差分法
偏微分方程式の例として、一様ディリクレ境界条件に従う1次元規格化熱伝導方程式を考える:
U t = U x x {\displaystyle U_{t}=U_{xx}\,}
左辺は時刻 t {\displaystyle t} による微分、右辺は座標 x {\displaystyle x} による2階微分である。また、境界条件および初期条件は以下とする:
U ( 0 , t ) = U ( 1 , t ) = 0 {\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0\,} (境界条件)
U ( x , 0 ) = U 0 ( x ) {\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\,} (初期条件)
これを数値的に解く1つの方法は、すべての微分を差分で近似することである。空間の領域をメッシュ x 0 , ... , x J {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{J}} で、時間の領域をメッシュ t 0 , ... , t N {\displaystyle t_{0},\dots ,t_{N}} で分割しよう。どちらの分割も等間隔とし、空間点の間隔を h {\displaystyle h} 、時刻の間隔を k {\displaystyle k} とする。 U ( x j , t n ) {\displaystyle U(x_{j},t_{n})} の数値的近似を u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} で表す。