バターワースフィルタ
n次バターワース・ローパス・フィルタの利得 G ( ω ) {\displaystyle G(\omega )} は、伝達関数 H(s) から次のように得られる。
G 2 ( ω ) = | H ( j ω ) | 2 = G 0 2 1 + ( ω ω c ) 2 n {\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}
ここで
n はフィルタの次数
ωc は遮断周波数(約 -3dB となる周波数)
G 0 {\displaystyle G_{0}} はDC利得(ゼロ周波数での利得)
である。
n が無限大に近づくと、利得は矩形関数となり、ωc 以下の周波数は利得 G 0 {\displaystyle G_{0}} で通過し、ωc 以上の周波数は抑止される。n が小さいほど、遮断は緩やかになる。
s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } の伝達関数 H(s) を決定することを考える。s = jω のときの H(s)H(-s) を計算すると |H(jω)| と同じになるため、次が得られる。
H ( s ) H ( − s ) = G 0 2 1 + ( − s 2 ω c 2 ) n {\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}}}