グーデルマン関数
グーデルマン関数を表す記号gd は、Philosophical MagazineXXIV巻の19ページにおいて、ケイリーが正割関数の積分(英語版)の逆について、gd. uを用いたのが始まりである。ここで、
u = ∫ 0 φ sec  t d t = ln  tan  ( 1 4 π + 1 2 φ ) {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\phi \right)}
であり、超越の定義を次のように示した。
gd u = i − 1 ln  tan  ( 1 4 π + 1 2 u i ) {\displaystyle \operatorname {gd} \,u=i^{-1}\ln \tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}ui\right)}
よって、それはu の実関数であることが即座に見いだされる。