射影直線
極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P(K) に作用する。この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL2(K) と書かれる。この作用は推移的であり、したがって P(K) は PGL2(K) の等質空間となる。作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。従って P(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。実際、斉次座標(英語版) [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。
より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Qi (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 Ri (i = 1, 2, 3) に写すことができる(三重推移性)。組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。このことの計算論的側面として 複比がある。実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」(乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する)に置き換え、「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL2(K) の作用に同型である。