軌道角運動量
[ F x , F y ] = F x × y {\displaystyle [F_{\boldsymbol {x}},F_{\boldsymbol {y}}]=F_{{\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}}}}
よって軌道角運動量の交換関係は
[ L ^ x , L ^ y ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( [ F ( 1 , 0 , 0 ) , F ( 0 , 1 , 0 ) ] ) = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 ) ) = i ħ ⋅ i ħ λ ∗ ( F ( 0 , 0 , 1 ) ) = i ħ L ^ z {\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{(1,0,0)\times (0,1,0)})=i\hbar \cdot i\hbar \lambda _{*}(F_{(0,0,1)})=i\hbar {\hat {L}}_{z}}
である。これは前の節で述べた交換関係と一致する。他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる。
本節では L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\boldsymbol {n}}} がz 軸の周りの軌道角運動量 ˆLzの場合のみ証明するがそれ以外の場合も同様である。
既に述べたようにˆLzは球面座標系 (r, θ, φ) を用いて
L ^ z = − i ħ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }}
と表記できるので、任意の波動関数ψ に対し、ψを極座標表示すれば、