プロホロフの定理
プロホロフの定理は、複素測度や有限の符号付測度を考慮できるように次のように拡張される。
定理 ( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} をある完備な可分距離空間とし、 Π {\displaystyle \Pi } を S {\displaystyle S} 上のあるボレル複素測度の族とする。このとき、以下の二つの陳述は同値である。
Π {\displaystyle \Pi } は点列コンパクト。すなわち、すべての列 { μ n } ⊂ Π {\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi } には弱収束する部分列が存在する。
Π {\displaystyle \Pi } は全変動ノルム(英語版)について緊密かつ一様有界である。