ヘルムホルツ方程式
( ∇ 2 + k 2 ) A = 0 , ( d 2 d t 2 + ω 2 ) T = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla ^{2}+k^{2})A&=0,\\\left({\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\right)T&=0\end{aligned}}}
という2つの微分方程式が得られる。ここで k は分離定数であり、また ω = kc とおいた。 これで、空間変数 r に関するヘルムホルツ方程式と、時間に関する2階の常微分方程式が得られた。時間の常微分方程式の解は角振動数 ω の sin と cos の線形結合で表される。一方、空間の微分方程式の解は境界条件によって決まる。 また、ラプラス変換やフーリエ変換などの積分変換によって、双曲型の偏微分方程式がヘルムホルツ方程式に変換されることもある。
ヘルムホルツ方程式は波動方程式と関連があるので、電磁波の放射、地震学、音響学などの物理学の諸分野で出てくる。