三項系
となり、もうひとつはこれの下付きの "+" と "−" とを入れ換えたものとなる。
ジョルダン三重系に対するのと同様に、u ∈ V− と v ∈ V+ に対して線型写像
L u , v + : V + → V + ; y ↦ L u , v + ( y ) = { u , v , y } + {\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+};\;y\mapsto L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}}
および同様の L が定義できて、ジョルダン律を
[ L u , v ± , L w , x ± ] = L w , { u , v , x } ± ± − L { v , u , w } ∓ , x ± {\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}
と書くことができるので、L および L の像はそれぞれ End(V+) および End(V−) において交換子括弧の下で閉じていることが言える。