ルーマー–フィリップスの定理
常微分方程式 u' − λu = f、u(1) = 0 には、L([0, 1]; R) 内の任意の f に対して、唯一つの解 u ( x ) = e λ x ∫ x 1 e − λ t f ( t ) d t {\displaystyle u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{x}^{1}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt}
が H([0, 1]; R) 内に存在する。したがって、全射の条件も満たされる。以上のことから、上述の回帰的な場合のルーマー–フィリップスの定理により、A は縮小半群を生成することが分かる。
ルーマー–フィリップスの定理を直接的に適用することによって望む結果が得られるような例は、さらに多く存在する。
変換やスケーリング、摂動理論とともに用いられることで、ルーマー–フィリップスの定理は、ある作用素が強連続半群を生成することを示す上での主要な道具となる。そのような例を次に述べる。
ヒルベルト空間上の正規作用素(共役作用素と可換であるような作用素)が強連続半群を生成するための必要十分条件は、そのスペクトルが上に有界であることである。