曲面
n-次元ユークリッド空間の中の、あるいは一般にリーマン計量をもった曲面の面積については体積要素で説明される。リーマン面上の計量についてはポアンカレ計量を参照のこと。
以下では、曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
より正確には、(境界付きの)位相的曲面とはハウスドルフ空間であってその任意の点が、二次元ユークリッド空間 E の開集合、あるいは E の半閉空間の開集合に同相な開近傍を持つもののこととする。E の開集合に同相な開近傍を持つ点全体の集合はその曲面の内点集合とよばれ、これは必ず空でない。内点集合の補集合は境界とよばれる。こちらは一次元の多様体、つまり閉曲線の合併になる。
境界が空集合になっている曲面はコンパクトなら閉曲面、コンパクトでないなら開曲面とよばれる。