現代ポートフォリオ理論
MPTや上述のポートフォリオを使う可能性を否定する必要性はない。通常には金融ポートフォリオに適用できない数学的に表現された制約で以ってMPTは最適化を行うことができる。
その上、MPTの最も単純な要素のいくつかは、いかなる種類のポートフォリオに事実上当てはめることが出来る。投資家のリスク許容度を理解するという概念は、様々な種類の分析問題に当てはめることが出来る。しかしながら、MPTはリスクの尺度として、歴史上に発生した分散(historical variance)を利用しているのでITのように歴史がないものには適用できない。このような場合、MPT投資との境界として、「資本を失うよりもROIの機会が少ない」とか、「投資の半分以上の資金を失う」とかを一般的な観点から用いる。不確実性の観点から予測される損失についてリスクを設定する時、投資家のリスク許容度を理解するという概念は他のいかなる投資のタイプと完全に置換されうる。
ポートフォリオの期待収益率: E  ( R p ) = ∑ i = 1 n w i E  ( R i ) {\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad } ポートフォリオの収益率の分散: σ p 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j Cov  ( R i , R j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j σ i σ j ρ i j {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}
ただし σ i = Var  ( R i ) , ρ i j = Corr  ( R i , R j ) {\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {\operatorname {Var} (R_{i})}},\;\rho _{ij}=\operatorname {Corr} (R_{i},R_{j})} である。
無リスク資産を含む場合の期待収益率と収益率の標準偏差を数式で表すと以下のようになる。
自己の資金をリスク資産に 100 w p {\displaystyle 100w_{p}} パーセント投資し、無リスク資産に 100 w f {\displaystyle 100w_{\mathrm {f} }} パーセント投資するポートフォリオを考える。つまり、 w p + w f = 1 {\displaystyle w_{p}+w_{\mathrm {f} }=1} である。また無リスク資産の利子率を定数 r f {\displaystyle r_{\mathrm {f} }} とする。この時、期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。 期待収益率 = w f r f + w p E  ( R p ) {\displaystyle w_{\mathrm {f} }r_{\mathrm {f} }+w_{p}\operatorname {E} (R_{p})\quad } 収益率の標準偏差 = w f 2 Var  ( r f ) + w p 2 Var  ( R p ) + 2 w f w p Cov  ( r f , R p ) {\displaystyle {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\operatorname {Var} (r_{\mathrm {f} })+w_{p}^{2}\operatorname {Var} (R_{p})+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\operatorname {Cov} (r_{\mathrm {f} },R_{p})}}} = w f 2 ⋅ 0 + w p 2 σ p 2 + 2 w f w p ⋅ 0 {\displaystyle {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\cdot 0+w_{p}^{2}\sigma _{p}^{2}+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\cdot 0}}} = w p σ p {\displaystyle w_{p}\sigma _{p}\quad }