蔵本モデル
N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の場合を考えよう。 固有振動数の分布がg(ω)(正規化されていると仮定する)で表されるとする。 時刻tでの位相θ、固有振動数ωにおいて、振動子の密度が ρ ( θ , ω , t ) {\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)} であるとする。 正規化の要請から次の式を満たす。
∫ − ∞ ∞ ρ ( θ , ω , t ) d θ = 1. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}
振動子の密度の連続の式は次のようになる。
∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ θ [ ρ v ] = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}
ここで、vは振動子のドリフト速度であり、 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } における支配方程式の変形から、