イプシロン-デルタ論法
句の最初に現れる x ∈ I という条件によって I が閉区間 [p, q] の時もその端点での f(x) の片側連続性 lim x → p + f ( x ) = f ( p ) {\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x)=f(p)} lim x → q − f ( x ) = f ( q ) {\displaystyle \lim _{x\to q-}f(x)=f(q)}
が定義される。半開区間 [p, q) や (p, q] などのときも同様である。
このように連続性を ε-δ論法で定義した場合 δ は ε と a の両方に依存する可能性がある。
連続性の定義の条件の順序を変えて
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s . t . ∀ a ∈ I , ∀ x ∈ I [ | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( a ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }a\in I,{}^{\forall }x\in I\;[|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon ]}
とした場合、δ は ε のみに依存し、a に依存しない。この時 f(x) は I 上一様連続であるという。
例えば、I = (0,1] とし、その上で定義された関数 f(x) = 1/x は、連続であるが一様連続ではない。