ハミルトン–ヤコビ方程式
第二種の母関数による正準変換 G 2 ( q , P , t ) {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} は全て、以下のような関係を導く。
∂ G 2 ∂ q = p , ∂ G 2 ∂ P = Q , K = H + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle \qquad {\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} }=\mathbf {p} ,\qquad {\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} }=\mathbf {Q} ,\qquad K=H+{\partial G_{2} \over \partial t}}
ハミルトン–ヤコビ方程式を導くためには、新しいハミルトニアン K {\displaystyle K} が恒等的にゼロになるような母関数 S ( q , P , t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} を取る。するとハミルトニアンの全ての微分はゼロになり、正準方程式は以下のように自明な関係になる。
d P d t = d Q d t = 0 {\displaystyle {d\mathbf {P} \over dt}={d\mathbf {Q} \over dt}=0}
すなわち、新しい一般化座標と運動量は運動の積分となる。新しい一般化運動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } は通常 α 1 , α 2 , .