行列の対数
j < i {\displaystyle j<i} のとき ( log  ( J n ( λ ) ) ) i j = 0 {\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ij}=0} 、 ( log  ( J n ( λ ) ) ) i i = log  ( λ ) {\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ii}=\log(\lambda )} 、 j > i {\displaystyle j>i} のとき ( log  ( J n ( λ ) ) ) i j = ( − 1 ) j − i − 1 ( j − i − 1 ) ! λ − j + i {\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ij}=(-1)^{j-i-1}(j-i-1)!\lambda ^{-j+i}}
である。
このことは、次のことからわかる。 j > i {\displaystyle j>i} のとき、ジョルダン細胞の i j {\displaystyle ij} 成分は、 λ {\displaystyle \lambda } を変数とみて、 i i {\displaystyle ii} 成分を j − i {\displaystyle j-i} 回微分したものとなっている。
数学において、行列の対数(ぎょうれつのたいすう、英語: Logarithm of a matrix)とは、行列の指数関数を施したとき与えられた行列と一致するようなもう一つの行列をいう。つまり行列の対数函数は、スカラー変数スカラー値の対数函数の一般化であり、また行列の指数関数のある意味での逆関数を与えるものとなる。必ずしも全ての行列がその対数を持つわけではなく、また対数を持つ場合であっても複数の行列を対数として持ち得る。対数を持つ行列は何らかのリー群に属し、かつ、その対数はそのリー群に付随するリー代数の元に対応するため、行列の対数函数の研究はリー理論(英語版)につながる。
を用いれば
ln  B = ln  ( λ ( I + K ) ) = ln  ( λ I ) + ln  ( I + K ) = ( ln  λ ) I + K − K 2 2 + K 3 3 − K 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln B=\ln(\lambda (I+K))=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }
を得る。一般には、この級数は任意の行列 K に対して収束するわけではない(絶対値が 1 より大きい任意の実数に対して収束しないのと同様)が、今の場合に限っては K は冪零行列であるから、実際には有限項しかない(K の次元が m なら K は零行列である)。
このやり方で、例えば
ln [ 1 1 0 1 ] = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle \ln \!{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}
を得る。