複素線積分
}
半円の弧を Arc と呼ぶことにすれば、Arc 上の積分が R → ∞ のとき 0 に収束することを示す必要がある。estimation lemma(英語版) を用いて
| ∫ Arc f ( z ) d z | ≤ M L {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}
ただし M は Arc 上の |f(z)| の上界であり、L は Arc の長さである。今
| ∫ Arc f ( z ) d z | ≤ R π ( R 2 − 1 ) 2 → 0 ( R → ∞ ) {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {R\pi }{(R^{2}-1)^{2}}}\to 0\quad (R\to \infty )}
である。したがって
∫ − ∞ ∞ 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x = ∫ − ∞ ∞ f ( z ) d z = lim a → + ∞ ∫ − a a f ( z ) d z = π 2 . ◻ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }
R e s z = ∞ f ( z ) 5 − z = exp  ( π i 4 ) ( 5 − 3 4 ) = exp  ( π i 4 ) 17 4 {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=\exp({\tfrac {\pi i}{4}}){\frac {17}{4}}}
が得られた。
以上より、最終的に I の値は
I = 2 π i exp  ( π i 4 ) − 1 + i ( 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ) = 2 π 2 − 1 2 ( 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ) = π 2 2 ( 17 − 5 3 4 2 9 4 ) = π 2 2 ( 17 − 40 3 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {\exp({\tfrac {\pi i}{4}})}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}}
と求まる。
積分路はその上で路に沿う積分を定義する曲線のクラスである。積分路は向き付けられた滑らかな曲線の有限列 γ1, ..., γn からなる向き付けられた曲線であって、すべての 1 ≤ i < n に対して γi の終点が γi+1 の始点と一致するようなものである(そうすると向きが上手く定まる)。積分路はすべての向き付けられた滑らかな曲線を含む。また、複素平面の一点も積分路と考える。記号 + が曲線をつないで新しい曲線を作ることを表すためにしばしば用いられる。したがって n 個の断片からなる積分路 Γ を
Γ = γ 1 + γ 2 + ⋯ + γ n {\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}}
と書くことができる。
この方法で路に沿う積分を定義するためにはまず実変数上の複素数値関数の積分を考えなければならない。f: R → C を実変数 t の複素数値関数とする。f の実部と虚部はしばしばそれぞれ u(t) と v(t) と書かれる、つまり
f ( t ) = u ( t ) + i v ( t ) {\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t)}
である。すると複素数値関数 f の区間 [a, b] 上の積分は次で与えられる:
∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b [ u ( t ) + i v ( t ) ] d t = ∫ a b u ( t ) d t + i ∫ a b v ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big [}u(t)+iv(t){\big ]}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}
以上より
∫ 0 ∞ log  ( x ) ( 1 + x 2 ) 2 d x = − π 4 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}