近似法
テイラー展開を用いる。
関数f (x ) のx = a の近傍における近似値を考える。f (x )をx = a においてテイラー展開すれば
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
となる。x -a の値が十分小さければ、高次の項は無視することができる。とくに2次以上を無視すれば
f ( x ) ≃ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\simeq f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}
となる。また、n 次の項まで考えたものをn 次近似と呼ぶ。すなわち上の例は1次近似である。
特殊関数などの関数の振る舞いはしばしば漸近展開によって記述される。関数列 { φ n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n=0}^{\infty }} が点 x 0 {\displaystyle x_{0}} における漸近関数列であるとは、すべての n {\displaystyle n} で
φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) ) x → x 0 {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ x\to x_{0}}
が成り立つことをいう(点 x 0 {\displaystyle x_{0}} としては無限遠 x 0 = ∞ {\displaystyle x_{0}=\infty } でもよい)。そのうえで、ある関数 f {\displaystyle f} の点 x 0 {\displaystyle x_{0}} における (広義の) 漸近級数とは、形式級数 ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)} ですべての k {\displaystyle k} に対して
f ( x ) − ∑ n = 0 k a n φ n ( x ) = o ( φ k ( x ) ) {\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}\varphi _{n}(x)=o\left(\varphi _{k}(x)\right)}