多変数の微分
, x n ) = ( f 1 ( x 1 , ... , x n ) ⋮ f m ( x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)} (1-1)
を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで f i {\displaystyle {{f}_{i}}} は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分を表す。
式 (1-2-8) に e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} を代入すると、
∂ f ∂ x j | [ p ] = A ⋅ e j {\displaystyle {\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}} (2-9)
である。従って f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} での微分 A {\displaystyle {\textbf {A}}} の第 j 列は、
∂ f ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}} (2-10)
第 i , j 成分は
∂ f i ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} (2-11)
となる。従って、
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、(2-2) を満たす n × m {\displaystyle n\times m} 行列はひとつしか存在しない。つまり、 n × m {\displaystyle n\times m} 行列 B {\displaystyle {\textbf {B}}} が、
lim x → p ( f ( x ) − ( B ( x − p ) + f ( p ) ) ‖ x − p ‖ ) = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0} (2-3)
を満たすとすると、
A = B {\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {B}}} (2-4)
が成立する。
このとき、 g {\displaystyle \mathbf {g} } と f {\displaystyle {\textbf {f}}} との合成写像 g ∘ f {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}} は、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} で定義され、 R l {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}} に値をとる多変数ベクトル値関数である。
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、 g {\displaystyle \mathbf {g} } が、点 f ( p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )} で微分可能であるとき、 g ∘ f {\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}} も p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能で、
( J ( g ∘ f ) ) [ p ] {\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}} = ( J g ) [ f ( p ) ] {\displaystyle {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}} ⋅ ( J f ) p {\displaystyle \cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}} (3-7)
∂ [ a ] f | [ p ] = ( J f ) [ p ] a = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋱ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) ( a 1 ⋮ a n ) = ∑ j = 1 n a i ( ∂ f ∂ x j | p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}} (3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の開集合とし、
f ( x ) = ( f 1 ( x ) ⋮ f m ( x ) ) {\displaystyle {\textbf {f}}(\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}f_{1}(\mathbf {x} )\\\vdots \\f_{m}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)} (2-1)
を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に標準座標系 ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } が定まっているとし、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に標準座標系 ⟨ y 1 , ⋯ , y m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle } が定まっているとする。
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合とし、
f ( x 1 , ... , x n ) = ( f 1 ( x 1 , ... , x n ) ⋮ f m ( x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)} (1-1)
を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数という。