ガロア群
下記の例において、 F は一般の体、 C, R, Qはそれぞれ複素数体、実数体 、有理数体とする。また、 F(a) は体 F に元 a を添加した体、即ち F の全ての元と a をふくむ最小の体であるとする。
Gal(F/F)は恒等写像のみからなる自明な群。
Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群。
Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
Gal(Q(√2)/Q) は、恒等写像および、√2と-√2を入れ替える写像からなる。
K = Q(√2)とするとき、Aut(K/Q)は自明な群となる。これはKが正規拡大でない(x − 2の根を全て含んでいない)ためである。これはKが分解体ではないからと言いかえることもできる。
ω を1の3乗根とするとき、拡大体L = Q(√2, ω)は、多項式x - 2のQ上の分解体となり、自己同型群は、3次の置換群 S3と同型となる。
q を素数の累乗とし、F , E をそれぞれ 位数 q と位数 q の有限体とするとき、Gal(E/F) は位数 n の巡回群となる。
p を素数とするとき、 f が p 次の有理係数既約多項式で、実数でない解をちょうど2つ持つならば、f のガロア群はp 次の置換群Spに等しい。