リーマンゼータ関数の特殊値
ζ ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∮ C ( − z ) s − 1 e z − 1 d z {\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\varGamma (1-s)}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {(-z)^{s-1}}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
から始める。ただし、ここで s は自然数ではない複素数で、積分路 C はハンケルの積分路(英語版)である。ここで n を自然数として s = − n とすると、
ζ ( − n ) = i n ! 2 π ∮ C 1 ( − z ) n + 2 − z e z − 1 d z {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {in!}{2\pi }}\oint _{C}\!{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、
ζ ( − n ) = − i n ! 2 π 2 π i Res ( 1 ( − z ) n + 2 − z e z − 1 , 0 ) {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {in!}{2\pi }}\,2\pi i\operatorname {Res} \!{\biggl (}{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}},\,0{\biggr )}}
となるのでベルヌーイ数の定義から、
ζ ( − n ) = n ! ( − 1 ) n Res ( ∑ k = 1 ∞ B k k !
ζ ( 10 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 10 = π 10 93555 {\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}}
ζ ( 12 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 12 = 691 π 12 638512875 {\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}}
ζ ( 14 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 14 = 2 π 14 18243225 {\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}}
ζ ( 16 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 16 = 3617 π 10 325641566250 {\displaystyle \zeta (16)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{16}}}={\frac {3617\pi ^{10}}{325641566250}}}
ζ ( 18 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 18 = 43867 π 10 38979295480125 {\displaystyle \zeta (18)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{18}}}={\frac {43867\pi ^{10}}{38979295480125}}}