指標理論
V を体 F 上の有限次元ベクトル空間とし、ρ: G → GL(V) を群 G の V 上の表現とする。ρ の指標 (character) とは関数
χ ρ : G → F ; χ ρ ( g ) = T r ( ρ ( g ) ) {\displaystyle \chi _{\rho }\colon G\to F;\;\chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))}
である、ただし Tr はトレースである。
指標 χρ が既約 (irreducible) あるいは単純 (simple) とは、ρ が既約表現であることをいう。指標 χ の次数 (degree) は ρ の次元である;標数 0 ではこれは値 χ(1) に等しい。次数 1 の指標は線型 (linear) と呼ばれる。G が有限で F が標数 0 のとき、指標 χρ の核 (kernel) は正規部分群
ker  χ ρ := { g ∈ G ∣ χ ρ ( g ) = χ ρ ( 1 ) } {\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace }
であり、これはちょうど表現 ρ の核である。
この誘導指標は H のどんな元とも共軛でない G のすべての元上消える。誘導指標は G の類関数であるから、H の元での値の記述だけが必要である。G を H の右剰余類の直和として
G = H t 1 ∪ ⋯ ∪ H t n {\displaystyle G=Ht_{1}\cup \dotsb \cup Ht_{n}}
と書けば、元 h ∈ H が与えられると、
θ G ( h ) = ∑ 1 ≤ i ≤ n , t i h t i − 1 ∈ H θ ( t i h t i − 1 ) {\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{1\leq i\leq n,\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right)}
となる。θ は H の類関数だから、この値は剰余類の代表元の選び方に依存しない。
誘導指標のこの別の記述により H の G への埋め込みについての比較的小さい情報から明示的な計算ができることがあり、特定の指標表の計算にしばしば有用である。θ が H の自明指標であるとき、得られる誘導指標は(H の剰余類上の)G の置換指標 (permutation character) と呼ばれる。
指標の誘導の一般的な技術と後の精密化は有限群論と数学のいたるところに多数の応用があり、フロベニウスの後にもエミール・アルティン、リチャード・ブラウアー、Walter Feit(英語版), 鈴木通夫のような数学者によってなされた。