接続 (ベクトル束)
∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はXに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形であり、したがって点Pにおける値 ∇ X s | P {\displaystyle \nabla _{X}s|_{P}} がXのPにおける値XPのみから決まる。この事に着目すると、接続を若干違った角度から定式化できる。これを見るため、Eに値を取る線形写像 ∇ s | P {\displaystyle \nabla s|_{P}} を
∇ s | P : X P ∈ T M ↦ ∇ X P s | P ∈ E {\displaystyle \nabla s|_{P}~:~X_{P}\in TM\mapsto \nabla _{X_{P}}s|_{P}\in E}
と定義すると、余接ベクトル空間TMの定義から、
∇ s | P ∈ ( T ∗ M ⊗ E ) P {\displaystyle \nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}}
とみなせる。そこでMの各点Pに ∇ s | P ∈ ( T ∗ M ⊗ E ) P {\displaystyle \nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}} を対応させる切断
ここで ∧ ◯ {\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}} は下記のKulkarni–Nomizu積である:
( h ∧ ◯ k ) ( X , Y , Z , W ) := h ( X , Z ) k ( Y , W ) + h ( Y , W ) k ( X , Z ) − h ( X , W ) k ( Y , Z ) − h ( Y , Z ) k ( X , W ) {\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X,Y,Z,W):={}&h(X,Z)k(Y,W)+h(Y,W)k(X,Z)\\&{}-h(X,W)k(Y,Z)-h(Y,Z)k(X,W)\end{aligned}}}
本節ではアフィン接続
∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) {\displaystyle \nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}
に対し、先に定義した捩率テンソル
T ∇ ( X , Y ) := ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
の性質を述べる。
Z ( g ( X , Y ) ) = g ( ∇ Z X , Y ) + g ( X , ∇ Z Y ) {\displaystyle Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}
ここでX、Y、ZはM上の任意の可微分なベクトル場であり、f、gはM上定義された任意の実数値C級関数であり、a、bは任意の実数であり、 f Y {\displaystyle fY} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} において f ( u ) Y u {\displaystyle f(u)Y_{u}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分であり、 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} はリー括弧(英語版)である。
具体的には局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を使って、 X = X j ∂ ∂ x j {\displaystyle X=X^{j}{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}} 、
なお、Mが弧状連結であればPによらず H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} が同型である事を容易に示せるので、Pを略して単に H o l ( E , ∇ ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla )} とも書く。
また、
H o l 0 ( E , ∇ , P ) := { φ C ∣ C {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C} はPから出てP自身へと戻る閉曲線でM上0-ホモトープなもの } {\displaystyle \}}
とすると、 H o l 0 ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)} は H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} の部分群をなす。 H o l 0 ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)} をPにおけるEの ∇ {\displaystyle \nabla } に関する制約ホロノミー群(英: restricted holonomy group)という。
またアフィン接続という名称ではあるが、この接続に関する事項、例えば平行移動は線形変換になり、(線形変換以外の)アフィン変換にはならない。この名称は、この接続をカルタン接続とみなしたときにアフィン空間をモデルとするカルタンの幾何学とみなせる事による。詳細はカルタンの幾何学の項目を参照されたい。
Eに計量gが定義されているときには、以下の概念を定義できる:
定義 (リーマン計量と両立する接続) ― Eの任意の切断s1]、s2]に対し
X g ( s 1 , s 2 ) = g ( ∇ X s 1 , s 2 ) + g ( s 1 , ∇ X s 2 ) {\displaystyle Xg(s_{1},s_{2})=g(\nabla _{X}s_{1},s_{2})+g(s_{1},\nabla _{X}s_{2})}
が成立する場合、 ∇ {\displaystyle \nabla } はリーマン計量gと両立する(英: compatible with g)といい、 ∇ {\displaystyle \nabla } は計量接続(英語版)(英: metric connection)であるという。
また、 E = T M {\displaystyle E=TM} の場合、すなわち∇が多様体M上のアフィン接続である場合は以下のテンソルを定義できる: