行階段形
ゼロでない成分を持つ行(少なくとも一つの成分がゼロでない行)が、ゼロしか成分に持たない行よりも上に位置している(ゼロ成分だけからなる行が存在するならば、それらは行列の最下部に配置される)。
主成分(行の最も左にあるゼロでない成分。ピボット(英語版)とも呼ばれる)が、その行の上にある行の主成分よりも、真に右側に位置する。(主成分は必ず 1 でなければならないとされている教科書もある)
上記の二つの条件から、ある列の主成分より下の成分がすべてゼロであることがわかる。
3×5 行列の行階段形の一例を、以下に示す:
[ 1 a 0 a 1 a 2 a 3 0 0 2 a 4 a 5 0 0 0 1 a 6 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}
行列が行簡約階段形(Reduced row echelon form : 行標準形とも呼ばれる)であるとは、以下に述べる条件を満たすことを言う。ある行列の行簡約階段形は、ガウスの消去法によって算出することが出来る。しかし、行階段形とは異なり、行簡約階段形は一意で、その算出方法に依存するものではない。
ゼロでない成分を持つ行は全て、ゼロしか成分に持たない行の上に位置する。
主成分は常に、その上の行の主成分よりも真に右側に位置する。
全ての主成分は 1 であり、その主成分を含む列の中で唯一つのゼロでない成分である。
行簡約階段形である行列は、行階段形についての全ての条件を満たし、さらに制限されている。
行簡約階段形である行列の例を、次に挙げる:
[ 1 0 0 0 b 1 0 1 0 0 b 2 0 0 0 1 b 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&b_{1}\\0&1&0&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}