準群
演算を以下のように二つの演算の合成として分解できない場合、n-ary 準群は規約 (英: irreducible) であると言う。
f ( x 1 , ... , x n ) = g ( x 1 , ... , x i − 1 , h ( x i , ... , x j ) , x j + 1 , ... , x n ) , {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}
ここで 1 ≤ i < j ≤ n and (i, j) ≠ (1, n)。 すべての n > 2 に対して、有限規約 n-ary 準群が存在する。詳細は Akivis and Goldberg (2001) を見よ。
n-項準群で、結合律を満たすものは、''n''-項群(英語版) と呼ばれる。
ループ(英: loop)は単位元を備えた準群である。すなわち、ある元(零項演算)e が存在して以下が成り立つものである。
全ての x ∈ Q について x ∗ e = e ∗ x = x である。
単位元 e の存在は一意であり、Q のいずれの元も一意な左および右逆元(必ずしも一致しない)を持つ。
冪等元を備えた準群はpique(pointed idempotent quasigroup)とよばれる。これはループよりも弱い概念であるが、それでもなおありふれた概念であり、例えば、アーベル群 (A, +) が与えられたとき、その減法を準群の乗法とすることで、群の単位元 0 を冪等元とする pique (A, −) を得る。つまり、主アイソトピー (x, y, z) ↦ (x, −y, z) が存在する。
ループは結合的であれば群である。群は非結合的な pique との間にアイソトピーを持ちうるが、非結合的なループとの間にアイソトピーを持つことはない。