ラグランジュ力学
p i μ ( λ ) = η μ ν p i ν ( λ ) = m i c X ̇ i μ ( λ ) − ( X ̇ i ) 2 {\displaystyle p_{i}^{\mu }(\lambda )=\eta ^{\mu \nu }\,p_{i\nu }(\lambda )={\frac {m_{i}c{\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}}
である。 固有時間 c 2 d τ i 2 = η ρ σ d X i ρ d X i σ {\displaystyle c^{2}d\tau _{i}^{2}=\eta _{\rho \sigma }dX_{i}^{\rho }dX_{i}^{\sigma }} を使うと
p i μ ( τ i ) = m i d X i ν d τ i = ( m i c d t i d τ i , m i d x i d τ i ) = ( E i / c , p i ) {\displaystyle p_{i}^{\mu }(\tau _{i})=m_{i}{\frac {dX_{i}^{\nu }}{d\tau _{i}}}=\left(m_{i}c{\frac {dt_{i}}{d\tau _{i}}},m_{i}{\frac {d{\boldsymbol {x}}_{i}}{d\tau _{i}}}\right)=(E_{i}/c,{\boldsymbol {p}}_{i})}
となる。
物質場として相対論的な粒子系を考え、相互作用項として
S int [ X , A ] = ∑ i q i ∫ X ̇ i μ ( λ ) A μ ( X i ) d λ = ∫ ∑ i q i ( ∫ X ̇ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\left(\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda \right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}}
を考える。
このとき、物質 X に関する運動方程式は