準素分解
今日では、準素分解を素因子の理論で行うのが一般的である。以下の証明はこのアプローチの精神である。
M をネーター環 R 上の有限生成加群とし、N を部分加群とする。N が準素分解がもつことを示すには、M を M/N でおきかえて、N = 0 のときを示せば十分である。さて、
0 = ⋂ Q i ⟺ ∅ = Ass  ( ⋂ Q i ) = ⋂ Ass  ( Q i ) {\displaystyle 0=\bigcap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} {\bigl (}\bigcap Q_{i}{\bigr )}=\bigcap \operatorname {Ass} (Q_{i})}
である、ただし Qi は M の準素部分加群である。言い換えると、0 は次のとき準素分解をもつ:M の各素因子 P に対して、準素部分加群 Q が存在して、 P ∉ Ass  ( Q ) {\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)} となる。
環のイデアルの分解の研究は Z[√-5] のような環において一意分解が成り立たない
6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
ことの救済として始まる。数が一意的に素数に分解しなければ、その数で生成されるイデアルは素イデアルの冪の交叉にまだ分解する。それがだめなら、イデアルは少なくとも準素イデアルの交叉に分解できる。
R をネーター環とし、I を R のイデアルとする。このとき I は準素イデアルへのむだのない準素分解をもつ:
I = Q 1 ∩ ⋯ ∩ Q n . {\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}.}
むだがないとは次を意味する:
Qi のどれを除いても交叉が変わる、すなわち、すべての i に対して
Q 1 ∩ ⋯ ∩ Q i ^ ∩ ⋯ ∩ Q n ⊈ Q i , {\displaystyle Q_{1}\cap \dots \cap {\widehat {Q_{i}}}\cap \dots \cap Q_{n}\nsubseteq Q_{i},}