商線型空間
C[0,1] で区間 [0, 1] 上の実数値連続函数全体のなす集合にsupノルムを考えて得られるバナッハ空間を表す。このバナッハ空間の部分空間 M を f(0) = 0 を満たす f ∈ C[0,1] 全体の成す部分空間とする。このとき、各函数 g の属する同値類は 0 における値 g(0) によって決定され、商空間 C[0,1] / M は R に同型となる。
X がヒルベルト空間ならば商空間 X/M は M の直交補空間に同型である。
局所凸空間の閉部分空間による商は再び局所凸となる (Dieudonné 1970, 12.14.8)。実際に、X が局所凸ならば X の位相はある半ノルム族 {pα | α∈A} で生成される(A は添字集合)。M を閉部分空間とし、X/M 上の半ノルム族 {qα} を
q α ( [ x ] ) = inf x ∈ [ x ] p α ( x ) {\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x)}
で定義すれば、X/M は局所凸空間であり、その位相は X の商位相に一致する。
さらに X が距離化可能ならば X/M もそうであり、X がフレシェ空間ならば X/M もそうである (Dieudonné 1970, 12.11.3)。