ケーキ数
n! が階乗を表すとすると、二項係数は
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! , {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}},}
と表される。立方体を分割するためにn枚の平面が使えると仮定すると、ケーキ数は次のようになる。
C n = ( n 3 ) + ( n 2 ) + ( n 1 ) + ( n 0 ) = 1 6 ( n 3 + 5 n + 6 ) . {\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\frac {1}{6}}(n^{3}+5n+6).}