多様体の射
Y = A となる特別の場合を考えるとき、正則写像 ƒ: X → A は正則函数 (regular function) と呼ばれ、これは微分幾何におけるスカラー函数に対応するものである。即ち、スカラー函数が一点 x において正則 (regular) となるのは、x の適当な近傍においてそれが有理函数(つまり多項式の商)に書けて、かつその分母が x において消えていないときに限られる。正則函数環(つまり、座標環あるいはより抽象的に構造層の大域切断の環)はアフィン代数幾何において基本的対象である。一方、連結射影多様体上の正則函数は定数しかない(これは複素解析におけるリウヴィルの定理の類似とみなせる)から、射影代数幾何では(正則函数ではなくて)直線束(あるいは因子)の大域切断を考えるのが普通である。
事実として、既約代数曲線 V 上の函数体 k(V) を取ると、この函数体に属する任意の函数 F は V から k 上の射影直線への射として実現することができる。その像 F(V) は一点か、さもなくば射影直線全体である(これは射影多様体の完備性(英語版)の帰結である)。つまり、F が実際に定数なのでない限り、F は V のどこかの点において値が ∞ となることを認めなければならない。いま、F のそのような(値が ∞ となる)点における振る舞いは、そのほかの点におけるよりも(ある意味で)悪くはならない。つまり、∞ は射影直線上にとった無限遠点として、それはメビウス変換によってどこでも好きなところに移すことができる。しかし幾何学的な必要により、函数の終域を(射影直線ではなく)アフィン直線に限らねばならないとすれば、有限な値しかとれないので、不十分である。