次数付き環
外積代数は反可換代数の例である。構造 (Z≥ 0, ε)、ただし ε: Z → Z/2Z は商写像、によって次数付けされている。
超可換代数(英語版)(歪可換結合環(skew-commutative associative ring)と呼ばれることもある)は、反可換 (Z/2Z, ε) -次数代数と同じものである。ただし ε は Z/2Z の加法的構造の恒等自己準同型である。
数学、特に抽象代数学において、次数付き環(じすうつきかん、英: graded ring; 次数付けられた環)あるいは次数環とは R i R j ⊂ R i + j {\displaystyle R_{i}R_{j}\subset R_{i+j}} を満たすアーベル群 R i {\displaystyle R_{i}} の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化(gradation)あるいは次数付け(grading)と呼ばれる。
次数(付き)加群(graded module)は同様に定義される(正確な定義は下を見よ)。これは次数付きベクトル空間の一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数(graded algebra)と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。
結合性は次数付き環の定義において重要でない(実は全く使われない)。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、次数付きリー環(英語版)を考えることができる。