一元体
F1 は以下のような性質をもつものであると信じられている。
任意の有限集合は F1 上のアフィン空間であり、また F1 上の射影空間でもある。
任意の基点付き集合は F1 上のベクトル空間である。
有限体 Fq は F1 の q-量子化である。
ワイル群は F1 上の単純代数群である。 単純代数群に対するディンキン図形が与えられたとき、そのワイル群は F1 上の単純代数群である。
Spec Z は F1 上の曲線である。
任意の群は F1 上のホップ代数である。もっと一般に、代数的対象の図式として定義されるいかなる対象も、集合の圏において F1-類似物をもつ。
集合上の群 G の作用は F1 上の群の射影表現であり、これにより G は群ホップ代数 F1[G] となる。
F1 上の代数多様体はトーリック多様体であり、任意のトーリック多様体は F1 上の代数多様体を決定する。
F1 上の P のゼータ函数は ζ ( s ) = s ( s − 1 ) ⋯ ( s − N ) {\displaystyle \zeta (s)=s(s-1)\cdots (s-N)} である。
F1 の m-次の K-群 K(F1) は球スペクトルの m-次安定ホモトピー群でなければならない。
有限体 Fq 上の (n − 1)-次元射影空間 P(Fq) = Pq の元の個数は、q-整数 [ n ] q := q n − 1 q − 1 = 1 + q + q 2 + ⋯ + q n − 1 {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}} で与えられる。q = 1 とすれば [n]q = n となる。
この q-整数の q-冪和への展開は、射影空間のシューベルト胞(英語版)分解に対応する。