フーリエ変換の応用
}
これは ˆy(ξ, f ) = 0(ただしξ = ±f)を要求することと等価である。直ちにこれは我々が先ほど得た基本解の選択がなぜうまくいくのかを説明する。明らかにˆf = δ(ξ ± f )は解である。これらのデルタ関数にフーリエ反転を適用すると、先ほど選んだ基本解を得る。しかしより高い視点から見ると、基本解を選んだのではなく、むしろ(退化した)円錐 ξ − f = 0 に台を持つ全ての超関数の空間を考慮したことになる。
直線 ξ = f上の1変数の超関数と直線 ξ = −f 上の超関数によって与えられる円錐に台を持つ超関数と考えることもできる。φがテスト関数であるとき、
∫∫ y ^ φ ( ξ , f ) d ξ d f = ∫ s + φ ( ξ , ξ ) d ξ + ∫ s − φ ( ξ , − ξ ) d ξ , {\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}
ここで s+ と s− は1変数の超関数である。
フーリエ反転によって、境界条件において上でより具体的に得たものに非常に似たものが得られる(φ(ξ, f ) = eを代入し、これは明らかに多項式増大である)。
y ( x , 0 ) = ∫ { s + ( ξ ) + s − ( ξ ) } e 2 π i ξ x + 0 d ξ .