列空間
列空間の次元は、その行列の階数と呼ばれる。階数は、行既約階段形におけるピボットの数と等しく、その行列から選ぶことの出来る線型独立な列の最大数である。例えば、上の例の 4 × 4 列の階数は 3 である。
列空間は、対応する行列変換の像であるため、行列の階数はその像の次元と等しい。例えば、上の例の行列として表現される変換 R → R は、R に属するすべての元を、ある4次元部分空間へと写す。
行列の退化次数(nullity)とは、零空間の次元のことを言い、行既約階段形においてピボットを持たない列の数に等しい。n 個の列を含む行列 A の階数と退化次数には、次の方程式で与えられる関係がある:
rank ( A ) + nullity ( A ) = n . {\displaystyle {\text{rank}}(A)+{\text{nullity}}(A)=n.\,}
この方程式は階数・退化次数の定理として知られる。