指数関数
実変数の指数函数に対するテイラー級数において、変数をそのまま複素数に取り換えることによってガウス平面 C 上の複素函数が得られる。すなわち、複素指数函数は、任意の複素数 z に対して
exp  z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n {\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}}
によって定まる整関数である。実指数関数について成り立つ性質のいくつかは複素指数関数に対してもそのまま成り立つ。また、実変数 x の純虚指数函数は
cis  ( x ) := exp  ( i x ) ( = cos  x + i sin  x ) {\displaystyle \operatorname {cis} (x):=\exp(ix)(=\cos x+i\sin x)}
で定義される実変数複素数値函数である(オイラーの公式の項も参照)。
より一般に、テイラー級数による指数函数の定義は任意の単位的バナッハ環 B において意味を為す。この場合、B の零元 0 に対して e = 1 は乗法単位元であり、任意の x ∈ B に対し e は可逆元で e = 1/e を満たすが、指数法則 e = e⋅e(右辺は冪級数のコーシー積として定義できる)の成立には可換性 (xy = yx) が必要である。
を与えた最初の人はオイラーである。これは数ある指数関数の特徴付けの一つであり、ほかにも冪級数や微分方程式を用いた定義などがある。
どの定義に従ったとしても、指数関数は以下の基本的な関係(指数法則)
exp  ( x + y ) = exp  ( x ) ⋅ exp  ( y ) {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}
を満たすから、指数関数を e の冪乗とみなし、e と書くこともある。
指数関数の変化率、即ち導関数は指数関数自身に一致する。より一般に、変化率が自分自身と(そのものではなく)比例するという性質を持つ関数は、指数関数を用いて表すことができる。関数のこのような性質は指数関数的増加や指数関数的減少と呼ばれる。
指数関数は複素数平面上の整関数に拡張される。オイラーの公式は指数関数の純虚数における値と三角関数を関係付ける。同様に、指数関数は行列変数やより一般のバナッハ環に値を取る変数などに対しても定義される。あるいはリー理論における指数写像に一般化される。