ヘルダー条件
0 < α ≤ β ≤ 1 なら、有界集合 Ω 上のすべての C 0 , β ( Ω ̄ ) {\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})} ヘルダー連続な函数は、 C 0 , α ( Ω ̄ ) {\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})} ヘルダー連続でもある。これは β = 1 の場合も含むため、有界集合上のすべてのリプシッツ連続な函数は C ヘルダー連続でもある。
[0, 1] 上で定義される函数 f(x) = x(β ≤ 1)は、0 < α ≤ β に対して C ヘルダー連続であるが、α > β に対してはそのようにならない典型的な例である。また、同様の函数 f を [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 上に定義すると、それは α = β の場合のみ C ヘルダー連続となる。
α > 1 に対し、[0, 1](あるいは任意区間)上の任意の α–ヘルダー連続函数は定数である。
任意の α に対して α–ヘルダー連続でないような一様連続函数も存在する。例えば、[0, 1/2] 上では f(0) = 0 で定義され、その他では f(x) = 1/log(x) で定義される函数は連続であり、ハイネ・カントールの定理によって一様連続となる。しかしその函数はどの位数のヘルダー条件も満たさない。