二項係数
n が十分大きいとき、
( n k ) = 2 n 1 2 n π e − ( k − ( n / 2 ) ) 2 n / 2 [ 1 + O ( 1 n ) ] {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {2^{n}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}n\pi }}}e^{-{\frac {(k-(n/2))^{2}}{n/2}}}\left[1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)\right]}
は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 (np, np(1-p)) を持つ正規分布をとり、p = 1 − p = 1/2 として、2 を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。
自然数(0 も含める)n および k に対し、二項係数 (nk) は二項冪 (1 + X) の展開における X の項の係数として定義できる。同係数は(k ≤ nのとき)二項公式
に現れるため「二項係数」の名がある(この式自体は環の互いに可換な任意の元 x, y に対して成り立つ)。
組合せ論においてもまたこの数は、n 個の対象から k 個選ぶ選び方の総数、より形式的には n元-集合の k元-部分集合(k-項組合せ)の総数として現れる。この数が先に述べた係数と一致することは、後で述べるこの数の計算法の何れとも独立に示すことができる。実際、冪 (1 + X) における n 個の因子の各々において、一時的に X に対し 1 ≤ i ≤ n なる添字 i をそれぞれ付けて区別しておくと、k 個の添字からなる部分集合をひとつ選ぶ毎に展開後の X への寄与が 1 だけあるから、この項の係数はそのような部分集合の選び方の数に一致する。このことは特に (nk) が任意の自然数 n, k に対して自然数となることも示している。二項係数の組合せ論的解釈(二項係数展開が答えを与える数え上げ問題)は多く存在する。例えば、各位の和が k に一致する n桁のビット(つまり各位の数は 0 か 1)の語(文字列)の総数は (nk) で与えられる。また、各 ai が非負整数であるものとして k = a1 + a2 + ... + an と書く方法の総数は (n + k − 1n − 1) 通りである。これら解釈のほとんどは、k-組合せを数えることに同値であることが容易に示される。