ナビエ–ストークス方程式
乱流は流体の多くの流れで見られる時間依存のカオス的な振る舞いである。全体としての流体の慣性にそれがしたがうことが一般に信じられている。それゆえ慣性の効果が小さな流れは層流となる傾向がある。移流と粘性の強さの比率はレイノルズ数と呼ばれる無次元量であり、レイノルズ数がある閾値を越えると微小なかく乱が移流項の非線型性により拡大していくことで流れ場は非定常な乱流となる。一方、右辺の粘性率を含む項(粘性項)は乱流の変動を抑制する効果を持つ。正確に理解されていないにもかかわらず、ナビエ‐ストークス方程式が乱流の性質を記述することが信じられている。計算に対して計算時間が有意味に解き得るようになるちょうどよい計算メッシュによる解のようなこの要求条件の安定した解または直接数値シミュレーションの、乱流に関するナビエ‐ストークス方程式の数値解は極度に困難である。
流体の速度が遅かったりスケールが小さいなど、レイノルズ数が小さい場合に、非線型である対流項 ( v ⋅ ∇ ) v {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}} が無視できて
∂ v ∂ t = − 1 ρ grad  p + ν Δ v + g {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+\nu \Delta {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {g}}}
となる。この式はストークス方程式(Stokes equations)と呼ばれている。
粘性のない(χ = μ = 0)流れでは
D v D t = − 1 ρ grad  p + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\boldsymbol {g}}}
となる。この式はオイラー方程式と呼ばれている。