スツルム＝リウヴィル型微分方程式
p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [a, b]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件
を持つとき、この境界値問題をスツルム=リウヴィル型の境界値問題という。
スツルム=リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):
固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (a, b) にn −1 個の零点を持つ。
規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積は ⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x} で定義される。
なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ(弱解)と考えなければいけない。