Z変換
Z [ x n − k ] = z − k Z [ x n ] {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n-k}]=z^{-k}{\mathcal {Z}}[x_{n}]}
離散時間のLTIシステムは以下の定数係数の線形差分方程式としてモデル化できる:
∑ i = 0 N a i y ( n − i ) = ∑ j = 0 M b j x ( n − j ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{N}a_{i}y(n-i)=\sum _{j=0}^{M}b_{j}x(n-j)}
一般には、 a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} と認める。
方程式の両辺をZ変換すると、
Y ( z ) ∑ i = 0 N a i z − i = X ( z ) ∑ j = 0 M b j z − j {\displaystyle Y(z)\sum _{i=0}^{N}a_{i}z^{-i}=X(z)\sum _{j=0}^{M}b_{j}z^{-j}}
を得られて、
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ j = 0 M b j z − j ∑ i = 0 N a i z − i {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{M}b_{j}z^{-j}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{N}a_{i}z^{-i}}}}
は、伝達関数と呼ばれ、その分母多項式は特性多項式と呼ばれる。
伝達関数を分析すれば、システム特性の解明に役立つ。