イデアルの根基
整数環 Z を考える。
4の倍数のイデアル 4Z の根基は 2Z である。
5Z の根基は 5Z である。
12Z の根基は 6Z である。
一般に、mZ の根基は rZ である。ただし r は m のすべての素因数の積である(radical of an integer を参照)。実はこれは任意のイデアルに一般化される(性質を参照)。
準素イデアルの根基は素イデアルである。イデアル I の根基が極大であれば、I は準素である。
I がイデアルであれば、 I n = I {\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}} である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル P に対し P n = P {\displaystyle {\sqrt {P^{n}}}=P} である。
I, J を環 R のイデアルとする。 I , J {\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}} が comaximal であれば、 I , J {\displaystyle I,J} も comaximal である。