既約元
二次の整数環 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} において、ノルムを使った議論で数 3 が既約であることが証明できる。しかしながら、3 はこの環で素元ではない。なぜならば、例えば、
3 ∣ ( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) = 9 {\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9}
であるが、 3 {\displaystyle 3} は2つの因数のいずれも割り切らない。