半線型写像
が成り立つことから従う。同様にして、K の加法と乗法についても加法性によって
( l 1 + l 2 ) θ f ( x ) = f ( ( l 1 + l 2 ) x ) = f ( l 1 x ) + f ( l 2 x ) = ( l 1 θ + l 2 θ ) f ( x ) ( l 1 l 2 ) θ f ( x ) = f ( l 1 l 2 x ) = l 1 θ f ( l 2 x ) = ( l 1 θ l 2 θ ) f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(l_{1}+l_{2})^{\theta }f(x)=f((l_{1}+l_{2})x)=f(l_{1}x)+f(l_{2}x)=(l_{1}^{\theta }+l_{2}^{\theta })f(x)\\&(l_{1}l_{2})^{\theta }f(x)=f(l_{1}l_{2}x)=l_{1}^{\theta }f(l_{2}x)=(l_{1}^{\theta }l_{2}^{\theta })f(x)\end{aligned}}}
が成り立つことから従う。
任意の線型写像は半線型だが、逆は一般には成り立たない。ただし、(K を素体 k 上のベクトル空間と見ることにより)V, W を K の素体 k 上のベクトル空間と見做せば、任意の θ-半線型写像は k-線型写像になる。