絶対性 (数理論理学)
モデル理論では絶対性に関連するいくつかの一般的な結果と定義がある。下向き絶対性の基本的な例として、ある構造において真である全称文(全称量化子のみを持つ文)は、元の構造のすべての部分構造においても真であるというものがある。逆に、存在文はある構造からそれを含むあらゆる構造へと上向きの絶対性を持つ。
二つの構造が初等的同値であると定義されるのは、それらが共有する言語におけるすべての文の真理値について一致する場合、つまり、それらの言語におけるすべての文が二つの構造の間で絶対的である場合である。M と N が理論のモデルであり、M が N の部分構造であるときに、いつでも M が N の初等部分構造になるのであれば、その理論はモデル完全であると定義される。
現代の集合論の主要な部分は、ZFとZFCのさまざまなモデルの研究を含む。このようなモデルの研究にとって、集合のどの性質が異なるモデルに対して絶対的であるかを知ることは非常に重要である。一般的な方法としては、集合論のモデルを固定して、それと同じ順序数を持つ推移的モデルに限定して検討する。
いくつかの性質は集合論の全ての推移的モデルについて絶対的である。以下のような例がある。(Jech (2003 sec. I.12) や Kunen (1980 sec. IV.3) を参照).
x は空集合である.
x は順序数である.
x は有限順序数である.
x は後続順序数である.
x は極限順序数である.
x = ω.
x は関数(のグラフ)である.
絶対的でない性質の例:
有限であること
可算であること
基数であること
正則基数であること
極限基数であること
到達不能基数であること