直交関数列
区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し
⟨ f , g ⟩ = ∫ α β f ( x ) g ∗ ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx}
は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。
(α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、
⟨ φ m , φ n ⟩ = ∫ α β φ m ( x ) φ n ∗ ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)}
関係式
T n ( x ) = cos  ( n arccos  x ) ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle T_{n}(x)=\cos {(n\operatorname {arccos} x)}\quad (n=0,1,2,\dots )}
で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x) の直交関数系を成し、
∫ − 1 1 1 1 − x 2 T m ( x ) T n ( x ) d x = π 2 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}T_{m}(x)T_{n}(x)\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )}
を満たす。