多角形
初等幾何学における多辺形(たへんけい、英: polylateral)または多角形(たかっけい、英: polygon; [ˈpɒlɪɡɒn])は、閉折れ線(英語版)あるいは閉曲線を成す、線分の閉じた有限鎖で囲まれた平面図形を言う。多角形を構成するこれら線分をその多角形の辺 (edge, side) と呼び、それらの二つの辺が交わる点をその多角形の頂点 (vertex, corner) と呼ぶ。n 個の辺を持つ多角形は n-角形 (n-gon) あるいは n-辺形 (n-lateral) と呼ぶ。例えば三角形は三辺形である。多角形は、より一般の任意次元における超多面体の二次元の例になっている。
多角形に関する基本的な幾何学的概念は特定の目的に応じて様々な方法で適用されてきた。数学においてはしばしば有界な閉折れ線や自己交叉を持たない単純多角形に限って問題にするため、そのようなもののみ多角形と呼ぶこともある。他方、多角形の境界が自分自身と交わることを許す流儀もあり、その場合星型多角形やその他の自己交叉多角形(英語版)が形作られる。
辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し合同関係が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は合同である。
P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った辺の順に、その長さをそれぞれ (l1,l2,...,ln) , (l'1,l'2,...,l'n) とすれば、l1 = l'1 , l2 = l'2 , ... , ln = l'n が成り立つ。
P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った頂点の順に、その対応する角の大きさをそれぞれ (θ1,θ2,...,θn) , (θ'1,θ'2,...,θ'n) とすれば、θ1 = θ'1 , θ2 = θ'2 , ... , θn = θ'n が成り立つ。
また、辺の数に関係なく、二つの多角形の面積が等しければ、適当に分割することによって、二つの多角形を合同にすることができる。(ボヤイの定理)
多角形の面積は、頂点の位置ベクトルから外積を用いて計算することができる。 多角形の頂点を反時計回りに並べて、それらの位置ベクトルを p → 1 , ... , p → n {\displaystyle {\vec {p}}_{1},\dots ,{\vec {p}}_{n}} とすると、その面積は
1 2 ∑ k = 1 n p → k × p → k + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\vec {p}}_{k}\times {\vec {p}}_{k+1}}
という式になる。ただし、 p → n + 1 = p → 1 {\displaystyle {\vec {p}}_{n+1}={\vec {p}}_{1}} とする。
この式を使うと凹多角形でも問題なく計算できるが、自己交差を持つなどの特殊な場合には適用できないので注意が必要である。 ちなみに、時計回りの時は負になるだけなので、どちら回りかよく分からないときには全体の絶対値をとればよい。