二項積
これらの語法の等価性を見るために、三次元のユークリッド空間を例に取ろう。i, j, k(あるいは e1, e2, e3)を基本ベクトルとして、二つのベクトル
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ,}
b = b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }
を考える。a, b の二項積は「九元数の形」(nonion form) と呼ばれる和
a b = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j + a 2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j + a 3 b 3 k k {\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathbf {ab} =&&a_{1}b_{1}&\;\mathbf {ii} &{}+a_{1}b_{2}&\;\mathbf {ij} &{}+a_{1}b_{3}&\;\mathbf {ik} \\&&{}+a_{2}b_{1}&\;\mathbf {ji} &{}+a_{2}b_{2}&\;\mathbf {jj} &{}+a_{2}b_{3}&\;\mathbf {jk} \\&&{}+a_{3}b_{1}&\,\mathbf {ki} &{}+a_{3}b_{2}&\,\mathbf {kj} &{}+a_{3}b_{3}&\,\mathbf {kk} \end{alignedat}}}
列ベクトル a, b の外積は a ⊗ b あるいは ab で表される("⊤" は転置である)。