位相的場の理論
マイケル・アティヤは、グラミエ・セーガル(英語版)の提案した共形場理論の公理(後日、セーガルは、(Segal 2001) にまとめた)や、ウィッテンの超対称性の幾何学的な意味についての考え方(Witten 1982)に動機付けられて、一連の位相的場の理論の公理を示唆した(Atiyah 1988)。アティヤの公理系は、微分可能写像(位相同型写像、もしくは、連続写像)で境界を張り合わせることで構成されるが、一方、セーガルの公理系は、共形写像で構成されている。シュワルツタイプは、ウィッテンタイプの全体をとらえていることが明らかではないにもかかわらず、これらの公理ではシュワルツタイプのほうが、数学的にはうまく取り扱われた。基本的なアイデアは、TQFT とは、あるコボルディズムの圏からベクトル空間の圏への函手であるということである。
実際、Atiyahの公理と呼ばれて当然である公理系には、2つの異なったセットがあり、基本的には、TQFTを研究するときに一つの固定した n 次元リーマン/ローレンツ時空 M を考えるのか、それとも全ての n 次元の時空を同時に考えるのかの違いがある。
Λ {\displaystyle \Lambda } を単位元 1 を持つ可換環とする。(現実には、ほとんどの場合、Λ として Z, R もしくは C としている。)元々、アティヤは以下に見るように基礎となる環 Λ {\displaystyle \Lambda } の上で定義された d 次元の位相的場の理論の公理を提案している。
位相的場の理論では、相関関数が時空の計量に依存しない。このことは、(トポロジーを変えない範囲で)時空の形が変わっても理論自体は不変であることを意味する。もし時空が曲がったり、収縮したりした場合でも、相関関数は変化しない。結局、それらは位相不変量となる。
位相的場の理論は素粒子物理学で使われるミンコフスキー時空にはさほど興味はない。ミンコフスキー空間は、可縮な空間(英語版)であるから、その上の TQFT は自明な位相不変量のみの計算結果となる。結局、TQFTは普通、例えばリーマン面のような、曲がった時空上で研究される。知られている位相的場の理論の大半は、5次元未満の時空の上で定義(英語版)されている。いくらか高い次元の理論も存在しそうであるが、あまりよく知られてはいない。
量子重力は(ある適当な意味で)背景独立であると信じられていて、TQFT は背景独立な場の量子論の例を提供する。これはこのクラスのモデルの理論的な研究を前進させるという証である。
(注意事項: TQFT は有限の自由度しか持たないと言われることがある。これは基本的な性質ではない。物理学者や数学者が研究している例の大半は、これが有限の自由度を持つこということがあるが、しかし、必ずしも有限の自由度を持つ必要はない。もし無限次元の射影空間をターゲット空間とする位相的シグマモデルが定義されたとすれば、それは可算無限個の自由度を持つ位相的場の理論である。
このように4次元多様体は、 H 2 {\displaystyle H_{2}} の対称代数からなる余剰なデータを持っている必要がある。 (Witten 1988a) はドナルドソン理論を形式的に再現する超対称性を持つラグランジアンを提示した。ウィッテンの公式はガウス-ボネの定理(Gauss-Bonnet theorem)の無限次元での類似と考えることができるかもしれない。後日、この理論はさらに発展し、 N = 2 {\displaystyle N=2} の超対称性を持つ4次元の S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} ゲージ理論は、 U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} に還元できるというサイバーグ-ウィッテン理論となっていく。この理論のハミルトニアンのバージョンは、フレアーにより3-次元多様体の接続の作る空間のことばで研究された。フレアーはジョーンズ-ウィッテン理論のラグランジアンであるチャーン-サイモンズ汎関数を使い、ハミルトニアンを変形した。詳細は (Atiyah 1988) を参照のこと. (Witten 1988a) もまた、どのように d = 3 の理論と d = 1 の理論が互いに関連しているかを示していて、これはジョーンズ-ウィッテン理論の d = 2 と d = 0 の理論の関係に酷似している。
さて、固定した次元で考えるのではなく、同時に全ての次元を考えると、位相的場の理論は函手とみなすことができる。
δ δ B α β S = ∫ M δ δ B α β B ∧ δ B + ∫ M B ∧ δ δ δ B α β B = ∫ M δ δ B α β B ∧ δ B − ∫ M δ B ∧ δ δ B α β B = 2 ∫ M δ B ∧ δ δ B α β B {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=2\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B}
を満す。 δ δ B α β S {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S} という表現は、別な 2-形式 G {\displaystyle G} を持つような δ G {\displaystyle \delta G} に比例することを意味する。