P進量子力学
次の 1-次元系は、経路積分の定式化により研究されている。自由粒子、定数場の中の粒子、調和振動子、そのほか。
1965年になるや否や、ファインマン(Feynman)は経路積分はフラクタルのような性質を持つといった。 そして、適当な p-進シュレディンガー方程式が存在しないと 経路積分がそれに代わって働くようになる。また、「ファインマンのアデール的な経路積分は、量子現象の数理物理的な基本的対象である」といったものもいる。 計算を遂行するためには、詳細部分は正確になされなばならない。例えば、意味深い微分作用素を定義することもできる。加えて、A と A* が変換不変な次のハール測度を持つ。
d x = d x ∞ d x 2 d x 3 d x 5 ⋯ {\displaystyle dx=dx_{\infty }\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{5}\cdots } と d x ∗ = d x ∗ ∞ d x ∗ 2 d x ∗ 3 d x ∗ 5 ⋯ . {\displaystyle dx^{*}={dx^{*}}_{\infty }{dx^{*}}_{2}{dx^{*}}_{3}{dx^{*}}_{5}\cdots \ .}
これにより、積分計算が可能となる。履歴を渡る和に対し、ガウス積分が極めて重要である。ガウス積分は上で導入したアデールの積公式を満たすことが判明している。 すなわち、
∫ Q ∞ χ ∞ ( a x ∞ 2 + b x ∞ ) d x ∞ ∏ p ∫ Q p χ p ( a x p 2 + b x p ) d x p = 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Q} _{\infty }}\chi _{\infty }(a{x_{\infty }}^{2}+bx_{\infty })dx_{\infty }\prod _{p}\int _{\mathbb {Q} _{p}}\chi _{p}(a{x_{p}}^{2}+bx_{p})dx_{p}=1}
..)}
という形の元から構成される。ここに x ∞ {\displaystyle x_{\infty }} は実数で、 x p {\displaystyle x_{p}} は Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} の数である。 x ∞ {\displaystyle x_{\infty }} の中の無限大の記号は、「無限遠点」を意味し、これは複素関数論から動機付けられた記号である。そして有限個を除くすべての x p {\displaystyle x_{p}} が対応する Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} にあることが要求される。つまりアデール環とは制限直積(英語版)(restricted direct product)であるとも言える。またイデール群は、その可逆元全体
A ∗ = { x ∈ A | {\displaystyle \mathbb {A} ^{*}=\{x\in \mathbb {A} {\big |}} x ∞ ∈ R ∗ {\displaystyle x_{\infty }\in \mathbb {R} ^{*}} かつ、有限個の素数を除いて | x p | = 1 } {\displaystyle |x_{p}|=1\}}
のなす群である。
}
この式の左辺はメリン変換であり、右辺はフーリエ変換のメリン変換である。しかし、通常の場合は、フーリエ変換は結果を変えない。従って、前の式へこの公式を適用することができ、リーマンゼータ函数の有名な函数等式
Γ ( α / 2 ) π − α / 2 ζ ( α ) = Γ ( ( 1 − α ) / 2 ) π ( α − 1 ) / 2 ζ ( 1 − α ) {\displaystyle \,\Gamma (\alpha /2)\pi ^{-\alpha /2}\zeta (\alpha )=\Gamma ((1-\alpha )/2)\pi ^{(\alpha -1)/2}\zeta (1-\alpha )}
へ行きつく。
「調和振動子としてそのような単純な物理系はリーマンゼータ函数のような数学的に重要な対象に関連付けられることは注目すべきことである」 加えて、自由リーマンガス(英語版)(free Riemann gas)の統計力学的な分配函数 (数学) はリーマンのゼータ函数をもたらす。
Z ( T ) = ∑ n = 1 ∞ exp  ( − E 0 log  n k B T ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ζ ( s ) . {\displaystyle Z(T)=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E_{0}\log n}{k_{B}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)\ .}
他の考えとして、p-進解析で素数はなんらの特別な状態を持たないので、アデールを考えたほうがより自然ではないだろうか。
p-進解析には 2つの主要なアプローチの方法がある。 一つの考え方は、素粒子を p-進ポテンシャルの井戸の中で考え、目標は滑らかな複素数値波動函数を持つ解を見つけることにある。ここでの解は、日常生活にありふれた量をとる。もうひとつの考え方は、p-進ポテンシャルの井戸を考えるところまでは同じであるが、目標が p-進数に値を持つ波動関数を見つけることにある。この場合には、物理的な解釈がより難しくなる。未だに数学的にはぴったりした性質を見出すことができていないが、人々は探し続けている。ある科学者により2005年に次のようにまとめている。「私は単純にこれらの全てを楽しい一連の偶然と考えることはできなく、『トイモデル』として捨て去ることができない。私は、この仕事に価値と必要の双方を見いだせると考えてます」と。