超球面
n-次元球面 S を定義する (n + 1)-次元空間内の点 (x1, x2, ..., xn+1) 全体の成す集合は、方程式
r 2 = ∑ i = 1 n + 1 ( x i − c i ) 2 {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2}}
によって表される、ただし c = (c1, c2, ..., cn+1) は中心であり r は半径である。
上の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間に存在し、n 次元多様体の例である。半径 r の n 次元球面の体積形式 ω は
ω = 1 r ∑ j = 1 n + 1 ( − 1 ) j − 1 x j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x j − 1 ∧ d x j + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 = ∗ d r {\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*\;dr}
によって与えられる、ただし ∗ はホッジスター作用素である; r = 1 の場合のこの公式の証明と議論は Flanders (1989, §6.1) を見よ。結果として、 d r ∧ ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 . {\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\\phi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\\phi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\&\vdots \\\phi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\\phi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0\\2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0\end{cases}}\,.\end{aligned}}}
S n + 2 = ∫ 0 π / 2 ( S 1 r ) ( S n R n ) d θ = ∫ 0 π / 2 S 1 S n R n cos  θ d θ = ∫ 0 1 S 1 S n R n d R = S 1 ∫ 0 1 S n R n d R = 2 π V n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\pi /2}(S_{1}r)(S_{n}R^{n})\,d\theta =\int _{0}^{\pi /2}S_{1}S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\&=\int _{0}^{1}S_{1}S_{n}R^{n}\,dR=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\&=2\pi V_{n+1}\end{aligned}}}
を得る。ここで S1 = 2πV0 だから、任意の n ≥ 0 に対し等式 Sn+1 = 2πVn が成り立つ。
以上の漸化式をまとめると
V 0 = 1 , V n + 1 = S n / ( n + 1 ) , {\displaystyle V_{0}=1,\,V_{n+1}=S_{n}/(n+1),}
S 0 = 2 , S n + 1 = 2 π V n {\displaystyle S_{0}=2,\,S_{n+1}=2\pi V_{n}}
ということになる。