合同ゼータ関数
G ( t ) = − log  ( 1 − t ) − log  ( 1 − q t ) {\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}
となることが分かる。
この場合には、
Z ( t ) = 1 ( 1 − t ) ( 1 − q t ) {\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}}
となる。
これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)のDisquisitiones Arithmeticaeの論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。
定義やいくつかの例については、も参照。