超実数
実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。
しかしながら、移行原理は、R と *R とが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、*R において、次のような性質をもつ元 ω が存在する(即ち *R は非アルキメデス的である):
1 < ω , 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 + 1 < ω , ... . {\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}
しかし、R にはそのような元は存在しない。これは、ω が存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。