束 (束論)
数学における束(そく、英語: lattice)は、任意の二元集合が一意的な上限(最小上界、二元の結びとも呼ばれる)および下限(最大下界、二元の交わりとも呼ばれる)を持つ半順序集合である。それと同時に、ある種の公理的恒等式を満足する代数的構造としても定義できる。二つの定義が同値であることにより、束論は順序集合と普遍代数学の双方の領域に属することとなる。さらに、半束 (semilattice) の概念は束の概念を含み、さらにハイティング代数やブール代数の概念も含む。これら束に関連する構造は全て順序集合としても代数系としても記述することができるという特徴を持つ。
集合 L および L 上の二項演算 ∨, ∧ からなる代数的構造 (L, ∨, ∧) が束であるとは、L の任意の元 a, b, c に対して以下の公理的な恒等式を満足するときに言う。
さらに以下の二つの恒等式を公理として仮定することも多いが、実際には吸収律を二度使うことで導くことが可能である
f ( 0 L ) = 0 M , f ( 1 L ) = 1 M {\displaystyle f(0_{L})=0_{M},\quad f(1_{L})=1_{M}}
も同時に満たすべき条件であるとみなされる。これを順序集合論的に定式化するならば、これらの条件は単に、束準同型というのは二元の交わりと結びを保つ写像であると言っているに過ぎない。有界束の場合に最大元と最小元も保つことは、空集合に関する結びと交わりを保つことで言える。
任意の束準同型は付随する順序関係に関して単調である必要があるが、逆は真ではない。つまり、単調性は結びや交わりを保存することを保証しない。一方、順序を保つ全単射が束準同型となるのは、その逆写像がやはり向きを保つときである。
同型写像に関して、それが可逆な準同型であるという意味の標準的な定義に従えば、束同型は単に全単射な束準同型を考えればよく、同様に、束自己準同型は束からその束自身への束準同型であり、また束自己同型は全単射な束自己準同型である。束の全体を対象とし、束準同型を射としてひとつの圏が定まる。
であるとは x ≤ a ∨ b ならば x ≤ a または x ≤ b が成り立つことをいう。
これも同様に一般化して完全結び素元 (completely join prime) の概念が得られる。結び素元の双対概念は交わり素元 (meet prime) である。任意の結び素元は結び既約であり、任意の交わり素元は交わり既約である。逆は、L が分配的ならば正しい。
束 L が最小元 0 を持つとし、L のある元 x が分解不能元(英語版)(あるいは原子元)であるとは、0 < x かつ 0 < y < x となるような L の元 y が存在しないことをいう。さらに束 L が
領域理論において、半順序集合の元を「より単純な」元によって近似することを考えるのは自然である。それによって、任意の元がその元のずっと下にある元の成す有向集合の上限として得られるような半順序集合からなる連続的半順序集合のクラスが導かれる。ここでさらに有向集合を得るのに使える元をコンパクト元に制限することを考えるならば、代数的半順序集合が得られる。これらの概念を束に対しても考えれば、
連続束 (continuous lattice): 半順序集合として連続的な完備束
代数束(英語版) (algebraic lattice): 半順序集合として代数的な完備束
のクラスが得られるが、これらはいずれも興味深い性質を持つクラスである。例えば連続束は、ある種の恒等式を満足する(項数有限な)演算をもつ代数的構造として特徴付けられる。一方、代数束の同じような特徴づけは知られていないが、「統語論的」("syntactical") には、Scott information systemを通じて記述できる。
以下、束論において重要な、順序集合論的概念をいくつか定義する。以下、x はある束 L の元を表すものとし、L が最小元 0 を持つ場合には x ≠ 0 であることも要求することがある。 x が