アポロニウスの円
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成
1 2 Q R → = P R → − P Q → 2 = 1 2 ( n P A → − m P B → n − m − n P A → + m P B → n + m ) = ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) − ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 m n P A → − 2 m n P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = m n ( P B → − P A → ) m 2 − n 2 = m n m 2 − n 2 A B → .
A R → = P R → − P A → = n P A → − m P B → n − m − P A → = m n − m ( P A → − P B → ) = m m − n A B → , Q B → = n m + n A B → , A O → = P O → − P A → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P A → = m 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = m 2 m 2 − n 2 A B → , B O → = P O → − P B → = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 − P B → = n 2 n 2 − m 2 ( P A → − P B → ) = n 2 m 2 − n 2 A B → .
したがって、
r = | m n m 2 − n 2 | ⋅ A B = A R ⋅ Q B A B = O A ⋅ O B . {\displaystyle r=\left|{\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}\right|\cdot \mathrm {AB} ={\frac {\mathrm {AR} \cdot \mathrm {QB} }{\mathrm {AB} }}={\sqrt {\mathrm {OA} \cdot \mathrm {OB} }}.}