無理回転
φ : ( [ 0 , 1 ] , + ) → ( S 1 , ⋅ ) φ ( x ) = x e 2 π i θ {\displaystyle \phi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \phi (x)=xe^{2\pi i\theta }} .
である。φ は等長であることを示すことも出来る。
θ が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、 θ = a b {\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}} および gcd ( a , b ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,b)=1} であれば x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} に対して T θ b ( x ) = x {\displaystyle T_{\theta }^{b}(x)=x} になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。 1 ≤ i < b {\displaystyle 1\leq i<b} であれば T θ i ( x ) ≠ x {\displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x} を示すことも出来る。