テンソル空間
共通の体 F 上のベクトル空間の有限集合 {V1, ..., Vn} が与えられたとき、それらのテンソル積 V1 ⊗ ... ⊗ Vn はふたたび F 上のベクトル空間であり、またその元はテンソルと呼ばれる。特に一種類のベクトル空間 V から作られるテンソル積空間
V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}
を V 上のテンソル空間と呼び、その元(ベクトル)をベクトル空間 V 上のテンソルと言う。ここに V は V の双対空間である。
この積において V が m 個、V が n 個であるとき、その元であるテンソルは (m, n)-型または m-階反変・n-階共変であるといい、また m+n をそのテンソルの階数または 次数(英語版) (order, degree) という。特に0-階テンソルはスカラー(F の元)であり、1-階反変テンソルは V に属するベクトル、1-階共変テンソルは V に属する一次形式のことである(それがゆえに、1-階テンソルを反変ベクトルまたは共変ベクトルとしばしば呼ぶ)。
テンソルの階数 (rank) は線型代数学における行列の階数を拡張するものである(先に述べた次数 (order) もしばしば階数, rank と言ったりするので少々紛らわしいが)。行列の階数は像空間を張るのに必要な列ベクトルの最小数であり、行列 A が二つの非零ベクトルの二項積
A = v w ⊤ {\displaystyle A=vw^{\top }}
に書けるならば、A は階数 1 である。より一般に、行列 A の階数はこのような二項積の和
A = v 1 w 1 ⊤ + ⋯ + v k w k ⊤ {\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\top }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\top }}
として表すことができるときの右辺の項数の最小値に等しいのであった。同様に階数 1 のテンソル(単純テンソル)は V または V の非零な元 a, b, ..., d を用いて
T = a ⊗ b ⊗ ⋯ ⊗ d {\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}
の形に表されるテンソルを言う。