純非分離拡大
E の各元はある整数 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} とある元 a ∈ F {\displaystyle a\in F} に対して X p n − a {\displaystyle X^{p^{n}}-a} の形の F 上の最小多項式をもつ。
上の同値な特徴づけから次が従う。(素数標数の体 F に対して) E = F [ α ] {\displaystyle E=F[\alpha ]} であってある整数 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} に対して α p n ∈ F {\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F} であれば、E は F 上純非分離である。(これを確認するには、ある n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} に対して x p n ∈ F {\displaystyle x^{p^{n}}\in F} であるようなすべての x からなる集合は体をなすことに注意せよ。この体は α {\displaystyle \alpha } と F を両方含むので、それは E でなければならず、上の条件 2 によって、 E ⊇ F {\displaystyle E\supseteq F} は純非分離でなければならない。)
F が標数が素数 p の不完全体ならば、構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.
体 F の標数が(0 でない)素数 p であれば、そして E ⊇ F {\displaystyle E\supseteq F} が純非分離拡大であれば、 F ⊆ K ⊆ E {\displaystyle F\subseteq K\subseteq E} なら K は F 上純非分離で E は K 上純非分離である。さらに、[E : F] が有限であれば、それは F の標数 p のベキである。
逆に、 F ⊆ K ⊆ E {\displaystyle F\subseteq K\subseteq E} が F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} と K ⊆ E {\displaystyle K\subseteq E} が純非分離拡大であるようなものであれば、E は F 上純非分離である。