ブローアップ (数学)
π は例外因子の外で同型写像であるが、しかし 例外因子が必ず π の例外軌跡になるとは限らない。つまり、π は E 上で同型写像となることもある。これは、例えば I {\displaystyle {\mathcal {I}}} がはじめから可逆層であるような自明な状況で起こる。特に、このような場合では、射 π は例外因子を決定しない。例外軌跡が例外因子よりも真に小さくなりえるもう1つの状況は、X が特異点を持つ場合である。例として P × P 上のアフィン錐 X を考える。X は A において xw − yz が消える軌跡として与えることができる。イデアル (x, y) と (x, z) は2つの平面を定義し、どちらも X の頂点を通る。頂点の外ではこれらの平面は X における超曲面になっており、したがってそこでブローアップは同型写像になっている。したがってこれらの平面のうちいずれかでのブローアップの例外軌跡は円錐の頂点上に centered しており、結果的に例外因子より真に小さくなっている。