テトレーション
任意の整数 n > 2 に対して x は定義され、x ≥ 1 のとき増加となり 1 = 1 を満たす。従って x ≥ 1 のとき √xs は存在する。しかし上述した一次近似を用いた場合、−1 < y ≤ 0 のとき x は x によらず y + 1 となり、従ってこの場合 x = √y + 1s は存在しない。
超平方根のほか n 次の超冪根も同様の記号を用いて √xs と表すことができる。
超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これは 1/e ≤ x ≤ e の場合に限り問題なく定義される(#高さが無限大を参照)。x が存在するとき x = x が成り立つことから、無限次の超冪根は初等関数によって √xs = x と表すことができる。例えば √2s = 2 = √2 となる。
n を任意の正の整数とするとゲルフォント=シュナイダーの定理より、超平方根 √ns は整数または超越数となり、超立方根 √ns は整数または無理数(これが超越数かどうかは知られていない)となる。
f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1}
f {\displaystyle f} は ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} で下に凸
lim x → 0 − f ′ ( x ) ≤ lim x → 0 + f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0-}f'(x)\leq \lim _{x\to 0+}f'(x)}
を満たすとき、 f {\displaystyle f} は uxp  ( = uxp e ) {\displaystyle \operatorname {uxp} (=\operatorname {uxp} _{e})} に等しい。
証明は先とほぼ同様である。漸化式より lim x → − 1 + 0 f ′ ( x ) = lim x → + 0 f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to -1+0}f'(x)=\lim _{x\to +0}f'(x)} となること、三番目の条件より f が (−1, 0) で線型となることから従う。
定理より、 x >−1 に対し f (x) = exp (f (x−1)) および f (0) = 1 であって、かつ (−1, +∞) で下に凸であるような関数 f は唯一 uxp のみである。f が十分微分可能であるためには (−1, 0) で極値を持つ必要がある。
超対数はテトレーションの高さに関する逆関係である。
テトレーション a を x に関して連続的に増加するものとして定義すると、任意の実数 x に対し超対数 sloga x (a > 1) が定義される。
この関数 sloga x は以下の式を満たす。
slog a  x a = x slog a  a x = 1 + slog a  x slog a  x = 1 + slog a  log a  x slog a  x > − 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=&x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=&1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=&1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&>&-2\end{array}}}
1/x、 x の 0 から 1 までの定積分は二年生の夢と呼ばれる。
∫ 0 1 1 2 x d x = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ( = 1.29128599706266354040728259059560054149861936827 ... ) ∫ 0 1 2 x d x = − ∑ n = 1 ∞ 2 ( − n ) ( = 0.78343051071213440705926438652697546940768199014 ... ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{{}^{2}x}}\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{}^{2}n}}&{\scriptstyle (=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}{{}^{2}x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }{{}^{2}(-n)}&{\scriptstyle (=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots )}\end{aligned}}}
任意の正の整数 n に対し、x の不定積分は次のようになる。
超冪根はテトレーションの底に関する逆関係である。