滑らかな射
S をスキームとし、 char  ( S ) {\displaystyle \operatorname {char} (S)} を自然な射 S → Spec  Z {\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } の像とする。滑らかな基底変換定理(smooth base change theorem)とは次のことである。 f : X → S {\displaystyle f:X\to S} を準コンパクト射、 g : S ′ → S {\displaystyle g:S'\to S} を滑らかな射、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X et {\displaystyle X_{\text{et}}} 上の捩れ層(torsion sheaf)とする。全ての 0 ≠ p {\displaystyle 0\neq p} in char  ( S ) {\displaystyle \operatorname {char} (S)} に対して p : F → F {\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}} が単射ならば、基底変換射 g ∗ ( R i f ∗ F ) → R i f ∗ ′ ( g ′ ∗ F ) {\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})} は同型写像である。
滑らかな射には多くの同値な定義がある。 f : X → S {\displaystyle f:X\to S} を局所的に有限表示な射とすると、以下は同値である。
f は滑らか。
f は形式的に滑らか(後述)。
f は平坦で、相対微分1形式の層(英語版) Ω X / S {\displaystyle \Omega _{X/S}} は局所自由層でその階数は X / S {\displaystyle X/S} の相対次元。
任意の x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対し、ある x の近傍 Spec  B {\displaystyle \operatorname {Spec} B} と f ( x ) {\displaystyle f(x)} の近傍 Spec  A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} が存在し、 B = A [ t 1 , ... , t n ] / ( P 1 , ... , P m ) {\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})} と書け、m 行 m 列の小行列式 ( ∂ P i / ∂ t j ) {\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})} で生成されたイデアルが B となる。