ハウスドルフのパラドックス
( φ ) { x ′ = − x cos  θ + z sin  θ y ′ = − y z ′ = x sin  θ + z cos  θ ( ψ φ ) { x ′ = − x λ cos  θ + y μ + x λ sin  θ y ′ = − x μ cos  θ − y λ + z μ sin  θ z ′ = x sin  θ + z cos  θ {\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}}
であり、 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} は、 ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} の式の μ {\displaystyle \mu } を − μ {\displaystyle -\mu } で置き換えたものである。
( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} または ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} のn個の積を t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} に作用させると、