ラプラス変換
数列 an の(通常型)母関数
G ( a n ; x ) = ∑ n a n x n {\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n}a_{n}x^{n}\,}
において x = e とすると、
G ( a n ; e − s ) = ∑ n a n e − s n {\displaystyle G(a_{n};\mathrm {e} ^{-s})=\sum _{n}a_{n}\mathrm {e} ^{-sn}\,}
となる。 ここで和を積分に変えれば
G ( a t ; e − s ) = ∫ a t e − s t d t {\displaystyle G(a_{t};\mathrm {e} ^{-s})=\int a_{t}\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t\,}
となり、関数 at のラプラス変換と一致する。この意味においてラプラス変換は母関数の「連続版」とみなすことができる。 こうした理由により、母関数とラプラス変換は同種の性質を満たすことがある。たとえば母関数の性質
G ( a n ; x ) G ( b n ; x ) = G ( a n ∗ b n ; x ) {\displaystyle G(a_{n};x)G(b_{n};x)=G(a_{n}*b_{n};x)\,}
はラプラス変換の性質
L [ f ] ( s ) L [ g ] ( s ) = L [ f ∗ g ] ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}[f](s){\mathcal {L}}[g](s)={\mathcal {L}}[f*g](s)\,}
に対応する。ここで * は畳み込み積。
関数の畳み込みはラプラス変換で積(値ごとの積)に写される。
L [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] = F ( s ) G ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)\,G(s)}
これは、H(s) = F(s)G(s) かつ
F ( s ) = L [ f ( t ) ] , G ( s ) = L [ g ( t ) ] {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}[f(t)],\,G(s)={\mathcal {L}}[g(t)]}
ならば
L − 1 [ H ( s ) ] = f ( t ) ∗ g ( t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[H(s)]=f(t)*g(t)}
と書くこともできる。