放物線の求積
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アルキメデスの時代、放物線などの円錐曲線は1世紀ほど前のメナイクモスのためによく知られていた。しかしながら、微分積分学の発見以前、円錐曲線の面積を求める容易な手法は存在しなかった。放物線と弦に囲まれた領域に着目することで、アルキメデスはこの問題に対する最初の証明付き解法を導いた。
アルキメデスは主定理に対して2通りの証明を与えている。1つは力学理論を用いるもので、もう1つは純粋な幾何学によるものである。最初の証明において、アルキメデスは重力下で平衡状態にあるてこ(重りのある放物線の領域と三角形が、支点から一定距離にあるようなもの)を考えている。三角形の重心が既知のとき、てこの平衡は底辺と高さを共有する三角形の面積を基にした放物線の面積を導く。ここで、アルキメデスは『平面の釣合について(英語版)』での手法から離れ、重心を天秤のそれより低い位置に置いている。2つめの、より有名な証明は純粋な幾何学と、等比数列の和を一部利用している。
24の命題のうち、最初の3つはエウクレイデスの『円錐曲線論』(円錐曲線に関するエウクレイデスの散逸した著作)から証明なしで引用されている。命題4および5は放物線の基本的性質を打ち立てている。命題6-17は主定理の力学的証明を与えている。命題18-24は幾何学的証明である。