ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
局所コンパクト空間上の連続関数で無限遠で消えているようなものに対しても同様の稠密性の条件を与える定理が成り立っている。非コンパクトな空間に対しては定数関数は無限遠で消えていないため、対応する条件は X の任意の点 x に対して部分環に属する関数 f で f(x) ≠ 0 となるようなものがあるかどうか、ということになる。こちらの条件は稠密性の必要条件を与えてもいる。
X を局所コンパクト空間とし、 AをC0(X, R)の部分環とせよ。AがX の任意の点を分離し、任意の点に対してAの元であってそこで消えないようなものが存在するとき、およびその時に限りA は sup-ノルムに関して稠密である。