一様有界性
F = { f i : X → K , i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}
を、 I {\displaystyle I} によって添え字付けられている関数の族とする。ここで X {\displaystyle X} は任意の集合で、 K {\displaystyle K} は実数あるいは複素数の集合である。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が一様有界であるとは、
| f i ( x ) | ≤ M ∀ i ∈ I ∀ x ∈ X {\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}
を満たすようなある実数 M {\displaystyle M} が存在することを言う。