ポアンカレの補題
R 全体で定義された3次元のベクトル場 F において、その回転 rot が
rot  F = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {0} }
を満たすならば、
F = grad  ψ {\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} \psi }
の関係を満たす R 上のスカラーポテンシャル ψ が存在する。 この場合、F = (F1, F2, F3) は1次微分形式
ω = F 1 d x + F 2 d y + F 3 d z {\displaystyle \omega =F_{1}\mathrm {d} x+F_{2}\mathrm {d} y+F_{3}\mathrm {d} z\,}
に対応し、ψ は0次微分形式 η に対応している。また、回転 rot の作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R 全体以外にも、単連結な領域をとることができる。
例えば R 上で定義される1次微分形式
ω 1 = x y 2 d x + x 2 y d y {\displaystyle \omega _{1}=xy^{2}\mathrm {d} x+x^{2}y\mathrm {d} y\,}
は、外微分を考えると
d ω 1 = 2 x y d y ∧ d x + 2 x y d x ∧ d y = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega _{1}=2xy\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+2xy\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=0}
となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、R 上の0次微分形式
η 1 = 1 2 x 2 y 2 {\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}\,}
について、
d η 1 = x y 2 d x + x 2 y d y = ω 1 {\displaystyle d\eta _{1}=xy^{2}dx+x^{2}y\,dy=\omega _{1}\,}
が成り立つから、ω1 は完全形式である。
一方、R から原点を除いた領域 R∖(0, 0) で定義される1次微分形式