メルセンヌ予想
新メルセンヌ予想(New Mersenne conjecture)あるいは Bateman, Selfridge and Wagstaff conjecture (Bateman et al. 1989) とは、「任意の奇の自然数 p に対して、 もし次の条件のうち2つを満たしているならば、3つめの条件も同様に満たされるであろう」というものである。
ある自然数 k に対して、p = 2 ± 1 あるいは p = 4 ± 3 (オンライン整数列大辞典の数列 A122834)
2 − 1 が素数 (メルセンヌ素数) (A000043)
(2 + 1) / 3 が素数 (ワグスタッフ素数) (A000978)
もし p が奇の合成数であるなら、2 − 1 および (2 + 1)/3 は両方とも合成数である。すなわち、この予想の真偽は素数判定のみで示すことができる。
現在、これら3つの条件をすべて満たす既知の数字は 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 である(A107360)。なお、この新メルセンヌ予想は「127よりも大きい数字はこれら3つのすべての条件を満たさないだろう」ということも含む。
3つの条件のうち、少なくとも1つを満たす素数は次の通り。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, .
数学において、メルセンヌ予想(メルセンヌよそう、英: Mersenne conjectures)とは、2 − 1(n は自然数)で表されるような数であるメルセンヌ数のうち素数のもの(メルセンヌ素数)の特徴づけに関する予想である。