M,n,k-ゲーム
便利な概念として「弱い(m,n,k)」(weak (m,n,k))があり、これは後手の勝利でゲームが終わらないものを指す。弱い(m,n,k)が引き分けであれば、mやnを減らしたり、kを増やしたりしても引き分けになる。対照的に、弱い、または普通の(m,n,k)で先手が勝った場合は、より大きな「弱い(m,n,k)」でも先手が勝つ。
組合せゲーム理論(英語版)からの標準的な戦略拝借論証(英語版)(Strategy stealing argument)により、m,n,k-ゲームには、後手が勝つことを保証する戦略(後手の必勝戦略(英語版))が存在しないことが示されている。これは、どちらかのプレイヤーに与えられた任意の位置の余分な石が、そのプレイヤーのチャンスを改善することができるためである。
戦略拝借論証は、「後手の必勝戦略がある」と仮定することで、後手に必勝戦略がないことを背理法的に証明するものである。先手は最初に任意の手を指す。その後、先手は後手のふりをして、後手必勝戦略を採る。その戦略に基づいて石を置くマスに既に石が置かれていない限り、先手は後手必勝戦略を採ることができる。もしそのマスに既に石が置かれていた場合でも、先手は再び任意の手を指した後に、同様に後手のふりをして後手必勝戦略を続けることができる。すなわち、(本来の)後手がどこに石を置いても先手を邪魔することはできないので、これは先手の必勝戦略となる。この矛盾は、「後手必勝の戦略がある」という元々の仮定が間違っていることを意味しており、よって後手の必勝戦略は存在しない。
この論証は、後手に必勝戦略がない(最善手を採れば先手が負けることはない)ことを証明しているだけで、先手必勝であることは証明していない。よって引き分けになることもあり得る。また、実際の先手必勝戦略が何であるかまでは示していない。