射影平面
素数位数 N の射影平面は、位数 N の有限体上の線型代数学的構成を用いて構成することができる。あるいは以下のようにしても構成できる。
一点 P を用意する。
N 個の点を用意して、c = 0, ..., N − 1 に応じて、P(c) と書く。
同様に N 個の点を P(r, c) (r, c = 0, ..., N − 1) とする。
これらの点に対して、以下のように直線を構成する
一本の直線が L = {P, P(0), ..., P(N − 1)} で与えられる。
N 本の直線を、c = 0, ..., N − 1 に応じて、L(c) = {P, P(0, c), ..., P(N − 1, c)} とする。
N 本の直線を L(r, c) = {P(c) および P((r + ci) mod N, i)} (i, r, c = 0, ..., N − 1) とする。
ただし、ここで書いた式
(r + ci) mod N
で i が 0 から N − 1 までの全ての値を亘るのは、N が素数の場合に限る。
この構成から、二つの退化平面が生じる。すなわち、N = 0 に対してただ一つの点がただ一つの直線に接続したものが得られ、N = 1 に対して三点と三直線からなる三角形が得られる。素数 N に対しては、この方法で構成される任意の平面が上記定義の条件3を満足する。
例えば N = 2 とすると、
一直線 L = { P, P(0), P(1)}
二直線 L(c) = {P, P(0,c), P(1,c)} (c = 0, 1)
四直線 L(r, c) = {P(c), P((r + ci) mod 2, i) | i = 0, 1} (r, c = 0, 1)
となる。
既に説明したように、各素数冪 p に対して同位数の射影平面が存在する。事実として、「知られている」全ての有限射影平面はその位数が素数冪である。
それ以外の位数についても有限射影平面が存在するかどうかというのは、未解決の問題である(有限射影平面の基本予想 Prime Power Conjecture)。位数に関する一般的な制限として知られているのは、位数 N が法 4 に関して 1 または 2 と合同ならば、それは二つの平方数の和にならなければいけないというブルック=ライザー=チョウラの定理である。これにより N = 6 が除外できる。次の場合は N = 10 が、大規模計算機の計算により除外された。それ以上の場合については知られていない(特に N = 12 も未解決である)。
位数 N の射影平面が存在するための必要十分条件は、位数 N のアフィン平面が存在することである。位数 N のアフィン平面がただ一つ存在するならば、位数 N の射影平面もただ一つ存在するが、逆は必ずしも真でない。
位数 N の射影平面はスタイナーの S(2, N + 1, N + N + 1)-系である(スタイナー系参照)。