整関数
領域 D 上で定数でない解析函数 f に対し、開写像定理から以下が直ちに従う: f の絶対値は D に極大値を持たない(したがって、D が有界ならば |f| は D の境界上で最大値を持つ); f が D 上で消えないならば、|f| は D に極大値を持たない; f の実部は D に極大値も極小値も持たない。
特にシュヴァルツの補題が導ける。
より一般に、任意の劣調和函数(例えば |f| や f が消えない場合の 1/|f| などはそう)は最大値の原理を満足する。また任意の調和函数(例えば Re(f) はそう)は最大値および最小値の原理を満足する。
フラグメン–リンデレーフの原理(英語版)は最大絶対値の原理の非有界領域への一般化である。
を満たすならば、函数 f は次数が高々 λ の多項式である。等号を満足する λ が存在しないときは、Mf(r) の増大度を exp(r) と比較する。適当な値 r0 より大きい r に対して不等式 M f ( r ) < exp  ( r k ) {\textstyle M_{f}(r)<\exp(r^{k})} が常に成り立つならば、f は有限増大度であると言う。整函数 f の増大度 (order of growth) あるいは上増大度 (superior order)は、等式
によって定義される。同じ増大度 ρ の整函数の間でも、
と定義される型 σf の函数を区別することができる。σf の値により、極小型 (σf = 0), 通常型 (0 < σf < ∞) または極大型 (σf = ∞) に分類する。
そのとき以下の不等式が成り立つ:
ρ f + g ≤ max ( ρ f , ρ g ) ; {\displaystyle \rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});}
ρ f g ≤ max ( ρ f , ρ g ) ; {\displaystyle \rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});}
σ f + g ≤ max ( σ f , σ g ) ; {\displaystyle \sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g});}
σ f g ≤ σ f + σ g .
整函数の零点列の収束冪数はその整函数の増大度以上である。
複素解析函数 f が z に関して正則とすれば、テイラー–マクローリンの公式により点 z の周りで整級数
に展開される。整級数論により、上の級数は z を中心とし、コーシー–アダマールの定理により
で与えられる半径 R をもつ開円板上で絶対かつ一様に収束することが分かる。複素解析函数論の主結果は、収束半径が z と最も近くにある特異点との間の距離 R によって決まることである。複素解析函数が整であるとは、それが複素数平面の任意の点において正則であるときに言う。したがって、整函数は有限の距離にある特異点を持たない。ある点 y において正則な函数は y において無限回微分可能であることを思い出そう。
f が整函数ならば、任意の点において正則であるから、収束整級数 f ( z ) = ∑ n ≥ 0 a n z n {\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}} に展開され、また無限遠点を除いて特異点を持たないから整級数の収束半径は無限大であり、すなわちこの級数は任意の z に対して収束する。
増大度が整数の場合には、ピカールの例外値が存在しうる。そのような場合の詳細はエミール・ボレルにより
方程式 f(s) = x の絶対値が r より小さい根の数 n(x, r) は x の高々一つの値を例外として ln M(r) の大きさより小さい増大度を持つ。
零点が有限個かつ多項式に還元できない整数増大度の整函数が存在することが示せるが、そのような場合は増大度が奇数の偶整函数に対しては起こらない。(校正意見:この最後の文は数学的論理がおかしい。)