確率的ボラティリティモデル
ブラック・ショールズ方程式などのモデルでは、次のように原資産価格はドリフト μ およびボラティリティ σ を定数とする幾何ブラウン運動に従うと仮定している。
d S t = μ S t d t + σ S t d W t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}
ここで、
μ は原資産価格 St の期待収益率で定数
σ はボラティリティで定数
dWt は平均 0 分散 1 の正規分布に従うウィーナー過程
確率的ボラティリティモデルでは、定数であるボラティリティ σ を関数 σt に置き換える。 この関数 σt は、ブラウン運動として記述されるが、その詳細は各確率的ボラティリティモデルによって異なってくる。
d S t = μ S t d t + σ t S t d W t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}\,}
d σ t = α σ t , t d t + β σ t , t d B t {\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha _{\sigma _{t},t}\,dt+\beta _{\sigma _{t},t}\,dB_{t}\,}
ここで、
α σ t , t {\displaystyle \alpha _{\sigma _{t},t}\,} と β σ t , t {\displaystyle \beta _{\sigma _{t},t}\,} は σt の関数。
dBt は dWt とは別のガウス分布で、ρ∈[-1, 1] を相関係数(定数)とする相関関係をもつ。