モジュラー形式
奇数の k に対し、零関数しか第二の条件を満たさないことに注意する。
第三の条件は f が「カスプにおいて正則である」ということもできる。用語は以下で説明する。
第二の条件は、行列 S = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)} と T = ( 1 1 0 1 ) {\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)} で考えると、
f ( − 1 / z ) = z k f ( z ) {\displaystyle f(-1/z)=z^{k}f(z)\,}
と f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)\,}
であることが分かる。S と T はモジュラー群 SL(2,Z) を生成するので、上の第二の条件はこれら 2つの条件と同値である。
f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)}
であるので、モジュラー形式は周期 1 をもつ周期函数であり、従ってフーリエ級数展開を持つ。