リーマン幾何学の基本定理
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を与える。これは第一クリストッフェルの恒等式(first Christoffel identity)である。
アインシュタインの総和記号を使い、
⟨ ∇ ∂ i ∂ j , ∂ k ⟩ = Γ i j l g l k , {\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk},}
を得る。すなわち、繰り返し使われるインデックスは、すべての値を渡り足し上げる。計量テンソルをひっくり返すと、第二クリストッフェルの恒等式(second Christoffel identity)を得られる。
Γ i j l = 1 2 ( ∂ i g j k − ∂ k g i j + ∂ j g i k ) g k l . {\displaystyle \Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)g^{kl}.}
繰り返すが、アインシュタイの総和記法を使う。結果として得られる唯一の接続は、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる。