テイラーの定理
テイラーの定理の最も基本的なバージョンの正確なステートメントは次のようになる:
テイラーの定理 ― k ≥ 1 を整数とし関数 f: R → R を点 a ∈ R で k 回微分可能とする。すると次を満たす関数 hk: R → R が存在する:
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + h k ( x ) ( x − a ) k , {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}
lim x → a h k ( x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}
これはペアノの剰余項と呼ばれる。
テイラーの定理に現れる多項式は関数 f の点 a における k 次のテイラー多項式
P k ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( k ) ( a ) k !