二項関係
一対一かつ対応となるような関係は、写像であり、全単射または双射と呼ばれる。
X の任意の元 x, y, z について、x R y かつ x R z が成り立てば必ず y R z かつ z R y が成り立つような関係 R は右ユークリッド的であるという (通常、単に「ユークリッド的関係」とされていたら「右ユークリッド的関係」を指す)。
X の任意の元 x, y, z について、x R z かつ y R z が成り立てば必ず x R y かつ y R x が成り立つような関係 R は左ユークリッド的であるという。
恒等関係 "=" は x = y かつ x = z ならば y = z となるから(右)ユークリッド関係であり、また、勿論左ユークリッド関係でもある。
集合 X の任意の元 x に対して、y R x となるような y 全体の成すクラスが集合であるような関係は、集合的(あるいは集合状、集合様)であるという。
(これは真のクラス上の関係を認める場合でないと意味を持たない)
順序数全体の成すクラス上の通常の順序関係 "<" は集合的関係だが、その逆順序 ">" は集合的ではない。
数学において、二項関係(にこうかんけい、英: binary relation)あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう。
二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 p は、p の倍数である任意の整数 z に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。
X の各元 x に対して、それぞれ x R y となるような y ∈ Y がとれるとき、 R は左全域的であるという。
(この性質を単に、全域的 (total) として言及することもあるが、次節にいう完全性の意味での total とは異なる概念である)
R ∩ S ≔ {(x, y) | (x, y) ∈ R かつ (x, y) ∈ S}.
R が X と Y の上の二項関係で、S が Y と Z の上の二項関係ならば、次のような X と Z 上の二項関係が定まる:
集合 X の関係の部分集合 S への制限 (restriction) とは、その関係のグラフに属する順序対 (x, y) で x と y がともに S に属するようなもの全体の成す集合をいう。
関係が、反射的である、非反射的である、対称である、反対称である、非対称である、推移的である、完全である、三分的である、半順序である、全順序である、狭義弱順序である、全前順序である、同値関係であるといった性質は、制限によって保たれる。
しかし、関係の制限の推移閉包はもとの関係の推移閉包の制限の部分集合とはなるが一般には一致しない。
また、完備性 (completeness) のいくつかの概念(完全性 totalness と混同してはいけない)は、制限によって遺伝しない。例えば、実数全体の成す集合 R 上で、通常の大小関係 "≤" は「R の任意の空でない部分集合 S で R に上界を持つものは R に上限(最小上界)を持つ」という性質があるが、しかし関係 "≤" を有理数全体の成す集合 Q 上に制限すれば、有理数からなる部分集合の上限は必ずしも有理数ではないから、この性質は保たれない。
X と Y 上の二項関係の左制限 (left-restriction) あるいは右制限 (right-restriction) はそれぞれ、その始集合あるいは終集合の部分集合 S に対して、その関係に属する対 (x, y) でそれぞれ x あるいは y が S の元となっているようなもの全体として得られる関係をいう。
同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうでない。
二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。
二項関係は n-項関係 R ⊆ A1 × ⋯ × An(各 j-番目の成分が関係の j-番目の始集合 Aj からとられているような n-組からなる集合)で n = 2 とした特別の場合である。
ある種の公理的集合論では(集合の一般化としての)類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念(に限った話ではないが)のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。