リー環のコホモロジー
体 k 上のLie環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の左 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 M に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 H o m k ( Λ ∗ g , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)} を用いて計算できる。この複体の n-コチェインは M に値を持つ n 変数の交代 k-多重線型関数 f : Λ n g → M {\displaystyle f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M} である。n コチェインのコバウンダリは次で与えられる (n + 1)-コチェイン δf である:
( δ f ) ( x 1 , ...
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を可換環 R 上のリー環、 U g {\displaystyle U{\mathfrak {g}}} をその普遍包絡環とし、M を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現とする(同じことだが U g {\displaystyle U{\mathfrak {g}}} -加群とする)。R を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自明表現と考え、コホモロジー群
H n ( g ; M ) := E x t U g n ( R , M ) {\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}
を定義する(Ext の定義は Ext関手を参照)。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手