ジャパニーズ・アトラクタ
上田によれば、ジャパニーズ・アトラクタの発見に先立つ1961年に、上田はファン・デル・ポール方程式とダフィング方程式の混合型方程式において、カオス振動(ストレンジ・アトラクタ)を発見していた。1961年のカオスは、次のファン・デル・ポール/ダフィング混合型方程式で発生したものである。
d x d t = y d y d t = μ ( 1 − γ x 2 ) y − x 3 + B cos  ν t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=y\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\mu (1-\gamma x^{2})y-x^{3}+B\cos \nu t\\\end{aligned}}}
ここで、x, y は状態変数、t は時間、μ, γ, B, ν は定数パラメータである。上田はアナログ計算機を用いて、μ = 0.2, γ = 8, B = 0.35 に保ちつつ 角周波数パラメータ ν の値を変化させながらストロボ写像を計算する過程で、収束しない不規則振動、すなわちカオスを発見した。このアトラクタの形状を、上田は「割れた卵形」や「割れた卵形アトラクタ」と形容している。
ただし1961年当時ストレンジ・アトラクタやカオスのような言葉は認識されておらず、上田は当時の状況について以下のように回想している。
「最初はアナログ・コンピュータが故障したのかと思った。しかしすぐに、いやそんなことはないと悟った。