4の冪
すべての自然数 n {\displaystyle n} に対して 4 n − 1 {\displaystyle 4^{n}-1} は3の倍数となる。これは、下記の式変形により証明できる。
4 n − 1 = ( 4 − 1 ) ∑ k = 1 n 4 k − 1 = 3 ∑ k = 1 n 4 k − 1 {\displaystyle 4^{n}-1=(4-1)\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}4^{k-1}=3\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}4^{k-1}}
したがって、すべての自然数 n {\displaystyle n} に対して 4 n − 1 {\displaystyle 4^{n}-1} は3の倍数であることが示された。