ホッジ予想
N c H k ( X , Z ) = H k ( X , Z ) ∩ ( H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) ) . {\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap \left(H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)\right).}
Grothendieck (1969) では、たとえ有理数係数の場合でも、これが正しくないことが認識されていた。何故ならば、右辺がいつもホッジ構造であるとは限らないからである。グロタンディークがホッジ予想を修正した形は、次の形である。
一般化されたホッジ予想 N H(X, Q) は、
H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) {\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)}
に含まれる H(X, Z) の最も大きな部分ホッジ構造であろう。
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