1の分割
1 の分割の存在は 2 つの異なる形式を仮定する:
空間の任意の開被覆 {Ui}i∈I が与えられたとき、同じ集合 I 上添え字づけられた分割 {ρi}i∈I が存在して、supp ρi⊆Ui。そのような分割を開被覆 {Ui}i に属する (subordinate to the open cover) と言う。
空間の任意の開被覆 {Ui}i∈I が与えられたとき、別のでもよい添え字集合 J 上添え字付けられた分割 {ρj}j∈J が存在して、各 ρj はコンパクト台を持ち各 j ∈ J に対してある i ∈ I が存在して supp ρj⊆Ui。
したがって、開被覆によって添え字付けられた台を持つかコンパクト台を持つかを選ぶ。空間がコンパクトであれば、どちらの要求も満たす分割が存在する。
有限開被覆は、空間が局所コンパクトかつハウスドルフであれば、それに属する 1 の連続分割を必ず持つ。空間のパラコンパクト性は任意の開被覆に対しそれに属する 1 の分割が存在することを保証する必要条件である。空間が属する圏に依っては十分条件でもある。構成は軟化子 (隆起関数)を用いる。これは連続で滑らかな多様体 には存在するが、解析的多様体(英語版)には存在しない。したがって解析的多様体の開被覆に対しては、その開被覆に属する 1 の解析的分割は一般には存在しない。
R と S がそれぞれ空間 X と Y の 1 の分割であれば、元ごとの積全体の集合 { ρ σ : ρ ∈ R ∧ σ ∈ S } {\displaystyle \{\rho \sigma :\rho \in R\land \sigma \in S\}} はカルテジアン積空間 X×Y の 1 の分割である。