米田の補題
米田写像の自然性から、対象 A ∈ C に関手 H = hom(A, _)、あるいは HA = hom(_, A) を割り当てる操作は、関手
を構成する。米田の補題から N a t  ( H A , H B ) ≅ H B ( A ) = h o m  ( A , B ) {\textstyle \mathop {\mathrm {Nat} } (H^{A},H^{B})\cong H^{B}(A)=\mathop {\mathrm {hom} } (A,B)} であるため、H (H•) は忠実充満であることが言える。このことから、H (H•) を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは Y や よ などの記号によって表されることもある。
関手 F : C → Set に対して、F の「要素の圏」(category of elements) El A とは、X ∊ C、x ∈ FX の組とその関係を保つ C の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み YC: C → Set を用いたコンマ圏 YC ↓ F) のことである。El A から C の情報を取り出す関手を ΦF : El F → C と表すとき、F は YC ◦ ΦF : El F → Set の余極限 (と同型) である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。