体のテンソル積
例えば、K が Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上 2 の 3 乗根によって生成される体であれば、 K ⊗ Q K {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K} は K(のコピー)と Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上次数 6 の
X − 2
の分解体の積である。これは次のように証明できる。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のテンソル積の次元を 9 と計算し、分解体は K の 2 つ(実は 3 つ)のコピーを確かに含みそれらの 2 つの合成体であることを観察する。それは偶発的にこの場合 R = {0} を示している。
非零冪零を導く例:
P(X) = X − T
とし、K を p 個の元を持った有限体上の不定元 T の有理関数体とする。(分離多項式参照: ここでポイントは P が分離的でないことである。)L が体拡大 K(T) (P の分解体)であれば、L/K は純非分離体拡大の例である。 L ⊗ K L {\displaystyle L\otimes _{K}L} において元
T 1 / p ⊗ 1 − 1 ⊗ T 1 / p {\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}
は冪零である: p 乗することによって K-線型性を用いて 0 を得る。