レヴナー微分方程式
とすると、レヴナー微分方程式は、
a 2 ̇ = − 2 α {\displaystyle \displaystyle {{\dot {a_{2}}}=-2\alpha }}
であり、
a 3 ̇ = − 2 α 2 − 4 α a 2 {\displaystyle \displaystyle {{\dot {a_{3}}}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}}}
であることを意味する。
従って、
a 2 = − 2 ∫ 0 ∞ α ( t ) d t {\displaystyle \displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}}
である。ここから、直ちにビーベルバッハの不等式
| a 2 | ≤ 2. {\displaystyle \displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}}
が従う。
同様に、
a 3 = − 2 ∫ 0 ∞ α 2 d t + 4 ( ∫ 0 ∞ α d t ) 2 {\displaystyle \displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha ^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha \,dt\right)^{2}}}