指標理論
既約表現の指標には群の多くの重要な性質が反映されており、したがってその構造の研究に用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において本質的な道具である。Feit–Thompson の定理(英語版)の半分近くは指標の値の入り組んだ計算を伴う。指標理論を使う、より容易だがなお本質的な結果は、バーンサイドの定理(純粋に群論的な証明は見つかっているが、バーンサイドのもともとの証明のあと半世紀以上経ってからである)や、有限単純群はシロー 2-部分群として一般四元数群を持つことはできないというブラウアー・鈴木の定理である。
χ S y m 2 ρ ( g ) = 1 2 [ ( χ ρ ( g ) ) 2 + χ ρ ( g 2 ) ] {\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}
ここで、ρ ⊕ σ は直和で、ρ ⊗ σ はテンソル積で、ρ は ρ の共役転置を表し、Alt は交代積 Alt ρ = ρ ∧ ρ であり、Sym は対称平方で次で決定される:
ρ ⊗ ρ = ( ρ ∧ ρ ) ⊕ Sym 2  ρ . {\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus \operatorname {Sym} ^{2}\rho .}
有限群 G の複素数値類関数の空間は自然な内積を持つ:
⟨ α , β ⟩ := 1 | G | ∑ g ∈ G α ( g ) β ( g ) ̄ {\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}
ただし β(g) は β(g) の複素共役である。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の正規直交基底をなし、これは指標表の行の直交関係を生む:
⟨ χ i , χ j ⟩ = { 0 if i ≠ j , 1 if i = j . {\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\1&{\text{ if }}i=j.\end{cases}}}