直交補空間
この節では、内積空間における直交補空間を考える。このとき直交補空間は実際に補空間となる。
距離位相において、直交補空間は常に閉集合である。有限次元空間においては、このことは単にベクトル空間のすべての部分空間が閉集合である事実の特別な例である。無限次元ヒルベルト空間においては、いくつかの部分空間は閉集合でないが、直交補空間はすべて閉集合である。そのような空間においては、W の直交補空間の直交補空間は、W の閉包に等しい。すなわち、
(W) = W
が成立する。いくつかの常に成立するような便利な性質として、次が挙げられる。H をヒルベルト空間とし、X と Y をその線型部分空間とする。このとき、
X = X;
Y ⊆ X ならば X ⊆ Y が成立する;
X ∩ X = {0};
X ⊆ (X);
X が H の閉線型部分空間ならば、(X) = X が成立する;
X が H の閉線型部分空間ならば、H = X ⊕ X(内部直和)。
が成立する。
直交補空間は零化域へ一般化され、内積空間の部分空間上のガロア対応(英語版)を、対応する閉包作用素(英語版)とともに与える。