ディリクレ級数
と定めると、係数が環 R の元からなるディリクレ級数全体は環を成す。もし、環 R が可換であれば、ディリクレ級数環も可換である。
上で述べたことは、形式的ディリクレ級数についての議論であったので、収束性については考えていないが、 ある複素数 α に対して、 f ( α ) , g ( α ) {\displaystyle \scriptstyle f(\alpha ),\ g(\alpha )} が収束している場合、 上記の和、積で与えられたディリクレ級数が、 s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束するかを考えてみることにする。 和については、ディリクレ級数 f ( s ) + g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s)+g(s)} が s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束することは成り立つが、積については、ディリクレ級数 f ( s ) g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s)g(s)} は、必ずしも s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束しない。