圭 (数学)
また、同じく右からの乗法を作用としてみたとき、2番目の条件は右作用が逆(写像としての逆元)をもつことを要請するもので、右乗法の引き起こす右作用は Q 上の全単射つまり置換である。したがってやはり、分配亜群 Q は Q 自身の上の自己同型からなる集合 (automorphic set) として実現される。また、" ⋆ {\displaystyle \star } ", "/" という2つの演算を用意して、2番目の条件を ( a / b ) ⋆ b = a {\displaystyle (a/b)\star b=a} として定義する流儀もある。この場合、 ⋆ = / {\displaystyle \star =/} なら圭になる。
3次元ユークリッド空間 E 内の(通常の)結び目はすべて基本カンドル (fundamental quandle) と呼ばれるカンドルを持つ。もし2つの結び目の基本カンドルが互いに同型であるならば、一方の結び目を他方に(向き付けは逆になるかもしれないが)うつすような、E の自己同相写像が存在する。
カンドル Q は、任意の元 a, b, c に対して
反射律: a ⋆ a = a . {\displaystyle a\star a=a.}
右可逆性: ∃ ! x ∈ Q : x ⋆ a = b . {\displaystyle \exists !x\in \mathrm {Q} \colon x\star a=b.}
右分配律: ( a ⋆ b ) ⋆ c = ( a ⋆ c ) ⋆ ( b ⋆ c ) . {\displaystyle (a\star b)\star c=(a\star c)\star (b\star c).}
を満たす二項演算 ⋆ {\displaystyle \star } つきの代数系として定義される。
ここで、2番目の条件における x が常に b ⋆ a {\displaystyle b\star a} によって得られるなら、そのカンドルは圭になる。つまり、カンドルは2番目が圭におけるものより弱い条件を仮定しており、したがって圭の概念を包含して、より広い対象を扱う概念を定めている。
圭におけると同様の理由で、このカンドル演算も通常の乗法とは異なる作法に従う乗法である。