多重根号
2 3 − 1 3 = 1 9 3 − 2 9 3 + 4 9 3 {\displaystyle {\sqrt[{\scriptstyle 3}]{{\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{\scriptstyle 3}]{\frac {4}{9}}}}
他にも、以下に挙げるような一風変わった等式が、ラマヌジャンによって発見された。
49 + 20 6 4 + 49 − 20 6 4 = 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{49+20{\sqrt {6}}}}+{\sqrt[{4}]{49-20{\sqrt {6}}}}=2{\sqrt {3}}}
( 2 + 3 ) ( 5 − 6 ) + 3 ( 2 3 + 3 2 ) 3 = 10 − 13 − 5 6 5 + 6 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(5-{\sqrt {6}})+3(2{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}})}}={\sqrt {10-{\frac {13-5{\sqrt {6}}}{5+{\sqrt {6}}}}}}}
特定の場合において、
x = 6 + 6 + 6 + 6 + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}}
のような無限多重立方根もまた同様に有理数を表す。再び、式全体がそれ自身の中に見つけられることを利用して
x = 6 + x 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}}
だけを残す。方程式を解いて x = 2 が求まる。より一般に、n > 0 に対して
n + n + n + n + ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}}
は方程式 x − x − n = 0 の実根である。特に n = 1 のとき、根はプラスチック数 ρ(約 1.3247)になる。
同じ手順で、任意の n > 0 に対して
n − n − n − n − ⋯ 3 3 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}}
の値を方程式 x + x − n = 0 の実根として得ることができる。