ディラック測度
以下、δx は適当な可測空間 (X, Σ) において、一つ選んで固定した点 x を中心とするディラック測度を表す。
δx は確率測度であり、したがって有限測度である。
また、(X, T) は位相空間で、Σ が少なくとも X 上のボレル代数 σ(T) と同程度には細かいと仮定する。
δx が狭義正測度であるための必要十分条件は、位相 T がすべての空でない開集合に x が含まれるようなものであることである。例えば、自明な位相 {∅, X} の場合が挙げられる。
δx が確率測度であることからは、局所有限測度でもあることもわかる。
ハウスドルフ位相空間 X にそのボレル代数を併せて考えるとき、δx は内部正則測度であるための条件を満たす。なぜならば、 {x} のような単集合は常にコンパクトであるからである。したがって δx はラドン測度でもある。
多くの応用においてそうであるように、位相 T は十分細かく {x} が閉となるものと仮定する。このとき δx の台は {x} である(そうでない場合、supp(δx) は (X, T) における {x} の閉包をとる)。さらに、δx は台が {x} であるような唯一つの確率測度である。
X が n-次元ユークリッド空間 R に通常の σ-代数と n-次元ルベーグ測度 λ を入れたものとするとき、δx は λ に関して特異である。実際、R を単純に A = R ∖ {x} と B = {x} に分解すれば、δx(A) = λ(B) = 0 が成立する。