マシュケの定理
有限群の表現論に対する一つのアプローチは加群の理論を通して考えることである。群 G の表現は、群環 KG 上の加群と読み替えることができ、既約表現は単純加群と対応する。マシュケの定理は「一般の有限次元表現は既約部分表現の直和によって構成することができるか」という問いに対する答えである。この問いを加群の理論に読み替えると「任意の加群は半単純であるか」となる。加群の言葉で定式化したマシュケの定理は、以下のように述べられる。
G を有限群、K を G の位数を割らない標数を持つ体とする。このとき G の群環 KG は半単純環である。
この定理の重要性は、半単純環に関するよく展開された理論、特にアルティン-ウェダーバーンの定理(ウェダーバーンの構造定理)から生じる。K が複素数体 C のとき、定理から群環 KG が複素正方行列環のいくつかのコピーの直積に分解されることが示される(それぞれの因子がいずれも既約表現を与える)。