モチーフ (数学)
Corr(k) の対象(object)は、単純に k 上の滑らかな射影多様体である。射(morphism)は対応である。対応は、多様体の射 X → Y の一般化であり、これには X × Y の中のグラフが伴われていて、X × Y 上の決まった次元の周サイクル(英語版)(Chow cycles)へ一般化される。
Corr(k) の射は、次数が 0 の対応であるにもかかわらず、任意次数の対応を記述することは有益である。詳しく言うと、X と Y を滑らかな多様体、 X = ∐ i X i {\displaystyle \scriptstyle X=\coprod _{i}X_{i}} を X の連結成分への分解、di := dim Xi とする。r ∈ Z であれば、次数 r の X から Y への対応は、
C o r r r ( k ) ( X , Y ) := ⨁ i A d i + r ( X i × Y ) {\displaystyle {\mathit {Corr}}^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y)}
と定義される。
例えば α: X ⊢ Y のように、対応を "⊢" の記号で使うことが良くある。