回転 (数学)
四元数は、ある意味で三次元の回転を表すのに最も直観の少ない方法である。これらは行列などを用いる一般的なアプローチでは実態として三次元ではないし、オイラー角や軸角のように実世界との関連も容易に見て取ることはできないが、しかしそれらの手法の何れと比べても四元数を用いるほうが記述や扱いが簡潔であり、それ故に実世界における応用に際してもしばしば用いられる。
回転を表す四元数は四つの実数の組であり、それ故ベクトルとしての長さが 1 であるという制約を課して、回転四元数の自由度を期待されるべき 3 に制限する。四元数は複素数の一般化(例えばケイリー・ディクソン構成)として考えることができて、回転も同様に乗法を使って生成することができるが、行列や複素数の場合と異なり、二つの回転四元数を掛けて
x ′ = q x q − 1 {\displaystyle \mathbf {x} '=q\mathbf {x} q^{-1}}
とする必要がある。ここで、q は回転四元数、q はその逆数で、x はベクトルとして扱われた四元数である。四元数を軸角回転の形の回転ベクトルに、四元数上の指数函数
q = e v / 2 {\displaystyle q=e^{\mathbf {v} /2}}
を用いて関連付けることができる。ここで v は四元数として扱った回転ベクトルである。
通常の三次元空間における回転は、種々の重要な方法において二次元の場合との違いがある。三次元の回転は一般には可換でないから、回転を施す順番は重要である。三次元での回転の自由度は 3 で、次元の値と同一である。
三次元回転を特定する方法は様々にあり、もっともよく用いられるものをいくつか以下に挙げる。
二次元の場合と同様、点 (x, y, z) を点 (x′, y′, z′) に写す回転に対しても行列を用いることができる。ここで用いるのは 3 × 3 行列
A = [ a b c d e f g h i ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}
であり、これを点を表すベクトルに掛け合わせれば、
A [ x y z ] = [ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ x ′ y ′ z ′ ] {\displaystyle \mathbf {A} {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}}
を得る。この行列 A は三次元特殊直交群 SO(3) の元、つまり行列式 1 の直交行列である。