弱位相
定理 ― Xの*弱位相はXの弱位相より弱い(強くない)位相である。
つまりXに入る位相は強い順からノルム位相、弱位相、*弱位相である。
なお、定義より明らかに次が従う:
定理 ― Xが回帰的である場合、すなわちX=Xである場合は弱位相と*弱位相は一致する。
位相空間論の言葉を使うと、*弱位相を別の角度から特徴づける事ができる。そのためにまず定義を述べる:
定義 (各点収束位相) ― Xを集合、Yを位相空間とし、各x ∈ Xに対しYxをYのコピーとすると、XからYへの写像全体の集合F(X,Y)は直積 ∏ x ∈ X Y x {\displaystyle \prod _{x\in X}Y_{x}} と集合として自然に同一視できる。 F ( X , Y ) ≈ ∏ x ∈ X Y x {\displaystyle F(X,Y)\approx \prod _{x\in X}Y_{x}} に直積位相を入れたものをF(X,Y)の各点収束位相という。さらにGをF(X,Y)の部分集合とするとき、各点収束位相をGに制限したものをG上の各点収束位相という。
このとき次が従う:
定理 ― 係数体K( = R , C {\displaystyle =\mathbb {R} ,~\mathbb {C} } )上のノルム空間Xの共役空間Xの*弱位相は、
X ∗ ⊂ F ( X , K ) {\displaystyle X^{*}\subset F(X,K)}
と見なしたときの各点収束位相に一致する。
定理 ― 可分なノルム空間の共役空間の閉単位球は弱*位相に関して距離化可能である事。
定理 ― Xが無限次元のバナッハ空間なら、X上の*弱位相は距離化可能ではない。
弱位相(じゃくいそう、英: weak topology)とは、ノルム空間X上に定義される位相の一つである。体K上のノルム空間にはノルムから定まる位相(ノルム位相。弱位相と区別するため強位相とも呼ばれる)があるが、弱位相はこれよりも弱い(強くない)位相であり、X上のK値有界線形写像(すなわちXの共役空間Xの元)が全て連続になる最弱な位相である。なお弱位相は位相空間論における始位相(英語版)の特別な場合に当たる。

強位相に関するものと区別するため、弱位相に関する連続性、収束性、コンパクト性はそれぞれ弱連続性、弱収束性、弱コンパクト性と呼ばれる。
本項では弱位相の関連概念である*弱位相についても述べる。