ルベーグ測度
アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「コント・ランデュ(英語版)」に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。
λ ∗ ( A ) := inf B { ∑ B ∈ B vol  ( B ) } {\displaystyle \lambda ^{*}(A):=\inf _{\mathbf {B} }{\Big \{}\sum _{B\in \mathbf {B} }\operatorname {vol} (B){\Bigr \}}}
で定める。ただしここでの下限は、集合 A を被覆する区間塊 B の選び方すべてに亘ってとるものとする(そのような被覆が存在しない場合の下限は ∞ と決めておく)。
さらに、R の部分集合 A がルベーグ可測であるとは、R の任意の部分集合 S に対して、カラテオドリの条件:
λ ∗ ( S ) = λ ∗ ( S ∩ A ) + λ ∗ ( S − A ) {\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)}
を満たすこととする。
ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を為す。そうしてルベーグ可測集合 A に対するルベーグ測度 λ を λ(A) ≔ λ*(A) で定義する。
ヴィタリの定理によれば、実数全体 R の部分集合でルベーグ可測ではないものが存在する。
さらに一般に、R の任意の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。