フロケ理論
ある行列 φ ( t ) {\displaystyle \phi \,(t)} が基本解行列(fundamental matrix solution)であるとは、その全ての列が線型独立な解であることを言う。ある行列 Φ ( t ) {\displaystyle \Phi (t)} が主基本解行列(principal fundamental matrix solution)であるとは、その全ての列が線型独立な解で、 Φ ( t 0 ) {\displaystyle \Phi (t_{0})} が単位行列となるようなある t 0 {\displaystyle t_{0}} が存在することを言う。主基本行列は、 Φ ( t ) = φ ( t ) φ − 1 ( t 0 ) {\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})} を使うことで基本行列から構成することが出来る。初期条件が x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} であるような線型微分方程式の解は、 x ( t ) = φ ( t ) φ − 1 ( 0 ) x 0 {\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}} である。ここで φ ( t ) {\displaystyle \phi \,(t)} は任意の基本行列である。
e T B = φ − 1 ( 0 ) φ ( T ) , {\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),\ }
を満たすようなものに対し、周期 T {\displaystyle T} の周期行列関数 t ↦ P ( t ) {\displaystyle t\mapsto P(t)} で
φ ( t ) = P ( t ) e t B for all t ∈ R {\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ }
を満たすようなものが存在する。また、ある実行列 R {\displaystyle R} と実周期( 2 T {\displaystyle 2T} -周期)行列函数 t ↦ Q ( t ) {\displaystyle t\mapsto Q(t)} で
φ ( t ) = Q ( t ) e t R for all t ∈ R {\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ }
を満たすようなものが存在する。以上の議論において、 B {\displaystyle B} 、 P {\displaystyle P} 、 Q {\displaystyle Q} および R {\displaystyle R} は n × n {\displaystyle n\times n} 行列である。
マシュー方程式とは、楕円柱に対する波動方程式に関連するものである。
与えられた a ∈ R , q ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C} } に対するマシュー方程式とは、次のようなものである。
d 2 y d w 2 + ( a − 2 q cos  2 w ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.}
マシュー方程式は、周期係数を持つ二階の線型微分方程式である。
マシュー函数に関する最も有用な結果は、フロケの定理 [1, 2] である。その定理によれば、任意のペア (a, q) に対するマシュー方程式の解は次の形式で表現される。
y ( w ) = F ν ( w ) = e i w ν P ( w ) {\displaystyle y(w)=F_{\nu }(w)=e^{iw\nu }P(w)\,}
または
y ( w ) = F ν ( − w ) = e − i w ν P ( − w ) . {\displaystyle y(w)=F_{\nu }(-w)=e^{-iw\nu }P(-w).\,}
ここで ν {\displaystyle \nu } は a および q に依存する定数であり、P(.) は w について π {\displaystyle \pi } -周期的である。
この定数 ν {\displaystyle \nu } は特性指数(characteristic exponent)と呼ばれる。