関数 (数学)
多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば
F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0}
のような式が与えられているとき、x と y は独立に別々の値をとることはできない。x に勝手な値を与えるならば、y は x の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 x と従属変数 y が対応付けられると考えるとき、方程式 F(x, y) = 0 は x の関数 y を陰 (implicit) に定めるといい、y を x の陰伏関数または陰関数 (implicit function) という。これに対して、y = f(x) と表されるような関数関係を、y は x の陽関数 (explicit function) である、あるいは y は x で陽 (explicit) に表されているなどと言い表す。
陰伏的な関数関係が F(x, y) = 0 によって与えられていて、陽な関数関係 y = f(x) が適当な集合 D を定義域として F(x, f(x)) = 0 を満たすなら、この陽関数 y = f(x) は D 上で関係式 F(x, y) = 0 から陰伏的に得られるという。
有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。例えば A := { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A:=\{1,2,3\}} のとき函数 f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } を f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 3 , f ( 3 ) = 4 {\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4} として与えることができる。