作用素論
C-環 A は複素数体上のバナハ環であって、対合 ∗: A → A を備える。A の元 x の ∗ による像を x と書くとき、対合 ∗ は以下の性質を満たす
対合性(英語版): 任意の x ∈ A に対して x ∗ ∗ = ( x ∗ ) ∗ = x . {\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x.}
任意の x, y ∈ A に対して ( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ . {\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}.} ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ . {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}.}
任意の λ ∈ C および任意の x ∈ A に対して ( λ x ) ∗ = λ ̄ x ∗ . {\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}
任意の x ∈ A に対して ‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x ∗ ‖ . {\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}
個々の作用素論では、個別に与えられた作用素の性質や分類について扱う。例えば、スペクトルを用いた正規作用素の分類はこの範疇に属する。