ケイリー・ハミルトンの定理
0 = adj  ( φ I n − A tr ) ⋅ ( ( φ I n − A tr ) ⋅ E ) = ( adj  ( φ I n − A tr ) ⋅ ( φ I n − A tr ) ) ⋅ E = ( det ( φ I n − A tr ) I n ) ⋅ E = ( p ( φ ) I n ) ⋅ E {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot ((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E)\\&=(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }))\cdot E\\&=(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n})\cdot E\\&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E\end{aligned}}}
と計算できる。最初の等号は行列同士および行列とベクトルとの積の結合性によるが、この性質は行列やベクトルの成分がどのようなものであるかとは無関係に、これら積が持つ純形式的な性質である。さて、この等式の第 i成分をみれば、p(φ)(ei) = 0 ∈ V が成り立つことが分かるから、p(φ) は全ての ei で—したがってそれらの生成する V 全体で—消えていることになる。
代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー・ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α1, ..., αk] とその代数的整数 α(これは添加された元の冪積 α n11 ...α nkk の非自明な Q-線型結合に書ける)が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換
⋅ α : Q [ α 1 , ⋯ , α k ] → Q [ α 1 , ⋯ , α k ] {\displaystyle \cdot \alpha \colon \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]}
の表現行列を A と書けば、A にケイリー・ハミルトンの定理を適用することにより α の最小多項式が求まる。
p ( t ) I n = t B ( t ) − A B ( t ) = ∑ i = 0 n − 1 t i + 1 B i − ∑ i = 0 n − 1 t i A B i = t n B n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 t i ( B i − 1 − A B i ) − A B 0 =: t n I n + t n − 1 c n − 1 I n + ⋯ + t c 1 I n + c 0 I n {\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=tB(t)-AB(t)\\&=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\\&=:t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}\end{aligned}}}
の形に書ける(これは t を変数とする2つの多項式行列の間の等式である)。この等式が成り立つのは、各 i について、t を係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなるときである。このような係数比較(英語版) により、
n次正方行列の固有多項式:
p ( t ) = t n + c n − 1 t n − 1 + ⋯ + c 1 t + c 0 {\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\dots +c_{1}t+c_{0}}
において、i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。特に、定数項(0次の係数)c0 は固有値の総乗ゆえそれは A の行列式 detA に等しい。
ニュートンの公式(英語版)を用いると、基本対称式は冪和対称式(英語版)で書き表せるから、上記の ci は固有値の冪和対称式 s k = ∑ i = 1 n λ i k {\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}} たちで表されると分かるが、
s k = ∑ i = 1 n λ i k = tr  A k {\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}=\operatorname {tr} A^{k}}
である。したがって、ci は A のトレースたちで書き表せる。特に c n − 1 = tr  A {\displaystyle c_{n-1}=\operatorname {tr} A} である。
adj  ( − A ) = ∑ i = 1 n c i A i − 1 {\displaystyle \operatorname {adj} (-A)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}A^{i-1}}
が導かれる。ここに、ci は A の固有多項式 p(t) = t + cn−1t + ... + c1t + c0 のものである。
この恒等式はケイリー・ハミルトンの定理の主張を含意するものである。実際、adj(−A) を右辺に移項してから A を(左から、あるいは右から)掛け、基本関係式 (adj) から分かる:
− A ⋅ adj  ( − A ) = adj  ( − A ) ⋅ ( − A ) = det ( − A ) I n = c 0 I n {\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}} を入れれば所期の式である。
それはすなわち p(φ) = 0 ∈ End(V) であることに他ならないから、これで証明は完成する。
この証明を検討すれば、固有多項式をとる行列 A は、多項式に代入する値としての φ と同一である必要がないことが分かる。すなわち V 上の自己準同型 φ は、最初に与えた等式 φ(ei) = ∑j aji⋅ej を、何らかの元の列 e1, ..., en に対して満足すればよい(これらの元の生成する空間を改めて V と書けば上記の証明を追うことができる)。この元の列には基底のような独立性は仮定しないでよいから、生成される空間の次元は n よりも小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群でない場合も出てくる。
そうして R を生成系 {e1, ..., en} を持つ任意の可換環とし、R の自己準同型 φ の上記生成系に関する表現行列が A = (aij), すなわち
φ ( e j ) = ∑ a i j e i ( j = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \varphi (e_{j})=\sum a_{ij}e_{i}\qquad (j=1,\cdots ,n)}
を満たすものとする設定の下でのケイリー・ハミルトンの定理:pφ(φ) = 0 が満足されることが正当化できる。
このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題の源流である。