弱位相
はコンパクトである。
この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間Xが(ノルム位相に関して)可分な場合には直接的にに証明可能である。
バナッハ=アラオグルの定理は半径1の閉球に対するものだが、任意の半径の閉球もコンパクトになる事が容易に示せる。また*弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する:
系 ― X*に*弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
なお、Xが回帰的(すなわちX=Xが成立する空間)であればX上の弱*位相と弱位相は同一になるので、下記の系が従う:
系 ― Xが回帰的なノルム空間であれば、Xに弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
1 < p < ∞に対しL空間やl空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えば0に収束する複素数列全体にlノルムを入れた空間c0の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。
注意しなければならないのは、弱*位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても弱*位相をいれたXが局所コンパクトにはなっていない事を意味する。