コーシー列
無限数列 (xn) について
lim n , m → ∞ | x n − x m | = 0 {\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }|x_{n}-x_{m}|=0}
が成り立つとき、数列 (xn) はコーシ-列である(あるいはコーシー的である、コーシー性を持つ)という。有限数列 (x1 ,x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = ... と延長することにより、コーシー列と見なせる。
(xn) がコーシー列ならば、開区間 (a, b) で、数列 (xn) の中の無限個の項を含むようなものが取れる。このような開区間は一つではなくいくらでも見つけることができて、しかもその径 |b − a| はいくらでも小さくとることができる。さらに、そのような開区間を、コーシー列の最初の有限項以外の項を全て含むようにとることができる。
同様の性質を座標平面 R や座標空間 R などの k次元座標空間 R あるいはそれと同等の k次元ユークリッド空間 E で考えることができる。形式上は上記の極限と同じことで、点列 (xn) が
18世紀、オイラーらによって大きな進歩を遂げた解析学は、19世紀にはより厳密性が求められるようになった。そこでボルツァーノやコーシーらによって連続や収束がはっきりと捉えられるようになったものの、未だに実数とは何であるのか不明瞭であった。19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
カントールがこの成果を発表したのは1872年で、1821年に発表されたコーシーの収束判定法を満たす数列を用いて実数を定義しようという、当時一般的だった考え方に基づいている。このコーシーの収束判定法を満たす数列としてコーシー列が用いられ、実数はコーシー列の極限として定義された。
20世紀には、フレシェが函数空間の研究において距離を用いてコーシー列を改めて定義している。これによって、極限に関わる概念は距離とコーシー列で定義されるようになった。