マリアヴァン解析
X {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(1/\varepsilon )(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}
であり
F ( X ) = E ( F ( X ) ) + ∫ 0 1 H t d X t {\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t}} となるとき、
ここでHはF'(x, (t,1])の予測可能な射影であり、これは、変域の一部(t,1]上の過程Xの適切な平行移動に関して、関数Fの導関数とみなせる。
これは以下のようにより簡潔に表せることがある。
F ( X ) = E ( F ( X ) ) + ∫ 0 1 E ( D t F | F t ) d X t . {\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F|{\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}
マリアヴァンは、マリアヴァン解析を導入し、ヘルマンダー条件が確率微分方程式の解の密度の存在の十分条件であることに確率論に基づいた証明を与えた。ヘルマンダー自身による証明は偏微分方程式の理論に拠った。 マリアヴァン解析を用いることで、マリアヴァンは解の密度に対する正則性の限界を証明することができた。 マリアヴァン解析には確率偏微分方程式が応用されている。