RLC回路
Z C = 1 j ω C {\displaystyle Z_{C}={1 \over {j\omega C}}} Z L = j ω L {\displaystyle Z_{L}=j\omega L\quad }
ω = ω 0 {\displaystyle \omega =\omega _{0}} のときインピーダンスの大きさがゼロになると設定し、 j 2 = − 1 {\displaystyle j^{2}=-1} を使うと次のようになる。
| Z L C | = ω 0 L − 1 ω 0 C = 0 {\displaystyle |Z_{LC}|=\omega _{0}L-{1 \over {\omega _{0}C}}=0} ω 0 2 = 1 L C ⇒ ω 0 = 1 L C {\displaystyle \omega _{0}{}^{2}={1 \over {LC}}\Rightarrow \omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}}
減衰 α は次のように定義される。まず、直列RLC回路では次のようになる。
α = R 2 L {\displaystyle \alpha ={R \over 2L}}
そして、並列RLC回路では次のようになる。
α = 1 2 R C {\displaystyle \alpha ={1 \over 2RC}}
直列RLC回路を周波数領域で解析するには、複素インピーダンスを使う。電圧源が複素振幅 V(s) で角周波数 s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega } の複素指数波形を生成するとき、キルヒホッフの電圧則を適用でき、次の式が得られる。
V ( s ) = I ( s ) ( R + L s + 1 C s ) {\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)}
ここで、I(s) は全部品を流れる複素電流である。これを I(s) について解くと
I ( s ) = 1 R + L s + 1 C s V ( s ) {\displaystyle I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)}
となり、これを変形すると次のようになる。
I ( s ) = s L ( s 2 + R L s + 1 L C ) V ( s ) {\displaystyle I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)}
複素アドミッタンス
次に、複素アドミッタンス Y(s) を求める。
Y ( s ) = I ( s ) V ( s ) = s L ( s 2 + R L s + 1 L C ) {\displaystyle Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}}
発振回路に応用する場合、減衰(あるいは減衰係数)が小さければ小さいほど好ましい。実際、直列RLC回路の発振回路ではなるべく R を小さくし、並列RLC回路では R をなるべく大きくする。どちらの場合もRLC回路は理想的なLC回路のよい近似となる。
一方バンドパスフィルタに応用する場合、減衰係数の値をうまく選択することでフィルタの通過帯域幅を設定できる。帯域幅を広くするには減衰係数を大きくすればよい(逆も同様)。これは実際の回路では R と L の値を調整することでなされる。
この回路の複素アドミッタンスは各部品のアドミッタンスの総和で求められる。
1 Z = 1 Z L + 1 Z C + 1 Z R = 1 j ω L + j ω C + 1 R {\displaystyle {1 \over Z}={1 \over Z_{L}}+{1 \over Z_{C}}+{1 \over Z_{R}}={1 \over {j\omega L}}+{j\omega C}+{1 \over R}}
また、この回路の複素インピーダンスは、各部品の複素インピーダンス全体の並列(英語版)で求められる。
Z = Z L ∥ Z C ∥ Z R = j ω L ∥ 1 j ω C ∥ R {\displaystyle Z={Z_{L}}\parallel {Z_{C}}\parallel {Z_{R}}={j\omega L}\parallel {\frac {1}{j\omega C}}\parallel {R}}
直列配置と並列配置の違いは、その動作にも直接関係する。電流 I = V Z {\displaystyle I={V \over Z}} をグラフで描画してみるとそれが一目でわかる。比較のため、上のグラフと同じように R = 1 オーム、C = 1 ファラド、L = 1 ヘンリー、V = 1.0 ボルトとし、ω をラジアン毎秒としたグラフが下図である。
電流が最小になる周波数が共振周波数であり ω 0 = 1 L C {\displaystyle \omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}} である。
並列RLC回路はバンドストップ回路応答を示し、共振周波数付近の帯域をブロックするフィルタの役目を果たす。