ド・ラームコホモロジー
ド・ラームコホモロジーは、ファイバー R を持つ定数層(英語版)のチェックコホモロジー(英語版)と同型である。
H d R k ( M ) ≅ H ˇ k ( M , R ) . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong {\check {H}}^{k}(M,\mathbf {R} ).}
M を微分可能多様体とする。特異チェイン σ: Δ → M と p 次微分形式 ω にたいし、積分 ∫σ ω を考える。ストークスの定理から閉形式 ω にたいし
∫ σ + ∂ τ ω = ∫ σ ω + ∫ τ d ω = ∫ σ ω {\displaystyle \int _{\sigma +\partial \tau }\omega =\int _{\sigma }\omega +\int _{\tau }d\omega =\int _{\sigma }\omega }
となり、特異サイクル σ にたいし
∫ σ ω + d η = ∫ σ ω + ∫ ∂ σ η = ∫ σ ω {\displaystyle \int _{\sigma }\omega +d\eta =\int _{\sigma }\omega +\int _{\partial \sigma }\eta =\int _{\sigma }\omega }
n 個の連結成分からなる任意の多様体 M に対し、
H d R 0 ( M ) ≅ R n {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{n}}
が成り立つ。これは、微分が 0 である M 上の滑らかな函数は局所定数関数であるという事実から従う。
ポアンカレの補題から可縮な多様体 M についてそのド・ラームコホモロジーは k > 0 に対し
H d R k ( M ) = 0 {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)=0}
をみたす。
ド・ラームコホモロジーを計算する上で有用な事実はマイヤー・ヴィートリス完全系列の存在およびホモトピー不変性である。ド・ラームコホモロジーを計算した結果を以下に挙げる。