環のスペクトル
圏論のことばを用いて Spec が関手であることを見ることは有用である.任意の環準同型 f: R → S は連続写像 Spec(f): Spec(S) → Spec(R) を誘導する(なぜなら S の任意の素イデアルの引き戻しは R の素イデアルなので).このようにして,Spec は可換環の圏から位相空間の圏への反変関手と見ることができる.さらに,任意の素イデアル P に対して,準同型 f は局所環の準同型
O f − 1 ( P ) → O P {\displaystyle O_{f^{-1}(P)}\to O_{P}}
に落ちる.したがって,Spec は可換環の圏から局所環付き空間の圏への反変関手をも定義している.実はそれは普遍的なそのような関手であり,したがって自然同型の違いを除いて関手 Spec を定義するのに用いることができる.
関手 Spec は可換環の圏とアフィンスキームの圏の間の反変同値をもたらし,これらの圏はそれぞれもう一方の反対圏としばしば考えられる.
可換環 R の任意のイデアル I に対し,VI を I を含む素イデアルの全体と定義する.この形の集合を閉集合と定義することで Spec(R) に位相を入れることができる.この位相をザリスキー位相と呼ぶ.
ザリスキー位相の基底を次のように構成できる.f ∈ R に対し,Df を f を含まない R の素イデアル全体と定義する.すると各 Df は Spec(R) の開集合であり,この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である.
Spec(R) は準コンパクトであるが,ほとんど決してハウスドルフではない.実際,R の極大イデアルがちょうどこの位相での閉点である.同じ理由により,Spec(R) は一般には T1 空間ではない.しかしながら,Spec(R) は必ず T0 空間である.また,スペクトル空間(英語版)でもある.