積分微分方程式
次のような一階の問題を考える。
u ′ ( x ) + 2 u ( x ) + 5 ∫ 0 x u ( t ) d t = { 1 , x ≥ 0 0 , x < 0 with u ( 0 ) = 0. {\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\left\{{\begin{array}{ll}1,\quad x\geq 0\\0,\quad x<0\end{array}}\right.\quad {\text{with}}\quad u(0)=0.}
ラプラス変換は次のように定義される。
U ( s ) = L { u ( x ) } = ∫ 0 ∞ e − s x u ( x ) d x . {\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.