集合半環
数学における集合半環(しゅうごうはんかん、英: semiring [of sets])は、何らかの集合 X の部分集合の成す族で、これを用いて容易に集合環が構成できる。集合半環は古典的な測度の構成において有効な枠組みである。
P が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する超矩形で、P が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する元 Pi のなす有限列 (Pi) の非交和に等しいならば、超矩形 P の体積は各元 Pi の体積の和に等しい。
従って μ が測度であること、つまり σ-加法性を示すには、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に属する超矩形 P が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の可算個の小超矩形の非交和
P = ∐ i = 1 + ∞ P i {\displaystyle P=\coprod _{i=1}^{+\infty }P_{i}}
に分解されるとき、等式
μ ( P ) = ∑ i = 1 + ∞ μ ( P i ) {\displaystyle \mu (P)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})}
が成り立つことを示さねばならない。
一方の不等号を示すには特に技巧を要しない。自然数 r を固定して、差集合 P ∖ (P1 ∪ ... ∪ Pr) は S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の生成する集合環に属するから、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の有限個の互いに素な元 F1, ..., Fs の有限合併に表せる。