部分群の指数
無限群 G は有限指数の部分群 H をもつかもしれない(例えば整数全体の群において偶数全体の部分群)。そのような部分群はつねにまた有限指数の(G の)正規部分群 N を含む。実は、H が指数 n をもてば、N の指数は n! のある因子としてとることができる。実際、N はG から H の左(または右)剰余類の置換群への自然な準同型の核にとることができる。
特別な場合 n = 2 は指数 2 の部分群は正規部分群であるという一般的な結果を与える、なぜならば正規群(上の N)は指数 2 をもたなければならずそれゆえもとの部分群と同一でなければならない。より一般に、(G が有限であれば)p を G の位数の最小素因子として指数 p の部分群は必ず正規である、なぜならば N の指数は p! を割り切るので他の素因数をもたないから p に等しくなければならない。
指数が最小素数 p の部分群は正規であるという結果の別証明や、素数指数の部分群の他の性質は (Lam 2004) において与えられる。
このとき G のもとでの x の軌道の濃度は x の固定部分群 (stabilizer) の指数に等しい:
| G x | = | G : G x | . {\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}
これは orbit-stabilizer theorem として知られている。
orbit-stabilizer theorem の特別な場合として、元 x ∈ G 共役 gxg の個数は G における x の中心化群の指数に等しい。
同様に、G において部分群 H の共役 gHg の個数は G における H の正規化群の指数に等しい。
H が G の部分群であれば、H の正規核の指数は以下の不等式を満たす:
| G : Core  ( H ) | ≤ | G : H | ! {\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}
ただし ! は階乗関数を表す。これは以下でさらに議論される。 系として、G における H の指数が 2 であれば、あるいは有限群に対して G の位数を割り切る最小の素数 p であれば、H は正規である、なぜならばその核の指数もまた p でなければならず、したがって H はその核に等しい、すなわち正規である。 最小素数の部分群は存在しないかもしれないことに注意しよう。例えば非素数位数の任意の単純群やより一般に任意の en:perfect group。