多重集合
集合 {x} を単項式 x で表すと、その冪集合 {{}, {x}} は二項式 1 + x で表すことができる。集合 {x, y} を単項式 xy に対応させればその冪集合 {{}, {x}, {y}, {x, y}} は多項式 (1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy が対応する。同様に多重集合 {x, x} を単項式 x に対応させれば、その冪多重集合(部分多重集合全体の成す多重集合){{}, {x}, {x}, {x, x}} は多項式 (1 + x) = 1 + 2x + x に対応する。単項式 x で表される多重集合の冪多重集合が
( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}
で表されることは、二項係数 (nk) が n-元集合から選んだ k-元の組合せの総数を数え上げることになる理由を説明するものである。
集合 {x} に元をとる有限多重集合全体の成す無限集合 {{}, {x}, {x, x}, {x, x, x}, ...} は形式冪級数 S = 1 + x + x + x + ⋯ (= 1 + xS) で表され、形式解 S = (1 − x) に多重集合の集合としての意味を与えることができるが、中間表現である 1 − x は多重集合の集合として意味を成さない。
(実際には n ごとに右辺に現れる素因子は有限個、つまり殆どの m(p) が 0 となる実質有限積である)は、自然数 n を素数全体の成す集合 P を台とする多重集合 (P, m) として表示する方法を与えるものと解釈することができる(素因数分解が積の順番の違いを除いて一意であるということが多重集合の性質に対応する)。置換の巡回置換分解あるいは巡回置換型も同様である。
同様に、自然数 n の分割を考えることは、分割に現れる各整数 k (≤ n) の個数を重複度 m(k) ととれば、自然数全体の成す集合 N を台とする多重集合 (N, m) であって、重複度関数 m が次の二条件
m ( k ) = 0 ( k > n ) {\displaystyle m(k)=0\quad (k>n)}
1 ⋅ m ( 1 ) + 2 ⋅ m ( 2 ) + ⋯ + k ⋅ m ( k ) + ⋯ + n ⋅ m ( n ) = n {\displaystyle 1\cdot m(1)+2\cdot m(2)+\cdots +k\cdot m(k)+\cdots +n\cdot m(n)=n}
を満たすようなものを一つ定めることに他ならない。ゆえに、分割数は、各自然数 n に対してこのような重複度関数 m のとり方が p(n) 通りあることを示している。