フロベニウスの硬貨交換問題
n = 2 ならば、フロベニウス数は g ( a 1 , a 2 ) = a 1 a 2 − a 1 − a 2 {\displaystyle g(a_{1},a_{2})=a_{1}a_{2}-a_{1}-a_{2}} である。この式は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターが1882年に発見した。時に、別の文献が誤ってこの定理の初出とされることがある。この文献でシルベスターは、自らの定理をレクリエーション数学の問題として出した(ただし、フロベニウス数の公式とは明示しなかった)。またそこで、この場合に N ( a 1 , a 2 ) = ( a 1 − 1 ) ( a 2 − 1 ) 2 {\displaystyle N(a_{1},a_{2})={\frac {(a_{1}-1)(a_{2}-1)}{2}}} 個の表せない自然数が存在することも述べている(シルベスターの閉形式定理)。
Skupieńは、フロベニウス数に対して別の形の公式を与えた。Skupieńは、「最大公約数が1である2個の自然数 a1 と a2 がある場合、 ( a 1 − 1 ) ( a 2 − 1 ) {\displaystyle (a_{1}-1)(a_{2}-1)} 以上の任意の自然数 mに対して、非負整数の ρ と σ を用いて、 m = ρ a 1 + σ a 2 {\displaystyle m=\rho a_{1}+\sigma a_{2}} (ただし σ < a 1 {\displaystyle \sigma <a_{1}} )という表現が可能である。