対称行列
n 次正方行列全体の成す空間を Matn と書くことにする。n 次対称行列は主対角線およびそれよりも上側にある n(n + 1)/2 個のスカラーで決まり、同様に歪対称行列も主対角線よりも上にある n(n − 1)/2 個のスカラーで決定される。n 次対称行列全体の成す空間 Symn およびn 次歪対称行列全体の成す空間 Skewn に対して Matn = Symn + Skewn および Symn ∩ Skewn = {0} が成り立つから、すなわち直和分解
Mat n = Sym n ⊕ Skew n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n}}
が成立する。実際、X ∈ Matn に対して
X = 1 2 ( X + X ⊤ ) + 1 2 ( X − X ⊤ ) {\displaystyle X={\frac {1}{2}}(X+X^{\top })+{\frac {1}{2}}(X-X^{\top })}
と書けば、(1/2)(X + X) ∈ Symn かつ (1/2)(X − X) ∈ Skewn は一意に定まる。このことは標数が 2 でない任意の体に成分をとる任意の正方行列 X について成立する。
n 次正方行列 A が対称化可能 (symmetrizable) とは、正則対角行列 D および対称行列 S で A = DS となるものが存在するときに言う。対称化可能行列の転置も対称化可能であることは、(DS) = D(DSD) からわかる。行列 A = (aij) が対称化可能となる必要十分条件は、以下の条件
a i j = 0 ⟹ a j i = 0 ( 1 ≤ ∀ i ≤ ∀ j ≤ n ) {\displaystyle a_{ij}=0\implies a_{ji}=0\qquad (1\leq \forall i\leq \forall j\leq n)}
a i 1 i 2 a i 2 i 3 ... a i k i 1 = a i 2 i 1 a i 3 i 2 ... a i 1 i k ∀ ( i 1 , i 2 , ... , i k ) {\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}\qquad \forall (i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})}
を共に満たすことである。