形式的冪級数
∑ n = 0 ∞ a n X n + ∑ n = 0 ∞ b n X n := ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) X n ( ∑ n = 0 ∞ a n X n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n X n ) := ∑ n = 0 ∞ ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) X n {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}&:=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})X^{n}\\\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)&:=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}\end{aligned}}}
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
以下では A を単位元をもつ可換環とし、 f = ∑ n = 0 ∞ a n X n ∈ A [ [ X ] ] {\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in A[[X]]} とする。
f が A[[X]] の単元であることと a0 が A の単元であることは同値である。
f が冪零であれば、すべての an は冪零である。逆は一般には成り立たないが、A がネーター環であれば成り立つ。
A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。
A が整域であれば、A[[X]] も整域である。
f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a0 が A のジャコブソン根基に属することは同値である。