群論の用語
群 (G, •) は集合 G で三つの公理を満たす G 上の(つまり G において閉じた)二項演算 "•" を組にしたものである。群の三公理とは
演算の結合律: G の任意の元 a, b, c に対して (a • b) • c = a • (b • c) が成り立つ。
単位元の存在: e ∈ G が存在して、G のいかなる元 a に対しても e • a = a • e = a を満たす。
逆元の存在: G のそれぞれの元 a に対して a • b = b • a = e を満たす G の元 b が存在する。ここで e は単位元。
群の簡単な例としては整数全体の集合 Z に加法を考えたもの、0 でない有理数全体の成す集合 Q に乗法を考えたものが挙げられる。後者はもっと一般に任意の 環 R について、その単元の全体 R は乗法群を成す。群の定義および更なる例については群の項に譲る。しかし群には上に挙げたものよりももっと一般の構造が含まれる。群論とは、問題とする群の演算や元が具体的にどのような姿をしているかということに依存しない、群についての抽象的な言明を与えることを目的とするものである。
この用語集では群論において広く用いられる基本的な概念についての短い説明を提供する。群論の話題についての一般の記述は群論の項を参照されたい。また、群論の話題一覧 等も参照のこと。