一様空間
定理・定義 (一様空間の完備性) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} に対し以下の2条件は同値である。 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} が以下の条件の少なくとも一方(したがって両方)を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は完備であるという。
X上の任意のコーシーネットは少なくとも1つ極限を持つ
X上の任意のコーシーフィルターは少なくとも1つ極限を持つ
ここで収束は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相における収束である。
上で「少なくとも1つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列(=点列でコーシーなもの)は少なくとも1つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。
定理・定義 (一様空間の完備化) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とする。
以上で示したように、集合X上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる2つの擬距離の集合D、Eが同一の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を定める事もある。しかしこうした集合D、Eは必ず最大の擬距離の集合 D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う:
系 ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、 D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に関して一様連続な擬距離全体の集合とする。 このとき、X上の擬距離の集合Eで、Eが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致するものとすると、Eは D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} の部分集合である。
より直接的に、擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する:
fが一様連続な全単射で、しかもfも一様連続なとき、fを一様同型写像(英: uniformly isomorphism)といい、XとYは一様同型(英: uniformly equivalent)であるという。
後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。 一様連続な関数は必ず連続である:
定理 (一様連続なら連続) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} から一様空間 ( Y , V ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})} への写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} が一様連続なら、一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 、 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} が定める位相によりX、Yを位相空間とみなしたとき f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} は連続である。
一様空間やそれに関係する概念を定義するために、まず記号を定義する。
記号の定義 ― Xを集合とし、U, V ⊂ X×Xを任意の部分集合とし、さらにa ∈ Xを任意の元とするとき、以下のように記号を定義する:
U − 1 := { ( y , x ) ∈ X × X ∣ ( x , y ) ∈ U } {\displaystyle U^{-1}:=\{(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\}}
U ∘ V := { ( x , z ) ∈ X × X ∣ ∃ y ∈ X ( x , y ) ∈ U , ( y , z ) ∈ V } {\displaystyle U\circ V:=\{(x,z)\in X\times X\mid \exists y\in X(x,y)\in U,(y,z)\in V\}}
U [ a ] := { y ∈ X ∣ ( a , y ) ∈ U } {\displaystyle U[a]:=\{y\in X\mid (a,y)\in U\}}
一様空間は厳密には、近縁全体の集合 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が下記の抽象的な公理を満たす事をもって定義される。
定義・定理 (一様収束性(の一様構造、位相構造)) ― Xを集合とし、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合の集合とし、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、Dを U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を定める擬距離の集合とする。さらにF(X,Y)をXからYへの写像全体の集合とする。
さらに S ∈ S {\displaystyle S\in {\mathcal {S}}} 、 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、
W ( U , S ) := { ( f , g ) ∈ F ( X , Y ) 2 ∣ ∀ x ∈ S : ( f ( x ) , g ( x ) ) ∈ U } {\displaystyle W(U,S):=\{(f,g)\in F(X,Y)^{2}\mid \forall x\in S~:~(f(x),g(x))\in U\}}
とする。このとき
{ W ( U , S ) ∣ S ∈ S , U ∈ U } {\displaystyle \{W(U,S)\mid S\in {\mathcal {S}},U\in {\mathcal {U}}\}}