ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題
問題文は次の通り。
任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ。存在とは、Streater & Wightman (1964)、Osterwalder & Schrader (1973) や Osterwalder & Schrader (1975) で挙げられているものと少なくとも同等以上に強い公理的性質を確立することを含む。
このステートメントにおいて、ヤン=ミルズ理論は素粒子物理学の標準模型の基礎にあるものと類似した非可換な場の量子論である。 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} は4次元ユークリッド空間であり、質量ギャップ(英語版) Δ はこの理論によって予言される最小質量を持つ粒子の質量である。
従って、受賞者となるには以下を証明する必要がある。
ヤン・ミルズ理論が存在し、現代の数理物理学、なかんずく構成的場の理論を特徴付けている厳密さの基準を満たすこと。
その理論が予言する力場における最小質量を有する粒子の質量が厳密に正であること。
たとえば、G=SU(3) (強い力の相互作用)である場合は、グルーボールの質量に下限が存在し、それより軽くはできないことを証明する必要がある。
質量ギャップ(mass gap)とは、場の量子論における真空とその次に低いエネルギー準位との間のエネルギー差を指す。真空のエネルギーを0と定義し、すべてのエネルギー準位を平面波の粒子として考えるとき、質量ギャップは最も軽い粒子の質量と考えられる。
任意の実数の場 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について、相関関数が次の性質を持つ場合、理論は質量ギャップを持つということができる。
⟨ φ ( 0 , t ) φ ( 0 , 0 ) ⟩ ∼ ∑ n A n exp  ( − Δ n t ) {\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}
ここで、 Δ 0 > 0 {\displaystyle \Delta _{0}>0} はハミルトニアンのスペクトルにおける最低のエネルギー値であり、すなわち質量ギャップである。この量は他の場へ容易に一般化でき、一般に格子計算で測られる。ヤン・ミルズ理論が格子上で質量ギャップを生じることは、この方法で証明された。