符号付測度
以下では、拡張符号付測度は二つの非負の測度の差であるという結果と、有限符号付測度は二つの非負の有限符号付測度の差であるという結果を紹介する。
ハーンの分解定理により、与えられた符号付測度 μ に対して、以下の性質を満たす二つの可測集合 P と N が存在する:
P∪N = X および P∩N = ∅;
E ⊆ P であるような Σ 内の各 E に対して、μ(E) ≥ 0 が成立する。すなわち、P は正集合(英語版)である。
E ⊆ N であるような Σ 内の各 E に対して、μ(E) ≤ 0 が成立する。すなわち、N は負集合である。
また、このような分解は P および N に対する μ-零集合の和・差の違いを除いて一意である。
すべての Σ 内の可測集合 E に対して、
μ + ( E ) = μ ( P ∩ E ) {\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}