二個の平方数の和
であるから、 p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} であれば r 2 ≡ − 2 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -2\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならえば
x 2 + 2 y 2 ≡ 0 ( mod p ) , 0 < x 2 + 2 y 2 < 3 p {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+2y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+2y^{2}<3p\\\end{aligned}}}
となり、故に
x 2 + 2 y 2 = f p ( f ≦ 2 ) {\displaystyle x^{2}+2y^{2}=fp\quad (f\leqq 2)}
となる。 f = 2 {\displaystyle f=2} の場合は両辺を2で除して
2 ( x 2 ) 2 + y 2 = p {\displaystyle 2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+y^{2}=p}
となる。合成数については x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならう。