自然変換
双対ベクトル空間を取る操作は、ふつう反変関手 VectopK → VectK と見なされる (このとき f : V → W に対して f: W → V は先述の f ∗ φ ( x ) = φ ( f ( x ) ) {\textstyle f^{*}\varphi (x)=\varphi (f(x))} で与えられる線形写像である) ため、恒等関手 Id : VectK → VectK との間の自然変換は定義上存在しえない。
別の考え方として、双対との間の「自然な」同型 γV : V → V が存在するならば、その満たすべき条件は、任意の線形写像 f : V → W に対して f ∗ ∘ γ W ∘ f = γ V {\textstyle f^{*}\circ \gamma _{W}\circ f=\gamma _{V}} であると考えることができる (超自然変換節も参照)。これは自然性を示す可換図式のうち、F(f) に相当する射の向きを反転させたものになる。γV が同型であることから、等式の左辺も同型にならなければならないが、左辺の示す射が任意の線形写像に対して同型になるということはないため、この意味で双対ベクトル空間との間の「自然な」同型は存在しない。
定義から、準同型の合成に対して ( g ∘ f ) ∗ ∗ = g ∗ ∗ ∘ f ∗ ∗ {\textstyle (g\circ f)^{**}=g^{**}\circ f^{**}} が成り立つため、これによって二重双対はベクトル空間と線形写像のなす圏 (ベクトル空間の圏 VectK) 上の自己関手であることがわかる。
さらに、定義に沿って計算することで f ∗ ∗ ( Ψ V ( x ) ) ( φ ) = φ ( f ( x ) ) {\textstyle f^{**}(\Psi _{V}(x))(\varphi )=\varphi (f(x))} を得るため、 f ∗ ∗ ( Ψ V ( x ) ) = Ψ W ( f ( x ) ) {\textstyle f^{**}(\Psi _{V}(x))=\Psi _{W}(f(x))} が成り立つ。以上のことから、ΨV は恒等関手と二重双対関手の間の自然変換 (有限次元に制限した場合は自然同型) のコンポーネントとなることがわかる。