フォック状態
多重モードのフォック状態におけるそれぞれの生成消滅演算子は、それ自身のモードにのみ作用する。たとえば b ^ i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}} と b ^ i † {\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }} は、 | n i ⟩ {\displaystyle |n_{i}\rangle } にだけ作用する。
b ^ i | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = n i | n 1 , n 2 , ⋯ , n i − 1 , ⋯ ⟩ b ^ i † | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = n i + 1 | n 1 , n 2 , ⋯ , n i + 1 , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}_{i}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}-1,\cdots \rangle \\{\hat {b}}_{i}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle &={\sqrt {n_{i}+1}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i}+1,\cdots \rangle \end{aligned}}}
この新しいフォック空間表現では、同じ対称性の性質を表現しなければならない。
そのため各モード i {\displaystyle i} のボース粒子の生成消滅演算子を、以下の交換関係を満たす演算子 b ^ i † {\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }} 、 b ^ i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}} として定義する。
[ b ^ i , b ^ j † ] ≡ b ^ i b ^ j † − b ^ j † b ^ i = δ i j {\displaystyle [{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]\equiv {\hat {b}}_{i}{\hat {b}}_{j}^{\dagger }-{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}=\delta _{ij}}
[ b ^ i † , b ^ j † ] = [ b ^ i , b ^ j ] = 0 {\displaystyle [{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }]=[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}]=0}
ここで δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタである。生成消滅演算子はエルミート演算子ではない。