局所連結空間
以下の結果は定義からほとんどすぐに従うがかなり有用である。
補題: X を空間とし、 { Y i } {\displaystyle \{Y_{i}\}} を X の部分集合の族とする。 ⋂ i Y i {\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}} は空でないとする。すると、各 Y i {\displaystyle Y_{i}} が連結(resp. 弧状連結)であれば、和集合 ⋃ i Y i {\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}} は連結(resp. 弧状連結)である。
さて位相空間 X 上の 2 つの関係を考える: x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} に対し、次のように書く:
x と y を両方含む X の連結部分集合が存在すれば x ≡ c y {\displaystyle x\equiv _{c}y}
x と y を両方含む X の弧状連結部分集合が存在すれば x ≡ p c y {\displaystyle x\equiv _{pc}y}
明らかに関係は両方とも反射的かつ対称的である。さらに、x と y が連結(resp. 弧状連結)部分集合 A に含まれ、y と z が連結(resp. 弧状連結)部分集合 B に含まれていれば、補題によって A ∪ B {\displaystyle A\cup B} は連結(resp. 弧状連結)部分集合であって x, y, z を含む。したがって各関係は同値関係であり、同値類への X の分割を定義する。これらの 2 つの分割を順に考える。