ルンゲ・グロスの定理
第2項は無限大球面における面積分である。有限系においては無限遠において密度分布は指数関数的に零に漸近するため、無限遠において密度分布は零であり、かつ ∇uk(r) の増加が密度の減衰よりも遅いものと仮定すると、表面積分項は消滅する。密度分布は非負であるから
ρ ( r , t 0 ) ( ∇ u k ( r ) ) 2 = 0 {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})(\nabla u_{k}({\boldsymbol {r}}))^{2}=0}
が成り立つならば、すべての k に対して
u k ( r ) ≡ ∂ k ∂ t k ( v ( r , t ) − v ′ ( r , t ) ) | t = t 0 {\displaystyle u_{k}({\boldsymbol {r}})\equiv \left.{\frac {\partial ^{k}}{\partial t^{k}}}{\big (}v({\boldsymbol {r}},t)-v'({\boldsymbol {r}},t){\big )}\right|_{t=t_{0}}}
が空間に対して定数であることになり、v(r, t) − v′(r, t) が空間に対して定数でないとする当初の仮定と矛盾する。以上によりルンゲ・グロスの定理の証明が成る。
ハイゼンベルクの運動方程式を用いて、外部ポテンシャル v(r, t) により決定されるハミルトニアン Hv の下での確率流束 j(r, t) は以下のように求められる。
i ∂ j ( r , t ) ∂ t = ⟨ Ψ ( t ) | [ j ^ ( r ) , H ^ v ( t ) ] | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i{\frac {\partial {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}=\langle \Psi (t)|[{\hat {\boldsymbol {j}}}({\boldsymbol {r}}),{\hat {H}}_{v}(t)]|\Psi (t)\rangle }
空間的に定常な項以上の差異を持つ2つのポテンシャル v および v′ を導入し、それぞれに対応する確率流束を j および j′ とすると、ハイゼンベルク方程式から次が導かれる。
二つの外部ポテンシャルが時間には依存するが空間には依存しない関数 c(t) だけ異なる場合、それらから導かれる波動関数はそれぞれ位相因子 exp(−ic(t)) だけが異なるものとなり、したがって電子密度分布は同一のものとなる。これらの過程を通じて、外部ポテンシャルから電子密度分布への写像が得られる。
v ( r , t ) + c ( t ) → e − i c ( t ) | Ψ ( t ) ⟩ → ρ ( r , t ) {\displaystyle v({\boldsymbol {r}},t)+c(t)\rightarrow e^{-ic(t)}|\Psi (t)\rangle \rightarrow \rho ({\boldsymbol {r}},t)}
ルンゲ・グロスの定理は、この写像が c(t) を法として可逆であることを示す。換言すれば、密度分布は c(t) 以上異なるポテンシャル空間上で、外部ポテンシャルと初期波動関数の汎関数である。
ρ ( r , t ) = ρ [ v , Ψ 0 ] ( r , t ) ↔ v ( r , t ) = v [ ρ , Ψ 0 ] ( r , t ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=\rho [v,\Psi _{0}]({\boldsymbol {r}},t)\leftrightarrow v({\boldsymbol {r}},t)=v[\rho ,\Psi _{0}]({\boldsymbol {r}},t)}