圏同値
1つの対象 c と1つの射 1c を持つ圏 C と2つの対象 d1, d2 と4つの射 (2つの恒等射 1d1, 1d2 と2つの同型射 α : d1 → d2、β : d2 → d1) を持つ圏 D を考える。C, D は圏同値である。たとえば、c を d1 に移す関手 F と D のすべての対象を c に移し、すべての射を 1c に移す関手 G を取れば良い。
一方、1つの対象と1つの射を持つ圏 C と2つの対象と2つの恒等射のみを持つ圏 E は E の2つの対象が同型ではないので、圏同値ではない。
任意の D の対象 d は C のある対象 c の像 Fc と同型
随伴関手と密接に関連する概念もある。 関手 F : C → D, G : D → C について次の3つの条件は同値である。
自然同型 FG → ID, IC → GF が存在する
F は G の左随伴関手で、ふたつの関手は充満かつ忠実である
G は F の右随伴関手で、ふたつの関手は充満かつ忠実である
したがってふたつの関手の間の随伴性は「非常に弱い形の同値関係」と見ることもできる。 随伴関手の間の自然変換が与えられているとすると、これらすべての定式化から必要な情報を明示的に構成することができて、どれを選ぶか決める必要がない。 ここで証明しなければならない要となる性質は随伴の counit が同型である必要十分条件が右随伴が充満かつ忠実となることである。