公平分割問題
日常生活上の問題で、分割と選択法や成分分割体積等分法以外に、有用な公平分割法としては、勝者調整法が離婚夫婦用の財産分割法である。どちらも同じリストの複数個の対象項目を合計100点となるように点数評価し、1個以下の項目のみ細分割は許すが、それ以外はまるごとの項目の分割により、どちらも自分の分の獲得点数が相手の分の獲得点数以上に感じることができる。
スペルナー彩色近似法は、一軒家を複数人で賃貸する場合に有用である。例えば異なるタイプの部屋を3つ持つ一軒家を3人で共同で借りる場合の部屋・賃料の割当法となる。スペルナー彩色近似法は連続数学のブラウワーの不動点定理の離散数学版であるスペルナーの補題を利用して、3人の第一希望の部屋がちょうど別々となる割り当てを見つけ出す近似法である。この方法により各自の第一希望の部屋を割り当てることができる。
対象物を参加者全員が好きな場合で公平の基準を示す。 各自の価値基準で見て自分の分が全体価値の人数分の1以上と感じる状態を割合の公平という。各自の価値基準で見て自分の分の価値が他の人の分の価値以上と感じる状態をうらやましさ無しの公平という。うらやましさ無しの公平の状態では、参加者がみな自分の分が(同点1位の場合も含め)1番よいと感じている。うらやましさ無しの公平が実現できれば、自動的に割合の公平も実現する。この逆は一般に成立しない。割合の公平が実現しても、うらやましさは発生する場合がある。例えば3人でようかんを分割して、自分の分が全体価値の1/3以上と納得できたとしても、誰か他の人の分の価値が自分の分の価値より大きいと感じることは起こるからである。 各自の価値基準で見て自分の分も他の人の分もちょうど全体価値の人数分の1に感じる状態を正確な公平という。正確な公平が実現できれば、うらやましさ無しの公平も割合の公平も自動的に実現する。(正確な公平を完全な公平と呼ぶ流儀がある。この流儀では、正確な公平という用語で、各参加者獲得分の全体価値割合について全員の認識が一致する状況を表す。)
対象物に対する各自の価値評価法はさまざまでよいが、全員好きな対象物の場合、獲得物が全くない場合の評価値は0、一人で全体を獲得した場合の評価値は1、既得分に新規獲得分が追加された場合の評価値は、既得分の評価値と新規獲得分の和となる。獲得する対象物を無い状態から全体の状態までだんだん追加していくと、どの参加者の場合も評価値が0から1に連続的に変化する。