多項係数
二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式
( x 1 + ⋯ + x r ) n = ∑ k 1 + ⋯ + k r = n ( n k 1 , ... , k r ) ⋅ x 1 k 1 ⋯ x r k r {\displaystyle (x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot {x_{1}}^{k_{1}}\dotsm {x_{r}}^{k_{r}}}
が成立する。特に x1 = x2 = ... = xr = 1 と置くことにより
r n = ∑ k 1 + ⋯ + k r = n ( n k 1 , ... , k r ) {\displaystyle r^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}}
が得られる。