双曲幾何学
以上は数学的な双曲幾何学だったが、物理学的な双曲幾何学によりこれを現実の世界に応用することができる。 高速で回転する円盤上ではローレンツ収縮により物体の長さが縮む。このとき円盤の中心から遠ざかるにつれて回転速度が速くなるため、端に行くほどローレンツ収縮の効果が強く出ることになる。このような場合では二点間を結ぶ最短距離は(円盤の直径を除いて)回転の遅い中心よりの線になり止まった状態の円盤から見ると曲線になる。つまり高速で円盤を回転させたために直線が曲がり3次元の空間が負の曲率を持ったのである。
楕円幾何学においては球面幾何学がそのモデルであったわけだが、双曲幾何学においてはベルトラミの考案したポワンカレの上半平面モデルやポワンカレの円板モデルが有名である。
他にもベルトラミーの擬球面(英語版)と呼ばれる無限に開き続ける漏斗のような曲面のモデルや双曲面モデル("半径iの円")、クラインモデルというものもある。
これらの例のような双曲幾何学の成立する曲面は双曲平面(=二次元双曲多様体)と呼ばれる。
上に挙げた双曲平面は、双曲幾何学が完成した後に発見された。