カーレマン行列
これまでに紹介した行列は、次の基本的な関係式を満たす。
M [ f ∘ g ] = M [ f ] M [ g ] , {\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g],}
B [ f ∘ g ] = B [ g ] B [ f ] . {\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f].}
このことよりカーレマン行列 M は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の(順)表現であり、ベル行列 B は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の逆表現(anti-representation)である。ここで項 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} は函数の合成 f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} を意味する。
その他の性質には、次のようなものがある。
M [ f n ] = M [ f ] n {\displaystyle M[f^{n}]=M[f]^{n}} 。但し f n {\displaystyle f^{n}} は反復函数。
M [ f − 1 ] = M [ f ] − 1 {\displaystyle M[f^{-1}]=M[f]^{-1}} 。但し f − 1 {\displaystyle f^{-1}} は(カーレマン行列が可逆であるなら)逆函数。