類体論
| I m / P m | = h φ ( m 0 ) 2 ρ e {\displaystyle |I_{\mathfrak {m}}/P_{\mathfrak {m}}|=h{\frac {\varphi ({\mathfrak {m}}_{0})2^{\rho }}{e}}}
と表すことができる。ここで φ(m0) は K の整数環の m0 による剰余類環の可逆元の個数、ρ は m を割り切る実素点の個数、e は K の単数群における m を法として1に乗法合同な単数の成す群の指数である。特に、Im/Pm は有限群である。
存在定理によって合同群に対してアーベル拡大 L が定まり、逆にアーベル拡大 L があれば合同群 Hm(L/K) が定まる。この対応を一対一にするためには合同群に対して適切な同値関係を定義する必要がある。これは次のように定義される。
m を法とする合同群 H と m′ を法とする合同群 H′ が同値であるとは、m と m′ の公倍数であるような m′′ が存在して Im′′ → Im/H の核と Im′′ → Im′/H′ の核が等しいことと定義する。この同値関係による合同群の同値類とアーベル拡大の対応は一対一になる。イデールによる定式化ではこの対応がより直接的に記述される。