超冪根
まず、ブリング–ジェラード標準形の任意の多項式
の根はブリング根を用いて
と書けるものとその四つの代数共軛元(英語版)である。
上で見たように、ブリング–ジェラード標準形への帰着は求根可能な多項式方程式によって記述されていたし、そのためのチルンハウス変換では四次以下の方程式の根を係数とする多項式しか現れていなかったから、したがって、これらの変換を逆にたどることは冪根で解ける多項式の求根という形で実現できるということがわかる。もちろんこのように変換を逆にたどろうとする方法では無関係で余分な解も出てくることになるが、数値的な方法で正しい解を一つ見つけられるならば、その根を平方根・立方根およびブリング根によって書き下すこともできるということだから、したがってそれは一変数の代数函数を用いて書けるという意味で「代数的解」であり、これで五次の一般方程式に対する代数的解法(「解の公式」)が与えられたとみることができる。
五次方程式は主標準形よりもさらに単純化することが可能で、二次の項も消去したブリング–ジェラード標準形 (Bring–Jerrard normal form):
が導かれる。
チルンハウスが試みたように、三次のチルンハウス変換とやはり冪和の公式を用いたのではこれは上手く行かないのだが、1796年にブリング(英語版)は、主標準形の根をブリング–ジェラード標準形の根に結びつける四次のチルンハウス変換 v k := y k 4 + α y k 3 + β y k 2 + γ y k + δ {\displaystyle v_{k}:=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta } を用いることで、問題をうまく回避する方法を発見した。
この四次のチルンハウス変換からくる新たなパラメータによって、ブリングは他のパラメータの次数を下げることに成功し、六つの未知数を含む二次と三次の五つの方程式からなる連立方程式が導かれた。
ブリング根のテイラー展開あるいは超幾何函数を用いた表示は以下のようである。
Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
R. Bruce King, Beyond the Quartic Equation, Birkhäuser, 1996. ISBN 3-7643-3776-1
Harold T. Davis, Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations, Dover, 1962, ISBN 0-486-60971-5, Chapter 6, especially Sections 20 and 21
[より簡単なブリング根の導出]
simpler delivation of bring radical