微分方程式
二階線型常微分方程式の一般形は、既知関数を P(x), Q(x), R(x) として、次のように書かれる。
d 2 y ( x ) d x 2 + P ( x ) d y ( x ) d x + Q ( x ) y = R ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y=R(x).}
この二階線型常微分方程式は、このままの形では求積法を用いて一般解を表示することはできない。 もし、右辺を 0 とした斉次方程式の特殊解として、y = y1 が存在すれば、
d 2 y 1 ( x ) d x 2 + P ( x ) d y 1 ( x ) d x + Q ( x ) y 1 ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{1}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y_{1}(x)=0}
が成り立つので、z なる未知関数を導入して、
y ( x ) = y 1 ( x ) z ( x ) {\displaystyle y(x)=y_{1}(x)z(x)}
とすれば、二階線型常微分方程式が、z に関する常微分方程式、