不動点の作図法
もうひとつの作図法はアポロニウスの円を用いる方法である。長方形ABCDと長方形A'B'C'D'において頂点Aと頂点A'からの距離の比が相似比(AB対A'B')となる点の軌跡を描くと頂点Aと頂点A'を結ぶ直線上に直径がくるアポロニウスの円O1となる。同様にして、頂点Bと頂点B'からの距離の比が相似比となる点の軌跡を描くと、頂点Bと頂点B'を結ぶ直線上に直径がくるアポロニウスの円O2となる。この2つのアポロニウスの円の交点Oが不動点となる.実際にOA:OA'=AB:A'B', OB:OB'=AB:A'B' となっている。
合同変換の不動点Oは線分AA'の垂直二等分線と、線分DD'の垂直二等分線の交点Oが不動点となる。
このとき、線分BB'の垂直二等分線と、線分CC'の垂直二等分線は、上の交点Oを通る。