拡散方程式
方程式は一般に以下のように書かれる。
∂ φ ∂ t = ∇ ⋅ ( D ( φ , r → , t ) ∇ φ ( r → , t ) ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}},t)\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )}}
ただし、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} は位置、 t {\displaystyle t} は時刻、 φ ( r → , t ) {\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)} は拡散物質の 密度、 D ( φ , r → , t ) {\displaystyle D(\phi ,{\vec {r}},t)} は拡散係数(2階のテンソル量)、ナブラ ∇ {\displaystyle \,\nabla } は空間微分作用素である。拡散係数 D {\displaystyle D} が定数ならば、方程式は以下の線形方程式に帰着される。
∂ φ ∂ t = D ∇ 2 φ ( r → , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)}
D が他の変数に依存する場合方程式は非線形となる。さらに、D が正定値対称行列であれば方程式は異方的拡散となる。