井戸型ポテンシャル
となる。式(8)は偶関数で、式(9)は奇関数になっている。
解釈
解の数は、 y = tan  ( k L / 2 ) {\displaystyle y=\tan(kL/2)} と、 y = k ′ / k , y = − k / k ′ {\displaystyle y=k'/k,y=-k/k'} のグラフの交点の数である。
このことから、解の数は、ポテンシャルの2乗根と井戸の幅の積が
( n − 1 ) ħ 2 π 2 m < V 0 L < n ħ 2 π 2 m {\displaystyle {\frac {\left(n-1\right)\hbar ^{2}\pi }{\sqrt {2m}}}<{\sqrt {V_{0}}}L<{\frac {n\hbar ^{2}\pi }{\sqrt {2m}}}} (10)
の範囲にあるとき、n個の解を持つ(n=1,2,3,...)ということが分かる。
解の個数と同じ数だけ取り得るkの値が存在し、そのkの値によってエネルギー固有値Eの値が決まる。
Eがいちばん小さい状態を基底状態という。このときの波動関数は偶関数である。その次にEが小さい状態での波動関数は、奇関数である。以降、解はEが小さいものから順に偶、奇、偶、奇、...と繰り返している。
この時、領域外ではポテンシャルが無限大となるため、粒子の存在確率も0となると考える。従って、境界条件としてψ(0)=ψ(L)=0を課す。この下で、領域D内において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式
− ħ 2 2 m d 2 d x 2 ψ n ( x ) = E n ψ n ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x)}
( m {\displaystyle m\ } :粒子の質量、 ψ n {\displaystyle \psi _{n}\ } :波動関数、 E n {\displaystyle E_{n}\ } :エネルギー固有値)を解くと、解は