確率微分方程式
ブラウン運動、あるいはウィーナー過程は、数学的には極めて複雑である。ウィーナー過程の経路は微分不可能であり、したがって、微分・積分を行うには、独自の規則が必要となる。確率解析には、伊藤確率解析、ストラトノビッチ確率解析の2つの方法がある。各々には長所および利点があり、初学者は、与えられた状況においてどちらを使うべきか混乱しがちである。しかし、指針は存在するのであり(下記エクセンダール参考文献参照)、伊藤確率微分方程式を等価なストラトノビッチ確率微分方程式に変換でき、再び戻すことも可能である。しかし、その確率微分方程式を立てた際、どちらの解析によったのか、注意を払わなければならない。
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。確率微分方程式の解の主要な定義には、強解(きょうかい、英:strong solution)と弱解(じゃくかい、英:weak solution)の二種類ある。 どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 Xt の存在を要件とする。両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。