行列の平方根
可逆行列 A に対して、ユニタリ行列 U および正定値行列 P が一意に存在して A = UP と書ける。これを A の極分解と呼ぶ。この正定値行列 P は正定値行列 A*A の主平方根であり、U は U = AP で求まる。
A が可逆でないときでも、適当な方法で P が定まれば(それは一意であり)極分解が定義される。極分解におけるユニタリ作用素 U は一意ではないが、以下のようにして「自然な」ユニタリ行列は求められる: AP は A の値域からそれ自身への作用素であり、これは A* の核上自明に延長してユニタリ作用素 U にできるから、この U を極分解に用いればよい。
「対角化」の方法でも「ジョルダン分解」の方法でも、すべての固有値を算出することが必要となるが、それは行列の特性方程式(あるいは最小方程式)のすべての解を求めることと同じであり、行列の次数が大きくなれば非現実的となる。このため、現実的な平方根の求め方が必要となる。