RC回路
高い周波数でのコンデンサにかかる電圧を出力とする。高い周波数とは
ω ≫ 1 R C {\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}}
となるような周波数である。
これはつまり、コンデンサに電荷が蓄積されるのに十分な時間がないため、そこにかかる電圧も非常に小さいことを意味する。したがって、入力電圧は抵抗器にかかる電圧にほぼ等しい。これを示すため、次の電流 I {\displaystyle I} の式を考える。
I = V i n R + 1 / j ω C {\displaystyle I={\frac {V_{in}}{R+1/j\omega C}}}
ここで、周波数についての条件は以下のようにも表せる。
ω C ≫ 1 R {\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}}
したがって
I ≈ V i n R {\displaystyle I\approx {\frac {V_{in}}{R}}} となり、これは単なるオームの法則である。
ここで
V C = 1 C ∫ 0 t I d t {\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}Idt}
であるから
V C ≈ 1 R C ∫ 0 t V i n d t {\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{in}dt}
となり、これはコンデンサにかかる電圧が一種の積分器となることを意味する。
ω c = 1 R C r a d / s {\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{RC}}\ \mathrm {rad/s} }
または
f c = 1 2 π R C H z {\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}\ \mathrm {Hz} }
となる。これがフィルタによって電力が本来の半分になる周波数である。
明らかに位相も周波数によって変化するが、一般に利得の変化ほど注目されない。
ω → 0 {\displaystyle \omega \to 0} となるとき:
φ C → 0 {\displaystyle \phi _{C}\to 0} φ R → 90 ∘ = π / 2 c {\displaystyle \phi _{R}\to 90^{\circ }=\pi /2^{c}}
ω → ∞ {\displaystyle \omega \to \infty } となるとき:
φ C → − 90 ∘ = − π / 2 c {\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-\pi /2^{c}} φ R → 0 {\displaystyle \phi _{R}\to 0}
となる。
したがって、直流(0Hz)ではコンデンサの電圧は信号の電圧と位相が同じだが、抵抗器の電圧は位相が90°進む。周波数が高くなるにつれて、コンデンサの電圧の位相は信号の位相に対して90°遅れるようになっていき、抵抗器の電圧の位相は信号の位相と同じになっていく。
正弦波定常状態は、入力電圧が(指数減少成分がない)純粋な正弦波であるような特殊ケースを意味する。したがって
σ = 0 {\displaystyle \sigma \ =\ 0}
であり、 s {\displaystyle s} は次のように表せる。
s = j ω {\displaystyle s\ =\ j\omega }