分数次フーリエ変換
より正確には、時間を反転させるパリティ作用素 P [ f ] : t ↦ f ( − t ) {\displaystyle {\mathcal {P}}[f]\colon t\mapsto f(-t)} を導入すると、次の性質が成り立つ。
F 0 = I d , F 1 = F , F 2 = P , F 4 = I d {\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} }
F 3 = F − 1 = P ∘ F = F ∘ P {\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}}
FrFTは、ここに定義される一連の線形変換をさらに拡張し、フーリエ変換の非整数次 n = 2α/π 次の羃を扱えるようにするものである。