半単純加群
単位元をもつ環(可換でなくてもよい)上の加群は、単純(既約)部分加群の直和であるときに、半単純 (semisimple) あるいは完全可約 (completely reducible) という。
加群 M に対して、以下は同値。
M は既約加群の直和である。
M はその既約部分加群の直和である。
M のすべての部分加群は直和成分(英語版)である。すなわち、M のすべての部分加群 N に対して、補部分加群 P が存在して、M = N ⊕ P.
3 ⇒ 2 {\displaystyle 3\Rightarrow 2} のための最初のアイデアは次のようにして既約部分加群を見つけることだ。任意の x ∈ M {\displaystyle x\in M} を選んで P {\displaystyle P} を x ∉ P {\displaystyle x\notin P} であるような極大部分加群とする。