スレイター行列式
スレイター行列式は、パウリの排他原理を全て満たしているが、その逆は成り立たない。すなわちパウリの排他原理を満たす関数は、スレイター行列式のみではないのである。
とはいっても、それらの関数は、スレイター行列式と大きくは違わない。単に複数のスレイター行列式の線形結合を取ったものなだけである。分子軌道を N 個から増やし、次のように表される。
Φ ( x 1 , ⋯ , x N ) = ∑ i c i ‖ χ i 1 ⋯ χ i N ‖ {\displaystyle \Phi (x_{1},\dotsb ,x_{N})=\sum _{\boldsymbol {i}}c_{\boldsymbol {i}}\Vert \chi _{i_{1}}\dotsb \chi _{i_{N}}\Vert }
これを複数スレイター行列式と呼び、パウリの排他原理はすべて、この形式を用いて展開できる。ただし任意の波動関数を表すためには、これらは完全系を成す必要がある。
同種の複数のフェルミ粒子からなる系の波動関数が満たすべき性質は次の3つである。
任意の2つの粒子の位置のラベルを交換すると符号が逆になる。
任意の2つの粒子が同じ座標を持つと0になる。(パウリの排他原理)
全ての粒子は区別できない。
これは行列式の以下の性質と良く似ている。
任意の2つの行、または列を交換すると符号が逆になる。
任意の2つの行、または列が同じ時は0になる。
全ての置換パターンが考慮される。
よって複数のフェルミ粒子から成る系の波動関数を表すときに、行列式を用いると便利であることが分かる。 実際、上記のスレイター行列式を見ると分かるように、フェルミ粒子の波動関数の性質を全て満たしていることが分かる。