局所凸位相ベクトル空間
半ノルムの族 {pα}α がトータル(total)あるいは分離(separated)であるとは、すべての α に対して pα(x) = 0 が成り立つときは常に x が 0 となることを言う。局所凸空間がハウスドルフであるための必要十分条件は、それが半ノルムの分離族を持つことである。多くの研究者はハウスドルフの条件を定義に含めている。
擬距離は距離の一般化で、d(x, y) = 0 が成り立つのは x = y の場合に限る、という条件を満たさないものである。局所凸空間が、擬距離によってその位相が生じるという意味で擬距離化可能であるための必要十分条件は、それが可算個の半ノルムの族を持つことである。実際、同一の位相を導く擬距離はこのとき
d ( x , y ) = ∑ n ∞ 1 2 n p n ( x − y ) 1 + p n ( x − y ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}
で与えられる(ここで 1/2 は任意の正の総和可能な列 an で置き換えることが出来る)。この擬距離は平行移動不変であるが、d(kx, ky) ≠ |k|d(x, y) となるという意味で非同次であり、したがって(擬)ノルムを定義することは無い。
局所凸空間はベクトル空間であるとともに位相空間であるので、二つの局所凸空間の間で考えられる自然な函数は連続線型写像である。半ノルムを用いることで、線型写像の連続性に対する必要十分条件は、バナッハ空間に対して知られているより有名な有界性の条件と非常に似たものとして与えられる。
それぞれ半ノルムの族 {pα}α および {qβ}β を備える局所凸空間 V および W が与えられたとき、ある線型写像 T : V → W が連続であるための必要十分条件は、すべての β に対して、V 内のすべての v が
q β ( T v ) ≤ M ( p α 1 ( v ) + ⋯ + p α n ( v ) ) {\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right)}
を満たすような α1, α2, ..., αn および M > 0 が存在することである。これを言い換えると、T の値域の各半ノルムが定義域内の半ノルムのある有限和によって上から評価される、となる。族 {pα}α が有向族で、上述のように向き付けられるように常に選ばれるなら、上の式はより簡単かつ有名な次の形になる:
q β ( T v ) ≤ M p α ( v ) . {\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}
すべての局所凸位相ベクトル空間の類は、射としての連続線型写像を伴う圏を形成する。