有理関数
これもやはり x = ± i {\displaystyle x=\pm i} が分母の零点となっているからであり、その2点が定義域から除かれる。
自明な例としては、 f ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+1} 等の多項式関数も有理関数に含まれる。これは分子が2次の多項式 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 、分母は0次の多項式 1 であるとみなせる。 さらに自明な例として、他に f ( x ) = π {\displaystyle f(x)=\pi } 等の定数関数も有理関数に含まれる。これは分子が0次の多項式 π {\displaystyle \pi } 、分母も0次の多項式 1 であるとみなせる。 ここで注意すべきは、 π {\displaystyle \pi } が無理数であることと、上の f {\displaystyle f} が有理関数であることは両立する点である。「関数が有理関数である/ない」という概念と、「返り値が有理数である/ない」という概念を混同してはならない。
次の有理関数
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 ( x 2 − 5 ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}
は、分母の零点である x 2 = 5 {\displaystyle x^{2}=5} なる x {\displaystyle x} 、すなわち x = ± 5 {\displaystyle x=\pm {\sqrt {5}}} においては定義されない。なお、この有理関数は、 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } で x 2 {\displaystyle {\frac {x}{2}}} に漸近する(直線 y = x 2 {\displaystyle y={\frac {x}{2}}} が漸近線)。
また次の有理関数
f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}
は全ての実数について定義されているが、全ての複素数については定義されていない。