極座標系
∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d y e − ( x 2 + y 2 ) = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ d r r e − r 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})}=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }dr\,re^{-r^{2}}}
左辺の積分は、このままの状態で解くのは困難だが、右辺の形にすれば、
∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ d r r e − r 2 = 2 π × ( − 1 / 2 ) e − r 2 | 0 ∞ = π {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }dr\,re^{-r^{2}}=2\pi \times (-1/2)e^{-r^{2}}{\Big |}_{0}^{\infty }=\pi }
と解くことができる。