フォン・ノイマンの安定性解析
を得る。
振幅係数G を
G ≡ ε j n + 1 ε j n = e a Δ t {\displaystyle G\equiv {\frac {\epsilon _{j}^{n+1}}{\epsilon _{j}^{n}}}=e^{a\Delta t}} ・・・(5)
と定義する。誤差が有界であるための必要十分条件は | G | ≤ 1 {\displaystyle \vert G\vert \leq 1} である。したがって式(4), (5)より、安定性の条件は
| 1 − 4 r sin 2  k m Δ x 2 | ≤ 1 {\displaystyle \left\vert 1-4r\sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}\right\vert \leq 1}
と与えられる。この条件が任意の k m {\displaystyle k_{m}} について成り立たなければならないから、
r = α Δ t Δ x 2 ≤ 1 2 {\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}} ・・・(6)
を得る。式(6)は1次元熱伝導方程式をFTCS法で解くときの、安定性の必要条件を与える。与えられた空間ステップ幅 Δ x {\displaystyle \Delta x} に対して、時間ステップ幅 Δ t {\displaystyle \Delta t} は式(6)を満たすように十分に小さく取らなければならないことが分かる。