エーレンフェストの定理
が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作 ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \ \rangle } は、通常量子力学で行われている方法どおりで
⟨ x ⟩ = ∫ ψ ∗ ( r ) x ψ ( r ) d r ⟨ ∂ U ∂ x ⟩ = ∫ ψ ∗ ( r ) ∂ U ∂ x ψ ( r ) d r {\displaystyle {\begin{aligned}&\langle x\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )x\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ){\frac {\partial U}{\partial x}}\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}
とする。他も同様である。
d d t ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t r ψ + ψ ∗ r ∂ ψ ∂ t ] d r = d d t ∫ [ − 1 i ħ ( H ^ ψ ∗ ) r ψ + ψ ∗ r 1 i ħ ( H ^ ψ ) ] d r = 1 i ħ d d t ∫ [ − { − ħ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ∗ r ψ + ψ ∗ r { ħ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) } ψ ] d r = 1 i ħ d d t ∫ [ ħ 2 2 m ∇ 2 ψ ∗ r ψ − ψ ∗ r ħ 2 2 m ∇ 2 ψ ] d r = − i ħ 2 m d d t ∫ [ ∇ 2 ψ ∗ r ψ − ψ ∗ r ∇ 2 ψ ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \left\{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}
加えて
U ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ ( U ψ ) = U ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∗ ∇ U ψ − U ψ ∗ ∇ ψ = − ψ ∗ ∇ U ψ {\displaystyle {\begin{aligned}U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U\psi )&=U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla U\psi -U\psi ^{*}\nabla \psi \\&=-\psi ^{*}\nabla U\psi \end{aligned}}}
を用いると、
m d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = − ∫ ψ ∗ ∇ U ψ d r {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\int \psi ^{*}\nabla U\psi \mathrm {d} \mathbf {r} }
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から ∇ U {\displaystyle \nabla U} の期待値であるから、
m d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = − ⟨ ∇ U ⟩ {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\langle \nabla U\rangle }
となる。