分数階微積分学
ここで函数 f(x) として
f ( x ) = x k {\displaystyle f(x)=x^{k}}
という形の単項式を考える。この一階導函数は周知の如く
f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 {\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}}
で与えられる。また、この二階導函数は
f ′′ ( x ) = d 2 d x 2 f ( x ) = k ( k − 1 ) x k − 2 {\displaystyle f''(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=k(k-1)x^{k-2}}
で与えられる。微分を繰り返せば一般に
f ( a ) ( x ) = d a d x a x k = k P a x k − a = k ! ( k − a ) ! x k − a {\displaystyle f^{(a)}(x)={\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={_{k}P_{a}}x^{k-a}={\frac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}}
を得る。ここで、階乗をガンマ函数に置き換えることにより
d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a {\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\frac {k!