加算性白色ガウス雑音
I ( X ; Y ) = h ( Y ) − h ( Y | X ) = h ( Y ) − h ( X + Z | X ) = h ( Y ) − h ( Z | X ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)=h(Y)-h(Y|X)&=h(Y)-h(X+Z|X)&=h(Y)-h(Z|X)\end{aligned}}\,\!}
しかし X {\displaystyle X} と Z {\displaystyle Z} は独立である。よって
I ( X ; Y ) = h ( Y ) − h ( Z ) {\displaystyle I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!}
となる。ガウスの微分エントロピーを評価すると
h ( Z ) = 1 2 log  ( 2 π e N ) {\displaystyle h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
となる。 X {\displaystyle X} と Z {\displaystyle Z} は独立で、それらの和が Y {\displaystyle Y} になるから、:
E ( Y 2 ) = E ( ( X + Z ) 2 ) = E ( X 2 ) + 2 E ( X ) E ( Z ) + E ( Z 2 ) = P + N {\displaystyle E(Y^{2})=E((X+Z)^{2})=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})=P+N\,\!}
ここで、容量 C = 1 2 log  ( 1 + P N ) {\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log(1+{\frac {P}{N}})} より上のレートは達成できないことを示す。
コードブックに対してパワー制約を満たし、さらにメッセージが一様分布に従うと仮定する。 W {\displaystyle W} を入力メッセージ、 W ^ {\displaystyle {\hat {W}}} を出力メッセージとする。すると、情報は以下のように流れる。
W ⟶ X ( n ) ( W ) ⟶ Y ( n ) ⟶ W ^ {\displaystyle W\longrightarrow X^{(n)}(W)\longrightarrow Y^{(n)}\longrightarrow {\hat {W}}}
ファノの不等式を利用して
H ( W | W ^ ) ≤ 1 + n R P e ( n ) = n ε n {\displaystyle H(W|{\hat {W}})\leq 1+nRP_{e}^{(n)}=n\epsilon _{n}} ここで ε n → 0 {\displaystyle \epsilon _{n}\rightarrow 0} のとき P e ( n ) → 0 {\displaystyle P_{e}^{(n)}\rightarrow 0}