分数階微積分学
である。また、階乗函数を用いる代わりに(Γ(n + 1) = n! あるいは同じことだが Γ(n) = (n − 1)! の関係にある)ガンマ函数に置き換えれば、
( J n f ) ( x ) = d − n d x − n f ( x ) = 1 Γ ( n ) ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{n}f)(x)={d^{-n} \over dx^{-n}}f(x)={1 \over \Gamma (n)}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt}
とも表せる。これを用いれば直接に n が実数だけでなく複素数である場合にまで一般化することができる。すなわち、ガンマ函数を複素数の範囲まで広げることにより、積分作用素を「分数(負の整数を除く複素数)階適用する」作用素の自然な候補として
古典的な形での分数階微分積分学は、リーマン-リウヴィル積分によって与えられるもので、これは本質的には上で述べたような内容のものである。また、一定周期ごとに繰り返すという「境界条件」を課せば、周期関数に対する理論であるワイル微積分(英語版)が考えられる。これはフーリエ級数に対して定義され、一定のフーリエ係数が消えている(したがって単位円上の積分して 0になるような函数に適用できる)ことを要請する。
a D t − α f ( t ) = a I t α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ a t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle _{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )d\tau }
対して、グリュンバルト-レトニコフ微分(英語版) は積分の代わりに微分から始める理論である。
ラプラス変換に関する話として分数階微積分の問題を考えることもできる。
L { J f } ( s ) = L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } ( s ) = 1 s ( L { f } ) ( s ) , L { J 2 f } = 1 s ( L { J f } ) ( s ) = 1 s 2 ( L { f } ) ( s ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s),\\{\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{Jf\right\})(s)={\frac {1}{s^{2}}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)\end{aligned}}}
などが成立することに注意して、ここでは