概型
スキーム間の射の中で、位相空間に対応するものとして、分離射と固有射の二つがある。スキーム間の射については、構造層や加群の層を考える必要がある。スキームの内在的な幾何については因子の概念が重要な役割を果たす。スキームから射影空間への射では、可逆層やその大域切断で特徴付けられる。
19世紀後半に生まれた代数幾何学のイタリア学派(英語版)は、代数幾何学の研究に代数多様体の「生成点(英語版)」という概念を使っていた。生成点とは、特別な性質を持たない点で、この点に対して証明されたことは例外的な点を除きすべての点に対して成り立つという性質があると説明されている。
1926年、ファン・デル・ヴェルデンは明確な代数的定義を生成点に与える。この論文では、体 k の有限生成拡大体 k(ξ1, ...,ξn) があったとして、多項式環 k[X1, ...,Xn] の不定元 Xi を ξi に送る環準同型の核を p とするとき、(ξ1, ...,ξn) を素イデアル p の generic zero と呼んでいる。そして代数多様体の部分代数多様体に対応する素イデアルの generic zero は幾何学における部分代数多様体の生成点と同じ意味だと書いている。通常の点も部分代数多様体なので対応する素イデアルがある。この観点からは素イデアル全体の集合を考えることは自然なことである。ファン・デル・ヴェルデンのこの研究はエミー・ネーターの研究にヒントを得たものだった。ネーターも、公表はしていなかったが同じアイデアに到達していた。
第二次世界大戦が始まる前、ネーターのassociateであったヴォルフガング・クルルはこの考えに基づきパリで代数幾何学の講義を行った。その講義は任意の可換環の全ての素イデアルを点として扱うもので、ザリスキー位相も使っていた。