主イデアル
任意のユークリッド整域は主イデアル整域であり、最大公約数の計算に使われるアルゴリズムを、任意のイデアルの生成子を見つけることに使うことができる。さらに一般的には、可換環のどの2つの主イデアルも、イデアルの乗法の意味で最大公約数を持っている。そのため、主イデアル整域では、環の元の最大公約数を、単元による積を除いて、定義できる。すなわち、gcd(a, b) をイデアル (a, b) の任意の生成子として定義する。
デデキント整域 R に対し、R の 主イデアルではないイデアル I が与えられたとき、R の拡大 S であって、I により生成される S のイデアルが主イデアルとなる(大ざっぱにいえば、I は S で主イデアルとなる)ようなものが存在するかと問うこともできる。この問題は、数論で代数的整数の環の研究の関連で発生し、高木貞治、エミール・アルティン (Emil Artin)、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) やその他多くの数学者による類体論の発展を導いた。
類体論の主イデアル定理(英語版)は、任意の整数環 R (つまり、ある代数体の整数環)に対し、それを含むような整数環 S であって、R の全てのイデアルが S の主イデアルとなるようなものが存在すると言う定理である。この定理において、S を R のヒルベルト類体の整数環とすることができる。ヒルベルト類体は、R の分数体の最大の不分岐アーベル拡大(つまりガロア群が可換なガロア拡大)であり、これは R によって一意的に決定される。
クルルの主イデアル定理は、R がネーター環で、I が R の真の主イデアルであれば、I の高さは高々 1 であるという定理である。