積分法
ルベーグ=スティルチェス積分はルベーグ積分やリーマン=スティルチェス積分の拡張。加法的集合関数の変動が定める測度に関するルベーグ式の積分 ∫ X f ( x ) d Φ ( x ) {\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\Phi (x)}
であり、ヨハン・ラドンが詳しく調べた。
17世紀後半になってライプニッツとニュートンらにより微分法が発見されると、極めて技巧的な手段に頼っていた求積法は、原始関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。18世紀にはベルヌーイらやオイラーなどによる無限小解析の発展・整備によって計算技巧は大いに発達したが、19世紀に入るとフーリエ級数の厳密な研究などを通して、初めて積分自体の意味を問わなければならない状況が生じるようになった。実際、積分の厳密な定義は、リーマンによって論文「任意関数の三角級数による表現の可能性について」(1854年)の中で最初に与えられた。
20世紀に入ってすぐ、やはりフーリエ級数についてなど様々な解析学上の問題に刺激されて、ルベーグは、面積や体積とは何かということに就いて深く考察することにより測度論を展開し、現在ルベーグ積分論と呼ばれているものをつくった。リーマン積分可能な関数(ただし広義積分は含めない)はルベーグ積分可能であるという意味では、ルベーグ積分はリーマンのそれの一般化になっている。ルベーグが測度論を用いて展開したルベーグ積分は、彼の測度論がもつ極限との親和性と抽象性から、確率論、ヒルベルト空間論、調和解析など極めて広範な応用をもち、これらは物理学や工学などで基本的な道具として用いられることとなる。
ルベーグ積分以後もさらなる一般化がされた積分法がいくつか存在する。
直方体の底面である xy-平面上の領域 D 上で定数関数 f(x, y) = 5 の二重積分 ∫∫ D 5 d x d y {\displaystyle \iint _{D}5\,dx\,dy} は所期の直方体の体積を与える。例えば、直方体の底面矩形が x, y の不等式 2 ≤ x ≤ 6, 3 ≤ y ≤ 9 で与えられているならば、上の二重積分は ∫ 3 9 ∫ 2 6 5 d x d y {\displaystyle \int \limits _{3}^{9}\!\!\int \limits _{2}^{6}5\,dx\,dy} のことと読み替えることができる。このあと、積分を x と y のいずれから先に計算すべきなのかであるが、この例では内側の積分、つまり x に対応する区間で x に関する積分を先に行う。内側の積分を F(b) − F(a) を計算する方法などで求めた後は、得られた結果を残りの変数に関して再び積分すれば、底面と上面に挟まれた領域(つまり所期の直方体)の体積が求められる。
直方体自身の上で取った定数関数 1 の三重積分 ∫∫∫ cuboid 1 d x d y d z {\displaystyle \iiint \limits _{\text{cuboid}}1\,dx\,dy\,dz} としても所期の体積が計算できる。