差商
節点が函数 f を用いて ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ... , ( x n , f ( x n ) ) {\textstyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))} と与えられているときには、
と書くこともある。同様に
などとも書く。 具体的に書き下せば:
のようになる。一般に
となり、これを多項式函数 q ( ξ ) = ( ξ − x 0 ) ⋯ ( ξ − x n ) {\textstyle q(\xi )=(\xi -x_{0})\cdots (\xi -x_{n})} を用いて
と書くことができる。また極限を用いて
とも書ける。
考えている節点が集積しているならば、ほとんどゼロに近い値での割り算が生じ、桁落ちによって相対誤差が大きくなるから、数値計算はおぼつかない。しかしその場合も、差分商を微分商で(あるいはその逆に)近似することはできる:
この近似はテイラーの定理
が適用できる函数に関しては等式
に変えることができる。また、中央差分を利用すれば y − x の奇数冪の項を消すことができる:
原理的には、テイラー級数および任意の函数項級数(英語版)に差商近似が適用できる。テイラー級数は冪函数に関する無限和で、函数にその差商を対応させる写像 f ↦ f[x0, ..., xn] は線型汎函数であるから、基底函数にこの汎函数を適用すればよい。
通常の冪函数 pn(x) ≔ x によって、通常のテイラー級数を
と書けば、差商のテイラー級数は
と書けることになる。この最初の n 項は多項式の次数よりも高階の差分だから消えており、それ以降の項も以下のように知ることができる: