最小多項式 (線型代数学)
数学の線型代数学において、体 F 上の有限次元線形空間上の線形変換 T の最小多項式(さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial)とは、T が零点(T で零行列)となる F-係数多項式のうち、モニック多項式(最高次係数が 1)で次数が最小のもののことである。特に正方行列 A に対して定義される。
A の最小多項式を p(x) とすると、q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は、最小多項式 p(x) で割り切れる。
次の3つの主張は同値である:
λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。
λ ∈ F は、A の固有多項式の根である。
λ ∈ F は、A の固有値である。
A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。
一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、2In を考える(In は n次単位行列)。この行列の固有多項式は (x − 2) である。一方、最小多項式は x − 2 である。従って、n ≥ 2 ならば、2In の最小多項式と固有多項式は一致しない。
ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。