中心つき四面体数
4つの連続した四面体数の和である:
C n = T n − 2 + T n − 1 + T n + T n + 1 {\displaystyle C_{n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_{n}+T_{n+1}}
ただし、n = -2, -1, 0 に対しては Tn = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は二項係数で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば
C n = ( n 0 ) + 4 ( n 1 ) + 6 ( n 2 ) + 4 ( n 3 ) {\displaystyle C_{n}={\binom {n}{0}}+4{\binom {n}{1}}+6{\binom {n}{2}}+4{\binom {n}{3}}}
が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 X = {1, 2, 3, ..., n + 4} とその特定の部分集合 Y = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる X の部分集合のうち、Y と共通部分を持つものの個数が、Cn に等しい。
母関数は以下で与えられる:
( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 − x ) 4 ( = 1 + 5 x + 15 x 2 + 35 x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ C n x n ) {\displaystyle {\frac {(1+x)(1+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\quad \left(=1+5x+15x^{2}+35x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}\right)}
中心つき四面体数(ちゅうしんつきしめんたいすう、英: centered tetrahedral number)は、四面体についての中心つき図形数。非負整数 n に対して、n 番目の中心つき四面体数は
C n = 1 3 ( 2 n + 1 ) ( n 2 + n + 3 ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{3}}(2n+1)(n^{2}+n+3)}
で与えられる。最初のいくつかの中心つき四面体数は
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A005894)
である。