算術幾何平均
t = b x 2 − a 2 a b x {\displaystyle t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}} と置換することによって、
x = a b t + a b + a b t 2 , d x = ( a b + a b a b + a b t 2 ) d t = x 1 + t 2 d t {\displaystyle x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt} I ( a , b ) = 1 2 ∫ − ∞ ∞ d t ( ( a + b 2 ) 2 + a b t 2 ) ( 1 + t 2 ) = ∫ 0 ∞ d t ( ( a + b 2 ) 2 + a b t 2 ) ( 1 + t 2 ) = I ( a + b 2 , a b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}}
| arg  ( b / a ) | ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a , b {\displaystyle a,\ b} について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列
a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b} a n + 1 = 2 a n b n a n + b n , b n + 1 = a n b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)} の極限について HGM  ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
である。