曲線
曲線への関心が、それが数学的研究の主題となるよりずっと昔から存在したことは、先史時代までさかのぼれる芸術や日用品において装飾的に用いられる種々の例から見てとることができる。曲線、あるいは少なくともそれらの視覚的表現は、例えば浜の砂に棒きれで描くように、容易に作り出せる。
古代ギリシアの幾何学者は多種多様な曲線を研究した。その一つの理由は、彼らが標準的なコンパスと定木を用いた作図を用いて解くことのできない幾何学的問題を解くことに関心を持っていたからである。
円錐曲線はペルガのアポロニウスが研究した。
ディオクレスのシッソイドはディオクレスが研究し、立方倍積問題に用いた。
ニコメデスのコンコイドはニコメデス(英語版)が研究し、立方倍積問題と角の三等分問題の両方に用いた。
アルキメデスの螺旋はシラクサのアルキメデスが研究し、角の三等分問題と円積問題に用いた。
spiric section(英語版) (ペルセウスのトーラス曲線(英語版)) はペルセウス(英語版)の研究した、(アポロニウスの円錐曲線と同様に)平面による切断でトーラスの断面に現れる曲線である。
曲線論の基本的な進歩は17世紀に解析幾何学によってもたらされた。これにより曲線は、極めて精巧な幾何学的構成ではなく、方程式を用いて記述することができるようになる。
一般に曲線は実数直線内の区間 I から位相空間 X への連続写像 γ: I → X を通じて定義される。写像 γ 自身を曲線と呼ぶか、γ の像を曲線と呼ぶかは文脈による。例えば位相空間論において写像自身を曲線と呼ぶのは、単に連続というだけの写像の像を曲線と呼ぼうとすれば、およそ一般的に言う意味での曲線とは思えないものまで曲線と呼ぶことになってしまうためである。他方で、可微分函数(あるいは少なくとも区分的に微分可能な函数)の定める曲線を対象とするならば、曲線と呼ぶのはふつう像のほうである。
曲線 γ が単純またはジョルダン弧であるとは、γ が単射(すなわち x, y ∈ I が γ(x) = γ(y) を満たすならば必ず x = y)となることを言う。ただし、I が有界閉区間 [a, b] のときには、γ(a) = γ(b) となることは許す(このように約束すれば、単純閉曲線について述べることができる)。日常語で言えば、「自分自身と交叉することがなく、また途切れたりもしていない」曲線が単純曲線である。
(I の端点以外の)適当な x ≠ y で γ(x) = γ(y) となるならば、γ(x) はこの曲線の多重点(少なくとも二重点)と呼ばれる曲線の特異点である。
曲線 γ が閉あるいはループであるとは、I が有界閉区間で、それを [a, b] と書けば γ(a) = γ(b) となるときに言う。