ヘロンの三角形
全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。
証明
右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数(整数)なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。
この三角形の面積の式は以下の通りである。
A = 1 2 ( b + d ) a {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}
この式を a ついて解くと以下のようになる。
a = 2 A b + d {\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}}
仮定より A {\displaystyle A} と b + d {\displaystyle b+d} が整数なので、a も有理数である。
ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}