強制法
Name(0) = {}; Name(α + 1) = (Name(α) × P)の冪集合の定義可能な部分集合; Name(λ) = ∪{Name(α) : α < λ} (ただし λ は極限順序数)
と定義して P-名前全体のクラスを
V = ∪{Name(α) : α は順序数}
と定義する。P-名前は宇宙の拡大の様子を表している。V の要素 x に対して
xˇ
はP-名前であり
{(yˇ,1) : y ∈ x}.
で定義する。これもやはり超限再帰による定義である。
P の部分集合 G に対して、解釈 とか 付値 というのは、名前に対する関数で
val(u, G) = {val(v, G) : ∃ p ∈ G , (v, p) ∈ u}.
と定義する(この定義も超限再帰による)。ここで、もし 1 が G の要素なら
val(xˇ, G) = x.
となる。
G = {(pˇ, p) : p ∈ G},
と定義すると、
val(G,G) = G.
となる。強制半順序の良い例が
(Bor(I) , ⊆ , I ),
である。ここで I = [0,1] であり、Bor(I) は Iのボレル部分集合で非零ルベーグ測度を持つもの全体である。この場合、半順序の条件は確からしさを表していると説明され、Bor(I)-名前は所属関係を確率的な意味で割り当てる。この例でも得られている確率的言語の考えは他の強制半順序でも使われる。
非自明で最も単純な強制半順序は ( Fin(ω,2) , ⊇ , 0 ) である。 これは ω から 2={0,1} への有限部分関数全体に包含関係の逆 順序を入れたものである。
すなわち、条件 p は有限個の自然数に"yes"(1)と"no"(0)を割り当てているが、 それ以外の数には"yes"と"no"は割り当てていない。q が p より強いというのを q ⊇ p としている。 q は p の割り当て情報を保ちながらより多くの情報をも与えており強いという表現に合致している。
G をこの半順序のジェネリックフィルターとする。p,q を G の要素とするとき、 フィルター性から p∪q は条件である。このことから g=⋃G は から ω から 2 へのwell-definedな部分関数である。G のいかなる2要素も共通の定義域では一致しているからである。
実際は g は全域関数である。 いかなる n ∈ ω に対しても Dn={ p : p(n) が定義されている } とすると Dn は稠密集合である(いかなる p に対しても、もし n が p の定義域に入っていなくても n に対する値を定義して付け加えるとその関数は Dn の要素となる)。条件 p ∈ G∩Dn はその定義域に n をもつから p ⊆ g であり、g(n) は定義されていることになる。
ジェネリック関数 g の"yes"な要素の集合を X=g[1] とする。 X に名前を直接与えることは可能である。X = { ( nˇ , p ) : p(n)=1 } とすれば val( X , G ) = X である。 今、A⊆ω を V の要素とする。