水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
本節では(Y2)のハミルトニアンを無次元した

のスペクトルを求める。なお、本節ではまず変数分離解を求めるが、後述するように実はこのハミルトニアンは変数分離解しか持たない。
本項、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解(すいそげんしにおけるシュレーディンガーほうていしきのかい)では、ハミルトニアンが

と書ける二粒子系の時間非依存なシュレーディンガー方程式の厳密解を解く(式中の記号の意味は後述)。
物理学的にはこれは、
質量m0の正の電荷をもつ粒子と質量がm1負の電荷を持つ粒子がクーロン力により結合している状況において
外力は働いておらず、
相対論的効果を考えない量子力学の範囲内で、
時間に依存しない定常状態の
粒子の波動関数を決定する事を意味する。正の電荷をもつ粒子と負の電荷がそれぞれ陽子と電子だとすればこの系は水素原子に相当するが、一般の価数の原子核を持つ1電子系多価イオン(水素様原子)の系も同一の方程式から解を導ける。この方程式は様々な教科書で取り上げられている。
なお、微細構造、超微細構造、ラムシフトなどの効果は、いずれも相対論的な量子力学を必要とする為、本項の対象外である。
n := 1 − 2 E ′ , ρ := 2 r ′ n {\displaystyle n:={1 \over {\sqrt {-2E'}}},\rho :={2r' \over n}} ...(W4)
と定義し、Rをρの関数とみなすと、
ρ 2 d 2  R d  ρ 2 + 2 ρ d  R d  ρ − { ρ 2 4 − n ρ + l ( l + 1 ) } R = 0 {\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} \rho ^{2}}}+2\rho {\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} \rho }}-\left\{{\frac {\rho ^{2}}{4}}-n\rho +\ell (\ell +1)\right\}R=0} ...(W5)
が成立する。
この方程式を解くのは複雑な計算を必要とするので後の章にまわし、ここでは結論のみを述べる。
(W5)の方程式を解くことで各n = 0, 1, 2, ...に対し、((A2)のEaを単位とした)エネルギー
E n ′ = − 1 2 n 2 {\displaystyle E'_{n}=-{\frac {1}{2n^{2}}}} ...(B2)
に対する解が見つかる。E'nに対応する固有関数は、