ボレル・カンテリの補題
一般の測度空間では、ボレル・カンテリの補題は次の形になる。
μ を集合 X 、完全加法族 F 上の(非負)測度とし、(An) を F の元の列とする。このとき
∑ n = 1 ∞ μ ( A n ) < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty } ならば μ ( lim sup n → ∞ A n ) = 0 {\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0}
このとき、事象 A k {\displaystyle A_{k}} が無限に多くの回数起こる(つまり、少なくともどれかが起こる)確率が 1 であるための必要十分条件は、真に増大する正整数列 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} であって
∑ k Pr ( A t k + 1 ∣ A ̄ t k ) = ∞ {\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty }
が成り立つようなものが存在することである。
このシンプルな結果は例えば、確率過程で時刻の部分集合 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} を選んだときの到達確率(hitting probability)を論じるのに有用である(この場合普通、 ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} の選び方が本質的に重要になる)。
E1,E2,... を、ある確率空間の事象の列とする。 このとき
もしの確率 P(En) の和が有限であれば、これらの事象が無限に多くの回数起こるような確率は 0 である。
∑ n = 1 ∞ Pr ( E n ) < ∞ ⇒ Pr ( lim sup n → ∞ E n ) = 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty \Rightarrow \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0}
ここで "lim sup" は事象列の上極限で、明示的に書けば
lim sup n → ∞ E n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k ≥ n ∞ E k {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}^{\infty }E_{k}}
仮定として独立性を課していないことに注意。