チコノフの定理
2) Λ′λ が空の場合、λ = λ0 でければならない。この場合の証明は、有限の場合の証明の (2)とほとんど同じになるので省略する。
(8) (7) の主張 から超限帰納法により、任意の λ ∈ Λ に対して、P (λ) は真である。従って、ツォルンの補題から (詳細な証明は略) 次のような x : Λ → ⋃ ρ ∈ Λ {\displaystyle \bigcup _{\rho \in \Lambda }} Xρ が存在することが言える。全ての ρ ∈ Λ について、xρ ∈ Xρ であり、Xρ の任意の開集合 Uρ が xρ を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ∏ ρ ∈ Λ U ρ {\displaystyle \prod _{\rho \in \Lambda }U_{\rho }} を被覆するものは存在しない。
(9) 補足 : 直積位相の定義により { Xλ }λ ∈ Λ の全ての開集合の直積が成す集合族は、直積空間 X = ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} の開集合族の基底を成す(これを B {\displaystyle {\mathcal {B}}} とする)。上記の ∏ ρ ∈ Λ {\displaystyle \prod _{\rho \in \Lambda }} Uρ は B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の要素である。