クリーネの不動点定理
はじめに、 L {\displaystyle L} における f {\displaystyle f} のクリーネ鎖の存在性を示す。 ⊥ {\displaystyle \bot } の最小性より ⊥ ⊑ f ( ⊥ ) {\displaystyle \bot \sqsubseteq f(\bot )} が成り立つので、この両辺に単調関数 f {\displaystyle f} (スコット連続関数はすなわち単調である)を繰り返し適用することで以下の通りクリーネ鎖 M {\displaystyle \mathbb {M} } が得られる。
⊥ ⊑ f ( ⊥ ) ⊑ f ( f ( ⊥ ) ) ⊑ ⋯ ⊑ f n ( ⊥ ) ⊑ ⋯ {\displaystyle \bot \sqsubseteq f(\bot )\sqsubseteq f(f(\bot ))\sqsubseteq \cdots \sqsubseteq f^{n}(\bot )\sqsubseteq \cdots }
これは ω-完備半順序上の ω-鎖であるから、上限 sup ( M ) {\displaystyle \sup(\mathbb {M} )} を持つ。
続いて、 sup ( M ) {\displaystyle \sup(\mathbb {M} )} が f {\displaystyle f} の不動点であることを示す。