ピタゴラス三体問題
この系を三体問題の運動方程式に従って時間発展させると、時刻 t = 1.879 {\displaystyle t=1.879} において第2体と第3体が距離 r 23 ∼ 10 − 2 {\displaystyle r_{23}\sim 10^{-2}} で近接散乱し、続いて第3体と第1体が緩やかな散乱 (距離 r 13 = 0.6 {\displaystyle r_{13}=0.6} ) を経たのちに再び時刻 t = 3.801 {\displaystyle t=3.801} において第2体と第3体の散乱 (距離 r 23 = 6 × 10 − 2 {\displaystyle r_{23}=6\times 10^{-2}} が起きる。このようにこの系は近接散乱を繰り返しながら進化していく。最も天体間の距離が小さくなるのは時刻 t = 15.830 {\displaystyle t=15.
ピタゴラス三体問題の初期条件は、質量比3:4:5の質点を3:4:5の直角三角形の各頂点に配置するものである。質量3の粒子 (第1体) は長さ3の辺の反対の頂点に、質量4の粒子 (第2体) は長さ4の辺の反対の頂点に、質量5の粒子 (第3体) は長さ5の辺の反対の頂点に置かれる。従って、重心を座標原点に選ぶとき、各粒子の初期座標は次のようになる。
x 1 = ( 1 , 3 ) , x 2 = ( − 2 , − 1 ) , x 3 = ( 1 , − 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(1,3),\ \ \mathbf {x} _{2}=(-2,-1),\ \ \mathbf {x} _{3}=(1,-1)}
また、各粒子の速度は初期時刻においてすべてゼロとする。
v 1 = v 2 = v 3 = 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{3}=0}
なお、初期条件 ( t = 0 {\displaystyle t=0} ) においてすべての粒子が速度ゼロであるため、その後の解 x a ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{a}(t)} が計算できれば、それ以前の解はその解を時間反転したものとなる。