射影幾何学
つまり、ユークリッド幾何学における一般の結果は透過的なやり方で射影幾何における結果に読み替えることができる。このとき、ユークリッド幾何学では似ているが別々であった定理が射影幾何学の枠組みで統一的に扱える場合がある。例えば、勝手な射影平面を理想化された平面として選び出し、それを斉次座標系を用いて「無限遠」に配置すれば、平行線と平行でない線で場合を分けて考える必要はなくなる。
他に重要な基本性質として、デザルグの定理とパップスの定理がある。次元が 3 かそれ以上の射影空間では必ずデザルグの定理を証明することができるが、二次元の場合はそうではないので、デザルグの定理が成立する幾何と成立しない幾何は分けて考えなければならない。
デザルグの定理が成立する場合には、他の定理と組み合わせることによって算術の基本演算を幾何学的に定義することができる。得られる演算は体の公理を満足する(ただし、乗法の可換性を得る場合にはパップスの定理が必要)。結果として、各直線上の点の全体は与えられた体 F に余分な元 W を加えたものに一対一対応する。ただし、W は rW = W, −W = W, r + W = W, r/0 = W, r/W = 0, W − r = r − W = W を満足するものとし、また 0/0, W/W, W + W, W − W, 0W, W0 は定義しない。
↑ Ramanan 1997, p. 88
↑ Coxeter 2003, p. v
1 2 3 4 Coxeter 1969, p. 229
↑ Coxeter 2003, p. 14
↑ Coxeter 1969, pp. 93, 261
↑ Coxeter 1969, pp. 234–238
↑ Coxeter 2003, pp. 111–132
↑ Coxeter 1969, pp. 175–262
↑ Coxeter 2003, pp. 102–110
↑ Coxeter 2003, p. 2
↑ Coxeter 2003, p. 3
↑ Coxeter 2003, pp. 14–15
↑ Veblen 1966, pp. 16, 18, 24, 45
↑ Polster 1998, p. 5
↑ Cederberg 2001, p. 9–18
↑ Coxeter 1969, pp. 229–234
世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派(エンリケ, セグレ, セヴェリ)はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
19世紀の後半には、射影幾何学の詳しい研究は流行ではなくなっていたが、いくつか文献が刊行されている。いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
ポール・ディラックも射影幾何学を研究し、それを量子力学における彼の概念を展開する基礎として用いた(ただし、結果を公表する際は常に代数的な形にして述べられている)。See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
射影幾何においても距離は定義できる。例えば、実射影平面の点を三次元ユークリッド空間の原点を通る直線で表現した時、ユークリッド空間の距離は直線間の距離としては意味がないが、直線と原点を中心とした単位球との二つの交点を元に、二つの直線間の射影平面での距離を交点間の距離の短いほうと定義できる。平面射影幾何学は、点と直線との配置問題 (configuration) の研究に端を発する。実際、デザルグらによる透視図法の原理的な説明において、射影幾何学として理解することのできるいくつかの設定に、幾何学的に意味のある言及が散見される。より高次元の空間では、超平面などの線型な部分空間を考えることができて、それらは双対性を示す。この双対性の最も簡単な説明として、射影平面における「相異なる二点は直線を一意的に定める」(その直線は与えられた二点を通る)という言及と「相異なる二直線は点を一意的に定める」(その点は与えられた二直線の交点)という言及が、命題として同じ構造をしているということを挙げることができる。また、射影幾何は直定規のみを用いて構成することができる幾何としても捉えることができる。そして射影幾何がコンパスを用いた構成を必要としないことから、そこには円も角も角度も平行線も中間性の概念も存在しないことがわかる。これらの理由から射影幾何において成立する定理は、初等幾何におけるそれよりも単純な形に述べることができるようになる。例えば、(初等幾何において)異なる円錐曲線は(複素)射影幾何においては全て同値である。また、円に関する定理のいくつかは、もっと一般の定理の特別の場合として見ることができる。