ピタゴラスの定理
R ( θ ) ⋅ R ( − θ ) = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] [ cos  θ sin  θ − sin  θ cos  θ ] = [ cos 2  θ + sin 2  θ cos  θ sin  θ − sin  θ cos  θ sin  θ cos  θ − cos  θ sin  θ sin 2  θ + cos 2  θ ] = [ sin 2  θ + cos 2  θ 0 0 sin 2  θ + cos 2  θ ] {\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )\cdot R(-\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &\cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\\sin \theta \cos \theta -\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &0\\0&\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}\end{aligned}}}
となる。したがって
sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。
直角三角形において、斜辺の長さを c、直角をはさむ 2辺の長さを a, b とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる:
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
ここで a, b, c はいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる:
a = c 2 − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}
b = c 2 − a 2 {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}
c = a 2 + b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される:任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺(対辺)の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。