冪級数
形式冪級数に対して“多項式における次数”のような役回りを演じるのは、係数が 0 にならない添字の最小値 min{n∈N | an ≠ 0} である。多項式と形式冪級数との関係は有理数と実数(の無限小数展開)および p-進数(の p-進展開)との関係の類似であり、実際に冪級数を有限体上で考えれば、これら類似性は大域体とその局所化である局所体との関係として一般的に取り扱われる。
収束冪級数は形式冪級数にその収束域を考え合わせたもので、収束冪級数はその収束域上で関数を定める。特に複素解析において解析関数を取り扱う際に重要な役割を演じる。
数列の持つ性質を母関数によって調べる組合せ論的な手法では、得られる冪級数が収束することが、冪級数に操作を施して得られた数列の性質をすべて肯定することになるため、収束性の確認は重要である。にもかかわらず、数列にとっては母関数が“何らかの意味で”収束する点を(中心以外に)持ちさえすればよいので、母関数の収束性にそれほど注意が払われることもない。
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(これはコーシー・アダマールの定理であり。記号の説明は上極限と下極限を参照。)それを計算する速い方法は
r − 1 = lim n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}
である(ただしこの極限が存在するときに限る)。
級数は |x − c| < r に対して絶対収束し、{x : |x − c| < r} の任意のコンパクト部分集合上一様収束する。つまり、級数は収束円板の内部において絶対かつコンパクト収束する。
|x − c| = r に対しては、級数が収束するか発散するかの一般的なステートメントを述べることは出来ない。しかしながら、実変数の場合には、級数が x において収束するならば級数の和は x において連続である(ただしcからxに向かう側だけにおける片側の連続)というアーベルの定理がある。複素変数の場合には、c と x を結ぶ線分に沿っての連続性しか主張できない。
上と同じ定義で、関数の積と商の冪級数は以下のように得られる:
f ( x ) g ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n ) = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ a i b j ( x − c ) i + j = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) ( x − c ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}
数列 m n = ∑ i = 0 n a i b n − i {\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}} は数列 an と bn の畳み込みと呼ばれる。