クラマース・クローニッヒの関係式
後述するインパルス応答h(t) が恒に実数であるという条件を付けると、周波数応答関数の実部は偶関数、虚部は奇関数になる。 これを用いて積分範囲を正の部分にするようにクラマース・クローニッヒの関係式を変形すると
H R ( ω ) = 2 π P ∫ 0 ∞ ω ′ H I ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ H I ( ω ) = − 2 π P ∫ 0 ∞ ω H R ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{R}}(\omega )&={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega 'H_{\text{I}}(\omega ')}{{\omega '}^{2}-\omega ^{2}}}\,d\omega '\\H_{\text{I}}(\omega )&=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega H_{\text{R}}(\omega ')}{{\omega '}^{2}-\omega ^{2}}}\,d\omega '\end{aligned}}}
となる。