原始ピタゴラス数
長辺に正方形を2個くっつける
短辺に正方形を2個くっつける
に対応している(短辺は広義増加、長辺は狭義増加する)。
故に、全ての (m, n) は (2, 1) に「添加」を有限回施すことで、モレ・ダブリがなく得られると分かる。故に、原始ピタゴラス数全体は、(3, 4, 5) から枝分かれした、モレ・ダブリのない、三分木で分類されると分かる。
上記の議論は、ブラフマグプタの式でも同様にできる。ただしユークリッドの式とブラフマグプタの式では、u, a, d の定義の順序を逆にする必要がある(でないと操作が対応しなくなる)。
細矢治夫は著書で、U は up、D は down、A は across を意味していると述べている。
(例)
(m, n) = (14, 9) の (2, 1) からの「添加」列を求める。
(14, 9) u↦ (9, 2 × 9 − 14) = (9, 4)
(14, 9) a↦ (4, 9 − 2 × 4) = (4, 1)
(14, 9) d↦ (4 − 2 × 2, 1) = (2, 1)
故に、(14, 9) は、(2, 1) に操作 D, A, U を順に施したものであると分かる。//
歴史的には、初期値 (2, 1) に
操作U を繰り返して得られる原始ピタゴラス数の列は「ピタゴラス系列」、
操作A からは「フェルマー系列」、
操作D からは「プラトン系列」
と呼ばれている。
各系列の斜辺列はオンライン整数列大辞典の数列 A001844、オンライン整数列大辞典の数列 A001653、オンライン整数列大辞典の数列 A053755を参照。
フェルマー系列はオンライン整数列大辞典の数列 A114336を参照。
3個の自然数の組 (a, b, c) がピタゴラス数であることは、その最大公約数を g として (a, b, c) =: (ga0, gb0, gc0) と表すと、(a0, b0, c0) がピタゴラス数であることと同値である。ゆえに、ピタゴラス数には (a0, b0, c0) のみに着目し、これは原始ピタゴラス数と呼ばれている。
ピタゴラス数が原始的(あるいは素 (coprime) とも言う)であることと、3個の自然数のうちある2個が互いに素であることは同値である(一般に、ピタゴラス数 (a, b, c) について gcd(a, b, c) = gcd(a, b) = gcd(b, c) = gcd(a, c) が成り立つ)。
原始ピタゴラス数には重複なく生成する式、そしてそれを効率良く列挙するアルゴリズムが知られており、そのアルゴリズムによって原始ピタゴラス数全体を三分木で表すことができる。
全ての原始ピタゴラス数 (a, b, c)( は転置を表す)は、(3, 4, 5) に次の行列 U, A, D を左から有限回掛ける(作用させる)ことで、一意に得られることが、前節の「添加」より分かる:
U = ( 1 − 2 2 2 − 1 2 2 − 2 3 ) {\displaystyle U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}}}
A = ( 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}}}
D = ( − 1 2 2 − 2 1 2 − 2 2 3 ) {\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}}
ここから次のことが分かる:直角三角形において、
操作U は、斜辺と偶数辺の差を保つ。
操作A は、直角をはさむ2辺の差を (−1)倍にする。
操作D は、2個の奇数の長さの差を保つ。
原始ピタゴラス数全体を分類するために、ピタゴラスの生成式における (m, n)(ただし m ≠ 2)の「退化」を次で定義する:
2辺が n, m の長方形と2辺が n, 2n の長方形の内、含む方から含まれる方を取り除いて出来る長方形(対称差)の短辺を n'、長辺を m' とする。
この「退化」は m/n の値により、3タイプに分類される:
(1 <) m/n < 2 のとき:(m′, n′) := (n, 2n − m)(操作u とする)
2 < m/n < 3 のとき:(m′, n′) := (n, m − 2n)(操作a とする)
m/n > 3 のとき:(m′, n′) := (m − 2n, n)(操作d とする)
こうして得られた新たな (m′, n′) も満たすべき条件:
m′, n′ は互いに素
m′ > n′
m' と n' の偶奇は異なる
を満たすことが、ユークリッドの互除法と仮定より従う。しかも、「退化」を1回施すと m は狭義減少する。
この「退化」を繰り返していくと、有限回で (2, 1) になる。
(なぜなら、m > n より有限回で n = 1 になる。このとき偶奇性より (2k, 1)(k は自然数)の形になるから。)
逆に考えると、操作 u, a, d は全単射と分かる。実際に、操作 u, a, d の逆写像「添加」はそれぞれ
操作U:(m, n) = (2m′ − n′, m′), m/n < 2
操作A:(m, n) = (2m′ + n′, m′), 2 < m/n < 3
操作D:(m, n) = (m′ + 2n′, n′), m/n > 3
となり、それぞれ
長辺を一辺とする正方形2個から、もとの長方形を除く