代数的K理論
A を分数体 F を持つデデキント整域とすると、長完全系列
K 2 F → ⊕ p K 1 A / p → K 1 A → K 1 F → ⊕ p K 0 A / p → K 0 A → K 0 F → 0 {\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }
が存在する。ここに p は A のすべての素イデアルを渡る。
相対 K-群 K1 と K0 に対して、次の完全系列の拡大が存在する。
K 2 ( A ) → K 2 ( A / I ) → K 1 ( A , I ) → K 1 ( A ) ⋯ . {\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}
体 k に対する K2 の上記の表現から、ミルナー(Milnor)は次の「高次」K-群の定義を導いた。
K ∗ M ( k ) := T ∗ ( k × ) / ( a ⊗ ( 1 − a ) ) . {\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a))\ .}
このように、
{ a ⊗ ( 1 − a ) : a ≠ 0 , 1 } {\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}}
により生成された両側イデアルにより乗法群 k のテンソル代数の商の次数付き部分として定義される。
n = 0, 1, 2 に対し、これらは以下に一致するが、n ≧ 3 に対しては、一般には異なっている。例えば、n ≧ 2 に対し KMn(Fq) = 0 であるが、奇数の n に対し KnFq は 0 ではない(以下を参照)。
テンソル代数上のテンソル積は、 K ∗ M ( F ) {\displaystyle K_{*}^{M}(F)} を次数付き可換(英語版)(graded-commutative)な次数付き環とするような積 K m × K n → K m + n {\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}} を導く。
K n M ( k ) {\displaystyle K_{n}^{M}(k)} の中の元 a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n {\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}} の像は、記号として { a 1 , .