真の算術
上記で論じたように、タルスキの定理によれば Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) は算術的に定義不可能である。ポストの定理の系によって Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) のチューリング次数は 0 となり、そのため Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) は決定可能でも帰納的可算でもない。
Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) は半順序のシグネチャにおいて、帰納的可算チューリング次数の理論 Th( R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ) と密接な関係がある。とくに、以下のような S および T が存在する:
一階算術のシグネチャにおけるそれぞれの文 φ について、S(φ) が Th( R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ) に属するとき、かつそのときに限り φ は Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) に属する。
半順序のシグネチャにおけるそれぞれの文 ψ について、T(ψ) が Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) に属するとき、かつそのときに限り ψ は Th( R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ) に属する。