極小イデアル
単位元を持つ環において、極小右イデアルは単項右イデアルでなければならない。なぜならば、極小右イデアル N の任意の 0 でない元 x に対して、集合 xR は N に含まれる R の 0 でない右イデアルでありしたがって xR = N だからである。
Brauer's lemma: 環 R の任意の極小右イデアル N は N = {0} あるいは R のある冪等元に対し N = eR を満たす (Lam 2001, p.162)。
N1 と N2 が R の同型でない極小右イデアルであれば、積 N1N2 = {0} である。
N1 と N2 が環 R の相異なる極小イデアルであれば、N1N2 = {0}.
極小右イデアルを持つ単純環は半単純環である。
半素環において、極小右イデアルが存在することと極小左イデアルが存在することは同値である。 (Lam 2001, p.174)