双極定理
f ( x ) = δ ( x | C ) = { 0 if x ∈ C + ∞ else {\displaystyle f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in C\\+\infty &{\text{else}}\end{cases}}} はある錐 C {\displaystyle C} に対する指示函数とする。このとき、凸共役 f ∗ ( x ∗ ) = δ ( x ∗ | C o ) = δ ∗ ( x ∗ | C ) = sup x ∈ C ⟨ x ∗ , x ⟩ {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle } は C {\displaystyle C} に対する支持函数(英語版)であり、 f ∗ ∗ ( x ) = δ ( x | C o o ) {\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})} である。したがって、 C = C o o {\displaystyle C=C^{oo}} であるための必要十分条件は、 f = f ∗ ∗ {\displaystyle f=f^{**}} である。