可微分多様体
f が M のすべての点ではめ込みであり像の上への同相写像であれば、f は埋め込みである。埋め込みは M が N の部分多様体であるという概念を定式化する。一般に、埋め込みは自己交叉や他の局所的でない位相的特異性を持たないはめ込みである。
m ≥ n で、f: M → N が p ∈ M でランク n を持てば、f は p での沈めこみ (submersion) と呼ばれる。陰関数の定理は f が p での沈めこみであれば M は p の近くで局所的に N と R の積であると述べている。正式に言えば、f(p) ∈ N の近傍における座標 (y1, ..., yn) と、p ∈ M の近傍において定義された m−n 個の関数 x1, ..., xm−n であって
( y 1 ∘ f , ... , y n ∘ f , x 1 , ... , x m − n ) {\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}
が p の近傍における M の局所座標系であるようなものが存在する。沈めこみはファイブレーション(英語版)とファイバー束の理論の基礎をなす。
多様体に C 構造を与える別のアプローチを使うことが便利なことがある。ここで k は 1, 2, ..., ∞, あるいは実解析的多様体に対して ω, である。座標チャートを考える代わりに、多様体自身の上に定義された関数から始めることができる。M の構造層、C と表記する、は、各開集合 U ⊂ M に対して連続関数 U → R の代数 C(U) を定義する関手の一種である。構造層 C が n 次元 C 級多様体の構造を M に与えるとは、任意の p ∈ M に対して、p の近傍 U と n 個の関数 x, ..., x ∈ C(U) が存在して、写像 f = (x, ..., x): U → R が R の開集合の上への同相写像で、C|U が R 上の k 回連続微分可能な関数の層の引き戻し(英語版)となることをいう。
とくに、この後者の条件が意味するのは、V に対して任意の関数 h ∈ C(V) は h(x) = H(x(x),...,x(x)), ただし H は f(V)(R の開集合)上の k 回微分可能な関数、と一意的に書けるということである。したがって、層論的な視点は、可微分多様体上の関数は局所座標において R 上の微分可能な関数として表現でき、a fortiori にこれは多様体上の微分構造を特徴づけるのに十分であるということである。
M と N を次元がそれぞれ m と n の可微分多様体とし、f を M から N への写像とする。可微分多様体は位相空間であるから f が連続であるとはどういう意味かを知っている。しかし k ≥ 1 に対して「f は C(M, N) である」とはどういう意味であろうか?f がユークリッド空間の間の関数のときにはそれがどういう意味か知っているので、 f を M のチャートと N のチャートと合成してユークリッド空間から M へ行き N へ行きユークリッド空間へ行く写像を得ると、その写像が C(R, R) であるということの意味を知っている。「f は C(M, N) である」ということを f のチャートとのすべてのそのような合成が C(R, R) であるいうことだと定義する。再びチェーンルールにより微分可能性のアイデアが M と N のアトラスのどのチャートが選ばれたかに依らないことが保証される。しかしながら、微分そのものの定義はより微妙である。M あるいは N がそれ自身既にユークリッド空間であれば、それをユークリッド空間に写すチャートは必要ない。