線積分
ただし C の媒介変数表示 z(t) は r(t) と同じ向きを持つようにとる。同じことだが、微分形式として見れば f(z)dz は
f ( z ) d z = ( u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y ) + i ( v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y ) {\displaystyle f(z)\,\mathrm {d} z={\bigl (}u(x,y)\,\mathrm {d} x-v(x,y)\,\mathrm {d} y{\bigr )}+i{\bigl (}v(x,y)\,\mathrm {d} x+u(x,y)\,\mathrm {d} y{\bigr )}}
と書くことができて、これと共軛複素積分
f ( z ) d z ̄ ( = f ( z ) ̄ d z ) = ( u ( x , y ) d x + v ( x , y ) d y ) + i ( v ( x , y ) d x − u ( x , y ) d y ) {\displaystyle f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}}\,(={\overline {f(z)}}\,\mathrm {d} z)={\bigl (}u(x,y)\,\mathrm {d} x+v(x,y)\,\mathrm {d} y{\bigr )}+i{\bigl (}v(x,y)\,\mathrm {d} x-u(x,y)\,\mathrm {d} y{\bigr )}}
複素平面 C を実 2 次の空間 R と見なせば、二次元ベクトル場の線積分は、対応する複素函数の共軛の線積分の実部に対応する。すなわち、x, y 軸方向の単位ベクトル j, k を用いて、r(t) = x(t)j + y(t)k および f(z) = u(z) + iv(z) と置くと
∫ C f ( z ) ̄ d z = ∫ C ( u − i v ) d z = ∫ C ( u j + v k ) ⋅ d r − i ∫ C ( v j − u k ) ⋅ d r {\displaystyle \int _{C}{\overline {f(z)}}\,\mathrm {d} z=\int _{C}(u-iv)\,\mathrm {d} z=\int _{C}(u{\boldsymbol {j}}+v{\boldsymbol {k}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}-i\int _{C}(v{\boldsymbol {j}}-u{\boldsymbol {k}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}
なる関係式が、右辺の 2 つの積分がともに存在することから言える。
ベクトル場 F が何らかのスカラー場 G の勾配として
∇ G = F {\displaystyle \nabla G={\boldsymbol {F}}}
と書けるとき、G と r(t) との合成の導函数
d G ( r ( t ) ) d t = ∇ G ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,G{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}}{\mathrm {d} t}}=\nabla G{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}\cdot {\boldsymbol {r}}'(t)={\boldsymbol {F}}{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}\cdot {\boldsymbol {r}}'(t)}
は、F の r(t) 上の線積分の被積分函数である。従って、積分路 C を与えれば