ワイエルシュトラスの因数分解定理
次の定理が一般にワイエルシュトラスの因数分解定理と呼ばれている完全形式である。ワイエルシュトラスの積/因子定理と呼ばれることもある。
定理(完全版): f を整函数とし、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} を f の 0 以外の零点とする(多重度だけ繰り返すものとする)。f が z = 0 で位数 m ≥ 0 である零点を持つとする( z = 0 で位数 m = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する)と、整函数 g と整数の数列 { p n } {\displaystyle \{p_{n}\}} が存在し、
f ( z ) = z m e g ( z ) ∏ n = 1 ∞ E p n ( z a n ) {\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)}
となる。