ポアンカレ双対
数学において,ポアンカレ双対性定理は,多様体のホモロジー群とコホモロジー群の構造に関する基本的な結果である.名前はアンリ・ポアンカレにちなむ.定理の主張は以下のようである.M を n 次元の向き付けられた閉多様体(コンパクトかつ境界を持たない)とすると,M の k 次コホモロジー群はすべての整数 k に対して (n − k) 次ホモロジー群と同型である:
H k ( M ) ≅ H n − k ( M ) . {\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}
ポアンカレ双対性は,係数環に関して向きを取る限り,任意の係数環に対して成り立つ.特に,すべての多様体は 2 を法として一意的な向き付けを持つので,ポアンカレ双対性は向きの仮定なしに 2 を法として成り立つ.