コーシーの積分公式
f 1 ( z ) = z 2 z − z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}
とすると、
g ( z ) = f 1 ( z ) z − z 1 . {\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}
コーシーの積分定理より
∮ C f 1 ( z ) z − a d z = 2 π i ⋅ f 1 ( a ) , {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}
積分を次のように評価できる。
∮ C 1 g ( z ) d z = ∮ C 1 f 1 ( z ) z − z 1 d z = 2 π i z 1 2 z 1 − z 2 . {\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}
もう一方の経路に対しても同様に行う。
f 2 ( z ) = z 2 z − z 1 , {\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}
∮ C 2 g ( z ) d z = ∮ C 2 f 2 ( z ) z − z 2 d z = 2 π i z 2 2 z 2 − z 1 .