交代代数
アルティンの定理の述べるとおり「交代多元環の任意の二元が生成する部分多元環は結合的である」。逆に、任意の二元が生成する部分多元環が結合的となるような任意の多元環は明らかに交代的である。これにより、交代多元環において、変数を二つしか持たないような関係式は、積の結合順序を示すための括弧を省略しても意味を損なわない。アルティンの定理を「交代代数において結合的な三元 x, y, z (即ち [x, y, z] = 0) の生成する部分多元環は結合的である」と一般化することができる。
アルティンの定理の系として「交代多元環は冪結合的(英語版)である」、即ち「その任意の単項生成部分多元環は結合的である」が、逆は正しくない。例えば十六元数の全体は冪結合的だが交代的でないような多元環になる。
任意の交代代数においてムーファング恒等式(英語版)
a ( x ( a y ) ) = ( a x a ) y , {\displaystyle a(x(ay))=(axa)y,}