積分曲線
F をベクトル場とする,つまり,デカルト座標のベクトル値関数 (F1, F2, ..., Fn) とする.x(t) をデカルト座標 (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) のパラメトリック曲線とする.このとき x(t) が F の積分曲線 (integral curve) であるとは,それが次の常微分方程式の自励系の解であることをいう:
d x 1 d t = F 1 ( x 1 , ... , x n ) ⋮ d x n d t = F n ( x 1 , ... , x n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}
そのような系は1つのベクトルの方程式として書ける:
x ′ ( t ) = F ( x ( t ) ) . {\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}
この方程式は曲線に沿った任意の点 x(t) において曲線に接するベクトルはちょうどベクトル F(x(t)) であり,したがって曲線 x(t) はベクトル場 F に各点で接するということを言っている.
与えられたベクトル場がリプシッツ連続ならば,ピカール・リンデレフの定理により,小さい時間に対して一意的なフローが存在する.