不連続線型写像
を考えると、この列は一様に零写像に収斂するが、n → ∞ の極限で
T ( f n ) = n 2 cos  ( n 2 ⋅ 0 ) n = n → ∞ {\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to \infty }
となり、これは件の写像が連続ならば満たさねばならない T(fn) → T(0) = 0 に反する。ここで、T が実数値であり、それ故実際には X 上の線型汎函数(つまり代数的双対空間 X の元)であることに注意。各函数にその導函数を割り当てる線型写像 X → X も同様に不連続である。これは連続でないけれども、閉作用素にはなることに注意。
この例において定義域が完備でないという事実が重要である。完備空間上の不連続作用素を得るにはもう少し準備が必要である。
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる(一次近似)。空間に位相も入れて(つまり、位相線型空間を)考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間(例えば無限次元ノルム空間)上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像(ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function)が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。