ピックの定理
多角形 P と、一辺を P と共有する三角形 T を考える。 ピックの定理が P と T においてそれぞれ成り立つと仮定し、P に T を付加した多角形 PT においても同定理が成り立つことを示そう。
P と T は一辺を共有しているので、同辺上にあるすべての格子点は、辺の二端点を除き、内部の格子点になり、辺の二端点は辺上にある格子点になる。
共有する辺の上の格子点を c とすると、内部にある格子点について
iPT = (iP + iT) + (c − 2)
辺上にある格子点について
bPT = (bP + bT) − 2(c − 2) − 2
が成り立つ。
両式を移項整理し、
iP + iT = iPT − (c − 2)
bP + bT = bPT + 2(c − 2) + 2
である。
ここで、同定理が P と T で独立に成り立つと仮定したから、
SPT = SP + ST
= iP + 1⁄2bP − 1 + iT + 1⁄2bT − 1
= (iP + iT) + 1⁄2(bP + bT) − 2