円周群
本節では位相構造を考えない単に代数的な群としての円周群の構造について扱う。
円周群 T は可除群である。そのねじれ部分群は任意の正整数に亙る 1 の冪根全体の成す集合として与えられ Q/Z に同型である。可除群の構造定理と、選択公理を用いれば、T が Q/Z と適当な数の Q のコピーとの直和に同型となることが分かる。このときの Q のコピーの数は(直和群の濃度が正しくなるためには)連続体濃度 c でなければならないが、Q の連続体濃度 c 個のコピーの直和は R に同型(R が Q 上の c-次元ベクトル空間であるのと同様)なのだから、代数的な群の同型
T ≅ R ⊕ ( Q / Z ) {\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q/Z} )}
を得る。同様にして、同型
C × ≅ R ⊕ ( Q / Z ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q/Z} )}
も証明できる(C もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は T のねじれ部分群と同一であることによる)。