ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
上記の議論とは独立に、1960年代後半、Yves Hellegouarchがフェルマー予想の解(a,b,c)を全く別の数学的概念である楕円曲線と関連付けることを思いついた。この曲線は(x,y)座標平面上の以下の関係を満たすすべての点によって構成されている。
y 2 = x ( x − a n ) ( x + b n ) {\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n})}
このような楕円曲線は特殊な性質をもっている。これは等式の数に高次の指数が出現するためであり、また a + b = cもまたn次の指数であるためである。
1982-1985年において、ゲルハルト・フライはHellegouarchの曲線の特殊な性質に着目し、これは現在フライ曲線(英語版)と呼ばれている。フライ曲線はモジュラーでない楕円曲線がフェルマーの最終定理に対する反例を与えることになるというアイディアを提示することでフェルマーの最終定理と谷山・志村予想の橋渡しとなった。
より平易な言葉で言えば、フライの研究はフェルマーの最終定理を否定するような数の組(a,b,c,n)は、谷山・志村予想を否定することも可能であろうと考えるに足るような理由を与えた。よって、もし谷山・志村予想が真であれば、フェルマーの最終定理を否定するような数の組も存在しないであろう。