白銀比
白銀数の連分数展開は
1 + 2 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}
である。
白銀数 rs は有理数に 2の平方根を添加した代数体における代数的整数になっており、rs の共役数は
r s σ = 1 − 2 = − 1 1 + 2 = − 1 r s {\displaystyle {r_{\rm {s}}}^{\sigma }=1-{\sqrt {2}}=-{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-{\frac {1}{r_{\rm {s}}}}}
によって与えられる。任意の自然数 n について、 ( r s ) n + ( r s σ ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}+({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}} は有理整数になるが、 r s σ {\displaystyle {r_{s}}^{\sigma }} の絶対値が 1/2 より小さいため、この有理整数は ( r s ) n {\displaystyle (r_{s})^{n}} に最も近い自然数を与えている。