連続線型拡張
上述の空間 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 I {\displaystyle {\mathsf {I}}} は、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への有界線型変換 I ~ {\displaystyle {\tilde {\mathsf {I}}}} へと拡張される。これにより、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての f ∈ P C {\displaystyle f\in {\mathcal {PC}}} に対して、そのリーマン積分は
∫ a b f ( x ) d x = I ~ ( f ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\tilde {\mathsf {I}}}(f)}
で定義される。