ゲルシュゴリンの定理
ゲルシュゴリン円板の一つが、ほかのどの円板と交わらないならば、その円板はちょうど一つの固有値を含む。しかし、円板が他の円板と交わるならば、その円板は一つも固有値を含まないことが起こり得る(例えば
A = ( 0 1 4 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\end{pmatrix}}} や A = ( 1 − 2 1 − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}}}
など)。一般の場合に、定理の主張を以下のように強めることができる。
k 枚のゲルシュゴリン円板の合併が残りの n − k 枚の円板と交わらないならば、前者の円板の合併はちょうど k 個の A の固有値を含み、後者の円板には n − k 個の固有値を含む。
証明. A の対角成分と同じ成分を持つ対角行列 D に対し、
B ( t ) = ( 1 − t ) D + t A , ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle B(t)=(1-t)D+tA,\quad (t\in [0,1])}
と置く。ここで B(t) の固有値が連続パラメタ t に関して連続であるという事実を認めることにして、円板の合併に属する固有値の何れかが他の円板へ移るならば、適当な t に対してその固有値はどの円板にも属さない状態が起きることを示す(そうすればゲルシュゴリンの定理に矛盾する)。
定理の主張は D = B(0) に対しては成り立つ。B(t) の対角成分は A のそれと同じであるから、ゲルシュゴリン円板の中心も共通だが、半径は A のときの t-倍される。
対角行列に対しゲルシュゴリン円板はその行列のスペクトルそのものである。逆にゲルシュゴリン円板がスペクトルに一致するならば、その行列は対角行列である。
この定理を解釈する一つの方法は、「複素正方行列の非対角成分のノルムが十分小さいならば、その行列の固有値は対角成分から「あまり遠くならない」」と考えることである。従って、非対角成分のノルムを減らすことで行列の固有値を近似するという方法論を考えることができる。もちろん、非対角成分を最小化する過程において対角成分は変わってしまうかもしれない。
A の任意の固有値は少なくとも一つのゲルシュゴリン円板 D(aii, Ri) の上に載っている
証明. A の固有値 λ とそれに属する固有ベクトル x = (xj) を取り、固有ベクトル x のうち絶対値が最大となる成分の番号 i ∈ {1, ..., n} (|xi| = maxj |xj|) を選ぶと |xi| > 0 である(さもなくば x = 0 である)。x は固有ベクトルゆえ Ax = λx が成り立つが、これは各行について
∑ j a i j x j = λ x i {\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}}
が成り立つということであり、対角成分を移行して
∑ j ≠ i a i j x j = λ x i − a i i x i {\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}}
が得られる。