相空間
この場合、相空間 X に対して
X ∈ F
A ∈ F ならば A ∈ F
A1, A2,... ∈ F ならば ∪∞i=1 Ai ∈ F
を満たすσ-集合体 F が存在し、A ∈ F に対して、
μ(A) ≥ 0 かつ μ(X) = 1
A1, A2,... ∈ F が互いに素ならば μ(∪∞i=1 Ai) = ∑∞i=1 μ(Ai)
を満たす確率測度 μ が与えられる。さらに
A ∈ F ならば TA ∈ F
μ(A) = μ(TA)
を満たす保測写像 T を組にして測度論的力学系が成立する。
記号力学系では、相空間 X は記号列の集まりとなる。記号が2種類から成り、記号列が両側無限列であるような場合、記号列 x は
x = { ⋯ , a − 2 , a − 1 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ } {\displaystyle x=\{\cdots ,\ a_{-2},\ a_{-1},\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ \cdots \}}
で与えられる。ここで、ai は記号 1 または 2 のいずれかを取る。この場合の相空間 X は全ての記号列 x の集合で、しばしば Σ とも記す。さらに、異なる x 同士の距離を定義し、x に適用すると記号を一斉に左にずらす働きをするシフト写像 σ を用意し、記号力学系を構成する。