ユニタリ行列
正方行列である。
正規行列である。
任意のベクトル x に対しユニタリ行列による変換は等長変換 (isometry) である。‖ Ux ‖ = ‖ x ‖
正則であり、逆行列は U = U
対角化可能(正規行列であるから)
固有値の絶対値は 1。|λ| = 1(つまり、すべての固有値は複素平面の単位円上に存在する)
(証明)Ux = λx なる λ が固有値。‖ Ux ‖ = |λ|‖ x ‖ また ‖ Ux ‖ = (Ux)Ux = xUUx = xIx = ‖ x ‖
特異値は 1。σi (U) = 1
行列式の絶対値は 1。|det(U)| = 1
(証明)1 = det(I) = det(UU) = det(U)det(U) = det(U)det(U) = det(U)det(U) = |det(U)|
U はエルミート行列 H を用いて U = e と記述できる。e は行列指数関数、i は虚数単位。