普遍係数定理
Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
H n ( C ∗ ; M ) = H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}
H n ( C ∗ ; R ) = H n ( C ∗ ⊗ R R ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})}
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} 、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} を単純に置き換える事で、以下の系が従う:
系 ― R、Mを前述の定理と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C_{*}} を任意のチェイン複体とすると、
0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β Tor R  ( H n − 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*};R),M)\to 0}
が短完全系列となるα、βが存在する。