ラマヌジャンの和公式
( a q − n ; q ) n = ( − a q ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( q a ; q ) n {\displaystyle \left(aq^{-n};q\right)_{n}=\left(-{\frac {a}{q}}\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}
により
∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( a q − k z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( a q − k ; q ) k z − k = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( q a ; q ) k = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( q 1 + k a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( q 1 + k a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{k}}}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}
となり、 q 1 + k {\displaystyle q^{1+k}} を b {\displaystyle b} と書き、
∑ n = − ∞ ∞ ( a q k ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k z − k = ( a z ; q ) k ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k z − k = ( a z ; q ) k ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k ( q 1 + k ; q ) ∞ z − k = ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( a q k q − k z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( a q k q − k ; q ) k z − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}(q^{1+k};q)_{\infty }}}z^{-k}\\&={\frac {(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\\end{aligned}}}
である。 a q k {\displaystyle aq^{k}} を a {\displaystyle a} と書き、qポッホハマー記号の変換式