コンウェイの兵隊
S 2 = φ ( 5 + 3 φ ) = 5 φ + 3 φ 2 = 5 φ + 3 ( 1 − φ ) = 3 + 2 φ {\displaystyle {{S}_{2}=\varphi (5+3\varphi )=5\varphi +3\varphi ^{2}=5\varphi +3(1-\varphi )=3+2\varphi }} を得る。
同様に
S 3 = 2 + φ {\displaystyle {{S}_{3}=2+\varphi }}
S 4 = 1 + φ {\displaystyle {{S}_{4}=1+\varphi }}
S 5 = 1 {\displaystyle {{S}_{5}=1}}
となる。
したがって、目的地が5マス上にある場合、得点は最大でも1である。駒が有限である場合、合計は1未満となる。どの操作も得点は増加しないため、最終得点も1より小さい。一方で、目的地に移動できる場合には、他の駒が存在しない状態でも得点が φ 0 = 1 {\displaystyle {\varphi ^{0}=1}} である必要がある。したがって、有限の駒では5マス上には到達不可能である。