フビニの定理
X と Y が測度を伴う測度空間であるなら、それらの積に関する積測度を定義するいくつかの自然な方法が存在する。
測度空間の(圏論の意味での)積 X×Y は、それらの可測な部分集合の積 A×B によって生成されるσ代数をその可測集合として持つ。X×Y 上の測度 μ は、可測部分集合 A および B に対して μ(A×B)=μ(A)μ(B) を満たすとき、積測度と呼ばれる。一般に X×Y 上には多くの異なる積測度が存在しうる。フビニの定理とトネリの定理はいずれも、この問題を解決するための技術的な条件を必要としている。その最も一般的な方法として、すべての可測空間は σ-有限であると仮定する方法がある。この場合、X×Y 上の積測度は唯一つとなる。また、可測集合の測度が、可測集合の積の可算個の合併であるような集合の測度の下限で与えられる場合、X×Y 上には常に唯一つの極大積測度(maximal product measure)が存在する。その極大積測度は、可測集合の積によって生成される集合の環上で μ(A×B)=μ(A)μ(B) を満たすような加法的函数 μ に対してカラテオドリの拡張定理を適用することで構成できる。
二つの完備距離空間の積は通常、完備ではない。例えば、単位区間 I 上のルベーグ測度の積は、平方 I×I 上のルベーグ測度ではない。完備測度に対するフビニの定理の変化版も存在し、そこでは不完備な測度の積の代わりにその積の完備化が用いられる。
ただし A x = π Y [ A ∩ { x } × Y ] {\displaystyle A_{x}=\pi _{Y}[A\cap \lbrace x\rbrace \times Y]} であり、 π Y {\displaystyle \pi _{Y}} は Y の上への射影。
各条件の痩集合はそれぞれ補痩集合に代えても成立する。仮に A がベールの性質を持たないとしても、条件2は条件1より従う。この定理は、任意のハウスドルフ空間 X および可算 n-基を持つハウスドルフ空間 Y に対しても(空虚な意味であることもあるが)成立する。
この定理は、考えている函数がある積空間の集合の特性函数である場合の通常のフビニの定理と類似なものである。その場合、痩集合は測度 0 の集合、補痩集合は全測度(full measure)の集合、ベールの性質を持つ集合は可測集合に対応する。
フビニおよびトネリの定理の証明は、σ-有限性に関連する仮定を用いるため、必然的に幾分技巧的なものとなる。ほとんどの証明では、以下に述べるような徐々に複雑になっていく函数に対して定理の成立を示すことで、最終的にすべてを示す方針を採っている。
手順1:積上の測度は積測度であるという事実を使って、長方形区間上の特性函数に対して定理を証明する。
手順2:空間が σ-有限であるという条件(あるいはそれに関連する条件)を使って、可測集合上の特性函数に対して定理を証明する。
手順3:函数が可測であるという条件を使って、単函数(有限個の値のみを取る函数。手順2の函数の有限の線型結合である)近似により正の可測函数に対して定理を証明する。これによって、トネリの定理は証明される。
手順4:函数が可積分であるという条件を使って、その函数を二つの正の可積分函数の差で表し、それぞれに対してトネリの定理を用いる。これによって、フビニの定理が証明される。