Ba空間
上述の三つの空間はすべて、全変動として定義される同一のノルムに関して完備(すなわちバナッハ空間)であり、したがって ca(Σ) は ba(Σ) の閉部分集合であり、また X 上のボレル集合代数 Σ に対して rca(X) は ca(Σ) の閉部分集合となる。Σ 上の単函数の空間は ba(Σ) において稠密である。
自然数の冪集合に対する ba-空間 ba(2) は、しばしば単に ba と表記される。これは l 空間の双対空間と位相同型である。
に同型である。これはすなわち、μ に関して絶対連続(以下、簡略化のため μ-a.c. と書く)な Σ 上の有限加法的符号付測度の空間である。
測度空間がさらに σ-有限ならば、L(μ) は L(μ) の双対となる。後者の空間は、ラドン–ニコディムの定理より、すべての可算加法的 μ-a.c. 測度の集合となる。言い換えると、二重双対に関する次の包含
L 1 ( μ ) ⊂ L 1 ( μ ) ∗ ∗ = L ∞ ( μ ) ∗ {\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}
は、すべての有限加法的 μ-a.c. 有界測度の空間の内側に可算加法的 μ-a.c. 有界測度の空間が含まれるという包含と同型である。