VIX指数
将来の株価の対数収益率の分散に対する先渡契約をバリアンススワップ (英: variance swap) と言う。またバリアンススワップにおける先渡価格をバリアンススワップレートと言い、S&P 500に対する満期が30日のバリアンススワップレートはその値が理論上はVIXと同じであるため、近似値としてVIXが使用されることがある。
また実現した株価の対数収益率の分散の平均値(実現ボラティリティ)よりVIXの方が高くなることが統計的に確かめられている。このVIXと実現ボラティリティの差をバリアンスリスクプレミアム (英: variance risk premium) と呼ぶ。
∫ 0 F max { K − S ( T ) , 0 } K 2 d K + ∫ F ∞ max { S ( T ) − K , 0 } K 2 d K = − log  S ( T ) + log  F + S ( T ) − F F {\displaystyle \int _{0}^{F}{\frac {\max\{K-S(T),0\}}{K^{2}}}dK+\int _{F}^{\infty }{\frac {\max\{S(T)-K,0\}}{K^{2}}}dK=-\log S(T)+\log F+{\frac {S(T)-F}{F}}}
したがって
σ 2 = 2 T ( − E ∗ [ log  S ( T ) ] + log  F + E ∗ [ S ( T ) ] − F F ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}\left(-E^{*}[\log S(T)]+\log F+{\frac {E^{*}[S(T)]-F}{F}}\right)}
となる。現時点を 0 {\displaystyle 0} 時点とすると先渡価格の無裁定価格は F = E ∗ [ S ( T ) ] = e R T S ( 0 ) {\displaystyle F=E^{*}[S(T)]=e^{RT}S(0)} なので次が得られる。
σ 2 = 2 T ( R T − E ∗ [ log  S ( T ) − log  S ( 0 ) ] ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}{\Big (}RT-E^{*}[\log S(T)-\log S(0)]{\Big )}}
ここで原資産価格 S {\displaystyle S} のリスク中立確率測度下での価格変動がボラティリティが変動する幾何ブラウン運動に従うとする。つまり
S ( T ) = S ( 0 ) + ∫ 0 T R S ( t ) d t + ∫ 0 T v ( t ) S ( t ) d W ∗ ( t ) {\displaystyle S(T)=S(0)+\int _{0}^{T}RS(t)dt+\int _{0}^{T}v(t)S(t)dW^{*}(t)}
であるとする。ただし W ∗ {\displaystyle W^{*}} はリスク中立確率測度下でのブラウン運動で、 v {\displaystyle v} は時間によって変動するボラティリティである。この時、伊藤の公式から
log  S ( T ) = log  S ( 0 ) + ∫ 0 T ( R − v 2 ( t ) 2 ) d t + ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) = log  S ( 0 ) + R T − 1 2 ∫ 0 T v 2 ( t ) d t + ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) {\displaystyle \log S(T)=\log S(0)+\int _{0}^{T}\left(R-{\frac {v^{2}(t)}{2}}\right)dt+\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)=\log S(0)+RT-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt+\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)}
となる。これを σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} に代入し、整理すれば