ホップ代数
上の例はほとんど可換(すなわち積が可換)か余可換(すなわち Δ = T ∘ Δ ただし twist map T: H ⊗ H → H ⊗ H は T(x ⊗ y) = y ⊗ x によって定義される)である.他の面白いホップ代数は,可換でも余可換でもない,普遍包絡環や正則関数環,座標環のある種の「変形」あるいは「量子化」である.これらのホップ代数はしばしば量子群と呼ばれ,この用語は今のところ漠然としか定義されていない.それらは非可換幾何学において重要であり,思想は以下のようである:普通の代数群はその正則関数の普通のホップ代数によってよく記述される;このホップ代数の変形版をある種の「普通でない」あるいは「量子化された」代数群(もはや代数群ではない)と考えることができる.これらの対象を定義したり扱ったりする直接的な方法は存在しないように思われるが,ホップ代数を研究することはなおでき,実際それらをホップ代数と同一視する.したがって名前「量子群」である.
μ i j k μ k n m = μ j n k μ i k m {\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}
であり,余結合律は
ν k i j ν i m n = ν k m i ν i n j {\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}
である.上の図式の可換性は
ν k i j τ j m μ p m n = ν k j m τ j i μ p m n {\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}
である.
リー群のコホモロジー環はホップ代数である:積はカップ積で与えられ,余積
H ∗ ( G ) → H ∗ ( G × G ) ≅ H ∗ ( G ) ⊗ H ∗ ( G ) {\displaystyle H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)}
は群の積 G × G → G によって与えられる.この観察は実はホップ代数の概念の源であった.この構造を用いて,ホップはリー群のコホモロジー環の構造定理を証明した.