カルタン部分環
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純で体が標数 0 ならば,極大トーラス部分環は self-normalizing であり,したがってカルタン部分環である.さらに g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純であれば,随伴表現(英語版)は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を線型リー環として表すので, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の部分環がカルタンであることと極大トーラス部分環であることは同値である.このアプローチの利点はそのような部分環の存在を示すことが明らかであることである.実際, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が冪零元しかもたなければ,冪零リー環である(エンゲルの定理)が,するとキリング形式が恒等的に 0 になってしまい,半単純性に矛盾する.したがって, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} は 0 でない半単純元をもたなければならない.