モーリーの定理
この式を上の BP の式に代入すると
BP = 8 sin  a ∘ sin  c ∘ sin  ( 60 ∘ + a ∘ ) {\displaystyle {\text{BP}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin(60^{\circ }+a^{\circ })}
となる。同様に、
BR = 8 sin  a ∘ sin  c ∘ sin  ( 60 ∘ + c ∘ ) {\displaystyle {\text{BR}}=8\sin a^{\circ }\sin c^{\circ }\sin(60^{\circ }+c^{\circ })}
△BPR に余弦定理を適用すると
PR 2 = BP 2 + BR 2 − 2 BP × BR cos  b ∘ {\displaystyle {\text{PR}}^{2}={\text{BP}}^{2}+{\text{BR}}^{2}-2{\text{BP}}\times {\text{BR}}\cos b^{\circ }}
sin  3 a ∘ = 3 sin  a ∘ − 4 sin 3  a ∘ = 4 sin  a ∘ { ( 3 2 ) 2 − sin 2  a ∘ } = 4 sin  a ∘ ( sin 2  60 ∘ − sin 2  a ∘ ) = 4 sin  a ∘ ( sin  60 ∘ + sin  a ∘ ) ( sin  60 ∘ − sin  a ∘ ) = 4 sin  a ∘ × 2 sin  60 ∘ + a ∘ 2 cos  60 ∘ − a ∘ 2 × 2 sin  60 ∘ − a ∘ 2 cos  60 ∘ + a ∘ 2 = 4 sin  a ∘ sin  ( 60 ∘ + a ∘ ) sin  ( 60 ∘ − a ∘ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 3a^{\circ }&=3\sin a^{\circ }-4\sin ^{3}a^{\circ }\\&=4\sin a^{\circ }\left\{\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}a^{\circ }\right\}\\&=4\sin a^{\circ }(\sin ^{2}60^{\circ }-\sin ^{2}a^{\circ })\\&=4\sin a^{\circ }(\sin 60^{\circ }+\sin a^{\circ })(\sin 60^{\circ }-\sin a^{\circ })\\&=4\sin a^{\circ }\times 2\sin {\frac {60^{\circ }+a^{\circ }}{2}}\cos {\frac {60^{\circ }-a^{\circ }}{2}}\times 2\sin {\frac {60^{\circ }-a^{\circ }}{2}}\cos {\frac {60^{\circ }+a^{\circ }}{2}}\\&=4\sin a^{\circ }\sin(60^{\circ }+a^{\circ })\sin(60^{\circ }-a^{\circ })\end{aligned}}}