階数因数分解
行列
A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] ∼ [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = B {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B}
を考える。 B {\displaystyle B} は既約階段形である。このとき、 C {\displaystyle C} は、 A {\displaystyle A} の唯一つの非ピボット列である第三列を除くことで得られ、 F {\displaystyle F} は最後のゼロ行を除くことで得られる。すなわち、
C = [ 1 3 4 2 7 9 1 5 1 1 2 8 ] , F = [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}
が得られる。次の関係式が、直ちに確かめられる:
A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] = [ 1 3 4 2 7 9 1 5 1 1 2 8 ] [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ] = C F . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}}