リース＝ソリンの定理
μ ( { x : T f ( x ) > α } ) ≤ ( C p , q ‖ f ‖ p α ) q {\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q}}
を満たすものであるから、マーシンキウィッツの補間定理(英語版)のような実補間定理がそれらに対してより適切なものとなる。さらに、ハーディ=リトルウッド極大作用素のような重要な作用素の多くは、劣線型(英語版)であるに過ぎない。これは実補間定理を適用する上では障害にならないが、複素補間定理は非線型作用素を扱うことができない。一方、実補間法は中間の作用素ノルムに関して複素補間法ほど良い評価を与えず、リース図における非対角でも良く振舞わない。マーシンキウィッツの補間定理の非対角版では、ローレンツ空間の構成が求められ、L-空間上のノルム評価が得られるとは限らない。
↑ Stein (1956). チャールズ・フェファーマンの書 Fefferman, Fefferman, Wainger (1995) で指摘されているように、スタインの補間定理の証明は本質的にはリース=ソリンの定理と同じであるが、作用素には z が加えられている。この埋め合わせのために、Isidore Isaac Hirschman, Jr.によるアダマールの三線定理(英語版)のより強いヴァージョンが用いられ、求める上界が得られている。詳細な証明については Stein and Weiss (1971) を参照されたい。またこの定理のハイレヴェルな解説については a blog post of Tao を参照されたい。
↑ Fefferman and Stein (1972)
↑ エリアス・スタイン は、調和解析に現れる興味深い作用素が L や L 上で有界であることは滅多にないと述べている。