オイラーの定数
γ = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ e δ − 1 ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e t ( e t − 1 ) e t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s ( u = e t − 1 ) = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e − t 1 − e − t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s = ∫ 0 ∞ ( e − t 1 − e − t − e − t t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{e^{\delta }-1}^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{t}}{(e^{t}-1)e^{t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\qquad (u=e^{t}-1)\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}-{\frac {e^{-t}}{t}}\right)dt\end{aligned}}}
となる。