楕円型作用素
多くの応用において、この条件は十分に強いものではなく、したがって代わりに次数 m = 2k の作用素に対しては次の一様楕円性条件(uniform ellipticity condition)が課されることもある:
( − 1 ) k ∑ | α | = 2 k a α ( x ) ξ α > C | ξ | 2 k . {\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k}.\,}
ここに C はある正定数である。楕円性は最高次の項にのみ依存することに注意されたい。
非線形作用素
L ( u ) = F ( x , u , ( ∂ α u ) | α | ≤ 2 k ) {\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u)_{|\alpha |\leq 2k})\,}
が楕円型であるとは、その u に関する一次テイラー展開と、任意の点についての導函数がいずれも線型楕円型作用素であることを言う。