シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
ラマヌジャンは、今日ではモジュラー関数と呼ばれる考えを元に、次の円周率の公式を発見した。
1 π = 2 2 99 2 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( 1103 + 26390 n ) ( 4 n 99 n n ! ) 4 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(4^{n}99^{n}n!)^{4}}}}
4 π = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 1123 + 21460 n ) 882 2 n + 1 ( 4 n n ! ) 4 {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}}
これらの公式は、収束が非常に早いものとして知られている。1985年に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。
ただしラマヌジャンは証明を書き残していなかったので、ゴスパーの計算が正しく円周率を与えるかは保証されなかったが、得られた結果はそれまでに計算されていた円周率の値と整合したので、式の正しさのある意味で実験的な「証明」を与えたことになる。これらの式はその後に数学的に正当な方法で証明された。
また、次のような円周率に関する近似式も発見している。
π ≈ 2143 22 4 = 3.1415926525 ⋯ {\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\cdots }
π ≈ 63 ( 17 + 15 5 ) 25 ( 7 + 15 5 ) = 3.1415926538 ⋯ {\displaystyle \pi \approx {\frac {63\left(17+15{\sqrt {5}}\right)}{25\left(7+15{\sqrt {5}}\right)}}=3.1415926538\cdots }
1 2 π 2 ≈ 1103 99 2 ⟺ π ≈ 3.1415927 ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\approx {\frac {1103}{99^{2}}}\iff \pi \approx 3.1415927\cdots }