写像
写像は集合と写像の圏における射であり、一般に具体圏(英語版)における射はある種の写像として与えられるが、一般の圏における射は必ずしも写像でない。
圏の間の関手は、集合の間の写像と似た概念だが、対象同士の対応関係とともに対象間の射についても同時に対応関係を記述する。さらに、関手間の射として自然変換の概念が定式化される。
写像の多変数化による一般化を考えると、それは始域を何らかの直積集合に取り換えた通常の意味の写像として扱える。とくに一つの集合 M に対して M × M ×...× M → M なる形の多変数写像は M の複数の元から別の新しい元を作り出す操作と見做して算法と呼ばれる。
多値の関数の場合も終域を直積集合に取り換えた写像として定式化することができる場合もあり、例えばベクトル値関数 はスカラー値関数の直積として理解できる。しかし単純にそのように捉えることができない場合、あるいは捉えないほうがよい場合もある。例えば多価の複素解析関数は、分岐切断を超えてそれぞれの分枝の間に素性の良い関係性を記述することができ、適当なリーマン面上で定義された通常の関数と考えることが有効である。
ふたつの写像 f: X → Y, g: W → Y で、それらの定義域が交わりを持たない (X ∩ W = ∅) とき、これらのグラフの合併として写像の直和 f ⊕ g: X ∪ W → Y を定義する。これは具体的に
( f ⊕ g ) ( ξ ) = { f ( ξ ) ( ξ ∈ X ) g ( ξ ) ( ξ ∈ W ) {\displaystyle (f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X)\\g(\xi )&(\xi \in W)\end{cases}}}
と書ける区分的に定義された写像である。より一般に、X ∩ W ≠ ∅ のとき、二つの写像の X ∩ W への制限が f|X∩W = g|X∩W を満たすとき、直和写像 f ⊕ g は well-defined で、
( f ⊕ g ) ( ξ ) = { f ( ξ ) ( ξ ∈ X ∖ W ) f | X ∩ W ( ξ ) = g | X ∩ W ( ξ ) ( ξ ∈ X ∩ W ) g ( ξ ) ( ξ ∈ W ∖ X ) {\displaystyle (f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X\smallsetminus W)\\f|_{X\cap W}(\xi )=g|_{X\cap W}(\xi )&(\xi \in X\cap W)\\g(\xi )&(\xi \in W\smallsetminus X)\end{cases}}}