ランデン変換
上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。
sn  ( i u , 1 − k 2 ) = i sc  ( u , k ) = i sn  ( u , k ) cn  ( u , k ) {\displaystyle \operatorname {sn} \left(iu,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)=i\operatorname {sc} \left(u,k\right)={\frac {i\operatorname {sn} \left(u,k\right)}{\operatorname {cn} \left(u,k\right)}}}
上昇ランデン変換により
第一種楕円積分
F ( sin  α , k ) = ∫ t = 0 sin  α d t 1 − t 2 1 − k 2 t 2 = ∫ φ = 0 α d φ 1 − k 2 sin 2  φ {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)=\int _{t=0}^{\sin \alpha }{\frac {dt}{{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}=\int _{\phi =0}^{\alpha }{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}
につき、次の恒等式をランデン変換という。