ロピタルの定理
を満たす区間 ( c , x ) {\displaystyle (c,x)} 内の ξ x {\displaystyle \xi _{x}} が存在することを意味する。 もし x {\displaystyle x} が c {\displaystyle c} に近づくならば、 ξ x {\displaystyle \xi _{x}} は c {\displaystyle c} に近づく。 lim x → c f ′ ( x ) / g ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to c}f'(x)/g'(x)} が存在するので、次式を得る。
lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
以下の単純な論法はロピタルの定理あるいは類似の概念が正しいことを示唆している。ここではロピタルの定理よりも強い仮定を用いているため、ロピタルの定理を証明するものではない。
f ′ {\displaystyle f'} と g ′ {\displaystyle g'} が c {\displaystyle c} で連続であり、 f ( c ) = g ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=g(c)=0} かつ g′(c) ≠ 0 であるならば、
lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ( x ) / ( x − c ) g ( x ) / ( x − c ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)/(x-c)}{g(x)/(x-c)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
である。またグラフによる幾何学的な考察から尤もらしさを確認することもできる。