ヤコビの公式
det ′ ( A ) ( T ) = det A det ′ ( I ) ( A − 1 T ) = det A t r ( A − 1 T ) {\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}
を得る。
定理(ヤコビの公式) d d t det A = t r ( a d j A d A d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A{\frac {dA}{dt}}\right)}
証明 A が正則な場合、補題2より、T = dA/dt を用いて
d d t det A = det A t r ( A − 1 d A d t ) = t r ( a d j A d A d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}
となる。
A から A への余因子と関連する等式を用いる。正則線形行列は行列空間上で稠密であるから公式はすべての行列に対し成り立つ。