境界付き多様体
このとき M のチャートは "頂点付きチャート" と呼ばれる.頂点付きチャートは対 (U, φ) であって U ⊂ M が M の開部分集合で φ : U → U ~ ⊂ R + n ̄ {\displaystyle \phi \colon U\to {\tilde {U}}\subset {\overline {\mathbb {R} _{+}^{n}}}} が同相なものである.2つの頂点付きチャート (U, φ) と (V, ψ) が整合的とは, φ ∘ ψ − 1 : ψ ( U ∩ V ) → φ ( U ∩ V ) {\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}\colon \psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)} が滑らかであることをいう.
境界付き位相多様体の頂点付き滑らかな構造とは M を被覆する頂点付き整合的チャートからなる極大集合である.頂点付き滑らかな構造をもった境界付き位相多様体は頂点付き多様体と呼ばれる.