円周率
円周率(えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl、中: 圓周率)とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい、数学定数の一つである。通常、円周率はギリシア文字である πに代表される。円の直径から円周の長さや円の面積を求めるときに用いる。また、数学をはじめ、物理学、工学といった科学の様々な理論の計算式にも出現し、最も重要な数学定数とも言われる。
円周率は無理数であり、その小数展開は循環しない。さらに、円周率は無理数であるのみならず、超越数でもある。
円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・クーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは小数点以下35桁まで計算した。小数点以下35桁までの値は次の通りである。
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ... {\displaystyle \pi =3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\ldots }
江戸初期、1600年代前半頃から、円を対象とした和算的研究である「円理」が始まる。その最初のテーマの一つが円周率を数学的に計算する努力であり、1663年に日本で初めて村松茂清が『算爼(さんそ)』において「円の内接多角形の周の長さを計算する方法」で3.14...という値を算出した。『算爼』では円に内接する正8角形から角数を順次2倍していき、内接2 = 32768角形の周の長さで、
3.1415 9264 8777 6988 6924 8
と小数点以下21桁まで算出している。これは実際の値と小数第7位まで一致している。その後1680年代に入ると、円周率の値を3.16とする数学書はなくなり、3.14に統一された。1681年頃には関孝和が内接2角形の計算を工夫し、小数第16位まで現代の値と同じ数値を算出した。この計算値は関の死後1712年に刊行された『括要算法』に記されている。
日本の和算家に特徴的なのは、1663年に3.14が初めて導き出されても、その後1673年までの10年間に円周率の値を3.14とした算数書のいずれもが、先行者の円周率をそのまま引き継ぐことをせず、それぞれ独自の値を提出していたことである。この背景には当時の遺題継承運動に「他人の算法をうけつぐ」と共に「自己の算法を誇る」という性格があったためだという。そのため古い3.16の値が疑われてから、遺題継承の際に必ずといってよいほど円周率の値が変えられている。しかしながら江戸時代の3大和算書『塵劫記』『改算記』『算法闕疑抄』の増補改訂版では1680年代には3.14に統一された。
π についての式は非常に多い。ここではその一部を紹介する。数式によってはそれ自体が π の定義になり得るし、π の近似値の計算などにも使われてきた。
14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラーマのマーダヴァは次の π の級数表示を見いだしている(ライプニッツの公式):
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
これは逆正接関数 Arctan x のテイラー展開の x = 1 での表式になっている。マーダヴァはまた、
π = 12 ( 1 − 1 3 ⋅ 3 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ) {\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}
を用いて π の値を小数点以下11桁まで求めている。
17世紀、ドイツのルドルフ・ファン・コーレンが正325億角形を使い、小数点以下第35位まで計算。1699年(または1706年)にエイブラハム・シャープが小数点以下第72~127位まで求めた。
円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語でいずれも周辺・円周・周を意味する περίμετρος(ペリメトロス)あるいは περιφέρεια(ペリペレイア)の頭文字から取られた。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより(現代と同じく)円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率(圓周率)」、ドイツの「Kreiszahl」(Kreis は円(周)、Zahl は数の意)の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」(英: Archimedes' constant)、「ルドルフ数」(英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl)などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
なお、「π」の字体は、表示環境によってはキリル文字の п に近い π などと表示されることがある。また、ギリシャ文字「π」は、円周率とは無関係に、素数計数関数や、基本群・ホモトピー群、ある種の写像(射影など)を表すのに用いられることもある。