ダフィング方程式
非減衰かつ非強制( γ = δ = 0 {\displaystyle \gamma =\delta =0} )なダフィング方程式に x ̇ {\displaystyle {\dot {x}}} を掛けると、次の式が得られる:
x ̇ ( x ̈ + α x + β x 3 ) = 0 ⇒ d d t [ 1 2 ( x ̇ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = 0 ⇒ 1 2 ( x ̇ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 = H . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H.\end{aligned}}}
ここで H は定数である。