平面波
平面波と呼ばれる関数には、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」がある。「時間変数を持たない平面波」は、周期関数のフーリエ級数展開や、フーリエ変換、時間発展のないシュレーディンガー方程式の計算に用いられる。「時間変数を持つ平面波」は、波動方程式の解として現れる。
通常、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」は、区別されずに混同されて用いられるが、異なるものなので、曖昧さを回避する観点から区別が必要な場合には、用語を使い分けることにする。それぞれの用語の定義は以下に行う。
また、本稿では、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」の総称として「平面波」という用語を用いることにする。
とする。但し、ki は、波数ベクトル k の第 k 成分を意味する。
又、X = (x, t)とする。このとき、
Φ ( x , t ) = f ( 2 π ( k ⋅ x − ω t ) ) = f ( 2 π K ⋅ X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}},t)=f(2\pi ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t))=f(2\pi {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {X}})}
のように書くことが出来る。この意味において、d 次元の時間変数を持つ平面波は、n + 1 変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができた。
である。
実は、cn(y) もまた L 関数であるため、cn(y) も1変数関数の意味でフーリエ級数展開可能である。すなわち
c n , m = ∫ 0 1 c n , m ( y ) exp  ( 2 π i m y ) d y {\displaystyle c_{n,m}=\int _{0}^{1}c_{n,m}(y)\exp(2\pi imy)\,\mathrm {d} y}
とすると、
c n ( y ) = ∑ m ∈ Z c n , m exp  ( 2 π i m y ) {\displaystyle c_{n}(y)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)} (3-2)
となる。
非相対論的な量子論では、自由粒子のエネルギー固有状態は平面波となる。また自由粒子のハミルトニアンと運動量が可換であるため、運動量の固有状態も平面波である。つまりエネルギーと運動量についての同時固有関数となっている。量子論においても平面波は、基底関数として様々な場面で用いられるが、本来1に規格化されるべき2乗積分が有限の値を持たないこと、時間的・空間的に無限の彼方まで広がっており非現実的であること等の問題も抱えている。
実正弦平面波は、数学的には振幅 A、波数ベクトル K、位相項 δ の3つの定数/定数ベクトルで特徴付けられる。一般に d 次元の実正弦平面波は、時間変数を持たない形で書くと
A cos  ( 2 π ( K ⋅ X + δ ) ) {\displaystyle A\cos(2\pi ({\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {X}}+\delta ))}
時間変数を持つ形で書くと
A cos  ( 2 π ( k ⋅ x − ω t + δ ) ) {\displaystyle A\cos(2\pi ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\delta ))}
で表される。
ここで、波数ベクトルや時間・空間変数は、それぞれ
もまた、Φ の周期である。
以下の定理より、d 重周期関数 F と同じ d 重周期を持つ平面波を沢山作る方法が与えられる。
定理 (逆格子の存在) ― T と G を、d 次実正則行列、p1, ... pd を整数とする。さらに、T と G の間に
( t G ) T = 2 π E {\displaystyle ({}^{\mathrm {t} }G)T=2\pi E}
の関係が成立するとする。ここで、E は d 次単位行列である。さらに、Φ は、波数 G(p1, ... pd) の平面波とする。
このとき、T1, T2, ... , Td は全て Φ の周期となる。但し、
G ( p 1 , p 2 , . . . , p d ) = p 1 G 1 + ⋯ + p d G d {\displaystyle G({p}_{1},{p}_{2},...,{p}_{d})={p}_{1}{\boldsymbol {G}}_{1}+\cdots +{p}_{d}{\boldsymbol {G}}_{d}}
である。Tj, Gj はそれぞれ T および G の第 j 列ベクトルを意味する。