半単純環
この節において、K は可換体を表す。
A を有限次元の半単純 K-多元環とする。このとき A の各単純成分 A1, ..., Ap (上記参照)は有限次元単純 K-多元環であり、A は K-多元環として A1 × ... × Ap と同型である。したがって、半単純 K-多元環とは、同型の違いを除いて、有限次元単純 K-多元環の有限個の直積に他ならない。
A が Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp) の形であるかまたは A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) の形であれば、K は Di の中心の部分体であり、Di の K 上の次元は有限である。逆に、すべての有限次元半単純 K-多元環はこの形である。
K が代数的閉体であれば、A は、同型の違いを除いて、Mn1(K) × ... × Mnp(K) の形である。さらに、A の中心は K と同型である。