函数の平均
有限個の値 y1, y2, ..., yn の(算術)平均 y の定義性質は n y ̄ = y 1 + y 2 + ⋯ + y n {\textstyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\dotsb +y_{n}} であったことを思い出そう。すなわち「その値を n 個加えたものが、与えられた n 項 yi の和に等しいこと」として定義される定数がそれら n 項の平均値である。
その類似対応物として、区間 [a, b] 上で定義された函数 f の(算術)平均 f の定義性質として
を考えるのは自然である。すなわち、f を区間 [a, b] 上で積分したものが [a, b] 上での f の積分値に等しいような定数 f を平均値とする。しかしこのとき、微分積分学の第二基本定理によれば、定数 f の積分は
と求められ、また積分の第一平均値定理によれば、f が開区間 [a, b] で連続ならば、c ∈ (a, b) が存在して
となることが保証され、この値 f(c) は函数 f(x) の [a, b] における平均値と呼ばれる。そこで f ≔ f(c) と書いて整理すれば、冒頭の定義に至る。