レゾルベント
線型作用素 A のレゾルベントは、r を A のスペクトル半径とすれば、領域 {z ∈ C : |z| > r} 上の解析函数であり、ノイマン級数
R ( z , A ) = − ∑ n = 0 ∞ A n z n + 1 {\displaystyle R(z,A)=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{z^{n+1}}}}
として表される。レゾルベントは不安定作用素のスペクトル分解(たとえば レリック-加藤分解およびストラット-シュレーディンガー分解)を記述するのに用いることができる。たとえば、λ を A の孤立した固有値(つまり、複素平面上の適当な単純閉曲線 Cλ が存在して、λ を A のほかのスペクトルから分離することができる)ならば留数
− 1 2 π i ∮ C λ ( A − z I ) − 1 d z {\displaystyle {\frac {-1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}\,dz}
は A の λ-固有空間の上への射影作用素を定める。
ヒレ-吉田の定理はレゾルベントを A の生成する変換の一径数群上の積分と関連付けるものである。これはたとえば、A がエルミート作用素ならば U(t) = exp(itA) はユニタリ作用素からなる一径数群で、A のレゾルベントは積分
R ( z , A ) = ∫ 0 ∞ e − z t U ( t ) d t {\displaystyle R(z,A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)\,dt}
として表される。