シュレーディンガー方程式
U ^ ( 0 ) U ^ † ( 0 ) = I I † = I 2 = I {\displaystyle {\hat {U}}(0){\hat {U}}^{\dagger }(0)=II^{\dagger }=I^{2}=I}
より任意の時刻について時間発展演算子はユニタリ性を持つ。
U ^ ( t ) U ^ † ( t ) = I . {\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {U}}^{\dagger }(t)=I.}
時間発展演算子がユニタリ演算子である場合、状態ベクトルの内積は保存される(つまり、状態ベクトルの内積は時間によらず一定である)。
⟨ ψ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ 0 | U ^ † ( t − t 0 ) U ^ ( t − t 0 ) | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ 0 | ψ 0 ⟩ . {\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi _{0}|{\hat {U}}^{\dagger }(t-t_{0}){\hat {U}}(t-t_{0})|\psi _{0}\rangle =\langle \psi _{0}|\psi _{0}\rangle .}
後述するように状態ベクトルの内積が保存することは、物理的には測定に関する確率の保存則として理解できる。
ハミルトニアン ˆH の自己共役性と時間発展演算子 ˆU の初期条件から、時間発展演算子がユニタリ演算子であることが分かる。時間発展演算子の微分方程式
d d t U ^ ( t ) = 1 i ħ H ^ U ^ ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}{\hat {U}}(t)}
およびその共役演算子に関する微分方程式(ここでハミルトニアンの自己共役性を利用する)
d d t U ^ † ( t ) = − 1 i ħ U ^ † ( t ) H ^ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}^{\dagger }(t)=-{\frac {1}{i\hbar }}{\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {H}}}
より時間発展演算子とその共役の積は
d d t ( U ^ U ^ † ) = d d t ( U ^ † U ^ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}({\hat {U}}{\hat {U}}^{\dagger })={\frac {d}{dt}}({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}})=0}
を満たす。初期条件
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {|\psi (t+h)\rangle -|\psi (t)\rangle }{h}}-{\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle \right\|=0\qquad \mathrm {for~all~~} t\in \mathbb {R} .}
ˆH は系全体の力学的エネルギーを表す演算子で、ハミルトニアンと呼ばれる。ハミルトニアンの具体的な中身は考える系に応じて異なり、対応する古典系のハミルトニアンを正準量子化して求めることが多い。
ハミルトニアンは自己共役な演算子であることが要請されるが、ハミルトニアンを自己共役とは限らない一般の線型演算子 ˆL に置き換えた方程式
i ħ d d t | ψ ( t ) ⟩ = L ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\hat {L}}|\psi (t)\rangle }
もまたシュレーディンガー方程式と呼ばれる。
シュレーディンガー方程式は非相対論的な方程式であり、相対論的領域に対してそのまま適用することはできない。しかし、ディラック方程式を変形することで相対論的なハミルトニアンを得ることができ、形式的にシュレーディンガー方程式と同様の形に表すことができる。
最も単純な波動関数は平面波である:
Ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − ω t ) . {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}},t)=Ae^{i({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t)}\,.}
ここでA は平面波の振幅、k は波数ベクトル、ω は角振動数を表す。一般には、純粋な平面波だけで物理系を記述することはできないが、一般に重ね合わせの原理が成り立つため、すべての波は正弦の平面波の重ね合わせによって作られる。シュレーディンガー方程式が線型なら、平面波の線型結合も解として許される。従って、重ね合わせの原理が成り立つならば、シュレーディンガー方程式は線形微分方程式になる必要がある。
波数k が離散的な場合には、平面波の重ねあわせは単純に複数の波数をもつ平面波の和で表現される:
Ψ ( r , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n e i ( k n ⋅ r − ω n t ) .