外接円
各頂点の位置ベクトルを A , B , C {\displaystyle A,B,C} 、対辺の長さを a , b , c {\displaystyle a,b,c} とすると、外心の位置ベクトル U {\displaystyle U} は次式で表される。
U = a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) A + b 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) B + c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) C a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + b 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) + c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) . {\displaystyle U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.}
この式の分母は、三角形の面積を S {\displaystyle S} とすると、 16 S 2 {\displaystyle 16S^{2}} に等しい。
すべての三角形には外接円が存在する。三角形の外心は、3つの辺の垂直二等分線が交わる点である。
航海において、三角形の外接円は方位磁針が使用できない状況で六分儀を利用して位置を割り出すのに使用されることがある。
鋭角三角形の外心は三角形の内部にあり、鈍角三角形の外心は三角形の外部にある。直角三角形の外心は斜辺の中点である。

外接円の直径は、辺の長さとその辺に対する頂点の角度から求めることができる。これを正弦定理という。
三角形の外心はその三角形の重心・垂心と同じ直線上にある。この直線をオイラー線という。三角形の九点円の半径は、外接円の半径の半分である。