等時曲線
φ = −2θ および r = g/4k を代入すると、これら x および y についての方程式は水平線を転がる円上の一点の軌跡、すなわちサイクロイドであることがわかる。
x = r ( sin  φ + φ ) + C x y = r ( cos  φ ) + C y {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\sin \phi +\phi )+C_{x}\\y&=r(\cos \phi )+C_{y}\end{aligned}}}
k を解き、降下時間が T = π/2k であることを用いると、降下時間を動円半径 r で表わすことができる。
r = g 4 k 2 k = 1 2 g r T = π r g {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4k^{2}}}\\k&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\end{aligned}}}
(おおよそ Proctor (1878, pp. 135&#x2013, 139) に基く)