調和振動子
この方程式は解析的に解くことができ、その解(エネルギー固有状態)はエルミート多項式 H n {\displaystyle H_{n}} を使って以下のように表される。
φ n ( x ) = A H n ( ξ ) exp  ( − ξ 2 2 ) {\displaystyle \phi _{n}(x)=AH_{n}(\xi )\exp \left(-{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)}
ただし、 ξ = m ω ħ x {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x} 、 A {\displaystyle A} は規格化定数で次式で与えられる。
A = 1 n ! 2 n m ω π ħ {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{n!2^{n}}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}}}}
また、エルミート多項式 H n {\displaystyle H_{n}} は
H n ( x ) = ( − 1 ) n exp  ( x 2 ) d n d x n exp  ( − x 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp \left(x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\exp \left(-x^{2}\right)}
調和振動子(ちょうわしんどうし、英: harmonic oscillator)とは、質点が定点からの距離に比例する引力を受けて運動する系である。調和振動子は定点を中心として振動する系であり、その運動は解析的に解くことができる。