分数階微積分学
d 1 / 2 d x 1 / 2 2 π 1 / 2 x 1 / 2 = 2 π 1 / 2 Γ ( 1 / 2 + 1 ) Γ ( 1 / 2 − 1 / 2 + 1 ) x 1 / 2 − 1 / 2 = 2 π 1 / 2 Γ ( 3 / 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π 1 / 2 π 1 / 2 2 1 = 1 {\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {2}{\pi ^{1/2}}}x^{1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\Gamma (1/2+1)}{\Gamma (1/2-1/2+1)}}x^{1/2-1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\Gamma (3/2)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\frac {\pi ^{1/2}}{2}}{1}}=1}
が得られる。これはすなわち、そもそも成り立って欲しかった性質である
( d 1 / 2 d x 1 / 2 d 1 / 2 d x 1 / 2 ) x = d d x x = 1 {\displaystyle \left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1}
がきちんと満たされていることを意味している。ここで、上述のような微分作用素の拡張は、なにも実数冪のみに縛られるものではない。例えば (1 − i)-階導函数の (1 + i)-階導函数は二階微分を与えるものである。もちろん a が負の整数以外の負の値をとるならば適当な積分が与えられる(Γ(x+yi)の定義域はx>0)。
関数解析学の文脈では、冪のみならずもっと一般に函数 f に対する作用素 f(D) についてスペクトル論の汎函数計算における研究がなされる。擬微分作用素の理論においても D の冪について考えることができる。この作用素は特異積分作用素(英語版) の例として得られる。また、古典理論の高次元への一般化はリースポテンシャルの理論と呼ばれる。したがって「分数階微分積分学」について論じるのに、いくつもの現代的理論を利用することができる。
特殊函数論で重要なErdélyi-Kober operatorも参照。
まず相応に自然な疑問は、半微分 (英: half-derivative) と呼ばれるべき、作用素 H で
H 2 f ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}
を満たすものは存在するかということであろう。そのような作用素は存在する。実際には任意の実数値 a > 0 に対して
( P a f ) ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle (P^{a}f)(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}
を満たす作用素 P が存在することがいえる。言い方を変えれば、n-階微分 dy⁄dx の n を任意の実数値に拡張することができるのである。
もう少し詳しく述べるに、階乗の非整数値への拡張としてのガンマ函数 Γ から始める。ガンマ函数は
n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}
を満たしていることを利用する。さて函数 f(x) は x > 0 で矛盾なく定義され、0 から x までの定積分
アダマール分数階積分は J. Hadamard によって導入され、次の式で与えられる。
a D t − α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ a t ( log  t τ ) α − 1 f ( τ ) d τ τ , t > a . {\displaystyle _{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a.}