級数
例えば、「0.999... = 1」における左辺は
0.999 ⋯ = 0.9 + 0.09 + ⋯ + 9 ⋅ 10 − n + ⋯ {\displaystyle 0.999\cdots =0.9+0.09+\cdots +9\cdot 10^{-n}+\cdots }
という級数の値という意味である。an = 9 × 10 で定まる無限数列 {an} の部分和の列
( s 1 = 0.9 , s 2 = 0.99 , ⋯ , s N = 0. 99 ⋯ 9 ⏟ N , ⋯ ) {\displaystyle (s_{1}=0.9,s_{2}=0.99,\cdots ,s_{N}=0.\underbrace {99\cdots 9} _{N},\cdots )}
を考えれば常に sN < 1 であって、1 という値がこの数列の項としては現れない。素朴な意味で 0.999... ≠ 1 とか 0.999... < 1 であると主張する人々の議論は、しばしばこのような数列として 0.999... を捉えているものと解釈することができる。同様にそのような捉え方では、数列 {1 − sN} は
| S N ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle |S_{N}(x)-f(x)|<\varepsilon }
とできるような N = N(ε) の選び方は x ごとに異なってよいが、もし x に依らず一定の N をとることができるならば、関数項級数 ∑n fn は E 上で極限関数 f に一様収束するという。
連続関数の一様収束極限はふたたび連続であるから、連続関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限もやはり連続関数となる。また、可積分関数を項に持つ関数項級数が一様収束するならば、その極限関数はふたたび可積分であり、とくに項別積分可能 (英: integrable term by term)
∫ E ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ E f n ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{E}f_{n}(x)\,dx}
である。滑らかな関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限に対する項別微分可能性も同様である。収束冪級数の収束はその収束域において一様で、各項の冪関数は可積分かつ連続的微分可能であるから、収束冪級数は項別積分可能かつ項別微分可能であり、その原始関数および導関数はもとの冪級数と同じ収束域もつ冪級数として得られる。
関数列の収束性と同じく、関数項級数の他の収束性として分布収束(法則収束)や平均収束なども考えることができる。