ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
初めに、行列についての議論を紹介する。
R 内の閉単位球 S はコンパクトであり、f は連続であるため、f(S) は実直線上でコンパクトであり、したがって S 上のある単位ベクトル y においてある最大値を取る。ラグランジュの定理により、y は
∇ f = ∇ y ∗ T y = λ ⋅ ∇ y ∗ y {\displaystyle \nabla f=\nabla \;y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla \;y^{*}y}
をある λ に対して満たす。エルミート性により、Ty = λy が成立する。
しかしながら、ラグランジュ乗数は無限次元の場合へ簡単に一般化はなされない。代わりに、z ∈ C を任意のベクトルとする。もし単位ベクトル y が単位球上で <Tx, x> を最大化するなら、それは次のレイリー商も最大化する:
g ( x ) = ⟨ T x , x ⟩ ‖ x ‖ 2 , x ∈ C n , x ≠ 0. {\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}}\;,\quad x\in \mathbb {C} ^{n},\,x\neq 0.
これはふたたび S = 0 を意味する。
S = 0 という事実は、F が T の核に含まれることを意味する。反対に x ∈ ker(T) であるなら、自己共役性により、x は非ゼロの固有値に対応するすべての固有ベクトル en と直交する。したがって、F = ker(T) であり、{en} は T の核の直交補空間に対する正規直交基底である。T の対角化はその核の正規直交基底を上手く選ぶことによって完成される。以上より、スペクトル定理の証明は完成される。
より短いが抽象的な証明は次のようなものである。ツォルンの補題より、U を次の三つの性質を満たすような H の極大部分集合とする:U のすべての元は T の固有ベクトルであり、それらのノルムは 1 であり、U の任意の二つの異なる元は直交する。F を U の線型包の直交補空間とする。F ≠ {0} であるなら、それは T の非自明な不変部分空間であり、初めの主張から F 内には T のノルム 1 のある固有ベクトル y が存在することが分かる。しかし U ∪ {y} であるから、これは U の極大性に矛盾する。したがって F = {0} であり、span(U) は H 内で稠密となる。このことから、U は T の固有ベクトルからなる H の正規直交基底であることが分かる。