零化イデアル
l . A n n R ( S ) {\displaystyle \ell .\mathrm {Ann} _{R}(S)\,} 、ただし S は R の部分集合、の形のイデアルの束は包含関係で順序を入れると完備束をなす。この束(あるいはその右バージョン)が昇鎖条件 (A.C.C.) か降鎖条件 (D.C.C.) を満たすような環を研究することは面白い。
R の左零化イデアルの束を L A {\displaystyle {\mathcal {LA}}\,} と書き、R の右零化イデアルの束を R A {\displaystyle {\mathcal {RA}}\,} と書く。 L A {\displaystyle {\mathcal {LA}}\,} が A.C.C. を満たすことと R A {\displaystyle {\mathcal {RA}}\,} が D.C.C. を満たすことが同値であること、そして対称的に、 R A {\displaystyle {\mathcal {RA}}\,} が A.C.C. を満たすことと L A {\displaystyle {\mathcal {LA}}\,} が D.C.C. を満たすことが同値であることが知られている。どちらかの束がこれらの鎖条件のどちらかを満たせば、R は冪等元の無限直交集合をもたない。
R が、 L A {\displaystyle {\mathcal {LA}}\,} が A.C.C. を満たし RR が有限のユニフォーム次元をもつような環であれば、R は左 Goldie 環(英語版)と呼ばれる。