ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム
円周率 π は、a, b, t を用いて以下のように近似される。
π ≈ ( a + b ) 2 4 t {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a+b)^{2}}{4t}}}
最初の3回の反復で得られる数値(最後の桁は真値とは異なる)は以下の通りである。
3.140 ... {\displaystyle 3.140\dots } (小数点以下2桁目までが正しい)
3.14159264 ... {\displaystyle 3.14159264\dots } (小数点以下7桁目までが正しい)
3.1415926535897932382 ... {\displaystyle 3.1415926535897932382\dots } (小数点以下18桁目までが正しい)
この計算過程は二次収束する。つまり反復のたびに正しい桁数が直前のもののほぼ2倍になるのである。ガウス自身もこの式を用いて反復を4回まで行って12桁まで正しいことを確認したことが知られている。