レイリー・ジーンズの法則
空洞炉内での輻射場が温度 T の熱平衡状態にあるとする。振動数が ν から ν+dνの間にある輻射場の単位体積あたりのエネルギー密度を u(ν,T)dν とすると、レイリー・ジーンズの公式は、
u ( ν , T ) = 8 π ν 2 k T c 3 {\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}
と表される。ここで、k は ボルツマン定数、c は 光速である。振動数 ν と波長 λ の関係 λ=c/ν から、 波長が λ から λ+dλ の間にある輻射場の単位体積あたりのエネルギー密度を u(λ,T)dλ とすると、レイリー・ジーンズの公式は
u ( λ , T ) = 8 π k T λ 4 {\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}
と表すこともできる。
u ( ν , T ) d ν = m ( ν ) ⟨ ε ν ⟩ d ν = m ( ν ) k T d ν {\displaystyle u(\nu ,T)d\nu =m(\nu )\langle \epsilon _{\nu }\rangle d\nu =m(\nu )kTd\nu }
と表される。電磁波の波数の取りうる条件と、電磁波が横波で偏光の2自由度が存在することを考慮すると、モード密度は
m ( ν ) = 8 π ν 2 c 3 {\displaystyle m(\nu )={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}}
となる。その結果、
u ( ν , T ) d ν = 8 π ν 2 c 3 k T d ν {\displaystyle u(\nu ,T)d\nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}kTd\nu }
が得られる。 しかしながら、古典統計力学を適用するアプローチは正しくない。無限個の振動子が kT のエネルギーを持つため、振動数について、全振動数の領域 ν=0∼∞ について積分すると発散する。すなわち、紫外破綻の問題が生じる原因となっている。