次元解析
有次元の物理変数n 個で表される系を考える。基本単位はk 種類とする。次元行列 M ∈ R を(i , j )成分がj 番目の物理変数のi 番目の基本単位の指数である行列とする。例えば
M = ( a 1 ⋮ a n ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}
は物理変数 q1, q2, ..., qn の次元行列である。
無次元量は単位のべきが全てゼロとなる(すなわち次元がない)組み合わせであり、次元行列の零空間に相当する。無次元変数は有次元変数間の単位の線型結合である。
階数・退化次数公式により、k 個の(必要な)次元を持つn 個のベクトルから成る系は関係のp (= n - k )-次元空間を満足する。任意の基底の選択はp 個の無次元数の要素を持つ。
無次元変数は(分母を払うことで)いつも有次元変数の整数の組み合わせになるように取られる。不自然な有次元数の選択が数学的にはある。いくつかの無次元変数の選択は物理的により意味があり、理想的に使われるものがある。