ノルム
K を実数体 R または複素数体 C(あるいは絶対値を備えた任意の位相体)とし、K 上のベクトル空間 V を考える。このとき任意の a ∈ K と任意の u, v ∈ V に対して、
独立性:‖ v ‖ = 0 ⇔ v = o
斉次性:‖ av ‖ = |a|‖ v ‖
劣加法性:‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖
を満たす関数 ‖ • ‖: V → R; x ↦ ‖ x ‖ を V のノルムと呼ぶ。ベクトル空間 V と V 上のノルム ‖ • ‖ との組 (V, ‖ • ‖) を、ノルム ‖ • ‖ を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、ノルム空間などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に V で表す。なお、‖ v ‖ ≥ 0(正定値性)を定義の内に含めることが多いが、この性質は以下のように定理として導くことができる。左から順に、独立性、劣加法性、斉次性を用いている。
∀ v ∈ V , 0 = ‖ o ‖ = ‖ ( 1 2 − 1 2 ) v ‖ ≤ ‖ 1 2 v ‖ + ‖ − 1 2 v ‖ = | 1 2 | ‖ v ‖ + | − 1 2 | ‖ v ‖ = ‖ v ‖ .