岩澤理論
岩沢健吉「代数体と函数体とのある類似について」『数学』第15巻第2号、岩波書店、1963年10月、65-67頁。
落合理『岩澤理論とその展望』 (上)、岩波書店〈岩波数学叢書〉、2014年9月10日。ISBN 978-4-00-029821-6。
落合理『岩澤理論とその展望』 (下)、岩波書店〈岩波数学叢書〉、2016年8月24日。ISBN 978-4-00-029822-3。
福田隆『重点解説 岩澤理論- 理論から計算まで -』サイエンス社〈SGCライブラリ145〉、2019年1月。
岩澤不変量の λ や μ は Zp 拡大 F∞/F に対して定まるので λ(F∞/F), μ(F∞/F) などと書かれる。また、代数体 F と素数 p に対して F の円分 Zp 拡大 F∞ は一意に定まるので、このときは λ(F∞/F) を λp(F) と書いたりする。例えば λ3(Q(√−239)) = 6 などが知られている。
λ はイデアル類群の元の位数の増加を示すものであり、μ は p ランクの増加を示すものである。
岩澤不変量にはまだ分からないことが多い。次のような予想が立てられている。
岩澤 μ 予想 円分 Zp 拡大 F∞/F に対しては μ(F∞/F) = 0 であろう。
この予想は一般には未解決であるが、F がアーベル体の場合は正しいことが証明されている(フェレロ・ワシントンの定理(英語版))。
グリーンバーグ予想(英語版) 総実代数体 F の円分 Zp 拡大 F∞/F に対しては λ(F∞/F) = μ(F∞/F) = 0 であろう。
知られていることとしては次のようなことがある。
代数体 F の類数が p で割り切れず、p の上にある F の素イデアルが一つしかないならば、任意の Zp 拡大 F∞/F に対して λ = μ = ν = 0 である。
素数 p が F/Q で完全分解し、Zp 拡大 F∞/F において p の上にある F の素点がすべて分岐するならば λ(F∞/F) ≧ r2 である。ここで r2 は F の複素素点の個数。