漸近展開
関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を定義域が実数の領域で定義された関数とし、 x 0 {\displaystyle x_{0}} を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の点とする。
関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}
実数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} が存在して、任意の正整数 n に対し
f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}