建物 (数学)
K を有理数体 Q と p-進数体 Qp との中間体とする(Qp は、適当な素数 p に対する Q 上の通常の非アルキメデス的 p-進ノルム ‖ x ‖p に関する Q の p-進完備化)。また R を
R := { x : ‖ x ‖ p ≤ 1 } {\displaystyle R:=\{x:\|x\|_{p}\leq 1\}}
で定まる K の部分環とする。K ≔ Q のとき R は有理整数環 Z の p における局所化 Z(p) であり、K ≔ Qp のとき R は p-進整数環 Zp(すなわち Qp における Z の閉包)。
建物X の頂点は V ≔ K の R-格子すなわち
L := R v 1 ⊕ ⋯ ⊕ R v n {\displaystyle L:=Rv_{1}\oplus \cdots \oplus Rv_{n}}
の形の R-部分加群である。ただし、(vi) は V の K 上の基底である。二つの格子が互いに同値であるとは、一方が他方の K の乗法群 K* の元(実は、p-冪となる整数のみが必要である)によるスカラー倍となるときにいう。また、二つの格子 L1, L2 が隣接する (adjacent) とは、L2 に同値な格子で L1 とその部分格子 pL1 の間にあるものが存在するときに言う(この関係は対称的である)。
ティッツは、アフィン型建物のラベルを保つ任意の自己同型が SLn(Qp) の元から得られることを示した。建物の自己同型はラベルの置換を引き起こすから、自然な準同型
Aut  X → S n {\displaystyle \operatorname {Aut} X\to S^{n}}
が存在する。GLn(Qp) の作用は n-巡回置換 τ を生じる。建物のほかの自己同型は、ディンキン図形の自己同型に関係のある SLn(Qp) の外部自己同型(英語版)から得られる。正規直交基底 {vi} に関する標準対称双線型形式をとるとき、格子をその双対格子に移す写像は、(各ラベルを法 n に関する反数へ移すような置換 σ を与えるとき)平方が恒等変換となるような自己同型を与える。上記の準同型の像は σ と τ によって生成され、位数 2n の二面体群 Dn に同型となる。n = 3 のときはこれは S3 と一致する。
E を Qp の有限次ガロワ拡大とし、建物を SLn(Qp) の代わりに SLn(E) から構成されるものとすると、ガロワ群 Gal(E/Qp) はこの建物の上にも自己同型として作用する。