モジュライ空間
ヒルベルトスキーム Hilb(X) はモジュライスキームであり、Hilb(X) の全ての閉じた点が、決められたスキーム X の閉じた部分スキームに対応し、全ての閉じた部分スキームがそのような点で表現される。
すると、ファイバーカテゴリ(英語版)(fibred category)を考えることができ、任意の空間 B へ B 上の族にグルーポイドが付随する。グルーポイドの中にファイバーをもつカテゴリ化してモジュライ問題の記述に使うことは、グロタンディェック(Grothendieck)(1960/61)まで遡る。一般にそれらはスキームや、代数的空間(英語版)(algebraic space)でさえも表現することができないが、多くの場合には代数的スタック(algebraic stack)の自然な構造を持っている。
代数的スタックと、それらのモジュライ問題への使用はデリーニュ・マンフォード(Deligne-Mumford)(1969) に与えられた種数の(荒い)代数曲線のモジュライ空間(英語版)(moduli of algebraic curves)の規約性の証明のためのツールとして現れた。代数的スタックということばは、本質的にはモジュライを「空間」として扱うファイバー化されたカテゴリとみなす系統的な方法を提供し、多くのモジュライ問題のモジュライスタックは対応する荒いモジュライよりも(例えば、滑らかであるというように)より扱いよくなった。
詳細モジュライ空間は常に求めることが望まれるが、それらはいつも存在するわけではなく、構成することが難しいことが多いので、数学者は荒いモジュライ空間というより弱い考え方を取ることがある。自然な変換 τ : F → Hom(−, M) (F が (M, τ) による表現される(英語版)(corepresented))が存在し、τ が自然な変換の中で普遍的となっているような場合、M を函手 F の荒いモジュライ空間(coarse moduli space)と言う。より具体的には、M が F の荒いモジュライ空間とは、基底 B 上の任意の族 T が写像 φT : B → M を与え、任意の 2つの対象 V と W(点上の族とみなして)M の同じ点に対応することと V と W が同型であることと同値であるような場合を言う。このようにして、M は族に現れる全ての対象に対応する点を持ち、その上の幾何学が族の中での変化可能な方法を反映している空間である。しかしながら、注意すべきは、荒いモジュライ空間がいつも普遍的となるような対象の族を持っているとは限らないことである。
言い換えると、詳細モジュライ空間は、基底空間 M も普遍的な族 T → M も両方持っているのに対し、荒いモジュライ空間は基底空間 M しか持たない。
代数幾何学では、モジュライ空間(モジュライくうかん、moduli space)とは(普通、スキーム、もしくは代数的スタック(algebraic stack))空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と同型類(英語版)(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり(例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような)へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化できる。この文脈では「モジュラス」は「パラメータ」と同じような意味に使われる。初期には、モジュライ空間は対象の空間というよりパラメータの空間として理解されていた。