拡大体における双対基底
L を有限体 GF(q)、K をGF(q) とすると、体の拡大 L/K の元のトレースは、
Tr L / K  ( β ) = ∑ σ ∈ Gal  ( L / K ) β σ = ∑ i = 0 m − 1 β q i {\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\!\!\!\beta ^{\sigma }=\sum _{i=0}^{m-1}\beta ^{q^{i}}}
と計算される。
L = K (α) を分離拡大とし、f をαの最小多項式、
f ( X ) X − α = b 0 + b 1 X + ⋯ + b n − 1 X n − 1 {\displaystyle {\frac {f(X)}{X-\alpha }}=b_{0}+b_{1}X+\dotsb +b_{n-1}X^{n-1}}
とする。このとき 1, α, ..., α と双対な基底は
b 0 f ′ ( α ) , ... , b n − 1 f ′ ( α ) {\displaystyle {\frac {b_{0}}{f'(\alpha )}},\dots ,{\frac {b_{n-1}}{f'(\alpha )}}}
である。
双対基底を用いることは、基底の変換公式を用いて陽に基底を変換するよりも、異なる基底を用いる手法を簡単に結びつける方法を提供する。さらに、双対基底をもつならば、元の基底のある元から双対基底への変換は、乗法的単位元(通常は 1)の乗算によって達成される。