境界付き多様体
境界のない多様体と同様,境界のある多様体にも可微分構造(英語版)を定義することができる.境界付き可微分多様体は,任意の2つのチャート (U, φ), (V, ψ) について,写像
φ ∘ ψ − 1 | ψ ( U ∩ V ) : ψ ( U ∩ V ) → φ ( U ∩ V ) {\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}|_{\psi (U\cap V)}\colon \psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)}
が微分同相であるような境界付き多様体として定義される. φ ∘ ψ − 1 {\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}} の定義域 ψ ( U ∩ V ) {\displaystyle \psi (U\cap V)} が H の境界点を含んでいるならば, φ ∘ ψ − 1 {\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}} の微分可能性を調べるためには, ψ(U ∩ V) を含むが H の部分集合ではないような R の開集合をとらなければならない. もちろん,すべての境界付き多様体に微分構造を定義できるわけではない.境界付き多様体は通常の多様体同様いくつかの異なる微分構造をもちうる.