豊富な直線束
カルタン-セール-グロタンディークの定理は、多様体 X {\displaystyle X} 上の直線束 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対し、次の条件は同値であることを言っている。
L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が豊富であること
充分大きな m に対し、 L ⊗ m {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes m}} は非常に豊富であること
X 上の任意の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対し、層 F ⊗ L ⊗ m {\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}} は、充分大きな m に対し大域切断により生成される。
X {\displaystyle X} があるネター環の上に固有であれば、次も同値である。
X 上の任意の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 対し、充分大きな m では高次コホモロジー H i ( X , F ⊗ L ⊗ m ) , i ≥ 1 {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}),\ i\geq 1} はゼロとなる。
基礎となるスキーム S の上にスキーム X が与えられる、もしくは複素多様体が与えられると、直線束(言い換えると、可逆層、つまりランク 1 の局所自由層) L は、埋め込み i : X → PS が存在し、ある n に対し S 上の n-次元射影空間 PS 上の標準ツイスト層(英語版)(standard twisting sheaf) O(1) の引き戻し(英語版)(pullback)が L と同型
i ∗ ( O ( 1 ) ) ≅ L {\displaystyle i^{*}({\mathcal {O}}(1))\cong L}
になる場合に、非常に豊富であるという。
従って、この考えは前の考えの特別な場合であり、すなわち、大域的に生成されていてある大域的生成子により与えられてた射(morphism)が埋め込みになっているときに、非常に豊富という。
X 上に非常に豊富な層 L と連接層 F が与えられると、セールの定理は、(連接層)F ⊗ L は充分大きな n に対して有限な大域的切断により生成される。翻って、このことは、大域的切断と高次(ザリスキー)層コホモロジー群
H i ( X , F ) {\displaystyle H^{i}(X,F)}
は有限生成であることを意味する。このことは射影的な状況のきわ立った様子である。例えば、体 k 上のアフィン n-空間 Ak に対し、構造層 O の大域的切断は n 変数の多項式であるので、有限生成な k-ベクトル空間にはならない。一方、Pk にかんしては、大域的な切断はまさに定数函数であり、1-次元の k-ベクトル空間を形成する。