準同型
群は積と呼ばれる二項演算 × を持ち、積に関する単位元 1G の存在という 0 項演算、積に関する逆元をとる単項演算 · の三つの演算を持つ代数系である。したがって、二つの群 G = (G, ×, 1G, ·), H = (H, ×′, 1H, ·) の間の準同型 f: G → H は条件
f ( x 1 × x 2 ) = f ( x 1 ) × ′ f ( x 2 ) ( x 1 , x 2 ∈ G ) , {\displaystyle f(x_{1}\times x_{2})=f(x_{1})\times 'f(x_{2})\quad (x_{1},\,x_{2}\in G),}
f ( 1 G ) = 1 H , {\displaystyle f(1_{G})=1_{H},}
f ( x − 1 ) = f ( x ) − 1 ( x ∈ G ) {\displaystyle f(x^{-1})=f(x)^{-1}\quad (x\in G)}
を満たすものである。ただし、条件 1 は後の条件 2, 3 を導くため、群の準同型は条件 1 のみによって定義されると考えてよい。また、しばしば (G, ×, 1G, ·) を (G, ×) と略記する。
正の実数全体 R+ が乗法に関して成す群 (R+, ×) と実数全体 R が加法に関して成す群 (R, +) を考えるとき、対数関数 log は
log  ( a × b ) = log  ( a ) + log  ( b ) {\displaystyle \log(a\times b)=\log(a)+\log(b)}
を満たす。ゆえに log: R+ → R は準同型の例を与える。