ヒルベルト類体
代数的整数論において,数体 K のヒルベルト類体(英: Hilbert class field)E とは,K の最大アーベル不分岐拡大である.その K 上の次数は K の類数に等しく,E の K 上のガロワ群は K の素イデアルに対するフロベニウス元を用いて K のイデアル類群に自然に同型である.
この文脈では,K のヒルベルト類体は(古典的なイデアル論的解釈で)有限素点おいて不分岐であるだけでなく,K の無限素点においても不分岐である.つまり,K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み(複素埋め込みではなく)に拡張する.
もしK の整数環が一意分解整域であるならば,特にK = Q ならば,K 自身がヒルベルト類体である.
K = Q(√−15) とする.判別式は −15 である.体 L = Q(√−3, √5) の判別式は 225 = −15 でありしたがっていたるところ K の不分岐拡大でありアーベルである.Minkowski bound(英語版) を用いて,K の類数が 2 であることを示せる.したがってそのヒルベルト類体は L である.K の単項でないイデアルの1つは (2, (1+√−15)/2) であり,L においてこれは主イデアル ((1+√5)/2) になる.
アルキメデス的素点における分岐をなぜ考慮に入れなければならないかを見るため,Q に 3 の平方根を付け加えて得られる実二次体 K を考える.この体の類数は 1 で判別式は 3 であるが,判別式 9 = 3 の拡大 K(i)/K は K のすべての素イデアルで不分岐であり,K は K のすべての有限素点が不分岐であるような次数が 1 よりも大きい有限アーベル拡大を持つ.これは K のヒルベルト類体が K 自身であることに矛盾しない:K のすべての真の有限アーベル拡大はある座で分岐しなければならず,拡大 K(i)/K においてアルキメデス的座で分岐がある:K の実埋め込みは K(i) の(実ではなく)複素埋め込みに拡張する.
虚数乗法の理論により,虚二次体のヒルベルト類体は(Z 加群としての)整数環の生成元における楕円モジュラー関数の値によって生成される.