置換公理
この出版に先立って、フレンケルは自身の新しい公理を1921年9月22日、イェーナで開かれたドイツ数学会の会合で発表した。ツェルメロもこの会合に同席し、フレンケルの公演後の議論で置換公理を大筋認めたが、その程度については表明を留保した。
トアルフ・スコーレムは、1922年7月6日にヘルシンキで開催された the 5th Congress of Scandinavian Mathematicians において、ツェルメロ集合論の(フレンケルが見つけたものと同じ)ギャップの発見を公表した。この会議の抄録は1923年に発行されている。スコーレムは一階述語で定義可能な置換公理に関する解決策を発表した:「U をドメイン B 内の特定の部分 (a, b) で明確に定義できる命題とする。さらに、すべての a について、U が真であるような b が高々1つ存在するとする。すると、a の値域は集合 Ma の元となるため、b の値域は集合 Mb のすべての元にわたる。」同年、フレンケルはスコーレムの論文のレビューを執筆し、そこではフレンケルはスコーレムの考察は自身の理論に対応していると簡潔に述べている。
ツェルメロ自身はスコーレムによる置換公理の定式化を決して認めなかった。 彼は一時期スコーレムの方法を「貧弱な集合論」と表現していた。巨大基数を許容するシステムを想定していたのである。 彼はまた、スコーレムの一階述語公理化から導かれる、集合論の可算モデル(英語版)の哲学的含意にも強く異議を唱えていた。 エビングハウスによるツェルメロの伝記によれば、ツェルメロのスコーレムに対する非難は、集合論や論理学の発展におけるツェルメロの大きな影響力を特徴づけるものであったという。
∀ w 1 , ... , w n ∀ A ∃ B ∀ x ∈ A [ ∃ y φ ( x , y , w 1 , ... , w n ) ⇒ ∃ y ∈ B φ ( x , y , w 1 , ... , w n ) ] {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}
この場合、 φ {\displaystyle \phi } で他の集合と対応付けられない A {\displaystyle A} の元 x {\displaystyle x} が存在しうる。しかし、集まりの公理は前述の通り 「 A {\displaystyle A} の元 x {\displaystyle x} が少なくとも1つの集合 y {\displaystyle y} と対応付けられれば、像集合 B {\displaystyle B} は少なくとも1つそのような y {\displaystyle y} を含む」ことを要請する。結果として、集まりの公理は境界性の公理型(axiom schema of boundedness)とも呼ばれる。
集まりの公理型(axiom schema of collection)は置換公理と密接に関連し、かつよく混同される。 他のZF公理系のもとでは、置換公理と等価である。集まりの公理は冪集合公理やそのZFの構成可能な部分が不要である分、置換公理よりも強いが、排中律がない IZF の枠組みにおいては弱い。
置換公理は関数の像が集合であると読めるが、集まりの公理は関係の像に関するもので、単に関係の像の上位クラスに集合であるものがあることを主張するのみである。 言い換えれば、集合 B {\displaystyle B} は最小性を要せず、 φ {\displaystyle \phi } における唯一性も必要ない。 つまり、 φ {\displaystyle \phi } で定義される関係が関数である必要はない( x ∈ A {\displaystyle x\in A} の中には、 B {\displaystyle B} に属する複数の y {\displaystyle y} と対応するものがありうる)この場合、存在を主張する像集合 B {\displaystyle B} には、もとの集合の元 x {\displaystyle x} それぞれに対して少なくとも1つ(必ず1つとは限らない)対応する y {\displaystyle y} が含まれる。
φ {\displaystyle \phi } の自由変数が w 1 , ..