三次方程式
根と係数の関係により s0 = −A2 であることが分かるので s1 と s2 の二つが分かれば解が求まることになる。ここで rm と rn を入れ替える互換を σm,n と書けば
(σ0,1 s1) = r1 + ω r0 + ω r2
ω (σ0,1 s1) = r0 + ω r1 + ω r2 = s2
が得られる。両辺を三乗することにより
σ0,1 s1 = s2
同様に
σ0,1 s2 = s1
σ0,2 σ1,2 も計算してみれば分かる通り、これらの互換は s1 と s2 の入れ替えしかない。つまり s1 + s2 と s1 s2 は r0, r1, r2 の対称式であり、それらの基本対称式で表される。すなわち s1 と s2 を解とする二次方程式
(z − s1)(z − s2) = z −(s1 + s2) z + s1 s2 = 0
の係数は、元の三次方程式の係数 A2, A1, A0 で表されることになる。実際にこれは
z 2 − ( − 2 A 2 3 + 9 A 1 A 2 − 27 A 0 ) z + ( A 2 2 − 3 A 1 ) 3 = 0 {\displaystyle z^{2}-\left(-2{A_{2}}^{3}+9A_{1}A_{2}-27A_{0}\right)z+\left({A_{2}}^{2}-3A_{1}\right)^{3}=0}
三次方程式
x + p x + q = 0
にカルダノの公式を適用すると
( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 < 0 {\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0}
の時に負の数の平方根が現れる。これは、この三次方程式の判別式
D = −(4p + 27q) > 0
と同値な条件であり、相異なる 3 個の実数解を持つ条件である。実数解しかないのにもかかわらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。
ラファエル・ボンベリ (Rafael Bombelli) は、この場合を詳しく研究し1572年に出版した『代数学』(Algebra) に記した。形式的な計算ではあるものの、当時はまだ知られていない虚数の計算と同じであった。ボンベリは
x = 15x + 4
という x = 4 を解に持つ方程式を例に挙げた。この方程式をカルダノの公式で計算してみると