随伴関手
随伴関手の定義はさまざまな方法がある。これらの同値性は基本的な事実であるが自明ではないため非常に有用である。この記事ではいくつかの定義を与える。
普遍射を用いた定義は書くのが簡単で、随伴関手を構成したり、随伴であることを証明する場合に必要な検証項目が少ない。最適化に対する直観にもっとも近い方法である。
余単位-単位随伴を用いた定義は随伴関手であることが分かっている関手に関係する証明を書くのに便利である、なぜなら、直接操作できる公式を持つからである。
hom集合を用いた定義はもっとも対称性がわかりやすい、これが随伴という単語を使う理由である。
随伴関手は数学の全ての分野に現れる。これらの定義が持つ構造を他の定義が持つ構造に持ち上げるためには長いが明らかな証明が必要であり、このことが随伴を完全に有用なものにしている。随伴の各定義を行き交うことは、各分野で繰り返し行われてきた退屈な部分を暗黙に使っていることになる。例えばcounitが終対象であり自然であることから全ての右随伴関手が極限を保存することを証明できる。
なぜなら、YからGWの台集合への写像は η Y : Y → G F Y {\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY} を通して、FYからWへの一意的な群の準同型経由で分解されるからである。これも(F, G)が随伴の対であることを意味する。
hom集合随伴。自由群FYから群Xへの群準同型は正確に集合Yから集合GXへの写像に対応する。すなわち、FYからXへの射は生成元への作用により完全に決定される。この対応が自然同型であることも直接確認できる。よって(F,G)に対応するhom集合の随伴が得られた。
余単位-単位随伴。εとηが自然であることは直接確かめられる。そして、余単位-単位随伴 ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G} であることは以下のようにして示す。
1つ目の余単位-単位恒等式 1 F = ε F ∘ F η {\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta } というのは各集合Yに対して、合成
F Y → F ( η Y ) F G F Y → ε F Y F Y {\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}
が恒等射であるということである。途中の群FGFYは自由群FYの語たちから生成される自由群である。(以降、括弧でくくられた語は独立した生成元を表すことにする)。
関手 F : C ← D {\displaystyle F\colon C\leftarrow D} と G : C → D {\displaystyle G\colon C\to D} およびcounit-unit随伴 ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta )\colon F\dashv G} が与えられたとして、hom集合の随伴
Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi \colon \mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}
を以下の手順で構成する。
射 f : F Y → X {\displaystyle f\colon FY\to X} と g : Y → G X {\displaystyle g\colon Y\to GX} に対して、
Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y Ψ Y , X ( g ) = ε X ∘ F ( g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}
と定めると、ηとεが自然であるため、ΦとΨも自然である。
Fが関手であることと、εが自然であることcounit-unit恒等式 1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) {\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})} を順番に使って、