シュニレルマン密度
アレクサンドル・ヒンチン(Aleksandr Khinchin)は、平方数の数列は、たとえシュニレルマン密度 0 であったとしても、シュニレルマン密度が 0 と 1 の間の数列を加えると、密度が増大することを証明した。全ての 0 < σ ( A ) < 1 {\displaystyle 0<\sigma (A)<1} である数列 A {\displaystyle A} に対し
σ ( A + G 2 ) > σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A)}
となる。このことは、すぐにポール・エルデシュ(Paul Erdős)により単純化され、かつ拡張され、A がシュニレルマン密度 α であり、B が次数(order) k の加法的な基であれば、
σ ( A + B ) ≥ α + α ( 1 − α ) 2 k {\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}}
が成り立つことを示した。プリューネッケ(Plünnecke)は、さらに改善し、
σ ( A + B ) ≥ α 1 1 − k {\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{\frac {1}{1-k}}}