微分形式
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1, x2, ..., xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1, x2, ..., xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + ⋯ + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっているfk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。例えば p 次の微分形式 ξ と q 次の微分形式 η のテンソル積は
ξ ⊗ η {\displaystyle \xi \otimes \eta }
と書かれる。しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、
∑ a i j d x i d x j {\displaystyle \sum a_{ij}\,\mathrm {d} x_{i}\,\mathrm {d} x_{j}}
のような形でテンソル積の記号は省略して書かれる。 dx といった形で指数にして表してしまうこともある。