広義積分
場合によっては、次の積分
∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx\,}
は、次の極限の存在を抜きにして定義できる:
lim b → c − ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,} .
しかしこの極限なしでは値の計算が困難である。例えば関数 f を a から c で積分する際、(1)関数 f が c で正または負の無限大に発散するとき、または(2) c = ∞のときに、そのような状況がしばしば生ずる。
また場合によっては、f(x) dx の正部分と負部分それぞれの a から c までの積分が共に無限大となり、単なる「f の a から c までの積分」が定義すらできなくても、上記の極限だけは存在することがある。それは(通常の積分に帰着できないという意味で)「真の」広義積分と呼べるだろう。
対照的に、次に示すsinc関数の積分は、
∫ 0 ∞ sin  x x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}
ルベーグ積分としては解釈できない。なぜなら
∫ 0 ∞ | sin  x x | d x = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|\,dx=\infty }
だからである。 ゆえに上記の積分は「真の」広義積分であり、値は次式で与えられる:
∫ 0 ∞ sin  x x d x = lim b → ∞ ∫ 0 b sin  x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}} .