普遍係数定理
上記の定理でαは [ c ] ⊗ R m ∈ H n ( C ∗ ) ⊗ R M ↦ [ c ⊗ R m ] ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} と具体的に書ける。
なお、係数環 Rが Z {\displaystyle \mathbb {Z} } でMが Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列(英語版)の特別な場合に相当する。
R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分Fnと素数pに対する T n , p = { x ∈ H n ( C ∗ ) ∣ ∃ m > 0 : p m x = 0 } {\displaystyle T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}} の和で書ける。
T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
T o r R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をTor関手という。
なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の事を T o r R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)} と表記し、より一般に T o r R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)} (n≧0)を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。
Tor関手は以下の性質を満たす。
命題 ― Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する:
T o r R ( M , N ) ≈ T o r R ( N , M ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)} 。