クリフォード代数
最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものである。
代数 Clp,q(R) と Cln(C) の各々は A あるいは A ⊕ A に同型である、ただし A は成分が R, C あるいは H から来る全行列環、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はクリフォード代数の分類(英語版)を見よ。
1 → { ± 1 } → Spin V  ( K ) → SO V  ( K ) → K ∗ / K ∗ 2 . {\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2}.}
標数 2 においては群 {±1} はただ 1 つの元を持つことに注意せよ。
代数群のガロワコホモロジーの視点から、スピノルノルムはコホモロジーの連結準同型である。1 の平方根の代数群(標数が 2 でない体上それは大雑把には自明なガロワ作用を持った 2 元群と同じである)を μ2 と書くと、短完全列
1 → μ 2 → P i n V → O V → 1 {\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O} _{V}\rightarrow 1\,}
クリフォード代数 Clp,q(C) で p + q = 2n と偶数になるものは 2 次元の複素表現を持つ行列代数である。群 Pinp,q(R) に制限することにより同じ次元の Pin 群の複素表現を得、これはスピン表現(英語版)と呼ばれる。これをスピン群 Spinp,q(R) に制限すれば次元 2 の 2 つの半スピン表現(あるいはワイル表現)の和として分解する。
p + q = 2n + 1 と奇数になればクリフォード代数 Clp,q(C) はそれぞれが 2 次元の表現を持っているような 2 つの行列代数の和であり、これらもまた両方ともピン群 Pinp,q(R) の表現である。スピン群 Spinp,q(R) への制限上これらは同型になり、したがってスピン群は次元 2 の複素スピノル表現を持つ。
より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造が対応するクリフォード代数の構造(英語版)に依存する同様の表現を持つ:クリフォード代数がある可除代数上の行列代数である因子を持つときにはいつでもその可除代数上のピンとスピン群の対応する表現を得る。例えば実数体上の場合についてはスピノールの記事を見よ。