分解型八元数
分解型八元数 x の共軛元は
で与えられる(これは八元数の場合と同じ)。 x のノルム(計量二次形式)は
で与えられる。非零八元数 x で N(x) = 0 となるもの(等方元)が存在するから、このノルム N(x) は等方二次形式である。ノルム N を考えることで、分解型八元数の全体は R 上八次元の擬ユークリッド空間(英語版)となる(これをしばしばノルムの符号数を明示して R と書く)。 N(x) ≠ 0 ならば x は(両側)逆元 x を持ち、
で与えられる。
八元数全体および分解型八元数全体は、四元数の対の間に乗法を定義することにより、ケーリー=ディクソン構成から得られる。新しい虚数単位 l を導入して、四元数の対 (a, b) を a + lb の形に書けば、その積は
( a + l b ) ( c + l d ) = ( a c + λ d ̄ b ) + l ( d a + b c ̄ ) ( λ := l 2 ) {\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})\quad (\lambda :=\ell ^{2})}
なる規則から定められる。ここで λ = −1 と選べば通常の八元数である。その代わりに、λ = +1 として分解型八元数が得られる。
あるいは、分解型四元数(英語版)をケイリー–ディクソン構成で二重化しても分解型八元数を得ることができる(この場合、λ は ±1 の何れの値を選んでも分解型になる)。