軌道角運動量
昇降演算子を
L ^ + = L ^ x + i L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{+}={\hat {L}}_{x}+i{\hat {L}}_{y}} 、 L ^ − = L ^ x − i L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{-}={\hat {L}}_{x}-i{\hat {L}}_{y}}
により定義する。以下この2つを合わせて
L ^ ± {\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }}
と略記する。
i ħ ( d d  s λ ( R ( 0 , 0 , 1 ) ( s ) ) ( ψ ) | s = 0 ) ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle i\hbar \left({\operatorname {d} \over \operatorname {d} s}\lambda (R_{(0,0,1)}(s))(\psi ){\Bigg |}_{s=0}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )} = i ħ d d  s ψ ( r , θ , φ − s ) | s = 0 {\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \over \operatorname {d} s}\psi (r,\theta ,\varphi -s){\Bigg |}_{s=0}} = − i ħ ∂ ∂ φ ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\psi (r,\theta ,\varphi )} = L ^ z ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle ={\hat {L}}_{z}\psi (r,\theta ,\varphi )}
となり、主張が証明できた。
( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)}
と表記すると、軌道角運動量は以下の交換関係を満たす:
[ L ^ i , x ^ j ] = i ħ ε i j k x ^ k {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}\,{\hat {x}}_{k}}
[ L ^ i , p ^ j ] = i ħ ε i j k p ^ k {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}\,{\hat {p}}_{k}}
[ L ^ i , L ^ j ] = i ħ ε i j k L ^ k {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}\,{\hat {L}}_{k}}
ここで εijk はエディントンのイプシロンである。特に最後の軌道角運動量同士の交換関係の形は角運動量代数と呼ばれている。
3次元空間 R における回転行列全体の集合を
S O ( 3 ) = { R : {\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\{R~:~} 3次元実数係数行列で、 t R R = I , det R > 0 } {\displaystyle {}^{t}RR=I,~\det R>0\}}
とし(ここでI は単位行列であり、R は R の転置行列である)、 回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の全体の空間 L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上にユニタリ演算子
λ ( R ) : L 2 ( R 3 ) → L 2 ( R 3 ) , {\displaystyle \lambda (R)~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~} φ ( x ) ↦ φ ( R − 1 x ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R^{-1}{\boldsymbol {x}})}
を定義すると、これは波動関数の「回転」とみなせる