トレースクラス
上述の発見的なコメントをより正確に言えば、T がトレースクラスであるための十分条件は数列 ∑i αi が収束すること、T がヒルベルト=シュミット作用素であるための十分条件は ∑i αi が収束すること、および T が有限ランクであるための十分条件は数列 {αi} が高々有限個の非ゼロの項を含むこと、となる。
上述の表記により、それらの作用素のクラスを関連付けるいくつかの事実を得ることが容易になる。例えば、以下の包含関係が成り立つ:{有限ランク} ⊂ {トレースクラス} ⊂ {ヒルベルト=シュミット} ⊂ {コンパクト}。特に H が無限次元であるときは、これらの包含関係はすべて proper (片方がもう片方の真部分集合)となる。
トレースクラス作用素には、トレースノルム ||T||1 = Tr [ (T*T) ] = ∑i αi が与えられる。ヒルベルト=シュミット内積に対応するノルムは ||T||2 = (Tr T*T) = (∑iαi) である。また、通常の作用素ノルムは ||T|| = supi(αi) である。適切な T に対して、数列に関する古典的な不等式により、
‖ T ‖ ≤ ‖ T ‖ 2 ≤ ‖ T ‖ 1 {\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}
が成立する。
有限ランク作用素の集合が、トレースクラスおよびヒルベルト=シュミットの両ノルムに関して、それらの集合において稠密であることは明らかである。