コンパクト化
n次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の一点コンパクト化は、n次元球面 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} と同相である。特にリーマン球面 C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} は複素平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } の一点コンパクト化として与えられる。
自然数全体(離散位相) N {\displaystyle \mathbb {N} } の一点コンパクト化は N {\displaystyle \mathbb {N} } に最大元 ω {\displaystyle \omega } を付け加えた順序集合 N ∪ { ω } {\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\omega \}} の順序位相と同相になる。
1 2 『数学シリーズ集合と位相』内田伏一著、p124、裳華房
↑ X が距離空間である場合には、コンパクト部分集合は必ず閉集合であるので、 X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} がコンパクトであるという条件だけ課せば X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} が X {\displaystyle X} の閉集合である事が従う。しかし一般にはそうではないので、コンパクト性と閉集合である事の両方を X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} に対する条件として課す必要がある。
↑ 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p217
↑ この連続関数の定義域 β X {\displaystyle \beta X} はコンパクトなので、この関数は有界である。
さらに K {\displaystyle K} から ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} への自然な埋め込みを e : K → ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle e:K\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} とすると j ∗ ∘ i = e ∘ j {\displaystyle j^{*}\circ i=e\circ j} が成り立ち、 写像の連続性や像の稠密性及び空間のコンパクト性やハウスドルフ性から j ∗ ( i ( X ) ̄ ) = j ∗ ( i ( X ) ) ̄ = e ( j ( X ) ) ̄ = e ( K ) ̄ = e ( K ) {\displaystyle j^{*}({\overline {i(X)}})={\overline {j^{*}(i(X))}}={\overline {e(j(X))}}={\overline {e(K)}}=e(K)} となる。
以上から e : K → e ( K ) {\displaystyle e:K\to e(K)} が同相写像であることに注意すると β j := e | K − 1 ∘ j ∗ {\displaystyle \beta j:={e|_{K}}^{-1}\circ j^{*}} が j = β j ∘ i {\displaystyle j=\beta j\circ i} を満たすことが分かる(一意性は i ( X ) {\displaystyle i(X)} が i ( X ) ̄ {\displaystyle {\overline {i(X)}}} で稠密であることから従う)。
T1空間 X {\displaystyle X} に対し F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X {\displaystyle X} 上の空でない閉部分集合全体とし、包含関係で自然に順序を入れる。 このとき ω X {\displaystyle \omega X} を F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上の超フィルター全体とする。 今 X {\displaystyle X} の閉部分集合 C {\displaystyle C} に対し、 ω C ⊆ ω X {\displaystyle \omega C\subseteq \omega X} を ω C := { μ ∈ ω X : C ∈ μ } {\displaystyle \omega C:=\{\mu \in \omega X\colon C\in \mu \}} と定義し、 ω F := { ω C : C ∈ F } {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}:=\{\omega C\colon C\in {\mathcal {F}}\}} とする。 このとき ω C ∪ ω D = ω ( C ∪ D ) ( C , D ∈ F ) {\displaystyle \omega C\cup \omega D=\omega (C\cup D)(C,D\in {\mathcal {F}})} から ω F {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}} が開基の公理を満たすので、そこから ω X {\displaystyle \omega X} に自然に位相が定まる。
位相空間X のコンパクト化(英: compactification)とは、X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。X を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる。
厳密な定義は以下のとおりである。
埋め込み写像を強調して、組 ( K , i ) {\displaystyle (K,i)} の事をX のコンパクト化という事もある。 また文脈から i {\displaystyle i} が自明な時は i {\displaystyle i} を略して K {\displaystyle K} をX のコンパクト化という。
例えばX を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の縁を含まない単位円盤 { x ∈ R n ∣ | x | < 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid |x|<1\}} としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とするX のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤をK とすると、X はKの中で稠密ではないので、Kは包含写像に対するX のコンパクト化ではない。
X は i {\displaystyle i} によりそのコンパクト化K に埋め込まれているので、K はいわばXのに「点を付け加えて」コンパクト化したものとみなす事ができる。