周期関数
関数 f が周期的 (periodic) あるいは(0 でない定数 P に対して)周期 P を持つとは、x の任意の値に対して
f ( x + P ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+P)=f(x)}
が成立するときに言う。この性質を持つ定数 P のうちに最小の正数が存在するとき、そのような正数 P は基本周期と呼ぶ。周期 P を持つ関数は、長さ P の区間ごとに値が繰り返すが、そのような区間を一周期と呼び表す。
幾何学的に言えば、周期関数はそのグラフが平行移動対称となるような関数として定義することができる。具体的には、関数 f が周期 P に関して周期的ならば、f のグラフは x 軸方向への移動距離 P の平行移動のもとで平行移動不変(英語版)である。このような周期性の定義は、ほかの幾何学図形や周期的平面充填のような幾何学パターンに対しても拡張することができる。
周期的でない関数は非周期的であると言う。
フーリエ級数は周期関数を表現し、フーリエ級数は畳み込み定理 (すなわち、フーリエ級数の畳み込みは表現される周期関数の積に対応し、逆もまた然り)を満足するけれども、信号処理において周期関数の畳み込みは通常の定義に従えば積分が発散するために畳み込むことができないという問題に遭遇する。これを解決する方法の一つは、有界だが周期的でない領域上で定義された周期関数というものを考えることである。これを達成するために商空間の概念を用いて
R / Z = { x + Z : x ∈ R } = { { y : y ∈ R ∧ y − x ∈ Z } : x ∈ R } {\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}
を考えよう。このとき R/Z の各元は同じ小数部分を持つ実数からなる同値類であり、関数 f: R/Z → R は周期 1 の周期関数を表すものと考えられる。