分岐 (数学)
射 f {\displaystyle f} が不分岐とは、局所的に有限型で、かつ、 Y {\displaystyle Y} のすべての y {\displaystyle y} に対し、 n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} が O Y , y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}} の極大イデアルであり、誘導された写像 O X , f ( y ) / m → O Y , y / n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}
が有限次拡大で分離拡大である場合を言う。この考え方は、代数的整数論での不分岐拡大の幾何学バージョン(一般化)である。
f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} をスキームの射とする。準連接層 Ω X / Y {\displaystyle \Omega _{X/Y}} の台(サポート)を f {\displaystyle f} の分岐軌跡(ramification locus)と呼び、分岐軌跡の像 f ( S u p p Ω X / Y ) {\displaystyle f\left(\mathrm {Supp} \Omega _{X/Y}\right)} を f {\displaystyle f} のブランチ軌跡(branch locus)と呼ぶ。 Ω X / Y = 0 {\displaystyle \Omega _{X/Y}=0} であれば、 f {\displaystyle f} は形式的に不分岐(formally unramified)と言い、 f {\displaystyle f} も局所有限表現であれば、 f {\displaystyle f} は不分岐であるという[ヴァキル (Vakil) のノートを参照]。