環 (数学)
加法に関して閉じている:任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ。 加法の結合性:任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 加法単位元(零元)の存在:如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。 加法逆元(反元、マイナス元)の存在:各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。 加法の可換性:任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。
もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある。これを認めると、例えば偶数全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる(実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する)。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて(ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで)"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる(単位元の添加)ということに注意。
他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。
以下、R は乗法について可換とは限らず、必ずしも単位元を持たないものとする。
R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ I ならば xy やyx が必ず I に入っているとき、I を両側イデアルという。(したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。)イデアル I が与えられているとき、x − y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。
非可換環の研究は現代代数学(特に環論)の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たない興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である(つまり非自明で真の両側イデアルをもたない)非可換環が存在する(例えば体(より一般に単純環)上の2次以上の正方行列環)。このような例から、非可換環の研究においては直感的でない考え違いをする可能性について留意すべきであることが分かる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体(可換可除環)でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られることも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい(「左」を全部一斉に「右」に変えてもよい)。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。
Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
Ballieu, R. "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif." Ann. Soc. Sci. Bruxelles. Sér. I 61, 222-227, 1947.
Berrick, A. J. and Keating, M. E.
環準同型とは、環における乗法と加法に対して可換である写像である。単位的環 R1 から単位的環 R2 への(単位的環)準同型 f とは、
f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}
f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) {\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}
f ( 1 ) = 1 ′ {\displaystyle f(1)=1'}
が成り立つ、R1 から R2 への写像のことをいう。ここで、1 は R1 の単位元、1' はR2 の単位元をそれぞれ表している。準同型 f が全単射であるとき、同型(写像)と呼び、R1 と R2 は同型であるという。準同型の核はイデアルになり、次の準同型定理が成り立つ;
R1/Ker f と Im f とは互いに同型である。
A が単位的可換環で f(X) が A に係数を持つ一変数多項式であるとする。A を係数とする一変数多項式環 A[X] の、f(X) によって生成される単項イデアル (f) による商を R とすると、R から A への環準同型を考えるということは A における f の根を考えることと同値になる。