ファン・ホーベ特異点
ここで d 3 k {\displaystyle d^{3}k} はk空間での体積要素である。 また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子2を掛ける必要がある。 連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。
d E = ∂ E ∂ k x d k x + ∂ E ∂ k y d k y + ∂ E ∂ k z d k z = ∇ → E ⋅ d k → {\displaystyle dE={\frac {\partial E}{\partial k_{x}}}dk_{x}+{\frac {\partial E}{\partial k_{y}}}dk_{y}+{\frac {\partial E}{\partial k_{z}}}dk_{z}={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}}
ここで ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} はk空間での勾配である。
k空間での位置の組(粒子エネルギーEに対応)はk空間で面を作り、Eの勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。 このエネルギーEについての関数である状態密度は、
g ( E ) d E = ∫∫ ∂ E g ( k → ) d 3 k = L 3 ( 2 π ) 3 ∫∫ ∂ E d k x d k y d k z {\displaystyle g(E)dE=\iint _{\partial E}g({\vec {k}})\,d^{3}k={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint _{\partial E}dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}}