複雑ネットワーク
現実世界のネットワークが持つ第3の性質は「クラスター性」である。身の回りの知人関係のネットワークを見てみよう。「自分と知人Aさんがいるときに、自分もAさんもどちらも知っている共通の知人Bさんのような人が1人もいない」という状況は、出会い系サイトでも利用しない限りまずありえない。すなわち、現実世界のネットワークには、自分、Aさん、Bさんから構成される三角形のネットワークがたくさん含まれている。このような性質を、ワッツとストロガッツは「クラスター性」と名づけた。
数学的には、クラスター性はグラフの「クラスター係数」 C が十分大きな値を取ることで表現される。グラフにおいて任意の頂点 vi と vj、同じく vi と vk が共に辺で繋がっているような組み合わせの数を N3、vi、vj、vk が三角形で繋がっているような組み合わせの数を NΔ とする。このグラフのクラスター係数は C = 3NΔ / N3と定義される。クラスター係数は現実世界の各種のネットワークにおいて計測されており、それらの値は0.1から0.7程度と報告されている。
クラスター性を持つグラフを数学モデルで表現することができるだろうか。まずランダムグラフでは、全ての辺はランダムに生成されるのであるから、都合よく三角形が形成される確率はきわめて低い。辺の生成確率 p の値にもよるが、p が小さければクラスター係数はほぼ0となるのでクラスター性を満たさない。一方、2次元の三角格子では、図でわかる通り三角形が多数含まれている。2次元の三角格子のクラスター係数は 6 / 6C2 = 0.4 となる。格子のクラスター係数は十分に大きく、この点では現実世界のネットワークに近いといえる。