カルマンフィルター
これが観測方程式である。
v k ∼ N ( 0 , R k ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}\sim N(0,R_{k})}
システムの初期条件と雑音 { x 0 , w 1 , . . . , w k , v 1 , . . . , v k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {w}}_{1},...,{\boldsymbol {w}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{1},...,{\boldsymbol {v}}_{k}\}} は、互いに統計的に独立であると仮定する。
状態方程式と観測方程式を合わせて、状態空間モデルという。上記の状態空間モデルは時変システムを表現しているが、限定的な場合として添字が k {\displaystyle k} の行列を定数と考えることにより、時不変システム (time-invariant) を表現できる。
多くの実動的システムでは、上記のような状態空間モデルは厳密には適合しないが、カルマンフィルターは雑音の影響を加味した上で設計されているがゆえに、上記のモデルが対象システムに近似的に適合するものと考えられ、これが理由でカルマンフィルターは十分な有用性が認められている。カルマンフィルターは洗練された様々な拡張がなされており、それは以降に述べられる。
e k = z k − H k x ^ k | k − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{k}={\boldsymbol {z}}_{k}-H_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}} (観測残差、innovation) S k = R k + H k P k | k − 1 H k T {\displaystyle S_{k}=R_{k}+H_{k}P_{k|k-1}H_{k}^{\textrm {T}}} (観測残差の共分散) K k = P k | k − 1 H k T S k − 1 {\displaystyle K_{k}=P_{k|k-1}H_{k}^{\textrm {T}}S_{k}^{-1}} (最適 カルマンゲイン) x ^ k | k = x ^ k | k − 1 + K k e k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}{\boldsymbol {e}}_{k}} (更新された状態の推定値) P k | k = ( I − K k H k ) P k | k − 1 {\displaystyle P_{k|k}=(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})P_{k|k-1}} (更新された誤差の共分散)