グリーンの定理
3次元空間内の領域 D、2階微分可能な任意ベクトル場 φ, ψ について、
∫ D d V ( φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ ) = ∮ ∂ D d S ⋅ ( φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ) {\displaystyle \int _{D}\mathrm {d} V(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )=\oint _{\partial D}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot (\phi {\boldsymbol {\nabla }}\psi -\psi {\boldsymbol {\nabla }}\phi )}
が成立する。これは右辺に発散定理を適用して体積分に書き換えることで容易に得られる。
2重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合(2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式)とも考えられる。
定理の成立条件として、P、Q がそれぞれy、x について1回連続微分可能(C級)が仮定されることが多いが、実際は∂Q/∂x、∂P/∂yが存在し、その差のみが連続であれば十分であることが、1900年、エドゥアール・グルサ(英語版)によって示され、その後、サロモン・ボホナーによっても、1930年代に同様な指摘がなされている。
グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、Rの有界閉領域D 上で1次の微分形式ωを考えた場合に相当する。
∫ ∂ D ω = ∫ D d ω {\displaystyle \int _{\partial D}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega }
実際、1形式
ω = P d x + Q d y , {\displaystyle \omega =P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y,\,}
に対して、その外微分は
d ω = ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\biggl (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であり、グリーンの定理に対応している。