リウヴィルの定理 (物理学)
定理はよくポアソンの括弧のことばで、
∂ ρ ∂ t = − { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}}
あるいは、リウヴィル作用素やリウヴィリアンのことばで、
i L ^ = ∑ i = 1 n [ ∂ H ∂ p i ∂ ∂ q i − ∂ H ∂ q i ∂ ∂ p i ] = { ⋅ , H } {\displaystyle \mathrm {i} {\hat {\boldsymbol {L}}}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}}
を、
∂ ρ ∂ t + i L ^ ρ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\hat {\boldsymbol {L}}}}\rho =0}
として言い換えることがよくある。
との差異に注意する。ここに H はハミルトニアンで、ハミルトンの方程式が使われている。相空間を系の点の「流体のフロー」とみなすと、「速度場」 ( p ̇ , q ̇ ) {\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})} が相空間の中では発散が 0 である(ハミルトンの関係式により)ということに注意すると、密度の物質微分 d ρ / d t {\displaystyle \mathrm {d} \rho /\mathrm {d} t} が 0 であることが、連続の方程式に従う。
もうひとつの別な説明は、相空間を通る点の集まりの軌跡を考えることである。ある座標 – pi の中の集まりの流れ、いわば – は、対応する q 方向へ収縮し、積 ΔpiΔq が定数のままであることを、直接示すことができる。
同じことであるが、保存カレントの存在は、ネーターの定理を通して、対称性の存在を導く。対称性は時間変換に対し不変で、対称性の生成子(もしくは、ネーター・カレントはハミルトニアンである。