ボホナー積分
ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が
∫ X ‖ f ‖ B d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty }
であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B0 に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。
ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒn: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖fn(x)‖B ≤ g(x) を満たす g ∈ L(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で
で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。
可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 sn で
lim n → ∞ ∫ X ‖ f − s n ‖ B d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}d\mu =0}
を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。
このとき、ボホナー積分は
∫ X f d μ = lim n → ∞ ∫ X s n d μ {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu }
と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L に属することである。