有限差分
δ h n [ f ] ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n i ) f ( x + ( n 2 − i ) h ) {\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}
で与えられる。上記において、(ni) は二項係数である(各 i に対する係数はパスカルの三角形の各行で与えられる)。
中心差分においては n が奇数のとき h が非整数倍されることに留意すべきである。これは離散化の幅を変えることになるため、しばしば問題になる。この問題は δ[f](x − h/2) と δ[f](x + h/2) との平均をとることで除くことができる。
数列に前進差分を施すことを、その数列の二項変換(英語版)と呼ぶことがあり、組合せ論的に興味深い様々な性質がある。前進差分をネールント–ライス積分を用いて評価することができる。このような種類の級数に対する積分表現は、積分が漸近展開や鞍点法で評価されることがしばしばあり、重要である(対照的に前進差分級数は、大きな n に対しては二項係数が急速に増大するため、数値的に評価することが極めて難しい)。
これら高階差分と微分との関係はそれぞれ直接的に
微分法則(英語版)と対応して、
定数律: c が定数ならば Δ c = 0 {\displaystyle \Delta c=0} が成り立つ。
線型性: 定数 a, b に対して Δ ( a f + b g ) = a Δ f + b Δ g {\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g} が成り立つ。
この二つの法則は他の差分作用素でも成り立つ。
積の差分: Δ ( f g ) = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g , {\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\,\Delta g,} ∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f − ∇ f ∇ g . {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\,\nabla g.}
Δ h n [ f ] ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n i ) f ( x + ( n − i ) h ) , {\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}
Δ n [ f ] ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) n − k f ( x + k ) ( for h = 1 ) . {\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)\quad ({\text{for }}h=1).}
f ′′ ( x ) ≈ δ h 2 [ f ] ( x ) h 2 = f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 {\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}
が得られる。同様にほかの差分公式を繰り返し適用すれば