三角関数の公式の一覧
係数に登場する 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小さく 21 と互いに素な全ての自然数である。この式は円分多項式に関係している。
以下の関係から導かれる式もある。
∏ k = 1 n − 1 sin  ( k π n ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}}
∏ k = 1 n − 1 cos  ( k π n ) = sin  ( π n / 2 ) 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin \left(\pi n/2\right)}{2^{n-1}}}}
これらを組み合わせると、以下の式になる。
∏ k = 1 n − 1 tan  ( k π n ) = n sin  ( π n / 2 ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin \left(\pi n/2\right)}}}
n を奇数に限定すると、以下の式が得られる。
∏ k = 1 m tan  ( k π 2 m + 1 ) = 2 m + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan \left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}}}
{\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}
sin  20 ∘ ⋅ sin  40 ∘ ⋅ sin  80 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
余弦関数では以下の式が成り立つ。
cos  10 ∘ ⋅ cos  50 ∘ ⋅ cos  70 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
cos  15 ∘ ⋅ cos  75 ∘ = 1 4 . {\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}
上の式を利用して以下の式が得られる。
tan  50 ∘ + tan  60 ∘ + tan  70 ∘ = tan  50 ∘ ⋅ tan  60 ∘ ⋅ tan  70 ∘ = tan  80 ∘ . {\displaystyle \tan 50^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 70^{\circ }=\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.}
以下の式は単純である。
いくつかの線に対し対称な図形を考えることにより、以下の関係式を得ることができる。
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&={\binom {n}{1}}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -{\binom {n}{3}}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta +\cdots ,\\\cos(n\theta )&={\binom {n}{0}}\cos ^{n}\theta -{\binom {n}{2}}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\cdots .\end{aligned}}}
ビエトの公式を利用し、正接関数と余接関数の倍角公式を漸化式として与えることができる。
tan  ( ( n + 1 ) θ ) = tan  ( n θ ) + tan  θ 1 − tan  ( n θ ) tan  θ , cot  ( ( n + 1 ) θ ) = cot  ( n θ ) cot  θ − 1 cot  ( n θ ) + cot  θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {((n+1)\theta )}&={\frac {\tan(n\theta )+\tan \theta }{1-\tan(n\theta )\tan \theta }},\\\cot {((n+1)\theta )}&={\frac {\cot(n\theta )\cot \theta -1}{\cot {(n\theta )}+\cot \theta }}.\end{aligned}}}
x = 15 ∘ {\displaystyle x=15^{\circ }} を入力すると、 sin  15 ∘ ⋅ sin  45 ∘ ⋅ sin  75 ∘ = sin  45 ∘ 4 = 2 8 {\displaystyle \sin {15^{\circ }}\cdot \sin {45^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {\sin {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}} から、 sin  15 ∘ ⋅ sin  75 ∘ = 1 4 {\displaystyle \sin {15^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}} となる。
x = 20 ∘ {\displaystyle x=20^{\circ }} を入力すると、 sin  20 ∘ ⋅ sin  40 ∘ ⋅ sin  80 ∘ = sin  60 ∘ 4 = 3 8 {\displaystyle \sin {20^{\circ }}\cdot \sin {40^{\circ }}\cdot \sin {80^{\circ }}={\frac {\sin {60^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}} となる。