線型連続体
X を順序位相の入った順序集合とする。そのとき、X が連結であればX は線型連続体である。
有理数の集合は線型連続体ではない。性質b)を満たしても、a)は満たさないからである。
A = { x ∈ Q ∣ x < 2 } {\displaystyle \quad A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<{\sqrt {2}}\}}
という部分集合を考えてみよ。これは、例えば3はA のどの元よりも大きいことから、A は上に有界である。しかし、有理数の上限を持たない。
通常の順序の非負整数の集合は線型連続体でない。性質a)は満足する。(A を非負整数の部分集合とすると、これは上に有界である。A は有限であるから最大元が存在する。その最大元が上限である。)その一方で、性質b)は満足しない。実際、5も6も非負整数である。しかし、5と6の間に非負整数は存在しないことから、稠密ではない。
通常の順序での0以外の実数の集合
通常の順序を入れた実数の集合Rは典型的な例である。性質b)は自明である。性質a)は実数の連続性の同値な命題の一つである。
実数の例の他にも
実数の集合と順序同型な集合たちである。例えば開区間や半開なギャップをもつ開区間である。(上で述べた意味での“ギャップ”は存在しないことに注意せよ。)
アフィン拡大実数とそれと順序同型な集合たちである。例えばen:unit interval
実数の集合に、無限大のみ(または無限小のみ)を添加した集合、及びそれと順序同型な集合。例えば半開区間。
長い直線
I × I (×は直積を表し、I =[0,1]とする)は辞書式順序で線型連続体である。性質b)は自明。a)を確かめるには、π1 : I × I → I ::π1 (x, y) = xという写像を考える。この写像は射影写像として知られる。これは(I × I 上の積位相に関して)連続であり、全射である。
さて、A を I × I の上に有界な空でない部分集合とするとき、π1(A ) を考える。