二項検定
片側検定の場合、これは素直に計算できる。いま検定したいものが π < π 0 {\displaystyle \pi <\pi _{0}} かどうかであると仮定すると、 p {\displaystyle p} 値は以下のようになる:
p = ∑ i = 0 k P r ( X = i ) = ∑ i = 0 k ( n i ) π 0 i ( 1 − π 0 ) n − i {\displaystyle p=\sum _{i=0}^{k}Pr(X=i)=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\pi _{0}^{i}(1-\pi _{0})^{n-i}}
また、 π > π 0 {\displaystyle \pi >\pi _{0}} についても同様の計算を行うことができる。
両側検定の p {\displaystyle p} 値の計算はこれよりも少し複雑になる。なぜならば、二項分布は π 0 ≠ 0.5 {\displaystyle \pi _{0}\neq 0.
5} のとき対称ではないため、単に片側検定の p {\displaystyle p} 値を 2 倍にすればよいわけではないからである。ここで、我々が対象としたい事象は観測されたものと同じかそれ以上に極端な事象であることを思い出すと、結局、我々が考慮すべき確率は、 X = k {\displaystyle X=k} と同じかそれよりも起こりにくい事象が得られる確率である。そのような事象の全体を I = { i : P r ( X = i ) ≤ P r ( X = k ) } {\displaystyle {\mathcal {I}}=\{i:Pr(X=i)\leq Pr(X=k)\}} とおくと、両側検定の p {\displaystyle p} 値は次のように計算できる:
p = ∑ i ∈ I P r ( X = i ) = ∑ i ∈ I ( n i ) π 0 i ( 1 − π 0 ) n − i {\displaystyle p=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}Pr(X=i)=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}{\binom {n}{i}}\pi _{0}^{i}(1-\pi _{0})^{n-i}}