ナプキンリング問題
球の半径を R {\displaystyle R} とし、円柱(トンネル)の高さを h {\displaystyle h} とする。
ピタゴラスの定理より、円柱の半径は
R 2 − ( h 2 ) 2 , ( 1 ) {\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}
となる。「赤道」より上の高さyでの球の水平断面の半径は
R 2 − y 2 . ( 2 ) {\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}
である。高さyの平面を持つバンドの断面は、(2)で与えられる半径の大きい円の内側と(1)で与えられる半径の小さい円の外側の領域である。よって、断面積は大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものとなる。
π ( larger radius ) 2 − π ( smaller radius ) 2 = π ( R 2 − y 2 ) 2 − π ( R 2 − ( h 2 ) 2 ) 2 = π ( ( h 2 ) 2 − y 2 ) .