組成列
群 G の部分群の列
G = G n ⊇ ⋯ ⊇ G 0 = 1 {\displaystyle G=G_{n}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1}
が各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi ⊵ Gi−1 である場合、(Gi)0≤i≤n を正規鎖(英語版) (subnormal series) と呼び、部分群の個数 n を正規鎖の長さと呼ぶ。ただし、組成列と異なり、Gi と Gi−1 の間に Gi の正規部分群が存在する場合も許容され、長さが無限大となる場合も有り得るものとする。
組成列は長さが有限で、その長さが極大である正規鎖であると言える。群 G に組成列が存在するならば、G の任意の正規鎖は感覚的に言えば列に部分群を極大になるまで挿入することによって、組成列に細分できる。つまり、組成列にはもはや「挿入」できる部分群がないということである。
任意の有限群は組成列をもつが、すべての無限群が組成列をもつわけではない。組成列を持つことは一種の有限条件である。
例えば、整数環 Z を加法についての群と見なした場合、組成列を持たない。
自然に現れる多くの加群は、上記の必ずしも可換ではない群の場合と同様に、必ずしも完全可約群(半単純加群)ではなく、単純加群の直和に分解できないため、その構造を考える上で組成列は重要な情報を与える手段である。
加群 M の組成列は、となりあった加群の商が単純であるような、部分加群による M の増大する有限のフィルターであり、M の単純部分加群による直和分解の代わりの役割を果たす。ジョルダン・ヘルダーの定理による組成列の一意性は、有限群やアルティン加群の不変量を定義するのに使える。
加群に対する組成列の定義は部分加群のみに着目し、部分加群でない部分加法群は無視する。環 R と R-加群 M が与えられたとき、M の組成列とは部分加群の列
M = M n ⊋ ⋯ ⊋ M 0 = 0 {\displaystyle M=M_{n}\supsetneq \dotsb \supsetneq M_{0}=0}
N1 、N2には包含関係は無いので、 G ⊵ N1 ⊵ {1} および G ⊵ N2 ⊵ {1} が主組成列となる。G ⊵ N1 ⊵ {1} の剰余因子群は G/N1 = { N1, 6N1 } と N1/{1} = N1 であり、前者は N2 と同型である。G ⊵ N2 ⊵ {1} の剰余因子群は G/N2 = { N2, 2N2, 4N2 } と N2/{1} = N2 であり、前者は N1 と同型である。N1 と N2 の直積 N1 × N2 は位数6の巡回群であり、G と同型である。従って G は剰余因子群の直積に分解されるので、完全可約群ということになる。
しかし、群 G が主組成列を持つ場合でも、必ずしも完全可約群であるとは限らない。これは単純群は直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではないという理由による。
例えば、G を 5元体 Z5 の乗法群 Z5 = {1,2,3,4} と置けば、G は位数4の巡回群であり、2と3は G の生成元であるので、N = {1,4} が唯一の自明でない正規部分群である。 主組成列は G ⊵ N ⊵ {1} であり、剰余因子群は G/N = {N, 4N} と N/{1} = N であるが、これらは共に位数2の巡回群であり同型である。この2つの群の直積はやはり位数2の巡回群であり位数4の巡回群である G には一致しない。つまりこの場合の G は完全可約群ではないことになる。