重力ポテンシャル
ある天体がつくる重力ポテンシャルを Φ ( r ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})} とする。位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} にある粒子がこの天体の重力圏を脱して無限遠に到達するためには、その粒子の力学的エネルギー E = 1 2 v 2 + Φ ( r ) {\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\Phi ({\boldsymbol {r}})} が非負である必要がある。この条件を満足する最小の速さ
v e s c = − 2 Φ ( r ) {\displaystyle v_{\mathrm {esc} }={\sqrt {-2\Phi ({\boldsymbol {r}})}}}
を位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} での脱出速度と呼ぶ。また、球対称ポテンシャル Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (r)} において半径 r {\displaystyle r} で等速円運動するときの速度
v c = r ∂ r Φ ( r ) {\displaystyle v_{\mathrm {c} }={\sqrt {r\partial _{r}\Phi (r)}}}
を円軌道速度と呼ぶ。
より一般に、任意の質量分布(英語版)に伴う重力ポテンシャルは各質量要素がつくるポテンシャルを足し上げたものに等しい。例えば N {\displaystyle N} 個の質点系ならば, 質点 M i {\displaystyle M_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , N {\displaystyle i=1,2,\cdots ,N} ) の座標を r i {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}} とすると
Φ ( r ) = − ∑ i = 1 N G M i | r − r i | {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {GM_{i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}}
となる。
質量分布が3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の連続的な分布 d M = ρ ( r ) d 3 r {\displaystyle dM=\rho ({\boldsymbol {r}})d^{3}r} である場合には、上式の和は体積積分へと置き換えられる。
特に地球のように軸対称な系の場合、多重極モーメント Q l m {\displaystyle Q_{lm}} は m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} のときゼロになり、重力ポテンシャルはルジャンドル多項式 P l {\displaystyle P_{l}} を用いて
Φ ( r , θ , φ ) = − G M r { 1 − ∑ l = 2 ∞ J l ( R r ) l P l ( cos  θ ) } {\displaystyle \Phi (r,\theta ,\varphi )=-{\frac {GM}{r}}\left\{1-\sum _{l=2}^{\infty }J_{l}\left({\frac {R}{r}}\right)^{l}P_{l}(\cos \theta )\right\}}
と書ける。