余因子行列
e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ j ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ( − 1 ) i − 1 ( det A j i ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}
これは次に等しくなる:
∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j ( det A j i ) φ e j {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{{\boldsymbol {e}}_{j}}}
φ {\displaystyle \phi } の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる:
e i ↦ ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j ( det A j i ) e j {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\mapsto \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{j}}
故に、その表現行列は A の余因子行列である。
R の基底元 ei を固定する。ei の φ {\displaystyle \phi } による像は、 ∧ n − 1 R n {\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}} の基底ベクトルの移る先を決定する:
φ e i ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n ) = { ( − 1 ) i − 1 e 1 ∧ ⋯ ∧ e n , if k = i , 0 otherwise. {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
この基底で、T の (n − 1)次外冪 ( ∧ n − 1 T ) ∗ {\displaystyle (\wedge ^{n-1}T)^{*}} は次のように表せる: