三項系
が交換子括弧積に関して閉じており、したがってリー環となることもわかる。
記号を替えて V を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} と書くことにし、
g := k ⊕ m {\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}}
を考えると、これは括弧積を
[ ( L , u ) , ( M , v ) ] := ( [ L , M ] + L u , v , L ( v ) − M ( u ) ) {\displaystyle [(L,u),(M,v)]:=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u))}
で定めてリー環となる。この g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の分解は明らかにこの括弧積に対する対称分解であり、従って g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を付随するリー環とする連結リー群 G とその部分群 K で付随するリー環が k {\displaystyle {\mathfrak {k}}} となるものをとれば、剰余リー群 G/K は対称空間となる。
逆に、そのような対称分解(つまり対称空間のリー環)をもつリー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が与えられたとき、三項括弧積 [ [u, v], w ] によって m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をリー三重系にすることができる。