フィボナッチ多項式
リュカ数列の特別な場合として、フィボナッチ多項式は以下に述べる多くの関係式を満たす。
初めに、負の添え字に対しては次の関係式が成り立つ:
F − n ( x ) = ( − 1 ) n − 1 F n ( x ) , L − n ( x ) = ( − 1 ) n L n ( x ) . {\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}
また、次の関係式が成り立つ:
F m + n ( x ) = F m + 1 ( x ) F n ( x ) + F m ( x ) F n − 1 ( x ) {\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}
L m + n ( x ) = L m ( x ) L n ( x ) − ( − 1 ) n L m − n ( x ) {\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}
F n + 1 ( x ) F n − 1 ( x ) − F n ( x ) 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}