シムソンの定理
△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。
外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,fとする。
x の共役複素数を x ̄ {\displaystyle {\bar {x}}} とすると
A,B,C,Pは単位円上の点だから、 | a | = | b | = | c | = 1. {\displaystyle |a|=|b|=|c|=1.} ...(1)
PL と BC のなす角は直角だから、 ( d − 1 ) ( c ̄ − b ̄ ) + ( d ̄ − 1 ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-1)({\bar {c}}-{\bar {b}})+({\bar {d}}-1)(c-b)=0.} ...(2)
L,B,C は同一直線上にあるから、 ( d − b ) ( c ̄ − b ̄ ) − ( d ̄ − b ̄ ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-b)({\bar {c}}-{\bar {b}})-({\bar {d}}-{\bar {b}})(c-b)=0.} ...(3)
b b ̄ = c c ̄ = | b | 2 = | c | 2 = 1 {\displaystyle b{\bar {b}}=c{\bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1} である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、