主束
ファイバー束が自明(つまり、積束に同型)か否かは、ファイバー束に関する最も重要な問題の一つである。 主束においては、自明性に関する便利な特性がある。
定理: 主束は、大域的切断がある場合に限り、自明である。
これは、他のファイバー束に関しては成立しない。 例えば、ベクトル束は、それが自明か否かに関わらず、零切断を常に有する。
同じ定理は、主束の局所的自明性に関しても適用できる。 π : P → X を主 G 束とする。 開集合 U ⊆ X は、U 上の局所的切断を有する場合に限り、局所的に自明となる。 局所的自明性 Φ : π(U) → U × G が与えられたとき、同伴する局所的切断
s : U ∋ x → s(x) = Φ(x,e) ∈ π(U)
が定義できる。 ここに、e は G の単位元である。 反対に、局所的切断 s が与えられたとき、局所的自明性 Φ : π(U) → U × G を
Φ(x,g) = s(x)·g
により定義できる。 G が P のファイバーに単純推移的に作用することから、この写像が全単射になることが保証される。 この写像はまた、同相写像であることがわかる。 局所的切断により定義される局所的自明性は、以下の意味で G 同値である。