量子群
ただし生成元の集合は必要であればウェイト格子の元とルート格子の元の 1/2 の和として表現可能な λ に対する kλ を含むように拡張される。
さらに、任意のホップ代数から逆にした余積 T o Δ を持つ別のホップ代数が得られる。ここで T は T(x ⊗ y) = y ⊗ x によって与えられ、さらに3つのバージョンを与える。
Uq(A) の余単位はすべてのこれらの余積と同じである:ε(kλ) = 1, ε(ei) = ε(fi) = 0, そして、上記余積のそれぞれの対合射は次で与えられる:
余積 Δ: C → C ⊗ C(ただし C ⊗ C は C 代数のテンソル積、つまり C と C の代数的テンソル積の完備化)と呼ばれる C 代数準同型であってすべての i, j に対して Δ ( u i j ) = ∑ k u i k ⊗ u k j {\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}} を満たすものが存在する。
次のような線型反乗法的写像 κ: C0 → C0(余逆射)が存在する:すべての v ∈ C0 に対して κ(κ(v)) = v, および ∑ k κ ( u i k ) u k j = ∑ k u i k κ ( u k j ) = δ i j I , {\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,} ただし I は C の単位元。κ は反乗法的なので、C0 のすべての元 v, w に対して κ(vw) = κ(w) κ(v) である。
連続性の結果として、C 上の余積は余結合的である。
一般に、C は双代数ではなく、C0 はホップ *-環である。
インフォーマルには、C はコンパクト行列量子群上の複素数値連続関数の *-環と見なすことができ、u はコンパクト行列量子群の有限次元表現と見なすことができる。
コンパクト行列量子群の表現はホップ * 代数の余表現によって与えられる(余ユニタリ余結合的余代数 A の余表現は成分が A の正方行列 v = ( v i j ) i , j = 1 , .