スペクトル半径
∀ k ≥ N 1 ⇒ ‖ A ~ k ‖ < 1 {\displaystyle \forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\tilde {\boldsymbol {A}}}^{k}\|<1}
が成り立つ。これは
∀ k ≥ N 1 ⇒ ‖ A k ‖ 1 / k < ρ ( A ) + ε . {\displaystyle \forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}<\rho ({\boldsymbol {A}})+\epsilon .}
ということを示している。同様にして
A ˇ = A ρ ( A ) − ε {\displaystyle {\check {\boldsymbol {A}}}={\frac {\boldsymbol {A}}{\rho ({\boldsymbol {A}})-\epsilon }}}
を考えることにより、ある自然数 N1 ∈ N が存在して、
∀ k ≥ N 1 ⇒ ‖ A ˇ k ‖ > 1 {\displaystyle \forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\check {\boldsymbol {A}}}^{k}\|>1}
がわかる。以上のことから
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N : ∀ k ≥ N ⇒ ρ ( A ) − ε < ‖ A k ‖ 1 / k < ρ ( A ) + ε {\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho ({\boldsymbol {A}})-\epsilon <\|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}<\rho ({\boldsymbol {A}})+\epsilon }
が言えるが、これは
lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / k = ρ ( A ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}=\rho ({\boldsymbol {A}})}
ということを表している。
さらに||·|| が 一貫性を持つ場合には、任意の複素行列 A ∈ MnC と k ∈ N に対し
ρ ( A ) ≤ ‖ A k ‖ 1 / k {\displaystyle \rho (A)\leq \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}}
が成立している。これは以下のようにして示すことができる。A の固有ベクトル v と対応する固有値 λ について、行列ノルムの一貫性から次式を得る。
| λ | k ‖ v ‖ = ‖ λ k v ‖ = ‖ A k v ‖ ≤ ‖ A k ‖ ⋅ ‖ v ‖ {\displaystyle |\lambda |^{k}\|{\boldsymbol {v}}\|=\|\lambda ^{k}{\boldsymbol {v}}\|=\|{\boldsymbol {A}}^{k}{\boldsymbol {v}}\|\leq \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|\cdot \|{\boldsymbol {v}}\|}
ここで、v ≠ 0 であるので、任意の固有値 λ に対して次式を得る。