密度行列
混合状態を記述する単純な記述方法は、状態ベクトルとその生起確率を並べて書く、というものである。例えば「確率1/2で | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、確率1/2で | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」という混合状態であれば、
s = ( ( 1 / 2 , | R ⟩ ) , ( 1 / 2 , | L ⟩ ) ) {\displaystyle s=((1/2,|R\rangle ),(1/2,|L\rangle ))}
と状態を記述する。しかしこの記述方法は、実質的に同一(=観測によって区別できない)の状態が複数の異なる表記を持ってしまうという欠点を持つ。
このため密度行列という表記方法を採用する必要があるのだが、これについては次章で述べることとし、本節ではまず上述した欠点を具体例で示す。
これに対し、密度行列を利用した場合は、上述の問題は生じない。そもそも、上述の問題が生じたのは、状態ベクトルに位相分の自由度
| ψ ⟩ ∼ e i θ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \sim \mathrm {e} ^{i\theta }|\psi \rangle }
が存在したからである。しかし密度行列で記述した場合、純粋状態は
| ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}
という形式なので、位相分の自由度は消え去る:
e i θ | ψ ⟩ ⟨ ψ | e i θ ̄ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle \langle \psi |{\overline {e^{i\theta }}}=|\psi \rangle \langle \psi |}
よって前述の問題はそもそも生じない。
本節では、密度行列の概念の背後にある、混合状態の概念を説明する。次節ではこれを踏まえて密度行列の概念を説明する。