微分作用素
R を環とする。R 上の X および D を変数とする非可換多項式環 R⟨X; D⟩ の両側イデアル I を [D, X] − 1 で生成されるもの;
I = ( [ D , X ] − 1 ) = ( D X − X D − 1 ) {\displaystyle I=([D,X]-1)=(DX-XD-1)}
とするとき、剰余環 R⟨X; D⟩/I を R 上の一変数多項式係数微分作用素環と呼ぶ。この環は非可換単純環である。その任意の元は XD (mod I) の形の単項式の R-線型結合として一意に書くことができる。これにより、この環の上で多項式のユークリッド除法に対応する演算が保証される。
R[X] 上の(標準微分に対する)微分加群は、R⟨X; D⟩ 上の加群と同一視することができる。