無限論理
束縛変数の概念は、同様の方法で無限文にも適用される。これらの式における括弧の数は常に有限であることに注意。有限論理と同じように、全ての変数が束縛されている式は文と呼ばれる。
無限論理 L α , β {\displaystyle L_{\alpha ,\beta }} における理論Tは、その論理における言明の集合である。理論Tからの無限論理における証明は以下の条件に従う長さ γ {\displaystyle \gamma } の文の列である:各文は論理的な公理Tの要素であるか、または推論規則を用いて過去の言明から推論(演繹)される。前述のものと同様に、無限論理における全ての推論規則と追加規則を用いることができる:
その証明において以前に生じている言明 A = { A γ | γ < δ < α } {\displaystyle A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}} の集合を持つとき、その言明 ∧ γ < δ A γ {\displaystyle \land _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}} は推論可能である。
無限論理に特徴的な論理的公理型を以下に与える。 0 < δ < α {\displaystyle 0<\delta <\alpha } のような各 δ {\displaystyle \delta } および γ {\displaystyle \gamma } について、以下の論理的公理を持つ: