ペンローズ図
時刻 t {\displaystyle t} と動径座標 r {\displaystyle r} はそれぞれ − ∞ < t < ∞ {\displaystyle -\infty <t<\infty } , 0 ≤ r < ∞ {\displaystyle 0\leq r<\infty } という範囲の値を取るため、この座標系ではミンコフスキ時空は ( t , r ) {\displaystyle (t,r)} -平面上の非有界な領域として図示される。時空の因果構造の議論においては次の座標変換 ( t , x ) ↦ ( u , v ) {\displaystyle (t,x)\mapsto (u,v)} によりヌル座標 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} を導入するのが便利である。
u = t − r , v = t + r {\displaystyle u=t-r,\ \ v=t+r}
この新しい座標 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} では計量は
d s 2 = − d u d v + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-du\,dv+r^{2}d\Omega ^{2}}
と表現される。ただし、やはりどちらも − ∞ {\displaystyle -\infty } から + ∞ {\displaystyle +\infty } までの値を取る非有界な表現である。
ここで、座標 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} に対してさらに次の変換 ( u , v ) ↦ ( U , V ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (U,V)} を施す。
U = ∓ e u / 4 M , V = e v / 4 M {\displaystyle U=\mp e^{u/4M},\ \ V=e^{v/4M}}
d s 2 = − 32 M 3 r e − r / 2 M d U d V + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32M^{3}}{r}}e^{-r/2M}dU\,dV+r^{2}d\Omega ^{2}}
により定義される。この座標系では r = 2 M {\displaystyle r=2M} での特異性が解消し、この超曲面を超えて解を拡張することができる。
最大限拡張されたシュワルツシルト時空について、そのペンローズ図はミンコフスキ時空の場合と同様に
U ~ = arctan  U , V ~ = arctan  V {\displaystyle {\tilde {U}}=\arctan U,\ \ {\tilde {V}}=\arctan V}
により導入できる。このペンローズ図からわかるように、シュワルツシルト時空には時間的無限遠 i + {\displaystyle i^{+}} と因果的に連結していない時空領域が存在し、ブラックホールと呼ばれる。その境界 r = 2 M {\displaystyle r=2M} が事象の地平面である。また、最大拡張したシュワルツシルト時空には、ふたつの漸近的に平坦な領域が存在し、「喉」状の領域(ブラックホールとホワイトホール)を介して繋がっている。
シュワルツシルト時空は質点 M {\displaystyle M} による静的な重力場を表すが、現実的にはブラックホールは物質の重力崩壊によって形成される。この場合、時空は漸近的に平坦な外部領域とブラックホール内部のふたつの領域からなる。
最も単純なブラックホール時空であるシュワルツシルト解は、質量 M {\displaystyle M} の質点がつくる重力場を表すアインシュタイン方程式の厳密解であり、シュワルツシルト座標 ( t , r , θ , φ ) {\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )} を用いるときその計量は
d s 2 = − ( 1 − 2 M r ) d t 2 + d r 2 1 − 2 M / r + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2M/r}}+r^{2}d\Omega ^{2}}
と表示される。この座標系には r = 2 M {\displaystyle r=2M} で計量の特異性があることを注意しておく。シュワルツシルト時空におけるヌル座標 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)}
u = t − r ∗ , v = t + r ∗ , r ∗ = ∫ d r 1 − 2 M / r {\displaystyle u=t-r^{*},\ \ v=t+r^{*},\ \ r^{*}=\int {\frac {dr}{1-2M/r}}}
を通じて、クルスカル座標 ( U , V ) {\displaystyle (U,V)} は