変位
物質表示の変位ベクトル
u ( X , t ) = x ( X , t ) − X {\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}}
を物質座標X で偏微分して得られるテンソルは、物質変位勾配テンソル ∇X u または単に変位勾配テンソルと呼ばれる。
∇ X u = ∇ X x − I = F − I {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {u}}&=\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {I}}\\&={\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {I}}\end{aligned}}\qquad }
または、
∂ u i ∂ X K = ∂ x i ∂ X K − δ i K {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}}