飽和集合
S {\displaystyle S} と T {\displaystyle T} を任意の集合とし、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} を任意の関数とする。
S {\displaystyle S} または T {\displaystyle T} が f {\displaystyle f} -飽和ならば、
T {\displaystyle T} が f {\displaystyle f} -飽和ならば
である。ここで特に、集合 S {\displaystyle S} について何の条件も課していないことに留意しよう。
τ {\displaystyle \tau } が X {\displaystyle X} の位相(開集合族)であり、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が任意の写像のとき、 X {\displaystyle X} の飽和的な開集合 U ∈ τ {\displaystyle U\in \tau } 全体のなす集合族 τ f {\displaystyle \tau _{f}} は X {\displaystyle X} の位相になる。 Y {\displaystyle Y} が位相空間のときは、 f : ( X , τ ) → Y {\displaystyle f\colon (X,\tau )\to Y} が連続(resp. 商写像)であるときかつそのときに限り、同じことが f : ( X , τ f ) → Y {\displaystyle f\colon \left(X,\tau _{f}\right)\to Y} についても成り立つ。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} を任意の関数とする。 S {\displaystyle S} が任意の集合のとき、その f {\displaystyle f} の元での原像 C := f − 1 ( S ) {\displaystyle C:=f^{-1}(S)} は f {\displaystyle f} -飽和集合でなければならない。特に、写像 f {\displaystyle f} の任意のファイバーは f {\displaystyle f} -飽和集合である。
空集合 ∅ = f − 1 ( ∅ ) {\displaystyle \varnothing =f^{-1}(\varnothing )} と定義域 X = f − 1 ( Y ) {\displaystyle X=f^{-1}(Y)} は常に飽和している。飽和集合の任意の合併は飽和集合であり、同じく飽和集合の任意の交叉も飽和集合である。
c ∈ C {\displaystyle c\in C} と x ∈ X {\displaystyle x\in X} が f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle f(x)=f(c)} を満たすならば、 x ∈ C {\displaystyle x\in C} である。
y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} について、ファイバー f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} が C {\displaystyle C} と交叉する(すなわち f − 1 ( y ) ∩ C ≠ ∅ {\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing } )とき、このファイバーは C {\displaystyle C} の部分集合でなければならない(すなわち f − 1 ( y ) ⊆ C {\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C} )。
任意の y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対して、交叉 C ∩ f − 1 ( y ) {\displaystyle C\cap f^{-1}(y)} は空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } または f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} に等しい。