線型写像
f ( v j ) = a 1 j w 1 + ⋯ a m j w m {\displaystyle f(v_{j})=a_{1j}w_{1}+\cdots a_{mj}w_{m}}
となるスカラー aij を (i,j)-成分にもつ行列を Af とすれば、この写像は、
f ( ( v 1 , ... , v n ) [ a 1 ⋮ a n ] ) = ( w 1 , ... , w m ) A f [ a 1 ⋮ a n ] {\displaystyle f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n}){\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}{\Bigr )}=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}
と書くことができる。基底の変換
P : ( v 1 , ... , v n ) ↦ ( v 1 ′ , ... , v n ′ ) , Q : ( w 1 , ... , w m ) ↦ ( w 1 ′ , ... , w m ′ ) {\displaystyle P\colon (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto (v_{1}',\ldots ,v_{n}'),\quad Q\colon (w_{1},\ldots ,w_{m})\mapsto (w_{1}',\ldots ,w_{m}')}