C0半群
これはギアハート-プルスの定理と呼ばれる。
作用素 A のスペクトル上限は、定数
s ( A ) := sup { R e λ : λ ∈ σ ( A ) } {\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}
として定義される。ただし、A のスペクトル σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} が空である場合には、s(A) = −∞ とする。
半群の成長上限とスペクトル上限には、s(A)≤ω0(T) という関係がある。s(A) < ω0(T) となるような例もいくつかの文献で見られる。もし s(A) = ω0(T) であるなら、T はスペクトル決定成長条件(spectral determined growth condition)を満たしているといわれる。終局的にノルム連続な半群は、スペクトル決定成長条件を満たしている。このことから、それらの半群の指数安定性と同値な条件がまた得られる:
終局的にノルム連続な半群が指数安定であるための必要十分条件は、s(A) < 0 である。
終局的にコンパクトな半群、終局的に微分可能な半群、解析半群、および一様連続半群は、終局的にノルム連続であるため、スペクトル決定成長条件を満たしている。