平行
上記の三性質からは三種類のそれぞれ異なる平行線の作図法が与えられる
初期の改革的教科書の一つが、ジェームス・ウィルソン・モリス(英語版) の1868年の著書 Elementary Geometry(「初等幾何学」)である。ウィルソンは自身の「方向」(direction) という原始概念(英語版)に依拠した平行線の定義に基づいていた。ヴィルヘルム・キリング(英語版)に従えば、この考え方はライプニッツにまで遡れる。ウィルソンは、原始概念として未定義のまま「方向」という言葉をほかの定義で用いており、例えば6番目の定義は「互いに交わる二つの直線はそれぞれ異なる方向を持ち、それら方向の差はそれらの間の「角」である」のように述べている。定義 15 において平行線は以下のように導入される:「同じ向きを持つが一つの同じ直線の部分となっていない直線を平行線と呼ぶ」。オーガスタス・ド・モルガンはこの教科書を批評して、主にこの定義およびウィルソンが平行線に関する内容を証明するのに用いた方法に基づいて誤りであると断じた。ドッジソンもまた、ウィルソンによる平行線の取り扱いを非難するために、彼の戯曲の大部分を当てている (Act II, Scene VI § 1)。