リース＝フィッシャーの定理
L が完備であることの証明は、ルベーグ積分の収束定理に基づく。
1 ≤ p ≤ ∞ の場合、ミンコフスキーの不等式より L がノルム空間であることは分かる。L が完備であること、すなわち L がバナッハ空間であることを証明する上では、L(μ) 内の函数のすべての級数 ∑ un で
∑ ‖ u n ‖ p < ∞ {\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}<\infty }
を満たすものが、L-ノルムについてある函数 f ∈ L(μ) に収束することを示せば十分である。p < ∞ に対して、ミンコフスキーの不等式と単調収束定理より
∫ ( ∑ n = 0 ∞ | u n | ) p d μ ≤ ( ∑ n = 0 ∞ ‖ u n ‖ p ) p < ∞ {\displaystyle \int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}{\Bigr )}^{p}<\infty }
が分かる。したがって f = ∑ n = 0 ∞ u n {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}} は μ についてほとんど至る所で定義され、f ∈ L(μ) である。すると優収束定理より、その級数の部分和は L-ノルムについて f に収束することが示される: