波
流体力学における連続の方程式であるラプラス方程式
∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0}
は、ある仮定および境界条件のもとで解くことができる。すなわち、波の振幅が微小であること、海水が完全流体(非圧縮・非粘性)であることなどの仮定、および、水底・水面における力学的・運動学的境界条件から速度ポテンシャル φ(x, z, t) を求めると、
φ = − H g 2 ω cosh  k ( h + z ) cosh  k h sin  ( k x − ω t ) {\displaystyle \varphi =-{\frac {Hg}{2\omega }}{\frac {\cosh k(h+z)}{\cosh kh}}\sin(kx-\omega t)}
となる。H は波高、ω は角周波数 (=2π/T)、k は波数 (=2π/L)、cosh は双曲線余弦関数である。
速度ポテンシャルを微分すると速度が求められ、この式から、海水の水粒子は楕円軌道を描いて運動しており、深海波では円軌道に近くなることが分かる。
また、水粒子が水面から飛び出すことなく水面の動きに追随すること(水面における運動学的境界条件という)から、分散関係式
ω 2 = g k tanh  k h {\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh\,}
が得られる。tanh は双曲線正接関数である。
有義波の高さでみると、世界の観測史上最高の波は以下のようになっている。
船舶による観測:2000年2月8日22時14分(協定世界時)、北大西洋の北緯57度30分 西経12度42分 / 北緯57.500度 西経12.700度 / 57.500; -12.700(イギリス(スコットランド)・セント・キルダ島西方約250キロメートルの地点)の位置で観測された18.5メートル。
ブイによる観測:2013年2月4日6時(協定世界時)、北大西洋の北緯59度07分 西経11度42分 / 北緯59.117度 西経11.700度 / 59.117; -11.700(セント・キルダ島の北西約230キロメートルの地点)で観測された19.0メートル。
1934年9月21日 - 室戸台風に伴う高波が大阪湾沿岸部を襲い、大阪市街地の大部分が水没。死者2702名、全壊家屋3万8771戸、流水家屋4277戸の被害(高波以外の被害も含む)。
1966年9月24日、25日 - 昭和41年台風第24・26号の接近により、静岡県富士市吉原海岸に防波堤を越える波浪が押し寄せ、死者13人、負傷者64人の被害。
2004年9月8日 - 台風第18号の接近による高波で北海道神恵内村の国道229号大森大橋が大破。数年間にわたり通行止となる。
2008年2月24日 - 強い冬型の気圧配置の中、富山湾で寄り回り波が発生、湾内一帯で死者1名、重軽傷者15名、住家全壊4棟、半壊7棟の被害。
2018年9月4日 - 台風第21号の接近による高波で、関西国際空港が水没する等、大阪湾一帯に被害。