プラクティカル数
ここで、 σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} はxの約数の和である。 例えば、2 × 3 × 29 × 823 = 429606について考えると、
3 ≤ σ(2) + 1 = 4
29 ≤ σ(2 × 3) + 1 = 40
823 ≤ σ(2 × 3 × 29) + 1 = 1171
と不等式を満たすので、429606はプラクティカル数である。
この条件は自然数がプラクティカル数であるための必要十分条件である。 p i − 1 {\displaystyle p_{i}-1} をnの約数の和で表すためにはこの条件が必要であり、数学的帰納法によって十分条件であることもわかる。 より強い条件として、nの 素因数分解が上記の条件を満たすならば、任意の m ≤ σ ( n ) {\displaystyle m\leq \sigma (n)} は以下のように n の約数の和で表現できる。
q = min { ⌊ m / p k α k ⌋ , σ ( n / p k α k ) } {\displaystyle q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}} となる qと、 r = m − q p k σ k {\displaystyle r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}} となる rを用意する
p ( x ) = c x log  x ( 1 + O ( log  log  x log  x ) ) {\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right)}
この定数 c {\displaystyle c} はによって与えられる。
c = 1 1 − e − γ ∑ n practical 1 n ( ∑ p ≤ σ ( n ) + 1 log  p p − 1 − log  n ) ∏ p ≤ σ ( n ) + 1 ( 1 − 1 p ) , {\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{practical}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}
ここで、 γ {\displaystyle \gamma } はオイラー・マスケローニ定数であり、 p {\displaystyle p} は素数である。この結果、 1.311 < c < 1.693 {\displaystyle 1.311<c<1.693} であり、プラクティカル数は素数に比べて31.1% から 69.3% 多いことがわかる。