カプラン＝マイヤー推定量
カプラン=マイヤー推定量は統計量であり、その分散を近似するためにいくつかの推定量が使用される。最も一般的な推定量の1つはGreenwoodの式である。
Var ^ ( S ^ ( t ) ) = S ^ ( t ) 2 ∑ i : t i ≤ t d i n i ( n i − d i ) , {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Var} }}\left({\widehat {S}}(t)\right)={\widehat {S}}(t)^{2}\sum _{i:\ t_{i}\leq t}{\frac {d_{i}}{n_{i}(n_{i}-d_{i})}},}
ここで、 d i {\displaystyle d_{i}} は症例数、 n i {\displaystyle n_{i}} は観測の総数で、 t i < t {\displaystyle t_{i}<t} である。
Greenwoodの式は、 n i {\displaystyle n_{i}} 件のうち d i {\displaystyle d_{i}} 件の故障が発生する確率が、故障確率 h i {\displaystyle h_{i}} の二項分布に従うことに着目して導き出される。
基本的な計算によって、
S ( t ) = Prob  ( τ > t ∣ τ > t − 1 ) Prob  ( τ > t − 1 ) = ( 1 − Prob  ( τ ≤ t ∣ τ > t − 1 ) ) Prob  ( τ > t − 1 ) = ( 1 − Prob  ( τ = t ∣ τ ≥ t ) ) Prob  ( τ > t − 1 ) = q ( t ) S ( t − 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=\operatorname {Prob} (\tau >t\mid \tau >t-1)\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=(1-\operatorname {Prob} (\tau \leq t\mid \tau >t-1))\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=(1-\operatorname {Prob} (\tau =t\mid \tau \geq t))\operatorname {Prob} (\tau >t-1)\\[4pt]&=q(t)S(t-1)\,,\end{aligned}}}
となり、ここで最後の等式は τ {\displaystyle \tau } が整数値であることを利用し、最終行で
q ( t ) = 1 − Prob  ( τ = t ∣ τ ≥ t ) .