双線型形式
双線型形式 B が非退化であるとは、B(v, w) = 0 (∀w) ならば v = 0 となることをいう。
線型写像 A: V → V* が任意に与えられると、
B(v, w) = A(v)(w)
と置くことにより V 上の双線型形式 B が定まる。この形式が非退化であるための必要十分条件は A が同型であることである。
V が有限次元の時、V の適当な基底に関して、双線型形式が退化するための必要十分条件は、対応する行列の行列式が零となること。同様に、非退化形式は対応する行列の行列式が零でない(行列が正則)である双線型形式である。これらは基底の取り方に依らず成り立つ事実である。
可換環上の加群の場合には、ユニモジュラー形式とは付随する行列の行列式が単元(例えば 1)、したがって各項もそうであるような双線型形式である。付随する行列が非零だが単元でない形式は、非退化だがユニモジュラーでないことに注意すべきである(例えば、整数環上定義された B ( x , y ) = 2 x y {\displaystyle B(x,y)=2xy} など)。
同じ基礎体の上の双線型写像
B: V × W → F
に対しても、上で述べた双線型形式に関する議論の大半について同様の内容が成立する。例えばこの場合においても、双線型写像からは、V から W への線型写像と W から V への線型写像が誘導される。これらの写像が同型となることも起こり得る(有限次元の場合は、やはり一方が同型ならば他方も同型でなければならない)。その場合、B は完全対 (perfect pairing) である、または V と W とを双対にするという。
有限次元では、これはペアリングが非退化であることと同値である(空間は必然的に同次元となる)。(ベクトル空間ではなく)加群について言えば、非退化形式であるということがユニモジュラ形式であるという条件より弱い条件であるのとちょうど同じ意味で、非退化対であることは完全対であることよりも弱い条件になる。非退化ではるが完全ではない例としては、(x,y) ↦ 2xy による Z × Z → Z は非退化ではあるが、写像 Z → Z* の上に 2による積を引き起こす。
そこで、こういった場合に対しても双線型形式という言葉がしばしば用いられる。