複比
複比は、点の構成の他の幾何学的特性、特に共線性により、単純な方法ではより高い次元に一般化されない。構成空間はより複雑であり、点の異なるk-組は一般化位置にない。
射影線の射影線型群は3推移的(任意の3つの異なる点を他の任意の3 点に写像できる)であり、実際には単純な3推移的である(任意の三つ組を別の三つ組に取る一意の射影写像がある)が、したがって、複比は4つの点の集合の一意の射影不変量であり、高次元には基本的な幾何学的不変量がある。 n空間の射影線型群 P n = P ( K n + 1 ) {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})} は(n + 1) − 1次元を持つ( P G L ( n , K ) = P ( G L ( n + 1 , K ) ) {\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K))} であり、1つの次元を削除する射影化であるため)が、他の次元では、射影線型群は2推移性のみである。
{\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}
λの関数とすると、これらはメビウス変換の例であり、関数の合成の下でメビウス群PGL(2, Z)を形成する。 6つの変換は非調和群として知られる部分群を形成し、これも S3に同型である。それらはPGL(2, Z)の捩れ元(楕円変換)である。すなわち、 1 λ {\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}} , 1 − λ {\displaystyle 1-\lambda \,} , λ λ − 1 {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}} はそれぞれ固定点 −1, 1/2, 2 を持つ位数2(つまり、調和複比の軌道)である。一方、 1 1 − λ {\displaystyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}} と λ − 1 λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}} はPGL(2, Z)の位数3であり、それぞれが両方の「最も対称的な」複比の値 e ± i π / 3 {\displaystyle e^{\pm i\pi /3}} を固定する。