コンパクト空間
次にコンパクトの概念を全く違う角度から特徴づける。この特徴付けの基盤となるのは R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理である。そこでまず、この定理の記述に必要な概念を定義する。
定義 (開被覆) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合の集合とする。
∪ O ∈ S O = X {\displaystyle \cup _{O\in {\mathcal {S}}}O=X}
が成立するとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} はXを被覆するといい、特に S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元が全て開集合であるとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの開被覆(英: open cover)という。
これらは以下のように定義される:
σ-コンパクトの定義に関して留意点を述べる。σ-コンパクトは局所コンパクトと違い、コンパクトな近傍(すなわち内点を持つ集合)である事を要求されていない。これが原因でσ-コンパクトであっても局所コンパクトではない事があり得る。例えば有理数の集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は一点集合(これはコンパクトである)の可算和で書けるのでσ-コンパクトだが、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の各点のいかなる近傍も距離空間として完備でないのでコンパクトではなく、よって Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は局所コンパクトではない。