代数学の基本定理
最もよく知られている初等的な証明は、次の通りである。
f ( x ) {\displaystyle f(x)} は |x| → ∞ のとき ∞ に発散する。
よって、 | x | > C {\displaystyle |x|>C} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } f ( x ) > f ( 0 ) {\displaystyle f(x)>f(0)} となるような実数 C {\displaystyle C} を定めることができる。
また、有界(一般にはコンパクト集合)上の連続関数は最小値を持つ(最大値最小値定理)ことから、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は最小値をもつ。それを c {\displaystyle c} とする。
上記の不等式から c < C {\displaystyle c<C} である。
このとき、 f ( x c ) = c {\displaystyle f(x_{c})=c} となる x c {\displaystyle x_{c}} を置き、 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} を仮定する。