基本群
前の例である 2つの円のカルテシアン積をとることにより、トーラス T = S × S の普遍被覆は平面 R である。T = R/Z を得る。このようにして、π1(T,x) = Z が基点 x について成り立つ。
同様にして、n-次元のトーラスの基本群は、 Z となる。
非可換基本群を持つもう少し複雑な空間の例は、R の中の三葉結び目の補空間であり、この場合はブレイド群 B 3 {\displaystyle B_{3}} であることが知られている。
位相空間に付帯するホモロジー群や高次ホモトピー群とは異なり、基本群は可換である必要はない。例えば、8の字の基本群は、2つの生成元から生成される自由群である。より一般的に、任意のグラフの基本群は、自由群である。グラフ G が連結であれば、自由群のランクは全域木に入っていない辺の数に等しい。
n 個の穴のあいた平面の基本群も、n 個の生成子を持つ自由群で、i 番目の生成子は i 番目の穴の周りを回り他のどの穴の周りも回らないループの類である。