最大公約数
gcd ( a , b ) = ∑ k ∣ a , b φ ( k ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\sum _{k\mid a,b}\varphi (k)} (ただし φ ( k ) {\displaystyle \varphi (k)} はオイラーのトーシェント関数)が成り立つ。
gcd ( a , b ) = a f ( b / a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=af(b/a)} (ただし f {\displaystyle f} はトマエ関数)が成り立つ。
正の奇数 a {\displaystyle a} と自然数 b {\displaystyle b} に対して gcd ( a , b ) = log 2  ∏ k = 0 a − 1 ( 1 + e − 2 π i k b / a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\log _{2}\prod _{k=0}^{a-1}(1+e^{-2\pi ikb/a})} が成り立つ。
gcd ( a , b ) = ∑ k = 1 a e 2 π i k b / a ∑ d ∣ a c d ( k ) d {\displaystyle \gcd(a,b)=\sum _{k=1}^{a}e^{2\pi ikb/a}\sum _{d\mid a}{\frac {c_{d}(k)}{d}}} (ただし c d ( k ) {\displaystyle c_{d}(k)} はラマヌジャン和(英語版))が成り立つ。
初等的な議論では自然数に限定したが、環論的な文脈では上の定義を一般の環(ここでは単位的可換環とする)に置き換えることになる。よくある定義では条件2の b ∣ d {\displaystyle b\mid d} が b ≦ d {\displaystyle b\leqq d} となっているので、通常の大小関係が一般には定義できない環には拡張できないことに注意せよ。一般の環では最大公約数が存在するとは限らない。たとえば Z [ x 2 , x 3 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x^{2},x^{3}]} の元 x 5 , x 6 {\displaystyle x^{5},x^{6}} の最大公約数は存在せず、 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} の元 6 , 2 ( 1 + − 5 ) {\displaystyle 6,2(1+{\sqrt {-5}})} の最大公約数は存在しない。さらに、存在しても一意であるとは限らない。