ボーア・モレルップの定理
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式により、
Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) = ∫ 0 ∞ t c x + ( 1 − c ) y − 1 e − t d t = ∫ 0 ∞ ( t x − 1 e − t ) c ( t y − 1 e − t ) 1 − c d t ≤ ( ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ) c ( ∫ 0 ∞ t y − 1 e − t d t ) 1 − c ( x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ c ≤ 1 ) = ( Γ ( x ) ) c ( Γ ( y ) ) 1 − c {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (cx+(1-c)y)&=\int _{0}^{\infty }{t^{cx+(1-c)y-1}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }{(t^{x-1}e^{-t})^{c}(t^{y-1}e^{-t})^{1-c}}dt\\&\leq \left(\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt\right)^{c}\left(\int _{0}^{\infty }{t^{y-1}e^{-t}}dt\right)^{1-c}\qquad (x{\geq }0,y{\geq }0,0{\leq }c{\leq }1)\\&={\big (}\Gamma (x){\big )}^{c}{\big (}\Gamma (y){\big )}^{1-c}\\\end{aligned}}}
であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} であることを証明する。