線型方程式系
以下の式は、2 変数の線型方程式系の例である。
{ x + 2 y = 5 2 x + 3 y = 8 {\displaystyle {\begin{cases}x+2y=5\\2x+3y=8\end{cases}}}
左側の記号(中括弧)は、特に必要というわけではないが、方程式系であることを明示するためによく用いられる。 この式において、2 つの線型方程式を同時に満たす (x, y) = (1, 2) が解である。
与えられた線型方程式系に属するすべての方程式を同時に満たすような変数の値のことを線型方程式系の解といい、線型方程式系の解を求めることを線型方程式系を解くという。
線型方程式系が与えられたとき、変数の数と方程式の本数を比べれば、その解は大まかに言って
変数の数の方が多いならば、(変数の数) − (方程式の本数)の分だけ変数を自由に定めることができ、解が一つに定まらない。
変数の数と方程式の本数が一致するならば、解が存在し、一つに定まる。
方程式の本数の方が多いならば、制約が過剰なので、解が存在しない。
のようになっていると考えることができる。また、変数の数が多いときには、いくつかの変数を勝手な値をとることができる定数と思ってやることで、変数の数と方程式の本数が同じであると考えることができる。したがって、普段は方程式の数と変数の数が一致する方程式系を考えることが多い。
解法でよく知られたものとして以下の方法がある。いずれの方法も変数を減らしていき、一変数の方程式に帰着させることによって解く方法である。