モチーフ (数学)
(特に、モチーフの圏の数値的同値はヴェイユコホモロジー論の選択とは独立であるはずである。)ジャンセン(Jannsen)は、1992年、条件付きないでない次の結果を証明した。体の上の(ピュア)モチーフの圏は、アーベル的で半単純な圏であることと、選択された同値関係が数値的であることとは同値である。
ホッジ予想はモチーフを使うとうまく再定式化される。ホッジ予想が成り立つことと、ホッジ実現(Hodge realization)とは同値である。ホッジ実現とは、C の部分体 k 上の)有理係数の任意のピュアモチーフからホッジ構造への関手は、忠実充満関手 H : M(k)Q → HSQ (有理ホッジ構造)である。ここのピュアモチーフはホモロジカル同値の観点からのピュアモチーフを意味する。
同様に、テイト予想(Tate conjecture)はいわゆるテイト実現と同値である。テイト実現とは、モチーフに対してl-進コホモロジーを与える関手は忠実充満函手 H: M(k)Ql → Repl(Gal(k)) であるということとなる。(ピュアモチーフはホモロジカル同値の下のピュアモチーフ、基礎体 k の絶対ガロア群の連続表現である。)この函手は、半単純な表現に値を持つ。(このことはホッジ類似(Hodge analogue)の場合には自動的である。)
モチーフへ進むために、レフシェッツモチーフ(英語版)(Lefschetz motive)と呼ばれるモチーフの(テンソル積の観点から)形式的な逆へ、Chow(k) へ圏として付随させる。この効果は、ペアとする代わりに、モチーフを三つ組とすることである。レフシェッツモチーフ L は、
L := ( P 1 , λ ) , λ := p t × P 1 ∈ A 1 ( P 1 × P 1 ) {\displaystyle L:=(\mathbf {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbf {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1})}
である。自明なテイトモチーフ(trivial Tate motive)と呼ばれるモチーフ 1 を 1 := h(Spec(k)) により定義すると、1 ≅ (P, P × pt) であるため、方程式
[ P 1 ] = 1 ⊕ L {\displaystyle [\mathbf {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}
が成り立つ。