時間順序積
i ħ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = i ħ ∂ ∂ t U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ = H ^ ( t ) U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle ={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }
であるから、U は積分方程式
U ^ ( t , t 0 ) = I − i ħ ∫ t 0 t d s H ^ ( s ) U ^ ( s , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=I-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}ds{\hat {H}}(s){\hat {U}}(s,t_{0})}
を満たす。この積分方程式の解は逐次積分によって求めることができ、ノイマン級数