遅延ポテンシャル
一般にヘルムホルツ方程式は、式(2-2-1) のようなインパルス応答を用いて解くことができる。 このことを示そう。インパルス応答を用いてヘルムホルツ方程式を解くことを、グリーン関数法といい、 以下の式(2-2-1)の、スカラー値関数の解G のことを、ヘルムホルツ方程式(2-1-3)のグリーン関数という。グリーン関数を用いた微分方程式の解法については、例えばに詳しい。本節の主結果は以下の補題2に集約される。
補題 2 (グリーン関数法) 式 (2-1-3) のヘルムホルツ方程式の、インパルス応答、即ち
D G ( r , ω ) = − δ 3 ( r ) {\displaystyle DG({\boldsymbol {r}},\omega )=-{\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-2-1)
式(2-2-1)のスカラー値関数解をGとしたとき、
A ^ ( r , ω ) = − μ 0 ∫ s ∈ R 3 G ( r − s , ω ) i ^ ( s , ω ) ⋅ d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-{\mu }_{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}G({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}},\omega ){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-2-2)
に、STEP4の式(2-4-2)で得られた G {\displaystyle G} を代入し、一般解を求めることを考える。
式(2-5-7)に、式(2-4-2)で得られた G {\displaystyle G} を代入すると、
A ^ ( r , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )}
= − μ 0 ∫ s ∈ R 3 ( a G a d v ( r − s ) i ^ ( s , ω ) + b G r e t ( r − s ) i ^ ( s , ω ) ) ⋅ d s {\displaystyle =-\mu _{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}\left(a{G}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )+b{G}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-5-8)
∂ ∂ z [ z | R | 3 ] = 1 | R | 3 − 3 z 2 | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}}}\left[{\frac {z}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{z}^{2}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{5}}}} (S4-3-5c)
式(S4-3-5a),(S4-3-5b),(S4-3-5c)を足し合わせると、 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、
div r  [ r | r | 3 ] = 3 | R | 3 − 3 | r | 2 | R | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]={\frac {3}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{|{\boldsymbol {r}}|}^{2}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{5}}}=0} (S4-3-6)
が得られた。
grad  [ 1 | R | ] = − R | R | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-3-3)
Δ [ − 1 | R | ] = div  [ − R | R | 3 ] = ∂ ∂ x [ x | R | ] + ∂ ∂ y [ y | R | ] + ∂ ∂ z [ z | R | ] {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]=\operatorname {div} \left[{\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {x}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]+{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left[{\frac {y}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]+{\frac {\partial }{\partial {z}}}\left[{\frac {z}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]} (S4-3-4)
「x-y-z空間上の微分作用素Dに対しΦによる座標変換を施したもの」をLとしたとき、 Lは、r-θ-ρ空間上の微分作用素で、任意のhに対し以下の式(2-3-2)の関係が満たされる(逆に言えばそうなるようなLを求めることが微分作用素の座標変換である)。
L [ h ∘ Φ ] = ( D [ h ] ) ∘ Φ {\displaystyle L[h\circ \Phi ]=(D[h])\circ \Phi } (S3-2-1)
但し、式S(3-2-1)のhは、「作用されるもの」(x-y-z空間上の関数、ベクトル場等)で、 ∘ {\displaystyle \circ } は、合成を表す。以下、本節では、便宜のため式S(3-2-1)のような関係にある LとDのことを、「LとDの間にはΦ関係がある」と言うことにする。
x-y-z空間上の微分作用素Dと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(S3-2-1)の意味でΦ関係があったとする。
このとき、例えば、hが、x-y-z空間上で定義されたスカラー値関数(スカラー場)としたとき、 Lは、x-y-z空間上で定義されたスカラー場h=h(x,y,z)に対しては、 直接的に作用することはできない。しかし、前記hとΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたスカラー場」であるため、Lは、 h ∘ Φ {\displaystyle h\circ \Phi } には、作用できる。
1 2 オッペンハイマー著, 小林稔訳「電気力学」吉岡書店 , 丸善 (発売), 1963 年1月15日 第2刷,J. Robert Oppenheimer, Shuichi Kusaka, Eldred Carlyle Nelson;"Lectures on Electrodynamics" Gordon & Breach Science Pub (June 1970) 特に第7章p33以降を参照のこと。
1 2 3 4 川村清 (著) :「電磁気学 (岩波基礎物理シリーズ (3))」岩波書店 (1994/5/12) [特にp151~]
1 2 砂川 重信 (著) ;「理論電磁気学」紀伊國屋書店; 第3版 [特にP254,P280 付近を参照のこと] (1999/09)
↑ 竹山 説三 (著);「電磁気学現象理論」丸善出版; 3版 (1949) [特にP437付近を参照のこと]
↑ 溝口 正(著);「電磁気学」裳華房 (2001/03)
↑ ファインマン (著), 宮島 龍興 (翻訳) 「ファインマン物理学〈3〉電磁気学」岩波書店 (1986/1/8)
1 2 清水 忠雄(著) ;「電磁気学〈2〉遅延ポテンシャル・物質との相互作用・量子光学 (基礎物理学シリーズ) 」朝倉書店 (2009/12) 遅延ポテンシャルP214、ジェフィメンコ方程式P222(但しジェフィメンコ方程式の名は出ていない。)
本節では、ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の両辺の、A, iそれぞれの、時間成分に対し、 それぞれ、(一変数の意味で)フーリエ変換を施す。本節の結論は、以下の補題1に集約される。
補題 1 (ポテンシャル形式のマックスウェル方程式のフーリエ変換) 4変数(t,x,y,z)を持つR値関数A (t,x,y,z), i (t,x,y,z)が、 ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の磁場成分、即ち以下の式(2-1-1) の解とする。
◻ A = − μ 0 i {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}=-{\mu _{0}}{\boldsymbol {i}}} (2-1-1)
このとき、4変数(x,y,z,ω)を持つR値関数 A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} を、それぞれ