整数
自然数の全体 N は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負整数を導入し、整数の全体 Z を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数が厳密に構成できることを記しておく。なお、以下の構成では、自然数には 0 を含まないとする。
まず、直積集合 N = N × N = {(a, b) | a, b は自然数} を考える。N に同値関係 ∼ を
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c
と定義することができる。ここで、N を同値関係 ∼ で類別した集合(商集合)N/∼ を考える。これは、互いに同値なもの全体の集合(同値類)を元とするような集合であり、直観的には互いに同値であるようなものを同一視する操作である。(a, b) ∈ N の属する同値類を [a, b] ∈ N/R と表すことにする。つまり、[a, b] は
[a, b] = {(c, d) ∈ N | (a, b) ∼ (c, d)}
となる集合である。同値類を [a, b] のように表すとき、(a, b) をこの同値類の代表元と呼ぶ。
加法についての五性質は、整数の全体 Z が加法に対してアーベル群となることを主張するものである。また、任意の整数 n は
n = { 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n times ( n > 0 ) 0 ( n = 0 ) ( − 1 ) + ⋯ + ( − 1 ) ⏟ | n | times ( n < 0 ) {\displaystyle n=\left\{{\begin{aligned}[ll]&\underbrace {\,1+1+\cdots +1\,} _{n{\text{ times}}}&(n>0)\\&0&(n=0)\\&\underbrace {\!(-1)+\cdots +(-1)\!} _{|n|{\text{ times}}}&(n<0)\end{aligned}}\right.}
なる形に書けるから、Z は 1 の生成する無限巡回群 ⟨1⟩ になる。特に Z は同型の違いを除いて唯一の無限巡回群である。
乗法についての四性質は、Z が乗法に関しては可換モノイドをなすことを言うものである。
零因子の非存在以外の全ての性質を合わせれば、整数の全体 Z は単位的可換環であることがわかる。整数全体の成す環は整数環と呼ばれる。例えば負の数同士の積が正となるという性質
(−a) × (−b) = a × b