ファインマン–カッツの公式
E x [ ∫ 0 T − t g ( t + θ , W θ ) exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) d θ ] , n → ∞ , r ↑ T − t , {\displaystyle \;E^{x}\left[\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}
へ収束する。一方、右辺第2項については
E x [ | v ( t + S n , W S n ) | 1 { S n ≤ T − t } ] ≤ 2 K e a d n 2 ∑ j = 1 d ( P x [ W T ( j ) ≥ n ] + P x [ − W T ( j ) ≥ n ] ) , {\displaystyle \;E^{x}\left[|v(t+S_{n},W_{S_{n}})|1_{\{S_{n}\leq T-t\}}\right]\leq 2Ke^{adn^{2}}\sum _{j=1}^{d}\left(P^{x}\left[W_{T}^{(j)}\geq n\right]+P^{x}\left[-W_{T}^{(j)}\geq n\right]\right),\;}
が言える。ところが
t {\displaystyle \;t\;} を固定して、 v ( t + θ , W θ ) exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) {\displaystyle \;v(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\;} に対して伊藤の補題を適用して、
d [ v ( t + θ , W θ ) exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) ] = exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) [ − g ( t + θ , W θ ) d θ + ∑ j = 1 d ∂ ∂ x j v ( t + θ , W θ ) d W θ ( j ) ] , {\displaystyle \;d\left[v(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\right]=\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\left[-g(t+\theta ,W_{\theta })d\theta +\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}v(t+\theta ,W_{\theta })dW_{\theta }^{(j)}\right],\;}