コーシー積
n を自然数(ただし、以下では n = 1 の場合は自明な主張となるから n ≥ 2)とする。
∑∞k1=0 a1,k1, ..., ∑∞kn=0 an,kn を複素係数の収束無限級数で、和がそれぞれ A1, ..., An であり、最後の n 番目の列を除いてすべて絶対収束であるとすれば、級数 ∑ k 1 = 0 ∞ ∑ k 2 = 0 k 1 ⋯ ∑ k n = 0 k n − 1 a 1 , k n a 2 , k n − 1 − k n ⋯ a n , k 1 − k 2 {\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} は収束して、その収束値は各級数の和の積 ∏nj=1 Aj に等しい。
証明は n に関する帰納法による。(n = 2 のときはコーシー積に関する主張として既にみた。)
A をバナッハ代数とすれば、A に値をとる二つの級数のコーシー積を定義できる。さらに言えば、二つの絶対収束級数のコーシー積は収束して、一般化された分配法則が成り立つ。
例えば、複素変数の場合に有効であった二つの指数函数の積の計算を、この場合も恢復することができる。それを記述するために欠けている唯一の性質は、一般の二項定理を適用できることであり、そのためにたとえば a と b が可換であることなどを仮定しなければならないが、必要な仮定のもとで e = e × e が成り立つ。例えば t, u がスカラーならば e = e × e であり、特に e × e = e = 1が成り立つ。