リースポテンシャル
数学におけるリースポテンシャル(英: Riesz potential)とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のリーマン=リウヴィル積分(英語版)は複数変数へと一般化される。
0 < α < n であるとき、R 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。
ただしこの定数は次で与えられる。
c α = π n / 2 2 α Γ ( α / 2 ) Γ ( ( n − α ) / 2 ) . {\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}
この特異積分(英語版)は、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ L(R)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式(ハーディ=リトルウッド=ソボレフ不等式(英語版))
‖ I α f ‖ p ∗ ≤ C p ‖ f ‖ p , p ∗ = n p n − α p {\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|f\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}}