多変数の微分
lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} (1-4)
が存在することを意味する。
このとき f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分商、 ∂ [ a ] f | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}} を、以下のように定義する。
∂ [ a ] f | [ p ] = lim t → 0 f ( p + t a ) − f ( p ) t {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}} (1-5)
が成立する。
逆に、式(1-1)より、
f ( x 1 , ... , x n ) = ( f 1 ( x 1 , ... , x n ) ⋮ f m ( x 1 , ... , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}} (1-13)
A = ( ∂ f ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f ∂ x n | [ p ] ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) = ( J f ) [ p ] {\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}} (2-12)
となる。
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、
∂ [ λ a + μ b ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] ( λ a + μ b ) = λ ( J f ) [ p ] ( a ) + μ ( J f ) [ p ] ( b ) = λ ( ∂ [ a ] f | [ p ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ p ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}} (3-2)
lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ( o [ f , p ] ( x ) ‖ x − p ‖ ) ) {\displaystyle ={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)} (3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
(3-7)を行列として具体的に表記すると
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } 座標系が定まっているとする。 式 (1-14) の x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}} は全て R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
x i ′ ( x ) = t e i {\displaystyle {\textit {x}}_{i}'(\mathbf {x} )={}^{t}\mathbf {e} _{i}} (5-1)
である。ここで t {\displaystyle {}^{t}} は転置を意味する。すなわち t e i {\displaystyle {}^{t}{\textbf {e}}_{i}} とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列(横ベクトル)である。
式 (4-4) より f ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )} は、
( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ) {\displaystyle =\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)} = ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle \,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} (3-12)