代数多様体
上の節一般の代数多様体で与えた定義は自然ではあるが、いくつか不満足な点がある。
ひとつは、定義に現れたアフィン代数多様体による「代数的チャート」の定義である。多様体の場合とは異なり、アフィン代数多様体と同相な2つの開集合の交わりでの貼り合わせを、そこに含まれる任意のアフィン開部分多様体に制限して定義しなければならなかった。これは、前節でも出てきたアフィン代数多様体の開部分集合でアフィン代数多様体にはならないものを定義域に持つ代数多様体の射が直接定義できない事に起因している(代数多様体上の正則関数(多項式関数)の定義の先天的非局所性)。シャファレビッチの本の第1巻(参考文献参照)では、この煩雑さを回避するために準射影代数多様体をそこで定義される代数多様体の最も広いクラスとして取っている。確かに準射影代数多様体はアフィン代数多様体を含む代数多様体の広いクラスであるが、モイシェゾン多様体のように、準射影代数多様体にならない重要な代数多様体が存在する事から、抽象的な貼り合わせによる代数多様体の定義は避けて通る事が出来ない。
もう一つは、代数多様体を定義する体 k の取り方である。上記の議論では常に k は代数的に閉を仮定してきた。これは、ヒルベルトの零点定理が理論の構成の鍵になっていたからである。
.. , g m ( x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle g^{*}\colon A(W)\to A(V);\quad g^{*}(f(y_{1},\ldots ,y_{m}))=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}
が定まる。逆に k 代数の準同型 φ: A(W) → A(V) が与えられたとき、合成
k [ y 1 , ... , y m ] → A ( W ) → φ A ( V ) {\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{m}]\to A(W){\overset {\phi }{\to }}A(V)}
による、yi の像を gi とすると、g = (g1, ..., gm) は、アフィン代数多様体の射 g: V → W を定める。アフィン代数多様体の同型 V ≅ W {\displaystyle V\cong W} を、射 g: V → W および h: W → V が存在して h ◦ g = idV, g ◦ h = idW が成り立つ事と定義すると、誘導される座標環の間の準同型 g も同型になる。逆に、座標環の間の同型 φ があれば、アフィン代数多様体の同型 g が存在して φ = g となる。従って、アフィン代数多様体の同型類は k 上有限生成な整域の同型類と1対1に対応している。