完備束
(空でない)任意の有限束は完備束。
集合の冪集合 に包含関係で順序を入れたものは完備束になり、下限は集合の共通部分、上限は合併として与えられる。
単位区間 [0,1] 及び拡大実数直線(順序集合として互いに同型)は完備束。一般に全順序集合が完備束になることと順序位相でコンパクトになることは同値。
自然数全体に整除関係で順序を入れたものは完備束になる。 この順序集合は最小元として 1 を最大元として 0 を持つ。下限は最大公約数、上限は最小公倍数として与えられる。無限集合の上限が常に 0 なのに対し、下限は 1 より真に大きい値を持ち得る。自然数全体から 0 を除いたものは、整除関係のもとで完備束でない(が有界完備である)束をなす。
群の部分群全体は包含関係に関して完備束をなす。下限は共通部分として、上限は合併の生成する部分群として与えられ、最小元は単位群、最大元は全体となる。
完備束と完備準同型の圏における同様の問題はより困難である。 集合 X {\displaystyle X} が三点以上の要素を含むとき X {\displaystyle X} で生成される完備束はいくらでも大きい濃度を取りうるため、 X {\displaystyle X} で生成される自由完備束は存在し得ない。
但し(空でない)集合 X {\displaystyle X} が高々二点しか含まないとき X {\displaystyle X} で生成される自由完備束は存在する(それは二点ブール代数及び一点集合である)。
数学の一分野順序論(英語版)における完備束(英: complete lattice)とは部分集合が常に上限と下限を持つ半順序集合のことである。 完備束は束の重要な例で順序集合論及び普遍代数の研究対象であり、数学及び計算機科学に多くの応用を持つ。
順序集合上の完備性(英語版)には様々な異なる定義があるので注意を要する(例えば完備半順序 (CPO) は完備束とは異なる概念である)。特に重要な完備束のクラスとして完備ブール代数(英語版)や完備ハイティング代数(英語版) (locale) がある。