複素解析
カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理によって真性特異点のまわりでの正則関数の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。特異点のまわりでの関数の挙動はテイラー級数に類似のローラン級数によって記述される。
複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり、積分可能であり、解析的である。定義域(若しくは考察の対象となっている領域)の全体で正則な関数を正則関数といい、特に複素平面全体を定義域とする正則関数を整関数という。孤立した極を除いて正則な関数を有理型関数という。指数関数、正弦関数、余弦関数、多項式関数など、多くの初等関数は整関数であるが、正接関数( tan {\displaystyle \tan } )などは極を持つから有理型であり、対数関数は負の実軸に分岐を持ち正則でない。ガンマ関数は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則である。