イプシロン-デルタ論法
実数列 a1, a2, ..., an, ... の極限値が
lim n → ∞ a n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=b}
であるとは、n を大きくすれば an は b に限りなく近づくという意味であった。
これを有限値による論理式で定義すると
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | a n − b | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |a_{n}-b|<\varepsilon ]}
となる。これは
任意の正の数 ε に対し、ある適当な自然数 N が存在し、N より大きい全ての自然数 n に対して |an − b| < ε
が成り立つ、という意味である。この論理式は δ ではなく N を使うため ε-δ論法ではなく ε-N論法と呼ばれる。ε-N論法による数列の極限の定義の妥当性は次のようになる。
an が b にいくらでも近づくとは、有限値で表すと、任意の正の数 ε に対して an が b の ε近傍に属していくということになる。