作用素論
複素ヒルベルト空間の間の任意の有界線型作用素 A の極分解は、部分等距作用素と非負作用素の積への標準分解である。
行列に対する極分解は以下のように一般化する。A が有界線型作用素であるとき、部分等距変換 U と非負自己随伴作用素 P で U の始空間が P の値域の閉包に一致するものの積として A の一意的な分解 A = UP が存在する。
以下のような理由により、作用素 U はユニタリではなく部分等距変換に弱める必要がある。A が l(N) 上の片側シフト ならば、|A| = (AA) = I であるから、A = U |A| ならば U は A でなくてはならないがこれはユニタリではない。
極分解の存在性はダグラスの補題(英語版)