銀河の回転曲線問題
銀河円盤が無限に薄く, その質量分布が軸対称であるとき, 円柱座標 ( R , φ , z ) {\displaystyle (R,\phi ,z)} での質量密度 ρ ( R , φ , z ) {\displaystyle \rho (R,\phi ,z)} は面密度 Σ ( R ) {\displaystyle \Sigma (R)} を用いて ρ ( R , φ , z ) = Σ ( R ) δ ( z ) {\displaystyle \rho (R,\phi ,z)=\Sigma (R)\delta (z)} と書ける. この分布がつくる重力場 Φ {\displaystyle \Phi } はやはり軸対称であり, 銀河面 z = 0 {\displaystyle z=0} 上ではそれは
Φ ( R , 0 ) = − 4 G ∫ 0 R d ρ R 2 − ρ 2 ∫ ρ ∞ d R ′ R ′ Σ ( R ′ ) R ′ 2 − ρ 2 {\displaystyle \Phi (R,0)=-4G\int _{0}^{R}{\frac {d\rho }{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}}\int _{\rho }^{\infty }dR'{\frac {R'\Sigma (R')}{\sqrt {R'^{2}-\rho ^{2}}}}}
により与えられる. 銀河面内での円軌道速度 v c ( R ) = R ∂ R Φ ( R , 0 ) {\displaystyle v_{c}(R)={\sqrt {R\partial _{R}\Phi (R,0)}}} は, 面密度 Σ ( R ) {\displaystyle \Sigma (R)} から積分