モースポテンシャル
量子的調和振動子のときと同様に、モースポテンシャルの固有エネルギーおよびエネルギー固有状態は演算子の代数的処理により求まる。その一法はハミルトニアンを因子分解するものである。
モースポテンシャルに対する定常状態を得るため、次のシュレーディンガー方程式:
( − ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ r 2 + V ( r ) ) Ψ n ( r ) = E n Ψ n ( r ) {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)\right)\Psi _{n}(r)=E_{n}\Psi _{n}(r)}
を満たす Ψ n ( r ) {\displaystyle \Psi _{n}(r)} と E n {\displaystyle E_{n}} を求めたい。次のように新しい変数を導入すると:
x = a r ; x e = a r e ; λ = 2 m D e a ħ ; ε n = 2 m a 2 ħ 2 E n {\displaystyle x=ar;x_{\mathrm {e} }=ar_{\mathrm {e} };\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{\mathrm {e} }}}{a\hbar }};\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}}
シュレーディンガー方程式は次の簡単な形になる: