シュワルツ超函数
解析学におけるシュワルツ超函数(シュワルツちょうかんすう、英: distribution; 分布)あるいは超函数(英: generalized function; 広義の函数)は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解(広義の解)の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解(真の解)が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。
広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。
超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。
U 上の超函数 S ∈ D′(U) に対し、S が U の開集合 V 上で消えている (vanish) とは、S が制限写像 ρVU の核に属することをいう。陽に書けば、S が V 上で消えているのは
⟨ S , φ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle S,\varphi \rangle =0}
が V 内に台を持つ任意のテスト函数 φ ∈ C(U) について成り立つときである。V を S が消えているような最大の開集合、すなわち S が消えているような開集合すべての合併とすると、超函数 S の台 supp S とは U における V の補集合のことである。それゆえ
supp S = U − ⋃ { V ∣ ρ V U S = 0 } {\displaystyle \operatorname {supp} \,S=U-\bigcup \left\{V\mid \rho _{VU}S=0\right\}}
が成り立つ。超函数 S がコンパクト台を持つとは、その台がコンパクト集合であることをいう。陽に書けば、S がコンパクト台を持つとは U のコンパクト部分集合 K が存在して、K のまったく外側に台を持つ任意のテスト函数 φ について S(φ) = 0 が成り立つようにすることができることをいう。コンパクト台付き超函数は空間 C(U) 上の連続線型汎函数を定める。ここで C(U) の位相は、テスト函数の列 (φk) が 0 に収斂することを、φk の全ての導函数が 0 に U の任意のコンパクト部分集合上で一様収斂することと定めることによって定義されるものである。また逆に、この空間上の任意の連続線型汎函数はコンパクト台付き超函数を定める。