フロストマンの補題
A が R のボレル集合で s > 0 とすれば、以下は同値: s-次元ハウスドルフ測度(英語版) が H(A) > 0. (非負値)ボレル測度 μ が存在して、μ(A) > 0 かつ μ ( B ( x , r ) ) ≤ r s ( ∀ x ∈ R n , ∀ r > 0 ) {\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}\quad (\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\forall r>0)} が成り立つ。
オットー・フロストマン(英語版)は、1935年にルンド大学における博士論文の一部として、この補題を A が閉集合である場合を仮定して証明した。これをボレル集合に対するものに一般化することはより複雑な問題で、ススリン集合(英語版)の理論を必要とする。
フロストマンの補題の有用な系として、ボレル集合 A ⊂ R の s-次元容積(内測度、英: s-capacity)
(ここで inf ∅ = ∞ および 1⁄∞ = 0 と約束する。また上と同様 μ は非負値ボレル測度とする)を用いた以下のようなものがある: