ストーン双対性
ストーンの双対性定理はsober性を満たす位相空間の圏Sob が空間的完備ハイティング代数の圏SFrm との対応関係を示しているが、Sob からSFrm への関手Ωは射の向きを反対にするもの(反変関手)である為、Sob とSFrm では射の向きが反転してしまっており、両者は完全に同一視できるわけではない。
そこで圏SFrm の射の向きを形式的に全て逆向きにした圏(双対圏)を考え、この圏をSLoc と書くと、SobとSLoc は射の向きも同一になる。(なおSLoc の射はあくまでSFrm の射の向きを形式的に反転したものなので、SLoc の射L→ Mは通常の写像のようにL の元に M の元を対応させるわけではない。)SLoc の対象をロケール(locale)という。すなわちSLoc は空間的という条件を満たすロケール(Spatial LOCale)の圏である。
Sob とSLoc は射の向きを込めて同型なので、(sober性を満たす)位相空間の圏Sob の代わりに空間的ロケールの圏SLoc をベースにして位相空間論を展開する事ができる。これをポイントレス位相空間論(pointless topology。意訳すれば「点集合論に基づかない位相空間論」)という。