Lp空間
詳細は「数列空間」を参照
p-ノルムは、無限個の成分を含むベクトルに対して拡張することが出来、このことが空間 l p {\textstyle \ell ^{p}} を導く。この空間は特別な場合として、次を含む:
l 1 {\textstyle \ell ^{1}} : 級数が絶対収束するような数列の空間;
l 2 {\textstyle \ell ^{2}} : 二乗総和可能な数列の空間で、ヒルベルト空間でもある;
l ∞ {\textstyle \ell ^{\infty }} : 有界数列の空間。
数列空間は、加法およびスカラー倍を座標ごとに適用することで、自然なベクトル空間を構成する。具体的に、 x = ( x 1 , x 2 , ... , x n , x n + 1 , ... ) = ( x n ) {\textstyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc )=(x_{n})} を実数あるいは複素数の無限数列としたとき、ベクトルの和は
( x n ) + ( y n ) := ( x n + y n ) , i.e., ( x 1 , x 2 , ... , x n , x n + 1 , ... ) + ( y 1 , y 2 , ... , y n , y n + 1 , ... ) := ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n , x n + 1 + y n + 1 , .
↑ 真のノルムではないので、ここでは括弧書きにして区別している
↑ バナッハノルム、B-ノルムとも呼ばれる
↑ つまり括弧書きや注釈などはせずに