非可換幾何
非可換な可微分多様体についての研究も非可換幾何の研究の大きな部分をなしている。通常の可微分多様体はその上のなめらかな関数のなす可換環と、接束、余接束などのベクトル束へのなめらかな切断によって特徴づけられる。これら切断の空間はなめらかな関数のなす代数上の加群の構造を持っている。また、この代数上の微分写像を理解するためには外微分やリー微分、共変微分の概念が重要な役割を果たす。非可換な場合には、問題になっている代数が非可換となり、微分形式の環と、外微分の概念を非可換環に対して意味を持つように定式化する必要がある。
Connes, Alain (1994-12-06). Noncommutative Geometry. Academic Press. ISBN 0-12-185860-X
アラン・コンヌ『非可換幾何学入門』丸山文綱訳、岩波書店、1999年8月27日。ISBN 4-00-005870-3。
Noncommutative Geometry
前田吉昭、佐古彰史:「非可換微分幾何学の基礎」、共立出版、ISBN 978-4320112070 (2020年11月30日)。
20世紀における数学の発展の過程で、幾何学的なものである図形と、その上の関数のなす代数系のあいだに密接な関係があることが認識されるようになった。例えば、位相空間 X に対して X の上で連続な複素数値関数のなす環 C(X) が対応するように、一般的に図形の上で定まるような関数たちは可換環をなす。さらに、(X がコンパクトハウスドルフ空間であるときなど)多くの重要で妥当な状況設定のもとではじめに考えていた空間 X は関連づけられた関数たちのなす代数系から復元できることが知られている。したがって、一定の性質を持った図形に対応するような代数系を可換環の枠組みの中で公理的に特徴づけ、それらの代数系を考察することでもとの図形に関する幾何学的な情報を取り出すことができる。
一方、量子力学において物理量を互いに非可換な作用素として表すパラダイムを端緒として、関数解析学や数理物理学などの分野で仮想的な図形・空間上の関数たちを表すべき代数系として非可換な環が見いだされた。