有理数
有理数(ゆうりすう、英: rational number)とは、整数の比(英: ratio)として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数(分母≠0)として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
が成り立つので、Q における加法および乗法は剰余類 a/b, c/d 各々の代表元 (a, b), (c, d) のとり方に依らない。(0, 1), (1, 1) の属する同値類 0/1, 1/1 が Q における零元および単位元となることが確かめられ、マイナス元と逆元が上述のように得られるので、これで Q における上述のような四則が全て形式的に正当化される。また、写像 ι を
ι : Z → Q = E / ∼ ; m ↦ m 1 {\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} =E/\sim {};\ m\mapsto {m \over 1}}
と定めると ι は単射で、E において (m, 1) + (n, 1) = (m + n, 1) および (m, 1) × (n, 1) = (mn, 1) が成り立つ(さらに ι(1) = 1/1 であるから ι は単位的環の準同型となる)から Z は ι によって演算まで込めて Q に埋め込まれる。そこで整数 m と剰余類 m/1 を同一視して Q は Z を含むものと考える。
以上の構成は、一般の整域の商体の構成にもほぼそのままに適用できる方法であり、したがって「Q は Z の商体である」などということができる。