一様ノルム
f が閉区間(あるいはより一般にコンパクト集合)上で定義される連続関数ならば、f は有界で、ワイエルシュトラスの定理(英語版)により上記定義における上限の値を実現するような点が区間内に存在する(上限値は最大値になる)から、上限の代わりに最大値をとることができる。この場合、一様ノルムは最大値ノルムとも呼ばれる。特に、有限次元座標空間におけるベクトル x = ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} (これは有限集合 {1, ..., n} 上の連続関数と見做せる)に対する一様ノルムは
‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , ... , | x n | } {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}}
の形に書ける。
数学の解析学の分野における一様ノルム(いちようノルム、英語: Uniform norm)は、ある集合 S 上定義される有界な実または複素数値関数 f に対して、非負実数値
‖ f ‖ ∞ ≡ ‖ f ‖ ∞ , S := sup x ∈ S | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \|f\|_{\infty ,S}:=\sup _{x\in S}|f(x)|}
を割り当てるものである。このノルムは上限ノルム、チェビシェフノルムあるいは無限大ノルムなどとも呼ばれる。「一様ノルム」という名は、このノルムにより定められる距離についてある関数列 (fn) が f に収束することと、fn が f に一様収束することが必要十分であるという事実による。
一様ノルムに下付きの "∞" が用いられているのは、f が連続なる限り p-次平均収束ノルム