完全系
∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y l m ( θ , φ ) Y l ′ m ′ ∗ ( θ , φ ) sin  θ d θ d φ = δ l l ′ δ m m ′ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell '}^{m'*}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}} ∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
他の完全系の例としては、エルミート多項式、ラゲール多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ベッセル関数などがある。