代数曲線
と書けて、これらがこの楕円の有理媒介変数表示を定めるから、この楕円が有理曲線であることが示された。これによりこの楕円上の全ての点が、t = ∞ に対応する点 (−1,1) を除いて与えられる。従って、曲線全体は実射影直線によってパラメータ付けられている。
このような有理媒介変数表示は、初めの方の射影座標はこの媒介変数表示の分子と等しいと置き、最後の座標は表示の共通分母ととることにより射影空間内で考えることができる。この助変数が射影直線上定義されているのと同じく、この助変数に関する各多項式も斉次化を考えるべきである。つまり、例えば上記の楕円に関する射影的媒介元数表示は
X = U 2 − T 2 , Y = T ( T + 2 U ) , Z = T 2 + T U + U 2 {\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}}
となる。これら方程式から T と U を消去(英語版)すれば、楕円の射影的方程式
X 2 + X Y + Y 2 = Z 2 {\displaystyle X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2}}
が回復される(この式自体は上記の楕円の方程式を斉次化すれば直接に得られる)。
曲線の一覧(英語版)に挙げられている多くの曲線が有理曲線であり、したがって同様の有理媒介変数表示を持つ。
複素射影代数曲面が存在する n-次元複素射影空間 CP は、(複素次元は n だが)実多様体として位相次元 2n のコンパクト連結かつ向き付け可能な多様体である。複素代数曲線も同様に位相次元は 2、つまり曲面になる。
この曲面の位相的種数(つまりハンドル体やドーナツ穴の数)は、代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。要するに、次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、常特異点(相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点)しか持たないならば、その種数は (d − 1)(d − 2)/2 − k となる。ただし、k はそのような特異点の数とする。
有理曲線(一筆書き曲線とも言う)は直線に双有理同値な任意の曲線の総称である(ここに直線は射影直線の意味にとるものとする)。従って、この曲線の函数体を一変数有理函数体 F(x) と同一視することができる。F が代数閉体ならば、これは種数 0 の曲線に同値である。しかし、実代数多様体 x + y = −1 上で定義された実代数函数全体の成す体は、種数 0 の体ではあるが、有理函数体でない。
逆に任意の体 F 上の種数0の曲線は、その体上に一点でも点をもつならば射影直線 P(F) に双有理同値である。実際、代数曲線 C の因子 D に対し、曲線上の有理関数 f で ( f ) + D ≥ 0 {\displaystyle (f)+D\geq 0} となるもの全体のなすベクトル空間の次元を l ( D ) {\displaystyle l(D)} とかくと代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理より l(D)=deg(D)+1 がつねに成り立つ。特に任意の点 P に対し l(P)=2 であるから ( f ) + ( P ) ≥ 0 {\displaystyle (f)+(P)\geq 0} となる、定数関数でない有理関数 f が存在する。f は P で位数1の極をもち、それ以外の極をもたない。よって任意の定数 c に対し f-c も P で位数1の極をもち、それ以外の極を持たないので、 f-c はただ一つの零点を持つ。