WKB近似
1 p ( x ) cos  ( − π 4 + 1 ħ ∫ x a p ( x ) d x ) ↔ 1 2 1 p ~ ( x ) exp  ( − 1 ħ ∫ a x p ~ ( x ) d x ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}\cos {\biggl (}-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}p(x)dx{\biggr )}\leftrightarrow {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {{\tilde {p}}(x)}}}\exp {\biggl (}-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}{\tilde {p}}(x)dx{\biggr )}}
1 p ( x ) sin  ( − π 4 + 1 ħ ∫ x a p ( x ) d x ) ↔ 1 p ~ ( x ) exp  ( + 1 ħ ∫ a x p ~ ( x ) d x ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}\sin {\biggl (}-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}p(x)dx{\biggr )}\leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {{\tilde {p}}(x)}}}\exp {\biggl (}+{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}{\tilde {p}}(x)dx{\biggr )}}
とすればよい。
ポテンシャル V ( x ) {\displaystyle V(x)} の下、運動する一次元の粒子の波動関数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} が満たすシュレディンガー方程式は次の形をとる。
[ 1 2 m ( ħ i d d x ) 2 + V ( x ) − E ] ψ ( x ) = 0 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {1}{2m}}{\biggl (}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}{\biggr )}^{2}+V(x)-E{\biggr ]}\psi (x)=0}
但し、 m {\displaystyle m} は粒子の質量、 E {\displaystyle E} はエネルギーである。この方程式を満たす波動関数の形として、位相 S {\displaystyle S} をもつ
ψ ( x ) = e i ħ S ( x ) {\displaystyle \psi (x)=e^{{\frac {i}{\hbar }}S(x)}}
と仮定する。このとき、 S {\displaystyle S} は次の方程式を満たす。
1 2 m [ ħ i d 2 S d x 2 + ( d S d x ) 2 ] + V ( x ) − E = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\biggl [}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d^{2}S}{dx^{2}}}+{\biggl (}{\frac {dS}{dx}}{\biggr )}^{2}{\biggr ]}+V(x)-E=0}
ψ ( x ) = C 1 ′ p ~ ( x ) e + 1 ħ ∫ p ~ ( x ) d x + C 2 ′ p ~ ( x ) e − 1 ħ ∫ p ~ ( x ) d x ( E < V ( x ) ) {\displaystyle \psi (x)={\frac {C'_{1}}{\sqrt {{\tilde {p}}(x)}}}e^{+{\frac {1}{\hbar }}\int {\tilde {p}}(x)dx}+{\frac {C'_{2}}{\sqrt {{\tilde {p}}(x)}}}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int {\tilde {p}}(x)dx}\quad (E<V(x))}
となる。これはトンネル効果により、ポテンシャルの壁を越えて古典的に到達不可能な領域へ滲みだす波動関数を表している。
これらの近似はポテンシャル関数の空間的な変化が緩やかであり、粒子のド・ブロイ波長 λ / 2 π = ħ / p {\displaystyle \lambda /2\pi =\hbar /p} の空間変化が十分小さい場合に有効となる。
p ( x ) = 0 ( E = V ( x ) ) {\displaystyle p(x)=0(E=V(x))} となる転回点では上記のWKB近似が破綻するが、エアリ関数の遠方での漸近形を考えることにより転回点の両側での波動関数の接続を調べることができる。
以下、転回点の周りでのポテンシャルの変化が十分緩やかだとして
V ( x ) = V ( a ) + α ( x − a ) , α ≡ V ′ ( a ) , V ( a ) = E {\displaystyle V(x)=V(a)+\alpha (x-a),\qquad \alpha \equiv V'(a),\qquad V(a)=E}
で与えられる。粒子が位置 x {\displaystyle x} から位置 x + d x {\displaystyle x+dx} の間の存在する確率は、 | ψ ( x ) | 2 d x {\displaystyle |\psi (x)|^{2}dx} であるが、係数の因子 1 / p ( x ) {\displaystyle 1/{\sqrt {p(x)}}} により、この確率は 1 / p ( x ) {\displaystyle 1/p(x)} に比例する。これは、古典粒子が d x {\displaystyle dx} の間に存在する確率が速度(または運動量)の逆数に比例することに対応する。
古典的に粒子が運動不可能な領域 E < V ( x ) {\displaystyle E<V(x)} の領域では、局所運動量は純虚数となり、その代わりに
p ~ ( x ) = 2 m ( V ( x ) − E ) ( p ( x ) = i p ~ ( x ) ) {\displaystyle {\tilde {p}}(x)={\sqrt {2m(V(x)-E)}}\quad (p(x)=i{\tilde {p}}(x))}
によって、波動関数は、