レイノルズ数
レイノルズ数は詳細な数字でなく、「10 の何乗」という桁数(オーダー)に注目することも多い。たとえば、空気中を飛行する飛行機の主翼でのレイノルズ数は 10 - 10 程度である。また、模型飛行機などのレイノルズ数は10以下で低レイノルズ数領域と言われている。
レイノルズ数は翼型の設計において利用され、特徴を計算/比較することで"スケールエフェクト"を行う。ごく小さい翼については、大きくする場合には、異なった処理がなされる。 流体力学の専門家は 翼弦レイノルズ数(英: the chord Reynolds number)R を次のように定義する。
R = V c / v {\displaystyle R=Vc/v}
V {\displaystyle {V}} - 飛行速度(m/s)
c {\displaystyle {c}} - 翼弦(chord, コード)(m)
v {\displaystyle v} : 動粘性係数(ν = μ/ρ,海水面の大気では1.460x10 m/s)(m/s)
粒子レイノルズ数は粒子の沈降速度を決定するのに重要である。粒子レイノルズ数が層流を示す場合、ストークスの式を沈降速度の計算式として使用することができる。粒子レイノルズ数が層流を示す場合、適切な沈降速度をモデル化するために乱流抗力法(turbulent drag law)が構築される必要がある。 高分子溶液や重合体溶融物のような粘性が元々高い流れは普通は層流となる。レイノルズ数が非常に小さければ、ストークスの法則により流体の粘性を計ることができる。球が流体の中で沈降するとき、球はすぐに終末速度に達し、そこから粘性が求まる。
ρ {\displaystyle \rho \,} - 流体密度(kg/m)
ここで次のように各物理量を無次元化する:
v ′ = v V , p ′ = p ρ V 2 , ∂ ∂ t ′ = D V ∂ ∂ t , ∇ ′ = D ∇ {\displaystyle \mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},\quad p'={\frac {p}{\rho V^{2}}},\quad {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \nabla '=D\nabla }
するとナビエ-ストークス方程式を次の無次元化された方程式に書き直すことができる。
∂ v ′ ∂ t ′ + v ′ ⋅ ∇ ′ v ′ = − ∇ ′ p ′ + μ ρ D V ∇ ′ 2 v ′ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} }
この式にはパラメータが右辺第2項にしか現れていない。このパラメータを次のように書き換え、レイノルズ数と定義する:
R e = ρ D V μ {\displaystyle Re={\frac {\rho DV}{\mu }}}
最終的に式を読みやすくするためにプライム記号を省略して書き直すと次のようになる。
∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ p + 1 R e ∇ 2 v {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{2}\mathbf {v} }
この式はパラメータとしてレイノルズ数Re しか持たない。したがって同じレイノルズ数を持ち、かつ境界条件も相似形である流れは数学的に全て同等である。
上記の式でRe → ∞のとき、粘性項が消える。したがって、高レイノルズ数流れはおよそ非粘性の自由流れと同じとなる。