グーデルマン関数
この関数は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによって1760年代に双曲線関数と同じ頃に紹介された。彼はそれを「超越角」(transcendent angle)と呼び、アーサー・ケイリーが1862年に、1830年代のグーデルマンによる特殊関数の理論の功績にちなんで「グーデルマン関数」と呼ぶことを提案するまで、様々な名称で呼ばれてきた。グーデルマンは、幅広い読者に向けてsinhとcosh(同書では S i n {\displaystyle {\mathfrak {Sin}}} と C o s {\displaystyle {\mathfrak {Cos}}} の表記を用いた)を説いた1833年の著書"Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen"に、クレレ誌で発表した論文を収録した。
グーデルマン関数の逆関数(逆グーデルマン関数又はランベルト関数と称する)は、区間 ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle \left(-\pi /2,\pi /2\right)} において、次のように与えられる。
gd − 1 x = ∫ 0 x d t cos  t = ln  | 1 + sin  x cos  x | = 1 2 ln  | 1 + sin  x 1 − sin  x | = ln  | tan  x + sec  x | = ln  | tan  ( 1 4 π + 1 2 x ) | = artanh  ( sin  x ) = arsinh  ( tan  x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}\,x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x).\end{aligned}}}