行列の分解
適用:m × n 行列 A.
分解:A = UDV, ただし D は非負対角行列で,U と V はユニタリ行列で,V は V の共役転置を表す(V が実数のみからなるときは単に転置である).
コメント:D の対角成分は A の特異値と呼ばれる.
コメント:上の固有分解と同様,特異値分解は行列の乗法がスカラー乗法と同じになる基底の方向を見つけることと関わるが,考える行列が正方行列でなくてもよいからより広い一般性を持つ.
適用:m × n 行列 A
分解:A = QR,、ただし Q は m 次直交行列であり,R は m × n の上三角行列である。
コメント:QR分解は方程式系 Ax = b を A の逆行列を求めずに解く別の方法を提供する。Q が直交行列であることは QQ = I を意味するので、Ax = b は Rx = Qb と同値であり、後者は R が三角行列だから解きやすい。
ジョルダン標準形とジョルダン・シュヴァレー分解(英語版)
適用:正方行列 A
コメント:ジョルダン標準形は固有分解を固有値に重複があり対角化できない場合に一般化し、ジョルダン・シュヴァレー分解はこれを基底を選ばずに行う。