コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数
ウリゾーンの補題(英語版)より、C(X) は X の点を分離(英語版)する。すなわち、x, y ∈ X かつ x ≠ y なら、f(x) ≠ f(y) を満たすある f ∈ C(X) が存在する。
空間 C(X) は、X が無限空間であるなら(点を分離するので)無限次元である。したがって、一般に局所コンパクトとは限らない。
リース=マルコフ=角谷の表現定理(英語版)より、C(X) の連続双対空間の特徴付けがなされる。具体的に、双対空間は X 上のラドン測度(正則なボレル測度)の空間で、rca(X) と表記される。測度の全変動(英語版)によってノルムが与えられるこの空間は、ba空間の類に属するバナッハ空間でもある(Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.3)。
C(X) 上の正線型汎函数(英語版)は、別のタイプのリースの表現定理によって、X 上の(正の)正則ボレル測度に対応する(Rudin 1966, Chapter 2)。
X が無限であるなら、C(X) は回帰的でも弱完備でもない。
アスコリ=アルツェラの定理が成立する。すなわち、C(X) の部分集合 K が相対コンパクトであるための必要十分条件は、それが C(X) のノルムにおいて有界かつ同程度連続であることである。
C(X) に対してストーン=ワイエルシュトラスの定理が成り立つ。実函数の場合、A がすべての定数と分離点を含む C(X) の部分環であるなら、A の閉包は C(X) である。
数学の解析学、特に函数解析学の分野において、実数あるいは複素数に値を取るコンパクトハウスドルフ空間上の連続函数(コンパクトハウスドルフくうかんじょうのれんぞくかんすう、英: continuous functions on a compact Hausdorff space)の空間は基本的な役割を担う。C(X) と表記されるこの空間は、各点ごとの函数の和と定数によるスカラー倍によってベクトル空間となる。さらに、次で定義される一様ノルムによってノルム線型空間にもなる。
‖ f ‖ = sup x ∈ X | f ( x ) | , {\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,}
この一様ノルムは、X 上の函数の一様収束の位相を定義する。空間 C(X) はこのノルムに関してバナッハ環である(Rudin 1973, §11.3)。