正則関数の解析性
2つの正則関数が、それらの定義域の共通部分に含まれる集積点をもつ無限集合 S のすべての点で一致するならば、集合 S を含む定義域の任意の連結開部分集合のすべての点で一致するという一致の定理。
冪級数は無限回微分可能であるから正則関数もまた無限回微分可能である(実微分可能な関数の場合とは対照的である)。
収束半径は中心 a から最も近い特異点までの距離であり、特異点が無いとき(すなわち f が整関数であるとき)は収束半径は無限大である。厳密には、これは定理の系ではなく、証明の副産物である。
複素平面上の(恒等的に 0 でない)隆起関数は整関数ではない。とくに、複素平面の任意の連結開集合に対し、その集合上定義された正則な隆起関数は存在しない。そのため、1の分割が使えないから複素多様体の研究に重要な影響がある。対照的に、1の分割は任意の実多様体上に用いることのできる道具である。
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}
積分と無限和の交換は以下のように正当化される。 f ( w ) / ( w − a ) {\displaystyle f(w)/(w-a)} は C 上正数 M によっておさえられ、一方、C 内の任意の w に対しても、ある正数 r に対し
| z − a w − a | ≤ r < 1 {\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1}
が成り立つ。したがって C 上