VII型曲面
数学では、VII型曲面(英:surfaces of class VII、直訳:7型局面)は、非代数的複素曲面で、(Kodaira 1964, 1968)で研究され、小平次元 −∞ を持ち、第一ベッチ数が 1 である。VII型曲面(自己交点数が -1 である非有理曲面)の局所モデルは、VII0 型の曲面(英:surfaces of class VII0)と呼ばれる。全ての VII型曲面は、一意な VII型極小曲面に双有理同値であり、この極小曲面を有限回点でブローアップすることで得ることができる。
この事実は良く知られているので、この予想が証明されたとすると、VII型の分類を導くことになる。
正の第二ベッチ数 b2 を持つ VII型曲面は、多くて、b2 本の有理曲線を持つことができ、大域球状シェルを持つと、持つ有理数の数と第二ベッチ数が一致する。逆に、 Georges Dloussky, Karl Oeljeklaus, and Matei Toma (2003) は、正の第二ベッチ数 b2 を持つ極小な VII型曲面は、ちょうど b2 本の有理曲線を持つならば、大域球状シェルを持つことを示した。
第二ベッチ数が 0 となる VII型曲面に対し、最初のホップ曲面は大域球状シェルであるが、第二のホップ曲面と井上曲面は、大域球状シェルではない。理由は、基本群が無限巡回群ではないからである。後者の曲面上の点でブローアップすると、大域球状シェルを持たない第二ベッチ数が正の非極小 VII型曲面が得られる。