ノイマン級数
バナッハ空間 X の元u、v と線形作用素 A で与えられる方程式
u = A u + v {\displaystyle u=Au+v\,}
を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は
( I − A ) u = v {\displaystyle (I-A)u=v\,}
と変形できることから、逆作用素 (I − A) が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
u = A ( A u + v ) + v = A 2 ( A u + v ) + A v + v = v + A v + ⋯ + A n v + A n + 1 u {\displaystyle {\begin{aligned}u&=A(Au+v)+v\\&=A^{2}(Au+v)+Av+v\\&=v+Av+\cdots +A^{n}v+A^{n+1}u\end{aligned}}}
となる。従って、Au の項が無視できるとすると
A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素とする(A ∈ B(X))。このとき、A の作用素ノルム ||A|| が ||A|| < 1 を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられる I − A は1対1で (I − A) が有界作用素として存在するとともに、
( I − A ) − 1 = I + A + A 2 + A 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ A n {\displaystyle {\begin{aligned}(I-A)^{-1}&=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}\end{aligned}}}
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
‖ ( I − A ) − 1 ‖ ≤ 1 1 − ‖ A ‖ {\displaystyle \|(I-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{1-\|A\|}}}
と評価される。
これは、|x| < 1 なる x ∈ C についての等比級数