リー環の拡大
前の節で 2-コサイクル φ の構成において用いられた導分 d0 は中心拡大された多項式ループ代数,カッツ・ムーディ代数を実現するためここでは g と書く,上の導分 D に拡張できる(背景).単純に
D ( P ( λ ) ⊗ G + μ C ) = λ d P ( λ ) d λ ⊗ G ) {\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G)}
とおく,次に,ベクトル空間として
e = C d + g {\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}}
と定義する.e 上のリーブラケットは,導分との標準的な構成によれば,基底上次で与えられる:
[ λ m ⊗ G 1 + μ C + ν D , λ n ⊗ G 2 + μ ′ C + ν ′ D ] = λ m + n ⊗ [ G 1 , G 2 ] + m δ m + n , 0 K ( G 1 , G 2 ) C + ν D ( λ n ⊗ G 1 ) − ν ′ D ( λ m ⊗ G 2 ) = λ m + n ⊗ [ G 1 , G 2 ] + m δ m + n , 0 K ( G 1 , G 2 ) C + ν n λ n ⊗ G 1 − ν ′ m λ m ⊗ G 2 .
g を多項式ループ代数(背景)
g = C [ λ , λ − 1 ] ⊗ g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}=C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0}}
とする,ただし g0 は複素有限次元単純リー環である.目標はこの代数の中心拡大を見つけることである.定理の2つが適用する.1つには,g 上の 2-コサイクルが存在すれば,中心拡大を定義できる.もう1つには,この 2-コサイクルが g0 パート(のみ)に作用していれば,得られる拡大は自明である.さらに,g0(のみ)に作用する導分は 2-コサイクルの定義に使えない,なぜならばこれらの導分はすべて内部的であり同じ問題が起こるからである.したがって C[λ, λ] 上の導分を探す.導分の1つのそのような集合は
d k ≡ λ k + 1 d d k , k ∈ Z {\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{dk}},\quad k\in \mathbb {Z} }
である.
g 上の非退化双線型結合反対称形式 L を作るために,注意はまず,m, n を固定して引数の制限に向けられる.要求を満たす“全て”の形式は g0 上のキリング形式 K の倍数であることは定理である.これより
上述の定理の「否定的」な結果は,少なくとも半単純リー環に対しては,中心拡大の有用な応用を見つけるには無限次元リー環に行かなければならないことを示している.実際そのようなものはある.ここではアファイン・カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数を紹介する.これらはそれぞれ多項式ループ代数とヴィット環の拡大である.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}
写像はブラケットを保つので,{d0, d−1, d1} が実数体上張る W の部分代数 sl(2, R) と su(1, 1) の間にはリー環の同型がある.同じことは {d0, d−n, dn}, n ≠ 0 で張られる任意の部分代数に対して成り立つ.これは(同型の一方の)元の単純なリスケーリングから従う.
L i ( λ l ⊗ G 1 , λ m ⊗ G 2 ) = δ l + m , i K ( G 1 , G 2 ) {\displaystyle L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2})=\delta _{l+m,i}K(G_{1},G_{2})}
を定義する.しかしこれらはすべての形式が正しい性質をもつベクトル空間の基底をなす.
手元の導分と条件
L i ( d k ( λ l ⊗ G 1 ) , λ m ⊗ G 2 ) = − L i ( λ l ⊗ G 1 , d k ( λ m ⊗ G 2 ) ) {\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2}))}
に戻り,定義を用いて次が分かる:
l δ k + l + m , i = − m δ k + l + m , i , {\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}
あるいは,n = l + m として,
n δ k + n , i = 0. {\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}
これ(と反対称性条件)は,k = i ならば成り立つ,とくに k = i = 0 のとき成り立つ.
したがって L = L0 および d = d0 と選ぶ.
コホモロジー類 [Φ] ∈ H(g, F) は同型を除いて一意的な g の中心拡大を定義する.
自明な 2-コサイクルは自明な拡大を与え,2-コバウンダリは自明な 2-コサイクルとコホモロガスだから,
コバウンダリによって定義される中心拡大は自明な中心拡大に同値である.
有限次元単純リー環の中心拡大は自明なものしかない.
リー環は,ベクトル空間として,e = h ⊕ g である.これは GH が E を生成し G ∩ H = (eH, eG) だから明らかである.リーブラケットは次で与えられる:
[ H 1 + G 1 , H 2 + G 2 ] e = [ H 1 , H 2 ] h + ψ G 1 ( H 2 ) − ψ G 2 ( H 1 ) + [ G 1 , G 2 ] g . {\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}
リーブラケットを計算するため,s と t でパラメトライズされる E 内の曲面から始める.e = h ⊕ g 内の h の元はバーをつけて表し,g についても同様にする.
準同型 G → Aut(H) を用いた群の半直積(背景)の構成に触発されて,リー環の対応する構成を作ることができる.
ψ: g → der h がリー環の準同型であるとき,e = h ⊕ g 上のリーブラケットを
で定義する.このリーブラケットにより得られるリー環は e = h ⊕S g と書かれ,h と g の半直和と呼ばれる.
(7) を検査して 0 ⊕ g は e の部分環であり h ⊕ 0 は e のイデアルであることが分かる.i: h → e を H ↦ H ⊕ 0 によって,s: e → g を H ⊕ G ↦ G, H ∈ h, G ∈ g によって定義する.ker s = im i は明らかである.したがって e は g の h による拡大である.
自明な拡大と同様に,この性質は分裂拡大の定義に一般化する.
これと l + m + p = 0(Z の「平面」を切り出す)により (V10) は
( 2 m + p ) a ( p ) + ( m − p ) a ( m + p ) + ( m + 2 p ) a ( m ) = 0 {\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0}
となり,p = 1(Z の「直線」を切り出す)として
( m − 1 ) a ( m + 1 ) − ( m + 2 ) a ( m ) + ( 2 m + 1 ) a ( 1 ) = 0 {\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0}
となる.これは一般に
a ( m ) = α m + β m 3 {\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}}
で解かれる差分方程式である.すると W の元の拡大における交換子は
[ d l , d m ] = ( l − m ) d l + m + ( α m + β m 3 ) δ l , − m C {\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C}
である.β = 0 のとき基底を変換して(あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリによって修正して)