ブロッホの定理
ここで E {\displaystyle E} , C a {\displaystyle C_{a}} は H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} , T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} の固有値である。
ここで、この固有関数について周期を N a {\displaystyle Na} とする周期境界条件(ボルン=フォン・カルマン境界条件)を課す。
ψ ( x + N a ) = ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+Na)=\psi (x)} ― (2)
(1)式より、
T a ^ ψ = ψ ( x + a ) = C a ψ ( x ) ψ ( x + 2 a ) = C a 2 ψ ( x ) ⋮ ψ ( x + N a ) = C a N ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T_{a}}}\psi =\psi (x+a)&=C_{a}\psi (x)\\\psi (x+2a)&=C_{a}^{2}\psi (x)\\&\vdots \\\psi (x+Na)&=C_{a}^{N}\psi (x)\end{aligned}}} ― (3)
ここで(2)式と(3)式を比べると、
C a N = 1 = e i 2 π n {\displaystyle C_{a}^{N}=1=e^{i2\pi n}} ( n {\displaystyle n} :整数)
∴ C a = e i 2 π n / N {\displaystyle \therefore C_{a}=e^{i2\pi n/N}} ― (4)
ここで