ヤコビの楕円関数
ノームを q = exp  ( − π K ′ / K ) {\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)} とし、引数を v = π u / ( 2 K ) {\displaystyle v=\pi u/(2K)} と変換する。このときの関数の展開はランベルト級数(英語版)になる。
sn  ( u ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 − q 2 n + 1 sin  ( ( 2 n + 1 ) v ) , {\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}
上記の加法定理を使うと、k が 0 < k < 1 を満たす場合は、ヤコビの楕円関数は下記の非線形常微分方程式の解となる。
s n ( x ) {\displaystyle \mathrm {sn} \,(x)} は次の微分方程式の解である
d 2 y d x 2 + ( 1 + k 2 ) y − 2 k 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0}
や ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}
c n ( x ) {\displaystyle \mathrm {cn} \,(x)} は次の微分方程式の解である
d 2 y d x 2 + ( 1 − 2 k 2 ) y + 2 k 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}
上記のように、特定の性質を持つ唯一の有理型関数として定義するのは非常に抽象的である。より単純で、完全に同値な定義として、第1種不完全楕円積分の逆関数として定義することができる。まず、
u = ∫ 0 φ d θ 1 − m sin 2  θ {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
とする。楕円関数 sn u は
sn u = sin  φ {\displaystyle \operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,}
で与えられ、cn u は
cn u = cos  φ {\displaystyle \operatorname {cn} \;u=\cos \phi }
で与えられ、dn u は
数学において、ヤコビの楕円関数(ヤコビのだえんかんすう、英: Jacobi elliptic functions)とは、基本的な楕円関数の一群であり、追加でテータ関数を含むこともあり、歴史的に重要な関数からなる。これらの関数は重要な構造を持っていて、さらに直接関連した応用も存在する。三角関数との類似性も便利で、sin に対応する関数を sn と表記する。実用的な問題にはヴァイエルシュトラスの楕円函数よりもヤコビの楕円関数のほうがよく用いられる。これは複素解析の概念を使わずに定義し考察できるからである。これらの関数はCarl Gustav Jakob Jacobi (1829)により導入された。