連分数
(1, 2。循環節の長さは 2)
黄金数の逆数 φ = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...](1。循環節の長さは 1)
白銀数 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,...](2。循環節の長さは 1) 白銀数の逆数 1 1 + 2 = − 1 + 2 = [ 0 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , ... ] {\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-1+{\sqrt {2}}=[0;2,2,2,2,2,2,\dots ]} (2。循環節の長さは 1)
以上は二次無理数であるので、循環する連分数展開を持つ。
ネイピア数は超越数であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。
ネイピア数 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...](オンライン整数列大辞典の数列 A003417)
円周率の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。
連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}}
ここで a0 は整数、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。
連分数を式で表す際には次のような書き方もある。