進化的安定戦略
以上までで述べた一般的なフレームワークにおける進化的安定性の定義を述べる前に、行列ゲームを上述のフレームワークにおいて再定式化する。このためにn通りの純粋戦略1,...,nが取れる行列ゲームを考え、その利得関数をEとする。さらにΠを個体群とし、Pを個体群Πの中にいる一匹の個体とし、Pが取る混合戦略を σ = ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma =(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} とする。
前章で述べた行列ゲームでは、Pは個体群Πの中のいずれか一匹の個体と一度だけゲームを行う事を前提としていた。しかし本章で述べる一般的フレームワークにおいては、Πの中の複数の個体と闘争する事を前提としている。より正確に言うと、定数kを固定し、以下のようなゲームをk回繰り返す:
Πの中から一様ランダムに一匹の個体Qを選ぶ(Qはk回行う各ゲームで毎回独立に選ばれる)。
PとQが利得関数Eを持つ行列ゲームを行う。
そしてこのようなゲームにおけるPの平均利得を E ( σ , Π ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\Pi )} と表記する(ここで我々は前節で述べたように記号を混用して個体群Πの個体群戦略にもΠという記号を用いている)。
Πの個体群戦略が混合戦略τにより
このとき個体戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} が ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} に関して σ {\displaystyle \sigma } より進化的に安定であるとは、 0 < ε 0 ≤ 1 {\displaystyle 0<\varepsilon _{0}\leq 1} を満たす実数 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} が存在し、 0 < ε < ε 0 {\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}} を満たす任意の実数 ε {\displaystyle \varepsilon } に対し、
E ( σ ∗ , ( 1 − ε ) δ σ ∗ + ε δ σ ) > E ( σ , ( 1 − ε ) δ σ ∗ + ε δ σ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma _{*},(1-\varepsilon )\delta _{\sigma _{*}}+\varepsilon \delta _{\sigma })>{\mathcal {E}}(\sigma ,(1-\varepsilon )\delta _{\sigma _{*}}+\varepsilon \delta _{\sigma })}
が成立する事を言う。
特に σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} が ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} に関して任意の σ ∈ X {\displaystyle \sigma \in X} より進化的に安定であるとき、 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} は ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} に関して進化的に安定であるという。
f i ( p ( t ) ) = ( A p ( t ) ) i {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))=(A\mathbf {p} (t))_{i}}
なので、これを利用して離散レプリケーター方程式の具体的な形を書き下す事ができる。より一般に各個体が行列ゲームの利得以外に「背景利得」(background payoff)βを得られる場合、すなわち
f i ( p ( t ) ) = ( A p ( t ) ) i + β {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))=(A\mathbf {p} (t))_{i}+\beta }
の場合には、離散レプリケーター方程式の具体的な形は
p i ( t + 1 ) = ( A p ( t ) ) i + β p ( t ) T A p ( t ) + β p i ( t ) for i = 1 , ... , n {\displaystyle p_{i}(t+1)={(A\mathbf {p} (t))_{i}+\beta \over \mathbf {p} (t)^{T}A\mathbf {p} (t)+\beta }p_{i}(t)~~~~~~{\text{for }}i=1,\ldots ,n} ...(Eq-R5)
である。
を満たし、 E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) = 0 {\displaystyle E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))=0} の場合は既に述べたようにs>tに対し x ( s ) = 0 {\displaystyle x(s)=0} であるので、以下
E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) > 0 {\displaystyle E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))>0}
であるとしてよい。
次に我々は(Eq-RP2)式を利用する事で、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} が狭義単調減少であるための条件を調べる。 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 区間に属する x ( t ) {\displaystyle x(t)} が単調減少であれば x ( t ) {\displaystyle x(t)} は何らかの非負の実数に収束するので、我々が知りたかった x ( t ) {\displaystyle x(t)} の収束性に関する情報が得られるからである。
解析を簡単にするため、しばらくの間 x ( t ) ≠ 1 {\displaystyle x(t)\neq 1} を仮定する。
狭義単調減少性 x ( t + 1 ) < x ( t ) {\displaystyle x(t+1)<x(t)} を満たす必要十分条件は、(Eq-RP2)式の右辺がtによらず正になる事である。
よりも小さい任意の ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対し、(B)式は成立する。
与えられた混合戦略τに対し、 E ( ξ , τ ) {\displaystyle E(\xi ,\tau )} を最大にする混合戦略ξをτの最適反応(best reply)という。
均衡条件は、 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} が σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} 自身の最適反応である事を意味しており、 E ( ξ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\xi ,\sigma _{*})} の最大値は M = E ( σ ∗ , σ ∗ ) {\displaystyle M=E(\sigma _{*},\sigma _{*})} である。一方、安定条件は、 M = E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle M=E(\sigma ,\sigma _{*})} を満たす σ ≠ σ ∗ {\displaystyle \sigma \neq \sigma _{*}} 、すなわち σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} に対する最適反応のうち σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} 以外の混合戦略 σ {\displaystyle \sigma } は E ( σ ∗ , σ ) > E ( σ , σ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma )>E(\sigma ,\sigma )} を満たしている事を意味している。
上述の定理は、個体群において q ≠ q ^ {\displaystyle \mathbf {q} \neq {\hat {\mathbf {q} }}} を取る個体の割合が進化的安定戦略 q ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}} の侵入障壁よりも小さい時は、世代を重ねる事で q {\displaystyle \mathbf {q} } を取る個体の割合が0に収束していく事を意味する。
まず簡単なケースとして、ある t 0 {\displaystyle t_{0}} において x ( t 0 ) = 0 {\displaystyle x(t_{0})=0} が成立する場合を考える。(Eq-R9)の左辺の分母が0になったという事であり、この場合は t 0 {\displaystyle t_{0}} 以上の全てのtに対し x ( t ) = 0 {\displaystyle x(t)=0} であるとしていたので、明らかに目的の収束性 x ( t ) → 0 {\displaystyle x(t)\to 0} が従う。よって以下、 x ( t ) ≠ 0 {\displaystyle x(t)\neq 0} が全てのtに対して成立する場合のみを議論する。(Eq-R9)を変形すると、(Eq-R6)と同様の式
x ( t + 1 ) = E ( q , q x ( t ) ) E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) ⋅ x ( t ) {\displaystyle x(t+1)={E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)) \over E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))}\cdot x(t)} ...(Eq-RP1)
が従う。これをさらに変形して
以上のように定義された非対称なゲーム ( ( X 0 , E 0 ) , ( X 1 , E 1 ) ) {\displaystyle ((X_{0},{\mathcal {E}}_{0}),(X_{1},{\mathcal {E}}_{1}))} に対し、利得関数の対称化を行う。このために記号を導入する。個体群戦略
Π = ∑ i ε i δ ( σ i , τ i ) {\displaystyle \Pi =\sum _{i}\varepsilon _{i}\delta _{(\sigma _{i},\tau _{i})}}
に対し、
π 0 ( Π ) = ∑ i ε i δ σ i {\displaystyle \pi _{0}(\Pi )=\sum _{i}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}} 、
π 1 ( Π ) = ∑ i ε i δ τ i {\displaystyle \pi _{1}(\Pi )=\sum _{i}\varepsilon _{i}\delta _{\tau _{i}}}
と書くことにする。関数
ρ : X 0 × X 1 → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \rho ~:~X_{0}\times X_{1}\to [0,1]}
を一つ固定するとき、利得関数の組 ( E 0 , E 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{1})} を ρ {\displaystyle \rho } により対称化した利得関数を
直感的には E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の第一変数の個体戦略を取るある個体Pが、個体群戦略 ∑ i = 1 n ε i δ σ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}} を取る個体群の中で(一般には複数回)闘争したときのPが得られる利得(ないしその平均値)が E ( τ ; ∑ i = 1 n ε n δ σ n ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\tau ;{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{n}\delta _{\sigma _{n}}})} になるという事である。
以上のフレームワークにおいて、ゲームは戦略空間Xと利得関数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の組 ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} として定義される。
ゲーム ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} に関する進化的安定性は以下のように定義される:
定義G1(進化的安定性) ― σ ∗ , σ ∈ X {\displaystyle \sigma _{*},\sigma \in X} を個体戦略とする。
d ( σ ∗ , σ ) < ε 0 ⇒ E ( σ ∗ , σ ) > E ( σ , σ ) {\displaystyle \mathrm {d} (\sigma _{*},\sigma )<\varepsilon _{0}~\Rightarrow ~E(\sigma _{*},\sigma )>E(\sigma ,\sigma )}
が成立する。
なお、上では距離を(2)式に従って定義したが、定理2に書いたESSの別定義で本質的なのは距離そのものではなく、距離から定まる位相構造なので、(2)式の代わりに以下のl距離
d ( σ ∗ , σ ) := ∑ i = 1 n | p i − q i | {\displaystyle \mathrm {d} (\sigma _{*},\sigma ):=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}
を用いて定義しても定理2のものと同値になる。
定理2に書いたESSの別定義はより広範な進化ゲームに対して進化的安定性の概念を一般化する場合に有益であり、一般化のさせかたにより、neighborhood invader strategy、neighborhood superiorなどとも呼ばれる。
一方右辺では E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の第2変数が δ ∑ i = 1 n ε i σ i {\displaystyle \textstyle \delta _{\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\sigma _{i}}} であるので、個体群に属する全ての個体が全く同一の戦略 ∑ i = 1 n ε i σ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\sigma _{i}} を取っている状況を右辺は意味している。
多型-単型同値性は σ 1 , ... , σ n {\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}} が純粋戦略であるケースを考えると理解しやすい。上で述べた事から、定義G4の式の左辺は純粋戦略 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} を取る個体が割合 ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} だけ存在し、...、純粋戦略 σ n {\displaystyle \sigma _{n}} を取る個体が割合 ε n {\displaystyle \varepsilon _{n}} だけ存在するという状況である。すなわち全ての個体は何らかの純粋戦略を取っており、個体毎にどの純粋戦略を取るのかが決まっている状況である。
前述したタカハトゲーム対して定理3を適用する事で次が成立する事が分かる:
V<Cなら、「確率V/Cでタカ戦略、確率1-(V/C)でハト戦略」という混合戦略は進化的安定である
V≧Cなら、「確率1でタカ戦略」という純粋戦略が進化的安定である。これは利得Vが非常に高い資源を争う場合は、儀式的闘争ではなく直接的闘争が行われる事を意味する。
本節では(Eq-R2)と進化的安定性の関係性を調べるため、(Eq-R2)に関する性質を述べる。まず p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} は純粋戦略iを取る個体の割合であったから、 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} の初期値 p ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (0)} は
Δ n = { ( p i ) i = 1 , ... , n | 0 ≤ p 1 , ... , p n ≤ 1 , ∑ i = 1 n p i = 1 } {\displaystyle \Delta _{n}=\left\{(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}{\Bigg |}0\leq p_{1},\ldots ,p_{n}\leq 1,~\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1\right\}} ...(Eq-G1、再掲)
の元である。(Eq-R2)は行列によって記述できる常微分方程式であるので、(少なくとも初期値の近傍では)解が存在し、しかもその解は一意である(Picard–Lindelöf theorem)。
解の一意性から、(Eq-R2)における時間発展で2つの超平面
{ ( p i ) i = 1 , ... , n | ∑ i = 1 n p i = 1 } {\displaystyle \{(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}|\textstyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1\}}
が成立する。 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} より、これは(B)式の右辺が負である事を意味するので、(B)式が成立する。
それに対し、(B)式の左辺 E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*})} が正の場合、 E ( σ − σ ∗ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma -\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})} が0以下であれば、明らかに(B)式は成立する。一方 E ( σ − σ ∗ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma -\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})} が正であれば、
ε 0 := E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) E ( σ − σ ∗ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle \varepsilon _{0}:={E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*}) \over E(\sigma -\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})}}