ウェアリングの問題
2 k { ( 3 / 2 ) k } + [ ( 3 / 2 ) k ] ≤ 2 k {\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+[(3/2)^{k}]\leq 2^{k}} のとき、 g ( k ) = 2 k + [ ( 3 / 2 ) k ] − 2 {\displaystyle g(k)=2^{k}+[(3/2)^{k}]-2} 2 k { ( 3 / 2 ) k } + [ ( 3 / 2 ) k ] > 2 k {\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+[(3/2)^{k}]>2^{k}} かつ [ ( 4 / 3 ) k ] [ ( 3 / 2 ) k ] + [ ( 4 / 3 ) k ] + [ ( 3 / 2 ) k ] = 2 k {\displaystyle [(4/3)^{k}][(3/2)^{k}]+[(4/3)^{k}]+[(3/2)^{k}]=2^{k}} のとき、 g ( k ) = 2 k + [ ( 3 / 2 ) k ] + [ ( 4 / 3 ) k ] − 2 {\displaystyle g(k)=2^{k}+[(3/2)^{k}]+[(4/3)^{k}]-2} 2 k { ( 3 / 2 ) k } + [ ( 3 / 2 ) k ] > 2 k {\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+[(3/2)^{k}]>2^{k}} かつ [ ( 4 / 3 ) k ] [ ( 3 / 2 ) k ] + [ ( 4 / 3 ) k ] + [ ( 3 / 2 ) k ] > 2 k {\displaystyle [(4/3)^{k}][(3/2)^{k}]+[(4/3)^{k}]+[(3/2)^{k}]>2^{k}} のとき、 g ( k ) = 2 k + [ ( 3 / 2 ) k ] + [ ( 4 / 3 ) k ] − 3 {\displaystyle g(k)=2^{k}+[(3/2)^{k}]+[(4/3)^{k}]-3}
↑ ウェアリングは1770年に著書 Meditationes Algebraicae において "Omnis integer numerus vel est cubes vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus, est eliam quadrato-quadratus vel e duobos, tribus &c. usque ad novemdecim compositus &sic deinceps."(「全ての整数は立方数であるか2, 3, 4, 5, 6, 7, 8または9個の立方数の和であり、平方数の平方であるか又は高々19個のそのような数の和であり、等々」)と述べている。
↑ ヴォーン(Vaughan)は、1985年から1989年の間に 14 個をさらに進めて 13 個、12 個とできることを示した(G(k) について言及しているわけではなく、1, 2, ..., 14 (mod 16) に合同な十分大きな数についてであることに注意)。
↑ リンニクは、加法的整数論に関してシュニレルマンによる密度の方法を用いた。