冪級数
任意の多項式は任意の中心 c のまわりの冪級数として容易に表すことができる。ただし係数のほとんどは 0 になる。冪級数は定義により無限個の項を持つからである。例えば、多項式 f(x) = x + 2x + 3 は中心 c = 0 のまわりの冪級数として
f ( x ) = 3 + 2 x + 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + ⋯ {\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }
と書くことができ、また中心 c = 1 のまわりでは
f ( x ) = 6 + 4 ( x − 1 ) + 1 ( x − 1 ) 2 {\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}} + 0 ( x − 1 ) 3 + 0 ( x − 1 ) 4 + ⋯ {\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}
と書け、他の任意の中心 c のまわりの冪級数としても書ける。冪級数を「無限次の多項式」のようなものとみなすことができる。冪級数は多項式ではないが。
幾何級数の公式
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
は、|x| < 1 に対して有効であるが、冪級数の最も重要な例の1つであり、任意の実数 x に対して有効な指数関数の公式
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 !
2つの関数 f と g が同じ中心 c のまわりの冪級数で書かれているとき、それらの関数の和や差の冪級数は項ごとの加法と減法によって得られる。つまり、
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}
g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n {\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}
であるとき、
f ( x ) ± g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) ( x − c ) n {\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}}
である。