特性類
P σ {\displaystyle P_{\sigma }} が誘導する写像が γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を γ σ ( i ) {\displaystyle \gamma _{\sigma (i)}} に写す写像な事はチャーン類のときの議論と場合と同様、分類空間は直積に対して自然に振る舞う事から従うので、補題の後半のみを示す。
証明はm=1の場合のみ示せば良い。実際、m=1の場合に C 1 {\displaystyle C_{1}} が誘導する写像が γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を − γ i {\displaystyle -\gamma _{i}} に代える写像であれば、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )} ≈ ⊗ i = 1 , ... , m H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Z ) {\displaystyle \approx \otimes _{i=1,\ldots ,m}H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )} ≈ ⊗ i = 1 , ... , m Λ [ γ i ] {\displaystyle \approx \otimes _{i=1,\ldots ,m}\Lambda [\gamma _{i}]} である事から一般の場合が従う。
また n + 1 {\displaystyle n+1} 次以上の基本対称式は存在しないので、 m > n {\displaystyle m>n} に対しては、第mチャーン類を c m ( n ) := 0 {\displaystyle c_{m}^{(n)}:=0} と定義する。
またチャーン類は埋め込み ι : U ( 1 ) n → U ( n ) {\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\to U(n)} を使って定義されており、この埋め込みは C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、 ι {\displaystyle \iota } は U ( n ) {\displaystyle U(n)} の内部自己同型 φ A {\displaystyle \varphi _{A}} との合成 ι ∘ φ A {\displaystyle \iota \circ \varphi _{A}} に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
以上で見たように各α1,...,αnは対称多項式の根に相当するものなので、α1,...,αnの事をチャーン根(Chern root)という。
これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う:
定理 ― : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) = Z [ c 1 ( n ) , ... , c n ( n ) ] {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1}^{(n)},\ldots ,c_{n}^{(n)}]}
, m ∈ ( R 2 ) m {\displaystyle (x_{j},(-1)^{\delta _{i,j}}y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}} に写す行列。ここでδi,jはクロネッカーのデルタである。
Pσの方はxiとyiがセットになって置換されるので R n = ( R 2 ) m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}} 上の空間の向きを保ち、SO(n)に属するが、Ciの方は空間の向きを反転するのでO(n)には属するもののSO(n)には属さない。しかしCiを偶数個かけ合わせたものはSO(n)に属する。
命題 ― ワイル群の任意の元はCiを偶数個かけ合わせたものとPσを使って書ける。
まず示すべき命題を厳密に記述する:
命題 ― n=2mのとき、W=W(SO(n))の任意の元は、
[ C 1 ε 1 ⋯ C m ε m P σ ] {\displaystyle [C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}P_{\sigma }]} s.t. ε 1 + ⋯ + ε m = 0 mod 2 {\displaystyle \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}=0{\bmod {2}}}
という形で書ける。ここで [ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ]} は(ワイル群は正規化群を中心化群で割ったものであったので)中心化群による同値類を表し、σは置換である。
以下、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類を p i := ( − 1 ) j c 2 j ( E C ) {\displaystyle p_{i}:=(-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })} によって定義する。
チャーン類の場合と同様以下の定義をする:
定理 ― n次元実ベクトルバンドルξに対し、ξのポントリャーギン多項式を
p ( ξ , t ) := p 0 + p 1 t + ⋯ p ⌊ n / 2 ⌋ t ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle p(\xi ,t):=p_{0}+p_{1}t+\cdots p_{\lfloor n/2\rfloor }t^{\lfloor n/2\rfloor }}
により定義し、全ポントリャーギン類を
p ( ξ ) := p ( ξ , 1 ) {\displaystyle p(\xi ):=p(\xi ,1)}
により定義する。
チャーン類に対するホイットニー和の公式からポントリャーギン類のホイットニー和の公式が従う:
定理 (ホイットニー和の公式) ― X上の実ベクトルバンドル ξ {\displaystyle \xi } 、 η {\displaystyle \eta } に対し、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類は
2 p ( ξ ⊕ η ) = 2 p ( ξ ) ⌣ p ( η ) {\displaystyle 2p(\xi \oplus \eta )=2p(\xi )\smile p(\eta )} in H ∗ ( X ; Z ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} )}
定理 (部分群の分類空間) ― Gを位相群とし、Hをその部分位相群とする。このときBG、BHのモデルを適切に選ぶと、包含写像 ι : H ↪ G {\displaystyle \iota ~:~H\hookrightarrow G} が誘導する写像 B ι : B H → B G {\displaystyle B\iota ~:~BH\to BG} は各ファイバーが G / H {\displaystyle G/H} と位相同型なファイバーバンドルになる。特にHがGの正規部分群であれば、 B ι : B H → B G {\displaystyle B\iota ~:~BH\to BG} は G / H {\displaystyle G/H} -主バンドルになる。
一般にG-主バンドル P → X {\displaystyle P\to X} には、Pに対するGの自然な作用があり、この作用でPを割った空間 P / G {\displaystyle P/G} はXと位相同型であるので、普遍Gバンドル π G : P G → B G {\displaystyle \pi _{G}~:~PG\to BG} をこのGの作用で割ると P G / G ≈ B G {\displaystyle PG/G\approx BG} が成立する。
HはGの部分群なので、Hの作用でPを割った P G / H {\displaystyle PG/H} を考える事ができる。
以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる:
定義 (特性類の厳密な定義) ― G、A、qを上の定義と同様に取る。対象をCW複体、射を連続写像のホモトピークラスとする圏CWをとし、さらにSetを集合の圏とし、 反変関手
b : C W → S e t {\displaystyle b~:~\mathbf {CW} \to \mathbf {Set} }
を以下のように定義する:
CWの対象Xに対し、Xを底空間とするF-バンドル(でGを構造群に持つもの)のホモトピーによる同型類全体の集合をb(X)と定義する
CWの対象間の射 [ f ] : X → Y {\displaystyle [f]~:~X\to Y} に対し、 b ( f ) = [ f ∗ ] {\displaystyle b(f)=[f^{*}]} と定義する。ここで [ f ] {\displaystyle [f]} はホモトピークラスであり、 f ∗ {\displaystyle f^{*}} はバンドルの引き戻し f ∗ : ξ ∈ b ( Y ) ↦ f ∗ ( ξ ) ∈ b ( X ) {\displaystyle f^{*}~:~\xi \in b(Y)\mapsto f^{*}(\xi )\in b(X)} である。
そしてこれら2つの写像が分類空間のコホモロジーに誘導する写像を考える:
上式の最後の同型「 ≈ {\displaystyle \approx } 」は、リー群として S O ( 2 ) ≈ U ( 1 ) {\displaystyle SO(2)\approx U(1)} である事からチャーン類のときの議論により従う。ここで「 ≈ {\displaystyle \approx } 」は環としての同型であり、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )} の積はカップ積である。
またγjは H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Λ ) ≈ ⊗ j H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\Lambda )\approx \otimes _{j}H^{*}(BSO(2);\Lambda )} のj番目の H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\Lambda )} の生成元であり、γjは次数2のコホモロジー γ j ∈ H 2 ( B S O ( 2 ) ; Λ ) {\displaystyle \gamma _{j}\in H^{2}(BSO(2);\Lambda )} に属している。(これらもチャーン類のときの議論により従う)。
なお、 H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Λ ) ≈ Λ [ γ ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\Lambda )\approx \Lambda [\gamma ]} の生成元γの選び方は、Λの単元倍の自由度があるので、この自由度をなくす為、以下の規約を置く:
ここでnはωのファイバーの次元である。
右辺の形から、右辺の(4の倍数+2)次のコホモロジーは0になるので、左辺も(4の倍数+2)のコホモロジーは0で4の倍数次のみ生き残る。よって整数係数のポントリャーギン類の定義から以下が結論付けられる:
定理 ― ωを複素ベクトルバンドルとし、nをそのファイバーの次元とすると、以下が成立する:
∑ i = 0 n p i ( ω R ) = ∑ k = 0 n c k ( ω ) ∑ l = 0 n ( − 1 ) l c l ( ω ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p_{i}(\omega _{\mathbb {R} })=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(\omega )\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }c_{\ell }(\omega )}
前節で述べたようにオイラー類は μ : S O ( 2 ) m → S O ( n ) {\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\to SO(n)} により誘導される写像を使って χ = B μ ∗ ( γ 1 ⋯ γ m ) {\displaystyle \chi =B\mu ^{*}(\gamma _{1}\cdots \gamma _{m})} と定義されていた。よって明らかに以下が成立する:
定理 ― 同じ底空間Xを持つX上の実ベクトルバンドル ξ {\displaystyle \xi } 、 η {\displaystyle \eta } に対し、以下が成立する:
本節では、前述したH(BSO(n);Λ)とH(BO(n);Λ)の構造を記述した定理がなぜ成立するかを次の3つの場合に分けて説明する:
nが偶数の場合のH(BSO(n);Λ)の構造
nが奇数の場合のH(BSO(n);Λ)の構造
H(BO(n);Λ)の構造
. , A m {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m}} が存在し、
A = ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A m ) ⋅ P σ {\displaystyle A=(A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{m})\cdot P_{\sigma }}
が成立する。Aが向きを保つ直交行列であり、 R n = ( R 2 ) m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}} 上の置換行列 P σ {\displaystyle P_{\sigma }} も向きを保つ直交行列なので、 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A m {\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{m}} も向きを保つ直交行列でなければならない。したがって A 1 , ... , A m {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m}} はすべて直交行列であり、しかも | A 1 | ⋅ ⋯ ⋅ | A m | = 1 {\displaystyle |A_{1}|\cdot \cdots \cdot |A_{m}|=1} が成立する。ここで | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} は行列式である。
Aiは直交行列なので、
A i = C ε i R ( θ i ) {\displaystyle A_{i}=C{}^{\varepsilon _{i}}R(\theta _{i})}
本項では、Λ係数のコホモロジーからスタートしてオイラー類を定義したため、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類は上記のように人工的なもののになったが、トムの同型定理(英語版)を使って整数係数コホモロジーにおけるオイラー類を直接的に定義する事もできる。詳細はオイラー類の項目を参照。
X上の実ベクトルバンドル ξ {\displaystyle \xi } 、 η {\displaystyle \eta } に対し、それぞれのファイバーの次元をn、mとすると、ホイットニー和の公式から w n + m ( ξ ⊕ η ) = w n ( ξ ) ⊕ w m ( η ) {\displaystyle w_{n+m}(\xi \oplus \eta )=w_{n}(\xi )\oplus w_{m}(\eta )} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})} なので、前述したΛ係数のオイラー類の直和に対する振る舞いと合わせて、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類に対しても下記の定理が成り立つことが分かる:
定理 ― 同じ底空間Xを持つ実ベクトルバンドル ξ {\displaystyle \xi } 、 η {\displaystyle \eta } に対し、以下が成立する:
e ( ξ ⊕ η ) = e ( ξ ) e ( η ) {\displaystyle e(\xi \oplus \eta )=e(\xi )e(\eta )} in H ∗ ( X ; Z ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} )}
系 (ファイバーバンドルに対する分類定理) ― Gを位相群とし、 ( P , B , π G ) {\displaystyle (P,B,\pi _{G})} を普遍G-バンドルとし、FをGが忠実に作用する位相空間とし、 ( E , B , π G ) {\displaystyle (E,B,\pi _{G})} を ( P , B , π G ) {\displaystyle (P,B,\pi _{G})} に随伴するF-バンドルとする。さらにCW複体Xに対し、構造群Gを持つX上のF-バンドル全体の集合を E G , F ( X ) {\displaystyle {\mathcal {E}}_{G,F}(X)} とする。
このとき、任意のCW複体Xに対し、
[ f ] ∈ [ X , B ] ↦ f ∗ ( E ) ∈ E G , F ( X ) {\displaystyle [f]\in [X,B]\mapsto f^{*}(E)\in {\mathcal {E}}_{G,F}(X)}
が全単射である。
分類定理の場合と同様、X上のF-バンドルξに対応する写像 f : X → B {\displaystyle f~:~X\to B} をξの分類写像(英: classifying map)という。