リーマン・ロッホの定理
主因子の次数は 0 であることが示せるので、因子の次数は線型同値類にのみ依存している。
有理型1形式 ω = f dz ≠ 0 の因子 (ω) も同様に、つまり (ω) = (f) で定義される。大域的な有理型1形式の因子を(記号 K で普通表し)標準因子と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる(よって、標準因子と呼ぶ)。
次で定義される C 上のベクトル空間 L(D) の次元 l ( D ) {\displaystyle l(D)} がもっとも興味のある量である:
L ( D ) = { 0 ≠ f ∈ M ( X ) ∣ ( f ) + D ≥ 0 } ∪ { 0 } . {\displaystyle L(D)=\{\,0\neq f\in M(X)\mid (f)+D\geq 0\,\}\cup \{0\}.}
ここで M(X) は閉リーマン面 X 上の有理型関数のなす体である。つまり、もし点 z で因子 D の係数 sz が負ならば関数 0 ≠ f ∈ L(D) は点 z で位数が −sz 以上の零点を持ち、正ならば点 z で位数が sz 以下の極を持つ。主因子(h)によって線型同値な2つの因子に付随するこれらのベクトル空間は、h倍する操作によって自然に同型となる。