ケプラー方程式
あるいは、平均角速度 n := 2 π / T {\displaystyle n:=2\pi /T} 、平均近点離角 M := n t {\displaystyle M:=nt} を使い、
M = E − e sin  E , {\displaystyle M=E-e\sin E,}
を用いた。 通常は、この形の方程式を ケプラー方程式 と呼んでいる。 現代では運動方程式を数値的に解くことでも各時刻の惑星の位置を決定できるが、ケプラーの時代はそのような手法はなかったので (もちろん、万有引力の法則も発見されていない)、 まず、惑星の楕円の軌道の形を定め(つまり、楕円の極座標表示 r = l / ( 1 + e cos  θ ) {\displaystyle r=l/(1+e\cos \theta )} の e {\displaystyle e} と l を定める)、次にケプラーの方程式を解くことで、各時刻の惑星の位置を決定しなければ ならなかった。つまり、 M と e {\displaystyle e} が与えられたとき、 E がそれらの関数としてどのように書けるかという問題 を解かなければならない。しかし、この方程式は超越方程式であるので厳密解を求めるには工夫がいる。
以下の命題が、陰関数のラグランジュの定理(英語版)である。
f ( z ) = f ( a ) + ∑ n = 1 ∞ ζ n n ! ∂ n − 1 ∂ a n − 1 ( g n ( a ) f ′ ( a ) ) , {\displaystyle f(z)=f(a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial a^{n-1}}}(g^{n}(a)f'(a)),}
ラグランジュの定理は、逆関数や陰関数を冪級数で求める際に使われる。 この定理をケプラーの方程式に適用すると、
E = e sin  M + e 2 2 sin  2 M + ⋯ , {\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots ,}
が得られる。 e {\displaystyle e} が小さいときに適用可能である。