射影 (集合論)
添字集合がちょうど二つの元からなるとき、それを I = {1, 2} とすれば、考えるデカルト積は XI = X1 × X2 で、これは二つの集合 X1, X2 の元の順序対全体の成す集合である。このとき、順序対 (x1, x2) の第一および第二成分への射影が
π 1 : X 1 × X 2 → X 1 , ( x 1 , x 2 ) ↦ x 1 {\displaystyle \pi _{1}\colon X_{1}\times X_{2}\to X_{1},\quad (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}}
および
π 2 : X 1 × X 2 → X 2 , ( x 1 , x 2 ) ↦ x 2 {\displaystyle \pi _{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to X_{2},\quad (x_{1},x_{2})\mapsto x_{2}}
によって与えられる。例えば (x, y ∈ R がユークリッド平面上の点のデカルト座標の場合には、射影 π1 および π2 はそれぞれ、この点の x-座標および y-座標を与えるものである。これら射影は形式的には、二つある各座標への正射影(英語版、ドイツ語版)(すなわち (x, y) ↦ (x, 0) および (x, y) ↦ (0, y) で与えられる写像 R → R)とは異なる。