P進量子力学
通常の実数はだれもが慣れているが、mod n の整数は未だに慣れているとは言えない。mod n での整数(論)は、数論のコースで勉強することであり、非常に重要であることがわかる。
オストロフスキーの定理は、本質的には、考えている距離に依存した 2種類の有理数の完備化しか存在しないことを言っている。2種類とは実数とp-進数である。2つの完備化の方法は、距離の測り方が異なっているので、異なる完備化となっている。前者は |x + y| ≤ |x| + |y| の形をした三角不等式に従うが、しかし、後者はより強い |x + y| ≤ max{|x|, |y|} という形に従う。これを超距離空間(ultrametric space)と呼ぶこともある。
これらの 2つの基本的アイデアは、時間と空間の両方の中で非常に異なった振る舞いをするので、それらをどのように統一するのかという疑問が発生する。2つをつなぎ合わせて一つの数学的対象へ統一するときにどのようなパターンが発生するかを考えることにより、この問題を解決することができる。これがアデール環である。(有理数体上の)アデール環 A {\displaystyle \mathbb {A} } は、
( x ∞ , x 2 , x 3 , x 5 . . . ) {\displaystyle (x_{\infty },x_{2},x_{3},x_{5}.
K A ( x ′′ , t ′′ ; x ′ , t ′ ) = ∏ α ∫ x α ′ , t α ′ x α ′′ , t α ′′ χ α ( − 1 / h ∫ t α ′ t α ′′ L ( q ̇ α , q α , t α ) d t α ) D q α {\displaystyle \,K_{A}(x^{''},t^{''};x^{'},t^{'})=\prod _{\alpha }\int _{x_{\alpha }^{'},t_{\alpha }^{'}}^{x_{\alpha }^{''},t_{\alpha }^{''}}\chi _{\alpha }(-1/h\int _{t_{\alpha }^{'}}^{t_{\alpha }^{''}}L({\dot {q}}_{\alpha },q_{\alpha },t_{\alpha })dt_{\alpha })Dq_{\alpha }}
となっていて、実数のパラメータに似ている。固有値問題は
U ( t ) ψ α ( x ) = χ ( E α ( t ) ) ψ α ( x ) {\displaystyle \,U(t)\psi _{\alpha }(x)=\chi (E_{\alpha }(t))\psi _{\alpha }(x)}
であり、ここに U {\displaystyle U\,} は時間依存作用素、 ψ α {\displaystyle \,\psi _{\alpha }} はアデール的な固有函数、 E α {\displaystyle \,E_{\alpha }} はアデールエネルギーである。添字 α {\displaystyle \alpha } は無限遠点を含くむ全ての素数を意味し、この添字を使い記法を単純化している。加法的な指標 χ {\displaystyle \chi } はこれらの複素数値の積分とすることを可能とする。同様に、経路積分は p-進時間へ一般化することができる。