ホッジ双対
インデックス記法を使うと、ホッジ双対は、n-次元完全反対称レヴィ・チヴィタテンソル(Levi-Civita tensor)と k-形式の添字の縮約により得られる。これはレヴィ・チヴィタの記号から|det g| だけずれている。ここでg を内積(計量テンソル)とした。ここで行列式は、たとえばローレンツ多様体の接空間のようにg が正定値でない場合もあるので絶対値をとる必要がある。
このように、
( ⋆ η ) i 1 , i 2 , ... , i n − k = 1 k ! η j 1 , ... , j k | det g | ε j 1 , ... , j k , i 1 , ... , i n − k {\displaystyle (\star \eta )_{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\dotsc ,j_{k}}{\sqrt {|\det g|}}\,\varepsilon _{j_{1},\dotsc ,j_{k},i_{1},\dotsc ,i_{n-k}}}
と書く。ここに η は k の任意の反対称テンソルである。レヴィ・チヴィタテンソル同じ内積 g を使い、レヴィ・チヴィタテンソルの定義と同様に、インデックスを上げたり下げたりする(英語版)(indices are raised and lowered)。任意のテンソルを同じように表示できるが、結果は反対称である。これはテンソルの対称な成分が完全反対称レヴィ・チヴィタ記号との縮約により消去されるからである。
である。ここでは次の関係式
( e 1 e 2 ) 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − e 1 e 2 e 2 e 1 = − 1 {\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}=-1}
および、
i 2 = ( e 1 e 2 e 3 ) 2 = e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 e 3 e 1 e 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-1}
多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分(codifferential) δ を定義することである。
δ = ( − 1 ) n k + n + 1 s ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ {\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star \mathrm {d} \star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} \star }}
とする。ここに、リーマン多様体に対し、d は外微分、s = 1 とする。
d: Ω(M) → Ω(M) に対し、δ: Ω(M) → Ω(M) である。 余微分は反微分ではない。これは外微分と異なる。
余微分は外微分に随伴する、すなわち ⟨η, δζ⟩ = ⟨dη, ζ⟩ である。 ここに ζ は (k + 1)-形式であり、η は k-形式である。 これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは