オイラー＝ラグランジュ方程式
汎関数
I [ u ] = ∫ Ω F ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) d d x {\displaystyle I[u]=\int _{\Omega }F(u(x),\partial u(x),x)\,d^{d}x}
を考える。
オイラー=ラグランジュ方程式は適当な境界条件の下で汎関数の停留条件 δ I [ u ] = 0 {\displaystyle \delta I[u]=0} から導かれる。
停留条件を満たす解を u = u ̄ ( x ) {\displaystyle u={\bar {u}}(x)} とする。 積分領域の境界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } で 0 となる任意の関数 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} を考え、 u ε ( x ) = u ̄ ( x ) + ε δ ( x ) {\displaystyle u_{\epsilon }(x)={\bar {u}}(x)+\epsilon \delta (x)} と書くことにする。 このとき、停留条件は I [ u ε ] = I [ u ̄ + ε δ ] {\displaystyle I[u_{\epsilon }]=I[{\bar {u}}+\epsilon \delta ]} を ε の関数としてみたときに