ベクトル束
同様に、テンソル積束 (tensor product bundle) E ⊗ F が、ファイバーごとにベクトル空間のテンソル積を用いることによって定義できる。
準同型束 (Hom-bundle) Hom(E, F) は、x におけるファイバーが Ex から Fx への線型写像全体の空間(Hom(Ex, Fx) または L(Ex, Fx) としばしば書かれる)であるようなベクトル束である。この束をこのように書いて便利に準同型束(あるいは Hom-束)と呼ぶのは、「Hom(E, F) の X 上の切断」と「E から F への X 上のベクトル束の準同型」とが同一視できるためである。
さらに、自己準同型束 Hom(E, E) の断面 s と関数 f: X → R が与えられると、点 x ∈ X 上のファイバーを線型写像 s(x) : Ex → Ex の f(x)-固有空間とすることで、固有束 (eigenbundle) を構成することができる。
双対束 E は E と自明束 R × X との間の準同型束 Hom(E, R × X) に一致する。
位相的 K-理論(英語版)は位相空間の複素ベクトル束を用いたコホモロジー理論の類似物である。位相空間 X 上の K-理論の群 K(X) は、X 上の複素ベクトル束 E の同型類 [E] の全体 VecBdlC(X) を生成系とする自由可換群に対して、完全列
0 → A → B → C → 0
を持つ全てのベクトル束 A, B, C について与えられる関係式
[B] = [A] + [C]
を基本関係式として定めて得られる商群である。複素ベクトル束の代わりに実ベクトル束を用いた同様の構成は KO理論(英語版)という。コンパクト台付き K-理論や、高次の K-理論なども定義することができる。
よく知られるラウル・ボットの周期性定理(英語版)は任意の位相空間 X の K 理論が X と 2 次元球面 S との直積
X × S
に同型であることを主張するものである。
代数幾何学において、K 理論の群はスキーム X 上のベクトル束に上記の同値関係をあたえたもののみならず、スキーム上の連接層の全体からも K-理論の群が作られる。台となるスキームが滑らかならばこの二つの構成は同じ群を与える。