ワイルの指標公式
複素半単純リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の既約表現 V の指標は次で与えられる:
ch  ( V ) = ∑ w ∈ W ε ( w ) e w ( λ + ρ ) e ρ ∏ α ∈ Δ + ( 1 − e − α ) {\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )}}{e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}}}
ここで
W はワイル群,
Δ はルート系 Δ の正ルート全体からなる部分集合,
ρ は正ルートの half sum,
λ は既約表現 V の最高ウェイト(英語版),
ε(w) はカルタン部分環 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 上の w の作用の行列式.これは ( − 1 ) l ( w ) {\displaystyle (-1)^{\ell (w)}} に等しい,ただし l ( w ) {\displaystyle \ell (w)} はワイル群の元の長さであり,w を単純ルートに関する鏡映の積で表す最小の個数と定義される.
ワイルの分母公式を用いて,指標公式は次のように書きなおすことができる:
数学において,表現論におけるワイルの指標公式(英: Weyl character formula)はコンパクトリー群の既約表現の指標を最高ウェイト(英語版)のことばで記述する.Hermann Weyl (1925, 1926a, 1926b) によって証明された.
定義により,G の表現 r の指標は群 G の元 g の関数としての r(g) のトレースである.この場合既約表現はすべて有限次元である(これはピーター・ワイルの定理(英語版)の一部である).よってトレースの概念は線型代数学の通常のものである.r の指標 ξ を知ることは r 自身の良い代替であり,アルゴリズム的内容を持ち得る.ワイルの公式は G から構成される他の対象と G のリー環のことばで ξ を閉じた式(英語版)で表す.ここで問題の表現は複素でありしたがって一般性を失うことなくユニタリ表現である;したがって既約は直既約,つまり2つの部分表現の直和でないことと同じ意味である.
単位元のトレースへの特殊化により,ワイルの指標公式は最高ウェイト Λ の有限次元表現 VΛ の次元に対するワイルの次元公式
dim  ( V Λ ) = ∏ α ∈ Δ + ( Λ + ρ , α ) ∏ α ∈ Δ + ( ρ , α ) {\displaystyle \dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}
を与える.(いつもどおり,ρ はワイルベクトルであり,積は正ルート α を走る.)特殊化は全く自明ではない,なぜならばワイルの指標公式の分子と分母はともに単位元において高次に消えるから,単位元に近づく元のトレースの極限を取る必要があるからである.
ハンス・フロイデンタール (Hans Freudenthal) の公式はワイルの指標公式と同値なウェイトの重複度の再帰的公式であるが,和の項がはるかに少なく,計算に用いるのが容易なことがある.それは次のような公式である:
( ‖ Λ + ρ ‖ 2 − ‖ λ + ρ ‖ 2 ) m Λ ( λ ) = 2 ∑ α ∈ Δ + ∑ j ≥ 1 ( λ + j α , α ) m Λ ( λ + j α ) {\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}
ただし
Λ は最高ウェイトで,
λ は何か別のウェイトで,
mΛ(λ) は既約表現 VΛ におけるウェイト λ の重複度で,
ρ はワイルベクトルで,
最初の和はすべての正ルート α を渡る.