境界要素法
境界要素法の最大の特徴は、対象とする問題によっては「境界上の離散化のみで近似解が得られる」ことにある。境界上の離散化は、3次元問題ならば曲面上、2次元問題ならば曲線上で行われる。そのため、有限要素法のように領域内の離散近似が必要な解法と比べ、離散化に必要な要素や節点の数が少なくて済む。
境界上の離散化だけで問題が解ける場合としては、静的問題・定常問題では ラプラス問題、線形弾性問題、定常波動問題などのように、線形問題で離散化の際に用いられる基本解が解析的に厳密に得られ、かつ内部ソースや物体力のような支配方程式の非同次項が存在しない場合である。ただし、支配方程式が非同次項を含んでいても常にこの特徴が失われる訳ではなく、非同次項の種類によっては非同次項を含む領域積分を境界積分に変換できる場合もある(例:線形弾性問題における重力の作用)。
時間発展型問題において境界上の離散化のみで近似解を得るためには、線形問題の際に課された条件の他に、時間に関する離散化方法にも注意が必要である。
境界要素法では、前者の選点法を採用して離散化を進めるのが一般的である。その結果、
R ( ξ i ) = ∑ j = 1 N [ c ( ξ i ) φ j ( ξ i ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ x ] U j − ∑ j = 1 N [ ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ x ] Q j = 0 , {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}_{i})=\sum _{j=1}^{N}\left[c({\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {\xi }}_{i})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\right]U_{j}-\sum _{j=1}^{N}\left[\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\right]Q_{j}=0,}
ここで、