確率の古典的な定義
ディドロとダランベールの『百科全書』の1765年の巻には、それまでの確率についての知識と長い議論が含まれている。「自然そのものの考察から導き出された」確率(物理的)と「過去の経験にのみ基づいており、将来に向けて自信をもって結論を導き出すことができる」確率(証拠)は区別される。
確率の明確で普遍的である定義の源はラプラスによるものである。1814年までに、彼は次のように述べている:
偶然の理論は、同じ種類の、同様に確からしい全ての事象の中のいくつかの事象を期待することを対象とする。つまり、未定の(根元)事象全体から事象を決定するときに、期待していた事象の起こる度合いを確率とする。全ての場合の数に対する期待している場合の数の比率が確率である。分子が期待している場合の数であり、分母が全ての場合の数である。
—ピエール=シモン・ラプラス,確率についての哲学的随想
この説明は、最終的に確率の古典的な定義となる。ラプラスは、半世紀にわたり確率についての著書(技術書および一般書)のいくつかの版を著した。彼の前任者(カルダノ、ベルヌーイ、ベイズ)の多くは死後記述が単一の文書として公開された。
もう1つの問題は、投げるサイコロを1個から2個にしたときの、ゾロ目の出やすさについてである(「ド・メレの2つのダイス」)。後者の問題はメレ自身の発見であり、彼は数学的理論を現実の問題に適用することの危険性について述べた。旅行中に彼らはさらに他の数学的哲学的問題についても議論し、メレは考えが深められることとなった。
パスカルは、数学は美しく完璧なものであるが現実とのつながりが不十分というメレの考えに同意せず、純粋数学の中でこれらの2つの問題を解決しメレの考えが間違っていることを立証しようと決意した。当時すでに著名な数学者として知られていたフェルマーが同じ結論に達したことを知ったとき、2人が問題を最終的に解決したと確信した。このやりとりはホイヘンス、ロベルヴァルや間接的にカラミュエル(英語版)といった数学者に広まり、これは数学者は勝敗が運で決まるゲームから問題を研究し始めたことを示している。このやりとりで「確率」には言及しておらず、「最適な配当」を対象としていた。
半世紀後、ヤコブ・ベルヌーイは、確率の洗練された見解を示した。彼は順列と組合せを備えた理論を構築し、古典的な例を超えた範囲(個別の例、司法、財政的決定など)で確率の概念を展開し、試行回数が増えるにつれ不確実性が減り、確率を推定できることを示した。