一次分数変換
(ただし、「偏角」y はそれぞれ、双曲角(英語版)、傾き(抛物角)、円角としてそれぞれの環上で測った角度)は、(A, + ) 内の一径数群(英語版)から単元群 (U(A), × ) への準同型写像を与える。
一次分数変換は逆数函数 z ↦ 1/z および一次函数 z ↦ az + b によって生成することができるから、その共形性(等角性)は生成元がそうであることを示すことで証明できる。実際、平行移動 z ↦ z + b は原点の取り換えであって角度を変えない。また相似変換(英語版) z ↦ az が等角であることは、a, z の極分解(英語版)を考えれば、どの二元数環上でも偏角成分は a の偏角を z の偏角に加えるという等角写像になることから従う。それから反転変換 z ↦ 1/z は、b は j, ε, i の何れか (b = 1, 0, −1) として exp(yb) ↦ exp(−yb) となるからやはり等角である。