微分動的計画法
最後の三つの方程式に現れる最終項はベクトルとテンソルの縮約(contraction)を表す。 二次形式で近似された式(3) を入力 δ u {\displaystyle \delta \mathbf {u} } に関して最小化することで次式を得る。
これにより、オープンループ項 k = − Q u u − 1 Q u {\displaystyle \mathbf {k} =-Q_{\mathbf {u} \mathbf {u} }^{-1}Q_{\mathbf {u} }} とフィードバック項 K = − Q u u − 1 Q u x {\displaystyle \mathbf {K} =-Q_{\mathbf {u} \mathbf {u} }^{-1}Q_{\mathbf {u} \mathbf {x} }} が与えられる。この結果を式(3) に代入することにより 時間 i {\displaystyle i} における価値関数が得られる。
微分動的計画法 (DDP)(びぶんどうてきけいかくほう、英: Differential Dynamic Programming)は軌道最適化のために用いられる最適制御アルゴリズムの一つである。 本アルゴリズムは1966年に Mayne によって紹介され、 その後JacobsonとMayneによるその名の由来となった著作の中で分析された。 このアルゴリズムはシステムのダイナミクスとコスト関数を局所的な二次形式によってモデル化し、2次収束を示す。 また、Pantojaのstep-wise Newton法とも密接に関連している。