シンプレクティック多様体
ラグランジアン部分多様体は、シンプレクティック多様体 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} の部分多様体であり、シンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } の L ⊂ M {\displaystyle L\subset M} への制限が 0 となっている、つまり ω | L = 0 {\displaystyle \omega |_{L}=0} で dim L = 1 / 2 ⋅ dim M {\displaystyle {\text{dim }}L=1/2\cdot {\text{dim }}M} である部分多様体のことを言う。ラグランジアン部分多様体は、最大イソトロピック部分多様体である。
イソトロピックな部分多様体のうちでもっとも重要なものはラグランジアン部分多様体である。定義により、ラグランジアン部分多様体は、最も次元が大きな(つまり、もとのシンプレクティック多様体の次元の半分であるような)イソトロピック部分多様体である。顕著な例の一つが、積シンプレクティック多様体 (M × M, ω × −ω) 上に描かれるシンプレクティック同相写像のグラフが、ラグランジアン部分多様体になる。これらの交わりは滑らかな多様体による剛体性を示さない。これは、アーノルド予想によれば、部分多様体のベッチ数の和は、滑らかな場合のオイラー標数というよりも、滑らかなラグランジュ部分多様体の自己交叉の数の下限として与えられることからわかる。