函数の全微分
M がベクトル空間 R の開集合で、f: M → R は微分可能とする。任意の点 p ∈ M における全微分 df(p): R → R は、各ベクトル v = (v, ..., v) に対して方向微分を割り当てる線型写像、即ち
d f ( p ) : R n → R ; v ↦ ∂ v f ( p ) = d d t f ( p + t v ) | t = 0 = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ;\;v\mapsto \partial _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)v^{i}}
である。df(p) は R-値であるから、これは線型形式であり、また dx をベクトルの第 i-成分を取り出す写像(双対基底)