アポロニウスの問題
StollとStudyによるMuirheadに先んじた試みはあったものの、3つの与えられた円、点、直線のあらゆる構成に対して解の数を数え上げたのは1896年のMuirheadが初めてだとされる。しかしながら、Muirheadの研究は完全ではなく、1974年に拡張され、完全な数え上げ(33種類の解)は1983年に発表された。アポロニウスの問題に対する解は反転に関連して、通常、対になるが、解の数が奇数になることも一部の場合には起こりうる。例えばPPPの問題に対する解が1つであるという場合、もしくは、1つまたは3つすべての円が与円であると同時に解円である場合である(後者の例はこのセクションのデカルトの定理に関するものとして挙げられている。)。しかしながら、7つの解を持つアポロニウスの問題は存在しない。円と球の幾何学(リー球面幾何(英語版))を基にした別解が開発され、より高い次元の問題に使用されている。