オイラー類
問題のバンドル E がコンパクトで向き付けられた r-次元多様体の接バンドルである特別な場合は、オイラー類は多様体のコホモロジーの最高次数の元であり、自然に基本ホモロジー類上の整数係数のコホモロジー類と同一視される。この同一視により、接バンドルのオイラー類は、多様体のオイラー標数に等しくなる。特性数の言葉では、オイラー標数はオイラー類に対応する特性数である。
このように、オイラー類は接バンドル以外へのオイラー標数の一般化であり、ベクトルバンドル以外の特性類の原型となった。それぞれの最高次数の特性類は、次のようにオイラー類である。
2 による剰余をとることは、写像
H r ( X , Z ) → H r ( X , Z / 2 ) {\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2)}
を引き起こす。この写像によりオイラー類の像は、最高次数のスティーフェル・ホイットニー類 wr(E) である。
(X を向き付けられた滑らかな閉多様体というような)緩やかな条件の下で、オイラー類は、次のような方法で E の切断が消滅する(0 となる)ことへ対応する。σ : X → E を本質的に(英語版)(generic)滑らかな切断とし、Z ⊆ X をその軌跡とすると、Z は X の余次元 r のホモロジー類 [Z] を表し、e(E) は [Z] のポアンカレ双対を表す。
ランク r が偶数であれば、コホモロジー類 e ( E ) ∪ e ( E ) {\displaystyle e(E)\cup e(E)} はポントリャーギン類 pr/2(E) に等しい。