対称代数
数学において、体 K 上のベクトル空間 V 上で定義される対称代数(たいしょうだいすう、英: symmetric algebra)S(V) あるいは Sym(V) は、V を含む K 上の自由(英語版)可換単位的結合代数である。
対称代数の元は、座標の取り方に依らず V の元を不定元とする多項式に対応する。このとき、対称代数の双対 S(V) の元は V 上の多項式(函数)に対応する。
対称代数と V 上の対称テンソル空間とを混同してはならない。
ベクトル空間上の対称代数と同様に、アフィン空間(あるいはその上の多項式の空間に対応する双対空間)から対称代数を構成することができる。根本的に異なるのはアフィン空間上の対称代数は次数付き多元環にならないことだが、しかしフィルター付き多元環(英語版)にはなるので、斉次部分を決めることはできなくてもアフィン空間上の多項式の次数を決めることはできる。
例えば、ベクトル空間上の一次多項式函数が与えられたとき、その定数項は 0 における値として得られる。一方、アフィン空間では、そのような特別の点は定められていないので、同じことはできない(特定の点を選ぶとアフィン空間はベクトル空間になる)。