ネイピア数の表現
ネイピア数 e はいくつかの無限数列の極限として表現できる。
I. スターリングの公式その1
e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 / n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}
II. スターリングの公式その2
e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
III. 上述の e の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限
e = lim n → ∞ [ ( n + 1 ) n + 1 n n − n n ( n − 1 ) n − 1 ] {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}