確率の公理
もう一つの重要な性質は下記である。
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}
これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり、AまたはBが起こる確率は、Aが起こる確率とBが起こる確率の和からAとBの両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。
まず、
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ∖ A ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)} (公理3による)
であるから、
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ∖ ( A ∩ B ) ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))} ( B ∖ A = B ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)} であるため)
4. P ( Ω ) = 1. {\displaystyle P(\Omega )=1.}
5. A , B ∈ F {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {F}}} が互いに素な集合 (Disjoint sets) ならば、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B).} (有限加法性)
さらに Ω {\displaystyle \Omega } が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する。
6. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} の減少列 A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ⋯ {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots } が、 ⋂ n = 1 ∞ A n = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}=\emptyset } を満たすならば、 lim n → ∞ P ( A n ) = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0.}
公理5と6より、次の一般化加法定理(完全加法牲)が導かれる。