行列多項式
行列 A の「特性多項式 pA(t) ≔ det(tI − A) は通常の多項式である」。ところでケイリー–ハミルトンの定理の述べるところは、この多項式を行列多項式として A 自身において評価した値が零行列となることであった: pA(A) = 0. すなわちその意味において、A の「特性多項式は A において消える行列多項式である」。
A において消える次数最小の単多項式は一意に存在して、A の最小多項式と呼ばれる。A において消える任意の多項式(例えば特性多項式)は必ず最小多項式で割り切れる。
したがって、与えられた二つの多項式 P, Q に対し行列多項式方程式 P(A) = Q(A) が成り立つための必要十分条件は、A の固有値を λ1, ..., λs とすれば各 j-階微分(導多項式)に関して
が成り立つことである。ただし ni は固有値 λi に対応する指数(対応するジョルダンブロックの最大サイズ)である。
数学における行列多項式(ぎょうれつたこうしき、英: matrix polynomial)は、行列を変数とする(一変数または多変数の)「多項式」を言う。行列多項式の係数には、スカラーや行列など、変数行列との積が定義できる様々な対象が考えられる。変数 X が決まったサイズの正方行列を亙るものとすれば、行列多項式 P(X) には X と同じサイズの行列 A を代入することができて—代入した値を P(A) と書けば—評価写像 (P(X), A) ↦ P(A) や「多項式函数」A ↦ P(A) などが定まる。
例えば、変数 X に関するスカラー係数の一変数行列多項式は
(ai はスカラー) という形に書ける。X に行列 A を代入した
は行列として定まるから、各 A にこの P(A) を対応させる写像は行列変数行列値の函数(英語版)として定まる。
行列多項式方程式 (matrix polynomial equation) は二つの行列多項式が相等しいことを記述する式で、考えている式を満足する行列が限られるものを言う。適当な行列環 Mn(R) 全体に亙る全ての行列が方程式を満足するならば、その行列多項式方程式は行列多項式恒等式 (matrix polynomial identity) と呼ばれる。