アフィン接続
3-次元ユークリッド空間の中の滑らかな曲面 S を考える。任意の点の近くで、S はユークリッド空間のアフィン部分空間である接平面により近似することができる。19世紀の微分幾何学者は、発展(英語版)の考えに興味をもった.これは、ある曲面を他の曲面に沿って滑ったり捩れたり(ツイストしたり)しないように転がす (roll)ことについての考えである。特に S の点への接平面は、S 上で転がることができる。これは、S が 2-球面のような曲面(凸な領域の滑らかな境界)である場合には想像しやすいはずだ。 S 上で接平面を転がしていくと、その接触点が S 上にある曲線を描く。逆に、S 上の曲線が与えられると、接平面をその曲線に沿って転がしていくことができる。この考え方が、ある曲線上の異なる点における接平面たちを同一視するための方法となる。特に、曲線上のある点での接空間ないの接ベクトルは、曲線上の任意の点での一意の接ベクトルと同一視される。これらの同一視は、常に、ひとつの接平面から別の平面へのアフィン変換により与えられる。
アフィン変換による、曲線に沿ったこの接ベクトルの平行移動の考えは、特徴的な性質をもっている。
アフィン接続の第二の動機は、ベクトル場の共変微分の考えから来る。座標独立な方法が登場する以前は、座標チャート(英語版)の中のベクトルの成分を使いベクトル場を研究する必要があった。これらの成分を微分することはできるが、この微分は座標変換の下で管理可能な方法では変換しない。正しい記述はエルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)により(ベルンハルト・リーマン(Bernhard Riemann)のアイデアに従い、1870年代に導入され、座標変換の下に共変な(英語版)変換に沿ったベクトル場の(正しい)微分 — これらを集大成した結果は、クリストッフェル記号として知られる。このアイデアは、グレゴリオ・リッチ・クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)と彼の学生のレヴィ・チヴィタ(Tullio Levi-Civita)により、1880年代と20世紀への変わり目の間に(現在、テンソル解析として知られている)絶対微分法の理論へ発展した。
テンソル解析は、実際は、1915年のアルベルト・アインシュタイン(Albert Einstein)の一般相対論の登場により息を吹き返した。一般相対論の何年か後に、レヴィ・チヴィタは、リーマン計量に付随する一意な接続を定式化した。現在、この接続は、レヴィ・チヴィタ接続として知られている、さらに一般的なアフィン接続は、1920年頃に、ヘルマン・ワイル(Hermann Weyl)により研究され、彼は詳細に数学的な一般相対論の基礎付けを行い、エリ・カルタン(Élie Cartan) は、曲面論から来る幾何学的アイデアを考案した。