ライプニッツの公式
方形波をフーリエ級数で表す証明法もある。方形波 f(x) を
f ( x ) = { − 1 − π ≤ x < 0 1 0 ≤ x < π {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&\quad -\pi \leq x<0\\1&\quad 0\leq x<\pi \end{cases}}}
と定義する(これは区分的に滑らかな関数で [−π, π) 上可積分である)と、フーリエ係数 an はこの方形波が奇関数なので 0 であり、bn は以下の式で表す。
b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin  n x d x = 1 π { ∫ − π 0 ( − 1 ) sin  n x d x + ∫ 0 π 1 ⋅ sin  n x d x } {\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx\\&={\frac {1}{\pi }}\left\{\int _{-\pi }^{0}(-1)\sin nx\,dx+\int _{0}^{\pi }1\cdot \sin nx\,dx\right\}\\\end{aligned}}}