代数関数
数学において、代数関数(だいすうかんすう、英: algebraic function)は(多項式関数係数)多項式方程式の根として定義できる関数である。大抵の場合、代数関数は代数演算(英語版)(和、差、積、商、分数冪)のみでできる有限項の式に表すことができ、例えば
f ( x ) = 1 / x , f ( x ) = x , f ( x ) = 1 + x 3 x 3 / 7 − 7 x 1 / 3 {\displaystyle f(x)=1/x,\;f(x)={\sqrt {x}},\;f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}\,x^{1/3}}}}
などが典型的である。しかし、(エヴァリスト・ガロワとニールス・アーベルによって証明されたように)そのような有限表式に書けない代数関数もある。例えば、
f ( x ) 5 + f ( x ) 4 + x = 0 {\displaystyle f(x)^{5}+f(x)^{4}+x=0}