アフィン写像
幾何学的な設定で、アフィン変換はちょうど直線を直線に写す。
線型変換は任意の線型結合を保つ写像であり、アフィン変換は任意のアフィン結合を保つ写像である。ここでアフィン結合とは、係数の総和が 1 に等しいような線型結合をいう。
ベクトル空間の部分アフィン空間(あるいは線型多様体)は部分線型空間の各ベクトルにある定ベクトルを加えることによって得られる、部分線型空間で割った同値類である。ベクトル空間の部分線型空間は、線型結合に関して閉じている部分集合であり、部分アフィン空間はアフィン結合に関して閉じている部分集合である。
たとえば R において、原点、原点を通る直線、原点を通る平面、空間全体は部分線型空間であり、一般の点、直線、平面、空間全体は部分アフィン空間である。
ベクトルからなる系が、系に属するどのベクトルも他の線型結合に表されることが無いとき線型独立というのと同様、どのベクトルも他のアフィン結合に表されることが無いときアフィン独立であるという。