フロケ理論
ここで c 1 {\displaystyle c_{1}} および c 2 {\displaystyle c_{2}} は任意定数である。
分数次あるいは整数次のすべての有界な解は、振動数が増加するにつれて振幅が減少するような調和振動の無限級数として表現される。
マシュー方程式の、他の非常に重要な性質として、直交性(orthogonality)が挙げられる [3]:
a ( ν + 2 p , q ) {\displaystyle a(\nu +2p,q)} および a ( ν + 2 s , q ) {\displaystyle a(\nu +2s,q)} が
cos  ( π ν ) − y ( π = 0 ) = 0 , {\displaystyle \cos(\pi \nu )-y(\pi =0)=0,\,}
の単根であるなら、
∫ 0 π F ν + 2 p ( w ) F ν + 2 s ( − w ) d w = 0 , p ≠ s , {\displaystyle \int _{0}^{\pi }F_{\nu +2p}(w)F_{\nu +2s}(-w)\,dw=0,\qquad p\neq s,}
が成立する。すなわち、
⟨ F ν + 2 p ( w ) , F ν + 2 s ( w ) ⟩ = 0 , p ≠ s , {\displaystyle \langle F_{\nu +2p}(w),F_{\nu +2s}(w)\rangle =0,\qquad p\neq s,}
が成立する。ここで <·,·> は 0 から π に対して定義される内積である。