相関
カール・ピアソンが考案した積率相関係数は、2変数間の相関を示す尺度として最もよく知られており、単に「相関係数」と言えば通常は「ピアソンの積率相関係数」を指す。数学的には、2変数の共分散を標準偏差の積で除算するだけで得られる。
ピアソンの相関係数は、実際のデータ群が期待値からどの程度外れているかを示すもので、-1から+1までの値で表される。データ群の変数間に何らかの線形的な関係性があれば、数値に正または負の符号がつき、無相関であれば値は0になる。
2つの確率変数を X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} 、各々の期待値を μ X {\displaystyle \mu _{X}} と μ Y {\displaystyle \mu _{Y}} 、そして標準偏差を σ X {\displaystyle \sigma _{X}} と σ Y {\displaystyle \sigma _{Y}} とすると、母集団の相関係数 ρ X , Y {\displaystyle \rho _{X,Y}} は次のように定義される。
ここでの E {\displaystyle \operatorname {E} } は期待値の作用素、 cov {\displaystyle \operatorname {cov} } は共分散を意味し、 corr {\displaystyle \operatorname {corr} } は相関係数の代替表記として広く使われている。ピアソン相関は、両方の標準偏差が有限かつ正の値である場合にのみ定義される。積率の観点から、次の式に書き改めたりもする。