双対ベクトル空間
F 上のベクトル空間 V の部分集合 S に対し、S の V* における零化域 S は、任意の s ∈ S に対して [f, s] = 0 を満たす線型汎函数 f ∈ V* 全体の成す集合と定義される。すなわち、S は S への制限が消えているような線型汎函数 f: V → F (f|S = 0) 全てからなる。
部分集合の零化域はそれ自身がベクトル空間を成す。特に、空集合の零化域は(条件が自明に満たされる(英語版)から)V* 自身 (∅ = V*)であり、また V の零化域は零部分空間 (V = 0) である。さらに言えば、V の部分空間にその零化域を対応させることは包含関係を逆にする操作、すなわち部分空間の包含列 S ⊂ T ⊂ V に対し
0 ⊂ T ∘ ⊂ S ∘ ⊂ V ∗ {\displaystyle 0\subset T^{\circ }\subset S^{\circ }\subset V^{*}}
が成り立つ。また、V の二つの部分集合 A, B に対し
( A ∩ B ) ∘ ⊇ A ∘ + B ∘ {\displaystyle (A\cap B)^{\circ }\supseteq A^{\circ }+B^{\circ }}
が成り立ち、V が有限次元のときはこれは等号で成り立つ。これはさらに適当な添字集合 I で添字付けられる V の任意の有限部分集合族 Ai に対して