レトラクト (位相幾何学)
無限次元では,Hanner の定理により,ヒルベルト立方体多様体や,(かなり異なり例えば局所コンパクトでない)ヒルベルト多様体(英語版),バナッハ多様体(英語版)は ANR である.
任意の局所有限 CW 複体は ANR である.任意の CW 複体が距離化可能なわけではないが,任意の CW 複体は(定義により距離化可能な)ANR のホモトピー型を持つ.
任意の ANR X は次の意味で局所可縮である,すなわち X の点 x の任意の開近傍 U に対して,U に含まれる x の開近傍 V が存在して,包含 V → U は定値写像にホモトピックとなる.有限次元距離化可能空間が ANR であることとこの意味で局所可縮であることは同値である.例えば,カントール集合は実数直線の ANR でないコンパクト部分集合である,なぜならば局所連結ですらないからである.
反例: Borsuk は R のコンパクト部分集合であって ANR であるが強局所可縮でないものを見つけた.(空間が強局所可縮であるとは,各点 x の任意の開近傍 U が x の可縮開近傍を含むときにいう.)Borsuk はまたヒルベルト立方体のコンパクト部分集合であって局所可縮(定義は上述)であるが ANR ではないものを見つけた.
Whitehead(英語版) と Milnor により,任意の ANR は CW 複体のホモトピー型を持つ.さらに,局所コンパクト ANR は局所有限 CW 複体のホモトピータイプを持つ;そして,West により,コンパクト ANR は有限 CW 複体のホモトピー型を持つ.この意味において,ANR は任意の位相空間のすべてのホモトピー論的な病的さを避けている.