エルミート多様体
と表わされる。
座標表現から明らかなように、3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 g {\displaystyle g} と付随する形式 ω {\displaystyle \omega } とは概複素構造 J {\displaystyle J} により次のように関係している: すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、
ω ( u , v ) = g ( J u , v ) , g ( u , v ) = ω ( u , J v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v),\\g(u,v)&=\omega (u,Jv).\end{aligned}}}
エルミート計量 h {\displaystyle h} は g {\displaystyle g} と ω {\displaystyle \omega } から等式
h = g − i ω {\displaystyle h=g-i\omega }
によって復元できる。3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } は概複素構造 J {\displaystyle J} を保つ。
h p ( ζ , ζ ̄ ) > 0 {\displaystyle h_{p}(\zeta ,{\bar {\zeta }})>0}
を満たすような切断として表すことができる。
エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間(英語版)(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。
エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 ( z α ) {\displaystyle (z^{\alpha })} を用いて
h = h α β ̄ d z α ⊗ d z ̄ β {\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}
と表わされる。ここに h α β ̄ {\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}} は正定値エルミート行列の成分である。