作用 (物理学)
と計算できる。最後の項を部分積分し、境界条件 ε(ti) = ε(tf) = 0 を適用すれば、次の等式が得られる:
δ S = ∫ t i t f ( ε ∂ L ∂ x − ε d d t ∂ L ∂ x ̇ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}-\varepsilon {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,\mathrm {d} t}
作用 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が停留点を持つという要請は、真の時間発展の周りのすべての可能な摂動はその一次変化がゼロである、という要請を暗に含んでいる(停留作用の原理)。
作用は積分の形で定義され、これを作用積分(さようせきぶん、英: action integral)と呼ぶ。系の古典的運動方程式は、作用積分を最小化する必要条件として、作用積分の境界条件を除いた形で得られる。
この単純な原理は、物理へ深い洞察をもたらす現代理論物理学での重要な概念である。
微分方程式による表現と変分原理による表現の二つのアプローチが互いに等価であることは、ハミルトンの原理(英語版)から導かれる。ハミルトンの原理は任意の系の運動方程式である微分方程式は等価な積分方程式として再定式化することができることを言っている。これは、単に単一粒子の運動に留まらず、電磁場や重力場のような古典場の理論にも適用できる。ハミルトンの原理はまた、量子力学や場の量子論への拡張、特に経路積分の定式化に用いられる。量子系の可能なすべての経路に対して、それぞれの経路の確率振幅がその経路の作用積分によって決定される。
作用汎関数の節でも触れたが、一般化座標の時間発展の小さな摂動の下で作用積分が停留点を持つという要請は、変分法を用いて与えられる一連の微分方程式(つまりオイラー=ラグランジュ方程式)と同値である。このことを一般化座標が一変数 x の場合を例に取って説明する。多変数への拡張は一変数での議論をそのまま適用すればよい。
ハミルトンの原理(英語版)を受け入れるならば、作用積分の被積分関数であるラグランジアン L は、座標 x(t) とその時間微分 dx(t)/dt にのみ依存するか、あるいは問題によって、それらに加えて時刻 t に陽に依存する。このラグランジアンに対する作用積分は次のように書き表わすことができる。
S = ∫ t i t f L ( x , x ̇ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;L(x,{\dot {x}},t)\,\mathrm {d} t}
ここで、運動の初期時刻 ti と終端時刻 tf、および初期位置 xi = x(ti) と終端位置 xf = x(tf) はあらかじめ固定しておく。
xtrue(t) を求める真の時間発展とし、その摂動バージョンを xper(t) とする。ただし摂動バージョンの端点は真の時間発展に一致するものとし、xper(ti) = xi かつ xper(tf) = xf なるものを選ぶ。