カーマック・マッケンドリック理論
d R d t = ∫ 0 ∞ γ ( a ) i ( a , t ) d a − σ λ R − m R R . {\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R.}
上式において、 b 0 {\displaystyle b_{0}} は感受性保持者の移住速度、bjは国jについての1人当たりの出生率、mjは国jにおける1人当たりの個人死亡率、 σ {\displaystyle \sigma } は部分的に免疫を獲得した回復者の相対的感染リスク、そして感染圧は
λ = ∫ 0 ∞ β ( a ) i ( a , t ) d a {\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da}
である。
カーマックとマッケンドリックは、病気がエンデミックである場合でも、感受性個体の供給が十分に大きい限り、定常解を認めることを示すことができた。 このモデルは完全な一般性を持って解析することが困難であり、その動態に関して多くの未解決の疑問が残されている。