量子力学の数学的定式化
関数ψの超関数としての微分が関数で書けるとき、その関数をψの弱微分という:
定義 (弱微分) ― ΩをRの開集合とする。局所可積分関数ψ、χ : Ω → Cに対応する超関数Tψ、Tχが
T χ = ∂ i T ψ {\displaystyle T_{\chi }=\partial _{i}T_{\psi }}
を満たす時、χはψの弱微分であるとい、
χ = w - ∂ i ψ {\displaystyle \chi =w{\text{-}}\partial _{i}\psi }
と表記する。
定理 (運動量作用素の定義域) ― 運動量作用素(の閉包作用素)Pjの定義域は以下のように書くことができる:
D o m ( P j ) = { ψ ∈ H ∣ ∃ w - ∂ j ψ j , ‖ w - ∂ j ψ j ‖ 2 < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (P_{j})=\{\psi \in {\mathcal {H}}\mid \exists w{\text{-}}\partial _{j}\psi _{j},~\|w{\text{-}}\partial _{j}\psi _{j}\|^{2}<\infty \}}
, d : [ Q j , P k ] = i ħ δ j , k I , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~:~[Q_{j},P_{k}]=i\hbar \delta _{j,k}I,\quad } [ Q j , Q k ] = 0 , [ P j , P k ] = 0 {\displaystyle [Q_{j},Q_{k}]=0,\quad [P_{j},P_{k}]=0}
なおBLT定理より、これらの交換子は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域に拡張可能であり、上式は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域で成立する。
フォン・ノイマンの一意性定理(英語版)(「ストーン=フォン・ノイマンの定理」とも)は、正準交換関係のやや強いバージョンである「ヴァイルの関係式」を満たす有限個の「既約な」作用素の組は同型を除いて、位置作用素と運動量作用素に限られるというものである。
なお、フォン・ノイマンの一意性定理を示すには、「ヴァイルの関係式」をはじめとした正準交換関係よりも強い仮定を課す事が必須であり、正準交換関係を満たすにもかかわらずフォン・ノイマンの一意性定理が成立しない反例で、物理的にも興味深い例が存在する。
定義 (デルタ超関数) ― 超関数Tの偏微分を
∂ x i T ( φ ) = ⟨ ∂ x i T , φ ⟩ := − ⟨ T , ∂ x i φ ⟩ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T(\phi )=\langle \partial _{x_{i}}T,\phi \rangle :=-\langle T,\partial _{x_{i}}\phi \rangle }
により定義する。
C∞0(Ω)の元は無限回微分可能なので、上記の定義は常に意味を持つ。より一般に微分作用素を
( ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x d α d ) T := ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x d α d T {\displaystyle \left(\sum {}_{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}\right)T:=\sum {}_{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}T}
も定義可能である。
紛れがなければ以下内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } を省略し、記号 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。
上述の定義より、内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、第二成分に関しては線形であるが、第一成分に対しては反線形性
∀ a , b ∈ C {\displaystyle \forall a,b\in \mathbf {C} } に対し、 ⟨ a ψ + b φ , χ ⟩ = a ̄ ⟨ ψ , χ ⟩ + b ̄ ⟨ φ , χ ⟩ {\displaystyle \langle a\psi +b\varphi ,\chi \rangle ={\bar {a}}\langle \psi ,\chi \rangle +{\bar {b}}\langle \varphi ,\chi \rangle }
が成立する。なお、ここで提示した内積の定義は量子力学では一般的なものだが、数学の文献では、ここに載せたのとは逆に、第一成分に対して線形、第二成分に対して反線形であるものを用いる事が多い。
量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。
定義 (微分作用素) ― 非負整数α1、...、αd≧0からなるベクトル(α1、...、αd)に対し、
| α | := α 1 + ⋯ + α d {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}
∂ α := ∂ | α | ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d {\displaystyle \partial ^{\alpha }:={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}}}
とする(この記法を多重指数表記という)。
D = ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ α {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}
の形で書ける作用素をm次の微分作用素という。ここで添え字αは非負整数の組で、和は有限和であり、ψα(x)はR上の複素数値の局所自乗可積分な関数である。
このとき、 λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} である必要十分条件は、Dom(A)に属する単位ベクトルの列{ψn}n∈Nが存在して lim n → ∞ ‖ ( A − λ I ) ψ n ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(A-\lambda I)\psi _{n}\|=0} となる事である。
なお上の後半の性質を満たすλ全体の集合をσapp(A)と書き、近似スペクトルという。したがって上述の事実は、自己共役作用素のスペクトルは近似スペクトルと一致する事を意味する。さらに次が成立する事が知られている:
定理 ― 自己共役作用素の剰余スペクトルσr(A)は必ず空集合である。
以上をまとめると、以下が成立する。
定理 ― A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を(稠密に定義された有界とは限らない)自己共役作用素とすると、
σ ( A ) = σ a p p ( A ) = σ P ( A ) ⊔ σ c ( A ) {\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{app}(A)=\sigma _{P}(A)\sqcup \sigma _{c}(A)}
まず最初の条件 V − s H V s = H {\displaystyle V_{-s}HV_{s}=H} は、ハミルトニアンHが強連続1パラメータユニタリ変換群 { V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} に対して不変である事を示している。すなわち、Hによって記述される系は対称性 { V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} を持つ。
一方2番目の条件は U − t A U t = A {\displaystyle U_{-t}AU_{t}=A} の左辺はハイゼンベルク描像で見たときのAの時間発展であるので、この条件は対称性 { V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} を定義する無限小生成元が運動の不変量である事を意味している。
解析力学におけるネーターの定理は系の対称性の無限小変換が運動の不変量になり、その逆も成り立つというものだったので、上述した2条件の同値性は量子力学におけるネーターの定理であると解釈できる。なお3番目の条件は、時間発展してから対称性 V s {\displaystyle V_{s}} で系を動かす行為と、対称性 V s {\displaystyle V_{s}} で系を動かしてから時間発展する事とが同一である事を意味している。
なお、ほとんどの物理の教科書では、上述した量子力学におけるネーターの定理を時間微分と交換子を用いて記述しているが、そのような記述方法は作用素の定義域に関する多くの問題点を含む。
である。さらに以下が成立する:
‖ ψ ‖ = ∑ k ∈ K ∫ R | ⟨ T k ( λ ) , ψ ⟩ | 2 d μ k ( λ ) {\displaystyle \|\psi \|=\sum _{k\in K}\int _{\mathbf {R} }|\langle T_{k}(\lambda ),\psi \rangle |^{2}\mathrm {d} \mu _{k}(\lambda )}
既に述べたように完全系は一般化フーリエ変換であるとみなせるが、このようにみなした場合最後の式はプランシュレルの定理に対応している。
なお、スペクトル分解が固有値分解の「無限次元版」であったことを考えると、上述したスペクトル定理における積分区間をR全体ではなくσ(A)に置き換えたほうが自然である。しかし G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} におけるAのスペクトルは H {\displaystyle {\mathcal {H}}} におけるAのスペクトルより大きくなる事があるので、積分区間のRをσ(A)に置き換えられない。Rをσ(A)に置き換えられるとき、 ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} はAにtightly riggingしているという。
定義 (運動量作用素) ― 線形作用素
P j : C 0 ∞ ( R d ) → L 2 ( R d ) , {\displaystyle P_{j}~:~C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad } ψ ( x ) ↦ − i ħ ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}\psi (x)}
の閉包を第j運動量作用素という。
定理・定義 ― 各jに対し第j運動量作用素Pjは本質的に自己共役である。より一般に
D = ∑ α : | α | ≤ m ( − i ) | α | a α ∂ α ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d , {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}(-i)^{|\alpha |}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}},} ∀ α : a α ∈ R {\displaystyle \forall \alpha ~:~a_{\alpha }\in \mathbf {R} } .
Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素で、
A ( D o m ( H ) ) ⊂ D o m ( H ) {\displaystyle A(\mathrm {Dom} (H))\subset \mathrm {Dom} (H)}
を満たすものとし、
ψ ∈ D o m ( H ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (H)}
を取り、
A t = U − t A U t {\displaystyle A_{t}=U_{-t}AU_{t}} 、ここで U t = e x p ( − i t ħ H ) {\displaystyle U_{t}=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)}
とすると、これまでの議論から、 A t ( ψ ) ∈ D o m ( H ) {\displaystyle A_{t}(\psi )\in \mathrm {Dom} (H)} が任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対して成立し、しかも
運動量作用素
P = − i ħ d d x {\displaystyle P=-i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}}
が S ( R ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} と両立する事は既に述べた。 T ∈ S ′ ( R ) {\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )} に対し、
P ′ ( T ) : ψ ∈ S ( R ) ↦ ⟨ T , P ( ψ ) ⟩ ∈ C {\displaystyle P{}'(T)~:~\psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )\mapsto \langle T,P(\psi )\rangle \in \mathbf {C} }
とすると、一般化固有値λ対する P ′ {\displaystyle P'} の一般化固有ベクトル T λ {\displaystyle T_{\lambda }} は
P ′ ( T λ ) = λ T λ {\displaystyle P'(T_{\lambda })=\lambda T_{\lambda }}
を満たすので、任意の ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、
これまで同様 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を稠密に定義された(有界とは限らない)閉作用素とし、λを複素数とする。恒等写像Iは全域で定義されているので、A-λIもAと同一の定義域を持つ作用素として定義できる。
定義 ―
A − λ I : D o m ( A ) → H {\displaystyle A-\lambda I~:~\mathrm {Dom} (A)\to {\mathcal {H}}}
が全単射である複素数λ全体の集合をρ(A)と書き、Aのレゾルベント集合といい、その補集合 σ ( A ) := C ∖ ρ ( A ) {\displaystyle \sigma (A):=\mathbf {C} \setminus \rho (A)} をAのスペクトルという。さらにスペクトルσ(A)に属するλをAのスペクトル点であるという。
なお、本稿で述べているレゾルベント集合を狭義のレゾルベント集合と呼び、「レゾルベント集合」という語には別の意味を与えているテキストも存在するので注意されたい。
すでに述べたように(可分な)無限次元ヒルベルト空間は全て同型なので、任意に一つ無限次元ヒルベルト空間を持って来れば、原理的にはそのヒルベルト空間を状態空間とみなした量子力学を定式化できる。しかし通常の量子力学では、物理的な解釈をわかりやすくするため、L空間というヒルベルト空間を用いて量子力学を展開する事が多い。そこで本節ではL空間の定義を述べる。
この意味において、レゾルベント集合においてもA-λIの逆写像が定義できるので、この意味で剰余スペクトルや連続スペクトルはレゾルベント集合に類似しているが、違いは逆写像の定義域にある。レゾルベント集合においては ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域で定義され、しかも(Aが閉作用素であれば) ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} は必ず有界である。それに対し連続スペクトルの場合は ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} の H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分空間で定義されているに過ぎず、しかも ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} は有界ではない。さらに剰余スペクトルにおいては ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} の定義域は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密ですらない。
以上で定義した概念をまとめると次のようになる。