シンプレクティック同相写像
L X ω = 0. {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}
のときを言う。また、 X {\displaystyle X} がシンプレクティックと、 X {\displaystyle X} のすべての t {\displaystyle t} についてフロー φ t : M → M {\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M} がシンプレクティックとは同値である。 これらのベクトル場は、 Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)} リー部分代数を形成する。 シンプレクティック同相の例としては、古典力学や理論物理学の正準変換があり、任意のハミルトニアンに付随したフローと多様体の微分同相写像から引き起こされた余接バンドルがあり、余随伴軌道(英語版)の上のリー群の元である余随伴作用を持っている。
( M , ω ) {\displaystyle \,(M,\omega )\,} をシンプレクティック多様体とし、 f {\displaystyle \,f\,} をその上の滑らかな関数であるとする。
f {\displaystyle \,f\,} が定めるハミルトンベクトル場 X f {\displaystyle \,X_{f}\,} の フローを { φ t } t ∈ R {\displaystyle \,\{\phi _{t}\}_{t\in \mathbb {R} }\,} とする。 つまり、 p ∈ M {\displaystyle \,p\in M\,} に対して、 { φ t ( p ) } t ∈ R {\displaystyle \,\{\phi _{t}(p)\}_{t\in \mathbb {R} }\,} は M {\displaystyle \,M\,} 上の微分方程式
c ̇ = X f , c ( 0 ) = p {\displaystyle \,{\dot {c}}=X_{f},\,\,c(0)=p\,}
( M 1 , ω 1 ) , ( M 2 , ω 2 ) {\displaystyle \,(M_{1},\omega _{1}),(M_{2},\omega _{2})\,} を シンプレクティック多様体であるとする。
( M 1 , ω 1 ) {\displaystyle \,(M_{1},\omega _{1})\,} と ( M 2 , ω 2 ) {\displaystyle \,(M_{2},\omega _{2})\,} とが シンプレクティック同相であるとは、 M 1 {\displaystyle M_{1}} から M 2 {\displaystyle M_{2}} への 微分同相写像 φ : M 1 → M 2 {\displaystyle \,\phi :M_{1}\to M_{2}\,} が存在して、
φ ∗ ω 2 = ω 1 {\displaystyle \,\phi ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,}
を満たすことをいう。 ここで、 φ ∗ ω 2 {\displaystyle \,\phi ^{*}\omega _{2}\,} は ω 2 {\displaystyle \,\omega _{2}\,} の φ {\displaystyle \,\phi \,} による引き戻しを表す。
このとき、 φ {\displaystyle \,\phi \,} を M 1 {\displaystyle M_{1}} から M 2 {\displaystyle M_{2}} への シンプレクティック同相写像、もしくは、正準変換という。