図式 (圏論)
圏 C 上の J-型 (J-type) の図式とは、共変関手
D: J → C
のことをいう。この圏 J のことをこの図式の添字圏 (index category) やシェーマ(schema; scheme, スキーム)と呼ぶ。逆に関手のことを J-型の図式と呼ぶこともある。 J の対象や射自体にはたいした意味はなく、それらがどのように繋がっているかが重要となる。図式 D は J をパターンとして、C の対象と射の集まりに添え字付けていると考えることもできる。
形式上は、図式と関手、スキームと圏の間にはなんの違いもない。集合論の場合と同様に、用語を使い分けることでものの見方を変えているだけである。つまり、添え字の圏を固定して、関手(とその余ドメイン)を変化させようとしているときに図式と呼ぶのである。
よく使われる図式では、添え字圏 J は小さい圏や有限である。このとき、図式は小さいとか有限であるという。
圏 C 上の J-型図式の射とは、これら関手の間の自然変換をいう。これは C 上の J-型図式の圏というものを関手圏 C として、したがって図式をこの圏の対象として解釈するというふうに言うこともできる。
図式 D: J → C に関する頂点 N を持つ錐とは、定図式 Δ(N) から D への射を言う。この定図式は、J の対象をすべて C の対象 N にうつし、射は全て N の恒等射にうつす。
図式 D の極限とは、D への普遍錐のことである。これは錐が他のどの錐についても、この錐を経由して一意に分解されることをいう。任意の J-型図式が C 内に極限を持つとき、図式を極限にうつす関手
lim: C → C
が得られる。
双対として、図式 D の余極限は D からの普遍錐である。任意の J-型図式が余極限を持つとき、図式を余極限にうつす関手
colim: C → C
が得られる。