実二次正方行列
M(2, R) 内で、スカラー行列(つまり単位行列 I の任意の実数倍)の全体は実数直線と見なすことができる。この実数直線は、以下に述べる可換部分環 Pm の全てが共有する:
m ∈ {−I, 0, I} なる 2×2 実行列 m に対して、「平面」Pm = {xI + ym | x, y ∈ R} と置けば、Pm は M(2, R) の可換部分環で M(2, R) = ∪m: m ∈ {−I, 0, I} Pm を満たす。ただし、和は m ∈ {−I, 0, I} なる m すべてにわたってとる。
そのような m を同定するために、I でも 0 でもない一般の 2×2 実行列 [abcd ] を平方すれば
[ a a + b c a b + b d a c + c d b c + d d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{bmatrix}}}
である。
三つ目(分解型複素数)の場合は単元群が四つの連結成分に分解され、単位成分は ρ および exp(am) = cosh(a) + m sinh(a) でパラメータ付けされる。
ここで式の上では部分平面 Pm の別なく √ρ exp(am) := √ρ exp(am/2) と「平方根函数」を定義するが、この函数の引数は Pm それぞれの単元群の単位成分から取るものとする(つまり、二重数平面の場合はその半分の半平面を考えず、分解型複素数平面の場合にはその3/4の部分を取り除かねばならない)。
同様に、ρ exp(am) が平面 Pm の単元群の単位成分の元であるときには、それを「対数函数」で写した値を log(ρ) + am と定義する。対数函数の定義域は上記の平方根函数の場合と同一の制約を抱えている(つまり、mm = 0 または mm = I のそれぞれの場合において Pm の半分または3/4を除外しなければならない)。
更なる函数論の詳細については、複素函数論(複素変数の場合)および分解型複素函数論(英語版)(分解型複素変数の場合)を参照せよ。