ブラック–リッターマン・モデル
ここで求めたいのは観測された期待リターン Π {\displaystyle \Pi } で条件づけられた期待リターン μ {\displaystyle \mu } の条件付き期待値である。このような条件付き期待値が投資家の予測する事後的な期待リターンと見なすことが出来る。ベイズの定理から f {\displaystyle f} が密度関数を表すとすれば、次が成立する。
f ( μ | Π ) ∝ f ( Π | μ ) f ( μ ) = f ( Π | μ ) f ( X ) {\displaystyle f(\mu \;|\;\Pi )\propto f(\Pi \;|\;\mu )f(\mu )=f(\Pi \;|\;\mu )f(X)}
ここで仮定より Π {\displaystyle \Pi } の μ {\displaystyle \mu } で条件づけられた分布と X = P μ {\displaystyle X=P\mu } の事前分布は分かっているので f ( Π | μ ) f ( X ) {\displaystyle f(\Pi \;|\;\mu )f(X)} は計算可能である。計算すると、
f ( Π | μ ) f ( X ) ∝ exp  { − 1 2 ( μ − μ B L ) ′ Σ B L − 1 ( μ − μ B L ) } {\displaystyle f(\Pi \;|\;\mu )f(X)\propto \exp \left\{-{\frac {1}{2}}{\Big (}\mu -\mu _{BL}{\Big )}^{\prime }\Sigma _{BL}^{-1}{\Big (}\mu -\mu _{BL}{\Big )}\right\}}
ブラック–リッターマン・モデルはベイズ統計学のテクニックを利用したものとなる。以下ではSatchell and Scowcroft & (2000)よりブラック–リッターマン・モデルの数式表現を説明する。
まず、市場には n {\displaystyle n} 個の資産が存在するものとする。これらの資産の期待リターン μ {\displaystyle \mu } は(投資家にとって)確率変数であるものとする。つまり、投資家は期待リターンの値そのものを事前にはわからないということを表現している。さらに Π {\displaystyle \Pi } を観測された期待リターンとする。仮定として、 Π {\displaystyle \Pi } の μ {\displaystyle \mu } を所与とした条件つき確率分布は平均 μ {\displaystyle \mu \,} 、分散 τ Σ {\displaystyle \tau \Sigma } の n {\displaystyle n} 変量正規分布であるとする。ここで Σ {\displaystyle \Sigma } は資産リターンそのものの分散行列であり、 τ {\displaystyle \tau } は投資家が考えている期待リターンの推定値 Π {\displaystyle \Pi } の正確さの程度を表している。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} ならば、投資家は観測された Π {\displaystyle \Pi } が真の期待リターン μ {\displaystyle \mu \,} と一致していると考えていると解釈できる。