ガウスの連分数
2 F 1 ( a , b ; c − 1 ; z ) − 2 F 1 ( a , b + 1 ; c ; z ) = ( b − c + 1 ) a z c ( c − 1 ) 2 F 1 ( a + 1 , b + 1 ; c + 1 ; z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
これら2式は a と b の入れ替えに対し本質的に不変である。
f 0 ( z ) = 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) , {\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
f 1 ( z ) = 2 F 1 ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) , {\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}
f 2 ( z ) = 2 F 1 ( a + 1 , b + 1 ; c + 2 ; z ) , {\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}
f 3 ( z ) = 2 F 1 ( a + 2 , b + 1 ; c + 3 ; z ) , {\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}
f 4 ( z ) = 2 F 1 ( a + 2 , b + 2 ; c + 4 ; z ) , {\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}
0 F 1 ( a + 1 ; z ) 0 F 1 ( a ; z ) = 1 1 + 1 a ( a + 1 ) z 1 + 1 ( a + 1 ) ( a + 2 ) z 1 + 1 ( a + 2 ) ( a + 3 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}
または
0 F 1 ( a + 1 ; z ) a 0 F 1 ( a ; z ) = 1 a + z ( a + 1 ) + z ( a + 2 ) + z ( a + 3 ) + ⋱ {\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}}
これらの展開は、2つの収束級数の比による有理型関数に収束する(ただし当然、a は0や負の整数であってはいけない)。