フーリエ級数
関数 f(x) が二乗可積分ならば、以下の等式が成り立つ:
1 π ∫ − π π | f ( t ) | 2 d t = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) = 2 ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 . {\displaystyle {1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }|f(t)|^{2}dt={{a_{0}}^{2} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }({a_{n}}^{2}+{b_{n}}^{2})=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}.}
この式はパーセヴァルの等式と呼ばれる。
最右辺の級数はゼータ関数の特殊値 ζ(2) に一致する。
前節と同様に関数 f として以下を与える:
f ( x ) = x 2 ( − π ≤ x ≤ π ) . {\displaystyle f(x)=x^{2}\quad (-\pi \leq x\leq \pi ).}
この場合、周期関数としての f は元となる関数の定義域の境界 −π および π 上で連続となる。
元の関数は偶関数なので、f のフーリエ級数は余弦級数のみで表される:
f ( x ) = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n cos  n x n 2 . {\displaystyle f(x)={\pi ^{2} \over 3}+4\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\cos nx \over n^{2}}.}
(x を微分して 2 で割ると x になるのと同じように、この右辺の級数を微分して 2 で割ると、前節の f(x) = x のフーリエ級数になる。一般に関数 f に対する導関数のフーリエ級数とフーリエ級数の微分は一致しないが、f のフーリエ級数の微分が一様収束するなら、導関数 f′ のフーリエ級数に一致する。)
さらに、この級数は f(π) について以下のように整理できる:
π 2 6 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}
ここでも ζ(2) が現れる。
) g ( y ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n exp  ( i n π y L ) = lim m → + ∞ ∑ n = − m m c n exp  ( i n π y L ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={1 \over L}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\cos \left({\frac {n\pi s}{L}}\right)ds,\left(n=0,1,2,3,\dots \right)\\b_{n}&={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\sin \left({\frac {n\pi s}{L}}\right)ds,\left(n=1,2,3,\dots \right)\\g(y)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {n\pi y}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi y}{L}}\right)\right)\\c_{n}&={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}g\left(s\right)\exp \left(-{\frac {in\pi s}{L}}\right)ds,\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \right)\\g(y)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp \left({\frac {in\pi y}{L}}\right)=\lim _{m\to +\infty }\sum _{n=-m}^{m}c_{n}\exp \left({\frac {in\pi y}{L}}\right)\end{aligned}}}