二次体
任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。
任意の二次体 K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。
( p ) = p 1 p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}} ( p 1 , p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2}} は、相異なる K の素イデアル)。 (このとき、p は、K で完全分解であるという。)
( p ) = p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}^{2}} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は、K の素イデアル)。 (このとき、p は、K で不分解であるという。)
( p ) {\displaystyle (p)} は、K の素イデアルである。 (このとき、p は、K で不分岐であるという。)