ウラムの螺旋
ウラムは数字の螺旋を中心の1から始めて、渦巻状に、長方形の格子状に書き下した。
そして素数に印をつけ、次の図を得た。
驚くべきことに、素数は45度の斜線に沿って並ぶ傾向があった。上に示された例に比べれば水平線や垂線はやや目立たないが、やはり明確である。
ウラムの螺旋の構成方法から、仮に奇数を黒、偶数を白と塗り分ければチェスボードのような模様になる。素数は2を除き全て奇数であるから、(2以外の)素数が黒マスにのみ存在するのは自明である。驚くべきは、黒マスの中でも素数の分布が濃いラインと薄いラインに明らかな傾向が見られることである。
より範囲を広げてウラムの螺旋を描いてみても、斜線が浮かび上がることが今までのところ確認されている。こうした模様は、最初の真ん中の数字が1でなくても同様に現れるように思われる(実際、1よりはるかに大きくできる)。このことはつまり、関数
f ( n ) = 4 n 2 + b n + c {\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}
を考え、ここでnを{1, 2, 3, ...}と動くものとし、またb、cを整数とするとき、大多数の場合と比べて多くの素数を生成するような整数の組b、cが多く存在することを示唆している。
この特徴的とも言えるパターンが確認されているにも拘らず、未だにこれだけの手掛かりしか得られていない。
以下の表は基準 1 からみたときの出現する数の特徴である。