モジュラー曲線
Y1(N)Z はこの関手の粗モジュライである。特に、任意の代数閉体 k に対して Y1(N)Z(k) は k 上の楕円曲線 E とその位数がちょうど N の切断 P:Spec(k) → E の組 (E, P) の同型類の集合と自然に一対一対応する。
Xi(N)Z を自然な射 j: Yi(N)Z → Y(1)Z≃A1Z に関する P1Z の整閉包とする。Xi(N)Z は次の性質を持っている。
Xi(N)Z は Z 上の射影的かつ正規な代数曲線である。
Xi(N)Z の各幾何的ファイバーは連結である。
N を割らない素数 p に対して Xi(N)Fp は滑らかである。Xi(N)Fp は Yi(N)Fp のスムーズコンパクト化である。
Z 上のスキームの圏から集合の圏への関手 M0(N)Z を、スキーム T に対して M0(N)Z(T) を T 上の広義楕円曲線 E とその豊富な位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類の集合とすることにより定義する。X0(N)Z はこの関手の粗モジュライである。特に、任意の代数閉体 k に対して X0(N)Z(k) は k 上の広義楕円曲線 E とその豊富な位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, P) の同型類の集合と自然に一対一対応する。
Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = H ∪ Q ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。H* に次を開基とする位相を定める。
H の上のすべての開集合
すべての r > 0 に対し、集合 { ∞ } ∪ { τ ∈ H ∣ Im ( τ ) > r } {\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}
すべての互いに素な整数 a, c と m, n は an + cm = 1 となる整数 m, n と、すべての r > 0 に対し、作用
( a − m c n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}
で定義される。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。
モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式(英語版)(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。
注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、フックス群(英語版)(Fuchsian group) Γ に対し発生する。これは、四元数からくる構成されるこれらのクラスは、数論でも興味がもたれている。