双極座標系
よって、ひとつの無限小の面積は以下に等しい。
d A = a 2 ( cosh  τ − cos  σ ) 2 d σ d τ {\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau }
このとき、ラプラシアンは以下で与えられる。
∇ 2 Φ = 1 a 2 ( cosh  τ − cos  σ ) 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}
∇ f {\displaystyle \nabla f} , ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } , ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } の式はスケール因子を直交座標系の一般公式に代入することでも得ることができる。