ノイマン級数
関数解析学において、ノイマン級数(ノイマンきゅうすう、英: Neumann series)とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
u = ( 1 − λ K ) − 1 f = f + λ K f + λ 2 K 2 f + ⋯ = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , y ) f ( y ) d y + λ 2 ∫ a b ( ∫ a b K ( x , y ) K ( z , y ) d z ) f ( y ) d y + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}u&=(1-\lambda K)^{-1}f\\&=f+\lambda Kf+\lambda ^{2}K^{2}f+\cdots \\&=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y){\,}dy+\lambda ^{2}\int _{a}^{b}{\biggl (}\int _{a}^{b}K(x,y)K(z,y){\,}dz{\biggr )}f(y){\,}dy+\cdots \end{aligned}}}
と表すことができる。
u n := ∑ i = 0 n A i v {\displaystyle u_{n}:=\sum _{i=0}^{n}A^{i}v}
で定義される un が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n → ∞ で逐次近似解 un が真の解となり、
u = ( I − A ) − 1 v = v + A v + A 2 v + ⋯ {\displaystyle u=(I-A)^{-1}v=v+Av+A^{2}v+\cdots }
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 un の誤差評価を行うこともでき、
‖ u − u n ‖ ≤ ∑ i = n + 1 ∞ ‖ A ‖ i ⋅ ‖ v ‖ = ‖ A ‖ n + 1 1 − ‖ A ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq \sum _{i=n+1}^{\infty }\|A\|^{i}\cdot \|v\|={\frac {\|A\|^{n+1}}{1-\|A\|}}\|v\|}
である。