三個の平方数の和
N ≡ 7 ( mod 8 ) {\displaystyle N\equiv 7\;(\operatorname {mod} \;8)} が三個の平方数の和で表されないことは、 x 2 ≡ s ∈ { 0 , 1 , 4 } ( mod 8 ) {\displaystyle x^{2}\equiv {s\in \{0,1,4\}\;(\operatorname {mod} \;8)}} から明らかである。仮りに
N = 4 n ( 8 k + 7 ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle N=4^{n}(8k+7)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}
と表されるとすれば、 x , y , z {\displaystyle x,y,z} は全て偶数であるから
4 n ( 8 k + 7 ) = ( 2 x ′ ) 2 + ( 2 y ′ ) 2 + ( 2 z ′ ) 2 4 n − 1 ( 8 k + 7 ) = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&4^{n}(8k+7)=(2x')^{2}+(2y')^{2}+(2z')^{2}\\&4^{n-1}(8k+7)=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\\\end{aligned}}}
となり、数学的帰納法により、 N = 4 n ( 8 k + 7 ) {\displaystyle N=4^{n}(8k+7)} は三個の平方数の和で表されない。