平行線公準
鈍角の場合、直線は有限であるという結論を得たので、これはユークリッドの第2公準に反するとして、サッケーリはこの可能性については排除した。しかし現在、第2公準と第5公準を否定した幾何学としては例えば楕円幾何学が知られている。鋭角の場合についてサッケーリは有効な反論をすることができず、「鋭角の仮定は絶対に間違っている、なぜならそれは直線の性質に矛盾しているからだ」という表現に留めている。
1766年、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは出版こそしなかったが、Theorie der Parallellinien(平行線の理論)を著し、サッケーリのように第5公準の証明を試みた。彼は今日ランベルトの四角形と呼ばれる、3つの直角を持つ図形を使い(これは言うなればサッケーリの四角形の性質を半分だけ持っている)研究を行った。彼はサッケーリやハイヤームのように鈍角の場合についてはすぐに排除し、鋭角仮定のもとで多くの定理を導いた。サッケーリとは異なり、彼は鋭角仮定のもとで矛盾が生じたと感じることはなかった。彼は三角形の面積が減少するに連れて三角形の内角の和が増加するという非ユークリッド幾何の結果を証明し、このことで半径が虚数の球面上の幾何という考えに思いを巡らせることとなったが、しかし彼はこれ以上のこの考えを追求しなかった。
ハイヤームやサッケーリが平行線公準を証明するために鋭角仮定や鈍角仮定といった別の可能性が誤りであるということを証明しようと試みたのに対し、19世紀に数学者たちはこれら別の可能性をむしろ発展させ、最終的に論理的に矛盾のない幾何学を発見した。