積の微分法則
積の法則の応用として最たるものが、n が正の整数であるときの冪函数に対する公式
d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}
の証明である(この式自体は n が正でなくとも、あるいはさらに整数でなくとも成立するが、その証明には別の方法を考える必要がある)。証明は冪指数 n に関する数学的帰納法を用いる。n = 0 のとき x は定数で、nx = 0 だから式は成り立つ(定数函数の導函数は 0 であるから)。任意にとって固定した冪指数 n で帰納法の仮定が成り立つならば
d d x x n + 1 = d d x ( x n ⋅ x ) = x d d x x n + x n d d x x = x ( n x n − 1 ) + x n ⋅ 1 = ( n + 1 ) x n {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}(x^{n}\cdot x)=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\\&{}=x(nx^{n-1})+x^{n}\cdot 1=(n+1)x^{n}\end{aligned}}}
となるから n + 1 でも等式は成り立つ(二つ目の等号は積の法則の適用、三つ目の等号は帰納法の仮定である)。
ローヴェアの無限小(滑らかな無限小解析を参照)の意味で、dx を複零(自乗して 0 になる)無限小とする。このとき、du = u'dx および dv = v'dx で,
d ( u v ) = ( u + d u ) ( v + d v ) − u v = u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v − u v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v = u ⋅ d v + v ⋅ d u {\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&{}=(u+du)(v+dv)-uv\\&{}=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}
と計算できる。
d u ⋅ d v = u ′ v ′ ( d x ) 2 = 0 {\displaystyle du\cdot dv=u'v'(dx)^{2}=0}
に注意せよ。
u, v は x の連続函数とし、dx, du, dv は超準解析の枠組みにおける無限小、特に超実数とする。標準部函数 st は有限超実数に対して無限に近い実数を割り当てるものとすれば、