ユークリッドの補題
公倍数は最小公倍数の倍数である。...1
公約数は最大公約数の約数である。...2
二つの正整数 a , c {\displaystyle a,c} の最小公倍数を l {\displaystyle l} 、最大公約数を g {\displaystyle g} とするとき、
a c = l g {\displaystyle ac=lg}
の関係がある。...3
3は12より直接証明できる。
今 a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であるとき g = 1 {\displaystyle g=1} .ゆえに l = l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle l=lcm(a,c)=ac} ....4
ここでユークリッドの補題の前提条件として a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であり、かつ c ∣ a b {\displaystyle c\mid ab} のとき, a b {\displaystyle ab} は c {\displaystyle c} の倍数かつ、当然 a {\displaystyle a} の倍数であるから、 a b {\displaystyle ab} は a , c {\displaystyle a,c} の公倍数. 4より l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle lcm(a,c)=ac} で1より a c ∣ a b {\displaystyle ac\mid ab} .ゆえに c ∣ b {\displaystyle c\mid b} . これが証明すべきことであった.
同じ比をもつ2数のうち最小の数はそれと同じ比をもつ2数を,大きい数が大きい数を,小さい数が小さい数をそれぞれ割り切り,その商は等しい。