逆写像
任意の集合 X に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり
id X − 1 = id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}}
が成り立つ。もっと一般に、函数 f: X → X がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数 f ∘ f が idX に等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。
f が可逆ならば函数
y = f − 1 ( x ) {\displaystyle y=f^{-1}(x)}
のグラフと方程式
x = f ( y ) {\displaystyle x=f(y)}
のグラフは同一である。このことは x と y の役割が入れ替わっていることを除けば、方程式 y = f(x) が f のグラフを定義することと同じである。したがって、逆函数 f −1 のグラフは、函数 f のグラフで x と y の位置を入れ替えることによって得られる。これは、これらのグラフが直線 y = x に関して線対称であるといっても同じことである。
(例えば正の平方根のような)多価函数の最も重要な枝は主枝 (principal branch) といい、逆函数の y における値で主枝に属するものを f −1 (y) の主値 (principal value) と呼ぶ。
実数直線上の連続函数に対して、極値の隣り合う対にそれぞれ、その全逆函数の一つの(連続な)枝が対応する。例えば、極大値と極小値をもつ三次函数の逆函数は、三つの分枝を持つ。
こういったことへの配慮は、特に三角函数の逆函数を定義する際には重要である。例えば、正弦函数は任意の実数に対して
sin  ( x + 2 π ) = sin  ( x ) {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}
を満たす(もっと一般に任煮の整数 n に対して sin(x + 2πn) = sin(x) を満たす)から一対一ではない。しかし、区間 [−π/2, π/2] 上で正弦函数は一対一であり、対応する偏逆函数は逆正弦函数 arcsine と呼ばれる。これは(全)逆正弦函数の主枝であると考えられ、そたがってこの逆函数の主値は常に −π⁄2 と π⁄2 の間に値を持つ。
写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。写像 f が可逆 (invertible) であるとは、Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件
f ( x ) = y ⟺ g ( y ) = x {\displaystyle f(x)=y\iff g(y)=x}
を満足するものが存在するときに言う。f が可逆ならば写像 g は一意である(つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、一つよりも多くも少なくもない)。写像 g を f の逆写像と呼び、f で表す。
別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、その逆関係が再び写像となることである(このとき、逆関係が逆写像を与える)。
必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、上記の条件を適用するためには「値域 Y の各元 y に対して、f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」必要がある。この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。f および f がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、これらはともに全単射となる。後述するように、全単射とならない単射の逆は部分写像として与えられる(すなわち、対応する値が定義されない y ∈ Y が存在する)。