ハウスドルフ空間
ハウスドルフ空間の部分空間や直積空間は、ハウスドルフ空間になる。他方、ハウスドルフ空間上で同値関係を考えたときに得られる商空間はハウスドルフになるとは限らない。実際のところ、任意の位相空間はハウスドルフ空間の商として実現できる。
ハウスドルフ空間はT1空間であり、その中で一点集合は閉集合になっている。さらに、ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である。ハウスドルフ空間における2つの交わらないコンパクト部分集合はそれらの近傍によって分離できる。
すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規である。特にコンパクトハウスドルフ空間は正規である。
ハウスドルフ空間上で定義された、あるいはハウスドルフ空間を値域とするような連続写像に関して以下のような性質が知られている。
f: X → Yをハウスドルフ空間への連続写像とするとき、そのグラフ { (x, f(x)) | x ∈ X} は直積空間 X × Y の閉集合である。