素数定理
このことから、定理を次のように述べることもできる。
π ( x ) ∼ x log  ( x ) {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)}}}
これは同様にx/log(x) で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪いが計算上扱い易い。さらに次のように変形した式は、π(x)/x すなわちx 以下の正整数に占める素数の割合の近似式を表す。
π ( x ) x ∼ 1 log  ( x ) {\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x}}\sim {\frac {1}{\log(x)}}}
上の2通りの近似はx が小さくても比較的正確である(以下の表を参照)。
また、n 番目の素数を pn とすると、n ≧ 6 に対して
log  ( n ) + log  ( log  ( n ) ) − 1 < p n n < log  ( n ) + log  ( log  ( n ) ) {\displaystyle \log(n)+\log(\log(n))-1<{\frac {p_{n}}{n}}<\log(n)+\log(\log(n))}
が成り立つ。
より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である(ヴィノグラードフの素数定理)。充分大きな x について、
π ( x ) = li  ( x ) + O ( x exp  ( − A ( log  x ) 3 5 ( log  log  x ) 1 5 ) ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)} ただし A = 0.2098 {\displaystyle A=0.2098} .
さらに、1901年にヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。