クレブシュ–ゴルダン係数
j ^ = [ j ^ x , j ^ y , j ^ z ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}=[{\hat {j}}_{x},{\hat {j}}_{y},{\hat {j}}_{z}]}
この考えを発展させると、 j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}} の自分自身の内積の演算子を定義できる。
j ^ 2 = j ^ x 2 + j ^ y 2 + j ^ z 2 {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}={\hat {j}}_{x}^{2}+{\hat {j}}_{y}^{2}+{\hat {j}}_{z}^{2}\ }
これはカシミール演算子(英語版)である。
また「上昇演算子」( j ^ + {\displaystyle {\hat {j}}_{+}} )と「下降演算子」( j ^ − {\displaystyle {\hat {j}}_{-}} )を以下のように定義する。
j ± ^ = j x ^ ± i j y ^ {\displaystyle {\hat {j_{\pm }}}={\hat {j_{x}}}\pm i{\hat {j_{y}}}\ }