射影力学系
ヒルベルト空間 X の閉凸部分集合 K と、K から X への元を取るベクトル場 -F が与えられたとき、K と -F に関する射影微分方程式は次で定義される。
d x ( t ) d t = Π K ( x ( t ) , − F ( x ( t ) ) ) . {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).}
K の内部で、解は制限のない常微分方程式におけるものと同じように振る舞う。しかし、ベクトル場はその集合の境界に沿って不連続なので、射影部分方程式は不連続な微分方程式のクラスに属する。この事実によって、常微分方程式の多くの理論が適用できなくなるが、-F がリプシッツ連続なベクトル場であるときは、K 内の各初期点 x(0)=x0 を通る絶対連続な解が区間 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 上で唯一つ存在する。