平衡点
λ1 と λ2 が同符号の実数である(λ1, λ2 < 0 または λ1, λ2 > 0)場合の平衡点。平衡点が結節点のとき、平衡点の周囲の解軌道は、平衡点に向かって回転せずに単調に近づいていくか離れていくかのいずれかである。λ1 と λ2 の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、結節点は漸近安定な沈点でもある。この場合は安定結節点や安定ノードと呼ばれる。λ1 と λ2 の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、結節点は不安定な源点でもある。この場合は不安定結節点や不安定ノードと呼ばれる。とくに、λ1 = λ2 かつ b = c = 0 であるときは、結節点の周囲の解軌道は結節点を通る放射状の直線群となり、スターノードなどと呼ばれる
微分方程式の独立変数を t ∈ R とし、従属変数を x ∈ R とする。このとき、dx/dt が次のような t を陽に含まない自励的な常微分方程式で与えられているとする。
d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f({\boldsymbol {x}})}
ここで、
x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⊤ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})^{\top }}
d x d t = ( d x 1 d t , d x 2 d t , ⋯ , d x n d t ) ⊤ {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=\left({\dfrac {dx_{1}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{2}}{dt}},\cdots ,{\dfrac {dx_{n}}{dt}}\right)^{\top }}
f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) ⊤ {\displaystyle f=(f_{1},\ f_{2},\cdots ,\ f_{n})^{\top }}
x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n}\in \mathbf {R} }
であり、右肩の ⊤ は転置行列を意味する。