ガンマ関数
ガンマ関数は次の周回積分で表される。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は − π ≤ arg  ( − t ) ≤ π , 0 ≤ arg  ( s ) ≤ 2 π {\displaystyle -\pi \leq \arg(-t)\leq \pi ,0\leq \arg(s)\leq 2\pi } とする。
Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = [ − e − t ] 0 ∞ = lim t → ∞ ( − e − t + 1 ) = 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,{\rm {d}}t={\Bigl [}-e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\lim _{t\to \infty }\!\left(-e^{-t}+1\right)\\&=1,\end{aligned}}}
である。これらの性質から、任意の正の整数 n {\displaystyle n} に対して、
Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ( n − 1 ) Γ ( n − 1 ) = ⋯ = n ! Γ ( 1 ) = n ! , {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!,}
より Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} が成り立つ。その意味でガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものとなっている。
歴史的には、ガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」(複素階乗)の実例として、オイラーにより考案された。階乗の複素数への拡張となる関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない(ボーア・モレルップの定理)。
右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型に解析接続する。
ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。
途中で
lim R z → + ∞ ( 1 + k / n z ) z + k / n − 1 / 2 = lim R z → + ∞ ( 1 + k / n z ) z = e n / k {\displaystyle \lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}}
を適用した。
f ( z ) = lim n → ∞ f ( z + n ) = 1 {\displaystyle f(z)=\lim _{n\to \infty }f(z+n)=1}
であり、故に
Γ ( n z ) = n n z − 1 / 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) {\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}
が成立する。