球面調和関数
により定義し、さらに超球多項式を
P k ( α ) ( z ) := 2 F 1 ( − k , 2 α + k ; α + 1 2 ; 1 − z 2 ) {\displaystyle P_{k}^{(\alpha )}(z):=\,_{2}F_{1}\!\left(-k,2\alpha +k;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)}
により定義する。このとき、次が成立する。
Z k n ( x 1 , ... , x n ) := P k ( ( n − 2 ) / 2 ) ( x n ) {\displaystyle Z_{k}^{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=P_{k}^{((n-2)/2)}(x_{n})} は k 次の帯球関数である。
すでに述べたように、k 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての k 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。