米田の補題
有限の極限を持つ圏 C 上の前層(英語: presheaf)とは C からの反変関手 P : C → Set のことであり、このとき前層の圏を ˆC = Set で表す。圏 ˆC の部分対象分類子(英語: subobject classifier)とは、(存在するならば) ˆC の対象 Ω とモノ射 true : 1 → Ω (1は終対象) であって、任意のモノ射 j : U → X に対して、χj ◦ j = true かつその可換図式が引き戻しとなるような χ j : X → Ω {\textstyle \chi _{j}:X\to \Omega } がただ1つ存在するようなものを言う。
前層の圏 ˆC への米田埋め込みを Y: C → Set で表すとする。いま、ˆC に部分対象分類子 Ω : C → Set が存在するならば、特に YC = HomC(_, C) (C ∈ C) について
が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は YC の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が C について自然であることから、ˆC は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 YC の部分対象を調べればよいことがわかる。