天体力学
ある瞬間における天体の座標 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} および速度 ( v x , v y , v z ) {\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})} が与えられたならば、その天体の軌道要素は一意に定まりそれを計算することができる。しかし実際には1回の観測で得られるのは2つの角度(赤道座標では赤緯 α {\displaystyle \alpha } と赤経 δ {\displaystyle \delta } )だけであり、天体の軌道要素を決定するためには最低3回の観測を行う必要がある。観測データから軌道要素を決定する方法論は軌道決定(英語版)として知られている。
d i d t = − tan  ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ( ∂ R ∂ ε + ∂ R ∂ π ) − 1 n a 2 1 − e 2 sin  i ∂ R ∂ Ω {\displaystyle {\frac {di}{dt}}=-{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}\left({\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial R}{\partial \varpi }}\right)-{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}{\frac {\partial R}{\partial \Omega }}}
d ε d t = − 2 n a ∂ R ∂ a + 1 − e 2 n a 2 e [ 1 − 1 − e 2 ] ∂ R ∂ e + tan  ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\epsilon }{dt}}=-{\frac {2}{na}}{\frac {\partial R}{\partial a}}+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}[1-{\sqrt {1-e^{2}}}]{\frac {\partial R}{\partial e}}+{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial R}{\partial i}}}
d Ω d t = r sin  ( f + ω ) n a 2 1 − e 2 sin  i W ′ {\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}={\frac {r\sin(f+\omega )}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}W'}
d ω d t = 1 e p μ { − cos  f R ′ + ( 1 + r p ) sin  f S ′ } − cos  i d Ω d t {\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}={\frac {1}{e}}{\sqrt {\frac {p}{\mu }}}\left\{-\cos fR'+\left(1+{\frac {r}{p}}\right)\sin fS'\right\}-\cos i{\frac {d\Omega }{dt}}}
d t 0 d t = − 1 − e 2 n 2 a e { ( cos  f − 2 e r p ) R ′ − ( 1 + r p ) sin  f S ′ } − 3 2 a ( t − t 0 ) d a d t {\displaystyle {\frac {dt_{0}}{dt}}=-{\frac {1-e^{2}}{n^{2}ae}}\left\{\left(\cos f-2e{\frac {r}{p}}\right)R'-\left(1+{\frac {r}{p}}\right)\sin fS'\right\}-{\frac {3}{2a}}(t-t_{0}){\frac {da}{dt}}}
重力相互作用する3天体の運動を求める問題は三体問題として知られる。第三体の質量が他の二体に比べて極めて小さく、二体に及ぼす重力が無視できるとき制限三体問題と呼び、特に二体が円運動するときを円制限三体問題と呼ぶ。この問題は多くの人の手によって調べられてきており、三体問題は求積法により解くことはできないものの、特殊解のひとつであるラグランジュ点はよく知られている。
多くの天体は公転に加えて自転しており、自転運動はオイラーの運動方程式によって記述される。測地学では地球の自転を地球に対して固定された座標系で議論することが多いものの、天文学分野では慣性系を用いて議論することが好まれる。惑星の自転はある軸(自転軸)まわりの回転として表現でき、その軸を n {\displaystyle \mathbf {n} } 、自転角速度を ω {\displaystyle \omega } とするとき自転は角速度ベクトル ω = ω n {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {n} } により記述される。角速度ベクトルは自転角運動量 L {\displaystyle \mathbf {L} } と L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}} という関係にある。ここに I {\displaystyle \mathbf {I} } は慣性モーメントテンソル
ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1805-1865) は自身の光学に関する研究から着想を得て1834年から35年にかけての一連の論文においてハミルトン力学を創始した。1836年に円制限三体問題に新しい運動の積分を発見したヤコビはこの論文を書き上げた後にハミルトンの論文を読んだと考えられており、彼は力が時間に依存する場合へとハミルトンの理論を拡張し1837年に現在ハミルトン–ヤコビ方程式として知られる単一の偏微分方程式を書き下した。ハミルトンの方程式はヤコビによって「正準」 (仏: canonique) と命名された。