直観主義論理
古典論理において、我々はしばしば論理式の取る真理値について議論する。この値は普通はブール代数の元から選ぶ。ブール代数の交わりと結びは論理結合子の ∧ {\displaystyle \wedge } と ∨ {\displaystyle \vee } に同一視される。そして A ∧ B {\displaystyle A\wedge B} の真理値は A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} の真理値のブール代数における交わりとする。このとき論理式が古典論理において妥当であることと、任意のブール代数とその上で値を取る真理値割り当てに対して論理式の真理値が ⊤ {\displaystyle \top } であることとが同値となる。
直観主義論理においても同様の完全性定理が成立するが、論理式の真理値はブール代数の代わりにハイティング代数の元を用いる。ブール代数はハイティング代数の特別な場合である。このとき論理式が直観主義論理で妥当であることと、任意のハイティング代数とその上で値を取る真理値割り当てに対して論理式の真理値が ⊤ {\displaystyle \top } であることは同値である。
論理式が妥当であることを確かめる為には、ひとつのハイティング代数の上で調べれば十分であることが証明できる。そのハイティング代数は数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } の開部分集合からなるハイティング代数である。