リー代数
リー環はヤコビ恒等式を満足する交代的な乗法を持つ非結合環として定義される。より具体的に述べれば、リー環 L = (L, +, [·,·]) はアーベル群 (L, +, 0) の構造を持ち、以下の性質:
双加法性: [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] , [ z , x + y ] = [ z , x ] + [ z , y ] ( ∀ x , y , z ∈ L ) {\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]\qquad (\forall x,y,z\in L)}
ヤコビ恒等式: [ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 ( ∀ x , y , z ∈ L ) {\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\qquad (\forall x,y,z\in L)}