コーシー＝コワレフスカヤの定理
この例では、x1, x2, x3について、(0,0,0)の近傍で、1階連続微分可能な解を持つならば、f (x3)はx3 =0の近傍で解析的でなければならない。従って、f (x3)がC級であっても、解析的でなければ、局所解が存在しない。なお、この方程式は
u = v 1 + i v 2 ( i = − 1 ) {\displaystyle u=v_{1}+iv_{2}\quad (i={\sqrt {-1}})}
とすれば、
∂ u ∂ x 1 + i ∂ u ∂ x 2 + 2 i ( x 1 + i x 2 ) ∂ u ∂ x 3 = f ( x 3 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}+2i(x_{1}+ix_{2}){\frac {\partial u}{\partial x_{3}}}=f(x_{3})}
の形にまとめられる。
(t, x) = (t, x1, x2,..., xn)を、n+1次元実ベクトル空間R(もしくはn+1次元複素ベクトル空間C)の点とし、次の形の偏微分方程式系
∂ p i u i ∂ t p i = F i ( t , x , u 1 , u 2 , ... , u m , ... , ∂ | ν | u j ∂ t ν 0 ∂ x 1 ν 1 ⋯ ∂ x n ν n , ... , ) ( 1 ≤ i , j , ≤ m ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{i}}u_{i}}{\partial t^{p_{i}}}}=F_{i}{\biggl (}t,x,u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,{\frac {\partial ^{|\nu |}u_{j}}{\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}}},\dotsc ,{\biggr )}\quad (1\leq i,j,\leq m)}
| ν | = ν 1 + ν 1 + ⋯ + ν n ≤ p j , ν 0 < p j {\displaystyle \quad |\nu |=\nu _{1}+\nu _{1}+\dotsb +\nu _{n}\leq p_{j},\quad \nu _{0}<p_{j}}
を初期条件