ゴールドバッハ・オイラーの定理
が成り立つが、後の和に含まれる n は累乗数でなければならない。よって
H N − 1 ≤ T N − 1 ≤ H N − 1 + ∑ P > N 1 P , {\displaystyle H_{N}-1\leq T_{N-1}\leq H_{N}-1+\sum _{P>N}{\frac {1}{P}},}
(4) から
S N ≤ 1 + T N − 1 − T N ≤ S N + ∑ P > N 1 P , {\displaystyle S_{N}\leq 1+T_{N-1}-T_{N}\leq S_{N}+\sum _{P>N}{\frac {1}{P}},}
これを移項して
1 − 1 N − ∑ P > N 1 P ≤ S N ≤ 1 ⋯ ( 5 ) {\displaystyle 1-{\frac {1}{N}}-\sum _{P>N}{\frac {1}{P}}\leq S_{N}\leq 1\quad \cdots (5)}
となる。ここで上の収束の証明と同様、 ∑ P 1 P {\displaystyle \sum _{P}{\frac {1}{P}}} は収束することがわかるから、(5) の左辺は 1 に収束する。よって
S N → 1 ( N → ∞ ) {\displaystyle S_{N}\rightarrow 1(N\rightarrow \infty )}
が証明された。