アーベルの連続性定理
ゆえに、三角不等式により、
| f ( z ) | < | 1 − z | | ∑ n = 0 m − 1 s n z n | + ε | 1 − z | 1 − | z | . {\displaystyle |f(z)|<|1-z|\left|\sum _{n=0}^{m-1}s_{n}z^{n}\right|+\varepsilon {\frac {|1-z|}{1-|z|}}.}
第1項は z → 1 {\displaystyle z\rightarrow 1} として < ε {\displaystyle <\varepsilon } にできる。第2項はストルツの角から近づくという条件により < M ε {\displaystyle <M\varepsilon } にできる。したがって、 | f ( z ) | < ( 1 + M ) ε {\displaystyle |f(z)|<(1+M)\varepsilon } にできるので、定理に述べた条件のもとで z → 1 {\displaystyle z\rightarrow 1} とすれば f ( z ) → 0 {\displaystyle f(z)\rightarrow 0} となることが証明された。