フォン・マンゴルト関数
第二チェビシェフ関数 ψ(x) は、フォン・マンゴルト関数の総和的関数(sumamtory function)(英語版)となる:
ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log  p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}
チェビシェフ関数のメリン変換は、ペロンの公式を適用することで得られる:
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}
これは Re(s)> 1 の場合に成り立つ。