ロルの定理
ƒ(x) が x によらない定数であれば、任意の x ∈ (a, b) に対して ƒ′(x) ≡ 0 となる。
ƒ(x) が定数でないとする。ƒ(d) ≠ ƒ(a) となる d ∈ [a, b] が存在する。ƒ(x) は有界閉区間 [a, b] 上で連続なので [a, b] 上で最大値および最小値を取る(最大値最小値定理)。
・ƒ(d) > ƒ(a) のとき
f(x)が [a, b] 上で最大値をとるので、f(c)=Maxf(x) となる点 c ∈ [a, b] が存在する。このとき、a < c < b であるから、(a, b) において ƒ(x) が微分可能であることから、x = c において微分係数 ƒ′(c) が存在し
f ′ ( c ) = lim h → 0 f ( c + h ) − f ( c ) h {\displaystyle f'(c)=\lim _{h\to 0}{f(c+h)-f(c) \over h}}