ホモロジー代数学
哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象(位相空間、単体的複体、R-加群)に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。
2つの対象 X と Y がそれらの間の写像 f で結ばれている。ホモロジー代数学は f によって誘導される、X と Y に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。圏論の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の関手的性質を研究する。
対象 X は複数の記述ができる(例えば、位相空間としておよび単体的複体として)、または、複体 C ∙ ( X ) {\displaystyle C_{\bullet }(X)} は自然でない選択を含む X のある '表現' を使って構成される。X に伴ったチェイン複体の X の記述の変更の効果を知ることが重要である。一般的には、複体とそのホモロジー H ∙ ( C ) {\displaystyle H_{\bullet }(C)} はその表現に関して関手的である。そしてホモロジーは(複体自身でないけれども)選択した表現とは実は独立であり、したがってそれは X の不変量である。
2つのアーベル圏 A と B の間に共変左完全関手 F : A → B が与えられているとしよう。0 → A → B → C → 0 が A における短完全列であれば、F を施すことで完全列 0 → F(A) → F(B) → F(C) を得、次のことを疑問に思うだろう。この列を右に続けて長完全列にするにはどうすればいいだろうか。厳密に言えば、これは不良設定問題である。なぜならば与えられた完全列を右に続けるたくさんの異なる方法が常に存在するからである。しかし、(A が十分 "nice" であれば)それを行う1つのカノニカルな(英語版)方法が存在し、それは F の右導来関手によって与えられる、ということがわかる。すべての i≥1 に対して、関手 RF: A → B が存在し、上記の列は以下のように続く。0 → F(A) → F(B) → F(C) → RF(A) → RF(B) → RF(C) → RF(A) → RF(B) → ... . これから F が完全関手であることと RF = 0 であることが同値であることがわかる。なのである意味 F の右導来関手は F が完全であることから「どの程度離れているか」を測る。