鎖複体
滑らかな多様体上の k 次微分形式全体 Ω(M) は、加法の下でアーベル群をなす(実は R-ベクトル空間である)。
外微分 d は、Ω(M) を Ω(M) へ写像し、d∘d = 0 であることが本質的に二次微分の対称性から従う。よって、k 次微分形式のなすベクトル空間たちに外微分を考えたものは双対鎖複体である:
0 → Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 Ω 2 ( M ) → d 2 Ω 3 ( M ) → ⋯ . {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d^{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\ \Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots .}
この複体のコホモロジーが、ド・ラームコホモロジーである:
H d R 0 ( M ) = ker  d 0 = {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)=\ker d^{0}=} { M 上の実数値局所定数関数 } ≅ R {\displaystyle \cong \mathbb {R} } ,
H d R k ( M ) = ker  d k / im  d k − 1 . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)=\ker d^{k}/\operatorname {im} d^{k-1}.}