ハーディ＝リトルウッドの不等式
∫ R n f ( x ) g ( x ) d x = ∫ R n ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ χ f ( x ) > r χ g ( x ) > s d r d s d x {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx} = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ R n χ f ( x ) > r ∩ g ( x ) > s d x d r d s {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{f(x)>r\cap g(x)>s}\,dx\,dr\,ds} = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ μ ( { f ( x ) > r } ∩ { g ( x ) > s } ) d r d s {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f(x)>r\right\}\cap \left\{g(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds} ≤ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ min ( μ ( f ( x ) > r ) ; μ ( g ( x ) > s ) ) d r d s {\displaystyle \leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f(x)>r\right);\mu \left(g(x)>s\right)\right)\,dr\,ds} = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ min ( μ ( f ∗ ( x ) > r ) ; μ ( g ∗ ( x ) > s ) ) d r d s {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f^{*}(x)>r\right);\mu \left(g^{*}(x)>s\right)\right)\,dr\,ds} = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ μ ( { f ∗ ( x ) > r } ∩ { g ∗ ( x ) > s } ) d r d s {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f^{\ast }(x)>r\right\}\cap \left\{g^{\ast }(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds} = ∫ R n f ∗ ( x ) g ∗ ( x ) d x {\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}