ベータ関数
置換積分による計算を行う. u = 1 − t {\displaystyle u=1-t} とおくと, d t = − d u {\displaystyle {\rm {d}}t=-{\rm {d}}u} であり, また積分区間は t : 0 → 1 {\displaystyle t\colon 0\to 1} から u : 1 → 0 {\displaystyle u\colon 1\to 0} へと変化するから,
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = − ∫ 1 0 ( 1 − u ) x − 1 u y − 1 d u = ∫ 0 1 ( 1 − u ) x − 1 u y − 1 d u = ∫ 0 1 t y − 1 ( 1 − t ) x − 1 d t = B ( y , x ) .