群同型
与えられた(有限)位数のすべての巡回群は ( Z n , + n ) {\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n})} に同型である。
G を巡回群とし n を G の位数とする。すると G は x によって生成される群である: < x >= { e , x , . . . , x n − 1 } {\displaystyle <x>=\{e,x,...,x^{n-1}\}} 。
G ≅ ( Z n , + n ) {\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n})}
を示す。
φ : G → Z n = { 0 , 1 , . . . , n − 1 } {\displaystyle \varphi :G\rightarrow \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,...,n-1\}} を φ ( x a ) = a {\displaystyle \varphi (x^{a})=a}
と定義する。明らかに φ {\displaystyle \varphi } は全単射である。すると
φ ( x a ⋅ x b ) = φ ( x a + b ) = a + b = φ ( x a ) + n φ ( x b ) {\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b})}
であり、 G ≅ ( Z n , + n ) {\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n})} が証明された。