ブロッホ＝ドミニシスの定理
ブロッホ=ドミニシスの定理は、古典系におけるガウス過程の持つ性質を量子系に拡張したものに相当する 。実際、分布が
P n ( x 1 , ⋯ , x n ) = 1 det A exp  ( − ∑ i , j A i j ( x i − ⟨ X i ⟩ ) ( x j − ⟨ X j ⟩ ) ) {\displaystyle P_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{\sqrt {\det {A}}}}\exp {{\bigl (}-\sum _{i,j}A_{ij}(x_{i}-\langle X_{i}\rangle )(x_{j}-\langle X_{j}\rangle ){\bigr )}}}
で与えられるガウス過程を考えると
⟨ X 1 X 2 ⋯ X n ⟩ = ∑ a l l p a r t i t i o n ∏ ⟨ X i 1 ⋯ X i m ⟩ c {\displaystyle \langle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\rangle =\sum _{\operatorname {all\,\,partition} }\prod \langle X_{i_{1}}\cdots X_{i_{m}}\rangle _{c}}
が成り立つ。ここで<...>はこの分布に対する期待値、<...>cはキュムラントを表すものとする。
⟨ A 1 A 2 ⋯ A n ⟩ 0 = A 1 ∙ A 2 ∙ A 3 ∙ ∙ ⋯ A n ∙ ∙ ∙ + A 1 ∙ A 2 ∙ ∙ A 3 ∙ ⋯ A n ∙ ∙ ∙ + A 1 ∙ A 2 ∙ ∙ A 3 ∙ ∙ ⋯ A n ∙ ∙ ∙ + ⋯ {\displaystyle \langle A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\rangle _{0}=A_{1}^{\bullet }A_{2}^{\bullet }A_{3}^{\bullet \bullet }\cdots A_{n}^{\bullet \bullet \bullet }+A_{1}^{\bullet }A_{2}^{\bullet \bullet }A_{3}^{\bullet }\cdots A_{n}^{\bullet \bullet \bullet }+A_{1}^{\bullet }A_{2}^{\bullet \bullet }A_{3}^{\bullet \bullet }\cdots A_{n}^{\bullet \bullet \bullet }+\cdots }
とも表すことができる。但し、複数個の演算子の縮約については、
A ∙ B ∙ ∙ C ∙ D ∙ ∙ = ± ( A ∙ C ∙ ) ( B ∙ ∙ D ∙ ∙ ) = ± ⟨ A C ⟩ 0 ⟨ B D ⟩ 0 A ∙ B ∙ ∙ C ∙ ∙ D ∙ = ( A ∙ D ∙ ) ( B ∙ ∙ C ∙ ∙ ) = ⟨ A D ⟩ 0 ⟨ B C ⟩ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{\bullet }B^{\bullet \bullet }C^{\bullet }D^{\bullet \bullet }&=\pm (A^{\bullet }C^{\bullet })(B^{\bullet \bullet }D^{\bullet \bullet })=\pm \langle AC\rangle _{0}\langle BD\rangle _{0}\\A^{\bullet }B^{\bullet \bullet }C^{\bullet \bullet }D^{\bullet }&=(A^{\bullet }D^{\bullet })(B^{\bullet \bullet }C^{\bullet \bullet })=\langle AD\rangle _{0}\langle BC\rangle _{0}\end{aligned}}}