オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン
1927年、ポール・ディラックは電磁場の量子化に成功した。さらに、1929年、ハイゼンベルクはヴォルフガング・パウリと共に正準量子化の方法を用いて、場の量子論の基礎を構築した。
一方で、1928年、ディラックはディラック方程式を提唱し、フェルミ粒子の相対論的記述を行った。この理論では、負エネルギーを持つ粒子が生じることが問題となっていたが、1931年、ディラックは反粒子(ディラックの海における「空孔」)の概念を導入し、この問題に対する解決策を与えた。1932年にカール・デイヴィッド・アンダーソンによって陽電子が発見された直後、ディラックは負エネルギー粒子が陽電子と見なせることを提案した。
陽電子の存在と場の量子論が確立したことを受けて、ハイゼンベルクは陽電子の理論に本格的に取り組むようになり、1934年に2本の基礎的な論文を発表した。この論文では、ディラックの海の描像における量子的なゆらぎの扱いが定式化され、これらの量子的ゆらぎが電磁場に関する非線形な現象を引き起こすことが示された。
ハイゼンベルクはライプツィヒ大学の学生だったオイラーに密度行列形式のアプローチによる光・光散乱に関する研究テーマを与えた。後に、この研究はオイラーの博士論文となった。
オイラーはハイゼンベルクのもう一人の学生だったKockelと共に1935年に発表した論文の中で、低エネルギー極限における光・光散乱振幅を計算した。
L = 1 2 ( E 2 − B 2 ) + 2 α 2 45 m e 4 [ ( E 2 − B 2 ) 2 + 7 ( E ⋅ B ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m_{e}^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}
第1項は電磁場(光子)の運動項であり、電磁場について2次の式となる。第2項は電磁場同士の相互作用を表し、電磁場について4次の式である。上式にさらに補正を加えて、6次以上の項を書くこともできる。式中のα=e/(4π)は微細構造定数であり、αは光子の4点相互作用が存在することを意味する。
低エネルギー極限のラグランジアンはオイラーとKockelによって最初に導入されたが、これがオイラー=ハイゼンベルク・ラグランジアンと呼ばれることもある。
オイラー=ハイゼンベルク・ラグランジアンは電磁場についての非線形な現象を記述する。