ド・ブランジュの定理
正規化
a0 = 0 であり、a1 = 1
であるということは、
f(0) = 0 であり f'(0) = 1
であることを意味する。これはいつでも、任意の開単位円板上に定義され、次式を満たす単射的函数 g から出発すると線型分数変換(英語版)(linear fractional transformation)により保証されている。
f ( z ) = g ( z ) − g ( 0 ) g ′ ( 0 ) . {\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}
そのような函数 g は、リーマンの写像定理に現れるので、今、注目している函数である。
単葉函数(schlicht function)は、1 対 1 に対応し、f(0) = 0 と f'(0) = 1 を満たす解析函数 f として定義される。単葉函数の族は、
特に、任意の f に対して、ビーベルバッハ予想には多くとも有限個の例外しかないことを示した。
ミリンの予想は、各々の単位円板上の単葉函数と任意の正の整数 n に対して、
∑ k = 1 n ( n − k + 1 ) ( k | γ k | 2 − 1 / k ) ≤ 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}
が成り立つことを言っている。ここにf の対数的係数(logarithmic coefficients) γn は次に式で与えられる。
log  ( f ( z ) / z ) = 2 ∑ n = 1 ∞ γ n z n . {\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}
Milin (1977) は、レベデフ・ミリンの不等式(英語版)(Lebedev–Milin inequality)を使い、ミリンの予想(後日、ド・ブランジュにより証明されることになる)がロバートソンの予想を含んでいることとなり、従ってビーベルバッハ予想を含むことになる。
最終的に de Branges (1985) は、全ての n に対して|an| ≤ n が成り立つことを証明した。