クリストッフェル記号
定義から明らかに
{ i j k } = { i k j } {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}=\left\{{{i} \atop {k\;j}}\right\}}
が成り立つ。
曲面上のすべての点でクリストッフェル記号が 0 となるような座標系が存在するならば、その曲面は伸縮することなく平面上に展開可能なものだけであり、それ以外の場合には、曲面上のすべての点で { i j k } = 0 {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}=0} となるような座標系は一般に存在しない。ただし、曲面上のある特定の一点 x0 でならば { i j k } 0 = 0 {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}=0} となるような座標系をとることができる。
ここで、
x i − x 0 i = u i − 1 2 { i j k } 0 u j u k {\displaystyle x^{i}-x_{0}^{i}=u^{i}-{\frac {1}{2}}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}u^{j}u^{k}} ただし、 u 0 i = 0 {\displaystyle u_{0}^{i}=0}
なる座標変換を行う。このとき、u で偏微分を行うと