幾何化予想
この空間の中では、球面上を経線や緯線に沿った方向にも動くことができるし、それらとは垂直に直線方向へも移動することができる。球の接平面方向の曲率は 1 であるが、直線方向の平面の曲率は 0 である。
双曲平面と直線の積についても同じ構造であることがわかる。
H 2 × R {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }
ここでは、考えている方向に対して、曲率が -1 と 0 である。
2つのモデルの積の計量は、等質的(homogeneous)であるが、等長的(isotropy)ではない。全ての点は「等しい」が、しかし固定点では平面が他のレイヤとは異なっている。数学的には、このことは等長(isometry)群は点の上では遷移的(transitive)であるが、座標軸(点の上で法線方向と接平面方向のベクトルの三つ組)に対しては遷移的ではないことを意味する。
この予想の解決に大きな役割を担ったのはリチャード・S・ハミルトンが導入したリッチフローという偏微分方程式である。これはもともとハミルトンが熱伝導を記述するために考案したものだがシン=トゥン・ヤウが幾何化予想解決につながると考えハミルトンに研究を促したもので、19世紀の数学者グレゴリオ・リッチ=クルバストロの名を冠するのは彼が自分の弟子のトゥーリオ・レヴィ=チヴィタと共に書いた論文で導入したことに由来する、リッチフローは以後数学のみならず物理学まで広く使われることになるテンソルの概念を基盤としている。
リッチフローは前述の通りもともと熱伝導を表すものである。ハミルトンとヤウのアイディアはこれを用いて多様体の曲率を表そうというものである。しかし曲率は熱と比べて非常に複雑な対象である。ハミルトンはどんな滑らかな多様体でもリッチフローを持つことを証明した。
しかし、リッチフローには特異点という計算不可能な点を産み出すことがあるという問題があった(=リッチフローの特異点問題)。ハミルトンは解決を試み幾つかの特異点を消すことに成功はしたものの、最終的な解決はグリゴリー・ペレルマンを待つことになる。