GCD整域
↑ 非零元全体がGCD閉集合 (Weisstein, Eric W. "GCD-Closed Set". mathworld.wolfram.com (英語).)
↑ このGCDの存在とLCMの存在の同値性は、完備束に関する同様の性質の系ではない。実際、GCD整域 R に対し後述の R/∼ は完備束になるとは限らない。
↑ ここでいう最大や最小は整除関係による順序に関するものであって、その意味で零元 0 は除外して考えるのが自然だが、0 をも含めて GCD や LCM を定義する場合もある。例えば gcd(0,a) ≔ a や lcm(0, a) ≔ 0 など約束する。
↑ non-atomic なので
↑ X と R の非可逆非零元 a は 1 を含まないイデアルを生成するが、それにも関わらず 1 は X と a の GCD であるので