置換行列
対称群 Sn, すなわち {1, 2, ..., n} 上の置換群は、n! 個の置換を含むから、置換行列も同じだけある。上で見たことから、置換行列の全体は行列の積に関して単位行列を単位元とする群を成すことがわかる。恒等置換を (1) と書けば、P(1) は単位行列 I である。
置換 σ に対する置換行列を、単位行列 I の行置換 σ と看做すこともできるし、I の列置換 σ と見ることもできる。
置換行列は二重確率行列である。バーコフ–フォンノイマンの定理の述べるところによれば、任意の二重確率実行列が同じサイズの置換行列の凸結合に書け、また置換行列は二重確率行列全体の成す集合の極点にちょうどなっている。つまり、バーコフ多面体(英語版)(二重確率行列全体の成す集合)は置換行列全体の成す集合の凸包である。
行列 M に対する置換行列 P の左乗 PM は、M の行を置換する(つまり、第 i-行は第 π(i)-行へ写る)。同様に右乗 MP は M の列を置換する。
写像 Sn → A ⊂ GL(n, Z2) は忠実表現であり、従って |A| = n! が成り立つ。
置換行列のトレースは、対応する置換の不動点の数に等しい。実際、置換 π が不動点を持てば、巡回置換分解 π = (a1)(a2)⋯(ak)σ で σ が不動点を持たないようなものが取れて、そのとき ea1, ea2, ..., eak は対応する置換行列の固有ベクトル。
群論で知られた事実として、任意の置換は互換の積に書けるから、従って任意の置換行列は二つの行を入れ替える基本行列(何れも行列式 −1 を持つ)の積に書くことができる。ゆえに、置換行列の行列式は対応する置換の符号に等しい。
行ベクトル h にPπ を右から掛けるとベクトルに対する列の置換を引き起こす:
h P π = [ h 1 h 2 ... h n ] [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) ⋮ e π ( n ) ] = [ h π − 1 ( 1 ) h π − 1 ( 2 ) ... h π − 1 ( n ) ] {\displaystyle \mathbf {h} P_{\pi }={\begin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&\ldots &h_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{\pi ^{-1}(1)}&h_{\pi ^{-1}(2)}&\ldots &h_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}}
ゆえに、ふたたび (hPσ)Pπ = hPπ∘σ が確認される。