クレブシュ–ゴルダン係数
ここで
C ± ( j , m ) = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) {\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}}
よってクレブシュ–ゴルダン係数についての漸化式が得られる。
C ± ( J , M ) ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ± 1 ⟩ = C ± ( j 1 , m 1 ∓ 1 ) ⟨ j 1 m 1 ∓ 1 j 2 m 2 | J M ⟩ + C ± ( j 2 , m 2 ∓ 1 ) ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 ∓ 1 | J M ⟩ {\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}{m_{1}\mp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}\mp 1}|JM\rangle }
漸化式の C + {\displaystyle C_{+}} について M = J {\displaystyle M=J} では、
ここで
C ± ( j , m ) = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) = ( j ∓ m ) ( j ± m + 1 ) {\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}}
位相因子は C ± ( j , m ) {\displaystyle C_{\pm }(j,m)} の定義に含まれている。位相則はコンドン-ショートレーの位相則に従っている。
角運動量演算子はエルミート演算子なので固有状態(固有ベクトル)は完全系をなす。固有状態は以下のように規格直行化されているとする。
⟨ j 1 m 1 | j 2 m 2 ⟩ = δ j 1 , j 2 δ m 1 , m 2 {\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}|j_{2}\,m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}}
⟨ j 1 m 1 j 1 − m 1 | 2 j 1 0 ⟩ = ( 2 j 1 ) ! 2 ( j 1 − m 1 ) ! ( j 1 + m 1 ) ! ( 4 j 1 ) ! {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{1}-m_{1}|2j_{1}0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}}
j 1 = j 2 = m 1 = − m 2 {\displaystyle j_{1}=j_{2}=m_{1}=-m_{2}} におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。
⟨ j 1 j 1 j 1 − j 1 | J 0 ⟩ = ( 2 j 1 ) ! 2 J + 1 ( J + 2 j 1 + 1 ) ! ( 2 j 1 − J ) ! {\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{1}-j_{1}|J0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}}
J ^ ± ∑ m 1 m 2 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ = ∑ m 1 m 2 [ C ± ( j 1 , m 1 ) | j 1 m 1 ± 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ + C ± ( j 2 , m 2 ) | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ± 1 ⟩ ] ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ = ∑ m 1 m 2 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ [ C ± ( j 1 , m 1 ∓ 1 ) ⟨ j 1 m 1 ∓ 1 j 2 m 2 | J M ⟩ + C ± ( j 2 , m 2 ∓ 1 ) ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 ∓ 1 | J M ⟩ ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\textrm {J}}}_{\pm }&\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}\left[C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}m_{1}\pm 1\rangle |j_{2}m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\pm 1\rangle \right]\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \left[C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}{m_{1}\mp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}\mp 1}|JM\rangle \right]\end{aligned}}}