直積集合
( ⋃ λ ∈ Λ A λ ) ∩ ( ⋃ μ ∈ M B μ ) = ⋃ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ ∩ B μ ) {\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cap B_{\mu })}
( ⋂ λ ∈ Λ A λ ) ∪ ( ⋂ μ ∈ M B μ ) = ⋂ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ ∪ B μ ) {\displaystyle (\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cup (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cup B_{\mu })}
などが成り立つ。
ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある:
A ⊆ B ⟹ A × C ⊆ B × C , {\displaystyle A\subseteq B\implies A\times C\subseteq B\times C,}
A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ⟹ [ A × B ⊆ C × D ⟺ A ⊆ C ∧ B ⊆ D ] . {\displaystyle A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset \implies [A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D].}