位相線型空間の圏
位相線型空間の圏は位相的である。それはつまり、大雑把いえば、位相空間の圏 Top とその台としての集合の圏 Set の関係性とまったく同じ意味で、TVect の台として線型空間の圏 Vect があるということを意味している。より精確に述べれば、
忘却函手から作られる以下の図式 V e c t K → S e t ↑ ↑ T V e c t K → T o p {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {\mathbf {Vect} } _{K}&\to &\operatorname {\mathbf {Set} } \\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {\mathbf {TVect} } _{K}&\rightarrow &\operatorname {\mathbf {Top} } \end{matrix}}} が可換であり、忘却函手 VectK → Set が右随伴であることから、忘却函手 TVectK → Top も右随伴である。また、左随伴に関しても同様の可換図式によって同様のことが言えて、その左随伴は「自由位相線型空間」を定めるものとなる。それを陽に書けば、自由位相 K-線型空間とは、自由 K-線型空間に特定の始位相を入れたものである。
VectK は完備かつ余完備であるから、TVectK もまた完備かつ余完備である。