自然変換
関手 W: B → C が与えられたとき、関手の前に W を合成する操作 F ↦ F ◦ W もまた関手 D: D → D となる。関手 W: B → C と T: B → D に対して、D から T へ (あるいは T から D へ) の普遍射を構成する関手 K: C → D と自然変換 η: T ⇒ KW (ε: KW ⇒ T) の組が存在するとき、これを T の W に沿った左 (右) カン拡張という。
圏論における極限、随伴、米田の補題を初めとした諸概念はカン拡張によって表すことができ、マックレーンは「すべての概念はカン拡張である」と述べている。
有限順序数の集合 ω = {0, 1, 2, ...} を対象の集合とする、Set の充満部分圏を N で表す。また、Set の余積 (すなわち集合の非交和) を N の余積として導入する。
余積を持つ圏 A {\textstyle \mathbb {A} } は、対象について同型であってさらに余積を保つ関手 A : N → A {\textstyle A:N\to \mathbb {A} } を備えているとき、代数理論であるという。型 A {\textstyle \mathbb {A} } の代数とは、積を保つ集合値反変関手 A o p → S e t {\textstyle \mathbb {A} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} } である。層の時と同様に A {\textstyle \mathbb {A} } -代数の準同型は自然変換として定義できて、代数の圏は関手圏 S e t A o p {\textstyle \mathbf {Set} ^{\mathbb {A} ^{\mathrm {op} }}} の充満部分圏として定義される。