ブルンの篩
S ( A , P , z ) = X ⋅ W ( z ) ⋅ ( 1 + O ( ( log  z ) − b log  b ) ) + O ( z b log  log  z ) {\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)} .
ここで、
W ( z ) = ∏ p ∈ P ( z ) ( 1 − w ( p ) p ) {\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P(z)}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)}
で、b は任意の正の整数である。 特に十分小さな c に対して x を log z < c log x / log log x を満たすように取れば以下が成り立つ:
S ( A , P , z ) = X ⋅ W ( z ) ( 1 + o ( 1 ) ) . {\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}