中山の補題
上昇定理 (going up theorem) は本質的に中山の補題の系である。それは次のようなものである。
R ⊂ S を可換環の整拡大とし、P を R の素イデアルとする。このとき S の素イデアル Q が存在して、Q ∩ R = P. さらに、Q は Q1 ∩ R ⊂ P であるような S の任意の素イデアル Q1 を含むように選ぶことができる。
この結果を幾何学的に述べるために、整拡大は代数多様体の固有射と対応する。複素数体上の多様体に対して、固有とは単に通常の位相でコンパクト集合の逆像が再びコンパクトであるということを意味する。すると上昇は固有射のもとでの部分多様体の像が再び部分多様体であることを意味している。
補題は非可換単位的環 R 上の右加群に対しても成り立つ。結果の定理は ジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある。
J(R) を R のジャコブソン根基とする。U が環 R 上の右加群で I が R の右イデアルであれば、UI を ui の形の元のすべての(有限)和が成す集合と定義する。UI は U の部分加群である。
V が U の極大部分加群であれば、U/V は単純加群である。なので UJ(R) は J(R) の定義と U/V が単純であるという事実によって V の部分集合である。したがって、U が少なくとも1つの(真の)極大部分加群を含めば、UJ(R) は U の真の部分加群である。しかしながら、これは R 上の任意の加群 U に対しては成り立つとは限らない、というのも U がどの極大部分加群を含まないこともあるからだ。U がネーター加群であれば、自然にこれは成り立つ。R がネーター環であり U が有限生成であれば、U は R 上のネーター加群であり、結論が成り立つ。注目すべきなのはより弱い仮定、すなわち U が R-加群として有限生成(かつ R についての有限性の仮定はない)で結論を保証するのに十分であるということである。本質的にこれが中山の補題のステートメントである。
正確に言えば、
中山の補題: U を環 R 上の有限生成右加群とする。U が 0 でなければ、UJ(R) は U の真の部分加群である。