円分体
以下において、p を奇素数とする。
円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の類数を h ( m ) {\displaystyle h(m)} 、最大実部分体 Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} の類数を h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} とすると、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} ( h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} は有理整数)と表すことができる。 このとき、 h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} を第1因子または相対類数、 h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} を第2因子または実類数という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
素数 p に対して、p が h ( p ) {\displaystyle h(p)} を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
素数 p に対して、
x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}
の左辺を、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 上で分解すると、
( x + y ) ( x + ζ p y ) ⋯ ( x + ζ p p − 1 y ) = z p {\displaystyle (x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}}
となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 p = 23 {\displaystyle p=23} のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 p = 23 {\displaystyle p=23} (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。