スピン構造
これを以下のように幾何学的に解釈することができる(これはエドワード・ウィッテンによるものである)。スピン-構造は 0 でないとき、この平方根束は非整係数チャーン類を持つ(これは2-コサイクル条件(英語版)が成り立たないことを意味する)。特に、三種類ある任意の二つの交叉上の遷移函数の積は(主束となるのに必要な条件であるところの)恒等的に 1 にならず、ところどころ −1 となる。
この条件の不成立は、遷移函数の三重積に関して同じ条件の不成立によってスピン束(英語版)となることが妨げられるのと、ちょうど同じ交叉において起きる。従って、完全 (full) スピン-束の遷移函数の三重積(これは、スピン束の三重積と U(1)-成分束の三重積との積である)は、1 = 1 か −1 = 1の何れかであり、それゆえこのスピン-束はコサイクル条件を満たして、正当な束となる。