幾何学的トポロジー
低次元トポロジーは、
曲面 (2-次元多様体)
3次元多様体(英語版)(3-manifold)
4次元多様体
の分野に分かれ、ある条件下でそれぞれの理論がある。
低次元トポロジーは非常に幾何学的である。それは2次元における一意化定理(すべての曲面は定曲率の計量を持つ。幾何学的には、曲面は3つの可能な幾何学モデル(正曲率/球状、零曲率/平坦、負曲率/双曲)のうちのひとつを持つ)と、3次元の場合の幾何化予想(すべての 3次元多様体は、それぞれ、8つの可能な幾何学モデルのうちのひとつを持つピースとなるよう分解することができる)に反映されている。
2次元トポロジーは、すべての計量の共形類は一意に複素計量に同値であるという一意化定理により、一変数の複素幾何学として研究することができる(リーマン面は複素曲線である)。また、4次元トポロジーは、すべての 4次元多様体が複素構造を持つわけではないが、2変数(複素曲面)の複素幾何学の観点から研究することができる。