双一次変換
ただし以下の周波数歪みの項で述べるようにもとの周波数とはすこし異なる周波数へ写像される。この歪みは低周波域ではほとんど目立たないが、ナイキスト周波数に近づくほど顕著になる。
単位インパルスによってサンプリングされた離散時間信号にラプラス変換を行うと結果は正確にZ変換として表されるが、双一次変換は以下の式に示すようにz平面からs平面への正確な写像を行う自然対数関数の一次近似である。
z = e s T = e s T / 2 e − s T / 2 ≈ 1 + s T / 2 1 − s T / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}
(ただし T {\displaystyle T\ } は離散時間フィルタのサンプル時間でサンプリング周波数の逆数)により近似できる。上の式を s {\displaystyle s\ } について解くか、 s = ( 1 / T ) ln  ( z ) {\displaystyle s=(1/T)\ln(z)\ \ } を同様に近似すると、この変換の逆写像とその双一次近似は