連続の方程式
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
∇ × H = j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}
に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
∇ × H = ∂ D ∂ t + j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}}
において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、
∇ ⋅ ∂ D ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
となり、ガウスの式
∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }
を代入することで連続の式が得られる。
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。
Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を
ρ = Ψ ∗ Ψ j = ħ 2 m i [ Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}
と定義すると、シュレディンガー方程式
i ħ ∂ Ψ ∂ t = − ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }
を用いて、確率に対する連続の式
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
が得られる。