カラテオドリの存在定理
微分方程式
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 , {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\,}
を考える。ここで ƒ は前述の長方形領域 R 上で定義される関数とする。もし ƒ が次の三つの条件
|y − y0| ≤ b を満たすようなすべての y に対して、ƒ( ·, y) は可測関数である。
|t − t0| ≤ a を満たすようなすべての t に対して、ƒ(t, ·) は連続関数である。
すべての (t, x) ∈ R に対して |ƒ(t, x)| ≤ m(t) を満たすような、[t0 − a, t0 + a] 上のルベーグ可積分関数 m が存在する。
を満たすならば、その微分方程式は、初期条件のある近傍に少なくともひとつの「拡張された意味での解」を持つ。