連鎖律
上の間違った証明を"修正"して正しい証明にするには、例えば次のようにする。
微分の定義より:
( f ∘ g ) ′ ( a ) = lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) x − a . {\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.}
しばらくの間 g(x) は a の近くの任意の x に対して g(a) と等しくないと仮定する。すると上の式は2つの因子の積に等しい:
lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) ⋅ g ( x ) − g ( a ) x − a . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}
g が a の近くで振動するとき、a にいくら近づいても常に、さらに近い x が存在して g(x) が g(a) に等しいということが起こり得る。例えば、これは g(x) = xsin(1 / x) に対して点 a = 0 の近くで起こる。これが起こるときにはいつでも、上の式は0による割り算を含むから定義されない。