コーシー・リーマンの方程式
lim h → 0 h ∈ R f ( z 0 + i h ) − f ( z 0 ) i h = 1 i ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}
これら2軸に沿って得た導関数は以下の等式で示されるように互いに等しい。
i ∂ f ∂ x ( z 0 ) = ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})}
これは点 z0 におけるコーシー・リーマン方程式(2)に等しい。
逆に、もし f : C → C を R 上の関数であるとみなし、これが微分可能な関数であるなら、 f はコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として複素微分可能である。言い換えれば、もし u と v が実微分可能な2つの実数の変数の関数であるなら、 u + iv は明らかに(複素数値の)実微分可能な関数であるが、 u + iv はコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として複素微分可能である。
Rudin (1966)に従い、 f を開集合 Ω ⊂ C に定義された複素関数とする。すると、あらゆる z ∈ Ω に関して z = x + iy を書くことで、 Ω を R の開部分集合であると見なすことができ、 f を2実数 x と y の関数であると見なすことできる。これは Ω ⊂ R を C に写すものである。