ウェダーバーンの小定理
| Φ n ( q ) | ≤ q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1} .
これによって n が 1 でなければならないことを見るために、n > 1 に対して
| Φ n ( q ) | > q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}
であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式
Φ n ( x ) = ∏ ( x − ζ ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta )} ,
ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると
| Φ n ( q ) | = ∏ | q − ζ | {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |} .
n > 1 に対して
| q − ζ | > | q − 1 | {\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}
であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって
| Φ n ( q ) | > q − 1 {\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1} .