シローの定理
シローの定理より、素数 p に対して、すべてのシロー p-部分群は同じ位数 p を持つ。逆に、部分群の位数が p であれば、それはシロー p-部分群であり、従って他のすべてのシロー p-部分群と同型である。極大性の条件より、H が G の任意の p-部分群であれば、H は位数 p のシロー p-部分群の部分群である。
定理3による非常に重要な結果として、np = 1 という条件は、「G のシロー p-部分群は正規部分群である」という条件と同値であるというものがある。(4次対称群 S4 のように、正規部分群は持つが、正規なシロー部分群を持たない群も存在する。)