強結合近似
行列要素
β m = − ∫ d 3 r φ m ∗ ( r ) Δ U ( r ) φ m ( r ) {\displaystyle \beta _{m}=-\int d^{3}r~\varphi _{m}^{*}({\boldsymbol {r}})\Delta U({\boldsymbol {r}})\varphi _{m}({\boldsymbol {r}})}
は隣接する原子のポテンシャルによる原子準位のシフトに由来する。この項はほとんどの場合比較的小さく、もしこれが大きいときは隣接する原子が原子準位に大きな影響を与えることを意味する。
次に、行列要素
γ m , l ( R n ) = − ∫ d 3 r φ m ∗ ( r ) Δ U ( r ) φ l ( r − R n ) {\displaystyle \gamma _{m,l}({\boldsymbol {R_{n}}})=-\int d^{3}r~\varphi _{m}^{*}({\boldsymbol {r}})\Delta U({\boldsymbol {r}})\varphi _{l}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})}
弱い磁場の状況で、ホッピング積分t(hopping)が位相係数でタイミングがとられます。
E x , z x = 3 l 2 n V p d σ + n ( 1 − 2 l 2 ) V p d π {\displaystyle E_{x,zx}={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }}
E x , x 2 − y 2 = 3 2 l ( l 2 − m 2 ) V p d σ + l ( 1 − l 2 + m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}
E y , x 2 − y 2 = 3 2 m ( l 2 − m 2 ) V p d σ − m ( 1 + l 2 − m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}
E z , x 2 − y 2 = 3 2 n ( l 2 − m 2 ) V p d σ − n ( l 2 − m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}
t-J模型(英語版)やハバード模型のような新しい電子構造理論は、強結合近似を基礎としている。強結合近似を理解するために、第二量子化表示を用いることができる。
原子軌道を基底状態として用いると、強結合模型における第二量子化されたハミルトニアンは以下のように書ける。
H = − t ∑ ⟨ i , j ⟩ , σ ( c i , σ † c j , σ + c i , σ c j , σ † ) {\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }\left(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }+c_{i,\sigma }c_{j,\sigma }^{\dagger }\right)}
c i σ † , c j σ {\displaystyle c_{i\sigma }^{\dagger },c_{j\sigma }} - 生成消滅演算子
σ {\displaystyle \displaystyle \sigma } - スピン偏極
t {\displaystyle \displaystyle t} - ホッピング積分
⟨ i , j ⟩ {\displaystyle \displaystyle \langle i,j\rangle } - 最近傍添字
ここで、ホッピング積分 t は強結合模型における移動積分 γ に相当する。 t → 0 {\displaystyle t\rightarrow 0} の極限は電子が隣のサイトに移れないことに相当する。この極限は孤立原子系と一致する。