チャーン類
CP をリーマン球面とすると、CP は 1-次元複素射影空間である。z をリーマン球面の正則な局所座標であると仮定する。a を複素数として、V = TCP を各々の点で a∂/∂z の形式を持つ複素接ベクトルのベクトル束とする。髪の毛の定理(英語版)(hairy ball theorem)の複素数のバージョン、つまり V はいかなる場所でもゼロとはならないような切断を持たないことを証明する。
このために次の事実を必要とする。自明ベクトル束の第一チャーン類はゼロである。
c 1 ( C P 1 × C ) = 0 {\displaystyle c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0}
このことは自明ベクトル束は常に平坦接続を持つという事実によって示される。
従って、
c 1 ( V ) ≠ 0 {\displaystyle c_{1}(V)\not =0}
を示すことにする。ケーラー計量を考える。
h = d z d z ̄ ( 1 + | z | 2 ) 2 {\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}}
曲率 2-形式が