リッチテンソル
Ric = R i j d x i ⊗ d x j {\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}}
ここで、以下のように定義した。
R i j = R k i k j {\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}
リーマン曲率テンソルとクリストッフェル記号を用いて書くと、以下のようになる。
R α β = R ρ α ρ β = ∂ ρ Γ ρ β α − ∂ β Γ ρ ρ α + Γ ρ ρ λ Γ λ β α − Γ ρ β λ Γ λ ρ α = 2 Γ ρ α [ β , ρ ] + 2 Γ ρ λ [ ρ Γ λ β ] α {\displaystyle R_{\alpha \beta }={R^{\rho }}_{\alpha \rho \beta }=\partial _{\rho }{\Gamma ^{\rho }{}_{\beta \alpha }}-\partial _{\beta }\Gamma ^{\rho }{}_{\rho \alpha }+\Gamma ^{\rho }{}_{\rho \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\beta \alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\beta \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\rho \alpha }=2\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha [\beta ,\rho ]}+2\Gamma ^{\rho }{}_{\lambda [\rho }\Gamma ^{\lambda }{}_{\beta ]\alpha }}