ゲージ理論
接続(ゲージ接続)は、主バンドルを定義するので、各々の随伴ベクトルバンドル(英語版)(associated vector bundle)では共変微分 ∇ が存在する。局所座標(切断の局所基底)を選択すると、この共変微分は物理学ではゲージポテンシャルと呼ばれるリー代数に値を持つ 1-形式である接続形式 A により表現される。これは確かに本質的でないが座標に依存した量である。曲率形式 F はリー代数に値を持つ 2-形式である曲率形式から構成される本質的な量で、
F = d A + A ∧ A {\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }
である。ここに d は外微分であり、 ∧ {\displaystyle \wedge } はウェッジ積である。( A {\displaystyle \mathbf {A} } は、生成子 T a {\displaystyle T^{a}} によってはられるベクトル空間の元であり、よって、 A {\displaystyle \mathbf {A} } の成分は互いに可換ではない。従って、ウェッジ積 A ∧ A {\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} } は 0 とならない。)
無限小ゲージ変換はリー代数を形成し、スカラー ε に値を持つ滑らかなリー代数により特徴付けられる。そのような無限小ゲージ変換の下に、
ゲージ変換の自由度を持った最初の理論は電磁気学における、1864年のマクスウェル(James Clerk Maxwell)による電磁場の公式であるが、この概念の重要性は永く気付かれないままであった。この定式化の持つ対称性の重要さは、早期の段階では注目されることがないままであった。ヒルベルト(David Hilbert)も注目することなく、一般座標変換の下の作用の不変性を詳しく調べ、アインシュタイン方程式を導出した。後日、ワイル(Hermann Weyl)が、一般相対論と電磁気学を統一しようと、スケール変換(もしくは、ゲージ変換)の下の不変性が、一般相対論の局所対称性であろうと予想した。量子力学の発展したのち、ワイル、フォック(Vladimir Fock)、ロンドン(Fritz London)が、スカラー要素を複素数値に置き換え、スケール変換を U(1) ゲージ対称性である相(phase)の変更に置き換えることにより、スケール(ゲージ)を変形した。このことが、電荷を帯びた量子力学的な粒子の波動函数として電磁場を説明した。これがヴォルフガング・パウリ(Wolfgang Pauli)により1940年代に広められ、ゲージ理論として広く認識された最初であった。