数論力学
F(x) を係数を Q にもつ少なくとも次数 2 の有理函数とする。ノースコット (Northcott) の定理は、F が有限個の Q-有理的前周期点、すなわち、F が P(Q) に有限個の前周期点しか持たないことを言っている。
パトリック・モルトン(英語版) (Patrick Morton) とジョセフ・シルバーマン(英語版) (Joseph Silverman) の Uniform Boundedness Conjectureは、P(Q) の中の F の前周期的点の数は、F の次数にのみ依存する定数によって境界が決まるという予想である。
より一般的に、F : P → P を数体 K 上に定義された少なくとも次数 2 の写像とする。ノースコットの定理は、F が P(K) 内に有限個の前周期的点しか持たないことを言い、一般化された uniform boundedness conjecture は P(K) 内の前周期的点の数が、Q 上の F の次数と K の次数および N によってのみ定まる項によって制限されるという予想である。
有理数体 Q 上の二次多項式 Fc(x) = x + c に対しても、uniform boundedness conjecture は証明されていない。これが証明されている場合は、Fc(x) が周期 4 の周期点を持たない場合 周期 5 の周期点と周期 6 の周期点の場合である。ただし、周期 6 の結果はバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想を前提としている。ビヨルン・プーネン(英語版) (Bjorn Poonen) は、Fc(x) は 3 より大きい周期の有理的な周期点は持ちえないことを予想した。
p-進(非アルキメデス的)力学(英語版)(p-adic (or nonarchimedean) dynamics)の分野では、非アルキメデス的な付値の観点から完全な体上の古典的力学方程式の研究を行っている。そのような体の例としては、p-進有理数 Qp やその代数的な完全化 Cp がある。K の計量と等連続性の定義により、有理写像 F(x) ∈ K(x) のファトゥやジュリア集合の定義を可能となる。複素数と非アルキメデス的な理論の間には多くの共通点があるが、多くの違いもある。最も明確な違いは、非アルキメデス的な設定ではファトゥ集合はいつも空集合であり、ジュリア集合は空かもしれない。このことは、複素数の上では正しいことの逆である。非アルキメデス的力学はベルコビッチ空間(英語版)(Berkovich space)へ拡張され、ベルコビッチ空間は、全体では不連続な非局所コンパクトな体 Cp を含むコンパクトな連結空間である。