余弦定理
第二余弦定理は第一余弦定理と同値となる。ここではそれも含めた証明を行う。
△ABC で底辺を BC としたときの高さが
b sin γ = c sin β
であることに着目する。
第一余弦定理 a = b cos γ + c cos β
の平方から b sin γ − c sin β (= 0) を取り出すように式変形すると、
a 2 = ( b cos  γ + c cos  β ) 2 = b 2 cos 2  γ + 2 b c cos  γ cos  β + c 2 cos 2  β = b 2 ( 1 − sin 2  γ ) + 2 b c cos  γ cos  β + c 2 ( 1 − sin 2  β ) ( ∵ cos 2  γ + sin 2  γ = cos 2  β + sin 2  β = 1 ) = − ( b 2 sin 2  γ + c 2 sin 2  β ) + b 2 + c 2 + 2 b c cos  β cos  γ = − ( b sin  γ − c sin  β ) 2 − 2 b c sin  γ sin  β + b 2 + c 2 + 2 b c cos  β cos  γ = − 0 2 + b 2 + c 2 + 2 b c ( cos  β cos  γ − sin  β sin  γ ) = b 2 + c 2 − 2 b c cos  α .