ベクトル空間
二つのベクトル空間の間の関係性は線型写像あるいは線型変換によって表すことができる。これは、ベクトル空間の構造を反映した写像、即ち任意の x, y ∈ V と任意の a ∈ F に対して
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , f ( a x ) = a f ( x ) {\displaystyle f({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})=f({\boldsymbol {x}})+f({\boldsymbol {y}}),\quad f(a{\boldsymbol {x}})=af({\boldsymbol {x}})}
を満たすという意味で和とスカラーとの積を保つものである。
同型写像とは、線型写像 f: V → W で逆写像 g: W → V, 即ち合成写像 (f ◦ g): W → W および (g ◦ f): V → V がともに恒等写像となるものが存在するものを言う。同じことだが、f は一対一(単射)かつ上への(全射)線型写像である。V と W の間に同型写像が存在するとき、これらは互いに同型であるという。このとき、V において成り立つ任意の関係式が f を通じて W における関係式に写され、また逆も g を通じて行えるという意味で、これら本質的に同じベクトル空間と見做すことができる。
例えば、「平面上の有向線分(矢印)」の成すベクトル空間と「数の順序対」の成すベクトル空間は同型である。つまり、ある(固定された)座標系の原点を始点とする平面上の有向線分は、図に示すように、線分の x-成分と y-成分を考えることにより、順序対として表すことができる。
ルベーグ空間は何れも完備になる(が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。これがルベーグ積分論を考えることの正当性の一つとして挙げられる理由の一つである)。具体的に書けば、任意の可積分函数列 f1, f2, ... で |fn|p < ∞ となるものが、条件
lim k , n → ∞ ∫ Ω | f k ( x ) − f n ( x ) | p d x = 0 {\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }{\bigl |}f_{k}(x)-f_{n}(x){\bigr |}^{p}\,dx=0}
を満足するならば、適当な函数 f(x) でベクトル空間 L(Ω) に属するものが存在して
lim k → ∞ ∫ Ω | f ( x ) − f k ( x ) | p d x = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }{\bigl |}f(x)-f_{k}(x){\bigr |}^{p}\,dx=0}
を満たすようにすることができる。
函数自体だけでなくその導函数にも有界性条件を課すことでソボレフ空間の概念が導かれる。