カントールの定理
素朴集合論において、カントールの定理はパラドックスを導く。
「全ての集合の集合」 X を考える。カントールの定理より、Xの冪集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} は X より真に大きな濃度を持つ。しかし X は全ての集合をその部分集合として持つから、 X は P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} よりも大きな濃度を持つはずである。これは矛盾である。
歴史上、この結果は型理論や公理的集合論の成立を促した。現在の集合論では「全ての集合の集合」は公理から構成不可能であるためパラドックスが回避されており、 X のような集合の集まりは真のクラスと呼ばれる。