ホモロジー代数学
2つの対象 X と Y が写像 f で結ばれていれば、伴ったチェイン複体は C ∙ ( X ) {\displaystyle C_{\bullet }(X)} から C ∙ ( Y ) {\displaystyle C_{\bullet }(Y)} への射 F = C(f) によって結ばれており、さらに、写像 f: X → Y と g: Y → Z の合成 g • f は、合成 C(g) • C(f) と一致する、 C ∙ ( X ) {\displaystyle C_{\bullet }(X)} から C ∙ ( Z ) {\displaystyle C_{\bullet }(Z)} への射 C(g • f) を誘導する。ホモロジー群 H ∙ ( C ) {\displaystyle H_{\bullet }(C)} もまた関手的であるということが従い、それゆえ代数的あるいは幾何学的対象の間の射はそれらのホモロジーの間の両立する (compatible) 写像を引き起こす。
次の定義は代数やトポロジーでよくある状況から生じる。