ギブンス回転
定義をより厳密に書けば、
G ( i , k , θ ) j , l = { cos  θ if j = i , l = i or j = k , l = k , sin  θ if j = i , l = k , − sin  θ if j = k , l = i , 1 if j = l , 0 otherwise. {\displaystyle {\boldsymbol {G}}(i,k,\theta )_{j,\ell }={\begin{cases}\cos \theta &{\mbox{ if }}j=i,\ell =i{\mbox{ or }}j=k,\ell =k,\\\sin \theta &{\mbox{ if }}j=i,\ell =k,\\-\sin \theta &{\mbox{ if }}j=k,\ell =i,\\1&{\mbox{ if }}j=\ell ,\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}
である。
積 G ( i , k , θ ) ⊺ x {\displaystyle {\boldsymbol {G}}(i,k,\theta )^{\intercal }{\boldsymbol {x}}} は、ベクトル x を (i, k) 平面で θラジアン反時計回りに回転したベクトルである。
線型代数におけるギブンス回転の主な使用法は、相似変換により行列に0の要素を増やすことである。この効果はたとえば行列のQR分解の計算に採用される。ハウスホルダー変換に対する利点は容易に並列化できることと、多くの疎行列に対して演算回数が少なくてすむということである。