ラングランズ・シャヒーディの方法
γ-因子は函数等式での役割と局所性質の中での役割により、双曲的な導出の観点(parabolic induction)からは多重度として一意に特徴付けられる。それらは、v をアルキメデス的局所体を与える、もしくは、非アルキメデス的で π v {\displaystyle \pi _{v}} が M(F) の不分岐主系列表現の成分であるとき、アルティンのL-函数とアルティンの根との関係を意味する。従って、局所 L-函数と根 ε ( s , π v , r i , v , ψ v ) {\displaystyle (s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})} は、どこでも定義でき、p-進群のラングランズの分類より v ∈ S {\displaystyle v\in S} を意味する。函数等式は、
L ( s , π , r i ) = ε ( s , π , r i ) L ( 1 − s , π ~ , r i ) {\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i})}
の形をしている。ここに L ( s , π , r i ) {\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})} と ε ( s , π , r i ) {\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r_{i})} は完備化された大域的L-函数と根である。