冪集合
結び ∪ {\displaystyle \cup } と交わり ∩ {\displaystyle \cap } は互いに他に対して分配的であるので、 ( P ( S ) , ∪ , ∩ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cup ,\cap )} に環の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系
( P ( S ) , ∩ , ∪ , c , ∅ , S ) {\displaystyle (P(S),\cap ,\cup ,^{\mathrm {c} },\varnothing ,S)}
と考えたものはブール代数の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は有限集合のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。
冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} (ここでの ⊂ {\displaystyle \subset } は集合が一致する場合も含む)に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 (simplex-like Poset) と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える(底となる P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} から空集合を抜いた順序集合を指すこともある)。また、冪集合 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} に包含関係と逆の順序 ⊂ o p p {\displaystyle \subset ^{\mathrm {opp} }}
A ⊂ o p p B ⟺ A ⊃ B {\displaystyle A\subset ^{\mathrm {opp} }B\iff A\supset B}
を与えた順序集合 ( P ( S ) , ⊂ o p p ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })} は、もとの順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} に順序同型で、その対応は補集合をとる操作