ライプニッツの調和三角形
ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。
一般の項は二項係数を用いて
L ( r , c ) = 1 c × ( r c ) = 1 r × ( r − 1 c − 1 ) {\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{c\times {\binom {r}{c}}}}={\frac {1}{r\times {\binom {r-1}{c-1}}}}}
で与えられる。特に、項は全て単位分数(分子が 1 の分数)であり、分母は順に
1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 12, 12, 4, 5, 20, 30, 20, 5, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A3506)
である。さらに、調和三角形は左右対称であり、その第 r 行は、パスカルの三角形の第 r 行の逆数を r で割ったものである。また第 c 列は、パスカルの三角形の第 c + 1 列の逆数を c で割ったものである。このため第2列は矩形数の逆数になる。
パスカルの三角形の r 行 c 列の項を P(r, c) とおくと、1 < c < r に対して
P ( r , c ) = ∑ k = 1 r − c + 1 P ( r − k , c − 1 ) {\displaystyle P(r,c)=\sum _{k=1}^{r-c+1}P(r-k,c-1)}