シュタイナー・レームスの定理
△ABCで、AB = c, BC = a, CA = b とする。
∠Cの二等分線をCE、∠Bの二等分線をBDとすると、角の二等分線の性質より、
B D 2 = a c − A D ⋅ C D {\displaystyle BD^{2}=ac-AD\cdot CD}
C E 2 = a b − A E ⋅ B E {\displaystyle CE^{2}=ab-AE\cdot BE}
A D = b c a + c {\displaystyle AD={\dfrac {bc}{a+c}}}
D C = a b a + c {\displaystyle DC={\dfrac {ab}{a+c}}}
A E = b c a + b {\displaystyle AE={\dfrac {bc}{a+b}}}
E B = a c a + b {\displaystyle EB={\dfrac {ac}{a+b}}}
以上より、BD = CEのとき、
a c − a b 2 c ( a + c ) 2 = a b − a b c 2 ( a + b ) 2 {\displaystyle ac-{\dfrac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}=ab-{\dfrac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}
である。
つまり、