一般相対性理論の数学
共変微分のもうひとつの性質のため、
∇ σ , μ V ν = ∇ σ [ ∂ μ V ν ] − ∇ σ [ Γ ρ μ ν V ρ ] {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }=\nabla _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }]-\nabla _{\sigma }[\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]}
となる。さらに、ランク 2 のテンソルに対する規則により、
∇ σ , μ V ν = ( ∂ σ [ ∂ μ V ν ] − Γ ρ μ ν ∂ σ V ρ − Γ ρ σ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ σ μ ∂ ρ V ν ) − ( ∂ σ [ Γ ρ μ ν V ρ ] − Γ α σ ν Γ ρ α μ V ρ − Γ α σ μ Γ ρ α ν V ρ ) {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }=(\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu })-(\partial _{\sigma }[\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]-\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \nu }V_{\rho })}
四元速度(英語版)(four-velocity) U a = x ̇ a {\displaystyle \scriptstyle U^{a}\;=\;{\dot {x}}^{a}} 。これは単位固有時間あたりの移動距離である。
四元加速度(英語版)(four-acceleration) A a = x ̈ a {\displaystyle \scriptstyle A^{a}\;=\;{\ddot {x}}^{a}}
四元カレント J a {\displaystyle \scriptstyle \,J^{a}} 。電荷や電流密度を記述する。
がある。他に相対性理論において重要なテンソルには次がある。
ストレスエネルギーテンソル T a b {\displaystyle \scriptstyle \,T^{ab}} 。ランク 2の対称テンソル
電磁場テンソル F a b {\displaystyle \scriptstyle \,F^{ab}} 。ランク 2の反対称テンソル
「テンソル」という用語はある点における対象を意味しているにもかかわらず、時空上のテンソル場を意味するものとして、単に「テンソル」という用語がよく用いられる。
計量の定義されたものの上の時空の各点は、シルベスターの慣性法則を使い、その計量をミンコフスキー形式へ帰着させることができる。
ベクトル(反変ベクトルと呼ばれることもある)は接空間の元として定義され、余ベクトル(共変ベクトルと呼ばれることもあるが、通常は双対ベクトルや 1-形式と呼ばれる)は余接空間の元である。
点 p {\displaystyle \scriptstyle \,p} において、これら 2つのベクトル空間を使って ( r , s ) {\displaystyle \scriptstyle \,(r,\,s)} 型テンソル、すなわち、 r {\displaystyle \scriptstyle \,r} 個の余接空間のコピーと、 s {\displaystyle \scriptstyle \,s} 個の接空間のコピーの直和の上に作用する実多重線型写像が構成される。そのような多重線型写像のすべての集合はベクトル空間を形成し、点 p {\displaystyle \scriptstyle \,p} でのタイプ ( r , s ) {\displaystyle \scriptstyle \,(r,\,s)} のテンソル積空間と呼ばれ、 ( T p ) r s M {\displaystyle \scriptstyle \,(T_{p})^{r}{}_{s}M} で書き表される。接空間がn 次元であれば、テンソル積空間の次元は dim  ( T p ) r s M = n r + s {\displaystyle \scriptstyle \dim(T_{p})^{r}{}_{s}M\;=\;n^{r+s}} であることを示すことができる。
である。ここで、添字の σ {\displaystyle \sigma } と μ {\displaystyle \mu } を入れ替えると、
∇ μ ; σ V ν = ( ∂ μ [ ∂ σ V ν ] − Γ ρ σ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ μ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ μ σ ∂ ρ V ν ) − ( ∂ μ [ Γ ρ σ ν V ρ ] − Γ μ ν α Γ ρ α σ V ρ − Γ μ σ α Γ ρ α ν V ρ ) {\displaystyle \nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }[\partial _{\sigma }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu })-(\partial _{\mu }[\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }V_{\rho }]-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }V_{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \nu }V_{\rho })}
計量テンソルは、一般相対性理論において(アインシュタイン場の方程式を解いた結果としての)時空の局所幾何学を記述する中心的な対象である。弱い場の近似(英語版)を用いることで、計量テンソルは「重力ポテンシャル」を表現するものと考えることができる。計量テンソルは単に「計量」とのみ呼ばれることが多い。
計量は対称テンソルで、重要な数学的道具である。添字の上げ下げ(英語版)で用いられるだけでなく、計量はまた運動の測地線方程式やリーマン曲率テンソルを構成することに用いられる接続も生成する。
計量テンソルを、それが関連する座標区間の増加する間隔を組み合わせにおいて簡単に表すには、次の線素(英語版)を用いる。
d s 2 = g a b d x a d x b . {\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}\ .}
計量を表すこの方法は、微分幾何学のパイオニアたちにより使われた。このいくらか古い形の記法を使う相対性理論者もいるが、多くは次のように別の記法と古い方法の双方を使っている。
g = g a b d x a ⊗ d x b . {\displaystyle g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}\ .}
計量テンソルは通常、4 × 4 の行列で記述される。この行列は対称行列であるので、10個の独立した成分を持っている。