無限論理
一階無限論理Lα,β、ここでαは正則、β = 0 または ω ≤ β ≤ α、は有限論理と同じ記号の集合を持っており、有限論理の式の形成についての全ての規則といくつかの追加規則を用いる:
変数 V = { V γ | γ < δ < β } {\displaystyle V=\{V_{\gamma }|\gamma <\delta <\beta \}} および式 A 0 {\displaystyle A_{0}} の集合について、 ∀ V 0 : ∀ V 1 ⋯ ( A 0 ) {\displaystyle \forall V_{0}:\forall V_{1}\cdots (A_{0})} および ∃ V 0 : ∃ V 1 ⋯ ( A 0 ) {\displaystyle \exists V_{0}:\exists V_{1}\cdots (A_{0})} は式である(それぞれの場合に量化子の列は長さ δ {\displaystyle \delta } を持つ)。
式 A = { A γ | γ < δ < α } {\displaystyle A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}} の集合について、 ( A 0 ∨ A 1 ∨ ⋯ ) {\displaystyle (A_{0}\lor A_{1}\lor \cdots )} および ( A 0 ∧ A 1 ∧ ⋯ ) {\displaystyle (A_{0}\land A_{1}\land \cdots )} は式である(それぞれの場合に列は長さ δ {\displaystyle \delta } を持つ)。