調和関数
はド・ラムコホモロジーと呼ばれる。M の計量が誘導する内積に関して、外微分 d に対する形式的な随伴作用素として余微分 δ を定義することができる。
このとき、微分形式上のラプラス作用素が Δ = dδ + δd で定義され、調和形式の空間
H Δ k ( M ) = { α ∈ Ω k ( M ) ∣ Δ α = 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}}
が定義される。 d H Δ k ( M ) = 0 {\displaystyle d{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0} であるから自然な写像
φ : H Δ k ( M ) → H k ( M ) {\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M)}
が存在するが、ホッジの定理の第一部はこの φ がベクトル空間の同型となることを述べる。すなわち、M 上の各ド・ラムコホモロジー類に対し、その代表元として調和形式が一意的に取れる。
同様のことは、コンパクト多様体上の楕円型複体に対して述べられる。すなわち、楕円型複体のコホモロジーは調和切断の空間と自然に同型であり、各コホモロジー類は調和な代表元を一意に持つ。
任意のリーマン多様体上の調和函数は、ラプラス・ベルトラミ作用素(英語版) Δ を用いて定義することができる。すなわち、この文脈における函数が調和であるとはラプラス・ベルトラミ作用素に関する方程式 Δf = 0 を満足することを言う。
既に述べたユークリッド空間内の領域上定義された調和函数が持つ多くの性質は、このより一般の状況に於いても満足され、例えば (測地的球体上の)平均値の定理、最大値原理、ハルナックの不等式などが成立する。平均値の定理を除けば、これらは二階の線型楕円型偏微分方程式一般に対する対応する結果の簡単な帰結である。