シューアの補題
シューアの補題は有限群の表現(フランス語版)論と半単純加群の多元環の研究の基礎の1つである。
有限次元 n のベクトル空間 E における群 G の表現は、G から E の自己同型全体からなる一般線型群 GL(E) への写像 ρ である。1896年の論文においてフェルディナント・ゲオルク・フロベニウス (Ferdinand Georg Frobenius) により開拓されたこの手法は大成功である。
3年後、ハインリッヒ・マシュケ(フランス語版) (Heinrich Maschke) はすべての表現は既約表現の直和(英語版)であることを証明した。表現 (E, ρ) が既約であるとは、部分空間 E と {0} が相異なりかつ G のすべての元 g に対し自己同型 ρ(g) により不変な部分空間がその2つしかないことをいう。マシュケの定理は K の標数が G の位数を割り切らなければ G のすべての表現は既約表現の直和であるという定理である。したがって有限群のすべての表現を知ることはその既約表現を知ることに帰着し、他の表現はそれらの直和として得られる。
シューアの補題は次の重要な結果の証明に本質的な技術的補題である:既約表現は指標(フランス語版)により識別でき、これらの指標は pairwise に直交する。このアプローチは有限群の理論に重要な結果をもたらす。これにより最終的に単純群の分類ができるが、位数が奇数のすべての有限群は可解である(フランス語版)というウィリアム・バーンサイドの予想のような結果の証明もできる。この結果はトンプソン (Thompson) が1970年にフィールズ賞を受賞した理由である。
この補題は他の文脈においても有用であるが表現の場合が最も重要である。