組合せ (数学)
二項展開の係数として数 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} を定義するものと考えれば k = n または k = 0 のとき ( n k ) = 1 {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}=1} , k > n のとき ( n k ) = 0 {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}=0} と考えるのは自然である。
実用上は個々の係数が具体的に
( n k ) = n × ( n − 1 ) × ⋯ × ( n − k + 1 ) k × ( k − 1 ) × ⋯ × 1 ( = P ( n , k ) k ! ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \dotsb \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \dotsb \times 1}}\left(={\frac {P(n,k)}{k!}}\right)}
で与えられることを利用するのが簡便である。この式の分子は k-順列(k-個のものを“並べる順番の違いを区別して”並べたもの)を作る総数を表し、分母はそれら k-個の並べ替えの総数が k! であることを表し、並びだけが異なるそれらは同じ組合せを与えるものであるから、割っているのはそれらの違いを無視することに対応している。