連続体力学
v = v m ( t ; X 0 ) = v ( X ( t ) , t ) = d X d t {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {X}}(t),t)={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}{\mathrm {d} t}}}
を満たす。
連続体を記述する二つの表示と対応して、二種類の時間微分が定義される。 空間表示と対応する時間微分は
∂ Q ∂ t = ∂ F ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}}
で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、対応する時間微分は偏微分である。この微分はオイラー微分(Eularian derivative)、空間微分(spatial derivative)、空間時間微分(spatial time derivative)と呼ばれる。
一方、物質表示と対応する時間微分は
D Q D t = d F m d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} Q}{\mathrm {D} t}}={\frac {\mathrm {d} F_{\mathrm {m} }}{\mathrm {d} t}}}
で定義される。物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため、対応する時間微分は常微分である。
力をかけるなどして 連続体が変形し、最初点xにあった粒子がt秒後にφt(x)に移動したとする。このとき
r = r ( x , t ) := φ t ( x ) − x {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}({\boldsymbol {x}},t):=\phi _{t}({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {x}}}
をこの変形の変位ベクトルと呼び、ヤコビ行列
をこの変形の変形テンソル(deformation tensor)と呼ぶ 。
変形テンソルを対称部分と非対称部分に
とわけ、対称部分にあたる(Eij)i,jを歪みテンソル(strain tensor)という。
歪みテンソルの対角成分Eiiを伸縮歪み(elongation-contraction)、反対角成分をずれ歪み(shear strain)といい、伸縮歪みの総和
∑ i E i i = ∇ ⋅ r {\displaystyle \sum _{i}E_{ii}=\nabla \cdot {\boldsymbol {r}}}
を体積歪み(volume dilatation)という。
一方、反対称部分である(Fij)i,jは定義より明らかに
F i j = − F j i {\displaystyle F_{ij}=-F_{ji}} 、 F i i = 0 {\displaystyle F_{ii}=0}
である。
Ω = ( Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) := ( 2 F 23 , 2 F 31 , 2 F 12 ) {\displaystyle \Omega =(\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})}
であるが、四面体の大きさを小さくしていくと、面積力KSが四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し、体積力 KVはそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので、KS/dSは0でなければならない。よって
p x ( n ) = p x ( e 1 ) ⋅ e 1 + p x ( e 2 ) ⋅ e 2 + p x ( e 3 ) ⋅ e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}}
が成立する。 p x ( e j ) {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{j})} のei方向成分をσxijとすれば、
が成立する。ここでniはnの ei方向成分である。
行列 (σxij)i,jを連続体の応力テンソルという。