バナッハの不動点定理
応用上の興味が注がれるような多くの一般化が、直接的な系として存在する。T : X → X を空でない完備距離空間上の写像とする。
T の何回目かの反復 T は縮小写像であると仮定する。このとき、T には唯一つの不動点が存在する。
T は連続函数とし、X 内のすべての x と y に対して
∑ n d ( T n ( x ) , T n ( y ) ) < ∞ {\displaystyle \sum \nolimits _{n}d(T^{n}(x),T^{n}(y))<\infty }
が成り立つものとする。このとき T には唯一つの不動点が存在する。
しかし多くの応用において、不動点の存在と一意性は、T を縮小写像にする距離を適切に選ぶことで、標準的なバナッハの不動点定理によって直接的に示される。実際、Bessaga による上述の結果では、そのような距離を見つけることが強く推奨されている。さらなる一般化については、記事無限次元空間における不動点定理を参照されたい。
異なる類の一般化は、距離空間の概念の適切な一般化によって生じる。例えば、距離の概念に対する公理の定義を弱めることなどで生じる。 それらの内のいくつかは、例えば計算機科学におけるプログラム意味論などで、応用例を持つ。
数学的帰納法より、すべての n ∈ N に対して補題は示される。
補題 2 {xn} は (X, d) におけるコーシー列で、X 内のある極限 x* に収束する。
証明 m, n ∈ N を、m > n を満たすものとする。このとき次が成り立つ。
d ( x m , x n ) ≤ d ( x m , x m − 1 ) + d ( x m − 1 , x m − 2 ) + ⋯ + d ( x n + 1 , x n ) Triangle Inequality ≤ q m − 1 d ( x 1 , x 0 ) + q m − 2 d ( x 1 , x 0 ) + ⋯ + q n d ( x 1 , x 0 ) Lemma 1 = q n d ( x 1 , x 0 ) ∑ k = 0 m − n − 1 q k ≤ q n d ( x 1 , x 0 ) ∑ k = 0 ∞ q k = q n d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) Geometric Series {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\dots +d(x_{n+1},x_{n})&{\text{Triangle Inequality}}\\&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\dots +q^{n}d(x_{1},x_{0})&{\text{Lemma 1}}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)&{\text{Geometric Series}}\end{aligned}}}