シルベスター方程式
X {\displaystyle X} を S ( X ) = 0 {\displaystyle S(X)=0} の任意の解とする。このとき A X = − X B {\displaystyle AX=-XB} であり、この等式を X = q ( A ) g ( A ) X {\displaystyle X=q(A)g(A)X} の右辺に繰り返し適用して X = q ( A ) g ( A ) X = q ( A ) X g ( − B ) = 0 {\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0} 。よって写像 S {\displaystyle S} の核の次元は0であり、階数・退化次数の定理より S {\displaystyle S} は可逆となるから、任意の C {\displaystyle C} に対し一意的な解 X {\displaystyle X} が存在する。
(ii) 逆に、 s {\displaystyle s} が行列 A {\displaystyle A} と − B {\displaystyle -B} の共通の固有値であるとする。 s {\displaystyle s} は転置行列 A T {\displaystyle A^{T}} の固有値でもあることに注意すると、零ベクトルでないベクトル v {\displaystyle v} , w {\displaystyle w} で A T w = s w {\displaystyle A^{T}w=sw} , B v = − s v {\displaystyle Bv=-sv} を満たすものが存在する。