確率分布
確率分布 PX が絶対連続ならば、ある可測関数 f : X → [0, ∞) が存在して、確率分布は
P ( X ∈ A ) = P X ( A ) = ∫ A f X ( x ) d x {\displaystyle P(X\in A)=P_{X}(A)=\int _{A}f_{X}(x)\,dx}
と表される(ラドン=ニコディムの定理)。fX は PX のラドン=ニコディム微分であり、零集合を除いて一意である。fX を連続型確率変数 X の確率密度関数 (probability density function, PDF) という。
確率分布 PX が絶対連続であるとは、任意の(ルベーグ測度に関しての)零集合 N に対して、
P X ( N ) = 0 {\displaystyle P_{X}(N)=0}
が成り立つことと定義される。これは測度の絶対連続性と同じである。このとき連続確率分布である。
とくに A が区間の場合は
P ( a < X < b ) = P ( a ≤ X < b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle P(a<X<b)=P(a\leq X<b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}
となる。区間の端点は入れても入れなくても確率は同じである。
ランダムウォークを参照。
確率変数の変数変換による新しい変数の密度関数は、元の変数の密度関数で書くことができる。この公式は重積分における変数変換とほぼ同様である。