ローレンツ方程式
通常、パラメータ σ, ρ, β は正であると仮定する。ローレンツはσ=10、β=8/3、ρ=28という値を使用し、これらの値(およびその近傍の値)に対して、系がカオス的な振る舞いをすることを示している。
もしρ<1なら、均衡点は1つだけであり、それは原点である。この点は対流がないことに対応する。すべての軌道は原点に収束し、広域的なアトラクターとなる。.
ρ = 1でピッチフォーク分岐が起こり、ρ > 1 でさらに下記の2つの臨界点が現れる。
これらは定常対流に相当する。この二つの平衡点は ρ < σ σ + β + 3 σ − β − 1 , {\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},} の場合にのみ安定である。これはσ > β + 1の時のみ、 ρは正となりうる。また臨界値では、両平衡点はホップ分岐を経て安定性を失う。
ρ=28、σ=10、β=8/3のとき、ローレンツ方程式はカオス解を持つ(ただし全ての解がカオスであるとは言えない)。
1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションや数値計算を担当したエレン・フェッターと、ローレンツ方程式の発見に至る初期の数値計算を担当したソフトウェアエンジニア、マーガレット・ハミルトンの協力を得て、大気変動の簡易数学モデルを開発した。このモデルが、現在ローレンツ方程式として知られている以下の3つの常微分方程式の系である:
d x d t = σ ( y − x ) , d y d t = x ( ρ − z ) − y , d z d t = x y − β z . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}
ローレンツの論文の図4において、 ローレンツは、系が到達したz方向の相対最大値を、z方向のそれより以前の相対最大値に対してプロットした。この手順は後にローレンツマップとして知られるようになった(軌跡と所定の曲面の交点をプロットするポアンカレプロットと混同しないように)。結果としてこのプロットはテント写像に非常によく似た形をしており、ローレンツは、z の最大値があるカットオフ値を超えると、系が片方のローブ(軌跡上の片方の円盤)に切り替わることを発見した。これをテント写像で知られているカオスと組み合わせることで、系が2つのローブの間をカオス的に行き来することが判明した。