ヘンゼルの補題
もともとのヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の因数分解と、素数 p、もしくはその冪乗を法とする剰余類環を係数とする多項式の因数分解との関係についてのものであった。素数 p を極大イデアルに置き換えることで、この補題は整数から任意の可換環へそのまま一般化できる( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の極大イデアルはある素数 p で p Z {\displaystyle p\mathbb {Z} } と書けるのであった)。
この一般化を正確に書くためには、整数の場合の合同算術を一般化しておく必要があるので、この文脈で通常使われる用語を正確に定義しておこう。
R を可換環、I を R のイデアルとする。R の元を正準写像(英語版) R → R / I {\displaystyle R\to R/I} による像で置き換えることを、I を法とする還元、または法 I での還元と呼ぶ。
例えば、 f ∈ R [ X ] {\displaystyle f\in R[X]} を R 係数の多項式とするとき、その I を法とする還元 f mod I {\displaystyle f{\bmod {I}}} とは、f の係数を R / I {\displaystyle R/I} での像に置き換えることで得られる ( R / I ) [ X ] = R [ X ] / I R [ X ] {\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]} の多項式のことをいう。
R が整数環で m = p Z {\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} } (p は素数)であるときには、この完備局所環は p 進整数環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} である。
完備化の射影極限を使った定義と上述のヘンゼルの補題の主張から、多項式 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での因数分解がどの2つの因子を取っても互いに素であるなら、それは h の R ^ m [ X ] {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]} における像の因数分解に一意的に持ち上げられることが導かれる。同様に、h の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での任意の単根は h の R ^ m [ X ] {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]} における像の単根に持ち上げられる。
α {\displaystyle \alpha } は法 I で可逆なので、ある β ∈ R {\displaystyle \beta \in R} と γ ∈ I {\displaystyle \gamma \in I} が存在して α β = 1 + γ {\displaystyle \alpha \beta =1+\gamma } が成り立つ。これと帰納法の仮定から
f ( δ g − δ g ′ ) + g ( δ f − δ f ′ ) = α β ( f ( δ g − δ g ′ ) + g ( δ f − δ f ′ ) ) − γ ( f ( δ g − δ g ′ ) + g ( δ f − δ f ′ ) ) ∈ I n R [ X ] {\displaystyle {\begin{aligned}f(\delta _{g}-\delta '_{g})&+g(\delta _{f}-\delta '_{f})\\&=\alpha \beta (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))-\gamma (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X]\end{aligned}}}
が成り立つ。
法 I で互いに素という仮定から、ある a , b ∈ R [ X ] {\displaystyle a,b\in R[X]} が存在して 1 ≡ a f + b g ( mod I ) {\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}} が成り立つ。