ランダウ分布
ここで c ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle c\in (0,\infty )} 、 μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )} これが密度関数を与える
p ( x ; μ , c ) = 1 π c ∫ 0 ∞ e − t cos  ( t ( x − μ c ) + 2 t π log  ( t c ) ) d t , {\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}
p ( x ) {\displaystyle p(x)} の元の形式は μ = 0 {\displaystyle \mu =0} で c = π 2 {\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}} である。以下は μ = 0 {\displaystyle \mu =0} と c = 1 {\displaystyle c=1} の場合の p ( x ; μ , c ) {\displaystyle p(x;\mu ,c)} の近似である。
p ( x ) ≈ 1 2 π exp  ( − x + e − x 2 ) . {\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}