レイリーの定理
1 < r {\displaystyle 1<r} 、 s = r r − 1 {\displaystyle s={r \over r-1}} とする。まず、自然数 j とkを用い、jr と ks に注目して、両方の集合に属する自然数が存在しないことを背理法を用いて証明する。もしも両方の集合に属する自然数が存在する場合、ある j と k について、jr = ks が成立する。両辺を js で割ると、r/s = k/j であり、左辺の r/s は r s = r r r − 1 = r − 1 {\displaystyle {r \over s}={r \over {r \over r-1}}=r-1} であり、r は無理数であるため r − 1 も無理数となる。一方、右辺は j と k が自然数であるため明らかに有理数である。よって矛盾が生じるため、両方の集合に属する自然数は存在しない。
次に、j/r または k/s で表現可能な数を小さい順に並べた数列を考える。1/r から j/r の j 個の無理数が存在し、j/r 以下の k/s が ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } 個存在する。そのため、数列内の j/r の位置は j+ ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } であり、 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {1 \over r}+{1 \over s}=1} より