ラプラス原理
A をルベーグ可測な d 次元のユークリッド空間 R の部分集合とし、可測関数 φ : R → R について
∫ A e − φ ( x ) d x < + ∞ {\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }
であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。
lim θ → + ∞ 1 θ log  ∫ A e − θ φ ( x ) d x = − e s s i n f x ∈ A  φ ( x ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x).}
ここで ess inf は本質的下限 (essential infimum) を表す。充分大きな θ について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。
∫ A e − θ φ ( x ) d x ≈ exp  ( − θ e s s i n f x ∈ A  φ ( x ) ) . {\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}