ルベーグの被覆補題
族 { V δ | δ > 0 } {\displaystyle \{V_{\delta }|\delta >0\}} もまた X {\displaystyle X} の開被覆である。 X {\displaystyle X} はコンパクトだから、 X {\displaystyle X} は有限個の V δ {\displaystyle V_{\delta }} の和に既に含まれている。また δ < δ ′ {\displaystyle \delta <\delta '} に対して V δ ⊇ V δ ′ {\displaystyle V_{\delta }\supseteq V_{\delta '}} となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} に対して X = V δ {\displaystyle X=V_{\delta }} が成り立つ。この δ {\displaystyle \delta } はルベーグ数である。
もし Y {\displaystyle Y} が δ {\displaystyle \delta } 未満の直径を持つ X {\displaystyle X} の部分集合なら、ある x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} に対して Y ⊆ B δ ( x 0 ) {\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})} となる。ここで B δ ( x 0 ) {\displaystyle B_{\delta }(x_{0})} は半径 δ {\displaystyle \delta } 中心 x 0 {\displaystyle x_{0}} の球を表す(よって x 0 {\displaystyle x_{0}} は Y {\displaystyle Y} の任意の点としてよい)。 f ( x 0 ) ≥ δ {\displaystyle f(x_{0})\geq \delta } であるから、少なくともひとつ i {\displaystyle i} が存在して d ( x 0 , C i ) ≥ δ {\displaystyle d(x_{0},C_{i})\geq \delta } が成り立つ。ところがこのことは B δ ( x 0 ) ⊆ A i {\displaystyle B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}} を意味し、したがってとくに Y ⊆ A i {\displaystyle Y\subseteq A_{i}} である。