精度保証付き数値計算
172603...}
倍精度(10進約17桁): f ( a , b ) ∼ 1.1726039400531... {\displaystyle f(a,b)\sim 1.1726039400531...}
拡張精度(10進約34桁): f ( a , b ) ∼ 1.172603940053178... {\displaystyle f(a,b)\sim 1.172603940053178...}
の結果を得た。この結果を見ると、それぞれの精度に応じて途中の桁まで正しい値が得られているように思えたが、実は真の値は f ( a , b ) = − 0.82739605... {\displaystyle f(a,b)=-0.82739605...} であり、真の値とは符号さえ合わないような結果が得られていた。これは、「ある演算精度で計算してそれよりも高い演算精度で計算したときに双方の結果が近ければある程度は結果の正しさを確認できる」とは限らないことを示す例である。
Breuer-Plum-McKennaはEmden方程式の境界値問題をスペクトル法によって離散化して解き、非対称な近似解が得られると報告した。しかしGidas-Ni-Nirenbergの理論的な解析手法によって非対称な解が存在しないことが証明されていた。つまりBreuer-Plum-McKennaが得た近似解は離散化誤差による幻影解だったのだ。これは珍しい例だが、微分方程式の解の存在を厳密に検討するには数値解法によって得られた近似解を検証しなければいけないことが分かる。