ラプラス作用素
一方、関数 f の grad と div を共変微分から定義する方法では
grad  f = ∇ f , div  X = − ( Y ↦ − ∇ Y X {\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f,\quad \operatorname {div} X=-(Y\mapsto -\nabla _{Y}X} のトレース ) {\displaystyle )}
である。これを自然に拡張して微分形式 α に対し、
Δ B α := − tr  ∇ 2 α = − ∑ i ∇ e i , e i 2 α {\displaystyle \Delta ^{B}\alpha :=-\operatorname {tr} \nabla ^{2}\alpha =-\sum _{i}\nabla _{e_{i},e_{i}}^{2}\alpha }
と定義し、∆ をボホナー・ラプラシアン(英: Bochner Laplacian)、もしくはラフ・ラプラシアン(英: rough Raplacian)という。ここで∇は二階共変微分であり、e1,..., en は接ベクトル空間の局所的な正規直交基底である。
Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin  θ ∂ ∂ θ ( sin  θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2  θ ∂ 2 f ∂ φ 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}
拡散の物理理論において、ラプラス作用素は(ラプラス方程式を通じて)平衡の数学的記述に自然に現れる。具体的に、u が化学濃度のような適当な量の平衡密度であるとき、u の滑らかな境界を持つ領域 V を通る流束が、V に流入も漏出も無いとすれば、0 であるから
∫ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0 {\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=0}
と書ける。ただし、n は領域 V の境界に対して外側を向く単位法ベクトルである。発散定理により
∫ V div  ∇ u d V = ∫ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0 {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=0}
は領域 V が滑らかな境界を持つ限りにおいて成り立つから、これにより
div  ∇ u = Δ u = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0}
が導かれる。方程式の左辺はラプラス作用素である。ラプラス作用素それ自身は拡散方程式によって記述されるような、化学濃度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。