線積分
線積分は複素解析における基本的な道具である。U を複素数平面 C の開集合、γ: [a, b] → U を有限長曲線とすると、函数 f: U → C の線積分
∫ γ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z}
は、区間 [a, b] の a = t0 < t1 < ⋯ < tn = b への細分を考えて得るリーマン和
∑ 1 ≤ k ≤ n f ( γ ( t k ) ) ( γ ( t k ) − γ ( t k − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f{\bigl (}\gamma (t_{k}){\bigr )}{\bigl (}\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}){\bigr )}}
の、小区間の幅を 0 に近づける極限として定義する。
γ が連続的微分可能な曲線ならば、この線積分の値は実変数函数の積分
∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}\gamma '(t)\,\mathrm {d} t}
として評価することができる。弧長に関する線積分も同様に
を考える。曲線上の隣り合う分点の間の変位ベクトルは
Δ s i = r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) = r ′ ( t i ) Δ t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {s}}_{i}={\boldsymbol {r}}(t_{i}+\Delta t)-{\boldsymbol {r}}(t_{i})={\boldsymbol {r}}'(t_{i})\Delta t}
と書けるから、代入してリーマン和
I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n F ( r ( t i ) ) ⋅ r ′ ( t i ) Δ t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {F}}{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t_{i}){\bigr )}\cdot {\boldsymbol {r}}'(t_{i})\Delta t}
を得、これにより上記の線積分が定まる。