核作用素
ヒルベルト空間上の核作用素には、そのトレースが有限で、基底の選び方に依存しない、という重要な性質がある。ヒルベルト空間において、与えられた任意の正規直交基底 { ψ n } {\displaystyle \{\psi _{n}\}} に対して、そのトレースを次のように定義することが出来る:
Tr L = ∑ n ⟨ ψ n , L ψ n ⟩ . {\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{n}\langle \psi _{n},{\mathcal {L}}\psi _{n}\rangle .}
これはなぜかと言うと、右辺の和は絶対収束し、また基底に依存していないからである。また、このトレースは、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の(重複も含めた)固有値すべての和と等しい。