内点法
g b = g − μ ∑ i = 1 m 1 c i ( x ) ∇ c i ( x ) ( 3 ) {\displaystyle g_{b}=g-\mu \sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{c_{i}(x)}}\nabla c_{i}(x)~~~~(3)}
となる。ただし、 g {\displaystyle g} は元の関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の勾配であり、 ∇ c i {\displaystyle \nabla c_{i}} は c i {\displaystyle c_{i}} の勾配を表す。
主値 x {\displaystyle x} に加えて、双対値 λ ∈ R m {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}} をラグランジュ乗数として導入する。
∀ i = 1 , ... , m , c i ( x ) λ i = μ ( 4 ) {\displaystyle \forall i=1,\ldots ,m,c_{i}(x)\lambda _{i}=\mu ~~~~(4)}
この条件は時に摂動相補性条件とも呼ばれる。式(4)を式(3)に適用することにより以下を得る。
g − A T λ = 0 ( 5 ) {\displaystyle g-A^{T}\lambda =0~~~~(5)}
ただし、行列 A {\displaystyle A} は制約 c ( x ) {\displaystyle c(x)} のヤコビ行列である。
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