慣性半径
高分子科学における慣性半径 R g 2 {\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}} の2つの定義が一致する事を示すために、まず最初の定義の内部の積を書き下す事から始める。
R g 2 = d e f 1 N ∑ k = 1 N ( r k − r m e a n ) 2 = 1 N ∑ k = 1 N [ r k ⋅ r k + r m e a n ⋅ r m e a n − 2 r k ⋅ r m e a n ] {\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]}
r m e a n {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }} の定義を利用して、和の計算を実行すると以下の式となる。