モジュラー群
モジュラー群 Γ は H 上に PSL(2, R) の離散部分群(discrete subgroup)として作用する、つまり、H の各々の 元 z に対して、z の近傍をとり、z の軌道の他の元を含まないようにすることができる。このことはまた、基本領域(英語版)を構成することができることを意味する。(大まかには、)基本領域は H の中のすべての z の軌道からちょうど一つづつの代表元を選ぶことで構成することができる。(領域の境界に注意が必要である。)
基本領域を構成する方法は多数あるが、すべてに共通なことは、領域
R = { z ∈ H : | z | > 1 , | Re ( z ) | < 1 2 } {\displaystyle R=\left\{z\in \mathbf {H} :\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}
は、垂直線 Re(z) = 1/2 と Re(z) = −1/2 と円 |z| = 1 により囲まれていることであり、双曲三角形である。また、頂点 1/2 + i√3/2 と −1/2 + i√3/2 を持ち、辺どうしのなす角度が π/3 であり、三番目の頂点が無限点では、辺どうしのなす角度が 0 である。