位相のずれ
f ( θ ) = ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 i k a l P l ( cos  θ ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{2ik}}a_{l}P_{l}(\cos \theta )\quad \cdots (3)}
よって(2)式に(1)、(3)式を代入すると、 r {\displaystyle r\ } が非常に大きいところでの散乱状態 ψ + ( r , θ ) {\displaystyle \psi ^{+}(r,\theta )\ } は、
ψ + ( r , θ ) → ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 i k [ ( 1 + a l ) e i k r r − ( − 1 ) l e − i k r r ] P l ( cos  θ ) ( r → ∞ ) ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \psi ^{+}(r,\theta )\to \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{2ik}}{\Big [}(1+a_{l}){\frac {e^{ikr}}{r}}-(-1)^{l}{\frac {e^{-ikr}}{r}}{\Big ]}P_{l}(\cos {\theta })\quad (r\to \infty )\quad \cdots (4)}
この括弧内の第一項目は外向き球面波を、第二項目は内向き球面波をそれぞれ表している。