滑らかな射
射影多様体 X {\displaystyle X} を定めている環(underlying algebra) R {\displaystyle R} の Spec {\displaystyle {\text{Spec}}} を考える。 これは、 X {\displaystyle X} のアフィン錐と呼ばれているもので、原点が常に特異点になる。例えば、
x 0 5 + x 1 5 + x 2 5 + x 3 5 + x 4 5 {\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
で定義される 3 {\displaystyle 3} 次元代数多様体のアフィン錐を考える。ヤコビ行列は
[ 5 x 0 4 5 x 1 4 5 x 2 4 5 x 3 4 5 x 4 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}
となり、これは原点で消えるので、この錐は特異である。このようなアフィン超曲面は、比較的単純な環だが豊富な構造を持つため特異点論でよく現れる。
もう1つの特異多様体の例は、滑らかな多様体の射影錐である。
滑らかであることを、幾何学的ではない形で定義することもできる。S 上のスキーム X が形式的に滑らか(formally smooth)とは、任意のアフィン S スキーム T と T の冪零イデアルで定義される部分スキーム T 0 {\displaystyle T_{0}} に対して X ( T ) → X ( T 0 ) {\displaystyle X(T)\to X(T_{0})} が全射になることを言う。ここで、 X ( T ) = Hom S  ( T , X ) {\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)} である。局所有限型の射が滑らかであるのは、形式的に滑らかであるとき、かつそのときに限る。
「形式的に滑らか」の定義で、「全射」を「全単射」に置き換えれば形式的エタール(英語版)(formally étale)の定義になり、「単射」に置き換えれば形式的不分岐(formally unramified)の定義になる。