位相幾何学
幾何学的位相幾何学は主に低次元(二、三、四次元)の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが、より高次元の位相幾何学も一部には含む。幾何学的位相幾何学の主題には例えば向き付け可能性、ハンドル分解(英語版)、局所平坦性(英語版)および(平面および高次元の)シェーンフリースの定理(英語版)などがある。
高次元の位相幾何学において、特性類は基本的な不変量であり、手術理論(英語版)は鍵となる理論である。
低次元位相幾何学は、二次元における一意化定理(任意の曲面が一定曲率計量をもつ、幾何学的に言えば正曲率(球面的)、零曲率(平坦)、負曲率(双曲的)の三種類の何れかになる)や三次元における幾何化予想(任意の三次元多様体は、各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる)に現れているように、極めて幾何学的である。
二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる(リーマン面は複素曲線である)。一意化定理により、計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である。また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何(複素曲面)の観点から調べることができるが、任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない。