非圧縮性流れ
∂ ρ ∂ t + div  ( ρ v ) ≡ ∂ ρ ∂ t + grad  ρ ⋅ v + ρ ( div  v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}+\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=0}
と表される。この式は連続の式と呼ばれている。密度の全微分を考える(そして連鎖律を適用する)ことにより、
d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + ∂ ρ ∂ x d x d t + ∂ ρ ∂ y d y d t + ∂ ρ ∂ z d z d t {\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}}
∫∫∫ V ∂ ρ ∂ t d V = − ∫∫∫ V div  J d V ∴ ∂ ρ ∂ t = − div  J {\displaystyle {\begin{aligned}&\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dV=-\iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\,dV\\&\therefore \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\end{aligned}}}
左辺の密度の時間微分は非圧縮性流れを保証するためには0になる必要はない。この場合の密度の時間微分とは、固定位置のコントロールボリューム内でのこの変化率のことを言っている。密度の時間微分が0にならないことを許しても、非圧縮性流体は制限されない。なぜなら固定位置のコントロールボリュームを観察していれば、流れによってそこの密度は変化することが許されているからである。このアプローチは一般的に言え、密度の時間微分が0になってもよいことは、圧縮性流体が依然として非圧縮性流れになりうることを示している。
我々が興味を持っていることは、流体速度vとともに移動するコントロールボリュームの密度の変化である。流束Jは、次の式で流体速度vと関連している:
J = ρ v {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\rho {\boldsymbol {v}}}
したがって質量保存則は