エジプト式分数
[ 0 , π 2 6 − 1 ) ∪ [ 1 , π 2 6 ) {\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}
に含まれることである。ここに現れる π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} は、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(2) である。
エルデシュとグラハムは、2 以上の整数の集合を有限個の集合に分割した場合、それがどのような分割であっても、そのうちの一つの集合の有限部分集合 S を取って
∑ n ∈ S 1 n = 1 {\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}
とできると予想した。予想の内容は、よく次のように言い換えられる。「単位分数を有限個の色でどのように色分けしても、そのうちの単色のみを用いて 1 の単位分数展開が得られる。」この予想は2003年に証明された。
現代の数学史家は、リンド・パピルスなどの古文書を調べ、古代エジプト人のエジプト式分数による計算方法がどのようなものであったかを研究した。特に、リンド・パピルスに書かれた 2/n の表現がどのように得られたのかに注目し、様々な説を立てている。古代エジプト人が、分数を単位分数の和に表す系統的な方法を知っていたかどうかは不明であるが、少なくとも単一の方法のみを用いたのではなさそうである。恒等式 2/2m + 1 = 1/m + 1 + 1/(m + 1)(2m + 1) を用いれば、単一の方法で2つの単位分数の和に表せるにもかかわらず、分母が大きくなるのを嫌ってか、リンド・パピルスでは3項あるいは4項の和に表しているものもある。数学史家たちの分析によれば、分母が素数の場合と合成数の場合で、リンド・パピルスの著者は異なる方法を用いており、それぞれの場合においても複数の方法を用いている。
単位分数展開は、しばしば数学パズルの題材にもなる。特に人気があるのは、1 の単位分数展開である。1 に対して強欲算法を用いると、有名な表示
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
を得る。
用いることができる単位分数に制限をかけると、より深みのある類似の問題が多く考えられる。例えば、分母を奇数に限ると、強欲算法によって 1 は13個の単位分数の和に表され、最後の項の分母は
209525411280522638000804396401925664136495425904830384693383280180439963265695525939102230139815
となる。項数が最小なのは9項のものであり、そのようなものは全部で5通りあることが知られている。その中でも、最大分母が最小であるものは
1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231
である。項数を度外視した場合、最大分母が最小であるものは、11項の和