多重積分
f が T 上でリーマン可積分であるとき、先ほどの S を f の T 上のリーマン積分と呼び、
∫ ⋯ ∫ T f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}}
で表す。ベクトル記法 x = (x1, ..., xn) を用いて簡潔に
∫ T f ( x ) d x {\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} }
と書くこともある。このとき dx は n-次元体積要素を表す。
以上では T を半開矩形領域としたが、勝手な n-次元有界領域上の函数のリーマン積分は、与えられた函数を適当な半開矩形領域上で定義される函数に(もともとの定義域の外では値が 0 となるように)延長してやれば定義できる。すなわち、もともとの函数のもともとの領域上の積分というのを、この矩形領域上のいま延長した函数の積分として定義すればよい。このようにして定義される n-次元のリーマン積分を n に依らず総称して多重リーマン積分または単に重積分と呼ぶ。
また、n-次元ルベーグ測度 dx に関するルベーグ積分を多重ルベーグ積分若しくは単に重積分と呼ぶこともある。
∫ D ( α f + β g ) ( x ) d x = α ∫ D f ( x ) d x + β ∫ D g ( x ) d x . {\displaystyle \int _{D}(\alpha f+\beta g)(\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\alpha \int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} +\beta \int _{D}g(\mathbf {x} )d\mathbf {x} .}