双球座標系
σ {\displaystyle \sigma } の等値面は
( x 2 + y 2 − a cot  σ ) 2 + z 2 = a 2 sin 2  σ {\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}
で表される。 0 < σ < π / 2 {\displaystyle 0<\sigma <\pi /2} のときはリンゴ(極がへこむ)、 π / 2 < σ < π {\displaystyle \pi /2<\sigma <\pi } のときはレモン(極が尖る)のような形状になり、 σ = π / 2 {\displaystyle \sigma =\pi /2} のときは球である。なお、 σ = 0 , π {\displaystyle \sigma =0,\pi } はそれぞれ z 軸の | z | ≥ a {\displaystyle |z|\geq a} 、 | z | ≤ a {\displaystyle |z|\leq a} に対応する。
双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。