期待値
チェビシェフの不等式:(0, ∞) 上で定義された正値単調増加関数 φ と任意の正の数 ε に対して、 P ( | X | > ε ) ≤ E [ φ ( X ) ] φ ( ε ) {\displaystyle P(|X|>\varepsilon )\leq {\frac {E[\varphi (X)]}{\varphi (\varepsilon )}}}
さらに、2つの可積分な確率変数 X と Y が独立の場合は、
E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] {\displaystyle E[XY]=E[X]E[Y]}
が成立する。
確率変数を含まない定数項を含むことができ、上記の性質と合わせて次の性質を持つ:
E P X [ a + b g ( X ) ] = E P X [ a ] + b E P X [ g ( X ) ] = a + b E P X [ g ( X ) ] {\displaystyle E_{P_{X}}[a+b\ g(X)]=E_{P_{X}}[a]+b\ E_{P_{X}}[g(X)]=a+b\ E_{P_{X}}[g(X)]}
確率論における期待値(きたいち、英: expected value)は確率変数を含む関数の実現値に確率の重みをつけた加重平均である。
確率変数 X ∼ P X {\displaystyle X\sim P_{X}} を引数にとる関数 g ( X ) {\displaystyle g(X)} の X {\displaystyle X} に関する期待値 E P X [ g ( X ) ] {\displaystyle E_{P_{X}}[g(X)]} は次で定義される:
E P X [ g ( X ) ] = ∑ x P X ( x ) g ( x ) = ∫ P X ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle E_{P_{X}}[g(X)]=\sum _{x}P_{X}(x)g(x)=\int P_{X}(x)g(x)dx}
例えば、賭博において、期待値を受け取れる賞金の「見込み」の金額とすることがある。ただし、期待値を取る確率変数値の確率が最大とは限らず、確率変数値が期待値を取るわけでもない。しかし、独立同分布であれば、標本平均は期待値に収束することが知られている(大数の法則)。