線型微分方程式
斉次方程式の解としていくつかの関数が得られたとき、特に係数行列の形が n × n 成分の正方行列で、n 個の解 y1(x), y2(x), ..., yn(x) が得られたとき、それが基本解であるかどうかは次の行列式
W ( x ) = | y 11 ( x ) y 12 ( x ) ⋯ y 1 n ( x ) y 21 ( x ) y 22 ( x ) ⋯ y 2 n ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y n 1 ( x ) y n 2 ( x ) ⋯ y n n ( x ) | ( y j ( x ) = ( y 1 j ( x ) y 2 j ( x ) ⋮ y n j ( x ) ) ) {\displaystyle W(x)={\begin{vmatrix}y_{11}(x)&y_{12}(x)&\cdots &y_{1n}(x)\\y_{21}(x)&y_{22}(x)&\cdots &y_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{n1}(x)&y_{n2}(x)&\cdots &y_{nn}(x)\end{vmatrix}}\quad (\mathbf {y} _{j}(x)={\begin{pmatrix}y_{1j}(x)\\y_{2j}(x)\\\vdots \\y_{nj}(x)\end{pmatrix}})}
が常に 0 でないことを確認することによって判定できる(実際には任意の 1 点で 0 でないといえば十分である)。
x の関数 y の高階微分 d y/dx および、可微分関数 aj(x) (1 ≤ j ≤ n), b(x) により
d n y d x n + a n − 1 ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a 1 ( x ) y = b ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +a_{1}(x)y=b(x)}
で表される微分方程式を単独高階型の線型微分方程式という。b = 0 であるとき斉次あるといい、
d n y d x n + a n − 1 ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a 1 ( x ) y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +a_{1}(x)y=0}
を元の方程式に属する斉次方程式という。
微分作用素 L(d/dx) を