アルティン相互法則
G/H は位数が 2 であるので、部分群 H は G=(Z/lZ) において平方元全体のなす部分群である。アルティン記号の基本的性質により、lと素なイデアル (n) に対し、
( F / Q ( n ) ) = ( L / Q ( n ) ) (mod H ) . {\displaystyle \left({\frac {F/\mathbf {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbf {Q} }{(n)}}\right){\text{ (mod }}H).}
となることがわかる。とくに n = p とすると、 ( l ∗ p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=1} であることと、H の中で p (mod l) であること、すなわち、p は modulo l で二乗であることが同値であることがわかる。
K を大域体とし L をそのガロア拡大とする。CLで L のイデール類群をあらわす。アルティンの相互法則の主張の一つは、大域相互写像、大域アルティン記号などと呼ばれる標準的な同型写像
の存在である。 この写像は、K の各素点 v ごとに定まる局所アルティン記号、局所相互写像あるいはノルム剰余記号(英語版)と呼ばれる写像の族
をひとまとめにしたものとして定義される。より精確に、θ はイデール類の v-成分上で定義された局所写像 θv によって与えられる。この写像 θv は同型であるというのが局所相互律、すなわち局所類体論の主定理の内容であった。