フーコーの振り子
ニューヨークブロンクスのモンテフィオーレ・メディカル・センター(英語版)内の小児病院のロビーにあるフーコーの振り子は、パブリック・アーティストのトム・オターネス(英語版)がデザインした「帽子を被った錘」になっている。
ドイツの画家であるゲルハルト・リヒターは、2018年、ミュンスターにあるドミニカ教会にフーコーの振り子をつかったインスタレーションを寄贈した。作品名は「Zwei Graue Doppelspiegel für ein Pendel(振り子のための2組の灰色の合わせ鏡)」である。
日本の前衛美術家の風倉匠は、1962年の読売アンデパンダン展にフーコーの振り子によるインスタレーションを出品した。これは会場の天井から吊るした7つのフーコーの振り子を用いたもので、振り子は自転の作用でわずかに動く「ゼロ型のパフォーマンス」であった。また風倉は1971年に現代日本美術展へ「魔術によって宇宙の一部を証す道」と題したフーコーの振り子によるインスタレーションを出品した。振り子の振幅によって音色が変わる仕掛けであったが、会場の東京都美術館から振り子を吊るすことを拒否されたため、床に錘を置いたままの展示となった。
アーティストのハナムラチカヒロは、2018年11月に千葉市美術館を会場として、「地球の告白(Confession from the Earth)」と題したフーコーの振り子をモチーフにしたインスタレーションを展示した。
地球の告白/Confession from the Earth - YouTube
これは定数係数2階線形同次微分方程式であり、特性方程式を以下のように表現する。
λ 2 + 2 i φ ̇ λ + ψ 2 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+2i{\dot {\phi }}\lambda +\psi ^{2}=0}
λ {\displaystyle \lambda } について解く。ここで φ ̇ {\displaystyle {\dot {\phi }}} は緯度 θ {\displaystyle \theta } における自転による角速度であるため φ ̇ 2 ≃ 0 {\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}\simeq 0} と近似できる。
λ = − i φ ̇ ± − φ ̇ 2 − ψ 2 ≃ − i ( φ ̇ ∓ ψ ) {\displaystyle \lambda =-i{\dot {\phi }}\pm {\sqrt {-{\dot {\phi }}^{2}-\psi ^{2}}}\simeq -i({\dot {\phi }}\mp \psi )}
この微分方程式の解として以下の式となる。ただし A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} は複素数の積分定数である。
η = e − i φ ̇ t ( A e i ψ t + B e − i ψ t ) = A e i ( ψ − φ ̇ ) t + B e − i ( ψ + φ ̇ ) t {\displaystyle \eta =e^{-i{\dot {\phi }}t}\left(Ae^{i\psi t}+Be^{-i\psi t}\right)=Ae^{i(\psi -{\dot {\phi }})t}+Be^{-i(\psi +{\dot {\phi }})t}}
フーコーの正弦則で示したように、フーコーの振り子の振動面の回転は緯度依存性がある。このため、極点上および赤道上以外の場所における振動面の回転については、もう一歩踏み込んだ解説が必要となる。この解説の一つとして「フーコーの正弦則」の説明に円錐を使った方法も用いられることがある。
地球上の実験地点の緯度 θ {\displaystyle \theta } と同一緯度の線に沿って接し、地球の自転軸と共通の軸を持つ円錐を考える。円錐を展開すると側面は扇形となり、扇形の中心角 α {\displaystyle \alpha } は扇形の弧の長さと扇形の半径の比に等しい。扇形の弧の長さは円錐底面の円周と等しい。また円錐の軸と円錐の母線(扇形の半径)のなす角は緯度 θ {\displaystyle \theta } に等しく、さらに円錐底面の円の半径と扇形の半径の比は sin  θ {\displaystyle \sin \theta } と等しい。従って、扇形の中心角 α {\displaystyle \alpha } との関係は以下の式となる。
α = 2 π sin  θ = 360 ∘ sin  θ {\displaystyle \alpha =2\pi \sin \theta =360^{\circ }\sin \theta }
ここで緯度 θ {\displaystyle \theta } でのフーコー振り子の振動面を円錐を使って考える。振り子の振動面は、円錐の底面と側面の境界線を移動しながら、境界線と直交し常に頂点方向に振幅していると考えることができる。
また、振り子の錘が最も南にきたときの点での自転から受ける速度は以下の式になる。
ω R cos  θ + ω r sin  θ {\displaystyle \omega R\cos \theta +\omega r\sin \theta }
つまり、振り子の錘は北側より南側に振れた点の方が速く移動していることになる。振り子の支点直下からみて、両点が地球の自転から受ける速度は以下になる。
ω r sin  θ {\displaystyle \omega r\sin \theta }
振り子の振動面が地球の自転の影響をうけて一周するとき、移動は円となりその円周は 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 、一周に要する時間を T r o t {\displaystyle T_{rot}} とすると、上式をつかって以下のように表現できる。
T r o t = 2 π r ω r sin  θ {\displaystyle T_{rot}={\frac {2\pi r}{\omega r\sin \theta }}}
地球の自転は約24時間であり、 ω = 2 π / 24 {\displaystyle \omega =2\pi /24} となるので、振り子の振動面が一周するのに必要な時間 T r o t {\displaystyle T_{rot}} は以下のようになる。