矛盾許容論理
他の論理演算は否定と論理和の組合せで定義可能である。より非形式的に表現すると次のようになる:
not A は A が偽であるときだけ真である。
not A は A が真であるときだけ偽である。
A or B は、Aが真かまたはBが真であるときだけ真である。
A or B は、Aが偽でかつBも偽であるときだけ偽である。
論理的帰結関係の意味論は次のようになる:
Γ ⊨ {\displaystyle \vDash } A は Γ の全要素が真であるときはいつでも A が真となることである。
ここで、V(A,1) と V(A,0) という関係があり、V(B,1) という関係がないとする。これらの関係から爆発律と論理和による三段論法の反例は容易に導くことが出来る。しかしそれは同時にLPの条件文のためのモーダスポネンスへの反例でもある。このため、LP では否定と論理和の組合せでは定義できない強い条件結合子を採用することが多い。
LP は多くの(通常真である)推論パターンを保持しており、ド・モルガンの法則、否定/論理積/論理和に関する自然演繹が成り立つ。また、驚くべきことに恒真式はLPでも一般の論理体系でも変わらない。LPと古典論理が異なるのは、推論が真となる範囲である。各論理式が必ず真か偽の値を持つという条件を外した矛盾許容論理を FDE(First-Degree Entailment)と呼ぶ。LPとは異なり、FDPには恒真式がない。
LP は数ある矛盾許容論理の一種でしかない点に注意されたい。比較的単純な例としてここに紹介したに過ぎない。