接続 (ファイバー束)
は閉曲線の連結に関して自然に群構造をなす。この群をEの H {\displaystyle {\mathcal {H}}} に関するx0におけるホロノミー群(英: holonomy group)という。
さらに以下を定義する:
定理・定義 (制約ホロノミー群) ―
H o l 0 ( E , H , x 0 ) := { φ c ∣ c {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0}):=\{\varphi _{c}\mid c} はx0から出てx0自身へと戻る区分的になめらかな閉曲線でM上0-ホモトープなもの } {\displaystyle \}}
とすると、 H o l 0 ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})} は H o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} の部分群をなす。
このとき、 { V p } p ∈ E {\displaystyle \{V_{p}\}_{p\in E}} が π P : P → M {\displaystyle \pi _{P}~:~P\to M} 上の何らかの主バンドルとしての接続から誘導されている必要十分条件は以下が成立することである:
π E : E → M {\displaystyle \pi _{E}~:~E\to M} のバンドルアトラス ( U α , φ α ) α {\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha }} が存在し、任意のαに対し、 U α {\displaystyle U_{\alpha }} に関するクリストッフェル形式 Γ α {\displaystyle \Gamma ^{\alpha }} が X f u n d ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}_{\mathrm {fund} }(F)} に値を取る。
ここで X f u n d ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}_{\mathrm {fund} }(F)} はGの作用がFに定義する基本ベクトル場全体の集合である。
なお上では「あるバンドルアトラスが存在して」としたがあるバンドルアトラスに対して上記の性質が成立すれば任意のバンドルアトラスに対して上記の性質が成立する事が知られている。
ここで V p {\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}} は垂直部分空間 V p := π ∗ − 1 ( T π ( p ) M ) ⊂ T p P {\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}:=\pi _{*}{}^{-1}(T_{\pi (p)}M)\subset T_{p}P} であり、 ( R g ) ∗ {\displaystyle (R_{g})_{*}} は g ∈ G {\displaystyle g\in G} のPへの右からの作用 R g : p ∈ P → p g ∈ P {\displaystyle R_{g}~:~p\in P\to pg\in P} がTPに誘導する写像である。 H p {\displaystyle {\mathcal {H}}_{p}} をpにおける水平部分空間という。
一般のファイバーバンドルの接続の場合と同様、垂直射影 { V p } p ∈ P {\displaystyle \{V_{p}\}_{p\in P}} を用いて接続概念を定義することも可能で、
任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 V p | V p = i d {\displaystyle V_{p}|_{{\mathcal {V}}_{p}}=\mathrm {id} }
任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} 、 g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対し、 ( R g ) ∗ ∘ V p = V p g ∘ ( R g ) ∗ {\displaystyle (R_{g})_{*}\circ V_{p}=V_{pg}\circ (R_{g})_{*}}
により接続概念を定義づけられる。
しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。
本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。
そのためにG上の積を取る写像と逆元を取る写像
μ : ( g , h ) ∈ G × G ↦ g h ∈ G {\displaystyle \mu ~:~(g,h)\in G\times G\mapsto gh\in G}
ν : g ∈ G ↦ g − 1 ∈ G {\displaystyle \nu ~:~g\in G\mapsto g^{-1}\in G}
を考え、これらが接バンドルTGに誘導する写像
μ ∗ : T G × T G → T G {\displaystyle \mu _{*}~:~TG\times TG\to TG}
ν ∗ : T G → T G {\displaystyle \nu _{*}~:~TG\to TG}
をそれぞれTG上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、TGがこの積に対して群になる事を示す事ができる。この群をリー群Gの接群(英: tangent group)という。
TGを上記の方法で群とみなすと、G-主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} が誘導する π ∗ : T P → T M {\displaystyle \pi _{*}~:~TP\to TM} はTG主バンドルとみなせ、 G ↷ F {\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F} が誘導する T G ↷ T F {\displaystyle TG{\overset {\curvearrowright }{}}TF} は群TGのTFへの群作用とみなせる。
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。
そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。
ベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} の切断sが与えられたとき、 F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上の関数
ψ s : ( e 1 , ... , e n ) ∈ F G ( M ) ↦ ( s 1 , ... , s n ) ∈ R n {\displaystyle \psi _{s}~:~(e_{1},\ldots ,e_{n})\in F_{G}(M)\mapsto (s^{1},\ldots ,s^{n})\in \mathbb {R} ^{n}} , where s = s i e i {\displaystyle s=s^{i}e_{i}}
を定義できる。このとき次が成立する:
定理 ― M上の任意のベクトル場Xに対し、以下が成立する:
E := P × ρ V {\displaystyle E:=P\times _{\rho }V} とすると前述の同型
A ρ k ( P ; V ) ≈ A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)\approx {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}
を使って上記の定理を A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)} 上の定理に書き換える事ができる:
定理 ― ξ ∈ A l ( M ; V ) {\displaystyle \xi \in {\mathcal {A}}^{\ell }(M;V)} は以下を満たす:
( d ∇ ξ ) ♯ = d ω ( ξ ♯ ) {\displaystyle (d_{\nabla }\xi )^{\sharp }=d_{\omega }(\xi ^{\sharp })}
ここで「 ♯ {\displaystyle \sharp } 」はテンソル形式と底空間上の切断の同型写像である。
本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。 ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。
, x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} となるものを取る。
水平リフトは π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の右逆写像であった事から、 X = X k ∂ ∂ x k {\displaystyle X=X^{k}{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}} をU上のベクトル場とすると、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} における水平リフトは何らかの実数の組 ( Γ i k ( e ) ) i , k {\displaystyle (\Gamma ^{i}{}_{k}(e))_{i,k}} を用いて
L i f t e ( X ) = X k ∂ ∂ x k − X k Γ i k ( e ) ∂ ∂ y i {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(X)=X^{k}{\partial \over \partial x^{k}}-X^{k}\Gamma ^{i}{}_{k}(e){\partial \over \partial y^{i}}}
という形に成分表示できる。共変微分とリフトの関係性から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる:
定理 (共変微分の成分表示) ― 記号を上述のように取り、さらにsをU上定義されたEの切断とし、sを成分表示で
s ( x ) = ( ( x 1 , ...