ド・ブランジュの定理
φ ( z ) = b 1 z + b 3 z 3 + b 5 z 5 + ⋯ {\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }
が、奇函数の単葉函数で単位円板上で b1=1 であれば、全ての正の正数 n に対し
∑ k = 1 n | b 2 k + 1 | 2 ≤ n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n}
が成り立つという予想である。
ロバートソンは、この彼の予想が未だにビーベルバッハの予想を意味する程は強くないことを示し、n = 3 の場合にこの予想を証明した。この予想は、係数自体というよりも係数の変化する二次函数の境界という重要なアイデアを導入した。この二次函数の境界は、単葉函数のあるヒルベルト空間の元のノルムの境界と同値である。
大きな n のある値にたいするビーベルバッハ予想の証明はいくつかあり、特に、Garabedian & Schiffer (1955) は、|a4| ≤ 4 を証明し、Ozawa (1969)とPederson (1968)は |a6| ≤ 6 を証明し、 Pederson & Schiffer (1972)は、|a5| ≤ 5 を証明した。
Hayman (1955)は、an/n の極限が存在することを示し、f がケーベ函数であれば 1 より小さな値となることを示した。