順序統計量
標準一様分布からのk番目の順序統計量 U(k) が [u, u + du] の範囲に落ちる確率は
n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! u k − 1 ( 1 − u ) n − k d u + O ( d u 2 ) {\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}du+O(du^{2})}
に等しい。よって、 U(k)の確率密度関数は、
f U ( k ) ( u ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! u k − 1 ( 1 − u ) n − k = 1 B ( k , n − k + 1 ) u k − 1 ( 1 − u ) n − k {\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}={1 \over B(k,n-k+1)}u^{k-1}(1-u)^{n-k}}
で与えられる。ここで、B (k, n-k+1 )はベータ関数を表す。したがって、U(k)はベータ分布に従う確率変数
U ( k ) ∼ B ( k , n + 1 − k ) {\displaystyle U_{(k)}\sim B(k,n+1-k)}
となる。
= n f ( x ) ( ( n − 1 k − 1 ) F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − ( k − 1 ) − ( n − 1 n ) F ( x ) n ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − n ) {\displaystyle =nf(x)\left({\binom {n-1}{k-1}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{(n-1)-(k-1)}-{n-1 \choose n}F(x)^{n}(1-F(x))^{(n-1)-n}\right)}
となる。さらに第二項はゼロとなるから
= n f ( x ) ( n − 1 k − 1 ) F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) n − k f ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&=nf(x){\binom {n-1}{k-1}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{(n-1)-(k-1)}\\&={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x).\end{aligned}}}
を得る。