加群の直和
直和は対象の集合に可換モノイドの構造を対象の和は定義されるが差はされないという意味で与える。実は、差を定義することができ、すべての可換モノイドはアーベル群に拡張することができる。この拡張はグロタンディーク群として知られている。拡張は対象のペアの同値類を定義することによってされる、これによってあるペアを逆元として扱うことができる。この構成(詳細はグロタンディーク群の項を見よ)は、一意であるという普遍性をもつ点で「普遍的」であり、アーベルモノイドのアーベル群への任意の他の埋め込みに準同型である。