近似法
流体力学(ナビエ–ストークス方程式)における境界層のように、解析対象となる領域のうち、異なる領域によって有効な近似方程式が異なる場合がある。このような場合、各領域で境界条件を満足する適切な近似解を構成し、それを漸近接続することによって大域的な解を構成することができる。この手法は境界層理論として知られている。
区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} で定義された連続関数 f {\displaystyle f} を多項式により近似することを考える。このような近似が可能であることはストーン=ワイエルシュトラスの定理によって保証されている。なお一般の区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の場合、変数変換
x = a + b 2 + b − a 2 t {\displaystyle x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}t}
により区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} の問題に帰着できる。
ある多項式 p {\displaystyle p} が問題の関数 f {\displaystyle f} をどの程度「良く」近似できているのかは、区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} における一様ノルム
‖ p − f ‖ = max x ∈ [ − 1 , 1 ] | p ( x ) − f ( x ) | {\displaystyle \|p-f\|=\max _{x\in [-1,1]}\left|p(x)-f(x)\right|}
によって表現される。例えば区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} を等間隔の n {\displaystyle n} 区間 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} ( x i = a + ( b − a ) i / n {\displaystyle x_{i}=a+(b-a)i/n} ) に分割し、各小区間の端点 x i {\displaystyle x_{i}} での関数値 f i ( x i ) {\displaystyle f_{i}(x_{i})} のラグランジュ補間を近似多項式として採用することを考える。