特性部分群
ここで V = {e ,a, b, ab} とし、H = {e, a} を考え、自己同型 T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab を考える。すると T(H) は H に含まれない。
位数 8 の四元数群において、位数 4 の巡回部分群はいずれも正規部分群であるが、いずれも特性部分群ではない。しかしながら、部分群 {1, −1} は、位数 2 の唯一の部分群であるから、特性部分群である。
ここで、H が群 G の唯一の部分群であれば、H は G の特性部分群であることに注意しよう。
n が偶数であれば、位数 2n の二面体群 D は指数 2 の部分群を 3 つ持ち、いずれも正規部分群である。そのうち 1 つは巡回部分群であり、これは特性部分群である。他の 2 つは二面体群であり、D の外部自己同型によって入れ替わるので、特性部分群ではない。
"正規性"は推移的ではないが、"特性部分群であること"は推移性を持つ。すなわち、H Char K かつ K Char G であれば、H Char G である。