自由アーベル群
一方、自由アーベル群の多くの重要な性質は単項イデアル整域上の自由加群に一般化できる。
自由アーベル群は2つのケースを除いて自由群ではないことに注意しよう: 空基底をもつ自由アーベル群(ランク 0 で、自明群になる)あるいはただ1つの元を基底にもつ自由アーベル群(ランク 1 で、無限巡回群になる)。他のアーベル群は自由群でない、なぜならば自由群において ab は a と b が基底の異なる元であれば ba とは異ならなければならないが、自由アーベル群においてそれらは等しくなければならない。自由群は群の圏において自由対象(英語版)である、つまり、与えられた数の生成元での"最も一般的な"あるいは"最も制約のない"群である一方で、自由アーベル群はアーベル群の圏における自由対象である。一般の群の圏において、ab = ba を要求することは付加的な制約であるが、アーベル群の圏においてはこれは必要な性質である。