最大絶対値の原理
r を任意に小さくして考えても、同じ論法が成立つので、 Dr + Cr の任意の点 z で |f(z0)| = |f(z)| が成立つことになる。 |f(z0)| = 0 であれば、 f(z) は Dr で恒等的に 0 である。 |f(z0)| が 0 でなければ Dr 内の任意の点で |f(z)| も 0 でないから
h ( z ) = log  f ( z ) = log  | f ( z ) | + i arg  f ( z ) {\displaystyle h(z)=\log f(z)=\log |f(z)|+i\arg f(z)}
を考えることができる。Dr に含まれるある領域 V を適当に選ぶと、V 内で h(z) を一価正則にできる。
V 内で |f(z)| は定数であるから h(z) の実部 log |f(z)| も定数である。このためコーシー・リーマンの関係式から V 内で
d h ( z ) d z = 0 {\displaystyle {\frac {dh(z)}{dz}}=0}
となり、h(z) の虚部 arg f (z) も V 内で定数となる。従って V 内で f(z) は定数である。一致の定理によって、結局 D 全体で f(z) は定数となり、定理の仮定に反する。