反復対数
ここで y b = b b ⋅ ⋅ b ⏟ y {\displaystyle {^{y}b}=\underbrace {b^{b^{\cdot ^{\cdot ^{b}}}}} _{y}} はテトレーションである。ただし、負の実数 x {\displaystyle x} について、反復対数の値は log ∗  x = 0 {\displaystyle \log ^{*}x=0} であるが、 ⌈ s l o g x ⌉ = − 1 {\displaystyle \lceil \mathrm {slog} \,x\rceil =-1} であるので、負の実数においては先に示した関係は成り立たないことになる。
反復対数は実数全体で定義され、非負整数を値域にとる。正の実数に対しては、 x y {\displaystyle xy} 平面の図1において x {\displaystyle x} 軸上の区間 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} に到達するために必要なジグザグの数として図式的に理解できる。
計算機科学においては、自然対数の代わりに二進対数を反復する反復対数 lg ∗  n := log 2 ∗  n {\displaystyle \lg ^{*}n:=\log _{2}^{*}n} も用いられている。数学的には、 e {\displaystyle e} や 2 {\displaystyle 2} だけでなく、 e 1 / e ≈ 1.444667 {\displaystyle e^{1/e}\approx 1.444667} より大きい任意の底に対してwell-definedである。