一様連続
一様空間X 上の位相の定義より、(x に依存した)X のある近縁 U x {\displaystyle U_{x}} が存在し、 U x [ x ] ⊂ W {\displaystyle U_{x}[x]\subset W} が成立する。したがって
f ( U x [ x ] ) ⊂ f ( V ~ [ f ( y ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] ) {\displaystyle f(U_{x}[x])\subset f({\tilde {V}}[f(y)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)])} ...(2)
が成立する。
再び一様空間の性質より、各x ∈X に対し以下の性質を満たす近縁 U ~ x {\displaystyle {\tilde {U}}_{x}} が存在する:
任意のw 1、w 2、w 3∈X に対し、 ( w 1 , w 2 ) , ( w 2 , w 3 ) ∈ V ~ ⇒ ( w 1 , w 3 ) ∈ V {\displaystyle (w_{1},w_{2}),(w_{2},w_{3})\in {\tilde {V}}\Rightarrow (w_{1},w_{3})\in V} ...(3)