ルンゲ＝クッタ法
c 1 a 11 a 12 ⋯ a 1 s c 2 a 21 a 22 ⋯ a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c s a s 1 a s 2 ⋯ a s s b 1 b 2 ⋯ b s = c A b T {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{c|ccccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\cdots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{s}\end{array}}&={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\end{array}}\end{aligned}}}
実際には、それぞれのルンゲ゠クッタ法について各要素に具体的な値を入れて用いる。陽的な方法ではルンゲ゠クッタ行列の上三角成分は常に 0 になるので表記を省略する。例えば RK4 はブッチャー配列を用いて以下のように表現される。
0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 1 0 0 1 1 / 6 1 / 3 1 / 3 1 / 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{c|ccccc}0&\\1/2&1/2\\1/2&0&1/2\\1&0&0&1\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\end{array}}\end{aligned}}}
ルンゲ゠クッタ法が一貫しているためには、次の条件が満たされている必要がある。
∑ j = 1 s a i j = c i , i = 1 , ... , s . {\displaystyle \sum _{j=1}^{s}a_{ij}=c_{i},\;i=1,\ldots ,s.}
y n + 1 = y n + 1 2 f ( t n , y n ) + 1 2 f ( t n + h , y n + 1 2 k 1 + 1 2 k 2 ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})+{\frac {1}{2}}f\left(t_{n}+h,y_{n}+{\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}k_{2}\right)}
台形公式は、選点法である。選点法はすべて陰的ルンゲ=クッタ法であるけど、陰的ルンゲ=クッタ法がすべて選点法であるわけではない。
選点法の中では、ガウス求積に基づいたガウス・ルジャンドル法(英語版)が一番次数の高い方法である。s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は 2s となる(よって、任意に高い次数を持つ方法を構造できるようになる)。例として、2段ガウス・ルジャンドル法は次の配列で与えられる。
1 2 − 1 6 3 1 4 1 4 − 1 6 3 1 2 + 1 6 3 1 4 + 1 6 3 1 4 1 2 1 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}