転置写像
↑ Treves 1999, p. 240.
↑ Schaefer 1999, p. 128.
↑ Halmos 1974, §44.
1 2 3 4 5 Schaefer 1999, pp. 129–130.
↑ Treves 1999, p. 488.
対応 f ↦ f は V から W への線型作用素全体の成す空間 L(V, W) と W* から V* L(W*, V*) の間の単射線型写像を与える。この準同型が同型なるための必要十分条件は W が有限次元なることである。V = W ならば線型写像の空間 L(V, V) は写像の合成のもとで線型環を成し、上記の対応は線型環の反準同型(英語版)、つまり (f ∘ g) = g ∘ f となる。圏論の言葉では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置をとる操作は F 上のベクトル空間の圏からそれ自身への反変函手である。二重双対への自然な入射を用いて (f) と f が同一視できることに注意。
線型写像 u: X → Y および v: Y → Z に対し (v ∘ u) = u ∘ v が成り立つ
u: X → Y は線型写像とし、部分集合 A ⊆ X, B ⊆ Y および "°" は各部分集合の極集合を意味するものとすれば以下が成り立つ [u(A)]° = (u)(A°), u(A) ⊆ B ならば u(B°) ⊆ A°.