交点数 (代数幾何学)
f c ( x ) = { 1 , x ∈ Ω 0 − 0 , x ∈ X ∖ Ω − smooth interpolation , x ∈ Ω − ∖ Ω 0 − {\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}} .
すると、この定義は任意の閉曲線に対して拡張できる。X 上の全ての閉曲線 c は、いくつかの単純閉曲線 ci が存在し、 ∑ i = 1 N k i c i {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}} とホモロジー同値となる。すなわち、
全ての微分形式 ω {\displaystyle \omega } に対し、 ∫ c ω = ∫ ∑ i k i c i ω = ∑ i = 1 N k i ∫ c i ω {\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }
である。従って、 η c {\displaystyle \eta _{c}} を次により定義する。
η c = ∑ i = 1 N k i η c i {\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}} .
代数幾何学では、交点数(intersection number)とは、直感的な 2つの曲線の交わる数という考えを、高次元へで(2つ以上の)交叉する曲線や、接する場合も適切に数え上げる考えたものである。ベズーの定理のような結果を記述するために、交点数の定義を正確に定義する必要がある。
x-軸と y-軸のような場合には、交点数は明らかに 1 である。一点で接している場合や、正の次元の集合の中での交点数になると複雑になってくる。例えば、平面がある直線に沿って接しているときは、交点数はすくなくとも 2でなければならない.これらの疑問は交点理論で系統的に議論される。