3乗剰余の相互法則
x ≡ x 2 q − 1 = x 2 ( 3 n + 2 ) − 1 = x 6 n + 3 = ( x 2 n + 1 ) 3 mod q . {\displaystyle x\equiv x^{2q-1}=x^{2(3n+2)-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}{\bmod {q}}.}
したがって、唯一の興味深いケースは法 p が p ≡ 1 (mod 3) を満たすときとなる。このとき、ゼロを除いた p を法とする剰余類は、それぞれが (p − 1) ⁄ 3個の要素を持つ3つの集合に分割される。e を何らかの(p を法として)3乗非剰余な元とするとき、その集合は以下のように明示的に分類できる:
3乗剰余な元からなる集合。 第一の集合の各元を e 倍して得られる元からなる集合。 第一の集合の各元を e 倍して得られる元からなる集合。
この分割を表現する別の方法として、原始根を用いるものがある。すなわち:
p を法とした原始根に対する指数が、3を法として0となるもの(3で割り切れるもの)。 p を法とした原始根に対する指数が、3を法として1となるもの。 p を法とした原始根に対する指数が、3を法として2となるもの。
である。群論のことばでは、第一の集合は乗法群 (Z ⁄ pZ) の指数3の部分群であり、残り2つの和集合はその補集合である。