線型代数群
代数群 G の有限次元表現の全体に表現のテンソル積(英語版)を考えた圏 RepG は淡中圏を成す。実は、適当な体上の「ファイバー函手」を持つ淡中圏はアフィン群スキームの圏に圏同値になる(体 k 上の任意のアフィン群スキームは、それが体 k 上の有限型群スキームの射影極限に書けるという意味で「副代数的」 (pro-algebraic) である)。例えば、マンフォード–テイト群(英語版)の全体とモチーフ的ガロワ群(英語版)の全体はこのような方法論を用いて構成される。(副-)代数群 G のある種の性質は、その表現全体の成す圏から読み取ることができる。例えば、標数 0 の体上で、RepG が半単純圏(英語版)となるための必要十分条件は、G の単位成分が副簡約的であることである。
代数群 G のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} はいくつかの等価な方法で定義される:単位元 1 ∈ G(k) における接空間 T1(G) として、あるいは左不変導分(英語版)のなす空間として。k が代数的閉体のとき、G の座標環の k 上の導分 D : O ( G ) → O ( G ) {\displaystyle D\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} が左不変 left-invariant であるとは
D λ x = λ x D {\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}
がすべての x ∈ G(k) に対して成り立つことをいう。ここで λ x : O ( G ) → O ( G ) {\displaystyle \lambda _{x}\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} は x の左からの乗法により誘導される。任意の体 k に関して、導分の左不変性も類似の線形写像 O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)\otimes {\mathcal {O}}(G)} の等式によって定義される。導分の括弧積は [D1, D2] = D1D2 − D2D1 によって定義される。