不確定性原理
d次元空間R上の自乗可積分関数全体の空間 L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} におけるj番目の位置作用素と運動量作用素
Q ^ j ψ ( x ) = x j ψ ( x ) P ^ j ψ ( x ) = − i ħ ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {Q}}_{j}\psi (x)&=x_{j}\psi (x)\\{\hat {P}}_{j}\psi (x)&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x)\end{aligned}}}
に関しては、ψの定義域に関する条件を弱めることができる事が知られている。
すなわち状態空間が H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} であるとき、
ψ ∈ D o m ( Q ^ j ) ∩ D o m ( P ^ j ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {Q}}_{j})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {P}}_{j})}
であれば、
( Δ ψ Q ^ j ) 2 ( Δ ψ P ^ j ) 2 ≥ ħ 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {Q}}_{j})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {P}}_{j})^{2}\geq {\frac {\hbar }{2}}}
が成立する。
なお、
D o m ( Q ^ j ) = { ψ ∈ L 2 ( R d ) | ∫ R d x j 2 ψ ( x ) 2 d x < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {Q}}_{j})={\Bigg \{}\psi \in L^{2}(\mathbf {R} ^{d}){\Bigg |}\int _{\mathbf {R} ^{d}}x_{j}{}^{2}\psi (x){}^{2}\mathrm {d} x<\infty {\Bigg \}}}
D o m ( P ^ j ) = { ψ ∈ L 2 ( R d ) ∣ ψ ( x ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {P}}_{j})=\{\psi \in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\mid \psi (x)} の偏微分 ∂ ψ ∂ x j ( x ) {\displaystyle {\partial \psi \over \partial x_{j}}(x)} が定義可能 } {\displaystyle \}}
である。ここで「偏微分可能」は通常の意味の偏微分が可能である事を含むのはもちろん、弱微分の意味での偏微分が可能であるものも許容する。
証明は引用文献H13のp246~248を参照されたい。
上式右辺は0より真に大きいので、位置の不確定性 Δ ψ Q ^ j {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {Q}}_{j}} が0に近い値であれば Δ ψ P ^ j {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {P}}_{j}} は極端に大きくなり、逆に Δ ψ P ^ j {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {P}}_{j}} が0に近い値であれば Δ ψ Q ^ j {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {Q}}_{j}} は極端に大きくなる。両方共0に近い値にする事はできない。
一般の物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} に対する不確定性原理として、以下のロバートソンの不等式がある: