ポリガンマ関数
ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。
ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma }
ψ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ζ ( n + 1 ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}n!\zeta (n+1)\quad (n=1,2,\cdots )}
ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。
ψ ( m ) = − γ + ∑ k = 1 m − 1 1 k = − γ + H m − 1 ( m = 2 , 3 , 4 , ⋯ ) {\displaystyle \psi (m)=-\gamma +\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{m-1}\qquad (m=2,3,4,\cdots )}
ψ ( n ) ( m ) = ( − 1 ) n n ! { − ζ ( n + 1 ) + ∑ k = 1 m − 1 1 k n + 1 } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ , m = 2 , 3 , 4 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(m)=(-1)^{n}n!\left\{-\zeta (n+1)+\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k^{n+1}}}\right\}\qquad (n=1,2,3,\cdots ,m=2,3,4,\cdots )}
但し、γ はオイラーの定数、Hm-1は調和数を表す。