単体 (数学)
単体は空間上にある基準点 O を取ったとき、O からの位置ベクトルが互いに一次独立である n + 1個の点 P1, ..., Pn+1 を頂点にもつ多面体である。このとき、 OP i → = ( x 1 , i , ⋯ , x n , i ) {\displaystyle {\overrightarrow {{\text{OP}}_{i}}}=(x_{1,i},\cdots ,x_{n,i})} とすれば、超体積(n = 3 であれば体積、n = 2 であれば面積、n = 1 であれば長さ)V は、
V = 1 n ! abs  | x 1 , 1 x 1 , 2 ⋯ x 1 , n + 1 ⋯ ⋯ x n , 1 x n , 2 ⋯ x n , n + 1 1 1 1 1 | {\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\operatorname {abs} {\begin{vmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots &x_{1,n+1}\\&\cdots &\cdots &\\x_{n,1}&x_{n,2}&\cdots &x_{n,n+1}\\1&1&1&1\end{vmatrix}}}
と表すことができる。特に、Pn+1 = O であるとき、