概型
一般にFACと呼ばれるこの論文の中でセールは(アンリ・カルタンの)局所環付き空間という概念を用いて任意標数の代数閉体上の代数多様体を定義する。局所環付き空間を使うというアイデアはスキーム論に受け継がれる。序文によれば、この論文の目的はコホモロジー論の抽象代数幾何学における有用性を示すことにあった。ヴェイユ予想への言及も見られる。この頃には、セールとグロタンディークはヴェイユ予想の証明に使えるコホモロジー論が存在することを、どのように定義すればよいかまでは分からないものの、確信していた。
同年、シュヴァレーはカルタン・セミナーで「スキーム」(Les schémas)と題した発表をする。スキームの言葉はここに現れている。 この発表では、K を体(代数閉体とは仮定していない)、L を K 上有限生成な体として、包含関係 K ⊂ A ⊂ L にある環 A に対してその素イデアルによる局所化すべての集合をアフィン・スキームと呼んでいる。この集合は A の素イデアルすべての集合と自然な全単射があるので、シュヴァレーは体上の整域の(現代の意味での)アフィン・スキームを考察していたといえる。
1956年、永田はデデキント整域上の代数幾何学の基礎について論文を発表する。この論文の導入部で永田はシュヴァレーに対して謝辞を述べている。シュヴァレーは1954年1月に京都大学で講義を行い、永田はここから多くのアイデアを得たという。またこの論文の執筆に対しても多くの助言があったという。
同年、ピエール・カルティエはシュヴァレー・セミナーで「代数多様体の定義」(Définition des variétés algébriques)と題した発表をする。この発表では、体 k 上の有限生成代数 A と代数閉体 K に対して A から K への k 上の準同型全体を ΩA と書いて A のスペクトルと呼んでいる。スペクトルという言葉はここに現れている。K が k 上の代数的閉包ならこれ(をガロア群の作用で割ったもの)は極大イデアル全体の集合であり、K の k 上の超越次数が無限ならばこれ(をガロア群 の作用で割ったもの)は素イデアル全体の集合である。
発表の冒頭でカルティエは「次の発表でシュヴァレー・永田のスキーム理論と関係付ける」と言い、次に「代数多様体のスキーム」と題した発表をしている。この発表の中でカルティエは、シュヴァレーのアフィン・スキームの定義において L に対する条件を体から半単純代数に弱めたものをアフィン・スキームと定義し、それを S(A) という記号で書いている。カルティエが定義したアフィン・スキームも、やはり体上の幾何学的対象である。
同年、セールに送った手紙の中でグロタンディークは代数的整数環のアフィン・スペクトルについて言及している。
1958年、グロタンディークは国際数学者会議で抽象代数多様体のコホモロジー論について講演する(論文の発表は1960年)。
スキームの圏は有限の積を持っているが、注意して扱わねばならない。(X, OX) と (Y, OY) の積スキームの基礎となる位相空間は、位相空間 X と Y の積にいつも等しいとは言えない。実際、積スキームの基礎となる位相空間は、位相空間の積よりも多くの点を持っている。例えば、K を 9つの元からなる体とすると、Spec K × Spec K ≈ Spec (K ⊗Z K) ≈ Spec (K ⊗Z/3Z K) ≈ Spec (K × K) であり、K はたった一つの要素しか持っていないが、Spec K × Spec K は 2つの要素を持っている。
スキーム S {\displaystyle S} に対し、 S {\displaystyle S} 上のスキームの圏もファイバー積の構造を持ち、ファイバー積は終対象 S {\displaystyle S} を持つので、このことから有限な極限を持つ。