複素共役
数学において、複素共役(複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate)とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作(写像)のことである。複素数 z の共役複素数を記号で z で表す
複素数 z = a + bi(a, b は実数、i は虚数単位)の共役複素数 z は
z ̄ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i}
である。極形式表示した複素数 z = r(cos θ + i sin θ)(r ≥ 0, θ は実数)の共役複素数 z は、偏角を反数にした複素数である:
z ̄ = r { cos  ( − θ ) + i sin  ( − θ ) } {\displaystyle {\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}}
複素数の共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環同型である。
実係数多項式 f(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も f(x) の根である。すなわち、実数係数多項式 f(x) について
f ( α ) = 0 ⟺ f ( α ̄ ) = 0 {\displaystyle f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0}
が成り立つ(1746年、ダランベール)。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。
複素数 z = a + bi(a, b は実数、i は虚数単位)の複素共役とは、
z ̄ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i}
を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。
複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z に対して、次が成り立つ。
・ は全単射
z + w = z + w
zw = z w
さらに、複素共役は実数を保つ:
z が実数 ⇔ z = z
逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
(証明)
σ : C → C は環準同型写像で、 実数 r に対して σ(r) = r
を満たすとする。 (σ(i)) = σ(i) = σ(−1) = −1 (σ(i) + i)(σ(i) − i) = 0 ∴ σ(i) = ±i
ゆえに、複素数 z = x + yi(x, y は実数)に対して、 σ(z) = σ(x + yi) = σ(x) + σ(y)σ(i) = x + y σ(i) = x ± yi
σ(x + yi) = x + yi のとき、σ は恒等写像。
σ(x + yi) = x − yi のとき、σ は複素共役変換である。(証明終)