操作変数法
データを生成する過程において Z ′ e = 0 {\displaystyle Z'e=0} が満たされる限り、操作変数推定量の適切な使用により、パラメータ β {\displaystyle \beta } が識別される。操作変数法は Z ′ e = 0 {\displaystyle Z'e=0} を満たす一意なパラメータについて解くので、これは機能し、そしてゆえにサンプルサイズが大きくなるにつれ真のパラメータに近づいていく。
今、拡張を行う。興味のある方程式における共変数の数より操作変数の数の方が大きいとする。つまり Z {\displaystyle Z} は T {\displaystyle T} 行 M {\displaystyle M} 列行列で M > K {\displaystyle M>K} であるとする。これはしばしば過剰識別のケースと呼ばれる。この場合、一般化モーメント法(GMM)を用いることができる。GMM推定量は以下のようになる。
β ^ G M M = ( X ′ P Z X ) − 1 X ′ P Z y , {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}y,}
ここで P Z {\displaystyle P_{Z}} は射影行列であり、 P Z = Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ {\displaystyle P_{Z}=Z(Z'Z)^{-1}Z'} を満たす。
この表現は、操作変数の数と興味のある方程式における共変数の数が一致する時に、最初の表現にまとめることができる。