ウィグナーのD行列
P 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}
また、 P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} の満たすanomalous commutation relationのため、昇降演算子は次のように通常とは符号を反転させたかたちで定義される。
( P 1 ∓ i P 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) D m ′ , m ± 1 j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}
さらに、以下がなりたつ。
J 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = P 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}
このため、球面調和関数の回転 ⟨ θ , φ | l m ′ ⟩ {\displaystyle \langle \theta ,\phi |\ell m'\rangle } は実質二つの回転の合成となる。
∑ m ′ = − l l Y l m ′ ( θ , φ ) D m ′ m l ( α , β , γ ) {\displaystyle \sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )}
両方の添字をゼロとしたとき、ウィグナーのD行列の要素はルジャンドル多項式となる。
D 0 , 0 l ( α , β , γ ) = d 0 , 0 l ( β ) = P l ( cos  β ) {\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta )}