ファトゥの補題
確率論においては、記号を変えることで、上述のファトゥの補題は、確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )} 上で定義される確率変数の列 X1, X2, . . . に対して適用可能となる。このとき、積分は期待値へと変わる。加えて、条件付き期待値に対するものもある。
非負の関数列 fn + g に対してファトゥの補題を適用すればよい。
を得る。しかし An は入れ子状の集合の増加列であるため、μ の下からの連続性により
lim n → ∞ μ ( A n ) = ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty }
を得る。同時に
∫ E f n d μ ≥ a μ ( A n ) ⇒ lim inf n → ∞ ∫ E f n d μ = ∞ = ∫ E φ d μ , {\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu \geq a\mu (A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu =\infty =\int _{E}\varphi \,d\mu ,}
であるため、この場合の主張は証明された。
∫ E φ < ∞ {\displaystyle \int _{E}\varphi <\infty } である場合が残されている。このとき μ(A) は有限でなければならない。上述と同様に、M を φ の最大値とし、ε>0 を固定する。今
A n = { x ∈ E | f k ( x ) > ( 1 − ε ) φ ( x ) ∀ k ≥ n } {\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\varphi (x)~\forall k\geq n\}}
を定義する。このとき、An は入れ子状の集合の増加列で、それらの合併は A を含む。
ファトゥの補題は、次に記載する初めの証明のように、直接的に証明することも出来る。この証明は、Royden(参考文献を見られたい)により発見された証明にさらに手を加えたものである。二つ目の証明はより短いが、単調収束定理を必要とするものである。
直接的な証明
ここでは少し弱い意味での補題の証明を行う。すなわち、fn が S の部分集合 E 上で μ に関してほとんど至る所収束することも許す。次を示すことを目的とする:
∫ E f d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ E f n d μ . {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \,.}
今
K = { x ∈ E | f n ( x ) → f ( x ) } {\displaystyle K=\{x\in E|f_{n}(x)\rightarrow f(x)\}}
とする。このとき、μ(E-K)=0 であり、
∫ E f d μ = ∫ K f d μ , ∫ E f n d μ = ∫ K f n d μ ∀ n ∈ N {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{K}f\,d\mu ,\ \ \int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{K}f_{n}\,d\mu \quad \forall n\in \mathbb {N} }
である。したがって、E を K に置き換えることで、fn が E 上で f へと各点収束すると仮定することが出来る。