多項式階層
ここで C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を言語のクラスとする。次のように定義することで、これら作用素が言語のクラス群全体に作用するよう拡張する。 ∃ P C := { ∃ p L | p is a polynomial and L ∈ C } {\displaystyle \exists ^{\rm {P}}{\mathcal {C}}:=\left\{\exists ^{p}L\ |\ p{\mbox{ is a polynomial and }}L\in {\mathcal {C}}\right\}} ∀ P C := { ∀ p L | p is a polynomial and L ∈ C } {\displaystyle \forall ^{\rm {P}}{\mathcal {C}}:=\left\{\forall ^{p}L\ |\ p{\mbox{ is a polynomial and }}L\in {\mathcal {C}}\right\}} 再びドモルガンの定理により、 c o ∃ P C = ∀ P c o C {\displaystyle {\rm {co}}\exists ^{\rm {P}}{\mathcal {C}}=\forall ^{\rm {P}}{\rm {co}}{\mathcal {C}}} かつ c o ∀ P C = ∃ P c o C {\displaystyle {\rm {co}}\forall ^{\rm {P}}{\mathcal {C}}=\exists ^{\rm {P}}{\rm {co}}{\mathcal {C}}} であり、ここで c o C = { L c | L ∈ C } {\displaystyle {\rm {co}}{\mathcal {C}}=\left\{L^{c}|L\in {\mathcal {C}}\right\}} である。