イェンセンの公式
複素解析という数学の分野において,イェンセンの公式(英: Jensen's formula)は,Johan Jensen (1899) によって導入されたもので,円上の解析関数の大きさの平均を円の内部のその零点の個数と関係付ける.整関数の研究において重要な主張である.
となり,これは調和関数 log |f(z)| の平均値の性質である.
頻繁に用いられるイェンセンの公式の同値な主張は
1 2 π ∫ 0 2 π log  | f ( r e i θ ) | d θ − log  | f ( 0 ) | = ∫ 0 r n ( t ) t d t {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\;d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\;dt}
である,ただし n(t) は半径 t の原点を中心とする円板内の f の零点の個数を表す.
イェンセンの公式は D 上有理型でしかない関数に一般化できる.すなわち,
f ( z ) = z l g ( z ) h ( z ) {\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}}}
と仮定する,ただし g と h は D 内の解析関数で零点をそれぞれ a 1 , ... , a n ∈ D ∖ { 0 } {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}} と b 1 , ... , b m ∈ D ∖ { 0 } {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}} に持つとすると,有理型関数に対するイェンセンの公式の主張は