ベルマン方程式
金利 r {\displaystyle r} がマルコフ過程に従い、その推移確率測度を Q ( r , d μ r ) {\displaystyle Q(r,d\mu _{r})} 、ただし、 d μ r {\displaystyle d\mu _{r}} を現在の金利が r {\displaystyle r} の時に次の時刻の金利の変動を決定する確率測度であるとしよう。このモデルでは、現在の金利が示された直後に、消費者が決定を下すものとする。
この場合、単純な消費の系列 { c t } {\displaystyle \{c_{t}\}} を選ぶ代わりに、消費者は彼/彼女の全人生にわたる効用の期待値が最大となるように { c t } {\displaystyle \{c_{t}\}} を各時点でのあり得る利率 { r t } {\displaystyle \{r_{t}\}} に応じて選ばなくてはならない。
max E ( ∑ t = 0 ∞ β t u ( c t ) ) . {\displaystyle \max \mathbb {E} {\bigg (}\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}u(c_{t}){\bigg )}.}
期待値 E {\displaystyle \mathbb {E} } は、金利 r {\displaystyle r} の系列に関して Q {\displaystyle Q} で与えられる確率測度に関して計算される。