アデール環
アデール環は、上で定めた位相に関して局所コンパクトで完備な群である。この群は、その指標群に位相群として同型であるという意味で、自己双対である。アデール環は、数体や函数体を離散的余コンパクト(英語版)(co-compact)な部分群として持っている。同様に、イデールと呼ばれるアデールの乗法群も、以下に定義するトポロジーに関して局所コンパクトである。
有限体上の曲線の函数体のアデールの自己双対性から曲線のリーマン・ロッホの定理や曲線の双対理論がみちびかれる。
アデールは局所コンパクトアーベル群であるから、非自明な変換不変測度を持っている。同様に、イデール群も非自明な変換不変測度を持っていて、ゼータ積分を定義することに使える。ゼータ積分は岩澤健吉とジョン・テイト(John Tate)の論文で明確に導入された。ゼータ積分は数体や函数体のゼータ函数のいくつかの重要な性質を研究することを可能とする。その美しく簡潔な方法は、有理型函数の函数等式をアデールの調和解析と自己双対性の単純な応用へと還元する方法である。テイト論文を参照。
代数群の理論と結合した環 A はアデール的代数群を導く。有限体上の滑らかな曲線の函数体に対し、そのアデール環の乗法群(つまり、GL(1))の曲線の函数体の乗法群と整アデールの単数群による商は、すなわち、局所的に整である成分を持つアデールは、曲線のラインバンドルの同型群と同型である。このように、アデール環は幾何学的な情報を持っている。アンドレ・ヴェイユ(André Weil)が既に指摘したことであるが、これを GL(n) について同様の構成を行うと曲線上の階数 n のベクトルバンドルの同型類全体のなす集合と同型となる。
数論の他の重要な対象として、アデール的 GL(n) の保型表現があり、GL(n) による商の上の二乗可積分複素数値函数の空間の構成要素となっている。