非有界作用素
ルベーグ測度に関するL空間H=L2[0,1] は [0,1] 上のすべての二乗可積分関数からなるヒルベルト空間である(より正確には、可測で、実数値あるいは複素数値の関数の同値類)。閉区間 [0,1] 上連続的微分可能なすべての関数 f(t) からなる集合 D(T) を定義域とし、tに関する微分によって定義された線型変換
T f = f ′ {\displaystyle Tf=f'\;}
は、 Hから Hへの非有界作用素を与えている。実際、二つの連続的微分可能関数 f および g の線型結合の微分について ( a f + b g ) ′ = a f ′ + b g ′ . {\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'.\;} が成り立つため、これは線型作用素である。
この作用素は有界ではない。
自己共役作用素の類は、数理物理学の分野において本質的に重要となる。すべての自己共役作用素は稠密に定義され、閉かつ対称である。その逆は、有界作用素に対しては成立するが、一般には成立しない。自己共役性は実質、それら三つの性質よりも制限の強いものなのである。自己共役作用素に対しては、有名なスペクトル定理が成り立つ。この定理と一径数ユニタリ群に関するストーンの定理(英語版)を組み合わせることにより、自己共役作用素は、強連続1パラメータユニタリ群の無限小生成素であるということが示される(自己共役作用素を参照されたい)。そのようなユニタリ群は、古典力学や量子力学の分野における時間発展を表現する上で、特に重要となる。