質量光度関係
85 M ⊙ ) {\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })}
a ( M ) = − 141.7 M 4 + 232.4 M 3 − 129.1 M 2 + 33.29 M + 0.215 {\displaystyle a(M)=-141.7\,M^{4}+232.4\,M^{3}-129.1\,M^{2}+33.29\,M+0.215}
である。ただしここでは、 M {\displaystyle M} は太陽質量 M ⊙ {\displaystyle M_{\odot }} を単位とした値を用いる。この関係式は、年周視差が判明しており、有効温度と光度を正確に測定するために恒星半径が干渉計によって測定されている晩期K型星とM型主系列星の中分散スペクトルを使用したデータに基づいて導出されたものである。これらの恒星はケプラーでの候補天体を較正する際にも用いられている。この関係式は M = 0.43 M ⊙ {\displaystyle M=0.43M_{\odot }} での指数の不連続性を回避する以外に、 M = 0.
85 M ⊙ {\displaystyle M=0.85M_{\odot }} の a = 4.0 の値もカバーしている。
質量光度関係は、通常の年周視差の測定には遠すぎる連星の距離測定に使えるため重要である。この技術は力学視差(英語版)と呼ばれている。この技術では、連星系にある2つの恒星の質量が、一般にはまず太陽程度の質量であると推定される。次に天体力学のケプラーの法則を用いて連星間の距離を計算する。この距離が分かれば、連星間の距離が天球上で描く弧の長さを介して連星系までの距離を暫定的に推定することが出来る。この測定と連星の両方の見かけの等級から光度を求めることができ、さらに質量光度関係を用いることでそれぞれの恒星の質量を求めることが出来る。こうして導出された質量を用いて連星間の距離を再計算し、これまでの計算を再び繰り返す。一連の計算を何度も反復することで、最高で 5% の精度でパラメータを決定することができる。恒星の寿命がおおむね M / L {\displaystyle M/L} に比例することに注目して、恒星の寿命を決定する場合にも質量光度関係が用いられる場合がある。ただし大きな質量を持つ恒星の場合は、質量光度関係から推定した値よりも短い寿命になることが知られている。より洗練された計算では、時間の経過とともに恒星が質量を失う効果が含まれる。
放射圧を使って上記の結果を導出することによって、恒星の質量が小さい場合と大きい場合を区別した質量光度関係を導くことが出来る。ここでは、不透明度 κ を用い、恒星の内部温度 TI を直接考慮することで導出を簡単化できる。より正確に取り扱う場合は、放射層の平均温度が使われる。
まずは放射圧 P r a d {\displaystyle P_{\rm {rad}}} と光度の関係を記述する所から始める。放射圧の勾配は放射の吸収による運動量の輸送と等しくなることから、以下の関係式が成り立つ。
d P r a d d r = − κ ρ c L 4 π r 2 {\displaystyle {\frac {dP_{\rm {rad}}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}}}
ここで c は光速である。また 1 / κ ρ = l {\displaystyle 1/\kappa \rho =l} は光子の平均自由行程である。
放射圧と温度には以下の関係がある。
P r a d = 4 σ 3 c T I 4 {\displaystyle P_{\rm {rad}}={\frac {4\sigma }{3c}}T_{\rm {I}}^{4}}
従って
T I 3 d T I d r = − 3 κ ρ 16 σ L 4 π r 2 {\displaystyle T_{\rm {I}}^{3}{\frac {dT_{\rm {I}}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}}}