ランダムに配した点がなす直線
直線を描くとみた k {\displaystyle k} 個の点の集まりの中から一番左と一番右の点を取り出して考えてみる。(別のケースとして、垂直な、一番上と一番下の点を選ぶ場合を考えてもよい。)これら2点が直線を定義するとみなす。残り k − 2 {\displaystyle k-2} 個の点が充分にこの直線の近くにいる確率は w d {\displaystyle {\frac {w}{d}}} であらわされる。(これは領域を横断するこの直線が作る面積 w d {\displaystyle wd} を領域の面積 d 2 {\displaystyle d^{2}} で割ることで求まる。)
そうして、 k {\displaystyle k} 個の点を含む直線の本数は、ごく粗く見て
n ! ( n − k ) ! k ! ( w d ) k − 2 {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}\left({\frac {w}{d}}\right)^{k-2}}
とあらわせる。ここで k << n {\displaystyle k<<n} とすると、
n k k ! ( w d ) k − 2 {\displaystyle {\frac {n^{k}}{k!}}\left({\frac {w}{d}}\right)^{k-2}}