エルゴード定理
エルゴード問題の端緒は19世紀末に溯る。統計力学の創始者であるボルツマンとギブズは、相空間Ω上での物理量F (x )の(長)時間平均
lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T F ( x t ) d t {\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}F(x_{t})\,dt}
を計算することの困難性からこれを空間平均
∫ Ω F ( x ) d x {\displaystyle \int _{\Omega }F(x)\,dx}
に置き換えることを考え、それを正当化するために『与えられた力学系の任意の軌道は、長時間の後に系の全ての点 を通過する』という仮説を要請した。この仮説の事をエルゴード仮説という。 しかしながらこの仮説には多くの反論が出された。第一に、力学系の軌道がペアノ曲線のように空間の全ての点を通り、 空間を埋め尽くすということはありそうもないし、第二に、エルゴード仮説を認めたとしても