微分同相写像
微分同相写像でない同相写像を見つけるのは容易だが、微分同相でない同相多様体の対を見つけることはより難しい。次元 1, 2, 3 において、同相で滑らかな多様体の任意の対は微分同相である。次元 4 かまたはそれより上において、同相だが微分同相でない対の例が見つかっている。最初のそのような例はジョン・ミルナー (John Milnor) によって 7 次元において構成された。彼は標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない(今ではミルナー球面(英語版)と呼ばれる)滑らかな 7 次元多様体を構成した。実は 7 次元球面に同相な多様体の向き付けられた微分同相類は 28 存在する(そのそれぞれは 3 次元球面をファイバーとして持つ 4 次元球面上のファイバー束の全空間である。
はるかに極端な現象は4次元多様体に対して起こる: 1980年代初頭、サイモン・ドナルドソン (Simon Donaldson) とマイケル・フリードマン (Michael Freedman) による結果を合わせてエキゾチック R4の発見が導かれた: それぞれが R に同相な R の開部分集合でどの 2 つも微分同相でないものが非可算個存在し、また、R に滑らかに埋め込めない R に同相などの 2 つも微分同相でない可微分多様体が非可算個存在する。
{\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}
g が 0 において局所微分同相写像であることと a 1 , 0 b 0 , 1 − a 0 , 1 b 1 , 0 ≠ 0 , {\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}
すなわち g の成分の線型項は多項式として線型独立であることが同値であることがわかる。
h ( x , y ) = ( sin  ( x 2 + y 2 ) , cos  ( x 2 + y 2 ) ) {\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right)}
とする。ヤコビ行列を計算できる: J h = ( 2 x cos  ( x 2 + y 2 ) 2 y cos  ( x 2 + y 2 ) − 2 x sin  ( x 2 + y 2 ) − 2 y sin  ( x 2 + y 2 ) ) . {\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}
ヤコビ行列はすべての点で行列式 0 である!実は h の像は単位円であることがわかる。