レフシェッツ超平面定理
アルティンとグロタンディークが構成層に対して証明したことの背後の動機は、エタールコホモロジー l {\displaystyle \ell } -進コホモロジーでの設定へ適用することができるような証明を与えることであった。構成層に対してある制限を付けた上で、正の標数での構成層に対しレフシェッツの定理が成立する。
定理は交叉ホモロジー(英語版)(intersection homology)へも一般化できる。この設定では定義は、高い特異性を持つ空間にたいしても定理が成り立つ。
レフシェッツタイプの定理はピカール群に対しても成り立つ。
レフシェッツの証明モアンドレオッティとフランケルの証明も、ホモトピー群のレフシェッツ超平面定理を直接証明したものではない。1957年になりトムによりへっけんされたアプローチは、1959年にボットにより単純化され出版された。 トムとボットは、Y をラインバンドルの X の中での切断の軌跡と解釈する。モース理論のこのことへの応用は、X は n 次元以上の胞体(cell)を結合することで Y から構成することができる。このことから、X 内の Y の相対ホモロジー群とホモトピー群が次数 n とそれより大きな次数へ集中し、これが定理を証明することを意味する。