反対称テンソル
単純テンソル T をテンソル積
T = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r {\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}
として書くとき、T の交代成分はその因子ベクトルの交代積(楔積)あるいは外積
v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v r := 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn  ( σ ) v σ 1 ⊗ v σ 2 ⊗ ⋯ ⊗ v σ r {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}}