ユークリッド環
以下にユークリッド環の例を挙げる。
任意の体 K, f(x) = 1 (∀x ≠ 0).
有理整数環 Z, f(n) = |n|(絶対値).
ガウス整数環 Z[i], f(a + bi) = a + b(ガウス整数の標準ノルム).
アイゼンシュタイン整数環 Z[ω] (ω は 1 の虚立方根), f(a + bω) = a − ab + b(アイゼンシュタイン整数の標準ノルム).
体 K 上の多項式環 K[X], 零多項式でない任意の多項式 P に対して f(P) = deg(P) (多項式の次数).
体 K 上の形式冪級数環 K[[X]], 非零冪級数 P に対し、f(P) = ord(P) (冪級数の位数: P に現れる(係数が 0 でない)項の最小次数)。特に二つの非零冪級数 P, Q に対して、f(P) ≤ f(Q) ⇔ P | Q.
任意の離散賦値環, f(x) は x を含む極大イデアルの最高冪。上述の K[[X]] はこの特別の場合である。
有限個の非零素イデアル P1, ..., Pn を持つデデキント整域, f(x) = ∑ni=1 vi(x) (vi はイデアル Pi に対応する離散賦値)