円周率が22/7より小さいことの証明
n = 1 の場合はすでに見た。n = 2 の場合は、
1 4 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 1 + x 2 d x = π − 47 171 15 015 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}}
および
1 8 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 d x = 1 1 750 320 {\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}}}
より
47 171 15 015 + 1 1 750 320 < π < 47 171 15 015 + 2 1 750 320 {\displaystyle {\frac {47\,171}{15\,015}}+{\frac {1}{1\,750\,320}}<\pi <{\frac {47\,171}{15\,015}}+{\frac {2}{1\,750\,320}}}
すなわち 3.141 592 31... < π < 3.141 592 88... となり、π の近似値を小数点以下第6位まで得る。
同様に n = 3 の場合は、
000 000 173 ⋯ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\cdots }
を得る。x = 0 を代入すると、積分値の上限として、上記の数の2倍を得るので、円周率の評価として
355 113 − 911 2 630 555 928 < π < 355 113 − 911 5 261 111 856 {\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}
を得る。この評価は、十進小数として表すと 3.141 592 57... < π < 3.141 592 74... であり、太文字で表した小数点以下6桁まで円周率と一致する。