結晶場理論
χ ( ω ) = e 2 i ω + e i ω + e 0 + e − i ω + e − 2 i ω = sin  ( 5 ω / 2 ) sin  ( ω / 2 ) {\displaystyle \chi (\omega )=e^{2i\omega }+e^{i\omega }+e^{0}+e^{-i\omega }+e^{-2i\omega }={\frac {\sin(5\omega /2)}{\sin(\omega /2)}}}
となる。また一般に角運動量量子数がl の軌道のときの指標は次のように表されることが同様の方法からわかる。
χ ( ω ) = sin  [ ( l + 1 / 2 ) ω ] sin  ( ω / 2 ) {\displaystyle \chi (\omega )={\frac {\sin[(l+1/2)\omega ]}{\sin(\omega /2)}}}
これらの軌道を基底とする点群Oのすべての回転操作C2(ω=π), C4(ω=π/2), C3(ω=2π/3)の表現行列の指標は次のように求められる。
これを簡約公式を用いて既約表現に分解すると:
点群O : Γ(d軌道) = E + T2
したがって、点群Ohは点群Oに対称心i を加えてできるものであるから、点群Oに対して得た結果に偶(gerade)か奇(ungerade)かを決めてやれば良い。d軌道はすべてgeradeであるので:
点群Oh : Γ(d軌道) = Eg + T2g
よって5つのd軌道は球対称場の中では縮退しているが、点群Ohの場の中では縮退が解けて、二重縮退の状態Eg と三重縮退の状態T2gに分裂する。
スピン軌道相互作用と比べて結晶場が小さい場合を考える。このような弱い結晶場における多電子系の状態では、まず自由原子における状態がLS結合によって分裂し、次にそれらの各状態が結晶場という摂動により分裂する。
固有状態は項記号Γ で表記する。これは原子の項記号と違って、固有状態の既約表現Γ を用いる。つまり原子の周囲の点対称場から影響を受けるのは軌道に関する固有状態であって、スピンには影響が無い。