順序数
α, β を順序数とする。 整列集合 (A, <A), (B, <B) を ord(A, <A) = α, ord(B, <B) = β, A ∩ B = ∅ をみたすように取り、A ∪ B 上の関係 <A ⊕ <B を、
x (<A ⊕ <B) y ⇔ x <A y または x <B y または ⟨x, y⟩ ∈ A × B
によって定義すれば、(A ∪ B, <A ⊕ <B) は整列集合であり、その順序数は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで ord(A ∪ B, <A ⊕ <B) を α と β の和といい、これを α + β で表す。直観的には、α + β というのは α の後ろに β を並べてできる整列集合の順序数である。
順序数の和について次が成り立つ:
&α, β が有限順序数ならば、和 α + β は自然数の間の通常の和と一致する。
(α + β) + γ = α + (β + γ) 。
α + 0 = 0 + α = α 。
α + S(β) = S(α + β) 。
γ が極限順序数のとき、α + γ = sup({ α + β | β < γ}) 。
β < γ ⇔ α + β < α + γ 。
β ≤ γ ⇒ β + α ≤ γ + α 。
順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
α ≤ β ならば α + γ = β をみたす γ がただ一つ存在する。
α, β を順序数とする。 整列集合 (A, <A), (B, <B) を ord(A, <A) = α, ord(B, <B) = β をみたすように取り、F(A, B) = { f ∈ A | { b ∈ B | f(b) ≠ min(A)} は有限集合 } 上の関係 <A △ <B を、
f (<A △ <B) g ⇔ f ≠ g かつ、 f(b) ≠ g(b) をみたす最大の b ∈ B に対して f(b) <A g(b)
によって定義すれば、(F(A, B), <A △ <B) は整列集合であり、その順序数は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで ord(F(A, B), <A △ <B) を α の β 乗といい、これを α で表す。
順序数の冪について次が成り立つ:
α, β が有限順序数ならば、冪 α は自然数の通常の冪に一致する。
0 = 1 。
0 < β のとき、0 = 0 。
α = 1 。
α = (α) · α 。
0 < α で、γ が極限順序数のとき、α = sup({ α | β < γ}) 。
1 < α のとき、β < γ ⇔ α < α 。
β ≤ γ ⇒ β ≤ γ 。
α = (α) · (α) 。
(α) = α 。
(β · γ) = (β) · (γ) は一般には成り立たない。