離散時間フーリエ変換
以下の逆変換は離散時間のシーケンスを回復させる。
積分区間はDTFTの一周期全体であり、これは {x[n]} の標本群がDTFTのフーリエ級数展開の係数でもあることを示している。無限区間の積分では、この変換が通常のフーリエ変換の逆変換となり、ディラックのインパルスも復元する。すなわち次のようになる。
∫ − ∞ ∞ X T ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f = x T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ⋅ δ ( t − n T ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X_{T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df\ =\ x_{T}(t)\ =\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)}
フーリエ変換は、実数成分と虚数成分に分離できる。
X ( e i ω ) = X R ( e i ω ) + i X I ( e i ω ) {\displaystyle X(e^{i\omega })=X_{R}(e^{i\omega })+iX_{I}(e^{i\omega })\!}
また、偶数成分と奇数成分に分離できる。
X ( e i ω ) = X E ( e i ω ) + X O ( e i ω ) {\displaystyle X(e^{i\omega })=X_{E}(e^{i\omega })+X_{O}(e^{i\omega })\!}