対称式
多項式 f(x1,x2,...,xn) に対しては、n 変数の多項式として
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ ( p 1 , p 2 , ... , p n ) ∈ N n a p 1 p 2 ... p n x 1 p 1 x 2 p 2 ⋯ x n p n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{p_{1}p_{2}\ldots p_{n}}\ x_{1}^{p_{1}}\ x_{2}^{p_{2}}\ \cdots \ x_{n}^{p_{n}}}
と表したとき、係数が 0 でない項の中で最も次数の高い項の次数を deg(f) とする。
f(x1,x2,...,xn) が対称式の時、その次数 deg(f) = (a1,a2, ..., an) は、任意の添字 1 ≤ j ≤ k ≤ n に対して、広義単調減少 aj ≥ ak となる。
対称式では、広義単調減少でない (0,1,3,2,2) のような次数の項があれば、(3,2,2,1,0) という次数で係数の等しい項が必ずある。
x1, x2 に関する対称式
f(x1, x2) = x1 x2 + x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2
は、
x2 = σ1 − x1
という関係から
f(x1, x2) = x1 ( σ1 − x1 ) + x1 (σ1 − x1 ) + x1 + x1 ( σ1 − x1 ) + ( σ1 − x1 )
= σ1 + (σ1 − σ1) x1 + (1 − 3 σ1) x1 + 4 σ1 x1 − 2 x1
ここで
x1 − σ1 x1 + σ2 = 0
を用い、x1 について 1次以下にすれば
f = σ1 σ2 − 2 σ2 + σ1 − σ2
が得られる。
最後の次数下げの部分は
x1 = σ1 x1 − σ2
として、代入し続けてもいいし、多項式の割り算によって
f = ( − 2 x1 + 2 σ1 x1 + 2 σ2 −1 + 1 ) (x1 − σ1 x1 + σ2) + σ1 σ2 − 2 σ2 + σ1 − σ2
の第 1 項を 0 としたもの、つまり割り算の余りを基本対称式による表現とすればよい。