分出公理
フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論においては、集合とクラスが区別される。クラス C は、あるクラス E の元であるとき、またそのときに限り集合である。この理論においては、以下の定理スキーマが存在する。
すなわち、
クラス C が P を満たす集合のとき、またそのときに限って、どのクラス C もクラス D の元であるようなクラス D が存在する 。
この定理スキーマによって、述語 P の量化子は集合に制限される。
この定理スキーマ自体は内包公理の制限された形であり、C が集合という制限によってラッセルのパラドックスを防ぐ。すると、集合に対する分出公理は以下のように1つの公理で記述できる。
すなわち、
任意のクラス D と任意の集合 A に対して、元がまさしく A と D の元である集合 B が存在する。
もしくはもっと簡潔に、
クラス D と集合 A の共通部分は集合 B である。
この公理では、述語 P がクラス D で置き換えられ、量化子の範囲をクラス D にできる。同じ効果のより簡潔な公理としては
すなわち、
集合の部分クラスは集合である。