運動量
という演算子であるとみなされる。ここに、 i {\displaystyle \,i} は虚数単位、 ∇ {\displaystyle \,\nabla } はナブラである。
或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、
p μ → ħ i ∂ ∂ x μ {\displaystyle p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}
である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 S {\displaystyle \,S} の汎関数微分が
δ S δ x μ = p μ {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }}
であることなどから類推された。
また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係
[ x μ , p ν ] = i ħ δ ν μ {\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }}
[ x μ , x ν ] = 0 , [ p μ , p ν ] = 0 {\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0}
を満たす物理量として量子化される。
運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。
質点系の全運動量 P は、質点 i = 1, 2, 3,... の運動量 pi = mivi = midri/dt とすれば
P ( t ) = ∑ i p i ( t ) = ∑ i m i d r i d t = d d t ( ∑ i m i r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)=\sum _{i}m_{i}\,{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\right)}
となる。 ここで質点系の全質量 M と質量中心 rg を
M = ∑ i m i , r g ( t ) = 1 M ∑ i m i r i ( t ) {\displaystyle M=\sum _{i}m_{i},~{\boldsymbol {r}}_{g}(t)={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}
により導入すれば
P ( t ) = M d r g d t {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=M{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}
運動量(、英: momentum)とは、初等的には物体の運動の状態を表す物理量で、質量と速度の積として定義される。この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、運動学的運動量(あるいは動的運動量)と呼ばれる。また、角運動量という運動量とは異なる量と対比する上で、線型運動量などと呼ばれることもある。