リー・ヤンの定理
∫ e b S 2 d | μ j ( S ) | < ∞ , ∀ b ∈ R {\displaystyle \int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} }
実数上の急減少する測度は、次のように、そのフーリエ変換の全てのゼロ点が実数であるときに、リー・ヤンの性質(Lee-Yang property)を持つと呼ばれる。
∫ e h S d μ j ( S ) ≠ 0 , ∀ h ∈ H + := { z ∈ C | R z > 0 } {\displaystyle \int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} |\Re {z}>0\}}
Newman (1974)の結果に基づく形で、定式化を行う。スピン変数を Sj、外場を zjとし、系のスピン・ハミルトニアンが、
H = − ∑ J j k S j S k − ∑ z j S j {\displaystyle H=-\sum {J_{jk}S_{j}S_{k}}-\sum {z_{j}S_{j}}}
で与えられるものとする。ここで相互作用項の係数 Jjk の全てが非負な実数のときに 強磁性(ferromagnetic)という。
このとき、分配函数は次の式で与えられる。
Z = ∫ e − H d μ 1 ( S 1 ) ⋯ d μ N ( S N ) {\displaystyle Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})}
ここに各々の dμj は任意のガウス函数が可積分であるように、無限遠点で十分早く減少する実数軸 R 上の測度とする。
リー・ヤンの性質を持つ測度の例をいくつか列挙する。
スピン 1/2であるイジングモデルの場合、各々の測度は、ウェイト 1/2 を持ち、 1 と −1の 2点で構成されているサポートを持つ、dμi(Si)=(δ (Si -1) + δ (Si +1))/2である。これは元来の場合でリー・ヤンによって考えられた。
スピン n/2 の測度は、各々がウェイト 1/(n + 1) を持つ n+1 個の空間的な点をサポートとして持っている。これはイジングモデルの一般化に相当する。
−1 と 1 の間の均一な密度分布をした測度
密度 exp  ( − λ cosh  ( S ) ) d S {\displaystyle \exp(-\lambda \cosh(S))\,dS}