三角関数の部分分数展開
余接関数の部分分数展開の両辺を微分して比較することにより
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
が導かれる。(→バーゼル問題)
lim z → 0 d d z π cot  π z = − π 2 sin 2  π z = − π 2 ( π z − 1 6 ( π z ) 3 + O ( z 5 ) ) 2 = − π 2 ( π z ) 2 − 1 3 ( π z ) 4 + O ( z 6 ) = − 1 z 2 − 1 3 π 2 + O ( z 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {d}{dz}}\pi \cot \pi {z}&=-{\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi {z}}}\\&=-{\frac {\pi ^{2}}{\left(\pi {z}-{\frac {1}{6}}(\pi {z})^{3}+O(z^{5})\right)^{2}}}\\&=-{\frac {\pi ^{2}}{(\pi {z})^{2}-{\frac {1}{3}}(\pi {z})^{4}+O(z^{6})}}\\&=-{\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{3}}\pi ^{2}+O(z^{2})\\\end{aligned}}}