ブラケット多項式
⟨ ◯ ∪ ◯ ∪ ⋯ ∪ ◯ ⏞ k ⟩ = ( − A 2 − A − 2 ) k − 1 {\displaystyle \langle \overbrace {\bigcirc \cup \bigcirc \cup \cdots \cup \bigcirc } ^{k}\rangle =(-A^{2}-A^{-2})^{k-1}\,}
となることが成分数 k に関する数学的帰納法によって示せる。
続いて n 個の交点を持つ射影図のブラケット多項式は、ルール2を使えば n-1 個の交点の射影図のブラケット多項式から計算できる。これを何度も繰り返せば、交点が1つも無い射影図のブラケット多項式から目的の多項式が計算できることになるが、交点が1つも無い射影図(自明な絡み目の自明な射影図)のブラケット多項式は計算できることをすでに確認したから、任意の射影図のブラケット多項式が計算できることが分かる。
ルール2を適用して交点を1つ減らすたびに、計算しなければならない多項式の数は2倍になるので、n 個の交点を持つ射影図のブラケット多項式を算出するためには、2 個の自明な射影図に対して多項式を計算しなければならないことになる。