ランダム行列
英語: Universalities and conjectures
(原子核のエネルギー準位に対応する)「固有値」の分布や (エネルギー準位間隔に対応する)「固有値間隔」の分布などの統計的性質は、行列要素の個々の値やそれらが従っている確率法則あるいは確率分布に依存せず、アンサンブルの対称性などで構成される普遍性クラスによって統計的性質などが決定されることを普遍性という。なおまだ検証されていないものについては予想 (英: Conjecture) と言われる。行列のサイズが無限大に近づくなど極限における統計的性質がよく研究されている。
英語: Gaussian ensembles, β Hermite ensemble
1962年にフリーマン・ダイソンにより導入された行列モデルで行列要素の確率分布にガウス分布を使用しているのでガウス型と呼ばれる。GOE, GUE, GSE の3つのタイプがある。ウィグナー行列に対して確率分布としてガウス分布が指定されさらに不変性に関する要件 (UHU = H) が追加されたものと言える。
各行列要素 zj,k は実数または複素数で構成される n×nの正方行列ですべての要素は独立同一分布。各要素は次式で表されるガウス分布に従う。
P ( z j , k ) = π − 1 exp  ( − | z j , k | 2 ) {\displaystyle P(z_{j,k})=\pi ^{-1}\,\exp(-|z_{j,k}|^{2})}
ランダム行列 (ランダムぎょうれつ、英語: Random Matrix) とは、行列要素 hj,k がなんらかの確率法則あるいは確率分布に従う確率変数 (乱数) として与えられると仮定する行列モデル。また、ランダム行列に関する理論をランダム行列理論 (英語: RMT) という。ランダム行列は、ユージン・ウィグナーにより固有値や固有値の間隔の分布の統計的性質、それらの普遍性 (Universality) やその要因などを研究する目的で導入された。現在では核物理学のほかに、量子カオス、固体物理学、統計力学、数論、生態学、遺伝子工学、金融工学、無線工学、複雑ネットワークなどの研究で応用されている。
英語: Wishart matrix
1928年に統計学者ジョン・ウィシャート (John Wishart) により多変量解析における共分散推定(英)の研究のため導入されたランダム行列。
歴史上初めてのランダム行列とされる。多変量の共分散を求める行列である XX (または XX) により構成されるのが特徴。
行列の性質により固有値の特徴が変わる。
半正定値の行列 (ウィシャート行列) → 固有値は非負の実数 λ ≧ 0
対称行列、エルミート行列 (ウィグナー行列) → 固有値は実数 λ ∈ R
すべての行列要素が独立な行列 (ベルヌーイ行列) → 固有値は複素数 λ ∈ C
固有値の極限分布などの理論を組む上で固有値が複素数だと実数のように固有値λkを順番に並べられず都合が悪いため代わりに特異値を用いることがある。特異値は常に非負の実数である。また、m×n (m≠n) の非正方行列を扱う場合は固有値が存在しないので代わりに特異値が用いられる。