クネーザーの定理 (組み合わせ論)
| A + B | ≥ | A | + | B | − | H | {\displaystyle |A+B|\geq |A|+|B|-|H|}
となる G の非自明な部分群 H が存在することは比較的簡単に証明できる。 | B | {\displaystyle |B|} に関する数学的帰納法で証明する。
| B | = 1 {\displaystyle |B|=1} のとき、どのような部分群 H をとっても
| A + B | = | A | = | A | + | B | − 1 ≥ | A | + | B | − | H | {\displaystyle |A+B|=|A|=|A|+|B|-1\geq |A|+|B|-|H|}
である。
| B | > 1 {\displaystyle |B|>1} として、定理が | B ′ | < | B | {\displaystyle |B^{\prime }|<|B|} となるような空でない有限部分集合 A ′ , B ′ {\displaystyle A^{\prime },B^{\prime }} に対して成り立つとする。 任意の a 1 ∈ A , b 1 , b 2 ∈ B {\displaystyle a_{1}\in A,b_{1},b_{2}\in B} に対して
a 1 + b 2 − b 1 ∈ A {\displaystyle a_{1}+b_{2}-b_{1}\in A}