尖点表現
G(A) の任意の真の抛物型部分群に関する任意の冪単根基 U に対して ∫ U ( K ) ∖ U ( A ) f ( u g ) d u = 0 {\displaystyle \int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0} を満たす。
この空間を G(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間に属する函数を尖点函数と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A) の尖点函数 f への作用を
( g ⋅ f ) ( x ) = f ( x g ) {\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(xg)}
で与えることにより、アデール代数群 G(A) のユニタリ表現になる。中心指標 ω を持つ尖点形式の空間はヒルベルト空間の直和
L 0 2 ( G ( K ) ∖ G ( A ) , ω ) = ⨁ ( π , V π ) ^ m π V π {\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }}
に分解される。ここで和は L20(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現 に亘ってとるものとし、mπ は正の整数とする(つまり、各既約表現は有限な重複度で現れる)。G(A) の尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。
上記の分解に現れる重複度 mπ が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。