ニュートン＝カントロビッチの定理
‖ F ′ ( x ) ( v ) − F ′ ( y ) ( v ) ‖ ≤ L ‖ x − y ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )-F'(\mathbf {y} )(\mathbf {v} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|\,\|\mathbf {v} \|}
が成立することを意味する。 いま、任意の初期値 x 0 ∈ X {\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in X} を選択し、 F ′ ( x 0 ) {\displaystyle F'(\mathbf {x} _{0})} が可逆であると仮定して、ニュートン反復: h 0 = − F ′ ( x 0 ) − 1 F ( x 0 ) . {\displaystyle \mathbf {h} _{0}=-F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}F(\mathbf {x} _{0}).} を構成する。 次の仮定は x 1 = x 0 + h 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} _{0}} だけでなく球全体 B ( x 1 , ‖ h 0 ‖ ) {\displaystyle B(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)} が集合Xに包含されていることを要求する。