関手圏
先に述べた圏 C の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。C の任意の対象 X に対して、Hom(–, X) を C から Set への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
X ↦ Hom  ( − , X ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}
が圏 C の圏 Funct(C, Set) への充満埋め込みであると言っている。したがって C は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 C に対して実行できる:すると米田は C の関手圏 Add(C, Ab) への充満埋め込みを生む。したがって C は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感(D で実行できる構成は D に「持ち上げる」ことができること)はいくつかの方法で正確にできる;もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 F: D → E は(F との合成により)関手 F: D → E を誘導する。F と G が随伴関手の対であるとき、F と G もまた随伴関手の対である。
関手圏 D は指数対象のすべての形式的な性質を有する;特に関手たち E × C → D は E から D への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 Cat はしたがってデカルト閉圏である。
任意の環 R は対象が1つの前加法圏と考えることができる;R 上の左加群の圏は加法的関手圏 Add(R, Ab) と同じであり(ただし Ab はアーベル群の圏を表す)、右 R 加群の圏は Add(R, Ab) である。この例により、任意の前加法圏 C に対して、圏 Add(C, Ab) を「C 上の左加群の圏」、Add(C, Ab) を「C 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。
位相空間 X 上の前層の圏は関手圏である:位相空間を対象が X の開集合で、U が V に含まれるとき、かつそのときに限り U から V へのただ1つの射があるような圏 C と思う。すると X 上の集合(あるいはアーベル群、環)の前層の圏は C から Set(あるいは Ab, Ring)への反変関手の圏と同じである。この例により、圏 Funct(C, Set) は、位相空間から生じない一般の圏 C に対してさえも、「C 上の集合の前層の圏(英語版)」と呼ばれることがある。一般の圏 C 上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち C 上のグロタンディーク位相である。(Set に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる。)