部分積分
部分積分の解析学におけるいくつかの応用例を挙げる。
次の例として arctan  x {\textstyle \arctan x} の積分を考える。
I = ∫ arctan  x d x {\displaystyle I=\int \arctan x\,dx}
これを以下のように書き換える。
∫ arctan  ( x ) ⋅ 1 d x {\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx}
次のようにおくと、
u = arctan  x ⇒ tan  u = x ⇒ sec 2  u d u = d x ⇒ ( 1 + tan 2  u ) d u = d x ⇒ d u = d x 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}u=\arctan x&\Rightarrow \tan u=x\\&\Rightarrow \sec ^{2}u\,du=dx\\&\Rightarrow (1+\tan ^{2}u)\,du=dx\\&\Rightarrow du={\frac {dx}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}