ラムゼー理論
ラムゼー理論の鍵となる二つの定理は以下のものである:
ファン・デル・ヴェルデンの定理: 任意に c と n が与えられたとき、ある自然数 V が存在して、以下の条件を満たす: V 個の連続する自然数が c 色に塗り分けられているならば、どの元も同じ色で塗られている、長さ n の等差数列が含まれている。
ヘイルズ–ジュエットの定理(英語版): 任意に c と n が与えられたとき、ある自然数 H が存在して、以下の条件を満たす: n×n×...×n の H 次元超立方体のセルを c 色で塗り分けると、ある長さnの行や列などが存在して、それに属する全てのセルが同じ色で塗り分けられている。すなわち、一列に n マスある多人数まるばつは、どれほど n が大きくても、どれほど多人数で遊んだとしても、十分次元の大きい盤面で遊ぶ際、引き分けに終わることがない。ヘイルズ–ジュエットの定理はファン・デル・ヴェルデンの定理を含む。
ファン・デル・ヴェルデンの定理に似た定理にシューアの定理(英語版)があり、これは次のような定理である。これは、任意に c が与えられたとき、ある自然数 N が存在して、以下の条件を満たす: 1, 2, ..., N という数が c 色で塗り分けられているならば、x, y, x + y が全て同じ色となるような自然数 x, y の組が存在する。この定理の一般化はラドの定理(英語版)、Rado-Folkman-Sandersの定理(英語版)、Hindmanの定理(英語版)、Milliken-Taylorの定理(英語版)など多数ある。これらの定理やその他多くの結果の古典的な参考文献として、Graham, Rothschild and Spencerがある。