球函数に対するプランシュレルの定理
なる形に書くことができる。F と f との間の関係性をアーベルの積分等式
f ( x ) = − 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ′ ( x + t 2 2 ) d t {\displaystyle f(x)={-1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }F'(x+{t^{2} \over 2})\,dt}
によって入れ替えるのは古典的である。実は
∫ − ∞ ∞ F ′ ( x + t 2 2 ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x + t 2 + u 2 2 ) d t d u = 2 π ∫ 0 ∞ f ′ ( x + r 2 2 ) r d r = 2 π f ( x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F^{\prime }(x+{t^{2} \over 2})\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{\prime }(x+{t^{2}+u^{2} \over 2})\,dt\,du={2\pi }\int _{0}^{\infty }f^{\prime }(x+{r^{2} \over 2})r\,dr=2\pi f(x)}
が成り立つ。
∫ G F ( g ) d g = 1 | W | ∫ a F ( e X ) | δ ( e X ) | 2 d X {\displaystyle \int _{G}F(g)\,dg={1 \over |W|}\int _{\mathfrak {a}}F(e^{X})\,|\delta (e^{X})|^{2}\,dX}
で評価することができる。G の球函数は a = i t ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}^{*}} に属する λ でラベル付けられ、ハリッシュ=チャンドラ-ベレツィンの公式
Φ λ ( e X ) = χ λ ( e X ) d ( λ ) {\displaystyle \Phi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over d(\lambda )}}
で与えられる。これは λ に対応する G のボレル部分群の指標から誘導される G の既約球主系列表現の行列要素である。このような表現は既約であり、かつ何れも L(U / T) 上で実現することができる。
両側 U-不変函数 F の球変換は
F ~ ( λ ) = ∫ G F ( g ) Φ − λ ( g ) d g {\displaystyle {\tilde {F}}(\lambda )=\int _{G}F(g)\Phi _{-\lambda }(g)\,dg}
で与えられ、球反転公式は
いま、g ∈ SL(2,R) を固定して考えれば、新たに H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} 上回転不変で f1(i) = f(g(i)) を満たす函数
f 1 ( w ) = ∫ K f ( g k w ) d k {\displaystyle f_{1}(w)=\int _{K}f(gkw)\,dk}
を定義することができる。他方、両側不変函数 f に対して
π λ ( f ) ξ 0 = f ~ ( λ ) ξ 0 , {\displaystyle \pi _{\lambda }(f)\xi _{0}={\tilde {f}}(\lambda )\xi _{0},}
従って、w = g(i) として
f ~ 1 ( λ ) = f ~ ( λ ) ⋅ φ λ ( w ) {\displaystyle {\tilde {f}}_{1}(\lambda )={\tilde {f}}(\lambda )\cdot \varphi _{\lambda }(w)}
が成立する。これと上の f1 に対する反転公式とを組み合わせれば、一般の球反転公式
f ( w ) = 1 π 2 ∫ 0 ∞ f ~ ( λ ) φ λ ( w ) λ π 2 tanh  ( π λ 2 ) d λ {\displaystyle f(w)={1 \over \pi ^{2}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(w){\lambda \pi \over 2}\tanh({\pi \lambda \over 2})\,d\lambda }
が導かれる。
M ∗ F ( a 2 ) = ∫ K F ( g a ) d g {\displaystyle M^{*}F(a^{2})=\int _{K}F(ga)\,dg}
で定義すれば、M と M とは
∫ G / U ( M f ) ⋅ F = ∫ G 0 / K 0 f ⋅ ( M ∗ F ) {\displaystyle \int _{G/U}(Mf)\cdot F=\int _{G_{0}/K_{0}}f\cdot (M^{*}F)}
なる双対関係を満たす。特に
M ∗ Δ c = 4 Δ M ∗ {\displaystyle M^{*}\Delta _{c}=4\Delta M^{*}}
である。G0 の普遍包絡環の中心に属する他の作用素に対しても同様の両立性条件が存在する。これは G0 上で M ∗ Φ 2 λ {\displaystyle M^{*}\Phi _{2\lambda }} が φλ に比例するという球函数の固有函数による特徴付けから従う。比例定数は
b ( λ ) = M ∗ Φ 2 λ ( 1 ) = ∫ K Φ 2 λ ( k ) d k {\displaystyle b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(1)=\int _{K}\Phi _{2\lambda }(k)\,dk}
で与えられる。さらに今の場合には
( M ∗ F ) ∼ ( λ ) = F ~ ( 2 λ ) {\displaystyle (M^{*}F)^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda )}