黄金比
五次方程式 x − 1 = 0 を解く過程で黄金数が出現する。
(x − 1)(x + x + x + x + 1) = 0
(x − 1)(x + φx + 1)(x + (1 − φ)x + 1) = 0
この後は x − 1 = 0 と2つの2次方程式から5つの解を求めることができる。
三角関数を使うと次のように表すことができる:
φ = 2 cos  π 5 = 2 cos  36 ∘ {\displaystyle \varphi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }}
φ = 2 sin  3 π 10 = 2 sin  54 ∘ {\displaystyle \varphi =2\sin {\frac {3\pi }{10}}=2\sin 54^{\circ }}
φ = − 2 sin  666 ∘ {\displaystyle \varphi =-2\sin 666^{\circ }}
φ = 1 + 2 sin  π 10 = 1 + 2 sin  18 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\sin {\frac {\pi }{10}}=1+2\sin 18^{\circ }}
最も簡単な作図方法は下記の通り。
正方形 abcd を描く。
辺 bc の中点 o を取る。
中心を o とし、d (a) を通る円を描き、辺 bc の延長との交点を e とする。
長方形 abef を描く。
ab : be は黄金比となる(長方形 abef は黄金長方形)。
正五角形や五芒星(星形:☆)(何れも作図可能)から容易に作図することができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星の辺と隣接2頂点の距離の比は、黄金比に等しい。
互いに合同な直角二等辺三角形を図のように並べると黄金長方形が出来る。
五芒星に現れる線分の組み合わせから様々な規模での黄金比が生じることを平行線で表した図。
正円とその中心を通る水平ならびに傾き2の直線との交点を活用すると図のように黄金長方形(赤色・青色・緑色)を描ける。
幾何学的に或る長方形(灰色)からその長辺または短辺の全長を使い切った黄金長方形を切り取る方法の一例。青枠または緑枠で示される長方形が黄金長方形となっている。
同一の正円(青色)に内接する正五角形(黄色)と正六角形(緑色)を活用して黄金長方形(橙色)を作り出す例。
正円(緑色)の半径と同じ長さの辺を持つ正方形(青色)を活用した正五角形(橙色)や五芒星(黄いろ)の描き方の例。赤色の円は描き上げ後の検証のためのもの。
正円半径と同じ長さの辺の正方形を活用した内接正五角形(五芒星)の描き方の一例。赤色の円は描き上げ後の検証のためのもの。
黄金数は次のような連分数表示を持つ:
φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ⋱ = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , ⋯ ] {\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[1;1,1,1,1,\cdots ]}
次のような表示も持つ:
φ − 1 = [ 0 ; 1 , 1 , 1 , ⋯ ] = 0 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\cdots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
φ = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}}