固有多項式
n次正方行列 A に対して、
Ax = λx
を満たすスカラー λ, ベクトル x ≠ o が存在するとき、λ を A の固有値、x を A の固有値 λ に関する固有ベクトルという。
A の固有値をすべて求めることを考える。
条件 Ax = λx は
(λI − A)x = o
と同値である(ここで I は単位行列)。したがって λ が A の固有値である必要十分条件は、一次方程式
( λ I − A ) x = o {\displaystyle (\lambda I-A){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}}
の非自明な解 x ≠ o が存在すること、つまり
det ( λ I − A ) = 0 {\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}
となることである。
これは λ についての n次方程式である。この方程式を A の固有方程式あるいは特性方程式と言う。