モジュラー群
z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}
の集合である。
レベル 2 の主合同部分群 Γ(2) はモジュラー群 Λと呼ばれる。PSL(2, Z/2Z) は対称群 S3 と同型であるので、Λ は指数 6 の部分群である。群 Λ は、a と d が奇数で、b と d が偶数であるすべてのモジュラー変換からなる。
他の重要な合同部分群の族に、モジュラー群ガンマ0(英語版)(modular group Γ0(N))が c ≡ 0 (mod N)、同じことであるが、N を modulo として上三角変換のすべてのモジュラー変換の集合として定義される。Γ(N) は Γ0(N) の部分群である。これらの群に付帯するモジュラー曲線は、モンストラス・ムーンシャインの一側面でもある。ある素数 p に対し、正規化されたモジュラー曲線の種数が 0 であることと、p がモンスター群の位数を割ることとは同値である。同じことであるが、p が超特異素数(英語版)(supersingular prime)とは同値である。
モジュラー群は、エーリッヒ・ヘッケの名前をとったヘッケ群へ一般することができ、次のように定義することができる
ヘッケ群 Hq は離散群で、 λ q = 2 cos  ( π / q ) {\displaystyle \lambda _{q}=2\cos(\pi /q)} とすると、
z ↦ − 1 / z {\displaystyle z\mapsto -1/z}
z ↦ z + λ q , {\displaystyle z\mapsto z+\lambda _{q},}
により生成される。
モジュラー群 Γ は H3 に同型であり、性質や応用を共有する。たとえば、巡回群の自由積(free product)である
Γ ≅ C 2 ∗ C 3 , {\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}