平方根
入力 x に対してその非負の平方根 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} を返す函数 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} を非負実数全体の集合 R ∪ {0} 上で定義されていると考えた正の平方根函数
∙ : R + ∪ { 0 } ∋ x → 1-1,onto x ∈ R + ∪ { 0 } {\displaystyle {\sqrt {\bullet }}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {\sqrt {x}}\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}
は(函数として well-defined で)、それ自身への全単射になる。正の平方根函数のグラフと負の平方根函数
− ∙ : R + ∪ { 0 } ∋ x → 1-1,onto − x ∈ R − ∪ { 0 } {\displaystyle {-{\sqrt {\bullet }}}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {-{\sqrt {x}}}\in \mathbb {R} ^{-}\cup \{0\}}
任意の実数 x に対して
x 2 = | x | ( = { x ( x ≥ 0 ) − x ( x < 0 ) ) {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}
が成り立つ。
負の数の平方根は実数でない(つまり虚数となる)が、虚数単位 i (i = −1) を用いて表すことができる。a > 0 のとき、 −a の平方根は a A i {\displaystyle {\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i} と − a A i {\displaystyle -{\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i} で、 x = −a の解は、 x = ± a A i {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i} である。 a > 0 のとき、 − a A {\displaystyle {\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}} を
− a A = a A i {\displaystyle {\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}={\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i}
で定義する。例えば、−3 の平方根は 3 i {\displaystyle {\sqrt {3}}i} と − 3 i {\displaystyle -{\sqrt {3}}i} で、 x = −3 の解は ± 3 i {\displaystyle \pm {\sqrt {3}}i} である。また、 − 3 = 3 i {\displaystyle {\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}i} である。
有理数の平方でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求める方法として、開平法が知られている。
比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせが知られている。
2 = 1.41421356 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots } 一夜一夜に人見頃(ひとよひとよにひとみごろ)
3 = 1.7320508075 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {3}}=1.7320508075\cdots } 人並みに奢れや女子(ひとなみにおごれやおなご)
5 = 2.2360679 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {5}}=2.2360679\cdots } 富士山麓鸚鵡鳴く(ふじさんろくおうむなく) 「富士山麓に 鸚鵡鳴く」と誤って覚える向きも多い。 5 = 2.236067977 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {5}}=2.