中心 (代数学)
G {\displaystyle G} の中心は部分群である。なぜならば、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} の元とすると、任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して、
( x y ) g = x ( y g ) = x ( g y ) = ( x g ) y = ( g x ) y = g ( x y ) {\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}
なので、 x y {\displaystyle xy} も中心に入る。同様にして、 x − 1 {\displaystyle x^{-1}} も中心に入る。
x − 1 g = ( g − 1 x ) − 1 = ( x g − 1 ) − 1 = g x − 1 {\displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}} .
群の単位元 e {\displaystyle e} は常に中心に入る。