フォン・ノイマン環
フォン・ノイマン環(ふぉんのいまんかん、von Neumann algebra)とは、ヒルベルト空間上の有界線型作用素たちのなす C*-環のうちで恒等作用素を含み作用素の弱収束位相について閉じているもののことである。一般の C*-環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象であり、理論の創始者の一人ジョン・フォン・ノイマンにちなんでこの名前がついている。可換なフォン・ノイマン環の重要な例として、σ-有限な測度空間 X 上の L 級関数全体のなす環があげられる。
A がヒルベルト空間 H上の可換フォン・ノイマン環、局所コンパクト群GがA上に左から作用しているとする。Aの表現πとGのユニタリ表現 uで、u(g)π(a)u(g) = π(g.a) を満たす普遍的なフォン・ノイマン環が次のように構成され、AとGの(このGの作用に関する)接合積(crossed product)とよばれる:Gのユニタリ表現μ をG の右ハール測度とするとき、ヒルベルト空間のテンソル積 H ⊗ L(G, μ) は G上のH値自乗可積分関数の空間 L(G, μ ; H) と見なせる。群フォンノイマン環と同様にしてこの上にGのユニタリ表現uが得られる。Aの表現πを(π(a).f)(g) = (g.a).f(g)によって与え、π(A)とu(G)によって生成されるフォン・ノイマン環をAとGの接合積とする。