アーベル・ヤコビ写像
Ω j = ( ∫ γ j ω 1 , ... , ∫ γ j ω g ) ∈ C g {\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\dots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}}
とすることができる。これはリーマンの双線型関係式に従う。リーマンの双線型関係式は、 Ω j {\displaystyle \Omega _{j}} は非退化格子 (lattice) Λ {\displaystyle \Lambda } (つまり、格子は、 C g ≅ R 2 g {\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}} の実基底)であり、ヤコビ多様体は、
J ( C ) = C g / Λ {\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda }
で定義される。
従って、アーベル・ヤコビ写像(Abel–Jacobi map)は次のように定義される。基点を p 0 ∈ C {\displaystyle p_{0}\in C} と取り、ほぼ Λ {\displaystyle \Lambda } の定義と類似させて、写像