算術級数定理
L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} である。この補題は算術級数定理の証明の要である。この補題については複数の証明が知られているが、ここでは全面的に複素関数論に頼りながら比較的簡潔な証明を示す。複素関数論の中でも次に挙げる事実が特に重要となる。
正則関数の列が一様収束するとき、その極限は正則関数である。
局所的に一致する正則関数は大域的にも一致する。
正則関数の零点の位数は整数である。
既に示したように、 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} が s = 1 {\displaystyle s=1} に高々位数1の極を持つことを除き L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は正の実軸上で正則である。従って、
λ ( s ) = ∏ χ L ( s , χ ) {\displaystyle \lambda (s)=\prod _{\chi }L(s,\chi )}
は s = 1 {\displaystyle s=1} に高々位数1の極を持つことを除き正の実軸上で正則である。対数を取ると