直交曲線座標
デカルト座標系における内積においては、(ユークリッド空間に直交基底を考えると)単純に成分の積の和になる。同様に、直交曲線座標でも、2つのベクトル x と y の内積は、ベクトルの成分を正規化基底で表示すると、このような馴染みのある形になる。
x ⋅ y = ∑ i x i e ^ i ⋅ ∑ j y j e ^ j = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}
これは、ある点での正規化基底がデカルト座標系を形成できるという事実の直接的な帰結である。この基底は正規直交基底である。
x ⋅ y = ∑ i h i 2 x i y i = ∑ i x i y i h i 2 = ∑ i x i y i = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}
これは、ベクトルを成分形式で書き出し、基底ベクトルを正規化し、内積を取ることで容易に導き出すことができる。
は、計量テンソルの対角成分の平方根(後述する局所基底ベクトル (英: local basis vectors) e k {\displaystyle \mathbf {e} _{k}} の長さ)に等しい。これらのスケーリング関数 hi は新しい座標における微分演算子、例え 勾配、ラプラシアン、発散や回転を計算する上でも使用される。
2次元の直交曲線座標の一例を生成する簡単な方法として、標準的なデカルト座標(x, y)が定める2次元格子の共形写像による方法がある。非ゼロの複素微分を持つ正則関数 w = f(z) は共形写像を生成する。得られた複素数をw = u + ivと書くと、元の定数 x と y の直線と同じように定数 u と v の曲線は直交する。
3次元以上の直交曲線座標の一例を生成する方法の一つとして、直交する2次元座標系から、新しい次元に投影する(「円筒座標」)か、2次元座標系をその対称軸の1つを中心に回転させる方法がある。 しかし、2次元座標系を射影したり回転させたりしても得られない3次元の直交曲線座標系もあり、例えば楕円体座標(英語版)はそのような例である。より一般的な直交曲線座標は、いくつかの必要な座標面から出発し、その直交軌道を考えることで得られることがある。