一般化されたストークスの定理
ここで d は外微分であり、多様体の構造のみを使用して定義される。(n-1) 次元多様体 ∂Ω が境界を持たないことを強調するために右辺は ∮ ∂ Ω ω {\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega } と書かれることもある(この事実はストークスの定理を含意する。これは、与えられた滑らかな n 次元多様体 Ω に対して定理を2回適用すると、任意の (n-2) 形式 ω に対して ∫ ∂ ( ∂ Ω ) ω = ∫ Ω d ( d ω ) = 0 {\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0} となり、これは ∂(∂Ω) = ∅ を意味するからである)。応用において、右辺は積分法則を定式化するためによく使用され、左辺は等価な微分法則の定式化につながる。
この定理は、Ω がより大きな多様体(多くの場合 R)に埋め込まれた、向き付けられた部分多様体の上で ω が定義されている状況でよく使用される。