有限加法族
数学において、有限加法族(ゆうげんかほうぞく、finitely additive class)あるいは集合体(しゅうごうたい、field of sets)、集合代数(しゅうごうだいすう、英: algebra of sets, algebra over a set)とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2) は、F の任意の二つの集合 A, B の結び A ∪ B, 交わり A ∩ B および任意の集合 M の全体集合 S に対する補集合 M = S − M を取る操作について閉じている。有限加法族は任意のブール代数を表現することができるという意味においてブール代数の表現論にとって本質的な対象である。S 上の集合体 (S, F) に対して、S の元を集合体の点、F の元を集合体の複体(complex; 叢)と呼ぶ。
前順序集合体による開核代数の表現は、勝手な作用域を持つ正規ブール代数の表現に一般化できる。そのために、構造 (X, (Ri)i∈I, F) を考える。 ここで (X, (Ri)i∈I) は関係構造(X 上で定義される関係の添字付けられた族)で、(X, F) は集合体である。関係構造上の集合体 X = (X, (Ri)i∈I, F) によって決定される複体代数 (complex algebra, algebra of complexes) とは、作用域を持つブール代数
C ( X ) = ⟨ F , ∩ , ∪ , ′ , ∅ , X , ( f i ) I ⟩ {\displaystyle C(\mathbf {X} )=\langle {\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I}\rangle }
のことである。ここで、各 i ∈ I に対して Ri は n + 1 引数の関係とすると fi は n 変数演算であって、S1, ..., Sn ∈ F に対して
f i ( S 1 , ... , S n ) = { x ∈ X : there exist x 1 ∈ S 1 , .