周期関数
例えば正弦関数は任意の x に対して
sin  ( x + 2 π ) = sin  x {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}
を満たすから周期 2π を持つ周期関数である。この関数は長さ 2π の区間ごとに同じ値を繰り返す。
日常的な例は時間を変数として、例えば時計の針や月齢などが周期的な振る舞いを見せる。周期運動は系の位置が全て同じ周期を以って周期関数で表されるような運動を言う。
実変数や整数変数の関数であれば、周期的であることは関数のグラフが特定の一部分のコピーを一定間隔で並べて全体を形作ることができることを意味する。
周期関数の簡単な例として、引数の小数部分を返す関数 f : R → R ; f ( x ) := x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ;\ f(x):=x-\lfloor x\rfloor } を考えると、その周期は 1 である。特に
f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = ... = 0.5
のようなことが成り立つ。この関数 f のグラフは鋸歯状波になる。
三角関数の正弦および余弦関数は、ともに周期 2π を持つ、共通周期関数である。フーリエ級数の主題は、「勝手な」周期関数を周期を調整した三角関数の和として表すという考えについて研究するものである。
上記の定義に従えば、例えばディリクレ関数のような、ある種の際立った (exotic) 関数までもが周期的であることになる(ディリクレ関数の周期は任意の非零有理数)。