方法 (アルキメデスの著書)
右図の放物線を考える。放物線上の2つの点を選び、それぞれAとBとする。
線分ACが放物線の対称軸に平行であるとする。さらに線分BCがBで放物線に接する線上にあるとすると、最初の命題は次のようになる。
三角形ABCの面積は、放物線と割線ABで囲まれる領域の面積のちょうど3倍である。
証明:
DをACの中点とする。JからDまでの距離がBからDまでの距離と等しくなるように、Dを通る線分JBを作る。ここでは線分JBをDを支点とする「てこ」と考える。アルキメデスがそれより前に示したように、三角形の質量中心はDI :DB = 1:3である「てこ」上の点Iにある。それゆえ、三角形の内側の全重量がIに、放物線の全重量がJにある場合、てこが均衡状態にあることを示せば十分である。
点HがBC上にあり、点EがAB上にあり、放物線の対称軸に平行である線分HEにより与えられる三角形の無限に小さい断面を考える。HEと放物線の交点をF、HEとてこの交点をGとする。三角形の全重量がIにかかれば、HEにかかっているのと同じトルクがてこJBにかかる。したがって、断面HEの重量がGに、放物線の断面EFの重量がJにある場合、てこが均衡状態にあることを示したい。言い換えればEF :GD = EH :JDであることを示せば十分である。しかし、これは放物線の方程式から機械的操作で求まることである。 Q.E.D.
ここでも機械的な方法を説明するために、少しばかり座標幾何を使うと便利である。半径1の球の中心をx = 1とすると、0から2の間の任意のxにおける垂直の断面の半径は次の式で与えられる。
ρ S ( x ) = x ( 2 − x ) . {\displaystyle \rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.}
てこで均衡をとるために、この断面の質量は面積に比例するとする。
π ρ S ( x ) 2 = 2 π x − π x 2 . {\displaystyle \pi \rho _{S}(x)^{2}=2\pi x-\pi x^{2}.}
アルキメデスは、y = 0とy = xとx = 2に囲まれた三角形の領域をx軸を中心として回転させて円錐を作ることを考えた。この円錐の断面は半径 ρ C {\displaystyle \rho _{C}} の円となる。
ρ C ( x ) = x {\displaystyle \rho _{C}(x)=x}
すると、この断面積の面積は
π ρ C 2 = π x 2 . {\displaystyle \pi \rho _{C}^{2}=\pi x^{2}.