代数体
n次代数体 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} に対して、θ の共役数を以下の様に並べる:
θ ( 1 ) , ... , θ ( r 1 ) {\displaystyle \theta ^{(1)},\ldots ,\theta ^{(r_{1})}} は実数で、 j = 1 , ... , r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{2}} に対して、 θ ( r 1 + j ) , θ ( r 1 + r 2 + j ) {\displaystyle \theta ^{(r_{1}+j)},\ \theta ^{(r_{1}+r_{2}+j)}} は複素共役とする。但し、 r 1 + 2 r 2 = n {\displaystyle r_{1}+2r_{2}=n} とする。
j = 1 , ... , r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、K 上のアルキメデス付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} を
すると、 Δ ( ω 1 , ... , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} は整基底の取り方によらず一定の値である。 Δ ( ω 1 , ... , ω n ) 2 {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{2}} を K の判別式(英語版) (discriminant)といい、 D K {\displaystyle D_{K}} で表す。
任意のイデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、ノルムは1以上の有理整数である。 与えられた整数 m に対して、ノルムが m であるイデアルは有限個である。