円の面積
半径rの円に内接する正n角形において、1区画の三角形の面積を考える(右図(a))。
三角形の高さは r sin  π n {\displaystyle r\sin {\frac {\pi }{n}}} 、底辺は 2 r cos  π n {\displaystyle 2r\cos {\frac {\pi }{n}}} となるので、1区画の面積は r 2 sin  π n cos  π n {\displaystyle r^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}} であり、全区画の合計は n r 2 sin  π n cos  π n {\displaystyle nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}} である。
したがって、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすれば、
四分円の定積分は、
S 4 = ∫ 0 r r 2 − x 2 d x {\displaystyle S_{4}=\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}
ここで、 x = r sin  t {\displaystyle x=r\sin t} とおけば、 d x = r cos  t d t {\displaystyle \,dx=r\cos t\,dt} 、積分範囲は 0 → r {\displaystyle 0\to r} から 0 → π 2 {\displaystyle 0\to {\frac {\pi }{2}}} となる。また、 r 2 − x 2 = r 2 ( 1 − sin 2  t ) = r cos  t {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}t)}}=r\cos t} となるので、