キュムラント母関数
第2キュムラント母関数 KX(t) を特性関数 ψX(t)の対数として次のように定義できる。
K X ( t ) = log  φ X ( t ) = log  ( E ( e i t X ) ) = log  ( ∑ n = 0 ∞ ( i t ) n n ! μ n ) = ∑ n = 1 ∞ ( i t ) n n ! κ n {\displaystyle {\begin{aligned}K_{X}(t)&=\log \varphi _{X}(t)\\&=\log(\mathrm {E} (e^{itX}))\\&=\log \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}\kappa _{n}\end{aligned}}}
n次キュムラント κn は次のように計算される。
κ n = 1 i n ∂ n ∂ t n K X ( t ) | t = 0 {\displaystyle \kappa _{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}K_{X}(t){\bigg |}_{t=0}}