部分分数分解
有理式 f(x)/g(x) に対し、deg f ≥ deg g ならば、一変数多項式環の除法の原理より、
f ( x ) = Q ( x ) g ( x ) + R ( x ) , deg  R < deg  g {\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x),\quad \deg R<\deg g}
となる多項式 Q(x), R(x) が存在するから、
f ( x ) g ( x ) = Q ( x ) + R ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{g(x)}}}
と分解することができる。
1 x ( x + 1 ) = 1 x − 1 x + 1 {\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}}}
2 ( x − 1 ) x 2 ( x 2 + 1 ) = 2 x − 2 x 2 − 2 ( x − 1 ) x 2 + 1 ( for x ∈ R ) = 2 x − 2 x 2 − 1 − i x + i − 1 + i x − i ( for x ∈ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2(x-1)}{x^{2}(x^{2}+1)}}&={\frac {2}{x}}-{\frac {2}{x^{2}}}-{\frac {2(x-1)}{x^{2}+1}}&({\text{for }}x\in \mathbb {R} )\\&={\frac {2}{x}}-{\frac {2}{x^{2}}}-{\frac {1-i}{x+i}}-{\frac {1+i}{x-i}}&({\text{for }}x\in \mathbb {C} )\end{aligned}}}
有理式の和分や積分においては、部分分数に分解することで計算が楽になることがある。