方べきの定理
方べきの定理は、適当な意味においてその逆が成立することが知られている。
平面上に相異なる4点 A, B, C, D があり、直線 AB と 直線 CD がただ一つの交点 P をもつとする。ここで次の条件を考える。
(1) PA ⋅ PB = PC ⋅ PD {\displaystyle {\text{PA}}\cdot {\text{PB}}={\text{PC}}\cdot {\text{PD}}}
(2-1) P は線分 AB の内部の点であり、線分 CD の内部の点でもある。
(2-2) P は線分 AB の外部の点であり、線分 CD の外部の点でもある。
(1)かつ(2-1)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円(共円)が存在し、P はこの円の内側にある。
(1)かつ(2-2)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円が存在し、P はこの円の外側にある。
また、平面上に相異なる3点 A, B, T があり、直線 AB 上に点 P があるとする。ここで次の条件を考える。
(3) PA ⋅ PB = PT 2 {\displaystyle {\text{PA}}\cdot {\text{PB}}={\text{PT}}^{2}}
(4) P は線分 AB の外部の点である。
(5) A, B, T は同一直線上にない。
(3)かつ(4)かつ(5)を満たすならば、3点 A, B, T を通る円(△ABTの外接円)の T における接線は P を通る。
いずれの場合も、もとの定理の証明を逆向きにたどるようにして、三角形の相似を利用して証明することができる。条件(2-1), (2-2), (4), (5)を外すことができないことには注意すべきである。