直積集合
ふたつの写像 f: A → X, g: B → Y が与えられたとき、直積集合 A × B から直積集合 X × Y への写像を
( f × g ) ( a , b ) := ( f ( a ) , g ( b ) ) ( a ∈ A , b ∈ B ) {\displaystyle (f\times g)(a,b):=(f(a),\,g(b))\quad (a\in A,\,b\in B)}
で定義することができる。この f × g を写像 f, g の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。
f × g が全射 (resp. 単射) であるための必要十分条件は f, g がともに全射 (resp. 単射) となることである。一般に、写像の族 (fλ: Aλ → Xλ) の直積 f = ∏fλ が全射 (resp. 単射) であるための必要十分条件は、任意の (fλ が全射 (resp. 単射) となることである。
集合の圏 Set における圏論的積の例として、固定された添字集合 I で添字付けられる任意の集合の族 Xi に対してそれらの直積 ∏ Xi を対応させ、さらにそのような集合の族の間の写像の族 fi: Xi → Yi に対してそれらの直積 ∏ fi を対応させるならば、そのような対応は Set → Set なる形の函手(I-型の直積函手)を定める。
1 2 松坂 1968, p. 22.
1 2 松坂 1968, p. 46.
↑ 松坂 1968, p. 47.
1 2 PlanetMath, Cartesian product
↑ Singh, S.. “Cartesian product”. 2009, August 27閲覧。
↑ 松坂 1968, pp. 50–51.
↑ Cartesian Product of Subsets at ProofWiki
↑ 松坂 1968, p. 51.
集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち
( A ∩ B ) × ( C ∩ D ) = ( A × C ) ∩ ( B × D ) {\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}
が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない:
( A ∪ B ) × ( C ∪ D ) ≠ ( A × C ) ∪ ( B × D ) . {\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D).}
実は右辺は
( A × C ) ∪ ( B × D ) = [ ( A ∖ B ) × C ] ∪ [ ( A ∩ B ) × ( C ∪ D ) ] ∪ [ ( B ∖ A ) × D ] {\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}
と書くことができる。差に関しては等式
( A × C ) ∖ ( B × D ) = [ A × ( C ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∖ B ) × C ] {\displaystyle (A\times C)\smallsetminus (B\times D)=[A\times (C\smallsetminus D)]\cup [(A\smallsetminus B)\times C]}
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち R×R(R は実数)という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
数学において、集合のデカルト積(デカルトせき、英: Cartesian product)または直積(ちょくせき、英: direct product)、直積集合、または単に積(せき、英: product)、積集合は、集合の集まり(集合族)に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの(元の族)を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう。集合の組立記法(英語版) では
A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}}
と書くことができる。有限個の集合の直積 A1×⋯×An も同様の n-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、(A1 × ⋯ × An−1)× An と帰納的に定めることもできる。