循環小数
循環節の短さは、10 −1 ならびに 10 − 1 を素因数分解した時にどんな数が来るかによって決まる。
2 では九進法 (10 − 1 = 8 = 2) が、3 では十進法(10 − 1 = 9 = 3)が、5 では六進法 (10 − 1 = 5) が、それぞれ循環節が最も短くなる。
十八進法では、100 − 1 = HH = H×11、1000-1 = HHH = 7×H、10000 − 1 = HHHH = 5×D×H×11 となる。従って、5 は2乗までが4桁、7 は3乗までが3桁、D も4桁となり、12 (= 4×5) までの素数のうち、B が十桁になる以外は全て循環節が4桁以下になる。
循環小数によって表される数は、整数の分数としても表すことができ、有理数に含まれる。他方、有限でない非循環小数で表される数が存在し、これらは有理数に含まれない。実数のうち有理数に含まれない数を無理数という。無理数の例には2の平方根や円周率が挙げられる。前述の通り有限小数も循環小数で表すことができ、有理数はすべて循環小数で表せるが、反対に循環小数で表せる実数は有理数に限る。