代数的K理論
ここに、BQP は QP の分類空間であり、分類空間は QP のナーブ(英語版)(nerve)の幾何学的実現(英語版)(geometric realisation)である。
この定義は、K0(P) の上記の定義と同値である。P が有限生成射影 R-加群の圏であれば、この定義は上記 BGL と一致する。この定義はすべての n について Kn(R) の定義である。 さらに一般的に、スキーム X に対し、X の高次 K-群は、X 上の局所自由な連接層の K-群であると定義される。
次のような変形も使われる。有限生成である射影(= 局所自由な)加群は、有限生成加群である。この結果として現れる K-群は通常、Gn(R) と書かれる。R がネーター正則環であれば、G-理論と K-理論は一致する。実際、正則環の大域次元は有限である。つまり、任意の有限生成加群は、有限の射影分解 P* → M を持ち、簡単な議論でも、標準写像 K0(R) → G0(R) は同型であり、 [M]=Σ ± [Pn] を持っている。この同型は高次 K-群へも拡張できる。
Q-構成は、プラス構成と同じ結果をもたらすのであるが、より一般的な状況へ適用される。さらに、この定義は、Q-構成が定義により函手性を持っている定義であるという意味で、より直接的である。この事実は、プラス構成では自動的ではない。
P を完全函手であるとして、P に付随する新しい圏 QP が定義されると、その対象は P の対象であり、M から M への射は、図式
M ′ ⟵ N ⟶ M ′′ , {\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}
のクラスに同型である。ここに最初の矢印は許容的な全準同型(epimorphism)であり、第2の矢印は許容的な単準同型(monomoorphism)である。
よって、完全圏 P の i-番目の K-群は、固定したゼロ対象 0 を持つ
K i ( P ) = π i + 1 ( B Q P , 0 ) {\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}
で定義される。
問題は、定義が不足していること(もしくは、多過ぎて、明らかな整合性を持たないこと)である。ロバート・スタインバーグ(英語版)(Robert Steinberg)の古典代数群の普遍中心拡大についての仕事により、ジョン・ミルナー(John Milnor)は環 A の群 K2(A) を、H2(E(A),Z) と同型となる A 上の無限要素行列の群 E(A) の普遍中心拡大の中心として定義した(以下の定義)。そこには自然な K1(A) × K1(A) から K2(A) への双線型ペアリングが存在する。体 k の特別な場合には、K1(k) は乗法群 GL(1,k) に同型であり、松本秀也(英語版)(Hideya Matsumoto)は、K2(k) はある簡単に記述される関係式の集合を modulo とした K1(A) × K1(A) により生成される群に同型である。
結局、基本的な難しさは、(深い困難な理論を離れ) Quillen (1973, 1974) により解決された。彼はプラス構成(英語版)(plus-construction)とQ-構成(英語版)(Q-construction)を通して、任意の非負な n に対して Kn(A) の定義方法をいくつか示した。
A がユークリッド整域(例えば、体や整数環 Z )であるとき、SK1(A) は 0 となり、行列式写像は K1(A) から A への同型である。このことは一般的な PID A に対しては誤りであり、全ての PID へは一般化できないユークリッド整域の性質という、数学的にまれな例となっている。SK1 が 0 でない明示的な PID は、1980年にアイシェベック(Ischebeck)に、1981年にグレイソン(Grayson)により与えられた。A がデデキント整域で、その商体が代数体(有理数体の有限拡大体)となる場合は、Milnor (1971, corollary 16.3) が、SK1(A)=0 となることを示した。
SK1 が 0 となることは、K1 が GL の中の GL1 の像により生成されたと解釈することができる。そうでない場合は、K1 が GL2 の像により生成されるかどうかが問題となる。デデキント整域の場合はこれは正しく、つまり、K1 が GL の中の GL1 と SL2 により生成される。SL2 により生成された SK1 の部分群はメニッケ記号(英語版)(Mennicke symbol)により研究することができる。極大イデアルによる剰余環がすべて有限体となるようなデデキント整域に対し、SK1 は捩れ群(torsion group)である。
非可換環に対し、行列式は一般には定義することができないが、写像 GL(A) → K1(A) は行列式の一般化である。