ユークリッドの運動群
n-次元回転群原点(より一般には任意の一点)を固定する、向きを保つ対称変換全体の成す群。(三次元の場合回転群 SO(3) と呼ばれる)。 直交群原点(より一般には任意の一点)を固定する対称変換全体の成す群。 E(n)向きを保つ変換全体の成す群。 全ユークリッド変換群 E(n) m-次元部分空間において上記の変換群の何れかを考えたものと、残りの (n − m)-次元空間の離散変換群との合成。 m-次元部分空間において上記の変換群の何れかを考えたものと、残りの (n − m)-次元空間において上記の変換群の何れかを考えたものとの合成。
この場合、そのような変換群による像全体の成す集合が閉じていないような点も存在し得る。例えば、一次元の場合に歩み 1 および √2 のふたつの平行移動で生成される群や、二次元の場合は原点中心の 1 ラジアン回転の生成する群などがこれに当たる。