部分多様体
正則な部分多様体、あるいは単に部分多様体というときには、(正則な)埋め込みにより定義された部分多様体を指すのが一般的である。具体的には多様体 M と N ⊂ M について、包含写像 i: N → M が埋め込みであるときに N を M の正則な部分多様体という。このとき、N に入っている位相は M からの相対位相となる。
もし埋め込み f: N → M が与えられれば、多様体 N ⊂ M は自然に M の部分多様体となる。この意味で、正則な部分多様体とは埋め込みによる像であると見ることができる。
これとは別に座標近傍を用いた部分多様体の定義もある。M を n 次元多様体とし、0 ≤ k ≤ n は整数とする。このとき、多様体 M の k 次元部分多様体とは S ⊂ M で、任意の p ∈ S について以下の性質が満たされることをいう。
p まわりの M の座標近傍 U ⊂ M, φ: U → R で有って、像 φ(S ∩ U)が R の k 次元平面 と φ(U) との交わりとなるものが取れる。
更に、上の S ∩ U, φ|S ∩ U 達が S の座標近傍系をなす。
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