チェビシェフの和の不等式
チェビシェフの和の不等式の証明には、rearrangement inequality(英語版) を用いる。まず
a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ ≥ a n {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}
b 1 ≥ b 2 ≥ ⋯ ≥ b n . {\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.\,}
を仮定する。Rearrangement inequalityにより、
a 1 b 1 + ⋯ + a n b n {\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}
は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与えることがわかる。よって、
a 1 b 1 + ⋯ + a n b n = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}
a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ≥ a 1 b 2 + a 2 b 3 + ⋯ + a n b 1 {\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,}