テンソル積
テンソル積空間 V ⊗ W の元はしばしばテンソルと呼ばれる(ただし、テンソルという用語はこれと関連のあるさまざまな概念に対しても用いられる)。v ∈ V と w ∈ W に対し、(v, w) の属する同値類を v ⊗ w と書いて v と w のテンソル積と呼ぶ。物理学や工学では、記号 "⊗" を二項積(直積)に対して用いるが、得られる二項積 v ⊗ w は同値類としての v ⊗ w を表現する標準的な方法の一つである。V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、基本テンソルあるいは単純テンソル(英語版)と呼ばれる。一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、それらの有限線型結合も含まれる。例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、テンソルの階数という(テンソルの次数と混同してはならない)。線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。
数学におけるテンソル積(テンソルせき、英: tensor product)は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由(英語版)な双線型乗法である。
原型はハスラー・ホイットニーによる1938年の論文"Tensor products of Abelian groups."が初出である。
共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ⊗K W(基礎の体 K が明らかな時には V ⊗ W とも書く)はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
双線型写像 φ: V × W → V ⊗ W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、h = ~h ∘ φ を満足する線型写像 ~h: V ⊗ W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより(一意的に定義される)テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏(英語版)の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ′: V × W → V ⊗′ W に対し、同型写像 k: V ⊗ W → V ⊗′ W が存在して φ′ = k ∘ φ を満足することを言う。
この特徴付けを用いるとテンソル積に関する主張を簡明に示すことができる。例えば、テンソル積が対称であること、すなわち自然同型
V ⊗ W ≅ W ⊗ V {\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V}
非負整数 n に対し、ベクトル空間 V の n-次テンソル冪とは V 自身の n-重テンソル積
V ⊗ n = def V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ n factors {\displaystyle V^{\otimes n}{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ factors}}}}
を言う。n-次テンソル冪を斉 n-次成分に持つ次数付き線型空間 T(V) = ⨁n V はテンソル積を乗法としてテンソル代数と呼ばれる次数付き代数を成す。