球面調和関数
量子力学で、球対称なポテンシャル V(r) に対する1粒子シュレーディンガー方程式(代表的なものは水素原子のシュレーディンガー方程式)
{ − ħ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) } ψ ( r ) = E ψ ( r ) {\displaystyle \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right\}\psi ({\boldsymbol {r}})=E\psi ({\boldsymbol {r}})}
を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では Y ml の l, m を量子数と呼び、それぞれ l を方位量子数、m を磁気量子数という。
球面調和関数は軌道角運動量 l と密接な関係がある。球面調和関数は l と lz の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ ħl(l + 1), mħ である。すなわち
l 2 Y l m = ħ 2 l ( l + 1 ) Y l m {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}Y_{\ell }^{m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}}
小出昭一郎『量子力学1』(改訂版)裳華房〈基礎物理学選書〉、1990年10月5日、89-96頁。ASIN 4785321326。ISBN 4-7853-2132-6。 NCID BN05389383。OCLC 835016094。全国書誌番号:91005557。
L. I. Schiff (1968) [1955]. Quantum Mechanics (3rd ed.). Singapore etc.: McGraw Hill. pp. 79-80. ASIN 0070856435. ISBN 0-07-085643-5. NCID BA1086214X. OCLC 632275975
Christian Helanow (2009年). “Spherical harmonics: a theoretical and graphical study” (PDF). 2017年1月4日閲覧。
Joṥe Alvarado (2007年12月4日). “Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics” (PDF). 2016年12月1日閲覧。
に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 cos θ + sinθ = 1 を二次元に拡張したものとみなすことができる。
式 (1) の左辺 Pl(x⋅y) は l 次の帯球調和関数(英語版)の定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。Yj を n 次元超球面上の l 次の球面調和関数の張る空間 Hl の任意の正規直交基底とする。このとき、単位ベクトル x に対応する l 次の帯球調和関数 Z (l)x は以下のように書き下せる。
さらに、帯球調和関数 Z (l)x (y) は適切なゲーゲンバウアー多項式の定数倍として表すことができる:
x および y が球面座標で表される場合、(2) および (3) を組み合わせると (1) が得られる。最後に、x = y の場合を評価すると次の恒等式が得られる:
dim  H l ω n − 1 = ∑ j = 1 dim  ( H l ) | Y j ( x ) | 2 . {\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\boldsymbol {x}})|^{2}.}
ここで ωn − 1 は (n − 1) 次元超球の体積である。