ベータ関数
ベータ関数は次のような対称性を持つ.
B ( x , y ) = B ( y , x ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x).}
変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は R ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , R ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} である。
B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 sin 2 x − 1  θ cos 2 y − 1  θ d θ . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,{\rm {d}}\theta .}
B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t.}
B ( x , y ) = 1 2 x + y − 1 ∫ − 1 1 ( 1 + t ) x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.}