エルデシュ＝シュトラウス予想
予想は整数 n ≥ 2 に対して、
を満たす正の整数 x、y、z が存在すると主張している。例えば、n = 5 の場合には、
という2つの解が存在する。
方程式 4/n = 1/x + 1/y + 1/z の両辺に nxyz をかけると、問いと同値な多項式 4xyz = n(xy + xz + yz) が得られる。
整数の変数を持つ代数方程式 4xyz = n(xy + xz + yz) の形において、エルデシュ=シュトラウス予想はディオファントス方程式の一例である。局所大域原理はこれらの方程式の研究には合同算術が必要であることを示唆している。もし代数方程式が整数解をもつならば、任意の整数 q に対して法 q を取れば、法 q の際の解が得られる。逆に、もし方程式が全ての素数冪 q に対して法 q 上での解を持つ場合、中国の剰余定理に関連した手法を用いてそれらの合同算術解をつなぎ合わせ整数解を得られる。与えられた問題が局所大域原理によって解くことができるかどうかはマニンの障害(英語版)によって制限されるが、エルデシュ=シュトラウス予想の場合にはこの制限は存在しない。
それにもかかわらず、この原理はエルデシュ=シュトラウス予想の解決にはほとんど役に立たない。すべての n に対し、方程式 4xyz = n(xy + xz + yz) は任意の素数を法として容易に解くことができるが、これらの解をつなぎ合わせ、正整数解を得るのは不可能だと考えられている。しかしながら、合同算術およびそれを基にした恒等式はこの予想の研究において極めて重要な道具であることが示されている。