ドット積
n 次元実ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の幾何学的ベクトル(有向線分から位置の概念を取り除いたもの)a, b に対して、a · b を
a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos  θ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|\cos \theta }
と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに a, b の成す角であり、‖ · ‖ はベクトルの大きさ(対応する有向線分の長さ)である。これはすなわち、有向線分 b を a 方向へ正射影したものの大きさと a の大きさとの積である。これを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} におけるドット積あるいは標準内積という。
また一方で、ベクトルを a = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz] のように成分表示した場合、(第二)余弦定理を用いることで
a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}
が成り立つことが示される。ゆえにこちらを定義とすることもある。
ベクトルの自分自身とのドット積の(正の)平方根
‖ a ‖ := a ⋅ a {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {a}}}}}
をベクトルのノルムという。具体的にベクトルを a = [ax, ay, az] と成分表示してやれば
‖ a ‖ = a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|={\sqrt {a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}}}}
と書くことができる。これはベクトル a の "大きさ" である。
ドット積とノルムを使えば、2つのベクトル a = [ax, ay, az], b = [bx, by, bz] のなす角は