分割数
分割数の列について、50番目までの値は オンライン整数列大辞典の数列 A000041 を参照。
p(100) = 190,569,292
p(200) = 3,972,999,029,388
p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4×10.
2011年 (2011-June)現在、知られている中でこの形で得られる最大の素数は、Bernardo Boncompagni が発見したp(40100918) で、これは十進法で 7047桁の数値である。
各自然数 n に対して p(n) は次の式で求められる。
G P N ′ s 0 1 2 5 7 ⋮ p ( n ) = | 1 − 1 1 1 − 1 0 1 1 − 1 0 0 1 1 − 1 − 1 0 0 1 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 0 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 0 0 − 1 0 − 1 0 0 1 1 ⋮ ⋱ | n × n . {\displaystyle {\begin{matrix}{\rm {GPN's}}\\0\\1\\2\\~\\~\\5\\~\\7\\~\\~\\\vdots \\~\\~\end{matrix}}~~~p(n)={\begin{vmatrix}~~1&-1~&~&~&~&~&~&~\\~~1&~1&-1~&~\\~~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&~0&~1&~1&-1~&~\\-1&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\-1&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&-1~&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&~0&-1~&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&~\\~~\vdots &~&~&~&~&~&~&~&~&\ddots \\\end{vmatrix}}_{n\times n}.}
つまり、p(n) は上記無限次元テープリッツ行列を n × n で止めた正方行列の行列式である。
分割数 p(n) の母関数は、次の式で与えられる。
∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − x k . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\dfrac {1}{1-x^{k}}}.}
右辺の各項を幾何級数として展開すれば、これは
(1 + x + x + x + ...)(1 + x + x + x + ...)(1 + x + x + x + ...) ...,
と書くことができるが、ここから積をとって x の項となるものを拾い出せば
n = a1 + 2a2 + 3a3 + ... = (1 + 1 + ... + 1) + (2 + 2 + ... + 2) + (3 + 3 + ... + 3) + ...,
を得る。ここで各数 i は ai 個ずつ現れる。これはまさに n の分割の定義そのものであるから、この無限積が求める母函数を与えることが確認できる。