包除原理
| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | B ∩ C | − | C ∩ A | + | A ∩ B ∩ C | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|A\cup B\cup C\right|=&\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|\\&\quad -\left|A\cap B\right|-\left|B\cap C\right|-\left|C\cap A\right|\\&\qquad +\left|A\cap B\cap C\right|\end{aligned}}}
一般に、 n 個の有限集合 A1, ..., An が与えられたとき、その和集合に属する元の数は
Pr ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i Pr ( A i ) , Pr ( ⋃ i A i ) ≥ ∑ i Pr ( A i ) − ∑ i < j Pr ( A i ∩ A j ) , Pr ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i Pr ( A i ) − ∑ i < j Pr ( A i ∩ A j ) + ∑ i < j < k Pr ( A i ∩ A j ∩ A k ) , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)&\leq \sum _{i}\Pr \left(A_{i}\right),\\\Pr \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)&\geq \sum _{i}\Pr \left(A_{i}\right)-\sum _{i<j}\Pr \left(A_{i}\cap A_{j}\right),\\\Pr \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)&\leq \sum _{i}\Pr \left(A_{i}\right)-\sum _{i<j}\Pr \left(A_{i}\cap A_{j}\right)+\sum _{i<j<k}\Pr \left(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right),\\&\vdots \end{aligned}}}
このことは公式全体が扱いにくい場合に利用される。