特性類
GLn(K)の分類空間を記述する為、本節ではスティーフェル多様体(英語版)とグラスマン多様体(英語版)を定義する。
後述するようにこれらはそれぞれ普遍GLn(K)-バンドルの全空間、分類空間になる。
定義 (スティーフェル多様体) ― K = C , R {\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} } とし、 W {\displaystyle W} をK上計量ベクトル空間とする。
W {\displaystyle W} のn個の一次独立なベクトルの組を W {\displaystyle W} 上のn-フレームという。さらにn個のベクトルがすべて長さ1で互いに直交しているものをn-正規直交フレームという。
V n W := { W {\displaystyle V_{n}W:=\{W} 上n-のフレーム } {\displaystyle \}}
とし、さらに
{ W {\displaystyle \{W} 上のn-正規直交フレーム } {\displaystyle \}}
を V n U W {\displaystyle V_{n}^{U}W} ( K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } の場合)、もしくは V n O W {\displaystyle V_{n}^{O}W} ( K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } の場合)と書く事にする。
したがって σ i ( α 1 2 , ... , α n 2 ) ∈ H ∗ ( U ( 1 ) n ; Z 2 ) {\displaystyle \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})} は w i ∈ σ i ( β 1 , ... , β n ) ∈ H ∗ ( U ( 1 ) n ; Z 2 ) {\displaystyle w_{i}\in \sigma _{i}(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})} に移るが、 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 上では σ i ( α 1 2 , ... , α n 2 ) = σ i ( α 1 , ... , α n ) 2 = c i {\displaystyle \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})=\sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})^{2}=c_{i}} になので、以下が成立する:
定理 ― 実ベクトルバンドル ξ = ( π , X , E ) {\displaystyle \xi =(\pi ,X,E)} に対しその複素化を ξ C {\displaystyle \xi _{\mathbb {C} }} とすると、任意の非負整数iに対して以下が成立する:
以上のことからワイル群Wが置換群に群同型な事が示せた。定理の後半も以上の議論から明らかに従う。
位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手Hが直積を保つので、上述の定理からWは H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) ≈ Z [ α 1 , ... , α n ] {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]} の α 1 , ... , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} を入れ替える形で H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )} に作用する。よって
H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) W ⊂ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) ≈ Z [ α 1 , ... , α n ] {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}\subset H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}
は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する:
分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる:
定理 (分類空間による特性類の特徴づけ) ― B G {\displaystyle BG} を位相群Gの分類空間とし、FをGが効果的に作用する位相空間とし、さらにAをアーベル群とする。
このとき構造群Gを持つF-バンドルの特性類とBGのコホモロジー群 H ∗ ( B G ; A ) {\displaystyle H^{*}(BG;A)} の元は1対1対応する。
上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群Gの忠実な作用を持つ任意のF-バンドルの特性類は主G-バンドルの特性類と主G-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。 まず主G-バンドルの任意の特性類cに対し、
c ( P G ) ∈ H ∗ ( B G ; A ) {\displaystyle c(PG)\in H^{*}(BG;A)}
が対応する。逆に c G ∈ H ∗ ( B G ; A ) {\displaystyle c_{G}\in H^{*}(BG;A)} を任意に選ぶと、主G-バンドル ξ = ( P , X , π ) {\displaystyle \xi =(P,X,\pi )} に対し、分類定理により分類写像 f ξ : X → B G {\displaystyle f_{\xi }~:~X\to BG} がホモトピーを除いて一意に定まるので、Xのcに対する特性類を
本節では H 2 ( B O ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )} の構造を具体的に決定し、それをもとにスティーフェル・ホイットニー類を定義する。
H 2 ( B O ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )} の構造の決定方法やスティーフェル・ホイットニー類の定義は、基本的には H 2 ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{2}(BU(n);\mathbb {Z} )} の構造の決定方法やチャーン類の定義と同様である。一点大きく違うのは、チャーン類の場合は H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) = Z [ α ] {\displaystyle H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]} を満たす α {\displaystyle \alpha } が2次のコホモロジー群 H 2 ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )} に属していたのに対し、スティーフェル・ホイットニー類の場合はそのような元が1次のコホモロジー群に属する事である:
ここで G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} は行列式が正の R {\displaystyle \mathbb {R} } 上可逆行列のなす群である。
本節ではさらに、ユニタリ群 U n {\displaystyle U_{n}} 、直交群 O n {\displaystyle O_{n}} 、回転群 S O n {\displaystyle SO_{n}} の分類空間についても記述する。後述するように G L n ( C ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )} 、 G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} 、 G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} の分類空間は、実はそれぞれ U n {\displaystyle U_{n}} 、 O n {\displaystyle O_{n}} 、 S O n {\displaystyle SO_{n}} の分類空間と等しい。
有限生成加群の基本定理から S ( k ) {\displaystyle S^{(k)}} 、 S ( k + 1 ) {\displaystyle S^{(k+1)}} は有限集合なので、 S ( k ) {\displaystyle S^{(k)}} 、 S ( k + 1 ) {\displaystyle S^{(k+1)}} には位数qの元が存在しない素数 q ≠ 2 {\displaystyle q\neq 2} を取る事ができる。(4)式で p = q {\displaystyle p=q} とすると、qの取り方から S ( k ) ⊗ Z q = S ( k + 1 ) ⊗ Z q = 0 {\displaystyle S^{(k)}\otimes \mathbb {Z} _{q}=S^{(k+1)}\otimes \mathbb {Z} _{q}=0} が成立する。よって(4)式から
r k = t k {\displaystyle r_{k}=t_{k}} ...(5)
が成立する。すなわち H k ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{k}(BSO(n);\Lambda )} の自由アーベル群部分のランクは H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊕ Λ {\displaystyle H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\oplus \Lambda } のランクに等しい。
また任意の p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} に対し(4)式の両辺で Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 上の次元が同じでなければならないので、(5)式から S ( k ) ⊗ Z p = S ( k + 1 ) ⊗ Z p = 0 {\displaystyle S^{(k)}\otimes \mathbb {Z} _{p}=S^{(k+1)}\otimes \mathbb {Z} _{p}=0} である。
ι ∗ : H ∗ ( B O ( n ) ; Z 2 ) → H ∗ ( B O ( 1 ) n ; Z 2 ) Σ ≈ Z 2 [ β 1 , ... , β n ] Σ {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})\to H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})^{\Sigma }\approx \mathbb {Z} _{2}[\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}]^{\Sigma }}
は全単射である。
ここでβiは H ∗ ( B O ( 1 ) n ; Z 2 ) ≈ H ∗ ( B O ( 1 ) ; Z 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ H ∗ ( B O ( 1 ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})\approx H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})\otimes \cdots \otimes H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})} のi番目の H ∗ ( B O ( 1 ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})} の生成元である。
定理 ― Σは置換群と群同型であり、Σは O ( 1 ) n {\displaystyle O(1)^{n}} の成分の入れ替えとして O ( 1 ) n {\displaystyle O(1)^{n}} に作用する。
チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる:
定理・定義 (スティーフェル・ホイットニー類の公理的特徴づけ) ― 特性類の組 ( w i ( n ) ) i , n {\displaystyle (w_{i}^{(n)})_{i,n}} でn次元実ベクトルバンドル ξ = ( π , E , B ) {\displaystyle \xi =(\pi ,E,B)} に H i ( B , Z 2 ) {\displaystyle H^{i}(B,\mathbb {Z} _{2})} の元を対応させるもの
w i ( n ) : ξ = ( π , E , B ) ↦ H i ( B , Z 2 ) {\displaystyle w_{i}^{(n)}~:~\xi =(\pi ,E,B)\mapsto H^{i}(B,\mathbb {Z} _{2})}
で以下の性質を満たすものが一意に存在する。 w i ( n ) {\displaystyle w_{i}^{(n)}} をn次元ベクトルバンドルの第iスティーフェル・ホイットニー類と呼ぶ。
写像 U ( n ) × U ( m ) → U ( n + m ) {\displaystyle U(n)\times U(m)\to U(n+m)} 、 ( A , B ) ↦ A ⊕ B {\displaystyle (A,B)\mapsto A\oplus B} が分類空間に誘導する写像 B U ( n ) × B U ( m ) → B U ( n + m ) {\displaystyle BU(n)\times BU(m)\to BU(n+m)} を考えると、 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の構造とKünnethの公式(英語版)から
H 2 i ( B U ( n + m ) ; Z ) ↪ H 2 i ( B U ( n ) × B U ( m ) ; Z ) ≃ ∑ k = 0 i H 2 k ( B U ( n ) ; Z ) × H 2 ( i − k ) ( B U ( m ) ; Z ) {\displaystyle H^{2i}(BU(n+m);\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{2i}(BU(n)\times BU(m);\mathbb {Z} )\simeq \sum _{k=0}^{i}H^{2k}(BU(n);\mathbb {Z} )\times H^{2(i-k)}(BU(m);\mathbb {Z} )}
が成立する。よって α 1 , .
ここで ω ̄ {\displaystyle {\bar {\omega }}} はωの共役バンドルである。 よって、チャーン類のホイットニー和の公式からチャーン多項式が c ( ( ω R ) C , 1 ) {\displaystyle c((\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} },1)} = c ( ω , 1 ) c ( ω ̄ , 1 ) {\displaystyle =c(\omega ,1)c({\bar {\omega }},1)} = c ( ω , 1 ) c ( ω , − 1 ) {\displaystyle =c(\omega ,1)c(\omega ,-1)} を満たす事がわかる。成分で書くと、
∑ j = 0 2 n c j ( ( ω R ) C ) = ∑ k = 0 n c k ( ω ) ∑ l = 0 n ( − 1 ) l c l ( ω ) = ∑ j = 0 2 n ∑ s = 0 j ( − 1 ) s c j − s ( ω ) c s ( ω ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{2n}c_{j}((\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} })=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(\omega )\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }c_{\ell }(\omega )=\sum _{j=0}^{2n}\sum _{s=0}^{j}(-1)^{s}c_{j-s}(\omega )c_{s}(\omega )}
である。
O ( n ) / S O ( n ) = Z 2 {\displaystyle O(n)/SO(n)=\mathbb {Z} _{2}} である事から、部分群の分類空間に関する定理より、包含写像 ι : S O ( n ) ⊂ O ( n ) {\displaystyle \iota ~:~SO(n)\subset O(n)} が誘導する写像
B ι : B S O ( n ) → B O ( n ) {\displaystyle B\iota ~:~BSO(n)\to BO(n)}
は Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -主バンドルである。
Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} のBSO(n)への作用は、 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} の H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )} への作用を誘導する。 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} の作用により不変な H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )} の元の集合を H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) Z 2 {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}} とすると以下が成立する事が知られている:
定理 ―
実際、Mによる共役は S O ( 2 ) m {\displaystyle SO(2)^{m}} 上恒等写像なので、変換に影響するのはM以外の C 1 , ... , C m {\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m}} (とPσ)のみである。そしてこれらの積 C 1 ε 1 ⋯ C m ε m {\displaystyle C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}} が偶数個の積であっても奇数個の積であっても、
C ̄ i := C i M {\displaystyle {\bar {C}}_{i}:=C_{i}M}
とすると、 C ̄ 1 ε 1 ⋯ C ̄ m ε m = C 1 ε 1 ⋯ C m ε m M ε 1 + ⋯ + ε m {\displaystyle {\bar {C}}_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots {\bar {C}}_{m}{}^{\varepsilon _{m}}=C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}}} は必ず偶数個の元 C 1 , ... , C m , M {\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m},M} の積である。よって以下が成立する:
命題 ― ワイル群の元は C ̄ 1 , ...
による逆像
w i ( n ) = ( ι ∗ ) − 1 ( σ i ( β 1 , ... , β n ) ) ∈ H i ( B O ( n ) , Z 2 ) {\displaystyle w_{i}^{(n)}=(\iota ^{*})^{-1}(\sigma _{i}(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}))\in H^{i}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})}
を第iスティーフェル・ホイットニー類(英: i-th Stiefel–Whitney class class)と呼ぶ。
紛れがなければ添字を省略し、 w i ( n ) {\displaystyle w_{i}^{(n)}} を単に w i {\displaystyle w_{i}} と書く。
分類空間 H ∗ ( B O ( n ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})} の元と特性類は1対1でするので、第iスティーフェル・ホイットニー類 w i {\displaystyle w_{i}} に対応する特性類
w i ( ξ ) {\displaystyle w_{i}(\xi )}
, n } {\displaystyle \sigma ~:~\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}} が存在し、 v i = u σ ( i ) {\displaystyle v_{i}=u_{\sigma (i)}} かつ V i = E σ ( i ) {\displaystyle V_{i}=E_{\sigma (i)}} が成立する。Vi、Eσ(i)はそれぞれvi、eσ(i)が張る複素1次元部分空間なので、ある a i ∈ C {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} } が存在し、 v i = a i e σ ( i ) {\displaystyle v_{i}=a_{i}e_{\sigma (i)}} が成立する。
よって P σ {\displaystyle P_{\sigma }} を置換行列 P σ = ( δ i , σ ( j ) ) i , j {\displaystyle P_{\sigma }=(\delta _{i,\sigma (j)})_{i,j}} とする( δ i , j {\displaystyle \delta _{i,j}} はクロネッカーのデルタ)とき、viの定義より
A = ( a 1 ⊕ ⋯ ⊕ a n ) P σ {\displaystyle A=(a_{1}\oplus \cdots \oplus a_{n})P_{\sigma }}
が成立する。
A ∈ N ⊂ U ( n ) {\displaystyle A\in N\subset U(n)} はユニタリ行列なので、 | a i | = 1 , i = 1 , ... , n {\displaystyle |a_{i}|=1,~~i=1,\ldots ,n} が成立する。
分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。
定義 ― 位相空間Xが弱可縮(英語版)であるとは、任意の自然数nに対し、n次のホモトピー群 π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)} が0になる事である。
弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される:
定義 ― Gを位相群とする。 ( P , B , π ) {\displaystyle (P,B,\pi )} を主G-バンドルでPが弱可縮なものとするとき、Bの事をGの分類空間(英: classifying space)といい、 ( P , B , π ) {\displaystyle (P,B,\pi )} を(あるいは単にPを)普遍G-バンドル(英: universal G-bundle)という。
「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である:
定理 (普遍G-バンドルの存在性と本質的な一意性) ― 任意の位相群Gに対し、分類空間とその上の普遍G-バンドルが存在する。しかも分類空間はcanonicalなホモトピー同型を除いて一意であり、普遍G-バンドルもG-ホモトピー同型を除いて一意である。さらに分類空間としてCW複体を取る事が可能である。
記号の定義 ― Gの(ホモトピー同型を除いて)一意に存在する分類空間、普遍G-バンドルをそれぞれBG、PGと表記する。
上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル(英: model)という。