ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式
X が c 1 2 = 3 c 2 {\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}} を満たす一般型曲面であるとする。すなわち、ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式において等号が成り立つ曲面とする。このとき、Yau (1977) により、 X は C 2 {\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}} 内の単位球の無限離散群による商空間と同型であることが証明された。この等号が成り立つような曲面の例を探すことは困難である。Borel (1963) は、 c21 = 3c2 を満たすような無限に多くの値に対して、そのようなチャーン数を持つ曲面が存在することを示した。Mumford (1979) は、マンフォード曲面(英語版)(Mumford surface)と呼ばれる c21 = 3c2 = 9 を満たす曲面を発見した。