ラグランジュ力学
座標変換 q ↦ Q {\displaystyle q\mapsto Q} が
q i = g i ( Q , t ) {\displaystyle q_{i}=g_{i}(Q,t)}
で表されるとき、新たな座標の下でのラグランジアンは
L ~ ( Q , Q ̇ , t ) = L ( g ( Q , t ) , g ̇ ( Q , t ) , t ) {\displaystyle {\tilde {L}}(Q,{\dot {Q}},t)=L(g(Q,t),{\dot {g}}(Q,t),t)}
で与えられ、新たなラグランジアンから導かれる運動方程式は
δ S ~ [ Q ] δ Q I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q I − d d t ∂ L ~ ∂ Q ̇ I = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\tilde {S}}[Q]}{\delta Q_{I}(t)}}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial Q_{I}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}=0}
である。このように写像の合成で座標変換を容易に行えることが一般化座標で表されるラグランジュ形式の利点の一つである。
として与えられる。 一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、そこから実際の運動を導く方法が最小作用の原理である。すなわち、作用汎関数が最小となる運動が実際に起こる運動である。
作用の停留条件から、ラグランジュの運動方程式(オイラー=ラグランジュ方程式)
δ S [ q ] δ q i ( t ) = ∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ̇ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0}
が得られる。 これはニュートンの運動方程式と同等である。