交点数 (代数幾何学)
O p ( A 2 ) = { f g ∈ K ( x , y ) : g ( p ) ≠ 0 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}(\mathbb {A} ^{2})=\left\{{\frac {f}{g}}\in K(x,y):g(p)\neq 0\right\}}
を用いてもよい。
別の交叉多重度の実現方法としては、2つの多項式 P と Q の終結式(resultant) から実現する方法がある。p が (0,0) である座標では、曲線は y = 0 以外に交点を持たず、x に関する P の次数は、P の全次数に等しいので、Ip(P, Q) は(P と Q を K[x] 上の多項式と見て) P と Q の終結式を割る y の最高次のべきとして定義することができる。
また、交叉多重度は、曲線を少し摂動したときに存在する異なる交叉の数としても実現できる。より正確には、P と Q が開集合 U の閉包の中で一度だけ交叉する曲線を定義するとすると、K の (ε, δ) からなるある稠密な集合に対し、P − ε と Q − δ は、U でちょうどある数 n 回なめらかで横断的に交叉する(つまり、ことなる接する直線をもつ)。Ip(P, Q) = n である。
で定義される。ここに、 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} は、X の x での局所環であり、次元は k-ベクトル空間としての次元である。このことは、局所環 k [ U ] m x {\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}} として計算することができる。ここに、 m x {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}} は、x でゼロとなる多項式の極大イデアルで、U は x を含み fi の特異点を含まない開アフィン集合である。
2. 一般の位置にある超曲面の交点数は、各々の交点の交点数の和として定義される。
( Z 1 ⋯ , Z n ) = ∑ x ∈ ∩ i Z i ( Z 1 ⋯ Z n ) x {\displaystyle (Z_{1}\cdots ,Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}
3. 線型性により有効因子へ定義を拡張すると、