有向点族
有向点族が定義されたもともとの動機は「点列に関わる諸定理から可算性に関する条件を外す」というものであったが、同じ動機からフィルターという概念も生まれている。有向点族の概念とフィルターの概念は異なる研究者により同時期に独立に提案されたものであるが、実は収束性という観点から見たときには両者は実質的に差異がないものだという事実が知られている。
(以下、この節の記述はフィルターの基本的な知識を要求する。フィルターの項目も参照)。
以下の2つの定理はこの事実を定式化したものである。最初の定理は有向点族の収束はフィルターの収束によって捉えられる事を示している:
上の定理におけるIは以下のように定義できる:
I ( ( x λ ) λ ∈ Λ ) = { { x μ ∣ μ ≥ λ } ∣ λ ∈ Λ } {\displaystyle I((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda })=\{\{x_{\mu }\mid \mu \geq \lambda \}\mid \lambda \in \Lambda \}}
I((xλ)λ∈Λ)がフィルター基の定義を満たす事は簡単に示す事ができる。
次の定理は逆にフィルターの収束は有向点族の収束によって捉えられる事を示している:
ただしIとJは逆関数の関係にあるわけではなく、 I ( J ( B ) ) = B {\displaystyle I(J({\mathcal {B}}))={\mathcal {B}}} は常に成り立つがJ(I((xλ)λ∈Λ))=(xλ)λ∈Λとは限らない。