ヴィラソロ代数
a n {\displaystyle a_{n}} を交換関係
[ a n , a m ] = n δ n + m , 0 {\displaystyle [a_{n},a_{m}]=n\delta _{n+m,0}}
を満たすハイゼンベルク代数の生成元とする。 このときヴィラソロ代数の生成元は
L n = 1 2 ∑ k ∈ Z : a n − k a k : − α ( n + 1 ) a n {\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }:a_{n-k}a_{k}:-\alpha (n+1)a_{n}}
と表示することができる。ただし : : {\displaystyle :\quad :} は正規順序化の記号であり、 ヴィラソロ代数の中心を c = 1 − 12 α 2 {\displaystyle c=1-12\alpha ^{2}} とパラメトライズした。