正規直交基底
そのような座標系のもとでは内積をベクトルの点乗積と同一視することができるから、正規直交基底の存在については(一般の有限次元内積空間を調べるのではなくて)点乗積を伴う R の場合を調べれば十分である。従って任意の有限次元内積空間は正規直交基底を持つが、実際にこれを得るには任意の基底にグラム・シュミットの正規直交化法を用いればよい。
函数解析学では、正規直交基底の概念を一般の(必ずしも有限次元でない)内積空間(前ヒルベルト空間)に対しても定義することができる。前ヒルベルト空間 H が与えられたとき、H の正規直交基底とは、H の正規直交系であって、H を位相的に生成するものをいう。即ち、H の各ベクトルが、基底に属するベクトルの無限線型結合として一意に表される。この場合の正規直交基底を、H のヒルベルト基底と呼ぶこともある。この意味での正規直交基底は、無限線型結合を用いることから、一般にはベクトル空間としての基底(ハメル基底)でないことに注意すべきである。よりはっきり述べれば、正規直交基底によって張られる部分空間(正規直交基底に属するベクトルの有限線型結合全体)は全空間 H において稠密ではあるが、全空間 H に一致するとは限らない。