代数多様体
つまり、射影代数多様体は前節の意味での代数多様体になっている。
もう一つの重要な代数多様体の例は、アフィン空間の開集合 A k n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\backslash \{0\}} である(ただし n ≥ 2)。これはアフィン代数多様体の開集合であるから前節の意味での代数多様体になる。しかし、これはアフィン代数多様体にはならない。
より一般に射影代数多様体の開部分多様体を準射影代数多様体 (quasi-projective algebraic variety) と呼ぶ。アフィン代数多様体は準射影代数多様体である。
X を代数多様体とし、U1, U2 をそのアフィン開部分多様体とすると、もう一つのアフィン開部分多様体 W が存在して W ⊂ U1 ∩ U2 となる。従って、これらの代数多様体に対応する座標環を考えると U1, U2 の座標環 A(U1), A(U2) は、W の座標環 A(W) に含まれている。したがって、これらの座標環の商体(アフィン代数多様体の座標環は整域である)はすべて一致する。したがって、X のアフィン開部分集合 U の座標環の商体は U の取り方によらず定まっている。この体を X の関数体 (function field) と呼び k(X) で表す。
X, Y を代数多様体とするとき、X の開部分多様体 U から Y への射 f: U → Y を有理写像 (rational map) と呼ぶ。別の開部分多様体 V ⊂ X から Y への射 g: V → Y に対して、 f と g が U ∩ V で一致するとき、f と g は同値な有理写像を定めると言う。有理写像の同値類を f: X -→ Y のように破線矢印で表す。同値類 f: X -→ Y に射 f: U → Y が属しているとき、f は U 上定義されると言う。
そこで、 DV(f) を Vf と同一視して、アフィン代数多様体と見なす事にする。A(Vf) は A(V)[f] であるので、A(Vf) ⊃ A(V) である。
位相空間 X が既約であるとは、真の閉部分集合 X1 , X2 を用いて X = X 1 ∪ X 2 {\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}} とかけないことを言う。既約な位相空間 X は連結である。また、既約な位相空間 X の空でない開集合 U は稠密である。
既約な位相空間 X が代数多様体である(代数多様体の構造を持つ)とは、
X の 有限開被覆 X = ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}} がある。
アフィン代数多様体 Vi および、同相写像 αi : Ui → Vi がある。
任意の i, j の組と、 V i j = α i ( U i ∩ U j ) ⊂ V i {\displaystyle V_{ij}=\alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\subset V_{i}} に含まれる任意のアフィン開部分多様体 D V i ( f ) {\displaystyle D_{V_{i}}(f)} に対して、 α j ∘ α i − 1 : D V i ( f ) → V j {\displaystyle \alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}:D_{V_{i}}(f)\to V_{j}} はアフィン代数多様体の射(の下にある連続写像)である。