状態方程式 (熱力学)
として、弾性コンプライアンスで表される。
歪みの温度による微分は
( ∂ ε k l ∂ T ) σ = α k l ( σ , T ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \epsilon _{kl}}{\partial T}}\right)_{\sigma }=\alpha _{kl}(\sigma ,T)}
として熱歪みで表される。 従って、歪みの全微分は
d ε k l = K k l i j d σ i j + α k l d T {\displaystyle d\epsilon _{kl}=K_{klij}\,d\sigma _{ij}+\alpha _{kl}\,dT}
となる。 応力の全微分は
d σ i j = E i j k l d ε k l − E i j k l α k l d T {\displaystyle d\sigma _{ij}=E_{ijkl}\,d\epsilon _{kl}-E_{ijkl}\,\alpha _{kl}\,dT}
となる。
この式で、V = V0 において、右辺括弧内がゼロになり、Etot(V0)となる。
上式は、全エネルギーと体積との関係式であるが、マーナハンの式には圧力と体積との関係式、
P ( V ) = B B ′ [ ( V 0 V ) B ′ − 1 ] {\displaystyle P(V)={\frac {B}{B'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{B'}-1\right]}
がある。このような固体における圧力‐体積などの関係式(状態方程式)にはいくつか派生型が存在する。マーナハンの式は指数関数を含むため、取り扱いが難しい。そのため応用上問題の無い範囲に近似を行い、多項式で展開し直したバーチ・マーナハン(Birch-Murnaghan)の式がよく使われる。