対称行列
複素対称行列Aのジョルダン標準形は対角行列ではないかもしれず、それゆえAが対角化可能であるとは限らない。複素対称行列はユニタリ行列によって「対角化」される。即ち、複素対称行列 A に対しユニタリ行列 U が存在して UAU が対角行列かつ成分が非負実数となるようにすることができる。このことは「オートン高木分解」とも呼ばれ、もとはレオン・オートン (Autonne 1915) と高木貞治 (Takagi 1925) がそれぞれ証明し、その後さまざまな数学者によって異なる証明を以って再発見された。
実際、行列 B = A A はエルミートかつ半正定値であり、ユニタリ行列 V によって非負実数を成分とする対角行列 V BV が得られる。従って、C = VAV は C C = V BV が実行列であるような複素対称行列になる。実対称行列 X, Y を用いて C = X + iY と置けば C C = X + Y + i(XY − YX) となるから、XY = YX を得る。X と Y が可換ゆえ、実直交行列 W が存在して WXW, WYW がともに対角行列となるようにすることができる(同時対角化)。そこで U = WV (これはユニタリ行列)と置けば、行列 UAU は複素対角行列になる。U に左から適当な対角かつユニタリな行列を掛けることにより(これは U のユニタリ性を保存する)対角成分を非負実数にすることができる。
R の標準内積を ⟨ , ⟩ と書けば、n 次実正方行列 A が対称となる必要十分条件は行列 A の定める双線型形式が対称であること、つまり
⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ ( ∀ x , y ∈ R n ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad (\forall x,y\in \mathbf {R} ^{n})}
が成り立つことである。この条件は基底の取り方とは無関係であるから、行列の対称性は A の定める線型作用素と内積のみによって決まる性質である。この特徴付けは有用で、例えば微分幾何学において可微分多様体の各接空間の内積からくる計量を持つリーマン多様体においても対称性を考えることができる。あるいはヒルベルト空間においても同様の定式化は利用できる。