ゲーデルの不完全性定理
一方 B {\displaystyle B} を,一階述語論理のリンデンバウム代数とすると、どんな理論のリンデンバウム代数 L {\displaystyle L} についても,あるイデアル I ⊆ B {\displaystyle I\subseteq B} が存在して、 L = B / I {\displaystyle L=B/I} と表される。よって T {\displaystyle T} が生成するイデアル ( T ) {\displaystyle (T)} が T {\displaystyle T} が生み出す定理全体となる。このとき、理論 T {\displaystyle T} のリンデンバウム代数は、剰余代数 B / ( T ) {\displaystyle B/(T)} である。ここでロビンソン算術に対応する B {\displaystyle B} の部分集合を Q {\displaystyle Q} とする。このとき、ゲーデルの第一不完全性定理は次のようにして表現される。
( Q ) {\displaystyle (Q)} を含む再帰的可算素イデアル p ⊂ B {\displaystyle p\subset B} は存在しない。
他に、ザリスキ位相や素スペクトルによる表現が知られている。
アラン・ソーカル、ジャン・ブリクモン 著、田崎晴明・大野克嗣・堀茂樹 訳「11 ゲーデルの定理と集合論――濫用のいくつかの例」『「知」の欺瞞――ポストモダン思想における科学の濫用』岩波書店〈岩波現代文庫 学術 261〉、2012年2月16日、262-269頁。ISBN 978-4-00-600261-9。
数学者・数理論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。
1931年にゲーデルが示したのは、「特定の形式体系 P {\displaystyle P} において決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない。
フランセーンによれば、ゲーデルの不完全性定理と結び付けられるテーマはロジック、数学、計算、哲学、物理学、進化論、政治、宗教、無神論、神学、文学、詩歌、写真、建築、音楽、ヒップホップ、デートなど多岐にわたる。形式論理学のような専門領域の外では、不完全性定理についての言及の多くが、哲学的であり「ひどい誤解や自由連想に基いている」ため、馬鹿げているとさえ言える。たとえば、
などが見られる。ゲーデルの理論の誤解は、一般的な人々の間でも起こっている。たとえば
などである。