ネーターの定理
ポアソン括弧の歪対称性より
{ H , G δ } = − { G δ , H } = − d G δ d t = 0 {\displaystyle \{H,G_{\delta }\}=-\{G_{\delta },H\}=-{\frac {\mathrm {d} G_{\delta }}{\mathrm {d} t}}=0}
よって G δ {\displaystyle G_{\delta }} は時間不変である。
( ∂ A ∂ p i , − ∂ A ∂ q i ) {\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}\right)} は位相空間上のAの等高線に沿ったベクトルと考えることができる。これを「 A {\displaystyle A} が生み出す流れ」と呼ぶと、ポアソン括弧 { A , B } {\displaystyle \{A,B\}} は、「Bが生み出す流れに沿ったAの変化」と考えることができる。ネーターの定理の一般化は次のようになる。
{ A , B } = 0 {\displaystyle \{A,B\}=0} ならば、 { B , A } = 0 {\displaystyle \{B,A\}=0}
もしくは
AがBの生み出す流れについて不変であるとき、BもAの生み出す流れについて不変である。
ハミルトニアンHは時間変化の生成子であるため、もしHがある観測量Aの生み出す流れについて不変であれば、
AはHの生み出す流れ、つまり時間について不変である。
例1:運動量
座標変換において、無限小の平行移動を考える。
x μ → x ′ μ = x μ + ε μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+\epsilon ^{\mu }}
( δ x μ = ε μ {\displaystyle \delta x^{\mu }=\epsilon ^{\mu }} である。) これに付随する場の無限小変換は
φ i ( x ) → φ i ′ ( x ′ ) = φ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\to \phi '_{i}(x')=\phi _{i}(x)}
であり、ネーターカレントは
T ν μ = ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) ∂ ν φ i − δ ν μ L {\displaystyle T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}
S [ q ε ] = ∫ t I + ε T t F + ε T d t ′ L ( q ε ( t ′ ) , q ̇ ε ( t ′ ) , t ′ ) {\displaystyle S[q_{\epsilon }]=\int _{t_{I}+\epsilon T}^{t_{F}+\epsilon T}\!\!\!\!\!\mathrm {d} t'\,L(q_{\epsilon }(t'),{\dot {q}}_{\epsilon }(t'),t')}
を ε {\displaystyle \epsilon } の関数としてみたとき、
d S [ q ε ] d ε | ε = 0 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S[q_{\epsilon }]}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}=0}
となることである。
この微分を計算すると、