半単純加群
可換半単純環は体の有限個の直積である。可換環が半単純であることとアルティン環かつ被約であることは同値である。
k が体で G が位数 n の有限群であれば、群環 k [ G ] {\displaystyle k[G]} が半単純であることと k の標数 が n を割らないことは同値である。これはマシュケの定理であり、群の表現論において重要な結果である。
アルティン-ウェダーバーンの定理によって、単位的アルティン環 R が半単純であることと M n ( D 1 ) × M n ( D 2 ) × ⋯ × M n ( D r ) {\displaystyle M_{n}(D_{1})\times M_{n}(D_{2})\times \dots \times M_{n}(D_{r})} (に同型)であることは同値である。ただし各 D i {\displaystyle D_{i}} は可除環であり M n ( D ) {\displaystyle M_{n}(D)} は D に成分をもつ n 次全行列環。
半単純非単位的環の例は M ∞ ( K ) {\displaystyle M_{\infty }(K)} 、体 k 上の行と列が有限な無限次行列である。