ユニタリ作用素
実は上記定義における条件を、以下のように一見緩いものに取り換えても、同値な定義が得られる。
ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 U: H → H がユニタリであるとは、U の値域が H において稠密、かつ U がヒルベルト空間 H の内積を保つときにいう。
同値であることを見るには、U が内積を保つことから U が等距(したがって有界線型作用素)となることに注意すればよい。実は U の値域が稠密であることよりそれが有界な逆作用素 U を持つことが保証されるが、それは明らかに U = U を満たす。
またユニタリ作用素の定義において、作用素の線型性は内積の線型性および正定値性から従うので、定義の意味を変えることなく作用素が線型であるという仮定は落とすことができる。実際、