超幾何関数
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。
F ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( 1 − t z ) − b d t ( 0 < R a < R c , | z | < 1 ) {\displaystyle F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad (0<\Re {a}<\Re {c},|z|<1)}
これは
F ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ⋅ Γ ( a ) Γ ( c − a ) Γ ( c ) ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ Γ ( a + n ) Γ ( c − a ) ( b ) n Γ ( c + n ) n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ B ( a + n , c − a ) ( b ) n n !