ガウス曲率
K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},}
であることも分る。ここに ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} は共変微分であり、g は計量テンソルである。
R の中の正則曲面上の点 p において、ガウス曲率は、
K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),}
によっても与えられる。ここに S はシェイプ作用素(英語版)(shape operator)である。
ガウス曲率の有用な公式は、等温座標(英語版)(isothermal coordinates)で書かれたラプラシアンの項で書かれたリウヴィル方程式である。
ガウス曲率の曲面上のある領域の面積分を全曲率(total curvature)と呼ぶ。測地線三角形の全曲率は、π から内角の和を引いた値と等しい。曲率が正の曲面上の三角形の内角の和は π よりも大きいことに対し、負の曲率の曲面上の三角形の内角の和は π よりも小さい。ユークリッド平面のような曲率 0 の曲面上では、三角形の内角の和はちょうど π となる。
∑ i = 1 3 θ i = π + ∫∫ T K d A . {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}
このことを一般化した結果が、ガウス・ボネの定理である。
Mをリーマン多様体Mの部分多様体とする。MがMにおいて余次元1であれば、第二基本形式が2階のテンソル(すなわち行列)になり、第二基本形式の固有値として主曲率を定義でき、全ての主曲率の積としてガウス曲率が定義できる。
ガウス曲率はMが偶数次元であればMに内在的な量であり、リーマン曲率のオイラー形式と一致する。Mが奇数次元の場合もガウス曲率は符号を除いて内在的な量である。