計量ベクトル空間
任意の可分な内積空間 V は正規直交基底を持つ。
が示される。また、ハウスドルフの極大原理(英語版)および完備内積空間において線型部分空間への直交射影が定義可能であるという事実を用いれば、
任意の完備内積空間 V は正規直交基底を持つ。
も示せる。これら二つの定理は「任意の内積空間が正規直交基底を持ち得るか」という問いに答えるもので、これには否定的な結論が下される。これは非自明な結果であり、以下のような証明が知られている:
パーシヴァルの等式から直ちに次が従う。
可分内積空間 V とその正規直交基底 {ek}k に対し、写像 x ↦ { ⟨ e k , x ⟩ } k ∈ N {\displaystyle x\mapsto \{\langle e_{k},x\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }} は稠密な像を持つ等距線型写像 V → l である。
この定理はフーリエ級数の抽象版であり、任意の正規直交基底がフーリエ級数における三角多項式の成す直交系の役割を果たす。上記の添字集合は任意の可算集合としてよい(また実は、ヒルベルト空間の項にあるように、そうして得られる空間は全て、適当な集合上で定義された l となる)ことに注意。特に、フーリエ級数に関して