ヴァイエルシュトラスの楕円函数
不変量を用いて、ペー函数は以下の微分方程式
[ ℘ ′ ( z ) ] 2 = 4 [ ℘ ( z ) ] 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}
を満足する。これは周期対 ω1, ω2 の取り方に依存して統制される。
この関係式は両辺の極を比べれば直ちに確かめられる。例えば、左辺の z = 0 における極は
[ ℘ ′ ( z ) ] 2 | z = 0 ∼ 4 z 6 − 24 z 2 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 4 − 80 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 6 {\displaystyle [\wp '(z)]^{2}|_{z=0}\sim {\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {24}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}-80\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}}