グロンウォールの不等式
とする。フビニ・トネリの定理を二つの積分の交換のために用いることで、
R ~ n ( t ) = ∫ [ a , t ) u ( s ) ∫ ( s , t ) μ ⊗ n ( A n ( q , t ) ) μ ( d q ) ⏟ = μ ⊗ n + 1 ( A n + 1 ( s , t ) ) μ ( d s ) = R n + 1 ( t ) , t ∈ I {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I}
を得る。したがって主張1 は n + 1 についても成立する。
n = 0 の場合、定義により主張は成立する。したがって以下では n ≥ 1 の場合を考える。
Sn を {1, 2, ..., n} に含まれる元のすべての組み合わせからなる集合とする。Sn に含まれる任意の組み合わせ σ に対し、
A n , σ ( s , t ) = { ( s 1 , ... , s n ) ∈ I s , t n ∣ s σ ( 1 ) < s σ ( 2 ) < ⋯ < s σ ( n ) } {\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}}
を定義する。異なる組み合わせに対するそれらの集合は互いに素となり、
⋃ σ ∈ S n A n , σ ( s , t ) ⊂ I s , t n {\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}}
が成立する。したがって
∑ σ ∈ S n μ ⊗ n ( A n , σ ( s , t ) ) ≤ μ ⊗ n ( I s , t n ) = ( μ ( I s , t ) ) n {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}