多様体
多様体の例でもっとも簡単なものは、 m 次元ユークリッド空間 R に座標近傍系として S1 = {(R, id)} をいれたものである。ここで id は恒等写像
id: R → R
id(x) = x
すなわち x ∈ R に対して x をそのまま返す写像である。最初から座標が描かれているのだからそれをそのまま使えばよく、この場合は座標近傍が 1 つしかないので座標変換が不要である。恒等写像はもちろん解析的なので (R,S1) は m 次元解析多様体である。このように R を微分可能多様体として捉えたものをアフィン空間という。
話をさらに簡明にするために m = 1 とする。すなわち数直線 R について考える。上に書いたとおり S1 = {(R, id)} として、 (R,S1) は 1 次元解析多様体となる。
整数 i に対して 開区間 Ui = (i − 1, i + 1) を取る。 x ∈ Ui に対し 写像 φi を
φi(x) = x − i ∈ (−1 , +1)
で定めると φi は Ui の局所座標系になり、 S2 = {(Ui,φi)| i ∈ Z} としたとき、 (R,S2) も 1 次元解析多様体である。例えば Ui ∩ Ui + 1 = (i,i + 1) で座標近傍 (Ui,φi) から座標近傍 (Ui + 1,φi + 1) への座標変換は
φ i + 1 ∘ φ i − 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \varphi _{i+1}\circ \varphi _{i}^{-1}(x)=x-1}
で与えられる。なお S1 と S2 は同値な座標近傍系である。