ラムゼーの定理
R3 (3, 3, 3)=17から、1から17までの整数をどのように3つの集合に分割しても、そのうちの一つの集合で、x +y =z が解を持つことが示される。これは辺 x y を x -y の絶対値の属する類によって彩色することにより得られる。
このほか、次の評価が知られている。
51≤ R4 (3, 3, 3, 3)≤ 62
162≤ R5 (3, 3, 3, 3, 3)≤ 307
538≤ R6 (3, 3, 3, 3, 3, 3)≤ 1838
1682≤ R7 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)≤ 12861
Rr (3, 3, ..., 3)≤ r (Rr -1 (3, 3, ..., 3)-1)+2. r Rr -1 (3, 3, ..., 3)+1個の点からなる完全グラフから1点vを選び、そこから残りの頂点への辺をr 色に彩色する。鳩の巣原理から、iをうまく選べばvとの間の辺がすべて色iに塗られているRr -1 (3, 3, ..., 3)個の頂点からなるグラフ W が存在する。W の頂点の間の辺の一つ x y が色i に塗られていれば、x y v は色i のみからなる3点のグラフとなる。そのような辺が存在しないなら、W の辺はr -1色で彩色されるので、色j のみからなる3点のグラフが存在する。
このようにラムゼー数については多くの性質が知られているものの、ラムゼー数が確定している場合は非常に少なく、特定のパラメータに対してさえ、ラムゼー数を決定するのは非常に難しい問題である。