逆元
逆半群の自然な一般化は、S の任意の元 a に対して、(a°)° = a となるような勝手な単項演算 "°" を定義することである。これは S に ⟨2,1⟩-型の算号系を持つ代数系の構造を与える。このような単項演算を備えた半群は U-半群と呼ばれる。a° は a の逆元をあらわしているようにも見えるが、いまは必ずしもそうでなくてよい。意味のある概念を得るためには、この単項演算は半群の演算と何らかの形で関わりを持つようにする必要がある。よく調べられている U-半群のクラスに
I-半群: 単項演算 "°" と半群演算との相互関係式を aa°a = a で与えたもの、
∗-半群: 単項演算 "°" と半群演算との相互関係式を (ab)° = b°a° で与えたもの。このような単項演算は対合と呼ばれ、しばしば "∗" で表される。
のふたつがある。群が I-半群にも ∗-半群にもなることは明らかである。I-半群にも ∗-半群にもなるような構造というのがちょうど逆半群の構造である。半群論における重要な半群のクラスは、I-半群であってさらに関係式 aa° = a°a も成立する(言い換えれば、任意の元 a が a° を自身と交換可能な擬逆元として持つ)完備正則半群(英語版) である。
集合 M は二項演算 • をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, •) の単位元とする。すなわち (M, •, e) は単位的マグマであるとする。M の元 a, b に対して a • b = e となるとき、a を演算 • と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 • 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。M の元 x に対して、M の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、つまり
x • y = y • x = e
が満たされるとき、y は演算 • と単位元 e に関する x の両側逆元 (two-sided inverse) あるいは単に逆元 (inverse) であるといい、x は M において可逆であるという。