概複素構造
ベクトル空間 V 上の複素構造より V が V と V( +i と -i に対応するそれぞれの J の固有値)へ分解するように、M 上の概複素構造により、複素化された接バンドル TM(各々の点での複素化された接空間のベクトルバンドル) は TM と TM へと分解する。TM の切断はタイプ (1, 0) のベクトル場と呼ばれ、一方、TM はタイプ (0, 1) のベクトル場と呼ばれる。このように J は 複素化された接バンドルの (1, 0)-ベクトル場上の i と (0, 1)-ベクトル場上の -i を掛けることに対応する。
余接バンドル上の外積代数から微分形式を作ったように、複素化された余接バンドルの外積代数を作ることができる(複素化された接バンドルの双対空間のバンドルに標準的に同型である)。概複素構造より r-形式のそれぞれの空間の分解を次の式のように導くことができる。
Ω r ( M ) C = ⨁ p + q = r Ω ( p , q ) ( M ) . {\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).}
言い換えると、各々の Ω(M) は、各々の r = p + q に対し Ω(M) への分解する。
任意の直和(英語版)に対し、Ω(M) から Ω への標準的な射影が存在する。
{\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].}
右辺の個別の表現は、滑らかなベクトル場 X と Y の選択に依存しているが、左辺は実際、X と Y の点の値にのみ依存している。これが NA がテンソルである理由である。このことは次の成分公式からも明らかである。
− ( N A ) i j k = A i m ∂ m A j k − A j m ∂ m A i k − A m k ( ∂ i A j m − ∂ j A i m ) . {\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}
ベクトル場のリー括弧を一般化したフローリッヒ・ナイエンハンスの括弧(英語版)(Frölicher–Nijenhuis bracket)の項で、ナイエンハンステンソル NA はちょうど [A, A] の半分である。
ニューランダー・ニレンベルグの定理(Newlander–Nirenberg theorem)は、概複素構造 J が可積分であることと、NJ = 0 であることは同値であることを言っている。