ひずみ
せん断ひずみは、 A C ̄ {\displaystyle {\overline {AC}}\,\!} と A B ̄ {\displaystyle {\overline {AB}}\,\!} の間の角度の変化である。 図より、以下の式を得る。
γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}
tan  α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan  β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}
物体の一般的な変形は、変形後の物質点の位置x が基準位置X の関数であるとしてx = F (X ) で表される。この変形に対して、例えば、ひずみは以下のように定義される。
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = ∂ F ∂ X − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial {\boldsymbol {X}}}}\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}\right)={\cfrac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}-{\boldsymbol {1}}}
したがって、ひずみは無次元の物理量である。ひずみは、変形がどの程度与えられたかを表している。
ひずみは応力と同様に、垂直成分とせん断成分に分解することができる。物体において、部材軸方向に沿った変形を表すのが垂直ひずみ、部材軸と垂直な方向の変形を表すのがせん断ひずみである 。
物体の長さが増加している場合、垂直ひずみは引張ひずみと呼ばれるが、逆に減少している場合、圧縮ひずみと呼ばれる。