二項定理
n個の積を一度に展開し切る方法により、次のことも分かる:
等式 ( X + Y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) X n − k Y k {\displaystyle (X+Y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{n-k}Y^{k}}
において n個の Y を区別して Y1, Y2, ..., Yn と考えた場合、展開式は基本対称式 σk を用いて ∏ i = 1 n ( X + Y i ) = ∑ k = 0 n σ k ( Y 1 , ... , Y n ) X n − k {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(X+Y_{i})=\sum \limits _{k=0}^{n}\sigma _{k}(Y_{1},\ldots ,Y_{n})X^{n-k}}
と書ける。
数学的帰納法とパスカルの法則(英語版)により、簡単に証明できる。