作用素
もっともありふれた作用素の種類は線型作用素である。体 K 上の線型空間 U, V に対し、作用素 T: U → V が線型であるとは、定義域 D(T) が U の線型部分空間であり、任意の x, y ∈ D(T) および任意の α, β ∈ K に対して
T ( α x + β y ) = α T x + β T y {\displaystyle T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty}
が満たされることを言う。
線型作用素の重要性として、それがベクトル空間の間の射となることを挙げよう。
有限次元の場合には線型作用素は以下のように行列として表現することができる。体 K 上のベクトル空間 U および V について、それぞれの基底 u1, ..., un ∈ U および v1, ..., vm ∈ V を選んで固定する。(アインシュタインの和の規約によって)任意のベクトル x = xui ∈ U を取るとき、線型作用素 T: U → V に対して
T x = x i T u i = x i ( T u i ) j v j {\displaystyle Tx=x^{i}Tu_{i}=x^{i}(Tu_{i})^{j}v_{j}}
U, V を共通の係数体 K をもつ線型空間とする。このとき U から V への部分写像、すなわち部分集合 D ⊆ U 上で定義された V への写像 T を D 上の作用素という。単に U から V への作用素とも呼ぶ。部分集合 D は定義域、部分集合 R = { T x ∣ x ∈ D } {\displaystyle R=\{\,Tx\mid x\in D\,\}} は値域と呼ばれ、それぞれ D(T) = D, R(T) = R と表す。
作用素 T が定義域 D(T) 上で単射ならば逆写像 T は R(T) 上の作用素であり、逆作用素と呼ばれる。
U から V への作用素 S, T は定義域が等しく、定義域上で写像として等しいときに等しいといい、S = T と表す。
U から V への作用素 S, T の α ∈ K によるスカラー倍、和、積は以下のように定義される。