逐次積分
逐次積分において、どの順番で積分を計算するかは重要なことである。例えば、計算順序が変われば結果も変わるということが、少し複雑な函数に対しては普通に起きる。
正数からなる単調増加数列 0 < a0 < a2 < ... が an → 1 を満たすとし、連続函数 gn が開区間 (an, an+1) で 0 でなく、それ以外では常に 0 となるものとして、さらに任意の n について ∫10 gn = 1 が満たされるならば、
f ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( g n ( x ) − g n + 1 ( x ) ) g n ( y ) {\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y)}
なる和によって函数 f(x, y) を定義することができる。これは各 (x, y) を決めるごとに 0 でない項は高々ひとつしかないことに注意すれば、
∫ 0 1 ( ∫ 0 1 f ( x , y ) d y ) d x = 1 ≠ 0 = ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 f ( x , y ) d x ) d y {\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)dy}
なることが確かめられる(Rudin 1970)。