バーンバウム＝オルリッチ空間
これは次のトゥルディンガー不等式(英語版)の解析的な内容である:リプシッツ境界 ∂ X {\displaystyle \partial X} を持つ開かつ有界な集合 X ⊆ R n {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}} に対して、空間 W 0 k , p ( X ) {\displaystyle W_{0}^{k,p}(X)} , k p = n {\displaystyle kp=n} を考える。このとき、次を満たす定数 C 1 , C 2 > 0 {\displaystyle C_{1},C_{2}>0} が存在する。
∫ X exp  ( ( | u ( x ) | C 1 ‖ D k u ‖ L p ( X ) ) p / ( p − 1 ) ) d x ≤ C 2 | X | . {\displaystyle \int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{p/(p-1)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.}