ダランベールの式
この偏微分方程式の特性曲線は x ± ct = (定数) である。したがって、変数変換 μ := x + ct, η := x − ct によりこの偏微分方程式を書き換えると、uμη = 0 となる。この一般解は u ( μ , η ) = F ( μ ) + G ( η ) {\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )} と表せる。ここで F と G は C 級関数である。x, t 座標に戻すと次のようになる。
( ∗ ) u ( x , t ) = F ( x + c t ) + G ( x − c t ) {\displaystyle (*)\quad u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}
(関数 F と G が C 級なら、u も C 級となる。)
この解 u は、一定速度 c によって x 軸に沿って反対方向に進む二つの波と解釈できる。
今、コーシーデータ u ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle u(x,0)=g(x)} 、 u t ( x , 0 ) = h ( x ) {\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)} に対する解を考える。