バナッハ環
複素数体上の単位的バナッハ環は、スペクトル論を構成するための一般的な舞台となる。各元 x ∈ A のスペクトル(spectrum)σ(x) は、x − λ⋅1 が A において可逆とならないようなすべての複素スカラー λ の集合である。任意の元 x のスペクトルは、C 内の 0 を中心とする半径 ‖ x ‖ の閉円板に含まれる閉部分集合であり、したがってコンパクトである。さらに、各元 x のスペクトル σ(x) は空ではなく、スペクトル半径公式
sup { | λ | : λ ∈ σ ( x ) } = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n {\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}}
を満たす。 x ∈ A が与えられたとき、正則汎関数計算(英語版)によって、σ(x) の近傍で正則な任意の関数 ƒ に対し、ƒ(x) ∈ A を定義することが出来る。さらに、スペクトル写像定理:
σ ( f ( x ) ) = f ( σ ( x ) ) {\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x))}
が成り立つ。 バナッハ環 A が、複素バナッハ空間 X の有界線型作用素環 L(X)(例えば、正方行列環)ならば、A におけるスペクトルの概念は、作用素論における通常の概念と一致する。コンパクトハウスドルフ空間 X 上で定義された ƒ ∈ C(X) に対して
σ ( f ) = { f ( t ) : t ∈ X } {\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}}
が確かめられる。 C*-環の正規元 x のノルムは、そのスペクトル半径と一致する。これは正規作用素に対する同様の事実の一般化である。
A を複素単位的バナッハ環で、すべての非ゼロ元 x は可逆であるとする(すなわち、可除多元環)。どの a ∈ A に対しても、a − λ⋅1 が可逆でないような λ ∈ C が存在する(これは a のスペクトルが空ではないことによる)から、a = λ⋅1 となり、この環 A は C に自然同型である。これはゲルファント=マズールの定理の複素数の場合である。