一般化双曲型分布
期待値は以下の式で与えられる。
E ( X ) = μ + δ β α 2 − β 2 K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = μ + δ 2 β ζ K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\mu +{\frac {\delta \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\mu +{\frac {\delta ^{2}\beta }{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}
分散は以下の式で与えられる。