階乗
いくつか同値な条件により定義することが可能である。
n ! = ∏ k = 1 n k = n × ( n − 1 ) × ⋯ × 3 × 2 × 1 {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\times \left(n-1\right)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}
再帰的な定義 n ! = { 1 , if n = 0 n × ( n − 1 ) ! , if n > 0 {\displaystyle n!={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=0\\n\times \left(n-1\right)!,&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
微分に関する「冪の法則(英語版)」を用いた定義 n ! = d n d x n x n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle n!={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}\quad \left(n\geq 0\right)}
n! = ( n 元集合の置換の総数 )
上記の何れの定義においても、
0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1}
となることが織り込み済みである(最初の定義では「 0 項の積は 1 と定める」という規約によって)。このように定義することの理由は: