レンズ空間
レンズ空間の同相分類は次が知られている: レンズ空間 L ( p ; q ) {\displaystyle L(p;q)} と L ( p ; q ′ ) {\displaystyle L(p;q')} が同相であるための必要十分条件は、 q ′ ≡ ± q ± 1 ( mod p ) {\displaystyle q'\equiv \pm q^{\pm 1}\!\!\!{\pmod {p}}} となることである。一方で、ホモトピー分類に関しては次が知られている: レンズ空間 L ( p ; q ) {\displaystyle L(p;q)} と L ( p ; q ′ ) {\displaystyle L(p;q')} がホモトピー同値であるための必要十分条件は、ある整数 n {\displaystyle n} が存在して q q ′ ≡ ± n 2 ( mod p ) {\displaystyle qq'\equiv \pm n^{2}\!\!\!{\pmod {p}}} となることである。 このことから、ホモトピー同値だが同相ではないレンズ空間の組が存在することが分かる。例えば、 L ( 7 ; 1 ) {\displaystyle L(7;1)} と L ( 7 ; 2 ) {\displaystyle L(7;2)} はホモトピー同値である ( 1 ⋅ 2 ≡ 3 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 1\cdot 2\equiv 3^{2}\!\!\!{\pmod {7}}} だから) が、同相ではない。