分岐群 (数学)
定義により − 1 ≤ u ≤ 0 {\displaystyle -1\leq u\leq 0} に対して φ ( u ) = u {\displaystyle \phi (u)=u} が成り立つ。 φ {\displaystyle \phi } が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 ψ {\displaystyle \psi } であって [ − 1 , ∞ ) {\displaystyle [-1,\infty )} 上定義されたものが存在する。 G v = G ψ ( v ) {\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}} と定義する。 G v {\displaystyle G^{v}} を第 v 上付き分岐群(v-th ramification group in upper numbering)という。言い換えれば G φ ( u ) = G u {\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}} である。 G − 1 = G , G 0 = G 0 {\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}} が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており、 H {\displaystyle H} が G {\displaystyle G} の正規部分群なら、全ての v {\displaystyle v} に対し
( G / H ) v = G v H / H {\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}
が成り立つ。
(一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。)
エルブランの定理は、下付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) v {\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}} が成り立ち( H {\displaystyle H} に対応する部分拡大を L / F {\displaystyle L/F} とし、 v = φ L / F ( u ) {\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)} とおいている)、上付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) u {\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}} が成り立つという主張である。これから、局所体の絶対ガロア群をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。
アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理(英語版)という定理が知られている。