多変数多項式
A-係数の多変数多項式環が一意分解環となるための必要十分条件は A がそうであることである。
このように一意分解性が遺伝することはネーター性の場合と異なっている。不定元の数が有限個であることは必要でない。他方、この函手性は剰余環構成では保たれないから、数体には(二次体でさえ)その整数環が一意分解環とならないものが存在する。
k を代数閉体とする。k-係数多項式 f(X1, ..., Xn) の零点集合は f(x1, ..., xn) = 0 を満たす k の点 (x1, ..., xn) 全体の成す集合を言う。k における代数的集合とは k[X1, ..., Xn] に属する多項式からなる族の零点集合の交わりを言う。多項式環 k[X1, ..., Xn] はネーターであるから、常に多項式の有限族に対して考えれば十分である。代数的集合は代数幾何学において基本的である。
1 ≤ i ≤ n とするとき、i-次の基本対称多項式 Si は i-次単項式 Xk1⋯Xki を 1≤ k1 < ⋯ < ki ≤ n なる範囲に亙って取った和を言う。例えば、最初は各不定元を一つずつとった和 S1 ≔ X1 + ⋯ + Xn であり、また、すべての不定元を一つずつ掛けた Sn ≔ X1⋯Xn が最後の基本対称多項式である。