準正則元
準正則性について、別の定義が存在する。すなわち、rng R において、二項演算 ∘ {\displaystyle \circ } を x ∘ y = x + y + x y {\displaystyle x\circ y=x+y+xy} と定義すると、これにより上記の * と同様 R は 0 を単位元とするモノイドとなり、y ∈ R は、この演算に関して左逆元が存在するときに、左準正則というのである(右準正則も同様)。このとき、R が単位的環であれば、r ∈ R が左(resp. 右)準正則であることと 1 + r が環の乗法について左(resp. 右)逆元を持つことが同値である。
"* による定義"がジャコブソンによるオリジナルのものである。 ( − a ) ∗ ( − b ) = − ( a ∘ b ) {\displaystyle (-a)*(-b)=-(a\circ b)} であるから、符号を考慮すれば定義を行き来出来る。例えば、一方の定義で y が左準正則であることともう一方の定義で −y が左準正則であることは同値である。
本記事では、"* による定義"を採用するが、上記注意により" ∘ {\displaystyle \circ } による定義"でのステートメントに修正することは容易である。