擬絶対値
R を単位的環とする。非負実数値函数 |•|: R → R+ が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: a, b ∈ R を任意として
定値性: | a | = 0 ⟺ a = 0 , {\displaystyle |a|=0\iff a=0,}
| a − b | ≤ | a | + | b | , {\displaystyle |a-b|\leq |a|+|b|,}
劣乗法性: | a ⋅ b | ≤ | a | ⋅ | b | . {\displaystyle |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|.}
条件 3 の代わりにより強く
3a. 乗法性: | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | {\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}
を満たすものは絶対値と言う。
擬絶対値 |•| が非アルキメデス的とは
| a + b | ≤ max ( | a | , | b | ) {\displaystyle |a+b|\leq \max(|a|,|b|)}
を満たすときに言う。
同様に行列環 R も(行列の積に関して)単位的環を成し、ここでも 1 ≤ p ≤ 2 なる各実数 p に対する p-擬ノルムが行列環上の擬絶対値を与える。