対称減少再配分
さらにセゲーの不等式(英語版)が成り立つ。すなわち 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } かつ f ∈ W 1 , p {\displaystyle f\in W^{1,p}} なら、次が成り立つ。
‖ ∇ f ∗ ‖ p ≤ ‖ ∇ f ‖ p . {\displaystyle \|\nabla f^{*}\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.}
対称減少再配分は、順序保存であり、 L p {\displaystyle L^{p}} 距離を減少させる。すなわち
f ≤ g ⇒ f ∗ ≤ g ∗ {\displaystyle f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}}
および
‖ f − g ‖ L p ≥ ‖ f ∗ − g ∗ ‖ L p {\displaystyle \|f-g\|_{L^{p}}\geq \|f^{*}-g^{*}\|_{L^{p}}}
が成り立つ。