極点
より一般に、ある凸集合 S 内の点が k-次元の極点(あるいは短く k-極点)であるとは、それが S 内の k-次元凸集合の内部に属するが、k+1-次元凸集合の内部には属さないことを言う。したがって、極点は 0-次元極点でもある。S がポリトープであるなら、その k-次元極点の全体は S の k-次元面の内点の全体にちょうど一致する。より一般に、任意の凸集合 S に対し、その k-極点全体の成す集合は k-次元開面に分割することができる。
ミンコフスキーによる有限次元クレイン=ミルマンの定理は、k-極点の概念を用いてすばやく証明することが出来る。S が閉、有界かつ n-次元で、p が S 内のある点であるなら、ある k < n に対して p は k-極点となる。この定理では、p は極点の凸結合であることが主張されている。k = 0 であるなら、これは明らかに真である。そうでない場合は、p は S 内の(S は閉かつ有界なので)最大まで拡張することの出来る線分上にある。その線分の終点を q と r とするとき、それらの端点としてのランクは p よりも小さいものでなければならない。以後、帰納的に定理を証明できる。