表現論
(ii) Φ (g, v) に対し、記号 g ・ v を導入すると、G の任意の g1 と g2 と V の任意の v に対し、 ( 1 ) e ⋅ v = v {\displaystyle (1)\quad e\cdot v=v} ( 2 ) g 1 ⋅ ( g 2 ⋅ v ) = ( g 1 g 2 ) ⋅ v {\displaystyle (2)\quad g_{1}\cdot (g_{2}\cdot v)=(g_{1}g_{2})\cdot v} が成り立つこと。
ここに e を G の単位元、g1g2 は G の積である。結合代数に対しも同様なことが要求される。ただし、結合代数はいつも恒等元があるとは限らない。結合代数では、式 (1) は無視する。式 (2) は行列の積の抽象的な表現であり、この積は行列の交換子では成立せず、交換子の恒等元も存在しない。したがって、リー代数では、A の任意の元 x1, x2 と V の元 v に対し、 ( 2 ′ ) x 1 ⋅ ( x 2 ⋅ v ) − x 2 ⋅ ( x 1 ⋅ v ) = [ x 1 , x 2 ] ⋅ v {\displaystyle (2')\quad x_{1}\cdot (x_{2}\cdot v)-x_{2}\cdot (x_{1}\cdot v)=[x_{1},x_{2}]\cdot v}
となることのみが要求される。