斉次座標環
線型正規性(英語版)を幾何学的に言うことができる。射影多様体としての V は真の線型部分空間に自明な方法である場合を除いてより高次元の射影空間から同型線型射影によって得ることができない。射影正規性はそれを線型正規性の条件に帰着するために十分な Veronese 写像(英語版) を使うことによって同様に翻訳することができる。
V の射影埋め込みを生じる与えられた非常に豊富な直線束の視点から問題を見ると、そのような直線束(可逆層)は埋め込まれた V が射影正規ならば正規的に生成される (normally generated) と言う。射影正規性は Green と Lazarsfeld によって定義された条件の列の最初の条件 N0 である。これのためには
⨁ d = 0 ∞ H 0 ( V , L d ) {\displaystyle \bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})}
は射影空間の斉次座標環上の次数加群と考えられ、極小自由分解が取られる。最初の p 次数ベッチ数に適用された条件 Np はそれらが j > i + 1 のときに消えることを要求する。曲線に対して Green は deg(L) ≥ 2g + 1 + p のとき条件 Np が満たされることを示した。p = 0 に対してこれは Guido Castelnuovo の古典的結果である。