コーシーの定理 (群論)
ラグランジュの定理によれば、部分群 H の位数 |H| は必ず元の群 G の位数 |G| を割り切る。
| H | | | G | {\displaystyle |H|\,{\big |}\,|G|} .
すると、素数位数の群は自明な部分群 {e}, G 以外の部分群を持たないことになるが、群の基本的性質から、これは素数位数の群が必ず単独の生成元 g で生成される巡回群 ⟨g⟩ であることを意味する。
このことから、群の位数の素因数分解と、部分群に素数位数の巡回群が存在することの関連が容易に予想されるが、これを1845年に示したのがコーシーの定理である。
コーシーの定理が最初に示されてから27年後の1872年に、これを素数 p の冪() p に拡張したシローの定理が証明された。