半微分可能性
c = inf { x ∈ ( a , b ] ∣ | f ( x ) − f ( a ) | > ε ( x − a ) } {\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}}
とする。f の連続性より、c < b および |f(c) – f(a)| = ε(c – a) が成立する。c において、仮定より f の右微分はゼロである。したがって、区間 (c,b] の中には、(c,d] 内のすべての x に対して |f(x) – f(c)| ≤ ε(x – c) が成立するような、ある d が存在する。すると、三角不等式より、
| f ( x ) − f ( a ) | ≤ | f ( x ) − f ( c ) | + | f ( c ) − f ( a ) | ≤ ε ( x − a ) {\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)}
が、[c,d] 内のすべての x に対して成立する。しかしこれは、c の定義に矛盾する。
f を、実数空間内のある部分集合 I 上で定義される、ある実数値関数とする。
a ∈ I を I ∩ [a,∞) のある極限点としたとき、片側極限
∂ + f ( a ) := lim x → a + x ∈ I f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle \partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a+ \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}
が実数として存在するなら、f は a において右微分可能(right differentiable)と呼ばれ、その極限 ∂+f(a) は f の a における右微分(right derivative)と呼ばれる。
a ∈ I が I ∩ (–∞,a] の極限点であり、片側極限