リーマン積分
f のリーマン積分が s であることの新しい定義を
任意の分割から始めて、最終的にリーマン和を 0 にも 1 にも望むだけ近くすることができたから、リーマン和が特定の数 s に収束するという主張は偽となり、この函数 f はリーマン可積分でないことが示された。実はこの函数はルベーグ可積分であり、函数が殆ど至る所 0 であるから、ルベーグの意味での積分値は 0 であるけれども、しかしこのことはリーマン積分に影響を及ぼすものではない。
さらに困った例が存在する。IQ は(殆ど至る所等しいという意味で)同値なリーマン可積分函数が存在したけれども、どのリーマン可積分函数とも同値でないようなリーマン積分不能な有界函数というものが存在する。例えば、C をスミス–ヴォルテラ–カントール集合とし、その指示函数を IC とする。C はジョルダン可測ではないから IC はリーマン可積分ではない。さらに IC に同値なリーマン可積分函数 g は存在しない。実際、g は IC と同様に稠密集合上 0 でなければならないから、前の例と同様に g の任意のリーマン和は任意の正数 ε に対して 0 との差が ε 以内に収まるような細分を持つ。しかし、g のリーマン積分が存在するならば、それは IC のルベーグ積分である 1/2 に等しくないといけないから、g はリーマン可積分でない。
有界関数のリーマン可積分性はルベーグ測度を用いて以下のように特徴づけられる:
定理(ルベーグ) ― R の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、f が I 上リーマン可積分であることと、f がほとんど至るところ連続である(すなわち f の不連続点全体の集合が零集合である)ことは同値である。
可算集合は測度 0 であるので、上の定理から特に、有界閉区間上の有界函数は不連続点が高々可算個ならリーマン可積分である。
この定理は様々な方法で証明できるが、そのうちの一つは以下のようなものである:
最も簡単な証明は可積分性の定義にダルブー積分(厳密にはリーマンの可積分条件)を用いるものである。すなわち、リーマン可積分とは、適当な分割を選べば上ダルブー和と下ダルブー和の差がいくらでも小さくできることをいう。
ルベーグの条件の必要性は、振幅による連続性の定義を用いれば非常に簡潔に示せる。f の不連続点集合が正の測度を持つならば、適当な正の数 ε に対して f が少なくとも ε の振幅を持つような集合 Xε で測度が m(Xε) > 0 となるようなものが存在するから、f の上積分と下積分との差は ε⋅m(Xε) よりも大きい。
ルベーグの条件が十分であることの証明は直接的だが多少長くなる。