底に関する指数函数
底 a の指数函数は R 上無限回微分可能(フランス語版)であり、導函数は
を満たす。
指数函数は常に正値であるから、その導函数の符号は ln(a) の符号のみによって決まる。したがって指数函数は、底 a が 1 より真に大きいとき狭義単調増大で、1 より真に小さいときには狭義単調減少、a = 1 のとき定数函数 1 である。
底 a の指数函数の極限は a と 1 との位置関係で決まる:
a > 1 ならば lim x → + ∞ a x = + ∞ , lim x → − ∞ a x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0} ;
a < 1 ならば lim x → + ∞ a x = 0 , lim x → − ∞ a x = + ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=0,\quad \lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty .}
指数函数は冪函数に対して +∞ へ飛ばす極限で指数函数のほうが早く発散するという予測可能な挙動を示す: