高さ函数
無限遠点 P0 の高さ h ( P 0 ) = 0 {\displaystyle h(P_{0})=0} とする。
E(Q) 上の有理点であるような P に対して、 h ( P ) = 0 {\displaystyle h(P)=0} とする。
上記以外の E(Q) の点 P に対して、P の有理数の横軸座標(abscissa) x が p と q は互いに素な整数として ⁄q と表せるときに、
h ( P ) = log  max ( | p | , | q | ) {\displaystyle h(P)=\log \max(|p|,|q|)}
と定義する。
このように高さ函数 h を定義すると、h(mP) が m の平方根の増加度を持つという性質を持つ。この定義により E 上にはある定数よりも小さな高さを持つ点は有限個しか存在しないことが分かる。以上の定義を、一般のアーベル多様体へ拡張することもできる。