接続 (ファイバー束)
本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。
接続が定義された主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} において、切断sの共変微分は
∇ X s | u := V s ( u ) ( s ∗ ( X u ) ) {\displaystyle \nabla _{X}s|_{u}:=V_{s(u)}(s_{*}(X_{u}))}
により定義されていた。一方主接続の接続形式ωは垂直射影 V s ( x ) {\displaystyle V_{s(x)}} を基本ベクトル場を考えてリー代数と対応付ける事で定義されていた。よって次が成立する:
定理 (共変微分の具体的表記) ―
ζ s ( u ) − 1 ( ∇ X s | u ) = ω s u ( s ∗ ( X u ) ) {\displaystyle \zeta _{s(u)}{}^{-1}(\nabla _{X}s|_{u})=\omega _{s_{u}}(s_{*}(X_{u}))}
ここで
ζ p : A ∈ g ↦ A _ p ∈ V p {\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}} for p ∈ P {\displaystyle p\in P}
である。
本節では主バンドルPの微分形式のうち性質の良いものがPに対応するベクトルバンドルの微分形式と1対1に対応する事を見る。次節でこの同型を曲率形式がリー代数のバンドルの元とみなせる事を示すのに利用し、更に後の章でベクトルバンドルの共変外微分を定義するのに利用する。
Vをベクトル空間とし、
ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)}
をリー群GからV上の一般線形群 G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} へのなめらかな準同型(すなわちなめらかな線形表現)とし、 P → M {\displaystyle P\to M} を接続形式ωが定義されたG-主バンドルとする。
定義 (テンソル形式) ― kを非負整数とし、P上のk次のV値微分形式ηで
( R g ) ∗ ( η ) p ( v 1 , ... , v k ) = ρ ( g − 1 ) η p ( v 1 , ... , v k ) {\displaystyle (R_{g})^{*}(\eta )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\rho (g^{-1})\eta _{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})}
(水平性)あるviが垂直であれば、 η p ( v 1 , ... , v k ) = 0 {\displaystyle \eta _{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=0}
を任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} と任意の v 1 , .
, x m ) , ( s 1 ( x ) , ... , s n ( x ) ) ) {\displaystyle s(x)=((x^{1},\ldots ,x^{m}),(s^{1}(x),\ldots ,s^{n}(x)))}
と書く、このとき以下が成立する:
∇ X s | x = ( X k ( x ) ∂ s j ∂ x k ( x ) + X k ( x ) Γ i k ( s ( x ) ) ) ∂ ∂ y i | s ( x ) {\displaystyle \nabla _{X}s|_{x}=\left(X^{k}(x){\partial s^{j} \over \partial x^{k}}(x)+X^{k}(x)\Gamma ^{i}{}_{k}(s(x))\right){\partial \over \partial y^{i}}{\Bigg |}_{s(x)}}
上記の定理をKoszul接続に関する共変微分の成分表示と比較する事で、 Γ k i ( s ( x ) ) {\displaystyle \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))} がクリストッフェル記号に対応している事が分かる。事実Koszul接続では Γ k i ( s ( x ) ) {\displaystyle \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))} がsに関して線形であり、成分表示がクリストッフェル記号と一致する(後述)。
水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。
「G-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、Gが S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} の場合、G-フレームが正規直交基底に相当する。
定義 ― Gを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群とし、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を構造群Gを持つベクトルバンドルとし、uをMの点とし、 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をEuの基底とする。 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} がEのuにおけるG-フレーム(英: G-flame)であるとは、Eのuにおけるバンドルチャート U × R n {\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}} と g ∈ G {\displaystyle g\in G} が存在し、このバンドルチャート上で
( e 1 , ... , e n ) = ( g e 1 ′ , ... , g e n ′ ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})=(ge'_{1},\ldots ,ge'_{n})}
Loring W. Tu (2017/6/P15). Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics. 275. Springer. ISBN 978-3319550824
森田茂之『微分形式の幾何学2』 14巻、岩波書店〈岩波講座 現代数学の基礎〉、2001年5月23日。ISBN 978-4000110143。https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html。
Chris Wendl. “Differentialgeometrie I”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 3: Connections”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 4: Natural constructions on vector bundles”. 2023年8月24日閲覧。 Chris Wendl. “Chapter 5: Curvature on bundles”. 2023年8月24日閲覧。
Ivan Kolář, Jan Slovák, Peter W. Michor (2009/12/28). Natural Operators in Differential Geometry. Springer. ISBN 978-3642081491
Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.
本節ではベクトルバンドルの共変外微分を定義する。 そのために主バンドル上の共変外微分がタイプρのテンソル形式をタイプρのテンソル形式に写す事を見る:
定理 ― Vをベクトル空間とし、 ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)} を構造群Gの(なめらかな)線形表現とする。このとき任意のkに対し以下が成立する:
d ω ( A ρ k ( P ; V ) ) ⊂ A ρ k + 1 ( P ; V ) {\displaystyle d_{\omega }({\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V))\subset {\mathcal {A}}_{\rho }^{k+1}(P;V)}
E := P × ρ V {\displaystyle E:=P\times _{\rho }V} とすると前に述べたように
A ρ k ( P ; V ) ≈ A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)\approx {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}
本節では、ファイバーバンドルの接続、中でも特に主バンドルの接続を定義する動機を説明する。
リーマン多様体の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続、あるいはより一般に任意の多様体のベクトルバンドルの接続はベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} 上の微分演算子∇によって定義されている。
M上のベクトル場Xに対し行列 ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を
( ∇ X e 1 , ... , ∇ X e m ) = ( e 1 , ... , e m ) ω ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)}
により定義し、Xに ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を対応させる行列値の1-形式 ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を局所的な基底 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する接続∇の接続形式(英: connection form)という。
さらにGと両立するにKoszul接続∇に対応する主接続の接続形式をωとすると、任意の開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} とU上で定義された F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の任意の局所的な切断 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} に対し、
ω ^ e = e ∗ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )}
が成立する。ここで ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} は e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} を局所的な基底とみなしたときのeに関する∇の接続形式であり、 e ∗ ( ω ) {\displaystyle e^{*}(\omega )} はeをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しである。
上の定理で、 F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上の主接続に対応するのは、この接続がEに誘導するが定義する共変微分∇である。接続の誘導の定義から共変微分がKoszul接続に一致する条件を満たすのを容易に確認できる。
逆にGと両立する接続が与えられたとき、 e ∈ F G ( E ) {\displaystyle e\in F_{G}(E)} に対し、