ネターの不等式
X を滑らかな代数的閉体上で定義された極小な射影的な一般型曲面(もしくは、滑らかな極小なコンパクトな一般複素曲面)とし、標準因子 K = −c1(X) とし、pg = h(K) を正則 2-形式の空間の次元とすると、
p g ≤ 1 2 c 1 ( X ) 2 + 2 {\displaystyle p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2}
が成り立つ。
複素曲面に対して、別の公式化は基礎となっている向き付けされた実 4次元多様体の位相不変量の項でこの不等式を表している。一般型曲面はケーラー曲面であるので、第二コホモロジーの交叉形式の最も大きい正の部分空間の次元は b+ = 1 + 2pg で与えられる。加えて、ヒルツェブルフの符号定理により、c1 (X) = 2e + 3σ であり、ここに e = c2(X) はトポロジカルなオイラー標数であり、σ = b+ − b− は交叉形式の符号である。従って、ネターの不等式は
b + ≤ 2 e + 3 σ + 5 {\displaystyle b_{+}\leq 2e+3\sigma +5}
としても表すことができる。あるいは、同じことであるが、e = 2 – 2 b1 + b+ + b− を使い、