二次形式
特定の二次形式の研究(特に、与えられた整数が整係数二次形式の値として得られるかといったような問題)は何世紀も遡れるものである。そういったものの一つに「どのような整数が整数 x, y の平方和 x + y の形に表されるか」というフェルマーの二平方和定理がある。この問題は、ピタゴラス数を求める問題に関係しており、こちらは紀元前2千年紀には既に存在していた問題である。
628年にインドの数学者ブラーマグプタの著した『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』には、その他の多くの問題とともに、x − ny = c の形の方程式の研究が含まれている。ブラーマグプタは特に、今日ではペル方程式と呼ばれる x − ny = 1 の形の方程式を考え、多くの解法を得ている。ヨーロッパでは、この問題にブラウンカー、 オイラー、ラグランジュらが取り組んだ。
1801年にガウスの著した『算術研究』では、整係数二元二次形式についての完全な理論の解説にかなりの紙面が割かれていた。その後、概念は一般化され、二次体やモジュラー群などと結び付けられて、数学のさまざまな分野を通してより深い解明がなされた。
二次形式は n-変数の斉二次多項式である。たとえば、変数の数が 1, 2, 3 の二次形式はそれぞれ一元 (unary) 、二元(英語版) (binary) 、三元 (ternary) 二次形式と呼ばれ、具体的にはそれぞれ
標数が 2 でない体上 n-変数の任意の二次形式 q は対角線形式 (diagonal form)
q ( x ) = a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + ⋯ + a n x n 2 {\displaystyle q(x)=a_{1}{x_{1}}^{2}+a_{2}{x_{2}}^{2}+\dotsb +a_{n}{x_{n}}^{2}}
に同値である。このような対角線形式はしばしば
⟨ a 1 , ... , a n ⟩ {\displaystyle \langle a_{1},\dotsc ,a_{n}\rangle }
と書かれる。したがって、同値関係を除く全ての二次形式の類別は対角線形式の分類に帰着することができる。