双有理幾何学
ある(既約(irreducible)な)代数多様体 X から別の多様体 Y への有理写像(英語版)は、ダッシュ付矢印で X − → Y {\displaystyle X\;-\!\!\to Y} と書かれ、X の空ではない開集合 U から Y への射(英語版)(morphism)として定義される。代数幾何学で使用されるザリスキ位相の定義により、空ではない開部分集合 U は常に X の低い次元の部分集合の補集合である。具体的には、有理写像は有理函数を使って座標で記述することができる。
X から Y への双有理写像(birational map)は、有理写像 f : X − → Y {\displaystyle f\colon X\;-\!\!\to Y} であり、f の逆写像 Y − → X {\displaystyle Y\;-\!\!\to X} も有理写像である写像を言う。双有理写像は、X の空でない開集合から Y の空でない開集合への同型をひき起こす。このとき、X と Y は 双有理(birational) もしくは 双有理同値(birationally equivalent)と言う。代数的なことばでは、体 k 上の2つの多様体が双有理とは、それらの代数多様体の函数体が k の拡大体として同型であることと同値である。
特別な場合として、双有理写像 f: X → Y が代数多様体の射(morphism)となる場合がある。すなわち、f が全ての領域の上で定義されているが、逆が必ずしも全ての領域で定義されていない場合である。典型的には、双有理写像が X の部分多様体を Y の点へ縮めることがあるからである。