安定曲線
M g ( S ) ≅ { stable curves π : C → S with an iso P ( π ∗ ( ω C / S ⊗ 3 ) ) ≅ P 5 g − 6 × S } / ∼ ≅ Hom  ( S , H g ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}
の表現になっている。ここで、 ∼ {\displaystyle \sim } は安定曲線の同型写像による同値関係である。この空間から、射影空間への埋め込みを外した曲線そのもののモジュライ空間を得るためには、射影空間への埋め込みは射影空間の同型写像に対応させることができるので、 P G L ( 5 g − 6 ) {\displaystyle PGL(5g-6)} による商を取ればよい。こうしてモジュライ・スタック
M g := [ H _ g / P G L _ ( 5 g − 6 ) ] {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}
が得られる。