ラグランジュ点
地球の同期軌道天体である小惑星クルースンは、見方によって異なる捉え方のできる小惑星である。太陽-地球系の回転座標系からクルースンをみると、トロヤ群天体のように、太陽-地球系のラグランジュ点L4の周囲の等ポテンシャル線上を周回するインゲン豆型軌道に似た運動をしている。
一方で、静止した座標系からクルースンをみると、別の解釈もできる。クルースンは太陽を周回する軌道上を運動しているが、クルースンは地球との相対位置によって地球の重力を受けて速度を変える。この結果として、クルースンは太陽との距離(軌道半径)を連続的に大小させる。このように、静止座標系での地球の影響をうけて軌道半径を変えるサイクルを繰り返している、と理解することも可能である。なお、地球とクルースンの運動エネルギーのやり取りにおいては、地球の公転周期(つまり1年の長さ)はほとんど影響を受けない。これは、クルースンの質量が地球の質量と比べて1/200億と十分に小さいためである。
土星の第10衛星ヤヌスと第11衛星エピメテウスも上記と似た関係にあるが、ヤヌスはエピメテウスよりやや質量が大きいのみなので、ヤヌスの側も無視できないほどの軌道の変化を受ける。ラグランジュ点を考えるに際して、第三の天体Aが天体Eや天体Mと比べて無視できるほど小さな質量をもつことを前提としたが、天体A(ここではエピメテウス)と天体M(ここではヤヌス)とではこの質量比の要請を満たしていないことが理由である。
また、類似の別の現象として軌道共鳴がある。軌道運動をしている天体同士がある共鳴条件(両者の公転周期が単純な整数比となる等)を満たすと、相互作用が強くはたらき、両天体の公転運動が相関性を示す(共鳴現象)。
m A d 2 r A d t 2 = F G E ( r E , r A ) + F G M ( r M , r A ) {\displaystyle m_{A}{d^{2}{\boldsymbol {r}}_{A} \over dt^{2}}={\boldsymbol {F}}_{GE}({\boldsymbol {r}}_{E},{\boldsymbol {r}}_{A})+{\boldsymbol {F}}_{GM}({\boldsymbol {r}}_{M},{\boldsymbol {r}}_{A})}
上記の式ではまだ、回転していない座標系をとっている。 F G E ( r E , r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{GE}({\boldsymbol {r}}_{E},{\boldsymbol {r}}_{A})} と F G M ( r M , r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{GM}({\boldsymbol {r}}_{M},{\boldsymbol {r}}_{A})} はそれぞれ天体Eと天体Mからの重力であり、括弧()内の引数 r E {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{E}} 、 r M {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{M}} 、 r A {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}} は対応する添字の天体の位置座標であり、各重力がこれらの座標変数に依存することを表す。この回転していない座標系の式では、重力を支配する変数が多く、このままでは解析しづらい。そこで、この運動方程式における座標系を天体Eと天体Mの公転に同期して回転する座標系に変換すると、運動方程式は次のようになる。
L1は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、天体Eと天体Mの間に存在するラグランジュ点である。一般に、地球よりも太陽に近い軌道を回る物体は、地球よりも短い公転周期を持つ。しかし、これは地球の重力による影響を考慮すると、物体が太陽に引かれる力は弱められ、その物体の公転周期は長くなる。もしその物体の位置がL1に一致するならば、上記の効果によって、その物体の公転周期は地球の公転周期とちょうど等しくなる。
太陽-地球系のL1は、太陽の観測を行うのに理想的な場所のひとつである。この位置にある物体は、決して地球や月に遮られることがないからである。太陽・太陽圏観測衛星 (SOHO: Solar and Heliospheric Observatory) は、L1の付近のハロー軌道を周回している。地球-月系のL1は、ここを経由することで最小限の軌道変更で月や地球をそれぞれ周回する軌道へと入ることができる。このため、荷物や人員を地球と月の間で行き来させるための中間有人宇宙ステーションの場所として理想的とされる。
U t o t a l ( r A ) = U G E ( r A ) + U G M ( r A ) + U w ( r A ) {\displaystyle U_{total}({\boldsymbol {r}}_{A})=U_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})+U_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})+U_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})}
たとえば、天体Eと天体Mの公転軌道を含む平面上の U t o t a l ( r A ) {\displaystyle U_{total}({\boldsymbol {r}}_{A})} について、この平面上にできた回転座標系中のポテンシャルエネルギー (ロッシュ・ポテンシャル)の高低を三次元グラフで図示することができる。ポテンシャルエネルギーを表す曲面において、各位置にある物体は曲面のより低い方向へ力を受けると理解することができる。ラグランジュ点を求めるということは、ロッシュ・ポテンシャルの曲面において、平坦な場所(勾配ゼロ、すなわち、力を受けない場所)を探すことに相当する。なお、ロッシュ・ポテンシャルの形状を定めるパラメーターは、(縮尺を除いて)天体Eと天体Mの質量比(英語版) M E / M M {\displaystyle M_{E}/M_{M}} のみであることが知られている。
以上の式を解析して求められたラグランジュ点は5つ存在し、それらはL1からL5まで番号が付けられ(冒頭図も参照)、それぞれ下記の各節のように定義されている。以下では、この方程式の天体Eと天体Mの系における各ラグランジュ点について述べる。
ある天体Eの周りを何らかの天体Mが回り、EとMのほかに天体がない場合、これらの天体の軌道を求めることは、力学における二体問題に相当する。この解は古典力学の最初期にアイザック・ニュートンによって見い出されており、天体Mの一般的な軌道は楕円軌道である。例えば、Eを地球、Mを月とすると、地球と月が互いの引力に束縛された系の比較的簡単な問題として扱うことができる。
しかし、さらにここに第三の天体Aがある場合には、各天体の軌道を求めることは二体問題に比べて遥かに難しくなる。天体E、天体Mおよび天体Aの3つについて、互いの重力の影響を受ける状況下でのそれぞれの軌道を求めることは、三体問題と呼ばれる問題の特別な場合にあたる。たとえば、前述の地球と月の系に第三の天体を加えた系の軌道の解析も三体問題である。一般の三体問題では解析解を得られないことが知られている。
ラグランジュ点を求める問題は、この三体問題の解のうち、第三の天体Aが他の二つの天体に比べて質量が無視できるほど小さいと仮定したとき、それが恒常的にいかなる力も受けない位置を求めることに相当する。1760年頃に、レオンハルト・オイラーがトロヤ点以外の3つのラグランジュ点を解析的に発見した(オイラーの直線解)。