ルート系
階数 1 のルート系は1つしかない,すなわち2つの非零ベクトルからなる {α, −α} である.このルート系は A1 と呼ばれる.
階数 2 では,σα(β) = β + nα, n = 0, 1, 2, 3 に応じて,4つの可能性がある.ルート系はそれが生成する格子によっては決定されないことに注意:A1 × A1 と B2 はともに正方格子を生成するし,A2 と G2 はともに六角格子(英語版)を生成する.5種類ある2次元格子のうち2つだけである.
Φ が V のルート系で,U が Ψ = Φ ∩ U で張られる V の部分空間であるときにはいつでも,Ψ は U のルート系である.したがって,階数 2 の4つのルート系の完全なリストは,任意の階数のルート系から選ばれた任意の2つのルートの幾何学的可能性を示している.特に,2つのそのようなルートの角度は,必ず 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180 度のいずれかである.
E8 に対する単純ルートの1つの選び方は,上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた奇座標系において:
1 ≤ i ≤ 7 に対して αi = ei − ei+1
(A7 に対する単純ルートの上の選び方)と
α8 = β5, ただし
βj = 1/2(−∑ji=1 ei + ∑8i=j+1 ei).
(β3 を使っても同型な結果を与える.β1,7 あるいは β2,6 を使うと単に A8 あるいは D8 を与える.β4 については,その座標の和は 0 であり,同じことは α1...7 に対しても正しく,したがってそれらは座標の和が 0 になる 7 次元部分空間しか張らない;実は −2β4 は基底 (αi) において座標 (1, 2, 3, 4, 3, 2, 1) を持つ.)
α1 との直交性は最初の2つの座標が等しいことを意味するから,E7 は最初の2つの座標が等しい E8 の部分集合であり,同様に E6 は最初の3つの座標が等しい E8 の部分集合である.これは E7 と E6 の明示的な定義を容易にする:
E7 = {α ∈ Z ∪ (Z+1⁄2) : ∑αi + α1 = 2, ∑αi + α1 ∈ 2Z},
E6 = {α ∈ Z ∪ (Z+1⁄2) : ∑αi + 2α1 = 2, ∑αi + 2α1 ∈ 2Z}.
α1 を消して α2 を消すと,E7 と E6 の単純ルートの集合を与えることに注意.しかしながら,単純ルートのこれらの集合は上に書いたのとは異なる E8 の E7 および E6 部分空間に属する,なぜならばそれらは α1 あるいは α2 に直交しないからである.
V を座標の和が 0 になる R の部分空間とし,Φ を V の長さ √2 の整数ベクトルすなわち R において整数座標を持つベクトル全体の集合とする.そのようなベクトルは2つを除くすべての座標が 0 で,1つの座標は 1 で,1つは −1 でなければならず,したがって全部で n + n 個のルートがある.単純ルートの取り方の1つを標準基底で表すと:1 ≤ i ≤ n に対して αi = ei − ei+1.
αi に垂直な超平面を通る鏡映 σi は隣り合う i 番目と (i + 1) 番目の置換と同じである.そのような互換は全置換群を生成する.隣り合う単純ルートに対して,
σi(αi+1) = αi+1 + αi
= σi+1(αi) = αi + αi+1
である,つまり,鏡映は1倍を足すことに等しい.しかし,隣り合わない単純ルートに垂直な単純ルートの鏡映はそれを変えず,0倍を引くことである.
An ルート格子,つまり An ルートによって生成される格子は,成分の和が 0 である R の整数ベクトルの集合として最も容易に記述される.
A3 ルート格子は結晶学者に面心立方 (fcc)(あるいは立方最密)格子と呼ばれている.
A3 ルート系は(他の階数 3 のルート系も)ゾムツール・コンストラクション・セットで模型を作れる.