超準解析
有限生成群とその有限な生成集合(であって対称的なもの)が与えられるとケイリーグラフと呼ばれる局所有限グラフが構成できる。このグラフにおいて「半径nの球体」の濃度 g ( n ) := ♯ S n {\displaystyle g(n):=\sharp S^{n}} を与える関数を成長度と呼ぶ。この関数自体は生成集合の取り方に依存するが、漸近的な性質はそれに依存しない。多項式成長度を持つ群に関するグロモフの定理(英語版)は、成長度が多項式で抑えられる有限生成群は、常に有限指数の冪零部分群を持つことを示したものである。ファン・デン・ドリスとウィルキー は、この証明に用いられるasymptotic coneと呼ばれる距離空間の構成や性質の証明に超準解析を応用した。Asymptotic coneは超極限(英語版)へと一般化されているが、これも超冪構成に基づくものであるから、超準解析的に構成することもできる。
ラリー・マネヴィッツとシュムエル・ワインバーガー(英語版)は変換群に関するある結果を証明する際に超準解析を使用した。有理円周群 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } は有限巡回群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } たちの和集合(より正確には余極限)と見做すことが出来る。
ニュートンとライプニッツによる無限小解析の最も初期の成果の多くは infinitesimal number や vanishing quantity といった表現を用いて定式化されていた。超実数の記事で注意されているように、それらの定式化はジョージ・バークリーなどから広く批判を受けた。無限小を使用した解析学の整合的な理論の構築が問題であったが、これを満足のいく仕方で成し遂げた最初の人物がアブラハム・ロビンソンである。
1958年にクルト・シュミーデンとデトレフ・ラウグヴィッツ(英語版)は論文 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ("An Extension of Infinitesimal Calculus") を出版した。この論文は無限小を含む環の構成法を提案したものである。この環は実数列達から構成される。2つの数列が同値と看做されるのは、それが高々有限個の要素だけ異なっているときである。算術演算は要素毎に定義される。しかしながら、このようにして構成された環は零因子を含み、よって体を成さない。
q {\displaystyle q} を q ( T ) {\displaystyle q(T)} がコンパクトとなるような一次以上の複素係数多項式とする。部分空間 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} は内的かつ超有限次元である。有限次元複素線形空間における上三角化可能性に対して移行原理を適用することで、 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} の内的な正規直交基 { e k } k = 1 , ... , w {\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1,\ldots ,w}} を上手く取ることにより、対応する k {\displaystyle k} -次元部分空間 E k {\displaystyle E_{k}} が ∗ T {\displaystyle {}^{\ast }T} -不変となるようにできる。 Π k {\displaystyle \Pi _{k}} で E k {\displaystyle E_{k}} への射影を表すものとする。ある有限ノルムの非ゼロベクトル x ∈ ∗ H {\displaystyle x\in {}^{\ast }H} に対し、 q ( ∗ T ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T)x} は非ゼロ、もしくは | q ( ∗ T ) x | > 1 {\displaystyle |q({}^{\ast }T)x|>1} と仮定して構わない。
アブラハム・ロビンソンとアレン・バーンスタイン(Allen Bernstein)は、ヒルベルト空間上のいかなる多項式的コンパクト線型作用素も不変部分空間を持つことを示すのに、超準解析を用いた。これは不変部分空間の問題(invariant subspace problem)を部分的に解決したもので、超準解析による最初期の非自明な応用(新しい定理の証明)である。
ヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 上の所与の作用素 T {\displaystyle T} に対して、 T {\displaystyle T} の反復による H {\displaystyle H} の点 v {\displaystyle v} の軌道を考える。グラム・シュミットの正規直交化法をこの軌道に適用することで H {\displaystyle H} の正規直交系 { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} が得られる。いま { H i } {\displaystyle \{H_{i}\}} を H {\displaystyle H} の"座標"部分空間からなる増大列とする。 T {\displaystyle T} の { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} に関する表現行列 { a i , j } {\displaystyle \{a_{i,j}\}} は殆ど上三角(almost upper diagonal)、つまり、係数 a i + 1 , i {\displaystyle a_{i+1,i}} だけが対角下(sub-diagonal)に於いて非零である。
このとき u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} が同値であるということを、それらが超フィルターに属す集合上で一致すること、あるいは同じことであるが、次の式によって定義する:
{ n ∈ N : u n = v n } ∈ F {\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}
この同値関係による R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} の商がひとつの超実数体(a hyperreal field) ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } を与える。この状況を簡単に ∗ R = R N / F {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}} と表す。この構成は F {\displaystyle F} による R {\displaystyle \mathbb {R} } の超冪と呼ばれる。
記号 ∗ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} } で超自然数の集合を表すものとする。拡大原理によれば、これは N {\displaystyle \mathbb {N} } の上位集合になっている。集合 ∗ N ∖ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} } は空でない。このことを見るためには、可算飽和性を次の内的集合の列に適用する:
A n = { k ∈ ∗ N : k ≥ n } {\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbb {N} }:k\geq n\}}
列 { A n } n ∈ N {\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は空でない減少列であるから、所望の結果を得る。
幾つかの定義から始める:超実数 r , s {\displaystyle r,s} が無限に近いとは、次が成り立つことをいう:
r ≅ s ⟺ ∀ θ ∈ R + , | r − s | ≤ θ {\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbb {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta }
超実数 r {\displaystyle r} が無限小(infinitesimal)であるとは、それが 0 に無限に近いことである。