二次形式
これは x を与えられた基底に関してベクトル v を座標表示した列ベクトルとすれば A が
q ( v ) = t x A x {\displaystyle q(v)={}^{t\!}xAx}
を満たす対称行列であるという意味である。基底変換を行えば、列ベクトル x には左から n-次正則行列 S が掛かり、対称行列 A は別の対称行列 B に
A → B = S A t S {\displaystyle A\to B=SA{}^{t\!}S}
に従って変換される。任意の対称行列 A は、適当な直交行列 S を選ぶことにより、対角行列
B = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 ⋯ λ n ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}}
に変換することができる。このとき B の対角成分は一意に決まるというのがヤコビの定理である。S として任意の正則行列をとることを許せば、B の対角成分はさらに 0, 1, −1 の何れかにすることができて、対角成分の 1 の個数 n+, 0 の個数 n0, −1 の数 n− のは A のみに依存して決まる。
K 上の n-変数二次形式 q は n-次元座標空間 K から K への写像
Q ( v ) = q ( v ) , v = t ( v 1 , ... , v n ) ∈ K n {\displaystyle Q(v)=q(v),\quad v={}^{t}(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in K^{n}}
を定める。写像 Q は以下の性質を満たすという意味で二次写像 (quadratic map) である。
Q ( a v ) = a 2 Q ( v ) for all a ∈ K , v ∈ V . {\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)\quad {\text{ for all }}a\in K,~v\in V.}
次で定まる写像 BQ: V × V → K
は K 上の双線型形式である。
q ( x ) = a x 2 {\displaystyle q(x)=ax^{2}}
体 K 上の n-元二次形式とは、K に係数を持つ n-変数の斉二次多項式
q ( x 1 , ... , x n ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j ( a i j ∈ K ) {\displaystyle q(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}\quad (a_{ij}\in K)}
のことをいう。x を成分が x1, ..., xn で与えられる列ベクトルとし、A = (aij) を q の係数を成分とする K 上のn-次正方行列とすれば、二次形式 q は
q ( x ) = t x A x {\displaystyle q(x)={}^{t\!}xAx}
と行列を用いた形に書くことができる(係数行列 A は必ずしも対称でなくともよい)。体 K 上のふたつの n-元二次形式 φ, ψ が互いに同値 (equivalent) であるとは、正則線型変換 T ∈ GLn(K) で
ψ ( x ) = φ ( T x ) {\displaystyle \psi (x)=\varphi (Tx)}
を満たすようなものが存在するときに言う。
ここでは、K の標数は 2 ではないものと仮定する(標数 2 の体上の二次形式論はそうでない体と比べて重大な差異があり、多くの定義や定理を書き直す必要が生じる)。
二次形式 q の係数行列 A を対称行列 (1/2)(A + A) に置き換えても、q は不変である。
すべての正の整数を表すことのできる二次形式は普遍 (universal) であるという。ラグランジュの四平方和定理によれば w + x + y + z は普遍である。ラマヌジャンはこれを一般化して、 aw + bx + cy + dz の形の二次形式が普遍となるような係数の組 {a, b, c, d} を54個見つけている。具体的には、
{1,1,1,d}; d = 1–7 の7個
{1,1,2,d}; d = 2–14 の13個
{1,1,3,d}; d = 3–6 の4個
{1,2,2,d}; d = 2–7 の6個
{1,2,3,d}; d = 3–10 の8個
{1,2,4,d}; d = 4–14 の11個
{1,2,5,d}; d = 6–10 の5個
の計54個である。ただ一つの例外を除く全ての正の整数を表す二次形式も存在する(たとえば係数 {1, 2, 5, 5} に対応する二次形式は 15 以外の全ての正の整数を表す)。最近では15・290定理(英語版)によって普遍二次形式が完全に特徴付けられた。これは「全ての係数が整数の二次形式が普遍であるための必要十分条件は 290 以下の全ての整数を表すことである」および「整行列をもつ二次形式が普遍であるための必要十分条件は 15 以下の全ての整数を表すことである」という内容である。