リーマン曲率テンソル
二次元曲面に対して、ビアンキ恒等式はリーマンテンソルが
R a b c d = K ( g a c g d b − g a d g c b ) {\displaystyle R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})}
の形に表せることを示している。ここで gab はこの曲面の計量テンソル、K はガウス曲率と呼ばれる函数で、a, b, c, d は 1 または 2 のいずれかの値をとる。期待の通り、このリーマン曲率テンソルは独立成分をただ一つだけ持つ。
ガウス曲率は、この曲面の断面曲率と一致し、また 2-次元多様体のスカラー曲率のちょうど半分にもなっている。同時に、この曲面のリッチ曲率テンソルは単に
Ric a b = K g a b {\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=Kg_{ab}}
として与えられる。