平坦射
平坦射ではない射の例としてはブローアップ
Bl I  X → X {\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X}
がある。簡単な例として、 C [ x , y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]} の1点でのブローアップを考える。 その1点を原点とすると、射は
C [ x , y ] → C [ x , y , s , t ] x t − y s {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}} , x ↦ x , y ↦ y {\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y}
で与えられる。点 ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b)\neq (0,0)} でのファイバーは C {\displaystyle \mathbb {C} } のコピーである。つまり
平坦射ではない簡単な例は k [ ε ] = k [ x ] / ( x 2 ) → k {\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k} である。このことを見るには
k ⊗ k [ ε ] L k {\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}
が無限複体であることを見ればよい。k の平坦分解
⋯ → ⋅ ε k [ ε ] → ⋅ ε k [ ε ] → ⋅ ε k [ ε ] → k {\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}
を取り、この分解に k をテンソルして
k ⊗ k [ ε ] L k ≃ ⨁ i = 0 ∞ k [ + i ] {\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}
であることが分かる。したがって平坦ではない。
アフィンスキームの射
Spec  ( C [ x , y , t ] x 2 + y 2 − t ) → Spec  ( C [ t ] ) {\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}
を考える。これは環の準同型
{ C [ t ] → C [ x , y , t ] x 2 + y 2 − t t ↦ t {\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t\\\end{cases}}}
から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには
Tor 1 C [ t ]  ( C [ x , y , t ] x 2 + y 2 − t , C ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right)}
を計算すればよい。
f が平坦かつ局所的に有限表示であれば、f は普遍的開写像(絶対開ともいう)である。しかし、f が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮に X と Y がともにネーターであったとしても、一般には f は開写像にならない。またこれの逆も成り立たない。f を被約スキーム Xred から X への標準的な写像とするとき、f は普遍的同相写像となるが、X が被約ではなくネーターであれば f は決して平坦にはならない。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が忠実平坦であれば次が成り立つ。
Y の位相は f についての商位相である。
f がさらに準コンパクトととし、Z を Y の部分集合とすると、Z が Y の局所的に閉な副構成可能部分集合であるための必要十分条件は f (Z) が X の局所的に閉な副構成可能部分集合であることである。
f が平坦かつ局所的に有限表示とすると、次に挙げる各性質 P に対して f が P である点の集合は開集合である。
セールの条件 Sk(固定した k に対して)
幾何学的に正則
幾何学的に正規
さらに f が固有射だったとすると、次に挙げる各性質についても同じことが成り立つ。
幾何学的に被約
幾何学的に被約かつ k 個の幾何学的連結成分を持つ(固定した k に対して)
幾何学的に整
平坦射の例は奇跡的平坦性からも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つ 滑層代数多様体(英語版)への射などがある。