フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
共通部分および外延性の公理から、 A 1 ∩ A 2 {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}} は以下を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラスである:
Case 3: φ ( x 1 , ... , x n , Y → ) = ∃ x n + 1 ψ ( x 1 , ... , x n , x n + 1 , Y → ) {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})} のとき、 ψ {\displaystyle \psi } は φ {\displaystyle \phi } と比べると、量化子ネスト深さが 1 大きく、自由変数 x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} が多い。 ψ {\displaystyle \psi } は k − 1 {\displaystyle k-1} 個の論理記号を含むため、、帰納仮説は以下を満たす n {\displaystyle n} -組のクラス A {\displaystyle A} がただ一つ存在することを含意する:
領域および外延性の公理から、 D o m ( A ) {\displaystyle Dom(A)} は以下を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラスである:
数学基礎論において、フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ=フレンケル集合論+選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース=ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。
NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。クラスの存在定理は、量化子の範囲を集合に限定した論理式それぞれに対して、論理式を満たす集合からなるクラスの存在を述べる。クラスは、クラスの論理式を一つずつ構築することで構成される。すべての集合論的な論理式は2種類の原子論理式(所属関係と等式)と有限個の論理記号から構築されるため、論理式を満足するクラスを構築するには有限個の公理があればよい。NBGが有限公理化できるのは、こうした理由による。クラスは他の概念の構築にも用いられ、集合論的パラドックスへの対処や、ZFCの選択公理より強い大域選択公理(英語版)の説明に用いられる。
ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念(英語版)は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。 パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。 クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。
この論理式は与えられた論理式と等価であるので、変換済みの論理式を証明すればクラス存在定理の証明が完了する。
変換後の論理式に対するクラス存在定理の証明 — 以下の補題を証明の中で用いる。
拡大の補題 ― 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle 1\leq i<j\leq n} と置き、 P {\displaystyle P} を、 R ( x i , x j ) . {\displaystyle R(x_{i},x_{j}).} を満たすすべての順序対 ( x i , x j ) {\displaystyle (x_{i},x_{j})} を含むクラスとする。すなわち、 P ⊇ { ( x i , x j ) : R ( x i , x j ) } {\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}} である。すると P {\displaystyle P} は R ( x i , x j ) {\displaystyle R(x_{i},x_{j})} を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラス Q {\displaystyle Q} に拡張することができる。すなわち、 Q = { ( x 1 , ... , x n ) : R ( x i , x j ) } {\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}} である。
証明:
i = 1 {\displaystyle i=1} のとき、 P 1 = P {\displaystyle P_{1}=P} とする。
同時に、2 つの 帰属関係がある:一つは "∈" で表される 2 つの集合間の関係、もう一つは "η" で表される集合とクラスの間の関係である。 異なるソートの変数は議論領域中で互いに素な部分領域の元となるため、この冗長性は多ソート論理に必要になる。
これらの 2 つのアプローチで証明できるものは変わらないが、証明の書かれ方は変わってくる。ゲーデルのアプローチでは、 A {\displaystyle A} と C {\displaystyle C} がクラスであるとき A ∈ C {\displaystyle A\in C} は有効な表現である。ベルナイスのアプローチではこの表現は意味をなさない。しかし、 A {\displaystyle A} が集合であれば、等価な表現が存在する: 集合とクラスが同じ集合を元に持つならば、「集合 a {\displaystyle a} はクラス A {\displaystyle A} を代表する」と定義する。—すなわち、 ∀ x ( x ∈ a ⟺ x η A ) {\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A)} 。集合 a {\displaystyle a} がクラス A {\displaystyle A} を代表するという表現 a η C {\displaystyle a\;\eta \;C} は、ゲーデルの A ∈ C {\displaystyle A\in C} と等価である。
本記事ではゲーデルのアプローチのメンデルソンによる修正版を用いて説明する。これは、NBG は等式を含む一階述語論理における公理系であることを意味し、原始概念(英語版)はクラスと帰属関係のみであることを意味する。
クラス存在定理の拡張版はこれらのクラスの存在を含意する。置換、和集合、冪集合の各公理は、これらの操作が集合に適用したときに集合となることを含意する。
置換公理. F {\displaystyle F} が関数で a {\displaystyle a} が集合であるならば、 F {\displaystyle F} による a {\displaystyle a} の像 F [ a ] {\displaystyle F[a]} は集合である。
F [ A ] {\displaystyle F[A]} の定義に必要条件 A ⊆ D o m ( F ) {\displaystyle A\subseteq Dom(F)} がなければ、以下の証明に用いる強い形の置換公理となる。
定理(NBGの 分出公理) ― a {\displaystyle a} が集合であり、 B {\displaystyle B} が a {\displaystyle a} の部分クラスであるならば、 B {\displaystyle B} は集合である。
証明 — クラス存在定理で、恒等関数を B {\displaystyle B} に制限する: I ↾ B = { ( x 1 , x 2 ) : x 1 ∈ B ∧ x 2 = x 1 } {\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}} 。