フーリエ変換
以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。
以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。
フーリエ変換の定義を他の函数空間に対するものへ拡張することができる。コンパクト台を持つ滑らかな函数は絶対可積分で、その全体は L(R) において稠密であるから、プランシュレルの定理を用いて、L(R) の一般の函数にまで(コンパクト台をもつ滑らかな函数によって近似して)フーリエ変換の定義を拡張することができる。さらに
F : L 2 ( R ) → L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}
はユニタリ作用素である。フーリエ変換の多くの性質はこの場合にもそのまま成立する。ハウスドルフ・ヤング不等式を用いて 1 ≤ p ≤ 2 に対する L(R) の函数を含むようにフーリエ変換の定義を拡張することができる。
だが、さらなる拡張はもっと技巧的である。2 < p < ∞ の範囲でのL に属する函数のフーリエ変換には超函数の研究が必要である。事実として、p > 2 に関する L に属する函数のフーリエ変換は函数としては定義できないことを示すことができる 。
前者の場合には F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はまず f に施されて、その後に得られた函数の ξ における値が評価されるものと暗黙に理解されているということに注意しなければならない。
数学や多くの応用科学において、函数 f それ自身と函数 f の変数 x における値 f(x) とを峻別しなければならないことがしばしばある。このことが意味するのは、たとえば F ( f ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f(x))} のような記法は、形式的には f の x における「値」のフーリエ変換と解釈できてしまうということである。このような不具合にもかかわらず、特定の函数あるいは特定の変数の函数を頻繁に変換しなければならないような場合には、このような記法はよく用いられる。たとえば
F ( r e c t ( x ) ) = s i n c ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {rect} (x))=\mathrm {sinc} (\xi )}
は矩形函数のフーリエ変換が sinc-函数であることを表すために用いられることがあり、またたとえば
F ( f ( x + x 0 ) ) = F ( f ( x ) ) e 2 π i ξ x 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}(f(x+x_{0}))={\mathcal {F}}(f(x))e^{2\pi i\xi x_{0}}}
はフーリエ変換のシフト性を表すのに用いられることがある。最後の例は、変換される函数 f をx0 のではなく x の函数であるという前提のもとでのみ正しいということに注意を要する。
フーリエ変換を可能な限り最も一般な定義域上で考えることが望ましいことも多々ある。フーリエ変換を積分として定義すれば、定義域は絶対可積分函数全体の成す空間に自然に制限されてしまうが、不幸にして絶対可積分函数のフーリエ変換として得られる函数の簡単な特徴づけは知られていない。フーリエ変換の定義域の拡張は上述のようにいくつかの方法を用いて行うことができる。以下いくつか、フーリエ変換の定義されるより広範な定義域と領域について詳細を述べる。
シュワルツ函数全体の成す空間(シュワルツ空間)はフーリエ変換の下で閉じている。シュワルツ函数は急減少函数であって、フーリエ変換の関連する函数すべてを含んでいるわけではない。より詳細は (Stein & Weiss 1971) を参照せよ。
ルベーグ絶対可積分函数全体の成す空間 L はフーリエ変換によって、無限遠で 0 に収束する連続函数全体の成す空間 C0 へ写される。
自乗絶対可積分函数全体の成す空間 L はフーリエ変換のもとで閉じている。しかしここでのフーリエ変換はもはや積分によって定義されるものではない。
空間 L は空間 L へ写る。ここに、 1/p + 1/q = 1 であり、 1 ≤ p ≤ 2 とする(ハウスドルフ・ヤング不等式)。
緩増加超函数全体の成す集合はフーリエ変換の下で閉じている。緩増加超函数は函数の一般化ともなっている。この一般化ではディラックの櫛型函数のようなもののフーリエ変換も定義することができる。