頂垂線 (三角形)
三角形の各頂点 A, B, C から降ろした垂線の足をそれぞれ D, E, F と書けば:
一つの頂垂線を垂心によって分けた二つの線分の長さの積は、どの頂垂線に対しても等しい値となる: A H ⋅ H D = B H ⋅ H E = C H ⋅ H F . {\displaystyle AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.} この値の平方を半径とする H に中心を持つ円は、もとの三角形の極円(英語版)である。
三つの頂垂線に亘る、各頂垂線の長さに対する底面から垂心までの距離の比の和は、1 に等しい: H D A D + H E B E + H F C F = 1. {\displaystyle {\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.} この性質と次の性質は、任意の内点とそれを通る三つのチェヴァ線(英語版)に関するより一般の性質の応用である。
各頂垂線に対する垂心から頂点への長さの比を、三つの頂垂線に関して加えたものは 2 に等しい: A H A D + B H B E + C H C F = 2. {\displaystyle {\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.}
垂心の同角共軛(英語版)はその三角形の外心である
垂心の同辺共軛(英語版)は反中点三角形(英語版)の類似重心である
平面上の四点で、そのうちの一点が残りの三点の成す三角形の垂心となっているような組を垂心系(英語版)または垂心四角形 (orthocentric quadrangle) と言う。