多項式の展開
分配法則
a(b + c) = ab + ac
を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。
a(b1 + ⋯ + bn) = ab1 + ⋯ + abn
第一因子も複数の項の和である場合、すなわち
(a1 + ⋯ + am)(b1 + ⋯ + bn)
については、次のように計算される。
第一因子を A とおくと、A(b1 + ⋯ + bn) となる
分配法則により、これは Ab1 + ⋯ + Abn に等しい
この式の第 i 項は (a1 + ⋯ + am)bi であり、再び分配法則を用いると、これは a1bi + ⋯ + ambi に等しい
よって、全体は (a1b1 + ⋯ + amb1) + ⋯ + (a1bn + ⋯ + ambn) に等しい
この結果を記号 ∑ を用いて書くならば