状態空間 (制御理論)
x ( ⋅ ) {\displaystyle x(\cdot )} を「状態ベクトル」、 y ( ⋅ ) {\displaystyle y(\cdot )} を「出力ベクトル」、 u ( ⋅ ) {\displaystyle u(\cdot )} を「入力(または制御)ベクトル」、 A ( ⋅ ) {\displaystyle A(\cdot )} を「状態行列」、 B ( ⋅ ) {\displaystyle B(\cdot )} を「入力行列」、 C ( ⋅ ) {\displaystyle C(\cdot )} を「出力行列」、 D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} を「直達行列」と呼ぶ。単純化するため、 D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} は零行列とされることが多い。すなわち、システムには直達項(feedthrough term)が無いものとして扱う。なお、この一般形式では全ての行列は時変とみなされ、その要素は時と共に変化するものとされている。時変数 t {\displaystyle t} は連続的( t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } )でも離散的( t ∈ Z {\displaystyle t\in \mathbb {Z} } )でもよい。後者の場合は時変数を k {\displaystyle k} で表すことが多い。時変か時不変か、連続か離散かによって、状態空間モデルの表現は以下のように変化する。
システムのさまざまな特性(可制御性、可観測性、安定性)は、行列 A、B、CとDに決められる。
典型的なフィードバックは、出力に行列 K をかけたものをシステムの入力とする。 system: u ( t ) = K y ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)} K 内の値には制限はないので、負の値することで容易にネガティブ・フィードバック(負帰還)となる。負の符号は単に表記上の問題であって、式にそれが現われなくとも最終的な結果には何の影響もない。
x ̇ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}
この式の入力をフィードバックに置き換えると次の式になる。
x ̇ ( t ) = A x ( t ) + B K y ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D K y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}
出力方程式を y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} について解き、その結果を状態方程式に当てはめると次のようになる。
プロパーな伝達関数(「厳密にプロパー」ではない)の実現も容易に得られる。その場合伝達関数を、厳密にプロパーな部分と定数部分という2つの部分に分割するというトリックを用いる。
G ( s ) = G S P ( s ) + G ( ∞ ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\textbf {G}}_{SP}(s)+{\textbf {G}}(\infty )}
厳密にプロパーな伝達関数は上述した方法で正準状態空間実現に変換できる。定数の状態空間実現が y ( t ) = G ( ∞ ) u ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\textbf {G}}(\infty ){\textbf {u}}(t)} であることは明らかである。以上から、行列 A, B, C の状態空間実現は厳密にプロパーな部分から得られ、行列 D は定数部分から得られる。
もう少し判りやすくするため、例を挙げて説明する。
G ( s ) = s 2 + 3 s + 3 s 2 + 2 s + 1 = s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 1 {\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}