安定性理論
数学の分野における安定性理論(あんていせいりろん、英: stability theory)とは、初期条件にわずかな摂動が与えられた際の微分方程式の解の安定性や力学系の軌道の安定性に関する理論である。例えば、熱方程式は、最大値原理によって、初期データのわずかな摂動によるのちの温度変化がわずかであるという意味で、安定な偏微分方程式(stable partial differential equation)である。より一般的に、仮定にわずかな変化が加えられたときに、結論に現れる変化がわずかであるような定理は安定(stable)であると言われる。ここで、定理が安定であると主張する際には、その摂動の大きさを測るために用いる計量(metric)を特定しなければならない。偏微分方程式論においては、関数の間の距離を測るためにLpノルムや上限ノルムを用いることもあるであろうし、微分幾何学においては、空間の間の距離を測るためにグロモフ・ハウスドルフ距離を用いることもあるであろう。
力学系において、任意の点からの前方軌道(forward orbit)が、十分小さい近傍に含まれているか、(より大きい場合もあるが)小さな近傍にとどまり続ける場合、その軌道はリャプノフ安定であると言われる。軌道の安定性あるいは不安定性が示されるために、様々な基準が考案されている。好ましい状況においては、問題はよく研究されている行列の固有値問題へと帰着されることもある。より一般的な研究においてはリャプノフ関数が利用される。