複素指数函数
へ対応させる関数を純虚指数函数といい、右辺を "cos + i sin" の省略形として cis(x) で表す。このとき複素指数函数 exp は
exp(z) = exp(x)⋅cis(y)
と表される。これを複素指数函数の定義として採用することもある。
函数 cis: R → U は実数の加法群 R から絶対値 1 の複素数の乗法群 U への全射な連続指標であり、そのようなものの中で cis(2π) = 1(つまり周期 2π あるいは核 ker(cis) = 2πZ)のものとして特徴づけられる。
複素数 z = x + yi(x, y は実数)に対する複素指数函数は、
ガウス平面内の帯 B := {x + yi : −π < y < π} への制限 exp: B → F (F := C ∖ R≤0 (⊂ C*)) は一価の函数として全単射となり、F 上でこの函数の一価な逆函数として対数の主値 Log: F → B が定まる。この Log は正の実半軸 R>0 上の実函数としての自然対数函数 loge の F への解析的延長であり、特に z ∈ F に対して Log(z) = ∫1dζ/ζ を満たす。複素対数函数は Log の更なる延長として
で与えられるが、これは大域的には一価でなく、特異点 z = 0 を囲む閉曲線に沿った積分の寄与によって無限多価性を示す。それでも非零複素数 z に対して等式 exp(log(z)) = z は常に成り立つ(その意味では log はまだ exp の「逆函数」である)。