五角数
n 番目の五角数を Pn とすると、図より
P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1
が成り立つ。よって五角数は
P n = P 1 + ∑ k = 1 n − 1 ( 3 k + 1 ) = n ( 3 n − 1 ) 2 = n 2 + T n − 1 {\displaystyle P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}}
で与えられる。(ただし Tn は n 番目の三角数)
五角数を小さいものから順に列記すると
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A326)
となる。