ネーターの定理
物理学において、ネーターの定理(ネーターのていり、英: Noether's theorem)は、系に連続的な対称性がある場合はそれに対応する保存則が存在すると述べる定理である。
ドイツの数学者エミー・ネーターによって1915年に証明され、1918年に公表された。
但し、重複する添え字記号については、アインシュタインの記法に従い、和をとるものとする。 このとき、
X r = ( ∂ L ∂ q ̇ i q ̇ i − L ) T r − ∂ L ∂ q ̇ i Q r i {\displaystyle X_{r}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\dot {q}}^{i}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}Q_{r}^{i}}
は保存量
d X r d t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X_{r}}{\mathrm {d} t}}=0}
となり、この保存量はポアソン括弧により微小変換
{ X r , t } = T r , { X r , q i } = Q r i {\displaystyle \{X_{r},t\}=T_{r},~\{X_{r},q^{i}\}=Q_{r}^{i}}
を定める。
( S μ ν ) i j = { 0 ( sclar ) i ( g μ i δ ν j − g ν i δ μ j ) ( vector ) i 4 ( γ μ γ ν − γ ν γ μ ) i j ( spinor ) {\displaystyle (S_{\mu \nu })_{i}{}^{j}=\left\{{\begin{array}{ll}0&({\text{sclar}})\\i(g_{\mu i}\delta _{\nu }^{j}-g_{\nu i}\delta _{\mu }^{j})&({\text{vector}})\\{\frac {i}{4}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })_{i}{}^{j}\quad &({\text{spinor}})\\\end{array}}\right.}
で定義される場のスピンである。 γ μ {\displaystyle \gamma _{\mu }} はガンマ行列である。
このとき、ネーターカレントは
場の量を扱う場の解析力学や場の量子論においても、対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば応用される。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場するネーターカレントや、ネーターチャージは特に重要な概念になっている。
力学変数として場 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} を考え、作用積分を
S [ φ ] = ∫ Ω d 4 x L ( φ , ∂ φ , x ) {\displaystyle S[\phi ]=\int _{\Omega }\mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)}
とする。
系が座標と場との微小変換
x μ → x ′ μ = x μ + δ x μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}
φ i ( x ) → φ i ′ ( x ′ ) = φ i ( x ) + δ φ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\to \phi '_{i}(x')=\phi _{i}(x)+\delta \phi _{i}(x)}
に対して対称性をもち、この変換の下で作用が不変であるとする。
このとき、ネーターカレント