尖点
A4-型特異点を与えるためには、f は退化な二次成分を持つ必要があり(これは A≥2 となる条件)、また L が三次の項を割り切る必要がある(これで A≥3 になる)し、さらに A≥4 となるためのさらなる整除条件と、それが A≥5 とならないための非整除条件が必要となる。
これら余分の整除性に関する条件がどのようなものとなるかを見るために、f は退化二次項 L を持ち L は三次の項を割り切らないと仮定する。すると f の三次までのテイラー級数は L ± LQ(Q は x, y の二次式)の形であるから、平方完成してL ± LQ = (L ± 1⁄2Q) – 1⁄4Q と書ける。ここで適当な微分同相変数変換(この場合単に線型独立な一次成分を持つ多項式で置き換えること)を施せば (L ± 1⁄2Q) − 1⁄4Q ↦ x 21 + P1(P1 は x1, y1 の四次多項式)の形に写る。さてこのとき、A≥4 となるための整除条件は、x1 が P1 を割り切ることである(x1 が P1 を割らないときはちょうど A3 であり、対応する零位集合となる曲線の尖点は 二重尖点(英語版) となる)。x1 が P1 を割り切るとき、x 21 + P1 を平方完成し、変数変換を施して x 22 + P2(P2 は x2, y2 の五次多項式)の形に書けば、x2 が P2 を割り切らないときちょうど A4-型で対応する尖点として嘴点を得る。