優収束定理
優収束定理の一つの系として、次に述べる有界収束定理がある: {fn} が実数値可測関数からなる一様有界な関数列で、有界な測度空間 (S, Σ, μ) (すなわち、μ(S) が有限)上である関数 f に各点収束するならば、この極限 f は可積分関数であり、
lim n → ∞ ∫ S f n d μ = ∫ S f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }}
が成り立つ。
注意: この関数列の各点収束性と一様有界性は、次の仮定の下で、(μ に関して)ほとんど至る所成立すれば良いという様に緩められる:測度空間 (S, Σ, μ) は完備であるか、あるいは、f はほとんど至る所で存在する各点極限とほとんど至る所一致する可測関数である。
証明 — 考えている関数列が一様有界であるため、ある実数 M が存在して、すべての x ∈ S とすべての n に対して |fn(x)| ≤ M が成立する。すべての x ∈ S に対して g(x) = M と定義する。すると、考えている関数列は g によって支配され、また g は測度有限の集合上の定数関数であることから可積分である。したがって、優収束定理を適用することによって定理は証明される。
もしも定理の仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するのであれば、μ に関する零集合 N ∈ Σ が存在して、関数 fn1S-N は S 上の至る所でその定理の仮定を満たす。
数学の測度論の分野におけるルベーグの優収束定理(ゆうしゅうそくていり、英: dominated convergence theorem)あるいは単にルベーグの収束定理とは、ある関数列に対して、そのルベーグ積分と、ほとんど至る所での収束という二つの極限操作が可換となるための十分条件について述べた定理である。また後述するこの定理のある特別な場合はしばしば(ルベーグの)有界収束定理と呼ばれる。
リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分が理論的に優れているということを示すものである。ただもちろん有界収束定理の方はリーマン積分においても類似が成り立ち、これはしばしばアルツェラの有界収束定理と呼ばれる。
この定理は、確率変数の期待値の収束のための十分条件を与えるため、確率論の分野において広く利用されている。