コーシー＝シュワルツの不等式
x, y が実または複素内積空間 ( X , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} の元であるとき、コーシー=シュワルツの不等式は次のように表される:
⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}
これの等号成立は、x, y が線型従属であるとき、つまり x, y の一方が 0 であるか、さもなくば平行であるときである。内積の導くノルム ‖ x ‖ 2 := ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle } を用いればこれは
| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }