ミルナー数
数学では、特に特異点論(英語版)では、ジョン・ウィラード・ミルナー(John Willard Milnor)の名前にちなんだミルナー数(Milner number)は、函数の芽(germ)の不変量である。
f を複素数に値をとる正則函数の芽とすると、f のミルナー数は μ(f) と書いてゼロかまたは正の整数であるか無限大の値をとる。ミルナー数は微分幾何学的な不変量とも考えられるし、代数幾何学的な不変量とも考えられる。これが何故、代数幾何学や特異点論(英語版)で重要な役割を果たすのであろうか?
{\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}
f が原点 0 で退化した特異点を持っていると仮定する。この退化特異点の多重度は、いくつの数の点が無限小に張り合わされているかと考えることにより得られる。ここである安定な方法での f の像を摂動させて、0 での孤立した退化特異点は非退化な孤立特異点に分離することができる!そのような孤立した非退化な特異点の数を、無限小に張り合わせた点の数である。
詳しくは、もうひとつ別の函数の芽 g を原点で非特異として、新しい函数の芽 h := f + εg を考える。ここで ε は充分に小さくとる。ε = 0 であれば、h = f である。函数 h のことを f のモース化(英語版)(morsification)と言う。h の特異点の計算は非常に難しく、実際、計算が無可能かもしれない。この無限小に貼り合わせることができるときの点の数、f の局所多重度は、正確に f のミルナー数に一致する。