故障率
h ( t ) = f ( t ) R ( t ) = λ e − λ t e − λ t = λ {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda }
である。このように、指数故障分布では、ハザード率は時間に対して一定である(つまり「無記憶性(英語版)」分布)。ワイブル分布や対数正規分布のような他の分布では、ハザード関数は時間に対して一定ではない場合がある。確定的分布などの一部では単調増加であり(「摩耗」に類似)、パレート分布などの他の分布では単調減少であるが(「バーンイン(英語版)」に類似)、多くの場合は単調ではない。
微分方程式
h ( t ) = f ( t ) 1 − F ( t ) = F ′ ( t ) 1 − F ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {F'(t)}{1-F(t)}}}
を F ( t ) {\displaystyle F(t)} について解くと、
F ( t ) = 1 − exp  ( − ∫ 0 t h ( t ) d t ) {\displaystyle F(t)=1-\exp {\left(-\int _{0}^{t}h(t)dt\right)}}
であることがわかる。