位相群の群環
被約群 C-環 C∗r(G) はノルム
‖ f ‖ C r ∗ := sup { ‖ f ∗ g ‖ 2 : ‖ g ‖ 2 = 1 } {\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\}}
に関する Cc(G) の完備化である。ただし、
‖ f ‖ 2 = ∫ G | f | 2 d μ {\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}d\mu }}}
は L-ノルムとする。Cc(G) の L-ノルムに関する完備化はヒルベルト空間であるから、この C∗r-ノルムは L(G) 上の f を畳み込む作用による有界作用素のノルムであり、従って C-ノルムになる。
あるいは同じことだが、C∗r(G) は l(G) 上の左正則表現の像全体で生成される C-環である。
一般に C∗r(G) は C(G) の商であり、この被約群 C-環が先の非被約群 C-環と同型となる必要十分条件は G が従順であることである。
G の群フォンノイマン環 W(G) は C(G) の展開フォンノイマン環である。
G が離散群のときは、ヒルベルト空間 l(G) において G はその正規直交基底になる。G は l(G) に基底ベクトルの置換として作用するから、複素群環 C[G] を l(G) 上の有界作用素全体の成す多元環の部分多元環と同一視することができるが、この部分多元環の弱閉包 NG はフォンノイマン環である。
NG の中心は共軛類が有限となるような G の元を用いて記述することができる。特に、G の単位元がそのような性質を持つ唯一の元である(つまり、G が無限共軛類性質(英語版) を持つ)ならば NG の中心は単位元の複素数倍のみからなる。
NG が超有限型 II1-因子環(英語版)に同型となるための必要十分条件は、可算従順かつ無限共軛類性質を持つことである。