クニーズニク・ザモロドチコフ方程式
1 2 ( k + h ) ⟨ T ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = − ∑ j , s ⟨ X s ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( X s v j , z j ) Φ ( X n , z n ) ⟩ ( z − z j ) − 1 . {\displaystyle {1 \over 2}(k+h)\left\langle T(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\Phi (X_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}
zi を中心とする小さな円について変数 z で両辺を積分すると、i-番目のクニーズニク・ザモロドチコフ方程式が得られる。
( k + 2 ) ∂ ∂ z i Ψ = ∑ i , j ≠ i Ω i j z i − z j Ψ {\displaystyle (k+2){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Psi =\sum _{i,j\neq i}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi }
である。ここに上記の導出に従い Ω i j = ∑ a ρ i ( J a ) ⊗ ρ ( J a ) {\displaystyle \Omega _{ij}=\sum _{a}\rho _{i}(J^{a})\otimes \rho (J_{a})} である。
この n-点相関函数は、多価の正則函数として、 z i ≠ z j , i ≠ j {\displaystyle z_{i}\neq z_{j},i\neq j} である領域 X n ⊂ C n {\displaystyle X_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}} へ解析接続することができる。この解析接続により、KZ方程式のホロノミー(英語版)(holonomy)を、エミール・アルティン(Emil Artin)が導入したブレイド群 B n {\displaystyle B_{n}} により記述することができるKohno (2002)。