ジョルダンの補題
から
I R := | ∫ C R f ( z ) d z | ≤ R ∫ 0 π | g ( R e i θ ) e a R ( i cos  θ − sin  θ ) i e i θ | d θ = R ∫ 0 π | g ( R e i θ ) | e − a R sin  θ d θ . {\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}
( * )で定義されているMRと、正弦関数の対称性sin θ = sin(π – θ)から、次が導かれる。
I R ≤ R M R ∫ 0 π e − a R sin  θ d θ = 2 R M R ∫ 0 π / 2 e − a R sin  θ d θ .