留数
無限遠点 ∞ を含めて P ≔ C ∪ {∞} 上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点 z = ∞ に孤立特異点を持つ解析函数 f(z) に対し、z = 1/ζ なる変数変換を行えば、g(ζ) := f(1/ζ) は ζ = 0 に孤立特異点を持つ(あるいは正則な)解析函数だが、留数 Resz=∞ f(z)dz は
Res z = ∞ f ( z ) = 1 2 π i ∮ γ f ( 1 / ζ ) d ( 1 / ζ ) = − Res ζ = 0 g ( ζ ) ζ 2 ( ≠ Res ζ = 0 g ( ζ ) ) {\displaystyle \operatorname {Res} \limits _{z=\infty }\,f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(1/\zeta )d(1/\zeta )=-\operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,{\frac {g(\zeta )}{\zeta ^{2}}}\;(\neq \operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,g(\zeta ))}
であることに留意すべきである。