自由場
基本的に、相互作用のある場の交換関係はボゾンに対して、反交換関係はフェルミオンに対して与えられ、双方のテスト函数の上を渡る PDE の(実際は函数ではなく、超函数の)場のペイエールのブラケット(英語版)(Peierls bracket)の i 倍である。これはCCR/CAR代数(英語版)(CCR/CAR algebra)の形を持っている。
無限自由度を持つ CCR/CAR 代数は、多くの非同値な既約なユニタリ表現を持っている。理論をミンコフスキー空間上で定義しようとすると、いつも必要なわけではないが、真空状態を持っているユニタリな既約表現を選ぶ必要がある。
φ を作用素に値を持つ超函数とし、(クライン・ゴルドン)偏微分方程式を
∂ μ ∂ μ φ + m 2 φ = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0} .
とする。これはボゾン場である。この超函数をペイエールのブラケット(Peierls bracket) Δ により与えられた超函数と言う。すると、
{ φ ( x ) , φ ( y ) } = Δ ( x ; y ) {\displaystyle \{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)}
となる。ここに、φ は古典場で {,}(コンマ)ペイエールのブラケットである。
すると、正準交換関係 (CCR) は、
[ φ [ f ] , φ [ g ] ] = i Δ [ f , g ] {\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,} .