有限生成加群
左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。
この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像
R n → M {\displaystyle R^{n}\to M}
が存在する(つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である)とき、かつそのときに限る。
加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる(なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである)。
任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。