区間の分割
与えられた区間の点付き分割 (tagged partition) とは、その区間の分割 Π = (xi) と各 i (0 ≤ i < n) について
xi ≤ ti ≤ xi+1
なる条件を満足する有限点列 t0, ..., tn−1 との組を言う。即ち、点付き分割は、各小区間の識別点 (distinguished point, tag) が指定されているような分割である。点付き分割の大きさ(目)は通常の分割に対するものと同じに定義される。通常の分割の場合と同様に、点付き分割の細分を考えることにより与えられた区間上の点付き分割全体の成す集合上に半順序を入れることができる。
ここで、区間 [a, b] の点付き分割 (xi; ti) および (yj; sj) に対し、(yj; sj) が点付き分割 (xi; ti) の細分であるとは、各 i に対して整数 r(i) が存在して、xi = yr(i) かつ r(i) ≤ j < r(i + 1) なる適当な整数 j に対して ti = sj となるときに言う。一口に言えば、点付き分割の細分は、もとの分割に分点と識別点を追加して(点を取り去ることはせずに)得られる点付き分割である。