変位
また、 u i {\displaystyle \ u_{i}} と U J {\displaystyle \ U_{J}} の関係は以下のようになる。
u i = α i J U J {\displaystyle \ u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad } または、 U J = α J i u i {\displaystyle \qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}
また、以下の関係が成り立つ。
e i = α i J E J , {\displaystyle \ {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J},}
u ( X , t ) = u i e i = u i ( α i J E J ) = U J E J = U ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J})=U_{J}{\boldsymbol {E}}_{J}={\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)}
b = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0} の場合、物質座標系と空間座標系を組み合わせることが一般的であり、それぞれの基底の方向余弦はクロネッカーのデルタとなる。
変位の対象は、古典力学での質点の位置であったり、結晶(固体、あるいは結晶表面やそれに吸着した原子、分子など)での原子の位置(原子変位)であったりする。
表記は、変位の大きさに着目する x , d のような場合や、変化した前後の位置の差であるという点に注目する Δr という場合がある。
物理量としての変位はベクトルで使うことが多く、変位ベクトルと呼ばれる。
物体の位置を表現するには原点からの位置ベクトルを使う方法もある。どこかに基準点を定めるということでは変位もあまり違わないが、局所的な現象を表すときには基準位置とそこからの変位で記述したほうが簡単になることもある。
変位x と位置ベクトルr は次の式で変換できる。
x = r − r 0 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}
ここでr0 は基準点の位置ベクトルである。
E J ⋅ e i = δ J i = δ i J {\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}
以上より、物質座標系において以下の式が得られる。
u ( X , t ) = x ( X , t ) − X {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad } または、 u i = x i − δ i J X J = x i − X i {\displaystyle \qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}
また、空間座標系では以下のようになる。
U ( x , t ) = x − X ( x , t ) {\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad } または、 U J = δ J i x i − X J = x J − X J {\displaystyle \qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}
ここで、F は変形勾配テンソル、I は恒等テンソルである。
同様に、空間表示の変位ベクトル
U ( x , t ) = x − X ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)}
を空間座標で偏微分して得られるテンソルは、空間変位勾配テンソル ∇x U と呼ばれる。
∇ x U = I − ∇ x X = I − F − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {U}}&={\boldsymbol {I}}-\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {X}}\\&={\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {F}}^{-1}\end{aligned}}}
または、
∂ U J ∂ x k = δ J k − ∂ X J ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}
ばねに繋いだ物体の運動では、物体の位置は、ばねの自然長の位置を基準とした変位で表すのが便利である。
このとき物体の位置エネルギーは、次のような式で表せる。
U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}
ここで x は、ばねの自然長の位置を基準とした変位、k はばね係数である。
物体にかかる重力は基準位置(とエネルギーの基準点)を動かすだけだから、ばねがどんな方向を向いていても、また重力がかかっているときでもこの式は変更する必要がない。このようにばねの運動では変位を含む部分が本質的といえる。