原始ピタゴラス数
(m, n) の操作は、m/n(これは既約分数である)と分数表示すると、関数値の計算により求められる。
#タイルの操作で表した「退化」u, a, d を分数表示すると
操作u:m/n ↦ 1 / (2 − m/n) ((1 <) m/n < 2)
操作a:m/n ↦ 1/ (m/n − 2) (2 < m/n < 3)
操作d:m/n ↦ m/n − 2 (m/n > 3)
となる。
(例1)
例えば、(m, n) = (14, 9) の「退化」列は、
14/9 u↦ 1 / (2 − 14/9) = 9/4
14/9 a↦ 1 / (9/4 − 2) = 4/1
14/9 d↦ 4/1 − 2 = 2/1
となり、e := 2/1 とおくと
14/9 = UAD(e)
と分かる。
(例2)(m, n) = (11, 8)
11/8 u↦ 1 / (2 − 11/8) = 8/5
原始ピタゴラス数の三分木構造は古代バビロニアにおいてすでに発見されていたようであることが、プリンプトン322から窺われる。ギリシャ数学においては、ピタゴラスおよびユークリッドによって興味を持たれていたものの、一部が失われていたようである。三分木に現れる「プラトン系列」「ピタゴラス系列」などは再発見されたようであるが、もう一本の枝(直角をはさむ2辺の差が1である系列)はクラウディオス・プトレマイオスによって発見されていたかもしれないが、17世紀にフェルマーに着目されるまでヨーロッパ数学界では少なくとも周知はされていなかったようである。直角をはさむ2辺の差が1である系列は古代バビロニアでは知られていたようであることがYBC 7289から窺われる。
操作U・D・A により「原始ピタゴラス数全体は重複なく三分木をなす」ことが、1963年にオランダのバーニング (F.J.M.Barning)、1970年にアメリカのホール (A.Hall)、また1993年頃に日本の亀井喜久男によって独立に発見・発表された。ただし、バーニング、ホール、亀井の何れの発表についても、各操作はどの表現行列に該当するか?という逆問題が未解決だった。実際に細矢治夫は2012年の著書で「バーニングとホールの(中略)理論の大きな泣き所は, 任意の二つの規約ピタゴラスの三角形を選んだときに, その両者を結ぶU, D, A の組合せが存在するかの判定, またもし存在するとしてもその組合せを知る簡単な手だてがないことである」と述べている。
4 a ′ 2 = 2 u ⋅ 2 v = 4 u v {\displaystyle {\begin{aligned}4a'^{2}&=2u\cdot 2v\\&=4uv\end{aligned}}}
∴ a ′ 2 = u v {\displaystyle \therefore \ a'^{2}=uv}
u, v は互いに素だから、u = m, v = n(m, n は互いに素な自然数)とおくことができる。
このとき c + b = 2m, c − b = 2n
u > v より m > n
u − v = (m + n)(m − n) は奇数より m − n は奇数。
3. 2.より c = m + n, b = m − n
a 2 = c 2 − b 2 = ( c + b ) ( c − b ) = 2 m 2 ⋅ 2 n 2 = 4 m 2 n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c^{2}-b^{2}\\&=(c+b)(c-b)\\&=2m^{2}\cdot 2n^{2}\\&=4m^{2}n^{2}\end{aligned}}}
∴ a = 2mn ■