二個の平方数の和
自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数は、ヤコビの二平方定理
r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ n ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}
によって与えられる。ただし、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。例えば、
r 2 ( 25 ) = 4 ( ( − 1 ) 1 − 1 2 + ( − 1 ) 5 − 1 2 + ( − 1 ) 25 − 1 2 ) = 12 {\displaystyle r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12}
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
25 = ( ± 5 ) 2 + 0 2 = 0 2 + ( ± 5 ) 2 = ( ± 4 ) 2 + ( ± 3 ) 2 = ( ± 3 ) 2 + ( ± 4 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}}
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
p ≡ 1 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)} の素数は p = x 2 + 3 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}} で表される。合成数が x 2 + 3 y 2 {\displaystyle x^{2}+3y^{2}} で表されるための必要十分条件は、 p ≡ 1 , 3 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,3,7\;(\operatorname {mod} \;12)} 以外の素因数が全て平方になっていることである。これはオイラーの6n+1定理などと呼ばれる。この証明は以下によって与えられる。
平方剰余の相互法則と第一補充法則により、
であるから、 p ≡ 1 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)} であれば r 2 ≡ − 3 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -3\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならえば
x 2 + 3 y 2 ≡ 0 ( mod p ) , 0 < x 2 + 3 y 2 < 4 p {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+3y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+3y^{2}<4p\\\end{aligned}}}