エルミート多様体
すべての(概)複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 M {\displaystyle M} 上の任意のリーマン計量 g {\displaystyle g} が与えられると、明らかに概複素構造 J {\displaystyle J} と整合するような新しい計量 g ′ {\displaystyle g'} を、次のように構成することができる:
g ′ ( u , v ) = 1 2 ( g ( u , v ) + g ( J u , J v ) ) . {\displaystyle g'(u,v)={\frac {1}{2}}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}
概複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート計量を選ぶことは、 M {\displaystyle M} 上のU(n)-構造(英語版)(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、 G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} からユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} への M {\displaystyle M} の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束(英語版)(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。
すなわち、すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、
h ( J u , J v ) = h ( u , v ) g ( J u , J v ) = g ( u , v ) ω ( J u , J v ) = ω ( u , v ) {\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}
である。
従って、(概)複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート構造は、
上記のエルミート計量 h {\displaystyle h}
概複素構造 J {\displaystyle J} を保つリーマン計量 g {\displaystyle g}
J {\displaystyle J} を保つ非退化 2-形式 ω {\displaystyle \omega } ですべての 0 でない実接ベクトル u {\displaystyle u} に対し ω ( u , J u ) > 0 {\displaystyle \omega (u,Ju)>0} の意味で正定値
のいずれかで特定することができる。
多くの著者が g {\displaystyle g} 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。