モノイド閉圏
閉モノイド圏とは、モノイド圏 C であって、各対象 B について B のテンソル右乗によって定まる函手 A ↦ A ⊗ B が右随伴 A ↦ (B ⇒ A) を持つものを言う。これはつまり、カリー化と呼ばれる射集合の間の全単射
Hom C  ( A ⊗ B , C ) ≅ Hom C  ( A , B ⇒ C ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}
が A および C に関して自然であることを意味する。記法を変えて、以上のことを函手 –⊗ B: C → C が右随伴 [B, –]: C → C を持つとも書ける(一般的な記法)。
同じことだが、閉モノイド圏 C は、任意の対象 A, B に対して
対象 A ⇒ B,
射 evalA,B: (A ⇒ B) ⊗ A → B,
で以下の性質を満たすものが定まる圏である。
各射 f: X ⊗ A → B に対して射 h: X → A ⇒ B が一意的に存在して、f = evalA,B ∘ (h ⊗ idA) が成り立つ。
この構成は函手 ⇒: C ⊗ C → C を定めることが示せる。この函手を内部 Hom 函手と呼び、対象 A ⇒ B を A と B の内部 Hom と呼ぶ。内部 Hom を表すのにさまざまな一般的記法がある。特に、C 上のテンソル積がデカルト積であるときには、通常の記法 B が用いられ、冪対象(指数対象)と呼ばれる。