直交曲線座標
ベクトル同士の演算や物理法則の導出は、通常、デカルト座標系 (英: Cartesian coordinates) で行うのが最も簡単であるが、量子力学における場の理論、流体力学、等角性を保持する地図投影(正角図法)、電気力学、プラズマ物理学、化学種や熱の拡散等において生じるような境界値問題においては、デカルト座標ではない直交座標(非デカルト直交座標、即ち直交座標)がよく用いられる。
非デカルト直交座標の利点は、問題の対称性に合わせて座標を選ぶことができる点である。例えば、地面(あるいは他の障害物)から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、デカルト座標では3次元空間に依存するが、球座標では問題はほぼ1次元となる(圧力波は時間と中心からの距離のみに依存するため)。デカルト座標では偏微分方程式を含む2次元の境界値問題を解かなければならないが、円筒座標では偏微分方程式を用いずとも、常微分方程式で表現可能1次元の問題に帰着される。
一般的な曲線座標(英語版) (英: curvilinear coordinates) ではなく、直交曲線座標を好まれる理由は、これを用いたほうが単純であるからである。直交しない座標では多くの複雑な問題が発生する。例えば、直交曲線座標では、多くの問題が変数分離によって解決されることがある。
ベクトルの加算とマイナスは、デカルト座標と同様に成分毎に行うことが出来、複雑な操作は不要である。他のベクトル演算については、特別な配慮が必要な場合がある。 ただし、これらの演算はすべてベクトル場の2つのベクトルが同じ点に束縛されている(言い換えれば、ベクトルの尾が一致している)ことを前提としていることに注意のこと。基底ベクトルは一般に直交曲線座標で変化するため、空間上の異なる点で計算された成分を持つ2つのベクトルを足し合わせる場合、基底ベクトルの違いを考慮する必要がある。