ベレの方法
ここから、最初のbasis solutionの誤差は以下のように算出される。
x n = q + n = e − 1 24 ( w h ) 2 w t n + O ( h 4 ) e w t n = e w t n ( 1 − 1 24 ( w h ) 2 w t n + O ( h 4 ) ) = e w t n + O ( h 2 t n e w t n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=q_{+}^{\;n}&=e^{-{\frac {1}{24}}(wh)^{2}\,wt_{n}+{\mathcal {O}}(h^{4})}\,e^{wt_{n}}\\&=e^{wt_{n}}\left(1-{\tfrac {1}{24}}(wh)^{2}\,wt_{n}+{\mathcal {O}}(h^{4})\right)\\&=e^{wt_{n}}+{\mathcal {O}}(h^{2}t_{n}e^{wt_{n}})\end{aligned}}}
したがって、局所離散化誤差は4次以上となるが、微分方程式が2階のため、大域誤差は2次で、時間的に指数的に増加する定数項をもつ。
x → ̈ ( t ) = A → ( x → ( t ) ) {\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {A}}{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}} の形の2階微分方程式を初期条件 x → ( t 0 ) = x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0}} および x → ̇ ( t 0 ) = v → 0 {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}} のもとで、 Δ t > 0 {\displaystyle \Delta t>0} をステップサイズとして、 t n = t 0 + n Δ t {\displaystyle t_{n}=t_{0}+n\,\Delta t} における数値的近似解 x → n ≈ x → ( t n ) {\displaystyle {\vec {x}}_{n}\approx {\vec {x}}(t_{n})} は、下のようなアルゴリズムで求めることができる。