ヒース–ジャロー–モートン・フレームワーク
Heath, Jarrow and Morton & (1992) によって発展したモデルのクラスはフォワードレートのモデリングが基礎となっているが、期間構造の変化の複雑さをすべて捉えるものではない。
HJMモデルにおいてはまず、瞬間的なフォワードレート f ( t , T ) {\displaystyle \textstyle f(t,T)} , t ≤ T {\displaystyle \textstyle t\leq T} が導入される。これは、時間 t {\displaystyle \textstyle t} から見た、時間 T {\displaystyle \textstyle T} までの連続複利として定義されている。債券価格とフォワードレートの関係は以下のようにして定義される。
P ( t , T ) = e − ∫ t T f ( t , s ) d s {\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}
ここで、 P ( t , T ) {\displaystyle \textstyle P(t,T)} は時点 t {\displaystyle \textstyle t} における満期が T ≥ t {\displaystyle \textstyle T\geq t} のゼロ・クーポン債価格である。無リスクのマネーマーケットアカウントは同様に以下のように定義される。
β ( t ) = e ∫ 0 t f ( u , u ) d u {\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}
d Y t = ( r t − μ ( t , s ) ∗ ) d t − Σ ( t , s ) ∗ d W t {\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}
伊藤の補題より、 P ( t , T ) {\displaystyle \textstyle P(t,T)} の変動は次のようになる。
d P ( t , s ) P ( t , s ) = ( r t − μ ( t , s ) ∗ + 1 2 Σ ( t , s ) ∗ Σ ( t , s ) ∗ T ) d t − Σ ( t , s ) ∗ d W t {\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}
しかし、 P ( t , s ) β ( t ) {\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}} はリスク中立測度 Q {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} } の下でマルチンゲールでなくてはならない。