ハウスホルダー作用素
線型代数に於いてハウスホルダー作用素は以下の様に定義される. V {\displaystyle V} を有限次元の内積空間として,内積を ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } で表し, u ∈ V {\displaystyle u\in V} を単位ベクトルとする.このとき H u : V → V {\displaystyle H_{u}\colon V\to V} は,
H u ( x ) = x − 2 ⟨ x , u ⟩ u {\displaystyle H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}
で定義される.この作用素はベクトル x {\displaystyle x} を u {\displaystyle u} を法線ベクトルに持つ平面に関して鏡映させる.零ベクトルでない q ∈ V {\displaystyle q\in V} について,以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である.
H q ( x ) = x − 2 ⟨ x , q ⟩ ⟨ q , q ⟩ q . {\displaystyle H_{q}(x)=x-2{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}q.}