構成主義 (数学)
上記のアルゴリズム的解釈を採用すると、濃度の古典的な概念と矛盾するように思われる。アルゴリズムに番号付けすることで、計算可能数が古典的に可算であることを示せる。それにもかかわらず、カントールの対角線論法から実数が非可算濃度を持つことがわかる。つまり、実数と計算可能数を同一視すると矛盾が生じる。さらに言えば、対角線論法は完全に構成的であると考えられる。
実際カントールの対角線論法は、自然数から実数への全単射を考えると、実数が関数の値域にないために矛盾が生じるという意味で、構成的に示せる。まず関数 T が自然数から実数への全射であると仮定して、関数 T を構成するアルゴリズムを番号付けする。しかし、アルゴリズムはこの制約を破ったり停止しない(T は部分関数である)可能性があり、各アルゴリズムに対して実数が対応する場合もそうでない場合もありうるため、要求された全単射は満たせない。簡潔に言えば、実数が(それぞれ)実効的に計算可能であるという立場においては、カントールの結果は実数が(全体として)再帰的に枚挙可能でないと解釈される。
それでもなお、T が自然数から実数への全射関数であるため、実数は可算個ほどもないと期待できるかもしれない。また、各自然数は自明に実数と解釈できるため、実数は可算個ほどもある。すなわち、実数はちょうど可算個であると言える。しかし、要求された全単射を構成していないため、こうした理由付けは構成的でない。このような状況で全単射の存在を証明する古典的な定理(カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理)は構成的でない。カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理は排中律を含意することが最近示されたため、それ故にこの定理の構成的証明は存在しえない。
伝統的に、数学的構成主義に対して、敵対的ではないにしても、疑念を抱く数学者も存在する。その主な理由は、構成的解析論に数学的構成主義がもたらす制限によるものである。この見地は1928年、ダフィット・ヒルベルトにより、自身の著書『Grundlagen der Mathematik』の中で以下のように強力に表現された。「数学者から排中律を取り上げることは、いわば天文学者に望遠鏡を禁止するか、ボクサーに拳を禁止するのと同じである。」
Errett Bishop は、自身の 1967年の著書 Foundations of Constructive Analysis で、構成主義的な枠組みにおいて、多くの従来的な解析学を改良することによる懸念を払拭するために働きかけた。
ほとんどの数学者が、構成的手法に基づく数学のみが健全であるという構成主義者の論文を採用しないにもかかわらず、構成的手法は特定のイデオロギーに依存しない層の興味を惹きつけ始めている。例えば、解析学の構成的な証明では、構成的手法では古典的手法を使うのより容易に理論の証拠を見つけうるという制約の中でやりくりするというやり方で、証拠の抽出(witness extraction)を保証しうる。