行列ノルム
以下では体 K を実数体 R または複素数体 C のいずれかを指すものとして用いる。また、K を、K の元を成分に持つ m 行 n 列の矩形行列の全体が、通常の和とスカラー倍に関してなすベクトル空間とする。K 上の行列のノルムはベクトルとしてのノルムである。すなわち、行列 A のノルムを ‖ A ‖ で表せば
正定値性:‖ A ‖ ≥ 0 かつ等号成立は A = O と同値
斉次性:α ∈ K, A ∈ K ならば ‖ αA ‖ = |α|‖ A ‖
劣加法性:A, B ∈ K ならば ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖
が全て満たされる。
正方行列 (m = n) に関して、以下に挙げる条件を課す場合がある。
劣乗法性: ‖ AB ‖ ≤ ‖ A ‖‖ B ‖
∗-性: ‖ A ‖ = ‖ A ‖
ここで A は複素行列 A の随伴を表す。A が実である場合、その随伴は A は転置 A に一致する。
劣乗法性を持つノルムを劣乗法的ノルム (sub-multiplicative norm) と呼ぶ。劣乗法的ノルムを備えた n 次の正方行列全体の成す集合はバナッハ代数の一例である。