極化恒等式
極化方程式の2番目の形式は、次のように記述できる。
‖ u − v ‖ 2 = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − 2 ( u ⋅ v ) {\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})}
これは、ベクトル u, v, u - v によって形成される三角形における、余弦定理のベクトル表現である。 特にベクトル u と v のなす角の角度を θ とすると、次のように記述できる。
u ⋅ v = ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos  θ {\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta }
⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ = 1 2 ( ‖ α x + y ‖ 2 − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) ≤ 1 2 ( ( α ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( α 2 ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 + 2 α ‖ x ‖ ‖ y ‖ − α 2 ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + α ‖ x − y ‖ 2 − α ‖ x ‖ 2 − α ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 α ( 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 α ( ‖ x − y ‖ 2 − ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 ) ≤ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|\alpha x+y\|^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\alpha \|x\|+\|y\|\right)^{2}-\alpha ^{2}\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\alpha \|x\|\|y\|{\cancel {-\alpha ^{2}\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+\alpha \|x-y\|^{2}-\alpha \|x\|^{2}-\alpha \|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(2\|x\|\|y\|+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\alpha \left(\|x-y\|^{2}-\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}}
そして同様に
‖ u − v ‖ 2 = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − 2 ( u ⋅ v ) . {\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}
極化恒等式の形式(1)および(2)は、これらの方程式を u, v について解くことで導出される。一方、形式(3)は、これら2つの方程式を引くことで得られる (ちなみに、2つの方程式を加算すると中線定理が得られる )。