最大エントロピー原理
上ではカケラが m 個の場所のどれに配置されるのも等確率である場合を考察したが、より一般に配置される場所毎に確率が異なる場合を考察する。 i 番目の場所に配置される確率が qi であるとすると、 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} は(条件 I の付いた)多項分布に従う事から、
Pr [ p ∣ I ] {\displaystyle \Pr[{\boldsymbol {p}}\mid I]} は W = N ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n m ! q 1 n 1 ⋯ q m n m {\displaystyle W={\frac {N!}{n_{1}!n_{2}!\dotsb n_{m}!}}{q_{1}}^{n_{1}}\dotsb {q_{m}}^{n_{m}}} に比例する。
よってこの場合は
1 N log  W = ( log  N ! − ∑ i log  n i !
速度空間を l {\displaystyle \ell } 個の領域に分け、容器中の分子がそれらの領域のどこに属するかを考える。各分子は互いに衝突を繰り返す事でランダムにその位置や速度を変えるが、今気体は定常状態にあるので、各領域にある分子の総数は時間が経過してもほとんど変化しない。
そこで i 番目の領域に含まれている分子の数を ni とし、容器中の分子の総数を N とし、 p i = n i / N {\displaystyle p_{i}=n_{i}/N} とすると、各分子が領域i に含まれている確率は p i {\displaystyle p_{i}} である。
速度空間の各点における分子の存在確率が常に等しいとする(等確率の原理)と、各分子が領域 i にある確率は、領域の体積に比例すると考えられるので、1 番目、...、 l {\displaystyle \ell } 番目の領域に入っている分子の個数がそれぞれ n 1 , ... , n l {\displaystyle n_{1},\dotsc ,n_{\ell }} である確率を考える。 各分子が区別できないと仮定すると、多項分布より、
W = N ! n 1 ! ⋯ n l ! V 1 n 1 ⋯ V l n l {\displaystyle W={\frac {N!}{n_{1}!\dotsb n_{\ell }!}}{V_{1}}^{n_{1}}\dotsb {V_{\ell }}^{n_{\ell }}}
に比例する。