フレアーホモロジー
1996年、S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーと量子コホモロジー環との間の関係についての結果をまとめ、次のように定式化した。Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)
半正なシンプレクティック多様体 (M,ω) のループ空間のフレアーコホモロジー群は、M の通常のコホモロジーと自然に同型となる。ただし、被覆変換に関する適当なノビコフ環とのテンソル積を取るものとする。 この同型は、フレアーホモロジー上のパンツペアの積を持つ M のコホモロジーの量子カップ積構造と密接に関連する。
上記の半正という条件とシンプレクティック多様体 M がコンパクトであるという条件は、ノビコフ環と、フレアーホモロジーと量子コホモロジーの定義の双方を得るために必要となる。半正という条件は次の3点のことを言う。
すべてのπ2(M)に属する A と λ ≥ 0 に対して ⟨ [ ω ] , A ⟩ = λ ⟨ c 1 , A ⟩ {\displaystyle \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle } が成立する (M は単調という)。