七角形
7本の対角線bからなる図形と、7本の対角線cからなる図形は、どちらも七芒星と呼ばれるが、日本では前者の意匠は特に茅の輪(ちのわ)と呼ばれることがある。
上記の3つの長さは
a = 2 R sin  π 7 , b = 2 R sin  2 π 7 , c = 2 R sin  3 π 7 {\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{7}},~b=2R\sin {\frac {2\pi }{7}},~c=2R\sin {\frac {3\pi }{7}}}
と表せる。これらの間には次のような関係式が知られている。
1 a = 1 b + 1 c {\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}
正七角形にまつわる諸量は、求めづらいものが多い。例えば、正七角形の作図を論じるときに重要となる cos  2 π 7 ≈ 0.62349 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 0.62349} は三次方程式 8 x 3 + 4 x 2 − 4 x − 1 = 0 {\displaystyle 8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0} の解の一つである。同様に、正七角形にまつわる角度の三角関数の値の多くは、その有理数体上最小多項式が三次式や六次式になる。
正七角形をコンパスと定規(長さの計測が不可能なもの)のみによって作図することは不可能であることが証明されている。現代では、これは長さが cos  2 π 7 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}} の線分が作図できないことに帰着して説明されることが多い。
その一方で、他のさまざまな道具による作図方法が発見されている。
例えば、7がピアポン素数であることから、正七角形は、任意の角の三等分を遂行する能力をもつ道具である印付き定規(長さの計測が可能なもの)を用いたり、あるいは折り紙を用いたりすることで作図可能であることが証明されている。
古くは紀元前にアルキメデス(前287 - 前212)がその著書『円に含まれる七角形について』(英題: On the Heptagon in the Circle)において円錐曲線の交わりを使って正七角形を作図していたとみられるが、この本は現存しない。サービト・イブン・クッラ(826 - 901)などのイスラムの数学者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作図しているという。
定規とコンパスに加えて任意の角の三等分ができる道具(角の三等分器、angle trisector)を用いるとき、正七角形は作図できる。それは次の式が根拠となっている。
cos  2 π 7 = 1 6 ( 2 7 ⋅ cos  ( arctan  3 3 3 ) − 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cdot \cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)-1\right)}