判別式
判別式は根たちの対称式である。その平方根(各冪の半分:ヴァンデルモンド多項式)を n変数の対称多項式の環 Λ n {\displaystyle \Lambda _{n}} に添加すれば、交代式の環を得、これはしたがって Λ n {\displaystyle \Lambda _{n}} の二次拡大である。
簡単にいえば、判別式はその定義式の形から、その平方根は根の偶置換により不変であり、奇置換により符号が反転する。
"discriminant"(判別式)という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された。
通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。
具体的には、以下の式で定義される:
x の n次式 anx + an−1x + ... + a1x + a0 (an ≠ 0)
の重複を含めた根を α1, ..., αn とすると、 D = a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i ≠ j ) ( α i − α j ) {\displaystyle D={a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}
この定義式は、次の手順から、係数 an, an−1, ..., a1, a0 の分数式である(実際には多項式になる)。
D は α1, ..., αn の対称式である。
α1, ..., αn の対称式は、α1, ..., αn の基本対称式の多項式で表せる。
α1, ..., αn の基本対称式は、根と係数の関係より、α1, ..., αn の分数式である。//
判別式 D を係数 an, an−1, ..., a1, a0 で表すには、終結式(シルヴェスター行列の行列式)を用いるのが最も簡明である:
である。
三次方程式 ax + bx + cx + d = 0 の判別式は
Δ = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}
である。
四次方程式 ax + bx + cx + dx + e = 0 の判別式は
Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&\;256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
三次方程式を
f(x) = x + px + q = 0
とおく。
f'(x) = 3x + p
D = ( − 1 ) 3 ⋅ ( 3 − 1 ) / 2 1 | 1 0 p q 1 0 p q 3 0 p 3 0 p 3 0 p | ( eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row ) = − | 1 0 p q 1 0 p q 0 0 − 2 p − 3 q 0 0 − 2 p − 3 q 3 0 p | = − | − 2 p − 3 q 0 − 2 p − 3 q 3 0 p | ( expand by Sarrus' rule ) = − ( 4 p 3 + 27 q 2 ) / / {\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{3\cdot (3-1)/2}}{1}}{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\3&0&p&&\\&3&0&p&\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\&\\&({\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}})\\&\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\0&0&-2p&-3q&\\&0&0&-2p&-3q\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}-2p&-3q&\\0&-2p&-3q\\3&0&p\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-(4p^{3}+27q^{2})\quad //\end{aligned}}}
代数方程式の判別式を、終結式による式で計算してみる。判別式を D とおく。