メビウス変換
となる。上述の式から、不動点における f の微分係数を
f ′ ( γ 1 ) = k , f ′ ( γ 2 ) = 1 / k {\displaystyle f'(\gamma _{1})=k,\quad f'(\gamma _{2})=1/k}
と計算することができる。ふたつの不動点に順序付けが与えられれば、f の乗数の一方 (k) をf の特性定数として区別することができることに注目しよう。
H ( k ; γ 1 , γ 2 ) = H ( 1 / k ; γ 2 , γ 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1})}
であり、不動点の順序を入れ替えることは乗数の逆数を特性定数として選ぶことに相当する。
斜航型変換については、|k| > 1 なるときは常に、γ1 を反発的 (repulsive) 不動点、γ2 を吸引的 (attractive) 不動点と呼ぶ。|k| < 1 のときは役割が逆になる。
x 1 = ζ + ζ ̄ ζ ζ ̄ + 1 x 2 = ζ − ζ ̄ i ( ζ ζ ̄ + 1 ) x 3 = ζ ζ ̄ − 1 ζ ζ ̄ + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\zeta +{\bar {\zeta }}}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\\x_{2}&={\frac {\zeta -{\bar {\zeta }}}{i(\zeta {\bar {\zeta }}+1)}}\\x_{3}&={\frac {\zeta {\bar {\zeta }}-1}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\end{aligned}}}
なる式で与えられる。N への SO(1,3) の作用は超平面 S を保たないが、S の各点について(N の点と思って)作用させたものを、その移動先が再び S に属するように再スケールしてやることで、SO(1, 3) を複素変数 ζ への作用まで込めて球面 S に作用させることができる。天球のこの表現から調べるのは用意ではないが、実はこの作用は一次分数変換による作用になっている。逆に、複素変数 ζ に関する任意の一次分数変換を、適当な(一意的に決まる)再スケールを施すことになるかもしれないが、一意的に N 上のローレンス変換にすることができる。
立体射影の記述をなるべく変えずにより作用が見やすくなるようにするには、変数 ζ = z : w を複素射影直線 CP に対する斉次座標の対の比と考えることである。この立体射影は、C − {0} から N への実スケールに関して斉二次の変換
( z , w ) ↦ ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( z z ̄ + w w ̄ , z w ̄ + w z ̄ , i − 1 ( z w ̄ − w z ̄ ) , z z ̄ − w w ̄ ) {\displaystyle (z,w)\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(z{\bar {z}}+w{\bar {w}},z{\bar {w}}+w{\bar {z}},i^{-1}(z{\bar {w}}-w{\bar {z}}),z{\bar {z}}-w{\bar {w}})}
斉次座標を用いれば無限遠点 ∞ についての場合を分けて扱わずに済むので、メビウス変換に関する具体的な計算の多くが簡素化される。
上で、考える行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} を行列式が 1 のものに制限すれば、写像 π {\displaystyle \pi } を制限して特殊線型群 SL(2,C) からメビウス群への全射が得られる。この状況下での核は単位行列の ±1-倍のみから成り、したがって剰余群 SL(2, C)/{±I}(これを PSL(2, C) と書く)とメビウス群との同型
Aut ( C ^ ) ≅ P S L ( 2 , C ) {\displaystyle {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }})\cong {\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )}
が得られる。このことから、メビウス群が 3-次元複素リー群(あるいは 6-次元実リー群)であることがわかる。これは半単純非コンパクトなリー群である。
任意に与えられたメビウス変換に対して、それを表現する行列式 1 の行列はちょうどふたつ存在する。つまり、SL(2, C) は PSL(2,C) の二重被覆である。また、SL(2, C) は単連結ゆえ、これはメビウス群の普遍被覆でもある。よって、メビウス群の基本群は Z2 であることがわかる。
(何れも恒等変換でない)ふたつのメビウス変換 H , H ′ {\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'} で
det H = det H ′ = 1 {\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}
なるものが互いに共軛となるための必要十分条件は
( tr H ) 2 = ( tr H ′ ) 2 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}=({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}}')^{2}}
が満たされることである。
以下の議論では、常に表現行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} が
det H = 1 {\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=1}
に正規化されているものと仮定する。