ヤコビ多様体
基礎体 k が複素数体 C であるとき、C の C 値点 C(C) には自然にコンパクト・リーマン面の構造が入るので、このリーマン面のヤコビ多様体 Jac(C(C)) を考えることができる。これは代数幾何学的に定義されたヤコビ多様体 J の C 値点 J(C) と自然に同型になる。この同型を与える写像は次のように定義される。まず C の正則1形式がなす k = C 上のベクトル空間 Γ(C, Ω1C) の双対ベクトル空間 Γ(C, Ω1C) から J(C) への写像を合成写像
Γ ( C , Ω C 1 ) ∨ → Γ ( J , Ω J 1 ) ∨ ≃ T 0 ( J ) ⟶ e x p J ( C ) {\displaystyle \Gamma (C,\Omega _{C}^{1})^{\vee }\to \Gamma (J,\Omega _{J}^{1})^{\vee }\simeq T_{0}(J){\overset {\mathrm {exp} }{\longrightarrow }}J(\mathbb {C} )}
で定義する。最初の写像はアーベル・ヤコビ写像から誘導される写像で、次の写像は Γ(J, Ω1J) と J の接空間 T0(J) の自然な同型写像で、最後の exp は指数写像である。この写像の Γ(C, Ω1C) ≅ Ω1hol(C(C)) における核が H1(C(C), Z) であることが証明できるので、これより Jac(C(C)) = Ω1hol(C(C)) / H1(C(C), Z) と J(C) が同型になることがわかる。