斜交行列
線形代数の公理的な構成では、行列は有限次元ベクトル空間の線形変換に対応する。 公理的な構成で斜交行列に対応するのは、斜交ベクトル空間(シンプレクティックベクトル空間ともいう)の斜交変換(しゃこうへんかん、英: symplectic transformation)である。 簡単に言うと、斜交ベクトル空間は、非退化反対称二次形式 ω を備えた2n 次元のベクトル空間 V である。
このとき、斜交変換とは、ω を保存する、つまり下式を満たす線形変換 L : V → V である。
ω(Lu, Lv) = ω(u, v)
V の基底を固定すると、ω は行列 Ω により、また L は行列 M により書くことができる。 L が斜交変換になる必要十分条件は、以下により M が斜交行列になることである。
MΩM = Ω
行列 A で表現される基底の取替えにより、以下が従う。
Ω ↦ t A Ω A {\displaystyle \Omega \mapsto {}^{t}A\Omega A} M ↦ A − 1 M A {\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA}
A を適当に選ぶことによって、何時でも Ω を標準形式のどれにすることもできる。