ガロア拡大での素イデアルの分解
Q = ( 7 ) Z [ i ] + ( i 2 + 1 ) Z [ i ] = 7 Z [ i ] {\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i]}
により与えられる。
最後の場合である素数 p ≡ 1 mod 4 の場合の P = (p) については、再び P = (13) ととる。今度は、分解が¥して
X 2 + 1 = ( X + 5 ) ( X − 5 ) ( mod 13 ) {\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}}
となるので、2つの素因子が存在し、惰性群の次数と分岐指数が 1 となる。それらは、
Q 1 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i + 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 + 3 i ) Z [ i ] {\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}
と
Q 2 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i − 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 − 3 i ) Z [ i ] {\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i]}
で与えられる。
OK での素イデアル P の OL での分解を計算したい。拡大 L/K は有限次分離的拡大とする。ガロア拡大の定義の中にある正規性の前提は、必ずしも必要ではない。
次の方法により(Neukirch, p. 47)多くの場合のこの問題をとくことができる。方法は、まず、OL の中の整数 θ を選択し L が θ により K 上に生成されるようにし(そのような θ は原始元の定理により存在が保証されている)、次に、K 上の θ の最小多項式 H(X) を試す。最小多項式は、OK に係数を持つ単項式である。H(X) modulo P と係数を還元すると、(有限)剰余体 OK/P である F に係数を持つ単項式 h(X) を得る。h(X) が多項式環 F[X] で
h ( X ) = h 1 ( X ) e 1 ⋯ h n ( X ) e n {\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}}}
と分解すると仮定する。ここに、hj は F[X] の中で異なる既約な単項式である。すると、P が有限個の例外素数(詳しい条件は以下に示す)の一つではない場合は、P の分解は次の形となる。
P O L = Q 1 e 1 ⋯ Q n e n . {\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}}\ .
Z の素数 2 は Z[i] で分岐する。
( 2 ) = ( 1 + i ) 2 {\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}
となるので、ここでの分岐指数は e = 2 である。剰余体は、
O L / ( 1 + i ) O L {\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}
で、元が 2個の有限群である。2の上では Z[i] は一つだけの素数を持たないので、群の分解は G の全体となるはずである。任意の整数 a と b に対し、
a + b i ≡ a − b i mod 1 + i {\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}
となるので、惰性群はまた G の全体となる。
事実、分岐する全ての素数は −4 である Z[i] の代数的数の判別式を割ることができるはずであるので、2 が Z[i] で分岐する唯一の素数である。