超球の体積
}}R^{{\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}}}
よって特に次が成立する:
定理 (l-ノルムの球体の体積) ― l-ノルムにおける半径Rの球体 B p ( R ) := B p , ... , p ( R ) {\displaystyle B_{p}(R):=B_{p,\ldots ,p}(R)} の体積 V p n ( R ) {\displaystyle V_{p}^{n}(R)} は、
V p n ( R ) = ( 2 ( 1 p ) ! R ) n ( n p ) ! {\displaystyle V_{p}^{n}(R)={\frac {\left(2\left({\tfrac {1}{p}}\right)!R\right)^{n}}{\left({\frac {n}{p}}\right)!}}}
p = 2 の場合は通常のユークリッドノルムであり、それ以外の p は情報理論、符号理論、次元正則化(英語版)などの様々な文脈において現れる。
特に p = 1 および p = ∞ の場合の体積はそれぞれ
V 1 n ( R ) = 2 n n ! R n , {\displaystyle V_{1}^{n}(R)={\frac {2^{n}}{n!