コーシー分布
{\displaystyle \phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{iXt})=\exp(ix_{0}t-\gamma |t|).}
U と V を標準正規分布(期待値0、分散1の正規分布)に従う互いに独立な確率変数であるとすると、それらの比 U / V は標準コーシー分布に従う。
X1, X2, ..., Xn をあるコーシー分布に従う独立な確率変数列とすると、それらの算術平均 X ̄ = X 1 + ⋯ + X n n {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {X_{1}+\dotsb +X_{n}}{n}}} は再び同じ位置母数、尺度母数を持つコーシー分布に従う(再生性)。この性質は、算術平均の特性関数が