結合多元環
テンソル積をより巧妙な仕方で定義する試みも考えることができて、例えば
x ↦ ρ ( x ) := σ ( x ) ⊗ Id W + Id V ⊗ τ ( x ) {\displaystyle x\mapsto \rho (x):=\sigma (x)\otimes {\text{Id}}_{W}+{\text{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}
と定めれば、テンソル積空間への作用が
ρ ( x ) ( v ⊗ w ) = ( σ ( x ) v ) ⊗ w + v ⊗ ( τ ( x ) w ) {\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}
から決まる。これは明らかに x に関して線型で、前節で述べたような問題は生じないのだが、しかしこれでは
ρ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) ⊗ Id W + Id V ⊗ τ ( x ) τ ( y ) {\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}