ベルヌーイ多項式
ベルヌーイ数は、ベルヌーイ多項式を用いて、 B n = B n ( 0 ) {\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(0)} とかける。
この定義は ζ ( − n ) = − 1 n + 1 B n + 1 {\displaystyle \textstyle \zeta (-n)=-{\frac {1}{n+1}}B_{n+1}} を n = 0 , 1 , 2 ⋯ {\displaystyle \textstyle n=0,1,2\cdots } に対し与える。
別の定義では、ベルヌーイ数は B n = B n ( 1 ) {\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(1)} とされる。
二つの定義は、 B 1 ( 1 ) = 1 2 = − B 1 ( 0 ) {\displaystyle B_{1}(1)={\frac {1}{2}}=-B_{1}(0)} から n = 0 {\displaystyle n=0} の場合に対してのみ異なる。
また、オイラー数は、オイラー多項式を用いて、 E n = 2 n E n ( 1 2 ) {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\frac {1}{2}})} とかける。