解析的整数論
として、a と q を互いに素とすると、
lim x → ∞ π ( x , a , q ) φ ( q ) x / log  x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1}
が成り立つ。
数論には他にも数多くの広く深い予想が存在するが、その証明は現在の手法をもってしても困難と考えられている。たとえば、双子素数問題は、p + 2 が素数であるような素数 p が無限個存在するかという問題である。エリオット・ハルベルスタム予想(英語版)(Elliott–Halberstam conjecture)を仮定すると、素数 p であって、12以下のある正の偶数 k に対し、p + k が素数となるようなものが無限に存在することが、最近証明された。また、無条件に(つまり、証明されていない予想に依存せずに)素数 p であって246 以下のある正の偶数 k に対し p + k が素数となるようなものが無限に存在することも示された。
ベルンハルト・リーマンは現代の解析数論に有名な寄与をいくらかした。1編の短い論文(数論に関してリーマンが発表した唯一の論文)において、リーマンゼータ関数を研究し素数分布の理解におけるその重要性を確立した。リーマンはゼータ関数の性質について一連の予想を行った。そのうちの1つが有名なリーマン予想である。