リースの表現定理
以下の定理はリース=マルコフの定理 (Riesz–Markov theorem) とも呼ばれ、無限大で消失する(英語版) X 上の連続関数の集合 C0(X) の双対空間の具現化を与えるものである。以下での「ボレル集合」の語も、前節と同様に、「開」集合によって生成される σ-代数を表すものである。
μ を可算加法的な複素数値ボレル測度とするとき、μ が正則であるための必要十分条件は、非負の可算加法的な測度 |μ| が前節の定義における意味で正則であることである。
定理 X を局所コンパクトなハウスドルフ空間とする。C0(X) 上の任意の連続な線型汎函数 ψ に対し、X 上の次のような正則な可算加法的複素ボレル測度 μ が唯一つ存在する。すなわち、C0(X) 内のすべての f について
ψ ( f ) = ∫ X f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)}
が成り立つ。線型汎函数としての ψ のノルムは、μ の全変動(英語版)、すなわち