Theorema Egregium
「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている:
THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas
定理. もし曲面が他の任意の曲面にどのように発展したとしても、各点における曲率の大きさは不変である。 — カール・フリードリヒ・ガウス、曲面の一般的考察
g ( ρ ( X ∧ Y ) , Z ∧ W ) = g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)}
により定義する。
このとき、ρの固有値の集合は
{ κ i κ j + c ∣ i , j ∈ 1 , ... , m , s.t. i ≠ j } {\displaystyle \{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.t. }}i\neq j\}}
に一致する。ここでmはMの次元であり、 κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} は点Pにおける主曲率である。
また κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} に対応する主方向を e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} とすると、 κ i κ j + c {\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}+c} に対応する固有ベクトルは e i ∧ e j {\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}} である。