広義固有ベクトル
, λ r {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}} は A の相異なる固有値,になれば,各 μi は対応する固有値 λi の代数的重複度であり,A はジョルダン標準形の行列 J に相似である,ただし各 λi は対角線上連続した μi 回現れ,各 λi の上(すなわち優対角(英語版))の各成分は 0 または 1 である;各 λi の最初の出現の上の成分はつねに 0 である.すべての他の成分は 0 である.行列 J は A の対角化にできるだけ近い.A が対角化可能ならば,対角線の上のすべての成分は 0 である.教科書によっては優対角成分ではなく 劣対角成分(英語版), すなわち主対角線の直下に 1 たちがあることに注意.固有値はなお主対角線にある.
すべての n × n 行列 A は相似変換 J = MAM によって得られるジョルダン標準形の行列 J に相似である,ただし M は A の広義モード行列である。
x 1 = k 1 e a 11 t {\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}
x 2 = k 2 e a 22 t {\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}} ⋮ {\displaystyle \vdots }
x n = k n e a n n t {\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}}
一般の場合には,A を対角化し系 (5) を (6) のような系に以下のように簡約しようとする.A が対角化可能ならば,M を A のモード行列として,D = MAM である.A = MDM を代入して,方程式 (5) は次の形となる: M − 1 x ′ = D ( M − 1 x ) , {\displaystyle M^{-1}{\boldsymbol {x}}'=D(M^{-1}{\boldsymbol {x}}),} あるいは
ただし
(7) の解は
y 1 = k 1 e λ 1 t {\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}
y 2 = k 2 e λ 2 t {\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}} ⋮ {\displaystyle \vdots }
y n = k n e λ n t {\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}
(5) の解 x はすると関係式 (8) を用いて得られる
したがって,条件 (3) と (4) を満たすためには,x34 = 0 かつ x33 ≠ 0 でなければならない.x31 と x32 には何の制約もない.x31 = x32 = x34 = 0, x33 = 1 と選ぶことで,λ1 = 5 に対応する階数 3 の広義固有ベクトルとして
x 3 = [ 0 0 1 0 ] {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}
を得る.x31, x32, x33 で x33 ≠ 0 なる異なる値を選ぶことによって階数 3 の他の広義固有ベクトルを無限個得ることができることに注意.しかしながら,我々の最初の選択が最も単純である.
さて方程式 (1) を用いて,x2 と x1 をそれぞれ階数 2 と 1 の広義固有ベクトルとして得る,ただし
x 2 = ( A − 5 I ) x 3 = [ − 2 2 0 0 ] {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}=(A-5I){\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}-2\\2\\0\\0\end{bmatrix}}}
および
x 1 = ( A − 5 I ) x 2 = [ 2 0 0 0 ] {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}=(A-5I){\boldsymbol {x}}_{2}={\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
である.
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{3}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,\\\rho _{2}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,\\\rho _{1}&=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.\end{aligned}}}
したがって,3つの線型独立な広義固有ベクトルが存在する;階数 3, 2, 1 に1つずつである.λ1 は3つの線型独立な広義固有ベクトルのただ1つの鎖に対応するので,λ1 に対応する階数 3 の広義固有ベクトルであって
なるものが存在することを知っている.方程式 (3) と (4) は x3 について解くことができる線型方程式系を表す.
x 3 = [ x 31 x 32 x 33 x 34 ] {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{3}={\begin{bmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{bmatrix}}}
とする.すると
これは, x 2 = [ x 21 x 22 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}_{2}={\begin{bmatrix}x_{21}\\x_{22}\end{bmatrix}}} とおき, ( λ I − A ) x 2 = − x 1 {\textstyle (\lambda I-A){\boldsymbol {x}}_{2}=-{\boldsymbol {x}}_{1}} を解くことによって求めることができる.具体的には,
( 1 [ 1 0 0 1 ] − [ 1 1 0 1 ] ) [ x 21 x 22 ] = [ 0 − 1 0 0 ] [ x 21 x 22 ] = − [ 1 0 ] {\displaystyle \left(1{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}x_{21}\\x_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{21}\\x_{22}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
を解くと,x21 は任意であり,x22 = 1 となる.すると階数 2 の一般固有ベクトルは x 2 = [ a 1 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}_{2}={\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}}} である,ただし a は任意のスカラー値である.
a = 0 とするのが最も単純である.
x1 と x2 は線型独立であり,ベクトル空間 V の基底をなす.
行列 A は,対角化可能ではないことに注意されたい.この行列は1つの 優対角(英語版)成分があるから,階数が 1 よりも大きい一般化固有ベクトルが1つある(あるいは,ベクトル空間 V の次元は 2 だから階数が 1 よりも大きい広義固有ベクトルは高々1つであることも分かる).あるいは,(λI − A) の零空間の次元が p = 1 であることを計算でき,したがって階数が 1 よりも大きい広義固有ベクトルは m − p = 1 個ある.
さて,求めた(通常の)固有ベクトルと(一般)固有ベクトルを並べた行列
M = [ x 1 x 2 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {x}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
に対して,
J = M − 1 A M = [ 1 1 0 1 ] {\displaystyle J=M^{-1}AM={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}
となり,A は対角化はできていないが,J には A の固有値が対角成分に現れ,右上に“1” が配置されたジョルダン標準形となっていることがわかる.
⋮ {\displaystyle \vdots }
x 1 = ( A − λ I ) m − 1 x m = ( A − λ I ) x 2 . {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}=(A-\lambda I)^{m-1}{\boldsymbol {x}}_{m}=(A-\lambda I){\boldsymbol {x}}_{2}.}
したがって,一般に,
(2) によって与えられるベクトル xj は固有値 λ に対応する階数 j の広義固有ベクトルである.鎖はベクトルの線型独立な集合である.
A = [ 0 4 2 − 3 8 3 4 − 8 − 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{bmatrix}}}
に相似なジョルダン標準形の行列を見つけよ.
解:A の特性方程式は (λ − 2) = 0 であるので,固有値は λ = 2(代数的重複度 μ = 3)である.前の節の手順に従って,
rank  ( 2 I − A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {rank} (2I-A)=1}
と
rank  ( 2 I − A ) 2 = 0 = n − μ {\displaystyle \operatorname {rank} (2I-A)^{2}=0=n-\mu }
が分かる.