ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
亜群 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} はまた亜群のホモトピーの概念を考えることを可能にする:つまりこれは亜群の圏に於ける単位区間対象である。
2つの非連結空間の連結な和集合と基点集合
亜群の圏は全ての余極限、とくに全てのプッシュアウトを持つ。
定理. 位相空間 X {\displaystyle X} が2つの部分空間 X 1 {\displaystyle X_{1}} と X 2 {\displaystyle X_{2}} の内部によって被覆され、基点集合 A {\displaystyle A} は X 1 {\displaystyle X_{1}} と X 2 {\displaystyle X_{2}} と X 0 = X 1 ∩ X 2 {\displaystyle X_{0}=X_{1}\cap X_{2}} の全ての弧状連結成分と交わりを持つとする。このとき A {\displaystyle A} は X {\displaystyle X} の全ての弧状連結成分と交わり、かつ包含によって誘導された射からなる図式 P {\displaystyle P}
は亜群の圏のプッシュアウト図式となる。
この定理は、基本亜群 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} の完全な決定に際し、トポロジーから代数への移行手段を与える。代数および組合せ論を、幾つかの基点における基本群の決定に用いる必要がある。
この定理のひとつの解釈は、これがホモトピー1-型を計算するというものである。
数学において、ザイフェルト-ファン・カンペンの定理(英: Seifert–van Kampen theorem)とは、代数トポロジーにおける定理であって、位相空間 X {\displaystyle X} の基本群の構造を、 X {\displaystyle X} を被覆する弧状連結な開部分空間の基本群によって表現するものである。この名前はヘルベルト・ザイフェルトとエグバート・ファン・カンペンに因む。しばしば単にファン・カンペンの定理とも呼ばれる。これはしたがってより単純な空間から組み立てられた空間の基本群を計算する為に使用することができる。
より複雑な例としては種数 n の向き付け可能曲面 S の基本群(種数 n の曲面群としても知られる)の計算がある。S はその基本多角形(英語版)を使って構成できる。まず1つ目の開集合 A を決める為に、この多角形の中に収まるような円盤を取る。そして B を A の中心点の S における補集合とする。すると A と B の共通部分は円環領域となる。これは円周とホモトピー同値であり同じ基本群を持つことが知られている。よって π 1 ( A ∩ B ) = π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})} (これは整数の成す加群)であり、 π 1 ( A ) = π 1 ( D 2 ) = 1 {\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}} である。すると π 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)} から π 1 ( A ) {\displaystyle \pi _{1}(A)} への包含はどの生成元も自明な元に送る。しかし、 π 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)} から π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} への包含は自明でない。