超準解析
以下ではモデル論的アプローチに分類される上部構造アプローチについて述べる。任意の集合 S {\displaystyle S} が与えられたとき、 S {\displaystyle S} の上部構造(superstructure)とは次のように帰納的に定義される集合 V ( S ) {\displaystyle V(S)} である:
V 0 ( S ) = S , {\displaystyle V_{0}(S)=S,}
V n + 1 ( S ) = V n ( S ) ∪ P ( V n ( S ) ) , {\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup {\mathcal {P}}(V_{n}(S)),}
V ( S ) = ⋃ n ∈ N V n ( S ) . {\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}
つまり S {\displaystyle S} の上部構造は S {\displaystyle S} から始めて、 S {\displaystyle S} の冪集合を S {\displaystyle S} に添加していく操作を繰り返し、それによって得られた列の和集合を取ることで得られる。
代数トポロジーへの応用も存在する。M. C. McCordは超準解析に基づいて位相空間の新しいホモロジー群を構成した。このホモロジー群はホモロジー完全系列が常に存在する点で、チェックホモロジー(英語版)とは異なる。実際、チェックホモロジーはコンパクトハウスドルフ空間に対してさえ完全系列を持つとは限らない。一方で、コンパクト性の仮定のもとではチェックホモロジーと同型となることがGaravagliaによって証明されている。Garavagliaは同じ論文において、チェックホモロジーが全てのコンパクトハウスドルフ空間について完全系列を持つことと、係数群が等式コンパクトであることとが同値であることを証明している。このことは、係数群 G {\displaystyle G} が等式コンパクトのとき、 G {\displaystyle G} を固定する全射準同型 ∗ G → G {\displaystyle {}^{\ast }G\to G} が存在することと関係している。
形状理論(英語版)への応用も存在する。形状理論は局所的に複雑な空間の形状を適切に扱うためのフレームワークを提供するものである。例えばワルシャワの円(英語版)は殆ど円のような形状をしているのだが、その特異ホモトピーは自明である。
定理. いかなる有限超実数 r {\displaystyle r} も、ある一意的な標準実数 s t ( r ) {\displaystyle \mathrm {st} (r)} に無限に近い。これにより定まる写像 s t {\displaystyle \mathrm {st} } は有限超実数の成す環から R {\displaystyle \mathbb {R} } への環準同型になっている。
この写像 s t {\displaystyle \mathrm {st} } もまた外的である。
s t ( r ) {\displaystyle \mathrm {st} (r)} を r {\displaystyle r} の標準部という。どんな有限超実数も標準実数と無限小超実数の和として一意的に表せるので、複素数における実部と虚部に倣って、その標準項のことを標準部というのである。超実数の標準部の存在は次のようにして示される:どんな有限超実数 s {\displaystyle s} も、 s {\displaystyle s} 未満からなる標準実数の集合 L {\displaystyle L} を定める。 s {\displaystyle s} は有限であるから L {\displaystyle L} は上に有界な非空集合である。したがって実数の完備性より、 L {\displaystyle L} は標準実数の範囲で上限を持ち、これが標準部の条件を満たすことが確かめられる。
連続性の直観的な特徴付けとして次のものがある:
集合 x が内的とは、ある A ∈ V ( R ) {\displaystyle A\in V(\mathbb {R} )} に対して x ∈ ∗ A {\displaystyle x\in {}^{\ast }A} となることをいう。 A ∈ V ( R ) {\displaystyle A\in V(\mathbb {R} )} ならば ∗ A {\displaystyle {}^{\ast }A} 自身が内的である。
超準解析の基本的な論理的枠組みを定式化しよう:
拡大原理:写像 ∗ {\displaystyle \ast } は R {\displaystyle \mathbb {R} } 上で恒等的である。
移行原理:いかなる有界論理式 P ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})} と A 1 , ... , A n ∈ V ( R ) {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in V(\mathbb {R} )} に対しても、次の同値が成り立つ: