正弦・余弦変換
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ( cos ω t − i sin  ω t ) d t {\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{\omega t}-i\,\sin {\,\omega t})\,dt}
が得られる。これは二つの積分の差として、次のように記述される:
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) cos ω t d t − i 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) sin ω t d t . {\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt-{\frac {i}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt.}
フーリエ正弦変換およびフーリエ余弦変換は、この式から導くことが出来る。
フーリエ余弦変換は、偶関数に対して連続フーリエ変換を行う際に自然に生じる。上述のような一般的なフーリエ変換において、もし f(t) が偶関数であるなら、積 f(t)cosωt も偶関数となる一方で積 f(t)sinωt は奇関数となる。積分区間が原点について対称であるため、二つ目の積分はゼロとなる一方で、一つ目の積分は
F ( ω ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( t ) cos ω t d t {\displaystyle F(\omega )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt}
と簡略化される。これが、偶関数 f(t) に対するフーリエ余弦変換である。変換された関数 F(ω) も偶関数であることは明らかで、一般的な逆フーリエ変換に対する解析と同様に、第二余弦変換
f ( t ) = 2 π ∫ 0 ∞ F ( ω ) cos ω t d ω {\displaystyle f(t)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\cos \,{\omega t}\,d\omega }
を得ることが出来る。