回転 (ベクトル解析)
, n a i 1 , ... , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}; \atop \forall i_{\nu }\in 1,\dotsc ,n}a_{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge dx_{i_{k}}}
に外微分 d を施したものが
d ω ( k ) = ∑ j = 1 ; i 1 < ⋯ < i k n ∂ a i 1 , ... , i k ∂ x j d x j ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{j=1; \atop i_{1}<\dotsb <i_{k}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\dotsc ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge dx_{i_{k}}}
で与えられ)、従って 1-形式の外微分は 2-形式、2-形式の外微分は 3-形式となる。一方、
∂ 2 ∂ x ∂ y = ∂ 2 ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\,\partial x}}}
回転ベクトルの向きは回転軸に沿って右手系となる方にとり、回転ベクトルの大きさは回転の大きさとなる。例えば、与えられたベクトル場が、動いている流体の流速を表すものであるとき、その回転とはその流体の循環密度のことになる。回転場が 0 となるベクトル場は無回転(英語版)であると言う。
場の回転はベクトル場に対する導函数に相当し、これに対応して微分積分学の基本定理に相当するのは、ベクトル場の回転場の面積分をそのベクトル場の境界曲線上での線積分と関係づけるストークスの定理(ストークス=ケルビンの定理)であると考えられる。
回転演算に相当する用語は curl, rotation の他に rotor や rotational などがあり、記法 curl F に相当する記法は rot F や ∇ × F などがある。前者の rot 系の用語・記法を用いる流儀はヨーロッパ諸国の系統に多く、ナブラや交叉積を用いる記法はそれ以外の系統で使われる傾向にある。
勾配や発散とは異なり、回転の概念を単純に高次元化することはできない。ただし、三次元に限らないある種の一般化は可能で、それはベクトル場の回転がまたベクトル場となるように幾何学的に定義される。これは三次元交叉積がそうであるのと同様の現象であり、このことは回転を “∇×” で表す記法にも表れている。
回転 “curl” の名を最初に提示したものはジェームズ・クラーク・マクスウェルで1871年のことである。