モデル理論
プログラム意味論において操作的意味論と表示的意味論があるように、数理論理学における(論理式の)操作的意味論に相当するものが証明論であるのに対し、モデル理論は同様の類推で表示的意味論に当たる。すなわち、前者は論理式の証明中での振る舞いを定めた形式的体系を研究するのに対して、後者は論理式の構成要素である記号に数学的対象(元、関数、関係等)を割り当てる解釈(モデル)を研究の対象とする。Chang(英語版)およびKeisler(英語版) (1990) の一ページ目を引用すると:
普遍代数 + 構造(英語版) = モデル理論.
普遍代数学では(等号以外の)関係記号を備えず専ら関数記号のみを備える理論のモデル(代数)を考察対象とするのに対し、(一階述語論理の)モデル理論ではより一般に関係記号をも備えた理論のモデルを考察対象とするということである。モデル理論は1990年代に急速に発展し、より現代的な定義はウィルフリッド・ホッジス(英語版) (1997) によって与えられた:
モデル理論 = 代数幾何学 − 体.
代数幾何学では主に代数的集合のような体上の定義可能集合を考察対象とするが、モデル理論では体に限らない一般のモデルにおける代数的集合をも考察対象とするということである。
モデル理論の不完全かつ幾分恣意的な下位区分として、古典モデル理論、群および体への応用、および幾何学的モデル理論がある。ここに含まれていないものに計算可能モデル理論(英語版)があるが、これは論理学の独立した下位分野として見ることができると言っても良い。
モデル理論(もでるりろん、英 : Model theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。
モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造(英語版)としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文(英語版)または理論(英語版)(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。
モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。
この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。