選点法
F h ( v ) = h ∑ j = − ∞ ∞ e i ξ x j v j , ξ ∈ [ − π / h , π / h ] {\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}(v)=h\sum _{j=-\infty }^{\infty }e^{i\xi x_{j}}v_{j},\;\xi \in [-\pi /h,\pi /h]}
そして対応する逆変換は
( F h − 1 ( v ^ ) ) j = 1 2 π ∫ − π / h π / h e i ξ x j v ^ ( ξ ) d ξ , j ∈ Z {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{h}^{-1}({\hat {v}}))_{j}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi /h}^{\pi /h}e^{i\xi x_{j}}{\hat {v}}(\xi )d\xi ,\;j\in \mathbb {Z} }
である。上述の近似から、次の時刻 tn+1 での近似解がわかる。
また、グリッド関数を空間全体に周期的に拡張する代わりに、そのまま離散フーリエ変換を使って近似することも可能である。この方法は高速フーリエ変換を活用できるため、計算速度が相応に上がる。離散フーリエ変換は以下のように定義される。
( F ( v ) ) j = 1 N ∑ k = 0 N v k e i j x k , j = 0 , ± 1 , ... , ± N / 2 {\displaystyle ({\mathcal {F}}(v))_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N}v_{k}e^{ijx_{k}},\;j=0,\pm 1,\ldots ,\pm N/2}