群 (数学)
群 G の空でない部分集合 H が G の群演算に関して閉じていて、H の任意の元に対して、逆元が H の元であるとき、この部分集合 H を G の部分群といい H ≤ G または G ≥ H と表す。これは空でない部分集合 H の任意の元 a, b に対して ab ∈ H が成り立つことと同値である。
G が群であれば、G および {e}(単位元のみからなる群、単位群)は必ず G の部分群になる。これらを自明な部分群という(単位元のみからなる部分群のみを指す場合もある)。それ以外の部分群は、自明でない部分群あるいは真の部分群と呼ぶ(真部分集合であるような部分群という意味で、真の部分群に単位群を含める場合もある)。
部分群 N が群 G の任意の元 g に対して gNg = N を満たすとき、N をGの正規部分群といい、 N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G} または G ▹ N {\displaystyle G\triangleright N} と書く。
アーベル群 G の任意の部分群は正規部分群である。また、自明でない群 G が自身と自明な部分群しか正規部分群を持たないとき、G は単純群であるという。