クラメルの公式
別な例として次の線型方程式系
をとる。拡大係数行列は
である。解をクラメルの法則に従って求めれば、
となる。
クラメルの法則を使えば、det(A) ≠ 0 のとき斉次方程式系が自明な解 x1 = x2 = ⋯ = xn = 0 を唯一の解として持つことは容易に示せる。各 i について A の第 i-列を零ベクトルで置き換えて得られる行列 Ai は、列ベクトルの全体がもはや線型独立ではなく、従って det(Ai) = 0 が成り立つ。これにより xi = 0 が結論付けられる。
上記性質により、線型方程式系 Ax = b (det(A) ≠ 0) の核が零ベクトルのみからなることが従い、従ってそれが唯一の解である。