単位元
(M, ∗) を集合 M とその上の二項演算 ∗ のなすマグマとする。
M の元 e が ∗ に関する(両側)単位元であるとは、M の全ての元 a に対して
a ∗ e = e ∗ a = a {\displaystyle a*e=e*a=a}
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して、 a ∗ e = a を満たすときに右単位元といい、e ∗ a = a を満たすときに左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群(モノイド)、単位的環などと呼ばれる。
環などの加法と乗法の二つの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元(しばしば 0 で表す)と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元(しばしば 1 で表す)という。