物質微分
がある。特に加速度の回転形表示
D v D t = ∂ v ∂ t + grad  ( | v | 2 2 ) − v × rot  v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}}
は重要である。
共変微分を使わずに一般の座標系で成り立つ表現としては
D A D t = ∂ A ∂ t + 1 2 { grad  ( v ⋅ A ) + rot  v × A + rot  A × v − rot  ( v × A ) + v div  A − A div  v } {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}})+\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}\times {\boldsymbol {v}}-\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {v}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {A}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}\right\}}
d φ ( u , t ) d t = ( ∇ φ ) ⋅ d u d t + ∂ φ ∂ t = v ⋅ ∇ φ + ∂ φ ∂ t = D φ D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi ({\boldsymbol {u}},t)}{\mathrm {d} t}}=(\nabla \varphi )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi +{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}}
が成立する。 上では一粒子しかない場合を想定したが、初期時刻における位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} でパラメトライズされた粒子の族 u ( X , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)} を考えた場合も、 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} を固定して同様の証明を行う事で、同様の式が導ける。更に粒子の族を連続体にまで拡張したものが物質微分である。
以上の説明から分かるように、物質微分 D φ D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}} は物質に固定して観測する座標系(物質表示)における時間微分を表すが、それに対し通常の偏微分 ∂ φ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}} は空間上に固定された座標系(空間表示)における時間微分であるといえる。