交代行列
線型代数学において、交代行列(こうたいぎょうれつ、英: alternating matrix)、歪対称行列(わいたいしょうぎょうれつ、英: skew-symmetric matrix)または反対称行列(はんたいしょうぎょうれつ、英: antisymmetric matrix, antimetric matrix; 反称行列)は、正方行列 A であってその転置 A が自身の −1 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる。
例えば行列
[ 0 2 − 1 − 2 0 − 4 + i 1 4 − i 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4+i\\1&4-i&0\end{bmatrix}}}
は交代行列である。
交代行列と類似の反対称性を持つ行列として、歪エルミート行列がある。これはエルミート共役(転置複素共役)に対して反対称である。また、エルミート共役に対して対称な行列はエルミート行列と呼ばれる。実数の行列に対してはエルミート共役も転置も同じ操作になるので、実交代行列は実歪エルミート行列でもある。
交代行列は自身の転置が行列の反元になるものをいうが、自身の転置が乗法逆元、すなわち逆行列になる行列を直交行列という。また、エルミート共役が逆行列になる行列をユニタリー行列という。