回転数 (数学)
複素解析学において、複素平面の閉曲線 C の回転数は複素座標 z = x + iy の言葉で表現できる。具体的には、z = re と書けば、
d z = e i θ d r + i r e i θ d θ {\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,}
でありしたがって
d z z = d r r + i d θ = d [ ln  r ] + i d θ . {\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}
ln(r) の総変化は 0 であり、したがって dz ⁄ z の積分は i に θ の総変化をかけたものに等しい。したがって:
winding number = 1 2 π i ∮ C d z z .
{\displaystyle r=r(t)\quad {\text{and}}\quad \theta =\theta (t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1.}
関数 r(t) と θ(t) は r > 0 で、連続であることが要求される。最初と最後の位置は同じなので、θ(0) と θ(1) は 2π の整数倍異ならなければならない。この整数が回転数である:
winding number = θ ( 1 ) − θ ( 0 ) 2 π . {\displaystyle {\text{winding number}}={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}.}
これは xy 平面において原点の周りの曲線の回転数を定義する。座標系を変えることで、この定義を任意の点 p の周りの回転数を含むように拡張することができる。