ルンゲ現象
次の関数(コーシー-ローレンツ関数)を考える。
f ( x ) = 1 1 + 25 x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}}
次のような −1 から 1 までの等間隔の点 xi における値から、この関数を内挿する。
x i = − 1 + 2 ( i − 1 ) n , i ∈ { 1 , 2 , ... , n + 1 } {\displaystyle x_{i}=-1+{\frac {2(i-1)}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}}
このときルンゲは、次数 ≤ n の多項式 Pn(x) を用いると、区間の端の方(−1 および 1)に行くに従って補間結果が振動することを発見した。このことは、多項式の次数を大きくしていくと補間誤差が無限大に漸近することで証明できる。
lim n → ∞ ( max − 1 ≤ x ≤ 1 | f ( x ) − P n ( x ) | ) = ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty }
しかし、ワイエルシュトラスの近似定理によれば、多項式による近似で誤差がゼロに近づくシーケンスが存在するはずである。このことは、高次多項式補間では等間隔の点から補間することが問題を生じることがあることを示している。