冪等元
抽象代数学において、二項演算 ∗ をもった集合の元 x は x ∗ x = x であるときに冪等元(べきとうげん、英: idempotent element)あるいは単に冪等(英: idempotent)と呼ばれる。これはその特定の元における二項演算の冪等性を反映している。
環論において(積に関する)冪等元は特に重要である。一般の環に対して、冪等元は加群の分解や環のホモロジー的性質と深く関わっている。この概念は Peirce (1870, pp. 16–17) によって導入された。
本記事は環論的な意味の冪等元を扱う。
以下は重要な冪等元の部分的なリストである。
自明な冪等元 (trivial idempotent) —— 0 と 1 のどちらかのこと。
中心的冪等元 (central idempotent) —— 中心に含まれる冪等元のこと。
原始冪等元 (primitive idempotent) —— 加群 eR が直既約となる環 R の冪等元 e のこと。左右対称な別の特徴づけもある: eRe が e ≠ 0 と 0 しか冪等元をもたないこと。
局所冪等元 (local idempotent) —— eRe が局所環となる環 R の冪等元 e のこと。加群 eR は直既約なので、局所冪等元は原始的冪等元でもある。
右既約冪等元 (right irreducible idempotent) —— 加群 eR が単純となる環 R の冪等元 e のこと。
冪等元の持ち上げは R 加群の圏に対してもまた主要な結果を持っている。ジャコブソン根基 J(R) に含まれるイデアル I を法としてすべての冪等元が持ち上がることと、R 加群として R/I のすべての直和成分が射影被覆を持つことは同値である。冪等元は mod 冪零元イデアル(英語版)や R/I が I 進完備であるような環ではつねに持ち上がる。
冪等元の持ち上げは特に I = J(R) ときに最も重要である。半完全環のさらに別の特徴づけは、 J(R) を法として冪等元が持ち上がるような半局所環である。