子午線弧
地球楕円体の長半径を a {\displaystyle a\,} 、第一離心率を e {\displaystyle e\,} として、子午線曲率半径は M φ = a ( 1 − e 2 ) ( 1 − e 2 sin 2  φ ) 3 / 2 {\displaystyle M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,} となる。赤道から地理緯度 φ {\displaystyle \varphi \,} までの子午線弧長 S ( φ ) {\displaystyle S(\varphi )\,} は以下のように M φ {\displaystyle M_{\varphi }} の部分積分で与えられる。
S ( φ ) = ∫ 0 φ M θ d θ = a ( 1 − e 2 ) Π ( e 2 ; φ , e ) {\displaystyle S(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }\mathrm {d} \theta =a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,e)}
歴史的に広く用いられてきた S ( φ ) {\displaystyle S(\varphi )\,} の無限級数一般式は、ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブルが1799年に公表し、共通係数として率直に a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle a(1-e^{2})} を括り出し、 e 2 {\displaystyle e^{2}} を微小量として級数展開したものである。