ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
その(有限次元の)固有空間に制限された作用素はすべてコンパクトであるため、それらの各々に定理 1 を適用することが出来、 ker  ( T 0 − σ ) {\displaystyle \operatorname {ker} (T_{0}-\sigma )} に対する正規直交基底 Q σ {\displaystyle Q_{\sigma }\,} を見つけることが出来る。 T 0 {\displaystyle T_{0}} は対称であるため、 Q := ⋃ σ ∈ σ ( T 0 ) Q σ {\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }} は(可算)正規直交集合である。また、はじめに述べた分解により、それは H の基底でもある。
定理 3: H を有限次元ヒルベルト空間とし、 F ⊆ Hom  ( H , H ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)} を作用素の可換集合で、各々の作用素が対角化出来るようなものとする。このとき、それらの作用素は同時対角化可能である。
証明(定理 3): ケース I: すべての作用素がちょうど一つの固有値を持つ場合。このときは、H の任意の基底に対して成立する。
したがって、上述の補題により、作用素に対する共通の固有ベクトルがそこに存在しうることがわかる(必ず Q に直交する)。しかしその場合、P 内に Q の真の拡張が存在することとなり、これは極大性に矛盾する。
定理 2: F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} 内にある単射のコンパクト作用素が存在するなら、その作用素は同時(ユニタリ)対角化可能である。
証明(定理 2): コンパクトな単射 T 0 ∈ F {\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}\,} を固定する。このとき、ヒルベルト空間上のコンパクトな対象作用素のスペクトル理論により、次式を得る。 H = ⨁ λ ∈ σ ( T 0 ) ker  ( T 0 − σ ) ̄ {\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\operatorname {ker} (T_{0}-\sigma )}}\,} 。ここで σ ( T 0 ) ⊆ R + {\displaystyle \sigma (T_{0})\subseteq \mathbb {R} ^{+}} は離散的な可算集合で、すべての固有空間は有限次元である。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} は commuting set であるため、すべての固有空間は不変となる。
エルミート行列の族は、ユニタリ対角化可能な行列の真部分集合である。ある行列 M がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規であること、すなわち M*M = MM* が成立することである。同様の内容がコンパクトな正規作用素に対しても成立する。
T をコンパクトとし、T*T = TT* が成立するものとする。T に対して、以下のデカルト分解を適用する:
R = T + T ∗ 2 , J = T − T ∗ 2 i {\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\;J={\frac {T-T^{*}}{2i}}}
を定める。自己共役なコンパクト作用素 R および J は、それぞれ T の実部および虚部と呼ばれる。T がコンパクトであることは T* がコンパクトであることを意味し、結果として R および J もコンパクトとなる訳である。さらに、T の正規性から R と J は可換であることが分かる。したがって、それらは同時に対角化可能であり、以下の主張が成立する。
コンパクトな準正規作用素(特に、部分正規作用素(英語版))は、正規作用素である。