整数環
整数環において、すべての元は既約元への分解を持つが、環は一意分解の性質を持つとは限らない:例えば、整数環 Z[√−5] において、元 6 は2つの本質的に異なる既約元への分解を持つ:
6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) . {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\ .}
整数環はつねにデデキント整域であり、したがってイデアルの素イデアルへの一意分解を持つ。
整数環 OK の単数全体は、ディリクレの単数定理により、有限生成アーベル群である。捩れ部分群は K の1の冪根全体からなる。捩れなし生成元の集合は基本単数(英語版)の集合と呼ばれる。