資本資産価格モデル
他方、Richard Roll(英語版)は既存のCAPMについての実証研究が持つ問題点をいくつか提起した。特に有名なものとして、市場ポートフォリオについての批判がある。CAPMは全ての金融資産について成立するものなので、市場ポートフォリオも全ての金融資産の時価総額加重平均ポートフォリオでなくてはならない。しかし既存の実証研究は株式に対するものが主で、市場ポートフォリオも全ての株式に対する時価総額加重平均ポートフォリオが用いられてきた。その意味で株式しか考慮に入っていない市場ポートフォリオを用いた結果の妥当性を判断するのは難しい。よって市場ポートフォリオは株式以外にも債券、不動産、そして人的資本への投資などを含めた時価総額加重平均ポートフォリオであるべきであるという主張になる。
そしてより深刻な指摘としてCAPMでは説明できないアノマリーの存在がある。このようなアノマリーの例として時価総額が小さい株式の方が高い期待リターンを得られるという小型株効果や、簿価時価比率(PBRの逆数)が高い割安株の方が高い期待リターンを得られるというバリュー株効果などがある。
E [ R i ] − r f = λ j ( C o v ( R 1 , R i ) φ 1 j + ⋯ + C o v ( R n , R i ) φ n j ) = λ j ∑ k = 1 n C o v ( R k , R i ) φ k j , i = 1 , ... , n {\displaystyle E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }=\lambda ^{j}{\Big (}\mathrm {Cov} (R_{1},R_{i})\phi _{1}^{j}+\cdots +\mathrm {Cov} (R_{n},R_{i})\phi _{n}^{j}{\Big )}=\lambda ^{j}\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{k},R_{i})\phi _{k}^{j},\quad i=1,\dots ,n}
ここで λ j {\displaystyle \lambda ^{j}} は0ではない各投資家に固有の係数である。リスク資産 i {\displaystyle i} の時価総額を V i {\displaystyle V_{i}} とし、投資家 j {\displaystyle j} の初期資産を W j {\displaystyle W^{j}} とすれば、需給一致の条件から
V i = ∑ j = 1 J W j φ i j , i = 1 , ...
CAPMの導出について述べる。以下の記述は池田 & (2000)とDybvig and Ross & (2003)に基づく。まずCAPMが成立する為に必要な仮定として以下の4点があげられる。
全ての投資家は平均分散分析によりポートフォリオを選択する。
全ての投資家は全ての金融資産の収益率の平均と分散について同一の予想を持つ。
金融市場が完全市場である。
無リスク資産が存在する。
第一の仮定が成立する為には全ての金融資産の収益率の同時分布が正規分布であるか、もしくは全ての投資家の期待効用関数が2次関数の形式を取っているかのいずれかと全ての投資家がリスク回避的であることが成り立たねばならない。
ここで金融市場には n {\displaystyle n} 個のリスク資産と利子率 r f {\displaystyle r_{\mathrm {f} }} の無リスク資産、そして J {\displaystyle J} 人の投資家が存在するとしよう。任意のリスク資産 i {\displaystyle i} についてその収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とすると、第 j {\displaystyle j} 投資家の期待効用を最大化する平均分散的に効率的なリスク資産への投資比率ポートフォリオ φ i j , i = 1 , ... , n {\displaystyle \phi _{i}^{j},i=1,\dots ,n} は次の連立方程式の解となる。
が成り立つ。ただし
λ m = ∑ l = 1 n ∑ j = 1 J W j φ l j ∑ j = 1 J W j / λ j {\displaystyle \lambda ^{\mathrm {m} }={\frac {\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{l}^{j}}{\sum _{j=1}^{J}W^{j}/\lambda ^{j}}}}
である。ここでマーケットリスクプレミアムは
E [ R m ] − r f = ∑ i = 1 n ( E [ R i ] − r f ) φ i m = λ m ∑ i = 1 n C o v ( R m , R i ) φ i m = λ m V a r ( R m ) {\displaystyle E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}\phi _{i}^{\mathrm {m} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{\mathrm {m} },R_{i})\phi _{i}^{\mathrm {m} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}