測地線
計量テンソル g i j {\displaystyle g_{ij}} を持つリーマン多様体上の微分可能な曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)_{}^{}} のある一点 x ( t 1 ) {\displaystyle x(t_{1})} から他の一点 x ( t 2 ) {\displaystyle x(t_{2})} までの長さ S は積分
S ( = ∫ s 1 s 2 d s = ∫ t 1 t 2 d s d t d t ) = ∫ t 1 t 2 g i j d x i d t d x j d t d t = ∫ t 1 t 2 F ( x , x ̇ ) d t {\displaystyle S\left(=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathrm {d} s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t\right)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(x,{\dot {x}})\mathrm {d} t}
で与えられる。
を得る。最後にクリストッフェル記号
{ k i j } = 1 2 g k a ( ∂ g a i ∂ x j + ∂ g a j ∂ x i − ∂ g i j ∂ x a ) {\displaystyle \left\{{{k} \atop {ij}}\right\}={\frac {1}{2}}g^{ka}\left({\frac {\partial g_{ai}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{aj}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{a}}}\right)}
で置き直せば、上式は、
d 2 x k d s 2 + { k i j } d x i d s d x j d s = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{k}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\left\{{{k} \atop {ij}}\right\}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}=0}