連続線型拡張
一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の階段関数は、次の形式で記述される:
f ≡ r 1 1 [ a , x 1 ) + r 2 1 [ x 1 , x 2 ) + ⋯ + r n 1 [ x n − 1 , b ] . {\displaystyle f\equiv r_{1}{\mathit {1}}_{[a,x_{1})}+r_{2}{\mathit {1}}_{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}{\mathit {1}}_{[x_{n-1},b]}.}
ここで r 1 , ... , r n {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}} は実数であり、 a = x 0 < x 1 < ... < x n − 1 < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b} とし、 1 S {\displaystyle {\mathit {1}}_{S}} は集合 S {\displaystyle S} の指示関数を表す。