抽象添字記法
抽象添字記法(ちゅうしょうそえじきほう、abstract index notation)は、固有の基底の成分というよりも、タイプを表す添字を使ったテンソルやスピノルの数学的な記法である。添字は、数値を固定した基底に対して表すものではなく、占める位置を明確に示す記法となっている。この記法は、リッチの解析(英語版)(Ricci calculus)と混乱することはない。この記法はロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)により導入され、アインシュタインの縮約記法の形式的側面を扱う方法である。現代的な抽象的なテンソル記法では、この方法により、テンソル縮約(tensor contraction)や共変微分の難しさを補い、表現の意味している共変性を明確に保つことができる。
V をベクトル空間、V をその双対とする。ランク 2 の共変テンソル h ∈ V ∗ ⊗ V ∗ {\displaystyle \scriptstyle h\in V^{*}\otimes V^{*}} を考えると、h は V 上の双線型形式と同一視することができる。
一般に、共変ひとつと反変ひとつの要素が空間内で発生したときは、常に、付帯する縮約(あるいは、トレース)写像が存在する。たとえば、
T r 12 : V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ {\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}
は、テンソル積の先頭の 2つの空間上のトレースである。
T r 15 : V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V {\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}