ハミルトン–ヤコビ方程式
ハミルトン–ヤコビ方程式はハミルトンの主関数 (英: Hamilton's principal function) S ( q 1 , ... , q N ; t ) {\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N};t)} に対する、一階の非線形偏微分方程式として以下のように表される。
H ( q 1 , ... , q N ; ∂ S ∂ q 1 , ... , ∂ S ∂ q N ; t ) + ∂ S ∂ t = 0. {\displaystyle H\left(q_{1},\dots ,q_{N};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{N}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}
後の節で示すように、この方程式はハミルトン力学において、 S {\displaystyle S} を古典的なハミルトニアン H ( q 1 , ... , q N ; p 1 , ... , p N ; t ) {\displaystyle H(q_{1},\dots ,q_{N};p_{1},\dots ,p_{N};t)} の正準変換の母関数と見なすことにより導かれる。共役な運動量には一般化座標による S {\displaystyle S} の一階の微分