マートンのポートフォリオ問題
マートンのポートフォリオ問題の応用例の一つが異時点間CAPM(ICAPM)である。ICAPMでは、市場に参加する各投資家がマートンのポートフォリオ問題を解き、それらの解を金融資産への需要関数と見なすことで、一般均衡としての金融資産の期待収益率の決定式が導出されている。
となる。これらの解と価値関数をハミルトン=ヤコビ=ベルマン方程式に代入して整理すると次の φ {\displaystyle \phi } についての常微分方程式が得られる。
φ ′ ( t ) + ν ( 1 − γ ) φ ( t ) + γ e − ρ γ t ( φ ( t ) ) 1 − 1 / γ = 0 {\displaystyle \phi ^{\prime }(t)+\nu (1-\gamma )\phi (t)+\gamma e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(\phi (t))^{1-1/\gamma }=0}
φ ( T ) = 1 {\displaystyle \phi (T)=1}
ただし
ν = ( μ − r ) 2 2 σ 2 γ + r {\displaystyle \nu ={\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r}
である。この常微分方程式の境界値問題の解は