K理論
チャーン類は、空間の位相的K-理論(英語版)(topological K-theory)からその有理コホモロジー(の完備化)への環の準同型を構成することに使うことができる。直線束 L のチャーン指標 ch(L) は、
ch  ( L ) = exp  ( c 1 ( L ) ) := ∑ m = 0 ∞ c 1 ( L ) m m ! {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}}
により定義される。
一般のベクトル束 V が 第一チャーン類 x i = c 1 ( L i ) {\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i})} を持つ直線束の直和 V = L 1 ⊕ . . . ⊕ L n {\displaystyle V=L_{1}\oplus ...\oplus L_{n}} であれば、V のチャーン指標 ch(V) は、
ch  ( V ) = e x 1 + ⋯ + e x n := ∑ m = 0 ∞ 1 m ! ( x 1 m + . . . + x n m ) . {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+...+x_{n}^{m}).}
と加法的に定義される。
チャーン指標はベクトル束のテンソル積についてうまく振る舞い、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の定式化に用いられる。