一次方程式
三変数の場合
a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d}
はユークリッド空間 R における平面(空間平面)を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば
n ⋅ ( x − x 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}
なる形に書きなおせる(平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化)。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、R 内の超平面(余次元 1 のアフィン部分空間)を表す。すなわち n-変数の一次方程式
a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}
は超平面の方程式である。一次形式
L : ( x 1 , ... , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n {\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}
は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は
{ ( x 1 , ... , x n ) ∣ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b } = x 0 + ker  L {\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L}
の形に書くこともできる。