主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
準素分解は可換ネーター環上の有限生成加群に一般化し,この結果はラスカー・ネーターの定理と呼ばれる.
不変量(階数や単因子や elementary divisor)は一意であるが,M とその標準形の間の同型写像は一意ではなく,直和分解を保ちさえしない.これはこれらの加群の直和成分を保たない非自明な自己同型の存在から従う.
しかしながら,標準的な捩れ部分加群 T と各(相異なる)単因子に対応する類似の標準的な部分加群があり,これは標準的な列
0 < ⋯ < T < M {\displaystyle 0<\cdots <T<M}
を生む.ジョルダン・ヘルダーの定理の組成列と比較せよ.
例えば, M ≅ Z ⊕ Z / 2 {\displaystyle M\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2} であり, ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) {\displaystyle (1,0),(0,1)} が1つの基底のとき, ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) {\displaystyle (1,1),(0,1)} は別の基底で,基底行列の変換 [ 1 1 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}} は成分 Z を保たない.しかしながら,それは Z/2 成分は保つ,なぜならこれは捩れ部分加群である(同じことだがここでは 2-捩れ元たちである)からである.