群論
与えられた任意の種類の構造を持つ対象 X に対し、その対称変換(あるいは対称性、symmetry)とは対象 X からそれ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。これは多くの場面で見つかるが、たとえば
対象 X が特に付加的な構造を持たないただの集合であるとき、X の対称変換とは集合 X からそれ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。
対象 X が距離構造を備えた平面上の点の集合(あるいはもっとほかの距離空間)であるとき、X の対称性とは集合 X 上の全単射であって、X 上の任意の二点間の距離を保つもの(等距変換)のことである。これに対応する群は X の等距変換群と呼ばれる。
先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばクライン群が得られる。
対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式 x 2 − 3 = 0 {\displaystyle x^{2}-3=0} は二つの根 ±√3 を持つが、このとき、この二つの根を入れ替えるという対称変換が考えられ、これによって得られる群が、この方程式に属するガロア群と呼ばれるものである。