リー環の拡大
キリング形式は次で定義される g 上の対称双線型形式である:
K ( G 1 , G 2 ) = t r a c e ( a d G 1 a d G 2 ) . {\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}
ここで adG はベクトル空間 g に作用する行列と見なされる.必要な大事な性質は,g が半単純ならばカルタンの判定法(英語版)により K は非退化であるということである.そのような場合 K は g と g を同一視するのに使うことができる.λ ∈ g ならば,ある ν(λ) = Gλ ∈ g が存在して,
⟨ λ , G ⟩ = K ( G λ , G ) ∀ G ∈ g {\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}}
となる.これはリースの表現定理に似ており,証明は実質的には同じである.キリング形式は性質
K ( [ G 1 , G 2 ] , G 3 ) = K ( G 1 , [ G 2 , G 3 ] ) {\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}])}
を持ち,これは結合性と呼ばれる.gαβ = K[Gα,Gβ] と定義し中のブラケットを構造定数により展開することで,キリング形式は上の不変性条件を満たすことが分かる.
{\displaystyle U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right).}
さて次を計算する:
H s u ( 1 , 1 ) = ( 1 − i 1 i ) H ( 1 − i 1 i ) − 1 = ( 0 1 1 0 ) = U 0 , X s u ( 1 , 1 ) = ( 1 − i 1 i ) X ( 1 − i 1 i ) − 1 = 1 2 ( i − i i − i ) = 1 2 ( U 1 + U 2 ) , Y s u ( 1 , 1 ) = ( 1 − i 1 i ) Y ( 1 − i 1 i ) − 1 = 1 2 ( − i − i i i ) = 1 2 ( U 1 − U 2 ) .
である.関数 ω は,しばしば滑らかと仮定されるが,次を満たす:
ω ( g , e ) = ω ( e , g ) = 1 , ω ( g 1 , g 2 g 3 ) ω ( g 2 , g 3 ) = ω ( g 1 , g 2 ) ω ( g 1 g 2 , g 3 ) ω ( g , g − 1 ) = ω ( g − 1 , g ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\,\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\,\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}
それは G じょうの 2-コサイクルと呼ばれる.
次が成り立つ:
目的はミゲル・アンヘル・ヴィラソロ(英語版)によるヴィラソロ代数をヴィット代数 W(背景)の 2-コサイクル φ による中心拡大として構成することである.2-コサイクルのヤコビ律より次が成り立つ:
l = 0 とし η の反対称性を用いて
( m + p ) η m p = ( m − p ) η m + p , 0 {\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}}
を得る.拡大において,元 d0 に対する交換関係は
[ d 0 + μ C , d m + ν C ] φ = − m d m + η 0 m C = − m ( d m − η 0 m m C ) {\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C)}
である.右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい.このために
f : W → C ; d m → φ ( d 0 , d m ) m = η 0 m m {\displaystyle f\colon W\to \mathbb {C} ;\;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}}
と定義する.そして,f を 1-コチェインとして用いて,
2つのリー群 G, H と,H の自己同型群 Aut H を考える.後者は H の同型の群である.リー群の準同型 Φ: G → Aut H があれば,各 g ∈ G に対して,ある Φ(g) ≡ Φg ∈ Aut H が存在して,性質 Φgg' = ΦgΦg', g,g' ∈ G を持つ.E で"集合" H × G を表し,乗法を次で定義する:
このとき E は単位元 (eH, eG) を持つ群であり,逆元は (h, g) = (Φg(h), g) によって与えられる.逆元の式と式 (4) を用いて,H は E において正規であることが分かる.この半直積による群を E = H ⊗S G と書く.
逆に,E = H ⊗S G が群 E の与えられた半直積表示ならば,定義により H は E において正規であり,各 g ∈ G に対して Cg(h) ∈ Aut H, ただし Cg(h) ≡ ghg, であり,写像 Φ: g ↦ Cg は準同型である.
δ を g の導分(背景)とし,h で δ で張られる1次元リー環を表す.e = h ⊗ g 上のリーブラケットを
[ H 1 + G 1 , H 2 + G 2 ] = [ G 1 , G 2 ] + δ ( G 1 ) − δ ( G 2 ) {\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\delta (G_{1})-\delta (G_{2})}
によって定義する.ブラケットの定義から g が e のイデアルで h が e の部分環であることは明らかである.さらに,h は e において g に complementary である.i: h → e を H ↦ (H, 0) で与え,s: e → g を (H, G) ↦ G で与える.im i = ker s は明らかである.したがって e は g の h による分裂拡大である.そのような拡大は導分による拡大と呼ばれる.
}
群 SU(1, 1) と SL(2, R) は次の写像で同型である:
S U ( 1 , 1 ) = ( 1 − i 1 i ) S L ( 2 , R ) ( 1 − i 1 i ) − 1 . {\displaystyle SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}.}
同じ写像は指数写像の性質のためリー環のレベルで成り立つ.su(1, 1) の基底は次で与えられる(古典群(英語版)を参照):
U 0 = ( 0 1 1 0 ) , U 1 = ( 0 − i i 0 ) , U 2 = ( i 0 0 − i ) .
one postulates the existence of creation and annihilation operators for all particle types with certain exchange symmetries based on which statistics, Bose–Einstein or Fermi–Dirac, the particles obey, in which case the above are derived for scalar bosonic fields using mostly Lorentz invariance and the demand for the unitarity of the S-matrix. In fact, all operators on Hilbert space can be built out of creation and annihilation operators. See e.g. Weinberg (2002), chapters 2–5.
↑ This step is ambiguous, since the classical fields commute whereas the operators don't. Here it is pretended that this problem doesn't exist. In reality, it is never serious as long as one is consistent.
In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set
X I ( σ , τ ) = x 0 I + 2 α ′ α 0 I τ + i 2 α ′ ∑ n ≠ 0 1 n α n I e − i n τ cos  n σ , X + ( σ , τ ) = 2 α ′ α 0 + τ , X − ( σ , τ ) = x 0 − + 2 α ′ α 0 − τ + i 2 α ′ ∑ n ≠ 0 1 n α n − e − i n τ cos  n σ . {\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}
A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Points x in spacetime can, in the range of the parametrization, be written x = x(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X(σ, τ), X(σ, τ), X(σ, τ), X(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.
The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are