付値体
非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} に対する完備化を ( K ~ , | ⋅ | K ~ ) {\displaystyle \scriptstyle ({\tilde {K}},\ |\cdot |_{\tilde {K}})} とする。 K ~ {\displaystyle {\tilde {K}}} の K における分離閉包を K ′ {\displaystyle K'} とおき、 | ⋅ | K ~ {\displaystyle |\cdot |_{\tilde {K}}} の K ′ {\displaystyle K'} への制限を | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} とおくと、付値体 ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} では、ヘンゼルの補題が成立する。よって、 ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} は | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に関する体 K のヘンゼル化となる。
完備化という手法をとらずに純粋に代数的な手法でヘンゼル化を得ることができる。
非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の分離閉包を K ̄ {\displaystyle {\bar {K}}} とし、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の K ̄ {\displaystyle {\bar {K}}} への延長を | ⋅ | ′ {\displaystyle |\cdot |'} とする。
この項では、K の | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} に対する剰余体 F K {\displaystyle F_{K}} の標数 p は正であるとする。
L を K の n 次代数拡大体で、K, L は初めに述べた条件を満たすとする。T を L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐部分拡大としたとき、 ( [ L : T ] , p ) = 1 {\displaystyle \scriptstyle ([L:T],\ p)=1} が満たされるならば、L を K のn 次の順分岐拡大体、 L / K {\displaystyle L/K} は順分岐または分岐が穏やかであるという。L が無限次拡大体のとき、 L / T {\displaystyle L/T} の任意の有限次部分拡大体に対して、拡大次数が p と互いに素となるとき、順分岐と定める。
L が有限次拡大体で、 | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} に対する分岐指数 e と剰余次数 f に対して、 [ L : K ] = e f {\displaystyle \scriptstyle [L:K]=ef\!} を満たすのであれば、 L / K {\displaystyle L/K} が順分岐であることは、 ( e , p ) = 1 {\displaystyle \scriptstyle (e,\ p)=1} が成り立つことを意味する。
特に、K の | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} に対する剰余体が有限体であるとき、 L / K {\displaystyle L/K} が不分岐であるならば、順分岐である。
↑ 完備体として斜体も許すとすれば、完備な斜体は四元数体に同型となる。
↑ このことは、有理数体の代数閉包 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} の絶対値による完備化が C {\displaystyle \mathbb {C} } であり、これが代数閉体になることのアナロジーである。
↑ p=0 となるのは、自明な付値の場合に限る。
↑ ヘンゼルの補題は、ヘンゼル付値環を含む、より一般的な環で成立する。ヘンゼルの補題を満たす局所環のことをヘンゼル環という。
↑ 代数拡大体 K / F {\displaystyle K/F} に対して、K の F 上分離的な元全体の集合のことを、K の F における分離閉包という。分離閉包は K の部分体となる。
↑ ヘンゼル体とするのは、K の任意の代数拡大体に対して付値の延長が一意的であることを保証するためであり、不分岐拡大等はヘンゼル体でなくても定義される。
↑ このとき L の分岐指数が [ L : K ] {\displaystyle [L:K]} であり、剰余次数が 1 となる。
任意の付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} に対して、以下の条件を満たす完備体 ( K ∗ , | ⋅ | ∗ ) {\displaystyle \scriptstyle (K^{*},\ |\cdot |^{*})} が存在する。これを K の完備化という。
K ∗ {\displaystyle K^{*}} は K の拡大体である。
K {\displaystyle K} は K ∗ {\displaystyle K^{*}} の中で稠密である。
K ∗ {\displaystyle K^{*}} は | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の延長となる乗法付値 | ⋅ | ∗ {\displaystyle |\cdot |^{*}} を持つ。
K ∗ {\displaystyle K^{*}} は | ⋅ | ∗ {\displaystyle |\cdot |^{*}} に対して完備である。
任意の付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} に対して、完備体は付値体として同型を除いて唯一存在する。