Montgomery curve
E a , b {\displaystyle E_{a,b}} : v 2 = t 3 + a t + b {\displaystyle v^{2}=t^{3}+at+b}
は、常にモンゴメリ形式に変換できるわけではない。 E a , b {\displaystyle E_{a,b}} の位数が4で割り切れ、次の条件を満たすときに、またその時に限り変換できる。
z 3 + a z + b = 0 {\displaystyle z^{3}+az+b=0} が少なくとも1つの根 α ∈ F {\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} } を持ち、
3 α 2 + a {\displaystyle 3\alpha ^{2}+a} が F {\displaystyle \mathbb {F} } において平方剰余である。
これらの条件が満たされるとき、 s = ( 3 α 2 + a ) − 1 {\displaystyle s=({\sqrt {3\alpha ^{2}+a}})^{-1}} と置くと、写像
ψ − 1 {\displaystyle \psi ^{-1}} : E a , b → M A , B {\displaystyle E_{a,b}\rightarrow M_{A,B}}
は
( t , v ) ↦ ( x , y ) = ( s ( t − α ) , s v ) , A = 3 α s , B = s {\displaystyle (t,v)\mapsto (x,y)=\left(s(t-\alpha ),sv\right),A=3\alpha s,B=s}
で表せる。
次の定理は、モンゴメリ曲線とツイステッドエドワーズ曲線との双有理同値性を示している 。
定理(i)ツイステッドエドワーズ曲線は、 K {\displaystyle K} 上のモンゴメリ曲線と双有理同値である。特に、ツイステッドエドワーズ曲線 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} は、 A = 2 ( a + d ) a − d {\displaystyle A={\frac {2(a+d)}{a-d}}} 、 B = 4 a − d {\displaystyle B={\frac {4}{a-d}}} を満たすモンゴメリ曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} と双有理的同値である。
写像
ψ : E a , d → M A , B {\displaystyle \psi \,:\,E_{a,d}\rightarrow M_{A,B}}
( x , y ) ↦ ( u , v ) = ( 1 + y 1 − y , 1 + y ( 1 − y ) x ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (u,v)=\left({\frac {1+y}{1-y}},{\frac {1+y}{(1-y)x}}\right)}