アインシュタイン方程式
∇ a R k a + ∇ j R k j − ∇ k R = 2 ∇ a R k a − ∇ k R = 0 {\displaystyle \nabla _{a}R_{k}{}^{a}+\nabla _{j}R_{k}{}^{j}-\nabla _{k}R=2\nabla _{a}R_{k}{}^{a}-\nabla _{k}R=0}
を得る。したがって、アインシュタインテンソルの添え字を一つ上にあげたものを
G i j = R i j − 1 2 R g i k g k j {\displaystyle G_{i}{}^{j}=R_{i}{}^{j}-{1 \over 2}Rg_{ik}g^{kj}}
とすると、その発散 ∇ a G i a {\displaystyle \nabla _{a}G_{i}{}^{a}} について
∇ a G i a = ∇ a R i a − 1 2 ∇ a R δ i a = ∇ a R i a − 1 2 ∇ i R = 0 {\displaystyle \nabla _{a}G_{i}{}^{a}=\nabla _{a}R_{i}{}^{a}-{1 \over 2}\nabla _{a}R\delta _{i}^{a}=\nabla _{a}R_{i}{}^{a}-{1 \over 2}\nabla _{i}R=0}
が成り立つ。