変数分離
常微分方程式
d f ( x ) d x = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=f(x)\,(1-f(x))}
は、より簡単に
d y d x = y ( 1 − y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)}
と書けるが、ここで g (x ) = 1, h (y ) = y (1-y ) とすれば、この微分方程式は(1)式の形になる。よってこの微分方程式は変数分離が可能である。
上記の説明により、dy と dx を分けて扱うことができる。すなわち両辺に dx をかける。それから両辺を y (1-y ) でわると
d y y ( 1 − y ) = d x {\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx}
となる。これで x と y を分離することができた。つまり、x は右辺のみにあり、y は左辺のみにある状態になった。
両辺を積分して
∫ d y y ( 1 − y ) = ∫ d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx}