フーリエ変換
フーリエ変換を任意の局所コンパクトアーベル群に対して一般化することができる。局所コンパクトアーベル群とは、抽象アーベル群であると同時に局所コンパクトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 ˆG へ移行することができて、ˆG 自身も局所コンパクトアーベル群の構造を持つ。L(G) に属する函数 f に対して、そのフーリエ変換を
f ^ ( ξ ) = ∫ G ξ ( x ) f ( x ) d μ ( ∀ ξ ∈ G ^ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \qquad \left(\forall \ \xi \in {\hat {G}}\right)}
によって定義することができる。
この一般化を概周期函数に適用した理論や、準周期函数に適用した理論が知られている。
言い換えれば、 ƒ は 0 を中心に持つ(正規化)ガウス関数のとき等号が成り立つ。
事実として、この不等式は任意の x0, ξ0 ∈ R について
[ ∫ − ∞ ∞ ( x − x 0 ) 2 | f ( x ) | 2 d x ] [ ∫ − ∞ ∞ ( ξ − ξ 0 ) 2 | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ ] ≥ 1 16 π 2 {\displaystyle {\Big [}\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx{\Big ]}{\Big [}\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi {\Big ]}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}
が成立することをも含む。
量子力学において、運動量と位置の波動関数は(プランク定数を因子に持つ)フーリエ変換対である。プランク定数でスケールしなおせば、上述の不等式はロバートソンの不確定性関係を記述する。これは、ハイゼンベルグが構想した不確定性原理そのものではないが、深い関係がある。