遅延ポテンシャル
首記の件について述べる。必要に応じ、例えば、川村P51 式(2.69)を参照のこと。
式(S4-3-6)より、 原点(r=0)を除いて、
div r  [ r | r | 3 ] = 3 | r | 3 − 3 | r | 2 | r | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]={\frac {3}{|{\boldsymbol {r}}|^{3}}}-{\frac {3{|{\boldsymbol {r}}|}^{2}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{5}}}=0} (S5-2-1)
である。従って、 div r {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}} の体積積分は、原点を含む領域である限り、任意の領域で積分しても同じ値である。従って、
積分が簡単となりそうな、「原点(r=0)を中心とする、半径1の球体」 Ball(1)上での体積積分を考える。ここで、 S 2 ( 1 ) {\displaystyle {S}^{2}(1)} は、半径1の球面
式(2-1-2)の A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} は、 A ( x , y , z , ω ) , i ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(x,y,z,\omega ),{\boldsymbol {i}}(x,y,z,\omega )} の時間成分に 一変数関数の意味でフーリエ変換を施して得られたものである。 従って、当然、 A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} それぞれに(一変数の意味でωについて)フーリエ逆変換を施すと、
A ( t , r ) = 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-5a)
E ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ s ∈ R 3 ( ( ( ρ ( s , t r e t ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ ρ ( s , t r e t ) ∂ t ) ( r − s ) ) − 1 | r − s | c 2 ∂ i ( s , t r e t ) ∂ t ) d 3 s {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}\left(\left(\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\right)-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{\partial t}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}} (1-1-4b)