三角関数の無限乗積展開
正弦関数の乗積展開を証明するには
f ( z ) = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) sin  ( π z ) {\displaystyle f(z)={\frac {{\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}{\sin({\pi }z)}}}
として、恒等的に f ( z ) = 1 {\displaystyle f(z)=1} であることを示せば良い。そのために f ( z ) {\displaystyle f(z)} の対数微分
d d z log  f ( z ) = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n + z − 1 n − z ) − π cos  π z sin  π z {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n-z}}\right)}-\pi {\frac {\cos {{\pi }z}}{\sin {{\pi }z}}}}
x = π {\displaystyle x=\pi } を代入すると
cot  π α − 1 π α = 2 α π ∑ n = 1 ∞ 1 α 2 − n 2 {\displaystyle \cot \pi \alpha -{\frac {1}{\pi \alpha }}={\frac {2\alpha }{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}}
ここで z ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in (0,1)} をとる。 α ∈ ( 0 , z ) {\displaystyle \alpha \in (0,z)} であるとき、 | 1 α 2 − n 2 | ≤ 1 n 2 − z 2 {\displaystyle \left|{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}} であり、また ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − z 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}} は収束することから、
正弦関数の乗積展開
π z sin  π z = ∏ n = 1 ∞ ( n 2 n 2 − z 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi {z}}{\sin \pi {z}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-z^{2}}}\right)}}
に z = 1 2 {\displaystyle z=\textstyle {\frac {1}{2}}} を代入すると
π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 = ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}}
が得られる。これはウォリス積と呼ばれるものである。