P進L関数
ディリクレ L-函数は、級数
L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s = ∏ p prime number 1 1 − χ ( p ) p − s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime number}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}
の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、
L ( 1 − n , χ ) = − B n , χ n {\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}
である。ここに、Bn,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、
∑ n = 0 ∞ B n , χ t n n ! = ∑ a = 1 f χ ( a ) t e a t e f t − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}
で定義される。