円錐台
体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。
V = ∫ 0 h π ( r 1 − r 2 h x + r 2 ) 2 d x = π h 3 ( r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}\pi \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{h}}x+r_{2}\right)^{2}\,dx={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}).}
または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が
r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 ( r 1 + r 2 ) {\displaystyle {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}}
であることに注意してパップス=ギュルダンの定理を用いると、
V = 2 π r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 ( r 1 + r 2 ) × r 1 + r 2 2 h = π h 3 ( r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) {\displaystyle V=2\pi {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}\times {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}h={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})}
となる。