指数型分布族
指数型分布族(しすうがたぶんぷぞく)は、以下のように定義される、特定の形式の確率分布。有用な代数的特性を持つ。
指数型分布族の概念は、1935 – 1936年に、EJG Pitman、G. Darmois 、BO Koopmanらによって与えられた。
指数型分布族には、統計分析に非常に役立つ多数の性質がある。 多くの場合、これらの特性を持つのは指数型分布族のみである。 例:
共役事前分布を持つ
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) g ( θ ) exp  ( η ( θ ) ⊺ T ( x ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}(x){\Big )}}}
ベクトル変数とベクトルパラメータの場合:
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  ( η ( θ ) ⊺ T ( x ) − A ( η ) ) {\displaystyle f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}({\boldsymbol {x}})-A({\boldsymbol {\eta }}){\Big )}}}