馬蹄形写像
馬蹄形写像は、アメリカの数学者スティーブ・スメールが考案した。スメールが馬蹄形写像を初めて紹介した論文は、1964年の Diffeomorphisms with many periodic points とされる。当時の背景として、1940年代から1950年代にかけて、非線形振動の問題が多くの数学者の興味を引き、多くの研究がなされていた。スメールは、自身の学位論文はトポロジーに関するもので、研究者となった後の主な興味もトポロジーにあった。シカゴ大学で最初の教職に就いたのちに同僚を通じて徐々に力学系についても理解を深め始め、1958年ごろに知ったマウリシオ・ペイショート(英語版)の構造安定性に関する成果に興味を持ち、この結果を任意次元への拡張することに取り組んだ。
その後、スメールは力学系に関する論文を仕上げて公表した。しかし、その論文では誤った示唆が含まれていた。
その論文では、後にモース・スメール系と呼ばれるクラスの力学系について論じ、そのクラスの力学系はほとんど全ての常微分方程式であると示唆した。この示唆に対して、アメリカのノーマン・レビンソン(英語版)から反論を含む手紙が届けられた。その手紙には、レビンソンの以前の論文の結果が書かれており、スメールの論文に対する反例が含まれていた。