ビュフォンの麺
Area (event) = ∫ 0 π 2 l 2 cos  θ d θ = l 2 sin  π 2 − l 2 sin  0 = l 2 {\displaystyle {\text{Area (event)}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {l}{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {l}{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}-{\frac {l}{2}}\sin 0={\frac {l}{2}}}
標本空間の面積は
Area (sample space) = D 2 × π 2 = D π 4 {\displaystyle {\text{Area (sample space)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}}
よって、この事象の起こる確率は
P = Area (event) Area (sample space) = l 2 4 D π = 2 l π D {\displaystyle P={\frac {\text{Area (event)}}{\text{Area (sample space)}}}={\frac {l}{2}}{\frac {4}{D\pi }}={\frac {2l}{\pi D}}}
E ( X 1 + ⋯ + X n ) = E ( X 1 ) + ⋯ + E ( X n ) {\displaystyle E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n})}
となる。
曲線である麺をこのような折れ線の極限とみなすと、平行線群と交わる回数の期待値は曲線の弧長に比例すると推論できる。よって問題は、弧長 L に乗じて期待値を得るための比例定数を定めることに帰着する。麺が、平行線間の距離 D と等しい直径を持つ真円だとすると、L = πD であり、交わる回数は必ずちょうど2回になる。よって、L = πD のとき期待値は 2 である。したがって(一般に)、交わる回数の期待値は 2L/(πD) でなければならない。
もう一つ驚くべき結論がある。麺が幅 D の定幅閉曲線であるとき、交わる回数はやはり常に2回であるが、これはバルビエの定理:
幅が等しい定幅閉曲線の周長は等しい(円の場合と一致する)。
を意味する。