トポス (数学)
このようにして得られるトポスはグロタンディーク・トポスと呼ばれる。Sets への反変関手全体を考えるかわりに適当な宇宙 U への反変関手全体を考えることにすると、得られた「トポス」自体を再び景と見立てることが可能になる。このときのグロタンディーク位相は射の系の全射性によって定められる。
グロタンディーク・トポスは余完備(cocomplete)で小さな生成系を持つトポスとして特徴づけられる。ここからグロタンディーク・トポスにおけるアーベル群的な対象のなすアーベル圏は十分に単射的対象を持つことがしたがう。したがってグロタンディークトポスのアーベル群的な対象の圏についてその導来圏を考えたり、トポスの射の直像部分の右導来関手を考えたりすることができる。
とくにC を小さな圏とするとき、その上の自明なグロタンディーク位相からはC上の反変関手(C上の前層とよばれる)全体の圏 Psh(C) ( C ^ {\displaystyle {\hat {C}}} とも書かれる)が得られる。またJ がC 上のグロタンディーク位相のとき、「埋め込み/忘却」関手 Sh(C, J) → Psh(C) と「層化」関手 Psh(C) → Sh(C, J) の対は Sh(C, J) から Psh(C) へのトポスの射になる。
有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象XについてXと直積を取る関手X × -: E→Eに右随伴関手(-): E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏Setsや有限集合の圏FinSetsはカルテシアン閉だが位相空間の圏Topはカルテシアン閉でない。
一般に圏 E の対象Aの部分対象とはコドメインがAであるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻しを持つ圏Eについて各対象XにXの部分対象を与える関手Sub(-):E→Setsが定義される。圏Eの部分対象分類子(subobject classifier)とは、この関手を表現する対象の事をいう。
圏 E は(初等)トポス(elementary topos)であるとは、Eがカルテシアン閉で部分対象分類子を持つ事をいう。 たとえば、Sets やFinSetsは部分対象分類子として二点集合を持つのでトポスになる。
EとF がトポスのとき、関手 f*: E → F と完全関手 f: F → E の対 (f*, f)で随伴関係 f ⊣ f*をみたすものはE から F へのトポスの射(geometric morphism)とよばれる。このときf*はfの直像部分、fはfの逆像部分とよばれる。随伴性によりトポスの射の直像部分は左完全な関手になる。
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合とその元に関する論理式解釈となる。群、可換群、環などの数学的(特に代数的)構造の公理を論理式によって表現したとき、景 (C, J) 上のグロタンディーク・トポスにおいてその論理式を満たすような対象が (C, J) 上の群、可換群、環などの層になる。局所環の層などについての局所的な条件も、全称量化子を用いた論理式によって自然に表現される。
一方、適切な景 (P, J) をポール・コーエンによる強制法 (forcing) の議論をなぞって構成し、その上の層の圏として連続体仮説が成立しないような集合論のモデルを得ることができる。同様にして選択公理が成り立たないような集合論のモデルもある景の上の層の圏として実現できる。こうして構成される集合論のモデルのうちには排中律が成り立たないような直観主義的モデルも自然に現れる。