ラムダ計算
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もし e ⌜ e ⌝ {\displaystyle e\ulcorner e\urcorner } が正規形を持つならば、 e ⌜ e ⌝ {\displaystyle e\ulcorner e\urcorner } は Ω {\displaystyle \Omega } にベータ簡約される。するとチャーチ・ロッサーの定理より、 Ω {\displaystyle \Omega } は e ⌜ e ⌝ {\displaystyle e\ulcorner e\urcorner } と共通のラムダ式にベータ簡約できるから、 Ω {\displaystyle \Omega } は正規形を持つ。これは矛盾。したがって e ⌜ e ⌝ {\displaystyle e\ulcorner e\urcorner } は正規形を持たない。すると e ⌜ e ⌝ {\displaystyle e\ulcorner e\urcorner } は λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} にベータ簡約されることになる。ラムダ式 λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} は正規形であるので、やはり矛盾。したがって X {\displaystyle X} のようなラムダ式は存在しない。