稠密部分加群
極大右商環 (maximal right ring of quotients) は R の稠密右イデアルと関連して2つの方法で記述することができる。
1つの方法は、Ẽ(R) はある自己準同型環と同型な加群であることが証明され、その環構造からこの同型によって Ẽ(R) に環構造、極大右商環の構造が入る (Lam 1999, p. 366)。
2つ目の方法は、極大右商環は R の稠密右イデアルから R の中への準同型の同値類の集合と同一視される。同値関係は、2つの関数が同値であることを R のある稠密右イデアルで一致することによって定める (Lam 1999, p. 370)。
この記事は (Storrer 1972) と (Lam 1999, p. 272) に現れる exposition を修正する。R を環とし M を右 R 加群とし N をその部分加群とする。M の元 y of M に対し、
y − 1 N = { r ∈ R ∣ y r ∈ N } {\displaystyle y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,}
と定義する。表現 y は形式的なものに過ぎないことに注意する。加群の元 y が可逆であると言うことは意味がないからだ。しかしこの表記は y⋅(yN) ⊆ N であることを示唆する助けになる。集合 y N はつねに R の右イデアルである。
M の部分加群 N が稠密部分加群 (dense submodule) であるとは、M のすべての元 x ≠ 0 と y に対して R のある元 r が存在して xr ≠ {0} かつ yr が N の元となることである。言い換えると、導入した表記を用いて、集合
x ( y − 1 N ) ≠ { 0 } {\displaystyle x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,}
ということである。このとき、関係は
N ⊆ d M {\displaystyle N\subseteq _{d}M\,}
と表記される。
別の同値な定義は本質的にホモロジカルである。N が M において稠密であることと
H o m R ( M / N , E ( M ) ) = { 0 } {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\}\,}
ただし E(M) は M の移入包絡、は同値である。