リーマン積分
先に述べたように、これらの二つの定義は同値である。つまり、前者の定義における s が存在するための必要十分条件は後者の定義における s が存在することである。前者から後者が出ることは、ε に対して条件を満足する δ を取り、大きさが δ より小さい点付き分割を選べば、s との差が ε より小さいリーマン和とその分割の任意の細分に対して、細分の大きさはやはり δ より小さいから、細分のリーマン和もやはり s との差が ε 内に収まることからわかる。後者から前者が出ることはダルブー積分を用いれば容易にわかる。まず後者の定義からダルブー積分の定義が出ることはダルブー積分(英語版)の項を見よ。いま、ダルブー積分函数が前者の定義を満たすことを示す。ε を止めて、分割 y0, ..., ym を、対応する上ダルブー和および下ダルブー和がダルブー積分の値 s との差が ε/2 に収まるように選ぶ。I 上の |f(x)| の上限を r とするとき、r = 0 ならば f は恒等的に 0 になる零写像で明らかにリーマン積分もダルブー積分も 0 になるから、以下 r > 0 の場合を考える。m > 1 ならば δ を ε/2r(m − 1) と min{yi+1 − yi} の両方よりも小さくとり、m = 1 ならば δ を 1 より小さくとる。