平面波
簡単のため、F (x, y ) が、標準正方格子を周期格子とする場合の平面波展開を、1変数のフーリエ級数に帰着することを考える。
以下の定理が成り立つ:
定理 (一番簡単な場合の平面波展開) ― F(x , y) が、周期 E1 , E2 を持つL 関数であるとき、
F ( x , y ) = ∑ ( n , m ) ∈ Z 2 c n , m exp  ( 2 π i ( n x + m y ) ) {\displaystyle F(x,y)={\sum }_{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}{c}_{n,m}\exp(2\pi i(nx+my))}
が成立する。但し、E1 , E2 は、それぞれ、2次単位行列の第一列、第二列である。即ち、E1 , E2 は、R の標準基底とする。
尚、周期性の定義等、用語の定義を知らずとも、計算の流れのみから本ケースの証明は理解が可能であると思われるため、定義などは後回しにする(一般の場合を考える際に、再定義する)。又、1変数のフーリエ級数についての諸議論は既知とする。以下、3つのステップに分け証明を行う。