選点法
例として、上記の常微分方程式に対し点 c1 = 0 と c2 = 1 を選ぶとしよう(よって n = 2)。近似解 p(t) は2次多項式であり、選点法による方程式
p ( t 0 ) = y 0 , {\displaystyle p(t_{0})=y_{0},\,}
p ′ ( t 0 ) = f ( t 0 , p ( t 0 ) ) , {\displaystyle p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,}
p ′ ( t 0 + h ) = f ( t 0 + h , p ( t 0 + h ) ) {\displaystyle p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))\,}
を満足する。計算を簡単にするために、p を以下の形で書く。
p ( t ) = α ( t − t 0 ) 2 + β ( t − t 0 ) + γ {\displaystyle p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,}
上記の方程式系を用いて未知の係数を解くと
α = 1 2 h ( f ( t 0 + h , p ( t 0 + h ) ) − f ( t 0 , p ( t 0 ) ) ) , β = f ( t 0 , p ( t 0 ) ) , γ = y 0 .
区間 [t0, t0 + h] 上の常微分方程式の初期値問題を以下のように定める。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}
解候補の空間を n 次以下の多項式からなるベクトル空間とし、点 0 ≤ c1 < c2 < ... < cn ≤ 1 を選ぶ(時々、ck も選点と呼ばれるが、方程式の定義域が [0,1] とは限らないので最初に述べた選点とは少し違う定義となる)。
それらの点に対応する選点法による近似(多項式)解 p(t) は、初期値条件 p(t0) = y0 と選点 tk = t0 + ckh (1 ≤ k ≤ n) での微分方程式 p'(tk) = f (tk, p(tk)) を満足する。そのように与えられた方程式の数は n+1 であり、p の未知係数の数と一致する。そのため、近似解は一意に定められる。したがって、最後の時刻 t0 + h での近似解は p(t0 + h) となる。
以上のような方法は実際にすべて陰的ルンゲ=クッタ法であり、以下のブッチャー配列で与えられる。