カントール集合
カントール集合は、幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、再帰的に繰り返すことで作られる集合である。ここで、取り除く線分は開区間である。すなわち、単位区間I = [0, 1] から、1回目の操作では (1/3, 2/3) を取り除き、2回目の操作では (1/9, 2/9) と (7/9, 8/9) を取り除き......といった具合に操作を無限に繰り返し、残った部分集合がカントール集合である。
最初の集合を C0 = I, 1回目操作後の集合を C1, 2回目操作後の集合を C2, ......とし、n 回目操作後の集合を Cn としたとき、和集合の形式では各集合は以下のように表せる。
C 0 = [ 0 , 1 ] C 1 = [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] C 2 = [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 3 9 ] ∪ [ 6 9 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] ⋮ C n = [ 0 , 1 3 n ] ∪ ⋯ ∪ [ 3 n − 1 3 n , 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=\left[0,1\right]\\C_{1}&=\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]\\C_{2}&=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]\\&\vdots \\C_{n}&=\left[0,{\frac {1}{3^{n}}}\right]\cup \dots \cup \left[{\frac {3^{n}-1}{3^{n}}},1\right]\end{aligned}}}
カントール集合(カントールしゅうごう、英: Cantor set)は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス(英語版)により発見され、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された。
カントールの三進集合とも呼ばれ、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト(塵)と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。
↑ Cantor, Georg (1883), “Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V”, Mathematische Annalen 21: 545–591, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002247461 .
↑ Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (2004), Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2nd ed.), N.Y.: Springer Verlag .
↑ ロバート・L・デバニー 著、上江洌達也・重本和泰・久保博嗣・田崎秀一 訳『カオス力学系の基礎』(新装版)ピアソン・エデュケーション、2007年、79頁。ISBN 978-4-89471-028-3。
↑ アリグッドほか 2012, p. 166.
↑ B.マンデルブロ『フラクタル幾何学 上』広中平祐(監訳)(第一刷)、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2011年、157-161頁。ISBN 978-4-480-09356-1。
↑ Lumpkin, Beatrice (1 January 1997). Geometry Activities from Many Cultures. Walch Publishing. p. 17. ISBN 978-0-8251-3285-8. https://books.google.com/books?id=Xpr_rBdY9PwC&pg=PA17. "Napoleon's Expedition brought this picture to Europe in their report, Description de L'Egypte.