クリフォード代数
Cl(V, Q) 上の伴う対称双線型形式は
⟨ x , y ⟩ = ⟨ t x y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle {}^{t}\!xy\rangle }
によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 Cl(V, Q) のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが V 上非退化であることは同値である。
転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、
⟨ a x , y ⟩ = ⟨ x , t a y ⟩ , {\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,{}^{t}\!ay\rangle ,}
および
⟨ x a , y ⟩ = ⟨ x , y t a ⟩ . {\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,y{}^{t}\!a\rangle .}
i 2 = ( e 2 e 3 ) 2 = e 2 e 3 e 2 e 3 = − e 2 e 2 e 3 e 3 = − 1 , {\displaystyle i^{2}=(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3})^{2}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1,\!}
と
i j = e 2 e 3 e 3 e 1 = − e 2 e 1 = e 1 e 2 = k {\displaystyle ij=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=k\!}
を計算する。最後に、
i j k = e 2 e 3 e 3 e 1 e 1 e 2 = − 1. {\displaystyle ijk=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-1.\!}
複素ベクトル空間上でもクリフォード代数を考えることができる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式
Q ( z ) = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z n 2 {\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}
ただし n = dim V、に同型を除いて同値であり、したがって各次元 n に対してただ1つの非退化なクリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った C 上のクリフォード代数を Cln(C) と表記しよう。
最初のいくつかの場合の計算は難しくはなくて
Cl0(C) ≅ C: 複素数体
Cl1(C) ≅ C ⊕ C: 双複素数環
Cl2(C) ≅ M(2, C): 双四元数(英語版)環
であることがわかる、ただし M(n, C) は C 上 n×n 行列の代数を表す。
⟨ e i , e j ⟩ = 0 {\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0} for i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , and ⟨ e i , e i ⟩ = Q ( e i ) {\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i})\,}
であるような基底である。ただし ⟨-, -⟩ は Q に伴う対称双線型形式である。基本クリフォード関係式とはこの直交基底に対する積が
e i e j = − e j e i for i ≠ j , and e i 2 = Q ( e i ) {\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}{\text{ for }}i\neq j,{\text{ and }}e_{i}^{2}=Q(e_{i})\,}
であることを意味している。このことにより直交基底ベクトルの扱いは極めて簡単になる。V の相異なる直交基底ベクトルの積 e i 1 e i 2 ⋯ e i k {\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}} が与えられたとき、それを基底の添字が標準の順序になるように並べ替えることは、それに必要な二元ごとの入れ替えの回数により決まる符号(すなわち整列させるための置換の符号)を付ければできる。
標数が 2 でなければ Cl(V, Q) の基礎ベクトル空間は N-次数付けと Z-次数付けを外積代数 ⋀(V) の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐ。しかしながら、これはベクトル空間の次数付けでしかないことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N-次数付けや Z-次数付けをリスペクトせず、Z2-次数付けだけなのである: 例えば Q(v) ≠ 0 であれば v ∈ Cl(V, Q) だが v ∈ Cl(V, Q) であって Cl(V, Q) に入らない。幸運なことに、次数付けは自然な方法で関係している: Z2 ≅N/2N≅ Z/2Z。さらに、クリフォード代数は Z-filtered(英語版)である: Cl(V, Q) ⋅ Cl(V, Q) ⊂ Cl(V, Q)。クリフォード数の次数 (degree) は通常 N-次数付けにおける次数のことである。
クリフォード代数の偶部分代数 Cl(V, Q) はそれある自身クリフォード代数に同型であるV がノルム Q(a) の部分空間 U のベクトル a の直交直和であれば、Cl(V, Q) は Cl(U, −Q(a)Q) に同型である、ただし −Q(a)Q は U に制限され −Q(a) を掛けた形式 Q である。
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型(英語版)が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう:
v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v k ↦ v k ⊗ ⋯ ⊗ v 2 ⊗ v 1 . {\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}
イデアル IQ はこの反転の下で不変なので、この演算は Cl(V, Q) の反自己同型に降り、転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、x によって表記される。この反転は反自己同型である: (xy) = y x。転置演算は Z2-次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を α と転置を合成することによって定義する。
V を体 K 上のベクトル空間とし、Q: V → K を V 上の二次形式とする。興味のあるたいていのケースでは体 K は実数体 R か複素数体 C か有限体である。
クリフォード代数 Cl(V, Q) は次の普遍性によって定義されるすべての v ∈ V に対して i(v) = Q(v)1 を満たす線型写像 i : V → Cl(V, Q) を伴った K 上の単位的結合多元環である: K 上の任意の結合代数 A と
j(v) ≔ Q(v)1A (∀v ∈ V)
(ただし 1A は A の乗法単位元を表す)なる任意の線型写像 j : V → A が与えられると、次の図式が交換する一意的な多元環準同型(英語版) f : Cl(V, Q) → A (すなわち f ∘ i = j)が存在する:
(標数≠2 において)Q の代わりに対称双線型形式 ⟨·,·⟩ で考えると、j に対する要求は次のようになる。
j ( v ) j ( w ) + j ( w ) j ( v ) = 2 ⟨ v , w ⟩ 1 A ( ∀ v , w ∈ V ) . {\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad (\forall v,w\in V).}
上で記述された性質をもつクリフォード代数はつねに存在して次のように構成できる: V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。
このセクションにおいて、ハミルトンの四元数がクリフォード代数 Cl0,3(R) の偶部分代数として構成される。
ベクトル空間 V を実 3 次元空間 R とし、二次形式 Q を通常のユークリッド計量から入れる。すると、二次形式あるいはスカラー積は v, w ∈ R に対して
v ⋅ w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 . {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}
となる。いま次式で与えられるベクトル v と w のクリフォード積を導入する
v w + w v = − 2 ( v ⋅ w ) . {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ).\!}
この定式化は負の符号を用いることで四元数との対応を示すことを容易にしている。
R の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3 として表記すると、クリフォード積は関係
外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。(擬)リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、外束(英語版)とのアナロジーでクリフォード束(英語版)を定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するスピノル束(英語版)そして spin 多様体へのつながりであろう。