絶対可積分関数
| f ( x ) | ≤ f + ( x ) + f − ( x ) + f + i ( x ) + f − i ( x ) ≤ 2 | f ( x ) | {\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}|f(x)|}
であり、 ∫ | f ( x ) | d x ≤ ∫ f + ( x ) d x + ∫ f − ( x ) d x + ∫ f + i ( x ) d x + ∫ f − i ( x ) d x ≤ 2 ∫ | f ( x ) | d x {\displaystyle \int |f(x)|dx\leq \int f^{+}(x)dx+\int f^{-}(x)dx+\int f^{+i}(x)dx+\int f^{-i}(x)dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|dx} となっている。
この4つの積分の総和が有限であることと絶対値の積分が有限であることは必要十分条件の関係にあり、またこの関数はルベーグ可積分ならば4つの関数は全て有限である。絶対値の有限積分をもつことと「ルベーグ可積分」である関数は同値である。