数え上げ数学
写像12相は順列、組合せおよび分割の数え上げに対する統一的な枠組みを与える。
最も単純な種類のパターンではそのような計数函数が、四則演算や冪あるいは階乗などの初等的な函数の合成となるような、閉じた形の式(英語版)として与えられる。例えば、n 枚のカードからなる山札に対して、可能なすべての相異なる並べ方の総数は f(n) = n! で与えられる。このような閉じた式を求める問題は代数的組合せ論(英語版)とも呼ばれ、しばしば漸化式や母函数を導いてそれらを適切に解くことにより所望の閉じた形へ到達する。
閉じた形の式が複雑になると、算える対象の数の増加に伴って計数函数がどのように振る舞うかが洞察しづらくなることがよく起きる。そのような場合においては、単純な漸近的(英語版)近似が有効となりうる。ここで函数 g(n) が f(n) の漸近近似である: f(n) ∼ g(n) とは、f(n)/g(n) → 1 (n → ∞) が成り立つことを言う。