テンソル代数
テンソル代数上の単純な余代数構造は以下のようなものである。余乗法 Δ は
Δ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) := ∑ i = 0 m ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v i ) ⊗ ( v i + 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) {\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})}
を T(V) まで線型に延長することで与えられる。余単位射は
ε ( v ) = { v ( v ∈ T 0 ( V ) ) 0 ( v ∈ T k ( V ) , k > 0 ) {\displaystyle \varepsilon (v)={\begin{cases}v&(v\in T^{0}(V))\\0&(v\in T^{k}(V),k>0)\end{cases}}}
である。余乗法 Δ: T(V) → T(V) ⊗ T(V) は次数付けを反映すれば
T m ( V ) → ⨁ i + j = m T i ( V ) ⊗ T j ( V ) {\displaystyle T^{m}(V)\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}(V)\otimes T^{j}(V)}
を満たすこと、また余単位射 ε も次数付けと両立することなどに注意。
テンソル代数にこの余乗法と余単位射を考えたものは双代数を成さない。