カントール関数
max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n + 1 ( x ) − f n ( x ) | ≤ 1 2 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n ( x ) − f n − 1 ( x ) | {\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|}
すなわち
max x ∈ [ 0 , 1 ] | f n + 1 ( x ) − f n ( x ) | ≤ 2 − n max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|}
が成り立つ。よって、各 x ∈ [0, 1] と m > n ≥ 1 について次式が成り立つ。
カントール関数は、関数の連続性や測度に関して直感に反する例として有名である。 カントール関数は定義域 [0, 1] 全域において連続であり、かつほとんど至るところでその微分係数の値が 0 であるにもかかわらず、関数は 0 から 1 までのすべての値を連続的にとる。 カントール関数は一様連続(より正確に書くと指数 log  2 / log  3 {\displaystyle \log 2/\log 3} のヘルダー連続) ではあるが絶対連続ではない例として最も代表的な例である。
カントール関数は、カントール集合 C に属さない任意の点 x ∉ C {\displaystyle x\not \in C} の近傍で定数関数である、すなわち微分可能であって微分係数の値が 0 である。その一方で、カントール関数は非可算無限個の微分不可能点を持ち、それらはいずれもカントール集合上の点である。例えば、三進小数を用いて ( 0. x 1 x 2 x 3 ... x n 0222 ... , 0. x 1 x 2 x 3 ... x n 2 ) ⊆ [ 0 , 1 ] ∖ C {\displaystyle (0.x_{1}x_{2}x_{3}\ldots x_{n}0222\ldots ,0.