ポアソン核
その結果得られる積 {rfk} に逆フーリエ変換を施すことで、次のような f のアーベル平均 A r f {\displaystyle A_{r}f} が得られる:
A r f ( e 2 π i x ) = ∑ k ∈ Z f k r | k | e 2 π i k x . {\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbf {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}
この絶対収束級数を再び整理することで、f は D 上のある正則函数 g と反正則函数 h の和 g + h の境界値であることが示される。
調和函数が正則であるためには、解はハーディ空間の元であることとなる。これは f の負のフーリエ係数がすべて消失する場合に真となる。特に、ポアソン核は単位円板上のハーディ空間と単位円の同値性を論証する上で一般に用いられる。
H(z) 内の函数の T 上の極限であるような函数の空間は、H(T) と呼ばれることがある。これは(少なくとも p≥1 に対して)L(T) の閉部分空間である。L(T) は(1 ≤ p ≤ ∞ に対して)バナッハ空間であるため、H(T) もまたバナッハ空間である。