スペクトル分解 (関数解析学)
X をバナッハ空間とし、L(X) を X 上の有界作用素の族とし、T ∈ L(X) とする。スペクトルの定義に従うと、ある複素数 λ が T のスペクトル σ(T) に含まれるとは、T − λ が L(X) 内に逆作用素を持たないことを言う。
T − λ が全単射であるなら、その逆作用素は有界である。この事実は、関数解析学の開写像定理より直接的に導かれる。したがって、λ が T のスペクトルに含まれるための必要十分条件は、T − λ が単射あるいは全射のいずれかでないこととなる。したがって次の三つのケースが考えられる:
T − λ が単射でない場合。すなわち、X 内の二つの異なる元 x、y で (T − λ)(x) = (T − λ)(y) を満たすようなものが存在する場合。このとき、z = x − y は T(z) = λz を満たす非ゼロのベクトルとなる。言い換えると、λ は線型代数学の文脈における T の固有値となる。この場合、λ は T の点スペクトルと呼ばれ、σp(T) と表される。
T − λ が単射で、その値域 R が X の稠密な部分集合であるが、X 全体ではない場合。すなわち、X 内のある元 x で、それに (T − λ)(y) を X 内の y を選ぶことでいくらでも近付けることが出来るが、一致させることは出来ない場合。
が C(σ(T)) 上の正の線型汎函数であることに注意されたい。リース=マルコフの表現定理によれば、σ(T) 上の測度 μh で
∫ σ ( T ) f d μ h = ⟨ h , f ( T ) h ⟩ {\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle }
を満たすようなものが唯一つ存在する。この測度はしばしば、h に関するスペクトル測度(spectral measure associated to h)と呼ばれる。このスペクトル測度は、連続汎函数計算を有界ボレル函数へ拡張するために用いることが出来る。ボレル可測であるような有界函数 g と、g(T) に対して
∫ σ ( T ) g d μ h = ⟨ h , g ( T ) h ⟩ {\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle }
を定義する。偏極恒等式を介して(H が複素と仮定されているので)、
⟨ k , g ( T ) h ⟩ {\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle }
を求めることが出来、したがって任意の h に対して g(T) h が得られる。
この文脈において、測度論の結果と結び付けられるスペクトル測度が、σ(T) の分解を与えることが分かる。
∀ s ∈ S , ( T h f ) ( s ) = λ f ( s ) {\displaystyle \forall s\in S,\;(T_{h}f)(s)=\lambda f(s)}
が成立する。正の測度の原像を持たないような h の本質的値域に含まれる任意の λ は、Th の連続スペクトルに含まれる。このことを示すことは、Th − λ がそのような全ての λ に対して稠密な値域を持つことを示すことに等しい。与えられた f ∈ L(μ) に対して、再び集合の列 {Sn = h(B1/n(λ))} を考える。gn を S − Sn の特性函数とする。次を定義する。
f n ( s ) = 1 h ( s ) − λ ⋅ g n ( s ) ⋅ f ( s ) . {\displaystyle f_{n}(s)={\frac {1}{h(s)-\lambda }}\cdot g_{n}(s)\cdot f(s).}
直接的な計算により fn ∈ L(μ) が分かり、優収束定理から、
( T h − λ ) f n → f {\displaystyle (T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f}
が L(μ) ノルムにおいて成立することが分かる。
したがって、乗算作用素は剰余スペクトルを持たない。特に、スペクトル定理より、ヒルベルト空間上の正規作用素は剰余スペクトルを持たないことが分かる。