全順序群
抽象代数学における線型順序群 (linearly ordered group) または全順序群(ぜんじゅんじょぐん、英: totally ordered group)は、群 G と全順序 "≤" との組 (G, ≤) で、その順序 ≤ が(平行) 移動不変 (translation-invariant) となるものを言う。移動作用の別に従って、移動不変の概念も異なるものを考え得る。すなわち G の演算を加法的に記すものとするとき、a, b, c を G の元として、G が
左順序群であるとは、a ≤ b ならば c + a ≤ c + b となるときにいう;
右順序群であるとは、a ≤ b ならば a + c ≤ b + c となるときにいう;
両側順序群であるとは、左順序群かつ右順序群となるときに言う。
通常の数に対するのと同様に、順序群における元 c が正であるとは 0 ≤ c かつ c ≠ 0(すなわち、c > 0)となることを言う。ただし、ここでの "0" は群の単位元を意味する(実数の 0 と似ている必要はまったくない)。一つの順序群において正元全体の成す集合をしばしば G+ のように書く。
全順序群 G の任意の元 a は a ∈ G+ または -a ∈ G+ または a = 0 の三者択一に従う。全順序群 G が自明群でないならば、G+ は無限集合であり、したがって非自明な任意の全順序群は無限群である。
全順序群 G の元 a に対し、a の絶対値 |a| は
を満たすものとして定義される。 さらに全順序群 G がアーベル群であるならば、三角不等式
が満足される。