低次元トポロジー
PL多様体(英語版)は 4 を除くすべての次元で証明されているが、4次元では正しいか否か分かっていない(4次元での滑らかなポアンカレ予想と同値である)。
滑らかな h-コボルディズム定理(英語版)は、同境(cobordant)(コボルダント)でもなく境界が 4次元でもない場合には、コボルディズムは保存される。コボルディズムの境界が次元 4 であると、この結果は成立しない(ドナルドソンにより示された)。コボルディズムが次元 4 であるとき、h-コボルディズム定理が成立するかどうかは未解決である。
4次元以外の次元の位相多様体は、ハンドル体分解を持つ。次元 4 の多様体がハンドル分解を持つことと、滑らかな多様体であることとは同値である。
すべての単体複体に同相でない 4次元位相多様体が存在する。少なくとも次元 5 では、単体複体と同相でない位相多様体の存在は、未解決問題である。2013年段階では、シプリアン・マノレスク(Ciprian Manolescu)がArXivへプレプリントを投稿して、次元が 5 に等しいか大きい各々の次元で単体複体に同相でない多様体が存在すると主張している。
一意化定理は、すべての単連結なリーマン面は、次の 3つのうちのどれかひとつと共形同値であるという定理である。単連結リーマン面は、開単位円板、複素数平面、リーマン球面のいずれかであり、特に、定曲率(英語版)のリーマン計量をもっている。これはリーマン面を、普遍被覆に従い、楕円型(正の曲率をもつ、正の定数曲率をもつ)と放物型(平坦)と双曲型(負の定数曲率)へと分類する。
一意化定理は、リーマン写像定理を、平面の単連結な開部分集合から任意の単連結なリーマン面へ一般化した定理である。