偏り
さらにXの観察値が101とすると推定量は-1となってしまうが、推定する量は正でなければならないはずである。最尤推定量(最尤法で求められる推定量)
e − 2 X {\displaystyle e^{-2X}\quad }
(これは偏りがある)は上の不偏推定量よりもよい。なぜならその平均二乗誤差
e − 4 λ − 2 e λ ( 1 / e 2 − 3 ) + e λ ( 1 / e 4 − 1 ) {\displaystyle e^{-4\lambda }-2e^{\lambda (1/e^{2}-3)}+e^{\lambda (1/e^{4}-1)}}
は、不偏推定量の平均二乗誤差
1 − e − 4 λ {\displaystyle 1-e^{-4\lambda }}
よりも小さいからである。
この平均二乗誤差は本当の値λ の関数である。最尤推定量の偏りは
e − 2 λ − e λ ( 1 / e 2 − 1 ) {\displaystyle e^{-2\lambda }-e^{\lambda (1/e^{2}-1)}}
ということになる。
最尤推定量の偏りはかなり大きくなるおそれがある。例えば、1 から n まで番号を打った n 枚のカードを箱に入れた場合を考える。ランダムに1枚を取り出したところ、番号はX だったとしよう。n が不明ならば、X の期待値が (n+1)/2 だとしても、n の最尤推定量はX であり、n は少なくともX 以上と言えるだけである。この場合、自然な不偏推定量は 2X-1 である。