逆問題
式で書けば、ノイズを最小にするには
J = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N n i S i j − 1 n j {\displaystyle J=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}n_{i}S_{ij}^{-1}n_{j}}
あるいは、行列表示して(上付き添字 ⊺ {\displaystyle \intercal } は転置行列を表す)
J = n ⊺ S − 1 n = ( K x − y ) ⊺ S − 1 ( K x − y ) {\displaystyle J={\boldsymbol {n}}^{\intercal }{\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})^{\intercal }{\boldsymbol {S}}^{-1}({\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}
なる J を最小にする x を決める問題になるが、行列 K は行より列が多く、Kx=y の解が無数にあるという状況になる。そのため、正則化を行って解をひとつに定める。以下にいくつかの正則化の方法を紹介する。以下の議論で本質的に重要でないため、ノイズは分散 1 でそれぞれ無相関なものとする(つまりSは単位行列)。
第一種フレドホルム積分方程式
有限要素法
境界要素法
フーリエ変換
ラプラス変換
随伴作用素