イデアル類群
イデアル類群(というよりは,実質的にイデアル類群であったもの)は,イデアルの概念が定式化されるよりも前に研究されていた.これらの群は二次形式の理論において現れた:二項整二次形式の場合には,ガウスによって最終形のようなものにされたように,形式のある同値類上に合成則が定義された.これは当時認識されていたように有限アーベル群になる.
後にクンマーは円分体の理論に向かって研究していた.1の冪根を用いた分解によってはフェルマー予想の一般の場合が完全に証明できないことはとてもよい理由のためであると(おそらく複数の人々によって)気付かれていた:つまりそれらの1の冪根によって生成された環において算術の基本定理が成り立たないことが主な障害だった.クンマーの最初の仕事から分解の障害の研究が生じた.我々は今ではこれをイデアル類群の一端と理解する:実はクンマーは,フェルマーの問題に取り組む標準的な手法の失敗の理由として,任意の素数 p に対して,1 の p&nbsp:乗根の体に対してその群における p-torsion を分離していた(正則素数を参照).
やや後になってデデキントはイデアルの概念を定式化したが, クンマーは異なる方法で研究していてこの時点で存在する例を統一できた.代数的整数の環は(単項イデアル整域とは限らないため)素元への一意分解を持たないが,すべての真のイデアルは素イデアルの積としての一意的な分解を持つ(つまりすべての代数的整数環はデデキント整域である)という性質を持つことが示された.イデアル類群の大きさは環が単項イデアル整域であることからどれだけ隔たっているかを表すものと考えられる;環が単項イデアル整域であることと自明なイデアル類群を持つことは同値である.
するとノルム N(x) は N(2) = 4 と N(1 + √−5) = 6 をともに割り切るので,N(x) は 2 を割り切る.N(x) = 1 ならば x は単数なので,J = R となって矛盾する.しかし N(x) は 2 でもない,なぜならば R はノルム 2 の元を持たないからである,なぜならばディオファントス方程式 b + 5 c = 2 は 5 を法として解を持たないから整数解を持たないからである.
また,J = (2) で単項イデアルになることも計算でき,したがってイデアル類群における J の類の位数は 2 である.他のイデアル類が存在しないことを示すにはより労力が必要である.
この J が単項でないという事実は,元 6 が2つの相異なる既約元分解
6 = 2 × 3 = (1 + √−5) × (1 − √−5)
を持つこととも関係する.
二次の整数(英語版)環 R = Z [√−5] は Q(√−5) の整数環である.それは一意分解整域ではない;実は R の類群は位数 2 の巡回群である.実際,イデアル
J = (2, 1 + √−5)
は単項イデアルではないことが,背理法によって以下のように証明できる.R はノルム関数 N(a + b√−5) = a + 5 b を持ち,これは N(uv) = N(u)N(v) を満たす.そうしてN(u) = 1 であることと u が R の単数であることは同値である.まずはじめに,J ≠ R である,なぜならば,R をイデアル (1 + √−5) で割った環は,Z/6Z に同型であり,したがって R を J で割った環は Z/2Z に同型であるからである.もし J が R の元 x によって生成されたとすると,x は 2 と 1 + √−5 をともに割り切る.