双代数
η はすべてのほかの確率変数とは独立な正規化された確率分布を準備する作用素で,
積 ∇ は2変数の確率分布を1変数の確率分布に写し,
η によって与えられる分布における確率変数をコピーすることは分布 η における2つの独立な確率変数を持つことと同値で,
2つの確率変数の積を取ることと得られる確率変数のコピーを準備することは各確率変数のコピーを互いに独立に準備し対で一緒に掛けるのと同じ分布を持つ.
これらの制約を満たす対 (∇, η) は畳み込み作用素
∇ ( e g ⊗ e h ) = e g h {\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}}
である;これは2つの確率変数の分布から正規化された確率分布を生み出し,単位元としてデルタ分布 η = e i {\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}} を持つ,ただし i ∈ G は群 G の単位元を表す.