自由境界問題
u = φ が成立するような領域として、一致集合(coincidence set)C を定義する。さらに、u が φ と等しくならないような領域として不一致集合(non-coincidence set)N = Ω\C を定義し、それら二つの集合の間の界面として自由境界 Γ を定義する。このとき、u は自由境界問題
− ∇ 2 u = f in N , u = g {\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{ in }}N,\quad u=g}
を、Ω の境界上で満たし、
u ≤ φ in | Ω , ∇ u = ∇ φ on Γ . {\displaystyle u\leq \varphi {\text{ in }}|\Omega ,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{ on }}\Gamma .\,}
を満たす。ここで、v ≤ φ を満たすようなすべての関数 v の集合は凸であることに注意されたい。ポアソン問題が、関数の線型部分空間についての二次汎関数の最小化に対応するように、自由境界問題は凸集合についての最小化に対応する。