平衡点
次のような微分方程式系が与えられているとする。
d x d t = A x + f ( x , y ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=A{\boldsymbol {x}}+f({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}
d y d t = B y + g ( x , y ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}=B{\boldsymbol {y}}+g({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}
ここで、
x ∈ R c , y ∈ R s {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \mathbf {R} ^{c},\ {\boldsymbol {y}}\in \mathbf {R} ^{s}}
f ( 0 , 0 ) = 0 , g ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle f({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0,\ g({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0}
D f ( 0 , 0 ) = 0 , D g ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle Df({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0,\ Dg({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {0}})=0}
一般に、相空間の1点 x ∈ R を R から R へ写す写像 f (x) の n 回反復 f (x) を考えることで、離散的な時間 n ∈ Z の力学系が定まる。このような離散的力学系に対して f (xe) = xe を満たす xe を不動点という。不動点は任意の時間 n に対して f (xe) = xe を満たす。
不動点 xe では離散的力学系の解軌道は xe に留まり続けることを意味し、写像の不動点と微分方程式の平衡点は同じような性質を持つ。微分方程式の平衡点と同様に、写像の不動点もまた離散的力学系において中心的役割を担う。微分方程式については「平衡点」と呼び、写像については「不動点」と呼び、それぞれを呼び分けることもあれば、これら2つをまとめて「不動点」や「固定点」や「平衡点」と呼ぶこともある。
Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1
船越 満明、2008、『カオス』初版、朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門3〉 ISBN 978-4-254-11613-7
M. ブラウン、一樂 重雄・河原 正治・河原 雅子・一樂 祥子(訳)、2012、『微分方程式 下 ―その数学と応用』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06570-9
K.T.アリグッド;T.D.サウアー;J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012、『カオス 第2巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06279-1
松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
齋藤 利弥、2004、『力学系入門』復刊版、朝倉書店 ISBN 4-254-11722-1
伊藤 秀一、1998、『常微分方程式と解析力学』初版、共立出版〈共立講座 21世紀の数学 11〉 ISBN 4-320-01563-0
柴山 允瑠、2016、「重点解説 ハミルトン力学系 ―可積分系とKAM理論を中心に」、『臨時別冊・数理科学2016年12月』(SGCライブラリ 130)、サイエンス社、ISSN 0386-8257