ガウスの補題 (数論)
となり、r = s を得る。
しかし、“絶対値”の取る値もちょうど (p − 1)/2 個であるから、それらは整数 1, 2, ..., (p − 1)/2 を並べ替えたものとなる。したがって
Z ≡ ( − 1 ) n ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ p − 1 2 ) {\displaystyle Z\equiv (-1)^{n}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)}
となる。
2つの計算を比較して、p の倍数でない因子
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ p − 1 2 {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}}
を消すと、
a ( p − 1 ) / 2 ≡ ( − 1 ) n {\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{n}}
を得る。オイラーの規準によって左辺はルジャンドル記号 ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} の別の表現であるから、求める結果を得る。
数論におけるガウスの補題(ガウスのほだい、英: Gauss' lemma)は整数が平方剰余であるための条件を与える。計算的には有用ではないが、理論的には重要であり、平方剰余の相互法則のいくつかの証明(英語版)で使われる。
ガウスの補題は平方剰余の相互法則のカール・フリードリヒ・ガウスの3番目の証明 (1808) において初めて現れ、5番目の証明 (1818) において彼は再びそれを証明した。