再生核ヒルベルト空間
X {\displaystyle X} 上の擬距離空間を以下のように定義する。 d K ( x , y ) = ‖ K x − K y ‖ H 2 = 2 ( 1 − K ( x , y ) ) ∀ x ∈ X . {\displaystyle d_{K}(x,y)=\|K_{x}-K_{y}\|_{H}^{2}=2(1-K(x,y))\qquad \forall x\in X.} コーシー=シュワルツの不等式より、 K ( x , y ) 2 ≤ K ( x , x ) K ( y , y ) = 1 ∀ x , y ∈ X . {\displaystyle K(x,y)^{2}\leq K(x,x)K(y,y)=1\qquad \forall x,y\in X.} このこの不等式から、 K {\displaystyle K} は入力間の類似性測度(英語版)と見ることができる。 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} が似ていれば K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は1に近くなり、 x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} が似ていなければ、 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は0に近くなる。
{ K x ∣ x ∈ X } {\displaystyle \{K_{x}\mid x\in X\}} によって生成される空間の閉包は H {\displaystyle H} と一致する。
ここまで、再生核ヒルベルト空間から、対称で正定値(英語版)な再生核関数を定義してきた。一方ムーア・アロンシャインの定理は逆方向の定理である。つまり、対称で正定値な核を1つとると、再生核ヒルベルト空間がただ1つに定まるという定理である。この定理は当初「アロンシャインの再生核定理」と呼ばれていたが、彼がE・H・ムーアの名を定理につけた。
定理 K {\displaystyle K} を集合 X {\displaystyle X} 上の対称正定値核とすると、 K {\displaystyle K} が再生核であるような X {\displaystyle X} 上のヒルベルト空間がただ1つ存在する。
証明 X {\displaystyle X} 上の任意の x {\displaystyle x} に対して K x = K ( x , ⋅ ) {\displaystyle K_{x}=K(x,\cdot )} と定義する。 H 0 {\displaystyle H_{0}} を { K x : x ∈ X } {\displaystyle \{K_{x}:x\in X\}} の線形空間とする。 H 0 {\displaystyle H_{0}} 上の内積を以下のように定義する。