ロピタルの定理
0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1 ", " 0 ", " ∞ ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、
lim x → 1 ( x x − 1 − 1 ln  x ) = lim x → 1 x ln  x − x + 1 ( x − 1 ) ln  x ( 1 ) = lim x → 1 ln  x x − 1 x + ln  x ( 2 ) = lim x → 1 x ln  x x − 1 + x ln  x ( 3 ) = lim x → 1 1 + ln  x 2 + ln  x ( 4 ) = 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}}\quad &(1)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\quad &(2)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\ln x}{x-1+x\ln x}}\quad &(3)\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\quad &(4)\\&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}
ロピタルの定理は、簡単には c(-∞≦c≦∞)を含むある区間 I があり、関数 f,g はその内部で微分可能で、 lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)} かつその値が 0 または ±∞ であり、かつ極限 lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} が存在し、かつ I {\displaystyle I} におけるcの除外近傍において g′(x) ≠ 0 が成り立つならば、
lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
であることを主張する。
つまり、分子と分母を微分することにより不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換し、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。
シュトルツ=チェザロの定理は、数列の極限において類似の結果を与えているが、そこでは微分ではなく隣接項差分が用いられている。