巡回多元環
x y = ∑ k = 0 n − 1 ∑ l = 0 n − 1 x k σ k ( y l ) j k + l ( where j n = β ∈ K × ) {\displaystyle xy=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{l=0}^{n-1}x_{k}\sigma ^{k}(y_{l})j^{k+l}\quad ({\text{where }}j^{n}=\beta \in K^{\times })}
と定めたものである。これは j = j に対する以下の二条件
指数法則 j ⋅ j = j を満たす。
λ ∈ L に対し交換則 j ⋅ x = σ(x)⋅j を満たす。
を線型に拡張したものとして与えられる。特に、j = 1A は A の乗法単位元(したがって、L = Lj ⊂ A)。また、σ は K の元を動かさない L の非自明な自己同型であるから、K の元は j と可換。これにより A = (β, L/K, σ) が K 上中心的であることが従う。
巡回多元環 (β, L/K, σ) は適当な c ∈ L* に対して β = NL/K(c) となるとき行列環 Mn(K) に同型である。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる。
二つの巡回多元環 (β, L/K, σ), (γ, L/K, σ) が同型となるための必要十分条件は、L* の適当な元 c が存在して β = γ⋅NL/K(c) と書けることである。
巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である。
体の分離拡大に関するブラウアー群(あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子(英語版))の元(ブラウアー同値類)の代表元として接合積(とくに巡回多元環)がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras)