モランI
グローバルな空間的自己相関分析では、調査範囲全体を要約する統計量が 1 つだけ得られる。言い換えれば、グローバル分析は均質性を仮定している。その仮定が成り立たない、すなわち空間的な異質性がある場合には、単一の統計量は意味をなさない。
さらに、グローバルな空間的自己相関がない場合でも、ローカルな空間自己相関分析を使用してローカルなレベルでクラスターを見つけることができる。グローバル・モランが個々の外積の総和であることを利用し、空間単位毎にローカル・モランを計算して、それぞれについて統計学的有意性を検定する。このようにして空間単位毎のクラスタリングを評価する Local Indicators of Spatial Association(LISA)が可能となる。
I i = x i − x ̄ m 2 ∑ j = 1 N w i j ( x j − x ̄ ) {\displaystyle I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})}
S 2 = ∑ i ( ∑ j w i j + ∑ j w j i ) 2 {\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}
S 3 = N − 1 ∑ i ( x i − x ̄ ) 4 ( N − 1 ∑ i ( x i − x ̄ ) 2 ) 2 {\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}
S 4 = ( N 2 − 3 N + 3 ) S 1 − N S 2 + 3 W 2 {\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}}
S 5 = ( N 2 − N ) S 1 − 2 N S 2 + 6 W 2 {\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}}
モラン I の値は、通常、−1 から +1 までの範囲である。 −1/(N-1) より有意に小さい場合は負の空間的自己相関を、-1/(N-1) より有意に大きい値は正の空間的自己相関を示す。統計的仮説検定のために、モラン I の値を z スコアに変換することができる。
モランの I はギアリーの C と関連するが、同じではない。モラン I はグローバルな空間的自己相関を示し、ギアリーの C はローカルな空間的自己相関により敏感である。