単調収束定理
なぜならば、もしこの不等式が各 k に対して真であるなら、左辺の極限もまた右辺以下であるからである。gk が単関数であり、各 x に対して
lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)\,}
であるなら、
lim j ∫ f j d μ ≥ ∫ g k d μ {\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}\,\mathrm {d} \mu \geq \int g_{k}\,\mathrm {d} \mu }
であることを示す。積分は線型であるため、関数 g k {\displaystyle g_{k}} が σ-代数 Σ の要素 B の指示関数である場合に落とし込むことにより、 g k {\displaystyle g_{k}} をその定数部分に分けることが出来る。この場合 f j {\displaystyle f_{j}} は、B の各点における上限が 1 以上であるような可測関数の列であると仮定される。ε > 0 を固定し、可測集合の列
B n = { x ∈ B : f n ( x ) ≥ 1 − ε } {\displaystyle B_{n}=\{x\in B:f_{n}(x)\geq 1-\epsilon \}\,}
を定義する。積分の単調性により、任意の n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対して、
μ ( B n ) ( 1 − ε ) = ∫ ( 1 − ε ) 1 B n d μ ≤ ∫ f n d μ {\displaystyle \mu (B_{n})(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_{n}}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f_{n}\,\mathrm {d} \mu }
定義によれば、σ-代数は可算の共通部分に関して閉じているため、このことは f が Σ-可測であることを意味する。一般的に、可測関数の任意の可算個の族の上限は、可測である。
続いて、単調収束定理の残りの部分の証明を行う。f が Σ-可測であるという事実は、 ∫ f d μ {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu } が良設定であることを意味する。
∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \geq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu } を示す。ルベーグ積分の定義により、
∫ f d μ = sup { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sup\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,\ g\leq f\}}
を得る。ここで SF は X 上の Σ-可測単関数の集合を表す。各 x ∈ X において f k ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)} であるため、
{ ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f k } ⊆ { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } {\displaystyle \left\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,\ g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,\ g\leq f\right\}}