固有振動
(4-8)に条件(4-15)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}
(4-9)に条件(4-15)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 3 cos  n π x l {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}}
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は
X ( x ) = C 3 cos  n π x l ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} ... (4-16)
である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、
T ( t ) = C 5 sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (4-17)
となる。ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , φ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = n l π v {\displaystyle \omega _{n}=kv={n \over l}\pi v} である。
X ( x ) = C 4 sin  n π x l ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} ... (3-15)
である。
tについての方程式 ∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 − K v 2 T ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}-Kv^{2}T(t)=0} ... (3-8)を解く。xについての微分方程式を解いたとき、導いた解はK<0のときであった。よってここでもK<0のときのみを考える。実数の定数kを用いて K = − k 2 {\displaystyle K=-k^{2}} とすると(3-8)は
∂ 2 T ( t ) ∂ t 2 = − k 2 v 2 T ( t ) {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}T(t)}{\partial t^{2}}}=-k^{2}v^{2}T(t)} ... (3-16)
と表される。この2階微分方程式を解くと一般解は
T ( t ) = C 5 sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (3-17)
となる。
X ( x ) = C 1 e K x + C 2 e − K x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}} ... (3-12)
K<0のとき... X ( x ) = C 3 cos  − K x + C 4 sin  − K x {\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}} ... (3-13)
両端固定の長さ l {\displaystyle l} の弦について考えると、両端固定による条件は
y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} and y ( l , t ) = 0 {\displaystyle y(l,t)=0} ... (3-14)
(3-11)に条件(3-14)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}
(3-12)に条件(3-14)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}
(3-13)に条件(3-14)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 4 sin  n π x l {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}}
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は弦が振動していない様子を表すので、振動する弦の解は
ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , φ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = n π v l {\displaystyle \omega _{n}=kv={n\pi v \over l}} である。
(3-15)、(3-17)から
y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 4 sin  n π x l C 5 sin  ( ω n t + φ n ) = A n sin  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} ... (3-18)
また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (3-19)
F y = T A y + T B y = T sin  θ ( x + δ x ) − T sin  θ x {\displaystyle F_{y}=T_{A}^{y}+T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}-T\sin \theta _{x}} ... (3-1)
ここで T sin  θ ( x + δ x ) {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}} にテイラー級数展開を適用すると
T sin  θ ( x + δ x ) = T sin  θ x + ∂ T sin  θ x ∂ x δ x + ∂ 2 T sin  θ x 2 ∂ x 2 ( δ x ) 2 + ⋯ {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x+{\frac {{\partial }^{2}T\sin \theta _{x}}{2\partial x^{2}}}(\delta x)^{2}+\cdots }
δxは微小であるため2次以上の項を無視できる。よって