基底 (線型代数学)
有限ベクトル空間 V {\displaystyle V} の一次独立な部分集合 S {\displaystyle S} に対し、 V {\displaystyle V} の基底 S + n = S ∪ { v 1 , . . . , v n ∈ span  ( S ) ̄ } ⊂ V {\displaystyle S_{+n}=S\cup \{{\boldsymbol {v}}_{1},...,{\boldsymbol {v}}_{n}\in {\overline {\operatorname {span} (S)}}\}\subset V} が常に存在する。これを基底の延長定理という。これは「S を基底に延長(拡張)する」という意味を持つ。
この定理は次のように証明できる(概略)。一次独立な S ⊂ V {\displaystyle S\subset V} が張る部分空間 span  ( S ) {\displaystyle \operatorname {span} (S)} について、その補集合 span  ( S ) ̄ {\displaystyle {\overline {\operatorname {span} (S)}}} の任意の元 v 1 {\displaystyle {\boldsymbol {v_{1}}}} は S {\displaystyle S} の線形結合で表現できないため S + 1 = S ∪ { v 1 } {\displaystyle S_{+1}=S\cup \{{\boldsymbol {v_{1}}}\}} もまた一次独立になる。
定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R を生成することとを示す。 線型独立性実数 a, b に対して線型関係 a ( 1 , 1 ) + b ( − 1 , 2 ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)} が成り立つとすると、(a − b, a + 2b) = (0, 0), 即ち { a − b = 0 a + 2 b = 0 {\displaystyle {\begin{cases}a-b=0\\a+2b=0\end{cases}}} となり、辺々引いて b = 0, これを代入して a = 0 を得る。故に線型独立性が示せた。
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底(ゲオルク・ハメル(英語版)に由来)や代数基底という用語が用いられる。(ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。)これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底(英語版)およびマルクシェヴィチ基底(英語版)が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間(位相線型空間)を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間(つまりバナッハ空間)のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ‖x‖ = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。