ルベーグ被覆次元
互いに同相な空間の被覆次元は等しい。
ルベーグ被覆定理: 有限単体的複体のアフィン次元とルベーグ被覆次元は一致する。
正規空間の被覆次元は、大きい帰納次元と一致するか、より小さい。
正規空間 X の被覆次元が高々 n であるための必要十分条件は、X の任意の閉部分集合 A について f: A → S が連続ならばその拡張となる連続写像 g: X → S が存在することである。ここで S は n-次元球面を表す。
色つき次元に関するオストランドの定理: 正規空間 X が不等式 dim X ≤ m ≥ 0 を満たすための必要十分条件は、空間 X の任意の局所有限開被覆 U = { U α } α ∈ A {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}} に対して、X の開被覆 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} で n + 1 個の被覆族 V 1 , V 2 , .