CR多様体
接コーシー・リーマン複体に付随して,CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} が次で定義される:
◻ b := ∂ ̄ b ∂ ̄ b ∗ + ∂ ̄ b ∗ ∂ ̄ b {\displaystyle \Box _{b}:={\overline {\partial }}_{b}{\overline {\partial }}_{b}^{*}+{\overline {\partial }}_{b}^{*}{\overline {\partial }}_{b}}
ここで, ∂ ̄ b ∗ {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}} は ∂ ̄ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} の L 2 ( M ) {\displaystyle L^{2}(M)} についての形式的共役を表すとする(体積形式は,CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする).作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} は,非負自己共役である.コンパクトな強擬凸CR多様体について,作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} は正の離散固有値をもつ.その核空間は,CR関数から構成されるため,無限次元である.もし,作用素 ◻ b {\displaystyle \Box _{b}} の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合,閉値域をもつ.
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして,与えられたCR多様体が,複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある.
大域的なCR埋め込み問題について,実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については,Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された.
実3次元の場合は,反例が存在する: 3次元球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない.この例は,Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).
局所的なCR埋め込み問題について,実3次元の場合には, Louis Nirenberg による反例が存在する.実7次元以上の場合は,倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された.
実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は,未解決である.
{\displaystyle [L_{j},{\overline {L}}_{j}]=-2iT.}
ただし, T := ∂ ∂ t {\displaystyle T:={\frac {\partial }{\partial t}}} とする. 上の等式を用いれば,簡単な計算によって,コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:
◻ b = − 1 2 ∑ j = 1 n ( L j L ̄ j + L ̄ j L j ) + i n T . {\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L}}_{j}+{\overline {L}}_{j}L_{j})+inT.}
右辺の1番目の項は,実作用素である(実際に,コーンラプラシアンの実部となっている).これをサブラプラシアンといい, Δ b {\displaystyle \Delta _{b}} で表すことが多い.部分積分から,非負であることがすぐにわかる.このとき, ◻ b = Δ b + i n T {\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+inT} と表すこともできる.