体上の多元環
単位元を持つ結合的 K-多元環の定義は、しばしば別なやり方で与えられる。この場合の体 K 上の多元環とは、環 A であって、その像が中心に含まれている環準同型
η A : K → A {\displaystyle \eta _{A}\colon K\to A}
を備えるものを言う。ηA が体上定義された環準同型であるということは、A は自明環かさもなくば ηA は単射である。この定義は、スカラー乗法を
K × A → A ; ( k , a ) ↦ k a := η A ( k ) a {\displaystyle K\times A\to A;\quad (k,a)\mapsto ka:=\eta _{A}(k)a}
で定めて、定義節で与えた定義と同値になることが確かめられる。このようにして二つの単位的 K-結合多元環が与えられたとき、単位的 K-多元環準同型 f: A → B とは、環準同型であってさらにスカラー乗法と可換、すなわち K の各元 k と A の各元に対して
f ( k a ) = k f ( a ) {\displaystyle f(ka)=kf(a)}
を満たすものを言う。言い換えれば、図式
K η A ↙ ↘ η B A ⟶ f B {\displaystyle {\begin{matrix}K\\{}^{\eta _{A}}\!\!\swarrow \quad \searrow \!\!^{\eta _{B}}\\A\quad {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\quad B\end{matrix}}}
を可換にする環準同型 f を多元環の準同型と呼ぶのである。
任意の複素数は、実数 a, b と虚数単位 i を用いて a + bi の形に一意的に書くことができる。言い換えれば、複素数は実数体上のベクトル (a, b) として表現できる。したがって複素数の全体は二次元の実ベクトル空間をなし、加法とスカラー乗法は a, b, c, d を実数として、(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) および c(a, b) = (ca, cb) で与えられる。ここで、二つのベクトルの積を記号 "⋅" で表すことにすれば、複素数の積は (a, b)⋅(c, d) = (ac − bd, ad + bc) によって定義される。
以下の主張は複素数の基本性質である。ここで z1, z2, z3 は複素数、α は実数を表すものとする。
複素数の乗法は複素数の加法に対して分配的である: (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.
複素数の乗法は実数によるスカラー乗法と可換である: (αz1)z2 = α(z1z2) = z1(αz2).
この例は、次節における体 K として実数全体の成す体 R をとり、ベクトル空間 A として複素数の全体を考えたときに適合する。
体 K 上の多元環の部分多元環 (subalgebra) とは、部分線型空間であって、さらにその空間の任意の二元の積がふたたびその空間に属するようなものを言う。言い換えれば、部分多元環は加法と乗法及びスカラー乗法に関して閉じているような部分集合である。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が部分多元環であるとは、任意の x, y ∈ L と c ∈ K に対して xy, x + y, cx ∈ L が成り立つことである。
先の複素数の例を実数体上二次元の多元環と見做せば、実数直線は一次元の部分多元環になる。
K-多元環の左イデアル (left ideal) は、部分線型空間であって、その空間の各元に多元環の任意の元を左から掛けて得られる元が常にその空間に属するという性質を持つものを言う。記号で書けば、K-多元環 A の部分集合 L が左イデアルであるとは、L の任意の元 x, y と A の任意の元 z および K の任意の元について、以下の条件
加法の閉性: x + y ∈ L
多元環が単位的または単型 (unital, unitary) であるとは、それが単位元または単元を持つことを言う。すなわち、多元環の元 I が存在して、全ての元 x に対して Ix = x = xI を満たす。単位元を持たない多元環はある標準的な方法で構成される単位的な多元環に余次元1のイデアルとして含まれる。