アデール代数群
重要な例であるイデール群 (idele group) I(K) は G = GL1 の場合である.ここでイデール(idele あるいは idèle, [ɪˈdɛlz])の集合は可逆なアデールの全体からなる;しかしイデール群の位相はアデールの部分集合としての位相ではない.そうではなく,GL1 が2次元アフィン空間において {(t, t)} によってパラメトリックに定義された'双曲線'として入っていると考えて,イデール群に正しく割り当てられた位相は A への包含から誘導されるものである;射影と合成して,イデールは A の部分空間位相よりも細かい位相(英語版)を持っていることが従う.
A の中に積 K は離散部分群として入っている.これは G(K) が G(A) の離散部分群であることも意味する.イデール群の場合には,商群
I(K)/K
はイデール類群である.これはイデアル類群と密接に関係している(より大きいが).イデール類群はそれ自身はコンパクトではない;イデールはまずノルム 1 のイデールで置き換えられなければならず,するとイデール類群におけるそれらの像はコンパクト群である;これの証明は類数の有限性と本質的に同値である.
イデール類群のガロワコホモロジーの研究は類体論において中心的な事柄である.イデール類群の指標は,今では通常ヘッケ指標と呼ばれるが,L 関数の最も基本的なクラスを生じる.