アイゼンシュタイン級数
τ を虚部が 正となる複素数とする。k ≥ 2 を整数としたとき、ウェイト 2k の正則アイゼンシュタイン級数(holomorphic Eisenstein series) G2k(τ) を
G 2 k ( τ ) = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ ( 0 , 0 ) 1 ( m + n τ ) 2 k {\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}}
と定義する。
この級数は、上半平面で τ の正則函数へ絶対収束し、下記に与える級数のフーリエ展開は、 τ = i∞ へ正則函数として拡張されることを示している。アイゼンシュタイン級数がモジュラ形式であることは注目すべき事実である。実際、キーとなる性質は、級数の SL(2, Z)-不変性である。
楕円曲線のモジュラ不変量 g2 と g3 は、アイゼンシュタイン級数の最初の 2 つの項で、次のように与えられる。
g 2 = 60 G 4 {\displaystyle g_{2}=60G_{4}}
g 3 = 140 G 6 {\displaystyle g_{3}=140G_{6}}
これら2つの函数はテータ函数によって表すこともできる。