区分行列
本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列
P = [ A B C D ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}
の逆行列を与える。
まず、行列式について、
| P | = | A | | D − C A − 1 B | {\displaystyle |P|=|A||D-CA^{-1}B|\,}
が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CAB も正則であることであり、このとき逆行列は
[ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}