開水路
開水路のベルヌーイの定理は
d H 0 d x = I b − I e {\displaystyle {\frac {dH_{0}}{dx}}=I_{b}-I_{e}}
で与えられる。ここで、 H 0 {\displaystyle H_{0}} は比エネルギー、 I b {\displaystyle I_{b}} は河床勾配、 I e {\displaystyle I_{e}} はエネルギー勾配であり、河床勾配とエネルギー勾配の差が、比エネルギーの変化量に等しいことを表す。また、河床勾配とエネルギー勾配が等しければ比エネルギーは保存され(比エネルギー保存則)、この時の流れの状態が等流である。
この式は以下のように導出される。
連続式と同様のコントロール・ボリュームを考えナビエ・ストークス方程式に発散定理を適用すれば
d d x 1 Q ∫∫ A ( U 2 2 g + z + p ρ g ) ⋅ U d A = − I e {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{Q}}\iint _{A}\left({\frac {U^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}\right)\cdot UdA=-I_{e}}
開水路の一次元解析では、いくつかのパラメーターが定義される。
まず、開水路を流れ方向に切った垂直にみた断面図が図2である。この図において青色で示された線が水面(water surface)または自由水面(free surface)であり、茶色で描かれたものが開水路の形状となっている。また、水色で囲われた領域が実際に水が流れている部分であり、この面積を流水断面積または流積(cross section area)といい A {\displaystyle A} で表す。河川工学では河積とも呼ばれる。さらに、緑色で示されている、水と水路が接している部分の長さを潤辺(wetted perimeter)といい S {\displaystyle S} で表す。そして、この潤辺で断面積を割ったものを径深(hydraulic radius)といい R {\displaystyle R} で表される。
次に、開水路を流れ方向に平行に切った断面図が図3である。先と同じように、青色で示された線は自由水面、茶色で描かれたものが水路床あるいは河床(bed)である。この図では、河床に平行に x {\displaystyle x} 軸を取り、それに垂直方向に y {\displaystyle y} 軸をとっている。この河床から y {\displaystyle y} 軸に測った時の水面までの距離が水深と定義され、 h {\displaystyle h} で表される。このy軸とは別に、重力 g {\displaystyle g} に対して垂直な基準線あるいは基準レベル(base level)から測った高さ z {\displaystyle z} も定義される。
まず、シェジー式はコントロールボリュームに作用する圧力・重力および河床摩擦力がつりあっているという条件とダルシー・ワイスバッハ式から導くことができる。一方のマニング式は、(半)理論的な対数則によって比較的広い範囲で n ≃ 1 24 k s 1 6 {\displaystyle n\simeq {\frac {1}{24}}{k_{s}}^{\frac {1}{6}}} (ただし単位はメートルと秒)と関連付けられ、粗度粒径 k s {\displaystyle k_{s}} が一定ならば流れに関係なくマニング係数が一定となるので、水理学的合理性がある。
また、水深に対して水路幅が十分に広い長方形水路において、等流となる水深(等流水深) h o {\displaystyle h_{o}} を平均流速公式から逆算すると
ユニフロー開水路定常流における連続式は
Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = c o n s t . {\displaystyle Q=A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\rm {const.}}}
という、流量 Q {\displaystyle Q} (流水断面積 A {\displaystyle A} と断面平均流速 v {\displaystyle v} の積)が保存されることを表す。 これは、以下のように導出される。
まず、水(非圧縮性流体)の質量保存則にあたる連続式は以下のように記述される。
∂ U i ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial x_{i}}}=0}
これに対し、主流に垂直な面 A 1 {\displaystyle A_{1}} 、 A 2 {\displaystyle A_{2}} と水面および河床に囲まれた範囲(コントロール・ボリューム)で発散定理を適用すると、