ハミルトン場の理論
離散粒子系のハミルトニアンは、一般化座標とその共役運動量、そして場合によって時間の関数である。連続体と場の場合、ハミルトニアン力学は不適切だが、系を多数の点質量からなるものと考え、連続体への極限をとる、つまり場を無限に多くの粒子で構成されるとみなすことによって拡張できる。各点質量には1つ以上の自由度があるため、場は無限の自由度をもつ。
場 φ と πi、それらの空間導関数、および空間と時間の座標に依存する2つの関数
A := ∫ d 3 x A ( φ 1 , φ 2 , ... , π 1 , π 2 , ... , ∇ φ 1 , ∇ φ 2 , ... , ∇ π 1 , ∇ π 2 , ... , x , t ) , {\displaystyle A:=\int d^{3}x{\mathcal {A}}(\phi ^{1},\phi ^{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi ^{1},\nabla \phi ^{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t),}
B := ∫ d 3 x B ( φ 1 , φ 2 , ... , π 1 , π 2 , ... , ∇ φ 1 , ∇ φ 2 , ... , ∇ π 1 , ∇ π 2 , ...
本節の結果はラグランジアン密度とハミルトニアン密度が陽的に時間依存しない場合に当てはまる(場とその導関数を介して陰的になら時間依存してもよい)。