零写像
線型代数学において、同じ体 K 上の二つのベクトル空間 V, W の間の写像 φ: V → W が零写像または零作用素であるとは、V の全てのベクトルを W の唯一の零ベクトル 0W へ写す写像
を言う。
零写像も 0 で表すことがある(文脈から数値の 0 か零写像の 0 かが文脈から明らかである場合に限る)。零写像も定義域を部分集合 U ⊂ V に制限することができる。
零函数はコーシーの四つの函数方程式:
の自明な解である。
さらに、零函数は
なる形の斉次線型微分方程式の自明な解であり、また
(K(x, y) は積分核、λ は前因子)なる形の積分方程式の自明な解である。逆に非斉次の線型微分または積分方程式が零函数を解に持つことはない。
↑ もっとも一般の場合(演算の型が空の場合)として、点付き集合が考えられる。そのとき零元としては基点を考えればよい。
↑ ここに「正値函数」は、単にそれぞれ真に正の値を常にとる函数 (strictly positive-valued function) の意味で用いる(負値も同様)。「正定値函数」や「正の定符号函数」ともいうが、二次形式や行列論に関連してやや異なる意味(英語版)で用いられることも多いので注意すべきである。
零函数は滑らかな函数、すなわち何回でも連続的微分可能であり、その各階の導函数は零函数で与えられる。すなわち
が成り立つ。指数函数を除けば、このような性質を持つ函数は零函数に限る。
零函数自体は、定数函数の導函数として、あるいは一般に n-次多項式函数の (n + 1)-階導函数として得ることができる。
零函数は偶かつ奇函数、すなわち φ ( x ) = φ ( − x ) = − φ ( x ) {\textstyle \phi (x)=\phi (-x)=-\phi (x)} が成り立つ。
零函数は正値函数でも負値函数でもない。が、非正値かつ非負値(すなわち φ ( x ) ≤ 0 ∧ φ ( x ) ≥ 0 {\textstyle \phi (x)\leq 0\wedge \phi (x)\geq 0} )である。
零函数の零点全体の成す集合は定義域全体に一致し、非零点集合(ドイツ語版)(集合論の意味での台)は空集合である。零函数の最大値および最小値はともに零: max x ∈ R φ ( x ) = min x ∈ R φ ( x ) = 0 {\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\phi (x)=\min _{x\in \mathbb {R} }\phi (x)=0} である。
零函数は、すべての定数函数がそうであるように、広義単調増大かつ広義単調減少(狭義ではダメ)である。
零函数は、すべての一次函数がそうであるように、凸かつ凹である。