ディリクレ級数
は、以下の積表示を持つ。
f ( s ) = ∏ p ; prime ( 1 + a ( p ) p s + a ( p 2 ) p 2 s + ⋯ ) {\displaystyle f(s)=\!\!\prod _{p;\operatorname {prime} }\left(1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+\cdots \right)} 。
この積をオイラー積 (Euler product)という。
逆に、ある数論的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} の母関数がオイラー積表示を持つならば、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} は乗法的関数である。
さらに、 a ( n ) {\displaystyle a(n)} が完全乗法的関数であれば、オイラー積は
f ( s ) = ∏ p ; prime 1 1 − a ( p ) / p s {\displaystyle f(s)=\!\!\prod _{p;\operatorname {prime} }{\frac {1}{1-a(p)/p^{s}}}}
と表される。
ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、
lim x → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{x\to \infty }a_{n}=\alpha }
であるならば、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は、 Re  s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} で収束して、
lim s → 1 + 0 ( s − 1 ) f ( s ) = α {\displaystyle \lim _{s\to 1+0}(s-1)f(s)=\alpha }
が成立する。
2つのディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s , g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}
が、ある開領域内で収束し、そこで、 f ( s ) = g ( s ) {\displaystyle f(s)=g(s)} が成立するならば、すべての n に対して、 a n = b n {\displaystyle a_{n}=b_{n}} である。
の絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} の値は、以下の様に求められる。
s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が発散する場合 σ a = lim sup n → ∞ log  s n log  n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s_{n}}{\log n}}} 。
s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が収束する場合 σ a = lim sup n → ∞ log  ( | a n | + | a n + 1 | + ⋯ ) log  n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}} 。