付値
q > 1 を1つ取り固定する。|•| を体 K の非アルキメデス付値としたとき v: K → R ∪ {∞} を
v ( x ) = { − log q  | x | ( x ≠ 0 ) ∞ ( x = 0 ) {\displaystyle v(x)={\begin{cases}-\log _{q}|x|&(x\neq 0)\\\infty &(x=0)\end{cases}}}
で定めると、v は K の指数付値となる。
逆に、K の指数付値 v に対して |•|v: K → R を
| x | v = { q − v ( x ) ( x ≠ 0 ) 0 ( x = 0 ) {\displaystyle |x|_{v}={\begin{cases}q^{-v(x)}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}}}
で定めると、|•|v は K の非アルキメデス付値となる。
従って q を固定するとき、非アルキメデス付値と指数付値の間には一対一の対応を付けることができる。しかし、アルキメデス付値に対しては、上の様に v を定義しても加法付値にはならない。
素点の例としては、例えば代数体の素点を参照のこと。
体 K の拡大体を L とする。K の素点 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に含まれる付値 v に対して、v の L への延長が存在し、そのうちの1つを wとし、w を含む L の素点を P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} とすれば、素点 P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} を素点 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の L への延長といい、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} の縮小という。
任意の体および素点に対して、部分体への素点の縮小は必ず存在して、素点の代表元によらず一意的に決まるが、素点の延長に対しては存在したとしても一般的には複数存在する。しかし、ある素点に対する素点の延長の集合は、元の素点の代表元によらず一意的に決まる。
体 K の自明ではない乗法付値全体の集合を付値の同値で類別した集合を V としたとき、V の元を K の素点もしくは素因子という。素点の元にアルキメデス付値が含まれている場合、その素点に含まれている乗法付値はすべてアルキメデス付値であり、その様な素点を無限素点もしくは無限素因子という。 オストロフスキーの定理より、アルキメデス付値を持つ体は実数体もしくは複素数体に埋め込まれ、どちらの体に埋め込まれるかはアルキメデス付値によって決まる。このことから無限素点の代表元が実数体の中への同型写像によって得られるとき、この無限素点を実無限素点もしくは実無限素因子といい、実数体ではなく、複素数体の中への同型写像によって得られるとき、複素無限素点もしくは複素無限素因子という。実無限素点となるか複素無限素点となるかは、無限素点の代表元によらない。 また、素点が非アルキメデス付値を含む場合、その素点に含まれている乗法付値はすべて非アルキメデス付値であり、その様な素点を有限素点もしくは有限素因子という。