局所凸位相ベクトル空間
その集まり F は V あるいは他の任意の集まりの代数的双対である。この場合の半ノルムの族は、F 内のすべての f に対して pf(x) = |f(x)| で与えられる。
微分可能な函数の空間は、他のノルム化不可能な例を与える。a と b を多重指数としたとき、supx|xDf| < ∞ を満たすような滑らかな関数 f : R → C の空間を考える。pa,b(f) ≔ supx|xDf(x)| で定義される半ノルムの族は分離かつ可算であり、その空間は完備なので、距離化可能なフレシェ空間である。これはシュワルツ空間あるいは急減少函数の空間であり、その双対空間は緩増加超函数(英語版)の空間である。
函数解析学における一つの重要な函数空間として、U ⊆ R 内のコンパクトな台を持つ滑らかな函数の空間 D(U) が挙げられる。C ∞0 (U) は一様ノルムについて完備でないため、そのような空間の位相についてはより詳細な構成が必要となる。D(U) 上の位相は次のように定義される:任意の固定されたコンパクト集合 K ⊂ U に対し、台 supp(f) ⊂ K を持つ函数 f ∈ C ∞0 (U) の空間 C ∞0 (K) は、可算個の半ノルムの族 ‖ f ‖m ≔ supx|Df(x)| を伴うフレシェ空間である(そのような半ノルムは実際にはノルムであり、ノルム ‖ • ‖m を伴う空間 C ∞0 はバナッハ空間 D(K) である)。
V 内のある部分集合 C について、以下が成り立つ:
C が凸であるとは、C 内の任意の x, y と 0 ≤ t ≤ 1 に対して、tx + (1 – t)y が C 内に含まれることを言う。これを言い換えると、C はその内部の点の間のすべての線分を含むということになる。
C が circled であるとは、C 内の任意の x に対して、|λ| = 1 ならば λx が C 内に含まれることを言う。K = R であるなら、このことは C が原点を通るその鏡映と等しいことを意味する。K = C に対しては、このことは C 内の任意の x によって生成される一次元複素部分空間において、x を通る原点中心の円板を C が含むことを意味する。
C が(考えている体が順序付けられている場合に)錐であるとは、C 内の任意の x と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して、λx が C 内に含まれることを言う。
C が均衡であるとは、C 内の任意の x に対し、|λ| ≤ 1 であるなら λx が C 内に含まれることを言う。K = R であるなら、このことはもし x が C 内にあるなら、C は x と −x の間の線分を含むことを意味する。
その族が結びとして加法を伴う有向集合であるなら、言い換えるとすべての α および β に対して pα + pβ ≤ pγ を満たす γ が存在するなら、その族は半ノルムの有向族(directed family of seminorms)と呼ばれる。すべての半ノルムの族は、同一の位相を定義するという意味で同値な有向族を持つ。実際、与えられた族 {pα}α ∈ I に対して、I の有限部分集合からなる集合を Φ とすると、Φ 内のすべての F に対して
q F = ∑ α ∈ F p α . {\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}
が定義される。{qF}F ∈ Φ は同値な有向族であることが確かめられる。
空間の位相が単一の半ノルムによって導かれるなら、その空間は半ノルム化可能(seminormable)と言われる。有限の半ノルムの族を伴う任意の局所凸空間は半ノルム化可能である。さらに空間がハウスドルフ(族が分離される)なら、その空間は半ノルムの和によって与えられるノルムによってノルム化可能である。開集合に関して、局所凸位相ベクトル空間が半ノルム化可能であるための必要十分条件は、0 が有界な近傍を持つことである。