コルモゴロフ複雑性
この結果の証明はベリーのパラドックスに似た自己言及的な構成を用いる。以下、背理法による。この定理が偽だと仮定すると、次のことが言える。
主張(X):任意の整数 n について、ある文字列 s が存在し、体系Sの中で式 「K(s)≧n」(がSの中で定式化できると仮定して)を証明できる。
S内の形式的証明全てを実効的に枚挙する何らかの手段を見つけることができる。
は入力として n を取り、適当な証明を出力する。この関数は全ての証明を枚挙する。その中には我々にとって差し当たり興味のない証明も混ざるだろう(NthProof()が枚挙する証明の中には例えば平方剰余の相互法則の証明、フェルマーの小定理の証明、フェルマーの最終定理の証明など、様々な既知の証明をS内の形式的言語に翻訳したものが現れるだろう)。この中の幾つかは K(s)≧n という形をした複雑性に関する式の証明である(s と n はS内の言語における定数)。さて、次のプログラムが存在する。
このプログラムは n 番目の証明が式 K(s)≧L を証明しているどうかを判定する。文字列 s と整数 L はそれぞれ以下のプログラムで計算可能である: