ガウス＝ザイデル法
3元の連立一次方程式、すなわち、
( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( b 1 b 2 b 3 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}}\right)}
を解くことを考える。 k {\displaystyle k} 回目の反復で得られた x 1 {\displaystyle x_{1}} の値を x 1 ( k ) {\displaystyle x_{1}^{(k)}} と書く。 初期値 x → ( 0 ) {\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}} は、適当な値、例えばゼロベクトルでもかまわない。
x 1 ( k + 1 ) = ( b 1 − a 12 x 2 ( k ) − a 13 x 3 ( k ) ) / a 11 {\displaystyle x_{1}^{(k+1)}=(b_{1}-a_{12}x_{2}^{(k)}-a_{13}x_{3}^{(k)})/a_{11}}