水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
規格化定数をC′とすると、規格化条件
∫ 0 ∞ | R ( r ′ ) | 2 r ′ 2 d  r ′ = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|R(r')|^{2}r'^{2}\operatorname {d} r'=1}
は、(W2)、(W4)より、
1 = ∫ 0 ∞ | R ( r ′ ) | 2 r ′ 2 d  r = n 3 8 ∫ 0 ∞ R ( ρ ) 2 ρ 2 d  ρ = n 3 C ′ 8 ∫ 0 ∞ ρ 2 l + 2 { L n + l 2 l + 1 ( ρ ) } 2 exp  ( − ρ ) d  ρ {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }|R(r')|^{2}r'^{2}\operatorname {d} r&=&\displaystyle {n^{3} \over 8}\int _{0}^{\infty }R(\rho )^{2}\rho ^{2}\operatorname {d} \rho \\&=&\displaystyle {n^{3}C' \over 8}\int _{0}^{\infty }\rho ^{2\ell +2}\{L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )\}^{2}\exp \left(-\rho \right)\operatorname {d} \rho \\\\\end{array}}} ...(D1)
ラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)は下記の直交性を満たすことが知られている
(W5)におけるRの係数はρが十分小さいところではl(l+1)と近似できるので、(W5)は
ρ 2 d 2  R d  ρ 2 + 2 ρ d  R d  ρ − l ( l + 1 ) R = 0 {\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} \rho ^{2}}}+2\rho {\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} \rho }}-\ell (\ell +1)R=0}
と近似できる。
この形の方程式はオイラーの微分方程式の解法に準ずる方法で解ける。その解は
R ( ρ ) = ρ l {\displaystyle R(\rho )=\rho ^{\ell }} ・・・(C1)
の形で書ける。
本項の目的は、時間非依存なシュレディンガー方程式

でハミルトニアンが

と書ける場合の厳密解を求める事である。ここで
ここで
x 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
x 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
はRの元であり、m0、m1、Qは正の定数であり、
Δ j = ∂ 2 ∂ x j 2 + ∂ 2 ∂ y j 2 + ∂ 2 ∂ z j 2 {\displaystyle \Delta _{j}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}{}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y_{j}{}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z_{j}{}^{2}}} 、
であり、ħは換算プランク定数である。
前述した物理的状況においては、2つの粒子の電荷をそれぞれe1, −e2とし、真空の誘電率をε0とすれば、
Q = e 1 e 2 4 π ε 0 {\displaystyle Q={e_{1}e_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}}}
であるが、本項では一般の正の定数Qに対して解を導くので、必ずしもQが上述の形である事を仮定しない。