拡散数
1次元の拡散方程式:
∂ u ∂ t = k ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\dfrac {\partial {u}}{\partial t}}=k{\dfrac {\partial ^{2}{u}}{\partial {x}^{2}}}}
ここで
t :時間
x :空間座標
を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。
u i n + 1 − u i n Δ t = k u i + 1 n − 2 u i n + u i − 1 n ( Δ x ) 2 {\displaystyle {\dfrac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=k{\dfrac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}}
この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量ui を
u i n + 1 = u i n + d ( u i + 1 n − 2 u i n + u i − 1 n ) {\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+d(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})}
と表すことができる。