有理標準形
定理 体 F 上の有限次元ベクトル空間 V と V 上の線形変換 α をとる。不定元 x の作用を α により定め、線形に拡張することにより V 上の F[x] 加群構造を定める。このとき F[x] に属する単数でないモニック多項式 a1, ..., an であって
V ≅ F [ x ] / ( a 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ F [ x ] / ( a n ) {\displaystyle V\cong F[x]/(a_{1})\oplus \dotsb \oplus F[x]/(a_{n})}
a 1 ∣ ⋯ ∣ a n {\displaystyle a_{1}\mid \dotsb \mid a_{n}}
を満たすものが一意的に存在する。ただし a | b は a が b を整除することを表す。
証明の概略 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を F[x] 加群 V に適用する。このとき F[x] 上の自由加群は F 上無限次元なので、有限次元である V の直和分解には自由な直和因子は現れないので、捻れ巡回加群の直和であることが従う。