代数幾何学用語一覧
1. 代数的閉体上、代数多様体が有理であるとは、射影空間と双有理同値であること。例えば、有理曲線や有理曲面とは、 P 1 , P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}} と双有理同値であるもののこと。
2. 体 k と相対的なスキーム X → S に対し、X の k 有理点とは、S 射 Spec  ( k ) → X {\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X} のこと。
埋入 f : Y → X は部分スキームの同型写像を経由する写像のこと。開埋入は開部分スキームとの同型写像を経由するもの、閉埋入(英語版)は閉部分スキームとの同型写像を経由するもの。f が閉埋入であることと、これが Y の基礎位相空間から X の基礎位相空間の閉部分集合への同相写像を誘導し射 f ♯ : O X → f ∗ O Y {\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}} が全射になることは同値である。埋入の合成はまた埋入になる。書籍『Algebraic Geometry』(ハーツホーン著)や 『Algebraic Geometry and Arithmetic Curves』(Q. Liu著)では、開埋入に閉埋入を合成したものとして埋入を定義している。
「#双対化層」参照。
代数空間(英語版)は、スキームのエタール同値関係(英語版)による商のこと。
滑らかな多様体 X の k 次チャウ群 A k ( X ) {\displaystyle A_{k}(X)} は、k 次元閉部分代数多様体で生成された自由アーベル群(k サイクルの群)を有理同値(英語版)で割ったもの。
スキーム S {\displaystyle S} は局所環付き空間なので、基礎となる位相空間を持っている。しかし S {\displaystyle S} の点には次の三種類の意味がある。 基礎位相空間の点 P {\displaystyle P} 。 S {\displaystyle S} の T {\displaystyle T} 値点。 T {\displaystyle T} は任意のスキーム。 T {\displaystyle T} から S {\displaystyle S} への射のこと。 幾何学的点。 S {\displaystyle S} が体 K {\displaystyle K} の Spec ( K ) {\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)} 上定義され(かつこれへの射を備えており)ているとき、 K {\displaystyle K} の代数的閉包 K ̄ {\displaystyle {\overline {K}}} のスペクトラム Spec ( K ̄ ) {\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})} から S {\displaystyle S} への射へのことをいう。
幾何学的点が古典的な意味での点に最も近いもので、例えば複素多様体であるような代数多様体の場合、これが通常の意味での点に対応する。
1. 局所環が整閉整域である整スキームのことを正規(英語版)という。例えば、全ての正則スキームは正規だが、特異点のある曲線は正規ではない。
2. 滑らかな曲線 C ⊂ P r {\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}} が k 正規とは、次数 k の超曲面が完備線形系 | O C ( k ) | {\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|} を切断すること。全ての k > 0 に対して k 正規であるとき、射影的に正規という。"曲線は、埋め込みに対応する線形系が完備であるとき射影的に正規"といってもいい。"線形正規"は 1 正規と同義。
3. 閉部分代数多様体 X ⊂ P r {\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}} が射影的に正規とは、X 上のアフィン被覆が正規スキーム(英語版)であること。つまり、X の斉次座標環が整閉整域であること。これは 2. における定義と整合的である。
1. p が 1 のときは、X 上の D に沿っての対数的ケーラー微分(英語版)(雑に言うと、因子 D で1位の極を持つ微分形式)の層。
2. Ω X p ( log  D ) {\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)} は Ω X 1 ( log  D ) {\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)} の p 個の外積べキ。
代数群は、群でもある代数多様体で、群演算が多様体の射となっているもののこと。
滑らかな n 次元射影多様体 X の幾何種数とは dim  Γ ( X , Ω X n ) = dim  H n  ( X , O X ) {\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}
のこと。等号はセール双対性による。
射影平面の中の結節曲線についての種数公式(英語版)とは、曲線の種数は g = ( d − 1 ) ( d − 2 ) / 2 − δ {\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }
で計算できるという公式。ここで、d は曲線の次数、δ は結節点の数(曲線が滑らかなら0)である。