フォン・ノイマン正則環
R は x ∈ R の「弱逆元」(xyx=x かつ yxy=y であるような唯一の元 y)をとる操作で閉じている体の直積の部分環である。
また、以下も同値である。可換環 A に対して、
R = A / nil(A) はフォン・ノイマン正則である。
R のスペクトルは(ザリスキ位相で)ハウスドルフである。
Spec(A) に対して 可設位相(英語版) とザリスキ位相は一致する。
すべての半単純環はフォン・ノイマン正則であり、左(または右)ネーター的フォン・ノイマン正則環は半単純である。すべてのフォン・ノイマン正則環はジャコブソン根基が {0} であり、したがって半原始環("ジャコブソン半単純"(Jacobson semi-simple) とも呼ばれる。)である。
上の例を一般化して、S を環として M を S-加群であって M のすべての部分加群が M の直和成分であるようなものとする(そのような加群 M は半単純加群と呼ばれる)。すると自己準同型環 EndS(M) はフォン・ノイマン正則である。とくに、すべての半単純環はフォン・ノイマン正則である。