閉包 (位相空間論)
X が実数全体の成す一次元ユークリッド空間 R のとき、cl((0, 1)) = [0, 1] が成り立つ。
X = R のとき、有理数全体の成す部分集合 Q の閉包は R 全体に一致する。これを以って Q は R において稠密であるという。
X をガウス平面 C = R とすれば cl({z ∈ C : |z| > 1}) = {z ∈ C : |z| ≥ 1} が成り立つ。
S がユークリッド空間の有限部分集合ならば cl(S) = S が成り立つ。一般の位相空間においてこの性質は T1-分離公理と同値である。
実数全体の成す集合 R に通常の位相とは異なる位相を入れる場合には、先の例とは結果が異なりうる。
X = R で R に下極限位相を入れるとき、cl((0, 1)) = [0, 1) が成り立つ。
R の全ての部分集合が(開かつ)閉であるような位相を考えれば、cl((0, 1)) = (0, 1) が成り立つ。
R 上の位相で、空集合と R 自身のみが(開かつ)閉となるものを考えれば、cl((0, 1)) = R が成り立つ。