交換子部分群
群 G の元 x, y に対し、x と y との交換子とは元
[ x , y ] = x − 1 y − 1 x y {\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}
のことである。(交換子を [x, y] = xyxy と定義する流儀もある。)群の元 x と y とが可換である(つまり xy = yx が成り立つ)必要十分条件は交換子 [x, y] が単位元 e と等しいことである。可換とは限らない一般の場合には xy = yx[x, y] が成り立つ。
群 G の元 g が交換子であるとは、適当な元 x, y を取って g = [x, y] と書けることを言う。単位元 e = [e, e] は常に交換子であり、これが唯一の交換子となるための必要十分条件は G がアーベル群であることである。
ここに単純だが有用な交換子恒等式を挙げる。以下 x, y, z は群 G の元とする。
反転: [x, y] = [y, x].
共役: [x, y] = [x, y]. (x = zxz.)
任意の群準同型 φ: G → H に対し φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)].