ゼルニケ多項式
動径部分は以下の直交関係を満たす。
∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ( ρ ) 2 n ′ + 2 R n ′ m ( ρ ) d ρ = δ n , n ′ {\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}}
偏角部分については、初等的な計算により、
∫ 0 2 π cos  ( m φ ) cos  ( m ′ φ ) d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},}
∫ 0 2 π sin  ( m φ ) sin  ( m ′ φ ) d φ = ( − 1 ) m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,}