接続 (ベクトル束)
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群(上の例では S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} )が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群 S O ( m ) {\displaystyle \mathrm {SO} (m)} の場合を説明したが、 G L n ( C ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} (を自然に G L 2 n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )} の部分群とみなしたもの)や U n ( C ) {\displaystyle \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )} 、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。リー群の主バンドルの接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は接続 (ファイバー束)の項目を参照されたい。
を満たす線形写像ρのトレースに一致する。
よって特にリッチ曲率、スカラー曲率の定義は基底 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} の取り方によらない。
実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける:
定理 ― ( V , g ) {\displaystyle (V,g)} を計量ベクトル空間とし、
R , R ′ : V 3 → V {\displaystyle R,R'~:~V^{3}\to V}
を各成分に対して線形な2つの写像とする。このとき、線形独立な任意のベクトル v , w {\displaystyle v,w} に対し、
g ( R ( v , w , w ) , v ) g ( v , v ) g ( w , w ) − g ( v , w ) 2 = g ( R ′ ( v , w , w ) , v ) g ( v , v ) g ( w , w ) − g ( v , w ) 2 {\displaystyle {g(R(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}={g(R'(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}}
であれば、RとR'は同一の写像である。
まず共変外微分の概念を導入する。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、
∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ M ⊗ E ) {\displaystyle \nabla ~:~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}
をEの接続とし、
A p ( M ) := Γ ( ∧ p T ∗ M ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{p}(M):=\Gamma (\wedge ^{p}T^{*}M)} 、 A p ( E ) := Γ ( E ⊗ ∧ p T ∗ M ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{p}(E):=\Gamma (E\otimes \wedge ^{p}T^{*}M)}
とする。
定義 (共変外微分) ―
d ∇ p : A p ( E ) → A p + 1 ( E ) {\displaystyle d_{\nabla }^{p}:{\mathcal {A}}^{p}(E)\to {\mathcal {A}}^{p+1}(E)}
を
d ∇ p ( s ⊗ ω ) = ( ∇ s ) ∧ ω + s ⊗ d ω {\displaystyle d_{\nabla }^{p}(s\otimes \omega )=(\nabla s)\wedge \omega +s\otimes d\omega } for ω ∈ A p ( M ) , s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}^{p}(M),s\in \Gamma (E)}
また断面曲率は K P ( v , w ) {\displaystyle K_{P}(v,w)} という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では S e c P ( v , w ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)} という表記を採用した。
定義から明らかなように、以下が成立する:
定理 ― 断面曲率は v , w {\displaystyle v,w} が貼る平面のみに依存する。すなわち v , w {\displaystyle v,w} と v ′ , w ′ {\displaystyle v',w'} がTPM内の同一平面を貼れば以下が整理する:
S e c P ( v , w ) = S e c P ( v ′ . w ′ ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)=\mathrm {Sec} _{P}(v'.w')}
定理 ― リッチ曲率は線形写像
w → R ( w , u ) v {\displaystyle w\to R(w,u)v}
のトレースに一致し、スカラー曲率は、
R i c P ( u , v ) = g P ( ρ ( u ) , v ) {\displaystyle \mathrm {Ric} _{P}(u,v)=g_{P}(\rho (u),v)}
Loring W. Tu (2017/6/15). Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics. 275. Springer. ISBN 978-3319550824
Ben Andrews. “Lectures on Differential Geometry”. Australian National University. 2022年12月28日閲覧。
Zuoqin Wang. “LECTURE 29: CONNECTIONS AND CURVATURES”. 中国科学技術大学. 2022年12月29日閲覧。
森田茂之『微分形式の幾何学2』 14巻、岩波書店〈岩波講座 現代数学の基礎〉、2001年5月23日。ISBN 978-4000110143。https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html。
Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. VOLUME TWO (Second Edition ed.). Publish or Perish, Incorporated. ISBN 978-0914098805
Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.
∇ s : P ∈ M ↦ ∇ s | P ∈ ( T ∗ M ⊗ E ) P {\displaystyle \nabla s~:~P\in M\mapsto \nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}}
を考える事ができる。よって接続 ∇ {\displaystyle \nabla } は、Eの切断sに T ∗ M ⊗ E {\displaystyle T^{*}M\otimes E} の切断を対応させる写像
∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ M ⊗ E ) {\displaystyle \nabla :~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}
とみなせる。この事実を用いると、接続 ∇ {\displaystyle \nabla } を以下のようにも定義できる:
定義 (接続の別定義) ― R {\displaystyle \mathbb {R} } -線形写像
∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ M ⊗ E ) {\displaystyle \nabla ~:~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}
で以下の性質を満たすものをE上の接続(英: connection)という:
∇ f s = d f ⊗ s + f ∇ s {\displaystyle \nabla fs=df\otimes s+f\nabla s}
上記の2つの定義は同値であるが、後者はXを明示しない分数学的取り扱いが若干楽になる場合が多い。
.. , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} とするとき、 d d t φ a , t − 1 ( e i ( x ( t ) ) ) | t = a {\displaystyle \left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}} の行列表示は接続形式を使って ω ( d x d t ( a ) ) {\displaystyle \omega \left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)} と書ける。
すなわち
∇ s d t | t = a = d s i d t ( a ) e i ( x ( a ) ) + s i ( a ) ω i j ( d x d t ( a ) ) e j ( x ( a ) ) {\displaystyle \left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))}
の第一項、第二項はそれぞれ、 s = s i e i {\displaystyle s=s^{i}e_{i}} をライプニッツ則に従って微分したときのsの方の微分、eiの方の微分に対応していると解釈できる。
∇ {\displaystyle \nabla } をリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続とし、PをMの点とし、 v , w ∈ T P M {\displaystyle v,w\in T_{P}M} とし、さらに e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} を T P M {\displaystyle T_{P}M} の基底とする。
定義 ―
S e c P ( v , w ) := g P ( R P ( v , w ) w , v ) g P ( v , v ) g P ( w , w ) − g P ( v , w ) 2 {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関する断面曲率(英: sectional curvature)という。
定理 ― 以下の3つは同値である:
gは ∇ {\displaystyle \nabla } と両立する。
EをgによりEと自然に同一視する事で∇をEの接続と見なすと、 ∇ ∗ = ∇ {\displaystyle \nabla ^{*}=\nabla } が成立する。
∇ ∗ g = 0 {\displaystyle \nabla ^{*}g=0}
ここで ∇ ∗ g = 0 {\displaystyle \nabla ^{*}g=0} は E × E {\displaystyle E\times E} 上の双線形写像gを自然に ( E ⊗ E ) ∗ {\displaystyle (E\otimes E)^{*}} の元とみなしたときの共変微分である。
また簡単な計算から以下が従う:
定理 ― U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 上のEの局所的な基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} で正規直交なものを取るとき、gが ∇ {\displaystyle \nabla } と両立する必要十分条件は、 ∇ {\displaystyle \nabla } の接続形式ωが以下を満たす事である:
ω = t ω {\displaystyle \omega ={}^{t}\omega }
ここで「 t ω {\displaystyle {}^{t}\omega } 」はωの転置行列である。