カラテオドリ計量
B 内の任意の点 x に対して
d ( 0 , x ) = ρ ( 0 , ‖ x ‖ ) {\displaystyle d(0,x)=\rho (0,\|x\|)}
が成り立つ。
d は次の式でも与えられる(カラテオドリは、これはエルハルト・シュミットによって得られた結果であるとしている):
d ( x , y ) = sup { 2 tanh − 1  ‖ f ( x ) − f ( y ) 2 ‖ ; f : B → Δ is holomorphic } {\displaystyle d(x,y)=\sup \left\{2\tanh ^{-1}\left\|{\frac {f(x)-f(y)}{2}}\right\|;\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\right\}}
B 内のすべての a および b に対して
‖ a − b ‖ ≤ 2 tanh  d ( a , b ) 2 ( 1 ) {\displaystyle \|a-b\|\leq 2\tanh {\frac {d(a,b)}{2}}\qquad (1)}