ローレンツ変換
[ c t ′ x ′ ] = [ γ − v T c γ − v c γ I + v ⊗ v T v 2 ( γ − 1 ) ] [ c t x ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\{\boldsymbol {x}}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}{c}}\gamma \\-{\frac {\boldsymbol {v}}{c}}\gamma &{\boldsymbol {I}}+{\dfrac {{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}}{v^{2}}}(\gamma -1)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\boldsymbol {x}}\end{bmatrix}}}
ここで、v は v の転置行列、I は 3 次単位行列である。
上で注記したように、この変換は 2 つの系で原点が共有されることを要求する。この制約を緩和する形で、ローレンツ変換に時空の平行移動を加えた変換はポアンカレ変換と呼ばれる。
より一般的に、ローレンツ変換は世界間隔を不変に保つ線形変換として定義される。こうして定義されるローレンツ変換は、ミンコフスキー時空における内積に対する対称性として捉えることができる。 まず、ミンコフスキー時空におけるローレンツ変換 Λ は
Λ T g Λ = g {\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }g\Lambda =g}
すなわち
Λ λ μ g λ ρ Λ ρ ν = g μ ν ( μ , λ , ρ , ν = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\Lambda ^{\lambda }}_{\mu }g_{\lambda \rho }{\Lambda ^{\rho }}_{\nu }=g_{\mu \nu }\quad (\mu ,\lambda ,\rho ,\nu =0,1,2,3)}
を満たす線形変換として定義される。但し、g =(gμν) は、g =diag(1, −1, −1, −1) で与えられる計量テンソルであり、重複する添え字に対してはアインシュタインの縮約に従って和をとるものとする。また、添え字の上げ下げは計量テンソルによって、
x μ = g μ ν x ν {\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }}
で、与えられるものとする。
任意の方向へのローレンツブーストに際しては、空間ベクトル x を速度 v と平行な垂直成分に x = x ⊥ + x ‖ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{\perp }+{\boldsymbol {x}}_{\|}} と分解すると都合が良い。v 方向の成分 x ‖ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\|}} のみが、ローレンツ因子 γ による変形を受ける。
t ′ = γ ( t − v x ‖ c 2 ) {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx_{\|}}{c^{2}}}\right)} x ′ = x ⊥ + γ ( x ‖ − v t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}'={\boldsymbol {x}}_{\perp }+\gamma ({\boldsymbol {x}}_{\|}-{\boldsymbol {v}}t)}
上の方程式は、行列を用いて以下のように表現できる。