特殊相対性理論
AとB が最も接近してすれ違った際において、位置と時刻を双方の座標系の原点と定めると、 b→ = 0→ と簡略化することができる。また、特殊相対性理論においては、外力の無い慣性系を前提とする。このことから、上式の二次以上の項はゼロとできる(二次以上の項があると、AとB が相互に加速度運動していることとなり、慣性系であるという要請から外れる)。以上の諸仮定をもとに、次に示す線形変換の形態として、特殊相対性理論に則った座標変換則を得ることができる。
( c t ′ x ′ ) = Λ ( c t x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\boldsymbol {x}}'\end{pmatrix}}=\Lambda {\begin{pmatrix}ct\\{\boldsymbol {x}}\end{pmatrix}}}
すなわち、特殊相対性理論においては、物理現象は4次元のベクトル空間で記述される。慣性系はその4次元ベクトル空間の基底であり、各慣性系の間の座標変換は行列Λによる線形写像である。
特殊相対性理論は、次のような事象からも検証されている。
電場と磁場の統一理論としての特殊相対性理論の検証 電流が流れる電線の周りに磁場が生じる。
時計の遅れの検証 横方向のドップラー効果の測定(赤道上の時計の遅れの実験) メスバウアー効果を起こす放射線源とその吸収体について、放射線源を回転する円盤の中心に、吸収体を円周に配置して回転させるとメスバウアー効果が発生しなくなる, 第7,8章。 ハフェル–キーティング実験 (Hafele–Keating experiment) 航空機で運んだ原子時計と地上で静止したままの原子時計との間に発生するズレが理論と誤差(不確定性原理も含む)の範囲で一致する。なお、この実験における相対論効果は 特殊相対性理論における運動によるいわゆる時計の遅れ、 一般相対性理論における重力偏移によるいわゆる時計の遅れ、 サニャック効果(Sagnac effect) の3つが複合して現れる。
以上の指導原理と諸要請・前提を満たすべく、特殊相対性理論においては、2つの慣性系の間の座標変換則を次のように導入する(実際に特殊相対性理論で用いられる座標変換「ローレンツ変換」を導く)。以下では、c を不変の光速度とし、時刻 t の代わりにc を乗じた ct を用いることとして、時間軸と空間軸を統一的に扱って述べる。
今、慣性運動する2人の観測者(すなわち何ら外力のかかっていない観測者)A、Bがある一点ですれ違ったとする。A の慣性系における位置と時刻を表す座標系を (ct, x) 、B の慣性系における位置と時刻を表す座標系を (ct′, x′) とする。ここで、2つの時刻 ct、ct′ は各観測者に独立なものである。すなわち、特殊相対性理論においてここでまさに、絶対時間が放棄されている(二人の観測者に共通の「絶対時間」はどこにも存在しない)。もちろん、位置座標軸も各観測者に独立固有の存在であり、二人の観測者に共通の空間的尺度「絶対空間」もない。なお、以降では便宜上、二人の観測者がすれ違った際に、位置と時刻の起点(一般に原点・ゼロ点)を規定することが多いが、位置と時刻の起点は再現性のある然るべき手段によって適宜取り直してもよい。
ミンコフスキー空間上の線形写像 f : V → V が与えられたとき、2次のテンソルを
と定義できる。
逆にミンコフスキー空間上の2次のテンソル T が任意に与えられたとき、(T1)式を満たす線形写像 f が一意に存在する事が知られている。従って2次のテンソルと線形写像を自然に同一視できる。
2次のテンソル T に対応する線形写像は基底 e→0, e→1, e→2, e→3 を用いると、下記のように具体的に書き表す事もできる:
a μ e → μ ↦ T ν μ a μ e → ν . {\displaystyle a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }\mapsto T^{\nu }{}_{\mu }a^{\mu }{\vec {e}}_{\nu }.}
電荷密度 ρ と電流密度 j = (jx, jy, jz) を使って、4元電流密度を、
( j 0 , j 1 , j 2 , j 3 ) := ( c ρ , j x , j y , j z ) {\displaystyle (j^{0},j^{1},j^{2},j^{3}):=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})}
によって定義する。
すると連続の方程式
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
は、4元電流密度と4元勾配(英語版) (4–gradient) (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) を用いて
∂ ν j ν = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0}
と表現できる。ここで ∂ν は ∂ / ∂x の略記である。
4元ベクトル a→ に対し η(a→, a→) が非負であれば
‖ a → ‖ := η ( a → , a → ) {\displaystyle \|{\vec {a}}\|:={\sqrt {\eta ({\vec {a}},{\vec {a}})}}}
をミンコフスキー・ノルムといい、世界点 a→、b→ に対し、η(a→ − b→, a→ − b→) が非負であれば η(a→ − b→, a→ − b→) の平方根を a→、b→ の世界距離という。
なお、世界「距離」という名称ではあるが、
負の値や虚数も取りうる
0ベクトルでなくとも世界距離が0になることがある
といった点から数学的な距離の公理を満たさない。
また、||a→|| は常に定義できるとは限らないばかりかミンコフスキー・ノルムが定義できる値に対しても三角不等式の逆向きの不等式
‖ a → + b → ‖ ≥ ‖ a → ‖ + ‖ b → ‖ {\displaystyle \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\geq \|{\vec {a}}\|+\|{\vec {b}}\|}
が成り立つ事から、ミンコフスキー・ノルムも数学で通常使われるノルムの定義を満たさない。
空間方向の次元を2に落としたミンコフスキー空間を図示した。図では何らかの慣性系から見たミンコフスキー空間が描かれており、この慣性系に対して静止している観測者 (observer) が原点にいる。この観測系における座標の成分表示を (ct, x, y) とする。
この観測者にとっての時間軸 (ct, 0, 0) は図で「時間」と書かれた軸であり、この観測者にとって時間は時間軸にそって流れる。従って図の上方が未来であり、下方が過去である。観測者が慣性系に対して静止している事を仮定したので、時間が t 秒経つと、観測者のミンコフスキー空間上の位置は (ct, 0, 0) に移る。
一方、この観測者にとって現在にある世界点の集まり(すなわちこの観測者にとっての空間方向)は図の「現在」と書かれた平面であり、この観測者からみた空間方向の座標軸 (0, x, 0), (0, 0, y) が「空間」と書かれた二本の軸である。
世界距離の定義から、原点を通る光の軌跡は
(ct) − x − y = 0
を満たす。この方程式を満たす世界点の集合は2つの円錐として描かれ、これを光円錐という。
4次元ミンコフスキー空間 (V, η) では、 次の定理が成立する事が知られている。
定理 ― (e→0, e→1, e→2, e→3)、(e′→0, e′→1, e′→2, e′→3)を V の2組の正規直交基底とする。
このとき、V 上の線形変換 φ で

を満たすものがただ一つ存在し、しかも φ はローレンツ変換である。
この定理はユークリッド空間における2つの正規直交基底が直交変換により写りあう事の類似である。
前述のように、正規直交基底は慣性座標系と対応している。よって上の定理は、以下を意味する:慣性座標系から別の慣性座標系への座標変換はローレンツ変換である。
真空の誘電率、透磁率をそれぞれ ε0, μ0 とすると、マクスウェル方程式により導かれる電磁波の速度 1 / √μ0ε0 が真空中の光速度と一致する事が実験・観測により確かめられたので、光の正体は電磁波であると考えられるようになった。この事実から、
c = 1 μ 0 ε 0 {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}
である。
さらに電場 E = (Ex, Ey, Ez) と磁束密度 B = (Bx, By, Bz) を用いて電磁テンソルを
( F α β ) α β := ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle (F^{\alpha \beta })_{\alpha \beta }:={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}
により定義する。
電磁場を別の慣性系から見た場合、電場と磁束密度がそれぞれ E′ = (E′x, E′y, E′z) と B′ = (B′x, B′y, B′z) であったとし、これらから作った電磁テンソルを F′ とする。