超フィルター
社会選択理論において、超フィルターは、無限人の選好を集計するための (社会厚生関数とよばれる) 集計ルールを構築するために用いられる。 具体的には構成員からなる無限集合を M、選択肢の集合を C とし、M 上のフィルター F を固定し、各人の選好 (≤m)m∈M としたとき、F による被約積によって構成された選好 (≤m)m∈M/F は半順序となる。特に F が超フィルターのときは全順序となる。この集計ルールが普遍性、全会一致性、独立性を満たすのは構成から直ちに従う。非独裁性が成り立つのは超フィルター F が自由になるちょうどその時である。 以上より、有限人ケースに対する有名なアローの不可能性定理の述べるところと異なり、そのような集計ルールは、アローが提示した条件 (公理) をすべて満たす。 しかしながら、そのような集計ルールを計算するようなアルゴリズムは存在しないため、それらの集計ルールの実用的な意味合いは乏しいことが指摘されており、アローの不可能性定理をかえって強化する結果となっている。
U ≤RK V ならば ‖ U ‖ ≤ ‖ V ‖。
κ-完備な超フィルターよりルディン・キースラー順序で小さい超フィルターは再び κ-完備。
単項超フィルター(からなるルディン・キースラー同値類)はルディン・キースラー順序に関する最小元と成っている。
U0 ≤RK U1 かつ V0 ≤RK V1 ならば U0 × V0 ≤RK U1 × V1 かつ U0 ⋅ V0 ≤RK U1 ⋅ V1。
位相空間 X 上のフィルター U が x ∈ X に収束するとは U が x の近傍系 Nx の拡張に成っていることをいう。 このとき x に収束する X 上の超フィルターの共通部分は Nx と一致する。
位相空間 X の閉集合全体からなる集合族 C(X) は空集合を最小元として持つ束である。よって有限交叉的な閉集合族が与えられたとき C(X) 上にその有限交叉族を含む超フィルターが存在する。 f: X → Y を位相空間 X, Y 間の連続写像、U を C(X) 上の超フィルターとしたとき、fc[U] ≔ {A ∈ C(Y) : f(A) ∈ U} は C(Y) 上の超フィルターとなる。
C(X) 上の超フィルター全体はウォールマンのコンパクト化と呼ばれるコンパクト化を与える。これ以外にも位相空間上の様々な集合族に各種の順序を与えるた順序集合上の超フィルターを考えることで各種のコンパクト化が構成できる。