ガウス＝マルコフの定理
C C ⊤ = ( C − C ^ + C ^ ) ( C − C ^ + C ^ ) ⊤ = ( C − C ^ ) ( C − C ^ ) ⊤ + C ^ C ^ ⊤ ⪰ C ^ C ^ ⊤ {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {C} \mathbf {C} ^{\top }&=(\mathbf {C} -{\hat {\mathbf {C} }}+{\hat {\mathbf {C} }})(\mathbf {C} -{\hat {\mathbf {C} }}+{\hat {\mathbf {C} }})^{\top }\\&=(\mathbf {C} -{\hat {\mathbf {C} }})(\mathbf {C} -{\hat {\mathbf {C} }})^{\top }+{\hat {\mathbf {C} }}{\hat {\mathbf {C} }}^{\top }\\&\succeq {\hat {\mathbf {C} }}{\hat {\mathbf {C} }}^{\top }\end{alignedat}}}
が成立する。したがって
Cov  [ β ~ ] ⪰ Cov  [ β ^ ] {\displaystyle \operatorname {Cov} \left[{\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}\right]\succeq \operatorname {Cov} \left[{\widehat {\boldsymbol {\beta }}}\right]}
が成立し、最小二乗推定量 β ^ {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}} は最良線形不偏推定量になる。