フック長の公式
The ideas of Vershik–Kerov and Logan–Shepp were later refined by Jinho Baik, Percy Deift and Kurt Johansson, who were able to achieve a much more precise analysis of the limiting behavior of the maximal increasing subsequence length, proving an important result now known as the Baik–Deift–Johansson theorem. Their analysis again makes crucial use of the fact that d λ {\displaystyle d_{\lambda }} has a number of good formulas, although instead of the hook length formula it made use of one of the determinantal expressions.
これは1979年に、 C. Greene, A. Nijenhuis と H. S. Wilf によって発見された、確率論的証明法である。証明の概略は、次のとおりである。
e λ = n ! ∏ ( i , j ) ∈ Y ( λ ) h λ ( i , j ) . {\displaystyle e_{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}h_{\lambda }(i,j)}}.}
を定義し、 d λ = e λ {\displaystyle d_{\lambda }=e_{\lambda }} を証明する。
d λ {\displaystyle d_{\lambda }} は以下で与えられる。
d λ = ∑ μ ↑ λ d μ , {\displaystyle d_{\lambda }=\sum _{\mu \uparrow \lambda }d_{\mu },}
ここで、 μ ↑ λ {\displaystyle \mu \uparrow \lambda } は、 μ {\displaystyle \mu } がヤング図形λから一つのコーナーセルを削除することで得られるヤングタブローであることを表している。
そのようなμの全体にわたって和をとる。ここで、慣習として φ {\displaystyle \phi } を空のダイアグラムとして、 d φ = 1 {\displaystyle d_{\phi }=1} を用いる。
上の式に対する説明は、「ヤングタブローの最大項はそのコーナーセルで生じるものである」となる。
そのセルを削除することで、μの形のヤングタブローを得る。
The search for a short, intuitive explanation befitting such a simple result gave rise to many alternate proofs for the hook-length formula. A. P. Hillman and R. M. Grassl gave the first proof that illuminates the role of hooks in 1976 by proving a special case of the Stanley hook-content formula, which is known to imply the hook-length formula. C. Greene, A. Nijenhuis, and H. S. Wilf found a probabilistic proof using the hook walk in which the hook lengths appear naturally in 1979. J. B. Remmel adapted the original Frame–Robinson–Thrall proof into the first bijective proof for the hook-length formula in 1982. A direct bijective proof was first discovered by D.