解析半群
解析半群の無限小生成作用素は、次に述べる特徴を持つ:
バナッハ空間 X 上で稠密に定義された閉線型作用素 A が解析半群の生成素であるための必要十分条件は、半平面 Re(λ) > ω が A のレゾルベント集合に含まれ、
‖ R λ ( A ) ‖ ≤ C | λ − ω | {\displaystyle \|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}}
が Re(λ) > ω に対して成立する定数 C が存在するような、ある ω ∈ R が存在することである。このとき、そのようなレゾルベント集合は実際には、ある δ > 0 に対して、扇状の領域
{ λ ∈ C : | a r g ( λ − ω ) | < π 2 + δ } {\displaystyle \left\{\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}}