不確定性原理
これまで我々はψが定義域に関する条件を満たしていればロバートソンの不等式が成立する事を示し、さらに L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} における位置作用素と運動量作用素の場合には、この条件が緩められる事を見た。
しかし単位区間[-1,1]上の自乗可積分関数の集合 L 2 ( [ − 1 , 1 ] ) {\displaystyle L^{2}([-1,1])} における位置作用素と運動量作用素の場合には、不確定性原理が成り立たない反例ψ0が存在する。この反例は
後述するようにψ0はロバートソンの不等式の定義域に関する条件を満たさない
ψ0は位置作用素と運動量作用素の不確定性原理における緩められた条件は満たすものの、空間が L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} ではなく L 2 ( [ − 1 , 1 ] ) {\displaystyle L^{2}([-1,1])} である
よってこの反例の存在はこれまでの成果と矛盾しない。
なおこの反例は引用文献H13p245~246によった。