空間群
基本並進ベクトル t n = n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 {\displaystyle \mathbf {t} _{n}=n_{1}\mathbf {t} _{1}+n_{2}\mathbf {t} _{2}+n_{3}\mathbf {t} _{3}} だけ結晶をずらす操作を並進操作と呼び、(ε|tn)と表記する。 並進操作の集まりは群をなし、並進群と呼ばれる。
並進群は3つの巡回群の直積である。
T = T 1 × T 2 × T 3 {\displaystyle T=T_{1}\times T_{2}\times T_{3}}
並進群の既約表現は全て1次元であり、空間群に属する操作が作用する逆格子空間のベクトルをkとすると、 exp  ( i k ⋅ t n ) {\displaystyle \exp {(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {t_{n}} )}} と表される。
空間群(くうかんぐん、英: space group)は、結晶構造の対称性を記述するのに用いられる群である。群の元となる対称操作は、点群での対称操作(恒等操作、回転操作、鏡映操作、反転操作、回映操作、回反操作)に加え、並進操作(すべての点を平行に移動させる操作)である。
空間群は全部で230種類あり、すべての結晶はそのうちの1つに属している。ただし、原子の配列は原子の性質や化学結合によるため、大半の結晶構造は100種類程度の空間群に含まれる。
空間群を記述する方法には、ヘルマン・モーガン記号(Hermann-Mauguin)とシェーンフリース記号(Schoenflies)の2つがある。