ブラケット多項式
絡み目の射影図 L に対するブラケット多項式を <L> で表すこととする。
ブラケット多項式は、以下の3つのルールにより帰納的に定義される(多項式の変数は Aとする)。
ルール1
⟨ ◯ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \bigcirc \rangle =1\,}
ここで○とは、自明な結び目の自明な射影図(右図のように交点が1つも無い射影図)のことを指す。
ルール2
この式において、絡み目の射影図のうち円周外の部分は全て一致しており、円周内の部分のみが上図のように異なっているものとする。
ルール3
⟨ L ∪ ◯ ⟩ = ( − A 2 − A − 2 ) ⟨ L ⟩ {\displaystyle \langle L\cup \bigcirc \rangle =(-A^{2}-A^{-2})\langle L\rangle \,}
ここで左辺は射影図 L と自明な結び目の自明な射影図の分離和である。
以上の3つのルールによっていかなる絡み目の射影図でもブラケット多項式を計算することができる。
まず、ルール1とルール3を使えば、k成分の自明な絡み目の自明な射影図(交点が1つも無い射影図)のブラケット多項式は