階乗
( 2 n ) ! π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}
が成り立ち、例えば
Γ ( − 2.5 ) = ( − 3.5 ) ! = Π ( − 3.5 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.9453. {\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.}
パイ函数が殆ど全ての複素数値に対して定義される階乗の延長として唯一のものでないことはもちろんである。それは定義域において解析的としても同じことである。しかし、ふつうはこれが階乗の複素函数への最も自然な延長であるものと考える。例えば、ボーア・モレルップの定理はガンマ函数が Γ(1) = 1 かつ函数等式 Γ(n + 1) = nΓ(n) を満足する、ガウス平面の全域で有理型かつ実軸の正の部分で対数凸(英語版)となるような唯一の函数であることを述べる。
0 = 1, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 9, 4 = 262144, ...... (オンライン整数列大辞典の数列 A049384)
5 の値は十進展開で183231桁にも及ぶきわめて大きな自然数である。
5 ! = 5 4 ! = 5 262144 ≈ 6.2 × 10 183230 . {\displaystyle 5^{!}=5^{4^{!}}=5^{262144}\approx 6.2\times 10^{183230}.}
これ以降は、グーゴルプレックス 10 10 100 {\displaystyle 10^{10^{100}}} より遥かに大きくなる(6 を計算すると、およそ 6 ≒ 10 となる)。
全ての自然数の exponential factorial の逆数の総和は、
∑ n = 1 ∞ 1 n ! = 1.611114925808376736 111 ⋯ 111 ⏟ 183213 digits 272243 ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{!}}}=1.611114925808376736\underbrace {111\cdots 111} _{\text{183213 digits}}272243\cdots }
自然数 n, k に対して、n の k-順列の総数 n は n から始めて上から k 個の連続する整数の積を取る(ある意味で不完全な階乗とも呼べる)階乗の類似物であった。これを下降階乗冪と呼ぶ。その反対に n から始めて下から k 個の連続する整数の積をとったもの n を上昇階乗冪といい、これら二つを総称して階乗冪と呼ぶ。ただし一般に自然数に限らず(実数や複素数などに値をとる)x を変数として
x k _ = ∏ i = 0 k − 1 ( x − i ) , x k ̄ = ∏ i = 0 k − 1 ( x + i ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {k}}&=\prod _{i=0}^{k-1}(x-i),\\x^{\overline {k}}&=\prod _{i=0}^{k-1}(x+i)\end{aligned}}}
を考えることが多い。明らかに自然数 n に対して
< 2 π n ( n e ) n e 1 / 12 n {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/12n}}
であることが証明できる。
log(n !) の別な近似はシュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより
log  n ! ≈ n log  n − n + log  [ n { 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) } ] 6 + log  π 2 {\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log \left[n\left\{1+4n\left(1+2n\right)\right\}\right]}{6}}+{\frac {\log \pi }{2}}}
したがって
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 2 n + 1 8 n 2 ) 1 / 6 {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{8n^{2}}}\right)^{1/6}}
と与えられている。この近似の誤差は、スターリングの公式よりも小さい。
階乗の逆数の総和は収束級数
∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ = e {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\dotsb =e}
を与える(ネイピア数を参照)。この和は無理数となるけれども、階乗に適当な正整数を掛けて和が有理数となるようにすることができる。例えば、
∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 2 ) n ! = 1 2 + 1 3 + 1 8 + 1 30 + 1 144 + ⋯ = 1. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(n+2\right)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\dotsb =1.}
この級数の値が 1 となることを見るには、その部分和が 1 − 1/(n+2)! であることを確認すればよい。したがって、階乗数の全体は無理列(英語版)を成さない。