演繹定理
((Q→R)→(Q→R))→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 2. 公理 2
((Q→R)→Q)→((Q→R)→R) 3. 1,2によるモーダスポネンス
Q→((Q→R)→Q) 4. 公理 1
[((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)]→[Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R))] 5. 公理 1
Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 6. 3,5によるモーダスポネンス
[Q→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R))]→([Q→((Q→R)→Q)]→[Q→((Q→R)→R))]) 7. 公理 2
[Q→((Q→R)→Q)]→[Q→((Q→R)→R))] 8. 6,7によるモーダスポネンス
Q→((Q→R)→R)) 9. 4,8によるモーダスポネンス QED
この三段階はカリー・ハワード対応を使えば次のように簡潔に表せる。
第一に、ラムダ計算において、関数 f = λa. λb. b a は、型 q → (q → r) → r を持つ。
第二に、b についてラムダ除去すると f = λa. s i (k a)
第三に、a についてラムダ除去すると f = s (k (s i)) k