極限
数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。 lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ a n = β ⟹ α = β {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha =\beta }
収束する数列から項を有限個取り除いても、得られた数列は同じ値に収束する。
収束する数列は数の集合として有界である。 lim n → ∞ a n = α ⟹ ∃ K > 0 ; ∀ n | a n | < K {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Longrightarrow \exists K>0;\forall n\;|a_{n}|<K}
∀ n a n ≤ b n , lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ b n = β ⟹ α ≤ β {\displaystyle \forall n\;a_{n}\leq b_{n},\;\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha \leq \beta }
実数の列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} がある数 R {\displaystyle R} について R < x n {\displaystyle R<x_{n}} を満たしているとき(数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} が下に有界なとき)、 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} の下極限と呼ばれる数
lim _ n → ∞  x n {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}}
を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限
lim ̄ n → ∞  x n {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
が定義される。
( lim ̄ {\displaystyle \varlimsup } を lim sup {\displaystyle \limsup } 、 lim _ {\displaystyle \varliminf } を lim inf {\displaystyle \liminf } と記しても同じ意味である)
f(x) を実関数とし、c を実数とする。式
lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
または
f ( x ) → L ( x → c ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)}
とは、x の値を c に“十分に近づければ”f(x) の値を L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたとき f(x) の極限は L である」という。これはイプシロン-デルタ論法により
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < | x − c | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 f(x) の x = c における値は無関係であり、f(c) ≠ L であることもあれば、f が c において定義されている必要もないのである。