凸錐
V にノルム | · | が与えられたとき、V の単位球面は次の集合で定義される:
S = { x ∈ V : | x | = 1 } . {\displaystyle S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.}
| · | の値が V のスカラーであるとき、V の線型錐 C が凸錐であるための必要十分条件は、その球断面 C′ ∩ S(その単位ノルムベクトルの集合)が次の意味で S の凸部分集合であることである:u ≠ −v であるような任意の二つのベクトル u, v ∈ C′ に対し、u から v への S 内の最短経路にあるすべてのベクトルが C′ に含まれる。
上述の定義より、C が凸錐であるなら C ∪ {0} も凸錐であることが分かる。凸錐は、零ベクトル 0 を含むかどうかによって、鋭(pointed)または鈍(blunt)と区別されて呼ばれる。鈍凸錐は、上述の α, β の条件における「正」を「非負」に置き換えることで、凸錐の定義から除くことが出来る。「鋭」という語はまた、完全な直線を含まない(すなわち、全ベクトル空間 V の非自明な部分空間を含まない)閉錐に対しても用いられる。これは以下で述べる突凸錐(salient convex cone)である。