分数
2つの不等式から bd > 0 が得られる。分母 b, d, b + d の符号はいずれも一致するから、
b c − a d = b c + ( c d − c d ) − a d = ( b + d ) c − ( a + c ) d ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}bc-ad&=bc+(cd-cd)-ad\\&=(b+d)c-(a+c)d\geq 0\end{aligned}}}
および
b c − a d = b c + ( a b − a b ) − a d = ( a + c ) b − ( b + d ) a ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}bc-ad&=bc+(ab-ab)-ad\\&=(a+c)b-(b+d)a\geq 0\end{aligned}}}
より、以下の不等式が得られる:
c d ≥ a + c b + d ≥ a b . {\displaystyle {\frac {c}{d}}\geq {\frac {a+c}{b+d}}\geq {\frac {a}{b}}\,.}
はいずれも繁分数である。
繁分数は通常の分数に書き直すことができる。0でない数 x について x/x = 1 であるため、例えば
a b c = a b c × c c = a × c b c × c = a c b {\displaystyle {\frac {\;a\;}{\;{\tfrac {b}{c}}\;}}={\frac {\;a\;}{\;{\tfrac {b}{c}}\;}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {a\times c}{{\tfrac {b}{\cancel {c}}}\times {\cancel {c}}}}={\frac {ac}{b}}}
のように書き換えられる。