ヤコビの三重積
ヤコビの三重積 (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。
∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n v = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i v ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i v ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }inv}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}\right)}}
但し、 Im  τ > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} {\tau }>0} とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、 q = e π i τ , z = e 2 π i v {\displaystyle q=e^{{\pi }i{\tau }},z=e^{2{\pi }iv}} と置くことにより
c ( 1 2 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + π i n ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ + π i ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ − π i ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}}