非線形シュレディンガー方程式
他の可積分系の方程式と同様に、非線形シュレディンガー方程式の初期値問題は逆散乱法によって解くことができる。逆散乱法では、問題は一次元シュレディンガー方程式の散乱の逆問題に帰着でき、解は与えられた散乱データに対応するポテンシャル関数として求められる。非線形シュレディンガー方程式の逆散乱法による解は、1972年にロシアの数学者ウラジミール・ザハロフ(英語版)とアレクセイ・シャバットによって、与えられた。ザハロフとシャバットは、
i u t + u x x + κ | u | 2 u = 0 ( κ > 0 ) {\displaystyle iu_{t}+u_{xx}+\kappa |u|^{2}u=0\quad (\kappa >0)}
について、ラックス方程式
L t = [ A , L ] {\displaystyle L_{t}=[A,L]}
を満たすラックス対として、
L = i ( 1 + p 0 0 1 − p ) ∂ ∂ x + ( 0 u ∗ u 0 ) {\displaystyle L=i{\begin{pmatrix}1+p&0\\0&1-p\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\begin{pmatrix}0&u^{\ast }\\u&0\end{pmatrix}}}
ε=1のとき、
φ ( x , t ) = f ( x − V t ) e i Ω t {\displaystyle \phi (x,t)=f(x-Vt)e^{i\Omega t}}
f ( x ) → 0 as | x | → ∞ {\displaystyle f(x)\to 0\,\,\operatorname {as} \,\,|x|\to \infty }
の形の進行波解として
φ ( x , t ) = Ω sech  Ω ( x − V t − x 0 ) e i V 2 ( x − V t ) e i ( V 2 4 + Ω ) t {\displaystyle \phi (x,t)={\sqrt {\Omega }}\operatorname {sech} {\sqrt {\Omega }}(x-Vt-x_{0})e^{i{\frac {V}{2}}(x-Vt)}e^{i({\frac {V^{2}}{4}}+\Omega )t}}
= Ω sech  Ω ( x − V t − x 0 ) e ( i V 2 x − i ( V 2 4 + Ω ) t ) {\displaystyle \qquad ={\sqrt {\Omega }}\operatorname {sech} {\sqrt {\Omega }}(x-Vt-x_{0})e^{{\biggl (}i{\frac {V}{2}}x-i({\frac {V^{2}}{4}}+\Omega )t{\biggr )}}}
を持つ。ここで、sechは双曲線正割関数を表す。φの包絡線|φ|は双曲線正割関数で表される包絡ソリトンである。非線形光学において、この解は明るいソリトンと呼ばれる。
流体の渦運動が柱管の形状である時、渦管と呼ばれる。特に渦管の半径が無限小と見なせる場合、渦糸と呼ばれる。1972年に日本の流体力学者橋本英典は、渦糸の運動において、局所誘導近似と呼ばれる近似の下、非線形シュレディンガー方程式が導かれることを示した。ある一本の曲線で表される渦糸の運動を考え、渦糸上の点xの運動を表す座標系として、フレネ=セレ標構 を取る。このとき、ある渦糸上のある原点から測った渦糸の弧長をsとすると、時刻t での座標系はx(s, t )及び接線ベクトルt(s, t )、法線ベクトルn(s,t )、陪法線ベクトルb(s, t )で表される。ある点における速度場は、周囲の渦糸の運動から誘起されるが、局所的な近傍のみからの影響を受けると仮定すると、局所誘導運動方程式
∂ ∂ t x ( s , t ) = c κ ( s , t ) b ( s , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {x}}(s,t)=c\kappa (s,t){\boldsymbol {b}}(s,t)}
が導かれる。但し、κは曲率であり、c は定数項である。時間変数t を適当にスケール変換すると、
ε=-1のとき、進行波解として
φ ( x , t ) = ρ 0 e i ( k x − ω t ) 1 + c e a x − b t 1 + e a x − b t {\displaystyle \phi (x,t)=\rho _{0}e^{i(kx-\omega t)}{\frac {1+ce^{ax-bt}}{1+e^{ax-bt}}}}
ω = k 2 + 2 ρ 0 2 , b = a ( 2 k ± 4 ρ 0 2 − k 2 ) , c = a 2 + i ( b − 2 k a ) a 2 − i ( b − 2 k a ) {\displaystyle \omega =k^{2}+2\rho _{0}^{\,2},\quad b=a(2k\pm {\sqrt {4\rho _{0}^{\,2}-k^{2}}}),\quad c={\frac {a^{2}+i(b-2ka)}{a^{2}-i(b-2ka)}}}
が存在する。このとき、φの包絡線は
| φ | 2 = ρ 0 2 ( 1 − a 2 4 ρ 0 2 sech 2  1 2 ( a x − b t ) ) {\displaystyle |\phi |^{2}=\rho _{0}^{\,2}{\biggl (}1-{\frac {a^{2}}{4\rho _{0}^{\,2}}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {1}{2}}(ax-bt){\biggr )}}
を満たす。この包絡線は、|x|→ ∞で|φ|→ ρ0に漸近するとともに、中心付近はくぼんだ形状をしており、暗いソリトンと呼ばれる。