対合環
単位的環 R とその上の逆転自己同型的(英語版)対合 I: R → R の組 (R, I) が対合環あるいは対合付きの環であるとは、対合 I が R の乗法半群構造と両立する(乗法半群が対合半群(英語版)を成す)ときに言う。
より具体的に書けば、写像 I は以下を満たす: x, y ∈ R は任意として
加法律: (x + y) = x + y,
反乗法律: (xy) = y x,
単位律: 1 = 1,
対合律: (x) = x.
条件 3. は実は過剰である。実際、条件 2., 4. によれば 1 もまた乗法単位元でなければならないが、乗法単位元の一意性により 3. を得る。
対合 I に対して元 x を元 x の(I に関する)共軛元あるいは随伴元と呼び、特に x = x を満たす元 x は(I に関して)自己共軛 (self-conjugate) あるいは自己随伴 (self-adjoint) であると言う。
対合環の原型的な例は、複素数体や代数体上で複素共軛をとる操作を対合と見たものである。
任意の対合環 (R, I) 上で(対合 I に関する)半双線型形式が定義できる。
イデアルや部分環などの代数的対象で、対合 ∗ に関して不変であるようなものを考えることにより、∗-イデアルや ∗-部分環などの概念を考えることができる。