ダルブー導関数
本節ではダルブー導関数を具体的に定式化する。
すでに述べたように f : M → G {\displaystyle f~:~M\to G} のダルブー導関数とは、 f ∗ : T M → T G {\displaystyle f_{*}~:~TM\to TG} の像を群の元をかけることで g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} まで移動したものである。具体的には P ∈ M {\displaystyle P\in M} 、 v P ∈ T P M {\displaystyle v_{P}\in T_{P}M} に対し、 f ∗ ( v P ) {\displaystyle f_{*}(v_{P})} は T f ( P ) G {\displaystyle T_{f(P)}G} の元なので、 f ( P ) − 1 {\displaystyle f(P)^{-1}} を左からかける演算 L f ( P ) − 1 {\displaystyle L_{f(P)^{-1}}} の導関数 L f ( P ) − 1 ∗ {\displaystyle L_{f(P)^{-1}}{}_{*}} を作用させた
文献を参考にダルブー導関数を定義する動機を述べる。実数体上の関数 f : R → R {\displaystyle f~:~\mathbb {R} \to \mathbb {R} } の導関数 f ′ {\displaystyle f'} はfそれ自身と同じく R {\displaystyle \mathbb {R} } から R {\displaystyle \mathbb {R} } への関数なので、 f ′ {\displaystyle f'} からfを求める問題、すなわち
与えられた関数 g : R → R {\displaystyle g~:~\mathbb {R} \to \mathbb {R} } に対し、 f ′ = g {\displaystyle f'=g} となる関数 f : R → R {\displaystyle f~:~\mathbb {R} \to \mathbb {R} } を求めよ
という問題は意味を持ち、微分積分学の基本定理を使って解を求める事ができる。
それに対し、多様体から多様体への写像 f : M → N {\displaystyle f~:~M\to N} に対し、導関数 f ∗ : T M → T N {\displaystyle f_{*}~:~TM\to TN} からfを求める問題は自明なものになってしまう。