汎函数行列式
ここに N はある正規化プロセスによって扱われるべき無限となる定数である。すべての固有値の積は有限次元の行列式に等しく、形式的にこれを無限次元の場合の定義にも用いる。
∫ V D φ e − ⟨ φ | S | φ ⟩ ∝ 1 det S . {\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}
もしすべての量が何らかの適当な意味で収束すると、汎函数行列式は古典的極限として書くことができる(Whittaker,Watson)。そうでなければ、他の種類の発散級数の扱いを行う必要がある。最も一般的に行われる汎函数行列式の計算は、ゼータ函数正規化である。 例えば、ゼータ函数正規化は、ミナクシサンドラム・プレイジェルゼータ函数を使い、リーマン多様体の上のラプラス作用素やディラック作用素(英語版)の汎函数行列式の計算が可能である。それができなければ、発散する定数をキャンセルするために、2つの行列式の商を取ることを考える必要がある。
{\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}
であることを意味する。さて、正弦函数のオイラーの無限積を使い
sin  z = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 π 2 ) {\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}
(例えば、コンパクトな区間 Ω 上の二階微分作用素の場合と同様にである)このことは大まかには、すべての函数 φ が函数 fi の線型結合として書くことができる。
| φ ⟩ = ∑ i c i | f i ⟩ with c i = ⟨ f i | φ ⟩ . {\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .\,}
よって、指数関数の中の内積は次のように書くことができる。
⟨ φ | S | φ ⟩ = ∑ i , j c i ∗ c j ⟨ f i | S | f j ⟩ = ∑ i , j c i ∗ c j δ i j λ i = ∑ i | c i | 2 λ i . {\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}
函数 fi を基底にとれば、汎函数の積分はすべての基底関数を渡る積分に還元される。
となり、このことから同様な双曲正弦函数を導くことができる。
sinh  z = − i sin  i z = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 n 2 π 2 ) . {\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}
これを適用して、次のことが分かる。
det ( − d 2 d x 2 + A ) det ( − d 2 d x 2 ) = ∏ n = 1 + ∞ ( 1 + L 2 A n 2 π 2 ) = sinh  L A L A . {\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}
前節の問題は、この定式化をさらに簡単に解くことができる。函数 ψi(x) は次の関係式に従う。
( − d 2 d x 2 + A ) ψ 1 0 = 0 , ψ 1 0 ( 0 ) = 0 , d ψ 1 0 d x ( 0 ) = 1 , − d 2 d x 2 ψ 2 0 = 0 , ψ 2 0 ( 0 ) = 0 , d ψ 2 0 d x ( 0 ) = 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}