四次方程式
P = 8 a c − 3 b 2 R = b 3 + 8 a 2 d − 4 a b c Δ 0 = c 2 − 3 b d + 12 a e D = 64 a 3 e − 16 a 2 c 2 + 16 a b 2 c − 16 a 2 b d − 3 b 4 {\displaystyle {\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}}
Δ, P, R, Δ0, D に関して、以下の事実が成立する。
Δ < 0 のとき、異なる2個の実数解と1組の共役複素数解を持つ。
Δ > 0 のとき、 P < 0 かつ D < 0 ならば、相異なる4個の実数解を持つ。 P > 0 または D > 0 ならば、2組の共役複素数解を持つ。
Δ = 0 のときにのみ、方程式は重解を持ち、 P < 0 かつ D < 0 かつ Δ0 ≠ 0 ならば、1個の実数二重解と、異なる2個の重複度 1 の実数解を持つ。 D > 0 または(P < 0 かつ(D, R のどちらかが0でない))ならば、1個の実数二重解と、1組の共役複素数解を持つ。 Δ0 = 0 かつ D ≠ 0ならば、1個の実数三重解と、1個の重複度 1 の実数解を持つ。 D = 0 のとき、 P < 0 ならば、異なる 2個の実数二重解を持つ。 P < 0 かつ R = 0 ならば、1組の共役複素数である、異なる 2個の虚数二重解を持つ。 Δ0 = 0 ならば、−b/4a を実数四重解として持つ。
以上には、例えば Δ > 0 かつ P·D < 0 である場合などが記されていない。しかし、このような組み合わせは実際には存在しない。
の解は r2, r3 となり、根と係数の関係から
r 0 + r 1 = u {\displaystyle r_{0}+r_{1}={\sqrt {u}}}
r 2 + r 3 = − u {\displaystyle r_{2}+r_{3}=-{\sqrt {u}}}
したがって
(r0 + r1) (r2 + r3) = − u
便宜上
y 2 + p + u 2 = u ( y − q 2 u ) {\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
の解を r0, r1 としたが、解の並び方はいろいろ考えられる。 rm と rn を入れ替える互換を σm,n と書けば、例えば
σ0,1 (r0 + r1) (r2 + r3) = (r0 + r1) (r2 + r3)
σ0,2 (r0 + r1) (r2 + r3) = (r2 + r1) (r0 + r3)
など、一般には異なる値を取ることになる。このように調べていくと 4 つの解の並び方は 4! = 24 通りあるが
(r0 + r1) (r2 + r3) = − u
の値は、最初の解の並べ方によって
s0 = (r0 + r1) (r2 + r3)