ブロッホ群
⟨ ∂ ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ⟩ = ∑ i = 0 4 ( − 1 ) i ⟨ p 0 , ... , p ^ i , ... , p 4 ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{i},\dots ,p_{4}\right\rangle =0}
とは同値である。
加えて、3次元双曲多様体 X = H 3 / Γ {\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma } が与えられると、
X = ⋃ j = 1 n Δ ( z j ) {\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})}
と分解する。ここに Δ ( z j ) {\displaystyle \Delta (z_{j})} は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて ∂ H 3 {\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}} 上の無限遠点にある。ここに z j {\displaystyle z_{j}} は Im  z j > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z_{j}>0} となるある複素数である。
(一見すると z = 0 に分岐はないように見えるが、実は z = 1 を周回したシート上に z = 0 の分岐が現れる。)この積分表示によって Li2(z) は z ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} の普遍被覆空間に正則に解析接続される。
ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。
D 2 ( z ) = I ( Li 2  ( z ) ) + arg  ( 1 − z ) log  | z | {\displaystyle D_{2}(z)=\Im (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log \left|z\right|}
D2(z) には次のような著しい性質がある。
D2(z) はモノドロミーを持たず C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} 上の一価実解析的関数になる。
D 2 ( z ) = D 2 ( z − 1 z ) = D 2 ( 1 1 − z ) = − D 2 ( 1 z ) = − D 2 ( 1 − z ) = − D 2 ( z z − 1 ) .