ラグランジュ点
各ラグランジュ点について、まず狭義の安定性(平衡解の位置に静止した状態を継続し続けるかどうか)について述べる。オイラーの直線解(L1, L2, L3)において天体Aは、天体Eと天体Mを通る直線の垂直方向にはラグランジュ点に引き戻す力を受ける。一方、同直線方向にはラグランジュ点から引き離す力を受ける。トロヤ点(L4, L5)では、各ラグランジュ点からどの方向にわずかに動いても、元の位置から遠ざかる方向に力を受ける。このように、静止位置から摂動を受けた際にラグランジュ点から遠ざかる方向へ力を受け得るという意味では、すべてのラグランジュ点(L1からL5)は狭義には安定ではない。
以下では、同じく各ラグランジュ点について、より広義の安定性(すなわち、平衡解位置の付近で定常的な往復・振動運動(閉じた軌道運動)をすることで、平衡解の近くに長期間滞在できるかどうか)について述べる。
この意味での安定性について、L1, L2, L3 は少なくとも制限三体問題において、各点の近くに安定な周期軌道が存在することが分かっている。これらは完全な周期軌道であり、ハロー軌道と呼ばれる。
同じくこの意味での安定性についてL4とL5は、2天体(EとM)の質量比が M E / M M > 24.96 {\displaystyle M_{E}/M_{M}>24.
太陽-木星の系では、トロヤ群と呼ばれる数千個の小惑星が本系のL4, L5に付近に軌道を持っており、L4のものを「前トロヤ小惑星群」、L5のものを「後トロヤ小惑星群」とそれぞれ呼んでいる。このような小さな天体群は、恒星-惑星系(先述の木星の他に、太陽-土星系や太陽‐火星系など)だけでなく惑星-衛星系(木星とその衛星の系、土星とその衛星の系など)にも発見されている。
土星とその第3衛星テティスの系のL4とL5には、それぞれ2つの小さな衛星(第13衛星テレスト(L4付近)と第14衛星カリプソ(L5付近))が確認されている。また、土星-第4衛星ディオネの系でも、ヘレネ(第12衛星; L4付近)とポリデウケス(第34衛星; L5付近)が存在する。このような惑星-衛星の系のL4とL5に位置する衛星はトロヤ衛星と呼ばれ、それぞれのL4とL5の等ポテンシャル線上を周回している。軌道の周回に伴う方位角の変化は、ポリデウケスが最も大きく、土星-ディオネ系のL5の方向から最大で32度離れる。なお、テティスもディオネも、これらのトロヤ衛星群と比べてずっと質量が大きい。さらに、土星はテティスやディオネよりもずっと大きな質量をもつ。このために、木星を取り巻くそれぞれの恒星-惑星系および惑星-衛星系のそれぞれのラグランジュ点は、十分に安定した軌道を有している。
太陽‐地球系のトロヤ点には大きな天体は見つかっていないが、星間塵がL4とL5を取り巻くように分布していることが1950年代に発見されている。また、対日照よりもずっと淡いとされる塵の雲(コーディレフスキー雲)が地球-月系のL4, L5に存在するとする説もある。
F G M ( r A ) = − ∇ U G M ( r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})=-\nabla U_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})}
F w ( r A ) = − ∇ U w ( r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})=-\nabla U_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})}
これらのポテンシャルを用いて運動方程式を再度書き直すと、次のようになる。
0 = − ∇ { U G E ( r A ) + U G M ( r A ) + U w ( r A ) } {\displaystyle 0=-\nabla \{U_{GE}({\boldsymbol {r}}_{A})+U_{GM}({\boldsymbol {r}}_{A})+U_{w}({\boldsymbol {r}}_{A})\}}
これまでの方程式では、それぞれの力 F ( r A ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}_{A})} は3成分のベクトル量であったが、ポテンシャル U ( r A ) {\displaystyle U({\boldsymbol {r}}_{A})} は1成分のスカラーである。そのため、ラグランジュ点を求めるにあたっては、次のポテンシャル U t o t a l ( r A ) {\displaystyle U_{total}({\boldsymbol {r}}_{A})} で考えることで、直観的なイメージがしやすい。