順序対
数学における順序対(じゅんじょつい、英: ordered pair)は、一口に言えば対象を「対」にしたものである。二つの対象 a, b の順序対をふつうは (a, b) で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち a = b でない限り (a, b) という対と (b, a) という対とが相異なる。
順序対 (a, b) において、対象 a を第一成分 (first entry, first component), 対象 b を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二座標や、左射影・右射影ともいう。
順序対のことを二つ組とか長さ 2 の列(計算機科学方面ではリスト)とも呼ぶ。あるいは、スカラー(数量)の順序対は二次元の(数)ベクトルである。順序対の成分となる対象として、別の順序対を取ることもでき、それによって順序 n-組の再帰的定義が可能になる。例えば、順序三つ組 (a, b, c) を、ひとつの対を別の対へ入れ子にした (a, (b, c)) として定義できる。
直積集合やその部分集合である二項関係(これは対応と言っても同じであり、また従って当たり前のように目にする写像や函数もこれに含まれる)はZFという数学基礎論的な公理体系を背景とした順序対を用いて定義される。
(a, b)reverse = {{b}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} = (b, a)K であることに注意すれば簡明である。 十分性 a = c かつ b = d ならば {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}} ゆえ (a, b)reverse = (c, d)reverse を得る。 必要性(a, b)reverse = (c, d)reverse ならば (b, a)K = (d, c)K ゆえに b = d かつ a = c である。