アペリーの定理
ξ5 が存在し、かつ次数が高々 25 の代数的数であれば、その最小多項式の係数は巨大、少なくとも 10 でなければならない。そのため、アペリーの証明を拡張して大きい奇数のゼータ定数に取り組むことはうまくいきそうにない。
それにも関わらず、この領域を研究する多くの数学者は近いうちにブレイクスルーがくることを予期している。実際、ヴァディム・ズディリン(英語版)とTanguy Rivoalによる最近の研究は ζ(2n+1) のうち無限個は無理数でなければならないことを示しており、ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) のうち少なくとも1つは無理数でなければならないことまでも示している。彼らの研究はゼータ関数の値に線型形式を用いており、それらを評価して奇数におけるゼータ関数の値によって張られるベクトル空間の次元をおさえる。Zudilin が彼のリストをさらに短くして1つだけの数にするという望みは実現しなかったが、この問題に関する研究はなお活発に行われている。Higher zeta constants は物理への応用がある: 量子スピン鎖(英語版)の相関関数を記述するのである。例えば文献を参照。