秘密分散
家族4人が合意すれば、 s = v 1 ⊕ v 2 ⊕ v 3 ⊕ v 4 {\displaystyle s=v_{1}\oplus v_{2}\oplus v_{3}\oplus v_{4}} を計算することで、A氏の財産を得ることができる。 一方、4人のうち誰か1人でも合意しなければ(一つの v i {\displaystyle v_{i}} が未知であれば)、残りの家族は財産の在りかについて全く分からない。 このように、全てのシェアを足し合わせることで秘密情報を復元できるように分割する方法は、加法的秘密分散法と呼ばれる。
このシェアの生成方法では、A氏が妻との旅行中に災難に遭うと、子供たちは財産を得ることができない。もし「4人全員が合意したときのみ」という条件を「4人のうち3人以上が合意したときのみ」としたい場合は、(3,4)-しきい値法を用いればよい。(3,4)-しきい値法では、4つのシェアが生成され、3つのシェアからは秘密情報が復元でき、2つ以下のシェアを集めても秘密情報については何もわからない。同様に、(2,4)-しきい値法を用いれば、A氏は「4人のうち2人以上が合意したときのみ」隠し財産が得られるようにシェアを生成することができる。 (具体的なシェア生成手順は後述するシャミアの方法やブラークリーの方法を参照。)
また、「妻と子供一人以上」または「子供三人」が合意したときのみ、秘密情報を復元できるように設定することも可能である(妻だけ、あるいは子供二人だけでは、財産の横取りはできない)。
具体的な秘密分散法を紹介する。これらは全て情報理論的安全な方式である。
しかしそのようにしてしまうと、たった一つのシェア(直線)から、暗証番号の候補が狭まってしまい、必要な安全性が満たされない。
一般のしきい値 t の場合でも同様である。秘密情報 s は t 次元空間上の一点 (r1,r2,...,rt-1, s) を定め(各 ri は全てランダム)、シェアはその点を通るランダムな異なる (t-1) 次元超平面である。
ブラークリーの方式は、シャミアの方式と比較して空間効率が悪い。シャミアの方式の場合は、各シェアは秘密情報と同じサイズであるが、ブラークリーの方式では、しきい値が t ならば各シェアは秘密情報の t 倍の長さになる。 ブラークリーの方式は、シェアとして使える平面に対して制約を設けることで、効率を上げることができる。この効率化によって得られる方式は、多項式補完を用いたシャミアの方式と等価である。
秘密分散法は、極めてセンシティブかつ重要な機密情報を保存するのに役立つ。このような重要な情報としては、暗号を復号するための鍵、ミサイル発射コード、暗証番号などが挙げられる。これらの機密情報は、漏洩した場合の被害が大きいだけでなく、紛失してしまった場合のダメージも大きい。いわゆる暗号化だけでは、高い機密性と信頼性を共に達成することはできない。(秘密分散を利用せずに)復号用の鍵の保存場所を考える場合、機密性を高めるために鍵を一か所で保管しておくか、あるいは信頼性を高めるために鍵のコピーを複数箇所に保存するか、どちらかを選ばざるを得ない。信頼性を高めるために多くの鍵のコピーを作ってしまうと、漏洩のリスクが高まり、機密性は低下する。秘密分散法は、この問題を解決することができる。すなわち、高い機密性と高い信頼性と同時に達成することができる。
秘密分散法は、クラウドコンピューティングにおいても重要である。しきい値秘密分散法を用いて、鍵をたくさんのクラウドサーバーの間で共有しておけば、必要な時に鍵を復元することができる。 また、センサーネットワークにおいて活用することも提案されている。センサーネットワークでは通信路が盗聴されやすいが、送信データをシェアに分割してから送信することによって、盗聴者が仕事をしにくくすることができる。このような環境では、シェアの生成方法を次々に変更していくことによって、安全性を高めることができる。