素数の間隔
1852年に証明されたベルトランの仮説は、kと2kの間には必ず素数があり、よって特にpn+1 < 2pnであることは、gn < pnを意味するという内容である。
1896年に証明された素数定理は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(p)に近づくという内容である。実際の間隔の長さはこれよりもずっと大きいことや小さいことがあるが、素数定理から素数の間隔の長さの上限を推論することができる。
すべての ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対して、すべての n > N {\displaystyle n>N} で
g n < p n ε {\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }
であるような数 N {\displaystyle N} がある。 また、素数に比例して間隔が任意に小さくなることも推論できる。比
lim n → ∞ g n p n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}
となる。 グイド・ホハイゼル(英語版) (1930年) は
この予想が真である場合、関数 g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} は g n < ( log  p n ) 2 − log  p n for all n > 4. {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.} を満たす。これはクラメールの予想の強い形を暗示しているが、GranvilleとPintzのヒューリスティックとは矛盾している。これは任意の ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して g n > 2 − ε e γ ( log  p n ) 2 {\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}} が無限回起こる( γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数)
その一方、Oppermannの予想はクラメールの予想より弱い。Oppermannの予想で予想される間隔は
g n < p n .