開口端補正
それを
φ ( x ) = β + γ ψ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)=\beta +\gamma \psi (x)}
という形に書くとき、解 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} は一般に気柱内側では漸近形
ψ ( x ) ∼ x − l E {\displaystyle \psi (x)\sim x-l_{\mathrm {E} }}
を、気柱外では漸近形
ψ ( x ) ∼ − A 4 π e i k r r {\displaystyle \psi (x)\sim -{\frac {A}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}}
を持ち、上述の解と漸近接続することが可能である。その結果、反射係数 R {\displaystyle R} は
R = − exp  ( 2 i k l E − k 2 A 4 π ) {\displaystyle R=-\exp \left(2ikl_{\mathrm {E} }-k^{2}{\frac {A}{4\pi }}\right)}
と定まる。
この結果は、開口端から気柱の外へと放射される単位時間当たりの音波のエネルギーの割合が、 a ∼ A / π {\displaystyle a\sim {\sqrt {A/\pi }}} を気柱の半径として
1 − exp  ( − 1 π k 2 A ) ∼ ( k a ) 2 {\displaystyle 1-\exp \left(-{\frac {1}{\pi }}k^{2}A\right)\sim (ka)^{2}}
により与えられることを意味している。これは気柱の半径が音波の波長に比べて十分小さいならば(すなわち k a ≪ 1 {\displaystyle ka\ll 1} ならば)無視できる。さらに、そのとき気柱内の音波は
e i k x − e − i k ( x − 2 l E ) = 2 i e i k l E sin  { k ( x − l E ) } {\displaystyle e^{ikx}-e^{-ik(x-2l_{\mathrm {E} })}=2ie^{ikl_{\mathrm {E} }}\sin\{k(x-l_{\mathrm {E} })\}}
となり、開口端補正 l E {\displaystyle l_{\mathrm {E} }} だけ長い気柱であるかのように定常波を形成する。