箙 (数学)
箙 (I, Ω) の表現とは,I-次数付きベクトル空間 (Vi)i ∈ I と線型写像 (φα: Vout(α) → Vin(α))α ∈ Ω の組である.
この表現 V が有限次元であるとは,各ベクトル空間が有限次元であることであり,このときその次元ベクトル dim V とは (dim Vi)i ∈ I のことである。
2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。
とくに oriented cycle をもたない有限な箙については,その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。
有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。
箙 Q に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 k 上の自由線型空間を kQ とおく。ここで道 (a|α1, ..., αn|b) と (c|β1, ..., βm|d) に対して以下のように積を定める。
( a | α 1 , ... , α n | b ) ( c | β 1 , ... , β m | d ) = { ( a | α 1 , ... , α n , β 1 , ... , β m | d ) ( b = c ) 0 ( b ≠ c ) {\displaystyle (a|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}|b)(c|\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)={\begin{cases}(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n},\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)&(b=c)\\0&(b\neq c)\end{cases}}}
この代数 kQ を道代数(英: path algebra)という。
有限な箙 Q のすべての辺から生成される道代数 kQ の両側イデアルを R とおく。このとき、道代数 kQ の両側イデアル I が認容的(英: admissible)であるとは、
R m ≤ I ≤ R 2 {\displaystyle R^{m}\leq I\leq R^{2}}
となる自然数 m ≥ 2 が存在することをいう。
代数的閉体 k 上の任意の有限次元代数 A に対して、有限な箙 Q とその道代数 kQ の認容的イデアル I が存在して、有限次元代数 A は商代数 kQ/I と森田同値である。