一般相対性理論
擬リーマン空間における測地線 (geodesic) は、通常の計量空間における定義と同様に、2点間の長さを最小にする曲線として定義される。曲線の長さは、
l ( γ ) = ∫ γ ± g μ ν d x μ d x ν = ∫ γ ± g μ ν d x μ d t d x ν d t d t {\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\,dt}
で与えられる。ここでの積分は、曲線 γ(t) に沿うものとする。
物理的には、このリーマン曲率テンソルから、2成分を縮約したリッチテンソル (Ricci tensor) Rμν と、さらに添字を縮約したリッチスカラー曲率 (Ricci scalar) R
R μ ν = R ρ μ ρ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\rho }}_{\mu \rho \nu }}
R = g μ ν R μ ν {\displaystyle R_{}^{}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}
を考えればよく、さらにその組み合わせである、
G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}
が物質分布で定まることをアインシュタインが見いだした。この最後の組み合わせ Gμν をアインシュタイン・テンソル (Einstein tensor) と呼ぶ。