ディラックのデルタ関数
中心 μ, 分散 σ の正規分布の密度関数
φ μ , σ ( x ) = 1 2 π σ exp  ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle \phi _{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
は、デルタ関数の満たすべき性質
∫ − ∞ ∞ φ μ , σ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi _{\mu ,\sigma }(x)\,dx=1}
を満たす。さらに、μ = 0 で σ → 0 とすれば x = 0 の近傍の外で一様に φσ(x) → 0 (x ≠ 0) かつ fσ(0) → +∞ である。
ミクシンスキーの演算子法に従い、R≥0 = [0, ∞) 上の複素数値連続関数の全体 C = C([0, ∞); C) が畳み込み
( f ∗ g ) ( x ) := ∫ 0 x f ( x − ξ ) g ( ξ ) d ξ {\displaystyle (f*g)(x):=\int _{0}^{x}f(x-\xi )g(\xi )\,d\xi }
に関して零因子を持たないというティッチマーシュの定理(英語版)を用いて、(単位元を持たない可換な)整域としての C の商体 M を構築する M はティッチマーシュ・ミクシンスキー代数や、ミクシンスキー演算子(ヘヴィサイド演算子、—超関数)の体などと呼ばれる。M には C にはなかった乗法の単位元 δ = {δ(x)} が付加されているが、この δ(x) はしばしばデルタ関数と看做される。
実際 δ は、特に定数関数 1 に対応する積分作用素 l = {1} ∈ C ⊂ M に対して lδ = δl = l すなわち、形式上は任意の x に対して