コーシー境界条件
数学の分野におけるコーシー境界条件(こーしーきょうかいじょうけん、英: Cauchy boundary condition)は、常微分方程式あるいは偏微分方程式に対し、定義域の境界上での解の値およびその法線微分(英語版)の値を定めるような条件のことを言う。ディリクレ境界条件とノイマン境界条件を両方とも課すような状況に対応する。19世紀のフランスの数学者であるオーギュスタン=ルイ・コーシーの名にちなむ。
コーシー境界条件は、特殊解を持つように初期点あるいは境界点における解の値とその微分の値を定めるような、二階の常微分方程式に関する理論から理解することが出来る。それはすなわち
y ( a ) = α {\displaystyle y(a)=\alpha \ }
および
y ′ ( a ) = β {\displaystyle y'(a)=\beta \ }
である解を考えるような理論である。ここで a {\displaystyle a\ } は初期点あるいは境界点である。
コーシー境界条件は、そのようなタイプの境界条件の一般化である。以下、議論を簡略化するために、偏微分に関する次のような記法を導入する:
u x = ∂ u ∂ x u x y = ∂ 2 u ∂ y ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\partial u \over \partial x}\\u_{xy}&={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}\end{aligned}}}