円分体
3 以上の整数 m に対して、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の拡大次数 [ Q ( ζ m ) : Q ] {\displaystyle \textstyle [\mathbb {Q} (\zeta _{m}):\mathbb {Q} ]} は、 φ ( m ) {\displaystyle \textstyle \varphi (m)} である。但し、 φ ( n ) {\displaystyle \textstyle \varphi (n)} はオイラー関数である。
任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
3 以上の整数 m に対して、 m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( p 1 , ... , p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は、相異なる素数、 e 1 , ... , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} と素因数分解すると、
Q ( ζ m ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} は、 Q ( ζ p 1 e 1 ) , ...
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の m ( > 2 ) {\displaystyle m(>2)} 乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) {\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。
以下において、特に断らない限り、 ζ n = e 2 π i / n {\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。