凸共役性
函数 f {\displaystyle f} が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数(maximizing argument)である。すなわち、
f ′ ( x ) = x ∗ ( x ) := arg  sup x ⋆ ⟨ x , x ⋆ ⟩ − f ⋆ ( x ⋆ ) {\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{\star }}{\langle x,x^{\star }\rangle }-f^{\star }(x^{\star })} と
f ⋆ ′ ( x ⋆ ) = x ( x ⋆ ) := arg  sup x ⟨ x , x ⋆ ⟩ − f ( x ) ; {\displaystyle f^{\star \prime }(x^{\star })=x(x^{\star }):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{\star }\rangle }-f(x);}
が成り立つ。したがって
二つの函数 f と g の極小畳み込み(infimal convolution)は、次で定義される(epi-sum とも呼ばれる):
( f ◻ g ) ( x ) = inf { f ( x − y ) + g ( y ) ∣ y ∈ R n } . {\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}
f1, ..., fm は R 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である(が、必ずしも真凸ではない)。さらに次が成立する。
( f 1 ◻ ⋯ ◻ f m ) ⋆ = f 1 ⋆ + ⋯ + f m ⋆ . {\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}
二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある:二つの函数の極小畳み込みの(厳密な)エピグラフは、それらの函数の(厳密な)エピグラフのミンコフスキー和(英語版)である。
凸共役は、順序を反転させる。すなわち、 f ≤ g {\displaystyle f\leq g} ならば f ∗ ≥ g ∗ {\displaystyle f^{*}\geq g^{*}} である。ここで
( f ≤ g ) : ⟺ ( ∀ x , f ( x ) ≤ g ( x ) ) {\displaystyle (f\leq g):\iff (\forall x,f(x)\leq g(x))}
である。函数の族 ( f α ) α {\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }} に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。
( inf α f α ) ∗ ( x ) = sup α f α ∗ ( x ) . {\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x)=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x).}
さらに最大最小不等式により、次が従う。
( sup α f α ) ∗ ( x ) ≤ inf α f α ∗ ( x ) . {\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x)\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x).}