ホッジ理論
ここに γ {\displaystyle \gamma } は調和形式すなわち Δ γ = 0 {\displaystyle \Delta \gamma =0} である。このことは、完全形式と余完全形式は直交することから従う。従って、直交補空間は閉形式と余閉形式の両方の形式、つまり調和形式からなる。ここで、直交性は Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 上の L内積
( α , β ) = ∫ M α ∧ ∗ β . {\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge *\beta .}
によって定義される。分解を正確に定義し証明するには、ソボレフ空間上で問題を定式化することが必要である。そこでの考え方は、ソボレフ空間が二乗可積分函数の考え方と微分の考え方の双方に対して自然な設定をもたらすことであり、これを使いコンパクト台が必要であるという制限のいくつかを克服することができる。