オノの不等式
左辺に余弦定理を適用し、右辺に S = b c sin  C / 2 {\displaystyle S=bc\sin {C}/2} などを適用する。
27 ( cos  A cos  B cos  C ) 2 ≤ ( sin  A sin  B sin  C ) 2 {\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}}
tan  A + tan  B + tan  C = tan  A tan  B tan  C {\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}} を利用して変形する。
27 ( tan  A tan  B tan  C ) ≤ ( tan  A + tan  B + tan  C ) 3 {\displaystyle 27(\tan {A}\tan {B}\tan {C})\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}}
各角の正接は正なので相加相乗平均の関係より上の式は成り立つ。