ケーラー多様体
は、次の満たす。
Δ d = 2 Δ ∂ ̄ = 2 Δ ∂ {\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }}
これらの事実より、次のホッジ分解が得られる。(ホッジ理論を参照)
H r = ⨁ p + q = r H p , q {\displaystyle \mathbf {H^{r}} =\bigoplus _{p+q=r}\mathbf {H} ^{p,q}}
ここに H r {\displaystyle \mathbf {H^{r}} } は r-次調和形式 であり、 H p , q {\displaystyle \mathbf {H} ^{p,q}} は X 上の {p,q}-次調和形式とする。すなわち、微分形式 α {\displaystyle \alpha } が調和形式であることと、各々の α i , j {\displaystyle \alpha ^{i,j}} が{i,j}-次の調和形式に属することとは同値である。
さらに、X がコンパクトであれば、
H p ( X , Ω q ) ≃ H ∂ ̄ p , q ( X ) ≃ H p , q {\displaystyle H^{p}(X,\Omega ^{q})\simeq H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)\simeq \mathbf {H} ^{p,q}}
を得る。ここに H ∂ ̄ p , q ( X ) {\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)} は ∂ ̄ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -調和コホモロジー群とする。このことは、 α {\displaystyle \alpha } が {p,q}-次の微分形式であれば、ドルボーの定理により、ただ一つの {p,q}-次調和形式が決定する。
h p , q = dim H p , q {\displaystyle h^{p,q}={\text{dim}}H^{p,q}} をホッジ数と呼ぶとすると、
b r = ∑ p + q = r h p , q , h p , q = h q , p , h p , q = h n − p , n − q . {\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.}
が得られる。最初の左辺 br は r-番目のベッチ数であり、第二の等号はラプラス作用素 Δ d {\displaystyle \Delta _{d}} が実作用素 H p , q = H q , p ̄ {\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}} であることから来て、最後の等号はセール双対性から結果を得る。
ケーラー多様体は互いに整合性のある複数の構造を持つため,下記のような複数の観点からの定義方法がある。