ヘンストック＝クルツヴァイル積分
ヘンストックによる定義は以下のようなものである。
有界閉区間 [a, b] の点付き分割
P : a = u 0 < u 1 < ⋯ < u n = b , ( ∀ i : t i ∈ [ u i − 1 , u i ] ) {\displaystyle P\colon \quad a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\quad (\forall i\ :\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}])}
とゲージと呼ばれる正値函数 δ: [a, b] → (0, ∞) に対して、点付き分割 P が δ-細 (δ-fine) であるとは、さらに
∀ i : t i − δ ( t i ) < u i − 1 ≤ t i ≤ u i < t i + δ ( t i ) {\displaystyle \forall i\ :\ t_{i}{-}\delta (t_{i})<u_{i-1}\leq t_{i}\leq u_{i}<t_{i}{+}\delta (t_{i})}
を満たすことである。点付き分割 P と函数 f : [a, b] → R に対して、リーマン和(リーマンのオリジナルに限らず、この形の和分をこう呼ぶ)