エルミート多項式
これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。
H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) d d x H n ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) d d x H n ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n + 1 ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2xH_{n}(x)-H_{n+1}(x)\end{aligned}}}
母関数は
S ( x , y ) = exp  ( − y 2 + 2 x y ) = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) y n n ! {\displaystyle S(x,y)=\exp(-y^{2}+2xy)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {y^{n}}{n!}}}
である。周回積分で表すと
H n ( x ) = ∮ C d z exp  ( − z 2 + 2 x z ) z n + 1 {\displaystyle H_{n}(x)=\oint _{C}dz~{\frac {\exp(-z^{2}+2xz)}{z^{n+1}}}}