商位相空間
位相空間論およびそれに関連する数学の各分野において、等化空間(とうかくうかん、英: identification space)または商位相空間(しょういそうくうかん、英: quotient topological space)あるいは単に商空間 (quotient space) とは、直観的には与えられた空間のある種の点の集まりを「貼合せ」("gluing together") あるいは同一視してしまうことによって得られる新しい空間である。ただし、ここで貼合わせられるべき点の集まりというのは、何らかの同値関係によって決定される。
このような商空間構成は、与えられた位相空間から新たな空間を構成する方法の一つとして広く用いられる。
g: X → Z が連続で、X の任意の元 a, b について a ~ b ⇒ g(a) = g(b) を満たすならば、連続写像 f: X/~ → Z で g = f ∘ q を満たすものが唯ひとつ存在する。
このように写像 f を得ることを、g を「商に落とす」(descends to the quotient) とか、g が f を誘導 (induce) するなどという。したがって商空間 X/~ 上で定義される連続写像はちょうど、その同値関係に関して(つまり同値な元はおなじ像に写るものとして)X 上の写像から得られる。このような方法は商空間を調べる上での定石である。
連続な全射 f: X ↠ Y が与えられたとき、それが商写像であるかを決定する判定法で有用なものが存在する。それは f が開写像または閉写像であるとき f は商写像であるというものだが、これが十分条件だが必要条件でないということには注意が必要である。開でも閉でもない商写像の例を構成するのはそう難しくない。