クンマー理論
二次体
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。さらに、K で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、exponent が n である K のアーベル拡大は、
K × / ( K × ) n {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n}}
の、つまり n 乗べきを法とした K の元全体のなす群の部分群に全単射で対応する。対応関係は次のように明確に記述することができる。部分群
Δ ⊆ K × / ( K × ) n {\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}}
が与えられると、対応する体の拡大は
K ( Δ 1 / n ) {\displaystyle K(\Delta ^{1/n})}
で与えられる。ここで、
Δ 1 n = { a n : a ∈ K × , a ⋅ ( K × ) n ∈ Δ } {\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}}