モニック多項式
適当な単位的環 A および変数 x を所与として、モニック多項式全体の成す集合は多項式の乗法に関して閉じている(これは、二つの多項式の積の主項が各多項式の主項の積に等しいことから明らか)。したがって、モニック多項式の全体は、多項式環 A[x] の乗法部分半群を成す。特に、A[x] の乗法単位元である定数多項式 1 はモニックであるから、この半群はモノイドを成す。
変数 x に関する次数 n の多項式は、一般的に
の形に書くことができる。ここで、 cn ≠ 0, cn−1, ..., c2, c1, c0 はこの多項式の係数と呼ばれる定数であり、特に係数 cn は最高次係数という。したがって、n-次多項式がモニックとは
の形であることである。
モニック多項式に付随する多項式方程式の性質は、係数環 A に極めて依存する。
A が体ならば、任意の非零多項式 p はちょうど一つの同伴モニック多項式 q をもつ(明らかに q は p を主係数で割ったものである)。したがって、このとき任意の自明でない多項式方程式 p(x) = 0 はそれと同値なモニック方程式 q(x) = 0 に置き換えることができる。例えば、実二次方程式の一般形 ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) は
に置き換えることができる。これによって、二次方程式の一般解を
というやや簡素な形に書くことができる。
他方、係数環が体でない場合には大きな違いが生じる。整域上のモニック方程式(整方程式)は代数的整数論において重要である。