一様空間
位相群G上の左一様構造 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} および右一様構造 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は以下のようにも特徴づけられる:
定理 ― 上と同様に記号を定義するとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は左不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する。 同様に R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は右不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する。
上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。
密着一様構造はX × X上恒等的に0になる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離
d ( x , y ) = { 0 if x = y 1 otherwise {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、X上に離散位相を定める距離dであっても、dから定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する:
具体例 ― 整数の集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } に距離
d ( x , y ) = | arctan  ( x ) − arctan  ( y ) | {\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}
を入れると、dから定まる一様構造は離散一様構造ではないが、dから定まる位相は離散位相である。
dから定まる位相構造が離散位相である事は明らかなので、dから定まる一様構造は離散一様構造ではない事のみを証明する。
上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる:
定義 ―
Yを一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} の部分集合とするとき、包含写像 Y ↪ X {\displaystyle Y\hookrightarrow X} を一様連続にする最小の一様構造をY上の相対一様構造(英: relative uniformity、英: relativization)という。
一様空間の族 ( X λ , U λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {U}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、これらの(集合としての)直積から各成分への射影 π τ : ∏ λ ∈ Λ X λ → X τ {\displaystyle \pi _{\tau }~:~\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\tau }} を全て一様連続にする最小の一様構造を ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} の直積一様構造(英: product uniformity)という。
( U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相が距離化可能な事)
β ≥ α {\displaystyle \beta \geq \alpha } を満たすα, β ∈ Xに対し、
U α [ β ] = { γ ∈ X ∣ ( β , γ ) ∈ U α } = { β } {\displaystyle U_{\alpha }[\beta ]=\{\gamma \in X\mid (\beta ,\gamma )\in U_{\alpha }\}=\{\beta \}}
であるので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} はXに離散位相を定め、離散位相は離散距離により距離化可能である。
( U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 自身は擬距離化不能な事)
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能であれば U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の可算部分集合 B = { B k ∣ i ∈ N } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{k}\mid i\in \mathbb {N} \}} が存在し、
∀ U ∈ U ∃ k ∈ N : B k ⊂ U {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists k\in \mathbb {N} ~:~B_{k}\subset U} .
集合X上の1つの擬距離から一様構造が定まる事をすでに見たが、本節ではより一般にX上の複数の擬距離の集合から一様構造を定める事ができる事を見る。後述するように、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができるので、この一般化は非常に重要であり、本節の後半でその性質を詳しく調べる。
定義 (同程度連続性) ― Xを位相空間、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、ΦをXからYへの関数の集合とする。このとき以下の2つは同値であり、Φが以下の性質の一方(したがって両方)を満たす事を同程度連続であるという:
任意のx ∈ Xと任意の U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、 ( f ( x ) , f ( y ) ) ∈ U {\displaystyle (f(x),f(y))\in U}
任意のx ∈ Xに対し、 ρ x : F → Y {\displaystyle \rho _{x}~:~F\to Y} を ρ x ( f ) = f ( x ) {\displaystyle \rho _{x}(f)=f(x)} と定義するとき、 x ∈ X ↦ ρ x ∈ F ( Φ , Y ) {\displaystyle x\in X\mapsto \rho _{x}\in F(\Phi ,Y)} は一様連続である。
上の2における一様連続性は、ΦにはF(X,Y)に一様収束の一様構造を入れたものをΦに制限した一様構造を入れ、F(Φ,Y)にはΦからYへの写像全体の集合に入る一様収束に関する一様構造を入れたときのものである。