ツェルメロ集合論
最も広く用いられ受け入れられている集合論は ZFC として知られる、選択公理(AC)を含んだツェルメロ=フレンケル集合論である。上記のリンクはツェルメロの公理とZFC公理との対応を示している。「基本的集合の公理」は正確に一致するものがない。(単集合は現在「対の公理」と呼ばれるものから導出できることが後から示された。具体的には、a が存在するならば、a と a が存在するため、{a,a} も存在し、外延性の公理から {a,a} = {a} となる。)空集合の公理は無限公理ですでに仮定されており、現在はZFC公理の一つとして含まれている。
ツェルメロ集合論は置換公理と正則性公理を含まない。置換公理は1922年のアドルフ・フレンケルとトアルフ・スコーレムの論文で導入された。フレンケルとスコーレムは独立に、ツェルメロ公理では集合 {Z0, Z1, Z2, ...} (ここで Z0 は自然数の集合、Zn+1 は Zn の冪集合である)の存在を証明できないことを発見した。フレンケルもスコーレムもこの証明には置換公理が必要であると気づいていた。翌年、ジョン・フォン・ノイマンはフォン・ノイマン順序数の構築に正則性公理が必要であると指摘した。
Mac Lane (1986) で導入されたマックレーン集合論は、分出公理を各量化子が有界である一階の論理式に制限したツェルメロ集合論である。 マックレーン集合論は強さとして自然数対象(英語版)のトポス理論や、プリンキピア・マテマティカのシステムに類似する。これは、集合論や論理学に直接関係しない、ほぼすべての通常の数学を行えるほどの強さである。
V ω ⋅ 2 {\displaystyle V_{\omega \cdot 2}} では א ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} 以上の無限基数を含まずにツェルメロの公理がモデル化されるため、ゲーデルの完全性定理により、ツェルメロ集合論ではこれらの基数の存在を証明できない。(基数と順序数は通常の形の定義では不具合があるため、ツェルメロ集合論においては基数を異なる形で定義する必要がある。というのも、通常の形で定義した場合、順序数 ω·2 の存在さえも証明できない。)
無限公理は今日では通常、最初のフォン・ノイマン順序数 ω {\displaystyle \omega } の存在を主張する形に変えられる。元のツェルメロ公理はこの集合の存在を証明できない。変更版のツェルメロ公理はツェルメロの無限公理を証明できない。ツェルメロの公理(元あるいは変更版)は、集合としての V ω {\displaystyle V_{\omega }} の存在や、添字が無限である任意のランクの累積的階層集合の存在を証明できない。
ツェルメロは、集合ではなく要素を持たないアトム(urelement)の存在を許容した。アトムは集合論では通常取り除かれる。