接続 (微分幾何学)
を対応させるテンソル場とみなせる。
さらにKoszul接続の曲率形式を以下のように定義する:
定義 ― UをMの開集合とし、 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} をUにおけるフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の切断とする。このとき、曲率テンソルを
R ( X , Y ) e j = Ω ^ i j ( X , Y ) e i {\displaystyle R(X,Y)e_{j}={\hat {\Omega }}^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}}
と成分表示し、 Ω ^ e := ( Ω ^ i j ) {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}:=({\hat {\Omega }}^{i}{}_{j})} とすると、Ωeは一般線形群のリー代数 g l n ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )} に値を取る2-形式とみなせる。 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} をeに関するKoszul接続∇の曲率形式(英: curvature form)という。
定義 (接続) ― ファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の(C級の)接続(英: connection) { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} とは、Eの各点eにおけるTeMの部分空間 H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} の族でeに関してC級であり、以下の性質を満たすものである:
T e E = V e ⊕ H e {\displaystyle T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}}
H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} をeにおける水平部分空間(英: horizontal subspace)という。
ファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続(英: connection) { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が与えられているとき、Eの接ベクトル空間は T e E = V e ⊕ H e {\displaystyle T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}} と分解できた。そこで
V e : T e E → V e {\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}} 、 H e : T e E → H e {\displaystyle H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}}
をそれぞれ垂直部分空間、水平部分空間への射影とする。曲率概念はこのVe、Heを使って定義する:
定義 (ファイバーバンドルの曲率形式) ― E上のベクトル場ξ、ηに対し、
Ω ( ξ , η ) := − V ( [ H ( ξ ) , H ( η ) ] ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta ):=-V([H(\xi ),H(\eta )])}
を、eをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しとし、 ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} を ω ^ = ( ω ^ i j ) i , j {\displaystyle {\hat {\omega }}=({\hat {\omega }}^{i}{}_{j})_{i,j}} と成分表示する。
定理・定理 ― 記号を上述のように取る。Eの切断sとM上のベクトル場Xに対し、
∇ X s := X ( s j ) e j + s j ω ^ i j ( X ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s:=X(s^{j})e_{j}+s^{j}{\hat {\omega }}^{i}{}_{j}(X)e_{i}}
と微分演算子∇を定義すると、∇は局所的な基底 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} の取り方によらずwell-definedで、しかも∇はKoszul接続の公理を満たす。∇を ω {\displaystyle \omega } から誘導される接続という。
本節では接続形式の章で述べたアイデアに基づいて、ベクトルバンドルの接続(Koszul接続)と主バンドルの接続(主接続)の関係を述べる。
接続形式の章で見た S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} のケースだけでなく G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群Gに対して両者の関係性を示すため、本章ではまず「G-フレーム」、および「G-フレームバンドル(英語版)」という概念を導入する。「G-フレーム」はGが S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} の場合は正規直交基底に相当するものであり、G-フレームバンドルはG-フレームを束ねてできるバンドルであり、自然にG-主バンドルとみなせる。
次に本章ではEのフレームバンドル上の接続からEのKoszul接続が定まる事を見る。そして構造群Gを持つベクトルバンドルの接続がGと「両立する」事を定義し、最後にG-フレームバンドルの接続の接続形式とベクトルバンドルのGと両立する接続の接続形式が1対1の関係にある事を見る。
任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ( R g ) ∗ ω p = ( A d g − 1 ) ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}}
ここで ( R g ) ∗ {\displaystyle (R_{g})_{*}} は g ∈ G {\displaystyle g\in G} のPへの右からの作用 R g : p ∈ P → p g ∈ P {\displaystyle R_{g}~:~p\in P\to pg\in P} がTPに誘導する写像であり、Adは随伴表現(英: adjoint representation)
A d ( g ) : d h d t ( 0 ) ∈ g ↦ d d t g h ( t ) g − 1 | t = 0 ∈ g {\displaystyle \mathrm {Ad} (g)~:~{\tfrac {dh}{dt}}(0)\in {\mathfrak {g}}\mapsto \left.{\tfrac {d}{dt}}gh(t)g^{-1}\right|_{t=0}\in {\mathfrak {g}}}
である。
主バンドルとしての接続から前述の方法でPの接続形式が定まり、逆に接続形式ωが0になる方向を水平方向とすることでPに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。
Gを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群とする。構造群Gを持つベクトルバンドルの接続(Koszul接続)がGと両立する事を以下のように定義する。直観的には平行移動がGの元で書ける事を意味する:
定義 (構造群と両立するKoszul接続) ― Mを連結な多様体とし、Gを G L n ( R n ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ^{n})} の閉部分リー群とし、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を構造群Gを持つベクトルバンドルとし、∇を E → M {\displaystyle E\to M} のKoszul接続とする。このとき、∇がGと両立する(英: G-compatible)とは、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の任意の局所自明化
φ : π − 1 ( U ) → ~ V × R n {\displaystyle \varphi ~:~\pi ^{-1}(U){\tilde {\to }}V\times \mathbb {R} ^{n}} where U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} open、 V ⊂ R m {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}} open
に対し、U内の任意の曲線 u ( t ) {\displaystyle u(t)} に沿った平行移動 E u ( 0 ) → E u ( 1 ) {\displaystyle E_{u(0)}\to E_{u(1)}} がGに属する線形変換である事を言う。