エアリー関数
であり、関数 K1/3 および K2/3 は急速に収束する積分によって表すことができる(変形ベッセル関数の項も参照)。
負の引数に対して、エアリー関数はベッセル関数と
Ai  ( − x ) = x 9 ( J 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) + J − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) , Bi  ( − x ) = x 3 ( J − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) − J 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{1/3}(2x^{3/2}/3)+J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right),\\[8pt]\operatorname {Bi} (-x)&={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)-J_{1/3}(2x^{3/2}/3)\right)\end{aligned}}}
なる関係を持つ。ここに J±1/3 は xy" + xy' + (x − 1⁄9)y = 0 の解。
スコアラーの関数(英語版)(y" − xy = 1/π の解)もまたエアリー関数を用いて
エアリー関数は三角ポテンシャル井戸に留め置かれた粒子に対する、あるいは一次元定力場における粒子に対するシュレーディンガー方程式の解である。同じ理由により、ポテンシャルが位置の線型関数で局所近似されるときの、転回点の周りでのWKB近似として、エアリー関数は一様半古典近似を与えるのに利用できる。三角ポテンシャル井戸解は、多くの半導体デバイスを理解することに直接的に関係がある。
エアリー関数はまた、虹のような方向性集光(英語版)の周辺強度の形でも根底にある。歴史的にはこれがエアリーがこの特殊関数を導入するに至った数学的問題であった。またエアリー関数は顕微鏡学(英語版)や天文学においても重要である。つまり、エアリー関数は(顕微鏡や望遠鏡の解像限界よりも小さな)点光源(英語版)によって与えられる回折や干渉のパターンを記述する。