固有状態熱化仮説
ETH がオブザーバブルの対角成分に課した条件は対角アンサンブルとミクロカノニカルアンサンブルで予測値が一致する要因になっている。 これらの長時間平均が一致することはしかし、平均値からの時間的なゆらぎが小さいことを保証しない。つまり、長時間平均の一致は A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値が長時間平均に等しい値に落ち着き、ほとんどすべての時刻でそこに留まることを保証しない。
オブザーバブルの期待値の時間的なゆらぎが小さくなるために必要な条件を示すため、以下に定義する時間ゆらぎの二乗平均振幅の振る舞いを述べる。
( A t − A ̄ ) 2 ̄ ≡ lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ( A t − A ̄ ) 2 d t . {\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt.}
ここで A t {\displaystyle A_{t}} は時刻 t {\displaystyle t} での A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値を表す。
今のところ、一般の相互作用系に対する ETH の解析的な導出は知られていない。 しかし、様々な種類の相互作用系について ETH が成り立っていることが、厳密対角化法(英語版)により、これらの方法が示す不確かさの範囲で確認されている。
また、準古典極限における特殊な例で ETH が成立することが証明されており、ここで ETH の正当性はシュニレルマンの定理に依拠している。シュニレルマン定理は、古典カオス系において、エネルギー固有状態に対する演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値が対応するエネルギー準位の古典的ミクロカノニカル平均に等しいことを示す定理である。 より一般の相互作用系について ETH が成立することを証明できるかは、いまだ未解決問題である。
また、多数の第一積分がある可積分系について、系が熱化せず、ETH が成り立たないことが知られている。
ETH は個々のオブザーバブルに関する主張であり、すべてのオブザーバブルが ETH に従うかどうかに関しては何も要求していない点には注意が必要である。 実際、すべてのオブザーバブルに対し成立するという考えは正しくない。与えられたエネルギー固有状態の基底に対し、ETH を破るような演算子を作ることは常に可能である。そのためには、与えられた基底を使い演算子を行列で表し、行列成分が ETH に明示的に従わないようすればよい。逆に、同じ方法で ETH に従う演算子を作ることも可能である。