級数
関数列 {fn} に対して、関数を項に持つ級数
∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
を関数項級数 (en:function series) と呼ぶ。関数列 {fn} は変数 x の値をひとつ止めるごとに数列 {fn(x)} を与えるから、各点における部分和
S N ( x ) := f 0 ( x ) + f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + ⋯ + f N ( x ) = ∑ n = 0 N f n ( x ) {\displaystyle S_{N}(x):=f_{0}(x)+f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}
の極限は数列の和の意味での級数である。関数列 {fn} は適当な集合 E について x ∈ E なる任意の x に対する数列 {SN(x)} が収束するとき、E 上で各点収束するという。このとき x における値を
f ( x ) := lim N → ∞ S N ( x ) {\displaystyle f(x):=\lim _{N\to \infty }S_{N}(x)}
で定義して得られる関数 f を関数列 {fn} の(各点収束の意味での)極限関数という。またこのとき、一般に部分和 SN の漸近的な評価、すなわち任意の ε > 0 に対して
各項が実数で正の級数を正項級数という。上に有界な単調増加な実数列が収束することから、
正項級数は有限項までの和が常にある一定の上界Mを持つならば収束する。
(これはもちろん絶対収束する級数でもある)。条件を弱めて各項を非負としても良い。
テイラーの定理はテイラー級数の打切り誤差(剰余項)を与える定理である。数学関数の精度保証付き数値計算で重宝する。
古代ギリシアでは、幾何級数に基づく取り尽くし法によって四角錐の体積(エウドクサス)、放物線と直線で囲まれた部分の面積(アルキメデス)などを求める方法が開発された。
関数を級数によって表す方法論は、14世紀インドのマーダヴァによる逆正接関数のテイラー級数の研究が知られているうちで最古のものである。マーダヴァは同時にこの級数の収束する条件についても述べているが、これは収束性の議論という意味でも初めての研究になっている。
条件収束の概念は1823年のポアソンの研究に初めて現れる。テイラー級数の一般論はブルック・テイラーによって1715年に発表された。フーリエ級数は1822年のフーリエの研究に、ディリクレ級数は1839年のディリクレの研究で初めて定義された。