解析的整数論
オイラーは、算術の基本定理が(少なくとも形式的には)オイラー積
s > 1 {\displaystyle s>1} で、 p {\displaystyle p} を素数とすると、 ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p ∞ 1 1 − p − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
を意味することを示した。素数の無限性のオイラーによる証明は、s = 1 における左辺の発散(いわゆる調和級数)を用いており、純粋な解析的結果である。オイラーはまた、整数の性質の研究を目的に解析的議論を、特に生成べき級数の構成を通して初めて行った。これが解析的整数論の始まりであった。
後日、リーマンは、複素数の s についてこの函数を考え、s = 1 で単純な極を持ち全平面上の有理型函数へ拡大することができることを示した。今日、この函数はリーマンゼータ函数として知られ、ζ(s) と記す。この函数に関して多くの文献がある。函数はより一般的なディリクレのL-函数の特殊な場合である。
解析的整数論の学者は、素数定理のような近似誤差に興味を持っていることがある。この場合、誤差は x/log x よりも小さい。
π(x) についてのリーマンの公式は、近似の誤差項をゼータ函数の零点で表現できることを示している。1859年の論文 "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude" で、リーマンは ζ のすべての「非自明」な零点は直線 R ( s ) = 1 / 2 {\displaystyle \,\Re (s)=1/2} の上にあることを予想したが、この予想は未だ証明されていない。この有名な長い間研究されている予想はリーマン予想として知られ、数論において深い意味を持つ。実際、多くの重要な定理が予想を正しいとする前提の下で証明されている。たとえば、リーマン予想を前提とすると、素数定理の誤差項は O ( x 1 / 2 + ε ) {\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })} である。
20世紀初め、ハーディとリトルウッドは、リーマン予想を証明する試みの中でゼータ函数についての多くの結果を証明した。実際、1914年、ハーディは臨界線
R ( z ) = 1 / 2. {\displaystyle \,\Re (z)=1/2.\,}
の上に、無限に多くの零点があることを証明した。このことは、臨界線上の零点の密度を記述するいくつかの定理を導いた。