熱核
}
が成立する。ここで φn はそれらの固有値に対応する固有函数であり、L(U) において正規直交化されている。このとき、逆ディリクレラプラシアン Δ はコンパクトかつ自己共役であり、したがってスペクトル定理からそのような固有値は
0 < λ 1 < λ 2 ≤ λ 3 ≤ ⋯ , λ n → ∞ {\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty }
を満たすものとなる。このとき、熱核は次のように表現される:
この級数を和の符号の下で形式的に微分すれば、熱方程式を満たすものであることが確かめられる。しかし、この級数の収束や正則性といった問題は、また慎重に考える必要がある。
熱核はまた、しばしば対応する積分変換と関連付けて考えられる。そのような積分変換は、コンパクトな台を持つなめらかな φ に対して
T φ = ∫ Ω K ( t , x , y ) φ ( y ) d y {\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy}
のように定義される。スペクトル写像定理によって、次のような T の表現を得ることが出来る。
T = e t Δ . {\displaystyle T=e^{t\Delta }.}