体の拡大
代数拡大 K/k が正規拡大 (normal extension) であるとは、多項式環 k[X] において K に根をもつすべての既約多項式が一次式の積に分解されることをいう。すべての代数拡大 K/k は正規閉包 L―つまり拡大 L/K のうち L/K が正規となる最小の拡大体―をもつ。
代数拡大 K/k が分離拡大 (separable extension) であるとは、体 K のすべての元の最小多項式が分離的である―つまり k の代数的閉包において重根をもたない―ことをいう。原始元定理からわかることとして、すべての有限次分離拡大は単純拡大であることがある。
ガロア拡大 (Galois extension) とは正規かつ分離的な拡大体のことである。体の拡大 K/k が与えられたとき、自己同型群 Aut(K/k) を考えることができる;これは k の各元を固定するすべての体の準同型からなる。ガロア拡大に対してはこの自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれる。またガロア群がアーベル群となるような拡大はアーベル拡大と呼ばれる。体の拡大が与えられたとき、その中間体にしばしば興味がある。ガロア拡大とガロア群の著しい特徴は中間体の記述が完全にできることである:ガロア理論の基本定理で述べられているように中間体とガロア群の部分群の間には全単射が存在する。