一様可積分性
また、任意の L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
確率変数 X n {\displaystyle X_{n}} のどのような列も、ある可積分な非負の Y {\displaystyle Y} によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、 | X n ( ω ) | ≤ | Y ( ω ) | , Y ( ω ) ≥ 0 , E ( Y ) < ∞ {\displaystyle \ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty } が成立しているなら、確率変数 { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は一様可積分である。
L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} ( p > 1 {\displaystyle p>1} ) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。
しかし、上の一つ目の定義に従えば E ( | X n | , | X n | ≥ K ) = 1 ∀ n ≥ K {\displaystyle E(|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ \forall n\geq K} であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯(strip)の部分は、 X n → 0 {\displaystyle X_{n}\to 0} としても ∞ {\displaystyle \infty } へと向かう。
上の二つ目の定義によれば、 X n {\displaystyle X_{n}} が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし X {\displaystyle X} が一様可積分な確率変数であれば、 E ( | X | ) = E ( | X | , | X | > K ) + E ( | X | , | X | < K ) {\displaystyle E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)} と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} に含まれることが分かる。