一般化された超幾何関数
代数関数、指数関数、三角関数
( 1 − z ) − a = ∑ n = 0 ∞ ( − a ) ( − a − 1 ) ⋯ ( − a − n + 1 ) n ! ( − z ) n = 1 F 0 [ a − ; z ] e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = 0 F 0 [ − − ; z ] sin  z = z ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n = z ⋅ 0 F 1 [ − 3 2 ; − z 2 4 ] cos  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = 0 F 1 [ − 1 2 ; − z 2 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-a)(-a-1)\cdots (-a-n+1)}{n!}}(-z)^{n}={_{1}F_{0}}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};z\right]\\e^{z}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}={_{0}F_{0}}\left[{\begin{matrix}-\\-\end{matrix}};z\right]\\\sin z&=z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!
lim n → ∞ c n + 1 c n = lim n → ∞ ( a 1 + n ) ( a 2 + n ) ⋯ ( a r − 1 + n ) ( a r + n ) ( b 1 + n ) ( b 2 + n ) ⋯ ( b r − 1 + n ) ( 1 + n ) z = z {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(a_{1}+n)(a_{2}+n)\dotsb (a_{r-1}+n)(a_{r}+n)}{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\dotsb (b_{r-1}+n)(1+n)}}z=z}
であるから、 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} であれば絶対収束し、 | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} であれば発散する。 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合は、
a + n n = 1 + a n + O ( n − 2 ) ( n ≫ a ) n b + n = 1 − b n + O ( n − 2 ) ( n ≫ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+n}{n}}&=1+{\frac {a}{n}}+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n{\gg }a)\\{\frac {n}{b+n}}&=1-{\frac {b}{n}}+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n{\gg }a)\\\end{aligned}}}
であるから、