対数
x < y ⇔ log a  x > log a  y {\displaystyle x<y\Leftrightarrow \log _{a}x>\log _{a}y}
であり、
lim x → 0 + log a  x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0+}\log _{a}x=\infty }
lim x → ∞ log a  x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }
が成り立つ。
対数の発散は「とても緩やか」であり p > 0 に対して
lim x → ∞ | log a  x | x p = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {|\log _{a}x|}{x^{p}}}=0}
が成り立つ。
正の実数 a ≠ 1 について、正の実数 x を変数にとる実数値連続関数 fa (x) として
f a ( x y ) = f a ( x ) + f a ( y ) f a ( a ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f_{a}(xy)&=f_{a}(x)+f_{a}(y)\\f_{a}(a)&=1\end{aligned}}}
を満たすものを
f a ( x ) = log a  x {\displaystyle f_{a}(x)=\log _{a}x}
と書き、この関数 loga x を a を底とする対数関数と呼ぶ。
逆数の対数
c o l o g a x = log a  1 x = − log a  x = log 1 / a  x {\displaystyle \mathrm {colog} _{a}x=\log _{a}{\frac {1}{x}}=-\log _{a}x=\log _{1/a}x}
を a を底とする余対数(よたいすう、英: cologarithm)と呼ぶ。