摂動
H ′ = λ V | Ψ n ⟩ = | Ψ n ( 0 ) ⟩ + λ | Ψ n ( 1 ) ⟩ + λ 2 | Ψ n ( 2 ) ⟩ + ⋯ ε n = ε n ( 0 ) + λ ε n ( 1 ) + λ 2 ε n ( 2 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}'&=\lambda V\\|\Psi _{n}\rangle &=|\Psi _{n}^{(0)}\rangle +\lambda |\Psi _{n}^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|\Psi _{n}^{(2)}\rangle +\dotsb \\\epsilon _{n}&=\epsilon _{n}^{(0)}+\lambda \epsilon _{n}^{(1)}+\lambda ^{2}\epsilon _{n}^{(2)}+\dotsb \end{aligned}}}
と表す。べき級数の中で既知であるのは、第1項目だけであることに注意。 これで、 | Ψ n ⟩ {\displaystyle |\Psi _{n}\rangle \ } 、 ε n {\displaystyle \epsilon _{n}} を求める問題は { | Ψ n ( 1 ) ⟩ , | Ψ n ( 2 ) ⟩ , ... } {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(1)}\rangle ,|\Psi _{n}^{(2)}\rangle ,\dotsc \}} 、 { ε n ( 1 ) , ε n ( 2 ) , ... } {\displaystyle \{\epsilon _{n}^{(1)},\epsilon _{n}^{(2)},\dotsc \}} を求める問題に変換された。
これらを(0)式に代入し、任意の λ {\displaystyle \lambda \ } で成立すると仮定すると、
未知の ( | Ψ n ( 1 ) ⟩ , ε n ( 1 ) ) {\displaystyle (|\Psi _{n}^{(1)}\rangle ,\epsilon _{n}^{(1)})} だけを含む方程式 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \cdots (1)}