明示公式
リーマンは1859年の論文 「与えられた数より小さい素数の個数について (Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)」で、
π 0 ( x ) = 1 2 lim h → 0 ( π ( x + h ) + π ( x − h ) ) {\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\pi (x+h)+\pi (x-h))}
により、素数数え上げ函数(英語版)(prime-counting function) π0(x) を発見した。この函数は、正規化された素数数え上げ函数 π(x) へ関係付けられている。この公式は、関係する函数
f ( x ) = π ( x ) + 1 2 π ( x 1 / 2 ) + 1 3 π ( x 1 / 3 ) + ⋯ {\displaystyle f(x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\cdots }
の項で与えられた。この函数がどのように素数の数を数えるかというと、素数 p の 1/n となるように、素数のべき p を数え、不連続点で左からの極限と右からの極限の数論的意味を持つものとして(2つの平均をとることで)、数え上げられる。正規化された素数数え上げ函数は、この函数より
ヒルベルト・ポリア予想に従うと、複素数の零点 ρ はある線型作用素 T の固有値であるはずである。明示公式の零点を渡る和は、(少なくとも形式的には、)跡(トレース)
∑ ρ F ( ρ ) = Tr  ( F ( T ^ ) ) . {\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}
により与えられる。
L-函数の広いクラスについての明示公式は、Weil (1952) で発展した。彼は最初に、アイデアを局所ゼータ函数へ拡張して、この設定での一般化されたリーマン予想のバージョンを、位相群上の超函数の正値性として定式化した。より最近のアラン・コンヌ(Alain Connes)の仕事は、函数解析的な背景へと大きく進み、そのように一般化されたリーマン予想に等価である跡公式をもたらした。少し異なる観点がラルフ・マイヤー(Ralf Meyer)により、アデール的空間上の調和解析を経由してヴェイユの明示公式が導かれた。