チェザロ和
n ≥ 1 に対して an = (−1) とする。つまり {an} は
1 , − 1 , 1 , − 1 , ... {\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }
のような数列である。このとき、その部分和の列 (sn) は、
1 , 0 , 1 , 0 , ... {\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }
で与えられ、その和は(グランディ級数 (en) として有名なものだが)明らかに収束しない。にもかかわらず、数列 {(s1 + ... + sn)/n} の各項は
1 1 , 1 2 , 2 3 , 2 4 , 3 5 , 3 6 , 4 7 , 4 8 , ... {\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }
のようになり、極限では
lim n → ∞ s 1 + ⋯ + s n n = 1 / 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}
が成立する。ゆえに、数列 {an} のチェザロ和は 1/2 である。