余積
集合の圏 Set における余積は、単に集合の直和(非交和)と包含写像である射 ij との組である。直積の場合とは異なり、他の圏における余積は一見して集合の余積に基づくものばかりではない、これは集合の合併は演算を保存することに関してよく振る舞わない(例えば二つの群の和集合が群であるとは限らない)ことによる。それゆえ異なる圏における余積は互いに劇的に異なることがある。例えば、群の圏 Grp における余積(自由積と呼ばれる)は、かなり複雑である。一方、アーベル群の圏 Ab(ベクトル空間の圏あるいはそれらの一般化としての加群の圏でも同じことだが)において、余積(直和と呼ばれる)は、有限個の非零項しかもたない直積の元全体からなる。(したがってそれは有限個の因子の場合には直積と完全に一致する。)
位相空間の場合の余積は、非交和に非交和位相を入れたものである。つまりそれは、台集合の非交和を台として、余積因子である各空間の何れにおいても開となる集合を開集合としたもので、これはむしろわかりやすい例ということになる。ホモトピー論において基本的な基点付き空間の圏において、余積は(空間の集まりを共通の基点で合わせることになる)楔和である。
このように違いを見せながらも、それでもやはり集合の直和はこれら概念の核心的な部分を担っている。アーベル群の直和は(各直和因子の非零元からなる部分集合の非交和に一つの共通零元を付け加えたものという意味で)「ほとんど」非交和として形作られる群である。ベクトル空間に対しても同様で、「ほぼ」非交和によってはられる空間になる。 群の自由積も、生成元の集合の同様の「ほぼ」非交和に対して、異なる集合から来る二つの元が交換することを全く許さないという条件の下で生成される。