タルスキの定義不可能性定理
初めにタルスキの定理の簡略版を述べてから、次節でタルスキが1933年に証明した定理を述べ、証明することにする。
L を一階算術の語彙とする。ここでいう一階算術は加法と乗法を含みペアノの公理で公理化された自然数についての理論である。"一階"の理論とはすなわち、自然数全体にわたる量化はあるが、自然数全体の部分集合や自然数上の関数は量化の対象にしないものである。この理論は指数関数や階乗、フィボナッチ数列など再帰的な整数関数を記述するのに十分な強さをもった理論である。
N を L の標準構造とする。すなわち N は普通の自然数全体とその上の加法と乗法からなるものとする。L の各式は N において解釈され、真か偽かが決定される。そこで (L, N) は"解釈された一階算術の語彙"である。
L の各式 φ はゲーデル数 g(φ) を持つ。これは φ を"コード化"する自然数である。このようにして、語彙 L は数だけでなく L の式について語ることができる。 T を N で真になるような L-文の集合とする。そして、T* を T に属する文のゲーデル数全体とする。