円周率の無理性の証明
円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀のアリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年、ドイツの数学者ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは、正接関数の無限連分数表示
tan  x = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 ⋱ {\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}
を用いて、初めて円周率の無理性を示した。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年にフランスのアドリアン=マリ・ルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに π も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは π の無理性よりも強い結果を示した。
20世紀には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、カナダ出身のイヴァン・ニーベンが1947年に発表した証明である。それ以前の1945年にも、イギリスのメアリー・カートライト(英語版)が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後にハロルド・ジェフリーズの著書に収録された。1949年、日本の岩本義和は、ニーベンのアイデアを用いて π が無理数であることの初等的な証明を与えた。
1978年、フランスのロジェ・アペリーは全ての立方数の逆数和
f ( m ) ( x ) = ( − 1 ) m f ( m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m)}(x)=(-1)^{m}f^{(m)}(1-x)}
である。 よって
f ( 2 m ) ( x ) = f ( 2 m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(2m)}(x)=f^{(2m)}(1-x)}
なので
G ( 1 − x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( 1 − x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( x ) = G ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}G(1-x)&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(1-x)\\&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)\\&=G(x).\end{aligned}}}
G(0)=G(1)なのでG(1)も整数である。また
( G ′ ( x ) sin  π x − π G ( x ) cos  π x ) ′ = ( G ′′ ( x ) + π 2 G ( x ) ) sin  π x = b n π 2 n + 2 f ( x ) sin  π x = π 2 a n sin  π x f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}(G'(x)\sin \pi x-\pi G(x)\cos \pi x)'&=(G''(x)+\pi ^{2}G(x))\sin \pi x\\&=b^{n}\pi ^{2n+2}f(x)\sin \pi x\\&=\pi ^{2}a^{n}\sin \pi xf(x)\\\end{aligned}}}
となる。さらに
π ∫ 0 1 a n sin  π x f ( x ) d x = G ′ ( x ) sin  π x π − G ( x ) cos  π x | 0 1 = G ( 0 ) + G ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx&={{\tfrac {G'(x)\sin \pi x}{\pi }}-G(x)\cos \pi x{\Bigg \vert }\,}_{0}^{1}\\&=G(0)+G(1)\\\end{aligned}}}
となり、これは整数である。(1)より十分にnが大きいとき
0 < π ∫ 0 1 a n sin  π x f ( x ) d x < π a n n ! < 1 {\displaystyle 0<\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx<{\tfrac {\pi a^{n}}{n!}}<1}
となる。 これは矛盾である。