有限生成加群
有限生成加群の準同型像はすべて有限生成である。有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である({1} が生成集合)。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である(実はこの性質がネーター環を特徴づける)。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
別の定式化はこうである。有限生成加群 M は全射
f : R → M.
が存在する加群である。加群 M と自由加群 F に対して全射
φ : F → M.
があると仮定する。
φ の核が有限生成であれば、M は有限関係加群 (finitely related module) と呼ばれる。M は F/ker(φ) に同型なので、これは根本的には、M は自由加群をとり F(ker(φ) の生成元)内で有限個の関係式を導入することによって得られる、ということを表現している。
φ の核が有限生成で F のランクが有限(すなわち F = R)であれば、M は有限表示加群 (finitely presented module) と呼ばれる。このとき M は有限個の生成元(F = R の k 生成元の像)と有限個の関係式(ker(φ) の生成元)を使って表すことができる。
可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。例えば、f : M → M が有限生成加群 M の全射 R-自己準同型であれば、f は単射でもありしたがって M の自己同型である。このことは M はホップ加群(英語版)であると言っている。同様に、アルティン加群 M は余ホップ(英語版)である。つまり、任意の単射自己準同型 f は全射自己準同型でもある。
任意の R-加群は有限生成 R-部分加群の帰納極限である。これは仮定を有限的ケースに弱めるために有用である(例えば、Tor関手を用いた平坦性の特徴づけ(英語版))。
有限生成性と整な元の間の関係の例は可換代数で見つかる。可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。A が R 上の(単位元をもつ)可換代数であれば、次の2つのステートメントは同値である。
A は有限生成 R 加群である。
A は R 上有限生成環かつ R の整拡大である。
) であることと同値である。
M の部分加群の任意の族 {Ni | i ∈ I} に対して、 ⋂ i ∈ I N i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,} であれば、I のある有限部分集合 F に対して ⋂ i ∈ F N i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,} である。
M の部分加群の任意の鎖 {Ni | i ∈ I} に対して、 ⋂ i ∈ I N i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,} であれば、ある i ∈ I に対して Ni = {0} である。
φ : M → ∏ i ∈ I R {\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}R\,} が単射であれば、I のある有限部分集合 F に対して φ : M → ∏ i ∈ F R {\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}R\,} は単射である。
有限生成加群と有限余生成加群はともにネーター加群やアルティン加群、ジャコブソン根基 J(M)、加群のsocle soc(M) と面白い関係がある。以下の事実は2つの条件の間の双対性を描写している。加群 M に対して
M がネーター的であることと M のすべての部分加群が有限生成であることは同値である。
M がアルティン的であることとすべての商加群 M/N が有限余生成であることは同値である。
M が有限生成であることと J(M) が M の余剰部分加群で M/J(M) が有限生成であることは同値である。
M が有限余生成であることと soc(M) が M の本質部分加群で soc(M) が有限生成であることは同値である。
M が半単純加群(例えば任意の加群 N に対して soc(N))であれば、それが有限生成であることと有限余生成であることは同値である。
M が有限生成で 0 でなければ、M は極大部分加群をもち任意の商加群 M/N は有限生成である。
M が有限余生成で 0 でなければ、M は極小部分加群をもち M の任意の部分加群 N は有限余生成である。
N と M/N が有限生成であれば M も有限生成である。「有限生成」を「有限余生成」にとりかえても同じことが成り立つ。
有限余生成加群は有限ユニフォーム次元をもたなければならない。このことは有限生成本質 socle を用いた特徴づけを応用することによって容易に確かめられる。非対称的なことに、有限生成加群はユニフォーム次元が有限である必要はない。例えば、0 でない環の無限個の直積はそれ自身の上の有限生成(巡回!)加群であるが、明らかに 0 でない部分加群の無限個の直和を含む。有限生成加群は余ユニフォーム次元が有限である必要もない。単位元をもつ任意の環 R であって R/J(R) が半単純環でないようなものが反例である。
1つの元で生成される加群。(巡回加群と呼ばれる。)
R を整域とし K をその分数体とする。このとき K のすべての有限生成 R-部分加群 I は分数イデアルである。つまり、R の0でない元 r が存在して、rI は R に含まれる。実際、r として I の生成元の分母の積をとることができる。R がネーター的ならば、すべての分数イデアルはこのように生じる。
有理整数環 Z 上の有限生成加群は有限生成アーベル群と一致する。これらはPID上の有限生成加群の構造定理によってPIDとして Z をとることで完全に分類される
可除環上の有限生成(左としよう)加群はちょうど(可除環上の)有限次元ベクトル空間である。