ハミルトニアン
3次元空間の1質点系で、ポテンシャル場 U による保存力が作用する場合を考える。このとき、ハミルトニアンは
H = 1 2 m ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) + U ( x , y , z ) {\displaystyle H={1 \over {2m}}({p_{x}}^{2}+{p_{y}}^{2}+{p_{z}}^{2})+U(x,y,z)}
となる。U は時間 t に依存しないので、H も t に対して不変である。極座標 (r , θ, φ) による表示を行えば
T = m 2 ( r ̇ 2 + r 2 θ ̇ 2 + r 2 sin 2  θ φ ̇ 2 ) , p r = ∂ T ∂ r ̇ = m r ̇ , p θ = ∂ T ∂ θ ̇ = m r 2 θ ̇ , p φ = ∂ T ∂ φ ̇ = m r 2 sin 2  θ φ ̇ {\displaystyle {\begin{aligned}&T={m \over 2}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}^{2}),\\&p_{r}={{\partial T} \over {\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}},\quad p_{\theta }={{\partial T} \over {\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }},\quad p_{\phi }={{\partial T} \over {\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}\end{aligned}}}
より、
H = 1 2 m ( p r 2 + 1 r 2 p θ 2 + 1 r 2 sin 2  θ p φ 2 ) + U ( r , θ , φ ) {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)+U(r,\theta ,\phi )}
となる。また、正準量子化すると
H ^ = − ħ 2 2 m ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) + U ( x , y , z ) {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+U(x,y,z)}
となる。