アーベル群
任意の有限アーベル群 G は素冪位数の巡回群の直和に表される。
これは有限生成アーベル群の基本定理の特別の場合(階数 0 の場合)である。位数 mn の巡回群 Z/mnZ が Z/mZ と Z/nZ の直和に同型となるための必要十分条件は m と n が互いに素となることである(中国の剰余定理)。これにより任意の有限アーベル群 G が
⨁ i = 1 u Z / k i Z {\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\mathbf {Z} /k_{i}\mathbf {Z} }
なるかたちの直和に同型となることが従うが、位数 ki に関しては標準的に二種類:
各数 k1, ..., ku はそれぞれ適当な素数の冪である
k1 は k2 を割り切り、k2 は k3 を割り切り、... ku−1 は ku を割り切る
の仮定のうちの何れかを課すことで一意に定まる。