佐藤・テイト予想
エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。
ニック・カッツ(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル では、フロベニウス元の(ユニタリ化された)特性方程式と、コンパクトリー群 USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。
楕円曲線 E と素数 p が具体的に与えられれば、それに対する θp を計算すること自体は容易である。例として、方程式 y = x + x − x で定義される楕円曲線 E を考える。この楕円曲線は虚数乗法を持たず、p = 7 で良還元を持つ。θp を定義から計算するには Ep の有理点の個数 Np を求めればよいが、これは多項式 f (x, y) = y − (x + x − x) に x, y = 0, 1, ..., p − 1 をすべて代入してみて p による剰余が0となるものの個数を数えればよい。無限遠点があるので、この個数に1を足したものが Np である。次の表は f (x, y) の p = 7 での剰余を表計算ソフトで計算した結果である。
0が5つあるので、E の N7 は6であることがわかった。したがって、
θ 7 = arccos  ( 7 + 1 − 6 2 7 ) ≒ 1.18319964 {\displaystyle \theta _{7}=\arccos \left({\frac {7+1-6}{2{\sqrt {7}}}}\right)\fallingdotseq 1.18319964}
である。
この計算からは θp の分布に関して何らかの規則性があるとは想像できないが、実際には sin という簡明な関数に従って分布していることを主張するのが、佐藤・テイト予想である。