行列の対数
上述のアルゴリズムは
[ 1 1 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}
ような対角化不可能な行列については適用できない。このような行列に対しては、そのジョルダン分解を計算する必要があり、また上述のような対角成分の対数ではなく、ジョルダン細胞(英語版)の対数を計算することになる。
後者の作業については、ジョルダン細胞が
B = [ λ 1 0 0 ⋯ 0 0 λ 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ ] = λ [ 1 λ − 1 0 0 ⋯ 0 0 1 λ − 1 0 ⋯ 0 0 0 1 λ − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 1 λ − 1 0 0 0 0 0 1 ] = λ ( I + K ) {\displaystyle B={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}=\lambda (I+K)}
A および B がともに正定値行列ならば
tr  ln  ( A B ) = tr  ln  ( A ) + tr  ln  ( B ) {\displaystyle \operatorname {tr} {\ln {(AB)}}=\operatorname {tr} {\ln {(A)}}+\operatorname {tr} {\ln {(B)}}}
が成り立つ。A と B とが可換(AB = BA)なとき
ln  ( A B ) = ln  ( A ) + ln  ( B ) {\displaystyle \ln {(AB)}=\ln {(A)}+\ln {(B)}}
が成り立つ。ここで B = A を代入すれば
ln  ( A − 1 ) = − ln  ( A ) {\displaystyle \ln {(A^{-1})}=-\ln {(A)}}
が得られる。
同様の性質は、 J n ( λ ) k {\displaystyle J_{n}(\lambda )^{k}} 、単位行列、同様の性質を持つ行列の定数倍、同様の性質を持つ行列どうしの和についても成り立つ。このため、 log  ( J n ( λ ) ) = log  ( c ) I − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c J n ( λ ) ) k {\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}J_{n}(\lambda )\right)^{k}} についても同様の性質が成り立つ。 log  ( J n ( λ ) ) {\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))} の対角成分は明らかに log  ( λ ) {\displaystyle \log(\lambda )} であるから、そこから順次微分して他の成分が分かる。