表面準位
ブリルアンゾーンの境界ではブラッグ反射が起こり、波動ベクトル k = π / a {\displaystyle k=\pi /a} と k = − π / a {\displaystyle k=-\pi /a} からなる定在波が生じる。
Ψ ( z ) = A e i k z + B e i [ k − ( 2 π / a ) ] z . {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&=Ae^{ikz}+Be^{i[k-(2\pi /a)]z}.\end{aligned}}}
G = 2 π / a {\displaystyle G=2\pi /a} は逆格子の格子ベクトルである(図4参照)。今回対象とするものの解はブリルアンゾーンの境界に近いため、 k ⊥ = ( π / a ) + κ {\displaystyle k_{\perp }={\bigl (}\pi /a{\bigr )}+\kappa } (κは少量)とする。任意定数A,Bはシュレーディンガー方程式への代入により求められる。これにより固有値が求まる。
E = ħ 2 2 m ( π a + κ ) 2 ± | V | [ − ħ 2 π κ m a | V | ± ( ħ 2 π κ m a | V | ) 2 + 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\pi }{a}}+\kappa \right)^{2}\pm |V|\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right]\end{aligned}}}