ワッサースタイン計量
次に挙げる W1 の双対表現は、カントロヴィチとルビンスタインの双対定理(1958年)の特別な場合である:μ と ν が有界な台を持つとき、
W 1 ( μ , ν ) = sup { ∫ M f ( x ) d ( μ − ν ) ( x ) | continuous f : M → R , L i p ( f ) ≤ 1 } {\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right|{\mbox{continuous }}f:M\to \mathbb {R} ,\mathrm {Lip} (f)\leq 1\right\}}
が成立する。ここで Lip(f) は f に関する最小のリプシッツ定数を表す。
これを、ラドン計量の定義と比較する: