ペアノの公理
自然数の乗法は次のように再帰的に定義される。
n ⋅ 0 = 0 {\displaystyle n\cdot 0=0}
n ⋅ S ( m ) = n ⋅ m + n {\displaystyle n\cdot S(m)=n\cdot m+n}
集合 N^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (N^, 0^, S^) をペアノ構造(Peano structure)という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる、つまりペアノの公理は範疇的(categorical)であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム=スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。