順序群
群 (G, ⋅) と G 上の順序 ≤ が与えられ G の任意の元 a, b, g に対して
a ≤ b ならば ag ≤ bg かつ ga ≤ gb が成り立つ
という意味で順序 ≤ と群演算 "⋅" とが両立するとき、(G, ⋅, ≤) は順序群であるという。紛れの惧れがないならばこれを単に順序群 G と書く。
以下、群演算の可換性を仮定しないが、順序群は加法的に記すものとする。即ち、群演算を "+", 群の単位元を 0, x の逆元を −x で表す。
順序群 G の元 x が G の正元 (positive element) とは 0 ≤ x を満たすことを言う。G の正元全体の成す集合を G の正錐 (positive cone) と呼び、しばしば G で表す。正錐を用いれば、a ≤ b ⇔ −a + b ∈ G と書ける。
一般の群 G に対して、正錐の存在は G を順序群とする順序を一意的に定める。即ち、群 G が順序群となるための必要十分条件は、以下の条件を満たす部分集合 H が存在することである(この H が正錐 G になる)。
0 ∈ H
a ∈ H かつ b ∈ H ならば a + b ∈ H
a ∈ H ならば −x + a + x ∈ H が各 x ∈ G に対して成り立つ。
a ∈ H かつ −a ∈ H ならば a = 0 である
従ってしばしばこの条件を満たす組 (G, H) を順序群と定義することもある。