ネーター環
環に対して、以下の 3 条件はZFC公理系のもとで同値である。
(昇鎖条件):左イデアルの任意の昇鎖列は有限回で停止する。
(極大条件):左イデアルの空でない任意の族は包含関係に関する極大元を持つ。
(有限型条件):任意の左イデアルは有限生成。
これらの条件のどれか一つ、従って全部を満たす環は左ネーター的であるあるいは左ネーター環であるという。「左イデアル」を全て「右イデアル」に置き換えても同様のことが成り立ち、右ネーター環が定義される。左ネーター的かつ右ネーター的である環は両側ネーター環と呼ぶ(単にネーター環と呼ぶこともある)が、考えている環が可換環であれば左ネーター環あるいは右ネーター環は自然に両側ネーター環となる。ゆえにネーター的可換環は単にネーター環と呼ぶ(左右の区別が明確であって誤解の虞のない場合には、左ネーター的あるいは右ネーター的であることをネーター的と省略して呼ぶこともあるので、ネーター環という用語が必ずしも可換ネーター環を意味するものというわけではない)。
可換環がネーターであるためには、任意の素イデアルが有限生成であることが十分である。