平方数
また組合せ記号を用いて n+2C3 + n+1C3 とも表現できる。
0 を除く平方数の逆数の和は π 2 6 {\displaystyle {\tfrac {\;\pi ^{2}}{6}}} に収束する: ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{\;k^{2}}}={\tfrac {\;\pi ^{2}}{6}}} 詳細は「リーマンゼータ函数」および「バーゼル問題」を参照
連続する平方数 n と (n + 1) の間に必ず素数があるかは証明されていない(ルジャンドル予想) だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、1975年に陳景潤によって証明されている。
平方数の列の階差数列は公差 2 の等差数列であり、第2階差数列は定数列 2である。したがって平方数の列は2階等差数列である。
平方数は連続する2つの三角数の和で表せる
奇数の平方数の差は8の倍数となる(奇数 n, m について、平方数の差 n − m = (n + m)(n − m) は(奇数同士の和差は偶数のため)偶数の積であり、2m は単偶数のため積の一方は複偶数となるから、結局 8 の倍数となる)