周期写像
次の楕円曲線の族を考える。
y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) {\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
ここに λ は 0 でも 1 でもない複素数とする。曲線の一次コホモロジー群のホッジフィルトレーションは2つのステップ F と F とを持っている。しかし、F は完全コホモロジー群であるので、興味のあるフィルトレーションの項は、唯一、F である。この項は H であり、1-形式の正則調和形式の空間である。
楕円曲線であるので、すべての λ に対し H は微分形式 ω = dx/y で貼られ、( H の次元は)1次元である。曲線のホモロジー群の明示的な表示を見つけるために、曲線はリーマン球面上の次の多値函数のグラフとして表現できることに注意する。
y = x ( x − 1 ) ( x − λ ) {\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}
この函数の分岐点は 0 と 1 と λ と ∞ の4点であり、一つは 0 から 1 への分岐であり、もう一つは λ から ∞ への分岐の2つの分岐を作ると、函数の分岐点を消去されるので、多値函数は2つのシートへ切り分けられる。十分に小さな ε > 0 を固定する。
これらのシートのうちのひとつのシート上で、曲線 γ(t) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t) を追ってみると、十分に小さな ε に対し、この曲線は分岐した片方のシートである [0, 1] に囲まれているので、もう一つの分岐したシート [λ, ∞] と交わることはない。さらに、一つのシート上で 0 ≤ t ≤ 1/2 に対して、δ(t) = 1 + 2(λ − 1)t として定義される曲線 δ(t) を追うと、1/2 ≤ t ≤ 1 に対し、もう一つの別なシートの上で δ(t) = λ + 2(1 − λ)(t − 1/2) として繋がっている。この曲線の各々の半分は、点 1 と点 λ をリーマン面の2つのシート上で繋いでいる。ザイフェルト–ファン・カンペンの定理により、曲線のホモロジー群はランクが 2 の自由群である。曲線は一点 1 + ε で交わるので、曲線は一つの点で 1 + ε で出会い、どちらのホモロジー類も他のホモロジー類の固有な積ではなく、よって、それらは H1 の基底を形成する。従って、この族の周期行列は、
( ∫ γ ω ∫ δ ω ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}}
である。この行列の最初の要素は、A として、第二の用途は B として省略して書く。