昇降演算子
これらは次の交換関係を満たす。
[ a , a † ] = 1 {\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}
このとき、ハミルトニアンHは昇降演算子により、
H = ħ ω ( a † a + 1 2 ) {\displaystyle H=\hbar \omega {\biggl (}a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}{\biggr )}}
と表すことができ、交換関係
[ H , a † ] = ħ ω a † , [ H , a ] = − ħ ω a {\displaystyle [H,a^{\dagger }]=\hbar \omega a^{\dagger },\quad [H,a]=-\hbar \omega a}
を満たす。すなわち、a はハミルトニアンのエネルギー固有状態を ħω だけエネルギーが高い固有状態に移し、a は ħω だけ低い固有状態に移す。これらを導入することで系の微分方程式を直接に解くことなくエネルギー固有値を抽出することができる。
J − J + = ( J x − i J y ) ( J x + i J y ) = J x 2 + J y 2 + i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 − ħ J z , J + J − = ( J x + i J y ) ( J x − i J y ) = J x 2 + J y 2 − i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 + ħ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}
このように |α| と|β| を J と Jz の固有値で表現することができる。
| α | 2 = ħ 2 j ( j + 1 ) − ħ 2 m 2 − ħ 2 m = ħ 2 ( j − m ) ( j + m + 1 ) , | β | 2 = ħ 2 j ( j + 1 ) − ħ 2 m 2 + ħ 2 m = ħ 2 ( j + m ) ( j − m + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}