位相群
数学における位相群(いそうぐん、英: topological group)は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間として連続写像について扱ったりすることができる。位相群の連続群作用(英語版)は、連続対称性を調べるのに利用でき、例えば物理学などにも多くの応用を持つ。
文献によっては、本項に言うところの位相群を連続群と呼び、単に「位相群」と言えば位相空間として T2(ハウスドルフの分離公理)を満たす連続群すなわちハウスドルフ位相群を意味するものがある。
結果として、ヒルベルトの第五問題の解は、位相多様体であるような位相群の分類という代数的な問題に帰着されたが、一般には複雑な問題である。
この定理は位相群の広範なクラスに対しても帰結を持つ。まず、任意のコンパクト群(ハウスドルフと仮定する)はコンパクトリー群の射影極限である。その重要な場合の一つが射有限群と呼ばれる有限群の射影極限で、例えば p-進整数全体の成す加法群 Zp や、体の絶対ガロワ群は射有限群である。さらに任意の連結局所コンパクト群が、連結リー群の射影極限になる。他の極端な例で、完全不連結局所コンパクト群(TDLC群)は常にコンパクト開部分群を含み、それは射有限群である必要がある。例えば、局所コンパクト群 GL(n,Qp) はコンパクト開部分群 GL(n,Zp)(これは有限群 GL(n,Z/p) の r → ∞ の射影極限)を含む。