距離空間
距離空間のもっとも自明な例は任意の集合に対して定義できる離散距離構造と呼ばれるものである。集合X の上の2変数関数
d ( x , y ) := { 0 ( x = y ) , 1 ( x ≠ y ) {\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&(x=y),\\1&(x\neq y)\end{cases}}}
によって定められた距離を離散距離 (discrete metric) といい、距離空間(X,d) を離散距離空間 という。ただしこの距離は議論において何の役にも立たず、距離の定義の緩やかさを示すに過ぎない。
他の例としては球面距離がある。 球面上の2点P1、P2の球面距離は、P1とP2を結ぶ大円弧の長さの事である。ただし、P1とP2を結ぶ大円弧は2つあるが、そのうち短い方の弧長を距離として採用する。もっと直観的に言うと、P1、P2の球面距離は、巻尺をP1始点にしてP2へと球面に巻きつけたときに巻尺に書かれた長さの事である。
球面上には直線距離という別の距離も考えられる。これはP1、P2を結ぶ弦の長さとしてあたえられる。
実数または複素数体上のノルム空間は、二つの元の間の距離をそれらの差のノルムとして定めると距離空間と見なせる。こうして得られる距離空間のうち完備なものはバナッハ空間と呼ばれ、関数解析学における主要な枠組みの一つとなっている。
ノルムによって位相が定まっているとは限らない位相線型空間のうち、平行移動不変な距離について完備空間となっているものはフレシェ空間と呼ばれる。バナッハ空間のほかに、微分多様体上の滑らかな関数のなす空間や、急減少数列のなす空間などがフレシェ空間の例になっている。