箱の中の気体
これはちょうど半径n の球の体積のf 倍を8で割ったものである。なぜなら正のni を持つ球の1/8のみを考慮したからである。 連続体近似を用いると、p からp+dp の運動量を持つ状態の数は、
d g = π 2 f n 2 d n = 4 π f V h 3 p 2 d p {\displaystyle dg={\frac {\pi }{2}}~fn^{2}\,dn={\frac {4\pi fV}{h^{3}}}~p^{2}\,dp}
ここでV=L は箱の体積である。 このような連続体近似を用いると、ni =1の基底状態を含む低エネルギー状態の特徴を描写できなくなることに注意しなければならない。 このことは多くの場合では問題にはならないが、ボース=アインシュタイン凝縮を考える際は、気体の大半が基底状態または基底状態付近にあり、低エネルギー状態を扱えるかどうかが重要となる。
連続体近似を用いないと、エネルギーεi の粒子の数は、次のように与えられる。
N i = g i Φ ( ε i ) {\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\Phi (\epsilon _{i})}}}
ここで
連続体近似を用いると、E からE+dE のエネルギーを持つ粒子数dNEは、
d N E = d g E Φ ( E ) {\displaystyle dN_{E}={\frac {dg_{E}}{\Phi (E)}}}
ここで d g E {\displaystyle dg_{E}} はE からE+dE のエネルギーを持つ状態数である。
前項から導出された結果を用いると、箱の中の気体におけるいくつかの分布を決定できる。 粒子系において、変数 A {\displaystyle A} の分布 P A {\displaystyle P_{A}} は、 A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値をもつ粒子の割合を表す P A d A {\displaystyle P_{A}dA} から定義される。
P A d A = d N A N = d g A N Φ A {\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN_{A}}{N}}={\frac {dg_{A}}{N\Phi _{A}}}}
ここで
d N A {\displaystyle dN_{A}} , A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値を持つ粒子数
d g A {\displaystyle dg_{A}} , A {\displaystyle A} から A + d A {\displaystyle A+dA} の値を持つ状態数
Φ A − 1 {\displaystyle \Phi _{A}^{-1}} , A {\displaystyle A} の値を持つ状態が粒子に占有されている確率
N {\displaystyle N} , 全粒子数