微分
関数 f が区間 I で導関数 f ′ をもち、それがさらに I で微分可能なとき、f ′ の導関数を f の2階導関数とよび f ′′ で表す。より一般に、関数 f が区間 I で n 回繰り返して微分できるとき、f は I で n 回微分可能であるといい、n 回微分して得られる関数を n 階導関数といって f で表す。
f が n 回微分可能であって、さらに n 階導関数 f が連続であるとき、f は n 回連続微分可能である(または C 級である)という。何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である(または C 級である)という。C 級関数のことを滑らかな関数ということもある(ただしこの語の用法は必ずしも一定していず、たとえば単に微分可能であることを指して滑らかであるという場合もある)。
関数 f が開区間 I で n − 1 階微分可能で、n − 1 階導関数 f が x = a で微分可能なとき、f の x = a における微分係数を f(a) とすれば
f ( a + h ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) h 1 ! + f ′′ ( a ) 2 ! h 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! h n + O ( h n ) {\displaystyle f(a+h)={\frac {f(a)}{0!}}+{\frac {f'(a)h}{1!}}+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}h^{n}+O(h^{n})}
が成り立つ(テイラーの定理のペアノの剰余項による形)。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。