数論的関数
数論的関数 f ( n ) , g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n),\ g(n)} に対して、ディリクレ積 f ∗ g {\displaystyle f*g} を
( f ∗ g ) ( n ) = ∑ d ≥ 1 , d | n f ( d ) g ( n / d ) {\displaystyle (f*g)(n)=\!\!\!\sum _{d\geq 1,\ d|n}\!\!\!f(d)g(n/d)}
と定めると、 f ∗ g {\displaystyle f*g} は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。
乗法的関数 f ( n ) , g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n),\ g(n)} に対して、ディリクレ積 f ∗ g {\displaystyle f*g} で得られた数論的関数は乗法的関数となる。
数論的関数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} が、ある正数 C と、数論的関数 g ( n ) {\displaystyle g(n)} が存在して、 f ( n ) = C g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n)=C^{g(n)}} と表されるとする。すると、 f ( n ) {\displaystyle f(n)} が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、 g ( n ) {\displaystyle g(n)} は(完全)加法的関数である。