コットンテンソル
コットンテンソルは対称性
C i j k = − C i k j {\displaystyle C_{ijk}=-C_{ikj}\,}
を持ち、従って、
C [ i j k ] = 0. {\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}
となる。加えて、ワイルテンソルについてのビアンキ公式は次のように書くことができる。
δ W = ( 3 − n ) C , {\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}
ここに δ {\displaystyle \delta } は W の第一成分の正の発散(divergence)である。
座標を使って Rij でリッチテンソルを表し、R でスカラー曲率を表すと、コットンテンソルの成分は、
C i j k = ∇ k R i j − ∇ j R i k + 1 2 ( n − 1 ) ( ∇ j R g i k − ∇ k R g i j ) . {\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}
となる。コットンテンソルは2-形式に値を持つベクトルとみなすことができ、n = 3 に対してはホッジスター作用素を使い、これを2階のトレースがゼロとなる自由テンソル密度
C i j = ∇ k ( R l i − 1 4 R g l i ) ε k l j , {\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},}
へ変換することができる。これをコットン・ヨークテンソルと呼ぶこともある。