極化恒等式
極化恒等式は内積に限定されるわけではない。B がベクトル空間上の対称双線形形式であり、 Q が次で定義される二次形式であるとする。
Q ( v ) = B ( v , v ) {\displaystyle Q(v)=B(v,v)}
このとき
2 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) 2 B ( u , v ) = Q ( u ) + Q ( v ) − Q ( u − v ) 4 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u − v ) {\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v)\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v)\end{aligned}}}
いわゆる対称化写像は、Q(v) = B(v, ..., v) で定義された次数 k の斉次多項式で Q を置き換えることで後者の式を一般化する。ここで、 B は対称 k-線形写像である。
上の式は、 スカラーの体が標数 2を持つ場合にも適用されるが、この場合左辺はすべてゼロとなる。結果、性質(2)に対応する二次形式での対称双線形形式の公式は存在しない。