硬い方程式
線形常微分方程式系の硬さは簡単に測ることができる。一般的な線型方程式系
y ′ = A y , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'=Ay,\quad y(t_{0})=y_{0}}
を考える。上記方程式に対する 硬さの比例 (stiffness ratio) は、行列 A の最大固有値(の絶対値)を最小固有値(の絶対値)で割った商である。つまり、A の固有値を λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn としたとき、方程式に対する硬さの比例を ‖ λ1 ‖ / ‖ λn ‖ と定義する。
典型的な硬さの比例は、10 あたりである。極端な場合に、その数は 10 まで届ける。
非線型方程式の場合は、代わりに関数のヤコビ行列の固有値を使って比例を同じ公式で計算する。
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}y_{n-i}=h\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}f(t_{n-i},y_{n-i}).}
ここで、αi と βi は定数であり、ベクトル α = (α0, ..., αk) と β = (β0, ..., βk) は方法の 生成ペア (generating pair) という。 この方法に対応する one-leg法 (one-leg method) は次の公式で与えられる。
∑ i = 0 k α i y n − i = h ( ∑ i = 0 k β i ) f ( x n − θ h , ( ∑ i = 0 k β i ) − 1 ∑ i = 0 k β i y n − i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}y_{n-i}=h{\Biggl (}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}{\Biggr )}\,f{\Biggl (}x_{n}-\theta h,{\biggl (}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}{\biggr )}^{-1}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}y_{n-i}{\Biggr )}}
ただし、