交叉理論
2n 次元の連結な向き付け可能多様体 M に対して、交叉形式(intersection form)は、基本類 [ M ] ∈ H 2 n ( M , ∂ M ) {\displaystyle [M]\in H_{2n}(M,\partial M)} の上のカップ積の評価により n-番目(普通、「中間次元」と呼ばれる)のコホモロジー群の上に定義される。詳しく言うと、双線型形式
λ M : H n ( M , ∂ M ) × H n ( M , ∂ M ) → Z {\displaystyle \lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbb {Z} }
が
λ M ( a , b ) = ⟨ a ⌣ b , [ M ] ⟩ ∈ Z {\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbb {Z} }
により与えられる。元 a と b の入れ替えについては、
λ M ( a , b ) = ( − 1 ) n λ M ( b , a ) ∈ Z {\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbb {Z} }
である。
n が偶数の(従って、次元が 4 の倍数である)場合は、交叉形式は対称双線型形式であり、M の符号数(英語版)(signature)は、交叉形式の符号数として定義される。
2つの部分多様体 V と W が与えられると、それらの交叉 V ∩ W {\displaystyle V\cap W} を取ることができるが、さらに微妙なことであるが、単独の部分多様体の自己交叉を定義することも可能である。
例えば、曲面 S 上に曲線 C は、自己自身との(集合としても)交叉はまさに C ∩ C = C {\displaystyle C\cap C=C} である。このことは明らかに正しいのだが、一方、不満足なことがある。曲面上の任意の 2つの異なる曲線(なんの共通成分も持たない)が与えられると、それらは点のある集合を交叉として持つ。それらはかぞえることもできて、交叉数を与え、与えられた曲線と同じことを期待できるかもしれない。似たようたなことは、異なる曲線を交わらせることが 2つの数の積 x ⋅ y {\displaystyle x\cdot y} のようであることに対し、自己交叉は、単独な数の二乗 x 2 {\displaystyle x^{2}} することに似ている。形式的に、類似は対称双線型形式の積と二次形式と言うこともできる。
この幾何学的な解は、曲線 C と自分自身ではなく、自分自身をすこし動かしたものとの交叉を取る。