等比数列
となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。
∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}
ただし、r = 1 の場合は
∑ k = 0 n a = ( n + 1 ) a {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a}
である。第 m 項から第 n 項までの和は
∑ k = m n a r k = ∑ k = 0 n a r k − ∑ k = 0 m − 1 a r k = a ( r m − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}