一般相対性理論における測地線
この方程式を − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 倍すると、
0 = ∫ d τ δ x μ ( g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 d x α d τ d x ν d τ ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) ) {\displaystyle 0=\int \mathrm {d} \tau \delta x^{\mu }\left(g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)}
物理学者スティーヴン・ワインバーグは、測地線の運動方程式の等価原理からの直接的導出を示した。この導出における最初の一歩は、自由落下座標系 ( X μ {\displaystyle X^{\mu }} ) においてある世界点の近傍では全ての粒子が加速していないと仮定することである。 T ≡ X 0 {\displaystyle T\equiv X^{0}} と定義することにすると、自由落下中には次の方程式が局所的に成り立つと言える。
d 2 X μ d T 2 = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} T^{2}}=0}
次の一歩は連鎖律を用いることである。すると、次の方程式を得る。
d X μ d T = d x ν d T ∂ X μ ∂ x ν {\displaystyle {\mathrm {d} X^{\mu } \over \mathrm {d} T}={\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}
この両辺を時間について微分すると、さらに次を得る。
測地線方程式は、最小作用の原理を用いて導出することもできる(そして最も一般的な導出方法である)。
作用を次のように定義する。
S = ∫ d s {\displaystyle S=\int \mathrm {d} s}
ここで、 d s = − g μ ν ( x ) d x μ d x ν {\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}}} は線素(英語版)である。ここから測地線方程式を得るには、この作用に変分を加える必要がある。このために、この作用をパラメータ λ {\displaystyle \lambda } により媒介変数表示することとしよう。すると、以下の方程式が得られる。
S = ∫ − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ d λ {\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \lambda }}}}\mathrm {d} \lambda }
これを曲線 x μ {\displaystyle x^{\mu }} について変分を取ると、最小作用の原理により次の方程式が得られる。