四角錐数
S n = 2 n + 1 3 T n = 2 n + 1 3 n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ T_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ {\frac {n(n+1)}{2}}}
が得られる。
また組み合わせの記号を用いると S n = n + 1 C 3 + n + 2 C 3 {\displaystyle S_{n}={}_{n+1}{\rm {C}}_{3}+{}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,} となる。これは四角錐数が連続する三角錐数の和で表せることを示しており、四角数が連続する三角数の和で表せることと類似の定理である。
四角錐数は1から順に奇数-奇数-偶数-偶数 といった順番の繰り返しで現れる。
四角錐数のうち三角数でもある数は 1, 55, 91, 208335 の4つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A039596)
四角錐数のうち平方数でもある数は 1 と 4900 (24番目の四角錐数)の 2 つのみである。また四角錐数でなおかつ三角錐数でもある数は 1 のみである。
n × n マスの方眼の中に含まれる正方形の数は n 番目の四角錐数に等しい。
1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} 4 + 5 + 6 = 7 + 8 {\displaystyle 4+5+6=7+8} 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 {\displaystyle 9+10+11+12=13+14+15}