アインシュタイン・ヒルベルト作用
{\displaystyle \delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }).}
リッチスカラーは、
R = g μ ν R μ ν . {\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!}
として定義されるので、その逆計量 g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} についての変分は
δ R = R μ ν δ g μ ν + g μ ν δ R μ ν = R μ ν δ g μ ν + ∇ σ ( g μ ν δ Γ ν μ σ − g μ σ δ Γ ρ μ ρ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+\nabla _{\sigma }\left(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right).\end{aligned}}}
により与えられる。二行目は、前に得たリッチ曲率の変分の結果と共変微分の計量との整合性 ∇ σ g μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0} を使った。
さて、必要な式の変形は全て整ったので、これらを計量場の運動方程式へ代入すると、
R μ ν − 1 2 g μ ν R = κ T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }}
を得ることができる。この式はアインシュタインの場の方程式であり、
κ = 8 π G c 4 {\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}
を選ぶと、非相対論的極限ではニュートンの万有引力の法則であることが分かる。ここに G は重力定数である(詳細は対応原理を参照)。
δ R δ g μ ν + R − g δ − g δ g μ ν = − 2 κ 1 − g δ ( − g L M ) δ g μ ν , {\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}
は計量の場の運動方程式である。この式の右辺は(定義により)ストレス・エネルギーテンソルに比例し、
T μ ν := − 2 − g δ ( − g L M ) δ g μ ν = − 2 δ L M δ g μ ν + g μ ν L M {\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}
を意味する。式の左辺を計算するために、リッチスカラー R と計量の行列式の変分が必要である。これらの計算は下記に掲げた教科書にみられるような標準的な計算であり、Carroll 2004 には具体的な計算が記載されている。
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.\end{aligned}}}
を得る。この方程式は任意の変分 δ g μ ν {\displaystyle \delta g^{\mu \nu }} に対して成立するので、