多項式函数 (初等数学)
全ての実数 x に対し x + 3x − 16x + 12 = (x − 2)(x + ax + b) となる a, b を求めよ f(x) ≔ x + 3x − 16x + 12, g(x) ≔ (x − 2)(x + ax + b)
とおいて g(x) を展開する: g(x) = x + (a − 2)x + (b − 2a)x − 2b.
二つの多項式函数は三点以上で一致しているから恒等的に等しくなり、ともに同じ次数 3 を持ち、すべての次数の係数がそれぞれ等しい。言葉を変えれば、すべての x において f(x) = g(x) となるための必要十分条件は { 1 = 1 3 = a − 2 − 16 = b − 2 a 12 = − 2 b ⟺ { a = 5 b = − 6 . {\displaystyle {\begin{cases}1=1\\3=a-2\\-16=b-2a\\12=-2b\end{cases}}\iff {\begin{cases}a=5\\b=-6\end{cases}}.}
したがって、f(x) = (x − 2)(x + 5x − 6) を得る。
R または C 上定義された n 次多項式函数が、n より大きな回数 0 になることはないことが示せる。したがって、次数が高々 n の二つの多項式が、n 個より多くの点で一致しているならば、両者が恒等的に一致(次数が等しくかつすべての係数も等しい)していなければならない。これを「多項式の決定」(identification; 同定) あるいは係数比較という。
これは特定の式に対するより良い近似式を見つける方法を与える効果的な性質である。