ベルトラン・ダルブーの定理
1846年にジョゼフ・リウヴィルは2次元リーマン多様体上の運動について考察し、ある座標系 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} においてハミルトニアンが
H = 1 2 ( p u 2 + p v 2 ) + C ( u ) + D ( v ) A ( u ) + B ( v ) {\displaystyle H={\frac {{\frac {1}{2}}(p_{u}^{2}+p_{v}^{2})+C(u)+D(v)}{A(u)+B(v)}}}
という形を取るならば、その系は求積可能であることを示した。なお、この場合、同時に計量テンソルは
d s 2 = { A ( u ) + B ( v ) } ( d u 2 + d v 2 ) {\displaystyle ds^{2}=\{A(u)+B(v)\}(du^{2}+dv^{2})}
という形を取り、このような系をリウヴィル系として知られている。
1857年にジョゼフ・ベルトランは、ハミルトニアン
H = 1 2 g i j ( q ) p i p j + V ( q ) {\displaystyle H={\frac {1}{2}}g^{ij}(\mathbf {q} )p_{i}p_{j}+V(\mathbf {q} )}
により記述される2次元系が運動量について2次の積分を持つならば、ポテンシャル V {\displaystyle V} がある一定の条件を満足することを示した。ジャン・ガストン・ダルブーは1901年に逆にポテンシャルがベルトランが示した条件を満足するならば第一積分が存在することを証明した。