ロンバーグ積分
ロンバーグ積分 T i , k {\displaystyle T_{i,k}} の誤差は、評価に用いたステップ h i − k , ⋯ , h i {\displaystyle h_{i-k},\cdots ,h_{i}} から O ( h i − k 2 h i − k + 1 2 ⋯ h i 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(h_{i-k}^{2}h_{i-k+1}^{2}\cdots h_{i}^{2})} と見積もられる。特に h i {\displaystyle h_{i}} をロンバーグの提案に従って選ぶときには誤差の厳密な評価
T i , k − ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) h i − k 2 h i − k + 1 2 ⋯ h i 2 ( − 1 ) k B 2 k + 2 ( 2 k + 2 ) ! f ( 2 k + 2 ) ( ξ ) {\displaystyle T_{i,k}-\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)h_{i-k}^{2}h_{i-k+1}^{2}\cdots h_{i}^{2}{\frac {(-1)^{k}B_{2k+2}}{(2k+2)!}}f^{(2k+2)}(\xi )}
が得られている。
h 2 = h 1 / 2 {\displaystyle h_{2}=h_{1}/2} に選ぶとき、リチャードソン補外において現れる T 2 , 1 {\displaystyle T_{2,1}} や T 3 , 1 {\displaystyle T_{3,1}} はシンプソンの公式によって問題の定積分を評価した値に一致する。
幅 h 0 , ⋯ , h m {\displaystyle h_{0},\cdots ,h_{m}} としては、ロンバーグは
h 0 = b − a , h 1 = h 0 2 , ⋯ , h i = h i − 1 2 , ⋯ {\displaystyle h_{0}=b-a,\ \ h_{1}={\frac {h_{0}}{2}},\ \ \cdots ,h_{i}={\frac {h_{i-1}}{2}},\cdots }
を用いていたが、Roland Bulirschは次数が急激に増加し計算コストが増大することを抑えるために
h 0 = b − a , h 1 = h 0 2 h 2 = h 0 3 , ⋯ , h i = h i − 2 2 , ⋯ {\displaystyle h_{0}=b-a,\ \ h_{1}={\frac {h_{0}}{2}}h_{2}={\frac {h_{0}}{3}},\ \ \cdots ,\ \ h_{i}={\frac {h_{i-2}}{2}},\cdots }
を提案している。
補外ステップにおいてリチャードソン補外テーブルの各項の差分に基づいて積分の収束性を判定することで、計算をどこまで進めればよいか判定することも可能である。