多重線型写像
(二つ目の等号はライプニッツの明示公式による)が成り立つ。n-重交代形式 f は f ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle f(e_{1},\dotsc ,e_{n})} で決まるが、特に f ( e 1 , . . . , e n ) = 1 {\displaystyle f(e_{1},...,e_{n})=1} なるものとして行列式は特徴付けられる。
E が n-次元ならば、E 上の n-重線型交代写像の空間 An(E; F) は F に同型である。
E が n 次元で n > k のとき、E 上の k-重線型交代写像の空間 Ak(E; F) は F ( n k ) {\textstyle F^{\tbinom {n}{k}}} に同型である。
n < k のときは明らかに k-重交代写像は零写像のみである。