外積代数
で、その商が
F p + 1 / F p = ⋀ k − p ( U ) ⊗ ⋀ p ( W ) {\displaystyle \textstyle F^{p+1}/F^{p}=\bigwedge ^{k-p}(U)\otimes \bigwedge ^{p}(W)}
なるものを持つ。特に、U が 1 次元ならば
0 → U ⊗ ⋀ k − 1 ( W ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( W ) → 0 {\displaystyle \textstyle 0\to U\otimes \bigwedge ^{k-1}(W)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(W)\to 0}
は完全であり、W が 1 次元ならば
0 → ⋀ k ( U ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( U ) ⊗ W → 0 {\displaystyle \textstyle 0\to \bigwedge ^{k}(U)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(U)\otimes W\to 0}
が完全である。