カー解
一般には漸近的平坦という概念は自明ではない。カー計量と言うときは、ふつう、 M > 0 {\displaystyle M>0} および a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} が想定されていることが多い。代数的な性質だけに注目したいときには、座標やパラメーターの範囲をあえて忘れて取り扱うこともある。
計量の中に座標 t {\displaystyle t} や φ {\displaystyle \phi } が現れないので、カー時空には ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} および ∂ / ∂ φ {\displaystyle \partial /\partial \phi } の生成する等長変換群が作用する。それらの等長変換は t → t + d t {\displaystyle t\rightarrow t+dt} 、 φ → φ + d φ {\displaystyle \phi \rightarrow \phi +d\phi } という変換に対応しているので、カー時空の時間並進対称性(定常性)と回転対称性(軸対称性)を示している。また、カー計量は t → − t {\displaystyle t\rightarrow -t} 、 φ → − φ {\displaystyle \phi \rightarrow -\phi } というそれぞれの変換に対して g t φ {\displaystyle g_{t\phi }} 成分の符号を変えるだけで、2つの変換を同時に行うと不変である。
ボイヤー・リンキスト座標での座標基底を用いて、計量の逆行列(inverse metric)は
g μ ν ∂ ∂ x μ ∂ ∂ x ν = − 1 Δ ( r 2 + a 2 + 2 a 2 M r sin 2  θ Σ ) ( ∂ ∂ t ) 2 − 2 a M r Σ Δ ∂ ∂ t ∂ ∂ φ + Δ Σ ( ∂ ∂ r ) 2 + 1 Σ ( ∂ ∂ θ ) 2 + 1 Δ sin 2  θ ( 1 − 2 M r Σ ) ( ∂ ∂ φ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=&-{\frac {1}{\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {2aMr}{\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\&+{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}\end{aligned}}}
d s 2 = − Δ Σ ( d t − a sin 2  θ d φ ) 2 + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 + sin 2  θ Σ ( a d t − ( r 2 + a 2 ) d φ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\left(adt-(r^{2}+a^{2})d\phi \right)^{2}\end{aligned}}}
ここで、 Σ {\displaystyle \Sigma } や Δ {\displaystyle \Delta } は上で定義されているものと同じである。この表式では、測地線方程式の変数分離性が見やすい。
正規直交基底は
e 0 = Δ Σ ( d t − a sin 2  θ d φ ) , e 1 = Σ Δ d r , e 2 = Σ d θ , e 3 = sin 2  θ Σ ( a d t − ( r 2 + a 2 ) d φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&e^{0}={\sqrt {\frac {\Delta }{\Sigma }}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)\,,\quad e^{1}={\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}dr\,,\quad e^{2}={\sqrt {\Sigma }}d\theta \,,\\&e^{3}={\sqrt {\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}}\left(adt-(r^{2}+a^{2})d\phi \right)\end{aligned}}}