環準同型
単射環準同型は環の圏におけるモノ射 (monomorphism) と同じである。もし f : R → S が単射でないモノ射であれば、ある r1 と r2 が S の同じ元に送られる。x を r1 と r2 にそれぞれ写すZ[x] から R への2つの写像 g1 と g2 を考えよう。f ∘ g1 と f ∘ g2 は同じであるが、f はモノ射なので、これは不可能である。
しかしながら、全射環準同型は環の圏におけるエピ射 (epimorphism) とは全く異なる。例えば、包含 Z ⊆ Q は環のエピ射であるが、全射ではない。しかしながら、全射環準同型は strong epimorphism とちょうど全くおなじである。
f : R →S を環準同型とすると、その定義から直接次のことが出る。
f(0R) = 0S.
R のすべての元 a に対して f(−a) = −f(a) である。
R の任意の単元 a に対し、f(a) は f(a) = f(a) であるような単元である。とくに、f は R の単元のなす(乗法)群から S(あるいは im(f))の単元のなす(乗法)群への群準同型を誘導する。
f の像 im(f) は S の部分環である。
f の核は ker(f) = {a ∈ R : f(a) = 0} と定義され、これは R のイデアルである。可換環 R のすべてのイデアルはある環準同型からこのようにして生じる。
準同型 f が単射であることと ker(f) = {0} であることは同値である。
f が全単射であれば、その逆写像 f もまた環準同型である。この場合、f は同型写像と呼ばれ、環 R と S は同型であるという。環論の見方では、同型な環は区別できない。
環準同型 f : R →S があれば、S の標数は R の標数を割り切る。このことは、ある環 R と S の間に環準同型 R → S が存在しえないことを示すのに使えることがある。