プラクティカル数
q ≤ σ ( n / p k α k ) {\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})} であり n / p k α k {\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}} がプラクティカル数であることより、 n / p k α k {\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}} の約数の和で q を表せる。
r ≤ σ ( n ) − p k α k σ ( n / p k α k ) = σ ( n / p k ) {\displaystyle r\leq \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})} であり、 n / p k {\displaystyle n/p_{k}} はプラクティカル数であることから、 n / p k {\displaystyle n/p_{k}} の約数の和で r を表せる。
r を表す約数と、 q を表す約数のそれぞれを p k α k {\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}} 倍すると、 m は n の約数で表せる。
この証明にはプラクティカル数の列niを見つける処理が含まれており、ni以下のそれぞれの数に対してたかだか O ( log  n i − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})} 個の異なるniの約数が存在することを用いる。ここで、 i は ni - 1<y≤niであり、 xni は yで割ったときに商 q とあまり r をもつ。これにより x y = q n i + r y n i {\displaystyle \scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}} となる。それぞれの分子を展開することで、所望のエジプト式分数の表現が得られる。Tenenbaum & Yokota (1990)は異なるプラクティカル数の数列を含んだ似た手法を用い、任意の有理数 x/y がエジプト式分数の表現を持ち、その最大の分母が O ( y log 2  y log  log  y ) {\displaystyle \scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}})} であることを示した。
孫智偉が2015年9月に出した予想によれば、すべての正の有理数は、分母がすべてプラクティカル数であるエジプト式分数の表現を持つ。そしてその証明はデビッド・エップシュタインのブログにある。