ウィグナーのD行列
l ≫ m , m ′ {\displaystyle \ell \gg m,m^{\prime }} なる極限の下では、以下がなりたつ。
D m m ′ l ( α , β , γ ) ≈ e − i m α − i m ′ γ J m − m ′ ( l β ) {\displaystyle D_{mm'}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )\approx e^{-im\alpha -im'\gamma }J_{m-m'}(\ell \beta )}
ここで、 J m − m ′ ( l β ) {\displaystyle J_{m-m'}(\ell \beta )} はベッセル関数であり、 l β {\displaystyle \ell \beta } は有限とする。
J 2 | j m ⟩ = j ( j + 1 ) | j m ⟩ , J z | j m ⟩ = m | j m ⟩ {\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle }
ここで、SU(2)の場合 j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...、SO(3) の場合j = 0, 1, 2, ...であり、どちらの場合でも m = −j, −j + 1, ..., jである。
3次元回転演算子を以下のように書くこととする。
R ( α , β , γ ) = e − i α J z e − i β J y e − i γ J z {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}}}
ここで、 α, β, γはオイラー角である(zyz規約、右手系、右ねじの法則、active interpretationを採用する)。
ウィグナーのD行列はこの球面基底上で回転演算子を表現する2j + 1次元ユニタリ正方行列であり、以下の行列要素を持つ。
また、それぞれの二乗和は一致する。
J 2 ≡ J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 = P 2 ≡ P 1 2 + P 2 2 + P 3 2 {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}}
これを陽に書き下すと以下のようになる。
J 2 = P 2 = − 1 sin 2  β ( ∂ 2 ∂ α 2 + ∂ 2 ∂ γ 2 − 2 cos  β ∂ 2 ∂ α ∂ γ ) − ∂ 2 ∂ β 2 − cot  β ∂ ∂ β {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}}