フレヴィッツの定理
位相空間対 (X, A) と整数 k > 1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型
h ∗ : π k ( X , A ) → H k ( X , A ) {\displaystyle h_{\ast }\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)\,\!}
が存在する。相対フレヴィッツの定理は、X と A が連結であり、対 (X, A) が (n − 1)-連結であれば、k < n に対し、Hk(X,A) = 0 であり、Hn(X, A) は πn(X, A) から π1(A) への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、Whitehead (1978) では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。
この相対的フレヴィッツの定理は、Brown & Higgins (1981)において、射
π n ( X , A ) → π n ( X ∪ C A ) . {\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA)\,\!.}
に関するステートメントとして再定式化された。
このステートメントは、ホモトピー切除定理(英語版)(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、n > 2 に対し誘導加群( n = 2 に対しては、接合加群(crossed module))を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーのファン・カンペンの定理(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。