リー環の指数写像
写像 γ {\displaystyle \gamma } は X {\displaystyle X} に伴う右あるいは左不変なベクトル場の積分曲線として構成することができる。すべての実パラメータに対して積分曲線が存在することは 0 の近くでの解を右または左移動することによって従う。
平行移動が左移動によって与えられるような G 上の標準的な左不変なアフィン接続の指数写像。つまり、 exp  ( X ) = γ ( 1 ) {\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)} ただし γ {\displaystyle \gamma } は始点が単位元で(接ベクトルと考える)始速度が X の唯一の測地線である。
G の標準的な右不変なアフィン接続の指数写像。これは通常標準的な左不変な接続とは異なるが、どちらの接続も同じ測地線(左または右からの積によって作用する1パラメータ部分群の軌道)を持つので同じ指数写像を与える。
G {\displaystyle G} が行列リー群であれば、指数写像は行列の指数関数と一致し、通常の級数展開によって与えられる:
exp  ( X ) = ∑ k = 0 ∞ X k k !
ベクトル場 X L , R {\displaystyle X^{L,R}} によって生成されるフロー ξ L , R {\displaystyle \xi ^{L,R}} は次で与えられることが従う: ξ t L = R exp  t X {\displaystyle \xi _{t}^{L}=R_{\exp tX}} ξ t R = L exp  t X . {\displaystyle \xi _{t}^{R}=L_{\exp tX}.}
これらのフローは大域的に定義されているから、G 上のすべての左及び右不変ベクトル場は完備(英語版)である。
φ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} をリー群準同型とし、 φ ∗ {\displaystyle \phi _{*}} をその単位元における微分とする。すると以下の図式は可換である:
とくに、群 G のリー群の随伴表現に適用すると、 g ( exp  X ) g − 1 = exp  ( A d g X ) {\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,} A d exp  X = exp  ( a d X ) . {\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X}).\,}
G {\displaystyle G} をリー群とし g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を( G {\displaystyle G} の単位元における接空間として考える)そのリー環とする。指数写像 (exponential map) は以下のようにいくつかの異なる方法で定義できる写像
exp : g → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}
である:
exp  ( X ) = γ ( 1 ) {\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)} 。ただし
γ : R → G {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}
は単位元における接ベクトルが X {\displaystyle X} に等しいような G {\displaystyle G} の唯一の1パラメータ部分群(英語版)である。チェインルールから exp  ( t X ) = γ ( t ) {\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)} が容易に従う。