正則関数
したがって方位を決めて一度に一方向しか見ない実数空間の偏微分よりも、複素変数空間の微分の方が制約が厳しい。連続であるだけでは十分でない。
ある任意の点についてみたときの周辺の増減がその点に対し軸対称であると正則である。これを満たすとき実数成分および虚数成分を表す関数はそれぞれ調和関数である。また実数成分および虚数成分の偏導関数はコーシー・リーマンの方程式を満たす(ただし逆は真ではない)。
正則函数が解析的であること:複素解析における正則関数は何回でも微分可能であり、したがって冪級数に展開できる。複素関数に関して、それが正則であることと解析関数であることとは同義である。また、一致の定理により正則関数はその特異点を含まない領域へ一意的に拡張(解析接続)できる場合がある。
ガウス平面の全域で正則である複素関数は整関数と呼ばれる。また、正則関数の商として得られる関数は有理型関数という。
ある領域 E において定義される正則関数 h(z) が与えられているとする。また、E を含む領域 D 上で定義される正則関数 f(z) で z が E に含まれるときは常に
h ( z ) = f ( z ) {\displaystyle h(z)=f(z)}
が成り立つならば、正則関数 f を正則関数 h の(D 上の)解析接続とよび、また h は f によって D まで解析接続可能であるという。正則関数に関する一致の定理によれば、局所的に恒等的に等しい正則関数は大域的に一致するため、解析接続の概念はもう少し一般に、二つの正則関数 h, f の定義域 E と D が共通部分 E ∩ D を持つときに
h ( z ) = f ( z ) for any z ∈ E ∩ D {\displaystyle h(z)=f(z){\mbox{ for any }}z\in E\cap D}
であるならば、h および f は領域の和集合 E ∪ D まで広げた領域で定義される正則関数と見なすことであるということもできる。つまり、ある領域における(局所的な)正則関数は一つの大きな(大域的な)正則関数の局所的な姿であると考えることができ、解析接続は局所的な関数とその定義域の組を張り合わせて大域的な正則関数を表示する方法であると捉えられる。このような立場からは、正則関数は解析接続を可能な限り施して定義域を広げたものと考えて扱うのが自然である。