代数体
| α | j = { | α ( j ) | ( j = 1 , ... , r 1 ) | α ( j ) | 2 ( j = r 1 , ... , r 1 + r 2 ) ( α ∈ K × ) {\displaystyle |\alpha |_{j}={\begin{cases}|\alpha ^{(j)}|&(j=1,\ldots ,r_{1})\\|\alpha ^{(j)}|^{2}&(j=r_{1},\ldots ,r_{1}+r_{2})\end{cases}}\ \ \ \ (\alpha \in K^{\times })}
とおく。但し、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} は、実数または複素数の絶対値を K に制限したものである。
すると、これら r 1 + r 2 {\displaystyle r_{1}+r_{2}} 個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。
j = 1 , ...
代数体 K のイデアル群を J K {\displaystyle J_{K}} とし、 J K {\displaystyle J_{K}} に含まれる単項イデアル全体を、 P K {\displaystyle P_{K}} とおくと、 P K {\displaystyle P_{K}} は、 J K {\displaystyle J_{K}} の部分群となる。剰余群 J K / P K {\displaystyle J_{K}/P_{K}} を K のイデアル類群 (ideal class group) という。
任意の代数体に対して、イデアル類群は有限群である。
任意の代数体 K に対して、判別式は 0 でない有理整数である。 ミンコフスキーの定理。有理数体と異なる代数体の判別式は、 ± 1 {\displaystyle \pm 1} と異なる。(つまり、 | D K | > 1 {\displaystyle |D_{K}|>1} となる。) エルミートの定理。任意の正数 N に対して、判別式の絶対値が N 以下の代数体は有限個しか存在しない。 シュティッケベルガーの定理。代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 D K ≡ 0 , 1 {\displaystyle D_{K}\equiv 0,\ 1} (mod 4) である。 n 次の代数体 K の判別式 D K {\displaystyle D_{K}} に対して、 | D K | 1 / 2 ≥ n n n ! ( n 4 ) n / 2 {\displaystyle |D_{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{4}}\right)^{n/2}} 。