フォン・ノイマンの安定性解析
フォン・ノイマンの安定性解析は誤差のフーリエ分解に基づいている。ここでは1次元の熱伝導方程式:
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}
をFTCS法(英語版)を用い離散化した次の式の安定性を考える。
u j n + 1 = u j n + r ( u j + 1 n − 2 u j n + u j − 1 n ) {\displaystyle u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)} ・・・(1)
ただしr は拡散数
r = α Δ t Δ x 2 {\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}
で、区間の長さをL とする。差分方程式の解 u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は格子上で偏微分方程式の解析解 u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} を近似する。
丸め誤差 ε j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}} を
ε j n = N j n − u j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}
と定義する。