フビニ・スタディ計量
フビニ・スタディ計量(Fubini–Study metric)は、射影ヒルベルト空間上のケーラー計量である。つまり、複素射影空間 CP がエルミート形式を持つことを言う。この計量は、もともとは1904年と1905年にグイド・フビニ(Guido Fubini)とエドワード・スタディ(英語版)(Eduard Study)が記述したものであった。
ベクトル空間 C のエルミート形式は、GL(n+1,C) の中のユニタリ部分群 U(n+1) を定義する。フビニ・スタディ計量は、U(n+1) 作用の下での不変性(スケーリングに対して)により差異を同一視すると決定し、等質性を持つ。フビニ・スタディ計量を持つ CP は、(スケーリングを渡る)対称空間(英語版)(symmetric space)である。特に、計量の正規化は、スケーリングの適用に依存する。リーマン幾何学においては、正規化された計量を使うことができるので、(2n + 1) 次元球面上のフビニ・スタディ計量は、単純に標準の計量と関連付けられる。代数幾何学では、正規化を使い、CP をホッジ多様体とすることができる。
n = 1 の特別な場合には、フビニ・スタディ計量は、2-球面の上の計量との同一性に従うと、4 である定数のスカラー曲率を持つ(このことは与えられた半径 R の球面はスカラー曲率 1 / R 2 {\displaystyle 1/R^{2}} を持つ)。しかし、n > 1 に対しては、フビニ・スタディ計量は定数曲率を持たない。その断面曲率は、代わりに、次の等式で与えられる。
K ( σ ) = 1 + 3 ⟨ J X , Y ⟩ 2 {\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}
ここに、 { X , Y } ∈ T p C P n {\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}} は 2-平面 σ の直交基底であり、J : TCP → TCP は CP 上の線型複素構造(英語版)(linear complex structure)であり、 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } はフビニ・スタディ計量である。
この公式の結果、断面曲率はすべての 2-平面 σ {\displaystyle \sigma } に対し 1 ≤ K ( σ ) ≤ 4 {\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4} を満たす。
最大断面曲率 (4) は正則 2-平面で到達される。つまり、そこでは J(σ) ⊂ σ である。一方、最小断面曲率 (1) は J(σ) が σ に直交である 2-平面で達成される。フビニ・スタディ計量が 4 に等しい「定数」正則断面曲率であるとよく言われる理由である。
このことは、CP を1/4ピンチ多様体(英語版)(quarter pinched manifold)である。この優れた定理は、厳密な 1/4 ではられる単連結な n 次元多様体は、球に同相でなければならないことを示している。
フビニ・スタディ計量は、自分自身のリッチテンソルに比例するアインシュタイン計量でもある。すなわち、定数 λ が存在して、すべての i, j に対し、
R i c i j = λ g i j {\displaystyle Ric_{ij}=\lambda g_{ij}}
である。このことは、なによりも、フビニ・スタディ計量がリッチフローのスカラー倍に対しては不変のままであることを意味する。また、CP のフビニ・スタディ計量は、アインシュタインの場の方程式の非自明な真空解となっているので、一般相対論において不可欠なものとなっている。