指数積分
詳しくは三角積分を参照。
正弦積分 (sine integral) は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。被積分関数は非正規化sinc関数という。
Si  ( z ) = ∫ 0 z sin  t t d t si  ( z ) = − ∫ z ∞ sin  t t d t = Si  ( z ) − π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Si} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\\&\operatorname {si} (z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t=\operatorname {Si} (z)-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
余弦積分 (cosine integral) は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。
Ci  ( z ) = − ∫ z z + ∞ cos  t t d t {\displaystyle \operatorname {Ci} (z)=-\int _{z}^{z+\infty }{\frac {\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}
複素数 z に対し指数積分 Ei(z) は次のように定義される。
Ei  ( z ) = − π i + ∫ − ∞ − 0 i 1 − 0 i e t t d t + ∫ 1 z e t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} (z)=-\pi i+\int _{-\infty -0i}^{1-0i}{\frac {e^{t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t+\int _{1}^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}
これは多価関数であるが、本稿では負の実軸で分枝切断を行い正の実軸上で実数値をとるようにする。(文献によっては定義が異なる)
Ei  ( x ± 0 i ) = E i r e a l  ( x ) ± π i ( x < 0 ) , Ei  ( x ) = E i r e a l  ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (x\pm 0i)=\operatorname {{Ei}^{real}} (x)\pm \pi i\quad (x<0),\quad \operatorname {Ei} (x)=\operatorname {{Ei}^{real}} (x)\quad (x>0)}