フォードの円
A = π 4 ∑ q ≥ 1 1 q 4 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p ≤ q 1 = π 4 ∑ q ≥ 1 φ ( q ) q 4 = π 4 ζ ( 3 ) ζ ( 4 ) , {\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p\leq q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}
ただし、最後の等号はオイラーのトーシェント関数 φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} に関する母関数としてのディリクレ級数を反映している。 ζ ( 4 ) = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}} なので、最終的に次のようになる。
A = 45 2 ζ ( 3 ) π 3 ≈ 0.872284041. {\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}