昇降演算子
原子系や分子系のハミルトニアンは角運動量の内積を含む。例えば超微細構造ハミルトニアンの磁気双極子項がある
H ^ D = A ^ I ⋅ J , {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {D} }={\hat {A}}{\boldsymbol {I}}\cdot {\boldsymbol {J}},}
ここでI は核スピンである。 角運動量代数は球面基底で再計算することで単純化できる。 球面テンソル演算子の記法を用いることで、 J ≡ J の"−1"、"0"、"+1" 成分は
J − 1 ( 1 ) = 1 2 ( J x − i J y ) = J − 2 , J 0 ( 1 ) = J z , J + 1 ( 1 ) = − 1 2 ( J x + i J y ) = − J + 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}