平方数
有理数の平方として表される有理数を平方数ということもある。さらに一般には、可換体 K の乗法群 K の部分集合 {x | x ∈ K} (直積集合と紛れるおそれのないときにはこれを (K) などと表す)の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主に (K) ≠ K のときに意味を持つ。
平方数を 3 や 4 で割った余りは 0 または 1 である。
多角数定理および類似の定理より以下のことが言える: すべての自然数は高々4個の平方数の和で表せる(四平方定理) すべての自然数は平方数と2個の三角数の和で表される すべての自然数は平方数と偶数の平方数と三角数の和で表される 8k + 1, 6k + 2, 8k + 3, 8k + 5, 8k + 6 の形の自然数は高々3個の平方数の和で表される(いわゆる「三平方和定理」)
二個の平方数の和について以下のことが言える: 4k + 1 の形の素数は2個の平方数の和で表せる 8k + 1, 8k + 3 の形の素数は x + 2y で表せる 12k + 1, 12k + 7 の形の素数は x + 3y で表せる
31個の数を除くすべての自然数は異なる平方数の和で表せる(オンライン整数列大辞典の数列 A001422)
相異なる2つの自然数からピタゴラス数を生成でき、直角三角形の斜辺に相当する数は2つの自然数の平方の和となり、他の一辺に相当する数は平方の差となる