ラマヌジャンのタウ函数
k ∈ Z と n ∈ Z>0 に対して,σk(n) を n の約数の k 乗の和として定義する.タウ関数はいくつかの合同式を満たし,その多くが σk(n) を用いて表せる.いくつかを挙げる:
τ ( n ) ≡ σ 11 ( n ) mod 2 11 for n ≡ 1 mod 8 {\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}
τ ( n ) ≡ 1217 σ 11 ( n ) mod 2 13 for n ≡ 3 mod 8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}
τ ( n ) ≡ 1537 σ 11 ( n ) mod 2 12 for n ≡ 5 mod 8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}
τ ( n ) ≡ 705 σ 11 ( n ) mod 2 14 for n ≡ 7 mod 8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}