状態方程式 (熱力学)
弾性体の状態を表す変数は、歪み ε と応力 σ である。体積や圧力と異なり、一般には2階のテンソルで表される。 状態方程式は
σ i j = σ i j ( ε , T ) {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ij}(\epsilon ,T)}
あるいは
ε k l = ε k l ( σ , T ) {\displaystyle \epsilon _{kl}=\epsilon _{kl}(\sigma ,T)}
の形で書かれる。
応力の歪みによる微分は
( ∂ σ i j ∂ ε k l ) T = E i j k l ( ε , T ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \epsilon _{kl}}}\right)_{T}=E_{ijkl}(\epsilon ,T)}
として、弾性率で表される。 歪みの応力による微分は
( ∂ ε k l ∂ σ i j ) T = K k l i j ( σ , T ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \epsilon _{kl}}{\partial \sigma _{ij}}}\right)_{T}=K_{klij}(\sigma ,T)}
d p = 1 κ T ( α d T + 1 V d V ) {\displaystyle dp={\frac {1}{\kappa _{T}}}\left(\alpha \,dT+{\frac {1}{V}}\,dV\right)}
となる。全微分の形から、圧力 p(T,V) の偏微分として
( ∂ p ∂ T ) V = α κ T {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {\alpha }{\kappa _{T}}}}
( ∂ p ∂ V ) T = 1 V κ T {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}={\frac {1}{V\kappa _{T}}}}
が得られる。