作用 (数学)
同様にして、代数系 A 上の変換族 Trans(A) がまた新たな代数系をなしているとき、Trans(A) と準同型なる代数系 U に対してのみ U の A への作用というもの考えることもしばしばである。とくに、加群 M の自己準同型の全体 End(M) は環の構造を持つから、勝手な環 R から環準同型 π: R → End(M) によって環 R から加群 M への環作用(かんさよう、ring action)が定義される。このとき、作用域である環 R を特に M の係数環(けいすうかん)と呼び、係数環 R の元を係数と呼ぶ。
作用を持つ空間 X の上に別の構造が載っているとき、台である X への作用が X 上の構造への作用を引き起こすことがある。たとえば群作用 G × X → X; (g, x) → gx は
f ↦ σ f ; σ f ( x ) := f ( σ − 1 x ) {\displaystyle f\mapsto \sigma f;\quad \sigma f(x):=f(\sigma ^{-1}x)}
によって X 上の関数環へ作用を移行することができる。このようなとき、作用と構造とが両立するという。