集合の圏
ツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない(これは基礎の公理から従う)。集合でない集まりのことを真の類と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は(集合あるいは真の類の何れの意味でも)集まりに属するものと書けない。これは問題である、というのもこのような設定の下では集合の圏を直接的に定式化することができないことを意味するからである。
そのような問題を解決する一つの方法は、正しく真の類を扱うことのできる体系(例えばNBG集合論(英語版))の中で議論することである。この設定において、集合から構成される圏は小さいといい、集合の圏 Set のように真の類を成すような圏は大きいと言う。
別な解決法としてはグロタンディエック宇宙の存在を仮定することが挙げられる。厳密さをさておけば、グロタンディエック宇宙とはそれ自身が ZF(C) のモデルとなるような集合をいう(例えば、ある集合が一つの宇宙に属するならば、その任意の元も同じ宇宙に属し、あるいはその冪集合もまた同じ宇宙に属する)。グロタンディエック宇宙の存在性は(空集合の存在および遺伝的有限集合全体の成す集合 Vω の存在を除いて)通常の ZF の公理系からは導かれない。すなわちグロタンディエック宇宙の存在は追加の独立な公理であって、おおまかには強到達不能基数と同値である。