フーリエ級数
{\displaystyle f(\pi ):={\frac {f(\pi -0)+f(\pi +0)}{2}}.}
特に今回の場合、f(π) = 0 となる。
元の関数は奇関数なので、f に対するフーリエ級数は正弦級数となる:
f ( x ) = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 sin  n x n . {\displaystyle f(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin nx}{n}}.}
上記より f(π/2) について、以下の等式が得られる:
π 2 = 2 ∑ k = 0 ∞ ( 1 4 k + 1 − 1 4 k + 3 ) . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=2\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}\right).}
これはライプニッツの公式として知られる。
また、パーセバルの等式より次の関係が得られる:
1 π ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x = 2 3 π 2 = 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx={2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}
周期関数でない関数を周期関数へ拡張し、そのフーリエ級数を扱うことも多い。区間 (−π, π) で定義される関数として次のような例を考える:
f ( x ) = x ( − π < x < π ) . {\displaystyle f(x)=x\quad (-\pi <x<\pi ).}
この関数 f を使って以下の周期関数 h を定義できる:
h ( x ) = f ( x ) ( − π < x < π ) , h ( x + 2 π ) = h ( x ) ( otherwise ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=f(x)&(-\pi <x<\pi ),\\h(x+2\pi )&=h(x)&({\text{otherwise}}).\\\end{aligned}}}
この関数 h は ..., −π, π, 3π, ... で定義されない点に注意する。仮に定義したとして、例えば点 π 上では左極限 h(π − 0) と右極限 h(π + 0) が一致せず、これらの点において、値をどのように定義しても h は不連続となる。
以降、記号を粗雑に使い、特に断りのない限り、h の意味で f を用いることにする。
f が区分的に連続微分可能である場合、不連続点でフーリエ級数の収束値は左右からの極限の平均を取るという性質がある。定義した周期関数がフーリエ級数と一致することを求めるなら、x = π での値は左右極限の平均値として定義すべきである:
f ( π ) := f ( π − 0 ) + f ( π + 0 ) 2 .