ベータ関数
スターリングの公式より, 複素数 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} の実部が十分大きな正の値であるとき,
B ( x , y ) ∼ 2 π x x − 1 / 2 y y − 1 / 2 ( x + y ) x + y − 1 / 2 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}\,y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}}.}
一方, x {\displaystyle x} が十分大きく y {\displaystyle y} が固定されているとき,
B ( x , y ) ∼ Γ ( y ) x − y . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim \mathrm {\Gamma } (y)\,x^{-y}.}