閉値域の定理
R ( T ) = N ( T ′ ) ⊥ = { y ∈ Y | ⟨ x ∗ , y ⟩ = 0 ∀ x ∗ ∈ N ( T ′ ) } {\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall x^{*}\in N(T')\}}
R ( T ′ ) = N ( T ) ⊥ = { x ∗ ∈ X ′ | ⟨ x ∗ , y ⟩ = 0 ∀ y ∈ N ( T ) } . {\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall y\in N(T)\}.}
この定理には、いくつかの系(corollary)が存在することがただちに分かる。例えば、上述のような稠密に定義された閉作用素 T に対して R(T) = Y が成り立つことと、転置 T ′ {\displaystyle \scriptstyle {T'}} に連続な逆が存在することは同値である。同様に、 R ( T ′ ) = X ′ {\displaystyle \scriptstyle {R(T')=X'}} であることと、T に連続な逆が存在することは同値である。