アポロニウスの円束
初めに基準とするふたつの点 C, D が与えられているところから始める。C, D に関する Apollonian circles は二つのパラメータ r, θ を持つ(一般化された)円(英語版)の族で、各パラメータに対応する二つの円束に分けられる。
一つは、正の実数 r で添字付けられた族(図の(青))で、各円は線分 CX の長さ CX の DX の長さ DX に対する比が r に等しい点 X 全体の描く軌跡
として与えられる。これはアポロニウスの円からなる双曲型の共軸円束—アポロニウス円束—である。r の値が 0 に近づけば r に対応する円は一点 C に近づき、r の値が ∞ に近づけば対応する円は一点 D に近づく。それらの中間にあたる r = 1 では対応する円は直線であり、ちょうど線分 CD の垂直二等分線になっている。
これらの円を軌跡として定義する等式は、一般化してより大きな重み付けられた点の集合に関するフェルマー–アポロニウスの円(英語版)も定義できる。
いま一つの円束(図の(赤))—共軛アポロニウス円束—は、角度 θ で添字付けられる楕円型円束で、各円は円周角 ∠CXD が θ に等しい点 X の軌跡
として定義される。θ を 0 から π まで動かせば、二点 C, D を通る全ての円からなる集合が生成できる。
共軛アポロニウス円束のすべての円が通過する二点は、アポロニウス円束における円の対の極限点(英語版)になっている。