クリフォード代数
によって与えられる。
Cl0,3(R) の偶次数元の線型結合は一般元
Q = q 0 + q 1 e 2 e 3 + q 2 e 3 e 1 + q 3 e 1 e 2 {\displaystyle Q=q_{0}+q_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+q_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+q_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\!}
とともに Cl 00,3 (R) の偶部分代数を定義する。基底元は四元数基底元 i, j, k と
i = e 2 e 3 , j = e 3 e 1 , k = e 1 e 2 {\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}}
として同一視することができ、これは偶部分代数 Cl 00,3 (R) はハミルトンの実四元数代数であることを示している。
これを見るには、
任意の標数において、スピノルノルム Q はクリフォード群上
Q ( x ) = t x x . {\displaystyle Q(x)={}^{t}\!xx.\,}
によって定義される。それはクリフォード群から K の非零元の群 K* への準同型である。それは V をクリフォード代数の部分空間と同一視したときに V の二次形式 Q と一致する。著者によってはスピノルノルムの定義が僅かに異なり、ここでのものとは Γ 上 −1, 2, あるいは −2 の因子によって異なる。違いは標数が 2 でなければそれほど重要ではない。
K の 0 でない元は体 K の非零元の平方の群 K* にスピノルノルムを持つ。なので V が有限次元で非特異なとき V の直交群から群 K*/K* への誘導写像を得、これもまたスピノルノルムと呼ばれる。ベクトル r の鏡映のスピノルノルムは K*/K* において像 Q(r) を持ち、この性質は直交群上それを一意的に定義する。これは次の完全列を与える:
1 → { ± 1 } → Pin V  ( K ) → O V  ( K ) → K ∗ / K ∗ 2 , {\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},}
はコホモロジーの長完全列を生み出し、それは
1 → H 0 ( μ 2 ; K ) → H 0 ( P i n V ; K ) → H 0 ( O V ; K ) → H 1 ( μ 2 ; K ) {\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\mathrm {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\mathrm {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K)\,}
で始まる。K に係数を持つ代数群の 0 次ガロワコホモロジー群は単に K-値点の群である: H(G; K) = G(K)、および H(μ2; K) ≅ K*/K*, よって前の列を復元する:
1 → { ± 1 } → Pin V  ( K ) → O V  ( K ) → K ∗ / K ∗ 2 , {\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},\,}
ただしスピノルノルムは連結準同型 H(OV; K) → H(μ2; K) である。
と
e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − 1 , e 4 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1,\,\,\mathbf {e} _{4}^{2}=0\!}
を生み出す。
クリフォード代数 Cl(R,d) の一般元は 16 個の成分を持つ。偶次数付けられた元の線型結合は次の形の一般元を持った偶部分代数 Cl(R,d) を定義する
H = h 0 + h 1 e 2 e 3 + h 2 e 3 e 1 + h 3 e 1 e 2 + h 4 e 4 e 1 + h 5 e 4 e 2 + h 6 e 4 e 3 + h 7 e 1 e 2 e 3 e 4 . {\displaystyle H=h_{0}+h_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+h_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+h_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+h_{4}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}+h_{5}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}+h_{6}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{3}+h_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!}
クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含み,それによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 Cl(V, Q) は次の条件を満たす V から生成される「最も自由な」代数である:
v 2 = Q ( v ) 1 ( ∀ v ∈ V ) , {\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),}
ただし左辺の積はクリフォード代数としての積であり、1 は乗法単位元である。
クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K-代数よりも多くの構造をそれに与える: 特にそれは V に同型な特定の、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K-代数のみが与えられても一般には一意には決まらない。
基礎体 K の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる:
u v + v u = 2 ⟨ u , v ⟩ 1 ( ∀ u , v ∈ V ) , {\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad (\forall u,v\in V),}