除法
詳細は「ゼロ除算」を参照
代数的には、除法は乗法の逆の演算として定義される。つまり a を b で割るという除法は
a ÷ b = x ⟺ a = b × x {\displaystyle a\div b=x\iff a=b\times x}
を満たす唯一つの x を与える演算でなければならない。ここで、唯一つというのは簡約律
b x = b y ⇒ x = y {\displaystyle bx=by\Rightarrow x=y}
が成立するということを意味する。この簡約律が成立しないということは、bx = by という条件だけからは x = y という情報を得たことにはならないということであり、そのような条件下で強いて除法を定義したとしても益が無いのである。
実数の乗法において、簡約が不能な一つの特徴的な例として b = 0 である場合、つまり「0 で割る」という操作を挙げることができる。実際、b = 0 であるとき a = bx によって除法 a ÷ b を定めようとすると、もちろん a = 0 である場合に限られるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立してしまって x の値は定まらない。無論、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在せず a ÷ b は定義出来ない。つまり、実数の持つ代数的な構造と0による 除算は両立しない。
と書かれた場合には特別な解釈を与える必要がある。一般的には左側の演算が優先され、次式の右辺の意味に解釈される。
a ÷ b ÷ c = ( a ÷ b ) ÷ c {\displaystyle a\div b\div c=(a\div b)\div c}
有理数の除算について、除数を被除数に対して分配することができる。
( a + b ) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c {\displaystyle (a+b)\div c=a\div c+b\div c}
ただし、被除数を除数に対して分配することはできない。
a ÷ ( b + c ) ≠ a ÷ b + a ÷ c {\displaystyle a\div (b+c)\neq a\div b+a\div c}
有理数の除算の結果は、分数を用いて表すことができる。
a ÷ b = a b {\displaystyle a\div b={\frac {a}{b}}}
ある有理数に対応する分数の表し方は無数に存在する。たとえば 0 でない有理数 c を用いて、
a ÷ b = a c b c = a c b c {\displaystyle a\div b={\frac {ac}{bc}}={\frac {\frac {a}{c}}{\frac {b}{c}}}}
と表してもよい。 また、有理数は分母と分子がともに整数である分数を用いて表すことができる。
実数は有理数の極限として表され、それによって有理数の演算から実数の演算が矛盾なく定義される。すなわち、任意の実数 x, y (y ≠ 0) に対し xn → x, yn → y (n → ∞) を満たす有理数の列 {xn}n ∈ N, {yn}n ∈ N(例えば、x, y の小数表示を第 n 桁までで打ち切ったものを xn, yn とするような数列)が与えられたとき
x / y := lim n → ∞ x n / y n {\displaystyle x/y:=\lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}}
と定めると、この値は極限値が x, y である限りにおいて数列のとり方によらずに一定の値をとる。これを実数の商として定めるのである。