計量ベクトル空間
V の任意の元 x, y に対して | ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|} が成立する(等号は x と y とが線型従属であるとき、かつそのときに限り成立)。
これは数学においてもっとも重要な不等式のうちの一つである。ロシア語の文献ではコーシー=ブニャコフスキー=シュワルツの不等式とも呼ぶ。重要性に鑑みて、簡潔な証明を記しておこう: y = 0 のときは自明ゆえ、⟨y, y⟩ は非零とする。このとき λ = ⟨ y , y ⟩ − 1 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \lambda =\langle y,y\rangle ^{-1}\langle x,y\rangle } と置けば 0 ≤ ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − ⟨ y , y ⟩ − 1 | ⟨ x , y ⟩ | 2 {\displaystyle 0\leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle y,y\rangle ^{-1}|\langle x,y\rangle |^{2}} となり、整理すれば証明を得る。
上記内積の定義において、係数体を実数体 R および複素数体 C に制限する必要があることにはいくつか理由がある。簡潔に述べれば、半正定値性が意味を持つために係数体は(内積の値域となる)適当な順序体を含む必要がある(従って、任意の順序体がそうであるように標数が 0 でなければならない)ことである(ここから直ちに有限体は除外される)。また、係数体は区別された自己同型 (distinguished automorphism) のような付加構造を持たなければならない。そういう意味では、より一般に R または C の二次閉部分体(任意の元が平方根を持つ体、例えば全代数的数体)を考えれば十分だが、(R でも C でもない)真の部分体を取ってしまうと、有限次元の内積空間でさえ完備距離空間にならない。これと対照的に、R または C 上の有限次元内積空間は自動的に完備となり、従ってヒルベルト空間になる。