不定和分
∑ x a = a x + C , {\displaystyle \sum _{x}a=ax+C,}
∑ x x = x 2 2 − x 2 + C , {\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C,}
∑ x x a = B a + 1 ( x ) a + 1 + C , ( a ∉ Z − ) , {\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\quad (a\notin \mathbb {Z} ^{-}),} ただし、Ba(x) = −aζ(−a+1,x) は次数を実数に一般化したベルヌイ多項式.
∑ x x a = ( − 1 ) a − 1 ψ ( − a − 1 ) ( x ) Γ ( − a ) + C , a ∈ Z − {\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}} ただし、ψ(x) はポリガンマ函数.
和分定数 C の選び方について、
F ( x ) = ∑ x f ( x ) + C {\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}
と置くとき、
∫ 0 1 F ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)dx=0}
あるいは
∫ 1 2 F ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)dx=0}
を満たすように C を固定することがしばしばある。ラマヌジャン和を用いて書けば、それぞれ
∑ x ≥ 1 R f ( x ) = − f ( 0 ) − F ( 0 ) {\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}
あるいは
∑ x ≥ 1 R f ( x ) = − F ( 1 ) {\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}
である。
∑ x sin  a x = − 1 2 csc  ( a 2 ) cos  ( a 2 − a x ) + C ( a ≠ n π ) , {\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\quad (a\neq n\pi ),}
∑ x cos  a x = 1 2 cot  ( a 2 ) sin  a x − 1 2 cos  a x + C ( a ≠ n π ) , {\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\cot \left({\frac {a}{2}}\right)\sin ax-{\frac {1}{2}}\cos ax+C\quad (a\neq n\pi ),}
∑ x sin 2  a x = x 2 + 1 4 csc  ( a ) sin  ( a − 2 a x ) + C ( a ≠ n π 2 ) , {\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}
∑ x cos 2  a x = x 2 − 1 4 csc  ( a ) sin  ( a − 2 a x ) + C ( a ≠ n π 2 ) , {\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}