作用素
..) は実は自乗総和可能数列の成す無限次元ベクトル空間 l のベクトルであり、フーリエ級数を線型作用素と見做すことができる。一般の函数 R → C の場合には、変換は積分
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }}
の形を取る。同様の積分作用素として、微分方程式の解法に良く用いられるラプラス変換は f = f(s) に対して
F ( s ) = ( L f ) ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle F(s)=({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}
を割り当てる。