乗法列の種数
Â 種数(Â genus)は、次の式の特性べき級数(characteristic power series)に関連する種数である。
Q ( z ) = z / 2 sinh  ( z / 2 ) = 1 − z / 24 + 7 z 2 / 5760 − ⋯ . {\displaystyle Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \sinh({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/5760-\cdots .}
(特性級数 Q(16z) に関連する Â 種数もあるが、あまり使われない。)最初の数項の値は、
A ^ 0 = 1 {\displaystyle {\hat {A}}_{0}=1}
A ^ 1 = − p 1 / 24 {\displaystyle {\hat {A}}_{1}=-p_{1}/24}
A ^ 2 = ( − 4 p 2 + 7 p 1 2 ) / 5760. {\displaystyle {\hat {A}}_{2}=(-4p_{2}+7p_{1}^{2})/5760.}
である。スピン多様体の Â 種数は整数であり、次元が 4 mod 8 であれば、偶数である(このことは次元 4 の場合のロホリンの定理を含んでいる。一般の多様体に対しては、Â 種数はいつも整数とは限らない。
種数(genus) φ は、各々の多様体 X に次の項目を満たす数値 φ(X) を対応させる。
φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (ここに ∪ は合併を表す)
φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
X が境界であれば、φ(X) = 0
多様体は特別な構造を持っているかもしれず、例えば、向きづけられているとか、スピンを持っているなどの構造が考えられる(コボルディズム論のリスト(list of cobordism theories)を参照すると多くの例があります)。数値 φ(X) はある環の中にあり、環はZ/2Zであったり、他のモジュラ形式の環であったりするが、環は有理数であることが多い。
φ の条件は、(与えられた構造を持つ)多様体のコボルディズム環から他の環への環準同型であるということにより、再度、定義し直すとこができる。
例:φ(X) が向きづけられた多様体 X の符号(英語版)(signature)、φ は整数の環への向きづけられた多様体からの種数である。