分散共分散行列
しかし、二つの確率変数ベクトルの間の相互共分散の標準的な記法は次のようになる。
cov  ( X , Y ) = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) ⊤ ] {\displaystyle \operatorname {cov} ({\textbf {X}},{\textbf {Y}})=\mathrm {E} \left[({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}])({\textbf {Y}}-\mathrm {E} [{\textbf {Y}}])^{\top }\right]}
var {\displaystyle \operatorname {var} } による記法は、フェラーの 2 巻の本 An Introduction to Probability Theory and Its Applicationsに見ることができるが、どちらの形式もかなり標準化されていて、その間に曖昧性はない。
この行列の名前の呼び名には、いくつかの異なった流儀がある。統計学者の一部は、ウィリアム・フェラー(英語: William Feller)にならって、この行列が 1 次元の分散の自然な拡張であることから、この行列を確率変数のベクトル X {\displaystyle X} の分散と呼ぶ。また、この行列がベクトル X {\displaystyle X} のスカラー要素の共分散であることから、この行列を共分散行列と呼ぶ流儀もある。すなわち、
var  ( X ) = cov  ( X ) = E [ ( X − E [ X ] ) ( X − E [ X ] ) ⊤ ] {\displaystyle \operatorname {var} ({\textbf {X}})=\operatorname {cov} ({\textbf {X}})=\mathrm {E} \left[({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}])({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}])^{\top }\right]}
分散共分散行列(ぶんさんきょうぶんさんぎょうれつ、英: variance-covariance matrix)や共分散行列(きょうぶんさんぎょうれつ、英: covariance matrix)とは、統計学と確率論において、ベクトルの要素間の共分散の行列である。これは、スカラー値をとる確率変数における分散の概念を、多次元に拡張したものである。