ド・モアブルの定理
証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ, φ ∈ C に対して
( cos  θ + i sin  θ ) ( cos  φ + i sin  φ ) = ( cos  θ cos  φ − sin  θ sin  φ ) + i ( sin  θ cos  φ + cos  θ sin  φ ) = cos  ( θ + φ ) + i sin  ( θ + φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}}
が成り立つ。よって帰納的に
( cos  θ + i sin  θ ) n = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
が分かる。 (Q.E.D.)
ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数)からである(冪乗#指数・対数法則の不成立参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。
θ を実数、w を複素数とすると
{ exp  ( i θ ) } w = exp  { w log  exp  ( i θ ) } = exp  { w i ( θ + 2 n π ) } = exp  ( i w θ ) exp  ( 2 n π i w ) {\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp\{w\log \exp(i\theta )\}=\exp\{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp(iw\theta )\exp(2n\pi iw)} (n は整数)
である。したがって、w が整数であれば