リッチフロー
となる。もう一つのホッジ双対は、
Δ h = ⋆ d ⋆ d h = exp  ( − 2 p ) ( h x x + h y y ) {\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}
をもたらし、これらはラプラス・ベルトラミ作用素の求めていた形
Δ = exp  ( − 2 p ( x , y ) ) ( D x 2 + D y 2 ) {\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right)}
を与える。 曲率テンソルを計算するには、考えている双対標構の双対ベクトル場の外微分を取る。
d σ 1 = p y exp  ( p ) d y ∧ d x = − ( p y d x ) ∧ σ 2 = − ω 1 2 ∧ σ 2 {\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}
d σ 2 = p x exp  ( p ) d x ∧ d y = − ( p x d y ) ∧ σ 1 = − ω 2 1 ∧ σ 1 .