最大と最小
R において、整数全体の集合 Z は上界を持たない。
有理数全体の集合 Q において、S = { x ∈ Q | x < √2 } は無数の上界を持つが、上限も最大元も持たない。
R において、1 より小さい実数全体の集合は上限 1 を持つが、最大元を持たない。
R において、1 以下の実数全体の集合は最大元 1 を持つ。そしてその最大元は上限でもある。
S = { (x, y) ∈ R×R | 0 < x < 1 } とすれば、S は R×R の部分集合である。R×R に直積順序を導入するとき、S は上界を持たない。一方で、R×R に辞書式順序を導入するとき、S は上界を持ち(例えば、(1, 0) ∈ R×R)、上限を持たない。