ペラン数
ペラン数は、以下の方程式の解の累乗を用いて表すことが出来る。
x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0}
この方程式は3つの解を持ち、1つは実数解(p とする、プラスチック数と呼ばれる)、2つは複素共役な解(q, r とする)である。これらを用いて、フィボナッチ数列におけるBinetの公式と同様の公式を得ることが出来る。
P ( n ) = p n + q n + r n {\displaystyle P\left(n\right)={p^{n}}+{q^{n}}+{r^{n}}}
複素解 q, r の絶対値は1より小さいので、 n を大きくすれば q^n, r^n は0に近づく。従って、十分大きな n に対しては、公式は以下のように簡略化出来る。
P ( n ) ≈ p n {\displaystyle P\left(n\right)\approx {p^{n}}}
この公式は、大きな n に対してペラン数を高速に計算するのに用いられる。ペラン数列の連続する項の比は p 、つまりプラスチック数に近づき、その値はおおよそ 1.324718 である。ペラン数列・パドヴァン数列におけるプラスチック数は、フィボナッチ数列における黄金比や、ペル数における白銀比に対応するものとなっている。