電磁ポテンシャル
にベクトルポテンシャルの満たすべき条件式(M0-a)を代入すると、
∇ × E + ∂ ∂ t ( ∇ × A ) = ∇ × ( E + ∂ A ∂ t ) = 0 {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {A}})=\nabla \times \left({\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)=\mathbf {0} }
となり、補題(P2)を適用すると、
− ∇ φ = E + ∂ A ∂ t {\displaystyle -\nabla \phi ={\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}
を満たすスカラーポテンシャル φ {\displaystyle \phi } が存在することが言える。
これを移項して
(M0-a) : E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}
電磁場をラグランジュ形式により記述するときの力学変数は、電磁場ではなく電磁ポテンシャル φ, A である。電磁場 E,B は力学変数の微分であり、一般化速度に相当する。また、電磁ポテンシャルに共役な一般化運動量に相当するのは媒質中の電磁場 D, H である。マクスウェル方程式は力学変数 φ, A に対するラグランジュの運動方程式として導かれ、「運動量」の微分である一般化力に相当するのは電磁場の源となる電荷 ρ, j である。
となり、元の電磁場に一致することがわかる。 これは計算の都合で任意のスカラー場微分を上式のように付け加えてよいということである。
※電磁場を不変に保つこの変換をゲージ変換と言う。
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを分けて書けば
φ ↦ φ ′ = φ + ∂ u ∂ t {\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi +{\frac {\partial u}{\partial t}}}
A ↦ A ′ = A − ∇ u {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mapsto {\boldsymbol {A}}'={\boldsymbol {A}}-\nabla u}
となる。
任意の電磁場についてスカラーポテンシャルを φ = 0 とするゲージが存在する。一方でベクトルポテンシャルを A = 0 とするゲージが存在するのは特別な場合に限る。