体積予想
Murakami & Murakami (2001) は、初めて、カシャエフの予想がジョーンズ多項式と関係することを、q を 1 の 2N 乗根、つまり、 exp  i π N {\displaystyle \exp {\frac {i\pi }{N}}} で置き換えることにより示した。彼らは、R-行列(英語版)(R-matrix)を、2つの値の同値性に対して離散フーリエ変換として使った。
体積予想は結び目理論にとって重要である。この論文のセクション 5 では、
体積予想が正しいとすると、ある結び目のすべてのヴァシリエフ(有限型)不変量が自明な結び目のヴァシリエフ不変量に一致していれば、その結び目は自明である
ということが述べられている。