離散付値環
離散付値環 R に対し、R の任意の既約元は R の唯一の極大イデアルの生成元であり、逆もまた成り立つ。そのような元を離散付値環 R の素元(prime element あるいは uniformizing parameter / uniformizing element / uniformizer; 一意化元)と呼ぶ。
素元 t を一つ固定して R の唯一の極大イデアルを M = (t) と書けば、ほかの任意の非零イデアルは M の冪、すなわち適当な整数 k ≥ 0 に対して (t) の形になる。t の冪はすべて相異なるから、M についてもそうである。R の任意の非零元 x は x から一意的に定まる R の単元 α と整数 k ≥ 0 を用いて αt の形に書けて、その付値は ν(x) = k で与えられる。従って、離散付値環を完全に知るには、R の単元群と、それが t の冪に対して加法的にどう作用するかが分かればよいことになる。
すべての離散付値環は、局所環なので、自然な位相が入り、位相環になる。2元 x, y の距離を次のように定めることができる。
| x − y | = 2 − ν ( x − y ) {\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}
(あるいは 2 の代わりに任意の他の固定された実数 > 1 でもよい)。直感的に言えば、元 z が "小さく" て "0 に近い" こととその付値 ν(z) が大きいことは同値である。関数 |x-y|(ただし |0|=0 と定める)は、離散付値環の分数体上定義された絶対付値(英語版)の制限である。
DVR がコンパクトであることと、完備かつ剰余体 R/M が有限体であることは同値である。
完備離散付値環の例として、p-進整数環および任意の有限体上の形式冪級数環が挙げられる(局所体も参照)。離散付値環が与えられたとき、(しばしば完備化をして)それを含む完備離散付値環を考えたほうが扱いやすいことも多い。このように完備化を考えることは、有理函数から冪級数を得たり有理数から実数を得たりすることと同様の幾何学的な方法であると見做すことができる。
例に戻ろう。実係数で一変数のすべての形式的冪級数からなる環は実数直線上 0 の近傍において定義された(すなわち有限値の)有理関数の環の完備化である。それはまた 0 の近くで収束するすべての実冪級数の環の完備化でもある。(p-進整数であるようなすべての有理数からなる集合と見ることができる)Z(p) の完備化はすべての p-進整数からなる環 Zp である。