パーセヴァルの等式
以下に述べるように、この等式はより一般の可分ヒルベルト空間におけるピタゴラスの定理と見なされる。内積〈•,•〉を備えるヒルベルト空間を H とし、(en) を H の正規直交基底とする。すなわち en の線型包は H において稠密であり、en は次を満たす意味で互いに正規直交である:
⟨ e m , e n ⟩ = { 1 if m = n 0 if m ≠ n . {\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}}
このとき、パーセヴァルの等式によると、すべての x ∈ H に対して次が成立する。
∑ n | ⟨ x , e n ⟩ | 2 = ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}.}
この等式は、正規直交基底に対するベクトルの各成分の二乗の和が、そのベクトルの長さの二乗に等しいという点でピタゴラスの定理と直接的に関係する。