フレネ・セレの公式
0 = d Q d s ⋅ Q T + Q ⋅ d Q T d s = d Q d s ⋅ Q T + ( d Q d s ⋅ Q T ) T = Ω + Ω T {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }+Q\cdot {\frac {\mathrm {d} Q^{\mathrm {T} }}{\mathrm {d} s}}\\&=\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }+\left({\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}\cdot Q^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }&={\it {\Omega }}+{\it {\Omega }}^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}
が導かれる。これより、Ω が反対称性
Ω = ( 0 ω 3 − ω 2 − ω 3 0 ω 1 ω 2 − ω 1 0 ) {\displaystyle {\it {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{3}&-\omega _{2}\\-\omega _{3}&0&\omega _{1}\\\omega _{2}&-\omega _{1}&0\end{pmatrix}}}
を持つことが示せた。
反対称行列は3個のパラメータで表せるが、以下に示すように、正規直交基底を適切に選ぶと反対称行列の成分を2個のパラメータで表すことができる。
ユークリッド空間内を運動する粒子の時刻 t における位置ベクトルを r (t) とする。関数 r (t) のグラフは粒子の軌道を表す曲線である。 ただし、 r (t) は滑らかな関数であり、 軌道は曲がっている (r "(t)×r '(t)≠0) と仮定する。