三個の平方数の和
この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。
自然数 N {\displaystyle N} が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、 n ≥ 0 , k ≥ 0 , a ∈ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6\}} により、 N = 4 n ( 8 k + a ) {\displaystyle N=4^{n}(8k+a)} と表されることである。逆に、 N = 4 n ( 8 k + 7 ) {\displaystyle N=4^{n}(8k+7)} で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきたことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。