球面三角法
E = A + B + C − π = 4 tan − 1  tan  s 2 tan  s − a 2 tan  s − b 2 tan  s − c 2 = 2 sin − 1  sin  s sin  ( s − a ) sin  ( s − b ) sin  ( s − c ) 2 cos  a 2 cos  b 2 cos  c 2 = 2 cos − 1  1 + cos  a + cos  b + cos  c 4 cos  a 2 cos  b 2 cos  c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}E&=A+B+C-\pi \\&=4\tan ^{-1}{\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}\\&=2\sin ^{-1}{\frac {\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}{2\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\\&=2\cos ^{-1}{\frac {1+\cos a+\cos b+\cos c}{4\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\end{aligned}}}
第1式をジラール(フランス語版、英語版)の式、第2式をリュイリエの式、第3式をカニョリ(イタリア語版、英語版)の式、第4式をオイラーの式という。
球面三角法(きゅうめんさんかくほう、英: spherical trigonometry)とは、いくつかの大円で囲まれた球面上の図形(球面多角形、とくに球面三角形)の辺や角の三角関数間の関係を扱う球面幾何学の一分野である。 球面上に2点A,Bがあるとき、この2点と球の中心を通る平面で切断したときの断面に現れる円が大円であり、このときの大円上の弧ABを球面多角形においては辺と呼ぶ。 通常、球の半径は1とするので、辺の長さはその辺を含む大円における中心角の弧度法表示と一致する。 平面三角法では6つの要素のうち3つの要素が決定されれば、残りの3つの要素を求めることができる。球面三角法でも同様に、3つの要素が分かれば残りの3つの要素を求めることができる。
球面三角法は、主に天文学や航海術で利用されてきた。現在では電子計算機の発達により、より簡潔に式を表すことができる行列を使用した座標変換に計算方法が移行している。