可微分多様体
異なるアトラスが本質的に同じ多様体を生じることがある。円を2つの座標チャートによって写すことができるが、これらのチャートの定義域をわずかに変えると同じ多様体に対する異なるアトラスが得られる。これらの異なるアトラスはより大きいアトラスに統合することができる。そのような統合されたアトラスの変換関数が構成成分のアトラスの変換関数ほど滑らかでないということが起こり得る。C アトラスを C アトラスを構成するために統合できれば、両立できる (compatible) という。アトラスの両立可能性は同値関係である。ある同値類のすべてのアトラスを統合することによって極大アトラス (maximal atlas) を構成できる。各 C アトラスはある一意的な極大 C アトラスに属する。
可微分多様体上の微分可能な関数の層のトポロジカルな特色の1つは1の分割を持つことである。これは一般には1の分割を持つことができない(解析的構造や正則構造のような)より強い構造から多様体上の可微分構造を区別する。
M を C 級多様体、ただし 0 ≤ k ≤ ∞, とする。{Uα} を M の開被覆とする。このとき被覆 {Uα} に従属する1の分割 (partition of unity) とは以下の条件を満たす M 上の実数値 C 級関数 φi の集まりである:
φi の台はコンパクトかつ局所有限(英語版);
φi の台はある α に対し Uα に完全に含まれる;
M の各点において φi の和は 1 である:
∑ i φ i ( x ) = 1. {\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.\,}
(φi の台の局所有限性によってこの最後の条件は実は各点で有限和であることに注意。)
C 級多様体 M のすべての開被覆は C 級の 1 の分割を持つ。これによって R 上の C 級関数のトポロジーからの構成を可微分多様体の圏に持ち越すことができる。とくに、ある特定の座標アトラスに従属する 1 の分割を選び R の各チャートでの積分を実行することによって積分を議論することが可能である。したがって 1 の分割によって考えるべき他の種類の関数空間ができる。例えば、L 空間、ソボレフ空間、積分を要求する他の種類の空間。
前に書かれた構成が同相な4次元多様体のクラスになることとそれらの群が同型であることは同値であるから、4次元多様体の同相問題は決定不能である。さらに、自明群を認識することさえ決定不能であるから、多様体が自明な基本群を持つかどうか、すなわち単連結かどうかを決定することさえ一般には可能でない。
単連結4次元多様体は交叉形式とカービー・ジーベンマン不変量 (Kirby–Siebenmann invariant) を用いてフリードマン (Michael Freedman) によって同相の違いを除いて分類されている。滑らかな4次元多様体の理論は、R 上の異種微分構造が示しているように、はるかに複雑であることが知られている。
しかしながら、次元が 5 以上の単連結な滑らかな多様体に対しては状況は扱いやすくなる。このときはh-コボルディズム論(英語版)を分類をホモトピー同値の違いを除いた分類に還元することに使え、手術理論(英語版)が適用できる。これは Dennis Barden によって単連結5次元多様体(英語版)の明示的な分類を提供するために実行されてきた。
微分が 0 の形式は閉形式と呼ばれ、それ自身外微分であるような形式は完全形式と呼ばれる。
ある点での微分形式の空間は外積代数の原型的な例である。したがって k 形式と l 形式を (k + l) 形式に写すウェッジ積を持つ。外微分はこの代数に拡張し、積の法則の1つのバージョンを満たす:
d ( ω ∧ η ) = d ω ∧ η + ( − 1 ) d e g ω ( ω ∧ d η ) . {\displaystyle \mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge \mathrm {d} \eta ).}
微分形式と外微分から、多様体のド・ラームコホモロジーを定義することができる。n 次コホモロジー群は閉形式全体を完全形式全体で割った群である。
この抽象的な枠組みで可微分多様体を研究する重要な動機付けがいくつかある。まず、モデル空間が R である必要性の a priori な理由はない。例えば(とくに代数幾何学において)これを正則関数の層(したがって複素解析幾何の空間に辿り着く)あるいは多項式の層(したがって複素代数幾何において興味の持たれる空間に到達する)を伴った複素数の空間 C にとることができる。おおまかには、このコンセプトはスキームの任意の適切な概念に適合できる(トポス論を参照)。第二に、座標は構成にもはや明示的に必要でない。座標系の類似物は対 (f, f) であるが、これらは(チャートやアトラスのように)議論の中心にあるのではなく単に局所同型のアイデアを定めているだけである。第三に、層 OM は明らかに関数の層では全くない。むしろ、(局所環の極大イデアルによる商による)構成の結果として関数の層としてそれが出現する。したがってそれは構造のより原始的な定義である(綜合微分幾何学(英語版)の項を参照)。
このアプローチの最後の利点は微分幾何と位相幾何の研究の基本的な対象の多くの自然な直接的記述ができることである。
ある点での余接空間は Ip/Ip である、ただし Ip は茎 OM, p の極大イデアルである。
一般に、全余接束は関連したテクニックにより得ることができる(詳細は余接束を参照)。
テイラー級数(およびジェット(英語版))は OM, p 上の Ip-進フィルトレーションを用いて座標と独立にアプローチできる。
接束(あるいはより正確には断面の層)は OM から二重数の環への射の層と同一視できる。