二項関係
R と同じ推移閉包を持つ最小の関係。
X の各元 x に対して、x R y となるような y ∈ X がそれぞれとれるとき、関係 R は連続的であるという。
「大なり」">" は整数全体の成す集合 Z 上の連続的関係だが、正の整数全体の成す集合 N 上の連続的関係ではない(1 > y となるような正の整数 y は存在しない)。一方で「小なり」"<" は N 上の(あるいは有理数全体の成す集合 Q または実数全体の成す集合 R 上の)連続的関係である。
R ≔ {(y, x) | (x, y) ∈ R}.
ある集合上の二項関係がその逆関係と一致することと、その関係が対称であることとは同値である(順序の双対性(英語版)を参照)。
R が X 上の二項関係ならば、次のような X 上の二項関係が定義される:
X の任意の元 x, z と Y の任意の元 y ∈ Y について、x R y かつ z R y なるときは必ず x = z となるような関係 R は左一意的あるいは単射であるという。