接続 (主束)
G-主束 P と G の線形表現 W が与えられたとき、それらによって誘導される M 上のベクトル束 P ×G W を考えることができる。さらに、P の接続形式 ω が与えられれば、このベクトル束上の共変微分が
∇ X ω σ = X ~ σ {\displaystyle \nabla _{X}^{\omega }\sigma ={\tilde {X}}\sigma }
によって定まる。ただし、ここでは P ×G W の切断 σ を P から W への G-同変な関数と同一視し、ω により定まる M のベクトル場 X の P への持ち上げ X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} を作用させている。この共変微分は、垂直方向の接ベクトルに対して消えている作用素 dσ + ω Λ σ と表すこともできる。
より一般的に、式 dα + ω Λ α は P 上に定められた W を係数とする G-同変基本微分形式 α に対する作用素と考えることができる。こうして、P ×G W を係数とする M 上の微分形式に関する外微分が定められる。