疫学における区画モデル
SIRモデルは最も単純な区画モデルの1つであり、多くのモデルはこの基本形から派生している。本モデルは3つの区画で構成されている。
「感受性-感染-回復-死亡モデル」(Susceptible-Infectious-Recovered-Deceased-Model)は、「回復」(具体的には、病気を生き延びて免疫を得た個体を意味する)と「死亡」を区別する。このモデルでは、以下の微分方程式の系を使用する。
d S d t = − β I S N , d I d t = β I S N − γ I − μ I , d R d t = γ I , d D d t = μ I , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}
上式において、 β , γ , μ {\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu } はそれぞれ感染率、回復率、死亡率である。
∀ I ( 0 ) > 0 {\displaystyle \forall I(0)>0} :
β γ ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ I ( t ) = 0 , β γ > 1 ⇒ lim t → + ∞ I ( t ) = ( 1 − γ β ) N {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N\end{aligned}}}
基本再生産数が1よりも大きいような、(変数の変換 I = y − 1 {\displaystyle I=y^{-1}} を行い、これを平均場方程式に代入することによって)このモデルの解析的解を見つけることができる。解は以下の通りである。
I ( t ) = I ∞ 1 + V e − χ t {\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}