全順序
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として(同型を除いて)唯一の例を与えることが示せる(ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう)。 N は上界を持たない最小の全順序集合である。 Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。 Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。 R は順序位相(後述)に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
数学における全順序(ぜんじゅんじょ、英: total order)とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
単純順序(たんじゅんじゅんじょ、英: simple order)、線型順序(せんけいじゅんじょ、英: linear order)とも呼ばれる。
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。
即ち、集合 X 上の関係 ≤が全順序であるとは、≤が、X の任意の元 a, b, c に対して、次の4条件を満たすことである:
反射律:X の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
反対称律:a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b
推移律:a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c
完全律(比較可能):a ≤ b または b ≤ a の何れかが必ず成り立つ
反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能(英語版)であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は(完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で)全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序の線型拡張(英語版)と呼ばれる。
↑ 反射律は完全律から導ける。それにもかかわらず、半順序関係との関連を示すために、多くの著者は反射律も条件として明示する。