ミンコフスキーの疑問符関数
この再帰的な定義は、次のC言語関数が示すように、任意の実数に対して任意の精度で関数値を計算するアルゴリズムに適している。 このアルゴリズムは、入力 x を探してスターン・ブロコット木(英語版)を下降する途中で、y = ?(x) の二進展開の項を合計していく。 ループ不変量 qr − ps = 1が満たされる限り、分数 m/n = p + r/q + s を約分する必要はない。 別の不変量は p/q ≤ x < r/s である。このプログラムのforループは、 whileループのように扱われており、最初の3行の条件付きbreak構文が終了条件となる。 ループ内で不変条件に影響を与えるのは最後の2行のみであり、最初の3行がループから抜け出すことなく正常に実行されている限り、両方の不変条件が真であると示すことができる。ループ内部の第三の不変量(浮動小数点精度)は y ≤ ?(x) < y + d であるが、どの条件もテストされる前に、ループの初めに d が半分にされるため、結果的にループの終了時でしか y ≤ ?(x) < y + 2d は担保されない。
プログラムの停止を証明する(英語版)には、ループの反復ごとに合計 q + s が少なくとも1ずつ増加し、この合計がC言語のプリミティブ型 long で表現するには大きすぎる場合にループが終了することに注意すれば十分である。 ただし実際には、 y + d == y の条件付き break があるため、短時間でループが終了する。
Minkowski, Hermann (1904), “Zur Geometrie der Zahlen”, Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Berlin, pp. 164–173, JFM 36.0281.01, オリジナルの2015-01-04時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20150104205306/http://ada00.math.uni-bielefeld.de/ICM/ICM1904/
Denjoy, Arnaud (1938), “Sur une fonction réelle de Minkowski” (French), J. Math. Pures Appl., Série IX 17: 105–151, Zbl 0018.34602
疑問符関数は狭義単調増加な連続関数であるが、絶対連続ではない。有理数における微分係数はゼロである。積分されたときに疑問符関数を生成する測度には、いくつかの構成法が存在する。そのような構成の1つは、実数直線上のフェリー数の密度を測定することによって得られます。 疑問符測度は、マルチフラクタル測度(英語版)とも呼ばれるものに対する典型的な例である。 疑問符関数は有理数を二進分数(英語版)に写す。二進分数とは、上で述べた再帰的定義から帰納的に証明されるように、 その二進表現が終了するものを意味する。このほか、二次無理数(英語版)を非二進有理数に写す。また、疑問符関数は奇関数であり、関数方程式 ?(x + 1) = ?(x) + 1 を満たすことから、 x → ?(x) − x は、周期 1 の奇周期関数である。 ?(x) が無理数である場合、 x は次数が2より大きい代数的数か、超越数である。
疑問符関数は 0, 1/2, 1、そして少なくとももう2つの不動点を持ち、中点に対して対称である。