バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想は特別な場合においてのみ証明されている:
Coates & Wiles (1977) は、E が類数 1 の虚二次体 K によって虚数乗法をもつ数体 F 上の曲線、F = K あるいは Q、そして L(E, 1) が 0 でないならば、E(F) は有限群であることを証明した。これは Arthaud (1978) によって F が K の任意の有限アーベル拡大である場合に拡張された。
Gross & Zagier (1986) は、モジュラー楕円曲線(英語版)が s = 1 において一位の零点を持てば、無限位数の有理点を持つことを証明した。グロス・ザギヤの定理 参照。
Kolyvagin (1989) は、L(E, 1) が 0 でないモジュラー楕円曲線 E はランクが 0 であることと、L(E, 1) が s = 1 で一位の零点を持つモジュラー楕円曲線 E はランクが 1 であることを証明した。
Rubin (1991) は、K による虚数乗法をもつ虚二次体 K 上定義された楕円曲線に対して、楕円曲線の L-級数が s = 1 において 0 でなければ、すべての素数 p > 7 に対して、テイト・シャファレヴィッチ群の p-部分はバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想によって予言される位数を持つことを証明した。