帰納極限
順極限の圏論的双対は逆極限(射影極限)であり、より一般の概念として圏論における極限と余極限が定義される。用語法が少々紛らわしいが、順極限は余極限であって(圏論的)極限は逆極限である。
本節では、対象はある決まった代数的構造(例えば群や環あるいは適当に固定された環上の加群や多元環など)をもつ集合とする。このとき準同型は、考えている代数系におけるものを考えることにする。
まず、対象と射(準同型)のなす直系または順系 (direct system) あるいは帰納系 (inductive system) と呼ばれるものの定義から始める。⟨I, ≤⟩ を有向集合とし、{Ai | i ∈ I} を I で添字付けられた対象の族、fij: Ai → Aj (i ≤ j) を準同型の族として、以下の条件
fii は Ai の恒等写像であり、
任意の i ≤ j ≤ k に対して fik = fjk ∘ fij が成立する。
が満たされるとき、対、⟨Ai, fij⟩ は I 上の帰納系と呼ばれる。
帰納系 ⟨Ai, fij⟩ の帰納極限 A の台集合は、Ai の直和集合の適当な同値関係 ∼ による商集合
lim →  A i = ⨆ i A i / ∼ {\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}{\sim }}