ディラック方程式
相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式
− ∂ 2 ψ ∂ t 2 = − ∇ 2 ψ ( t , x ) + m 2 ψ ( t , x ) {\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\nabla ^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+m^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})}
は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式
i ∂ ψ ∂ t = − i α ⋅ ∇ ψ ( t , x ) + β m ψ ( t , x ) {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta m\psi (t,{\boldsymbol {x}})}
∂ μ = ∂ ∂ x μ = ( ∂ ∂ t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}
である。 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} はガンマ行列(ディラック行列)と呼ばれる 4×4行列で
{ γ μ , γ ν } ≡ γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μ ν {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }}
を満たす。 η μ ν = d i a g ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)} はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば