マチンの公式
↑ マチン・シムソンの論文 I.Tweddle(1991), John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent series for π, Arch. Hist. Exact Sci. の42,p.1~14による。
オイラーによる公式(1748年)
π 4 = arctan  1 2 + arctan  1 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}
arctan  1 p = arctan  1 p + q + arctan  q p 2 + p q + 1 {\displaystyle \arctan {\frac {1}{p}}=\arctan {\frac {1}{p+q}}+\arctan {\frac {q}{p^{2}+pq+1}}}
ただし p, q は正の実数
π 4 = 5 arctan  1 7 + 2 arctan  3 79 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}
ヤコブ・ハーマン (Jacob Hermann,1678 - 1733) による式
等式:
π 4 = 4 arctan  1 5 − arctan  1 239 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
をマチンの公式という。
この項目では arctan x は主値
− π 2 < arctan  x < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan x<{\frac {\pi }{2}}}
を取るものとする。
同じことであるが、逆余接関数 arccot x を用いて、
π 4 = 4 arccot  5 − arccot  239 {\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}=4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}
と書かれることもある。