マルチンケーヴィッチの定理
f を、測度空間 (X, F, ω) 上で定義される実数値あるいは複素数値の可測関数とする。f の分布関数は次で定義される。
λ f ( t ) = ω { x ∈ X ∣ | f ( x ) | > t } . {\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}
このとき f が弱 L 1 {\displaystyle L^{1}} であるとは、ある定数 C が存在して、f の分布関数が任意の t > 0 に対して次の不等式を満たすことをいう:
λ f ( t ) ≤ C t . {\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}
この不等式を満たす最小の C のことを弱 L 1 {\displaystyle L^{1}} ノルムといい、通常 | | f | | 1 , w {\displaystyle ||f||_{1,w}} あるいは | | f | | 1 , ∞ {\displaystyle ||f||_{1,\infty }} と表す。同様に、この関数による空間を通常 L あるいは L と表す。
(注釈:この表記はわずかに誤解を招くおそれがある。