テイラーの定理
となる実数 ξC が a と x の間に存在する。これはコーシーの剰余項である。 θ = ξ − a x − a ∈ ( 0 , 1 ) ( ξ = ξ L , ξ C ) {\displaystyle \theta ={\frac {\xi -a}{x-a}}\in (0,1)\;(\xi =\xi _{\mathrm {L} },\xi _{\mathrm {C} })} とおくことにより、剰余項はそれぞれ次の形と同値である。
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( a + θ ( x − a ) ) ( k + 1 ) ! ( x − a ) k + 1 , {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(a+\theta (x-a))}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1},}
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( a + θ ( x − a ) ) k ! ( 1 − θ ) k ( x − a ) k + 1 . {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(a+\theta (x-a))}{k!}}(1-\theta )^{k}(x-a)^{k+1}.}
テイラーの定理のこれらの改良は通常平均値の定理を用いて証明されるため、その名前がある。また他の同様の表示も見つけられる。例えば、G(t) が閉区間上連続、開区間上で微分可能で導関数の値が非0ならば、
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( ξ ) k ! ( x − ξ ) k G ( x ) − G ( a ) G ′ ( ξ ) {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}
となる数 ξ が存在する。このバージョンはラグランジュとコーシーの剰余項を特別な場合として含んでおり、以下でコーシーの平均値の定理を用いて証明される。
積分形の剰余のステートメントはこれまでのものより進んでおり完全な一般性にはルベーグ積分論の理解が要求される。しかしながら、f の (k + 1) 階微分が閉区間 [a, x] 上連続であるならば、リーマン積分の意味でも成り立つ。
積分形の剰余項 ― f を a と x の間の閉区間上絶対連続とする。すると
R k + 1 ( x ) = ∫ a x f ( k + 1 ) ( t ) k ! ( x − t ) k d t . {\displaystyle R_{k+1}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}
これはベルヌーイの剰余とも呼ばれる。閉区間上の f の絶対連続性により、導関数 f は L 関数として存在し、結果は微分積分学の基本定理と部分積分を用いた形式的な計算により証明できる。