複素解析
正則関数とは、複素平面のある領域 D で定義され、定義域の全体で複素微分可能、つまり任意の a ∈ D に対し極限
f ′ ( z ) = d f d z = lim z → a f ( z ) − f ( a ) z − a {\displaystyle f'(z)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}
が定まる複素関数 f(z) をいう。 複素関数については複素微分可能であることと解析的であること、つまり
任意の a ∈ D に対して複素係数のべき級数

∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n = c 0 + c 1 ( z − a ) 1 + c 2 ( z − a ) 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\left(z-a\right)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)^{1}+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots }
が定まり、
a から一定の距離(収束半径)の範囲でこの級数が収束して、
収束値が関数値 f(z) に一致すること
が同値である。そのため、複素解析においては正則関数 (holomorphic function) 、複素微分可能関数 (complex differentiable function) 、解析関数 (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を特異点 (singularity) という。
複素解析は解析的な領域を主として探求する分野であるが、複素関数に特異点がある場合、特異点を含む領域全体に於ける大局的な挙動は特異点に支配される。従って、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。
特異点には孤立したものと孤立しないものとがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。