ボレル集合
一つの重要な例は、実数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上のボレル集合体 B ( R ) {\displaystyle B(\mathbb {R} )} で、これは特に確率論において重要である。このボレル集合体の上にはボレル測度が定義できる。確率空間上で定義される実確率変数が与えられたとき、その確率分布もまた定義によりこのボレル集合体上の測度になる。
実数直線上のボレル集合体 B ( R ) {\displaystyle B(\mathbb {R} )} は、 R {\displaystyle \mathbb {R} } 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である。
上記の超限帰納法による構成において、その各段階で得られた集合の数は、高々連続体濃度の冪であることが示せる。故に、ボレル集合の総数は א 1 × 2 א 0 = 2 א 0 {\displaystyle \aleph _{1}\times 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}} 以下である。