ラグランジュの定理 (群論)
{\displaystyle {\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\cdots ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\cdots ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\cdots ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\cdots ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\cdots ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\cdots ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}}
ラグランジュの定理は群 G における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。 以下では、H が群 G の部分群であるとき、H ≤ G または G ≥ H と表し、H が群 G の部分群であり、かつ K が群 H の部分群であるとき、K ≤ H ≤ G または G ≥ H ≥ K と表す。
ラグランジュの定理の拡張 ― G ≥ H ≥ K ⟹ [ G : K ] = [ G : H ] [ H : K ] . {\displaystyle G\geq H\geq K\Longrightarrow [G:K]=[G:H]\,[H:K].}
証明 — 有限群 G が部分群 H によって以下のように類別されているとする:
G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a m H . {\displaystyle G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{m}H.}
このとき、部分群 H の G における指数は [ G : H ] = m {\displaystyle [G:H]=m} になる。
有限群 H が部分群 K によって以下のように類別されているとする: