対称代数
対称冪 S は外冪とよく似た函手である。しかしたとえば、次元は V の次元を n とすれば
dim  ( S k ( V ) ) = ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}}
で与えられ、これは k の増加に伴ってどんどん大きくなる。この二項係数は次数 k の n-変数単項式の数である。
ベクトル空間上の対称代数は可換単位的結合代数(以降、可換多元環という)の圏における自由対象(英語版)である。
厳密に言えば、写像 S はベクトル空間 V をその対称代数 S(V) へ写す、K 上の線型空間の圏から K 上の可換多元環の圏への函手であり、対称代数が「自由対象」であるというのは、その函手が可換多元環をその台となるベクトル空間へ写す忘却函手(英語版)の左随伴であるということを意味する。
随伴の単位元はベクトル空間をその対称代数へ埋め込む写像 V → S(V) である。
可換多元環の圏は多元環の圏の反射的部分圏(英語版)である。多元環 A が与えられたとき、(群のアーベル化の要領で)A をその交換子(ab − ba の形の元)全体で生成される交換子イデアルで割ってやれば可換多元環が得られる。テンソル代数の商としての対称代数の構成は、函手としてこの反射函手と自由多元環函手との合成になっている。