有理化
N ( α ) = α α ̄ = ( a + b − 1 ) ( a − b − 1 ) = a 2 + b 2 {\displaystyle N(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=(a+b{\sqrt {-1}})(a-b{\sqrt {-1}})=a^{2}+b^{2}}
は R {\displaystyle \mathbb {R} } に属する。したがってたとえば、
1 2 + − 1 = 1 ( 2 − − 1 ) ( 2 + − 1 ) ( 2 − − 1 ) = 2 − − 1 4 + 1 = 2 − − 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {-1}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {-1}})}{(2+{\sqrt {-1}})(2-{\sqrt {-1}})}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{4+1}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{5}}}
などの変形が可能である。このような変形を(分母の)実数化ということがある。
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば
1 2 + 3 = 1 ( 2 − 3 ) ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) = 2 − 3 4 − 3 = 2 − 3 {\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {3}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4-3}}={2-{\sqrt {3}}}}
などがあげられる。
抽象代数学的にはこの例は、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } を有理数体、 d ∈ Q {\displaystyle d\in \mathbb {Q} } が有理数の平方ではないとしたとき
Q ( d ) = { a + b d a ′ + b ′ d | a , a ′ , b , b ′ ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\left\{{\frac {a+b{\sqrt {d}}}{a'+b'{\sqrt {d}}}}\,{\Big |}\,a,a',b,b'\in \mathbb {Q} \right\}}
という Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の二次拡大体を考えると、
Q ( d ) = Q [ d ] ( = { a + b d ∣ a , b ∈ Q } ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}](=\{a+b{\sqrt {d}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \})}