シングマスター予想
パスカルの三角形における出現数 N(a) について、以下のことがすでに知られている。
(Singmaster 1971) N ( a ) = O ( log  a ) {\displaystyle N(a)=O(\log a)} すなわち、ある係数 K が存在して、十分大きな a について N ( a ) < K log  a {\textstyle N(a)<K\log a} が成り立つ。
(Abbott, Erdős & Hanson 1974, Theorem 3) N ( a ) = O ( log  a log  log  a ) {\displaystyle N(a)=O\left({\frac {\log a}{\log \log a}}\right)}
(Kane 2007) N ( a ) = O ( ( log  a ) ( log  log  log  a ) ( log  log  a ) 3 ) {\displaystyle N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right)}
(Matomäki et al. 2022, Theorem 1.3) 0 < ε < 1 {\textstyle 0<\varepsilon <1} に対して、十分大きい a を取る (このとき a は ε に依存して取る)。