カラテオドリ計量
(X, ǁ ǁ) を複素バナッハ空間とし、B を X 内の単位開球とする。Δ を複素平面 C 内の開単位円板とすると、それは二次元実/一次元複素の双曲幾何のポアンカレ円板モデルと見なされる。Δ 上のポアンカレ計量 ρ を
ρ ( a , b ) := tanh − 1  | a − b | | 1 − a ̄ b | {\displaystyle \rho (a,b):=\tanh ^{-1}{\frac {|a-b|}{|1-{\bar {a}}b|}}}
で与える(したがって、曲率は −4 に固定される)。このとき、B 上のカラテオドリ計量 d は
d ( x , y ) := sup { ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) ; f : B → Δ is holomorphic } {\displaystyle d(x,y):=\sup\{\rho (f(x),f(y));\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}}
と定義される。ここで、バナッハ空間上の関数が正則(holomorphic)であるということの意味については、記事無限次元正則性(英語版)を参照されたい。