ヘッセ行列
実数値関数 f(x1, x2, ..., xn) に全ての二階偏微分が存在するとき、変数 xi に関する偏微分作用素を ∇i = ∂/∂xi とおくと、f のヘッセ行列 H(f) は、(i, j)-成分 H(f)ij が各点 x = (x1, x2, ..., xn) において
H ( f ) i j ( x ) = ∇ i ∇ j f ( x ) = ∂ 2 ∂ x i ∂ x j f ( x ) {\displaystyle H(f)_{ij}(\mathbf {x} )=\nabla _{i}\nabla _{j}f(\mathbf {x} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}f(\mathbf {x} )}
で与えられる行列、つまり
f の傾き(ベクトルの意味での一階導関数)∇f がある点 x で0のとき、f は x において臨界点あるいは停留点を持つと言う。x におけるヘッセ行列の行列式は x における判別式あるいはヘッシアンと呼ばれ、その値が0であるような x を f の退化臨界点または非モース臨界点という。ヘッシアンが 0 でない臨界点は非退化であると言い、また、f のモース臨界点と呼ぶ。
ヘッセ行列はモース理論で重要な役割を果たす。理由は、臨界点でのヘッセ行列の核 (kernel) と固有値が、臨界点(の種類)を分類するからである。