ガウス曲率
ガウス・ボンネの定理は、曲面の全曲率をオイラー標数へと結びつけ、局所的幾何学的性質と大域的なトポロジカルな性質とを重要な関係をもたらす。
直交なパラメータ化 (つまり、F = 0) に対し、ガウス曲率は、
K = − 1 2 E G ( ∂ ∂ u G u E G + ∂ ∂ v E v E G ) {\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right)}
である。
函数 z = F(x, y) のグラフとして表せる曲面に対し、ガウス曲率は、
K = F x x ⋅ F y y − F x y 2 ( 1 + F x 2 + F y 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{2}}}}
である。
曲面 F(x,y,z) = 0 のガウス曲率は、