計量経済学
これは上述の3を満たしていれば、パラメーターは不偏性を満たすことになる。言い換えれば、誤差項が系列相関を持っていたり、分散が均一でない場合でも、不偏性を満たすことが可能であることを示している。
VARやVECでは、変数間の関係をグランジャーの因果性と呼ばれるもので検証したものが多数の論文で見られる。また、誤差項にショックを与えたときに変数の移り変わりをインパルス反応関数によって分析した論文が多数出されている。他には分散分解分析も用いられる。
⇔
すると正規方程式
{ Σ X i Y i = b ^ Σ X i 2 + a ^ Σ X i Y ̄ = a ^ + b ^ X ̄ {\displaystyle {\begin{cases}\Sigma \ X_{i}Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ {X_{i}}^{2}+{\hat {a}}\Sigma \ X_{i}\\{\bar {Y}}={\hat {a}}+{\hat {b}}{\bar {X}}\end{cases}}}
が得られる。
⇒
Σ X i Y i = b ^ Σ X i 2 + ( Y ̄ − b ^ X ̄ ) Σ X i {\displaystyle \Sigma \ X_{i}Y_{i}={\hat {b}}\Sigma \ {X_{i}}^{2}+({\bar {Y}}-{\hat {b}}{\bar {X}})\Sigma \ X_{i}}
→
b ^ = Σ X i Y i − Y ̄ Σ X i Σ X i 2 − X ̄ Σ X i {\displaystyle {\hat {b}}={\frac {\Sigma \ X_{i}Y_{i}-{\bar {Y}}\Sigma \ X_{i}}{\Sigma \ {X_{i}}^{2}-{\bar {X}}\Sigma \ X_{i}}}} a ^ = Y ̄ − b ^ X ̄ {\displaystyle {\hat {a}}={\bar {Y}}-{\hat {b}}{\bar {X}}}