ピカール＝リンデレーフの定理
φ 1 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + 0 2 ) d s = t φ 2 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + s 2 ) d s = t + t 3 3 φ 3 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + ( s + s 3 3 ) 2 ) d s = t + t 3 3 + 2 t 5 15 + t 7 63 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t\\\varphi _{2}(t)&=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}\\\varphi _{3}(t)&=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}\end{aligned}}}
明らかに、これは既知の解 y ( t ) = tan  ( t ) {\displaystyle y(t)=\tan(t)} のテイラー級数展開を計算している。 tan {\displaystyle \tan } は ± π / 2 {\displaystyle \pm \pi /2} に極を持つので、これは R 全体ではなく、 | t | < π / 2 {\displaystyle |t|<\pi /2} の範囲でのみ局所解に収束する。