単調収束定理
を考える。ただし n は無限大へと近付けるものとする(この極限はネイピア数 e である)。ここで行列の行 n 列 k の成分は
( n k ) / n k = 1 k ! × n n × n − 1 n × ⋯ × n − k + 1 n {\displaystyle {\binom {n}{k}}/n^{k}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}}}
で与えられる。固定された k に対して、その列は実際、n について弱増加であり、1/k! によって上に有界であるが、その行は有限個の多くのゼロでない項しか持たないことより、定理の条件 2 が満たされる。したがって、定理によって、行の和 ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} の極限は、列の極限、すなわち 1 k ! {\displaystyle {\frac {1}{k!}}} の和として計算することができる。
{ a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が単調実数列(すなわち an ≤ an+1 が成立する)であるとき、この数列が有限な極限を持つための必要十分条件は、それが有界数列であることである。