部分波展開
平面波 e i k ⋅ r {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }} は以下のように部分波展開できる。
e i k ⋅ r = e i k r cos  θ = ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) i l j l ( k r ) P l ( cos  θ ) {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=e^{ikr\cos \theta }=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)i^{l}j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta )}
ここで j l ( k r ) {\displaystyle j_{l}(kr)} は球ベッセル関数、 P l ( cos  θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos \theta )} はルジャンドル多項式である。これを「レイリーの公式」と呼ぶ。これはルジャンドル多項式が完全系であることなどから導出できる。