代数的数
代数的数 α の最小多項式の分母を払って、全ての係数が互いに素である整数係数多項式にしたとき、係数の絶対値の最大値を α の(古典的)高さ ((classical) height) という。 また、 K を α を含む Q 上 d 次の代数体とするとき、 v が K 上の正規(乗法)付値全体を走るときの積
H ( α ) = ( ∏ v max { 1 , | α | v } ) 1 / d {\displaystyle H(\alpha )=\left(\prod _{v}\max\{1,\left|\alpha \right|_{v}\}\right)^{1/d}}
は K のとり方によらずに定まる。この値を α の絶対的高さ (absolute height) と呼び、
h ( α ) = log  H ( α ) {\displaystyle h(\alpha )=\log H(\alpha )}
代数的数 α を根とする 0 ではない整数係数多項式で、最高次の係数が 1 であるもの(モニック多項式と呼ぶ)が存在するとき、α は代数的整数 (algebraic integer) であるという。代数的数の中で整なものの意味である。例えば、整数や、√2, i は、代数的整数である。整数 0, ±1, ±2, ... ∈ Z を代数的整数の中で特に区別する必要がある場合、Z の元のことを有理整数 (rational integer) と呼ぶ。
代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とし、K = Q(α) とおく。
Tr K / Q  ( α ) = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
を α のトレース (trace) という。代数的数のトレースは有理数であり、代数的整数のトレースは有理整数である。