一様収束
区間 S 上の関数列 fn が微分可能で関数 f に収束するとき、f の導関数を関数列 fn の導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分が関数列の微分の極限と一致するとも限らない。例えば f n ( x ) = 1 n sin  ( n x ) {\displaystyle f_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sin(nx)} は一様極限が 0 であるが、その微分は 0 に収束しない。関数列の極限と関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束に加えて、 少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張は次のようになる。
定理 区間 [a, b] 上で微分可能な関数列 fn に対し、区間 [a, b] 上のある点 x0 において fn(x0) は収束し、関数列 (fn′) は区間 [a, b] 上で一様収束すると仮定する。このとき関数列 fn は関数 f に一様収束し、x ∈ [a, b] に対して f ′ ( x ) = lim n → ∞ f n ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }{f_{n}}'(x)} が成り立つ。