ダルブー導関数
ωが構造方程式を満たせば、発展の終点はホモトピー不変である:
定理 ― ωを多様体M上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値1-形式で
d ω + 1 2 [ ω , ω ] = 0 {\displaystyle d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=0}
を満たすものとする。さらに c 0 , c 1 : [ a , b ] → M {\displaystyle c_{0},c_{1}~:~[a,b]\to M} をM上の2つの曲線でc0の始点、終点がそれぞれc1の始点、終点に一致するものとし、さらにgを元Gの元とする。
このとき、c0とc1が(始点と終点を固定した)ホモトープであれば、c0のgからの発展 c ~ 0 : I → G {\displaystyle {\tilde {c}}_{0}~:~I\to G} の終点とc1のgからの発展 c ~ 1 : I → G {\displaystyle {\tilde {c}}_{1}~:~I\to G} の終点は等しい。
定理・定義 (曲線の発展) ― ωを多様体M上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値1-形式とし、 c : [ a , b ] → M {\displaystyle c~:~[a,b]\to M} をM上の曲線とし、gをGの元とし、 c ∗ ( ω ) {\displaystyle c^{*}(\omega )} をωのcによる [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} への引き戻しとする。このとき、 c ~ : I → G {\displaystyle {\tilde {c}}~:~I\to G} で
ω c ~ = c ∗ ( ω ) {\displaystyle \omega _{\tilde {c}}=c^{*}(\omega )} 、 c ~ ( a ) = g {\displaystyle {\tilde {c}}(a)=g}
を満たすものが存在する。 c ~ {\displaystyle {\tilde {c}}} をgからのcに沿ったωの発展(英: development of ω along c starting at g)という。