二重確率行列
シンクホーンの定理では、厳密に正な成分を持つ任意の行列は、適切な対角行列の前方および後方からの乗算によって二重確率行列へと変換することができることが述べられている。
n = 2 に対し、すべての二重確率行列はユニタリ型確率行列(英語版)かつ直交型確率行列(英語版)である。しかしより大きい n に対してこのことは成立しない。
Van der Waerden は、すべての n × n 二重確率行列の中での最小の永久式は n ! n n {\displaystyle {\frac {n!}{n^{n}}}} であり、そのような最小はすべての成分が 1/n である二重確率行列によって達成されると予想した。この予想の証明は、1980年の B. Gyires、1981年の G. P. Egorychevおよび D. I. Falikman によって行われた。この業績により、Egorychev と Falikman は1982年にファルカーソン賞を受賞した。