ウェーブレット
全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは実用上不可能である。信号を対応するウェーブレット係数から再構成することは,上半面の離散部分集合さえ取り出せば十分可能だと思うだろう。その一つとして実数パラメータa>1,b>0によるアフィン系がある。対応する半面の離散部分集合は,全ての点 ( a m , n a m b ) {\displaystyle (a^{m},n\,a^{m}b)} を含む( m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } )。対応するベビーウェーブレットは以下で与えられる。
ψ m , n ( t ) = a − m / 2 ψ ( a − m t − n b ) {\displaystyle \psi _{m,n}(t)=a^{-m/2}\psi (a^{-m}t-nb)} .
式
x ( t ) = ∑ m ∈ Z ∑ n ∈ Z ⟨ x , ψ m , n ⟩ ⋅ ψ m , n ( t ) {\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}
による有限エネルギーを持つ任意の信号xの再構成のための十分条件は,関数群 { ψ m , n : m , n ∈ Z } {\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}} が L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} のタイトフレーム(英語版)を形作ることである。