ウェブスターのホルン方程式
ウェブスターのホルン方程式は以下の流体力学的な考察によって導出される。断面 x {\displaystyle x} および x + Δ x {\displaystyle x+\Delta x} によって囲まれる体積 Δ V = S ( x ) Δ x {\displaystyle \Delta V=S(x)\Delta x} の領域について、時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} におけるこの領域の質量の変化分は、断面 S ( x ) {\displaystyle S(x)} からの流入量と断面 S ( x + Δ x ) {\displaystyle S(x+\Delta x)} からの流出量の差し引き
S ( x ) ρ ( x ) v ( x ) Δ t − S ( x + Δ x ) ρ ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) Δ t = − ∂ ( S ρ v ) ∂ x Δ x Δ t {\displaystyle S(x)\rho (x)v(x)\Delta t-S(x+\Delta x)\rho (x+\Delta x)v(x+\Delta x)\Delta t=-{\frac {\partial (S\rho v)}{\partial x}}\Delta x\Delta t}
断面積 S {\displaystyle S} が S = B x − 2 ε {\displaystyle S=Bx^{-2\varepsilon }} ( B {\displaystyle B} , ε {\displaystyle \varepsilon } は定数)により与えられる管を Bessel horn と呼ぶ。 ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} のときは単なる円柱に、 ε = − 1 {\displaystyle \varepsilon =-1} のときは円錐管に帰着する。Bessel horn における定在波は
p ( x ) = A x ε + 1 / 2 J ε + 1 / 2 ( k x ) {\displaystyle p(x)=Ax^{\varepsilon +1/2}J_{\varepsilon +1/2}(kx)}
とベッセル関数を用いて表示することができる(なおノイマン関数 N ε + 1 / 2 {\displaystyle N_{\varepsilon +1/2}} に対応するもうひとつの独立解も存在する)。