行列式
正方行列の跡 (trace) とは、対角成分の総和である。それは固有値の総和に一致する。そのため、固有値の積である行列式とは指数関数 (exponential) を介してつながっている。 行列に対する指数関数は
exp  ( A ) = ∑ k = 0 ∞ A k k ! {\displaystyle \exp(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}}
と書けるが、A の固有値 λi とそれに属する固有ベクトル xi に対して、
x i exp  ( A ) = x i ∑ k = 0 ∞ A k k ! = x i ∑ k = 0 ∞ λ i k k ! = x i exp  ( λ i ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}_{i}\exp(A)&={\boldsymbol {x}}_{i}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}\\&={\boldsymbol {x}}_{i}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda _{i}^{k}}{k!}}\\&={\boldsymbol {x}}_{i}\exp(\lambda _{i})\end{aligned}}}
となることより、exp(A) は固有値 exp(λi) とその固有ベクトル xi を持つことが分かる。よって、関係式
det exp  ( A ) = exp  tr  ( A ) {\displaystyle \det \exp(A)=\exp \operatorname {tr} (A)}
が成り立つ。
行列式の2つの行(または列)が行列式の一致する行列式なら、その行列式の値は0になる。
2次対称群 S 2 {\textstyle {\mathfrak {S}}_{2}} は恒等置換 id (id(1) = 1, id(2) = 2) と互換 σ = (1, 2)(σ(1) = 2, σ(2) = 1)の 2 つの置換からなるので
| a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 21 a 12 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}
| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}} となる(第 1 項が id, 第 2 項が (1, 2) に対応する項である)。