微分ガロア理論
しかし、いわゆる初等関数の定義にいくら沢山の関数を追加しても、その不定積分が初等関数にならない関数が存在する。
微分ガロア理論(びぶんがろありろん、英:differential Galois theory) の理論を用いれば、どの初等関数の不定積分が初等関数で表せないか、決定することができる。 微分ガロア理論は、ガロア理論のモデルを基礎にした理論である。 代数的ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体(びぶんたい、英:differential field)、つまり微分(びぶん、英:derivation)または微分子(びぶんし、differentiation) D を持つ体の拡大を研究する。 微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。 両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は代数群であり、代数的ガロア理論ではクルル位相を備えた副有限群である点である。