ペロンの公式
変数変換 x = e t {\displaystyle x=e^{t}} をして変形すると、
g ( s ) s = ∫ 0 ∞ A ( e t ) e − s t d t {\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt}
この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により
A ( e t ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z e t z d z {\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz}
A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z x z d z {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz}
ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式(もしくは証明のスケッチに現れた等式)は数論的な和に関してよく用いられる。
リーマンゼータ関数は半平面 { s ∈ C | R e ( s ) > 1 } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>1\}} で
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
とディリクレ級数表示され、このとき a ( n ) ≡ 1 {\displaystyle a(n)\equiv 1} より A ( x ) = ⌊ x ⌋ {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } (床関数)となり
ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ ⌊ x ⌋ x s + 1 d x {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}