ルジャンドル変換
最も簡単な例として特異性のない関数を挙げる。定数 s > 1 に対して
f ( x ) = x s s , x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {\;x^{s}}{s}}\,,\quad x>0}
とする。この関数 f は下に凸かつ十分滑らかである。関数 f のルジャンドル変換 f は
f ∗ ( p ) = p t t , p > 0 {\displaystyle f^{*}(p)={\frac {\;p^{t}}{t}}\,,\quad p>0}
となる。ただし t は 1/s + 1/t = 1 を満たす定数である。この例では f(x) と f (p) は対称な形となる。特に s = t = 2 の場合、f(x) = x/2 はルジャンドル変換で形を変えない。