自由粒子
前節との違いはフーリエ変換の定義である。 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} (および ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )} )の全空間 R d {\displaystyle \mathbf {R} ^{d}} 上での絶対可積分性を仮定していないため、 R d {\displaystyle \mathbf {R} ^{d}} 上のフーリエ積分
1 ( 2 π ) d / 2 ∫ R d e − i p x / ħ ψ ( x , t ) d x {\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
は一般には意味を持たない。 そこでまず原点中心の半径rの球体B(0,r)上のフーリエ積分
1 ( 2 π ) d / 2 ∫ B ( 0 , r ) e − i p x / ħ ψ ( x , t ) d x {\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
を考え、この積分のL極限
l . i .