谷山–志村予想
1986年の夏、ケン・リベットがセールの ε 予想を証明した。これから、フェルマー予想を証明するには半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明すればよいことになった。
この頃、サージ・ラングは次のような会話がヴェイユと志村の間で交わされたとセールから聞いた。
ヴェイユ「なぜ谷山はすべての楕円曲線はモジュラーだと考えたのか?」
志村「あなたが谷山に教えたのです。あなたはそのことを忘れてしまった」
このような会話が本当にあったのかどうか、ラングは志村とヴェイユに確認を取った。1986年8月13日に志村から返信があった。彼の回答は「このような会話がなされるはずがない」という断定的なものだった。志村はその根拠として1967年の論文でヴェイユは谷山・志村予想の成立に懐疑的なコメントをしていることをあげた。
ラングは志村の返信をセールとヴェイユに送りコメントを求めた。8月16日にセールから返信があった。セールは、彼の話の裏を取ろうとするラングの試みを非難した。
新形式(英語版)(new form) f ∈ S 2 ( Γ 0 ( N ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma _{0}\left(N\right)\right)} に対して、アーベル多様体 A f {\displaystyle A_{f}} を
A f := J 0 ( N ) / I f J 0 ( N ) , {\displaystyle A_{f}:=J_{0}\left(N\right)/I_{f}J_{0}\left(N\right),}
によって定義する。ただし、 I f {\displaystyle I_{f}} は、
I f := { T ∈ T Z := Z [ T p , ⟨ d ⟩ ] | T f = 0 } {\displaystyle I_{f}:=\{T\in \mathbb {T} _{Z}:=\mathbb {Z} [T_{p},\langle d\rangle ]|Tf=0\}} 。
ここで T p {\displaystyle T_{p}} をヘッケ作用素、 ⟨ d ⟩ {\displaystyle \langle d\rangle } をダイアモンド作用素である。