連続的双対空間
同様の仕方で、l の連続的双対は有界数列全体の成す空間 l と自然に同一視される。さらには、上限ノルムに関して収束級数全体の成すバナハ空間 c および 0 に収束する数列全体の成すバナハ空間 c0 の連続的双対はともに l と自然に同一視される。
急減少関数のなす空間 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})} の連続的双対は緩増加超関数のなす空間 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})} である。
リースの表現定理によれば、ヒルベルト空間の連続的双対はふたたびヒルベルト空間を成し、元の空間と逆転同型(英語版)になる。このことは、量子力学の数学的定式化において物理学者が用いるブラケット記法の根拠を与える。
W をノルム空間 V の閉線型部分空間とするとき、W の V′ における零化域 (annihilator) を
W ⊥ = { φ ∈ V ′ : W ⊂ ker  φ } {\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subset \ker \varphi \}}
で定めると、商空間 V / W の双対は W と同一視され、かつ W の双対は商空間 V′ / W に同一視される。実際、P を V から商 V / W への標準全射とすると、その転置 P′ は (V / W )′ から V′ への等距な同型写像であり、その値域は W に等しい。また j を W から V への標準単射とすると、その転置 j′ の核 ker(j′) = W^ は W の零化域であり、 ハーン・バナッハの定理から j′ は等距同型 V′ / W → W′ を誘導する。
代数的双対の場合のアナロジーで、ノルム空間 V からその二重双対 V′′ への自然な連続線型写像 Ψ: V → V′′ が
Ψ ( x ) ( φ ) = φ ( x ) , ( x ∈ V , φ ∈ V ′ ) {\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad (x\in V,\,\varphi \in V')}
と置くことにより定まる。ハーン・バナッハの定理の帰結としてこの写像は実は等距、即ち V の各元 x に対して ||Ψ(x)|| = ||x|| を満たす。この写像 Ψ が全単射となるようなノルム空間は回帰的であると言う。
V がほかの位相線型空間であるときも同じ式によって、任意の x ∈ V に対する Ψ(x) を定義することができるがいくつかの障害が生じる。一つは V が局所凸でないとき、その連続的双対が {0} となり写像 Ψ が自明になってしまうことが起こり得ることである。