曲線
X を n-次元ユークリッド空間 R とし、曲線 γ: [a, b] → X は単射かつ連続的微分可能とすれば、γ の長さ (length) とは
Length  ( γ ) := ∫ a b | γ ′ ( t ) | d t {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma ):=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|{\mathit {dt}}}
で定義される量を言う。曲線の長さは γ のパラメータの取り方に依らないことに注意せよ。特に、閉区間 [a, b] 上定義された連続的微分可能函数 y = f(x) のグラフ の長さ s は
s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,{\mathit {dx}}}
で与えられる。より一般に X が距離函数 d を持つ距離空間とすれば、曲線 γ: [a, b] → X の長さは