同値関係
ある集合 S において、以下の3つの性質をすべて満たす二項関係 ∼ は S 上の同値関係であるという。それらの性質とは S の任意の元 a, b, c に対して、
反射律:a ∼ a.
対称律:a ∼ b ならば b ∼ a.
推移律:a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c.
上の3つをまとめて同値律ということがよくある。∼ が同値関係であるときに、a ∼ b であることを、a と b は同値であるという。
同値関係を圏論的に一般化した概念に余等化子がある。圏 C の射 f, g: X → Y の余等化子とは対象 Q と射 q: Y → Q の組であって、qf = qg を満たし、以下の普遍性を持つものである:対象 Q' と射 q': Y → Q' の組があって、q'f = q'g を満たすならば、次の図式を可換にする射 u: Q → Q' がただ1つ存在する。
集合 S 上に同値関係 ∼ が与えられたとする。R = {(x, y) ∈ S × S | x ∼ y} とおき、写像 r1, r2: R → S を r1(x, y) = x, r2(x, y) = y で定義すると、商集合 S/∼ と標準射影 π: S → S/∼ の組は集合の圏における r1 と r2 の余等化子である。
X 上の同値関係 ~ が与えられたとき、X の元に関する性質 P が x ~ y なるとき常に P(x) ならば P(y) を満たすならば、性質 P は同値関係 ~ の下で well-defined であるとか、各同値類上で不変 (class invariant; 類不変) であるなどという。
そのようなものとしてよくあるのが、写像 f: X → Y で、x1 ~ x2 ならば f(x1) = f(x2) なるときである。この場合、f は各同値類上で定数 (class invariant under ~)、あるいは ~ の下で不変 (invariant under ~), より短く ~-不変などという。このようなものは例えば有限群の指標論などで見かけることができる。また、このような写像の性質を可換三角図式として書き表すことができる(不変量なども参照)。文献によっては、不変という代わりに、~ に関する準同型 (morphism; 射) であるとか ~ と両立する (compatible with ~) とか適合する ("respects ~") などのように言うこともある。
より一般に、(ある関係 ~A に関して)同値なものを(別の関係 ~B に関して)同値なものへ写す写像を考えることができて、そのような写像を ~A から ~B への準同型(あるいは射)などと呼ぶ。