ベッチ数
P F 4 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) {\displaystyle P_{F_{4}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{23})}
P E 6 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 9 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 17 ) ( 1 + x 23 ) {\displaystyle P_{E_{6}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{9})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{17})(1+x^{23})}
P E 7 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 19 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) {\displaystyle P_{E_{7}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{19})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})}
P E 8 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) ( 1 + x 39 ) ( 1 + x 47 ) ( 1 + x 59 ) {\displaystyle P_{E_{8}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{15})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})(1+x^{39})(1+x^{47})(1+x^{59})}
となる。
代数的位相幾何学において、ベッチ数 (ベッチすう、英語: Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。
右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の「穴」の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。
ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。
「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。