ペンローズ・タイル
マッチング規則では以下の特定の代入だけが許される: φ A L {\displaystyle \varphi \mathrm {A_{L}} } タイル内の2つの A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } はカイトを形成しなければならず、したがってカイトは分解して2つのカイトと2つの半ダートになり、ダートは分解して1つのカイトと2つの半ダートになる。拡大 φ B {\displaystyle \varphi \mathrm {B} } タイルも同様に( A {\displaystyle \mathrm {A} } タイルを経由して) B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルへと分解される。
合成および分解はくりかえすことができて、たとえば
となる。合成の第 n {\displaystyle n} 回目のくりかえしに含まれるカイトとダートの個数は代入行列の n {\displaystyle n} 乗:
によって決まる。ここで F n {\displaystyle F_{n}} は第 n {\displaystyle n} フィボナッチ数である。したがって、任意の十分に大きなP2ペンローズ・タイリングに含まれるカイトとダートの個数比は近似的に黄金比 φ {\displaystyle \varphi } になる。P3ペンローズ・タイリングに含まれる太菱形と細菱形の個数比についても同じ結果が成立する。