素数冪
素数冪のトーシェント関数 φ とシグマ関数 σ0, σ1 の値は次式で計算される。
φ ( p n ) = p n − 1 φ ( p ) = p n − 1 ( p − 1 ) = p n − p n − 1 = p n ( 1 − 1 p ) , {\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}
σ 0 ( p n ) = ∑ j = 0 n p 0 ⋅ j = ∑ j = 0 n 1 = n + 1 , {\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}
σ 1 ( p n ) = ∑ j = 0 n p 1 ⋅ j = ∑ j = 0 n p j = p n + 1 − 1 p − 1 . {\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}
素数冪は全て不足数である。素数冪 p は n-概素数である。友愛数となる素数冪 p があるかどうかは不明である。もしあるとしたら、その p は10より大きく、また n は1400より大きい必要がある。
解析的整数論で頻繁に使われる素数冪の性質に、素数を除いた素数冪全体の集合はその逆数の無限和が収束するという意味でsmall setであるというものがある(素数全体はlarge setである)。