二次方程式
数学定数の中で、定義が特別な二次方程式であるものがある。
1の虚立方根 ω(x + x + 1 = 0 の解 x = − 1 ± 3 i 2 {\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}\,i}{2}}} (2つのどちらでもよい)) 三次方程式の解、アイゼンシュタイン整数 など
貴金属数 黄金数 φ(x − x − 1 = 0 の正の解 x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,} ) フィボナッチ数 など
x 2 + p x = ( x + p 2 ) 2 − ( p 2 ) 2 {\displaystyle x^{2}+px=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}
より、
x 2 + p x + q = ( x + p 2 ) 2 − ( p 2 4 − q ) {\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p^{2}}{4}}-q\right)}
y = x + p 2 , m = p 2 4 − q {\displaystyle y=x+{\frac {p}{2}},m={\frac {p^{2}}{4}}-q} と置いてやると
x 2 + p x + q = 0 ⟺ y 2 − m = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0\iff y^{2}-m=0}
となり、変数 y に関する標準形の方程式が得られる。
平方完成の技法は、この他にも、円錐曲線の標準化などに用いられる。