一般四元数群
数学において、一般四元数群(いっぱんしげんすうぐん、英: generalized quaternion group)とは、四元数群
Q 8 = { ± 1 , ± i , ± j , ± k } {\displaystyle Q_{8}=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}
を一般化した有限群のこと。これは
Q 4 m = ⟨ a , b ∣ a 2 m = 1 , b 2 = a m , b − 1 a b = a − 1 ⟩ ( m > 1 ) {\displaystyle Q_{4m}=\langle \,a,b\mid a^{2m}=1,\ b^{2}=a^{m},\ b^{-1}ab=a^{-1}\,\rangle \qquad (m>1)}
という表示で定義される、位数 4m で、位数が 2 である部分群( Z ( Q 4 m ) = ⟨ a m ⟩ {\displaystyle Z(Q_{4m})=\langle a^{m}\rangle } )を唯一つ持つ群である。(2群の場合しか考えないこともある。この場合、位数 2 の一般四元数群を Qn と書く流儀もあり、注意が必要である。)群の生成元を
a ↦ [ e π i / m 0 0 e − π i / m ] , b ↦ [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}e^{\pi i/m}&0\\0&e^{-\pi i/m}\end{bmatrix}},\quad b\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。