ウィルソンループ
ゲージ理論では、ウィルソンループ(Wilson loop)(ケネス・ウィルソン(Kenneth G. Wilson)に因む)は、ゲージ不変な観測量を与えられたループのゲージ接続のホロノミー(英語版)(holonomy)から得る。古典論では、ウィルソンループの集まりは、ゲージ変換を同一視したゲージ接続を再構成する十分な情報を構成する。
場の量子論では、ウィルソンループ観測量の定義は、フォック空間上の「善意の(英語版)(bona fide)」作用素である。(実際、ハーグの定理(英語版)(Haag's theorem)は、フォック空間は相互作用のある QFT に対しては存在しないという定理がある。)この定義は、数学的にはデリケートな問題であり、通常はフレーミングを持つ各々のループを備えた繰り込みが要求される。ウィルソン作用素の作用は、量子場の基本励起を作り出すことを解釈され、量子場はループへ局所化される。このようにして、マイケル・ファラデェー(Michael Faraday)の「フラックスチューブ」は量子電磁気場の基本励起となる。
ウィルソンライン(Wilson line)変数 W C {\displaystyle W_{C}} (あるいは、ウィルソンループ(Wilson loop)変数のほうがよいが、)、常に閉曲線として扱うので、C に沿って動くゲージ場 A μ {\displaystyle A_{\mu }} の経路順序べき(英語版)(path-ordered exponential)のトレースにより定義された次の量である。
W C := T r ( P exp  i ∮ C A μ d x μ ) . {\displaystyle W_{C}:=\mathrm {Tr} \,(\,{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\,)\,.}
ここに、 C {\displaystyle C} は空間内の閉曲線であり、 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は経路順序(英語版)(path-ordering)作用素である。ゲージ変換
P e i ∮ C A μ d x μ → g ( x ) P e i ∮ C A μ d x μ g − 1 ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}\to g(x){\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}g^{-1}(x)\,} ,