クローニッヒ・ペニーのモデル
[ ħ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + A a ∑ K ′ u ~ k ( K ′ ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
ここで新しい関数を定義する。
f ( k ) := ∑ K ′ u ~ k ( K ′ ) {\displaystyle f(k):=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}
これをシュレーディンガー方程式に代入すると、
[ ħ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + A a f ( k ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}f(k)=0}
これを u ~ k ( K ) {\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)} について解くと、