ベルンシュタインの定理
⋃ n ∈ N ( g ∘ f ) n ( [ 0 , ∞ ) ∖ g ( ( 0 , ∞ ) ) ) = ⋃ n ∈ N ( g ∘ f ) n ( [ 0 , ∞ ) ∖ ( 0 , ∞ ) ) = ⋃ n ∈ N ( g ∘ f ) n ( { 0 } ) = ⋃ n ∈ N { n } = N {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus g((0,\infty )))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus (0,\infty ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}(\{0\})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\}=\mathbb {N} }
となる。 したがって、 g − 1 ( x ) = x {\displaystyle g^{-1}(x)=x} に注意して、関数 h : [ 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) {\displaystyle h\colon [0,\infty )\to (0,\infty )} を
h ( x ) = { x + 1 if x ∈ N x if x ∉ N {\displaystyle h(x)={\begin{cases}x+1&{\text{if }}x\in \mathbb {N} \\x&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} \end{cases}}}
と定めると、 h {\displaystyle h} は [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} から ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} への全単射になる。
数学ではよくあることだが、この定理は歴史的に込み入った事情を経て成立しており、歴史的経緯を正確に反映した名前を決めるのは難しい。伝統的によく用いられていた「シュレーダー=ベルンシュタイン」は1898年に独立に公刊された2つの証明の著者を反映している。一方、歴史的に最初(1895年)にこの定理の主張を初めて発表したカントールの名前が加えられたり、シュレーダーの証明には誤りが含まれていたためシュレーダーの名前は加えられなかったり、という事情がある。さらに、歴史的にこの定理を初めて証明したデデキントの名前は普通加えられていない。
時系列をまとめると次のようになる。
1887年 リヒャルト・デデキントがこの定理を証明するが発表せず
1895年 ゲオルク・カントールの最初の集合論と超限数の論文に基数の比較可能性の帰結としてこの定理の主張が述べられる
1896年 エルンスト・シュレーダーが証明を発表する