点 (数学)
ユークリッド幾何学における点は大きさ、方向など位置以外のあらゆる特徴を持たない。 ユークリッドの公理や仮定では、一部の場合には点の存在が明らかだとする。 つまり例えば、1平面上の2直線が平行でなければ、その両線上に位置する1点が確実に存在する。
時にユークリッドはこの公理に沿わない事実があることを想定した。 例えば線上の点の順序についてや、時に有限個の点ではない点の存在についてである。 そのため、点に対する伝統的公理は全てが完全で決定的というわけではない。
ユークリッドの『原論』によれば、「位置をもち、部分を持たないものである」と定義されている。 また、公理からの演繹を重視する現代数学においては、「点とは何か」ということを直接に定義せず、単に幾何学的な集合(空間)の元のことであるとみなされる。 これは、点(または直線など)を実体のない無定義術語として導入しておいて、その性質として幾つかの公理を満たすことを要請するという立場である。
たとえば、ユークリッド幾何学とよばれる普通の幾何学が成立する空間(ユークリッド空間)では、点は
任意の一点から他の一点に対して直線(線分)を引くことができる。
任意の点を中心として任意の長さ(半径)で円を描くことができる。
などの公理(原論では公準)を満たす。 もちろん他の無定義述語や定義された述語に関する公理も含めてユークリッド幾何学が形成されるのである。 ユークリッド幾何学についての詳細はユークリッド原論などを参照されたい。