グリーン関数
ここで、 L {\displaystyle \mathrm {L} } は微分作用素、 Ω {\displaystyle \Omega } は領域であり、領域の境界 Γ {\displaystyle \Gamma } は、 y 1 ̄ {\displaystyle {\bar {y_{1}}}} が規定されている境界 Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} と、 ∂ y / ∂ n {\displaystyle \partial y/\partial n} が規定されている境界 Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{2}} からなり、 Γ 1 ∪ Γ 2 = Γ {\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}=\Gamma } 、 Γ 1 ∩ Γ 2 = φ {\displaystyle \Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}=\phi } であるものとする。また、 n {\displaystyle n} は境界での外向き法線方向を示す。
上記の問題に対するグリーン関数 G ( x , x ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x'}})} とは次の条件を満たす関数のことである。
散乱理論の形式論では、グリーン関数が用いられる。その基本方程式にもグリーン関数が含まれ、リップマン‐シュウィンガー方程式と呼ばれる。
| ψ ( ± ) ⟩ = | φ ⟩ + G 0 ^ ± V ^ | ψ ( ± ) ⟩ {\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}}}^{\pm }{\hat {V}}|\psi ^{(\pm )}\rangle \,}