ブラーマグプタの二平方恒等式
ブラーマグプタの二平方恒等式(ブラーマグプタのにへいほうこうとうしき)とは、二つの平方数の和で表される二つの数の積が、二つの平方数の和で表せることを示す恒等式である。言い換えれば、二つの平方数の和は乗算に関して閉じているということである。この恒等式はラグランジュの恒等式(英語版)における特別な場合である。
正確には、次のように表される。
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 ( 1 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad (2)\end{aligned}}}
(1), (2) とも等式の各辺を展開することにより確かめられる。また、(1), (2) は b と −b を(または c と d を)入れ替えることにより得られる。
この恒等式は整数環、有理数環において成り立ち、さらに一般的には任意の可換環において成り立つ。
整数の場合、この恒等式は数論に応用することができる。例えば、フェルマーの二平方和定理と共に使われたとき、平方数と4を法として1に合同な素数の積は平方数の和で表せることを証明できる。
変数 a, b, c, d が有理数である場合、この恒等式は体 Q(i) におけるノルムは乗法的であるという主張から解釈される場合がある。このとき次の式を得る。
a のノルムを N(a) で表すと
N(a + bi) = a + b かつ N(c + di) = c+d,
また、
N((a + bi)(c + di)) = N((ac − bd) + i(ad + bc)) = (ac − bd) + (ad + bc).
したがって、ブラーマグプタの二平方恒等式から次のことが導かれる。
N((a + bi)(c + di)) = N(a + bi)・N(c + di).