約数関数
ここで r は n の素因子の個数、pi はその中で i 番目に小さい素因子、ai は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから
σ x ( n ) = ∏ i = 1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1 ( x ≠ 0 ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\frac {{p_{i}}^{(a_{i}+1)x}-1}{{p_{i}}^{x}-1}}\quad (x\neq 0)}
が導かれる。これは
σ x ( n ) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 a i p i j x = ∏ i = 1 r ( 1 + p i x + p i 2 x + ⋯ + p i a i x ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{j=0}^{a_{i}}{p_{i}}^{jx}=\prod \limits _{i=1}^{r}(1+{p_{i}}^{x}+{p_{i}}^{2x}+\cdots +{p_{i}}^{a_{i}x})}
と同値である。x = 0 のときは