ケーラー多様体
ρ = − i ∂ ∂ ̄ log  det ( g α β ̄ ) {\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det(g_{\alpha {\overline {\beta }}})}
で与えられる。ここに ∂ {\displaystyle \partial } はドルボー作用素で
g α β ̄ = g ( ∂ ∂ z α , ∂ ∂ z ̄ β ) {\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right)}
である。
リッチテンソルがゼロとなると、標準バンドルは平坦であるので、構造群(英語版)は特殊線形群 SL(n,C) の部分群へ局所的に縮約することができる。しかしながらケーラー多様体は既に U(n) の中にホロノミーを持っているので、リッチ平坦なケーラー多様体の(制限された)ホロノミーは SU(n) の中に含まれる。逆に、2n-次元のリーマン多様体の(制限された)ホロノミーが SU(n) を含むと、多様体はリッチ平坦なケーラー多様体となる(Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)。
ケーラー多様体 K 上では、リッチテンソルは標準束の曲率形式を決定する(Moroianu 2007, Chapter 12)。標準束とは正則余接束の外積
κ = ⋀ n T 1 , 0 ∗ K {\displaystyle \kappa ={\bigwedge }^{n}T^{1,0*}K}
である。ただし, n = dim  K {\displaystyle n=\dim K} とする。K 上の計量についてのレヴィ・チヴィタ接続は、κ の上の接続を引き起こし、この接続の曲率は次によって定義される 2-形式である。
ρ ( X , Y ) = def Ric  ( J X , Y ) {\displaystyle \rho (X,Y)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\operatorname {Ric} (JX,Y)}
ここに J は K の複素構造とする。リッチ形式は閉 2-形式であり、そのコホモロジー類は、実数の定数倍を除いて、標準束の第一チャーン類である。従って、(X がコンパクトであれば、)K のトポロジーと複素構造のホモトピー類にのみ依存するという意味で、位相不変量である。
逆に、リッチ形式はリッチテンソルと次の式により決定される。
Ric  ( X , Y ) = ρ ( X , J Y ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY)}
局所正則な座標 z を使うと、リッチ形式は、