レイリーの定理
j + ⌊ j s r ⌋ = j + ⌊ j ( s − 1 ) ⌋ = ⌊ j s ⌋ {\displaystyle j+\left\lfloor {\frac {js}{r}}\right\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor }
である。 同様に、k/s は ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置する。 ⌊ n r ⌋ {\displaystyle \lfloor nr\rfloor } でも ⌊ n s ⌋ {\displaystyle \lfloor ns\rfloor } でも表せない正の整数 c があると仮定すると、j/r または k/s で表現可能な数の c 番目の要素が数列の中の ⌊ j s ⌋ {\displaystyle \lfloor js\rfloor } または ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置することと矛盾するため、正の整数は必ずどちらか一方には含まれる。
したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。
また逆も成り立ち、2つの実数 r と s について同様の処理によって2つの集合を考えた時、全ての正の整数がどちらか一方にのみ含まれているならば、r と s は無理数であり、逆数の和は1である。