適切さの論理
例えば、以下の三つの条件文は全て古典論理においては真であるが、我々は真であるとは考えない。
「1+1=2」ならば「雪は白い」
「1+1=5」ならば「雪は白い」
「1+1=5」ならば「雪は黒い」
この我々が普段使用する「ならば」と古典論理における実質含意の乖離が実質含意のパラドクスである。
この我々が普段使用する「ならば」と実質含意の乖離について、多くの研究が行われきた。
1932年、様相論理学の創始者の一人であるルイス(Clarence Irving Lewis)によって実質含意のパラドクスを避けるために、厳密含意(strict implication)が提案された。しかしながら、我々が普段使用する「ならば」の意味からすれば、厳密含意にも「ならば」に対する乖離が見られた。
1955年、スギハラ(Sugihara)によって、実質含意のパラドクスの一般的な特徴が初めて提示された。
1956年、ヴィルヘルム・アッカーマン(Ackermann)によって厳格含意(Regorous implication)が提案された。
1957–1959年、ゲオルク・ヘンリク・フォン・ヴリグト(Von Wright)、ピーター・ギーチ(Geach)とティモシー・スマイリー(英語版)(Smiley)によって、帰結関係に関する非形式的な基準が提案された。
1950年代–1970年代、アラン・アンダーソン(Anderson)とニュエル・ベルナップ(英語版)(Belnap)がアッカーマンの研究成果を拡張し、変数共有(variable-sharing)の概念を提案した。