メビウスの反転公式
F ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x α − 1 ( n ) G ( x / n ) for all x ≥ 1 {\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G(x/n)\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1}
が成り立つ。前の公式は定数関数 α ( n ) = 1 {\displaystyle \alpha (n)=1} という特別な場合である。このとき逆元は α − 1 ( n ) = μ ( n ) {\displaystyle \alpha ^{-1}(n)=\mu (n)} である。
これらの拡張のうち 1 つ目を適用できる例として、正の整数上定義された(複素数値)関数 f (n) と g (n) であって
g ( n ) = ∑ 1 ≤ m ≤ n f ( ⌊ n m ⌋ ) for all n ≥ 1 {\displaystyle g(n)=\sum _{1\leq m\leq n}f\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \right)\quad {\mbox{ for all }}n\geq 1}
なるものがあるとき、 F ( x ) = f ( ⌊ x ⌋ ) {\displaystyle F(x)=f(\lfloor x\rfloor )} および G ( x ) = g ( ⌊ x ⌋ ) {\displaystyle G(x)=g(\lfloor x\rfloor )} とすると、