ゲルファント＝ナイマルクの定理
C*環 A は有界作用素の有する性質を抽象化した複素数体 C 上の多元環であり、積 ab、和 a + b、複素数倍 λ の演算(a, b ∈ A, λ ∈ C)に加えて、対合と呼ばれる随伴作用に対応する作用 ∗ : a ↦ a* を持つ。さらに、A にはノルム || ⋅ || が付随し、ノルムから定まる一様位相についてバナッハ空間である。加えて A において、ノルムは劣乗法性 ||ab|| ≤ ||a||||b|| を満たすとともに、C*性と呼ばれる条件 ||a*a|| = ||a|| を満たす。
可換なC*環の例としては、コンパクト・ハウスドルフ空間 X 上の連続な複素数値関数のなす集合 C(X) が挙げられる。C(X) に積を各点毎に f ⋅ g(t) = f(t) g(t) で、対合を複素共役 f ∗ ( t ) = f ( t ) ̄ {\displaystyle \textstyle f^{\ast }(t)={\overline {f(t)}}} で定義し、ノルムを一様ノルム || f || = supt ∈ X | f(t) | とする。