連鎖律
{ y = log  u u = cos  x {\displaystyle {\begin{cases}y=\log {u}\\u=\cos {x}\end{cases}}}
y = log  ( cos  x ) {\displaystyle y=\log({\cos {x}})} を x {\displaystyle x} について微分する。連鎖律より
d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}
である。導関数 dy/du および du/dx を求める:
d y d u = 1 u {\displaystyle {\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}\,}
d u d x = − sin  x {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-\sin {x}\,}
したがって
d y d x = 1 u ⋅ ( − sin  x ) = − sin  x u = − sin  x cos  x = − tan  x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{u}}\cdot (-\sin {x})=-{\frac {\sin {x}}{u}}=-{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}}
となる。
これに対処するためには、次のように関数 Q を導入する:
Q ( y ) = { f ( y ) − f ( g ( a ) ) y − g ( a ) , y ≠ g ( a ) , f ′ ( g ( a ) ) , y = g ( a ) . {\displaystyle Q(y)={\begin{cases}{\dfrac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}}
f ∘ g に対応する差分商は常に次に等しいことをこれから証明する:
Q ( g ( x ) ) ⋅ g ( x ) − g ( a ) x − a . {\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}
g(x) が g(a) に等しくないときにはいつでも、g(x) − g(a) という因子は打ち消し合うから明らかである。g(x) が g(a) に等しいときには、f(g(x)) は f(g(a)) に等しいから f ∘ g の微分商は 0 であり、上の積は f′(g(a)) 掛ける 0 に等しいから 0 である。したがって上の積はつねに微分商に等しい。