ベルヌーイ数
ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、英: Bernoulli number、まれに関・ベルヌーイ数とも) は数論における基本的な係数を与える数列の1つ。関数 x/e − 1 のマクローリン展開 (テイラー展開) の展開係数として定義される:
f ( x ) = x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n . {\displaystyle f(x)={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}.}
ベルヌーイ数を最初に取り扱ったのは関孝和であるが、ほぼ同時期に、関とは独立してスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイが発見したことからこの名がついている。関による発見は、死後の1712年に出版された『括要算法』に記述されており、またベルヌーイによる発見は、死後の1713年に出版された著書『Ars Conjectandi (推測術)』 に記載されている。
ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。
ベルヌーイ数は、いくつかの双曲線関数と三角関数の級数展開における展開係数となる。 ベルヌーイ数を展開係数とする関数とそのローラン級数による表現を挙げる。 まず、余接関数 (cotangent) のローラン級数展開は次のようになる。
coth  z = 1 z + ∑ k = 1 ∞ 2 2 k B 2 k ( 2 k ) ! z 2 k − 1 , cot  z = 1 z + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 2 2 k B 2 k ( 2 k ) ! z 2 k − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\coth z&={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}z^{2k-1},\\\cot z&={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}z^{2k-1}.\end{aligned}}}
第 1 の関係式は、ベルヌーイ数が f(x) = x/e − 1 の展開係数であることを利用して数式変形すれば得られる。 第 2 の関係式は cot z = -i coth (-iz) であることを利用すれば、第 1 の関係式から導き出される。これらの級数の収束半径は |z| < π である。 次に正接関数 (tangent) のローラン級数展開は次のようになる。