空間 (数学)
しかし、一様連続性、有界集合、コーシー列、可微分函数(滑らかな道、滑らかな写像)といったようなものは定義されない。位相空間の間の同型は慣習的に同相写像と呼ばれる、双方向に連続な一対一対応である。単位開区間 (0, 1) は実数直線全域 (−∞, ∞) に同相だが、単位閉区間 [0, 1] とも円とも同相でない。立方体の表面は(球体の表面である)球面に同相だが、トーラスとは同相でない。次元の異なるユークリッド空間が互いに同相でないことは、一見明らかなように思われるが、証明は容易でない。また、位相空間の次元は、定義するのが簡単でないが、帰納次元やルベーグ被覆次元がよく用いられる。位相空間の任意の部分集合はそれ自身位相空間になる(これは線型空間の「線型」部分空間のみがそれ自身線型空間となることと対照的である)。位相空間論(一般位相幾何あるいは点集合トポロジーなどとも呼ばれる)で研究される一般の位相空間は、(同相を除く)完全な分類を行うには広範すぎる対象であり、また一般には等質でない。コンパクト位相空間は位相空間(の「型」の「種」として)の重要なクラスである。コンパクト空間上の任意の連続函数は有界になる。単位閉区間 [0, 1] や拡大実数直線 [−∞, ∞] はコンパクトであり、単位開区間 (0, 1) や実数直線 (−∞, ∞) はコンパクトでない。
ブルバキによれば、(モンジュの「画法幾何学」が公表される)1795年から(クラインのエルランゲン目録が示される)1872年までの期間は「幾何学の黄金時代」と呼ばれる。このころ解析幾何学は大いに発展して、古典幾何学の定理を変換群に関する不変量を通じた計算に置き換えることに成功しており、実際に古典幾何学の新たな定理が職業数学者よりもむしろアマチュアの手によって発見されている。
しかしこれは、古典幾何学の地位が失われたことを意味するものではない。ブルバキによれば、「自律し生きた科学としての役割は終えたが、古典幾何学は当代の数学の普遍的な言語へと姿を変えた」のである。
1854年、リーマンの有名な就任講演によれば、n 個の実数でパラメータ付けられた任意の数学的対象は、そのような対象全体の成す n-次元空間の点として扱うことができる。現代の数学者はこの考え方をごく普通に踏襲し、さらに強力に推し進めて古典幾何学の用語法をほとんどどこにでも用いる。
この手法の一般性を十分に理解するためには、数学というものが「数や、量あるいはそれらの描像の組み合わせではなく、思考の対象をこそ目的とする、純粋に形式の理論」であることに注意する必要がある。