双線型写像
行列の積は M(m,n) × M(n,p) → M(m,p) なる双線型形写像をさだめる。
V を、内積の定義された実数体 R 上のベクトル空間とする。このとき、その内積は双線型写像 V × V → R である。
一般に、体 F 上のベクトル空間に対し、V 上の双線型形式というのは、双線型写像 V × V → F というのと同じことである。
V を、双対空間 V* を備えたベクトル空間とする。このとき、線型写像を適用する自然な演算 b(f, v) = f(v) は V* × V から基礎体への双線型写像である。
V と W を、同一の体 F 上のベクトル空間とする。f を V* の要素とし、g を W* の要素とするなら、b(v, w) = f(v)g(w) は双線型写像 V × W → F を定義する。
R におけるクロス積は、双線型写像 R × R → R である。
B : V × W → X が双線型で、L : U → W が線型ならば、(v, u) ↦ B(v, Lu) は V × U 上の双線型写像となる。
V × W 内の全ての (v,w) に対して B(v,w) = 0 として定義される零写像は、V × W から X への、双線型かつ線型であるような唯一つの写像である。実際、(v,w) ∈ V × W に対して、B が線型であるなら B(v,w) = B(v,0) + B(0,w) = 0 + 0 が成立するが、これは B が双線型であるための必要条件である。