多重ゼータ値
このとき evaluation map Z が調和積を入れて考えた代数 H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} から R への群準同型になっているという事実を調和関係式 (harmonic relation) という。
同様にして、 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} 上に双線形な積 ш を導入する:
w ∈ H {\displaystyle w\in {\mathfrak {H}}} に対し 1 ш w = w ш 1 = w
u 1 , u 2 ∈ { x , y } {\displaystyle u_{1},u_{2}\in \{x,y\}} と w 1 , w 2 ∈ H {\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathfrak {H}}} に対し u1w1 ш u2w2 = u1(w1 ш u2w2) + u2(u1w1 ш w2)
この積をシャッフル積 (shuffle product) という。このとき evaluation map Z がシャッフル積を入れて考えた代数 H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} から R への群準同型になっているという事実をシャッフル関係式 (shuffle relation) という。
二つの多重ゼータ値の積を調和関係式とシャッフル関係式の二つを用いて展開し、比較することで多重ゼータ値の線形関係式が得られる。
H = Q ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {H}}=\mathbb {Q} \langle x,y\rangle } を有理係数非可換二変数多項式環とし、 H 1 = Q + y H {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}=\mathbb {Q} +y{\mathfrak {H}}} 、 H 0 = Q + y H x {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}=\mathbb {Q} +y{\mathfrak {H}}x} をその部分代数とする。 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} の (定数でない) 単項式は正整数 k1, ... ,kr を用いて yx ... yx と書けるため、これらはインデックスと一対一に対応する ( H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} の単項式は許容インデックスに対応する。)。この対応関係を線形に拡張した写像を I : H 1 → R {\displaystyle I:{\mathfrak {H}}^{1}\to \mathbb {R} } と書く。また、
Z ( 1 ) = 1 {\displaystyle Z(1)=1}