多項式
有理式は、二つの多項式 P, Q の商(代数的分数式(英語版))P(x)/Q(x) のことを言い、有理式として書き直すことのできる任意の代数式の定める函数を有理函数と呼ぶ。
多項式函数は変数に対する任意の代入に対して値が定義されるが、有理函数は分母が零にならないような変数の値に対してしか定義されない。
有理函数はローラン多項式を分母が不定元の冪であるような特別の場合として含む。
, α n } } {\displaystyle A=K\langle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\rangle :=\left\{\sum _{l}c_{l}\alpha _{i_{1}}^{(l)}\alpha _{i_{2}}^{(l)}\cdots \alpha _{i_{k_{l}}}^{(l)}\mid c_{l}\in K,\alpha _{i_{j}}^{(l)}\in \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\right\}}
は K⟨X⟩ の代入による準同型像として得られる。つまり、適当な K 多元環の全射準同型で
K ⟨ X ⟩ → A ; f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) ↦ f ( α 1 , α 2 , ... , α n ) {\displaystyle K\langle \mathbf {X} \rangle \to A;\ f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto f(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
なるものが必ず取れ、またしたがって A は K⟨X⟩ のある商多元環に同型である。この準同型の V への制限は V から A への K 線型写像であるが、逆に V から A への任意の K 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これはテンソル代数の普遍性と呼ばれる性質の一部である。
また、非可換多項式環 K⟨x1, x2, ..., xn⟩ をテンソル代数とみるとき、対応する対称代数 S(V) (xy − yx の形の元全体で生成される両側イデアルで割った代数) は多項式環 K[x1, x2, ..., xn] であり、多項式環が有限生成可換多元環に対する普遍性を持っていることに対応している。
となる。
多項式 f と数 c に対し、f の c 倍(一般には定数倍ないしスカラー倍という)とは、f の各項の係数を c 倍して得られる多項式である。これも1変数の場合について式で表すと、 f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} に対して
c f = ∑ k = 0 m c a k x k {\displaystyle cf=\sum _{k=0}^{m}ca_{k}x^{k}}
である。
これらの演算は、多項式 f, g を多項式関数(後述)とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍と対応している。また、多項式の乗法は、数列に対する畳み込みとみることもできる。
可換環 R 上の不定元 x1, x2, ..., xm に関する多項式全体の集合は、上述の演算によって R 上の多元環になる。これを(x1, x2, ..., xm を不定元とする)R 上の m 変数多項式環といい、記号 R[x1, x2, ..., xm] で表す。
と表すことができる。ただし各 ak1k2...km は K の元である。同じことを、多重指数記法を用いて
∑ k ∈ I a k x k {\displaystyle \sum _{k\in I}a_{k}x^{k}}
と書くこともできる(ここで x = (x1, x2, ..., xm) )。各々の ak1k2...kmx1x2...xm (多重指数記法では akx)を多項式 f の項とよぶ。なお、1変数多項式の場合と同様に、0 を係数とする項は省略して書いてもよい。
m 変数の多項式 f を上記のように表したとき、項 ak1k2...kmx1x2...xm の次数とは、通常 k1 + k2 + ... + km のことである。また、0 を係数とする項をすべて省略した形で f を書き表したときに、現れる項の次数のうち最大のものを f の次数とよぶ。たとえば、(不定元 x, y に関する)多項式 −2xy + x − 17xy − 4 の次数は 5 である。