軌道力学
E = { ∑ n = 1 ∞ M n 3 n ! lim θ → 0 ( d n − 1 d θ n − 1 ( θ θ − sin  ( θ ) 3 n ) ) , ε = 1 ∑ n = 1 ∞ M n n ! lim θ → 0 ( d n − 1 d θ n − 1 ( θ θ − ε ⋅ sin  ( θ ) n ) ) , ε ≠ 1 {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}^{n}\right)\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}
主に歴史的に使われてきた軌道を計算する方法の1つは、ケプラーの方程式である。
M = E − ε ⋅ sin  E {\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E} .
ここで、Mは平均近点角、Eは離心近点角、 ε {\displaystyle \displaystyle \epsilon } は軌道離心率である。
ケプラーの公式では、近点から真近点角 θ {\displaystyle \theta } に至るまでの時間は、2つのステップによって求められる。
真近点角 θ {\displaystyle \theta } から離心近点角 E {\displaystyle E} を求める。
離心近点角 E {\displaystyle E} から時間 t {\displaystyle t} を求める。
逆に与えられた時間の離心近点角を求めるのはより難しい。ケプラーの方程式は E {\displaystyle E} に対して超越的で、つまり E {\displaystyle E} について代数的に解くことはできない。ただし、反転させて解析関数的に解くことはできる。
全ての実数 ε {\displaystyle \textstyle \epsilon } に対して適用できるケプラーの方程式の解は、以下のとおりである。
20世紀に宇宙飛行が実現するまで、軌道力学と天体力学の間には、ほとんど差異がなかった。時間の関数として位置を決定するケプラーの問題を解くために用いるような基本技術は、どちらの学問領域でも同じだった。さらに、この学問分野の歴史はほぼ共有していた。
ヨハネス・ケプラーは、高い正確性で惑星の軌道のモデル化に成功した最初の人物であり、1605年にケプラーの法則を発表した。アイザック・ニュートンは、天体の運動のより一般的な法則を1687年の著書『自然哲学の数学的諸原理』の中で発表した。