フェルマーの小定理
p {\displaystyle p} を素数とし、 a {\displaystyle a} と p {\displaystyle p} が互いに素とするときに、
a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
が成立することを、ここで証明する。
集合 { 1 , 2 , 3 , ... , p − 1 } {\displaystyle \left\{1,\ 2,\ 3,\ldots ,\ p-1\right\}} は、全体として法 p {\displaystyle p} の下で { a , 2 a , 3 a , ... , ( p − 1 ) a } {\displaystyle \left\{a,\ 2a,\ 3a,\ldots ,\ \left(p-1\right)a\right\}} と合同である。(背理法による証明)もし後者の集合内に
i a ≡ j a ( mod p ) {\displaystyle ia\equiv ja{\pmod {p}}}
となる i , j {\displaystyle i,\ j} (ただし、 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} )が存在したとする。