主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
1つの証明は以下のように進行する:
PID 上の任意の有限生成加群は有限表示加群である,なぜならば PID はネーター環ゆえ連接環だからである.
表示 R → R(関係式を生成元に)を取り,スミス標準形にする.
これから単因子分解を得,スミス標準形の対角成分が単因子である.
別の証明の概略:
tM で M の捩れ部分加群を表す.すると M/tM は有限生成捩れなし加群であり,PID 上のそのような加群は有限階数の自由加群であるため,ある非負整数 n に対して R に同型である.この自由加群は M の部分加群 F として分裂単射に(射影の右逆元)埋め込める.F の各生成元を M に持ち上げれば十分である.その結果 M = tM ⊕ F である.
R の素元 p に対して, N p = { m ∈ t M ∣ ∃ i , m p i = 0 } {\displaystyle N_{p}=\{m\in tM\mid \exists i,mp^{i}=0\}} を考える.これは tM の部分加群であり,各 Np は巡回加群の直和であることと tM が有限個の相異なる p に対する Np の直和であることが分かる.
2つのステップを合わせて,M は示されたタイプの巡回加群に分解する.