ビオ・サバールの法則
H ⋅ d s = − I 4 π d Ω {\displaystyle {\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=-{\frac {I}{4\pi }}\mathrm {d} \Omega }
の関係が得られる。 点Pが閉曲線C1上を一周するようなΩの変化は
∮ C 1 d Ω = − 4 π {\displaystyle \oint _{C_{1}}\mathrm {d} \Omega =-4\pi }
であるので、
∮ C 1 H ⋅ d s = I {\displaystyle \oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=I}
とする、アンペールの法則そのものが導かれる。
この場合、C1で囲む領域 D(図赤色)の面積を S1とすると、面S1に対する電流面密度の大きさj は
j = I S 1 {\displaystyle j={\frac {I}{S_{1}}}}
となるが、例えば閉曲線C1が1周する間に回路C2が3周するような場合には電流面密度の大きさは 3j 、閉曲線C1が2周する間に回路C2が1周するような場合には電流面密度の大きさは j/2 である。このことを考慮すれば、
∮ C 1 H ⋅ d s = ∫ D j ⋅ d S 1 {\displaystyle \oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{D}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S_{1}}}}
と書くことができる。