クネーザーの定理 (微分方程式)
次の形状の線型同次常微分方程式を考える。
y ′′ + q ( x ) y = 0. {\displaystyle y''+q(x)y=0.\,}
ただし
q : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle q:[0,+\infty )\to \mathbb {R} }
は連続関数である。この方程式は、無限個の零点を伴う解 y を持つとき振動的(oscillating)と言われ、そうでない場合は非振動的(non-oscillating)と言われる。
クネーザーの定理では、この方程式が非振動的であるための十分条件は
lim sup x → + ∞ x 2 q ( x ) < 1 4 {\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}}
であり、振動的であるための十分条件は
lim inf x → + ∞ x 2 q ( x ) > 1 4 {\displaystyle \liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}}
であることが述べられている。