連続写像
連続写像は開集合の逆像が開集合となり、閉集合の逆像が閉集合となる写像であったが、それと対照的に「開集合の像が開集合となる」写像と「閉集合の像が閉集合となる」写像は、それぞれ開写像と閉写像と呼ばれる。つまり、開写像あるいは閉写像が逆写像を持てばそれは連続であり、連続写像が逆を持てばその逆写像は開かつ閉写像である。このことから、位相空間の間の写像について以下は全て同値である。
両連続写像(逆も連続な連続写像)
全単射な連続開写像
全単射な連続閉写像
逆も開である開写像
逆も閉である閉写像
逆が閉である開写像
このような写像は開集合系や近傍系といった位相的構造を双方向に保つため、位相同型写像、あるいは同相写像と呼ばれる。また、同相写像 f: X → Y が存在するとき、X と Y は互いに位相同型である、あるいは同相であるという。