バーゼル問題
オイラーは、sin x のマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した。まずは sin x を
sin  x = x 1 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
と展開する。この両辺を x で割ると
( 1 ) sin  x x = 1 1 ! − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle (1)\qquad {\frac {\sin x}{x}}={\frac {1}{1!}}-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
となる。左辺はちょうど x = ±nπ(n は正の整数)のとき 0 であるから、右辺を形式的に以下のように「因数分解」できる。
sin  x x = ( 1 − x 1 π ) ( 1 + x 1 π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ .