二次閉体
複素数体は二次閉体である。より一般に、任意の代数閉体は二次閉である。
実数体は二次的に閉じていない。なんとなれば −1 の平方根は存在しない。
任意の非負整数 n に亘る有限体 F 5 2 n {\textstyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}} の合併は二次閉だが代数閉でない体の例となる。
作図可能数体は二次閉だが代数閉でない。
体が二次閉となるための必要十分条件は普遍不変量(英語版)が 1 に等しいことである。
任意の二次閉体はピタゴラス体(英語版)だが逆は成り立たない(例えば、実数体 R はピタゴラスである)。ただし、任意の非形式的実ピタゴラス体は二次閉である。
体が二次閉となるための必要十分条件は、そのヴィット–グロタンディエック環(英語版)が次元写像により Z に同型となることである。
形式的実ユークリッド体(英語版) E は二次閉でない(−1 は E の平方元でない)が、二次拡大体 E(√−1) は二次閉となる。
有限次拡大 E/F で E が二次閉となるとき、−1 は F の平方元かつ F が二次閉となるか、さもなくば −1 は F の非平方元かつ F はユークリッドである。この「下降」定理 ("going-down theorem") はディラー–ドレスの定理(英語版)から帰結することができる。