巡回群
群 G が巡回的(cyclic; 循環的)または巡回群であるとは
G = ⟨ g ⟩ = { g n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle G=\langle g\rangle =\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}
となるような元 g ∈ G が存在するときにいう。群の一つの元で生成される群は必ずもとの群の部分群となるから、群 G が巡回群となるかどうかを見るには G の単項生成部分群で G 自身に一致するものがあるかどうかを調べるだけで十分である。
例えば6つの元を持つ集合 G = { g, g, g, g, g, g } が群となるならば、g = g であり、G は巡回群を成す。実はこの G は集合 { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } に 6 を法とする加法を入れたものに本質的に同じ(つまり同型)である。これは例えば 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) に g · g = g が対応し 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) に g · g = g が対応するといった具合になっているということを意味する。なんとなれば φ(g) = i とおくことによりこの同型対応 φ は与えられる。
巡回群は最も簡単な群であり、位数 (order) によりその分類を完全に与えることができる。すなわち、
任意の正整数 n に対して、位数が n の巡回群が(同型の違いを除き)ちょうど一つ存在する。
また、位数が無限大の巡回群が(同型の違いを除き)ちょうど一つ存在する。