向き
多様体の向き付けの概念は接束の構造群によっても言い表すことができる。この流儀によれば、一般にはGLn(R)である接束(または枠束)の構造群を行列式が正の可逆行列からなる群 GLn(R) に簡約できるときに多様体は向き付け可能だということになる。具体的には、ユークリッド空間における開球を向きを保つような座標変換で張り合わせて得られるような多様体が向き付け可能になる。
多様体 M の各点 p に対して無限巡回群
H n ( M , M ∖ { p } ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} )}
を与えることによって M 上の局所系が得られる。対応する層は Mの向きの層 (orientation sheaf) と呼ばれ、これが自明になることが M が向き付け可能なことと同値である。上の巡回群における生成元を一つ選ぶことが p のまわりの向き付けを与えることに対応している。
ホモロジーを用いることで局所的な向きによらずにコンパクト多様体の向き付け可能性を定義することができる。境界付き n 次元多様体 M はその最高次相対ホモロジー群 H n ( M , ∂ M ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )} が非自明なとき、およびそのときに限って向き付け可能になる。多様体の三角形分割を考えれば、この条件は最高次の単体たちに貼り合わせ条件を満たすような統一的な向きを入れられるかどうかを考えていることになる。