アフィンリー代数
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が有限次元単純リー環であるとき,対応するアフィンリー環 g ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}} は無限次元リー環 g ⊗ C [ t , t − 1 ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]} の中心拡大として一次元の中心 C c {\displaystyle \mathbb {C} c} を付け加えたものとして構成される.ベクトル空間としては,
g ^ = g ⊗ C [ t , t − 1 ] ⊕ C c {\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {C} c}
である,ただし C [ t , t − 1 ] {\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]} は不定元 t のローラン多項式のなす複素ベクトル空間である.リーブラケットは以下のように定義される:すべての a , b ∈ g , α , β ∈ C {\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {C} } および n , m ∈ Z {\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} } に対して