クラスター展開
統計力学では、分配関数を用いて系の性質を記述する。互いに相互作用しない N 粒子系について、系のハミルトニアン H0 は、
H 0 = ∑ i N p i 2 2 m {\displaystyle {\big .}H_{0}=\sum _{i}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}} ,
と表され、このハミルトニアンに対応する古典系における分配関数 Z0 は次の積分から計算できる。
Z 0 = 1 N ! h 3 N ∫ ∏ k d p → k d r → k exp  { − β H 0 ( { p i } ) } = 1 N ! h 3 N ( ∫ ∏ k d r → k ) ( ∫ ∏ k d p → k exp  { − β ∑ i = 1 N p i 2 2 m } ) = V N N ! h 3 N ( ∫ d p exp  { − β 2 m p 2 } ) 3 N = V N N ! h 3 N ( 2 π m β ) 3 N . {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int \prod _{k}d{\vec {p}}_{k}\;d{\vec {r}}_{k}\exp \left\{-\beta H_{0}(\{p_{i}\})\right\}\\&={\frac {1}{N!