モース理論
一度 a がレベル r を超え f(r)<a<f(s) となると、M は消された円板を持つトーラスとなり、(右に図示するように)1-cellをもつ円筒にホモトピー同値となる。 最後に、a が臨界レベル s よりも大きくなると、M はトーラスとなる。もちろん、トーラスは 2-cellの円板が消された円板をもつトーラスと同じである。
従って、次のようなルールを持っているように思われる。M のトポロジーは、α が臨界点の高さを通る場合と指数 γ の臨界点の高さを通る場合を除き、変化しない。γ-cell は M に付いている。このことは、2つの臨界点が同じ高さとなったときどのようになるかについては答えてくれない。以上の状況は、f を少し摂動することにより解消することができる。図形(あるいは、ユークリッド空間へ埋め込まれた多様体)の場合には、この摂動は図形を傾ける(座標系を回転させる)というシンプルな操作になるだろう。
しかし、このルールは言い方としては誤っている。このことを理解するために、M = R で f(x) = x とすると、0 は f の臨界点であるが、M は α が 0 を通過するときに変わらない。事実、指数の考え方は意味をなさない。問題は二番目の導出である 0 でも 0 の部分である。ここでの状況の種類を、退化した臨界点という。この状況は不安定であることに注意する。座標系をグラフの下へ回転することにより、退化した臨界点は消えてしまうか、または、2つの非退化した臨界点へ分解してしまう。
モース・ボット函数は、元のモース函数が使いにくいので、役に立つ。モース・ボット函数は、可視化することができ、それを使い簡単に計算することができて、典型では対称性を持っている。それらは、正の次元の臨界モデルをもたらすことが多い。ラウル・ボット(Raoul Bott)は、モース・ボットの理論を使い、ボットの周期性定理(英語版)(Bott periodicity theorem)の証明に使用した。
ラウンド函数(英語版)(Round function)は、モース・ボット函数の例であり、そこでは臨界点の集合が円(非合併なユニオン)となる。
モースホモロジー(英語版)(Morse homology)はモース・ボット函数の定式化でもある。モース・ボットホモロジーの微分形式は、スペクトル系列(spectral sequence)により計算される。フレデリック・ブルジェオス(Frederic Bourgeois)は、シンプレクティック場の理論のモース・ボットのバージョンでの仕事の中でアプローチしたが、非常に解析的に難しいため公開されなかった。
微分トポロジーにおいて、モース理論(モースりろん、英: Morse theory)は、多様体上の微分可能函数を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。マーストン・モース(英語版) (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上のCW構造やハンドル分解(英語版)を見つけたり、多様体のホモロジーの本質的な情報をもたらす。
モース以前は、アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) とジェームズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) がトポグラフィーの脈絡で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、測地線の理論(経路上のエネルギー汎函数の臨界点への応用であった。これらのテクニックは、ラウル・ボット (Raoul Bott) の周期性定理(英語版)の証明に使われた。
モース理論の複素多様体での類似が、ピカール・レフシェッツ理論である。