因子 (代数幾何学)
これを Div (X)(または DivQ (X) , DivR (X) )で表す。また次数0のヴェイユ因子全体はこの群の部分群をなす。これを Div (X) で表す。
X 上の素因子 Z をひとつ取ったとき、Z と交わりが空でないアフィン開部分スキーム U = Spec (A) を取ると、Z は環 A の高さが1の素イデアル P に対応する (つまり、Z の高さ 1 の生成点 P をとり、U = Spec (A) として P を含むアフィン開部分スキームを取った)。この素イデアル P での A の局所化 AP は1次元正規ネーター局所環であるので、関数体 k(X) の離散付値環になる。対応する離散付値を vZ で表す。AP の極大イデアルも P で表すとき、有理関数 f に対して vZ(f) は、f ∈ P であるが f ∉ P となる d に等しい。すなわち、f が Z に沿ってどのぐらいの重複度を持っているか(正の時には零、負の時には極)、もっと砕けた言い方をすれば「f が P で何回割り切れるか」に対応する値である。f を A の元 g , h を用いて f = g / h と表したとき、vZ(f) > 0 ならば g ∈ P でなくてはならないし、vZ(f) > 0 ならば h ∈ P でなくてはならない。A の元 g に対して g ∈ P となる P は有限である(付随素因子の有限性、準素分解参照)。同様に h ∈ P となるPも有限。
f : Y → X をスキームの射とし、 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} を X 上のカルティエ因子で、その台が f の像の閉包に含まれないものとするとき、Y 上の開被覆 {f(Ui)} の細分になるアフィン有限被覆 {Vj } を取るとき、Vj ⊂ f(Ui) なら h j = f ∗ ( g i ) | V j {\displaystyle h_{j}=f^{*}(g_{i})_{|V_{j}}} と置けば、 f ∗ D = { ( V j , h j ) } {\displaystyle f^{*}{\mathcal {D}}=\{(V_{j},h_{j})\}} で f による D {\displaystyle {\mathcal {D}}} の引き戻し (pull-back) が定義される。
さらに、X が既約で被約な正規分離的ネータースキームであるとする。X 上のカルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} に対して主因子 (gi) を考えると、カルティエ因子の定義から、Ui ∩ Uj 上で (gi) = (gj) が成り立つ。素因子 Z に対して Z ∩ Ui ≠ ∅ となる i を選んで v Z ( D ) = v Z ( g i ) {\displaystyle v_{Z}({\mathcal {D}})=v_{Z}(g_{i})} と定めるとこれは i の選び方によらないので、 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} に対応するヴェイユ因子
D = ∑ v Z ( D ) ⋅ Z {\displaystyle D=\sum v_{Z}({\mathcal {D}})\cdot Z}
が矛盾無く定義される。従って、既約かつ被約な分離的正規ネータースキーム上では、カルティエ因子は、ヴェイユ因子であって、任意の点の近傍で (有理関数) = 0 の形の単項な局所方程式を持つようなものと言い換えることができる。
したがって、f に対して vZ(f) ≠ 0 となる Z で Z ∩ U ≠ ∅ となるものは有限である。X はネーター的と仮定したから、X は有限個のアフィンスキームで覆われるので、結局 vZ(f) ≠ 0 となる素因子 Z は有限である。そこで、f に対して
( f ) = ∑ v Z ( f ) ≠ 0 v Z ( f ) ⋅ Z {\displaystyle (f)=\!\!\sum _{v_{Z}(f)\neq 0}\!\!v_{Z}(f)\cdot Z}
は有限和になるので因子になる。これを f で定まる主因子 (principal divisor) と呼ぶ。主因子は常に次数0をもつ。(fg)=(f)+(g), -(f)=(1/f) より主因子の全体は群(特に Div (X) の部分群)をなす。2つの因子 D , E が線形同値 (linearly equivalent) であるとは、D - E が主因子となることと定義し、D 〜 E で表す。因子 D 自身の係数がすべて非負でなくても、D がある有効因子と線形同値になるとき、簡単のため言葉の濫用によって「D は有効である」と言うことがある(下記#線形型と有理写像参照)。
ヴェイユ因子の線形同値類からなる群をピカール群 Pic (X) という。主因子の全体は Div (X) の部分群であるから、Div (X) の線形同値類からなる群も定義され、この群を Pic (X) であらわす。Pic (X) をピカール群という場合もある。