ゼノンのパラドックス
レオナルド・ダ・ヴィンチは、「点とはありうるかぎりのものよりさらに小さいものであり、線はその点の運動によって作られる。線の極限は点である。次に面は線の運動から生れ、そしてその極限は線である。立体は(面積の)運動によって作られる。(そしてその極限は面である)(「手記」)」と語っている。
スピノザは「持続が瞬間から成るとの主張は、悟性によって把握される不可分な無限の量、表象能力によって把握される可分的な有限の量の両者が区別されないことに基づく」と指摘している。
ヘーゲルはゼノンの議論を認めた上で、そこから帰結するのは、運動が存在しないということでなく、運動は定有する矛盾であるということであるとしている。
L v + r 1 L v + r 2 L v + r 3 L v + ⋯ + r n L v = 1 − r n + 1 1 − r L v {\displaystyle {\frac {L}{v}}+r^{1}{\frac {L}{v}}+r^{2}{\frac {L}{v}}+r^{3}{\frac {L}{v}}+\dotsb +r^{n}{\frac {L}{v}}={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}{\frac {L}{v}}}
となる。ここで n → ∞ とすると、0 < r < 1 であるので、r → 0 となる。つまり無限級数 L v + r 1 L v + r 2 L v + r 3 L v + ⋯ {\displaystyle {\frac {L}{v}}+r^{1}{\frac {L}{v}}+r^{2}{\frac {L}{v}}+r^{3}{\frac {L}{v}}+\cdots }
の和は 1 1 − r L v {\displaystyle {\frac {1}{1-r}}{\frac {L}{v}}} (=各経過時間の積算の上限)となる。このように級数の収束の問題に還元される。
なお、最後の計算結果は、「アキレスが t 秒後に追いつく」として立てられる1次方程式 v t = L + r v t {\displaystyle vt=L+rvt}
の解と一致している。
亀の歩行速度はアキレスの走行速度よりも小さいので、0 < r < 1 である。両者が同時にスタートして、アキレスが亀の出発点まで到達する時間は (L/v) s である。その時亀はアキレスより rv × L/v = rL m 前方にいる。そしてアキレスがその位置まで到達するのはさらに (rL/v) s 後であり、その時亀はさらに rL m 前方にいる。以下同様にそれを繰り返していくと、アキレスが亀の位置まで到達する時間の合計は L v + r 1 L v + r 2 L v + r 3 L v + ⋯ {\displaystyle {\frac {L}{v}}+r^{1}{\frac {L}{v}}+r^{2}{\frac {L}{v}}+r^{3}{\frac {L}{v}}+\cdots }
となる。つまり、項が無限に続き、「常にいくらかずつ先んじて」いるかに見える。
これは初項 L/v, 公比 r の等比数列で、n + 1 項までの部分和(=各経過時間の積算)は
アリストテレスが、自らの運動論の展開に利用し且つ対質しつつ伝えるゼノンの四つ議論は、それぞれが、後世いろいろの解釈のもと論ぜられてきた。二分法(dichotomy)は、race courseなどとも呼ばれるが、アリストテレスはもっとも力を入れ、繰り返し論じている。「アキレスと亀」は、もっとも遅い者の代表として、ウサギとカメのイソップ寓話の連想から古くから亀の名が登場している。