非有界作用素
もし T ∗ {\displaystyle T^{*}} の核が自明であるなら、 T {\displaystyle T} の値域は稠密となる。さらに、T が全射であるための必要十分条件は、
∀ f ∈ D ( T ∗ ) : ‖ f ‖ 2 ≤ K ‖ T ∗ f ‖ 1 {\displaystyle \forall f\in D(T^{*})\colon \|f\|_{2}\leq K\|T^{*}f\|_{1}}
を満たす K > 0 {\displaystyle K>0} が存在することである(これは本質的にはいわゆる閉値域の定理である)。
特に、T の値域が閉であることと、T の値域が閉であることは必要十分である。
有界の場合と対照的に、必ずしも (TS) = ST は成立しない。実際、(TS) が存在しないことさえあり得る。しかし、例えば T が有界であればその式は成り立つ。
稠密に定義された閉作用素 T は、次の同値な条件のいずれかを満たすとき、正規であると言われる:
TT = T T;
T の定義域は T の定義域と等しく、その領域内のすべての x に対して ‖ T x ‖ = ‖ T ∗ x ‖ {\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|} が成立する;
T = A + iB、 T = A – iB, であり、 ‖ T x ‖ 2 = ‖ A x ‖ 2 + ‖ B x ‖ 2 {\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}} が T の定義域内のすべての x に対して成立するような自己共役作用素 A と B が存在する。
すべての自己共役作用素は正規である。