層 (数学)
数学における層(そう、英: sheaf, 仏: faisceau)とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。
層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。 例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。 さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである。
より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層(ぜんそう、presheaf)とよばれる。
開集合の包含関係 U ⊂ V {\displaystyle U\subset V} と V {\displaystyle V} 上の切断 s ∈ F ( V ) {\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(V)} が与えられたとき、
s | U := ρ U V ( s ) {\displaystyle s|_{U}:=\rho _{U}^{V}(s)}
と記して、 s | U {\displaystyle s|_{U}} を切断 s {\displaystyle s} の U {\displaystyle U} への制限 (restriction) と呼ぶ。
圏論の言葉で言えば、 X {\displaystyle X} の開集合系(これは包含関係に関する順序集合となる) T {\displaystyle T} を圏と見なすとき、 X {\displaystyle X} 上の前層とは T {\displaystyle T} から集合の圏への反変関手のことであるということができる。また、可換群の(あるいは加群の)前層や環の前層は T {\displaystyle T} から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり、同様にして T {\displaystyle T} から適当な圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} への反変関手として C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に値を持つ前層が定義される。二つの前層を関手と見なして、その間の自然変換となるものを前層の射または前層の準同型とよぶ。
Mを集合とするとき、離散位相を考えてMを位相空間とみなせる。このとき、直積空間X × MからXへの第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて、X上のエタールバンドルを与えている。これに対応する層はMが定めるX上の定数層と呼ばれる。