幾何化予想
上に述べた多様体の分解から得られる結果は、局所的には、8つのモデルのうちのひとつに対応する計量を選び出すことができるということである。このことを、多様体の幾何化と呼ぶ。例えば、平坦なトーラスとユークリッド平面は、ともに平坦であり、基本幾何学モデルである。
サーストンは、3次元多様体の研究を集中的に行い、上の意味で 3次元多様体の多くが幾何化可能であることを発見した。
とりわけ、彼はハーケン多様体(英語版)(Haken manifold)でこのことを示し、1982年にはこれによりフィールズ賞を受賞した。この研究に基づいて、彼は全ての閉じた 3次元多様体が幾何化可能であろうと予想した。このことをサーストンの幾何化予想(Thurston's geometrization)と言う。
2次元の閉多様体の幾何化は、古くから知られている。曲面分類では、2-球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} の幾何学はガウス・ボネの定理により、球面幾何学のみであり、2-トーラス T 2 {\displaystyle T^{2}} はユークリッド幾何学で、高い種数の曲面は全て双曲的である。
リチャード・S・ハミルトンは、1980年代に最初にリッチフローを使い、幾何化予想を証明しようとした。彼は、正のリッチ曲率の多様体に対しては成功し、そのような多様体の上ではリッチフローは非特異となることを示した。
グリゴリー・ペレルマンは、2002年と2003年の論文を提出し、幾何化予想の証明の最も重要なステップである特異点を制御する方法があることを発見した。ペレルマンの仕事は未だに正式な雑誌には出版されていないが、多くの数学者が本質的なものと扱っていて、大きな誤りや省略がないことを認めている。このため、ペレルマンは2006年にフィールズ賞を受賞したが、彼は受賞を拒否した。
すると、長さが 1 である接ベクトルの空間 U T H 2 {\displaystyle UT\mathbb {H} ^{2}} は、誘導された計量 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} を持つことになる。結局、このように構成された P S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )} 上の計量は、普遍被覆 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 上の計量を導く。
この観察は、 S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 、つまり、標準化された接バンドルである閉じた双曲曲面をもつ 3-多様体の例となっている。