マーラー測度
定義よりマーラー測度は、トーラスの上の多項式の積分値とみなすことができる(レーマーの予想を参照)。 p {\displaystyle p} がトーラス ( S 1 ) n {\displaystyle (S^{1})^{n}} 上で 0 となるとすると、マーラー測度 M ( p ) {\displaystyle M(p)} を定義する積分の収束は明白とはいえないが、ロートン(Lawton)は M ( p ) {\displaystyle M(p)} が一変数マーラー測度の極限に等しくなることを証明した。この予想はダヴィッド・ウィリアム・ボイド(英語版)(David William Boyd)により予想されていた。
この定式化は次のようになる。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } で整数全体の集合を表し、すべての j ( 1 ≤ j ≤ N ) {\displaystyle j(1\leq j\leq N)} に対し、 Z + N = { r = ( r 1 , ... , r N ) ∈ Z N : r j ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0} と定義する。