自由リー環
絡み目群(英語版)の Milnor 不変量は,その記事で議論されているように,自由リー環と関係する.
集合 X 上の自由リー環の普遍包絡環は X で生成された自由結合代数である.ポワンカレ・バーコフ・ヴィットの定理(英語版)により,それは自由リー環の対称代数と「同じ大きさ」である(つまり,両者を X の元に次数 1 を与えて次数付けると,それらは次数付きベクトル空間として同型である).このことは自由リー環の任意の与えられた次数のピースの次元を記述するのに使うことができる.
ヴィットは m 元集合上の自由リー環における次数 k の基本交換子の個数がネックレス多項式
N k = 1 k ∑ d | k μ ( d ) ⋅ m k / d {\displaystyle N_{k}={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d}}
で与えられることを示した.ここで μ はメビウス関数である.
有限集合上の自由リー環の普遍包絡環の次数付き双対は shuffle algebra(英語版) である.