準群
n-項準群 (英: n-ary quasigroup) とは、集合 (Q, f) に、n-項演算 f: Q → Q が定義されたものであって、方程式 f(x1,...,xn) = y が、他の n 個の変数が任意に指定されたときに、残り一個の変数が一意の解を持つ ことを言う。 多項 (英: Polyadic または multiary) とは、ある非負整数 n に対して、n-項準群と言う意味である。
0-ary または nullary 準群は、単に Q の定数に過ぎない。1-ary または unary 準群は、Q からそれ自身への全単射である。
多項準群の例は、反復群演算 y = x1 · x2 · ··· · xn である。群においては、演算は結合律を満たすので、演算の順序を指定するのに括弧は不要である。指定した位数の同一または異なる群あるいは準群の演算の任意の列を持ち出すことで多項準群を構成できる。
これらの方法では表現できない多項準群も存在する。
双曲四元数(英語版)はこの乗法のもとで {1, i, j, k} を基底とする R 上の非結合的多元環である。なお、双曲四元数それ自身はループにも準群にもならない。
非零八元数はその乗法のもとで非結合的なループをなす。これはムーファン・ループの一つとして知られる。
結合的な準群は空であるか群である。もし一つ以上の元が存在すれば、準群の二項演算の可逆性と結合性により単位元の存在が含意され、そして逆元の存在が含意される。これにより、演算の結合性と単位元および逆元の存在という群の要件を全て満たすことになる。
以下の構成はHans Zassenhaus(英語版)による。位数3のガロア体 F = Z/3Z 上の4次元ベクトル空間 F に以下の演算 ∗ を導入すると、(F, ∗) は群でない可換なムーファン・ループとなる。
(x1, x2, x3, x4) ∗ (y1, y2, y3, y4) = (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) + (0, 0, 0, (x3 − y3)(x1y2 − x2y1))
より一般に、任意の多元体の非零元の全体は、その乗法を演算として準群をなす。
右-準群 (英: right-quasigroup) は、タイプ (2,2) 代数 (Q, ∗, /) であって、以下の恒等式を両方とも満たすものである: y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x.
同様に、左-準群 (英: left-quasigroup)は、タイプ (2,2) 代数 (Q, ∗, \) であって、以下を満たす者である: y = x ∗ (x \ y); y = x \ (x ∗ y).