漸化式
多くの斉次線型差分方程式は一般化超幾何級数(英語版)を使って解くことができる。その特殊な場合として、差分方程式から直交多項式系や特殊函数が解として現れてくる。たとえば、
J n + 1 = 2 n z J n − J n − 1 {\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}
の解はベッセル函数
J n = J n ( z ) {\displaystyle J_{n}=J_{n}(z)\,} ,
によって与えられる。 一方、
( b − n ) M n − 1 + ( 2 n − b − z ) M n − n M n + 1 = 0 {\displaystyle (b-n)M_{n-1}+(2n-b-z)M_{n}-nM_{n+1}=0}
は合流型超幾何級数(英語版)
M n = M ( n , b ; z ) {\displaystyle M_{n}=M(n,b;z)}
によって解ける。