対関数
w ≤ 8 z + 1 − 1 2 < w + 1 {\displaystyle w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1}
従って
w = ⌊ 8 z + 1 − 1 2 ⌋ {\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor } .
以上から z から x と y を計算すると次のようになる。
w = ⌊ 8 z + 1 − 1 2 ⌋ {\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor }
t = w 2 + w 2 {\displaystyle t={\frac {w^{2}+w}{2}}}
y = z − t {\displaystyle y=z-t\!}
x = w − y {\displaystyle x=w-y\!}
以上のようにカントールの対関数には逆関数が存在し、一対一対応している。
順序の言葉で述べるならば、 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} を和 x + y {\displaystyle x+y} が小さい順に並べ、和が等しいものについては y {\displaystyle y} が小さい順に並べたとき、 N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} から N {\displaystyle \mathbb {N} } への一意的な順序同型がカントールの対関数である。
Q ( z ) = min ( ⌊ z ⌋ , E ( z ) ) {\displaystyle Q(z)=\min(\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ,E(z))}
R ( z ) = { ⌊ z ⌋ E ( z ) < ⌊ z ⌋ E ( z ) − ⌊ z ⌋ E ( z ) ≥ ⌊ z ⌋ {\displaystyle R(z)={\begin{cases}\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor &E(z)<\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \\E(z)-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor &E(z)\geq \lfloor {\sqrt {z}}\rfloor \end{cases}}}
ただし E ( z ) = z − ⌊ z ⌋ 2 {\displaystyle E(z)=z-\lfloor {\sqrt {z}}\rfloor ^{2}} である。