行列の基本変形
[ 1 2 5 4 0 − 2 − 9 − 11 − 1 − 4 − 14 − 15 ] , [ 3 − 2 − 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\0&-2&-9&-11\\-1&-4&-14&-15\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\-2\\-5\\\end{bmatrix}}}
[ 1 2 5 4 2 2 1 − 3 − 1 − 4 − 14 − 15 ] , [ 3 4 − 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&5&4\\2&2&1&-3\\-1&-4&-14&-15\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\4\\-5\\\end{bmatrix}}}
ある行列に基本変形を適用することは、基本行列を掛けることと同値である。
ある(m, n) 型行列 Aに、
Pi, j を左からかけると、i 行と j 行が交換される。
Pi, j を右からかけると、i 列と j 列が交換される。
Qi, c を左からかけると、i 行が c 倍される。
Qi, c を右からかけると、i 列が c 倍される。
Ri, j, c を左からかけると、 i 行に j 行の c 倍が加わる。
Ri, j, c を右からかけると、 j 列に i 列の c 倍が加わる。
つまり、ある行列を、基本変形を繰り返して変形することは、基本行列を繰り返し掛けることと同値である。左からかける基本行列は (m, m) 型, 右からかける基本行列は (n, n) 型の基本行列である。
このことから、行に関する基本変形を左基本変形、列に関する基本変形を右基本変形とも呼ぶ。