ハウスドルフ次元
一般的な「次元」という言葉は、現実世界の空間が高さ・幅・奥行きの3つから成るので3次元と呼ぶ考え方に立脚している。この考え方の延長上で、平面は縦・横から成るので2次元で、直線や線分は1次元であるという風に考えられてきた。数学の世界でも、19世紀終わり近くまで、点が 0 次元、直線が 1 次元、平面が 2 次元、...という素朴な次元の概念しか存在しなかった。しかし、19世紀後半に、ゲオルク・カントールが平面上の点と直線上の点が1対1対応を持つことを、ジュゼッペ・ペアノが単位区間から正方形の上への連続写像を構成できることを発見し、数学界で次元の概念の再考が迫られた。その後、位相不変で整数値を取る位相次元(正確には被覆次元、大きな帰納的次元、小さな帰納的次元がある)が、次元の精密な定義として導入された。
一方、「長さ」「面積」「体積」といった直感的概念についても一般の集合に拡張させる動きが、19世紀末から20世紀初頭にかけてエミール・ボレルやアンリ・ルベーグによって進められた。1914年、コンスタンティン・カラテオドリは n 次元ユークリッド空間内の s 次元測度を定義した。カラテオドリの定義では s は整数値であった。1919年、カラテオドリの仕事を引き継いだフェリックス・ハウスドルフは、カラテオドリの定義は非整数の s に対しても意味があることを指摘し、後にハウスドルフ次元(英: Hausdorff dimension)と呼ばれる非整数次元を導入した。ハウスドルフは、カントールの3進集合のハウスドルフ次元が log 2/log 3 = 0.