ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件
質量 m、角振動数 ω の一次元調和振動子を考えると、ハミルトニアンは
H = p 2 2 m + m ω 2 2 q 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}}
であり、保存量であるエネルギーを E とする状態では、位相空間上の軌道は、楕円軌道
p 2 2 m + m ω 2 2 q 2 = E {\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}=E}
となる。このとき、作用変数 J は楕円の面積に相当し、
ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件が適用できるのは、各自由度の組 (qk, pk) について独立な運動に分解できる場合 、すなわち変数について分離可能である場合に限られている。1917年にアルベルト・アインシュタインは、量子化においては分離可能であることは本質的ではなく、むしろ正準変換に対し不変な Σpk dqk を通じた量子化が意味をもつと考えた。そこで、アインシュタインは、多重周期系の閉軌道、すなわちトーラス上の軌道に対する量子化条件として
∮ γ k ∑ k = 1 N p k d q k = n h ( n = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \oint _{\gamma _{k}}\sum _{k=1}^{N}p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}=nh\quad (n=1,2,\dots )}
を考案した。