合同ゼータ関数
G と Z の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる(例えば、以下の Z の無限積の公式を参照)。実際は、(一般の代数多様体に対しても、)この方法は、V が有限体上の楕円曲線 V の場合のように、Z は t の有理関数となっている。
関数 Z は多重のとなっていて、大域的ゼータ関数(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、p が全ての素数を渡るときの体 Z/pZ の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数 t は p が代入される。この s はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。
このように理解すると、例で使われた 2つの場合の Z の積は、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} と ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)} となる。
まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を X = 0 とする。この定義方程式は、拡大次数 k がどのような値であっても、方程式の解の数は、Nk = 1 となる。このことから全ての k に対し、形式的べき級数の各係数が 1 である場合と、V を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、
G ( t ) = − log  ( 1 − t ) {\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}
は、|t | < 1 に対する対数の展開であり、
Z ( t ) = 1 ( 1 − t ) {\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}}
となる。
さらに興味深い例は、V を F 上の射影直線(projective line)としたときである。F が q 個の元を持つとすると、この多様体は q + 1 個の点を持ち、この +1 個は無限遠点と考えるべきである。このことから、
N k = q k + 1 {\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}
となり、|t | が充分小さいとき、