多元環の表現
固有値と固有ベクトルは多元環の表現に一般化できる.
多元環の表現の固有値の一般化は,1つのスカラーではなく,1次元表現 λ: A → R である(すなわち,多元環からその underlying ring への多元環準同型であり,乗法的でもある線型汎関数である).これはウェイトと呼ばれ,固有ベクトルと固有空間の類似物はウェイトベクトルとウェイト空間と呼ばれる.
1作用素の固有値の場合は多元環 R[T] に対応し,多元環の写像 R[T] → R は生成元 T がどのスカラーに写るかによって決定される.多元環の表現のウェイトベクトルは多元環の任意の元がこのベクトルをそのスカラー倍に写すようなベクトルである――1次元部分加群(部分表現)である.ペアリング A × M → M は双線型であるから,「どんなスカラー倍か」は A の A-線型汎関数(多元環の写像 A → R),すなわちウェイトである.記号では,ウェイトベクトルはベクトル m ∈ M であって,ある線型汎関数 λ: M → A に対してすべての元 a ∈ A に対して am = λ(a)m なるものである――左辺では積は多元環の作用であり,右辺ではスカラー倍であることに注意.