初等関数算術
これもEFAと同じ Π 2 0 {\displaystyle \Pi _{2}^{0}} 文を持つ。その意味するところは、EFAで ∀ x ∃ y P ( x , y ) {\displaystyle \forall x\exists yP(x,y)} ( P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} は量化子を持たない)が証明可能であるときに限り、ERAで項 T {\displaystyle T} が定義できて P ( x , T ( x ) ) {\displaystyle P(x,T(x))} が証明可能である、ということである。
PRAと同様、ERAは論理を用いることなく、代入、帰納法、初等帰納的関数の定義式とによって定義できる。しかしながら、PRAとは異なり、初等帰納的算術は有限個の基底関数と射影の関数合成による閉包として特徴付けることができ、したがって有限個の定義式だけを必要とする。
有界量化子あるいは限定量化子は ∀ x < y {\displaystyle \forall x<y} と ∃ x < y {\displaystyle \exists x<y} の形をしたもので、これらは ∀ x ( x < y → ⋯ ) {\displaystyle \forall x(x<y\to \cdots )} および ∃ x ( x < y ∧ ⋯ ) {\displaystyle \exists x(x<y\wedge \cdots )} の省略形である。全ての量化子が有界であるような論理式のことを有界論理式、限定論理式あるいは Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} 論理式という。
EFAの公理は次のものからなる:
ロビンソン算術の公理すべて( 0 , 1 , + , × , < {\displaystyle 0,1,+,\times ,<} に関するもの)
指数関数の公理: x 0 = 1 , x y + 1 = x y × x {\displaystyle x^{0}=1,x^{y+1}=x^{y}\times x}
有界論理式に対する帰納法の公理図式