リンドラー座標
∇ e → 0 e → 0 = 1 x e → 1 {\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}}
つまり、各リンドラー観測者は ∂ x {\displaystyle \scriptstyle \partial _{x}} 方向に加速をしている。それぞれを見れば、各観測者は「一定の大きさの」加速度でこの方向に加速しており、その世界線は一定の曲率をもつため、ユークリッド幾何でいう円のローレンツ的な相似物になる。
リンドラー観測者は「渦無し」であるため、「超曲面直交」 となる。直交超曲面断片は t = t 0 {\displaystyle \scriptstyle t\;=\;t_{0}} である。これらはリンドラーチャート上には水平な半平面として現われ、デカルトチャート上には T = X = 0 {\displaystyle \scriptstyle T\;=\;X\;=\;0} を通る半平面として現われる(上図参照)。dt = 0 の線素については、通常のユークリッド幾何 dσ = dx + dy + dz; x > 0, y, z が満たされることがわかる。したがって、リンドラーチャートの空間座標はリンドラー観測者が相互に静止しているということをとても単純に反映していると言える。この、リンドラー観測者の剛体性については後述する。
時間的ベクトル場 e → 0 {\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{0}} の積分曲線は、リンドラー観測者と呼ばれる一連の観測者の世界線からなる時間的合同(英語版)を与える。リンドラーチャート上では、これらの世界線は x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 {\displaystyle \scriptstyle x\;=\;x_{0},\;y\;=\;y_{0},\;z\;=\;z_{0}} を表わす縦座標のようにみえる。上述の座標変換により、これらがもとのデカルトチャートでは双曲線に対応することがわかる。
ローレンツ多様体上の一般の時間的合同と同様、この合同にも kinematic decomposition が存在する(レイチャウデューリ方程式を参照)。この場合、リンドラー観測者の合同の「膨張」と「渦度」は消える。膨張テンソルの消失は、「各観測者が隣の観測者と一定の距離を保つ」ということを意味する。渦度テンソルの消失は、各観測者の世界線が他の観測者の世界線に巻き付いたりしないということを意味する。これは局所的には「渦」が存在しないということである。
各観測者の加速ベクトル(英語版)は共変微分を用いて以下のように得られる。
すべてのリンドラー観測者が各々の時計を T=0 でゼロにあわせたとすると、リンドラー座標系の定義時に、どのリンドラー観測者の固有時をリンドラー座標系の座標時 t として採用するかを選ぶ余地がある。そして、選んだ観測者の固有加速度が前述の g の値となる(リンドラー地平面からの距離が違う、その他のリンドラー観測者の固有時と、リンドラー座標時との関係は定数倍となる)。広く行われている慣習として、リンドラー座標系は固有加速度 g=1 のリンドラー観測者の固有時を座標時として採用する。その場合、上式の g は消去される。
上式
t = 1 g arctanh  ( T X ) , x = X 2 − T 2 , y = Y , z = Z {\displaystyle t={\frac {1}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\;x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\;y=Y,\;z=Z}
は c=1 の単純化を行ってある。単純化を受けていない下式のほうが、加速度を g としたときのリンドラー地平面までの距離を出すためには便利である。