直観主義論理
任意の有限ハイティング代数でブール代数でないものは(意味論的に)中間論理を定める。他方で、純粋な直観主義論理における論理式の妥当性は、特定のハイティング代数に結びついたものではなく、あらゆるハイティング代数に関係している。
( ¬ φ ∧ ¬ ψ ) ↔ ¬ ( φ ∨ ψ ) {\displaystyle (\neg \phi \wedge \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \vee \psi )}
論理積と含意:
( φ ∧ ψ ) → ¬ ( φ → ¬ ψ ) {\displaystyle (\phi \wedge \psi )\to \neg (\phi \to \neg \psi )}
( φ → ψ ) → ¬ ( φ ∧ ¬ ψ ) {\displaystyle (\phi \to \psi )\to \neg (\phi \wedge \neg \psi )}
( φ ∧ ¬ ψ ) → ¬ ( φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \wedge \neg \psi )\to \neg (\phi \to \psi )}
( φ → ¬ ψ ) ↔ ¬ ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \to \neg \psi )\leftrightarrow \neg (\phi \wedge \psi )}
論理和と含意:
( φ ∨ ψ ) → ( ¬ φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \vee \psi )\to (\neg \phi \to \psi )}
( ¬ φ ∨ ψ ) → ( φ → ψ ) {\displaystyle (\neg \phi \vee \psi )\to (\phi \to \psi )}
全称量化と存在量化: