束 (束論)
条件付き完備束 (conditionally complete lattice) とは任意の空でなく上に有界な部分集合が結び(最小上界)を持つことをいう。このような束は実数全体の集合に対する完備性公理を最も直接に一般化するものである。条件付き完備束は、完備束か、完備束から最大元 1 を除いたものか、完備束から最小元 0 を除いたものか、あるいは完備束から最大元と最小元の両方を取り除いたものかのいずれかである。
二つの束の間の射(あるいは準同型)としてどのようなものを考えるべきかは、代数的構造としての定義を使えば容易にわかる。二つの束 (L, ∨L, ∧L) および (M, ∨M, ∧M) が与えられたとき、束の射あるいは束準同型とは、写像 f: L → M で
f ( a ∨ L b ) = f ( a ) ∨ M f ( b ) , f ( a ∧ L b ) = f ( a ) ∧ M f ( b ) {\displaystyle f(a\lor _{L}b)=f(a)\lor _{M}f(b),\quad f(a\land _{L}b)=f(a)\land _{M}f(b)}
をともに満たすものを言う。つまり f は下敷きとなる二つの半束の双方に関して準同型写像となるものである。ただし、束に対してさらに追加の構造を考えている場合には、準同型としてそれらの付加構造に関しても整合的であるようなものを考えるのが普通である。従って例えば、準同型 f が二つの有界束 L, M の間で考えるものであれば、