局所環
局所環 R のジャコブソン根基 m(これは R の唯一の極大左イデアルであり、また唯一の極大右イデアルである)は、ちょうど環 R の非可逆元の全体のなす R の唯一の極大両側イデアルである(非可換環の場合、環が極大両側イデアルを唯一つしかもたないとしても、それはその環が局所環であるという意味にはならないということには注意が必要である)。
局所環 R の元 x について、以下のことはみな同値である:
x が左逆元を持つこと。
x が右逆元を持つこと。
x が単元であること。
x が R の唯一の極大イデアル m に属さないこと。
(R, m) を局所環とすると、商環 R/m は体である。 J が R に一致しない両側イデアルであるなら、商環 R/J は再び局所環で、その唯一の極大イデアルは m/J で与えられる。
アーヴィング・カプランスキー(英語版) の深度定理 (deep theorem) によれば、局所環上の射影加群は自由加群である。