非整数ブラウン運動
E [ B H ( t ) B H ( s ) ] = σ 2 2 ( | t | 2 H + | s | 2 H − | t − s | 2 H ) {\displaystyle E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\frac {\sigma ^{2}}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H})}
なお分散はσ=1の標準ケースを扱うことが多い。
これらは、ウィーナー過程において、増分 W t ( t ) − W t ( s ) {\displaystyle W_{t}(t)-W_{t}(s)} が正規分布 N ( μ | t − s | H , σ 2 | t − s | 2 H ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu |t-s|^{H},\sigma ^{2}|t-s|^{2H})} に従うように拡張したのと同じである。ただし、平均 μ = 0 また 0 ≦ H < 1 。
H をハースト定数、ハーストパラメータ、あるいはハースト指数と呼ぶ。
1/2 < H < 1 のとき、fBm はディリクレ過程でもある。
H = 1/2 のとき、通常のブラウン運動となる。非整数ブラウン運動という言葉を使うとき H≠1/2 の場合だけを指すことが多い。
非整数ブラウン運動は次の特性をもつ確率過程である。
B H ( t ) {\displaystyle B_{H}(t)} は自己相似過程
B H ( t ) {\displaystyle B_{H}(t)} はガウス過程
B H ( t ) {\displaystyle B_{H}(t)} は連続
B H ( 0 ) = 0 {\displaystyle B_{H}(0)=0}
B H ( t ) {\displaystyle B_{H}(t)} は定常増分をもつ
増分の平均は、 E [ B H ( t ) − B H ( s ) ] = 0 {\displaystyle E[B_{H}(t)-B_{H}(s)]=0\,}
増分の分散は、 E [ ( B H ( t ) − B H ( s ) ) 2 ] = σ 2 | t − s | 2 H {\displaystyle E[(B_{H}(t)-B_{H}(s))^{2}]=\sigma ^{2}|t-s|^{2H}\,}
以上から共分散関数は次式で与えられる。
すなわち、時間 t に依存せず、ハースト定数 H によってのみ決定される。
1/2 < H < 1 のとき、C(t) > 0
過去と未来の相関が正なので、持続的(persistent)となる。過去における上昇トレンドまたは下降トレンドは未来でも相関の程度に応じて継続する可能性が高い。
H = 1/2 のとき、C(t) = 0
ブラウン運動となり、過去と未来に相関はない。
0 ≦ H < 1/2 のとき、C(t) < 0
過去と未来の相関が負なので、反持続的(anti-persistent)となる。過去におけるトレンドとは反対のトレンドが未来で観察される可能性が高くなる。