SIRモデル
のように表すこともある。
上記の3式の和を取れば、
d d t ( S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}S(t)+I(t)+R(t){\big )}=0}
であり、これは総人口 N(t) = S(t) + I(t) + R(t) が一定値をとる保存則(閉鎖人口の仮定)
S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = c o n s t . {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)=\mathrm {const.} }
に対応している。この保存則により、本質的に2変数の方程式である。
簡単のため初期値を I0 = I(0) > 0, S0 = S(0) > 0 とおくと
d I d t ( 0 ) = I 0 ( β S 0 − γ ) > 0 {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)=I_{0}(\beta S_{0}-\gamma )>0}
のとき、すなわち
R 0 = β S 0 / γ > 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}=\beta S_{0}/\gamma >1}
のとき流行が発生する(閾値現象)。この無次元量 R0 は基本再生産数と呼ばれる。上のような最も単純なモデルでは lim t → ∞ I ( t ) = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{t\to \infty }I(t)=0} が成り立ち、エンデミックな定常状態や周期的な流行といった現象は説明できない。