行列の対数
を対数に持つ。しかし、以下の行列
[ 3 / 4 5 / 4 5 / 4 3 / 4 ] , [ − 3 / 4 − 5 / 4 − 5 / 4 − 3 / 4 ] , [ − 5 / 4 − 3 / 4 − 3 / 4 − 5 / 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{bmatrix}}} .
は対数を持たない。これらは、上述の四元群の作用の下で対数を持つ上記の行列 A の共軛として得られるほかの三つを表している。
正則な 2×2 実行列 2 x 2 行列が必ずしも対数を持つとは限らないが、この四元群による作用のもと対数を持つ行列に共役になる。
また以下のようなことも従う。たとえば、上述の行列 A の平方根(英語版)は指数函数に (ln A)/2 を代入することにより、直接的に
A = [ cosh  ( ( ln  2 ) / 2 ) sinh  ( ( ln  2 ) / 2 ) sinh  ( ( ln  2 ) / 2 ) cosh  ( ( ln  2 ) / 2 ) ] = [ 1.06 .35 .35 1.