ラッセルのパラドックス
具体的には内包公理を次の分出公理に弱める(ツェルメロによる版)。 任意の性質 P ( x ) {\displaystyle P(x)} と集合 A {\displaystyle A} に対して、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を満たす A {\displaystyle A} の元 x {\displaystyle x} の集合 { x ∈ A | P ( x ) } {\displaystyle \{x\in A|P(x)\}} が存在する
この場合、 R A = { x ∈ A | x ∉ x } {\displaystyle R_{A}=\{x\in A|x\notin x\}}
は、 A {\displaystyle A} の要素でないため、それ自身を要素としなくても矛盾は発生しない。
また R {\displaystyle R} のような集合は構成できないのでやはり矛盾は発生しない。
(なお現在のZFC集合論では、フレンケルが設定した置換公理から分出公理が導けるため、分出公理自体は公理としていない。