組み紐 (数学)
集合 {σ1, σ2, ..., σn−1} から生成され、次の二つの関係式を満たす群を n-ブレイド群 (n-braid group) と呼び、Bn で表す。またその元をブレイドと呼ぶ。
σ i σ j = σ j σ i {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}} ( | i − j | ≥ 2 {\displaystyle |i-j|\geq 2} )
σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}} ( 1 ≤ i ≤ n − 2 {\displaystyle 1\leq i\leq n-2} )
二番目の関係式を組み紐関係式 (braid relation) と呼ぶ。
生成元 σi を、i 番目と i + 1 番目のひもを半回転ひねってできるブレイドとみなすことで幾何的なブレイドの定義と対応する。また、σi は i 番目と i + 1 番目のひもを逆向きに半回転ひねったブレイドと対応する。
n ≤ m のとき、 Bn から Bm への埋め込みが存在する。
写像 σ1 → si によって n-ブレイド群から n 次対称群への自然な全射が定まる (si は n次対称群の生成元)。
対称群への自然な全射の核を 純ブレイド群 (pure braid group) と呼ぶ。