不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。
0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し
ガンマ関数の定義は
Γ ( a ) = ∫ 0 ∞ t a − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt}
であるから、
γ ( a , x ) + Γ ( a , x ) = Γ ( a ) {\displaystyle \gamma (a,x)+\Gamma (a,x)=\Gamma (a)}
となる。
また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで
γ ( a + 1 , x ) = a γ ( a , x ) − x a e − x Γ ( a + 1 , x ) = a Γ ( a , x ) + x a e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (a+1,x)&=a\gamma (a,x)-x^{a}e^{-x}\\\Gamma (a+1,x)&=a\Gamma (a,x)+x^{a}e^{-x}\end{aligned}}}
という関係が成り立つことも分かる。
さらに、以下のような式が成り立つ。