マルコフ＝角谷の不動点定理
T を C の連続な自己アフィン写像とする。
C の元 x に対して、C の別の元を次で定める。
x ( N ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N T n ( x ) . {\displaystyle x(N)={1 \over N+1}\sum _{n=0}^{N}T^{n}(x).}
C はコンパクトなので、C 内に次の収束サブネットが存在する:
x ( N i ) → y . {\displaystyle x(N_{i})\rightarrow y.\,}
y が不動点であることを証明するためには、E の双対空間のすべての元 f に対して f(Ty) = f(y) が成立することを示せば十分である。C はコンパクトなので、|f| は C 上である正定数 M によって有界となる。一方、
| f ( T x ( N ) ) − f ( x ( N ) ) | = 1 N + 1 | f ( T N + 1 x ) − f ( x ) | ≤ 2 M N + 1 {\displaystyle |f(Tx(N))-f(x(N))|={1 \over N+1}|f(T^{N+1}x)-f(x)|\leq {2M \over N+1}}
が成り立つ。N = Ni とし、i を無限大にした極限を取ることで、次が成り立つ。
f ( T y ) = f ( y ) . {\displaystyle f(Ty)=f(y).\,}
したがって、
T y = y . {\displaystyle Ty=y.\,}