フーコーの振り子
振り子の振動において楕円運動が生じると、地球が自転していなくても振動面が徐々に回転する。この現象を球面振り子の楕円運動による面積効果と呼ぶ。
ここで、振り子の弦の長さを l {\displaystyle l} 、振り子の楕円軌道の長軸側の初期振幅を x 0 {\displaystyle x_{0}} とする。面積効果による振り子の振動面の回転角速度 Ω {\displaystyle \Omega } は以下の式で表現できる。
Ω = 3 8 x 0 2 l 2 ω sin  θ {\displaystyle \Omega ={\frac {3}{8}}{\frac {x_{0}^{2}}{l^{2}}}\omega \sin \theta }
これより式(4-3)を拡張し、振り子の楕円運動も含めた緯度 θ {\displaystyle \theta } における振動面の角速度の式(フーコーの正弦則の拡張)は以下の通りとなる。
φ ̇ = − ω sin  θ ( 1 − 3 8 x 0 2 l 2 ) {\displaystyle {\dot {\phi }}=-\omega \sin \theta \left(1-{\frac {3}{8}}{\frac {x_{0}^{2}}{l^{2}}}\right)} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (6-1)
弦長と振幅について l ≫ x 0 {\displaystyle l\gg x_{0}} 、すなわち弦長が振幅に対して十分長ければ振り子の楕円運動による面積効果は無視できるが、弦長が短い場合は補正が必要となる。
オランダの物理学者、ヘイケ・カメルリング・オネスはヘリウムの液化や超伝導の発見など低温物理学の分野に業績があり、1913年にはノーベル物理学賞を受賞した人物である。オネスは、フローニンゲン大学で1879年に博士号を取得したが、博士論文のタイトルは「蘭: Nieuwe bewijzen voor de aswenteling der aarde(地球の自転の新たな証拠)」で、フーコーの振り子の現象の一般化(レオン・フーコーが示した地球の自転による振り子の振動面の回転は特殊な振り子であること)を示した研究であった。
オネスにフーコーの振り子の研究を勧めたのはグスタフ・キルヒホフであった。キルヒホフはフーコーの振り子について、数学モデルと実験結果が示す差異に不満を持っていた。オネスは、1872年の秋からフーコーの振り子の実験に取り組み、一時中断した後、1876年の春に博士論文のテーマとした。
オネスが実験に使用した振り子は、弦が1.2mの細い銅管で、錘が質量15kgの鉛の球を使った。支持装置は板バネ付きのダブルナイフエッジを使用した。また空気抵抗を無視できるようにするため、振り子全体を金属ケースで囲み、減圧して0.1気圧以下で実験を行った。
また錘の軌道は、振り子に取り付けられた鏡と、プリズムとレンズの組み合わせで光学的に観察するようになっていた。振り子の鏡で反射された光は、金属ケースのガラス窓を通して装置外部に出力され、これを拡大レンズを通して観察した。接眼レンズには目盛が刻まれており、振り子の振動面の角度と振幅を正確に記録できた。
このように外乱を可能な限り排除し、地球の自転が振り子の軌道に与える影響を観察したが、時間が経過すると錘の運動が楕円になる現象が生じた。
アメリカ合衆国の物理学者であるアーサー・コンプトンはコンプトン効果を発見し、1927年にノーベル物理学賞を受賞した人物である。コンプトン・ジェネレーターとは、アーサー・コンプトンがウースター大学の学生であった1913年に発表した地球の自転を観測する装置である。
装置の形状は、トーラス状の中空管になっている。リング管の内側は水で満たされていて、流速を計測できるようになっている。コンプトンは水に少量の油を混ぜて油球をつくり、これを顕微鏡を使って流速を測定した。またトーラスの管は、直径方向に回転軸がついておりリング面を反転することができる。
実験は、まずリング面を水平にして回転軸を東西方向になるように設置する。リング管の中の水が静止した状態から、ゆっくり(約3秒程度で)180度回転してリング面を反転させて、リング管の中の流速を測定する。
振り子の錘の軌道を複素平面上において考える。複素数 η {\displaystyle \eta } を以下のように定義する。
η = x + i ⋅ y {\displaystyle \eta =x+i\cdot y} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-1)
振り子の振幅が小さい場合、弦に働く張力 F = m g {\displaystyle F=mg} に近似できる。式(4-2)に i {\displaystyle i} を乗じて、式(4-1)と式(4-2)を複素数 η {\displaystyle \eta } で表すと以下のようになる。ただし g {\displaystyle g} は重力加速度である。
d 2 η d t 2 = − 2 i ω sin  θ d η d t − g l η {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-2i\omega \sin \theta {\frac {d\eta }{dt}}-{\frac {g}{l}}\eta }
ここで φ ̇ = − ω sin  θ {\displaystyle {\dot {\phi }}=-\omega \sin \theta } 、 ψ = g / l {\displaystyle \psi ={\sqrt {g/l}}} と置くと、
d 2 η d t 2 + 2 i φ ̇ d η d t + ψ 2 η = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2i{\dot {\phi }}{\frac {d\eta }{dt}}+\psi ^{2}\eta =0}
フーコーの振り子は、振動面の回転を観察するためには長時間振動が継続する必要があり、振動の減衰率は可能な限り低いことが望ましい。振り子の振動の減衰は、支持装置の機械的な摩擦抵抗と、弦と錘に作用する空気抵抗が主要因である。また支持装置の構造や空気抵抗、振り子の特性、振り子の起動などにより錘の軌道が楕円運動するため、これを抑制する仕組みも必要となる。