バラエティ (普遍代数学)
この文脈におけるシグネチャは演算と呼ばれる要素を備えた集合であり、各要素はアリティと呼ばれる自然数を割り当てられている。あるシグネチャ σ {\displaystyle \sigma } と集合 V {\displaystyle V} ( V {\displaystyle V} の要素を 変数と呼ぶ) を与えられた時、語とは有限の平面上の根付き木であり、各節は変数か演算でラベル付けされており、変数でラベル付けされた各節は分岐がなく根ではなく、演算 o {\displaystyle o} でラベル付けされた各節は定められたアリティの数だけ分岐を持つ。等式則とはそのような語の組のことを指し、 v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} の組からなる公理を v = w {\displaystyle v=w} と書く。
理論とはシグネチャと、変数の集合と、等式則の集合である。どの理論も続いて示すような代数のバラエティを備えている。任意の理論 T {\displaystyle T} について、 T {\displaystyle T} の代数とは集合 A {\displaystyle A} と T {\displaystyle T} 上で作用する各演算 o {\displaystyle o} に対するアリティ n {\displaystyle n} 、関数 o A : A n → A {\displaystyle o_{A}:A^{n}\to A} (.