四平方定理
偶数の素数2に関しては、 2 = 1 2 + 1 2 {\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}} より明らかである。
次に奇素数 p {\displaystyle p} について証明する。 p − 1 {\displaystyle p-1} が p {\displaystyle p} の平方剰余であれば、
s 1 2 ≡ − 1 ( mod p ) s 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&s_{1}^{2}\equiv -1\;(\operatorname {mod} \;p)\\&s_{1}^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}}
となる s 1 {\displaystyle s_{1}} が存在する。 p − 1 {\displaystyle p-1} が平方非剰余であれば、 1 ≤ k < p − 1 {\displaystyle 1\leq {k}<p-1} で k {\displaystyle k} が平方剰余、 k + 1 {\displaystyle k+1} が平方非剰余となるものが存在する。 ( − 1 ) ( k + 1 ) {\displaystyle (-1)(k+1)} は二個の平方非剰余の積であるから平方剰余である。従って、