反傾表現
が要求される。反傾表現の定義から、
⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ ρ ( g − 1 ) T φ , ρ ( g ) v ⟩ = ( ρ ( g − 1 ) T φ ) T ρ ( g ) v = φ T ρ ( g − 1 ) ρ ( g ) v = φ T v = ⟨ φ , v ⟩ {\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }
となり、整合性を持つことが確かめられる。
リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。
G {\displaystyle G} が群で、 ρ {\displaystyle \rho } がベクトル空間 V {\displaystyle V} 上の G {\displaystyle G} の線型表現であるとき、反傾表現(はんけいひょうげん、英: contragredient representation)あるいは双対表現(そうついひょうげん、英: dual representation) ρ ∗ {\displaystyle \rho ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 上定義される:
ρ ∗ ( g ) {\displaystyle \rho ^{*}(g)} は ρ ( g − 1 ) {\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)} の転置である、つまり、すべての g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して ρ ∗ ( g ) = ρ ( g − 1 ) T {\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}} である。