楕円
L = ∫ v 1 v 2 ( d x d v ) 2 + ( d y d v ) 2 d v = ∫ v 1 v 2 a 2 sin 2  v + b 2 cos 2  v d v = b ∫ v 1 v 2 1 − e 2 sin 2  v d v {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{v_{1}}^{v_{2}}{\sqrt {\left({dx \over dv}\right)^{2}+\left({dy \over dv}\right)^{2}}}\,dv\\&=\int _{v_{1}}^{v_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}v+b^{2}\cos ^{2}v}}\,dv\\&=b\,\int _{v_{1}}^{v_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}v}}\,dv\end{aligned}}}
となる。 E ( v , e ) {\displaystyle E(v,e)} が点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} を始点とする積分になる事を考慮し、 場合分けをし積分範囲を決めると、次のようになる。
i) 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \pi /2} L = b ( E ( v 2 , e ) − E ( v 1 , e ) ) {\displaystyle L=b\,(E(v_{2},e)-E(v_{1},e))} v 1 = t h 2 v ( θ 1 ) , v 2 = t h 2 v ( θ 2 ) {\displaystyle v_{1}=th2v(\theta _{1}),\,v_{2}=th2v(\theta _{2})}