複素対数函数
正則函数 f: U → C がすべての点 z ∈ U において f′(z) ≠ 0 を満たすならば、f は等角写像である。すなわち、U の点 a を通るに曲線が角 α を成す(これは a における両曲線の接線の成す角が α であるという意味である)ならば、それらに曲線の f による像も f(a) において同じ角 α を成す。
log z の枝は、正則かつ導函数 1/z は U 上で消えないから、上記の命題により等角写像を定める。
例えば、主枝 w = Log z は C ∖ R≤0 から垂直帯状領域 |Im z| < π への写像と見て上記の性質を満たすから、等角性を極形式で書いた直接の帰結として以下のことが言える:
z-平面の原点を中心とする円は w-平面内の a − πi から a + πi へ結ぶ垂直線分に写される。ただし、a は円の半径の実対数である。
z-平面の原点から放たれる半直線は w-平面の水平線に写される。
上記の z-平面上の各円と各半直線は直角に交わる。それらの Log による像はそれぞれ w-平面の垂直線分と水平線だから、それらも直角に交わる。これは主枝 Log の等角性の発露の一つである。
U が C の単連結開部分集合で 0 を含まないならば、U 上定義された log z の枝を、始点 a ∈ U と a の対数 b を一つ選んで L ( z ) := b + ∫ a z d w w ( ∀ z ∈ U ) {\displaystyle L(z):=b+\int \limits _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}\quad (\forall z\in U)} と定義することができる。
複素解析における複素対数函数(ふくそたいすうかんすう、英: complex logarithm)は、実自然対数函数が実自然指数函数の逆函数であるのと同様の意味において、複素指数函数の逆「函数」である。すなわち、複素数 z の対数 w とは e = z を満たす複素数を言い、そのような w を ln z や log z などと書く。任意の非零複素数 z は無限個の対数を持つから、そのような表記が紛れのない意味を為すように気を付けねばならない。
極形式を用いて z = re (r > 0) と書くならば、w = ln r + iθ は z の対数の一つを与えるが、これに 2πi の任意の整数倍を加えたもので z の対数はすべて尽くされる。
この写像の幾何学的性質の詳細は後述。
特に断りなく log z のように書かれた場合には、一般には主値について言っているものと考えたほうが安全である。そうすれば特に、z が正の実数のときの実数値の ln z と矛盾しない。しかし主値を他の対数と区別する目的では、頭文字を大文字化する記法を用いて Log と書くのが適当である。
実自然対数 ln の満足する等式は、複素数に拡張した場合には必ずしも成立しない。任意の z ≠ 0 に対して等式 e = z は成立する(これは単に Log z は z の対数(の一つ)であると言っていることに相違ない)が、等式 Log e = z は帯状領域 S の外側では正しくない。この理由により、等式 e = e の両辺に Log を施して z = w を得ることは常にはできない。また、等式 Log(z1z2) = Log z1 + Log z2 の両辺は 2πi の整数倍だけ異なり得る。
函数 Log z は各負の実数において不連続だが、それ以外の C* の各点において連続である。この不連続性を説明するために、z が負の実数 a へ近づくときに Arg z に何が起きるのかを考える。z が a に上から近づくならば、Arg z は π(= Arg a) に近づくが、z が a に下から近づくならばArg z は −π に近づく。ゆえに Arg z は z が負の実軸をまたぐとき 2π だけ値が跳び、その結果 Log z も 2πi だけ跳ぶ。
実数のときと同様に、複素数 a, b に対して
log a  ( b ) := log e  b log e  a {\displaystyle \log _{a}(b):={\frac {\log _{e}b}{\log _{e}a}}}
と定義することができるが、a, b において定義される log の枝の選択によって値が変わることには気を付けなければならない。例えば主値を用いれば
log i  ( e ) = Log  e Log  i = 1 π i / 2 = − 2 i π {\displaystyle \log _{i}(e)={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}}
となる。