ポワンカレの上半平面モデル
このモデルの計量テンソルに関する測地線は、実軸に直交する円弧(つまり、実軸上に基点を持つ半円)および実軸に端点を持ち実軸に垂直な半直線(これを半径無限大の円弧と看做すこともできる)である。
点 i を通り、垂直にあがっていく単位速度の測地線は
γ ( t ) = ( e t / 2 0 0 e − t / 2 ) ⋅ i = i e t {\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}}
で与えられる。PSL(2,R) は上半平面上の等距変換として推移的に作用するから、この測地線は PSL(2, R) を通じてほかの測地線へ写され、したがって一般に単位速度測地線は
γ ( t ) = ( a b c d ) ( e t / 2 0 0 e − t / 2 ) ⋅ i = a i e t + b c i e t + d {\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}}
として与えられる。これにより上半平面上の単位接束(複素直線束)上の測地的流れの完全な記述が得られる。