フィンスラー多様体
{\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}
v ∈ TxM に関して F(x, v) に強い凸性(英語版)を仮定すると、行列 gij(x, v) は正則であり、その逆行列は g(x, v) と表される。すると γ: [a, b] → M が (M, F) の測地線である必要十分条件は、接曲線 γ′: [a, b] → TM∖{0} が TM∖{0} 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H の積分曲線であることである:
H | ( x , v ) := v i ∂ ∂ x i | ( x , v ) − 2 G i ( x , v ) ∂ ∂ v i | ( x , v ) , {\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}
ここで局所スプレー係数 G は次式で与えられる:
G i ( x , v ) := 1 4 g i j ( x , v ) ( 2 ∂ g j k ∂ x l ( x , v ) − ∂ g k l ∂ x j ( x , v ) ) v k v l .
{\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}
TM∖{0} 上のベクトル場 H は JH = V および [V, H] = H を満たす。ここで J, V は TM∖{0} の正準準同型(英語版)および正準ベクトル場である。したがって定義より H は M 上のスプレー(英語版)である。スプレー H は垂直投影を介してファイバー束 TM∖{0} → M に非線形接続を定義する。
v : T ( T M ∖ { 0 } ) → T ( T M ∖ { 0 } ) ; v := 1 2 ( I + L H J ) . {\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}
リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率(英語版)と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 (M, H) に対するヤコビ方程式のバージョン
D γ ̇ D γ ̇ X ( t ) + R γ ̇ ( γ ̇ ( t ) , X ( t ) ) = 0 {\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}
が存在する。
g v ( X , Y ) := 1 2 ∂ 2 ∂ s ∂ t [ F ( v + s X + t Y ) 2 ] | s = t = 0 {\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0}}
である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、⁄F(u) ≠ ⁄F(v) の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。
さらに、
任意の接ベクトル v に対して F(−v) = F(v)
のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。