クラスター展開
異なる次数の項に注目すると、第一項のゼロ次の項は一体相互作用、第二項は二体間相互作用、第三項は三体間の相互作用、以降も同様にそれぞれの項は相互作用の複雑さで分けられていることが分かる。
このように、展開の各項は決まった数の粒子の集まり(クラスター)の内部での相互作用を表していると考えられ、この物理的解釈から、この方法はクラスター展開と呼ばれる。
配置積分 Q の中身をクラスター展開して積分すると、Q として次の級数を得る。
Q = 1 V N ∫ ∏ k d r → k { 1 + ∑ i = 1 , i < j N f i , j + ∑ i = 1 , i < j , m = 1 , m < n i < m o r j < n N f i , j f m , n + ⋯ } = 1 + N V α 1 + N ( N − 1 ) 2 V 2 α 2 + ⋯ . {\displaystyle {\big .}{\begin{aligned}Q&={\frac {1}{V^{N}}}\int \prod _{k}d{\vec {r}}_{k}\left\{1+\sum _{i=1,i<j}^{N}\;f_{i,j}+\sum _{i=1,i<j,m=1,m<n \atop i<m\ \mathrm {or} \ j<n}^{N}\;f_{i,j}\;f_{m,n}+\cdots \right\}\\&=1+{\frac {N}{V}}\alpha _{1}+{\frac {N\;(N-1)}{2\;V^{2}}}\alpha _{2}+\cdots .\end{aligned}}}
配置積分 Q は、一般の二体間ポテンシャル φ2 について解析的には解けない。 ポテンシャルの近似計算の一つのやり方として、メイヤー(Mayer)によるクラスター展開の方法がある。
Q は二体間ポテンシャル φ2 の和の指数関数を積分に含むので、指数関数の性質を使って、和の指数関数を指数関数の積の形に書き直せる。
exp  { − β ∑ i = 1 , i < j N φ 2 ( r i , j ) } = ∏ i = 1 , i < j N exp  { − β φ 2 ( r i , j ) } {\displaystyle \exp \left\{-\beta \sum _{i=1,i<j}^{N}\phi _{2}(r_{i,j})\right\}=\prod _{i=1,i<j}^{N}\exp \left\{-\beta \phi _{2}(r_{i,j})\right\}} .
次に、メイヤー関数(Mayer function)fi,j を、 exp  { − β φ 2 ( r i , j ) } = 1 + f i , j {\displaystyle \exp \left\{-\beta \phi _{2}(r_{i,j})\right\}=1+f_{i,j}} によって定義する。指数関数をメイヤー関数で置き換えると、配置積分 Q は次のようになる。