松原振動数
G B ( τ = 0 + ) = 1 β ∑ i ω n e − i ω n 0 + i ω n − ξ = − ( n B ( ξ ) + 1 ) . {\displaystyle G_{B}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{B}(\xi )+1).}
フェルミオン
G F ( τ = 0 − ) = 1 β ∑ i ω m e i ω m 0 + i ω m − ξ = n F ( ξ ) , {\displaystyle G_{F}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=n_{F}(\xi ),}
G F ( τ = 0 + ) = 1 β ∑ i ω m e − i ω m 0 + i ω m − ξ = − ( 1 − n F ( ξ ) ) . {\displaystyle G_{F}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{F}(\xi )).}
h F ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)} は左半平面(Re z < 0)での収束をコントロールし、 h F ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)} は右半平面(Re z > 0)での収束をコントロールする。 ここで n F ( z ) = ( e β z + 1 ) − 1 {\displaystyle n_{F}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}} はフェルミ分布関数である。
グリーン関数への応用では、g(z)は常に次の構造を持つ。
g ( z ) = G ( z ) e − z τ {\displaystyle g(z)=G(z)e^{-z\tau }}
これは0 < τ < βで与えられる左半平面で発散する。 収束をコントロールするために、第一のタイプの重み関数は常に h η ( z ) = h η ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)} と選ぶ。 しかし松原振動数の和が発散しないときは収束をコントロールする必要はない。 そのような場合、どんな松原重み関数を選んでも同じ結果が得られる。
Σ ( i ω m ) = − 1 β ∑ i ω n 1 i ω m + i ω n − ε 1 i ω n − Ω = n F ( ε ) − n F ( Ω ) i ω m − ε + Ω . {\displaystyle \Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}={\frac {n_{F}(\varepsilon )-n_{F}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.}
}
これは、温度ゼロにおいて自由エネルギーは化学ポテンシャルに満たない内部エネルギーと単純な関係にあることを意味している。 また分布関数は次の積分によって得られる。
η lim Ω → ∞ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( 1 − i ω + ξ − π 2 Ω ) = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ < 0 , {\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.}
これは温度ゼロでの階段関数のふるまいを示している。
どちらの分布関数も決まったパリティを持っていない。
n η ( − ξ ) = − η − n η ( ξ ) {\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi )}
これは関数 c η {\displaystyle c_{\eta }} を用いて次のようにも書ける。
n η ( − ξ ) = n η ( ξ ) + 2 ξ c η ( 0 , ξ ) {\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi )}
しかしこれらの導関数は決まったパリティを持つ。