スターク予想
スターク予想とは、複素数 AS(χ, f) を
A S ( χ , f ) := R S ( χ , f ) c S ( χ ) {\displaystyle A_{S}(\chi ,f):={\frac {R_{S}(\chi ,f)}{c_{S}(\chi )}}}
と定義するとき、AS(χ, f) は Q(χ) に入る代数的数で、任意の σ ∈ Gal(Q(χ)/Q) に対して
A S ( χ , f ) σ = A S ( χ σ , f ) {\displaystyle A_{S}(\chi ,f)^{\sigma }=A_{S}(\chi ^{\sigma },f)}
が成り立つであろう、という予想である。
SK を K の素点で下にある素点が S に含まれるものすべての集合とする。 U = UK, S を K の SK 単数群、つまり K の元で SK に含まれない K のすべての素点での絶対値が1であるもの全体
U := U K , S := { x ∈ K × ∣ | x | w = 1 , ∀ w ∉ S K } {\displaystyle U:=U_{K,S}:=\left\{x\in K^{\times }\mid |x|_{w}=1,\forall w\notin S_{K}\right\}}
とする。
Y を SK の元で生成される自由アーベル群、X をその部分群で各 w ∈ SK に対する係数を合計すると0になるもの全体
X := { ∑ w ∈ S K n w ⋅ w ∈ Y ∣ ∑ w ∈ S K n w = 0 } {\displaystyle \textstyle {X:=\left\{\sum _{w\in S_{K}}n_{w}\cdot w\in Y\mid \sum _{w\in S_{K}}n_{w}=0\right\}}}
とする。X には自然に G が作用する。
SK 単数群 U から RX への写像 λ を
λ ( u ) := ∑ w ∈ S K log  | u | w ⊗ w {\displaystyle \textstyle {\lambda (u):=\sum _{w\in S_{K}}\log |u|_{w}\otimes w}}
で定義する。この写像を対数的埋め込みという。
単数定理により idC ⊗ λ : CU → CX は同型であり、QU と QX は Q[G] 加群として(非標準的に)同型であることがわかる。このような同型
f : Q X → Q U {\displaystyle f:\mathbb {Q} X\to \mathbb {Q} U}
を一つ取る。V を V の反傾表現とし、V から CX への C[G] 加群としての準同型全体 HomC[G](V, C[G]) を考える。このベクトル空間の次元は rS(χ) と等しい。
このベクトル空間の自己同型 (λ∘f)V を
H o m C [ G ] ( V ∗ , C X ) → ( λ ∘ f ) V H o m C [ G ] ( V ∗ , C X ) φ ⟼ λ ∘ f ∘ φ {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathrm {Hom} _{\mathbb {C} [G]}(V^{*},\mathbb {C} X)&\xrightarrow {(\lambda \circ f)_{V}} &\mathrm {Hom} _{\mathbb {C} [G]}(V^{*},\mathbb {C} X)\\\phi &\longmapsto &\lambda \circ f\circ \phi \end{array}}}
で定義する。この自己同型の行列式
R S ( χ , f ) := det ( λ ∘ f ) V {\displaystyle R_{S}(\chi ,f):=\det(\lambda \circ f)_{V}}
をスターク単数基準(Stark regulator)という。