Iのi乗
数学において、虚数単位 i の i 乗(i の i じょう)すなわち i とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 e と円周率 π を用いて、
i i = e − ( 4 n + 1 ) π / 2 {\displaystyle i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}}
と書ける(n は任意の整数)。n = 0 としたとき、i は主値
i i = e − π / 2 = 1 e π = 0.20787957 ... {\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.20787957\ldots }
を取る(オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。
}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
等により定義され、虚数乗も計算できる。
ここで ln は実数値関数の自然対数であり
i i = e i ⋅ i ( π / 2 + 2 n π ) = e − ( π / 2 + 2 n π ) = e − ( 4 n + 1 ) π / 2 {\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot i\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-(4n+1)\pi /2}}
と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ... とおくと
i i = ... , e 7 π / 2 , e 3 π / 2 , e − π / 2 , e − 5 π / 2 , e − 9 π / 2 , ... {\displaystyle i^{i}=\ldots ,\,e^{7\pi /2},\,e^{3\pi /2},\,e^{-\pi /2},\,e^{-5\pi /2},\,e^{-9\pi /2},\ldots }
となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの e である。