カジュダン–ルスティック多項式
ch  ( L w ) = ∑ y ≤ w ( − 1 ) l ( w ) − l ( y ) P y , w ( 1 ) ch  ( M y ) , ch  ( M w ) = ∑ y ≤ w P w 0 w , w 0 y ( 1 ) ch  ( L y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} (L_{w})&=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y}),\\\operatorname {ch} (M_{w})&=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y}).\end{aligned}}}
ここで w0 は W の最長元である。
これらの予想は、Beilinson & Bernstein (1981) と Brylinski & Kashiwara (1981) によって独立に証明された。一連の証明の中で導入された方法は、1980年代、1990年代を通じて、幾何学的表現論と呼ばれる手法の発展を導いた。
ルスティック・ヴォーガン多項式(これもカジュダン・ルスティック多項式と呼ばれたり、カジュダン・ルスティック・ヴォーガン多項式と呼ばれることもある)は、Lusztig & Vogan (1983) において導入された。これはカジュダン・ルスティック多項式の類似物であるが、実半単純リー群の表現論を記述するために導入されたものであり、ユニタリ双対の記述に関する予想において主要な役割を担っている。その定義はカジュダン・ルスティック多項式にくらべてより複雑であるが、それは複素半単純リー群に比べて実半単純リー群の表現が複雑であることを反映である。
表現論と直接関係する差異を両側剰余類の言葉で説明する。複素リー群 G とそのボレル部分群 B から作られる複素旗多様体 G/B 上の作用に関する類似を考える。もとのカジュダン・ルスティック多項式の場合は、
B ∖ G / B {\displaystyle B\backslash G/B}
の分解についてのもので、これはブリュア分解という古典的な主題であり、グラスマン多様体(英語版)中のシューベルト胞体以前のものである。ルスティック・ヴォーガン多項式の場合は、G の実形 GR とその極大コンパクト部分群 KR とその複素化 K を考える。このとき研究の対象は
K ∖ G / B {\displaystyle K\backslash G/B}
である。
2007年3月、E8 の分解型の場合に、ルスティック・ヴォーガン多項式が計算されたと発表された。