リーマンゼータ関数の特殊値
d ζ d s | s = − 8 = 315 ζ ( 9 ) 4 π 8 {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\zeta }{{\rm {d}}s}}{\Bigg \vert }_{s=-8}={\frac {315\,\zeta (9)}{4\pi ^{8}}}}
となる。またこれ以外にも、
d ζ d s | s = − 1 = 1 12 − log  A {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\zeta }{{\rm {d}}s}}{\Bigg \vert }_{s=-1}={\frac {1}{12}}-\log A}
d ζ d s | s = 0 = − 1 2 log  2 π {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\zeta }{{\rm {d}}s}}{\Bigg \vert }_{s=0}=-{\frac {1}{2}}\log 2\pi }
d ζ d s | s = 2 = π 2 6 ( γ + log  2 − 12 log  A + log  π ) {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\zeta }{{\rm {d}}s}}{\Bigg \vert }_{s=2}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,(\gamma +\log 2-12\log A+\log \pi )}
なる特殊値が存在する。ただし、ここで A はグレイシャー・キンケリンの定数、γ はオイラーの定数である。また、これらの特殊値の近似値は以下の表に示す通りである。
ゼータ関数は Re s > 1 なる複素数 s に対して定義される関数であるが、その定義式に s = 1 を代入すると、
ζ ( 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
となって調和級数に一致する。調和級数は、古くにおいては収束すると考えられていたが、今日においては発散することが知られている。しかしこれはコーシーの主値は存在し、
lim ε → 0 ζ ( 1 + ε ) + ζ ( 1 − ε ) 2 = γ {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }