オイラーのφ関数
p を素数とすると、1 から p − 1 のうちに p の素因子である p を因子として含むものは存在しないから、φ(p) = p − 1 が成り立つ。さらに、k を自然数としたとき、1 から p の中で p を因子として含むもの、すなわち p の倍数は p 個あるから、次が成立することが確かめられる。
定理 ― φ ( p k ) = p k − p k − 1 = p k − 1 ( p − 1 ) = p k ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
また、m, n を互いに素な自然数とすると、φ(mn) = φ(m)φ(n) が成り立つ。これをオイラーの関数は(互いに素な数の積に関して)乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数 n における値を知ることができる。実際に、pk はどの二つも相異なる素因数であるとして、以下のように φ(n) を計算することができる。
定理 ― n の素因数分解が次のように
n = ∏ k = 1 d p k e k {\displaystyle n=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{d}{p_{k}}^{e_{k}}}
と与えられているならば、