ルベーグの微分定理
| { x : ( f − g ) ∗ ( x ) > α } | ≤ A n α ‖ f − g ‖ L 1 < A n α ε , {\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}
と評価される。一方マルコフの不等式より
| { x : | f ( x ) − g ( x ) | > α } | ≤ 1 α ‖ f − g ‖ L 1 < 1 α ε {\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }
よって
| E α | ≤ A n + 1 α ε . {\displaystyle |E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .}
ε は任意だったので、この右辺はいくらでも小さくすることができる。これで定理が示された。