極限
実数の数列が収束する (converge) あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値という。収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。
逆に、x → c のとき、f(x) の値が限りなく小さくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 f(x) は負の無限大に発散する」といい、
lim x → c f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=-\infty }
または、
f ( x ) → − ∞ ( x → c ) {\displaystyle f(x)\to -\infty \quad (x\to c)}
と表す。これは次のように厳密に定義される。
∀ K < 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < | x − c | < δ ⟹ f ( x ) < K ] {\displaystyle \forall K<0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}}
連続な実関数 f(x) が x → c とする極限において発散するならば、f(x) は x = c において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると x = c は不連続点となるからである。