硬い方程式
よって、オイラー法は上記の硬い方程式に対し数値的不安定である。一方、台形公式は数値的安定である。
他の例として、もっとも有名な硬い方程式の一つは、Robertsonの化学反応を支配する方程式系である。
x ̇ = − 0.04 x + 10 4 y ⋅ z , {\displaystyle {\dot {x}}=-0.04x+10^{4}y\cdot z,}
y ̇ = 0.04 x − 10 4 y ⋅ z − 3 ⋅ 10 7 y 2 , {\displaystyle {\dot {y}}=0.04x-10^{4}y\cdot z-3\cdot 10^{7}y^{2},}
z ̇ = 3 ⋅ 10 7 y 2 . {\displaystyle {\dot {z}}=3\cdot 10^{7}y^{2}.}
[0, 40] のような短い区間では、上記の方程式系を数値的に積分することに問題はない。しかし区間が極めて大きい場合(例えば 10)、多数のコードは方程式系を正しく積分することができなくなる。