結合法則
厳密に、集合 S 上で定義された二項演算 ∗ が結合的であるとは、結合法則
を満足するときに言う。ここで、∗ は考えたい演算(それを一般に「乗法」や「積」と呼んだりする)を表す記号(演算子)であって、これは別にどのような記号が用いられてもよいし、あまつさえ「乗法」を表す記号のない併置 (juxtaposition) 記法で
と書くこともある。 結合法則を函数記法で表すこともでき、その場合は
のようになる。
{\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y).} これらの演算の右結合記法は、カリー–ハワード対応およびカリー化同型に動機づけられる。
評価順について特定の規約がない演算の例:
実数の冪演算(中置記法の場合): ( x ∧ y ) ∧ z ≠ x ∧ ( y ∧ z ) . {\displaystyle (x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z).}
クヌースの矢印記法: a ↑↑ ( b ↑↑ c ) ≠ ( a ↑↑ b ) ↑↑ c a ↑↑↑ ( b ↑↑↑ c ) ≠ ( a ↑↑↑ b ) ↑↑↑ c etc. {\displaystyle {\begin{array}{l}a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c\\a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c\\{\text{etc.}}\end{array}}}
↑ とはいえ、数の乗法や積とは直接的に関係のない、任意の抽象的演算についていう