ロワの恒等式
∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ w ∂ e ( p , u ) ∂ p i + ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ p i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}
となる。これを変形すると
− ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ p i ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ w = ∂ e ( p , u ) ∂ p i = h i ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u ) ) {\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}
最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はヒックス型需要関数(英語版)の基本的な性質から従う。