Paillier暗号
G の元の個数は n だったので、以上の議論より、G = {1 + kn | k = 0, ..., n − 1} である。しかも (1 + n) = (1 + kn) mod n なので、1 + n は G の生成元である。
各 k = 0, ..., n − 1 に対し、(1 + kn) = 1 + kn = 1 mod n なので、1 + kn は 1 の n 乗根である。しかも n 個の元 1 + 0n, ..., 1 + (n − 1)n はいずれも相異なる。したがって G = {1 + kn | k = 0, ..., n − 1} である。しかも (1 + n) = (1 + kn) mod n なので、1 + n は G の生成元である。
G の任意の元 g はある k ∈ {0, ..., n − 1} を用いて g = 1 + kn mod n と表現できる。そこで関数 L: G → Zn を
L : u ↦ ( u − 1 ) / n {\displaystyle L\colon u\mapsto (u-1)/n}
により定義すると、L(g) = k であり、L が乗法群 G から加法群 Zn への同型写像である事が分かる。