リチャーズ式
鉛直一次元のリチャーズ式の導出方法を簡潔に示す。ある体積中の水分量の時間変化と、その体積への水分の流入・流出フラックスの間には、次の連続の方程式が成り立つ。
∂ θ ∂ t = ∇ → ⋅ ( ∑ i = 1 n q → i , in − ∑ j = 1 m q → j , out ) {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{{\vec {q}}_{i,\,{\text{in}}}}-\sum _{j=1}^{m}{{\vec {q}}_{j,\,{\text{out}}}}\right)}
一次元の式で表記すると
∂ θ ∂ t = − ∂ ∂ z q {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}q}
ダルシーの法則によれば、水平方向の流れはこのように書ける。
q = − K ∂ h ∂ z {\displaystyle q=-K{\frac {\partial h}{\partial z}}}
この q を上式に代入すると