群論の用語
部分集合 H ⊂ G が G の部分群であるとは、G における演算 • の H への制限が H 上の演算となるときに言う。部分群 H が正規部分群であるとは、H に関する左右の剰余類が一致する(任意の g ∈ G に対して gH = Hg がなりたつ)ときにいう。正規部分群の概念は、群 G の正規部分群 Nによる剰余類の全体が自然に群の構造をもつという点で、部分群の中でも特別な役割を持ったものである。このようにして既知の群から構成される群は剰余群 (residue class group), 商群 (quotient group), 因子群 (factor group) などと呼ばれ、G/N で表される。蝶の補題(英語版)は群の束における技巧的な結果である。
S が群 G の部分集合とすると、S を含む最小の G の部分群を S が生成する部分群といい、しばしば ⟨S⟩ で表す。
与えられた群の、部分群の全体、および正規部分群の全体は、ともに集合の包含関係にかんして完備束を成す(この性質および関係する結果については束論を参照)。
任意に集合 A が与えられたとき、A を生成系とする自由半群のなかで A を含む最小の部分群を考えることによって群を定義することができる(自由群)。この群は A の元およびそれから作った逆元を使用可能な文字としてできる「語」と呼ばれる有限文字列の全体からなる。文字列同士の積は文字列の結合 (concatenation) によって与えられる(たとえば (abb) ∗ (bca) = abbbca のようになる)。