デカルトの符号法則
例1
f ( x ) = x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}
を考える。実際の根は x = 1, −1(二重根)である。
符号の変化は (++) → (+−) → (−−) で1回であるから、正の根は正確に1つである。
負の根の数を調べるため、 f ( − x ) {\displaystyle f(-x)} を考える。 f ( − x ) = − x 3 + x 2 + x − 1 {\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1}
符号の変化は (−+) → (++) → (+−) で2回であるから、負の根は2個か0個である。
実際には −1 が重根としてあるから2個となる。
例2
f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1}
を考える。実際の実数根は x = −1 である。
符号の変化は (++) → (++) → (++) で0回であるから、正の根は存在しない。
負の根の数を調べるため、 f ( − x ) {\displaystyle f(-x)} を考える。 f ( − x ) = − x 3 + x 2 − x + 1 {\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}-x+1}
符号の変化は (−+) → (+−) → (−+) で3回であるから、負の根は3個か1個である。
実際には −1 の1つとなる。
代数学の基本定理より、実数係数の n 次一変数多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は重複度を含めてちょうど n 個の複素根を有する。一方で0でない実数根の個数は最大で T f ( x ) + T f ( − x ) {\displaystyle T_{f(x)}+T_{f(-x)}} 個である。したがって、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が 0 を実数根としてもたなければ、非実数根の個数の最小値は n − ( T f ( x ) + T f ( − x ) ) {\displaystyle n-(T_{f(x)}+T_{f(-x)})} で与えられる。
例1
f ( x ) = x 4 − 1 {\displaystyle f(x)=x^{4}-1}
を考える。実際の根は x = 1, −1, i, −i である。
符号の変化は (+−) で1回であるから、正の根は正確に1つである。
負の根の数を調べるため、 f ( − x ) {\displaystyle f(-x)} を考える。 f ( − x ) = x 4 − 1 {\displaystyle f(-x)=x^{4}-1}
符号の変化は (+−) で1回であるから、負の根は正確に1つである。
0 が根でないことは明らかだから、非実数根の個数は最小で 4 − ( 1 + 1 ) = 2 {\displaystyle 4-(1+1)=2} 個となる。
今の場合、正負の根の数が正確に分かっているため、非実数根の個数も正確に2つであると結論できる。
例2
f ( x ) = x 5 + x 4 + x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{5}+x^{4}+x+1}