線形力学系
初期値 x(0) = x0 が、行列 A の固有ベクトル vk ならば、初期条件は
d d t x ( t ) | t = 0 = A v k = λ k v k {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}}
となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、
x ( t ) = v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}}
となる。
もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x0 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 ak が一意に存在する。