経路積分
経路とは、位置を時刻 t の関数として表した q ( t ) {\displaystyle q(t)} のことを指す。
時刻 tA に位置 qA を出発し、時刻 tB に位置 qB に到達する粒子の運動を考える。 系の古典的ラグランジアンを L ( q , q ̇ ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}})} とすると、その作用は
S [ A , B ] = ∫ t A t B L ( q , q ̇ , t ) d t {\displaystyle S[A,B]=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L(q,{\dot {q}},t)dt}
で表される。 ファインマンは状態 A から状態 B に遷移する量子力学的な確率振幅は、 A から B へ行くすべての取りうる経路からの寄与についての和をとった
K A → B = ∫ A B D q e ( i / ħ ) S [ A , B ] {\displaystyle K_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\mathcal {D}}q\,e^{(i/\hbar )S[A,B]}}
として表せることを見出した。
で表されるときは、
C = ( 2 π i ħ Δ t m ) N / 2 {\displaystyle C=\left({\frac {2\pi i\hbar \Delta t}{m}}\right)^{N/2}}
となる。
ファインマン自身は、この関係式を古典力学と量子力学を関係付ける基礎原理としてとらえ、量子化を与える新たな手法として提案した(経路積分量子化)。
なお、 ħ → 0 {\displaystyle \hbar \to 0} とすると、古典力学の問題に帰着する。もう少し詳しくいえば、マクロスコピックな系ならば、量子力学は古典力学に帰着するはずであるから、経路積分ではすべての経路を足し挙げているところが、古典的経路に積分が集中するはずである。このメカニズムは経路が互いに干渉することによる。具体的には、上記の式の被積分関数は系の作用積分を偏角にもつ絶対値 1 の複素数だけれども、一般の経路では作用積分の経路の依存性が大きいため、被積分関数が激しく振動して相殺してしまう。その相殺がおこらない経路とはすなわち作用積分が停留する点で、それはまさに最小作用の原理より古典的な経路である。