順序集合
区間 [-1,1] 上の overlapping interval topology とは
[ − 1 , a ) {\displaystyle [-1,a)} for 0 < a {\displaystyle 0<a}
( b , 1 ] {\displaystyle (b,1]} for b < 0 {\displaystyle b<0}
を準開基とする位相である。
正整数全体の成す集合を整除関係で順序付けるとき、1 は任意の正整数を割り切るという意味において 1 は最小元である。しかしこの半順序集合には最大元は存在しない(任意の正整数の倍数としての 0 を追加して考えたとするならば、それが最大元になる)。この半順序集合には極大元も存在しない。実際、任意の元 g はそれとは異なる。例えば 2g を割り切るから g は極大ではありえない。この半順序集合から最小元である 1 を除いて、順序はそのまま整除関係によって入れるならば、最小元は無くなるが、極小元として任意の素数をとることができる。この半順序に関して 60 は部分集合 {2, 3, 5, 10} の上界(上限ではない)を与えるが、1 は除かれているので下界は持たない。他方、2 の冪全体の成す部分集合に対して 2 はその下界(これは下限でもある)を与えるが、上界は存在しない。
(なお、P がT0空間であればspecialization preorder は半順序であることが知られている。)
以上の対応関係により、集合P におけるアレクサンドロフ空間としての構造とP 上の前順序は1対1対応する。
specialization preorderはアレクサンドロフ空間でなくとも定義可能であるが、アレクサンドロフ空間でない位相空間上ではspecialization preorderに対して上方集合でない開集合も存在する。(なおこの場合でも開集合は常に上方集合である)。したがって前述したような、上方集合を開集合とする位相を考えても元の位相は復元できない。
実数体における例
実数体(に通常の順序をいれたもの)を前順序集合と見なすことで実数体にアレクサンドロフ位相を入れることができる。アレクサンドロフ位相における実数体上の開集合(すなわち上方集合)は以下のもののいずれかになる:
( a , ∞ ) {\displaystyle (a,\infty )} for some a
[ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} for some a
空集合 ∅ {\displaystyle \emptyset } 、全体集合 R {\displaystyle \mathbb {R} }
上で述べた順序関係「≤」は直観的には左辺が右辺「よりも小さい、もしくは等しい」ことを意味しているが、逆に左辺が右辺「よりも大きい、もしくは等しい」順序関係や等しいことを許容しない順序関係を考えることもできる。