極 (複素解析)
複素函数は無限遠点で極を持つとして定義することができる。この場合は、U は、例えば閉円板の外側のような形の無限遠点の近傍である必要がある。前の定義を使うには、函数 g が ∞ で正則であることの意味付けが必要である。代わりに、適切な写像により無限遠点を有限の点へ写すことにより、有限の点での定義から始めることで、極を定義することもできる。写像 z ↦ 1 / z {\displaystyle z\mapsto 1/z} がそのような写像である。すると、定義により、無限遠点の近傍で正則な函数 f は、函数 f ( 1 / z ) {\displaystyle f(1/z)} (z = 0 の近傍で正則である)が z = 0 で極を持つならば、無限遠点で極を持つ。また、z = 0 での f(1/z) の極の位数を f の無限遠点での極の位数と見なす。
函数 f の一次導函数が a で位数 1 の極を持つとき、a は f の分岐点である。(逆は正しくはない。)
極や分岐点ではない除去可能でない特異点を、真性特異点と言う。
孤立した特異点以外で正則であり、特異点が極のみの複素函数は有理型と呼ばれる。