純非分離拡大
Jacobson (1937, 1944) は指数 1 の純非分離拡大に対するガロワ理論のバリエーションを導入した、ただしガロワ理論における体自己同型のガロワ群は微分の制限リー代数(英語版)に取って代わられる。もっとも簡単なケースは指数が高々 1 の有限 index 純非分離拡大 K⊆L に対するものである(つまり L のすべての元の p 乗は K に入る)。この場合 L の K-微分のリー代数は L 上 n 次元のベクトル空間でもある制限リー代数である、ただし [L:K] = p、そして L の K を含む中間体は L 上ベクトル空間であるこのリー代数の制限リー部分代数に対応する。微分のリー代数は L 上のベクトル空間であるが、それは一般には L 上のリー代数ではない、が K 上次元 n[L:K] = np のリー代数である。
純分離拡大は単拡大のテンソル積であるときにモジュラー拡大 (modular extension) と呼ばれる、よってとくに指数 1 のすべての拡大はモジュラーであるが、指数 2 の非モジュラー拡大は存在する (Weisfeld 1965)。Sweedler (1968) と Gerstenhaber & Zaromp (1970) はガロワ対応のモジュラー純非分離拡大への拡大を与えた、ただし微分は高次の微分で置き換えられる。