メネラウスの定理
メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点F、D、Eをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、
A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}
が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。
直線ADと直線BEの交点をGとすると
A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A ⋅ △ A E D = A F F B ⋅ B D D C ⋅ △ C E D = A F F B ⋅ △ B D E = △ A E D {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}\cdot \vartriangle AED={AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot \vartriangle CED={AF \over FB}\cdot \vartriangle BDE=\vartriangle AED}
△AED≠0より
A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}