離散フーリエ変換
信号x(t)を解析するのに使われる。ここでtは時間で[0,T]の範囲をとるものとする。例えば、音声信号の場合は、x(t)は時刻tでの空気の圧力を表現することになる。
この信号はN個の等間隔の点で標本化されて、x0, x1, x2, ... , xN-1 の実数列になる。但し標本化の間隔を Δx(=T/N) とすると xk=x(k Δx) である。これのDFTである f0, ..., fN−1 をFFTで計算できる。ただし標本化定理からこれの半分(Nが偶数とすると、fN/2 + 1, ..., fN−1)は冗長であるので捨てるか無視する。
DFT から得られる |fk|/N は信号の周波数 j/T 成分の振幅の半分の値であり、振幅スペクトルと呼ばれる。また、この偏角である arg(fj) はこの周波数成分の位相を表す。また、|fk|はパワースペクトルと呼ばれ、この周波数成分のエネルギーを表している。
fkは信号x(t)のフーリエ級数の係数に相当するものと考えることができる。そのために、無限に広がるフーリエ級数計算を、有限のサンプル点に対しての DFT を使って近似するという形になる。連続信号の場合はこれをスペクトル推定(spectral estimation)と呼び、色々な推定法がある。(例えば、DFT が有限サンプル点を扱うことに起因するスペクトル漏れの弊害を少しでも和らげるために窓関数(窓))を使うことがよく行われる。)