多項式環
多項式環の別の一般化として、微分多項式環と歪多項式環がある。
微分多項式環 (differential polynomial ring) は環 R と R 上の導分(英語版) δ から形成され、その乗法は関係 Xa = aX + δ(a) を拡張して得られる。標準的な例はワイル代数と呼ばれる環で、R として多項式環 k[t], 変数 X として標準的な多項式微分 ∂/∂t をとる。このとき R[X] の元を多項式環 k[t] に作用する微分作用素と見ることができる。ここで R = k[t] の元 f(t) は掛け算作用素として作用し、X は t に関する微分として作用する。t = Y とラベル付けすれば、正準交換関係 XY − YX = 1 を得て、この環を明示的にワイル代数とすることができる。これは基本的で重要な環である。
歪多項式環 (skew-polynomial ring) は環 R と R 上の自己準同型 f に対して定義される。その乗法は関係 Xr = f(r)X を拡張して与えられ、通常の加法に対して分配的な結合的乗法である。もっと一般に、モノイド N から R の自己準同型環への準同型 F で X⋅r = F(n)(r)X となるようなものを考えることができる 。歪多項式環は接合積多元環(英語版)と近い関係にある。
非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド N に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。N として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を N から環 R への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。