固有射
f : X → S {\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}} を局所ネーター形式スキーム(英語版)(locally noetherian formal scheme)間の射とする。f が固有、または X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} は S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} 上固有とは、(i) f が進射(英語版)(adic morphism)(つまり、定義イデアル(the ideal of definition)を定義イデアルに写す)であって、(ii) 誘導される写像 f 0 : X 0 → S 0 {\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}} が固有であることを言う。ここで、 X 0 = ( X , O X / I ) {\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I)} , S 0 = ( S , O S / K ) {\displaystyle S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K)} , I = f ∗ ( K ) O X {\displaystyle I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}} で、K は S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} の定義イデアルである。
シュヴァレーに遡る、固有性の付値判定法と呼ばれる非常に直感的な固有性の判定法がある。f: X → Y をネータースキーム間の有限型射とする。このとき、f が固有であるための必要十分条件は、R を任意の離散付値環、K をその商体、x ∈ X(K) を K 値点とするとき、像 f(x) が R 上定義されるならば一意的な持上げ x ̄ ∈ X ( R ) {\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)} が存在することである。より一般に、任意のスキーム X と Y の間の有限型の準分離射 f: X → Y(有限型なら準コンパクトであることに注意)が固有であるための必要十分条件は、R を任意の付値環、K をその商体、x ∈ X(K) を K 値点とするとき、像 f(x) が R 上定義されるならば一意的な持上げ x ̄ ∈ X ( R ) {\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)} が存在することである。