アーベル総和法
{λn} を
0 ≤ λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ n < ⋯ {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots }
を満たす単調増加な数列とする。ここで級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n exp  ( − λ n x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp {(-\lambda _{n}x)}}
が任意の x > 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、
lim x → + 0 f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to +0}f(x)=s}
と有限値 s になるとき、級数 ∑∞n=0 an は s に (A, λn)-総和可能という。 特に λn = n の場合は、アーベル総和法に一致する。
a n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}(n+1)\quad (n=0,1,2,\cdots )}
で定義される数列 {an} に対し、
∑ n = 0 ∞ a n = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=1-2+3-4+\cdots }
は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)x^{n}}
は |x| < 1 で収束し、
f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}
となることから1/4にアーベル総和可能である。