標準偏差
英語では不偏分散による標準偏差のことを「sample standard deviation」(標本標準偏差)と呼ぶことが多い。この語はカール・ピアソンによって1893年に導入された。ただし不偏分散による標準偏差を意味する英語の表現には混乱がある。
英語版ウィキペディアの「standard deviation」という記事では、不偏分散による標準偏差(平均からの偏差平方和を n − 1 で割った値の平方根)のことを「corrected sample standard deviation」と表記し、平均からの偏差平方和を n で割った値の平方根を「uncorrected sample standard deviation」や「the standard deviation of the sample」と表記している。
アメリカの Fundamentals of Engineering (FE) の試験問題での「sample standard deviation」は n − 1 で割る方を意味する。
アメリカ・ユタ大学のトム・マロイは、統計学の学習者向けウェブページでは、「sample standard deviation」を平均からの偏差平方和を n で割った値の平方根だと解説している。
母集団全てのデータ x1, x2, ..., xn に対して、平均値 x は次の式で定義される:
x ̄ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}
この平均値 x を使って得られる分散 σ を次の式で定義する:
σ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 − x ̄ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}={\dfrac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-{\overline {x}}^{2}}
σ を母分散と言うこともある。
この分散の非負の平方根 σ を、母集団の標準偏差と定義する。分散もデータの散らばり具合を表す統計量であるが、分散と違い標準偏差はデータの値と次元が等しくなる。偏差は平均的には標準偏差の分だけ離れていると考えることができる。
表計算ソフトでは次のようなワークシート関数が用意されている。
データ x1, x2, ..., xn の平均値からの散らばり具合を数値にした標準偏差は、次の式で定義される:
s = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}
ここで x は平均値を表す。この定義は、データを数ベクトルと見て、「散らばり具合」を偏差ベクトルのユークリッドノルムととらえる考えに基づく(このことより平均偏差でなく自乗平均をとる)。
もとのデータ x を、平均値、「散らばり具合」を変えず、偏差が全て同じであるように取り直したデータ y を考える。
x の大きさが奇数のときは、x を、自分自身2個を併せたデータ(大きさは偶数)に取り直す(そうしても平均値、「散らばり具合」は変わらない)。
y の偏差ベクトルは (±s, ±s, ..., ±s) (s ≥ 0) の形になる。x と y の「散らばり具合」が等しいことから、