森田同値
森田同値は次のように特徴付けられる。もし F : R-Mod → S-Mod と G : S-Mod → R-Mod が加法的(共変)関手ならば、F, G が森田同値を定める必要十分条件は、ある平衡 (S, R) 両側加群 P が存在して SP と PR が有限生成射影的生成素で、 さらに関手の自然同型 F(–) ≅ P ⊗R – と G(–) ≅ Hom(SP, –) が存在することである。有限生成射影的生成素はその加群の圏の射影生成素(英: progenerators)と呼ばれることもある。
左 R 加群の圏から左 S 加群の圏への直和と可換なすべての右完全関手 F に対して、Eilenberg-Wattsの定理よりある (S, R) 両側加群 E が存在して、関手 F(–) は関手 E ⊗R – と自然同型である。同値は完全で直和と可換なことが必要なので、このことは R と S が森田同値である必要十分条件はある両側加群 RMS と SNR が存在して、 (R, R) 両側加群としての同型 M ⊗S N ≅ R と (S, S) 両側加群としての同型 N ⊗R M ≅ S が成り立つことを示している。さらに N と M は (S, R) 両側加群としての同型 N ≅ Hom(MS, SS) によって関連づけられる。
同型な環は森田同値である。
任意の環 R と非負整数 n について R 成分の n 次正方行列から成る全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値である。これはアルティン‐ウェダーバーン理論によって与えられる単純アルティン環の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし M が左 R 加群ならば M は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって Mn(R) 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 R 加群の圏 R-Mod から左 Mn(R) 加群の圏 Mn(R)-Mod への関手を定める。