距離空間
可微分多様体 M と、M上の計量テンソルと呼ばれる(非退化・正定値・対称)2階の共変テンソル g をあわせたものはリーマン多様体と呼ばれる。テンソルgによって Mの各点での接空間に対し接ベクトルの長さを表す正定値の2次形式が与えられ、これをもとにしてM上の曲線の弧長を定義することができる。M上の距離は2点間を結ぶ長さ最小の曲線(測地線)の長さとして定められる。
実数全体のなす集合 R に、距離 d を絶対値を用いて d2(x, y) = |x − y| と定めることで、 (R, d) は距離空間になる。
実数全体のなす集合 R の n 個の直積を R と書くとき、 (R, d) の距離関数 d の一般化として次のような 2つの距離関数を考える。
d 1 ( x , y ) := ∑ i = 1 n | x i − y i | {\displaystyle d_{1}(x,y):=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|} d 2 ( x , y ) := ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 {\displaystyle d_{2}(x,y):={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}
距離d1 は マンハッタン距離 と呼ばれる。一方、距離d2 は n 次元ユークリッド距離とよばれ、距離空間(R, d2)は n 次元ユークリッド空間という。上述の絶対値の例は 1 次元ユークリッド距離になっていることが分かる。教育や自然科学における応用では、多くの場合ユークリッド距離がもちいられる。