確率変数
確率変数が同値と見なされるには「等しい」「ほとんど確実に等しい」「分布が等しい」といった、いくつかの異なる意味がある。強さの順に並べると、これらの正確な定義は以下の通り。
2つの確率変数 X と Y が「ほとんど確実に等しい」とは、その2つが異なる確率が 0 であることと同値である。
P  ( X ≠ Y ) = 0. {\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}
これは、以下で定義される距離が0であることとも同値である。
d ∞ ( X , Y ) = ess  sup ω | X ( ω ) − Y ( ω ) | , {\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}
(ただし、ess sup は測度論の意味での本質的上限)
確率論におけるすべての現実的な目的に関して、この同値性の概念は実際に等しい場合と同等の強さをもつ。
X を実数の連続確率分布とした時、Y = X とすると、
F Y ( y ) = P  ( X 2 ≤ y ) {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y)}
y < 0 の時は P  ( X 2 ≤ y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=0} であるので、
F Y ( y ) = 0 {\displaystyle F_{Y}(y)=0} (ただし y < 0)である。
y ≥ 0 の時は P  ( X 2 ≤ y ) = P  ( | X | ≤ y ) = P  ( − y ≤ X ≤ y ) {\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})} であるので、
F Y ( y ) = F X ( y ) − F X ( − y ) {\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})} (ただし y ≥ 0)である。
確率変数 X : Ω → R {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} } が確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} 内に定義されたとすると、「X の値が2をとる確率はいくつか?」等と問うことができる。これは事象 { ω : X ( ω ) = 2 } {\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}} の確率と同じであり、しばしば短く P ( X = 2 ) {\displaystyle P(X=2)} や p X ( 2 ) {\displaystyle p_{X}(2)} と記述される。
実数確率変数 X が示す範囲の確率を全て記録すると、X の確率分布が得られる。確率分布は X の定義に使われた特定の確率空間を「忘れる」ので、X の様々な値の確率を記録するのみである。