解析関数
数学において、解析関数(かいせきかんすう)とは、各点で収束冪級数で与えられる関数のことである。
複素関数については、もし一変数複素関数 f が複素領域の点 c を中心とする開近傍 D で正則であれば、同じ開近傍内で任意の階数の導関数が存在し、冪級数
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( c ) n ! ( z − c ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(c) \over n!}(z-c)^{n}}
が D 内の全ての点で f(z) に収束するので(複素)解析的である。そして複素平面上の定義域内のすべての点で解析的な関数を解析関数という。従って複素関数においては正則関数と解析関数は(驚くべきことに)全く同じ概念である。このことは、複素関数が実関数と比べ良い挙動を示すという重要な性質である。 結果として、定義域を複素平面上の一つの領域に限れば、複素解析では解析関数は正則関数と同義となる。
多変数の複素関数は、もしその関数がその各変数での収束冪級数で局所的に展開可能なときに解析的または正則と定義される。この条件はコーシー・リーマンの関係式より強い条件である。
一方で局所的に冪級数で与えられた実変数の関数を実解析関数というが、実関数では微分可能性だからといって実解析関数とは全く限らない。