S行列
この表式は、はじめ時刻 t ′ = − ∞ {\displaystyle t'=-\infty } において状態 | Φ i ⟩ {\displaystyle |\Phi _{i}\rangle } にあった系が、時刻 t {\displaystyle t} においては相互作用の影響によって状態 | ψ I ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle } に変わっていることを表すものである。
2粒子の衝突が終わり、それらの粒子がたがいに遠くに離れた時刻を t = + ∞ {\displaystyle t=+\infty } とすると、その状態は
| ψ I ( t ′ = + ∞ ) ⟩ = U ^ ( + ∞ , − ∞ ) | Φ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t'=+\infty )\rangle ={\hat {U}}(+\infty ,-\infty )|\Phi _{i}\rangle }
で与えられる。この式によって形成された状態ベクトル | ψ I ( t ′ = + ∞ ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t'=+\infty )\rangle } を、 H 0 ^ {\displaystyle {\hat {H_{0}}}} の固有ベクトルの完全系 | Φ i ⟩ {\displaystyle |\Phi _{i}\rangle } で展開し、その展開係数を S j , i {\displaystyle S_{j,i}} と書くと、