微分の記法
変数 x に対して導関数 df/dx が示す値は関数 f の微分係数(微係数)という。
高階導関数は、y = f(x) の n 階の導関数に対して
d n y d x n {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}} または d n ( f ( x ) ) d x n {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{\mathrm {d} x^{n}}}} または d n d x n ( f ( x ) ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
のように表される。(一つ目は、"d n y d x n"と読まれる。)これはそもそも、例えば三階導関数というのは
アイザック・ニュートンによるニュートンの記法は微分のドット記法とも呼ばれ、従属変数の上部にドット記号「・」を記して
y ̇ = d y d t , y ̈ = d 2 y d t 2 , ... {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},\quad {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad \ldots }
などのように表す。しばしば速度や加速度のような時間微分の表現法として使用される。これはラグランジュの記法におけるプライム記号を直接的に置き換えたような用法も可能だが、その場合もやはり時間の関数 f(t) に対して使用するのが普通である。
ニュートンの記法は、力学および常微分方程式の理論で主に使用される。そこでは、一階および二階の微分のみを用い、また、時間に関する微分に対してのみこの記法を用いるということが一般的である。
= ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k {\displaystyle =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} }
= | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\[12pt]A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}}
ベクトル解析は空間ベクトルの解析に多用され、場の理論、電磁気学等で有用な解析手法である。ここでは特化された微分の記法が用いられるが、極めて記号的な計算を可能とする。ここでは三次元ユークリッド空間の例を示す。3次元ユークリッド空間上での 直交座標系 o-xyz においてベクトル場 A を A = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})} 、スカラー場 φ を φ = f ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =f(x,y,z)\,} とする。
まず微分演算子 (ハミルトン演算子) としてナブラ記号 ∇ {\displaystyle \nabla } を記号的に定める。ここで記号的にとは、∇ をベクトルとして扱い、要素の偏微分記述が通常の項のように被演算項として扱われることを意味している。
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
これによりベクトル解析で繁用される微分操作が次のように非常に簡易かつ強力に書き記される。