コンパクト空間
1つ目の性質は(有向点族に対する)ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性といい、これは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分を若干拡張した形で定式化したものである。この性質は直観的には点列の拡張概念である有向点族の極限が発散する事がない事を意味する。
コンパクトな空間では有向点族がXの「外」に「発散」する事がないので、X内で「収束」するか「振動」するかのいずれかとなる。よって任意の有向点族には収束する部分列が取れるはずであり、厳密にはこの事実を持ってコンパクト性を定義する。
コンパクトな空間は「Xの外に発散する有向点族がない」という意味において、閉集合よりもさらに「閉じた」空間だと言え、実際ハウスドルフ空間においてはコンパクトな部分集合は必ず閉集合になる事が知られている。こうした事情から、コンパクトな空間には「閉」という接頭辞をつけて呼ぶ事があり、例えばコンパクトな多様体は「閉多様体」と呼ばれる。
コンパクト性は位相空間論における重要概念の一つなので、コンパクト性の定義を拡張したり修正したりした概念が複数存在する。本節ではこうした概念を紹介し、それらの関係性を述べる。
一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある:
定理 (バナッハ・アラオグルの定理) ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } とする。このときK上のノルム空間Vの双対空間Vに*弱位相を入れると、(Vが無限次元であっても)Vの閉単位球はコンパクトである。
ここでノルム空間Vの双対空間VはV上のK値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、*弱位相とはx ∈ Vに対し、
μ x : α ∈ V ∗ ↦ α ( x ) ∈ K {\displaystyle \mu _{x}\colon \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K}
とするとき、μxが全て連続になるV上の最弱の位相の事である。なおVは作用素ノルムによりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。
*弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する:
系 ― V*に*弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
なお、Vが再帰的であればV上の弱位相に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている。
注意しなければならないのは、*弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても*弱位相をいれたVが後述する局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
コンパクトを特徴づける2つ目の性質(前述のようにこれはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性と同値)はハイネ・ボレル性といい、これは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理の結論部分に相当する性質である。
ハイネ・ボレル性は非常に抽象的な性質なので、その詳細は後の章に譲るが、コンパクトな空間に対する定理を証明する際、無限に伴う証明の困難さを回避するのにこの性質を用いる事ができる。なお、学部レベルの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。