対応定理
核 N をもつ全射群準同型写像 φ: G → H を考える。このとき対応
U ↦ φ ( U ) {\displaystyle U\mapsto \varphi (U)}
は N を含む G の部分群と H の部分群との間の全単射である。対応
V ↦ φ − 1 ( V ) {\displaystyle V\mapsto \varphi ^{-1}(V)}
はその逆写像である。このとき正規部分群は正規部分群に(いずれの方向にも)対応する。
この主張を G/N ≅ H の場合に特殊化することで G/N の(正規)部分群は N ≤ U ≤ G を満たす(正規)部分群 U を用いて U/N と表されるものにちょうど一致することがわかる。この対応は単調である——つまり部分群 N ≤ U1, U2 ≤ G に対して U1 ≤ U2 となるのは U1/N ≤ U2/N となるとき、かつ、そのときに限る。
もし G/N が単純群ならば正規部分群 N は正規部分群のなかで極大である。