極化恒等式
⟨ α x , y ⟩ = ⟨ − β x , y ⟩ = − ⟨ β x , y ⟩ = − β ⟨ x , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\langle -\beta x,y\rangle =-\langle \beta x,y\rangle =-\beta \langle x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle }
次に ⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle \leq 0} を示す。
ここで以上の等式を組み合わせると、 ⟨ α x + z , y ⟩ = ⟨ α x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ , x , y , z ∈ V {\displaystyle \langle \alpha x+z,y\rangle =\langle \alpha x,y\rangle +\langle z,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,\quad x,y,z\in V} が得られる。 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は線形であるため、実際に内積であることが確かめられた。
最後に、内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } からノルム ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} を導出できることを示して証明を終える。
⟨ x , x ⟩ = 1 4 ( ‖ x + x ‖ 2 + ‖ x − x ‖ 2 ) = 1 4 ‖ 2 x ‖ 2 = ‖ x ‖ {\displaystyle {\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}+\|x-x\|^{2}\right)}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}\|2x\|^{2}}}=\|x\|}
大小関係には ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 ≥ ‖ x − y ‖ 2 {\displaystyle \left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}\geq \|x-y\|^{2}} (ノルムの性質)を用いた。
この性質は変数の組 x , − y {\displaystyle x,-y} を x , y {\displaystyle x,y} としても保たれる。ここで、対称性と、上で既に示した符号の性質を使うことで、以下の式が得られる。