調和数 (発散列)
調和数は、ディガンマ関数に対する
ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }
のような、いくつかの特殊函数に関する計算公式に現れる。このような関係式は、しばしば調和数のパラメータ n を整数以外に拡張するための定義式としても利用される。先の節で述べたような極限によって、調和数から定数 γ を定義することがよく行われるが、
γ = lim n → ∞ ( H n − ln  ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}
としたほうが収斂が早い。
2002年にジェフリー・ラガリアスは、リーマン予想が「不等式
σ ( n ) ≤ H n + ln  ( H n ) e H n {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の(等号無しの)不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。