ミンコフスキー空間
ここで正定値性はより弱い条件である非退化性に置き換えられており、この内積は不定な内積だといわれる。
ユークリッド空間と同じように、η(V, W) = 0 となっているとき二つのベクトル V, W は直交しているといわれる。しかし、ミンコフスキー空間では二つのベクトルが張る平面の上で η が常に負になるような場合をも考えることになる。この現象は通常の複素平面が持つユークリッド構造に対する変形として考えられる二次元のクリフォード代数
A = R.1 ⊕ R.v, v = 1
の類似と見なすことができる。
ベクトル V は V = ±1 を満たすとき単位ベクトルとよばれる。互いに直交する単位ベクトルからなる M の基底は正規直交基底とよばれる。シルベスターの慣性律(あるいはグラム・シュミットの正規直交化法)によって、上の3条件を満たす内積は必ず正規直交基底をもち、基底に現れる正の単位ベクトルと負の単位ベクトルの数は基底の取り方によらないことが従う。この、基底に現れるベクトルの正負の数の対は考えている内積の符号とよばれる。正負の数はミンコフスキー空間をユークリッド空間の直積集合として表したときのそれぞれのユークリッド空間の次元に対応する。正規直交基底のうち、位置に依らない単位ベクトルからなる基底は標準基底と呼ばれる。
ミンコフスキー空間 M からそれ自身への変換で、ミンコフスキー内積を保つようなものはローレンツ変換とよばれる。
上の節ではミンコフスキー空間がベクトル空間として定義されたが、実ベクトル空間上のアフィン空間として定義する流儀もある。こちらの視点に立てば、ミンコフスキー空間を、ローレンツ群を固定群とするようなポアンカレ群の等質空間だと考えることになる。