アイゼンシュタイン級数
c = θ 4 ( 0 ; e π i τ ) = θ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle c=\theta _{4}(0;e^{\pi i\tau })=\vartheta _{01}(0;\tau )}
と定義する。ここに θ m {\displaystyle \theta _{m}} and θ n {\displaystyle \vartheta _{n}} はヤコビのテータ函数(Jacobi theta functions)の代わる記法である。すると、
E 4 ( τ ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) {\displaystyle E_{4}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{8}+b^{8}+c^{8})}
E 6 ( τ ) = 1 2 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 {\displaystyle E_{6}(\tau )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}
となる。 E 4 2 = E 8 {\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8}} と a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0} であるので、これは、
E 8 ( τ ) = 1 2 ( a 16 + b 16 + c 16 ) {\displaystyle E_{8}(\tau )={\tfrac {1}{2}}(a^{16}+b^{16}+c^{16})}
を意味する。
本記事は正則アイゼンシュタイン級数について記述している。非正則な場合は実解析的アイゼンシュタイン級数を参照。
アイゼンシュタイン級数(Eisenstein series)は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン(Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる無限級数展開を持つ特別なモジュラ形式である。元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシュタイン級数は、保型形式の理論へ一般化することができる。