特異値
注意事項: 行列式やトレースなどは正方行列に対して定義されるので m × n の行列 A に直接適用してはならない。
特異値 σ(A) はすべて非負の実数 σ(A) ≥ 0
σ i ( A ) = σ i ( A ∗ ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(A^{*})}
σ i ( A ) = λ i ( A A ∗ ) = λ i ( A ∗ A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)={\sqrt {\lambda _{i}(AA^{*})}}={\sqrt {\lambda _{i}(A^{*}A)}}}
( A A ∗ ) 2 x = A A ∗ x = λ i ( A A ∗ ) x = σ i 2 ( A ) x {\displaystyle \left({\sqrt {AA^{*}}}\right)^{2}x=AA^{*}x=\lambda _{i}(AA^{*})x=\sigma _{i}^{2}(A)x}
σ i ( A ) = λ i ( A A ∗ ) = λ i ( A ∗ A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\lambda _{i}({\sqrt {AA^{*}}})=\lambda _{i}({\sqrt {A^{*}A}})}
det ( A A ∗ ) = ∏ i λ i ( A A ∗ ) = ∏ i = 1 min ( m , n ) σ i 2 ( A ) {\displaystyle \det(AA^{*})=\prod _{i}\lambda _{i}(AA^{*})=\prod _{i=1}^{\min(m,n)}\sigma _{i}^{2}(A)}