積測度
数学において、ある2つの可測空間とその上の測度が与えられたとき、その空間に対する直積可測空間(ちょくせきかそくくうかん、英: produc measurable space)と積測度(せきそくど、英: product measure)を導出することができる。概念としては、これは集合の直積や2つの位相空間の直積位相を定義することと似ている。しかし積測度に関しては多くの自然な選び方が存在する。
( X 1 , Σ 1 ) {\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})} と ( X 2 , Σ 2 ) {\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})} を2つの可測空間とする。すなわち Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} と Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{2}} はそれぞれ X 1 {\displaystyle X_{1}} と X 2 {\displaystyle X_{2}} の上のσ-代数である。また μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} と μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} をそれらの空間上の測度とする。 Σ 1 ⊗ Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}} によって、 B 1 × B 2 {\displaystyle B_{1}\times B_{2}} の形の部分集合によって生成されるデカルト積 X 1 × X 2 {\displaystyle X_{1}\times X_{2}} 上のσ-代数を表す。