環 (数学)
乗法に関して閉じている:任意の a, b ∈ R に対して a ∗ b ∈ R が成り立つ。 乗法の結合性:任意の a, b, c ∈ R に対して (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) が成立する。 乗法に関する単位元を持つ。
極めて様々な種類の数学的対象が、何らかの意味で付随する環を考えることによって詳しく調べられる。
集合 Z4 を数 0, 1, 2, 3 からなる集合とし、後に述べるような加法と乗法を定めるものとする(任意の整数 x に対して、それを 4 で割った余り x mod 4 の成す剰余類環)。
任意の x, y ∈ Z4 に対して x + y は、それを整数と見ての和の mod 4。したがって Z4 の加法構造は、下に掲げた表の左側のようになる。
任意の x, y ∈ Z4 に対して x ⋅ y は、それを整数と見ての積の mod 4。したがって Z4 の乗法構造は、下に掲げた表の右側のようになる。
この Z4 がこれらの演算に関して環を成すことは簡単に確認できる(特に興味を引く点はない)。まずは、Z4 が加法に関して閉じていることは表を見れば(0, 1, 2, 3 以外の元は出てこないから)明らかである。Z4 における加法の結合性と可換性は整数全体の成す環 Z の性質から導かれる(可換性については、表の主対角線に対する対称性からも一見して直ちに分かる)。0 が零元となることも表から明らかである。任意の元 x のマイナス元が常に存在することも、それを整数と見ての (4 − x) mod 4 が所要のマイナス元であることから分かる(もちろん表を見ても確かめられる)。故に Z4 は加法の下でアーベル群になる。同様に Z4 が乗法に関して閉じていることも右側の表から分かり、Z4 における乗法の結合性は(可換性も)Z のそれから従い、1 が単位元を成すことも表を見れば直ちに確かめられる。故に Z4 は乗法の下モノイドを成す。Z4 において乗法が加法の上に分配的であることは、Z におけるそれから従う。まとめれば、確かに Z4 が与えられた演算に関して環を成すことが分かる。