正則局所環
次元 d = dim  A {\displaystyle d=\dim A} のネーター局所環 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} について、次は同値である。
A は正則局所環。
m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は d 個の元で生成される。
g r m A ≃ k [ X 1 , X 2 , ... , X d ] {\displaystyle \mathrm {gr} _{\mathfrak {m}}\,A\simeq k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]} 。ただし、右辺は d 不定元の多項式代数で同型は k = A / m {\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}} 上の次数環としてのものとする。
大域次元が有限である: g l d i m  A < ∞ {\displaystyle \operatorname {gl\,dim} A<\infty } 。
大域次元とクルル次元が一致する: g l d i m  A = d {\displaystyle \operatorname {gl\,dim} A=d} 。