正準量子化
となり、 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 、 p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} が正準交換関係をみたしていることがわかる。 つまり、座標表示では掛け算演算子としての x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} と微分演算子としての p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} が、正準変数 x , p x {\displaystyle x,\,p_{x}} の正準量子化による量子力学的表現となる。 系の古典力学的なハミルトニアンが
H ( x , p x ) = p x 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle H(x,p_{x})={\frac {p_{x}^{\,2}}{2m}}+V(x)}
で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンは
H ^ = H ( x ^ , p ^ x ) = − ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + V ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}}_{x})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)}
となる。