円 (数学)
「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。p-ノルム(英語版)の誘導する距離は
で与えられる。ユークリッド幾何学における通常のユークリッド距離:
は p = 2 の場合である。
タクシー幾何学で用いるマンハッタン距離(L-距離)は p = 1 の場合であり、この距離に関する円(タクシー円)は各辺が座標軸から45°ずれた正方形となる。半径 r のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば √2r だが、タクシー距離で測れば 2r である。よって、この幾何学で円周率(半径に対する周長の比)に相当するものは 4 ということになる。タクシー幾何学における単位円(半径が 1 の円)の方程式は、直交座標系では | x | + | y | = 1 {\textstyle |x|+|y|=1} , 極座標系では r = 1 | sin  θ | + | cos  θ | {\textstyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}} と書ける。これは、その中心のフォンノイマン近傍(英語版)である。
平面上のチェビシェフ距離(L∞-距離)に対する半径 r の円もまた各辺の長さが 2r の正方形(ただし、各辺は座標軸に平行)であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし L と L の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。
2つの円(円 A, 円 B とする)の位置関係は次の場合に分けられる。
円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を内包するという。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を同心円と呼ぶ。
円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に内接するという。
2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で交わるという。この2点を結ぶ弦を共通弦という。
2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に外接するという。
2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は離れているという。
平面の座標系として、直交座標系の代わりに極座標系を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を (r, θ) とし、中心の極座標を (r0, φ)(つまり、中心の原点からの距離が r0 で、φ は原点から中心へ結んだ半直線が、x-軸の正の部分から反時計回りになす角)とするとき、半径 ρ の円の極方程式は
と書ける。
中心が原点にあるときには、方程式は r = ρ (θ は任意) という単純な形をしている(極座標系において原点は、動径成分が r = 0 かつ偏角成分 θ は任意と表されるのであった)。
原点が円上にあるとき、方程式は r = 2 ρ cos  ( θ − φ ) {\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )} と簡約される。例えば、半径 ρ が中心の動径成分 r0 に等しいときはそうである。
一般の場合の方程式を r について解くことができて、 r = r 0 cos  ( θ − φ ) ± ρ 2 − r 0 2 sin 2  ( θ − φ ) {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {\rho ^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}} となる。ここで ± の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。