三角関数の無限乗積展開
π cos  ( π z ) = c ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) + c z d d z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \pi \cos({\pi }z)=c\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}+cz{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
z = 0 {\displaystyle z=0} を代入すれば c = π {\displaystyle c=\pi } を得る。同様に
cos  ( π z ) = c ′ ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n − 1 / 2 ) ( 1 − z n − 1 / 2 ) {\displaystyle \cos({\pi }z)=c'\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n-1/2}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n-1/2}}\right)}}
z = 0 {\displaystyle z=0} を代入すれば c ′ = 1 {\displaystyle c'=1} を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならば z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } を考慮していないからである。同じ方法で e z {\displaystyle e^{z}} の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般にはワイエルシュトラスの因数分解定理が必要になる。