ピタゴラスの定理
3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表(例えば 4961 + 6480 = 8161 のようなもの)が出ている。
a + b = c を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で (a, b, c) の正の整数倍 (ka, kb, kc) で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。
ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、c < 100 で、a < b とすると次の通りである:
(a, b, c) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, C = ∠ACB とおくと、余弦定理より
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos  C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
一方、仮定より
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
であるから
cos  C = 0 {\displaystyle \cos C=0}
となる。三角形の内角の和は π であるから 0 < C < π より、
C = cos − 1  0 = π 2 {\displaystyle C=\cos ^{-1}0={\frac {\pi }{2}}}
ゆえに △ABC は ∠C = π/2 の直角三角形である。
ピタゴラス数 (a, b, c) には、次の性質がある。
a または b は 4 の倍数
a または b は 3 の倍数
a または b または c は 5 の倍数 したがって、積 abc は 60 の倍数である。
自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n が
m, n は互いに素
m > n
m と n の偶奇が異なる(一方が偶数で他方が奇数)
を満たすとして、
(a, b, c) = (m − n, 2mn, m + n) または (2mn, m − n, m + n)
であることが必要十分である。上記の (m, n) は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。
例えば
(m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5)
(m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13)
(m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17)
である。a < b を満たす原始ピタゴラス数を a の昇順に並べた一覧表は以下のようになる。
また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でないことを無限降下法により証明した。
△ABC が a + b = c を満たすとする。線分 AB を b : a に内分する点を D とすると
AD = c × b 2 b 2 + a 2 = c × b 2 c 2 = b 2 c {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AD}}&=c\times {\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}\\&=c\times {\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {b^{2}}{c}}\end{aligned}}}
である。これより
AC : AD = b : b 2 c = c : b = AB : AC {\displaystyle {\text{AC}}:{\text{AD}}=b:{\frac {b^{2}}{c}}=c:b={\text{AB}}:{\text{AC}}}