ゴールドバッハの予想
(ヴィノグラードフの定理参照)
1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
1947年、ハンガリーの数学者レーニは大きな篩い(英語版)という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明した。
中国の数学者陳景潤は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。
1995年、フランスの数学者ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
2002年、ヒース=ブラウン(英語版)とシュラーゲ=プフタは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト(BOINC)でGoldbach's Conjecture Projectが開始された。
2013年、ハラルド・ヘルフゴットによって弱いゴールドバッハ予想が証明された。
2015年、4 × 10 までの4以上の全ての偶数について成立することが確認された。