カルマンフィルター
オートパイロット
経済学, とくに マクロ経済学、時系列、計量経済学
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天気予報ガイダンスの数値予報
時刻 t までの観測は
Z t = { z 1 , ... , z t } {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}_{t}=\left\{{\boldsymbol {z}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {z}}_{t}\right\}}
である。
更新後の確率は観測の起こりやすさ(尤度)と予測された状態の積に比例するから
p ( x k | Z k ) = p ( z k | x k ) p ( x k | Z k − 1 ) p ( z k | Z k − 1 ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k})={\frac {p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {x}}_{k})p({\boldsymbol {x}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})}{p({\boldsymbol {z}}_{k}|{\boldsymbol {Z}}_{k-1})}}}
となる。分母の
P x k z k = ∑ i = 0 2 L W c i [ χ k | k − 1 i − x ^ k | k − 1 ] [ γ k i − z ^ k ] T {\displaystyle P_{x_{k}z_{k}}=\sum _{i=0}^{2L}W_{c}^{i}\ [\chi _{k|k-1}^{i}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}][\gamma _{k}^{i}-{\hat {\boldsymbol {z}}}_{k}]^{\textrm {T}}}
を用いて unscented カルマンゲイン
K k = P x k z k P z k z k − 1 {\displaystyle K_{k}=P_{x_{k}z_{k}}P_{z_{k}z_{k}}^{-1}}
を計算する。以下は線形の場合と同様である。
x ^ k | k = x ^ k | k − 1 + K k ( z k − z ^ k ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}({\boldsymbol {z}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {z}}}_{k})}
P k | k = P k | k − 1 − K k P z k z k K k T {\displaystyle P_{k|k}=P_{k|k-1}-K_{k}P_{z_{k}z_{k}}K_{k}^{\textrm {T}}}
Λ k = C k Λ k + 1 C k T + K k S k K k T {\displaystyle \Lambda _{k}=C_{k}\Lambda _{k+1}{C_{k}}^{\mathrm {T} }+K_{k}S_{k}{K_{k}}^{\mathrm {T} }}
λ k ≜ x ^ k | k − 1 − x ^ k | n {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{k}\triangleq {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|n}}
Λ k ≜ P k | k − 1 − P k | n {\displaystyle \Lambda _{k}\triangleq P_{k|k-1}-P_{k|n}}
λ n + 1 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{n+1}={\boldsymbol {0}}}
Λ n + 1 = 0 {\displaystyle \Lambda _{n+1}=0}
また、Biermanによって上記の変形式が得られている。これは、 P k + 1 | k − 1 {\displaystyle {P_{k+1|k}}^{-1}} という逆行列計算を必要とせず平滑化解を得られる。すなわち、
λ ~ k = C ~ k λ ~ k + 1 − H k T S k − 1 e k {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\lambda }}}_{k}={\tilde {C}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {\lambda }}}_{k+1}-{H_{k}}^{\mathrm {T} }{S_{k}}^{-1}{\boldsymbol {e}}_{k}}