ウィグナーのD行列
k = { j + m : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m j − m : a = m − m ′ ; λ = 0 j + m ′ : a = m − m ′ ; λ = 0 j − m ′ : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m {\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}}
b = 2 j − 2 k − a {\displaystyle b=2j-2k-a} かつ a , b ≥ 0 {\displaystyle a,b\geq 0} とすると、次の式がなりたつ。
d m ′ m j ( β ) = ( − 1 ) λ ( 2 j − k k + a ) 1 2 ( k + b b ) − 1 2 ( sin  β 2 ) a ( cos  β 2 ) b P k ( a , b ) ( cos  β ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )}
ウィグナーのD行列(ウィグナーのDぎょうれつ、英: Wigner D-matrix)は、SU(2)およびSO(3)(英語版)の既約表現におけるユニタリ行列である。D行列の複素共役は球対称な剛体回転子(英語版)のハミルトニアンの固有関数である。1927年にユージン・ウィグナーにより導入された。Dは「表現、表示」を意味するドイツ語: Darstellungの頭文字からとられている。
j = 3/2の場合、
d 3 2 , 3 2 3 2 = 1 2 ( 1 + cos  θ ) cos  θ 2 d 3 2 , 1 2 3 2 = − 3 2 ( 1 + cos  θ ) sin  θ 2 d 3 2 , − 1 2 3 2 = 3 2 ( 1 − cos  θ ) cos  θ 2 d 3 2 , − 3 2 3 2 = − 1 2 ( 1 − cos  θ ) sin  θ 2 d 1 2 , 1 2 3 2 = 1 2 ( 3 cos  θ − 1 ) cos  θ 2 d 1 2 , − 1 2 3 2 = − 1 2 ( 3 cos  θ + 1 ) sin  θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}