コーシー列
コーシー列同士の四則演算の極限は、演算を行う列のとり方によらずそれらの列の極限のみから定まるので、X/∼ における距離を自然に定めることができる。
今、任意の実数のコーシー列
( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
に対して、有理数列
( y n ) n ∈ N {\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
で、任意の n について |xn − yn| < 1/n となるものをとることができる。この有理数列 (yn) は
| y i − y j | < | x i − x j | + 1 i + 1 j → 0 ( i , j → ∞ ) {\displaystyle |y_{i}-y_{j}|<|x_{i}-x_{j}|+{\frac {1}{i}}+{\frac {1}{j}}\rightarrow 0\quad (i,j\rightarrow \infty )}
であるので、コーシー列である。 このため、(yn) は R 内に極限値 z を持ち、実数列 (xn − z) は 0 に収束する。よって、実数のコーシー列 (xn) は実数 z に収束する。
このことから、R の任意のコーシー列は収束する、すなわち R が完備であることが分かる。