リース変換
リース変換はフーリエ乗数(英語版)として与えられる。実際、Rjƒ のフーリエ変換は次で与えられる。
F ( R j f ) ( x ) = i x j | x | ( F f ) ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x)}
(ここでフーリエ変換の正規化に依存するすべての正定数の違いは除く)。この形式により、リース変換はヒルベルト変換の一般化と見なすことが出来る。この核は、次数ゼロの斉次な超函数である。このことから、特に重要な帰結として、リース変換は L(R) からそれ自身への有界線型作用素を定義することが分かる。
この斉次性はフーリエ変換に頼らずともより直接的に述べることが出来る。σs を、スカラー s による R 上の伸張(英語版)、すなわち σsx = sx を満たすものとするとき、その σs は引き戻し(英語版)を介した函数上の次の作用を定義する:
σ s ∗ f = f ∘ σ s . {\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}
リース変換は、この σs と可換である。すなわち
σ s ∗ ( R j f ) = R j ( σ x ∗ f ) {\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f)}
となる。同様に、リース変換は平行移動と可換となる。