ヒルベルト空間
R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} のベクトルを項とする級数 ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}_{n}} は、そのノルムの和(これは実数を項とする通常の級数)が ∑ n = 0 ∞ ‖ x n ‖ < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|<\infty }
なる条件を満たすとき、絶対収束するという。スカラー項級数の場合と全く同じく、絶対収束するベクトル項級数は
‖ L − ∑ n = 0 N x n ‖ → 0 as N → ∞ {\displaystyle \|{\boldsymbol {L}}-\textstyle \sum _{n=0}^{N}{\boldsymbol {x}}_{n}\|\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty }
なる意味で、このユークリッド空間の適当な極限ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} に収束する。このような性質(絶対収束級数は通常の意味でも収束する)は、ユークリッド空間の完備性 (completeness) として表される。
エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は(微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で)極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。
エルゴート力学系は、(ハミルトニアンで測られる)エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー E を固定して、ΩE をエネルギーが E となる状態すべてからなる相空間の部分集合(エネルギー面)とし、Tt で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、ΩE 上の定数でない連続関数で、ΩE の任意の w と任意の時間 t において
f ( T t w ) = f ( w ) {\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}
を満たすものがない場合に限る。リウヴィルの定理によれば、エネルギー面上の測度 μ で時間並進不変なものが存在する。結果として時間並進は、エネルギー面 ΩE 上の自乗可積分関数に内積を
⟨ f , g ⟩ L 2 ( Ω E , μ ) = ∫ E f g ̄ d μ {\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}(\Omega _{E},\mu )}=\int _{E}f{\bar {g}}\,d\mu }
1907年に、リースとフィッシャー(英語版)はそれぞれ独立にルベーグ自乗可積分関数全体の成す空間 L が完備距離空間であることを示した。このような幾何学的議論と系の完全性の議論が合わさった帰結として、19世紀に得られたフーリエ、ベッセル、パーシヴァル(英語版)らの三角級数についての成果を、これらのより一般の空間へ容易に持ち込むことができた。そうして得られた幾何学的かつ解析学的な仕組みは今日ではふつうリース・フィッシャーの定理として知られる。
更なる基本的結果が20世紀の初め頃に証明されていく。例えば、リースの表現定理は1907年にフレシェとリースがそれぞれ独立に示した。フォン・ノイマンは自身の非有界エルミート作用素の研究において「抽象ヒルベルト空間」という用語を創出した。他のワイルやウィーナーのような数学者は(しばしば物理学的な興味を動機として)既に特定のヒルベルト空間については極めて詳細な研究を行っていたのだけれども、一般のヒルベルト空間をきちんと、しかも公理的に取り扱ったのはフォン・ノイマンが最初である。後にフォン・ノイマンは、量子力学の基礎付けに関する金字塔的研究においてこのヒルベルト空間の概念を用いており、ウィグナーへと続いていく。「ヒルベルト空間」という呼称は瞬く間に他へ広まり、例えばワイルは自身の量子力学と群論の教科書で用いている。
ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な量子力学の数学的基礎の提供を実現したことで強く認識されるようになった。
ヒルベルト空間における自己随伴作用素のスペクトル論も広く研究が成されている。これには、実係数の場合の対称行列や複素係数の場合の自己随伴行列の研究と大まかな類似がある。同様の意味で、自己随伴作用素を適当な直交射影作用素の和(実際には積分)として表す「対角化」もできる。
作用素 T のスペクトル σ(T) とは、T − λ が連続な逆作用素を持たないような複素数 λ 全体の成す集合のことである。T が有界ならば、そのスペクトルは必ずガウス平面内のコンパクト集合で、円板 {|z| ≤ ‖T‖} の内側に入る。T が自己随伴ならばそのスペクトルは実であり、事実として区間 [m,M] に含まれる。ただし、
m = inf ‖ x ‖ = 1 ⟨ T x , x ⟩ , M = sup ‖ x ‖ = 1 ⟨ T x , x ⟩ {\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle ,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle }
とする。さらに言えば m と M はともに実際にはスペクトルに含まれる。
作用素 T の固有空間は
H λ = ker  ( T − λ ) {\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )}
で与えられる。有限次元の行列の場合と異なり、T のスペクトルの元は必ずしも固有値にはなるとは限らず、線型作用素 T − λ が逆を持たないときだけである(これは全射ではないから)。作用素のスペクトルの元は一般に「スペクトル値」と呼ばれる。スペクトル値は固有値とは限らないので、スペクトル分解は有限次元の場合よりは扱いが難しいことが多い。
ソボレフ空間 H あるいは W はヒルベルト空間になる。これらの空間は微分が行えるような関数空間の一種で、(ヘルダー空間のようなほかのバナッハ空間とは異なり)内積の構造も持つ特別な場合になっている。微分が使えることで、ソボレフ空間は偏微分方程式論に対して都合がよい。また変分法における直接法の基礎も与えている。
非負整数 s と領域 Ω ⊂ R に対し、ソボレフ空間 H(Ω) は s 階までの弱微分が全て L に属するような L-関数を全て含む。H(Ω) における内積は
⟨ f , g ⟩ = ∫ Ω f ( x ) g ̄ ( x ) d x + ∫ Ω D f ⋅ D g ̄ ( x ) d x + ⋯ + ∫ Ω D s f ( x ) ⋅ D s g ̄ ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,dx+\int _{\Omega }Df\cdot D{\bar {g}}(x)\,dx+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,dx}
で与えられる。
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, ...) で級数
∑ n = 1 ∞ | z n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}
が収束するようなもの(自乗総和可能な無限複素数列)全体の成す数列空間を l で表す。l 上の内積はエルミート積として
⟨ z , w ⟩ = ∑ n = 1 ∞ z n w ̄ n {\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\bar {w}}_{n}}
で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。
空間 l の完備性は「l の元からなる級数が(ノルムの意味で)絶対収束するならば必ず、その級数が l の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数(あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル)からなる級数と同程度容易に扱うことができる。