波束
時刻 t = 0 で自由粒子の状態が φk(x, 0) = e であった場合、その後の時間変化は時間依存シュレーディンガー方程式を解くことで φk(x, t) = e と求まる。ただし
ω k ≡ E k ħ = ħ k 2 2 m {\displaystyle \omega _{k}\equiv {\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}
である。このように量子論では一般的に分散がある。この時間変化する平面波を係数 α(k) = √a/π exp[−a(k′ − k)/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束の時間変化が求まる。
ψ ( x , t ) = 1 a 2 π 4 1 1 + i ( ħ t / m a 2 ) exp  [ − x 2 + 2 i a 2 k x − i ( a 2 ħ k 2 / m ) t 2 a 2 [ 1 + i ( ħ t / m a 2 ) ] ] {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {1+i(\hbar t/ma^{2})}}}\exp \left[{\frac {-x^{2}+2ia^{2}kx-i(a^{2}\hbar k^{2}/m)t}{2a^{2}[1+i(\hbar t/ma^{2})]}}\right]}