重み付き残差法
微分方程式の一般形を次のように表す。
L ( u ) = f i n Ω {\displaystyle L(u)=f\quad \mathrm {in} \;\Omega }
また、境界条件についても以下のように表す。
S ( u ) = 0 o n Γ {\displaystyle S(u)=0\quad \mathrm {on} \;\Gamma }
ここで、 L {\displaystyle L} は未知関数 u {\displaystyle u} に対する微分作用素を表しており、 S {\displaystyle S} は境界条件に関する作用素である。また、 Ω {\displaystyle \Omega } は定義域であり、 Γ {\displaystyle \Gamma } は Ω {\displaystyle \Omega } の境界を表している。
いま、正しい解である u ( x ) {\displaystyle u(x)} を線形独立な N {\displaystyle N} 個の関数の組、すなわち基底関数 ψ k ( x ) {\displaystyle \psi _{k}(x)} を用いて次のように近似する。
u ≈ U = ∑ k = 1 N ψ k α k {\displaystyle u\approx U=\sum _{k=1}^{N}\psi _{k}\alpha _{k}}