ボレル正則測度
数学の分野において、n-次元ユークリッド空間 R 上の外測度 μ は、次の二つの条件が成り立つとき、ボレル正則測度(ボレルせいそくそくど、英: Borel regular measure)と呼ばれる。
すべてのボレル集合 B ⊆ R が、カラテオドリの条件における意味で、μ-可測:すなわち、すべての A ⊆ R に対して
μ ( A ) = μ ( A ∩ B ) + μ ( A ∖ B ) . {\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).}
すべての(必ずしも μ-可測ではない)集合 A ⊆ R に対して、A ⊆ B および μ(A) = μ(B) であるようなボレル集合 B ⊆ R が存在する。
これら二条件の内、初めの一つのみを満たすような外測度はボレル測度(Borel measure)と呼ばれる。一方、二つ目の条件のみを満たすような外測度は正則測度(regular measure)と呼ばれる。
R 上のルベーグ外測度は、ボレル正則測度の一例である。
ボレル正則測度は、ここでは(可算劣加法的であるだけの)「外」測度として導入したが、もしボレル集合に制限されるなら完全な(可算加法的な)測度となる。