ミンコフスキーの不等式
= ∫ | f | | f + g | p − 1 d μ + ∫ | g | | f + g | p − 1 d μ ⋯ ( ∗ ) {\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \cdots (*)}
であり、ここでヘルダーの不等式を使うと
( ∗ ) ≤ ( ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p + ( ∫ | g | p d μ ) 1 / p ) ( ∫ | f + g | ( p − 1 ) ( p p − 1 ) d μ ) 1 − 1 p {\displaystyle (*)\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}
= ( ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ) ‖ f + g ‖ p p ‖ f + g ‖ p {\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}
となる。こうしてミンコフスキーの不等式(の定数倍)が得られた。