等長写像
以下では X をノルム空間とする。X の部分集合 W に対して、f(W):= {f(x) | x∈W} とする。X 内の二つの部分集合 C, C' に対し、等長写像 f が存在して f( C' ) = C が言えるとき、C と C' は合同であるという。また、aC:= {ax | x∈C} としたとき、ある正数 k が存在して f( C' ) = kC がいえれば、C と C' は相似であるという。
X がさらに計量ベクトル空間であって、||x|| = <x, x> であり、f が線形変換ならば、f は内積を変えない。これは次のようにして分かる。X の元 x, y に対し、内積の実部に関して
となる。虚部が等しいことは、x を -ix に置き換えると <-ix, y> の実部が <x, y> の虚部に等しいことから確かめられる。逆に内積を保てばもちろん等長写像になる。