積の微分法則
( f ⋅ g → ) ′ = f ′ ⋅ g → + f ⋅ g → ′ {\displaystyle (f\cdot {\vec {g}})'=f'\cdot {\vec {g}}+f\cdot {\vec {g}}'}
を意味する。このとき、
( f ⋅ g ) ( x + h ) − ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) ) ( g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) ) − ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) ) h + O ( h ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)&=(f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h))-(f\cdot g)(x)\\&=(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h+O(h)\end{aligned}}}
だから、h を 0 に近づける極限をとって所期の結果を得る。
積の法則を二つよりも多い因子を持つ積の場合にも一般化することができる。例えば、因子が三つの場合は
d ( u v w ) d x = d u d x v w + u d v d x w + u v d w d x {\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}
である。函数列 f1, ..., fk に対しては
d d x [ ∏ i = 1 k f i ( x ) ] = ∑ i = 1 k ( d d x f i ( x ) ∏ j ≠ i f j ( x ) ) = ( ∏ i = 1 k f i ( x ) ) ( ∑ i = 1 k f i ′ ( x ) f i ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)}
と書ける。