双子素数
2013年4月17日に、ニューハンプシャー大学(英語版)の張益唐 (Zhang Yitang) は、「隣り合った素数の隔たりが、7千万以下のものが無数組存在する」こと、言い換えると lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) < 7 × 10 7 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<7\times 10^{7}}
を証明した論文 “Bounded Gaps Between Primes” を発表し、Annals of Mathematics にアクセプトされた。なお,張益唐の定理に先行する主要な研究結果の詳細解説がテレンス・タオらによって与えられている。
2013年、張益唐の結果から数か月後、ジェームズ・メイナードとテレンス・タオがそれぞれ独立に、素数をm個含む連続した整数の区間が無数に存在する条件を解明した。区間の幅はmに依存する。例としてm=2である場合、連続した整数を 600 ごとに区切ると素数が2個含まれる場合が無数にあり、m=3とすると、素数を3個含み39万5122の幅を持つ区間が無数に存在する。これは張益唐の「7000万ごと」を大幅に小さくする成果である。メイナードはこの発見を含む業績により2022年のフィールズ賞を受賞した。
2014年12月現在、張益唐が与えた7千万という間隔(上記のm=2である場合の区間の幅)は 246 まで狭められている。すなわち、間隔が 246 以内である素数の組は無数に存在する。