重ね合わせの原理
線形系に対するごく一般的な入力を、単純な形式を持つ項の重ね合わせとして表現すると、応答が計算しやすくなることが多い。
例えば、フーリエ解析では入力を無限個の正弦関数の重ね合わせとして表現する。重ね合わせの原理が成り立つ場合、正弦関数を個別に解析してそれぞれの応答を計算することができる(この場合、応答は入力と等しい周波数を持つ正弦関数である。ただし、一般に振幅と位相は等しいとは限らない)。重ね合わせの原理により、入力全体に対する応答は個々の正弦波応答の総和(もしくは積分)で与えられる。
もう一つの例として、グリーン関数法においても、入力は無限個のインパルス関数の重ね合わせとして表され、これに対する応答はインパルス応答の重ね合わせとなる。
フーリエ解析は特に波動の解析に広く用いられている。例えば、電磁気学において、普通の光は平面波(周波数、偏光状態、進行方向が定まった波)が多数重ね合わされたものとして記述される。重ね合わせの原理が成り立つ限り(成り立たない場合については非線形光学を参照)、いかなる光の性質も、より単純な平面波の性質の重ね合わせとして理解することができる。
x, x1, x2は線型空間の要素(ベクトル)であり, a はスカラーである。入力に対して応答を対応付ける写像をFとすれば, 線型系の応答を表す写像は上の2式を満たす。
多くの物理系は線形系としてモデル化できるため、重ね合わせの原理が適用できる例は物理学・工学に数多い。たとえば、はりは荷重を入力、たわみを応答とする線形系としてモデル化できる。線形系は数学的に解析が容易だという点で重要性が高く、フーリエ変換やラプラス変換のような周波数領域への線形変換、線形作用素理論など、多数の数学的技法が適用可能である。ただし、物理系の線形性は近似的にしか成り立たないこともある。そのような場合は重ね合わせの原理は真の物理的振る舞いの近似でしかない。
重ね合わせの原理はいかなる線形系においても適用できる。代数方程式、線形微分方程式およびそれらの方程式系は一例である。入力と応答になりうるのは、数、関数、ベクトル、ベクトル場、時間変化する信号など、ベクトル空間の公理系を満たす数学的対象であれば何でもよい。ベクトルやベクトル場を問題にする場合、重ね合わせとはベクトル和を指す。