真の算術
真の算術での中心的な結果は、アルフレト・タルスキ (1936) の定義不可能性定理である。この定理は集合 Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) が算術的に定義可能でないと述べる。これは一階算術のシグネチャに以下のような「万能論理式」 φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} が存在しないという意味である: このシグネチャにおける任意の文 θ {\displaystyle \theta } に対して、
N ⊨ θ {\displaystyle {\mathcal {N}}\models \theta \qquad } if and only if N ⊨ φ ( # ( θ ) _ ) . {\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi ({\underline {\#(\theta )}}).}
ここで # ( θ ) _ {\displaystyle {\underline {\#(\theta )}}} は文 θ {\displaystyle \theta } の正規ゲーデル数の数字である。
ポストの定理は定義不可能性定理のよりシャープなバージョンであり、算術的階層を使って Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) の定義可能性とチューリング次数の間の関係を示す。