電磁ポテンシャル
つぎのように電場Eと磁場Bを導く電気スカラーポテンシャル φ ( t , x ) {\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})} と磁気ベクトルポテンシャル A ( t , x ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {x}})} が定義される。
(M0-a) : E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}
(M0-b) : B = ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}}
静電場や磁場変動無しの静磁場ではA=0でスカラポテンシャルΦのみで電場Eが与えられる。このときのΦを電位という。
∇ 2 A = − μ 0 j {\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}
となり、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャル共にポアソン方程式の形になる。
積分で表すとゲージの不定性を除いて以下のように書ける。
φ ( x ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( x ′ ) | x − x ′ | d 3 x ′ {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {x}}')}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'}
A ( x ) = μ 0 4 π ∫ j ( x ′ ) | x − x ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {x}}')}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'}
ただし、積分領域としては電荷密度、電流密度が存在する範囲全てである。
この方法を用いてポテンシャルを求める場合には、電荷・電流密度の全領域における分布を知る必要がある(境界条件など、他の条件がある場合にはこの限りではない)。
相対論的電磁ポテンシャルは次の4元ベクトルで表される。
A μ = ( φ / c , A ) , A μ = η μ ν A ν = ( − φ / c , A ) {\displaystyle A^{\mu }=(\phi /c,{\boldsymbol {A}}),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=(-\phi /c,{\boldsymbol {A}})}
これを用いると電磁場の定義式(M0)は
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
となる。この F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} 電磁場テンソルと呼ばれる。 Fの成分は、次のように電場と磁場の各軸成分と対応している。
( E 1 , E 2 , E 3 ) / c = ( F 10 , F 20 , F 30 ) , ( B 1 , B 2 , B 3 ) = ( F 23 , F 31 , F 12 ) {\displaystyle (E_{1},E_{2},E_{3})/c=(F_{10},F_{20},F_{30}),~(B_{1},B_{2},B_{3})=(F_{23},F_{31},F_{12})}