クラメール・ラオの限界
もし T ( X ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(X)} が θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} の不偏推定量であれば(つまり ψ ( θ ) = θ {\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}\left({\boldsymbol {\theta }}\right)={\boldsymbol {\theta }}} であれば)クラメール・ラオの限界は
Cov  ( T ( X ) ) ≥ I ( θ ) − 1 {\displaystyle \operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\geq I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}}
のようになる。フィッシャー情報行列の逆行列を計算するのが面倒な場合は、単に対応する対角成分の逆数をとることで、(より緩いかもしれないが)1つの下限が得られる。
Var  ( T m ( X ) ) = [ Cov  ( T ( X ) ) ] m m ≥ [ I ( θ ) − 1 ] m m ≥ ( [ I ( θ ) ] m m ) − 1 {\displaystyle \operatorname {Var} (T_{m}(X))=\left[\operatorname {Cov} \left({\boldsymbol {T}}(X)\right)\right]_{mm}\geq \left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)^{-1}\right]_{mm}\geq \left(\left[I\left({\boldsymbol {\theta }}\right)\right]_{mm}\right)^{-1}}
クラメール・ラオの不等式が成り立つための確率密度関数 f ( x ; θ ) {\displaystyle f(x;\theta )} と推定量 T ( X ) {\displaystyle T(X)} に関する2つの弱い十分条件は、次のとおりである:
フィッシャー情報量が常に定義されていること。言い換えると、次式を x {\displaystyle x} で積分した値が有限値として存在すること。
∂ ∂ θ ln  f ( x ; θ ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(x;\theta )}
T {\displaystyle T} の期待値について、 x {\displaystyle x} についての積分と、 θ {\displaystyle \theta } についての偏微分が交換可能である、つまり
∂ ∂ θ [ ∫ R T ( x ) f ( x ; θ ) d x ] = ∫ R T ( x ) [ ∂ ∂ θ f ( x ; θ ) ] d x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }T(x)f(x;\theta )\,dx\right]=\int _{\mathbb {R} }T(x)\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx}