等時曲線
最後の等式において、曲線に沿った残り距離は単調減少し(よって複号は負)、また高さの関数として表わせる (s(y)) ことを仮定してある。さらに、連鎖律 d s = d s d y d y {\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\mathrm {d} y} を用いた。
ここで、y = y0 から y = 0 まで積分し、総降下時間を求めると以下を得る。
T ( y 0 ) = ∫ y = y 0 y = 0 d t = 1 2 g ∫ 0 y 0 1 y 0 − y d s d y d y {\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\,\mathrm {d} y}
これをアーベルの積分方程式と呼ぶ。