等長写像
距離空間 (X, d) の任意の元を x, y とする(d は距離関数)。このとき、X から別の距離空間 ( X' , d' ) への写像 f が、
d ( x , y ) = d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y))}
なる関係を満たすとき、写像 f は距離を保つ、あるいは f は等長写像であるという。定義から、等長写像が単射であることはすぐに分かる。
距離空間 X, Y の間に距離を保つ全単射 (isometry) が存在するとき、X と Y は距離空間として等長 (isometric) であるという。また、距離空間 X からそれ自身への距離を保つ全単射を X 上の等長変換という。X 上の等長変換の全体は群を成し、それを X の等長変換群とよぶ。
定義をノルム空間に適用すると、ベクトル空間 X におけるノルムを || · ||X で表すとき、写像 f: X → X' が等長写像であるための条件は
||x - y||X = ||f(x) - f(y)||X'
となる。特に f が線形写像ならばこれは ||x||X = ||f(x)||X' と同じである。