シャッテンノルム
H 1 {\displaystyle H_{1}} と H 2 {\displaystyle H_{2}} を可分なヒルベルト空間とし、 T {\displaystyle T} を H 1 {\displaystyle H_{1}} から H 2 {\displaystyle H_{2}} への(線型)コンパクト作用素とする。 p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} に対して、作用素 T {\displaystyle T} のシャッテン p-ノルムは次のように定義される:
‖ T ‖ p := ( ∑ n ≥ 1 s n p ( T ) ) 1 / p . {\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}.}
p, q を共役指数 (1/p + 1/q = 1) の対,S ∈ Sp,T ∈ Sqとするとき,対応するシャッテンノルムは次の形式のヘルダーの不等式を満たす:
‖ S T ‖ S 1 ≤ ‖ S ‖ S p ‖ T ‖ S q . {\displaystyle \|ST\|_{S_{1}}\leq \|S\|_{S_{p}}\|T\|_{S_{q}}.}
H 上のコンパクト作用素からなる、作用素ノルムについてのバナッハ空間を S ∞ {\displaystyle S_{\infty }} とすれば、上の形式のヘルダーの不等式は p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p\in [1,\infty ]} に対しても成立することが分かる。このことから、 φ : S p → S q ′ {\displaystyle \phi :S_{p}\rightarrow S_{q}'} , T ↦ t r ( T ⋅ ) {\displaystyle T\mapsto \mathrm {tr} (T\cdot )} は well-defined な縮小写像であることが従う(ここで、プライム記号 ' は(位相空間論的な)双対を表す)。