弱測定
その部分については後ほど調整する。いずれにせよ物理系を射影し、測定器は何もしない演算子をほどこすことで
( | f ⟩ ⟨ f | ⊗ i d ) ( ∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ( A ^ k | i ⟩ ) ⊗ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) ) {\displaystyle (|f\rangle \langle f|\otimes id)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}({\hat {A}}^{k}|i\rangle )\otimes ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )\right)}
= | f ⟩ ⊗ ( ∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ⟨ f | A ^ k | i ⟩ ⋅ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) ) =: | f ⟩ ⊗ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle =|f\rangle \otimes \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}\langle f|{\hat {A}}^{k}|i\rangle \cdot ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )\right)=:|f\rangle \otimes |\psi '\rangle }
このようにして作った状態に対して定義された | ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } を用いて適当な物理量の期待値を計算することになる。
ここでgは実定数で A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} は | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } のいるヒルベルト空間、および Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} は | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } のいるヒルベルト空間上で作用するエルミート演算子である。
このノイマン型測定演算子が作用した後の状態すなわち e − i g A ^ ⊗ Q ^ | i ⟩ ⊗ | ψ ⟩ {\displaystyle e^{-ig{\hat {A}}\otimes {\hat {Q}}}|i\rangle \otimes |\psi \rangle } が2.の測定後の状態である。このような状態は演算子のテンソル積および指数の定義から
∑ k = 0 ∞ ( − i g ) k k ! ( A ^ k | i ⟩ ) ⊗ ( Q ^ k | ψ ⟩ ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-ig)^{k}}{k!}}({\hat {A}}^{k}|i\rangle )\otimes ({\hat {Q}}^{k}|\psi \rangle )}
である。
このあと、3.を施す。3.は事後選択であり、事後選択は「物理系を終了状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } に射影するが測定器は何もしない」というモチベーションから | f ⟩ ⟨ f | ⊗ i d {\displaystyle |f\rangle \langle f|\otimes id} なる演算子で記述したいが、実際には「射影公理」に対応して正規化係数が前に現れる点には注意したい。