完備束
完備束 L {\displaystyle L} とその部分集合 M {\displaystyle M} について、 M {\displaystyle M} の任意の部分集合の L {\displaystyle L} での下限及び上限が全て M {\displaystyle M} に属するとき、 M {\displaystyle M} を L {\displaystyle L} の完備部分束(英: complete sublattice)という。
上の条件を「任意の空でない部分集合」に取り替えたものは閉部分束(英: closed sublattice)と言われる。
(二点以上の元を含む)集合 X {\displaystyle X} に対し、その冪集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} は包含関係を順序として、 X {\displaystyle X} を生成系とする自由完備半束となる(但し、写像 i : X → P ( X ) {\displaystyle i\colon X\to {\mathfrak {P}}(X)} は各元をその元のみからなる一点集合に写す写像)。
普遍性は次のように言える。
完備半束 L {\displaystyle L} 及び写像 j : X → L {\displaystyle j\colon X\to L} が与えられたとき、
j ∗ ( A ) := ⋁ { j ( a ) : a ∈ A } {\displaystyle j^{*}(A):=\bigvee \{j(a)\colon a\in A\}}
とすれば j ∗ : P ( X ) → L {\displaystyle j^{*}\colon {\mathfrak {P}}(X)\to L} は j = j ∗ ∘ i {\displaystyle j=j^{*}\circ i} を満たす完備半束準同型となる。