ゴレイ符号
ゴレイ符号(英: Golay code)は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者マルセル・J・E・ゴレイ(英語版)。
数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 V=F2 の12次部分空間 W からなり、W の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に W の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。
W 上に分布するゼロでない座標の集合 w が符号語の集合である。拡張2元ゴレイ符号では、全ての符号語のハミング重みは、0, 8, 12, 16, 24 のいずれかである。
座標の再ラベル付けまで、W は一意である。
完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。
完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 M 23 {\displaystyle M_{23}} である。拡張2元ゴレイ符号の自己同型群はマシュー群 M 24 {\displaystyle M_{24}} である。他のマシュー群は、W の1つ以上の元の不変部分群として得られる。
ハミング重み 8 のゴレイ符号の符号語は、シュタイナー系 S(5,8,24) の元である。
3元ゴレイ符号(英: Ternary Golay code)には、相互に関連する2種類の誤り訂正符号が存在する。通常3元ゴレイ符号と言えば、完全 (11, 6, 5) 3元線型符号を指す。拡張3元ゴレイ符号(extended-)は (12, 6, 6) 線型符号であり、(11, 6, 5) の符号にゼロサムのチェックディジットを追加したものである。
拡張3元ゴレイ符号の重み多項式は次の通り。
x 12 + y 12 + z 12 + 22 ( x 6 y 6 + y 6 z 6 + z 6 x 6 ) + 220 ( x 6 y 3 z 3 + y 6 z 3 x 3 + z 6 x 3 y 3 ) {\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6})+220(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3})}
完全3元ゴレイ符号は、有限体 F3 上の長さ11の平方剰余符号として構築できる。
拡張3元ゴレイ符号の自己同型群は 2.M12 であり、M12 はマシュー群である。
拡張3元ゴレイ符号は、体 F3 上の12次アダマール行列の行のスパンから構築可能である。
ゼロでない6つの桁を持つ拡張3元ゴレイ符号の全ての符号語を考えたとき、そのゼロでない桁の位置の集合は、シュタイナー系 S(5, 6, 12) から得られる。