周期点
つまり、非周期点 x についてある自然数 m が存在して、i ≥ m を満たす全ての自然数 i について
f n + i ( x ) = f i x {\displaystyle f^{n+i}(x)=f^{i}x}
を満たす自然数(周期)n が存在する場合である。このような非周期点 x を最終的に周期的である、または最終的周期点や前周期点という(終局周期的や実質周期点などの和訳もある)。例として、上と同じく f (x) = x − 1 を考える。初期点を x = 1 とすると、f (1) = 0, f (0) = −1, f (−1) = 0 なので、1 は最終的に周期な点である。さらに初期点を x = √2 としても、f (√2) = 1, f (1) = 0, f (0) = −1, f (−1) = 0 なので、√2 もまた最終的に周期な点である。
周期性は力学系における中心的概念の一つであり、周期点の存在を調べることの重要性は高い。周期軌道自体はとても単純な点列だが、力学系ではもっと複雑な軌道もあり得る。典型的な力学系ではほとんどの軌道は不動点でも周期点でもない。しかし、系全体を調べるときにも周期軌道は中心的役割を果たす。