佐藤超函数
佐藤超函数を使って高精度な数値積分ができる他、ガウス求積を導出できることが示されている。また、森正武は数値解析と佐藤超函数の関係について次のように述べている。
f がガウス平面全域で正則な函数ならば、f の実軸上への制限はその表現が (f, 0) あるいは (0, −f) で与えられる佐藤超函数である。
ディラックのデルタ「函数」は ( − 1 2 π i z , − 1 2 π i z ) {\displaystyle \left(-{\frac {1}{2\pi iz}},-{\frac {1}{2\pi iz}}\right)} で与えられる。これはコーシーの積分公式の言い換えである。
g が有界区間 I に含まれる台を持つ実数直線上の連続函数(あるいはもっと一般にシュワルツ超函数)ならば、g は佐藤超函数 (f, −f) に対応する。ここでいう f は区間 I の補集合上で定義される正則函数で f ( z ) = 1 2 π i ∫ x ∈ I g ( x ) d x z − x {\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi i}\int _{x\in I}g(x){dx \over z-x}} で与えられるものである。