静磁場
ベクトル場に代数演算を施したものに、微分作用素を作用させた場合に成り立つ公式について、本記事で用い、かつ、あまり本に載っていないものについて、簡潔にまとめる。
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) × d 2 S := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ( X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) ) × ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\left(\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\right)\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\ d{u}_{1}d{u}_{2}}
本記事では、外積面積分の場合は、 × d 2 S {\displaystyle \times \ {d}^{2}S} のように、面素にの前に、×をつけることにする。
H f c ( r ) := 1 μ 0 B f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )} (3-2-2)
によって定め、磁化による磁場HMを式(2-2-10)のように定めると、 式(3-2-1)と式(3-2-2)、式(2-2-10)より、
H tot ( r ) = B tot ( r ) μ 0 − M ( r ) = B f c ( r ) + B M ( r ) μ 0 − M ( r ) = H f c ( r ) + ( H M ( r ) + M ( r ) ) − M ( r ) = H f c ( r ) + H M ( r ) (3-2-3) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )&={\frac {\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&={\frac {\mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )+\mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&=\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )+(\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )+\mathbf {M} (\mathbf {r} ))-\mathbf {M} (\mathbf {r} )\\&=\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )+\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )\qquad {\text{(3-2-3)}}\end{aligned}}}
を得る。即ち、物質の磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} は、上記の磁気ベクトルポテンシャル B M {\displaystyle \mathbf {B} _{M}} を空間内に作り出す
さて、ベクトル解析の公式から、
M ( s ) = ∫ s ∈ Ω div r  [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )\ =\ {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\ \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} )\ {d}^{3}s} (2-2-6)
が判る。
従って、上記の磁気モーメント M ( s ) d s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} } それぞれが作り出す磁束密度は、
透磁率なる概念を、新たに導入する。 即ち、3次正方行列に値を取る行列値関数 μ ( r ) {\displaystyle {\mu }(\mathbf {r} )} (透磁率)を用いて、
B tot ( r ) = μ ( r ) H tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\mu }(\mathbf {r} )\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-1)
と書けるものとする。この透磁率は、磁化の概念の”すり替え”に過ぎない概念である。 尚、通常は、透磁率は、スカラー値関数と考えてよい場合が多いのだが、その場合は、 「対角成分が全部同じ値で、それ以外の成分が0の行列値関数と、スカラー値関数が同一視できる」ことを思い起こせばいい。
さらに、式(3-3-1) で見たような、透磁率(透磁率テンソル)を用いて、
B tot ( r ) = μ ( r ) H tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\mu }(\mathbf {r} )\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-2)
と書き表せ、かつ、μが全点で正則行列(逆行列を持つ)とする。(そう考えても、”あまり”一般性を失わない)逆に言えば、
となることが判る。ここで、 rot s {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {s} }} は、変数 s {\displaystyle \mathbf {s} } についての回転微分を意味する。 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } の境界を意味する。 上式の右辺第二項の積分において、「 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の面素の絶対値」を意味し 所謂普通の面積分ではない(この「面積分」は、「ベクトル場からベクトルを作る」特殊なもの)ので注意が必要である。
となる。従って、式(3-5-10)の第一項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、ノイマン条件即ち、
( rot  [ A ] ) × n ∂ Ω = 0 {\displaystyle (\operatorname {rot} [\mathbf {A} ])\times {n}_{\partial \Omega }\ =\ 0} (3-5-12)
が満たされればよい。さらに、式(3-5-10)の第二項が、任意の摂動δAに対して0になるためには、
rot  [ ν rot  [ A ] ] − i f c = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [{\nu }\operatorname {rot} [\mathbf {A} ]]-{\boldsymbol {i}}_{fc}=0} (3-5-12)
であればよい。これは、「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」(静磁場の支配方程式)に(式(3-3-10))他ならない。以上から、ノイマン条件下での、静磁場の支配方程式の解は、汎関数Fの停留関数となること判る。
rot r  [ H i ( r ) ] = 1 4 π ∫ s ∈ R 3 rot r  [ ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) ] d 3 s = ∫ s ∈ R 3 δ 3 ( r − s ) i ( s ) d 3 s = i ( r ) (1-7) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }[\mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\right]d^{3}\mathbf {s} \\&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\delta }^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {s} ){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )d^{3}\mathbf {s} \\&={\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )\qquad {\text{(1-7)}}\end{aligned}}}
が得られる。ここでδは、3変数のδ関数(ディラックのデルタ)を意味する。