等角写像
J f = J m J g = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( ∂ λ ∂ ξ ∂ λ ∂ η ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η ) = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( 1 a cos  φ 0 0 1 a ) {\displaystyle J_{f}=J_{m}J_{g}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \lambda }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \lambda }{\partial \eta }}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{a\cos \varphi }}&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}}
として得られる。
Φ = gd  ( α { gd − 1  ( φ ) − gd − 1  ( φ 0 ) − e tanh − 1  ( e sin  φ ) + e tanh − 1  ( e sin  φ 0 ) } + tanh − 1  ( sin  φ 0 α ) ) Λ = α ( λ − λ 0 ) α = 1 + e 2 cos 4  φ 0 1 − e 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\operatorname {gd} \left(\alpha \left\{\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi _{0})-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )+e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi _{0})\right\}+\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin \varphi _{0}}{\alpha }}\right)\right)\\\Lambda &=\alpha (\lambda -\lambda _{0})\\\alpha &={\sqrt {1+{\frac {e^{2}\cos ^{4}\varphi _{0}}{1-e^{2}}}}}\\\end{aligned}}}
この投影法はガウス正角二重投影 (Gauss conformal double projection) と呼ばれ、戦前の日本においてもこの方法により平面直角座標系(旧座標系)が形成されていた。