コバノフホモロジー
2006年の国際数学者会議でミハイル・コバノフは、コバノフホモロジーの観点より、結び目多項式の関係の説明を提案した。 3つの絡み目 L 1 , L 2 {\displaystyle L_{1},L_{2}} , L 3 {\displaystyle L_{3}} のスケイン関係式は、次のようになる。
λ P ( L 1 ) − λ − 1 P ( L 2 ) = ( q − q − 1 ) P ( L 3 ) . {\displaystyle \lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).}
この式に λ = q n , n ≤ 0 {\displaystyle \lambda =q^{n},\ n\leq 0} と代入すると絡み目多項式不変量 P n ( L ) ∈ Z [ q , q − 1 ] {\displaystyle P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]} が導かれる。この式で、 n > 0 {\displaystyle n>0} に対し、次のように正規化する。
P n ( u n k n o t ) = q n − 1 + q n − 3 + ⋯ + q 1 − n {\displaystyle P_{n}(unknot)=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}}