一般相対性理論の数学
一般相対性理論には、エネルギー・運動量の局所的な保存則があり、テンソルの方程式により簡素に表現することができる。
T a b ; b = 0 . {\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\ .}
特殊相対性理論でこの式に対応する局所的なエネルギー保存則は、
T a b , b = 0 {\displaystyle T^{ab}{}_{,b}\,=0}
である。この説明は、「偏微分が共変微分へ至る」という経験則を表している。
多様体上のテンソル場とは、多様体の各点へテンソルを貼り付ける写像である。この概念は、ファイバー束の考え方を導入することにより、より明確にすることができる。この文脈ではファイバー束は多様体のすべての点におけるすべてのテンソルを集めたものを意味している、したがってそれらすべてを一つの大きな対象に「束ねる」ことをテンソルバンドルと呼ぶ。テンソル場はそのため、多様体からテンソルバンドルへの写像として定義され、各点 p {\displaystyle \scriptstyle p} には p {\displaystyle \scriptstyle p} におけるテンソルが伴われている。
テンソル場の概念は一般相対性理論において非常に重要である。例えば、恒星の周りの幾何学は各点の計量テンソルにより記述される、だから時空の各点において計量の値は物質粒子の経路を解くことにより与えられねばならない。別な例としては、荷電粒子の運動を決定するため、(電磁場のテンソルにより与えられる)電場と磁場の値や電荷を持つブラックホールの周りの各点での計量がある。
ベクトル場は、ランク 1の反変テンソル場である。相対性理論における重要なベクトル場は