一般化された超幾何関数
超幾何級数 r F s [ a 1 , ... , a r ; b 1 , ... , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}[a_{1},\dots ,a_{r};b_{1},\dots ,b_{s};z]} は、 r < s + 1 {\displaystyle r<s+1} であれば絶対収束し、 r > s + 1 {\displaystyle r>s+1} であれば発散する。 r = s + 1 {\displaystyle r=s+1} の場合は、 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} であれば絶対収束し、 | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} であれば発散する。 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合は、 ∑ R a j < ∑ R b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}<\sum \Re {b_{j}}} であれば絶対収束し、 ∑ R a j > ∑ R b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}>\sum \Re {b_{j}}} であれば発散する。
}}z^{2n}=z\cdot {_{0}F_{1}}\left[{\begin{matrix}-\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\cos z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={_{0}F_{1}}\left[{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\end{aligned}}}
正弦積分、余弦積分、指数積分
Si  ( z ) = z ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! z 2 n = z ⋅ 1 F 2 [ 1 2 3 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] Ci  ( z ) = γ + log  z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ( 2 n ) ! z 2 n = γ + log  z − z 2 4 ⋅ 2 F 3 [ 1 , 1 2 , 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] Ei  ( z ) = γ + log  z + ∑ n = 1 ∞ 1 n n !
lim n → ∞ n ( | c n | | c n + 1 | − 1 ) − 1 = − ( ∑ j = 1 r R a j − ∑ j = 1 r − 1 R b j ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left({\frac {|c_{n}|}{|c_{n+1}|}}-1\right)-1=-\left(\sum _{j=1}^{r}\Re {a_{j}}-\sum _{j=1}^{r-1}\Re {b_{j}}\right)}
である。従って、ラーベの判定法 (Raabe's test)により、 ∑ R a j − ∑ R b j < 0 {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}-\sum \Re {b_{j}}<0} であれば絶対収束し、 ∑ R a j − ∑ R b j > 0 {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}-\sum \Re {b_{j}}>0} であれば発散する。