ポアソン方程式
2次元空間Rの有界領域Ωでf (ξ,η )が1階連続微分可能とすると、
u 0 ( x , y ) = − 1 2 π ∫∫ Ω f ( ξ , η ) log  1 ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 d ξ d η = − 1 2 π ∫∫ Ω f ( ξ , η ) log  1 r d ξ d η ( r = ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}(x,y)&=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{\Omega }f(\xi ,\eta )\log {\frac {1}{\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}}}d\xi d\eta \\&=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{\Omega }f(\xi ,\eta )\log {\frac {1}{r}}\,d\xi d\eta \quad (r={\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}})\end{aligned}}}