リー代数
リー代数は、ある体 F {\displaystyle \,\mathbb {F} } 上のベクトル空間 g {\displaystyle \,{\mathfrak {g}}} であって、リーブラケット (Lie bracket)、あるいは括弧積と呼ばれる、次の公理を満たす二項演算 [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} が与えられている場合を言う。
任意のベクトル空間 V にリーブラケットを恒等的に 0 として定めたものはリー代数となる。そのようなリー代数は可換と呼ばれる(以下を参照)。体上の任意の 1 次元リー代数は、リーブラケットの反対称性により、可換である。
全ての n × n 歪エルミート行列からなる実ベクトル空間は、交換子の下に閉じているので、実リー代数をなし、 u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} で表される。これはユニタリ群 U(n) のリー代数である。
必ずしも [ [ x , y ] , z ] {\displaystyle [[x,y],z]} と [ x , [ y , z ] ] {\displaystyle [x,[y,z]]} とが等しいとは限らないので、一般にはリーブラケットは結合法則を満たさない。しかし、結合的な環や結合多元環の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。リーブラケットで閉じている部分空間 h ⊆ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}} をリー部分代数 (Lie subalgebra) と呼ぶ。部分空間 I ⊆ g {\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}} がより強い条件
[ g , I ] ⊆ I {\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}
を満たすとき、I をリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のイデアルと言う。(同じ係数体の上の)リー代数の間の準同型とは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x, y に対し、交換関係が
f : g → g ′ , f ( [ x , y ] ) = [ f ( x ) , f ( y ) ] {\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad f([x,y])=[f(x),f(y)]}