形式微分
この定義から線型性は自然に導出される。可換環の標準形と同じ形をした多項式の微分が ( ∑ i a i x i ) ′ = ∑ i ( a i x i ) ′ = ∑ i ( ( a i ) ′ x i + a i ( x i ) ′ ) = ∑ i ( 0 x i + a i ( ∑ j = 1 i x j − 1 ( x ′ ) x i − j ) ) = ∑ i ∑ j = 1 i a i x i − 1 {\displaystyle (\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}} と計算できることは、定義からの直接の帰結である。
ここで、自然数 m と係数環の元 a に対する ma のような式が係数に現れてくるが、これが上記の環における積でないことに注意すべきである: ma ≔ ∑mk=1 a.
係数環が非可換の場合には、この定義ではやや不十分である(定義式が誤っているわけではないが、多項式の標準形がないので)。実際、この形だと、定数 b-倍に関する公式 (f(x)⋅b)′ = f′(x)⋅b の証明は難しい。