倍積完全数
k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。
k倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている。
k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる(Kanold, 1956)。この定数 C は実際に計算可能である(Pomerance, 1977)。
k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい。これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は N n = k {\displaystyle {\frac {N}{n}}=k} になることから証明できる。
例:n = 6 のとき 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 12 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {12}{6}}=2}
倍積完全数の約数の和になっている数は 1, 12, 56, 360, 992, 2016, 16256, 120960, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A307741)