怠け仕出し屋の数列
最大数の破片を作るために円をn回カットする場合、p = ƒ(n)と表しn番目のカットを考慮する必要がある。最後のカットの前の破片の数はƒ(n − 1)であり、最後のカットにより加わった破片の数はnである。
破片の最大数を得るには、n番目のカットラインが園内の他の全てのそれまでのカットラインと交差する必要があるが、それまでのカットラインの交点は交わらない。それゆえn番目の線自体はn-1個の場所で切られ、n個の線分に分けられる。各線分はn-1本で切られたパンケーキの1つのピースを2つに分割し、ピースの数はn増える。新たな線は前からある各線を一度だけ横切ることができるため、これ以上区分を増やすことはできない。既にある交点ではない点を中心にナイフを小さな角度で回転させると、角度が十分小さい場合、追加する最後の線含む前からある線すべてと交差するため、カット線は、前からある線全てを常に横切ることができる。
よって、n回カットした後のピースの総数は
f ( n ) = n + f ( n − 1 ) . {\displaystyle f(n)=n+f(n-1).}
と表される。この漸化式は解くことができ、ƒ(n − 1) を1項展開すると関係式は