キーペルト双曲線
上述の式からキーペルト点の重心座標は以下のようになる。
(a/sin(A + θ), b/sin(B + θ), c/sin(C + θ)).
ここで、a = BC, b = CA, c = AB である。
キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。
(a − b)xy + (c − a)xz + (b − c)yz = 0.
漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点から求められるシムソン線であり、その交点は重心座標によって以下のように表される。
((b − c), (c − a), (a − b)).
この点は九点円上にある。
三角形が二等辺三角形のとき、この双曲線は2本の漸近線に退化する。正三角形のとき、上述の重心座標の式の左辺は0になるため定義できない。実際 θ=-60° のとき、任意の点 P に対して AxP ByP CzP の3組は同一直線上にある。