円分体
g を法 p に関する原始根とし、 δ = δ g {\displaystyle \delta =\delta _{g}} とおく。 また、σ を、 σ ( ζ p ) = ζ p g {\displaystyle \textstyle \sigma (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{g}} を満たす、 Gal  ( Q ( ζ p ) / Q ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )} の生成元とする。 M = ( log  σ i + j ( δ ) ) i , j = 0 , 1 , ... , ( p − 5 ) / 2 {\displaystyle M=(\log \sigma ^{i+j}(\delta ))_{i,j=0,1,\ldots ,(p-5)/2}} とおくと、 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R | det M | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|\det M|} 。 但し、R は、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数基準とする。
m が素数のとき、以下の様な式がある。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | G ( η ) G ( η 2 ) ⋯ G ( η p − 2 ) | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(\eta )G(\eta ^{2})\cdots G(\eta ^{p-2})|} ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根とし、 G ( X ) = ∑ j = 0 p − 2 g j X j {\displaystyle \textstyle G(X)=\sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}} 。 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 j = 0 , 1 , ... , p − 2 {\displaystyle \textstyle j=0,1,\ldots ,p-2} に対して、 1 ≦ g j ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq g_{j}\leqq p-1} は、 g j ≡ g j ( mod  p ) {\displaystyle \textstyle g^{j}\equiv g_{j}\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たす正整数とする。