ラグランジュの定理 (群論)
p ≧ 2 より、群 G の単位元 e 以外の元を x とすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 G の部分群になるから、その位数 |⟨x⟩| は素数 p の約数になる。したがって、|⟨x⟩| = 1 または |⟨x⟩| = p になる。|⟨x⟩| = 1 の場合は、x = e となり不適。|⟨x⟩| = p の場合は群 G の位数と等しくなるので、G = ⟨x⟩ となり題意は示された。
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G = A4 が位数6である部分群をもたないので、(群 G の位数が最小の)反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d = np を考えると、位数 np の部分群(シロー部分群)が存在する。もうすこし一般に d が np を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる。(コーシーの定理も参照のこと。)