階数因数分解
階数因数分解(かいすういんすうぶんかい、英: rank factorization)あるいは階数分解(rank decomposition)とは、数学の線型代数学の分野において、階数が r {\displaystyle r} のある与えられた m × n {\displaystyle m\times n} 行列 A {\displaystyle A} のある m × r {\displaystyle m\times r} 行列 C {\displaystyle C} と r × n {\displaystyle r\times n} 行列 F {\displaystyle F} の積としての表示 A = C F {\displaystyle A=CF} のことを言う。
全ての有限次元行列には階数因数分解が存在する: A {\displaystyle A} を、列階数が r {\displaystyle r} であるような m × n {\displaystyle m\times n} 行列とする。すなわち、 A {\displaystyle A} には r {\displaystyle r} 個の線型独立な列が含まれる。あるいは同じ意味であるが、 A {\displaystyle A} の列空間の次元は r {\displaystyle r} である。 c 1 , c 2 , ... , c r {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}} を、 A {\displaystyle A} の列空間の任意の基底とし、それらを列ベクトルとして m × r {\displaystyle m\times r} 行列 C = [ c 1 : c 2 : .
階数因数分解から直ちに従う帰結として、 A {\displaystyle A} の階数はその転置行列 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の階数と等しい、というものがある。すると A {\displaystyle A} の列は A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の行であることから、 A {\displaystyle A} の列階数と行階数は等しいことが分かる。
証明:これが真であることを示すために、はじめに行列の「階数」とはその「列階数」を意味するものであると定義しておく。 A = C F {\displaystyle A=CF} より、 A T = F T C T {\displaystyle A^{\text{T}}=F^{\text{T}}C^{\text{T}}} が従う。行列乗算(英語版)の定義から、この等式は A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の各列が F T {\displaystyle F^{\text{T}}} の列の線型結合であることを意味する。