バナッハ極限
したがって、 l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} 上のバナッハ極限は l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} の連続的双対空間の元でありながら、 l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} に入らないものの例となる。換言すれば、 l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} の連続的双対空間は l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} と同型にはならず、それよりも大きくなる。 l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} の双対はba空間として知られ、自然数の集合の部分集合全体からなるシグマ代数の上の(符号付き)有限加法的測度、同じことであるが、自然数の集合のストーン・チェックのコンパクト化の上の(符号付き)ボレル測度からなる。
収束しない数列であってバナッハ極限が一意的に決まるものが存在する。例えば x = ( 1 , 0 , 1 , 0 , ... ) {\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )} ならば x + S ( x ) = ( 1 , 1 , 1 , ... ) {\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )} は定数列であり 2 φ ( x ) = φ ( x ) + φ ( S x ) = 1 {\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=1} が従う。ゆえに任意のバナッハ極限について、この数列は極限 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} を持つ。
数列 x {\displaystyle x} がこの性質を持つとき、つまり任意のバナッハ極限 φ {\displaystyle \phi } に対して値 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} が同じであるとき、概収束(英語版)するという。