ローレンツ群
ここで、一般性を失うことなく Im(α) = 0 とする。この変換を実パラメータ α で微分し、α = 0 で評価することにより、次の対応するベクトル場(一次線形微分作用素)が生成される。
x ( ∂ t + ∂ z ) + ( t − z ) ∂ x {\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}}
これを関数 f(t, x, y, z) に適用し、不変であること、つまりこの変換により消滅することを要請すると、その結果得られる一次線形偏微分方程式は次の形式で表現できる。
f ( t , x , y , z ) = F ( y , t − z , t 2 − x 2 − z 2 ) {\displaystyle f(t,x,y,z)=F(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2})}
ここで F は「任意の」滑らかな関数である。F の引数は、この放物型変換により世界点がどのように移動するかを記述する三つの「回転不変量」で、これらは不変に保たれる。
y = c 1 , t − z = c 2 , t 2 − x 2 − z 2 = c 3 {\displaystyle y=c_{1},\quad t-z=c_{2},\quad t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}}
これらの右辺の定数に実数値を選ぶことにより三つの条件が得られ、それがミンコフスキー時空上の曲線を指定する。
なぜなら、回転が時間的ベクトルを保存したりブーストが空間的ベクトルを保存するのと同様に、ヌルベクトルが保存されるからである。この型のローレンツ変換は恒等変換以外の四種類のローレンツ変換(楕円型、双曲型、斜航型、放物型)の中でも最もなじみのないなので、放物型ローレンツ変換の例がどのような影響をミンコフスキー時空上に与えるのかをここで例示する。
上の行列は次の変換を与える。
[ t x y z ] → [ t x y z ] + Re  ( α ) [ x t − z 0 x ] + Im  ( α ) [ y 0 z − t y ] + | α | 2 2 [ t − z 0 0 t − z ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}t\\x\\y\\z\end{matrix}}\right]\rightarrow \left[{\begin{matrix}t\\x\\y\\z\end{matrix}}\right]+\operatorname {Re} (\alpha )\;\left[{\begin{matrix}x\\t-z\\0\\x\end{matrix}}\right]+\operatorname {Im} (\alpha )\;\left[{\begin{matrix}y\\0\\z-t\\y\end{matrix}}\right]+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;\left[{\begin{matrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{matrix}}\right]}