平均場ゲーム理論
定義により、時間 t {\displaystyle t} と位置 x {\displaystyle x} について、 価値関数 u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} は以下のように決定できる。
u ( t , x ) = inf α E [ ∫ t T L ( X s , α s , m ( s ) ) d s + G ( X T , m ( T ) ) ] {\displaystyle u(t,x)=\inf _{\alpha }\mathbb {E} [\int _{t}^{T}L(X_{s},\alpha _{s},m(s))ds+G(X_{T},m(T))]}
価値関数 u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} の定義が与えられると、ハミルトン-ヤコビ方程式 (1) で追跡できる。平均的なプレーヤーの最適なアクション α ∗ ( x , t ) {\displaystyle \alpha ^{*}(x,t)} は として求めることができる。すべてのエージェントは比較的小さく、集団のダイナミクスを単独で変更することはできないので、それらは個別に最適な制御を適応させ、人口はそのように移動する。これは、すべてのエージェントが他の特定の戦略のセットに応じて行動するナッシュ均衡に似ている。最適制御解は、コルモゴロフ-フォッカー-プランク方程式(2)につながる。