はめ込み
ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し,2m < n + 1 に対して m 次元多様体から n 次元多様体へのすべての写像 f: M → N がはめ込みにホモトープであること,そして 2m < n に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した.これらがホイットニーのはめ込み定理(英語版)とホイットニーの埋め込み定理(英語版)である.
スティーブン・スメールははめ込み f: M → R の正則ホモトピー類をあるスティーフェル多様体(英語版)のホモトピー群として表した.sphere eversion(英語版) は特に著しい結果であった.
Morris Hirsch(英語版) は Smale の表示を任意の n 次元多様体 N 内の任意の m 次元多様体 M のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した.
はめ込みの Hirsch–Smale 分類は Mikhail Gromov(英語版) によって一般化された.
はめ込まれた平面曲線は well-defined な Turning number をもち,全曲率(英語版)を 2π で割ったものとして定義できる.これは Whitney–Graustein の定理(英語版)により正則ホモトピーで不変である――位相幾何学的には,それはガウス写像の次数,あるいは同じことであるが,原点についての(消えない)unit tangent の回転数である.さらに,これは完全不変量である――同じ回転数を持つ任意の2つの平面曲線は正則ホモトピックである.
すべてのはめ込まれた平面曲線は交差する点を分離して埋め込まれた空間曲線に持ちあがるが,これは高次元では正しくない.追加の情報(どの紐が上にあるか)により,はめ込まれた平面曲線は knot diagram(英語版) を生じ,これは結び目理論において中心的に興味を持たれる.はめ込まれた平面曲線は正則ホモトピーの違いを除いて回転数によって決定されるが,結び目は非常に豊かで複雑な構造を持つ.