ラドン＝ニコディムの定理
はじめに μ と ν のいずれも有限値の非負測度である場合を考える。F を、次の関係式を満たすようなそれらの可測函数 f : X → [0, ∞) の集合とする:
∀ A ∈ Σ : ∫ A f d μ ≤ ν ( A ) . {\displaystyle \forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A).}
少なくともゼロ函数を含むため F ≠ ∅ である。今 f1, f2 ∈ F とし、A を任意の可測集合とし、次を定義する:
A 1 = { x ∈ A : f 1 ( x ) > f 2 ( x ) } , A 2 = { x ∈ A : f 2 ( x ) ≥ f 1 ( x ) } , {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\},\end{aligned}}}
このとき、
∫ A max { f 1 , f 2 } d μ = ∫ A 1 f 1 d μ + ∫ A 2 f 2 d μ ≤ ν ( A 1 ) + ν ( A 2 ) = ν ( A ) {\displaystyle \int _{A}\max\{f_{1},f_{2}\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu (A_{1})+\nu (A_{2})=\nu (A)}