バーゼル問題
( 2 ) : − ( 1 1 2 π 2 + 1 2 2 π 2 + 1 3 2 π 2 + ⋯ ) = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle (2)\colon -\left({\frac {1}{1^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
である。これらは等しいはずなので
− 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {1}{6}}}
である。ゆえに、求める級数の値は
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
である。なおオイラーは一般的に、k 番目のベルヌーイ数を Bk とすると
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k = ( − 1 ) k + 1 B 2 k ( 2 π ) 2 k 2 ( 2 k ) ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {B_{2k}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}}
が成り立つことも示した。