密度行列
ここに H(q,p) はハミルトニンであり、{ { •,• } } はモーヤルの括弧(英語版)(Moyal bracket)、量子交換子の変換関係である。
ウィグナー函数の発展方程式は、古典極限の発展方程式、古典物理学のリウヴィル方程式の類似である。プランク定数 ħ が 0 となる極限では、W(q,p,t) は相空間の古典リウヴィル確率分布函数へと還元される。
古典リウヴィル方程式は、偏微分方程式の特性曲線法を使い解くことができ、特性曲線はハミルトン方程式である。同じように、量子力学でのモーヤル方程式は、量子特性曲線法(英語版)(quantum characteristic)を用いて解、すなわち、相空間のモーヤル積(英語版)(Moyal−product)を求めることができる。実践的には、解を求める方法は異る方法を用いる。
密度演算子 ρ {\displaystyle \rho } と有界な自己共役作用素 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} に対し、 t r ( ρ A ^ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho {\hat {A}})} 、 t r ( A ^ ρ ) {\displaystyle \mathrm {tr} ({\hat {A}}\rho )} が定義可能で
t r ( ρ A ^ ) = t r ( A ^ ρ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho {\hat {A}})=\mathrm {tr} ({\hat {A}}\rho )}
が成立することが知られている。
既に述べたように、密度行列 ρ {\displaystyle \rho } で表現される混合状態において A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を観測した際の観測値の期待値はこの値になる。
混合状態の「混合」とは量子力学的な状態の重ね合わせではない。これを偏光の例で説明する。光子には右円偏光と左円偏光がある。以下、右偏光と左偏光をそれぞれ純粋状態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } で表すことにする。
量子力学では状態の重ね合わせが可能なので、ある光子の | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } の状態とこれと同じ光子の | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } の状態を1/2ずつ重ね合わせると、光子は
| R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle {|R\rangle +|L\rangle \over 2}}
という状態になる。これを規格化すれば
| R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle {|R\rangle +|L\rangle \over {\sqrt {2}}}}
である。この状態にある光子は垂直方向に偏光であり、垂直方向の偏光板は通過できる。
これに対し、無偏光の状態にある光は、上記のような重ね合わせでは表現できず、混合状態によって記述する必要がある。