スペクトル分解 (関数解析学)
ヒルベルト空間上の有界な自己共役作用素は、バナッハ空間上の有界作用素である。
バナッハ空間の構成とは異なり、合併
σ ( T ) = σ ̄ p p ( T ) ∪ σ a c ( T ) ∪ σ s c ( T ) {\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}
は必ずしも非交和(disjoint)でなくてもよい。これが非交和となるのは、作用素 T の重複度(multiplicity)が一様に m であるとき、すなわち、あるボレル測度 μ i {\displaystyle \mu _{i}} に対して、直和
⊕ i = 1 m L 2 ( R , μ i ) {\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}
上での λ 倍と T がユニタリ同値であるときである。上述の式に 1 より多い測度があらわれるとき、それら三種類のスペクトルの合併は非交和でないことがあり得ることが分かる。
λ ∈ σac(T) ∩ σpp(T) であるとき、λ はしばしば絶対連続スペクトルに「埋め込まれた(embedded)」固有値と呼ばれる。
T が
L 2 ( R , μ ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu )}
の λ 倍とユニタリ同値であるとき、ボレル汎函数計算による σ(T) の分解は、バナッハ空間の場合を改善したものである。
が成立する。したがって
λ 2 d μ h = d μ k {\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}\,}
であり、k ∈ Hac が成立する。さらに、スペクトル定理を適用することで
H = H a c ⊕ H s c ⊕ H p p {\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }}
が得られる。これは次の定義につながる:
Hac に制限された T のスペクトルは、T の絶対連続スペクトル(absolutely continuous spectrum)と呼ばれ、σac(T) と表記される。
Hsc に制限された T のスペクトルは、T の特異スペクトル(singular spectrum)と呼ばれ、σsc(T) と表記される。
T の固有値の集合は T の純点スペクトル(pure point spectrum)と呼ばれ、σpp(T) と表記される。
T の固有値の閉包は、Hpp に制限された T のスペクトルである。したがって
σ ( T ) = σ a c ( T ) ∪ σ s c ( T ) ∪ σ ̄ p p ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}}
が成立する。