ハートレー変換
上述の定義はハートレーによる元々の定義と一致するものである。しかし、様々な些細な点が慣例上の問題となっており、それらは本質的な性質を脅かすことなく変更することも出来る:
元の変換と逆変換を等しいものとする代わりに、元の変換から係数 1 / 2 π {\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}} を除き、その代わりに逆変換に係数 1 / 2 π {\displaystyle {1}/{2\pi }} を付けることも出来る。あるいは、実際、積が 1 / 2 π {\displaystyle {1}/{2\pi }} となるような組み合わせならどのような係数を用いて正規化してもよい(上の例のような非対称的な正規化は、純粋数学および工学のいずれの分野においても用いられる)。
ω t {\displaystyle \omega t} の代わりに 2 π ν t {\displaystyle 2\pi \nu t} を用いることも出来る(すなわち、角周波数ではなく周波数を用いることも出来る)。そのような場合、係数 1 / 2 π {\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}} は完全に取り除かれる。
積分核として、cos+sin の代わりに cos−sin を用いることも出来る。
実数値関数 f(t) のハートレー変換は
H ( ω ) = { H f } ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) cas ( ω t ) d t {\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t}
により定義される。ここで、応用の場面での ω {\displaystyle \omega } の意味は角周波数であり、
cas ( t ) = cos  ( t ) + sin  ( t ) = 2 sin  ( t + π / 4 ) = 2 cos  ( t − π / 4 ) {\displaystyle {\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,}
は「余弦正弦(cosine-and-sine)」あるいは「ハートレー核」と呼ばれるものである。工学において、この変換は信号(関数)を時間領域からハートレースペクトル領域(周波数領域)へと写す。
ハートレー変換は、それ自身が逆変換(対合)であるという便利な性質を持つ。すなわち
f = { H { H f } } {\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}}
が成立する。