ピカールの定理
H ( u ) = G ( t + ( 1 − | t | ) u ) − G ( t ) ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) H 1 ( u ) = ( 1 − | u | ) H ′ ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}&H(u)={\frac {G\left(t+(1-|t|)u\right)-G(t)}{(1-|t|)G'(t)}}\\&H_{1}(u)=(1-|u|)H'(u)\\\end{aligned}}}
とする。 H ( u ) {\displaystyle H(u)} は | u | < 60 59 {\displaystyle |u|<{\tfrac {60}{59}}} で正則であり、 H ( u ) + a − w {\displaystyle H(u)+a-w} が根を持たない | w | < 2 ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) {\displaystyle |w|<{\frac {2}{(1-|t|)G'(t)}}} が存在する。 H 1 ( 0 ) = 1 {\displaystyle H_{1}(0)=1} であるから
U = { u ∈ C : | u | < 1 , ( 1 − | u | ) | H ′ ( u ) | ≥ 1 } {\displaystyle \mathbb {U} =\{u\in \mathbb {C} :\;|u|<1,(1-|u|)\left|H'(u)\right|\geq {1}\}}
は空でない。 U {\displaystyle \mathbb {U} } の中で絶対値が最大のものを u 1 {\displaystyle u_{1}} として
J ( v ) = 2 ( H ( 1 − | u 1 | 2 v + u 1 ) − H ( u 1 ) ) {\displaystyle J(v)=2\left(H\left({\frac {1-|u_{1}|}{2}}v+u_{1}\right)-H\left(u_{1}\right)\right)}
真性特異点を持つ関数の例として
f ( z ) = e ( 1 z ) {\displaystyle f(z)=e^{\left({\frac {1}{z}}\right)}}
を挙げる。任意の v ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} について
z = 1 log  ( v ) + 2 π i n , n ≥ 1 2 π δ + 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\log \left(v\right)+2{\pi }in}},\quad {n\geq {\frac {1}{2\pi \delta }}+1}}
とすれば | z | < δ {\displaystyle \left|z\right|<\delta } で f ( z ) = v {\displaystyle f(z)=v} となることが確かめられる。ピカールの大定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。