アーベル・ヤコビ写像
J 1 ( M ) = H 1 ( M , R ) / H 1 ( M , Z ) R {\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}
である。
定義 アーベル・ヤコビ写像(Abel–Jacobi map)
A M : M → J 1 ( M ) , {\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}
は、上の写像の商をとることにより得られる。
アーベル・ヤコビ写像は、ヤコビトーラスの変換を同一視すると一意的である。写像はシストリック幾何学(英語版)(Systolic geometry)への応用がある。
同じ方法の多くの中に、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論での類似を、有限グラフから平坦トーラス(有限アーベル群に付帯するケイリーグラフ)への P-L写像を定義することができる。これは、結晶格子のランダムウォークの漸近的な振る舞いに関係していて、結晶構造の設計に使うことができる。興味深いことに、リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像は、周期的多様体上の熱核の長時間の漸近展開の中に現れる。(Kotani & Sunada (2000) and Sunada (2012))
非常に良く似た方法で、有限グラフから平坦トーラス(あるいは、有限アーベル群を伴うケーレイグラフ)へのPL写像として、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論的な類似を定義することができる。このことは、結晶格子上のランダムウォークの漸近的な振る舞いと密接に関連していて、結晶構造のデザインに使うことができる。