超現実数
Sω に属する無限大超現実数は ω および −ω だけだが、Sω には任意の実数の間にもほかの種類の非実数が存在している。Sω における最小の正の数は
によって考えることができる。これは 0 より大きいが、任意の正の二進分数よりも小さいことを意味する数であるから、これは無限小超現実数である(無限小はよく ε と書かれる)。ε (resp. −ε) の ω-完全形式は、0 を表す ω-完全形式の左集合 (resp. 右集合) に 0 を含めることで得られる。Sω に属する「純」無限小は ε およびその反数である −ε だけである。それらと任意の二進分数 y を加えて得られる超現実数 y ± ε もまた Sω に入る。 この ω と ε の間の関係を、それらを表す特定の形式を掛け合わせた
から決定できる。ただし、この式は Sω までの超限帰納法が意味を為す集合論でないときちんと定義できないことに注意すべきであるが、そのような系の中では、ω⋅ε の左集合の元の全体が正の無限小であること、および右集合の元の全体が正の無限大であることが示され、したがって ω⋅ε は最も古い(つまり、最も誕生日の小さい)正の有限数、すなわち 1 に等しい。ゆえに
が帰結される。文献によっては、本項では ε と書いたものを表す記号として、体系的に ω を使っているものもある。
実数全体の成す集合の場合と対照的に、超現実数からなる(真)部分集合は(それが極大元あるいは極小元を持つのでない限り)上限あるいは下限を持たない。Conway (1976) は間隙 (gap) を {L | R} (L < R, L ∪ R = No) で定義する(この場合、L, R のどちらかは真のクラスにならないといけないから、これは超現実数を定めるものではないことに注意する)。この間隙はデデキントの切断に似ていて、とはいえ全く同じものと考えるわけにはいかないのだけれども、それでもなお超現実数体の自然な順序に関する完備化 No について考えることができ、これは(真クラスサイズを持つ)線型連続体になる。
実例として、最小の無限大超現実数は存在しないが、間隙 ∞ ≔ {x: ∃n ∈ N[x < n] | x: ∀n ∈ N[x > n]} は任意の実数より大きく、任意の正の無限大超現実数より小さい。だからこれは、実数全体の成す集合の No における上限である。
適当な無限順序数 β が存在して、誕生日が β より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができる。任意の順序数 α に対し、誕生日が β ≔ ω(ω の冪節を参照)より小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。ω より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す。また誕生日が(順序)イプシロン数 εα より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じている。
しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは(構成子の左集合にその集合を含めることにより)常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスは(それが集合でないという但し書きの上で)その大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている(ほかの任意の順序体は、超現実数体に演算と順序まで込めて埋め込める)。超現実数全体の成すクラスは No で表される。
超現実数の乗法の定義式には、被演算子と左集合および右集合に対する算術が含まれる(例えば XRy + xYR − XRYR のような式が x, y の積の左集合に現れる)。これは、式に現れる各集合から数を任意に選び、それら数に対する演算(各々の計算の時点では、各集合から選ばれる数はただひとつであり、もとの式の集合が書かれている場所にそのとき選んだ数を代用して得られる式を評価する)を施して得られる超現実数全体からなる集合とする。ただしこれが矛盾の無い定義であるというために、
(a): x, y の左右の集合から取った超現実「数」の対を掛け合わせて超現実数を得たりそれを反数にしたりするとき;
(b): x, y と、それらの左右の集合から取った超現実「数」とを掛け合わせて超現実数を得るとき;
(c): 定義式で決まる形式から数を得るとき
の各々において形式の選び方に依存する可能性が無いか確かめなければならない。これもやはりその特別の場合、今度は 0 = { | }, 乗法単位元 1 = {0 | } およびその反数 −1 = { | 0} の存在は確定するから
で帰納的に乗法が矛盾なく定義されることは(やはり帰納的に)確認できる。
L, R がともにゲームから成す集合であるとき、{L | R} はゲームである。.
加法、減法および大小比較は、すべて超現実数とゲームの両方に共通の仕方で定義される。
任意の超現実数はゲームとなるが、任意のゲームは超現実数であるとは限らない(例えばゲーム {0 | 0}(英語版) は超現実数ではない)。ゲーム全体の成すクラスは超現実数全体よりも一般であり、より簡素な定義を持つ代わりに、超現実数の持つよい性質のいくつかは抜け落ちてしまう。例えば、超現実数全体の成すクラスは体を成すが、ゲーム全体の成すクラスはそうでない。あるいは超現実数の全体は全順序(任意の二つの超現実数は、等しいかさもなくば一方が他方より大きい)を持つが、ゲームの全体には半順序(ゲームの対で相等しくも何れか一方が他方よりも大きいということもないものが存在する)しか入らない。各超現実数は正または負さもなくば零の何れかになるが、各ゲームは正・負・零(英語版)のほかにファジー(英語版)({1 | −1} のように零と比較不能なもの)が生じる。