リーマン・ロッホの定理
因子とは、曲面 X 上の点を基底とする自由アーベル群 Div(X) の元、つまり、曲面上の点に関する整数係数の形式的な有限和である。因子 D の係数がすべて非負であるものは有効因子と呼ばれ、D ≥ 0 と表される。
閉リーマン面 X 上の有理型関数 f ≠ 0 に対し、因子 (f) を次で定める。
( f ) := ∑ z ∈ R ( f ) s z z {\displaystyle (f):=\sum _{z\in R(f)}s_{z}z}
ここで台 R(f) は f のすべての零点と極からなる集合で、係数 sz は
s z := a {\displaystyle s_{z}:=a} ( z が位数 a の零点のとき)
s z := − a {\displaystyle s_{z}:=-a} ( z が位数 a の極のとき)
で与えられる。 この台 R(f) は有限集合であることが知られている;これは X がコンパクトであることと、(ゼロでない)正則関数の零点集合は集積点を持たないという事実(一致の定理)の結果である。したがって (f) はwell-definedである。この形の因子を主因子と呼ぶ。また主因子の分だけ異なる因子は線型同値であるという。
また、因子 D の次数、つまり、D のすべての係数の和を deg(D) で表す。
次はトーラス C/Λ のような閉リーマン面の種数が g = 1 の場合である。ここで、Λ は2-次元の格子(群としては、 Z に同型)である。その種数は1であり、1次特異ホモロジー群は、右の図に示した2つのループにより自由に生成された群である。C 上の標準的な座標 z は、いたるところ正則(つまり、極を持たない)な X 上の1-形式 ω = dz を与える。したがって、標準因子 K は (ω) であり、ゼロである。
曲面上で、数列 l(nP) は、
1, 1, 2, 3, 4, 5 ...
であり、これは種数 g = 1 を特徴付ける。実際、因子 D = 0 に対し、上で述べたように、l(K − D) = l(0) = 1 となる。n > 0 である D = nP に対して、K − D の次数は、負の値であるので、補正項は 0 である。次元の列は、楕円関数論から導くこともできる。