ポンペイウの定理
定理の内容は次の通りである。
平面上に正三角形 ABC と任意の点 P が与えられたとき、線分 PA, PB, PC の長さを各辺にもつ三角形が必ず存在する。
ここに、「PA, PB, PC の長さを各辺に持つ三角形が存在する」とは、三角不等式
PA + PB ≥ PC
PB + PC ≥ PA
PC + PA ≥ PB
が成立することを意味する。ただし、どれかの等号が成立する場合、三角形はつぶれているのであり、これを「退化した三角形」と呼ぶことにする。この定理において、三角形が退化するための必要十分条件は、点 P が三角形 ABC の外接円上に位置することである。