タクシー数
Ta  ( 10 ) ≤ 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 3 + 15137846555691028 3 = 17627318136364846 3 + 12293996879974082 3 = 17873391364113012 3 + 11757988429199376 3 = 18211330514175448 3 + 10901351979041108 3 = 19262797062004847 3 + 5726433061530961 3 = 19404743826965588 3 + 3058262831974168 3 = 19422314536358643 3 + 2059655218961613 3 = 19426825887781312 3 + 1536982932706676 3 = 19429379778270560 3 + 904069333568884 3 = 19429979328281886 3 + 391313741613522 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{aligned}}}
3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された(未発表)。これは以下の通りである。
15170835645 = 517 + 2468 = 709 + 2456 = 1733 + 2152.
4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
1801049058342701083 = 92227 + 1216500 = 136635 + 1216102 = 341995 + 1207602 = 600259 + 1165884.
(オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照)
上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、
x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}
の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると
s ( N ) < c r ( N ) {\displaystyle s(N)<c^{r(N)}}
となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは
s ( N ) < 9 ( 15 r ( N ) + 1 ) {\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)}+1)}
が成り立つ。
たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない(もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない)。またオイラーは
( 9 t 4 ) 3 + ( 9 t 3 + 1 ) 3 = ( 9 t 4 + 3 t ) 3 + 1 {\displaystyle (9t^{4})^{3}+(9t^{3}+1)^{3}=(9t^{4}+3t)^{3}+1}
を発見している(t = 1 とおくとタクシー数を得る)。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば
ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式
( 6 A 2 − 4 A B + 4 B 2 ) 3 + ( − 3 A 2 − 5 A B + 5 B 2 ) 3 = ( 4 A 2 − 4 A B + 6 B 2 ) 3 + ( 5 A 2 − 5 A B − 3 B 2 ) 3 {\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}}
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には