対数コーシー分布
対数コーシー分布は台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} を持ち、確率密度関数は
f ( x ; μ , σ ) = 1 π σ x 1 1 + ( ln  x − μ σ ) 2 = 1 π x σ ( ln  x − μ ) 2 + σ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{\pi \sigma x}}{\frac {1}{1+\left({\dfrac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{\pi x}}{\frac {\sigma }{(\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}
である。ここで μ {\displaystyle \mu } は実数、 σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} 。 σ {\displaystyle \sigma } が既知のとき、尺度母数(英語版)は e μ {\displaystyle e^{\mu }} である:
f ( x ; μ , σ ) = 1 e μ f ( x / e μ ; 0 , σ ) {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{e^{\mu }}}f(x/e^{\mu };0,\sigma )}