リーマン曲率テンソル
共変ベクトル(1階共変テンソル)vi の共変微分に関して次のリッチの公式
∇ k ∇ j v i − ∇ j ∇ k v i = − ∑ a R k j i a v a {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{j}\nabla _{k}v_{i}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}v_{a}} (リッチの公式)
が成り立つが、このとき、右辺に現れる3階共変1階反変テンソルで次のように定義されるテンソル
R k j i h = ∂ { h j i } ∂ x k − ∂ { h k i } ∂ x j + ∑ a { h k a } { a j i } − ∑ a { h j a } { a k i } {\displaystyle R_{kji}{}^{h}={\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ki}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ka}}\right\}\left\{{{a} \atop {ji}}\right\}-\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ja}}\right\}\left\{{{a} \atop {ki}}\right\}}
をリーマン曲率テンソル(Riemann curvature tensor)またはリーマン-クリストッフェルのテンソル(Riemann-Christoffel tensor)と呼ぶ。
リッチテンソル R i j {\displaystyle R_{ij}} にさらに反変基本計量テンソル g をかけて縮約した0階テンソル(スカラー)
R = ∑ i j g i j R i j {\displaystyle R=\sum _{ij}g^{ij}R_{ij}}
を曲率スカラー(curvature scalar)と呼ぶ。