単調収束定理
増加数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が上に有界であるなら、それは収束し、その極限は sup n { a n } {\displaystyle \sup \limits _{n}\{a_{n}\}} であることを証明する。
{ a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が空でないことと仮定により、それは上に有界であるため、実数の最小上界性(英語版)から、 c = sup n { a n } {\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}} は存在し、有限である。今、すべての ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して a N > c − ε {\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon } であるような a N {\displaystyle a_{N}} が存在することが分かる。