二次曲面 (射影幾何学)
ベクトル空間 V の基底を選び、それに関するベクトル v の座標が ( v 0 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})} であるとき、任意の二次形式 F は V の係数体 K に成分 mij を持つ適当な (n+1)-次対称行列 M = (mij) を用いて
F ( v ) = ∑ 0 ≤ i , j ≤ n m i j v i v j {\displaystyle F(v)=\sum _{0\leq i,j\leq n}m_{ij}v_{i}v_{j}}
と書くことができる。行列 M は F および V の基底の取り方のみによって決まる。この式は、各 i-成分が
h i = M i 0 v 0 + ⋯ + M i n v n {\displaystyle h_{i}=M_{i0}v_{0}+\cdots +M_{in}v_{n}}
で与えられる K のベクトル F′(v) と標準内積 ⋅ {\displaystyle \cdot } を用いれば、
F ( v ) = v ⋅ F ′ ( v ) {\displaystyle F(v)=v\cdot F'(v)}
と書いてもよい。
二次形式 F が零形式であることと、M が零行列となることとは同値である。係数体 K が実数体であるならば、M を対角行列とするような基底が必ずとれる。この場合に、対角成分 mii の符号を見れば、二次曲面が退化しているか否かを知ることができる(後述)。