フーリエ級数
このような不連続な関数まで表せることに興味を抱いたフーリエは、さらに三角級数を詳しく調べ、1822年に出版した著書『熱の解析的理論』の中で、全ての関数は三角級数で書けるということを主張した。
微分方程式の解の形として、三角級数を仮定するという方法は、フーリエ以前にもダニエル・ベルヌーイらによって行われていたが、三角級数という特別な形を仮定することによって得られる特殊な解と考えられていた。フーリエの主張は、三角級数は、そのような特別なものではなく、全ての関数が三角級数で表せると大きく出ている。
フーリエの議論は飛躍が多かったため、反論が相次ぎ、この主張は受け入れられなかった。しかし、フーリエの側にだけ非があるわけではなく、当時の数学が、このような関数列の収束性などを扱うには未熟で、フーリエの主張の真偽を判定することは難しかったことも関係している。この後、関数がフーリエ級数で表現できるための条件などを論じるために、実数、関数、収束、積分などの概念などの見直しが行われ、フーリエ級数論は19世紀数学における解析学の厳密化に大きな影響を与えることになった。
またフーリエ級数に始まるフーリエ解析の研究は、フーリエ変換などの手法を産み、画像処理やデータ圧縮、CT、MRIなど現代科学の基礎技術としても発展していった。