ストーン双対性
sober空間は以下のように定義される:
定義(sober空間) ― 位相空間X が既約 (irreducible) であるとは X が2つの閉な真部分集合 ⫋ X {\displaystyle \subsetneqq X} の和集合として書き表す事ができない事を言う。 さらに位相空間X が以下の性質(sober性)を満たす時、X をsober空間(sober space)であるという:X の任意の既約閉部分集合A に対し、A が一点集合{a }の閉包と一致するようなa ∈A が唯一存在する。
sober性はT0分離公理とT2分離公理の中間の強さを持つ事が知られており、T2空間⇒sober空間⇒T0空間が成立する。一方sober性とT1分離公理は独立な概念であり、sober空間でないT1空間やT1空間でないsober空間が存在する。
定義(sober空間の圏Sob) ― sober空間の圏Sobは以下のように定義される:
対象:sober空間
射:連続写像
また「a の否定」を意味する「¬a 」を「a → 0 」として定義できるがブール代数と違い二重否定の法則 ¬ ¬a =a は成り立つとは限らない。
定義(完備ハイティング代数) ― ハイティング代数(Heyting algebra) Fとは以下の性質を満たす有界束の事である。
任意のa 、b ∈ F に対し、集合 { x ∈ F ∣ a ∧ x ≤ b } {\displaystyle \{x\in F\mid a\wedge x\leq b\}} は最大元を持つ。
以上の条件で存在が保証されている最大元を以下「a → b 」と表記する。 ハイティング代数であってしかも束として完備であるものを完備ハイティング代数という。
ストーン双対性の定式化には単なる完備ハイティング代数ではなく空間的(spatial)な完備ハイティング代数を用いるが、「空間的」という単語の定義を説明するには準備が必要な為、後の章にまわす。
X を位相空間とするとΩ(X )には以下のようにして完備ハイティング代数の構造が入る。ここで A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} はA の内部を表す。
⋁ λ O λ := ⋃ λ O λ {\displaystyle \bigvee _{\lambda }O_{\lambda }:=\bigcup _{\lambda }O_{\lambda }}
⋀ λ O λ := ( ⋂ λ O λ ) ∘ {\displaystyle \bigwedge _{\lambda }O_{\lambda }:=\left(\bigcap _{\lambda }O_{\lambda }\right)^{\circ }}
( O 1 → O 2 ) := ( O 1 c ∪ O 2 ) ∘ {\displaystyle (O_{1}\to O_{2}):=(O_{1}{}^{c}\cup O_{2})^{\circ }}
完備ハイティング代数の事を枠 (frame)ともいう。空間的な枠(Spatial Frame)の圏SFrmは以下のように定義される。
定義(空間的完備ハイティング代数の圏) ― 空間的完備ハイティング代数の圏SFrmは以下のように定義される:
対象:空間的完備ハイティング代数
射:順序を保つ写像f でf (a ∧ b) = f (a )∧f (b)、f (∨ A) = ∨f (A )が定義域の任意の元a 、b と定義域の任意の部分集合A に対して成り立つもの。ここで∨A := sup(A )。
上述したようにSFrmの射は、有限積と無限和を保つ。これは位相空間において開集合の有限積と無限和が再び開集合となる事と関係している。