ボーア・モレルップの定理
背理法を用い、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、 f ( ⌊ x 0 ⌋ ) = f ( ⌈ x 0 ⌉ ) = 0 {\displaystyle f(\lfloor {x_{0}}\rfloor )=f(\lceil {x_{0}}\rceil )=0} であるから、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} が存在するためには f ′ ( x 1 ) > 0 , f ′ ( x 2 ) < 0 {\displaystyle f'(x_{1})>0,f'(x_{2})<0} が存在しなければならず、延いては f ′′ ( x 3 ) = ε > 0 {\displaystyle f''(x_{3})=\epsilon >0} が存在しなければならない。これは
f ′′ ( x 3 ) = f ′′ ( x 3 + n ) = d 2 d x 2 log  Γ ( n + x 3 ) − d 2 d x 2 log  G ( n + x 3 ) = ε {\displaystyle f''(x_{3})=f''(x_{3}+n)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {\Gamma (n+x_{3})}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x_{3})}=\epsilon }