本質的値域
f を L(μ) にも属するある測度空間 (X, μ) 上で定義される複素数値函数とする。このとき、f の本質的値域とは次の集合のことを言う:
S = { z ∈ C : μ ( { x : | f ( x ) − z | < ε } ) > 0 for all ε > 0 } . {\displaystyle S=\left\{z\in \mathbb {C} :\mu (\{x:|f(x)-z|<\varepsilon \})>0\ {\text{for all}}\ \varepsilon >0\right\}.}
注釈:本質的値域は、次のように表現することも出来る。
ある複素数値函数 f の本質的値域とは、各 ε-近傍の逆像が f の下で正測度を持つような複素数 z すべてからなる集合のことを言う。
上記のような本質的値域の表現は、その前の正式な定義と同値なものであり、したがってこの記事の以下の部分ではそのような表現も同様に利用することとする。