帰納的可算集合
次のような整数係数の多項式 p があり、変数 x, a, b, c, d, e, f, g, h, i の値域が自然数全体に及んでいる。 x ∈ S ⇔ ∃ a , b , c , d , e , f , g , h , i ( p ( x , a , b , c , d , e , f , g , h , i ) = 0 ) . {\displaystyle x\in S\Leftrightarrow \exists a,b,c,d,e,f,g,h,i\ (p(x,a,b,c,d,e,f,g,h,i)=0).} 整数群から整数群への多項式があり、集合 S はその値域の非負数だけを正確に含む。
最後の性質は、最初の定義から単純に導かれるものではないが、ヒルベルトの第10問題を否定的に解決する過程でユーリ・マチャセビッチが発見した。ディオファントス集合は再帰理論に先行しているため、歴史的にはこれが帰納的可算集合の最初の定義であった(ただし、これらが同じものを表していると分かったのは帰納的可算集合が登場してから30年以上も後のことである)。上記の式における束縛変数の個数は、これまでのところ最小とされているもので、もっと少ない個数でディオファントス集合を表せる可能性はある。