ラックス・ペア
ラックス方程式 の左辺が u t {\displaystyle u_{t}\ } となることはすぐ分かる。 [A,L] の計算は以下の通りである。
[ A , L ] = [ − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x , − ∂ x 2 + u ] {\displaystyle [A,L]=[-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},-\partial _{x}^{2}+u]\ } = [ − 4 ∂ x 3 , u ] + [ 6 u ∂ x , − ∂ x 2 ] + [ 6 u ∂ x , u ] + [ 3 u x , − ∂ x 2 ] {\displaystyle =[-4\partial _{x}^{3},u]+[6u\partial _{x},-\partial _{x}^{2}]+[6u\partial _{x},u]+[3u_{x},-\partial _{x}^{2}]\ } = − 4 ( 3 u x ∂ x 2 + 3 u x x ∂ x + u x x x ) + 6 ( 2 u x ∂ x + u x x ) ∂ x + 6 u u x + 3 ( 2 u x x ∂ x + u x x x ) {\displaystyle =-4(3u_{x}\partial _{x}^{2}+3u_{xx}\partial _{x}+u_{xxx})+6(2u_{x}\partial _{x}+u_{xx})\partial _{x}+6uu_{x}+3(2u_{xx}\partial _{x}+u_{xxx})\ } = − 12 u x ∂ x 2 − 12 u x x ∂ x − 4 u x x x + 12 u x ∂ x 2 + 6 u x x ∂ x + 6 u u x + 6 u x x ∂ x + 3 u x x x {\displaystyle =-12u_{x}\partial _{x}^{2}-12u_{xx}\partial _{x}-4u_{xxx}+12u_{x}\partial _{x}^{2}+6u_{xx}\partial _{x}+6uu_{x}+6u_{xx}\partial _{x}+3u_{xxx}\ } = 6 u u x − u x x x {\displaystyle =6uu_{x}-u_{xxx}\ }
KdV方程式以外にラックス方程式を用いて書き換え可能な方程式には次のようなものがある。これらはほとんどソリトン解を持っている。
ベンジャミン=小野方程式(英語版)
1次元、3次の 非線形シュレディンガー方程式
デイヴィー=ステュワートソン方程式(英語版)
KP方程式
接ラックス・ペア可積分系 (Integrable systems with contact Lax pairs)
KdV階層(英語版)
変形KdV方程式
サイン=ゴルドン方程式(英語版)
戸田格子(英語版)