弾性エネルギー
先のばねの例において、ばねの伸び x を弾性体の歪み ε へ、物体がばねに及ぼす力 kx を、弾性体の応力 σ へと置き換えれば、応力が偏微分係数
σ a ( ε ) = ∂ U ∂ ε a {\displaystyle \sigma _{a}(\epsilon )={\frac {\partial U}{\partial \epsilon _{a}}}}
として表され、弾性エネルギーはこの積分として
U ( ε ) = ∫ ∑ a σ a ( ε ) d ε a {\displaystyle U(\epsilon )=\int \sum _{a}\sigma _{a}(\epsilon )\,d\epsilon _{a}}
で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び x の関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を a で表している。
応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。
フックの法則に従うばね係数 k のばねの伸びが x であるときの弾性エネルギーは
U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}
で与えられる。