ウィグナー分布
W x ∗ ( t , f ) = W x ( t , f ) {\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}
ウィグナー分布の定義にはいくつかの異なる流儀がある。ウィーナー=ヒンチンの定理を参照されたい。以下に示す定義は時間周波数分析特有のものである。時系列信号 x [ t ] {\displaystyle x[t]} に対する自己相関関数は次のように定義される。
C x ( t 1 , t 2 ) = ⟨ ( x [ t 1 ] − μ [ t 1 ] ) ( x [ t 2 ] − μ [ t 2 ] ) ∗ ⟩ , {\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}
ここで ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \,\rangle } は全ての可能なプロセスにわたっての平均を意味し、 μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} は時間に依存する、もしくは依存しない平均値を意味する。ウィグナー分布 W x ( t , f ) {\displaystyle W_{x}(t,f)} はまずこの自己相関関数 C x {\displaystyle C_{x}} を、平均時間 t = ( t 1 + t 2 ) / 2 {\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2} と時間差 τ = t 1 − t 2 {\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}} の関数に直し、時間差 τ {\displaystyle \tau } についてフーリエ変換を施すことによって得られる。