C0半群
強連続半群 T は、もし T(t0)X⊂D(A)(あるいは、それと同値な条件として、すべての t ≥ t0 に対して T(t)X ⊂ D(A))が成立するようなある t0 > 0 が存在するなら、終局的に微分可能と呼ばれる。また、もしすべての t > 0 に対して T(t)X ⊂ D(A) が成立するなら直ちに微分可能と呼ばれる。
すべての解析半群は、直ちに微分可能である。
コーシー問題における、一つの同値な特徴づけは次のようなものである: A によって生成される強連続半群が終局的に微分可能であるための必要十分条件は、すべての x ∈ X に対して抽象的コーシー問題の解 u が (t1, ∞) 上で微分可能となるようなある t1 ≥ 0 が存在することである。もし t1 をゼロとなるように選ぶことが出来るのであれば、そのような半群は直ちに微分可能となる。
次のような抽象的コーシー問題を考える:
u ′ ( t ) = A u ( t ) , u ( 0 ) = x . {\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x.}
ここで A はバナッハ空間 X 上の閉作用素とし、x∈X とする。この問題の解には、次のような二つの概念がある:
連続的微分可能な関数 u:[0,∞)→X で、すべての t ≥ 0 に対して u(t) ∈ D(A) を満たし、かつ与えられた初期条件を満たすものは、上のコーシー問題の古典解と呼ばれる。
連続関数 u:[0,∞) → X で
∫ 0 t u ( s ) d s ∈ D ( A ) and A ∫ 0 t u ( s ) d s = u ( t ) − x {\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x}