フォック状態
以上のことから、次のような再解釈を行うことができる。
b ^ † , b ^ {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}} は、あるエネルギー(調和振動子では ħ ω {\displaystyle \hbar \omega } )を持つ粒子を生成・消滅させる演算子である。
ハミルトニアンの固有値・固有状態を表す n {\displaystyle n} はその粒子の粒子数(あるいは占有数)であり、演算子 N ^ {\displaystyle {\hat {N}}} は粒子数を表すオブザーバブルである。
このように考えることで元々は1粒子状態であった調和振動子の状態も、その励起数だけ粒子がある多粒子状態となる。
この解は直交性を満たす。
∫ d 3 x ψ n ( + ) ∗ ( x ) ψ n ′ ( + ) ( x ) = δ n n ′ {\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}
また消滅演算子を a ^ n {\displaystyle {\hat {a}}_{n}} として、次の関係がある。
ψ ( x ) = ∑ n a ^ n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}
よって、
∴ H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a ^ n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) H a ^ n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x){\mathfrak {H}}{\hat {a}}_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}