群の直積
同様に、有限個の群 G 1 , G 2 , ... , G n {\textstyle G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}} が与えられたとき、その直積集合の元
( g 1 , g 2 , ... , g n ) , ( g 1 ′ , g 2 ′ , ... , g n ′ ) ∈ ∏ i = 1 n G i {\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}),\,(g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n})\in \prod _{i=1}^{n}G_{i}}
に対して
( g 1 , g 2 , ... , g n ) ( g 1 ′ , g 2 ′ , ... , g n ′ ) = ( g 1 g 1 ′ , g 2 g 2 ′ , ... , g n g n ′ ) {\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})(g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n})=(g_{1}g'_{1},g_{2}g'_{2},\dots ,g_{n}g'_{n})}
と定義すると、 Π i G i {\textstyle \Pi _{i}G_{i}} は群になり、これを G 1 , G 2 , ... , G n {\textstyle G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}} の直積と言う。