エンリケス・小平の分類
小平次元 0 の曲面は、ネター公式 12χ=c2 + c1 から始めることにより分類することができる。小平次元 0 の曲面に対し、K は自己交点数は 0 であるので、c1 = 0 である。χ= h − h + h と c2 = 2 − 2b1 + b2 を使うと
10 + 12h = 8h + 2(2h − b1) +b2.
であることが分かる。さらに、κ が 0 であるので、(K = 0 であれば)h は 1 であるか、または(そうでない場合は) 0 であるかのどちらかである。一般に、2h ≥ b1 であるので、右辺の 3つの項は、非負の整数であり、この方程式にはいくつかの解しかない。代数的曲面に対して 2h − b1 は、0 と 2pg の間の偶数であり、一方、コンパクト複素曲面に対しては 0 か 1 であり、ケーラー曲面に対しては 0 である。ケーラー曲面に対しては、h = h が成り立つ。
これらの条件の大半の解は、次の表に示すように曲面のクラスに対応している。
エンリケスはこの定義を使わなかった。これに替えて、彼は、P12 と K.K = c1 の値を使った。小平次元 κ = −∞ は P12 = 0 に対応し、κ = 0 は P12 = 1 に対応し、κ = 1 は P12 > 1 かつ K.K = 0 に対応し、さらに κ = 2 は P12 > 1 かつ K.K > 0 に対応するので、エンリケスの定義は、小平次元を決定する。
Ω を正則 i-形式として、h = dim H(X, Ω) と表すと、これらをホッジ数と呼び、次のホッジダイアモンドとして並べられる。
セール双対性 h = h であり、h = h = 1 である。曲面がケーラーであれば、h = h であるので、3つの独立なホッジ数が存在する。コンパクトな複素曲面は、h は h かもしくは、h − 1 のどちらかである。第一多重種数 P1 はホッジ数 h = h であり、幾何学種数とよばれることがある。複素曲面のホッジ数は、向き付けられた曲面の実ホモロジー環に依存していて、双有理変換の下に不変である。ただし、例外が h は一点でのブローアップに対して値が 1 ずつ増加する。