ドルトンの法則
F ( T , V , N ) = F 1 ( T , V , N 1 ) + F 2 ( T , V , N 2 ) + ⋯ = ∑ i F i ( T , V , N i ) {\displaystyle F(T,V,N)=F_{1}(T,V,N_{1})+F_{2}(T,V,N_{2})+\cdots =\sum _{i}F_{i}(T,V,N_{i})}
で与えられる。Fi は純粋な成分 i の系のヘルムホルツエネルギーである。 圧力はヘルムホルツエネルギーの体積による偏微分で与えられるので
p ( T , V , N ) = − ∂ F ∂ V = − ∑ i ∂ F i ∂ V {\displaystyle p(T,V,N)=-{\frac {\partial F}{\partial V}}=-\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial V}}}
となる。ここで
p i ( T , V , N i ) = − ∂ F i ∂ V {\displaystyle p_{i}(T,V,N_{i})=-{\frac {\partial F_{i}}{\partial V}}}
は成分 i を単離して、同じ温度と体積にしたときの圧力、つまり分圧である。これを代入すればドルトンの法則が導かれる。