ヤコビの二平方定理
F ( 1 4 ) = 2 π ( ∑ n = − ∞ ∞ q 2 n 2 ) 2 = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ q 2 ( n 2 + m 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2n^{2}}\right)^{2}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}\end{aligned}}}
となる。一方、
θ 2 ( v ) = θ 1 ( 1 2 − v ) θ 2 ′ ( v ) = θ 1 ′ ( 1 2 − v ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{2}\left(v\right)=\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\&\vartheta _{2}'\left(v\right)=\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\\end{aligned}}}
であるから