アスコリ＝アルツェラの定理
ある区間 I = [a, b] 上の連続函数の列 { fn }n∈N が一様有界であるとは、ある数 M が存在して、
がその列に含まれるすべての函数 fn とすべての x ∈ [a, b] に対して成立することをいう。その列が同程度(一様)連続であるとは、すべての ε > 0 に対してある δ > 0 が存在し、|x − y| < δ であるなら
がその列のすべての函数 fn に対して常に成り立つことをいう。簡潔に述べると、ある列が同程度連続であるための必要十分条件は、その元が同一の連続率(英語版)を持つことをいう。アスコリ=アルツェラの定理の最も簡潔な場合は、次のようなものである:
実数直線の有界閉区間 [a, b] 上で定義される実数値連続函数 { fn }n∈N を考える。この列が一様有界かつ同程度(一様)連続であるなら、一様収束するある部分列 (fnk) が存在する。
{ fn } のすべての部分列がそれ自身一様収束部分列を持つなら、{ fn } は一様有界かつ同程度連続であるという意味で、この逆もまた真となる(この証明は後述を参照)