オイラーの公式
cos  x n ∼ 1 , sin  x n ∼ x n , tan  x n ∼ x n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}\sim 1\ ,\ \sin {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}\ ,\ \tan {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}}
となり、各項目において漸近的に等しいことが確認できる。 したがって
( n 2 k ) ∼ n 2 k ( 2 k ) ! , ( cos  x n ) n ∼ 1 , ( tan  x n ) 2 k ∼ x 2 k n 2 k {\displaystyle {\binom {n}{2k}}\sim {\frac {n^{2k}}{(2k)!}}\ ,\ \left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\sim 1\ ,\ \left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}\sim {\frac {x^{2k}}{n^{2k}}}}
となる。よって
cos  x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}}
が得られる。 同様に sin x について考えれば