ファトゥの補題
関数列 f1, f2, . . . の負の部分に関する適切な仮定は、ファトゥの補題において必要となる。実際、次のような反例がある。S を、ボレルσ-代数とルベーグ測度を備える半直線 [0,∞) とする。すべての自然数 n に対して、
f n ( x ) = { − 1 n for x ∈ [ n , 2 n ] , 0 otherwise {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
を定義する。この関数列は、S 上で(積分がゼロであるような)ゼロ関数へと一様収束し、またすべての x ≥ 0 に対して fn(x) = 0 ∀ {\displaystyle \forall } n > x さえも成り立つ(したがってすべての点 x に対して、極限 0 は有限回のステップで到達される)。しかしながら、各関数 fn の積分の値は −1 であるため、ファトゥの補題の不等式は成立しない。
X1, X2, . . . を、確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上の非負の確率変数の列とし、 G ⊂ F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}} を部分σ-代数とする。このとき
E [ lim inf n → ∞ X n | G ] ≤ lim inf n → ∞ E [ X n | G ] {\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]} almost surely
が成立する。
注釈: 非負の確率変数に対する条件付き期待値は常に well-defind であり、有限な期待値は必ずしも必要ではない。
次のような部分列
lim k → ∞ ∫ S f n k d μ = lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \ }
が存在する。この部分列も f へと測度収束するため、そこからさらに、f へとほとんど至る所で各点収束するような部分列を作ることが出来る。この部分列に対して、上のファトゥの補題の変形版を適用することが可能となる。