ゴレンシュタイン環
可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 R であって、R-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。
Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は Gorenstein (1952) によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である(Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ)。0次元のケースは Macaulay (1934) によって研究されていた。Serre (1961) と Bass (1963) は Gorenstein 環の概念を公表した。
0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
すべての局所完交環(英語版)、とくにすべての正則局所環は Gorenstein である。
環 k[x,y,z]/(x, y, xz, yz, z–xy) は完交環でない0次元 Gorenstein 環である。
環 k[x,y]/(x, y, xy) は Gorenstein 環でない0次元 Cohen–Macaulay 環である。