数列の極限
距離空間 (X, d) の点 x が点列 (xn) の極限であるとは、任意の ε > 0 に対して、ある N が存在して、任意の n ≥ N に対して、d(xn, x) < ε となることをいう。これは X = R, d(x, y) = |x − y| のとき実数に対して与えられた定義と一致する。
X がハウスドルフ空間ならば点列の極限は存在すれば一意である。これは一般の場合には必ずしも正しくないことに注意;特に、2点 x, y が位相的に識別不可能(英語版)ならば、x に収束する任意の点列は y に収束しなければならない。
任意の連続関数 f に対して、xn → x のとき f(xn) → f(x) である。実は、関数 f が連続であることと点列の極限を保つことは同値である。
点列の極限は存在すれば一意である。なぜならば、相異なる点はある正の距離によって離れているため、この距離の半分よりも小さい ε に対して、点列の項は両方の点から距離 ε 以内にいることは出来ない。