マルコフ数
またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。
1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に
m n = 1 3 e C n + o ( 1 ) with C = 2.3523418721 ... {\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523418721\ldots }
で与えられることを証明した。さらに彼は、(元のディオファントス方程式の非常に良い近似である) x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z + 4 / 9 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9} がf(t) = arcosh(3t/2)に対して f ( x ) + f ( y ) = f ( z ) {\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)} と書けることを示した。
n 番目のラグランジュ数(英語版)は、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。
L n = 9 − 4 m n 2 {\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}}