体球調和関数
空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。
∇ 2 Φ ( r ) = ( 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r − l ^ 2 r 2 ) Φ ( r ) = 0 , r ≠ 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\boldsymbol {r}})=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi ({\boldsymbol {r}})=0,\qquad {\boldsymbol {r}}\neq {\boldsymbol {0}},}
ここで l は無次元化した角運動量演算子
l ^ = − i ( r × ∇ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {l}}}=-i\,({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {\nabla }})}
の2乗である。
知られているように、球面調和関数 Yl は演算子 l の固有関数である。
l ^ 2 Y l m ≡ [ l ^ x 2 + l ^ y 2 + l ^ z 2 ] Y l m = l ( l + 1 ) Y l m . {\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.