核作用素
ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の作用素
L : H → H {\displaystyle {\mathcal {L}}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
は、次のような形式で記述できるとき、コンパクト作用素であると言われる:
L = ∑ n = 1 N ρ n ⟨ f n , ⋅ ⟩ g n {\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}
ここで 1 ≤ N ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq N\leq \infty } であり、 f 1 , ... , f N {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{N}} と g 1 , ... , g N {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{N}} は(必ずしも完備ではない)正規直交集合を表す。 ρ 1 , ... , ρ N {\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{N}} は実数の集合で、それらは N = ∞ {\displaystyle N=\infty } に対して ρ n → 0 {\displaystyle \rho _{n}\to 0} となるような、作用素の特異値である。ブラケット ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、ヒルベルト空間上のスカラー積を表す。右辺の和は、ノルムについて収束するものとする。
より主要な内容については、フレドホルム核を参照。
トレースクラス作用素の定義は、1955年、アレクサンドル・グロタンディークによって一般的なバナッハ空間へと拡張された。
A と B をバナッハ空間とする。A' を、A の双対、すなわち、通常のノルムを備える A 上のすべての連続あるいは(同値であるが)有界作用素の集合とする。このとき、作用素
L : A → B {\displaystyle {\mathcal {L}}:A\to B}
は、 ‖ g n ‖ ≤ 1 {\displaystyle \Vert g_{n}\Vert \leq 1} を満たすベクトルの列 { g n } ∈ B {\displaystyle \{g_{n}\}\in B} と、 ‖ f n ∗ ‖ ≤ 1 {\displaystyle \Vert f_{n}^{*}\Vert \leq 1} を満たす汎函数の列 { f n ∗ } ∈ A ′ {\displaystyle \{f_{n}^{*}\}\in A'} および
inf { p ≥ 1 : ∑ n | ρ n | p < ∞ } = q {\displaystyle \inf \left\{p\geq 1:\sum _{n}|\rho _{n}|^{p}<\infty \right\}=q}