拡散モンテカルロ法
このように、適切に E 0 {\displaystyle E_{0}} を調整しながら時間発展させると任意のハミルトニアンの基底状態を得ることができる方程式が得られた。しかし、これを解くことは古典力学系を解くよりも依然難しい。なぜなら、単一粒子の一を時間発展させるだけでなく、波動関数全体を時間発展させなければならないからである。古典力学では、幅 τ {\displaystyle \tau } の時間間隔にわたり力が一定であると仮定すると、 x ( t + τ ) = x ( t ) + τ v ( t ) + 0.5 F ( t ) τ 2 {\displaystyle x(t+\tau )=x(t)+\tau v(t)+0.5F(t)\tau ^{2}} のようにして運動する粒子の軌跡をシミュレートすることができる。ひるがえって、虚時間シュレディンガー方程式では、グリーン関数と呼ばれる特殊関数を使用した畳み込み積分を使用して、 Ψ ( x , t + τ ) = ∫ G ( x , x ′ , τ ) Ψ ( x ′ , t ) d x ′ {\displaystyle \Psi (x,t+\tau )=\int G(x,x',\tau )\Psi (x',t)dx'} のようにして波動関数を時間発展させる。古典力学の場合と同様、時間間隔は微小にしなければグリーン関数が不正確になってしまう。粒子の数が増えると、すべての粒子のすべての座標を積分する必要があるため、積分の次元も増加してしまう。このような積分は、モンテカルロ積分(英語版)により評価することができる。