数え上げ幾何学
次元の数え上げとベズーの定理のナイーブな適用は、誤った結果を導く。このことを次の例で示す。これらの問題の対応として、代数幾何学者たちは曖昧な『ファッジ因子』(ぼんやりとした柔らかい因子とでも訳すべきか)を導入したが、この厳密な評価は何十年か後となってしまった。
例として、射影平面にある5本の直線が与えられたとき、この5本の直線に接する円錐曲線の数を数え上げることを考える。 もし点が一般の位置にあるのであれば、線形条件を通して、円錐が次元 5 の射影空間からなり、6つの係数を同次座標として持ち、5点が円錐を決定(英語版)する。同様にして、与えられた直線 L に接する(接するとは、多重度 2 の交叉数を持つことを意味する)ことは、二次式の条件であるから、P の中の二次超曲面(英語版)(quadric)を決定する。しかし、すべての 2次超曲面からなる因子の線形系(英語版)は、基本軌跡(英語版)(base locus)を持たない。実際、そのような各々の 2次超曲面はヴェロネーゼ曲面(英語版)(Veronese surface)を含んでいる。