分数
分数は自然数だけではなく、整数全体や実数、複素数などを用いても定義される。
抽象代数学において分数は、環に十分な逆元を追加することで新しい環を作り出す環の局所化あるいは全商環などの概念として一般に捉えることができる(分数環あるいは商の環というような言い方もある)。
可換環 R の部分集合 S は、R の単位元 1 を含み、S の任意の2つの元 s, t について、それらの積 st が再び S の元となる(つまり乗法について閉じている)場合、S は R の積閉集合という。可換環 R とその積閉集合 S に対し、R × S における二項関係 ∼ を
( r 1 , s 1 ) ∼ ( r 2 , s 2 ) ⟺ ∃ t ∈ S , t ( r 1 s 2 − r 2 s 1 ) = 0 {\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})\iff \exists t\in S,\,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0}
で定めると、これは R × S における同値関係を与える。R × S をこの同値関係で割ったものを SR で表し、(r, s) の属する同値類を r/s などで表す。