分岐群 (数学)
計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群 C 4 {\displaystyle C_{4}} であることが分かる。そして、
G 0 = G 1 = G 2 = C 4 {\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}}
かつ G 3 = G 4 = ( 13 ) ( 24 ) {\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24)} である。
w ( D K / Q 2 ) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11 {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11} なので、共役差積は D K / Q 2 = π 11 {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}} となる。
x1 は x − 4x + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 2 である。
この写像は素元の取り方によらない。これを使うと次がわかる 。
G 0 / G 1 {\displaystyle G_{0}/G_{1}} は位数が p {\displaystyle p} と互いに素な巡回群
G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} は位数が p {\displaystyle p} の巡回群の積
特に、 G 1 {\displaystyle G_{1}} は p 群で、 G 0 {\displaystyle G_{0}} は可解群である。 G / G 0 {\displaystyle G/G_{0}} は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって(局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた) G {\displaystyle G} は可解群である。
分岐群を使って、体拡大 L / K {\displaystyle L/K} やその部分拡大の共役差積(英語版) D L / K {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}} を計算することもできる。次が成り立つ
w ( D L / K ) = ∑ s ≠ 1 i G ( s ) = ∑ i = 0 ∞ ( | G i | − 1 ) {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)}