リーマンゼータ関数
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=i\pi z+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{n}\,B_{n}}{n!}}}
となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、
π z cot  π z = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 i π z ) 2 n B 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{2n}\,B_{2n}}{(2n)!}}}
一方、正弦関数の無限乗積の対数は、
log  sin  π z = log  π z + ∑ k = 1 ∞ log ( 1 − z 2 k 2 ) {\displaystyle \log \sin \pi z=\log \pi z+\sum _{k=1}^{\infty }\log \!{\biggl (}1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}{\biggr )}}
であり、両辺を微分して z を乗じると、
π z cot  π z = 1 − ∑ k = 1 ∞ 1 1 − z 2 / k 2 2 z 2 k 2 {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-z^{2}\!/k^{2}}}{\frac {2z^{2}}{k^{2}}}}
となるが、これをテイラー展開して整理すると、
π z cot  π z = 1 − 2 ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) z 2 n {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-2\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n)\,z^{2n}}
小さい正の奇数については、
ζ ( 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∞ {\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}=\infty } (→調和級数)
ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1.20205 ... {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{3}}}=1.20205\dots } (アペリーの定数)
ζ ( 5 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 = 1.03692 ... {\displaystyle \zeta (5)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{5}}}=1.03692\dots }
ζ ( 7 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 7 = 1.00834 ... {\displaystyle \zeta (7)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{7}}}=1.00834\dots }
ζ ( 9 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 9 = 1.002008 ... {\displaystyle \zeta (9)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{9}}}=1.002008\dots }
などが数値的に成り立っている。これらに関して、
関数等式は以下のようにして求まる。ガンマ関数の定義と変数の置き換えにより
∫ 0 ∞ x s 2 e − n 2 π x d x x = Γ ( s 2 ) n s π s 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}
R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} であるならば、以下の式の和と積分を入れ替えることができる。
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π s / 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s 2 e − n 2 π x d x x = ∫ 0 ∞ x s 2 ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x d x x . {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}.