ラックス・ペア
ここで、作用素 ∂ t {\displaystyle \partial _{t}} および ∂ x {\displaystyle \partial _{x}} はそれぞれ、 ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} 、 ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}} を表すものとする。
この場合のL は スツルム=リウヴィル型作用素と呼ばれる形式になっているが、これは量子力学におけるシュレーディンガー方程式のハミルトニアンと同じ形をしていることを注意しておく (実はこの類似性から、量子力学で用いられていた逆散乱法の応用による解法が可能となったのである)。
また、記号上の注意であるが、上の式では、L、A を構成する各作用素は、「作用対象に右側のものから順に作用する」という規則に従う。例えば、上の式の中にある u は、作用対象である H {\displaystyle \mathbb {H} } の任意の元を ψ {\displaystyle \psi } とすると、作用の結果 u ψ {\displaystyle u\psi } を生成する作用素である。ここまでは当然のように思えるが、 ∂ x u {\displaystyle \partial _{x}u} という作用素を考えると、直観とはやや異なった結果になる。
∂ x 2 u = u ∂ x 2 + 2 u x ∂ x + u x x {\displaystyle \partial _{x}^{2}u=u\partial _{x}^{2}+2u_{x}\partial _{x}+u_{xx}}
∂ x 3 u = u ∂ x 3 + 3 u x ∂ x 2 + 3 u x x ∂ x + u x x x {\displaystyle \partial _{x}^{3}u=u\partial _{x}^{3}+3u_{x}\partial _{x}^{2}+3u_{xx}\partial _{x}+u_{xxx}}
以上の関係を交換子を用いて表すと次のようになる。
[ ∂ x , u ] = u x {\displaystyle [\partial _{x},u]=u_{x}}
[ ∂ x 2 , u ] = 2 u x ∂ x + u x x {\displaystyle [\partial _{x}^{2},u]=2u_{x}\partial _{x}+u_{xx}}
[ ∂ x 3 , u ] = 3 u x ∂ x 2 + 3 u x x ∂ x + u x x x {\displaystyle [\partial _{x}^{3},u]=3u_{x}\partial _{x}^{2}+3u_{xx}\partial _{x}+u_{xxx}}
以上で準備ができたので、実際にラックス方程式 ∂ L ∂ t = [ A , L ] {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=[A,L]} からKdV方程式を導いてみる。