シュニレルマン密度
シュニレルマンがこの概念を研究したのはゴールドバッハの予想の研究のためでもあった。P を 0, 1 と素数からなる集合とすると、これはシュニレルマン密度 0 を持つが、シュニレルマンはブルンの篩を用いて P + P が正のシュニレルマン密度を持つことを示した(1930年、シュニレルマンの定理 、この定理は、上に述べたように、任意の 1 より大きな自然数は、計算可能な定数を C として C 個より少ない数の素数の和により表されるという定理)。よって P は基である。すなわち、ある定数 C が存在し、全ての整数は 高々 C 個の素数の和で表される。シュニレルマンは C < 800000 {\displaystyle C<800000} を示している。このことに因んで、「1 より大きい全ての整数が高々 C 個の素数の和で表される」が正しくなる最小の C をシュニレルマン定数と呼ぶ。ゴールドバッハの予想は、シュニレルマンの定数 C = 3 {\displaystyle C=3} を証明することとなる。
オリバー・ラマレー(英語版)(Olivier Ramaré)は、(Ramaré 1995) で、シュニレルマンの定数は、高々 7 であることを示し、先に上の境界が 19 であることを示したハンス・リーゼル(Hans Riesel)とロバート・チャールズ・ヴォーン(英語版)(Robert Charles Vaughan)によって得られている結果を改善した。
自然数全体の集合のシュニレルマン密度は 1 である。
奇数全体の集合のシュニレルマン密度は 1/2 である。
偶数全体の集合 E のシュニレルマン密度は 0 である (A(1)=0 であるため)。
1 と偶数全体からなる集合のシュニレルマン密度は 1/2 である。
1 と素数からなる集合のシュニレルマン密度は 0 である。
1 と2つの素数の和で表される整数からなる集合のシュニレルマン密度は 正 である(後述)。