複素対数函数
開集合 U 上で定義された log z の各枝は複素指数函数の制限(具体的には U の L による像への制限)の逆函数である。指数函数は正則(つまり複素微分可能)かつその導函数が消えることはないから、複素函数版の逆写像定理が適用できて、L(z) は U の各点において正則で、L′(z) = 1/z が成り立つ。これはコーシー–リーマン方程式の成立を見ることによっても証明できる。
もっと別な方法を用いれば、各非零複素数に対して対数を一つずつ選んでできる函数 L(z) が C* の全ての点上で連続となることができるであろうか、残念ながら答えは「否」である。その理由を見るために、そのような対数函数を単位円に沿って追跡する(つまり、L を、θ が 0 から 2π まで増加させるときの、e において評価する)ことを考えよう。簡単のため、初期値は L(1) = 0 と仮定すれば、 θ の増加につれて L(z) が連続なるためには L(e) は iθ に一致しなければならない(差は離散集合 2πiZ に値をとる θ の連続函数でなければならないから)。特に、L(e) = 2πi でなければならないが、そもそも e = 1 なのだから、これは L(1) = 0 の仮定に反する。
したがって、複素数に対して定義された連続な対数函数を得るためには、定義域をガウス平面のより小さな部分集合 U に制限することが必要となる。目的の一つとしてその函数が微分可能となるようにしたいので、定義域の各点の近傍においてそれが定義されていると仮定することには意味がある。つまり U としては開集合をとるべきである。また、U の異なる連結成分上で定義される函数値は互いに関連性がないものに取り得ることを考えれば、U が連結と仮定することも自然である。そういったことを取り纏めて、この文脈では枝を以下のようなものとして定める: