エルンスト方程式
真空の軸対称定常時空の計量は、円柱座標 ( t , ρ , φ , z ) {\displaystyle (t,\rho ,\phi ,z)} を用いるとき、一般に関数 f ( ρ , z ) {\displaystyle f(\rho ,z)} , ω ( ρ , z ) {\displaystyle \omega (\rho ,z)} , γ ( ρ , z ) {\displaystyle \gamma (\rho ,z)} を用いて
d s 2 = f − 1 [ e 2 γ ( d z 2 + d ρ 2 ) + ρ 2 d φ 2 ] − f ( d t − ω d φ ) 2 {\displaystyle ds^{2}=f^{-1}\left[e^{2\gamma }(dz^{2}+d\rho ^{2})+\rho ^{2}d\phi ^{2}\right]-f(dt-\omega \,d\phi )^{2}}
という形(ワイル座標)に表示できる。このとき真空中のアインシュタイン方程式から f {\displaystyle f} および ω {\displaystyle \omega } が方程式