向き
Vを(0でない:とくに断らない限り以下同様)実ベクトル空間とし、b1 = (b1...b1), b2 = (b2...b2)をVにおける二つの(順序付き)基底とする。線形代数の基礎的な結果によって、正則線形変換 A : V → V でb1をb2に移すようなものが一意的に存在する。Aの行列式が正のとき、b1 と b2は同じ向きを持つと言われる。そうでない場合にはこれら二つの基底は逆の向きを持つと言われる。同じ向きを持つという関係は基底の集合上に同値関係を定めており、Vが 0 次元でなければこの同値関係はちょうど二つの同値類を持つことになる。V上の向き付けとはこのうち片方に +1 を振り他方に -1 を振る割り当てのことである。
それぞれの基底は上の同値類のどちらか一方に入っているので、Vの基底のうち正の向きとするものを一つ選ぶことによって向き付けが与えられる。このとき、選ばれた基底と同じ同値類にある基底が正の向きを持つことになる。例えば、Rの標準基底によってRの標準的な向き付けが与えられ、さらに、VからRへの線形同型を選ぶことによってRの標準的な向きに対応するV上の向きを決めることができる。
向きを考える際に、基底をなすベクトルを並べる順番は重要になる。基底をなすベクトルの順番を変えることに対応する置換が偶置換か奇置換かによって順番を並べ替えて得られる基底がもとのものと同じ向きを持つか逆の向きを持つかが決まる。