多項定理
= ∑ k 1 + ⋯ + k m = n + 1 ( n + 1 k 1 , ⋯ , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m {\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
最後の等号は
( n + 1 k 1 , ⋯ , k m ) = ( n k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k m ) + ⋯ + ( n k 1 , ⋯ , k m − 1 , k m − 1 ) {\displaystyle {\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}={\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}}
が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示:
n ! ( k 1 − 1 ) ! k 2 ! ⋯ k m − 1 ! + ⋯ n ! k 1 ! ⋯ k m − 1 ! ( k m − 1 ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}-1)!k_{2}!\cdots k_{m-1}!}}+\cdots {\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m-1}!(k_{m}-1)!}}}
を通分すると左辺になることが示せる。
.. , k m − 1 , K ) ( K k m , k m + 1 ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 x m k m x m + 1 k m + 1 = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + k m + k m + 1 = n ( n k 1 , k 2 , ...