ウェアリングの問題
また、1959年には特定はできないある定数 C と十分に大きな k に対し、次の評価式が成り立つことを示した。
G ( k ) ≤ k ( 2 log  k + 2 log  log  k + C log  log  log  k ) {\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}
アナトリー・カラツバ(英語版)(Anatolii Alexeevitch Karatsuba)は、ハーディ・リトルウッド・ヴィノグラードフの方法をp-進の形で三角和の評価へ適用し、和が小さな因子を持つ数を渡って取られるようにすることで、1985年にハーディ函数 G ( k ) {\displaystyle G(k)} ( k ≥ 400 {\displaystyle k\geq 400} に対して)の新しい評価式を得た。
G ( k ) < 2 k log  k + 2 k log  log  k + 12 k {\displaystyle \!G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k}
1989年にはヴォーンによりさらなる精密化がなされた。
また、ウーレイはある定数 C に対して、次の評価式が成り立つことを示した。
G ( k ) ≤ k log  k + k log  log  k + C k {\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck}
ヴォーンとウーレイは、包括的なサーベイ論文を書いた。