角運動量
量子力学では、角運動量は以下の交換関係を満たす演算子 J ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}} として定義される。
[ J ^ x , J ^ y ] = i J ^ z , [ J ^ y , J ^ z ] = i J ^ x , [ J ^ z , J ^ x ] = i J ^ y {\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i{\hat {J}}_{z},~[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i{\hat {J}}_{x},~[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i{\hat {J}}_{y}}
あるいは、3つの式をまとめて
[ J ^ i , J ^ j ] = i ε i j k J ^ k {\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}
ε i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} は完全反対称テンソルである。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。
この角運動量の性質を調べると、
J ^ = L ^ + S ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {S}}}}