リュカ擬素数
与えられた組(P,Q)に対して、リュカ確率的素数とは、式(1)を満たすような任意の自然数nのことである。
与えられた組(P,Q)に対して、リュカ擬素数とは、式(1)を満たすような正の合成数nのことである。
リュカテストはルジャンドル記号 ( D n ) {\textstyle \left({\frac {D}{n}}\right)} が − 1 {\textstyle -1} になるようにDが選択されているときに最も有用である。これは、リュカテストをBaillie-PSW素数テストなどの強力な擬素数テストと組み合わせる場合に特に重要である。
通常、実用的には、この条件を確実にするパラメーター選択方法を用いる。例えばセルフリッジ方式などである。
もし、 ( D n ) = − 1 {\textstyle \left({\frac {D}{n}}\right)=-1} ならば、式(1)は次のようになる。
この式を(2)とおく。式(2)が成り立たない場合、これはnが合成数であることを示している。式(2)が成り立っている場合、nはリュカ確率的素数である。このとき、nは素数であるか、リュカ擬素数である。
式(2)が真の場合、nは素数になる可能性がある(これにより、確率的素数が正当化される)が、これはnが素数であることを示しているわけではないことに注意されたい。他の確率的素数テストと同様に、異なるD,P,Qに対して更にリュカテストを実行するとき、いずれかのテストでnが合成数であることが証明されない限り、nが素数である可能性が高まる。
リュカ擬素数(en:Lucas_pseudoprime)は、任意の素数と非常に少数の合成数が通過する特定のテストに合格する合成数である。