因数分解
明らかに、ELDかつADなる整域において既約元分解は素元分解であり、したがって一意分解である。
UFD において零でも単元でもない任意の元からなる部分集合に対して最大公約元が存在する。逆にそのような任意の部分集合に対して最大公約元を持つ整域は UFD になる。任意の PID は UFD である。
整数の環 Z と同様のユークリッド除法が定義される整域はユークリッド整域と呼ばれる。任意のユークリッド整域は PID であり、したがって UFD となる。ユークリッド整域において最大公約数の計算に利用できるユークリッドの互除法が定義できるが、それが因数分解アルゴリズムの存在を意味しないことには注意すべきである。適当な体 F 上の一変数多項式の成すユークリッド環 F[X] でその中で一般の多項式に適用可能な因数分解アルゴリズムが無いような F の具体例が存在する。