ルジャンドル変換
f (x) が下(上)に凸なら f (p) も下(上)に凸。すなわちルジャンドル変換は凸性を保持する。
f (x) の左微分と右微分が異なる( f (x) が折れ線となる)点は、f (p) が p に関して1次関数(直線)となる領域に対応する。逆に f (x) が x に関して直線となる領域は f (p) が折れ線となる点に対応する。これは感覚的には、 f ′′ ( x ) → ∞ {\displaystyle f''(x)\to \infty } と f ∗ ′′ ( p ) → 0 {\displaystyle f^{*}{''}(p)\to 0} が対応するとも解釈できる。
象徴的に書けば、以下のように x と p について対称な関係がある。 p = d f d x , x = d f ∗ d p {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\qquad x={\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}}
f (x) の逆関数 f (x) のルジャンドル変換は以下である(後述のヘルムホルツエネルギーとマシュー関数(英語版)の関係などに応用がある)。 ( f − 1 ) ∗ ( p ) = − p f ∗ ( 1 / p ) . {\displaystyle (f^{-1})^{*}(p)=-pf^{*}(1/p).}
p(x) は d/dp f(p) の逆関数であり、x(p) は f'(x) = d/dx f(x) の逆関数なので、
d f ∗ ( p ) d p = x ∗ ( p ) + p d x ∗ ( p ) d p − d x ∗ ( p ) d p d f ( x ∗ ( p ) ) d x = x ∗ ( p ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} f^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}&=x^{*}(p)+p{\frac {\mathrm {d} x^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} x^{*}(p)}{\mathrm {d} p}}{\frac {\mathrm {d} f(x^{*}(p))}{\mathrm {d} x}}\\&=x^{*}(p)\,.\end{aligned}}}
p(x) は x(p) の逆関数でもあり、x(p(x)) = x が成り立つ。 このことから、f はもとの関数 f に等しいことが示される。
f ∗ ∗ ( x ) = x p ∗ ( x ) − p ∗ ( x ) x + f ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle f^{**}(x)=xp^{*}(x)-p^{*}(x)x+f(x)=f(x)\,.}