疫学における区画モデル
新生児以外にも率ρで予防接種を行う場合、感受性保持者と予防接種済みの人についての方程式は
d S d t = μ N ( 1 − P ) − μ S − ρ S − β I N S d V d t = μ N P + ρ S − μ V {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}
と修正されなければならず、ここから次のような根絶条件が得られる。
P ≥ 1 − ( 1 + ρ μ ) 1 R 0 {\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}
( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}
である。
この場合、基本再生産数
R 0 = β Λ μ ( μ + γ ) {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta \Lambda }{\mu (\mu +\gamma )}}}
を導出することができ、これは閾値特性を有さない。実際、生物学的に意味を持つ初期値から独立に、以下を示すことができる。
R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}
隔離(removed)(免疫のある)個体、または死亡した個体の数。これらは、感染から回復して隔離区画に入った個体、または死亡した個体である。死亡者数は総人口に対して無視できるほどの数であると仮定している。この区画を「回復(recovered)」または「抵抗性(resistant)」と呼ぶこともある。
このモデルは、麻疹、おたふくかぜ、風疹といった、回復が持続的な抵抗性をもたらし、ヒトからヒトへ感染する感染症について合理的に予測可能である。
これらの変数(S、I、R)は、特定の時間に各区画にいる人の数を表す。感受性個体、感染個体、隔離個体の数が(総人口サイズが一定であっても)時間とともに変化する可能性があることを表すために、正確な数をt(時間)の関数S(t)、I(t)、R(t) とする。特定の集団における特定の疾患については、これらの関数は、可能性のあるアウトブレイクを予測し、それらを制御下に置くために働くかもしれない。
SEISモデルは、最後に免疫が獲得できないことを除けば、SEIRモデル(上)と同様である。
S → E → I → S {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}
このモデルでは、感染は免疫を残さないので、回復した個体は再び感受性のある状態に戻り、S(t') 区画に後退する。以下の微分方程式はこのモデルを記述している。
d S d T = Λ − β S I N − μ S + γ I d E d T = β S I N − ( ε + μ ) E d I d T = ε E − ( γ + μ ) I {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dT}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dT}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dT}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}