応力
外力F を受けて静的な釣り合い状態にある物体内部の任意の点では、その応力σは次の平衡方程式あるいはつりあい方程式を満たす。
∂ σ x x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 , ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 , ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}&=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}&=0,\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+F_{z}&=0\end{aligned}}}
真応力はテンソル量であり、座標系によってその成分は変化することとなる。以下のように座標系を変換する。
応力テンソルの座標系変換式は以下で表される。
σ ′ = A σ A T {\displaystyle \sigma '=A\sigma A^{\mathrm {T} }}
ここで、 σは変換前の座標系における応力テンソル、σ' は変換後の座標系における応力テンソル、A は回転行列 、A はA の転置行列である。各成分で表すと以下の通りである。
( σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13 ′ σ 21 ′ σ 22 ′ σ 23 ′ σ 31 ′ σ 32 ′ σ 33 ′ ) = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ) ( a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}
σ = ( σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ) , or , σ = ( σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ) or , σ = σ i j ( e i ⊗ e j ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}},\ {\mbox{or}},\ \sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}\ {\mbox{or}},\ \sigma =\sigma _{ij}({\boldsymbol {e}}_{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{j})}
のように表される。ei 等は座標軸 x , y , z 方向の基底ベクトルである。このとき、各成分の第1の下添字は「応力成分を考えている微小面の法線の向き」を、第2の下添字は「考えている微小面に作用する力の向き」をそれぞれ表している。例えば、σxy とは、法線の方向がx 軸の向きに一致する微小面において考えている、y 軸方向の力の成分を意味する。そのため、応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する垂直応力 (normal stress) 成分と、一致しない(異なっている)せん断応力 (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。