Averaged t-matrix Approximation
これがATAにおける電子の状態密度の表式である。Imは複素数の虚数部分を取ること、Trはトレース(跡)を取ることである。
更に、ここでスペクトル密度a(q,E)を以下のように定義する(D0(E)からの寄与は省略)。
D ( E ) = ∑ q a ( q , E ) {\displaystyle D(E)=\sum _{\mathbf {q} }a(\mathbf {q} ,E)}
従って、スペクトル密度の表式は、
a ( q , E ) = 2 π I m T r T q A T [ ⟨ τ ⟩ − 1 { x τ A d τ A − 1 d E + y τ B d τ B − 1 d E } + d B q d E ] {\displaystyle a(\mathbf {q} ,E)={2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} T_{\mathbf {q} }^{AT}\left[{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}\left\{x\tau _{A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\tau _{B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}\right\}+{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]}
となる。ここで、qをk点に対応させると、スペクトル密度からバンド構造(E-k曲線)が得られる。