三角関数
三角関数の間に成り立つ最も基本的な恒等式の 1 つとして
sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
が挙げられる。これはピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている。
上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。
sec 2  θ − tan 2  θ = 1 cos 2  θ − tan 2  θ = 1 , csc 2  θ − cot 2  θ = 1 sin 2  θ − 1 tan 2  θ = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta &={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}-\tan ^{2}\theta =1,\\\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta &={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {1}{\tan ^{2}\theta }}=1.\end{aligned}}}
三角関数の英語の名称の語源について記す。
sineはもとはchord-half(半弦)を意味するサンスクリット語 jya ̄-ardha起源であり、省略形ji ̄va ̄がアラビア語に音訳されてjibaとなったが、1145年にチェスターのロバートがフワーリズミーのヒサーブ・アル=ジャブル・ワル=ムカーバラ(英語版)をラテン語に翻訳する際に、jaibと混同した事で胸、湾の意味のsinusと翻訳された。
tangentは”touching”を意味するラテン語tangens由来で、secantは”cutting”を意味するラテン語secans由来である。
cosine、cotangent、cosecantはそれぞれ接頭辞のco-がついた形であり、co-はcofunction(英語版)と共通し、これはcompliment angle(英語版)(直角三角形の直角でないもう一つの角、余角)に対するsine、tangent、secantという意味である。cosine、cotangentが初めて書かれた形で確認されるのは1620年のエドマンド・ガンターによる”Canon triangulorum”の中である。ラテン語のcosinusとして登場し、これはsinus complementiの略である。
日本語の正弦、余弦に関しては、徐光啓らが編纂した『崇禎暦書』の中で、羅雅谷(英語版)が1631年に著した『測量全義』の八線のうちに見られる。「正」の漢字には、「真向かいの」「主となるもの」という意味がある。
sin  ( π − θ ) = sin  θ cos  ( π − θ ) = − cos  θ tan  ( π − θ ) = − tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}}
という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦(sine; サイン)、正割(secant; セカント)、正接(tangent; タンジェント)、余弦(cosine; コサイン)、余割(cosecant; コセカント)、余接(cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。
cos  θ = sin  ( 90 ∘ − θ ) = sin  ( π 2 − θ ) csc  θ = sec  ( 90 ∘ − θ ) = sec  ( π 2 − θ ) cot  θ = tan  ( 90 ∘ − θ ) = tan  ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &=\sin \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\csc \theta &=\sec \left(90^{\circ }-\theta \right)=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\cot \theta &=\tan \left(90^{\circ }-\theta \right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\end{aligned}}}
sina : sinb : sinc = sinα : sinβ : sinγ
直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比(三角比)の値を与える関数を考えることができる。
∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、
sin  θ = a h sec  θ = h b = 1 cos  θ tan  θ = a b = sin  θ cos  θ cos  θ = b h cosec  θ = csc  θ = h a = 1 sin  θ cot  θ = b a = 1 tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {a}{h}}\\\sec \theta &={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos \theta }}\\\tan \theta &={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\\\cos \theta &={\frac {b}{h}}\\\operatorname {cosec} \theta &=\csc \theta ={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin \theta }}\\\cot \theta &={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}}