スペクトル系列
実際、 Z 0 = E 1 , B 0 = 0 {\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0} と定義し、 Z r , B r {\displaystyle Z_{r},B_{r}} を E r → d r E r {\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}} の核と像が Z r / B r − 1 , B r / B r − 1 {\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}} となるように再帰的に定めればよい。
次に Z ∞ = ∩ r Z r , B ∞ = ∪ r B r {\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}} と置き、
E ∞ = Z ∞ / B ∞ {\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}
と置く。これは極限項と呼ばれている。(もちろん、圏によってはそのような E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} は存在しないこともあるが、例えば加群の圏ではそのような極限は存在するし、また現実のスペクトル系列は退化することが多く、その場合には先程の列で有限個の包含関係しか起こらないので、通常このことは問題とならない。)
これから、 Z r p , q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが r 上がるような要素全体、 B r p , q {\displaystyle B_{r}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが r-1 だけ上がるような要素全体の像となることが推測できる。言い換えると、作ろうとしているスペクトル系列の項は
Z r p , q = ker  d 0 p , q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 {\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}
B r p , q = ( im d 0 p − r + 1 , q + r − 2 : F p − r + 1 C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}
E r p , q = Z r p , q B r p , q + Z r − 1 p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}
スペクトル系列を初めて学習するときには、簡単な具体例で実際に計算を行ってみることが理解の助けになる。収束についてのより理論的で厳密な議論は後の節で行うが、この節については、スペクトル系列が増加フィルトレーション F を持つ H に収束するとは、 E p , q ∞ = F p H p + q / F p − 1 H p + q {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}} が成り立つことと定義する。以下では、いかにそのフィルトレーションと E 2 {\displaystyle E^{2}} 項を完全系列の形で関係付けることができるか、例示する。応用上の多くの完全系列(たとえばギシン列(英語版))がこのような形であらわれる。
ファイブレーションの(コ)ホモロジーの計算に使われるセール・スペクトル系列(英語版)
K理論などの超常コホモロジー論で(コ)ホモロジーの計算に使われるアティヤ・ヒルツェブルフ・スペクトル系列(英語版)
ボックシュテイン・スペクトル系列(英語版)
フィルターつき複体のスペクトル系列
チェック・コホモロジー(英語版)から層係数コホモロジーへ向かうチェックから導来関手へのスペクトル系列(英語版)
加群の Tor 群や Ext 群を計算するための係数環変更スペクトル系列(英語版)
代数の巡回ホモロジーに収束するコンヌ・スペクトル系列(英語版)
ガーステン(Gersten)・ヴィット・スペクトル系列(英語版)
コズュール・コホモロジー(英語版)に対するグリーンのスペクトル系列(英語版)
導来関手の合成に対するグロタンディーク・スペクトル系列(英語版)
超ホモロジー計算のための超ホモロジー・スペクトル系列(英語版)
微分環のテンソル積のホモロジーを計算するためのキュンネス(Künneth)・スペクトル系列(英語版)
層のコホモロジーに収束するルレイ・スペクトル系列(英語版)
局所から大域へのExtスペクトル系列(英語版)
群の(コ)ホモロジーのリンドン・ホッホシルト・セール・スペクトル系列(英語版)
代数の Tor 群や Ext 群を計算するためのメイ・スペクトル系列(英語版)
微分フィルターつき群のスペクトル系列(この記事で説明)
2重複体のスペクトル系列(この記事で説明)
完全対のスペクトル系列(この記事で説明)
普遍係数スペクトル系列(英語版)
相対リー環コホモロジーへ収束するファン・エスト(van Est)・スペクトル系列(英語版)
安定ホモトピー理論のアダムズ・スペクトル系列(英語版)
超常(extraordinary)コホモロジー論の一般化のアダムズ・ノヴィコフ・スペクトル系列(英語版)
コファイブレーションの初期空間のホモトピーに収束するバラット(Barratt)・スペクトル系列(英語版)
関手のホモトピー余極限に収束するバウスフィールド・カン・スペクトル系列(英語版)
アダムズ・ノヴィコフ・スペクトル系列(英語版)の初項を計算するクロマティック・スペクトル系列(英語版)
コバー(cobar)・スペクトル系列(英語版)
球面の安定ホモトピー群(英語版)に収束するEHPスペクトル系列(英語版)
関数空間のホモトピー群に収束するフェデラー・スペクトル系列(英語版)
ホモトピー固定点スペクトル系列(英語版)
空間のホモロジーをホモトピーから計算するフレヴィッツ・スペクトル系列(英語版)
空間の mod p 安定ホモロジーに収束するミラー・スペクトル系列(英語版)
バー・スペクトル系列(英語版)の別名であるミルナー・スペクトル系列(英語版)
バー・スペクトル系列(英語版)の別名であるムーア・スペクトル系列(英語版)
単体的群(simplicial group)のホモトピー計算のためのキレン・スペクトル系列(英語版)
バー・スペクトル系列(英語版)の別名であるローゼンバーグ・スティーンロッド・スペクトル系列(英語版)
ウェッジ空間のホモトピー計算のためのファン・カンペン・スペクトル系列(英語版)