ホモロジー代数学
数学において、アーベル圏 (abelian category) は、射や対象を足すことができ、核や余核が存在し望ましい性質をもった圏である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例はアーベル群の圏 Ab である。理論の起源は アレクサンドル・グロタンディーク (Alexander Grothendieck) によるいくつかのコホモロジー論を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても安定 (stable) である。例えば、正則(英語版)であり、蛇の補題を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏のチェイン複体の圏や、小さい圏からアーベル圏への関手の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は代数幾何学、コホモロジー、そして純粋に圏論において、主要な応用をもつ。アーベル圏は ニールス・アーベル (Niels Henrik Abel) にちなんで名づけられている。
より具体的には、圏がアーベル圏であるとは以下を満たすことである。
零対象をもつ。
すべて二項の積と二項の余積をもつ。
すべて核と余核をもつ。
すべてのモノ射とエピ射は正規射(英語版)である。
完全列の最もよく現れるタイプは短完全列 (short exact sequence) である。これは
A ↪ f B ↠ g C {\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}
の形の完全列である。ただし ƒ はモノ射で g はエピ射である。この場合、A は B の部分対象であり、対応する商は C に同型である。
C ≅ B / f ( A ) {\displaystyle C\cong B/f(A)}
(ただし f(A) = im(f))。
アーベル群の短完全列は5つの項をもった完全列として書くこともできる。
0 → A → f B → g C → 0 {\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}
ただし 0 は自明群や0次元ベクトル空間といった零対象を表す。0 の配置によって ƒ は単射であり g はエピ射になる(下記参照)。
コホモロジー論は、位相空間、層、群、環、リー環、そしてC*-環といった、多くの異なる対象に対して定義されてきた。現代的な代数幾何学の研究は層コホモロジーなしではほとんど考えられないであろう。
ホモロジー代数学で中心的なのは完全列の概念である。これらは実際の計算を行うのに使うことができる。ホモロジー代数学の古典的な手法は導来関手のそれである。最も基本的な例は関手 Ext と Tor である。
様々な応用が念頭にあり、主題全体を一定の基礎の上に置こうとすることは自然だった。主題が落ち着くまでにいくつかの試みがあった。大体の経過は以下のように述べられる。
Cartan–Eilenberg: 彼らの 1956 年の本 "Homological Algebra" において、これらの著者は射影および移入加群分解を用いた。
'Tohoku'(東北): Alexander Grothendieck による名高い論文におけるアプローチ。