オイラー標数
ここでもし~S*が閉路を持つとすると、同様の議論によって、Gの頂点のうち少なくとも1つがSにより連結されないことになる。しかし、これはSが全域木であることと相容れないため、~S*は閉路を持たない。よって、~S*はG*の全ての頂点を連結し、閉路を持たない。すなわち~S*はG*の全域木である。
このことから、平面グラフの全ての辺は全域木と、グラフの双対の全域木に対応する辺に分解することができる。
木グラフは一つの頂点から初めて、頂点と辺をそれぞれ一つずつグラフに付け加えていくことによって作ることができる。このため、木グラフの頂点の数Vと辺の数Eは、E = (V − 1) という関係をもつ。 いま、グラフGについてその全域木Sが与えられたとする。Sの辺の数をESとすると、ES = (V − 1) が成り立つ。またSの双対~S*の辺の数をE~S*とすると、~S*はG* の全域木であるため、G*の頂点の数、すなわちGの面の数Fについて同様な関係 E~S* = (F − 1)が成り立つ。Sの辺の数と~Sの辺の数を足すとGの辺の数に等しく、また~Sの各辺は~S*の各辺に一対一に対応するため、
E = (V − 1) + (F − 1)
が成り立つ。これはオイラーの公式に他ならない。