有効ポテンシャル
質量mの粒子が質量Mのもっと重い物体の周りを回っていると考える。古典力学、非相対論的ニュートン力学を仮定する。エネルギーと角運動量の保存は、2つの定数 E と L を与え、その値は、
であり、大きい方の物体の質量の運動が無視できる場合である。ここで、
r ̇ {\displaystyle {\dot {r}}} は、r の時間微分、
φ ̇ {\displaystyle {\dot {\phi }}} は、m の角速度、
G は重力定数、
E は全エネルギー、
L は角運動量
である。この運動は平面上で起こるので、必要な変数は2つだけである。2番目の式を1番目の式に代入し、並べ替えると次のようになる。
ここで、
が有効ポテンシャルである。元の2変数問題は、1変数問題に還元された。例えば、有効ポテンシャルを用いたエネルギー線図から、転回点、安定・不安定平衡の位置などを求めることができます。同様の方法は、例えば一般相対論的なシュワルツシルト計量における軌道の決定など、他の用途でも使われることがある。
有効ポテンシャルは、Gauss-core potential (Likos 2002, Baeurle 2004) や Screened Coulomb potential (Likos 2001) など、様々な物性分野で広く用いられている。