ピカールの逐次近似法
リプシッツ条件が満たされない場合、逐次近似列 {φn(t)} が定義されても、その収束は保証されない。そのような場合として、次の例を考える。
D = { ( t , x ) ∈ R 2 : − ∞ < t < 1 , − ∞ < x < ∞ } {\displaystyle D=\{(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:-\infty <t<1,\,-\infty <x<\infty \}}
とし、f(t, x) を
f ( t , x ) = { 0 ( − ∞ < t ≤ 0 , x ∈ R ) 2 t ( 0 < t ≤ 1 , − ∞ < x < 0 ) 2 t − 4 x t ( 0 < t ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ t 2 ) − 2 t ( 0 < t ≤ 1 , t 2 < x < ∞ ) {\displaystyle f(t,x)={\begin{cases}0&\quad (-\infty <t\leq 0,\,x\in \mathbb {R} )\\2t&\quad (0<t\leq 1,\,-\infty <x<0)\\2t-{\frac {4x}{t}}&\quad (0<t\leq 1,\,0\leq x\leq t^{2})\\-2t&\quad (0<t\leq 1,\,t^{2}<x<\infty )\end{cases}}}
次の自励系のスカラー微分方程式の初期値問題を考える。
d x ( t ) d t = x ( t ) , x ( 0 ) = 1. {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=x(t),\quad x(0)=1.}
ピカールの逐次近似法で φn(t) を構成すると
φ 1 ( t ) = 1 + ∫ 0 t 1 d s = 1 + t , φ 2 ( t ) = 1 + ∫ 0 t ( 1 + s ) d s = 1 + t + t 2 2 , ⋮ φ n ( t ) = 1 + t + t 2 2 + ⋯ + t n n ! = ∑ l = 0 n t l l ! . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=1+\int _{0}^{t}1\,ds=1+t,\\\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}(1+s)\,ds=1+t+{\frac {t^{2}}{2}},\\&\vdots \\\varphi _{n}(t)&=1+t+{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{l=0}^{n}{\frac {t^{l}}{l!}}.\end{aligned}}}
よって、解は
φ ( t ) = lim n → ∞ φ n ( t ) = e t {\displaystyle \varphi (t)=\lim _{n\to \infty }{\varphi _{n}(t)}=e^{t}}
となる。