ポントリャーギン双対
整数全体が加法に関して成す無限巡回群 Z 上の指標は、生成元である 1 の行き先によって決まる。つまり、Z 上の指標 χ に対し χ(n) = χ(1) が成り立ち、さらにこの式は T から χ(1) となるべき値を任意に選ぶことで定まる。したがってこのことから、Z の代数的双対群が円周群 T に同型であることは直ちにわかる。コンパクト集合上一様収束の位相はこの場合、各点収束位相に一致する。またこの位相が複素数全体 C における通常の位相を円周群に制限したものに一致することも簡単に示される。以上のことから Z の双対群は T に自然同型である。
逆に T 上の指標は適当な整数 n によって z → z の形に書ける。T はコンパクトゆえ、一様収束位相であるその双対群上の位相は離散位相となり、結果として T の双対は Z に自然同型となる。
実数全体の成す加法群 R は自身の双対群に同型で、R 上の指標は r → e の形に書ける。このような双対性に関して、次の節で導入するフーリエ変換は R 上の古典的な意味でのフーリエ変換と一致する。
ˆG の双対群は G に自然同型 (canonically isomorphic) である。すなわち自然に (ˆG) = G と見なせる。
ここでいう「自然な」(あるいは標準的な)という形容は、G から (ˆG) への写像が定義できて、その写像が函手的 (functorial) であるということを意味する。この概念の正確な定式化には自然変換の概念が関わっている。
この事実は重要で、たとえば如何なる有限アーベル群もその双対群と同型ではあるが、自然同型ではない。定理に言う自然同型は
x ↦ { χ ↦ χ ( x ) } i.e. x ( χ ) := χ ( x ) {\displaystyle x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)}
と定義することによって与えられる。言い換えれば、群の各元 x は双対群上の指標と同一視される。