マクスウェルの方程式
P m {\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{\mathrm {m} }} は磁気分極(または単に磁化)と呼ばれ、 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} とは違う次元をもつ。
構成方程式による源場( D , H {\displaystyle {\boldsymbol {D}},~{\boldsymbol {H}}} )と力場( E , B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}} )の関係を使ってマクスウェル方程式の源場に関する式を力場で表すと
{ ∇ ⋅ E = 1 ε 0 ( ρ − ∇ ⋅ P ) ∇ × B − μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t = μ 0 ( j + ∂ P ∂ t + ∇ × M ) {\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho -\nabla \cdot {\boldsymbol {P}})\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {j}}+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}+\nabla \times {\boldsymbol {M}}\right)\end{cases}}}
∂ ρ F μ ν + ∂ μ F ν ρ + ∂ ν F ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0} (1a,1bに対応)
∂ μ F μ ν = μ 0 j ν {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}j^{\nu }} (2a,2bに対応)
但し、j は4元電流密度
j μ = ( c ρ , j ) {\displaystyle j^{\mu }=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}
である。このとき、電荷の保存則は
∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0} (3に対応)
と表される。なお、4元ポテンシャルで表現すると、マクスウェル方程式は次の一つの方程式にまとめられる。
◻ A μ − ∂ μ ∂ ν A ν = μ 0 j μ {\displaystyle \Box A^{\mu }-\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\mu }}
ここで、□はダランベルシアンである。