レヴィ・チヴィタ接続
レヴィ・チヴィタ接続は、トゥーリオ・レヴィ=チヴィタ(Tullio Levi-Civita)の名前に因んでいるが、エルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)によりそれ以前に"発見"されていた。レヴィ・チヴィタは、 グレゴリオ・リッチ・クルバストロ(英語版)(Gregorio Ricci-Curbastro)とともに、クリストッフェルの記号 を用いて平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率との関係を研究した。それによって完整(英語版)の現代的概念を開発した。
レヴィ・チヴィタによる曲線に沿ったベクトルの平行移動や内在的微分という概念は、元々 M n ⊂ R n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{\frac {n(n+1)}{2}}} という特別な埋め込みに対して考えられた。しかし、実際にはそれらは抽象的なリーマン多様体にたいしても意味をなす概念である。何故ならば、クリストッフェルの記号は任意のリーマン多様体上で意味を持つからである。
1869年、クリストッフェルは、ベクトルの内在的微分の各成分は反変ベクトルと同様な変換にしたがうことを発見した。この発見はテンソル解析の真の始まりである。1917年になって初めて、レヴィ・チヴィタによって、アフィン空間に埋め込まれた曲面の内在的微分が、周囲のアフィン空間での通常の微分の接方向成分として解釈された。
常微分方程式の局所的な解の存在一意性から、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における接ベクトル v ∈ T P M {\displaystyle v\in T_{P}M} に対し、ある ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} が存在し、
c ( 0 ) = P {\displaystyle c(0)=P} 、 d c d t ( 0 ) = v {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}(0)=v}
を満たす測地線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} が ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} 上で一意に存在する。この測地線を
exp  ( t v ) {\displaystyle \exp(tv)}
と書く。
しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば R 2 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}} (に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間)において、測地線 c ( t ) = ( 1 − t , 0 ) {\displaystyle c(t)=(1-t,0)} は t < 1 {\displaystyle t<1} までしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は測地線完備であるという。
により定義される写像を
∇ 2 T {\displaystyle \nabla ^{2}T}
と書き、 ∇ 2 T {\displaystyle \nabla ^{2}T} をTの二階共変微分(英: second covariant derivative)という。三階以上の共変微分も同様に定義できる。
二階共変微分 Γ ( r , s ) → ∇ Γ ( r , s + 1 ) → ∇ Γ ( r , s + 2 ) {\displaystyle \Gamma (r,s){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+1){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+2)} で1つ目に増えた引数にベクトル場Y、2つ目に増えた引数にベクトル場Xを代入した(r,s)-テンソル場を
∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T}
と書く。
前節で述べたように ∇ d t v ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)} や∇XYはMに内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、(1)、(2)、(3)式をもってこれらの量を定義できる:
定義 (レヴィ-チヴィタ接続) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とする。Mのベクトル場X、Yに対し、(2)、(3)式のように定義された ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} を対応させる演算子∇を ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続(英: Levi-Civita connection)と呼びといい、 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} を∇XYをYのX方向の共変微分(英: covariant derivative)という。
定義 ― c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とするとき、(1)式のように定義された ∇ d t v ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)} を曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿ったYの共変微分(英: covariant derivative)という。
∇ {\displaystyle \nabla } をリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続とし、PをMの点とし、 v , w ∈ T P M {\displaystyle v,w\in T_{P}M} とし、さらに e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} を T P M {\displaystyle T_{P}M} の基底とする。
定義 ―
S e c P ( v , w ) := g P ( R P ( v , w ) w , v ) g P ( v , v ) g P ( w , w ) − g P ( v , w ) 2 {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関する断面曲率(英: sectional curvature)という。
関数fに対するラプラシアンが − t r ( ∇ 2 f ) {\displaystyle -\mathrm {tr} (\nabla ^{2}f)} と書けることに着目し、微分形式αのもう一つのラプラシアンを以下のように定義する:
定義 ―
Δ B α := − t r ∇ 2 α = − ∑ i ∇ e i , e i 2 α {\displaystyle \Delta ^{B}\alpha :=-\mathrm {tr} \nabla ^{2}\alpha =-\sum _{i}\nabla _{e_{i},e_{i}}^{2}\alpha }
をαのボホナー・ラプラシアン(英: Bochner Laplacian)、もしくはラフ・ラプラシアン(英: rough Raplacian)という。
ここで e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} は接ベクトル空間の局所的な正規直交基底である。 E := ∧ k T ∗ M {\displaystyle E:=\wedge ^{k}T^{*}M} とするとき、余ベクトル空間の内積 g : T ∗ M × T ∗ M → R {\displaystyle g~:~T^{*}M\times T^{*}M\to \mathbb {R} } が誘導する写像 g : T ∗ M ⊗ T ∗ M → R {\displaystyle g~:~T^{*}M\otimes T^{*}M\to \mathbb {R} } を考え、合成
∂ g k l ∂ x j = ∂ ∂ x j ⟨ ∂ y → ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle {\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}={\partial \over \partial x^{j}}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ + ⟨ ∂ y → ∂ x k , ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x l ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle }
であるので、添字をサイクリックに回すと、
定義から明らかなように ∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T} は双線形性
∇ X , Y 2 T = X i Y j ∇ ∂ x i , ∂ x j 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T=X^{i}Y^{j}\nabla _{\partial _{x^{i}},\partial _{x^{j}}}^{2}T}
を満たす。このことからも分かるように ∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T} と ∇ Y ( ∇ X T ) {\displaystyle \nabla _{Y}(\nabla _{X}T)} は別の値であり、両者は
∇ X ( ∇ Y T ) = ∇ X , Y 2 T + ∇ ∇ X Y T {\displaystyle \nabla _{X}(\nabla _{Y}T)=\nabla _{X,Y}^{2}T+\nabla _{\nabla _{X}Y}T}
という関係を満たす。
↑ #Viaclovsky p.15.
↑ #Gallier p.100.
1 2 #Gallier p.375.
↑ #Gallier pp.378, 382-383.
1 2 #Gallier pp.296, 298, 382
↑ #Gallier p.367.
1 2 #Viaclovsky pp.18-19.
↑ #Gallier pp.296, 381-382.
↑ #Gallier pp.392, 394.
↑ #Viaclovsky p.25.
↑ #Parker p.15, #Gallier pp.392.
↑ “第 66回 幾何学シンポジウム 予稿集”. 名古屋大学. p. 175. 2023年11月1日閲覧。
↑ “微分幾何学講義”. p. 6. 2023年11月1日閲覧。
↑ #Gallier pp.396.
↑ #新井 p.281.
↑ “pseudo Riemann manifold, nLab”. 2023年10月25日閲覧。
↑ “Pseudo Riemannian manifolds”. 東京工業大学. 2023年10月25日閲覧。
1 2 #新井 pp.300-302.
1 2 #新井 pp.329-331.
↑ See Levi-Civita (1917)
↑ See Christoffel (1869)
↑ See Spivak (1999) Volume II, page 238