ファノ多様体
次の議論は複素数上の滑らかなファノ多様体を考える。
次元が 1 のファノ曲線は、射影直線に同型である。
次元が 2 のファノ曲面は、デルペッゾ曲面(英語版)と呼ばれる。どのデルペッゾ曲面も P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} か、または、最大 8 個の点でブローアップした射影平面であり、とくにファノ多様体全てが再び有理的である。
3 次元では、滑らかな複素ファノ多様体であって、有理的でないものが存在する。例えば、P の中の3次 3次元多様体(3-fold)や、(クレメンス(Clemens)とグリフィス(Griffiths)による)、P の中の 4次 3次元多様体(イスコフスキー(Iskovskih)とマーニン(Manin)による)である。Iskovskih (1977, 1978, 1979)では、第二ベッチ数が 1 である滑らかな 3次元ファノ多様体は、17 個のクラスへ分類され、また、Mori & Mukai (1981) では、第二ベッチ数がすくなくとも 2 の 3次元ファノ多様体は 88 個の変形するクラスを発見して、滑らかなファノ多様体を分類した。滑らかな 3次元ファノ多様体の分類の詳細なまとめは、Iskovskikh & Prokhorov (1999) で与えられている。