多重ゼータ値
許容インデックス k に対し、 Z ( k ; ∅ ) {\displaystyle Z({\boldsymbol {k}};\varnothing )} を始点として、左側のインデックスが空になるまで輸送関係式を繰り返し適用することで、 Z ( ∅ ; k † ) {\displaystyle Z(\varnothing ;{\boldsymbol {k}}^{\dagger })} になることが簡単に確かめられる。対称性 Z(k;l) = Z(l;k) と等式 Z(k;∅) = ζ(k) は定義より明らかなので、この変形により双対性が証明される。
このコネクターを用いた証明は、適切な因子に取り換えることによって双対性以外の関係式にも応用できる。例えばコネクターを変数 x を含んだ因子 ( 1 − x ) m r ( 1 − x ) n s ( 1 − x ) m r + n s {\displaystyle {\frac {(1-x)_{m_{r}}(1-x)_{n_{s}}}{(1-x)_{m_{r}+n_{s}}}}} ( ( X ) n {\displaystyle (X)_{n}} はポッホハマー記号) に置き換えれば、同様の輸送関係式が成り立って大野関係式を証明できる。こうした証明は連結和法 (connected sum method) や動的証明法 (dynamical proof) などと呼ばれ、変数変換による証明が通用しない双対性や大野関係式のq-類似に対しても同様に適用できる。連結和法のより広い応用については Seki や Hirose-Sato-Seki を参照。
数学、とくに整数論における多重ゼータ値(英: multiple zeta value)とは、
ζ ( k 1 , ... , k r ) = ∑ 0 < n 1 < ⋯ < n r 1 n 1 k 1 ⋯ n r k r {\displaystyle \zeta (k_{1},\ldots ,k_{r})=\sum _{0<n_{1}<\cdots <n_{r}}{\frac {1}{n_{1}^{k_{1}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}}}
で定義される実数のことである。18世紀のクリスティアン・ゴールドバッハ、レオンハルト・オイラーらが特殊な場合を研究して以来長らく触れられていなかったが、1990年代にマイケル・ホフマン、ドン・ザギエ、金子昌信、荒川恒男などによって再発見され、現在まで活発に研究が進められている。