素数が無数に存在することの証明
と表せるから、
N 1 ≤ ∑ i = k + 1 ∞ ⌊ N p i ⌋ ≤ ∑ i = k + 1 ∞ N p i < N 2 {\displaystyle N_{1}\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {N}{p_{i}}}\right\rfloor \leq \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {N}{p_{i}}}<{\frac {N}{2}}}
を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、x を小さい素数でしか割れない N 以下の自然数とし、x = uv(u は平方因子を含まない) と表す。u の可能性は高々 2 通りであり、v ≤ x ≤ N であるから、
N 2 ≤ 2 k N {\displaystyle N_{2}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}}
を得る。よって、
N = N 1 + N 2 < N 2 + 2 k N {\displaystyle N=N_{1}+N_{2}<{\frac {N}{2}}+2^{k}{\sqrt {N}}}
となる。しかし、この式は N = 2 に対して成り立たない。