分割数
ラマヌジャンの公式
∑ k = 0 ∞ p ( 5 k + 4 ) x k = 5 ( x 5 ) ∞ 5 ( x ) ∞ 6 , ( x ) ∞ ≡ ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5\,{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},\quad (x)_{\infty }\equiv \prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m})}
を使えば、分割数 p(5k − 1) はより小さな k次行列の行列式
p ( 5 k − 1 ) = 5 ⋅ | 1 1 − 6 1 0 9 − 6 1 0 10 9 − 6 1 0 − 30 10 9 − 6 1 0 0 − 30 10 9 − 6 1 − 5 11 0 − 30 10 9 − 6 0 ⋮ ⋱ ⋮ | k × k {\displaystyle p(5k-1)=5\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~&~&~1~\\-6&~1&~&~&~&~&~&~0~\\~9&-6&~1&~&~&~&~&~0~\\~10&~9&-6&~1&~&~&~&~0~\\-30&~10&~9&-6&~1&~&~&~0~\\~0&-30&~10&~9&-6&~1&~&-5~\\~11&~0&-30&~10&~9&-6&~&~0~\\~\vdots &~&~&~&~&~&~\ddots &~\vdots ~\end{vmatrix}}_{k\times k}}