双直交系
P = ∑ i , j u i ( ⟨ v , u ⟩ − 1 ) j , i ⊗ v j {\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j}}
で与えられる。ここで ⟨ v , u ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle } は成分が ( ⟨ v , u ⟩ ) i , j = ⟨ v i , u j ⟩ {\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\langle v_{i},u_{j}\rangle } であるような行列である。
このとき、 u ~ i := ( I − P ) u i {\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i}} および v ~ i := ( I − P ) ∗ v i {\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=\left(I-P\right)^{*}v_{i}} は双直交系を成す。
二重直交系に関して、射影
P := ∑ i ∈ I u i ⊗ v i , ( ( u ⊗ v ) ( x ) := u ⟨ v , x ⟩ ) {\displaystyle P:=\sum _{i\in I}u_{i}\otimes v_{i},\qquad ((u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle )}
が得られる。この射影の像は { u i : i ∈ I } {\displaystyle \{u_{i}:i\in I\}} の線型包であり、その核は { ⟨ v i , ⋅ ⟩ = 0 : i ∈ I } {\displaystyle \{\langle v_{i},\cdot \rangle =0:i\in I\}} である。
必ずしも双直交でないベクトルの集合の対 u = ( u i ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{i})} および v = ( v i ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{i})} が与えられたとき、それに関する射影は