BEAF
a { c } d b = { a , b , c , d } {\displaystyle a\{c\}^{d}b=\{a,b,c,d\}}
と書き換えることが可能である。この表記を多変数へ一般化したものは配列表記と呼ばれ、クヌースの矢印表記やコンウェイのチェーン表記や拡張チェーン表記や回転矢印表記よりも強力な表記である。
線形配列表記は以下のように定義される。
a { { { 1 } } } b = a { { a { { ⋯ { { a { { a ⏟ b 個 の a } } a } } ⋯ } } a } } a {\displaystyle a\{\{\{1\}\}\}b=\underbrace {a\{\{a\{\{\cdots \{\{a\{\{a} _{b{\text{ 個 の }}a}\}\}a\}\}\cdots \}\}a\}\}a}
a { { { 2 } } } b = a { { { 1 } } } a { { { 1 } } } ⋯ { { { 1 } } } a { { { 1 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{2\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}\cdots \{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
a { { { 3 } } } b = a { { { 2 } } } a { { { 2 } } } ⋯ { { { 2 } } } a { { { 2 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{3\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}\cdots \{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
a { { { n } } } b = a { { { n − 1 } } } a { { { n − 1 } } } ⋯ { { { n − 1 } } } a { { { n − 1 } } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{\{n\}\}\}b=\underbrace {a\{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}\cdots \{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
乗算は、加算の反復によって定義できる。
a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
a { 2 } b = a { 1 } ( a { 2 } ( b − 1 ) ) = a { 1 } a { 1 } ⋯ { 1 } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{2\}b=a\{1\}(a\{2\}(b-1))=\underbrace {a\{1\}a\{1\}\cdots \{1\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
同様に、冪乗は、乗算の反復によって定義できる。
ここで、bは一番内側から外側までのaの個数である。Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。
{{}}の中を増やしていくと、次のようになる。
a { { 2 } } b = a { { 1 } } a { { 1 } } ⋯ { { 1 } } a { { 1 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{2\}\}b=\underbrace {a\{\{1\}\}a\{\{1\}\}\cdots \{\{1\}\}a\{\{1\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
a { { 3 } } b = a { { 2 } } a { { 2 } } ⋯ { { 2 } } a { { 2 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{3\}\}b=\underbrace {a\{\{2\}\}a\{\{2\}\}\cdots \{\{2\}\}a\{\{2\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
a { { n } } b = a { { n − 1 } } a { { n − 1 } } ⋯ { { n − 1 } } a { { n − 1 } } a ⏟ b 個 の a {\displaystyle a\{\{n\}\}b=\underbrace {a\{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}\cdots \{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}a} _{b{\text{ 個 の }}a}}
{}を二重から三重にすると、aのb重爆発となる。