台 (測度論)
ディラック測度 δp の場合、x ∈ R とし、次の二つの場合を考える。
x = p であるなら、x のすべての開近傍 Nx は p を含み、したがって δp(Nx) = 1 > 0 となる;
一方、x ≠ p であるなら、x を含む十分小さな開球 B で p を含まないようなものが存在する。このとき δp(B) = 0 となる。
以上より、supp(δp) は単集合 {p} の閉包、すなわち {p} 自身であると結論付けられる。
実際、実数直線上のある測度 μ がある点 p に対するディラック測度 δp であるための必要十分条件は、μ の台が単集合 {p} であることである。したがって、実数直線上のディラック測度は、分散がゼロであるような唯一つの測度である。
「開区間」によって生成される位相を伴うすべての可算順序からなる空間は、局所コンパクトハウスドルフ空間である。非有界な閉部分集合を含むボレル集合に対しては 1 となり、その他のボレル集合に対しては 0 となるような測度は、台が空であるようなボレル確率測度である。
あるコンパクトなハウスドルフ空間上では、非ゼロ測度の台は常に空ではないが、測度 0 となることがある。このような例の一つとして、前述の例に第一非可算順序 Ω を加えることが考えられる。このとき、測度の台は単一の点 Ω となり、その測度は 0 である。