マイヤーの関係式
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ p ∂ T ) V − p {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}
を用いれば
C p − C V = T ( ∂ p ∂ T ) V ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
となる。
理想気体の状態方程式 p = nRT/V を T, V を独立変数として T で偏微分すれば
( ∂ p ∂ T ) V = n R V {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}}
であり、V = nRT/p を T, p を独立変数として T で偏微分すれば
( ∂ V ∂ T ) p = n R p {\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {nR}{p}}}
であるので、これらを用いれば
C p − C V = n R {\displaystyle C_{p}-C_{V}=nR}
が導かれる。