作用 (数学)
代数系は構造としての算法の族をもち、その上の写像としては構造との親和性の良い準同型と呼ばれるものが特に重要であるから、作用素としてもそのようなものを扱うのが通例である。例えばとくに何の演算をも持たない代数系 E を考えればそれはただの集合(もちろんその集合が代数的構造以外の数学的構造を持っていてもよい)であり、その上の準同型は単なる写像である。写像として特に E 上の置換すなわち E から E 全単射を考え、その全体を Aut(E) と記せば、Aut(E) は写像の合成を唯一の演算として群となる。このとき、別の群 G を与え、写像
ρ : G → A u t ( E ) {\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {Aut} (E)}
が特に群準同型であるものを考えることにより、群 G の集合 E への群作用(ぐんさよう、group action)が定義される。これは作用素の合成が群の積へ移って
ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) {\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}
のようにまた作用素となるという意味で、単に集合 E に集合 G の作用が定まるということよりも強い制限である。
を Λ の任意の元 λ と A の任意の元 x に対して満たすことと述べられる。一方が左からで他方が右からの場合でも同様に書ける。また、作用を省略して書けば
f ∘ λ = λ ∘ f {\displaystyle f\circ \lambda =\lambda \circ f}
が成り立つこととなり、写像の合成を二項演算とみなす立場から、この条件は「f が Λ の作用と可換であること」と述べられる。
また、Λ-準同型 f: A → B に対して、像
I m ( f ) := { f ( a ) ∈ B ∣ a ∈ A } {\displaystyle \mathrm {Im} (f):=\{f(a)\in B\mid a\in A\}}
は B の部分代数系であるばかりでなく、Λ-代数系としての部分系である。このことを指して、Λ-準同型は Λ-代数系の構造を保つという。またこのことは、代数系 (A, R) から、その上の作用を単項演算族とみなして S = R ∪ {πA(λ) | λ ∈ Λ} とおくことにより、新たな代数系として (A, S) = (A, R, (πA, Λ)) を考えるならば、通常の意味で代数系の構造を保つということおよび準同型を考えるということに同じである。