ポアンカレ・ベンディクソンの定理
平面上の自励系常微分方程式系ないし連続力学系を解析するための強力な道具となるのが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理である。定理は、相空間が平面の場合に解ないし軌道が極限的に落ち着く先は、本質的に平衡点か周期軌道に限定されることを意味する。しかし一般的に、平衡点を見つけることに比べ、周期軌道を見つけることは難しい。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、与えられた系に周期軌道の存在することを示すことができる数少ない手法の一つである。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理を使いやすく言い換えると、有界閉な領域 K 内に任意の軌道 O+(x), x ∈ K が閉じ込められる(領域が正不変である)とき、K 内に平衡点が存在しなければ、K 内には周期軌道が存在する、という系が成り立つ。さらに言うと、このような K 内の軌道は、それ自体が周期軌道であるか、リミットサイクルに収束する軌道であるか、どちらかになる。また、もう一つの重要な系は、ある周期軌道で囲まれた領域の内部には平衡点が少なくとも1つ含まれることである。
具体的な系にポアンカレ・ベンディクソンの定理を適用するには、境界上のどの点でもベクトルが内側向きとなっている領域を平面上でうまく構成(特定)する必要がある。領域に内部にある平衡点も領域から適当にくりぬく必要がある。(千葉 2021) による適用の具体例として以下のような微分方程式系がある。
平衡点が ω(x) の連結成分として含まれる場合、ω(x) に含まれる平衡点ではない軌道の数は高々可算無限個で、なおかつ任意の非平衡点 η ∈ ω(x) に対して ω(η) と α(η) は ω(x) 上の平衡点の連結成分のどれかに含まれることなどが分かっている。
最後に、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の(古典的な)証明では微分方程式で定まる流れ φ を前提としていたが、オトマル・ハイエク(英語版) (Otomar Hájek) がこの定理の成立に微分可能性の仮定が不要であることを示している。定理の証明で重要な役目を担った横断線(横断弧)については、まずハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) とミハイル・ベブートフ (Mikhail Valer'evich Bebutov) が微分可能性不要で距離空間上の任意の非平衡点で局所横断面が構成できること(ホイットニー・ベブートフの定理)を示した。そしてハイエクが2次元多様体上の局所横断面はジョルダン弧または単純閉曲線のいずれかであることが示し、微分可能性を仮定しない流れにもとづくポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明を与えた。