表現論
円の群 S と整数 Z やより一般的にトーラス T と Z の間の双対関係は、解析的にはフーリエ級数の理論としてよく知られている。フーリエ変換は、実ベクトル空間上の指標の空間が双対ベクトル空間(dual vector space)であるという事実を表している。このようにして、ユニタリ表現と調和解析は密接に関連し合っていて、抽象調和解析はこの関係を利用して、局所コンパクト位相群と関連する空間の函数の解析を発展させた。
主要な目的は、フーリエ変換やプランシュレルの定理の一般的な形を提供することである。このことは、ユニタリ双対(unitary dual)上の測度と、G 上の二乗可積分函数の空間 L(G) の正規表現とユニタリ双対上のL函数空間の間の同型を構成することで達成される。ポントリャーギン双対とピーター・ワイルの定理(英語版)は、可換群とコンパクトな群でそれぞれ達成された。
表現論(ひょうげんろん、英: representation theory)とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている。
表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する。
表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。