離散群
位相群は等質空間であるから,位相群が離散的であるかどうかを決定するには一点を見るだけでよい.とくに,位相群が離散的であることと単位元のみからなるシングルトンが開集合であることは同値である.
離散群は 0 次元リー群と同じものである(非可算離散群は第二可算でないため,リー群にこの公理を課す著者はこれらの群をリー群とはみなさない).離散群の単位元成分(英語版)は単に自明な部分群であり,成分群(英語版)は群自身に同型である.
有限集合上のハウスドルフ位相は離散的なものしかないから,有限ハウスドルフ位相群は離散的でなければならない.したがってハウスドルフ群の任意の有限部分群は離散的である.
G の離散部分群 H が余コンパクト (cocompact) とは,HK = G なる G のコンパクト部分集合 K が存在することをいう.
離散正規部分群は被覆群(英語版)や局所同型群(英語版)の理論において重要な役割を果たす.連結群 G の離散正規部分群は G の中心に入っていなければならず,したがってアーベルである.
他の性質:
任意の離散群は完全不連結である.
離散群の任意の部分群は離散的である.
離散群の任意の商群は離散的である.
有限個の離散群の直積は離散的である.
離散群がコンパクトであることと有限であることは同値である.
任意の離散群は局所コンパクトである.
ハウスドルフ群の任意の離散部分群は閉である.
コンパクトハウスドルフ群の任意の離散部分群は有限である.