複素数の絶対値
複素数 z = a + bi(a, b は実数)の絶対値 |z| は、幾何学的な定義と代数的な定義がある。幾何学的には、絶対値 |z| は、複素数平面における、原点 O(0) とのユークリッド距離として定義できる。ピタゴラスの定理より、具体的には、次の式で定義できる:
| z | := a 2 + b 2 {\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
代数的には、複素数の絶対値は、実数の絶対値を拡張した乗法的ノルムとして定義できる。つまり、複素関数 | | : C → R {\displaystyle |\quad |:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} } で以下の性質を満たすものを、複素変数の絶対値関数という:
| x | = max { x , − x } {\displaystyle |x|=\max\{x,-x\}} (x は実数)
非負性: | z | ≥ 0 {\displaystyle |z|\geq 0}
写像 z ↦ |z| は複素数の乗法群 (C*, ×) を実数の乗法群 (R*, ×) へ写す群準同型である。この準同型の核は絶対値 1 の複素数全体の成す集合 U である。したがって U は (C*, ×) の部分群(特に正規部分群)であり、C の円周群と呼ばれる。
写像 x ↦ exp(ix) は実数の加法群 (R, +) を円周群 (U, ×) へ写す群準同型である。この準同型は基本周期 2π を持つ周期函数になる。ブルバキの数学原論ではこれを π の定義におく。