イデアル (環論)
ゼロでないイデアルが極小 (minimal) であるとは、それが零でも自身でもないイデアルを含まないことを言う。
R を(必ずしも単位的でない)環とする。R の空でない左イデアルの族の交わりはまた左イデアルになる。R の任意の部分集合 X に対し、R の X を含む任意のイデアル全ての交わり I はやはり X を含む左イデアルであって、また明らかにそのようなイデアルの中で最小である。このイデアル I を X によって生成された左イデアルと呼ぶ。左イデアルの代わりに右イデアルもしくは両側イデアルをそれぞれ考えることにより、それぞれ同様の概念が定義される。
R が単位的ならば、R の部分集合 X が生成する左、右、両側イデアルは内部的な演算によって記述することができる。即ち、X の生成する左イデアルは
{ r 1 x 1 + ⋯ + r n x n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , x i ∈ X } {\displaystyle \{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}}
によって与えられる。実際これが左イデアルを成し、これらの元が X を含む任意のイデアルに属することは明らかであるから、確かにこれは X の生成する左イデアルである。同様に X の生成する右、両側イデアルはそれぞれ
{ x 1 r 1 + ⋯ + x n r n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , x i ∈ X } , {\displaystyle \{x_{1}r_{1}+\dots +x_{n}r_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\},}
{ r 1 x 1 s 1 + ⋯ + r n x n s n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , s i ∈ R , x i ∈ X } {\displaystyle \{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}}
によって与えられる。
規約として、0 は0 項からなる和と見做すことにより、イデアル {0} は空集合 ∅ の生成する R のイデアルと考える。
R の左イデアル I が R の有限集合 F によって生成されるならば、イデアル I は有限生成であるという。有限集合で生成される右イデアル、両側イデアルについても同様である。
生成系 X が R の適当な元 a のみからなる単元集合 {a} とすると、X = {a} の生成する各イデアルは簡単に
R a = { r a ∣ r ∈ R } , {\displaystyle Ra=\{ra\mid r\in R\},}
a R = { a r ∣ r ∈ R } , {\displaystyle aR=\{ar\mid r\in R\},}