行列の相似
行列の相似性は正方行列全体の成す空間における同値関係である。
相似な行列の間ではさまざまな性質が保たれ、たとえば以下のようなものが挙げられる。
階数 (rank)
行列式
トレース
固有値(ただし、固有ベクトルは一般には異なる)
特性多項式
最小多項式
単因子
これらの性質が保たれるという事実に、ふたつの理由を挙げることができる。
互いに相似な行列は、同じ線型写像を異なる基底で記述したものと考えられる。
写像 X ↦ PXP は(行列全体の成す圏の単一対象部分圏としての)n-次正方行列全体のなす結合多元環の自己同型を与える。
これにより、与えられた行列 A に対して、A に相似な行列の中で「標準形」(normal form) と呼ばれる簡単な形の行列 B を求めることに意味が生じる。A について調べる代わりに、より単純な行列 B を調べることに帰着できるからである。たとえば、A が対角化可能であるとは、A がある対角行列に相似であることをいう。必ずしも全ての行列が対角化可能ではないが、すくなくとも複素数体(あるいはほかの任意の代数閉体)上では任意の行列がジョルダン標準形と呼ばれる行列に相似である。別の標準形として、有理標準形(フロベニウス標準形)は任意の体上で意味を持つ。与えられた行列 A と B のジョルダン標準形あるいはフロベニウス標準形を見れば、A と B とが互いに相似であるか否かを直ちに判定できる。スミス標準形は与えられたいくつかの行列が互いに相似か否かの判定に利用できるが、ジョルダン標準形やフロベニウス標準形の場合とは異なり、ある行列とそのスミス標準形とは必ずしも相似ではない。