アダマール正則化
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\hbox{for}}~~a<x<b).}
ここで C {\displaystyle {\mathcal {C}}} はコーシーの主値、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はアダマールの有限部分をそれぞれ表す。
また、上記の a < x < b のアダマールの有限部分積分は次のようにも定義できる。
H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a x − ε f ( t ) ( t − x ) 2 d t + ∫ x + ε b f ( t ) ( t − x ) 2 d t − 2 f ( x ) ε } , {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {2f(x)}{\varepsilon }}\right\},}