ランベルトのW関数
通常のランベルト W は x に関する
の形(ただし、a0, c, r は実定数)の「超越代数」方程式の厳密解 x = r + 1/cW(ce/a0) を記述することができる。
ランベルト W 函数の一般化として以下のようなものを挙げることができる:
低次元における一般相対論および量子力学(量子重力)(実は、両分野の繋がりは、以前には知られていなかった)への応用では、式 1 の右辺を今度は x の二次多項式とした
を考える。ここで、この二次多項式の根 r1, r2 は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 x を持つ函数だが、ri や a0 のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は超幾何函数やメイヤーG函数(英語版)を作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。r1 = r2 のときは、式 2 の両辺は因数分解できて、1 に帰着されるから、解函数も通常の W 函数に還元される。
いくつかの等式は定義から直ちに得られる:
W ( x e x ) = x ( x ≥ 0 , x = − 1 ) W 0 ( x e x ) = x ( x ≥ − 1 ) W − 1 ( x e x ) = x ( x ≤ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W(xe^{x})&=x&(x\geq 0,\,x=-1)\\W_{0}(xe^{x})&=x&(x\geq -1)\\W_{-1}(xe^{x})&=x&(x\leq -1)\end{aligned}}}
ここで、f(x) = x⋅e は単射でないから、W(f(x)) = x は常には成り立たないことに注意すべきである。x < 0 かつ x ≠ -1 なる x を固定して、方程式 x⋅e = y⋅e は y に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん y = x である。もう一方の解は、W0 の場合 x < -1 に、W−1 の場合 x ∈ (-1, 0) にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。
W 0 ( x e x ) = y ( x < − 1 ) . {\displaystyle W_{0}(xe^{x})=y\quad (x<-1).}
W − 1 ( x e x ) = y ( x > − 1 ) . {\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=y\quad (x>-1).}
W ( x ) e W ( x ) = x .
函数 W(x)(およびそれを含む多くの式)は、w = W(x), (x = we) と置いた置換積分によって
∫ W ( x ) d x = x W ( x ) − x + e W ( x ) + C = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x){\mathit {dx}}&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}}
と積分できる。
したがって、(W(e) = 1 であることも考慮して)等式
∫ 0 e W ( x ) d x = e − 1 {\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\mathit {dx}}=e-1}
が得られる。