2状態系
H 12 = H 21 ∗ {\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}
が要請される。ここで、a は a の複素共軛を表わす。
ハミルトニアン ˆH の固有値 EI, EII に対応する固有ベクトルをそれぞれ |I⟩, |II⟩ とする。
H ^ | I ⟩ = E I | I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {I} \rangle =E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle }
H ^ | I I ⟩ = E I I | I I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {II} \rangle =E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle }
このとき、補助変数 θ, φ を
tan  θ = 2 | H 12 | H 11 − H 22 ( 0 ≤ θ < π ) {\displaystyle \tan {\theta }={\frac {2|H_{12}|}{H_{11}-H_{22}}}\quad (0\leq \theta <\pi )}
H 21 = | H 21 | e i φ ( 0 ≤ φ < 2 π ) {\displaystyle H_{21}=|H_{21}|e^{i\phi }\quad (0\leq \phi <2\pi )}
として、
電子や原子核のスピン 1/2 の系は2状態系の典型例である。スピン演算子 ˆSx, ˆSy, ˆSz で記述されるスピン 1/2 の系に対し、量子化軸として z 軸をとると、ˆSz の固有値 +ħ/2, −ħ/2 の固有状態として、|+⟩, |−⟩ が取れる。