ロジスティック写像
パラメータ a が 1 + √6 = 3.44949... を超えると、それまで安定だった2周期点が不安定になり、安定な4周期点が新たに生まれ、軌道は4周期の振動に引き寄せられるようになる。つまり、a = 3.44949... でまた周期倍化分岐が起こる。4周期点における x の値も
を満たすので、この式を解けば4周期点の x の値を求めることができる。ただし、式 (3-11) は16次方程式であり、不動点と2周期点の4つの解をくくり出したとしても12次方程式である。そのため、もはやこれを解いて、2周期点と同じように4周期点の値を表す a の陽関数を得ることはできない。
さらに a が大きくなると、安定な4周期点はまた周期倍化分岐を起こし、安定な8周期点が生まれる。以降、a が増えるにつれて、16周期、32周期、64周期、...と周期倍化分岐が無限に起こり続け、最終的には無限周期すなわち永遠に元の値に戻ることがない軌道となる。この周期倍化分岐の無限の系列はカスケードと呼ばれる。この周期倍化分岐は無限に起こるが、一方で、周期倍化分岐が発生する a の間隔は等比数列的に減少していく。そのため、パラメータ a がある有限の値に達するまでに、周期倍化分岐の無限回の発生が起きる。a = 3 で起きた1周期から2周期への分岐を1番目の周期倍化分岐として数えるとする。
a を増やしていくときに起こるカオスから窓への変化は、接線分岐と呼ばれる分岐によって引き起こされる。これは、写像の曲線が y = x の対角線に分岐の瞬間にちょうど接し、さらにパラメータを変化させると曲線と直線が交わって2つの不動点を持つようになる分岐である。周期 p の窓であれば、反復写像 f (x) が接線分岐を起こすことによって安定な p 周期軌道が生まれる。周期3の窓の接線分岐については正確な分岐点の値が知られており、この分岐点 a の値を a3 とすると、a3 = 1 + √8 = 3.828427... である。この分岐の概要は、f (x) のグラフ(縦軸 xn+3・横軸 xn のグラフ)を考察することで理解できる。
この分岐点 a3 よりもわずかに小さい a = 3.8282 のときの xn 振る舞いを見てみると、不規則変化に加えて、ほぼ3周期で周期的変化する振る舞いも存在しており、これらが交互に発生する様子が確認される。このような周期的振る舞い部分はラミナーと呼ばれ、不規則振る舞い部分はバーストと呼ばれる。バーストとラミナーの時間帯の長さに規則性は無く、不規則に変化する。しかし、より a3 に近い a = 3.828327 という値で振る舞いを観察すると、a = 3.8282 のときよりラミナーの平均的な時間長さが長くなり、バーストの平均的な時間長さが短くなる。
のように、写像の記号にパラメータ記号の添え字を付けて表すこともある。式 (1-3) や式 (1-4) のような写像としての表現は、式 (1-2) のような差分方程式の表現と実質的に同等だが、時刻 n を一々書き表さなくてもよい利便性もあってしばしば使われる。
離散力学系の数列 x0, x1, x2,... は、写像 f を繰り返し適用して生み出されるという見方もできる。初期値を x0 とすると、
というように、数列は x0 に写像を繰り返し適用して作られるものとしても書ける。このように写像を繰り返し適用する操作を写像の反復などと呼ぶ。簡単に表記するために、写像の反復を
というように書く。f(x0) で、x0 に対する f の n 回反復を意味している。そして、差分方程式から生み出される
という列、あるいは写像の反復から生み出される
という列を、力学系では軌道と呼ぶ。力学系という分野の関心は、与えられた力学系の軌道の振る舞いを研究することにある。
入力と結果が単純な比例関係で結ばれているようなシステムを線形といい、比例関係で表すことができないようなシステムを非線形という。ロジスティック写像は、考えられる限りでもっとも単純な非線形関数である2次関数で定義される。しかし、その非常に簡単な式とは裏腹に、ロジスティック写像は非常に複雑な振る舞いを生み出す。2次関数の繰り返し計算という設定が現代的な数学の主題の一つであり、豊饒な数学理論を引き起こす。ロジスティック写像には「思いもよらぬ奥深い内容」「力学系で起こる数多くの最も重要な現象」、そして「信じられないような複雑な振舞い」が含まれている。後述するようにロジスティック写像ではカオスという現象が現れ、カオス入門の好適な題材でもある。
さらに a を大きくしていくとラミナーの長さがどんどん大きくなっていき、a3 に至ったところで完全な3周期に変わる。
このように、ラミナーという秩序的な運動とバーストという乱れた運動が間欠的に繰り返し起こる現象は、間欠性や間欠性カオスと呼ばれる。パラメータ a を逆に a3 から小さくする方向で考えてみると、これはカオスの発生の一種となっている。パラメータが窓から離れる方向へ動くほど、バーストが支配的になっていき、最終的には完全なカオス状態となる。これも前述の周期倍分岐ルートと同じくカオスに至る一般的な道筋の一種で、このような接線分岐による間欠カオスの発生を特徴とした道筋は間欠性ルートと呼ばれる。
間欠性の発生メカニズムもまた、写像のグラフから理解することができる。a が a3 よりもわずかに小さいとき、f (x) のグラフと対角線の間にはとても小さい隙間が存在する。この隙間はチャネルと呼ばれ、狭いチャネルを軌道が通過するために多数の写像の反復が起こる。このチャネルを通り過ぎる過程では xn と xn+3 はとても近い値になり、実質的にほとんど3周期軌道のように変数が変化する。これがラミナーに相当する。軌道はやがてこの細いチャネルを抜けるが、写像の大域的な構造の結果、ふたたびチャネルに戻って来る。チャネルを離れている間はカオス的な乱れた動きをする。これがバーストに相当する。
しかし、モデル (5-1) では個体数が無尽蔵に増え続け、ほとんどの実現象に対して非現実的なモデルといえる。ある環境が養える個体数には限度があるので、個体数 Nn が増えていくと増殖率 α は低下していくのが自然に思われる。このように個体数密度の変化によって増殖率が変化することを密度効果と呼ぶ。密度効果をモデル (5-1) に反映した改良モデルとして、もっとも単純なものとして次のような差分方程式が考えられる。
ここで、a はその環境中で可能な最大増殖率を意味し、b は密度効果の影響の強さを意味している。モデル (5-2) は、増殖率が個体数に単純に比例して下がっていくと想定している。式 (5-2) の Nn を
と変数変換すると、以下のロジスティック写像が導出される。
生物の個体数として式 (5-2) あるいは式 (5-4) を扱う際には、Nn あるいは xn が負になると個体数としての意味を為さなくなる。そうならないために、初期値 x0 に対して 0 ≤ x0 ≤ 1 という条件が、パラメータ a に対して 0 ≤ a ≤ 4 という条件が要求される。
他には、想定している環境が養える最大の個体数 K を仮定し、これを使って
という形で密度効果を取り込んだ差分方程式を考え、xn = Nn/K と変数変換してロジスティック写像を導くこともある。この場合、変数 xn は、最大個体数 K に対する個体数 Nn の比率を意味している。
前述のように、ロジスティック写像には生物の個体数の変動を考えるモデルとしての側面がある。このとき、ロジスティック写像の変数 x は生物の個体数を最大生息数で割った値であったから、x が取り得る数値は 0 ≤ x ≤ 1 の間に限られる。そういった事情もあり、ロジスティック写像の変数の範囲を区間 [0, 1] に限って、その振る舞いが議論されることが多い。
変数を常に 0 ≤ x ≤ 1 に限定しようとすると、必然的にパラメータ a が取れる範囲は 0 から 4 まで (0 ≤ a ≤ 4) に限定される。なぜならば、xn が [0, 1] の範囲内にあれば、xn+1 の最大値は a/4 となっている。したがって、a > 4 では xn+1 の値が 1 を超える可能性が出て来てしまう。一方、a が負のときは、x が負の値を取るようになってしまう。
写像のグラフを利用することで、その振る舞いの多くを知ることもできる。ロジスティック写像 xn+1 = ax(1 − xn) のグラフとは、横軸を xn(あるいは x)とし、縦軸を xn+1(あるいは f (x))として、平面上に xn と xn+1 の関係を示した曲線である。ロジスティック写像のグラフは、a = 0 の場合を除き、
を頂点とする放物線の形をしている。a を変化させると頂点は上下に動き、放物線は形を変える。また、ロジスティック写像の放物線は横軸(xn+1 = 0 の直線)と2点で交わる。