公理的集合論
置換公理と分離公理には、いずれも無限に多くの実例がある。 Montague (1961)には、1957年の博士論文で最初に証明された「ZFCが無矛盾であれば、有限個の公理でZFCを公理化することはできない」という結果が含まれる。一方、フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(英語版)(NBG)は、有限個の公理で公理化することができる。 NBGには真のクラスと集合が含まれるが、集合は別のクラスの元になることができる任意のクラスであるとされる。 NBGとZFCはクラスに言及しておらず、一方の理論で証明できる定理がもう一方の理論でも証明できるという意味で、等価な集合論であるといえる。
外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} または2で表す。
置換公理 "関数クラス"による集合の像は集合である:
∀ x ∀ y ∀ z ( ( ψ ( x , y ) ∧ ψ ( x , z ) ) → y = z ) → ∀ X ∃ A ∀ y ( y ∈ A ↔ ∃ x ∈ X ψ ( x , y ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z((\psi (x,y)\wedge \psi (x,z))\rightarrow y=z)\rightarrow \forall X\exists A\forall y(y\in A\leftrightarrow \exists x\in X\psi (x,y))} 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
正則性公理(基礎の公理) 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ:
∀ A ( A ≠ ∅ → ∃ x ∈ A ∀ t ∈ A ( t ∉ x ) ) {\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists x\in A\forall t\in A(t\notin x))} 。
正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された(1925年)。