二重交換団
したがって S ′ ′ ′ = ( S ′ ′ ) ′ ⊆ S ′ {\displaystyle S^{\prime \prime \prime }=(S^{\prime \prime })^{\prime }\subseteq S^{\prime }} が成立する。一方、 S ′ ⊆ ( S ′ ) ′ ′ = S ′ ′ ′ {\displaystyle S^{\prime }\subseteq (S^{\prime })^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }} も成立する。したがって S ′ = S ′ ′ ′ {\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }} が成り立ち、S の二重可換子環の可換子環は、S の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。
S ′ = S ′ ′ ′ = S ′ ′ ′ ′ ′ = ... = S 2 n − 1 = ... {\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\ldots =S^{2n-1}=\ldots }
および
S ⊆ S ′ ′ = S ′ ′ ′ ′ = S ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ... = S 2 n = ...