調和数 (発散列)
を得る。Hn の増大度は n の自然対数 ln(n) と同程度の速さである。このことは、Hn を積分
∫ 1 n d x x ( = ln  ( n ) ) {\displaystyle \int _{1}^{n}{dx \over x}\quad (=\ln(n))}
で近似することによって確認できる。数列 (Hn - ln(n)) は単調に減少して、
lim n → ∞ H n − ln  ( n ) = γ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }
なる定数(この定数 γ はオイラー・マスケローニ定数と呼ばれ、その値は 0.5772156649... である)を極限にもち、これに対応する漸近展開は
H n = ln  n + γ + 1 2 n − 1 − 1 12 n − 2 + 1 120 n − 4 + O ( n − 6 ) {\displaystyle H_{n}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})}
で与えられる。
, n ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}}
が成り立つ。また、レトケシュ恒等式を x1 = 1, ..., xn = n に対して用いれば、この場合
Π k ( 1 2 , 2 2 , ... , n 2 ) = ( − 1 ) n − k ( n − k ) ! ( n + k ) ! 2 k 2 {\displaystyle \Pi _{k}(1^{2},2^{2},\ldots ,n^{2})=(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!(n+k)!}{2k^{2}}}}
となるので、ζ(2) の第 n-部分和についての類似の公式
H n , 2 = ∑ k = 1 n 1 k 2 = 2 ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k 2 ( n k ) ( n + k k ) {\displaystyle H_{n,2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}=2\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}}}