6j記号
6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。
{ j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 } = { j 2 j 1 j 3 j 5 j 4 j 6 } = { j 1 j 3 j 2 j 4 j 6 j 5 } = { j 3 j 2 j 1 j 6 j 5 j 4 } . {\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.}
任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。
{ j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 } = { j 4 j 5 j 3 j 1 j 2 j 6 } = { j 1 j 5 j 6 j 4 j 2 j 3 } = { j 4 j 2 j 6 j 1 j 5 j 3 } .
{ a b c d e f } = ∏ i = 1 4 Δ ( α ^ i ) ∑ k ( − 1 ) k ( k + 1 ) ! ∏ j = 1 4 ( k − α j ) ! ∏ l = 1 3 ( β l − k ) ! {\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=\prod _{i=1}^{4}{\sqrt {\Delta ({\hat {\alpha }}_{i})}}\sum _{k}(-1)^{k}{\frac {(k+1)!}{\prod _{j=1}^{4}(k-\alpha _{j})!\prod _{l=1}^{3}(\beta _{l}-k)!}}}
ここで、
Δ ( a , b , c ) = ( a + b − c ) ! ( a − b + c ) ! ( − a + b + c ) ! ( a + b + c + 1 ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (a,b,c)={\frac {(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}}\end{aligned}}}