プランクの法則
g ( ε ) d ε = 2 1 8 4 π n 2 d n = 8 π L 3 h 3 c 3 ε 2 d ε {\displaystyle g(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,\mathrm {d} n={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,\mathrm {d} \varepsilon }
で与えられる。
この式を方程式 (2) に代入して
U = L 3 8 π h 3 c 3 ∫ 0 ∞ ε 3 exp  ( β ε ) − 1 d ε (3) {\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{\exp \left(\beta \varepsilon \right)-1}}\,\mathrm {d} \varepsilon \qquad {\mbox{(3)}}}
を得る。
この方程式から、周波数の関数 u(ν, T) または波長の関数 u(λ, T) として分光エネルギー密度を容易に導出することができる。
U L 3 = ∫ 0 ∞ u ( ν , T ) d ν {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u(\nu ,T)\,d\nu }
ここで
u ( ν , T ) = 8 π h ν 3 c 3 1 e h ν / k T − 1 {\displaystyle u(\nu ,T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}}
である。