ケーリー＝ディクソンの構成法
八元数の直後の代数は十六元数と呼ばれる。これは冪結合性と呼ばれる代数的性質は残している(すなわち s が十六元数ならば s s = s が成り立つ)が、交代代数であるための性質を満たさない、それゆえ合成代数となることはできない。
ケーリー=ディクソンの構成法は限りなく実行でき、各段階では直前の段階の代数の倍の次元を持つ冪結合代数を与える。
が非負の実数であるという性質を持っている。以下の方法で、共役はノルムを定義し、複素数の全体は実数体上のノルム線型空間になる。複素数 z のノルムは、
| z | := ( z ∗ z ) 1 / 2 {\displaystyle |z|:=(z^{*}z)^{1/2}}
で与えられる。さらに零でない複素数 z に対して、共役は乗法逆元
z − 1 := z ∗ | z | 2 {\displaystyle z^{-1}:={z^{*} \over |z|^{2}}}
を与える。
2つの独立した実数からなるのだから、複素数の全体は実数体上の2次元ベクトル空間を成す。
次元が高くなったことの代償として、自分が自分自身と共役になるという実数が持っていた代数的性質を、複素数は失ったともいえる。