ムーア・ペンローズ逆行列
I n − Q = I n − A + A {\displaystyle I_{n}-Q=I_{n}-A^{+}A} は A の核への直交射影作用素である。
I m − P = I m − A A + {\displaystyle I_{m}-P=I_{m}-AA^{+}} は A ∗ {\displaystyle A^{*}} の核の直交射影作用素である。
最後の2つの特徴は、以下の等式を意味する。
A ( I n − A + A ) = ( I m − A A + ) A = 0 {\displaystyle A\,\ \left(I_{n}-A^{+}A\right)=\left(I_{m}-AA^{+}\right)A\ \ =0}
A ∗ ( I m − A A + ) = ( I n − A + A ) A ∗ = 0 {\displaystyle A^{*}\left(I_{m}-AA^{+}\right)=\left(I_{n}-A^{+}A\right)A^{*}=0}
他の特徴は以下の通り。
数学、特に線形代数において、行列 A {\displaystyle A} のムーア・ペンローズ逆行列(英: Moore–Penrose inverse) A + {\displaystyle A^{+}} は、逆行列の最もよく知られている一般化である。 ムーア・ペンローズ形一般逆行列とも呼ばれる。1920年にE・H・ムーアに、1951年にArne Bjerhammar(英語版)に、1955年にロジャー・ペンローズによって独立して記述された。それ以前、 エリック・イヴァル・フレドホルムは、1903年に積分演算子の擬似逆行列の概念を導入していた。行列について述べる場合、特段の指定がない限り、擬似逆行列という用語はムーア・ペンローズ逆行列を指すことが多い。一般化逆行列という用語は、擬似逆行列の同義語として用られることがある。
擬似逆行列の一般的な使用法は、解がない線形連立方程式の「最適」(最小二乗(英語版))解を計算することである(以下の応用を参照)。ほかに、複数の解を持つ線形連立方程式の最小(ユークリッド)ノルム解を求めることにも用いられる。擬似逆行列によって、線形代数での結果の表現と証明が容易になる。
擬似逆行列は、成分が実数または複素数であるすべての行列に対して定義され、一意に定まる。特異値分解を用いて計算できる。
A {\displaystyle A} が行または列フルランクで、かつ相関行列の逆行列( A {\displaystyle A} が行フルランクの場合は A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} 、列フルランクの場合は A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} )がすでに既知であるならば、 A {\displaystyle A} に関連する行列の擬似逆行列は、シャーマン・モリソン・ウッドベリーの式(英語版)を適用して相関行列の逆行列を更新することで計算できる。これにより、必要な作業が少なて済む可能性がある。特に関連する行列について、変更、追加、または削除された行・列のみが元の行列と異なる場合、その関係を利用する増分アルゴリズムが存在する 。
同様に、行または列が追加されたときに、相関行列の逆行列を明示的に作成せずに、コレスキー係数を更新することができる。ただし、一般のランク不足の場合、擬似逆行列の更新は非常に複雑である 。
実数と複素数の行列に加えて、条件は「複素数四元数」とも呼ばれる双四元数(英語版)の行列にも当てはまる。
より一般的な最小二乗問題を解くためには、すべての連続線型演算子に対して、2つのヒルベルト空間 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} の間でムーア・ペンローズ逆演算子 A : H 1 → H 2 {\displaystyle A\colon H_{1}\to H_{2}} を定義できる。その際、上記の定義と同じ4つの条件を用いる。ここから、すべての連続線型演算子が連続線型擬似逆演算子を持つわけではないことがわかる。擬似逆演算子を持つのは、値域が H 2 {\displaystyle H_{2}} に閉じている場合に限られる。
擬似逆行列の概念は、任意の対合自己同型を備えた任意の体上の行列に存在する。このような一般的な前提では、特定の行列に対して常に擬似逆行列があるとは限らない。擬似逆行列が存在するための必要十分条件は、 rank  A = rank  A ∗ A = rank  A A ∗ {\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} A^{*}A=\operatorname {rank} AA^{*}} であり、ここで A ∗ {\displaystyle A^{*}} は A {\displaystyle A} の転置に対合演算を適用した結果を表す。