多胞体
オイラーの多面体定理の拡張としてシュレーフリ(英語版)の多胞体公式が成立する。
V − E + F − C = 0 {\displaystyle V-E+F-C=0}
ここでVは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数、Cは胞の数である。
四次元における正多胞体とは、3次元空間でいう正多面体に相当する多胞体のことである。定義も正多面体と似ており概要は、
全ての胞が一種類の正多面体でできている。
一つの頂点に集まる正多面体の数が同じである(頂点は合同である)。
である。正多面体をあらわす記号であるシュレーフリ記号を四次元では、構成面の形を p、構成胞の1つの頂点に集まる面の数を q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。
4次元の正多胞体は、6種類存在する。
双対関係は、
正八胞体⇔正十六胞体
正百二十胞体⇔正六百胞体
で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。