冪函数
正の数 a に対して limx→0fa(x) = 0 である。他の函数とこの極限の収束度を比較しよう。函数 f が位数 n の無限小であるとは、f(x)⁄x が x = 0 を含む十分小さな開区間上で有界なることとする.
函数 f が区間 I 上で a-ヘルダー連続とは、実数 M が存在して
| f ( x ) − f ( y ) | ≤ M | x − y | a ( ∀ x , y ∈ I ) {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^{a}\quad (\forall x,y\in I)}
とできるときに言う。一般に、a は 0 < a ≤ 1 で考えるものとする(a > 1 ならば f は I 上で定数ということになってしまう)。
冪指数 a (0 < a ≤ 1) の冪函数はもっとも簡単な a-ヘルダー連続函数となる。実際、実数x ≥ y ≥ 0 に対して
0 ≤ x a − y a ≤ ( x − y ) a {\displaystyle 0\leq x^{a}-y^{a}\leq (x-y)^{a}}
が成り立つ。
これは規約により、対応 x ↦ x というよりは、定数函数 f0(x) ≡ 1 として定義される。
これらの函数はすべて、x = 1 における値が 1 に等しい。また特に、m < n のとき
x n < x m ( 0 < x < 1 ) , {\displaystyle x^{n}<x^{m}\quad (0<x<1),}
x n > x m ( 1 < x ) {\displaystyle x^{n}>x^{m}\quad (1<x)}
が成り立つ。
自然数冪の場合には、定数函数 1 となる n = 0 の場合を除けば、任意の冪函数は正の実軸上で狭義単調に、x = 0 のときの値 0 から x → +∞ のときの極限 +∞ まで増大する。対照的に負の実軸上では区別が生じ、n が零でない偶数のとき狭義単調減少であり、n が奇数のとき狭義単調増大になる(特に n ≠ 1 ならば原点に変曲点を持つ)。
自然数冪函数は多項式函数の構成に利用できる。また、自然数冪函数の全体は、別の函数を冪級数に展開する際の基底を与える。