多元数
クリフォード代数は、二次形式を備える線型空間を台として、その上に構成される単位的結合多元環である。二次形式を持つということは、実数体上では対称双線型形式の意味でのスカラー積 u⋅v = 1/2(uv + vu) を定義できることと同値で、これに関する直交化を施すことにより、基底 {e1, ..., ek} で
1 2 ( e i e j + e j e i ) = { − 1 , 0 , + 1 ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})={\begin{cases}-1,0,+1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}}
を満たすものをとることができる。乗法が閉じるように、2 個の元 {1, e1, e2, e3, ..., e1e2, ..., e1e2e3, ...} によって張られる多重ベクトル(英語版)の空間を作る。これらの多重ベクトルを超複素数系の基底として解釈することができる。この基底は、もとの基底 {e1, ..., ek} と異なり、それらの交換に際していくつ単純因子を入れ替える必要があるかによって、反交換となることもならないこともある。つまり、例えば e1e2 = −e2e1 だが、 e1(e2e3) = +(e2e3)e1 である。
ei = 0 となる eiを含む基底(つまり、もとの空間において二次形式が退化している方向)を除けば、そうでない部分で作られるクリフォード線型環は Clp,q(R) とラベル付けることができる。