関数方程式
数学、及びその応用分野において、関数方程式(かんすうほうていしき、functional equation)は、単一の(または複数の)関数のある点と他の点での値の関係を示す方程式である。関数の性質は、与えられた条件を満たす関数方程式の種類などをもとに決定することができる。通常は代数方程式に帰着できない方程式を指す。
リーマンゼータ関数やその類似物が満たす特殊な関数方程式は、関数等式と呼ばれることが多い。
(2-1) これに f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} を代入すると、 f ′ ( y ) = f ′ ( 0 ) ( 1 − f ( y ) 2 ) {\displaystyle f'(y)=f'(0)(1-f(y)^{2})}
この微分方程式を解き、 f ( y ) = tanh  ( f ′ ( 0 ) y ) {\displaystyle f(y)=\tanh(f'(0)y)}
対称性より、 f ( x ) = tanh  ( f ′ ( 0 ) x ) {\displaystyle f(x)=\tanh(f'(0)x)}
(2-2) 以下、複号同順とする。
これに f ( 0 ) = ± 1 {\displaystyle f(0)=\pm 1} を代入すると、 f ′ ( y ) = 0 {\displaystyle f'(y)=0}
この微分方程式を解き、 f ( y ) = ± 1 {\displaystyle f(y)=\pm 1}
対称性より、 f ( x ) = ± 1 {\displaystyle f(x)=\pm 1}
(なお、※はtanh関数の加法定理に相当し、(2-2)の解は(2-1)の解の漸近線を表す。)