バーンサイドの定理
複素数 ζ := χ(g)/n は代数的整数だから、そのノルム N(ζ) ( ζ の Q上の最小多項式の根全体(共役数)を掛け合わせたもの)は0でない有理整数になる。
ζ およびその共役数はいずれも1の冪根(ρ(g) の固有値)の算術平均なので、絶対値は1以下である。一方それらの積 N(ζ) は1以上だから、絶対値はちょうど1でなければならない。
特に ζ の絶対値は1であり、これは ρ(g) の固有値が全て等しいことを意味する。よって ρ(g) の対角化を考えると、 ρ(g) 自身が単位行列の複素数倍であることがわかる。