固有多項式
と表すことができる。ここで c2 は主小行列式の総和である。
奇数次の実数係数多項式は少なくとも1つ実根を持つことから、奇数次の実数係数行列は、少なくとも1つ実固有値を持つ。実根をもたない偶数次の多項式は存在するが、代数学の基本定理によれば、複素数の範囲で、n次多項式は重複を込めて n 個の根を持つ。実数係数多項式の実数でない根は複素共役との組で現れることから、実数係数行列の実数ではない固有値も共役複素数の組で現れることが分かる。
ケイリー・ハミルトンの定理:固有多項式において t を A に置き換えて得られる行列 pA(A) は、零行列に等しい。
p A ( A ) = O {\displaystyle p_{A}(A)=O}
この定理により、A の最小多項式は pA(t) を割り切ることが分かる。
相似な2つの行列は、同じ固有多項式を持つ。
ただし逆は正しくない。すなわち、同じ固有多項式を持つ行列でも相似ではないものがある。例えば、 [ 1 1 0 1 ] , [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}