解析接続
べき級数が収束半径 r を持ち、この円板内で解析函数 f を定義すると仮定する。いま収束円の上の点(円周上の点)を考えて、その点のある近傍に於いて f を解析接続できる場合はその点を正則 (regular)、そうでない場合には特異と呼ぶ。円のすべての点が特異であればその円(円周)は自然な境界である。
より一般には、f が解析的である任意の連結な開領域に対して定義を拡張し領域の境界上の点を正則と特異に分類する。領域の境界の点がすべて特異であればそれは自然な境界であり、そのような領域は正則領域である。
※ 以下では見通しをよくするために g(z) と級数を比べながら説明するが、普通は解析接続を用いるときに g(z) のように定義域の広い関数はわかっていない。
ここで、 g(z) を f0(z) の収束円内の点 z = − 1/2 を中心にテイラー展開してみれば
f − 1 2 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n + 1 ( z + 1 2 ) n = 2 3 + 4 9 ( z + 1 2 ) + 8 27 ( z + 1 2 ) 2 + ⋯ {\displaystyle f_{-{1 \over 2}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({2 \over 3}\right)^{n+1}\left(z+{1 \over 2}\right)^{n}={2 \over 3}+{4 \over 9}\left(z+{1 \over 2}\right)+{8 \over 27}\left(z+{1 \over 2}\right)^{2}+\cdots }
であり、その収束半径は (3/2) であるので |z +(1/2) | < (3/2) において定義できることになる。つまり、 f(z) から f−(1/2)(z) に取り替えることによって定義域を拡げられることがわかる。さらに z = − 1, − 2, ...