ビオ・サバールの法則
ビオ・サバールの法則の両辺の発散を取る。
div  H = 1 4 π ∫ V div  ( j × r r 3 ) d 3 r ′ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {div} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
ここで、ベクトル解析の恒等式より
div  ( j × r r 3 ) = − j ⋅ rot  r r 3 {\displaystyle \operatorname {div} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)=-{\boldsymbol {j}}\cdot \operatorname {rot} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}}
ビオ・サバールの法則は積分することによりアンペールの法則の磁場と一致する。 例えば無限に長い直線電流であれば、図より、
r = a sin  θ , s = − a tan  θ {\displaystyle r={\frac {a}{\sin \theta }},\qquad s=-{\frac {a}{\tan \theta }}}
したがって
d s d θ = a sin 2  θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {a}{\sin ^{2}\theta }}}
となるから、ビオ・サバールの法則を積分して、