最尤推定
よく出てくる連続確率分布に、次の正規分布がある:
f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
この分布に従う n {\displaystyle n} 個の独立なランダム変数標本の密度関数は:
f ( x 1 , ... , x n ∣ μ , σ 2 ) = ( 1 2 π σ 2 ) n 2 e − ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
また計算しやすいように書き換えると:
f ( x 1 , ...
P ( 49H/80 ∣ p = 1 / 3 ) = ( 80 49 ) ( 1 / 3 ) 49 ( 1 − 1 / 3 ) 31 = 0.000 P ( 49H/80 ∣ p = 1 / 2 ) = ( 80 49 ) ( 1 / 2 ) 49 ( 1 − 1 / 2 ) 31 = 0.012 P ( 49H/80 ∣ p = 2 / 3 ) = ( 80 49 ) ( 2 / 3 ) 49 ( 1 − 2 / 3 ) 31 = 0.054 {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {P} ({\mbox{49H/80}}\mid p=1/3)&=&{\binom {80}{49}}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31}=0.000\\&&\\\mathbb {P} ({\mbox{49H/80}}\mid p=1/2)&=&{\binom {80}{49}}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31}=0.012\\&&\\\mathbb {P} ({\mbox{49H/80}}\mid p=2/3)&=&{\binom {80}{49}}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31}=0.054\\\end{matrix}}}
こうして母数 p ^ = 2 / 3 {\displaystyle {\hat {p}}=2/3} によって尤度が最大となることがわかり、これが p {\displaystyle p} に対する最尤推定量である。