フレシェ空間
フレシェ空間の定義には主に大きく二つの流儀があり、ひとつは平行移動不変距離を用いるもので、もうひとつは半ノルムの可算族を用いるものである。
位相線型空間 X がフレシェ空間であるとは、以下の三条件を満たすことを言う:
X は局所凸である。
X の位相は平行移動不変距離(即ち、距離関数 d: X × X → R で、任意の a, x, y に対して d(x, y) = d(x+a, y+a) を満たすもの)から導かれる。これは、X の部分集合 U が開集合であることと、U の各点 u に対して適当な ε > 0 を選べば、集合 {v : d(u, v) < ε} が U に含まれるようにできることとが同値であることを意味する。
X は先の d に関して完備距離空間である。
ここで注意すべきは、フレシェ空間の二点間の距離として自然なものは存在しないことで、多くの異なる平行移動不変距離が同じ位相を誘導しうる。