可換環
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環(かかんかん、英: commutative ring)は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。
いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 ⊃ 有限体
さらに言えば、次元は一つの極大鎖のみによって決まるから、R の次元は勝手な素イデアル p における局所化 Rp の次元の上限に一致する。直観的には、R の次元は R のスペクトルの局所的性質であって、局所環だけに限って次元を定義することもしばしばである。これは一般のネーター環では、その任意の局所化が有限次元であるにもかかわらず、環自身は無限次元となることがあるというようなことにもよる。
体 k と n-変数多項式 fi に対して、環
k[X1, X2, ..., Xn] / (f1, f2, ..., fm)
の次元を計算することは一般に容易でない。クルルの主イデアル定理により、ネーター環 R に対して、I が n 個の元で生成されるときの R/I の次元は dim R − n 以上である。次元が可能な限り落ちる場合(つまり dim(R/I) = dim R − n となるとき)の剰余環 R/I は完全交叉であるという。
唯一の極大イデアル m を持つ局所環 R が正則であるとは、R のクルル次元が余接空間 m / m の(体 R/m 上のベクトル空間としての)次元と一致するときに言う。
素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec R を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵となる概念である。既に述べたように、零でない任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは空でない。R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。一方、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、(素イデアル pZ を生成する)各素数 p に対応する点を持つ。スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ∉ p} が開となるものとして定義される位相である。この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。
スペクトルの概念は可換環論と代数幾何学に共通する基盤である。代数幾何学は Spec R に層 O {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}} (実体は、局所的に、つまりさまざまな開集合上で、定義された函数の集合)を付随させることに始まる。この空間と層からなるデータをアフィンスキームと呼ぶ。