向き付け可能性
(特異ホモロジーの定義する向きは、点 p での n 次相対ホモロジー(英語版)(relative homology)群
H n ( M , M ∖ { p } ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} )}
の生成元の選択により点 p での局所向き付けが決まる。)従って、多様体が向き付け可能とは、多様体全体を通して整合的に局所向き付けを選択できる場合を言う。
ホモロジーを使うと、コンパクトな n 次元多様体に対しては、局所向き付けなしで向き付け可能性を定義することができる。コンパクトな n 次元多様体 M が向き付け可能であることと、一番次数の高いホモロジー群
H n ( M , ∂ M ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )}
が Z {\displaystyle \mathbb {Z} } と同型であることとは同値である。
任意の単体分割可能な多様体へ適用された単体ホモロジーを考えると、上の曲面の場合に行ったように、単体分割で固有に向き付けられた最高次数の単体について具体的なステートメントを考えることができる。
多様体が微分可能構造を持っていると、微分可能多様体上の微分形式の言葉を使うことができる(以下を参照)。
どのような曲面も三角分割――すなわち、多数の三角形への分割であって、どの辺もほかの高々一つの辺に貼り合わされているようなもの――を持っている。各々の三角形は、周の向きを選択し、各辺の向きをそれに準じるものとすることによって向き付けられる。貼り合わせて隣り合う二辺が反対方向を指すようになっていれば、この曲面の向きが決まる。曲面が向き付け可能なときは、そのような選択が可能であり、その場合にはちょうど2つの向きが存在する。
図形 が、鏡像に変わらないように、曲面のすべての点上に整合性を持って配置できたならば、このことは三角分割でできた三角形らに上記の意味での向きを誘導する。各三角形の向きは、内部にある「図形」の色を 赤-緑-青 の順で辿るようなものを選択すればよい。
この方法は、単体分割(三角分割の高次元への一般化)を持つ全ての n 次元多様体へ一般化できる。しかしながら、4 次元多様体には単体分割を持たないものも存在し、一般には、n > 4 に対しては同値でない三角分割を持つこともある。