分数次フーリエ変換
数学の調和解析の分野において、分数次フーリエ変換(分数階フーリエ変換とも、英: fractional Fourier transform, FRFT)とは、フーリエ変換を一般化した一群の線形変換をいい、フーリエ変換の次数が整数でなくなったものと考えることができる。従って、関数を時間領域と周波数領域の「中間」領域に変換することができる。FRFTは、フィルター設計(英語版)や信号解析、位相回復(英語版)やパターン認識などに応用される。
FRFTは、分数次の畳み込み、相関関数、その他の操作の定義に使うことができ、さらに線形正準変換(英語版)へと一般化できる。 FRFTの初期の定義はエドワード・コンドン(英語版)により導入された。この定義は位相空間における回転のグリーン関数を解くことによるものだった。また、ウィーナーのエルミート多項式についての仕事を一般化することによる、ナミアスにより導入された定義も存在する。
(二乗根は偏角が区間 [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]} に収まるように定義するものとする)
ここでも、特殊な場合は α が π の整数倍に近付いたときの挙動と矛盾なく定義されている。
FrFTは、核関数と同じ次のような性質を持つ。
対称性: K α ( u , u ′ ) = K α ( u ′ , u ) {\displaystyle K_{\alpha }(u,u')=K_{\alpha }(u',u)}
逆関数: K α − 1 ( u , u ′ ) = K α ∗ ( u , u ′ ) = K − α ( u ′ , u ) {\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)}
加法性: K α + β ( u , u ′ ) = ∫ K α ( u , u ′′ ) K β ( u ′′ , u ′ ) d u ′′ . {\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}