ヒルベルト空間
ヒルベルト空間 H の連続的双対空間 H とは、H からその係数体への連続な線型写像全体の成す空間のことをいう。この空間には
‖ φ ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 , x ∈ H | φ ( x ) | {\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1, \atop x\in H}|\varphi (x)|}
で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。
リースの表現定理は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。即ち、H の各元 u に対して、
φ u ( x ) = ⟨ x , u ⟩ {\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }
で定まる H の元 φu がただ一つ存在し、写像 u ↦ φu は H から H への反線型写像(英語版)になる。リースの表現定理はこの写像が反線型同型であるというのである。故に、双対空間 H の各元 φ に対し H の元 uφ がただ一つ存在して、H の任意の元 x について
H の有限正規直交系 ƒ1, ..., ƒn と H の任意のベクトル x に対して
y = ∑ j = 1 n ⟨ x , f j ⟩ f j {\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle f_{j}}
と置くと、各 k = 1, ..., n に対して ⟨x, ƒk⟩ = ⟨y, ƒk⟩ が成り立つ。故に x − y は各ƒk に直交し、従って x − y は y に直交する。三平方の定理を二度使い
‖ x ‖ 2 = ‖ x − y ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ≥ ‖ y ‖ 2 = ∑ j = 1 n | ⟨ x , f j ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}|\langle x,f_{j}\rangle |^{2}}
が得られる。さらに {ƒi} (i ∈ I) を H の任意の正規直交系とするとき、I の任意の有限部分集合 J に対して先ほどの不等式を適用すれば、(非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って)ベッセルの不等式
∑ i ∈ I | ⟨ x , f i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 , x ∈ H {\displaystyle \sum _{i\in I}|\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}
が得られる。
幾何学的には、ベッセルの不等式が言っているのは、x の fi たちが生成する部分空間の上への直交射影のノルムは x のノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。
ベッセルの不等式はからは、より強力なパーシヴァルの等式が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、H の各元 x は
x = ∑ k ∈ B ⟨ x , e k ⟩ e k {\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}}
という形に書くことができる。ベッセルの不等式によって B が非可算の場合にも、このような表示が意味を持ち、可算個の例外を除く各項が 0 に等しいことが保証される。このような和を x のフーリエ展開と呼び、個々の係数 ⟨x,ek⟩ を x のフーリエ係数と呼ぶ。このとき、パーセヴァルの等式は
‖ x ‖ 2 = ∑ k ∈ B | ⟨ x , e k ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}}
と書ける。逆に、正規直交系 {ek} が任意の x においてパーセヴァルの等式を満足するならば、{ek} は正規直交基底になる。
ヒルベルト空間 H の空でない閉凸部分集合を C とし、H の点 x をとると、x との距離を最小化する C の元 y がただ一つ存在する。
∃ ! y ∈ C , ‖ x − y ‖ = d i s t ( x , C ) = min { ‖ x − z ‖ : z ∈ C } . {\displaystyle {}^{\exists !}y\in C,\quad \|x-y\|=\mathrm {dist} (x,C)=\min\{\|x-z\|:z\in C\}.}
これは、C を平行移動した凸集合 D := C − x にノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。このことは、任意の最小化列 (dn) ⊂ D が(中線定理により)コーシー列となること、従って(完備性により)D 内の点に収束するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。もっと一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ。
↑ Marsden 1974, §2.8
↑ この節における数学的な題材は、Dieudonné (1960), Hewitt & Stromberg (1965), Reed & Simon (1980), Rudin (1980) など、標準的な関数解析学の教科書を見れば載っている。
↑ 第二引数に関して線型であると約束する場合もある。
↑ Dieudonné 1960, §6.2
↑ Dieudonné 1960
↑ メビウスの後押しを受けたグラスマンの手によるところが大きい (Boyer & Merzbach 1991, pp. 584–586)。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年のペアノが最初である (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996)。
↑ ヒルベルト空間の詳しい歴史は Bourbaki 1987 に扱われている。
↑ Schmidt 1908
↑ Titchmarsh 1946, §IX.1
↑ Lebesgue 1904。積分論の歴史の詳細は Bourbaki (1987) と Saks (2005) にある。
↑ Bourbaki 1987.
↑ Dunford & Schwartz 1958, §IV.16
↑ Fréchet (1907) と Riesz (1907) の結果を併せて Dunford & Schwartz (1958, §IV.16) は「L[0,1] 上の任意の線型汎関数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は Riesz (1934) で述べられている。
これにより特に、関数からなる正規直交系の概念が意味を持つようになる。シュミットは、この内積と通常のドット積との類似性として、
f ( x ) ↦ ∫ a b K ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy}
(ただし、K は x, y に関して対称)なる形の作用素に対してスペクトル分解の類似物を示した。得られる固有関数展開は関数 K を
K ( x , y ) = ∑ n λ n φ n ( x ) φ n ( y ) {\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)\,}
なる形の級数として表す。ただし、関数系 φn は、n ≠ m なるとき常に ⟨φn, φm⟩ = 0 を満たすという意味で、直交系を成す。この級数の個々の項は、基本積解 (elementary product solution) と呼ばれることもある。しかし、この固有関数展開には、適当な意味で自乗可積分関数に収束するものとそうでないものがある。収束を保証するには完備性(系の完全性)が不可欠なのである。
いま一つは、ルベーグがリーマン積分に替わるものとして1904年に導入したルベーグ積分である。ルベーグ積分は、より広範なクラスの関数で積分を定義することを可能にした。
リースの表現定理によれば、この評価関数を表現する L(D) の元が存在するから、各 z ∈ D に対して関数 ηz ∈ L(D) で f ( z ) = ∫ D f ( ζ ) η z ( ζ ) ̄ d μ ( ζ ) {\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta )} をすべての ƒ ∈ L(D) に対して満たすようなものが取れる。被積分関数の因子 K ( ζ , z ) = η z ( ζ ) ̄ {\displaystyle K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}} は D のベルグマン核と呼ばれる積分核で、再生性 f ( z ) = ∫ D f ( ζ ) K ( ζ , z ) d μ ( ζ ) {\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,d\mu (\zeta )} を満足する。
ベルグマン空間は再生核ヒルベルト空間(関数からなるヒルベルト空間で、先と同様の再生性を持つ積分核 K(ζ,z) を備えたもの)の例になっている。ハーディ空間 H(D) にもセゲー核(英語版)と呼ばれる再生核を持つ。再生核は数学のほかの分野でもよく用いられる。たとえば、調和解析におけるポアソン核は単位球体上の自乗可積分調和関数全体の成すヒルベルト空間(これがヒルベルト空間を成すことは調和関数に対する中間値の定理からわかる)に対する再生核である。
を満たすという意味での随伴になっている。零でない閉部分空間の上への射影 P の作用素ノルムは
‖ P ‖ = sup x ∈ H , x ≠ 0 ‖ P x ‖ ‖ x ‖ = 1 {\displaystyle \|P\|=\sup _{x\in H, \atop x\neq 0}{\frac {\|Px\|}{\|x\|}}=1}
に等しい。従って、ヒルベルト空間の任意の閉部分空間 V は、ノルム 1 で P = P を満たす適当な作用素 P の像になっている。この適当な射影作用素がとれるという性質はヒルベルト空間を特徴付ける性質である。即ち、
2 より大きな次元のバナッハ空間が(等距的に)ヒルベルト空間となるための必要十分条件は、任意の部分空間 V に対し、その像が V となるようなノルム 1 の作用素 PV で P2V = PV を満たすものが存在することである。
この結果はヒルベルト空間の距離構造を特徴付けるものだが、位相線型空間としてのヒルベルト空間の構造は補空間の存在の言葉で特徴付けられる。即ち、
バナッハ空間 X が何らかのヒルベルト空間に位相線型同型(同相かつ線型同型)であるための必要十分条件は、その任意の閉部分空間 V に対し、閉部分空間 W で X が内部直和 V ⊕ W に一致するようなものが存在することである。
↑ von Neumann 1929.
↑ Kline 1972, p. 1092
↑ Hilbert, Nordheim & von Neumann 1927.
1 2 Weyl 1931.
↑ Prugovečki 1981, pp. 1–10.
1 2 von Neumann 1932
↑ Halmos 1957, Section 42.
↑ Hewitt & Stromberg 1965.
1 2 Bers, John & Schechter 1981.
↑ Giusti 2003.
↑ Stein 1970
↑ 詳細は Warner (1983) に見つかる。
↑ ハーディ空間の一般論は Duren (1970) を見よ。
↑ Krantz 2002, §1.4
↑ Krantz 2002, §1.5
↑ Young 1988, Chapter 9.
↑ フレドホルム核の固有値は 1/λ でこれは 0 に近づく。
↑ この観点からの有限要素法の詳細が Brenner & Scott (2005) にある。
↑ Reed & Simon 1980
↑ この観点からのフーリエ級数の扱いは、例えば Rudin (1987) や Folland (2009) を参照。
↑ Halmos 1957, §5
↑ Bachman, Narici & Beckenstein 2000
↑ Stein & Weiss 1971, §IV.2.
↑ Lancos 1988, pp. 212–213
↑ Lanczos 1988, Equation 4-3.10
↑ スペクトル法の古典的文献は Courant & Hilbert 1953。
{\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \quad \forall \ x_{1},x_{2}\in H,\ \forall \ a,b\in \mathbb {C} .}
内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は正定値である: ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 ∀ x ∈ H ; ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0. {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\quad \forall \ x\in H;\quad \langle x,x\rangle =0\iff x=0.}
を満たすものが存在することをいう。条件の 1 と 2 を併せると、複素内積は第二引数に関して反線型 (antilinear) となることが従う。即ち、
⟨ x , a y 1 + b y 2 ⟩ = a ̄ ⟨ x , y 1 ⟩ + b ̄ ⟨ x , y 2 ⟩ ∀ x 1 , x 2 ∈ H , ∀ a , b ∈ C {\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \quad \forall x_{1},x_{2}\in H,\ \forall \ a,b\in \mathbb {C} }
が成り立つ。
ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において射影や基底変換といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。特に、ヒルベルト空間上の連続自己随伴線型作用素のスペクトル論は、行列のふつうのスペクトル分解の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。
しかし、自己随伴作用素 T のスペクトル論は、さらにコンパクト作用素であるという仮定を加えれば特に簡単な形にすることができる。自己随伴コンパクト作用素のスペクトル論の主張は
自己随伴コンパクト作用素 T は高々可算個のスペクトル値しか持たない。T のスペクトルがガウス平面において集積点を持つ可能性は 0 以外にはない。T の固有空間は H の直交直和 H = ⨁ λ ∈ σ ( T ) H λ {\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }} に分解する。さらに固有空間 Hλ の上への直交射影を Eλ と書けば T = ∑ λ ∈ σ ( T ) λ E λ {\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }} と表せる。ただし和は B(H) のノルムに関して収束する。
多くの積分作用素、特にヒルベルト=シュミット作用素から生じるものはコンパクトであり、この定理は積分方程式論において基本的な役割を果たす。
自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値リーマン・スティルチェス積分が関係してくる。T に伴う「スペクトル族」には、各実数 λ に対して作用素 (T − λ) の零空間の上への射影 Eλ が対応している。ただし は
A + = 1 2 ( A 2 + A ) {\displaystyle A^{+}={\frac {1}{2}}({\sqrt {A^{2}}}+A)}
で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。
ヒルベルト空間 H1 から別のヒルベルト空間 H2 への連続線型作用素 A: H1 → H2 は有界集合を有界集合へ写すという意味で「有界」である。逆に、有界な線型作用素は連続になる。二つの有界線型作用素の和および合成は、ふたたび有界かつ線型であり、このような有界線型作用素全体の成す空間には、作用素ノルムと呼ばれるノルム
‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \lVert A\rVert =\sup\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\}}
が定義される。また、H2 の元 y に対して、x ∈ H1 を ⟨Ax, y⟩ へ写す写像は線型かつ連続である。リースの表現定理によれば、有界線型作用素は必ず H1 の適当なベクトル Ay に対する
⟨ x , A ∗ y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,A^{*}y\rangle =\langle Ax,y\rangle }
の形で表現可能である。この定義から、もう一つの有界線型作用素(A の随伴作用素)A: H2 → H1 が定まる。このとき、A = A であることが確かめられる。
H 上の有界線型作用素全体の成す集合 B(H) に、作用素の加法と合成および作用素ノルムと随伴作用素を考えたものは、作用素環の一種である C-環を成す。