フェルミエネルギー
この第2項目は小さく、バンドギャップのほぼ中央に位置する。
非縮退半導体のフェルミエネルギーEFは、真性キャリア密度 n i {\displaystyle n_{\mathrm {i} }} 、伝導帯の電子密度 n {\displaystyle n} 、価電子帯の正孔密度 p {\displaystyle p} を用いて次のように表せる。
E F = E i + k T ln  n n i = E i − k T ln  p n i {\displaystyle E_{\mathrm {F} }=E_{\mathrm {i} }+kT\ln {\frac {n}{n_{\mathrm {i} }}}=E_{\mathrm {i} }-kT\ln {\frac {p}{n_{\mathrm {i} }}}}
ドープ量が多いほど、フェルミエネルギーの位置はバンド端の近くになる。
絶縁体では、 EF は大きなバンドギャップの中にあり、電荷担体の存在しうる(有限の状態密度を持つ)バンドから遠く離れている。
半導体や半金属においてバンド構造に対する EF の位置は、ドーピングやゲーティングによってかなりの程度コントロールすることができる。これらのコントロールは電極によって固定されている EF を変えるわけではなく、全体のバンド構造を上下している(時にはバンド構造の形も変える)。半導体のフェルミ準位についての詳細は、 などを参照。
このフェルミエネルギーの定義を使うと、様々な関連する量が有用になりえる。
フェルミ温度は次のように定義される。
T F = E F k B {\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\mathrm {B} }}}}
フェルミ温度は、フェルミ統計に関連する量子的効果に熱的効果が匹敵する場合の温度として考えることができる。 金属のフェルミ温度は室温より何桁も大きい。
その他の量としてフェルミ運動量とフェルミ速度がある。
p F = 2 m e E F {\displaystyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2m_{\mathrm {e} }E_{\mathrm {F} }}}}
v F = p F m e {\displaystyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m_{\mathrm {e} }}}}
ここで m e {\displaystyle m_{e}} は電子の質量である。 これらの量はそれぞれ、フェルミ面でのフェルミ粒子の運動量と群速度である。 フェルミ運動量は p F = ħ k F {\displaystyle p_{F}=\hbar k_{F}} として書くこともできる。 ここで k F {\displaystyle k_{F}} はフェルミ球の半径であり、フェルミ波数ベクトルと呼ばれる。
これらの量は、フェルミ面が球でない場合にはwell-definedではない。 上述のような2次の分散関係の場合は を参照。
固体のバンド理論では、電子のエネルギー固有状態はバンド構造を形成する。結晶中の電子のエネルギーはバンド構造を形成する。電子はバンド構造中の1粒子エネルギー固有状態 ε を占有する。この1粒子描像は近似ではあるが、電子のふるまいの理解を容易にし、正しく適用すれば一般的に正しい結果を与える。
物質のバンド構造中の EF の位置は、電子のふるまいを決定する上で重要となる。フェルミ準位は現実のエネルギー準位に必ずしも対応しておらず(絶縁体でのフェルミ準位はバンドギャップの中にある)、バンド構造の存在も必要としない。
ここで一辺が長さLである3次元立方体の箱を考える(無限に深い井戸型ポテンシャルを参照)。 これは金属中の電子を記述するのに良いモデルとなる。
ここで状態は3つの量子数 nx, ny,nzでラベル付けされている。 1粒子エネルギーは、
E n x , n y , n z = E 0 + ħ 2 π 2 2 m L 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,}
nx, ny, nzは正の整数、mはフェルミ粒子(この場合は電子)の質量である。同じエネルギーをもつ複数の状態がある(たとえば E 211 = E 121 = E 112 {\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}} )。N個の相互作用のないスピン1/2のフェルミ粒子をこの箱に入れる。このフェルミエネルギーを計算するために、Nが大きい場合を見てみる。
ベクトル n → = { n x , n y , n z } {\displaystyle {\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}} を導入すると、それぞれの量子状態はエネルギー
しかしパウリの排他原理により、3つ以上の粒子は同じエネルギー E n {\displaystyle E_{n}} を占有できない。絶対零度(基底状態)では全エネルギーが最低である電子配置をとり、n = N/2までの全てのエネルギーは占有され、n = N/2よりエネルギーが高い準位は全て空である。
フェルミエネルギーの基準を E 0 {\displaystyle E_{0}} となるように定義すると、奇数個の電子(N − 1)または偶数個の電子(N)のフェルミエネルギーは次のように与えられる。
E F = E N / 2 − E 0 = ħ 2 π 2 2 m L 2 ( N / 2 ) 2 {\displaystyle E_{\mathrm {F} }=E_{N/2}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}(N/2)^{2}}