ブラック–ショールズ方程式
N ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − y 2 2 d y , {\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy,}
d 1 = log  ( S t K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t , {\displaystyle d_{1}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}},}
d 2 = log  ( S t K ) + ( r − σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t {\displaystyle d_{2}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}}
これが「適正価格」と呼ばれる背景としては、上述のとおり株と債券を使ってヨーロピアン・コールオプションを複製することができるという事実から来ている。もし、コールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用が異なれば、無限に資金を増やすことが可能になる。それは非現実的であるのでコールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用は、理論的には、一致しなくてはならないのである。またここでは St は株価であるとしたが、実際は株式だけに限らず、為替レートや投資信託、株価指数などの市場性のある投資商品や指標であれば全て上述の議論が成立する。
これらの式と C ( S t , t ) = a t S t + b t B t {\displaystyle C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}} から at, bt を消去すると、次の偏微分方程式が得られる。
r C = ∂ C ∂ t + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 + r S t ∂ C ∂ S t {\displaystyle rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial S_{t}^{2}}}+rS_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial S_{t}\,}}}
この偏微分方程式をブラック–ショールズ方程式(英: Black–Scholes equation)、またはブラック–ショールズ偏微分方程式(英: Black–Scholes partial differential equation)と言う。この方程式の境界条件は以下の3つである。
C(0, t) = 0 (t (≤ T) は任意)
C(St, t) ∼ St as St → ∞ (t (≤ T) は任意)
C(ST, T) = max{ST − K, 0}
r C = ∂ C ∂ t + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 + ( r − q ) S t ∂ C ∂ S t {\displaystyle rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial S_{t}^{2}}}+(r-q)S_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial S_{t}\,}}}
境界条件は配当なしの場合と同一である。この偏微分方程式の解は以下のようになる。
C ( S t , t ) = e − q ( T − t ) S t N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) {\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-q(T-t)}S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})}
ただし、
N ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − y 2 2 d y , {\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy,}
d 1 = log  ( S t K ) + ( r − q + σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t , {\displaystyle d_{1}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-q+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}},}