階数・退化次数の定理
この定理は線型写像に対しても同様に適用される。V と W をある体上のベクトル空間とし、T : V → W をある線型写像とする。このとき、T の階数は T の像の次元であり、T の退化次数は T の核の次元である。したがって、
dim (im T) + dim (ker T) = dim V
が成立する。あるいは、同値であるが
rank T + nullity T = dim V
が成立する。これは実際、V と W が無限次元であることも許しているため、前述の行列の場合よりもより一般的な定理となっている。
この定理の内容は、分割補題(英語版)あるいは後述の証明を用いることで、次元のみならず、空間の間の同型写像に関する内容へと精練することができる。
より一般的に、線型代数学の基本定理によって関連付けられる像、核、余像、余核について考えることができる。
A がある体上の m × n 行列(行の数が m で、列の数が n)であるなら、
rank A + nullity A = n
が成立する。