外積代数
V が有限 n-次元であるとし、その基底 e1, ..., en が与えられているとする。交代テンソル t ∈ A(V) ⊂ T(V) は添字表記を用いて
t = t i 1 i 2 ... i r e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i r {\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\ldots i_{r}}\,{\boldsymbol {e}}_{i_{1}}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {e}}_{i_{r}}}
と書ける。ここで t はその添字に関して完全反対称である。
階数がそれぞれ r および p である交代テンソル t および s の楔積は
t ⊗ ^  s = 1 ( r + p ) ! ∑ σ ∈ S r + p sgn  ( σ ) t i σ ( 1 ) ... i σ ( r ) s i σ ( r + 1 ) ... i σ ( r + p ) e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i r + p {\displaystyle t\operatorname {\widehat {\otimes }} s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn}(\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\ldots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\ldots i_{\sigma (r+p)}}{\boldsymbol {e}}_{i_{1}}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {e}}_{i_{r+p}}}
ベクトル空間の直和上の外積代数はそれぞれの空間上の外積代数のテンソル積に同型
⋀ ( V ⊕ W ) = ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V\oplus W)=\bigwedge (V)\otimes \bigwedge (W)}
である。これは次数付き同型、つまり
⋀ k ( V ⊕ W ) = ⨁ p + q = k ⋀ p ( V ) ⊗ ⋀ q ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}(V\oplus W)=\bigoplus _{p+q=k}\bigwedge ^{p}(V)\otimes \bigwedge ^{q}(W)}
になっている。もう少し一般に
0 → U → V → W → 0 {\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}
がベクトル空間の短完全列ならば ⋀(V) はフィルター付け(英語版)
0 = F 0 ⊆ F 1 ⊆ ⋯ ⊆ F k ⊆ F k + 1 = ⋀ k ( V ) {\displaystyle \textstyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \dotsb \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}=\bigwedge ^{k}(V)}
k-重ベクトルと p-重ベクトルとの楔積は (k + p)-重ベクトルで、双線型性を持つことを思い出そう。結果として先行節で与えた直和分解
⋀ ( V ) = ⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)}
は外積代数に次数付き代数の構造を与える。記号的には
( ⋀ k ( V ) ) ∧ ( ⋀ p ( V ) ) ⊂ ⋀ k + p ( V ) {\displaystyle \textstyle \left(\bigwedge ^{k}(V)\right)\wedge \left(\bigwedge ^{p}(V)\right)\subset \bigwedge ^{k+p}(V)}
が成り立つ。さらに楔積は次数付き反対称性を持つ。つまり α ∈ ⋀(V) と β ∈ ⋀(V) に対し
α ∧ β = ( − 1 ) k p β ∧ α {\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha }
が成立する。外積代数の次数付き構造の研究に加えてBourbaki (1989)は、(それ自身次数付けを持つ加群である)次数付き加群上の外積代数のような、外積代数上の加法的次数付き構造を研究した。
α ∈ ⋀(V) とすると α は分解可能多重ベクトルの線型結合
α = α ( 1 ) + α ( 2 ) + ⋯ + α ( s ) {\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}
として表示できる。ここで各 α は分解可能、つまり
α ( i ) = α 1 ( i ) ∧ ⋯ ∧ α k ( i ) , i = 1 , 2 , ... , s {\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\dots ,s}
と書ける。多重ベクトル α の階数 (rank)とは α のこのような表示に現れる分解可能多重ベクトルの最小数をいう。これはテンソルの階数(英語版)の記法の類似である。
階数は特に 2 重ベクトルの研究で重要である(Sternberg 1974, §III.6) (Bryant et al. 1991)。
特にこの新たな発展は、それまで座標の観点からのみ説明されてきた性質である次元の概念の「公理的な」特徴づけを可能にした。
このベクトルと重ベクトルに関する新しい理論の重要性は19世紀半ばまでには失われ、1888年にジュゼッペ・ペアノによって詳しく調べられるまで顧みられることは無かった。ペアノの仕事にも幾分不明瞭な部分が残されていたが、世紀が変わる頃には、微分形式の計算にグラスマンのアイデアを応用したフランス高等師範学校のメンバー(有名どころはアンリ・ポアンカレ、エリ・カルタン、ジャン・ガストン・ダルブーら)によって主題の統一をみた。
そのしばらく後にアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドはペアノとグラスマンのアイデアをもとにして普遍代数を導入する。これは確固たる論理的基礎の上に代数系の公理的な概念を与えることで、20世紀の抽象代数学の発展を可能にした。
この積は V の元の上で反対称的である。x, y ∈ V とすれば x + y ∈ V ゆえ
0 = ( x + y ) ∧ ( x + y ) = x ∧ x + x ∧ y + y ∧ x + y ∧ y = x ∧ y + y ∧ x {\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}
が成り立つから
x ∧ y = − y ∧ x {\displaystyle x\wedge y=-y\wedge x}
が得られる。あるいはもっと一般に x1, x2 ..., xk を V の元、σ を整数 {1, ..., k} の置換 とすれば
x σ ( 1 ) ∧ x σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) = s g n ( σ ) x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k {\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}={\rm {sgn}}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}}
が成立する。ここで sgn(σ) は置換 σ の符号である。