群環
環 R が乗法単位元 1 = 1R を持つとき(群 G の単位元は 1 = 1G と書くことにする)、群環 R[G] は R に環同型な部分環を持ち、またその単元群は G に群同型な部分群を含む。実際、
R → R [ G ] ; r ↦ r ⋅ 1 G ( or r ↦ r δ 1 G ) {\displaystyle R\to R[G];r\mapsto r\cdot 1_{G}\quad ({\text{or }}r\mapsto r\delta _{1_{G}})}
は単射環準同型であり、同様に
G → ( R [ G ] ) × ; g ↦ 1 R ⋅ g ( or g ↦ δ g ) {\displaystyle G\to (R[G])^{\times };\;g\mapsto 1_{R}\cdot g\quad ({\text{or }}g\mapsto \delta _{g})}
は乗法群に関する単射群準同型になる。特に、1R⋅1G は R[G] の乗法単位元である。
R が可換環であり、かつ G がアーベル群であるとき、群環 R[G] は可換多元環である。
H が G の部分群ならば、群環 R[H] は R[G] の部分環である。同様に、S が R の部分環であるとき、群環 S[G] は R[G] の部分環である。
点ごとの和 ( f + h ) ( g ) := f ( g ) + h ( g ) ( g ∈ G ) {\displaystyle (f+h)(g):=f(g)+h(g)\quad (g\in G)} と畳み込み ( f ∗ h ) ( g ) := ∑ γ ∈ G f ( γ ) h ( γ − 1 g ) {\displaystyle (f\ast h)(g):=\sum _{\gamma \in G}f(\gamma )h(\gamma ^{-1}g)} およびスカラー倍 ( r f ) ( g ) := r ( f ( g ) ) ( r ∈ R ) {\displaystyle (rf)(g):=r(f(g))\quad (r\in R)} のもと Cc(G; R) は R 上の多元環となる。
G の各元 g に対して、一点集合 {g} の R-値指示函数(ディラックのデルタ函数)
δ g ( h ) := { 1 = 1 R ( h = g ) 0 = 0 R ( h ≠ g ) {\displaystyle \delta _{g}(h):={\begin{cases}1=1_{R}&(h=g)\\0=0_{R}&(h\neq g)\end{cases}}}
を考えるとき、Cc(G; R) は R 上の標準基底として {δg | g ∈ G} を持ち、
u ∈ K[G] の標準基底に関する座標成分が全てZ 上で整ならば、u は Z 上整である。
実際に標準基底としての G の元 δs は Z 上整であり、これらの生成する有限生成 Z-加群は実際には Z-多元環を成す。
前節からの記号を引き続き使用して、以下が成り立つ:
u が K[G] の中心に属する元で、その座標成分が Z 上整ならば以下の K の元 λ i = 1 d i ∑ s ∈ G u s χ i ( s ) {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{d_{i}}}\sum _{s\in G}u_{s}\chi _{i}(s)} もまた Z 上整である。
実際、上記の節によれば、この数は Si 上での相似比 ρi(u) である。先に掲げた命題によりこの相似比は Z 上の整元であり、相似拡大の結合は多元環の準同型となるから、もとの数もそうである。
K が標数 0 ならば以下の性質が導かれる:
既約表現の次数 di は群の位数 g を割り切る。