確率微分方程式
典型的には、Bt (t≧0) を、 B0 = 0 を満たす連続時間一次元ブラウン運動(ウィーナー過程)とするとき、積分方程式
X t + s − X t = ∫ t t + s μ ( X u , u ) d u + ∫ t t + s σ ( X u , u ) d B u {\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)du+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,dB_{u}}
を
d X t = μ ( X t , t ) d t + σ ( X t , t ) d B t {\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dB_{t}}
の形に略記したものを、確率微分方程式という。上記方程式は、連続時間の確率過程 Xt の振る舞いを、一般のルベーグ積分と伊藤積分の和で模している。
確率微分方程式の発見論的だがとても有益な解釈は、微小時間間隔 δ において、確率過程 Xt の変化が、期待値 μ(Xt,t)δ、分散 σ(Xt,t)δ の正規分布に従って変化し、しかも過去の同確率過程の振る舞いと独立である、と見ることである。ウィーナー過程の変化は互いに独立で正規分布に従うことから、こう考えることができる。
関数 μ(x,t) はドリフト係数(drift coefficient)、関数 σ(x,t) は拡散係数(diffusion coefficient)という。確率微分方程式の解として得られる確率過程 Xt は拡散過程(かくさんかてい、英:diffusion process)と呼び、通常はマルコフ過程である。