二次方程式
変数 x に関する二次式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} について、変数変換
x + α = y
して、1 次の項を消去することを平方完成(基本変形)という。これにより、二次式の正規形 (**) は標準形にすることができる。
係数体の標数が 2 でなければ、平方完成できる。
二次式の正規形 (**) を標準形にする:
x 2 + p x + q = ( x + α ) 2 + β {\displaystyle x^{2}+px+q=(x+\alpha )^{2}+\beta }
1次の係数を比較すると、 ( x + α ) 2 = x 2 + 2 α x + α 2 {\displaystyle (x+\alpha )^{2}=x^{2}+2\alpha x+\alpha ^{2}} より、
α = p 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {p}{2}}}
が導かれる。
二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解を α, β とおくと、
α + β = − b a , α β = c a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\,\alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
解が先に分かっている場合に、係数を合理的に計算できる。