部分群の指数
O(G) は G/K が(非アーベルでもよい)p-群である(すなわち K は指数 p k {\displaystyle p^{k}} の正規部分群である)ような G のすべての正規部分群 K の共通部分である:G/O(G) は G が全射する最大の p-群(アーベルとは限らない)である。O(G) は p-残余部分群 (p-residual subgroup) とも呼ばれる。
これらは群 K についてのより弱い条件であるから、次の包含を得る
E p ( G ) ⊇ A p ( G ) ⊇ O p ( G ) . {\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}
これらの群はシロー部分群 (Sylow subgroup) と transfer homomorphism にそこで議論されているように重要な関係がある。