等濃
三つの集合 A, B, C に対し二つの全単射 f: A → B および g: B → C が存在すれば、写像の合成 g ∘ f は A から C への全単射であるから、A ~ B かつ B ~ C ならば A ~ C が成り立つ。
ここでこの同値関係に関する同値類(濃度を互いに等濃な集合全体)として集合の濃度を定義しようとするならば、それは公理的集合論で標準的に用いられるツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) では問題になる—これは任意の空でない同値類は、集合となるには大きすぎ、真クラスとなってしまうからである。ZF集合論の枠組みでは二項関係は集合上に限って定義される(集合 A 上の二項関係とは直積集合 A × A の任意の部分集合のことであり、ZF において集合全体の成す集合(英語版)は存在しえないのであった)。したがってZFのもとでは「すべての集合の等濃性に関する同値類」として集合の濃度を定義するのではなく、そのような「同値類の代表元となるべき」集合を割り当てる方法(濃度割り当て(英語版))を考えなければならない。