自由アーベル群
と基底元に対応する函数の有限線型結合として一意的に表されるから、したがってこれらの元 ex は Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} の基底をなし、 Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} は自由アーベル群である。この方法で、任意の集合 B を自由アーベル群の基底にすることができる。
基底 B をもった自由アーベル群は同型を除いて一意であり、その元は B の元の形式和 (formal sum) と呼ばれる。それらはまた B の有限個の元の符号付き多重集合と解釈することもできる。例えば、代数的位相幾何学において、鎖(英語版)は単体の形式和であり、鎖群は元が鎖であるような自由アーベル群である。代数幾何学において、リーマン面の因子(有理型関数の零点と極の組み合わせの記述)は不可算自由アーベル群をなし、それは面の点の形式和からなる。