ディリクレ分布
また、 α i > 0 {\displaystyle \alpha _{i}>0} であり、 B ( α ) {\displaystyle B({\boldsymbol {\alpha }})} は多変量に拡張したベータ関数で、以下の式で定義される。
B ( α ) = ∏ i = 1 K Γ ( α i ) Γ ( ∑ i = 1 K α i ) {\displaystyle B({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma (\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})}}}
このとき、 x i {\displaystyle x_{i}} の期待値は α i ∑ i = 1 K α i {\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}}} 、同じく分散は α i ∑ j ≠ i α j ( ∑ i = 1 K α i ) 2 ( 1 + ∑ i = 1 K α i ) {\displaystyle {\frac {\alpha _{i}\sum _{j\neq i}\alpha _{j}}{(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})^{2}(1+\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})}}} である。
ディリクレ分布(ディリクレぶんぷ、英: Dirichlet distribution)は、連続型の確率分布である。ベータ分布を多変量に拡張して一般化した形をしており、そのため多変量ベータ分布とも呼ばれる。ディリクレ分布の確率密度関数は、同時に発生することのない K {\displaystyle K} 個の事象がそれぞれ α i − 1 {\displaystyle \alpha _{i}-1} 回発生したときに、各事象の起こる確率が x i {\displaystyle x_{i}} である確率を与える(ただし、 α i {\displaystyle \alpha _{i}} は整数である必要はない)。つまり、試行の回数が無限大なら各事象の発生の相対頻度は x i {\displaystyle x_{i}} になるが、試行回数が有限だと、そこにずれが生じる。そのずれを表すモデルである。