地球内部物理学
地震波の走時曲線からマントルの地震波速度分布を計算するために、震央距離 Δ {\displaystyle \Delta } と、波線パラメーター p = d T d Δ {\displaystyle p={\frac {{\mbox{d}}T}{{\mbox{d}}\Delta }}} および速度分布 V ( r ) {\displaystyle V(r)} の関係式であるHerglotz-Wiechert法が用いられる。
Δ = 2 p ∫ r m r 0 d r ( r / V ̄ ) 2 − p 2 {\displaystyle \Delta =2p\int _{r_{m}}^{r_{0}}{\frac {{\mbox{d}}r}{\sqrt {(r/{\bar {V}})^{2}-p^{2}}}}}
このアーベルの積分方程式の解は走時解析に用いられ以下の式で表される。ここで V ̄ {\displaystyle {\bar {V}}} は走時曲線の傾きから得られる見かけの角速度である。
∫ 0 Δ 1 cosh − 1  V ̄ Δ 1 V ̄ Δ d Δ = π ln  ( r 0 r 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\Delta _{1}}\cosh ^{-1}{\frac {{\bar {V}}\Delta _{1}}{{\bar {V}}\Delta }}{\mbox{d}}\Delta =\pi \ln \left({\frac {r_{0}}{r_{1}}}\right)}