ニュートンの恒等式
対称式
次数 k の単項式の和である完全斉次対称式 hkについても、ニュートン恒等式と同様に以下の恒等式が存在する。ニュートン恒等式とは異なり、マイナスの符号が現れない。
k h k = ∑ i = 1 k h k − i p i , {\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}
この式はすべてのn≥k≥1に対し成り立つ。ニュートンの公式とは異なり、左辺は大きなkに対して0にはならない。また、左辺には多くのゼロ項が含まれている。右側には、これまで以上にゼロ以外の項が含まれています。具体的には以下のようになる。
h 1 = p 1 , 2 h 2 = h 1 p 1 + p 2 , 3 h 3 = h 2 p 1 + h 1 p 2 + p 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}
これらの関係は、以下のような母関数の恒等式の係数を比較することで確認できる。
∑ k = 0 ∞ h k ( X 1 , ... , X n ) t k = ∏ i = 1 n 1 1 − X i t . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}.}
.. , x n ) t k = t ∑ i = 1 n [ ( − x i ) ∏ j ≠ i ( 1 − x j t ) ] = − ( ∑ i = 1 n x i t 1 − x i t ) ∏ j = 1 n ( 1 − x j t ) = − [ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 ∞ ( x i t ) j ] [ ∑ l = 0 n ( − 1 ) l e l ( x 1 , ... , x n ) t l ] = [ ∑ j = 1 ∞ p j ( x 1 , ... , x n ) t j ] [ ∑ l = 0 n ( − 1 ) l − 1 e l ( x 1 , ... , x n ) t l ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}&=t\sum _{i=1}^{n}\left[(-x_{i})\prod \nolimits _{j\neq i}(1-x_{j}t)\right]\\&=-\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}t}{1-x_{i}t}}\right)\prod \nolimits _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\&=-\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{\infty }(x_{i}t)^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right]\\&=\left[\sum _{j=1}^{\infty }p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell -1}e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right],\\\end{aligned}}}
e 1 = p 1 , 2 e 2 = e 1 p 1 − p 2 = p 1 2 − p 2 , 3 e 3 = e 2 p 1 − e 1 p 2 + p 3 = 1 2 p 1 3 − 3 2 p 1 p 2 + p 3 , 4 e 4 = e 3 p 1 − e 2 p 2 + e 1 p 3 − p 4 = 1 6 p 1 4 − p 1 2 p 2 + 4 3 p 1 p 3 + 1 2 p 2 2 − p 4 , {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}}
これらの方程式により、eiをpkにより表すことができる。また逆に
p 1 = e 1 , p 2 = e 1 p 1 − 2 e 2 = e 1 2 − 2 e 2 , p 3 = e 1 p 2 − e 2 p 1 + 3 e 3 = e 1 3 − 3 e 1 e 2 + 3 e 3 , p 4 = e 1 p 3 − e 2 p 2 + e 3 p 1 − 4 e 4 = e 1 4 − 4 e 1 2 e 2 + 4 e 1 e 3 + 2 e 2 2 − 4 e 4 , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4}=e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}