一様ノルム
適当な集合 X とノルム空間 (Y, ǁ ⋅ ǁY) に対し、X から Y への有界写像全体の成す写像空間を M(X, Y) で表せば、写像
‖ ⋅ ‖ ∞ : M ( X , Y ) → R ; f ↦ ‖ f ‖ ∞ := sup x ∈ X ‖ f ( x ) ‖ Y {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{\infty }\colon M(X,Y)\to \mathbb {R} ;\;f\mapsto \lVert f\rVert _{\infty }:=\sup _{x\in X}\lVert f(x)\rVert _{Y}}
は M(X, Y) 上のノルムを定める。この写像 ǁ ⋅ ǁ∞ をM(X, Y) 上の上限ノルムと呼ぶ。各点のノルムの上限が無限大にならないために、有界性は本質的である。
終域 Y が完備(したがってバナッハ空間)ならば、空間 M(X, Y) は上限ノルムに関してバナッハ空間となる。