順序体
数学における順序体(じゅんじょたい、英: ordered field)とは、全順序をもつ体で、その順序が体の演算と両立するもののことである。
順序体は標数 0 でなければならず、任意の自然数 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体には順序を定義することができない。
順序体の任意の部分体は、元の体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意のデデキント完備(英語版)順序体は実数体に同型である。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体には(虚数単位 i の平方が −1 だから)順序を定義することはできない。任意の順序体は実体である。
歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々に公理化が進められ、1926年に順序体および(形式的)実体に関するアルティン-シュライヤーの定理(英語版)によって結実する。
順序体 F に全順序 ≤ から誘導される順序位相(英語版)を入れるならば、公理から二つの演算 + および × は連続となり、F は位相体を成す。
a, b, c, d を順序体 F の元とする。
推移性:a < b かつ b < c ならば a < c
a < b かつ c > 0 ならば ac < bc
a < b かつ c < 0 ならば ac > bc
0 < a < b ならば 0 < 1/b < 1/a
−a ≤ 0 ≤ a または a ≤ 0 ≤ −a の何れか一方のみが成り立つ。 a ≠ 0 ならば、a > 0 または a < 0 の何れか一方のみが成り立つ。
「不等式は辺々加えられる」:a ≤ b かつ c ≤ d ならば a + c ≤ b + d
単位元 1 は正である。実際、1 または −1 の何れか一方のみが正であるが、−1 が正とすると (−1)(−1) = 1 は正となり矛盾である。
順序体の標数は 0 である。実際、1 > 0 ゆえ 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0, ... などが成り立つが、標数が p > 0 とすると −1 は 1 を p − 1 個加えたものと等しいにもかかわらず正ではない。