ウィグナー関数
混合状態を含む一般の場合には、密度行列のウィグナー変換を用いて以下のように定義される。
P ( x , p ) = 1 π ħ ∫ − ∞ ∞ ⟨ x + y | ρ ^ | x − y ⟩ e − 2 i p y / ħ d y {\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x+y|{\hat {\rho }}|x-y\rangle e^{-2ipy/\hbar }\,\mathrm {d} y}
ここで、 ⟨x|ψ⟩ = ψ(x) である。このウィグナー変換(または写像)は、位相空間上の関数をヒルベルト空間上の作用素へと移すワイル変換(英語版)の逆になっている。
よって、ウィグナー関数は位相空間上の量子力学における基礎となっている。
1949年、ホセ・エンリケ・モヤルはウィグナー関数が確率密度関数と同様に、位相空間に測度を与えていることを明らかにした。つまり、古典確率論と同様に、c-数を返す位相空間上の一価の関数 g(x, p) とワイル変換によって関係づけられる作用素 ˆG の期待値をウィグナー関数を使って定義することができる(後述のウィグナー・ワイル変換の性質を参照)。
具体的に書き下せば、作用素 ˆG の期待値は作用素をウィグナー変換して得られる関数 g(x, p) の「位相空間上の平均値」として以下のように定義される。
⟨ G ^ ⟩ = ∫ d x d p P ( x , p ) g ( x , p ) {\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p~P(x,p)~g(x,p)}