箱の中の気体
無限の深さを持つ3次元井戸型ポテンシャルでは、粒子に質量がある場合とない場合どちらにおいても、量子数の組[nx, ny, nz]によって粒子の状態の一覧表を作ることができる。 運動量の大きさは次のように与えられる。
p = h 2 L n x 2 + n y 2 + n z 2 n x , n y , n z = 1 , 2 , 3 , ... {\displaystyle p={\frac {h}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}\qquad \qquad n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3,\ldots }
ここでh はプランク定数、L は箱の1辺の長さである。 粒子の可能な状態それぞれは自然数の3次元格子の点として考えることができる。 原点から任意の点までの距離は、次のように書ける。
n = n x 2 + n y 2 + n z 2 = 2 L p h {\displaystyle n={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {2Lp}{h}}}
それぞれの量子数の組はf 個の状態を与えるとする。 ここでf は粒子の内部自由度で、衝突によって変化する。 たとえば、スピン1/2の粒子ではf=2で、上向きと下向きそれぞれのスピン状態について1個の状態を数える。 n が大きい場合、運動量の大きさがp 以下の状態数は、近似的に
g = ( f 8 ) 4 3 π n 3 = 4 π f 3 ( L p h ) 3 {\displaystyle g=\left({\frac {f}{8}}\right){\frac {4}{3}}\pi n^{3}={\frac {4\pi f}{3}}\left({\frac {Lp}{h}}\right)^{3}}
ここで ζ {\displaystyle \zeta } はリーマンゼータ関数を表す。 Λ=Λcでの温度は臨界温度である。 臨界温度以下では、上記の粒子数についての方程式は解を持たない。 臨界温度はボース=アインシュタイン凝縮が起こり始める温度である。 上述の通り、連続体近似の問題点は基底状態が無視されていることである。 しかし上記の粒子数についての方程式は、励起状態のボース粒子の数はかなりうまく表現していることがわかり、よって
N = g 0 z 1 − z + ( V f Λ 3 ) Li 3 / 2 ( z ) {\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}}+\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\textrm {Li}}_{3/2}(z)}
ここで付け加えられた項は基底状態の粒子数である(基底状態エネルギーは無視されていた)。 この方程式は温度0まで成立する。 その他の結果はボース気体を参照。