臨界点 (数学)
R の開集合から R への可微分写像 f が与えられたとき、f の臨界点とは R の点であって f のヤコビ行列のランクが最大でない点のことである。f による臨界点の像は臨界値(英語版)と呼ばれる。臨界値の集合の補集合の点は正則値と呼ばれる。サードの定理は滑らかな写像の臨界値の集合が測度 0(英語版) であるというものである。とくに、n = 1 ならば、各有界区間において臨界値は有限個である。
著者によってはわずかに異なる定義を与える:f の臨界点とは R の点であって f のヤコビ行列のランクが n よりも小さい点のことである。この慣習では、m < n のときすべての点は臨界点である。
これらの定義は以下のように可微分多様体の間の可微分写像に拡張できる。f: M → N を m 次元多様体 N から n 次元多様体 N への可微分写像とする。