強いCP問題
アクシオン場を φ {\displaystyle \phi } とすると、低エネルギー有効理論のラグランジアンは
L = − 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − 1 64 π 2 φ M F ~ a μ ν F μ ν a + ⋯ {\displaystyle L=-{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{64\pi ^{2}}}{\frac {\phi }{M}}{\tilde {F}}^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}+\cdots }
( M {\displaystyle M} は定数)という形となり、 θ {\displaystyle \theta } -項と上記以外の項がすべて C および CP 対称性を持つならば、有効ポテンシャルは
θ + φ M = 0 {\displaystyle \theta +{\frac {\phi }{M}}=0}
を停留点として持つ。これによって P 対称性および CP 対称性が回復する。
6種類のクォークのなかでも、アップクォークとダウンクォークの2種類は特に質量が小さいため、質量を0と見なす近似が良い近似となる。この近似のもとでは、QCD ラグランジアンはカイラル変換
u ↦ e i γ 5 α u , d ↦ e i γ 5 α d {\displaystyle u\mapsto e^{i\gamma _{5}\alpha }u,\ \ d\mapsto e^{i\gamma _{5}\alpha }d}
( α {\displaystyle \alpha } は変換のパラメータ) に関する対称性 ( U ( 1 ) A {\displaystyle U(1)_{A}} 対称性) を持つ。この対称性が破れていないならばハドロンのスペクトルにパリティ二重項が存在するはずであるものの、そのような二重項は観測されていない。この対称性が自発的に破れているとすると、南部・ゴールドストーン粒子としてπ中間子と同程度以下の質量を持つアイソスカラーの擬スカラー粒子が存在するはずであるが、やはりそのような粒子は観測されていない。この問題をスティーヴン・ワインバーグは1975年に U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 問題と命名した。 U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 問題は1976年にヘーラルト・トホーフトによって経路積分の際にインスタントン(英語版)を考慮することによって解決された。