リュカ数列
m / d , n / d {\displaystyle m/d,n/d} が共に奇数ならば gcd ( V m , V n ) = V d . {\displaystyle \gcd(V_{m},V_{n})=V_{d}.}
リュカ数列の値は少数の例外を除いて原始約数を持つことが知られている。D を割り切らない素数 p が Fn の原始約数であるための必要十分条件は p が n を割り切らないことである。
P, Q が互いに素かつ Un が非退化とする。 D > 0のとき、 n ≠ 1, 2, 6ならば Un は U 3 ( 1 , − 2 ) = U 3 ( − 1 , − 2 ) = 3 , U 5 ( 1 , − 1 ) = U 5 ( − 1 , − 1 ) = 5 , U 12 ( 1 , − 1 ) = 144 , U 12 ( − 1 , − 1 ) = − 144 {\displaystyle U_{3}(1,-2)=U_{3}(-1,-2)=3,U_{5}(1,-1)=U_{5}(-1,-1)=5,U_{12}(1,-1)=144,U_{12}(-1,-1)=-144} を除いて原始約数を持つことは既にカーマイケルにより示されている。 D < 0のときは難しい問題であったが n > 30ならば、 Un は原始約数を持つ。また、 n ≤ 30で、 Un が原始約数を持たないものは先に全て知られている。 U n ( n = 5 , 7 ≤ n ≤ 30 ) {\displaystyle U_{n}(n=5,7\leq n\leq 30)} が原始約数を持たないもの( P が正の場合のみ挙げる。 P が負の場合は (-1) 倍する)は次の通り。