代数的K理論
キレン(Quillen)の代数的 K-理論は代数幾何学、代数トポロジーの様々な側面への深い見方を持っている。一方、K-群はいくつかの興味深い特定の場合を除き、計算することが特に困難であることが示されている。
函手 K0 は環 A に対し、A 上の有限生成な射影加群の同型類の集合を直積によりモノイドとみなしたときのグロタンディーク群を K0(A) とすることで得られる 。任意の環準同型 A → B は、射影 A-加群 M を M ⊗A B へ写すことにより、写像 K0(A) → K0(B) を誘導するので、 K0 は共変関手となる。
環 A が可換であれば、K0(A) の部分群を集合
K ~ 0 ( A ) = ⋂ p prime ideal of A K e r dim p , {\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}
として定義することができる。ここに、
dim p : K 0 ( A ) → Z {\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }
キレン・サスリンの定理は、この分野で発見された古典的代数の他の問題に多く関連している。同じように、K1(R) は、行列の基本変形を使った環の可逆元の群の変形である。群 K1(R) はトポロジー、特に、R が群環のときに重要である。なぜなら、その商であるホワイトヘッド群(英語版)(Whitehead group)が、単純ホモトピー論(simple homotopy theory)や手術(英語版)(surgery theory)の理論における問題を研究するためのホワイトヘッドの捩れを含んでいるからである。群 K0(R) もたとえば有限性不変量のような他の不変量を含んでいる。1980年代以降、代数的K-理論は、ますます代数幾何学へ多くの応用が増加している。たとえば、モチーヴィックコホモロジー(motivic cohomology)は密接に代数的K-理論に関係している。
可換環 A に対し、行列式 det: GL(A) → A* は E(A) 上で1となり、従って、写像 det: K1(A) → A* を誘導する。E(A) ◅ SL(A) より、特殊ホワイトヘッド群(special Whitehead group) SK1(A) := SL(A)/E(A) を定義することもできる。この写像は、写像 A* → GL(1, A) → K1(A) (左上の角での単元) を通して分解し、分裂短完全系列(split short exact sequence)を導く。
1 → S K 1 ( A ) → K 1 ( A ) → A ∗ → 1. {\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1.}
この式は、通常の特殊線形群を定義する分裂完全系列
1 → SL  ( A ) → GL  ( A ) → A ∗ → 1. {\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}
の商である。行列式は、単元群 A* = GL1(A) が一般線形群 GL(A) に含まれることによって分裂し、従って、K1(A) は単元群と特殊ホワイトヘッド群の直和 K1(A) ≅ A* ⊕ SK1 (A) として分裂する。
松本の定理(Matsumoto's theorem)は、体 k に対し第二 K-群は、
K 2 ( k ) = k × ⊗ Z k × / ⟨ a ⊗ ( 1 − a ) ∣ a ≠ 0 , 1 ⟩ {\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle }
により与えられるという定理である。松本の元来の定理はより一般的で、任意のルート系(root system)に対し、非安定的な K-理論の表現が与えられるという内容である。この表現は、シンプレクティックなルート系に対しのみが、ここで与えた定式化とは異なっていて、ルート系の観点から、非安定的な K-理論はちょうど、GL(A) に対する安定 K-群に一致する。(この脈絡での)非安定的 K-群は、与えられたルート系の普遍的なタイプのシュヴァレー群(英語版)(Chevalley group)の普遍中心拡大の核をとることで定義される。この構成は、ルート系 An (n > 1) のスタインバグ拡大の核であり、この極限は安定的な第二 K-群であることを意味している。