古典電磁気学の共変定式
F ~ μ ν ( x ) = 1 2 ε μ ν ρ σ F ρ σ ( x ) = ( B , − E / c ) {\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }(x)=({\boldsymbol {B}},-{\boldsymbol {E}}/c)}
により定義される。
電荷の周囲に生じる場である電気変位 D と磁場の強度 H も同様に2階反対称テンソルとして振舞い
G μ ν ( x ) = ( D , H / c ) {\displaystyle G^{\mu \nu }(x)=({\boldsymbol {D}},{\boldsymbol {H}}/c)}
となる。
0 = δ S [ A ] δ A μ ( x ) = ∂ L ∂ A μ − g − ∂ ν [ ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) − g ] = ∂ L ∂ A μ − g − 2 ∂ ν [ ∂ L ∂ F ν μ − g ] = [ ∂ L ∂ A μ − 2 D ν ∂ L ∂ F ν μ ] − g {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {\delta {\mathcal {S}}[A]}{\delta A_{\mu }(x)}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}{\sqrt {-g}}-\partial _{\nu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}{\sqrt {-g}}\right]\\&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}{\sqrt {-g}}-2\,\partial _{\nu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\nu \mu }}}{\sqrt {-g}}\right]\\&=\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}-2\,{\mathcal {D}}_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\nu \mu }}}\right]{\sqrt {-g}}\\\end{aligned}}}
である。ここで √-g はヤコビ行列式であり、微分作用素 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} は共変微分である。
電磁場を記述する基本的な力学変数はスカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A の組である。ニュートン的な空間においてスカラーとベクトルとして振舞うこれらの量は、相対論的な時空においては4元ベクトル
A μ ( x ) = ( φ / c , A ) {\displaystyle A^{\mu }(x)=(\phi /c,{\boldsymbol {A}})}
として振舞う。添え字を下に下げると A μ ( x ) = η μ ν A ν ( x ) = ( − φ / c , A ) {\displaystyle A_{\mu }(x)=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }(x)=(-\phi /c,{\boldsymbol {A}})} である。