コピュラ (統計学)
ガウス・コピュラ、ガウス型コピュラ (英: Gaussian copula) ともいう。2000年にen:David X. Liが発表し、以後金融工学にて債務担保証券 (CDO) のリスク評価等に広く使われた。
確率変数 X, Y に対して相関行列 Σ を持つ 2 変数正規分布関数を Φ2(x, y; Σ) で表し、1 変数標準正規分布関数を Φ1(x) で表すものとする。このときスクラーの定理によって
Φ2(x, y; Σ) = C(Φ1(x), Φ1(y))
を満たすコピュラ C が存在する。このコピュラを正規コピュラという。
同様に t 分布から作られるコピュラを t コピュラという。
次の式で与えられる M は フレシェ-ヘフディング上界 (Fréchet-Hoeffding upper bound) と呼ばれる。
M ( u 1 , ... , u n ) = min 1 ≤ j ≤ n u j {\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{1\leq j\leq n}u_{j}}
任意のコピュラ C および任意の ( u 1 , ... , u n ) ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}} に対して M ( u 1 , ... , u n ) ≥ C ( u 1 , ... , u n ) {\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})\geq C(u_{1},\ldots ,u_{n})} であることから、M はコピュラの中で最大のものである。
C ( u , v ) = − 1 θ ln  ( 1 + ( e − θ u − 1 ) ( e − θ v − 1 ) e − θ − 1 ) {\displaystyle C(u,v)=-{\dfrac {1}{\theta }}\ln \left(1+{\frac {(e^{-\theta u}-1)(e^{-\theta v}-1)}{e^{-\theta }-1}}\right)} ( θ ≠ 0 {\displaystyle \theta \neq 0} )
で表されるアルキメデスコピュラはフランク (Frank) コピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは φ ( t ) = ln  ( e θ t − 1 e θ − 1 ) {\displaystyle \varphi (t)=\ln \left({\frac {e^{\theta t}-1}{e^{\theta }-1}}\right)} である。
θ = 0 のときは積コピュラとなる。