ユークリッド距離
点 p と q の間のユークリッド距離とは、それらをつなぐ線分 pq の長さをいう。
直交座標系において、n次元ユークリッド空間内の2点 p = (p1, p2, ..., pn), q = (q1, q2, ..., qn) に対して、p から q への、あるいはq から p への距離(距離函数 d)は
で定義される。ユークリッド空間における点の位置は位置ベクトルで表されるから、先の p および q は、空間の原点を始点、終点がそれぞれの点である幾何ベクトルと見做すことができる。ベクトルのユークリッドノルム(英: Euclidean norm)、ユークリッド長さ(英: Euclidean length)あるいは大きさ(英: magnitude)
‖ p ‖ = p 1 2 + p 2 2 + ⋯ + p n 2 = p ⋅ p A {\displaystyle \|{\boldsymbol {p}}\|={\sqrt {{p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+\cdots +{p_{n}}^{2}}}={\sqrt {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}{\vphantom {A}}}}}
とは、そのベクトルの長さを測るものである。ただし、最後の等式はドット積で表したもの。
ベクトルは、ユークリッド空間の原点(ベクトルの始点)から空間内のどこか一点(ベクトルの終点)を結ぶ有向線分として記述することもできる。有向線分の長さが実際にその始点から終点までの距離に等しいことに鑑みれば、ベクトルのユークリッドノルムがユークリッド距離の特別な場合(始点から終点までのユークリッド距離)にちょうど等しいことは明白となるだろう。
数学におけるユークリッド距離(ユークリッドきょり、英: Euclidean distance)またはユークリッド計量(ユークリッドけいりょう、英: Euclidean metric; ユークリッド距離函数)とは、人が定規で測るような二点間の「通常の」距離のことであり、ピタゴラスの公式によって与えられる。この公式を距離函数として用いればユークリッド空間は距離空間となる。ユークリッド距離に付随するノルムはユークリッドノルムと呼ばれる。古い書籍などはピタゴラス計量(英: Pythagorean metric)と呼んでいることがある。