対関数
ここで z を次のように定義する。
z = ⟨ x , y ⟩ = ( x + y ) ( x + y + 1 ) 2 + y {\displaystyle z=\langle x,y\rangle ={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+y}
このときの x と y を求めたい。そのために中間的な値を定義する。
w = x + y {\displaystyle w=x+y\!}
t = w ( w + 1 ) 2 = w 2 + w 2 {\displaystyle t={\frac {w(w+1)}{2}}={\frac {w^{2}+w}{2}}}
z = t + y {\displaystyle z=t+y\!}
ここで t は w の三角数である。そこで次の二次方程式を解く。
w 2 + w − 2 t = 0 {\displaystyle w^{2}+w-2t=0\!}
w を t の関数で表すと、次のようになる。
w = 8 t + 1 − 1 2 {\displaystyle w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}}
t が非負実数であれば、これは単調増加する連続関数である。ここで
t ≤ z = t + y < t + ( w + 1 ) = ( w + 1 ) 2 + ( w + 1 ) 2 {\displaystyle t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}}
が成り立つので、次が得られる。