ド・モアブルの定理
証明 — 1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。
[i] n = 0 のとき
(左辺) = ( cos  θ + i sin  θ ) 0 = 1 {\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1}
(右辺) = cos  0 + i sin  0 = 1 {\displaystyle =\cos 0+i\sin 0=1}
よって n = 0 のときに本定理は成立する。
[ii] n − 1 のとき、すなわち
( cos  θ + i sin  θ ) n − 1 = cos  ( n − 1 ) θ + i sin  ( n − 1 ) θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta }
が成り立つと仮定すると