逆ガウス分布
このときの確率密度関数は以下である。
f ( x ) = ( λ 2 π x 3 ) 1 2 exp  ( − λ ( x − μ ) 2 2 μ 2 x ) {\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)}
期待値は μ {\displaystyle \mu } 、分散は μ 3 λ {\displaystyle {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}} である。
λ → ∞ {\displaystyle \lambda \rightarrow \infty } で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 X − μ μ 3 / λ {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sqrt {\mu ^{3}/\lambda }}}} は標準正規分布 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle N(0,1)} に近づく。
逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。