一般カッツ・ムーディ代数
有限次元半単純リー環は以下の性質を持つ:
非退化対称不変双線型形式 ( , ) を持つ.
0次部分(カルタン部分環)が可換であるような次数付けを持つ.
(カルタン)対合 w を持つ.
(a, w(a)) は a ≠ 0 のとき正である.
例えば,トレースが 0 の n 次行列からなるリー環に対して,双線型形式は (a, b) = Trace(ab) であり,カルタン対合は転置のマイナスによって与えられ,次数付けは「対角線からの距離」によって(したがってカルタン部分環は対角行列全体である)与えられる.
逆にこれらの性質(およびいくつか他の技術的条件)を満たすLie環をすべて見つけようとすることができる.答えとして有限次元およびアフィンリー環の和を得る.
モンスターリー環(英語版)は上の条件の僅かに弱いバージョンを満たす:(a, w(a)) は a が 0 でなく次数が 0 でないとき正である,しかし a の次数が 0 であるときは負でもよい.これらの弱い条件を満たすリー環がだいたい一般カッツ・ムーディ代数である.それらは本質的にはある生成元と関係式によって与えられる代数(以下で記述される)と同じである.
インフォーマルには,一般カッツ・ムーディ代数は有限次元半単純リー環のように振る舞うリー環である.特にそれらはワイル群,ワイルの指標公式,カルタン部分環,ルート,ウェイト,等々を持つ.