関数の微分
Δ y = f ( x 1 + Δ x 1 , ... , x n + Δ x n ) − f ( x 1 , ... , x n ) = ∂ y ∂ x 1 Δ x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n Δ x n + ε 1 Δ x 1 + ⋯ + ε n Δ x n {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}=f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}
で与えられ、この時増分Δxi が全て0に漸近するならば、誤差項εi は0に漸近する。よって全微分は厳密には以下の様に定義される。