分解 (ホモロジー代数)
環 R 上の加群 M が与えられると、M の左分解 (left resolution)(あるいは単に分解 (resolution))とは、R 加群の(無限でもよい)完全列
⋯ ⟶ d n + 1 E n ⟶ d n ⋯ ⟶ d 3 E 2 ⟶ d 2 E 1 ⟶ d 1 E 0 ⟶ ε M ⟶ 0 {\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0}
である。準同型 di は境界写像 (boundary map) と呼ばれる。写像 ε は添加写像 (augmentation map) と呼ばれる。簡明のため、上の分解は次のように書ける。
E ∙ ⟶ ε M ⟶ 0. {\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\epsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}
双対概念は右分解 (right resolution)(あるいは余分解 (coresolution)、あるいは単に分解)の概念である。
多くの場合分解に現れる対象には実際には興味はなく、与えられた関手に対する分解の振る舞いに興味がある。したがって、多くの状況で、非輪状分解 (acyclic resolution) の概念が使われる: 2つのアーベル圏の間の左完全関手 F: A → B が与えられると、A の対象 M の分解
0 → M → E 0 → E 1 → E 2 → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to E_{0}\to E_{1}\to E_{2}\to \dotsb }
が F 非輪状とは、導来関手 RiF(En) がすべての i > 0 と n ≥ 0 に対して消えることをいう。双対的に、左分解が右完全関手について非輪状とは、その導来関手が分解の対象上消えることをいう。
例えば、R 加群 M が与えられると、テンソル積 -- ⊗ R M {\displaystyle {\text{--}}\otimes _{R}M} が右完全関手 Mod(R) → Mod(R) である。すべての平坦分解はこの関手について非輪状である。平坦分解はすべての M によるテンソル積に対して非輪状である。同様に、すべての関手 Hom(–, M) に対して非輪状な分解は射影分解であり、関手 Hom(M, –) に対して非輪状なのは単射分解である。