開かつ閉集合
位相空間 X に対して、X の開かつ閉集合が空集合と全体集合 X だけであるときかつそのときに限り、X は連結である。
位相空間 X の部分集合 A に対して、A が X の開かつ閉集合であるときかつそのときに限り、A の境界は空集合である。
位相空間 X の任意の開かつ閉集合は(場合によっては無限個の) X の連結成分の和集合の形に表される。
X を位相空間、A を X の部分集合とする。X の全ての連結成分が X の開集合であるならば(例えば、X が連結成分を有限個しか持たないときや、X が局所連結であるときはそうである)、A が X の連結成分の和集合の形に表されるときかつそのときに限り、A は X の開かつ閉集合である。
位相空間 X に対して、X の全ての部分集合が X の開かつ閉集合であるときかつそのときに限り、X は離散空間である。
集合の和 ∪ と積 ∩ を演算と看做せば、与えられた位相空間 X の開かつ閉集合の全体はブール代数を成す。実はどんな ブール代数も、適当な位相空間からこの方法を用いて得られる。詳細は「ブール代数に関するストーンの表現定理」を参照
位相空間 X に対して、X の全ての点が開かつ閉集合から成る基本近傍系を持つときかつそのときに限り、X は 0 次元である。