パンルヴェ方程式
パンルヴェ II-型方程式
y ′′ = 2 y 3 + t y + b − 1 / 2 {\displaystyle y''=2y^{3}+ty+b-1/2}
のハミルトニアンによる定式化
q = y , p = y ′ + y 2 + t / 2 {\displaystyle q=y,\quad p=y'+y^{2}+t/2}
において二種類のベックルント変換が
( q , p , b ) → ( q + b / p , p , − b ) {\displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)}
および
( q , p , b ) → ( − q , − p + 2 q 2 + t , 1 − b ) {\displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b)}
で与えられる。これらは共に位数 2 の変換でベックルント変換からなる無限二面体群(後述するように、これは実は A1-型のアフィンワイル群である)を生成する。b = 1/2 ならば方程式は y = 0 を解に持つ。これにベックルント変換を施せば、
y = 1/t, y = 2(t−2)/t(t−4), ...
のように有理関数の無限族が得られる。岡本和夫は、各パンルヴェ方程式のパラメータ空間を半単純リー環のカルタン部分環に同一視することができ、そこでのアフィンワイル群の作用をパンルヴェ方程式のベックルント変換に持ち上げられることを発見した。PI, PII, PIII, PIV, PV, PVI に対応するリー環はそれぞれ 0, A1, A1⊕A1, A2, A3, D4 である。