冪集合公理
数学における冪集合公理(べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set)とは、公理的集合論のツェルメロ=フレンケルの公理系の一つである。
ツェルメロ=フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される:
∀ A ∃ P ∀ B [ B ∈ P ⟺ ∀ C ( C ∈ B ⇒ C ∈ A ) ] {\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall B\,[B\in P\iff \forall C\,(C\in B\Rightarrow C\in A)]}
ここで P は A の冪集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる:
任意の集合 A が与えられたとき、ある集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} に属する。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論(英語版)においては可述性(predicativity)に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。