ベイカーの定理
∑ n = 0 ∞ x n ( n + x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{n(n+x)}}} (x は、整数ではない、正の有理数)。
定理2 および、その系から得られる例を挙げる。
以下において、β を、次数 d 以下、高さが B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の代数的数とする。
α を 0, 1 以外の代数的数としたとき、 | log  α − β | > B − C {\displaystyle |\log \alpha -\beta |>B^{-C}} (但し、C は、α、d にだけ依存する、計算可能な正定数)。
| π − β | > B − C {\displaystyle |\pi -\beta |>B^{-C}} (但し、C は、d にだけ依存する、計算可能な正定数)。
| e π − p q | > q − c log  log  q {\displaystyle \left|e^{\pi }-{\frac {p}{q}}\right|>q^{-c\log \log q}} (但し、c は、p/q に依存しない、計算可能な正定数) 。
代数的数 α , β ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0} に対する、 sinh  ( α π + β ) {\displaystyle \sinh {(\alpha \pi +\beta )}} , cosh  ( α π + β ) {\displaystyle \cosh {(\alpha \pi +\beta )}} , tanh  ( α π + β ) {\displaystyle \tanh {(\alpha \pi +\beta )}} 。
代数的数 α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、 π + log  α {\displaystyle \pi +\log {\alpha }} 。
3 ∫ 0 1 d t 1 + t 3 ( = π 3 + log  2 ) {\displaystyle 3\int _{0}^{1}{\frac {dt}{1+t^{3}}}\ (={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}+\log 2)} 。
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}} (x は、正の有理数)。
虚二次体 Q ( − d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} の類数が 2 である d の決定は、1971年に、ベイカー、スタークにより証明された。この時も、証明にはベイカーの定理(定理2)が使われた。