発散定理
発散定理を電磁気学に応用して、電荷から湧き出す電場についてのガウスの法則を数学的に記述できる(⇒マクスウェルの方程式)。
∮ S E ⋅ d S = Q ε 0 = 1 ε 0 ∫ V ρ d V {\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V} 積分形表現
div  E = ρ ε 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}} 微分形表現(静電場のガウスの発散定理)
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R で定義された滑らかなベクトル場 F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},F_{3})} に対して F の発散 div F を
div  F := ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}:={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}}
と定義する。発散は∇(ナブラ;nabla)を用いると,
div  F = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {F}}}
と表され,ベクトルの内積(ドット積)となる.