超準解析
超準解析には2つの非常に異なったアプローチがある:ひとつは意味論的あるいはモデル論的アプローチであり、もうひとつは構文論的アプローチ(公理論的アプローチ)である。これらのアプローチはどちらも、解析学以外にも、数論、代数やトポロジーを含む、他の数学の領域に適用される。
ロビンソンによる超準解析の元々の定式化は「意味論的アプローチ」のカテゴリーに分類される。彼が一連の論文で行ったように、これは理論のモデル(とくに飽和モデル)の研究に基づく。ロビンソンの仕事が最初に現れてから、Elias Zakonは上部構造と呼ばれる純粋に集合論的な対象を用いたより単純な意味論的アプローチを開発した。このアプローチでは、「理論のモデル」は集合 S {\displaystyle S} の「上部構造」 V ( S ) {\displaystyle V(S)} と呼ばれる対象で置き換えられる。上部構造 V ( S ) {\displaystyle V(S)} に超冪構成を適用することで、写像 ∗ : V ( S ) → ∗ V ( S ) {\displaystyle \ast :V(S)\to {}^{\ast }V(S)} を伴い移行原理を満たす別の対象 ∗ V ( S ) {\displaystyle {}^{\ast }V(S)} を構成することができる。
↑ Heijting, A. (1973) Address to Professor A. Robinson. At the occasion of the Brouwer memorial lecture given by Prof. A.Robinson on the 26th April 1973. Nieuw Arch. Wisk. (3) 21, pp. 134—137.
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↑ Korppi, Tuomas. Vanishing of derived limits of non-standard inverse systems, Topology and its Applications 157(17), 2692-2703 (2010)
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超準宇宙が広大化であるとは、 { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} が有限交叉性を持つ標準集合の族のとき、必ず次が成り立つことをいう:
⋂ i ∈ I ∗ A i ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{i\in I}{}^{\ast }A_{i}\neq \emptyset }
この原理は | I | {\displaystyle |I|} -飽和原理から帰結する。したがって κ {\displaystyle \kappa } を標準集合全体の濃度とすれば、 κ {\displaystyle \kappa } -飽和モデルは広大化の原理を満たす。先述したモナドの性質などは広大化の原理から導かれる。
א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} を超える飽和原理はしばしば本質的に用いられる。1+1次元時空のディラック方程式の経路積分に基づく解法は超準解析を用いて測度論的に正当化できることが知られている。この超準的な解法において、光速度 c {\displaystyle c} を正の無限大超実数と置くことで、非相対論的極限である1+1次元時空のシュレーディンガー方程式の解が得られる。この解法において 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} -飽和性が本質的に用いられる。
↑ もし M {\displaystyle M} の内的な無限集合 X {\displaystyle X} の濃度が κ {\displaystyle \kappa } 以下なら、 ( X ∖ { x } ) x ∈ X {\displaystyle (X\setminus \{x\})_{x\in X}} は M {\displaystyle M} の内的な集合からなる有限交叉族であり、その個数は κ {\displaystyle \kappa } 以下なので、 κ {\displaystyle \kappa } -飽和性より ⋂ x ∈ X ( X ∖ { x } ) ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{x\in X}(X\setminus \{x\})\neq \varnothing } 。これは ⋂ x ∈ X ( X ∖ { x } ) = X ∖ ⋃ x ∈ X ( { x } ) = X ∖ X = ∅ {\displaystyle \bigcap _{x\in X}(X\setminus \{x\})=X\setminus \bigcup _{x\in X}(\{x\})=X\setminus X=\varnothing } に矛盾。