オイラーの公式
証明 — 2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
(2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。 cos x と sin x は (2) の基本解である。実際、ロンスキー行列式
| cos  x sin  x − sin  x cos  x | = cos 2  x + sin 2  x = 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}
は 0 にならない。よって、(1) および (2) より
が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは
となる。(3), (4) に x = 0 を代入したものはそれぞれ、
となるので、(5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える。
e i x = cos  x + i sin  x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}