変分法における直接解法
変分法では、ある函数空間 V {\displaystyle V} と R ̄ = R ∪ { ∞ } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}} に対する汎函数 J : V → R ̄ {\displaystyle J\colon V\to {\bar {\mathbb {R} }}} が扱われる。その主な興味は、そのような汎函数の最小点 (minimizer)、すなわち J ( v ) ≤ J ( u ) {\displaystyle J(v)\leq J(u)} が任意の u ∈ V に対して成り立つような函数 v ∈ V {\displaystyle v\in V} を見つけることである。
函数が最小点であるための必要条件を得る上での標準的な道具は、オイラー=ラグランジュ方程式である。しかし、それらを満たす函数の中から最小点を見つける方法は、前もって最小点の存在が示されていない場合には誤った結論を導くこともある。
汎函数 J {\displaystyle J} が最小点を持つためには、下に有界である必要がある。すなわち
inf { J ( u ) ∣ u ∈ V } > − ∞ {\displaystyle \inf\{J(u)\mid u\in V\}>-\infty \,}