発散 (ベクトル解析)
が成り立つ。二つの三次元ベクトル場 F, G の交叉積に対するもう一つの積の法則は、回転 curl を含む以下の形
div  ( F × G ) = ( curl  F ) ⋅ G − F ⋅ ( curl  G ) {\displaystyle \operatorname {div} ({\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {G}})=(\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {F}}\cdot (\operatorname {curl} {\boldsymbol {G}})}
∇ を用いた記法であれば、
∇ ⋅ ( F × G ) = ( ∇ × F ) ⋅ G − F ⋅ ( ∇ × G ) {\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {G}})=(\nabla \times {\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {F}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {G}})}
で書くことができる。
スカラー場 φ にラプラス作用素を施したものは、φ の勾配の発散に等しい。即ち、
div  ( grad  φ ) = Δ φ {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi }
ベクトル場の発散の概念を、任意有限次元において一般に定義することができる。
F = ( F 1 , F 2 , ... , F n ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},\dotsc ,F_{n})}
が R におけるベクトル場で、標準座標系 x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})} およびその微分を d x = ( d x 1 , d x 2 , ... , d x n ) {\displaystyle d{\boldsymbol {x}}=(dx_{1},dx_{2},\dotsc ,dx_{n})} とすると、その発散は
div  F = ∇ ⋅ F = ∂ F 1 ∂ x 1 + ∂ F 2 ∂ x 2 + ⋯ + ∂ F n ∂ x n {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\dotsb +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}}
で与えられる。より複雑な曲線座標系においても、適当な表示が得られる。
任意の自然数 n に対して、発散は線型作用素であり、積の法則