ユークリッド位相
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 ‖ ⋅ ‖ : R n → R {\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } で以下のように定義される:
他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が d ( p , q ) = ‖ p − q ‖ {\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|} で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 d : R n × R n → R {\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点 p = ( p 1 , ... , p n ) {\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)} と q = ( q 1 , ... , q n ) {\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)} は: