極限集合
微分方程式系で定義される連続力学系の場合、極限集合は次のように定義される。相空間を R とし、相空間上の点を x とすれば、
x ̇ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}
によってベクトル場が定義される。このベクトル場に対して、初期点 x0 を通り、時間 t ∈ R を x へ写す流れを φt (x0) と表す。このとき、ある相空間上の点 y ∈ R が φt (x0) の ω 極限点であるとは、n → ∞ で tn → ∞ となるような時刻の点列に対し、
lim n → ∞ φ t n ( x 0 ) = y {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\phi _{t_{n}}(x_{0})=y}
を満たすことである。言い換えると、 tn → ∞ としたときに φtn (x0) が持つ相空間上の集積点が ω 極限点である。そして、x0 を通る流れ φt (x0) のω 極限点全てから成る集合を、ω 極限集合という。