超越数
(エルスナー (C. Elsner)、下村、塩川)
代数的独立性には、シャヌエルの予想 (Schanuel's conjecture) と呼ばれる有名な予想があり、現在でも解決されていない。( n = 2 {\displaystyle n=2} のときでさえも、未解決である。)
シャヌエルの予想
α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\cdots ,\ \alpha _{n}} を有理数体上線形独立な複素数としたとき、 t r a n s . deg Q  Q ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n , e α 1 , e α 2 , ⋯ , e α n ) ≥ n {\displaystyle \mathbf {trans} .\deg _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\alpha _{1},\ \alpha _{2},\cdots ,\ \alpha _{n},\ e^{\alpha _{1}},\ e^{\alpha _{2}},\cdots ,\ e^{\alpha _{n}})\geq n} 。