カントール集合
カントール集合はフラクタル図形の一種で自己相似性を持つ。フラクタル次元の一つであるハウスドルフ次元は log 2 / log 3 (= 0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合(連続体濃度の非可算集合)として有名な例である。
カントール集合はフラクタルの原型である。これが自己相似であることは、それが自身を 1/3 に縮小して平行移動した二つの部分に等しいことによる。より精確に、左自己相似変換 TL(x) ≔ x/3 および右自己相似変換 TR(x) ≔ (2 + x)/3 という二つの写像が存在して、カントール集合 C は同相の違いを除いて不変: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C {\textstyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}} である。
TL, TR を反復的に適用する仕方は無限二分木として視覚化することができる。つまり、その木の各節点において左か右の部分木を考えることができる。集合 {TL, TR} に写像の合成で積を入れたものはモノイドを成し、二進モノイド(英語版)と呼ばれる。
二分木の自己同型写像はその双曲的回転であり、モジュラー群によって与えられる。したがって、カントール集合は、カントール集合 C に属する任意の二点 x, y に対し h(x) = y を満たす同相写像 h: C → C が存在するという意味において等質空間である。これら同相写像はメビウス変換として陽に表すことができる。