多変数多項式
A[(Xs)s∈S] の多項式 P の記法にはいくつかある:
一つは前節までに用いていたもの: P = ∑ ( k s ) ∈ N ( S ) a ( k s ) ∏ s ∈ S X s k s , ( a ( k s ) ∈ A ) . {\displaystyle P=\sum _{(k_{s})\in \mathbb {N} ^{(S)}}a_{(k_{s})}\prod _{s\in S}X_{s}^{k_{s}},\quad (a_{(k_{s})}\in A).}
いま一つはより簡潔である。モノイド MS の元である族 (ks)s∈S を k と書き、対応するモニック単項式を X と書いて P = ∑ k ∈ N ( S ) a k X k , ( a k ∈ A ) {\displaystyle P=\sum _{k\in \mathbb {N} ^{(S)}}a_{k}X^{k},\quad (a_{k}\in A)} と表す。これは多重添字記法である。
d > 0 を整数として、Pd ≔ X d1 + ⋯ + X dn は対称多項式であり、d-次のニュートン多項式と呼ばれる。Pd を基本対称多項式の函数として表す式は(上の定理が示唆するように)ニュートンの公式から間接的に導出できる: { P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 S n − 1 P d − n + 1 + ( − 1 ) n S n P d − n = 0 ( d ≥ n ) P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) d − 1 S d − 1 P 1 + ( − 1 ) d d S d = 0 ( d < n ) . {\displaystyle {\begin{cases}P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{n-1}S_{n-1}P_{d-n+1}+(-1)^{n}S_{n}P_{d-n}=0&(d\geq n)\\[5pt]P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{d-1}S_{d-1}P_{1}+(-1)^{d}dS_{d}=0&(d<n)\end{cases}}.} 標数 0 の体上で、これら関係式は基本対称式をニュートン多項式の多項式として書くことを可能にする。特に、有理数体上でニュートン多項式の全体は対称多項式全体の成す環を生成する。