キリング形式
g を実数体上の半単純リー環とする。カルタンの判定条件(英語版)によって、キリング形式は非退化であり、適当な基底によって対角成分が ±1 の対角行列に対角化できる。シルヴェスターの慣性法則によって、正の成分の個数は双線型形式の不変量である、すなわち、対角化する基底の取り方に依らない。その個数をリー環 g の指数 (index) と呼ぶ。これは 0 と g の次元の間の数であり、実リー環の重要な不変量である。とくに、実リー環 g は、キリング形式が負定値のときコンパクト (compact) と呼ばれる。リー対応(英語版)のもと、コンパクトリー環(英語版)はコンパクトリー群に対応することが知られている。
gC が複素数体上の半単純リー環であれば、複素化(英語版)が gC となるようないくつかの非同型な実リー環が存在する。これらをその実形 (real form) と呼ぶ。
キリング形式 B は双線型かつ対称である。
キリング形式は「結合」性
B ( [ x , y ] , z ) = B ( x , [ y , z ] ) , {\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}
を持つという意味で不変形式である。ここで [ , ] はリーブラケットである。
g が単純リー環であれば、g 上の任意の不変対称双線型形式はキリング形式のスカラー倍である。
キリング形式はリー環 g の自己同型 s のもとでも不変である、つまり
B ( s ( x ) , s ( y ) ) = B ( x , y ) {\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}
が s ∈ Aut(g) に対して成り立つ。
カルタンの判定条件(英語版)は、リー環が半単純であることとキリング形式が非退化であることが同値であるというものである。
冪零リー環のキリング形式は恒等的に 0 である。
I, J がリー環 g の2つのイデアルで交わりが 0 ならば、I と J はキリング形式に関して直交する部分空間である。
イデアルの B についての直交補空間は再びイデアルである。
与えられたリー代数 g がイデアル I1,...,In の直和であれば、g のキリング形式は個々の成分のキリング形式の直和である。