多角数定理
4 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 4N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,}
N = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 − 1 4 = ( x + y ) ( x + y + 1 ) 2 + ( x − y ) ( x − y + 1 ) 2 + z 2 {\displaystyle N={\frac {(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}-1}{4}}={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+{\frac {(x-y)(x-y+1)}{2}}+z^{2}}
となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。
2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。