解析力学
このとき、ニュートン及びライプニッツは微分積分法を同時に開発したため、物体の運動の法則というものを解析的な方程式に帰着させることができるようになった。そのため、ニュートン以後に力学を扱った数学者たちは、ニュートンの諸定理を一般化した上でそれらを微分的表現に翻訳するようになった。特に、レオンハルト・オイラーは、運動方程式に初めて解析的な表現を与え、さらに定義と論証の連結によって次々に命題を導出する合理的科学として力学体系を提示しようとした。
このような中で、ジャン・ル・ロン・ダランベールは、1743年に出版した『動力学概論』(Traité de Dynamique)において、動力学の問題を解くか少なくとも方程式に表すため、物体の運動の法則を釣り合いの法則に帰着させる方法を提案した。これは、つまり動力学を静力学に還元する試みだった(ダランベールの原理)。ここで、ダランベールの原理は現代的には次のように表される。
∑ i = 1 n { ( F x i − m i x i ̈ ) δ x i + ( F y i − m i y i ̈ ) δ y i + ( F z i − m i z i ̈ ) δ z i } = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left(F_{x_{i}}-m_{i}{\ddot {x_{i}}}\right)\delta x_{i}+\left(F_{y_{i}}-m_{i}{\ddot {y_{i}}}\right)\delta y_{i}+\left(F_{z_{i}}-m_{i}{\ddot {z_{i}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}
簡単のために、前節に引き続き2次元平面上で考える。適当な一般化座標を q1, q2 として、直角座標 x, y を一般化座標で
x = x ( q 1 , q 2 ) y = y ( q 1 , q 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=x(q_{1},q_{2})\\y&=y(q_{1},q_{2})\end{aligned}}}
とおく (ここでは時間 t に陽には依存しないものとする)。両辺を時間 t で微分すると次の式を得る:
x ̇ = ∂ x ∂ q 1 q ̇ 1 + ∂ x ∂ q 2 q ̇ 2 , {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2},} y ̇ = ∂ y ∂ q 1 q ̇ 1 + ∂ y ∂ q 2 q ̇ 2 {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}}
従って ·x, ·y に対して ·q1, ·q2 は線形であり、次の式が成り立つ: