レンズ空間
レンズ空間 L ( p ; q 1 , ... , q n ) {\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})} の基本群は常に Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} であり、 q i {\displaystyle q_{i}} の値に依らない。特に、 L ( p ; q ) {\displaystyle L(p;q)} の基本群は Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} である。また、ホモロジー群に関してはポアンカレ双対定理と普遍係数定理を用いることで次のように計算され、こちらも q {\displaystyle q} の値に依らないことがわかる:
H k ( L ( p ; q ) ; Z ) = { Z ( k = 0 , 3 ) Z / p ( k = 1 ) 0 ( otherwise ) . {\displaystyle H_{k}(L(p;q);\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &(k=0,3)\\\mathbb {Z} /p&(k=1)\\0&({\text{otherwise}}).\end{cases}}}
後ほど分かるように、レンズ空間の同相分類やホモトピー分類には q {\displaystyle q} も関係するので、基本群やホモロジーではレンズ空間の分類はできない。