分散関係
分散関係(ぶんさんかんけい、英: dispersion relation)は、波において、角周波数(角振動数)と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。
波の位相部分が一定 kx − ωt = φo で伝わる速度 vp は、これを時間で微分して、
v p = d x d t = ω k {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}}
で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、
v g = d ω ( k ) d k {\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {d\omega (k)}{dk}}}
で与えられる。
分散がない場合には、
v p = v , v g = v {\displaystyle v_{\mathrm {p} }=v,\quad v_{\mathrm {g} }=v\,}
であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。
通常の波動方程式
1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}
に従う波動現象においては、e を考えると、
ω = c k {\displaystyle \omega =ck\,}
の関係が満たされており、分散がない波となる。