モノイド圏
定義の節に挙げられた三つの図式に関する条件から、そのような(すなわち、射が α, λ, ρ, 恒等射, テンソル積の組合せからなる任意の)図式の成す大きいクラスが可換となることが従う(やや不正確だが、そのような図式が「すべて」可換となるともいう)。これをマックレーンのコヒーレンス定理(英語版)という。
モノイド圏において、抽象代数学における通常のモノイドの概念を一般化する、モノイド対象の一般概念が与えられる。通常のモノイドはちょうど集合の圏 Set におけるモノイド対象である。さらに言えば、任意の厳密モノイド圏は圏の圏 Cat における(圏の直積の定めるモノイド構造に関する)モノイド対象と見なすことができる。
モノイド函手(英語版)とはテンソル積を保つモノイド圏の間の函手を言い、またモノイド自然変換(英語版)とはそのような(つまりテンソル積と両立する)函手の間の自然変換を言う。
任意のモノイド圏は、ただ一つの対象 □ のみを持つ双圏(英語版) B の射対象圏 B(□, □) とみなせる。
圏 C がモノイド圏 M で豊饒化されているとは、C の対象からなる対の間の射の集合という概念を、C の対象からなる対の間の射の成す M-対象の概念に置き換えるものである。