交換法則
初等代数学における交換法則(こうかんほうそく、英: commutative law; 可換則、交換律)は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性(commutative property; 交換性質)を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
4 + 5 = 5 + 4(両辺とも値は9である)
2 × 3 = 3 × 2(両辺とも値は6である)
しかし引き算や割り算はそうではない。
4 − 5 ≠ 5 − 4 {\displaystyle 4-5\neq 5-4}
6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6 {\displaystyle 6\div 3\neq 3\div 6}
その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。
有理数、実数、複素数の加算や乗算
行列、数ベクトルの加算
集合の共通部分や和集合
また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。
行列の乗算
3次元数ベクトルのベクトル外積
写像の合成 (例えば関数の合成など)
四元数の乗算
ただし、ベクトルの外積のように、絶対値および絶対値に相当する数を考えたときに、交換法則は成り立つものも多い。
↑ 交換性質を満たすことが定理として演繹される場合には「法則」、成り立つことが公理として要請される場合には「律」を使うことが多い。
↑ 元 x と部分集合 S との積や、部分集合 S, T の積(「積集合」(英語版))を x ∗ S := { x ∗ s ∣ s ∈ S } , S ∗ x := { s ∗ x ∣ s ∈ S } , S ∗ T = { s ∗ t ∣ s ∈ S , t ∈ T } , T ∗ S := { t ∗ s ∣ t ∈ T , s ∈ S } {\displaystyle {\begin{aligned}x*S&:=\{x*s\mid s\in S\},&S*x&:=\{s*x\mid s\in S\},\\S*T&=\{s*t\mid s\in S,t\in T\},&T*S&:=\{t*s\mid t\in T,s\in S\}\end{aligned}}} と書くならば、S, T が集合として可換であることを x ∗ y ∈ T ∗ S ∧ y ∗ x ∈ S ∗ T ( ∀ x ∈ S , y ∈ T ) {\displaystyle x*y\in T*S\land y*x\in S*T\quad (\forall x\in S,y\in T)} や S ∗ T = T ∗ S と書くことができる。元と集合の可換性 x ∗ S = S ∗ x も元ごとなのか集合としてなのかで意味が異なる。