空間群
230種類の空間群は「シンモルフィック空間群」と「ノンシンモルフィック空間群」に分類することができる。並進操作と両立する点群(結晶点群)に並進操作を加えて新しい集合(空間群)を作ることを考える。
まず、単純な並進操作と結晶点群を組み合わせによってできる群をシンモルフィック空間群(または共型空間群)と呼び、73種類ある。また、結晶点群に並進操作を加えることで、回転や鏡映などの対称操作に部分的な並進操作が加わって「らせん操作」や「映進操作(グライド操作)」といった新しい対称操作も生まれる。この新しい対称操作との組み合わせによってできる群をノンシンモルフィック空間群(または非共型空間群)と呼び、157種類ある。
空間群を並進群を法として剰余類分解し、さらにk点群Pkに属する回転操作αを持つ剰余類だけを集めてできたGの部分群Gkをk群(または小群)と呼ぶ。並進群Tは、k群Gkの不変部分群になっている。
k群Gkを法として空間群Gを剰余類に分解すると、
G = ∑ β ( β | u β ) G k {\displaystyle G=\sum _{\beta }(\beta |u_{\beta })G_{k}}
ここでγ≠βならば、γk≇βkである。このβkの集合をkの星と呼ぶ(数学的には軌道と呼ばれる)。
k群Gkの既約表現(小表現と呼ばれる)Dを求める際は、以下の3パターンに分けて考える必要がある。
kがブリルアンゾーンの内部の点である。
kがブリルアンゾーンの境界にあり、空間群Gがシンモルフィックである。
kがブリルアンゾーンの境界にあり、空間群Gがノンシンモルフィックである。
1と2の場合は、k群Gkに属する元(β|b)の回転部分βのみを集めて得られるk点群の表現をΓ(β)とすると、以下のように求まる。
D k ( ( β | b ) ) = exp  ( i k ⋅ b ) Γ ( β ) {\displaystyle D^{k}((\beta |b))=\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {b} )\Gamma (\beta )}
3の場合は、通常の表現(線型表現)ではなく斜線表現(または射影表現(英語版)とも言う)を用いる必要がある。
k群Gkの既約表現が得られれば、その誘導表現(英語版)として空間群の既約表現を得ることができる。