一般化モーメント法
以下を定義する。
‖ m ^ ( θ ) ‖ W 2 = m ^ ( θ ) ′ W m ^ ( θ ) , {\displaystyle \|{\hat {m}}(\theta )\|_{W}^{2}={\hat {m}}(\theta )'\,W{\hat {m}}(\theta ),}
ここで W は正値定符号である加重行列で m′ は転置を表す。実践上、加重行列 W は利用可能なデータセットに基づいて計算され、そのようにして計算された加重行列を W ^ T {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}_{T}} とする。よって一般化モーメント法による推定量は以下のように書ける。
θ ^ = arg  min θ ∈ Θ ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) ′ W ^ T ( 1 T ∑ t = 1 T g ( Y t , θ ) ) {\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {arg} \min _{\theta \in \Theta }{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}'{\hat {W}}_{T}{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}}
適切な条件の下で、一般化モーメント法による推定量は一致性と漸近正規性を持つ。そして加重行列 W ^ T {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}_{T}} を正しく選択すれば効率的な推定量となる。
漸近正規性は有用な性質であり、漸近正規性により推定量の信頼区間を計算することや仮説検定を行うことができる。一般化モーメント法による推定量の漸近分布について述べる前に、以下の2つの補助的な行列を定義する。
G = E  [ ∇ θ g ( Y t , θ 0 ) ] , Ω = E  [ g ( Y t , θ 0 ) g ( Y t , θ 0 ) ′ ] {\displaystyle G=\operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\,g(Y_{t},\theta _{0})\,],\qquad \Omega =\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})g(Y_{t},\theta _{0})'\,]}
以下の1から6までの条件の下で、一般化モーメント法による推定量は漸近正規性を持つ。
T ( θ ^ − θ 0 ) → d N [ 0 , ( G ′ W G ) − 1 G ′ W Ω W ′ G ( G ′ W ′ G ) − 1 ] {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G'WG)^{-1}G'W\Omega W'G(G'W'G)^{-1}{\big ]}}