運動量保存則
N質点系の場合についても、2質点系の場合と全く同様の議論が成り立つ。
N質点系の全運動量 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} を
と定義できる。ここで、 p i {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{i}} は i {\displaystyle i} 番目の質点の運動量である。
全運動量の時間微分は
より
である。 i {\displaystyle i} 番目の質点に働く力 F i {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}} は j ≠ i {\displaystyle j\neq i} 番目の質点から働く力 F i , j i n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i,j}^{\mathrm {in} }} の総和と外力 F i e x {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}^{\mathrm {ex} }} の和
で表すことができる。よって、
となる。さらに、作用・反作用の法則から相異なる質点 i, j の間で F i , j i n = − F j , i i n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i,j}^{\mathrm {in} }=-{\boldsymbol {F}}_{j,i}^{\mathrm {in} }} が成り立つ。したがって内力の和はゼロとなる。
結局、全運動量の時間微分は各質点に働く外力の和に等しくなる。
よって、系に外力が働かなければ、系の全運動量は不変である(保存する)。