ガウス和
N を法とするディリクレ指標 χ のガウス和は、
G ( χ ) = ∑ a = 1 N χ ( a ) e 2 π i a / N {\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}}
となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、
| G ( χ ) | = N {\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}}}
となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に N0 が χ の導手 (conductor) であり、χ0 が χ を誘導するような N0 を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ0 のガウス和と次の式によって関係付けられる。
G ( χ ) = μ ( N / N 0 ) χ 0 ( N / N 0 ) G ( χ 0 ) {\displaystyle G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})~}
ここで μ はメビウス関数である。結果として、N/N0 が平方因子を持たず N0 と互いに素であるときにちょうど G(χ) は非ゼロとなることが分かる。G(χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。