分岐点 (数学)
分岐截断が複素解析におけるよくある特徴を備えている理由の一つとして、それが複素平面上の曲線に沿って並べられた無限個の(そこでの留数が無限小であるような)極の和とみなせるということが挙げられる。たとえば関数
f a ( z ) = 1 z − a {\displaystyle f_{a}(z)={1 \over z-a}}
には z = a に一位の極を持つ。この極の位置を連続的に変化させて取った積分
u ( z ) = ∫ a = − 1 a = 1 f a ( z ) d a = ∫ a = − 1 a = 1 1 z − a d a = log  ( z − 1 z + 1 ) {\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z-1 \over z+1}\right)}
は −1 から 1 までの分岐截線を持つ関数 u(z) を定義する。この分岐線は少しくらい変更しても構わない(これは、積分路が点 z を通過しない限り積分の値を変えずに積分路をずらすことができるということによる)。