デデキント数
このように、デデキント数 M(n) は n 元集合の反鎖の個数に等しい。
これらと同じクラスを記述する3番目の同値な方法は束論を用いるものである。任意の2個の単調ブール関数 f, g から、別の単調ブール関数 f ∧ g(論理積)および f ∨ g(論理和) を作ることができる。全ての n 変数単調ブール関数から成る集合にこれら2つの二項演算を入れたものは分配束をなし、これは n 個の変数の冪集合に包含関係を順序として入れた半順序集合からバーコフの表現定理(英語版)によって得られる束である。このような構成によって n 個の生成子による自由分配束が得られ、デデキント数はその束の元の数を与える。
デデキント数は n 元集合の抽象単体複体(n 元集合の冪集合の部分集合であって、性質「x が元で、y が x に包含されるならば y も元である」を持つもの)の個数に1を加えた値でもある。任意の反鎖は、その各元とそれらの全ての部分集合を集めてくることで1つの抽象単体複体を定める。逆に任意の抽象単体複体から、極大な部分集合を全て取り出してくると1つの反鎖になる。
n = 2 の場合、2変数単調ブール関数は6個あり、2元集合 {x,y} の部分集合で反鎖となるものも6個ある。
入力によらずに常に偽を返す関数 f(x,y) = false に対応する反鎖は空集合である。
論理積 f(x,y) = x ∧ y は1個の元 {x,y} のみから成る反鎖 { {x,y} } に対応する。
2番目の引数を無視して1番目の引数を返す関数 f(x,y) = x は1個の元 {x} のみから成る反鎖 { {x} } に対応する。
1番目の引数を無視して2番目の引数を返す関数 f(x,y) = y は1個の元 {y} のみから成る反鎖 { {y} } に対応する。
論理和 f(x,y) = x ∨ y は元 {x} と元 {y} から成る反鎖 { {x}, {y} } に対応する。
入力によらずに常に真を返す関数 f(x,y) = true は空集合のみから成る反鎖 {Ø} に対応する。