ステレオ投影
しかし球面と平面はガウス曲率が異なるので、これは不可能である。
立体射影の等角性は、いくつかの有用な幾何学的性質を意味する。光源点を「通らない」球面上の円は、平面上の円に射影される。光源点を「通る」球面上の円は、平面上の直線に射影される。このような直線は、無限遠点を通る円や無限大の半径を持つ円とみなされる事がある。
平面上のすべての直線は、立体射影の逆写像により球面上の円に写されると、光源点(無限遠点)で交わるようになる。平面上の平行線は、平面上では交わることはないが、球面上に投影されると光源点で接する。このように、平面上のすべての直線は、球面上のどこかで交わる—2点で横断的に交わるか、あるいは無限遠点で接するかである。(似たような性質は実射影平面でも成り立つが、交点の関係はそれとは違っている。)
球面上の等角航路を平面上に写した曲線は次の式で表される。
R = e θ / tan  ( B ) , {\displaystyle R=e^{\theta /\tan(\mathrm {B} )},}
ここで Β は、等角航路の方位角である。よって等角航路は、等角螺旋になる。等角航路が常に子午線と同じ角度で交わるのと同じように、この螺旋は平面上の放射線(子午線の投影像)に常に同じ角度で交わる。