加群の直和
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積(圏論的直和)である(実はこれは(可換多元環に対して)多元環のテンソル積に対応する)。
I を添字集合とする、双線型形式を備えた加群の族 {(Mi, bi) : i ∈ I} に対し、それらの直交直和 (orthogonal direct sum) とは、単に加群としてのそれらの直和であって、
B ( ( x i ) , ( y i ) ) = ∑ i ∈ I b i ( x i , y i ) {\displaystyle B((x_{i}),(y_{i}))=\sum _{i\in I}b_{i}(x_{i},y_{i})}
で定義される双線型形式 B をもったものを言う。
ここで、上記の和に非零の項は有限個しか現れないから、この和は添字集合 I が無限集合であっても意味を成す。また、複素係数の場合には双線型を半双線型に置き換えて同様のことができる。