リースの表現定理
ある局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上の、コンパクトな台を持つ複素数値連続関数からなる空間を Cc(X) と表す。ここでの定理は、Cc(X) 上の正の線型汎函数を表現するものである。以下、「ボレル集合」という語は、「開」集合によって生成される σ-代数を表すために用いられる。
局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上の、非負の可算加法的なボレル測度 μ が正則 (regular) であることは、以下と同値である:
すべてのコンパクトな K に対して μ(K) < ∞ が成り立つ;
すべてのボレル集合 E に対し、
μ ( E ) = inf { μ ( U ) : E ⊆ U , U open } {\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}}
が成り立つ;
関係式
μ ( E ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ E , K compact } {\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}}
が、E が開集合であるとき、あるいは E がボレル集合かつ μ(E) < ∞ であるとき、必ず成り立つ。
定理リース=マルコフ=角谷の表現定理 X を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。Cc(X) 上の任意の正の線型汎函数 ψ に対し、X 上の次のような正則ボレル測度 μ が唯一つ存在する。
すなわち、Cc(X) 内のすべての f について
ψ ( f ) = ∫ X f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)}
が成立する。
測度論への1つのアプローチとして、C(X) 上の正の線型汎函数として定義されるラドン測度から始める方法が考えられる。これはブルバキによって採用された方法である。当然、 X は単純な集合ではなく位相空間として考えられる必要がある。局所コンパクトな空間に対し、積分論を再び構築できる。
歴史的な注意:F. Riesz (1909) における元々の形式でのこの定理では、区間 [0,1] 内の連続関数の空間 C([0, 1]) についてのすべての連続線型汎函数 A[f] が
A [ f ] = ∫ 0 1 f ( x ) d α ( x ) {\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}
という形で表現される、ということが述べられている。ここで α(x) は区間 [0, 1] 上の有界変動関数であり、積分はリーマン=スティルチェス積分である。その区間でのボレル正則測度と、有界変動関数の間には1対1の対応があるため、上述した定理はリースの元々の定理の内容を一般化するものである(歴史的な議論については、Gray (1984) を参照)。