アインシュタイン多様体
局所座標により、(M, g) がアインシュタイン多様体である条件は、単純で、
R a b = k g a b {\displaystyle R_{ab}=k\,g_{ab}}
である。両辺のトレースをとると、アインシュタイン多様体の比例定数 k はスカラー曲率 R に
R = n k {\displaystyle R=nk}
により関係付けられる。ここに n は M の次元である。
一般相対論では、宇宙定数 Λ と持つアインシュタイン方程式は、幾何学単位系 G = c = 1 と用いると、
R a b − 1 2 g a b R + g a b Λ = 8 π T a b , {\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =8\pi T_{ab},}
である。エネルギー・運動量テンソル Tab は、基礎となる時空の物質とエネルギーの有様を与える。真空(時空に物質のない領域)では、Tab = 0 であり、アインシュタイン方程式を(n > 2 とすると)
R a b = 2 Λ n − 2 g a b {\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}}
と記述できる。従って、アインシュタイン方程式の真空解は、宇宙定数との比例定数 k をもつ(ローレンツ)アインシュタイン多様体であう。