一様収束
上記定義において「ある N が存在して」と「すべての x に対して」の順序を入れ替えると、列の各点収束 (pointwise convergence) に同値な主張となることに注意しよう。各点収束の概念は次のように定義できる。関数列 (fn) が極限 f : S → R に各点収束するとは、
すべての x ∈ S と全ての ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して、すべての n ≥ N に対して、|fn(x) − f(x)| < ε が成り立つ
ことをいう。ここで x と ε の普遍量化子の順序は重要でないが、x の普遍量化子と N の存在量化子の順序は重要である。
一様収束の場合には、N は ε のみにしか依存してはいけないが、各点収束の場合には、N は ε と x の両方に依存してもよい。したがって一様収束ならば各点収束であることは平易である。逆は以下の例が示すように正しくない。S を単位区間 [0, 1] とし、各自然数 n に対して fn(x) = x と定義する。すると (fn) は、x < 1 のとき f(x) = 0, f(1) = 1 によって定義される関数 f に各点収束する。この収束は一様ではない。なぜならば、例えば、ε = 1/4 に対し、定義で要求されるような N は存在しない。n について |x| < ε を解くと n > log ε / log x となるからである。これは ε だけでなく x にも依存している。また、x に依存しない n の上界を見つけることも不可能であることに注意しよう。任意の ε > 0 に対し、log ε / log x は x が 1 に近づくとき限りなく増大するからである。