E.ホップの拡張定理
数学の測度論におけるE.ホップ(英語版)の拡張定理(英: Hopf extension theorem)とは、有限加法的測度が完全加法族上の(完全加法的)測度に拡張できるための条件を述べた定理である。
X を集合、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X 上の有限加法族とする。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上の有限加法的測度 μ が、F が生成する完全加法族 σ [ F ] {\displaystyle \sigma [{\mathcal {F}}]} 上の測度へと拡張されるための必要十分条件は、μ が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上完全加法的であることである。さらに、可算個の X 1 , X 2 , ... ∈ F {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}} で μ(Xk) < ∞ (∀k), X = ⋃∞k=1 Xk なるものが存在すれば、拡張は一意的である。
カラテオドリの拡張定理は、ジョルダン測度がルベーグ測度に一意に拡張できることを示したものだが、E.ホップは、より一般の有限加法的測度が(完全加法的)測度に拡張できるための必要十分条件を示した。ただし、本稿の一般の有限加法的測度についての定理を「カラテオドリの拡張定理」と呼んでいるテキストも多く見られる。