流れ関数
圧縮性流れに対しても流れ関数は定義できる。密度をρとすると、流れ関数は以下の関係を満たす。
ρ u = ∂ Ψ ∂ y , ρ v = − ∂ Ψ ∂ x {\displaystyle \rho u={\frac {\partial \Psi }{\partial y}},\quad \rho v=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}
流れの中に任意に2点A, Bを選んだとき、各点の流れの関数の差は、2点を結ぶ曲線を横切る流量に等しい(この流量は2点A, Bのみに依存し、曲線の選び方によらない)。
Ψ ( B ) − Ψ ( A ) = ∫ A B v n d s {\displaystyle \Psi (B)-\Psi (A)=\int _{A}^{B}v_{n}ds}
ここで ds は曲線の線要素長、vn は速度の要素直交成分である。
特に、1本の流線上の任意の2点について上式右辺は0であるため、Ψ = const. は流線を表す。
流れの領域の中に吸い込み、湧き出しが存在する場合、流れの関数は多価関数となる。