複比
これは、反転 x μ → x μ | x | 2 {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}} などの2次元特殊等角写像の不変量である。
虚部は2次元の外積 a × b = [ a , b ] = a 2 b 1 − a 1 b 2 {\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}} を使用する必要がある。
C 2 = ( x 12 , x 14 ) [ x 34 , x 23 ] − ( x 43 , x 23 ) [ x 12 , x 34 ] | x 23 | 2 | x 14 | 2 {\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}
明示的に円錐曲線を単位円とする。単位円内部の任意の2点 P, Q に対し、それらを結ぶ直線が円と交差する2点 X, Y を順が X, P, Q, Y となるように決める。このとき双曲平面のケイリー・クラインモデルにおけるPとQの間の双曲距離は、
d h ( P , Q ) = 1 2 | log  | X Q | | P Y | | X P | | Q Y | | {\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}
のように表せる(曲率を -1 にするためには係数の 1/2 が必要である)。複比は射影変換の下で不変であるため、双曲線距離は円錐Cを保存する射影変換の下で不変であるということになる。
逆に、群Gは固定された双曲的距離で単位円盤の点(p, q)のペアのセットに推移的に作用する。
後に、アンリ・ポアンカレの影響もあり、円上の4つの複素数の複比が双曲線計量に使用された。円上にあるということは、メビウス変換の下で4つの点が4つの実点の像であることを意味するため、複比は実数となる。ポアンカレ半平面モデルとポアンカレの円板モデルは、複素射影直線における双曲幾何学の2つのモデルである。
これらのモデルは、 ケイリー・クライン計量の例である。