パフィアン
∑ σ ∈ S 2 n sgn  ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) = 1 n ! ∑ σ ∈ F 2 n ′ sgn  ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\&={\frac {1}{n!}}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}'}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{aligned}}}
という表示も可能である。ただし
F 2 n ′ = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( i = 1 , ⋯ , n ) } {\displaystyle F_{2n}'=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (i=1,\cdots ,n)\}}
である。
最も基本的な性質は、交代行列 A に対して、その行列式との間に成り立つ関係式
det  ( A ) = ( Pf  ( A ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {det} (A)=(\operatorname {Pf} (A))^{2}}
である。また、2n次交代行列 A, 2n次正方行列 B に対して、
Pf  ( t B A B ) = det  ( B ) Pf  ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pf} ({}^{t}\!BAB)=\operatorname {det} (B)\operatorname {Pf} (A)}
が成り立つ。
また、n次正方行列 B について、
Pf  ( 0 B − t B 0 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 det B {\displaystyle \operatorname {Pf} {\begin{pmatrix}0&B\\-{}^{t}\!B&0\end{pmatrix}}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\det B} .
が成り立つ。