三角不等式
(退化した場合も含めた)三角形の三辺が x, y, z で最大辺が z とすれば、三角不等式は
z ≤ x + y {\displaystyle z\leq x+y}
が成り立つことを主張している。
等号が成立するのは三角形が面積 0 に退化したときに限る。ユークリッド幾何学ほかいくつかの幾何学において、三角不等式は距離に関する定理であって、ベクトルやベクトルの長さ(ノルム)を用いて
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|}
と書くことができる。ここで、第三辺の長さ z がベクトルの和 x + y で置き換わっていることに注意。x, y が実数のとき、それを R のベクトルと見れば、三角不等式は絶対値の間の関係を記述するものとなる。
ユークリッド幾何学において、直角三角形に対する三角不等式は三平方の定理の帰結であり、一般の三角形の場合は余弦定理の帰結である(もちろんそれらの定理によらない証明は可能であるけれども)。