ハミング符号
検査行列 H の条件は上記に記したように全ての列が相違であり、なおかつ 0 しかない列が存在しないことである。H の列の数は nであるので、Hの各列には 0 以外の全てのビットパターンが存在することになる。列の順番は任意であるが特に
H = [ A Im ]
の形で表される行列の場合を組織符号という、ここで A は任意の行列、 Imは m × m の単位行列である。ハミング符号に於いては組織符号の理論上の重要性は持たないが後述する生成行列の計算が容易になるのと、符号の装置化が簡略になるので良く用いられる。なお上記の例での H も組織符号である。
次に生成行列について述べる。生成行列 G とは以下の条件を満たす非零の行列である。
HG = GH = 0
ここで、Gは G の転置行列を表す。組織符号の場合、G は以下の形で表される。
G = [ Ik A ]
上記の例で示した H に対する G は以下のようになる。
G = [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 ] {\displaystyle G={\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&0&0&1&1\\0&0&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&1&1&1\\\end{bmatrix}}}