ボゴモロフ予想
元々のボゴモロフ予想は、エマニュエル・ウルモ(英語版)(Emmanuel Ullmo)と张寿武(英語版)(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。 Zhang は、次の一般化された定理を証明した。
A を K 上に定義されたアーベル多様体とし、 h ^ {\displaystyle {\hat {h}}} を豊富な対称的因子に付随する A 上のネロン・テイトの高さとする。部分多様体 X ⊂ A {\displaystyle X\subset A} が捩れ部分多様体(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 A のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。X が捩れ部分多様体ではない場合は、ある ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} が存在し、
集合 { P ∈ X ( K ̄ ) : h ^ ( P ) < ε } {\displaystyle \{P\in X({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}} は A においてザリスキー稠密(英語版)(Zariski dense)ではない。