体のテンソル積
例えば有理数体 Q に √2 を添加した拡大体 K と、√3 を添加した拡大体 L を考えるとき、複素数体 C の中でとった合成体 KL となるべき体 M は Q 上のベクトル空間としては(同型を除いて)K ⊗Q L であるというのは正しい。(この種の結果は一般に代数的整数論の分岐理論を用いて証明できる。)
同じ設定のもと、M の部分体 K と L とは、テンソル積 K ⊗N L から合成体 KL への自然な N-線型写像が単射であるとき(部分体 N 上)線型無関連である。この判定法はいつでも使えるというわけにはいかない(例えば K = L のとき)。次数が有限のときは,この主張における「単射」を「全単射」に取り換えてもよい。すなわち、N 上有限次の線型無関連な二つの拡大 K, L に対して N-同型 K ⊗N L ≅ KL が成り立つ(先の有理数体上の例もこれにあたる)。
円分体の理論において重要な場合は合成数 n に対して1 の n 乗根に対して n を割る素数 pに対して 1 の p 乗根によって生成される部分体は相異なる p に対して線型無関連であるということである。
最初に体の合成 (compositum of fields) の概念を定義する。この構成は体論においてしばしば起こる。合成の背後にある考えは 2 つの体を含む最小の体を作ることである。合成を形式的に定義するためには、まず体の塔(英語版) (tower of fields) を指定しなければならない。k を体とし L と K を k の 2 つの拡大体とする。合成体 KL は K と L によって k-上生成された拡大体として定義される: KL = k(K ∪ L)。この議論において、K と L とをともに含む大きな体の存在を仮定していることに注意すべきである。すなわち、合成体構成は共通の上体が明らかな場合(例えば K と L が共に複素数体の部分体であるような場合)や、K と L とをある十分大きい体の部分体として実現できることを証明した後になされる。
多くの場合において KL は、K と L との、それらの共通部分である体 N 上で取ったベクトル空間のテンソル積として同定することができる。