ボース気体
Ω = − ln  ( Z ) = ∑ i g i ln  ( 1 − z e − β ε i ) . {\displaystyle \Omega =-\ln({\mathcal {Z}})=\sum _{i}g_{i}\ln \left(1-ze^{-\beta \epsilon _{i}}\right).}
平均エネルギーは準位間のエネルギー差と比べて大きいと仮定するトーマス=フェルミ近似を適用すると、上記の和は積分で置き換えられる。
Ω ≈ ∫ 0 ∞ ln  ( 1 − z e − β E ) d g . {\displaystyle \Omega \approx \int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg.}
縮退度 dg は一般的な公式によって多くの異なる状況を表現する。
d g = 1 Γ ( α ) E α − 1 E c α d E {\displaystyle dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{c}^{\alpha }}}~dE}
ここで α は定数、Ec は臨界エネルギー、Γ はガンマ関数である。 たとえば箱の中の質量を持つボース気体では α = 3/2 で、臨界エネルギーは次のように与えられる。
1 ( β E c ) α = V f Λ 3 {\displaystyle {\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}}