ヤコビ行列
ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、n = m = 1 のとき、(1, 1)-型行列とその唯一の成分である実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。
f が点 p において任意の偏微分を持つならば p においてヤコビ行列は存在する。しかし、f の偏微分可能性だけでは f の微分可能性は言えないから、ヤコビ行列が存在しても f は p において必ずしも全微分可能でない。
f が D 上の点 p で微分可能、すなわち
lim x → p ‖ f ( x ) − f ( p ) − d f ( x − p ) ‖ ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{x\to p}{\dfrac {\|f(x)-f(p)-{\mathit {df}}(x-p)\|}{\|x-p\|}}=0}
なる線型写像 df が存在するとき、この線型写像 df の標準基底に関する表現行列は f の p におけるヤコビ行列 Jf(p) によって与えられる(すなわち、R のベクトルの各成分への射影 R への射影 πi: R → R (i = 1, 2, ..., m ) に対して
f i := π i ∘ f {\displaystyle f_{i}:=\pi _{i}\circ f}
と書けば、点 x = p におけるヤコビ行列 Jf(p) は
( ∂ f i ∂ x j | x = p ) i = 1 , ... , m j = 1 , .