リー代数
圏論のことばを使うと、リー代数は、Veck の射 [., .]: A ⊗ A → A を伴った対象 A として定義できる。ここで Veck は標数が 2 ではない体 k 上のベクトル空間の圏であり、⊗ は Veck の次のようなモノイド積を表す。
[ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( i d + τ A , A ) = 0 {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}
[ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( [ ⋅ , ⋅ ] ⊗ i d ) ∘ ( i d + σ + σ 2 ) = 0 {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}
ここに、τ (a ⊗ b) := b ⊗ a であり、σ は (id ⊗ τA,A) ° (τA,A ⊗ id) を組み上げる巡回置換である。図式(英語版)にすると以下のようになる。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x に対し、 [ x , x ] = 0 . {\displaystyle [x,x]=0\ .}
2 つのリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g'}}} が与えられると、それらの直和は、 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} と x ′ ∈ g ′ {\displaystyle x'\in {\mathfrak {g'}}} の対 ( x , x ′ ) {\displaystyle (x,x')} からなるベクトル空間 g ⊕ g ′ {\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}} であり、リーブラケットは
[ ( x , x ′ ) , ( y , y ′ ) ] = ( [ x , y ] , [ x ′ , y ′ ] ) , x , y ∈ g , x ′ , y ′ ∈ g ′ {\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),\quad x,y\in {\mathfrak {g}},\,x',y'\in {\mathfrak {g'}}}
で定める。