充満関手と忠実関手
忠実関手は対象あるいは射上単射である必要はない.つまり,2つの対象 X と X′ が D の同じ対象に写ってもよく(これは充満忠実関手の値域が C に同型とは限らない理由である),(異なる始域・終域を持つ)2つの射 f: X → Y と f′: X′ → Y′ が D の同じ射に写ってもよい.同様に,充満関手は対象あるいは射上全射である必要はない.D の対象であって C の対象 X に対して FX の形でないものがあるかもしれない.そのような対象の間の射は明らかに C の射からは来ることができない.
充満忠実関手は同型の違いを除いて対象上単射でなければならない.つまり,F: C → D が充満忠実関手で F ( X ) ≅ F ( Y ) {\displaystyle F(X)\cong F(Y)} であるならば X ≅ Y {\displaystyle X\cong Y} である.