アレクサンダー多項式
曲面と滑らかな四次元位相幾何との関係はほかにもある。例えば、ある種の仮定の下で、手術を施して滑らかな 4次元多様体を変形する方法がある。これは二次元トーラスの適当な近傍を取り除いて、その部分を S と交叉する結び目補空間で置き換えるものである。手術で得られた滑らかな四次元多様体はもともとの 4次元多様体と同相だが、サイバーグ・ウィッテン不変量は、結び目のアレクサンダー多項式を掛ける分だけ変化する。
対称性を持つ結び目はより限定的な形のアレクサンダー多項式を持つことが知られている(Kawauchi (1996) の symmetry 節を参照)が、アレクサンダー多項式からは強可逆性などのある種の対称性がわからないこともある。
結び目補空間が円周上でファイバー付くならば、その結び目のアレクサンダー多項式がモニック(monic)(つまり最高次と最低次の項の係数が ±1)であることが知られている。実は、CK を結び目 K の結び目補空間として S → CK → S がファイバー束となるならば、g: S → S がモノドロミーを表すものとして、ΔK(t) = det(tI − g∗) が成り立つ。ここで g∗: H1S → H1S は g がホモロジーの上に誘導する写像である。
3次元球面における結び目を K とし、X を K の結び目補空間の無限巡回被覆(英語版)とする。この被覆 X は、K の結び目補空間を K のザイフェルト曲面に沿って切って得られる境界付き多様体の可算無限個のコピーを、巡回的に貼合せることで得られる。X に作用する被覆変換 t が存在するが、X の(整数係数の)一次元ホモロジー群 H1(X) を考えれば、被覆変換 t の作用を H1(X) 上へ移すことができるので、H1(X) をローラン多項式環 Z[t, t] 上の加群とみなすことができる。このような加群と見た H1(X) をアレクサンダー不変量または(一次の)アレクサンダー加群と呼ぶ。
アレクサンダー加群は有限表示可能であり、アレクサンダー加群に関する行列表示をアレクサンダー行列と呼ぶ。表示の生成元の数 r が表示の基本関係式の数 s 以下のときは、アレクサンダー行列の r × r 小行列式全体の生成するイデアル(これを、零次フィッティングイデアルまたはアレククサンダーイデアルという)を考える。