ロッサーのからくり
それから e {\displaystyle e} より小さなすべての自然数 z {\displaystyle z} 1つ1つにわたり、それぞれの z {\displaystyle z} について、 T {\displaystyle T} はやはり具体的な2つの自然数の関係である ¬ Proof T  ( z , (neg ( y ) ) ) {\displaystyle \neg \operatorname {Proof} _{T}(z,{\text{(neg}}(y)))} を証明する。
T {\displaystyle T} がその場合に Pvbl T R  ( y ) {\displaystyle \operatorname {Pvbl} _{T}^{R}(y)} を証明できることは、 T {\displaystyle T} が十分な算術 (実際には、必要なのは基本的な一階述語論理である) を含むという仮定が保証する。
加えて、 T {\displaystyle T} が無矛盾で φ {\displaystyle \phi } を証明するならば、 T {\displaystyle T} におけるその証明のコードである数 e {\displaystyle e} が存在し、 T {\displaystyle T} における φ {\displaystyle \phi } の否定の証明のコードである数は存在しない。
(2)の証明も特定の形の Proof T R {\displaystyle \operatorname {Proof} _{T}^{R}} を使う。 T {\displaystyle T} が ¬ ρ {\displaystyle \neg \rho } を証明すると仮定する; すると上記により、 T {\displaystyle T} が Pvbl T R  ( neg # ( ρ ) ) {\displaystyle \operatorname {Pvbl} _{T}^{R}({\text{neg}}\#(\rho ))} を証明することが従う。しかし前節で説明されたロッサーの可証性述語の定義から直ちにわかるように、 T {\displaystyle T} は ¬ Pvbl T R  ( # ρ ) {\displaystyle \neg \operatorname {Pvbl} _{T}^{R}(\#\rho )} を証明することが従う。よって T {\displaystyle T} は ρ {\displaystyle \rho } も証明する。しかし T {\displaystyle T} は ¬ ρ {\displaystyle \neg \rho } を証明すると仮定したから、これは T {\displaystyle T} が無矛盾ならばありえない。 T {\displaystyle T} は ¬ ρ {\displaystyle \neg \rho } を証明しないと結論せざるをえない。