分類空間
と与えられると、Z から BG への分類写像(classifying map) φ が存在し、γ が φ に沿った π の引き戻し(英語版)(pullback)であるということができなければならない。抽象的な言い方では、γ のツイストによる構成は、φ を通して π の構成により既に表現されているツイストまで還元できるはずである。
このことを有益な概念とするためには、そのような空間 BG が存在すると信ずるにたる明白な理由がなければならない。抽象的にいうと、(最初にアイデアが導入された時点である1950年頃にはこのようには考えられてはいなかったが、)
h(Z) = Z の上の主 G-バンドルの同型類の集合
により定義されるホモトピー圏から集合の圏(category of sets)への反変函手が、表現函手(英語版)(representable functor)かどうかを問う問題である。抽象的な条件(現在は、ブラウンの表現性定理(英語版)(Brown's representability theorem)として知られている)は、存在定理として結果が肯定的であり難しすぎないことを確かめることである。
円 S は無限巡回群 Z の分類空間である。
n次元トーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} は Z の分類空間であり、ランク n の自由アーベル群である。
n 個の円のウェッジは、ランク n の自由群の分類空間である。
コンパクトで境界を持たない閉じた連結な種数が 1 より大きい曲面 S は、その基本群 π 1 ( S ) {\displaystyle \pi _{1}(S)} の分類空間である。
無限次元射影空間(英語版)(infinite-dimensional projective space) R P ∞ {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }} は、Z/2Z の分類空間である。
コンパクトで境界を持たない閉じたで連結な双曲多様体 M は、その基本群 π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} の分類空間である。
有限局所連結な CAT(0)(英語版)(CAT(0))である3次複体(英語版)(cubical complex)は、その基本群の分類空間である。
C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} は、コンパクトな位相群と考えられる円 S の分類空間 BS である。
数学、特にホモトピー論では、位相群 G の分類空間(classifying space) BG は、G の自由作用(英語版)により弱可縮(英語版)空間 EG の商空間である(つまり、すべてのホモトピー群が自明となるような位相空間)。分類空間は、パラコンパクトな多様体上の任意の G 主バンドルが、主バンドル EG → BG の引き戻しバンドル(英語版)(pullback bundle)と同型となる性質を持つ。
離散群(discrete group) G に対し、BG は、大まかには、弧状連結な位相空間 X であり、X の基本群が G と同型となり、X の高次ホモトピー群が自明となる、つまり、BG はアイレンベルグ・マックレーン空間(英語版)(Eilenberg-Maclane space)、または K(G,1) となる。