カントール集合
カントールの塵は、カントール集合の有限個のコピーの直積集合として得られる、カントール集合の高次元版で、それ自身はカントール空間を成す。カントール集合と同様に、カントールの塵は測度 0 である。
これと異なるカントール集合の二次元版としてシェルピンスキーのカーペットは、正方形を九つの小正方形に分割し、中央の一つを取り除くものである。もちろん、取り残った正方形もさらに九分割して真ん中を取り除き、さらにそのような操作を無限に繰り返す。これの三次元版がメンガーのスポンジである。
↑ Smith, Henry J.S. (1874). “On the integration of discontinuous functions.”. Proceedings of the London Mathematical Society. Series 1. 6: 140–153. .
↑ du Bois-Reymond, Paul (1880), “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung”, Mathematische Annalen 16: 115–128, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002245256 .
↑ Volterra, Vito (1881). “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue”. Giornale di Matematiche, 19: 76–86. .
↑ Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag. pp. 162–165
↑ Stewart, Ian, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos .
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる。他方、三進集合への自然な埋め込みでは特異測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える。