非可換環
(可換とは限らない)単位的環上の加群が半単純(あるいは完全可約)であるとは、単純(既約)部分加群の直和であるということである。
環が(左)半単純であるとは、自身の上の左加群として半単純であることをいう。驚くべきことに、左半単純環は右半単純環でもあり、逆もまた然り。それゆえ左右の区別は不要である。
補題は非可換単位的環 R 上の右加群に対しても成り立つ。結果の定理は ジャコブソン・東屋の定理 (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある。
J(R) を R のジャコブソン根基とする。U が環 R 上の右加群で I が R の右イデアルであれば、U·I を u·i の形の元のすべての(有限)和の集合、ただし · は単純に R の U 上の作用、と定義する。U·I は U の部分加群である。
V が U の極大部分加群であれば、U/V は単純加群である。なので U·J(R) は J(R) の定義と U/V が単純であるという事実によって V の部分集合である。したがって、U が少なくとも1つの(真の)極大部分加群を含めば、U·J(R) は U の真の部分加群である。しかしながら、これは R 上の任意の加群 U に対しては成り立つとは限らない、というのも U が極大部分加群を含まないこともあるからだ。もちろん、U がネーター加群であれば、これは成り立つ。R がネーター環であり U が有限生成であれば、U は R 上のネーター加群であり、結論が成り立つ。注目すべきなのはより弱い仮定、すなわち U が R-加群として有限生成(R についての有限性の仮定はない)で結論を保証するのに十分であるということである。本質的にこれが中山の補題のステートメントである。
正確に言えば、
中山の補題: U を環 R 上の有限生成右加群とする。U が 0 でなければ、U·J(R) は U の真の部分加群である。