ラマヌジャン・ピーターソン予想
ラングランズ対応はアルキメデス素点(英語版)(archimedean valuation)に対して使うことができる。一般ラマヌジャン予想は境界が δ = 0 であることと同値である。
Jacquet, Piatetski-Shapiro & Shalika (1981) は、一般線型群 GL(n) での最初の境界 δ ≤ 1/2 を与えたが、これは自明な境界と呼ばれている。重要なブレイクスルーとなったのはLuo, Rudnick & Sarnak (1999) で、任意の n と任意の数体に対して現在最良の一般的な境界 δ ≡ 1/2 - 1/(n+1) を得た。GL(2) の場合には、キム(Kim)とサルナック(Sarnak)が、数体が有理数体である場合に δ = 7/64 という画期的な境界を得ている。これは、ラングランズ・シャヒーディの方法を通して得た対称的な 4乗数についての Kim (2002) の函手性の結果として得られた。キム=サルナック境界は任意の数体へ一般化できる(Blomer & Brumley (2011))。
GL(n) 以外の簡約群についての一般ラマヌジャン予想は、ラングランズ函手性の原理から導出できる。重要な例として古典群(英語版)(classical group)があり、ここでの最良の境界はラングランズの函手の持ち上げの結果としてCogdell et al. (2004) にて得られた。
1916年、ラマヌジャンは次のことを予想した。
1, τ(n) は乗法的(multiplicative),
2, τ(p) は完全乗法的ではないが、素数 p と自然数jについて
τ ( p j + 1 ) = τ ( p ) τ ( p j ) − p 11 τ ( p j − 1 ) ( j = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle \ \ \ \ \tau (p^{j+1})=\tau (p)\tau (p^{j})-p^{11}\tau (p^{j-1})\ (j=1,2,3,\dots )} が成り立ち、
3, |τ(p)| ≤ 2p.
ラマヌジャンは等式 (3) の右辺の分母の中の、u = p の二次方程式
1 − τ ( p ) u + p 11 u 2 {\displaystyle 1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}}
が、いつも虚数根を持つことを多くの例から観察していた。二次方程式の根と係数の関係から、第三の関係式が導出でき、これをラマヌジャン予想と言う。 更に、ラマヌジャンのタウ函数に対しては、上記の二次式の根を α と β とすると、