ランチェスターの法則
またルイス・フライ・リチャードソンは第二次世界大戦中にランチェスター方程式の軍事的な価値に気づき、その研究を踏まえながら自身の数学的モデルを構築した。リチャードソンの研究業績は主に軍拡競争の現象を説明するための微分方程式を使用し、二国間関係の安定性を数学的に分析することが可能であることを示したことである。
第二次世界大戦でランチェスターの理論に対する関心が高まると、軍事問題に携わる数学者が本格的にランチェスター方程式を発展させようと努めた。1943年から1951年にかけてクープマン、モース、キムボールはアメリカ海軍の作戦評価集団(Operations Evaluation Group, OEG)に勤務して研究業績(オペレーションズ・リサーチ)を発表する。クープマンはランチェスター方程式に新たに戦闘の機会という確率的要素と戦争における工業生産率の要素を導入(「ランチェスター戦略方程式」=クープマンモデルともいわれる)した。
J.H.エンゲルは二次法則に従って米軍と日本軍による硫黄島の戦いを解析した。ただし硫黄島の戦いでは、米軍の側には兵士の補給があったため、二次法則をそのまま適応することはできず、時刻tにおける米軍の補給p(t)を考慮した微分方程式
d x d t = − α y + p ( t ) {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=-\alpha y+p(t)}
d y d t = − β x {\displaystyle {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}=-\beta x}
を解くことにより、この戦いを解析した。
エンゲルは解析にあたり、補給p(t)としてこの戦いにおける実際の米軍のデータを用いた。また硫黄島の戦いは開戦28日目に米軍がほぼ硫黄島を制圧したので、この28日間の実際の死傷者数からα、βを見積もった。この結果、実際の死傷者の時間変化を表すグラフと理論から導かれる死傷者数のグラフがわずかな誤差で一致することを確認できる。
また以上のように見積もったα、βから導かれる交換比Eはおよそ
E = 5.132 {\displaystyle E=5.132}
であり、日本軍は不利な状況下にありながらも5倍もの交換比で善戦したことが分かる。
自軍が勝つとした場合、戦闘終了時刻t1には敵の生存人数 y t 1 {\displaystyle y_{t_{1}}} が y t 1 = 0 {\displaystyle y_{t_{1}}=0} であることを用いると、t1における自軍の生存人数 x t 1 {\displaystyle x_{t_{1}}} をランチェスターの法則から計算することができる:
x t 1 = x 0 − E y 0 {\displaystyle x_{t_{1}}=x_{0}-Ey_{0}} (一次法則の場合)
x t 1 = x 0 2 − E y 0 2 {\displaystyle x_{t_{1}}={\sqrt {x_{0}{}^{2}-Ey_{0}{}^{2}}}} (二次法則の場合)
ここで x 0 {\displaystyle x_{0}} 、 y 0 {\displaystyle y_{0}} は戦闘開始時刻t=0における自軍の人数と敵軍の人数であり、
E := α β {\displaystyle E:={\alpha \over \beta }}
である。Eを自軍に対する敵軍の交換比という。
E=1である場合、一次法則における戦闘終了時における生存人数は戦闘開始時の両軍の人数の差により決まるのに対し、二次法則の場合の生存人数は戦闘開始時の両軍の人数の自乗の差によって決まることになる。二次法則では戦闘開始時の人数が自乗で効いてくるため、一次法則に比べ、人数の多いほうが大幅に有利になる。