カーレマン行列
数学におけるカーレマン行列(カーレマンぎょうれつ、英: Carleman matrix)は、函数の合成を行列の積に読み替えるために用いられる行列である。反復理論において、パターン認識のみでは反復の出来ない連続な反復函数を見つけるために用いられる。その他、確率母函数やマルコフ連鎖の理論で用いられる。
定数倍に関するカーレマン行列は次で与えられる。 M x [ c x ] = ( 1 0 0 ⋯ 0 c 0 ⋯ 0 0 c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
一次函数のカーレマン行列は次で与えられる。 M x [ a + c x ] = ( 1 0 0 ⋯ a c 0 ⋯ a 2 2 a c c 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M_{x}[a+cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
函数 f ( x ) = ∑ k = 1 ∞ f k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}} のカーレマン行列は次で与えられる。