パンシェルル微分
任意の交換子がそうであるように、パンシェルル微分 ′ は自己準同型環 End(K[x]) 上の微分子(英語版)(導分)である。すなわち、自己準同型環 End(K[x]) に属する任意の二つの線形作用素 S, T に対し、
(和の法則) ( T + S ) ′ = T ′ + S ′ ; {\displaystyle (T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime };}
(積の法則) ( T S ) ′ = T ′ S + T S ′ {\displaystyle (TS)^{\prime }=T^{\prime }S+TS^{\prime }}
を満たす(ただし、積 TS := T ∘ S は写像の合成によって定める)。また [T, S] := TS − ST を通常のリーブラケットとして、ヤコビ恒等式より
[ T , S ] ′ = [ T ′ , S ] + [ T , S ′ ] {\displaystyle [T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]}
が成立する。
通常の微分 D = d/dx は多項式に対する作用素と見なせる。