ヤコビの三重積
∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q / a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( q / a ; q ) ∞ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q)_{n}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left(q/az;q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }\left(q/a;q\right)_{\infty }}}}
となり、 q {\displaystyle q} を q 2 {\displaystyle q^{2}} と書き、 z {\displaystyle z} を − q z / a {\displaystyle -qz/a} と書けば
∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q 2 ) n ( − q z a ) n = ( − q z ; q 2 ) ∞ ( q 2 ; q 2 ) ∞ ( − q / z ; q 2 ) ∞ ( − q z / a ; q 2 ) ∞ ( q 2 / a ; q 2 ) ∞ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(a;q^{2})_{n}\left(-{\frac {qz}{a}}\right)^{n}={\frac {(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }}{(-qz/a;q^{2})_{\infty }\left(q^{2}/a;q^{2}\right)_{\infty }}}}
c ( 1 4 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + π i n / 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ + π i / 2 ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ − π i / 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − i ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + i e ( 2 m − 1 ) π i τ ) ( 1 − i e ( 2 m − 1 ) π i τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − i ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 4 m − 2 ) π i τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − i ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 4 m π i τ ) ( 1 − e ( 4 m − 2 ) π i τ ) ( 1 + e ( 4 m − 2 ) π i τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − i ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 4 m π i τ ) ( 1 − e ( 8 m − 4 ) π i τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − i ) n e π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 8 m π i τ ) ( 1 − e ( 8 m − 4 ) π i τ ) ( 1 − e ( 8 m − 4 ) π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+{\pi }in/2}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i/2}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i/2}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-ie^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-i)^{n}e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\\end{aligned}}}
θ 3 ( 1 + τ 2 ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( 1 + τ 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e π i τ ( n + 1 2 ) 2 − 1 4 π i τ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n e π i τ ( n + 1 2 ) 2 − 1 4 π i τ + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 e π i τ ( − n − 1 + 1 2 ) 2 − 1 4 π i τ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}({\frac {1+\tau }{2}};\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in({\frac {1+\tau }{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}e^{{\pi }i{\tau }(n+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n+1}e^{{\pi }i{\tau }(-n-1+{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}{\pi }i{\tau }}}\\&=0\end{aligned}}}
であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、
分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。
c ( 1 4 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e 4 π i τ n 2 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 8 m π i τ ) ( 1 − e ( 8 m − 4 ) π i τ ) ( 1 − e ( 8 m − 4 ) π i τ ) = c ( 1 2 , 4 τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}c\left(\textstyle {\frac {1}{4}},\tau \right)&={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{4{\pi }i{\tau }n^{2}}}}{\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{8m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi }i{\tau }}\right)}}}\\&=c\left(\textstyle {\frac {1}{2}},4\tau \right)\end{aligned}}}