デデキントゼータ関数
従って、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は C ∖ { 1 } {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} まで解析接続できる。
解析接続できない s = 1 {\displaystyle s=1} では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は
κ = 2 r 1 ( 2 π ) r 2 w | D K | 1 / 2 h K R {\displaystyle \kappa ={\frac {2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}}{w|D_{K}|^{1/2}}}h_{K}R}
である。つまり、
ζ K ( s ) = κ s − 1 + O ( 1 ) ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)={\frac {\kappa }{s-1}}+O(1)\ \ \ (s\to 1+0)}
である。
ただし、 r 1 , 2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、 h K , R {\displaystyle h_{K},\ R} は、それぞれ K の類数、単数基準とする。