最頻値
標本数が少ない場合、区間の幅をどう選択するかで値が大きく変わってくる。一般に各区間の標本数をある程度以上確保するために区間数を少なくする。もう1つの手法としてカーネル密度推定があるが、これは本質的に標本値をぼやけさせて確率密度関数を連続的に推定するもので、それによって最頻値を提供できる。
次のMATLABのコード例は、標本群から最頻値を計算するものである。
このアルゴリズムでは、まず標本群を昇順にソートする必要がある。次いでソートされたリストの離散微分係数を計算し、その微分係数が正となるインデックス群 (indices) を求める(つまり、値が上がっている位置を求める)。次にそのインデックス列の離散微分係数を計算し、それが最大となっている位置を求める(つまり、同じ値が長く続いているほどインデックスの差が大きくなり、微分係数が大きくなる)。
歪度の高い分布としてよく知られている例として「富の分布」がある。富裕層の方が少なく、中でも大富豪はさらに少なく、大部分は貧困層に分類される。
歪度を恣意的に変化させられる確率分布として、対数正規分布がよく知られている。正規分布の確率変数 X を Y = exp(X) となる確率変数 Y に変換することで得られる。この確率変数 Y の対数をとると正規分布となるため、このように呼ばれている。
X の平均 μ を0としたとき、Y の中央値は 1 となり、X の標準偏差 σ には依存しない。これは X が線対称の分布であるためで、その中央値も標準偏差によらず常に 0 である。X から Y への変換は単調であり、Y の中央値は exp(0) = 1 となる。
X の標準偏差 σ = 0.2 のとき、Yの分布の歪度はあまり高くない。小数点以下4桁まで求めると次のようになる(計算方法は対数正規分布を参照)。
平均 = 1.0202
最頻値 = 0.9608
中央値は平均から最頻値までの3分の1ほどの位置となる。
X の標準偏差がずっと大きく σ = 5 の場合、Y の分布の歪度は大きくなる。この場合、次のような値となる。
平均 = 7.3891
最頻値 = 0.0183
この場合、ピアソンの経験則は成り立たない。