半素環
まずはじめに、素イデアルが半素イデアルであることと、可換環では半素準素イデアルが素イデアルであることは明らかである。
素イデアルの共通部分は必ずしも素イデアルでないが、それは半素イデアルである。まもなく逆も正しいこと、任意の半素イデアルは素イデアルの族の共通部分であることが示されるだろう。
環 R の任意のイデアル B に対して、次の集合を作ることができる。
B := ⋂ { P ⊆ R ∣ B ⊆ P , P a prime ideal } ⊆ { x ∈ R ∣ x n ∈ B for some n ∈ N + } {\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}
集合 B {\displaystyle {\sqrt {B}}} は B の根基の定義であり、明らかに B を含む半素イデアルである。