ハンドル体
3次元のハンドル体は以下のように構成される。
まず、3次元球体 B とg個のハンドル D×I を用意する(gは自然数)。ハンドルとは、2次元円板 D と単位閉区間 I = [0,1] の直積であり、(ゴムのように曲げられる中身の詰まった)円柱のようなものだと考えればよい。
次に、B の境界(2次元球面)上に、どの2つをとっても互いに共通部分を持たないような 2g 個の2次元円板をとる。B と 各ハンドルD×I に向きをつけておけば、B の境界上の各円板や各ハンドルの両端(D×{0} と D×{1})にも自然に向きが付く。
ここで、各ハンドルをU字型に曲げて、両端の円板を B の境界上の2つの円板に1つずつ貼り付ける。つまり B とハンドルの和集合をとって、ハンドルの片端の円板からBの境界の円板への(向きを逆にする)同相写像によって移りあう点を同一視した商空間を考えることになる。これを g 個すべてのハンドルに対して行えば、B の境界上のすべての円板にハンドルが取り付けられたことになり、このようにして得られた3次元多様体を種数 g のハンドル体という。