多変数微分積分学
単一変数の微分積分学においては、微分積分学の基本定理が導関数と積分との間につながりを確立する。多変数の微積分における導関数と積分の間のつながりは以下に示すようなベクトル解析の積分定理によって具体化されている。
勾配定理(英語版)
ストークスの定理
発散定理
グリーンの定理.
より発展した多変数微分積分学では、この4つの定理はより一般的な定理、一般化されたストークスの定理の特別な場合であることがわかる。これは多様体上の微分形式の積分に適用される。
f {\displaystyle f} は x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} に関して対称的であるから、すべての f x {\displaystyle f_{x}} も同様に連続である。しかしながら、 f {\displaystyle f} そのものは連続ではない。なぜならば、もし f {\displaystyle f} が連続であれば、(自然数 n {\displaystyle n} に対する)数列 f ( 1 n , 1 n ) {\displaystyle f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)} は f ( 0 , 0 ) = 0 {\displaystyle f(0,0)=0} に収束するはずであるが、
lim n → ∞ f ( 1 n , 1 n ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1}
である。したがって、f は原点において連続でない。