進化的安定戦略
.. , p n − 1 / p n ) {\displaystyle \{(p_{1},\ldots ,p_{n})\in \Delta _{n}|p_{n}>0\}\to \mathbf {R} _{>0}{}^{n-1},~~(p_{1},\ldots ,p_{n})\mapsto (p_{1}/p_{n},\ldots ,p_{n-1}/p_{n})}
により、行列 A = ( a i j ) i , j {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j}} により記述される行列ゲームの連続レプリケーター方程式(Eq-R2)の解は一般化されたロトカ・ヴォルテラの方程式
d y i d t ( t ) = y i ( t ) ( r i + ∑ j = 1 n − 1 c i j y j ( t ) ) for i = 1 , ... , n − 1 {\displaystyle {\mathrm {d} y_{i} \over \mathrm {d} t}(t)=y_{i}(t)(r_{i}+\textstyle \sum _{j=1}^{n-1}c_{ij}y_{j}(t))~~~~{\text{for }}i=1,\ldots ,n-1}
の解に写る。ここで
r i = a i n − a n n , c i j = a i j − a n j {\displaystyle r_{i}=a_{in}-a_{nn},~~c_{ij}=a_{ij}-a_{nj}}
下に上げたのは、前述したタカ戦略、ハト戦略からなる進化ゲーム(タカハトゲーム)の利得表である:
ここでVは2個体が争っている資源(例えば餌)を得た時に得られる利得を表し、Cは闘争によって怪我を追う事による損失を表す。
また利得表で縦軸は個体Aの取る戦略、横軸は個体Bの戦略であり、表内の (○, △)は、A、Bの利得がそれぞれ○、△である事を意味する。例えば表の左下のマスにかかれている(0,V)は個体Aがハト戦略、個体Bがタカ戦略を撮った時、A、Bの利得がそれぞれ0、Vである事を意味する。表の左上と右下で値が2で割られているのは、2個体で資源を分け合った為である。
なので、行列ゲームにおける連続レプリケーター方程式は
d p i d t ( t ) = ( ( A p ( t ) ) i − p ( t ) T A p ( t ) ) p i ( t ) for i = 1 , ... , n {\displaystyle {\mathrm {d} p_{i} \over \mathrm {d} t}(t)=((A\mathbf {p} (t))_{i}-\mathbf {p} (t)^{T}A\mathbf {p} (t))p_{i}(t)~~~~~~{\text{for }}i=1,\ldots ,n} ...(Eq-R2)
と記述できる。ここで p ( t ) T {\displaystyle \mathbf {p} (t)^{T}} は p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} を転置した横ベクトルである。
{ ( p i ) i = 1 , ... , n | p i = 0 } {\displaystyle \{(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}|p_{i}=0\}}
が保存される事を簡単に示せるので、以下が明らかに従う:
定理R1 ― (Eq-R2)の初期値 p ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (0)} が Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} の境界
∂ Δ n = { ( p i ) i = 1 , ... , n | 0 ≤ p 1 , ... , p n ≤ 1 , ∑ i = 1 n p i = 1 , ∃ i ∈ { 1 , ... , n } : p i = 0 } {\displaystyle \partial \Delta _{n}=\left\{(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}{\Bigg |}0\leq p_{1},\ldots ,p_{n}\leq 1,~\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1,\exists i\in \{1,\ldots ,n\}~:~p_{i}=0\right\}}
に属していれば任意の時刻tに対し、 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} は ∂ Δ n {\displaystyle \partial \Delta _{n}} に属している。
ここから明らかに次の系が従う:
p 0 ∈ Δ n ∘ {\displaystyle \mathbf {p} _{0}\in \Delta _{n}{}^{\circ }} が(Eq-R2)の何らかの解 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} の極限 p ( t ) → p 0 {\displaystyle \mathbf {p} (t)\to \mathbf {p} _{0}} であれば、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は行列ゲームのナッシュ均衡点である
p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が安定点であれば、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は行列ゲームのナッシュ均衡点である
すでに述べたように行列ゲームにおいては
狭義ナッシュ均衡⇒進化的安定⇒ナッシュ均衡
という関係性が成立するので、上述の定理から連続レプリケーター方程式の解と進化的安定性との関係がある程度わかる事になる。
また以下も成立する:
定理R7 ― 定理R6と同様の状況の元、
p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が進化的安定であれば、漸近的に安定である
p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が進化的安定でしかも Δ n ∘ {\displaystyle \Delta _{n}{}^{\circ }} に属していれば、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は大域的に安定である
連続レプリケーター方程式を定式化する為、離散レプリケーター方程式の節の2~4の仮定と以下の1'の仮定を満たす個体群を考える:
1'. 個体数が十分大きいため世代がオーバーラップし、連続的な時間によって個体群の戦略の頻度分布を記述できる
前節同様、(純粋)戦略iを取る個体の割合を p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} と表記し、 p ( t ) = ( p 1 ( t ) , ... , p n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)=(p_{1}(t),\ldots ,p_{n}(t))} とし、この個体群で戦略iを取る各個体の利得を f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} と表記する。
利得 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} に関して前節のものと似た以下の仮定を置く:
この個体群で時刻tにおいて戦略iを取る個体の増加率は利得 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} に等しい
個体群に属する個体数が十分に大きいと仮定しているので、個体数N(t)はtに関して微分可能な連続量であるとみなして差し支えないので、 N i ( t ) = p i ( t ) N ( t ) {\displaystyle N_{i}(t)=p_{i}(t)N(t)} とすると、上述の仮定から、
混合戦略を取る個体の利得は、純粋戦略に対する利得の期待値として定義される。すなわち、各個体が取りうる純粋戦略に1,..., n と番号をつけ、純粋戦略iを取る確率がpiである混合戦略を ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle (p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} と書く事にすると、個体P 、Qがそれぞれ混合戦略 σ = ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma =(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} 、 ξ = ( q i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \xi =(q_{i})_{i=1,\ldots ,n}} を取る際のPの利得は、
E ( σ , τ ) = ∑ i , j p i q j E ( i , j ) {\displaystyle E(\sigma ,\tau )=\sum _{i,j}p_{i}q_{j}E(i,j)}
により定義される。
Π = ε δ σ + ( 1 − ε ) δ τ {\displaystyle \Pi =\varepsilon \delta _{\sigma }+(1-\varepsilon )\delta _{\tau }}
と書けるとき、Pの対戦相手Qの戦略は確率εでσであり、確率1-εでτである。行列ゲームはk回行われるが、我々は個体群Πには無限に多い個体が含まれていると仮定していたので(前述)、Pが同一の個体と複数回ゲームを行う事はありえない。よってk回の行列ゲームの平均利得 E ( σ , Π ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\Pi )} は明らかに
E ( σ , ε δ σ + ( 1 − ε ) δ τ ) = 1 k ∑ i = 1 k ( ε E ( σ , σ ) + ( 1 − ε ) E ( σ , τ ) ) = E ( σ , ε σ + ( 1 − ε ) τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\varepsilon \delta _{\sigma }+(1-\varepsilon )\delta _{\tau })={1 \over k}\sum _{i=1}^{k}\left(\varepsilon E(\sigma ,\sigma )+(1-\varepsilon )E(\sigma ,\tau )\right)=E(\sigma ,\varepsilon \sigma +(1-\varepsilon )\tau )}