単葉関数
f ( z ) {\displaystyle f(z)} を複素平面のある連結領域 D で定義された正則関数とし、その微分を f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} で表す。
(1) f ( z ) {\displaystyle f(z)} が D で単葉であれば D で f ′ ( z ) ≠ 0 {\displaystyle f'(z)\neq 0} である。
(2) D の点 z 0 {\displaystyle z_{0}} で f ′ ( z 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f'(z_{0})\neq 0} であれば、 z 0 {\displaystyle z_{0}} の近傍 U を、U で f ( z ) {\displaystyle f(z)} が単葉になるように選ぶことができる。
まず、 { fn(z) } が単葉正則関数であっても f (z) が定数となる例として fn(z) = z / n がある。当然 f (z) は定数 0 となる。
次に、 D で f (z) が定数でも単葉関数でもないと仮定する。この場合、少なくとも、f (z1) = f (z2) = α となる D 内の異なる2点、z1、 z2 が存在するはずである。
gn(z) = fn(z) − α、g (z) = f (z) − αと定義すれば、 { gn(z) } は D で定義された単葉関数の列であり、g (z) に広義一様収束する。
z1、z2 を含み、その閉包 D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } が D に含まれる有界な領域 D ′ {\displaystyle D'\ } を選ぶことができる。 D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } は有界な閉集合としてコンパクトであり、 { gn(z) } は D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } で g (z) に一様収束する。
上の仮定の下では、 D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } で g (z) の零点の個数は有限である。