ニュートン法
ニュートン法における導関数の計算を簡略化したものが簡易ニュートン法である:
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x 0 ) . {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}}.}
簡易ニュートン法に対する半局所収束定理は占部の定理として知られる。占部の定理は元々数学的帰納法を使って示されたが、その後、バナッハの不動点定理を使った別証明が与えられた。