平行移動 (リーマン幾何学)
Γ ( γ ) s t {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}} はsと t に対して滑らかであり、γに対しても滑らかである。
上記3において、「滑らか」という概念がでてくるが、これを噛み砕くのはやや難しい。
小林や野水などの現代的な書物の著者は、概して、「滑らかさ」がより容易に表現される他の意味での接続から来ているとして、接続の平行移動を見ている。それにもかかわらず、平行移動においてこのような規則を考えると、Eにおける接続を以下のように「復元」することが可能である。
γはM上の微分可能な曲線であり、その初期値はγ(0)で、接ベクトルの初期条件は X = γ′(0)であるものとする。V は、ベクトル束Eの、曲線γに沿った切断であるとしたとき、
∇ X V := lim h → 0 Γ ( γ ) h 0 V γ ( h ) − V γ ( 0 ) h = d d t Γ ( γ ) t 0 V γ ( t ) | t = 0 . {\displaystyle \nabla _{X}V:=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}
は、関連するinfinitesimal connection ∇ を、 E上に定める。 我々は、このinfinitesimal connectionから、同じ平行移動Γ を復元出来る。