全有界空間
一般の論理形式での定義は次のようになる:ある空間 X の部分集合 S が全有界集合であるための必要十分条件は、与えられた任意の大きさ E に対し、ある自然数 n と、それぞれの大きさが E 以下であるような X の部分集合の族 A1, A2, ..., An が存在して、S はその族の合併に含まれる(すなわち、その族は S の有限被覆)ことである。これを数学記号で表すと、次のようになる:
∀ E ∃ n ∈ N , A 1 , A 2 , ... , A n ⊆ X ( S ⊆ ⋃ i = 1 n A i and ∀ i = 1 , ... , n s i z e ( A i ) ≤ E ) . {\displaystyle \forall {E}\;\exists {n\in \mathbb {N} }\;,{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\subseteq X}\left(S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\;{\mbox{ and }}\;\forall {i=1,\ldots ,n}\;\mathrm {size} (A_{i})\leq E\right).\!}
空間 X が全有界空間であるための必要十分条件は、自身の部分集合と見なしたときに X が全有界集合であることである(全有界空間を直接定義することも出来る。この場合、ある集合が全有界であるための必要十分条件は、それを部分空間と見なすと全有界空間となっていることである)。
ここでの語「空間」や「大きさ」は曖昧なものであり、様々な方法によってそれらはより正確なものとされる: