ベクトル空間
例えば、メビウスの帯は(円周を実数直線上の半開区間と同一視することによって)円周 S 上の線束と見做すことができるが、しかしこれは円筒 S × R とは異なる。後者は向き付け可能だが、前者はそうではない。
ある種のベクトル束の性質は、台となる位相空間についての情報を提供する。例えば、接空間の集まりからなる接束は可微分多様体の点によって径数付けられる。 円周 S の接束は、S 上に大域的な非零ベクトル場が存在するから、大域的に S × R に同型である。対照的に、毛玉の定理(英語版)により、二次元球面 S 上の接ベクトル場で至る所消えていない者は存在しない。K-理論は同じ位相空間上の全てのベクトル束の同型類について研究するものである。深い位相的かつ幾何学的な観察に加えて、この理論には実有限次元多元体の分類(そのようなものは R, C のほかは四元数体 H と八元数体 O しかない)というような純代数学的な帰結も存在する(フルヴィッツの定理(英語版)を参照)。
可微分多様多の余接束は、多様体の各点において接空間の双対である余接空間が対応するベクトル束である。余接束の切断は微分一次形式 (1-form) と呼ばれる。
ベクトル空間の多様体に対する応用は様々な状況で生じてくる。つまり多様体上で定義され、ある体に値をとる函数を考えれば、そこにはベクトル空間が生じるのである。そのようなベクトル空間を考えれば、解析学や幾何学における問題を取り扱う枠組みが提供される。またそういったベクトル空間はフーリエ変換などにおいても利用される。ここで挙げた例は網羅的なものではなく、例えば最適化など、ほかにももっと多くの応用が存在する。ゲーム理論のミニマックス法は全てのプレイヤーが最適な試行を行うことができるならば一意的なペイが得られることを述べるもので、これはベクトル空間法を用いて証明できる。表現論は、よく分かっている線型代数学およびベクトル空間に関する内容を、群論など他の領域に実り豊かに引き写すものである。
ベクトル束は位相空間 X によって連続的に径数付けられたベクトル空間の族である。より明確に言えば、X 上のベクトル束とは、位相空間 E であって、連続写像
π : E → X {\displaystyle \pi \colon E\to X}
を持ち、X の各点 x においてファイバー V = π(x) がベクトル空間を成すようなものを言う。dim V = 1 ならば線束という。任意のベクトル空間 V に対し、射影 X × V → X は直積 X × V を「自明な」ベクトル束にする。X 上のベクトル束は、局所的にはある(固定された)ベクトル空間 V と X との直積でなければならない。つまり、X の各点 x に対して x の適当な近傍 U を選んで、π の π(U) への制限が自明束 U × V → U に同型となるようにすることができる。これらの局所自明性にもかかわらず、ベクトル束は巨視的には(台となる位相空間 X の形に依存して)「捻じれ」ているのである。つまり、ベクトル束は自明束 X × V (と大域的に同型)である必要はない。
もう一つ重要な例は、実数 x, y の対によって与えられる(x と y の対は並べる順番が重要であり、そのような対を順序対という)。この対を (x, y) と書く。そのような対ふたつの和および実数倍は
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
および
a (x, y) = (ax, ay)
で定義される。
, 0 , 1 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n {\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})&=x_{1}(1,0,\dotsc ,0)+x_{2}(0,1,0,\dotsc ,0)+\dotsb +x_{n}(0,\dotsc ,0,1)\\&=x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+\dotsb +x_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}\end{aligned}}}
と表されることによる。
任意のベクトル空間が基底を持つことが、ツォルンの補題から従う。従って、ツェルメロ・フレンケル集合論の公理が与えられていれば、任意のベクトル空間における基底の存在性は選択公理と同値になる。また選択公理よりも弱い超フィルター補題(英語版)から、与えられた一つのベクトル空間 V において任意の基底が同じ数の元(あるいは濃度)を持つことが示され(ベクトル空間の次元定理(英語版))、その濃度をベクトル空間 V の次元 dim V と呼ぶ。有限個のベクトルで張られる空間の場合であれば、上記の主張は集合論的な基礎付けを抜きにしても示せる。
数ベクトル空間 F は、すでに示した基底によってその次元が n であることがわかる。#函数空間節で述べた多項式環 F[x] の次元は可算無限(基底の一つは 1, x, x, ... で与えられる)であり、ある(有界または非有界な)区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる。