平均幅
平均幅は凸幾何学に関するまともな文献ならばふつうは言及があるはずである。例えば
Moszyńska, Maria (2006), Selected topics in convex geometry, Boston: Birkhäuser (平均幅と平均曲率の間の関係も導出されている)
ハドヴィガーの定理に言う測度の一つとしての平均幅の応用は、以下を参照
Chen, Beifang (2004), A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem, , Geometriae Dedicata (Netherlands: Kluwer Academic Publishers) 105 (1): 107—120, doi:10.1023/B:GEOM.0000024665.02286.46, ISSN 1572-9168
初等幾何学における平均幅(へいきんふく、英: mean width)は立体の「大きさ」に関する測度の一つである(立体の測度として利用可能なもののより詳細はハドヴィガーの定理を参照せよ)。
N-次元の場合に、S 上の与えられた方向 ˆn へ直交する (N − 1)-次元超平面を考える(ここに S は m-次元球面((m + 1)-次元球体の境界面)である)と、与えられた方向 ˆn への立体の「幅」("width") は、そのような超平面の対でその間に立体を完全に挟む(立体と超平面との交わりは境界上の点に限る)もののうち最も近い対の成す距離を言う。平均幅とは、この「幅」の S の全ての方向 ˆn に亘ってとった算術平均を言う。
より厳密に、コンパクト立体 B をその内部と境界からなる同値な点集合(この場合の点とは R の元である)として定義し、立体 B の支持函数(英語版)(支持超平面と原点との距離)は
として定まる。ただし n は方向ベクトル、⟨⟩ は R の標準内積である。このとき、平均幅は
で与えられる。ただし、Sn−1 は S の (n − 1)-次元体積とする。
この平均幅は任意の(コンパクト)立体に対して定義することができるが、凸体(英語版)(点集合として凸集合を成す立体)に関してが最も有用である。