クライスリ圏
プログラムの世界におけるクライスリ・トリプルに対応するものは、計算機科学者のPhillip Wadlerによって命名された次のモナド則(Monad laws)である。
これに直接対応するのは次の合成順序を逆にしたのときのクライスリトリプルである。
T A = A + E
ηA は入射(injection)写像 a ↦ inl(a)
f : A -> T B であれば、f(inr(e)) = e (ただし、e ∈ E) かつ f(inl(a)) = f(a) (ただし、a ∈ A)
圏 C 上にクライスリトリプル(T, η, _)が与えられているとき、クライスリ圏(Kleisli category)CT とは、対象、射、射の合成規則を以下のとおり定めたものを言う。
CT の対象は、C の対象である
CT において、対象 A から B への射の集まり HomCT(A,B) は、C における射の集まり HomC(A, T B) である
CT において、射 f ∈ HomCT(A,B) と射 g ∈ HomCT(B,C) の合成射とは、g*・f : A → T C である
スタンダード構成(standard construction;余モナド)の概念はホモロジー代数の分野では早くから現れていたが、随伴概念の発見に伴い、すべてのモナドは関手の随伴対から得られるのではないかという予想がP.J.Hilton その他によって立てられていた。これに対し二つ解答が寄せられたが、その解答者の一人であるハインリッヒ・クライスリは『Every standard construction is induced by a pair of adjoint functors(1965)』で、