算術級数定理
L ( s , χ 0 ) = Q ( s ) 1 − q q s {\displaystyle L(s,\chi _{0})={\frac {Q(s)}{1-{\frac {q}{q^{s}}}}}}
は s = 1 + 2 π i n / log  q {\displaystyle s=1+2{\pi }in/\log {q}} に高々位数1の極を持つことを除き R s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で正則である。整数の素因数分解の一意性と χ ( n 1 ) χ ( n 2 ) = χ ( n 1 n 2 ) {\displaystyle \chi (n_{1})\chi (n_{2})=\chi (n_{1}n_{2})} により
L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = ∏ p ( 1 + ∑ k = 1 ∞ χ ( p k ) p k s ) = ∏ p 1 1 − χ ( p ) p s ( R s > 1 ) {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\chi (p^{k})}{p^{ks}}}\right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}\qquad (\Re {s}>1)}
と表され、これをエル関数のオイラー乗積表示という。
である。 χ ̄ ( k ) {\displaystyle {\overline {\chi }}(k)} を乗して総和を取り、ディリクレ指標の直交性により、
∑ χ χ ̄ ( k ) log  L ( s , χ ) = ∑ χ ∑ j = 1 d χ ̄ ( k ) χ ( j ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) ( s > 1 ) = ∑ χ ∑ j = 1 d χ ( j k ̄ ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) = φ ( d ) ∑ p ≡ k 1 p s + O ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(k)\log {L(s,\chi )}&=\sum _{\chi }\sum _{j=1}^{d}{\overline {\chi }}(k)\chi (j)\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\qquad (s>1)\\&=\sum _{\chi }\sum _{j=1}^{d}\chi (j{\overline {k}})\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\&=\varphi (d)\sum _{p\equiv {k}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\\end{aligned}}}