トンネル効果
位相の変化が振幅に比べて遅い場合、 B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}(x)=0} および A 0 ( x ) = ± 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}
はトンネリングに相当する。次の次数までの項を解くと、次を得る。 Ψ ( x ) ≈ C + e + ∫ d x 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) + C − e − ∫ d x 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) 4 {\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}
どちらの場合でも、近似解の分子を見れば古典的折り返し点 E = V ( x ) {\displaystyle E=V(x)} 付近で破綻することが瞭然だろう。
波動関数は系のすべての情報を持っている。系の波動関数を得るには、シュレーディンガー方程式(あるいはそれと等価な方程式)を解析的ないし数値的に解く必要がある。 通常、波動関数は位置の関数として表されるが、この場合、波動関数はある場所に粒子を見出す確率を与える(2乗絶対値が確率密度関数に対応する)。障壁を高くもしくは広くする極限をとれば、透過する確率は下がる。
矩形ポテンシャル障壁のような単純な模型においては解析解が存在するが、一般には解析解を得ることは難しい。 そのため、系に応じたいくつかの仮定の下で近似を行い、近似的な解析解または数値解を得る手法が研究されている。
例えばプランク定数が系の作用に比べて充分小さいと見なせる場合、シュレーディンガー方程式はハミルトン–ヤコビ方程式に帰着する。 WKB近似は、系がこのような準古典的振る舞いをすると仮定して近似解を求める手法である。
ヨーロッパの研究プロジェクトにより、ゲート(チャネル)を熱注入ではなく量子トンネリングで制御することにより、ゲート電圧を ~1 ボルトから 0.2 ボルトに低減し、電力消費量を 100分の1以下に抑えた電界効果トランジスタが実証された。このトランジスタをVLSIチップ(英語版)にまでスケールアップすることができれば、集積回路の電力性能効率を大きく向上させることができる。
恒星内での核融合にとっても量子トンネルは重要である。恒星の核における温度と圧力をもってしても、クーロン障壁を乗り越えて熱核融合を引き起こすためには十分でない。しかし、量子トンネルのおかげでクーロン障壁を通り抜ける確率が存在する。この確率は非常に低いが、恒星に存在する原子核の数は莫大であり、数十億年にもわたって定常的に核融合が続くこととなる。ひいては、生物が限られたハビタブルゾーンの中で進化できるための前提条件となっている。