ラグランジュの定理 (群論)
左剰余類の集合 G/H の要素の個数(濃度)である |G/H| を G における H の指数(index of a subgroup H in a group G)と呼び、[G : H] または |G : H| または (G : H) と書く。
G/H が有限集合の場合は、G/H = {a1H, a2H, a3H, ..., akH} と表すことができて、[G : H] = |G/H| = k となる。
G が有限群の場合は、以下のように書ける:
H = { h 1 , h 2 , h 3 , ⋯ , h m } , a 1 H = { a 1 h 1 , a 1 h 2 , a 1 h 3 , ⋯ , a 1 h m } , a 2 H = { a 2 h 1 , a 2 h 2 , a 2 h 3 , ⋯ , a 2 h m } , a 3 H = { a 3 h 1 , a 3 h 2 , a 3 h 3 , ⋯ , a 3 h m } , ⋯ a k H = { a k h 1 , a k h 2 , a k h 3 , ⋯ , a k h m } , G / H = { a 1 H , a 2 H , a 3 H , ⋯ , a k H } , G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a k H ( i ≠ j ⇒ a i H ∩ a j H = ∅ ) .