黄金分割探索
一方、もし f ( x 4 ) {\displaystyle f(x_{4})} が f 4 b {\displaystyle f_{4b}} で次の3点が x 2 {\displaystyle x_{2}} 、 x 4 {\displaystyle x_{4}} 、 x 3 {\displaystyle x_{3}} であった場合を考えると
c ( b − c ) = a b . {\displaystyle {\frac {c}{(b-c)}}={\frac {a}{b}}.}
がいえる。これらの式からcを除去すると、
( b a ) 2 = b a + 1 {\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{2}={\frac {b}{a}}+1}
すなわち
b a = φ {\displaystyle {\frac {b}{a}}=\varphi }
がいえる。ただし、φは黄金比
φ = 1 + 5 2 = 1.618033988 ... {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988\ldots }
である。
このように、間隔の比が黄金比になっていることがこのアルゴリズムの名称の由来である。