シュテファン＝ボルツマンの法則
I ( T ) = ∫ 0 ∞ I ν ( ν , T ) d ν = c 1 c 4 ∫ 0 ∞ ν 3 f ( ( c 2 / c ) ν / T ) d ν = c 1 T 4 c 2 4 ∫ 0 ∞ x 3 f ( x ) d x {\displaystyle I(T)=\int _{0}^{\infty }I_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu ={\frac {c_{1}}{c^{4}}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{3}f{\Big (}(c_{2}/c)\nu /T{\Big )}\,d\nu ={\frac {c_{1}T^{4}}{{c_{2}}^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{3}f(x)\,dx}
となり、積分が収束すればシュテファン=ボルツマンの法則 I∝T が導かれ、シュテファン=ボルツマン定数が
σ = c 1 c 2 4 ∫ 0 ∞ x 3 f ( x ) d x {\displaystyle \sigma ={\frac {c_{1}}{{c_{2}}^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{3}f(x)\,dx}
と計算される。
高周波数領域における近似式であるヴィーンの公式においては
f ( x ) = e − x {\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
の形をしており、積分は
∫ 0 ∞ x 3 e − x d x = Γ ( 4 ) = 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3}\,\mathrm {e} ^{-x}dx=\Gamma (4)=6}
となる。2つの放射定数がプランクの法則に基づく値と等しいとしてシュテファン=ボルツマン定数を計算すれば
σ Wien = 12 π k 4 c 2 h 3 = σ ζ ( 4 ) = σ 1.0823 ... {\displaystyle \sigma _{\text{Wien}}={\frac {12\pi k^{4}}{c^{2}h^{3}}}={\frac {\sigma }{\zeta (4)}}={\frac {\sigma }{1.0823\ldots }}}
となり、プランクの法則から導いた値と比べて少し小さい値となる。