チェボタレフの密度定理
フロベニウスの定理とは、任意の分割 Π に対して、 P の mod p での分解の型が Π になる素数 p 全体は、δ を G の元 g で 巡回置換型 Π を持つものの割合とすると、自然密度(英語版) δ を持つ、という定理である。
より一般的なチェボタレフの定理は素イデアルのフロベニウス元(元といっても実際にはガロア群 G の共役類 C)を使って述べられる。この定理は、ある固定した共役類 C に対して、フロベニウス元が C になる素数の割合は漸近的には |C|/|G| になるという主張である。G がアーベル群の場合には共役類の大きさ(含まれる元の数)は1である。位数が6の非アーベル群の場合には、共役類の大きさは1、2、3のいずれかである。これから、例えばフロベニウス元の位数が2となるような素数 p の割合は50%であることがわかる。これらの素数の剰余次数は2なので、この群をガロア群とする Q の6次拡大ではちょうど3つの素イデアルに分解する。