射爆理論
P = 1 2 π σ ∫ − L / 2 L / 2 exp  ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) d x = φ ( μ + L / 2 σ ) − φ ( μ − L / 2 σ ) {\displaystyle P={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-L/2}^{L/2}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx={\boldsymbol {\phi }}\left({\frac {\mu +L/2}{\sigma }}\right)-{\boldsymbol {\phi }}\left({\frac {\mu -L/2}{\sigma }}\right)}
μ:着弾中心
σ :着弾点の分散
}
u = x 1 , v = a 1 x 2 / a 2 , σ u = σ 1 , σ v = σ a 1 / a 2 {\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma _{1},\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}} とすれば、以下のように変換できる。 P = 1 2 π σ u σ v ∫∫ A exp  ( − u 2 2 σ u 2 − v 2 2 σ v 2 ) d u d v = P P ( a 1 σ 1 , a 1 σ 2 a 2 σ 1 ) , A ′ : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{u}\sigma _{v}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma _{1}}},{\frac {a_{1}\sigma _{2}}{a_{2}\sigma _{1}}}),\quad \quad A':{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.}
2次元での楕円型正規分布に従う場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と単発撃破確率P は、以下の式で与えられる。
D ( x 1 , x 2 ) = L 2 π S 1 S 2 exp  ( − x 1 2 2 S 1 2 − x 2 2 2 S 2 2 ) ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\frac {L}{2\pi S_{1}S_{2}}}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2S_{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2S_{2}^{2}}}))}
P = L 2 π ( S 1 2 + σ 1 2 ) ( S 2 2 + σ 2 2 ) exp  ( − μ 1 2 2 ( S 1 2 + σ 1 2 ) − μ 2 2 2 ( S 2 2 + σ 2 2 ) ) {\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}}
μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} :目標中心と弾着中心のずれ
σ 1 2 , σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}} :分散
特に弾着中心のずれがなく、つまり μ 1 = μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0} の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = α 2 ( α 2 + σ 1 2 ) ( α 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}
クッキー・カッター型損傷関数よりもカールトン型損傷関数による単発撃破確率の近似関数の方が単純で扱いやすいため、適用が勧められる。
偏差修正射撃では、目標中心と弾着点とのずれの距離情報(ミス・ディスタンス)が得られるため、次弾の距離にはこの情報に基づいて修正を加える。
単純に考えれば、発射ごとのミス・ディスタンス全量を逆向きに前回の距離に修正を加えると良いように思える。つまり、j発目の外れた距離 z j {\displaystyle z_{j}} に対して、j+1発目の射撃距離 x j + 1 {\displaystyle x_{j+1}} は次の関係で表される。
x j + 1 − x j = − z j / h {\displaystyle x_{j+1}-x_{j}=-z_{j}/h}
ただし、このような修正方法では兵器の照準に起因する誤差 h x j {\displaystyle hx_{j}} は 0 に向けて収束できるが、射撃ごとのランダムな弾道誤差 ξ j {\displaystyle \xi _{j}} は前回の誤差をすべて含んでしまって収束出来ず、正しくない。
p ( ζ j = 0 ) = ∫ − ∞ y o f ( y j ) d y j {\displaystyle p(\zeta _{j}=0)=\int _{-\infty }^{y_{o}}f(y_{j})dy_{j}}
j発の射撃により、j個の 1 と 0 の羅列である弾着点の遠近情報が得られる確率 L ( y o , ζ ) {\displaystyle L(y_{o},\zeta )} は次の式で表される。
L ( y o , ζ ) = Π i = 1 j p ( ζ i ) {\displaystyle L(y_{o},\zeta )={\boldsymbol {\Pi }}_{i}=1^{j}p(\zeta _{i})}
L ( y o , ζ ) {\displaystyle L(y_{o},\zeta )} を最大にする y o {\displaystyle y_{o}} を y o j ∗ {\displaystyle y_{oj}^{*}} とする。
L ( y o j ∗ ) = a r g . y o Π i = 1 j p ( ζ i ) {\displaystyle L(y_{oj}^{*})=arg.y_{o}\Pi _{i}=1^{j}p(\zeta _{i})}
J+1発目の y j {\displaystyle y_{j}} を上式の y o j ∗ {\displaystyle y_{o}j^{*}} とするのが最尤法である。
↑ 飯田耕司『戦闘の科学・軍事ORの理論』三恵社、199頁。
↑ 目標の被害程度は、命中とは別に目標損傷関数、または目標撃破関数で考慮される。
↑ 確率論での分散は、工学では図形の断面2次半径と呼ばれる。
↑ 簡単な条件付きの目標撃破確率Dj の例として、廃艦処分の護衛艦を撃破するには、要命中弾数は経験的に5インチ砲で12発、3インチ砲で30発というものがある。
↑ 大目標の致命的部位とは、戦闘艦の弾薬庫に1発でも命中すれば撃沈が可能となるような場合である。
↑ 英語で砲の左右はbearing、仰角はelevation、距離はrangeである。左右の射角のずれとその修正は英語ではdeflectionと呼び、日本で古くは「苗頭」(びょうとう)と呼ばれた。