自乗可積分函数
自乗可積分函数の集合は次の内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } のもとで内積空間となる:
⟨ f , g ⟩ = ∫ A f ( x ) g ( x ) ̄ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x){\overline {g(x)}}\,dx}
ただし
f , g は自乗可積分函数
g ( x ) ̄ {\displaystyle {\overline {g(x)}}} はg の複素共役
A は積分区間(たとえば (−∞, +∞) や [0, 1] など)
である。
| a | 2 = a a ̄ {\displaystyle |a|^{2}=a{\overline {a}}} より、自乗可積分であることは
⟨ f , f ⟩ < ∞ . {\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}
と同値である。