電磁場テンソル
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義からビアンキ恒等式
∂ ρ F μ ν + ∂ μ F ν ρ + ∂ ν F ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0}
が成り立つ。 双対テンソルを用いれば
∂ μ F ~ μ ν = 1 2 ε μ ν ρ σ ∂ μ F ρ σ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\mu }F_{\rho \sigma }=0}
と表すことも出来る。 この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0}
( F μ ν ) = [ 0 E r / c E θ / c r E φ / c r sin  θ − E r / c 0 B φ / r − B θ / r sin  θ − E θ / c r − B φ / r 0 B r / r 2 sin  θ − E φ / c r sin  θ B θ / r sin  θ − B r / r 2 sin  θ 0 ] {\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&E_{r}/c&E_{\theta }/cr&E_{\varphi }/cr\sin \theta \\-E_{r}/c&0&B_{\varphi }/r&-B_{\theta }/r\sin \theta \\-E_{\theta }/cr&-B_{\varphi }/r&0&B_{r}/r^{2}\sin \theta \\-E_{\varphi }/cr\sin \theta &B_{\theta }/r\sin \theta &-B_{r}/r^{2}\sin \theta &0\\\end{bmatrix}}}
となる。
例えば、原点に点電荷 q が存在するときの電磁場テンソルは
( F μ ν ) = [ 0 1 4 π ε 0 c q r 2 0 0 − 1 4 π ε 0 c q r 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0\\-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}
で表される。
電磁場の強度(field strength)F は二階のテンソル
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
と定義される。 ここで A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル
A μ = ( φ c , A ) , A μ = η μ ν A ν = ( − φ c , A ) {\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right)}
である。 また、微分も相対論的な4元ベクトル
∂ μ = ∂ ∂ x μ = ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}