巨大過剰数
巨大過剰数は
2 a 2 3 a 3 5 a 5 ⋯ p ( b ) a p ( b ) {\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}
という形で素因数分解され、
a 2 ≥ a 3 ≥ ⋯ ≥ a p ( b ) {\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}
を満たす数である (p(b)は 2 から数えて b 番目の素数)。
巨大過剰数は素数階乗の積で表すことができる。(例 21621600 = 2 × 2 × 6 × 30 × 30030 = 2# × 2# × 3# × 5# × 13#)
1944年に、Alaogluとエルデシュは、2つの連続する巨大過剰数の比は常に素数であると推測した。2つの連続する巨大過剰数の比が常に素数または半素数であることを示した。比が素数の2乗になることはない。
Alaogluとエルデシュの予想は、少なくとも10番目の巨大過剰数までは成り立つ。
隣り合う優高度合成数の比は、
2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2, 11, 13, 2, 3, 5, 17, 19, 2, 23, 7, 29, 3, 31, 2, 37, 41, 43, 47, 5, 53, 59, 2, 11, 61, 3, 67, 71, 73, 79, 13, 83, 89, 2, 97, 101, 103, 107, 7, 109, 113, 17, 127, 131, 137, 139, 3, 5, 149, 151, 19, 2, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,...(オンライン整数列大辞典の数列 A000705)
隣り合う優高度合成数の比がすべて素数になるのかどうかは未解決である。
優高度合成数の約数の個数は、
2, 4, 6, 12, 16, 24, 48, 60, 120, 240, 288, 384, 576, 1152, 2304, 2688, 5376, 8064, 16128, 20160, 40320, 46080, 92160, 184320, 368640, 737280, 983040, 1966080, 3932160, 4423680, 6635520, 13271040, 15925248, 31850496, 63700992, 127401984,...(オンライン整数列大辞典の数列 A098895)