射影作用素
体上の d-次元ベクトル空間上の射影 P = P は、その最小多項式が x − x で相異なる一次因子の積に分解されるから、対角化可能である。従って、適当な基底を選べば P は、r を P の階数として
P = I r ⊕ 0 d − r {\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}}
なる形に表すことができる。ここで、Ir は r-次単位行列、0d−r は次数 d − r の零行列である。複素ベクトル空間で内積を持つ場合には、適当な正規直交基底を選んで、P の表現行列を
P = [ 1 σ 1 0 0 ] ⊕ ⋯ ⊕ [ 1 σ k 0 0 ] ⊕ I m ⊕ 0 s {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}}
なる形にすることができる。ただし、σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σk > 0 とする。また、k, s, m は整数で、実数 σi は一意に定まる。2k + s + m = d であることに注意せよ。このときの、Im ⊕ 0s なる因子は、その上に P が直交射影として作用する最大の不変空間に対応しており(故に P 自体が直交射影となるのは k = 0 のとき、かつそのときに限る)、かつ σi-ブロックが P の斜交成分に対応している。