モノイド環
R を環とし G をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。
G の R 上のモノイド環 R[G](あるいは RG とも書く)は、G の元からなる R-係数の「形式和」全体の成す集合 R [ G ] := { ∑ g ∈ G r g g ∣ r g ∈ R , r g = 0 for all but finitely many g ∈ G } {\displaystyle R[G]:=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}\,g\mid r_{g}\in R,\,r_{g}=0{\text{ for all but finitely many }}g\in G\right\}} を台集合とする。ここで右辺は各 g ∈ G に対して rg ∈ R であり、かつ有限個を除くすべての g に対して rg = 0 となるような和を元とする集合を意味するものである。環としての演算はこの台集合上に、加法は係数ごとの和(英語版)で入れて、乗法は(R と G とが元ごとに可換となるものとして)G における積を線型に拡張する。
R[G] は写像 φ: G → R でその台 supp(φ) = {g | φ(g) ≠ 0} が有限となるもの全体の成す集合 R [ G ] := { φ : G → R ∣ | supp  ( φ ) | < ∞ } {\displaystyle R[G]:=\{\varphi \colon G\to R\mid |\operatorname {supp} (\varphi )|<\infty \}} で、写像の通常の加法(英語版)と畳み込み ( φ ψ ) ( g ) = ∑ k l = g φ ( k ) ψ ( l ) {\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )} を乗法として持つ環として定義できる。