トランスクリティカル分岐
標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場
d x d t = f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} }
が与えられたとする。ベクトル場 f(x, μ) が固定点 x = 0 を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 μc = 0 で f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす。
{ ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 0 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ = 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x ∂ μ ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}}
上記の一般的条件は (x = 0, μ = 0) に限定されない。分岐点が任意の値の組 (x = x, μ = μc) でも、(x = x, μ = μc) で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きる。
トランスクリティカル分岐(英語: transcritical bifurcation)は、力学系における分岐の一種。安定性交替型分岐や遷臨界型分岐ともいう。安定な固定点と不安定な固定点が衝突し、安定性が入れ替わるような分岐を起こす。
トランスクリティカル分岐は、固定点近傍で起こる局所的分岐の一種で、1次元以上の系で起こる。連続力学系と離散力学系のどちらにもトランスクリティカル分岐と分類されるものがあり、連続力学系の標準形は1次元常微分方程式の
d x d t = μ x ∓ x 2 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x\mp x^{2}}
で、離散力学系の標準形は1次元写像の
x ↦ x + μ x ∓ x 2 {\displaystyle x\mapsto x+\mu x\mp x^{2}}
で与えられる。