真空解 (一般相対性理論)
アインシュタインテンソルが零になることと、リッチテンソルが零になることが同値関係にあることは数学的事実である。このことは、次に示すようにこれら二つの二階テンソルが互いにトレース反転 (英: trace reverse) の関係にあるという事実からの帰結である。
G a b = R a b − R 2 g a b , R a b = G a b − G 2 g a b {\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {R}{2}}\,g_{ab},\;\;R_{ab}=G_{ab}-{\frac {G}{2}}\,g_{ab}}
ここで、トレース R = R a a , G = G a a = − R {\displaystyle R={R^{a}}_{a},\;\;G={G^{a}}_{a}=-R} を用いた。
三つめの同値条件は、リーマン曲率テンソルをワイル曲率テンソル(英語版)とリッチテンソルから構成される項との和へとリッチ分解(英語版)して得られる。すなわち、ワイル曲率テンソルとリーマン曲率テンソルが R a b c d = C a b c d {\displaystyle R_{abcd}=C_{abcd}} のように一致することと、その領域が真空であることは同値である。