多元数
19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数(英語版) (coquaternion), 双四元数(英語版) (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。
カタログ化の試みは1872年にベンジャミン・パースが著書 Linear Associative Algebra(『結合線型環』)を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。ケーリー=ディクソン構成では、対合を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している(フルヴィッツの定理 (合成代数)(英語版)およびフロベニウスの定理 (代数学)の項を参照)。最終的に、1958年にJ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実多元体が四種類(実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H, 八元数体 O)に限り存在することを証明した。
多元数の体系(超複素数系)の手綱をとったのは行列論であった。まず行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。