ベレの方法
保存系におけるニュートンの運動方程式は
M x → ̈ ( t ) = F ( x → ( t ) ) = − ∇ V ( x → ( t ) ) {\displaystyle M{\ddot {\vec {x}}}(t)=F{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}=-\nabla V{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}}
もしくは粒子毎に
m k x → ̈ k ( t ) = F k ( x → ( t ) ) = − ∇ x → k V ( x → ( t ) ) , {\displaystyle m_{k}{\ddot {\vec {x}}}_{k}(t)=F_{k}{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}=-\nabla _{{\vec {x}}_{k}}V{\big (}{\vec {x}}(t){\big )},}
と表わされる。ここで、
tは時刻、
x → ( t ) = ( x → 1 ( t ) , ... , x → N ( t ) ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)={\big (}{\vec {x}}_{1}(t),\ldots ,{\vec {x}}_{N}(t){\big )}} はN個の物体の位置ベクトル、
e r r o r ( x ( t 0 + 2 Δ t ) ) = 2 e r r o r ( x ( t 0 + Δ t ) ) + O ( Δ t 4 ) = 3 O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+2\Delta t){\bigr )}=2\mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+\Delta t){\bigr )}+O(\Delta t^{4})=3\,O(\Delta t^{4})}
同様に繰り返せば、以下を得る。
e r r o r ( x ( t 0 + 3 Δ t ) ) = 6 O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+3\Delta t){\bigl )}=6\,O(\Delta t^{4})}
e r r o r ( x ( t 0 + 4 Δ t ) ) = 10 O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+4\Delta t){\bigl )}=10\,O(\Delta t^{4})}
e r r o r ( x ( t 0 + 5 Δ t ) ) = 15 O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+5\Delta t){\bigl )}=15\,O(\Delta t^{4})}
この数列の一般項は以下のように得られる。
e r r o r ( x ( t 0 + n Δ t ) ) = n ( n + 1 ) 2 O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+n\Delta t){\bigr )}={\frac {n(n+1)}{2}}\,O(\Delta t^{4})}
ベルレ法の局所位置誤差は上述のとおり O ( Δ t 4 ) {\displaystyle O(\Delta t^{4})} 、局所速度誤差は O ( Δ t 2 ) {\displaystyle O(\Delta t^{2})} である。
しかし、大域位置誤差は O ( Δ t 2 ) {\displaystyle O(\Delta t^{2})} 、大域速度誤差は O ( Δ t 2 ) {\displaystyle O(\Delta t^{2})} である。これは次のように導出できる。
e r r o r ( x ( t 0 + Δ t ) ) = O ( Δ t 4 ) {\displaystyle \mathrm {error} {\bigl (}x(t_{0}+\Delta t){\bigr )}=O(\Delta t^{4})}
および
x ( t 0 + 2 Δ t ) = 2 x ( t 0 + Δ t ) − x ( t 0 ) + Δ t 2 x ′′ ( t 0 + Δ t ) + O ( Δ t 4 ) {\displaystyle x(t_{0}+2\Delta t)=2x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})+\Delta t^{2}x''(t_{0}+\Delta t)+O(\Delta t^{4})}
より以下が導かれる。