二項係数
最後に、計算論的には不利だが、短く書けるのでしばしば証明や導出に用いられるよく知られた階乗函数を用いた式は
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}
で与えられる。ここに n! は n の階乗である。この式は上記の乗法表示式に、分子分母に対して (n − k)! を掛けることで得られる(その結果、この式において分母と分子は多くの共通因数を持つことになる)。(特に階乗は非常に速く増加するから)この式を(k が小さく n が大きい場合に)実際の数値計算に用いることは(先に共通因数を約分しない限り)実用的でない。この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性
を持つことを見るのに適している(二項係数の定義から対称性をもつことは分かる)。この対称性を用いれば乗法的な計算をより効果的にすることもできる。下降階乗冪で書けば
( n k ) = { n k _ / k ! if k ≤ n 2 n n − k _ / ( n − k ) ! if k > n 2 {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}n^{\underline {k}}/k!&{\text{if }}\ k\leq {\frac {n}{2}}\\n^{\underline {n-k}}/(n-k)!&{\text{if }}\ k>{\frac {n}{2}}\end{cases}}}
と書ける。
k − 1 k ∑ j = 0 M 1 ( j + x k ) = 1 ( x − 1 k − 1 ) − 1 ( M + x k − 1 ) {\displaystyle {\frac {k-1}{k}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{M}{\dfrac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\dfrac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\dfrac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}
が成り立つことを M に関する帰納法で示せばよい。
等式 (9) から ∑n i (ni) = n/2 (2nn) および ∑n i (ni) = n (2n − 2n − 1) が得られる。
Series multisection(英語版)により、0 ≤ t < s として t を境に s 刻みに取った二項係数の総和と s 項の閉じた形の式の和との間の等式
( n t ) + ( n t + s ) + ( n t + 2 s ) + ⋯ = 1 s ∑ j = 0 s − 1 ( 2 cos  π j s ) n cos  π ( n − 2 t ) j s {\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\dotsb ={\frac {1}{s}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\dfrac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\dfrac {\pi (n-2t)j}{s}}}
が示せる。
標数 0 の任意の体(すなわち、有理数体 Q を含む体)上で、次数が高々 d の任意の多項式 p(t) は二項係数の線型結合
p ( t ) = ∑ k = 0 d a k ( t k ) {\displaystyle p(t)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{d}a_{k}{\dbinom {t}{k}}}
として一意に書ける。このときの係数 ak は数列 p(0), p(1), ..., p(k) の第 k-階差で与えられ、明示的に書けば
で決まる。
数学における二項係数(にこうけいすう、英: binomial coefficients)は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (nk) とか (n¦k) と書かれる(これは二項冪 (1 + x) の展開における x の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}}} で与えられる)。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。
この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n元-集合から k個の元を(その順番を無視して)選ぶ方法が (nk) 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 (nk) の意味を、もともとの n および k が k ≤ n なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。
( − 1 ) k ( z k ) = ( − z + k − 1 k ) = 1 Γ ( − z ) 1 ( k + 1 ) z + 1 ∏ j = k + 1 ( 1 + 1 j ) − z − 1 1 − z + 1 j {\displaystyle (-1)^{k}{\binom {z}{k}}={\binom {-z+k-1}{k}}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {(1+{\frac {1}{j}})^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}
から漸近公式
( z k ) ≈ ( − 1 ) k Γ ( − z ) k z + 1 , ( z + k k ) = k z Γ ( z + 1 ) ( 1 + z ( z + 1 ) 2 k + O ( k − 2 ) ) {\displaystyle {\binom {z}{k}}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}},\quad {\binom {z+k}{k}}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}
が k → ∞ で成り立つ。この漸近挙動は近似
= p(k − 1) = 0 かつ p(k) = 1 を満たす唯一の k次多項式 p(t) として特徴づけることができる。
この多項式の係数は第一種スターリング数を用いて
( t k ) = ∑ i = 0 k [ k i ] t i k ! {\displaystyle {\binom {t}{k}}=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k}\displaystyle \left[{k \atop i}\right]{\frac {t^{i}}{k!}}}
と表すことができる。この導函数は対数微分法により
d d t ( t k ) = ( t k ) ∑ i = 0 k − 1 1 t − i {\displaystyle {\frac {d}{\mathit {dt}}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k-1}{\dfrac {1}{t-i}}}
と計算できる。