群作用
X および Y がともに G-集合であるとき、X から Y への G-集合の射あるいは準同型 (morphism) とは、写像 f: X → Y であって、G の任意の元 g と X の任意の元 x に対して
f ( g x ) = g f ( x ) {\displaystyle f(gx)=gf(x)}
を満たすものを言う。G-集合の射は G-同変写像 (G-equivariant map) あるいは G-写像 (G-map) ともいう。
そのような G-集合の射 f が全単射ならば、その逆写像も G-集合の射であり、f は G-集合の同型(写像)であるという。また、二つの G-集合 X および Y は、その間に G-集合の同型写像が存在するとき、G-集合として同型 (isomorphic)であるといい、実用上は同じものとして区別されないことも多い。
同型の例:
任意の正則 G-作用は G の左からの乗法によって与えられる G 自身への作用に同型である。
任意の自由 G-作用は、ある集合 S に対する G × S に G の作用を第一座標への左乗法によって定めたものに同型である。
任意の推移的 G-作用は、G の適当な部分群 H による左剰余類全体の成す集合に G の左からの乗法を考えたものに同型である。
この射の概念を合わせて考えることにより、G-集合全体の集まりは圏を成す。この圏はグロタンディーク・トポスである(実は古典メタ論理を仮定すれば、このトポスはブール的にもなる)。