二重数
二つの二重数 p, q が与えられたとき、z から p および q のそれぞれへ引いた二直線の間のガリレイ角が一定であるような二重数 z 全体の成す集合を決定することができる。この集合は、二重数平面における循環 (cycle) と呼ばれる。直線の傾きの差が一定であるとおいて得られる方程式が z の実部の二次方程式になるので、輪体は抛物線になる。二重数の反転環幾何において、二重数上の射影直線の上の射影性として、“循環的回転” ("cyclic rotation") に遭遇する。Yaglom (1979) に従えば、循環 Z = {z | y = αx} は剪断
x 1 = x , y 1 = v x + y {\displaystyle x_{1}=x,\,y_{1}=vx+y}
と平行移動
x ′ = x 1 = v / 2 a , y ′ = y 1 + v 2 / 4 a {\displaystyle x'=x_{1}=v/2a,\,y'=y_{1}+v^{2}/4a}
との合成変換に関して不変である。