静磁場
となるので、結局、 div r  [ r | r | ] = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} )}
であることが判る。(ここで、δは、3変数のδ関数である。 以上の議論を平行移動させると、
div r  [ r − s | r − s | ] = 4 π δ ( r − s ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}
であることが判る。
従って、
M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 = rot s  [ M ( s ) ] | r − s | − rot s  [ M ( s ) | r − s | ] {\displaystyle {\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}={\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}-\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]} (2-4-3)
強制電流ifc (forced current)と磁化Mの両方が既知とし、これら以外に磁束密度の原因となるものがないとした場合、 全系の磁束密度Btot は、強制電流ifcに起因する磁束密度の成分(式(1-2)から求められる) Bfcと、磁化Mが作り出す磁束密度の成分(式(2-2-8)から求められる) BMによって、
Btot=Bfc+BM (3-1-1)
と表される。
ここで、よく注意しておかないといけないことは、「強制電流ifcと磁化Mの両方が既知」という言葉の意味であるが、 仮に、強制電流ifc(や、他の磁化)がない状態での磁化Miniが既知したとして、 (磁化Miniが作り出す磁束密度BMini がどうなるかは(2-2-8)から計算できるが)
Btot=Bfc+BMini (間違った式)
は、よほど特殊な場合を除き成り立たない。要は間違いである。
式(3-1-1)より正確に書くならば、「外場の影響等により磁化が変化した後の磁化 Mcon が作り出す磁束密度」 BMconを用いて、
Btot=Bfc+BMcon (正しい式)
である。結局以下の難所は残ったままである。
(難所)元々磁化Miniを帯びている物質に、外部から磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} を印加したとき、最終的に、物質がどのようなMconを得るか?
μ 0 4 π grad r  [ ⟨ M ( s ) d 3 s | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] + μ 0 4 π div r  [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} } (2-2-4)
を作り出す。
上記の磁気ベクトルポテンシャルそれぞれを、全ての s ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {s} \in \Omega } に渡って足し合わせると、
B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω grad r  [ ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] + div r  [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} )\ {d}^{3}\mathbf {s} } (2-2-5)
rot  [ H M ( r ) ] = 1 4 π ∫ s ∈ Ω rot r  [ grad r  [ ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] ] d 3 s = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\right]\ {d}^{3}{s}\ =0} (3-2-6)
が判る。従って、磁化に起因する磁場 H M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )} は、
rot  [ H M ( r ) ] = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]=0} (3-2-7)
を満たす。
式(3-2-7)と式(1-5)より、式(3-2-4)が示された。
式(3-5-10)の第一項については、式(3-4-6)と、「真空中ではdiv[H]=0であること」を考え併せると、 結局物質Ω内の効果しか寄与しないことが判る。さらにガウスの発散定理を考慮すると、式(3-5-10)の第一項は、
∫ s ∈ Ω − div s  [ ( ν ( s ) rot s  [ A ] ) × δ A ] d 3 s = − ∫ s ∈ ∂ Ω ( ν ( s ) rot s  [ A ] ) × δ A d 2 ( ∂ Ω ) {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }-\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} \ ]\ {d}^{3}\mathbf {s} =-{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} \ {d}^{2}(\partial \Omega )} (3-5-11)