ゴムロープの上のアリ
これは1階線形微分方程式なので、標準的な解法がある(特解(この場合は例えば y 0 ( t ) = α v ( c + v t ) ln  ( c + v t ) {\displaystyle y_{0}(t)={\frac {\alpha }{v}}(c+vt)\ln(c+vt)} )を見つけ、定数項を0とした斉次方程式の一般解を変数分離法で求めればよい。詳しくは微分方程式の項を参照)。
しかしそれよりずっと簡単なのは、アリの位置を原点から目標地点までの距離との比として考えることである。
ロープに貼りついて一緒に伸びるような座標(系) ψ {\displaystyle \psi } を考えよう。原点と目標地点をそれぞれ ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} , ψ = 1 {\displaystyle \psi =1} とする。この座標で測ると、ロープ上の任意の点の位置は時間が経っても一定値のままである。
時刻 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} において元の座標系での点 x = X {\displaystyle x=X} は新しい座標系では ψ = X c + v t {\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}} になり、元の座標系でのロープに対する相対速度 α {\displaystyle \alpha } は新しい座標系では α c + v t {\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}} になる。
よってアリの位置の座標を φ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} と書けば、次の微分方程式が得られる(これは数学的に見れば変数変換 φ ( t ) := y ( t ) c + v t {\displaystyle \phi (t):={\frac {y(t)}{c+vt}}} である):
もし目標地点の遠ざかる速度がアリよりも遅ければ、到達できるのは明らかに見える(アリがロープに乗っていることを考慮してもそれは到達を早めるだけである)。
しかしながら、これは一見して明らかなことではないが、アリとロープの速度がいくらであろうともアリは常に目標地点に到達するのである。これは次のように考えると分かる。
アリが最初の1秒で、例えばロープの 1/1000 だけ進むものとする。その次の1秒間でもアリは同じ距離を進むのだが、その間ロープも伸びているので相対的には進んだ区間は狭まり、例えばロープの 1/2000 であるとする。これが長い間続き、各1秒間にアリが進んだ区間のロープに対する比は逓減してゆく。しかし、これらの分数を全て足しあげたものは調和級数の部分和となり、これは発散する級数である。従って最終的にはアリは端まで到達することになる。
任意の c {\displaystyle c} , v {\displaystyle v} , α {\displaystyle \alpha } ( v > 0 {\displaystyle v>0} , α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ) に対し T {\displaystyle T} は有限値だから、アリが目標地点までの行程を完遂できること、及びその所要時間が分かったことになる。
最初に掲げた問題では c = 1 k m {\displaystyle c=1\,\mathrm {km} } , v = 1 k m / s {\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} } , α = 1 c m / s {\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} } であったので T = ( e 100 , 000 − 1 ) s ≈ 2.8 × 10 43 , 429 s {\displaystyle T=(e^{100,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43,429}\,\mathrm {s} } となり、これは宇宙の年齢(とはいえ約 4×10s に過ぎないが)にも匹敵する長大な時間で、またロープも同じように途轍もない長さになっている。アリが端に辿り着けるというのは、あくまで数学的な意味でである。
一方、ロープやアリの速度が一定でない場合は結論が変わってくる。