汎函数行列式
函数空間 V からそれ自身への線型写像を S とすると、行列式の無限次元への一般化が可能なことがしばしばある。この量 det(S) を S の 汎函数行列式 (英: functional determinant)と言う。
汎函数行列式の公式がいくつかあり、それらは皆、対角化可能な有限次元の行列に対しては行列式が固有値の積に等しいという事実を基礎としている。数学的には、作用素のゼータ函数を通して厳密に定義される。
ζ S ( a ) = tr S − a , {\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}
ここに tr は汎函数のトレースを意味し、従って汎函数行列式は、
det S = e − ζ S ′ ( 0 ) , {\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}
で定義される。ここに s = 0 でのゼータ函数は解析接続により定義される。別な一般化された方法も可能であり、物理学者が量子場理論でファインマンの経路積分の定式化に用いる、汎函数積分(英語版)の方法がある。
det ( − d 2 d x 2 + V 1 ( x ) − m ) det ( − d 2 d x 2 + V 2 ( x ) − m ) = ψ 1 m ( L ) ψ 2 m ( L ) {\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}
を得る。m = 0 に対しては、
det ( − d 2 d x 2 + V 1 ( x ) ) det ( − d 2 d x 2 + V 2 ( x ) ) = ψ 1 0 ( L ) ψ 2 0 ( L ) . {\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}
を得る。