古典電磁気学の共変定式
空間部分がローレンツ力である電磁気による力の密度は、次で与えられる。
f α = F α β J β . {\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}
そしてこれは電磁気応力 - エネルギーテンソルと次のような関係にある。
f α = − T α β , β ≡ − ∂ T α β ∂ x β . {\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}
電荷に力を及ぼす場である電場の強度 E と磁束密度 B は、ニュートン的な空間においてそれぞれ極性ベクトルと軸性ベクトルとして振舞う。 相対論的な時空においては2階の反対称テンソルとして振舞う電磁場強度
F μ ν ( x ) = ( E / c , B ) {\displaystyle F^{\mu \nu }(x)=({\boldsymbol {E}}/c,{\boldsymbol {B}})}
となる。 電磁場強度は4元ポテンシャルの微分
F μ ν ( x ) = ∂ μ A ν ( x ) − ∂ ν A μ ( x ) {\displaystyle F_{\mu \nu }(x)=\partial _{\mu }A_{\nu }(x)-\partial _{\nu }A_{\mu }(x)}
により定義される。
完全反対称テンソル ε により電磁場強度の双対テンソルが
粒子の運動を記述する媒介変数を λ として、粒子の位置が
x μ = X μ ( λ ) {\displaystyle x^{\mu }=X^{\mu }(\lambda )}
で表されるとき、自由粒子のラグランジュ関数に対して、4元運動量が
p μ ( λ ) = ∂ L X ∂ X ̇ μ {\displaystyle p_{\mu }(\lambda )={\frac {\partial L_{X}}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}}
で定義される。4元運動量の成分は
p μ ( λ ) = ( E / c , p ) {\displaystyle p^{\mu }(\lambda )=(E/c,{\boldsymbol {p}})}
である。