平均値の定理
函数 f は閉区間 [a, b] 上で有限かつ連続、開区間 (a, b) で微分可能であるとき、 m := inf a < x < b f ′ , M := sup a < x < b f ′ {\textstyle m:=\inf _{a<x<b}f',M:=\sup _{a<x<b}f'} とすれば m ( b − a ) ≤ f ( b ) − f ( a ) ≤ M ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)} が成立する。
関数 f(x) が有限の容積 vol(E) をもつ集合 E 上で有界かつ可積分ならば、f(x) の E における積分値を E において平均化した値は、 E における f(x) の上限 sup f(x) と下限 inf f(x) の間にある:
inf x ∈ E f ( x ) ≤ 1 v o l ( E ) ∫ E f ( x ) d x ≤ sup x ∈ E f ( x ) . {\displaystyle \inf _{x\in E}f(x)\leq {\frac {1}{\mathrm {vol} (E)}}\int _{E}f(x)\,dx\leq \sup _{x\in E}f(x).}
これを積分の第一平均値定理という。また、もう少し一般に拡張した形のものを指すこともあり、それは次のように述べられる。集合 E 上で f(x) が有界、g(x) が可積分ならば、積 f(x)g(x) は可積分であって、
inf x ∈ E f ( x ) ≤ μ ≤ sup x ∈ E f ( x ) {\displaystyle \inf _{x\in E}f(x)\leq \mu \leq \sup _{x\in E}f(x)}
となる定数 μ のうちに等式
↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive.
↑ A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
↑ 高木『解析概論』改訂第三版 p. 48 「上記の公式[平均値の定理のこと]をフランス系では`有限増加の公式’ともいう.」
↑ ブルバキ数学原論「実一変数関数」pp. 18–19, 定理 2.
↑ 日本大百科全書『平均値の定理』 - コトバンク