リーマン・ルベーグの補題
1次元の場合に示す.高次元の場合の証明も同様である.まず f がコンパクト台を持つ滑らかな関数であるとする.すると部分積分により
| ∫ f ( x ) e − i z x d x | = | ∫ 1 i z f ′ ( x ) e − i z x d x | ≤ 1 | z | ∫ | f ′ ( x ) | d x → 0 as z → ± ∞ . {\displaystyle \left|\int f(x)e^{-izx}\,dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}\,dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|dx\rightarrow 0{\text{ as }}z\rightarrow \pm \infty .}
f が任意の可積分関数のときは,コンパクト台を持つ滑らかな関数 g によって L ノルムで近似できる.‖ ƒ − g ‖L < ε となるように g をとる.