ベンフォードの法則
この法則は代わりに以下のような事実からも説明することができる。もし本当に最初の桁の数値が特定の分布をしているのであれば、測定の単位を変更したとしても同様に特定の分布を示すはずである。たとえば、長さの測定値をフィートからヤードへ定数を掛けて変更したとしても、分布は不変でなければならない。これはスケール不変 (普遍) ということであり、こうした条件を満たす唯一の分布が対数的に分布しているものである。
例えば、何かの物体の長さや距離などの最初の桁(0は除く)は、測定単位がフィートやヤードやその他の何であれ、同じ分布でなければならない。1 ヤードは3 フィートであるので、ヤードで測定した長さの最初の桁が1である確率は、フィートで測定した長さの最初の桁が3、4、5のいずれかである確率と同じでなければならない。これをあらゆる測定単位に対して同じように考えると対数的な分布となり、log10(1) = 0 とlog10(10) = 1 であることを考え合わせると、ベンフォードの法則が得られる。つまり、最初の桁に特定の分布があるならば、それはどのような測定単位が用いられようとも適用できなければならず、そのような条件に適合する唯一の最初の桁の分布がベンフォードの法則であることになる。
ベンフォードの法則(ベンフォードのほうそく、Benford's law)とは、自然界に出てくる多くの(全てのではない)数値の最初の桁の分布が、一様ではなく、ある特定の分布になっている、という法則である。この法則によれば、最初の桁が1である確率はほぼ3分の1にも達し、大きな数値ほど最初の桁に現れる確率は小さくなり、9になると最初の桁に現れる確率は20分の1よりも小さくなる。数理的には、数値が対数的に分布しているときは常に最初の桁の数値がこのような分布で出現する。以下に示したような理由により、自然界での測定結果はしばしば対数的に分布する。別の言い方でいえば、対数的な測定結果があらゆる場所に存在する。
この直感に反するような結果は、電気料金の請求書、住所の番地、株価、人口の数値、死亡率、川の長さ、物理・数学定数、冪乗則で表現されるような過程(自然界ではとても一般的なものである)など、様々な種類の数値の集合に適用できることがわかっている。この法則はその数値の基底によらず(十進法ではない場合でも)適用できるが、その場合1桁目の各数値の取る比率は変化する。
1938年にこの法則を提唱した物理学者、フランク・ベンフォード (Frank Benford) にちなんで名づけられている。しかしながら、この法則はそれ以前、1881年にサイモン・ニューカムによって提示されていた。
また、このような数ないし自然の性質を人工的工学的に反映させたものに「標準数」がある。