ノルム線型空間
多くのノルム空間(特にバナッハ空間)の定義として、まずベクトル空間上に半ノルムを定義して、それから半ノルム 0 の元の成す部分空間による商空間としてノルム空間を作るという方法が見られる。例えば、L-空間は
‖ f ‖ p = ( ∫ | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int |f(x)|^{p}\;dx{\Bigr )}^{1/p}}
で定義される函数を半ノルムとする、右辺のルベーグ積分が定義されて有限となる函数全体の成す線型空間である。ただし、ルベーグ測度に関する零集合上に台を持つ任意の函数は、半ノルム 0 である。そのような函数の全体は部分空間を成すが、その部分空間で「割って」しまえば、それらの函数は全て零函数に同値とすることができる。
またこの三条件を、最初の条件のうち ‖ x ‖ = 0 ⇒ x = 0 を除いてすべて満足するものは半ノルムと呼ばれ、V と半ノルム p との組 (V, p) は同様に半ノルム空間と呼ばれる(半ノルム空間についての詳細は半ノルムおよび局所凸空間も参照のこと)。
文脈上、どの(半)ノルムを考えているか明らかで紛れのおそれの無い場合には、‖ • ‖ や p を落として、単に(半)ノルム空間 V のように書く。
三角不等式に関して、以下のような変形版
逆向きの三角不等式: ‖ x − y ‖ ≥ | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | {\displaystyle \|x-y\|\geq {\bigl |}\,\|x\|-\|y\|\,{\bigr |}}
も有用である。これはベクトルのノルムが連続写像であることも示している。
注意すべきは、条件 2. は係数体上の「ノルム」の取り方に依存することである。係数体が実数体 R(やより一般に複素数体 C の部分体)であるときには、普通は通常の絶対値をとるが、ほかの選択も可能である。例えば Q-線型空間上で |•| を p-進ノルムとすることができ、異なるノルム空間のクラス(p-進ノルム空間)が生じる。