シンプレクティック幾何学
T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} を正準2形式を持つシンプレクティック多様体とし、 { φ ̄ t } {\displaystyle \{{\bar {\phi }}_{t}\}} を T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} 上の完全シンプレクティック変換の 1パラメータ族とする。もし、ハミルトニアン H {\displaystyle H} が { φ ̄ t } {\displaystyle \{{\bar {\phi }}_{t}\}} の作用で不変ならば、 { φ ̄ t } {\displaystyle \{{\bar {\phi }}_{t}\}} の無限小変換は T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} 上のある関数 G {\displaystyle G} のハミルトンベクトル場であり、関数 G {\displaystyle G} はハミルトン系の第一積分である。
関数 G {\displaystyle G} がハミルトン系の第一積分であることと、 G {\displaystyle G} がハミルトニアン H {\displaystyle H} とポアソン可換、つまり { H , G } = 0 {\displaystyle \{H,G\}=0} であることとは同値である。
この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
さて、ハミルトンの変分原理によれば、運動は作用積分の停留点、すなわち
δ ∫ ( ∑ i p i d q i − H d t ) = 0 {\displaystyle \delta \int \left(\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}-H\,dt\right)=0}
を満たす相空間上の曲線として与えられ、それは上のハミルトンの正準方程式を満たすというものであった。しかし、シンプレクティック形式を用いれば変分原理を通ることなく、方程式を書き下すことが出来る。
ω 0 = ∑ i d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega _{0}=\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}}
をシンプレクティック形式 (正準2形式) とするとハミルトンの正準方程式は