選択公理
選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、バナッハ=タルスキーのパラドックスは有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。ただ、ここでの「有限個の分割」は、通常イメージされる単純な分割(包丁でいくつかのパーツに切り分けるようなもの)ではなく、非常に特殊な分割であるため、「"奇怪な分割"をした結果、奇怪な結果(2つに増える)が生じた」にすぎないという側面もある。
なお、ステファン・バナフ(バナッハ)とタルスキは論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理(選択公理)が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ=タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。
集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている。即ち、
ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
という形の公理である。
この種の公理について以下のようなことが知られている(すべてZF公理系を仮定)。
AC2 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } AC4
n ≠ 1 , 2 , 4 {\displaystyle n\neq 1,2,4} ならば AC2 ⇏ {\displaystyle \nRightarrow } ACn
各 n ∈ N {\displaystyle n\in N} について ACn が成り立つ仮定の下でも、「有限集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ」(Axiom of choice for finite sets)を証明できない。
ZFでは AC2 を証明できない。
AC2 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } AC4を示すには、4元集合からなる集合族 F {\displaystyle F} に選択関数が存在することを示せば良い。まず { { a , b } : a , b ∈ ⋃ F , a ≠ b } {\displaystyle \{\{a,b\}:a,b\in \bigcup F,a\neq b\}} に AC2 を適用して、選択関数 g {\displaystyle g} を得る。
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。