可微分多様体
可微分多様体を定義する同様だがより技術的なアプローチは環付き空間の概念を用いて定式化できる。このアプローチは代数幾何学のスキームの理論に強く影響を受けているが、微分可能な関数の芽の局所環を用いる。これは複素多様体の文脈で特にポピュラーである。
R 上の基本的な構造層を記述することから始める。U が R の開集合のとき、
O(U) = C(U, R)
を U 上のすべての実数値 k 回連続微分可能な関数からなるとしよう。U が変化すると、これは R 上の環の層を決定する。p ∈ R に対する茎 Op は p の近くの関数の芽からなり、R 上の代数である。とくに、これは一意的な極大イデアルが p で消える関数からなる局所環である。対 (R, O) は局所環付き空間の例である:各茎が局所環である層を伴った位相空間である。
(C 級の)微分可能多様体は対 (M, OM) からなる。ここで M は第二可算ハウスドルフ空間であり、OM は M 上定義された局所 R-代数の層であって、局所環付き空間 (M, OM) が (R, O) に局所同型なものである。このようにして、可微分多様体は R をモデルとしたスキームと考えることができる。これが意味するのは、各点 p ∈ M に対して、p の近傍 U と関数の対 (f, f) で次のようなものが存在するということである:
f: U → f(U) ⊂ R は R の開集合の上への同相
f: O|f(U) → f* (OM|U) は層の同型
f の局所化は局所環の同型
ff(p): Of(p) → OM, p.
リー群は C 多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。
n 次元可微分多様体 M 上の実数値関数 f が点 p ∈ M において微分可能 (differentiable) であるとは、p のまわりで定義された任意の1つの座標チャートにおいて微分可能であることをいう。より正確に言えば、(U, φ) がチャートで U を p を含む M の 開集合で φ: U → R をチャートを定義している写像とすると、f が微分可能であることと
f ∘ φ − 1 : φ ( U ) ⊂ R n → R {\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }}
が φ(p) において微分可能であることが同値である。一般に利用可能なチャートはたくさんあるが、微分可能性の定義は p でのチャートの取り方に依らない。チェーンルールをチャート間の変換関数に適用すると f が p での任意の特定のチャートで微分可能であれば p でのすべてのチャートで微分可能であることが従う。類似の考察を C 級関数、滑らかな関数、解析的関数、の定義に使える。