数理最適化
次の記号を考える。
a r g m i n x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ( x 2 + 1 ) . {\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;(x^{2}+1).}
あるいは、次の同値なものを考える。
a r g m i n x ( x 2 + 1 ) , subject to: x ∈ ( − ∞ , − 1 ] . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;(x^{2}+1),\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}
これは、区間 ( − ∞ , − 1 ] {\displaystyle (-\infty ,-1]} において目的函数 x + 1 を最小化する引数 x 自身の値を与える(その函数の最小値がどのような値であるかはここでは問題とされない)。この場合、x = 0 は不可能、すなわち実行可能領域(英語版)に属さないため、答えは x = -1 となる。
同様に
数学の計算機科学やオペレーションズリサーチの分野における数理最適化(すうりさいてきか、英: mathematical optimization)とは、(ある条件に関して)最もよい元を、利用可能な集合から選択することをいう。
最も簡単な最適化問題には、ある許された集合から入力をシステマティックに選び、函数の値を計算することによる実数函数(英語版)の最大化と最小化がある。最適化理論とその手法の、他の形式への一般化は応用数学の広範な分野をなすものである。より一般に、最適化はある与えられた定義域(あるいは制約の集合)についてある目的函数の「利用可能な最も良い」値を見つけることも含む。そのような目的函数と定義域は多様な異なるタイプのものも含む。