カレント (数学)
コンパクトな修正可能な(英語版)(rectifiable)向きつけられた部分多様体 M(次元 m である境界付き多様体(with boundary))上での積分は、m-カレントを
[ [ M ] ] ( ω ) = ∫ M ω {\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega }
と定義することができる。
M の境界(boundary) ∂M が修正可能であれば、積分によりカレントを定義するに充分であり、ストークスの定理により、
[ [ ∂ M ] ] ( ω ) = ∫ ∂ M ω = ∫ M d ω = [ [ M ] ] ( d ω ) {\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega )}
を得る。これは M のホモロジー上の境界作用素 ∂ と外微分 d とを関連付ける。
この公式から、すべてのコンパクトなサポートを持つ m-カレントに対し、カレント上の境界作用素
∂ : D m + 1 → D m {\displaystyle \partial \colon {\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}}
を
( ∂ T ) ( ω ) := T ( d ω ) {\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )\,}
で定義することができる。
Ω c 0 ( R n ) ≡ C c ∞ ( R n ) {\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,}
より、次の式が 0-カレントを定義する。
T ( f ) = f ( 0 ) . {\displaystyle T(f)=f(0).}
特に、すべての符号付き正則な測度 μ {\displaystyle \mu } は 0-カレントである。
T ( f ) = ∫ f ( x ) d μ ( x ) . {\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}
(x, y, z) を P の座標とすると、次の式は 2-カレントを定義する(定義は多くあるがそのうちの一つ)。
T ( a d x ∧ d y + b d y ∧ d z + c d x ∧ d z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 b ( x , y , 0 ) d x d y . {\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}