射影多様体
(滑らかな射影)曲線 X に対し,H および高次は次元の理由のため消え,構造層の大域切断の空間は 1 次元である.したがって X の数論的種数は H 1 ( X , O X ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})} の次元である.定義により,X の幾何学的種数(英語版)は H(X, ωX) の次元である.セール双対性はしたがって数論的種数と幾何学的種数が一致することを意味する.それらは単に X の種数と呼ばれる.
セール双対性はリーマン・ロッホの定理の証明の重要な要素でもある.X は滑らかだから,(ヴェイユ)因子(英語版)を主因子で割った群から直線束の同型類の群への群同型
Cl  ( X ) → Pic  ( X ) , D ↦ O ( D ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X),D\mapsto {\mathcal {O}}(D)}
が存在する.
k を代数閉体とする.射影多様体の定義の基本は射影空間 P であり,これは異なるが同値な方法で定義できる:
k において原点を通るすべての直線(すなわち1次元部分ベクトル空間)の集合
組 ( x 0 , ... , x n ) ∈ k n + 1 {\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}} を同値関係:任意の λ ∈ k ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in k\backslash \{0\}} に対して
( x 0 , ... , x n ) ∼ λ ( x 0 , ... , x n ) {\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}
で割った集合.そのような組の同値類は
[ x 0 : ⋯ : x n ] {\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}]}
と書かれ,斉次座標と呼ばれる.
射影多様体は,定義により,P のザリスキ位相で閉な部分多様体である.一般に,ザリスキ位相での閉部分集合は,多項式関数の零点集合として定義される.多項式 f ∈ k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]} が与えられたとき,条件
f ( [ x 0 : ⋯ : x n ] ) = 0 {\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}
X はアフィン多様体 X ∩ U 0 {\displaystyle X\cap U_{0}} の P における閉包であることに注意.逆に,閉(アフィン)多様体 V ⊂ U 0 ≃ A n {\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}} から始めて,V の P における閉包は V の射影完備化と呼ばれる射影多様体である. I ⊂ k [ y 1 , ... , y n ] {\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]} が V を定義するとき,この閉包の定義イデアルは k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]} の斉次イデアルですべての f ∈ I に対する
x 0 deg  ( f ) f ( x 1 / x 0 , ... , x n / x 0 ) {\displaystyle x_{0}^{\operatorname {deg} (f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}
によって生成されるものである.
例えば,V がアフィン平面において y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} によって与えられるアフィン曲線であれば,射影平面におけるその射影完備化は y 2 z = x 3 + a x z 2 + b z 3 {\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}} によって与えられる.