ローレンツ空間
L 1 , ∞ {\displaystyle L^{1,\infty }} において三角不等式が成立しない具体例として、次を考える。
f ( x ) = 1 x χ ( 0 , 1 ) ( x ) and g ( x ) = 1 1 − x χ ( 0 , 1 ) ( x ) . {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x).}
これらの L 1 , ∞ {\displaystyle L^{1,\infty }} 準ノルムの値は 1 であるが、それらの和 f + g {\displaystyle f+g} の準ノルムの値は 4 である。
空間 L p , q {\displaystyle L^{p,q}} は、 q < r {\displaystyle q<r} ならばいつでも L p , r {\displaystyle L^{p,r}} に含まれる。ローレンツ空間は、 L 1 {\displaystyle L^{1}} と L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} の間の実補間空間(英語版)である。
ローレンツ空間の準ノルムは、その定義により、函数 f {\displaystyle f} の値の再配分(rearranging)の下で不変である。特に、ある測度空間 ( X , μ ) {\displaystyle (X,\mu )} 上で定義される複素数値可測函数 f {\displaystyle f} が与えられたとき、その減少再配分(decreasing rearrangement)函数 f ∗ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]} は次で定義される:
f ∗ ( t ) = inf { α ∈ R + : d f ( α ) ≤ t } . {\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}.}
但し d f {\displaystyle d_{f}} は、次のような f {\displaystyle f} のいわゆる分布函数(distribution function)である:
d f ( α ) = μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | > α } ) .