ソボレフ不等式
u はコンパクトな台を持つ R 上の連続的微分可能な実数値函数とする。このとき 1 ≤ p < n に対し、n と p にのみ依存するある定数 C が存在して次の不等式が成り立つ:
‖ u ‖ L p ∗ ( R n ) ≤ C ‖ D u ‖ L p ( R n ) . {\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}
このガリャルド=ニーレンバーグ=ソボレフ不等式は、次のソボレフの埋め込みを直接的に意味する:
W 1 , p ( R n ) ⊂ L p ∗ ( R n ) . {\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}
すると適切に反復することにより、R 上の他の位数の埋め込みも得ることが出来る。