ケルビン・ストークスの定理
∂ P 1 ∂ v = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ + ⟨ F ∘ ψ | ∂ 2 ψ ∂ v ∂ u ⟩ ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ + ⟨ F ∘ ψ | ∂ 2 ψ ∂ u ∂ v ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial v\partial u}}\right\rangle \\&{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial u\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}}
従って、
任意のループと、任意の固定点との間に、区分的に滑らかなループ曲線 が取れる(即ち、[SC0] to [SC3]をみたすHがとれる) ような連結空間のことを、単連結空間という。正確な定義は以下の通り。
Definition 2-2 (単連結空間). M ⊆ Rを、連結空間 とする。 M が単連結であるとは、 任意の連続なループc : [0, 1] → Mに対し、以下を充たすような H : [0, 1] × [0, 1] → M が取れる。
[SC0'] H は”連続”写像である。
[SC1] H(t, 0) = c(t) for all t ∈ [0, 1],
[SC2] H(t, 1) = p for all t ∈ [0, 1],
[SC3] H(0, s) = H(1, s) = p for all s ∈ [0, 1].
なお、本によっては、単連結性の定義に、さらに、「[SC4]固定点pが、ループ上にある」という条件をさらに課している場合もあるがこの条件は、(基本群を使った考察をするうえで便利だが)あってもなくてもよい。すなわち、以下の命題が同値であることは容易に想到できよう。
Uが[SC1]-[SC3]のすべてを充たす。
Uが[SC1]-[SC4] のすべてを充たす。
さて、賢明な者は、[SC0]と[SC0’]の違いについて気付き、以下の2命題の間に、非常に大きなギャップがあることに気付くであろう。