ホルンデスキー理論
スカラー場 φ {\displaystyle \phi } と計量 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} からなる修正重力理論 (スカラー・テンソル理論) について考える。G. W. ホルンデスキーは1974年にラグランジアンに高階微分を含むが運動方程式が2階微分方程式になるようなスカラー・テンソル理論について考察し、その最も一般的なクラスを特定した。このクラスの修正重力理論をホルンデスキー理論と呼ぶ。現在ではホルンデスキー理論の作用は、自然単位系 c = ħ = 1 {\displaystyle c=\hbar =1} を採用するとき、次の形に書かれることが多い。
S = ∫ [ ∑ i = 2 5 L i [ g μ ν , φ ] ] − g d 4 x {\displaystyle S=\int \left[\sum _{i=2}^{5}{\mathcal {L}}_{i}[g_{\mu \nu },\phi ]\right]{\sqrt {-g}}d^{4}x} L 2 = G 2 ( φ , X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=G_{2}(\phi ,X)} L 3 = G 3 ( φ , X ) ◻ φ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}=G_{3}(\phi ,X)\Box \phi } L 4 = G 4 ( φ , X ) R + G 4 X ( φ , X ) [ ( ◻ φ ) 2 − φ μ ν φ μ ν ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{4}=G_{4}(\phi ,X)R+G_{4X}(\phi ,X)\left[(\Box \phi )^{2}-\phi _{\mu \nu }\phi ^{\mu \nu }\right]} L 5 = G 5 ( φ , X ) G μ ν φ μ ν − 1 6 G 5 X ( φ , X ) [ ( ◻ φ ) 3 + 2 φ μ ν φ ν ρ φ ρ μ − 3 φ μ ν φ μ ν ◻ φ ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{5}=G_{5}(\phi ,X)G_{\mu \nu }\phi ^{\mu \nu }-{\frac {1}{6}}G_{5X}(\phi ,X)\left[(\Box \phi )^{3}+2\phi _{\mu }{}^{\nu }\phi _{\nu }{}^{\rho }\phi _{\rho }{}^{\mu }-3\phi _{\mu \nu }\phi ^{\mu \nu }\Box \phi \right]}