LTIシステム理論
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} において、その添え字集合が整数であるとする(すなわち、 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )。線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。
h [ n 1 , n 2 ] where n 1 , n 2 ∈ Z {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型作用素なので、入力信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ総和で表される線型写像となる。
y [ n 1 ] = ∑ n 2 = − ∞ ∞ h [ n 1 , n 2 ] x [ n 2 ] {\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}]}
線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が時不変でもある場合、次のようになる。
definition ) {\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&={\mathcal {H}}x[n]\\&={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{m}\delta [n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{m}\ {\mathcal {H}}\delta [n-m]\quad (\because {\text{Linearlity}})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{m}h[n-m]\quad (\because {\text{Time-Invariance}})\\&=(x*h)[n]\quad (\because {\text{Conv. definition}})\\\end{aligned}}}
すなわち離散時間LTIシステムは入力とインパルス応答の畳み込み和を出力し、その振る舞いは h [ n ] {\displaystyle h[n]} で完全に表現される。
システムが有界入力-有界出力安定(BIBO安定)であるとは、全ての入力が有界なら出力も有界であることを意味する。数学的には、入力が次の条件を満たすとき
‖ x ( t ) ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }
出力が次を満足する。
‖ y ( t ) ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }
すなわち、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} の有限の最大絶対値があれば、 y ( t ) {\displaystyle y(t)} の有限の最大絶対値が存在する。このとき、システムは安定であるという。必要十分条件は、インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} が L にあることである(有限のLノルムを持つ)。
LTI作用素の簡単な例として遅延作用素 D { x } [ n ] := x [ n − 1 ] {\displaystyle D\{x\}[n]:=x[n-1]} がある。
D ( c 1 x 1 [ n ] + c 2 x 2 [ n ] ) = c 1 x 1 [ n − 1 ] + c 2 x 2 [ n − 1 ] = c 1 D x 1 [ n ] + c 2 D x 2 [ n ] {\displaystyle D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n]} D { x [ n − m ] } = x [ n − m − 1 ] = x [ ( n − 1 ) − m ] = D { x } [ n − m ] {\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,}
遅延作用素のZ変換をとってみると、z の単純な乗算に変形される。
Z { D x [ n ] } = z − 1 X ( z ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z)}