偏りと分散
二乗誤差のバイアス-バリアンス分解は以下のように導出できる。 f = f ( x ) {\displaystyle f=f(x)} および f ^ = f ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {f}}={\hat {f}}(x)} と簡略に表記する。分散の定義より、
Var  [ X ] = E  [ X 2 ] − ( E  [ X ] ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-{\Big (}\operatorname {E} [X]{\Big )}^{2}.}
これを式変形すると下記になる。
E  [ X 2 ] = Var  [ X ] + ( E  [ X ] ) 2 . {\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\operatorname {Var} [X]+{\Big (}\operatorname {E} [X]{\Big )}^{2}.}
f は決定論的なので、
E  [ f ] = f . {\displaystyle \operatorname {E} [f]=f.}
y = f + ε {\displaystyle y=f+\varepsilon } と E  [ ε ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\varepsilon ]=0} より