多胞体
多面体の展開図が多面体の全ての多角形面が辺で繋がれた状態で同じ平面上に描かれるように、多胞体の全ての多面体胞を同じ一つの三次元空間上に面で繋げて描くことで多胞体の展開図が得られる。
H.S.M. Coxeter: H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins and J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954 Coxeter, H. S. M. (1973), Regular Polytopes (3rd ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61480-9
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit.
与えられた多胞体の位相はそのベッチ数およびねじれ係数(英語版)によって決定される。
多面体を特徴付けるために用いられるオイラー標数の値は、そのままでは高次元に対して意味を持たせることはできない(任意の多胞体に対して、その基礎にある位相が何であれ、その値は零である)。このようにオイラー標数が高次元の異なる位相を区別するのに不十分であったことが、より洗練されたベッチ数の発見に繋がった。
同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トロイダル多胞体のひねり面を特徴付けるのには不十分であったから、ねじれ係数が用いられるようになった。
1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1. https://books.google.com/books?id=oNy5MxGXLEwC&pg=PA598&dq=%22polychoron%22
↑ 例えば Coxeter 1973, p. 127
1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
↑ Weisstein, Eric W. "Polyhedral formula". mathworld.wolfram.com (英語).
↑ 宮崎興二『4次元図形百科』丸善出版、2020年、83頁。ISBN 978-4-621-30482-2。
四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものをいう。