楕円曲線
前述の通り、ヴァイエルシュトラスの楕円関数によって定義される写像
z ↦ [ 1 : ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) ] {\displaystyle z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)]}
が群同型であることから、その逆写像も群同型となる。なおかつ、ヴァイエルシュトラスの楕円関数の性質から、この逆写像は楕円積分を用いてあらわされる。具体的には楕円曲線 E が
E : y 2 = f ( x ) = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle E:y^{2}=f(x)=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}
とあらわされているとき、ヴァイエルシュトラス関数の周期 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} によって生成される格子をΛとおくと、楕円曲線上の点 P = [ 1 : x : y ] ∈ E ( R ) {\displaystyle P=[1:x:y]\in E(\mathbb {R} )} に対し、
φ ( P ) ≡ { 0 P = O ∫ x ∞ d t f ( t ) y ≥ 0 − φ ( − P ) y < 0 ( mod Λ ) {\displaystyle \phi (P)\equiv {\begin{cases}0&P=O\\\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {f(t)}}}&y\geq 0\\-\phi (-P)&y<0\end{cases}}{\pmod {\Lambda }}}
結合律を除く全ての群法則は、直ちに群作用の幾何学的定義から導くことができる。このアニメーションは幾何学的な結合法則を示している。
六本のどの直線についても、直線上の三点の和が 0 であることに注意。九個の点全ての位置は、0 と a, b, c の位置と楕円曲線によって決定される。九点のうちの中心の点は、a と b + c を通る直線上と、a + b と c を通る直線上にある。加法の結合律は、格子の中心点を楕円曲線が通るという事実と同値である。この事実より、−(a +(b + c)) = −((a + b)+ c) が導かれる。
楕円曲線と点 0 はこのアニメーションの中では不動であることに対し、一方、a, b, c は互いに独立して動く。