ベズー整域
環がベズー整域であることと整域であって任意の2つの元がそれらの線型結合である最大公約元をもつことは同値である。これは次のステートメントと同値である。2つの元で生成されたイデアルはただ1つの元でも生成できて、帰納法によってすべての有限生成イデアルは単項イデアルである。PID の2つの元の最大公約元の線型結合としての表現はしばしばベズーの等式と呼ばれるが、用語はそこから来ている。
上記の gcd 条件は単に gcd が存在するという条件よりも強いことに注意せよ。任意の 2 元に対して gcd が存在する整域はGCD整域と呼ばれ、したがってベズー整域は GCD 整域である。とくに、ベズー整域において、既約元は素元である(しかし代数的整数の例からわかるように、それらが存在する必要はない)。
ベズー整域 R に対して、以下の条件は全て同値である。
R は主イデアル整域
R はネーター
R は一意分解整域
R は主イデアルに対する昇鎖条件 (ACCP) を満たす
R のすべての非零非単元は既約元の積に分解する(R は原子整域(英語版)である)
(1) と (2) の同値性は上で述べた。ベズー整域は GCD 整域であるから、ただちに (3), (4), (5) の同値性が従う。最後に、R がネーターでなければ、有限生成イデアルの無限昇鎖列が存在するので、ベズー整域において主イデアルの無限昇鎖が存在する。(4) と (2) はしたがって同値である。