並進演算子 (量子力学)
上述の証明を参照)。
しかし x j {\displaystyle x_{j}} がポテンシャルの周期 a と一致したときは、
T ^ j † ( a ) V ( r ^ j ) T ^ j ( a ) = V ( r ^ j + a I ^ ) = V ( r ^ j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(a)V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}
ハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の運動エネルギー部分は p ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}} についての関数で、任意の並進に対して不変であるため、全体のハミルトニアンは次式を満たす。
T ^ j † ( a ) H ^ T ^ j ( a ) = H ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(a){\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}
つまりハミルトニアンは並進演算子と交換する。すなわち同時対角化することができる。よってハミルトニアンはそのような(連続でない)並進について不変である
並進演算子と位置演算子の交換子は、以下のように書ける。
[ r ^ , T ^ ( x ) ] ≡ r ^ T ^ ( x ) − T ^ ( x ) r ^ = x T ^ ( x ) {\displaystyle [{\boldsymbol {\hat {r}}},{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})]\equiv {\boldsymbol {\hat {r}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})-{\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\hat {r}}}={\boldsymbol {x}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})}

これは上述の性質を利用して、次のようにも書ける。
T ^ − 1 ( x ) r ^ T ^ ( x ) = r ^ + x I ^ {\displaystyle {\hat {T}}^{-1}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\hat {r}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {\hat {r}}}+{\boldsymbol {x}}{\hat {\mathbb {I} }}}
ここで I ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}} は恒等演算子である。