量子力学の数学的定式化
とし、線形写像Tを
T ∗ : D o m ( T ∗ ) → H 1 , ψ ↦ ψ ′ {\displaystyle T^{*}~:~\mathrm {Dom} (T^{*})\to {\mathcal {H}}_{1},\quad \psi \mapsto \psi '}
により定義し、TをTの共役作用素という。
定義より明らかに
任意の x ∈ D o m ( T ) ∩ D o m ( T ∗ ∗ ) {\displaystyle x\in \mathrm {Dom} (T)\cap \mathrm {Dom} (T^{**})} に対し、 T ∗ ∗ ( x ) = T ( x ) {\displaystyle T^{**}(x)=T(x)}
であるが、Tが有界とは限らない時、Tが稠密に定義されていたとしてもTが稠密に定義されることもTとTの定義域が一致する事も無条件には保証されないが、Tが可閉であればこれらは保証される:
定理 ― Tが可閉であれば以下が成立する:
Tが稠密に定義される⇔Tが可閉作用素
D o m ( T ∗ ∗ ̄ ) = D o m ( T ̄ ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\overline {T^{**}}})=\mathrm {Dom} ({\bar {T}})}
と定義すると、以下が成立することが知られている:
定理 ―
D = F − 1 ∘ M F ∘ F {\displaystyle D={\mathcal {F}}^{-1}\circ M_{F}\circ {\mathcal {F}}}
ここでMFはFを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素
P j = − i ħ ∂ ∂ x j {\displaystyle P_{j}=-i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}}
(の閉包作用素)は以下を満たす:
系 ―
P j = ħ F − 1 ∘ M x j ∘ F {\displaystyle P_{j}=\hbar {\mathcal {F}}^{-1}\circ M_{x_{j}}\circ {\mathcal {F}}}
xj倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
である。
特にj = 1,...,dでf(x)=xjという形の掛け算作用素を第j位置作用素という。
定理 ― 掛け算作用素は自己共役作用素である。
上記の定理は以下のように証明できる。可測性から
C 0 ∞ ( R d ) ⊂ D o m ( M f ) {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\subset \mathrm {Dom} (M_{f})}
なのでMfは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかにMfは対称作用素である。さらに φ ∈ D o m ( M f ∗ ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f}{}^{*})} とすれば、任意の ψ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} に対し、 ⟨ χ , ψ ⟩ = ⟨ φ , M f ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle \chi ,\psi \rangle =\langle \phi ,M_{f}(\psi )\rangle } をみたすので、
定義 (自己共役作用素とその関連概念) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 T : D o m ( T ) ⊂ H → H {\displaystyle T~:~\mathrm {Dom} (T)\subset {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を稠密に定義されているとは限らない線形作用素とする。
任意のφ, ψ∈Dom(T)に対し、 ⟨ φ , T ( ψ ) ⟩ = ⟨ T ( φ ) , ψ ⟩ {\displaystyle \langle \varphi ,T(\psi )\rangle =\langle T(\varphi ),\psi \rangle } が成立するとき、Tをエルミート作用素という。
Tが稠密に定義されたエルミート作用素であるとき、Tを対称作用素であるという
Dom(T) = Dom(T)を満たす対称作用素Tを自己共役作用素という。
Tが可閉作用素で、その閉包が自己共役であるとき、Tは本質的に自己共役であるという。
量子力学では以下の仮定を課す:
仮定 (オブザーバブルに関する仮定) ― 量子力学におけるオブザーバブルは自己共役作用素として表現される。
前節までで見たように、状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元である場合のスペクトル分解においては連続スペクトルが生じるため、全てのスペクトル点に対して対応する「固有関数」が存在するわけではないという困難を抱える。そこでディラックは、状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} にデルタ関数のような超関数を添加し、これら超関数を一種の固有関数だとみなす事でこの困難を解消する道筋を建てた。
本節では、このディラックのアイデアを拡張することで得られるゲルファントの三つ組の概念を用いて、自己共役作用素をスペクトル分解する方法を説明する。
そこでブラベクトル、ケットベクトルの空間を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} や H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} より広い空間である G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} や G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} へと拡張し、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} や G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} から連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を探す、というのがゲルファントの三つ組の基本的なアイデアである。
とくに G = S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} である場合は、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} は緩増加超関数の空間 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} に一致するので、「固有ベクトル」として G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} からデルタ超関数を選ぶ事ができる。したがってこの場合は、ゲルファントの三つ組のアイデアはディラックの元々のアイデアと合致する。
数学的に見た場合、ヒルベルト空間 H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} において自己共役作用素 M x j {\displaystyle M_{x_{j}}} はそもそも固有値を持たないし、当然それに対応する固有ベクトルも存在しない。しかしこれはそもそもデルタ関数が H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} に属さない事に起因しており、ゲルファントの三つ組の概念を用いれば、こうしたデルタ関数による固有値・固有ベクトルの概念を正当化できる。本節ではまず、固有値概念の一般化であるスペクトルの概念を定式化し、ゲルファントの三つ組においてスペクトルに対応する固有ベクトル概念に相当する一般化固有ベクトルの概念を定式化する。
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , ... , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} に対し、正準交換関係を指数関数の上に乗せた下記の式をヴァイルの関係式という:
∀ j , k = 1 , ... , d , ∀ s , t ∈ R : {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d,\forall s,t\in \mathbf {R} ~:~}
e x p ( − i s A j ) e x p ( − i t B k ) e x p ( i s A j ) e x p ( i t B j ) = e x p ( i ħ δ j , k ) , {\displaystyle \mathrm {exp} (-isA_{j})\mathrm {exp} (-itB_{k})\mathrm {exp} (isA_{j})\mathrm {exp} (itB_{j})=\mathrm {exp} (i\hbar \delta _{j,k}),}
e x p ( − i s A j ) e x p ( − i t A k ) e x p ( i s A j ) e x p ( i t A j ) = I , {\displaystyle \mathrm {exp} (-isA_{j})\mathrm {exp} (-itA_{k})\mathrm {exp} (isA_{j})\mathrm {exp} (itA_{j})=I,}
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素Hを任意に固定し、ハミルトニアンと呼ぶことにする。量子力学ではHが − ∑ j = 1 n ħ 2 m j Δ j + V ( x ) {\textstyle -\sum _{j=1}^{n}{\hbar \over 2m_{j}}\Delta _{j}+V(x)} という形で書き表せる場合を扱うが、本節の議論はHが必ずしもこの形でなくとも成立する。
定義 (シュレディンガー方程式) ― ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} に対し、以下の形の微分方程式をシュレディンガー方程式と呼ぶ:
i ħ d d t ψ ( t ) = H ψ ( t ) {\displaystyle i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\psi (t)=H\psi (t)}
ψ ( 0 ) = ψ {\displaystyle \psi (0)=\psi }
ψ ^ λ : T ∈ E ( λ ) ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }~:~T\in E(\lambda )\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} }
は、
ψ ^ λ ( c e − i λ x / ħ ) = ∫ R c e − i λ x / ħ ψ ( x ) d x {\displaystyle {\hat {\psi }}_{\lambda }(c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar })=\int _{\mathbf {R} }c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{/}\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x}
である。すなわち c ∈ C → ∼ c e − i λ x / ħ {\displaystyle c\in \mathbf {C} {\overset {\sim }{\to }}c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }} を ∫ R e − i λ x / ħ ψ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x} 倍する写像である。
まずフォン・ノイマンの一意性定理の仮定をハイゼンベルク群を用いて表現する。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 U ( H ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ作用素全体の集合とする。
Π : H d → U ( H ) {\displaystyle \Pi ~:~\mathbf {H} _{d}\to {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})}
を
Π ( I → ) = i ħ I {\displaystyle \Pi ({\vec {I}})=i\hbar I}
を満たす強連続な写像とし、さらに
A j := Π ( Q → j ) , B j := Π ( P → j ) {\displaystyle A_{j}:=\Pi ({\vec {Q}}_{j}),\quad B_{j}:=\Pi ({\vec {P}}_{j})}
とする。するとフォン・ノイマンの一意性定理の条件であるヴァイルの関係式は、Πが準同型である事を意味している。すなわちヴァイルの関係式を満たすΠはハイゼンベルク群の強連続なユニタリ表現である。このように見た時、ヴァイル表現に関する規約性の条件は、このヴァイル表現が規約である事と同値である。
と直積分で書き表し、ψを直積分の切断として
ψ ≃ { ψ ( λ ) } λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \psi \simeq \{\psi (\lambda )\}_{\lambda \in \sigma (A)}}
と書き表すと、直積分とスペクトル測度の関係により、状態ψにある系でAを観測した観測値λがボレル集合 B ⊂ R {\displaystyle B\subset \mathbf {R} } に属している確率は
∫ σ ( A ) ∩ B ‖ ψ ( λ ) ‖ 2 d μ A {\displaystyle \int _{\sigma (A)\cap B}\|\psi (\lambda )\|^{2}\mathrm {d} \mu _{A}}
に一致する。
また簡単な計算により、Aを観測した観測値の期待値が
⟨ ψ , A ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi ,A(\psi )\rangle }
となる事を確かめられる。
は
⟨ s , s ⟩ = ∫ σ ( A ) ⟨ s ( λ ) , s ( λ ) ⟩ λ d μ A {\displaystyle \langle s,s\rangle =\int _{\sigma (A)}\langle s(\lambda ),s(\lambda )\rangle _{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} ≥ ⟨ s τ s τ ⟩ μ A ( { τ } ) ≩ 0 if s τ ≠ 0 {\displaystyle \geq \langle s_{\tau }s_{\tau }\rangle \mu _{A}(\{\tau \})\gvertneqq 0\quad {\text{if }}s_{\tau }\neq 0}
を満たすので、 m τ ( H τ ) {\displaystyle m_{\tau }({\mathcal {H}}_{\tau })} の元はAUの0でない固有ベクトルになる。しかしμ({τ})=0の場合にはmτが恒等的に0である為、 H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} は通常の意味での固有空間にはならない。
直積分によるスペクトル定理は、前述した掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。
ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、第一成分に対して反線形、第二成分に対して線形であった。しかし内積の第一成分を共役ベクトル空間を H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} とみなして
( χ , φ ) ∈ H ∗ × H → ⟨ χ , φ ⟩ ∈ C {\displaystyle (\chi ,\phi )\in {\mathcal {H}}^{*}\times {\mathcal {H}}\to \langle \chi ,\phi \rangle \in \mathbf {C} }
だとすれば、内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、第一成分、第二成分双方に関して線形である事になるので便利である。そこで量子力学では H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元と H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の元とを区別して考え、以下のように呼ぶ:
定義 (ブラベクトルとケットベクトル) ― H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の元をブラベクトル、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元をケットベクトルと呼ぶ。
A ( G ) ⊂ G {\displaystyle A({\mathcal {G}})\subset {\mathcal {G}}}
Aが上述の性質を満たす時、 T ∈ G ′ {\displaystyle T\in {\mathcal {G}}'} に対し、写像A'(T)を
A ′ ( T ) : ψ ∈ G ↦ ⟨ T , A ( ψ ) ⟩ ∈ C {\displaystyle A'(T)~:~\psi \in {\mathcal {G}}\mapsto \langle T,A(\psi )\rangle \in \mathbf {C} }
により定義すると、前述の2性質からこの定義はwell-definedであり、 A ′ ( T ) ∈ G ′ {\displaystyle A'(T)\in {\mathcal {G}}'} となる事を確かめられる。よって G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} 上の線形写像
A ′ : T ∈ G ′ ↦ A ′ ( T ) ∈ G ′ {\displaystyle A'~:~T\in {\mathcal {G}}'\mapsto A'(T)\in {\mathcal {G}}'}
が定義できる。
上述のように定義したA'は埋め込み写像ιと