多項式の内容と原始多項式
以下、係数環 R はUFD(典型的には整数環や体上の多項式環)とする。UFDにおいて最大公約数は矛盾なく定義され、それは R の単数を掛ける違いを除いて一意である。
R-係数多項式 P の内容を c(P) と書くことにすれば、それは P のすべての係数の最大公約数として単元倍の違いを除いて一意に定まる。また P の原始成分を pp(P) と書けば、それは P を内容で割った商 P/c(P) に等しく、したがって R の単元倍の違いを除いて一意に定まる R-係数多項式である。P の内容をその単元倍に取り換えるとき、原始成分は同じ単数の逆数倍で置き換えるならば
なる関係式は常に保たれる(この関係式を P の内容–原始成分分解 (primitive-part-content factorization) と呼ぶ)。
内容と原始多項式に関するもっとも顕著な性質として、原始多項式の積がふたたび原始多項式となることを主張するガウスの補題(英語版)が挙げられる。これは以下のことを含意するものである:
多項式の積の内容は、それら多項式の内容の積に等しい: c ( P 1 P 2 ) = c ( P 1 ) c ( P 2 ) . {\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}
多項式の積の原始成分は、それら多項式の原始成分の積に等しい: pp  ( P 1 P 2 ) = pp  ( P 1 ) pp  ( P 2 ) .
↑ つまり既約元が素元であることを言うものである。UFD、特に体上の多項式環において、既約元と素元の同値性は重要であった。
体上の、または整係数の、多変数多項式の因数分解については、それをより不定元の数の少ない多項式環に係数を持つ一変数多項式とみることができるから、この設定における内容および原始成分の分解に問題を分けることができる。この場合に多項式の内容は不定元が一つ少ない多項式として与えられるから、以下帰納的に分解していけばよい。原始成分に関しては、残した変数に関する次数を変えないように係数環の不定元を整数に置き換えて得られた一変数多項式を分解し、それをもとの原始成分の分解に持ち上げるというのが標準的な方法である。