公理
同様に妥当性が問題になるタイプの公理に集合論の選択公理など無限を取り扱ったものがある。これは「無限個の(空でない)集合の列から一個ずつ元を選ぶことができる」という趣旨の公理である。選択公理は(集合論のそれ以外の公理が矛盾していない限り)矛盾を導かず(ゲーデル)、さらに選択公理の否定からも矛盾が導かれない(コーヘン)ことが知られている。
選択公理を認めることで様々な強力な定理(帰納的順序集合における極大元の存在、ベクトル空間の基底の存在、代数的閉包の存在、従順群上の不変汎関数の存在など)が証明できる。いっぽうで選択公理を認めてしまうと一見直観に反していて逆理であるかのような定理(バナッハ・タルスキの逆理、非可測集合の存在)が成立してしまう。ほとんどの数学者は選択公理を認めた数学体系を研究しているが、おもに数学基礎論の研究において、選択公理を認めない数学の可能性を追求している数学者もいる。