ニュートン＝カントロビッチの定理
さらに、 F {\displaystyle F} の解への収束は多項式 p ( t ) {\displaystyle p(t)} に対するニュートン反復の最も小さい根 t ∗ {\displaystyle t^{\ast }} への収束に支配される。もし t 0 = 0 , t k + 1 = t k − p ( t k ) p ′ ( t k ) {\displaystyle t_{0}=0,\,t_{k+1}=t_{k}-{\tfrac {p(t_{k})}{p'(t_{k})}}} ならば ‖ x k + p − x k ‖ ≤ t k + p − t k . {\displaystyle \|\mathbf {x} _{k+p}-\mathbf {x} _{k}\|\leq t_{k+p}-t_{k}.} である。
2次収束は誤差評価: ‖ x n + 1 − x ∗ ‖ ≤ θ 2 n ‖ x n + 1 − x n ‖ ≤ θ 2 n 2 n ‖ h 0 ‖ . {\displaystyle \|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} ^{*}\|\leq \theta ^{2^{n}}\|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n}\|\leq {\frac {\theta ^{2^{n}}}{2^{n}}}\|\mathbf {h} _{0}\|.}
から得られる。
ニュートン=カントロビッチの定理についてはq-類似が知られている。また、M. Plumによって似たような定理が示されている。その他の変種・一般化についてはOrtega-Rheinboldt(1970)が詳しい。