代数的整数
有理数のうち代数的整数となるのは有理整数に限る。即ち Q ∩ A は Z に等しい。有理数 a/b は b が a を割り切らなければ代数的整数とはならない(多項式 bx − a の主係数が b であることに注意)。ほか、非負整数 n の平方根 √n が有理整数となるのは n が平方数のときに限り、それ以外のときは無理数となる。
d が平方因子をもたない整数のとき、拡大 K = Q(√d) は二次体となる。ここで √d はモニック多項式 x − d の根であるから、K の代数的整数環 OK は √d をもつ。加えて d が d ≡ 1 (mod 4) を満たすとき、元 1 + √d/2 もまた代数的整数となる。これは、x = 1 + √d/2 を根として持つ二次多項式 x − x + 1 − d/4 の定数項(英語版)が、d ≡ 1 (mod 4) のとき整数となるためである。OK は √d と 1 + √d/2 よりそれぞれ生成される。詳細は en:Quadratic integer を参照。