対数螺旋
アルブレヒト・デューラーは、1525年の著書『測定法教則』(Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt) において、アルキメデスの螺旋やその変形の作図法について論じた後、次のように述べている。
まだ曲線を式で表す方法が知られていなかった時代であり、曖昧な表現ではあるが、これは対数螺旋について述べているものと解釈されている。
対数螺旋を初めて数学的に考察したのは、解析幾何学の祖、ルネ・デカルトである。螺旋の進行方向が中心に対して常に一定の角であることに注目し、この螺旋を等角螺旋と呼んだ。エヴァンジェリスタ・トリチェリは、対数螺旋上の一点から中心までの道のりが有限であることを示した。
ヤコブ・ベルヌーイは、対数螺旋の伸開線および縮閉線は自分自身に一致することを示した。彼は、この螺旋の「拡大しても変わらない」などの性質に魅了され、ラテン語で Spira mirabilis (驚異の螺旋)と呼んだ。ベルヌーイの望みは Eadem mutata resurgo (変化しても同じように生まれ変わる)の語句とともに、墓石にこの螺旋を彫ってもらうことであったが、誤ってアルキメデスの螺旋が彫られてしまっている。
b が正(負)の場合、r が 0 に近付くと θ はいくらでも小さく(大きく)なるので、中心近くでは無限回渦巻いている。
直交座標における媒介変数表示として、
x ( θ ) = r cos  θ = a e b θ cos  θ {\displaystyle x(\theta )=r\cos \theta =ae^{b\theta }\cos \theta \,}
y ( θ ) = r sin  θ = a e b θ sin  θ {\displaystyle y(\theta )=r\sin \theta =ae^{b\theta }\sin \theta \,}
とも表せる。
後述する理由により、対数螺旋とは(ひとつの定数 B のみを用いて)
r = B θ {\displaystyle r=B^{\theta }\,}
で定まる曲線である、と定義されることもある。ただし、B は 1 ではない正の数。
黄金螺旋(golden spiral) とは、黄金比 φ に関連した対数螺旋の一種であり、
| b | = log  φ π / 2 ≈ 0.30634896253 {\displaystyle |b|={\frac {\log \phi }{\pi /2}}\approx 0.30634896253}
なる定数 b に対して r = e で与えられるものである。さらに、B = e とおいて、r = B でも定義される。正の b に対しては
B = φ 2 / π ≈ 1.358456274 {\displaystyle B=\phi ^{2/\pi }\approx 1.358456274}
であり、負の b に対しては
B = φ − 2 / π ≈ 0.736129693 {\displaystyle B=\phi ^{-2/\pi }\approx 0.736129693}
である。黄金螺旋のピッチは約17.03239度である。
オウムガイの殻の模様は黄金螺旋を描いている、という説は有名である。しかし、その合理的な理由は知られておらず、実際にはオウムガイの殻のピッチは8度から10度であって17度とはかけ離れているなどの、黄金螺旋ではないとの指摘もある。