表現論
保型形式は、モジュラ形式の多変数の解析函数への一般化であり、解析函数は通常、多変数であり、同じような変換性質を持っている。この一般化は、モジュラ群 PSL2 (R) と半単純リー群 G による合同部分群(英語版)(congruence subgroup)や離散部分群(discrete subgroup) Γ を置き換える。まさにモジュラ形式が上半平面の商 H = PSL2 (R)/SO(2) の上の微分形式とみなすことができるように、保型形式は Γ ∖ G / K {\displaystyle \Gamma \backslash G/K} 上の微分形式とみなすことができる。ここに K は典型的な G の最大コンパクト部分群(英語版)(maximal compact subgroup)である。しかし、注意深くみると、商空間は特異点を持っている。
不変式理論は、群の表現を形成する函数上への効果の観点から、代数多様体上の群作用を研究する。古典的には、不変式論は、与えられた線型群の変換の下に不変な多項式函数をどのように明確に記述するかを扱った。現代的なアプローチでは、これらの表現がどのように既約表現への分解するかを解析する。
無限群の不変式論は、線型代数、特に二次形式や行列式の発展に不可分に結びついている。(多項式の不変性と幾何学が)互いに強く影響しあう射影幾何学では、不変式論はこの問題を系統的に研究することに使われ、1960年代の間にダヴィッド・マンフォード(David Mumford)により、新しい息吹が幾何学的不変式論の形で吹き込まれた。
半単純リー代数の表現論は、根拠を不変式論に持っていて 表現論と代数幾何学の強い結びつきは、微分幾何学で多くの平行な考え方を持つ。この平行性はフェリックス・クラインのエルランゲンプログラムやエリー・カルタンの接続(connections)に始まり、群と対称性を幾何学の心臓部とする。現代の発展は、表現論と不変式論との結びつきを、ホロノミー(英語版)(holonomy)や微分作用素や多変数複素関数の理論のような分野へ広がっている。