ウェイト (表現論)
ウェイトの集合の中で,いくつかは表現のデータに関係する.V を体 F 上のリー環 g の表現とし,λ を g のウェイトとする.このとき V のウェイト λ: h → F(ただし h は g のカルタン部分環)のウェイト空間とは,部分空間
V λ := { v ∈ V : ∀ ξ ∈ h , ξ ⋅ v = λ ( ξ ) v } {\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall \xi \in {\mathfrak {h}},\quad \xi \cdot v=\lambda (\xi )v\}}
である(ただし ξ ⋅ v {\displaystyle \xi \cdot v} は h の V への作用を表す).表現 V のウェイトとはウェイト λ であって対応するウェイト空間が非零なもののことである.ウェイト空間の非零元はウェイトベクトルと呼ばれる.
V がそのウェイト空間の直和
V = ⨁ λ ∈ h ∗ V λ {\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}
であるとき,ウェイト加群と呼ばれる;これは環のすべての表された元に対する共通の固有基底(同時固有ベクトルの基底)が存在すること,つまり,同時対角化可能な行列が存在することに対応する.
同様に,リー群や結合代数の任意の表現に対してウェイト空間 Vλ を定義できる.