0.999...
999\cdots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle {\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1}
最後の等号 ( lim n → ∞ 1 10 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{10^{n}}}=0} ) は、実数の連続性の一つであるアルキメデスの性質を用いて証明される。このような極限を基にした 0.999... の説明はしばしば、分かりやすいが不正確な言葉によって説明されている。例えば、1846年の教科書 The University Arithmetic は「0.999... と無限に続く数は 1 である。なぜなら 9 を積み重ねるたびにその値は 1 に近づくからである」と説明しており、1895年の Arithmetic for Schools は「9 を十分多く用いれば、0.999... と 1 の距離は驚くほど小さい値である」と説明している。直観に頼らず、はっきりとした理解を得るために、コーシーやボルツァーノらにより微積分を厳密な理論で再構築する流れが生まれた。1860年代にワイエルシュトラスにより ε-δ論法が考案され、無限の概念を不等式の任意性に置き換えることにより、項別操作の可能性などについても説明がついていくこととなる。
十進法表示の有限小数に 10 を掛けると、数字は変化することなく、小数点が1つ右に移動する。このことが無限小数に対しても成り立つと見なせば、0.999... × 10 = 9.999... であり、これはもとの数に比べて 9 大きい。引き算が位ごとに扱えることが無限小数に対しても成り立つと見なせば、9.999... − 0.999... = 9.000... である。ところが、小数点以下に無数に続く 0 は数を変化させないので、この差はまさしく 9 に等しい。問題の小数 0.999... を c と置くと、10c − c = 9 であり、この方程式を解くと、c = 1 が得られ、証明が完了する。つまり、導出は以下のようになる。
c = 0.999 ⋯ 10 c = 9.999 ⋯ 10 c − c = 9.999 ⋯ − 0.999 ⋯ 9 c = 9 c = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}c&=0.999\cdots \\10c&=9.999\cdots \\10c-c&=9.999\cdots -0.999\cdots \\9c&=9\\c&=1\end{aligned}}}
この位取り記数法の性質を利用した証明は他の有限小数(0.25 と 0.24999... など)にも適用できる。
ジョセフ・メイザー (Joseph Mazur) は別の才能豊かな微積分学の生徒について語る。その生徒は「私が授業で言ったことにはほとんどすべて異議を唱えるが、自分の使っている計算機には決して異議を唱えない」。さらに、23 の平方根を計算することも含めて、数学をするのに必要なのは 9桁(程度)だと信じるようになった。その生徒は 9.999... = 10 であるという極限の議論に相変わらず不愉快な感じを抱いていたが、それは「乱暴な推測をする、無限概念の成長過程 (wildly imagined infinite growing process)」と呼ばれる。
エド・デュビンスキー (Ed Dubinsky) による数学学習の理論 (APOS theory) の一部分として、デュビンスキーとその共同研究者 (2005) は、0.999... を「1 から無限に小さい距離だけ離れている数を表す有限で不確定の文字列」であると思う生徒は「無限小数の構成過程の完全な概念がまだ形成されていない」と述べた。たとえ 0.999... の構成過程の完全な概念を身につけた生徒であっても、まだその過程を(すでに持っている "1" の概念と同様の)一つの「対象」としてとらえ直すことができずに、0.999... という一つの過程と 1 という数の存在を矛盾するものととらえるかもしれない。デュビンスキーらはまた、「一つの対象としてとらえ直す」というこの精神的能力が、1/3 それ自体を数と見なしたり、自然数の集合それ自身を一つの対象として取り扱ったりすることと関係していると考えている。
超準解析によって、無限小(およびその逆数)の完全な系列を含んだ数体系が提供される。ライトストーン(英語版)は区間 (0, 1) に属する超実数 (hyperreal number) に対する小数展開を考えた。ライトストーンは、拡張実数に超自然数で添字付けられた数字列
0. d 1 d 2 d 3 ⋯ ; ⋯ d ∞ − 1 d ∞ d ∞ + 1 ⋯ {\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots ;\cdots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\cdots }
が対応することを指摘した。ここでセミコロンの左側は有限(標準)自然数桁を表し、セミコロンの右側は無限大(超準)自然数桁を表す。ここで、セミコロンの直前や直後の桁といったものは存在しないことに注意。ライトストーンは 0.999... について直接扱ったわけではなく、移行原理(英語版) の帰結として実数 ⁄3 が 0.333...;...333... で表されることを指摘した。故に 0.999...;...999... = 1 である。ここで言う意味での小数展開が必ずしも数を表すとは限らないことに注意すべきである。特に "0.333...;...000..." や "0.999...;...000..." は何の数とも対応しない。この事実はoverspill principle(英語版)を使って説明できる。小数展開の各桁を写像 d : ∗ Z + → { 0 , 1 , ⋯ , 9 } {\displaystyle d\colon {}^{\ast }\mathbb {Z} _{+}\to \{0,1,\cdots ,9\}} と見做す。