ベルヌーイ数
ベルヌーイ数は、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際に、展開係数として導入された。 現代の表記法によって書くならば、定式化するべき乗和とは、
S k ( n ) ≡ ∑ j = 0 n − 1 j k = 0 k + 1 k + 2 k + ⋯ + ( n − 1 ) k {\displaystyle S_{k}(n)\equiv \sum _{j=0}^{n-1}j^{k}=0^{k}+1^{k}+2^{k}+\cdots +(n-1)^{k}}
なる総和である。この総和は、ベルヌーイ数を用いて、
S k ( n + 1 ) = 1 k + 1 ∑ j = 0 k ( k + 1 j ) B j n k − j + 1 {\displaystyle S_{k}(n+1)={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}B_{j}\,n^{k-j+1}}
のように書くことができる。 ベルヌーイ数の漸化式は、べき乗和を定式化した際の考察から得られる。 さらに、ベルヌーイ数の指数型母関数が x/e − 1 となることから、その母関数を現在ではベルヌーイ数の定義とする。
ヤコブ・ベルヌーイは彼の著書『推測術』でベルヌーイ数を導入した際、べき乗和を上に書いたような 0 から n − 1 にわたる和でなく、1 から n にわたる和:
S ^ k ( n ) ≡ ∑ j = 1 n j k = 1 k + 2 k + 3 k + ⋯ + n k {\displaystyle {\hat {S}}_{k}(n)\equiv \sum _{j=1}^{n}j^{k}=1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}