超現実数
一つの大きな遊技をふたつのより小さな遊技に分解するとき、その小さな遊技に付随するゲームを x および y とすれば、もとの大きな遊技に付随するゲームは x + y である。
小さな遊技の組み合わせとなる遊技は、それら小さい遊技の選言和(英語版)と呼ばれ、定理はここで定義したゲームの加法が、それら遊技の選言和をとることに等価であることを述べている。
歴史的なことを言えば、コンウェイは本項とは逆順に超現実数の理論を発展させたのであった。コンウェイは、囲碁の寄せを分析し、相互干渉しない小遊技の分析を繋ぎ合わせてそれらの選言和の分析とする何らかの方法があれば有用であるという実感を得ていた。そうしたことからコンウェイはゲームの概念とそれらに対する加法演算を発明した。そこからさらに符号反転および大小比較の定義へと開発は動いて行き、ゲームからなるある種のクラスが興味深い性質を持つことをコンウェイは指摘している。それが超現実数全体の成すクラスである。最終的に乗法演算を開発するに至って、超現実数の全体が実際にひとつの体を成すことおよびそれが実数の全体と順序数の全体をともに含む体系となることが証明された。
数学における超現実数(ちょうげんじつすう、英: surreal number)の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず(任意の正実数よりも絶対値が大きい)無限大および(任意の正実数よりも絶対値が小さい)無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算(加減乗除)など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す 超現実数をフォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は(有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む)すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も(その算術まで込めて)含む。あるいはまた、(NBGの中で構成した)超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる(大域選択公理(英語版)を持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する)。
No の部分クラス A, B が任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < y を満たす(このとき、アリングの語法で ⟨A, B⟩ は No に関する「コンウェイ切断」("Conway cut") と呼ばれる)ならば、z ∈ No が一意に存在して、b(z) が極小かつ任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < z < y とできる。(この公理はしばしば「コンウェイの単純性定理」("Conway's Simplicity Theorem") と呼ばれる)
これらに加えて、
順序数 α が b(x) (∀x ∈ A, B よりも大きいならば、b(z) ≤ α である(アリングはこの公理まで満足する系を「完全超現実数系」("full surreal number system") と呼んでいる)。
コンウェイのオリジナルの構成も、符号展開による構成も、ともにこれら公理系を満足する。
与えられたこれら公理系から Alling (1987) はコンウェイによるオリジナルの ≤ の定義を導き、超現実数の算術を展開した。