レフシェッツ超平面定理
アンドレオッティ(Andreotti)とフランケル(Frankel) は、レフシェッツの定理がモース理論を使い再記述できることを認めた。 そこでは、パラメータ t がモース函数の役割を果たす。このアプローチでの基本的なツールは、アンドレオッティ・フランケルの定理(英語版)(Andreotti–Frankel theorem)で、この定理は複素次元 n の(従って実次元 2n)の複素アフィン多様体は、(実)次元 n のCW複体(CW-complex)のホモトピー型を持つ。このことは、X の中の Y の相対ホモロジー(英語版)(relative homology)群が、次数 n 以下で自明となることを意味する。従って、相対ホモロジーの長完全系列がこの定理を与える。
ミハイル・アルティン(Michael Artin)とアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、レフシェッツ超平面定理が、コホモロジーの係数が体ではなく、構成層(英語版)(constructible sheaf)の場合へ一般化されることを発見した。彼らは、アフィン多様体 U の上の構成層 F に対し、コホモロジー群 H(U, F) が k > n のときはいつも 0 となることを証明した。