J-不変量
数学では複素変数 τ の函数であるフェリックス・クラインの j-不変量 (j-invariant)(もしくはj-函数)とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数である。j-不変量として、尖点で一位の極を持つ以外は正則な関数であり、次を満たすものが一意に定まる。
j ( e 2 3 π i ) = 0 , j ( i ) = 1728 {\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728}
jの有理函数はモジュラーであり、実際にすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、j-不変量は C 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている(この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる)。
j-不変量は、多くの注目すべき性質を有する。
τ が虚数乗法である、すなわち、虚数部が正である虚二次体の任意の元である(従って、j-不変量が定義される)ならば、j(τ) は代数的整数である。
体の拡大 Q[j (τ), τ]/Q(τ) はアーベル的、すなわち、ガロア群がアーベル的になる。
Λ を {1, τ} で生成される C の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する Q(τ) のすべての元が、整環(英語版)(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することが容易にわかる。同様に、同じ整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、Q(τ) 上で j (τ) の代数的共役である j (τ') を定義する。包含関係に従い、Q(τ) の唯一の最大整環は、Q(τ) の代数的整数の環であり、その環を持つ τ の値は、Q(τ) の不分岐拡大を導く。
これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。