固有写像
二つの位相空間の間の函数 f : X → Y が固有(proper)であるとは、Y 内のすべてのコンパクト集合の原像が X においてコンパクトであることをいう。
この他にもいくつかの異なる定義がある。例えば、連続写像 f が固有であるとは、それが閉写像であり、Y 内のすべての点の原像がコンパクトであることをいう。Y が局所コンパクトかつハウスドルフであるなら、それらの定義は同値となる。この事実の証明についてはこの節の最後を参照されたい。より抽象的に、f が固有であるとは f が普遍的に閉(universally closed)であること、すなわち任意の位相空間 Z に対して、写像
f × idZ: X × Z → Y × Z
が閉であることをいう。これらの定義は、X がハウスドルフであり、Y が局所コンパクトハウスドルフであるときには一致する。
X と Y が距離空間であるときの、より直感的な定義は次のものである:ある位相空間 X の無限点列 {pi} が無限大に逃げる(escapses to infinity)とは、すべてのコンパクト集合 S ⊂ X に対して高々有限個の点 pi のみが S に含まれることをいう。連続写像 f : X → Y が固有であるとは、X において無限大に逃げるすべての点列 {pi} に対して、{f(pi)} が Y において無限大に逃げることをいう。
この最後の点列のアイデアは、列固有(sequentially proper)の概念と関連するように思われる。この点については参考文献を見られたい。