算術級数定理
以下の記号を用いる。
( d , n ) {\displaystyle (d,n)} は d {\displaystyle d} と n {\displaystyle n} の最大公約数を表す。
φ ( d ) {\displaystyle \varphi (d)} はオイラー関数(totient)を表す。
χ {\displaystyle \chi } はディリクレ指標(Dirichlet's characteristic)を表す。
∑ p {\displaystyle \sum _{p}} は全ての素数について和を取ることを示す。
∑ p ≡ k {\displaystyle \sum _{p\equiv {k}}} は法 d {\displaystyle d} で k {\displaystyle k} と合同な全ての素数について和を取ることを示す。
∑ χ {\displaystyle \sum _{\chi }} は法 d {\displaystyle d} の全てのディリクレ指標について和を取ることを示す。
正の整数 d {\displaystyle d} につき φ ( d ) {\displaystyle \varphi (d)} 個のディリクレ指標があり、それらは群を成す。ディリクレ指標には直交性がある。
∑ n = 1 d χ ( n ) = { φ ( d ) χ = χ 0 0 χ ≠ χ 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{d}\chi (n)={\begin{cases}\varphi (d)&\chi =\chi _{0}\\0&\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}
∑ χ χ ( n ) = { φ ( d ) n ≡ 1 0 n ≢ 1 {\displaystyle \sum _{\chi }\chi (n)={\begin{cases}\varphi (d)&n\equiv 1\\0&n\not \equiv 1\end{cases}}}
公差が a である等差数列は初項を 1 から a − 1 {\displaystyle a-1} の間に取るときその初項が a と互いに素であるものが φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} 通りある。ここで φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} はオイラーのφ関数である。これら φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} 個の等差数列に素数はそれぞれほぼ均等に分布している。素数定理の拡張として、次のように書ける。
初項 b と公差 a が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を π a , b ( x ) {\displaystyle \pi _{a,b}(x)} で表すとき、 π a , b ( x ) ∼ 1 φ ( a ) L i ( x ) {\displaystyle \pi _{a,b}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (a)}}\mathrm {Li} (x)}
ディリクレが算術級数定理を証明した当時、素数定理もまだ証明されていなかったためこの形は予想に過ぎなかったが、後に素数定理と同様にシャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン(フランス語版)によって証明された。この定理を算術級数の素数定理と呼ぶ。
更に、
∑ n = N M a n n s = ∑ n = N M ∑ m = 1 n a m ( 1 n s − 1 ( n + 1 ) s ) − ∑ m = 1 N − 1 a m N s + ∑ m = 1 M a m ( M + 1 ) s {\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\sum _{n=N}^{M}\sum _{m=1}^{n}a_{m}\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right)-\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {a_{m}}{N^{s}}}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {a_{m}}{(M+1)^{s}}}}