ヤコビの楕円関数
sc  ( u ) = sn  ( u ) cn  ( u ) sd  ( u ) = sn  ( u ) dn  ( u ) dc  ( u ) = dn  ( u ) cn  ( u ) ds  ( u ) = dn  ( u ) sn  ( u ) cs  ( u ) = cn  ( u ) sn  ( u ) cd  ( u ) = cn  ( u ) dn  ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}}
もっと簡単に、
pq  ( u ) = pr  ( u ) qr  ( u ) {\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr} (u)}}}
と書くことができる。ここで、p、q、r は、s、c、d、n の任意の文字で、ss = cc = dd = nn = 1 と解釈する。
(この記法は、クリストフ・グーデルマン(英語版)とGlaisher(英語版)によるもので、ヤコビの元々の記法にはない)
cn  ( u ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 + q 2 n + 1 cos  ( ( 2 n + 1 ) v ) , {\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}
dn  ( u ) = π 2 K + 2 π K ∑ n = 1 ∞ q n 1 + q 2 n cos  ( 2 n v ) . {\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv).}