Q二項定理
g ( a , z ; q ) {\displaystyle g(a,z;q)} をテイラー級数に展開して z n {\displaystyle z^{n}} の係数を比較すると
g ( a , q z ; q ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ c n z n = ( 1 − a z ) ∑ n = 0 ∞ c n ( q z ) n 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − c n − 1 ) z n = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − a c n 1 ) ( q z ) n c n − c n − 1 = c n q n − a c n − 1 q n − 1 c n = 1 − a q n − 1 1 − q n c n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&g(a,qz;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(qz)^{n}\\&1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{n-1})z^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-ac_{n1})(qz)^{n}\\&c_{n}-c_{n-1}=c_{n}q^{n}-ac_{n-1}q^{n-1}\\&c_{n}={\frac {1-aq^{n-1}}{1-q^{n}}}c_{n-1}\\\end{aligned}}}
右辺を f ( a , z ; q ) {\displaystyle \ f(a,z;q)} として関数方程式を導く。