相反多項式
初等代数学における相反多項式(そうはんたこうしき、英: reciprocal polynomial)または反転多項式(はんてんたこうしき、英: reflected polynomial)は、本質的に与えられた多項式の係数を元と逆順にして得られる多項式である。線型代数学において相反多項式は逆行列の特性多項式として自然に現れる。
任意の体に係数を持つ多項式 p が
p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}
で与えられるとき、その相反多項式 p* または p は
p ∗ ( x ) := a n + a n − 1 x + ⋯ + a 0 x n = x n p ( x − 1 ) {\displaystyle p^{*}(x):=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1})}
で定義される。
多項式 p が複素数に係数をとる特別の場合には、多項式
p ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n {\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}