楕円曲線
1 + 2 T 2 ( 1 − T ) ( 1 − 2 T ) {\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}
により与えられる。このことは、次の式に従う。
| E ( F 2 r ) | = { 2 r + 1 r odd 2 r + 1 − 2 ( − 2 ) r 2 r even {\displaystyle \left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}
佐藤・テイト予想は、Q 上の楕円曲線 E を法 q で還元した場合に、ハッセの定理の中の誤差項 2√q が素数 q によってどのように変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は(ほとんどすべてのそのような曲線に対し)、Taylor, Harris & Shepherd-Barron (2006)により証明され、誤差項が等分分布していることを言っている。
有限体の上の楕円曲線は、特に暗号理論や大きな整数の素因数分解に応用されている。これらのアルゴリズムには、E 上の点の群構造がしばしば利用されている。一般の群(例えば有限体の可逆元からなる群,Fq)に適用できるアルゴリズムは、楕円曲線上の点の群へも応用することができる。例えば、離散対数はそのようなアルゴリズムである。興味深いのは、楕円曲線を選ぶ方が、体の位数 q(と単位元)を選ぶよりも、高い柔軟性がある点である。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。
BSD予想が成立することを前提とすると、n が有理数の辺の長さを持つ直角三角形の面積となる(合同数である)ことは、 2 x 2 + y 2 + 8 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n} を満たす整数 (x, y, z) の三つ組の数が、 2 x 2 + y 2 + 32 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n} を満たす三つ組の数の 2倍であることと同値である。このステートメントは、タネルの定理により n が合同数であることと、楕円曲線 y 2 = x 3 − n 2 x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x} が無限オーダーの有理点を持っていることに関連付ける(BSD予想を前提とすると、L-関数は 1 で零点を持つ)。ここで言っていることの主眼は、条件が簡単に評価されることである。
別な方向としては、ある解析的方法はL-関数の族の臨界帯の中心での 0 のオーダーを見積もることを可能とする。BSD予想を仮定すると、これらの見積もりは、問題の楕円曲線の族のランクについての情報に対応する。例えば、 は、一般化されたリーマン予想とBSD予想を想定して、 y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} で与えられる楕円曲線の平均ランクは 2 よりも小さいことが示された。
s を P と Q を含む直線の傾き、つまり、
s = y P − y Q x P − x Q {\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}
とする。K は体であるので、s はうまく定義できる。すると、R = (xR, yR) = −(P + Q) を
x R = s 2 − x P − x Q y R = y P + s ( x R − x P ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{R}&=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}}
により定義することができる。
xP = xQ の場合は(下の三つ目と四つ目のグラフ)、二つの選択肢がある。yP = −yQ のとき(yP = yQ = 0 を含む)、和は O と定義される。つまり、曲線上の各点の逆元は、x-軸に対して線対称の位置にある。yP = yQ ≠ 0 のときは(下の二つ目のグラフ)、R = (xR, yR) = −(P + P) = −2P は、
s = 3 x P 2 + a 2 y P x R = s 2 − 2 x P y R = y P + s ( x R − x P ) {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}}
により与えられる。