スピン角運動量
(非相対論的な)量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} として記述可能であり、(スピンを考慮しない)一粒子からなる系の場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は3次元ユークリッド空間 R 上のL 空間と等しい、すなわち
H = L 2 ( R 3 ) {\displaystyle {\cal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}
である。
軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を SO(3) と書くとき、回転行列 R ∈ SO(3) により座標系を回転したとき、波動関数 φ(x) は φ(Rx) に移動する。すなわち、各回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の空間 L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上にユニタリ演算子
λ ( R ) : L 2 ( R 3 ) → L 2 ( R 3 ) , {\displaystyle \lambda (R)~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~} φ ( x ) ↦ φ ( R − 1 x ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R^{-1}{\boldsymbol {x}})}
以上の議論により、Spin(3)=SU(2)を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる
スピノール空間Vs
定理3で述べたSpin(3)=SU(2)の既約ユニタリ表現 π s : S p i n ( 3 ) → U ( 2 ) {\displaystyle \pi _{s}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (2)}
Spin(3)=SU(2)からSO(3)への写像 Φ 3 : S p i n ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \Phi _{3}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)}
などを具体的に書き表す。ただし本節ではVsとπsに関しては最も重要なs=1/2の場合を述べるに留める。それ以外のsに関しては後の章を参照されたい。
..(F1)
同様に Φ3 が誘導する(Φ3)* を(D1)式のように定義すると、(Φ3)* は(D2)式のように書け、(D3)より
( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {so}}(3)}
である。
単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ Rに対し無限小回転 Xn ∈ su(2) を(L6)式のように定義し、合成写像
X n ∈ s p i n ( 3 ) → ( π s ) ∗ { V s {\displaystyle X_{\boldsymbol {n}}\in {\mathsf {spin}}(3){\overset {(\pi _{s})_{*}}{\to }}\{V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } → × i ħ { V s {\displaystyle \}{\overset {\times i\hbar }{\to }}\{V_{s}} 上のエルミート演算子 } {\displaystyle \}}
と表記できる事を以下のように確認できる。ψを任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より
L ^ z ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\psi (r,\theta ,\varphi )} = i ħ λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) ) ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{(1,0,0)})\psi (r,\theta ,\varphi )} = λ ∗ ( d d  t exp  ( t F ( 1 , 0 , 0 ) ) | t = 0 ) ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =\lambda _{*}\left({\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\exp(tF_{(1,0,0)}){\Bigg |}_{t=0}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )} = i ħ d  λ ( exp  ( t F ( 1 , 0 , 0 ) ) ) d  t | t = 0 ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \lambda (\exp(tF_{(1,0,0)})) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\psi (r,\theta ,\phi )} = i ħ d d  t ψ ( r , θ , φ − t ) | t = 0 {\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\psi (r,\theta ,\varphi -t){\Bigg |}_{t=0}} = − i ħ ∂ ∂ φ ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\psi (r,\theta ,\varphi )}
スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。Rを実数全体の集合、Cを複素数全体の集合とする。3次元空間Rにおける回転行列全体の集合を
S O ( 3 ) = { R ∈ M n , n ( R ) : t R R = I , det R = 1 } {\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~\det R=1\}}
と表記する。ここで M n , n ( R ) {\displaystyle M_{n,n}(\mathbf {R} )} は n 行 n 列の実行列全体の集合であり、I は単位行列であり、R は R の転置行列である。SO(3) は行列の積に関して群をなすので、SO(3) を3次元回転群という。
SO(3) のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という(厳密な定義はリー群の項目を参照)。特にSO(3) のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下でVは複素計量ベクトル空間であり、Iは単位行列であり、AはAのエルミート共役である:
3次元回転群 S O ( 3 ) = { R ∈ M n , n ( R ) : t R R = I , det R = 1 } {\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~\det R=1\}} .
さらに x 軸、y 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} 、 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} とし、Fx=F(1,0,0)、Fy=F(0,1,0)、Fz=F(0,0,1)とすると、(G15)、(G13)より交換関係
[ L ^ x , L ^ y ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( [ F x , F y ] ) = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( F z ) = L ^ z {\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{x},F_{y}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{z}}
(G16)、(D2)より、
Φ 3 ( exp  ( θ X x ) ) = exp  ( ( Φ 3 ) ∗ ( θ X x ) ) = exp  ( θ F x ) {\displaystyle \Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp((\Phi _{3})_{*}(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp(\theta F_{\mathsf {x}})} ...(E1)
である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θXx)の形に書けるので、上式によりΦ3の振る舞いを完全に記述可能である。
しかも
Φ 3 ( exp  ( ( θ + 2 π ) X n ) ) = exp  ( ( θ + 2 π ) F n ) {\displaystyle \Phi _{3}(\exp((\theta +2\pi )X_{\mathbf {n} }))=\exp((\theta +2\pi )F_{\mathbf {n} })} = exp  ( θ F n ) = Φ 3 ( exp  ( θ X n ) ) {\displaystyle =\exp(\theta F_{\mathbf {n} })=\Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {n} }))}
であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ3が2:1の写像であるという事実が確認できる。
π : G → H {\displaystyle \pi ~:~G\to H}
をGからHへの可微分な準同型写像とする。このときπが誘導する写像π*を
π ∗ : d  R ( t ) d  t | t = 0 ∈ g {\displaystyle \pi _{*}~:~{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {g}}} ↦ d  π ( R ( t ) ) d  t | t = 0 ∈ h {\displaystyle \mapsto {\operatorname {d} \pi (R(t)) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {h}}} ...(G14)
により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち
π ∗ ( [ A , B ] ) = [ π ( A ) , π ( B ) ] {\displaystyle \pi _{*}([A,B])=[\pi (A),\pi (B)]} ...(G15)
である。
πが誘導する写像π*と行列の指数関数expは以下の関係を満たす:
任意の A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathsf {g}}} に対し、 π ( exp  ( A ) ) = exp  ( π ∗ ( A ) ) {\displaystyle \pi (\exp(A))=\exp(\pi _{*}(A))} ...(G16)