一般数体篩法
それぞれ小さい次数 d, e の2つの多項式 f(x), g(x) を選ぶ。これらは整数係数であり、有理数に対して既約であり、 n を法として共通の整数根 m を持つように選ぶ。これらの多項式を選ぶための最適な方法は知られていない。簡単な方法の1つは、多項式の次数 d を設定し、 n 次の異なる m の数について、 n の m 進展開(各桁で-mからmの間の数を許可)を調べ、 f(x) に係数が最小の多項式を、 g(x) に x − m を選ぶ方法である。
数体環 Z[r1] と Z[r2] を考えてみよう。ここで、 r1 と r2 はそれぞれ多項式 f と g の根である。 f は整数係数の次数 d の多項式であるため、 a と b が整数ならば、 b・f(a/b) も同様に整数になる。これを r とする。同様に、 s = b・g(a/b) も整数である。目標は、選択した素数の基底に対して r と s を同時に滑らか(英語版)にする a と b の整数値を見つけることである。 a と b が小さい場合、 r と s も m 程度の大きさになり、同時に滑らかになる可能性が高くなる。この探索の現在最もよく知られているアプローチは、格子篩(英語版)(lattice sieve)である。適切な結果を得るには、大きな因子基底を使う必要がある。
ガウスの消去法を使うことで、このようなペアを十分にあれば、特定の r と対応する s の積を同時に平方数にすることができる。