Remezのアルゴリズム
与えられた n + 2 {\displaystyle n+2} の整列したノードでの誤差は、以下の通り正負の交互の順になる。
p ( x i ) − f ( x i ) = − ( − 1 ) i E , i = 0 , . . . , n + 1. {\displaystyle p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1.}
de La Vallée Poussinの定理によれば、この条件下では誤差が E {\displaystyle E} より小さい n {\displaystyle n} 次の多項式は存在しない。もしそのような多項式 p ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {p}}(x)} が存在した場合、 p ( x ) − p ~ ( x ) = ( p ( x ) − f ( x ) ) − ( p ~ ( x ) − f ( x ) ) {\displaystyle p(x)-{\tilde {p}}(x)=(p(x)-f(x))-({\tilde {p}}(x)-f(x))} はノード x i {\displaystyle x_{i}} において正負交互のままであり n + 1 {\displaystyle n+1} 個の零点を有することになるが、次数 n {\displaystyle n} の多項式ではありえない。 したがって、この E {\displaystyle E} は、次数 n {\displaystyle n} の多項式におけるで達成できる誤差の下限となる。
ステップ2