バナッハの不動点定理
x と y がいずれも不動点であるなら、この不等式は d(x, y) = 0、すなわち x = y を意味し、T は高々一つの不動点しか持たないことが分かる。T をそれ自身と n 回合成することで、写像 T を定義する。帰納的に、この写像は定数 q についてリプシッツ条件を満たすことに注意されたい。あとは X 内の任意の x0 に対して列 {T(x0)} がコーシー列であることを示し、したがって X のある点 x* に収束することを示せばよい。その点は上述のように明らかに T の不動点である。基本縮小不等式において x と y をそれぞれ T(x0) と T(x0) に置き換えると、次の成立が分かる。
d ( T n ( x 0 ) , T m ( x 0 ) ) ≤ d ( T ( T n ( x 0 ) ) , T n ( x 0 ) ) + d ( T ( T m ( x 0 ) ) , T m ( x 0 ) ) 1 − q , = d ( T n ( T ( x 0 ) ) , T n ( x 0 ) ) + d ( T m ( T ( x 0 ) ) , T m ( x 0 ) ) 1 − q ≤ q n d ( T ( x 0 ) , x 0 ) + q m d ( T ( x 0 ) , x 0 ) 1 − q = q n + q m 1 − q d ( T ( x 0 ) , x 0 ) .