白川の定理
α + α′ = 180°,
α′ = 180° − α,
sin α′ = sin(180° − α),
sin α′ = sin α. (2)
(1), (2)より、△AA′A′′の面積は、
△ A A ′ A ′′ = 1 2 A A ′ ⋅ A A ′′ sin  α ′ = 1 2 b c ⋅ 2 S b c = S . {\displaystyle {\begin{aligned}\bigtriangleup AA'A''&={\frac {1}{2}}AA'\cdot AA''\sin \alpha '\\&={\frac {1}{2}}bc\cdot {\frac {2S}{bc}}=S.\end{aligned}}}
同様に
△BB′B′′=S,
△CC′C′′=S.
依って、
△ABC=△AA′A′′=△BB′B′′=△CC′C′′
は示された。