連続の方法
L 0 {\displaystyle L_{0}} が全射であれば、 L 1 {\displaystyle L_{1}} が同様に全射であることを示す。
区間 [0,1] を分割し、 ‖ L 0 − L 1 ‖ ≤ 1 / ( 3 C ) {\displaystyle \|L_{0}-L_{1}\|\leq 1/(3C)} であることを仮定し、さらに、 L 0 {\displaystyle L_{0}} は V が B に同型であることを意味するので、V はバナッハ空間である。仮定は、 L 1 ( B ) ⊆ V {\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V} が閉空間であることを意味する。 L 1 ( B ) ⊆ V {\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V} が固有な部分であると仮定する。ハーン-バナッハの定理により、 ‖ y ‖ V ≤ 1 {\displaystyle \|y\|_{V}\leq 1} であり、 d i s t ( y , L 1 ( B ) ) > 2 / 3 {\displaystyle \mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3} であるような点 y ∈ V {\displaystyle y\in V} が存在する。
ここである x ∈ B {\displaystyle x\in B} に対し y = L 0 ( x ) {\displaystyle y=L_{0}(x)} とし、仮定より x ∈ B {\displaystyle x\in B} であり | | x | | B ≤ C | | y | | V {\displaystyle ||x||_{B}\leq C||y||_{V}} であるので、
| | y − L 1 ( x ) | | V = | | ( L 0 − L 1 ) ( x ) | | V ≤ | | L 0 − L 1 | | | | x | | B ≤ 1 / 3 , {\displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,}
となる。これは、 L 1 ( x ) ∈ L 1 ( B ) {\displaystyle L_{1}(x)\in L_{1}(B)} であるので矛盾が起きる。