ロジスティック写像
パラメータが a = 4 に達すると、振る舞いは [0, 1] 全域を経巡るカオスとなる。このとき、リアプノフ指数 λ は最大となり、もっともカオスが強い状態といえる。a = 4 におけるロジスティック写像の λ は正確な値を求ることができ、その値は λ = log 2 である。カオスの厳密な数学的定義はまだ統一されていないが、よく知られているカオスの定義の一つに対して a = 4 のロジスティック写像は [0, 1] 上でカオス的であることが証明できる。
点の密度の不変測度 ρ (x) も、a = 4 のときは次のような正確な関数で与えることができる。
ここで ρ (x) は、写像を反復したときの点 xn の全点数に対し、点 xn が微小区間 [x, x+dx] に入る点数の割合が、ρ (x)dx で与えられるという意味を持つ。a = 4 のロジスティック写像の頻度分布は、[0, 1] の両サイド近辺で密度が高く、x = 0.5 で最も密度が低い形をしている。
a = 4 のとき、カオス軌道とは別に、あらゆる周期の周期軌道も存在している。
記号 ∘ で写像の合成を表すとする。一般的に、位相空間 X, Y について、2つの写像 f : X → X と g : Y → Y が同相写像 h : X → Y によって
という関係を持つとき、f と g は位相共役であるという。位相共役という概念は、力学系の研究上で重要な役割を果たす。位相共役な f と g は本質的に同一な振る舞いを示し、f の振る舞いが周期的であれば g も周期的であり、f の振る舞いがカオス的であれば g もカオス的である。
特に同相写像 h が線形であれば、f と g は線形共役であるという。全ての2次関数は他の全ての2次関数と線形共役にある。したがって、
などは、任意のパラメータ a のロジスティック写像と線形共役である。式 (4-6) や式 (4-7) の形のものもロジスティック写像と呼ばれたりもする。特に式 (4-7) の形だと計算量が減るため、長時間を要する数値計算に向いている。
また、a = 4 のロジスティック写像 fa=4 は、次のテント写像 T (x) やベルヌーイシフト写像 B (x) と位相共役な関係にある。
ロジスティック写像 fa=4 が厳密にカオス的であることの証明や、fa=4 の厳密解 (3-19) の導出に、これらの位相共役の関係を利用できる。
あるいは、記号力学系の考え方を導入して、上記で導入したような 0 と 1 の列から成る記号列空間上に定義される次のようなシフト写像 σ を考えるとする。
ここで、si は 0 または 1 である。式 (3-18) で導入した集合 Λ 上で、ロジスティック写像 fa>4 はシフト写像と位相共役であるので、これを利用して Λ 上の fa>4 がカオス的であることを導ける。
写像のグラフでこのことを見ると、グラフの曲線上の点 xf における接線の傾きが −1 から 1 の間にあれば、xf は安定で、その周囲の軌道は xf へ引き寄せられるということである。ロジスティック写像の微分は、
なので、x = 0 かつ 0 < a < 1 では 0 < f ′(0) < 1 であるから、不動点 xf 1 = 0 は式 (3-1) を満たしている。
ただし、式 (3-1) による判別法は、xf からどのぐらいの範囲にある軌道が xf へ引き寄せられるかは分からない。あくまでも、xf のある近傍内の x が収束することを保証しているだけである。今の場合、0 へ収束する初期値の領域は [0, 1] 全域であるが、これを明確に知るには別の考察を要する。
不動点が不安定かどうかの判別方法は、同じように写像の微分から分かる。ある不動点 xf が
を満たすとき、xf は不安定である。パラメータが 0 < a < 1 の範囲にあるときには、もう一方の不動点 xf 2 = 1 − 1/a は負の値であるため [0, 1] の範囲には現れないが、不安定な不動点として存在している。