チェビシェフ関数
{\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}\ln p\int _{p}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {1}{\ln x}}\sum _{p\leq x}\ln p=\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)\,dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {\vartheta (x)}{\ln x}}.}
という関係が成り立つ。
また、第二チェビシェフ関数は 1 から n までのすべての整数の最小公倍数の対数に等しい:
lcm  ( 1 , 2 , ... , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
00007 x + 1.78 x 3 {\displaystyle 0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}} for x > 0 , {\displaystyle x>0,}
また、リーマン予想により、次の評価が得られる:
| θ ( x ) − x | < 1 8 π x ln 2  x {\displaystyle |\vartheta (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x} for x ≥ 599 , {\displaystyle x\geq 599,}
| ψ ( x ) − x | < 1 8 π x ln 2  x {\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x} for x ≥ 73.2 , {\displaystyle x\geq 73.2,}
これらの評価にはリーマンのゼータ関数の零点に関する評価と、チェビシェフ関数に対する複雑な近似公式が必要である。
}
m > 2 {\displaystyle m>2} が奇数とする。 m = 2 l + 1 {\displaystyle m=2l+1} とおくと二項定理より
( 2 l + 1 l ) = 1 2 [ ( 2 l + 1 l ) + ( 2 l + 1 l + 1 ) ] < 1 2 ∑ k = 0 2 l + 1 ( 2 l + 1 k ) = 1 2 ( 1 + 1 ) 2 l + 1 = 4 l {\displaystyle {\binom {2l+1}{l}}={\frac {1}{2}}\left[{\binom {2l+1}{l}}+{\binom {2l+1}{l+1}}\right]<{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2l+1}{\binom {2l+1}{k}}={\frac {1}{2}}(1+1)^{2l+1}=4^{l}}
が成り立つ。 l + 1 < p ≤ 2 l + 1 {\displaystyle l+1<p\leq 2l+1} となる素数 p はすべて ( 2 l + 1 l ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2l+1}{l}}}