ヘリウム原子
この近似(パウリ近似)では、波動関数は4成分を持つ2次スピノル ψ i j ( r → 1 , r → 2 ) {\displaystyle \psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})} (添字 i , j = ↑ , ↓ {\displaystyle i,j=\,\uparrow ,\downarrow } は両方の電子のスピン射影(z方向で上向きまたは下向き)を記述する)である。通常の規格化条件 ∑ i j ∫ d r → 1 d r → 2 | ψ i j | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1} に従わなければならない。この一般スピノルは2x2行列 ψ = ( ψ ↑↑ ψ ↑↓ ψ ↓↑ ψ ↓↓ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow \uparrow }&\psi _{\uparrow \downarrow }\\\psi _{\downarrow \uparrow }&\psi _{\downarrow \downarrow }\end{pmatrix}}} として書くことができ、その結果としてスカラー関数係数 φ i k ( r → 1 , r → 2 ) {\displaystyle \phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})} を持つ4つの(2x2行列のベクトル空間における)直交定数行列の任意の基底の線形結合 ψ = ∑ i k φ i k ( r → 1 , r → 2 ) σ k i {\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}} としても書くことができる。
ヘリウム原子(ヘリウムげんし)は、元素ヘリウムの原子である。ヘリウムは、強い力によって結び付いた2つの陽子と(同位体に応じて)1つまたは2つの中性子を含んでいる核へ電磁力によって束縛された2つの電子から構成される。水素についてとは異なり、ヘリウム原子についてのシュレディンガー方程式に対する閉形式解は見つかっていない。しかしながら、ハートリー–フォック法といった様々な近似をヘリウム原子の基底状態エネルギーと波動関数を推定するために使うことができる。
ハートリー–フォック法以外にも、原子系を解くために今日使われているより正確で有効な手法が存在する。ヘリウムやその他の少数電子系についての「多体問題」はかなり正確に解くことができる。計算されたヘリウムの基底状態エネルギーを下の表に示す(実験値は−2.90338583(13) Hartree)。