超関数
この代数にはシュワルツ超関数 T ∈ D' が、入射
j ( T ) = ( φ n ∗ T ) n + N {\displaystyle j(T)=(\phi _{n}*T)_{n}+N}
を通じてすべて「含まれる」と考えられる。ここで、*は畳み込みであり、
φ n ( x ) = n φ ( n x ) {\displaystyle \phi _{n}(x)=n\phi (nx)}
が成立する。ただしこの入射は、軟化子 φ、つまりC-級で、積分が1で原点 0 における各階の導関数が消える関数、の取り方に依存するという意味で、標準的でない。標準的な埋め込みを得るには、添字集合を少し変更して N × D(R) とし、D(R) 上の適当な(q のオーダーを除いてモーメントが消えているような関数の成す)フィルター基を考える必要がある。
超関数の乗法の問題は、シュワルツ超関数論の限界であり、非線型問題では深刻になる。
これに対する手法は今日様々提示されているが、最も簡明なものはエゴロフ (Yu. V. Egorov) による超関数の定義に基づくものであろう。別な方法として、コロンボ (J.-F. Colombeau) の構成に基づく結合微分環を構成するものがある(コロンボ代数(英語版)を参照されたい)。これらは、「緩やかな」関数列(有向点族)を「無視できる」関数列で割った商空間、
G = M / N {\displaystyle G=M/N}
である。ただし、「緩やかな」や「無視できる」は列の添字に関する増加に関して言う。
ブリュアは、今日シュワルツ=ブリュア関数として知られる、局所コンパクト群上の試験関数のクラスを導入した。局所コンパクト群は関数の定義域としては典型的である多様体よりも進んだ概念である。これが最もよく応用されるのは数論、特にアデール代数群の理論においてである。アンドレ・ヴェイユはテイトの修士論文を、これを用いて書き直し、イデール群上のゼータ超関数を特徴付けた。また、L-関数の明示公式にもこれを応用した。