P進ホッジ理論
B d R ⊗ K H d R ∗ ( X / K ) ≅ B d R ⊗ Q p H e ́ t ∗ ( X × K K ̄ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}
が存在するだろうと予想した。この予想はCdR と呼ばれている。複素数体上における特異コホモロジーの比較同型と照らし合わせると、BdR は代数的ド・ラーム・コホモロジーと p 進エタール・コホモロジーの比較に必要とされる全ての(p 進)周期を含んでいる環だと思うことができる。これが BdR が p 進周期の環と呼ばれる所以である。
同様に、グロタンディークの神秘関手を説明する予想を定式化するために、フォンテーヌは GK 作用と"フロベニウス" φ を持ち係数を K0 から K に拡大するとフィルトレーションを持つ環 Bcris を作り出した。そして、 K 上の良い還元をもつ固有かつ滑らかなスキーム X に対して、φ と GK の作用と係数を K に拡大したときのフィルトレーション付きベクトル空間としての同型