余因子展開
上と同様、結果が正しいことを確かめるのは容易である。実際、第1列と第3列を足すと第2列の2倍になるから行列は正則でなく、したがって行列式は 0 である。
| A | = b { 1 , 2 } c { 3 , 4 } − b { 1 , 3 } c { 2 , 4 } + b { 1 , 4 } c { 2 , 3 } + b { 2 , 3 } c { 1 , 4 } − b { 2 , 4 } c { 1 , 3 } + b { 3 , 4 } c { 1 , 2 } = | 1 2 5 6 | ⋅ | 11 12 15 16 | − | 1 3 5 7 | ⋅ | 10 12 14 16 | + | 1 4 5 8 | ⋅ | 10 11 14 15 | + | 2 3 6 7 | ⋅ | 9 12 13 16 | − | 2 4 6 8 | ⋅ | 9 11 13 15 | + | 3 4 7 8 | ⋅ | 9 10 13 14 | = − 4 ⋅ ( − 4 ) − ( − 8 ) ⋅ ( − 8 ) + ( − 12 ) ⋅ ( − 4 ) + ( − 4 ) ⋅ ( − 12 ) − ( − 8 ) ⋅ ( − 8 ) + ( − 4 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 64 + 48 + 48 − 64 + 16 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=b_{\{1,2\}}c_{\{3,4\}}-b_{\{1,3\}}c_{\{2,4\}}+b_{\{1,4\}}c_{\{2,3\}}+b_{\{2,3\}}c_{\{1,4\}}-b_{\{2,4\}}c_{\{1,3\}}+b_{\{3,4\}}c_{\{1,2\}}\\&={\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}11&12\\15&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\5&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&12\\14&16\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&4\\5&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&11\\14&15\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}2&3\\6&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&12\\13&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&11\\13&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&4\\7&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&10\\13&14\end{vmatrix}}\\&=-4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-8)+(-12)\cdot (-4)+(-4)\cdot (-12)-(-8)\cdot (-8)+(-4)\cdot (-4)\\&=16-64+48+48-64+16=0\end{aligned}}}