コピュラ (統計学)
次の式で与えられる W は フレシェ-ヘフディング下界 (Fréchet-Hoeffding lower bound) と呼ばれる。
W ( u 1 , ... , u n ) = max { ∑ i = 1 n u i + 1 − n , 0 } {\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})=\max \left\{\sum _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,0\right\}}
任意のコピュラ C および任意の ( u 1 , ... , u n ) ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}} に対して W ( u 1 , ... , u n ) ≤ C ( u 1 , ... , u n ) {\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n})} が成り立つ。ただし、W は 2 次元以外の場合にはコピュラではない。
C ( u , v ) = exp  ( − [ ( − ln  u ) θ + ( − ln  v ) θ ] 1 / θ ) {\displaystyle C(u,v)=\exp \left(-\left[(-\ln u)^{\theta }+(-\ln v)^{\theta }\right]^{1/\theta }\right)} ( 1 ≤ θ {\displaystyle 1\leq \theta } )
で表されるアルキメデスコピュラはグンベル (Gumbel) コピュラまたはガンベルコピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは φ(t) = (- ln t) である。
θ = 1 のときは積コピュラとなる。