グロンウォールの不等式
実数 a < b に対し、[a,∞) か [a,b] あるいは [a,b) のいずれかの形をとる実軸上の区間を I とする。α、β および u を、区間 I 上定義される実数値関数とする。関数 β および u は連続であるとし、関数 α の負の部分は区間 I に含まれるすべての閉の有界部分区間において積分可能であるとする。
(a) もし関数 β が非負であり、関数 u が積分不等式
u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ a t β ( s ) u ( s ) d s , ∀ t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I}
数学的帰納法を用いる。n = 0 の場合、空和がゼロであることにより、これはそのまま仮定で現れた積分不等式となる。
n での成立を仮定したときの、n + 1 の場合について考える: 関数 u に関する仮定で現れた積分不等式を残部に代入することにより
R n ( t ) ≤ ∫ [ a , t ) α ( s ) μ ⊗ n ( A n ( s , t ) ) μ ( d s ) + R ~ n ( t ) {\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}
を得る。ここで
R ~ n ( t ) := ∫ [ a , t ) ( ∫ [ a , q ) u ( s ) μ ( d s ) ) μ ⊗ n ( A n ( q , t ) ) μ ( d q ) , t ∈ I {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I}
を満たすなら u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ a t α ( s ) β ( s ) exp  ( ∫ s t β ( r ) d r ) d s , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
が成立する。
(b) さらにもし関数 α が非減少関数であるなら
u ( t ) ≤ α ( t ) exp  ( ∫ a t β ( s ) d s ) , t ∈ I . {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
が成立する。
注意:
関数 α および u の符号に関しては何の仮定も置いていない。
微分型の場合とは異なり、積分型においては関数 u の微分可能性は求められていない。
関数 β および u の連続性を必要としない場合については、次節の内容を参照されたい。