ポアソン核
R 内の半径 r の球 B r {\displaystyle B_{r}} に対するポアソン核は、次の形状を取る。
P ( x , ζ ) = r 2 − | x | 2 r ω n − 1 | x − ζ | n . {\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}.}
ここで x ∈ B r {\displaystyle x\in B_{r}} であり、 B r {\displaystyle B_{r}} の表面 S {\displaystyle S} に対して ζ ∈ S {\displaystyle \zeta \in S} であり、 ω n − 1 {\displaystyle \omega _{n-1}} は単位 n-1-球面の表面積である。
このとき、u(x) を S 上で定義されるある連続函数とすると、対応するポアソン積分は次のような函数 P[u](x) で定義される。
P [ u ] ( x ) = ∫ S u ( ζ ) P ( x , ζ ) d σ ( ζ ) . {\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )d\sigma (\zeta ).\,}
P[u](x) は球 B r {\displaystyle B_{r}} 上で調和的であり、P[u](x) は半径 r の閉球上のある連続函数へと拡張され、境界の函数は元の函数 u に一致することが示される。