カー・ニューマン解
ここで、
Δ ≡ r 2 − 2 M r + a 2 + Q 2 {\displaystyle \Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}}
ρ 2 ≡ r 2 + a 2 cos 2  θ {\displaystyle \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }
a ≡ J M {\displaystyle a\equiv {\frac {J}{M}}}
であり、
M {\displaystyle M\,} は、ブラックホールの質量
J {\displaystyle J\,} は、ブラックホールの角運動量
Q {\displaystyle Q\,} は、ブラックホールの電荷
である。ここでは、光速と万有引力定数を1とする幾何学単位系( c = G = 1 {\displaystyle c=G=1\,} )を用いている。
カー・ニューマン解(カー・ニューマンかい、英語: Kerr‐Newman metric、Kerr‐Newman solution)あるいはカー・ニューマン・ブラックホール解とは、一般相対性理論のアインシュタイン方程式の厳密解の一つで、回転する電荷を帯びたブラックホールを表現する軸対称時空の計量 (metric)である。このため、カー・ニューマン計量とも呼ばれる。ニュージーランドの数学者ロイ・カー (Roy Kerr)によるカー解の発見の2年後の1965年に、アメリカのニューマン (Ezra T. Newman(英語版)) らによって発見された。質量・角運動量・電荷の三つのパラメータを持つブラックホール解として、一般相対性理論の描く時空の姿の理解に広く使われている。
カー・ニューマン計量は、次のように書ける。
d s 2 = − Δ ρ 2 ( d t − a sin 2  θ d φ ) 2 + sin 2  θ ρ 2 [ ( r 2 + a 2 ) d φ − a d t ] 2 + ρ 2 Δ d r 2 + ρ 2 d θ 2 {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -{a}dt\right]^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}}