テンソル場
直観的には、ベクトル場は領域の各点に(変化する長さや方向を持つ)「矢印」を張りつけることによってもっともよく視覚化することができる。まがった空間上のベクトル場の一つの例として、地上の各地点における水平方向の風速を示した天気図がある。
テンソル場の一般概念は、もっと豊かな幾何(例えば計量テンソルの場合において、点から点へ変化する楕円体)の要求にこの概念を結び付けるとき、地表をマッピングする特定の方法に依存する先の方法のようにはならないようにする。つまり、その値は数値的な座標系を導入するために用いる経緯度の測り方、あるいは何か特定の「地図投影」に独立に存在しているものでなければならない。
テンソル場の概念の拡張として、M 上の余分な線束 L を併せることを考える。W が V に L を掛けたテンソル積束とすれば、W は V とちょうど同じ次元を持つベクトル空間の束である。これにより、テンソル場の「ひねられた」型としてのテンソル密度の概念を考えることができるようになる。テンソル密度は、L が「多様体の密度」の束(つまり、余接束の行列式束)である特別の場合である(より厳密を期すならば、推移写像はさらに絶対値をとる必要がある。これは向き付け可能多様体では小さな違いを生じる)。より旧来的な説明についてはテンソル密度(英語版)の項を参照。
密度束 L の特徴の一つは(やはり向き付け可能性を仮定して)実数値をとる s に対して L が定義可能なことである(これは推移写像が真に正なる実数値を取ることからくる)。これが意味するところは、例えば s = 1⁄2 の場合として、「半密度」を取ることができるということである。一般に、W の切断として V と L とのテンソル積を取ることができて、これを重み s のテンソル密度場と見做すことができる。
半密度は多様体上の積分作用素や幾何学的量子化(英語版)を定義するような分野で応用がある。