サドルノード分岐
分岐理論における標準形とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できる。連続力学系におけるサドルノード分岐の標準形は、次の1次元常微分方程式で与えられる。
d x d t = μ ∓ x 2 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu \mp x^{2}}
ここで、t ∈ R は独立変数で時間を意味し、x ∈ R は従属変数で状態変数を意味する。μ ∈ R は時間に依らない係数で、系のパラメータである。以下、簡単のため、f(x, μ) を f(x) とも記す。
上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル(超臨界)な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル(亜臨界)な分岐と呼ばれる。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点(平衡点)とは、
d x d t = 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=0}
を満たす点 x のことで、固定点では系は定常状態にある。