エッジ検出
L v 2 L v v = L x 2 L x x + 2 L x L y L x y + L y 2 L y y = 0 {\displaystyle L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0}
このとき、以下の微分不変量の符号条件が成り立つ。
L v 3 L v v v = L x 3 L x x x + 3 L x 2 L y L x x y + 3 L x L y 2 L x y y + L y 3 L y y y ≤ 0 {\displaystyle L_{v}^{3}L_{vvv}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}\leq 0}
ここで、 L x {\displaystyle L_{x}} , L y {\displaystyle L_{y}} ... L y y y {\displaystyle L_{yyy}} は、元の画像をガウシアン平滑化したものから得た尺度空間表現 L {\displaystyle L} から計算した偏導関数である。このようにして、エッジをサブピクセルの正確さで曲線として自動的に得ることができる。ヒステリシスしきい値処理をこれに適用することもできる。
1次微分の近似は上述したように中央差分で計算できるが、2次微分の近似は次のような尺度空間表現 L {\displaystyle L} から計算できる。