リプシッツ連続
d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) d X ( x 1 , x 2 ) ≤ K ( ∀ x 1 , x 2 ∈ X ) {\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}
を満たすこととすることもできる。実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
写像 f が局所リプシッツ連続であるとは、任意の x ∈ X に対して x の近傍 U を適当に選べば f の U への制限 がリプシッツ連続であるときに言う。あるいは同じことだが、X が局所コンパクト距離空間ならば、f が局所リプシッツであるための必要十分条件は X の任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続となることである。局所コンパクトでないときには、これは必要だが十分でない。
より一般に、X 上で定義された関数 f がヘルダー連続である、または X 上で次数 α > 0 のヘルダー条件を満足するとは、定数 M > 0 が存在して