一様空間
上述の定理の系として、以下の事実も従う:
系 ― 任意の一様空間は擬距離空間から定まる一様空間の直積の部分集合と一様同型である。
与えられた擬距離が D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} に属するか否かは以下のように判別できる:
定理 (擬距離と一様構造の両立条件) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 上の擬距離 d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} } が一様連続になる必要十分条件は、任意のr > 0に対し
U d , r := { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ d ( x , y ) < r } {\displaystyle U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d(x,y)<r\}}
が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元になる事である。
A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} をXの2つの被覆とするとき、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の星型細分(英: star refinement)であるとは、 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} に対し、
S t ( A , A ) = ⋃ C ∈ A , A ∩ C ≠ ∅ C {\displaystyle \mathrm {St} (A,{\mathcal {A}})=\bigcup _{C\in {\mathcal {A}},A\cap C\neq \emptyset }C}
と定義するとき、任意の A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} に対し、ある B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} が存在し、
S t ( A , A ) ⊂ B {\displaystyle \mathrm {St} (A,{\mathcal {A}})\subset B}
となる事をいう。
前述した擬距離空間における近縁が下記の公理を満たす事を容易に確かめられる:
定義 (一様空間) ― Xを集合とし、 U ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {U}}\neq \emptyset } をX×Xの部分集合の族とする。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が以下の性質を満たすとき、組 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を一様構造(英: uniformity) とする一様空間(英: uniform space)といい、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元を近縁(英: entourage、英: vicinity)という:
任意のx ∈ Xと任意の近縁Uに対し、(x, x) ∈ Uである。
Uが近縁なら、V ⊃ Uとなる任意のV ⊂ X×Xは近縁である。
U、Vが近縁なら、U ∩ Vも近縁である。
任意の近縁Uには V ∘ V ⊂ U {\displaystyle V\circ V\subset U} となる近縁Vが存在する。
Uが近縁なら、Uも近縁である。
一様構造を一般化した概念として以下のものがある:
我々は近縁の概念を用いて一様空間を定義したが、被覆という概念を用いても一様空間を特徴づける事ができる。まずこの定義を行うために必要な概念を定義する。
定義 (被覆、細分、星型細分) ― 集合Xの被覆(英: covering)とはXの部分集合の集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} で、
⋃ A ∈ A A = X {\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A=X}
を満たすものの事をいう。
さらに A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} をXの2つの被覆とするとき、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の細分(英: refinement)であるとは、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の任意の元Bに対し、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の元Aが存在し、 A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} を満たす事をいう。
上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである:
定理 (位相空間の一様化可能性) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、以下は同値である:
X上の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が存在し、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める一様構造と一致する
( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} は完全正則空間(詳細下記)である。
ここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる:
定理 (完全正則性) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が完全正則であるとは、任意の点z ∈ Xとzを含まない任意の閉集合F ⊂ Xに対し、連続関数 φ : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varphi ~:~X\to [0,1]} で、