代数多様体の特異点
によって定義されることである。したがって、この項が0であれば、接線は通常の方法では定義できない。接線はそもそも存在しない、あるいは、特別な定義をしなければならない。
一般に超曲面
F(x, y, z, ...) = 0
に対して特異点 (singular point) はすべての偏微分が同時に消えるような点である。いくつかの多項式の共通零点として定義される一般の代数多様体 V に対しては、V の点 P が特異点であるとは多項式の一次の偏微分のヤコビ行列が P において多様体の他の点の行列のランクよりも低いランクをもつということである。
特異でない V の点を非特異 (non-singular) あるいは正則 (regular) という。たいていの点は非特異であるということは次のような意味で常に正しい。非特異点全体は空でない開集合をなす。
(実係数の多項式で定義された多様体の実座標の点の集合である)実多様体の場合には、多様体 (variety) はすべての正則点の近くで多様体 (manifold) である。しかし実多様体 (variety) は多様体 (manifold) であり特異点をもつかもしれないことを注意することは重要である。例えば方程式 y 3 + 2 x 2 y − x 4 = 0 {\displaystyle y^{3}+2x^{2}y-x^{4}=0} は実解析的多様体(英語版)を定義するが原点に特異点をもつ。これは次のように言うことで説明できる。曲線は原点において実分枝を切る2つの複素共役な分岐をもつ。