九点円
三角形上の6個の点(上述の点のうち辺上にあるもの)を通る円の存在をオイラーが1765年に証明していたともいわれる。
九点円が三角形上の6個の点に加えて残りの3点を通ることは、フランスのジャン=ヴィクトル・ポンスレとシャルル・ブリアンション(英語版)によって1821年に証明された。その翌年の1822年に、ドイツのカール・フォイエルバッハが同じ円が三角形の内接円と傍接円に接することも含めてモノグラフで証明を発表した。さらにその後の1842年に、フランスのオルリー・テルケム(英語版)がフォイエルバッハの定理の解析的な証明を与え、この円を九点円(仏: le cercle des neuf points、英: nine point circle)と命名した。この円は六点円とも呼ばれていたが、現在六点円は三角形上の別の円を指す名称となっている。
右図で四角形ELMGを作る。中点連結定理より、EG, LM, BCは平行となり、EL, AI, GMも平行となる。AI, BCは垂直となる。以上より、四角形ELMGは長方形で、その4つの頂点は同一円周Γ上にある。したがって、この長方形ELMGの対角線EM, LGは、円Γの直径となる。角LJGは90 ゚だから、JはLGを直径とする円Γ上にあることが分かる。同様にHもEMを直径とする円Γ上にある。
次に、四角形KLFGについて同様に議論すると、四角形KLFGは長方形となる。したがって、その4つの頂点は同一円周Γ'上にあり、IはKFを直径とする円Γ'上に, JもLGを直径とする円Γ'上にあることが分かる。
しかし、LGを直径とする円は一つしかないので、上記の二つの円Γ, Γ'は一致する。
以上より、9点が同一円周Γ上にあることが分かる。