サドルノード分岐
次の微分方程式は、分岐値は (x = 0, μc = 1) でサドルノード分岐を起こす一例である。
d x d t = μ + x − e x {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu +x-e^{x}}
サドルノード分岐の重要な性質は構造安定な点で、系に摂動が加わっても分岐現象が質的に変わることはない。1次元連続力学系で一般的に現れる分岐は、サドルノード分岐である。
離散力学系の場合は、次のような写像がサドルノード分岐の例として挙げられる。
x ↦ μ e x {\displaystyle x\mapsto \mu e^{x}}
この分岐値は (x = 1, μc = 1/e) で、μ > 1/e では全ての x は n → ∞ で f (x) → ∞ となり、0 < μ < 1/e) では源点と沈点がそれぞれ1つずつ存在する。
一般に、連続力学系の周期軌道の問題は、ポアンカレ写像によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できる。ポアンカレ写像がサドルノード分岐が起こす場合は、元の相空間上では安定な周期軌道と不安定な周期軌道が衝突し、周期軌道が消滅するような様子を示す。
上記の条件を満たす f(x, μ) は、x と μ に適当な変換を施せば、分岐点 (x = 0, μ = 0) 近傍で
d y d t = a ± y 2 + O ( y 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=a\pm y^{2}+O(y^{3})}
という形に書き直すことができる。ここで、y は新たな変数、a は新たなパラメータ、O(y) はランダウの記号である。
離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像
x ↦ f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} }
が条件
{ ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 1 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\\end{cases}}}
を満たすとき、(x = 0, μ = 0) で写像 f(x, μ) はサドルノード分岐を起こす。