プラニメータ
∮ C ( N x d x + N y d y ) = ∫∫ S ( ∂ N y ∂ x − ∂ N x ∂ y ) d x d y = ∫∫ S ( ∂ x ∂ x − ∂ ( b − y ) ∂ y ) d x d y = ∫∫ S d x d y = A {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}(N_{x}\mathrm {d} x+N_{y}\mathrm {d} y)&=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint _{S}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=A\end{aligned}}}
となる。ここで
∂ ∂ y ( y − b ) = ∂ ∂ y m 2 − x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0}
を用いた。
したがって上式の左辺は輪郭で囲まれた面積 A に等しい訳だが、これはホイールで測定された距離に比例する。比例係数は測定アームの長さ m = ‖ N ‖ {\displaystyle m=\|N\|} である。
リニアプラニメータはその測定アームに垂直な動きのみを、あるいは N x d x + N y d y ≠ 0 {\displaystyle N_{x}\mathrm {d} x+N_{y}\mathrm {d} y\neq 0} のときのみ記録を行っていることに注意する。上記の導出にはこのことが用いられている。この量を閉曲線 C で積分しグリーンの定理を用いることで面積が導出される。