方向微分
積の法則(あるいはライプニッツの法則): ∇ v ( f ( p ) g ( p ) ) = g ( p ) ∇ v f ( p ) + f ( p ) ∇ v g ( p ) {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{\bigl (}f(p)g(p){\bigr )}=g(p)\nabla _{\boldsymbol {v}}f(p)+f(p)\nabla _{\boldsymbol {v}}g(p)}
連鎖律:g が点p において微分可能であり、h が g(p) において微分可能であるなら、 ∇ v ( h ∘ g ) ( p ) = h ′ ( g ( p ) ) ∇ v g ( p ) {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}(h\circ g)(p)=h'{\bigl (}g(p){\bigr )}\nabla _{\boldsymbol {v}}g(p)} が成立する。
↑ R. Wrede, M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd edition ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7
↑ 技術的に言うと、勾配 ∇f は余ベクトルであり、ドット積はベクトル v 上のこの余ベクトルの動きである。
↑ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.