4つの4
このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、1から1000まで(ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く)の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号(使用可能な記号の節の循環小数まで)では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、
113 = Γ ( Γ ( 4 ) ) − 4 ! + 4 4 = ( 4 ! + 4 4 ) ! ! + 4 ! ! = Σ Σ 4 × 4 + Σ 4 − Σ 4 = [ ( 4 ! + 4.4 ) × 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}113&=\Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}\\&=\left({\frac {4!+4}{4}}\right)!!+4!!\\&=\Sigma \Sigma 4\times {\sqrt {4}}+\Sigma 4-\Sigma {\sqrt {4}}\\&=[(4!+4.4)\times 4]\end{aligned}}}
などがあった。
対数関数 log  x {\displaystyle \log x} (底は任意でよい)または2変数関数としての対数 log x  y {\displaystyle \log _{x}y} を用いてよい場合、次の式によって4つの4ですべての有理数が表現できる。 以下に正の有理数の場合を示すが、負の有理数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。
n m = log  ( log  ⋯ 4 ⏟ n ) − log  ( log  4 ) log  ( log  ⋯ 4 ⏟ m ) − log  ( log  4 ) = log log 4  ⋯ 4 ⏟ m  log 4  ⋯ 4 ⏟ n {\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}{\Biggr )}-\log(\log 4)}{\log {\Biggl (}\log \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}{\Biggr )}-\log(\log 4)}}=\log _{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{m}}{\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}}