ベイズ推定
以上は、モンティ・ホール問題に対して、ベイズ確率を計算した場合である(ベイズ推定)。もし「頻度確率」を計算する問題として考えた場合も同じ結果が得られる。
ただし議論の形は異なる。以下、頻度確率の考え方で、「扉を換えるのと換えないのと、どちらが当たる確率が高いか?」を計算してみる。
最初の選択を変えないと決めた場合、最初に選んだ扉をすぐ開けても事情は同じである。そうすると、頻度確率の計算であるから、(無限の)参加者が無限にこの選択を実施したと考えれば、「当たりのドアを選んだ回数/全選択回数」は、大数の法則により1/3に収束する。これが最初の選択を変えないと決めた場合に当たる確率である。 一方、最初に選択した扉を常に変更した場合に当たる確率は、上述の確率を1から引いた値になる。すなわち、1-1/3=2/3である。
してみると、ベイズ確率の計算で最も重要であった、「ただし、回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとする。」という条件は、頻度確率では何の意味も持たないことに留意すべきである。 もっとも、ベイズ確率の計算においても、理由不十分の原理を適用すれば、「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) 」を1/2とすることに合理性がある。
p ( a | m , n ) = p ( m , n | a ) p ( a ) ∫ 0 1 p ( m , n | a ) p ( a ) d a = ( n + m m ) a m ( 1 − a ) n p ( a ) ∫ 0 1 ( n + m m ) a m ( 1 − a ) n p ( a ) d a {\displaystyle p(a|m,n)={\frac {p(m,n|a)\,p(a)}{\int _{0}^{1}p(m,n|a)\,p(a)\,da}}={\frac {{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}}a^{m}(1-a)^{n}\,p(a)}{\int _{0}^{1}{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}}a^{m}(1-a)^{n}\,p(a)\,da}}}
事前分布 p(a) として特定のものを選べば、この積分は実行できて事後確率は簡単な形となる。
特に、 p(a) が母数 m0 および n0 のベータ分布ならば、事後分布もベータ分布で、母数は m+m0 および n+n0 となる。
上の例のベータ分布のように、事後分布が同じタイプの分布になるような事前分布を共役事前分布という。