ビアンキ分類
VIII 型と IX 型を除くすべての 3-次元リー代数は、R と R との半直積として構成することができる。ここに R は 2 × 2 の正方行列 M により R 上へ作用する。リー代数の分類の型の違いは、行列 M の種類の違いであり、これらの型別の違いを以下にあげる。
I型: 可換であるが、ユニモジュラなリー代数 R である。単純連結な群は中心 R と外部自己同型群 GL3(R) を持っている。これは M が 0 の場合である。
II型: べき零でユニモジュラ、ハイゼンベルク代数(英語版)(Heisenberg algebra)である。単純連結な群は中心 R と外部自己同型群 GL2(R) を持っている。この場合は M がべき零であるが、0 ではない(固有値がすべて 0)。
III型: 可解であるが、ユニモジュラではない。この代数は、R と 2-次元の非可換リー代数である。(固有値がひとつで 0 であれば、VI型の場合に限られる。)単連結群は中心 R と非零な実数の群の外部自己同型を持っている。行列 M はひとつの 0 とひとつの非零な固有値を持っている。
IV型: 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = y + z である。
R ( a ) ( b ) = 1 2 [ C b c d ( C c d a + C d c a ) + C c d c ( C a b d + C b a d ) − 1 2 C b c d C a c d ] {\displaystyle R_{(a)(b)}={\frac {1}{2}}\left[C_{\ \ b}^{cd}\left(C_{cda}+C_{dca}\right)+C_{\ cd}^{c}\left(C_{ab}^{\ \ d}+C_{ba}^{\ \ d}\right)-{\frac {1}{2}}C_{b}^{\ cd}C_{acd}\right]}
により与えられる。ここに構造定数のインデックスは、 x i {\displaystyle x^{i}} の函数ではない γ a b {\displaystyle \gamma _{ab}} の足を上げ下げする。