差分法
例えば、一階差分近似 (n = 1) を考えれば
f ( x 0 + i h ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) i h + f ′′ ( ξ ) 2 ! ( i h ) 2 {\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2}}
である。この右辺は有限差分法で得られる近似値である。一方、0階差分近似(n=0)を考えれば
f ( x 0 + i h ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) i h {\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih}
よって、0階差分近似での支配的な誤差は
f ′′ ( ξ ) 2 ! ( i h ) 2 {\displaystyle {\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2}}
であり、この剰余項(n=1)が局所打ち切り誤差の支配項である。この場合、局所打ち切り誤差はほぼ刻み幅(h)の2乗に比例するということになる。有限差分法の近似解の精度と計算量は方程式の離散化の仕方や刻み幅の取り方に依存する。これらは刻み幅を小さくするにつれ著しく増加するから、実用上は必要な精度と計算時間を天秤にかけて十分合理的な条件で近似を行う。時間の刻み幅が大きければ多くの場合に計算速度は早くなるが、大きくしすぎると不安定性を生じ、データの精度に問題がでる。
数値モデルの安定性を決定するために、フォン・ノイマンの安定性解析を用いるのが普通である。
数値解析における有限差分法(ゆうげんさぶんほう、英: finite-difference methods; FDM)あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似(差分商)で置き換えて得られる差分方程式で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。
今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である。