スペクトル系列
で与えられていて、 E p , q ∞ = F p H p + q / F p − 1 H p + q {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}} が成り立っていたとする。このとき、 F 0 H n = E 0 , n 2 {\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}} , F 1 H n / F 0 H n = E 1 , n − 1 2 {\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}} , F 2 H n / F 1 H n = 0 {\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0} , F 3 H n / F 2 H n = 0 {\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0} などが成り立つ。これから、完全系列
0 → E 0 , n 2 → H n → E 1 , n − 1 2 → 0 {\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}
が得られる。次に、スペクトル系列 E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} で2番目のページで q = 0, 1 の2行以外ゼロであるものを考える。
ファイブレーション(英語版)のような幾何学的な状況や、導来関手が関係する代数学的な状況で、複数の(コ)ホモロジー群を婉曲的にではあるが関係付けてくれるスペクトル系列が数多く発見された。導来圏の導入によりその理論的な重要性は減ったが、今でもスペクトル系列はもっとも有効な計算ツールであり続けている。たとえスペクトル系列に計算不可能な項が多く含まれている状況であったとしても、スペクトル系列は有効に使うことのできる計算ツールである。
その反面、スペクトル系列は膨大な情報を持っているがゆえに会得や使用に困難が伴う。スペクトル系列が持っている情報は、3次元の格子状にアーベル群もしくは環上の加群を配置したものとなっていることが多い。最も取り扱いが簡単なスペクトル系列は、最終的には潰れる(collapse)、つまり列を進めてみてもそれ以上なんの情報も得られなくなるものである。このような場合でなくとも、種々のトリックを用いてスペクトル系列から有用な情報を引き出せることが多い。
E 1 p , q = { 0 if p < 0 or p > 1 H q ( C ∙ ) if p = 0 H q + 1 ( A ∙ ) if p = 1 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}
となる。微分は2重次数 (1, 0) を持つので、d0,q : H(C) → H(A) である。この写像は蛇の補題による連結準同型で、写像 A → B → C とあわせて列
⋯ → H q ( B ∙ ) → H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots }