環上の射影直線
単位元 1 を持つ単位的環 A が与えられたとき、A 上の射影直線 P(A) は斉次座標系(英語版)によって特定される点からなる。A の単元群を U とし、A × A において関係 ∼ を
(a,b) ∼ (c,d) ⇔ ua = c ∧ ub = d (∃u ∈ U)
と定めると、∼ は同値関係である。この同値類を典型的には U(a, b) と書く。このとき、P(A) は
P(A) = {U(a,b) | a と b は互いに素}
と定義される。ここに、a, b が「互いに素」とは a, b の生成するイデアルが A 全体になる (aA + bA = A) ことを言う。
射影直線 P(A) は、射影変換群 (homography group) を作用域に持つ。この各射影変換は A 上の行列環とその単元群 GL2(A) によって表される。すなわち、A の単元群 U の中心 Z(U) に属するスカラーに対応するスカラー行列の全体を Z2(U) とすれば、Z2(U) の P(A) への作用は自明であり、Z2(U) は GL2(A) の正規部分群で、P(A) 上の射影変換群は剰余群 PGL2(A) = GL2(A)/Z2(U) に同型である。