信頼区間
X1, ..., Xn を、平均 μ、分散 σ > 0 の正規分布に従う母集団から抽出した独立な標本とする。そこで標本平均と不偏分散をそれぞれ
X ̄ = 1 n ∑ i = 1 n X i S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ̄ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X}}&={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\\S^{2}&={\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\end{aligned}}}
とおけば
T = X ̄ − μ S / n {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}
は自由度 n − 1 のt分布に従う。 ここで T が従う分布は(観測できない)母数 θ = (μ, σ) にはよらないことに注意。
tn−1(α) をこの分布の上側100α%点とすれば