ナビエ–ストークス方程式
しばしば用いられる条件である、非圧縮性流れ (incompressible flow) ρ = const. の場合、ナビエ–ストークス方程式は
∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 v + g {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {g}}}
と簡単化される。ここで ν := μ / ρ {\displaystyle \;\nu :=\mu /\rho \;} は動粘性係数である。各項はそれぞれ、
左辺 - 第1項:時間[微分]項、第2項:移流項(対流項)
右辺 - 第1項:圧力項、第2項:粘性項(拡散項)、第3項:外力項
と呼ばれる。外力項には、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。
Θ = div  v = 1 2 tr  e {\displaystyle \Theta =\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {e}}}
である。
この形の応力場を用いると、速度場のラグランジュ微分が
D v D t = − 1 ρ grad  p + μ ρ Δ v + λ + μ ρ grad  Θ + Θ ρ grad  ( λ + μ ) + 1 ρ grad  ( v ⋅ grad  μ ) + 1 ρ rot  ( v × grad  μ ) − 1 ρ v Δ μ + g {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=&-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\frac {\mu }{\rho }}\Delta {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\operatorname {grad} \Theta +{\frac {\Theta }{\rho }}\operatorname {grad} (\lambda +\mu )\\&+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} \mu )+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {grad} \mu )-{\frac {1}{\rho }}\,{\boldsymbol {v}}\Delta \mu +{\boldsymbol {g}}\\\end{aligned}}}