リー微分
[ X , Y ] := ( X ( Y a ) − Y ( X a ) ) ∂ ∂ x a = ( X b ∂ Y a ∂ x b − Y b ∂ X a ∂ x b ) ∂ ∂ x a {\displaystyle [X,Y]:=(X(Y^{a})-Y(X^{a})){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=\left(X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}
によって与えられるベクトル場と定義するものである。
次の定義は座標に因らないという意味で内在的なものである。ベクトル場を関数に対する 1 階の微分作用素と同一視することにより、二つのベクトル場のリー括弧積は以下のように定義できる。二つのベクトル場 X, Y に対して
[ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) . {\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)).}
によって定義される X と Y のリー括弧積 [X, Y] は再びベクトル場となる。これが前の定義と等価であることは、X と Y の局所座標表示を与えれば直ちに確かめられる。
他の等価な定義には以下のようなものがある。
数学においてリー微分(リーびぶん、英: Lie derivative)は、多様体 M 上のテンソル場全体の成す多元環上に定義される微分(導分とも)の一種である。ソフス・リーにちなんで名づけられた。M 上のリー微分全体の成すベクトル空間は次で定義されるリー括弧積
[ L A , L B ] = L A L B − L B L A {\displaystyle [{\mathcal {L}}_{A},{\mathcal {L}}_{B}]={\mathcal {L}}_{A}{\mathcal {L}}_{B}-{\mathcal {L}}_{B}{\mathcal {L}}_{A}}
について無限次元のリー環を成す。リー微分は M 上の流れ(flow; フロー、active(英語版) な微分同相写像)の無限小生成作用素としてベクトル場によって表される。もう少し別な言い方をすれば、リー群論の方法の直接の類似物ではあるが、M 上の微分同相写像全体の成す群は付随するリー環構造(もちろんそれはリー微分全体のなすリー環のことだが)を持つということができる。
関数のリー微分をいくつかの方法で以って定義したが、いずれにせよ関数のリー微分は多変数微積分学におけるベクトル場に沿った微分という通常の概念に倣ったものである。2つのベクトル場 X と Y のリー括弧積 [X,Y] を定義することでベクトル場に対するリー微分も定義することができる。リー括弧積の定義の仕方はいくつか方法があるがいずれも等価であり、リー括弧積をどう定義するにせよ、ベクトル場 Y の X に関するリー微分は、リー括弧積 [X,Y] に等しいものとして
L X Y = [ X , Y ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
と定義するのである。
リー括弧積の定義をいくつか挙げれば、まずひとつに、ベクトル場 X と Y の局所座標表示を用いたものがある。x を M 上の座標とするとき、接束の基底ベクトルは通常、∂/∂x と記される。ゆえに M 上のベクトル場はこの基底に関する座標を与えて
X = X a ∂ ∂ x a {\displaystyle X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}
のように表示される。そして、二つのベクトル場の組 X, Y に対して、そのリー括弧積 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} は