ケーリー＝ディクソンの構成法
A は x = x, (x + y) = x+y, (x y) =y x を満たす対合を持つ
という意味である。この一般化された意味でのケーリー=ディクソン構成によって与えられる代数 B = A⊕A も、やはり対合環になる。
B に A からそのまま遺伝する性質としては、
A が単位元 1A を持つならば B は単位元 (1A, 0) を持つ。
A が「x + x および x x は任意の元と結合的かつ可換である」という性質を持つならば、B も同じ性質を満足する。この性質は「任意の元が可換結合的 ∗-代数 を生成する」ことを含意するから、特にこのような代数は冪結合的である。
などがある。そのほかにも A の性質から導びかれる B のより弱い性質として、
A が可換で自明な対合を持つならば B は可換である。
A が可換かつ結合的ならば B は結合的である。
A が結合的で x + x, x x が全ての元と結合的かつ可換であるならば、B は交代的である。
などが挙げられる。