ワニエ関数
局在化分子軌道のようにワニエ関数は多くの異なる方法で選ぶことができる が、固体物理学においてワニエが最初導入した最もシンプルで一般的な定義は次のようなものである。 完全結晶中のある1つのバンドを選び、そのブロッホ状態は次のように表示する。
ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) {\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}
ここでuk(r) は結晶と同じ周期性を持つ。このときワニエ関数は次のように定義される。
φ R ( r ) = 1 N ∑ k e − i k ⋅ R ψ k ( r ) {\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}