確率変数
確率空間 (Ω, F, P) に割り当てた確率変数 X : Ω → E {\displaystyle X:\Omega \to {\mathcal {E}}} が可積分であるとは、
∫ Ω | X ( ω ) | d P ( ω ) < ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }|X(\omega )|\,dP(\omega )<\infty }
を満たすことである。これは測度論における可測関数の可積分性と同じである。
このとき確率変数 X あるいはその確率分布の平均は
E [ X ] = ∫ Ω X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,dP(\omega )}
で定義される。
事象 A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} の下での確率変数 X の条件付期待値は
E [ X : A ] = E [ 1 A X ] = ∫ A X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X:A]=E[1_{A}X]=\int _{A}X(\omega )\,dP(\omega )}
で定義される。ここで 1A は指示関数である。
確率変数とは ( F , E ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})} -可測関数 X : Ω → E {\displaystyle X:\Omega \to E} である。つまり、値 B ∈ E {\displaystyle B\in {\mathcal {E}}} の原像 X − 1 ( B ) = { ω : X ( ω ) ∈ B } {\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}} が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元であることを意味している。
特に E が位相空間である時、最も一般的なσ-集合代数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} はボレルσ-集合代数 B ( E ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(E)} である。これは、Eの全ての開集合から生成されるσ-代数である。