整拡大
整数環 Z 上整な有理数体 Q の元は整数しかない。言い換えると、Z は Z の Q における整閉包である。
ガウス整数、すなわち a + b − 1 , a , b ∈ Z {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},a,b\in \mathbf {Z} } の形の複素数は、Z 上整である。 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]} が Z の Q ( − 1 ) {\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})} における整閉包である。
Z の Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})} における整閉包は、 ( a + b 5 ) / 2 {\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})/2} の形の元からなる。ただし、a と b は整数であって、 a 2 − 5 b 2 {\displaystyle a^{2}-5b^{2}} は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である。
Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
k ̄ {\displaystyle {\overline {k}}} が体 k の代数的閉包であれば、多項式環 k ̄ [ x 1 , ...