ストークスの定理
後にマクスウェルはこの定理の由来をストークスに尋ね、1873年の著作『電気磁気論』の中でこの定理を記した。マクスウェルはベクトル解析を扱った序章の中でストークスの定理を証明とともに載せ、参考文献として、ストークスのスミス賞の試験問題を挙げている。最初にストークスの定理に証明を与えたのはドイツの数学者ヘルマン・ハンケルである。ベルンハルト・リーマンの学生であったハンケルは1861年に曲面がz=z(x, y)の形で表せる特別な場合にグリーンの定理を適用し、ストークスの定理を証明した。より一般的な場合についての証明は、トムソン自身が1867年に出版されたピーター・ガスリー・テイトとの共著『自然哲学論考(英語版)』の中で与えている。当初、ストークスの定理は3つの関数の組に対する形で表現されていたが、テイトは1870年に四元数による形式で書き直した。前述のマクスウェルの著作『電気磁気論』においても、ストークスの定理は四元数の形式で記述されている。これらの四元数で表現されていたストークスの定理を現代的なベクトルの記法で書き直したのは、米国の物理学者ウィラード・ギブズや英国の物理学者オリヴァー・ヘヴィサイドであり、1880年代に入ってからのことである。
が成り立つ。右辺を前述の静磁場と電流密度の関係式を用いて、書き換えれば、
∮ ∂ S B ⋅ d l = μ 0 ∫∫ S j ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\iint _{S}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}
を得る。右辺の電流密度の面積分は閉曲線 S を貫いて流れる電流 I∂S に対応しており、
∮ ∂ S B ⋅ d l = μ 0 I ∂ S {\displaystyle \oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}I_{\partial S}}
が成り立つ。このある曲面を貫いて流れる電流 I∂S とその周囲に発生する静磁場を結ぶ関係をアンペールの法則と呼ぶ。
∫∫ { l ( d Z d y − d Y d z ) + m ( d X d z − d Z d x ) + n ( d Y d x − d X d y ) } d S = ∫ ( X d x d s + Y d y d s + Z d z d s ) d s {\displaystyle {\begin{aligned}&\iint {\biggl \{}l{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} y}}-{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} z}}{\biggr )}+m{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} z}}-{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} x}}{\biggr )}+n{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} y}}{\biggr )}{\biggr \}}\mathrm {d} S\\&=\int {\biggl (}X{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}+Y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} s}}+Z{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} s}}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}
電磁気学への貢献で知られるジェームズ・クラーク・マクスウェルは、当時、ケンブリッジ大学の学生であり、この試験を受け、エドワード・ラウスともにスミス賞を受賞している。