1+2+3+4+…
様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + ... は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 − 1 + 1 − 1 + ... を 1/2 に総和することはよく知られているが、アーベル総和法はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 − 2 + 3 − 4 + ... までも 1/4 に総和することができる。
これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + ... はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみであり、+∞ に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのである。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が −1/12 であると論ずることができる。
ゼータ関数正規化 (zeta function regularization) において、級数 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }n} は級数 ∑ n = 1 ∞ n − s {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}} に置き換えられる。後者の級数はディリクレ級数の一例である。複素変数 s の実部が 1 より大きいときこのディリクレ級数は収束し、その和はリーマンゼータ関数 ζ(s) に等しい。一方、実部が 1 以下のときこのディリクレ級数は発散し、特に級数 1 + 2 + 3 + 4 + ... は s = −1 と置いたものだから、1 + 2 + 3 + 4 + ... は発散する。リーマンゼータ関数を導入するメリットは、そうすれば s に関する解析接続によって級数の収束領域の外側まで矛盾なく定義することができることにある。そうして、級数 1 + 2 + 3 + 4 + ... のゼータ関数正規化された「和」を ζ(−1) = −1/12 と定義するのである。
ところで、ζ(−1) = −1/12 を証明する方法はいくつか知られている。