群の直和
直和と直積との類似性に注意しよう。直積では各 g は
g = (h1,h2, ..., hi, ..., hn)
として一意的に書ける。
すべての i ≠ j に対して hi * hj = hj * hi であるから、直和における元の積は直積において対応する元の積に同型であることが従う。したがって部分群の有限集合に対しては、∑Hi は直積 Π{Hi} に同型である。
G = ∑ i ∈ I H i {\displaystyle G=\sum _{i\in I}H_{i}} とすれば G {\displaystyle G} が部分群の直和 H i 0 + ∑ i ≠ i 0 H i {\displaystyle H_{i_{0}}+\sum _{i\not =i_{0}}H_{i}} であることは明らかである。
H {\displaystyle H} がアーベル群 G {\displaystyle G} の divisible subgroup であれば、別の部分群 K ≤ G {\displaystyle K\leq G} が存在して、 G = K + H {\displaystyle G=K+H} となる。
G {\displaystyle G} が 0 でない R {\displaystyle \mathbb {R} } -ベクトル空間でもあれば、 G {\displaystyle G} は R {\displaystyle \mathbb {R} } と別の部分空間 K {\displaystyle K} の直和として書くことができ、 R {\displaystyle \mathbb {R} } は商 G / K {\displaystyle G/K} と同型になる。