ソボレフ不等式
ソボレフ自身によるソボレフ埋蔵定理の本来の証明は、ハーディ=リトルウッド=ソボレフの分数冪積分(英語版)定理として知られる以下の内容に従うものであった。同様の内容は (Aubin 1982, Chapter 2) においてはソボレフの補題としても知られている。証明は (Stein, Chapter V, §1.3) に見られる。
0 < α < n と 1 < p < q < ∞ を定める。Iα = (−Δ) を R 上のリースポテンシャルとする。このとき、
q := p n n − α p {\displaystyle q:={\frac {pn}{n-\alpha p}}}
に対して、p にのみ依存する定数 C が存在して、次が成り立つ:
‖ I α f ‖ q ≤ C ‖ f ‖ p . {\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}
p = 1 なら、次の弱い形式の評価が成立する:
m { x ; | I α f ( x ) | > λ } ≤ C ( ‖ f ‖ 1 λ ) q {\displaystyle m\left\{x;\ \left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C{\Big (}{\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}{\Big )}^{q}}
ここで 1/q = 1 − α/n である。
ハーディ=リトルウッド=ソボレフの補題は、リース変換とリースポテンシャルの間の関係により、本質的にソボレフの埋め込みを意味するものである。