蛇行動
β = b a , p = 1 + k ψ k ψ + k y a 2 , K = 1 2 κ b 2 k ψ k y a 2 k ψ + k y a 2 S 1 2 π {\displaystyle \beta ={\frac {b}{a}},\quad p=1+{\frac {k_{\psi }}{k_{\psi }+k_{y}a^{2}}},\quad K={\frac {1}{2\kappa b^{2}}}{\frac {k_{\psi }k_{y}a^{2}}{k_{\psi }+k_{y}a^{2}}}{\frac {S_{1}}{2\pi }}}
ここで、 k ψ {\displaystyle k_{\psi }} :1輪軸に対するヨーイング剛性、 k y {\displaystyle k_{y}} :1輪軸に対する左右支持剛性である。(16)式の近似式の適用条件としては、左右車輪接触点間隔が軸距の半分程度以下( β = b / a < 0.5 {\displaystyle \beta =b/a<0.5} )であることを前提としている。式の形より、輪軸を弾性支持する単台車の蛇行動波長は、1輪軸の幾何学的蛇行動波長と剛台車の幾何学的蛇行動波長の間となる。
蛇行動の数理的解析については、1883年、クリンゲル(W. Klingel)は幾何学的な輪軸の運動解析を行い、1輪軸の幾何学的蛇行動波長を導出した。その後、1916年、 車輪・レール間に作用する力を考慮した初めての現実的な運動モデルとそれによる機関車の蛇行動解析に関する論文が、イギリスのカーター(F. W. Carter)によって発表された。この論文の中でカーターは車輪・レール間に作用する力としてクリープによる接線力を導入し、車輪の踏面勾配とクリープによる接線力が結びつくことで動的な不安定性が生み出されることを示した。カーターは引き続き1920年から1930年にかけて運動解析の論文を発表し、機関車の車軸配置が蛇行動特性に与える影響などを発表する。例えば、ホワイト式車輪配置が4-6-0の機関車では、構造の非対称性により前進と後進で蛇行動限界速度が異なることなどを指摘している。
自己操舵機能を得るための車輪踏面勾配による左右振動は鉄道の歴史の初期から認識されてきた。1821年のジョージ・スチーブンソンの著作の中で、1輪軸の蛇行動の発生原理の説明が既になされている。世界で最初の実用的な蒸気機関車を用いた鉄道であるイギリスのリバプール・アンド・マンチェスター鉄道においても、客車の固定軸距が非常に短く、酷い蛇行動揺れが発生していたという評判であった。二軸車の曲線通過性能の悪さを克服するために、19世紀前半にかけてボギー台車が発明され広まっていく。初期のボギー台車は非常に短い軸距構造となっていたが、1850年代には軸距が広げられ蛇行動安定性も向上した。また、この頃の台車の設計は、車軸と台車の結合に過度な自由度が存在する場合に蛇行動が顕著になる経験から、車軸は台車枠に対して固く結合することが一般であった。
松平は、上記の研究を基に、1951年に蛇行動防止のための2段リンク式走り装置を開発し、後の二軸貨物車の速度向上に貢献している。また、回転円盤を使用した車両試験台は、1/10スケールモデルから1/5スケールモデル用へ発展し、さらには実車を乗せることができるサイズの試験台も開発され、共に初代新幹線用台車の蛇行動試験に用いられ、新幹線の開発に貢献した。日本における蛇行動の研究については、鉄道車両の台車史#日本における多様化についても参照のこと。
1960年代前半、イギリス国鉄は、上記の日本の国鉄と同じように二軸貨車の速度向上の試みを進めていたが脱線発生の増加に悩まされていた。イギリス国鉄はこの問題を解決するため航空産業の技術者だったアラン・ウィッケンス(Alan H Wickens)を採用し、彼が率いる研究チームが結成され、以降は理論、実験の両面からの精力的な研究が進められた。1963年に同研究所のキング(B. L. King)により、続く1965年同研究所のポーレイ(R. A. Pooley)により実車スケールの実験で蛇行動限界速度、振動モードの測定が成され、理論予測と実験の比較もなされている。ウィッケンスは、解析モデルの中で輪軸支持剛性に注目し、輪軸と車体(あるいは台車)間に左右剛性とヨーイング剛性を導入する設計手法を考案する。その後、この考え方の車両モデルは同研究所のブーコック(D. Boocock)により曲線通過解析への応用がなされ、蛇行動特性と曲線通過特性を統一的に扱うための2輪軸と台車間のせん断剛性、曲げ剛性という考え方が考案される。これらの研究成果は、イギリス国鉄の1969年から1975年の高速貨車計画のHSFVシリーズ(en:High Speed Freight Vehicle)の開発へと反映されていく。