ルンゲ＝クッタ法
線型テスト方程式 y ′ = λ y {\displaystyle y'=\lambda y} を考える。一つのルンゲ=クッタ法を使ってこの方程式に適用すると y n + 1 = r ( h λ ) y n {\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )y_{n}} となる。ここで、
r ( z ) = 1 + z b T ( I − z A ) − 1 e = det ( I − z A + z e b T ) det ( I − z A ) {\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}}}
は安定性関数と呼ばれる C 上の有理関数である(e はすべての成分が 1 のベクトルである)。s 段法の場合、行列式の展開によって r(z) は二つの s 次多項式の商となる。陽的方法の場合、対応するルンゲ=クッタ行列が狭義下三角行列であるため、 det ( I − z A ) = 1 {\displaystyle \det(I-zA)=1} がわかる。したがって、r(z) は s 次多項式となる。
ルンゲ=クッタ法による上記の方程式の数値解がゼロに減衰する条件が | r ( z ) | < 1 {\displaystyle |r(z)|<1} ( z = h λ {\displaystyle z=h\lambda } ) である。上記の条件を満たす z の集合は方法に対する 絶対安定性領域 (region of absolute stability) である。