フーリエ変換の応用
おそらく最も重要なフーリエ変換の使用例は、偏微分方程式の解を求めることである。19世紀の数理物理学における多くの方程式は、フーリエ変換で扱うことができる。フーリエは無次元単位を用いた1次元の熱伝導方程式
∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = ∂ y ( x , t ) ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}}
を研究した。これより少し難しいものとして、1次元波動方程式
∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}}
がある。この方程式は無限に多くの解が存在する。ここで問題となるのは、次の「境界条件」を満たす解をみつけること、いわゆる「境界問題」である。
y ( x , 0 ) = f ( x ) , ∂ y ( x , 0 ) ∂ t = g ( x ) . {\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}
ここで f と g は与えられた関数である。
フーリエ変換は核磁気共鳴 (NMR) や、フーリエ変換赤外分光法などのその他の分光法でも用いられている。NMRでは、指数関数型の自由誘導減衰 (FID) 信号が時間領域で取得され、フーリエ変換によって周波数領域のローレンツ関数型のスペクトルが得られる。フーリエ変換は核磁気共鳴画像法 (MRI) や質量分析法においても用いられている。