三相交流
オイラーの公式を用いる。
E a ̇ + E b ̇ + E c ̇ = E e j 0 + E e − j 2 π / 3 + E e − j 4 π / 3 = E e j θ ( 1 + e − j 2 π / 3 + e − j 4 π / 3 ) = E e j θ ( 1 + cos  2 3 π − j sin  2 3 π + cos  4 3 π − j sin  4 3 π ) = E e j θ ( 1 − 1 2 − j 3 2 − 1 2 + j 3 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}}&=Ee^{j0}+Ee^{-j2\pi /3}+Ee^{-j4\pi /3}\\&=Ee^{j\theta }\left(1+e^{-j2\pi /3}+e^{-j4\pi /3}\right)\\&=Ee^{j\theta }\left(1+\cos {\frac {2}{3}}\pi -j\sin {\frac {2}{3}}\pi +\cos {\frac {4}{3}}\pi -j\sin {\frac {4}{3}}\pi \right)\\&=Ee^{j\theta }\left(1-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\&=0\\\end{aligned}}}
以上の計算により、三つの起電力の和が0になることが示された。
三相平衡回路の起電力の瞬時値・三相平衡回路に流れる電流の瞬時値は、次のように書ける。( θ {\displaystyle \theta } は電圧と電流の位相差)
{ v a ( t ) = V sin  ( ω t ) v b ( t ) = V sin  ( ω t − 2 3 π ) v c ( t ) = V sin  ( ω t − 4 3 π ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}v_{a}(t)&=V\sin(\omega t)\\v_{b}(t)&=V\sin(\omega t-{\frac {2}{3}}\pi )\\v_{c}(t)&=V\sin(\omega t-{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}\right.}
{ i a ( t ) = I sin  ( ω t + θ ) i b ( t ) = I sin  ( ω t + θ − 2 3 π ) i c ( t ) = I sin  ( ω t + θ − 4 3 π ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}i_{a}(t)&=I\sin(\omega t+\theta )\\i_{b}(t)&=I\sin(\omega t+\theta -{\frac {2}{3}}\pi )\\i_{c}(t)&=I\sin(\omega t+\theta -{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}\right.
Y結線(ワイけっせん, ほしがたけっせん, スターけっせん)は、三相各相をその一端の中性点で接続する結線。星形結線(ほしがたけっせん)、スター結線とも表記する。
各相間の電位差を線間電圧(せんかんでんあつ)といい、各相と大地間の電位差を相電圧(そうでんあつ)という。また、結線外の各相の電流を線電流(せんでんりゅう)といい、結線内の各相の電流を相電流(そうでんりゅう)という。
Y結線における、線間電圧と相電圧の関係は次の通り。
線間電圧の大きさは、相電圧の大きさの 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 倍に等しい
線間電圧の位相は、線間電圧の正極性につながっている相電圧よりも30°進んでいる
線間電流は線電流に等しい
上の三つの関係を数式で表すと
下の表は電線1線あたりの送電電力を比較したものである。
三相三線式のほうが送電電力比率が大きいことが分かる。