二次体
任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 K ⊂ Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 。ここで、 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} は、1 の原始 n 乗根である。
特に、n = 2 (q ≥ 3) とすれば、円分体 Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} には、 Q ( − 1 ) , Q ( 2 ) , Q ( − 2 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})} が含まれる。
上記のことは、クロネッカー=ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。
二次体 K の判別式を D とし、χ を ( Z / d Z ) × {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }} に対するクロネッカーの指標とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 hK は
h K = 1 κ L ( 1 , χ ) {\displaystyle h_{K}={\frac {1}{\kappa }}L(1,\chi )}
で与えられる。但し、κ は、
κ = { 2 log  ε 0 D ( D > 0 ) , 2 π w − D ( D < 0 ) , {\displaystyle \kappa ={\begin{cases}{\frac {2\log \varepsilon _{0}}{\sqrt {D}}}&(D>0),\\{\frac {2\pi }{w{\sqrt {-D}}}}&(D<0),\end{cases}}}
で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε0 は、K の基本単数とする。
さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。
K が実二次体のとき
( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} をルジャンドル記号とすると、次が成立する。
平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、
( a p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ( p ) {\displaystyle (p)} は、 Q ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})} 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。
このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。
二次体と初等整数論との関係を述べる。