対数
対数の概念は、16世紀末にヨスト・ビュルギ(1588年)やジョン・ネイピア(1594年)によって考案され、便利な計算法として広まった。天文学や航海学では膨大な数値計算がすでに必要とされており、三角関数表についてはヒッパルコスのころから存在していたとされ、ティコ・ブラーエは三角関数表を応用して掛け算を足し算に変換して計算する手法を使用していた。ネイピアは、20年かけて対数表を作成し1614年に発表した。エドマンド・ガンターは対数の値を長さに換算した目盛りを持つ物差しを利用し、以上の計算手順を簡単に行えるようにした対数計算尺を発明した。対数は煩雑な計算にかける労力を大幅に減らし、ヨハネス・ケプラーによる天体の軌道計算をはじめとして、その後の科学の急激な発展を支えた。
記号としては1624年にケプラーが"Log"を使い、その後オイラーが常用対数に"log"を、それ以外の底の対数に"l"を使った。
loga x を用いた式から logb x を用いた式へと変形するには、
log b  x = log b  ( a log a  x ) = log a  x ⋅ log b  a {\displaystyle \log _{b}x=\log _{b}\left(a^{\log _{a}x}\right)=\log _{a}x\cdot \log _{b}a}
となることから、
log a  x = log b  x log b  a {\displaystyle \log _{a}x={\log _{b}x \over \log _{b}a}}
とすればよい。これを底の変換という。
これにより、特定の底・任意の真数での対数が分かる場合に、それらの値から任意の底での対数を得ることができる。たとえば、b = 10 として常用対数表から log10 a と log10 x を引くこともできるし、底 b をネイピア数 e として後述のマクローリン展開で loge a と loge x を計算してもよい。
特に、x ≠ 1 ならば、b = x とすることにより
log a  x = 1 log x  a {\displaystyle \log _{a}x={1 \over \log _{x}a}}
を得る。
また、b = 1/a とする(底を逆数にする)と、対数の符号が反転する。
log 1 / a  x = log a  x log a  ( 1 / a ) = − log a  x . {\displaystyle \log _{1/a}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}(1/a)}}=-\log _{a}x.}