ボード線図
− 20 log 10  ( 1 + ( f / f 1 ) 2 ) {\displaystyle \ -20\log _{10}\left({\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}\right)\ }
図1(b)は以下の一極のローパスフィルタのボード線図である。
T L o w ( f ) = 1 1 + j f / f 1 {\displaystyle \mathrm {T_{Low}} (f)={\frac {1}{1+jf/f_{1}}}\ }
図1(a)と図1(b)には、直線近似も描かれている。その利用法は後で解説する。
ボード線図のゲイン線図と位相線図は一方だけが変化するということはほとんどない。システムの振幅応答が変化すると位相特性も変化するし、逆も同様である。安定かつ不安定零点を持たないシステム(最小位相系)では、ヒルベルト変換によって位相特性と振幅特性の一方からもう一方を得ることができる。
伝達関数が実数の極と零点を持つ有理関数の場合、ボード線図は直線で近似できる。このような漸近的近似を骨格ボード線図 (straight line Bode plot)または非補正ボード線図 (uncorrected Bode plot) と呼び、単純な規則にしたがって手で描くことができるという意味で便利である。単純な図は描画する前に予測できる。
この近似は、各遮断周波数で値を「補正」することでよりよくなる。そのような図を補正ボード線図 (corrected Bode plot) と呼ぶ。
位相線図は、次の式で与えられる伝達関数の位相角をプロットすることで得られる。
φ = − tan − 1  ω ω c {\displaystyle \varphi =-\tan ^{-1}{\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}
ω {\displaystyle \omega } は入力角周波数、 ω c {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }} は遮断角周波数である。遮断周波数よりずっと低い入力周波数では、 ω ω c {\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}} という比は非常に小さくなり、位相角は0に近い。そして比が大きくなっていき、 ω = ω c {\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {c} }} のとき位相は -45 度になる。入力角周波数が遮断周波数を超えても比は増大し続け、位相角は -90 度に漸近していく。位相線図の周波数軸も対数軸である。
受動ローパスRCフィルタの伝達関数を周波数領域で表すと次のようになる。
H ( j f ) = 1 1 + j 2 π f R C {\displaystyle H(jf)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}}
この伝達関数から、遮断周波数 fc は以下のように決定される。
f c = 1 2 π R C {\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over {2\pi RC}}} または(等価的に) ω c = 1 R C {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={1 \over {RC}}} ここで、 ω c = 2 π f c {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }=2\pi f_{\mathrm {c} }} は遮断角周波数であり、単位はラジアン毎秒である。
角周波数で表した伝達関数は次のようになる。
H ( j ω ) = 1 1 + j ω ω c {\displaystyle H(j\omega )={1 \over 1+j{\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}}
これは伝達関数を正規化した形式である。このときのボード線図は図1(b)であり、骨格近似の決定方法を以下で述べる。
ω c {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }} より低い角周波数については 0dB の水平な線となる。低い周波数では、 ω ω c {\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}} の項が小さく無視できるため、上記のデシベル利得方程式は0と見なせる。
ω c {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }} より高い角周波数については decade あたり -20dB の傾斜の直線になる。高い周波数では ω ω c {\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}} の項が大きくなるので、上記のデシベル利得方程式は − 20 log  ω ω c {\displaystyle -20\log {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}} に単純化され decade あたり −20 dB の直線になる。
この2つの直線は遮断周波数でつながる。図によれば、遮断周波数より十分低い周波数では、この回路による減衰は 0dB で、これが通過帯域になる(出力の振幅は入力の振幅に等しい)。遮断周波数より高い周波数では、高い周波数ほど減衰する。