倒立振子
ラグランジュ方程式から運動方程式を導出することもできる。前掲の図のように、θ(t) を長さ l の振り子の直立位置からの変位角とし、作用する力は重力および x 方向への外力 F とする。 x(t) を台車の位置と定義すると、系のラグランジアン L = T − V は以下のように書ける。
L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g l cos  θ {\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }
ここで v1 は台車の速度、 v2 は質量 m の質点の速度とする。v1 および v2 は x と θ の導関数を用いて次のように書ける。
v 1 2 = x ̇ 2 {\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}
v 2 2 = ( d d t ( x − l sin  θ ) ) 2 + ( d d t ( l cos  θ ) ) 2 {\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}