昇鎖条件
半順序集合 P において、任意の真の上昇列 a1 < a2 < a3 < ... が有限回で止まるときに昇鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ⋯ {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }
に対して、ある自然数 n が存在して、
a n = a n + 1 = a n + 2 = ⋯ {\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots }
が成り立つ。
同様に、半順序集合 P において、任意の真の下降列 a1 > a2 > a3 > ... が有限回で止まるときに降鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列
a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ ⋯ {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }
に対して、ある自然数 n が存在して、
a n = a n + 1 = a n + 2 = ⋯ {\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots }
が成り立つ。