部分リーマン多様体の接続と曲率
VOLUME FIVE (Third Edition ed.). Publish or Perish, Incorporated. ISBN 978-0914098744
Manfredo P. do Carmo Francis Flaherty訳 (1994/2/24). Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston. ISBN 978-0817634902
佐々木重夫『微分幾何学I』 13巻、岩波出版〈岩波講座 基礎数学〉、1977年8月。
小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』裳華房、1989年5月15日。ISBN 978-4785310585。
小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房〈基礎数学選書 17〉、1977年8月20日。ASIN B000J8X6V8。ISBN 4-7853-1119-3。
John M. Lee (1997/9/23). Riemannean Manifolds An introduction to curvature.. Graduate Texts in Mathematics. 176. Springer. ISBN 978-0387983226
Victor V. Prasolov Olga Sipacheva訳 (2022/2/11). Differential Geometry. Moscow Lectures. 8. Springer. ISBN 978-3030922481
Marcel Berger (2003/6/15).
本節では、向き付可能なリーマン多様体Mをユークリッド空間に余次元1で埋め込んでいる場合、すなわち M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} 、dimM=mの場合に対し、「ガウス写像」を定義する事で、ワインガルテン写像やガウス曲率に幾何学的な意味付けを与える。
これまで同様ηをMの単位法ベクトル場とすると、各点P∈Mに対し、ベクトルηPは長さ1のベクトルなので、ηPを原点中心の単位球Sの元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像
G : P ∈ M ↦ η P ∈ S m {\displaystyle G~:~P\in M\mapsto \eta _{P}\in S^{m}}
をガウス写像(英: Gauss map、英: Gauss spherical mapping)という。
MのPにおける接ベクトル空間の元TPMを M ⊂ R m {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m}} のPにおける接平面と自然に同一視すると、任意のv∈TPMに対し、
⟨ η , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \eta ,v\rangle =0}
である事から、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} においてTPMはTG(P)Sと平行な超平面であるので、自然にTPMとTG(P)Sを同一視する。このとき次が成立する:
Michor (2009/12/28). Natural Operators in Differential Geometry. Springer. ISBN 978-3642081491
Paolo Piccione, Daniel V. Tausk. “The theory of connections and G-structures. Applications to affine and isometric immersions”. サンパウロ大学. 2023年10月10日閲覧。
J.L. Koszul, S.Ramanan (1987/1/1). Lectures On Fibre Bundles and Differential Geometry. Springer. ISBN 978-3540128762
Shishichi Kobayashi; Katsumi Nomizu (2009). Foundations of Differential Geometry Volume I. Wiley Classics Library. Wiley. ISBN 978-0-471-15733-5. Zbl 0119.37502
Shishichi Kobayashi; Katsumi Nomizu (2009). Foundations of Differential Geometry Volume II. Wiley Classics Library. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Zbl 0175.48504
∇ X ⊥ η := P r N ∇ ̄ X M η {\displaystyle \nabla _{X}^{\bot }\eta :=\mathrm {Pr} ^{N}{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta }
さらにYをM上のベクトル場とするとき、
R ⊥ ( X , Y ) η := ∇ X ⊥ ∇ Y ⊥ η − ∇ Y ⊥ ∇ X ⊥ η + ∇ [ X , Y ] ⊥ η {\displaystyle R^{\bot }(X,Y)\eta :=\nabla _{X}^{\bot }\nabla _{Y}^{\bot }\eta -\nabla _{Y}^{\bot }\nabla _{X}^{\bot }\eta +\nabla _{[X,Y]}^{\bot }\eta }
をMの法曲率(英: normal curvature)という。
という。
本節では、埋め込み M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が余次元1の場合、すなわち d i m M ̄ − d i m M = 1 {\displaystyle \mathrm {dim} {\bar {M}}-\mathrm {dim} M=1} の場合、Mに対し主曲率、ガウス曲率、平均曲率という3つの曲率概念を定義する。
これらの概念を定義するためにまずその動機を述べる。今 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} は余次元1なので、長さ1の法ベクトルηを(±1倍を除いて)一つだけ選ぶ事ができる。
点Pにおける接ベクトルvに関し、曲線 P v ( s ) {\displaystyle P_{v}(s)} をPを通りvに接する(弧長パラメータsでパラメトライズされた)Mの測地線とすると、 P v ( s ) {\displaystyle P_{v}(s)} がMの測地線であった事から、 ∇ ̄ d s d d s P v ( s ) {\displaystyle {\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)} は必ずMに直交するので、Mの余次元が1な事から、 ∇ ̄ d s d d s P v ( s ) {\displaystyle {\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)} はηと平行になる。