行列群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理(英語版)と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
G を n 点 (Ω = {1, 2, ..., n}) 上の置換群とし {g1, ..., gk} を G の生成集合とする。複素数体上の一般線型群 GLn(C) は自然にベクトル空間 C に作用する。B = {b1, ..., bn} を C の標準基底とする。各 gi に対して Mi ∈ GLn(C) を各 bj を bgi(j) に送る行列とする。つまり、置換 gi が点 j を k に送るならば、Mi は基底ベクトル bj を bk に送る。M を {M1, ..., Mk} で生成される GLn(C) の部分群とする。すると G の Ω 上の作用はちょうど M の B 上の作用と同じである。各 gi を Mi に送る対応は同型に拡張され、したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。