調和平均
t と s (t > s) を斜辺 c の直角三角形の2つの内接四角形の辺とすると、s は c と t の調和平均の 1/2 に等しい。 台形の頂点を順に A, B, C, D として AB と CD が平行とする。E を対角線の交点とし、F を辺 DA 上にあるとし G を辺 BC 上にあるとし FEG は AB と CD に平行とする。すると FG は AB と DC の調和平均である。(これは相似な三角形を使って証明できる。) h は A と B の調和平均の 1/2 である。図のように、二つのはしごが通路の両端に立ててあり、高さ A および B の位置で脚とは反対側の壁に寄りかかっている場合を考える。このとき、はしごが交差する点の床からの高さ h は A と B の調和平均の 1/2 である。壁が斜めであっても、床からの各点の距離は壁との平行線を基準にすれば、A, B, h で変わらない。 楕円において、semi-latus rectum(焦点から楕円への短軸に平行な直線に沿った距離)は焦点から楕円の最大と最小の距離の調和平均である。
三角関数において、タンジェントの二倍角の公式で、角 A について tan A = s/c と与えられていれば、tan 2A は、c, s の調和平均と、c − s の逆数の積である。