射 (圏論)
全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う。 射 f が右逆射 (right inverse) を持つとは、射 g: Y → X で f ∘ g = idY を満たすものが存在するときに言う。右逆射 g は f の切断あるいは断面 (section) とも言う。右逆射をもつ射は必ず全射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たず、右逆射を持たない全射が存在する。 分裂全射 (split epimorphism) は右逆元を持つ全射を言う。単射 f が左逆射 g に関して分裂するとき、g は右逆元 f を持つ分裂全射である。 具体圏において、右逆射をもつ写像は集合論的全射(全写)すなわち上への写像である。即ち、具体圏において圏論的全射は殆ど常に集合論的全射である。注意すべきは、上への写像であるという条件は全型であるという条件よりは強いが、分裂全射であるという条件よりは弱いことである。集合の圏 Set において任意の(集合論的)全射が切断を持つという事実は選択公理と同値である。
単射でも全射でもあるような射は全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
射の合成はしばしば可換図式として表される。例えば
射は二つの公理を満足する:
恒等律: 任意の対象 X に対して。X 上の恒等射と呼ばれる射 idX: X → X が存在して、任意の射 f: A → B に対して idB ∘ f = f = f ∘ idA が成立する。
結合律: h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が演算の定義される限りにおいて成り立つ。
具体圏 C においては、恒等射はまさに恒等写像であり、合成はまさに通常の写像の合成である。この場合、結合律は写像の合成が結合的であることから満たされる。
本当は終域と始域は射を決定する情報の一部であることに注意すべきである。例えば、集合の圏において、射は写像であるが、順序対全体の成す集合(つまりグラフ)としては一致するが終域の異なる二つの写像というのは、圏論的に見れば相異なる。そこで射の類 hom(X, Y) は X, Y が異なれば交わりを持たないと仮定する文献もある。実用上はこれはあまり問題ではなく、この仮定が満たされない場合には射にその始域と終域とを(順序三つ組の第二、第三成分として)追加してやれば回避することができる。