曲面 (数学)
与えられた多項式 f(x, y, z) の係数をすべて含む最小の体を k とし、k の超越次数無限大の代数閉拡大体を K と書くとき、この代数曲面上の「点」とは f(x, y, z) = 0 を満たす K の元を言う。多項式が実係数のときは、そのような体 K は複素数体であり、またこの曲面上の点で R に属するもの(通常の点)は実点 (real point) と呼ぶ。k に属する点は k 上の有理点 (rational over k) あるいは短く k-有理点と呼ぶ(k が有理数体 Q のときは単に有理点と呼ぶ)。
上記のヤコビ行列が階数 2 であるような点 p は正則 (regular) あるいは正常であると言う。より正確には、媒介付けが p において正則である。
正則点 p における接平面は p を通り、そのヤコビ行列の二つの行ベクトルに平行な方向を持つ唯一の平面である。接平面は定義において計量の選び方に依らないから、その意味でアフィン性質(英語版)である。すなわち、任意のアフィン変換は曲面上の一点における接平面を、その点の写る先の点における接平面に写す。
曲面上の点における法線は、その点を通りその点における接平面に直交する唯一の直線を言う。法線に平行なベクトルは法ベクトルと呼ばれる。
点の近傍におけるほかの曲面の微分不変量(英語版)については曲面の微分幾何(英語版)の項を参照。