分解型複素数
λ は絶対値が 1 であるから、任意の分解型複素数 z への λ を掛ける操作は z の絶対値を保ち、双曲的回転(狭義ローレンツ変換、縮小写像とも)を表現する(「回転」というのは絶対値 1 の通常の複素数を掛ける操作が R の回転を引き起こすことからの示唆)。λ を掛ける操作は、双曲線をそれ自身に写し、ヌル錐をそれ自身に写すという意味で、幾何学的な構造を保つ。
分解型複素平面上の絶対値を保存する(同じことだが内積を保存する)変換全体の成す集合は不定値直交群(英語版) O(1, 1) と呼ばれる群を成す。この群は双曲的回転と z ↦ ±z および z ↦ ±z* で与えられる4つの離散的鏡映変換の組み合わせからなる(双曲的回転の全体は SO(1, 1) で表される O(1, 1) の部分群を成す)。
双曲角 θ を双曲回転 exp(jθ) へ写す指数写像 exp : ( R , + ) → S O + ( 1 , 1 ) {\textstyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to {\mathit {SO}}^{+}(1,1)} は、通常の指数法則を用いれば e j ( θ + φ ) = e j θ e j φ {\textstyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }} が成立するから、群同型である。