ハウスドルフ次元
これを使って集合 X のハウスドルフ外測度を求めるという行為は、X の長さのような量を決めているのに等しい。集合 X が曲線だとすれば、X は実際に長さに相当する量を持っているので、s = 1 のハウスドルフ外測度でその長さを測ることができる。同様に s = 2 で考えると、∑∞i = 1|Ui| は一辺長さが |Ui| の正方形の面積の合計である。よって、集合 X が面であれば、s = 2 で適切にその面積を測ることができる。
このように、ある集合の長さや面積のような量を測るにあたっては、適切な s の値が存在する。適切な s の値は、逆にその集合を特徴づけすることができる値とも捉えられる。曲線ならば s = 1 で面ならば s = 2 であったが、集合がもっと複雑になれば自然数ではない s の値が最適ということもありうる。このような考え方にもとづいて、 ∑∞i = 1|Ui| 自体の値ではなく、s の方の最適値に着目して定義としたのがハウスドルフ次元といえる。