チェビシェフ方程式
チェビシェフ方程式(チェビシェフほうていしき、英語: Chebyshev equation)は、p を実定数とする二階線型常微分方程式
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − x d y d x + p 2 y = 0 {\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0}
のことである。方程式の名称は、ロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなむ。
この方程式の解の全体は、冪級数
y = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
で、その各係数が漸化式
a n + 2 = ( n − p ) ( n + p ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) a n {\displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}}
によって与えられるものの全体として得られる。上述の級数は漸化式に対してダランベールの収束判定法を用いることにより、x ∈ [−1, 1] において収束することが示される。