尤度方程式
∂ l ( α , β , x ) ∂ β = − n α β + 1 β 2 ∑ i = 1 n x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \beta }}=-{\frac {n\alpha }{\beta }}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=0}
となる。 ここではψ(α)はガンマ関数の対数微分であるディガンマ関数を表す。これらを整理すると最尤推定値ˆβ、ˆαが満たすべき関係式
β ^ = 1 α ^ 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{\hat {\alpha }}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
α ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n exp  ( ψ ( α ^ ) ) {\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}}\exp {(\psi ({\hat {\alpha }}))}}
を得る。第二式を満たすˆαを数値的に求めれば、第一式よりˆβも定まる。