数論
中世インドでも数学者らはディオファントス方程式を深く研究しており、線形ディオファントス方程式の整数解を求める体系的手法を初めて定式化した。アリヤバータは著作『アーリヤバティーヤ』(499年)の中で線型ディオファントス方程式 a y + b x = c {\displaystyle ay+bx=c} の整数解の求め方を初めて明確に記している。これを「クッタカ法」と呼び、ディオファントス方程式の解を連分数を使って表すもので、アリヤバータの純粋数学における最大の貢献とされている。アリヤバータはこの技法を応用し、重要な天文学上の問題に対応する連立線型ディオファントス方程式の整数解を求めるのに使った。彼はまた不定線型方程式の一般的解法も見つけている。
ブラーマグプタは著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』(628年)でさらに難しいディオファントス方程式を扱っている。彼が使ったのは、 61 x 2 + 1 = y 2 {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}} のようなペル方程式に代表される二次のディオファントス方程式を解く「チャクラバーラ法」 (Chakravala method) である。
コーシー、ポアソン(1845年)、そして特にエルミートも数論に貢献している。3次形式の理論についてはアイゼンシュタインが先駆者であり、彼と H. J. S. Smith が形式論全般について注目に値する進展をもたらした。Smithは3元2次形式を完全に分類し、ガウスの実数の2次形式を複素数へと拡張した。4個から8個の平方数の和で表せる数の探求はアイゼンシュタインが進展させ、Smithが理論として完成させた。
ディリクレはこの問題についてドイツの大学で初めて講義を行った。彼は他にもフェルマーの最終定理
x n + y n ≠ z n , ( x , y , z ≠ 0 , n > 2 ) {\displaystyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n},(x,y,z\neq 0,n>2)}
の n = 5 と n = 14 の場合の証明に貢献している(オイラーとルジャンドルが n = 3 とn = 4 の場合を既に証明しており、それによって n が3または4の倍数の場合も含意されていた)。19世紀後半から活躍した他のフランス人数学者として、ボレル、貴重な回想録を数多く著しているポアンカレ、スティルチェスらがいる。ドイツでは、レオポルト・クロネッカー、エルンスト・クンマー、デーデキントらがいる。オーストリアではオットー・シュトルツ、イギリスではジェームス・ジョセフ・シルベスターも知られている。
数多く存在するが、その多くに素数分布予測の難しさが絡んでいると思われる。問題そのものは初等的に記述できても本質的に現代数学の概念を要請するものが多い。
ウラムの螺旋
コラッツの問題
ゴールドバッハの予想
双子素数予想
リーマン予想
BSD予想
Springer-Verlag. ISBN 0-387-90593-6
Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0
Niven, Ivan, Zuckerman, Herbert S. and Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Wiley Text Books. ISBN 0-471-62546-9
Ore, Oystein (1948). Number Theory and Its History. Dover Publications, Inc.. ISBN 0-486-65620-9
Smith, David. History of Modern Mathematics (1906) (adapted public domain text)
Dutta, Amartya Kumar (2002). 'Diophantine equations: The Kuttaka', Resonance - Journal of Science Education.