海岸線のパラドックス
滑らかな曲線の近似値は、測定精度が上がるにつれて単一の値に収束する傾向があるが、フラクタルの測定値は収束しない。
フラクタル曲線の長さは常に無限大に発散するため、無限またはほぼ無限の分解能で海岸線を測定する場合、海岸線の長さは無限大になる。ただし、この図は空間が無限小の部分に分割できるという仮定に基づいている。ユークリッド幾何学の根底にあり、測定において有用なモデルとしての役割を果たすこの仮定的真理値は、哲学的推論の産物であり、原子レベル(およそナノメートルのスケール)の「空間」と「距離」の変化する現実を反映するかは分からない 。たとえば、原子よりも桁違いに小さいプランク長が、宇宙にありうる最小の測定可能単位として提案されている。
海岸線はマンデルブロ集合のような理想的フラクタルよりも不明確である。前者は統計的にランダムにパターンを生み出す様々な自然界の出来事によって形成されるのに対し、後者は単純かつ定型の配列を反復することで生成されるためである。