シュラム・レヴナー発展
確率論では、パラメータ κ を持つシュラム・レヴナー発展(英: Schramm–Loewner evolution, SLE)は、確率論的レヴナー発展(SLEκ)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中からスケール極限(英語版)(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である弧状の SLE(chordal SLE)と、もう一つは固定された(領域の)内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である放射状の SLE(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。
シュラム・レヴナー発展は、オデッド・シュラムOded Schramm (2000)により、平面の一様スパニングツリー(英語版)(uniform spanning tree,UST)やループ除去ランダムウォーク(英語版)(loop-erased random walk,LERW)である確率過程のスケール極限となるであろうという予想として発見され、一連のグレッグ・ローラー(英語版)(Greg Lawler)やウェンデリン・ウェルナー(Wendelin Werner)との共著論文で開拓されてきた。
κ = 2 はループ除去ランダムウォーク(英語版)(loop-erased random walk)に対応している。同じことであるが、一様スパニングツリーに対応している。
κ = 8/3 に対して、SLEκ は、特別な性質を持っていて、自己回避ウォーク(英語版)(self-avoiding random walks)のスケール極限となると予想されている。このひとつのバージョンがブラウン運動の外側の境界である。この場合も三角格子上の臨界パーコレーション(英語版)(critical percolation)のスケール極限で発生する。
κ = 3 はイジングモデルのスケール極限である。
0 ≤ κ ≤ 4 に対しては、曲線 γ(t) は(確率 1 で)単純である。
κ = 4 は、調和臨界点とガウスの自由場(英語版)(Gaussian free field)の積分路に対応している。
κ = 6 に対して、SLEκ は局所性をもち、三角格子上の臨界パーコレーション(英語版)(critical percolation)で発生する。他の格子の上についても、発生することが予想されている。