モーレー・カルタンの微分形式
群 G の各元に対して、右からの積による作用 Rg: h → h g を考えると、h における接ベクトル X に対して
ω h g − 1 ( R g − 1 X ) = A d j g ( ω h ( X ) ) {\displaystyle \omega _{hg^{-1}}(R_{g^{-1}}X)=\mathrm {Adj} _{g}(\omega _{h}(X))}
が成り立っている。ここで、Adj は G による g への随伴作用を表している。
リー群 G 上の左不変ベクトル場とは、接束の切断 X であって、任意の g ∈ G に対して
(d Lg) X Lg = X
を満たすもののことである。左不変ベクトル場 X について、G 上の関数 ωg(Xg) は定数関数になる。また、2つの左不変ベクトル場 X と Y とに対して、ベクトル場のブラケット積 [X, Y] は
ω ( [ X , Y ] ) = [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] {\displaystyle \omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]}
を満たしている。ここに、ω(X) は上記の定数関数の値であり、右辺のブラケットは g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のリー環としてのブラケット積である。つまり、Maurer–Cartan 形式によって左不変ベクトル場のなす空間と g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} との間のリー環の同型が定まっている。