超球の体積
A 2 k + 1 ( R ) {\displaystyle A_{2k+1}(R)} = 2 π k 1 ⋅ 2 ⋅ ⋯ ( k − 1 ) ⋅ k {\displaystyle ={2\pi ^{k} \over 1\cdot 2\cdot \cdots (k-1)\cdot k}} = 2 π k k ! R 2 k + 1 {\displaystyle ={\frac {2\pi ^{k}}{k!}}R^{2k+1}}
n=2kの場合は、
A 2 k ( R ) {\displaystyle A_{2k}(R)} = 2 ( 2 π ) k 1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k − 1 ) R 2 k {\displaystyle ={2(2\pi )^{k} \over 1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)}R^{2k}} = 2 ( 2 π ) k ( 2 k − 1 ) ! ! R 2 k {\displaystyle ={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k-1)!!}}R^{2k}} = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k − 1 ) ! R 2 k {\displaystyle ={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k-1)!}}R^{2k}}
とも表記できる。
} = Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle =\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)} = { ( k + 1 2 ) ( ( k − 1 ) + 1 2 ) ⋯ ( 1 + 1 2 ) π if n = 2 k + 1 k ( k − 1 ) ⋯ 2 ⋅ 1 if n = 2 k {\displaystyle ={\begin{cases}(k+{\tfrac {1}{2}})((k-1)+{\tfrac {1}{2}})\cdots (1+{\tfrac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}&{\text{if }}n=2k+1\\k(k-1)\cdots 2\cdot 1&{\text{if }}n=2k\end{cases}}}
であり、「!!」は二重階乗
n ! ! = { n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 3 ⋅ 1 if n is odd n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 if n is even {\displaystyle n!!={\begin{cases}n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}
である。
具体的な値はnの偶奇によって異なる。
前述のVn(R)の具体的な記述にスターリングの公式
とゴーチの不等式(英語版)
x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s . {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}
を適用することで、以下が成立する事がわかる:
定理 ― R を固定してn→∞とするとき、
V n ( R ) ∼ 1 n π ( 2 π e n ) n / 2 R n {\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}R^{n}}
これは一辺の長さがRの超立方体の体積R対する超球体Vn(R)がn→∞のとき指数関数的に小さくなる事を意味する。