ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素
数学の分野におけるガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素(ガウス=クズミン=ヴィルズィングさようそ、英: Gauss–Kuzmin–Wirsing operator)とは、カール・ガウス、ロディオン・クズミン(英語版)およびエデュアルト・ヴィルズィングの名にちなむ、連分数の研究に現れるある作用素のことを言う。リーマンゼータ関数とも関連している。
関数 f(x) および g ( x ) = [ G f ] ( x ) {\displaystyle g(x)=[Gf](x)} に対し、x=1 でのテイラー展開を考える。すなわち
f ( 1 − x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n f ( n ) ( 1 ) n ! {\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}}
とし、g(x) も同様の形式で表現する。ガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素は x = 0 における性質が良くないため、この展開は x = 1 において行われている。したがって 1-x についての展開を扱う上で、正の 0 ≤ x ≤ 1 のみを考えることになる。このとき、ガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素はテイラー係数の上で
( − 1 ) m g ( m ) ( 1 ) m ! = ∑ n = 0 ∞ G m n ( − 1 ) n f ( n ) ( 1 ) n !