線スペクトル対
線形予測係数を線スペクトル対に変換するためには、P(z) = 0, Q(z) = 0 の根を求める必要がある。以下では単純化のために線形予測多項式 A(z) の次数が偶数 N {\displaystyle N} の場合を考える。この時 LSP 多項式の P(z)、Q(z) は N + 1 {\displaystyle N+1} 次の多項式になる。
LSP 多項式の P(z) と Q(z) はそれぞれ ( 1 + z − 1 ) {\displaystyle (1+z^{-1})} と ( 1 − z − 1 ) {\displaystyle (1-z^{-1})} で割り切れる。残りの多項式は ( z + z − 1 ) / 2 {\displaystyle (z+z^{-1})/2} で割り切れ、単位円上では ( z + z − 1 ) / 2 = cos  ω {\displaystyle (z+z^{-1})/2=\cos \omega } と表現できる。すなわち、P(z) と Q(z) は以下のように因数分解できる。
P ( z ) = ( 1 + z − 1 ) ∏ i = 1 , 3 , . . . , N − 1 ( 1 − 2 cos  ω i z − 1 + z − 2 ) {\displaystyle P(z)=\left(1+z^{-1}\right)\prod _{i=1,3,...,N-1}\left(1-2\cos \omega _{i}z^{-1}+z^{-2}\right)}
Q ( z ) = ( 1 − z − 1 ) ∏ i = 2 , 4 , . . .