カー・パリネロ法
L = ∑ i , k → ∫ m | ψ ̇ i , k → ( r → ) | 2 d r → + ∑ I 1 2 M I R I → ̇ 2 − E tot [ ψ i , k → , R → I ] + ∑ i , j , k → Λ i , j , k → ( ∫ ψ ∗ i , k → ( r → ) ψ j , k → ( r → ) d r → − δ i , j ) {\displaystyle L=\sum _{i,{\vec {k}}}\int m|{\dot {\psi }}_{i,{\vec {k}}}({\vec {r}})|^{2}d{\vec {r}}+\sum _{I}{1 \over 2}M_{I}{\dot {\vec {R_{I}}}}^{2}-E_{\text{tot}}[{\psi _{i,{\vec {k}}}},{{\vec {R}}_{I}}]+\sum _{i,j,{\vec {k}}}\Lambda _{i,j,{\vec {k}}}\left(\int {\psi ^{*}}_{i,{\vec {k}}}({\vec {r}})\psi _{j,{\vec {k}}}({\vec {r}})d{\vec {r}}-\delta _{i,j}\right)}
m ψ ̈ i , k → ( r → , t ) = − δ E t o t δ ψ ∗ i , k → ( r → , t ) + ∑ j Λ i , j , k → ψ j , k → ( r → , t ) = − H ψ i , k → ( r → , t ) + ∑ j Λ i , j , k → ψ j , k → ( r → , t ) M I R → I ̈ = − ∇ R → I E {\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {\psi }}_{i,{\vec {k}}}({\vec {r}},t)=-{\frac {\delta E_{tot}}{\delta {\psi ^{*}}_{i,{\vec {k}}}({\vec {r}},t)}}+\sum _{j}\Lambda _{i,j,{\vec {k}}}\psi _{j,{\vec {k}}}({\vec {r}},t)=-H\psi _{i,{\vec {k}}}({\vec {r}},t)+\sum _{j}\Lambda _{i,j,{\vec {k}}}\psi _{j,{\vec {k}}}({\vec {r}},t)\\M_{I}{\ddot {{\vec {R}}_{I}}}=-\nabla _{{\vec {R}}_{I}}E\end{aligned}}}
参照 : ラグランジュ力学
上記、最後の2式から系の電子状態及び系の構造の最適化を行う。波動関数に関しての仮想的な運動方程式は、時間の2階微分を1階微分に置き換えると最急降下法となる。他にもいくつかの手法(例 : 共役勾配法など)への発展形がある。