ディリクレ積分
z n − 1 {\displaystyle g(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}} とおくと、
∫ C r e i z z d z = ∫ C r 1 z d z + ∫ C r g ( z ) d z . {\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {e^{iz}}{z}}dz=\int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz+\int _{C_{r}}g(z)dz.}
ここで、置換 z = r e i t {\displaystyle z=re^{it}} により、
∫ C r 1 z d z = ∫ π 0 1 r e i t i r e i t d t = i ∫ π 0 d t = − i π . {\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz=\int _{\pi }^{0}{\dfrac {1}{re^{it}}}ire^{it}dt=i\int _{\pi }^{0}dt=-i\pi .}
次に、 ∫ C r g ( z ) d z → 0 ( r → 0 ) {\displaystyle \int _{C_{r}}g(z)dz\to 0\ \ (r\to 0)} を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合 K := { z ; | z | ≤ 1 } {\displaystyle K:=\{z\ ;\ |z|\leq 1\}} で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、