アフィン空間
アフィン空間の対称性をたもつような写像はアフィン変換またはアフィン写像と呼ばれる。アフィン空間 A に対し、A 上のベクトルの空間 V = V(A) は平行移動によって推移的に作用する。また点 O を一つ選んで固定するとき、V 上の線型変換 T は(V = (A, O) と同一視することにより)原点 O を動かさない変換として A に作用すると考えることができる。このとき、T は原点を中心とする回転、拡縮、剪断などとして得られるが、これと平行移動(およびその引き戻し)を用いることにより任意の点を中心とする変換にすることができる。すなわち体K上のベクトル空間 V0, V1 をそれぞれ並進対称性の群(平行移動群)とするアフィン空間 E0, E1のあいだのアフィン変換とは、写像 T: E0 → E1 であって、E0 の任意の二点 x, y に関して、x − y に Tx − Ty を対応させる関係が V0 から V1 への線型写像になっているようなものである。
アフィン変換はアフィン空間における凸包の構造を保つ。E0 の元の組 x1, .
部分空間 S1, S2 の生成する部分空間を S1 ∨ S2 で表すとき、
dimK(V(S1 ∨ S2)) = dimK(V(S1)) + dimK(V(S2)) + 1
が満たされるならば S1, S2 は捩れの位置 (skew position) にあるという。