コーシー境界条件
を元の方程式に代入することにより
φ ( x , y ) ψ ′ ( t ) = k φ ′′ ( x , y ) ψ ( t ) {\displaystyle \phi (x,y)\psi '(t)=k\phi ''(x,y)\psi (t)\ }
を得る。したがって
ψ ′ ( t ) k ψ ( t ) = φ ′′ ( x , y ) φ ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}}
が得られる。
この左辺は t {\displaystyle t\ } にのみ依存し、右辺は ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\ } にのみ依存するため、両式は定数として等しいものでなければならないことが分かる。すなわち
ψ ′ ( t ) k ψ ( t ) = − λ = φ ′′ ( x , y ) φ ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}=-\lambda ={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}}
とすることが出来る。したがって、二つの方程式が得られる。一つ目は、空間 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\ } に関する方程式
φ x x + φ y y + λ φ ( x , y ) = 0 {\displaystyle \phi _{xx}+\phi _{yy}+\lambda \phi (x,y)=0\ }
であり、二つ目は時間 t {\displaystyle t\ } に関する方程式