楕円
楕円を媒介変数表示
x = a cos  t , y = b sin  t {\displaystyle x=a\,\cos t,\,y=b\,\sin t}
で表した時、 t = t 1 {\displaystyle t=t_{1}} から t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} までの弧長 L {\displaystyle L} は
L = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 a 2 sin 2  t + b 2 cos 2  t d t {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,dt\end{aligned}}}
で求められる。これは、 a , b {\displaystyle a,b} の大小関係に関係なく成立する。
この式は第二種不完全楕円積分で表す事ができるが、 a , b {\displaystyle a,b} の大小関係や t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}} の範囲により場合分けが必要になる為、以下に詳述する。
その前に、媒介変数表示について、補足しておく。 楕円の媒介変数表示には、通常