交換関係 (量子力学)
交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。
[ A ^ , A ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}]=0}
[ A ^ , B ^ ] = − [ B ^ , A ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]} (交代性)
[ A ^ , B ^ + C ^ ] = [ A ^ , B ^ ] + [ A ^ , C ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]} (線形性)
[ A ^ , B ^ C ^ ] = [ A ^ , B ^ ] C ^ + B ^ [ A ^ , C ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]} (ライプニッツ則)
[ [ A ^ , B ^ ] , C ^ ] + [ [ B ^ , C ^ ] , A ^ ] + [ [ C ^ , A ^ ] , B ^ ] = 0 {\displaystyle [[{\hat {A}},{\hat {B}}],{\hat {C}}]+[[{\hat {B}},{\hat {C}}],{\hat {A}}]+[[{\hat {C}},{\hat {A}}],{\hat {B}}]=0} (ヤコビの恒等式)