グロタンディーク群
結局、有限次元ベクトル空間 V* の鎖複体に対し、 [ V ∗ ] = χ ( V ∗ ) [ k ] {\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}
であり、ここに χ {\displaystyle \chi } は、 χ ( V ∗ ) = ∑ i ( − 1 ) i dim  V = ∑ i ( − 1 ) i dim  H i ( V ∗ ) {\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {dim} V=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {dim} H^{i}(V^{*})}
により定義される標準的オイラー特性数である。
環付き空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} に対して、X 上のすべての局所自由層からなる圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を考えることができる。すると K0(X) はこの完全圏のグロタンディーク群として定義され、再びこれは関手を与える。
環付き空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} に対し、圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を X 上のすべての連接層の圏として再定義する。
アーベル群 G を写像 φ : O b ( A ) → G {\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G} がグロタンディーク群 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} であるとは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} からアーベル群 X へのすべての「加法的」写像 χ : O b ( A ) → X {\displaystyle \chi \colon \mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X} (上の意味で「加法的」とは、すべての完全系列 A ↪ B ↠ C {\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C} に対し、 χ ( A ) − χ ( B ) + χ ( C ) = 0 {\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0} となることである)は、一意に φ を通して分解することである。
「完全」の意味を標準的な解釈をすると、すべてのアーベル圏は完全圏である。このことは、 A := R {\displaystyle {\mathcal {A}}:=R} -mod としたとき、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} とする有限生成 R-加群の前のセクションでのグロタンディーク群の考え方をもたらす。
M を可換モノイドとする。そのグロタンディーク群 K = K(M) は、以下の普遍性を持つアーベル群である。モノイド準同型 i : M → K {\displaystyle i\colon M\rightarrow K} が存在し、任意の可換モノイド M からアーベル群 A への任意のモノイド準同型 f : M → A {\displaystyle f\colon M\rightarrow A} に対し、一意に群準同型 g : K → A {\displaystyle g\colon K\rightarrow A} が存在して、
f = g ∘ i {\displaystyle f=g\circ i}
となる。
これは、M の準同型像を含む任意のアーベル群 A は K の準同型像もまた含み、K は M の準同型像を含む「最も一般的な」アーベル群であるという事実を表現している。
コンパクト多様体 M の群 K0(M) は M 上の有限ランクのベクトル束のすべての同型類からなる可換モノイドにモノイド演算を直和で与えたグロタンディーク群と定義される。これは多様体からアーベル群への反変関手を与える。関手は位相的K-理論(英語版)において研究され拡張されている。
(可換でなくてもよい)環 R の 0 次代数 K 群 K0(R) は R 上有限生成射影加群の同型類からなるモノイドでモノイド演算が直和によって与えられるもののグロタンディーク群である。このとき K0 は環からアーベル群への共変関手である。
これら 2 つの例は関係している: R がコンパクト多様体 M 上の(複素数値としよう)滑らかな関数全体の環 C(X) である場合を考えよう。この場合射影 R-加群は(セール・スワンの定理によって)M 上のベクトル束に双対である。したがって K0(R) と K0(M) は同じ群である。