テトレーション
テトレーションを一意に定めるためには正則性の条件が重要となる。いま、関数 F に対し関数 S を次のように構成する。
A ( z ) = ∑ n = 1 ∞ sin  ( 2 π n z ) α n B ( z ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos  ( 2 π n z ) ) β n S ( z ) = F ( z + A ( z ) + B ( z ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}A(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)\alpha _{n}\\B(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1-\cos(2\pi nz){\bigr )}\beta _{n}\\S(z)&=F\left(z+A(z)+B(z)\right)\end{aligned}}}
反復指数関数(英: iterated exponential function)、あるいは反復冪(英: iterated exponential)とは指数関数の反復合成、あるいはその類似の関数およびその値を指して呼ばれる関数である。以降で表記を簡単にするため、非負整数 n と正実数 a の2つのパラメータを持つ実関数 e x p a n  ( x ) {\displaystyle \mathop {\mathrm {exp} } \nolimits _{a}^{n}(x)} を次のように定義する:
exp a n  ( x ) = a a ⋅ ⋅ a x {\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}} (n 個の a の上に x が乗っている)
この関数は他に次のような表記で書かれる。
複素数の累乗が可能なことから、テトレーションは複素数の底に対しても定義できる。
例えばテトレーション i は対数関数の主枝を用いて定められる。このときオイラーの公式から次の式が得られる。
i a + b i = e 1 2 π i ( a + b i ) = e − 1 2 π b ( cos  π a 2 + i sin  π a 2 ) {\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}\pi i(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi b}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
従って任意の i = a + bi に対して i = a′ + b′i が次のように再帰的に定義できる。