モチヴィック・コホモロジー
代数多様体のチャウ群をより一般的なモチヴィック・コホモロジー理論に一般化できるという可能性の最初の明確な兆候は、キレンによるベクトル束のグロタンディーク群 K0 の一般化である代数的K理論の定義と研究(1973)であった。1980年代前半、ベイリンソンとスレはアダムズ作用素(英語版)を用いると代数的 K 理論(群)に有理数をテンソルしたものが分解できることを観察した。直和因子は(有理数係数の)モチヴィック・コホモロジーと呼ばれている。ベイリンソンとリヒテンバウムによるモチヴィック・コホモロジーの存在と性質についての予想は影響が大きかった。彼らの予想はいくつかを除いてほとんどが証明された。
ブロックによる高次チャウ群(1986)は、体 k 上のスキームの整数係数 (有理数係数ではなく)での最初のモチヴィック・ホモロジーの定義であった(滑らかなスキームの場合には、これによりモチヴィック・コホモロジーも定義される)。X の高次チャウ群の定義はチャウ群の定義の自然な一般化であり、X とアフィン空間の積における代数的サイクルで超平面(単体の面として扱われる)と期待される次元で交叉するものを用いて定義される。
最終的には、ヴォエヴォドスキーによって(ススリンとの共同研究を基礎として)モチーフの導来圏とともに4種類のモチヴィック・ホモロジーとモチヴィック・コホモロジーが2000年に定義された。関連する圏は花村とレヴァイン(Levine)によっても定義されている。