次元論 (代数学)
したがって、 Tor i + 1 R  ( M 1 , k ) ≃ Tor i R  ( M , k ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)} でありその結果 pd R  M 1 = 1 + pd R  M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M} である。これを使って、次を得る。
pd R  k = 1 + pd R  ( R / ( f 1 , ... , f n − 1 ) ) = ⋯ = n . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.}
逆の証明は dim  R {\displaystyle \operatorname {dim} R} についての帰納法による。inductive step を先にやる。 f 1 {\displaystyle f_{1}} をパラメータ系の元として R 1 = R / f 1 R {\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R} とおく。R が正則であることを示すためには、 R 1 {\displaystyle R_{1}} が正則であることを示せば十分である。しかし、 dim  R 1 < dim  R {\displaystyle \dim R_{1}<\dim R} であるので、帰納法の仮定と前の補題で M = k {\displaystyle M=k} としたものによって、
pd R  k = g l .
数学において、次元論(じげんろん、英: dimension theory)は可換環論の一分野であり、可換環の次元の概念や、より一般にスキームのそれを研究する分野である。
理論はアフィン環、すなわち体上有限生成多元環である整域に対しては、はるかに単純である。ネーターの正規化定理(英語版)により、そのような環のクルル次元は基礎体上の超越次数であり、理論は代数幾何学と並行して進む。代数多様体の次元(英語版)を参照。一般的な理論は幾何学的でなくなる傾向がある。特に、ネーター的でない環に対して知られていることはほとんどない。(Kaplansky の commutative rings は非ネーターのケースに詳しい。)今日、標準的なアプローチは本質的にブルバキとEGAのアプローチである。これは次数付き加群を本質的に使い、他のものの中で射影多様体の次数の一般化である重複度の役割を強調する。このアプローチでは、クルルの単項イデアル定理は系として現れる。
この記事を通して、 dim {\displaystyle \operatorname {dim} } は環のクルル次元を表し、 ht {\displaystyle \operatorname {ht} } は素イデアルのクルル次元(すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元)を表す。