ケイリー・ハミルトンの定理
( 0 ∗ ⋯ ∗ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) ( ∗ ∗ ⋯ ∗ 0 ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) = ( 0 0 ⋯ ∗ 0 ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c|cc}0&*&\cdots &*\\\hline &*&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c|c|cc}*&*&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|cc}0&0&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)}
故に、第2列までは成分が全て 0 になる。同様にして、帰納的に、 C k {\displaystyle C_{k}} を掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。これを n番目まで繰り返すことにより
C 1 ⋯ C n = O {\displaystyle C_{1}\cdots C_{n}=O}
故に (1) は
P ( C 1 ⋯ C n ) P − 1 = O {\displaystyle P(C_{1}\cdots C_{n})P^{-1}=O} (証明終)
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ(最も とは限らないが)関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の(n 以上の指数が大きな)冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。
例えば二次の場合に、 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} とすれば定理より
A 2 = tr  ( A ) A − det ( A ) I 2 {\displaystyle A^{2}=\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}}
だから、A を計算したければ、順に