拡大体における双対基底
数学の線型代数学における双対基底の概念は、体のトレースを用いることで有限次拡大 L/K へと応用することが出来る。ただし、その体のトレースによる TrL/K(xy) が、K 上の非退化な二次形式を与えることが必要となる。これはその拡大体が分離拡大である時に満たされる。したがって、K が完全体のとき、とくに K が有限体や標数ゼロである時に、自動的に満たされる。
双対基底(dual basis)は多項式基底や正規基底のような具体的な基底ではない。むしろそれは、計算のための第二の基底を用いる方法を提供する概念である。
L/K を有限次分離拡大とする。
B 1 = { α 0 , α 1 , ... , α m − 1 } {\displaystyle B_{1}=\{\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m-1}\}}
を L の K-基底とすると、
Tr L / K  ( α i γ j ) = { 0 ( i ≠ j ) 1 ( i = j ) {\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha _{i}\gamma _{j})={\begin{cases}0&(i\neq j)\\1&(i=j)\end{cases}}}
を満たす基底
B 2 = { γ 0 , γ 1 , ... , γ m − 1 } {\displaystyle B_{2}=\{\gamma _{0},\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m-1}\}}
が存在する。これをトレース TrL/K に関する B1 の双対基底と言う。