代数曲面
中井の判定条件は、
曲面 S の因子(divisor) D が豊富であることと、D > 0 であり、かつ S 上の全ての規約曲線 C に対して D•C > 0 が成り立つことは同値である。
豊富な因子は、その性質がよく知られている射影空間のある超平面バンドルのプルバック(pullback)となっているという、素晴らしい性質を持っている。 D ( S ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(S)} を S の因子の全てからなるアーベル群とすると、 交点定理のおかげで、
D ( S ) × D ( S ) → Z : ( X , Y ) ↦ X ⋅ Y {\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}
を二次形式とみなすことができる。
D 0 ( S ) := { D ∈ D ( S ) | D ⋅ X = 0 , for all X ∈ D ( S ) } {\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}
とすると、 D / D 0 ( S ) := N u m ( S ) {\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)} は、S の数値的な同値類群となり、