多項式補間
補間多項式の次数 n を無限大に漸近させたとき、その一連の補間多項式が補間対象の関数に収束するような関数の種類や補間ノードのシーケンスはどのようなものだろうか? 収束は他にも、様々なノルムについて考えられる。
等間隔ノードでは状況は悪く、無限に微分可能な関数では一様収束も保証されない。カール・ルンゲの古典的例として、区間 [−5, 5] の関数 f(x) = 1 / (1 + x) がある。この場合、補間誤差 ||f − pn||∞ は n → ∞ に従って大きくなる。もう1つの例として、区間 [−1, 1] の関数 f(x) = |x| がある。この場合の補間多項式は x = −1, 0, 1 の3点以外では各点収束しない。
補間ノードの選択によって収束属性がよくなるだろうか? 次の定理がある程度答になるだろう。
任意の関数 f(x) が区間 [a,b] 上で連続であるとき、一連の補間多項式 p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} が [a,b] 上で f(x) に一様に収束するようなノードの並びが存在する。
証明は次の通り。