リーマン面
複素平面 C は、最も基本的なリーマン面と言えよう。恒等写像 f(z) = z が C の座標近傍を定義し、{f} が C の座標近傍系である。複素共軛写像 g(z) = z も C の座標近傍を定義し {g} は C の座標近傍系になる。座標近傍 f と g は両立的でないので、2 つの異なるリーマン面の構造をもたらす。実際のところ、リーマン面 X とその座標近傍系 A が与えられたとき、共軛座標近傍系 B = {f | f ∈ A} は A と決して両立的でなく、これにより、X に異なる、両立的でないリーマン面の構造がもたらされる。
同様に、複素平面の任意の開集合は、自然にリーマン面とみなすことができる。さらに、リーマン面の任意の開集合は、リーマン面である。
X を連結なハウスドルフ空間とする。開部分集合 U ⊆ X と U から C の部分集合への同相写像 φ の組 (U, φ)を座標近傍と言う。 2 つの局所座標 (U, φ) と (V, ψ) に対して U ∩ V ≠ ∅ の場合に、座標変換 ψ o φ と φ o ψ が各定義域上で正則のとき、座標近傍 (U, φ) と (V, ψ) は両立的(compatible)と言う。 A が両立的な座標近傍の集まりであって、任意の x ∈ X が A のある U に含まれるとき、A を座標近傍系と言う。X に座標近傍系 A が与えられたとき、(X, A) をリーマン面と言う。
異なる座標近傍系であっても、X 上で本質的に同一のリーマン面の構造を引き起こすことがある。 そこで曖昧性を排除するため、X 上に与えられた座標近傍系は、他の座標近傍系に含まれないという意味で極大であることを要求することが時としてある。 ツォルンの補題により、任意の座標近傍系 A は一意に定まる極大な座標近傍系に含まれる。