カーダー・パリージ・ザン方程式
h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} は、時刻 t {\displaystyle \textstyle t} での x → {\displaystyle \textstyle {\vec {x}}} における界面の高さを表し、 ν {\displaystyle \textstyle \nu } は界面張力、 λ {\displaystyle \textstyle \lambda } は非線形効果の強さ、 η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} は確率的なノイズを表す。ノイズ項 η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} は、
{ ⟨ η ( x → , t ) ⟩ = 0 ⟨ η ( x → , t ) η ( x → ′ , t ′ ) ⟩ = 2 D δ d ( x → − x → ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\right\rangle &=0\\\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle &=2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)\end{aligned}}\right.