行列環
行列環 Mn(R) が可換であることと n = 1 かつ R が可換であることは同値である。実は、これは上三角行列の部分環に対しても正しい。交換しない 2×2 行列(実は上三角行列)の例を挙げよう。
[ 1 0 0 0 ] [ 1 1 0 0 ] = [ 1 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}\,}
[ 1 1 0 0 ] [ 1 0 0 0 ] = [ 1 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\,}
この例は容易に n×n 行列に一般化される。
n ≥ 2 に対して、行列環 Mn(R) は零因子と冪零元をもち、再び、同じことは上三角行列に対しても言える。2×2 行列における例は
[ 0 1 0 0 ] [ 0 1 0 0 ] = [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}\,}
環 R 上の行列環の中心は単位行列のスカラー倍の行列からなる、ただしスカラーは R の中心に属す。
線型代数学において、体 F 上 Mn(F) は任意の2つの行列 A と B に対して AB = 1 ならば BA = 1 という性質(デデキント有限性)をもつことに言及される。しかしこれは任意の環 R に対しては正しくない。行列環がすべてその性質をもつような環 R は stably finite ring と呼ばれる(Lam 1999, p. 5)。