分離多元環
あるいは同じことだが、(R, S) の任意の係数両側加群 M における相対ホッホシルト・コホモロジー(英語版)群 H(R, S; M) は、任意の n > 0 に対して零である。分離拡大の例には、R を分離多元環、S を 1 × k (k は係数体) となる、一次的な分離多元環を多く含む。より興味深いことに、ab = 1 だが ba ≠ 1 となる元 a, b を持つ任意の環 R は {1} ∪ bRa で生成される部分環 S 上分離的である。
この分野における、意義深い定理として J. Cuadra は「分離ホップ-ガロワ拡大 R/S は自然な有限生成 S 加群 R を持つ」ことを述べる。分離拡大 R/S に関する基本的な事実として、それが左または右半単純拡大となることが挙げられる: つまり、左または右 R-加群からなる短完全列で S-加群として分解するものは R 加群として分解する(ゲルハルト・ホッホシルト(英語版) の相対ホモロジー代数の言葉で言えば、任意の R-加群が相対 (R, S)-射影的と言い表せる)。