集合半環
従って、i を 1 から r まで動かすときの Pi をすべて含む超矩形 P に対し、μ の正値性と加法性から
∑ i = 1 r μ ( P i ) ≤ μ ( P ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\mu (P_{i})\leq \mu (P)}
が得られ、r を無限大へ飛ばして
∑ i = 1 + ∞ μ ( P i ) ≤ μ ( P ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})\leq \mu (P)}
を得る。
逆の不等号は、正数 ε > 0 を取り、各 Pi を含むように開区間の直積となる超矩形 Qi でその体積が μ(Pi) + ε⁄2 以下となるようなものを考える。同様に P を含むように閉区間の直積となる超矩形 Q をその体積が μ(P) − ε 以上になるようにとる。超矩形 Q は R の有界閉集合ゆえコンパクトで、Qi たちはその開被覆を与えるから、添字集合 I0 が有限であるような部分族 (Qi)i∈I0 でやはり P を被覆するようなものが存在する。集合半環 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 上での μ の有限加法性と正値性により、(Q がこの集合半環の有限個の合併に書けない場合や、合併が非交和でなくとも)集合の包含関係