ヴェイユ群
非アルキメデス的局所体の K のヴェイユ・ドリーニュ群スキーム(Weil–Deligne group scheme)(あるいは、簡単にヴェイユ・ドリーニュ群(Weil–Deligne group)) W′K は、1 次元加法群スキーム Ga によるヴェイユ群 WK の拡大として、Deligne (1973, 8.3.6) により導入された。この拡大では、ヴェイユ群は、加法群の上で
w x w − 1 = ‖ w ‖ x {\displaystyle \displaystyle wxw^{-1}=\|w\|x}
として作用する。ここに w は a→a として位数 q の剰余体上に作用する。
K 上の GLn の局所ラングランズ対応(英語版)(local Langlands correspondence)は、GLn(K) の許容既約表現の同型類と K のヴェイユ・ドリーニュ群のある n 次元表現の間に自然な全単射が存在することを言っている(現在は証明されている)。
ヴェイユ・ドリーニュ群は、その表現を通して示されることがよくある。その場合は、ヴェイユ・ドリーニュ群は、WK × SL(2,C) や WK × SU(2,R)、あるいは、その代わりに簡単に WK のヴェイユ・ドリーニュ表現(Weil–Deligne representation)として使うことがある。
アルキメデス的な場合は、ヴェイユ・ドリーニュ群はヴェイユ群として簡単に定義される。
数体の場合は、拡大を構成するコサイクルを使うことなしにヴェイユ群を「自然に」構成する方法は知られていない。ヴェイユ群からガロア群への写像は全射で、その核はヴェイユ群の同一視される連結成分であるが、非常に複雑である。