概マシュー作用素
α {\displaystyle \alpha } が有理数であるなら、 H ω λ , α {\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }} は周期作用素であり、したがってフロケ理論によりそのスペクトルは純粋に絶対連続である。
α {\displaystyle \alpha } が無理数である場合を考える。変換 ω ↦ ω + α {\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha } は極小であるので、 H ω λ , α {\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }} のスペクトルは ω {\displaystyle \omega } には依存しない。一方、エルゴード性より、そのスペクトルの絶対連続な部分、特異連続な部分および純点部分はほとんど確実にx ω {\displaystyle \omega } に独立である。今、次の関係が知られている。
0 < λ < 1 {\displaystyle 0<\lambda <1} なら、 H ω λ , α {\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }} は確実に純粋に絶対連続なスペクトルを持つ(これはサイモンの問題の一つであった)。