ヒルベルトの第3問題
切断によって通常は新しい辺や角が生まれるが、これらのデーン不変量への寄与はちょうど打ち消し合うよう定義をしなくてはならない。ある面が2つの面に分かれるとき、新たに生じる二面角の和は必ず π に等しいことから、π の整数倍の加減による寄与がトータルでゼロになるように不変量を定義することにする。
以上全ての要請は、D(P) を実数体 R と 剰余加群 R/(Qπ) のテンソル積として定義することで実現できる。このテンソル空間では、第2成分が π の有理数倍である元はゼロである。第3問題の解決のためだけならば有理整数環 Z 上のテンソル積を考えれば事足りるが、次節で述べる第3問題の逆の証明はより困難でベクトル空間の性質を必要とするため、その場合は有理数体 Q 上のテンソル積と考える必要がある。
l(e) を辺 e の長さ、θ(e) をこの辺を共有する二面のなす角(単位はラジアン)とする。このときデーン不変量を
D  ( P ) = ∑ e l ( e ) ⊗ ( θ ( e ) + Q π ) {\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes (\theta (e)+\mathbb {Q} \pi )}
と定義する。ここで和は多面体 P の全ての辺 e にわたってとるものとする。