スペクトル定理
以下では、考えているスカラー体が複素数である場合の証明の概略を紹介する。
代数学の基本定理を A の特性多項式に適用することで、少なくとも一つの固有値 λ1 と対応する固有ベクトル e1 が存在することが分かる。このとき
λ 1 ⟨ e 1 , e 1 ⟩ = ⟨ A ( e 1 ) , e 1 ⟩ = ⟨ e 1 , A ( e 1 ) ⟩ = λ ̄ 1 ⟨ e 1 , e 1 ⟩ {\displaystyle \lambda _{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle =\langle A(e_{1}),e_{1}\rangle =\langle e_{1},A(e_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle }
が成立するので、そのような λ1 は実数であることが分かる。今、e1 の直交補空間 K = span{e1} を考える。エルミート性により、K は A の不変部分空間である。K に対しても上述と同様の議論を行うことで、A はある固有ベクトル e2 ∈ K を持つことが分かる。あとは帰納的にこの操作を有限回繰り返すことで、証明は完成される。
スペクトル定理はまた、有限次元の実内積空間の上の対称写像に対しても成立する。しかしその場合、固有ベクトルの存在は代数学の基本定理からは直ちに従わない。