完全加法族
何となれば、実数直線 R 内のルベーグ零集合(ルベーグ測度 0 の可測部分集合)の族は σ-集合環になるが、零集合の可算合併はやはり零集合であって、測度が無限大である R には成り得ないので、σ-集合代数にはならない。また、零集合の代わりに、R のルベーグ測度が有限な可測部分集合の族を考えると、これは集合環にはなるが、有限な測度を持つ集合の可算和として得られる R が測度有限でないので、σ-集合環にはならない。
σ-集合代数 Σ に属する元は (Σ-)可測集合であると言い、集合 X とその上の σ-集合代数の組 (X, Σ) は X 上の σ-集合体を成し、可測空間 (measurable space) と呼ばれる。可測空間の間の写像が可測函数であるとは、任意の可測集合の原像が可測となることを言う。全ての可測空間の集まりは、可測函数を射として圏を成す。測度は σ-集合代数から補完数直線内の区間 [0, ∞] への特定の種類の写像として定義される。
σ-集合代数 (X, Σ) をカリグラフ体やフラクトゥールを用いて
( X , F ) , ( X , F ) {\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}}),\quad (X,\,{\mathfrak {F}})}
のように書くこともある。このように書くと、Σ が総和の記号 ∑ と区別し難いような場面で有効である。
集合 X とその上の冪集合 2 に対し、X の部分集合族 Σ ⊂ 2 が X 上の σ-集合代数であるとは、
Σ は空でない: 少なくとも一つの A ⊂ X が Σ に属する。
Σ は補演算に関して閉じている: A が Σ に属するならば、その補集合 X ∖ A も Σ に属する。
Σ は可算合併に関して閉じている: A1, A2, A3, ... が Σ に属する集合の列ならば、それらの合併 A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... も Σ に属する。
の三性質を満たすときに言う。これら三公理から、σ-集合体は可算交叉について閉じていることが(ド・モルガンの法則から)わかる。
またこれらから Σ が全体集合 X および空集合を含むことがわかる。実際、条件 1. から Σ は空でないので適当な A ⊂ X が取れて、条件 2. でその補集合 X ∖ A も Σ に属し、条件 3. からそれらの和 A ∪ (X ∖ A) = X も Σ に属することが言える。また再度条件 2. を適用して、X ∈ Σ の補集合である空集合が Σ に属することが言える。
実はこのことはまさに、σ-集合代数と σ-集合環との間の差異であって、つまり σ-集合代数 Σ とは全体集合 X を含むような σ-集合環のことに他ならない。σ-集合環は必ずしも σ-集合代数でない。