三角数
与えられた自然数 N が三角数であるには、 8 N + 1 {\displaystyle {\sqrt {8N+1}}} が整数であることが必要十分である。また
n = 8 N + 1 − 1 2 {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}}
で与えられる n は N が n 番目の三角数を表している。この式は n についての二次方程式 Tn = N の解である。
ゼロ以外の三角数の数字根は 1, 3, 6, 9 のいずれかである。したがって、与えられた自然数 の数字根を計算してこれらでなければ N は三角数ではない。
5で割った余りが2または4であることは、三角数でないことを示すに十分である。
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上記のように自乗和の三角形から漏れた数にも、足し算の三角形と興味深い関係がある。即ち 2n - 1 番目の三角数(n 番目の六角数)から 2n 個の連続数の n 個ずつの自乗和の差は、足し算の三角形の1段目から 2n - 1 段目までの総和に等しく、連続三角数の積である。例えば 6 + 7 と 8 + 9 の差60は足し算の三角形の1段目から3段目までの総和に等しく、 6 × 10 である。また、自乗和の三角形の順序を入れ換えると、次のように別の連続三角数の積が現れる。n 段目の積は足し算の三角形の1段目から 2n 段目までの総和に等しく、足し算と自乗和の三角形の n 段目の中央数の和に等しい。例えば2段目の 10 × 15 は足し算の三角形の1段目から4段目までの総和に等しく、6 + 12 である。
3 2 + 5 2 = 4 2 + 3 ∗ 6 {\displaystyle 3^{2}+5^{2}=4^{2}+3*6}
10 2 + 12 2 + 14 2 = 11 2 + 13 2 + 10 ∗ 15 {\displaystyle 10^{2}+12^{2}+14^{2}=11^{2}+13^{2}+10*15} 21 2 + 23 2 + 25 2 + 27 2 = 22 2 + 24 2 + 26 2 + 21 ∗ 28 {\displaystyle 21^{2}+23^{2}+25^{2}+27^{2}=22^{2}+24^{2}+26^{2}+21*28}
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三角数は組合せ記号で表すことができる:Tn = n+1C2
n(≥ 2)チームの総当たりのリーグ戦における全試合の回数は Tn−1 に等しい。
三角数は 3 で割り切れるか、もしくは 9 で割ると 1 余る数のどちらかである。
三角数に9を掛けて1を足した数もまた三角数である。
自然数の n までの立方和は Tn に等しい: ∑ k = 1 n k 3 = { n ( n + 1 ) 2 } 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}}
三角数の逆数和は 2 に収束する。これは矩形数の逆数和 1 の 2 倍である:
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{\frac {n(n+1)}{2}}}=2\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\dfrac {1}{n}}-{\dfrac {1}{n+1}}\right)=2}
この部分分数分解から、三角数の逆数を 1 個、 2 個、 4 個、 ・・2 の n(≥ 0) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項 1, 公比 1/2 の無限等比数列になることが導かれる。