自励系
{ d x 1 d t = f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) d x 2 d t = f 2 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) ⋮ d x n d t = f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x n + 1 ) d x n + 1 d t = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\{\dfrac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\\vdots \\{\dfrac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1})\\{\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}=1\\\end{cases}}}
という自励系を得ることができる。独立変数としての t の方を τ と書き換えて、
{ d x d τ = f ( t , x ) d t d τ = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {d{\boldsymbol {x}}}{d\tau }}=f(t,\ {\boldsymbol {x}})\\{\dfrac {dt}{d\tau }}=1\end{cases}}}
のように表すこともある。
で与えられるとき、この微分方程式系を自励系または自律系と呼ぶ。あるいは、このような系を自励的であるという。例えば、ローレンツ方程式
{ d x d t = − σ ( x − y ) d y d t = − y − x z + r x d z d t = x y − b z {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=-\sigma (x-y)\\{\dfrac {dy}{dt}}=-y-xz+rx\\{\dfrac {dz}{dt}}=xy-bz\end{cases}}}
は 3 次元の自励系の例である。
逆に、微分方程式系において右辺の函数 f が引数として t を含むとき、すなわち、ある微分方程式系が
d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f(t,\ {\boldsymbol {x}})}
で与えられるとき、この微分方程式系を非自励系または非自律系と呼ぶ。あるいは、このような系を非自励的であるという。例えば、ダフィング方程式