単位的環
集合 R 上の2つの二項演算 (+, ∗) を持つ代数系 (R, +, ∗) が単位的環であるとは、
加法の結合性:R の各元 a, b, c に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。
加法の可換性:R の各元 a, b に対して a + b = b + a が成り立つ。
加法単位元:R の元 0R が存在して、R の全ての元 a に対して 0R + a = a + 0R = a を満たす。
加法逆元:R の各元 a に対して a + (−a) = (−a) + a = 0 となる −a ∈ R が取れる。
乗法の結合性:R の各元 a, b, c に対して (a ∗ b)∗ c = a ∗(b ∗ c) が成り立つ。
乗法単位元:R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R ∗ a = a ∗ 1R = a を満たす。
左右分配性:R の各元 a, b, c に対して a ∗(b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) および (b + c)∗ a = (b ∗ a) + (c ∗ a) が成り立つ。
を満たすことを言う。(ラングの本など)環の定義に乗法単位元の存在を含める文献もあり、その場合に必ずしも単位的でない環を表すのに擬環 (pseudo-ring, rng) などの語が用いられる。即ち、R が単位環であるとは、乗法単位元 1R の存在する擬環のことに他ならない。