行列
線型写像 R → R は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限次元ベクトル空間の間の線型写像 f: V → W は(V の次元を n, W の次元を m として) V の基底 v1, ..., vn と W の基底 w1, ..., wm を選べば
f ( v j ) = ∑ i = 1 m a i , j w i ( j = 1 , ... , n ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)}
を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、 A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と同値になる。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A は A の定める線型写像の転置写像を、双対基底に関して記述するものである。。
より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 R および R の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す全行列環が、R の自己準同型環を表現するものとして生じる。
以下のような計算は定義されないため実行してはならない。
異なる型の行列同士の和
[ a b c d e f ] + [ g h i j k l ] = ⋯ {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots }
正方行列ではない行列の逆行列
[ a b c d e f ] − 1 = ⋯ {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots }
正方行列ではない行列の行列式
det [ a b c d e f ] = ⋯ {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }
即ち、乗法が定義される限りにおいて ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} が成り立つ。
行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、ゲーム理論や経済学における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。
複素数は2×2の実行列で
a + i b ↔ [ a − b b a ] {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}
のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の回転行列は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に四元数やクリフォード代数においても可能である。
運動学やロボット工学の分野では、2次元または3次元空間における物体の位置や姿勢(回転角)を表現するのに行列が用いられ、ベクトルおよびクォータニオン(四元数)とともに姿勢制御に応用されている。
二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の加法、演算の結果を和と言う。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、m 行 n 列の行列同士の和を、成分ごとの和
A + B := [ a i j + b i j ] i = 1 , ... , m , j = 1 , ... , n {\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}
で定める。
例えば
[ 5 6 − 7 8 ] + [ 1 − 2 3 − 4 ] = [ 5 + 1 6 + ( − 2 ) − 7 + 3 8 + ( − 4 ) ] = [ 6 4 − 4 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}}
有限グラフの隣接行列はグラフ理論における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、距離行列は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念はハイパーリンクによって繋がれたウェブサイトや道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことからネットワーク理論においても行列は用いられることとなる。