微分可能関数
f ( x , y ) = { y if y ≠ x 2 0 if y = x 2 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}
で定義される関数 f: R → R は、(0, 0) において微分可能でないが、そのすべての偏微分と方向微分はその点において存在している。連続的な例として、関数
f ( x , y ) = { y 3 / ( x 2 + y 2 ) if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
は (0, 0) において微分可能でないが、ふたたびその偏導関数と方向微分はすべて存在する。
関数のすべての偏導関数が存在し、ある点の近傍において連続であるなら、その関数はその点において微分可能でなければならず、実際 C-級である。