摂動
H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}} はエルミート演算子である(つまりエネルギーはオブザーバブルである)ので、その固有ベクトル { | Ψ n ( 0 ) ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(0)}\rangle \}} は完全系を成している。また { | Ψ n ( 0 ) ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(0)}\rangle \}} は規格直交化されているとする。
ハミルトニアン H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の固有ベクトル { | Ψ n ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{n}\rangle \}\ } と、対応する固有値 { ε n } {\displaystyle \{\epsilon _{n}\}} を求めたい。ここで { | Ψ n ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{n}\rangle \}\ } と { ε n } {\displaystyle \{\epsilon _{n}\}} は
H | Ψ n ⟩ = ε n | Ψ n ⟩ {\displaystyle {\mathcal {H}}|\Psi _{n}\rangle =\epsilon _{n}|\Psi _{n}\rangle }
つまり
( H 0 + H ′ ) | Ψ n ⟩ = ε n | Ψ n ⟩ ⋯ ( 0 ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{0}+{\mathcal {H}}')|\Psi _{n}\rangle =\epsilon _{n}|\Psi _{n}\rangle \cdots (0)}
を満たさなければならない。