慣性モーメント
質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。
L = ∑ i m i ( r i × ( ω × r i ) ) = ∑ i m i ( ω r i 2 − r i ( r i ⋅ ω ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))}
ここでmi は i 番目の質点の質量、ri は回転軸上の原点との相対座標でありriはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、
L = I ω {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}}
慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、 I = M κ 2 {\displaystyle I=M\kappa ^{2}}
と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。
となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 Ixx、Iyy、Izz を(それぞれ x、 y、 z 軸に関する)慣性モーメント係数(英: moment of inertia coefficient)と呼び、 Ixy、Iyz、Izx は 慣性乗積(英: products of inertia)と呼ぶ。
なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて
I j k = ∫ ρ ( x ) ( | x | 2 δ j k − x j x k ) d 3 x {\displaystyle I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x}
となる。