グロタンディーク群
このことは、ネター環 R 上の有限生成加群の圏である A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の特別の場合(環付き空間がアフィンスキームの場合)を含んでいる。どちらの場合も、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} はアーベル圏であり、前提的に、完全圏であるので、上の構成が適用される。
R がある体上の有限次元代数である場合には、(有限生成加群の短完全列によって定義された)グロタンディーク群 G0(R) と(有限生成射影加群の直和によって定義された) K0(R) は一致する。実は、これらの群は単純 R-加群の同型類によって生成された自由アーベル群に同型である。
環や環付き空間には他にもグロタンディーク群 G0 が存在し、有益なこともある。圏が環付き空間のすべての準連接層の圏として選択された場合は、アフィンスキームでのある環 R 上の全ての加群の圏へ還元される。G0 は函手ではないが、しかし、重要な情報を持っている。
(有界)導来圏は三角圏であるので、導来圏のグロタンディーク群が存在する。このことは、たとえば表現論に応用を持っている。非有界な圏に対しては、グロタンディーク群は消滅する。複素有限次元の正の次数付き代数の導来圏に対し、非有界な導来圏の中に、そのグロタンディーク群が q-進完備な A のグロタンディーク群を含む部分圏が存在する。
前のセクションでは、R はアルティン的であり(従って、ネター的(Noetherian)である)ことを前提とするので、すでに実際はアーベル的である。
他方、この系列だけで包含写像と射影射をもつ A ↪ A ⊕ B ↠ B {\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B} の形をした系列を完全ということにすると、すべての加法圏も完全である。この過程は、可換モノイド ( I s o ( A ) , ⊕ ) {\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )} のグロタンディーク群を、最初の意味で生成する(ここに I s o ( A ) {\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})} は、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の中では(基本的性格を除き)同値類の「集合」を意味する)。
可換モノイド M のグロタンディーク群を構成するためには、まず、デカルト積
M × M
を構成する。2つの座標は、正の値の部分と負の値の部分を表現している、つまり直観的には (m, n) は、m − n と対応することを意味する。
M × M の加法は座標ごとに定義される。
(m1, m2) + (n1, n2) = (m1 + n1, m2 + n2).
次に、M × M 上の同値関係を定義する。ある M の元 k に対して m1 + n2 + k = m2 + n1 + k であるとき、(m1, m2) は (n1, n2) と同値であるという(すべてのモノイドの中で簡約律が成り立つわけではないので、k は必要である)。K を同値類全体の集合と定義する。M × M 上の加法演算は同値関係と整合性を持っているから、K 上の加法が得られ、K はアーベル群になる。K の単位元は (m, m) の形の任意の元の同値類であり、 (m1, m2) の類の逆元は (m2, m1) の類である。