ヘヴィサイドの展開定理
P(s), Q(s) は共通因子を持たない実数係数多項式で、次数は P の方が小さいとし、有理関数 F(s) = P(s) / Q(s) のラプラス変換による原像を求めたいものとする。代数学の基本定理より、分母 Q(s) は複素数の範囲で一次式の積に分解できて
F ( s ) = P ( s ) ( s − a 1 ) n 1 ⋯ ( s − a r ) n r {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{(s-a_{1})^{n_{1}}\cdots (s-a_{r})^{n_{r}}}}}
となる。これを部分分数分解すれば
F ( s ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 n i A i j ( s − a i ) j {\displaystyle F(s)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {A_{ij}}{(s-a_{i})^{j}}}}
の形になる。ここに、各係数は
A i j = 1 ( n i − j ) ! lim s → a i d n i − j d s n i − j ( ( s − a i ) n i F ( s ) ) {\displaystyle A_{ij}={\frac {1}{(n_{i}-j)!}}\lim _{s\to a_{i}}{\frac {d^{n_{i}-j}}{ds^{n_{i}-j}}}((s-a_{i})^{n_{i}}F(s))}
で与えられる。各部分分数の原像は
L − 1 [ A ( s − a ) n ] = A ( n − 1 ) !