確率密度関数
上記の式は、1つよりも多くの変数に依存する変数(y と書く)に一般化できる。y が依存する変数の確率密度関数を f(x1, ..., xn) とすると、依存関係は y = g(x1, ..., xn) で表される。このとき得られる確率密度関数は
∫ y = g ( x 1 , ⋯ , x n ) f ( x 1 , ⋯ , x n ) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ x j ( x 1 , ⋯ , x n ) 2 d V {\displaystyle \int \limits _{y=g(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\frac {f(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})^{2}}}}\;dV}
となる。ただし積分は添え字の方程式の (n − 1) 次元の解全体を渡り、記号 dV は実際の計算にはこの解のパラメータ化に置き換えなければならない。変数 x1, ..., xn はもちろんこのパラメータ化の関数である。
これからより直感的な表現が導かれる。x を同時確率密度 f の n 次元確率変数とする。H を全単射で微分可能な関数として y = H(x) であるならば、y は密度 g を持つ: