単項イデアル環
上の例 4 で構成された主環はつねにアルティン環である。とくに、それらは主アルティン局所環の有限直積に同型である。 局所アルティン主環は special principal ring と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造をもつ:有限個のイデアルしか存在せず、各々は極大イデアルの冪なのである。この理由のために、special principal rings は uniserial rings の例である。
次の結果は主環の完全な分類を special principal rings と主イデアル整域の言葉によって与える。
Zariski–Samuel の定理: R を主環とする。すると R は直積 ∏ i = 1 n R i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}} として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域であるかまたは special principal ring である。