濃度 (数学)
自然数全体からなる集合の濃度を可算無限濃度または単に可算濃度という(古くは可付番濃度とも呼ばれた)。通常、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (アレフ・ゼロ)あるいは a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} と表記される。 א {\displaystyle \aleph } はヘブライ文字のアレフである。濃度が可算無限になる集合を可算無限集合または単に可算集合(英: countable set)という。たとえば、整数全体からなる集合、有理数全体からなる集合はいずれも可算無限集合である。可算無限以下である濃度を高々可算な濃度または単に可算濃度という。
可算無限濃度には以下の性質がある。
א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は極小な無限濃度である。すなわち、 κ {\displaystyle \kappa } が א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より小さい濃度ならば、 κ {\displaystyle \kappa } は有限濃度(すなわち自然数)である。
選択公理を仮定すると、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 κ {\displaystyle \kappa } に対して、 א 0 ≤ κ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa } が成り立つ。
正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に(そのクラスの部分クラスとなる)集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる(詳しくはスコットのトリックを参照)。
| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」
どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。