畳み込み級数
確率論において、ポアソン過程(英語版)はもっとも単純な場合には「発生」がランダムな時間で引き起こされるような確率過程で、次の発生までの待ち時間が無記憶(英語版)指数分布に従い、任意の時間間隔における発生回数は(期待値が時間間隔の長さに比例するという)ポアソン分布にしたがう。さて、Xt を時刻 t までの発生回数とし、Tx を x-番目の発生までの待ち時間として、確率変数 Tx の確率密度関数を求めよう。ポアソン分布の確率質量関数を用いれば
Pr ( X t = x ) = ( λ t ) x e − λ t x ! {\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}}}
がわかる。ここで λ は任意の時間間隔 1 での発生回数の平均値である。 [Xt ≥ x] なる事象は [Tx ≤ t] なる事象と同じことであり、したがって同一の確率を持つ。したがって、求める密度関数は
f ( t ) = d d t Pr ( T x ≤ t ) = d d t Pr ( X t ≥ x ) = d d t ( 1 − Pr ( X t ≤ x − 1 ) ) = d d t ( 1 − ∑ u = 0 x − 1 Pr ( X t = u ) ) = d d t ( 1 − ∑ u = 0 x − 1 ( λ t ) u e − λ t u !
数学において、畳み込み級数(たたみこみきゅうすう、英: telescoping series; 望遠鏡級数)は、各項からその近くの後続または先行する項と打ち消しあう部分をとりだして、次々に項が消えていくことで和が求まるような級数である。。こうやって項を打ち消しあって和を求める方法は差分法 (method of differences) や和分法としても知られる。
たとえば、級数
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
は、以下のように簡単になる:
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ = 1.