アフィン多様体
主張は,まず第一に,X が「局所環付き」空間であることを導く,なぜならば
O X , x = lim → f ( x ) ≠ 0  A [ f − 1 ] = A m x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}
だからである,ただし m x = { f ∈ A | f ( x ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}} . 第二に,主張は O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} が層であることを導く.実際,関数が D(f) 上(点ごとに)正則であれば,主張により D(f) の座標環に属さなければならない.つまり,「正則性」は貼り合わせることができる.
したがって, ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} は局所環付き空間である.