モジュライ空間
高次元では、代数多様体のモジュライは構成したり研究したりすることが難しくなる。例えば、上記の楕円曲線のモジュライの高次元の類似物は、アーベル多様体のモジュライ空間である。これは基礎となっているジーゲルモジュラ形式(英語版)(Siegel modular form)の理論の問題である。志村多様体も参照のこと。
このように、剛性化された問題から元来の問題へ、G の作用による商をとることにより戻ることができ、モジュライ空間を構成する問題が (ある強い条件を課した上で)G の作用での T の商 T/G であるようなスキーム(もしくはより一般的には空間)を見つける問題となる。一般に最後の問題は解をもたないが、しかし、1965年にダヴィッド・マンフォード(David Mumford)により1965年に開発された画期的な幾何学的不変式論で指摘され、適当な条件の下で、実際、そのような商が存在することが示された。
これがどのようにして達成されたかを見るため、種数が g > 2 の滑らかな曲線をパラメトライズする問題を考える。次数 d > 2g である完備一次系(英語版)(complete linear system)は、射影空間 P の 1次元部分スキームに同値である。結局、(ある条件を満たす)滑らかな曲線と一次系は、十分に高い次元の射影空間のヒルベルトスキームに埋め込めるであろうから、このヒルベルトスキームの中の軌跡 H は一次系の要素を変換する PGL(n) の作用をもつ。滑らかな曲線のモジュライ空間は、従って、射影空間の一次系の群による H の商として再現される。
別の一般的なアプローチとしては、最初に、ミハイル・アルティン(Michael Artin)によるものがある。