不定積分
一つの連続関数に対する二つの原始関数は定数の違いしかなく、すべての変数項が一致することを証明 (黒丸印から開始) する。 実際、 F ( x ) {\displaystyle F(x)} を閉区間上の連続関数 f(x) の原始関数のひとつとし、同じ定義域における f(x) の他の原始関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} をとると、
G ( x ) − F ( x ) = C {\displaystyle G(x)-F(x)=C\,} (定数)
を満たす適当な定数 C {\displaystyle C} が存在する。
条件より ( G ( x ) − F ( x ) ) ′ = f ( x ) − f ( x ) = 0 {\displaystyle (G(x)-F(x))'=f(x)-f(x)=0} であるから、平均値の定理より G ( x ) − F ( x ) {\displaystyle G(x)-F(x)} は定数である。
ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の可測集合 X におけるルベーグ可測集合族とルベーグ測度のなす測度空間上でルベーグ可積分な関数 f に対して、可測集合 E ⊂ X {\displaystyle E\subset X} を変数とする集合関数
Φ ( E ) := ∫ E f d μ {\displaystyle \Phi (E):=\int _{E}f\,d\mu }
を関数 f の 集合関数としての不定積分 という。このとき、 Φ ( E ) {\displaystyle \Phi (E)} は絶対連続な完全加法的集合関数となる。