中山の補題
中山の補題の次数付きバージョンもある。R を非負整数からなる半群で次数付けられた環とし、 R + {\displaystyle R_{+}} で次数が正の元で生成されたイデアルを表記する。このとき M が十分小さい i に対して M i = 0 {\displaystyle M_{i}=0} であるような R 上の次数加群(特に M が有限生成で R が負の次数の元を含まない)であって R + M = M {\displaystyle R_{+}M=M} であれば、 M = 0 {\displaystyle M=0} である。特に重要なのは R が普通の次数付けによる多項式環で M が有限生成加群の場合である。
証明は次数付きでない場合よりもはるかに簡単である。i を M i ≠ 0 {\displaystyle M_{i}\neq 0} であるような最小の整数ととれば、 M i {\displaystyle M_{i}} は R + M {\displaystyle R_{+}M} に現れないことがわかるので、 M ≠ R + M {\displaystyle M\neq R_{+}M} であるかまたは、そのような i は存在しないすなわち M = 0 {\displaystyle M=0} 。