アフィン群
数学において、体 K 上の n 次元アフィン群(アフィンぐん、英: affine group)とは、n 次元アフィン空間 A 上の正則アフィン変換全体の成す群である。一般アフィン群(英: general affine group)あるいはアフィン変換群ともいう。1 次元アフィン群に属する正則アフィン変換は
A → A , x ↦ a x + b ( a ∈ K × , b ∈ K ) {\displaystyle A\to A,\ x\mapsto ax+b\quad (a\in K^{\times },\ b\in K)}
という形をしているので ax + b 群とも呼ばれる。
アフィン群は体 K が実または複素(あるいは四元)数体であるとき、リー群を成す。
アフィン群を V の GL(V) による半直積として表現すれば、半直積の構成にしたがって、各元は GL(V) に属する行列 M と V に属するベクトル v の組 (M, v) で表され、乗法は
( M , v ) ⋅ ( N , w ) = ( M N , v + M w ) {\displaystyle (M,v)\cdot (N,w)=(MN,v+Mw)}
で与えられる。この乗法は、(n + 1)×(n + 1) のブロック行列として
( M v 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}
の形に書くことができる。ここで各ブロックを成す行列は、M が K 上の n-次正方行列、v は n-成分列ベクトル、0 は n-成分零行ベクトル、1 は 1-次単位行列である。
厳密に言えば、V を V ⊕ K にアフィン平面 { (v, 1) | v ∈ V } として埋め込むとき、Aff(V) はこの平面を保つ変換全体からなる GL(V ⊕ K) の部分群に自然に同型で、このような実現により上記の行列表現が得られる。特に、行列の n-次正方ブロックと 1-次正方ブロックは直和分解 V ⊕ K に対応している。
相似な表現として、どの列も成分の和が 1 に等しい (n + 1)×(n + 1) 行列で表すこともできる。さきほどの表現からこの種の表現を得るには、変換行列 P として (n + 1)-次単位行列の一番下の行をすべて 1 に取り替えたものをとって相似変換すればよい。
これら二種類のブロック行列はそれぞれ通常の行列の乗法について閉じている。