位置演算子
位置空間で表された位置演算子の固有関数はディラックのデルタ関数である。 これを見るために、ψ は位置演算子の固有値 x0 に対応する固有状態であると仮定する。 位置座標での固有値方程式は、位置表示では ˆx は単純に関数を x 倍することを考えると、次のように書ける。
x ^ ψ ( x ) = x ψ ( x ) = x 0 ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {x}}\psi (x)=x\psi (x)=x_{0}\psi (x)}
x0 は定数であるが x は変数であるため、ψ は x = x0 以外ではゼロでなければならない。 この規格化された解は、
ψ ( x ) = δ ( x − x 0 ) {\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0})}
このような状態は物理的には実現せず、厳密にいえば関数でないが、位置が正確に知ることができる(位置のいかなる測定でも常に固有値 x0 が得られる)「仮想的な状態」と考えることができる。 よって不確定性原理により、このような状態の運動量は全く知ることができない。