接続形式
接続は、ある G-標構から他の G-標構へ常に写像するような(G-バンドルに)付帯する平行移動により与えられる E の G-バンドルの構造(群)と整合性(英語版)(compatible)を持っている。形式的には、曲線 γ に沿って、行列 gα(t に依存するかもしれないが)について、次の式が局所的に(つまり、t の充分小さな値で)保たれねばならない。
Γ ( γ ) 0 t e α ( γ ( 0 ) ) = ∑ β e β ( γ ( t ) ) g α β ( t ) {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}
t=0 での変分すると、
E を微分可能多様体 M 上の次元 k のファイバーバンドルとする。E の局所標構(local frame)とは、E の局所切断の順序付けられた基底を言う。
e=(eα)α=1,2,...,k を E の局所標構とする。この標構は E の局所的な任意の切断を表現することに使われる。ξ を標構 e と同じ開集合の上に定義された局所切断をすると、
ξ = ∑ α = 1 k e α ξ α ( e ) {\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}
となる。ここに ξ(e) は標構 e の中の ξ の成分 を表すとする。行列の方程式としては、このことは、
ξ = e [ ξ 1 ( e ) ξ 2 ( e ) ⋮ ξ k ( e ) ] = e ξ ( e ) {\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}
となっていることを意味する。