アフィン接続
Aff(n) は A 上に作用するので、主バンドル Q に随伴するバンドル A = Q ×Aff(n) A が存在し、このバンドルは、M 上の x でのファイバーがアフィン空間 Ax であるような M 上のファイバーバンドルである。A の切断 a (各々の x ∈ M に対し Ax の中のマーク付の点 ax を定義している)は、Q の主 GL(n)-部分バンドル P を互いに決定する(これらのマーク付の点の安定子のバンドルとして)。主接続 α はこのバンドル上のエーレスマン接続、よって平行移動の概念を定義する。カルタンの条件は、問題にしている切断が常に平行移動の下で動くことを保証している。
上の性質 1 より、点 x ∈ M での ∇XY の値は、x での X の値にのみ依存し、M−{x} での X の値には依存しないことが従う。点 x ∈ M での ∇XY の値が x の近傍での Y の値のみに依存することは、上記の性質 1 に従う。
∇, ∇ がアフィン接続であれば、x での ∇XY − ∇XY の値は、Γx(Xx,Yx) と書くことができる。ここに
Γx: TxM × TxM → TxM
は双線型であり、x になめらかに依存する。(すなわち、これは滑らかなバンドル準同型(英語版)を定義する。)逆に、∇ がアフィン接続で Γ が滑らかな双線型なバンドル準同型(M 上の接続形式という)であれば、∇+Γ はアフィン接続である。
M が R の開集合であれば、M の接バンドルは自明バンドル M×R である。この状況の下で、M 上の標準的なアフィン接続 d が存在する。任意のベクトル場 Y は M から R への滑らかな写像 V により与えられる。すると、dXY は M から R への滑らかな函数 dV(X)=∂X に対応するベクトル場である。従って、M 上の他の任意のアフィン接続 ∇ は、∇ = d + Γ と書くことができる。ここに Γ は M の接続形式である。
さらに一般的に、接バンドルの局所自明化は、TM の M の開集合 U 上への制限と U × R との間のバンドル同型(英語版)である。アフィン接続 ∇ の U への制限は、Γ を U の上の接続形式としたとき、形式 d + Γ の形に書くことができる。
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0.\end{aligned}}}
これらはリー群 Aff(n) のモーレー・カルタン形式である(座標系の選択により FA と同一視される)。さらに、
パフィアン系 θ = 0 は (すべての j に対し) 、可積分であり、その積分多様体は主バンドル Aff(n) → A のファイバーである。
パフィアン系 ωi = 0 は(すべての i, j に対し) 可積分でもあり、その積分多様体は FA の平行移動を定義する。
従って、形式 (ωi) は FA → A 上の平坦接続を与える。
動機と厳密に比較すると、実際、A 上の主 Aff(n)-バンドルの平行移動を定義する。このことは、移動により定義される滑らかな写像 φ : R × A → A によって引き戻す(英語版) FA で達成される。従って、合成 φ'*FA → FA → A は A 上の主 Aff(n)-バンドルであり、形式 (θ,ωj) は、このバンドル上に平坦な主 Aff(n)-バンドルを与える引き戻し(英語版)となる。