環の局所化
n が素冪ならば有限局所環であって、その元は単元かさもなくば冪零であるから、この場合の局所化が零環のみしかありえないことが示される。しかし n = ab と分解され、a と b が 1 より大きく、互いに素ならば、Z/nZ は中国の剰余定理 によって Z/aZ × Z/bZ に同型であり、S として (1, 0) と 1 = (1, 1) のみからなる集合をとれば、対応する局所化は Z/aZ になる。
Z/6Z の素イデアルは 2Z/6Z と 3Z/6Z の2つである(したがってクルル次元 0 である)。これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ F2, F3 であり体である。実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアルにおける局所化が体であることは同値である。(さらにこれはフォン・ノイマン正則であることとも同値である。)
R が可換環で f が R の元とするとき、積閉集合 {f | n = 0, 1, ...}を考えると、これによる局所化は f の冪を可逆にすることによって得られる。f が冪零であった場合、局所化は零環となる。