命題論理
整式 φ {\displaystyle \phi } と整式 ψ {\displaystyle \psi } からは ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} を推論できる。
スティーブン・コール・クリーネによって導入された体系では11の公理と一つの推論規則が用いられる。
公理 AND-1 と公理 AND-2 の平行性は論理積の可換性を反映している。
公理 OR-1 と公理 OR-2 の平行性は論理和の可換性を反映している。
公理 NOT-2 に何らかの制限を加えて論理体系を構成する方法は矛盾許容論理と呼ぶ。
公理 NOT-3 は命題式の意味論的値付けの可能性を反映している:式の真理値は真か偽のどちらかである。少なくとも古典的論理学においては第三の真理値という可能性は考慮されない。公理 NOT-3 を認めないで論理体系を構成する方法は直観主義論理と呼ぶ。
推論規則はモーダスポネンス、つまり
φ {\displaystyle \phi } と ( φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )} という形の整式からは ψ {\displaystyle \psi } を推論できる
のみを規約する。上記の公理系とこの推論規則から#推論規則節で述べられたのと同じ演繹が可能になる。
文法と論理演算子のほとんどを公理によって定め、推論規則を一つだけしか持たないような、他の方式の命題計算を定義することもできる。 以下、 φ {\displaystyle \phi } 、 χ {\displaystyle \chi } 、 ψ {\displaystyle \psi } で整式を表すことにする。個々の整式自体はギリシャ文字を含まず、ローマ字と結合子と括弧のみからなっている。