特性関数 (確率論)
確率論と統計学において、任意の確率変数に対する特性関数(とくせいかんすう、英: characteristic function)とは、その確率分布を完全に定義する関数である。したがって、確率密度関数や累積分布関数の代わりに特性関数を解析の基盤とすることもできる。確率変数の重み付き総和で分布を定義する単純な特性関数も存在する。
1 変量の分布以外にも、ベクトルまたは行列型の確率変数についての特性関数もあり、さらに一般化することもできる。
実数引数をとる関数と考えたとき、特性関数は積率母関数とは異なり、常に存在する。特性関数の振る舞いとその分布の属性には、モーメントの存在や密度関数の存在などの関係がある。
減少しない càdlàg 関数(右連続左極限関数)F で、極限が F(−∞) = 0 および F(+∞) = 1 となる場合、F は何らかの確率変数の累積分布関数に対応している。
他にも、与えられた関数 φ について、それが何らかの確率変数の特性関数かどうかを判定する単純な判定基準が存在する。これについての中心的成果としてボホナーの定理(英語版)があるが、その主な条件である非負定性の判定が非常に難しいため、これが利用できる場面は多くはない。他にも Khinchine, Mathias, Cramér などの定理もあるが、それらも応用が難しい。一方 Pólya の定理は非常に単純な凸条件を提供するが、それは十分条件であって必要条件ではない。この条件を満たす特性関数を Pólya-type と呼ぶ。
ボホナーの定理 (Bochner's theorem):任意の関数 φ : R n → C {\displaystyle \scriptstyle \varphi :\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} } が何らかの確率変数の特性関数であるとき、常に φ は非負定性で原点で連続であり、かつ φ(0) = 1 である。