跡 (線型代数学)
V が有限次元のとき、基底 {ei} とその双対基底 {e} を取れば、ei ⊗ e は線型写像のこの基底に関する表現行列の (i, j)-成分であり、任意の行列 A は
A = ∑ i , j a i , j e i ⊗ e j {\displaystyle A=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{i,j}\,e_{i}\otimes e^{j}}
と書ける。したがってこの跡
tr  ( A ) = ∑ i , j a i j tr  ( e i ⊗ e j ) = ∑ i , j a i j δ i j = ∑ i = 1 n a i i {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{ij}\operatorname {tr} (e_{i}\otimes e^{j})=\sum \limits _{i,j}a_{ij}\delta _{ij}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{ii}}
は対角線に沿った成分の和である(ここで、δ はクロネッカーのデルタ)。
転置不変性: トレースは転置に関して不変である、即ち tr(X) = tr(X).
相似不変性: トレースは相似に関して不変である、即ち P が正則ならば、tr(PXP) = tr(X).
巡回不変性: 2個以上の行列の積のトレースは巡回的に順番を変えても不変である、即ちσ が巡回置換ならば tr  ( ∏ k X σ ( k ) ) = tr  ( ∏ k X k ) {\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{\sigma (k)}\right)=\operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{k}\right)} . σ を任意の置換とすると一般には成り立たないが、対称行列のときには tr(X1X2X3) = tr(X1X3X2) が成り立つ。