ホップ代数
群的元とは非零元 x であって Δ(x) = x ⊗ x なるものである.群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす.原始元(英語版) x は Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x を満たす.
H は以下の公理を満たす弱められた対合射 S: H → H を持つ:
すべての a ∈ H に対して S ( a ( 1 ) ) a ( 2 ) = 1 ( 1 ) ε ( a 1 ( 2 ) ) {\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})} (右辺は像が H または Hs と書かれる separable subalgebra である通常 Π(a) あるいは εs(a) と書かれる面白い射影);
すべての a ∈ H に対して a ( 1 ) S ( a ( 2 ) ) = ε ( 1 ( 1 ) a ) 1 ( 2 ) {\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}} (像が S によって H に反同型な separable algebra H あるいは Ht である通常 Π(a) あるいは εt(a) と書かれる別の面白い射影);
正式には,ホップ代数は体 K 上の(結合的かつ余結合的)双代数 H であって,次の図式が可換であるような(対蹠射または対合射と呼ばれる)K 線型写像 S: H → H を持つものである:

ここで Δ は双代数の余積であり,∇ は積,η は単位射,ε は余単位射である.スウィードラーの記法を用いて,この性質は次のようにも書ける:
S ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = c ( 1 ) S ( c ( 2 ) ) = ε ( c ) 1 for all c ∈ H . {\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad {\text{ for all }}c\in H.}
代数に関しては,上の定義において基礎体 K を可換環 R に置き換えることができる.
ホップ代数の定義は(上の図式の対称性に表れているように)自己双対であるので,H の双対を定義できるならば(H が有限次元ならいつでも可能である),それは自動的にホップ代数になる.
A を標数 0 上の有限次元次数付き可換(英語版)次数付き余可換ホップ代数とする.このとき A は(代数として)奇数次の生成元を持った自由外積代数である.
対蹠射 S は K 線型逆写像を持つよう要求されることもある.これは有限次元の場合や,H が可換あるいは余可換(あるいはより一般に準三角(英語版))であるとき,自動的に成り立つ.
一般に,S は反準同型なので,S は準同型で,したがって S が可逆ならば同型である.
対蹠射が対合、すなわち S = idH ならば,ホップ代数は対合的 (involutive) といわれる(そして台となる対合付きの代数は *-環となる).H が標数 0 の体上有限次元半単純,可換,あるいは余可換ならば,対合的である.
双代数 B が対合射 S を持つならば,S は一意である(「双代数は高々 1 つのホップ代数構造を持つ」).
対合射は g を逆元 g に送る群上の写像の類似である.