向き付け可能性
数学では、向き付け可能性(orientability)とは、ユークリッド空間内の曲面の性質であり、曲面のすべての点で法線の方向を整合性を持って選択できるか否かという性質である。曲面の法線の方向の選択は、例えばストークスの定理に必要であるように、右手の法則を使い曲面内のループの「時計回り」方向を決めることができる。より一般に、抽象的な曲面や多様体の向き付け可能性とは、多様体内のすべてのループの「時計回り」方向を整合性を持って選択可能か否かという性質である。同じことであるが、曲面が向き付け可能であるとは、空間内の のような二次元の図形が、空間の中を(連続的に)動き回って、スタート地点へ戻ってきても、決して自分自身の鏡像 にはならない場合を言う。
向き付け可能性の考え方は、同じように高次元の多様体へ一般化できる。向きの選択が整合性を持つ多様体を向き付け可能といい、連結で向き付け可能な多様体は、ちょうど 2つの異なる向き付けが可能である。この設定で、必要な応用や一般性の度合いに依存した様々な向き付け可能性の同値な定式化が可能である。一般の位相多様体への応用する定式化は、ホモロジー論の方法を活用することが多いのに対し、微分可能多様体(differentiable manifold)に対してはより詳細な構造があり、微分形式の言葉で定式化できる。空間の向き付け可能性の考え方の重要な一般化は、ある他の空間(ファイバーバンドル)にパラメトライズされた空間の族の向き付け可能性である。その際には、向きは、パラメータの値の変化につれて、各々の空間が連続的に変化するよう選択せねばならない。
n 次元多様体(有限次元ベクトル空間、もしくは抽象的な多様体へ埋め込まれた)は、上の曲面の場合と同じ定義を使い、n 次元球体に同相な像を多様体の中にとり、多様体の中で動かして元へ戻し、その結果として球体を鏡映することが可能な場合、向き付け不可能と言う。同じことであるが、 n 次元多様体は、(n-1) 次元球体 B と単位区間 [0,1] の直積に関して一端の球体 B×{0} をもう一端の球体 B×{1} に一度鏡映して貼り合わせてできる空間に同相な像を含むとき、向き付け不可能であるという。このような空間は、曲面ではメビウスの帯であり、3次元多様体(英語版)(3-manifold)ではクライン体である。
別な定義方法として、構造群の言葉では、向き付け可能な多様体とは、その構造群 (先験的にGL(n)) が向き付け保存な変換の部分群 GL(n) へ縮退できるときを言う。具体的には、向き付け可能な多様体とは、向き付け可能な n 次元開球体(つまり全ての変換が向きを保つ)の被覆となっている場合を言う。ここでは、局所向き付けとは何かを定義する必要があり、ベクトルバンドルの向き付け(ある点での局所向き付けは接空間の向き付けである)を使う、もしくは、特異ホモロジーを使い局所向き付けがなされる。