ニュートン法
x ∗ {\displaystyle x^{*}} が沈点である保証は、常に担保されてはいない。 例えばx軸の漸近線や関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の極値近傍では固定点が不安定になる事が知られている。
たとえば f ( x ∗ ) {\displaystyle f(x^{*})} を、適当な近傍の点 x n {\displaystyle x_{n}} で展開すると f ′ ( x ∗ ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x^{*})\neq 0} なら、二次の余剰項 R 2 = f ′′ ( ξ n ) 2 ( x n − x ∗ ) 2 {\displaystyle R_{2}={\frac {f''(\xi _{n})}{2}}(x_{n}-x^{*})^{2}} として
x n + 1 − x ∗ = − f ′′ ( ξ n ) 2 f ′ ( x n ) ( x n − x ∗ ) 2 {\displaystyle x_{n+1}-x^{*}=-{\frac {f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}(x_{n}-x^{*})^{2}}
よって2次で収束する。