ハミング符号
ここでei は i番目のビットのみ 1 であるので、すなわち H の i番目の列が出力されることになる。よってこの出力が Hの何列目と一致するかを比べることにより誤りの位置が検出され、その部分のビットを反転することで誤りを訂正できる。
例として上記の符号語が送信され、1 1 1 1 1 0 0 が受信されたとする。この受信データは 1 1 1 1 1 0 0 に誤りを含む。このデータを復号する。受信データと H の転置行列の積を求めると以下のようになる。
[ 1 1 1 1 1 0 0 ] ⋅ [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 ] T = [ 0 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&0&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0&1\\\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}0&1&1\\\end{bmatrix}}}
この出力を転置すると、Hの2列目と同じ値であることがわかる。よって誤りは 2列目であり、2 列目のビットを反転させると 1 0 1 1 1 0 0となり、元の符号語に訂正されたことがわかる。
訂正後、符号語からもとの情報を取り出す。これは生成行列内に単位行列の列成分となる部分がある場合、その箇所と同位置の符号語のビットは元の情報のビットがそのまま出力されているので、これを取り出すことで元の情報が得られる。組織符号の場合は生成行列の前部分が単位行列と一致するので、単に符号語の前 k ビットを取り出すだけである。