素イデアル
有理整数環 Z において、素数 p の倍数全体が成すイデアル pZ は素イデアルである。
一般に、可換環 R において、その素元 p が生成するイデアル pR は 0 でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、p ∈ R に対し単項イデアル pR ≠ 0 が素イデアルならば、p は素元である。
一般に、R, S を可換環、f: R → S を環の準同型としたとき、f による S の任意の素イデアルの引き戻し f(S) は、R の素イデアルになる。
可換環 R のイデアル I が素イデアルであることと、剰余環 R/I が整域であることは同値である。とくに、0 が素イデアルであることと R が整域であることは同値である。
デデキント整域のすべての 0 でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する。
単位的環 R のイデアル P が素イデアルであるとは、
P ≠ R かつ、任意のイデアル A, B ⊆ R に対して、AB ⊆ P ならば A ⊆ P または B ⊆ P
を満たすことを言う。