キリングベクトル場
キリング場は、ある点でのベクトルとその勾配(つまり、点における場のすべての共変微分により決定される。
2つのキリング場のリーブラケットもまたキリング場であるので、多様体 M 上のキリング場は、M 上のベクトル場のリー代数を形成する。M が完備であれば、この代数は多様体の等長群(英語版)(isometry group)のリー代数となる。
コンパクトな多様体に対し、
負のリッチ曲率は、非自明な(0 でない)キリングベクトルが存在しないことを意味する。
非負のリッチ曲率は、すべてのキリング場が平行である、つまり、すべてのベクトル場にそった共変微分が恒等的に 0 となることを意味する。
断面曲率は正で、M の次元は偶数であれば、キリング場は零点を持つ。
すべてのキリングベクトル場の発散は 0 となる。
X {\displaystyle X} がキリングベクトル場で Y {\displaystyle Y} が調和ベクトル場であれば、 g ( X , Y ) {\displaystyle g(X,Y)} は調和函数である。
X {\displaystyle X} がキリングベクトル場で ω {\displaystyle \omega } が調和 p-形式であれば、 L X ω = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0} である。