ポアソン分布
λ は、単位時間あたりの事象の平均発生回数などの割合と見なされる場合があり、到着率と呼ばれる。このとき、Nt を時刻 t より前に発生した事象の回数とすると、
P ( N t = k ) = e − λ t ( λ t ) k k ! {\displaystyle P(N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}}}
となる。この式を満たす確率過程をポアソン過程という。さらに、最初の事象が発生するまでの待機時間 T は、指数分布による連続確率変数である。この確率分布は、次のように導くことができる。
P ( T > t ) = P ( N t = 0 ) . {\displaystyle P(T>t)=P(N_{t}=0).}
時間を含む場合、すなわち1次元ポアソン過程では、各時間内で事象が発生する回数を確率変数とする離散ポアソン分布と、待機時間を確率変数とする連続アーラン分布の両方を含んでいる。1よりも高い次元のポアソン過程についても同様である。