体積形式
体積形式は一意には決まらなく、次のように多様体の上の 0 にならないテンソルを形成する。M 上の 0 にならない函数 f と体積形式 ω {\displaystyle \omega } が与えられると、 f ω {\displaystyle f\omega } も M 上の体積形式である。逆に、2つの体積形式 ω , ω ′ {\displaystyle \omega ,\omega '} が与えられると、それらの比率は 0 にならない函数(定義が同一方向の向き付けであれば、正、逆方向の向き付けであれば、負)である。
座標系で表すと、両方とも、単純に 0 とならない函数にルベーグ測度をかけると得られるので、それらの比率は函数の比率になり、座標の選択とは独立な値となる。本質的には、 ω {\displaystyle \omega } に関して ω ′ {\displaystyle \omega '} のラドン・ニコディム微分である。向き付けられた多様体上で、2つの体積形式の比例性は、ラドン・ニコディムの定理の幾何学的な形と考えることができる。
多様体上の体積形式は、与えられた体積形式とユークリッド空間の体積形式とを識別する小さな開集合を持つことができないという意味で、局所構造を持たない。(Kobayashi 1972). すなわち、M のすべての点 p で、開近傍 U と U から R の中の開集合の上への微分同相写像 φ が存在し、U 上の体積形式が φ. に沿った d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}} の引き戻しである。
系として、M と N をそれぞれ体積形式 ω M , ω N {\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}} を持つ 2つの多様体とすると、任意の点 m ∈ M , n ∈ N {\displaystyle m\in M,n\in N} に対し、m の開近傍 U と n の開近傍 V と写像 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} が存在し、N 上の体積形式の V への制限が、M 上の体積形式の近傍 U への制限へ引き戻される。つまり、 f ∗ ω N | V = ω M | U {\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}} である。
いわば、体積形式は M 上の GL(n)-構造(英語版)(GL(n)-構造を与える。さらに、リダクションは、
をとる標構を考えることにより、一層明らかとなる。
このように、体積形式は SL(n)-構造を与える。逆に、SL(n)-構造が与えられると、特殊線型標構の式 (1) を導入することにより、体積形式を再現することができる。
多様体が向き付け可能であることと、体積形式をもつこととは同値である。実際、正の実数をスカラー計量として埋め込むと、GL = SL × R であるので、SL(n) → GL(n) は変形レトラクト(deformation retract)である。このように、すべての GL(n)-構造は、SL(n)-構造と GL(n)-構造に帰着でき、M 上での向きは一致する。さらに具体的には、行列式バンドル Ω n ( M ) {\displaystyle \Omega ^{n}(M)} の自明性と向き付け可能性は同値であり、ラインバンドルが自明であることとどこでも 0 とならない切断を持っていることは同値である。従って、体積形式の存在は向き付け可能性と同値である。