サンクトペテルブルクのパラドックス
すなわち期待値を W とすると、
W = ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 k ⋅ 2 k − 1 ) = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle W=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k-1}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty }
となる。したがって、期待値によって判断するならば、参加費(=賭け金)がいくら大金であっても参加すべきであると結論になる。
ところが実際には、このゲームでは 1/2 の確率で1円、1/4 の確率で2円、1/1024 の確率で512円の賞金が得られるに過ぎない(賞金が512円以下にとどまる確率が1023/1024)。したがって、そんなに得であるはずがないことは直観的に分かる。これが、この問題がパラドックスとされる所以である。
↑ 表が出る確率と裏が出る確率が、それぞれ正確に1/2という意味である。
↑ 通貨単位は本質ではなく、どんなものでもいい。ベルヌーイの原論文ではダカット金貨が単位となっている。これは現在の日本円に換算すると約500円相当である。
↑ 言い換えれば、このゲームの主催者がトータルで損を出さないための参加費はいくらか、という問題である。当然、その参加費より実際の参加費が高ければ結局は主催者が儲け、安ければ参加者が平均して勝って主催者は損失を被る。
↑ 底は何でもいいので、以下では単に log と書く。
↑ 例外として、賞金額が常に一定ならば等しい。
↑ 日本家庭の資産の中央値がこの程度である。