跡 (線型代数学)
この n倍の分だけ割って射影を得れば上記の如くである。
短完全列の言葉で言えば、
0 → s l n → g l n → tr k → 0 {\displaystyle 0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{{}\to {}}}k\to 0}
がリー群の短完全列
1 → S L n → G L n → det K ∗ → 1 {\displaystyle 1\to {\mathit {SL}}_{n}\to {\mathit {GL}}_{n}{\overset {\operatorname {det} }{{}\to {}}}K^{*}\to 1}
に対応する形で成り立つが、跡写像は(スカラーの 1/n倍を通じて)自然に分裂するから gln = sln ⊕ k を得る。一方、行列式の分裂は行列式の n乗根をとる必要があり、これは一般には写像を定めない。つまり、行列式は分裂せず、一般線型群も分解されない(GLn ≠ SLn × K)。
以下の双線型形式
B ( x , y ) = tr  ( ad  ( x ) ad  ( y ) ) ( ad  ( x ) y := [ x , y ] = x y − y x ) {\displaystyle B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))\qquad (\operatorname {ad} (x)y:=[x,y]=xy-yx)}
はキリング形式と呼ばれ、リー環の分類に用いられる。
正方行列 x, y に対して定義される双線型形式
( x , y ) ↦ tr  ( x y ) {\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {tr} (xy)}
は対称かつ非退化、さらに
tr  ( x [ y , z ] ) = tr  ( [ x , y ] z ) {\displaystyle \operatorname {tr} (x[y,z])=\operatorname {tr} ([x,y]z)}
が成り立つ意味で結合的である。(sln のような)複素単純リー環に対しては、このような任意の双線型形式は互いに他の定数倍であり、特にキリング形式として書ける。
ふたつの行列 x, y がトレース直交 (trace orthogonal) であるとは
tr  ( x y ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}
を満たすときに言う。