コンウェイのチェーン表記
( 5 ) a → b → c = a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 ⋯ a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 a ⏟ b copies of a = a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 ⋯ a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 a ↑ c − 1 a ⏟ b − 1 copies of a = a ↑ c − 1 a ↑ c ( b − 1 ) = a ↑ c − 1 { a → ( b − 1 ) → c } = a → { a → ( b − 1 ) → c } → ( c − 1 ) = a → ( a → ( ⋯ → ( a → ( a ⏟ b ) → ( c − 1 ) ) → ⋯ ) → ( c − 1 ) ) → ( c − 1 ) ⏟ b − 1 {\displaystyle (5)\qquad {\begin{aligned}a\rightarrow b\rightarrow c=&\underbrace {a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}\cdots a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}a} _{b{\text{ copies of }}a}=a\uparrow ^{c-1}\underbrace {a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}\cdots a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c-1}a} _{b-1{\text{ copies of }}a}=a\uparrow ^{c-1}a\uparrow ^{c}\left(b-1\right)=a\uparrow ^{c-1}\left\{a\rightarrow \left(b-1\right)\rightarrow c\right\}\\=&a\rightarrow \left\{a\rightarrow (b-1)\rightarrow c\right\}\rightarrow (c-1)=\underbrace {a\rightarrow {\biggl (}a\rightarrow {\biggl (}\cdots \rightarrow {\Bigl (}a\rightarrow (\quad a} _{b}\quad \underbrace {)\rightarrow (c-1){\Bigr )}\rightarrow \cdots {\biggr )}\rightarrow (c-1){\biggr )}\rightarrow (c-1)} _{b-1}\end{aligned}}}
このようにふぃっしゅ数はバージョン1とバージョン2までは、拡張チェーン系の表記の範囲で近似可能であるが、バージョン3以上になるとそのレベルをも遥かに本質的に超えてしまう。
チェーン表記とは異なった規則により、チェーン表記(およびその拡張表記)よりも効率的に数の大きさを爆発させることができる表記として、配列表記があり、それにも拡張表記が考案されており、その最終形態にはBEAFとバードの配列表記がある。具体的には、チェーン表記で表される数は多変数アッカーマン関数では3変数程度で配列表記では4変数程度、ピーター・ハーフォードの拡張チェーン表記(あるいはクリス・バードの回転矢印表記)で表される数は多変数アッカーマン関数では4変数程度で配列表記では5変数程度のレベルとなる。チェーン表記およびその拡張表記と配列表記との比較(近似・大小関係)については配列表記#チェーン表記との比較および回転矢印表記#他表記との比較を参照のこと。
BEAFの配列表記は多変数アッカーマン関数と同じくらいの増加速度を持ち、BEAFそのものはさらに大きい増加速度を持つ(テトレーション配列など)。
Webデベロッパーで統計学者のピーター・ハーフォードは、2011年にこの表記法の拡張を定義した。
a → b c = a → b − 1 a → b − 1 a → b − 1 ⋯ → b − 1 a → b − 1 a → b − 1 a ⏟ c 本 の 矢 {\displaystyle a\rightarrow _{b}c=\underbrace {a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}\dots \rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a} _{c{\text{ 本 の 矢}}}} (あくまで → b − 1 {\displaystyle \rightarrow _{b-1}} が c {\displaystyle c} 本、という意味)
a → 2 ( a − 1 ) {\displaystyle a\rightarrow _{2}(a-1)} は既に cg(a) と同等であり、関数 f ( n ) = n → n n {\displaystyle f(n)=n\rightarrow _{n}n} は cg(n) よりも大きな増加速度を持つ。