ガロア理論
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。 一般に体 K の有限次分離拡大の「合併」として K の分離閉包 K が考えられる。K の正規部分拡大 L の自己同型で K の元を固定しているもの全体 Gal(L/K) は L に含まれる K の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。Gal(L/K) は各点収束の位相について位相群となり、L の中間体のなす系と、Gal(L/K) の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。
体 K に対しその絶対ガロア群 GK = Gal(K /K) が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 X が与えられたとする。このとき X から K への写像の空間 (K) に対する G の作用
( g , f ) [ x ] = f ( g − 1 x ) {\displaystyle (g,f)[x]=f(g^{-1}x)}
が考えられる。この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、X の任意の一点の固定部分群に関する K の不変部分体と同型になる(X の点の取り替えは K の中での共役な部分体の取り替えに対応する)。