平方三角数
ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の四角数であるとすると、
1 2 n ( n + 1 ) = m 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)=m^{2}}
である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1) = 8m + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x - 2y = 1 を得る。その一般解 (xk, yk) は
x k ± y k 2 = ( 1 ± 2 ) 2 k {\displaystyle x_{k}\pm y_{k}{\sqrt {2}}=(1\pm {\sqrt {2}})^{2k}}
で与えられ、よって
x k = ( 1 + 2 ) 2 k + ( 1 − 2 ) 2 k 2 {\displaystyle x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}}
y k = ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k 2 2 {\displaystyle y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}}
である。したがって、k 番目の平方三角数 Nk = (yk/2) は冒頭の式で与えられる。