三角行列
主対角成分が全て零の三角行列は狭義三角行列であるという。任意の狭義三角行列は冪零行列であり、上(resp. 下)三角行列全体の成す集合は冪零リー環 n {\textstyle {\mathfrak {n}}} を成す。このリー環はすべての上(resp. 下)三角行列全体の成すリー環 b {\textstyle {\mathfrak {b}}} の導来リー環: n = [ b , b ] {\textstyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]} であり、かつこのリー環 n {\textstyle {\mathfrak {n}}} は上(resp. 下)単三角行列全体の成すリー群のリー環である。
実はエンゲルの定理により、任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列からなる部分リー環に共軛、すなわち任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列に同時三角化可能である。