数値的安定性
安定性の定式化方法にはいくつかの種類がある。以下に述べる前方 (forward)、後方 (backward)、混合 (mixed) 安定性の定義は数値線形代数でよく使う。
数値アルゴリズムで解くべき問題を関数 f でデータ x から解 y への写像を得るという形にモデル化する。実際にアルゴリズムで得られる解を y* とすると、一般に真の解 y とは逸脱している。誤差の主な原因は丸め誤差や離散化誤差、モデルの誤差などである。アルゴリズムの「前方誤差」とは、結果と真の解の差、すなわち Δy = y* − y である。「後方誤差」とは、f(x + Δx) = y* となるような最小の Δx である。つまり後方誤差とは、我々が実際にはどういう問題を解いたのかを知らせてくれる値である。前方誤差と後方誤差は条件数で関連付けられている。前方誤差は、条件数のオーダーと後方誤差のオーダーを掛けたものを上限とする。
多くの場合、絶対誤差 Δx よりも、以下のような「相対誤差」を考慮するほうが自然である。