列型空間
位相空間の圏 Top の充満部分圏として列型空間の圏 Seq は、Top における演算
商
開連続像または閉連続像
和
帰納極限
開部分空間および閉部分空間
について閉じている。また Seq は Top の演算
連続像
部分空間
積
に関しては閉じていない。
位相的な和と商について閉じていることから、列型空間の全体 Seq は位相空間の圏 Top の余反射的部分圏を成す。実は、Seq は距離化可能空間の圏の余反射包(つまり、距離化可能空間の圏を含み、和と商に関して閉じているような位相空間のクラスのうち最小のもの)である。
部分圏 Seq は自身の持つ積(Top におけるものとは異なる)に関してデカルト閉圏を成す。Seq の配置対象には収束列開位相 ((convergent sequence)-open topology) が入る。 P.I. Booth & A. Tillotson (1980) は圏 Seq が、対象として距離空間やCW複体、可微分多様体などの位相空間をすべて含む最小の Top のデカルト閉部分圏で、余極限や商について閉じていること、およびノーマン・スティーンロッドが「便利な」("convenient") と呼称した「ある種の有用な恒等式」を満たすことなどを示した。
位相空間 X の部分集合 A が与えられたとき、A の列包あるいは列閉包 (sequential closure) [A]seq とは
[ A ] seq = { x ∈ X : { a n } → x , a n ∈ A } {\displaystyle [A]_{\text{seq}}=\{x\in X:\{a_{n}\}\to x,a_{n}\in A\}}
で与えられる X の部分集合、即ち A 内の適当な収束点列の極限点となりうる X の点 x 全体の成す集合を言う。写像
[ ] seq : A ↦ [ A ] seq {\displaystyle [\;]_{\text{seq}}\colon A\mapsto [A]_{\text{seq}}}
を列閉包作用素 (sequential closure operator) と言う。
列閉包作用素は任意の A 、"B"⊂ X について以下を満たす。 ここで A ̄ {\displaystyle {\overline {A}}} は A の通常の閉包である。