加算性白色ガウス雑音
これにより、エラー確率 P e ( n ) {\displaystyle P_{e}^{(n)}} が計算でき、
P e ( n ) ≤ P ( U ) + P ( V ) + ∑ j ≠ i P ( E j ) ≤ ε + ε + ∑ j ≠ i 2 − n ( I ( X ; Y ) − 3 ε ) ≤ 2 ε + ( 2 n R − 1 ) 2 − n ( I ( X ; Y ) − 3 ε ) ≤ 2 ε + ( 2 3 n ε ) 2 − n ( I ( X ; Y ) − R ) ≤ 3 ε {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}^{(n)}&\leq P(U)+P(V)+\sum _{j\neq i}P(E_{j})\\&\leq \epsilon +\epsilon +\sum _{j\neq i}2^{-n(I(X;Y)-3\epsilon )}\\&\leq 2\epsilon +(2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\epsilon )}\\&\leq 2\epsilon +(2^{3n\epsilon })2^{-n(I(X;Y)-R)}\\&\leq 3\epsilon \end{aligned}}}
となる。よって、nが無限大に近づくことにより、 P e ( n ) {\displaystyle P_{e}^{(n)}} は0に収束し、 R < I ( X ; Y ) − 3 ε {\displaystyle R<I(X;Y)-3\epsilon } となる。それゆえ、前に導出した容量に任意に近いレートRの符号が存在する。
.. , x k ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})} に対して必要なものである。
1 k ∑ i = 1 k x i 2 ≤ P , {\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,}
ここで P {\displaystyle P} は最大の通信路容量を表す。よって、パワーが制限された通信路の容量は以下になる。
C = max f ( x ) s.t. E ( X 2 ) ≤ P I ( X ; Y ) {\displaystyle C=\max _{f(x){\text{ s.t. }}E\left(X^{2}\right)\leq P}I(X;Y)\,\!}
f ( x ) {\displaystyle f(x)} は X {\displaystyle X} の分布である。 I ( X ; Y ) {\displaystyle I(X;Y)} を展開し、微分エントロピーの観点から書くと以下の式になる。