リーマン予想
1973年、Weinberger は一般リーマン予想が idoneal 数(英語版)の Euler のリストが完全であることを導くことを示した。
Weinberger (1973) は、すべての代数体のゼータ関数に対する一般リーマン予想が次を導くことを示した:類数 1 の任意の数体は、ユークリッド整域であるか、あるいは判別式が −19, −43, −67, あるいは −163 の虚二次体である。
1976年、G. Miller は一般リーマン予想が次を導くことを示した:数が素数であるかどうかをミラー判定法によって多項式時間で判定できる。2002年,Manindra Agrawal, Neeraj Kayal および Nitin Saxena は、AKS素数判定法を用いて無条件にこの結果を証明した。
Odlyzko (1990) は、一般リーマン予想を数体の判別式と類数のより鋭い評価を与えるためにどのように使うことができるかを議論した。
Ono & Soundararajan (1997) は一般リーマン予想が次を導くことを示した:Ramanujan の整二次形式(英語版) x + y + 10z は、ちょうど18個の例外を除いて、それが局所的に表すすべての整数を表す。
以下の各命題は、リーマン予想と同値である。
ある定数 C が存在して、十分大きな任意の x に対し、
| π ( x ) − li  ( x ) | ≤ C x log  x {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|\leq C{\sqrt {x}}\,\log x}
が成り立つこと。ここに li x は対数積分を表す。これは π ( x ) = li  ( x ) + O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}
と表現しても同じことである。ただし、O はランダウの記号である。
任意の自然数 n に対して
σ ( n ) ≤ H n + e H n log  H n {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}
が成り立つこと。ここに Hn は n 番目の調和数、すなわち H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
で定義される有理数である。
Louis de Branges (1992) はリーマン予想がある整関数のヒルベルト空間上の正性条件から従うことを示した。しかしながら、Conrey & Li (2000) は必要な正性条件が満たされないことを示した。この障害にもかかわらず、ド・ブランジュは同じ方針でリーマン予想を証明しようと取り組み続けたが、他の数学者から広く受け入れられていない (Sarnak 2005)。
ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、s = 1 における一位の極を除いて、正の実部を持つすべての s の値に対して有限値を与える。
帯 0 < Re s < 1 において、ゼータ関数は関数等式
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin  ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
を満たす。すると残りのすべての零でない複素数 s に対して ζ(s) を、この方程式が帯の外側でも成り立つと仮定し、ζ(s) は s の実部が正でないときに方程式の右辺に等しいとすることで定義できる。s が負の偶数のとき、因子 sin(πs/2) が消えるから ζ(s) = 0 である。これらがゼータ関数の自明な零点である(s が正の偶数のときにはこの議論は適用しない、なぜならば正弦関数の零点はガンマ関数が負の整数の引数を取るからその極によって打ち消されるからである)。値 ζ(0) = −+1/2 は関数等式からは定まらないが、s が 0 に近づくときの ζ(s) の極限値である。関数等式はまた、ゼータ関数が自明な零点の他には実部が負の零点を持たないことも意味しており、したがってすべての非自明な零点は、s の実部が 0 と 1 の間の臨界帯 (critical strip) にある。
1つのそのような同値は以下のようである:Fn を 1/n で始まり 1/1 までの order n の Farey 数列とすると、すべての ε > 0 に対して
∑ i = 1 m | F n ( i ) − i m | = O ( n 1 2 + ε ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\left|F_{n}(i)-{\frac {i}{m}}\right|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}
が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで
m = ∑ i = 1 n φ ( i ) {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)}
は order n の Farey 数列における項の数である。
群論からの例として、g(n) を ランダウの関数(英語版)とする、つまり n 次の対称群 Sn の元の最大位数とする。Massias, Nicolas & Robin (1988) はリーマン予想が十分大きい全ての n に対する上界
log  g ( n ) < Li − 1  ( n ) {\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}
と同値であることを示した.
正準量子化はハイゼンベルクの不確定性原理 [ x , p ] = 1 2 {\displaystyle [x,p]={\frac {1}{2}}} を導き、量子調和振動子(英語版)のスペクトルとして自然数が得られる。重要な点は、ハミルトニアンは量子化がヒルベルト–ポリヤプログラムの実現であるように自己共役作用素であるべきことである。この量子力学の問題との関連で、ベリーとコンヌは以下を提案した。ハミルトニアンのポテンシャルの逆は関数
N ( s ) = 1 π Arg  ξ ( 1 2 + i s ) {\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi \left({\frac {1}{2}}+i{\sqrt {s}}\right)}
の半微分と関連があり、ベリー–コンヌのアプローチでは
V − 1 ( x ) = 4 π d 1 2 N ( x ) d x 1 2 {\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{\frac {1}{2}}N(x)}{dx^{\frac {1}{2}}}}}
(Connes 1999). これは次のようなハミルトニアンを生み出す。固有値がリーマンの零点の虚部の平方であり、またこのハミルトニアン作用素の汎関数行列式はリーマンのクシー関数である。実はリーマンのクシー関数はコンヌらによって証明されたように汎関数行列式(アダマール積)
det ( H + 1 4 + s ( s − 1 ) ) {\displaystyle \det \left(H+{\frac {1}{4}}+s(s-1)\right)}