ヤコビ行列
ここでは、f が D 上で C 級 (k ≥ 1) であるとする。
m = n のとき、f の p におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、f は 局所的に全単射となり、その逆関数は C 級であり、f (p ) でのヤコビ行列は Jf(p) の逆行列となる。 つまり、p を含むある領域 D' について、f の D' への制限
h := f | D ′ : D ′ → f ( D ′ ) {\displaystyle h:=f|_{D'}\colon D'\to f(D')}
が C 級全単射で、
J h − 1 ( h ( p ) ) = ( J h ( p ) ) − 1 {\displaystyle J_{h^{-1}}(h(p))=(J_{h}(p))^{-1}}
となる。
一方、Jf(p) が退化している(階数が落ちる)場合には、以下の二つの状況がありうる。
f は p のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が f(p) にて微分不可能 例x は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能
f は p のまわりで局所的にも全単射でない 例x は 0 付近で局所的にも全単射でない
この時、p を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。