点と直線の距離
点 P1=(x1,y1) P2=(x2,y2)の2点を通過する直線と点(x0、y0)の距離は以下で与えられる:
distance  ( P 1 , P 2 , ( x 0 , y 0 ) ) = | ( y 2 − y 1 ) x 0 − ( x 2 − x 1 ) y 0 + x 2 y 1 − y 2 x 1 | ( y 2 − y 1 ) 2 + ( x 2 − x 1 ) 2 . {\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}
分母は、点P1と点P2の距離である。分子は、直線上の2点と点(x0,y0)を頂点とする三角形の面積の2倍になっている(参照:en:Area of a triangle#Using coordinates)。 この公式は、三角形の面積を求める公式 A = 1 2 b h {\textstyle A={\frac {1}{2}}bh} を変形して得られる h = 2 A b {\textstyle h={\frac {2A}{b}}} と同値である。但しbは三角形の底辺の長さを、hはその底辺に対する三角形の高さを表す。
( a − p ) ⋅ n {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} } はそのベクトルを直線に射影したものの長さなので、
( ( a − p ) ⋅ n ) n {\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
は、 a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } を直線に正射影したベクトルである。したがって、
( a − p ) − ( ( a − p ) ⋅ n ) n {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
は、直線に垂直な a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } の成分である。つまり点と直線の距離は、このベクトルのノルムそのものである。この公式は、二次元に限らず適用できるように一般化できる。