三角関数の公式の一覧
微分積分学の分野においては、角度はラジアンを使用する。
微積分において、極限に関する2つの重要な式がある。1つは
lim x → 0 sin  x x = 1 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}
である。この式ははさみうちの原理から導くことができる。もう1つは以下の式である。
lim x → 0 1 − cos  x x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,}
これらの式と加法定理などを利用して、以下の式を導くことができる。
d d x sin  x = cos  x {\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}
以下に三角関数と逆三角関数の微分を示す。
いくつかの関数は、無限乗積の形で表すことができる。 ∏ n = 1 ∞ {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }} は総乗を示す。
単位円の図を回転させることにより、別の関係が得られる。π/2 の回転だとすべての関数が別の関数との関係を得られる。π または 2π の回転だと、同じ関数内での関係となる。
以下の式が成り立つ。
cos  20 ∘ ⋅ cos  40 ∘ ⋅ cos  80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}} (モリーの法則)
この式は以下の式の特殊な場合である。
∏ j = 0 k − 1 cos  ( 2 j x ) = sin  ( 2 k x ) 2 k sin  ( x ) . {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin(x)}}.}
以下の式も同じ値を持つ。
cos  π 7 cos  2 π 7 cos  3 π 7 = 1 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},}
正弦関数では以下の式が成り立つ。
sin  10 ∘ ⋅ sin  50 ∘ ⋅ sin  70 ∘ = 1 8 . {\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
sin  15 ∘ ⋅ sin  75 ∘ = 1 4 .
正弦関数と余弦関数において、以下の式が成り立つ。
sin  ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ odd k ≥ 1 ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , ... } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin  θ i ∏ i ∉ A cos  θ i ) {\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}