ファミリーワイズエラー率
FWERの制御は、ファミリー中の全ての推定が前もって指定されたエラー率まで一緒に修正される同時推定の一形式である。ファミリーの定義に依存し、研究者は異なる形式の推定を選択できる。
例えば、同時推定は、現在科学が取り組んでいるような特定の大規模な問題に対しては保守的過ぎるかもしれない。こういった問題に対しては、大規模な集合からの仮説の部分集合をファミリーと見なす選択的推定アプローチがより適している。選択的推定は大抵、偽発見率(FDR)を制御することによって行われる。FDR制御は(ボンフェローニ補正といった)FWER手順よりも検出力が高い(すなわちより保守的でない)手順であり、棄却された仮説の中に偽陽性を含む確率が増大する代償を払っている。
検定統計量が独立とすると、水準 α S I D = 1 − ( 1 − α ) 1 m {\displaystyle \alpha _{SID}=1-(1-\alpha )^{\frac {1}{m}}} での個々の仮説の検定がシダックの多重検定手順である。
ボンフェローニの手順よりも一般的でない。
以下のm個の帰無仮説を仮定する。
H1, H2, ..., Hm
統計的検定を用い、それぞれの仮説が有意であるか有意でないかを示す。Hi に渡る検定結果を合計すると、以下の表ならびに関連する確率変数が得られる。
m 0 {\displaystyle m_{0}} は真である帰無仮説の数で未知のパラメーター。
m − m 0 {\displaystyle m-m_{0}} は真である対立仮説の数
V {\displaystyle V} は偽陽性(第一種過誤)の数
S {\displaystyle S} は真陽性の数
T {\displaystyle T} は偽陰性(第二種過誤)の数
U {\displaystyle U} は真陰性の数
R {\displaystyle R} は棄却される帰無仮説の数
R {\displaystyle R} は観測できる確率変数であるが、 S {\displaystyle S} 、 T {\displaystyle T} 、 U {\displaystyle U} 、および V {\displaystyle V} は観測できない確率変数である。
FWERはファミリーの中の少なくとも1つの正しい帰無仮説が誤って棄却されてしまう確率である。
F W E R = Pr ( V ≥ 1 ) , {\displaystyle \mathrm {FWER} =\Pr(V\geq 1),\,}
あるいは
F W E R = 1 − Pr ( V = 0 ) . {\displaystyle \mathrm {FWER} =1-\Pr(V=0).}
ゆえに、 F W E R ≤ α {\displaystyle \mathrm {FWER} \leq \alpha \,\!\,} であることを保証することによって、ファミリーの中の少なくとも1つの正しい帰無仮説が誤って棄却されてしまう確率が α {\displaystyle \alpha \,\!} 水準に制御される。
全ての帰無仮説が真(すなわち m 0 {\displaystyle m_{0}} = m {\displaystyle m} であり、包括的帰無仮説が真)である時のみ α {\displaystyle \alpha \,\!} 水準でのFWER制御が保証される場合、この手法は弱い意味でFWERを制御する。
真である帰無仮説や偽である帰無仮説のいかなる組み合わせ(包括的帰無仮説を含む)に対しても α {\displaystyle \alpha \,\!} 水準でのFWER制御が保証される場合、この手法は強い意味でFWERを制御する。