環の局所化
局所化 SR の性質をいくつか挙げる。
可換環 R と R の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の R における補集合 R ∖ p {\displaystyle R\setminus {\mathfrak {p}}} は積閉集合で、対応する局所化を R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} であらわす。このとき、 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} の唯一の極大イデアルは p R p = { r / s ∣ r ∈ p , s ∈ R ∖ p } {\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\{r/s\mid r\in {\mathfrak {p}},s\in R\setminus {\mathfrak {p}}\}} に等しい。よって R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} は局所環である。
SR = {0} となる必要十分条件は S が零元 0 を含むことである。
環準同型 R → SR が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。
SR の素イデアル全体の成す集合と、R の S と交わらない素イデアル全体の成す集合との間には全単射が存在する。この全単射は 環準同型 R → SR によって誘導される。