実数直線
実数直線は、差の絶対値
d(x, y) = | x − y |
を距離として距離空間となる。p ∈ R および ε > 0 に対して、R における p を中心とする ε-球体とは、単に開区間 (p − ε, p + ε) のことである。
実数直線は距離空間としていくつか重要な性質を持つ。
実数直線は(任意の実コーシー列が収斂するという意味で)完備距離空間である。
実数直線は弧状連結であり、またもっとも単純な測地距離空間の例の一つである。
実数直線のハウスドルフ次元は 1 に等しい。
実数直線上の等距離変換群(ユークリッドの運動群 E(1) とも呼ばれる)は、t を適当な実数として x ↦ t ± x なる形の函数すべてからなる。この運動群は、加法群としての R と位数 2 の巡回群との半直積に同型であり、一般化二面体群の例になっている。
数学における実数直線(じっすうちょくせん、英: real line, real number line)は、その上の各点が実数であるような直線である。
つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 R を、幾何学的な空間(具体的には一次元のユークリッド空間)とみなしたものということである。 この空間はベクトル空間(またはアフィン空間)や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。
単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 R (あるいは黒板太字の R) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で R と書かれることもある。
本項では R の位相幾何学的、幾何学的あるいは実解析的な側面に焦点を当てる。もちろん実数の全体は一つの体として代数学でも重要な意味を持つが、その文脈での R が直線として言及されるのは稀である。そういった観点を含めた R の詳細は実数の項を参照のこと。