部分リーマン多様体の接続と曲率
を型写像(英: shape operator)もしくはワインガルテン写像(英: Weingarten map)という。
X、YをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル N M {\displaystyle NM} の切断とすると、Yとηは直交するので、
0 = X g ( Y , η ) = g ( ∇ ̄ X M Y , η ) + g ( Y , ∇ ̄ X M η ) = g ( I I ( X , Y ) , η ) − g ( Y , S η ( X ) ) {\displaystyle 0=Xg(Y,\eta )=g({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y,\eta )+g(Y,{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta )=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )-g(Y,S_{\eta }(X))}
である。よって次が成立する:
定理 ―
ワインガルテンの公式(英: Weingarten Equation) g ( I I ( X , Y ) , η ) = g ( Y , S η ( X ) ) {\displaystyle g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )=g(Y,S_{\eta }(X))}
よって特に S η ( X ) {\displaystyle S_{\eta }(X)} はX、ηに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である。
前節と同様に記号を定義し、 ∇ {\displaystyle \nabla } により定まるMの曲率を R {\displaystyle R} 、 ∇ ̄ {\displaystyle {\bar {\nabla }}} により定まる M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の曲率を R ̄ {\displaystyle {\bar {R}}} とする。
さらにX、Y、Z、WをM上のベクトル場とし、η、ζをMの法ベクトルバンドルの切断とする。このとき、次が成立する:
定理 ―
ガウスの方程式(英: Gauss equation) g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g ( R ̄ ( X , Y ) Z , W ) + g ( I I ( X , Z ) , I I ( Y , W ) ) − g ( I I ( X , W ) , I I ( Y , Z ) ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=g({\bar {R}}(X,Y)Z,W)+g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,Z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,W))-g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,W),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,Z))}
コダッチの方程式(英: Codazzi's equation) g ( R ̄ ( X , Y ) Z , η ) = ( ∇ ̄ Y I I ) ( X , Z , η ) − ( ∇ ̄ X I I ) ( Y , Z , η ) {\displaystyle g({\bar {R}}(X,Y)Z,\eta )=({\bar {\nabla }}_{Y}I\!\!I)(X,Z,\eta )-({\bar {\nabla }}_{X}I\!\!I)(Y,Z,\eta )}
t. }}i\neq j\}}
に一致する。ここでmはMの次元であり、 κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} は点Pにおける主曲率である。
また κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} に対応する主方向を e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} とすると、 κ i κ j + c {\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}+c} に対応する固有ベクトルは e i ∧ e j {\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}} である。
e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} をそれぞれ κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} に対応する主方向とすると、
( e i ∧ e j ) i , j = 1 , ... , m s.t. i < j {\displaystyle (e_{i}\wedge e_{j})_{i,j=1,\ldots ,m{\text{ s.t. }}i<j}}
は ∧ 2 T P M {\displaystyle \wedge ^{2}T_{P}M} の基底である。
i>jを満たす任意のi,j=1,...,mおよびk>lを満たす任意のk,l=1,...,mに対し、ガウスの方程式から、