ベール空間
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。