メビウス変換
α が 0(または 2π の整数倍)ならば、その変換は双曲型であるという。双曲型変換では、各点は不動点の一方から他方へ円軌道に沿って動く。
任意の双曲型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同一の二点を不動にするような、連続変換が得られる。不動点以外の点は一方の不動点から出て他方の不動点へ向かう円弧の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点はリーマン球面上の相異なる任意の二点にとりうる。
これにも重要な物理的解釈がある。観測者が天球上の北極へ向かって加速度一定で加速する場合を考えると、夜空の様子は 0, ∞ を共通の二つの不動点とする双曲型変換全体の成す一径数部分群によって記述される仕方と全く同じように変化する。ここで実数 ρ は観測者の加速度の大きさに対応する。夜空の星は黄経に沿って南極から北極へ向けて動くように見える(黄経は球面から平面への立体射影で写せば円弧として見える)。
以下は双曲型メビウス変換がリーマン球面上へ与える効果(を平面に立体射影したもの)を図示したものである。

この図は、円弧的流線が二つの不動点の間で一定の角を内在するから、不動点に負の電荷を置いたときの電気力線の様子と似ている。
メビウス変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} によって無限遠点 ∞ へ移される点
z ∞ = − d c {\displaystyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}
は変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} の極 (pole) と呼ばれる。また、無限遠点 ∞ が H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} によって移る点
Z ∞ = a c {\displaystyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}
をしばしば逆極 (inverse pole) と呼ぶ。メビウス変換がひとつ与えられると、この二種類の極の中点は必ずその変換のふたつの不動点の中点にもなっており、したがって
γ 1 + γ 2 = z ∞ + Z ∞ {\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }}
なる関係式が成立する。これらよっつの点を頂点として平行四辺形が形成され、それをしばしばメビウス変換の特性平行四辺形 (characteristic parallelogram) などと呼び表す。
メビウス変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} をそのふたつの不動点 γ1, γ2 と極 z∞ を指定することによって特定することもできる。実際、行列
メビウス変換 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} が不動点 γ1, γ2 と特性定数 k を持つならば、同じ変換の反復合成変換
H ′ = H n {\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}
は不動点 γ′1 = γ1, γ′2 = γ2 と特性定数 k′ = k を持つ。このことは、反復合成を各段階に分けて図示するときにも利用できる。
明示公式は以下のようになる。
f ( z ) = w 1 ( w 3 − w 2 ) ( z 3 − z 1 ) ( z − z 2 ) − w 2 ( w 3 − w 1 ) ( z 3 − z 2 ) ( z − z 1 ) ( w 3 − w 2 ) ( z 3 − z 1 ) ( z − z 2 ) − ( w 3 − w 1 ) ( z 3 − z 2 ) ( z − z 1 ) {\displaystyle f(z)={\frac {w_{1}(w_{3}-w_{2})(z_{3}-z_{1})(z-z_{2})-w_{2}(w_{3}-w_{1})(z_{3}-z_{2})(z-z_{1})}{(w_{3}-w_{2})(z_{3}-z_{1})(z-z_{2})-(w_{3}-w_{1})(z_{3}-z_{2})(z-z_{1})}}}
行列
H 1 = ( z 2 − z 3 − z 1 ( z 2 − z 3 ) z 2 − z 1 − z 3 ( z 2 − z 1 ) ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}
に対応するメビウス変換
f 1 ( z ) = ( z − z 1 ) ( z 2 − z 3 ) ( z − z 3 ) ( z 2 − z 1 ) {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}