ガンマ行列
より高次の縮約公式についても
γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ ν r + 1 γ μ = 2 γ ν r + 1 γ ν 1 ⋯ γ ν r − ( γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ μ ) γ ν r + 1 {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}-(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma _{\mu })\gamma ^{\nu _{r+1}}}
として帰納的に求められる。
カイラリティー γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} は
γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=-i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}
によって定義される行列である。高次元時空における第5成分とは関係が無い。
( γ 5 ) 2 = 1 , ( γ 5 ) † = γ 5 {\displaystyle (\gamma _{5})^{2}=1,~(\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5}}
γ 5 γ μ = − γ μ γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }\gamma _{5}}
γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} の固有値は ±1 である。