半群
任意の半群が持つことのできる単位元は高々ひとつである(これは任意のマグマについても成り立つ)。単位元を持つ半群は、単位的半群あるいはモノイドと呼ばれる。半群 S にS のどの元とも異なる元 e を添加して S ∪ {e} の各元 s に対して es = se = s と定めることによって、半群をモノイドに埋め込むことができる。S に単位元を添加して得られるモノイドを S で表し、S の単位元添加あるいは 1-添加と呼ぶ(誤解のおそれがなければ、S の 1-添加も同じ記号 S で表すこともある)。したがって、任意の可換半群をグロタンディーク構成を通じて群に埋め込むことができる。
任意のマグマが持ちうる吸収元は高々一つであり、半群ではそれを零元と呼ぶ。零元を持たない半群 S に S に属さない元 0 を添加して、零元付き半群 S に S を埋め込むことができる。S を S の零元添加あるいは 0-添加と呼ぶ。
集合 S とその上の二項演算 • : S × S → S の対 (S, • ) が以下の条件を満たすとき、これを半群という。
半群の準同型 (semigroup homomorphism) とは半群構造を保つ写像のことである。2つの半群 S, T の間の写像 f: S → T が準同型であるとは、等式
f(ab) = f(a)f(b)
が S の各元 a, b に対して成立することを言う。つまり(S の中で)積をとってから f で写しても、f で写してから(T のなかで)積をとっても同一の結果が得られると言うことである。半群が単位元を持つ場合でも、半群準同型は必ずしも単位元を単位元に移すとは限らない。
ふたつの半群 S, T が同型であるとは、全単射の半群準同型(すなわち半群同型写像)f: S ↔ T が存在することを言う。同型な半群は、半群として同一の構造を持つ。
半群合同 (semigroup congruence) ∼ は、半群演算と両立する同値関係である。つまり、半群合同 ∼ (⊂ S × S) は S 上の同値関係であって、かつ
[x ∼ y かつ u ∼ v] ならば xu ∼ yv
が S の任意の元 x, y, u, v に対して成立するものを言う。任意の同値関係と同じく半群合同 ∼ は合同類
[ a ] = { x ∈ S ∣ x ∼ a } {\displaystyle [a]=\{x\in S\mid x\sim a\}}