リー微分
リー微分が持つ性質は多い。K を実数または複素数全体の成す体とし、K(M) を多様体 M 上の K-値関数全体の成す多元環とするとリー微分
L X : K ( M ) → K ( M ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\colon K(M)\to K(M)}
は関数環 K(M) 上の導分(微分作用素)、つまり積の微分法則
L X ( f g ) = ( L X f ) g + f L X g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g} .
を満たす K-線型写像である。また同様に X(M) を M 上のベクトル場全体の成す集合とすれば、リー微分は
L X ( f Y ) = ( L X f ) Y + f L X Y {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}
を満たすから、K(M) × X(M) 上の微分とも見なせる。同じことだがこれを
L X ( f ⊗ Y ) = ( L X f ) ⊗ Y + f ⊗ L X Y {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}
と記すこともある。ここでテンソル積の記号 ⊗ {\displaystyle \otimes } は関数とベクトル場の積が多様体全体に渡って取られていることを強調するために用いられるのである。
加えてリー微分はリー括弧積の対応する性質も持っている。例えば、ベクトル場のリー括弧積の微分
L X [ Y , Z ] = [ L X Y , Z ] + [ Y , L X Z ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}
を考えると、これはヤコビの恒等式に他ならない。ゆえに重要な結果として、M 上のベクトル場全体がつくるベクトル空間は、リー括弧積を与えることにより、リー環を成すのである。
微分形式に作用するリー微分も重要な性質を持っている。α, β を M 上の微分形式とし、X, Y を M 上のベクトル場とすると、