偏微分方程式の数値解法
偏微分方程式を数値的に解く技術の中で最も初歩的なものは差分法である。これは微分を差分で近似して解くというものである。
f ′ ( x ) ≃ f ( x + h ) − f ( x ) h , h << 1. {\displaystyle f^{\prime }(x)\simeq {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\quad h<<1.}
この方法で精度良く解けるということは少なからずあるが、万能な解法ではない。例えば
KdV方程式
mKdV方程式
ナビエ・ストークス方程式
非線形シュレディンガー方程式
などは非線形性によって差分法では精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため、有限要素法・有限体積法などのように差分法以外の方法が追求されると同時に、よりよい差分化を模索する動きが始まった。
これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの偏微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、ソリトン方程式に対する広田の方法やen:inverse scattering transform などを除いて、偏微分方程式を手計算だけで厳密に解く技術はほとんどないに等しい。そのため多くの研究者たちが偏微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた。