イェンセンの不等式
イェンセンの不等式(いぇんせんのふとうしき、英語: Jensen's inequality)は、凸関数を使った不等式である。
f(x) を実数上の凸関数とする。
離散の場合:
p 1 , p 2 , ... {\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\ldots } を、 p 1 + p 2 + ⋯ = 1 {\displaystyle p_{1}+p_{2}+\cdots =1} を満たす正の実数の列とする。また、 x 1 , x 2 , ... {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots } を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。
∑ i = 1 ∞ p i f ( x i ) ≥ f ( ∑ i = 1 ∞ p i x i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)}
連続値の場合:
p ( x ) ( > 0 ) {\displaystyle p(x)(>0)} を、 ∫ p ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int p(x)dx=1} を満たす実数上の可積分関数とする。また、 y ( x ) {\displaystyle y(x)} を実数上の可積分関数とする。