基底 (線型代数学)
ベクトル空間 V の部分集合 B が基底であるためには、以下に挙げるような互いに同値な条件のうちの何れか一つ(従って全部)を満足することが必要十分である。
B は V の極小生成系である。即ち、B は V の生成系であって、かつ B に真に含まれるどの部分集合も V を生成しない。
B は V のベクトルからなる極大線型独立系である。即ち、B は線型独立系であって、かつ B を真に含む V のどの部分集合も線型独立系でない。
V に属するどのベクトルも、B に属するベクトルの線型結合としてただ一通りに表される。この基底が順序付けられているとき、この表示の係数はこの基底に関する「座標」を与える(後述)。
任意のベクトル空間は基底を持つ(このことの証明には選択公理が必要である)。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度(元の個数)を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理(英語版)と呼ばれる(証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である)。
本ページでは簡単のため、主に基底は単なる集合として扱っており、各ベクトルの順序についての概念は含めていない。ただし、専門的な書籍では基底と呼んだ時にベクトルの順序も含めたうえで意味するとが多い。例えば、その場合には(v1, ..., vn)と(vn, ..., v1)は異なる基底とみなされる。 このような順序を含めた意味での基底を用いなければ、基底の変換と正則行列との対応が取れない。またベクトルを座標表現して扱うとき、「第一座標」・「第二座標」のようなお決まりの表現を用いるには、基底に特定の順序付けがされていないと意味を成さない。有限次元ベクトル空間ならば、最初の n-個の自然数を添字に用いて (v1, ..., vn) のようにするのが典型的である。順序の概念を含めているかどうかの誤解を避けるために、順序付けられた基底は、順序基底 (ordered basis)、 標構 あるいは枠 (frame) とも呼ばれる。
V は体 F 上の n-次元ベクトル空間であるものとする。V の順序基底を一つ選ぶことは、数ベクトル空間 F (座標全体のなすベクトル空間と考えられる)から V への線型同型写像 φ を一つ選ぶことと等価である。これを見るのに F の標準基底が順序基底であることが利用できる。
まず、線型同型 φ: F → V が与えられているとき、V の順序基底 (vi)1≤i≤n を
vi = φ(ei) for 1 ≤ i ≤ n
で与えることができる。ただし (ei)1≤i≤n は F の標準基底である。
体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る(生成する)ものを言う。
より具体的には、Vのn個のベクトルの集合B = {v1, ..., vn}(または列B=(v1, ..., vn))が基底であるとは、条件として