トゥースィーの対円
トゥースィーの対円は、小さな円がその直径の2倍の直径を持つ大きな円の内側に接して回転する数学的装置である。小さな円の回転により、この円の円周上の点が、大きな円の直径に沿って直線上を往復する。トゥースィーの対円は 2 尖頭サイクロイドである。
この対円は、13 世紀のペルシャ人の天文学者で数学者のナスィールッディーン・トゥースィーによって、1247 年に彼の著書 Tahrir al-Majisti (アルマゲストの解説)の中で、内惑星の緯度運動の解決策として発表され、その後1000 年以上前にプトレマイオスのアルマゲストで導入されたエカントの代わりとして広く使用された 。
トゥースィーは曲線を次のように説明した。
一方の直径が他方の直径の半分に等しい 2 つの同一平面上の円が、ある点で内接しているとする。接線—そして、2 つの円が反対方向に単純な動きで移動し、小さい [円] の動きが大きい [円] の 2 倍になり、小さい方が大きい方の回転ごとに 2 回転する場合、その点は最初に接線を通過する大きな円の直径上を移動し、端点間で往復する 。
代数的には、これは複素数で次のように表すことができる。
( 1 − 1 2 ) e i θ − 1 2 e − i θ = i s i n θ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,sin\theta }
他の解説者は、トゥースィーの対円は、内側の円の回転が、その接点が固定された外側の円に沿って移動するため、滑りのない条件を満たす回転曲線として解釈できることに注目している。