極限 (圏論)
勝手な図式 F : J → C はCに極限(または極限)を持つこともあるし、持たないこともある。さらに、Fへの錐すらないこともあり、このときは普遍錐ももちろん存在しない。
圏Cが Jの形の極限を持つというのは、形がJの任意の図式の極限がCで存在することをいう。特に、圏Cが
積を持つとは全ての小さな離散圏Jに対して、Jの形の極限を持つことを言う(大きな積を持つ必要はない)
等化子を持つとは ∙ ⇉ ∙ {\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet } の形の極限を持つことである(つまり、全ての平行な射の対は等化子を持つ)
引き戻しを持つとは ∙ → ∙ ← ∙ {\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet } の形の極限を持つことである(つまり、共通の余ドメインを持つ全ての射の対は引き戻しを持つ)
完備であるとは小さな極限をすべて持つことである(つまり、全ての小さい圏Jの形の極限を持つ)
双対的な定義も可能である。圏が Jの形の余極限を持つとは、形がJである全ての図式がCで余極限を持つことである。余完備圏は全ての小さな余極限を持つ圏のことである。
極限の存在定理とは、圏Cが等化子を持ち、クラスOb(J)とクラスHom(J)で添え字付けられた全ての積を持つならば、CはJの形の全ての極限を持つという定理である。
F : J → C をCにおける形がJの図式であるとする。Fへの錐とは、Cの対象Nと、Jの対象Xで添え字付けられた射の族ψX : N → F(X)の組(N, ψ)のうち、全てのJの射f : X → YがF(f) o ψX = ψYを満たすものをいう。
図式F : J → Cの極限とはFへの錐(L, φ)であって、他のどのFへの錐(N, ψ)に対しても、一意な射u : N → Lが存在して、Jの全ての対象XがφX o u = ψXを満たすようにできるものをいう。
このとき、錐(N, ψ)は錐(L, φ)を経由して一意な分解射uにより分解されるという。射uは仲介射であると呼ばれることもある。
極限は普遍性によって特徴付けられる(下記を参照)ので、普遍錐であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性が釣り合った状態であることを述べている。つまり、極限対象Lは各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性を持ち、分解が一意であるのに十分な具体性も持っている。
極限はFへの錐の圏の終対象であると特徴付けることもできる。
図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型による違いを除いて一意である。このことがFの唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。
Cの図式F : J → Cと関手G : C → Dについて、合成することにより(図式は単なる関手であるので)図式GF : J → Dを得る。このとき、以下は自然な疑問である。
GFの極限はFのそれとどのような関係があるのか?