ディニ微分
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分(しばしば右上微分とも呼ばれる)は、
f + ′ ( t ) = def lim sup h → 0 + f ( t + h ) − f ( t ) h {\displaystyle f'_{+}(t){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}
により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は
f − ′ ( t ) = def lim inf h → 0 + f ( t + h ) − f ( t ) h {\displaystyle f'_{-}(t){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}
により定義される。ここで liminf は下極限を表す。
f がベクトル空間上で定義される汎函数のときは、t における、方向 d への上側ディニ微分が
f + ′ ( t , d ) = def lim sup h → 0 + f ( t + h d ) − f ( t ) h {\displaystyle f'_{+}(t,d){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}}
により定義される。