無限降下法
2の平方根が無理数であることは古くから知られていたが、その証明を無限降下法で表現することもできる。2の平方根が有理数であると仮定すると、2つの自然数 p, q を用いて
2 = p q {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}
と表せる。平方して分母を払うと
2 q 2 = p 2 {\displaystyle 2q^{2}=p^{2}\,}
を得る。よって p は偶数である。p = 2P とすると、P も自然数であって
2 q 2 = 4 P 2 {\displaystyle 2q^{2}=4P^{2}\,}
となる。両辺の2を払って
q 2 = 2 P 2 {\displaystyle q^{2}=2P^{2}\,}
を得る。よって q も偶数である。q = 2Q とすると、
2 = P Q {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {P}{Q}}}
であるから、p > P, q > Q により分数表示としてより小さなものが見付かったことになる。この手続きは何度でも繰り返すことができるから、いくらでも小さなものを得ることができる。しかし、自然数の範囲では、それは不可能なはずである。したがって、仮定が誤りだったのであり、2の平方根は無理数である。