カリー＝ハワード同型対応
139–191, ISBN 978-2-87209-363-2 , contains a synthetic introduction to the Curry–Howard correspondence.
Gallier, Jean H. (1995), “On the Correspondence between Proofs and Lambda-Terms”, in Groote, Philippe de, The Curry–Howard isomorphism, Cahiers du Centre de logique (Université catholique de Louvain), 8, Academia-Bruyland, pp. 55–138, ISBN 978-2-87209-363-2, ftp://ftp.cis.upenn.edu/pub/papers/gallier/cahiers.pdf , contains a synthetic introduction to the Curry–Howard correspondence.
の解(不動点)であるというに他ならない。例えば μ p . ¬ p {\displaystyle \mu p.\neg p} は嘘つきのパラドックスにおける嘘つき命題 this sentence is false を意味する論理式である。したがってこの論理体系は矛盾している。
この論理式構成に対応する型構成を再帰型という。例えば可変長リスト型は再帰型として実現できる:
L i s t T = μ τ .1 + T × τ {\displaystyle {\rm {List}}T=\mu \tau .1+T\times \tau }
ここで 1 はトップ型である。この型システムでは Yコンビネータ や Ω = ( λ x . x x ) ( λ x . x x ) {\displaystyle \Omega =(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)} などの項も型を持つことになる。これらの項は通常の型システムでは型を持たない。なおコンビネータ Ω {\displaystyle \Omega } の(主要型の)型付けの導出はカリーのパラドックスの自然演繹による証明と対応する。
以上の体系の対応は次のように纏められる: