ノルム化可能空間
一般に、ノルム化可能空間の位相は複数の異なるノルムから生成されうるが、二つのノルム ‖ • ‖a および ‖ • ‖b が同じ位相を生成するならば、それらは互いに同値であり、そのようなノルムを一つ選べば V はノルム線型空間を成し、そのノルム位相(ドイツ語版)が T に一致する
ノルム付け可能性は、以下の操作を保存する:
ノルム化可能空間の任意の部分空間はふたたびノルム化可能である。
ノルム化可能空間の閉部分空間による任意の商空間はふたたびノルム化可能である。
ノルム化可能空間からなる族の直積空間がノルム化可能であるための必要十分条件は、それら空間が有限個の例外を除くすべて零となることである。
ノルム化可能空間の完備化はふたたびノルム化可能である。
他の空間との関係として:
任意のノルム化可能空間はDF空間(英語版)である。ある意味逆の結果として、局所凸位相線型空間が距離化可能DF空間ならばノルム化可能である。
局所凸位相線型空間の強双対が距離化可能であるための必要十分条件は、もとの空間がノルム化可能となることである。
位相線型空間 (V, T) がノルム化可能であるとは、V 上のノルム ‖ • ‖ が存在して、集合
U ε := { v ∈ V ∣ ‖ v ‖ ≤ ε } {\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{v\in V\mid \|v\|\leq \varepsilon \}}
の全体が、位相 T に関して零ベクトルの基本近傍系を成すときに言う