ツェルメロ＝フレンケル集合論
定義上、集合 z {\displaystyle z} のすべての元が集合 x {\displaystyle x} の元であるとき、またそのときに限って、 z {\displaystyle z} は x {\displaystyle x} の部分集合である。
( z ⊆ x ) ⇔ ( ∀ q ( q ∈ z ⇒ q ∈ x ) ) {\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x))}
べき集合公理は、任意の集合 x {\displaystyle x} について、 x {\displaystyle x} のすべての部分集合を含む集合 y {\displaystyle y} が存在することを主張する:
∀ x ∃ y ∀ z [ z ⊆ x ⇒ z ∈ y ] {\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]}
フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(NBG)やモース=ケリー集合論(MK)とは異なり、ZFCは真のクラスの存在を認めていない。 ZFCの比較的弱い点として他に、ZFCに含まれる選択公理が、NBGおよびMKに含まれる大域選択公理(英語版)よりも弱いことが挙げられる。
数多く存在するZFCに依存しない数学的命題には、連続体仮説、ホワイトヘッド問題(英語版)、および通常のムーア空間予想(英語版)などが含まれる。これらの予想のいくつかは、マーティンの公理や巨大基数公理などの公理をZFCに追加することで証明でき、他のいくつかは ZF + AD で証明できる。ここで AD は決定性公理であり、選択公理と両立しない強い仮定である。巨大基数公理の魅力の1つは、ZF + ADから得られる多くの結果を、巨大基数公理を加えたZFCで得られることにある(射影的決定性(英語版)を参照)。 MizarシステムとMetamath(英語版)は、ZFCの拡張であるタルスキ=グロタンディーク集合論(英語版)を採用しているため、グロタンディーク宇宙(圏論と代数幾何学で扱う)を含む証明を形式化できる。
連続体仮説または他の超数学的な曖昧さを解決するために、追加の公理を扱う集合論研究者を統合するプロジェクトは、「ゲーデル・プログラム」として知られる。数学者は現在、どの公理が最も妥当または「自明」であり、どの公理がさまざまな領域で最も有用であり、有用性と妥当性とがどの程度トレードオフされるべきかについて議論している。一部の「多元宇宙(英語版)」集合論研究者は、有用性は、公理について慣習的に用いられる唯一の究極的基準であるべきだと主張している。ある学派は、集合の「反復」概念を拡張して、強制的な公理を採用することにより、興味深く複雑であるが合理的に扱いやすい構造を持つ集合論的宇宙を生み出すことを目指している。別の学派は、おそらく「コア」内部モデルに焦点を当てて、整理された宇宙を提唱している。
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。
厳密には、ZFCの言語で φ {\displaystyle \phi } を 自由変項 x , y , A , w 1 , ... , w n {\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n}} が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される( B {\displaystyle B} は自由変項ではない) :
∀ A ∀ w 1 ∀ w 2 ... ∀ w n [ ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ ! y φ ) ⇒ ∃ B ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ y ( y ∈ B ∧ φ ) ) ] . {\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !