閉包 (位相空間論)
集合 S の閉包とは、S の触点全体の成す集合を言い、cl(S) や Cl(S) あるいは S や S などで表す。集合の閉包は以下のような性質を持つ。
cl(S) は S を含む閉集合(閉拡大集合)である。
cl(S) は S を含む閉集合全ての交わりに一致する。
cl(S) は S を含む最小の閉集合である。
集合 S が閉であるための必要十分条件は S = cl(S) を満たすことである。
S が T の部分集合ならば cl(S) は cl(T) の部分集合である。
A が閉集合であるならば、A が S を含むことと A が cl(S) を含むこととは同値である。
二番目と三番目の性質はしばしば位相的な閉包(作用素)の定義として用いられるもので、また他の種類の閉包作用に対しても意味を持つ(後述)。
(距離空間などの)第一可算空間では、cl(S) は S 内のあらゆる収斂点列の極限全体の成す集合に一致する。一般の位相空間に対しては、「点列」を「有向点族」または「フィルター」に置き換えたものが成り立つ。
双対性により、上記の性質において、「閉包」・「拡大集合」・「交叉」・「含む」・「最小」・「閉」をそれぞれ「内部」・「部分集合」・「合併」・「含まれる」・「最大の」・「開」に置き換えたものもやはり成立する。詳細は後述。