シャルコフスキーの定理
シャルコフスキーの定理では、f が最小周期 m の周期点を持ち、上述の順番で m が n の先に現れるものであるなら、f は最小周期 n の周期点も持つことが示されている。
したがって、f が高々有限個の周期点しか持たないなら、それらの周期はすべて必ず 2 のべきでなければならない。さらに、周期 3 の周期点が存在するなら、他のすべての周期の周期点が存在することも分かる。
シャルコフスキーの定理で示されているのは、各周期を持つサイクルの存在であり、それらが安定であるとは示されていない。ロジスティック写像のようなシステムに対して、分岐図は幅広いパラメータの値域を示すが、そのサイクルの周期は一見すると 3 のみである。実際は、そこには全ての周期のサイクルが必ず存在するが、それらは安定ではないためコンピュータで作成された図では視認できないのである。
興味深いことに、上述の正の整数の「シャルコフスキー順序」は、ロジスティック写像との関連でわずかに異なった文脈においても現れる:すなわち分岐図において、パラメータが増加するにつれて 1 からはじまり 3 で終わる安定なサイクルが、この順序で現れるのである(ここで同じ次数の安定なサイクルがそれ以前に生じる場合は、カウントしないことにする)。
連続性の仮定は重要である。実際、不連続函数 f : x ↦ ( 1 − x ) − 1 {\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}} はすべての値が周期 3 を持つため、反例となってしまう。