線型代数群
体 k 上の連結線型代数群 G が持つ性質は抽象群 G(k) によってどの程度決定されるのかを問うことができる。この方面における有益な結果として、もし体 k が完全(例えば標数 0 )、あるいは G が簡約(後述)ならば、G は k 上単有理的 unirational であるというものがある。加えて k が無限体ならば群 G(k) は G においてザリスキー稠密(英語版) Zariski dense である。例えば、上述の仮定の下で、G が可換・べき零・可解である必要十分条件は G(k) が対応する性質を持つことである。
連結性の仮定をこれらの結果から除くことはできない。例えば G を有理数 Q 上の 1 の立方根の成す群 μ3 ⊂ GL1 とする。すると G は G(Q) = 1 なる Q 上の線型代数群で G においてザリスキー稠密でない。なぜなら G ( Q ̄ ) {\displaystyle G({\bar {\mathbf {Q} }})} は位数 3 の群であるから。
代数的閉体上では、代数群に関して代数多様体としてより強い結果がある:代数的閉体上のすべての連結線型代数群は有理多様体である。
例えば、k が代数的閉体のときは、G ⊂ GLm から H ⊂ GLn への準同型は抽象群に関する準同型 G(k) → H(k) であって、G 上の正則関数で定義されるものである。これにより k 上の線型代数群は圏をなす。特に、これにより線型代数群の同型とは何を意味するのかが定まる。
スキームの言葉を用いると、体 k 上の線型代数群 G は特に k 上の群スキーム(英語版) group scheme である。つまり、k 上のスキームであって k 有理点 1 ∈ G(k) と k 上の射
m : G × k G → G , i : G → G {\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}
を持ち、群の積と逆に関する通常の(結合律・単位元・逆元に関する)公理を満たす。さらに線型代数群は滑らかで k 上有限型であり、アフィン・スキームである。逆に、どんな体 k 上の有限型アフィン群スキームもある自然数 n に関して k 上 GLn への忠実表現を持つ。例としては上述の加法群 Ga の GL2 への埋め込みがある。その結果、線型代数群を行列群、あるいはより抽象的に体上の滑らかなアフィン群スキームと思うことができる。(「線型代数群」という用語を体上の有限型アフィン群スキームの意味で使う著者もいる。)
線型代数群を十分に理解するためには、より一般の(滑らかでない)群スキームを考える必要がある。例えば、k を標数 p > 0 の代数的閉体とする。
実数体 R 上の線型代数群 G に対して、その実点全体の群 G(R) はリー群である(これは本質的には G 上の乗法を記述する実係数多項式が滑らかな函数であることによる)。同様に複素数体 C 上の線型代数群 G に対して G(C) は複素リー群(英語版)となる。線型代数群の理論の多くは、リー群の理論の類似対応物として展開された。
リー群が必ずしも R 上の線型代数群の構造を持つわけでないことの理由はいくつかある:
成分の群 G/G(G は単位成分)が無限群となるリー群 G は線型代数群として実現できない。
R 上の代数群 G は、線型代数群として連結であるにもかかわらず付随するリー群 G(R) が連結でないということが起こり得る。連結の代わりに単連結群としても同様で、例えば代数群 SL(2) は任意の体上で単連結だが、対応するリー群 SL(2,R) は整数の加法群 Z に同型な基本群を持つ。SL(2,R) の二重被覆(これをメタプレクティック群(英語版)という)は R 上の線型代数群と見なすことができないリー群である(より強く、H は忠実な有限次元表現を持たないことが言える)。
Anatoly Maltsev(英語版) は任意の単連結冪零リー群が一意的な仕方で R 上の冪単代数群 G と見なせることを示した(代数多様体の場合と同じく、G は R 上適当な次元のアフィン空間に同型である)。これと対照的に、単連結可解リー群で実代数群と見為せないものが存在する。例えば、半直積群 S ⋉ R の普遍被覆 H は、その中心が Z に同型でこれは線型代数群ではないから、したがって H も R 上の線型代数群と見ることはできない。