子供のデッサン
こうして f から作られたデッサンは、双正則写像による違いを除いて、f 自身を記述するのに十分な情報を持っている。この構成で複素多様体としてのリーマン面は得られたが、複素射影平面(英語版)に埋め込まれた代数曲線としては得られていない(そのような埋め込みは常に存在するが)。
一般のリーマン面 X とその上の任意のベールイ関数 f(X からリーマン球面への正則関数 f であって 0、1、∞ のみを臨界値とする関数)に対しても同じ構成方法が適用できる。このような対 (X, f) はベールイ対(Belyi pair)と呼ばれている。任意のベールイ対 (X, f) から、0の逆像 f(0) を黒点、1の逆像 f(1) を白点、線分 [0, 1] の逆像 f([0, 1]) を辺として、曲面 X に描かれたデッサンを作れる。逆に、任意の曲面 X 上の任意のデッサンを先ほどのように半平面の貼り合わせ手順書として使い、X と同相なリーマン面を作ることができる。そして、半平面上で恒等写像とすることでリーマン球面への写像を作れる。この写像は X 上のベールイ関数 f となるので、ベールイ対 (X, f) が得られる。任意の2つのベールイ対 (X, f) から得られるデッサンが組合せ同値ならば、これらは双正則である。コンパクト・リーマン面 X が代数体上定義されたものであれば、ベールイの定理からベールイ関数 f が存在し、デッサンが作れる。このデッサンは、X と f の両方の組合せ的な記述になる。
より一般に、多項式 p(x) が2つの臨界値、y1 と y2 を持つだけならば、これもシャバット多項式と呼んでよい。このような多項式は、変換
q ( x ) = p ( x ) − y 1 y 2 − y 1 {\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}
により臨界値が0と1のベールイ関数に正規化できる。しかし、正規化せず p のままとしたほうが便利なこともある。
シャバット多項式の重要な例は、臨界値として −1 と 1 を持つ第1種チェビシェフ多項式 Tn(x)である。対応する子供のデッサンは、n 個の辺を持ち黒と白の頂点が交互に並んでいる道グラフ(英語版)になる。シャバット多項式とチェビシェフ多項式のこの関係から、シャバット多項式は一般化されたチェビシェフ多項式と言われることもある。
一般に、異なる木は、または同じ木であっても彩色が異なれば、異なるシャバット多項式に対応する。シャバット多項式は、正規化と変数の線形変換による違いを除いて、埋め込まれた木の彩色から一意に決定される。しかし、埋め込まれた木からそれに対応するシャバット多項式を見つけるのは、いつも簡単というわけではない。
複素数全体に ∞ と書かれる特別な点を付け加えたものは、リーマン球面と呼ばれる位相空間になる。任意の多項式、あるいはより一般に任意の有理関数 p(x)/q(x)(p と q は多項式)は、リーマン球面からそれ自身への写像を定義する。例として、次の有理関数
f ( x ) = − ( x − 1 ) 3 ( x − 9 ) 64 x = 1 − ( x 2 − 6 x − 3 ) 2 64 x {\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}}
を考えよう。リーマン球面のほとんどの点で、この写像は局所同相写像である。すなわち、ほとんどの点に対して、その点を中心とする小さな円板にこの写像を制限したものは、1対1の写像になっている。一方で、臨界点と呼ばれる点ではこの写像はもっと複雑であり、その点を中心とする円板からその像への k 対1の写像になっている。この数 k は臨界点の次数(degree)と呼ばれ、臨界点の像は臨界値(英語版)と呼ばれる。f の場合の臨界点と臨界値を次の表に示す。臨界点ではないが、臨界値に写像されるリーマン球面上の点も臨界点の列に含めている。この点は次数が1として表示している。
リーマン球面上の0の逆像(1と9)に黒点を置き、1の逆像(3 ± 2√3)に白点を置き、線分 [0, 1] の逆像に対応する弧を描くことで、f から子供のデッサンが得られる。