ディラック方程式
1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念(空孔理論、hole theory)を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された(ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる)。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。
その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた(相対論的な場の量子論)。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。
即ち、ローレンツ変換
x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}
ψ a ( x ) → ψ a ′ ( x ) = [ D ( Λ ) ] a b ψ b ( Λ − 1 x ) {\displaystyle \psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b}\,\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)}
(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、
( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0}
となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は
[ D ( Λ ) ] a c [ γ μ ] c d [ D ( Λ ) − 1 ] d b = ( Λ − 1 ) μ ν [ γ ν ] a b {\displaystyle [D(\Lambda )]_{a}{}^{c}\,[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d}\,[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}}