スティーフェル・ホイットニー類
たとえば、円上の直線束としてのメビウスの帯の 1 番目のスティーフェル・ホイットニー類は 0 でなく、一方、円上の自明直線束 S × R の 1 番目のスティーフェル・ホイットニー類は 0 である。
エドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の名前に因んだ命名のスティーフェル・ホイットニー類は、実ベクトル束に付帯する Z/2Z-特性類である。
代数幾何学では、非退化二次形式を持つベクトル束に対してスティーフェル・ホイットニー類の類似も定義されていて、エタールコホモロジー群やミルナーのK-理論に値を持つ。特別な例として、体上の二次形式のスティーフェル・ホイットニー類を定義することもでき、最初の 2つは判別式とハッセ・ヴィット不変量(英語版) (Hasse–Witt invariant) である(Milnor 1970)。
次の公理系は、 基底の mod-2 コホモロジーをパラコンパクト基底を持つ有限ランクの実ベクトルバンドルへ結び付けるスティーフェル・ホイットニー特性類 w の唯一の特徴付けをもたらす。
正規化(Normalization): 実射影空間(英語版)(real projective space) P(R) 上のトートロジーラインバンドル(英語版)(tautological line bundle)のホイットニー類は、非自明である。すなわち、 w ( γ 1 1 ) = 1 + a ∈ H ∗ ( P 1 ( R ) ; Z 2 ) = Z 2 [ a ] / ( a 2 ) {\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}[a]/(a^{2})} である。
ランク(Rank): w0(E) = 1 ∈ H(X) と E のランクの i に対し、 w i = 0 ∈ H i ( X ) {\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)} である。
実ベクトル束 E に対し、E のスティーフェル・ホイットニー類は、w(E) と書き、次のコホモロジー環の元である。
H ∗ ( X ; Z / 2 Z ) = ⨁ i ≥ 0 H i ( X ; Z / 2 Z ) {\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
ここで X は束 E の底空間であり、Z/2Z(しばしば、代わりに Z2 とも書かれる)は、0 と 1 のみからなる可換環である。H(X; Z/2Z) の中の w(E) の直和成分は、wi(E) で表され、E の i-番目のスティーフェル・ホイットニー類と呼ぶ。したがって w(E) = w0(E) + w1(E) + w2(E) + ... であり、ここに各々の wi(E) は、H(X; Z/2Z) の元である。
スティーフェル・ホイットニー類 w(E) は、実ベクトル束 E の不変量である。つまり、F が E とが同じ底空間 X を持つ別の実ベクトルで、F が E とが同型であれば、スティーフェル・ホイットニー類 w(E) と w(F) とは等しい。 (ここに、同型とは、恒等写像 idX: X → X を被覆するベクトル束の同型写像 E → F が存在することを言う。
ラインバンドルに関する上記の全単射は、4つの公理を満たす函手 θ は次の議論により w と等しいことを意味する。第二の公理は、θ(γ) = 1 + θ1(γ) であることを意味する。包含写像 i : P(R) → P(R) に対し、引き戻しバンドル i*γ は γ 1 1 {\displaystyle \gamma _{1}^{1}} と等しいので、第一と第三の公理を使うと、 i ∗ θ 1 ( γ 1 ) = θ 1 ( i ∗ γ 1 ) = θ 1 ( γ 1 1 ) = w 1 ( γ 1 1 ) = w 1 ( i ∗ γ 1 ) = i ∗ w 1 ( γ 1 ) {\displaystyle i^{*}\theta _{1}(\gamma ^{1})=\theta _{1}(i^{*}\gamma ^{1})=\theta _{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(i^{*}\gamma ^{1})=i^{*}w_{1}(\gamma ^{1})} である。