量子コホモロジー
0 ∈ H の近傍 U が存在して、 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } とドゥブロビン接続が U にフロベニウス多様体の構造を与える。U の中の任意の a は、公式
⟨ x ∗ a y , z ⟩ := ∑ n ∑ A 1 n ! G W 0 , n + 3 X , A ( x , y , z , a , ... , a ) . {\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}
により、量子カップ積
∗ a : H ⊗ H → H {\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H}
を定義する。
まとめると、H 上のこれらの積は、大きな量子コホモロジーと呼ばれる。種数 0 のグロモフ・ウィッテン不変量の全ては、これから再現可能であり、より単純な小さな量子コホモロジーからは再現可能であるとは限らない。
小さな量子コホモロジーは、3点グロモフ・ウィッテン不変量の情報のみしか持たないが、大きな量子コホモロジーはすべての(n ≧ 4) n-グロモフ・ウィッテン不変量を取り込む。多様体の数え上げ幾何学の情報を得るには、大きな量子コホモロジーが必要である。小さな量子コホモロジーは、物理学でいう 3-点相関函数に対応するが、大きな量子コホモロジーはすべての n-点相関函数に対応するともいうことができる。