射影加群
R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 加群 P が射影加群である、あるいは射影的とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう。
関手 Hom(P, –) が完全である、つまり任意の短完全列 0 → N → M → K → 0 に対して 0 → Hom(P, N) → Hom(P, M) → Hom(P, K) → 0 も短完全列である
P はある自由加群の直和因子と同型である
任意の全射 N → M に対して Hom(P, N) → Hom(P, M) も全射である
任意の加群 M に対して Ext(P, M) = 0
任意の加群 M と正の整数 n に対して Ext(P, M) = 0
任意の全射 f : N → M と射 g : P → M に対して f・ h = g となる射 h : P → N が存在する

より一般にアーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象 P は関手 Hom A  ( P , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(P,-)} が完全なときに、射影的という。