変形勾配
E = 1 2 ( C − I ) , E i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ X j + ∂ u j ∂ X i + ∂ u k ∂ X i ∂ u k ∂ X j ) {\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(C-I),\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial X_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{j}}}\right)\end{aligned}}}
これらのテンソルを用いると、物体内の距離dX , dx の変化は次のように記述できる。
| d x | 2 − | d X | 2 = 2 d x T e d x = 2 d X T E d X {\displaystyle |\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}|^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}|^{2}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }e\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}^{\mathrm {T} }E\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}
微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。
変形が時間とともに進むとき、その速度は速度勾配テンソルL で記述される。
d x ̇ ( X , t ) = F ̇ d X = L d x , L ≡ F ̇ F − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} {\dot {\boldsymbol {x}}}({\boldsymbol {X}},t)={\dot {F}}\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}=L\mathrm {d} {\boldsymbol {x}},\\&L\equiv {\dot {F}}F^{-1}\end{aligned}}}
速度勾配テンソルL の対称部分は変形速度テンソル、反対称部分は回転速度テンソルと呼ばれる。