関数 (数学)
定義域が非負整数であるような函数(つまり数列)はしばしば漸化式によって定義される。
基本的な例として、非負整数にその階乗を対応させる函数 n ↦ n ! {\displaystyle n\mapsto n!} は漸化式 n ! = n ( n − 1 ) ! ( n > 0 ) {\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)} と初期条件 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} によって決まる。
日本語としての関数はもともと「函数」(旧字体: 函數)と書いた。函数という語は中国語から輸入されたものであり、中国での初出は1859年に出版された李善蘭の『代微積拾級』といわれる。既にオランダを通じて西洋数学(特に微積分)を勉強していた神田孝平らが翻訳の際に参考にしたとされる。
微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている。それに続く長澤龜之助訳『微分学』(1881年)、岡本則録訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『代微積拾級』、『微積遡源』(1874年) などによっている。明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され、その結果が『東京數學會社雑誌』で逐次報告されている。この報告に function の訳語は第62号 (1884年) の「原數」と第64号 (1884年) の「三角法函數」の二種類が登場する。一方、同誌の本文では61号 (1884年) や63号 (1884年) で「函數」が用いられている。
「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた。
有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる(適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる)。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., n} と並べるとき、k = 1, 2, ..., n に対して xk = x(k) を対応付ける関数 x を
( x 1 , x 2 , ... , x n ) ∈ R n {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列
( s n ) n ∈ N ∈ R N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
を考えれば、それは各自然数 n に対して、数 sn を対応させる
s : N → R ; n ↦ s n {\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ;\,n\mapsto s_{n}}
という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族を考慮に入れれば、通常の実関数 f = f(x) を x を添字に持つ実数の族
( f x ) x ∈ R ∈ R R {\displaystyle (f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}
と読みかえることができる。
与えられた函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} のグラフとは、形式的な集合 G := { ( x , f ( x ) ) : x ∈ X } {\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}} のことである。
よくある場合として X および Y が実数全体(あるいはその特定の部分集合、例えば区間など)の部分集合となっているとき、実数の組 ( x , y ) ∈ G {\displaystyle (x,y)\in G} を二次元の座標系(例えばデカルト平面(英語版)において座標 (x, y) を持つ点と同一視することができる。このような函数(の一部分)の表示法の一環として、プロット図を書くことができる(こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所で良く用いられる)。また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる。例えば平方函数 x ↦ x のグラフは座標 (x, x) (x ∈ R) を持つ点の全体で、直交座標系に表せばよく知られたように抛物線になる。これをもし極座標系を用いて、極座標 (r, θ) = (x. x) を持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフはフェルマー螺旋(英語版)になる。