自己回帰移動平均モデル
実データに適用する場合、ARMAモデルの p と q を選択後、誤差項を最小化するパラメータを探るため最小二乗法を使うのが普通である。また、実データに適合する最小の p および q を見つけることでよい結果が得られることが知られている。純粋なARモデルでは、これに Yule-Walker 方程式を利用することができる。
誤差項 εt は一般に「独立かつ同一の分布に従う」(i.i.d.)無作為変数であり、ゼロを平均値とする正規分布に従う。すなわち εt ~ N(0,σ) で、σ は分散である。このような仮定を弱めることもあるが、そうするとモデルとしての性質が変化する。特に、i.i.d. という仮定を変更すると根本的な性質が変化する。
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X j {\displaystyle X_{j}} が離散的であるため、この式の分母にあるコサインの項が折り返し雑音(エイリアス)を表している。標本化間隔( Δ t = 1 {\displaystyle \Delta t=1} )が減衰時間( τ {\displaystyle \tau } )より十分に小さいと仮定すると、 B n {\displaystyle B_{n}} に連続体近似を適用できる。
B ( t ) ≈ σ 2 1 − φ 2 φ | t | {\displaystyle B(t)\approx {\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|t|}}
この場合、スペクトル密度はローレンツ分布に従う。
Φ ( ω ) == 1 2 π σ 2 1 − φ 2 γ π ( γ 2 + ω 2 ) {\displaystyle \Phi (\omega )=={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sigma ^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})}}}
ここで γ = 1 / τ {\displaystyle \gamma =1/\tau } は減衰時間 τ {\displaystyle \tau } に関する角周波数である。