シンプレクティック幾何学
B 2 n ( r ) = { ( q , p ) ∈ R 2 n ∣ ∑ i ( q i 2 + p i 2 ) ≤ r } , Z 2 n ( R ) = { ( q , p ) ∈ R 2 n | p 1 2 + p 1 2 ≤ R } {\displaystyle {\begin{aligned}B^{2n}(r)&=\left\{(q,p)\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \sum _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})\leq r\right\},\\Z^{2n}(R)&=\{(q,p)\in \mathbb {R} ^{2n}\,|\,p_{1}^{2}+p_{1}^{2}\leq R\}\end{aligned}}} とし、それぞれに R 2 n {\displaystyle \,\mathbb {R} ^{2n}\,} の標準的なシンプレクティック構造 ω 0 = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega _{0}=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}} から誘導されるシンプレクティック構造を入れる。もし、 ( B 2 n ( r ) , ω 0 ) {\displaystyle \,(B^{2n}(r),\omega _{0})\,} から ( Z 2 n ( R ) , ω 0 ) {\displaystyle \,(Z^{2n}(R),\omega _{0})\,} へのシンプレクティック埋め込みが存在するならば、 r ≤ R {\displaystyle r\leq R} である。
このとき、 # { p ∈ M | φ ( p ) = p } ≥ min { # C r ( F ) | F ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle \,\#\{p\in M\,|\,\phi (p)=p\}\geq \min\{\#Cr(F)\,|\,F\in C^{\infty }(M)\}\,}
が成り立つ。
また、ハミルトン微分同相写像の固定点の個数に関する、ベッチ数評価やcup length評価版もある。この予想が提出されて以降、いくつかの部分解が証明されたが、本質的に進展したのはフレアーによってである。フレアーは、シンプレクティック多様体が単調 (monotone) であるときにアーノルド予想を解決した。ここで、シンプレクティック多様体 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} が単調であるとは、正数 τ > 0 {\displaystyle \tau >0} が存在して、 c 1 ( M ) | π 2 ( M ) = τ [ ω ] | π 2 ( M ) {\displaystyle \,c_{1}(M)|_{\pi _{2}(M)}=\tau [\omega ]|_{\pi _{2}(M)}\,} が成り立つことをいう。ここで、 c 1 ( M ) {\displaystyle \,c_{1}(M)\,} は第一チャーン類、 [ ω ] {\displaystyle [\omega ]} はシンプレクティック形式が定める2次のコホモロジー類である。フレアーは現在フレアーホモロジーと呼ばれるホモロジーを構成した。