トッド類
詳細は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理を参照。
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、コンパクトな複素多様体X上の任意の正則ベクトル束Eに対して、層係数コホモロジー内にあるEの正則オイラー標数、すなわち複素ベクトル空間としての次元の交代和を計算するために適用する。
χ ( F ) := ∑ i = 0 dim C M ( − 1 ) i dim C H i ( F ) , {\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(F),}
この定理は、E のチャーン類と X のトッド類(正しくはX の接ベクトル束のトッド類)からオイラー数 χ(X, E) が導かれることを示している。E のチャーン指標を ch(E) とおき、X のトッド類を td(X) とすると、定理は 以下のように書ける。
χ ( X , E ) = ∫ X ch  ( E ) td  ( X ) {\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}
ここでのtd(X)が、Xの接ベクトル束のトッド類である。
上の公式は、トッド類がある意味で特性類の逆数であるという曖昧な概念を、正確に表したものとなっている。