射影極限
数学における逆極限(ぎゃくきょくげん、英: inverse limit)あるいは射影極限(しゃえいきょくげん、英: projective limit)は、正確な言い方ではないが、いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。逆極限は任意の圏において考えることができる。
アーベル圏 C に対して、逆極限函手
lim ← : C I → C {\displaystyle \varprojlim \colon C^{I}\to C}
は左完全である。I が可算順序集合(単に半順序が入っているというのではない)で、C がアーベル群の圏 Ab のとき、ミッタークレフラー条件とは lim ← {\displaystyle \varprojlim } の完全性を保証するような遷移射 fij に関する条件である。
以下具体的に述べる。アイレンベルグは函手
lim ← 1 : A b I → A b {\displaystyle \varprojlim \nolimits ^{1}\colon \mathbf {Ab} ^{I}\to \mathbf {Ab} }
で、三つのアーベル群の逆系(Ai, fij), (Bi, gij), (Ci, hij) が短完全列
0 → A i → B i → C i → 0 {\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}
を成すならば、
0 → lim ←  A i → lim ←  B i → lim ←  C i → lim ← 1  A i {\displaystyle 0\to \varprojlim A_{i}\to \varprojlim B_{i}\to \varprojlim C_{i}\to \varprojlim \nolimits ^{1}A_{i}}
が Ab における完全列となるというものを構成した。
まず群と準同型からなる逆系 (inverse system) あるいは射影系 (projective system) と呼ばれるものの定義から始める。(I, ≤) を有向半順序集合とする(I が有向集合であることを課さない文献もある)。群の族 (Ai)i∈I と準同型の族 fij: Aj → Ai (i ≤ j) で以下の性質、
fii は Ai における恒等写像、
fik = fij ∘ fjk (i ≤ j ≤ k)
を満たすものが与えられたとき、対 ((Ai)i∈I, (fij)i≤ j∈I) を群と準同型の成す I 上の逆系と呼び、各射 fij はこの系の遷移射 (transition morphisms) と呼ぶ。
逆系 ((Ai)i∈I, (fij)i≤ j∈I) の逆極限(射影極限)は Ai たちの直積の特定の部分群