ウェイト (表現論)
ウェイト λ ∈ h* が整(あるいは g-整)であるとは,γ が正ルートなる各コルート Hγ に対して λ(Hγ) ∈ Z となることをいう.
基本ウェイト ω1, ..., ωn は次の性質によって定義される:それらは単純コルート H α 1 , ... , H α n {\displaystyle H_{\alpha _{1}},\ldots ,H_{\alpha _{n}}} の集合に双対な h* の基底をなす.
したがって λ が整であるとは,基本ウェイトの整数結合であることである.すべての g-整なウェイトの集合は h* における格子であり,g のウェイト格子と呼ばれ,P(g) と書かれる.
リー群 G のウェイト λ が整であるとは,exp(t) = 1 ∈ G なる各 t ∈ h に対して, λ ( t ) ∈ 2 π i Z {\displaystyle \lambda (t)\in 2\pi i\mathbf {Z} } となることをいう.半単純な G に対して,すべての G-整ウェイトの集合は部分格子 P(G) ⊂ P(g) である.G が単連結ならば,P(G) = P(g) である.G が単連結でなければ,格子 P(G) は P(g) よりも小さく,それらの商は G の基本群に同型である.