特性関数 (確率論)
累積分布関数と特性関数には1対1対応が存在するので、一方を知っていれば常にもう一方を求めることができる。上に挙げた特性関数の定義によれば、累積分布関数 F(または確率密度関数 f)を知っていれば φ を計算できる。一方、特性関数 φ を知っていて対応する累積分布関数を求めたい場合、以下に挙げる反転定理を利用できる。
X が複素確率変数の場合、t ∈ C について、 φ X ( t ) = E  [ e i Re  ( t ̄ X ) ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{i\operatorname {Re} ({\overline {t}}X)}],}
X が k-次元の複素確率ベクトルの場合、t ∈ C について、 φ X ( t ) = E  [ e i Re  ( t ∗ X ) ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{i\operatorname {Re} (t^{*}X)}],}
X(s) が確率過程の場合、X のほとんど全ての実現値について積分 ∫Rt(s)X(s)ds が収束するような全ての関数 t(s) について、 φ X ( t ) = E  [ e i ∫ R t ( s ) X ( s ) d s ] . {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{i\int _{\mathbb {R} }t(s)X(s)ds}].}
ここで t'(プライム)は t 転置行列、tr(·) は行列の跡作用素、Re は複素数の実部、z は z の複素共役、z ≔ z' は共役転置行列を意味する。