完全加法的集合関数
任意の加法的なモノイド(例として、任意の群やより一般的なベクトル空間が挙げられる)に値を取る有限加法的関数を定義することが出来る。σ-加法性については、さらに列の極限の概念がその集合上で定義される必要がある。例えば、スペクトル測度()はバナッハ代数に値を取る σ-加法的関数である。また別の例として、量子力学の分野における正作用素値測度(英語版)が挙げられる。
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を σ-代数とする。μ を A {\displaystyle {\mathcal {A}}} から R への写像とする。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 内の任意の互いに素な集合の列 A1, A2, ..., Ak, ... に対し
(完全加法性) μ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( A n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}
が成立するとき、μ は完全加法的、可算加法的、あるいはσ-加法的であると言い、μ を完全加法的集合関数あるいは加法的集合関数などと言う。
任意の加法的集合関数は、有限加法的であるが、その逆は成立しない。そのような反例については後述を参照されたい。