半環
通例、乗法の記号はしばしば省略して a · b を単に ab と記し、また演算の優先順位として乗法は加法 "+" に優先するものと約束する(例えば a + bc は a + (bc) の意である)。
乗法が可換な半環を可換半環 (commutative semiring) と言う。加法が冪等演算となる(つまり任意の a が a + a = a を満たす)半環を冪等半環 (idempotent semiring, dioid) と言う。言い換えれば、冪等半環の加法モノイド (R, +, 0) は零付き結び半束を成す。
文献によっては半環が 0 や 1 を持つことを仮定しないものもある。このような扱いをすると、「環と半環との関係」が「群と半群との関係」の類似対応物としてより捉えやすくなるという利点がある。この場合、本項で言うところの「半環」の概念を特に rig と呼んで呼び分けるのが普通である。