Atan2
したがって、atan2 の勾配は次式で与えられる。
∇ atan2 ( y , x ) = ( − y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 ) . {\displaystyle \nabla {\text{atan2}}(y,x)=\left({-y \over x^{2}+y^{2}},\ {x \over x^{2}+y^{2}}\right).}
関数 atan2 を角度関数 θ(x, y) = atan2(y, x) (定数を除いて定義)として省略して表すと、全微分について次の式が得られる:
d θ = ∂ ∂ x atan2  ( y , x ) d x + ∂ ∂ y atan2  ( y , x ) d y = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \theta &={\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\operatorname {atan2} (y,\,x)\,\mathrm {d} y\\[5pt]&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y.\end{aligned}}}