ニュートンの恒等式
, x n ) = e 2 ( x 1 , ... , x n ) p 1 ( x 1 , ... , x n ) − e 1 ( x 1 , ... , x n ) p 2 ( x 1 , ... , x n ) + p 3 ( x 1 , ... , x n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\dots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\dots ,x_{n}).\\\end{aligned}}}
これらの等式は変数の数nに依存しない。(ただし、左辺が0になる位置は変数に依存する)
基本対称式の場合と比べ、ei のかわりにhiとなっており、各項の符号が異なっている。
一般式は次のとおりである。
p m = − ∑ r 1 + 2 r 2 + ⋯ + m r m = m r 1 ≥ 0 , ... , r m ≥ 0 m ( r 1 + r 2 + ⋯ + r m − 1 ) ! r 1 ! r 2 ! ⋯ r m ! ∏ i = 1 m ( − h i ) r i {\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}}