稠密集合
任意の位相空間は自身の部分集合として稠密である。集合 X に離散位相を入れたものは、全体集合 X がその唯一の稠密部分集合となる。集合 X に密着位相を入れたものは、空でない全ての部分集合が稠密になり、逆に空でない任意の部分集合が稠密となるような位相空間は密着空間でなければならない。
稠密性は推移的である。すなわち、位相空間 X の部分集合 A, B, C (A ⊆ B ⊆ C) で、A が B の、B が C のそれぞれ(相対位相に関する)稠密部分集合であるならば、A は C において稠密になる。
稠密部分集合の全射な連続写像による像はふたたび(写像の終域における)稠密部分集合となる。特に、位相空間の稠密度は位相不変量(topological invariant)である。
連結な稠密部分集合を持つ位相空間は、必然的にそれ自身連結になる。
ハウスドルフ空間の中への連続写像は、その稠密部分集合における値によって決定される。すなわち、二つの連続写像 f, g: X → Y をハウスドルフ空間 Y への写像で、X の稠密部分集合上一致するならば、X の全域において一致する。