傾き (数学)
傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°~180° の範囲で考えると 135°、−90°~90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。
傾斜角とは、直線と x軸の正の部分が作る角(反時計回りが正の向き)と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ θ < 180° または −90° < θ ≤ 90° の2つの流儀がある(状況に応じて使い分ける)。
直線の傾きを m、傾斜角を θ とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて
m = tan  θ ( ⟺ θ = arctan  m ) {\displaystyle m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)}
の関係がある。
y は x の一次関数であるとする。このとき、x と y には y = ax + b と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは a に等しい。
(証明)
y = ax + b のグラフ上の任意の2点 P, Q を取る。P, Q の x座標をそれぞれ x1, x2 とすると、P, Q の座標は
P (x1, ax1 + b), Q (x2, ax2 + b)
である。
xの増加量 Δx = x2 − x1
yの増加量 Δy = (ax2 + b) − (ax1 + b)
= ax2 − ax1
= a (x2 − x1)
傾き m は、
m = Δ y Δ x = a ( x 2 − x 1 ) x 2 − x 1 = a {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=a} (証明終)
1次関数 y = ax + b において、a を傾きと呼ぶのに対して、b を y切片と呼ぶ。1次関数の y切片は、グラフ(直線)が y 軸と交わる点の y 座標に等しい。したがって、y = ax + b の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。
1次関数 y = ax + b のグラフは、y軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。