摂動完全均衡
はじめのゲームとして,右の利得行列をもつ正規形ゲームを考える.
正規形ゲームでは 2 つのナッシュ均衡戦略プロファイル,(a1, b1), (a2, b2) がある.ここでは両プレーヤーにとって,それぞれの相手のプレーヤーの選ぶ戦略に対して相互に最適になっている.
変動ゲームにおいてはそれは成りたたない.プレーヤー B が戦略 b1 を選ぶ確率が0より大ならば,プレーヤー A にとっての最適反応は確率 a1 = 1 でプレーすることである.変動ゲームでは定義によってこの確率は存在するので,プレーヤー A はかならず a1 = 1 をプレーすることになる.しかしプレーヤー A も変動ゲームでは戦略 a2 を正の確率でプレーしなければならない.したがってプレーヤー A の最適反応は,混合戦略 a 2 = a 2 m i n {\displaystyle a_{2}=a_{2}^{\rm {min}}} , すなわち a2 を最小限の確率でプレーすることである.
ゲームの対称性から,プレーヤー B にとっての最適戦略は,同様に b 2 = b 2 m i n {\displaystyle b_{2}=b_{2}^{\rm {min}}} となる.
したがって,変動ゲームにおける均衡は,
( 1 − a 2 m i n , a 2 m i n ) , ( 1 − b 2 m i n , b 2 m i n ) {\displaystyle (1-a_{2}^{\rm {min}},a_{2}^{\rm {min}}),(1-b_{2}^{\rm {min}},b_{2}^{\rm {min}})} .
このように定められた確率のもとで,前記の正規形は右のようになる (周辺に確率を付記した第 2 の表).
いまや,小さな λ に対して,プレーヤー 1 には戦略 gr および gl が摂動完全戦略であることが簡単に見てとれる.したがってプレーヤー 1 は,プレーヤー 2 がどのように意思決定したとしても等しい,2 の安全な利得を得る.ul を選ぶことによって得られる唯一のよい利得は 4 だが,確率にもとづいて,期待値で得られる利得は,
E [ u ( u l ) ] = ( 1 − λ ) ⋅ 0 + λ ⋅ 4 {\displaystyle \mathrm {E} [u(ul)]=(1-\lambda )\cdot 0+\lambda \cdot 4}
となる.そして λ < 0.5 のときこの期待値は gr および gl が与えるものよりも悪い.
プレーヤー 2 にとっても戦略 R は摂動完全である.なぜならば,プレーヤー 2 が R を選ぶよりも L を選ぶほうが利得が大きくなるような唯一の戦略の組みあわせは (ul, R) に比べたときの (ul, L) だけであって,ところが ul が実現するのは,プレーヤー 1 の両方のエージェントが誤りを犯した場合であり,その ul の確率は最小の εδ だからである.
したがって 2 つの均衡 (gr, R), (gl, R) は摂動完全均衡である.いま見たように戦略 ul は摂動完全戦略ではなかったので,(ナッシュ) 均衡 (ul, L) は摂動完全均衡ではない.