クロネッカーの極限公式
数学において、古典的なクロネッカーの極限公式(クロネッカーのきょくげんこうしき、英: Kronecker limit formula)は、デデキントのエータ函数によって実解析的アイゼンシュタイン級数(もしくは、エプシュタインのゼータ函数)の s = 1 での定数項を記述する。命名はレオポルト・クロネッカーにちなんでいる。クロネッカーの極限公式には、より込み入ったアイゼンシュタイン級数へ多くの一般化がある。またGoldsteinによって任意の代数体に一般化されている。
クロネッカーの第一極限公式は、
E ( τ , s ) = π s − 1 + 2 π ( γ − log  ( 2 ) − log  ( y | η ( τ ) | 2 ) ) + O ( s − 1 ) {\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1)}
である。ここに、
E(τ, s) は、Re(s) > 1 に対して E ( τ , s ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) y s | m τ + n | 2 s {\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}} で与えられ、解析接続によって他の複素数 s に対しても与えられる。
γ はオイラー・マスケローニ定数である。
τ = x + iy で y > 0 とする。
q = e 2 π i τ {\displaystyle \textstyle q=e^{2\pi i\tau }} として η ( τ ) = q 1 / 24 ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) {\displaystyle \textstyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})} はデデキントのエータ函数である。
従って、アイゼンシュタイン級数は s = 1 で留数 π の極を持ち、クロネッカーの第一極限公式は、この極でのローラン級数の定数項を与える。