部分積分
リーマン=スティルチェス積分(またはスティルチェス積分)とは、スティルチェスによるリーマン積分の拡張である。
リーマン=スティルチェス積分に関しても、被積分関数 f {\textstyle f} および積分関数 g {\textstyle g} に対して部分積分公式が
∫ a b f d g = f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) − ∫ a b g d f {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g\,df}
なる形で成り立つ。
また、リーマン=スティルチェス積分および(狭義の)ルベーグ積分の一般化であるルベーグ=スティルチェス積分(またはルベーグ=ラドン積分)に対しても、以下の形で部分積分公式が定式化される。
2つの有界変動関数 U, V に対して U または V のいずれかが連続、若しくは U および V がともに正常(英: regular)となるような点では、
∫ a b U d V + ∫ a b V d U = U ( b + ) V ( b + ) − U ( a − ) V ( a − ) , ( a < b ) {\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\quad (a<b)}
が成立する。
詳細はリーマン=スティルチェス積分およびルベーグ=スティルチェス積分を参照。
特に、 k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} ならばフーリエ変換は積分可能である。
証明にはフーリエ変換の定義から直ちに得られる次の関係を用いる。
| F f ( ξ ) | ≤ ∫ − ∞ ∞ | f ( y ) | d y {\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy}
節の冒頭で述べたのと同様の考え方により、次の結果が得られる。
| ( 2 π i ξ ) k F f ( ξ ) | ≤ ∫ − ∞ ∞ | f ( k ) ( y ) | d y {\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy}
この2つの不等式を片々加えて 1 + | 2 π ξ | k {\textstyle 1+|2\pi \xi |^{k}} で除することにより上記の結果が得られる。
これらを組み合わせて、
∫ e x cos  x d x = e x cos  x + e x sin  x − ∫ e x cos  x d x {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx}
同じ積分項が等式の両辺に出現しているので
2 ∫ e x cos  x d x = e x ( sin  x + cos  x ) + C {\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)+C\!}
と変形出来て、
∫ e x cos  x d x = 1 2 e x ( sin  x + cos  x ) + C ′ {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\ {\frac {1}{2}}e^{x}(\sin x+\cos x)+C'\!}
となる。ただし、 C {\textstyle C} と C ′ = C 2 {\textstyle C'={\frac {C}{2}}} は積分定数である。
∫ sec 3  x d x {\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx} のような積分も同様の方法を使って計算出来る。