加群の層
f − 1 G ⊗ f − 1 O ′ O {\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}
ただし fG は G の逆像層(英語版)であり, f − 1 O ′ → O {\displaystyle f^{-1}O'\to O} は O ′ → f ∗ O {\displaystyle O'\to f_{*}O} から随伴によって得られる.
f ∗ {\displaystyle f_{*}} と f ∗ {\displaystyle f^{*}} の間には随伴の関係がある:任意の O 加群 F と O′ 加群 G に対して,アーベル群として
Hom O  ( f ∗ G , F ) ≃ Hom O ′  ( G , f ∗ F ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}
が成り立つ.projection formula(英語版)もある: O 加群 F と階数有限の局所自由 O′ 加群 E に対して,
f ∗ ( F ⊗ f ∗ E ) ≃ f ∗ F ⊗ E {\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E}
が成り立つ.
( M ⊗ A N ) ∼ ≃ M ~ ⊗ A ~ N ~ {\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}} .
M が有限表示のとき, Hom A  ( M , N ) ∼ ≃ H o m A ~ ( M ~ , N ~ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})} .
Hom A  ( M , N ) ≃ Γ ( X , H o m A ~ ( M ~ , N ~ ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))} , なぜなら ModA と X 上の準連接層の圏の間の同値があるから.
( lim →  M i ) ∼ ≃ lim →  M i ~ {\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}} ; とくに,直和を取ることと ~ は可換である.