位相空間論
もう少し詳細に、位相空間論における基本概念の定義とそれらに関する定理やその証明について述べる。基本概念としては
開集合と閉集合、
開核と閉包、
近傍と近縁、
コンパクト性と連結性、
連続写像、
数列の収斂、有向点族(ネット)とフィルター、
種々の分離公理、
可算公理(第一可算公理/第二可算公理)
などがある。
他にもより進んだ概念が現れるが、数学のほかの分野への言及なしに、これらの基本概念に直接的に関係するのがふつうである。集合論的位相幾何学 (set-theoric topology) は、そういった概念が集合論に実質的な関係を持つのはいつかというような問題の研究がつきものである。
位相幾何学のほかの主要な分野には代数的位相幾何学、幾何的位相幾何学、微分位相幾何学などがあるが、一般位相幾何学はその名称が示唆するように、それらの分野に対する共通の基盤を与えるものである。
点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。