対称減少再配分
函数 f ∗ {\displaystyle f^{*}} は、等位集合が f {\displaystyle f} の等位集合と同じ測度を持つ、すなわち
| { x : f ∗ ( x ) > t } | = | { x : f ( x ) > t } | {\displaystyle |\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|}
が成り立つような対称かつ減少な函数である。 f {\displaystyle f} が L p {\displaystyle L^{p}} 内の函数であるなら、次が成り立つ。
‖ f ‖ L p = ‖ f ∗ ‖ L p . {\displaystyle \|f\|_{L^{p}}=\|f^{*}\|_{L^{p}}.}
ハーディ=リトルウッドの不等式が成り立つ。すなわち
∫ f g ≤ ∫ f ∗ g ∗ {\displaystyle \int fg\leq \int f^{*}g^{*}}
となる。
ポーヤ=セゲーの不等式より、極限においては p = 1 {\displaystyle p=1} として等周不等式が成り立つ。また、レイリー=フェイバー=クラーンの不等式を証明するために調和函数との関係を利用することが出来る。