スカラー場の理論
一般に、座標xがλ倍されたとき、物理量φがλの逆何乗倍されるかを表す指数Δをスケーリング次元(英語版)と呼ぶ。
x → λ x {\displaystyle x\rightarrow \lambda x}
φ → λ − Δ φ {\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi }
ここでは、物理量φはスカラー場であり、スケーリング次元Δは質量次元である。
作用の次元は ħ {\displaystyle \hbar } の次元と同じであるので、作用の質量次元は0である。このことから、D次元時空におけるスカラー場φの質量次元は以下のように定められる。
Δ = D − 2 2 {\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}
例えば、D=4のとき、スカラー場の質量次元は1となる。これはラグランジアン密度(質量次元+4)を4次元時空(質量次元-4)で積分したものが作用(質量次元0)であることから確かめることができる。
運動項と質量項のみで構成される場を自由場と呼ぶ。相対論的な自由スカラー場の作用は以下のように定義される。
S = ∫ d D − 1 x d t L = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − 1 2 m 2 φ 2 ] = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ( ∂ t φ ) 2 − 1 2 ( ∂ i φ ) 2 − 1 2 m 2 φ 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{i}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\end{aligned}}}