アペリーの定理
アペリーのオリジナルの証明はペーター・グスタフ・ディリクレの有名な無理数性判定法に基づいていた。それは数 ξ は次の条件を満たすならば無理数であるというものである:ある固定された c, δ > 0 に対して、
| ξ − p q | < c q 1 + δ {\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}
となる互いに素な整数 p, q が無限に存在する。
アペリーの出発点は ζ(3) の級数表示
ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 3 ( 2 n n ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}}
であった。大雑把に言えば、次にアペリーはこの級数と同じくらい早く ζ(3) に収束する数列 cn,k を定義した。具体的には、