる。
アファイン座標環
A ( X ) = k [ x 1 , ... , x n ] / I ( X ) {\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}
の元は( k [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]} の元が A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上の関数として振る舞うのとちょうど同じように)X 上の関数として振る舞う。
多項式からなる任意の集合 S に対し、T をその A(X) における像全体からなる集合とすると、X の部分集合
V ′ ( T ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ T } {\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\;\forall f\in T\}}
は V(S) の X との共通部分に等しい。(これらの記法は標準的というわけではない。)
これによって、上の式(明らかに以前の式の一般化である)は任意のアファイン多様体上のザリスキ位相を定義している。