自己回帰移動平均モデル
自己回帰移動平均モデル(じこかいきいどうへいきんモデル、英: autoregressive moving average model、ARMAモデル)は自己回帰モデルによる線形フィードバックと移動平均モデルによる線形フィードフォワードによりシステムを表現するモデルである。George Box と G. M. Jenkins の名をとって "ボックス・ジェンキンスモデル" とも呼ばれる。
ARMAモデルは時系列データの将来値を予測するツールとして機能する。
m ≠ 0 の場合、 E [ ε t X t − m ] = 0 {\displaystyle E[\varepsilon _{t}X_{t-m}]=0} となる。m = 0 の場合、次のようになる。
E [ ε t X t ] = E [ ε t ( ∑ i = 1 p φ i X t − i + ε t ) ] = ∑ i = 1 p φ i E [ ε t X t − i ] + E [ ε t 2 ] = 0 + σ ε 2 , {\displaystyle E[\varepsilon _{t}X_{t}]=E\left[\varepsilon _{t}(\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,X_{t-i}+\varepsilon _{t})\right]=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,E[\varepsilon _{t}\,X_{t-i}]+E[\varepsilon _{t}^{2}]=0+\sigma _{\varepsilon }^{2},}
従って、次が得られる。
γ m = E [ ∑ i = 1 p φ i X t − i X t − m ] + σ ε 2 δ m .
この自己共分散関数は減衰時間 τ = − 1 / ln  ( φ ) {\displaystyle \tau =-1/\ln(\varphi )} で減衰する(これを確かめるには、 B n = K φ | n | {\displaystyle B_{n}=K\phi ^{|n|}} で K {\displaystyle K} が n {\displaystyle n} に独立な場合を考えればよい。 φ | n | = e | n | ln  φ {\displaystyle \phi ^{|n|}=e^{|n|\ln \phi }} であり、指数関数的減衰の法則 e − n / τ {\displaystyle e^{-n/\tau }} に適合することに注意されたい)。スペクトル密度関数は自己共分散関数の逆フーリエ変換である。離散系では、離散時間逆フーリエ変換が適用される。
Φ ( ω ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ B n e − i ω n = 1 2 π ( σ 2 1 + φ 2 − 2 φ cos  ( ω ) ) . {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }B_{n}e^{-i\omega n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\left({\frac {\sigma ^{2}}{1+\varphi ^{2}-2\varphi \cos(\omega )}}\right).