整関数
増大度が有限でない整函数は無限増大度であるという。有限増大度 ρ の場合には、エミール・ボレルにより「その上で増大度が exp(r) となる半径 r の円が無限個存在するならば、それら以外の無限個の円上で増大度が著しく低くなることが起こり得る」(そのような整函数は異常増大 (irregular growth) であるという)という言及がかなり早い時期に与えられているが、同じ現象は無限増大度の場合にも存在する。
そのような理論は、整函数の型の存在と公式 M ( r ) = max | z | = r | f ( z ) | = e r ρ ( r ) {\textstyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|=e^{r^{\rho (r)}}} に従って与えられる増大度 ρ = ρ(r) に基づく。
増大度が整数でない場合は、ピカールの小定理における例外値を持つことはできない。すなわち、そのような整函数は x の値に依らずに方程式 f(s) = x が無限個の解を持つ。特に、
増大度が整数でない任意の整函数は無限個の零点を許す。
整函数が適当な集合上で整数値をとるという条件は、その増大に制限を課す。Pólya (1915) は例えば以下の定理を証明した:
↑ superior は上極限 limsup を取ることに由来する。すぐ後で下極限に対応する下増大度なども定義する
(1929), Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions sous la direction de Emile Borel, Paris: Gauthier-Villars, OCLC 432684946
Valiron, G. (1932), “Fonctions convexes et fonctions entières”, Bulletin de la Société Mathématique de France 60: 278-287, http://www.numdam.org/article/BSMF_1932__60__278_0.pdf
Valiron, G. (1914), Sur les fonctions entières d’ordre nul et d’ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance régulière, Thèses de l’entre-deux-guerres, http://www.numdam.org/article/THESE_1914__4__1_0.
定数でない任意の整函数は、複素数平面上において、高々一つの値を除いたすべての複素数の値をとる。
詳しくは後述するが、ある意味で整函数論はピカールの小定理のまったく周辺を周っている。
一つの領域—つまり、連結開集合—上定義された正則函数が整函数に解析的に延長できるための必要十分条件は、そのテイラー級数の収束半径がその領域上の任意の点において無限大となることである。(注:領域上のある1点に於いてテイラー級数の収束判型が無限大であれば整関数に延長できる。)
整函数全体の成す集合は、写像の合成に関して閉じているから、複素数平面からそれ自身への連続函数全体の成す空間の複素部分多元環を成す。
整函数は有界ならば定数であり、また無限遠点以外では特異点を持てないから、定数でない任意の整函数に対して無限遠点は特異点である。可能性としてその特異点は極または真性特異点であるが、前者の(無限遠点に極を持つ)場合、その整函数は多項式である。後者の(無限遠に真性特異点を持つ)場合、その函数は超越整函数と言う。