グレブナー基底
S-polynomial ( f 1 , f 2 ) = y f 1 − 1 2 x f 2 = − x 3 2 + 2 y 2 {\displaystyle {\text{S-polynomial}}(f_{1},f_{2})=yf_{1}-{\frac {1}{2}}xf_{2}=-{\frac {x^{3}}{2}}+2y^{2}}
これは、多項式の先頭項について最小公倍数の多項式を求めそれらを引くことで相殺していることになる。直観的には、S-多項式による計算は f1, f2 共通の簡約化と見ることができる。この場合の f1, f2 はクヌース・ベンディックス完備化アルゴリズムでの危険対 (critical pair) に相当し、本来は別々の簡約化の流れをS-多項式で合流させていくことで、簡約化の順序によらず結果が一致するという合流性 (confluence) を保証しているととらえられる。
ただし、ブッフベルガーアルゴリズムで求まるグレブナー基底には冗長な要素が含まれており、そのままでは一意にならない。冗長な要素を取り除き、先頭項の係数を 1 になるようにした基底を被約グレブナー基底 (reduced Gröbner basis) と呼ぶ。被約グレブナー基底は項順序が決まれば一意に決まる。
グレブナー基底(グレブナーきてい、英: Gröbner basis)は、多変数多項式の簡約化が一意に行える多項式の集合である。多変数の連立代数方程式の解を求める際などに利用される(#計算例参照)。
グレブナー基底を求めるアルゴリズムとしては、ブッフベルガーアルゴリズム(英: Buchberger's algorithm)があり、数式処理の分野での連立代数方程式の解法として使われている。また、可換環論、代数幾何、微分方程式論、整数計画問題などに出てくる様々な数学的対象物を構成するための基礎となっている。