弱位相
であるので、 ( φ n ) n ∈ N {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }} はコーシー列ではなく、よってn→∞のとき強収束の極限は存在しない。
しかし ( φ n ) n ∈ N {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }} は0に弱収束する。
理由は下記の通りである。ヒルベルト空間の共役空間Hの任意の元αには必ず
α ( ξ ) = ⟨ ξ , ψ ⟩ {\displaystyle \alpha (\xi )=\langle \xi ,\psi \rangle }
を満たすψ ∈ Hが存在する(リースの表現定理)。
そして ( φ n ) n ∈ Z {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} が完全正規直交基底である事から、
ψ = s-lim m → ∞ ∑ k = − m k a k φ k {\displaystyle \psi ={\underset {m\to \infty }{\text{s-lim}}}\sum _{k=-m}^{k}a_{k}\varphi _{k}}
を満たす ( a m ) m ∈ Z {\displaystyle (a_{m})_{m\in \mathbb {Z} }} が存在する。
以下、Kを実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } とする。
定義 (共役空間、弱位相) ― XをK上のノルム空間とし
X ∗ = { α : X → K , α {\displaystyle X^{*}=\{\alpha ~:~X\to K,~\alpha } は有界線型写像 } {\displaystyle \}}
とする。Xには関数としての和と定数倍によりベクトル空間の構造が入る。このベクトル空間をXの共役空間という。
またXに属する関数が全て連続になるXの位相のうち最弱なものをXの弱位相という。
一方、Xのノルムにより定まる位相の事をノルム位相という。
ノルム空間上の線型写像が有界である必要十分条件は、その線型写像がノルム位相連続である事である。したがってXの元はノルム位相に関して必ず連続である。
それに対しXの元を連続にする最弱の位相であるので、以下が従う:
定理 ― 弱位相はノルム位相より弱い(強くない)位相である。