実二次正方行列
M(2, R) の可換部分環族は、この行列環の函数論を決定する。特に三種類の平面部分環がそれぞれ持つ代数構造は、代数的な式の値を決めるものである。以下に述べるように平方根函数や対数函数を考えることは、部分平面 Pm の各々が持つ特別な性質に従って課される制約条件について詳らかにする。Pm の単元群の単位成分(英語版)(単位元の属する連結成分)の概念は、各単元群における極分解(英語版):
mm = −I ならば z = ρ exp(θm);
mm = 0 ならば z = ρ exp(sm) または z = −ρ exp(sm)
mm = I ならば z = ρ exp(am) または z = −ρ exp(am) または z = mρ exp(am) または z = −mρ exp(am)
を導く。一つ目(複素数)の場合 exp(θm) = cos(θ) + msin(θ) であり、二つ目(二重数)の場合 exp(sm) = 1 + sm である。