部分和分
∫ f d g = f g − ∫ g d f {\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df}
の離散的なアナロジー(類似対応物)である。比較して部分和分の方は Δf Δg の項が余分に加わっていることに注意。これは部分積分の方では対応する項 df dg は二次の微分として消えることによる。
同様の公式はいわゆる「定和分」についても成立する。すなわち 二つの数列 (fk), (gk) に対して、
∑ k = m n f k ( g k + 1 − g k ) = [ f n + 1 g n + 1 − f m g m ] − ∑ k = m n g k + 1 ( f k + 1 − f k ) , {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left[f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right]-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}),}
あるいは前進差分を用いて書けば
∑ k = m n f k Δ g k = [ f n + 1 g n + 1 − f m g m ] − ∑ k = m n g k + 1 Δ f k , {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left[f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right]-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}
が成立する(後述)。