Lp空間
{\displaystyle 0\leq \varphi \leq \mathbf {1} _{V}{\text{ and }}\int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,d\mu <\varepsilon .}
S が有限測度を持つ開集合の増加列 (Vn) により覆われるなら、p-可積分な連続函数の空間は L(S, Σ, μ) において稠密である。より正確には、その開集合 Vn のどれか一つの外側で消失する有界連続函数を利用することが出来る。
これは特に S = R かつ μ がルベーグ測度であるときに応用される。連続かつコンパクトな台を持つ函数の空間は L(R) において稠密である。同様に、可積分階段函数の空間も L(R) において稠密である。この空間は、d = 1 の時は有界区間の、d = 2 の時は有界長方形領域の、より一般的な場合には各有界区間の積の、指示関数により張られる線形部分空間である。L(R) 内の一般的な函数の性質は、はじめは連続かつコンパクトな台を持つ函数(しばしば階段函数)について証明され、そののちにすべての函数へと拡張された。例えば、平行移動(translation)が次の意味で L(R) 上で連続であることが、この方法で示された:すべての f ∈ L(R) に対し
‖ τ t f − f ‖ p → 0 {\displaystyle \|\tau _{t}f-f\|_{p}\rightarrow 0}
が、t ∈ R が 0 へ向かう時に成立する。ここで τ t f {\textstyle \tau _{t}f} は ( τ t f ) ( x ) := f ( x − t ) {\textstyle (\tau _{t}f)(x):=f(x-t)} と定義される平行移動された函数である。
数学の分野における L 空間(エルピーくうかん、英: L space)とは、有限次元ベクトル空間に対する p-ノルムの自然な一般化を用いることで定義される関数空間である。アンリ・ルベーグの名にちなんでルベーグ空間としばしば呼ばれる が、Bourbaki (1987) によると初めて導入されたのは Riesz (1910) とされている。L 空間は関数解析学におけるバナッハ空間や、線型位相空間の重要なクラスを形成する。物理学や統計学、金融、工学など様々な分野で応用されている。
その集合内の二つの函数は、上述と同様に、ほとんど至る所で等しいのであれば、等しいものとされる。その集合を L(S, μ) と表す。L(S, μ) に含まれる f に対して、その本質的上限が適切なノルムを与える:
‖ f ‖ ∞ ≡ inf { C ≥ 0 : | f ( x ) | ≤ C for almost every x } . {\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\mbox{ for almost every }}x\}.}
上述と同様に、ある q < ∞ に対して f ∈ L(S, μ) ∩ L(S, μ) であるなら
‖ f ‖ ∞ = lim p → ∞ ‖ f ‖ p {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}}
が成立する。
1 ≤ p ≤ ∞ の場合、L(S, μ) はバナッハ空間である。L が完備であることはしばしばリース=フィッシャーの定理として述べられている。完備性はルベーグ積分に対する収束定理を用いることで確かめられる。
測度空間 S を特に注意する必要が無い場合、L(S, μ) は L(μ) や L と略記される。上述の定義はボホナー空間へと一般化される。