フォック状態
各モードの粒子数演算子を次のように定義する。
N ^ i ≡ b ^ i † b ^ i {\displaystyle {\hat {N}}_{i}\equiv {\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}}
これはエルミート演算子である。この固有値・固有ベクトルは以下を満たす。
N ^ i | n i ⟩ = n i | n i ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}_{i}|n_{i}\rangle =n_{i}|n_{i}\rangle }
また全数演算子を、各モード i {\displaystyle i} の数演算子の和として定義する。
n ^ = ∑ i n ^ i {\displaystyle {\hat {n}}=\sum _{i}{\hat {n}}_{i}}
多重モードにおけるフォック状態 | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle } を、全数演算子の固有ベクトルと定義する。固有値は全てのモードの粒子数(占有数)の和である。
n ^ | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = ( ∑ i n i ) | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {n}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle =\left(\sum _{i}n_{i}\right)|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle }
多重モードフォック状態は、各モードでの | n i ⟩ {\displaystyle |n_{i}\rangle } の直積(テンソル積)で表される。
| n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ ≡ | n 1 ⟩ | n 2 ⟩ ⋯ | n i ⟩ ⋯ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle \equiv |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \cdots |n_{i}\rangle \cdots }
ここで各モードにおける粒子的な解釈を行うことで、多重モード全体の状態を各モードの粒子数(あるいは占有数)を用いて表すことができる。
交換演算子のもとでのフェルミ粒子状態の反対称性は、反交換関係によるものである。 ここでは2つの状態間の粒子の交換は、ある状態のある粒子を消滅させ、別の粒子を生成させることで行われる。 フォック状態 | n 1 , n 2 , ⋯ , n m ⋯ , n l , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m}\cdots ,n_{l},\cdots \rangle } から出発して状態 l {\displaystyle l} から状態 m {\displaystyle m} へ粒子をシフトさせたい場合、反交換関係より c ^ m † c ^ l = − c ^ l c ^ m † {\displaystyle {\hat {c}}_{m}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}=-{\hat {c}}_{l}{\hat {c}}_{m}^{\dagger }} であるため、
c ^ m † c ^ l | n 1 , n 2 , ⋯ , n m , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ = n m + 1 n l | n 1 , n 2 , ⋯ , n m + 1 , ⋯ , n l − 1 , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {c}}_{m}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{m}+1}}{\sqrt {n_{l}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{m}+1,\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle }