四元数
−1 の平方根は、複素数の範囲では ±i であるが、H では −1 の平方根は無数に存在する。x = −1 の四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。これを見るのに q = a + bi + cj + dk を四元数とし、その平方が −1 に等しいものと仮定する。a, b, c, d が満たすべき条件は
a 2 − b 2 − c 2 − d 2 = − 1 , {\displaystyle a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=-1,}
2 a b = 0 , {\displaystyle 2ab=0,}
2 a c = 0 , {\displaystyle 2ac=0,}
2 a d = 0 {\displaystyle 2ad=0}
である。後の3つの方程式より a = 0 または b = c = d = 0 であるが、後者は残りの方程式から a = −1 となり、a は実数であるから不可能である。故に a = 0 ⋀ b + c + d = 1 となる。即ち、平方が −1 になる四元数は、ノルムが 1 の純虚四元数であることが分かる。定義により、このような四元数全体の成す集合は2次単位球面である。
四元数のベクトル部は R のベクトルゆえ、R の幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。例えば、電磁気学や3DCGなどにこの方法論が使える。
本節では i, j, k を H の虚基底ベクトルと R の基底の両方の意味で用いる。i, j, k を一斉にそれぞれ −i, −j, −k に取り替えることはベクトルを加法的逆元(マイナス)へ写すので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。これを以って、四元数の共軛を「空間反転」(spatial inverse) と呼ぶことがある。
2つの純虚四元数 p = b1i + c1j + d1k, q = b2i + c2j + d2k に対して、それらのドット積は
p ⋅ q = b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 {\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}}
で与えられる。これは pq, qp, pq, qp のどのスカラー部にも等しい(これらのベクトル部は相異なることに注意)。
として与えられる。 これを用いて、四元数の極分解を
q = ‖ q ‖ e n ^ θ {\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\theta }}
の形に書くことができる。ここで角 θ および単位ベクトル n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} は
a = ‖ q ‖ cos  θ {\displaystyle a=\|q\|\cos \theta }
および
v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ sin  θ {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin \theta }
で定まるものである。任意の単位四元数は極形式として
e n ^ θ {\displaystyle e^{{\hat {n}}\theta }}
と表される。
任意の実数を冪指数とする四元数の冪は
q α = ‖ q ‖ α e n ^ α θ {\displaystyle q^{\alpha }=\|q\|^{\alpha }e^{{\hat {n}}\alpha \theta }}
で与えられる。
複素変数の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。例えば、マクスウェルによるもともとの電磁場の記述には四元変数函数が用いられていた。