導来圏
擬同型の集合での局所化(英語版)により、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} を得る。導来圏の射は、経路図式 X ← X'→ Y として明示的に表現される。ここに X' → X は擬同型であり、X' → Y は双対鎖複体の任意の射である。
特に、ホモトピー同値が擬同型となっているので、第二のステップは避けることができる。しかし、射の単純な経路図式の定義は、より複雑な射の別の有限個の矢印により置き換える必要がある(テクニカルには、「分数の計算」を超えたものとなる(容易には計算できないことを意味する))。したがって、第一のステップの構成で十分ではあるのだが、一層、より複雑となってしまう。
モデル圏の観点からは、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} は双対鎖複体の真のホモトピー圏であり、一方、 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} はナイーブなホモトピー圏と呼ばれる。