ベクトル解析
勾配、回転、発散と線積分、面積分は以下の関係を満たす。ここでF、Xはそれぞれ3次元ユークリッド空間上のスカラー場とベクトル場、C、S、Vは3次元ユークリッド空間内の有界な曲線、曲面、および3次元領域で、「∂」は境界を表し、P、QはそれぞれCの始点と終点を表す。
∫ C grad  F d  s = F ( Q ) − F ( P ) {\displaystyle \int _{C}\operatorname {grad} F\operatorname {d} s=F(Q)-F(P)}
∫ S rot  X d  S = ∮ ∂ S X d  s {\displaystyle \int _{S}\operatorname {rot} \mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {X} \operatorname {d} s} ((ケルビン・)ストークスの定理)
∫ V div  X d  V = ∮ ∂ V X d  S {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \mathbf {X} \operatorname {d} V=\oint _{\partial V}\mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} } (ガウスの発散定理)
現代の学校教育では古典力学の導入からベクトルを用いた物理教育が行われ、数学でも幾何ベクトル・線型代数学・ベクトル解析といったベクトルの概念が普通に教えられている。しかし古典力学の登場と同時にベクトルも誕生したのではなく、物理法則などを表記するために19世紀に生まれ、20世紀になり高次元ベクトル場にまで一般化された。
ベクトルが誕生するまでは直交座標系を用いた解析幾何学やウィリアム・ローワン・ハミルトンが考案した四元数を用いた記法が主流であり、力学・電磁気学の教育・研究でも解析幾何学的な多変数微積分学を用いた力学や四元数表記の電磁気学が普通であった。余談だが、同じようにベクトルを扱う数学理論である線型代数も登場時期はほぼ同じであり、こちらは完成が遅れたため教育に本格的に導入されるのは20世紀後半、数学教育の現代化が言われ出した頃である。20世紀前半は教えられている物理数学が現代とは違っていたのであり、ベクトルは数学ではなく物理学の授業で導入され行列式が先に教えられていたし、行列を用いて量子力学を定式化したヴェルナー・ハイゼンベルクも線型代数を習っていなかった。