ガロア拡大
ガロア拡大の例を構成する2つの基本的な方法がある。
任意の体 E と Aut(E) の任意の部分群を取り、F を固定体とする。
任意の体 F と F[x] の任意の分離多項式を取り、E をその分解体とする。
有理数体に、2の平方根を添加する(英語版)とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x − 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない。実は、恒等写像の他に自己同型を持たない。なぜならば、それは実数体に含まれているが、x − 2 は実根を1つしか持たないからである。より詳細な例は、ガロア理論の基本定理のページを参照のこと。
体 K に対し、K の代数閉包 K が K 上ガロア拡大であることと K が完全体であることは同値である。