対称式
このとき特に、P(σ1,..., σn) をxiたちに関する多項式と見なして xnに0を代入したものも 0 になる。 xnに 0 を代入することでσ1,..., σn - 1 は n - 1変数x1, ... , xn - 1についての基本対称式になり、一方 σn は 0になる。したがって P(σ1, .., σn-1, 0) であり、帰納法の仮定によって n - 1 変数の多項式 P(s1, ..., sn - 1, 0) は 0に、つまりP(s1, ..., sn) は snで割りきれるということになる。従ってP = R(s1, .., sn) sn なる多項式 Rが得られるが、R に基本対称式たちを代入すると 0 になる。この操作を続けると任意の自然数 m について P は sn で割りきれるということになるが、そうなっているためには P は 0 でなければならない。