円に内接する四角形
内接四角形の面積 K は、その四辺の長さを a, b, c, d とすれば、ブラーマグプタの公式により
と与えられる。ここに、s ≔ 1/2(a + b + c + d) は半周長である。これは一般の四角形に対して成立するブレートシュナイダーの公式において、内接四角形の場合に向かい合う角が補角であることを適用した系として得られる。さらに d = 0 であるとすれば、内接四角形は三角形に退化するから、ブラーマグプタの公式もヘロンの公式に退化する。
内接四角形は、各辺がそれぞれ決まった長さの並びであるようなすべての四角形の中で最大の面積を持つ(これもまたブレートシュナイダーの公式の系であるし、微分積分学を用いても証明できる)。
ブラーマグプタの公式を見れば、各辺の長さがどの二つも異なり他の三つの辺の長さの和よりも小さいという条件のもとで、そのような長さの辺を持つ内接四角形は面積が決まれば合同の違いを除いて三種類しかないことが分かる。具体的に言えば、各辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d であったときに、長さ a の辺と残りの長さ b, c, d の辺のどれとでもよいから入れ替えるならば、面積は同じで、しかも合同にはならない。
内接四角形の面積は、辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で長さ a および b の辺の成す角度が B であるとき
と表せる。あるいは二本の対角線の成す角度を θ とすれば
である。また A が直角でないならば
とも書ける。 もっと別の形では、外半径を R として、
というものもある。すると直ちに
がわかるが、ここで等号が成り立つのは考える四角形が正方形のときであり、かつそのときに限る。