小行列式
余因子により、行列式を余因子の線形結合で表すことができる(余因子展開)。これにより、行列式は次数が 1 小さい行列式から計算できる。任意の n次正方行列 A = (aij) の行列式 det(A) は、行列の任意の行か列の余因子にそこの成分を掛けたものの総和に等しくなる。つまり、第j列に沿った余因子展開は
det ( A ) = a 1 j a ~ 1 j + a 2 j a ~ 2 j + ⋯ + a n j a ~ n j = ∑ i = 1 n a i j a ~ i j {\displaystyle \det(A)=a_{1j}{\widetilde {a}}_{1j}+a_{2j}{\widetilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{nj}{\widetilde {a}}_{nj}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{ij}{\widetilde {a}}_{ij}}
であり、第i行に沿った余因子展開は
det ( A ) = a i 1 a ~ i 1 + a i 2 a ~ i 2 + ⋯ + a i n a ~ i n = ∑ j = 1 n a i j a ~ i j {\displaystyle \det(A)=a_{i1}{\widetilde {a}}_{i1}+a_{i2}{\widetilde {a}}_{i2}+\cdots +a_{in}{\widetilde {a}}_{in}=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}a_{ij}{\widetilde {a}}_{ij}}
である。