ブラウアー群
体 K から拡大体 L への係数体の取り換え(英語版)は、Br(K) から Br(L) への制限写像を与える。(この制限の)核は、L 上で分解する K-代数のクラスの群 Br(L/K) である。
任意の体のブラウアー群はねじれ群である。
一般に中心的単純環に関する閉包性質が与えられれば、それを満たす中心的単純環の全体はテンソル積のもとでモノイドを成すことに注意する。これを利用して群を得るために、アルティン–ウェダーバーンの定理(の、実際にはウェダーバーンの部分)を用いれば、中心的単純環を適当な斜体 D 上の全行列環 M(n,D) の形に書くことができるが、このとき行列のサイズ n は気にせずに、斜体 D のほうだけに注目すればよい。つまり、任意の正整数 m, n に対して、M(m, D) と M(n, D) を同一視するような関係は同値関係であり、その同値類はテンソル積に関して可逆になる。ここで、中心的単純環 A の属する類の逆元となる類は、A の逆転多元環 A の属する類で与えられる(埋め込み像 K → A は A の中心に入るから、逆転環 A への K の作用は A に対するそれと一致する)。これは、中心的単純環 A の K 上の階数を n とすれば
A ⊗ K A op ≅ M ( n 2 , K ) {\displaystyle A\otimes _{K}A^{\text{op}}\cong M(n^{2},K)}
が成り立つというように述べることもできる(ブラウアー群における逆元を与えるというのは、これだけでも逆転多元環の概念を考える意義は十分にある)。