テンソル
i p e i 1 ⊗ ⋯ ⊗ e i p ⊗ ε j 1 ⊗ ⋯ ⊗ ε j q {\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes \varepsilon ^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \varepsilon ^{j_{q}}}
に等しい。テンソル積の性質を用いて、この成分が (p, q)-型テンソルの変換則を満たすことが示せる。さらに言えば、テンソル積の普遍性により、今定義した意味でのテンソルと多重線型写像として定義した意味でのテンソルが一対一対応することが言える。
テンソルは極めて一般に(例えば任意の環上の加群まで含めて)定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 V とその双対から得られるテンソル積(テンソル空間)の元のために用いるのが普通である。
必ずしも同じベクトル空間でなくともテンソル積をとることができて、そのようなより一般のテンソル積の元のことも「テンソル」と呼ぶことがある。たとえばテンソル積空間 V ⊗ W の元はこのようなより一般の意味における二階「テンソル」であり、同様に d-階テンソルを d 個の異なるベクトル空間のテンソル積の元として定義できる。通常の (n, m)-型テンソルは、このより一般の意味でも (n + m)-階テンソルになっている。