優収束定理
ルベーグの優収束定理はファトウ–ルベーグの定理(英語版)の特別な場合である。しかし、以下では、ファトゥの補題を本質的な道具として用いた、直接的な証明を行う。
ƒ は、g によって支配される可測関数の列 (fn) の各点収束極限であるため、それ自身もまた g によって支配される可測関数であり、したがって、可積分である。さらに、すべての n に対して
| f − f n | ≤ | f | + | f n | ≤ 2 g {\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}
が成立し(この不等式は後で必要となる)、また
lim sup n → ∞ | f − f n | = 0. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}
が成立する。この二つ目の等式は、f の定義により自明に分かる。ルベーグ積分の線型性および単調性により、
| ∫ S f d μ − ∫ S f n d μ | = | ∫ S ( f − f n ) d μ | ≤ ∫ S | f − f n | d μ {\displaystyle {\biggl |}\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }{\biggr |}={\biggl |}\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }{\biggr |}\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }}