バナッハ関数環
各 x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して、 ε x ( f ) = f ( x ) ( f ∈ A ) {\displaystyle \varepsilon _{x}(f)=f(x)\ (f\in A)} を定める。このとき ε x {\displaystyle \varepsilon _{x}} は A {\displaystyle A} 上の非ゼロな準同型である。
定理 バナッハ関数環は半単純(すなわちそのジャコブソン根基が 0 に等しい)で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は(ゲルファンド変換(英語版)を通じて)その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、A から複素数への環準同型で相対弱*位相が与えられるものからなる空間である。
A {\displaystyle A} 上のノルムが X {\displaystyle X} 上の一様ノルム(あるいは上限ノルム)であるなら、 A {\displaystyle A} は一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。