パンシェルル微分
K[x] は体 K 上の変数 x に関する多項式全体の成すベクトル空間とし、
x ~ : K [ x ] → K [ x ] ; p = { p ( x ) } ↦ x ~ p = { x p ( x ) } {\displaystyle {\tilde {x}}\colon \mathbb {K} [x]\to \mathbb {K} [x];p=\{p(x)\}\mapsto {\tilde {x}}p=\{xp(x)\}}
は x による掛け算を行う作用素とする。
K[x] 上の線形作用素 T:K[x] → K[x] のパンシェルル微分 T’ は、自己準同型環 End(K[x]) における x の乗算作用素と T との交換子
T ′ := [ T , x ~ ] = T ∘ x ~ − x ~ ∘ T = − ad  ( x ) T , {\displaystyle T':=[T,{\tilde {x}}]=T\circ {\tilde {x}}-{\tilde {x}}\circ T=-\operatorname {ad} (x)T,}
すなわち任意の p(x) ∈ K[x] に対し
T ′ { p ( x ) } = T { x p ( x ) } − x T { p ( x ) } {\displaystyle T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}}
を満たす線型自己準同型作用素である。