接線
エウクレイデスは円の接線 (古代ギリシア語: ἐφαπτομένη) についていくつもの言及を『原論』第 III 巻 (c. 300 BC) で行っている。ペルガのアポロニウスは『円錐曲線論』(c. 225 BC) において、接線を「その曲線との間にいかなる直線も入り込まない直線」として定めた。
アルキメデス (c. 287–c. 212 BC) はアルキメデスの螺旋の接線を、曲線に沿って奔る動点の経路を考えることにより求めている
1630年代にフェルマーは擬等式の方法(英語版)を発明して、接線の計算などの解析学における問題に取り組み、その手法で放物線の接線を計算した。擬等式の方法は二値の差 f(x) − f(x) を二点間の差 h の冪で割るというような手法である。それとは独立にデカルトは法線の方法(英語版)を用いたが、それは円の半径が常に円自身の法線となるという観察に基づくものである。
初等幾何学において接する(せっする、英: tangent)とは、その名を「触れること」を意味するラテン語: tangere に由来し、「ただ触れるだけ」という直観的概念を定式化するものである。特に、曲線の接線(せっせん、英: tangent line、tangent)は、平面曲線に対しては、曲線上の一点が与えられたとき、その点において曲線に「ただ触れるだけ」の直線を意味する。ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した。より具体的に解析幾何学において、与えられた直線が曲線 y = f(x) の x = c(あるいは曲線上の点 (c, f(c))における接線であるとは、その直線が曲線上の点 (c, f (c)) を通り、傾きが f の微分係数 f'(c) に等しいときに言う。同様の定義は空間曲線やより高次のユークリッド空間内の曲線に対しても適用できる。
曲線と接線が相接する点は接点 (英: point of tangency) と言い、曲線との接点において接線は曲線と「同じ方向へ」進む。その意味において接線は、接点における曲線の最適直線近似である。
同様に、曲面の接平面は、接点においてその曲線に「触れるだけ」の平面である。このような意味での「接する」という概念は微分幾何学において最も基礎となる概念であり、接空間として大いに一般化される。
与えられた曲面とその上の点 p に対し、p における接平面 (英: tangent plane) は、曲線に対する接線の場合と同様の方法で定義される。それは接点 p における曲面の最適近似平面であり、p の十分近くで曲面上の相異なる三点を通る平面の、三点を p に近づけた極限として得ることができる。より一般に、n-次元ユークリッド空間内の k-次元多様体の各点において、k-次元接空間が接している。