ハーシャッド数
例えば 21 を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。
自然数 x 以下のハーシャッド数の個数を N(x) とおくと、どんな正の数 ε に対しても以下の式が成り立つ。
x 1 − ε ≪ N ( x ) ≪ x log  log  x log  x {\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}
これは Jean-Marie De Koninck と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátai はまた
N ( x ) = ( c + o ( 1 ) ) x log  x {\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}}
を証明した。ただし c = 14/27 log10 = 1.1939... である。
各位の和 (ハーシャッド数の基数、数字和) が1, 3, 9となる数はすべてハーシャッド数である。特に10の累乗数はすべてハーシャッド数である。
ハーシャッド数がフィボナッチ数である数は
1, 2, 3, 5, 8, 21, 144, 2584, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A117774)
ハーシャッド数が三角数である数は
1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A076713)
ハーシャッド数が平方数である数は
1, 4, 9, 36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A118547)
ハーシャッド数が楔数である数は
30, 42, 70, 102, 110, 114, 190, 195, 230, 266, 285, 322, 370, 399, 402, ...
ハーシャッド数が五角数である数は
1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, 782, 1080,...(オンライン整数列大辞典の数列 A242043)
ハーシャッド数が立方数である数は
1, 8, 27, 216, 512, 1000, 1728, 4913, 5832, 8000, 13824, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A118720)
立方数になるハーシャッド数のうち、各位の和の基数と n の n が等しい数は
1, 512, 4913, 5832, 17576, 19683 (オンライン整数列大辞典の数列 A061209)