ルンゲ＝レンツベクトル
p ̇ = − ∇ V ( r ) = − k r 2 r r {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=-\nabla V(r)=-{\frac {k}{r^{2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r}}}
となる。但し、ドット記号は時間微分を表し、p は運動量
p = m r ̇ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {\boldsymbol {r}}}}
である。運動方程式の右辺は逆二乗則に従う中心力を表している。
この系では、力学的エネルギー
E = m r ̇ 2 2 + V ( r ) {\displaystyle E={\frac {m{\dot {\boldsymbol {r}}}^{2}}{2}}+V(r)}
と角運動量ベクトル
L = r × p {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}
は時間に対して不変な保存量となる。ここで、質点は角運動量ベクトルに垂直となる平面内を運動し、その軌道は原点を焦点とする二次曲線となる。特に E < 0 の場合、軌道は楕円軌道となる。楕円軌道の軌道長半径を a、軌道離心率を e とすると
E = − k 2 a {\displaystyle E=-{\frac {k}{2a}}}
ルンゲ=レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点 (perihelion) を結ぶ方向にある。また、その大きさは
A = m k e {\displaystyle A=mke}
で与えられる。従って、近日点の座標を rp とすると、
A = m k e r p r p {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=mke{\frac {{\boldsymbol {r}}_{p}}{r_{p}}}}
と表すことができる。ルンゲ=レンツベクトルを mk で除したベクトル
e = A m k {\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\frac {\boldsymbol {A}}{mk}}}
は大きさが軌道離心率 e である一定ベクトルである。このベクトルは離心率ベクトルと呼ばれる。
ある時刻 t における系の状態は、位置座標 r = (x, y, z) と運動量 p = (px, py, pz) の6つの座標で表される6次元の相空間の点として記述され、その時間発展は相空間上の軌道を描く。
I ^ = 1 2 ( L ^ + D ^ ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {I}}}={\frac {1}{2}}({\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {D}}})}
K ^ = 1 2 ( L ^ − D ^ ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {K}}}={\frac {1}{2}}({\hat {\boldsymbol {L}}}-{\hat {\boldsymbol {D}}})}
を導入すると、これらは
[ I ^ i , I ^ j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k I ^ k {\displaystyle [{\hat {I}}_{i},{\hat {I}}_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\hat {I}}_{k}}
[ K ^ i , K ^ j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k K ^ k {\displaystyle [{\hat {K}}_{i},{\hat {K}}_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\hat {K}}_{k}}
[ I ^ i , K ^ j ] = 0 {\displaystyle [{\hat {I}}_{i},{\hat {K}}_{j}]=0}
[ I ^ , H ^ ] = [ K ^ , H ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {\boldsymbol {I}}},{\hat {H}}]=[{\hat {\boldsymbol {K}}},{\hat {H}}]=0}