冪函数
冪函数は区間 (0, +∞) 上で常に微分可能で、その導函数は
f a ′ ( x ) = a x a − 1 {\displaystyle f_{a}'(x)=ax^{a-1}}
によって与えられる。従って、冪指数が −1 でなければ、同じ区間上で常に原始函数が存在して、その一つが
F a ( x ) := x a + 1 a + 1 {\displaystyle F_{a}(x):={\frac {x^{a+1}}{a+1}}}
で与えられる。a = −1 のときは、自然対数が原始函数として生じる。
冪函数 fa は x0 の近傍で冪級数
( x 0 + x ) a = ∑ n = 0 + ∞ ( a n ) x 0 a − n x n {\displaystyle (x_{0}+x)^{a}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{a \choose n}\,x_{0}^{a-n}x^{n}}}
に展開できる。ただし、
( a n ) := a ( a − 1 ) ( a − 2 ) ⋯ ( a − n + 1 ) n ! {\displaystyle {a \choose n}:={\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}}} et ( a 0 ) := 1 {\displaystyle {a \choose 0}:=1}
は一般二項係数である。
a が自然数ならば、上記の和は有限項で止まり、二項定理となることに注意する(特にその場合には、収束半径は無限大である)。さもなくば和は無限項を含み、収束半径 x0 である。