カッツ・ムーディ代数
カッツ・ムーディ・リー環の性質はその一般カルタン行列 C の代数的性質によって制御される。カッツ・ムーディ・リー環を分類するためには、分解不可能な行列 C の場合を考えれば十分である、つまり、添え字集合 I の空でない部分集合 I1, I2 の非交和への分解であってすべての i ∈ I1 と j ∈ I2 に対して Cij = 0 となるようなものは存在しないと仮定してよい。一般カルタン行列の任意の分解は対応するカッツ・ムーディ・リー環の直和分解を導く:
g ( C ) ≃ g ( C 1 ) ⊕ g ( C 2 ) , {\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}(C_{1})\oplus {\mathfrak {g}}(C_{2}),}
ここで右辺の2つのカッツ・ムーディ・リー環は添え字集合 I1 と I2 に対応する C の部分行列に付随する。
カッツ・ムーディ・リー環の重要なサブクラスは対称化可能な一般カルタン行列 C に対応する。この行列は DS と分解可能で、ここで D は正整数の成分の対角行列であり、S は対称行列である。C は対称化可能かつ分解不可能という仮定の下で、カッツ・ムーディ・リー環は3つのクラスに分割される: