位相空間
数学で使われる多くの位相空間は、距離空間(から定まる位相空間)のような既知の位相空間を加工して作られている。 例えば既知の2つの位相空間の和集合や積集合に対して、位相を定めてこれらを位相空間とみなしたり、位相空間上で同値関係を考えてその同値関係による商集合に対して位相を定めて位相空間とみなしたりする。
こうした加工の結果として得られる位相空間の例として、非常に重要なものの一つが多様体である。多様体とは、直観的にはn次元曲面のことであるが、これは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合を何枚も張り合わせる事で実現されている。
既知の位相空間の和集合、積集合、商集合といったものにどのような位相を定めるべきかに関しては一般的な導出方法が知られており、これについては「#位相空間の導出」の節で説明する。
V上にノルム‖ ・ ‖が1つ与えられると、
d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}
により、V上の距離が定まる。
このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている:
定義・定理 (ノルムの同値性と位相) ― Vを(実もしくは複素)ベクトル空間とし、 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} と ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} をV上定義された2つのノルムとする。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} が
本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。後述するように近傍は位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点xの周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。
定義 (位相の比較) ― 集合X 上で定義された2つの位相空間 ( X , O 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{1})} 、 ( X , O 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{2})} を考える。
O 1 ⊂ O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}}
が満たされるとき、 O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} は O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} よりも弱い(英: weak)といい、 O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} は O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} より強い(英: strong)という。
これはすなわち、 ( X , O 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{1})} の開集合は必ず ( X , O 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{2})} の開集合である事を意味する。
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。
位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論における始リフト(英語版)、終リフト(英語版)の例のになっている。
( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。このとき有限個の開集合 U 1 ⋯ U n {\displaystyle U_{1}\cdots U_{n}} に対し、集合族 ⟨ U 1 ⋯ U n ⟩ {\displaystyle \langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle } を
⟨ U 1 ⋯ U n ⟩ := { A ∈ F : A ∩ U i ≠ ∅ ( i = 1 ⋯ n ) , A ⊆ ⋃ i = 1 n U i } {\displaystyle \langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle :=\{A\in {\mathfrak {F}}:A\cap U_{i}\neq \varnothing (i=1\cdots n),A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\}}