ランジュバン動力学
上式において U ( X ) {\displaystyle U(X)} は粒子の相互作用ポテンシャル、 ∇ {\displaystyle \nabla } は − ∇ U ( X ) {\displaystyle -\nabla U(X)} が粒子の相互作用ポテンシャルから計算される力であるような勾配演算子、ドットは X ̇ {\displaystyle {\dot {X}}} が速度、 X ̈ {\displaystyle {\ddot {X}}} が加速度であるような時間導関数、Tは温度、kBはボルツマン定数、 R ( t ) {\displaystyle R(t)} はゼロ平均デルタ相関定常ガウス過程であり、
⟨ R ( t ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle R(t)\right\rangle =0}
⟨ R ( t ) R ( t ′ ) ⟩ = δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left\langle R(t)R(t')\right\rangle =\delta (t-t')}
を満たす。ここで、 δ {\displaystyle \delta } はディラックのデルタ関数である。
主な目的が温度の制御ならば、小さな減衰定数 γ {\displaystyle \gamma } の使用に注意を払わなければならない。 γ {\displaystyle \gamma } が大きくなるにつれて、慣性レジームから拡散(ブラウン)レジームへと大きく広がる。ブラウン動力学(英語版)は過剰減衰したランジュバン動力学(すなわち平均加速度が起こらないランジュバン動力学)と見なすことができる。
ランジュバン方程式は確率変数Xの確率分布を支配するフォッカー・プランク方程式として再定式化できる。