アーラン分布
( x μ ) n = ∫ 0 x f ( t ; k , λ ) d t = 1 − e − λ x ∑ n = 0 k − 1 ( λ x ) n n ! {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{0}^{x}f(t;k,\mu )\,dt=1-e^{-x/\mu }\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{\mu }}\right)^{n}\\&=\int _{0}^{x}f(t;k,\lambda )\,dt=1-e^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}\end{aligned}}}
定義より(あるいは後述する指数確率変数を用いた解釈により)期待値 E[X] および分散 V[X] は以下のようになる。
E [ X ] = k μ = k λ , V [ X ] = k μ 2 = k λ 2 {\displaystyle E[X]=k\mu ={\frac {k}{\lambda }},\,\,\,V[X]=k\mu ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}