レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式
ここで S i j {\displaystyle S_{ij}} は歪み速度テンソルで、 S i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) {\displaystyle S_{ij}={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\biggr )}} である。
最後に、時間での積分により、時間依存性が削除されるため時間微分項を消去する。
ρ u j ̄ ∂ u i ̄ ∂ x j = ρ f i ̄ + ∂ ∂ x j [ − p ̄ δ i j + 2 μ S i j ̄ − ρ u i ′ u j ′ ̄ ] {\displaystyle \rho {\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S_{ij}}}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}