資本資産価格モデル
よってCAPMが成立しているならば、資産 i {\displaystyle i} のシャープ・レシオについて以下の等式が成立する。
S i = E [ R i ] − r f V a r ( R i ) = β i m V a r ( R i ) ( E [ R m ] − r f ) = C o v ( R i , R m ) V a r ( R m ) V a r ( R i ) ( E [ R m ] − r f ) = ρ i m E [ R m ] − r f V a r ( R m ) = ρ i m S m {\displaystyle S_{i}={\frac {E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{i})}}}={\frac {\beta _{i\mathrm {m} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{i})}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}={\frac {\mathrm {Cov} (R_{i},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} }){\sqrt {\mathrm {Var} (R_{i})}}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}=\rho _{i\mathrm {m} }{\frac {E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}}=\rho _{i\mathrm {m} }S_{\mathrm {m} }}
CAPMのベータには一種の線形性がある。金融資産 i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} について、資金を φ i , i = 1 , ... , n {\displaystyle \phi _{i},i=1,\dots ,n} の比率で投資するポートフォリオを考える。するとこのポートフォリオの収益率 R p {\displaystyle R_{p}} は金融資産 i {\displaystyle i} の収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とすれば、以下の式で表される。
R p = ∑ i = 1 n R i φ i {\displaystyle R_{p}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\phi _{i}}
この時、CAPMが成立しているならば、このポートフォリオの期待収益率 E [ R p ] {\displaystyle E[R_{p}]} について次のような変形が可能である。
E [ R p ] = ∑ i = 1 n E [ R i ] φ i = ∑ i = 1 n ( r f + β i m ( E [ R m ] − r f ) ) φ i = r f + β p m ( E [ R m ] − r f ) {\displaystyle E[R_{p}]=\sum _{i=1}^{n}E[R_{i}]\phi _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}r_{\mathrm {f} }+\beta _{i\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}{\Big )}\phi _{i}=r_{\mathrm {f} }+\beta _{p\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}}
CAPMが成立するならば、市場ポートフォリオと接点ポートフォリオは一致する。接点ポートフォリオを φ i T , i = 1 , ... , n {\displaystyle \phi _{i}^{\mathrm {T} },i=1,\dots ,n} とすると、ジェームズ・トービンの分離定理より任意の投資家 j {\displaystyle j} の期待効用を最大化するリスク資産へのポートフォリオ φ i j , i = 1 , ... , n {\displaystyle \phi _{i}^{j},i=1,\dots ,n} はある実数 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} を用いて
φ i j = γ j φ i T , i = 1 , ... , n {\displaystyle \phi _{i}^{j}=\gamma ^{j}\phi _{i}^{\mathrm {T} },i=1,\dots ,n}
と表せる。よってリスク資産 i {\displaystyle i} の時価総額を V i {\displaystyle V_{i}} とし、投資家 j {\displaystyle j} の初期資産を W j {\displaystyle W^{j}} とすれば需給一致の条件から任意の i {\displaystyle i} について