対称微分
数学において、対称微分(たいしょうびぶん、英: symmetric derivative)とは、通常の微分を一般化した演算であり、次のように定義される。
lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h . {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}
極限をとらない形はしばしば対称差分商と呼ばれる。関数が点 x で対称微分可能であるとは、その点で対称微分が存在することである。
ある点で通常の意味で微分可能ならば対称微分可能であるが、その逆は必ずしも真ではない。よく知られた例として、絶対値関数 f(x) = |x| は点 x = 0で微分可能でないが、対称微分可能で 0 になる。微分可能関数において、対称差分商は通常の差分商よりも精度の高い数値微分(英語版)の近似となる。
与えられた点での対称微分係数は、その点における左微分係数と右微分係数が存在すればそれらの相加平均に等しくなる。
ロルの定理と平均値の定理はどちらも対称微分では成り立たないが、同様な弱い命題が成立することが証明されている。