距離函数
文脈によっては、距離函数 d が値として無限大 (∞) をとることを許容する(即ち、二点間の距離は拡大実数直線における非負値であるとする)こともある。このような距離函数を称して拡大距離 (extended metric) と言う。
任意の拡大距離函数は、適当な方法で(連続性や収斂性といった)位相的な概念を変えないという意味で等価な(有限値をとる通常の)距離函数に変形することができる。それを為すには、0 を 0 に写す劣加法性単調減少函数を使い、例えば d′(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) や d′′(x, y) = min(1, d(x, y))) などとすればよい。
距離函数が有限非負実数値をとるという条件は、もっと別の有向集合に値をとるという方向に緩めることもできる。このような方法で公理を定式化しなおして、一様空間(異なる点の間での局所位相を比較可能にする抽象構造を備えた位相空間)の構成を導くことができる。
距離の公理の条件を緩める方法はいくつかあるので、それぞれ(あるいはいくつかの組み合わせ)に応じて距離空間を一般化する方法も複数存在する。それら一般化された距離の概念についての用語法は完全に標準化されているわけではないことに注意を要する。とりわけ、函数解析学においてベクトル空間上の半ノルムから生じる擬距離は、半ノルムから生じる距離だから「半距離」と呼ぶとしても不自然ではないけれども、そうすると位相空間論における用語法と齟齬をきたす。