特異ホモロジー
上記の構成は任意の位相空間に対して定義でき、連続写像の作用によって保たれる。この一般性により特異ホモロジー論は圏論の言葉で言い直すことができる。とくに、ホモロジー群は位相空間の圏 Top からアーベル群の圏 Ab への関手であると理解することができる。
まず X ↦ C n ( X ) {\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)} は位相空間から自由アーベル群への写像と考える。Top の射上のその作用を理解できるとすればこのことによって C n ( X ) {\displaystyle C_{n}(X)} を関手であるようにとれる。さて、Top の射は連続写像であるので、 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} が位相空間の連続写像であれば、群の準同型
f ∗ : C n ( X ) → C n ( Y ) {\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}
に
f ∗ ( ∑ i a i σ i ) = ∑ i a i ( f ∘ σ i ) {\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}
特異ホモロジーの通常の構成は次のように進行する。単体の形式和を定義する。これは自由アーベル群の元として理解できる。そしてある種の群、位相空間のホモロジー群を、バウンダリ作用素を含めて、定義できることを示す。
まず位相空間 X 上のあらゆる特異 n-単体 σ n ( Δ n ) {\displaystyle \sigma _{n}(\Delta ^{n})} の集合を考える。この集合は自由アーベル群の基底として使うことができ、各 σ n ( Δ n ) {\displaystyle \sigma _{n}(\Delta ^{n})} はその群の生成元である。単体を位相空間に写像する方法はたくさんあるので生成元のこの集合はもちろん普通は無限で、しばしば非可算である。この基底によって生成された自由アーベル群は一般に C n ( X ) {\displaystyle C_{n}(X)} と表記される。 C n ( X ) {\displaystyle C_{n}(X)} の元は特異 n-チェイン (singular n-chain) と呼ばれる。それらは整数係数の特異単体の形式和である。