ファイバー束
位相空間 E, B と、連続な上への写像
π: E → B
があるとき、E を全空間 (total space)、B を底空間 (base space)、π を射影 (projection)、これらの組 (E, π, B) を束 (bundle, バンドル) という。
(E, B, π) のような順序で書かれる場合もある。
x ∈ B に対し、Fx = π(x) を x 上のファイバー (fibre, fiber) という。
以下で扱う座標束やファイバー束の場合、任意の x ∈ B に対し Fx は x によらず位相空間 F と同相になる。すなわち、x, y ∈ B に対して、Fx と Fy は同相である。しかし、一般の束では、そのような関係は無い。例えば楕円曲面などでは、ほとんどのファイバー(非特異ファイバー)とは異なる特異ファイバーと呼ばれるファイバーがある。
単位円 S と線分 I = [0, 1] の直積 S × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質(局所自明性)を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S を底空間といい、線分 I をファイバー(繊維)という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束(じめいそく)という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。