フレドホルム行列式
A がトレースクラス作用素であるなら、
d e t ( I + z A ) = ∑ k = 0 ∞ z k T r Λ k ( A ) {\displaystyle {\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}
は
| d e t ( I + z A ) | ≤ exp  ( | z | ⋅ ‖ A ‖ 1 ) {\displaystyle |{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1})}
を満たす整関数である。
関数 det(I + A) は
| d e t ( I + A ) − d e t ( I + B ) | ≤ ‖ A − B ‖ 1 exp  ( ‖ A ‖ 1 + ‖ B ‖ 1 + 1 ) . {\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}
という不等式によって、トレースクラス作用素の空間上で連続となる。
また、この不等式は、Simon (2005) の第5章で述べられているように、
| d e t ( I + A ) − d e t ( I + B ) | ≤ ‖ A − B ‖ 1 exp  ( max ( ‖ A ‖ 1 , ‖ B ‖ 1 ) + 1 ) {\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1)}