相対論的力学
運動のパラメータとして時間 t を用いれば
U 0 ( t ) = c 1 − v 2 / c 2 , {\displaystyle U^{0}(t)={\frac {c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}
U ( t ) = v 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle {\boldsymbol {U}}(t)={\frac {\boldsymbol {v}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
と表わされる。 ローレンツ因子 γ を用いれば
U μ ( t ) = ( γ c , γ v ) {\displaystyle U^{\mu }(t)=(\gamma c,\gamma {\boldsymbol {v}})}
である。
固有時間は
d τ d λ = 1 c − X ̇ μ X ̇ μ {\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\frac {1}{c}}{\sqrt {-{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }}}}
で定義される。固有時間 τ を用いれば4元速度は
U μ ( τ ) = d X μ d τ {\displaystyle U^{\mu }(\tau )={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}}
と表される。