中線定理
三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとし、∠OMA = θ とすると、 ∠OMB = π - θ.
三角形OMAにおいて、余弦定理を適用すると、
O A 2 = O M 2 + A M 2 − 2 O M ⋅ A M cos  θ . {\displaystyle OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}-2OM\cdot AM\cos \theta .}
三角形OMBにおいて、余弦定理を適用すると、
O B 2 = O M 2 + B M 2 − 2 O M ⋅ B M cos  ( π − θ ) . {\displaystyle OB^{2}=OM^{2}+BM^{2}-2OM\cdot BM\cos(\pi -\theta ).}
ここで、点Mは辺ABの中点だから、AM = BM が成り立つ。
一方、 cos  ( π − θ ) = − cos  θ {\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta } が成り立つので、
O A 2 + O B 2 = 2 ( O M 2 + A M 2 ) . {\displaystyle OA^{2}+OB^{2}=2(OM^{2}+AM^{2}).} Q.E.D.