連続一様分布
積率母関数は次の通りである。
M x = E ( e t x ) = e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
ここから積率 mk を計算することができる。
m 1 = a + b 2 , m 2 = a 2 + a b + b 2 3 , m k = 1 k + 1 ∑ i = 0 k a i b k − i . {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a+b}{2}},\\m_{2}&={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\\m_{k}&={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\\\end{aligned}}}
この分布に従う確率変数では、期待値は m1 = a + b/2 となり、分散は m 2 − m 1 2 = ( b − a ) 2 12 {\displaystyle m_{2}-{m_{1}}^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}} となる。
a = 0 かつ b = 1 に限定したときの分布 U(0, 1) を標準一様分布 (standard uniform distribution) と呼ぶ。
標準一様分布の興味深い属性として、u1 が標準一様分布を持つなら、1 − u1 も同様である。この属性は、対照変量法など様々な分野で利用されている。
区間 [0, N] 上の一様分布について、N が未知の場合、最大値のUMVU推定は次のようになる。
N ^ = k + 1 k m = m + m k {\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}}}
ここで m は標本の最大値、k は標本の大きさ(数)であり、標本の順序は入れ替えない(ただし、連続分布ではこの限定はほとんど意味を持たない)。これは離散分布での推定と同じ理由で、maximum spacing estimation の非常に単純な例と見ることができる。このような問題を一般に German tank problem(ドイツ戦車問題)と呼び、第二次世界大戦中のドイツでの戦車生産数の最大値を推定するという問題に由来する。
遷移点の扱いが同じであれば、連続一様分布の確率密度関数はヘヴィサイドの階段関数を使って次のように表すこともできる。
f ( x ) = H  ( x − a ) − H  ( x − b ) b − a {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}}}
あるいは、矩形関数を使って次のように表すこともできる。
f ( x ) = 1 b − a rect  ( x − ( a + b ) / 2 b − a ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)}
符号関数の遷移点の解釈には曖昧さがない。遷移点が符号関数と同じく半分の値をとるとした場合、一様分布は符号関数を使って次のように表せる。
f ( x ) = sgn  ( x − a ) − sgn  ( x − b ) 2 ( b − a ) {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x-a)-\operatorname {sgn}(x-b)}{2(b-a)}}}