Lp空間
この空間は標準的な方法でノルムベクトル空間へと変えられる。すなわち、‖ • ‖p の核についての商空間を考えればよい。任意の可測函数 f に対して ‖ f ‖p = 0 であるための必要分条件は殆ど至る所 f = 0 であることなので、‖ • ‖p の核は p に依存しない。すなわち、
N ≡ k e r ( ‖ ⋅ ‖ p ) = { f : f = 0 μ -almost everywhere } {\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}}
である。
そのような商空間では、二つの函数 f と g に対してほとんど至る所で f = g が成り立つのであれば、それらは等しいものとされる。以上の定義より、得られるノルムベクトル空間は
L p ( S , μ ) ≡ L p ( S , μ ) / N {\displaystyle L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/N}
である。
p = ∞ の場合、空間 L(S, μ) は次の様に定義される。本質的に有界、すなわち測度ゼロの集合上を除いて有界であるような、S から C(または R)への可測函数の集合を考える。
この設定のもとで L は逆ミンコフスキー不等式
‖ | u | + | v | ‖ p ≥ ‖ u ‖ p + ‖ v ‖ p {\displaystyle {\bigl \|}\,|u|+|v|\,{\bigr \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}
を L 内の u と v に対して満たす。この結果は、クラークソンの不等式の証明に用いることが出来る。すると、そのクラークソンの不等式を使って、1 < p < ∞ に対する空間 L の一様凸性を証明することが出来る。
0 < p < 1 の場合、空間 L はF-空間である。すなわちその空間は、完全な平行移動不変な距離を許すもので、その距離に関してベクトル空間の作用は連続である。それはまた、p ≥ 1 の場合のように、局所有界(英語版)であり、F-空間の典型的な例となっている。合理的なほとんどの測度空間に対して、F-空間は局所凸ではない。l あるいは L([0, 1]) において、0 函数を含むようなすべての開凸集合は p-準ノルムについて非有界である。したがって、0 ベクトルは凸近傍の基本系を備えるものではない。
一般にマンハッタン距離が直線距離より短くならないことは直観的に明らかである。正確に述べれば、これは任意のベクトルのユークリッドノルムがその 1-ノルムで抑えられること、すなわち
‖ x ‖ 2 ≤ ‖ x ‖ 1 {\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}}
を意味する。これは、任意のベクトル x の p-ノルム ‖ x ‖ p {\textstyle \|x\|_{p}} は p に関して増大しないこと、すなわち次が成り立つことに一般化可能:
‖ x ‖ p + a ≤ ‖ x ‖ p ∀ x ∈ R N ∀ p ∈ [ 1 , ∞ ) ∀ a ∈ [ 0 , ∞ ) . {\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}\quad \forall \ x\in \mathbb {R} ^{N}\ \forall \ p\in [1,\infty )\ \forall \ a\in [0,\infty ).
特にこの事実は、測度空間 S が互いに素な有限の正測度の集合の無限の族を含む場合、真である。
L([0, 1]) に含まれる唯一つの空でない凸開集合は、全空間である。したがって特に、L([0, 1]) 上のゼロでない線型汎函数は存在しないことになる。すなわち、その双対空間はゼロ空間である。自然数に関する数え上げ測度の場合、数列空間 L(μ) = l を考えることとなり、l 上の有界線型汎函数はまさしく l 上で有界であるようなもので、したがってそれらは l 内の列で与えられる。確かに l は非自明な凸開集合を含むものであるが、それらは位相の基底を与えるために十分なほどではない。
解析を行うことを目的とする上で、線型汎函数が存在しないという状況は全く望まれないものである。R 上のルベーグ測度の場合、0 < p < 1 に対する L よりも、可能であればハーディ空間 H について考える方が一般的である。なぜならばそのハーディ空間には、線型汎函数が多く存在するからである。それらは、各点を区別する上で十分なほどである。しかし、p < 1 の場合、H に対してもハーン-バナッハの定理は成立しない。
(S, Σ, μ) を測度空間とし、f を S 上の実あるいは複素数値可測函数とする。任意の t > 0 に対する f の分布函数は、
λ f ( t ) = μ { x ∈ S ∣ | f ( x ) | > t } {\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \left\{x\in S\mid |f(x)|>t\right\}}
と定義される。
1 ≤ p < ∞ であるようなある p に対して、f が L(S, μ) に含まれるなら、マルコフの不等式より
λ f ( t ) ≤ ‖ f ‖ p p t p {\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}
が得られる。
函数 f は、全ての t > 0 に対して
λ f ( t ) ≤ C p t p {\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}
であるような正定数 C > 0 が存在するとき、弱 L(S, μ) 空間に属する、あるいは L(S, μ) に属すると言われる。
この不等式に対する最良の定数によって、f の L-ノルムが与えられる。すなわち、
‖ f ‖ p , w = sup t > 0 t λ f 1 p ( t ) {\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{\frac {1}{p}}(t)}
が与えられる。