カルタン部分環
任意の冪零リー環はそれ自身のカルタン部分環である.
体上の n × n 行列全体のなすリー環のカルタン部分環はすべての対角行列からなる.
トレースが 0 の2次正方行列全体のなすリー環 s l 2 ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )} は2つの共役でないカルタン部分環を持つ.
カルタン部分環の次元は,複素単純リー環に対してさえ,一般には可換部分環の最大の次元ではない.例えば,トレースが 0 の 2n 次正方行列全体のなすリー環 s l 2 n ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )} は,階数 2n − 1 のカルタン部分環を持つが,A を任意の n 次正方行列として ( 0 A 0 0 ) {\displaystyle {0\ A \choose 0\ 0}} の形の行列全体からなる n 次元の極大可換部分環を持つ.この可換部分環がカルタン部分環でないことを直接確かめることができる.狭義上三角行列全体のなす冪零部分環に含まれるからである.(この部分環もまたカルタン部分環ではない.対角行列によって正規化されるからである.)