ボラティリティ
株価の値動きがモデル (1) に従うと仮定し、過去の株価のデータから推定した σ {\displaystyle \sigma } の値。価格の対数差分の標準偏差。 過去 n {\displaystyle n} 日にわたって株価を観測したとし、 S i {\displaystyle S_{i}} を第 i {\displaystyle i} 日の(例えば)終値とする。
u i := log  S i S i − 1 , u ̄ := u i {\displaystyle u_{i}:=\log {\frac {S_{i}}{S_{i-1}}},\ \ {\overline {u}}:=u_{i}} の平均
と置くと
s = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( u i − u ̄ ) 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(u_{i}-{\overline {u}})^{2}}}}
が推定値となる。このような手続きによって推定された値をヒストリカル・ボラティリティという。
これに対して、現実のオプション市場でついたオプション価格から逆算されたボラティリティをインプライド・ボラティリティという。 以下これについて説明する。
ブラック-ショールズモデル (1) (金利は r = {\displaystyle r=} 一定)を使えば、満期 T {\displaystyle T} 、権利行使価格 K {\displaystyle K} のヨーロピアン・コールオプションの価格 c ( K , T ) {\displaystyle c(K,T)} は
C ( K , T ) = S N ( log  ( S / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) T σ T ) − K e − r T N ( log  ( S / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) T σ T ) {\displaystyle C(K,T)=SN\left({\frac {\log(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Ke^{-rT}N\left({\frac {\log(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)} S {\displaystyle S} は現在の株価、 N ( x ) {\displaystyle N(x)} は標準正規分布の分布関数