アーネシの曲線
円の半径を a とすると(c=2a)、曲線の方程式はこうなる。
y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 {\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}
a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。
y = 1 x 2 + 1 {\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}}
t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる:
x = 2 a t , y = 2 a t 2 + 1 {\displaystyle x=2at,\quad y={\frac {2a}{t^{2}+1}}}
θ {\displaystyle \theta \,} を OM と OA とのなす角(時計回り)とすると、曲線は次式でも表せる。
x = 2 a tan  θ , y = 2 a cos 2  θ {\displaystyle x=2a\tan \theta ,\quad y=2a\cos ^{2}\theta }
θ {\displaystyle \theta \,} を x 軸と OA とのなす角(反時計回り)とすると、曲線は次式でも表せる。
x = 2 a cot  θ , y = 2 a sin 2  θ {\displaystyle x=2a\cot \theta ,\quad y=2a\sin ^{2}\theta }