シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
プリンストン大学のマンジュル・バルガヴァはこれを「これまで未知だった性質を示す素晴らしい例」であり、数学にまた新たな発展をもたらすだろうと述べた。
具体的には、ラマヌジャンは一般に
X 3 + Y 3 = Z 3 + W 3 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}}
を考察し、1913年に無限個の解を与える公式
( 6 A 2 − 4 A B + 4 B 2 ) 3 + ( − 3 A 2 − 5 A B + 5 B 2 ) 3 = ( 4 A 2 − 4 A B + 6 B 2 ) 3 + ( 5 A 2 − 5 A B − 3 B 2 ) 3 {\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。
オノらは、上記の整数解で t = A/B としたもの
( 6 t 2 − 4 t + 4 ) 3 + ( − 3 t 2 − 5 t + 5 ) 3 = ( 4 t 2 − 4 t + 6 ) 3 + ( 5 t 2 − 5 t − 3 ) 3 {\displaystyle (6t^{2}-4t+4)^{3}+(-3t^{2}-5t+5)^{3}=(4t^{2}-4t+6)^{3}+(5t^{2}-5t-3)^{3}}
は楕円曲線
X 3 + Y 3 = k ( t ) , k ( t ) = 63 ( 3 t 2 − 3 t + 1 ) ( t 2 + t + 1 ) ( t 2 − 3 t + 3 ) {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=k(t),k(t)=63(3t^{2}-3t+1)(t^{2}+t+1)(t^{2}-3t+3)}
の2つの有理点を与え、さらにこの楕円曲線は関数体 Q ( t ) {\displaystyle \mathbb {Q} (t)} 上の楕円曲線とみると階数2をもち、 ( 6 t 2 − 4 t + 4 , − 3 t 2 − 5 t + 5 ) , ( 4 t 2 − 4 t + 6 , 5 t 2 − 5 t − 3 ) {\displaystyle (6t^{2}-4t+4,-3t^{2}-5t+5),(4t^{2}-4t+6,5t^{2}-5t-3)} によって生成されることを示した。特に、与えられた有理数 t に対して(有限個の例外を除き)この楕円曲線は有理数上2以上の階数をもつ。また曲面
X 3 + Y 3 = k ( Z ) {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=k(Z)}
は楕円K3曲面であることを示したのである。