解析的整数論
乗法的整数論の最も有益なツールは、ディリクレ級数である。ディリクレ級数は、
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n − s . {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}
の形の無限級数により定義される複素変数の函数である。
係数 a n {\displaystyle a_{n}} の選び方に依存して、この級数は、至るところ発散したり、どこでも収束したり、平面のある半分で発散したりする。多くの場合、級数が至るところでは収束しない場合でも、級数の定義する正則函数を全複素平面上の有理型函数へ解析接続することができる。このような乗法的問題における函数の有用性は、形式的な等式
特に、π(x) を素数個数関数とすると、
lim x → ∞ π ( x ) x / log  x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1}
となることを証明した。
この注目すべき結果は、現在、素数定理として知られている。素数定理は解析的整数論の中心的な結果である。大まかに言うと、素数定理は、与えられた大きな数 N に対し、N 以下の素数の数は、およそ N/log(N) であるという定理である。
さらに一般に、同じ問題を任意の算術級数、整数 n に対して a + nq の中の素数の数について問うことができる。数論への解析的方法の最初の適用のひとつとして、ディリクレは任意の a と q が互いに素な算術級数は無限に多くの素数を含むことを証明した。素数定理はこの問題へも一般化することができる。
算術級数 a + n q , n ∈ Z {\displaystyle a+nq,n\in \mathbf {Z} } において、 π ( x , a , q ) = ( x {\displaystyle \pi (x,a,q)=(\ x} に等しいか小さい素数の個数 ) {\displaystyle )}