ホモトピー
位相空間における閉道とは基点を持つ 1 次元球面 S からの連続像であるということができる。これは以下のように高次元に拡張される。位相空間 X とその 1 点 p を固定し、p を基点とする n 次元球面 S(の X への連続像)の全体 Ω(X, p) を考え、これをホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 πn(X, p) は群を成す。この πn(X, p) を n 次元ホモトピー群と呼ぶ。基本群の場合と同様に、位相空間の間の連続写像は高次ホモトピー群の間にも準同形写像をみちびく。
「連続的変形」概念の歴史は古く、ラグランジュによる変分法の研究にまで遡ることができる。ホモトピーという言葉は Dehn & Heegaard (1907) で導入された 。現代と潜在的には同じホモトピーの定義はブラウワーによる1911年の論文でなされた。直積空間はチコノフ(英語版)によって1926年に定義されたので、完全に現代と同じ定義がなされるのはそれ以降である。
位相空間 X , Y の間の連続写像の族 { f t } t ∈ [ 0 , 1 ] : X → Y {\displaystyle \{f_{t}\}_{t\in [0,1]}:X\to Y} を考える。写像
H ( s , t ) = f t ( s ) : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H(s,t)=f_{t}(s)\colon X\times [0,1]\to Y}
が連続であるとき、これをホモトピーと呼び、連続写像 f0 と f1 はホモトピックである、あるいは同じホモトピー型をもつという。