同値類
X の任意の元 x は同値類 [x] の元である.任意の2つの同値類 [x] と [y] は,等しいか互いに素かのいずれかである.したがって,X のすべての同値類からなる集合は X の分割をなす,つまり,X の任意の元はちょうど1つの同値類に属する.逆に X の任意の分割は同値関係からこのようにして生じる.x ∼ y を x と y が分割の同じ集合に属するとした同値関係である.
同値関係の性質から次が従う:
x ∼ y ⇔ [x] = [y].
言い換えると,∼ が集合 X 上の同値関係であり,x と y が X の2つの元であれば,以下の主張は同値である:
x ∼ y {\displaystyle x\sim y}
[ x ] = [ y ] {\displaystyle [x]=[y]}
[ x ] ∩ [ y ] ≠ ∅ . {\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}