線形力学系
x 0 = ∑ k = 1 n a k v k {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}}
このとき解は、
x ( t ) = ∑ k = 1 n a k v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}}
となる。
対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて
x ( t ) = e t A x 0 ( e t A = ∑ n = 0 ∞ t n n ! A n ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}}
と、解を導くことができる。