変分法における直接解法
このとき、 J {\displaystyle J} が列的に弱下半連続であるなら、任意の与えられた ( x , y ) ∈ Ω × R m {\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}} に対して函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} は凸となる。
結論として、 m = 1 {\displaystyle m=1} あるいは n = 1 {\displaystyle n=1} で、 F {\displaystyle F} について意義のある成長と有界性を仮定するとき、汎函数 J {\displaystyle J} が弱列的下半連続であるための必要十分条件は、函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} が凸であることである。 n {\displaystyle n} と m {\displaystyle m} のいずれも 1 より大きいなら、凸性への必要性はより一般の凸性、すなわち多凸性や準凸性へと弱めることが出来る。