マシュー函数
q {\displaystyle q} が与えられたとき、特性値(characteristic value)と呼ばれる a {\displaystyle a} の可算個の多くの特別な値に対して、マシュー方程式は周期が 2 π {\displaystyle 2\pi } であるような周期解を許す。マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の各々の特性値は、自然数 n に対して a n ( q ) , b n ( q ) {\displaystyle a_{n}(q),\,b_{n}(q)} と記述される。そのようなマシュー余弦函数およびマシュー正弦函数が周期的である特殊例はしばしば C E ( n , q , x ) , S E ( n , q , x ) {\displaystyle CE(n,q,x),\,SE(n,q,x)} と書かれる。しかし、それらは伝統的には異なる正規化(それらの L ノルムが π {\displaystyle \pi } に等しいような正規化)によって与えられている。
マシューの微分方程式(Mathieu's differential equation)の標準形は次のようなものである。
d 2 y d x 2 + [ a − 2 q cos  ( 2 x ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0.}
このマシュー方程式は、ただ一つの調和モードを持つヒル方程式である。
この方程式と密接に関連するのは、次のようなマシューの修正微分方程式(Mathieu's modified differential equation)である。
d 2 y d u 2 − [ a − 2 q cosh  ( 2 u ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{du^{2}}}-[a-2q\cosh(2u)]y=0.}
これは u = i x {\displaystyle u=ix} を代入することで従う。
これら二つの方程式は、二次元のヘルムホルツ方程式を楕円座標系(英語版)で表現し、二変数に分離することで得られる 。