パンルヴェ方程式
ベックルント変換(英語版)は独立変数・従属変数を変換して、微分方程式を相似な微分方程式に変換するものだが、パンルヴェ方程式は何れもベックルント変換からなる離散群の作用を持ち、ベックルント変換によりパンルヴェ方程式の既知の解から別の新しい解を得ることができる。
d 2 y d t 2 = ( 1 2 y + 1 y − 1 ) ( d y d t ) 2 − 1 t d y d t + ( y − 1 ) 2 t ( α y + β y ) + γ y t + δ y ( y + 1 ) y − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma \,{\frac {y}{t}}+\delta \,{\frac {y(y+1)}{y-1}}\end{aligned}}}