ロジスティック写像
この当時、「カオス」という言葉もまだ使われていないが、ウラムとフォン・ノイマンは非線形関数による複雑な数列の生成にすでに注目していたといえる。また、ウラムとフォン・ノイマンのレポートでは、写像 (7-2) とテント写像が位相共役の関係にあることや、この写像の数列の不変測度が式 (3-17) で与えられることも明らかにした。
その後、任意のパラメータ a を備えた形式の2次写像についても、詳細な調査がいくつかあった。1958年から1963年にかけて、フィンランドの数学者ペッカ・ミュルバーク(フィンランド語版) は、λ をパラメータとする
という形式の2次写像の分岐現象を調べた。この一連の研究は力学系として本質的なもので、ミュルバークは、この写像の周期倍加分岐カスケードを調査して集積点 λ = 1.401155189... の存在も示している。他には、1964年のソビエトのオレクサンドル・シャルコフスキー(ウクライナ語版)、1969年のフランスのイーゴリ・グモウスキーとクリスチャン・ミラ 、1973年のニコラス・メトロポリス(英語版)らの仕事などが、ロジスティック写像のような単純な1変数差分方程式の異常な振る舞いを明らかにしている。
松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
森 肇・蔵本 由紀、1994、『散逸構造とカオス』、岩波書店 ISBN 4-00-010445-4
J. M. T. Thompson; H. B. Stewart、武者 利光(監訳)、橋口 住久(訳)、1988、『非線形力学とカオス ―技術者・科学者のための幾何学的手法』第1版、オーム社 ISBN 4-274-07431-5
E. Atlee Jackson、田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真(訳)、1994、『非線形力学の展望I ―カオスとゆらぎ』初版、共立出版 ISBN 4-320-03325-6
E. Atlee Jackson、田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真(訳)、1995、『非線形力学の展望II ―複雑さと構造』初版、共立出版 ISBN 4-320-03326-4
ロバート・L・デバニー、上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一(訳)、2007、『カオス力学系の基礎』新装版、ピアソン・エデュケーション ISBN 978-4-89471-028-3
丹羽 敏雄、1999、『数学は世界を解明できるか ―カオスと予定調和』再版、中央公論新社〈中公新書〉 ISBN 4-12-101475-8
山口 昌哉、1996、『カオス入門』初版、朝倉書店〈カオス全書1〉 ISBN 4-254-12671-9
しかし、このカオスは不安定であるため、安定な周期軌道のみが観測される。窓の領域では、軌道が初期値から安定周期軌道に吸引されるまでに、この潜在的なカオスが現れる。このようなカオスを過渡カオスと呼ぶ。このようにカオスが潜在的に存在している点において、窓は a∞ より前で現れた周期軌道とは異なる。
窓の数は、a∞ < a < 4 の範囲に無限個ある。それらの窓の周期は様々で、3 以上の全ての自然数に対応する周期の窓が存在する。しかし、各周期の窓がそれぞれ1回ずつ発生するわけではない。p の値が大きいほどその周期の窓は多く繰り返し発生する。周期3の窓は1回きりで、例えば周期13の窓は315 回発生する。その周期3の窓で3周期軌道が生じるとシャルコフスキー順序が完成し、全ての周期の軌道がそれで一通り出現し終える。
p が素数の場合に限定すると、周期 p の窓の個数は
という式で計算できる。この式は p を素数に限定して導出されたものだが、実際のところ、素数でない p の安定 p 周期点の数についても良い精度で計算できる。
窓の幅(窓が始まる a と窓が終わる a の差)は、周期3の窓が最も広く、周期が大きいほど幅は狭まっていく。例えば、周期13の窓の幅は 3.13 × 10 程度である。概算によると、[a∞, 4] の内のおよそ 10% が窓の領域で、残りがカオス軌道が支配する領域となっている。
を作るのではなく、適当な τ > 1 回反復ごとに数列 x0, xτ, x2τ, ... を作る必要がある。例えば、1番の方法に対しては τ > 10 または τ > 13 で、2番の方法に対しては τ > 16 で良好な擬似乱数が得られるといわれる。
コンピュータを用いてデジタルにカオスを計算する一般的問題として、コンピュータでは有限計算精度で計算するため、カオス本来の真に非周期な数列を原理的に得ることができず代わりに有限の周期列が出力されるという問題点がある。原理的に非周期列が得られない場合であっても、擬似乱数生成のためにはできるだけ長い周期の数列が望ましい。しかし、単精度浮動小数点数計算でロジスティック写像 fa=4 が実際に出力する数列の周期性を調べた結果によると、割り当てられたビット数から可能な最大周期に比べて実際に出力される数列の周期はとても小さくなることが報告されており、この観点からメルセンヌ・ツイスタのような既存の擬似乱数生成器に比べてロジスティック写像による擬似乱数生成は劣ると指摘されている。また、ロジスティック写像 fa=4 では、計算途中で数値が不動点 0 に落ち入り、そのまま一定値になるおそれもある。一方で、ロジスティック写像では、開区間 (0, 1) の中で常に値を取るので、浮動小数点だけでなく固定小数点でも問題無く計算でき、固定小数点計算の利点を享受できる。固定小数点であれば、同じビット数で比較して浮動小数点よりも長い周期の数列になることや意図しない 0 への収束が無くせることが指摘されている。