ベルヌーイの定理
D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = ∂ v ∂ t + ∇ ( v 2 2 ) − v × ( ∇ × v ) {\displaystyle {\begin{aligned}{D{\boldsymbol {v}} \over Dt}&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+\nabla \left({v^{2} \over 2}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)\end{aligned}}}
と変形できるので、オイラー方程式は
∂ v ∂ t − v × ( ∇ × v ) + ∇ { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)+\nabla \left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0}
となる。
これより、以下の二つの定理が導出できる。
ベルヌーイの定理(ベルヌーイのていり、英語: Bernoulli's principle)またはベルヌーイの法則とは、完全流体のいくつかの特別な場合において、ベルヌーイの式と呼ばれる運動方程式の第一積分が存在することを述べた定理である。
と書き換えられる。
音速の定義
a = γ ( p / ρ ) {\displaystyle a={\sqrt {\gamma \left({p/\rho }\right)}}}
を用いれば、ベルヌーイの定理は
v = 2 γ − 1 ( a s 2 − a 2 ) {\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}(a_{s}^{2}-a^{2})}}}
が流線上で成り立つ。(as はよどみ点における音速)
となる。
真空では a =0 となるので、そのとき流速は最大値
v m a x = 2 γ − 1 a s {\displaystyle v_{max}={\sqrt {\frac {2}{\gamma -1}}}a_{s}}
に到達する。例えば、大きな容器に封入された気体が器壁の小さな孔から真空中に噴出する場合の流速がそれにあたる。容器の中が1気圧、15°Cの空気の場合、 γ = 1.4 , a s = 340 m / s {\displaystyle \gamma =1.4,a_{s}=340m/s} であるから、 v m a x = 760 m / s {\displaystyle v_{max}=760m/s} となる。
(圧力方程式)が成り立つ。ただし、 f ( t ) {\displaystyle f(t)} は任意の関数である。
が導ける。
(I)のタイプと違って、全空間で成り立つのが大きな特徴である。
流れのポテンシャルを
φ ′ = φ − ∫ f ( t ) d t {\displaystyle \phi '=\phi -\int f(t)\mathrm {d} t}
と変更しても速度場は変わらないので、圧力方程式より f ( t ) {\displaystyle f(t)} を消去することは可能である。
この定理は水面の波や音波の記述、あるいはクッタ・ジュコーフスキーの定理の導出に使われる。