テンソル空間
これはつまり非零な完全分解可能テンソルである。添字記法で書けば、階数 1 のテンソルとは
T i j ... k l ... = a i b j ⋯ c k d l ⋯ {\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots }
なる形のテンソルということになる。任意のテンソルは単純テンソルの和に書くことができ、一般のテンソル T の階数はそれを単純テンソルの和に表すときの項数の最小値として定義される。
零テンソル(英語版)は階数 0、次数 1 の非零テンソルは常に階数 1 である。次数 2 以上の非零テンソルの階数は、それを単純テンソルの和に書いたときに現れるベクトルの最大サイズ未満の全ての値を取り得る。次数 2 のテンソルの階数は、そのテンソルを行列と見做してとった行列の階数に一致するから、ガウスの消去法などから決定することができる。次数 3 以上のテンソルの階数は決定するのが非常に困難であることがほとんどであり、低階数のテンソル分解は実用上非常に注目される。
テンソル空間 T mn (V) は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。それによって、多くの線型写像が「自然」あるいは「幾何学的」(つまり基底の取り方に依らない)ことを示す手段が与えられるという点で、この特徴付けは優位である。また、テンソル積は自由加群に対してのみ用いるものではないが、普遍性を用いる方法によればより一般の場合にまで容易に持ち込めるという側面もある。
ベクトル空間の直積(あるいは直和)上で定義された実数値函数
f : V 1 × V 2 × ⋯ × V N → R {\displaystyle f\colon V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{N}\to \mathbb {R} }
が多重線型であるとは、各引数に関して線型となることをいう。V1 × V2 × ... × VN から W への N-重線型写像全体の成すベクトル空間を L(V1 , V2, ..., VN; W) と書くことにする。N = 1 のとき N-重線型であることは通常の線型写像となることであり、V から W への線型写像全体の成す空間は L(V; W) である。