熱伝導
∂ ρ E ∂ t = C V ∂ T ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}}
で表現される。以上から、λ を一定かつ等方的とすれば、温度場 T が従う式として
C V ∂ T ∂ t = − div  J = − div  ( − λ grad  T ) = λ ∇ 2 T = λ Δ T {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}=-\operatorname {div} (-\lambda \operatorname {grad} T)=\lambda \nabla ^{2}T=\lambda \Delta T}
を得る。これは熱伝導方程式(Heat equation)と言われ、拡散方程式の形をしている。λ/CV を熱拡散率(温度伝導率)と言う。
以上の式を1次元に簡略化すると以下のようになる。
フーリエの法則 J = − λ ∂ T ∂ x {\displaystyle J=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}}
熱伝導(ねつでんどう、英語: thermal conduction)は、固体または静止している流体の内部において高温側から低温側へ熱が伝わる伝熱現象。
熱力学第二法則により熱は必ず高温側から低温側に向かう。
単位時間に単位面積を流れる熱流(熱流束密度)を J [W/m] とし、温度を T とすると、分子論的熱緩和時間より十分長い時間(定常状態と見なせる時間)領域での現象に対して、熱流束密度 J は温度勾配 grad T に比例する。すなわち
J = − λ grad  T {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=-\lambda \operatorname {grad} T}
で表される。これはフーリエの法則と言われる。この時の比例係数 λ を熱伝導率(thermal conductivity)という。物質が等方的であればλはスカラーであるが、一般に非等方的3次元系では J と grad T の向きは一致せず、熱伝導率はテンソルで表現される。
単位体積当たりのエネルギー(エネルギー密度)を ρE [J/m]とすると、エネルギー保存則と連続の方程式より
∂ ρ E ∂ t = − div  J {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{\mathrm {E} }}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}}
の関係が成り立つ(t は時間)。エネルギー密度の増加率は単位体積あたりの熱容量CV [J/mK]を使って、