多元環の表現
ウェイトは可換環への写像であるから,写像は多元環のアーベル化 A を通して分解する――同じことであるが,導来環(英語版)上消える――行列のことばでは,v が作用素 T と U の共通の固有ベクトルであれば,TUv = UTv である(なぜならばどちらの場合にもそれは単にスカラーを掛けるだけなので)ので,多元環の共通の固有ベクトルは多元環が可換に作用する集合(これは導来環が自明に作用する)に入っていなければならない.したがって中心的な興味は自由可換代数,すなわち多項式代数である.可換な行列のある集合の多項式代数 F[T1, ..., Tk というとりわけ単純で重要な場合には,この代数のウェイトベクトルは行列の同時固有ベクトルであり,この代数のウェイトは単に,各行列の固有値に,したがって幾何学的には k 次元空間の点に,対応するスカラーの k 組 λ = (λ1, ..., λk) である.これらのウェイト――特にそれらの幾何学――はリー環の表現論,とくに半単純リー環の有限次元表現の理解において中心的に重要である.
この幾何学の応用として,k 個の生成元上の多項式代数の商代数が与えられると,それは幾何学的には k 次元空間の代数多様体に対応し,ウェイトは多様体に乗っていなければならない,すなわち,それは多様体の定義方程式を満たす.これは固有値が一変数の行列の特性方程式を満たすという事実を一般化する.