開集合
与えられた集合が開集合かどうかは考えている位相に依存するが、「位相 Τ を備えた集合 X」に言及する際に、「位相空間 (X, Τ)」と言わずに「位相空間 X」と略すことがある。
いま、同じ集合上に二つの位相が存在するとすれば、その部分集合 U が一方の位相では開だが、他方では開でないということが起こり得る。たとえば X を任意の位相空間とし、Y は X の任意の部分集合とすれば、Y 自身も部分空間の位相と呼ばれる位相によって位相空間となる。相対位相は「Y の部分集合 U が開であるには、U が X のもともとの位相に関する開集合と Y との交わりに書けることが必要十分」とするものである。これは X の開集合でない部分集合が Y の開集合となる可能性を持っている。V はもとの空間 X の位相で開となるが、V ∩ Y は開でないものとするとき、V ∩ Y は相対位相で Y の開集合だが X のもともとの位相では開でない部分集合である。
このことの具体例を挙げれば、U を開区間 (0, 1) に属する有理数全体の成す集合とするとき、U は有理数全体の成す空間 Q の開部分集合だが、実数直線 R の部分集合としては開でない。これは実際、全体空間を Q とするとき、各点 x ∈ U に対し、正の数 ε が存在して、x との距離が ε 以内のすべての「有理」点が U に入るようにすることができ、他方、全体空間を R とするならば、どのような x ∈ U を取っても、正の数 ε で x の ε 以内にあるすべての「実」点が U に入るようなものは存在しない(U は有理数でない数は含まないから)ということによる。
開集合の概念は、その抽象性の度合いも含めて、様々なクラスに対して定式化することができる。以下にいくつかを挙げる: