ツェルメロ集合論
ツェルメロの論文は「カントールの定理」という初めて名付けて言及したものであっただろう。 カントールの定理とは、「M が任意の集合のとき、つねに M < P(M) (M の冪集合)であり、どの集合も、その部分集合の集合よりも小さな濃度を有する」というものである。
ツェルメロは関数 φ: M → P(M) を考えることでカントールの定理を証明した。公理 III によって以下の集合 M' を定義する。
M' = {m: m ∉ φ(m)}.
しかし M の要素 m' は M' に対応しない、すなわち φ(m' ) = M' にならない。そうでなければ、矛盾を構成できる:
1) m' が M' に含まれるならば、定義より m' ∉ φ(m' ) = M' であり、これは矛盾の1つ目になる。
2) m' は M' に含まれず M に含まれるならば、定義より m' ∉ M' = φ(m' ) であり、定義から m' は M' に含まれることが導かれる。これが矛盾の2つ目になる。
したがって、矛盾より m' は存在しない。この証明はツェルメロがラッセルのパラドックスを解消した方法と似ていることに注意せよ。
分出公理 (Axiom der Aussonderung) 「命題関数 –(x) が集合 M のすべての要素に対して定義されているならば、M は、–(x) が真である M の要素のみからなる部分集合 M' を持つ。」
公理 IV. 冪集合公理 (Axiom der Potenzmenge) 「すべての集合 T に対して、対応する集合 T' が存在する。T' は要素が T のすべての部分集合のみからなる、T の冪集合である。」
公理 V. 和集合の公理 (Axiom der Vereinigung) 「すべての集合 T に対して、対応する集合 ∪T が存在する。∪T は要素が T のすべての要素の要素のみからなる、T の和集合である。」
公理 VI. 選択公理 (Axiom der Auswahl) 「T が集合であり、T の要素がすべて ∅ ではなく互いに素な集合であるならば、その和集合 ∪T には、T の各要素と共通する要素を1つだけ持つ部分集合 S1 が、少なくとも1つ含まれる。」
公理 VII. 無限公理 (Axiom des Unendlichen) 「議論領域中に集合 Z が少なくとも1つ存在する。集合 Z は空集合を要素として含み、集合 Z の各要素 a に対して {a} という形の追加要素が対応するように構成されている。すなわち、集合 Z は要素として各 a のほかに対応する集合 {a} も含む。」