弱位相 (極位相)
双対組 ( X , Y , ⟨ , ⟩ ) {\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )} が与えられたとき、弱位相 σ ( X , Y ) {\displaystyle \sigma (X,Y)} は X {\displaystyle X} 上の最も弱い極位相である。したがって
( X , σ ( X , Y ) ) ′ ≃ Y {\displaystyle (X,\sigma (X,Y))'\simeq Y}
が成り立つ。すなわち、 ( X , σ ( X , Y ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y))} の連続双対は、同型を除いて Y {\displaystyle Y} と等しい。
弱位相は次のように構成される:
Y {\displaystyle Y} 内のすべての y {\displaystyle y} に対し、 X {\displaystyle X} 上の半ノルム
p y : X → R {\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
を、次のように定める:
p y ( x ) := | ⟨ x , y ⟩ | x ∈ X . {\displaystyle p_{y}(x):=\vert \langle x,y\rangle \vert \qquad x\in X.}
この半ノルムの族は、 X {\displaystyle X} 上の局所凸位相を定義する。