ルベーグ積分
積分の定義方法の違いを直感的に理解できるように、山の(海抜より上の部分の)体積を計算する例を考えよう。この山の境界ははっきりと定まっているとする(これが積分範囲である)。
ルベーグ積分における技術的な目的のために、その積分領域は(可測空間の適当な部分集合という)「集合」であり、そのために積分領域は向きを持たないことに留意すべきである。初等的な微分積分学では、積分する向きを反映して
と定義するし、さらにこれを高階の微分形式の積分の場合にまで一般化するのであった。これと対照に、ルベーグ積分は「部分集合を測度に関して積分する」という別な方向への一般化を与えるのである。一次元で積分区間が A = [a, b] であるとき、
のように書くことで、それが部分集合 [a, b] での積分であるということを示唆することは可能である。a > b のとき閉区間 A は空集合であるから、その場合の積分値は 0 である。