対角関手
圏論において、積 a × a {\displaystyle a\times a} が存在する任意の圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の任意の対象 a {\displaystyle a} に対して、
π k ∘ δ a = i d a {\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=id_{a}} for k ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle k\in \{1,2\}}
を満たす対角射 (diagonal morphism)
δ a : a → a × a {\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}
が存在する。ただし π k {\displaystyle \pi _{k}} は k {\displaystyle k} 次成分への自然な射影射である。この射の存在は(同型を除いて)積を特徴づける普遍性の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。集合の圏の対角射の像は、カルテジアン積の部分集合として、定義域上の関係、すなわち等式である。
具体圏(英語版)に対して、対角射は対象 a {\displaystyle a} の元 x {\displaystyle x} 上のその作用によって単純に記述することができる。