モジュライ空間
モジュライスタック M g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} は種数 g の滑らかな射影曲線の族と、それらの同型とを分類する。g > 1 のとき、このスタックは安定なノードを持つ曲線(と同型と)に対応する新しい「境界」点を加えることによりコンパクト化することができるかもしれない。曲線が安定とは、自己同型群を有限群でしかないということである。結果として現れるスタックは、 M ̄ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} と書く。どちらのモジュライも曲線の普遍的な族を持っている。滑らか、もしくは安定な曲線の同型類を表す荒いモジュライも定義することができる。これらの荒いモジュライは、モジュライスタックが考え出される以前に研究されていた。実際、モジュライスタックはデリーニュ(Deligne)とマンフォード(Mumford)により、荒いモジュライ空間の射影性を証明しようとして、考え出された。近年、曲線のスタックが、実際はより基本的な対象であることが明らかになってきた。
上記のスタックは両方とも次元 3g−3 を持っているので、g > 1 のときは、安定なノードを持つ曲線は 3g−3 個のパラメータの値を選択することで完全に特定することができる。小さな種数では、それらの数を引くことにより、自己同型の滑らかな族の存在を考えに入れる必要がある。ちょうど、種数ゼロの複素曲線(リーマン球)があり、同型群は PGL(2) であるので、 M 0 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}} の次元は、
dim(種数ゼロの曲線の空間) - dim(自己同型群) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.