デデキントのイータ関数
デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、英: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である。
η ( τ ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) ( I τ > 0 ) {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\qquad (\Im \tau >0)}
ヤコビの三重積の公式により、
η ( τ ) = e π i τ / 12 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( e 2 π i τ ) n ( 3 n − 1 ) / 2 = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( e 2 π i τ ) ( 6 n − 1 ) 2 / 24 ( I τ > 0 ) {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{n(3n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{(6n-1)^{2}/24}\qquad (\Im \tau >0)}
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。