数学の哲学
だとすれば、そんな仕方で、陳腐な真実に基づいて数学の哲学を特徴づけるのは筋違いというものである。カール・ワイエルシュトラスのような数学者たちが諸定理を一から証明しようとしたとき、ライプニッツやニュートンの微積分法が再検討された。そこには一切特別なことも興味深いこともない。それはもっと一般的な、厳密でないものの考え方のトレンドと合致しているからであり、こうした考え方が後になって厳密化される。数学研究の対象と、数学研究の対象の研究とを明確に区別すべきである。おそらく前者は大幅に変化しない。後者は絶えず変動している。社会理論が論じるのは後者であり、プラトニズム等が論じるのは前者である。
しかし、社会構築主義的な立場の支持者からはこういう批判は門前払いされている。なぜならそうした批判は、数学の対象そのものが社会的構築物であることに気づいていないからである。社会構築主義によれば、こうした対象はなによりまず、人間の文化の領域に存在する記号学的な対象なのであり、(ウィトゲンシュタイン的に言えば)物理的形態を与えられた記号を用いて個体内に(心的な)構築物を生じさせるという社会的実践によって維持される。社会構築主義が考察しているのは、人間の文化の領域がプラトニズムの王国やその他の物理世界を超えた天国的な存在領域に物化されるということなのであり、それは長らく慣習的に続いてきたカテゴリー錯誤なのである。
20世紀の言語哲学の革新は、数学がしばしば言われるように科学の「言語」であるかどうかという問題への関心を新たにさせた。数学者や物理学者の多くは(また多くの哲学者も)「数学は言語である」という言明を正しいものと認めているが、言語学者は、この種の言明の意味を検討しなければならないと考えている。例えば、言語学が用いる道具は数学の記号体系全般には適用されない。すなわち数学は他の言語とは著しく異なる仕方で研究される。たとえ数学が言語であるとしても、それは自然言語とは異なるタイプの言語である。実際、数学という言語は明確かつ特定の意味を担わなくてはいけないから、言語学者が研究する自然言語よりも遥かに窮屈である。しかしながら、フレーゲとタルスキが数学的言語の研究のために案出した方法が、タルスキの学生であったリチャード・モンタギューや形式意味論の分野で研究している他の言語学者たちによって大幅に発展し、数学的言語と自然言語との違いは見かけほど大きくないかもしれないということを明らかにしている。
この立場は数学的対象の存在を経験の最善の説明として論じ、そのようにして、数学からそれを他の科学から区別しているものを剥ぎ取る。
パトナムは「プラトニスト」という言葉を、いかなる本当のいみでの数学的実践にも必要とされない特定の存在論を示唆する言葉として、強く拒否した。彼は一種の「純粋な実在論」(英: pure realism)を擁護した。それは、真理についての神秘的な考え方を拒否し、数学における準経験主義を大いに受け入れるものであった。彼は、「純粋な実在論」という言葉を生み出すことにかかわった(後述)。
数学についての経験主義的な見解へのもっとも重要な批判は、ミルに対して提起されたものとおおよそ同じである。もし数学が他の科学と同じだけ経験的ならば、そのことは数学の結果も他の科学の結果と同じだけ誤りやすく、同じだけ偶然的であることを意味している。ミルの場合は経験的正当化は無媒介的になされたが、クワインの場合は間接的で、科学理論全体の整合性(エドワード・オズボーン・ウィルソンのいうところのコンシリエンス)を通してなされる。クワインが指摘するところでは、数学が完全に確実なようにみえるのは、数学が演じている役割が我々の信念の網の非常に中央にあるからであり、それを修正することは我々にとって不可能ではないまでもとてつもなく困難だからである。 クワインとゲーデルのアプローチの欠点をそれぞれの面から克服しようと試みる数学の哲学については、ペネロプ・マディー (Penelope Maddy) の著書『数学における実在論』Realism in Mathematicsを参照せよ。
第2のやり方は算術の基本定理に関連するもっと直接的な証明法であるが、デイヴィスとハーシュによれば、これが問題の核心を衝くものである。つまり、第1の証明法より第2の証明法の方が問題の本質に近いがゆえに、数学者たちは後者の方を美的関心をそそられる。
ポール・エルデシュの有名な例では、最もエレガントないし最も美的な数学的証明が掲載された一冊の「本」があると仮定されている。結果として「最もエレガント」な証明が一つであるかどうかは、意見が分かれる。グレゴリー・チャイティンはこの考えに反対している。
数学者の美的感覚やエレガントさの感覚はどう見ても曖昧模糊としているという批判が哲学者たちによって何度も行われてきた。とはいえ、数学の哲学者も同様に、2つの証明がどちらも論理的に正しい場合、どちらかが他方より望ましいと言える理由は何かを探し求めてきた。
数学に関する美学のもう一つの側面は、非倫理的とか不穏当とされる目的のために数学を使うことができるということに対する数学者の見解である。この見解を説明したものの中で最も有名なのは、G・H・ハーディの著書『一数学者の弁明』に見出される。ハーディによれば、純粋数学は戦争その他の目的のために用いることができないがゆえに、応用数学よりも美的に優れている。
経験主義は実在論の一種であるが、数学がアプリオリに知られうるということを全く否定するものである。経験主義は、ちょうどすべての他の科学の事実がそうであるように、我々は経験的な探求によって数学的事実を発見する、とする。経験主義は、20世紀初頭に唱導された古典的な3つの立場とは別に、同世紀中葉に最初に成立した。ただし同様の見解は先駆的にはジョン・スチュワート・ミルが提起していた。ミルの見解は広く批判された。なぜなら、その見解に従えば、「2 + 2 = 4」のような言明でも不確実で偶然的な真理にすぎず、2個の事物が2組合わさると4つとなることを観察することによってしか学ぶことができないものとされてしまうからである。
クワインとパトナムによって定式化された現代の数学的経験主義の主な論拠は、不可欠性論法(英: indispensability argument)である。これは、数学は全ての経験科学にとって不可欠であり、もし我々がその科学によって記述される現象の実在性を信じたいのであれば、我々はその記述のために必要とされるそれらの事物の実在性もまた信じなくてはならない。つまり、電球があのように振舞うのは何故なのか述べるために物理学は電子に言及しなければならないのだから、電子は実在しているはずである。科学がその説明を提供するのに数について語る必要があるのだから、数は実在しているはずである。クワインとパトナムの哲学全体からは、これは自然主義的な議論である。
フォーク数学によって偉大な計算・測定の作業が行われることがある。実際、文化によっては証明とはこうした方法のことである場合もある。
かつてヒラリー・パトナムは、数学的実在論の立場にたつなら、どんな理論でも準経験論的方法を含まざるをえないと述べたことがある。パトナムによれば、はじめて数学をしてみた宇宙人は、まず準経験論的方法に頼るのであって、できれば厳密で公理的な証明は差し控えたいと思うのではないか、そして、それでもなお数学を行っていることになるのではないか、と想像している。ことによると、彼らが計算を誤る危険はほんの少し大きいかもしれないが。この点の詳細な論証はThomas Tymockzo (ed), New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology, 1998に掲載されたパトナムの論文"What Is Mathematical Truth?"を参照。