多項式
たとえば x + 0x − 1 と x − 1 は同じ多項式であり、0x + 4x − 2 と 4x − 2 も同じ多項式である。
−3x や 2x のような、唯一の項によって表される多項式のことを単項式とよぶ。また、数 a0 を多項式とみなすこともできる(定数多項式)。
定数多項式 0 を除くすべての多項式 f は、anx + an − 1x + ... + a1x + a0(ただし an ≠ 0)という形に表すことができる。このように表したとき、n のことを多項式 f の次数とよび、また f は n 次多項式であるという。さらにこのとき、n 次の項 anx は最高次の項ともよばれる。
定数多項式 a0 の次数は a0 = 0 の場合を除き 0 である。0 の次数は、定義しないか、あるいは −∞ と定めることが多い(零多項式)。
なお、多項式の係数としてはさまざまな範囲の数を用いることができる。どういった範囲の数を採用しているか明示するために、「実数を係数とする多項式」のような表現が用いられることがある。集合 K に属する数を係数とする多項式のことを「K 上の多項式」ともいう。係数の集合 K としては体または可換環を選ぶことが多いが、必ずしもそれらに限定されない。
与えられた多項式 f をいくつかの多項式の積として表すことを、多項式 f の因数分解という。
因数分解を行うためのもっとも単純な方法は、因数分解の結果として現れる多項式の係数を未知数とみなし、それらに関する方程式を立てて解を探すことである。たとえば、2次式 Ax + Bx + C を1次式の積に因数分解するには、(ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd だから、A = ac, B = ad + bc, C = bd が満たされるような数 a, b, c, d を探せばよい。また、特に1変数の多項式を因数分解する場合には、因数定理も重要な道具となる。
因数分解に関連して、1変数の場合における既約多項式の概念がある。ここでは説明を簡単にするため係数の集合は体 K であるとする。1次以上の多項式 f ∈ K[x] が、同じく K に係数をもつ二つの1次以上の多項式の積として表されないとき、f は K 上で既約であるという。既約でない多項式は可約であるといわれる。多項式の因数分解は、通常、与えられた多項式を既約多項式の積として表すことが目標となる。
多項式の既約性は、係数体 K の選び方に依存する。たとえば、x − 2 は有理数体 Q {\textstyle \mathbb {Q} } 上で既約だが、実数体 R {\textstyle \mathbb {R} } 上では可約である。x + 1 は R {\textstyle \mathbb {R} } 上で既約だが、複素数体 C {\textstyle \mathbb {C} } 上で可約である。