状態空間 (制御理論)
x 2 ( t ) := x 1 ̇ ( t ) {\displaystyle x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)} は、振り子の回転速度である。
x 2 ̇ = x 1 ̈ {\displaystyle {\dot {x_{2}}}={\ddot {x_{1}}}} は、振り子の回転加速度である。
状態方程式は、次のようにも書き表せる。
x ̇ ( t ) = ( x 1 ̇ ( t ) x 2 ̇ ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) = ( x 2 ( t ) − g l sin  x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}(t)\\{\dot {x_{2}}}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right)}
システムの平衡/安定点は x ̇ = 0 {\displaystyle {\dot {x}}=0} のときであり、従って振り子の平衡点は以下が成り立つ場合である。
( x 1 x 2 ) = ( n π 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}n\pi \\0\end{matrix}}\right)}
ここで n は整数である。
この状態空間実現を可制御正準形式(controllable canonical form)と呼ぶ。「可制御」とされるのは、得られるモデルが可制御であることが保証されているためである。
伝達関数の係数を使って、次のような正準形式も構築可能である。
x ̇ ( t ) = [ − d 1 1 0 0 − d 2 0 1 0 − d 3 0 0 1 − d 4 0 0 0 ] x ( t ) + [ n 1 n 2 n 3 n 4 ] u ( t ) {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}
y ( t ) = [ 1 0 0 0 ] x ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}
この状態空間実現を可観測正準形式(observable canonical form)と呼ぶ。「可観測」とされるのは、得られるモデルが可観測であることが保証されているためである。