ミンコフスキーの定理
V ( S ) > d ( L ) = V ( F ) ≥ V ( f ( S ) ) {\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))}
となる。よって f は S 上単射ではないので
f ( v 1 ) = f ( v 2 ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})}
となる点 v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。
f ( v 1 ) − v 1 , f ( v 2 ) − v 2 ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v_{1}} )-\mathbf {v_{1}} ,f(\mathbf {v_{2}} )-\mathbf {v_{2}} \in L}
だから
v 1 , v 2 ∈ S , v 2 − v 1 = r 2 − r 1 ∈ L {\displaystyle \mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in S,\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \in L}
である。