再生核ヒルベルト空間
ただし、任意のペア ( x , t ) , ( y , s ) ∈ X × Λ {\displaystyle (x,t),(y,s)\in X\times \Lambda } に対して γ ( x , t ) ( y , s ) = γ ( ( x , t ) , ( y , s ) ) {\displaystyle \gamma _{(x,t)}(y,s)=\gamma ((x,t),(y,s))} である。
スカラー値RKHSとの関係は、行列値核が(4)の核と以下の式で関連していることから分かる。
Γ ( x , y ) ( t , s ) = γ ( ( x , t ) , ( y , s ) ) . {\displaystyle \Gamma (x,y)_{(t,s)}=\gamma ((x,t),(y,s)).}
更に、(4)の形の核は上の式で行列値核を定義する。では、写像 D : H Γ → H γ {\displaystyle D:H_{\Gamma }\to H_{\gamma }} を
( D f ) ( x , t ) = ⟨ f ( x ) , e t ⟩ R T {\displaystyle (Df)(x,t)=\langle f(x),e_{t}\rangle _{\mathbb {R} ^{T}}}
と定義する。ただし、 e t {\displaystyle e_{t}} は R T {\displaystyle \mathbb {R} ^{T}} の直交基底の t {\displaystyle t} 番目の要素である。
この定義でも、スカラー値RKHSで見ていたような積分作用素、有界評価関数、特徴空間との関係が成り立つ。 vvRKHSの同値な定義として有界な評価汎関数のあるベクトル値ヒルベルト空間をとり、Rieszの表現定理から再生核の唯一存在性を示すことができる。Mercerの定理もベクトル値に拡張することができ、したがってvvRKHSの特徴写像による見方も得られる。最後に、 { Γ x c : x ∈ X , c ∈ R T } {\displaystyle \{\Gamma _{x}c:x\in X,c\in \mathbb {R} ^{T}\}} の張る空間の閉包が H {\displaystyle H} と一致することも示せ、ここでスカラー値の場合と似た性質が得られる。
要素ごとに見ることでvvRKHSを直感的に理解できる。 Λ = { 1 , ... , T } {\displaystyle \Lambda =\{1,\dots ,T\}} とする。空間 X × Λ {\displaystyle X\times \Lambda } と対応する再生核
を考える。上に述べたとおり、この再生核に対応するRKHSは { γ ( x , t ) : x ∈ X , t ∈ Λ } {\displaystyle \{\gamma _{(x,t)}:x\in X,t\in \Lambda \}} が張る空間の閉包で与えられる。
再生核を構成するためには密な部分空間を考えれば十分であるから、 f ∈ C 1 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f\in C^{1}[0,\infty )} かつ f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} とする(?)。微分積分学の基本公式から
f ( y ) = ∫ 0 y f ′ ( x ) d x = ∫ 0 ∞ G ( x , y ) f ′ ( x ) d x = ⟨ K y , f ⟩ {\displaystyle f(y)=\int _{0}^{y}f'(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }G(x,y)f'(x)\,dx=\langle K_{y},f\rangle }
となる。ただし
G ( x , y ) = { 1 , x < y 0 , otherwise {\displaystyle G(x,y)={\begin{cases}1,&x<y\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
K ( x , y ) = K y ( x ) = ∫ 0 x G ( z , y ) d z = { x , 0 ≤ x < y y , otherwise.
性質 (1) は、内積が存在し、かつ定義域の任意の点で H {\displaystyle H} の任意の関数を評価できるための最も弱い条件であるが、このままでは応用に使いづらい。性質 (1) から、 H {\displaystyle H} 上の関数 f {\displaystyle f} の評価汎関数が、 f {\displaystyle f} とある関数 K x {\displaystyle K_{x}} の内積で得られることが導かれ、こちらをRKHSの定義とする方が直感的である。この関数 K x {\displaystyle K_{x}} は再生核 と呼ばれる。RKHSはこの「再生核」から名前が来ている。正確には、リースの表現定理から、 X {\displaystyle X} の任意の点 x {\displaystyle x} に対して、 H {\displaystyle H} のただ1つの要素 K x {\displaystyle K_{x}} が存在して、再生性
が成り立つ。 K x {\displaystyle K_{x}} は X {\displaystyle X} から R {\displaystyle \mathbb {R} } (複素ヒルベルト空間なら C {\displaystyle \mathbb {C} } )への関数であり、 H {\displaystyle H} の要素であるから、