メビウス関数
n の約数の総和を表す関数 σ(n) はその定義より
σ ( n ) = ∑ d ∣ n d {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}
となるが、これに反転公式を適用すると
n = ∑ d | n μ ( n d ) σ ( d ) {\displaystyle n=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\sigma (d)}
となる。
次の例は非常に重要な関数 Λ(n) を定義している(この関数はフォン・マンゴルト関数 と呼ばれる)。
log  n = ∑ d ∣ n Λ ( d ) {\displaystyle \log n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)}
この式は、素因数の一意分解定理と同値であるが、反転すると
0 を含めない自然数において、メビウス関数 μ(n) は全ての自然数 n に対して定義され、n を素因数分解した結果によって -1、0、1 のいずれかの値をとる。
メビウス関数は次のように定義される(ただし 1 は 0 個の素因数を持つと考える):
μ(n) = 0 (n が平方因子を持つ(1以外の平方数で割り切れる)とき)
μ(n) = (-1) (n が相異なる k 個の素因数に分解されるとき) n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1 n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = -1