ローレンツ群
リー群の常として、ローレンツ群の多くの側面がそのリー代数により明らかにできる。ローレンツ群は R 上の微分同相群の部分群であり、したがってそのリー代数は R 上のベクトル場により明らかにされる。具体的には、空間に等長性を生成するベクトルはキリングベクトルであり、これがリー代数を計算する際に便利な左不変なベクトル場の代わりとなる。次の六つの生成子を書き下すことができる。
三つの回転 i J を生成する R 上のベクトル場
− y ∂ x + x ∂ y ≡ i J z , − z ∂ y + y ∂ z ≡ i J x , − x ∂ z + z ∂ x ≡ i J y {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}}
三つのブースト i K を生成する R 上のベクトル場
x ∂ t + t ∂ x ≡ i K x , y ∂ t + t ∂ y ≡ i K y , z ∂ t + t ∂ z ≡ i K z {\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}}
SL(2, C) の斜航型要素は
P 3 = P 2 P 1 = P 1 P 2 = [ exp  ( ( β + i θ ) / 2 ) 0 0 exp  ( − ( β + i θ ) / 2 ) ] {\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}=\left[{\begin{matrix}\exp \left((\beta +i\theta )/2\right)&0\\0&\exp \left(-(\beta +i\theta )/2\right)\end{matrix}}\right]}
であり、 ξ = 0, ∞ を不動点として持つ。スピノル写像によりこれは下のローレンツ変換に対応づけられる。
Q 3 = Q 2 Q 1 = Q 1 Q 2 {\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}}
これにより生成される1パラメータ部分群は β+iθ を複素定数ではなく実変数と置き換えることにより得られる。(β, θ が独立に変化するならば、z 軸回りの回転と同時に z 軸に沿ったブーストから成る「二次元」アーベル部分群が得られる。対照的に、ここでとりあげる「一次元」部分群は、二次元部分群の要素のうちブーストのラピディティと回転の角度が「固定比」になっているものから成る。)
対応する天球上の連続変換は、(恒等変換以外は)南極と北極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は南極から北極(もしくはその逆)に向かって斜航線と呼ばれる種類の曲線に沿って移動する。各斜航線は無限に、通常は各極の回りで螺旋を描く。
Artin, Emil (1957). Geometric Algebra. New York: Wiley. ISBN 0-471-60839-4 See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
Carmeli, Moshe (1977). Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. McGraw-Hill, New York. ISBN 0-07-009986-3 A canonical reference; see chapters 1–6 for representations of the Lorentz group.
Frankel, Theodore (2004). The Geometry of Physics (2nd Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-53927-7 An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory.
) 四次元部分代数はすべて次に共役である。
X 1 , X 2 , X 3 , X 4 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}} により、ユークリッド相似変換 群 Sim(2) のリー代数に同型な部分代数が生成される。
これら部分代数は格子を形成し(図を参照)、各部分代数は制限リー群の閉部分群のべき乗により生成される。これらから、クラインの四元群の要素を乗することにより、ローレンツ群の全ての部分群が、共役による違いを除いて、構成できる。
連結リー群の常として、制限ローレンツ群の閉じた部分群の剰余空間、すなわち等質空間は、非常に数学的に興味深い。いくつか簡潔な説明を加えると、
群 Sim(2) は「ヌルライン」、すなわちリーマン球面上の点の であり、等質空間 SO(1, 3)/Sim(2) は球面 S 上の共形幾何(英語版)を表現するクライン幾何(英語版)である。
ユークリッド群 SE(2) (の単位元成分)はヌルベクトルの安定化部分群である。よって、等質空間 SO(1, 3)/SE(2) は質量のない粒子の運動量空間である。幾何学的にはこのクライン幾何はミンコフスキー時空上の光円錐の「縮退した」幾何を表現している。
回転群 SO(3) は時間的ベクトルの安定化部分群である。よって、SO(1, 3)/SO(3) は質量のある粒子の運動量空間である。幾何学的には、この空間は三次元双曲空間(英語版) H にほかならない。