リー代数の表現
(半単純加群を参照)
V は単純加群の直和
V は単純部分加群の和
V のすべての部分加群は、直和、V のすべての部分加群 W に対し、補完加群 P が存在し V = W ⊕ P となる。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が標数 0 の体上の有限次元半単純リー代数であれば、V は半単純である(ワイルの完全可約定理(英語版)(Weyl's complete reducibility theorem)。 リー代数は、随伴表現が半単純であるとき、可約(英語版)(reductive)と呼ぶ。このように、半単純リー代数は可約である。V の元 v は、すべての x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} に対し x v = 0 {\displaystyle xv=0} となるときに、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -不変と呼ぶ。すべての不変な元の集合は、 V g {\displaystyle V^{\mathfrak {g}}} と書かれる。 V ↦ V g {\displaystyle V\mapsto V^{\mathfrak {g}}} は左完全函手である。
基礎となるベクトル空間を、V1 と V2 とし、表現を ·[·]1 と ·[·]2 とした 2つの表現とすると、これらの表現の積は V1 ⊗ V2 を基礎となるベクトル空間で、表現は
x [ v 1 ⊗ v 2 ] = x [ v 1 ] ⊗ v 2 + v 1 ⊗ x [ v 2 ] {\displaystyle x[v_{1}\otimes v_{2}]=x[v_{1}]\otimes v_{2}+v_{1}\otimes x[v_{2}]}
である。L を実リー群、ρ: L × V → V を L の複素上限とすると、次のようにしてその双対表現と呼ばれる L の別のもうひとつの表現を構成することができる。
V を V の双対ベクトル空間とする。言い換えると、V はV から C へのすべての線型写像の集合で、普通の方法で定義されているが、スカラー倍の定義は、C の任意の z と V の元 ω と V の元 X に対し、 ( z ω ) [ X ] = z ̄ ω [ X ] {\displaystyle (z\omega )[X]={\bar {z}}\omega [X]} である。これは通常、半双線型形式 ⟨·,·⟩ つまり、ω[X] として定義された ⟨ω,X⟩ で書き換えられる。
ρ ̄ {\displaystyle {\bar {\rho }}} は次のように定義される。L の任意の A、V の ω、V の中の X に対し
( ρ ̄ ( A ) [ ω ] , X ) + ( ω , ρ A [ X ] ) = 0 {\displaystyle ({\bar {\rho }}(A)[\omega ],X)+(\omega ,\rho A[X])=0}
任意の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 E に対し、
Hom g  ( Ind h g  W , E ) ≃ Hom h  ( W , Res h g  E ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}
である。さらに、 Ind h g {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}} が h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} -加群の圏から g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群の圏への完全函手である。これらは U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} が U ( h ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}})} 上の自由右加群である。