開かつ閉集合
数学、特に位相幾何学や位相空間論において、ある位相空間の開かつ閉集合(かいかつへいしゅうごう、英: closed-open set)とは、その位相空間の開集合であり閉集合でもあるような集合である。普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X−A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
任意の位相空間 X に対して、空集合および全体集合 X はいずれも X の開かつ閉集合である。
X を実数直線 R の 2 つの開区間 (0,1), (2,3) の和集合とする: X = (0,1)∪(2,3)。X に、R の通常の位相から作られる X 上の相対位相を導入する。そのとき、開区間 (0,1), (2,3) はいずれも X の開かつ閉集合である。これは非常に典型的な例である。このように、位相空間 X が有限個の X の連結成分の和集合の形に表されるならば、X の各連結成分は X の開かつ閉集合となる。
もう少し非自明な例として、有理数全体の集合 Q に通常の位相( R の通常の位相から作られる Q 上の相対位相)を導入し、A を正の有理数でその平方が 2 よりも大きくなるようなもの全体の集合とする: A = { x ∈ Q | x > 0, x > 2 }。√2 が Q に属さないという事実を利用すれば、A が Q の開かつ閉集合であることを示すのは容易である(注意すべきは、A は R の開かつ閉集合ではない ことである。そもそも A は R の開集合にも閉集合にもならない)。