タクシー数
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}
の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である(0 < y < N であるため)。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると
x 3 + y 3 = m {\displaystyle x^{3}+y^{3}=m}
は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 ( x i / d i , y i / d i ) ( i = 1 , 2 , ... , k ) {\displaystyle (x_{i}/d_{i},y_{i}/d_{i})(i=1,2,\ldots ,k)} を選んで分母を払うことにより
( x i D i ) 3 + ( y i D i ) 3 = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 , D i = ( d 1 d 2 ⋯ d k ) / d i {\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3}+(y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}}
が成り立つ。