正準変換
H = K − ∂ W 1 ∂ t = K + e ∂ u ∂ t {\displaystyle H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}=K+e{\frac {\partial u}{\partial t}}}
の関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアンHが電磁ポテンシャルφ, Aを用いて
H = 1 2 m ∑ i ( p i − e A i ) 2 + e φ {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(p_{i}-eA_{i})^{2}+e\phi }
で表されることから、新しい正準変数でも同じ形式
K = 1 2 m ∑ i ( P i − e A i ′ ) 2 + e φ ′ {\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(P_{i}-eA'_{i})^{2}+e\phi '}
が成り立つことが分かる。ここでφ′, A′はゲージ変換した電磁ポテンシャル
φ ′ = φ − ∂ u ∂ t , {\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial u}{\partial t}},}
A i ′ = A i + ∂ u ∂ q i {\displaystyle A'_{i}=A_{i}+{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}}
である。