冪乗
冪演算は任意のモノイドにおいて定義できる。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 X を台として合成あるいは乗法と呼ばれる二項演算が定義される代数系であって、その乗法が結合法則を満足し、かつ乗法単位元 1X を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は
x 0 := 1 X ( ∀ x ∈ X ) , {\displaystyle x^{0}:=1_{X}\quad (\forall x\in X),}
x n + 1 := x n × x ( x ∈ X , n ∈ Z ≥ 0 ) {\displaystyle x^{n+1}:=x^{n}\times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}
として帰納的に定義することができる(先の式の右辺(の 1)は X の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の 1 で、当然だがこれらは互いに別のものである)。特に先の式(零乗すること)は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである(空積も参照のこと)。
モノイドの例には群や環(の乗法モノイド)のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として行列環や体の場合について後述する。
実数(または積 × {\displaystyle \times } の定義された群、より一般には半群)において、元 x と自然数 n に対して x を
x n = x × ⋯ × x ⏟ n 個 {\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n\ {\text{個}}}}
で定義する(厳密には再帰的に定義する)。 上付きの n が書けない場合には、 x^n という表記を用いることが多い。
この操作を「x の n 乗を取る」などといい、特に n を固定して x を入力とする関数(特に実数 x の函数)と見るときは、冪関数という。 x の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 英: square)、立方 (りっぽう、 英: cube) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。
冪 x において、x を底(てい、英: base、 基数)と呼び、n を冪数、冪指数または単に指数(しすう、 英: exponent) と呼ぶ。必ずしも冪指数とは限らない添字 n をその基準となる文字 x の右肩に乗せる添字記法を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。
厳密には、x の n 乗冪は
x = x,
x = x × x (n ≥ 1)
によって再帰的に定義される。