クロネッカーの極限公式
b の元 γ は、b の一つの底を [α, β] とすると整数 m, n を用いて γ = mα + nβ と表せる。底は、必要であれば順序を変えて、τ ≔ β/α = x + iy と置いたとき y > 0 となるように取っておく。また d を k の判別式とする。以上のことを使って部分 ζ 函数を変形すると
ζ ( s , A ) = 1 w ( 2 d ) s ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) y s | m + n τ | 2 s = 1 w ( 2 d ) s E ( τ , s ) {\displaystyle \zeta (s,A)={\frac {1}{w}}\left({\frac {2}{\sqrt {d}}}\right)^{s}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|m+n\tau |^{2s}}}={\frac {1}{w}}\left({\frac {2}{\sqrt {d}}}\right)^{s}E(\tau ,s)}
と表せることがわかる。