クロネッカーのデルタ
∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ k ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ k μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ k = ( n − m k − m ) δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{k}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}\,={\begin{pmatrix}n-m\\k-m\end{pmatrix}}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}}
が成立する。
特に k=n のとき、
∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ n ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n = δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\cdots <\rho _{n}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}}
あるいは
が得られる。ただし、チェック( ˇ {\displaystyle {\check {}}} )が付いた項は式から外されるとする。
n=p の場合、(高階に拡張された)エディントンのイプシロンを使えば:
δ ν 1 ⋯ ν n μ 1 ⋯ μ n = ε μ 1 ⋯ μ n ε ν 1 ⋯ ν n {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}}
となる。
逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。
ε μ 1 ⋯ μ n = δ 1 ⋯ n μ 1 ⋯ μ n {\displaystyle \varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}=\delta _{1\cdots n}^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}
ε ν 1 ⋯ ν n = δ ν 1 ⋯ ν n 1 ⋯ n {\displaystyle \varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}^{1\cdots n}}