非線型シグマモデル
対象多様体の曲率と同じオーダーをの 2点連結相関函数(英語版)(connected correlation function)となる距離スケールの周囲に新しい物理を必要としている。このことを理論のUV完備化(英語版)(UV completion)と呼ぶ。非線型シグマモデルには内部対称群 G * を持つ特別なクラスが存在する。G をリー群とし H をリー部分群とすると、商位相空間 G/H は(H は閉部分集合であるというような、あるテクニカルな制限を入れて)多様体であり、かつ、G の等質空間である。言い換えると、G の非線型的な実現(英語版)(nonlinear realization)である。多くの場合、G/H は G−不変なリーマン計量を持つことができる。例えば、G がコンパクト群(compact group)であれば、これは常に成立する。G-不変なリーマン計量と零ポテンシャルを備えた対象多様体として G/H を持つ非線型シグマモデルは、非線型シグマモデルの商空間(あるいは、コセット空間)と呼ばれる。
経路積分(英語版)(path integral)を計算するとき、汎函数測度は g の行列式の平方根によって「重み付けられる」必要がある。
det g D Σ . {\displaystyle {\sqrt {\det g}}\,{\mathcal {D}}\Sigma .}