漸近線
定数関数、多項式関数のグラフには、漸近線は存在しない。漸近線が存在する最も簡単な例は、関数 f(x) = 1/x のグラフである。このグラフの漸近線は、直線 x = 0 と直線 y = 0 である。グラフを描くと、曲線 y = 1/x は x → 0±, x → ±∞ のときにそれぞれ y軸、x軸に近づくことが見てとれる。この場合はグラフと漸近線は共有点を全く持たないが、一般にはそうとは限らない。漸近線が存在する関数は他にもいくつかある。
なかでも代表的なものは以下の通りである。
分数関数においては、分母が 0 になるところで漸近線になり、x → ±∞ で漸近線が存在する場合があるが、それぞれ存在しないこともある。
どちらも存在しない例: y = x 4 + x 2 + 1 x 2 + 1 {\displaystyle y={\frac {x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+1}}}
無理関数で漸近線が存在するのは
y = ∑ i = 1 n k i ( x − u i ) p i ± a i p i p i + ( b x + c ) {\displaystyle y=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}k_{i}{\sqrt[{p_{i}}]{(x-u_{i})^{p_{i}}\pm {a_{i}}^{p_{i}}}}+(bx+c)} (ai > 0)
の形に限られる(漸近線は y = ∑ i = 1 n k i ( x − u i ) + b x + c {\displaystyle y=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}k_{i}(x-u_{i})+bx+c} )。
グラフと漸近線がどんな遠くでも無限回交わる例もある。減衰曲線(y = sin x/x や y = esin x など)と x軸はその一例である。