フレドホルム理論
そのような空間の例として2階の常微分方程式の解である直交多項式がある。
上記のようにヒルベルト空間が与えられると、核は次の形で書かれることもある。
K ( x , y ) = ∑ n ψ n ∗ ( x ) ψ n ( y ) ω n {\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}}
ここに ψ n ∗ {\displaystyle \psi _{n}^{*}} は ψ n {\displaystyle \psi _{n}} の双対である。この形では対象 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} はしばしばフレドホルム作用素あるいはフレドホルム核と呼ばれる。これが前に述べて 核 と同じであるということは、ヒルベルト空間の基底の完全性から従う。つまり、
δ ( x − y ) = ∑ n ψ n ∗ ( x ) ψ n ( y ) {\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}
を得る。 ω n {\displaystyle \omega _{n}} は一般的には増加するので、作用素 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} の固有値はゼロに向かって減少しているように見える。