デデキントの補題
同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。
L {\displaystyle L} を K {\displaystyle K} の拡大体とし、 K {\displaystyle K} の元を固定する L {\displaystyle L} の自己同型群 Γ {\displaystyle \Gamma } が有限群であるとする。
このとき [ L : K ] = | Γ | {\displaystyle [L\colon K]=|{\Gamma }|}
Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献(例えば Paul Cohn)では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している。
半群の定義から x ∈ H {\displaystyle x\in H} ならば h 0 x ∈ H {\displaystyle h_{0}x\in H} であるので、(c) より
(d) 0 = ∑ j = 1 n k j σ j ( h 0 x ) = k 1 σ 1 ( h 0 ) σ 1 ( x ) + ∑ j = 2 n k j σ j ( h 0 ) σ j ( x ) {\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(h_{0}x)}=k_{1}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{1}(x)+\sum _{j=2}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(h_{0})\sigma _{j}(x)}}
が得られる。一方、
(e) 0 = σ 1 ( h 0 ) ∑ j = 1 n k j σ j ( x ) = k 1 σ 1 ( h 0 ) σ 1 ( x ) + ∑ j = 2 n k j σ 1 ( h 0 ) σ j ( x ) {\displaystyle 0=\sigma _{1}(h_{0})\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(x)}=k_{1}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{1}(x)+\sum _{j=2}^{n}{k_{j}\sigma _{1}(h_{0})\sigma _{j}(x)}}
である。
等式 (d) から等式 (e) を引くと、次式が得られる。