ラングランズ・プログラム
ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。
Kutzko (1980) は、局所体上の二次一般線型群 GL(2, K) に対する局所ラングランズ予想(英語版)を証明した。一般次元の場合には、 Laumon, Rapoport, and Stuhler (1993) が、大域理論を含む論法を以って正標数局所体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想を証明し、標数 0 の局所体上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想は Taylor and Harris (2001) の証明や、あるいは Henniart (2000) の証明などがある(何れも大域的な議論を用いるものである)。
ラングランズ関連の予想は無数にあり、さまざまな体上の様々な群に対するラングランズ予想が、あるいは各体に対する様々な形のラングランズ予想が定式化される。ラングランズ予想の中には、非常にあいまいな形であったり、存在もよく分からないラングランズ群(英語版)や互いに同値でない複数の定義を持つ L-群に依存した形になっていたりするようなものも存在する。そうしてさらに、ラングランズが1967年に最初に提示したものよりもラングランズ予想は深められていった。
ラングランズ予想を述べることのできる様々に異なった種類の対象として、以下のものを挙げることができる:
局所体上で定義された簡約代数群の表現。局所体に含まれる体のクラスとして、アルキメデス局所体(R または C)、p-進局所体(Qp の有限次拡大)、函数体の完備化(有限体上の形式ローラン級数体 F((t)) の有限次拡大)がある。
大域体上で定義された簡約代数群上の保型形式。大域体に含まれる体のクラスには、代数体や代数函数体が含まれる。
有限体。ラングランズ自身はこれを予想の範疇に含めてはいなかったが、ラングランズの予想のアナロジーで有限体に対するものがある。
複素数体上の函数体のような、より一般の体。