積分法
f を閉区間 [a, b] 上で定義された実数値可積分関数、F を [a, b] 上の各点 x に対して F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt} で定義される関数とすると、F は [a, b] 上連続である。さらに f が [a, b] 上の点 x で連続ならば F は x において可微分で、F′ = f(x) が成立する。
f を閉区間 [a, b] 上で定義される実数値可積分関数で、F が [a, b] の各点 x で F′(x) = f(x) となる関数(つまり、f の原始関数)とすると、 ∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)} が成立する。
またこのとき、f は(区間 [a, b] で)積分可能あるいは可積分(より厳密にはリーマン積分可能あるいはリーマン可積分)であるという。
リーマン和、リーマン積分に関連してダルブー(過剰・不足)和、ダルブー(上・下)積分を考察することは有効である。
区間 E = [a, b] の分割 Δ = {Ei} に対して、
m i := inf { f ( x ) ∣ x ∈ E i } , M i := sup { f ( x ) ∣ x ∈ E i } {\displaystyle m_{i}:=\inf\{f(x)\mid x\in E_{i}\},\quad M_{i}:=\sup\{f(x)\mid x\in E_{i}\}}
とおくとき、
s Δ = ∑ i = 0 n − 1 m i δ x i , S Δ = ∑ i = 0 n − 1 M i δ x i {\displaystyle s_{\Delta }=\sum _{i=0}^{n-1}m_{i}\delta x_{i},\quad S_{\Delta }=\sum _{i=0}^{n-1}M_{i}\delta x_{i}}
をそれぞれ、分割 Δ に関する f の下ダルブー和(不足和)、上ダルブー和(過剰和)という。このとき、m ≔ min{mi}, M ≔ max{Mi} とすれば
m ( b − a ) ≤ s Δ ≤ ∑ Δ f ( ξ i ) δ x i ≤ S Δ ≤ M ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)\leq s_{\Delta }\leq \sum _{\Delta }f(\xi _{i})\delta x_{i}\leq S_{\Delta }\leq M(b-a)}
積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。例えば曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。
線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。
積分の対象となる関数はスカラー場であるかもしれないし、ベクトル場であるかもしれない。線積分の値というのは、曲線上の各点における場の値に曲線上の適当なスカラー関数(普通は弧長、あるいはベクトル場に対しては曲線における接ベクトルとの内積)を重みとして掛けたものの和である。この重み付けこそが、線積分と通常の区間上で定義される積分とを区別するものである。物理学における簡単な公式の多くは、線積分を用いることで自然に連続的な類似対応物に書き換えることができる。例えば、力学における仕事が力 F と移動距離 s との積(ベクトル量としての点乗積)
W = F ⋅ s {\displaystyle W=\mathbf {F\cdot s} }
に等しいという事実から、電場や重力場のようなベクトル場 F 内の曲線に沿って動く物体に対して、その物体が場によって及ぼされる仕事の総計が、s から s + ds まで移動する間に受ける仕事を足し合わせると考えることにより、線積分
W = ∫ C F ⋅ d s {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} }
で求められる。
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
で与えられるというものである。こうして積分と微分が微分積分学の基本的な道具となり、科学や工学において様々な応用が成された。微分積分学の創始者たちは、積分を無限小の幅を持つ矩形の無限和と考えたが、数学的に厳密な積分の定義を与えたのはリーマンである。その定義は、曲線で囲まれた領域を薄い短冊に分解して領域の面積を近似する限定的な手順に基づくものであった。19世紀に入ってから、より洗練された積分の概念が現れ始め、積分が行える領域や関数の種類が一般化されていく。線積分は二変数や三変数の関数に対して定義され、積分区間 [a, b] を平面や空間の二点を繋ぐある種の曲線で置き換えるものになっている。同様に面積分は曲線ではなく三次元空間内の曲面を考えることで得られる。また、微分形式の積分は現代的な微分幾何学において基本的な役割を演じる。これらの積分の一般化はもとは物理学の要請から生じたものであり、多くの物理法則(特に古典電磁気学の諸法則)の定式化に重要な役割を果たした。
これらを含め、現代的な積分の概念は様々に存在する。最も流布している積分論は、ルベーグの創始した、ルベーグ積分と呼ばれる数学的な抽象論であろう。
∫ 1 A d μ = μ ( A ) {\displaystyle \int 1_{\!A}\,{\rm {d}}\mu =\mu (A)}
で与え、これを線型に拡張して、n 個の異なる非負の値をとる可測単関数 s に対して
∫ s d μ = ∫ ( ∑ i = 1 n a i 1 A i ) d μ = ∑ i = 1 n a i ∫ 1 A i d μ = ∑ i = 1 n a i μ ( A i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int s\,{\rm {d}}\mu &=\int \!{\Biggl (}\sum _{i\,=\,1}^{n}a_{i}1_{\!A_{i}}{\Biggr )}{\rm {d}}\mu \\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{\!A_{i}}\,{\rm {d}}\mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})\end{aligned}}}
と定める(ただし、可測集合 Ai たちは disjoint で、Ai の単関数 s による像が定数 ai であるものとした)。また E を可測集合とすれば、その上での積分を、
∫ E s d μ = ∑ i = 1 n a i μ ( A i ∩ E ) {\displaystyle \int _{E}s\,{\rm {d}}\mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i}\cap E)}