複素ベクトル束
複素ベクトル束は実ベクトル束に付加的な構造、複素構造 (complex structure) を付け加えたものと考えることができる。定義により複素構造は実ベクトル束 E とそれ自身の間の束写像:
J : E → E {\displaystyle J\colon E\to E}
であって J がファイバー上 −1 の平方根 i として作用するものである、つまり、 J x : E x → E x {\displaystyle J_{x}\colon E_{x}\to E_{x}} がファイバーのレベルでの写像であれば、線型写像として J x 2 = − 1 {\displaystyle J_{x}^{2}=-1} である。E が複素ベクトル束であれば、複素構造 J を、 J x {\displaystyle J_{x}} を i {\displaystyle i} によるスカラー乗法とすることで定義できる。逆に、E が複素構造 J を持った実ベクトル束であれば、次のようにして E を複素ベクトル束にすることができる:任意の実数 a, b と、ファイバー Ex の実ベクトル v に対して、
( a + i b ) v = a v + J ( b v ) . {\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}
例: 実多様体 M の接束上の複素構造は通常概複素構造と呼ばれる。ニューランダー・ニーレンバーグの定理は、概複素構造 J が「可積分」であること、つまりある複素多様体の構造から誘導されることと、J に関するあるテンソルが消えることが同値であるという定理である。