ジャコブソン根基
J(R) は R のすべての余剰右イデアルの和(または対称性によりすべての余剰左イデアルの和)に等しい。これを直前の定義と比較すると、余剰右イデアルの和は極大右イデアルの共通部分に等しい。この現象は R の右 socle に双対的に反映される。soc(RR) は極小右イデアルの和でもあり本質右イデアルの共通部分でもある。実は、これらの2つの関係は一般に加群の根基と socle に対して成り立つ。
導入部で定義されたように、J(R) は単純右 R-加群のすべての零化イデアルの共通部分に等しい。しかし単純左加群の零化イデアルの共通部分に等しいということも正しい。単純加群の零化イデアルであるイデアルは原始イデアルとして知られているので、これはジャコブソン根基はすべての原始イデアルの共通部分であると言いかえることができる。この特徴づけは環上の加群を研究するときに役に立つ。例えば、U が右 R-加群で V が U の極大部分加群であれば、U·J(R) は V に含まれる、ただし U·J(R) は J(R) の元(「スカラー」)を U の元に右からかけたすべての積を表す。このことは商加群 U/V が単純でありしたがって J(R) によって零化されるという事実から従う。