数列
∏ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}
∏ n = 1 ∞ ( 1 + u n ) ∼ 1 + ∑ n = 1 ∞ u n + ∑ n 1 , n 2 u n 1 u n 2 + ⋯ {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+u_{n})\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}+\sum _{n_{1},n_{2}}u_{n_{1}}u_{n_{2}}+\cdots }
log  ∏ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ log  ( a n ) {\displaystyle \log \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}
σ i := ∑ ( m , n ) ∈ K i a m , n {\displaystyle \sigma _{i}:=\sum _{(m,n)\in K_{i}}a_{m,n}}
が有限和または絶対収束級数であるならば、
∑ m , n a m , n = σ 1 + σ 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{m,n}a_{m,n}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\cdots }
の収束性についての考察に帰着される。Λ の整列順序の入れ方あるいは分解の仕方に依らず一定の和を持つならば、二重級数は無条件収束するという。たとえばこのとき
lim m → ∞ n → ∞ ∑ i = 1 m ∑ k = 1 n a m , n = ∑ m = 1 ∞ ( ∑ n = 1 ∞ a m , n ) = ∑ n = 1 ∞ ( ∑ m = 1 ∞ a m , n ) = ∑ k = 1 ∞ ( ∑ m + n = k a m , n ) {\displaystyle \lim _{m\to \infty \atop n\to \infty }\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\sum _{m+n=k}a_{m,n}\right)}
が成立する(フビニの定理を参照)。