アルティンのL-函数
K を代数体とし、G を K の有限次ガロア拡大 L のガロア群とする。有限次元複素ベクトル空間 V 上の G の表現 ρ にたいし、アルティンの L-函数は次のオイラー積により定義される。
K の整数環の素イデアル p が L で不分岐であるとき(これは有限個の素イデアルを除いてなりたつ条件である)、G の共役類としてフロベニウス共役類 Frobp が定義され、ρ(Frobp) の一つの元の固有多項式は共役類に対してwell-definedである。従って
det  [ I − t ρ ( F r o b ( P ) ) ] − 1 {\displaystyle \operatorname {det} \left[I-t\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {P}}))\right]^{-1}}
もフロベニウス共役類の元のえらびかたによらず定まる t についての有理函数であり、s を複素数として t = N (p) としたものが p におけるオイラー因子である。(ここで N(p) は p での剰余体の元の個数をあらわす。)
p が L で分岐する場合、p での惰性群 I により固定されるV の部分空間にたいして同様の構成をおこなったものが、分岐する素点 p でのオイラー因子となる。