多項式環
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
の形の式のことである。ここで p0, ..., pm は K の元で、p の係数といい、X, X, ... は形式的な記号だが X の冪という。このような式には加法と乗法を定義できて、結合法則、交換法則、分配法則といった代数的な式の操作における通常のルールを適用し、同類項を纏めることによって同様の形に持っていくことができる。係数が零であるような項 pk⋅X (pk = 0) は省略することができる。X の冪の乗法は馴染みのある
に従って定義される。k や l は任意の自然数である。二つの多項式が相等しいとは X の各冪において対応する係数がすべて等しいことと定義される。規約として X ≡ X および X ≡ 1 と同一視し、多項式 p の定義における和は、記号 X, ..., X, X の係数 pm, ..., p1, p0 に関する線型結合として見ることができる。総和の記号 ∑ を使えば、同じ多項式は
と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、 p = ∑ k p k X k {\textstyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k}} のように書くこともある。注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと —つまり十分大きな k(ここでは k > m)に関する係数 pk がすべて零であるということ— は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式(係数が全て零)の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 −∞ と定義する。
簡単な一般化は、変数の肩に乗せる冪指数を取り出す集合を変えるだけで得られる。加法と乗法の公式は冪指数の加法 X⋅X = X が可能である限り意味を成す。この加法が意味を持つ(演算が閉じていて、結合的である)ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。モノイド N から環 R への写像で、有限台をもつ(非零値であるような点が有限個である)もの全体の成す集合は環の構造を持つ。これを R[N] と表して、モノイド N の R に係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。つまり c = a + b ならば各 n ∈ N に対し cn = an + bn を満たす。乗法はコーシー積として定義される。つまり c = a⋅b ならば各 n ∈ N に対し cn は、和が n であるような N の元の組 i, j 全てにわたる ai⋅bj の和である。
N が可換モノイドならば、R[N] における写像 a は形式和 ∑ n ∈ N a n X n {\textstyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}} によって簡便に表すことができ、加法と乗法の定義式は見知った形の
に書くことができる。最後の和は、和が n であるような N の元の組 (i, j) の全てをわたるってとる。
Lang (2002) などではこのモノイドによる定義を出発点にとる。通常の一変数多項式環は N が非負整数全体が作るモノイド N であるような特別の場合である。多変数の多項式環は N として単に非負整数全体の成すモノイドのいくつかのコピーたちの直積モノイド N をとる。
環や群のいくつかの興味深い例が、N として非負有理数の成す可換モノイドをとることにより構成される。