ハルトークスの定理
すなわち、ある函数 f : R n → R {\displaystyle f\colon {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }} が各変数について微分可能(あるいは解析的)であっても、 f {\displaystyle f} は必ずしも連続とはならない。二次元の場合のその反例として、次の函数が挙げられる。
f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 . {\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}
さらに f ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle f(0,0)=0} と定義すると、この函数は原点において x {\displaystyle x} および y {\displaystyle y} についての well-defined な偏微分を持つが、f は原点において連続ではない。実際、直線 x = y {\displaystyle x=y} および x = − y {\displaystyle x=-y} のそれぞれに沿った極限は異なる値となり、f を原点において連続となるように定義することはできない。