ポアソン二項分布
また A は A の補集合。すなわち A c = { 1 , 2 , 3 , ... , n } ∖ A {\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\backslash A} である。
これが、定義から直接導かれるポアソン二項分布の確率質量関数である。Fk は n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} 要素を含み、この数は n とともに急速に増大するため、試行回数 n が小さい場合以外は実際にこの和を計算することは困難である。(例えば n = 30 のとき F15 は 10 もの要素を含む)。 幸いにも、 Pr ( X = k ) {\displaystyle \Pr(X=k)} を計算する非常に効果的な方法がある。1回も成功しない確率が分かれば、n 回成功の確率は次のようにして再帰的に計算できる。
Pr ( X = k ) = { ∏ i = 1 n ( 1 − p i ) , k = 0 1 k ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 Pr ( X = k − i ) T ( i ) , k > 0 {\displaystyle \Pr(X=k)=\left\{{\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}(1-p_{i}),\qquad k=0\\&{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(X=k-i)T(i),\qquad k>0\\\end{aligned}}\right.