自由電子
金属を、原子核の格子と、その格子の内部に浸透した、電子気体(プラズマ)の集合体だと見なす。ここで言う電子気体は、原子核の格子の内部に均一に分布している自由電子の集合体である。 振動する電場(電磁波)が金属に到来すると、電子気体は揺り動かされるが、原子核は電子と比較してはるかに重いため、その運動は無視できると考える。 その結果、金属は全体として分極し、その表面に余分な電荷が生まれる。 表面電荷密度は、
ρ s = − n e x {\displaystyle \rho _{s}=-nex}
ここでnは電子の数密度である。 これはサンプル中に復元電場を作る。
E = n e x ε 0 {\displaystyle E={\frac {nex}{\epsilon _{0}}}}
サンプルのある周波数 ω {\displaystyle \omega } における誘電率は次のように表される。
ε = D ε 0 E = 1 + P ε 0 E {\displaystyle \epsilon ={\frac {D}{\epsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\epsilon _{0}E}}}
ここで D {\displaystyle D} は電気変位、 P {\displaystyle P} は分極密度である。
電場と分極密度は、
E ( t ) = E 0 e − i ω t , P ( t ) = P 0 e − i ω t {\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-i\omega t},\quad P(t)=P_{0}e^{-i\omega t}}
またn電子密度の分極密度は、
波数とエネルギーの関係が求まったので、エネルギーの関数である状態密度 D(E) を計算することができる。
状態密度(一次元): D ( E ) ≃ 1 / E {\displaystyle D(E)\simeq 1/{\sqrt {E}}}
状態密度(二次元): D ( E ) = constant {\displaystyle D(E)={\text{constant}}}
状態密度(三次元): D ( E ) ≃ E {\displaystyle D(E)\simeq {\sqrt {E}}}
N個の自由電子(三次元)からなる系の全エネルギーEtotは次のように書ける。
E t o t = ∫ − ∞ E F D ( E ) E d E = 3 5 N E F {\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=\int _{-\infty }^{E_{F}}D(E)EdE={3 \over 5}NE_{\mathrm {F} }}
よって自由電子一個当りの平均エネルギーは、
⟨ E ⟩ = 3 5 E F {\displaystyle \langle E\rangle ={3 \over 5}E_{\mathrm {F} }}