多重集合
多重集合は他にも aggregate, heap, bunch, sample, weighted set, occurrence set, and fireset (finitely repeated element set) などと呼ばれている。
ただ多重集合の概念が古代より暗に用いられていたと言っても、それらが明示的に調べられるようになるのはずっと後になってからのことである。多重集合の最初の研究として知られるのは1150年ごろ、インドの数学者バースカラ2世による、多重集合の順列に関するものである。マリウス・ニゾリウス(英語版) (1498–1576) の業績には多重集合の概念に関する別の先駆的言及が含まれる。Kircher (1650) は一つの元のみ重複する場合の多重集合の順列の数を求めた。ジャン・プルステ(英語版)は1675年に多重集合の順列に関する一般法則を著した。Wallis (1685) はこの法則をより詳細に説明している
明確な形で多重集合が現れるのはリヒャルト・デーデキントの手によるが、数学者が多重集合を定式化して明確な数学的対象としてその研究を始めたのは20世紀に入ってからである。
重複度関数の値域を変更することにより、重複度を負の値も含めた整数値や実数値などに拡張して考えることができる。拡張された意味での多重集合に関する多重集合演算は、大抵の場合には非負整数値の場合の重複度関数の算術がそのまま成立するものとして演算後の重複度関数を定め、それによって特徴付けられる多重集合として定義される。
たとえば、ファジィ集合(曖昧集合、確率的集合)は、区間 [0, 1] に値をとる重複度函数を備えた多重集合と考えることもできる。この場合、ファジィ集合の帰属率函数(メンバシップ函数)が重複度函数に相当する。ただし、ある集合 X を全体集合として固定して、その部分集合となっているようなものだけにファジィ集合だけを考えるときは、(確率的な解釈を与えるため)X の任意の分割
X = ∑ λ ∈ Λ A λ {\displaystyle X=\sum _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}
に対して、
例えば非負整数の多重集合 {2, 2, 2, 3, 5} に対応する多項式は f(x) = 3x + x + x であり、その累積母函数 g(t) = log(3e + e + e), 濃度 3 + 1 + 1 = 5, 導函数 g'(t) = (3e + e + e)(6e + 3e + 5e), 平均値 μ = (3 + 1 + 1)(6 + 3 + 5) = 2.8 などと計算できる。
ここに現れる数 (μ,σ, ...) = (g'(0), g"(0), ...) は各次数の累積率と呼ばれる。
非負整数全体の成す無限集合 {0, 1, 2, ...} は形式冪級数 1 + x + x + ⋯ = (1 − x) で表され、平均値や標準偏差は定義されないが、累積母函数 g(t) = −log(1 − e) は持つ。この累積母函数の導函数は g'(t) = (e − 1) である。