軌道 (力学系)
もう一つの比較的単純な軌道が周期軌道である。
離散力学系で、非零のある自然数 k > 0 について f (x0) = x0 を満たす x0 を周期点と呼ぶ。条件を満たす最小の k を周期や最小周期と呼ぶ。そして、ある周期点を通る軌道を周期軌道と呼び、軌道は周期的であるという。周期 k の軌道だと
O ( x 0 ) = { x 0 , f ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯ , f k − 1 ( x 0 ) , x 0 , f ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ⋯ } {\displaystyle O(x_{0})=\{x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\cdots ,\ f^{k-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\cdots \}}
のようになる。周期軌道の各点は全て同じ周期の周期点である。
連続力学系の場合、非零のある実数 T > 0 と任意の t について微分方程式の解が x(t + T, x0) = x(t, x0) を満たすとき、解を周期解と呼ぶ。条件を満たす最小の T を周期や最小周期と呼ぶ。このような解の軌道、すなわち集合
O ( x 0 ) = { x ( t , x 0 ) ∣ 0 ≤ t ≤ T } {\displaystyle O(x_{0})=\{x(t,\ x_{0})\mid 0\leq t\leq T\}}
が連続力学系の周期軌道である。連続力学系の周期軌道は相空間上で閉曲線となり、そのため閉軌道とも呼ばれる。
力学系における軌道(きどう)とは、初期条件に対して時間発展のルールを適用したときに定まる、相空間上の点の集合である。連続的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で一本の曲線となり、離散的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で点列となる。