幾何化予想
幾何化予想(きかかよそう、英: geometrization conjecture)は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフローを用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
サーストンの言う「基本モデル」の意味は、どの点をとってもその近傍は同じ幾何学構造をもっている抽象的な空間(基本成分)を意味し、トポロジーはできるだけ簡単な形とすることでもある。詳しくは、完備で単連結なリーマン多様体 X {\displaystyle X} で、等長写像 G = I s o m ( X ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathrm {Isom} (X)} を持っている。今述べた閉多様体(closed manifold)の幾何学は、さらにすくなくともこの幾何学を持ったコンパクト多様体であること、すなわち、部分群 H ⊂ G {\displaystyle H\subset {\mathcal {G}}} が存在し、 X / H {\displaystyle X/H} がコンパクトであることが要求される。
幾何化の定式化からは、楕円化予想(英語版)(Elliptization conjecture)、または、球面化予想(Sphericalization conjecture)が予想としてある。
有限群を(自己同型群として)持つ全ての閉 3-次元多様体は球面計量を持ち、従って 3-球面 S 3 / Γ {\displaystyle S^{3}/\Gamma } の商空間である。
さらに双曲化予想(hyperbolization conjecture)が、予想となる。(双曲化定理(英語版)(Hyperbolization theorem)を参照。)
無限群を(自己同型群として)持つ全ての閉 3-次元多様体は、双曲型か、もしくは基本群が Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } に同型な部分群を持つ。
一方、幾何化予想の特別な場合として、良く知られているポアンカレ予想がある。
自明な基本群を持つ全ての閉 3-次元多様体は、3-球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} に同相である。