キュムラント
物理学でキュムラント展開が用いられる例として以下のようなものがある。
古典気体のクラスター展開
スピン緩和やブラウン運動などの非平衡統計力学の諸問題
多体問題で知られている連結クラスター展開
半不変数という呼び名は、確率変数のアフィン変換
Y = α X + β {\displaystyle Y=\alpha X+\beta \,}
において、モーメントが
⟨ Y ⟩ = α ⟨ X ⟩ + β , ⟨ Y 2 ⟩ = α 2 ⟨ X 2 ⟩ + 2 α β ⟨ X ⟩ + β 2 , ... {\displaystyle \langle Y\rangle =\alpha \langle X\rangle +\beta ,\,\,\langle Y^{2}\rangle =\alpha ^{2}\langle X^{2}\rangle +2\alpha \beta \langle X\rangle +\beta ^{2},\dots }
となり、一般に
⟨ Y n ⟩ = ∑ k = 0 n ( n k ) α n − k β k ⟨ X n − k ⟩ n = 1 , 2 , ...