アインシュタイン係数
Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1964). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212979
Rybicki, G. B.; Lightman, A. P. (1985). Radiative processes in Astrophysics. John Wiley & Sons, New York. ISBN 0-471-82759-2
Shu, F. H. (1991). The Physics of Astrophysics. 1: Radiation. University Science Books, Mill Valley, CA.
吸収は、光子が原子に吸収され、電子が低いエネルギー準位から高いエネルギー準位に移る過程である。この過程はアインシュタイン係数 B 12 {\displaystyle B_{12}} (J m s)により書かれる。 B 12 {\displaystyle B_{12}} は、エネルギー E 1 {\displaystyle E_{1}} の状態1の電子がエネルギーE2 − E1 = hνの光子を吸収しエネルギー E 2 {\displaystyle E_{2}} の状態2に移る放射場の単位スペクトルエネルギー密度あたり単位時間あたりの確率を与える。吸収による単位時間あたりの状態1の原子の数密度の変化は
( d n 1 d t ) pos. absorb. = − B 12 n 1 ρ ( ν ) . {\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\text{pos. absorb.}}=-B_{12}n_{1}\rho (\nu ).}
である。
これにより3つのアインシュタイン係数全てを特定の原子スペクトル線と関連した1つの振動子強度の点から表現することができる。
B 12 = e 2 4 ε 0 m e h ν f 12 , {\displaystyle B_{12}={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}f_{12},}
B 21 = e 2 4 ε 0 m e h ν g 1 g 2 f 12 , {\displaystyle B_{21}={\frac {e^{2}}{4\varepsilon _{0}m_{e}h\nu }}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12},}
A 21 = 2 π ν 2 e 2 ε 0 m e c 3 g 1 g 2 f 12 . {\displaystyle A_{21}={\frac {2\pi \nu ^{2}e^{2}}{\varepsilon _{0}m_{e}c^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}f_{12}.}
整理すると
A 21 g 2 ( e h ν / k T − 1 ) + B 21 g 2 F ( ν ) = B 12 g 1 e h ν / k T F ( ν ) . {\displaystyle A_{21}g_{2}(e^{h\nu /kT}-1)+B_{21}g_{2}F(\nu )=B_{12}g_{1}e^{h\nu /kT}F(\nu ).}
上式は任意の温度で成立する必要がある。よって
B 21 g 2 = B 12 g 1 , {\displaystyle B_{21}g_{2}=B_{12}g_{1},}
かつ
− A 21 g 2 + B 21 g 2 F ( ν ) = 0. {\displaystyle -A_{21}g_{2}+B_{21}g_{2}F(\nu )=0.}
したがって、3つのアインシュタイン係数は次のように相互関連する。
A 21 B 21 = F ( ν ) {\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}=F(\nu )}
かつ
B 21 B 12 = g 1 g 2 . {\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}.}
この関係式を元の方程式に代入すると、プランクの法則に関係する A 21 {\displaystyle A_{21}} と B 12 {\displaystyle B_{12}} の関係を導くこともできる。