0.999...
教授は、自らが遭遇した大学生の誤解のいくつかについて、それを生徒に抱かせる原因となった指導法と認識の特徴を研究している。非常に多くの生徒がなぜ最初はこの等式を受け入れないのかを調べるために生徒を面接して、次のようなことを発見した。
「生徒は 0.999... を、決まった値ではなく 1 に限りなく近づく数列として理解し続けようとする。その原因は『先生は小数点以下の桁数がいくつあるかをはっきりと教えていなかった』という指導法の欠陥、または『0.999... は 1 より小さい数の中で、存在しうる、1 に最も近い小数である』という認識である。」
初等的な証明の中で 0.333... = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999... = 1 であることを容認できない生徒に受け入れさせるための、最も有効な手段であるかのように見える。しかしながら、第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める者も現れるし(後述も参照)、または単に不満を抱くだけの生徒もいる。これより簡潔で有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999... を含めてさらに進んだ数学の結果に驚いたとしても、なお直観的な想像に頼ってしまうことがある。例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333... = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算の理解に基づいて 0.999... < 1 であると主張した。別の生徒は、1/3 = 0.333... であることを証明することができるが、分数による証明に直面して「論理」が数学の計算を征服していると主張する。
無限小数の小数部分を級数として直接計算する前述の導出に対して、それとは別に、もう一つの方法は、無限小数が取らない値の範囲を排除していくという方法である。
実数 x は閉区間 [0, 10](すなわち 0 以上 10 以下)に属するとし、この区間 [0, 10] を一の位ごとの 10 個の区間 [0, 1], [1, 2], [2, 3], ..., [9, 10] に分割(端点のみで重なる)する。実数 x はこのうちの少なくとも1つに属し、その区間の下限、例えば x が区間 [1, 2] に属するときには "1" を記録する。次に、属している区間 [1, 2] を小数第一位ごとに [1, 1.1], [1.1, 1.2], ..., [1.8, 1.9], [1.9, 2] に分割し、x が属する区間の下限を記録する、という操作を繰り返すと a0, a1, a2, a3, ... から決まる区間の減少列が生み出される。この数列から
x = a 0 . a 1 a 2 a 3 ⋯ {\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }
と表現される。
この記録の仕方により、実数 1 は最初に [0, 1] に属するかそれとも [1, 2] に属するかにより 1 = 1.000... と 1 = 0.999... の2通りの表示が得られることになる。