有界変動函数
Ω を R の開集合とする。可積分函数 u ∈ L(Ω) が有界変動、すなわち u ∈ BV(Ω) であるとは、有限(英語版)ベクトル値ラドン測度 Du ∈ M(Ω, R) が存在して、以下の等式 ∫ Ω u ( x ) div  φ ( x ) d x = − ∫ Ω ⟨ φ , D u ( x ) ⟩ ( ∀ φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) {\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \quad (\forall \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})} を満たすときに言う。
つまり、u は積分により Ω に含まれるコンパクト台を持つ連続的微分可能ベクトル値函数の空間 C 1c (Ω, R) 上の線型汎函数を定めるが、したがってベクトル測度 Du はシュヴァルツ超函数としての u の微分あるいは弱勾配である。
全変動による同値な定義もできる: