コーシー＝コワレフスカヤの定理
無限回微分可能(C級)であっても、解析的(C級)でない場合には、解の存在は保証されない。そのような例として、1956年、数学者H. Lewyは次のような例を示した。
∂ v 1 ∂ x 1 = ∂ v 2 ∂ x 2 − 2 x 2 ∂ v 1 ∂ x 3 − 2 x 1 ∂ v 2 ∂ x 3 − f ( x 3 ) {\displaystyle {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-2x_{2}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-2x_{1}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}}-f(x_{3})}
∂ v 2 ∂ x 1 = − ∂ v 1 ∂ x 2 + 2 x 1 ∂ v 1 ∂ x 3 − 2 x 1 ∂ v 2 ∂ x 3 {\displaystyle {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+2x_{1}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-2x_{1}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}}}