エルランゲン・プログラム
X上に一点xを取り、xの固定部分群を H x = { h ∈ G ∣ h x = x } {\displaystyle H_{x}=\{h\in G\mid hx=x\}} とすると、 H g x = g − 1 H g {\displaystyle H_{gx}=g^{-1}Hg} とxによらずHxは同型であり、Xは
[ g ] ∈ G / H → g x ∈ X {\displaystyle [g]\in G/H\to gx\in X}
により自然に G / H x {\displaystyle G/H_{x}} と同型である。このため ( G , X ) {\displaystyle (G,X)} のかわりにリー群Gとその閉部分リー群Hxの組 ( G , H x ) {\displaystyle (G,H_{x})} の事をクラインの意味での幾何学と呼んでも良い。
具体例は以下の通りである:
クラインの幾何学では、 G {\displaystyle G} の作用に不変な性質を探る事が目的となる。例えばユークリッド幾何学では、等長変換に不変な性質、例えば三角形の合同、を研究する。
注意すべきは空間Xが同一でも、Gが異なれば別の幾何学とみなされる事である。例えばユークリッド空間 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 上にアフィン変換全体のなすリー群をGとして選んだアフィン幾何学や相似変換全体のなすリー群をGとして選んだ相似幾何学はユークリッド幾何学とは区別される。アフィン幾何学では、アフィン変換に不変な性質を探ることになるので、ユークリッド幾何学での研究対象であってもアフィン幾何学の研究対象ではないものが存在する。例えば前述した三角形の合同はアフィン変換に対して不変ではないので、アフィン幾何学の研究対象ではない。