C*-環
集合 A は以下のような構造を持つとき C*-環と呼ばれる。
A は 複素数体 C 上の体上の多元環(代数)である。
対合と呼ばれる A からそれ自身への全単射写像 ∗ : a ↦ a ∗ {\displaystyle \ast \colon a\mapsto a^{*}} があって、 (λa + μb)* = λa* + μb*, (ab)* = b*a*, (a*)* = a が任意の a, b ∈ A, λ, μ ∈ C について成り立つ。
A には ノルム ‖ • ‖ が存在し、任意の a, b ∈ A について ‖ ab ‖ ≤ ‖ a ‖‖ b ‖ が成り立つ。さらに A はこのノルムに関して完備である。
任意の a ∈ A についてノルムの C*-性 (C*-property of the norm): ‖ a*a ‖ = ‖ a ‖ が成り立つ。