接続 (ファイバー束)
u ∈ M {\displaystyle u\in M} における接ベクトル v ∈ T u M {\displaystyle v\in T_{u}M} に対し、 e ∈ E u {\displaystyle e\in E_{u}} に v {\displaystyle v} のeでの水平リフトを対応させる
e ∈ E u ↦ L i f t e ( v ) ∈ H e ⊂ T e E {\displaystyle e\in E_{u}\mapsto \mathrm {Lift} _{e}(v)\in {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}E}
をファイバー E u {\displaystyle E_{u}} 上の切断とみなしたものを L i f t ( v u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})} と書く。
2つのベクトル v u , w u ∈ T u M {\displaystyle v_{u},w_{u}\in T_{u}M} に対し、 L i f t ( v u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})} 、 L i f t ( w u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (w_{u})} はいずれも E u {\displaystyle E_{u}} 上のベクトル場なので、曲率形式Ωに対して、
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を具体的に表記する。Vをベクトル空間とし、 ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)} を構造群Gの(なめらかな)線形表現とするとき、ρはGのリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} から G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} のリー代数 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} への写像
ρ ∗ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho _{*}~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
を誘導する。 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} はV上の線形写像全体と自然に同一視できるので、 u ∈ g {\displaystyle u\in {\mathfrak {g}}} と v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対し、 ρ ∗ ( u ) {\displaystyle \rho _{*}(u)} をvに作用させた
ρ ∗ ( u ) v {\displaystyle \rho _{*}(u)v}
を定義できる。
次に我々は主バンドルの接続とベクトルバンドルの接続の関係を見る。そのための準備として本節では「G-フレーム」、および「G-フレームバンドル(英語版)」の概念を導入する。
ω : T P → g {\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
で以下を満たすものを P {\displaystyle P} の接続形式という:
任意の A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ω p ( A _ p ) = A {\displaystyle \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A}
任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ( R g ) ∗ ω p = ( A d g − 1 ) ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}}
主バンドルとしての接続から前述の方法でPの接続形式が定まり、逆に接続形式ωが0になる方向を水平方向とすることでPに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。
c ( t ) {\displaystyle c(t)} を R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上の以下のような閉曲線とする: O ∈ R 2 {\displaystyle O\in \mathbb {R} ^{2}} から t {\displaystyle t} だけ右に動き、 t {\displaystyle t} だけ上に動き、 t {\displaystyle t} だけ左に動き、 t {\displaystyle t} だけ下に動く。
このとき φ ∘ c ( t ) {\displaystyle \varphi \circ c(t)} に沿って、 φ ( O ) {\displaystyle \varphi (O)} のファイバー E φ ( O ) {\displaystyle E_{\varphi (O)}} の点eを平行移動したものは、
e t = Φ 2 − t ∘ Φ 1 − t ∘ Φ 2 t ∘ Φ 1 t ( e ) {\displaystyle e_{t}=\Phi _{2}^{-t}\circ \Phi _{1}^{-t}\circ \Phi _{2}^{t}\circ \Phi _{1}^{t}(e)} where Φ i t := exp  ( t ∂ i ∗ ) {\displaystyle \Phi _{i}^{t}:=\exp(t\partial _{i}^{*})}
に等しい。
d ω := H ∗ ∘ d : A k ( P ; V ) → A k + 1 ( P ; V ) {\displaystyle d_{\omega }:=H^{*}\circ d~:~{\mathcal {A}}^{k}(P;V)\to {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)}
を接続ωに関する次数kの共変外微分(英: covariant exterior derivative)という。
共変外微分は通常の外微分と違い、 d ω d ω {\displaystyle d_{\omega }d_{\omega }} は0になるとはかぎらないが、 V {\displaystyle V} が構造群Gのリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} である場合には、以下の関係式を示すことができる。以下でΩは接続形式ωに関する曲率である:
定理 ― ω ∈ A 1 ( P ; g ) {\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}^{1}(P;{\mathfrak {g}})} 、 Ω ∈ A 2 ( P ; g ) {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}^{2}(P;{\mathfrak {g}})} であり、以下が成立する:
d ω ω = Ω {\displaystyle d_{\omega }\omega =\Omega }
((第二)ビアンキ恒等式) d ω Ω = 0 {\displaystyle d_{\omega }\Omega =0}
本節では同伴接続の共変微分が主接続の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。
π : P × G F → M {\displaystyle \pi ~:~P\times _{G}F\to M} を主バンドル P → M {\displaystyle P\to M} と作用 G ↷ F {\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F} から定義されたFバンドルとする。
さらに P → M {\displaystyle P\to M} に接続形式がωの接続形式が定義されているとし、この接続が π : P × G F → M {\displaystyle \pi ~:~P\times _{G}F\to M} に誘導する接続の共変微分を∇とする。
そして p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、
ψ p : a ∈ F → [ ( p , a ) ] ∈ P × G F {\displaystyle \psi _{p}~:~a\in F\to [(p,a)]\in P\times _{G}F}
とする。
平行移動の概念を以下のように定義する:
定義 (平行移動) ― M上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義された切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が平行であるとは、
d s d t ( t ) ∈ H s ( t ) {\displaystyle {ds \over dt}(t)\in {\mathcal {H}}_{s(t)}}
が任意のtに対して成立する事をいう。さらにt0、t1を2つの時刻とするとき、 s ( t 1 ) {\displaystyle s(t_{1})} は s ( t 0 ) {\displaystyle s(t_{0})} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動した元であるという
接続の定義から、
π ∗ | H e : | H e → T π ( e ) M {\displaystyle \pi _{*}|_{{\mathcal {H}}_{e}}:|~{\mathcal {H}}_{e}\to T_{\pi (e)}M}
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
定義から明らかなように、接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が平坦であるという事は、超平面の族 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が可積分である事と同値である。
フロベニウスの定理を用いると、次が成立する事を証明できる:
定理 (曲率と可積分性の関係) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとするとき、以下の3つは同値である:
{ H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} は平坦な接続である
超平面の族 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} は可積分である
{ H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} の曲率形式Ωは恒等的に0に等しい。
したがって曲率形式は水平部分空間 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が可積分ではない度合いを表す量である。