ガウス過程
ウィーナー過程は、おそらく最も広く研究されているガウス過程の一種である。ウィーナー過程は定常過程ではないが、定常増分を持つ。
オルンシュタイン=ウーレンベック過程は、定常なガウス過程である。
ブラウン橋は増分が独立ではないガウス過程である。
非整数ブラウン運動は、ウィーナー過程において定常増分が従う正規分布を N ( 0 , | t − s | 2 H ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,|t-s|^{2H})} へと非整数次数(2H)にまで拡張したガウス過程である。
任意の有限個の添字 t1, ..., tk に対して、
E ( exp ( i ∑ l = 1 k t l X t l ) ) = exp ( − 1 2 ∑ l , j σ l j t l t j + i ∑ l μ l t l ) {\displaystyle \mathbb {E} \!\left(\exp \!\left(i\sum _{l=1}^{k}t_{l}X_{t_{l}}\right)\right)=\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{l,j}\sigma _{lj}t_{l}t_{j}+i\sum _{l}\mu _{l}t_{l}\right)}
を満たすような正数 σlj および μj が存在する。またこのとき、μj は Xtj の期待値、σlj は Xtl と Xtj の共分散となることが確認できる。