算術平均
算術平均(さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean)または相加平均(そうかへいきん)とは、広義の平均の中で最も代表的な値のことで、数の集合やデータ、確率分布に対して、個数と合計を保ったまま均一に1つの値に代表させた(つまり均した)値のことである。統計学においてだけでなく、数学のその他の分野、物理学、経済学、社会学、歴史学などあらゆる学問分野で算術平均が使われている。
例えば、国内総生産を人口で割った算術平均からその国民の平均収入を推定することができる。
数学などでは、幾何平均や調和平均などの他の広義の平均と区別するため、区別が必要な場合は算術平均または相加平均と呼ばれる。特に統計学では、データ(母集団、標本)の代表値の一つであり、他の広義平均との区別が明らかであれば平均値と呼ばれる。
上記の平均年収の例を見ても分かるように、算術平均を代表値として使う場合には、ロバスト統計量ではないことに注意が必要である。外れ値の影響を大きく受ける。特に歪度の大きい分布では算術平均は最大値と最小値の「真ん中」から外れることがあり、中央値などのロバスト統計量の方が代表値としてふさわしい場合がある。
標準偏差や相関係数を定義するために、算術平均は必要な概念となる。
算術平均には、代表値として用いるのに適した次のような属性がある。
a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} の算術平均を m {\displaystyle m} とすると、偏差の総和(合計)は必ず 0 になる: ( a 1 − m ) + ⋯ + ( a n − m ) = ∑ k = 1 n a k − n m = 0 {\displaystyle (a_{1}-m)+\cdots +(a_{n}-m)=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}-nm=0}
この等式は、力学的には次のような意味になる:データの値 ak を横軸、度数を縦軸とするヒストグラムを作成すると、ヒストグラムの形をした物体の重心は平均値 m が表す点の上にある。
数 x {\displaystyle x} に対して、データの値との差の平方の総和 ∑ k = 1 n ( a k − x ) 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}-x)^{2}} をとる関数を考えるとき、この関数はデータの算術平均値 x = 1 n ∑ k = 1 n a k {\displaystyle x={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}} (のみ)で最小となる。
正規分布などの左右対称な確率分布においては、平均値は中央値と等しくなる。
算術平均は加法とスカラー倍が定義された数(実数、複素数、ベクトル等)に対して定義できる。
例えば、n本のベクトル x1, ..., xn に対して、その算術平均は
x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +{\boldsymbol {x}}_{n}}{n}}}
となる。
特に n = 3 の場合、 x 1 + x 2 + x 3 3 {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+{\boldsymbol {x}}_{2}+{\boldsymbol {x}}_{3}}{3}}} となり、これは x1, x2, x3 が表す点を頂点とする三角形の重心の位置ベクトルに等しい。
一般には、 x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +{\boldsymbol {x}}_{n}}{n}}} は x1, ..., xn を頂点とするn単体の重心の位置ベクトルである。