有限要素法
右辺ベクトルも同時に形成される)。この係数行列は要素剛性行列と呼ばれる。 実際の複雑な問題では要素領域内に対する積分の値を解析的な式計算で求めるのは難しいので、領域の補間関数の次数に応じてガウス・ルジャンドル法などの数値積分を用いて近似することが多い。
各要素における係数行列(要素係数行列)の総和を取って領域全体の係数行列(全体剛性行列と呼ばれる)を作成し、解を求めることができる。
多くの場合に有限要素法では、近似解を求めることが連立一次方程式を解くことに帰着される (つまり最終的には数値線形代数の知識が必要になる)。得られる全体の係数行列は一般に疎行列となる。使用記憶領域の削減と計算速度向上のため、行列のデータ構造には様々な形式が用いられ、その格納形式に対応して効率よく解くソルバーが存在する。たとえば、直接法で解く場合のスカイライン法などが知られている。
各小領域内を一次関数で補間(近似空間が元の解空間の部分空間になる場合はある種の射影を求めることになる)した場合、全領域では適切なノルムに対して最良近似であることが示される。
線形問題・非線形問題・動的解析など、さまざまな問題に対応できる。これは、近似方程式の作り方や領域形状について、自由度が高いことに起因する。
FEMでは、変動微分法を用いて、誤差関数を最小化することで解を近似する。
有限要素法(ゆうげんようそほう、英語: Finite Element Method, FEM)は数値解析手法の一つ。 解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つであり、 Turner-Clough-Martin-Toppによって導入された。 方程式が定義された領域を小領域(要素)に分割し、各小領域における方程式を比較的単純で共通な補間関数で近似する。 構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法である。その背景となる理論は、関数解析(リースの表現定理、ラックス=ミルグラムの定理など)と結びついて、数学的に整然としている。
FEMを用いて現象を研究・分析することを「有限要素解析(FEA)」と呼ぶことがある。