一般型曲面
ギーセカ(Gieseker)は、一般型曲面には粗いモジュライスキーム(英語版)(coarse moduli scheme)が存在することを示した。このことは、任意に固定したチャーン数 c1 と c2 の値に対し、そのようなチャーン数を持つ一般型の曲面を分類する準射影スキーム(英語版)(quasi-projective scheme)が存在することを意味する。これらのスキームを明示的に記述することは非常に難しい問題で、(スキームが空の場合を除き)これが完成されたチャーン数のペアは少ししかない。一般にはそれらのスキームが複雑すぎて具体的に書き下すことができないことを示す証拠がいくつかある:知られている既約成分の個数の上界が非常に大きいこと、いたるところ被約でない(被約でないスキーム(英語版))成分が存在しうること、成分の次元がいくつもの異なる値をとりうること、すでに具体的に調べられているいくつかの例も非常に複雑に見えることである。
一般型の曲面となるようなチャーン類のペアの研究は、「チャーン数の地理学」として知られていて、この疑問へはほぼ完ぺきな答えがある。一般型の極小(英語版)(minimal)な複素曲面のチャーン数が満たさねばならない条件がいくつかある。