ラムゼーの定理
上にもあるが、R2 (3, 3)=6は「6人いれば、互いに知り合いである3人組か、互いに知り合いでない3人組が存在する」として有名である。これを示す。なお、上の図より、R2 (3, 3)>5であり、5人いても互いに知り合いである3人組も互いに知り合いでない3人組も存在しない場合がある。
6つの点があり、その中のどの2つの点も赤い線か青い線で結ばれているとする。赤一色の三角形か青一色の三角形が存在することを示せばよい。6つの点のうち、どれでも良いので1つの点に着目し、その点をAとする。Aからは5本の線が出ているので、そのうちの3本以上は同じ色の線である筈である。Aから赤い線が3本以上出ている場合を考える。Aと赤い線でつながっている点は3つ以上あるが、そのうちの3点をB,C,Dとする。BとCが赤い線で結ばれている場合、三角形ABCはどの辺も赤い赤一色の三角形である。CとD、DとBが赤い線で結ばれている場合も同様に赤一色の三角形が存在する。よって、B,C,Dの中のいずれか2点が赤い線で結ばれている場合は赤一色の三角形が存在する。