カリーのパラドックス
カリーのパラドックスの自然言語版は次のような文である。
この文が真なら、サンタクロースは実在する。
この文が真であると仮定する。すると、その内容からサンタクロースが実在するということが結論として得られる。これは conditional derivation(条件付き演繹)と呼ばれる自然演繹技法を使った推論である。
つまり、この文が真であるなら、サンタクロースは実在する — これはその文そのものと全く同じである。従ってこの文は真であり、サンタクロースは実在しなければならない。
この文形を使えばどんな主張も「証明」される。これがパラドックスである。
}}&(X\in X)\to ((X\in X)\to Y)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{3.}}&(X\in X)\to Y&{\mbox{from 2, contraction}}\\{\mbox{4.}}&((X\in X)\to Y)\to (X\in X)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{5.}}&X\in X&{\mbox{from 3 and 4, modus ponens}}\\{\mbox{6.}}&Y&{\mbox{from 3 and 5, modus ponens}}\end{matrix}}}
この場合も Y 自身が矛盾した論理式の派生形式がある。その場合の X は { x | ( x ∈ x ) → ( Z ∧ ¬ Z ) } {\displaystyle \left\{x|(x\in x)\to (Z\wedge \neg Z)\right\}} となり、最終的に { x | ( x ∉ x ) } {\displaystyle \left\{x|(x\notin x)\right\}} が得られる。これは自分自身を含まない全集合の集合を表している。これはラッセルのパラドックスと等価である。