擬微分作用素
0 < α ≤ 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq 2} とする。
p ( x , ξ ) = | ξ | α ( = ( ∑ 1 ≤ j ≤ n ξ j 2 ) α / 2 ) {\displaystyle p(x,\xi )=|\xi |^{\alpha }(=(\sum _{1\leq j\leq n}\xi _{j}^{2})^{\alpha /2})}
とおくと、これを表象に持つ擬微分作用素が存在するが、それは
p ( x , D x ) = [ − ∑ 1 ≤ j ≤ n ( ∂ ∂ x j ) 2 ] α 2 = ( − Δ ) α 2 {\displaystyle p(x,D_{x})=\left[-\sum _{1\leq j\leq n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}\right]^{\frac {\alpha }{2}}=(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}}
と表される。これを分数的ラプラシアン (fractional Laplacian) という。
式 (1) を利用して、微分作用素の一般化としての擬微分作用素を導入する。R 上の擬微分作用素 P(x,D) とは、函数 u(x) における値が x の函数として
で与えられるものとする。ここで、 u ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {u}}(\xi )} は u のフーリエ変換であり、被積分函数に現れる表象 P(x,ξ) は適当な表象クラスに属するものとする。
例えば、P(x,ξ) が R × R 上の無限回微分可能な函数で、任意の多重指数 α, β および x, ξ ∈ R に対して
| ∂ ξ α ∂ x β P ( x , ξ ) | ≤ C α , β ( 1 + | ξ | ) m − | α | {\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}
となるような適当な定数 Cα,β と適当な実数 m が存在するという性質を持つならば、表象 P(x, ξ) はヘルマンダーの表象クラス Sm1,0 に属すると言い、対応する作用素 P(x, D) はクラス Ψm1,0 に属する階数 m の擬微分作用素であるという。