ブリルアン関数とランジュバン関数
ブリルアン関数の導出は以下の通りである。この関数は理想的な常磁性体の磁化を説明する。 z {\displaystyle z} を磁場の方向とする。それぞれの磁気モーメントの角運動量(軌道角運動量)のz-成分は − J , − J + 1 , ... , + J {\displaystyle -J,-J+1,\ldots ,+J} の2J+1個の状態のうちのいずれかを取る。これらの状態は外部磁場 H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} により異なるエネルギーをもつ。量子数 m {\displaystyle m} と結びついたエネルギーは
E m = − m g μ B H = − k B T x m / J {\displaystyle E_{m}=-mg\mu _{\rm {B}}H=-k_{\rm {B}}Txm/J}
と表される。ここで g {\displaystyle g} はg因子、 μ B {\displaystyle \mu _{\rm {B}}} はボーア磁子、 x {\displaystyle x} は前述の通り定義される。それぞれの相対確率はボルツマン因子によって与えられ
P ( m ) = e − E m / ( k B T ) / Z = e x m / J / Z {\displaystyle P(m)=e^{-E_{m}/(k_{\rm {B}}T)}/Z=e^{xm/J}/Z}
である。ここで Z {\displaystyle Z} (分配関数)は全確率の総和を1にするための規格化定数である。 Z {\displaystyle Z} を計算することにより、