多項式補間
補間点 x0, ..., xn を設定し、全ての補間ノードが区間 [a, b] にあるとする。補間とはすなわち、関数 f から多項式 p への写像をする過程である。これにより、[a, b] 上の全ての連続関数の空間 C([a, b]) からそれ自身への写像 X を定義する。写像 X は線型であり、n次以下の多項式の部分空間 Πn 上の射影である。
ルベーグ定数 L は X の作用素ノルムとして定義される。それは次のようになる(ルベーグの補題の特殊ケース)。
‖ f − X ( f ) ‖ ≤ ( L + 1 ) ‖ f − p ∗ ‖ {\displaystyle \|f-X(f)\|\leq (L+1)\|f-p^{*}\|}
言い換えれば、補間多項式は最良の近似に比べて最大で係数 (L+1) のぶんだけ悪い。従って補間ノード集合は L が小さいほどよいことを示唆している。特にチェビシェフノードは次のようになる。
L ≥ 2 π log  ( n + 1 ) + C for some constant C . {\displaystyle L\geq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+C\quad {\mbox{for some constant }}C.}
つまり、チェビシェフノードは多項式補間には最適の選択であり、同程度の良さを等間隔ノードで実現しようとすると n を指数関数的に成長させる必要がある。しかし、それらノードは最適ではない。