被覆空間
Aut(p) の中の全ての f と p(x) の中の全ての c と、π1(X, x)の中の全ての γ に対して、 f ⋅ ( c ⋅ γ ) = ( f ⋅ c ) ⋅ γ {\displaystyle f\cdot (c\cdot \gamma )=(f\cdot c)\cdot \gamma } となる。
p が普遍被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x) の双対(dual)群と同一視できるので、π1(X, x) の双対群の作用は、x 上のファイバー上への Aut(p) の作用に一致する。Aut(p) と π1(X, x) とは、この場合は自然に同型となる(群はいつも自然に g ↦ g) を通して、双対と同型となる)。
p が正規被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x) の商に同型である。
一般に、(適切な空間に対しては、) Aut(p) は、p*(π1(C, c)) 上で π1(X, x) の中で p*(π1(C, c)) の正規化による商と、自然に同型となり、そこでは p(c) = x となる。