クローニッヒ・ペニーのモデル
これまでの議論により、エネルギー固有値Eとブロッホ関数 ψk(x) = u(x)exp(ikx) で状態を指定する波数(結晶波数)kが満たさなければならない条件が得られた。 あるEの値を選べばαとβが求まり、cos(ka)を計算することができる。そして両辺の arccos {\displaystyle \arccos } をとることでkを計算でき、Eとkの関係(分散関係)が得られる。
ただし電子が束縛されている場合(E < 0)、cos(ka)が1以上または-1以下になるEが存在し、その時この方程式を満たすkは存在しない。 逆に、k = nπ/a においてエネルギー値が不連続に変化し、シュレーディンガー方程式の解が存在しない E が現れる。 このことは、ポテンシャルが周期的になったことである特別な波数(結晶波数)kではシュレーディンガー方程式の固有関数が存在しないEが存在することを意味している。
すなわち、以下の2つの区間が存在することになる。
E について解が存在する = その E の値をとることが許容された区間。これをエネルギーバンドと呼ぶ。
E について解が存在しない = その E の値をとることが禁止された区間。これをバンドギャップと呼ぶ。
また k に対して E が連続な一つの区間はブリュアン領域に当たる。
クローニッヒ・ペニーモデルは、バンドギャップを示す最も単純な周期的ポテンシャルの1つである。
b→0 かつ U0→∞ の極限を取ったモデルにおける分散関係は、k = nπ/a (n は整数)以外の点では連続であり、k の絶対値の増加につれて E も増加する関数となる。
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}
自明でない解を得るためには、この行列の行列式は0でなければならない。よってαとβ(つまりE)とkは次式を満たさなければならない。
cos  ( k a ) = cos  ( β b ) cos  [ α ( a − b ) ] − α 2 + β 2 2 α β sin  ( β b ) sin  [ α ( a − b ) ] {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)]}