頂垂線 (三角形)
任意の三角形に対して、その辺の長さを a, b, c, 半周長を s = (a + b + c) / 2 と置けば、辺 a に対する頂垂線の長さは
で与えられる。
これは三角形の面積を辺の長さで表すヘロンの公式と面積公式 (底辺)×(高さ)/2(を辺 a とその対角 A からの垂線に対して適用したもの)を組み合わせれば出る。
鋭角三角形の垂足三角形は triangular light route を与える。
三角形 ABC の各辺の中点における九点円の接線は、垂足三角形の辺に平行であり、垂足三角形に相似な三角形を成す。
垂足三角形は外接三角形(英語版)に近い関係を持つ。LA を三角形 ABC の頂点 A における外接円の接線とし、同様に各頂点に対して外接円の接線 LB, LC も定義する。三つの交点 A" ≔ LB ∩ LC, B" ≔ LC ∩ LA, C" ≔ LC ∩ LA の成す三角形 A"B"C" をもとの三角形の外接三角形と呼び、その辺は三角形 ABC の外接円に頂点 A, B, C において接する。この外接三角形は垂足三角形の中心相似形(英語版)である。外接三角形の外心および、外接三角形と垂足三角形の相似の中心(英語版)はオイラー線上にある。
外接三角形の頂点の三線座標系は以下で与えられる:
A" = −a : b : c;
B" = a : −b : c;
C" = a : b : −c.
垂足三角形に関するより詳細は垂心系#一般の垂足三角形(英語版)の項を参照。