ガウス整数
「約数」「倍数」の概念を、有理整数環 Z 上のみならずガウス整数環上でも自然に定義することができる。2つのガウス整数 α, β に対して、β = αγ を満たすガウス整数 γ が存在するとき、β は α の倍数(β は α で割り切れる)、α は β の約数(α は β を割り切る)であるといい、α | β と表す。
1 の約数を単数という。ガウス整数環における単数は 1, −1, i, −i の4つのみである。
(証明):
ガウス整数環の単数を ε = a + bi とおく。単数の定義より、εε′ = 1 を満たすガウス整数 ε' が存在する。両辺のノルムを取ると、ノルムの乗法性より N(ε)N(ε′) = 1
となる。ノルムは非負の有理整数であるから、 a + b = N(ε) = 1.
a, b は有理整数であるから、
(a, b) = (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1).
∴ ε = a + bi = 1, −1, i, −i.(証明終)
2つのガウス整数が同伴であるとは、その比が単数であることをいう。これはガウス整数の同値関係である。