偏角の原理
偏角の原理からすぐ出る一般化がある。g は領域 Ω {\displaystyle \Omega } で解析的とする。このとき
∮ C f ′ ( z ) f ( z ) g ( z ) d z = 2 π i ( ∑ a g ( a ) n ( C , a ) − ∑ b g ( b ) n ( C , b ) ) {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\right)}
ただし最初の和は再び 重複度も数えて f のすべての零点 a を渡り、二番目の和は再び位数も数えて f の極 b を渡る。
zN を f のある零点とする。f(z) = (z − zN)g(z)、ただし k は零点の重複度、と書くことができるので、g(zN) ≠ 0 である。
f ′ ( z ) = k ( z − z N ) k − 1 g ( z ) + ( z − z N ) k g ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}
であり
f ′ ( z ) f ( z ) = k z − z N + g ′ ( z ) g ( z ) . {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}
である。g(zN) ≠ 0 であるので、g' (z)/g(z) は zN で特異性をもたないことが従い、したがって zN で解析的であり、これは f' (z)/f(z) の zN における留数が k であることを意味する。
zP を f のある極とする。f(z) = (z − zP)h(z)、ただし m は極の位数、と書くことができ、 h(zP) ≠ 0 である。すると上記と同様に
f ′ ( z ) = − m ( z − z P ) − m − 1 h ( z ) + ( z − z P ) − m h ′ ( z ) .