ひっくり返しシャフル
1つのゲームでr 回のシャフルではじめて最大主役の数字M が一番上に出現したとすると、開始状態の数字1と最大主役の数字M の位置を交換した開始状態で ゲームを開始すると、同じくr 回のシャフルで数字1が一番上にきてゲームが終了する。 このゲームを変形版前半ゲームと呼ぶ。 変形版前半ゲームの主役の数字の個数は、もとのゲームの主役の数字の個数に比べ、 重大主役が1なら、最大主役がいないため1以上小さく、重大主役が2以上なら、最大主役と重大主役がいないため2以上小さい。
例 ゲーム 3,1,4,5,2 → 4,1,3,5,2 → 5,3,1,4,2 → 2,4,1,3,5 → 4,2,1,3,5 → 3,1,2,4,5 → 2,1,3,4,5 → 1,2,3,4,5 の最大主役の数字は5で、重大主役の数字は2である。最大主役5は一度一番上にくると2度と一番上にこない。重大主役2は、最大主役5によるシャフルで一番上にくるので、それ以前は一番上にこない。2,4,1,3,5から終了までのゲームが後半ゲームで、開始状態の数字1と最大主役の数字5を交換したゲーム3,5,4,1,2 → 4,5,3,1,2 → 1,3,5,4,2 が変形版前半ゲームである。
ひっくり返しシャフル(ひっくりかえししゃふる、英: topswops, reverse card shuffle)は、英国出身の数学者コンウェイの考案した一人用ゲーム 。数字1から数字n までの合計n 枚のカードで遊ぶ。無限ループに入ることなく、 必ず有限回で終了する。