二重メルセンヌ数
M p {\displaystyle M_{p}} の代わりに M ( p ) {\displaystyle M(p)} と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。
2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... オンライン整数列大辞典の数列 A007013
これをカタラン・メルセンヌ数という。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項(M127未満)は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを(妥当な時間内に)証明する既知の方法はない。しかし、MM127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでMM127 を計算して見つけることができる(再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはMM127 の因数であるため、その素数性を反証できる。MM127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M127+1の形でなければならない)。