形式微分
係数環 R(可換でなくともよい)を決めて、R 上の多項式環 A ≔ R[x] を考える。A 上の演算としての形式微分 "′" または "D" は、R 上の多項式
に対して、その導多項式(形式導函数)と呼ばれる多項式
を対応付ける(これは実または複素数体上の多項式函数に対する通常の微分を考えたときとちょうど同じ式である)。
係数環 R が可換環であるときには、形式微分の上記定義と同値な(そして微分積分学で見るものとよく似た)別定義をあたえることができる。二変数多項式環 R[X, Y] において、その元 Y – X は、任意の自然数 n に対する二項式 Y – X を整除するから、したがって任意の一変数多項式 f に対する f(Y) – f(X) も整除する。そのときの商を g と書けば、つまり
と置けば、Y = X とした g(X, X) ∈ R[X] が f の(上で定義した)形式微分に一致することを見るのは難しくない。
いま見たような形式微分の定式化は、係数環が可換である限りにおいて、形式冪級数に対しても同じく適用できる。
実用においては、本節における定義は f として X において連続な Y の函数のクラスで行えば古典的な通常の微分の概念の捉え直しになるものである。さらに強く X, Y 両方に関して(多変数連続性の意味で)連続な函数のクラスで適用すれば、一様可微分性の概念が得られ、また f は連続的微分可能となる。同様にほかのクラスの函数(例えばリプシッツ函数のクラス)をとることにより、異なる毛色の可微分性概念を作ることができる。このように得られる微分法は、函数環の理論の一部を成すものである。
↑ 非可換の場合にも適用可能な別定義: R の任意の元 r に対して r′ = 0 かつ不定元 x に対して x′ = 1 が満足されるものとする。これらから定義される任意の文字式に対する微分を二条件 ( a + b ) ′ = a ′ + b ′ , ( a ⋅ b ) ′ = a ′ ⋅ b + a ⋅ b ′ {\displaystyle (a+b)'=a'+b',\quad (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'} が成り立つものとして定義する。確認すべきは、これが各文字式に対してその値の評価の仕方に依らず同じ結果を与えることであり、それは環の公理として現れる全ての等式と両立すること: ( a + b ) ′ = ( b + a ) ′ , {\displaystyle (a+b)'=(b+a)',} ( ( a + b ) + c ) ′ = ( a + ( b + c ) ) ′ , {\displaystyle ((a+b)+c)'=(a+(b+c))',} ( a ( b c ) ) ′ = ( ( a b ) c ) ′ , {\displaystyle (a(bc))'=((ab)c)',} ( ( a + b ) c ) ′ = ( a c + b c ) ′ , ( a ( b + c ) ) ′ = ( a b + a c ) ′ {\displaystyle ((a+b)c)'=(ac+bc)',\quad (a(b+c))'=(ab+ac)'} (が上記の二条件のみを用いて導出できること)を見ることで為される。