組合せ数学
例えば、n = 4の場合、{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}という集合が得られるので、f(4) = 8である。実際、f(n)がn+2番目のフィボナッチ数F(n+2)であることが分かるので、
f ( n ) = φ n + 2 − ( 1 − φ ) n + 2 5 {\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n+2}-(1-\phi )^{n+2}}{\sqrt {5}}}}
という閉じた公式で表現できる。ここで、 φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2} は黄金比である。しかしながら、ここでは数え上げ関数を見ているので、結果に 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} が現れていることは美的に好ましくないと考えられる。f(n)が正整数であることを確認する他の方法として、f(n)が
f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) {\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)\,\!}
という再帰関係で表現できることを考えることもできる。 ただし、初期条件はf(1) = 1とf(2) = 1である。
他のアプローチには、漸近公式
f ( n ) ∼ g ( n ) {\displaystyle f(n)\sim g(n)\,}