ツェルメロ＝フレンケル集合論
X λ ≠ ∅ ) {\textstyle \{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\ (\forall \lambda .X_{\lambda }\neq \emptyset )} に対して、各 X λ {\textstyle X_{\lambda }} から要素を1つ選択して新しい集合を作ることができる。すなわち、写像 f : Λ → ⋃ λ ∈ Λ X λ {\textstyle f:\Lambda \to \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} で ∀ λ . f ( λ ) ∈ X λ {\textstyle \forall \lambda .f(\lambda )\in X_{\lambda }} となるようなものが存在する。
選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。ACが存在を主張する特定の集合の定義可能性(または不可能性)を明らかにしようと、数多くの研究がなされた。
Abian & LaMacchia (1978)は、外延性、和集合、べき集合、置換および選択の各公理からなるZFCの派生理論(英語版)を研究した。モデル理論を使い、彼らはこの理論が無矛盾であることと、外延性、置換およびべき集合の各公理は他の4つの公理と独立であることを証明した。この理論に無限公理を加えた場合は、和集合、選択および無限の各公理が他の5つの公理と独立になる。正則性公理を除いたZFCの各公理を満足する非整礎的モデルが存在するため、正則性公理は他のZFCの公理とは独立になる。
ZFCは、無矛盾であるならば、圏論で必要となる到達不能基数の存在を証明できない。 ZFにタルスキの公理(英語版)を追加すると、この性質の巨大な集合が存在できる。タルスキの公理を仮定すると、無限、べき集合、および選択の各公理(上記7〜9)は定理となる。