軟化子
いくつかの超函数の理論において、軟化子は超函数の積を定義するために用いられる。正確に言うと、二つの超函数 S {\displaystyle S} および T {\displaystyle T} が与えられたとき、滑らかな函数と超函数の積の極限
lim ε → 0 S ε ⋅ T = lim ε → 0 S ⋅ T ε = d e f S ⋅ T {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}
は(存在するならば)、それらの超函数の積を定義する。これは超函数の様々な理論に現れる。
軟化子の基本的な応用として、滑らかな函数に対して有効な性質が、滑らかでないものに対しても有効となることを証明する、というものが挙げられる。
ここに δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} はディラックのデルタ函数であり、その極限はシュワルツ超函数の空間において解釈されるものとする。このとき、 φ {\displaystyle \varphi } は軟化子と呼ばれる。この函数 φ {\displaystyle \varphi } は、さらに次の性質を満たす場合も考えられている:
(4) すべての x ∈ R に対して φ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \varphi (x)\geq 0} を満たす場合は、正軟化子 (positive mollifier) と呼ばれる。
(5) ある無限回微分可能な函数 μ: R → R に対して φ ( x ) = μ ( | x | ) {\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)} を満たす場合は、対称軟化子 (symmetric mollifier) と呼ばれる。