類体論
3つの主要な一般化があり、それぞれが非常に興味深い。 ラングランズ・プログラム、遠アーベル幾何学、および高次類体論である。
数論における一つの自然な展開は、大域体の(アーベルとは限らない)一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。
代数体 K のすべての素点 p をわたる形式的な無限積 m = ∏p p で次の3条件を満たすものを(K の)モジュラス(英語版)という。
np ≧ 0
ほとんどすべての p に対して np = 0
無限素点 p については np が0もしくは1
モジュラスに対して、約数、倍数、最大公約数、最小公倍数、割り切れる、素点の指数、などの概念が自然に定義される。K の整数環の0ではないイデアルは素イデアル分解を使って自然にモジュラスとみなせる。
モジュラス m の有限素点だけを取り出したものを m0 = ∏p∤∞ p と書く。ここで、素点 p が有限素点であることを p∤∞、無限素点であることを p∣∞ と表している。m0 を m の有限部分(finite part)という。これは自然に K のイデアルと思える。
K の分数イデアルで m の有限部分と互いの素なもの全体を Im と置く。これは自然に群になる。群としての構造は m と互いに素な素イデアルを底とする自由アーベル群である。
Im の部分群 Pm を (α/β) という形の単項イデアル全体とする。ここで α と β は K の0ではない整数で以下の条件を満たすものである。
α と β は m0 と互いに素
α ≡ β mod m0
実素点 p に対して αp/βp > 0。
代数体の任意の有限次アーベル拡大 L/K に対して、この拡大で分岐するすべての(有限及び無限)素点で割り切れるモジュラス m が存在し、このモジュラスに対してアルティン写像は全射かつその核はこの拡大の合同群と等しい。したがってアルティン写像から同型
I m / H m ( L / K ) → G a l ( L / K ) {\displaystyle I_{\mathfrak {m}}/H_{\mathfrak {m}}(L/K)\to \mathrm {Gal} (L/K)}
が得られる。これをアルティン相互法則(Artin reciprocity law)という。
素イデアルがあると、フロベニウス元と呼ばれるガロア群の元が定まる。素イデアルの分解の様相はこの元を見ればわかる。アルティン相互法則によってフロベニウス元に対応する一般化されたイデアル類群の元が定まる。これは元の素イデアルの剰余類である。よってこの剰余類をみれば素イデアルの分解の様相が分かる。このことは二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律の広範な一般化になっている。三次の相互律といったようなより高次の「冪剰余の相互律」もアルティン相互法則から導くことができる。数論的にはこの点も重要である。
「類体論」という名称は一般化されたイデアル類群に対応するアーベル拡大を類体と呼んでいたことにちなむ。類体は特別な有限次アーベル拡大体と思われていたが、予期に反して有限次アーベル拡大体はすべて類体であることが判明した。標語的に言えば有限次アーベル拡大=類体である。類体論の研究対象が任意のアーベル拡大であるのはこのためである。
有限次アーベル拡大を個別に一般化されたイデアル類群に対応させるのではなく、K の有限次アーベル拡大をすべて合成した最大アーベル拡大 K のガロア群を直接記述する方法も知られている。有限次代数体の場合、その最大アーベル拡大のガロア群 Gal(K/K) は無限群になるが、クルル位相により位相群とみたときこれは副有限群の構造を持つ。
モジュラス m に対して m と互いに素な分数イデアルのなす群 Im は m を割り切る有限素点の集合だけによって決まる。特に m に含まれる無限素点には依存しない。他方、Pm は有限素点の指数にも依存し、指数が大きくなれば小さくなっていく。無限素点の有無でも大きさは変わる。相互法則の意味するところの1つは「m に分岐する無限素点を付け加え、有限素点の指数を適当に大きくすれば、Pm はアルティン写像の核に入るぐらい小さくなる」という点である。
商群 Im/Pm のことを射類群(ray class group)と呼ぶことがある 。m = (1) のときこれは通常のイデアル類群なので、これはイデアル類群の一般化になっている。m が K の実素点すべての積であったとする。このとき Im はすべての分数イデアルからなる群であり、 Pm は総正な元で生成される単項イデアル全体の群である。この Im/Pm を 狭義のイデアル類群または狭義類群(英語版)(narrow class group)という。
任意のモジュラス m に対して Im/Pm の位数は類数 h を用いて