発散級数
正則性、線型性、安定性を公理として扱えば、多くの発散級数を初等代数的操作のみで総和することが可能である。たとえば、r ≠ 1 なる任意の公比 r に対する幾何級数 G(r, c) に対して、
G ( r , c ) = ∑ k = 0 ∞ c r k = c + ∑ k = 0 ∞ c r k + 1 (stability) = c + r ∑ k = 0 ∞ c r k (linearity) = c + r G ( r , c ) G ( r , c ) = c 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}\quad {\text{(stability)}}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}\quad {\text{(linearity)}}\\&=c+r\,G(r,c)\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}}\\\end{aligned}}}
というように、収束性を考えることなしに評価することができる。より厳密に言えば、これらの性質を持ち、有限な値を定める任意の総和法において、幾何級数には必ずこの値が与えられなければならない。しかし r が 1 より大きい実数のときは、その部分和は際限なく増加し、平均化法では極限としての ∞ が幾何級数の値として与えられることになる。
λ = {λ0, λ1, λ2, ...} は λ ≥ 0 なる真の増加列で無限大に発散するものとする。an = sn+1 − sn とおけば、a に対応する級数はその部分和の列が s となることを思い出そう。任意の正の実数 x に対し、
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n exp  ( − λ n x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)}
が収束すると仮定するとき、アーベル平均 (Abelian mean) Aλ が
A λ ( s ) = lim x → 0 + f ( x ) {\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\to 0^{+}}f(x)}
として定義される。この種類の級数は一般化ディリクレ級数として知られる。また、物理学への応用においては熱核正則化(英語版)としても知られる。
アーベル平均は正則、線型かつ安定だが、λ の選び方によっては必ずしも一貫性を持たない。しかしながら、ある特別の場合には非常に重要な総和法である。