汎函数行列式
1-次元のポテンシャルでは、汎函数行列式の形を少し変える変形が存在する。それは次の表現を考えることにベースがある。
det ( − d 2 d x 2 + V 1 ( x ) − m ) det ( − d 2 d x 2 + V 2 ( x ) − m ) {\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}
ここに m は複素数の定数で、この表現は m の有理型函数で、m がポテンシャル V1(x) を持つ作用素の固有値に等しいときにはゼロ点を持ち、V2(x) を持つ作用素の固有値の時には極を持つ。ここで、次の方程式を満たす函数 ψ1 と ψ2 を考える。
( − d 2 d x 2 + V i ( x ) − m ) ψ i m ( x ) = 0 {\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}