モース理論
次の定理はこの問いに対する答えである。
定理: f を M 上の滑らかな実数値函数、p を指数 γ である f の非退化臨界点とし、f(p) = q とする。f[q−ε, q+ε] はコンパクトで、p の近くには臨界点がないとすると、M は γ-cell をもつ M にホモトピー同値である。
これらの結果は前のセクションで述べた「ルール」を一般化し、定式化する。すでに述べたように、ルールは正しいとは言えないが、これらの定理が正しく定式化している。
2つの結果と任意の微分可能多様体上のモース函数が存在するという事実を使い、任意の微分可能多様体は指数 n の臨界点の各に対し、n-cell をもつCW複体であるということを証明することができる。証明するためには、各々の臨界レベルにひとつの臨界点を持つように整列させることができるというテクニカルな事実を必要とする。このテクニックは普通は臨界点を再整列させるため勾配的ベクトル場(英語版)(gradient-like vector field)を使い証明することができる。