積 (圏論)
有限積および有限余積をもつ圏において、自然な射 X × Y + X × Z → X ×(Y + Z) が存在する、ただしここでプラス記号は余積を表す。これを見るために、次の図式
を埋める種々の射影および入射について注意を払わねばならない。
これにより X ×(Y + Z) に対する普遍性は一意な射 X × Y + X × Z → X ×(Y + Z) を保証する。分配圏(英語版)は、この射が実際に同型射となるような圏を言う。従って分配圏において自然な同型
X × ( Y + Z ) ≃ ( X × Y ) + ( X × Z ) {\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)}
が成立する。
極限が普遍構成の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。極限の普遍性を適用するのに必要なものとして、J をただ二つの対象をもつ離散圏とする(このとき C は単に積圏(英語版) C × C である)。対角関手 Δ: C → C × C は各対象 X に順序対 (X, X) を対応させ、各射 f に順序対 (f, f) を対応させるものである。C における積 X1 × X2 は、対角函手 Δ から C × C の対象 (X1, X2) への普遍射によって与えられる。この普遍射は C の対象 X と射 (X, X) → (X1, X2) からなり、これは射影を含んでいる。