ネーターの定理
G δ = ε i p i {\displaystyle G_{\delta }=\epsilon ^{i}p^{i}} とすると、 δ A = ε i { A , p i } = ε i ∂ A ∂ q i {\displaystyle \delta A=\epsilon ^{i}\{A,p^{i}\}=\epsilon ^{i}{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}}
A ( q i , p i ) → A ( q i , p i ) + ε i ∂ A ∂ q i = A ( q i + ε i , p i ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})\rightarrow A(q^{i},p^{i})+\epsilon ^{i}{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}=A(q^{i}+\epsilon ^{i},p^{i})}
よって運動量は空間並進の生成子である。
例2:角運動量
δ ε φ i ( x ) ≡ φ ′ ( x ) − φ ( x ) = δ φ i ( x ) − δ x μ ∂ μ φ i {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi _{i}(x)\equiv \phi '(x)-\phi (x)=\delta \phi _{i}(x)-\delta x^{\mu }\partial _{\mu }\phi _{i}}
このとき、ネーターカレントは
j μ = − ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) δ ε φ i − L δ x μ {\displaystyle j^{\mu }=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta _{\epsilon }\phi _{i}-{\mathcal {L}}\delta x^{\mu }}
となる。
特に微小変換が次のようなパラメータの線型結合
δ x μ = ε a X a μ ( x ) {\displaystyle \delta x^{\mu }=\epsilon ^{a}X^{a\mu }(x)}
δ ε φ i ( x ) = ε a δ a φ i ( x ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi _{i}(x)=\epsilon ^{a}\delta ^{a}\phi _{i}(x)}