バナッハ＝アラオグルの定理
0 ≤ lim ̄ m , l → ∞ | α n m ( x ) − α n l ( x ) | ≤ 2 ε {\displaystyle 0\leq {\overline {\lim }}_{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\leq 2\varepsilon }
が成立する。よってε>0の任意性より、
lim m , l → ∞ | α n m ( x ) − α n l ( x ) | = 0 {\displaystyle \lim _{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|=0}
が任意のx ∈ Vに対して成立する。よって任意のx ∈ Vに対し ( α n m ( x ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }} はコーシー列であり、したがってVの完備性より収束列である。
最後に、
α : V → K {\displaystyle \alpha ~:~V\to K}
を、x ∈ Vに ( α n m ( x ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }} の収束先を対応させる写像とする。この写像αがVの元であり、しかも ( α n m ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }} の収束先である事を示せば、定理が証明される。