カーン＝ヒリアード方程式
カーン=ヒリアード方程式に対する数学者の興味は、与えられた滑らかな初期データに対するその一意な解の存在、コホモロジー的な解釈、計算等にある。 一意性の証明は、本質的にはリャプノフ関数の存在に依るものである。具体的に、自由エネルギー関数として
F [ c ] = ∫ d n x [ 1 4 ( c 2 − 1 ) 2 + γ 2 | ∇ c | 2 ] {\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+{\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right]}
を定めると、
d F d t = − ∫ d n x | ∇ μ | 2 , {\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},}
が得られ、したがってその自由エネルギーはゼロへと減衰する。このことはまた、領域への分離が、方程式の発展の漸近的な結果であることを意味している。
実際の実験においても、初めに混合されていた二元流体の、領域への分離は観測されている。その分離は、次の事実により特徴付けられる。
分離された領域の間に、転移相(transition layer)が存在する。
カーン=ヒリアード方程式(カーン=ヒリアードほうていしき、英: Cahn–Hilliard equation)とは、ジョン・W・カーン(英語版)とジョン・E・ヒリアードの名にちなむ数理物理学の方程式で、二元流体の二成分を同時に分離し、各成分において純粋な領域を形成するような相分離のプロセスを表現するものである。 c {\displaystyle c} を流体の濃度とし、 c = ± 1 {\displaystyle c=\pm 1} で領域を表すとしたとき、カーン=ヒリアード方程式は次のように記述される:
∂ c ∂ t = D ∇ 2 ( c 3 − c − γ ∇ 2 c ) {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right)}