粘性解
粘性解のさらなる正則性については、特にルイス・カフェレリの一様楕円型の場合の研究において、調べられた。粘性解は楕円型方程式の研究における中心的な概念となった。そのことは、近年の Users guide に800以上の引用文献が存在し、それが MathScinet による2003年から2008年の6年間にわたって最も多く引用された数学の論文となっている事実からも確かめられる。
近年の手法では、解の存在を示す上ではペロンの方法が最もよく用いられている。人口粘性の和は古典解の存在を保証しないために、一般的に二階の方程式に対しては、粘性消滅法は現実的ではない。さらに、「粘性解」の定義自体には、どのような種類の「粘性」も現れないため、「粘性解」という名前はその解の概念を表現する上で適切なものではないのではないかと、示唆されている。しかし、その名は歴史的背景から依然として用いられている。その他に示唆された名前には、発見者に敬意を表した「クランドール=リオン解」や、安定性の性質に由来して「 L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} -弱解」、またはその最も特徴的な性質から「比較解(comparison solution)」などがあった。
「粘性解」の語が初めて用いられたのは、1983年のマイケル・クランドールとピエール=ルイ・リオンによるハミルトン=ヤコビ方程式に関する研究においてである。その名は、解の存在を証明する際に、粘性消滅法を用いることに由来する。解の定義は実際にはより早く、1980年にローレンス・エヴァンス(英語版)によって与えられた。その後、ハミルトン=ヤコビ方程式に対する粘性解の定義と性質は、クランドール、エヴァンスおよびリオンの1984年の共同研究によって精錬された。
二階の楕円型方程式に粘性解が一意に存在するかどうかは、非常に特別な場合を除いて、よく知られていなかったため、数年の間、粘性解の研究は一階の方程式に集中して行われた。そのブレイクスルーとなる結果は、1988 年にロバート・ジェンセンによって、ほとんど至る所で二階導関数が存在するような解の正則化近似を用いて比較原理を証明するために導出された方法によるものである(近年の証明では、sup-埋め込みとアレクサンドロフの定理が用いられる)。
その後、粘性解の概念は、退化楕円型PDEの解析においてますます主流なものとなっていった。粘性解の安定性の性質に基づき、バーレルとソウガニディスは、有限差分スキームのとても簡単かつ一般的な証明を得た。