算術幾何数列
算術幾何数列は、ある種の人口変動(変動率が一定)のモデリングとして現れる。例えば、常に 10 の流入と 5% の流出があることを u n + 1 = u n + 10 − 5 100 × u n {\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}} と書ける。
算術幾何数列は返済計画(フランス語版)にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、n か月後に残った借金 Rn の成す数列 (Rn) は漸化式 R n + 1 = ( 1 + t ) R n − M {\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M} を満たし、算術幾何数列を成す。
算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。推移確率行列(英語版) を
とすると、関係式
から p n + 1 = a p n + ( 1 − b ) q n {\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}} が得られ、一方 q n = 1 − p n {\textstyle q_{n}=1-p_{n}} であったから、代入して
を得る。
算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 u n + 1 = ( a + 1 ) u n − a u n − 1 {\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}} の解として与えられる。
算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる: b = u n 2 − u n − 1 u n + 1 u n − u n − 1 . {\displaystyle b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.}
算術幾何数列の階差数列 w n = u n + 1 − u n {\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}} は、公比 a の幾何数列である。
算術幾何数列の部分和の列 Sn は三階の線型回帰数列で S n + 1 = ( a + 2 ) S n − ( 2 a + 1 ) S n − 1 + a S n − 2 {\displaystyle S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}} を満足する。
部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。