余因子行列
pA(t) を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう:
p A ( A ) = O {\displaystyle p_{A}(A)=O}
定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は A と pA(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる:
adj  ( A ) = ∑ s = 0 n − 1 A s ∑ k 1 , ⋯ , k n − 1 ∏ l = 1 n − 1 ( − 1 ) k l + 1 l k l k l ! tr  ( A l ) k l {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}}
複素数体上では、
adj  ( A ̄ ) = adj  ( A ) ̄ {\displaystyle \operatorname {adj} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {adj} (A)}}} ( は複素共役を表す)
adj  A ∗ = ( adj  A ) ∗ {\displaystyle \operatorname {adj} A^{*}=(\operatorname {adj} A)^{*}} (* は随伴行列を表す)
B をもう1つの n次正方行列とする。
adj  ( A B ) = adj  ( B ) adj  ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\operatorname {adj} (A)}
この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 A, B に余因子展開の等式を利用する方法である:
A adj  ( A + B ) B = B adj  ( A + B ) A {\displaystyle A\operatorname {adj} (A+B)B=B\operatorname {adj} (A+B)A}
等式 ( A + B ) adj  ( A + B ) B = det ( A + B ) B = B { adj  ( A + B ) } ( A + B ) {\displaystyle (A+B)\operatorname {adj} (A+B)B=\det(A+B)B=B\{\operatorname {adj} (A+B)\}(A+B)} から導かれる。
rk(A) ≤ n − 2 のとき、adj(A) = O
rk(A) = n − 1 のとき、rk(adj(A)) = 1
(A のある小行列式は 0 でない、故に adj(A) は 0 でなく、したがって、階数は 1 以上である。等式 adj(A) A = 0 は、adj(A) の核の次元は n − 1 以上であることを意味する。故に、adj(A) の階数は 1 以下である。) このとき、adj(A) は次のように表せる: adj(A) = xy(x, y は A x = o {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}} かつ t A y = o {\displaystyle {}^{t}A{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {o}}} を満たすベクトルである)
A を n次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。A の r階余因子行列とは、 ( n r ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}} 次正方行列であり、adjr A で表す。その成分は {1, ..., m} の r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。I, J はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。 A I c , J c {\displaystyle A_{I^{c},J^{c}}} は、行番号、列番号がそれぞれ I, J から取られる、A の小行列を表すとする。adjr A の (I, J) 成分は次の式で定義される:
( − 1 ) σ ( I ) + σ ( J ) det A J c , I c {\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}}}
ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。
高階余因子行列の基本的な性質として以下がある: