単位根
経済学者は様々な経済的統計量、特に生産量、が単位根を持つか、もしくはトレンド定常過程かで議論を行っている。ドリフト付き単位根過程は、1次オーダーの場合、以下で与えられる。
y t = y t − 1 + c + e t {\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}
ここで c は定数項であり、"ドリフト"項と見なされ、 e t {\displaystyle e_{t}} はホワイトノイズである。たった1期間でもノイズ項の値が0でなければ、グラフで示すようにノイズは y t {\displaystyle y_{t}} の値に恒久的な影響を与える。よって直線 y t = a + c t {\displaystyle y_{t}=a+ct} からの逸脱は非定常であり、どのようなトレンドにも戻ることはない。対照的にトレンド定常過程は以下で与えられる。
y t = k ⋅ t + u t {\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}
ここで k はトレンドの傾きであり、 u t {\displaystyle u_{t}} はノイズである(単純な場合ではホワイトノイズであるが、より一般的にはノイズ自体が定常自己回帰過程である)。
離散確率過程 { y t , t = 1 , ... , ∞ } {\displaystyle \{y_{t},t=1,\ldots ,\infty \}} を考え、次のような p 次の自己回帰確率過程であると仮定する。
y t = a 1 y t − 1 + a 2 y t − 2 + ⋯ + a p y t − p + ε t . {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}
ここで、 { ε t , t = 0 , ∞ } {\displaystyle \{\varepsilon _{t},t=0,\infty \}} は自己相関がなく、平均が0で定数の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} を持つとする。