決定性公理
決定性公理は次に示す特定の形のゲームについての公理である: ベール空間 ω (自然数の無限列全体) の部分集合 A を考える。二人のプレイヤー I と II は自然数を交互に選ぶ:n0, n1, n2, n3, ... 無限回の手番が終わったとき、列 ( n i ) i ∈ ω {\displaystyle (n_{i})_{i\in \omega }} が生成される。プレイヤー I がこのゲームに勝つのは、その列が A の元であるときかつそのときに限る。決定性公理はそのようなゲームが全て決定的 (A の選び方毎にどちらかのプレイヤーに必勝戦略があるということ) であるという主張である。
全てのゲームの決定性を示すために決定性公理が要るわけではない。A が閉かつ開な集合であるとき、このゲームは本質的に有限的なゲームになるので、決定的である。同様に、A が閉集合であるときも決定的である。1975年にはマーティンによって、winning set (勝利条件である集合 A のこと) がボレル集合であるゲームは決定的であることが示されている。また、十分大きな巨大基数があるとき、winning set が射影集合であるゲームは全て決定的であり (Projective determinacy を参照)、しかも L(R) において AD が成り立つことが示されている。 決定性公理は実数直線の任意の部分空間 X についてのバナッハ・マズール・ゲーム BM(X) が決定的である (つまり、実数からなる任意の集合がベールの性質をもつ) ことを導く。
スタインハウスとミシェルスキーが AD を考えた動機はその帰結の興味深さ、そして集合論の最小の自然なモデル L(R) において成り立ちうることにあった。これは選択公理 (AC) の弱い形のみを許容し、全ての実数と全ての順序数を含むものである。AD からのいくつかの帰結はステファン・バナフとスタニスワフ・マズールとモートン・デイビスによってそれまでに得られていた定理から従う。 ミシェルスキーとStanisław Świerczkowskiは次の事実の研究に貢献した: AD は実数からなる集合が全てルベーグ可測であることを導く。 続いて、ドナルド・A・マーティン などによって特に記述集合論において、さらなる重要な結論が得られている。1988年には、ジョン・R・スティール and ヒュー・ウッディン が長期研究の結果を報告している。彼らは א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} と類似な性質をもつ不可算基数の存在を仮定して、ミシェルスキーとスタインハウスがもともと予想していた L(R) において AD が真になるということを示した。