ラマヌジャンの合同式
∑ n = 0 ∞ p ( 7 n + 5 ) q n = 7 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 7 n ) 3 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 4 + 49 q ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 7 n ) 7 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 8 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{3}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{4}}}}+49q{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{7n})^{7}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{8}}}}}
右辺を q のべき乗で展開したときに、qの係数は1番目の式では p(5n+4) となるが、これは5で割り切れる。同様に、q の係数は2番目の式では p(7n+5) となるが、これは7で割り切れる。すなわち、p(5n+4) ≡ 0 (mod 5) と p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) が成り立つ。なお、q-解析で使用されるq-ポッホハマー記号
( a ; q ) n = { ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}}