円周率が22/7より小さいことの証明
を得る。
次に、任意の整数 k, l ≥ 0 に対して、部分積分を l 回適用することにより、
∫ 0 1 x k ( 1 − x ) l d x = l k + 1 ∫ 0 1 x k + 1 ( 1 − x ) l − 1 d x = ⋯ = l k + 1 l − 1 k + 2 ⋯ 1 k + l ∫ 0 1 x k + l d x = 1 ( k + l + 1 ) ( k + l k ) ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{l}\,dx&={\frac {l}{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{l-1}\,dx\\&=\cdots \\&={\frac {l}{k+1}}{\frac {l-1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+l}}\int _{0}^{1}x^{k+l}\,dx\\&={\frac {1}{(k+l+1){\binom {k+l}{k}}}}\qquad (**)\end{aligned}}}
を得る。特に、k = l = 4n とおけば
∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x = 1 ( 8 n + 1 ) ( 8 n 4 n ) {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}}
を得る。
(*) を 0 から 1 まで積分し、(**) と arctan 1 = π/4 を用いると、π を含んだ目的の積分値を得る。
となって π を含む式を得る。この式の最後の和は、ライプニッツの公式に現れる級数を有限で切ったものになっている。戻って第一の積分は
1 2 2 n − 1 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x = 1 2 2 n − 1 ( 8 n + 1 ) ( 8 n 4 n ) {\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}}
であり、第三の積分はこの2倍である。この値は、n が大きくなるにつれて急激に 0 に近付くので、ここで議論している方法が、π の近似値を求めるのに適していることが分かる。
任意の整数 k ≥ 0 と l ≥ 2 に対して、
x k ( 1 − x ) l = ( 1 − 2 x + x 2 ) x k ( 1 − x ) l − 2 = ( 1 + x 2 ) x k ( 1 − x ) l − 2 − 2 x k + 1 ( 1 − x ) l − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{l}&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{l-2}\\&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{l-2}-2x^{k+1}(1-x)^{l-2}\end{aligned}}}