超実数
極大イデアルによる可換環の商として、*R は体である。それを自由超フィルター U を使って A/U と書くこともあり、それらは等しい。その I の極大性から、与えられた数列 a からその非ゼロ元の逆数をとって、ゼロ元はそのままにしてできた数列 b を作ることができる可能性が従う。それらの積 ab は、この場合は数 1 と同定され、1 を含む如何なるイデアルは A でなければならない。その結果の体において、a と b は互いに逆元である。
体 A/U は R の超冪である。この体は R を含むから、最低でも連続体濃度以上の濃度を持つ。 A は
( 2 א 0 ) א 0 = 2 א 0 2 = 2 א 0 , {\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},\,}
という濃度以下でもあるから、A/U の濃度は連続体濃度に等しい。
ここで一つの疑問が出てくる。それは U とは違う自由超フィルター V を選んだら、その商 A/V は A/U に同型かどうかということだ。この疑問は、連続体仮説と同等であるということがわかっている。ZFC と連続体仮説を仮定したうえで、これらの体は順序同型で一意的であるということが証明できる。 ZFC と連続体仮説の否定を仮定したうえで、それぞれ可算に添字付けられた実数の超冪で、順序非同型な体のペアが存在することを証明できる。
構成の詳細な説明は超積を参照せよ。