ギブズ現象
この矩形波の場合、周期はL = 2πであり、不連続点はx0 = 0 であり、跳びはa = π/2 である。議論を単純にするため、N が偶数の場合だけを扱うことにする(奇数の場合の議論も、全く同様にできる)。このとき、N 次部分和は次のようになる(N は偶数なので、この例では、N 次高調波成分は存在しない)。
S N f ( x ) = sin  ( x ) + 1 3 sin  ( 3 x ) + ⋯ + 1 N − 1 sin  ( ( N − 1 ) x ) . {\displaystyle S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x).}
ここにx = 0 を代入すると、既述のように
S N f ( 0 ) = 0 = − π 4 + π 4 2 = f ( 0 − ) + f ( 0 + ) 2 {\displaystyle S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}}
が得られる。次に、
S N f ( 2 π 2 N ) = sin  ( π N ) + 1 3 sin  ( 3 π N ) + ⋯ + 1 N − 1 sin  ( ( N − 1 ) π N ) {\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)}