楕円積分
定数 k {\displaystyle k} を母数(modulus)、 a {\displaystyle a} を特性(characteristic)という。母数 k {\displaystyle k} の代わりにパラメーター m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}} 、あるいはモジュラー角 α = sin − 1  k {\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}k} を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性 a {\displaystyle a} を助変数(通常はparameterの訳語)と称することもあるので更に注意が必要である。
楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分や五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。
第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} までとしたものである。
E ( k ) = E ( π 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin 2  θ d θ {\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }
k 2 sin 2  θ {\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta } のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
E ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2  θ ) 1 2 d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 − ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n − 1 ) 2 n ( k 2 sin 2  θ ) n n ! ) d θ = π 2 − ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n − 1 ) ( 2 n ) !