フェルマーの最終定理
アンリ・ポアンカレは上半平面上の関数についての研究から、モジュラー形式を案出する。
1823年にソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を奇素数 p に対して、 x + y = z において、
x, y, z のいずれかが p で割り切れる
という2つのケースに分類し、p と 2p+1 が共に素数の場合について、「第一の場合」に関してはフェルマー予想が正しいことを証明した:
ソフィ・ジェルマンの定理 ― p を 2p+1 も素数であるような奇素数とする.このときフェルマーの大定理の第一の場合は指数 p に対して正しい.
例えば、p = 5 のとき、2p+1 = 11 は素数なので、ソフィ・ジェルマンの定理(英語版)よりフェルマー予想の「第一の場合」は指数 n = 5 に対して正しい。
1825年に「第二の場合」も含めて n = 5 の場合を完全に証明したのはペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアン=マリ・ルジャンドルである。
ジェルマンまでは(そしてジェルマン以降も当面は)「n = 3 のとき」あるいは「n = 4 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、解の条件が「第一の場合」に限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。