ニュートンの恒等式
x1,...,xnを変数とし、 k ≥1について pk(x1,...,xn )を k次のべき乗和:
p k ( x 1 , ... , x n ) = ∑ i = 1 n x i k = x 1 k + ⋯ + x n k , {\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\dots +x_{n}^{k},}
とする。そして、k ≥ 0 について ek(x1,...,xn )をk次の基本対称式とする。これはk個の相異なる変数の関の和である。
e 0 ( x 1 , ... , x n ) = 1 , e 1 ( x 1 , ... , x n ) = x 1 + x 2 + ⋯ + x n , e 2 ( x 1 , ... , x n ) = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j , e n ( x 1 , ... , x n ) = x 1 x 2 ⋯ x n , e k ( x 1 , ... , x n ) = 0 , for k > n . {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\e_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n},\\e_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}
= 1 r 1 ! ⋯ r n ! [ m ( r 1 + ⋯ + r n ) − m ] [ r 1 + ⋯ + r n − 2 ] ! = m ( r 1 + ⋯ + r n − 1 ) ! r 1 ! ⋯ r n ! {\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\[8pt]={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[r_{1}(m-1)+\cdots +r_{n}(m-n)\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[m(r_{1}+\cdots +r_{n})-m\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}}
また別の導出は、形式的べき級数 R[t] を用いて得ることができる。ここで R はx1,..., xn を変数とする整数上の多項式環 Z[x1,..., xn] である。
基本的な関係
∏ i = 1 n ( t − x i ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k t n − k {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(t-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}
ここで t を1/t で置き換え、両辺に t をかけることにより、負指数のべき乗を取り除く。
∏ i = 1 n ( 1 − x i t ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k t k . {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{k}.}
両辺を入れ替え、ai を基本対称式で表すことで以下の式を得る。
∑ k = 0 n ( − 1 ) k e k ( x 1 , ... , x n ) t k = ∏ i = 1 n ( 1 − x i t ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t).}
両辺をt について形式的に微分し、t をかけることで、以下の式を得る。
∑ k = 0 n ( − 1 ) k k e k ( x 1 , .
ここで、右辺の多項式はまず有理関数に変形され、次に以下の公式により変形される。
X 1 − X = X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {X}{1-X}}=X+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+\cdots ,}
最後にt の係数を比較することで以下の式が得られる。
( − 1 ) k k e k ( x 1 , ... , x n ) = ∑ j = 1 k ( − 1 ) k − j − 1 p j ( x 1 , ... , x n ) e k − j ( x 1 , ... , x n ) , {\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}
k 番目のニュートンの恒等式を与える。