スペクトル密度
より一般に、似たような技法で時と共に変化するスペクトル密度の近似を求めることができる。
パワースペクトル密度の定義は、全測定時間 T =n dt の間に離散時間 fn = f(n,dt) でサンプリングされた信号のような有限の時系列 fn = f(n,dt)(ただし 1 ≤ n ≤ N)を直接的に一般化する。
P S D ( ω ) = d t 2 T | ∑ n = 1 N f n e − i ω n | 2 {\displaystyle PSD(\omega )={\frac {dt^{2}}{T}}\left|\sum _{n=1}^{N}f_{n}e^{-i\omega n}\right|^{2}} .
実世界の応用では、観察された物理過程の基礎となる実際の PSD のより正確な推定を行うために、一度の測定で得られる PSD の結果を複数回反復測定し平均化することが一般的である。このように計算された PSD はピリオドグラム(英語版)と呼ばれる。平均する時間間隔Tを無限に近づける場合、ピリオドグラムが真のパワースペクトル密度 (PSD) に近づくことを証明できる(ブラウンとホワン)。
2つの信号共に パワースペクトラ (正確な用語;spectrum の複数形は spectra)を有する場合、これらの相互相関関数を用いてクロスパワースペクトルを計算できる。
このことは真実であり、ノーバート・ウィーナーおよびアレクサンドル・ヒンチンによって作り出された意味深い定理(ウィーナー・ヒンチンの定理)となる。
P S D ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − i ω τ d τ = F ( R ( τ ) ) {\displaystyle PSD(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\,R(\tau )\,e^{-i\omega \tau }\,d\tau ={\mathcal {F}}(R(\tau ))}
多くの著者が、実際にパワースペクトル密度を 定義する ためにこの等式を使用している。そうする理由は「数学的曖昧さ」を回避するためであると、多くの書籍に記載されている。
ある周波数帯域 [ω1, ω2] における信号の力は、正の周波数と負の周波数について積分することで計算できる。
P = ∫ ω 1 ω 2 P S D ( ω ) + P S D ( − ω ) d ω {\displaystyle P=\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\,PSD(\omega )+PSD(-\omega )\,d\omega }
信号のパワースペクトル密度は、その信号が広義の定常過程であるときだけ存在する。信号が広義、もしくは、狭義の定常過程でない場合、その自己相関関数は2つの変数の関数となる。広義の 周期定常過程(英語版) のような場合、PSD は存在する可能性がある。
スペクトル密度(スペクトルみつど、英: Spectral density)は、定常過程に関する周波数値の正実数の関数または時間に関する決定的な関数である。パワースペクトル密度(電力スペクトル密度、英: Power spectral density)、エネルギースペクトル密度(英: Energy spectral density、ESD)とも。単に信号のスペクトルと言ったとき、スペクトル密度を指すこともある。直観的には、スペクトル密度は確率過程の周波数要素を捉えるもので、周期性を識別するのを助ける。