算術の基本定理
少なくとも 2 通りの「素数の積」として表すことができる自然数 ≧2 が存在すると仮定し、そのような自然数のうち最小のもの n が
n = p1p2 ... pr = q1q2 ... qs
と異なる「素数の積」に表されるとする。先の注意から p1 は q1, q2, ..., qs の少なくともいずれか 1 つを割り切るが、n の最小性から q1, q2, ..., qs に対してはいずれも素因数分解が一意であるので、p1 = qj となるような j が取れる (1 ≦ j ≦ s)。このとき、
n' = p2 ... pr = q1 ... qj−1qj+1 ... qs
が異なる「素数の積」としての表示であるとすると n の最小性に反する(並べ替えて一致するならば、n に 2 通りの表示を考えたことに反する)。