ガロア拡大での素イデアルの分解
ガウスの整数の場合を再び考える。θ を虚数の単数 i ととると、最小多項式は、H(X) = X + 1 である。Z[ i {\displaystyle i} ] は Q( i {\displaystyle i} ) の全整数環であるので、例外的な素数は存在しない。
P = (2) に対し、体 Z/(2)Z の中で多項式 X + 1 modulo 2 の分解を考えると、
X 2 + 1 = ( X + 1 ) 2 ( mod 2 ) {\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}}
である。従って、次数が 1 であり分岐指数が 2 である唯一の素因子が存在し、
Q = ( 2 ) Z [ i ] + ( i + 1 ) Z [ i ] = ( 1 + i ) Z [ i ] {\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]}
により与えられる。
次の場合は p ≡ 3 mod 4 である素数に対する P = (p) である。具体的に、P = (7) をとると、多項式 X + 1 は modulo 7 で既約であるので、惰性次数が 2 で分岐指数が 1 である唯一の素因子が存在し
L/K を数体の有限次拡大とし、B と A をそれぞれ L と K に対応する整数環とする。整数環は、各々の体における整数環 Z の整閉包と定義する。
A ↪ B ↓ ↓ K ↪ L {\displaystyle {\begin{array}{ccc}A&\hookrightarrow &B\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}
最後に、p を A のゼロでない素イデアルとする、同じことであるが、極大イデアルであるとする。このとき剰余環 A/p は体である。
クルル次元が 1 である環の基本理論より、p により生成された B のイデアル pB の分解は、一意に
p B = ∏ j P j e ( j ) {\displaystyle pB=\prod _{j}P_{j}^{e(j)}}
と重複度 e(j) を持つ互いに異なる極大イデアル Pj の積へと分解される。
重複度 e(j) は p での拡大の分岐指数 (ramification index) と呼ばれる。それらが全て 1 に等しい場合、体の拡大 L/K は p で不分岐であると呼ぶ。
この場合は、中国の剰余定理により、商
B / p B {\displaystyle B/pB}
は、体
F j = B / P j . {\displaystyle F_{j}=B/P_{j}\ .}
の積となる。