球函数に対するプランシュレルの定理
ハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ空間は
S ( K ∖ G / K ) = { f ∈ C ∞ ( G / K ) K : sup x | ( 1 + d ( x , o ) ) m ( Δ + I ) n f ( x ) | < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {S}}(K\backslash G/K)=\{f\in C^{\infty }(G/K)^{K}:\sup _{x}|(1+d(x,o))^{m}(\Delta +I)^{n}f(x)|<\infty \}}
で定義される。球変換によってこれは、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} 上の W-不変シュヴァルツ函数の空間 S ( a ∗ ) W {\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathfrak {a}}^{*})^{W}} の上へ写る。
ハリッシュ=チャンドラのもともとの証明は帰納法を用いた長いものであったが、 Anker (1991) はペイリー-ウィーナーの定理の一種と反転公式を用いて直接的に簡略化した短く単純な証明を発見した。アンカーは、ハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の球変換が通常のシュヴァルツ函数となることを示した。そして彼の重要な着眼点は、古典的な評価を用いて、通常のシュヴァルツ空間の半ノルムを備えたペイリー-ウィーナー空間上で逆変換が連続であると示すことであった。
実特殊線型群 G = SL(2,R) はポワンカレ上半平面
H 2 = { x + r i ∣ r > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}=\{x+ri\mid r>0\}}
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち実行列は
g = ( a b c d ) , g ( w ) = ( a w + b ) ( c w + d ) − 1 {\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\quad g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}}
なる変換を定める。一点 i の安定化部分群は極大コンパクト部分群 K = SO(2) であり、 H 2 = G / K {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}=G/K} が成立する。上半平面には G-不変リーマン計量
d s 2 = r − 2 ( d x 2 + d r 2 ) {\displaystyle ds^{2}=r^{-2}(dx^{2}+dr^{2})}
が入り、対応する面素 dA とラプラス作用素 Δ がそれぞれ
d A = r − 2 d x d r , Δ = − r 2 ( ∂ x 2 + ∂ r 2 ) {\displaystyle dA=r^{-2}\,dx\,dr,\quad \Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{r}^{2})}
で与えられる。
とする。α ≠ 0 かつ g α ≠ ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq (0)} ならば α は制限ルートであるといい、 m α = dim  g α {\displaystyle m_{\alpha }=\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }} をその重複度と呼ぶ。 A = exp  a {\displaystyle A=\exp {\mathfrak {a}}} と置けば G = KAK が成り立つ。キリング形式を制限したものは p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 上の(従って a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の)内積を定めるので、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} を a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} と同一視することができるようになる。この内積に関して、制限ルートの全体 Σ はルート系となり、そのワイル群は W = NK(A)/CK(A) と同一視することができる。正ルート系を一つ選べばワイルの小部屋 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} が定まる。制限ルート系 Σ0 は α/2 がルートとならないようなルート α からなる。
それからこれらの公式に促されて Gindikin と Karpelevič は、c-函数に対する蹟公式を導出した。これは階数 1 の場合にはハリッシュ=チャンドラの公式の計算に帰着される。これらの仕事は、最終的にハリッシュ=チャンドラによってまとめられ、1966年に球函数に対するプランシュレルの定理の証明が完成した。
多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に Flensted-Jensen (1978) は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。
球変換に対する主要な応用および動機の一つはセルバーグ蹟公式であった。古典的なポワソン和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式を余コンパクト格子上の総和に結び付けるが、この和公式の類似物としてのセルバーグ蹟公式は、ベクトル群を G/K で、フーリエ変換を球変換で、格子を余コンパクト(あるいは補有限)離散部分群で、それぞれ取り替えたものである。セルバーグのオリジナルの論文 (Selberg 1956) は球変換を暗黙の裡に用いており、球変換を前面に持ち出すのは Godement (1957) で、これには特にセルバーグのスケッチに沿ってSL(2,R) に対する初等的な取り扱いが示されている。
G0 を複素半単純リー群 G の正規実型で、G のリー環上で共軛線型な対合 &sigmma; の不動点全体に一致するものとする。また τ を G0 のカルタン対合を G の対合へ拡張したもので、G のリー環上複素線型かつ、σ と可換となるように選ぶ。τσ の不動点全体の成す部分群は G のコンパクト実型 U of G であり、その G0 との交わりは極大コンパクト部分群 K0 になる。また τ の不動点部分群 K は K0 の複素化である。G0 = K0P0 を対応する G0 のカルタン分解とし、A を P0 の極大可換部分群とする。Flensted-Jensen (1978) は
G = K A + U {\displaystyle G=KA_{+}U}
が成り立つことを示した。ここで A+ は、ワイルの小部屋の a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} における閉包の指数写像による像である。さらに言えば
K ∖ G / U = A + {\displaystyle K\backslash G/U=A_{+}}
が成り立つ。
K 0 ∖ G 0 / K 0 = A + {\displaystyle K_{0}\backslash G_{0}/K_{0}=A_{+}}
であるから、これにより K\G/U と K0\G0/K0 および A+ の間に標準的な同一視が存在することが従う。