ホッジ双対
の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される。
⋆ ( u ∧ v ) = u × v , ⋆ ( u × v ) = u ∧ v {\displaystyle \star ({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}\,,\quad \star ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}
i を用いた ⋆ の、よく使われている関係式 は、
u × v = − ( u ∧ v ) i , u ∧ v = ( u × v ) i {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}=-({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})i\,,\quad {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})i}
である。
最後の場合は、⋆ を作用させると、1-形式 (η = A dx + B dy + C dz) から 0-形式(函数)を得て、成分で示すと div 作用素である。
⋆ η = A d y ∧ d z + B d z ∧ d x + C d x ∧ d y d ⋆ η = ( ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z ⋆ d ⋆ η = ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}\star \eta &=A\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+C\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\mathrm {d} {\star \eta }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} {\star \eta }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{aligned}}}