KMS状態
が、任意の2つの作用素 A と B 及び任意の実数 τ に対して与えられる(すべて有限次元のヒルベルト空間を前提とする)。ここでは密度行列が任意の (H-μN) の函数と可換であり、トレースが巡回的可換であるという事実を使う。
最初に示唆したように、無限次元ヒルベルト空間では、相転移、自発的な対称性の破れ、トレースクラスではない作用素、分散函数の発散というような、多くの問題に直面する。
z の複素函数 ⟨ α z μ ( A ) B ⟩ {\displaystyle \langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\rangle } は複素数の帯状境域 − β < I z < 0 {\displaystyle -\beta <\Im {z}<0} で収束し、一方、もし H-μN のスペクトルは下から有界であること、密度が指数函数的に増加しない(ハゲドーン温度(英語版)(Hagedorn temperature)参照)というような技術的な仮定を設けると ⟨ B α z μ ( A ) ⟩ {\displaystyle \langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\rangle } は帯状領域 0 < I z < β {\displaystyle 0<\Im {z}<\beta } で収束する。