バーンサイドの補題
∑ x ∈ X | G x | = ∑ x ∈ X | G | | G x | = | G | ∑ x ∈ X 1 | G x | {\displaystyle \sum _{x\in X}\vert G_{x}\vert =\sum _{x\in X}{\frac {\vert G\vert }{\vert Gx\vert }}=\vert G\vert \sum _{x\in X}{\frac {1}{\vert Gx\vert }}}
最後に集合 X は軌道の直和であることに注意すれば直前の X に関する和は各軌道に関する和へ分解できる。
∑ x ∈ X 1 | G x | = ∑ A ∈ X / G ∑ x ∈ A 1 | A | = ∑ A ∈ X / G 1 = | X / G | {\displaystyle \sum _{x\in X}{\frac {1}{\vert Gx\vert }}=\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{\vert A\vert }}=\sum _{A\in X/G}1=\vert X/G\vert }
すべてをまとめれば目的の結果を得る。
∑ g ∈ G | X g | = | G | ⋅ | X / G | {\displaystyle \sum _{g\in G}\vert X^{g}\vert =\vert G\vert \cdot \vert X/G\vert }
ウィリアム・バーンサイドは『有限群論』(1897年)でFrobenius (1887)に拠るものとしてこの補題を述べ、証明した。しかしフロベニウス以前にもこの式はコーシーによって1845年には知られていた。実際にはこの補題はよく知られていたのでバーンサイドが単にコーシーへ帰するのを省いたようである。結果としてこの補題はしばしばバーンサイドのでない補題とも呼ばれる。バーンサイドはこの分野において多くの貢献をしているのでこれは一見感じられるほど曖昧ではない。