スペクトル分解 (関数解析学)
この小節ではこの種の計算の発展について簡単に説明する。初めに連続汎函数計算を構築し、リース=マルコフの表現定理を介して可測函数へと移すということが、アイデアである。連続汎函数計算に対し、キーとなる事実を次に述べる。
1. T が自己共役であるなら、任意の多項式 P の作用素ノルムは
‖ P ( T ) ‖ = sup λ ∈ σ ( T ) | P ( λ ) | {\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|}
で与えられる。
2. ストーン=ワイエルシュトラスの定理により、複素数を係数に持つ多項式の族は C(σ(T)) において稠密で、σ(T) 上の連続函数であることが分かる。
族 C(σ(T)) は、一様ノルムが与えられたとき、バナッハ環となる。したがって写像
P → P ( T ) {\displaystyle P\rightarrow P(T)}
は C(σ(T)) の稠密な部分集合から L(H) への等長準同型である。その写像を連続性により拡張することで f ∈ C(σ(T)) に対して f(T) が与えられる。すなわち、Pn を Pn → f が一様に成立するような多項式とし、f(T) = lim Pn(T) を定義する。これが連続汎函数計算である。
ある固定された h ∈ H に対して、
f → ⟨ h , f ( T ) h ⟩ {\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }