パウリ行列
四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像
a 1 + b i + c j + d k ↦ a I + b e 1 + c e 2 + d e 3 ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}
は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は
M = { [ a − d i − ( c + b i ) c − b i a + d i ] | a , b , c , d ∈ R } = { ( α β − β ̄ α ̄ ) | α , β ∈ C } {\displaystyle M=\left\{{\begin{bmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\end{bmatrix}}\,{\Biggl |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\,{\Biggl |}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}}
であり、H と M は R-多元環として同型である。
J 1 1 / 2 = ħ 2 σ x = ħ 2 [ 0 1 1 0 ] J 2 1 / 2 = ħ 2 σ y = ħ 2 [ 0 − i i 0 ] J 3 1 / 2 = ħ 2 σ z = ħ 2 [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\J_{2}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\\J_{3}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1, J2, J3 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J3 の固有値は +ħ/2, −ħ/2 であり、スピン 1/2 の状態を記述する。
パウリ行列(パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices)、パウリのスピン行列(パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。σ(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。
σ 1 = σ x = [ 0 1 1 0 ] , σ 2 = σ y = [ 0 − i i 0 ] , σ 3 = σ z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}