ドゥーブのマルチンゲール不等式
X を非負実数値をとる劣マルチンゲールとする(時間は離散的でも連続的でもどちらでもよい)。つまり任意の時刻 s, t (s < t) に対し
X s ≤ E [ X t | F s ] {\displaystyle X_{s}\leq \mathbf {E} \left[X_{t}{\big |}{\mathcal {F}}_{s}\right]}
であるとする(連続時間の場合は、さらに確率過程が右連続左極限(càdlàg)であることも要請する)。
このとき、任意の定数 C > 0 に対し
P [ sup 0 ≤ t ≤ T X t ≥ C ] ≤ E [ X T ] C {\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[X_{T}\right]}{C}}}