反ド・ジッター空間
A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} は負の宇宙定数 Λ {\displaystyle \Lambda } , ( Λ < 0 {\displaystyle \Lambda <0} ) を持つアインシュタイン・ヒルベルト作用の n-次元の解である。この理論は以下のラグランジアン密度によって表現される:
L = 1 16 π G ( n ) ( R − 2 Λ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )} ,
ここで G(n) は n-次元時空における万有引力定数である。 したがって、これはアインシュタイン方程式の解となる:
G μ ν + Λ g μ ν = 0 {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0}
H = ( 0 0 0 0 ( ⋯ 0 ⋯ ← v t → ) ( ⋮ ↑ 0 v ⋮ ↓ ) B ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}} ,
ここで B {\displaystyle B} は歪対称行列である。 G = o ( 2 , n ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathrm {o} (2,n)} のリー代数における補助的(complementary)生成子は以下の通り:
Q = ( 0 a − a 0 ( ← w t → ⋯ 0 ⋯ ) ( ↑ ⋮ w 0 ↓ ⋮ ) 0 ) .
d s 2 = ∑ i = 1 p d x i 2 − ∑ j = 1 q + 1 d t j 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}}
である空間 R p , q + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}} へ等長埋め込みができる。ここで α {\displaystyle \alpha } は非負の次元の大きさの定数である(曲率半径)。これは原点からの「距離」(二次形式で決定される)が一定である点の集まりという意味で(一般化)球面であるが、視覚的には図のように双曲面である。
反ド・ジッター空間における計量は、アンビエント計量(英語版)から導出される。計量は非退化でありローレンツ的符号を持つ。
q = 0 の場合、この構成は標準的な双曲面空間を与える。以降は q ≥ 1 に関して議論する。
時間 τ {\displaystyle \tau } の周期性を考慮すると、時間的閉曲線(CTC)を避けるために、普遍被覆 τ ∈ R {\displaystyle \tau \in \mathbb {R} } を取る必要がある。極限 ρ → ∞ {\displaystyle \rho \to \infty } において、ふつう A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 共形的境界と呼ばれる、この時空の境界に達する。
r ≡ α sinh  ρ {\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho } と t ≡ α τ {\displaystyle t\equiv \alpha \tau } という変換により、グローバル座標における通常の A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 計量が得られる:
d s 2 = − f ( r ) d t 2 + 1 f ( r ) d r 2 + r 2 d Ω n − 2 2 {\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}
ここで f ( r ) = 1 + r 2 α 2 {\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}} である。