三角不等式
ノルム空間 V に対して、ノルムを定義する性質の一つが三角不等式
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ( ∀ x , y ∈ V ) {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad (\forall \,x,y\in V)}
である。つまり、二つのベクトルの和(英語版)のノルムは、その二つのベクトルそれぞれの長さの和で抑えられる。これを劣加法性と呼ぶこともある。ノルムとして振る舞うことが期待される任意の函数はこの要件を満足しなければならない
ノルム空間がユークリッド空間あるいはより一般の狭義凸空間ならば、‖ x + y ‖ = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ となるための必要十分条件は、三点 x, y, x + y の成す三角形が退化していること、すなわち x, y が同一半直線上にあることである。式で書けば、x = 0 または y = 0 または x = αy (∃α > 0 となる。この性質は狭義凸ノルム空間(例えば lp-空間 (1 < p < ∞) など)を特徴付ける。しかしこれが成立しないノルム空間も存在する。
数学における三角不等式(さんかくふとうしき、英: triangle inequality)は、任意の三角形に対してその任意の二辺の和が残りの一辺よりも大きくなければならないことを述べるものである。
三角不等式は R や R の何れかにおいて直観的に見ることができる。右図は明らかに不等号が成り立つもの (上) から等号に近いもの (下) までの三例である。ユークリッド幾何学の場合では、等号が成立するには一つの角が 180° で二つの角が 0° の場合、したがって三頂点が同一直線上にある場合に限られる。したがって、ユークリッド幾何学において二点間の最短距離は直線である。
球面幾何学において二点間の最短距離は大円弧であるが、球面上の二点間の距離がその二点を結ぶ劣弧線分(大円の中でその二点を端点とする二つの弧のうち中心角が [0, π) のもの)で与えられるものとすれば、三角不等式が成り立つ。
三角不等式はノルムや距離函数の「定義性質」の一つである。そのような性質は、各々特定の空間(実数直線やユークリッド空間や (p ≥ 1 に対する) L-空間や内積空間)に対して、そのようなノルムや距離函数となるべき任意の函数に対する定理として、きちんと述べなければならない。