根軸
3次元空間上の2つの球に対して 同様に radical plane を定義することができる。これが平面になることは根軸が直線であることと軌跡が2つの球を結ぶ線で対称なことからわかる。
さらに高次元の空間において同様の超平面を定義することができる。
図4によれば、根軸(赤い線)は2つの円の中心 B と V を通る直線(青い線)に垂直である。2つの線の交点 K は B と V の間にある。x1 と x2 は K から B と V への距離なので x1+x2=D と置くと D は B と V の距離となる。
根軸上に J を取り B と V への距離を d1, d2 とすると、方べきの定理より以下が成り立つ。
d 1 2 − r 1 2 = d 2 2 − r 2 2 {\displaystyle d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}}
ここで r1 と r2 は2つの円の半径である。ピタゴラスの定理を利用して d1 と d2 を x1, x2 および J と K の距離 L 置き換えると以下のようになる。
L 2 + x 1 2 − r 1 2 = L 2 + x 2 2 − r 2 2 {\displaystyle L^{2}+x_{1}^{2}-r_{1}^{2}=L^{2}+x_{2}^{2}-r_{2}^{2}}