位置空間と運動量空間
位置空間での3次元波動関数 ψ {\displaystyle \psi } (r)を考えると、この関数を直交基底関数 ψ {\displaystyle \psi } j(r)の重みを付けた和として表すことができる。
ψ ( r ) = ∑ j φ j ψ j ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}
連続的な場合では積分として表せる。
ψ ( r ) = ∫ k − s p a c e φ ( k ) ψ k ( r ) d 3 k {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\rm {-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {k} }
直交基底関数 ψ {\displaystyle \psi } k(r)の集まりとして運動量演算子の固有関数に指定したとき、 ψ {\displaystyle \psi } (r)を再構成するのに必要な情報は φ {\displaystyle \phi } (k)が全て持つことになる。それゆえ φ {\displaystyle \phi } (k)は状態 ψ {\displaystyle \psi } の別の表現方法である。
これらの量や考えは古典物理学と量子物理学を含むすべての(微視的)理論に通底するものである。系は構成粒子の位置または運動量を用いて記述でき、どちらの形式でも考えている系について等価な情報を与える。
位置と運動量の他に、波動に対して定義すると有用な量がある。波数ベクトル k(または単に"kベクトル"とも呼ばれる)は長さの逆数の次元を持ち、時間の逆数の次元を持つ角周波数 ω との類似性を持つ。全ての波数ベクトルの集合をk空間という。 通常、位置 r は波数 k よりも直観的にわかりやすく単純であるが、固体物理学などではその逆のことが言える。
量子力学における位置と運動量の双対性について、基礎的な結果として(ハイゼンベルクの)不確定性原理とド・ブロイの関係(英語版)が挙げられる。不確定性原理 ΔxΔp ≥ ħ/2 は、位置と運動量を同時に正確に知ることはできないことを述べている(Δx, Δp はそれぞれ位置と運動量の不確定性を表す。ħ は換算プランク定数である)。ド・ブロイの関係式 p = ħk は、自由粒子の運動量と波数は互いに比例関係にあることを述べている。 ド・ブロイの関係を念頭に置き、文脈に応じて「運動量」と「波数」という言葉を使い分けることがある。しかしド・ブロイの関係は結晶中において成り立たない。