行列力学
行列力学における具体例として、ボルンとヨルダンによって考察された1次元の調和振動子を考える。このとき、ハミルトニアンは
H ( x , p ) = p 2 2 m + m ω 2 x 2 2 {\displaystyle H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}
である。
正準交換関係を満たし、かつハミルトニアンを対角化する(時間に依らない)行列X、P として
X = ħ 2 m ω ( 0 1 0 0 ... 1 0 2 0 ... 0 2 0 3 ... 0 0 3 0 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle X={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&\ldots \\1&0&{\sqrt {2}}&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&\ldots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}
P = ħ m ω 2 ( 0 − 1 0 0 ... 1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ...