行列力学
行列力学において、ハミルトニアンH(x, p ) はエネルギー固有値Enを成分とする対角行列
H ( x , p ) = ( E 0 0 0 ... 0 E 1 0 ... 0 0 E 2 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle H(x,p)={\begin{pmatrix}E_{0}&0&0&\ldots \\0&E_{1}&0&\ldots \\0&0&E_{2}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}
として与えられる。これは、ハミルトニアン自身に対するハイゼンベルクの運動方程式が
i ħ d H d t = [ H , H ] = H H − H H = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {dH}{dt}}=[H,H]=HH-HH=0}
であり、対応するハミルトニアンの行列要素 H m n ( t ) = H m n e 2 π i ν m n t {\displaystyle H_{mn}(t)=H_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}} が
力学量 A=A(X, P) の時間発展はハイゼンベルクの運動方程式
i ħ d A d t = [ A , H ] = A H − H A {\displaystyle i\hbar {\frac {dA}{dt}}=[A,H]=AH-HA}
で記述される。ここで H は系のハミルトニアンに対応するエルミート行列である。
ハイゼンベルク、ボルン、ヨルダンによって構築された行列力学の理論は次のようにまとめられる。