タウ数
タウ数は無限に存在し、複数の方法でタウ数の無限列 (または無限集合) を得ることができる:
素数 p に対して pとなる数 (2, 9, 625, 117649, ... (A036878))
n の素因数分解を p 1 m 1 ⋯ p k m k {\displaystyle p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{k}^{m_{k}}} としたとき、 p 1 p 1 m 1 − 1 ⋯ p k p k m k − 1 {\displaystyle p_{1}^{p_{1}^{m_{1}}-1}\cdots p_{k}^{p_{k}^{m_{k}}-1}} で表される数 (1, 2, 9, 8, 625, 18, 117649, 128, ... (A036879))
任意の奇素数 p に対して 8p (24, 40, 56, 88, 104, ...)
任意の相異なる3より大きい素数 p, q に対して 36 pq (1260, 1980, 2340, 2772, ...)
奇数のタウ数は全て平方数である。そのような数を小さい順に並べると
となる。
正整数 n に対して、n 以下のタウ数の個数を T(n) で表す。このとき、T(n) と素数計数関数 π(n) の間に以下の関係が成り立つ:
任意の実数 (正実数としてよい) k に対して、n が十分大きいならば T(n) > kπ(n) が成り立つ。
ゼリンスキーによって証明されたこの定理は、コルトンが k = /2 について予想したものについて、部分的に証明したものである。ゼリンスキーは k = /2 の場合について、反例の上限が 7.42×10となることも示している。
クラウディア・スピロは T(n) に対して、漸近的な近似値として
を与えた。ただしここで o(1) はo記法である。すなわち、ある関数 ε(n) が存在して
であり、ε(n) は任意の正定数 K について、十分大きい n に対して | ε(n) | < K が成り立つ。