対称テンソル
と定義すれば、これが実際に可換かつ結合的であることが確かめられる (Kostrikin,Manin 1997)。
文脈によっては演算子を省略して単なる併置とすることもある (T1T2 = T1 ⊙ T2)。冪記法を用いて
v ⊙ k = v ⊙ v ⊙ ⋯ ⊙ v ⏟ k times = v ⊗ v ⊗ ⋯ ⊗ v ⏟ k times = v ⊗ k {\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}}
と書くこともある。ここで v はベクトルである。これもやはり "⊙" を省略して
v k = v v ⋯ v ⏟ k times = v ⊙ v ⊙ ⋯ ⊙ v ⏟ k times {\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}}
のようにも書く。
ベクトル空間 V に対し、その k-次テンソル冪 V を考える。
k-次テンソル T ∈ V が対称であるとは
τ σ T = T ( ∀ σ ∈ S k ) {\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\quad (\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k})}
を満たすことをいう。ここで τσ は記号 {, 2, ..., k} の置換 σ ∈ Sk に付随する組み紐写像である。
V の基底 {ei} を取り、k-次対称テンソル T を適当な係数を用いて
T = ∑ i 1 , ... , i k = 1 N T i 1 i 2 ... i k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle T=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}
の形に書けば、この基底に関する T の成分 Ti1i2...ik はその添字に関して対称、すなわち
T i σ 1 i σ 2 ...
V は標数 0 の体上のベクトル空間とする。T ∈ V を k-次テンソルとすれば、T の対称成分は、平均化(対称化)
Sym  T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k τ σ T {\displaystyle \operatorname {Sym} T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T}
によって与えられる対称テンソルである。和は k-次対称群の全体を亙ってとる。基底をとって考えれば、和の規約を用いて
T = T i 1 i 2 ... i k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}
と書くとき、T の対称成分は
Sym  T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k T i σ 1 i σ 2 ...