ラザフォード散乱
軌道の一般解を以下に示す。
u ( θ ) = 1 r ( θ ) = u 0 cos  ( θ − θ 0 ) − κ {\displaystyle u(\theta )={\frac {1}{r(\theta )}}=u_{0}\cos(\theta -\theta _{0})-\kappa }
境界条件より以下の定数が求まる。
θ 0 = π 2 + Θ 2 {\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\Theta }{2}}}
u 0 = 1 b sin  ( θ − θ 0 ) {\displaystyle u_{0}={\frac {1}{b\sin(\theta -\theta _{0})}}}
これらを代入して変形すると、軌道の一般解は
r ( θ ) = b cos  Θ 2 sin  ( θ − Θ 2 ) − sin  Θ 2 {\displaystyle r(\theta )={\frac {b\cos {\frac {\Theta }{2}}}{\sin(\theta -{\frac {\Theta }{2}})-\sin {\frac {\Theta }{2}}}}}
となる。ここで Θ 2 = arctan  ( b k ) {\displaystyle {\frac {\Theta }{2}}=\arctan(bk)} である。 また、陰関数表示では以下のようになる。
x 2 + y 2 = ( x − y / ( b k ) + 1 / k ) 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x-y/(bk)+1/k)^{2}}
6×10 C
初速度 v = 2×10 m/s
これらを代入すると、およそ 27 fm (2.7×10 m) という値を得るが、実際の半径はおよそ 7.3 fm (7.3×10 m) である。この実験により真の原子核半径が得られない理由は、アルファ線のエネルギーが 27 fm よりも原子核中心に近づけるだけのエネルギーを持っていないのに対して、真の金原子核半径が 7.3 fm だからである。ラザフォードはこれを認識しており、かつアルファ粒子と金原子核の間に働く力のポテンシャルが 1/r に比例するクーロンポテンシャルからずれれば散乱曲線が大角度(最小衝突径数)において双曲線からなにか別の曲線に変化することも認識していた。このずれは見られなかったため、金原子核とアルファ粒子は「接触」していないことが示され、金原子核半径(もしくは金原子核半径とアルファ粒子半径の和)が 27 fm (2.7×10 m) よりも小さいことがわかった。