単位的多元環
多元環 E が(多元環が係数をとる(可換)環 A が持つ二種類の内部演算は数えないとすれば)三つの演算を持つことを思い出そう:
内部加法演算 (ベクトルの加法(フランス語版)) +: E × E → E;
内部乗法演算 (双線型写像) ×: E × E → E;
外部乗法演算 (スカラー倍) ⋅: A × E → E.
このような E が単位的として、その単位元を 1E と書けば:
λ⋅x = λ⋅(1E × x) = (λ⋅1E) × x (∀λ∈A, ∀x∈E)
が成立する。各スカラー λ ∈ A をベクトル λ⋅1E ∈ E を同一視すれば、スカラー λ を掛ける外部スカラー乗法は、ベクトル λ⋅1E を掛ける内部乗法として実現できる。このように二つの乗法演算を同一視することにより、単位的多元環は二つの内部演算を持つ単位的環(ただし、必ずしも結合的でない(英語版))と見なすことができる。
典型的な例は超複素数系であり、場合によってそれらを単位的多元環と見たり単に(必ずしも結合的でない)単位的環と見たりすることができる。