行列の階数
例えば、行列
M = [ 4 2 1 5 4 1 1 2 0 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}4&2&1\\5&4&1\\1&2&0\\\end{bmatrix}}}
は、基本変形を行うことによって
M ⟺ [ 1 2 3 0 4 5 0 0 0 ] {\displaystyle M\iff {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}
と書けるから、M の階数は rank M = 2 である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、rank M = 2 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解(SVD)やQR分解を用いて求められる。
いま A の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に A の階数と呼ぶことができる。これについて、Wardlaw (2005) はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた(これは任意の体上で有効である)。また、Mackiw (1995) は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 Banerjee & Roy (2014) に出ている。