四色定理
一般に種数 g ≥ 0 の閉曲面(わかりやすく言えば、穴が g 個あるドーナツ)を塗り分けるのに最低限必要な色の数は、1890年にヒーウッドによって
⌊ 7 + 1 + 48 g 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {7+{\sqrt {1+48g}}}{2}}\right\rfloor } ( ⌊ ⋅ ⌋ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } はフロア関数)
と予想された。この予測が g ≥ 1 に対して正しいことは、リンゲルとヤングスにより1968年に証明された。この式に形式的に平面の場合である g = 0 を代入すれば、4 となる(ただしこれをもって四色問題の証明とすることはできない)。
トーラス(円環、いわゆるドーナツの形、g=1の場合)上のグラフは、7色で彩色可能である。