進化的安定戦略
以下の2つの性質が成立する:
定理P3(個体群ゲームのESSにおける一様な侵入障壁の存在性) ― 個体群ゲームの利得関数が戦略空間 X = Δ n {\displaystyle X=\Delta _{n}} 上連続な関数 f 1 , ... , f n {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}} を用いて
E ( σ , δ τ ) = ∑ i p i f i ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\tau })=\sum _{i}p_{i}f_{i}(\tau )}
と書け、しかも E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が多型-単型同値であれば、この個体群ゲームにおける進化的安定戦略は必ず一様な侵入障壁を持つ。
定理P4(個体群ゲームのESSにおける一様な侵入障壁の存在性) ― 個体群ゲームの利得関数が戦略空間 X = Δ n {\displaystyle X=\Delta _{n}} 上連続な関数 f 1 , ... , f n {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}} を用いて
E ( σ , δ τ ) = ∑ i p i f i ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\tau })=\sum _{i}p_{i}f_{i}(\tau )}
本節の目標は、行列ゲームに対し、レプリケーター方程式の解が進化的安定な状態へと収束する条件を見る事である。なお、行列ゲーム以外のゲームに関してはこのような収束性は成り立つとは限らない。その理由の一端は、(後述するように)レプリケーター方程式が純粋戦略のみをとる個体群を想定しているのに対し、進化的安定性の定義では混合戦略をも考慮する事が多いからである。したがって単型-多型同値が成り立たない系では、レプリケーター方程式による解析と進化的安定性とが一致しない可能性がある。
本節では定理3と定理G5の関係を見るため、定理G5を行列ゲームに適用してみる。すでに述べたように行列ゲームでは
E ( σ , ε δ σ + ( 1 − ε ) δ τ ) = E ( σ , ε σ + ( 1 − ε ) τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\varepsilon \delta _{\sigma }+(1-\varepsilon )\delta _{\tau })=E(\sigma ,\varepsilon \sigma +(1-\varepsilon )\tau )}
であり、 E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle E(\cdot ,\cdot )} は右線形かつ左線形であるので、インセンティブ関数 h σ ∗ , σ {\displaystyle h_{\sigma _{*},\sigma }} は
h σ ∗ , σ ( ε ) = ε E ( σ ∗ − σ , σ ∗ ) + ( 1 − ε ) E ( σ ∗ − σ , σ ) {\displaystyle h_{\sigma _{*},\sigma }(\varepsilon )=\varepsilon E(\sigma _{*}-\sigma ,\sigma _{*})+(1-\varepsilon )E(\sigma _{*}-\sigma ,\sigma )}
である。よってε=0における偏微分は
, τ m {\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{m}} 、 0 ≤ u 1 , ... , u m ≤ 1 {\displaystyle 0\leq u_{1},\ldots ,u_{m}\leq 1} と u 1 + ⋯ + u m = 1 {\displaystyle u_{1}+\cdots +u_{m}=1} を満たす任意の実数 u 1 , ... , u m {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}} 、および任意の個体群戦略 ∑ i = 1 l ε i δ σ i {\displaystyle {\textstyle \sum _{i=1}^{\ell }\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}}} に対し、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が
E ( ∑ j = 1 m u j τ j , ∑ i = 1 l ε i δ σ i ) = ∑ j = 1 m u j E ( τ j , ∑ i = 1 l ε i δ σ i ) {\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\textstyle \sum _{j=1}^{m}u_{j}\tau _{j},\sum _{i=1}^{\ell }\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}\right)=\textstyle \sum _{j=1}^{m}u_{j}{\mathcal {E}}\left(\tau _{j},\textstyle \sum _{i=1}^{\ell }\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}\right)}
これまで非対称なゲームを考察するに当たって、同じ立場にいる個体同士が闘争しないことを暗に仮定していた。すなわち、自分が立場0にいる時は立場1にいる個体と闘争し、立場1にいるときは立場0にいる個体と闘争する、という事である。しかし一般にはこれが成立しない場合もある。この場合には、4つの利得関数 E 00 , E 10 , E 01 , E 11 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{00},~{\mathcal {E}}_{10},~{\mathcal {E}}_{01},~{\mathcal {E}}_{11}} を考え、
E ( ( ξ 0 , ξ 1 ) , Π ) = ∑ i , j ρ i , j ( ξ 0 , ξ 1 ) E i , j ( ξ i , π j ( Π ) ) {\displaystyle {\mathcal {E}}((\xi _{0},\xi _{1}),\Pi )=\sum _{i,j}\rho _{i,j}(\xi _{0},\xi _{1}){\mathcal {E}}_{i,j}(\xi _{i},\pi _{j}(\Pi ))}