シュール分解
例えば、 Q 2 ~ = [ 0 1 1 0 ] {\displaystyle {\tilde {Q_{2}}}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}} のように2次ユニタリ行列がとれる。これを3次行列に「拡大」して、
Q 2 = [ 1 0 0 0 0 Q 2 ~ ] , Q 2 − 1 = [ 1 0 0 0 0 Q 2 ~ − 1 ] {\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}1&{\begin{matrix}0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}&{\tilde {Q_{2}}}\end{bmatrix}},{Q_{2}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&{\begin{matrix}0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}&{\tilde {Q_{2}}}^{-1}\end{bmatrix}}}
とすれば、
Q 2 − 1 Q 1 − 1 A Q 1 Q 2 {\displaystyle {Q_{2}}^{-1}{Q_{1}}^{-1}AQ_{1}Q_{2}}
シュール分解の証明は次のようになる。複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素 A は固有値 λ と対応する固有空間 Vλ を持つ。Vλ をその固有空間の直交補空間とする。このとき、その直交分解に関して、A には次のような行列表現が存在することが明らかである(ここで Vλ および Vλ を張るような任意の正規直交基底 Z1 および Z2 をそれぞれ選ぶことが出来る)。
[ Z 1 Z 2 ] ∗ A [ Z 1 Z 2 ] = [ λ I λ A 12 0 A 22 ] : V λ ⊕ V λ ⊥ → V λ ⊕ V λ ⊥ {\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}\colon {\begin{matrix}V_{\lambda }\\[-1pt]\!\oplus \\[1pt]\,V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\to {\begin{matrix}V_{\lambda }\\[-1pt]\!\oplus \\[1pt]\,V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}