フビニの定理
∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
上述の条件式における f の絶対値は、f の正あるいは負の部分で置き換えることが出来る。非負函数の負の部分はゼロであり、積分は有限となることから、そのような置き換えはトネリの定理を含むものであることが分かる。非公式的に、それらの条件が満たされるなら f の二重積分は(無限となることもあるが)well defined と呼ばれる。
フビニの定理に対してフビニ=トネリの定理を用いることの利点は、絶対値 |f| の逐次積分は二重積分よりも容易に研究できることがあることである。フビニの定理におけるように、単一の積分は測度 0 の集合上で定義されないこともある。
上の例の変形版として、たとえ |f| が可積分でいずれの逐次積分が well-defined であっても、非可測であればフビニの定理が成立しないことがあるという例を以下に挙げる:f は E 上で 1 であり、E の補集合上で -1 とする。このとき |f| はその直積空間上で積分 1 となり可積分であるが、well-defined である各逐次積分の値はそれぞれ 1 と -1 となり、異なる。
連続体仮説を考えることで、X を単位区間 I と見なすことが出来、二つの(ルベーグ測度による)逐次積分は定義されるが等しくないような I×I 上の有界非負函数が存在することが分かる。この例は Sierpiński (1920) によって発見された。ルベーグ測度を伴う二つの単位区間の積上に対するフビニの定理のより強い結果において、函数はもはや可測である必要はなく、二つの逐次積分が well-defined で存在していればよいが、その結果は標準的な集合論のツェルメロ=フレンケルの公理とは独立なものである。連続体仮説とマーティンの公理はいずれも、逐次積分の値が異なるような単位正方形上の函数が存在することを意味するが、Friedman (1980) は、それはZFCと一致し、[0, 1] に対する強フビニ型定理が成立し、二つの逐次積分が存在するならそれらは等しくなることを示した。ZFCから独立な命題の一覧 を参照。