レヴィ・チヴィタ接続
文章の前後関係から局所座標が分かるときはベクトル場 Y = Y i ∂ i {\displaystyle Y=Y^{i}\partial _{i}} の事を単に
Y i {\displaystyle Y^{i}}
と略記する。さらに ∂ ∂ x j {\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}} の事を ∂ j {\displaystyle \partial _{j}} と略記し、 ∇ ∂ ∂ x j Y {\displaystyle \nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}Y} の事を
∇ ∂ j Y {\displaystyle \nabla _{\partial ^{j}}Y} 、 ∇ j Y {\displaystyle \nabla _{j}Y} 、 Y i ; j {\displaystyle Y^{i}{}_{;j}}
等と略記する。
x ε , η ( t ) := x ( t ) + ε η ( t ) {\displaystyle x_{\varepsilon ,\eta }(t):=x(t)+\varepsilon \eta (t)}
を考える。ここで和や定数倍は x ( t ) {\displaystyle x(t)} 、 η ( t ) {\displaystyle \eta (t)} を R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の元と見たときの和や定数倍である。
そして、
L ( x , v ) := g x ( v , v ) {\displaystyle L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}}
と定義し弧長積分
S x , η ( ε ) := ∫ a b L ( x ε , η ( t ) , d x ε , η d t ( t ) ) d t {\displaystyle S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L\left(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t)\right)dt}
を考える。
定義 ― x : [ a , b ] → R m {\displaystyle x~:~[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}} を滑らかな曲線とする。 η ( a ) = η ( b ) = 0 {\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0} を満たす任意の滑らかな写像 η : [ a , b ] → U ⊂ R m {\displaystyle \eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}} に対し、
TをM上の(r,s)-テンソル場とし、ベクトル場YにTの(r,s)-テンソル場としての共変微分∇YTを対応させる写像を
∇ T {\displaystyle \nabla T}
と書くと、 ∇ T {\displaystyle \nabla T} は(r,s+1)-テンソル場とみなせる。同様にT'を(r,s+1)-テンソル場とし、ベクトル場XにTの(r,s+2)-テンソル場としての共変微分∇YT'を対応させる写像を ∇ T ′ {\displaystyle \nabla T'} とする。(r,s)-テンソル場全体の集合を Γ ( r , s ) {\displaystyle \Gamma (r,s)} と書き、合成
Γ ( r , s ) → ∇ Γ ( r , s + 1 ) → ∇ Γ ( r , s + 2 ) {\displaystyle \Gamma (r,s){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+1){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+2)}
レヴィ-チヴィタ接続の定義は(1)、(2)、(3)式に登場する局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。
レヴィ・チヴィタ接続の事をリーマン接続(英: Riemannian connection)もしくはリーマン・レヴィ-チヴィタ接続(英: Riemann Levi-Civita connection)とも呼ぶ。
レヴィ-チヴィタ接続を局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で表したとき、(2)式で定義される Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} を局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} に関するクリストッフェル記号という。
一部の文献では符号を反転した R ( X , Y ) Z := − ( ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z ) {\displaystyle R(X,Y)Z:=-(\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z)} を曲率と呼んでいるので注意されたい。
本項の規約では後述する断面曲率の定義において分子を g P ( R P ( v , w ) w , v ) = − g P ( R P ( v , w ) v , w ) {\displaystyle g_{P}(R_{P}(v,w)w,v)=-g_{P}(R_{P}(v,w)v,w)} とせねばならずマイナスが出てしまうが、文献の規約であればマイナスが出ない点で有利である。
数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > 接続 > ベクトルバンドルの接続 > アフィン接続 > レヴィ・チヴィタ接続
数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン幾何学 > レヴィ・チヴィタ接続
レヴィ-チヴィタ接続(レヴィ-チヴィタせつぞく、英: Levi-Civita connection)とは、リーマン多様体M上に共変微分という概念を定める微分演算子で、Mがユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体の場合は、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における(通常の意味の)微分をMに射影したものが共変微分に一致する。
レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体においても定義でき、一般相対性理論に応用を持つ。
レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」(後述)を用いる事で、M上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。
レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。
レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ=チヴィタによる。
Zの共変微分 ∇ Z {\displaystyle \nabla Z} によって増えた引数にYを代入した値を ∇ Z ( Y ) {\displaystyle \nabla Z(Y)} と書くと、 ∇ Z ( Y ) = ∇ Y Z {\displaystyle \nabla Z(Y)=\nabla _{Y}Z} であり ∇ X ∇ Y Z {\displaystyle \nabla _{X}\nabla _{Y}Z} = ∇ X ( ∇ Z ( Y ) ) {\displaystyle =\nabla _{X}(\nabla Z(Y))} = ( ∇ 2 Z ) ( X , Y ) + ( ∇ Z ) ( ∇ X Y ) {\displaystyle =(\nabla ^{2}Z)(X,Y)+(\nabla Z)(\nabla _{X}Y)} = ∇ X , Y 2 Z + ∇ ∇ X Y Z {\displaystyle =\nabla _{X,Y}^{2}Z+\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}
c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って w 0 ∈ T c ( 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(0)}M} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} まで平行移動したベクトルを φ c , t ( v ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}M} とすると φ c , t : T c ( 0 ) M → T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}M} は線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する:
定理 (平行移動は計量を保つ) ― g ( φ c , t ( v ) , φ c , t ( w ) ) = g ( v , w ) {\displaystyle g(\varphi _{c,t}(v),\varphi _{c,t}(w))=g(v,w)}