部分リーマン多様体の接続と曲率
本稿ではリーマン多様体に対するガウス・ボンネの定理を記述したが、擬リーマン多様体でも同様の定理が成立する:
定理 (擬リーマン多様体のガウス・ボンネの定理) ― Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトな符号数 ( p , m − p ) {\displaystyle (p,m-p)} の擬リーマン多様体とする。このとき、pが奇数であればχ(M)=0である。 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} はMのオイラー標数である。
一方pが偶数であれば、
( − 1 ) p / 2 ∫ M e u ( Ω ) = χ ( M ) {\displaystyle (-1)^{p/2}\int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )=\chi (M)}
が成立する。ここで e u ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )} はMのオイラー形式である。
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t. }}i<j}} が ∧ 2 T P M {\displaystyle \wedge ^{2}T_{P}M} の基底であった事から、上記の事実は e i ∧ e j {\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}} は c + κ i κ j {\displaystyle c+\kappa _{i}\kappa _{j}} を固有値とするρの固有ベクトルである事がわかる。
S e c ( e i , e j ) = c + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}} であったので、上記の定理は、有名なTheorema Egregiumの一般化になっている:
定理 (Theorema Egregium) ― R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の二次元部分多様体 M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する。
Theorema Egregiumの一般化から以下の系が従う:
系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき、 M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMの第r平均曲率はrが偶数ならMに内在的な量である。
よってとくに M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率KはMの次元mが偶数ならMに内在的な量である。
上述したように、M上のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } は M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ ̄ M {\displaystyle {\bar {\nabla }}^{M}} のTMへの射影であるので、両者の差 ∇ ̄ X M Y − ∇ X Y {\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y-\nabla _{X}Y} は M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} の法ベクトルバンドル N M {\displaystyle NM} への ∇ ̄ X M Y {\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y} の射影となる。 Mの点Pに対し、
P r P : T P M ̄ → T P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}~:~T_{P}{\bar {M}}\to T_{P}M}
P r P N : T P M ̄ → N P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}^{N}~:~T_{P}{\bar {M}}\to N_{P}M}
χ ( ∂ N ) = χ ( M × S n − m − 1 ) = χ ( M ) χ ( S n − m − 1 ) = 2 χ ( M ) {\displaystyle \chi (\partial N)=\chi (M\times S^{n-m-1})=\chi (M)\chi (S^{n-m-1})=2\chi (M)}
が成立する。
χ ( ∂ N ) {\displaystyle \chi (\partial N)} は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} で余次元1なので、前述のホップによる結果を適用でき、
∫ ∂ N e u ( Ω ∂ N ) = χ ( ∂ N ) = 2 χ ( M ) {\displaystyle \int _{\partial N}\mathrm {eu} (\Omega ^{\partial N})=\chi (\partial N)=2\chi (M)}
が言える。ここで Ω ∂ N {\displaystyle \Omega ^{\partial N}} は∂Nの曲率形式である。
ヘルマン・ワイルは管状近傍の体積を具体的に(非常に複雑な計算で)求める事で、 ∫ ∂ N e u ( Ω ∂ N ) {\displaystyle \int _{\partial N}\mathrm {eu} (\Omega ^{\partial N})} がε→0のとき ∫ M e u ( Ω ) {\displaystyle \int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )} の2倍に収束する事を示した。以上の議論からガウス・ボンネの定理が証明された。
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