位相線型環
位相線型環が局所凸線型環であるとは、その位相が局所凸であるときに言う。LMC代数は定義により局所凸線型環となるが、一般の局所凸線型環ではその位相が必ずしも劣乗法的半ノルム族で生成されなくともよい。
例として、複素係数有理函数体 C(t)(複素係数多項式環 C[t] の商体)を考えよう。自然数 n ≥ 1 に対して函数 wn: Z → R を
w n ( k ) = { ( 1 − k ) n ( 1 − k ) ( k ≤ − 1 ) 1 ( k = 0 ) ( 1 + k ) − ( k + 1 ) / n ( k ≥ 1 ) {\displaystyle w_{n}(k)={\begin{cases}(1-k)^{n(1-k)}&(k\leq -1)\\1&(k=0)\\(1+k)^{-(k+1)/n}&(k\geq 1)\end{cases}}}
と定める。各元 f ∈ C(t) は複素変数函数と解釈することができて、ローラン展開 f(t) = ∑∞−∞ ak t を持つことに注意する。いま C(t) 上の半ノルム pn を
p n ( f ) := ∑ k = − ∞ ∞ | a k | w n ( k ) , if f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k t k {\displaystyle p_{n}(f):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|a_{k}|w_{n}(k),\quad {\text{if }}f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}t^{k}}
で定めれば、半ノルム列 (pn)n を備えた C(t) は局所凸線型環を成すことが示せるが、これはLMC代数にはならない。