投資信託定理
この(二階条件を満たすことが示されるような)制約付き最適化問題のラグランジュ関数は
L = X T V X + 2 λ ( μ − X T r ) + 2 η ( W − X T 1 ) , {\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}
であり、 λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } はラグランジュ乗数である。この問題は資産保有量を表す最適ベクトル X {\displaystyle X} を導くことが可能で、ラグランジュ関数の X {\displaystyle X} 、 λ {\displaystyle \lambda } 、 η {\displaystyle \eta } についての微分がゼロに等しいとし、 X {\displaystyle X} についての一階条件(英語版)を λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } について暫定的に解き、それを他の一階条件に代入して λ {\displaystyle \lambda } と η {\displaystyle \eta } をモデルのパラメーターについて解き、そしてそれらを暫定的な X {\displaystyle X} の解に代入すればよい。結果は
ここで r f {\displaystyle r_{f}} は既知の無リスク資産の収益率であり、 X {\displaystyle X} はリスク資産の保有量を表すベクトル、そして r {\displaystyle r} はリスク資産の期待収益率のベクトルである。最後の方程式の左辺はポートフォリオの期待収益率であり、 ( W − X T 1 ) {\displaystyle (W-X^{T}1)} は無リスク資産の保有量なので、初めの問題で分けられて導入されていたラグランジュ関数の制約を一つにまとめることができる。目的関数は σ 2 = X T V X {\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX} と書くことができ、 V {\displaystyle V} はリスク資産のみからなる共分散行列である。この最適化問題はリスク資産の保有量の最適ベクトルを導出することで示される。
X o p t = ( μ − W r f ) ( r − 1 r f ) T V − 1 ( r − 1 r f ) V − 1 ( r − 1 r f ) . {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}