剰余環
ハミルトンの四元数は1843年に
R[X,Y]/(X + 1, Y + 1, XY + YX).
として与えられた。Y + 1 を Y − 1 に置き換えれば分解型四元数の環が得られる。二つの + を両方とも − に置き換えてもやはり分解型四元数を得る。反交換性 YX = −XY から XY の平方が
(XY)(XY) = X(YX)X = −X(XY)Y = − XXYY = −1
となることが従う。三種類の複四元数も、三つの不定元を持つ環 R[X,Y,Z] と適当なイデアルを考えれば、剰余環として表すことができる。