代数体
一般の代数体に対して、類数を求める公式があり、それを一般に類数公式 (class number formula)という。
p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を代数体 K の素イデアルとする。K の 0 でない元 α に対して
( α ) = p μ b {\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {p}}^{\mu }{\mathfrak {b}}}
但し、 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} と互いに素な分数イデアル、μ を有理整数と表したとき、
| α | p = ( N p ) − μ {\displaystyle |\alpha |_{\mathfrak {p}}=(N{\mathfrak {p}})^{-\mu }}
によって、K 上の非アルキメデス付値を定める。
代数体 K に対し、K の元 ε で生成される単項イデアル (ε) が O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} と等しいとき、ε は、K の単数 (unit)であるという。同値な定義として、 ε および ε − 1 {\displaystyle \varepsilon ^{-1}} が共に O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元であるとき、ε は単数である。
無限素点と有限素点を合わせて素点 (prime/place)または素因子という。
, ω n ) | {\displaystyle |\Delta (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})/\Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})|} を、分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のノルムといい、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} と書く。
ノルムの性質 任意の分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} は 0 でない有理数である。 整イデアルに対して、分数イデアルとしてのノルムと整イデアルとしてのノルムは等しい。 任意の分数イデアル a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},\ {\mathfrak {b}}} に対して、 N a b = N a N b {\displaystyle N{\mathfrak {ab}}=N{\mathfrak {a}}N{\mathfrak {b}}} 。
K を n 次の代数体とし、 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} とする。θ の共役数 θ ( 1 ) , ... , θ ( n ) {\displaystyle \theta ^{(1)},\ldots ,\ \theta ^{(n)}} に対して、 K ( i ) = Q ( θ ( i ) ) {\displaystyle K^{(i)}=\mathbb {Q} (\theta ^{(i)})} ( i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\ldots ,\ n} ) を、K の共役体 (conjugate field)という。もし K の共役体が全て K と等しいとき、K はガロア体 (Galois field)または有理数体上のガロア拡大体という。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して、ある有理素数 p と、正整数 f が存在して、 N p = p f {\displaystyle N{\mathfrak {p}}=p^{f}} 。 このとき、f を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の次数という。 任意の有理素数 p に対して、 ( p ) = p 1 e 1 ⋯ p r e g {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{e_{g}}} ( p 1 , ... , p g {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{g}} は相異なる素イデアル、 e i ≥ 1 {\displaystyle e_{i}\geq 1} ) と素イデアル分解したとき 、 N p i = p f i {\displaystyle N{\mathfrak {p}}_{i}=p^{f_{i}}} となる正整数 f i {\displaystyle f_{i}} が存在し、 n = e 1 f 1 + ⋯ + e g f g {\displaystyle n=e_{1}f_{1}+\cdots +e_{g}f_{g}} が成り立つ。