ポアンカレ・ホップの定理
閉曲面のオイラー標数は純粋に位相幾何学的な概念であるが、一方でベクトル場の指数は純粋に解析的な概念である。従って、この定理は一見関連のなさそうな分野間の深い関係を与えている。証明に際して積分、特にストークスの定理が要となることも興味深いだろう。ストークスの定理とは、微分形式の外微分の積分が、その微分形式の境界上の積分に等しいという定理である。特に境界を持たない多様体上での積分は 0 になる。しかし湧出点や流入点の十分小さな近傍でベクトル場を解析すると、これらの点から積分結果に整数(指数として知られる)の寄与があることが分かる。よって、それら全ての和は 0 となる。この結果は、幾何的、解析的、および物理的な概念の間の深い関係性を示す一連の定理のなかで最も早期の定理のひとつと考えられる。これらの定理は、各分野での現代の研究において重要な役割を果たしている。