射影多様体
φ : X → P A n {\displaystyle \phi \colon X\to \mathbf {P} _{A}^{n}}
を定義する.この写像 φ は L ≅ φ ∗ ( O ( 1 ) ) {\displaystyle L\cong \phi ^{*}({\mathcal {O}}(1))} および s i = φ ∗ ( x i ) {\displaystyle s_{i}=\phi ^{*}(x_{i})} を満たす.さらに,φ が closed immersion であることと, X i {\displaystyle X_{i}} たちがアファインで Γ ( U i , O P A n ) → Γ ( X i , O X i ) {\displaystyle \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{A}^{n}})\to \Gamma (X_{i},{\mathcal {O}}_{X_{i}})} が全射であることと同値である.
S 上のスキーム X 上の直線束(可逆層) L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が S に対して非常に豊富であるとは, there is an immersion (i.
E ⊂ P n {\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}} を線型部分空間とする,すなわち,ある線型独立な線型汎関数 si たちに対して E = { s 0 = s 1 = ⋯ = s r = 0 } {\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\dots =s_{r}=0\}} である.このとき E からの射影は (well-defined な) 射
φ : P n − E → P r , x ↦ [ s 0 ( x ) : ⋯ : s r ( x ) ] {\displaystyle \phi \colon \mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r},\,x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]}
である.
この写像の幾何学的記述は以下のようである. P r ⊂ P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}} と見て,したがってそれは E と交わらない.すると,任意の x ∈ P n − E {\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}-E} に対して, φ ( x ) = W x ∩ P r {\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r}}
である,ただし Wx で E と x を含む最小の線型空間(E と x の結び(英語版)と呼ばれる)を表した.
射影多様体 X を定義する素イデアル P は斉次だから,斉次座標環
R = k [ x 0 , ... , x n ] / P {\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}
は次数環である,すなわち,その次数成分の直和として書ける:
R = ⨁ n ∈ N R n . {\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbf {N} }R_{n}.}
ある多項式 P が存在して, dim  R n = P ( n ) {\displaystyle \dim R_{n}=P(n)} が十分大きいすべての n に対して成り立つ.この多項式は X のヒルベルト多項式と呼ばれる.それは X の外在的な幾何をエンコードする数値的不変量である.P の次数は X の次元(英語版) r であり,その頭係数に r!
代数幾何学において,代数閉体 k 上の射影多様体(しゃえいたようたい,英: projective variety)とは,k 上の(n 次元)射影空間 P の部分集合であって,素イデアルを生成する k 係数 n + 1 変数斉次多項式の有限族の零点集合として書けるものをいう.そのようなイデアルは多様体の定義イデアルと呼ばれる.あるいは同じことだが,代数多様体が射影的であるとは,P のザリスキ閉部分多様体として埋め込めるときにいう.
1次元の射影多様体は射影曲線と呼ばれ,2次元だと射影曲面,余次元 1 だと射影超曲面と呼ばれる.射影超曲面は単独の斉次式の零点集合である.
射影多様体 X が斉次素イデアル I によって定義されているとき,商環
k [ x 0 , ... , x n ] / I {\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}
は X の斉次座標環と呼ばれる.次数や次元のような基本的な不変量は,この次数環のヒルベルト多項式から読み取ることができる.
射影多様体は多くの方法で生じる.それらは完備(英語版)であり,荒っぽく言えば「抜けている」点がない.逆は一般には正しくないが,チャウの補題(英語版)はこの2つの概念の近い関係を記述する.多様体が射影的であることは直線束や因子を調べることによって示される.