リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル
ここで、
速度因子 β s ( t ) = v s ( t ) c {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{\mathrm {s} }(t)={\frac {{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t)}{c}}\,} は、光速に対する比率で規格化した速度ベクトル、
n = r − r s | r − r s | {\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\,} は、電場源からの方向を示す単位ベクトル、
( ⋯ ) t r {\displaystyle (\cdots )_{t_{r}}} は 、括弧の中が、遅滞時刻における量であることを示す。ただし観測位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} は時刻によらず一定とする。
最後に、デルタ関数で t ′ = t r {\displaystyle t'=t_{\mathrm {r} }} となる点を取り出せば、
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ( q | r − r s | ( 1 − β s ⋅ ( r − r s ) / | r − r s | ) ) t r = 1 4 π ε 0 ( q ( 1 − n ⋅ β s ) | r − r s | ) t r , {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{\mathrm {s} }\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} })/|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{\mathrm {s} })|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\right)_{t_{r}}\,,}