シュレーディンガー場
粒子が外部電位 V ( x ) {\displaystyle V(x)} と相互作用する場合、作用に次のような、局所相互作用を含む物を選ぶ。:
S = ∫ x t ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ − ψ † ( x ) ψ ( x ) V ( x ) . {\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)V(x).}
Vに対する通常のシュレーディンガー方程式が既知のエネルギー固有状態 φ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)} (また、そのエネルギー固有値を E i {\displaystyle E_{i}} とする)と記述される時 、作用に現れる場はモード展開によって別の対角基底で展開できます:
ψ ( x ) = ∑ i ψ i φ i ( x ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{i}\psi _{i}\phi _{i}(x).\,}
このときの作用は次のように記述される。
S = ∫ t ∑ i ψ i † ( i ∂ ∂ t − E i ) ψ i {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}\psi _{i}^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}-E_{i}\right)\psi _{i}\,}