シュワルツ超函数
U 上のテスト函数の空間 D(U) は以下のように定められる。函数 φ: U → R がコンパクト台をもつとは、U のコンパクト部分集合 K が存在して、K に属さない全ての U の元 x に対して φ(x) = 0 が成立するようにできることをいう。D(U) の元は(隆起函数としても知られる)コンパクト台を持つ無限回微分可能函数 φ: U → R である。D(U) は実ベクトル空間を成す。D(U) の位相は D(U) の元の列の極限を定めることによって与えられる。D(U) 内の列 (φk) が φ ∈ D(U) に収斂するとは次の二つの条件
コンパクト集合 K ⊂ U で全ての φk の台を含む、すなわち ⋃ k supp  ( φ k ) ⊂ K {\displaystyle \bigcup _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K} を満たすものが存在する。
このような超函数に実数を掛けたり、超函数同士を加えたりすることができるから、シュワルツ超函数の全体は実ベクトル空間を形成する。超函数同士の乗法は一般には定義することができないが、超函数に無限回微分可能函数を掛けることはできる。
超函数の微分を定義するため、まずは可微分かつ可積分な函数 f: R → R の場合を考えよう。φ をテスト函数として
∫ R f ′ φ d x = − ∫ R f φ ′ d x {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{}{f'\varphi \,dx}=-\int _{\mathbb {R} }{}{f\varphi '\,dx}}
が部分積分によって得られる(φ が有界集合の外側で 0 になるから、境界値は考慮する必要がないことに注意)。この式は S がシュワルツ超函数のとき、その微分 S′ を
⟨ S ′ , φ ⟩ = − ⟨ S , φ ′ ⟩ {\displaystyle \langle S',\varphi \rangle =-\langle S,\varphi '\rangle }
で定義すべきであることを示唆している。じつはこれは正式な定義である。これにより微分の古典的な定義は拡張され、任意のシュワルツ超函数は無限回微分可能となり、微分の通常の性質も保たれる。
例: ディラックデルタ(あるいはディラックのデルタ函数)は
⟨ δ , φ ⟩ = φ ( 0 ) {\displaystyle \left\langle \delta ,\varphi \right\rangle =\varphi (0)}
で定義される超函数である。
緩増加超函数 テスト函数の空間をより大きく取り直すことにより、D′(R) の部分空間を成す緩増加超函数 (tempered distribution) が定義される。この超函数はフーリエ変換の一般論の研究に有用である(任意の緩増加超函数はフーリエ変換を持つが、一般のシュワルツ超函数ではそうはいかない)。
ここで考えるテスト函数の空間はシュワルツ空間とも呼ばれる S(R) で、すべての偏微分に沿った無限遠で急減少 (rapidly decreasing) な無限回微分可能函数全体からなる空間である。つまり、φ: R → R がシュワルツ空間に属するのは、φ の任意の導函数に |x| の任意の冪を乗じたものが |x| → ∞ の極限でいずれも 0 に収斂するときである。このような函数の全体は、適当な半ノルムの族を与えることにより、完備な位相線型空間を成す。もう少し詳しく述べれば、半ノルムの族を大きさ n の多重指数 α, β に対して
p α , β ( φ ) = sup x ∈ R n | x α D β φ ( x ) | {\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)|}
で与えれば、φ がシュワルツ函数となるのは、全ての半ノルムに対して
p α , β ( φ ) < ∞ {\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )<\infty }
緩増加超函数はその「緩増加」性によっても特徴付けることができる。これは、テスト函数のたとえば
∝ | x | n ⋅ exp  ( − x 2 ) {\displaystyle \propto |x|^{n}\cdot \exp(-x^{2})}
のような「急減少」的な振舞いの双対的な特徴である。
フーリエ変換の研究には複素数値のテスト函数と複素線型な超函数を考えたほうが都合がよい。古典的な連続フーリエ変換 F はシュワルツ函数の空間上の自己準同型を与える。また、緩増加超函数 S のフーリエ変換を任意のテスト函数 ψ に対して (FS)(φ) = S(Fφ) とおくことにより定義することができて、FS はふたたび緩増加超函数となる。このフーリエ変換は緩増加超函数全体の成す空間からそれ自身への連続、線型、かつ全単射な作用素である。この操作は
F d S d x = i x F S {\displaystyle F{\dfrac {dS}{dx}}=ixFS}
の意味で微分と両立する。また、S を緩増加超函数、ψ をR 上の(任意の導函数が高々多項式程度の増大度であるという意味で)緩増加な無限回微分可能函数とすると、Sψ はふたたび緩増加超函数で、そのフーリエ変換
F ( S ψ ) = F S ∗ F ψ {\displaystyle F(S\psi )=FS*F\psi }
は FS と Fψ との畳み込みとなるという意味で畳み込みとも両立する
S を R の開集合 U 上のシュワルツ超函数とする。V が R の開集合で F: V → U とするとき、F が沈め込み (submersion) ならば
S ∘ F ∈ D ′ ( V ) {\displaystyle S\circ F\in D'(V)}
を定義することができる。これは超函数 S と F との(写像としての)合成であり、これはまた S の F に沿った引き戻しとも呼ばれ、しばしば
F ♯ : S ↦ F ♯ S = S ∘ F {\displaystyle F^{\sharp }\colon S\mapsto F^{\sharp }S=S\circ F}
のように書かれる。引き戻しを F と書くことも多いが、この記法は上で用いたような線型写像の随伴を表す '∗' の使い方と混同する虞がある。
F が沈め込みであるという条件は、任意の x ∈ V に対して F のヤコビ微分 dF(x) が全射な線型写像となることと同値である。F を超函数に延長できるための必要(だが十分でない)条件は F が開写像となることである (Hörmander 1983, Theorem 6.1.1)。沈め込みがこの条件を満たすことは逆函数定理により保証される。
F が沈め込みのとき、随伴写像を求めることで F は超函数として定まる。