記述集合論
集合が Δ n 1 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}} とはそれが Π n 1 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}} かつ Σ n 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}} であることをいう。
ボレル集合におけると同様に、任意の n {\displaystyle n} について、任意の Δ n 1 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}} 集合は Δ n + 1 1 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n+1}^{1}} である。
構成可能性の公理 V = L {\displaystyle V=L} のもとでベールの性質や完全集合性質を持たない射影集合の存在が示される。しかしながら、射影集合の決定性もとで、全ての射影集合は完全集合性質とベールの性質を持つことが示される。これはZFCはボレル集合の決定性を証明できるが、射影集合についてはそうでないことに関係している。
もっと一般に、ポーランド空間 X {\displaystyle X} の部分集合の集まりはWadge次数として知られる同値類に分類される。これは射影階層を一般化する。これらの次数はWadge階層に並べられる。決定性公理はポーランド空間上のWadge階層が整礎で長さΘの射影階層の延長であることを含意する。