粘性解
Ω {\displaystyle \Omega } における下半連続な函数 u {\displaystyle u} が、ある退化楕円型方程式の「粘性の意味」での優解(supersolution)であるとは、任意の点 x 0 ∈ Ω {\displaystyle x_{0}\in \Omega } と、任意の C 2 {\displaystyle C^{2}} 函数 φ {\displaystyle \phi } で φ ( x 0 ) = u ( x 0 ) {\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})} および x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で φ ≤ u {\displaystyle \phi \leq u} を満たすようなものに対して、 H ( x 0 , φ ( x 0 ) , D φ ( x 0 ) , D 2 φ ( x 0 ) ) ≥ 0 {\displaystyle H(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0} が成立することを言う。
連続函数 u は、粘性の意味で優解かつ劣解であるとき、その偏微分方程式の粘性解と言われる。
例えば、 − Δ u = 0 {\displaystyle -\Delta u=0} は退化楕円型である。また任意の一階の方程式は、退化楕円型である。
Ω {\displaystyle \Omega } における上半連続な函数 u {\displaystyle u} が、ある退化楕円型方程式の「粘性の意味」での劣解(subsolution)であるとは、任意の点 x 0 ∈ Ω {\displaystyle x_{0}\in \Omega } と、任意の C 2 {\displaystyle C^{2}} 函数 φ {\displaystyle \phi } で φ ( x 0 ) = u ( x 0 ) {\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})} および x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で φ ≥ u {\displaystyle \phi \geq u} を満たすようなものに対して、 H ( x 0 , φ ( x 0 ) , D φ ( x 0 ) , D 2 φ ( x 0 ) ) ≤ 0 {\displaystyle H(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0} が成立することを言う。
また、すべての r ≤ s {\displaystyle r\leq s} および X ≥ Y {\displaystyle X\geq Y} に対して、 H ( Y , p , s ) ≥ H ( X , p , r ) + λ | | X − Y | | {\displaystyle H(Y,p,s)\geq H(X,p,r)+\lambda ||X-Y||} が成り立つようなある λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} が存在する。
解の「存在」は、比較原理が成り立ち、かつ境界条件がある方法で強いられる(ディリクレ境界条件の場合には障壁函数を通して)すべての場合において、保証される。一階の方程式に対しては、粘性消滅法によって解の存在は示され、その他ほとんどの方程式に対しては、ペロンの方法によって示される。
L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} における解の「安定性」は次のように従う:解(あるいは劣解または優解)の列の局所一様極限は、解(あるいは劣解または優解)である。