1+2+3+4+…
級数 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... の部分和は順に 1, 3, 6, 10, 15, ... と続き、第 n 部分和は簡単な公式
∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていた。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。
三角数からなる無限数列は +∞ に発散するから、定義により無限級数 1 + 2 + 3 + 4 + ... もまた +∞ に発散する。これが発散することは「項が 0 に収束しないならば級数は発散する」という項判定法(英語版)の単純な帰結でもある。