誤差関数
誤差関数は正規分布の累積分布関数(CDF) Φ {\displaystyle \Phi } と基本的には同じであり、単にスケールと解釈が異なるだけである。実際、標準正規分布について次の関係が成り立つ。
Φ ( x ) = 1 2 [ 1 + erf ( x 2 ) ] = 1 2 erfc ( − x 2 ) {\displaystyle \Phi \left(x\right)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}
また、 erf {\displaystyle \operatorname {erf} } および erfc {\displaystyle \operatorname {erfc} } について変形すると次のようになる。
e r f ( x ) = 2 Φ ( x 2 ) − 1 e r f c ( x ) = 2 [ 1 − Φ ( x 2 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} \left(x\right)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} \left(x\right)&=2\left[1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}
次のような近似がある。
erf 2  ( x ) ≈ 1 − exp  ( − x 2 4 / π + a x 2 1 + a x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} ^{2}\left(x\right)\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}
ここで、
a = − 8 ( π − 3 ) 3 π ( π − 4 ) {\displaystyle a=-{\frac {8\left(\pi -3\right)}{3\pi \left(\pi -4\right)}}}
このような近似(曲線あてはめ)は、実軸付近の誤差関数の値について、少なくとも十進で1桁の精度はある。
e z 2 erf  ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ 2 n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ! = ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 Γ ( n + 3 2 ) {\displaystyle e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{\Gamma (n+{\frac {3}{2}})}}}
∞ {\displaystyle \infty } において誤差関数は正確に1になる(ガウス積分を参照)。
誤差関数の導関数は定義から即座に求められる。
d d z e r f ( z ) = 2 π e − z 2 {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}}
誤差関数の不定積分は次のようになる。
z erf  ( z ) + e − z 2 π {\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
従って、誤差関数は、正規分布におけるテール確率であるQ関数とも密接に関連する。Q関数は誤差関数を使って次のように表現できる。
Q ( x ) = 1 2 − 1 2 erf  ( x 2 ) {\displaystyle Q\left(x\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}}
Φ {\displaystyle \Phi \,} の逆関数は標準分位関数またはプロビット関数として知られており、逆誤差関数を使って次のように表現できる。
probit  ( p ) = Φ − 1 ( p ) = 2 erf − 1  ( 2 p − 1 ) = − 2 erfc − 1  ( 2 p ) {\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p)}
確率論や統計学では標準正規分布の累積分布関数の方がよく使われ、誤差関数は他の数学の分野で使われる傾向がある。
となる。従って、次のような級数の展開が得られる(分子と分母に共通して出現する係数は省いてある)。
erf − 1  ( z ) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)\,\!}
なお、誤差関数の正と負の無限大での値はそれぞれ正と負の 1 {\displaystyle 1} となる。