完備距離空間
距離空間 X が完備となる必要十分条件は、X の空でない閉部分集合からなり、差し渡しの長さが 0 に収束するような任意の減少列が、必ず空でない交わりを持つことである。式で書けば、Fn を空でない閉集合とし、各 n について Fn+1 ⊂ Fn かつ diam(Fn) → 0 を満たすならば、適当な点 x ∈ X が存在して、x は全ての Fn に属する。
任意のコンパクト距離空間は完備であるが、逆は必ずしも成立しない(完備距離空間はコンパクトであるとは限らない)。実は、距離空間がコンパクトとなることと、完備かつ全有界となることとは同値である。これは、R の任意の有界閉集合がコンパクト、従って完備であることを述べるハイネ・ボレルの被覆定理の一般化である。
完備距離空間の閉部分空間はまた完備である。逆に、距離空間の完備部分集合は必ず閉である。
集合 X と完備距離空間 M に対し、X から M への有界関数全体の成す集合 B(X, M) は完備距離空間である。ただし B(X, M) における距離は M における距離から上限ノルムを用いて d ( f , g ) ≡ sup { d ( f ( x ) , g ( x ) ) : x ∈ X } {\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d(f(x),g(x)):x\in X\}} と定義する。