確率密度関数
以下に2変数での基本的な例を記す。2次元の確率ベクトル (X, Y) を R → {\displaystyle {\vec {R}}} とすると、x, y が共に正である第I象限で得られた R → {\displaystyle {\vec {R}}} の確率は
P  ( X > 0 , Y > 0 ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f X , Y ( x , y ) d x d y {\displaystyle \operatorname {P} \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}
である。
である。
従って、
p ( Y , Z ) = p ( U , V ) J ( U , V | Y , Z ) = p ( U ) p ( V ) J ( U , V | Y , Z ) = p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | {\displaystyle p(Y,Z)=p(U,V)\,J(U,V|Y,Z)=p(U)\,p(V)\,J(U,V|Y,Z)=p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|}
となる。
Y の分布は Z の周辺化によって、
p ( Y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | d Z {\displaystyle p(Y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|\,dZ}
と計算される。
この手法で U, V を Y, Z に変換する時に不可欠な条件が全単射である。上記の変換は Z が V に直接逆写像され、与えられた V について U/V が単調写像であるので条件に適合している。これは、和:U + V, 差:U − V、積:UV においても同様である。
独立な確率変数の積についても全く同じ手法で計算することができる。