立方根
z 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}} と − z 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}} の主要根の関係を単位円上で示すと( I ( z ) ≥ 0 {\displaystyle \Im (z)\geq 0} 、偏角 θ = 21 ∘ {\displaystyle \theta =21^{\circ }} の例)
z 3 = cos  21 ∘ + i sin  21 ∘ 3 = cos  7 ∘ + i sin  7 ∘ {\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}
− 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} は 1 + 3 i {\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i} ( = 8 3 e π i 3 {\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}} ) が主要根となる(-2( = ( 1 + 3 i ) e 2 π i 3 {\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}} )ではない)。
主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。
− π 3 < θ 3 ≤ π 3 {\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}