CR多様体
M {\displaystyle M} を超曲面型のCR多様体とする.レヴィ形式 h {\displaystyle h} は,直線束
V = T M ⊗ C L ⊕ L ̄ {\displaystyle V={\frac {TM\otimes {\mathbb {C} }}{L\oplus {\bar {L}}}}}
に値を持つ L {\displaystyle L} 上で定義されたベクトル値形式(英語版)(vector valued form)で,
h ( v , w ) := 1 2 i [ v , w ̄ ] mod L ⊕ L ̄ , v , w ∈ L {\displaystyle h(v,w):={\frac {1}{2i}}[v,{\bar {w}}]\mod L\oplus {\bar {L}},\quad v,w\in L}
により与えられる. h {\displaystyle h} は,可積分条件により, v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} が L {\displaystyle L} の切断へどのように拡張するかには依存せず, L {\displaystyle L} 上の半双線型形式を定義する.この形式 h {\displaystyle h} は,同じ形で束 L ⊕ L ̄ {\displaystyle L\oplus {\bar {L}}} 上のエルミート形式へ拡張できる.
∂ ̄ b u = ∑ j = 1 n L ̄ j u d z ̄ j {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L}}_{j}u\;d{\overline {z}}_{j}}
が成立する.ここで, L ̄ j {\displaystyle {\overline {L}}_{j}} は L j {\displaystyle L_{j}} の複素共役を表すとする.関数については ∂ ̄ b ∗ {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}} は 0 であるから,ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:
◻ b = − ∑ j = 1 n L j L ̄ j . {\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L}}_{j}.}
さて,次の交換子の計算に注意する:
[ L j , L ̄ j ] = − 2 i T .