コーシーの積分定理
特に冒頭の条件である、CがD 内のある有界領域の境界であって互いに交わらない有限個の区分的に滑らかなJordan閉曲線からなるとき、C はD 内で 0 にホモローグである。
またCが単に区分的に滑らかな閉曲線であるとき、可縮(0にホモトピー同値)ならばC は1チェインとしてD 内で 0にホモローグである(注:逆は不成立)から、系として次が得られる。
系:ホモトピー型のコーシーの定理
D を領域とし、f(z) は D 上で正則である複素関数とする。D 内の区分的に滑らかな閉曲線CがD 内で可縮(0にホモトピー同値)であるとき、
∮ C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z\ =0}
特にD が単連結なら任意の区分的に滑らかな閉曲線Cに対して上の仮定が満たされることは明らかである。
この定理の証明は導関数が連続という仮定下ではグリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式を用いるとよい。 証明は複素積分の定義から導くことができる。
∮ C f ( z ) d z = ∮ C [ u ( x , y ) + i v ( x , y ) ] ( d x + i d y ) = ∮ C ( u d x − v d y ) + i ∮ C ( u d y + v d x ) = − ∫∫ D ( ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ) d x d y + i ∫∫ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}f(z)\mathrm {d} z&=\oint _{C}[u(x,y)+iv(x,y)](\mathrm {d} x+i\mathrm {d} y)\\&=\oint _{C}(u\mathrm {d} x-v\mathrm {d} y)+i\oint _{C}(u\mathrm {d} y+v\mathrm {d} x)\\&=-\iint _{D}{\biggl (}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\mathrm {d} y+i\iint _{D}{\biggl (}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\end{aligned}}}