スペクトル (関数解析学)
関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。
有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 l 上では、右シフト作用素
R : ( x 1 , x 2 , ... ) ↦ ( 0 , x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle R\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )} ,
は固有値を持たない。
作用素がもはやバナッハ環 B(X) の要素でないようなバナッハ空間 X 上の非有界作用素についても、スペクトルの定義を拡張することができる。有界な場合と同様に考える。複素数 λ は、作用素
T − λ I : D → X {\displaystyle T-\lambda I\colon D\to X}
が有界な逆作用素を持つなら、すなわち
S ( T − λ ) = I D , ( T − λ ) S = I X {\displaystyle S(T-\lambda )=I_{D},\,(T-\lambda )S=I_{X}}
となるような有界な作用素
S : X → D {\displaystyle S\colon X\rightarrow D}
が存在するなら、レゾルベント集合、すなわち線形作用素
T : D ⊂ X → X {\displaystyle T\colon D\subset X\to X}
のスペクトルの補集合であるという。
複素数 λ は、この性質が成り立たないなら、スペクトルに含まれる。スペクトルは、有界の場合とまったく同様に分類することができる。
一般に、非有界作用素のスペクトルは空集合を含む複素平面の閉部分集合である。