折り紙
儀礼折り紙という概念で見ると、平安時代に日本独自の和紙製紙法である「流し漉き」が開発されてより頑丈な紙を作ることができるようになると、折った和紙は神社の御幣・大麻・紙垂として使われるようになり、折った紙で作られた宗教的な装飾や贈答品の包み紙は徐々に儀礼折り紙として確立した。平安時代には朝廷は儀式で使う金品を折った紙で包む方法を定めていた。
室町時代の3代将軍、足利義満が武家独自の礼法を明確に定め、後世に最も由緒正しく記録された文献を残した。礼法の指南役である高家(伊勢家、小笠原家、今川家)のうち、伊勢家は主に内の礼法(殿中の礼法)、小笠原家は主に外の礼法(主に弓馬礼法)、今川家(後の吉良家)は主に書と画の礼法を担当し、それらの礼法は、将軍、大名、旗本に限って口頭で教授するか、または雛形を使って上級武士の間で秘伝として伝承された。
その武家の礼法の一つが折形(おりかた)、折紙礼法(おりがみ れいほう)、または折紙であり、和紙を手づから折り目正しく折り、物に心を込めて包み渡す礼法である。特に8代将軍足利義政の時代の伊勢貞親は殿中における多くの礼法を定め、折形(折紙礼法)が整えられた。現代でも見られる結婚式で酒が入った銚子や提に飾り付ける新郎新婦を表した雄蝶と雌蝶の蝶花形や熨斗は室町時代に誕生した物であり、後世の井原西鶴の「一昼夜独吟四千句」(1680年)にも蝶花形が登場している。
折り紙の応用、または研究にはいくつもの数学的課題が含まれている。例えば、「展開図を二次元の作品へと平らに折り畳めるかどうか」の問題(flat-foldability)は、そういった数学的課題のうちの一つである。
平らな紙は表面のどの点においてもガウス曲率が0である。よって折り目は本来曲率0の直線である。しかし濡れた紙や指の爪で皺をつけた紙など、平らでなくなった紙においては最早この曲率の条件は当てはまらない。
剛体折り紙の問題(即ち、折り目の位置で蝶番でつないだ板金を用いて、紙と同様に作品を折ることができるかどうか)は重要な実用上の問題である。例えば、ミウラ折りは剛体でも折ることができ、人工衛星の太陽電池パネルを折り畳むために用いられている。
またそれ以外にも、折り紙はエアバッグの折り畳みや医療用のステントグラフト(ステントと人工布を用いた新型の人工血管)の折り畳みにも応用されている。
空気圧を利用した人工筋肉で、人工筋肉の折り曲げを制御、駆動させるのに折り紙の構造を使用する研究が行われている。