マーラー測度
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ここに、 Φ m ( z ) {\displaystyle \Phi _{m}(z)} は m 次既約多項式でり、 v i {\displaystyle v_{i}} は整数、 b i = max  ( 0 , − v i deg  Φ m ) {\displaystyle b_{i}=\operatorname {max} (0,-v_{i}\operatorname {deg} \Phi _{m})} は Ψ ( z ) {\displaystyle \Psi (z)} が z i {\displaystyle z_{i}} の多項式となるような最小な整数として選択される。各々の n {\displaystyle n} に対し、 K n {\displaystyle K_{n}} は積 ± z 1 c 1 ... z n c n {\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}} として選択され、拡張円分多項式である。
このことより、多項式 P ( z ) {\displaystyle P(z)} に対し、
マーラー測度(Mahler measure)は乗法的、つまり、 M ( p q ) = M ( p ) ⋅ M ( q ) . {\displaystyle M(p\,q)=M(p)\cdot M(q).}
(クロネッカーの定理) p {\displaystyle p} が M ( p ) = 1 {\displaystyle M(p)=1} なる整数係数の既約なモニック多項式であれば、 p ( z ) = z {\displaystyle p(z)=z} であるか、もしくは p {\displaystyle p} は円分多項式である。
レーマーの予想は、定数 μ > 1 {\displaystyle \mu >1} が存在して、 p {\displaystyle p} が整数係数の既約多項式であれば、 M ( p ) = 1 {\displaystyle M(p)=1} かまたは、 M ( p ) > μ {\displaystyle M(p)>\mu } であるという予想である。
整数係数のモニック多項式のマーラー測度は、ペロン数(英語版)(Perron number)である。