クザン問題
第二クザン問題(the second Cousin problem)、もしくは乗法的クザン問題(multiplicative Cousin problem)は、それぞれの函数の比
f i / f j {\displaystyle f_{i}/f_{j}}
が定義されるところで零点を持たない正則函数であると仮定したとき、M 上の有理型函数 f で Ui 上
f / f i {\displaystyle f/f_{i}}
が零点を持たず正則となるものが存在するか、という問題である。第二クザン問題は、与えられた零点を持つ一変数正則函数の存在についてのヴァイエルシュトラスの定理の多次元への一般化となっている。
第二クザン問題を対数により加法的問題へ還元する試みは、一次チャーン類という形で障害へ行き当たる。(指数層系列を参照。)層の言葉で、O を零点を持たない正則函数の層とし、K を 0 函数でない有理型函数の層とする。これらは双方ともアーベル群の層であり、商層 K/O もうまく定義できる。すると加法的クザン問題は商写像 φ
H 0 ( M , K ∗ ) → φ H 0 ( M , K ∗ / O ∗ ) {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})}