ディオファントス近似
その後、上記リウヴィルの定理の右辺の q の指数部分は、以下の様に次第に改良されてきた。
最後のロスによる結果は、以下の様に表現される:
ロスの定理(トゥエ・ジーゲル・ロスの定理)(1955年)。α が、2次以上の実代数的数ならば、任意の正数 ε に対して、α に依存する正定数 c が存在して、 | α − p q | > c q 2 + ε {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{2+\varepsilon }}}}
が、全ての有理数 p/q (q > 0) に対して成立する。
リドゥ (D. Ridout) は、近似分数の分母、分子に現れる素因数を制限することで、ロスの結果が改良されることを示した。
ロス–リドゥの定理(1957年)。α を、2次以上の実代数的数とする。P1, ..., Ps, Q1, ..., Qtを相異なる素数、d を正整数とする。また、λ, ρ を、0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ ρ ≤ 1 を満たす実数とする。正整数 p, q は、 (*) p = p ∗ P 1 σ 1 ⋯ P s σ s , q = q ∗ Q 1 τ 1 ⋯ Q t τ t , {\displaystyle p=p^{*}P_{1}^{\sigma _{1}}\cdots P_{s}^{\sigma _{s}},\ q=q^{*}Q_{1}^{\tau _{1}}\cdots Q_{t}^{\tau _{t}},}