微分作用素
同じことではあるが、線型微分作用素の純代数的な記述は、次のようになる。R-線型写像 P は、任意の k + 1 個の滑らかな函数 f 0 , ... , f k ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)} に対して
[ f k , [ f k − 1 , [ ⋯ [ f 0 , P ] ⋯ ] ] = 0 {\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0}
が成り立つときに、k-次線型微分作用素である。ここに、括弧積 [ f , P ] : Γ ( E ) → Γ ( F ) {\displaystyle [f,P]\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)} は、交換子
[ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) {\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)}
として定義される。この線型微分作用素の特徴付けは、線型微分作用素が可換代数上の加群の間の特別な写像であり、この概念を可換環論の一部と見なせることを示している。
ストゥルム・リウヴィル作用素は、よく知られた形式自己随伴作用素である。この 2階の線型微分作用素 L は次の形で書くことができる。
L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ′′ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ′′ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . {\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}
この性質は、上の形式随伴の定義を使い証明することができる。