関手
位相空間とその間の連続写像を射とする圏から実結合的多元環の圏への反変関手が、各位相空間 X に対してその上の実数値連続関数全体の成す多元環 C(X) を対応させることによって定まる。各連続写像 f: X → Y は各 φ ∈ C(Y) に対して C(f)(φ) ≔ φ ∘ f と置くことにより、多元環の準同型 C(f): C(Y) → C(X) を引き起こす。
函手 F に対して函手 G: D → C が HomD(FX, Y) ≡ HomC(X, GY) を満たすならば F は G の左随伴であると言い、 G は F の右随伴であると言う。
関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる(合成を逆向きにする)ような対応が多数存在する。そこで、C から D への 反変関手(はんへんかんしゅ、contravariant functor)F が、各対象 X ∈ C を 対象 F(X) ∈ D に対応させ、各射 f: X → Y ∈ C を射 F(f): F(Y) → F(X) ∈ D に対応させるとき、以下の性質
全ての対象 X ∈ C において F(idX) = idF(X),
全ての射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g)
を満たすものとして定義される。