三角行列
正規三角行列は対角行列である。これは正規三角行列 A に対して A*A および AA* の対角成分を見ればわかる。
上三角行列の転置行列は下三角であり、下三角の転置は上三角である。
三角行列の行列式は対角成分の積である。任意の三角行列 A に対して λI − A もまた三角行列で、その行列式は A の固有多項式であるから、実は A の対角成分の全体は A の固有値全体の成す多重集合を与える(重複度 m の固有値はちょうど m 個が対角成分に現れる)。
下三角行列または左三角行列は
なる形に書ける行列を言い、同様に上三角行列または右三角行列は
の形に書けるものをいう。ここで用いたような、下三角行列を変数 L(left or lower の略)や上三角行列を変数 U(upper の略)または R(right の略)で表す用法が一般的にしばしば用いられる。
上半かつ下半三角な行列は対角行列といい、また三角行列に相似な行列は三角化可能であると言う。
上三角(resp. 下三角)であるという性質は様々な行列演算に関して保たれる:
二つの上(resp. 下)三角行列の和は上(resp. 下)三角行列である;
二つの上(resp. 下)三角行列の積は上(resp. 下)三角行列である;
正則上(resp. 下)三角行列の逆行列は上(resp. 下)三角である;
上(resp. 下)三角のスカラー倍は上(resp. 下)三角である。
これらの事実により、与えられたサイズの上(resp. 下)三角行列の全体は、同じサイズの正方行列の成す結合多元環(行列環)の部分多元環を成すことがわかる。さらに加えて、リー括弧積を交換子 [A, B] ≔ AB − BA を与えれば、同じサイズの正方行列全体の成すリー環の部分リー環としても見ることもできる。この上(resp. 下)三角行列全体の成すリー環は可解リー環であり、またしばしば全行列リー環のボレル部分リー環(英語版)とも呼ばれる。
上記の記述においては下半と上半を混ぜた演算を行ってはならない(その場合、一般には三角行列にならない)。例えば上三角行列と下三角行列の和は任意の行列となり得るし、下三角行列と上三角行列との積も三角行列でないものになり得る。