ソボレフ空間
として定義することができる(フーリエ変換がユニタリ変換であるという事実を用いる)。しかし、 D が R あるいはトーラス T のように周期的領域でない場合、非周期敵領域上の函数のフーリエ変換を定めるのは無理であるから、この定義は十全ではない。しかし幸いにして、本質的にヘルダー連続性の L-類似を用いた分数階ソボレフ空間の内在的な特徴づけが存在する。H(D) における同値な内積が
( f , g ) H s ( D ) = ( f , g ) H k ( D ) + ∑ | α | = k ∫∫ D × D ( f ( α ) ( x ) − f ( α ) ( y ) ) ( g ( α ) ( x ) − g ( α ) ( y ) ) | x − y | n + 2 t d x d y {\displaystyle (f,g)_{H^{s}(D)}=(f,g)_{H^{k}(D)}+\sum _{|\alpha |=k}\,\iint \limits _{D\times D}{\frac {(f^{(\alpha )}(x)-f^{(\alpha )}(y))(g^{(\alpha )}(x)-g^{(\alpha )}(y))}{|x-y|^{n+2t}}}\,dxdy}
によって与えられる。ここで s = k + t (k は整数、0 < t < 1)である。領域の次元 n が内積に関する上記の式に現われていることに注意。
数学においてソボレフ空間(ソボレフくうかん、英語: Sobolev space)は、函数からなるベクトル空間で、函数それ自身とその与えられた階数までの導函数の L-ノルムを組み合わせて得られるノルムを備えたものである。ここでいう微分を適当な弱い意味での微分と解釈することにより、ソボレフ空間は完備距離空間、したがってバナッハ空間を成す。直観的には、ソボレフ空間は(偏微分方程式のような応用範囲に対して)十分多くの導函数を持つ函数からなるバナッハ空間あるいはヒルベルト空間であって、函数の大きさと滑らかさの両方を測るようなノルムを備えたものということである。
ソボレフ空間の名称はロシア人数学者のセルゲイ・ソボレフに因む。ソボレフ空間の重要性は、偏微分方程式の解が古典的な意味での導函数を備える連続函数の空間にではなく、むしろソボレフ空間にあると捉えたほうが自然であるという事にある。