ヴェイユコホモロジー
4つの古典的ヴェイユコホモロジー論がある。
C 上の多様体を解析的位相(GAGA参照)を用いて位相空間と見なしたときの特異コホモロジー(ベッチコホモロジーともいう)
標数 0 の基礎体上のド・ラームコホモロジー: C 上で微分形式により定義、一般には、ケーラー微分の複体による(参照、代数的ド・ラームコホモロジー(英語版)(algebraic de Rham cohomology))
標数が l でない体上の多様体の l-進コホモロジー
クリスタルコホモロジー(英語版)(crystalline cohomology)
ベッチコホモロジーとド・ラームコホモロジーの場合の公理の証明は、比較的容易で古典的であるのに対し、l-進コホモロジーの上記の性質は深い定理となっている。
複素次元が n の(複素)多様体は実次元が 2n であるという事実より、ベッチコホモロジー群の次数が次元の 2 倍を超えると 0 となることは明らかであるので、これらの高次コホモロジー群は消える(例えば単体(コ)ホモロジー(英語版)(simplicial (co)homology)と比較することによって)。
サイクル写像についても理解し易い説明がある。複素次元 n の(コンパクト)多様体 X の任意の(複素) i 次元の部分多様体が与えられると、この部分多様体にそって (2n−i)-形式を積分することができる。ポアンカレ双対の古典的なステートメントは、これが非退化なペアリングを与えることである。
H i ( X ) ⊗ H dR 2 n − i ( X ) → C {\displaystyle H_{i}(X)\otimes H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)\rightarrow \mathbf {C} }
したがって(ド・ラームコホモロジーとベッチコホモロジーとの比較を通して)同型
H i ( X ) ≅ H dR 2 n − i ( X ) ∨ ≅ H i ( X ) {\displaystyle H_{i}(X)\cong H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)^{\vee }\cong H^{i}(X)}
を得る。