半単純リー環のルート系
E をユークリッド空間とし,R を E の被約抽象ルート系とする.さらに Δ を単純ルートたちのある選択とする.次の生成元と関係式で複素リー環を定義する.生成元:
H λ , X λ , Y λ for λ ∈ Δ , {\displaystyle H_{\lambda },X_{\lambda },Y_{\lambda }{\text{ for }}\lambda \in \Delta ,}
シュバレー・セール関係式(英語版):
[ H λ , H μ ] = 0 for all λ , μ ∈ Δ , [ H λ , X μ ] = ( λ , μ ) X μ , [ H λ , Y μ ] = − ( λ , μ ) Y μ , [ X μ , Y λ ] = δ μ λ H μ , a d X λ − ( μ , λ ) + 1 X μ = 0 for λ ≠ μ , a d Y λ − ( μ , λ ) + 1 Y μ = 0 for λ ≠ μ .