量子回路
量子ゲートを定義するため、古典的論理ゲートの場合と同様、n-量子ビットの置換について考える。 古典的なビット列空間{0,1}の量子版はヒルベルト空間である。
H QB  ( n ) = l 2 ( { 0 , 1 } n ) . {\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}
これは定義により、{0,1}の複素関数空間、すなわち内積空間である。 この空間は、古典的なビット文字列の線形重ね合わせで構成されていると見なすこともできる。(H QB( n )は、 2-次元の複素のベクトル空間であることに注意。)この空間の要素を量子ビット列(n-量子ビット)と呼ぶ。
古典的ビット列x 1 x 2 ... x nに対し、ディラックのケット表記を使用し表記される量子ビット列、
| x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }
を考える。これは古典的ビット列x 1 x 2 ... x nを1へ、他のすべてのビット文字列を0へ写す関数に対応する特殊な量子ビット列である。