体積要素
点 p において、辺を dui とする微小平行多胞体を作ると、その体積はグラム行列の行列式の平方根により与えられる。
det ( ( d u i X i ) ⋅ ( d u j X j ) ) i , j = 1 ... k = det ( X i ⋅ X j ) i , j = 1 ... k d u 1 d u 2 ⋯ d u k {\displaystyle {\sqrt {\det \left((\mathrm {d} u_{i}X_{i})\cdot (\mathrm {d} u_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}}
これにより線形部分空間における体積形式を定義することができる。