コーシー＝シュワルツの不等式
とも表せる。
コーシー=シュワルツの不等式の重要な帰結として、内積が2つのベクトルについて連続であるということが挙げられる。従って特に、ベクトル x に対する連続汎函数 ⟨ x , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle x,\cdot \rangle } あるいは ⟨ ⋅ , x ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,x\rangle } を定めることができる。さらに、ベクトル x に汎函数 x ∗ : y ↦ ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle x^{*}\colon y\mapsto \langle y,x\rangle } を作用させると等長作用素になっていることも従う。
また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert }
が導かれる。これの等号成立は、x と y の一方が他方の非負実数倍であるときである。