P進L関数
久保田-レオポルドの p-進 L-函数 Lp(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、Lp(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し
L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}
となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同(英語版)(Kummer congruence)と関連している。
n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、
L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ω − n ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ω − n ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}
が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標(英語版)(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。