ダンドラン球面
よって F 1 P = P 1 P {\displaystyle F_{1}P=P_{1}P}
△ M ′ F 2 P {\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P} , △ M ′ F 2 P {\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P} についても同様にして、 F 2 P = P 2 P {\displaystyle F_{2}P=P_{2}P}
よって、 F 1 P + F 2 P = P 1 P + P P 2 = P 1 P 2 {\displaystyle F_{1}P+F_{2}P=P_{1}P+PP_{2}=P_{1}P_{2}}
P 1 P 2 = M M ′ 2 − ( r 2 − r 1 ) 2 {\displaystyle P_{1}P_{2}={\sqrt {MM'^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}}} なので、この値は球面 G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} が与えられたときに決定している。
よって、この円錐曲線は2定点からの距離の和が一定である点の集合である。
この証明はペルガのアポロニウスの証明とは異なる流れである。
(楕円は円錐断面と軸のなす角や離心率によっても定義できるが)もし楕円の定義を「2定点からの距離の和が一定である点の集合」とするならば、上記の証明はこの円錐曲線が楕円であることを示している。
この証明は双曲線、放物線に対しても応用できる。 さらに平面と円柱との交差としての楕円についても応用できる。