コンパクト開位相
アスコリ・アルツェラの定理を一般化する事で以下を示す事ができる(Kelley & Namioka (1982, §8), Kelley (1991, Chapter 7)):
定理 ― X がコンパクトハウスドルフ空間、Y が距離空間であるとき、C(X, Y) の部分集合 H がコンパクト開位相に関しコンパクトである必要十分条件は H が下記の3条件をすべて満たす事である:
H は C(X, Y) の閉集合である
(同程度連続性) 任意の x ∈ X と任意の ε > 0 に対しある δ > 0 が存在し、全ての f ∈ H と全ての y ∈ Y に対し d(x, y ) < δ なら d(f(x), f(y)) < ε である。
(各点相対コンパクト性) 任意の x ∈ X に対し、 { f ( x ) ∣ f ∈ H } {\displaystyle \{f(x)\mid f\in H\}} は Y において相対コンパクトである。