ルベーグの密度定理
数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」(つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合)は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。
μ を R 上のルベーグ測度とし、 A を R のルベーグ可測な部分集合とする。Rの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。
d ε ( x ) = μ ( A ∩ B ε ( x ) ) μ ( B ε ( x ) ) . {\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}.}
ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。
ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度