ヤコビ行列
.. , n {\displaystyle {\bigg (}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}{\bigg |}_{x=p}{\bigg )}_{i=1,\ldots ,m \atop j=1,\ldots ,n}}
と書くことができる)。またこれは f が D の全域で微分可能であるとき、p に対して Jf (p) を対応させる写像 Jf: p ↦ Jf(p) は f の全微分であると言っても同じことである。
f が点 p において微分可能であるとき、点 p におけるヤコビ行列 Jf(p) は、x が p に十分近いとき
f ( x ) = f ( p ) + J f ( p ) ( x − p ) + o ( ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle f(x)=f(p)+J_{f}(p)(x-p)+o(\|x-p\|)}
なる関係を満足する(ここで o はランダウの記号)という意味で f の p における一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、g が f(p) を含む領域 E から R への関数であり、f (p ) において微分可能であるとき、
J g ∘ f ( p ) = J g ( f ( p ) ) ⋅ J f ( p ) {\displaystyle J_{g\circ f}(p)=J_{g}(f(p))\cdot J_{f}(p)}
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。