コーシー・ビネの公式
なお、sgn(π) は置換 π の符号であり、行列式の反対称性
A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) = sgn  ( π ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) {\displaystyle A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}=\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}}
および、
B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ π ∈ S m sgn  ( π ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m {\displaystyle B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}}
を用いた。