アーベル群のランク
ランクが 1 よりも大きいアーベル群は面白い例の源である。例えば、すべての濃度 d に対して直既約すなわち真の部分群のペアの直和として書けないランク d の捩れなしアーベル群が存在する。これらの例はランクが 1 よりも大きい捩れなしアーベル群は理論がよく理解されているランク 1 の捩れなしアーベル群から直和によって単純には構成できないということを示している。さらに、すべての整数 n ≥ 3 に対して、2つの直既約群の和であると同時に n 個の直既約群の和でもあるランク 2n − 2 の捩れなしアーベル群が存在する。 したがって 4 以上の偶数ランクの群の直既約成分の個数でさえ well-defined でない。
直和分解の非一意性の別の結果は A.L.S. Corner による。整数 n ≥ k ≥ 1 が与えられると、ランク n の捩れなしアーベル群 A が存在して k 個の自然数の和への任意の分割 n = r1 + ... + rk に対して群 A はランク r1, r2, ..., rk の k 個の直既約部分群の直和である。したがって有限ランクの捩れなしアーベル群のある直和分解における直既約成分のランクの列はとても A の不変量とは言えない。
他の驚くべき例に次のものがある。捩れなしランク 2 の群 An,m と Bn,m であって A が B に同型であることと n が m で割り切れることが同値である。
無限ランクのアーベル群に対して、次を満たす群 K と部分群 G の例がある。
K は直既約で、
K は G と別の 1 つの元で生成され、
G のすべての 0 でない直和成分は直可約である。