群 (数学)
{\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].} このような x は存在すれば一意であり、この x を g の G における逆元といい、しばしば g, あるいは演算を加法的に書く場合には −g で表される。
群よりも広い概念として、1 を満たすものは半群、1 と 2 を満たすものはモノイドという。
なお、二項演算を写像として強調したい場合を除けば、通常 μ(g, h) のことを g・h や単に gh と書くことが多い。またこの演算を「積」や「乗法」と呼ぶことが多いが、加法と呼ばれている二項演算をもとにしてできる群もあるので、注意する必要がある。さらに積が文脈から明らかなときには、群 (G, μ) のことを単に群 G と台集合を指定するだけで済ませることがほとんどである。
群 (G, μ) がさらに
4. (交換法則)任意の元 g, h に対して μ(g, h) = μ(h, g)
を満たすとき、この群のことをアーベル群(可換群)という。アーベル群の演算は "+" を用いて加法的にも書かれ、この際 g の逆元は −g と書かれる。