BCH符号
未知の多項式係数で示される Λ {\displaystyle \Lambda } を次のように記述する。
Λ t × 1 = [ λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ⋮ λ t ] {\displaystyle \Lambda _{t\times 1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\lambda _{4}\\\vdots \\\lambda _{t}\end{bmatrix}}}
次の行列方程式を構成する。
S t × t Λ t × 1 = C t × 1 {\displaystyle S_{t\times t}\Lambda _{t\times 1}=C_{t\times 1\,}}
行列 S t × t {\displaystyle S_{t\times t}} の行列式が存在する場合、行列の逆を見つけ、 Λ {\displaystyle \Lambda } の値を求めることができる。
det ( S t × t ) = 0 {\displaystyle \det(S_{t\times t})=0} の場合、次の手順を実施する。
Λ {\displaystyle \Lambda } の値が定まると、誤り位置多項式が得られる。
PGZアルゴリズムの完了。
最小ハミング距離は7で、3つまでの誤りを訂正できる。符号のデータビットは5ビット、チェックサムビットは10ビットとなる。
d = 8 {\displaystyle d=8} 以上のBCH符号の生成多項式は、次の通りである。
d ( x ) = l c m ( m 1 ( x ) , m 3 ( x ) , m 5 ( x ) , m 7 ( x ) ) = ( x 4 + x + 1 ) ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 4 + x 3 + 1 ) = x 14 + x 13 + x 12 + ⋯ + x 2 + x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}d(x)&{}={\rm {lcm}}(m_{1}(x),m_{3}(x),m_{5}(x),m_{7}(x))\\&{}=(x^{4}+x+1)(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(x^{2}+x+1)(x^{4}+x^{3}+1)\\&{}=x^{14}+x^{13}+x^{12}+\cdots +x^{2}+x+1\end{aligned}}}
この符号の最小ハミング距離は15で、7つまでの誤りを訂正できる。この場合、データビットが1ビットで、チェックサムビットが14ビットになる。実際、この符号は2つの符号語(000000000000000 と 111111111111111)しか持たない。