接続 (微分幾何学)
任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対し、 ( R g ) ∗ ( H p ) = H p g {\displaystyle (R_{g})_{*}({\mathcal {H}}_{p})={\mathcal {H}}_{pg}}
ここで V p {\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}} は垂直部分空間 V e := { ξ ∈ T e P ∣ π ∗ ( ξ ) = 0 } = T e ( P π ( e ) ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}:=\{\xi \in T_{e}P\mid \pi _{*}(\xi )=0\}=T_{e}(P_{\pi (e)})} であり、 ( R g ) ∗ {\displaystyle (R_{g})_{*}} は g ∈ G {\displaystyle g\in G} のPへの右からの作用 R g : p ∈ P → p g ∈ P {\displaystyle R_{g}~:~p\in P\to pg\in P} がTPに誘導する写像である。 H p {\displaystyle {\mathcal {H}}_{p}} をpにおける水平部分空間という。
本節ではまずリーマン多様体の接続であるレヴィ-チヴィタ接続の定義を述べ、次により一般的なベクトルバンドルに対する接続の定義を述べる。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をGを構造群を持つベクトルバンドルとし、 F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} をそのフレームバンドルとする。さらにG-主バンドル F G ( E ) {\displaystyle F^{G}(E)} に接続形式が ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} の接続が入っているとする。開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 上定義されたEの局所的な基底 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} に対し、
ω ^ := e ∗ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\omega }}:=e^{*}(\omega )}
ζ p : A ∈ g ↦ A _ p ∈ V p {\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}}
を考える。紛れがなければ添字pを省略し単にζと書く。
定理 (主バンドルの接続の曲率) ― 曲率形式Ωは以下を満たす:
(構造方程式) ζ − 1 ( Ω ) = d ω + 1 2 [ ω , ω ] g ∈ g {\displaystyle \zeta {}^{-1}(\Omega )=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {g}}}
紛れがなければ ζ − 1 ( Ω ) {\displaystyle \zeta {}^{-1}(\Omega )} を単にΩと書き、接続形式ωの曲率形式という。
接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ=チヴィタとともに、彼らが絶対微分学(英語版)とよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた。
レヴィ=チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた(レヴィ-チヴィタ接続の名前はこのことによる)。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した。ここで「接続」にあたる語(独: Zusammenhang)がはじめて使用された。
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からMに誘導されるリーマン計量(とその偏微分)のみから計算できる事が知られている。
具体的にはMに局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を取ると、以下のように書ける(アインシュタインの縮約で表記):
∇ d t v ( t ) = ( d d t v i ( t ) + d x j ( t ) d t v k ( t ) Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ∇ X Y = ( X j ∂ Y i ∂ x j + X j Y k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} where Γ j k i = 1 2 g i l ( ∂ g k l ∂ x j + ∂ g l j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x l ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)}
本節では、主接続の場合に対し、上記で定義した曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、さらに π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} をG-主バンドルとし、ωをPの主接続とする。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} におけるリー括弧を使って
[ ω , ω ] g ( X , Y ) := [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] g {\displaystyle [\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}(X,Y):=[\omega (X),\omega (Y)]_{\mathfrak {g}}}
と定義し、さらに前の章と同様、リー代数の元に基本ベクトル場を対応させる写像
すでに述べたようにベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} 上のKoszul接続∇には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式 Ω ( ξ , η ) = − V ( [ H ( ξ ) , H ( η ) ] ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])} と以下の関係を満たす。ここでHは水平部分空間への射影である。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき、M上の点u、ベクトル X , Y ∈ T u M {\displaystyle X,Y\in T_{u}M} 、 s ∈ E u {\displaystyle s\in E_{u}} に対し、以下が成立する:
↑ C.G. Ricci, T. Levi=Civita (1901), Méthodes de calcul differéntiel absolu et leurs applications (絶対微分学の方法とその応用)矢野(1971) 和訳pp.17-95
↑ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
↑ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
↑ “2020年度 幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-” (PDF). p. 75. 2023年10月19日閲覧。
↑ #Andrews Lecture 10, p.2.
↑ #Tu p.45.
↑ #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
↑ #新井 p.304.
↑ #Tu p.45.
↑ #Spivak p.241.
↑ José Figueroa-O'Farrill.
をファイバーバンドルEの接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} に関する曲率形式という。
ここで [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はリー括弧(英語版)である。Ωは C ∞ ( E ) {\displaystyle C^{\infty }(E)} -線形であり、よってΩは双線形写像
Ω : T E × T E → V {\displaystyle \Omega ~:~TE\times TE\to {\mathcal {V}}}
であるとみなせる。
フロベニウスの定理を用いると、曲率形式が恒等的に0である事は超平面の族 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が可積分である事と同値である事を示せる。したがって曲率形式は水平部分空間 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が可積分ではない度合いを表す量である。
R ( X , Y ) s = − V ( L i f t s ( X ) , L i f t s ( Y ) ) {\displaystyle R(X,Y)s=-V(\mathrm {Lift} _{s}(X),\mathrm {Lift} _{s}(Y))}
よって特にKoszul接続の曲率形式 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} とは以下の関係を満たす:
Ω i j ( X , Y ) = − ⟨ e i , V ( L i f t e j ( X ) , L i f t e j ( Y ) ) ⟩ {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)=-\langle e^{i},V(\mathrm {Lift} _{e_{j}}(X),\mathrm {Lift} _{e_{j}}(Y))\rangle }
ここで e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} であり、 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e^{1},\ldots ,e^{n})} はその双対基底である。