古典電磁気学
電荷の定義から、点電荷の電位を位置の関数として以下のように表せる。
φ = q 4 π ε 0 | r − r q | {\displaystyle \varphi ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}\right|}}}
ここで q は点電荷の電荷量、r は電位を求める位置、rq は点電荷の位置である。電荷が連続的に分布する場合の電位は次のようになる。
φ = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ) r d V {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} )}{r}}\,\mathrm {d} V}
ここで ρ(r) は位置の関数で表した電荷密度、r は体積要素 dV からの距離である。
φ がスカラー値であることに注意が必要である。つまり、他の電位場もスカラー値として加算することが可能である。したがって、複雑な問題を相対的に単純な部分に分割し、それぞれに電位を計算して後で足し合わせるという解法が可能である。この φ の定義を上の電場の式と組み合わせると、電場は電位の負の勾配に他ならないということがわかる。すなわち、
E = − ∇ φ {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }
この方程式から、E が V/m(ボルト毎メートル)で表されることが明らかとなる。