K·p摂動論
周期関数un,kは次のシュレーディンガータイプの方程式(単純に、ブロッホタイプの波動関数によるシュレーディンガー方程式の直接展開)を満たす。
H k u n , k = E n , k u n , k {\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}
ここでハミルトニアンは
H k = p 2 2 m + ħ k ⋅ p m + ħ 2 k 2 2 m + V {\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}
kは長さの逆数の次元を持つ3つの実数で構成されるベクトルであり、pは演算子のベクトルであることに留意。明確にするために
k ⋅ p = k x ( − i ħ ∂ ∂ x ) + k y ( − i ħ ∂ ∂ y ) + k z ( − i ħ ∂ ∂ z ) {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}