順序数
<ω は自然数の通常の大小関係(を各集合に制限したもの)を表すものとすると、
ord  ( ∅ , < ω ) = ∅ = 0 ord  ( { 2 } , < ω ) = { ∅ } = 1 ord  ( { 2 , 3 } , < ω ) = { ∅ , { ∅ } } = { 0 , 1 } = 2 ord  ( { 2 , 3 , 5 } , < ω ) = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } = { 0 , 1 , 2 } = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ord} (\varnothing ,<_{\omega })&=\varnothing =0\\\operatorname {ord} (\{2\},<_{\omega })&=\{\varnothing \}=1\\\operatorname {ord} (\{2,3\},<_{\omega })&={\bigl \{}\varnothing ,\{\varnothing \}{\bigr \}}=\{0,1\}=2\\\operatorname {ord} (\{2,3,5\},<_{\omega })&={\Bigl \{}\varnothing ,\{\varnothing \},{\bigl \{}\varnothing ,\{\varnothing \}{\bigr \}}{\Bigr \}}=\{0,1,2\}=3\end{aligned}}}
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
G A , < ( a ) = { G A , < ( x ) ∣ x < a } {\displaystyle G_{A,<}(a)=\{G_{A,<}(x)\mid x<a\}}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ。