アスキー＝ギャスパー不等式
もしβ ≥ 0, α + β ≥ −2かつ−1 ≤ x ≤ 1 ならば
∑ k = 0 n P k ( α , β ) ( x ) P k ( β , α ) ( 1 ) ≥ 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}
であり、
P k ( α , β ) ( x ) {\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}
はヤコビ多項式である。 β = 0のとき、
3 F 2 ( − n , n + α + 2 , 1 2 ( α + 1 ) ; 1 2 ( α + 3 ) , α + 1 ; t ) > 0 , 0 ≤ t < 1 , α > − 1. {\displaystyle {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.}
になる。