異時点間CAPM
投資家の数が一人に集約できる代表的個人モデルを考える。また状態変数は一つしか存在しないとする。この時、最適な投資比率は
W w = − V W V W W σ P P − 1 ( α − r ) − σ P P − 1 σ P X V W X V W W {\displaystyle Ww=-{\frac {V_{W}}{V_{WW}}}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)-\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}{\frac {V_{WX}}{V_{WW}}}}
で表される。よって
α − r = γ t σ P P w − V W X V W σ P X {\displaystyle \alpha -r=\gamma _{t}\sigma _{PP}w-{\frac {V_{WX}}{V_{W}}}\sigma _{PX}}
となる。ただし、 γ t = − V W W W V W {\displaystyle \gamma _{t}=-{\frac {V_{WW}W}{V_{W}}}} である。
ICAPMはCAPMの発展形の一つである。大きなCAPMとの違いは投資家が動学的に効用最大化を行い、また金融資産収益率の分布パラメーターも時間によって変わるということである。静学的なモデルであったCAPMを動学的に拡張したものがICAPMである。ICAPMは同時期に登場した裁定価格理論と共にマルチファクターモデルの理論的基礎として見なされるようになった。ICAPMの最も著名な応用例の一つがファーマ=フレンチの3ファクターモデルである。ユージン・ファーマとケネス・フレンチ(英語版)は当該論文中でファーマ=フレンチの3ファクターモデルにおける追加ファクター、時価総額ファクターと簿価時価比率ファクターはICAPMにおける状態変数模倣ポートフォリオと見なせると述べている。
ただし、 σ M X {\displaystyle \sigma _{MX}} は市場ポートフォリオと状態変数の共分散ベクトルである。よって M A = α M − r σ M M + σ M X σ M M H A {\displaystyle {\frac {M}{A}}={\frac {\alpha _{M}-r}{\sigma _{MM}}}+{\frac {\sigma _{MX}}{\sigma _{MM}}}{\frac {H}{A}}} となる。これを α − r {\displaystyle \alpha -r} に代入すると、
α − r = σ P M σ M M ( α M − r ) + 1 σ M M ( σ P M σ M X − σ M M σ P X ) H A {\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{MX}-\sigma _{MM}\sigma _{PX}{\Big )}{\frac {H}{A}}}
となる。右辺第二項をヘッジ項と見なせば、以下が成り立つ。
α i − r = σ i , M σ M M ( α M − r ) + H e d g e i {\displaystyle \alpha _{i}-r={\frac {\sigma _{i,M}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+Hedge_{i}}