共役類
任意の 2 元 g, x ∈ G に対して
g.x = gxg
と定義すれば、G の G 上の群作用になる。この作用の軌道は共役類であり、与えられた元の固定部分群はその元の中心化群である。
同様に、G のすべての部分集合からなる集合への、あるいは G のすべての部分群からなる集合への、G の群作用を
g.S = gSg
と書くことで定義できる。
(4): 4つすべての巡回置換 (6 個の元: { {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {3, 1, 4, 2}, {3, 4, 2, 1}, {4, 1, 2, 3}, {4, 3, 1, 2} } )
(2)(2): 2つと他の2つの交換 (3 個の元: { {2, 1, 4, 3}, {4, 3, 2, 1}, {3, 4, 1, 2} } )
一般に、対称群 Sn の共役類の数は n の分割の数に等しい。これは各共役類が、 {1, 2, ..., n} の元の並べ替えを除いて、{1, 2, ..., n} のちょうど 1 つの分割を巡回置換(英語版)の集まりと見做したものに対応するからである。
立方体の(自明でない)回転(英語版)は、(面ではなく立体としての)対角線に関する置換として特徴づけることができるが、これも共役変換として記述することができる。
ユークリッドの運動群はユークリッド空間における対称性の共軛変換(英語版)によって調べられる。