ヒルベルトの定理90
K/k を2次拡大 Q ( i ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} } とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。
σ : c − d i ↦ c + d i . {\displaystyle \sigma :\,\,c-di\mapsto c+di\ .}
K の元 x = a + b i {\displaystyle x=a+bi} はノルム x x σ = a 2 + b 2 {\displaystyle xx^{\sigma }=a^{2}+b^{2}} を持つ。 ノルムが1の元は a 2 + b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1} の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。