ハミルトン–ヤコビ方程式
以下、 g i k {\displaystyle g^{ik}} は計量テンソルの共変な成分であり、 m {\displaystyle m} は粒子の静止質量、 c {\displaystyle c} は光速である。
以下では簡単のため、 q {\displaystyle \mathbf {q} } のような太字の変数で N {\displaystyle N} 個の一般化座標を表す。
q = d e f ( q 1 , q 2 , ... , q N − 1 , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}
これらは回転操作でベクトルとしての変換を受ける必要はない。ドット積を、対応する成分の積の和として以下のように定義する。
p ⋅ q = d e f ∑ k = 1 N p k q k . {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}