群 (数学)
集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう:
(結合法則)任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす: ( ∀ g , h , k ∈ G ) [ μ ( g , μ ( h , k ) ) = μ ( μ ( g , h ) , k ) ] . {\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}
(単位元の存在)μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような G の元 e が存在する: ( ∃ e ∈ G ) ( ∀ g ∈ G ) [ μ ( g , e ) = μ ( e , g ) = g ] . {\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].} このような e は存在すれば一意であり、G の単位元という。
(逆元の存在)G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する: ( ∀ g ∈ G ) ( ∃ x ∈ G ) [ μ ( g , x ) = μ ( x , g ) = e ] .
群 G の二つの元 x, y に対し、y = Ag(x) = gxg となる g ∈ G が存在するとき、x と y は互いに共役(共軛ともかく)であるという。同様に、部分群 H, K に対し、H = gKg となる g ∈ G が存在するなら、二つの部分群 H, K は互いに共役であるという。共役であるという関係は群 G の同値関係である。群 G を共役という同値関係で類別したときの同値類を共役類という。有限群 G をその共役類 Cl1, ..., Cln に類別すれば、位数に関して次の等式
| G | = ∑ k | C l k | {\displaystyle |G|=\sum _{k}|\mathrm {Cl} _{k}|}
を考えることができる。これを類等式と呼ぶ。G の元 x がその中心 Z(G) に属することと x の属する共役類が {x} なる一元集合であることとは(中心の定義から直ちにわかるように)同値であり、2 個以上の元からなる共役類の全体を C1, C2, ..., Cr とすれば、類等式は
| G | = | Z ( G ) | + ∑ i = 1 r | C i | {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}|C_{i}|}
の形に書くことができる。有限群 G が p-群(位数が p の冪であるような群)ならば、その中心が自明群でないことは類等式から直ちにわかる。
素数 p が与えられているとき、有限群 G の位数を |G| = pm (ただし m は p と互いに素)と表す。このとき位数 p の G の部分群を p-シロー部分群という。p-シロー部分群について以下が成り立つ。
G のどの p-部分群も、ある位数 p の部分群に含まれる。特に p-シロー部分群は存在する
相異なる p-シロー部分群の個数 np は p を法として 1 と合同である: np ≡ 1 mod p
任意の p-シロー部分群は G 内で互いに共役である