ヘルムホルツの定理
であり、元のベクトル場 F が渦なし (irrotational) のベクトル場 FL と発散なし (divergence free) のベクトル場 FT に分解されていることが分かる。
FL(x) は縦成分 (longitudinal component)、FT(x) は横成分 (transverse component) と呼ばれる。このことは、縦成分 FL(x) のフーリエ変換 ~FL(k) が波数ベクトルに対して平行であり、横成分 FT(x) のフーリエ変換 ~FT(k) が波数ベクトルに対して直交していることによる。
k ∥ F ~ L ( k ) {\displaystyle \mathbf {k} \parallel {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )}
k ⊥ F ~ T ( k ) {\displaystyle \mathbf {k} \perp {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {T} }(\mathbf {k} )}
注意しなければならないことは、これが波数空間上の性質であり、実空間上の性質ではないということである。
ベクトル場 V(x) のフーリエ変換は以下のように表される。