有界変動函数
実数直線上で定義された実数値函数 f が、与えられた区間 [a, b] ⊂ R 上で有界変動であるとは、その区間における f の全変動が有限となるときに言う。記号で書けば、 f ∈ B V ( [ a , b ] ) ⟺ def V a b ( f ) < + ∞ . {\displaystyle f\in BV([a,b]){\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}V_{a}^{b}(f)<+\infty .}
実函数 ƒ が [a, b] 上で有界変動となるための必要十分条件が、[a, b] 上で広義単調増大な二つの函数の差 ƒ = ƒ1 − ƒ2 に書けることであることが示せる。このような差への分解を(函数の)ジョルダン分解 と呼び、測度のジョルダン分解と関連する。
スティルチェス積分を考えることにより、閉区間 [a, b] 上の任意の有界変動函数は連続函数の空間 C[a, b] 上の有界線型汎函数を定める。その特別の場合として、リースの表現定理は任意の有界線型汎函数がこの方法で一意に得られることを述べる。正規化された正値函数あるいは確率測度は広義単調増大下半連続な正値函数に対応する。このような観点はスペクトル論において、特に常微分方程式(英語版)への応用において重要である。