次元論 (代数学)
有限加群の完全列 0 → M → f M → M 1 → 0 {\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0} 、 f は極大イデアルのある元、 pd R  M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty } によって、
0 = Tor i + 1 R  ( M , k ) → Tor i + 1 R  ( M 1 , k ) → Tor i R  ( M , k ) → f Tor i R  ( M , k ) , i ≥ pd R  M . {\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.}
しかしここで f は k を殺すので 0 である。
中山の補題によって、全射 u : F → M {\displaystyle u:F\to M} であって u ⊗ 1 : F ⊗ k → M ⊗ k {\displaystyle u\otimes 1:F\otimes k\to M\otimes k} が同型であるようなものが存在する。K でその核を表記すれば、
0 → K → F → u M → 0 {\displaystyle 0\to K\to F{\overset {u}{\to }}M\to 0} .
pd R  K = pd R  M − 1 = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1=0} であるので、K は自由である。 dim  R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} であるので、極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は R の素因子である。すなわち、ある s ∈ R に対して m = ann  ( s ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)} である。 K ⊂ m M {\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}M} であるので、 s K = 0 {\displaystyle sK=0} である。K は 0 でないので、このことは s = 0 {\displaystyle s=0} を意味し、矛盾である。証明が完了した。
}+O(n^{d-2})}
の形であることがわかる。つまり、 l ( I n / I n + 1 ) {\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})} は n の次数 d − 1 {\displaystyle d-1} の多項式 P {\displaystyle P} である。P は gr I  R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} のヒルベルト多項式と呼ばれる。
d ( R ) = d {\displaystyle d(R)=d} とおく。また、 δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} を R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアルを生成できる、R の元の最小個数とする。我々の目標は次の基本定理を証明することである。
δ ( R ) = d ( R ) = dim  R {\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R}
s を δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} であるようにとることができるから、既に上記から δ ( R ) ≥ d ( R ) {\displaystyle \delta (R)\geq d(R)} である。次に d ( R ) ≥ dim  R {\displaystyle d(R)\geq \operatorname {dim} R} を d ( R ) {\displaystyle d(R)} についての帰納法で証明する。