ユークリッドの運動群
これらの事実を組み合わせれば、運動群 E(n) は O(n) を T(n) で拡大した半直積であることが従う。言葉を替えれば、直交群 O(n) は(自然な仕方で)E(n) の T(n) による剰余群
O(n) ≅ E(n) / T(n)
としても書ける。
さて、特殊直交群 SO(n) は O(n) の指数 2 の部分群である。それゆえ E(n) はやはり指数 2 の部分群 E(n) を「向きを保つ」変換の全体として持つ。
SO(n) ≅ E(n) / T(n).
これらは線型部分 A の行列式が 1 の場合に対応する。
これらはある種の鏡映(二次元あるいは三次元の場合、原点を含む直線あるいは平面に関する鏡像という良く知られた鏡映変換、あるいは三次元の回映)の後に平行移動したものも、回転の後に平行移動したものとして表されることを示している。
運動群 E(n) は n-次元アフィン群の部分群であり、半直積の構造を以って両群の関係を述べることができる。より明確に、この関係を以下の二つの方法
n × n 直交行列 A と列ベクトル b の対 (A, b) として、あるいは
(アフィン群の項で述べる通りの)n + 1 次正方行列として、
陽に書き表すことができる。前者について次節で詳述する。
クラインのエルランゲン目録の言葉で言えば、ユークリッド幾何学とはその対称変換の成すユークリッド群に関する幾何学として理解することができる。また従ってアフィン幾何学の特別の場合として読み取ることができて、アフィン幾何学における任意の定理を適用することができる。アフィン幾何学の中でユークリッド幾何学に特徴的な要素として距離の概念があり、またそれから角度の概念を導くことができる。
例えば二次元において、一方向への平行移動全体および別な方向への有理数距離平行移動全体。