断面曲率
1928年に、エリー・カルタン(Élie Cartan)はカルタン・アダマールの定理(英語版)(Cartan–Hadamard theorem)を証明した。M が完備(complete)な多様体で非正の断面曲率を持っているとすると、その普遍被覆はユークリッド空間と微分同相である。特に、この空間は、アスフェリカル(英語版)(aspherical)である。アスフェルカルとは、i ≥ 2 について、その空間のホモトピー群 π i ( M ) {\displaystyle \pi _{i}(M)} が自明となる空間のことである。従って、完備な非性な曲がった多様体の位相構造は、その多様体の基本群により決定される。プリースマンの定理(英語版)(Preissman's theorem)は、負の曲がったコンパクトな多様体の基本群を限定している定理である。