引き戻し (圏論)
集合の圏において,f と g の引き戻しは集合
X × Z Y = { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ f ( x ) = g ( y ) } {\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=g(y)\}}
と射影 π1, π2 の X ×Z Y への制限の組である.
あるいは,Set における引き戻しを非対称的に
X × Z Y ≅ ∐ x ∈ X g − 1 [ { f ( x ) } ] ≅ ∐ y ∈ Y f − 1 [ { g ( y ) } ] {\displaystyle X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]}
と見ることもできる.ここで ∐ {\textstyle \coprod } は非交和を表す(現れる各集合は、それぞれ f または g が単射でない限り交わりを持つことに注意)。前者の式の場合、射影 π1 は x を添字として取り出すこと、それと同時に π2 は添字であることを忘れて単に Y の元とみるものになっている。
この例は引き戻しを特徴づける別の方法を動機付ける,すなわち射 f ∘ p1, g ∘ p2: X × Y → Z のイコライザである,ただし X × Y は X と Y の二項積で,p1 と p2 は自然な射影である.これは二項積とイコライザを持つ任意の圏において引き戻しが存在することを示す.実は,極限の存在定理(英語版)によって,終対象,二項積,イコライザを持つ圏において,すべての有限極限が存在する.
(単位元を持つ)可換環の圏 CRing において,引き戻しはファイバー積と呼ばれる.
A, B, C ∈ Ob(CRing),
α : A → C ∈ Hom(CRing),
β : B → C ∈ Hom(CRing)
とする.したがって A, B, C は単位元を持つ可換環であり,α, β は単位元を保つ環準同型である.するとこの図式の引き戻しはデカルト積 A × B の部分環
A × C B = { ( a , b ) ∈ A × B ∣ α ( a ) = β ( b ) } {\displaystyle A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times B\mid \alpha (a)=\beta (b)\}}
と次で定義される射
β ′ : A × C B → A , α ′ : A × C B → B {\displaystyle \beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B}
の組である:すべての ( a , b ) ∈ A × C B {\displaystyle (a,b)\in A\times _{C}B} に対して β ′ ( a , b ) = a {\displaystyle \beta '(a,b)=a} および α ′ ( a , b ) = b . {\displaystyle \alpha '(a,b)=b.} このとき
α ∘ β ′ = β ∘ α ′ {\displaystyle \alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '}
である.
明示的には,2つの射 f, g の引き戻しは,対象 P と2つの射 p1: P → X と p2: P → Y であって次の図式が可換となるものからなる:

さらに,引き戻し (P, p1, p2) はこの図式について普遍的でなければならない,つまり,別のそのような3つ組 (Q, q1, q2) であって次の図式が可換であるような任意のものに対して,一意的な u: Q → P(仲介射 (mediating morphism) と呼ばれる)が存在して
p 2 ∘ u = q 2 , p 1 ∘ u = q 1 {\displaystyle p_{2}\circ u=q_{2},\qquad p_{1}\circ u=q_{1}}
とならなければならない.

すべての普遍的な構成がそうであるように,引き戻しは,存在すれば,同型を除いて一意である.実際,同じ cospan(英語版) X → Z ← Y の2つの引き戻し (A, a1, a2) と (B, b1, b2) が与えられると,A と B の間の引き戻し構造を尊重した一意的な同型が存在する.