コーシー・ビネの公式
| ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a 1 , k b k , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 1 n a m , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a m , k b k , m | = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n | a 1 , k 1 ⋯ a 1 , k m ⋮ ⋱ ⋮ a m , k 1 ⋯ a m , k m | | b k 1 , 1 ⋯ b k 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b k m , 1 ⋯ b k m , m | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,m}\end{vmatrix}}&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&\cdots &a_{1,k_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_{1}}&\cdots &a_{m,k_{m}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
と表現できる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k1 < ... < km ≤ n を満たす整数の組 (k1, k2, ..., km) の全てに対して取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。
代数学におけるコーシー・ビネの公式(こーしー・びねのこうしき、英: Cauchy–Binet formula)、あるいは、コーシー・ビネの定理、コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列の行列式は、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和に等しいというものであり、行列の成分が実数や複素数などの可換環において成立する。
A B = ( 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 ) , det ( A B ) = | 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 | = 20 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{vmatrix}}=20} である。
S = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2,3\}} であるから、
∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 | | 1 1 0 3 1 0 0 2 1 | = ( − 10 ) × ( − 2 ) = 20. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}}=(-10)\times (-2)=20.}
となる。