平行移動 (リーマン幾何学)
滑らかな多様体M を考える。 M の接バンドル の接続はアフィン接続と呼ばれ (アフィン)測地線 と呼ばれる曲線のクラスを規定する(Kobayashi & Nomizu, Volume 1, Chapter III)。
滑らかな曲線 γ: I → M がアフィン測地線であるとは、「 γ ̇ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} 」が、「 γ {\displaystyle \gamma } に沿った平行移動」に等しいことである。即ち、以下が成り立つときに、これはアフィン測地線であると言われる。
Γ ( γ ) s t γ ̇ ( s ) = γ ̇ ( t ) . {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}
時間に関して微分を取ると、これは、より簡単な形になる。
∇ γ ̇ ( t ) γ ̇ = 0. {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}
∇ がmetric connectionであれば、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の意味での測地線であり、その曲線の弧長は局所には最小である。 より正確には、まず、γ: I → M, 、 I は開区間としたときに、もしこれが測地線であれば γ ̇ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} のノルムはI上で一定である。確かに、
d d t ⟨ γ ̇ ( t ) , γ ̇ ( t ) ⟩ = 2 ⟨ ∇ γ ̇ ( t ) γ ̇ ( t ) , γ ̇ ( t ) ⟩ = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.