変分原理
このことから、汎関数 F [ φ ( r ) ] {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]} の変分が任意の δ φ ( r ) {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})} に対しゼロになる条件は、
δ F [ φ ( r ) ] = − ∫ V { ∇ 2 φ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 } δ φ ( r ) d V = 0 {\displaystyle \delta F[\phi ({\boldsymbol {r}})]=-\int _{V}\left\{\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\right\}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})dV=0}
関数 φ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} が領域 V {\displaystyle V} 上でポアソン方程式、
∇ 2 φ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}=0}
を満たすことであることが確認できる。