固有状態熱化仮説
この仮説が正しいとすれば、初期状態は A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} に関するいくつかの情報を持っていなければならず、そうであれば初期状態がある適当なエネルギー領域上での A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} の値の不偏サンプリングを表しているかどうかが疑わしくなる。更に、この仮説が成り立つかどうかによらず、この仮説は「任意の」初期状態が平衡状態へ至るかという疑問への回答を与えない。
物理的に意味のある初期状態について、係数 c α {\displaystyle c_{\alpha }} は実質的に「定数」であり、ゆらがないと仮定する。この場合、対角アンサンブルはミクロカノニカルアンサンブルと正確に一致するため、両者の予測値がなぜ一致するのか、という疑問はなくなる。しかしこの仮定もまた前述の仮定と同様の欠点を持つ。
可積分量子系は制御変数の適当な時間依存性の下で熱化することが証明されている。これは宇宙の膨張が量子アニーリングの制御変数に相当すると考えれば、基礎的な運動方程式が可積分であることが熱化の根本的な理由であることを示唆している。
{\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A.}
ここで初期状態は適当に規格化されているものとし、規格化条件によって係数和を消去した。 同様にミクロカノニカルアンサンブルの予測値も以下のように書き換えられる:
⟨ A ⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 N A α ′ α ′ ≈ 1 N ∑ α ′ = 1 N A = A . {\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.}
したがって、2つのアンサンブルの予測値は一致する。
対角項 A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} が小さなエネルギー範囲の中で定数として振る舞うことは、ETH の基本的な考えである。特に、単一のエネルギー固有状態における A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値は、対応するエネルギー準位のミクロカノニカルアンサンブルの平均に等しいことに注意しよう。このことは、動的エルゴード性による基礎づけとは根本的に異なったやり方で、量子統計力学の基礎を構成している。
孤立量子多体系について考える。 ここで「孤立」とは外界との相互作用がない(あるいは無視できる)ことを意味する。系のハミルトニアンを H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} と書けば、ハミルトニアンの固有状態は完全系をなす。
H ^ | E α ⟩ = E α | E α ⟩ . {\displaystyle {\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle .}
ここで | E α ⟩ {\displaystyle |E_{\alpha }\rangle } はハミルトニアンの固有値 E α {\displaystyle E_{\alpha }} の固有状態である。 以下、これらの状態を単に「エネルギー固有状態」 と呼ぶことにする。 簡単のため、対象とする系はエネルギー準位の縮退がなく、系は有限の領域に束縛されているものとする。したがって、エネルギー固有値のスペクトルは縮退がなく離散的になる(この仮定は不合理なものではない。実際の実験系では、充分無秩序かつ強い相互作用を持つため、ほとんどすべての縮退は解かれ、また系のサイズは限られているためである)。こうすることで、エネルギー固有状態をエネルギー固有値について小さい順にラベル付けできるようになる。
加えて、熱平衡での振る舞いを調べたい他の量子力学的な物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を考える。
{\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].}
2番目の和の各項は無限大の極限を取ることで減衰していく。2番目の和に含まれる、異なる指数項の間の位相の干渉性がこの減衰に匹敵するほど大きくはなり得ないと仮定すれば、第2項は無限大の極限でゼロに収束し、期待値の長時間平均は以下より与えられる:
A ̄ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α . {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.}
この物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の時間平均に関する予測を対角アンサンブル (diagonal ensemble) における予測値と呼ぶ。 対角アンサンブルの最も重要な点は、系の初期状態にあらわに依存し、系のすべての情報を保持しているように見えることである。
孤立量子系の熱化を説明する仮説として以下のものが提案されている:
物理的に意味のある初期状態について、係数 c α {\displaystyle c_{\alpha }} は固有状態間で大きなゆらぎを示し、そのゆらぎはオブザーバブル A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} の固有状態間のゆらぎとは完全に無相関である。そのため、対角アンサンブル上での和は実質的に、適当なエネルギー領域上での A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} の値の不偏サンプリングになっている。充分大きな系について、この不偏サンプリングは前述のエネルギー領域上での A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} の真の平均値に近い値を与え、その値はミクロカノニカルアンサンブルでの予測値を再現すると予想される。しかし、この機構は次のような欠点がある。典型的には、初期状態におけるオブザーバブルの期待値 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} が平衡状態での値から遠く離れているような状況に興味がある。