両側ラプラス変換
u(t) をヘビサイド関数としたとき、ラプラス変換 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は両側ラプラス変換によって
L { f ( t ) } = B { f ( t ) u ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}}
と表される。一方で
{ B f } ( s ) = { L f ( t ) } ( s ) + { L f ( − t ) } ( − s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s)}
であるため、いずれのラプラス変換であっても、もう一方のラプラス変換によって表すことが出来ることが分かる。
メリン変換は、両側ラプラス変換によって