円周率の無理性の証明
{ x ( π − x ) } n ≤ b n n ! ( π 2 ) 2 n {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {b^{n}}{n!}}\left\{x(\pi -x)\right\}^{n}\leq {\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}}
を得る。0 ≤ x ≤ π で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、
F n ( 0 ) = 1 2 ∫ 0 π f n ( x ) sin  x d x ≤ 1 2 ∫ 0 π b n n ! ( π 2 ) 2 n × 1 d x = b n n ! ( π 2 ) 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(0)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx\leq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}\times 1\,dx={\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}}
ここで、自然数 n は任意である。一般に、 lim n → ∞ p n n ! = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p^{n}}{n!}}=0} が成り立つ。したがって、十分大きな n に対して 0 < Fn(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。(証明終)
を得る。微分積分学の基本定理より、
∫ 0 π f n ( x ) sin  x d x = [ F n ′ ( x ) sin  x − F n ( x ) cos  x ] 0 π = F n ( π ) + F n ( 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx={\bigg [}F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\bigg ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0)}
となる。最後の等式では、π が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2Fn(0) に等しい。
結び: 0 < x < π の範囲では fn(x) > 0 かつ sin x > 0 である(π は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意)。ゆえに、fn(x) sin x > 0, 補題 3 より Fn(0) > 0 である。次に、この Fn(0) を上から評価する。
x ( π − x ) = − ( x − π 2 ) 2 + ( π 2 ) 2 ≤ ( π 2 ) 2 {\displaystyle x(\pi -x)=-\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}
より、
f n ( x ) = b n n !
ルジャンドルは π が無理数であることを示したが、現在では π の累乗は全て無理数であることが知られている(実は円周率は超越数であり,(非零有理数をべき指数とする)超越数のべき乗も超越数になるので(非零有理数をべき指数とする)円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である)。実際、ドイツのフェルディナント・フォン・リンデマンは、1882年に π が超越数であることを示した。これは、さらに一般的なリンデマンの定理の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、ネイピア数 e, 2の自然対数 log 2, 1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、ユーリイ・ネステレンコ(英語版)は π と e が Q 上代数的独立であることを示した。この事実は、π が無理数であることや超越数であることを内包している。
これらの進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、その(任意の記数法において)小数展開の数字列が十分に「乱数的」であるといえるか(「真の乱数」による乱数列と、何か異なった性質がありはしないか)、例えば正規数であるか、という問題は(そうであろうとは一般に信じられてはいるが)いまだに未解決である。また、π や π + e のような単純な定数についても、無理数であるかどうかも分かっていないようなものがある。