ベルヌーイ試行
この場合の「成功」という用語は、道徳的な判断ではなく、結果が指定された条件に合致するかどうかを意味する。
より一般的には、特定の事象(結果の集合)についての任意の確率空間が与えられたとき、その事象が発生したかどうか(事象または余事象)に対応するベルヌーイ試行を定義できる。ベルヌーイ定義の例として、以下のものが挙げられる。
コイントスをし、表が出たときを「成功」、裏が出たときを「失敗」とした場合。公正なコインを使用した場合、成功の確率は1/2である。この例の場合、取り得る結果は表・裏の2通りしかない。
サイコロを振って、出た目が6のときを「成功」、それ以外の目が出たときを「失敗」とした場合。公正なサイコロを使用した場合、成功の確率は1/6である。この例の場合、取り得る結果は6通りで、「成功」の事象(6が出る)は1通り、余事象(6以外が出る)は5通りである。
世論調査を実施する際に、有権者をランダムに選択して、その有権者が今後の国民投票で「はい」と投票するかを確認する場合。
o f = p / q = p / ( 1 − p ) = ( 1 − q ) / q o a = q / p = ( 1 − p ) / p = q / ( 1 − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}
これらは互いに逆数であり、掛けると1になる。
o f = 1 / o a , o a = 1 / o f , o f ⋅ o a = 1 {\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1}
あるベルヌーイ試行が、有限回の同様に確からしい結果における事象を表しており、成功が S 回、失敗が F 回であった場合、成功のオッズは S : F {\displaystyle S:F} 、失敗のオッズは F : S {\displaystyle F:S} である。これにより、確率とオッズについて次の式が得られる。
p = S / ( S + F ) q = F / ( S + F ) o f = S / F o a = F / S {\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}}