ベル多項式
}x^{n}\qquad \mathrm {and} \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}
とすれば、
g ( f ( x ) ) = ∑ n = 1 ∞ ∑ k = 1 n b k B n , k ( a 1 , ... , a n − k + 1 ) n ! x n {\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}
となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。
exp  ( ∑ n = 1 ∞ a n n ! x n ) = ∑ n = 0 ∞ B n ( a 1 , ... , a n ) n ! x n . {\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}