楕円有理関数
偶数次楕円有理関数は2つの n 次多項式の比として表すことができる。
R n ( ξ , x ) = r 0 ∏ i = 1 n ( x − x n , i ) ∏ i = 1 n ( x − x n , i ( p ) ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i}^{(p)})}}} (n は偶数)
x n , i {\displaystyle x_{n,i}} は零点で x n , i ( p ) {\displaystyle x_{n,i}^{(p)}} は極であり、 r 0 {\displaystyle r_{0}} は R n ( ξ , 1 ) = 1 {\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1} となるように選んだ正規化定数である。この表記法は偶数次と同様に奇数次にも成り立つが、奇数次の場合は、極が x=∞ にあり、零点が x=0 に存在するので、次のように読み替える必要がある:
R n ( ξ , x ) = r 0 x ∏ i = 1 n − 1 ( x − x n , i ) ∏ i = 1 n − 1 ( x − x n , i ( p ) ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i}^{(p)})}}} (n は奇数)
楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} と次の関連がある。
lim ξ =→ ∞ R n ( ξ , x ) = T n ( x ) {\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}
「入れ子関係」は次のように書き表せる:
R m ( R n ( ξ , ξ ) , R n ( ξ , x ) ) = R m ⋅ n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}
これは極めて重要な特徴である:
もし R n {\displaystyle R_{n}} が任意の素数 n で求められるなら、入れ子関係により任意の nで R n {\displaystyle R_{n}} を求めることができる。特に、 R 2 {\displaystyle R_{2}} と R 3 {\displaystyle R_{3}} はヤコビの楕円関数を使わない閉じた形であらわせるため、 n = 2 a 3 b {\displaystyle n=2^{a}3^{b}} の形であらわされる任意の n で R n {\displaystyle R_{n}} を表すことができる。
このことから、もし素数 n での R n {\displaystyle R_{n}} の零点が知られているなら、任意の n における R n {\displaystyle R_{n}} の零点を見つけることができる。さらに、逆数関係(下記参照)を使うことにより、極の位置も知ることができる。
この入れ子関係を用いることで、弁別係数の入れ子関係が示せる:
L m ⋅ n ( ξ ) = L m ( L n ( ξ ) ) {\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))}