算術の超準モデル
したがって Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は端点(最大元と最小元)を持たない。次に x , y ∈ M ′ {\displaystyle x,y\in M'} について [ x ] ≪ [ y ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]} と仮定する。 x + y {\displaystyle x+y} は偶数または奇数だから、ある z ∈ M {\displaystyle z\in M} によって x + y = 2 z , 2 z + 1 {\displaystyle x+y=2z,2z+1} のいずれかの形に表せる。いずれにしても z ∈ M ′ {\displaystyle z\in M'} であり、 [ x ] ≪ [ z ] ≪ [ y ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[z\right]\ll \left[y\right]} が成り立つ。すなわち Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は稠密である。
以上より、 M = N ⊕ Z × Q {\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} であり、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は端点を持たない稠密全順序集合である。