指数関数的減衰
指数関数的減衰は微分方程式を用いると
d N d t = − λ N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda {N}}
と表せる。式変形すると
d N N = − λ d t {\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda {dt}}
となり、これを積分することによって
ln  N = − λ t + C {\displaystyle \ln N=-\lambda {t}+C}
を得る。ここでC は積分定数であり、
N ( t ) = e C e − λ t = N 0 e − λ t {\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda {t}}=N_{0}e^{-\lambda {t}}}
となる。最後の計算で N0 = e は初期条件t = 0 としたときの初期値と定義する。
この式は指数関数的減衰を記述するときにもっともよく使われる式である。崩壊定数、平均寿命、半減期のいずれを用いても十分に表現することが可能である。λを崩壊定数として用いるのは固有値の名残である。この場合λは微分作用素の反数の固有値であり、N (t ) が固有関数に対応する。