2の平方根
素因数分解の一意性(1 より大きな整数の素因数分解は、素数の積の順序を除いて一意である)ことを利用する。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が有理数であると仮定する。 2 = a b {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}} (a, bは互いに素な整数)と表す。(このような分数を既約分数と呼ぶ)。
2 は平方数でないため、分母 b は 1 ではない。
a, b は互いに素なので、b を割り切り a を割り切れない素数 p が存在する。
a の平方 a の素因数分解は a の素因数をそれぞれ二乗したものになる。
従って素因数の一意性から p は a を割り切れない。
a 2 b 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}} は既約分数であり整数ではない。
よって 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は有理数ではない。
この証明はある整数の k 乗でない整数の k 乗根が無理数である証明に拡張できる。