クリーネの不動点定理
これは f {\displaystyle f} のスコット連続性より次式の通り示される。(この式の最後の等号は ⊥ ⊑ f ( ⊥ ) {\displaystyle \bot \sqsubseteq f(\bot )} より成り立つ)
f ( sup ( M ) ) = f ( sup ( { ⊥ , f ( ⊥ ) , f ( f ( ⊥ ) ) , ... } ) ) = sup ( { f ( ⊥ ) , f ( f ( ⊥ ) ) , f ( f ( f ( ⊥ ) ) ) , ... } ) = sup ( M ) {\displaystyle f(\sup(\mathbb {M} ))=f(\sup(\{\bot ,f(\bot ),f(f(\bot )),\ldots \}))=\sup(\{f(\bot ),f(f(\bot )),f(f(f(\bot ))),\ldots \})=\sup(\mathbb {M} )}
最後に、 sup ( M ) {\displaystyle \sup(\mathbb {M} )} が f {\displaystyle f} の最小不動点であることを示す。 f {\displaystyle f} の任意の不動点 k {\displaystyle k} を取ると、 ⊥ {\displaystyle \bot } の最小性より ⊥ ⊑ k {\displaystyle \bot \sqsubseteq k} が成り立つ。