二項定理
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 , {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},}
( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 , {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},}
( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
二項係数 (nk) は直接的、組合せ論的には
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
である。これはn元-集合から相異なる k個の元を選ぶ組合せの総数を与える。
1 2 k = 0, n では項にそれぞれ y, x が現れないが、x = y := 1 と定義することより、統一して表記することができる。乗法的単位元 1 が存在しない場合は、この定義はできない。
1 2 これは収束を保証する。r によっては、|x| = |y| でもこの級数が収束することがある。
1665年ごろアイザック・ニュートンは従来の二項定理を一般化して非整数冪に対する公式(ニュートンの一般二項定理)を得た。この一般化において、有限和は級数になる。また、二項係数 (nk) の上の添字 n は自然数とは限らないから、二項係数を階乗を用いて表すこともできない。一般化された二項係数を任意の数 r に対して
で定義する。右辺の (•)k はポッホハマー記号で、ここでは下方階乗を表す。このとき実数 x, y が |x| > |y| を満たすとき、任意の複素数 r に対して
が成り立つ。r が非負整数のとき、k > r に対する二項係数は零であるから等式 (2) は等式 (1) に特殊化され、非零項は高々 r + 1個である。r がそれ以外の値のときは級数 (2) は(少なくとも x, y が非零のとき)無数の非零項を持つ。
これは級数を扱っていてそれを一般化超幾何函数(英語版)で表そうとするときに重要である。
r = −s と置けば有用な等式
1 ( 1 − x ) s = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 k ) x k ≡ ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) x k {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{k}}x^{k}\equiv \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{s-1}}x^{k}}
を得る。これをさらに s = 1 と特殊化すれば等比級数を得る。