微分形式
の形に書かれている微分 k 形式は、 Xi ∈ Tp(M), (i=1,...,k) に対して
ξ P ( X 1 , X 2 , ... , X k ) = 1 k ! det ( φ 1 ( X 1 ) φ 1 ( X 2 ) ⋯ φ 1 ( X k ) φ 2 ( X 1 ) φ 2 ( X 2 ) ⋯ φ 2 ( X k ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ φ k ( X 1 ) φ k ( X 2 ) ⋯ φ k ( X k ) ) {\displaystyle \xi _{P}{\bigl (}X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{k}{\bigr )}={\frac {1}{k!}}\det {\begin{pmatrix}\phi _{1}(X_{1})&\phi _{1}(X_{2})&\cdots &\phi _{1}(X_{k})\\\phi _{2}(X_{1})&\phi _{2}(X_{2})&\cdots &\phi _{2}(X_{k})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{k}(X_{1})&\phi _{k}(X_{2})&\cdots &\phi _{k}(X_{k})\end{pmatrix}}}
という値を取るとする。 φi の線型性と行列式の性質から、φi および Xi のそれぞれについて多重線型性と交代性が分かる。
微分 k 形式 ξ に、一回だけ外微分を作用させただけで
d ξ = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \xi =0}
となるとき、 ξ を閉形式(へいけいしき、closed form)という。 k > 0 の時、微分 k 形式 ξ に対し
ξ = d ω {\displaystyle \xi =\mathrm {d} \omega }
となるような微分 (k − 1) 形式 ω が存在する場合、 ξ の事を完全形式(かんぜんけいしき、exact form)という。完全形式は閉形式である、すなわち完全形式に外微分 d を施すと 0 になる。可縮な多様体(例えばユークリッド空間)であれば、ポアンカレの補題によって、逆が成り立つ。つまり閉形式は完全形式となる。しかしながら、これは一般には成り立たない(閉形式が完全形式であるとは限らない)。この閉形式と完全形式の違いは、多様体の幾何学的構造を反映しており、微分形式の重要な性質である。