ポアンカレの回帰定理
ポアンカレの回帰定理の主張は、ハミルトン力学における相空間上の点の時間発展を数学的に抽象化した測度空間上の保測変換の満たす性質として、定式化される。 ハミルトン力学では、一般化座標 q=(q1,...,qn) と正準共役な正準運動量 p=(p1,...,pn) の組からなる正準変数 (q, p) によって、系の状態が記述される。(q, p) で指定される状態は相空間上の点であり、その時間発展は相空間の軌道 (q(t), p(t)) として、表現される。
(q(t), p(t)) の時間発展は、ハミルトンの正準方程式
d q i d t = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
d p i d t = − ∂ H ∂ q i ( i = 1 , ⋯ n ) {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\quad (i=1,\cdots \,n)}
で記述される。