冪対象
集合の圏における指数対象 Z は Y から Z への写像全体の成す集合(配置集合)として与えられる。射 eval: Z × Y → Z は、順序対 (f, y) を f(y) へ写す評価写像 (evaluation) に他ならない。任意の射 g:X × Y → Z に対して、射 λg: X → Z は g のカリー化
λ g ( x ) ( y ) = g ( x , y ) {\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y)}
によって与えられる。
順序圏(英語版)としてのハイティング代数における指数対象 Z は相対擬補元 Y → Z に他ならない。前述の随伴は
X ∧ Y ≤ Z ⟺ X ≤ Y → Z {\displaystyle X\wedge Y\leq Z\iff X\leq Y\to Z}
と対応する。束論も参照のこと。
位相空間の圏における指数対象 Z は Y が局所コンパクトハウスドルフ空間であれば存在する。この場合、空間 Z は Y から Z への連続写像全体の成す集合にコンパクト開位相を入れたものとして与えられる。評価射に関しては集合の圏のときと同様である。Y が局所コンパクトハウスドルフでないならば、指数対象は存在しない(空間 Z 自体は存在するのだが、評価射が連続とは限らないために指数対象になれないのである)。このことから、位相空間の圏はデカルト閉でないことが従う。そこで、局所コンパクト位相空間の圏を考えたとしても、Z と Y が局所コンパクトでも空間 Z は必ずしも局所コンパクトではないから、やはりデカルト閉圏にはならない。