実二次正方行列
まず微分ベクトルの変換
[ d u d v ] = [ p r q s ] [ d x d y ] = [ p d x + r d y q d x + s d y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p&r\\q&s\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{bmatrix}}}
を行ったとき、面積は「密度」を込めて微分 2-形式 dx ∧ dy(楔積 ∧ は外積代数も参照)で測られるから、この変換の密度
d u ∧ d v = ( det g ) d x ∧ d y {\displaystyle du\wedge dv=(\det g)\ dx\wedge dy}
に注意すれば、等積変換の全体は行列式 1 の行列からなる特殊線型群 SL(2, R) = {g ∈ M(2, R) | det(g) = 1} と同一視できる。前節のごとく平面部分環族 Pm を取れば、各 g ∈ SL(2, R) は適当な m に対する可換部分環 Pm に入り、また gg* = I であるから、以下の三者択一:
mm = −I であり、g は円周上で定義されたユークリッド回転;
mm = I であり、g は双曲線上定義された圧搾変換(英語版);
mm = 0 であり、g は直線上定義された剪断変換。
が成り立つ。
平面アフィン群について Artzy (1965) Linear Geometry は平面線型写像に関する同様の三分律に関して書いている。