振り子
伸び縮みしない軽い棒の一端を回転運動以外を固定し、他端に質点とみなせるほど小さくて重いおもりを取り付け、重力の作用でひとつの鉛直面内を振動するようにした振り子を、「単振り子」と呼ぶ。(振り子が一鉛直面内ではなく球面上を動く場合は「球面振り子」という)。振幅が小さければおもりの運動は単振動とみなすことができ、周期 T は、
T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {l \over g}}} ... (1-1)
とあらわされる。
すなわち、重りを離す角度θ0が大きくなれば周期Tは長くなる(等時性の破れ)。 θ0 が十分に小さい場合は、 lim θ 0 → 0 T = 2 π / ω {\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to 0}T=2\pi /\omega } より sin  θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } と近似したときと同じ解が得られる。 しかしながら、たとえばθ0 = π/4 のときの実際の値は
T = 4 ω K ( sin  π 8 ) = 4 ω K ( 2 − 2 2 ) = 2 π ω × 1.040 ... {\displaystyle T={\frac {4}{\omega }}K\left(\sin {\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {4}{\omega }}K\left({\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}\right)={\frac {2\pi }{\omega }}\times 1.040\dots }
で、周期が4%伸びている。