二項定理
二項定理は三項以上の和の冪展開に拡張することができる:
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , ... , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
ここで和は、非負整数列 k1, ..., km の総和が n であるもの全体に亙って取るから、右辺の展開式は項の次数が何れも n次である斉次多項式である。展開式の係数 (nk1, ..., km) は多項係数と呼ばれ、
( n k 1 , k 2 , ... , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
となる。組合せ論的には、多項係数 (nk1, ..., km) は、n元-集合を各位数が k1, ..., km となる、互いに素な部分集合へ分割する場合の数となる。
2つの函数の積の高階導函数の公式は、ライプニッツの公式 (Leibniz rule) と呼ばれ、二項定理と同様の形式になる:
( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( n − k ) g ( k ) {\displaystyle (fg)^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}}
逆に、ライプニッツの公式から二項定理を導くこともできる。実際、t の函数 exp((x + y)t) = exp(xt)exp(yt) の両辺を t で n 回微分すると、
( x + y ) n exp  ( ( x + y ) t ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k exp  ( x t ) y k exp  ( y t ) {\displaystyle (x+y)^{n}\exp((x+y)t)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}\exp(xt)\,y^{k}\exp(yt)}
を得るから、両辺を exp(xt)exp(yt) で除して所期の式を得る。
(1) は、可換環において成り立つ。 (2) は、可換環がさらに単位的であるとき成り立つ。このとき、項 (nk) x y は環の元の積 xy の整数 (nk) によるスカラー倍である。つまりここでは環を Z-加群と見做している。 必ずしも可換でない一般の単位的環においても、x と y が可換である(つまり xy = yx を満たす)ならば、二項定理は成り立つ。
定理の主張を、多項式列 {1, x, x, ...} は二項型であると述べることもできる。
二項定理の特殊な場合については、古代より知られていた。紀元前4世紀ギリシャの数学者エウクレイデスは指数が 2 の場合の二項定理に言及している。また、三次の場合の二項定理が6世紀のインドでは知られていた。
二項係数は相異なる n個のものから重複無く k個を選ぶ総数に等しくなるが、このことについては、古代ヒンドゥーで着目されていた。現在知られているもので最古のものは、ヒンドゥーの詩人ピンガラ(英語版) (c. 200 B.C.) による Chandaḥśāstra で、それにはその解法も含まれている。紀元後10世紀に評者ハラーユダ(英語版)はこの解法を今日でいうパスカルの三角形を用いて説明した。この数が n!/(n−k)! k! であることが、6世紀ごろのヒンドゥーの数学者には、おそらく知られていたし、この規則についての言及を12世紀にバースカラ2世の表した文書 Lilavati に見つけることができる。
二項係数を組合せ論的量として表記した二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者アル゠カラジ(英語版)の業績にも見つけることができる。