モノイド
モノイド M の部分集合 N が M の部分モノイド (submonoid) とは、M の単位元を含み、閉性質: x, y ∈ N ならば xy ∈ N となるようなものをいう。これは M のモノイド演算の制限 •|N: N × N → M の像が im(•|N) ⊂ N を満たすということであり、従って •|N は N 上の二項演算を定め、部分モノイド N は明らかにそれ自身が一つのモノイドとなる。
↑ 用語を流用しているだけで積の項で扱われている意味での「積」とは無関係であることに注意。特にここでいう「積」は和を繰り返したもの(反復和)の意味ではないので、和が定義されている必要も無い。
↑ そのような規約を入れない場合は、⟨S⟩ が単位元を含むとは限らず、一般には部分モノイドとならないから、文脈には注意すべきである。
↑ 与えられたモノイドの元からなる文字集合 N から有限文字列全体を取り出す操作(ただし連接をモノイドの積で置き換える)を、その文字集合 N の生成するクリーネ閉包 N* と呼び、"∗" で表すためクリーネスターとも呼ばれる。ただし、クリーネ閉包構成は一般には(もともと)形式言語の範疇で考えられるもっと広い概念である。
↑ この名称は、逆半群 (inverse semi-group) であるようなモノイドとややこしい
↑ 半群として、逆半群となるようなモノイドということ。逆半群は山田半群とも言われる(田村 1972)。
数学、とくに抽象代数学における単系(たんけい、英: monoid; モノイド)はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群(単位的半群)であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。