ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム
また、 c 0 = sin  φ {\displaystyle c_{0}=\sin \varphi } かつ c i + 1 = a i − a i + 1 {\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}} なる数列について、
∑ i = 0 ∞ 2 i − 1 c i 2 = 1 − E ( sin  φ ) K ( sin  φ ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}{c_{i}}^{2}=1-{\frac {E(\sin \varphi )}{K(\sin \varphi )}}}
が成立する。ここで、 E ( k ) {\displaystyle E(k)} は第二種完全楕円積分である。
ガウスはこれらの結果を知っていたとされる。