弱形式
ここでの目標は、ある領域 Ω ⊂ R d {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}} 上の次のポアソン方程式
− ∇ 2 u = f {\displaystyle -\nabla ^{2}u=f\,}
の解で、境界で u = 0 {\displaystyle u=0} となるようなものを見つけることである。また解空間 V {\displaystyle V} は後述の議論で決定する。弱形式の導出のために、次の L 2 {\displaystyle L^{2}} -スカラー内積を用いる:
⟨ u , v ⟩ = ∫ Ω u v d x . {\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx.}
微分可能な函数 v {\displaystyle v} をテスト函数として用いることで、次が得られる。
− ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v d x = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
この方程式の左辺は、グリーンの恒等式を用いた部分積分により、より対称的な次の形式で記述できる。