ルベーグ積分
当初、測度論は線分、平面図形、立体などの長さ、面積、体積などの精密な解析のために考え出されたものである (Lebesgue 1902)。特に 実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } の部分集合について、その部分集合の長さとは何か、という問いに対して整然とした解答を与えるものであった。
集合論の発展によって、自然な加法性を持ち、平行移動不変になるように、実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } のすべての部分集合に長さを定義することが不可能であることがわかった。このことにより、可測集合と呼ばれる種類の部分集合にのみ長さを定義する必要が生まれた。測度が満たすべき適当な条件については測度論を参照されたい。
現代では測度と積分は公理的に定義される。測度というのは、集合 X の適当な条件を満たす部分集合の族 Σ 上で定義された適当な条件を満たす関数 μ であれば何でもよく、X がユークリッド空間であったり、Σ の元が面積を計算したい図形であったりする必要はないし、μ の値が面積とかけ離れたものでもよい。そこで、ユークリッド空間の図形の面積を与える測度は特別にルベーグ測度という名前がついている。
リーマン積分では長方形 [a, b] × [c, d] の面積が (b − a)(d − c) で計算できることを基礎としている。リーマン積分は積分を近似するための「簡単に計算できる積分」として、長方形を並べたものを使っており、測度に関するより深い議論を必要としなかったのである。