フラクタル次元
D = lim ε → 0 log  N ( ε ) log  ( 1 ε ) = lim k → ∞ log  3 k log  2 k = log  3 log  2 ≈ 1.585 {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}
同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は
D = lim ε → 0 log  N ( ε ) log  ( 1 ε ) = lim k → ∞ log  4 k log  3 k = log  4 log  3 ≈ 1.262 {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 4^{k}}{\log 3^{k}}}={\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1.262}
となり、シェルピンスキーの三角形はコッホ雪片と比べ密であると言える。
これと密接に関連するのがボックス次元(英語版)であり、これは空間がサイズεの箱によるグリッドに分割されるとき、いくつのこのサイズの箱がアトラクターの一部を含むかを考えるものである。
ボックス次元、情報次元、相関次元の3者は、次式で定義されるオーダーαの一般化された次元すなわちレニー次元(Rényi dimension)の連続したスペクトルの特別な場合と見なせる:
D α = lim ε → 0 1 1 − α log  ( ∑ i p i α ) log  1 ε {\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}}
ここで極限の分子はオーダーαのレニー・エントロピー(英語版)である。α= 0 の時のレニー次元はアトラクターの支持体の全ての部分を均等に扱う。αの値が大きくなると、最も頻繁に見られるアトラクターの部分により重い計算上のウェイトが与えられる。
レニー次元が全て等しくはならないアトラクターは多重フラクタル(英語版)である、もしくは多重フラクタル構造を示すと呼ばれる。これはアトラクターの異なった部分で異なったスケールの挙動が見られるサインである。