特性曲線法
次の偏微分方程式を考える。
ここで変数 pi は次の偏微分を略記したものである。
p i = ∂ u ∂ x i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}
R 内の超曲面 (xi, u) が偏微分方程式の解であるとする。解の超曲面の上にある任意の滑らかな(微分可能な)曲線を特性曲線と言い、s を曲線長さに沿うパラメータとして、曲線上の各点は次のように表されるものとする。
u ( s ) = u ( x 1 ( s ) , ... , x n ( s ) ) . {\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}
また、解の曲面の方向は、この特性曲線の各点での接線の傾き p i = ∂ u ∂ x i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}} により指定されているとする。解に沿って (4)を s に関して微分すると、次が得られる。
式(6)は、解 u に対して連鎖律を適用することで得られる。また式(7)の括弧内は