モーメント (確率論)
確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する:
Φ ( ξ ) := ⟨ e i ξ X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ e i ξ x p ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\xi )&:=\langle e^{i\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}
特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。
Φ ( ξ ) = ∑ n = 0 ∞ ⟨ X n ⟩ n ! ( i ξ ) n {\displaystyle \Phi (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}(i\xi )^{n}}
この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。
m n = 1 i n d n Φ ( ξ ) d ξ n | ξ = 0 {\displaystyle m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {d^{n}\Phi (\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}