アルティン・リースの補題
つまり、 f ∈ I n − k M k {\displaystyle f\in I^{n-k}M_{k}} である。
これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。 M n = I n M {\displaystyle M_{n}=I^{n}M} とする。すると M n {\displaystyle M_{n}} は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} は b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成である。しかし b l I R ≃ R [ I t ] {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R\simeq R[It]} は R がネーター環なのでネーター環である。(環 R [ I t ] {\displaystyle R[It]} はリース代数(英語版)と呼ばれる。)したがって、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} はネーター加群であり任意の部分加群は b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち N n = M n ∩ N {\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N} であるとき、 b l I N {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}N} は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。