テンソル代数
V は体 K 上のベクトル空間とする。任意の非負整数 k に対して V の k-次テンソル冪とは V の k-重テンソル積
T k ( V ) = V ⊗ k = V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V {\displaystyle T^{k}(V)=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}
を言う。即ち、T(V) は V 上の k-階(反変)テンソル全体からなる。規約により、T(V) は係数体(英語版) K(をそれ自身の上のベクトル空間と見たもの)であるものとする。
このときテンソル代数 T(V) は k = 0, 1, 2, ... に対する k-次テンソル冪 T(V) のなす列のベクトル空間の直和
T ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ T k ( V ) = K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ ⋯ {\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots }
テンソル代数が最も一般の多元環であることを利用して、ほかの多くの多元環について、まずテンソル代数を構成してからそこに生成元に関する特定の関係式を導入して構成すること、つまり T(V) のある種の商多元環(英語版)構成に興味が持たれる。例えば、外積代数、対称代数、クリフォード代数や普遍包絡代数など。