リウヴィル＝アーノルドの定理
自由度 n のハミルトン力学系において、(q, p) = (q1,..., qn ; p1,..., pn) を正準変数とする。このとき、系に n 個の独立な第一積分 F1,..., Fn が存在し、それらのポアソン括弧が可換
{ F i , F j } = 0 {\displaystyle \left\{F_{i},F_{j}\right\}=0}
すなわち包合系であるとする。このとき、系は完全積分可能である。
さらに、第一積分の等位面として定義されるレベル集合
M f := { ( q , p ) | F i ( q , p ) = c o n s t . ( = f i ) , f o r i = 1 , ... , n } {\displaystyle M_{f}:=\left\{(q,p)\left|F_{i}(q,p)=\mathrm {const.} ~(=f_{i}),\quad \mathrm {for} ~~i=1,\dots ,n\right.\right\}}
がコンパクトかつ連結であり、Mf 上で勾配ベクトル ∇ Fi が一次独立であるとする。このとき、Mf は n 次元トーラスと同相である。