接ベクトル空間
と、 q を含む座標近傍 (V; y1, ..., yb) を取る。同様に t = 0 における接ベクトルは
v ( f ∘ φ ) = ∑ j = 1 b d y j d t ∂ ∂ y j {\displaystyle v_{(f\circ \phi )}=\sum _{j=1}^{b}{\frac {dy_{j}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}}
となる。この接ベクトルの係数は、 M の局所座標系を用いると合成関数の微分により
d y j d t ( 0 ) = ∑ i = 1 a ∂ y j ∂ x i d x i d t ( 0 ) {\displaystyle {\frac {dy_{j}}{dt}}(0)=\sum _{i=1}^{a}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}(0)}
となることが分かる。行列を用いて書くと
d d t ( f ∘ φ ) ( 0 ) = ∂ f ∂ x 1 d x 1 d t ( 0 ) + ∂ f ∂ x 2 d x 2 d t ( 0 ) + ⋯ + ∂ f ∂ x n d x n d t ( 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}(0)+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}(0)+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}(0)}
となる。
先程の速度ベクトルの式と比べてみるとこれは、速度ベクトルと f の勾配
d f d x := ( ∂ f ∂ x 1 ( p ) , ∂ f ∂ x 2 ( p ) , ... , ∂ f ∂ x m ( p ) ) {\displaystyle {\frac {df}{dx}}:=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{m}}}(p)\right)}
の内積と見ることができる。
つまり、速度ベクトルと f の勾配を組み合わせることによって、局所座標系に依存しないものが得られることになる。ここで、 f は M 上の C 級関数であり、定数関数かもしれないし、 x1 だけを変数にとるといったような必ずしも多様体 M の性質を反映しない関数かもしれないということを考えると先程の式は