マルサスモデル
上記のマルサスモデルでは、対象の生物の世代交代が切れ目なく連続的に起こることを想定している。昆虫などでは、世代交代がある時期に一斉に起こる場合もある。このような個体数増減をモデル化するには、時間 t を整数として、飛び飛びの時間間隔で個体数変化を考える必要が出てくる。t を世代とし、Pt を第 t 世代における個体数とすれば、離散型のマルサスモデルとその解は
P t + 1 = m P t {\displaystyle P_{t+1}=mP_{t}}
P t = P 0 m t {\displaystyle P_{t}=P_{0}m^{t}}
と表される。
マルサスモデルでは無制限な個体数の指数関数増加が続くが、これは現実的ではない。この点を解決したモデルとして、t → ∞ で個体数が有限な値に収束するピエール=フランソワ・フェルフルストによる次のロジスティック方程式がある。
d N d t = r ( K − N K ) N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}\ =r\left({\frac {K-N}{K}}\right)N}
ここで、K は環境収容力と呼ばれ、その環境における個体数の最大定員を示している。