論理包含
例えば「千円以上持っている人は百円以上持っている」という文が(意味深いかどうかはともかくとして)正しいことに異論はないであろう。数学記号を用いると「x ≥ 1000 ⇒ x ≥ 100」ということになる。この命題の前件と後件は変数 x を含み、x に代入される値によって真偽が変わるのであるから、正確には「任意の x に対して x ≥ 1000 ⇒ x ≥ 100」という主張である。x ≥ 1000 の場合のみならず、x < 1000 の場合でも真であるためには、上記の定義が必要であることが了解されよう。
なお、この例において二つの集合 {x | x ≥ 1000} と {x | x ≥ 100} は包含関係にある。これが「論理包含」という語の由来である。
ペアノは、1889年に出版した『算術の諸原理(羅: Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita)』において、命題 “A ならば B” を C を逆向きにした記号 Ɔ で「A Ɔ B」と表現した。また同時に命題 “A ⊂ B”をも「A Ɔ B」と表わした。ラッセルはペアノにならい、1910年から1913年に出版した『プリンキピア・マテマティカ』において、命題 “A ならば B” を「A ⊃ B」と表現した。ゲンツェンはラッセルに従い、命題 “A ならば B” を「A ⊃ B」と表現した。ハイティングは、命題 “A ならば B” を最初は「A ⊃ B」と表現したが、後になって右向き矢印で「A → B」と表現するようになった。