次元 (数学)
連結な位相多様体とは、局所的に n-次元ユークリッド空間と同相であるような位相空間のことで、n はその多様体の次元と呼ばれる。これが任意の連結位相多様体に対する次元の一意な定義を導くことが示せる。
幾何学的位相幾何学の分野では、一次元や二次元といった比較的初等的な部分における方法論にその特徴があり、次元が n > 4 となる高次元の場合は、考える対象に余計な自由度があることによって、むしろ単純化されてしまう。そして、n = 3 および 4 の場合がある意味で最も難しい。このような状況を示した実例として、一般化されたポワンカレ予想の各次元での解決がある(一般的な解決のために、四種の異なる証明法が用いられた)。