捩率テンソル
捩率テンソル(れいりつテンソル、torsion)とは、微分幾何学における概念の1つ。なお「捩率」という名称に関してLoring W. Tuは「 T ( X , Y ) {\displaystyle T(X,Y)} を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」と述べている。
古典的な曲線の微分幾何学(英語版)(differential geometry of curves)では、フレネ・セレの公式は、どのようにして特殊な動標構(フレネ・セレ標構)が曲線に沿って「ツイスト」しているのかを記述する。物理学の用語では、捩率テンソルは曲線の接線方向を示す理想化された頂点の角運動量へ対応する。
(計量)接続を持つ多様体の場合は、これと似た解釈がある。観測者が接続の測地線に沿って動いているとする。そのような観測者は、加速度を体験してはいないので、慣性と普通は考える。加えて、観測者が正確なまっすぐな定規(座標系)を持っているとする。それぞれの定規は、真っ直ぐな目盛で測地的である。それぞれの定規が軌跡に沿って平行移動(parallel transport)する。これらの定規が物理的に軌跡に沿って動くという事実は、リーの移動(Lie-dragged)あるいは、接方向に沿ったそれぞれの定規のリー微分が 0 となって伝播していることを意味する。しかし、 フレネ・セレ標構の中の頂点で体感できるトルクと似たトルク(捩れの力)かもしれない。この力は、捩れにより測る。
さらに詳しくは、観測者が測地線の経路 γ(t) に沿って動き、測定する定規を持っているとすると、定規は測地線に沿う観察者の経路としては曲面を外れて移動することになる。この曲面に沿った自然な座標が (t,x) が存在し、そこでは、観測者により t はパラメータじかと取られ、x は測る定規に沿った位置と取られる。定規が曲線に沿って平行に移動するという条件は、
Δ ( X , Y ) = ∇ X Y ~ − ∇ X ′ Y ~ {\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}
を p を離れて任意の X と Y の拡大から計算された 2つの接続の間の差異とする。ライプニッツの積公式により、Δ はどのように X と Y が拡大されたか(従って、M 上のテンソルを定義するか)には実際依存しないことが分かる。S と A を Δ の対称的部分と交代的部分
S ( X , Y ) = 1 2 ( Δ ( X , Y ) + Δ ( Y , X ) ) {\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}
A ( X , Y ) = 1 2 ( Δ ( X , Y ) − Δ ( Y , X ) ) {\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}