線型方程式系
方程式の数と変数の数が一致する場合において、A が正則行列ならば、A の逆行列と呼ばれる行列 A を用いて、この線型方程式系の解を
x = A − 1 b {\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }
と求めることが(論理的には)可能である。しかし、逆行列を計算することは一般に困難であり、数値計算的には別の解法が各種提案されている。 以下の 2 つは、線型代数学に重要な解法である。
ガウスの消去法
行列の基本変形
実用上に出てくる問題は、問題の規模(方程式の本数や変数の数)が小さく、係数行列 A が密なものか、問題の規模は大きいものの、行列 A は疎でなおかつ性質があるものが多い(疎行列)。また行列 A は変わらず、定数ベクトル b をいくつも変えて計算する必要も生じる。従って、それぞれの状況に適した解法を選ぶ必要がある。
LU分解
特異値分解
共役勾配法
A が2次正方行列のとき
[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] = [ b 1 b 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}}
の解は次のようになる。
a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 {\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0} のとき
[ x 1 x 2 ] = 1 a 11 a 22 − a 12 a 21 [ a 22 b 1 − a 12 b 2 − a 21 b 1 + a 11 b 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\frac {1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}{\begin{bmatrix}a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}\\-a_{21}b_{1}+a_{11}b_{2}\end{bmatrix}}}
である。 a 11 a 22 − a 12 a 21 = 0 {\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0} のとき、 | a 11 | 2 + | a 12 | 2 ≠ 0 {\displaystyle |a_{11}|^{2}+|a_{12}|^{2}\neq 0} のときは、方程式が