符号 (数学)
大抵の場合は零は正でも負でもないという規約が採用されるから、その場合未知の数の符号に関して以下のような用語法に従うことになる。
数が正とは、それが零より大きいときに言う。
数が負とは、それが零より小さいときに言う。
数が非負とは、それが零以上であるときに言う。
数が非正とは、それが零以下であるときに言う。
したがって、非負の数とは正の数または零のことであり、非正の数とは負の数または零のことを言う。例えば、実数の絶対値は常に非負であって、それは必ずしも正である必要はない。
同様の用語法はしばしば実数値または整数値の函数に対しても用いられる。例えば、函数が正(あるいは正値)とはその取りうる値が全て正であるときに言い、同じく非負(あるいは半正値)とはその取りうる値が全て非負なるときに言う。
量 x が時間とともに変化するとき、x の値の変化量(増分あるいは差分)は典型的には、等式
で定義される。
この規約のもと、x が増加するならば正の変化量、減少するならば負の変化量として勘定する。微分積分学において同様の規約を微分の定義において用いると、結果として任意の増大函数は正の微分係数を持ち、減少函数は負の微分係数を持つ。
任意の数は複数の属性 (attribute) を持つ(例えば、値、符号、大きさなど)。実数が正であるとは、その値(大きさではない)が零より大きいときに言い、負であるとは零より小さいときに言う。正または負の何れであるかという属性をその数の符号と呼ぶ。この場合、零それ自身は符号を持つとは考えられない。また、複素数に対してその符号を定義することはできないが、偏角はある意味で符号の一般化と考えられる。
算術その他の分野で用いられる一般的な数の記法において、数の符号はその数に + や − を前置することで表される。例えば、+3 は「正の3」であり、−3 は「負の3」である。数値に符号を前置しない場合は、標準的な解釈としてその数は正である。この記法や負の数を減法を通じて定義するという理由から、負号は負符号を持つ負の数と強く結びつけられ、同様に正号は正の数と結び付けられる。
代数学において負号は加法逆元をとる操作(しばしば「符号反転」と呼ぶ)を表すものと見なされる。正の数の加法逆元は負の数であり、負の数の加法逆元は正の数となる。この文脈において −(−3) = +3 と書くことは意味を持つ。
任意の非零実数は絶対値を用いて正にすることができる。例えば −3 の絶対値も 3 の絶対値もともに 3 に等しい。記号で書けば |−3| = 3, |3| = 3 と書ける。