小行列式
A A ~ = A ~ A = ( det ( A ) ) I {\displaystyle A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I}
特に、det(A) ≠ 0, つまり A が正則のとき、A の逆行列は余因子行列に A の行列式の逆数を掛けたものである:
A − 1 = 1 det ( A ) A ~ {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}}
上の公式は次のように一般化できる:
n次正方行列に対して、k (≤ n) 個ずつの添え字集合(小さい順とする)を
I = {i1, i2, ..., ik} ただし 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n
J = {j1, j2, ..., jk} ただし 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n
とすると
[ A − 1 ] I , J = ( − 1 ) ∑ s = 1 k i s + ∑ s = 1 k j s det A [ A ] J ′ , I ′ {\displaystyle [A^{-1}]_{I,J}={\frac {(-1)^{\sum \limits _{s=1}^{k}i_{s}+\sum \limits _{s=1}^{k}j_{s}}}{\det A}}[A]_{J',I'}}
ただし e 1 , ⋯ , e n {\displaystyle e_{1},\cdots ,e_{n}} は基底ベクトルである。A を両辺に作用させると
[ A − 1 ] I , J det A ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = ± ( e j 1 ) ∧ ⋯ ∧ ( e j k ) ∧ ( A e i 1 ′ ) ∧ ⋯ ∧ ( A e i n − k ′ ) = ± [ A ] J ′ , I ′ ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) {\displaystyle {\begin{aligned}{}[A^{-1}]_{I,J}\det A(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})&=\pm (e_{j_{1}})\wedge \cdots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (Ae_{i'_{1}})\wedge \cdots \wedge (Ae_{i'_{n-k}})\\&=\pm [A]_{J',I'}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})\end{aligned}}}
符号は ( − 1 ) ∑ s = 1 k i s + ∑ s = 1 k j s {\displaystyle (-1)^{\sum \limits _{s=1}^{k}i_{s}+\sum \limits _{s=1}^{k}j_{s}}} であることが計算できる。(証明終)