運動論的方程式
この他にも、粒子の量子状態を変数とした分布関数の2体衝突による量子状態遷移を記述した、Wang-Chang-Uhlenbeck方程式は、衝突による化学反応に直結した重要な方程式であり、粒子の量子性を考慮した、Boltzmann-Nordheim (Uehling-Uhlenbeck) 方程式は、フェルミ・ディラック統計かボーズ・アインシュタイン統計を熱平衡解として持つ。また他にも、分布関数をクリモントビッチの分布関数で書き直した、確率論的ボルツマン方程式 (Stochastic Boltzmann equation) から、直接揺動散逸定理を導くことができる。さらに、熱平衡をツァリス統計(英語版)とした q-Boltzmann 方程式も考案され、その数学的性質が議論されている。以上は、2体衝突系の運動論方程式であったが、この他にも、格子ボルツマン法で重要な BGK(Bhatnagar-Gross-Krook) モデルやランダウ・フォッカー・プランク方程式といった方程式も運動論方程式と呼ばれる。
衝突を考慮すると、衝突によるdt 間の粒子数の変化は dxdvdt に比例すると考えられるので
f ( x + v d t , v + F m d t , t + d t ) d x ′ d v ′ − f ( x , v , t ) d x d v = ∂ f ∂ t | c o l l d x d v d t {\displaystyle f({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {v}}\mathrm {d} t,{\boldsymbol {v}}+{\frac {\boldsymbol {F}}{m}}\mathrm {d} t,t+\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x'}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v'}}-f({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},t)\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\,\mathrm {d} t}
ボルツマン方程式は、2体弾性衝突を記述した方程式であるが、ここで弾性を非弾性に変更すれば、2体衝突が非弾性衝突をする系を記述する非弾性ボルツマン方程式を得る。これは、まさに、粉体気体 (Granular Gas) と呼ばれる、ソフトマターの集団現象を記述する。この粉体気体を記述する、非弾性ボルツマン方程式の性質は、多くの論文があるので、各自調べてみると面白い。
一方、衝突する2体粒子の運動がともに相対論的速度であり、時空が平坦な場合は、ボルツマン方程式は、特殊相対論的ボルツマン方程式として記述される。勿論、時空が曲がっていれば、一般相対論的ボルツマン方程式として記述される。特殊相対論的ボルツマン方程式の性質は、Ju:ttnerにより20世紀初頭から調べられていたが、最近では、クォーク・グルーオン・プラズマの研究が進み、相対論的流体力学方程式への関心の高まりとともに、近年、再注目されている。一方、一般相対論的ボルツマン方程式は、時空の計量の発展方程式であるアインシュタイン方程式と連立して解くことが必要となる。