ゲルファント＝ナイマルクの定理
A を乗法における単位元を持つ可換なC*環とする。このとき、A はあるコンパクト・ハウスドルフ空間 X 上の複素数値連続関数のなす関数環 C(X) と等距離∗同型である。A が単位元を持たない場合には、Aはある局所コンパクト・ハウスドルフ空間 X 上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数環 C0(X) 上と等距離∗同型となる。
定理の証明の本質的部分は、可換な単位的C*環 A 上の指標全体がなす空間 A ^ {\displaystyle \textstyle {\hat {A}}} がコンパクト・ハウスドルフ空間であり、A から C ( A ^ ) {\displaystyle \textstyle C({\hat {A}})} へのゲルファント変換 a ↦ a ^ {\displaystyle a\mapsto {\hat {a}}} と呼ばれる写像が等距離∗同型を与えることによる。ここで指標 φ とは、A から複素数体 C への恒等的にゼロではない線形汎関数で、準同型性 φ(ab) = φ(a)φ(b) を満たすものである。