最大公約数
gcd ( n a − 1 , n b − 1 ) = n gcd ( a , b ) − 1 {\displaystyle \gcd(n^{a}-1,n^{b}-1)=n^{\gcd(a,b)}-1} が成り立つ。
∑ k = 1 n gcd ( k , n ) = n ∏ p ∣ n ( 1 + v p ( n ) ( 1 − p − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\gcd(k,n)=n\prod _{p\mid n}(1+v_{p}(n)(1-p^{-1}))} (ただし v p ( n ) {\displaystyle v_{p}(n)} は n {\displaystyle n} の p {\displaystyle p} 進付値)が成り立つ。
特に重要な事実として、組 ( N , ∣ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid )} は半順序集合であるのでハッセ図を書くことができ、さらに lcm {\displaystyle \operatorname {lcm} } と gcd {\displaystyle \gcd } をそれぞれ結びと交わりとすれば完備分配束を成し、 1 {\displaystyle 1} が最小元、 0 {\displaystyle 0} が最大元になる。したがって圏論的には lcm {\displaystyle \operatorname {lcm} } と gcd {\displaystyle \gcd } はそれぞれ余積と積に対応する。
. , a n ) = ( gcd ( a 1 , ... , a n ) ) = ( a 1 ) + ⋯ + ( a n ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})=(\gcd(a_{1},\dots ,a_{n}))=(a_{1})+\cdots +(a_{n})} が成り立ち、より強く多項式環やガウス整数環のようなユークリッド整域であればユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求めることができる。この観点では自然数 a , b {\displaystyle a,b} の最大公約数が有理整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } のイデアル ( a ) + ( b ) {\displaystyle (a)+(b)} すなわち ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} の正の生成元であるので、初等的には gcd ( a , b ) {\displaystyle \gcd(a,b)} を ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} と書くことが正当化されていると解釈できる。特に、空集合の生成するイデアルが零イデアルであることから、空集合の最大公約数はやはり 0 {\displaystyle 0} である。