局所連結空間
20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に(ユークリッド空間に局所同相なので)よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は(多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので)比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する: 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない(局所弧状連結性は後述)。
空間が局所連結であることとすべての開集合 U に対して(部分空間位相で)U の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない: 例えばカントール空間(英語版)は完全不連結であるが離散ではない。
X を位相空間とする。X 上の第三の関係を定義する: X の開集合 A と B への分離であって x が A の元であって y が B の元であるようなものは存在しないとき、 x ≡ q c y {\displaystyle x\equiv _{qc}y} 。これは X 上の同値関係であり x を含む同値類 Q C x {\displaystyle QC_{x}} は x の quasicomponent と呼ばれる。
Q C x {\displaystyle QC_{x}} は x を含む X のすべての開かつ閉部分集合の共通部分としても特徴づけることができる。したがって Q C x {\displaystyle QC_{x}} は閉である; 一般に開であるとは限らない。
明らかにすべての x ∈ X に対して C x ⊆ Q C x {\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}} である。全体で x における道成分、成分、quasicomponent の間に次の包含がある:
P C x ⊆ C x ⊆ Q C x . {\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}