部分和分
数学における部分和分(ぶぶんわぶん、英: summation by parts)は、積の和分を計算あるいは評価しやすい特定の形に変形する方法の一種である。数列の定和分に関する部分和分法はニールス・アーベルに因んでアーベルの補題あるいはアーベルの級数変形法とも呼ばれる。
コーシーの判定法(英語版)を用いるために SM − SN を計算すれば、アーベルの級数変形法を適用して
S M − S N = a M B M − a N B N + ∑ n = N M − 1 B n ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle S_{M}-S_{N}=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}+\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})}
と書ける。後者の判定法においては BN の適当な上界 B を取れば
| S M − S N | ≤ | a M | B + | a N | B + B ∑ n = N M − 1 | a n + 1 − a n | → 0 ( as N → ∞ ) {\displaystyle |S_{M}-S_{N}|\leq |a_{M}|B+|a_{N}|B+B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|\to 0\quad ({\text{as }}N\to \infty )}
であるからよい。前者の場合にはさらに an の極限を a として
S M − S N = ( a M − a ) B M − ( a N − a ) B N + a ( B M − B N ) + ∑ n = N M − 1 B n ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle S_{M}-S_{N}=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})+\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})}