基本解
二つの函数 F と g との畳み込みを F ∗ g と書くことにして、Lf = g(x) の解を求めんとするとき、基本解 F に対して F ∗ g がその方程式の解であること、すなわち
L(F ∗ g) = g(x)
であることを見よう。
微分作用素 L を上記の畳み込み F ∗ g に施すとき、L が定数係数作用素であるとすれば
L(F ∗ g)=(LF) ∗ g
が成立することが知られている。F が基本解ならばこの右辺は δ ∗ g ということになるが、デルタ関数は畳み込みに関する単位元だから、これは単に g(x) である。まとめると、
L ( F ∗ g ) = ( L F ) ∗ g = δ ( x ) ∗ g ( x ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( x − y ) g ( y ) d y = g ( x ) . {\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)dy=g(x).}
したがって、F が基本解であるならば、畳み込み F ∗ g は Lf = g(x) の一つの解を与える。これはこの解が唯一つの解であることは意味しない。異なる初期条件に対していくつかの解が見つかることもある。