位取り記数法
有理数を小数で表す際、有限小数になる場合と循環小数になる場合がある。本節では底 N の位取り記数法で有理数が有限小数として表される(分子が分母で「割り切れる」)条件について述べる。
一般に、既約分数 x/y が底 N の位取り記数法において有限小数として表されるには、分母 y が底 N が持つ素因数 p 1 , ... , p m {\displaystyle p_{1},\,\dots ,\,p_{m}} の積 y = p 1 k 1 ⋯ p m k m {\displaystyle y=p_{1}^{k_{1}}{}\dotsb {}p_{m}^{k_{m}}} (ただし k は 0 以上の整数)になっていなければならない(さもなくば N の冪を掛けて整数にならない)。この条件は分子によらないため、有限小数で表せるかは単位分数で表される有理数に限って調べればよい。
例えば十進法では N = 10 = 2⋅5 のため、ある有理数を既約分数で表した際、分母が 2 と 5 以外に素因数を持たない場合には有限小数となり、それ以外は循環小数となる。
N 進有限小数が M 進有限小数でもあるには、その有限小数を既約分数で現した際の分母が2つの底 N, M の冪のいずれの約数にもなる必要がある。特に、すべての N 進有限小数が M 進有限小数であるには M の素因数がすべて N の素因数に含まれていなければならない。
十進法は最も身近な位取り記数法である。十進法では、十個の数字を用い、一桁にひとつの数字を容れて必要な桁数分を並べて数値を表す。
アラビア数字なら
の十個であり、 漢数字なら
の十個である。以下、アラビア数字を例に説明するが、漢数字の場合も同様である。
十進法ではこれらの数字を列べる事で数を表現する。 例えば、312.02は、
3 × 10 2 + 1 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 1 10 1 + 2 × 1 10 2 {\displaystyle 3\times 10^{2}+1\times 10^{1}+2\times 10^{0}+0\times {\frac {1}{10^{1}}}+2\times {\frac {1}{10^{2}}}}
を表す。