単拡大
実際、 r = 2 3 + i {\displaystyle r={\sqrt[{3}]{2}}+i} とおき方程式 (r – i) = 2 を展開すると i = (r – 3r – 2)/(3r - 1) ∈ Q(r) がわかるので 2 3 = r − i ∈ Q ( r ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=r-i\in \mathbb {Q} (r)} であり Q ( 2 3 , i ) = Q ( r ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},i)=\mathbb {Q} (r)} が証明された。
実数体は有理数体の単拡大でない。実際、拡大は代数的でなく(例えば実数 π は超越的である)、純超越的でもない(例えば2の平方根は代数的無理数である)が、(cf. 下の節「性質」)単拡大にはこれらの可能性しかない。
標数 p において、単拡大でない有限拡大が存在する。例えば、L が標数 p の体 k に係数をもつ二変数の有理関数体 k(X, Y) で、K が L の部分体 k(X, Y) であれば、L/K は単純でない有限拡大である。実際、拡大の次数は p だが、L のすべての元は K 上高々 p 次である。
複素数体が対 (a, b) によって、積は (a,b) (a',b' ) = (aa'-bb', ab'+ba') によって明示的に与えて、通常表現されるのと同じ方法で、K 上次数 n の元 α によって生成された体 K 上のすべての単拡大は集合 K によって、和は成分ごとに、積は変数の明示的なある式によって定義されたものが与えられて、表現される。
より正確には、
{{{1}}}
この双線型写像と伴う斉次多項式を得るために、1つの単純な方法は前の節で議論された行列表現を使うことにある。良い例は長い話よりも価値がある。黄金比で生成された単拡大の例を見よう。
の形の2つの行列の積は ( a a ′ + b b ′ a b ′ + b ( a ′ + b ′ ) a ′ b + b ′ ( a + b ) b b ′ + ( a + b ) ( a ′ + b ′ ) ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}aa'+bb'&ab'+b(a'+b')\\a'b+b'(a+b)&bb'+(a+b)(a'+b')\end{array}}\right)} である。