代数的数
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} と表す。
しかしながら、α, β を n 次の代数的数としたとき、α + β や αβ が n 次の代数的数になるとは限らない。たとえば、 α = 2 , β = 1 + i {\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}},\ \beta =1+i} とすると、これらはともに 2 次の代数的数であるが、α + β や αβ はどちらも 4 次の代数的数である。
一般に、
deg  ( α + β ) , deg  α β ≤ deg  α deg  β {\displaystyle \deg(\alpha +\beta ),\ \deg \alpha \beta \leq \deg \alpha \deg \beta }
が成立する。
代数的数 α を根とする 0 でない有理数係数多項式のうち、次数が最小で、最高次の係数が 1 であるものを、α の既約多項式 (irreducible polynomial) という。最小多項式は、有理係数多項式上既約多項式である。
代数的数 α の最小多項式の次数を、α の次数 (degree) といい、deg α で表す。次数が n であるとき、α は n 次の代数的数であるという。たとえば、有理数は 1 次の代数的数ということができる。また 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は、2 次の代数的数である。
Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} は、代数的閉体である。さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。