ゼルニケ多項式
動径多項式は、n,mに応じて偶関数または奇関数である。
R n m ( ρ ) = ( − 1 ) n R n m ( − ρ ) = ( − 1 ) m R n m ( − ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho )}
三角関数の周期性より、原点を中心とした m 回回転対称性が生じる。
Z n m ( ρ , φ + 2 π k m ) = Z n m ( ρ , φ ) , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ... {\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }
動径多項式は、以下の漸化式を満たす。
R n m ( ρ ) + R n − 2 m ( ρ ) = ρ [ R n − 1 | m − 1 | ( ρ ) + R n − 1 m + 1 ( ρ ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}
動径多項式の定義より、 R m m ( ρ ) = ρ m , R m + 2 m ( ρ ) = ( ( m + 2 ) ρ 2 − ( m + 1 ) ) ρ m {\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m},\quad R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}} である。これと、以下の三項間漸化式 により、すべての R n m ( ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} を計算することができる。
R n m ( ρ ) = 2 ( n − 1 ) ( 2 n ( n − 2 ) ρ 2 − m 2 − n ( n − 2 ) ) R n − 2 m ( ρ ) − n ( n + m − 2 ) ( n − m − 2 ) R n − 4 m ( ρ ) ( n + m ) ( n − m ) ( n − 2 ) .
R 5 1 ( ρ ) = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ {\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}
R 5 3 ( ρ ) = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 {\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}
R 5 5 ( ρ ) = ρ 5 {\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}
R 6 0 ( ρ ) = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 {\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}
R 6 2 ( ρ ) = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 {\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}
R 6 4 ( ρ ) = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 {\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}
R 6 6 ( ρ ) = ρ 6 {\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}\,}