フレドホルムの交代定理
V を n-次元ベクトル空間とし、T: V → V を線型写像とすると、次のいずれか一つが成り立つ:
V 内の各ベクトル v に対して、T(u) = v を満たすベクトル u ∈ V が存在する。言い換えると、T は全射(実際 V は有限次元なので、全単射)である。
dim(ker(T)) > 0.
より初等的な行列に関する表現は次のようになる:m×n 行列 A と m×1 列ベクトル b が与えられたとき、次のいずれか一つが成り立つ:
A x = b は解 x を持つ。
A y = 0 は,yb ≠ 0 を満たす解 y を持つ。
言い換えると、A x = b(つまり b ∈ rng(A))が解を持つための必要十分条件は、A y = 0 を満たす任意の y に対して yb = 0(つまり、b ∈ ker(A))が成立することである。