ELEMENTARY
初等帰納的関数の定義は原始帰納を限定和と限定積に置き換わっている点を除けば原始帰納的関数と同様に定義される。(通常、減算は原始帰納的関数の基本関数に含めないが、原始帰納的である。)全ての関数は自然数に対して作用するものとする。基本関数は次のものからなる:
ゼロ関数: Z ( x → ) = 0 {\displaystyle Z({\overrightarrow {x}})=0}
後者関数: S ( x ) = x + 1 {\displaystyle S(x)=x+1}
射影関数: P μ ν ( x → ) = x μ {\displaystyle P_{\mu }^{\nu }({\overrightarrow {x}})=x_{\mu }}
減算関数: x − ̇ y = { x − y if x ≥ y 0 otherwise {\displaystyle x{\dot {-}}y={\begin{cases}x-y&{\mbox{if }}x\geq y\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
これらの基本関数に次の基本構成を繰り返して得られる関数が初等帰納的関数である:
合成: h ( x → ) = f ( g 1 ( x → ) , g 2 ( x → ) , ... , g μ ( x → ) ) {\displaystyle h({\overrightarrow {x}})=f(g_{1}({\overrightarrow {x}}),g_{2}({\overrightarrow {x}}),\ldots ,g_{\mu }({\overrightarrow {x}}))}