直交曲線座標
例えば、2Dの場合、
x ⋅ y = ( x 1 e 1 + x 2 e 2 ) ⋅ ( y 1 e 1 + y 2 e 2 ) = ( x 1 h 1 e ^ 1 + x 2 h 2 e ^ 2 ) ⋅ ( y 1 e ^ 1 h 1 + y 2 e ^ 2 h 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}
ここでは、正規化された共変基底と反変基底が等しいことが利用されている。
d'r と正規化基底ベクトル êiから、次のように構成できる。

ここで、
J = ∂ r ∂ q 1 ⋅ ( ∂ r ∂ q 2 × ∂ r ∂ q 3 ) = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( q 1 , q 2 , q 3 ) = h 1 h 2 h 3 > 0 {\displaystyle J={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}=h_{1}h_{2}h_{3}>0}
はヤコビ行列式で、これは「デカルト座標における無限小の立方体 dxdydz」から、「無限小の曲った立方体」への体積の変形という幾何学的解釈を持つものである。ただしここで ヤコビ行列式は正と仮定してあることに注意する (一般にはヤコビ行列式は0でなければよいので負の値も許される)。以下ではヤコビ行列式が正の場合のみ考える。