多重線型代数
数学における多重線型代数(たじゅうせんけいだいすう、英語: multilinear algebra)とは、線型空間における多重線型性 (multilinearity) を扱う代数学の分野。多重線型性は典型的には線型環における積の構造に現れている。A を K –代数とするとき、自然数 n に対し、A 上で定義された n 変数写像 (x 1, ..., xn) → x 1x 2 ... xn はある変数以外の変数を固定して一変数の写像と見なしたときに K –線型写像を定めている。より一般に K 上のベクトル空間 E 上の n 変数写像についてもある変数以外の変数を固定して一変数写像と見なしたときに K 線型写像になっているようなものを考えることができるが、このような写像は多重線型写像 (multilinear map) とよばれる。多重線型写像は何らかの意味でベクトルの「積」を表していると考えられる。
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数(てんそるだいすう、tensor algebra)、対称代数(たいしょうだいすう、symmetric algebra)、外積代数(がいせきだいすう、exterior algebra)が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。