漸化式
これを r について解けば、二つの根 λ1, λ2 が得られる。これらの根は、特性方程式あるいは漸化式の特性根あるいは固有値として知られるものである。異なる解が得られるかは特性根の様子に依存するが、二つの特性根が相異なるならば、一般解
a n = C λ 1 n + D λ 2 n {\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}
が得られる。一方、特性根が重根 (A + 4B = 0) のとき、
a n = C λ n + D n λ n {\displaystyle a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n}}
が一般解を与える。これらは今考えている漸化式の解を全て尽くしており、二つの定数 C, D は初期条件 a0, a1 の選び方に依存して一意に決まり、これにより解がひとつに特定される。
特性根が複素数となる場合は(もちろん一般解のパラメータ C, D も複素数値となるが)、三角函数を用いた形に書けば、複素数を使用しない形にすることができる。この場合は特性根を λk = α ± β(各 k = 1, 2 に ± の何れか一方をそれぞれ割り当てる)の形に書いてやれば、たとえば an = Cλ1 + Dλ2 の形の一般解が
a n = 2 M n ( E cos  ( n θ ) + F sin  ( n θ ) ) = 2 G M n cos  ( n θ − δ ) {\displaystyle a_{n}=2M^{n}(E\cos(n\theta )+F\sin(n\theta ))=2GM^{n}\cos(n\theta -\delta )}
常微分方程式を数値的に解く際には、典型的に漸化式が生じる。たとえば、初期値問題
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}
をオイラー法で解くとき、刻み幅を h とすると
y 0 = y ( t 0 ) , y 1 = y ( t 0 + h ) , y 2 = y ( t 0 + 2 h ) , ... {\displaystyle y_{0}=y(t_{0}),\quad y_{1}=y(t_{0}+h),\quad y_{2}=y(t_{0}+2h),\quad \ldots }
の値を漸化式
y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}
から計算する。一階線型方程式系は離散化の項に示されるような方法を用いて完全に解析的に離散化することができる。
として表される。もっと一般に、漸化式
a n = c 1 a n − 1 + c 2 a n − 2 + ⋯ + c d a n − d {\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d}}
と母函数
a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots }
が与えられたとき、多項式
1 − c 1 x 1 − c 2 x 2 − ⋯ − c d x d {\displaystyle 1-c_{1}x^{1}-c_{2}x^{2}-\cdots -c_{d}x^{d}}
を使って、母函数級数の ad 以降の係数を消去することができる。つまり、母函数に先の多項式を掛け合わせれば
b n := a n − c 1 a n − 1 − c 2 a n − 2 − ⋯ − c d a n − d {\displaystyle b_{n}:=a_{n}-c_{1}a_{n-1}-c_{2}a_{n-2}-\cdots -c_{d}a_{n-d}}
が x の係数となり、これは特に n ≥ d のとき(漸化式によって)0 となる。したがって、