ブレイド群
{\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}
準同型 Bn → Sn の核は、Bn の部分群であり、n 本の糸の純粋ブレイド群と呼ばれ、Pn と書く。純粋ブレイドは、各々の糸の起点と終点が同様の位置にある。純粋ブレイド群は、短完全系列に適合する。
1 → F n − 1 → P n → P n − 1 → 1. {\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}
この系列は分裂し、従って純粋ブレイド群は自由群の半直積を繰り返し取ることとして実現される。