逆写像
写像 f: X → Y に対し、f の右逆写像 (right inverse) あるいは切断もしくは断面 (section) とは
f ∘ h = id Y {\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}}
を満たす写像 h: Y → X のことをいう。つまり h は Y の各元 y に対して
h ( y ) = x ⟹ f ( x ) = y {\displaystyle h(y)=x\implies f(x)=y}
なる条件を満足する。したがって h(y) は f によって y へ写されるような x ならばどのようなものでもよい。写像 f が右逆写像をもつ必要十分な条件は、f が全射となることである(ただし一般には、選択公理が必要となるので、右逆写像を構成的に得ることはできない)。
(証明)写像 f: X → Y に対し、 h: Y → X を f の右逆写像とする。このとき、任意の y ∈ Y に対して x = h(y) とすれば、 f(x) = y となるので f は全射。
逆に写像 f: X → Y を全射とする。すると、任意の y ∈ Y において f の原像 f −1 ({y}) は空ではない。
↑ Keisler, H. Jerome. “Differentiation” (PDF). 2015年1月24日閲覧。 “§ 2.4”
↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 202, Theorem 4.9
↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 179
↑ Thomas 1972, pp. 304–309