単項イデアル整域
整域 R に対して、以下は同値である。
R は単項イデアル整域である。
R の任意の素イデアルが単項イデアルである。
R は UFD かつデデキント整域である。
R の任意の有限生成イデアルが単項イデアル(すなわち R はベズー整域)であり、かつ R は単項イデアルに関する昇鎖条件を満足する。
R にはデデキント–ハッセ・ノルムが入る。
体のノルムはデデキント–ハッセノルムだから、5 番の条件からユークリッド整域が PID であることが従う。4 番の条件は
整域が UFD であるための必要十分条件は、それがGCD整域(すなわち、任意の二元が最大公約元を持つような整域)で、単項イデアルに対する昇鎖条件を満足することである。
と類似する条件になっている。整域がベズー整域であるための必要十分条件は、その任意の二元が「その二元の線型結合であるような」最大公約元を持つことである。従って、ベズー整域は GCD 整域であり、ゆえに 4 番の条件は PID が UFD であることの別証明を示すものとなっている。