畳み込み
局所コンパクトアーベル群上で, ある種の畳み込み定理(英語版) (畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の点ごとの積に一致する) が成立する.
円周群 T にルベーグ測度を考えたものはよく知られた循環畳み込みの場合の例を与える: g ∈ L(T) を固定して, ヒルベルト空間 L(T) に作用するよく知られた作用素:
T f ( x ) = 1 2 π ∫ T f ( y ) g ( x − y ) d y {\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy}
がとれる. 作用素 T はコンパクト作用素である. 直接計算により, その随伴作用素 T* は g(−y) による畳み込みであることが示せる. 上で掲げた可換性により, T は正規作用素 (T*T = TT* である. また T は平行移動作用素とも可換である. そのような畳み込み作用素と平行移動作用素全体の成す作用素族を S とすれば, S は正規作用素からなる可換族である.