普遍包絡代数
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数、 T ( g ) {\displaystyle T({\mathfrak {g}})} をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} を x ⊗ y − y ⊗ x − [ x , y ] ( x , y ∈ g ) {\displaystyle x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})} が生成する両側イデアルとする。これによって
U ( g ) = T ( g ) / I {\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}}
とする。自然な写像 T ( g ) → U ( g ) {\displaystyle T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})} を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に制限して i : g → U ( g ) {\displaystyle i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} が定まり、 ( U ( g ) , i ) {\displaystyle (U({\mathfrak {g}}),i)} は普遍包絡代数になる。