劣調和函数
この事実は最大値原理を導く上で利用することが出来る。
f {\displaystyle f} が正則函数であるとき、
φ ( z ) = log  | f ( z ) | {\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}
は、 f {\displaystyle f} の零点での φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} の値を −∞ とすることで劣調和函数となる。また
ψ α ( z ) = | f ( z ) | α {\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}
はすべての α > 0 に対して劣調和的である。この事実は、特に 0 < p < 1 に対するハーディ空間 H の研究において有用となる。
複素平面の文脈において、ある領域 G ⊂ C {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } 上の劣調和函数 f {\displaystyle f} で虚軸方向に定数であるようなものは、実軸方向に凸である(またその逆も成り立つ)という事実により、 劣調和函数と凸函数の関係が分かる。
定義を厳密に述べれば以下の通りである。G をユークリッド空間 R の部分集合とし、
φ : G → R ∪ { − ∞ } {\displaystyle \varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}
を上半連続函数とする。このとき φ が劣調和であるとは、G に含まれる中心 x, 半径 r の閉球体 B(x,r) を任意にとるとき、B(x,r) 上の実数値連続函数 h がB(x,r) 上で調和かつ B(x,r) の境界 ∂B(x,r) 上の任意の点 y において φ(y) ≤ h(y) を満たすならばかならず、B(x,r) 上の任意の点 y においても常に φ(y) ≤ h(y) となるときに言う。
この定義によると、恒等的に −∞ である函数も劣調和的ということになる。研究者によってはこの場合は定義から除くこともある。
函数 u {\displaystyle u} が優調和的であるとは、 − u {\displaystyle -u} が劣調和的であることを言う。