フロベニウスの硬貨交換問題
44 = 6 + 9 + 9 + 20 45 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 46 = 6 + 20 + 20 47 = 9 + 9 + 9 + 20 48 = 6 + 6 + 9 + 9 + 9 + 9 49 = 9 + 20 + 20 {\displaystyle {\begin{array}{ll}44&=6+9+9+20\\45&=9+9+9+9+9\\46&=6+20+20\\47&=9+9+9+20\\48&=6+6+9+9+9+9\\49&=9+20+20\end{array}}}
さらに、以下のように、43個ちょうどのチキンマックナゲットは購入できないことが示される。
6個入と9個入のセットだけでは、3の倍数個しか購入できない(3個は不可能)ため、43個を購入できない。
20個入を1セット購入すると、残りの23個が3の倍数ではないため、20個入のセットを1個だけ含めても43個を購入できない。
20個入を2セット購入すると、残りの3個が購入できない(最小購入単位が6である)ため、43個ちょうどのチキンマックナゲットは購入できない。
4個入のハッピーセットのナゲットの発売以来、最大の非チキンマックナゲット数は11となった。9個入が10個入となる国では、奇数を作れないため、最大の非チキンマックナゲット数は存在しない。
等比数列を要素とする整数の集合のフロベニウス数の閉形式での解も存在する。いずれも整数のa, b, k に対して、a と b の最大公約数が1であれば、その要素は a k , a k − 1 b , a k − 2 b 2 , ⋯ a 2 b k − 2 , a b k − 1 , b k {\displaystyle a^{k},a^{k-1}b,a^{k-2}b^{2},\cdots a^{2}b^{k-2},ab^{k-1},b^{k}} という対称な形となり、
g ( a k , a k − 1 b , ⋯ , a b k − 1 , b k ) = b k − 1 ( a b − a − b ) + a 2 ( b − 1 ) ( a k − 1 − b k − 1 ) a − b {\displaystyle g(a^{k},a^{k-1}b,\cdots ,ab^{k-1},b^{k})=b^{k-1}(ab-a-b)+{\frac {a^{2}(b-1)(a^{k-1}-b^{k-1})}{a-b}}}