ハミルトン場の理論
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ここで、各共役場はその対応する場に関して定義される。
π i ( x , t ) := ∂ L / ∂ φ ̇ i . {\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t):=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\phi }}^{i}.}
一般に、任意の数の場について、ハミルトニアン密度の空間3次元で体積積分するとハミルトニアンを与える。
H = ∫ H d 3 x . {\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\mathrm {d} ^{3}x.}
ハミルトニアン密度は単位空間体積あたりのハミルトニアンである。対応する次元は[エネルギー][長さ]で、SI単位はJmである。
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ここで、 δ F / δ f {\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f} は汎関数微分である:
δ F δ f := ∂ F ∂ f − ∑ i ∇ i ∂ F ∂ ( ∇ i f ) . {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}:={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}.}
境界上で場が消失するという同じ条件下で、A の時間発展について
d A d t = [ A , H ] + ∂ A ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}
が成り立つ(B についても同様)。これは A の時間常微分、部分積分、および上記のポアソン括弧を使用して導くことができる。
場は無限の自由度をもつため、場 φ とその共役場 πi は無限次元の位相空間を成す。