ルジャンドル定数
ここでBはルジャンドル定数である。ルジャンドルはBがおよそ1.08366であると推測したが、その正確な値にかかわらずBの存在は素数定理を暗に含む。
1849年にパフヌティ・チェビシェフがBに極限が存在するとき、Bは1に等しくなくてはならないことを証明した。より簡単な証明がPintzにより1980年に与えられている。
これは、誤差項の明示的推定を伴う正確な形式の下での、素数定理の直接的な帰結である。
π ( x ) = L i ( x ) + O ( x e − a ln  x ) as x → ∞ {\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }
(ある正の定数aの場合。ここでO(...) はランダウの記号である)。これは1899年にCharles de La Vallée PoussinによってBが実際に1に等しいことが証明された。(素数定理は1896年にジャック・アダマールとLa Vallée Poussinにより独立に証明されたが、関連する誤差項の推定はなかった。