ディリクレ級数
数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} を係数とするディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}
を、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の(ディリクレ級数で表された)母関数という。
数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の数論的性質が母関数の性質から導かれることがしばしばあり、母関数は、数学の対象として大変重要なものである。(母関数も参照のこと)
特に、乗法的関数である数論的関数に対して、母関数をディリクレ級数の形で表すことが多い。 それは、母関数が以下で述べるオイラー積表示を持つからである。
a ( n ) {\displaystyle a(n)} を乗法的関数である数論的関数としたとき、
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}