ビール予想
フェルマーの最終定理は、自然数 A, B, C に対して、 A n + B n = C n {\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}} に n > 2 の解がないことを示している。もしフェルマーの最終定理に解が存在するならば、全ての公約数を除けば、互いに素となる自然数の解 A, B, Cが存在することになる。従って、フェルマーの最終定理は、x = y = z に限定されたビール予想の特殊な場合と見ることができる。
フェルマー=カタラン予想は、A, B, C, x, y, z が自然数であり、A, B, C が互いに素である場合、 1 x + 1 y + 1 z < 1 {\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1} を満足するとき、 A x + B y = C z {\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}} は有限個の解しか持たないというものである。ビール予想は、「全てのフェルマー=カタラン予想の解は、2を指数として使用する」と言い換えることができる。
ABC予想は、ビール予想の反例が高々有限個であることを意味する。