尖度
ここでは、標本の大きさ n {\displaystyle n} の標本に基づく母集団の尖度の推定を考える 。
一般には、尖度の定義の分母分子の不偏推定量をもって母集団の尖度の推定量とする方法がもっとも多く使用される。具体的には、母集団のキュムラントの不偏推定量である k統計量 (k-statistics)を使った計算方法である。 r {\displaystyle r} 次の k統計量を k r {\displaystyle k_{r}} 、平均周りの r {\displaystyle r} 次のモーメントを m r = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) r {\displaystyle m_{r}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{r}} とすると、
k 2 = n n − 1 m 2 {\displaystyle k_{2}={\frac {n}{n-1}}m_{2}}
k 4 = n 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) { ( n + 1 ) m 4 − 3 ( n − 1 ) m 2 2 } {\displaystyle k_{4}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\left\{(n+1)m_{4}-3(n-1){m_{2}}^{2}\right\}}
なので、上の 2 式をキュムラントによる定義に代入して推定量とする方法である。
正規分布の尖度。モーメント母関数 MX(t) のキュムラント母関数は
log  ( M X ( t ) ) = μ t + σ 2 t 2 / 2 {\displaystyle \log(M_{X}(t))=\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2}
から κ 1 = μ {\displaystyle \kappa _{1}=\mu } , κ 2 = σ {\displaystyle \kappa _{2}=\sigma } , κ r = 0 ( r ≥ 3 ) {\displaystyle \kappa _{r}=0\ (r\geq 3)} となり、3 次以上のキュムラントはすべて 0 であることがわかる。したがって、正規分布の尖度は β 2 = 0 {\displaystyle \beta _{2}=0} (または 3)となる。