多変数の微分
= ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + o [ f , p ] ( x ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))}
+ g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}
= ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。
∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=0}}} (3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
(2-16) の恒等式ことを、本記事では f {\displaystyle {\textbf {f}}} の点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。
(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} の近傍で f {\displaystyle {\textbf {f}}} は
f ( x ) ≃ f ( p ) + ( J f ) [ p ] ( p ) ( x − p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )} (2-17)
とみなせることが分かる。
U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} = ∫ s = 0 s = 1 ( A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)\right)ds}} (6-3-4 )
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) {\displaystyle A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-5)
以上より、
∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle {{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} (3-25)
を充たす n × m {\displaystyle n\times m} 行列 A {\displaystyle {\textbf {A}}} が存在することを意味する。この A {\displaystyle {\textbf {A}}} を、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における微分という。
x − p = h {\displaystyle {\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}} とおくと、次のようにも表せる。
lim h → 0 ‖ f ( p + h ) − f ( p ) − A h ‖ | | h | | = 0 {\displaystyle \quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0}
( J f ) [ p ] = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) {\displaystyle {(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} (1-20)
を f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle \mathbf {p} } におけるヤコビ行列という。
がわかる。ここで、 f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} を d f {\displaystyle d\mathbf {f} } 、 x i ′ {\displaystyle x_{i}'} を d x i {\displaystyle dx_{i}} と書くと、
d f ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( d x i ( x ) ) {\displaystyle d\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(dx_{i}(\mathbf {x} )\right)} (5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
d f = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) d x i {\displaystyle d\mathbf {f} =\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)dx_{i}} (5-6)
となる。
となる。これから、
∂ ( f ∘ g ) i ∂ x j | [ p ] = ∑ k = 1 m ∂ f i ∂ x k | [ f ( p ) ] ∂ g k ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {{\left.{\frac {\partial {{(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}={{\sum \limits _{k=1}^{m}{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right|}}_{[{\textbf {f}}({\textbf {p}})]}}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}} (3-22)
が分かる。
である。
また、(2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して、