多変数複素関数
f ( z ) = f ( z ( 0 ) ) + ∑ j = 1 n α j ( z ) ( z j − z j ( 0 ) ) {\displaystyle f(z)=f(z^{(0)})+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}(z)(z_{j}-z_{j}^{(0)})}
が成り立つ。
f は連続的微分可能な複素数値関数であり、各変数についてコーシー・リーマンの方程式を満たす。
f は連続であり、さらに、D の各点で n 個の変数のうち任意の n − 1 個の変数を固定し f を残りの1個の変数の関数と見たとき、この1変数複素関数が正則である。後者の条件が満たされるとき、f は各変数について正則であるという。
f は各変数について正則である(上の条件から連続という条件を外している)。
最後の条件を除く4条件が同値であることは、一変数複素関数の正則性の特徴づけやベキ級数の項別微分、コーシーの積分公式を用いれば示すことができる。最後の条件、つまり変数別の正則性から連続性が導かれることはハルトークスの正則性定理と呼ばれる著名な結果である。
古典的には4番目の条件、つまり連続性と各変数についての正則性で多変数複素関数の正則性を定義していた。