ボレル総和
ワトソンの定理は、関数がその漸近級数のボレル総和になる条件を与える。f が次の条件を満たす関数であると仮定する。
ある正の定数 R と ε が存在して、領域 |z| < R、|arg(z)| < π/2 + ε 上で f が正則となる。
ある定数 C が存在して、上述の領域の任意の点 z で
| f ( z ) − a 0 − a 1 z − ⋯ − a n − 1 z n − 1 | < C n + 1 n ! | z | n {\displaystyle \left\vert f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}\right\vert <C^{n+1}n!\left\vert z\right\vert ^{n}}
を満たす漸近展開 a0 + a1z + ... を持つ。
このとき、この領域で f は漸近級数のボレル和によって与えられるというのがワトソンの定理の主張である。より正確には、ボレル変換された級数が原点の近傍上で収束し、正の実軸に沿って解析接続可能であり、ボレル和(B)を定義する積分はこの領域で f(z) に収束する。
やや一般的には、f の漸近展開に対する誤差評価を n! から (kn)! に緩めても、領域の条件を |arg(z)| < kπ/2 + ε へ強めることで f(z) は決定できる。これは最良の評価であって、kπ/2 をより小さい数に置き換えた場合には反例が存在する。
ボレル総和は、場の量子論における摂動展開へ応用される。特に、2次元ユークリッド場の理論では、しばしばボレル総和法を利用することで摂動級数からシュウィンガー関数(英語版)を復元できることがある(Glimm & Jaffe 1987)。ボレル変換の特異点には、場の量子論におけるインスタントン(英語版)やリノーマロン(英語版)と関連するものもある(Weinberg 2005)。
となる。
ボレルと Phragmén の手による別の定義が用いられることもある(Sansone & Gerretsen 1960)。S を A が解析的となるような最大の星型領域とするとき、ΠA は任意の点 P ∈ ΠA に対してOP を直径とする円の内部がS に含まれるような、S の最大の部分集合となる。この集合 ΠA は多角形とは限らないので、「ポリゴン」と呼ぶことはいささか不適切ではあるが、しかし A(z) が特異点を有限個しか持たなければ ΠA は実際に多角形となる。ボレルと Phragmén による次の定理はボレル総和法に対する収束判定法を与える。
定理 (Hardy 1992, 8.8)
(B)の意味において、級数 A(z) は int(ΠA) 上総和可能であり、C ∖ ΠA 上発散する。
境界上の点 z ∈∂ ΠA での総和可能性については、その点における級数の性質に依存する。