超現実数
コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は f({L | R}) ≔ σ(M, S) で与えられる。ただし、M ≔ {f(x) : x ∈ L}, S ≔ {f(x) : x ∈ R} とする。
その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには g(x) ≔ {L | R} を L ≔ {g(y) : y ∈ L(x)}, R ≔ {g(y) : y ∈ R(x)} と与えればよい。
同様に、間隙 On ≔ {No | } は任意の超現実数よりも大きい(On は順序数全体の成すクラスの名前でもあるが、On は No において共終(英語版)であるから、On ≔ {On | } もそうで、これは順序数 α が α より小さい順序数全体の成す集合と同値であるという事実を拡張するものである)。
ちょっとした集合論的注意を加えて、No にはその開集合全体の(真の集合で添字付けられた)合併が開区間となるような位相をいれることができ、その位相に関する連続函数を定義することができる。コーシー列の同値性も(コーシー列が順序数全体の成すクラスによって添字付けられる必要があるけれども)定義できる。これらコーシー列は常に収束するけれども、その極限は超現実数かもしれないし ∑α∈Norα⋅ω(ただし aα は単調減少で No において下限を持たない)で表される間隙となるかもしれない(そのような間隙はコーシー列自身として理解することができるが、上で見た ∞ や On のようなコーシー列の極限とは別の種類の間隙も存在する)。
二つの超現実数 x, y に対しその和 x + y は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、x + y ≔ σ(L, R) で定義される。ただし
L ≔ {u + y : u ∈ L(x)}∪{x + v : v ∈ L(y)},
R ≔ {u + y : u ∈ R(x)}∪{x + v : v ∈ R(y)}.
加法単位元は 0 ≔ {} で与えられる(つまり、超現実数 0 は定義域が順序数の 0 である唯一の函数である)。また、超現実数 x の加法逆元は dom(−x) ≔ dom(x) かつ α ∈ dom(x) に対して ( − x ) ( α ) := { − 1 ( x ( α ) = + 1 ) + 1 ( x ( α ) = − 1 ) {\textstyle (-x)(\alpha ):={\begin{cases}-1&(x(\alpha )=+1)\\+1&(x(\alpha )=-1)\end{cases}}} で与えられる超現実数 −x である。
1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてハーン級数(英語版)を導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数α に対する ηα-集合(英語版)と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。Alling (1962) は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数 α に対してそのような順序体を構成し、α をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。
それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する On Numbers and Games(英語版) を著した。
超現実数の再帰的定義は、以下で定義する比較規則に対して完全 (completed) である: