リーマン予想
リーマン予想に関する数学の論文は、それが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。Riemann (1859) や Bombieri (2000) のように、意見を述べる人の大半は、リーマン予想は正しいと予想(あるいは少なくとも期待)している。これについて深刻に疑問を呈することを表明する人は少なく、その中には Ivić (2008) や Littlewood (1962) がいる。Ivić は懐疑的に考えている理由を並べている。また Littlewood は、誤りであると信じており、正しいという何らの証拠がない、正しいことを示す想像できる理由も全く存在しない、ときっぱり述べている。サーベイの論文 (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) の共通認識としては、リーマン予想が正しいという証拠は、強いが圧倒的ではないので、おそらく正しいであろうが、これを疑問視するのも妥当であるとしている。
1983年、J. L. Nicolas(英語版) は、無限個の n に対して
φ ( n ) < e − γ n log  ( log  n ) {\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log(\log n)}}}
であることを示した (Ribenboim 1996, p. 320)。ただし φ(n) は Euler のトーシェント関数で,γ は Euler の定数である。
Ribenboim は次のように注意している:
The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the Riemann hypothesis is true, secondly under the contrary assumption.