極限 (圏論)
この場合、図式 F : J → C の極限は二つの射
s , t : ∏ i ∈ O b ( J ) F ( i ) ⇉ ∏ f ∈ H o m ( J ) F ( c o d ( f ) ) {\displaystyle s,t:\prod _{i\in \mathrm {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \mathrm {Hom} (J)}F(\mathrm {cod} (f))}
の等化子として構成することができる。ここで、sとtは
s = ( F ( f ) ∘ π F ( d o m ( f ) ) ) f ∈ H o m ( J ) t = ( π F ( c o d ( f ) ) ) f ∈ H o m ( J ) . {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{F(\mathrm {dom} (f))}{\bigr )}_{f\in \mathrm {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{F(\mathrm {cod} (f))}{\bigr )}_{f\in \mathrm {Hom} (J)}.\end{aligned}}}
で与えられる。
双対的に余等化子と余積を使った余極限の存在定理も同様に成り立つ。これらの定理はJの形の全ての(余)極限が存在することの十分条件ではあるが、必要条件ではない。
{\displaystyle \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)=\mathrm {Cone} (N,F).}
と同一視することができることが分かる。写像の族πX : Cone(N, F) → Hom(N, FX)をπX(ψ) = ψXで定めると、極限錐を得る。Cの対象Lと自然同型Φ : Hom(–, L) → Cone(–, F)に対して、Lは極限錐がΦL(idL)であるFの極限である。格好良く書くと、Fの極限は関手Cone(–, F) : C → Setの表現であるということになる。
双対的に、図式F : J → CがCに余極限colim Fを持つとすると、標準同型
H o m ( c o l i m F , N ) ≅ l i m H o m ( F − , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (F-,N)}
が存在し、変数Nに関して自然であり、余極限錐の選択から一意に決まる。Hom(F–, N)の極限と集合Cocone(F, N)を同一視することにより、この関係から図式Fの余極限を関手Cocone(F, –)の表現として定義することができる。
普遍的構成が持つように、極限と余極限も自然に関手性を持っている。言い換えると、形がJ(Jは小さいとする)であるCにおける全ての図式が極限を持つとすると、極限関手
l i m : C J → C {\displaystyle \mathrm {lim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}
が存在する。ここで、この関手は各図式をその極限に写し、各自然変換η : F → Gは対応する普遍錐と可換である一意な射lim η : lim F → lim Gに写すものとする。この関手は対角関手 Δ : C → C. の右随伴関手である。この随伴はNからlim Fへのすべての射からなる集合とNからFへのすべての錐からなる集合の間の全単射
H o m ( N , l i m F ) ≅ C o n e ( N , F ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {Cone} (N,F)}
で与えられる。これは変数NとFに関して自然である。この随伴の余単位射 (counit) はlim FからFへの普遍錐そのものである。
余極限の例は上の例の双対で与えられる。
始対象は空な図式の余極限である
余積は離散圏で添え字付けられた図式の余極限である 余冪は離散圏からの定数図式の余極限である
余等化子は平行な射の対の余極限である 余核は射と平行なゼロ射の余等化子である
押し出しは共通のドメインを持つ射の対の余極限である
順極限は有向集合で添え字付けられた図式の余極限である