フロー (数学)
Ω を(自然数 n に対する)空間 R の部分領域とする(有界であるかは問わない)。その境界は滑らかであるとし、Γ で表す。T > 0 に対し、Ω × (0,T) 上の次の熱方程式を考える:
u t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T).\end{array}}}
ここで Ω 内の初期条件を u(0) = u と表す。
Γ × (0,T) 上で u = 0 となる斉次ディリクレ境界条件を考える。この問題に対する数学的な取り組み方として、半群の手法が考えられる。この手法を使うために、 L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} 上で定義される非有界作用素 ΔD と、その定義域
D ( Δ D ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}
を考える。ここで、 H k ( Ω ) = W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )} であるような古典的ソボレフ空間を思い出されたい。また
エルゴード的力学系、すなわちランダム性を示す系に対しても、同様にフローが考えられる。そのようなものの中で最も有名なものは、ベルヌーイフローであるかも知れない。オルンシュタインの同型定理によると、任意の与えられたエントロピー H に対して、ベルヌーイフローと呼ばれるあるフロー φ(x,t) が存在することが示されている。そのようなフローは、時間 t=1 において φ(x,1) がベルヌーイシフト(英語版)となる。
さらにこのフローは、時間をリスケールする定数の違いを除いて一意である。すなわち、同じエントロピーに対する別のフロー ψ(x,t) が存在するなら、ある定数 c に対して ψ(x,t) = φ(x,ct) となる。一意性と同型のここでの概念は、力学系の同型におけるものと同様である。ビリヤード力学系(英語版)や、アノソフフロー(英語版)を含む多くの力学系は、ベルヌーイシフトと同型である。
時間依存のベクトル場 F: R×R→R の場合、φ(x0) = x(t) と書くことが出来る。ここで x: R→R は次の微分方程式の解である:
x ̇ ( t ) = F ( x ( t ) , t ) , x ( t 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}
このとき φ(x0,t,t0) は F の時間依存のフローである。これは上述の定義におけるフローではないが、その内容を少し変えることで確かにフローであることが分かる。すなわち、写像
φ : ( R n × R ) × R → R n × R ; φ ( x 0 , t 0 , t ) = ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 ) {\displaystyle \varphi :(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}