コンパクト化
チコノフ空間 X {\displaystyle X} について C b ( X ) {\displaystyle C_{b}(X)} を X {\displaystyle X} 上の有界実関数全体とする。 このとき自然な埋め込み i : X → ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle i:X\to \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} を i ( x ) ( f ) := f ( x ) ( x ∈ X , f ∈ C b ( X ) ) {\displaystyle i(x)(f):=f(x)(x\in X,f\in C_{b}(X))} と定義する。このとき( X {\displaystyle X} がチコノフ空間なので) i : X → i ( X ) {\displaystyle i:X\to i(X)} は同相写像となる。 さらに ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} がチコノフの定理からコンパクトとなることからその閉部分集合 i ( X ) ̄ {\displaystyle {\overline {i(X)}}} はコンパクトである。
以上から i : X → i ( X ) ̄ {\displaystyle i:X\to {\overline {i(X)}}} はハウスドルフなコンパクト化になっている。
ここで μ ∈ ω X {\displaystyle \mu \in \omega X} を { C λ : λ ∈ Λ } {\displaystyle \{C_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}} を含む超フィルターとすると ω C λ {\displaystyle \omega C_{\lambda }} の定義から μ ∈ ⋂ λ ∈ Λ ω C λ {\displaystyle \mu \in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }} 。 よって ω X {\displaystyle \omega X} はコンパクト。
写像 i : X → ω X {\displaystyle i:X\to \omega X} を i ( x ) := { C ∈ F : x ∈ C } ( x ∈ X ) {\displaystyle i(x):=\{C\in {\mathcal {F}}\colon x\in C\}(x\in X)} と定義する。