ネイマン・ピアソンの補題
(尤度は確率密度関数 f {\displaystyle f} で与えられているものとする。また、この補題において構成される尤度比検定は、危険率が α {\displaystyle \alpha } 以下のあらゆる検定法の中で検出力が最大となっていることを示す。)
ネイマン・ピアソンの補題における帰無仮説の棄却域は
R N P = { x : f ( x ∣ θ 0 ) f ( x ∣ θ 1 ) ≤ k } {\displaystyle R_{NP}=\left\{x:{\frac {f(x\mid \theta _{0})}{f(x\mid \theta _{1})}}\leq k\right\}}
である。ここで k {\displaystyle k} は P r ( X ∈ R N P | H 0 ) = α {\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{0})=\alpha } となるようとった定数。
危険率が α {\displaystyle \alpha } 以下の検定法を任意に取ってきて、その棄却域を R A {\displaystyle R_{A}} とする。
α = P r ( X ∈ R N P | H 0 ) ≥ P r ( X ∈ R A | H 0 ) . {\displaystyle \alpha =Pr(X\in R_{NP}|H_{0})\geq Pr(X\in R_{A}|H_{0}).}
任意の母数に対し、確率の値は次のような2項の和に分けることができる。