測地線
この変分 δ S {\displaystyle \delta S} について δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} となる曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} をそのリーマン多様体の測地線と呼ぶ。この曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} について δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} となるための必要十分条件は曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} がオイラー=ラグランジュ方程式
d d t ( ∂ F ∂ x ̇ a ) − ∂ F ∂ x a = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}^{a}}}\right)-{\frac {\partial F}{\partial x^{a}}}=0} ただし、 F = g i j x ̇ i x ̇ j {\displaystyle F={\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}
を満たすことである。