指数型分布族
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次の表は、多くの一般的な分布を、正準型の指数型分布族として書き換える方法を示している。
スカラー変数とスカラーパラメータの場合:
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  ( η ( θ ) T ( x ) − A ( η ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\,\exp {{\Big (}\eta (\theta )\,T(x)-A(\eta ){\Big )}}}
スカラー変数とベクトルパラメータの場合:
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  ( η ( θ ) ⊺ T ( x ) − A ( η ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}(x)-A({\boldsymbol {\eta }}){\Big )}}}
未知の平均 μ {\displaystyle \mu } と未知の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} を持つ正規分布の場合を考える。 確率密度関数は
f ( x ; μ , σ ) = 1 2 π σ 2 exp  ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) . {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
これは、次のように設定することで、指数型分布族であることが分かる。