ランダー・パーキン・セルフリッジ予想
1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想は、
∑ i = 1 n a i k = ∑ j = 1 m b j k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} が自然数 ai ≠ bj ( 1 ≤ i ≤ n 、1 ≤ j ≤ m)に対して成立する時、 m+n ≥ kとなる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, m, n)と略記される。
m = n = k/2 である比較的小さな例には、
59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 {\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}
や
3 6 + 19 6 + 22 6 = 10 6 + 15 6 + 23 6 {\displaystyle 3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}} (1934年にK. Subba Rao が発見)がある(一般化タクシー数も参照)。
この予想は m = 1 と言う特殊な場合において、
∑ i = 1 n a i k = b k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}
が成立するならば、n ≥ k−1であることを示す。
m = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた n ≤ k に対してはいくつも解が知られている。例えば、