ハウスドルフ次元
ハウスドルフ次元は数値の具体的な計算が難しいという欠点がある。これに対し、被覆する集合の直径を全て同じとしたのがボックス次元と呼ばれる次元で、ハウスドルフ次元よりも数学的には扱いにくいが計算は容易である。ボックス次元には同値な定義がいくつかあるが、集合 X に対して
dim _ B ( X ) = lim ε → 0 inf log  N δ ( X ) log  1 δ {\displaystyle {\underline {\dim }}_{B}(X)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\inf {\dfrac {\log N_{\delta }(X)}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}
dim ̄ B ( X ) = lim ε → 0 sup log  N δ ( X ) log  1 δ {\displaystyle {\overline {\dim }}_{B}(X)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sup {\dfrac {\log N_{\delta }(X)}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}
一般的な相似次元は、縮小写像の m 個の組 f1, f2, ..., fm : R → R が与えられたときに、これに対応する自己相似集合に対して、それぞれの縮小率 ci (i = 1, 2, ... m) から
∑ i = 1 m ( c i ) s = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(c_{i})^{s}=1}
を満たす s の正の値によって与えられる。自己相似集合を X として、その相似次元を dimS(X) と表すとする。上記のとおり、縮小写像が相似縮小変換でなおかつ開集合条件を満たすとき、その自己相似集合のハウスドルフ次元と相似次元には
dim H  ( X ) = dim S  ( X ) {\displaystyle \dim _{H}(X)=\dim _{S}(X)}
という関係がある。また、相似縮小変換かつ開集合条件という条件を付与しない一般的な自己相似集合については、ハウスドルフ次元と相似次元の関係は次のようになる。
dim H  ( X ) ≤ dim S  ( X ) {\displaystyle \dim _{H}(X)\leq \dim _{S}(X)}