双球座標系
σ = arccos  ( r 2 − a 2 Q ) , τ = arsinh  ( 2 a z Q ) , φ = arctan  ( y x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\frac {r^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\frac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctan} \left({\frac {y}{x}}\right),\end{aligned}}}
で、 R = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} 、 Q = ( R 2 + a 2 ) 2 − ( 2 a z ) 2 {\displaystyle Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}} である。座標 σ {\displaystyle \sigma } は焦点 ( 0 , 0 , ± a ) {\displaystyle (0,0,\pm a)} で、 φ {\displaystyle \phi } は z 軸上で不定となる。
各座標の範囲は
σ ∈ [ 0 , π ] , τ ∈ ( − ∞ , ∞ ) , φ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}}
である。