ポアソン核
u ( r e i θ ) = 1 2 π ∫ − π π P r ( θ − t ) f ( e i t ) d t , 0 ≤ r < 1 {\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1}
で与えられる函数 u は、D 内で調和的であり、円板の境界 T 上のほとんど至る所で f と一致する極限を持つ。
u の境界での値が f であるということは、r → 1 につれて函数 Pr(θ) が畳み込み多元環 L(T) 内の近似的単位元(英語版)を形成するという事実より示される。線型作用素と同様に、それらは L(T) 上でディラックのデルタ函数に各点収束する。最大値原理より、u はそのような D 上の調和函数として唯一つのものである。
この近似的単位元との畳み込みは、L(T) 内の函数のフーリエ級数に対する総和可能核(英語版)の例を与える(Katznelson 1976)。f ∈ L(T) はフーリエ級数 {fk} を持つとする。フーリエ変換ののち、Pr(θ) との畳み込みは列 {r} ∈ l(Z) との乗算になる。