正弦定理
直径 BD を取る。
円周角の定理より ∠A = ∠D である。
△BDC において、BD は直径だから、
BD = 2 R , ∠ BCD = π 2 {\displaystyle {\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}}
である。よって、正弦の定義より、
sin  D = a 2 R {\displaystyle \sin D={\frac {a}{2R}}}
である。ゆえに
sin  A = sin  D = a 2 R {\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}}
変形すると
a sin  A = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}=2R}
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。