同程度連続
このとき、fn(x) の f(x) への収束は [0, 1] 上一様収束である。
次の定理は、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の関数列における類似である。
アスコリ=アルツェラの定理:(fn) を閉区間 [0, 1] 上の実数値関数の一様有界な列とする。このとき、一様収束するような (fn) の部分列が存在する。ここで「一様有界」とは、ある定数 C が存在して任意の x と n に対して |fn(x)| < C となることをいう。
より一般には、コンパクト空間 K 上の複素数値関数の列 (fn) が同程度連続でかつ各点毎に有界ならば、(fn) は K において一様有界で、さらに一様収束する部分列を持つ。
定理5:K をコンパクトな距離空間とし、S を K 上の複素数値関数の集合とする。このとき一様ノルム (en:Uniform norm) に関して S がコンパクトであることと、S が(一様)閉集合かつ各点毎に有界かつ同程度連続であることは同値である。
この結果はハイネ・ボレルの被覆定理の類似である。ハイネ・ボレルの被覆定理とは、R の部分集合がコンパクトであることと、それが有界閉集合であることは同値であることを主張する定理であった。