ノルム剰余同型定理
X を 1 / l {\displaystyle 1/\ell } を含む体の上の滑らかな多様体とする。ベイリンソン (Beilinson) とリヒテンバウム (Lichtenbaum) は、モチヴィックコホモロジー(英語版) (motivic cohomology) 群 H p , q ( X , Z / l ) {\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )} は、p≤q のときエタールコホモロジー群 H e ́ t p ( X , μ l ⊗ q ) {\displaystyle H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})} と同型であろうと予想した。この予想はノルム剰余同型定理と同値であり、今では証明されている。
ミルナー予想はウラジミール・ヴォエヴォツキー (Vladimir Voevodsky) により証明された。のちにヴォエヴォツキーは一般の場合も証明した。
この予想の証明の出発点は、Lichtenbaum (1983) と Beilinson (1987) による一連の予想にある。彼らはモチーフ的複体(motivic complexes)という、そのコホモロジーがモチヴィック・コホモロジーに関連するような層の複体の存在を予想した。これらの複体に予想される性質には次のようなものがあった:
ミルナーのK-理論と,この複体のザリスキーコホモロジーとを関連づける性質。
1の巾根の層に係数を持つコホモロジーと,この複体のエタールコホモロジーとを関連づける性質。
この複体のエタールコホモロジーとザリスキーコホモロジーとを関連づける性質。
これらの性質は非常に特別な場合としてノルム剰余写像同型定理を導く。
予想の証明の重要な特徴として、「ウェイト」(予想におけるコホモロジー群の次元に等しい)に関する帰納法を用いることが挙げられる。帰納的段階には単にブロッホ・加藤の予想のステートメントだけではなく、ベイリンソンとリヒテンバウムによる予想の大半を含むような一般的なステートメントも必要となる。帰納法による証明ではしばしば、帰納的段階の証明のために主張を強めなければならないことがある。この予想の場合、その強化の部分に新しい数学の莫大な進展が必要であった。