反転幾何学
同心円に関する二つの反転変換の合成は、それらの円の半径同士の比によって特徴付けられる中心相似変換(英語版)(similarity, homothety) あるいは拡大縮小(英語版) (dilation) などと呼ばれるものになる。実際に式で書けば、二円の半径を変換を施す順に R, T として
x ↦ R 2 x | x | 2 = y ↦ T 2 y | y | 2 = ( T R ) 2 x {\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{\!2}x}
は (T/R)-倍変換である。
コクセター (2009, pp. 155–187, 6 円と球) に従えば、円に関する反転変換は1831年にマグヌスが考案し、それ以来この写像は高等数学における手段の一つとなった。円反転変換はいくつかの段階を経て応用されていき、じきに変換幾何学を学ぶ者がクラインのエルランゲン目録の重要性を認め、副産物として双曲幾何学のある種の模型が得られた。