ラプラス＝スティルチェス変換
ある関数 g: R→Rに対するラプラス=スティルチェス変換 { L ∗ g } {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}} は、
{ L ∗ g } ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − s x d g ( x ) , s ∈ C {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-sx}\,dg(x),\quad s\in \mathbb {C} }
と定義される。ただし右辺のルベーグ=スティルチェス積分が存在する必要がある。
しばしばsは実数であり、また正の半直線上でのみ定義される関数(すなわちg: [0,∞) → R)のみ扱うような場合もある。このようなときは、上記の積分は0から∞の範囲となる。
ラプラス=スティルチェス変換は、その性質の多くがラプラス変換と共通である。
たとえば畳み込みについては、2つの写像 g と h についてそれぞれラプラス=スティルチェス変換が存在するとき、以下の性質が成り立つ。
{ L ∗ ( g ∗ h ) } ( s ) = { L ∗ g } ( s ) { L ∗ h } ( s ) {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s)}