体積形式
すべての向きつけられたリーマン多様体(もしくは、擬リーマン多様体は、自然な体積形式(もしくは、擬体積形式)を持つ。局所座標(英語版)(local coordinates)では、体積形式は、
ω = | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}
で表すことができる。ここに、 d x i {\displaystyle dx^{i}} は n-次元多様体の余接バンドルの向きつけられた基底をもたらす微分 1-形式である。ここに、 | g | {\displaystyle |g|} は多様体の計量テンソルの行列表現したときの行列式の絶対値である。
体積形式は次のようにも表される。
ω = v o l n = ε = ∗ ( 1 ) . {\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon =*(1).\,\!}
ここでは、∗ はホッジ双対であるので、最後の右辺の形 ∗(1) は、体積形式が多様体上の定数写像のホッジ双対であることを意味していて、レヴィ・チヴィタテンソル ε {\displaystyle \varepsilon } に等しい。
ギリシャ文字の ω はここでは体積形式を表すことに使われている。シンボルの ω は微分幾何学では、他に多くの意味を持っている(たとえば、シンプレクティック形式)。
従って、1-次元では次のことを証明することができる。 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上の体積形式 ω {\displaystyle \omega } が与えられると、
f ( x ) := ∫ 0 x ω {\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega }
を定義することができる。すると、ルベーグ測度 d x {\displaystyle dx} は f : ω = f ∗ d x {\displaystyle f:\omega =f^{*}dx} の下で ω {\displaystyle \omega } へ引き戻される(英語版)(pulls back)。具体的には、 ω = f d x {\displaystyle \omega =f\,dx} である。高次元では、与えられた任意の点 m ∈ M {\displaystyle m\in M} で、 R × R n − 1 {\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}} と局所同相な近傍を持ち、同じプロセスを適用することができる。