主イデアルに関する昇鎖条件
非可換の場合には、右 ACCP と左 ACCP を区別する必要が出てくる。前者は xR の形のイデアルの半順序集合が昇鎖条件を満たすということを要求するだけであり、後者は Rx の形のイデアルの半順序集合を検査するだけである。
今は "Bass' Theorem P" と呼ばれている、(Bass 1960) にある Hyman Bass(英語版) による定理は、環 R の主左イデアルについての降鎖条件は R が右完全環であることと同値であることを示した。D. Jonah は (Jonah 1970) において ACCP と完全環の間に side-switching connection が存在することを示した。R が右完全(右 DCCP を満たす)ならば R は左 ACCP を満たすことと、対称的に、R が左完全(左 DCCP を満たす)ならば右 ACCP を満たすことが示された。逆は正しくなく、上の左と右の切り替えは打ち間違いではない。
ACCP が R の右側について成り立とうと左側について成り立とうと、それは R が 0 でない直交冪等元の無限集合を持たないことと R がデデキント有限環であることを意味する。