一般化されたストークスの定理
上記の定式化は Ω が境界をもつ滑らかな多様体である場合であり、多くの応用では十分ではない。たとえば、右図のように積分領域が2つの x 座標と2つの関数のグラフの間の平面領域として定義されている場合、領域に角があることがある。このような場合、角の点は Ω が境界をもつ滑らかな多様体ではないことを意味し、上記のストークスの定理は適用できない。にもかかわらず、ストークスの定理の結論がまだ真であることを確認することは可能である。これは、Ω とその境界が小さな点の集合(測度0の集合)を除けば適切にふるまうためである。
ラフさを考慮したストークスの定理のバージョンは、ホイットニーによって示された。D が R の連結した境界のある開集合であると仮定する。D が次の特性を満たすとき、D を標準ドメインと呼ぶ:∂D の開いた部分集合 P が存在し、∂D の補集合はハウスドルフ (n-1) -測度(英語版)がゼロである;そして P のすべての点が一般化された法線ベクトルを持つ。
同様に、発散定理
∫ V o l ∇ ⋅ F d V o l = ∮ ∂ Vol F ⋅ d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}}
はベクトル場をユークリッド体積形式で縮約することによって得られる (n-1) 形式とみなす場合の特殊ケースである。これの応用は F = fc の場合である。ここで c は任意の定数ベクトル。積の発散を実行すると、
これは、ベクトル v(x) が最初の基底ベクトルになるように座標系を選択すると x の開近傍で滑らかな関数 f(x2, ..., xn) が存在し、P がグラフ {x1 = f(x2, ..., xn)} であり D が領域 {x1: x1 < f(x2, ..., xn)} であるようなベクトル v(x) である。ホイットニーは、標準ドメインの境界はゼロハウスドルフ (n-1) -測度の集合と滑らかな (n-1) -多様体の有限和または可算和集合であり、それぞれが片側のみで領域と接すると述べている。次に彼は、D が R の標準ドメインである場合、ω は (n-1) 形式であり、連続的で、D ∪ P に制限され、D で滑らかで、P で積分可能であり、dω が D で積分可能であるならば、そのときストークスの定理
∫ P ω = ∫ D d ω {\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega }
が成り立つことを証明した。
ラフな集合の測度論的性質の研究は幾何学的測度論(英語版)につながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンがフェデラーとハリソンによって証明されている。