微分積分学の基本定理
微分積分学の基本定理は、高次元の線積分および面積分や、また多様体上にも一般化できる。移動面の微分積分(英語版)によって与えられるそのような一般化として、積分の時間発展(英語版)がある。 微分積分学の基本定理の高次元での一般化として馴染み深いものに、発散定理と勾配定理(英語版)がある。
この方向性での一般化として最も強力なものにストークスの定理がある(実際ストークスの定理はときどき「多変数微分積分学の基本定理」と呼ばれる)。
ストークスの定理 ― M {\displaystyle M} を向き付けられた区分的に滑らかな n {\displaystyle n} 次元の多様体、 ω {\displaystyle \omega } をコンパクトな台を持つ M {\displaystyle M} 上の n − 1 {\displaystyle n-1} 形式とする。
微分積分学の第一基本定理において、関数 f {\displaystyle f} は、区間 I {\displaystyle I} の全体で連続である必要はなく、次のように弱められる:
ルベーグ積分可能な関数に対する第一定理の一般化 ― a , x ∈ I {\displaystyle a,\ x\in I} とし、区間 I {\displaystyle I} 上でルベーグ積分可能であり、 x 0 ∈ I {\displaystyle x_{0}\in I} で連続な関数 f {\displaystyle f} について、その原始関数を
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F\left(x\right)=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t}
とする。この F {\displaystyle F} は x 0 {\displaystyle x_{0}} 上で微分可能であり、また d F d x ( x ) | x = x 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle \left.{\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}\left(x\right)\right|_{x=x_{0}}=f\left(x_{0}\right)} が成り立つ。