閉凸函数
数学において、函数 f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } が閉(へい、英: closed)であるとは、各 α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } に対して劣位集合 { x ∈ dom  f ∣ f ( x ) ≤ α } {\displaystyle \{x\in \operatorname {dom} f\mid f(x)\leq \alpha \}} が閉集合であることをいう。
また同値であるが、 epi  f = { ( x , t ) ∈ R n + 1 ∣ x ∈ dom  f , f ( x ) ≤ t } {\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x\in \operatorname {dom} f,\;f(x)\leq t\}} で定義されるエピグラフが閉であるとき、函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は閉となる。
この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは凸函数に対して使われている。真凸函数が閉であるための必要十分条件は、それが下半連続であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点がある。