ベッチ数
P X ( z ) = b 0 ( X ) + b 1 ( X ) z + b 2 ( X ) z 2 + ⋯ , {\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}
である。キネットの定理(英語版)(Künneth theorem)を参照。
X を向き付け可能な閉多様体で n 次元とすると、任意の k に対し k と n − k を入れ替えるポアンカレ双対性
b k ( X ) = b n − k ( X ) , {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),\,\!}
がある。
ホモロジー群が捩れを持たないとき、ベッチ数は係数体 F によらず決まる。素数 p に対し整数係数ホモロジー群の p-torsion は標数 p をもつ係数体 F のベッチ数 bi(X,F) を用いて(単純な場合には、Tor函手を基礎とする)普遍係数定理により詳細に求められる。
位相的グラフ理論(英語版)では、頂点 n 個、m 本の辺、k 個の連結成分をもったグラフ G の 1次ベッチ数は、m − n + k に等しい。
このことは、辺の数についての数学的帰納法により直接証明ができる。つまり、新しい辺 1-サイクル分の数を増やすが、もしくは辺の連結成分の数を一つ減らすかのどちらかである。
第一ベッチ数は、グスタフ・キルヒホフ(Gustav Kirchhoff)がベッチ(Betti)の論文以前に導入した用語であるサイクロマチック数(英語版)(cyclomatic number)とも呼ばれる。第一ベッチ数のソフトウェア工学への応用は、循環的複雑度を参照のこと。
グラフの第 0 番めのベッチ数は、連結成分の数 k を単純に意味している。