決定性公理
A(α)をプレイヤー II が s2(α) に従ってゲームで構成できうる列のうち、{B(β) : β ≤ {\displaystyle \leq } α}に属さないものとする。これは可能である。というのも、プレイヤー I の動きの選び方の濃度は連続体濃度であって、この時点までにできている B の濃度より大きいからである。
以上のプロセスを S1 と S2 の全ての戦略に対して順に実行し終わったとする。このとき、 A と B のどちらにも入っていない自然数列が存在するなら、その全体による集合を C とする。これにより、B ∪ C は A の補集合となる。
A の構成が終わったところで、A をプレイヤー I の winning set とする ω-game G を改めて考える。プレイヤー I の戦略 s1 を任意に取ると、ある α < 2 に対して s1 = s1(α) となり、A の構成によりプレイヤー I が s1(α) に従う限りプレイヤー II の選択により B(α) をゲームの結果として構成できて、これは A から逃れている。よって s1 は戦略として必勝戦略ではない。同様にして、プレイヤー II のいかなる戦略も必勝戦略ではないことが分かる。よって A を winning set と定めたこのゲームは両プレイヤーに必勝戦略が存在せず、決定的でない。よって、決定性公理と選択公理は共存できない。
∃ a ∈ S : ∀ a ′ ∈ S : ∃ b ∈ S : ∀ b ′ ∈ S : ∃ c ∈ S : ∀ c ′ ∈ S . . . : ( a , a ′ , b , b ′ , c , c ′ . . . ) ∉ G {\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}
注意: Seq(S) は S の元の ω {\displaystyle \omega } -列全体である。S を ω で置き換えて、G が winning set と解釈すればよい。ここでの文は無限の長さを持っていて、可算無限個の量化子が "..." で省略されている部分に入っている。