三角形の決定
三角形の決定(ラテン語: solutio triangulorum)は、三角形の辺と角のいくつかが与えられた場合に、残りのものを求める三角法の問題である。測地学、天文学、建築、航法などに応用される。
三角形には6つの特徴が存在し、上図の3辺(a, b, c)と3角(α, β, γ)である。古典的な平面三角形の問題は6つの特徴のうち3つが与えられた上で、残りを求めることであり、以下のいずれかの条件が与えられれば、一意に定まる。
3辺 (SSS)
2辺とその間の角 (SAS)
2辺と1角 (SSA)
1辺と両端の角 (ASA)
1辺と2角 (AAS).
すべての場合において、少なくとも1辺の長さが与えられる必要がある。角度のみでは、相似な三角形が解となり、辺の長さを求めることはできない。
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos  α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos  β {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos  γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
3辺a, b, cが与えられた場合は、余弦定理から角度α, βを求めることができる。
α = arccos  b 2 + c 2 − a 2 2 b c β = arccos  a 2 + c 2 − b 2 2 a c . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}
また、内角の和から、γ = 180° − α − βである。
正弦定理からβを求める方法も存在するが、(上述の備考1にあるように)鋭角と鈍角を混同する可能性がある。
この他にも余接定理により求める方法がある。