ディラック・スピノル
上記の関係全てをディラック方程式に代入すると、以下のようになる:
E [ φ χ ] = [ m I σ ⋅ p σ ⋅ p − m I ] [ φ χ ] {\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &\mathbf {\sigma \cdot p} \\\mathbf {\sigma \cdot p} &-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}} .
この行列方程式は、実は2つの対となる方程式である:
( E − m ) φ = ( σ ⋅ p ) χ {\displaystyle \left(E-m\right)\phi =\left(\mathbf {\sigma \cdot p} \right)\chi }
( E + m ) χ = ( σ ⋅ p ) φ {\displaystyle \left(E+m\right)\chi =\left(\mathbf {\sigma \cdot p} \right)\phi }
「正」のエネルギー E {\displaystyle E} を持つ反粒子は、「負」のエネルギーを持ち、時間を遡る向きに伝わる、粒子として定義される。
そこから、粒子の4成分スピノルにおいて、 E {\displaystyle E} と p {\displaystyle \mathbf {p} } の符号を変えることによって、反粒子の4成分スピノルが得られる:
v ( p , s ) = E + m [ σ ⋅ p E + m χ ( s ) χ ( s ) ] {\displaystyle v(\mathbf {p} ,s)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {p} }{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\\\end{bmatrix}}}
ここで、 χ {\displaystyle \chi } による解を選ぶと、次の式は自明に導かれる: