ヤングの畳み込み不等式
p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 cp,q < 1 を含む
の形のより厳密な評価にすることができる。この最適化定数が達成されるとき、函数 f, g は高次元ガウス函数(英語版) である。
ヤングの畳み込み不等式は、R を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して f ∗ g ( x ) := ∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d μ ( y ) {\displaystyle f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)} および ‖ f ‖ p := ( ∫ G | f ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}} と定めれば、f ∈ L(G, μ), g ∈ L(G, μ) に対して、件の不等式 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} はそのままの形で成り立つ(もちろん、 ∫ G × G f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d μ ( x ) d μ ( y ) ≤ ( ∫ G | f | p ) 1 / p ( ∫ G | g | q ) 1 / q ( ∫ G | h | r ) 1 / r {\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}} とも書ける)。