正準変換
独立な変数として(q, Q)を選んだ場合、W1=W1(q, Q, t)はタイプ1の母関数と呼ばれる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
p i = ∂ W 1 ∂ q i , P i = − ∂ W 1 ∂ Q i , H = K − ∂ W 1 ∂ t {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}}
正準変換(q, p) →(Q, P) に対し、ポアソン括弧は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を{ , }q,p、新しい正準変数に対するポアソン括弧を{ , }Q,Pと表すと、
{ f , g } q , p = { f , g } Q , P {\displaystyle \{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}}
が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、
{ Q i , Q j } q , p = 0 {\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0}
{ P i , P j } q , p = 0 {\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0}
{ Q i , P j } q , p = δ i j ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta _{ij}\quad (i=1,\cdots ,n)}
が満たされていればよい。但し、δijはクロネッカーのデルタである。
δ q i ( q , p , t ) = ε ∂ G ( q , p , t ) ∂ p i {\displaystyle \delta q_{i}(q,p,t)=\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial p_{i}}}}
δ p i ( q , p , t ) = − ε ∂ G ( q , p , t ) ∂ q i {\displaystyle \delta p_{i}(q,p,t)=-\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial q_{i}}}}
となる。任意の力学量F(q, p, t)に対し、微小正準変換に対する変化
δ F = F ( q + δ q , p + δ p , t ) − F ( q , p , t ) {\displaystyle \delta F=F(q+\delta q,p+\delta p,t)-F(q,p,t)}
は、ポアソン括弧を用いて、
δ F = ε { F , G } p , q {\displaystyle \delta F=\epsilon \{F,G\}_{p,q}}
で与えられる。