行列積状態
量子状態の行列積表現を得る一つの方法はシュミット分解(英語版)を N − 1回繰り返すことである。 あるいはその量子多体状態を生成する量子回路がわかっているなら、 その回路の行列積演算子から行列積状態を得ることもできる。 行列積演算子の局所テンソルは4つのインデックスを持つ。 行列積状態の局所テンソルは、行列積演算子の物理自由度を持つ片方のインデックスを量子回路に入力される状態と縮約を行うことで得られる。
行列積状態は特に、一次元量子スピン系(量子ハイゼンベルク模型(英語版)など)の基底状態を表現するのに有用である。 パラメータ χ {\displaystyle \chi } は粒子間の量子もつれに関係している。特に、もし量子状態が全くもつれていないなら、 χ = 1 {\displaystyle \chi =1} の行列積状態で記述できる。
並進対称性がある状態については、局所テンソルを次のように選ぶことができる:
A 1 ( s ) = A 2 ( s ) = ⋯ = A N ( s ) ≡ A ( s ) . {\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}
一般的にどんな状態も χ {\displaystyle \chi } が粒子数Nに対して指数関数的に大きくなることを許せば行列積状態で記述できる。 しかしながら、 行列積状態は χ {\displaystyle \chi } が小さいとき、例えば粒子数に依存しないとき実用的である。 少数の例外を除いて (一部の例を後ほど述べる)、このようなことは可能ではないが、多くの場合で良い近似を与える。
行列積状態への分解は一意的でない。 解説は やを参考のこと。有限オートマトンの文脈ではを参考のこと。 テンソルネットワークのグラフ的表現に重点をおいた解説はを参考のこと。