フォドアの補題
このとき α ∈ ⋂ γ < α C γ {\displaystyle \alpha \in \bigcap _{\gamma <\alpha }C_{\gamma }} であり、全ての γ < α {\displaystyle \gamma <\alpha } に対して α ∈ C γ {\displaystyle \alpha \in C_{\gamma }} である。よってどんな γ < α {\displaystyle \gamma <\alpha } についても、 α ∉ f − 1 ( γ ) {\displaystyle \alpha \notin f^{-1}(\gamma )} すなわち f ( α ) ≠ γ {\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma } 。従って f ( α ) ≥ α ∈ S {\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha \in S} となるが、 f {\displaystyle f} が押し下げ関数だったことに矛盾する。//
この補題はハンガリー人集合論者 Géza Fodor によって1956年に初めて証明された。しばしば「押し下げ補題(The Pressing Down Lemma)」などと呼ばれたりもする。
フォドアの補題はトマーシュ・イェフによる定常集合に関しても成り立ち、一般化された定常集合に関しても同様に成り立つ。
これらの族 ( C γ ) γ < κ {\displaystyle (C_{\gamma })_{\gamma <\kappa }} の対角線共通部分を C := Δ γ < κ C γ {\displaystyle C:=\Delta _{\gamma <\kappa }C_{\gamma }} ( = { β < κ : β ∈ ⋂ γ < β C γ } {\displaystyle =\{\beta <\kappa :\beta \in \bigcap _{\gamma <\beta }C_{\gamma }\}} ) とおく。 κ {\displaystyle \kappa } が正則より対角線共通部分 C {\displaystyle C} は再びclubとなり、 S {\displaystyle S} が定常なので S ∩ C {\displaystyle S\cap C} も定常である。( 0 ≠ {\displaystyle 0\neq } ) α ∈ S ∩ C {\displaystyle \alpha \in S\cap C} を一つ選ぶ。