応力
あるいは次のような書き方もされる。
σ i j , j + F i = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 ) , div  σ + F = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{ij,j}+F_{i}=0,\quad (i=1,2,3),\\&\operatorname {div} \sigma +{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}\end{aligned}}}
応力場σが平衡方程式と、表面力規定境界∂Rt における境界条件(コーシーの式)
t = σ T n , at ∂ R t {\displaystyle {\boldsymbol {t}}=\sigma ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {n}},\quad {\text{at}}\;\partial R_{t}}
を満たすとき、その応力場σを静的に許容な場という。
σ 23 ′ = a 21 a 31 σ 11 + a 22 a 32 σ 22 + a 23 a 33 σ 33 + ( a 21 a 32 + a 22 a 31 ) σ 12 + ( a 22 a 33 + a 23 a 32 ) σ 23 + ( a 21 a 33 + a 23 a 31 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{23}'=a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13}}
応力ベクトルとは、物体表面あるいは物体内に仮想的な微小面を考えたとき、その微小面に作用する単位面積あたりの力であり、ベクトル(1階のテンソル)で表される。後述する応力テンソルの説明にあるように、応力テンソルσの各成分の第1の下添字は「応力成分を考えている微小面の法線の向き」を、第2の下添字は「考えている微小面に作用する力の向き」をそれぞれ表している。このことから明らかなように、微小面の単位法線ベクトルを n とすると、その微小面での応力ベクトル t は次のように与えられる。
t = σ T n {\displaystyle {\boldsymbol {t}}=\sigma ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {n}}}
この式はコーシーの式と呼ばれる。例えば、3次元デカルト座標系 (x , y , z ) において、単位法線ベクトルを n = ( n x , n y , n z ) = ( cos  α , cos  β , cos  γ ) {\displaystyle {\boldsymbol {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )} と表すと、応力ベクトルの成分 t x , t y , t z {\displaystyle t_{x},\;t_{y},\;t_{z}} は次のようになる。