球面
上記の方程式で a = 0 としたならば f(x, y, z) = 0 は平面の方程式となる。そこで平面を無限遠点を中心とする半径無限大の球と考えることができる。
(x0, y0, z0) を中心とする半径 r の球面上の点は
と媒介表示できる。
原点を中心とする任意の半径を持つ球面は微分形式 x d x + y d y + z d z = 0 x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}+z{\mathit {dz}}=0 の積分曲面である。この微分形の方程式は、位置ベクトル (x, y, z) と速度ベクトル (dx, dy, dz) が全球面に亙って常に互いに直交するという事実を反映している。
球面は、円周をその任意の直径を軸に回転させた回転曲面として構成することもできる。円周は特別な種類の楕円であるから、球面は特別な種類の回転楕円面(英語版)である。円を回転させる代わりに楕円をその長軸を軸に回転させると長球、短軸を軸にすれば扁球となる。
この性質は球面に対して一意である。
「球面の任意の測地線は閉曲線である」 [注釈] 測地線は曲面上の曲線で、二点間の最短距離を与えるものである。これは平面上の直線の概念を一般化するものである。球面上の測地線は大円。この性質を満足する曲面は他にもたくさんある。
「与えられた体積を持つすべての立体の中で、球は表面積が最も小さくなるもののひとつである。与えられた表面積を持つすべての立体の中で、球は最も大きい体積を持つものの一つである」 [注釈] これは等周不等式(英語版)から従う。これらの性質は球面を一意に定義し、その定義の仕方はシャボン玉のようなものと思える—シャボン玉は決まった体積を囲んで、その体積に対して表面積は表面張力が極小(最小)化されるように決まる。だから自由に浮かぶシャボン玉は球面を近似する(重力のような外力がシャボン玉の形状をやや歪ませる)。
「与えられた表面積を持つすべての凸立体のなかで、球面は最も小さい全平均曲率を持つ」 [注釈] 平均曲率(英語版)は二つの主曲率の平均で、球面は全ての点で二つの主曲率が一定であるから、平均曲率も一定。
「球面は一定の平均曲率を持つ」 [注釈] 球面は境界も特異点もなく正の一定平均曲率を持つ唯一の埋め込まれた曲面である。他に一定の平均曲率を持つ埋め込まれた曲面に極小曲面がある。
球面の概念を、任意の次元に対して一般化することができる。自然数 n に対して「n-次元(ユークリッド)球面」("n-sphere") をしばしば S と書いて、中心となる定点から半径となる決まった距離 r の位置にある (n + 1)-次元ユークリッド空間内の点からなる軌跡として定義できる。特に
零次元球面 S は実数直線内の閉区間 [−r, r] の両端点である。
一次元球面 S は半径 r の円周である。
二次元球面 S は通常の球面
三次元球面 S は四次元ユークリッド空間内の超球面を表す
n > 2 のとき、超球面ともいう。文献によっては余次元(英語版)が 1 のときに限って超球面と呼ぶ場合も稀にあるので文脈に注意すべきである。
S は、特に「単位球面」(原点を中心とする単位半径の球面)を表すために用いられることもある。
(n − 1)-次元単位超球面の表面積は、ガンマ函数 Γ(z) を用いて
で与えられる。