基底変換
{α1, ..., αn} と {α'1, ..., α'n} を、V に対する二つの順序付けられた基底とする。φ1 と φ2 を、それに対応する R から V への座標同型(線型写像)とする。すなわち、j = 1, ..., n に対して φ1(ej) = αj と φ2(ej) = α'j が成立する。
x = (x1, ..., xn) を、第一の基底に関する ξ の座標 n-タプルとすると、ξ = φ1(x) が成り立ち、第二の基底に関する ξ の座標タプルは φ2(ξ) = φ2(φ1(x)) となる。今、写像 φ2 o φ1 を R 上の自己同型とし、したがって行列 p が存在するものとする。さらに、p の第 j 列は φ2 o φ1(ej) = φ2(αj)、すなわち、第二の基底 {α'1, ..., α'n} に関する αj の座標 n タプルである。したがって、y = φ2(φ1(x)) = px は基底 {α'1, ..., α'n} に関する ξ の座標 n タプルである。