エルゴード定理
リウヴィルの定理は数学的には保測変換として記述される。すなわち可測集合A ⊂ Ωに対して、A内の点x がi 時間後に成す集合Ai={xi | x ∈ A }は可測であり,Rのルベーグ測度μに対し
μ ( A ) = μ ( A i ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{i})}
が成り立つと表現される。 エルゴード理論ではΩ内の点列{xn}のn → ∞での振る舞いを調べることになる。例えば Ω内の可測関数Aの定義関数
χ A ( x ) = { 1 x ∈ A 0 x ∉ A {\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}}}
を使って
1 n ∑ i = 1 n χ A ( x i ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\chi _{A}(x_{i})}
を考えると、これは単位時間ごとに観測して何回A を訪れたかという平均回数になり、n → ∞としたときの 平均訪問回数 χ(x)がどんなときに存在するかというは一つの問題となる。