スペクトル系列
E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} がこのスペクトル系列の収束先(abutment)の自然な候補である。収束は自動的には従わないが、それでも多くの場合に収束する。特に、フィルトレーションが有限で、ちょうど r 個の非自明なステップからなる場合には、スペクトル系列は r 番目のシートの後で退化する。また、複体とフィルトレーションがともに下、もしくは上に有界ならば、収束する。
考えているスペクトル系列の収束先(abutment)をより詳細に記述するために、次の表示
Z ∞ p , q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p , q = ⋂ r = 0 ∞ ker  ( F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 ) {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}
フィルターつき複体のスペクトル系列を使って、長完全系列の存在を導くことができる。双対鎖複体の短完全系列 0 → A → B → C → 0 を一つとり、最初の写像を f : A → B とする。この系列のホモロジーを取って、自然な写像 H(A) → H(B) → H(C) が得られ、これは真ん中の部分で完全であることは知っている。フィルターつき複体のスペクトル系列を使ってこれの連結準同型を見つけ、そうやってできる列が完全であることを証明しよう。まず、B のフィルターを
F 0 B n = B n {\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}}
F 1 B n = A n {\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}}
F 2 B n = 0 {\displaystyle F^{2}B^{n}=0}
で定義する。定義から、
E 0 p , q = F p B p + q F p + 1 B p + q = { 0 if p < 0 or p > 1 C q if p = 0 A q + 1 if p = 1 {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}}
これから、 F n H q = H q {\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}} であるから、
0 → E 0 , q ∞ → H q → E n , q − n ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0}
となる。これは完全系列
0 → H q ( F ) → H q ( E ) → H q − n ( F ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0}
である。以上の計算を全てまとめると、
⋯ → H q ( F ) → i ∗ H q ( E ) → H q − n ( F ) → d H q − 1 ( F ) → i ∗ H q − 1 ( E ) → H q − n − 1 ( F ) → ... {\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots }
がわかった。(ギシン列(英語版) も同じ方法で得られる。)
これらの写像の決定を基礎として、セール・スペクトル系列(英語版)における多くの微分を計算できる。例えば、転入写像は微分
d n : E n , 0 n → E 0 , n − 1 n {\displaystyle d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}}
をホモロジー的なスペクトル系列に対して決定し、これをファイブレーション F → E → B {\displaystyle F\to E\to B} についてのセール・スペクトル系列に適用すると
d n : H n ( B ) → H n − 1 ( F ) {\displaystyle d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)}
が得られる。
スペクトル系列(スペクトルけいれつ、英: Spectral sequence)とは、ホモロジー代数学や代数的位相幾何学で用いられる、ホモロジー群を逐次近似により計算する方法のことである。スペクトル系列は完全系列の一般化であり、ジャン・ルレイによって初めて用いられたときから、特に代数的位相幾何学、代数幾何学、ホモロジー代数学といった分野において重要な計算ツールとなっている。