コーシー分布
となるが、この広義積分の値は存在せず(十分大きな R1, R2 について、 log  ( ( 1 + R 2 2 ) / ( 1 + R 1 2 ) ) {\displaystyle \log \left((1+{R_{2}}^{2})/(1+{R_{1}}^{2})\right)} は ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} のどのような値でも取りうるので、二重極限としての収束値は存在しない)、このため期待値は存在しない。なお、コーシーの主値 lim R → ∞ ∫ − R R x f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}xf(x)\,dx} は x0 である。
大数の強法則など、期待値に関する確率論のさまざまな結果は、このようなケースでは成立しない。
また、コーシー分布に従う母集団から無作為抽出された標本に関する算術平均は、ただ一つの抽出による結果からは一切改善されない。これは、標本に極端に大きな(あるいは小さな)値が含まれる可能性がかなり高いからである。しかし、標本中央値(これは極端な値には影響を受けない)は中心(最頻値)を知るための一つの尺度となりうる。