射影空間
一方、 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} の任意の正則切断で定まる因子は超平面と線形同値になることからこの写像は全射でもある、すなわち、 Γ ( C P n , O ( 1 ) ) ≅ V ∧ {\displaystyle \Gamma (\mathbb {C} P_{n},{\mathcal {O}}(1))\cong V^{\wedge }} がわかる。
O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)} を O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} の n 階のテンソル積 O ( 1 ) ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)^{\otimes n}} として定めると、同様の議論で Γ ( C P n , O ( n ) ) ≅ Sym n V ∧ {\displaystyle \Gamma (\mathbb {C} P_{n},{\mathcal {O}}(n))\cong {\mbox{Sym}}^{n}V^{\wedge }} が証明できる。射影空間 CPn の斉次座標環 (homogeneous coordinate ring) を
射影空間(しゃえいくうかん、projective space) とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体(あるいは環)にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。
K を体とする。K 上の n 次元の射影空間 KPn は、(n + 1)個の K の要素の比 [x0 : x1 : ... : xn] の全体の集合として定義される。すなわち、ベクトル空間 V = K の 0 でないベクトルに対して、同値関係 (a0, a1, ..., an) ∼ (b0, b1, ..., bn) を、0 でない K の元 t が存在して任意の i = 0, 1, ..., n に対して bi = t ai であることとして定義するとき、
K P n = ( K n + 1 ∖ { 0 } ) / ∼ {\displaystyle KP_{n}=(K^{n+1}\setminus \{0\})/\sim }
である。K が実数体 R や複素数体 C など位相体であるとき、その積位相から定まる K ∖ {\displaystyle \setminus } {0} の位相の商位相でもってKPnは自然に位相空間になる。ベクトル空間 K の座標をひとつ定めると、射影空間の点を比として表す表し方 [x0 : x1 : ... : xn] がひとつ定まる。これを射影空間の斉次座標(あるいは同次座標; homogeneous coordinate)と呼ぶ。