完全数
偶数の完全数は、Mp = 2 − 1 が素数のときの 2Mp に限る(ユークリッド、オイラー)。
完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドである。彼は『原論』(第9巻、命題36)で、「2 − 1 が素数ならば、2(2 − 1) は完全数である」ということを証明した。2 − 1 で表される数をメルセンヌ数といい、それが素数である場合をメルセンヌ素数という。
古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、ゲラサのニコマコスの『算術入門』には4つの完全数に関する記述が存在する。
ユークリッドの公式は偶数の完全数しか生成しないが、逆に偶数の完全数が全て 2(2 − 1) の形で書けるかどうかは18世紀までは未解決であった。レオンハルト・オイラーは偶数の完全数がこの形に限ることを証明した。
メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカとデリック・ヘンリー・レーマー(英語版)によってメルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、1950年代からコンピュータが使われるようになる。現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、2022年2月現在で判明している最大のメルセンヌ素数は2486万2048桁の数である。
2021年8月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか?」「奇数の完全数は存在するか?」という問題は未解決である。
n が k -ハイパー完全数であるとは、
n = 1 + k(σ(n) − n − 1)(ただしk は自然数)(σ は約数関数)
を満たすことと定義される。完全数は 1-ハイパー完全数である。
k -ハイパー完全数の列は
6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A034897)