カジュダン–ルスティック多項式
(W, S) をコクセター群とそのコクセター生成系とし、l(w) を W の元 w の長さ、すなわち w を S の元の積で表示したときの最短の長さとする。W に付随するヘッケ環は、{Tw}w ∈ W という Z[q, q] 上の基底を持つ。これらの基底の元の積は
{ T y T w = T y w , if l ( y w ) = l ( y ) + l ( w ) , ( T s + 1 ) ( T s − q ) = 0 , if s ∈ S {\displaystyle {\begin{cases}T_{y}T_{w}=T_{yw},&{\text{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w),\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)=0,&{\text{if }}s\in S\end{cases}}}
で定義される。
カジュダン・ルスティック多項式 Py, w(q) は W の元 y, w でパラメトライズされ、次の性質を満たすものとして一意的に定まる:
W 上のブリュア順序(英語版)に関して、y ≤ w でない限り、値は 0 であり、y = w のとき値は 1 で、y < w のとき、q に関する次数が高々 (l(w) − l(y) − 1)/2 である。
ヘッケ環の元 C w ′ = q − l ( w ) / 2 ∑ y ≤ w P y , w T y {\displaystyle C'_{w}=q^{-\ell (w)/2}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}} は、 q 1 / 2 ↦ q − 1 / 2 , T w ↦ ( T w − 1 ) − 1 {\displaystyle q^{1/2}\mapsto q^{-1/2},T_{w}\mapsto (T_{w^{-1}})^{-1}} で定まるヘッケ環上の対合 D に関して不変である。