ディオファントス近似
1840年代、ジョゼフ・リウヴィル (Joseph Liouville) は、代数的数の近似に対する最初の下界を得た。x が有理数体上次数 n の代数的無理数であれば、ある定数 c(x) > 0 が存在して、任意の整数 p と q, ただし q > 0, に対し、
| x − p q | > c ( x ) q n {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}
が成り立つ。
この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、
∑ j = 1 ∞ 10 − j ! = 0.110001000000000000000001000 ... {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots }
を得た。この数は、次数 n をどのようにとっても、リウヴィルの定理を満たさない。
ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。