HMFモデル
あるいは、この結果は以下の統計力学的な考察に基づいて導出することもできる。一般に長距離相互作用する系ではミクロカノニカルアンサンブルとカノニカルアンサンブルが等価ではなく異なる結果を導く可能性があるが、HMF モデルの場合には両者は等価である。その1粒子あたりの自由エネルギー φ ( β ) {\displaystyle \phi (\beta )} ( β {\displaystyle \beta } は逆温度) は、極限 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } に対して
φ ( β ) = β 2 − 1 2 ln  2 π + 1 2 ln  β + inf x ≥ 0 [ β x 2 2 − ln  I 0 ( β x ) ] {\displaystyle \phi (\beta )={\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}\ln \beta +\inf _{x\geq 0}\left[{\frac {\beta x^{2}}{2}}-\ln I_{0}(\beta x)\right]}
と求まる(適当な規格化を施した)。自由エネルギーの極値条件として方程式
x = I 1 ( x ) I 0 ( x ) {\displaystyle x={\frac {I_{1}(x)}{I_{0}(x)}}}
が非自明解を持つか、という条件が得られ、上の考察が再現される。短距離相互作用する1次元系では自発的対称性の破れによる相転移が起きないことが保証されており(マーミン・ワグナーの定理(英語版))、この結果は HMF モデルの熱力学的性質において長距離相互作用が本質的であることを示している。
HMF モデルの原型となるモデルは1992年に小西哲郎と金子邦彦によって導入された。彼らは非線型力学(カオス理論)の観点からこの模型に興味を持ち、ある離散的なシンプレクティック写像の反復により粒子群がクラスターを形成し有限時間の後にクラスターが散開することを観察した。1993年に稲垣省五と小西はその連続時間における対応物について運動論的方程式を用いて研究したが、これが現在 HMF モデルとして知られているものである。また稲垣と小西はこのモデルにおけるクラスターの形成過程は自己重力系のジーンズ不安定性に相当する不安定性によるものであると指摘した。続く論文で稲垣は HMF モデルの熱平衡状態の熱力学的安定性を論じ、1996年には運動学的方程式を用いて HMF モデルのボルツマンエントロピーが減少しないことを示した。なお稲垣はこの模型を modified Konishi-Kaneko model と呼称している。同時期に Christophe Pichon とドナルド・リンデン=ベルは棒渦巻銀河におけるバー構造の観点から同じ模型について調べていた。