偏微分
を z = f(x, y) の、点 (a, b) における x に関する偏微分係数とよぶ。この極限を
∂ z ∂ x | ( x , y ) = ( a , b ) = ∂ z ∂ x ( a , b ) = f x ( a , b ) = z x | x = a , y = b {\displaystyle \left.{\frac {\partial z}{\partial x}}\right|_{(x,y)=(a,b)}={\frac {\partial z}{\partial x}}(a,b)=f_{x}(a,b)=z_{x}|_{x=a,y=b}}
などのように記す。z = f(x, y) を曲面と考えると、偏微分係数 fx(a, b) は領域上の点 (a, b) における、z の x 方向の傾きを表している。領域 D ⊂ R の各点 (x, y) で x に関する偏微分係数が存在するとき、これを x, y の関数と見た
∂ x f ( x , y ) = f x ( x , y ) = ∂ z ∂ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x {\displaystyle \partial _{x}f(x,y)=f_{x}(x,y)={\frac {\partial z}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}}