オイラー類
ヴァンデルモンデ多項式(英語版)(Vandermonde polynomial)
トム同型(英語版)(Thom isomorphism)
一般ガウス・ボネの定理
オイラー類は常に最高次元であることに対し、他の特性類は固定された次元(第一スティーフェル・ホイットニー類であれば H の中に定義される、などなど)を持っている。
オイラー類が不安定であるという事実は、「欠陥」とは見なすべきではない。むしろ、安定ホモトピーの観点からは、「不安定現象」を検出するオイラー類ということを意味する。たとえば、球面の接バンドルは、安定自明であるが自明ではない(普通の球面の包含写像 S ⊂ R は自明な法バンドルであり、従って、球面の接バンドルに自明バンドルを加えるとユークリッド空間の接バンドルとなり、制限写像 S は自明であるのであるが、)。このように、他の特性類は球面ではすべて 0 となるが、オイラー類は偶数次元の球面に対しては 0 とはならず、非自明な不変量となる。
label=n-次元球面 S のオイラー標数は、
χ ( S n ) = 1 + ( − 1 ) n = { 2 n even 0 n odd . {\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}
である。従って、偶数次元の球面の接バンドルには 0 となるような切断は存在しないので、接バンドルは非自明である。つまり、S 平行化可能多様体(英語版)(parallelizable manifold)ではなく、特に、リー群の構造を持たない。
奇数次元の球面 S ⊂ R に対しては、どこでも 0 とならない切断は、
( x 2 , − x 1 , x 4 , − x 3 , ...