多項式の根
奇数次の実係数多項式は少なくとも一つ実根を持つ
以下、K は可換体、P は K に係数を持つ一不定元多項式とする。体 K の拡大体とは K を部分体として含む体をいう(例えば R および C は Q の拡大である)。
さて L1 および L2 が P を分解する K の二つの拡大であるとき、L1 の元としての P の根と L2 の元としての P の根は「同じ」ものなのかという問いが自然に生じてくる。これには以下のような同値性が存在する: P の根をすべて含む L1 の部分拡大(P の(最小)分解体と呼ばれる)および L2 の同様の部分拡大が存在して、これら二つの K の部分拡大は一致する。例として、K = Q, P = X – 2 とすれば、P の分解体は a + b√2 (a, b は有理数) なる形の数全体の成す集合である。この集合は(一意でない体の同型により)実数体 R および代数的数体 Q の一意な部分体として同一視できる。したがって、根の対 {√2, –√2} を R に埋め込んだものは Q に埋め込んだものと同じものと考えることができる。