エネルギー保存の法則
エネルギー保存の法則が成立したと仮定し、宇宙がエネルギーの総量が一定の閉鎖系だと仮定すると、"質"の良い(エントロピーの小さい)エネルギーは時間とともに減少していくことになる。エントロピーは局所的には増加も減少もするが、宇宙全体としては常に増加している(→熱力学第二法則)。エントロピーの増加はエネルギーの"質"(そのエネルギーからどれだけ仕事を得られるか)の低下を意味し、宇宙に存在する全てのエネルギーは最終的にはもはや外部に対して何ら仕事をすることができない均一な熱エネルギーとなる(熱的死)。
エネルギー問題におけるエネルギーの有限性は、"質"の良いエネルギー、すなわち「エントロピーの小さいエネルギー」の存在量を問題としている。人類(および他のあらゆる存在)は、質の良いエネルギーを質の悪い(エントロピーの大きい)エネルギーに転換する過程で仕事を得ているが、エネルギーの仕事への変換効率はエネルギーの質が低くなるほど原理的に低下し、エネルギーを消費していく(仕事に転換していく)と世界はそれだけ「熱的死」に近づいていく。
「《エネルギー保存の法則》が成り立つ」ということは「(有用な)エネルギーはいくら使ってもなくならない」という意味ではない(第二種永久機関の否定)。エネルギー保存の法則は、エネルギー問題においては直接的には第一種永久機関の否定という面でかかわりを持つ。
∑ i = 1 N ∫ t 1 t 2 f i ( t ) ⋅ d r i ( t ) = { V ( { r i ( t 2 ) } ) + ∑ i = 1 N ( 1 2 m i | d r i ( t 2 ) d t | 2 ) } − { V ( { r i ( t 1 ) } ) + ∑ i = 1 N ( 1 2 m i | d r i ( t 1 ) d t | 2 ) } . {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}_{i}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}_{i}(t)=\left\{V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{2})\})+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}\right)\right\}-\left\{V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{1})\})+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}\right)\right\}.}
一粒子の場合と異なり、各粒子の運動エネルギーの総和と系のポテンシャルの和が系の力学的エネルギーの役割を果たしている。
ナブラ ∇ i {\displaystyle \nabla _{i}} は、粒子 i {\displaystyle i} の位置に対する偏微分を表し、ポテンシャルの勾配は次のように変更される。
∇ i V ( { r i ( t ) } ) = ( ∂ ∂ x i V ( { r i ( t ) } ) , ∂ ∂ y i V ( { r i ( t ) } ) , ∂ ∂ z i V ( { r i ( t ) } ) ) T ( i = 1 , ... , N ) . {\displaystyle \nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}),{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}),{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})\right)^{T}\quad (i=1,\dots ,N).}
また、ポテンシャルの時間微分は、それぞれの粒子の速度と粒子が感じるポテンシャルの勾配の内積をすべて足しあわせたものになる。