単位球面
線型空間 V に実数の二次形式 F:V → R があるとき、{ x ∈ V : F(x) = 1 } を V の単位球面と呼ぶことがある。2次元の例として分解型複素数と二元数がある。F が負の値をとるとき、{x ∈ V: F(x) = − 1} を反球 (counter-sphere) と呼ぶ。
n次元のユークリッド空間では、単位球面を ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} という点の集合としたとき、次の式が成り立つ。
x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}
そして、閉単位球の全ての点の集合については、次の不等式が成り立つ。
x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ≤ 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1}