二重確率行列
数学の確率論や組合せ論の分野における二重確率行列(にじゅうかくりつぎょうれつ、英: doubly stochastic matrix)とは、各行の和および各列の和がそれぞれ 1 となる非負の実正方行列 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} のことである。すなわち、
∑ i a i j = ∑ j a i j = 1 {\displaystyle \sum _{i}a_{ij}=\sum _{j}a_{ij}=1}
が成り立つ行列 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} のことを二重確率行列と呼ぶ。この定義から、二重確率行列は左確率的であると同時に右確率的である。
このような遷移行列は必ず正方行列でなければならない。すなわち、もし各行の和が 1 であるならその行列の全ての成分の和は各行の数に等しく、同様のことが各列に対しても成り立つため、行の数と列の数は必ず等しくなければならない。
n × n 二重確率行列の類は、バーコフ多面体(英語版)として知られる凸多面体 Bn である。この行列成分をデカルト座標系として用いることで、それは n次元ユークリッド空間のある (n − 1)次元アフィン部分空間に含まれる。その空間は、行の和および列の和がそれぞれ 1 であるという特別な 2n − 1 個の線型独立な制限によって定義される(そのような制限の数は 2n − 1 であって 2n ではない。なぜならば、行の和と列の和が等しくなる必要があるので、2n 個の条件の内の一つは線型依存であるからである)。さらに、行列の成分はすべて非負で 1 以下であるように制限されている。
バーコフ=フォン・ノイマンの定理では、この多面体 Bn は n × n 置換行列の集合の凸包であること、さらに Bn の頂点は正しく置換行列であることが述べられている。