オイラー線
外心・重心・垂心が一致するため、オイラー線は定義できない。
直角三角形のオイラー線は、直角である頂点と斜辺の中点を結ぶ線となる。これは外心が斜辺の中点であることと垂心が頂点であることから容易に分かる。
A H → = O B → + O C → , O G → = O A → + O B → + O C → 3 {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}={\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OC} }},{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OC} }}}{3}}} 等を利用する。
外心と垂心を結ぶ線と中線の交点が重心であることを示す。
三角形を重心を中心として180度回転させ、2倍に拡大したとき、外心の移動先が元の三角形の垂心であることを示す。
三角形の3つの傍心が作る三角形を傍心三角形と呼ぶ。この三角形のオイラー線は、元の三角形の外心と内心を結ぶ直線となる。