メビウス変換
と書くことができる。これを f について解いたものは(行列の形で書けば)
H ( k ; γ 1 , γ 2 ) = ( γ 1 − k γ 2 ( k − 1 ) γ 1 γ 2 1 − k k γ 1 − γ 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}
あるいは、不動点の一方が無限遠にあるときは
H ( k ; γ , ∞ ) = ( k ( 1 − k ) γ 0 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}}
メビウス変換の係数 a, b, c, d が ad − bc = 1 を満たす実数である場合を考えると、PSL(2, R)で表されるメビウス群の部分群が得られる。この群は、上半平面 H = {x + iy | y > 0} をそれ自身へ写すメビウス変換全体の成す群であり、また H から H への双正則(あるいは同じことだが、全単射等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群である。上半平面に計量を導入して、双曲平面 H の模型(ポアンカレ平面模型と呼ばれるもの)にすることができるが、このとき PSL(2, R) はこの模型において H の向きを保つ等距変換全体の成す群に等しい。
開円板 D = {z | |z| < 1} をそれ自身に写すメビウス変換全体の成す部分群は、φ ∈ R, b ∈ C, |b| < 1 なる定数によって得られる
f ( z ) = e i φ z + b b ̄ z + 1 {\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}
なる形の変換全体から成る。これはまた、D から D への双正則(あるいは同じことだが、全単射、等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群にも等しい。