素数の間隔
1997年に定数cの値は2e以下の任意の値に改良された。
ポール・エルデシュは、上記の不等式の定数cが任意に大きく取れることの証明および反証に対して1万ドルの賞金を提供した。これは2014年にケビン・フォード(英語版)、ベン・グリーン、セルゲイ・コンヤギン(英語版)、テレンス・タオとジェームズ・メイナードにより独立に正しいことが証明された。
この結果はさらにフォード、グリーン、コンヤギン、テレンス・タオにより、無限に大きいnに対して
g n > c log  n log  log  n log  log  log  log  n log  log  log  n {\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}
と改良された。
エルデシュの最初の賞の精神でテレンス・タオはこの不等式でcが任意に大きくとられる可能性があるという証明に対して1万ドルを提供した。
素数の連鎖の下限も決定されている。
通常gn / ln(pn)の値のことを、間隔gnのmerit値という。2017年9月現在、分かっている確率的素数の間隔の端の、最大の既知の素数の間隔は長さ6 582 144で、マーティン・ラーブにより発見された216,841桁の確率的素数においてであった。この間隔のmerit値は13.1829である。最大の既知の素数の間隔は長さ1 113 106であり、merit値は25.90であり、ピエール・カミ、ミシェル・ヤンセン、イェンス・K・アンデルセンにより発見された18,662桁の素数においてである。
2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、かつ最初に40を超えるものは、41.938 783 73であり、87桁の素数293 703 234 068 022 590 158 723 766 104 419 463 425 709 075 574 811 762 098 588 798 217 895 728 858 676 728 143 227においてであった。