ルジャンドル予想
1975年に陳景潤が、任意の自然数 n に対し n と (n + 1) の間には必ず素数か半素数が存在することを示した。
また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、n が十分大きければ n と (n + 1) の間には必ず素数が存在することを示している。
他にも、十分大きな x について、区間 [ x , x + O ( x 21 40 ) ] {\displaystyle [x,\,x+O(x^{\frac {21}{40}})]} は必ず素数を含むということが証明されている。ここで O(x) はランダウのO-記法である。
計算により、4 × 10 までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている。もし 4 × 10 の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。