線形多自由度系の振動
減衰行列 C が存在する線形多自由度系の振動について考える。外力が無い場合の n 自由度系の運動方程式は以下のようになる。
基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の典型的な例では、M, C, K は次のような行列となる。
式4.1の解を式3.2と同じように仮定し、式3.2を式4.1に代入して整理すると、
となり、u = 0 以外の解を持つという条件から
という特性方程式が得られる。式4.6を展開すると、λ に関する 2n 次多項式となる。この多項式を解いて得た解 λ1, λ2, ..., λ2n を式4.5に代入し、u を定め、u に適当な正規化を行う。正規化された各ベクトルを ū1, ū2, ..., ū2n と表すと、式4.1の一般解は
となる。ここで、a1, a2, ..., a2n は初期条件で決まる定数である。2n 個の λ は、解が減衰振動であれば n 組の互いに共役な複素数になる。このとき、固有モードも複素数となり、複素固有モードと呼ばれる。