微分積分学の基本定理
剰余項を積分形で表すバージョンのテイラーの定理は微分積分学の基本定理の一般化と見ることができる。
積分可能性に関して、通常はリーマン積分の意味で積分可能であることを要求するが、ルベーグ積分に対する基本定理も存在する(Rudin (1976, p. 324) を参照)。
f {\displaystyle f} が連続である場合に成り立つ次の系は、微分積分学の基本公式として知られる:
微分積分学の基本公式 ― 区間 I {\displaystyle I} 上で連続な関数 f {\displaystyle f} について、その原始関数の一つを F {\displaystyle F} として、
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)}
が成り立つ。
基本公式は原始関数の差として定積分を計算できることを主張する。第二定理と違い基本公式では被積分関数に連続性を課すが、第二定理は(積分可能であれば)不連続な関数に対しても成り立つ。