位相的場の理論
Z ( Σ f ) = Trace Σ ( f ) {\displaystyle Z(\Sigma _{f})={\text{Trace}}\Sigma (f)}
ということを意味している。ここに Σ ( f ) {\displaystyle \Sigma (f)} は Z ( Σ ) {\displaystyle Z(\Sigma )} の引き起こされた自己同型である。
(5) Z ( M ∗ ) = Z ( M ) ̄ {\displaystyle Z(M^{*})={\overline {Z(M)}}} である。(エルミート性公理) 同値であるが、 Z ( M ∗ ) {\displaystyle Z(M^{*})} が Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} の随伴作用素である。
境界 Σ {\displaystyle \Sigma } を持つ多様体 M {\displaystyle M} に対し、共通部分 M ∪ Σ M ∗ {\displaystyle M\cup _{\Sigma }M^{*}} が常に常に閉じた多様体とできることに注意すると、(5) は、
Z ( M ∪ Σ M ∗ ) = | Z ( M ) | 2 {\displaystyle Z(M\cup _{\Sigma }M^{*})=|Z(M)|^{2}}
であることを示している。この右辺はエルミートな(不定値でもよいが)計量でのノルムとなっている。
ウィッテンタイプの位相理論の最初の例は、1988年のウィッテンの論文(Witten 1988a)に現れ、それでは4次元の位相的なヤン=ミルズ理論である。その作用汎関数は時空の計量 g α β {\displaystyle g_{\alpha \beta }} を含んでいるが、位相的ツイストした後では、計量独立となることが分かる。系のエネルギー・運動量テンソル T α β {\displaystyle T^{\alpha \beta }} の計量独立性は、BRST作用素(英語版)が閉じているか否かにかかっている。ウィッテンの例の後に、位相的弦理論で多くの例が発見されている。
ウィッテンタイプの位相場理論は、次の条件を満す場合に成立する。
1.TQFTの作用 S {\displaystyle S} が対称性を持つこと、つまり、 δ {\displaystyle \delta } が対称性変換を表しているとすると(例えば、リー微分)、 δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} を満すこと。
2.対称性変換が完全であること、つまり、 δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} であること。
3.観測可能量 O 1 , ... , O n {\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}} が存在して、すべての i ∈ { 1 , ...
, n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} に対して δ O i = 0 {\displaystyle \delta O_{i}=0} を満すこと。
4.エネルギー・運動量テンソル(もしくは、同様の物理量)が、任意のテンソル G α β {\displaystyle G^{\alpha \beta }} に対して T α β = δ G α β {\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }} の形をしていること。
例として、 δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} を満すような外微分(リー微分)を持つ 2-形式の場 B {\displaystyle B} がある。この場合には、
δ S = ∫ M δ ( B ∧ δ B ) = ∫ M δ B ∧ δ B + ∫ M B ∧ δ 2 B = 0 {\displaystyle \delta S=\int _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int _{M}\delta B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0}
であるので、作用 S = ∫ M B ∧ δ B {\displaystyle S=\int _{M}B\wedge \delta B} は対称性を持っている。さらに、( δ {\displaystyle \delta } が B {\displaystyle B} と独立であり、汎函数微分へ同じように作用するという条件の下で)