積分方程式
積分方程式(せきぶんほうていしき、Integral equation)は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。
積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。
積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。
未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
既知の関数 f (下記参照)が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。
4種類の積分方程式(同次・非同次方程式をまとめた)の例として以下のように書ける。 ただし φ {\displaystyle \phi } は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。
∫ d y K ( x , y ) φ ( y ) = λ φ ( x ) {\displaystyle \int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)}
が得られる。
一般に、 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は超関数であってもよい。超関数 K {\displaystyle K} が x = y {\displaystyle x=y} でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。