スピン構造
M 上のスピノルの束 πS: S → M は、「M のスピン標構 πP: P → M に対応する主束が付随する複素ベクトル束」であり、そしてまた、「その構造群がスピン群 Spin(n) であるような、スピノルの空間 Δn を表現空間とするスピン表現」である。この束 S を与えられた M 上のスピン構造に対するスピノル束(英語版)と呼ぶ。
多様体上のスピン構造の精確な定義は、ファイバー束の概念を導入して初めて可能である。Haefliger (1956) は、向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造の存在に対する位相的な障害を発見し、Karoubi (1968) はこの結果を、向き付け不能な擬リーマン多様体にまで拡張した。
素粒子物理学におけるスピン統計定理は、電荷を帯びていないフェルミオンの波動函数が、付随するベクトル束(英語版)の切断の SO(n)-束 E へのスピン持ち上げであることを含意する。従って、スピン構造の選択は波動函数を定義するために必要なデータの一部であり、分配函数での選択を渡る和をとることにしばしば必要となる。多くの物理理論で E は接束であるが、弦理論におけるD-ブレーンの世界体積上のフェルミオンに対しては法束(英語版)をとる。
幾何学および場の理論において、与えられたリーマン多様体 (M, g) がスピノルを持つことができるか否かは興味のある問題である。この問題を扱うための一つの方法が、M がスピン構造を持つと仮定することである。しかし常にそのように仮定してよいわけではなく、スピン構造の存在に対する位相的な障害の可能性がある。スピン構造が存在するための必要十分条件は、M の二次スティーフェル–ホイットニー類 w2(M) ∈ H(M, Z2) が消えていることである。さらに言えば、w2(M) = 0 ならば、M 上のスピン構造の同型類全体の成す集合の上には H(M, Z2) が自由かつ推移的に作用する。多様体 M は向き付けられていると仮定すれば、M の一次スティーフェル–ホイットニー類 w1(M) ∈ H(M, Z2) も消えている(多様体 M の各スティーフェル–ホイットニー類 wi(M) ∈ H(M, Z2) は、M の接束 TM のスティーフェル–ホイットニー類として定義される)。