フィールツ・パウリ理論
という形のものに限られる ( h = η μ ν h μ ν {\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }} はトレース)。この作用にFierz-Pauli質量項を加えたものがFierz-Pauli理論の作用である。
S F P = ∫ { 1 4 ∂ ρ h μ ν ∂ ρ h μ ν − 1 2 ∂ ρ h μ ν ∂ ν h ρ μ + 1 2 ∂ μ h μ ν ∂ ν h − 1 4 ∂ μ h ∂ μ h − 1 4 m g 2 ( h μ ν h μ ν − h 2 ) } d 4 x {\displaystyle S_{\mathrm {FP} }=\int \left\{{\frac {1}{4}}\partial _{\rho }h_{\mu \nu }\partial ^{\rho }h^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\partial _{\rho }h_{\mu \nu }\partial ^{\nu }h^{\rho \mu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h^{\mu \nu }\partial _{\nu }h-{\frac {1}{4}}\partial _{\mu }h\partial ^{\mu }h-{\frac {1}{4}}m_{g}^{2}\left(h_{\mu \nu }h^{\mu \nu }-h^{2}\right)\right\}d^{4}x}
ミンコフスキ時空上の2階対称テンソル場 h μ ν ( x ) {\displaystyle h_{\mu \nu }(x)} について考える。一般相対論的な重力場は線型近似のもとで一般座標変換対称性に対応するゲージ変換
h μ ν ↦ h μ ν ′ = h μ ν + ∂ μ ξ ν + ∂ ν ξ μ {\displaystyle h_{\mu \nu }\mapsto h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }}
( ξ μ {\displaystyle \xi _{\mu }} は任意のベクトル場) に関する不変性を持つ。 ∂ α h μ ν {\displaystyle \partial _{\alpha }h_{\mu \nu }} の2次の項で構成される作用でこのゲージ不変性を持つものは
S l i n = ∫ ( 1 4 ∂ ρ h μ ν ∂ ρ h μ ν − 1 2 ∂ ρ h μ ν ∂ ν h ρ μ + 1 2 ∂ μ h μ ν ∂ ν h − 1 4 ∂ μ h ∂ μ h ) d 4 x {\displaystyle S_{\mathrm {lin} }=\int \left({\frac {1}{4}}\partial _{\rho }h_{\mu \nu }\partial ^{\rho }h^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\partial _{\rho }h_{\mu \nu }\partial ^{\nu }h^{\rho \mu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h^{\mu \nu }\partial _{\nu }h-{\frac {1}{4}}\partial _{\mu }h\partial ^{\mu }h\right)d^{4}x}