行列式
行列に対して、0 でない小行列式の最大次数は行列の階数に一致する。特に、同じ番号の行と列を選んで
| a i 1 i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i 1 i k a i 2 i 1 a i 2 i 2 ⋯ a i 2 i k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k i 1 a i k i 2 ⋯ a i k i k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}i_{1}}&a_{i_{1}i_{2}}&\cdots &a_{i_{1}i_{k}}\\a_{i_{2}i_{1}}&a_{i_{2}i_{2}}&\cdots &a_{i_{2}i_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}i_{1}}&a_{i_{k}i_{2}}&\cdots &a_{i_{k}i_{k}}\end{vmatrix}}}
の形に書かれる(対角線上にある)小行列式を主小行列式(しゅしょうぎょうれつしき、principal minor)と呼ぶ。
正方行列とは限らない一般の行列 A ≔ (aij) に対して、その行と列からそれぞれ k 個選び、それらに属する成分からなる正方行列の行列式を考えることができる:
| a i 1 j 1 a i 1 j 2 ⋯ a i 1 j k a i 2 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i 2 j k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k j 1 a i k j 2 ⋯ a i k j k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\cdots &a_{i_{1}j_{k}}\\a_{i_{2}j_{1}}&a_{i_{2}j_{2}}&\cdots &a_{i_{2}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\cdots &a_{i_{k}j_{k}}\end{vmatrix}}}
これを A から作られる小行列式(しょうぎょうれつしき、minor determinant)という。
正方行列 An に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。
| det ( A n ) | = ∏ k = 1 n | λ k ( A n ) | = ∏ k = 1 n σ k ( A n ) {\displaystyle {\bigl |}\det(A_{n}){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}{\bigl |}\lambda _{k}(A_{n}){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A_{n})}
行列 A の固有値を λi (i = 1, ..., n) と置くと、
det ( A ) = ∏ k = 1 n λ k {\displaystyle \det(A)=\prod _{k=1}^{n}\lambda _{k}}
となる。このことは、A を三角化すると、対角成分に固有値が並ぶこと、すなわち
P − 1 A P = [ λ 1 ∗ λ 2 ⋱ λ n − 1 λ n ] {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&&&*\\&\lambda _{2}&&&\\&&\ddots &&\\&&&\lambda _{n-1}&\\&&&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}}
の両辺の det を取ることで得られる。