双曲多様体
双曲 n {\displaystyle n} -多様体は、断面曲率が定数 -1 であるような完全 n-次元リーマン多様体である。
負の定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} である。したがって、そのようなすべての M は、 H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、 H n / Γ {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma } と書くことが出来る。すなわち、Γ は S O 1 , n + R {\displaystyle SO_{1,n}^{+}\mathbb {R} } の離散部分群である。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、Γ が格子であることである。
その厚薄分解(英語版)は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド n-1-次元多様体と閉半直線の積である厚い部分からなる。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。
n > 2 に対し、双曲 n-次元多様体の有限体積上の双曲構造は、モストウの剛性定理によって一意であり、したがって幾何的不変性は位相的不変性である。