ガウス積分
被積分函数の冪指数がもっと別の偶数次多項式に変わった場合も、級数解は容易に計算することができる。例えば四次多項式を冪指数とする指数函数の積分は
で表される。n + p = 0 mod 2 であることが要求されるのは、−∞ から 0 までの積分が各項に (−1)/2 なる因子として寄与し、0 から +∞ までの積分が各項に 1/2 の因子として寄与することによる。これらの積分は場の量子論に属する話題である。
A = (αij) が正定値対称(従って可逆な)共変行列(二階共変テンソル)ならば
が成り立つ。ここで積分は R 全体でとる。この事実は多変数正規分布の研究に応用される。
また、
が成立する。ここで、σ は {1, ..., 2N} の置換であり、右辺に現れる余分な因子は A の N 個のコピーを {1, ..., 2N} の組合せ対 (combinatorial pairing) の全体に亘って加えた和を意味する。
あるいはまた、A = (βij) として
がいくつかの解析関数 f に対して成立する。f は増加具合が適当に制限されているとかあるいはほかの技術的な判定条件を満足する必要がある。これは特定の関数に対してはうまく行くがそうでないものもある。たとえば多項式ならば成立する。また微分作用素変数の指数関数 exp は冪級数として理解され、あらたな微分作用素を定めるものである。
さらに無限次元への一般化としての汎関数積分には厳密な定義は無く、多くの場合それは計算的でさえないが、ガウス汎関数積分を有限次元の場合の類似物として「定義」することができる。もちろん問題はあって、単純に有限次元の場合の式を無限次元の場合に適用しようとすれば (2π) は無限大に発散してしまうし、汎函数行列式 (functional determinant) も一般には無限大となりうる。これらのことを考慮して比
のみを考えることにするならばガウス汎関数積分を扱うことができるという意味である。ドヴィット記法 (deWitt notation) を使えば、この等式は有限次元の場合と同じ形に書くことができる。
ガウス積分(ガウスせきぶん、英: Gaussian integral)あるいはオイラー=ポアソン積分(オイラーポアソンせきぶん、英: Euler–Poisson integral)はガウス関数 exp(−x) の実数全体での広義積分:
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}}
のことである。名称は、数学・物理学者のカール・フリードリヒ・ガウスに由来する。
この積分の応用は広い。例えば、変数の微小変化に伴う正規分布の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、誤差関数や正規分布の累積分布関数とも深く関連する。
誤差関数を表す初等関数はリッシュのアルゴリズムにより存在しないことが証明できるが、ガウス積分の値は微分積分学の道具立てを用いて解析的に求めることが可能である。つまり、初等関数としての不定積分 ∫ e − x 2 d x {\displaystyle \textstyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x} は存在しないが、定積分 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x} は評価することができるのである。
ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が場の量子論に現れる。