可換環
可換環の外部構造は環上の線型代数学を考えることで決定される。つまり、ベクトル空間と同様だがその係数が必ずしも体ではない任意の可換環となることを許した構造である環上の加群の理論を調べるのである。R-加群の理論はベクトル空間における線型代数学とは比べ物にならないほど難しい。加群の理論では、加群が基底を持たず(ベクトル空間の次元の概念の類似である)自由加群の階数がうまく定義できないことがあるとか、有限生成加群の部分加群が必ずしも有限生成にならないことがあるなどといった困難に取り組まなければならないのである。
環 R のイデアルは R の部分加群となるような R-加群として特徴づけられる。一方、R-加群をよく理解するには R についての十分な情報が必要である。しかし逆に R の構造を調べるための可換環論における多くの手法が、イデアルや一般に加群を調べることによるものである。
環 R がネーター的(この概念を発明したエミー・ネーターに因む)であるとは、任意のイデアルの昇鎖
0 ⊆ I0 ⊆ I1 ⊆ ... ⊆ In ⊆ In + 1 ⊆ ...
が安定、すなわちある番号 n 以降は一定となることをいう。これは R の任意のイデアルが有限生成であると言っても同じであるし、R 上有限生成な加群の任意の部分加群がまた有限生成になると言っても同じである。同様に、環がアルティン的であるとは、任意のイデアルの降鎖
R ⊇ I0 ⊇ I1 ⊇ ... ⊇ In ⊇ In + 1 ⊇ ...
がどこかで安定となることを言う。上記二つの条件は対称的なものに見えるにもかかわらず、ネーター環のほうがアルティン環よりも大いに一般の環となる。例えば有理整数環 Z はすべてのイデアルが単項生成ゆえにネーターだが、安定しない無限降鎖として例えば
Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ 8Z ⊋ ...
が取れるからアルティンではない。実はホプキンス・レヴィツキの定理により任意のアルティン環はネーターになる。
環がネーター的であるというのは極めて重要な有限性条件であり、この条件は代数幾何学で頻繁に生じる多くの操作のもとで保たれる。例えば、R がネーター環ならば、その上の多項式環 R[X1, X2, ..., Xn] もそう(ヒルベルトの基底定理、独: Hilbertscher Basissatz、英: Hilbert's basis theorem)であり、また任意の局所化 SR や剰余環 R/I もそうである。