無限公理
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって(少なくとも1つの)無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A {\displaystyle A} は以下の性質を満たすことを確認できる。
∅ ∈ A {\displaystyle \varnothing \in A} (空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } は A {\displaystyle A} の要素である) ∅ ∪ { ∅ } = { ∅ } ∈ A {\displaystyle \varnothing \cup \{\varnothing \}=\{\varnothing \}\in A} (「空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } を要素にもつ集合」は A {\displaystyle A} の要素である) { ∅ } ∪ { ∅ ∪ { ∅ } } = { ∅ , { ∅ } } ∈ A {\displaystyle \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\in A} (「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A {\displaystyle A} の要素である) (以下同様に繰り返す)