ボルンの規則
A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の固有値の全体が連続ならば、スペクトル定理よりある射影値測度 Q {\displaystyle Q} 、スペクトル測度 A {\displaystyle A} が存在する。この場合、
可測集合 M {\displaystyle M} での測定値の確率は ⟨ ψ | Q ( M ) | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle } で与えられる。
もし位置空間の構造を持たない1粒子波動関数 ψ {\displaystyle \scriptstyle \psi } が与えられた場合、時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} で位置を測定したときの確率密度関数 p ( x , y , z ) {\displaystyle p(x,y,z)} は p ( x , y , z ) = | ψ ( x , y , z , t 0 ) | 2 {\displaystyle p(x,y,z)=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}} で与えられる。
固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} に m {\displaystyle m} 個の固有ベクトル { | λ i , 1 ⟩ , | λ i , 2 ⟩ , ... , | λ i , m ⟩ } {\displaystyle \{|\lambda _{i},1\rangle ,|\lambda _{i},2\rangle ,\dots ,|\lambda _{i},m\rangle \}} が対応しているとき「固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} に m {\displaystyle m} 重の縮退がある」という。このとき固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} の射影演算子を
P i ^ ≡ | λ i , 1 ⟩ ⟨ λ i , 1 | + | λ i , 2 ⟩ ⟨ λ i , 2 | + ⋯ + | λ i , m ⟩ ⟨ λ i , m | {\displaystyle {\hat {P_{i}}}\equiv |\lambda _{i},1\rangle \langle \lambda _{i},1|+|\lambda _{i},2\rangle \langle \lambda _{i},2|+\dots +|\lambda _{i},m\rangle \langle \lambda _{i},m|}
とすると、縮退がない場合と同じボルンの規則を使って、測定値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} が得られる確率を計算することができる。縮退が無い場合はある固有値に属する固有空間は1次元となるが、縮退がある場合は多次元となる。