オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数 f ( r t , t ) = r t e θ t {\displaystyle f(r_{t},t)=r_{t}e^{\theta t}} に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。
d f ( r t , t ) = θ r t e θ t d t + e θ t d r t = e θ t θ μ d t + σ e θ t d W t {\displaystyle {\begin{aligned}df(r_{t},t)&=\theta r_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dr_{t}\\&=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}\,dW_{t}\end{aligned}}}
これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。
r t e θ t = r 0 + ∫ 0 t e θ s θ μ d s + ∫ 0 t σ e θ s d W s {\displaystyle r_{t}e^{\theta t}=r_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}\,dW_{s}}
これを変形し、以下のように解が求められる。