三次関数
任意の多項式函数と同じく、三次函数 f は微分可能である。その一階導函数 f' は二次函数
f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c {\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c}
であり、この判別式 4b − 12ac が正(すなわち b > 3ac)のとき、f は極大値と極小値をちょうど一つずつとる。さもなくば f は狭義単調函数(より精確に、a > 0 ならば狭義単調増大、a < 0 ならば狭義単調減少)である。
(任意の多項式函数がそうである通り)三次函数は連続函数であるから中間値の定理が適用できて、上で見た無限遠での振舞いと合わせると、任意の三次函数が少なくとも一点の実零点を持つことが分かる。他方、代数方程式論の基本定理により、任意の n-次多項式函数の零点の個数は高々 n 個であるから、まとめると三次函数の実零点の数は、一つ以上三つ以下ということになる。
三次函数の零点の配置については、三次方程式やカルダノの公式(ドイツ語版)などの項に譲る。一般の三次函数に対する判別式は
D = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}
で与えられ、これを用いて零点の類別を行うことができる。すなわち、D > 0 ならば相異なる三零点、D < 0 ならば一零点であり、D = 0 のときには、一つの単純零点ともう一つの二位の零点を持つかあるいは一つの三位零点を持つ。
ニュートン法などの数値的な零点探索も行うことができる。