コンパクト空間
ここで B ε ( y ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(y)} は点yのε-近傍を表す。
この δ x {\displaystyle \delta _{x}} はxに依存しているが、もしも正数 ε {\displaystyle \varepsilon } を与えたときに f ( B δ ( x ) ) ⊂ B ε ( f ( x ) ) {\displaystyle f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(f(x))} を満たす正数δが点xに依らずに選べるのであれば f {\displaystyle f} の X {\displaystyle X} における一様連続性が言える。そのようなδを見つける単純な方法は
δ = inf x ∈ X δ x {\displaystyle \delta =\inf _{x\in X}\delta _{x}}
とする事だが、xの選択は無限にあるので、δは0になる可能性があるからうまくいかない。
そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆 S = { B δ x / 2 ( x ) | x ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{B_{\delta _{x}/2}(x)|x\in X\}} の有限部分被覆 T = { B δ x i / 2 ( x i ) | i = 1 , .
A=Bであり、任意のα∈A=Bに対し、 { x ∈ X ∣ f α ( x ) ≠ 0 } ⊂ O α {\displaystyle \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}\subset O_{\alpha }} が成立するとき、(fα)α∈Aは ( O τ ) τ ∈ T {\displaystyle (O_{\tau })_{\tau \in T}} に正確に従属する(英: precisely subordinate)という。
パラコンパクトな空間は開被覆に従属する1の分割で特徴づけられる:
定理 (1の分割によるパラコンパクトの特徴づけ) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がハウスドルフ空間であるとき、下記の条件は全て同値である:
Xはパラコンパクト
Xの任意の開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に従属する1の分割が存在する。
Xの任意の開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に正確に従属する1の分割が存在する。
コンパクトな位相空間の部分集合に関し、以下が言える:
コンパクト空間の部分集合が閉集合ならコンパクトである。
ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合である。
したがってコンパクトかつハウスドルフな位相空間(コンパクトハウスドルフ空間)では部分集合Aが閉集合である事とAがコンパクトである事は同値である。
これらの概念は以下のように定義される。点列コンパクトの定義は前の章ですでに述べたがが再掲している:
これらの概念は以下の関係性を満たす:
定理 ― コンパクト⇒点列コンパクト⇒可算コンパクト⇒擬コンパクト。
擬距離化可能な空間ではこれら4つの概念は同値である:
定理 (擬距離化可能空間における同値性) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。 Xが擬距離化可能空間であれば、コンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトは同値。
Xが擬距離化可能とは限らない場合はこれらは同値とは限らないが、以下のような関係を満たす:
定理 ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。
Xが第一可算公理を満せば、Xの点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値。
Xがパラコンパクト(後述)で擬コンパクトならコンパクト。
定義 (ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が以下の性質を満たすとき、 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} はコンパクトであるという:
(有向点族に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性) X上の任意の有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} のある部分有向点族 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} とx∈Xが存在し、 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} はx∈Xに収束する
上記の定義は、 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 上の有界閉集合に関するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を有向点族に自然に拡張したものである:
定理 (ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理) ― X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbf {R} ^{n}} が有界閉集合であるとき、X上の任意の点列は収束する部分列を持つ。
なお、コンパクトの定義において、元々のボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と同様、有向点族ではなく点列に対してのみ収束部分列を要求したものを点列コンパクト性と呼ぶが、点列コンパクト性は距離空間においてはコンパクト性と同値(より一般的に擬距離空間でも同値)であるものの、無条件にはこの同値性は成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。
すでに述べたようにコンパクト性には2種類の同値な定義がある。本章ではこの2つの定義のうち、ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定義について述べる。