分配函数 (数学)
点 β {\displaystyle \beta } は空間を形成すると解釈され、特にこの空間は多様体となる。この多様体はどのような構造を持つかという疑問が当然に起きる。これを情報幾何学という。
ラグランジュ未定乗数に関する多重微分は、半正定値の分散共分散行列を引き起こす。
g i j ( β ) = ∂ 2 ∂ β i ∂ β j ( − log  Z ( β ) ) = ⟨ ( H i − ⟨ H i ⟩ ) ( H j − ⟨ H j ) ⟩ {\displaystyle g_{ij}(\beta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{i}\partial \beta ^{j}}}\left(-\log Z(\beta )\right)=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\right)\rangle }
この行列は半正定値行列で、計量テンソルと解釈され、リーマン計量と見なせる。このことにより、上記の方法で計量を持つラグランジュ未定乗数の空間は、リーマン多様体となることが分かる。 この多様体の研究は「情報幾何学」と呼ばれ、上記の計量はフィッシャー情報計量(英語版)と呼ばれる。上記では β {\displaystyle \beta } は多様体上の座標である。