フィボナッチ数
フィボナッチ数列の定義である初期値や漸化式をやや変更して、類似の数列が作れる。
.. である(オンライン整数列大辞典の数列 A005478)。また、これらはフィボナッチ素数と呼ばれる。
フィボナッチ数で三角数であるのは 1, 3, 21, 55(オンライン整数列大辞典の数列 A039595)のみであることは Vern Hoggatt によって予想されていたが、のちに Luo Ming によって証明された。
フィボナッチ数でハーシャッド数であるのは 1, 2, 3, 5, 8, 21, 144, 2584, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A117774)。
フィボナッチ数は完全数にはならない。より一般に、フィボナッチ数は倍積完全数にもならず、2つのフィボナッチ数の商も完全数にはならない。
フィボナッチ数列の逆数和は収束し、記号 ψ で表される。
ψ = ∑ n = 1 ∞ 1 F n = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = 3.35988566 ⋯ {\displaystyle \psi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =3.35988566\cdots }
この ψ が無理数であることは証明されているが (André-Jeannin 1989)、超越数であるかどうかは分かっていない。
任意の正の整数は、1つ以上の連続しない相異なるフィボナッチ数の和として一意に表すことができる(ゼッケンドルフの定理)。