スコーレム標準形
第一階述語論理における任意の論理式は、論理式の一番前にすべて否定形でない前置記号を持ち、その作用域がどれも論理式の終わりまで及ぶような標準形に直すことができる。
このような標準形を冠頭標準形(prenex normal form)と呼ぶ。なお、冠頭標準形の一番前から数えて存在記号の前にある全称記号の数を、その冠頭標準形の次数(degree)と呼ぶ。
このモデルには、全関数シンボルの評価も含まれるので、スコーレム関数も暗黙のうちに存在量化される。上記の例 ∀ x . R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \forall x.R(x,f(x))} は、 ∀ x . R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \forall x.R(x,f(x))} が真となるような自由変項(この例では自由変項はない)の評価と f {\displaystyle f} の評価を含むモデル M {\displaystyle M} が存在するときのみ充足可能であると言える。これを二階述語論理で表すと ∃ f ∀ x . R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \exists f\forall x.R(x,f(x))} となる。上記の等価性により、これは ∀ x ∃ y . R ( x , y ) {\displaystyle \forall x\exists y.R(x,y)} の充足可能性と同じである。
メタレベルとしては、論理式 Φ {\displaystyle \Phi } の一階述語論理としての充足可能性は ∃ M ∃ μ . ( M , μ ⊨ Φ ) {\displaystyle \exists M\exists \mu ~.