作用素ノルム
すべての実 m × n 行列は、空間 R から空間 R への線形作用素である。記事「ノルム」に記載されているように、それらの空間上ではさまざまなノルムの定め方が存在する。それらの定め方に応じて、作用素ノルムは定義され、したがってすべての実 m × n 行列からなる空間上にノルムが入る。例については行列ノルムの項を参照。
特に R および R のノルムとしてともにユークリッドノルムを採用した場合の作用素ノルムとして、行列 A*⋅A(A* は行列 A の共役転置行列を表す)の最大固有値の平方根を割り当てる(あるいは同じことだが、行列 A の最大特異値を割り当てる)行列ノルムが得られる。
続いて、典型的な無限次元の例として、自乗総和可能数列空間
l 2 = { ( a n ) n ≥ 1 : a n ∈ C , ∑ | a n | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\geq 1}:a_{n}\in \mathbb {C} ,\sum |a_{n}|^{2}<\infty \}}
について考える。この空間は、ユークリッド空間 C の無限次元版とみなすことができる。有界数列 s = (sn) をとれば、s は l の元であり
‖ s ‖ ∞ := sup n | s n | {\displaystyle \|s\|_{\infty }:=\sup _{n}|s_{n}|}
で定められるノルムを持つ。作用素 Ts を成分ごとの掛け算
( a n ) ↦ T s ( s n ⋅ a n ) {\displaystyle (a_{n}){\stackrel {T_{s}}{{}\mapsto {}}}(s_{n}\cdot a_{n})}
で定めたとき、そのような作用素 Ts は、作用素ノルムが
‖ T s ‖ op = ‖ s ‖ ∞ {\displaystyle \|T_{s}\|_{\text{op}}=\|s\|_{\infty }}
で与えられるような有界作用素である。この議論は空間 l をより一般の L-空間 (p > 1) に、空間 l を空間 L にそれぞれ置き換えたものに直接的に拡張できる。