群速度
アインシュタインは1905年に波動と粒子の二重性について初めて説明を行った。ド・ブロイはいずれの粒子もその二重性を持っていることを仮説として提案した。粒子の速度について、彼はいつも物質中の物質波の速度と一致すべきであると結論付けた。しかし、現在でも疑問視されている。ド・ブロイはすでに知られている光についての二重性の方程式のように他の粒子についても同じならば、彼の仮説が成り立つと推測した。
それは次を意味する。
v g = ∂ ω ∂ k = ∂ ( E / ħ ) ∂ ( p / ħ ) = ∂ E ∂ p {\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}}
Eは粒子の全体のエネルギー
pは粒子の運動量
ħ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数
非相対論的な場合の自由粒子について
v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( 1 2 p 2 m ) = p m = v . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {g} }&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v.\end{aligned}}}