約数関数
オイラーは約数関数が以下のように表されることを示した。
σ 1 ( n ) = σ 1 ( n − 1 ) + σ 1 ( n − 2 ) − σ 1 ( n − 5 ) − σ 1 ( n − 7 ) + σ 1 ( n − 12 ) + σ 1 ( n − 15 ) − . . . = ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i + 1 ( σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 − i ) ) + σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 + i ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)-...\\&=\sum _{i=1}^{\infty }{(-1)^{i+1}}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}+i)\right)\right)\end{aligned}}}
なおこの数式で、 n < 0 {\displaystyle n<0} のとき σ 1 ( n ) = 0 {\displaystyle \sigma _{1}(n)=0} とし、 σ 1 ( 0 ) = n {\displaystyle \sigma _{1}(0)=n} とする。