分配函数 (数学)
) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq P(x_{1},x_{2},\dots )\leq 1} となるように正規化すると、すべての構成の和を取ると結果が 1 となる。このようにして、分配函数は確率空間上に、測度(正確には、確率測度)をもたらすことが分かる。形式的には、この測度をギップス測度(英語版)(Gibbs measure) と呼ぶ。統計力学では、ギッブス測度がグランドカノニカル集団とカノニカル集団の上へ一般化される。
少なくとの一つは構成 ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} が確率を最大とするものとして存在する。この構成は、便宜上、基底状態と呼ばれる。構成が一意的であれば、基底状態は非退化 (non-degenerate) と言われ、系はエルゴード的(英語版)と呼ぶ。そうでない場合の基底状態を退化していると呼ばれ、基底状態は、対称性の生成子と可換かもしれないし、非可換かもしれない。可換であれば、不変測度と呼ばれる。非可換の場合は、対称性が自発的に対称性が破れていると呼ばれる。
基底状態が一意に存在する条件は、カルーシュ・クーン・タッカー条件によって与えられる。これらの条件は、ギッブス測度を使い、最大エントロピー問題で評価される。
人工的に適当な函数 J k {\displaystyle J_{k}} を分配函数に導入すると、確率変数の期待値を得ることができる。このようにすると、例えば、
Z ( β , J ) = Z ( β , J 1 , J 2 , ... ) = ∑ x i exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , ... ) + ∑ n J n x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,J)&=Z(\beta ,J_{1},J_{2},\dots )\\&=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )+\sum _{n}J_{n}x_{n}\right)\end{aligned}}}
と書き直すことにより、
E [ x k ] = ⟨ x k ⟩ = ∂ ∂ J k log  Z ( β , J ) | J = 0 {\displaystyle {\mathbf {E}}[x_{k}]=\langle x_{k}\rangle =\left.{\frac {\partial }{\partial J_{k}}}\log Z(\beta ,J)\right|_{J=0}}
を x k {\displaystyle x_{k}} の期待値として得ることができる。場の量子論の経路積分による定式化では、これらの任意函数は、みな共通にソース場(英語版)の影響を受ける。
) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\rangle &=\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )P(x_{1},x_{2},\dots )\\&={\frac {1}{Z(\beta )}}\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)\end{aligned}}}
と表す。
上の記法は、有限個の離散的な確率変数に対しては厳密で正しいが、連続変数に対してはいくらか「非公式」に見えるかもしれない。特に、上の和は確率空間を定義することに使う、基礎となるσ-代数に置き換わる必要がある。測度空間の上で個別に定式化されたとき、等式が保持されることを言っている。
このようにして、例えば、エントロピーは次の式で与えられる。
S = − k B ⟨ ln  P ⟩ = − k B ∑ x i P ( x 1 , x 2 , ... ) ln  P ( x 1 , x 2 , ... ) = k B ( β ⟨ H ⟩ + log  Z ( β ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&=-k_{B}\langle \ln P\rangle \\&=-k_{B}\sum _{x_{i}}P(x_{1},x_{2},\dots )\ln P(x_{1},x_{2},\dots )\\&=k_{B}(\beta \langle H\rangle +\log Z(\beta ))\end{aligned}}}
ギッブス測度は、一意な統計分布であり、固定したエネルギー値に対してエントロピーを最大化する。この基礎には最大エントロピー原理が使われる。