ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
である。ここに ν > 0 {\displaystyle \nu >0} は力学的粘性、 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)} は外の力、 ∇ {\displaystyle \nabla } は勾配(gradient)作用素であり、 Δ {\displaystyle \displaystyle \Delta } はラプラス作用素で ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla \cdot \nabla } とも書く。これは、ベクトル方程式、すなわち、3つのスカラー方程式である。速度と外力の座標を書き下すと、
v ( x , t ) = ( v 1 ( x , t ) , v 2 ( x , t ) , v 3 ( x , t ) ) , f ( x , t ) = ( f 1 ( x , t ) , f 2 ( x , t ) , f 3 ( x , t ) ) {\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}
1960年以来、2次元のナビエ–ストークスの問題は既に解けている。滑らかな大域的に定義された解は存在する。
初期速度 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} が充分小さい場合は、予想は正しい。ナビエ–ストークス方程式には滑らかで大域的に定義された解が存在する。
初期速度 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} が与えられると、 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} に依存した有限時刻 T が存在し、 R 3 × ( 0 , T ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)} 上のナビエ–ストークス方程式は、滑らかな解 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} と p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} を持つ。「爆発時刻」T を超えての解が存在するか否かはしられていない。
1934年、ジャン・ルレイは、平均値で方程式を満たすがポイントワイズ(英語版)(pointwise)ではない、いわゆるナビエ–ストークス方程式の弱解の存在を証明した。
2016年、テレンス・タオは平均化された三次元ナビエ–ストークス方程式における有限時間爆発解を発表した。彼は、この結果によりナビエ–ストークス方程式の大域的正則性問題の "supercriticality barrier" が定式化できること、およびこの証明手法がナビエ–ストークス方程式の爆発解を構成する為の手がかりとなることを主張した。