離散フーリエ変換
信号処理の分野では周波数領域(フーリエ変換)で処理をすることも少なくない。例えば、画像の非可逆圧縮や音声圧縮技術などでは離散フーリエ変換の考えが用いられている。信号に対して DFT (実装上ではFFT) を行い、人間が知覚しづらい周波数成分の情報を取り除くことで、正味の情報量を削減(圧縮)する。最も単純な方法では、IDFTの際にその取り除いた周波数情報(フーリエ係数)を0にすることにより、通常のIDFTを実現する。実装の単純化(計算の効率化)のために、実数演算のみで可能な離散コサイン変換を使って2次元情報を圧縮した例がJPEGである。
離散フーリエ変換(りさんフーリエへんかん、英語: discrete Fourier transform、DFT)とは次式で定義される変換で、フーリエ変換に類似したものであり、信号処理などで離散化されたデジタル信号の周波数解析などによく使われる。また偏微分方程式や畳み込み積分の数値計算を効率的に行うためにも使われる。離散フーリエ変換は(計算機上で)高速フーリエ変換(FFT)を使って高速に計算することができる。
離散フーリエ変換とは、複素関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を複素関数 F ( t ) {\displaystyle F(t)} に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。
F ( t ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) exp  ( − i 2 π t x N ) {\displaystyle F(t)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\exp \left(-i{\frac {2\pi tx}{N}}\right)}
ここで、Nは任意の自然数、 e {\displaystyle e} はネイピア数、 i {\displaystyle i} は虚数単位 ( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} )で、 π {\displaystyle \pi } は円周率である。このとき、{ x = 0 , ... , N − 1 {\displaystyle x=0,\dots ,N-1} }を標本点という。