因子 (代数幾何学)
正規な複素解析空間 X においても、その素因子 Z および素因子に沿った有理型関数の位数 vZ( - ) が定まり、ヴェイユ因子の概念が定義できる。また、カルティエ因子も有理関数を有理型関数に置き換える事によって定義できる。しかし、#直線束と因子で述べた、直線束とカルティエ因子の線形同値類の1対1の対応は一般にはなく、単射準同型
CDiv ( X ) / ∼ ↪ Pic ( X ) {\displaystyle {\mbox{CDiv }}(X)/\sim \;\hookrightarrow {\mbox{Pic }}(X)}
があるのみである。
例えば、X を非常に一般の複素トーラスとする。このとき、複素トーラスの周期の理論により、X 上には因子が全く存在しない。しかし、数値的に自明な X の上の直線束全体は X の双対トーラスと同一視できる。つまり、X にはたくさん直線束があるが、それに対応する因子は全く存在しない事になる。これは、非常に一般の複素トーラスの代数次元 (algebraic dimension) が 0 である事を意味する
より一般に、スキーム S 上有限型な被約で既約なスキーム f : X → S {\displaystyle f:X\to S} 上のカルティエ因子 D に対して f ∗ O X ( D ) {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D)} が連接層になると仮定する。たとえば、f が固有射のときはいつでもこの仮定は成り立つ。いま、部分連接層 V ⊂ f ∗ O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\subset f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D)} に対して自然な準同型
f ∗ V → O X ( D ) {\displaystyle f^{*}{\mathcal {V}}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)}
が全射になるとき、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は S 上 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} で生成されるという。このときも、体 k 上で考えていた場合と同じく、S スキームの射
φ V : X → P ( V ) {\displaystyle \varphi _{\mathcal {V}}:X\to \mathbb {P} ({\mathcal {V}})}
であって、 O X ( D ) = φ V ∗ O P ( V ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)=\varphi _{\mathcal {V}}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1)} となるものが定まる。
従って、種数が 1 のコンパクトリーマン面上にはある 1 点に極を持つ定数でない有理型関数はその極の位数が 2 の時に初めて現れる(これを f とおく)ことがわかり、これとは1次独立なもの g が位数が 3 の時にもひとつ存在することもわかる。すなわち、L(3P) は 1 , f , g の 3つで C 上張られるベクトル空間である。対応
Q ↦ [ 1 : f ( Q ) : g ( Q ) ] {\displaystyle Q\mapsto [1:f(Q):g(Q)]}
は正則写像 C → P C 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{2}} を定める。さらに、L(6P) をみれば 、これら2つの有理型関数はある2変数の3次式 F(z1 , z2) に対して F(f , g)=0 となる、つまり、上記正則写像の像が3次曲線 F = 0 に含まれている事もわかる。このようにして、種数 1 のコンパクトリーマン面は、平面上の3次曲線に対応していることがわかり、ここで現れた位数が 2 の極を持つ有理型関数 f はワイエルシュトラスのペー関数に他ならない。
このように、与えられた多様体に対して、その上の因子 D と、それから定まる有理型関数の空間 L(D) (特にその次元)は多くの幾何学的情報を含んでいるのであり、特に、射影多様体の射影空間への正則写像(一般には有理写像)を考える事と L(D) を考える事は同値である。コンパクトな(固有な)代数多様体上では空間 L(D) が有限次元のベクトル空間になる事から、正則写像を調べる問題を有限次元のベクトル空間のマニピュレーションに帰着できるのである。