縮退半導体
高濃度にドープした半導体は縮退半導体と呼ばれる。縮退n型半導体におけるフェルミエネルギーは伝導帯内部にあり( E C < E F {\displaystyle E_{C}<E_{F}} )、縮退p型半導体では価電子帯内部にある( E F < E V {\displaystyle E_{F}<E_{V}} )。つまり一方のバンドにおいてボルツマン分布による近似が破綻している。
p 0 = N V exp  [ − ( E F − E V ) / k T ] = N V exp  ( − E g ∗ / k T ) = N V exp  [ − ( E g 0 − Δ E g ∗ ) / k T ] {\displaystyle p_{0}=N_{V}\exp[-(E_{F}-E_{V})/kT]=N_{V}\exp(-E_{g}^{*}/kT)=N_{V}\exp[-(E_{g0}-\Delta E_{g}^{*})/kT]}
したがって n 0 p 0 {\displaystyle n_{0}p_{0}} 積は、次のようになる。
n 0 p 0 = N D N V exp  ( − E g 0 / k T ) exp  ( Δ E g ∗ / k T ) = [ N D N C e Δ E g ∗ / k T ] [ N C N V e − E g 0 / k T ] = N D N C e Δ E g ∗ / k T n i 2 {\displaystyle n_{0}p_{0}=N_{D}N_{V}\exp(-E_{g0}/kT)\exp(\Delta E_{g}^{*}/kT)=\left[{\frac {N_{D}}{N_{C}}}e^{\Delta E_{g}^{*}/kT}\right][N_{C}N_{V}e^{-E_{g0}/kT}]={\frac {N_{D}}{N_{C}}}e^{\Delta E_{g}^{*}/kT}n_{i}^{2}}
n型に縮退半導体を考える。 真性半導体における伝導帯の下端を E C 0 {\displaystyle E_{C0}} 、n型縮退半導体の伝導帯の下端を E C {\displaystyle E_{C}} 、見かけの伝導帯の下端(フェルミ準位)を E C ∗ {\displaystyle E_{C}^{*}} 、不純物による伝導帯下端の低下を Δ E C ∗ {\displaystyle \Delta E_{C}^{*}} とする。価電子帯は変化していないとすると、見かけのバンドギャップ縮小は次のように近似できる。
Δ E g ∗ ≈ Δ E C ∗ = E C 0 − E C ∗ {\displaystyle \Delta E_{g}^{*}\approx \Delta E_{C}^{*}=E_{C0}-E_{C}^{*}}
n型縮退半導体では全てのドナー状態が互いに重なり合い、半導体自体の伝導帯とも重なっているので、
n 0 = N D {\displaystyle n_{0}=N_{D}}
フェルミ準位は価電子帯から十分に離れているので、 p 0 {\displaystyle p_{0}} は非縮退半導体のようにボルツマン分布の近似を使って計算できる。