ブロッホの定理
簡単のため1次元で考える。原子間の距離 a {\displaystyle a} で規則正しく並んだ1次元の結晶を考えると、結晶中の電子が感じるポテンシャルは次のような周期性を持つ。
⋯ = V ( x − 2 a ) = V ( x − a ) = V ( x ) = V ( x + a ) = V ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb =V(x-2a)=V(x-a)=V(x)=V(x+a)=V(x+2a)=\dotsb }
結晶中の電子を表すハミルトニアンは、次のように位置に依存する演算子である。
H ^ ( x ) = p ^ 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}(x)={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)}
ポテンシャルと同様に、このハミルトニアンも原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの周期性を持つ。
⋯ = H ^ ( x − 2 a ) = H ^ ( x − a ) = H ^ ( x ) = H ^ ( x + a ) = H ^ ( x + 2 a ) = ⋯ {\displaystyle \dotsb ={\hat {H}}(x-2a)={\hat {H}}(x-a)={\hat {H}}(x)={\hat {H}}(x+a)={\hat {H}}(x+2a)=\dotsb }
ここで原子間の距離 a {\displaystyle a} だけの並進を行う操作を表す並進演算子を T a ^ {\displaystyle {\hat {T_{a}}}} とすると、