曲線の特異点
R の任意の閉集合はある滑らかな関数 f: R → R に対する f(0) の解集合として生じる。
任意の媒介表示曲線は陰伏曲線として定義することもでき、曲線の特異点の分類は代数多様体の特異点の分類として研究できる。
平面の代数曲線は、f を多項式関数 f: R → R として、f(x, y) = 0 の形の方程式を満たす点 (x, y) の集合として定義できる。f が
f = a 0 + b 0 x + b 1 y + c 0 x 2 + 2 c 1 x y + c 2 y 2 + ⋯ {\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dotsb }
と展開されているとする。原点 (0, 0) が曲線上にあれば a0 = 0 である。b1 ≠ 0 ならば陰函数定理によって滑らかな関数 h が存在して原点の近くで曲線は y = h(x) の形に書ける。同様に、b0 ≠ 0 ならば滑らかな関数 k が存在して曲線は原点の近くで x = k(y) の形である。