ルジャンドル多項式
漸化式に初期条件としてすでに得られている P0, P1 を当てはめれば、全てのルジャンドル多項式が帰納的に生成される。
漸化式を解いて陽に表せば
P n ( x ) = 1 2 n ∑ k = 0 n ( n k ) 2 ( x − 1 ) n − k ( x + 1 ) k = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − n − 1 k ) ( 1 − x 2 ) k = 2 n ⋅ ∑ k = 0 n x k ( n k ) ( n + k − 1 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{-n-1 \choose k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}\\&=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n}\end{aligned}}}
などのように書くことができる。後段はルジャンドル多項式を単に単項式として表して二項係数の乗法公式を使えば、漸化式から直ちに得られる。
具体的に最初のいくつかのルジャンドル多項式を挙げれば以下のようになる:
ずらしルジャンドル多項式の明示式は
P n ~ ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k k ) ( − x ) k {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}}
で与えられる。ロドリゲスの公式のずらしルジャンドル多項式版は
P n ~ ( x ) = 1 n ! d n d x n [ ( x 2 − x ) n ] {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right]}
となる。ずらしルジャンドル多項式の最初の方のいくつかは以下のようになる。
ルジャンドル多項式(ルジャンドルたこうしき、英: Legendre polynomial)とは、ルジャンドルの微分方程式を満たすルジャンドル関数のうち次数が非負整数のものを言う。直交多項式の一種である。
上記の式 (1) で与えられたテイラー展開の最初の 2 項から、最初の 2 つのルジャンドル多項式が
P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x {\displaystyle P_{0}(x)=1,P_{1}(x)=x}
となることがわかる。残りの多項式を得るのには、上記のテイラー展開を直截に計算するよりも、ボネの漸化式
( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) {\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
を用いるのが適当である。この漸化式は、式 (1) の両辺を t に関して微分したものを整理して得られる等式
x − t 1 − 2 x t + t 2 = ( 1 − 2 x t + t 2 ) ∑ n = 1 ∞ n P n ( x ) t n − 1 {\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}}
の分母に現れる平方根を式 (1) で置き換えて、t の冪に対する係数比較(英語版)を行えば得られる。