フレシェ微分
は零であるはずだが、一方曲線 (t, t) に沿って原点に近づければ、この極限が存在しないことがわかる。
これらの場合が生じ得るのは、ガトー微分の定義において差分商の各方向への極限が個々に存在することのみを課し、異なる方向に対する収斂の速さについての条件を課さなかったからである。従って、与えられた正数 ε に対し、与えられた点の適当な近傍において各方向への差分商がその極限と ε 以内に収まるようすることができるけれども(これらの近傍は方向ごとに異なっていてもよい)、これらの近傍をどれほどでも小さくできるような方向の列が存在し得るから、点列をこれらの方向に沿って選ぶならば(全ての方向を一斉に考慮する)フレシェ微分における商は収斂しない。従って、線型ガトー導函数がフレシェ導函数の存在を保証するためには、差分商は全ての方向に対して一様に収斂しなければならない。
次の例は無限次元でのみ意味を持つものである。X をバナッハ空間、φ を X 上の線型汎函数で、x = 0 において不連続とする(不連続線型汎函数)。
f ( x ) = ‖ x ‖ φ ( x ) {\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x)}
と置けば f(x) は x = 0 でガトー微分可能で導函数は 0 となるが、極限
lim x → 0 φ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)}
は存在しないから、f(x) はフレシェ微分可能でない。
バナッハ空間 V, W および V の開集合 U に対して、函数 f: U → W が x ∈ U においてフレシェ微分可能であるとは、有界線型作用素 Ax: V → W で
lim h → 0 ‖ f ( x + h ) − f ( x ) − A x ( h ) ‖ W ‖ h ‖ V = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-A_{x}(h)\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0}
を満たすものが存在することを言う。ここでの極限は、V, W を二つの距離空間および上記の式を V の元 h を変数とする函数と見て、距離空間上で定義される通常の函数の極限の意味で取る。この帰結として、この極限は V の非零元からなる点列 ⟨hn⟩ で零ベクトルへ収斂するもの (hn → 0) 全てに対して存在しなければならない。