曲面の不正則数
正標数の体の上では、(ピカール多様体、もしくはアルバネーゼ多様体の次元として定義された)q と、ホッジ数 h と h との関係はより複雑となり、これらのどの 2つをとっても異なることがある。
曲面 F から F のアルバネーゼ多様体 A への標準的写像が存在し、(次元 q の)アルバネーゼ多様体の余接空間からH(F) への準同型を引き起こす。Igusa (1955) はこの準同型が単射であることを示し、従って q ≤ h であることを示したが、暫く後で、標数 2 の場合は h = h = 2 でありピカール多様体の次元は 1 であり、従って q は両方のホッジ数に満たないことを発見した(Igusa 1955b)。正の標数でない場合は、ホッジ数が常に有界である。 Serre (1956) では、h が正のときは、h がゼロとなりうることが示され、一方 Mumford (1961) では標数 2 のエンリケス曲面は h のときは h がゼロとなりうることが示された。
Grothendieck (1961, p.