ロトカ・ヴォルテラの方程式
捕食者の個体数増殖速度 dy/dt は
d y d t = c x y − d y {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=cxy-dy}
と表される。上記の式は、以下のような生態学的な前提条件から導出される。
まず、被食者が存在しない場合を考える。被食者にとっての餌はこの方程式系に現れる変数とは別に常に十分あると仮定したが、捕食者にとっての餌は被食者のみとする。よって、被食者が存在しないことは食糧が尽きたことと同じであり、捕食者の死亡率は出産率を上回り、捕食者の個体数 y は減少の一途を辿ることになる。この減少の仕方も、被食者の自然増のように個体数が多ければ多いほど減少速度が大きくなる、すなわち個体数 y に減少速度 dy/dt が比例すると仮定する。これを表しているのが、右辺第二項 −dy である。
そして、捕食者が増える速度は、捕食に成功した回数に比例すると考えられる。捕食による被食者減少速度が −bxy と仮定されたように、捕食による捕食者増殖速度も同じ理屈から被食者数 x と捕食者数 y に比例するといえる。これを表しているのが、右辺第一項 cxy である。
上記のアイソクライン法による解析だけでは、解曲線の形状は確定しない。解曲線は、平衡点 (d/c, a/b) を中心に反時計回りに回転していることは分かったが、平衡点を中心としてそこから離れていく渦巻形状なのか、逆に平衡点へ近づいていく渦巻形状なのか、あるいは円や楕円のように一周して元の点に戻る閉曲線なのか、などの可能性がある。ロトカ・ヴォルテラの方程式の解は、これらの中の閉曲線に該当し、相平面の第一象限上で解曲線は平衡点 (d/c, a/b) を中心にして一周する閉じた軌道を描く。これは、前述の保存量 H の存在などから証明される。
解曲線の形状は、純粋な円や楕円というよりは卵のような形となっている。どの大きさの軌道を取るかは、被食者 x と捕食者 y の初期値 x0, y0 によって決まる。保存量 H の値は初期値 x0, y0 によって決まり、H の各値に1つの閉曲線が対応する。さらに、x と y の1周期中の平均量を計算すると、それらの値は、それぞれの平衡点 d/c と a/b に一致する。
解曲線が閉じた曲線であることは、被食者と捕食者の個体数は一定周期で振動していることも意味する。
どのようなときに、個体数 x, y が増えも減りもしない、つまり時間 t の経過によらず変化しない状態になるかについて考える。これは、方程式の dx/dt と dy/dt がともに 0 ということなので、次式が得られる。
x ( a − b y ) = 0 {\displaystyle x(a-by)=0}
y ( c x − d ) = 0 {\displaystyle y(cx-d)=0}
この式を満たす x, y の組合せは、次の2組である。
( x = 0 , y = 0 ) {\displaystyle (x=0,\quad y=0)}
( x = d c , y = a b ) {\displaystyle \left(x={\frac {d}{c}},\quad y={\frac {a}{b}}\right)}
x, y がこれら2組の値をとるとき、その x, y の値は時間によらず一定となる。このような点を平衡点と呼ぶ。平衡点 (0, 0) は、捕食者も被食者も全滅してしまった状態である。一方、平衡点 (d/c, a/b) では、捕食者・被食者ともにある個体数で共存する状態となっている。