階乗冪
x および x + n が負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数であるガンマ函数を用いれば階乗冪の指数 n は任意の実数(あるいは複素数)とすることができる。具体的には次のようになる。
x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + n ) Γ ( − x ) {\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}}}
x n ̄ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + 1 ) Γ ( − x − n + 1 ) {\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}}}
特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効である。
ふたつの実数 a および x について、a と a + x が負の整数でないとき、定数 a を底とし、指数 x を変数とする階乗冪 (a)±x は(階乗冪を冪の類似と見做すならば)指数函数の類似である。
下降階乗冪の全体および上昇階乗冪の全体はそれぞれ多項式列を成す。下降階乗冪は多項式を前進差分作用素 Δ を用いた公式(ニュートン級数展開)
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Δ k [ f ] ( a ) k ! ( x − a ) k _ = ∑ k = 0 ∞ ( x − a k ) Δ k [ f ] ( a ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}~{(x-a)}^{\underline {k}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)}
(微分積分学におけるテイラーの定理と形の上で類似)で表すときに現れる。この公式やほかの様々なところで、微分積分学における冪函数 x に当たる役割を、和分差分学において下降階乗冪 x が果たす。例えば
Δ x k _ = k x k − 1 _ {\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=k\,x^{\underline {k-1}}}
上昇階乗冪 x (n = 1, 2, 3, ...) および下降階乗冪x (n = 1, 2, 3, ...) はそれぞれ、x を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底 x (n = 1, 2, 3, ...) との基底変換は以下のように与えられる:
x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k , {\displaystyle x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},}
x n = ∑ k = 0 n { n k } x k _ . {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\underline {k}}.}
以下 m, n, k は自然数とし、第 k-項が k の上昇 m-乗であるような数列の和を考える。上昇階乗冪とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。双方の公式とも、畳み込み級数となることを利用すれば導出できる。
∑ k = 1 n k m ̄ = n m + 1 ̄ m + 1 , ∑ k = 1 n 1 k m + 1 ̄ = 1 m ( 1 m ! − 1 ( n + 1 ) m ̄ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{n}k^{\overline {m}}={\frac {n^{\overline {m+1}}}{m+1}},\\&\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\overline {m+1}}}}={\frac {1}{m}}\left({\frac {1}{m!}}-{\frac {1}{(n+1)^{\overline {m}}}}\right).\end{aligned}}}