ブローアップ (数学)
で記述することができる。ブローアップは P の外では同型写像になっている。射影平面の代わりにアフィン平面で考えることによりブローアップをより簡単な方程式で表すことができる。必要ならば射影変換を使うことにより P = [0:0:1] としてよい。アフィン平面 X2 ≠ 0 の座標を x と y で書くことにする。条件 P ∈ l {\displaystyle \ell } は L2 = 0 を意味するので、グラスマン多様体を P に置き換えることができる。このとき、ブローアップは多様体
{ ( ( x , y ) , [ z : w ] ) ∣ x z + y w = 0 } ⊆ A 2 × P 1 {\displaystyle \{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}}
である。座標を変更してどちらかの符号が逆になるようにするほうがより一般的である。このとき、ブローアップは
{ ( ( x , y ) , [ z : w ] ) ∣ det [ x y w z ] = 0 } {\displaystyle \left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}}
E が自分自身と負に交叉することを見るのは難しくない。これは、この法束は正則な切断を持たないことを意味する。 それゆえ、E は X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} におけるそのホモロジー類の唯一の滑らかな複素代表元である(仮に E が同じ類の中で他の複素部分多様体に摂動できたとしよう。するとこの2つの部分多様体は、複素部分多様体の交叉が常にそうであるように、正に交叉する。これは E が負の自己交叉を持つことに反する)。これが、この因子が例外因子と呼ばれる理由である。
V を Z ではない X の他の部分多様体とする。V が Z と交わりを持たなければ、 Z に沿ったブローアップで本質的には何の影響も受けない。しかし、Z と交わる場合には、ブローアップ X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} において2つの異なる V に対応するものがある。1つは固有変換(proper transform)、または狭義変換(strict transform, 強変換とも)と呼ばれるもので、これは π − 1 ( V ∖ Z ) {\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)} の閉包である。これの X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} における法束は通常は X における V のそれと異なる。もう1つは全変換(total transform)と呼ばれるもので、E の一部、または全部を併せたものである。これは、本質的にはコホモロジーにおいて V を引き戻したものである。
最も簡単なブローアップは平面の点でのブローアップである。この例を通して、ブローアップの一般的な性質をほとんど見ることができる。この節では、ブローアップという操作で得られた空間のことを特に頻繁にブローアップと呼ぶことにする。
ブローアップは結合対応(incidence correspondence)として表すことができる。まず、グラスマン多様体(英語版) G(1, 2) で平面の特定の点を通るすべての直線の集合をパラメトライズできたことを思い出す。射影平面 P の点 P でのブローアップ X は
X = { ( Q , l ) ∣ P , Q ∈ l } ⊆ P 2 × G ( 1 , 2 ) {\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2)}
である。ここで Q は他の点で l {\displaystyle \ell } はグラスマン多様体の元である。X は射影多様体の直積の閉部分代数多様体なので射影多様体である。これは、組 ( Q , l ) {\displaystyle (Q,\ell )} を Q に送る P への自然な射 π を備えている。この射は、Q ≠ P であるすべての点 ( Q , l ) {\displaystyle (Q,\ell )} がなす開部分集合上で同型写像となっている。これは、直線 l {\displaystyle \ell } がこれら2つの点で決まるからである。