痩集合
空集合はいかなる位相空間においても痩集合である。
痩せていない空間 X = [ 0 , 1 ] ∪ ( [ 2 , 3 ] ∩ Q ) {\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )} において [ 2 , 3 ] ∩ Q {\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} } は痩せているので、 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} は非痩かつ補痩と言える。
痩せていない空間 X = [ 0 , 2 ] {\displaystyle X=[0,2]} において、 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} は非痩だが補痩ではない。実際、補集合 [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} は痩せていない。
可算なT1 空間で孤立点を持たないものは痩空間である。なので、それを部分空間として包含するいかなる空間においても痩部分集合となる。例えば、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は R {\displaystyle \mathbb {R} } の痩部分空間(すなわち、 R {\displaystyle \mathbb {R} } からの相対位相で考えたそれ自身が、自身の痩部分集合)であって、 R {\displaystyle \mathbb {R} } の痩部分集合でもある。
カントール集合は R {\displaystyle \mathbb {R} } の中で疎集合であり、よって痩集合でもある。
数学の位相空間論において、痩集合 (やせしゅうごう、そうしゅうごう、英語: meager set)または第一類集合 (英語: set of the first category) とは位相空間の部分集合であって下記の厳密な意味において小さいまたは無視可能(英語版)なものである。痩集合でない集合は痩せていない (英語: nonmeager) または第二類 (英語: of the second category) であると呼ばれる。
固定した空間の痩集合全体はその空間の部分集合全体の中でσ-イデアル(英語版)をなす; すなわち、痩集合の部分集合は痩集合であり、痩集合の可算和も痩集合である。痩集合はベール空間の概念やベールのカテゴリー定理の形式化において重要な役割をもつ。ベールのカテゴリー定理は関数解析のいくつかの基本的な結果の証明に用いられる。
X {\displaystyle X} の全ての疎部分集合は痩せている。よって、内部が空な閉集合も痩せている。すなわち X {\displaystyle X} の閉非痩集合は空でない内部をもつ。 (1) 痩集合の部分集合は痩集合である; (2) 痩集合の可算和は痩集合である。すなわち、固定された空間における痩集合全体は部分集合全体の中でσ-イデアル(英語版)をなしていて、ある種の無視可能集合(英語版)として適切な概念になっている。(1)と同じことであるが、非痩集合の上位集合は非痩集合である。 双対的に、(1) 補痩集合の上位集合は補痩集合である; (2) 補痩集合の可算交叉は補痩集合である。
A ⊆ Y ⊆ X , {\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,} として、ここで Y {\displaystyle Y} は X {\displaystyle X} から誘導される相対位相で考えるものとする。このとき、 A {\displaystyle A} は X {\displaystyle X} において痩せていて Y {\displaystyle Y} において痩せていないことがありうる。しかしながら次のことは成立する:
A {\displaystyle A} が Y {\displaystyle Y} の痩集合であるなら A {\displaystyle A} は X {\displaystyle X} の痩集合である。