シュレーディンガー場
シュレーディンガー場に対応する、自由場ラグランジアンは次のものである。
L = ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ . {\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi .}
ただし経路積分ないし正準量子化において、 ψ {\displaystyle \psi } は、c数の場であるとき、同種の非相対論的ボソンの集まりを記述する。 また ψ {\displaystyle \psi } が グラスマン数に値を持つ場である場合 、同種の非相対論的フェルミオンの集まりを記述する。
これは ψ {\displaystyle \psi } と書かれる。 この演算子の共役演算子は ψ † {\displaystyle \psi ^{\dagger }} です。 ψ † {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }} についてxに粒子のない状態に対応する行列要素はなく、そのような状態に作用するときはゼロを与える。
ψ ( x ) | N ; x 1 . . . , x N ⟩ = δ ( x − x 1 ) | N − 1 ; x 2 . . . , x N ⟩ + δ ( x − x 2 ) | N − 1 ; x 1 , x 3 . . . , x N ⟩ + ... {\displaystyle \psi (x)|N;x_{1}...,x_{N}\rangle =\delta (x-x_{1})|N-1;x_{2}...,x_{N}\rangle +\delta (x-x_{2})|N-1;x_{1},x_{3}...,x_{N}\rangle +\ldots \,}
位置を規定にとるのは、ある点に局在する粒子を持つ状態が無限のエネルギーを持つため、粒子を理解するのに不便な方法であり、直観的理解は困難である。 2つの粒子がまったく同じ位置にあるときに何が起こるかを見るためには、空間を離散格子にするか、有限体積で場をフーリエ変換することが数学的には最も簡単な方法になる。
オペレーター
ψ † ( k ) = ∫ x e − i k x ψ † ( x ) {\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)=\int _{x}e^{-ikx}\psi ^{\dagger }(x)\,}
最終的なラグランジアンの形式は以下のようになる。
L = 1 2 [ A ^ † ( i ħ ∂ ∂ t + ħ 2 ∇ 2 2 m ) A ^ + B ^ † ( i ħ ∂ ∂ t + ħ 2 ∇ 2 2 m ) B ^ + h.c. ] {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {B}}+{\text{h.c.}}\right]}
↑ G, Harris, Edward (2014). A Pedestrian Approach to Quantum Field Theory.. Dover Publications. ISBN 9780486793290. OCLC 968989532
↑ Padmanabhan, T. (9 July 2018). “Obtaining the non-relativistic quantum mechanics from quantum field theory: issues, folklores and facts”. The European Physical Journal C 78 (7): 563. arXiv:1712.06605. doi:10.1140/epjc/s10052-018-6039-y.