正準量子化
力学量の時間発展についても、この対応原理から
d A d t = { A , H } + ∂ A ∂ t ⇔ d A ^ d t = 1 i ħ [ A ^ , H ^ ] + ∂ A ^ ∂ t {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\Leftrightarrow {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}}
とハイゼンベルクの運動方程式が現れる。 言い換えれば、正準量子化では、ハミルトン力学における2つのc-数の力学量 A , B {\displaystyle A,\,B} の満たすポアソン括弧を、q-数(演算子)の力学量 A ^ , B ^ {\displaystyle {\hat {A}},\,{\hat {B}}} の満たす交換関係に対応させ、その関係を通じて量子力学的表現を得ているともいえる。これらの対応原理は1925年にディラックによって明らかにされた。
対象とする系をハミルトン力学(正準形式)で記述する。
正準形式における正準変数 ( q , p ) {\displaystyle (q,\,p)} を、正準交換関係を満たす演算子 ( q ^ , p ^ ) {\displaystyle ({\hat {q}},{\hat {p}})} に置き換える。
正準変数 ( q , p ) {\displaystyle (q,\,p)} の関数である古典的力学量 A ( q , p ) {\displaystyle A(q,\,p)} について、正準変数の項を2で定めた演算子 ( q ^ , p ^ ) {\displaystyle ({\hat {q}},{\hat {p}})} に置き換える。この操作によって、古典的力学量 A = A ( q , p ) {\displaystyle A=A(q,\,p)} の量子力学的対応物 A ^ = A ^ ( q ^ , p ^ ) {\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}({\hat {q}},{\hat {p}})} を定める。
2の操作を、より詳細に述べると以下のようになる。