ブルバキ・ヴィットの定理
y ∈ X を適当にとって固定し、順序数全体の類 On の上の関数 K: On → X を、
K(0) = y
K(α + 1) = f(K(α))
と再帰的に定義する。β が極限順序数のときは、その定義の仕方から
{K(α) | α < β}
は、X の中の全順序部分集合であるから、
K(β) = sup{K(α) | α < β}
と定義する。K: On → X は、単調増加関数である。仮に、K が狭義単調増加であれば、On から集合 X の中への単射となり、ハルトークスの補題と矛盾する。順序数 α, β について、α < β, K(α) = K(β) であれば、
K(α) = K(α + 1) = ⋯ = K(β)
である。
x = K(α)
とおけば、x = K(α) = K(α + 1) = f(K(α)) = f(x) である。