ボゴリューボフ変換
考えているヒルベルト空間は、生成消滅演算子を持っていて、従って高次元の量子調和振動子(英語版)(普通は無限次元になる)を記述する。
対応するハミルトニアンの基底状態は、全ての消滅演算子により消滅させられる:
a i | 0 ⟩ = 0. {\displaystyle a_{i}|0\rangle =0.}
全ての励起状態は、ある生成作用素
∏ k = 1 n a i k † | 0 ⟩ {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle }
によって励起した基底状態の線型結合として得られる。従って、次の線型な式として生成消滅演算子を再定義することができる。
a i ′ = ∑ j ( u i j a j + v i j a j † ) . {\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }).
[ b ^ , b ^ † ] = [ u a ^ + v a ^ † , u ∗ a ^ † + v ∗ a ^ ] = ⋯ = ( | u | 2 − | v | 2 ) [ a ^ , a ^ † ] {\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]}
となる。すると、|u| − |v| = 1 が変換が正準であるための条件であることが分かる。
この条件の形は、双曲線関数の関係式
cosh 2  x − sinh 2  x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
を示唆しており、定数 u, v は次のようにパラメトライズできる。
u = e i θ 1 cosh  r , {\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}
v = e i θ 2 sinh  r . {\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}