量子力学の数学的定式化
前節でペンディングしていた s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} の可測性の定義を述べる。 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} 可測性を定義するには、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} に技術的な付加構造を加える必要がある(よって直積分は ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} にこの付加構造を付け加えた場合のみ定義可能である)。まずその付加構造を定義する:
次の事実をフォン・ノイマンの一意性定理という:
定理 (フォン・ノイマンの一意性定理) ― H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , ... , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} がヴァイルの関係式を満たし、しかもヴァイル表現として規約であれば、以下を満たす H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ作用素Uが存在する:
∀ j , k = 1 , ... , d ∀ s , t ∈ R : {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~\forall s,t\in \mathbf {R} ~:~} U e x p ( i s A j ) U − 1 = e x p ( i s Q j ) , {\displaystyle U\mathrm {exp} (isA_{j})U^{-1}=\mathrm {exp} (isQ_{j}),\quad } U e x p ( i t B j ) U − 1 = e x p ( i t P j ) . {\displaystyle U\mathrm {exp} (itB_{j})U^{-1}=\mathrm {exp} (itP_{j}).}
しかもUは絶対値1の複素数倍を除いて一意である。
ここで微分は強微分の意味で考える。すなわち
lim t → t 0 ‖ ψ ( t ) − ψ ( t 0 ) t − t 0 − χ ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}\left\|{\psi (t)-\psi (t_{0}) \over t-t_{0}}-\chi \right\|=0}
を満たす χ ∈ H {\displaystyle \chi \in {\mathcal {H}}} が存在する時、 χ {\displaystyle \chi } をt=t0における ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} の強微分といい、
d d t ψ ( t ) | t = t 0 = χ {\displaystyle \left.{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\psi (t)\right|_{t=t_{0}}=\chi }
と書き表す。量子力学では、 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} の時間発展がシュレディンガー方程式に従う事を仮定する。
最後に、位置作用素と運動量作用素とがフーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
そのためにより一般に微分作用素
D = ∑ α : | α | ≤ m ( − i ) | α | a α ∂ α ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d , {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}(-i)^{|\alpha |}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}},} ∀ α : a α ∈ R {\displaystyle \forall \alpha ~:~a_{\alpha }\in \mathbf {R} }
(の閉包作用素)を考え、多項式Fを
F ( x 1 , ... , x d ) = ∑ α : | α | ≤ m a α x 1 α 1 ⋯ x d α d {\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{d})=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}a_{\alpha }x_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}{}^{\alpha _{d}}}
有限次元のベクトル空間の場合、自己共役作用素の固有値分解を行うと、ベクトル空間上の任意のベクトルは、固有ベクトルの線形和として書き表す事ができる事が知られている。この性質を満たす時、自己共役作用素は固有ベクトルの完全系を持つというが、一般化固有ベクトルの場合も類似した完全系の概念を考える事ができる。
実数λ∈Rに対し、一般化固有値λに属する一般化固有ベクトル全体の集合(すなわちλの(一般化)固有空間)
E ( λ ) := K e r ( λ i d − A ′ ) ⊂ G ′ {\textstyle E(\lambda ):=\mathrm {Ker} (\lambda \mathrm {id} -A')\subset {\mathcal {G}}'}
を考える。 ψ ∈ G {\displaystyle \psi \in {\mathcal {G}}} に対し、ψとの内積
T ∈ G ′ ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle T\in {\mathcal {G}}'\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} }
のE(λ)への制限写像
ψ ^ λ : T ∈ E ( λ ) ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }~:~T\in E(\lambda )\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} }
↑ F15では H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の複素数値有界線形作用素としてブラベクトルを定義しているが、リースの表現定理より、この定義は本項の定義と同値である。
↑ 例えば新井、H13で用いられている記法
↑ H13では新井と違い、 φ → ⟨ ψ ∣ T ( φ ) ⟩ {\displaystyle \phi \to \langle \psi \mid T(\phi )\rangle } が有界になる事を要請しているが、両者の定義はリースの表現定理より同値になる。
↑ ただしH13では逆に直積分によるスペクトル定理から掛け算作用素によるスペクトル定理を導出しているので、下記の「証明」は循環論法となる。
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。
定義 ― G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元は G {\displaystyle {\mathcal {G}}} の線形写像なので、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元Tと G {\displaystyle {\mathcal {G}}} の元ψの内積を
⟨ T , ψ ⟩ := T ( ψ ) {\displaystyle \langle T,\psi \rangle :=T(\psi )}
によって定義する。
φを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元とするとき、
⟨ ι † ( φ ) , ψ ⟩ = ι † ( φ ) ( ψ ) = ⟨ φ , ι ( ψ ) ⟩ = ⟨ φ , ι ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle \iota ^{\dagger }(\varphi ),\psi \rangle =\iota ^{\dagger }(\varphi )(\psi )=\langle \varphi ,\iota (\psi )\rangle =\langle \varphi ,\iota (\psi )\rangle }
定義 (スペクトル測度) ― 写像 μ : B ( R ) → P ( H ) {\displaystyle \mu ~:~{\mathcal {B}}(\mathbf {R} )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} が以下の3性質を満たすとき、μをスペクトル測度、正射影作用素値測度、もしくは単位の分解という:
μ ( ∅ ) = 0 , μ ( R ) = I {\displaystyle \mu (\emptyset )=0,~\mu (\mathbf {R} )=I}
B 1 , B 2 ... ∈ B ( R ) {\displaystyle B_{1},B_{2}\ldots \in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} が互いに素であれば、 μ ( ⋃ j = 1 ∞ B j ) = ∑ j = 1 ∞ μ ( B j ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j})} である。ここで収束は作用素ノルムの意味でのもの(すなわち強収束)である。
B 1 , B 2 ∈ B ( R ) {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} であれば、 μ ( B 1 ∩ B 2 ) = μ ( B 1 ) μ ( B 2 ) {\displaystyle \mu (B_{1}\cap B_{2})=\mu (B_{1})\mu (B_{2})}
A = A ′ ∘ ι † {\displaystyle A=A'\circ \iota ^{\dagger }}
という関係を満たすという意味でAの拡張になっている。実際、任意の φ ∈ H , ψ ∈ G {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {H}},\psi \in {\mathcal {G}}} に対し、Aの対称性から
⟨ A ′ ∘ ι † ( φ ) , ψ ⟩ = ⟨ φ , ι ( A ( ψ ) ) ⟩ = ⟨ φ , A ( ψ ) ⟩ = ⟨ A ( φ ) , ψ ⟩ {\displaystyle \langle A'\circ \iota ^{\dagger }(\varphi ),\psi \rangle =\langle \varphi ,\iota (A(\psi ))\rangle =\langle \varphi ,A(\psi )\rangle =\langle A(\varphi ),\psi \rangle }
であるので、φ、ψの任意性から上述の事実が従う。
そこで一般化固有値・固有ベクトルを以下のように定義する:
定義 (一般化固有値・一般化固有ベクトル) ―
A ′ ( T ) = λ T {\displaystyle A'(T)=\lambda T}
を満たす T ∈ G ′ {\displaystyle T\in {\mathcal {G}}'} を、Aの一般化固有値λ∈Cに対する一般化固有ベクトルという。