自由加群
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
台集合: C(E) は次のような関数からなる。f: E → R であって、有限個を除くすべての x ∈ E に対して f(x) = 0 である。
加法: 2つの元 f, g ∈ C(E) に対し、f + g ∈ C(E) を (f + g)(x) = f(x) + g(x), (∀x ∈ E で定義する。
反元: f ∈ C(E) に対し、(−f) ∈ C(E) を (−f)(x) = −(f(x)), (∀x ∈ E で定義する。
スカラー倍: α ∈ R, f ∈ C(E) に対し、αf ∈ C(E) を (αf)(x) = α(f(x)), (∀x ∈ E で定義する。
C(E) の基底は集合 {δa: a ∈ E} によって与えられる。ただし
δ a ( x ) = { 1 , if x = a ; 0 , if x ≠ a {\displaystyle \delta _{a}(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x=a;\\0,&{\text{if }}x\neq a\end{cases}}}
である。(クロネッカーのデルタの変形であり、 集合 {a} の指示関数の特別な場合である。)
写像 ι: E → C(E) を ι(a) = δa で定義する。この写像は E と基底ベクトル {δa}a∈E} の間の全単射を与える。 従ってこれらの集合を同一視できる。よって E は C(E) の線型独立な基底と考えることができる。