直積 (ベクトル)
ベクトル空間 V, W と W は W の双対空間とする。 ベクトル x ∈ V および y ∈ W に対してテンソル積 y ⊗ x は
w ↦ y ∗ ( w ) x {\displaystyle w\mapsto y^{*}(w)x}
で与えられる写像 A: W → V に対応する。ここで y(w) は線型汎函数 y(これは W の双対空間の元)をベクトル w ∈ W において評価した値である。これはスカラーであり、これを最終的に V の元である x に掛けたものがテンソル積の値である。
ベクトル空間 V, W が有限次元ならば、W から V への線型変換全体の成す空間 Hom(W, V) は外積で生成される。実は行列の階数は、外積を和として表すために必要な項の最小数(行列のテンソル階数)に一致する。今の場合、Hom(W, V) は W ⊗ V に線型同型である。