順序指数函数
K は実または複素数体、A は K 上の代数とする。写像 a: K → A によって与えられる A の元からなる一径数族 a(t) の径数 t はこの文脈ではしばしば時間径数 (time parameter) として言及される。
時間径数で径数付けられた元 a を引数とする順序指数函数は
のように書かれる。ここに n = 0 の項は 1 に等しく、また T {\textstyle {\mathcal {T}}} はこの指数函数が時間順であることを保証する高階演算子である(時間順であるというのは、この指数函数の展開に現れる a(t) に関する任意の積が、t が積の右から左へ向けて値が増加する順番でなければならないという意味である。模式的な例を挙げれば、
のように並べ替える)。このような制限は、考える代数が必ずしも可換でないところで積を考えるので必要になる。 この演算によって、径数付けられた元は径数付けられた元の上に写される。記号で書けば
このような積分をより厳密に定義する方法は様々あり、以下にいくつか挙げる。
順序指数函数を以下の微分方程式の初期値問題
のただ一つの解として定義することができる。