レギオモンタヌスの問題
の最大化を考えればよく、b − a は正の定数だから分数の部分を最大化すればよい。微分すると
d d x ( x x 2 + a b ) = a b − x 2 ( x 2 + a b ) 2 { > 0 if 0 ≤ x < a b , = 0 if x = a b , < 0 if x > a b {\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}\end{cases}}}
となるから、x が 0 から √ab の範囲で増加、√ab 以上の範囲で減少する。よって x = √ab ( a と b の幾何平均)のとき最大になる。