弱微分
絶対値関数 u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t| は t = 0 において微分可能ではないが、次の符号関数
v : [ − 1 , 1 ] ∋ t ↦ v ( t ) := { 1 , if t > 0 ; 0 , if t = 0 ; − 1 , if t < 0 ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle v\colon [-1,1]\ni t\mapsto v(t):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}t>0;\\0,&{\mbox{if }}t=0;\\-1,&{\mbox{if }}t<0\end{cases}}\ \in [-1,1]}
がその弱微分となる。しかしこれは u の唯一つの弱微分という訳ではない。ほとんど至る所で v と等しい任意の w も、u の弱微分となる。しかし、Lp空間およびソボレフ空間の理論において、ほとんど至る所で等しい関数は同一のものと見なされるため、このことは通常、問題にはならない。