子午線弧
子午線弧(しごせんこ、Meridian arc)とは、測地学において地球表面または地球楕円体に沿った子午線(経線)の弧を指す。子午線は楕円弧で南北方向に延びる測地線となる。
天文学において、2地点の天文緯度測定と子午線弧の長さとを結合することで地球の円周・半径を決定した。その始まりは、紀元前3世紀のエジプトのエラトステネスで、地球が球体であることを定量的に示した。
緯度差1分に相当する子午線弧長は、海里の定義にも参考にされた。
8世紀に入ると中国でも子午線の計測が行われた。玄宗より新暦編纂の勅命を受けた僧一行は、鉄勒から交州にかけての測量を実施し、緯度1度の子午線弧長を351里80歩(約123.7km)と算出した。この算定と実際との誤差は11パーセントである。9世紀前期には、アッバース朝第7代カリフであるアル=マアムーンの命により、アル=フワーリズミーがシンジャール平原において実施した、角度測量によって多少良い結果が算出された。
これらの無限級数は、含まれる n {\displaystyle n} の次数を l max {\displaystyle l_{\max }} で打ち切れば有限級数となる。すなわち、 c l {\displaystyle c_{l}} を下記のように近似することになる。
c l , approx = { ∑ k = 0 ⌊ ( l max − l ) / 2 ⌋ a k a k + l ( l ≤ l max ) 0 ( l > l max ) {\displaystyle c_{l,\,{\textrm {approx}}}={\begin{cases}\sum _{k=0}^{\lfloor (l_{\max }-l)/2\rfloor }a_{k}\,a_{k+l}&(l\leq l_{\max })\\0&(l>l_{\max })\end{cases}}}
ただし、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数( x {\displaystyle x\,} を超えない最大の整数)を表すものとする。
ヘルメルト・ベッセルの式