ハーディ階層
(Wainer 1972, Gallier 1991)順序数 α と β に対して、 h α + β ( n ) = h α ( h β ( n ) ) {\displaystyle h_{\alpha +\beta }(n)=h_{\alpha }(h_{\beta }(n))}
(Gallier 1991, §12)ハーディ階層を定める関数 hα と急成長階層を定める関数 fα について、 H ω α ( n ) = f α ( n ) {\displaystyle H_{\omega ^{\alpha }}(n)=f_{\alpha }(n)} f ε 0 ( n − 1 ) ≤ h ε 0 ( n ) ≤ f ε 0 ( n + 1 ) {\displaystyle f_{\varepsilon _{0}}(n-1)\leq h_{\varepsilon _{0}}(n)\leq f_{\varepsilon _{0}}(n+1)}
(Wainer 1972, p. 286) 順序数 α が 1 < α < ε0 を満たすならば、急成長階層 F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }} について F α = ⋃ β < ω α + 1 H β {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\bigcup \nolimits _{\beta <\omega ^{\alpha +1}}{\mathcal {H}}_{\beta }}