遅延ポテンシャル
◻ A = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) } d ω {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega } (2-1-7)
を得る。実際、
A ^ ( s , ω ) = a A ^ a d v ( s , ω ) + b A ^ r e t ( s , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {s}},\omega )=a{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {s}},\omega )+b{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {s}},\omega )} (2-5-10)
が判る。即ち、式(2-5-5)が示された。
また、式(2-5-3),式(2-5-4)の定義式の意味する ところは、 A a d v , A r e t {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} },{\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }} は、 A ^ a d v , A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} },{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} にフーリエ逆変換を施し、時間域に戻したものという意味であるため、 STEP1の式(2-1-3)の逆を辿れば、式(2-5-6)を得る。
補題 5 式(2-4-4),式(2-4-5)の G a d v , G r e t {\displaystyle {G}_{\mathrm {adv} },{G}_{\mathrm {ret} }} に対し、 A ^ a d v {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }} 、 A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} を、それぞれ式 式(2-5-1)、式(2-5-2)のように定める。
A ^ a d v ( s , ω ) := − μ 0 ∫ s ∈ R 3 G a d v ( r − s ) i ^ ( s , ω ) ⋅ d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {s}},\omega ):=-\mu _{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{G}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-5-1)
球体Ball(1)に対し、ガウスの発散定理を用いると、
∫ r ∈ B a l l ( 1 ) div r  [ r | r | 3 ] d 3 r = ∫ r ∈ S 2 ( 1 ) r | r | 3 d ( S 2 ( 1 ) ) = 4 π {\displaystyle {\int }_{{\boldsymbol {r}}\in Ball(1)}\operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]\ d^{3}r={\int }_{{\boldsymbol {r}}\in {S}^{2}(1)}{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\ d({S}^{2}(1))=4\pi } (S5-2-2)
となる。
一方で、δ、即ち3変数のδ関数に対し、以下が成り立つ。
∫ r ∈ B a l l ( 1 ) δ 3 ( r ) d 3 r = 1 {\displaystyle {\int }_{{\boldsymbol {r}}\in Ball(1)}{\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})\ d^{3}r=1} (S5-2-3)
L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = 1 r ∂ 2 [ r ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[r\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}} (2-3-8)
が得られる。ここで、” ⋅ {\displaystyle \cdot } ”は、スカラー倍を意味する。即ち、 r ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle r\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} は、 スカラーrによるベクトルAのスカラー倍を意味する。
従って、球対称性を考慮した場合、
1 r ∂ 2 [ r ⋅ ( G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ) ] ∂ r 2 + k 2 ⋅ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[r\cdot (G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega ))]}{\partial r^{2}}}+{k}^{2}\cdot G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-9)
が得られる。
ポテンシャル形式のマックスウェルの方程式から、遅延ポテンシャルのうち、 特に磁気ベクトルポテンシャルについてを導出する。導出の戦略は下記の通りである。
STEP1:ポテンシャル形式のマックスウェル方程式のフーリエ変換
STEP2:グリーン関数が従う方程式を導出する。
STEP3:Step2で得られた方程式の空間成分に球面座標変換を施し、等方性(球称性)を考慮する。
STEP4:グリーン関数を求める。
STEP5:解のフーリエ逆変換2
STEP6:解のフーリエ逆変換2
STEP7:時空因果律に反する解を棄却する。
電位スカラーポテンシャルも同様に導出されるが、これについては、 上記戦略にて同様に導出されるので、省略する。
本節の議論は、オッペンハイマー(特に7章p33以降)川村(p151~),砂川(特にP254付近)と概ね同等である。 従って、本筋の部分については、個々の補助定理や個々の結論にいちいち文献指示をつけない。 本記事は、現代工学との整合性に留意し、E-B対応、国際単位系で議論しているが、上記文献の中には別の立場に立っているものもある。しかし単位の換算程度の問題については、特段断わりをいれない。数学的な扱い等に特に留意を要する個所については重要性、難易度に応じ、文献指示、脚注、付録をつけることにする。