マシュー函数
この事実から、これらの方程式はそれぞれアンギュラ(angular)およびラディアル(radial)マシュー方程式としても知られている。
t = cos  ( x ) {\displaystyle t=\cos(x)} を代入することで、マシュー方程式は次の代数形式に変換される。
( 1 − t 2 ) d 2 y d t 2 − t d y d t + ( a + 2 q ( 1 − 2 t 2 ) ) y = 0. {\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}
この方程式は t = − 1 , 1 {\displaystyle t=-1,1} において二つの確定特異点を持ち、無限大において一つの不確定特異点を持つ。このことは、一般に(他の多くの特殊函数とは異なり)マシュー方程式の解は超幾何函数を用いて表現できないことを意味する。
マシューの微分方程式は、列車が走る時の鉄道レールの安定性や、人口動態の季節性、四次元波動方程式、リミットサイクルの安定性に関するフロケ理論など、多くの文脈において数理モデルとして扱われる。