多重ガンマ関数
通常のガンマ関数におけるスターリングの公式の類似として、多重ガンマ関数にも漸近表示が存在する:
log  Γ r ( w + a , ω ) = ∑ n = 0 r ( − 1 ) n r S 1 ( r − n + 1 ) ( a ; ω ) ( − w ) r − n ( r − n ) ! ( H r − n − log  w ) − ( − 1 ) r r S 2 ( a ; ω ) 2 w + O ( w − 2 ) . {\displaystyle \log \Gamma _{r}(w+a,{\boldsymbol {\omega }})=\sum _{n=0}^{r}{\frac {(-1)^{n}{}_{r}S_{1}^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol {\omega }})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}}(H_{r-n}-\log w)-{\frac {(-1)^{r}{}_{r}S_{2}(a;{\boldsymbol {\omega }})}{2w}}+O(w^{-2}).}
この表示は Katayama & Ohtsuki (1998) において示された。