スイングバイ
しかし、実際には、惑星は静止しているわけではなく、太陽の周りを公転しているので、その運動の影響を考慮する必要がある。すなわち、惑星と宇宙機を二体系として扱い、重心運動と相対運動に分けて考える必要がある。このとき、太陽系に対する静止系で表現した宇宙機の運動は、惑星の重力の影響を受けて、軌道が変わるだけでなく、その速さも変化することになる。
スイングバイ時に宇宙機の推力を併用することをパワードスイングバイという。
惑星中心で考えると、エネルギー保存則により、近地点での速度 v、地心距離 R、無限遠での速度 v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} は、
E = 1 2 m v 2 − G M m R = 1 2 m v ∞ 2 {\displaystyle E={1 \over 2}mv^{2}-{GMm \over R}={1 \over 2}mv_{\infty }^{2}}
ここで近地点で v を v + δ v {\displaystyle v+\delta v} に増速したときに無限遠での速度の変化 δ v ∞ {\displaystyle \delta v_{\infty }} を考えると、
δ v ∞ = v ∞ 2 + 2 G M R v ∞ δ v {\displaystyle \delta v_{\infty }={{\sqrt {v_{\infty }^{2}+{2GM \over R}}} \over v_{\infty }}\delta v}
となり、近地点での加速は無限遠での加速よりも効果が大きいことがわかる。例として v ∞ = 3 k m / s {\displaystyle v_{\infty }=3\,{\rm {km/s}}} 、近地点高度 200 km (R=6578 km) で地球をスイングバイすることを考えると、 δ v ∞ = 3.7 δ v {\displaystyle \delta v_{\infty }=3.7\delta v} となる。