Ext関手
2つの拡大
0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}
0 → B → E ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0}
が与えられると、ベール和(Baer sum)と呼ばれる A {\displaystyle A} からの引き戻し(pullback)
Γ = { ( e , e ′ ) ∈ E ⊕ E ′ | g ( e ) = g ′ ( e ′ ) } . {\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}
が得られる。
関係式 ( f ( b ) + e , e ′ ) ∼ ( e , f ′ ( b ) + e ′ ) {\displaystyle (f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')} を与えることと同じであるが、商
Y = Γ / { ( f ( b ) , 0 ) − ( 0 , f ′ ( b ) ) | b ∈ B } {\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\}} ,
ベール和の見方は、Ext1Ab(A, B) の定義を、射影加群や入射加群といった観点なしでも、アーベル圏(圏が射影加群や入射加群をもたない加群であっても)上で Ext関手を定義することが可能となる。単純に、Ext1Ab(A, B) を B による A の拡大の同値類の集合とすると、ベール和の下のアーベル群が形成される。同様に、高次 Ext群 ExtnAb(A, B) も n-拡大の同値類として定義することができる。ここで n-拡大とは完全列
0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
であり、同値関係は、すべての m ∈ {1, 2, ..., n} に対し写像 Xm → X'm が存在して可換図式となるような、つまり鎖写像(chain map) X : ξ → ξ {\displaystyle X:\xi \rightarrow \xi } ' が存在するような2本の完全列
ξ : 0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle \xi :0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
もうひとつの別な定義は、関手 G(A)=HomR(A,B) を使って定義される。固定された加群 B に対し、これは反変な左完全関手であり、よって、右導来関手 RG を持ち、
Ext R n  ( A , B ) = ( R n G ) ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)}
を定義することができる。
Ext関手は、適当な射影分解
⋯ → P 1 → P 0 → A → 0 , {\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}
を選択し、双対な計算
0 → Hom R  ( P 0 , B ) → Hom R  ( P 1 , B ) → ... {\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \dots }
を実行することによっても得られる。このとき、(RG)(A) はこの複体のホモロジーである。再び、HomR(A,B) が複体から除外されることに注意する。
これらの 2つの構成は、同型となることが分かり、よって両方とも Ext関手の計算に使うことができる。
ξ ′ : 0 → B → X n ′ → ⋯ → X 1 ′ → A → 0 {\displaystyle \xi ':0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
の同一視から生成される。
上記の 2つの n-拡大のベール和は、X′′1 を A 上のX1 と X′1 の引き戻し(pullback)、'X′′n をXn と X′n の B の下の押し出し(英語版)(pushout) として得られる。Weibel, §3.4 を参照。従って、拡大のベール和は、
0 → B → X n ′′ → X n − 1 ⊕ X n − 1 ′ → ⋯ → X 2 ⊕ X 2 ′ → X 1 ′′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X''_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}
として定義される。