広田微分
非線形偏微分方程式の双線形化においては、
u = g f {\displaystyle u={\frac {g}{f}}}
の有理型変換も良く用いられる。有理型変換における微分については、以下の公式が成り立つ。
∂ ∂ x ( g f ) = D x g ⋅ f f 2 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {g}{f}}\right)={\frac {D_{x}g\cdot f}{f^{2}}}}
∂ 3 ∂ x 3 ( g f ) = D x 3 g ⋅ f f 2 − 3 D x g ⋅ f f 2 D x f ⋅ f f 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}\left({\frac {g}{f}}\right)={\frac {D_{x}^{\,3}g\cdot f}{f^{2}}}-3{\frac {D_{x}g\cdot f}{f^{2}}}{\frac {D_{x}f\cdot f}{f^{2}}}}