ガウス曲率
K = lim r → 0 + 3 2 π r − C ( r ) π r 3 {\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}
ガウス曲率は、測地線円板と平面内の円板との極限での差異である。
K = lim r → 0 + 12 π r 2 − A ( r ) π r 4 {\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}
ガウス曲率は、クリストッフェル記号により表すことができる。
K = − 1 E ( ∂ ∂ u Γ 12 2 − ∂ ∂ v Γ 11 2 + Γ 12 1 Γ 11 2 − Γ 11 1 Γ 12 2 + Γ 12 2 Γ 12 2 − Γ 11 2 Γ 22 2 ) {\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}