導来関手
さまざまな状況で短完全系列が長完全系列に持ち上がることが分かっている。導来関手の概念はこれらの結果の多くを明確に根拠づけることができる。
2つのアーベル圏 A と B の間の共変な左完全関手 F : A → B が与えられ、0 → A → B → C → 0 を A の短完全系列とすると、F を適用することで完全系列 0 → F(A) → F(B) → F(C) が得られる。この系列をどのように右へ拡張し長完全系列とするかが問題になるが、与えられた短完全系列を右へ拡張する方法には多数の異なる方法があるので、厳密には、この問は適切とは言えない。しかし、A が充分に「良い」性質を持っている場合は、F の右導来関手による標準形がひとつ存在する。全ての i ≥ 1 に対して、関手 RF: A → B が存在して、上記の短完全系列は次のように右へと拡張される。
0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( A ) → R 2 F ( B ) → R 2 F ( C ) → ...