フィッシャー情報量
N個の変数の多変量正規分布についてのフィッシャー情報行列は、特別な形式を持つ。
μ ( θ ) = ( μ 1 ( θ ) , μ 2 ( θ ) , ⋯ , μ N ( θ ) ) , {\displaystyle \mu (\theta )={\begin{pmatrix}\mu _{1}(\theta ),\mu _{2}(\theta ),\cdots ,\mu _{N}(\theta )\end{pmatrix}},}
であるとし、 Σ ( θ ) {\displaystyle \Sigma (\theta )} が μ ( θ ) {\displaystyle \mu (\theta )} の共分散行列であるとするなら、
X {\displaystyle X} ~ N ( μ ( θ ) , Σ ( θ ) ) {\displaystyle N(\mu (\theta ),\Sigma (\theta ))} のフィッシャー情報行列、 I m , n ( 0 ≤ ; m , n < N ) {\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}\,(0\leq ;m,n<N)} の成分は以下の式で与えられる。
I m , n = ∂ μ ∂ θ m Σ − 1 ∂ μ ⊤ ∂ θ n + 1 2 t r ( Σ − 1 ∂ Σ ∂ θ m Σ − 1 ∂ Σ ∂ θ n ) , {\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{n}}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right),}