コレスキー分解
コレスキー分解(コレスキーぶんかい、英: Cholesky decomposition, Cholesky factorization)とは、正定値エルミート行列 A を下三角行列 Lと L の共役転置 L との積に分解することをいう。
A = L L ∗ ( A ∈ K m × m ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{*}\qquad ({\boldsymbol {A}}\in {\boldsymbol {K}}^{m\times m})}
A のエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。L の対角成分は実数にとることができて(符号・位相の自由度があるが)通常は、対角成分を正の実数に採り、その場合には、L は一意に定まる。アンドレ=ルイ・コレスキー(仏語の発音はショレスキー)にちなんで名づけられた。
A が実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。
A = L L T ( A ∈ R n × n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{T}\qquad ({\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n})}
エルミート対称行列 A が正定値であることと、A のコレスキー分解が存在することは同値になる。
コレスキー・クラウト法 はコレスキー・バナキエヴィッツ法とは少し異なる方法で、下三角行列 L の各エントリを計算する。すなわち、行列 L の左上隅から始め列ごとに計算を進める。使用する計算式はコレスキー・バナキエヴィッツ法と同一である。