変分原理
微分形のガウスの法則、
∇ ⋅ E ( r ) = ρ ( r ) ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}}
および静磁場におけるファラデーの電磁誘導の法則、
∇ × E ( r ) = 0 {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {0}}}
が成り立つ静電場について、電場 E ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})} を静電ポテンシャル φ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} で書き直せば、
E ( r ) = − ∇ φ ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})}
次のポアソン方程式が得られる。
0 = ∇ 2 φ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 . {\displaystyle 0=\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}.}
ここで、 δ φ ( r ) {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})} の二次の項は無視した。ナブラの積の規則より、次の式が成り立つから、
∇ δ φ ⋅ ∇ φ = ∇ ⋅ ( δ φ ∇ φ ) − δ φ ∇ 2 φ {\displaystyle \nabla \delta \phi \cdot \nabla \phi =\nabla \cdot (\delta \phi \nabla \phi )-\delta \phi \nabla ^{2}\phi }
変分は、