自己準同型環
(A, +) をアーベル群とし、A から A への準同型を考える。このとき2つのそのような準同型の和を点ごと (pointwise) に定義して新たに群準同型を作ることができる。具体的には、f と g が与えられたとき、f と g の和 f + g は
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
で与えられる準同型である。この演算によって End(A) はアーベル群となる。さらに準同型の合成という演算を考えることによって、End(A) は乗法の単位元をもつ環となる。合成を明示的に書けば
(fg)(x) := f(g(x))
である。乗法の単位元は A 上の恒等写像 idA である。
集合 A が「アーベル」群でないとき、上の構成は必ずしも和を保たず、2つの準同型の和が準同型にならない。自己準同型からなるこの集合は環でない near-ring(環において分配法則の仮定を片側のみにゆるめたもの)の自然な例である。
抽象代数学において、アーベル群 X の自己準同型環(英: endomorphism ring)End(X) は、X からそれ自身への準同型写像(X 上の自己準同型)すべてからなる集合である。加法は点ごとの和(英語版)(後述)で定義され、積は写像の合成で定義される。
自己準同型環の元となる「準同型」が何を指すものかは文脈によって異なり、これは考えている対象の圏に依存する。その結果、自己準同型環は対象のいくつかの内在的な性質を受け継いでいる。自己準同型環はしばしばある環上の多元環(代数)であり、自己準同型多元環(英: endomorphism algebra; 自己準同型代数)とも呼ばれる。