超限数
ed. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover Publications, Inc.. https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf English translation of Cantor (1895,1897).
1 2 Weisstein. “Ordinal Number” (英語). mathworld.wolfram.com. 2019年12月4日閲覧。
↑ “Transfinite Numbers and Set Theory”. www.math.utah.edu. 2019年12月4日閲覧。
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↑ Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), “Transfinite function iteration and surreal numbers”, Advances in Applied Mathematics 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR1436485
1 2 3 John Horton Conway, (1976) On Numbers and Games. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (Chapter 3 参照)
有限自然数は少なくとも2つの目的で使われている。基数と順序数としてである。基数はひと組の量(例えば、バッグの中のビー玉5個)を示すが、順序数は、組の中の順序を示す。(例えば、「左から3番目の男」「1月27日」) 。超限数に拡張すると、これら2つの概念の違いは明確になる。超限基数は無限集合のサイズの表現に使われ、超限順序数は、順序付けられた無限集合内の位置を示すためすために使われる。 最も重要な順序数と基数は次の2つである。
ω {\displaystyle \omega } (オメガ): 最小の超限順序数。これは、通常の線形順序付けでの自然数の順序型でもある。
א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (アレフ・ヌル): 最初の超限基数であり自然数の濃度でもある。選択公理が成り立つ場合、次に高い基数は א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} (アレフ・ワン)である。そうでない場合は、アレフ・ワンとは比較できず、アレフ・ヌルよりも大きい他の基数が存在する可能性がある。いずれにせよ、アレフ・ヌルとアレフ・ワンの間に基数は無い。
連続体仮説とは、自然数の濃度 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} よりも大きい最小の濃度は連続体濃度(実数の集合の濃度)であり間に中間基数がない、また同等に א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} と連続体濃度が等しいかと云う命題である。