ベンフォードの法則
しかしながら、こうした用法には注意を払う必要がある。実社会のデータは、そのデータの種類に応じて数値の分布の仕方が歪められていることがあり、その程度に応じてベンフォードの法則を満たさないことがある。
例えば、「名前が'A'で始まるイギリスの村の人口」とか「小額の保険金請求」とかがベンフォードの法則に従うと期待するかもしれない。しかし、イギリスでの村の定義が「人口が300人から999人までの集落」であることや、小額の保険金請求の定義が「50ドルから100ドルまでの請求」であることがわかれば、特定の値が定義によって排除されていることからベンフォードの法則を(単純には)適用できないことがわかる。
より形式的に記述すると、
基底が b (b ≥ 2) のときの最初の桁の数値 d (d ∈ {1, ..., b − 1}) の出現確率は、P(d) = logb (d + 1) − logb d = logb ((d + 1)/d) という式に従う
となる。この数値は厳密に対数スケールにおいて d と d + 1 の間の空間に等しい。
基底が10の場合(十進数)、ベンフォードの法則に従えば最初の桁の分布は以下のようになる。ただし d が最初の桁で p が確率である。
この法則の発見は1881年まで遡る。アメリカ人の天文学者であるサイモン・ニューカムが、その当時計算をするために用いられていた対数表で、1で始まる数値を記載している最初の方のページが、他のページに比べてずっと擦り切れていることに気付いた。ニューカムが出版した結果は法則に関して知られている最初の例であり、また同様に2番目の桁の分布に関しても含んでいた。ニューカムは、最初の桁の数値を N とすると、その出現確率は log(N+1) − log(N) であるとする法則を提案した。
この法則は物理学者のフランク・ベンフォードによって1938年に再発見された。彼は広い範囲のデータに対してこの法則を検証し、法則の名前も彼の名前から取られた。1996年にテッド・ヒル (Ted Hill) が前述した複数の分布からの数値を混合した分布についての法則を証明した。
二進表現では、この現象の最も極端な例があらわれる。通常の表記方法すなわち、いわゆる「先行する0」を取り除くと、二進表現では常に最上位桁は1である(「0」以外は)。この特性を巧妙に利用し最上位桁を省略する表現技法があり、「ケチ表現」と呼ばれている。