砂粒を数えるもの
宇宙の大きさは(当時信じられていたよりも)大きめに、砂粒の大きさは小さめに見積もって議論し、それでも宇宙を埋め尽くすのに必要な砂粒の個数は、言葉で表現できることを示すのが本書の主題であった。
アルキメデス以前には、万までの数に固有の呼び名があり、万を数えることによって万の万(億、10)までは数えることができた。そこで、10 までの数は「第1級の数」、10 を「第2級の数の単位」と呼び、これを億まで数えることにより、10 から 10 までを「第2級の数」と呼んだ。以下同様に、第3級の数、第4級の数と進み、第億級の数まで考えた。この最後の数は
P := 10 8 ⋅ 10 8 {\displaystyle P:=10^{8\cdot 10^{8}}}
である。さらには、ここまでの数を総称して「第1期の数」と呼び、P を「第2期第1級の数の単位」と呼んだ。これを億まで数えることにより、P から P × 10 までの数を「第2期第1級の数」と呼び、以下同様にして「第2期第億級の数」まで考えると、その最後の数は P である。