多重積分
∫ A × B f ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ A ( ∫ B f ( x , y ) d y ) d x = ∫ B ( ∫ A f ( x , y ) d x ) d y {\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)dy}
が成立する。特に、このような条件が満たされるのは |f(x, y)| が有界函数で、A, B がともに有界集合となるときに限る。
絶対可積分でない場合には、重積分と累次積分とは一般には異なる概念を定めるが、特に両者に同一の記法を用いることもよくあるから混同しないように注意する必要がある。真の二重積分でない累次積分を表すのに
∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}
のような記法をもちいることもある。この累次積分では、外側の積分
∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}
は内側の積分によって得られる函数
g ( x ) = ∫ 0 1 f ( x , y ) d y {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy}
一変数の正値函数の定積分が、函数のグラフと x-軸とに挟まれた領域の面積を表していたのとちょうど同じように、二変数の正値函数の二重積分は(三次元空間内のデカルト平面上で定義される)函数のグラフとして得られる曲面とその函数の定義域を含む平面との間に挟まれる領域の体積を表す。変数の数が三以上の多変数函数についても同様に、多変数函数のグラフと定義域を含む長空間で挟まれる領域の超体積に多重積分が対応している。
領域 D 上で定義された n-変数函数 f(x1, x2, ..., xn) の多重積分は、実行と逆順(最初の積分記号は最後の積分演算に対応する)に並べた積分記号と正順(最初の積分変数が最初の積分演算に対応する)に並べた積分変数で被積分函数を挟んだ入れ子構造として
∫ ⋯ ∫ D f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{D}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}}