ベクトル解析
発散divの幾何学的意味を見るため、ベクトル場の1パラメーター変換という概念を導入する。
Xを3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上のベクトル場とし、xを R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の点とする。
Φu(x)を以下のように定義する:
Φ u ( x ) {\displaystyle \Phi _{u}(\mathbf {x} )} をベクトル場Xに沿ってuだけ進んだ点、すなわち
∂ ∂ u Φ u ( x ) | u = u ′ = X Φ u ′ ( x ) {\displaystyle \left.{\partial \over \partial u}\Phi _{u}(\mathbf {x} )\right|_{u=u'}=\mathbf {X} _{\Phi _{u'}(\mathbf {x} )}}
が全てのu' ∈[0,u]に対して成り立つ点とする。
このようなΦu(x)は全ての(x,u)に対して定義できるとは限らないが、xの近傍Uとε>0を十分小さく選べば、任意のx' ∈Uと任意のu' ∈[0,ε]に対してこのようなΦu(x' )を定義できることが知られている。このような写像Φuをベクトル場Xの1パラメーター変換という。
により定義する。
微分演算子ナブラ ∇ {\displaystyle \nabla } を
∇ = ( ∂ ∂ x 1 , ∂ ∂ x 2 , ∂ ∂ x 3 ) {\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x_{1}},{\partial \over \partial x_{2}},{\partial \over \partial x_{3}}\right)}
と定義すると、勾配、回転、発散は
grad  F = ∇ F {\displaystyle \operatorname {grad} F=\nabla F}
rot  X = ∇ × X {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {X} =\nabla \times \mathbf {X} }
div  X = ∇ ⋅ X {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} =\nabla \cdot \mathbf {X} }
と表記できる。