広義固有ベクトル
{\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}
( A − 5 I ) 3 = [ 0 0 0 14 0 0 0 − 4 0 0 0 3 0 0 0 − 1 ] , rank  ( A − 5 I ) 3 = 1. {\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}
( A − 5 I ) m 1 {\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}} の階数が n − μ1 = 1 になる最初の整数 m1 は m1 = 3 である.
次のように定義する:
ρ 3 = rank  ( A − 5 I ) 2 − rank  ( A − 5 I ) 3 = 2 − 1 = 1 , ρ 2 = rank  ( A − 5 I ) 1 − rank  ( A − 5 I ) 2 = 3 − 2 = 1 , ρ 1 = rank  ( A − 5 I ) 0 − rank  ( A − 5 I ) 1 = 4 − 3 = 1.
A に相似な「ほぼ対角」なジョルダン標準形の行列 J は以下のようにして得られる:
M = [ x 11 x 21 x 21 x 22 x 23 ] = [ 0 1 0 0 0 3 − 15 0 0 0 − 9 30 0 0 1 9 − 1 0 3 − 2 − 3 − 45 9 0 0 ] , {\displaystyle M={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {x}}_{11}&{\boldsymbol {x}}_{21}&{\boldsymbol {x}}_{21}&{\boldsymbol {x}}_{22}&{\boldsymbol {x}}_{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{bmatrix}},}
J = M − 1 A M = [ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 ] , {\displaystyle J=M^{-1}AM={\begin{bmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{bmatrix}},}
ただし M は A の 広義モード行列(英語版) であり,M の列は A の標準基底(英語版)であり,AM = MJ である。
この例は例 2 よりも複雑である.低い次数のよい例題を構成することはやや少し難しい.
行列
A = [ 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 6 3 2 0 0 10 6 3 2 0 15 10 6 3 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{bmatrix}}}
の固有値は
det(λI − A) = (λ − 1)(λ − 2) =0
の解なので,固有値 λ1 = 1 と λ2 = 2 を持ち,その代数的重複度はそれぞれ μ1 = 2 と μ2 = 3 である.λ1 = 1 に対して,
rank  ( λ 1 I − A ) = 4 = 5 ⏟ n − 1 ⏟ γ 1 {\displaystyle \operatorname {rank} (\lambda _{1}I-A)=4=\underbrace {5} _{n}-\underbrace {1} _{\gamma _{1}}}
となるので,幾何学的重複度は γ1 = 1 である.λ2 = 2 に対して,
rank  ( λ 2 I − A ) = 4 = 5 ⏟ n − 1 ⏟ γ 2 {\displaystyle \operatorname {rank} (\lambda _{2}I-A)=4=\underbrace {5} _{n}-\underbrace {1} _{\gamma _{2}}}
となるので,幾何的重複度は γ2 = 1 である.
これまでの節で n × n 行列 A に付随するベクトル空間 V に対する標準基底の n 個の線型独立な広義固有ベクトルを得る方法を見た.これらの方法を結合して手順を得る:
固有値 λi と代数的重複度 μi に対する A の特性方程式を解く;
各 λi に対して: n − μi を決定する; mi を決定する; k = 1, ..., mi に対して ρk を決定する; λi に対して各ジョルダン鎖を決定する;
代数的重複度が 1 の固有値 λ2 = 4 は標準的な手法で扱うことができ,通常の固有ベクトル
y 1 = [ − 14 4 − 3 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{1}={\begin{bmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{bmatrix}}}
を持つ.A の標準基底は
{ x 3 , x 2 , x 1 , y 1 } = { [ 0 0 1 0 ] [ − 2 2 0 0 ] [ 2 0 0 0 ] [ − 14 4 − 3 1 ] } {\displaystyle \left\{{\boldsymbol {x}}_{3},{\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {y}}_{1}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2\\2\\0\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{bmatrix}}\right\}}
である.x1, x2, x3 は λ1 に伴う広義固有ベクトルである.y2 は λ2 に伴う通常の固有ベクトルである.
これはかなり単純な例であることに注意すべきである.一般に,階数 k の線型独立な広義固有ベクトルの個数 ρk は必ずしも等しくない.つまり,特定の固有値に対応する異なる長さのいくつかの鎖があるかもしれない.