付値環
与えられた全順序アーベル群 Γ と剰余体 k に対し、K = k((Γ)) をベキが Γ から来る形式的ベキ級数環と定義する。つまり、K の元は、各関数の台(関数の値が k の 0 でないような Γ の元全体)が G の整列部分集合であるような、Γ から k への関数である。加法は点ごとの和で、乗法はコーシー積あるいは畳み込み積、すなわちベキ級数
∑ g ∈ G f ( g ) x g {\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)x^{g}} with x g ⋅ x h = x g + h {\displaystyle x^{g}\cdot x^{h}=x^{g+h}}
として関数を見たときに自然な演算である。
f の K における付値 ν(f) は f の台の最小の元、すなわち f(g) が 0 でないような最小の Γ の元 g であると定義される。ν(f)≥0 であるような f は(K の 0 とともに)値群 Γ、付値ν、剰余体 k であるような K の部分環 D をなす。この構成は(Fuchs & Salce 2001, pp. 66–67)に詳しい。また、ベキ級数の代わりに多項式の商を使っている(Krull 1939)の構成に従っている。
付値環の単元すなわち可逆元は、x が再び D の元であるような元 x である。D の他の元は、非単元と呼ばれるが、逆元をもたず、イデアル M をなす。このイデアルは D の(全順序な)イデアルの中で極大である。M は極大イデアルであるので、商環 D/M は体であり、D の剰余体(residue field)と呼ばれる。
一般に、次のとき局所環 ( S , m S ) {\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})} は局所環 ( R , m R ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})} を支配すると言う。 S ⊃ R {\displaystyle S\supset R} かつ m S ∩ R = m R {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}} 。言い換えれば、包含 R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} は局所射(英語版)である。体 K におけるすべての局所環 ( A , p ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})} はある K の付値環によって支配される。実際、A を含み 1 ∉ p R {\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R} であるような K のすべての部分環 R からなる集合は空でなく帰納的なので、ツォルンの補題によって極大元 R {\displaystyle R} をもつ。