ポアンカレ・ベンディクソンの定理
f が C 級であることから、上記の微分方程式系は解の存在と一意性を満たし、流れ φ(t, x0) は
φ(0, x0) = x0
任意の t, s ∈ Rについて φ(s, (φ(t, x0)) = φ(t+s, x0)
を満たす。
初期値 x0 を決めて、t を −∞ から ∞ まで動かしながら φ(t, x0) が返す値を相空間 M 上に描くと、それは M 上の一つの曲線となる。この曲線を x0 を通る軌道という。 x0 を通る軌道を O(x0) で表すとする。微分方程式の解の一意性により、ある x0 を通る O(x0) はただ一つだけに限られる。特に t が非負のときの軌道
O + ( x 0 ) = { φ ( t , x 0 ) ∣ 0 ≤ t < ∞ } {\displaystyle O_{+}({\boldsymbol {x}}_{0})=\left\{\phi (t,\ {\boldsymbol {x}}_{0})\mid 0\leq t<\infty \right\}}
を正の半軌道といい、O+ で表すとする。φ(t, x0) が C 級であることから軌道は(以下の平衡点である場合を除いて)滑らかな曲線で、曲線上の各点の接ベクトルが微分方程式の f(x) に対応する。
初期値 x0 に対して f(x0) = 0 となる場合、微分方程式の解は定数となる。このときの軌道は O(x0) = {x0} となり、相空間上の1点である。このような f(x) = 0 を満たす x を平衡点という。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理(ポアンカレ・ベンディクソンのていり、Poincaré–Bendixsonの定理)とは、平面上の連続力学系あるいは自励的常微分方程式系では、有界な軌道が時間経過後に最終的に落ち着く先は、平衡点を含まなければ周期軌道であることを述べる数学の定理である。19世紀末にアンリ・ポアンカレが発表し、後の20世紀初頭にイーヴァル・オット・ベンディクソン(英語版)がより厳密・一般化した形で証明して発表した。
与えられた系の周期軌道の存在を明確にすることは一般的に難しいが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理はその手法を与える希少なものの一つである。また、定理の帰結として、このような平面の系で状態変数が収束する先は、本質的に平面上の1点(平衡点)または閉曲線(周期軌道)のいずれかに限られ、より複雑な振る舞いはないことを意味する。極限集合の概念を使うと、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道の3種に限られることが言える。ただし、定理が成立する根本的理由の一つが、平面上ではジョルダンの閉曲線定理が成立し、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあるので、トーラスや3次元の系で定理は成立しない。