計算可能数
チューリングは原論文で次のように計算可能数を定義している:
(ここで a の十進展開と言ったとき、それは小数点以下の部分のみを指している。)
チューリングはこの定義が上でこれまで定義してきた ε {\displaystyle \epsilon } -近似と同値であることに気づいていた。その議論は次のように進められる: ある数がチューリングの意味で計算可能であるときにはそれは、 ε {\displaystyle \epsilon } 近似の意味でも計算可能である: n > log 10  ( 1 / ε ) {\displaystyle n>\log _{10}(1/\epsilon )} であるとき、a の最初の n 桁は a の ε {\displaystyle \epsilon } 近似を与えている。逆を示すには、 ε {\displaystyle \epsilon } 近似可能な a に対しては小数点以下 n 桁目が確定するまで近似精度を上げていけばよい。これは常に a の十進展開に等しい列を生成するが、この考え方だと不適切に9の無限列で終わる可能性がある。しかしその場合は有限の (したがって計算可能な) 適切な十進展開を持つことになるのでいずれにしても計算可能性が導かれる。