代数曲線
代数曲線の各無限枝はその曲線の無限遠点(つまり、その射影完備化の点でアフィン部分に属さない点)に対応する。そして対応する漸近線はその無限遠点における曲線の接線である。接線に対する一般式を射影曲線に適用することはできるが、今の場合は陽には意味を成さない。
曲線の定義多項式の斉次成分への分解を p = pd + ... + p0(各 pi は次数 i の単項式の和)と書けば、
P = h p = p d + z p d − 1 + ⋯ + z d p 0 , {\displaystyle P={}^{h}p=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0},}
および
P z ′ ( a , b , 0 ) = p d − 1 ( a , b ) {\displaystyle P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b)}
である。この曲線の無限遠点は p の (a, b, 0) の形の零点である。あるいは同じことだが、(a, b) が pd の零点である。代数学の基本定理によれば、代数閉体(典型的には複素数体)上では、pd は一次式の積に分解される。各一次の因子は曲線の無限遠点を定義する(bx − ay をそのような因子とすれば、それは無限遠点 ((a, b, 0) を定義する)。
内在的な接空間の概念を用いて、代数曲線上の点 P を非特異(滑らか)か特異かに分類することができる。n − 1 本の n + 1 変数多項式が与えられたとき、全ての偏微分からなる (n − 1)×(n + 1) 行列としてヤコビ行列を得ることができる。この行列の階数が n − 1 ならば、これら多項式は代数曲線を定義する(さもなくばより高次元の代数多様体を定義する)。このヤコビ行列を曲線上の点 P において評価したものがやはり階数 n − 1 となるならば、その点 P は滑らかあるいは正則点であるといい、さもなくば P は特異あるいは臨界点と呼ぶ。特に、考える曲線が一本の斉次多項式方程式 f(x,y,z) = 0 で定義された平面射影代数曲線のとき、その特異点とは 1×(n + 1) ヤコビ行列の階数が零、すなわち
∂ f ∂ x ( P ) = ∂ f ∂ y ( P ) = ∂ f ∂ z ( P ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0}
次数 d の多項式 p(x,y) の定義する次数 d の曲線の特異点の全体は、連立方程式
p x ′ ( x , y ) = p y ′ ( x , y ) = p ( x , y ) = 0 {\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0}
の解の全体である。標数 0 の場合、この方程式系は
p x ′ ( x , y ) = p y ′ ( x , y ) = p ∞ ′ ( x , y ) = 0 {\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0}
に同値である。ただし、先の節の記号に従い p'∞(x, y) = P'z(x, y, 1) である。これらの方程式系の同値性はオイラーの斉次函数定理による。後者の連立方程式では、三つ目の多項式の次数が d ではなく d − 1 である点で有利である。
同様に、次数 d の斉次多項式 P(x,y,z) の定義する射影曲線に対し、その特異点は、連立方程式
P x ′ ( x , y , z ) = P y ′ ( x , y , z ) = P z ′ ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0}
特異点のミルナー数 μ は半径 ε の小球上で定義された写像 grad f(x,y)/|grad f(x,y)| の写像度(連続写像の位相的な写像度)に一致する。ここに grad f は f の(複素)勾配ベクトル場である。ミルナー–ユングの公式(英語版):
μ = 2δ − r + 1
は μ と δ および r を結びつける。ここに点 P における分岐数 r は、P における局所既約な分子の数を言う。例えば、常尖点において r = 1 であり常二重点において r = 2 である。m が必ず r 以上であり、P が特異であるための必要十分条件が m が 2 以上となること、さらに言えば δ は m(m - 1)/2 以上であることを注意しておく。
全ての特異点におけるデルタ不変量を計算することで、曲線の種数 g を決定することができる。すなわち、曲線の次数を d とすれば
g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) − ∑ P δ P {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P}}
が成り立つ。ここに和は平面複素射影曲線の特異点 P すべてに亙ってとる。これを種数公式(英語版)という。
特異点に不変量 [m, δ, r](m: 重複度、δ: デルタ不変量、r: 分岐数)を割り当てるものとすると、常尖点は不変量 [2,1,1] を持つ点であり、常二重点は不変量 [2,1,2] を持つ点であり、常 m-重点は不変量 [m, m(m−1)/2, m] を持つ点である。
数学における代数曲線(だいすうきょくせん、英: algebraic curve)、特にユークリッド幾何学における平面代数曲線 (plane algebraic curve) は、ユークリッド平面内の点集合であって、各点が適当な二変数多項式函数の零点として与えられるものを言う。
例えば単位円は多項式 x + y − 1 の零点集合となる代数曲線である。
様々な技術的理由を考慮するならば、多項式の任意の複素零点をその曲線上の点とみなした方が都合がよい。同様に、代数曲線の概念も、定義多項式の係数や曲線上の点の座標が任意の体に属することも許すように一般化される。代数幾何学において、体 k 上で定義された平面アフィン代数曲線 (plane affine algebraic curve) とは、K を k の適当な代数閉拡大体として、適当な k-係数二元多項式の零点を座標に持つ K-平面 K 内の点すべてからなる集合を言う。この曲線上の点で、k に座標を持つものは k-有理点 (k-point) と総称され、k-有理点の全体をこの曲線の k-成分 (k-part) と呼ぶ。