微分方程式
実際、
( ∑ k = 0 n g k + 1 ( x ) d k d x k ) ( s i n ( x ) + s h o m ( x ) ) = g 0 ( x ) {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\right)\left(s_{\mathrm {in} }(x)+s_{\mathrm {hom} }(x)\right)=g_{0}(x)}
としたとき、sin(x), shom(x) はそれぞれ
( ∑ k = 0 n g k + 1 ( x ) d k d x k ) s h o m ( x ) = 0 ( ∑ k = 0 n g k + 1 ( x ) d k d x k ) s i n ( x ) = g 0 ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {hom} }(x)&=0\\\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {in} }(x)&=g_{0}(x)\end{aligned}}}
を満たすので、sin(x) + shom(x) は元の方程式の解になっている。