バーガース渦
1959年に Roger D. Sullivan が以下のような速度場を考えてバーガース渦を拡張した。
v r = − α r + 1 r f ( η ) , {\displaystyle v_{r}=-\alpha r+{\frac {1}{r}}f(\eta ),}
v z = 2 α z [ 1 − f ′ ( η ) 2 ν ] , {\displaystyle v_{z}=2\alpha z\left[1-{\frac {f'(\eta )}{2\nu }}\right],}
v θ = Γ 2 π r g ( η ) g ( ∞ ) . {\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}{\frac {g(\eta )}{g(\infty )}}.}
ここで η = α r 2 / ( 2 ν ) {\displaystyle \eta =\alpha r^{2}/(2\nu )} である。関数 f ( η ) {\displaystyle f(\eta )} と g ( η ) {\displaystyle g(\eta )} は次のように表現される。
f ( η ) = 6 ν ( 1 − e − η ) , {\displaystyle f(\eta )=6\nu (1-e^{-\eta }),}
無限遠ではポテンシャル渦のような振る舞いをし、有限の場所では回転する流れとなるように、方程式は g ( ∞ ) = 1 {\displaystyle g(\infty )=1} を満たすように積分される。この仮定により、軸上では g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} すなわち v θ = 0 {\displaystyle v_{\theta }=0} が保証される。このとき解は
g = 1 − exp  ( − α r 2 2 ν ) . {\displaystyle g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}
したがって渦度は非自明な z {\displaystyle z} 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。
ω z = α Γ 2 π ν exp  ( − α r 2 2 ν ) . {\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).}
ω z {\displaystyle \omega _{z}} のための渦度方程式の3つの項によって直感的に流れ場を理解することができる。軸方向の速度 v z {\displaystyle v_{z}} は渦の伸長によって軸方向の渦中心の渦度を強める。強まった渦度は動径方向に拡散しようとするが、 v r {\displaystyle v_{r}} による動径方向の渦対流により拡散は阻止される。この3つの流れのバランスにより、定常的な渦場が得られる。