連続一様分布
連続一様分布の確率密度関数は次の通りである。
f ( x ) = { 1 b − a for a ≤ x ≤ b , 0 for x < a or x > b , {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[1ex]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b,\end{cases}}}
2つの境界 a と b での値は、f(x) dx の任意の区間での積分に影響を与えないし、x f(x) dx の積分にも影響を与えないため、通常あまり重視されない。したがって、0 とする場合もあるし、1/b − a とする場合もある。後者は最尤法による推定の場合によく見られる。フーリエ解析においては、f(a) や f(b) の値を 1/2(b − a) とすることもある。そうすると、この一様関数の積分変換の逆変換は元の関数自身に戻る。さもないと「ほとんど至るところで」等しい関数に戻る。すなわち、零集合以外で等しい関数になる。また、このような曖昧さのない符号関数の定義とも一貫する。
X1, ..., Xn が U(0, 1) からの独立同分布 (i.i.d.) の標本とする。X(k) がこの標本における k番目の順序統計量とする。すると、X(k) の確率分布は k と n − k + 1 を母数とするベータ分布である。期待値は次のようになる。
E  ( X ( k ) ) = k n + 1 {\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={\frac {k}{n+1}}}
このことは、Q-Qプロットを作成する際に便利である。 分散は次のようになる。
Var  ( X ( k ) ) = k ( n − k + 1 ) ( n + 1 ) 2 ( n + 2 ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}