PSL(2, 7)
PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。1列目には7−1 = 48通りの組み合わせが存在する。2列目には7−7 = 42通りの組み合わせが存在する。ここで行列式が1のものを取り出すために7−1 = 6で割り、Iと-Iを同一視するので2で割る。すると (48×42)/(6×2) = 168が得られる。
一般にPSLn(q)は n, q ≥ 2 (qは素数の冪)のとき、 (n, q) = (2, 2), (2, 3)という例外を除いて単純群となる。 PSL2(2)は対称群S3に同型であり、PSL2(3)は交代群A4に同型である。PSL2(7)は交代群A5に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
PSL2(7)は6個の共役類および非同型な既約表現をもつ。各共役類の大きさは1, 21, 42, 56, 24, 24であり、各既約表現の次元は1, 3, 3, 6, 7, 8である。
指標表
以下の群はすべて同型である。
PSL2(7)
GL3(2)F2においてGL, SL, PGL, PSLの区別はないので、ただちに次の同型もわかる。 SL3(2) PGL3(2) PSL3(2)
クラインの平面4次曲線の自己同型群
ファノ平面の対称性の群