熱力学的状態方程式
熱力学第一法則と熱力学第二法則により、内部エネルギー U の全微分 dU は
d U = T d S − P d V {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V}
と表される。ここで T は熱力学温度、 S はエントロピー、P は圧力、V は体積である。この式から (∂U/∂V)T は
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ S ∂ V ) T − P {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-P}
となることが分かり、マクスウェルの関係式
( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ P ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}}
を使うと、内部エネルギーに関する熱力学的状態方程式
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ P ∂ T ) V − P {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-P}
となることが分かり、ゴムバンドの伸長についてのマクスウェルの関係式
( ∂ S ∂ L ) T , V = − ( ∂ K ∂ T ) L , V {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial L}}\right)_{T,V}=-\left({\frac {\partial K}{\partial T}}\right)_{L,V}}
を使うと、ゴムバンドの内部エネルギーに関する熱力学的状態方程式
( ∂ U ∂ L ) T , V = − T ( ∂ K ∂ T ) L , V + K {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial L}}\right)_{T,V}=-T\left({\frac {\partial K}{\partial T}}\right)_{L,V}+K}
が導かれる。