一意分解環
このとき X = rαX + rβY + rγZ + rδW であるから R[X, Y, Z, W] において 1-次の元 (rα − 1)X + rβY + rγZ + rδW がイデアル (XY − ZW) に属さなければならないが、このイデアルの零でない元は 2 より大きな次数を持たねばならないので、必然的に (rα − 1)X + rβY + rγZ + rδW は R[X, Y, Z, W] における零元でなければならない。これより rα = 1 が従うから、r は単元であることになり矛盾を生じる。ゆえに X は既約であり、同様に Y, Z, W の既約性も示される。 次に、剰余環において関係式 XY − ZW = 0 が成立するから、XY と ZW は同じ元を表している。先に述べたこととあわせれば、これはつまり XY = ZW が同じ元の相異なるふたつの既約元分解を与えることを意味するから、R[X, Y, Z, W]/(XY − ZW) は UFD ではない。
一変数正則函数環は、無限個の零点を持つ正則函数が存在して、そのような函数はたとえば sin  π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right)} のように無限個の既約因子を持つため、UFD とはならない。UFD においては有限個の因子に分解されなければならない。
一般に、ネーター整域は必ずしも UFD ではない。任意のネーター整域において、零元でも単元でも無い元は必ず既約元の積として書けるけれども、この積としての表示が一意である必要は無い。