加群の直和
‖ x ‖ := ∑ i ∈ I ‖ x ( i ) ‖ X i < ∞ {\displaystyle \|x\|:=\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty }
を満たすものすべてからなる加群である。ノルム ‖ x ‖ は上記の和で与えるものとすれば、このノルムを伴った直和は再びバナッハ空間となる。
例えば、添字集合を I = N にとり Xi = R であれば、直和 ⊕i∈NXi はノルム ‖ a ‖ ≔ ∑i|ai| が有限となる実数列 (ai) 全体の成す数列空間 l1 である。
バナッハ空間 X の閉部分空間 A が補空間を持つ (complemented) とは、X の別の閉部分空間 B が存在して X は内部直和 A ⊕ B に等しいことをいう。必ずしもすべての閉部分空間が補空間を持つわけでないことに注意しよう、例えば零列の空間 c0 は有界数列の空間 l において補空間を持たない。
合成代数 (A, ∗, N) は体上の多元環 A, 対合 ∗ および「ノルム」N(x) = xx* からなる。任意の体 K に対して、K と自明なノルム(つまり N(x) = x)から始まる合成代数の系列が生じてくる。この系列は、多元環の直和 A ⊕ A を作って新たな対合 (x, y)* = x* − y を入れるという帰納的な手続きによって得られる。
レオナード・E・ディクソンが四元数を二重化して八元数を得るためにこの構成を発明しており、直和 A ⊕ A を利用するこの二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれる。実例として、K = R(実数体)から始めれば、系列として複素数、四元数、八元数、十六元数が生成される。また K = C(複素数体)と自明なノルム N(z) = z から始めれば、以下双複素数、双四元数(英語版)、双八元数と続く。
マックス・ツォルンは、古典的なケイリー–ディクソン構成では先の (C, z) の系列に属する代数の部分多元環として生じるいくつかの合成代数(特に分解型八元数)を取りこぼしてしまうことに気が付いた。そのために修正されたケイリー–ディクソン構成(これもまたもとの多元環 A から直和 A ⊕ A を作る方法に基づく)は、実数、分解型複素数、分解型四元数(英語版)、分解型八元数の系列を作るのに利用される。