アステロイド (曲線)
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アステロイド(英: astroid)の語義はギリシア語: aster(星の)+ -oid(ようなもの)であり、星芒形(せいぼうけい)、星形とも呼ばれる。アステロイドは四つの尖点を持つ内サイクロイド(四尖点内擺線)であり、四尖点形 (tetracuspid) の名称も古くから用いられている(ほかには、cubocycloid, paracycle など)。アステロイドを縮閉、伸開、包絡などの概念を用いて他の曲線から得ることができる。類似の曲線として楕円の縮閉線がある。また、アステロイドはスーパー楕円の一種である。
アステロイドは種数 0 の平面代数曲線の実軌跡として、代数方程式
( x 2 + y 2 − 1 ) 3 + 27 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0}
で表すことができる。これは六次の曲線で実平面 R 上に(星の頂点の部分に)四つの尖点特異性を持つ。また、複素変数(リーマン球面)に拡張して、さらに二つの尖点特異性を無限遠点にもち、四つの二重点があるから、計10個の特異点をもつことになる。
この式で表されるアステロイドの双対曲線は十字曲線 x y = x + y である。