畳み込み
X, Y がそれぞれ独立な連続型確率変数とすると、和の S = X + Y {\displaystyle S=X+Y} の確率密度関数は畳み込みによって与えられる。X, Y の確率密度関数をそれぞれ f X , f Y {\displaystyle f_{X},f_{Y}} と表記すると、S の密度関数は以下の式で与えられる.
f S ( s ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( s − x ) d x {\displaystyle f_{S}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(s-x)\,dx}
畳み込み定理(英語版)は次の式で示される。
F ( f ∗ g ) = F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}
ここで F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換である。この定理によりフーリエ変換を使って畳み込み演算を単純な掛け算に変換することが出来る。この定理はラプラス変換・Z変換やメリン変換といった変換に対しても適用できる。
畳み込み演算を実際に計算する際には様々な技法が利用される。
集合関数の一種である確率測度の畳み込みは次のように表現される。確率測度 μ1, μ2 において任意のボレル集合 B に対し、
( μ 1 ∗ μ 2 ) ( B ) = ∫ 1 B ( x + y ) μ 1 ( d x ) μ 2 ( d y ) {\displaystyle (\mu _{1}*\mu _{2})(B)=\int 1_{B}(x+y)\ \mu _{1}(dx)\mu _{2}(dy)}
と表現される.ここで1BはBの定義関数である.これは μ1, μ2 を集合関数として捉えて、変数変換することで求まる。これにより、μ1, μ2 を分布に持つ確率変数 X, Y においてその和 X + Y の分布が畳み込みにあたることが分かる。