ディンキン図形
コンパクトおよび非コンパクトな双曲ディンキングラフはすべて列挙されている。階数 3 の双曲グラフはすべてコンパクトである。コンパクト双曲ディンキン図形は階数 5 まで存在し、非コンパクト双曲グラフは階数 10 まで存在する。
D ~ n + 1 → B ~ n {\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}
D ~ 4 → G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}
E ~ 6 → F ~ 4 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}
Foldings の概念はより一般にコクセター図形にも適用できる――特に、ディンキン図形の許される商を Hn と I2(p) に一般化できる。幾何学的にはこれは uniform polytope(英語版) の射影に対応する。特に、任意の simply laced ディンキン図形は I2(h) に fold できる、ただし h はコクセター数(英語版)で、幾何学的にはコクセター平面(英語版)への射影に対応する。
Folding は(半単純)リー環についての問題を simply-laced なものと自己同型についての問題に還元でき、これは multiply laced リー環を直接扱うよりも単純かもしれない;これは例えば半単純リー環を構成する際にすることができる。さらなる議論は Math Overflow: Folding by Automorphisms を参照。
リー環 s l n + 1 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}} として実現すると、外部自己同型は負の転置 T ↦ − T T {\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }} として表現でき、これは双対表現の作用の仕方である。
Dn に対して、図形の自己同型は Y 字の端の2つの頂点の入れ替えで、2つの chiral(英語版) スピン表現(英語版)を入れ替えることに対応する。リー環 s o 2 n {\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}} として実現して、外部自己同型は O(2n) の行列式 −1 の行列による共役として表せる。 A 3 ≅ D 3 {\displaystyle \mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3}} であるから、それらの自己同型は一致し、 D 2 ≅ A 1 × A 1 {\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}} は不連結で、自己同型は2つの頂点を入れ替えることに対応する。