多様体の射
正規代数多様体(英語版)上の有理函数が正則であるための必要十分条件は、それが極を持たぬことである。これはハルトークスの拡張定理の類似である。
正則写像は定義によりアフィン多様体の圏における射である。特にアフィン多様体の間の正則写像は、その座標環の間の環準同型に反変的に一対一対応する。
逆もまた正則であるような正則写像は双正則(そうせいそく、英: biregular)であるといい、代数多様体の圏における同型射である。代数多様体間の射で台となる位相空間の間の同相となるものは必ずしも同型射ではない(反例はフロベニウス射 t ↦ t p {\displaystyle t\mapsto t^{p}} で与えられる)。他方、f が双射双有理かつ f の終域が正規代数多様体ならば f は双正則である(ザリスキーの主定理(英語版)参照)。
正則および双正則は非常に強い条件(射影空間上の定数でない正則函数は存在しない)から、それより弱い条件である有理写像(英語版)や双有理写像が同じくらいよく用いられる。
f が代数多様体の間の射ならば、f の像はその閉包の稠密開集合を含む(可設的集合(英語版)を参照)。
複素代数多様体の間の正則写像は(複素解析的な意味での)正則写像 (holomorphic map) である(実際には少し差異があって、本項に言う代数幾何的な意味で正則 (regular) となるのは特異点が除去可能であるような有理型写像なのであるが、実用上はこの差異は無視されるのが普通)。特に、複素数平面の中への正則写像は、まさに通常の(複素解析的な意味の)正則函数に他ならない。