時間依存密度汎関数法
A [ Ψ ] = ∫ d t ⟨ Ψ ( t ) | H ^ − i ∂ ∂ t | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle A[\Psi ]=\int \mathrm {d} t\ \langle \Psi (t)|{\hat {H}}-i{\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi (t)\rangle }
波動関数の汎関数 A[Ψ] として取り扱った、波動関数の変分は停留点として多体シュレーディンガー方程式をもたらす。電子密度と波動関数との間の一意的な写像を考え、ルンゲとグロスは次に密度汎関数
A [ ρ ] = A [ Ψ [ ρ ] ] , {\displaystyle A[\rho ]=A[\Psi [\rho ]],\,}
としてディラック場を扱い、場の交換–相関要素についての形式的式を導いた。これが汎関数微分によって交換–相関ポテンシャルを決定する。後に、ディラック場の基づくやり方は、それを生成する応答関数の因果律を考えた時に逆説的結論をもたらすことが見つかった 。密度応答関数(外部ポテンシャルに関する電子密度の汎関数微分)は因果的でなければならない(いかなる時間におけるポテンシャルの変化もそれより前の時間の密度に影響を与えない)。しかしながら、ディラック場から応答関数は時間について対称的であり、必要とされる因果構造を欠いている。この問題に悩まされないやり方が後に複素時間経路積分のケルディッシュ形式に基づく場を通して導入された。「実時間」における場の原理の精緻化による因果律パラドックスの別の解決法が最近ジョヴァンニ・ヴィナーレ(英語版)によって提唱された。
( − 1 2 ∇ 2 + v s ( r , t ) ) φ i ( r , t ) = i ∂ ∂ t φ i ( r , t ) φ i ( r , 0 ) = φ i ( r ) , {\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+v_{s}({\boldsymbol {r}},t)\right)\phi _{i}({\boldsymbol {r}},t)=i{\frac {\partial }{\partial t}}\phi _{i}({\boldsymbol {r}},t)\ \ \ \phi _{i}({\boldsymbol {r}},0)=\phi _{i}({\boldsymbol {r}}),}
に従う一式のN個の軌道の観点から構築され、ρsが相互作用のある系の密度と常に等しい
ρ s ( r , t ) = ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho _{s}({\boldsymbol {r}},t)=\rho ({\boldsymbol {r}},t)}
ような時間に依存する密度
ρ s ( r , t ) = ∑ i = 1 N b f i ( t ) | φ i ( r , t ) | 2 {\displaystyle \rho _{s}({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i=1}^{N_{\textrm {b}}}f_{i}(t)|\phi _{i}({\boldsymbol {r}},t)|^{2}}
を生成する。