オイラー積
したがってゼータ関数は以下の形で表現される。
ζ ( s ) = 1 ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 7 s ) ⋯ {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2^{s}}})}{(1-{\frac {1}{3^{s}}})}{(1-{\frac {1}{5^{s}}})}{(1-{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}}
上記の式に形式的に s=1 を代入すると
ζ ( 1 ) = 1 ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 5 ) ( 1 − 1 7 ) ⋯ {\displaystyle \zeta (1)={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2}})}{(1-{\frac {1}{3}})}{(1-{\frac {1}{5}})}{(1-{\frac {1}{7}})}\cdots }}}
ここで左辺は調和級数であり、正の無限大に発散するので右辺も同様に発散すると考えられる。このことから素数の個数は有限ではないことが導かれる。なぜならもし素数が有限個なら右辺はある有限の値に収束するからである。
オイラー積(オイラーせき、英: Euler product)はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。
∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = ∏ p 1 1 − a ( p ) p s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}}}
a(n) は n に関する乗法的関数、p は全ての素数にわたり、変数 s は複素数である。このような表示が成り立つためには a(n) が完全乗法的関数、すなわち、 a(1) = 1, a(mn) = a(m) a(n) を全ての自然数 m, n について満たさなければならない。一般に複素数 s の実部 Re(s) に対して Re  ( s ) > C {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C} ならば上記の級数(または無限積)が絶対収束するようなある実数の定数 C が存在することが知られている。