ガロア理論の基本定理
体 K = Q(√2, √3) = Q(√2)(√3) を考える。 K は √2 と √3 を順に添加することで決定されるので、K の各々の元は次のように表すことができる。
( a + b 2 ) + ( c + d 2 ) 3 {\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}}
ここに a, b, c, d は有理数である。このガロア群 G = Gal(K/Q) は a を固定するような K の自己同型を調べることで決定することができる。ガロア群に属する置換は最小多項式の根の入れ替えだけができるので、そのような自己同型は √2 を √2 もしくは −√2 へ写し、√3 を √3 もしくは −√3 へ写す必要がある。f が √2 と −√2 とを入れ替えるとすると、
f ( ( a + b 2 ) + ( c + d 2 ) 3 ) = ( a − b 2 ) + ( c − d 2 ) 3 = a − b 2 + c 3 − d 6 {\displaystyle f\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})+(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}