クロス積
{ a × ( b × c ) } y = ( a ⋅ c ) b y − ( a ⋅ b ) c y { a × ( b × c ) } z = ( a ⋅ c ) b z − ( a ⋅ b ) c z {\displaystyle {\begin{aligned}&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{y}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{y}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{y}\\&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{z}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{z}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{z}\end{aligned}}}
ゆえに、
a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}}
一般に分配律
a × (b + c) = a × b + a × c (角括弧表記では[a, b+c] = [a×b] + [a×c])
が成り立つ。
行列式の多重線型性から、ベクトル積も双線型性である。任意のベクトルに a、b、c とスカラー k、l に対して
[ a , k b + l c ] = k [ a , b ] + l [ a , c ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}}]=k[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]+l[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]}
[ k b + l c , a ] = k [ b , a ] + l [ c , a ] {\displaystyle [k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=k[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}]+l[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]}
が成り立つ。特に k=l=0 であれば
[ a , 0 ] = [ 0 , a ] = 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {0}}]=[{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}
である。内積(スカラー積)の場合は零ベクトルとの積はスカラーのゼロであるが、ベクトル積の場合は零ベクトルであることに注意が必要。