半楕円型作用素
n-次元ユークリッド空間 R のある開集合 Ω 上で定義される二階の偏微分作用素 P で、適当な函数 f に対し
P f ( x ) = ∑ i , j = 1 n a i j ( x ) ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ) + ∑ i = 1 n b i ( x ) ∂ f ∂ x i ( x ) + c ( x ) f ( x ) , {\displaystyle Pf(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+c(x)f(x),}
で定められるものが半楕円型であるとは、行列 a(x) = (aij(x)) のすべての固有値 λi(x), 1 ≤ i ≤ n が非負であることを言う。対照的に、λi(x) > 0 がすべての x ∈ Ω と 1 ≤ i ≤ n に対して成り立つなら P は楕円型と呼ばれ、そのような各固有値が i と x について一様に 0 から離れて一様有界であるなら、一様楕円型と呼ばれる。また同値であるが、P が半楕円型であるとは行列 a(x) が各 x ∈ Ω に対して正定値であることを言う。