BerengerのPML吸収境界条件
ここで +x方向( k > 0 {\displaystyle k>0} )の平面波とし、次の座標変換(解析接続)を行う。 x → x + i ω ∫ x σ ( x ′ ) d x ′ {\displaystyle x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'} 、またはそれと等価な変換 d x → d x ( 1 + i σ / ω ) {\displaystyle dx\to dx(1+i\sigma /\omega )} を行う。
座標変換で波の減衰は e i k x {\displaystyle e^{ikx}} となりxと伝搬係数kに依存する。これはある角度を持つ平面波と横波の場合についても含まれている。
上の座標変換は、変換された波動方程式となり、UPMLの定式化ではこの変換は物質の物理量と組み合わせられる。 (たとえばマクスウェル方程式の誘電率と透磁率)。
PMLは本来の定式化では、伝搬波の減衰だけで、純粋なバネセント波(指数関数的に減衰する場)はPMLでは振動しほとんど減衰しない。
しかし、エバネセント波はPMLの実数空間の座標を伸ばすことで早く減衰させることができる。