斜交座標系
式(1)の右辺に表れた行列
( 1 cos  ( φ − θ ) cos  ( φ − θ ) 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}}
は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。 斜交座標系では計量テンソル g は
直交座標系の場合は、2つのベクトル u → = ( u x , u y ) , v → = ( v x , v y ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})} の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
あるいは次のようにも表現できる:
u → ⋅ v → = u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 , ( u 1 , u 2 ) := ( u x , u y ) , ( v 1 , v 2 ) := ( v x + v y cos  ( φ − θ ) , v x cos  ( φ − θ ) + v y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\(u^{1},u^{2})&:=(u_{x},u_{y}),\\(v_{1},v_{2})&:=(v_{x}+v_{y}\cos(\phi -\theta ),v_{x}\cos(\phi -\theta )+v_{y})\end{aligned}}}
このとき、添字が上についている量(u など)を反変成分、下についている量(v1 など)を共変成分という。