クローニッヒ・ペニーのモデル
ブロッホの定理を用いると、1周期での解だけを見つければ良いことになる。 ポテンシャルの1周期の中には2つの領域があり、それぞれを独立に解く。
本来シュレーディンガー方程式はエネルギーについての固有値方程式であるが、ここでは一先ずエネルギー固有値Eは求めるものではないと見なす。 するとシュレーディンガー方程式は微分方程式となる。 そして微分方程式の解を固有値問題に代入してEを求め、解としての妥当性を検証する。
まずEが井戸の高さより高い(E>0)として、2つの領域の解を求める。
0 < x < a − b {\displaystyle 0<x<a-b} でのシュレーディンガー方程式は、
− ħ 2 2 m ψ x x = E ψ {\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi }
この微分方程式の解は、あるαを用いて次のように表される。
ψ = A e i α x + A ′ e − i α x = e i k x ( A e i ( α − k ) x + A ′ e − i ( α + k ) x ) {\displaystyle \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)}
ブロッホの定理より、
以下、αとβ(またはE)とkが満たすべき条件について考える。
クローニッヒ・ペニーのモデルのシュレーディンガー方程式の解の存在条件は、以下の2つの条件から導出される永年方程式を解くことで導出される。
波動関数 ψ とその一次微分が x = 0 および x = a で連続でなくてはならない(接続条件)。
ψ ( 0 − ) = ψ ( 0 + ) ψ ′ ( 0 − ) = ψ ′ ( 0 + ) {\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})}
周期的ポテンシャルに対する波動関数がブロッホの定理を満たさなければならない。
u ( − b ) = u ( a − b ) u ′ ( − b ) = u ′ ( a − b ) {\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b)}
これらの条件により、次の行列が得られる。
( 1 1 − 1 − 1 α − α − β β e i ( α − k ) ( a − b ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − e − i ( β − k ) b − e i ( β + k ) b ( α − k ) e i ( α − k ) ( a − b ) − ( α + k ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − ( β − k ) e − i ( β − k ) b ( β + k ) e i ( β + k ) b ) ( A A ′ B B ′ ) = ( 0 0 0 0 ) .
u ~ k ( K ) = 2 m ħ 2 A a f ( k ) 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 = 2 m ħ 2 A a 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
全てのKについてこの式を足し合わせると、
∑ K u ~ k ( K ) = ∑ K 2 m ħ 2 A a 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
または、
f ( k ) = ∑ K 2 m ħ 2 A a 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle f(k)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
都合がよいことに、 f ( k ) {\displaystyle f(k)} は打ち消しあい、