準正規作用素
ヒルベルト空間 H 上の有界作用素 A が非自明な部分空間を持つかという問題は、一般には明らかでないが、A が正規の場合には肯定的な解答がスペクトル定理によって与えられる。実際、任意の正規作用素 A は A のスペクトル σ(A) 上定義されるスペクトル測度 E = {EB} に関する恒等作用素の積分
A = ∫ σ ( A ) λ d E ( λ ) {\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE(\lambda )}
として得られるが、任意のボレル集合 B ⊂ σ(A) に対する射影 EB が A と可換となるから、従って EB の像が A-不変部分空間になる。
これと同じ論法が準正規作用素に対しても直接的に拡張できる。つまり、A が AA と可換であることは A が (AA) と可換であることと同値であったが、これはつまり A が (AA) のスペクトル測度に関する任意の射影 EB と可換であることを導くから、これにより不変部分空間が得られるのである。実はこれよりももっと強いことが言えて、EB の像は実際には A の縮小部分空間 (reducing subspace)、つまり直交補空間もまた A-不変となるような部分空間になる。
作用素論における準正規作用素(じゅんせいきさようそ、英: quasinormal operator)は正規作用素の条件を緩めた定義を持つ有界作用素のクラスである。
任意の準正規作用素は部分正規(英語版) (subnormal) であり、また有限次元ヒルベルト空間の準正規作用素は必ず正規である。