局所体
局所体を特徴付ける位相的性質を述べる。
局所体 K の付値環はコンパクトであり、K のコンパクトな部分環は付値環の部分環である。
付値環の任意のイデアルはコンパクトな開集合である。
乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} は連結ではない局所コンパクトな位相群である。
乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} に対して、n 次主単数群はコンパクトな開集合であり、 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} のコンパクトな部分群は単数群 U の部分群である。
K = R , C {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {R} ,\ \mathbb {C} } に対して、K の加法群としてのハール測度を μ K {\displaystyle \scriptstyle \mu _{K}} 、乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} のハール測度を μ K × {\displaystyle \scriptstyle \mu _{K}^{\times }} とし、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} を K の正規付値とすれば
μ K × ( x ) = | x | K − 1 μ K ( x ) {\displaystyle \mu _{K}^{\times }(x)=|x|_{K}^{-1}\mu _{K}(x)}
が成立する。
局所体の場合の関係式と見比べると、実数体や複素数体の結果は、 q → ∞ {\displaystyle \scriptstyle q\to \infty } に対応していることがわかる。このことからも絶対値を | ⋅ | ∞ {\displaystyle |\cdot |_{\infty }} と書く妥当性の一端が現れている。