ユニタリ作用素
ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 U: H → H がユニタリ作用素であるとは、それが U U = UU = Id を満足するときに言う。ただし、U は U のエルミート共軛で Id: H → H は恒等作用素である。
上記よりも弱く、条件 U U = Id のみを満たすものは等距作用素 (isometry) と呼ばれ、条件 UU = Id を満たすものは余等距作用素 (coisometry) と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である。
内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。
ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 U: H → H がユニタリであるとは、
U は全射であり、かつ
U はヒルベルト空間 H の内積を保つ。即ち、H の任意のベクトル x, y に対して ⟨ U x , U y ⟩ H = ⟨ x , y ⟩ H {\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}} を満足する
ときにいう。