ドラゴン曲線
f 1 ( x , y ) = 1 2 [ cos  45 ∘ − sin  45 ∘ sin  45 ∘ cos  45 ∘ ] [ x y ] ≡ 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] [ x y ] , {\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}
f 2 ( x , y ) = 1 2 [ cos  135 ∘ − sin  135 ∘ sin  135 ∘ cos  135 ∘ ] [ x y ] + [ 1 0 ] ≡ 1 2 [ − 1 − 1 1 − 1 ] [ x y ] + [ 1 0 ] {\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
とも等しい。Apophysisのようなソフトウェアでは、こちらの表現の方が一般的に使われている。
ある微分方程式の解集合が得られたとき、それらの解の線形結合は、重ね合わせの原理により再び元の微分方程式を満たすものとなる。これはすなわち、すでに存在している解の集合に対してある関数を適用することによって、新たな解を導くことが出来るという意味でもある。これは反復関数系を用いてある集合内に新たな点を導出する方法と同様である(ただし、そのような反復関数は線形関数であるとは限らない)。同様な概念により、関数の集合へとそのような反復的な手法を用いることによって、リトルウッド多項式(英語版)の集合を導くことが出来る。
リトルウッド多項式とは、多項式
p ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i {\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}
のことである(ここで a i {\displaystyle a_{i}} は 1 か -1 のいずれか)。
|w| < 1 を満たすようなある w に対して、関数系
f + ( z ) = 1 + w z {\displaystyle f_{+}(z)=1+wz}