台 (測度論)
μ : Σ → [−∞, +∞] をある符号付測度とする。ハーンの分解定理を用いることで、
μ = μ + − μ − {\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}
と書ける。但し μ はいずれも非負の測度である。このとき μ の台は
s u p p ( μ ) := s u p p ( μ + ) ∪ s u p p ( μ − ) {\displaystyle \mathrm {supp} (\mu ):=\mathrm {supp} (\mu ^{+})\cup \mathrm {supp} (\mu ^{-})}
と定義される。同様に、μ : Σ → C が複素測度であるなら、その台はその実部および虚部のそれぞれの台の合併で定義される。
(X, T) をある位相空間とする。X 上のボレル σ-代数、すなわち、すべての開集合 U ∈ T を含む X 上の最小の σ-代数を Borel(X) で表す。μ を (X, Borel(X)) 上の測度とする。このとき、μ の台(あるいはスペクトル)は、すべての開近傍 Nx が正測度を持つような、X 内のすべての点 x の集合で定義される。すなわち、
s u p p ( μ ) := { x ∈ X ∣ x ∈ N x ∈ T ⟹ μ ( N x ) > 0 } {\displaystyle \mathrm {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid x\in N_{x}\in T\implies \mu (N_{x})>0\}}
で定義される。人によっては、この集合の閉包で定義することもある。しかし、そのような必要は無い。実際、次の節を参照されたい。また、そのような台の同値な定義として、次を満たすような最小の閉集合 C ⊆ X、というものがある。
U ∈ T and U ∩ C ≠ ∅ ⟹ μ ( U ∩ C ) > 0. {\displaystyle U\in T{\text{ and }}U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0.}
すなわち、そのような台との共通部分が空でないようなすべての開集合は、正測度を持つということである。