二元数
同型を除いて、実数体上二次元の単位的多元環は通常の複素数体、分解型複素数環、二重数環のちょうど3種類しかない。
証明 — 実数体上二次元の単位的多元環を A とし、実数体上の基底 {1, u} をとれば、適当な実数 a, b を用いて
u 2 = a + b u {\displaystyle u^{2}=a+bu}
となる。平方完成を施して
u ~ 2 = a + b 2 4 ( u ~ := u − b 2 ) {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a+{\frac {b^{2}}{4}}\quad \left({\tilde {u}}:=u-{\tfrac {b}{2}}\right)}
と書くことができるから、右辺が実数値であることに注意すれば、その値に従って以下の三分律が成り立つ:
4a = −b のとき、従って ũ = 0。このとき、ũ ↦ ε は A と二重数環との同型を与える。
4a > −b のとき、正の実数 c := √a + ⁄4 が取れて、v := 1/cũ は v = +1 を満たす。このとき、v ↦ j は A と分解型複素数環との同型である。
4a < −b のとき、正の実数 d := √⁄4 − a が取れて、w = 1/dũ は w = −1。このとき、A と複素数体との同型は w ↦ i によって定まる。