エバルトの方法
ここで、 f ( r ) {\displaystyle f({\boldsymbol {r}})} として短距離で0に収束する関数をうまく選び、第1項の和が実空間で短距離で0に収束し、第2項の和が逆格子空間で短距離で0に収束すると計算上都合がよい。 実際には、 f ( r ) {\displaystyle f({\boldsymbol {r}})} として相補誤差関数 erfc がよく使われる。Gを任意の定数として f ( r ) = erfc  ( G | r − l | ) {\displaystyle f({\boldsymbol {r}})=\operatorname {erfc} (G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|)} を、 1 − f ( r ) {\displaystyle 1-f({\boldsymbol {r}})} は誤差関数の定義式を代入すると
φ ( r ) = ∑ l 1 | r − l | erfc  ( G | r − l | ) + ∑ l 1 | r − l | 2 π ∫ 0 G | r − l | e − t 2 d t {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})=\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}}\operatorname {erfc} (G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|)+\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
第2項で t = | r − l | ρ {\displaystyle t=\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|\rho } とおいて変数変換する。
φ ( r ) = ∑ l 1 | r − l | erfc  ( G | r − l | ) + ∫ 0 G ∑ l 2 π exp  ( − | r − l | 2 ρ 2 ) d ρ {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})=\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}}\operatorname {erfc} (G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|)+\int _{0}^{G}\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\exp(-|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}|^{2}\rho ^{2})\,\mathrm {d} \rho }