分離多元環
R を単位元 1 を持つ結合環、S を R の 1 を含む部分環とする。このとき R-両側加群は制限によって S-両側加群となることに注意せよ(また以下の議論に関する用語等は加群論およびホモロジー代数などの項を参照)。環 S 上の環拡大 R が分離拡大であるとは、R-両側加群の任意の短完全列が (R, S)-両側加群として分解 (split) するならば R-両側加群としても分解するときにいう。例えば、m(∑i ri ⊗S ti) = ∑i ri⋅ti から定まる乗法写像 m: R ⊗S R → R は R-両側加群準同型で、(R, S)-両側加群の全準同型となる(その右逆準同型 R → R ⊗S R は r ↦ r ⊗ 1 で与えられる)。R が S 上分離的な拡大環ならば、その乗法写像 m は R-両側加群全準同型として分解し、したがって m の右逆準同型 s が存在して、s(1) ≔ e, re = er (∀r ∈ R, m(e) = 1 を満足する。逆に、そのような元(これをテンソル平方における分離元と呼ぶ)が存在すれば、それをうまく用いて(マシュケのように、その成分を分離写像の内外に適用し)R が S の分離拡大であることを示せる。