分裂補題
それは部分的には正しい。群の短完全列が左分裂あるいは直和であれば(条件1または3)、条件のすべてが成り立つ。直和に対してはこれは明らかである。直和成分から入射あるいはそれへ射影できるからだ。左分裂列に対しては、写像 t × r : B → A × C {\displaystyle t\times r\colon B\to A\times C} が同型を与えるので、B は直和(条件3)であり、したがって同型を逆にして自然な入射 C → A × C {\displaystyle C\to A\times C} と合成すれば r を分裂させる入射 C → B {\displaystyle C\to B} を得る(条件2)。
しかしながら、群の短完全列が右分裂であっても(条件2)、左分裂あるいは直和である必要はない(条件1も3も従わない)。問題は右分裂の像が正規である必要はないことだ。この場合に正しいのは、B は、一般には直積ではないが、半直積ではあるということである。
写像 u: C → B が存在して ru は C 上恒等写像である。