位相空間
∅ , X ∈ F {\displaystyle \emptyset ,X\in {\mathcal {F}}}
∀ F 1 , ∀ F 2 ∈ F : F 1 ∪ F 2 ∈ F {\displaystyle \forall F_{1},\forall F_{2}\in {\mathcal {F}}~~:~~F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}}
∀ { F λ } λ ∈ Λ ⊂ F : ⋂ λ ∈ Λ F λ ∈ F {\displaystyle \forall \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {F}}~~:~~\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}}
閉集合系による位相空間の定義における3つの条件は、開集合系による位相空間の定義における3つの条件にド・モルガンの法則を適用することにより得られる。
なお、X の開集合でも閉集合でもあるような部分集合は X の開かつ閉集合と呼ばれる(定義から明らかに ∅ {\displaystyle \emptyset } および X は必ず開かつ閉である)。X には、開でも閉でもないような部分集合が存在しうる。
位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。
完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。 また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。
ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
弱い/強いのかわりに粗い/細かい(英: coarse/fine)、小さい/大きい(英: small/large)という言葉を使うこともある。
O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} が O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} よりも粗い必要十分条件は、恒等写像
id  : ( X , O 2 ) → ( X , O 1 ) , x ↦ x {\displaystyle \operatorname {id} ~:~(X,{\mathcal {O}}_{2})\to (X,{\mathcal {O}}_{1}),\ \ x\mapsto x}
が連続な事である。したがって O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} で収束する有向点族は O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} でも収束するが、逆は必ずしも成立しない。
点列の概念を一般化した有向点族の概念を導入し、有向点族の収束を定義する。
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
lim n → ∞ f ( x n ) = f ( lim n → ∞ x n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(\lim _{n\to \infty }x_{n})}
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり(列型空間を参照)、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照。
この順序をいれた × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} を (Γλ)λ∈Γの有向集合としての直積という。
定理 (二重極限の定理(英: Theorem on Iterated limit)) ― Λを有向集合とし、各λ∈Λに対し、Γλを有向集合とし、 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。 各λ∈Λに対し、有向集合Γλを添え字とするX上の有向点族 x λ = ( x λ , γ ) γ ∈ Γ λ {\displaystyle x_{\lambda }=(x_{\lambda ,\gamma })_{\gamma \in \Gamma _{\lambda }}} が、yλに収束するとし、さらに有向点族 ( y λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (y_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がzに収束するものとする。
任意の開集合(≠ ∅ {\displaystyle \emptyset } )は B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の元の(有限個または無限個の)和集合として書き表せる。すなわち ∀ O ∈ O ∃ T ⊂ B : O = ∪ B ∈ T B {\displaystyle \forall O\in {\mathcal {O}}\exists {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {B}}~:O=~\cup _{B\in {\mathcal {T}}}B}
開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の準開基である必要十分条件は、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元の有限個の共通部分の全体の集合
B = { ⋂ i = 1 n S i | n ∈ N , S i ∈ S } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,\,S_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}}
が、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基をなすことである。