逆三角関数
これらの2番目は cut 複素平面において有効である。−i から虚軸を下がって無限の点までと i から虚軸を上がって無限の点までの2つの cut がある。それは −1 から 1 まで走る実数に対して最もよく働く。部分分母は奇数であり部分分子は(最初の後)単に (nz) であり各完全平方が一度現れる。1つ目はレオンハルト・オイラーによって開発された。2つ目はガウスの超幾何級数(英語版)を利用してカール・フリードリヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauss) によって開発された。
実および複素値 x に対して:
∫ arcsin  x d x = x arcsin  x + 1 − x 2 + C ∫ arccos  x d x = x arccos  x − 1 − x 2 + C ∫ arctan  x d x = x arctan  x − 1 2 log  ( 1 + x 2 ) + C ∫ arccot  x d x = x arccot  x + 1 2 log  ( 1 + x 2 ) + C ∫ arcsec  x d x = x arcsec  x − log  [ x ( 1 + x 2 − 1 x 2 ) ] + C ∫ arccsc  x d x = x arccsc  x + log  [ x ( 1 + x 2 − 1 x 2 ) ] + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}
∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u} を用いて、
u = arcsin  x d v = d x d u = d x 1 − x 2 v = x {\displaystyle {\begin{aligned}u&=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad v=x\end{aligned}}}
とおく。すると
∫ arcsin  x d x = x arcsin  x − ∫ x 1 − x 2 d x {\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}