数字根
つまり d 2 , d 3 , ⋯ , d n = 0 {\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0} でない限り f ( x ) < x {\displaystyle f(x)<x} が成り立ち、 d 2 , d 3 , ⋯ , d n = 0 {\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0} であるということは、 x {\displaystyle x} が 1 桁であることを意味する。従って f ( x ) {\displaystyle f(x)} を繰り返し適用していくと x {\displaystyle x} は小さくなっていき、最終的に 1 桁の数になり、その時点で f ( d 1 ) = d 1 {\displaystyle f(d_{1})=d_{1}} なので定数となる。