グリーンの定理
複素数z=x +iy の正則関数
f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) u , v ∈ R {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\quad u,v\in \mathbb {R} }
にグリーンの定理を適用すれば、「正則関数の閉曲線上の積分がゼロになる」というコーシーの積分定理を導くことができる。 実際、
∮ C f ( z ) d z = ∮ C ( u d x − v d y ) + i ∮ C ( u d y + v d x ) {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\oint _{C}(u\,\mathrm {d} x-v\,\mathrm {d} y)+i\oint _{C}(u\,\mathrm {d} y+v\,\mathrm {d} x)}
に対して、グリーンの定理より、
領域D としては、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線Cとする単連結領域のほかに、多重連結領域を考えることができる。多重連結領域の場合には、その境界が区分的に滑らかな閉曲線C1、C2、...、Cn で与えられるとし、C2、...、Cn がC1 の内部に含まれるとしたときに、C2、...、Cn の向き付けは、正の方向に進んだときに、領域D の内部が左側に位置するようにとるものとする。すなわち、外部の境界C1 の向き付けが反時計回りであるのに対し、内部の境界 C2、...、Cn の向き付けは時計回りとする。