双有理幾何学
小平次元は、次元 n のすべての多様体を、小平次元 -∞, 0, 1, ..., n として n+1 個のタイプに分類する。このタイプは多様体の複雑さを測るものであり、射影空間は小平次元 -∞ をとなる。もっと複雑な多様体は小平次元が、普通の次元 n に等しいときであり、一般型の多様体と呼ばれる。
さらに一般的に、r ≥ 0 に対しての余接バンドル Ω の r 番目のテンソル積の自然な和 E(Ω) について、大域的切断のベクトル空間 H(X,E(Ω)) は滑らかな射影多様体の双有理不変量である。
特に、ホッジ数 h = dim H(X,Ω) は X の双有理不変量である。(ほとんどのほかのホッジ数 h は、以下でみるように、双有理不変量ではない。)
基本群 π1(X) は滑らかな複素射影多様体の双有理不変量である。
2002年にAbramovich, Karu, Matsuki, と Włodarczyk (2002) により証明された「弱分解定理」は、2つの滑らかな複素射影多様体の間の任意の双有理写像は、滑らかな多様体への有限個のブローアップとブローダウンに分解することができる。しかし、これが2つの滑らかな射影多様体が双有理であるかどうかを判定することは極めて難しいことを知っておくことが大切である。