電磁場の量子化
B ( r ) = i ∑ k , μ ħ 2 ω k V ε 0 [ k × e ( μ ) ( k ) ] ( a ^ k μ e i k ⋅ r − a ^ k μ † e − i k ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{\mathbf {k} }V\epsilon _{0}}}}[\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )]\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)}
古典的な電磁場のハミルトニアンで同じように演算子の置き換えをすることで、量子論的な電磁場のハミルトニアンが得られる。
H ^ = ∑ k , μ ħ ω k ( a ^ k μ † a ^ k μ + 1 2 ) {\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega _{\mathbf {k} }{\Big (}{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }+{\frac {1}{2}}{\Big )}}
よって量子化された電磁場は、量子的な調和振動子の集合であることがわかる。
粒子における量子化では、運動量を演算子に置き換える方法である。
p ( t ) → − i ħ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}}
プランク定数はここで導入され、古典的表現の時間依存性は量子力学的な演算子には引き継がれない(これはシュレーディンガー描像でも言える)。
電磁場でも同様のことを行う。
P k μ ( t ) → − i ħ ∂ ∂ Q k μ {\displaystyle P_{\mathbf {k} \mu }(t)\rightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial Q_{\mathbf {k} \mu }}}}
さらに次のような生成消滅演算子を導入する。
a ^ k μ † = ω ε 0 2 ħ ( Q ^ k μ − i ω ε 0 P ^ k μ ) {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }={\sqrt {\frac {\omega \epsilon _{0}}{2\hbar }}}({\hat {Q}}_{\mathbf {k} \mu }-{\frac {i}{\omega \epsilon _{0}}}{\hat {P}}_{\mathbf {k} \mu })}
{\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{L}}(n_{x},n_{y},n_{z})\qquad n_{x},\;n_{y},\;n_{z}=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots }
このkを1つ決めると、それと垂直な2つの単位ベクトル(偏光ベクトル) e ( μ ) {\displaystyle \mathbf {e} ^{(\mu )}} と、時間依存性を表す ω {\displaystyle \omega } が決まりベクトルポテンシャルが1つ定まる。
古典的な電磁場のハミルトニアンは次のような形になる。
H = 1 2 ε 0 ∫∫∫ V ( E ( r , t ) 2 + c 2 B ( r , t ) 2 ) d 3 r {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}\left(E(\mathbf {r} ,t)^{2}+c^{2}B(\mathbf {r} ,t)^{2}\right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }
ここで Q k μ ( t ) ≡ a k ( μ ) ( t ) + a k ∗ ( μ ) ( t ) {\displaystyle Q_{\mathbf {k} \mu }(t)\equiv a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{*(\mu )}(t)} を導入し、これまでの結果を代入すると