トランスクリティカル分岐
別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす f(x, μ) は、x と μ に適当な変換を施せば、分岐点 (x = 0, μ = 0) 近傍で
d y d t = a y ± y 2 + O ( y 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=ay\pm y^{2}+O(y^{3})}
という形に書き直すことができる。ここで、y は新たな変数、a は新たなパラメータ、O(y) はランダウの記号である。
離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像
x ↦ f ( x , μ ) {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu )}
が条件
{ ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 1 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ = 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x ∂ μ ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}}
を満たすとき、(x = 0, μ = 0) で写像 f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす。