ストーン双対性
最後に、完備ハイティング代数が「空間的」である事の定義を述べる。 完備ハイティング代数F が空間的であるとは、以下の性質を満たす事を言う:
a ≦ b ではない任意のa , b ∈ F に対し、あるf ∈pt(F )が存在し、f (a )=1かつ f (b ) = 0が成立する。
F =Ω(X )と表記できているときは、上述のa, bは a ⊄ b {\displaystyle a\not \subset b} を満たす開集合であるのでx ∈X でx ∈ a かつ x ∉ b {\displaystyle x\notin b} となる元が存在する。したがってf =Ω(px )とすればたしかにf (a )=1かつ f (b ) = 0が成立する。
ストーン双対性の定式化で登場するもう一つの圏は、空間的完備ハイティング代数というある種の束を対象とする圏SFrmである。ハイティング代数とその圏の定義を述べる為まず束の定義とその性質を述べる。
定義(束とその性質) ― 順序集合Fが束(lattice)であるとは任意のa 、b ∈ F に対しa∨b := sup(a,b)、a∧b := inf(a,b)が常に存在する事をいう。F が完備束(complete lattice)であるとはF の任意の部分集合A に対しsup(A )とinf(A )が存在する事をいう。F が有界束(bounded lattice)であるとはF に最大元と最小元が存在する事を指す。(最大元と最小元を以下それぞれ1、0と表す)。
ハイティング代数は有界束の一種として定義される。なお束である(すなわち順序集合である)にもかかわらず空間的完備ハイティング「代数」という名称なのは a∨b := sup(a, b), a∧b := inf(a, b) をそれぞれ乗算と加算とみなす事で束を代数だとみなせるからである。
ハイティング代数はブール代数を一般化した有界束であり、ブール代数と同様「a ∨b 」と「a ∧b 」が定義でき、さらに「IF a THEN b 」を意味する「a →b 」が定義できるという特徴を持っている。
位相空間X 上の開集合全体の集合をΩ(X )とすると、Ω(X )は包含関係に関して半順序集合をなす。 しかもΩ(X )は和集合と共通部分について閉じているのでΩ(X )は束であり、 さらに詳しく調べると、Ω(X )は必ず「完備ハイティング代数」という種類の束になる事が示せる。 したがってX にΩ(X )を対応させる事で位相空間に完備ハイティング代数を対応させる事ができる。
ストーン双対性は、位相空間としてある種の弱い性質(sober性)を満たすものに限定し、さらに完備ハイティング代数の方も「空間的」という性質を満たすものに限定するとこの対応関係がいわば「全単射」になるという趣旨の定理である。
ストーン双対性の厳密な定式化には圏論の言葉を用いる必要があるので、まずは圏の概念を簡単に紹介する。 圏(category)とは「対象」の集まりと「射」 の集まりの組の事で、対象 (object)とは直観的には研究対象となる集合の事を指し、射 (morphism)とは対象から対象への写像の事を指す。例えば位相空間の圏Topの対象と射はそれぞれ位相空間と連続写像であり、群の圏Grpの対象と射はそれぞれ群と群準同型写像である。
以下の章で、ストーン双対性の記述に必要な概念を順に述べていく。