行列の階数
行列の積 A, ABC, BC がいずれも定義されるとき、 rank  ( A B ) + rank  ( B C ) ≤ rank  ( B ) + rank  ( A B C ) {\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC)} が成り立つ。
V, W をベクトル空間とし、線型写像 f: V → W が与えられたとき、f の像 f(V) の次元を線型写像 f の階数と呼び、rk f や rank f などで表す。V や W は一般に無限次元であっても、像の次元 dim f(V) が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
V や W が有限次元ならば、行列表現によって f は表現行列 Af の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には rank f = rank Af という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 Af のとり方に依らない。
ベクトル空間 V, W に対して V が n 次元とすれば、線型写像 f: V → W の階数は n 以下である。
A が実数体上の行列であるとき、A の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 A に対し rank  ( A ⊤ A ) = rank  ( A A ⊤ ) = rank  ( A ) = rank  ( A ⊤ ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\top }A)=\operatorname {rank} (AA^{\top })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\top })} が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は AAx = 0 となるベクトル x からなる。このときさらに 0 = xAAx = |Ax| も成り立つ。
A が複素数体上の行列であるとき、A の複素共軛行列を A, 共軛転置行列を A* と書けば、 rank  ( A ) = rank  ( A ̄ ) = rank  ( A T ) = rank  ( A ∗ ) = rank  ( A ∗ A ) = rank  ( A A ∗ ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*})} が成り立つ。
線型代数学における行列の階数(かいすう、rank; ランク)は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。
例えば、行列 A の階数 rank(A)(あるいは rk(A) または丸括弧を落として rank A)は、A の列空間(列ベクトルの張るベクトル空間)の次元に等しく、また A の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。