数字根
以下の表は、十進数の九九の表から数字根を求めたものである。最初の行と列はかける数である。例えば、2x5 = 1 となるが、これは積である 10 の数字根が 1 であることを意味する。
この表には対称性のある面白い数字のパターンが表れている。例えば、9 をかけた結果の数字根は常に 9 である。このパターンは、9 の倍数ごとのブロックとして無限に繰り返される。
9 番目の行と列を無視すれば、半群 {J/(9), X} が残る。J/(9) とは、9 を法とする剰余類で分けられた整数の集合であり、X はこの半群上の元の間の抽象乗算を意味する。a と b が {J/(9), X} の元であるとき、aXb は mod (axb, 9) であり、axb は通常の乗算を表す。言い換えれば、次の式の c を求めていることに他ならない。
a × b ≡ c ( mod 9 ) {\displaystyle a\times b\equiv c{\pmod {9}}}
もちろん、c は axb の数字根であり、(a,b) は共に J と {J/(9), X} の元である。