ポリア予想
ポリア予想は次のとおりである。
『任意の n (> 1) に対し、それ未満の自然数(0は含まない)のうち素因数が奇数個のものの個数は、素因数が偶数個のものの個数以上である。』
ただし、重複して現れる素因数はその数だけ数えるものとする。よって、 18 = 2 × 3 は 1 + 2 = 3 個の素因数を持ち、奇数のグループに入る。一方 60 = 2 × 3 × 5 は 4 個の素因数を持ち、偶数のグループに入る。
リウヴィル関数(英語版) λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} (整数論)を使うと予想は次のように言い換えられる。
『任意の自然数 n > 1 に対し L ( n ) = ∑ k = 1 n λ ( k ) ≤ 0 {\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0} 』
λ(k) = (−1) は素因数の数が偶数なら正、奇数なら負になる。 Ω(k) は自然数の素因数の個数を数える関数。
数論におけるポリア予想(ポリアよそう、英: Pólya conjecture)とは、任意の自然数に対し、それ未満の自然数のうち半分以上は奇数個の素因数を持つという主張である。この予想はハンガリーの数学者ジョージ・ポリアによって1919年に立てられ、1958年、C. Brian Haselgrove(英語版)によって誤りであることが示された。この最小の反例は、非常に多くの自然数に対して成立する主張であっても、なお誤りであり得る例としてよく言及される。