レヴィの連続性定理
ならば、以下の各命題は同値である:
X n {\displaystyle X_{n}} は、ある確率変数 X に分布収束する。 X n → D X , {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,} つまり、確率変数の累積分布関数の列が、X の累積分布関数に、収束先の関数の任意の連続点において各点収束する。
{ X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \scriptstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} は緊密である、つまり: lim x → ∞ ( sup n P  [ | X n | > x ] ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0}
φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} はある確率変数 X の特性関数と一致する。
φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} は t の連続関数である。
φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} は t = 0 において連続である。