交換子部分群
導来群を作る操作を繰り返して
G ( 0 ) := G {\displaystyle G^{(0)}:=G}
G ( n ) := [ G ( n − 1 ) , G ( n − 1 ) ] ( n ∈ N ) {\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}
と定義する。このとき部分群 G を n 次導来部分群、降正規列(英語版)
G = G ( 0 ) ▹ G ( 1 ) ▹ G ( 2 ) ▹ ⋯ {\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \dotsb }
を導来列 (derived series) と呼ぶ。これと降中心列(英語版)とを混同してはならない。降中心列の各項は Gn := [Gn−1, G] であって、G := [G, G] ではない。
有限群の場合には、導来列は完全群(英語版) (perfect group) で終わる(これは自明な場合も自明でない場合もある)。無限群の場合、導来群は必ずしも有限項で終わるとは限らず、超限再帰によって無限順序数項まで続けることができて超限導来列 (transfinite derived series) となることもあるが、最終的には群の完全核(英語版)で終わる。
が成立するから、交換子部分群は G の正規部分群になる。また任意の準同型 φ: G → H に対して
φ ( [ x 1 , y 1 ] ⋯ [ x n , y n ] ) = [ φ ( x 1 ) , φ ( y 1 ) ] ⋯ [ φ ( x n ) , φ ( y n ) ] {\displaystyle \varphi ([x_{1},y_{1}]\cdots [x_{n},y_{n}])=[\varphi (x_{1}),\varphi (y_{1})]\cdots [\varphi (x_{n}),\varphi (y_{n})]}
が成立するから、交換子部分群の準同型写像による像は交換子部分群に含まれる。これにより、交換子部分群を作る操作は群の圏における函手と見ることができる(これについて、いくらかは後述する)。また、さらに G = H と取れば、交換子部分群は G の任意の自己準同型に関して保たれることがわかる。すなわち、交換子部分群 [G, G] は G の完全特性部分群(英語版)であり、これは単に正規であるというよりも非常に強い性質である。
交換子部分群は、群 G の元 g を積の形 g = g1 g2 ... gk に書くとき、右辺の積の順番を適当に交換して単位元にすることができるような元 g の全体で生成される部分群として定義することもできる。