マンガレリの等式
このとき、次の等式が成り立つ:
x n − 1 2 Δ n − 1 ( p 1 r 1 ) ] a b = ∫ a b ( x n − 1 ′ ) 2 Δ n − 1 ( p 1 ) − ∫ a b x n − 1 2 Δ n − 1 ( q 1 ) − ∑ k = 0 n − 1 C ( n − 1 , k ) ( − 1 ) n − k − 1 ∫ a b p k + 1 W 2 ( x k + 1 , x n − 1 ) / x k + 1 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}
ここで r i = x i ′ / x i {\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}} は対数微分であり、 W ( x i , x j ) = x i ′ x j − x i x j ′ {\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }} はロンスキアン、 C ( n − 1 , k ) {\displaystyle C(n-1,k)} は二項係数を表す。
数学の常微分方程式の分野におけるマンガレリの等式(マンガレリのとうしき、英: Mingarelli identity)とは、実領域におけるある線型微分方程式の解が振動的であるか非振動的であるかを判別するための条件を与える定理で、フィリップ・ハートマン(英語版)により名付けられた。ピコーンの等式を二つの微分方程式から三つあるいはそれ以上の二階微分方程式へと拡張するものである。ここでは最も基本的な形式のものを紹介する。
n = 2 {\displaystyle n=2} のとき、この等式はピコーンの等式となる。
上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く。これはスツルム=ピコーンの比較定理の拡張である。
p i , q i , {\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,} i = 1, 2, 3 を、区間 [a, b] 上の実数値連続関数とし、
( p 1 ( t ) x 1 ′ ) ′ + q 1 ( t ) x 1 = 0 , x 1 ( a ) = 1 , x 1 ′ ( a ) = R 1 {\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,}
( p 2 ( t ) x 2 ′ ) ′ + q 2 ( t ) x 2 = 0 , x 2 ( a ) = 1 , x 2 ′ ( a ) = R 2 {\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,}