エーレンフェストの定理
また部分積分を使うと、
∫ ∇ 2 ψ ∗ ∇ ψ d r = [ ∇ ψ ∗ ∇ ψ ] − ∞ + ∞ − ∫ ∇ ψ ∗ ∇ 2 ψ d r = − [ ψ ∗ ∇ 2 ψ ] − ∞ + ∞ + ∫ ψ ∗ ∇ 3 ψ d r = ∫ ψ ∗ ∇ 3 ψ d r {\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi ]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}