半環
半環の原型的な例は、自然数全体の成す集合 N(ここでは 0 を含む)に通常の加法と乗法を考えたもの(自然数半環)である。非負有理数の全体や非負実数の全体も同じくして半環を成す。以上の例は全て可換半環である。
各成分が非負な n-次正方行列の全体は、通常の行列の加法と乗法に関して非可換半環を成す。同様の仕方でより一般に、任意に与えられた半環 S に成分を持つ正方行列の全体は半環を成し、S 自身はたとえ可換であったとしても、この行列半環は一般に非可換となる。
可換モノイド A に対し、自己準同型 f: A → A の全体 End(A) は、点ごとの和を加法とし、写像の合成を乗法として、半環となる。加法および乗法の単位元はそれぞれ、零準同型(零値写像)と恒等写像で与えられる。A が自然数全体の成す加法モノイド(自然数モノイド)であるとき、自然数半環は End(A) として得られる。
集合半環あるいは単に半環は、空でない集合族 S で、以下の三条件
∅ ∈ S,
E ∈ S かつ F ∈ S ならば E ∩ F ∈ S,
E ∈ S かつ F ∈ S ならば互いに素な集合の有限列 Ci ∈ S (i = 1, ..., n) で E ∖ F = ⋃ i = 1 n C i {\displaystyle E\smallsetminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}} なるものを取れる,
を満たすものを言う。集合半環は測度論で用いられ、その例の一つは実数からなる全ての半開半閉区間 [a, b) ⊂ R からなる集合族として与えられる。