ハイゼンベルク群
可換環 A 上のハイゼンベルク群 (英: Heisenberg group) とは、通常の行列の積に関して
[ 1 b c 0 1 a 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&b&c\\0&1&a\\0&0&1\end{bmatrix}}}
の形をした行列がなす群である。これは群の中心と交換子部分群が一致する非可換な冪零群であり、 H(A) などと表される。係数環 A としては実数体 R、整数環 Z、有限体 Z/pZ などを考えることが多い。
H(R) は3次元の単連結なリー群であり、任意の元は指数写像(行列の指数関数)を用いて
[ 1 b c + 1 2 a b 0 1 a 0 0 1 ] = exp  [ 0 b c 0 0 a 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&b&c+{\tfrac {1}{2}}ab\\0&1&a\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&b&c\\0&0&a\\0&0&0\end{bmatrix}}}