環上の加群
K が体ならば、「K-線型空間」(K 上のベクトル空間)の概念と K-加群の概念は一致する。
Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x(n-項の和)とし、0x = 0 および (−n)x = −(nx) とおけばよい。このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない(ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ)。
R を勝手な環とし n を自然数とするとき、直積 R は成分ごとの演算で R 上の左および右加群となる。したがって特に n = 1 のとき R 自身は環の乗法をスカラー乗法として R-加群であり、これを(左/右)正則加群と呼ぶ。n = 0 とすれば、R の加法単位元のみからなる自明な R-加群 {0} が得られる。これらの加群は自由加群と呼ばれ、R が(たとえば可換環や体のような)不変基底数を持つ環ならば、直積の個数 n が自由加群の階数となる。
S が空でない集合で M が左 R-加群、M を写像 f: S → M 全体の成す集合とするとき、M における加法とスカラー倍を(f + g)(s) = f(s) + g(s) および (rf)(s) = rf(s)で定めると M は左 R-加群となる。