完全関手
SGA4, tome I, section 1 では左(右)完全関手の概念は、アーベル圏だけではなく一般の圏において定義されている。その定義は
Cを有限射影(resp. 入射)極限を持つ圏とする。このとき、Cから他の圏C′への関手 u が左(resp. 右)完全であるとは、射影(resp. 入射)極限と可換であることをいう。
抽象的であるにもかかわらず、この一般の定義は役に立つ結果を与える。例えば、1.8章で、Grothendieckは圏Cがある簡単な条件を満たすとき、関手がpro-representableであることと、左完全であることが同値であることを示している。
共変関手(加法的である必要はない)が左完全であるのは、有限極限を有限極限にうつすときであり、またそのときに限る。同様に右完全であるのは、有限余極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。反変関手が左完全であるのは、有限余極限を有限極限にうつすときであり、そのときに限る。同様に右完全であるのは、有限極限を有限余極限にうつすときであり、そのときに限る。関手が完全であるのは左完全かつ右完全のときであり、そのときに限る。
左完全関手の完全関手にならなさの度合いは右導来関手で測ることができる。同様に右完全関手の場合は左導来関手で測ることができる。
次の事実があるため、左完全関手と右完全関手はありふれた概念である。関手Fが関手Gの左随伴であるならば、Fは右完全であり、Gは左完全である。