順序組
集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする(そして、順序対は二つ組である)。
0-組(空組)は空集合 ∅ とする。
n > 0 に対する n-組は、初項と (n − 1)-組との順序対 ( a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n ) := ( a 1 , ( a 2 , a 3 , ... , a n ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))} と定める。
この構成を (n − 1)-組に対しても帰納的に適用して、最終的に
( a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n ) = def ( a 1 , ( a 2 , ( a 3 , ( ... , ( a n , ∅ ) ... ) ) ) ) . {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots )))).}
同様の仕方で、要素を後ろに追記していく形に定義することもできる:
0-組 ∅;
n > 0 に対して ( a 1 , a 2 , a 3 , ...