ベズーの等式
ベズーの等式は体上の一変数多項式に対して整数に対してとちょうど全く同じようにうまくいく。とくにベズー係数と最大公約数は拡張されたユークリッドの互除法によって計算できる。
2つの多項式の共通根はそれらの最大公約数の根であるから、ベズーの等式と代数学の基本定理は次の結果を意味する:
体係数の一変数多項式 f と g に対して、多項式 a と b が存在して af + bg = 1 であることと、f と g が任意の代数的閉体(通例は複素数体)において共通根をもたないことが同値である。
この結果の任意個の多項式と不定元に対する一般化はヒルベルトの零点定理である。
仮定より m ∈ S および h ∈ S, qh ∈ S から r ∈ S。r は割り算の余りなので割る数 h より小さく、 これは h が S の最小の数であるという仮定に反する。すなわち S の要素はすべて h の倍数になっている。
ax + by の式で x = 1, y = 0 を代入すれば a となるから、a ∈ S、同様に b ∈ S。 ということは、a, b はともに h の倍数であり、h は a, b の公約数である。したがって a, b の最大公約数 g 以下であるから h ≦ g。......1
また a, b は g の倍数だから、a = a'g, b = b'g と置いて、ax + by = (a'x + b'y)g となり、S の要素は g の倍数である。 特に h ∈ S も g の倍数だから h ≧ g。......2
12より h = g、すなわち、ax + by = g(g は a, b の最大公約数)を満たす x, y が存在する。