コレスキー分解
コレスキー法はガウスの消去法の改良版である。
ガウスの消去法は A の左方から順次 L を作用させ前進消去(LU分解に対応)するが、
A = Li A ( または、A = Li A )
コレスキー法は A を順次 L とL で挟んで前進消去していくと考えればよい。
A = Li A L ( または、A = Li A Li )
このとき A のエルミート性は保たれる。
詳細は以下の解説を参照。Aが実行列の場合は単純に、エルミート→対称、共役転置→転置と読み替えればよい。
コレスキー分解の再帰的アルゴリズムでは、まず最初に A を下のように置く(定義する)。
A ( 1 ) := A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{(1)}:={\boldsymbol {A}}}
以下、i 回目のステップを説明する。エルミート性を保ちながら A の i 行と i 列を前進消去して A を生成することを考える。A は i − 1 行・列まで前進消去されたエルミート行列であるので、下式のように書ける。
A ( i ) = [ I i − 1 0 0 0 a i , i b i ∗ 0 b i B ( i ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{(i)}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {I}}_{i-1}&0&0\\0&a_{i,i}&{\boldsymbol {b}}_{i}^{*}\\0&{\boldsymbol {b}}_{i}&{\boldsymbol {B}}^{(i)}\end{bmatrix}}}