一様連続
f を一様空間X から一様空間Y への写像とする時、f が一様連続 であるとは以下の性質を満たすことをいう:Y の任意の近縁 V に対しX の適切な近縁U を取れば全ての x, y ∈X に対し、
( x , y ) ∈ U ⇒ ( f ( x ) , f ( y ) ) ∈ V {\displaystyle (x,y)\in U\Rightarrow (f(x),f(y))\in V} 。
特に f が全単射で f, f がいずれも一様連続であるとき、f は一様同型 であるという。
任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である。
一様空間と一様連続写像の全体は1つの圏を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。
定理 ― f: X → Y をコンパクトな一様空間 X から一様空間 Y への写像とする。このときf が連続なら一様連続である。
定理で X も Y も距離空間である場合の証明はコンパクト空間の項目に記載されている。
一般の場合の証明は以下のとおりである。(証明中で使われている用語や記号の説明は一様空間の項目を参照。)なお基本的なアイデアは距離空間の場合の証明と同一である。
近縁V∈Y × Y を任意に固定する。 すると一様空間の性質より、以下の性質を満たす近縁 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} が存在する:
任意のy1, y2, y3 ∈ Y に対し、 ( y 1 , y 2 ) , ( y 2 , y 3 ) ∈ V ~ ⇒ ( y 1 , y 3 ) ∈ V {\displaystyle (y_{1},y_{2}),(y_{2},y_{3})\in {\tilde {V}}\Rightarrow (y_{1},y_{3})\in V} ...(1)
一様空間Y 上の位相の定義より、 V ~ [ f ( x ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] {\displaystyle {\tilde {V}}[f(x)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)]} はY の開集合なので、f の連続性により、任意のx ∈ Xに対しx のある近傍Wが存在し、 f ( W ) ⊂ V ~ [ f ( x ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] {\displaystyle f(W)\subset {\tilde {V}}[f(x)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)]} が成立する。