位相多様体
3次元多様体の分類はグレゴリー・ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想から得られる。
空間 M が局所ユークリッド的であることとユークリッド的近傍によって被覆できることは同値である。M を被覆するユークリッド的近傍の集合を、それらの座標チャートと合わせて、M 上のアトラスと呼ぶ。(用語は球面の地球儀が平らな地図あるいはチャートの地図帳によって記述できる地図学との類似から来ている。)
重なりのある領域 U と V の2つのチャート φ と ψ が与えられると、変換関数 (transition function)
ψφ: φ(U ∩ V) → ψ(U ∩ V)
がある。そのような写像は R の開部分集合の間の同相写像である。つまり、座標チャートは同相の違いを除いて重なった部分で一致する。異なる種類の多様体は変換関数の種類に制限を課すことによって定義できる。例えば,可微分多様体に対して、変換関数は微分同相であると要求される。
実数、複素数、四元数上の射影空間はコンパクト多様体である。 実射影空間(英語版) RP は n 次元多様体である。 複素射影空間(英語版) CP は 2n 次元多様体である。 四元数射影空間(英語版) HP は 4n 次元多様体である。
射影空間に関係する多様体はグラスマン多様体(英語版)、旗多様体、スティーフェル多様体(英語版)を含む。