WKB近似
量子力学における近似解法として有名なWKB法であるが、歴史的には量子力学の成立以前から幅広い分野に応用されてきた。WKB法の端緒は19世紀初頭にフランチェスコ・カルリーニ(英語版)が天体力学の問題に適用したこととされる。1817年にカルリーニは太陽の周りを運行する天体の楕円軌道について、摂動を行う際に、今日でいうところの古典的に到達可能領域での1次のWKB近似を行った。その後、1837年にジョゼフ・リウヴィルは、熱伝導の問題を扱う際に、シュレディンガー方程式タイプの2階線形常微分方程式にWKB近似を適用した。また、1837年にジョージ・グリーンは、緩やかに変化する狭い幅と浅い深さの運河における流体の運動を扱う際に、時間と空間を変数とする偏微分方程式に対して、WKB近似を適用した。
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但し、 p ( x ) {\displaystyle p(x)} は、
p ( x ) = 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}
で与えられる古典的な局所運動量であり、古典的な関係式 E = p 2 / 2 m + V ( x ) {\displaystyle E=p^{2}/2m+V(x)} を満たす。1次の項までをとる近似を行えば、作用積分 S {\displaystyle S} は
i ħ S ∼ i ħ ( S 0 + ħ S 1 ) = ± i ħ ∫ x p ( x ′ ) d x ′ + ln  1 p ( x ) + c o n s t . {\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}S\sim {\frac {i}{\hbar }}(S_{0}+\hbar S_{1})=\pm {\frac {i}{\hbar }}\int ^{x}\!p(x')dx'+\ln {\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}+const.}
であり、古典的に運動可能な領域 E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)} の領域での波動関数は、
ψ ( x ) = C 1 p ( x ) e + i ħ ∫ p ( x ) d x + C 2 p ( x ) e − i ħ ∫ p ( x ) d x ( E > V ( x ) ) {\displaystyle \psi (x)={\frac {C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)dx}+{\frac {C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)dx}\quad (E>V(x))}
だと仮定する。ここでは V ′ ( a ) > 0 {\displaystyle V'(a)>0} ととる。
シュレディンガー方程式は
[ − ħ 2 2 m d d x 2 + V ′ ( a ) ( x − a ) ] ψ ( x ) = 0 {\displaystyle {\biggl [}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d}{dx}}^{2}+V'(a)(x-a){\biggr ]}\psi (x)=0}
となる。
y = ( 2 m V ′ ( a ) ħ 2 ) 1 3 ( x − a ) {\displaystyle y={\biggl (}{\frac {2mV'(a)}{\hbar ^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{3}}(x-a)}
と変数変換すると、
( d d y 2 − y ) f ( y ) = 0 {\displaystyle {\biggl (}{d \over dy^{2}}-y{\biggr )}f(y)=0}
となりエアリの微分方程式になる。この2階微分方程式の基本解、第1種エアリ関数と第2種エアリ関数の y ≫ 1 {\displaystyle y\gg 1} であるときの漸近形は以下のようになっている。