ガブリエルのラッパ
と求められる。a は望む限り大きくすることができるが、上記の方程式から分かることとしてホルンの x = 1 から x = a までの部分の体積が π を上回ることは無い(が、a が大きくなればなるほど、体積は π により近づく)。数学的に述べれば、a が無限大へ近づく極限において体積は π へ近づく、微分積分学における極限記法では
lim a → ∞ V a = lim a → ∞ π ( 1 − 1 a ) = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }V_{a}=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi }
ということになる。一方、表面積に関する上記の式は、表面積の下界が a の自然対数の 2π-倍で与えられることをいっている。a が無限大に近づく際にa の自然対数に上界は無い。それはガブリエルのホルンにおいてはホルンが無限の表面積を持つという意味になる。言い換えるならば次のようになる。
lim a → ∞ A a > lim a → ∞ 2 π ln  a = ∞ {\displaystyle \lim _{a\to \infty }A_{a}>\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty }