非可換整域
R がフィルター付き環(英語版)で、付随する次数環 gr R が域ならば、R 自身が域を成す。
この定理を利用するには、次数環 gr R を調べる必要がある。
各整数 n > 1 に対して、n の倍数全体の成す可換(擬)環 nZ は域を成すが、乗法単位元 1 を含まないので可換整域ではない。
四元数の全体は非可換な域を成す。より一般に任意の可除代数はその非零元が全て可逆であるから域を成す。
四元整数(英語版)の全体は四元数の環の部分環として非可換環となるから、したがってそれ自身非可換な域を成す。
1 より大きい次数の行列環は零因子(特に冪零元)を持つから域を成さない。例えば、行列単位 E12 の自乗は零行列になる。
K 上のベクトル空間のテンソル代数(つまり体 K 上の非可換多項式環)K⟨x1, ..., xn⟩ が域となることは、非可換単項式上の順序を用いて証明できる。
R が域で S が R のオア拡大(英語版)ならば、S 自身が域を成す。
ワイル代数は非可換域である。実際、ワイル代数には微分に関する次数と全次数という二つの自然なフィルター付けがあり、どちらも付随する次数環は二変数多項式環と同型となるから、上述の定理によってワイル代数が域になることが示される。
体上の任意のリー環の普遍包絡環は域を成す。このことの証明には普遍包絡環上の標準フィルター付けとポワンカレ–バーコフ–ヴィットの定理(英語版)を用いる。