リーマンのクシー関数
リーマンのもともとの小文字のクシー関数、ξ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー Ξ に改名された(下記参照)。ランダウの小文字クシー ξ は次のように定義される: s ∈ C に対して
ξ ( s ) = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 Γ ( 1 2 s ) ζ ( s ) . {\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s).}
ここで ζ(s) はリーマンのゼータ関数を表し、Γ(s) はガンマ関数である。クシーの関数等式(あるいは reflection formula(英語版))は
ξ ( 1 − s ) = ξ ( s ) {\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)}
である。大文字のクシー Ξ は Landau (loc. cit., §71) によって
Ξ ( z ) = ξ ( 1 2 + z i ) {\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\frac {1}{2}}+zi\right)}
と定義され、関数等式
Ξ ( − z ) = Ξ ( z ) {\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)}
をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 Ξ はリーマンがもともと ξ によって表記した関数である。