平面波
y を固定して(定数として)考えると、F (x, y ) は、x についての一変数関数である。この関数を fy(x) と書くことにする。即ち、
f y ( x ) = F ( x , y ) {\displaystyle f_{y}(x)=F(x,y)}
とする。fy(x) は周期1の周期関数である。従ってfy(x) が [0,1] 閉区間で L 関数であれば、fy(x) を 1変数関数の意味でフーリエ級数展開することが可能である。
具体的には cn を、
c n = ∫ 0 1 f y ( x ) exp  ( 2 π i n x ) d x {\displaystyle c_{n}=\int _{0}^{1}f_{y}(x)\exp(2\pi inx)\,\mathrm {d} x}
とすると、
f y ( x ) = ∑ n ∈ Z c n exp  ( 2 π i n x ) {\displaystyle f_{y}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\exp(2\pi inx)} (3-1)
のように級数展開可能である。
さらに、ユニットセルの概念を定義する。T1 , ... , Td を d 次元実数ベクトル空間 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} の基底とする。このとき、
V ( T 1 , ⋯ , T d ) = { x 1 T 1 + ⋯ + x d T d | 0 ≤ x 1 ≤ 1 ⋮ 0 ≤ x d ≤ 1 } {\displaystyle V({\boldsymbol {T}}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {T}}_{d})=\left\{\left.{x}_{1}{\boldsymbol {T}}_{1}+\cdots +{x}_{d}{\boldsymbol {T}}_{d}\left|{\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{d}\leq 1\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.}
を、T1 , ... , Td が張るd 次元平行六面体、あるいはユニットセルという。
特に、d 重周期関数 F に対し、T の列ベクトル全て、即ち T1 , ...