射影作用素
考えるベクトル空間 X が(有限次元とは限らない)ノルム空間のとき、(有限次元の場合には関係ないが)解析学的なことも考えないといけないので、ここでは X はバナッハ空間であることを仮定する。
先に述べた代数的な概念の多くはこの文脈においても有効である。例えば、互いに補空間となるような部分空間への X の直和分解が与えられればやはり射影が定まるし、逆に射影からそのような直和分解が得られる。実際、X が直和分解 X = U ⊕ V を持つとき、P(u + v) = u で定義される作用素はやはり値域 U および核 V の射影である(P = P は明らかである)。一方 P が X 上の射影、即ち P = P を満たすならば (I − P) = (I − P) は容易に確かめられ、即ち (I − P) もまた射影となる。関係式 I = P + (I − P) から X が Ran(P) ⊕ Ran(I − P) なる直和に分解されることが従う。
しかし、有限次元の場合とは対照的に、射影は一般に連続とは限らない。実際、X の部分空間 U がノルムの定める位相に関して閉でないときは U の上への射影は連続でない。同じことだが、連続な射影 P の値域は必ず閉部分空間でなければならない。更には、連続射影の(実は一般の連続線型作用素の)核は閉部分空間である。従って、連続射影 P は X の互いに補空間となる閉部分空間の直和への分解 X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P) を与える。
逆は、適当な仮定を追加すれば成り立つ。
考えているベクトル空間に内積が定義されていれば、直交性や(線型作用素の自己共軛性)といったような内積に付随するさまざまな概念を用いることができるようになる。直交射影は、値域 U と核 V とが互いに直交する部分空間になっているような射影をいう。射影が直交射影であるための必要十分条件は、それが自己共軛であること、即ち実ベクトル空間の場合には、ある直交基底に関する表現行列 P が対称行列(P = P)であり、複素ベクトル空間の場合には、表現行列 P がエルミート行列(P = (P)))となることである。実際に、x, y が射影の定義域に属するベクトルのとき、 Px ∈ U, y − Py ∈ V であり、かつ ⟨ ∙ , ∙ ⟩ {\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle } を正定値内積として
⟨ P x , y − P y ⟩ = ( P x ) ⊤ ( y − P y ) = x ⊤ ( P ⊤ − P ⊤ P ) y = x ⊤ ( P − P ⊤ P ) ⊤ y {\displaystyle \langle Px,y-Py\rangle =(Px)^{\top }(y-Py)=x^{\top }(P^{\top }-P^{\top }P)y=x^{\top }(P-P^{\top }P)^{\top }y}
が成り立つから、Px と y − Py とが任意の x, y に関して互いに直交するのは、P = PP(これは P = P かつ P = P に同値)のときであり、かつそのときに限る。