リーマン・ロッホの定理
リーマン面 X {\displaystyle X} とは、局所的には複素数の集合 C の開部分集合と同相である位相空間を言う;加えて、これらの開集合の間に正則な変換写像があることが要請される。正則性条件により C 上の正則関数や有理型関数を扱う複素解析学の考え方や方法を曲面 X {\displaystyle X} へ移すことが可能となる。コンパクトなリーマン面を閉リーマン面という。
閉リーマン面の種数 g {\displaystyle g} とは、くだけた言い方をするとハンドル(把手)の数のことである。例えば右の図に示した閉リーマン面の種数は 3 である。より正確には、種数は1次ベッチ数の半分として、つまり、複素係数1次特異ホモロジー群 H1(X, C) の C-次元の半分として定義される。種数は閉リーマン面を同相の違いを除いて分類(英語版)する。すなわち、閉リーマン面が同相であること(ただし微分同相である必要はない)と、種数が等しいこととは同値である。したがって、種数は閉リーマン面の基本的な位相不変量である。他方、ホッジ理論は、 X {\displaystyle X} の種数と X {\displaystyle X} 上の正則1形式がなす空間の(C-)次元とが一致することを示しているので、種数はリーマン面の複素解析的な情報を持っているともいえる。