積分因子
次のような1階の線形常微分方程式を考える。
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) ( 1 ) {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\quad \quad \quad (1)}
この方程式に対し、適当な積分因子 M ( x ) {\displaystyle M(x)} を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、
M ( x ) y ′ + M ( x ) P ( x ) y = M ( x ) Q ( x ) ( 2 ) {\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (2)}
( M ( x ) y ) ′ = M ( x ) Q ( x ) ( 3 ) {\displaystyle (M(x)y)'=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (3)}
となるから、(3) 式を積分して
y M ( x ) = ∫ Q ( x ) M ( x ) d x {\displaystyle yM(x)=\int Q(x)M(x)\,dx}
となり、これよりもとの微分方程式の解として
y = ∫ Q ( x ) M ( x ) d x M ( x ) {\displaystyle y={\frac {\int Q(x)M(x)\,dx}{M(x)}}\,}
が得られる。