部分群の指数
非自明なそのような写像は核として指数 p の正規部分群をもち、 ( Z / p ) × {\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }} の元(mod p で 0 でない元)を写像に掛けることは核を変えない。したがって
P ( Hom  ( G , Z / p ) ) := ( Hom  ( G , Z / p ) ) ∖ { 0 } ) / ( Z / p ) × {\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}
から指数 p の正規部分群への写像を得る。逆に、指数 p の正規部分群は「どの剰余類が 1 ∈ Z / p {\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p} に写るか」の選択を除いて Z / p {\displaystyle \mathbf {Z} /p} への非自明な写像を決定し、これはこの写像が全単射であることを示している。