実射影直線
射影直線は位相多様体である。このことは上記の同値関係による構成を通じて確認することができるが、以下の二つのチャート(地図)がアトラス(地図帳)を与えることを見るのが簡明である:
φ1: [x : y] ↦ ⁄y (y ≠ 0)
φ2: [x : y] ↦ ⁄x (x ≠ 0)
上記の同値関係によれば、同じ同値類に入る任意の代表元がこれらチャートのもとで同じ実数に写されるから、これは定義可能である。
x か y の何れか一方は零となり得るが、ともに零となることはないので、この二つのチャートは射影直線を被覆しなければならない。この二つのチャートの間の座標変換写像は逆数函数で与えられる。逆数函数は(0 を除いて)可微分函数であり、さらに解析函数でさえあるから、実射影直線は可微分多様体であり、さらに解析的多様体(英語版)でさえある。
チャート φ1 の逆函数は
x ↦ [ x : 1 ] {\displaystyle x\mapsto [x:1]}