ディラック共役
特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。 そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換の表現(英語版)はユニタリーではない。これは一般に
λ † ≠ λ − 1 {\displaystyle \lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}}
として表される。ここで λ は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:
ψ → ψ ′ = λ ψ {\displaystyle \psi \to \psi '=\lambda \psi } .
この時スピノール ψ のエルミート共役 ψ は、次のように変換される:
ψ † → ψ ′ † = ψ † λ † {\displaystyle \psi ^{\dagger }\to \psi '^{\dagger }=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }} .
そのため、通常のエルミート共役を用いた ψψ はローレンツ・スカラー(英語版)とならない。また ψγψ も自己共役にならない。
ここでディラック共役の定義を用いると、ψ は次のように変換されることが分かる:
ψ ̄ → ψ ̄ ′ = ψ ′ † γ 0 = ( λ ψ ) † γ 0 = ψ † λ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'=\psi '^{\dagger }\gamma ^{0}=\left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}} .