群の直和
有限群の直既約部分加群の直和への分解において部分群の埋め込みは一意ではない。例えば、クライン群 V4 = C2 × C2 において、次が成り立つ。
V4 = <(0,1)> + <(1,0)>
V4 = <(1,1)> + <(1,0)>
しかしながら、有限群 G = ∑Ai = ∑Bj、ただし各 Ai と各Bj は非自明で直既約、が与えられると、2つの和は順序の入れ替えと同型の違いを除いて同じ項をもつ、というのがレマク・クルル・シュミットの定理の内容である。
レマク・クルル・シュミットの定理は無限群に対しては成り立たない。なので無限 G = H + K = L + M のケースにおいて、すべての部分群が非自明で直既約であるときでさえ、H は L か M に同型であると仮定できない。