レヴィ・チヴィタ接続
∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T} の2つの微分 Γ ( r , s ) → ∇ Γ ( r , s + 1 ) → ∇ Γ ( r , s + 2 ) {\displaystyle \Gamma (r,s){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+1){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+2)} で増えた2つの引数のうちどちらにXを入れ、どちらにYを入れるかは文献によって異なる。本項では文献に従い、先に増えた引数にY、後から増えた引数にXを入れたが、文献では逆に先に増えた引数にXを入れている。
また、我々は文献に従い、「 ∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T} 」という記号を使ったが、文献によっては「 ∇ X , Y 2 T {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T} 」の事を ∇ X ∇ Y T {\displaystyle \nabla _{X}\nabla _{Y}T} と書くものもある。この値はTに∇Y、∇Xを順に作用させた ∇ X ( ∇ Y T ) {\displaystyle \nabla _{X}(\nabla _{Y}T)} とは異なるので注意されたい。
.. , m {\displaystyle j=1,\ldots ,m}
曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} の弧長
s = ∫ a t g x ( d x d t , d x d t ) d t {\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {g_{x}\left({dx \over dt},{dx \over dt}\right)}}dt}
によって x ( t ) {\displaystyle x(t)} をパラメトライズする事を弧長パラメーター表示という。実は次が成立する:
定理 ― 滑らかな曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} が弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式を満たす必要十分条件は、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} を弧長パラメーターに変換した P ( s ) {\displaystyle P(s)} が測地線方程式
∇ d s d P d s = 0 {\displaystyle {\nabla \over ds}{dP \over ds}=0}
を満たす事である。
x ̇ = d x d t {\displaystyle {\dot {x}}={\tfrac {dx}{dt}}} 、 g ( ⋅ , ⋅ ) = g x ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle g(\cdot ,\cdot )=g_{x}(\cdot ,\cdot )} 、と略記すると、
d s = g ( x ̇ , x ̇ ) d t {\displaystyle ds={\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}dt}
次の事実が知られている:
定理 ― リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続の曲率は以下を満たす:
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)}
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g ( R ( Z , W ) X , Y ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)}
ビアンキの第一恒等式: R ( X , Y ) Z + R ( Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0 {\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0}
リーマン多様体の場合、MがコンパクトであればMは距離空間として完備なのでHopf-Rinowの定理からMは測地線完備になる。しかしMがコンパクトであっても、M上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラスが知られている。
また擬リーマン多様体では ‖ v ‖ := g ( v , v ) {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}} が定義できるとは限らないので、測地線を長さ ∫ a b ‖ d u d t ‖ d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|dt} の停留場曲線として特徴づける事はできない。しかしエネルギー ∫ a b ‖ d u d t ‖ 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|^{2}dt} は擬リーマン多様体でも定義でき、測地線をエネルギーの停留曲線として特徴づけられる。一般相対性理論においては、これはエネルギーを極小にする曲線が自由落下の軌道である事を意味する。
∇ X α = ( X j ∂ α k ∂ x j − α i X j Γ j k i ) d x k {\displaystyle \nabla _{X}\alpha =\left(X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}-\alpha _{i}X^{j}\Gamma _{jk}^{i}\right)dx^{k}}
⟨ ∇ X α , Y ⟩ {\displaystyle \langle \nabla _{X}\alpha ,Y\rangle } = ⟨ ( ∇ X α ♯ ) ♭ , Y ⟩ {\displaystyle =\langle (\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat },Y\rangle } = g ( ( ∇ X α ♯ ) , Y ) {\displaystyle =g((\nabla _{X}\alpha ^{\sharp }),Y)} = X ( g ( α ♯ , Y ) ) − g ( α ♯ , ∇ X Y ) {\displaystyle =X(g(\alpha ^{\sharp },Y))-g(\alpha ^{\sharp },\nabla _{X}Y)} = X ( α ( Y ) ) − α ( ∇ X Y ) {\displaystyle =X(\alpha (Y))-\alpha (\nabla _{X}Y)}
∇ X α {\displaystyle \nabla _{X}\alpha } を成分表示すると、
定理 (リッチの公式) ― X、YをM上のベクトル場とし、f、Z、αをそれぞれM上の実数値関数、ベクトル場、1-形式とする。このとき以下が成立する:
∇ X , Y 2 f − ∇ Y , X 2 f = 0 {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}f-\nabla _{Y,X}^{2}f=0}
∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z = R ( X , Y ) Z {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}Z-\nabla _{Y,X}^{2}Z=R(X,Y)Z}
( ∇ X , Y 2 α − ∇ Y , X 2 α ) Z = − α ( R ( X , Y ) Z ) {\displaystyle (\nabla _{X,Y}^{2}\alpha -\nabla _{Y,X}^{2}\alpha )Z=-\alpha (R(X,Y)Z)}
なお、 ( R ( X , Y ) ⌟ α ) ( Z ) := α ( R ( X , Y ) Z ) {\displaystyle (R(X,Y)\lrcorner \alpha )(Z):=\alpha (R(X,Y)Z)} と定義すれば、最後の式は
∇ X , Y 2 α − ∇ Y , X 2 α = − R ( X , Y ) ⌟ α {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}\alpha -\nabla _{Y,X}^{2}\alpha =-R(X,Y)\lrcorner \alpha }
レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた
∇ X Z = ( X j ∂ Z i ∂ x j + X j Z k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Z=\left(X^{j}{\partial Z^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Z^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}}
より、 M = R m {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{m}} であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全て0になる。よって
この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。
ズレを測るため、クリストッフェル記号 Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} が全て0であれば、
∇ X Z = X ( Z i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Z=X(Z^{i}){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}
となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、
.. , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} を対応する主曲率であり、 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はMのuにおける断面曲率であり、 S e c ̄ u ( X , Y ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(X,Y)} は M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} のuにおける断面曲率である。
よって特にMが2次元リーマン多様体で M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の場合はMの断面曲率 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はガウス曲率κ1κ2に一致する(Theorema Egregium)。
144に従い、 R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j = R i j k l ∂ ∂ x i {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} としたが、#Viaclovsky p.11では R ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) ∂ ∂ x k = R i j k l ∂ ∂ x l {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}=R_{ijk}{}^{\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}} としている。
↑ 断面曲率との関係性を示すために両辺の分母を表記したが、両辺の分母は同一であるので、実際には分母は必要ない。
↑ なお、#新井 p.281では本項でいう擬リーマン多様体を「一般リーマン多様体」と呼び、「一般リーマン多様体」のうちgが正定値ではないもの(すなわちリーマン多様体ではないもの)を擬リーマン多様体と呼んでいるが、本項では他の文献にあわせてgが正定値のものも擬リーマン多様体と呼ぶことにした。
a j k i g i l = a j k i ⟨ ∂ y → ∂ x i , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle a_{jk}^{i}g_{i\ell }=a_{jk}^{i}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ) , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle =\left\langle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}\right),{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle }
であるので、
a j k i = g i l ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle a_{jk}^{i}=g^{i\ell }\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } ...(C)
である。一方ライプニッツ・ルールより
( ∇ X α ) ( Y ) = X ( α ( Y ) ) − α ( ∇ X Y ) {\displaystyle (\nabla _{X}\alpha )(Y)=X(\alpha (Y))-\alpha (\nabla _{X}Y)} = X j ∂ ∂ x j ( α k Y k ) − α i ( X j ∂ Y i ∂ x j + X j Y k Γ j k i ) {\displaystyle =X^{j}{\partial \over \partial x^{j}}(\alpha _{k}Y^{k})-\alpha _{i}\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)} = X j ∂ α k ∂ x j Y k − α i X j Y k Γ j k i {\displaystyle =X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}Y^{k}-\alpha _{i}X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}} = ( X j ∂ α k ∂ x j − α i X j Γ j k i ) d x k ( Y ) {\displaystyle =\left(X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}-\alpha _{i}X^{j}\Gamma _{jk}^{i}\right)dx^{k}(Y)}
リーマン多様体上のベクトル解析を展開するための準備としてホッジ作用素と余微分を定義する。mをMの次元とする。Mが向き付け可能なとき、M上にリーマン計量gから定まる体積形式をdVとする。 α ∈ ∧ k T ∗ M {\displaystyle \alpha \in \wedge ^{k}T^{*}M} を微分形式とするとき
α ∧ β = ⟨ ∗ α , β ⟩ d V {\displaystyle \alpha \wedge \beta =\langle *\alpha ,\beta \rangle dV}
が任意の β ∈ ∧ m − k T ∗ M {\displaystyle \beta \in \wedge ^{m-k}T^{*}M} に対して成立するような ∗ α ∈ ∧ m − k T ∗ M {\displaystyle *\alpha \in \wedge ^{m-k}T^{*}M} が存在する。 ∗ α {\displaystyle *\alpha } をαのホッジ双対といい、αに ∗ α {\displaystyle *\alpha } を対応させる作用素「 ∗ {\displaystyle *} 」をホッジ作用素という。
さらにαの余微分を
δ α := ( − 1 ) m ( i + 1 ) + 1 ∗ d ∗ α {\displaystyle \delta \alpha :=(-1)^{m(i+1)+1}*d*\alpha }
により定義する。