ベクトル場
や回転
rot X = ∇ × X := [ ∂ X 3 ∂ y − ∂ X 2 ∂ z ∂ X 1 ∂ z − ∂ X 3 ∂ x ∂ X 2 ∂ x − ∂ X 1 ∂ y ] {\displaystyle \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {X}}=\nabla \times X:={\begin{bmatrix}\displaystyle {\frac {\partial X_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial X_{2}}{\partial z}}\\[1em]\displaystyle {\frac {\partial X_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial X_{3}}{\partial x}}\\[1em]\displaystyle {\frac {\partial X_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial X_{1}}{\partial y}}\end{bmatrix}}}
が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する外微分として自然に理解される。
多様体 M 上のベクトル場 X があたえられたとき、各点での速度が X によって表されるような M 上の流れ (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、X がコンパクトな台を持つことが要請される。そのとき M の任意の任意の点 p について初期値付きの微分方程式
d φ t ( p ) d t ( q ) = X q , φ 0 ( p ) = p {\displaystyle {\frac {d\phi _{t}(p)}{dt}}(q)=X_{q},\quad \phi _{0}(p)=p}
は一意に定まる解を持ち、任意の t について写像 φt: p → φt(p) は M 上の微分同相を定めている。実数の加法群 R から M の微分同相群 Diff(M) への写像 φ: t → φtは群の準同型になり、X の流れとよばれる。この流れ φ は X によって速度を指定された M 上の力学系を表している。