静磁場
物質の境界において、式(3-3-6a)、式 (3-3-7)に、ガウスの発散定理や、ケルビンストークスの定理を適用すると、 磁場および磁束密度の境界条件が得られる。
ここでは、様々なベクトル場の面積分についてまとめる。 「絶対値による面積分」「外積面積分」という用語は一般的な用語ではないが、他に 適切な表現がないため、この場限りでそのような言い方をする。 本記事内での定義は、それぞれ以下の通り。
Iを R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の閉長方形、 φ : I → R 3 {\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {R} ^{3}} は、 Iの近傍で、殆ど至る所区分的に滑らかかつ、非退化であり、かつ、Iの内部で単射なベクトル値関数、 S := φ [ I ] {\displaystyle S:=\varphi [I]} を、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内の曲面片とする。 また、Xを、Sの近傍で定義された、区分的に滑らかなベクトル場とする。このとき、
従って、
A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s  [ M ( s ) ] | r − s | d 3 s − μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s  [ M ( s ) | r − s | ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\mathbf {s} \ -{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\mathbf {s} \ } (2-4-4)
を得る。
この問題が、実のところは難しい。つまり、強制電流が作った磁束密度や、磁化自身が作り出す磁束密度により、物質の磁化が最初の磁化から変化してしまうという問題がある。 一般には。B-H曲線等の実測結果と、上記の拘束条件を考え合わせ、数値計算によって磁束密度や磁化が計算されるのである。但し、線形物質に関して言えば、上の難所は比較的簡単である。このような特殊な物質に関する問題については、次章で述べることにする。
再び式(3-1-1)について考えよう。ベクトル解析の公式から
div  [ B f c ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{fc}]=0} (3-1-2a)
div  [ B M ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{M}]=0} (3-1-2b)
div  [ B tot ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{\text{tot}}]=0} (3-1-2c)
であることが判る。即ち、磁束保存の式が満たされることが判る。