ジョーンズ多項式
ジョーンズによるジョーンズ多項式のもともとの定式化は彼の作用素環の研究に由来する。ジョーンズ のアプローチにおいて、それはある代数(統計力学における Potts模型 のようなある種の模型に由来)への組み紐の表現のある種の "トレース" から生じた。
絡み目 L が与えられたとせよ。J.W. アレクサンダーの定理によると、L はある組み紐(n 本の紐を持つとする)のトレース閉包である。n 本の紐を持つ組み紐の群 B n {\displaystyle B_{n}} から、 Z [ A , A − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]} を係数とする テンパーリーリーブ代数 TLn への表現 ρ {\displaystyle \rho } を定義しよう。また δ = − A 2 − A − 2 {\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}} とする。組み紐の標準的な生成元 σ i {\displaystyle \sigma _{i}} を A e i + A − 1 1 {\displaystyle Ae_{i}+A^{-1}1} に写すとする( 1 , e 1 , .
1990年代から 2000年代にかけてミハイル・コバノフ(英語版)は絡み目の図式に対して鎖複体を構成し、導かれるホモロジーが絡み目の不変量であることを示した(コバノフホモロジー)。ジョーンズ多項式はこのホモロジーのオイラー標数として表される。
ISBN 0-387-98254-X)
和達三樹 『結び目と統計力学』 岩波書店、2002年 (ISBN 4-00-011152-3)
Louis H. Kauffman, State models and the Jones polynomial. Topology 26 (1987), no. 3, 395–407. (ブラケット多項式による定義とジョーンズの組みひも表現による定義との関連について説明されている。)
Morwen Thistlethwaite, Links with trivial Jones polynomial. J. Knot Theory Ramifications 10 (2001), no. 4, 641–643.
Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis H.; Thistlethwaite, Morwen B. Infinite families of links with trivial Jones polynomial, Topology 42 (2003), no. 1, 155–169.