フロベニウス自己準同型
有限体の拡大のガロア群は、有限次元拡大の場合、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成される。まず、基礎体が素体の場合を考える。q = p として Fq を q 元体とする。Fq のフロベニウス写像 F は素体 Fp を固定するので、ガロア群 Gal(Fq/Fp) の元である。実際、このガロア群は位数 e の巡回群であり、F は生成元である。なぜならば、F は、元 x を x へ写すことにより作用し、これは Fq 上の恒等写像である。Fq のすべての自己同型は F のべきで、生成元は e に互いに素な i に対して、べき F である。
ここで有限体 Fq を Fq の体の拡大と考える。Fq のフロベニウス自己同型 F は、基礎体 Fq を固定しないが、その e-番目の繰り返し F を固定する。ガロア群 Gal(Fq /Fq) は位数 f の巡回群で、F により生成される。この群は Gal(Fq /Fp) の部分群で、F により生成される。
S-スキーム X の相対的フロベニウス写像(relative Frobenius morphism)とは、
F X / S = ( F X , 1 S ) {\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},1_{S})}
により定義される射
F X / S : X → X ( p ) {\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}
である。絶対フロベニウス写像は自然であるので、相対的フロベニウス写像は、S-スキームの射である。
例えば、A-代数
R = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 , ... , f m ) . {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}
を考える。すると、
R ( p ) = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 ( p ) , ... , f m ( p ) ) {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)})}
を得る。相対的フロベニウス写像は、