混線内接円
三つの混線内接円の根心 J {\displaystyle J} は、 O I {\displaystyle OI} を
に内分する。ここで I {\displaystyle I} は内心、 r {\displaystyle r} は内半径、 O {\displaystyle O} は外心、 R {\displaystyle R} は外半径である。
この点は、三角形の重心とジェルゴンヌ点を通る直線上にある。
A {\displaystyle A} 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。
角の二等分線を交わらせることで内心 I {\displaystyle I} を描く。
I {\displaystyle I} を通り直線 A I {\displaystyle AI} に垂直な直線を描き、直線 A B {\displaystyle AB} と A C {\displaystyle AC} との交点をそれぞれ点 D {\displaystyle D} と E {\displaystyle E} とする。これらは混線内接円が接する点になる。
点 D {\displaystyle D} と E {\displaystyle E} からそれぞれ A B {\displaystyle AB} と A C {\displaystyle AC} の垂線を描き、その交点を O A {\displaystyle O_{A}} とする。 O A {\displaystyle O_{A}} を中心とし O A E {\displaystyle O_{A}E} を半径とする円が混線内接円である。
この作図は次の事実により保証されている。