ベクトル測度
集合体 ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} とバナッハ空間 X {\displaystyle X} が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度(あるいは、簡潔に測度)とは、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内の任意の互いに素な集合 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} に対して
μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) {\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}
が成り立つような関数 μ : F → X {\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X} のことを言う。
ベクトル測度 μ {\displaystyle \mu } が可算加法的であるとは、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内の任意の互いに素な集合の列 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} でその合併が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれるようなものに対して、
μ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( A i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}