分裂補題
反例を構成するために、最小の非アーベル群である3文字の対称群 B ≅ S 3 {\displaystyle B\cong S_{3}} をとる。A で交代部分群を表し、 C = B / A ≅ { ± 1 } {\displaystyle C=B/A\cong \{\pm 1\}} とする。q と r をそれぞれ包含写像と符号写像とすると、
0 → A ⟶ q B ⟶ r C → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {q}{\longrightarrow }}B{\stackrel {r}{\longrightarrow }}C\rightarrow 0\,}
は短完全列である。 S 3 {\displaystyle S_{3}} はアーベルでないので、条件 (3) は成り立たない。しかし条件 (2) は成り立つ。u: C → B を生成元を任意の2次の巡回置換に写すことで定義できる。完全にするために条件 (1) が成り立たないことに言及しよう。任意の写像 t: B → A はすべての2-サイクルを単位元に写さなければならない、なぜならば写像は群準同型でなければならないが、2-サイクルの位数は2であり A の元の位数は単位元を除いて A は S 3 {\displaystyle S_{3}} の交代部分群すなわち位数3の巡回群なので3であるがそれで割り切れない。なので t は自明な写像で、それゆえ tq: A → A も自明であり、恒等写像ではない。
まず、(3) から (1) と (2) が従うことを示すためには、(3) を仮定し t として直和から A への自然な射影をとり、u として C から直和への自然な入射をとる。
(1) ならば (3) を示すために、B の任意の元は集合 (ker t + im q) に入っていることに注意する。これは B のすべての b に対して b = (b - qt(b)) + qt(b) であることから従う。qt(b) は明らかに im q の元であり (b - qt(b)) は
t(b - qt(b)) = t(b) - tqt(b) = t(b) - (tq)t(b) = t(b) - t(b) = 0
だから ker t に入っている。
次に、im q と ker t の共通部分は 0 である、なぜならば q(a) = b なる A の元 a が存在して t(b) = 0 であれば、0 = tq(a) = a であるから b = 0 である。
このことより B は im q と ker t の直和である。したがってすべての B の元 b に対して b は一意的に A の元 a と ker t の元 k であって b = q(a) + k なるもので識別できる。
完全性から ker r = im q である。部分列 B → C → 0 から r は上への写像である。