スカラー場の理論
Z [ J ] = ∫ D φ e − ∫ d 4 x E ( 1 2 ( ∇ φ ) 2 + m 2 2 φ 2 + g 4 ! φ 4 − J φ ) {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x_{E}\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}-J\phi \right)}}
運動量が決められた粒子の散乱問題に適用するような場合には、フーリエ変換を用いて指数関数の中の積分を座標表示から運動量表示へ書き直す。
Z ~ [ J ~ ] = ∫ D φ ~ e − ∫ d 4 p ( 1 2 ( p 2 + m 2 ) φ ~ 2 + g 4 ! φ ~ 4 − J ~ φ ~ ) {\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}+{g \over 4!}{\tilde {\phi }}^{4}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}\right)}}