ゼルニケ多項式
ここで、 s は ⌊ n / 2 ⌋ − k ≤ s ≤ ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor } の範囲をとる。これより、動径多項式は有限次のバーンスタイン関数として表される。
R n m ( ρ ) = 1 ( ⌊ n / 2 ⌋ ⌊ m / 2 ⌋ ) ρ n mod 2 ∑ s = ⌊ m / 2 ⌋ ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) ⌊ n / 2 ⌋ − s ( s ⌊ m / 2 ⌋ ) ( ( n + m ) / 2 s + ⌈ m / 2 ⌉ ) b s , ⌊ n / 2 ⌋ ( ρ 2 ) . {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}