調和数 (発散列)
と書く。また、n → ∞ の極限で一般化調和数はリーマンゼータ函数に収斂する。つまり
lim n → ∞ H n , m = ζ ( m ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n,m}=\zeta (m)}
が成り立つ。一般化調和数はベルヌーイ数を調べる際に現れ、またスターリング数を調べる際にも現れる。一般化調和数の母函数は
∑ n = 1 ∞ z n H n , m = Li m ( z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}}
である。ここで Lim(z) は多重対数函数で |z| < 1 とする。この式で m = 1 としたものは、先に述べた調和数列の母函数に一致する。
H 3 / 4 = 4 3 − 3 ln  2 + π 2 , H 2 / 3 = 3 2 ( 1 − ln  3 ) + π 6 3 , H 1 / 2 = 2 − 2 ln  2 , H 1 / 3 = 3 − π 2 3 − 3 2 ln  3 , H 1 / 4 = 4 − π 2 − 3 ln  2 , H 1 / 6 = 6 − π 2 3 − 2 ln  2 − 3 2 ln  ( 3 ) , H 1 / 8 = 8 − π 2 − 4 ln  2 − 1 2 { π + ln  ( 2 + 2 ) − ln  ( 2 − 2 ) } , H 1 / 12 = 12 − 3 ( ln  2 + ln  3 2 ) − π ( 1 + 3 2 ) + 2 3 ln  2 − 3 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{3/4}&={\frac {4}{3}}-3\ln {2}+{\frac {\pi }{2}},\\H_{2/3}&={\frac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\frac {\pi }{6}}{\sqrt {3}},\\H_{1/2}&=2-2\ln {2},\\H_{1/3}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3},\\H_{1/4}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2},\\H_{1/6}&=6-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3),\\H_{1/8}&=8-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\},\\H_{1/12}&=12-3\!\left(\ln {2}+{\frac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \!\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}