局所可積分函数
次の例も上述のものと同様に、不確定特異点(英語版)を伴う微分作用素への超函数の理論の応用に現れる初等的な反例であるような L1,loc(R\0) に属する函数である:
f ( x ) = { k 1 e 1 / x 2 x > 0 0 x = 0 k 2 e 1 / x 2 x < 0 . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0\\0&x=0\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0\end{cases}}.}
ここで k1 と k2 は複素定数で、次の初等的な一階の非フックス型微分方程式の一般解である。 x 3 d f d x + 2 f = 0. {\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}
k1 あるいは k2 がゼロでないなら、その函数はふたたび R 全体上でのどのような超函数も定義しない。したがってそのような方程式における唯一つの超函数的な大域解はゼロである。このことは微分方程式の一分野において超函数理論的な手法は、特に定数係数の線型微分方程式の理論のような他の一分野と同じように上手く働くものとは限らないことを意味する。
定理 3 函数 f が絶対連続測度の密度函数であるための必要十分条件は、f ∈L1,loc であることである。
この結果の証明は (Schwartz 1998, p. 18) に見られる。内容を解釈し直すと、この定理ではすべての局所可積分函数はある絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度はある局所可積分函数を定義することが主張されている。これはまた、抽象的測度論の枠組みにおいて、Stanisław Saks の学術論文で与えられた重要なラドン=ニコディムの定理として現れる。
実軸上で定義される定数函数 1 は局所可積分であるが、大域的には可積分ではない。より一般に、定数、連続函数および可積分函数は局所可積分である。
函数
f ( x ) = { 1 / x x ≠ 0 0 x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}
は x = 0 において局所可積分でない。実際、その点を含まない任意のコンパクト集合上での積分は有限であるので、その点の近くでは局所可積分である。形式的に表すと、1/x ∈ L1,loc(R\0) ということになる。しかし、この函数はコーシーの主値として R 全体上での超函数に拡張することが出来る。
上記の例より次の疑問が生じる:Ω ⊊ R 内で局所可積分であるようなすべての函数は、超函数として R 全体へと拡張することが出来るか?この問の答えはノーであり、実際その反例として次の函数が考えられる:
f ( x ) = { e 1 / x x ≠ 0 0 x = 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0\\0&x=0.\end{cases}}}
この函数は R 上のどのような超函数も定義しない。