フルヴィッツのゼータ函数
すなわち、
Δ n q 1 − s = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( q + k ) 1 − s {\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}
が成り立つ。ここに Δ は、差分作用素である。従って、次のように書くことができる。
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 Δ n q 1 − s = 1 s − 1 log  ( 1 + Δ ) Δ q 1 − s . {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.\end{aligned}}}
フルヴィッツのゼータ函数の第二引数での微分は、シフト (shift) と見ることができる。
∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}
従って、テイラー級数は次のように表せる。
ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}
この代わりに | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} に対し、