一般化アペル多項式
c ( w ) = 1 A ( w ) d d w A ( w ) = ∑ n = 0 ∞ c n w n {\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}}
が存在する。今
K ( z , w ) = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) w n {\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}
を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。
z n + 1 d d z [ p n ( z ) z n ] = − ∑ k = 0 n − 1 c n − k − 1 p k ( z ) − z ∑ k = 1 n − 1 b n − k d d z p k ( z ) . {\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}
ブレンケ多項式の特別な場合として、 g ( w ) = w {\displaystyle g(w)=w} が得られ、したがって b n = 0 {\displaystyle b_{n}=0} が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。