指数層系列
指数層系列(しすうそうけいれつ、exponential sheaf sequence)(指数完全系列とも言う)は、数学では複素幾何学で使われる層(コホモロジー)の基本的な短完全系列のことである。
M を複素多様体とし、M 上の正則函数の層を OM と記し、0 にならない正則函数からなる部分層を OM と表すとする。これらは両方とも、アーベル群の層である。指数函数は層の準同型
exp : O M → O M ∗ , {\displaystyle \exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}
をもたらす。正則函数 f に対し、exp(f) は 0 にならない正則函数であり、exp (f + g) = exp (f) exp (g) となるので、この準同型の核は、M 上の整数 n で 値 2πin を持つ局所定数函数の層 2πiZ である。指数層系列は、従って、
0 → 2 π i Z → O M → O M ∗ → 0 {\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0}
である。ただし、この指数写像は、いつも切断上で全射とは限らない。指数層系列を見るには、たとえば、M を複素平面上の穴あき円板とすると、指数写像は、茎上で全射である。点 P で g(P) ≠ 0 を満たすような正則函数の芽(germ) g が与えられると、P の近傍で g の対数として取ることができる。