ピタゴラスの定理
が得られる。 また、加法定理から導かれる半角公式を適用すると
sin 2  θ = 1 − cos  2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}
cos 2  θ = 1 + cos  2 θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}
したがって
sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。
∴ sin 2  θ + cos 2  θ = 1. {\displaystyle \therefore \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.} (1)
(1) の式はピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている。
(1) の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角 θ の点の座標として定義した (cos θ, sin θ) と上記の冪級数による定義は一致するからである。
前提とした △ABC について、∠A = θ とおけば
(1), (2), (3) より
a 2 + b 2 = ( c sin  θ ) 2 + ( cos  θ ) 2 = c 2 ( sin 2  θ + cos 2  θ ) = c 2 ⋅ 1 = c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=(c\sin \theta )^{2}+(\cos \theta )^{2}\\&=c^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )\\&=c^{2}\cdot 1=c^{2}\end{aligned}}}
ゆえに
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。
ただし、直角を作図するために 3:4:5の直角三角形が作図上利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "Berlin Papyrus 6619(英語版)" には定理に関わる部分が欠けている。
中国古代においては、『周髀算経』(紀元前2世紀前後)や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。
紀元前3世紀に書かれたユークリッド原論では、第1巻の命題47で言及されている。
インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。
「ピュタゴラス(ピタゴラス)の定理」という呼称が一般的になったのは、西洋においても少なくとも20世紀に入ってからである。
下記のように関数を定める。
f ( θ ) = sin 2  θ + cos 2  θ . {\displaystyle f(\theta )=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta .}
上記を漸化式を利用して不定積分すると
∫ f ( θ ) d θ = ∫ ( sin 2  θ ) d θ + ∫ ( cos 2  θ ) d θ = ( 1 2 θ − 1 2 sin  θ cos  θ + C 1 ) + ( 1 2 θ + 1 2 sin  θ cos  θ + C 2 ) = θ + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int f(\theta )d\theta &=\int (\sin ^{2}\theta )d\theta +\int (\cos ^{2}\theta )d\theta \\&=\left({1 \over 2}\theta -{1 \over 2}\sin \theta \cos \theta +C_{1}\right)+\left({1 \over 2}\theta +{1 \over 2}\sin \theta \cos \theta +C_{2}\right)\\&=\theta +C\end{aligned}}}