定常波
上記の特徴は以下のように証明できる。
三角関数の和積公式を用いると
y = A sin  ( ω t − k x + δ 1 ) + A sin  ( ω t + k x + δ 2 ) = 2 A sin  ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) cos  ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}y&=&A\sin(\omega t-kx+\delta _{1})+A\sin(\omega t+kx+\delta _{2})\\&=&2A\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)\cos \left(kx-{\dfrac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)\end{matrix}}}
上式でxを固定してyを位置xにおける変位y(t)としてみてみよう。このとき
A x = 2 A cos  ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle A_{x}=2A\cos \left(kx-{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)}
とすると、y(t)は振幅Axで単振動をしていることがわかる。(次式)
y = A x sin  ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) {\displaystyle y=A_{x}\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)}
一方の端が固定端、もう一方の端が自由端の場合、両端が節と腹となるのでλnは以下の関係式を満たす。
2 n − 1 4 λ n = L {\displaystyle {\frac {2n-1}{4}}\lambda _{n}=L}
したがって
λ n = 4 L 2 n − 1 {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {4L}{2n-1}}} ν n = c λ n = ( 2 n − 1 ) c 4 L {\displaystyle \nu _{n}={\frac {c}{\lambda _{n}}}={\frac {(2n-1)c}{4L}}}
基本振動はn=1の場合である。
t m i n = n π ω − δ 1 + δ 2 2 ω = n T 2 − δ 1 + δ 2 2 ω {\displaystyle t_{min}={\frac {n\pi }{\omega }}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}={\frac {nT}{2}}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}} t m a x = 2 n + 1 2 π ω − δ 1 + δ 2 2 ω = ( n + 1 2 ) T 2 − δ 1 + δ 2 2 ω {\displaystyle t_{max}={\frac {2n+1}{2}}{\frac {\pi }{\omega }}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {T}{2}}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}} x m i n = 2 n + 1 2 π k + δ 1 − δ 2 2 k = ( n + 1 2 ) λ 2 + δ 1 − δ 2 2 k {\displaystyle x_{min}={\frac {2n+1}{2}}{\frac {\pi }{k}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\lambda }{2}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}} x m a x = n π k + δ 1 − δ 2 2 k = n λ 2 + δ 1 − δ 2 2 k {\displaystyle x_{max}={\frac {n\pi }{k}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}={\frac {n\lambda }{2}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}}
y 2 ( x , t ) = A sin  { ω ( t + x v ) + δ 2 } = A sin  { 2 π ( t T + x λ ) + δ 2 } = A sin  ( ω t + k x + δ 2 ) {\displaystyle y_{2}(x,t)=A\sin \left\{\omega \left(t+{\frac {x}{v}}\right)+\delta _{2}\right\}=A\sin \left\{2\pi \left({\frac {t}{T}}+{\frac {x}{\lambda }}\right)+\delta _{2}\right\}=A\sin(\omega t+kx+\delta _{2})}
ただしAは振幅、ωは角周波数、vは伝播速度、δ1,δ2はそれぞれの初期位相でTは周期、λは波長、kは波数でx,tは媒質上の位置および時刻である。
この節では、これら2つの正弦波によってつくられる正弦定常波
y ( x , t ) = y 1 + y 2 {\displaystyle y(x,t)=y_{1}+y_{2}}
について述べる。