軟化子
軟化子は、偏微分方程式の近代理論の下で、ある分水嶺について考えられた論文 (Friedrichs 1944, pp. 136–139) において、カート・オットー・フリードリヒ(英語版)により導入された。その名前の由来には、ある興味深い逸話がある。ピーター・ラックスは論評 (Friedrichs 1986, volume 1, p. 117) において次のような由来を語っている。当時のフリードリヒの同僚の一人に、数学者 ドナルド・アレクサンダー・フランダーズ がいた。フリードリヒは英語の用法について同僚に相談することが多く、彼の使用した「滑らかにする作用素」の名付け方についてフランダーズにアドバイスを求めた。ところでフランダーズは清教徒であり、その信仰心の高さを知る友人からは、モル・フランダーズに因んで Moll と言うニックネームで呼ばれていた。フランダーズはそのニックネームと、動詞 "mollify" の語呂合わせである mollifier(軟化子)を、その新しい数学の概念の呼び名とした。
R 上の一変数函数 φ {\displaystyle \varphi } ( x ) {\displaystyle (x)} で、次のように定義されるものを考える。
φ ( x ) = { e − 1 / ( 1 − | x | 2 ) if | x | < 1 0 if | x | ≥ 1 {\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}
この函数は無限回微分可能であるが解析的ではなく、|x| = 1 において消失する導函数を持つことは容易に分かる。この函数を全空間での積分で割ることで、積分が 1 となる函数 φ {\displaystyle \varphi } が得られるが、これを上述のような軟化子として使用することが出来る:また φ {\displaystyle \varphi } ( x ) {\displaystyle (x)} は正かつ対称な軟化子を定義することも容易に分かる。
任意の超函数 T {\displaystyle T} に対し、
s u p p T ε = s u p p ( T ∗ φ ε ) ⊂ s u p p T + s u p p φ ε {\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}
が成り立つ。ここで s u p p {\displaystyle \mathrm {supp} } は超函数の意味での台を表し、 + {\displaystyle +} はミンコフスキー和(英語版)を表す。