ジャイロベクトル空間
複素平面における開単位円板のメビウス変換は次の極座標分解で与えられる。
z → e i θ a + z 1 + a z ̄ {\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}} which defines the Möbius addition a ⊕ M z = a + z 1 + a z ̄ {\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}
これは e i θ ( a ⊕ M z ) {\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}} と表すことができる。ただし、ここで導入した演算 a ⊕ M z = a + z 1 + a z ̄ {\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}} がメビウス加算である。 これを高次元に拡張すると、複素数は平面 R 2 {\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}} 上のベクトルとなり、メビウス加算は次のようにベクトルの形で書き直される。