セルバーグ跡公式
が成り立つ。ここで tr(R( f )|π) は R( f ) を不変部分空間 Vπ の線形作用素とみたときの跡である。これがスペクトル・サイドと呼ばれる方の計算結果である。セルバーグの跡公式といったとき、 L(Γ ⧵G) の分解としてはこの空間を G の右正則表現の空間と見立てて既約表現への分解を考えることが多い。もともとのセルバーグの論文ではラプラシアンの固有空間への分解を考えていた。より荒く連続スペクトラムと離散スペクトラムへの分解でもよい。
次に幾何サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは対角成分の和の方である。まず R( f ) の定義から簡単な計算により
( R ( f ) φ ) ( x ) = ∫ Γ ∖ G ( ∑ γ ∈ Γ f ( x − 1 γ y ) ) φ ( y ) d y {\displaystyle (R(f)\phi )(x)=\int _{\Gamma \backslash G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\right)\phi (y)\mathrm {d} y}
がわかる。よって R( f ) は積分核
セルバーグの跡公式は次のような議論を経て導出される。G を位相群、Γ をその離散部分群、f を G 上の関数とする。G 上の関数 φ に対して G 上の関数 R( f )φ を
( R ( f ) φ ) ( x ) = ∫ G f ( y ) φ ( x y ) d y {\displaystyle (R(f)\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\mathrm {d} y}
で定義する。R( f ) は関数空間に作用する線形作用素である。φ が左からの Γ 作用で不変であれば R( f )φ もそうである。さらに φ が Γ ⧵G 上の二乗可積分関数であるとき R( f )φ もそうなるのであれば R( f ) はヒルベルト空間 L(Γ ⧵G) の線形作用素を定める。この跡を二通りの方法で計算する。
まず、スペクトル・サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは固有値の和の方である。L(Γ ⧵G) が R( f ) の作用で不変な部分空間 Vπ (π は添字)達のヒルベルト直和に分解し、L(Γ ⧵G) = ⨁π Vπ とかけたとする。このとき、跡の性質から
tr  ( R ( f ) ) = ∑ π tr  ( R ( f ) | π ) {\displaystyle \operatorname {tr} (R(f))=\sum _{\pi }\operatorname {tr} (R(f)|_{\pi })}