行列の平方根
B J 2 = J 1 B {\displaystyle BJ_{2}=J_{1}B} となるが、 B = [ b 1 ... b k ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}&\dots &b_{k}\\\end{bmatrix}}} 、 J 2 {\displaystyle J_{2}} の対角成分(固有値)を λ i , 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle \lambda _{i},1\leq i\leq k} と置き、第1列に注目すれば、 λ 1 b 1 = J 1 b 1 {\displaystyle \lambda _{1}b_{1}=J_{1}b_{1}} だが、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないため、 b 1 = 0 {\displaystyle b_{1}=0} が言え、順次、第2列、第3列に注目すれば b i = 0 {\displaystyle b_{i}=0} が言え、 B = O {\displaystyle B=O} が言える。
平方根およびそのユニタリ自由度は線型代数学および函数解析学の全般に応用を持つ。
このため、ジョルダン標準形 J = P − 1 A P {\displaystyle J=P^{-1}AP} の全ての平方根 K {\displaystyle K} を知ることができれば、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} により、 A {\displaystyle A} の全ての平方根 B {\displaystyle B} を知ることができる。
J = [ J 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ J m ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &J_{m}\\\end{bmatrix}}} とし、 K i 2 = J i , 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle K_{i}^{2}=J_{i},1\leq i\leq m} とすれば、 K = [ K 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ K m ] {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &K_{m}\\\end{bmatrix}}} は、 J {\displaystyle J} の平方根のうちの一つである。