微分
{\displaystyle {\frac {d^{n}(uv)}{{\mathit {dx}}^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{(n-i)}v^{(i)}.}
連鎖律 (Chain-rule): d ( u ∘ v ) d x = d u d v ⋅ d v d x . {\displaystyle {\frac {d(u\circ v)}{\mathit {dx}}}={\frac {du}{\mathit {dv}}}\cdot {\frac {dv}{\mathit {dx}}}.}
微分係数 f′(a) とは、関数 f のグラフの x = a 付近を(すなわち点 (a, f(a)) 付近を)限りなく拡大していったときに、グラフが直線に近づいて見える場合における、その直線の傾きのことである。
これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。
ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば1次関数 f(x) = Ax + B を考えると、そのグラフは直線なので、「x = a における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線 y = Ax + B の傾きは A だから、微分係数 f′(a) の値も A とすべきだと考えられる。また、2次関数についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。だが、ほとんどの関数にはこのような手法は通用しないから、一般的な定義を与えるためには新しい考えが必要である。