ケプラー方程式
ケプラーの方程式を微分して、
d E d M = 1 1 − e cos  E = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n cos  n M , a n := 1 π ∫ 0 2 π d M cos  n M 1 − e cos  E = 1 π ∫ 0 2 π d E cos  n ( E − e sin  E ) = 2 J n ( n e ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE}{dM}}&={\frac {1}{1-e\cos E}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nM,\\a_{n}&:={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dM{\frac {\cos nM}{1-e\cos E}}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dE\cos n(E-e\sin E)=2J_{n}(ne).\end{aligned}}}
ただし、最初の式の2番目の等号では、 E も M も周期関数(周期 2 π {\displaystyle 2\pi } )であることを用いて フーリエ展開した。よって、積分すると、
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin  n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
となって、同じ結果が得られた。