重複組合せ
全部で H nk−1 個ある少なくとも一つ x を含む重複組合せの各々から元 x をひとつ取り除くと、残りは(重複度を込めて)k −1 個の元(これらの元の各々はもはや重複するとは限らない)だから、そのような組合せの一覧には (k – 1) × H nk–1 個の E の元が現れる。E の各元(特に x)は対称的に現れるから、x は (k – 1) × H nk–1 / n 回生じる (3).
n 個の元を 1, 2, ..., n として、k-重複組合せを、1 をk1 個、2 を k2 個、と以下同様に(k1 + k2 + ⋯ + kn = k となるように取って)作るものとすれば、これは以下のように k 個のマル "●" とn − 1 個の仕切り "|" の並び
●...●k1 個 | ●...●k2 個 | ... | ●...●kn 個
n人から1,2...r...k人選抜した中からk個配ると解釈できる。 まずk~1のどれかであるr人からk個中何個貰えるか割合の組合せを考える。 r人からk個貰うのは、k個をr人に配るのと同じだから
そこにn人からr人を選抜するので
重複組合せの総数を計算する最も効果的で単純な方法は、非重複組合せの総数を計算する方法を用いることである(組合せの項を参照)。実際、上で述べたように n 個の元から重複を許して k 個の元を選ぶ組合せの総数は、n + k − 1 個の元から k 個の元を重複を許さずに選ぶ組合せの総数に等しい。
H nk は 多変数多項式 に関する全次数 k の単位単項式(つまり係数 1 の単項式)の総数に等しい。
同様に H nk はシュヴァルツの定理(偏微分は微分する変数の順番に依らず等しい)の成立する C-級の n-変数函数に対する k-階偏導函数の総数に等しい(順番を考慮する必要があるときには n 通りである)。