平行
ユークリッド幾何学において二つの測地線(直線)は交わるか平行の二択しかないが、双曲幾何学では選択肢は三つある。すなわち、同一平面上にある二つの測地線は:
交わる: その平面内の一つの共有点でそれらは交わる;
平行: 平面内では交点を持たないが、共通の無限遠点に収束する(無限遠点で交わる);
超平行: 極限において共通の無限遠点を持たない
文献によっては「超平行」(ultra parallel) な測地線は「交わらない」という言い方もしばしば用いられる。「無限遠点で交わる」測地線は漸近的平行線(英語版)ともいう。
直線 l 上にない点 a を通る漸近的平行線は二つ存在し、それぞれ l の各方向における理想点(無限遠点)(英語版)に対応している。この二つの直線は、l に交わる直線と、l に超平行な直線とを隔てる境界線になっている。
超平行線は共通垂線をただ一つ持ち(超平行定理(英語版))、この共通垂線の両側で発散する。