ブローアップ (数学)
ブローアップ π : Bl I  X → X {\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X} の例外因子とは、イデアル層 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} の逆像によって定義される部分スキームのことである。これは π − 1 I ⋅ O Bl I  X {\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}} と表記されることもある。Proj を用いたブローアップの定義から、この部分スキーム E はイデアル層 ⨁ n = 0 ∞ I n + 1 {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}} によって定義されることがわかる。このイデアル層は π についての相対的な O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} でもある。
Z を n 次元複素 空間 C の原点とする。つまり、Z を n 個の座標関数 x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} が同時に消えている点とする。P を (n − 1) 次元複素射影空間とし、その斉次座標を y 1 , ... , y n {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}} で表すことにする。 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} を C × P の部分集合ですべての i, j = 1, ..., n に対して方程式 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} を同時に満たすもの全体とする。射影
π : C n × P n − 1 → C n {\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}
は自然に正則写像
π : C n ~ → C n {\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}}
点 P ∈ P n {\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}} が L に入るのは、この点の座標で上の行列の1行目を作ったときにこの行がゼロになるとき、かつそのときに限る。この場合、Q に何の条件もない。しかし、1行目がゼロではないときは、線形従属性から2行目はこれのスカラー倍になる。したがって ( P , Q ) {\displaystyle (P,Q)} がブローアップに入る一意な点 Q ∈ P d − 1 {\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{d-1}} が存在する。
このブローアップもまた結合対応
として表示できる。ここで Gr {\displaystyle \operatorname {Gr} } は P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} における ( n − d + 1 ) {\displaystyle (n-d+1)} 次元部分空間のグラスマン多様体(英語版)である。前述の座標による表示との関係を見るために、まず L を含むすべての M ∈ Gr  ( n − d + 1 , n ) {\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n-d+1,n)} からなる集合は射影空間 P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} と同型であることに着目する。
これは、各部分空間 M は L と L に含まれない点 Q によって生成され、L の外の2つの点 Q と Q' が同じ M を定めるのは P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} へ射影したときに同じ像を定めるとき、かつそのときに限ることによる。したがってグラスマン多様体を P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{d-1}} のコピーに置き換えられる。 P ∉ L {\displaystyle P\not \in L} であるときは、P を含む唯一の部分空間 M が存在し、それは P と L で張られる空間である。先の座標の言葉で言えば、これは ( X n − d + 1 , ... , X n ) {\displaystyle (X_{n-d+1},\dots ,X_{n})} が零ベクトルではない場合に相当する。 P ∈ L {\displaystyle P\in L} の場合は ( X n − d + 1 , ... , X n ) {\displaystyle (X_{n-d+1},\dots ,X_{n})} が零ベクトルである場合に相当し、この場合は Q として任意のものが取れる、つまり L を含む任意の M が可能である。