反転幾何学
ユークリッド平面あるいはより一般に任意のアフィン平面に、ただ一つの無限遠点を各直線に対して追加したものを考えることによって得られるのがメビウス平面あるいは反転平面 (inversive plane) と呼ばれるものである。これらメビウス平面は公理的に記述することができるものであって、有限幾何も無限幾何も両方が存在する。
ユークリッド平面から構成できるメビウス平面の一つの模型(英語版)がリーマン球面である。
平面上の点を複素数 z = x + iy と解釈し、複素共軛 z = x − iy も考えれば、z の逆数は
1 z = z ̄ | z | 2 {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}
で与えられるから、帰結として単位円に関する反転 z ↦ w は、代数的な形で
w = 1 z ̄ = ( 1 z ) ̄ {\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}
と書くことができる。逆数変換 (reciprocation) はメビウス群の生成元として、変換論で重要である。メビウス群の他の生成元は、平行移動と回転で、何れも三次元空間全体において物理的な操作を通してよく知られているものである。(上記円反転に依存した)逆数変換の導入は、(ユークリッド平面の反転幾何と同一視されることもある)メビウス幾何に固有の特性 (peculiar nature) を与えるものであるけれども、しかし反転幾何は(共軛を含めて逆数変換にしていない)生の円反転を含むから、メビウス幾何よりも広汎な研究領域である。反転幾何は共軛写像も含むが、共軛写像も円反転も非等角的である(後述)から、これらは何れもメビウス群の元ではない。メビウス群の元は、数平面全体で定義された解析函数であり、従って等角写像でなければならない。