特殊相対性理論
アインシュタインは、自身のいくつかの(主に3つの)論文 を通して、「特殊相対性理論」を確立した。その大部分は、1つ目の論文「運動物体の電気力学について ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES」に記されている。本節では、アインシュタインの「運動物体の電気力学について」を軸に据えつつ、後世の補足・解釈も踏まえながら、特殊相対性理論の基礎となる部分(公理と数学的準備)について説明する。
( cosh  ζ − sinh  ζ − sinh  ζ cosh  ζ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\cosh \zeta &-\sinh \zeta \\-\sinh \zeta &\cosh \zeta \end{array}}\right)}
という形であることがわかる。これを導く厳密な方法はいくつかあるが、簡便な方法としては虚数単位 i を用いて時間軸を τ = ict と置く事で通常のユークリッド空間の回転とみなせる(ウィック回転)という事実を使うものがある。
最終的に2つの基底における座標の成分表示の関係(L2)式は以下のように書ける事がわかる。
定理(ローレンツ変換の具体的な形) ― 必要なら空間方向の座標軸を回転させる事で、ローレンツ変換は
と表示できる。
この値 ζ は正規直交基底の取り方に依存せず、ローレンツ変換 φ の固有値のみによって決まることが知られており、ζ を φ のラピディティという。なお、ζ は
ζ = arccosh  ( η ( e → 0 , e → 0 ′ ) ) {\displaystyle \zeta =\operatorname {arccosh} (\eta ({\vec {e}}_{0},{\vec {e}}'_{0}))}
と具体的に求めることもできる。
アインシュタインによる著作「運動物体の電気力学について」は、序文と10個の節からなる。第5節までは「力学」、第6節以降は「電気力学」とそれぞれ題されている。序文の中で「相対性原理」と「光源の運動と無関係に光速は一定である」という2つの前提が示されている。この2条件をもって、”静止物体のためのマクスウェル理論に基づいて運動物体を論ずるのに十分”と述べられている。
ローレンツ変換の式(L4)式において、v/c ≈ 0 (0に近似) とすると、(L4)式は、
( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( c t x − v t y z ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}ct'\\x'\\y'\\z'\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}ct\\x-vt\\y\\z\end{array}}\right)}
となり、ガリレイ変換に一致する。すなわち、「ニュートン力学近似」とは、慣性座標系間の相対速度 v が光速 c と比べて十分小さい場合の理論であるということが言える。
このことからニュートン力学はガリレイ変換に不変であるというガリレイの相対性原理は、特殊相対性理論では以下の形で成立していると考えられる:
全ての物理法則はローレンツ変換に対して不変でなければならない。
ニュートンは力学を記述するに当たって以下のような、「絶対時間と絶対空間」を定義した。
すなわち、時間と空間は、そこにある物体の存在や運動に影響を受けないと仮定した。これをもって、我々が日常的直観として抱いている時間や空間に対する根本的感覚を表そうとした。この絶対時間をかかげるニュートン力学においても、あらゆる慣性系は本質的に等価(すなわち相対的)でもある。ニュートン力学では、2つの慣性座標系(慣性系Aおよび慣性系B)における同一点A = (t, x)とB = (t′, x′)を示す関係は、次に示すガリレイ変換によって結ばれている。
(t′, x′) = (t, x − v t)
ここで t, x は慣性系Aにおける時刻と位置であり、t′, x′ は慣性系Bにおける時刻と位置である。v は、慣性系Aから見た慣性系Bの移動速度である。
狭義の例を示すならば、ある座標系Aに対して等速直線運動する別の座標系Bがあるとして、これら二つの座標系は本質的に等価(相対的)である。すべての基準となる静止座標系といった概念は、上式では規定されておらず、力学の法則はあらゆる慣性系からの観測について本質的に同一である。すなわち、ガリレイ変換によって形式が変わらない。ガリレイ変換におけるニュートンの運動方程式の不変性、すなわち、この変換でつながる座標系間の等価性は、 ガリレオの相対性原理 (Galilean invariance) と呼ばれる。ニュートン力学は、少なくとも当時に再現し得た諸実験事実と整合し、その矛盾があらわになる時代を迎えるまで(以下節)、力学の普遍的法則とも捉えられた。
特殊相対性理論から導かれる帰結として、たとえば、主に以下の事項を挙げることができる。項目ごとの詳細は後述する。
ある観測者(A, Bとする)が有限の速度差をもって互いに運動(相対運動)するとき、一方の観測者Aから観測したもう一方の観測者Bの時計の時刻の遅れが生じる。このずれの大きさは相対運動の速さによる(#時間(時刻の隔たり)の伸び)。この観測のずれはまさに「相対的」であり、もう一方の観測者Bから観測者Aの持つ時計を観測しても遅れを認めることができる。観測者AとBは等価であり、双方が双方の時計に(自身の持つ時計と比べて)遅れが生じていると観測できる。(「観測者Aと観測者Bのどちらかの時計が誤りである」あるいは「観測者Aでも観測者Bでもない”絶対時間”を指す正しい時計が存在する」、といった考え方を特殊相対性理論は放棄している)
相対運動する物体どうしは、互いに相手からは縮んで見える(#ローレンツ収縮)。これも上記の考え方に類似であり、どちらかの観測者のモノサシが誤っていたり、”絶対空間”にある正しいモノサシは存在したりはしない。
( m c 2 ) 2 = ‖ c p → ‖ 2 = ( c p 0 ) 2 − | c p | 2 = E 2 − ( c p ) 2 . {\displaystyle (mc^{2})^{2}=\|c{\vec {p}}\|^{2}=(cp^{0})^{2}-|c{\boldsymbol {p}}|^{2}=E^{2}-(cp)^{2}.}
左辺は慣性系によらないので、E − (cp) は慣性系によらず一定値 (mc) になることを意味する。
p ≪ mc であれば上の式は
E = ( m c 2 ) 2 + ( c p ) 2 = m c 2 + p 2 2 m + ⋯ {\displaystyle E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+(cp)^{2}}}=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}+\cdots }
となり、静止質量エネルギー mc を無視すれば、p / 2m が質点の運動エネルギーに相当するというニュートン力学の式に対応していることがわかる。
本節では光速を超えずに移動する観測者 A の世界線 C が曲線である場合に対して A の固有時間を求める方法を述べる。
観測者 A の時空間上の位置 x→ が実数 r によってパラメトライズされて x→ = x→(r) と書けているとすると、観測者が x→(r0) から x→(r0 + Δr) まで移動する間に、
Δ s = ‖ x → ( r 0 + Δ r ) − x → ( r 0 ) ‖ = ‖ Δ x → Δ r ‖ Δ r {\displaystyle \Delta s=\|{\vec {x}}(r_{0}+\Delta r)-{\vec {x}}(r_{0})\|=\left\|{\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta r}}\right\|\Delta r}
の固有時間が流れることになる。したがって観測者 A が C に沿って動いた際に流れる固有時間 s は以下のように求まる:
s = ∫ C d s = ∫ C ‖ d x → d r ‖ d r . {\displaystyle s=\int _{\mathrm {C} }\mathrm {d} s=\int _{\mathrm {C} }\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} r}}\right\|\mathrm {d} r.
本節ではテンソルに関する基本的な知識を紹介する。ただし本節での解説はミンコフスキー空間 V 上に限定したものであるので、一般の空間で成り立つとは限らない。
n を自然数とする。写像 T : V n → R {\displaystyle T\colon V^{n}\to \mathbb {R} } が以下の性質(多重線形性)を満たすとき、T をn次のテンソルという:
V の任意の4元ベクトル a→ν と任意の実数 kν に対し、 T ( ∑ ν 1 k ν 1 1 a → ν 1 1 , ... , ∑ ν n k ν n n a → ν n n ) = ∑ ν 1 , ... , ν n k ν 1 1 ⋯ k ν n n T ( a → ν 1 1 , ... , a → ν n n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&T(\sum _{\nu _{1}}k_{\nu _{1}}^{1}{\vec {a}}_{\nu _{1}}^{1},\ldots ,\sum _{\nu _{n}}k_{\nu _{n}}^{n}{\vec {a}}_{\nu _{n}}^{n})\\&=\sum _{\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}k_{\nu _{1}}^{1}\cdots k_{\nu _{n}}^{n}T({\vec {a}}_{\nu _{1}}^{1},\ldots ,{\vec {a}}_{\nu _{n}}^{n}).\end{aligned}}}
本節では、質点の速度が光速を越えない限り、特殊相対性理論においても因果律が成り立つことを示す。以下、特に断りがない限り、質点、観測者の双方とも光速度以下であるものとする。
x→, y→ をミンコフスキー空間上の2つの世界点とする。y→ − x→ が未来の光円錐の内部にあるとき、x→ は y→ の因果的過去 (causally precede) といい、x→ < y→ と書く。同様に y→ − x→ が未来の光円錐の内部もしくは未来の光円錐上にあるとき、x→ は y→ の年代的過去 (chronologically precede) といい、x→ ≦ y→ と書く。
因果的過去は以下のように特長づけられる:
ミンコフスキー空間上の点 x→ にある質点が光速未満(resp. 以下)で y→ に到達できる ⇔ x→ < y→ (resp. x→ ≦ y→)。
よって特に以下が成立する:
x→ ≦ y→ かつ y→ ≦ z→ ⇒ x→ ≦ z→。
従って「≦」は数学的な(半)順序の公理を満たす。