付値
さらに、上で定義された非アルキメデス付値 |•| に対する加法付値 v に対して、v の付値環、付値イデアルを Rv, m v {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}} とし、
R | ∙ | = { α ∈ K ∣ | α | ≤ 1 } , m | ∙ | = { α ∈ K ∣ | α | < 1 } {\displaystyle R_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |\leq 1\},\quad {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |<1\}}
とおくと、Rv = R|•|, m v = m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}={\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} が成り立ち、R|•|, m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} はそれぞれ K の部分環、R|•| のイデアルになる。
有理数体上の乗法付値は、以下のいずれかと同値である。 自明な付値 素数 p に対する p-進付値 絶対値
乗法付値の定義において、条件3 の定数 c は、常に c ≥ 1 であるが、c = 1 と選ぶことができるとき、非アルキメデス付値または非アルキメデス的付値という。非アルキメデス付値でない乗法付値のことをアルキメデス付値またはアルキメデス的付値という。
自明な付値や、任意の素数 p に対する有理数体上の p-進付値は非アルキメデス付値である。 また、実数体または複素数体上の絶対値はアルキメデス付値である。
任意の非アルキメデス付値 |•| は、任意の正整数 n に対して、|n 1| ≤ 1 を満たす。逆に、任意の正整数 n に対して、|n 1| ≤ c となる n に無関係な定数 c が存在する乗法付値は非アルキメデス付値である。
このことから、アルキメデス付値を持つ体の標数は 0 である。従って、有限体の乗法付値は全て非アルキメデス付値である。より正確には、有限体の乗法付値は自明な付値だけである。
しかし、標数が 0 であっても、アルキメデス付値を持たない場合がある。体の(集合論的)濃度が連続体濃度よりも真に大きい体は、アルキメデス付値を持たない。このことは次の定理からの帰結である。