ペンローズ・タイル
P2およびP3タイリングに関する代入則は異なる大きさのロビンソン三角形を用いて表現できる。P2タイリングでカイトとダートを分割してできるロビンソン三角形を A {\displaystyle \mathrm {A} } タイルと呼び、P2タイリングで菱形を分割してできるロビンソン三角形を B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルと呼ぶ。記号 A S {\displaystyle \mathrm {A_{S}} } で表される小さいほうのAタイルは鈍角ロビンソン三角形であり、大きいAタイル A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } は鋭角ロビンソン三角形である。逆に、小さいロビンソン三角形 B S {\displaystyle \mathrm {B_{S}} } および大きいロビンソン三角形 B L {\displaystyle \mathrm {B_{L}} } はそれぞれ鋭角および鈍角ロビンソン三角形である。
具体的には、 A S {\displaystyle \mathrm {A_{S}} } の辺の長さが ( 1 , 1 , φ ) {\displaystyle (1,1,\varphi )} であるとすると A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } の辺の長さは ( φ , φ , 1 ) {\displaystyle (\varphi ,\varphi ,1)} である。
インフレーションとデフレーションを使って、カイトとダートのタイリング(P2)あるいは菱形タイリング(P3)を構成するためのアップ・ダウン生成と呼ばれる方法を作ることができる。
ペンローズ・タイリングは非周期的であるから並進対称性を持たない。つまりペンローズ・タイリングを平行移動して、全平面にわたってそれ自身と一致させることはできない。しかし任意の有界領域は、それがどれだけ大きくてもタイリング内に無限回だけくりかえし現れる。したがって有限パッチを使ってペンローズ・タイリング全体を一意的に決めることはできないし、有限パッチがタイリング全体のどの位置にあるか決めることもできない。
このことから異なるペンローズ・タイリングの個数は非加算無限個であることがわかる。アップ・ダウン生成はタイリングをパラメータ化する方法の1つを与える。他の方法ではアムマン・バー、ペンタグリッド、あるいは切断射影法を用いる。
ペンローズ・タイリングのいくつかの特徴と性質は、黄金比 φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\textstyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2} (近似的に1.618)に関係している。これは正五角形の弦の長さと辺の長さの比であり、 φ = 1 + 1 / φ {\textstyle \varphi =1+1/\varphi } を満たす。
結果として、(二等辺三角形である)ロビンソン三角形の長辺と短辺の長さの比は φ : 1 {\displaystyle \varphi :1} になる。したがってカイトとダート両方の長辺と短辺の比も φ : 1 {\displaystyle \varphi :1} である。細菱形tの一辺と短い対角線の比、および太菱形Tの長い対角線と一辺の比も同じである。P2およびP3タイリングのどちらにおいても、大きいロビンソン三角形と小さいロビンソン三角形の面積比も φ : 1 {\displaystyle \varphi :1} である。したがってカイトとダートの面積比、および太菱形と細菱形の面積比も同じである。図に示した五角形に含まれる(薄灰色で示した太菱形の半分である)大きい鈍角ロビンソン三角形と底辺にある濃灰色の小さい鈍角ロビンソン三角形の相似比は φ {\displaystyle \varphi } であるから面積比は φ 2 : 1 {\displaystyle \varphi ^{2}:1} である。