ジャコブソン根基
J(R) が {0} であるような環は半原始環、ときには「ジャコブソン半原始環」、と呼ばれる。任意の体、任意のフォン・ノイマン正則環、そして任意の左または右原始環のジャコブソン根基は {0} である。有理整数環のジャコブソン根基は {0} である。
環 Z/12Z のジャコブソン根基(合同式を見よ)は 6Z/12Z であり、これは極大イデアル 2Z/12Z と 3Z/12Z の共通部分である。
K が体で R が K の元を成分とする n 次上三角行列の環であれば、J(R) は主対角成分が零であるようなすべての上三角行列からなる。
K が体で R = K[[X1, ..., Xn]] が形式的冪級数環であれば、J(R) は定数項が 0 であるような冪級数からなる。より一般的に、任意の局所環のジャコブソン根基は環の唯一の極大イデアルである。
有限非輪状の箙 Γ と体 K から道代数 KΓ をつくる。この環のジャコブソン根基は Γ における長さ ≥ 1 のすべての道によって生成される。
C*-環のジャコブソン根基は {0} である。これはゲルファント=ナイマルクの定理と次の事実から従う。C*-環に対して、ヒルベルト空間上の位相的に既約な *-表現は代数的に既約であるので、その核は純代数学的な意味で原始イデアルである(C*-環のスペクトル(英語版)を見よ)。