ブール代数
任意の元 x に対して 積の冪等則x = x を満たす単位的環 B をブール環(boolean ring)という。 このとき単位的環の公理から
−x=(−1)x=x(−1)
さらに
(−x)(−y)=xy
が導かれ、それらと冪等則により
x + x = 0 , x y = y x {\displaystyle x+x=0,\qquad xy=yx}
を得る。つまり(乗法が)冪等的かつ単位的な環は加法に関して全ての元の位数が高々2であるような可換環となる。したがって
x ∧ y = x y , x ∨ y = x + y + x y , ¬ x = 1 + x {\displaystyle x\wedge y=xy,\qquad x\vee y=x+y+xy,\qquad \neg x=1+x}
とおけば B はブール代数となる。 また B がブール代数のとき
x y = x ∧ y , x + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ ( ¬ x ∧ y ) {\displaystyle xy=x\wedge y,\qquad x+y=(x\wedge \neg y)\vee (\neg x\wedge y)}
とおけば B はブール環となる。 この対応はブール代数とブール環の間の自然な一対一対応を定めるので、しばしばこの2つは同一視される。 。