ポワンカレの円板モデル
ポワンカレ円板模型はクライン模型同様に双曲面模型とは射影的に関係している。双曲面模型における点を定める上半双曲面上の点 [t, x1, ..., xn] を超曲面 t = 0 上へ射影するには、点 [−1, 0, ..., 0] を通る直線との交点を考えればよい。これにより、ポワンカレ円板模型における点との対応が定まる。
双曲面上の直交座標系 (t, xi) と平面上の直交座標系 (yi) との間の変換公式は
y i = x i 1 + t {\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}}
および
( t , x i ) = ( 1 + ∑ y i 2 , 2 y i ) 1 − ∑ y i 2 {\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}}
で与えられる。この公式は球面と平面の間の立体射影に対する公式と対照するものである。