GNS表現
このとき、 ⟨ ξ A , ξ B ⟩ = ⟨ A , B ⟩ {\displaystyle \langle \xi _{A},\xi _{B}\rangle =\langle A,B\rangle } は非退化条件を満たし、内積となる。この内積空間である A / N {\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {N}}} を完備化することでヒルベルト空間 H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} が得られ、特に A / N {\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {N}}} は H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} で稠密である。ここで π φ {\displaystyle \pi _{\varphi }} として、 π φ ( A ) ξ B = ξ A B {\displaystyle \pi _{\varphi }(A)\xi _{B}=\xi _{AB}} で定義すると代表元 B {\displaystyle B} に依らず、well-definedな表現となる。
状態 φ {\displaystyle \varphi } が純粋状態であるとは、 φ {\displaystyle \varphi } が異なる二つの状態 φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} 、 φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} による凸結合 φ = λ φ 1 + ( 1 − λ ) φ 2 ( 0 < λ < 1 ) {\displaystyle \varphi =\lambda \varphi _{1}+(1-\lambda )\varphi _{2}\,(0<\lambda <1)} の形に書き表せないときのことをいう。
GNS構成 ( H φ , π φ , Ω φ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi },\Omega _{\varphi })} で、特に以下の3つの条件は同値となる。
1. ( H φ , π φ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi })} は既約表現である。
2. 状態 φ {\displaystyle \varphi } は純粋状態である。
3. 状態 φ {\displaystyle \varphi } は、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} 上の全ての状態のなす集合 E A {\displaystyle E_{\mathfrak {A}}} で端点(extreme point) である。