グジェゴルチク階層
グジェゴルチク階層は超限順序数に一般化できる。そのような拡張として急成長階層が定義される。それには、極限順序数に対する生成関数 E α {\displaystyle E_{\alpha }} を帰納的に定義しなければならない(後続型順序数に対しては E α + 1 ( n ) = E α n ( 2 ) {\displaystyle E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)} とすればよい。) もし極限順序数 λ {\displaystyle \lambda } の基本列 λ m {\displaystyle \lambda _{m}} を作る一般的な方法があれば、 生成関数は E λ ( n ) = E λ n ( n ) {\displaystyle E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)} と定義できる。ところがこの定義は基本列を作る方法に依存する。Rose(1984)は任意の順序数 α < ε0 に対する基本列の一般的な構成法を提案した。
独自の拡張としては Martin Löb と Stan S. Wainer(1970)による Löb–Wainer 階層がある。
, g m ( u ̄ ) ) {\displaystyle f({\bar {u}})=h(g_{1}({\bar {u}}),g_{2}({\bar {u}}),\dots ,g_{m}({\bar {u}}))} も同様); および
限定(原始)再帰 (もし g, h と j が E n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}} に属し f ( t , u ̄ ) ≤ j ( t , u ̄ ) {\displaystyle f(t,{\bar {u}})\leq j(t,{\bar {u}})} , f ( 0 , u ̄ ) = g ( u ̄ ) {\displaystyle f(0,{\bar {u}})=g({\bar {u}})} , f ( t + 1 , u ̄ ) = h ( t , u ̄ , f ( t , u ̄ ) ) {\displaystyle f(t+1,{\bar {u}})=h(t,{\bar {u}},f(t,{\bar {u}}))} ならば、 f もまた E n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}} に属す)
換言すれば E n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}} は B n = { Z , S , ( p i m ) i ≤ m , E k : k < n } {\displaystyle B_{n}=\{Z,S,(p_{i}^{m})_{i\leq m},E_{k}:k<n\}} を含み関数合成と限定原始再帰で閉じた最小の集合(閉包)である。