特異ホモロジー
ホモロジー論の数が多くなってきたので(en:Category:Homology theory参照)、特異理論に対してベッチホモロジー (Betti homology) とベッチコホモロジー (Betti cohomology) という用語が(特に代数幾何について書く著者によって)ときどき使用される。単体的複体や閉多様体といった最もよく知られた空間のベッチ数を生じるからである。
ホモロジーチェイン複体を双対化することによって(すなわち R を任意の環として関手 Hom(-, R) を適用することによって)コバウンダリ写像 δ {\displaystyle \delta } をもったコチェイン複体を得る。X のコホモロジー群 (cohomology group) はこの複体のコホモロジー群として定義される。軽口に言えば、「コホモロジーは コ [双対複体] のホモロジーである。」
コホモロジー群はより豊富な、あるいは少なくともよりよく知られた、代数的構造をホモロジー群よりももつ。まず、それらは以下のように次数付き微分代数をなす。
群の次数付き集合は次数付き R-加群をなす。
これはカップ積を用いて次数付き R-代数の構造を与えることができる。
Bockstein準同型(英語版) β が微分を与える。
これらは付加的なコホモロジーの演算(英語版)であり、コホモロジー代数は付加構造 mod p をもつ(前の通り、mod p コホモロジーは mod p コチェイン複体のコホモロジーであり、コホモロジーの mod p での還元ではない)、とくに Steenrod 代数(英語版)の構造をもつ。
群の演算は「加法」であり、像 a と像 b の和は通常単に a + b と表されるが、a + a = 2a など。すべての像 a は負 −a をもつ。)したがって、 σ n {\displaystyle \sigma _{n}} の値域を標準 n-単体 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} の頂点 e k {\displaystyle e_{k}} によってその頂点
[ p 0 , p 1 , ⋯ , p n ] = [ σ n ( e 0 ) , σ n ( e 1 ) , ⋯ , σ n ( e n ) ] {\displaystyle [p_{0},p_{1},\cdots ,p_{n}]=[\sigma _{n}(e_{0}),\sigma _{n}(e_{1}),\cdots ,\sigma _{n}(e_{n})]}
によって表せば(これはもちろん σ n {\displaystyle \sigma _{n}} によって生み出された標準単体の像を完全には特定しない)、