超冪根
代数学における実数 a の超冪根(ちょうべきこん、英: ultraradical)あるいはブリング根(ブリングこん、Bring radical)は、ブリング標準形と呼ばれる五次多項式
の唯一の実数根を言う。エルランド・サミュエル・ブリング(英語版)が導入した。
複素数 a のブリング根は、上と同じ多項式の任意の根(多価函数として扱う)とするか、何らかの意味で特定した一つの根とするか(この場合、a が実数のときは実数値であり、かつ実数直線の近傍で解析的となる複素函数が定められるようにとるのがふつう)の何れかとする。後者では、四つの分岐点が生じるから、ブリング根をガウス平面全体で連続な一つの函数として定義することはできないし、連続となるような定義域としては四つの分岐切断を除外しなければならない。
ジョージ・ジェラード(英語版)は、いくつかの五次方程式が冪根および超冪根を用いて閉じた形で解ける(英語版)(つまり「解の公式」がある)ことを示した(実は任意の五次方程式がこのような形で解ける)。
a の超冪根はしばしば a ∗ {\textstyle {\sqrt[{*}]{a}}} や J a ̄ {\textstyle {\mathcal {J}}\!{\overline {a}}} と書かれる。本項では a のブリング根を BR  ( a ) {\textstyle \operatorname {BR} (a)} と書くことにする。これは実変数のとき、奇函数で、単調減少かつ非有界であり、十分大きな a に対する漸近挙動は BR  ( a ) ∼ − a 1 / 5 {\textstyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}} で与えられる。