斜交ベクトル空間
ω を n 次元実ベクトル空間 V の形式 ω∈ Λ(V) だとする。すると、ω は n が偶数のときに限り非退化であり、ω = ω ∧ ... ∧ ω は体積要素である。e1,... ,en を n 次元ベクトル空間 V の標準基底とするとき、V の体積形式とは、これらの積により一意に定まる n 形式 e1 ∧ ... ∧ en である。
前節で定義した標準基底を使うと、
ω n = ( − 1 ) n / 2 x 1 ∗ ∧ ... ∧ x n ∗ ∧ y 1 ∗ ∧ ... ∧ y n ∗ {\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{n/2}x_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge y_{n}^{*}}
である。順番を変え、
ω n = x 1 ∗ ∧ y 1 ∗ ∧ ... ∧ x n ∗ ∧ y n ∗ {\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \ldots \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}} .
と書くことができる。筆者により、様々に ω または (−1)ω を標準体積形式として定義している。場合により、交代積の定義に因子 n! を含むか否かにより、因子 n! をかける場合もある。体積形式は、斜交ベクトル空間 (V, ω) の向きを定義する。