数値解析
入力や計算の途中に発生した誤差は計算の過程で後に伝播していく。実際、電卓やコンピュータでの(浮動小数点数の)加算は正確ではなく、反復計算をすると計算はさらに不正確になっていく。このような誤差の研究から数値的安定性の概念が生まれた。あるアルゴリズムが数値的に安定であるとは、誤差が発生・伝播したときに計算が進むにつれてその誤差があまり拡大しないことを意味する。これは問題が良条件の場合にのみ可能である。良条件とは、データが少しだけ変化したとき、解も少しだけ変化するような性質を持つことを意味する。逆に問題が悪条件であれば、データに含まれる誤差は大きく成長する。
しかし、良条件の問題であってもそれを解くアルゴリズムが数値的に安定であるとは限らない。数値解析の技術は、良条件の問題を解く安定なアルゴリズムを見つけるためにある。例えば、2の平方根(約 1.41421)の計算は良条件問題である。
数値解析(すうちかいせき、英: numerical analysis)は、計算機代数(英語版)とは対照的に、数値計算によって解析学の問題を近似的に解く数学の一分野である。 (狭義には「数値解析」とは「数値計算方法」の数学的な解析・分析(mathematical analysis of numerical methods)のことであり,広義の意味=数値を使って問題の解析・分析を行う(Analysis by numerical methods)・式でなく数値で計算を行う「数値計算」(numerical computation, numerical calculation)全般とは区別される。しかし世間一般には両者はあまり区別されていない。理学工学等の分野の応用として計算を行う場合には普通は広義の意味で「数値解析」と称している。このWikipediaでも区別がなされていない。本来この頁のタイトルは「数値解析」ではなくて「数値計算」とする方が正しい。
基本的な問題のひとつとして、与えられた方程式の解を計算する問題がある。その方程式が線型か否かによって手法が分類される。例えば、 2 x + 5 = 3 {\displaystyle 2x+5=3} は線型だが、 2 x 2 + 5 = 3 {\displaystyle 2x^{2}+5=3} は線型ではない。
さらに、連続問題を近似的に離散問題に置き換えて解くことが必要になる。この置き換え操作を「離散化(discretization)」という。たとえば、微分方程式を解く場合が挙げられる。数値的に微分方程式を解くためには、データの数が有限でなければ現実には扱うことができない。そこでたとえば微分方程式の定義領域が連続なものであっても、そのなかから有限個の点を適切に代表点として選び、元の微分方程式をそれらの点での値についてだけの関係に置き換えて扱う。