代替の弾力性
線形効用関数 u ( x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 {\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}} を考える。このとき、2財は完全代替(perfect substitute)になるので、代替の弾力性は無限大になる。つまり、2財の相対価格が微小に変化したとき、2財への相対需要の変化は無限大になる。
レオンチェフ型効用関数 u ( x 1 , x 2 ) = min { x 1 , x 2 } {\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min \left\{x_{1},x_{2}\right\}} を考える。このとき、2財は完全補完(perfect complement)になるので、代替の弾力性はゼロになる。つまり、2財の相対価格が変化しても2財への相対需要量は変化しない。
ジョン・ヒックスが1932年にこの概念を提示した。ジョーン・ロビンソンも1933年に別にこの概念を提示するが、数学的な導出はヒックスと同様のものであった。
コブ=ダグラス型効用関数 u ( x 1 , x 2 ) = x 1 α x 2 1 − α {\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{1-\alpha }} を考える。予算制約 p 1 x 1 + p 2 x 2 = I {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=I} の下で効用最大化問題と解くと、以下のような需要関数が得られる。
x 1 = α I p 1 , x 2 = ( 1 − α ) I p 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {\alpha I}{p_{1}}},x_{2}={\frac {(1-\alpha )I}{p_{2}}}}
財1への需要の財2への需要に対する比率は x 1 x 2 = α 1 − α p 2 p 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\frac {p_{2}}{p_{1}}}} となる。したがって、価格比で微分すると d ( x 1 x 2 ) / ( p 2 p 1 ) = α 1 − α {\displaystyle d\left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)/\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)={\frac {\alpha }{1-\alpha }}} となる。