最適制御
元来、ポントリャーギンの最大原理は最適性におけるひとつの必要条件である、一方で、動的計画法はひとつの十分条件を提供する。他方では、動的計画法は(系における状態の関数の)ひとつの閉じたループ (フランス語版)(仏: boucle)上の制御でふるまうものであるのに、最大原理は(時間の関数の)ひとつの開じたループ上の解として与える。
しかしながら、最大原理の制御の解は、閉じたループにおけるひとつの制御の形から見た適用である、この好都合な場合において、与えられる。しかしながら、動的計画法における最大原理のひとつの大きな利点は、前者そのものが、(問題が<<重端での>>事柄によって、しかしながら酷く複雑であるものである分解の)常微分方程式のその分解であるままの場合に対し、後者が、(ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式の)偏微分を通した或る方程式の分解を導く、連続な時間でのその系にそれらが適用される場合に、仕事での簡単さをさらに大きく付け加えることである。
動的計画法それ自体は確率的な系におけることと同じく決定的な系にも同じ程度に適用される。しかしながら最大原理は(少しの例外をもって)決定論の場合のようには適用できない。
最近の研究業績はまず最初に、根本的な修正なしに二つのアプローチの一般化をもつ;それはフランク・H.クラークが導入した一般化された勾配(仏: gradients généralisés)(もしくは一般化された微分〈仏: differentielles généralisés〉)を用いた、この研究者による滑らかでない解析(仏: analyse non lisse)の枠組みにおける微分可能性の制約を弱めた方向を巡る良い部分についてである。ポントリャーギンと彼の共同者の元の理論における断片の連続関数のもののところよりもより一般の自然な制御におけるふるまいをそれらは持つ:とりわけルベーグ可測関数。別のひとつの門脈の拡張としての遅れを伴った系ならびに無限次元におけるさらなる一般化がある。他方では、特殊な数学のテクニックのこの終わりからの展開をもった後の地味な時期に、ボルチャンスキーは系についての最大値原理のひとつの弱い版の結果をもたらした、けれどもカルーシュ・クーン・タッカー条件から出たその結果の難しさなしに人は証明を与える。凸集合の一定の条件のもとで、系のこのタイプについての真の最大値の原理を人はしかしながら認める。