カルタン行列
一般カルタン行列(generalized Cartan matrix)は、次を満たす整数の要素を持つ正方行列 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} である。
対角要素は、aii = 2 である。
非対角要素は、 a i j ≤ 0 {\displaystyle a_{ij}\leq 0} である。
a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} であることと a j i = 0 {\displaystyle a_{ji}=0} は同値である。
A は DS と分解して書くことができる。ここに D は対角行列であり、S は対称行列である。
たとえば、G2(英語版)(G2)のカルタン行列は、次のように分解することができる。
[ 2 − 3 − 1 2 ] = [ 3 0 0 1 ] [ 2 / 3 − 1 − 1 2 ] . {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\;\,\,2&-3\\-1&\;\,\,2\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]\left[{\begin{smallmatrix}2/3&-1\\-1&\;2\end{smallmatrix}}\right].}
3.の条件は独立ではないが、実際、1.と 4.の条件の結果である。
いつでも正の対角要素を持つ D を選ぶことができる。この場合、上記の分解の S が正定値であれば、A はカルタン行列であるといわれる。