積分判定法
↑ k = 1 のときの結果は、素数の逆数和が発散することの証明とも関係がある。素数の逆数和の発散(英語版)を参照。
証明は基本的に比較判定法を用いる。区間[n − 1, n) と [n, n + 1) のそれぞれで、f の積分値と項 f(n) を比較する。
f は単調非増加関数だから、
f ( x ) ≤ f ( n ) for all x ∈ [ n , ∞ ) {\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}
であり、また
f ( n ) ≤ f ( x ) for all x ∈ [ N , n ] {\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n]}
である。よって任意の整数 n ≥ N に対し
であり、任意の整数 n ≥ N + 1 に対し
である。
N からある大きな整数 M までの全ての n にわたる和をとることで、(2) から
∫ N M + 1 f ( x ) d x = ∑ n = N M ∫ n n + 1 f ( x ) d x ⏟ ≤ f ( n ) ≤ ∑ n = N M f ( n ) {\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}