水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
(A1)を解く基本的アイデアは、無次元化した座標系(x′,y′,z′) = (x/a0, y/a0, z/a0)を球面座標(r′,θ,φ)に変換するというものだが、直接球面座標を用いると、計算が複雑になる。そこで計算を楽にするため、以下の事実に着目する。
(A1)のハミルトニアンは球対称なポテンシャルを持っており、しかもラプラシアンは回転不変である事が知られているので、(A1)のハミルトニアンは回転不変である。よって(A1)のハミルトニアンは軌道角運動量演算子 ( L ^ x , L ^ y , L ^ z ) {\displaystyle ({\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z})} と可換である:
[ H ^ x ′ , L ^ x ] = [ H ^ x ′ , L ^ y ] = [ H ^ x ′ , L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {H}}_{{\boldsymbol {x}}'},{\hat {L}}_{x}]=[{\hat {H}}_{{\boldsymbol {x}}'},{\hat {L}}_{y}]=[{\hat {H}}_{{\boldsymbol {x}}'},{\hat {L}}_{z}]=0}