パラコンパクト空間
補題 2 を適用して連続写像 f W : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,} で supp  f W ⊆ W {\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,} なるものを得る(従って普通の閉バージョンの台は各 W ∈ O ∗ {\displaystyle W\in {\mathcal {O}}*\,} に対してある U ∈ O {\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,} に含まれる; これに対しそれらの和は常に有限で 0 でない連続関数を構成する(したがって 1 / f {\displaystyle 1/f\,} は連続正有限値である)。なので各 f W {\displaystyle f_{W}\,} を f W / f {\displaystyle f_{W}/f\,} で置き換えると、今 — すべてのものが同じままで — それらの和がいたるところ 1 {\displaystyle 1\,} である。最後に x ∈ X {\displaystyle x\in X\,} に対して N {\displaystyle N\,} を x {\displaystyle x\,} の近傍で O ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}*\,} の有限個の集合としか交わらないものとすると、有限個を除くすべての W ∈ O ∗ {\displaystyle W\in {\mathcal {O}}*\,} に対して f W ↾ N = 0 {\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,} が成り立つ、なぜならば各 supp  f W ⊆ W {\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,} 。したがってもとの開被覆に従属な 1 の分割がある。
関数の台によってここでは 0 に写らない点を意味する(この集合の閉包ではない)ことを注意する。 f = ∑ U ∈ O f U {\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,} が常に有限で非零であることを示すために、 x ∈ X {\displaystyle x\in X\,} をとり N {\displaystyle N\,} を x {\displaystyle x\,} の近傍で O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} の有限個の集合としか交わらないものとする; したがって x {\displaystyle x\,} は O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} の有限個の集合にしか属さない; ゆえに有限個を除くすべての U {\displaystyle U\,} に対して f U ( x ) = 0 {\displaystyle f_{U}(x)=0\,} である; さらにある U {\displaystyle U\,} に対して x ∈ W U {\displaystyle x\in W_{U}\,} であり、したがって f U ( x ) = 1 {\displaystyle f_{U}(x)=1\,} ; なので f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} は有限であり ≥ 1 {\displaystyle \geq 1\,} 。