松原振動数
c B ( a , 0 ) = β 4 csch 2  β a 2 , {\displaystyle c_{B}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta a}{2}},}
c F ( a , 0 ) = β 4 sech 2  β a 2 . {\displaystyle c_{F}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.}
ここで n B ( z ) = ( e β z − 1 ) − 1 {\displaystyle n_{B}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}} はボース分布関数である。
フェルミオン振動数の場合も同様である。 2つのタイプの松原重み関数があり、 z = i ω m {\displaystyle z=i\omega _{m}} に極を作る。
h F ( 1 ) ( z ) = β 1 + e − β z = β n F ( − z ) = β ( 1 − n F ( z ) ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{F}(-z)=\beta (1-n_{F}(z))}
h F ( 2 ) ( z ) = − β 1 + e β z = − β n F ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{F}(z)}