級数
無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。最もよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先を無限級数の値とすることである。例えば、
1 2 + ⋯ + 1 2 n = 1 − 1 2 n {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}}
より
1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ = 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}
となる(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ を参照)。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対して
1 + 2 + 3 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}} (1+2+3+4+...を参照)
のような等式が意味付けされることもある。
各項が実数で正負が毎回反転する級数を交代級数という。
交代級数は項が0に収束するならば収束する。
与えられた無限数列 {an} に対し、初項から第N項(N は自然数)の総和
S N := a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ + a N = ∑ n = 0 N a n {\displaystyle S_{N}:=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}}
を数列 {an} あるいは級数 ∑ an の第 N部分和 (英: partial sum) と呼び、これらを総称して部分和と呼ぶ。「無限個の項の和」の意味が必ずしも明らかではない場合も含めて、形式的な意味での(無限)級数とはこの部分和からなる列 {SN} 自身のことであると理解される(各項 SN は有限級数と呼ばれることもある)。またこの部分和の列自身を「形式的な和」として
a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ , ∑ n = 0 ∞ a n , ∑ n ∈ N a n , ∑ n a n {\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,\quad \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\quad \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n},\quad \sum _{n}a_{n}}
などの形で書き表す。ただし、これはそう書くというだけのことであって、これに「総和」としての意味のある値を結びつけるには、きちんとした理由付けが必要である。