斉次多項式
斉次多項式の積は斉次多項式になる。
斉次多項式を因数分解すると、因数は斉次多項式になる。
体(あるいはより一般に環)K 上の多項式環 R = K [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} が与えられると、d 次斉次式全体は一般に R d {\displaystyle R_{d}} と記されるベクトル空間(あるいは加群)をなす。上記の一意的な分解は、 R {\displaystyle R} が R d {\displaystyle R_{d}} たちの直和(非負の整数すべてを渡る和)であることを意味する。
ベクトル空間(あるいは自由加群) R d {\displaystyle R_{d}} の次元は n 変数の d 次単項式の個数である(つまり n 変数の d 次斉次多項式の非零項の最大個数である)。それは二項係数
( d + n − 1 n − 1 ) = ( d + n − 1 d ) = ( d + n − 1 ) ! d ! ( n − 1 ) ! {\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}}
に等しい。