オイラーの等式
この等式は複素関数論における、任意の実数 φ {\displaystyle \varphi } に対して成り立つオイラーの公式
e i φ = cos  φ + i sin  φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }
の特別な場合である。ここで三角関数 sin と cos の引数 φ {\displaystyle \varphi } の表示は弧度法である。両辺に φ = π {\displaystyle \varphi =\pi } を代入すると、
cos  π = − 1 {\displaystyle \cos \pi =-1}
sin  π = 0 {\displaystyle \sin \pi =0}
より
e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1}
ゆえに
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
を得る。
スタンフォード大学の数学の教授、キース・デブリン(英語版) は「愛の本質そのものをとらえるシェークスピアのソネットのように、あるいは、単なる表面でなくはるかに深い内面から人間の形の美しさを引き出す絵画のように、オイラーの等式は存在の遥かな深遠にまで到達している」(Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler's equation reaches down into the very depths of existence.) と記している。
Bob Palaisが2001年に公開したエッセイ "π is wrong!" の中では、円周率πの代わりに、「τ=2π」なる数τ、すなわち円の周の半径に対する比率を用いれば、この式は e i τ = 1 {\displaystyle e^{i\tau }=1} という、よりシンプルな表現になると述べられている。