交互階乗
交互階乗(こうごかいじょう、英: alternating factorial)は、自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。
a f ( n ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i i ! {\displaystyle \mathrm {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}
af(n) は n 番目の交互階乗を表す。例えば3番目の交互階乗は 1! − 2! + 3! = 5 であり、4番目の交互階乗は − 1! + 2! − 3! + 4! = 19 と計算される。交互階乗は次の漸化式の形で表すこともできる。
a f ( n ) = n ! − a f ( n − 1 ) {\displaystyle \mathrm {af} (n)=n!-\mathrm {af} (n-1)}
ただし af(1) = 1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると