剰余環
剰余環 R[X]/(X), R[X]/(X + 1), R[X]/(X − 1) はどれも R に同型だから、さほど面白いことにはならないが、剰余環 R[X]/(X) は幾何代数において二重数 (dual number) と呼ばれる二次元の対象を定める。これは R[X] の元を X で割った「余り」としての線型二項式のみからなる。このような異種複素平面が生じることは、二重数の存在を際立たせるのに十分である。
さらに剰余環 R[X]/(X − 1) は二つの剰余環 R[X]/(X + 1) および R[X]/(X − 1) に分解するので、これを分解型複素数環といい、しばしば環の直和 R ⊕ R と同一視される。 その一方で、これにより双曲線上へ複素数構造を持ち込むことができ、通常の複素数が回転を表現するのと同様に分解型複素数の演算と双曲的回転が結びつくので、双曲的回転の平面線型代数が自然に行える。
環 R のイデアルと剰余環 R/I のイデアルの間には密接な関係がある(対応定理)。すなわち、自然な射影を考えることにより、R の I を含む両側イデアルと R/I の両側イデアルとの間に一対一対応がつく(「両側イデアル」を「左イデアル」や「右イデアル」にいっせいに取り替えても同じことが成り立つ)。このイデアルの間の対応関係は対応する剰余環の間の対応関係に拡張することができる。すなわち、M を I を含む R の両側イデアルとし、これに対応する R/I のイデアルを M/I(= π(M)) と書けば、写像
a + M ↦ ( a + I ) + M / I {\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}
は矛盾無く定まり、剰余環 R/M と (R/I)/(M/I) は自然同型となる。
可換代数学および代数幾何学において以下のような言及がよく用いられる。R(≠ {0}) は可換環とするとき、I がその極大イデアルならば剰余環 R/I は可換体であり、I が素イデアルならば R/I は整域である。イデアル I の性質から決まる剰余環 R/I の性質について、同様なものがいくつか知られている。
中国の剰余定理の主張は、イデアル I がどの二つもに互いに素なイデアル I1, ..., Ik の交わりになっている(あるいは同じことだが、積になっている)ならば剰余環についての同型
R / I ≃ R / I 1 × ⋯ × R / I k {\displaystyle R/I\simeq R/I_{1}\times \cdots \times R/I_{k}}
が成り立つということである。