ジーンズの定理
系が空間的に球対称な分布であることを仮定すると、一般に運動の積分としてエネルギー E と角運動量 L が存在する。
E = 1 2 v 2 + Φ ( x ) , L = x × v {\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\Phi ({\boldsymbol {x}}),\ \ {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {v}}}
従ってジーンズの定理により球対称系の定常な分布関数は
f ( E , | L | ) {\displaystyle f(E,|{\boldsymbol {L}}|)}
という形のものに限られる。ここで分布関数が角運動量の絶対値 L = |L| にのみ依存するのは、そうでなければ角運動量の向きという非等方な量が分布関数に導入されるため、球対称性を破るからである。
分布関数が角運動量 L への依存性を持つとき、速度分布に非等方性が生じる。この非等方性の強さはパラメータ
β = 1 − σ θ 2 + σ φ 2 2 σ r 2 {\displaystyle \beta =1-{\frac {\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\phi }^{2}}{2\sigma _{r}^{2}}}}
(σi は速度分散テンソルの球座標系での成分) により特徴づけられる: 等方的ならば β=0 で、β>0 のとき動径方向に、β<0 のとき (r-一定面の) 接方向に偏った分布となる。このような分布関数としては、角運動量依存性がべき関数である
f ∝ L γ f 1 ( E ) {\displaystyle f\propto L^{\gamma }f_{1}(E)}
という形などが用いられることがある。
なお、速度分布の非等方性が強く動径方向の運動が卓越している場合、分布関数がエネルギーの減少関数であっても、動径軌道不安定性 (英: radial orbit instability) のために系は摂動に対して不安定になり得る。