曲線
したがって、閉曲線は円周 S の連続像になっている。単純閉曲線はジョルダン曲線とも呼ばれ、ジョルダン曲線定理はジョルダン曲線が平面全体を「内側」と「外側」の二つに分けることを述べるものである。
平面曲線は X がユークリッド平面、場合によっては射影平面であるような場合の曲線を言う。空間曲線は X が三次元の空間(ふつうはユークリッド空間)の場合を言い、非平面曲線 (skew curve) はどのような平面上にも載っていない空間直線を言う。これら平面・空間・非平面曲線の区別は実代数曲線(英語版)にも適用できるが、代数曲線がここでいう曲線の定義を満たさないことは注意すべきである(たとえば実代数曲線は不連結になりうる)。
ここでの曲線の定義は、幅が無く途切れもない直線のような連結で連続な図形という曲線に対する我々の直観的概念をよく捉えているものになっているが、一般的な意味では曲線とはいいがたい病的な図形も含まれてしまう。例えば、平面上の正方形を像が被覆するような曲線(空間充填曲線)が存在する。単純平面曲線の像が一つ大きいハウスドルフ次元を持ち得る(コッホ雪片を参照)し、さらに正のルベーグ測度さえ持ち得る(それはペアノ曲線の構成を少し変更すれば作れる)。ドラゴン曲線はもうひとつの変な例である。