フォン・マンゴルト関数
フォン・マンゴルト関数は、ディリクレ級数の理論、特にリーマンゼータ関数において重要な役割を果たす。たとえば、以下の式が成り立つ。
log  ζ ( s ) = ∑ n = 2 ∞ Λ ( n ) log  ( n ) 1 n s , Re ( s ) > 1 {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1}
この対数微分は以下のようになる。
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}