自由積
G = ⟨ S G ∣ R G ⟩ {\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }
を G の表示とし(ただし SG は生成系で RG は関係式の集合)、
H = ⟨ S H ∣ R H ⟩ {\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }
を H の表示とする。このとき
G ∗ H = ⟨ S G ∪ S H ∣ R G ∪ R H ⟩ {\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle }
となる。つまり、G ∗ H は G の生成元と H の生成元によって生成され、G の関係式と H の関係式を持つ(ここで表記の衝突は無くこれらは非交和であることを仮定している)。
例えば、G が位数 4 の巡回群