モナド (圏論)
完備束 L 上の写像 c: L → L が以下の条件を満たすとき、c を閉包作用素(英語版)と言う:
x ≦ y ならば c(x) ≦ c(y)
x ≦ c(x)
c(c(x)) = c(x)
L と順序関係 ≦ のなす構造を圏とみなしたとき、条件1と順序関係の性質から c を関手と思うことができる。さらに、順序集合を圏とみなしたとき、各対象の間の射は高々1つである。このことと条件2,3を用いると、c は L 上のモナドである条件を満たす。半順序上のモナドが閉包作用素であることは Mac Lane (1978, p. 139) でも示されている。
μ ∘ T μ = μ ∘ μ T {\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T} (自然変換 T 3 → T {\displaystyle T^{3}\rightarrow T} として)
μ ∘ T η = μ ∘ η T = 1 T {\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}} (自然 T → T {\displaystyle T\rightarrow T} として。ここで 1 T {\displaystyle 1_{T}} は T {\displaystyle T} 上の恒等変換である)
これらの条件は以下の可換図式によって書き直すことができる:
T μ {\displaystyle T\mu } や μ T {\displaystyle \mu T} という表記を展開し以下の可換図式で表すと以下のようになる: