正則性公理
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A ( A ≠ ∅ ⟹ ∃ x ∈ A , ∀ t ∈ A ( t ∉ x ) ) {\displaystyle \forall A{\bigl (}A\neq \varnothing \implies \exists x\in A,\forall t\in A(t\notin x){\bigr )}}
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない。
∀x ≠ ∅ に対して、∃y∈x; x ∩ y = ∅
∀xについて、∈ が x 上整礎関係
V = WF
ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス(フォン・ノイマン宇宙)を指す。
ZF公理系内に限って話を進める。各順序数 α に対して R(α) を次のように定義する( P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は冪集合)。
R ( 0 ) = ∅ {\displaystyle R(0)=\varnothing }