概複素構造
M はシンプレクティック形式 ω を持ち、リーマン計量 g を持ち、概複素構造 J を持っているとする。ω と g 非退化であるから、それぞれはバンドル同型 TM → TM を引き起こし、第一の写像を φω と書くと、内積 φω(u) = iuω = ω(u, •) により与えられる。他方、φg と書き、g の類似した作用素により与えられる。このように理解すると、三つ組の構造 (g, ω, J) は、次のように他の2つによってそれぞれの構造を特定することができるときに、整合性を持つ三つ組(compatible triple)を形成すると言う。
g (u, v) = ω (u, Jv)
ω (u, v) = g (Ju, v)
J (u) = (φg) (φω(u)).
これらの等式のそれぞれで、対応する構成が特定されたタイプの構造をしているとき、右辺の 2つの構造は整合性を持っていると言う。例えば、ω と J が整合性を持っていることと、ω(•, J•) がリーマン計量であることは同値である。M 上の切断が ω と整合性を持っているバンドルは、可縮なファイバー(contractible fibres)を持っているといい、シンプレクティック形式の制限と整合性を持っている接ベクトル上の複素構造である。
シンプレクティック形式 ω の基本的性質を使い、整合性を持つ概複素構造 J はリーマン計量 ω(u, Jv) に対しての概ケーラー構造(英語版)(almost Kähler structure)である。また J が可積分であれば、(M, ω, J) はケーラー多様体である。
これらの三つ組は、ユニタリ群の性質に関係している。
しかし、M が実多様体であれば、det(J) は実数であるので、M が概複素構造を持っていても n は偶数であるはずである。これは向き付け可能であることと同じである。
簡単な線型代数の演習として、任意の偶数次元のベクトル空間には線型複素構造が入ることを示すことができる。従って、偶数次元の多様体はいつも (1, 1) ランクのテンソルを各点ごとに持っていて、各々の点で Jp = −1 を満たす。この局所テンソルを互いに貼り合わせて大域的に定義することができるときだけ、各点ごとに定義された線型複素構造は概複素構造を与える。これらの貼り合わせ可能性は、それはM 上に概複素構造が存在する可能性でもあるが、接バンドルに GL(2n, R) から GL(n, C) へ構造群の退化(英語版)が起きる場合と同値である。従って、(概複素構造の)存在問題は、純粋に代数トポロジーの問題として良く理解されている。