ペントミノ
ペントミノは位数5のポリオミノである。5つの同じ大きさの正方形を辺に沿ってつなげた形は、回転操作・鏡映操作によって同じになる形を同一と考えると、12種類ある。これらを総称してペントミノと呼ぶ。
鏡像を別物とすると、さらに6種増えて18種になる(F, L, N, P, Y, Z は鏡像が別物だが、I, T, U, V, W, X は線対称である)。これらを特に「片面型ペントミノ」とも呼ぶ。
回転角度が90度の倍数のとき、対称性によって以下のようにグループ化できる。
F,L,N,P,Y 線対称でも点対称でもない
Z 線対称ではないが点対称である
T,U,V,W 線対称であるが点対称でない
I 2本の軸に対して線対称であり、点対称でもある
X 4本の軸に対して線対称であり、90度回転対称でもある
ジョン・ホートン・コンウェイが考案したライフゲームにおいてペントミノがどう変化するかは、初期の段階に考察された。
N,P,U,Y,Zはすべて3-4世代で消滅する。V,Wは2-3世代でパンになり、I,L,T,Xは、6-10世代後に信号灯 (ブリンカーの集合体)になる。
残ったFペントミノ (ライフゲームではrペントミノ・Rペントミノとも呼ばれる)は、複雑な変化をする。その変化を追いかける過程でグライダーが発見されている。これは、安定するまでに1103世代を要する。最終形は、8個のブロック、4個の蜂の巣、1個のボート、1個の船、1個のパン、4個のブリンカー、6個のグライダーからなる。
Fを含めたいくつかのピースは、通常と別の呼ばれ方をすることがある。これはコンウェイによる命名で、O-Zの連続した文字になるように命名されている(右の画像参照)。
ペントミノ1セットで空所のある図形を作成する問題を総称して"ペントミノファーム"と呼ぶ。空所の形状に制限はないが、外部と点で接触していてはいけない。
外形・空所ともに何も制限がないときには、面積128の空所が最大であることが証明されている。
制限がある問題としては、外形は自由で空所は長方形(90)・外形は長方形で空所の形は自由(61)・全体が線対称(88)や点対称(59)などの問題がある(数字はその条件下で確認されている空所の面積の最大値)。