ラグランジュ力学
, 1 ) {\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (-1,1,\ldots ,1)} である。 平方根の中が正である為に、作用積分の段階で運動は時間的なものに限定されている。
ラグランジュの運動方程式は
δ S [ X ] δ X i μ ( λ ) = − p ̇ i μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0}
となる。 ここで、一般化運動量は
p i μ ( λ ) = ∂ L ∂ X ̇ i μ = m i c η μ ν X ̇ i ν ( λ ) − ( X ̇ i ) 2 {\displaystyle p_{i\mu }(\lambda )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X}}_{i}^{\mu }}}=m_{i}c{\frac {\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{ij}&=A_{ji},\\{\frac {\partial A_{jk}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}&={\frac {\partial A_{ki}}{\partial {\dot {q}}^{j}}},\\{\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}&=2\left({\dot {q}}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)A_{ij},\\2\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial q^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial q^{i}}}\right)&=\left({\dot {q}}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right).\end{aligned}}}
このとき、ラグランジュ関数は以下で与えられる:
電磁場の力学変数は電磁ポテンシャル A である。 自由空間において電磁場が物質 X と相互作用する系の作用汎関数は
S [ X , A ] = S X [ X ] + S A [ A ] + S int [ X , A ] {\displaystyle S[X,A]=S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]}
の形で書かれる。 ここで SX は物質の項、SA は電磁場の項、Sint は電磁場と物質の相互作用項であり、電磁場の項は
S A [ A ] = − 1 4 Z 0 ∫ F μ ν F μ ν ( x ) − g d 4 x {\displaystyle S_{A}[A]=-{\frac {1}{4Z_{0}}}\int F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
と書かれる。ここで F は電磁場テンソルである。 このとき、電磁場 A に対する運動方程式
c − g δ S [ X , A ] δ A μ ( x ) = j μ ( x ) + c Z 0 D ν F ν μ ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=j^{\mu }(x)+{\frac {c}{Z_{0}}}D_{\nu }F^{\nu \mu }(x)=0}
としてマクスウェルの方程式が導かれる。
δ S X [ X ] δ X i μ ( λ ) + δ S int [ X , A ] δ X i μ ( λ ) = − p ̇ i μ ( λ ) + q i X ̇ i ν ( λ ) F ν μ ( X i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{X}[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}+{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )+q_{i}{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )\,F_{\nu \mu }(X_{i})=0}
となり、ローレンツ力を再現する。
また、4元電流密度は
j μ ( x ) = c − g δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) = ∑ i q i c − g ∫ X ̇ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ {\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda }
となる。