基底変換
.. + xnαn) = x1γ1 + ... + xnγn で定義される。もちろん、{γ1, ..., γn} が W の基底であるなら、T は線型であると同時に全単射である。言いかえると、T は同型である。このとき W = V も同様に成り立つなら、T は自己同型と言われる。
今 V を R 上のベクトル空間とし、{α1, ..., αn} を V に対する基底であると仮定する。定義により、ξ が V 内のベクトルであるなら、ξ = x1α1 + ... + xnαn となるような唯一つのスカラーの組み合わせ x1, ..., xn を R 内より選ぶことが出来る。この組み合わせは、順序付けられた基底 {α1, ..., αn} に対する ξ の座標と呼ばれる。R 内のそのベクトル x = (x1, ..., xn) は ξ の(この基底に対する)座標タプルと呼ばれる。j = 1, ..., n に対して φ(ej) = αj を満たすような唯一つの線型写像 φ : R → V は、V および基底 {α1, ..., αn} に対する座標同型(coordinate isomorphism)と呼ばれる。したがって φ(x) = ξ であるための必要十分条件は、ξ = x1α1 + ... + xnαn である。