デバイ模型
デバイ模型はプランクの法則に対応する固体状態の模型である。プランクの法則では電磁波を箱の中のフォトンの気体として取り扱う。デバイ模型では格子振動を箱の中のフォノンとして取り扱う(箱とはその固体である)。計算の大半の過程はプランクの法則における計算と非常に似通っている。
一辺の長さが L の立方体を考える。井戸型ポテンシャルの項目より、箱内部の音の散乱の反響モード(ここでは1次元について考える)は以下で与えられる波長をもつ。
λ n = 2 L n {\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}}
ここで n は整数である。フォノンのエネルギーは
E n = h ν n {\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}}
である。ここで h はプランク定数であり、 νn はフォノンの周波数である。周波数は波長に反比例するという近似をすると、以下の式を得る。
E n = h ν n = h c s λ n = h c s n 2 L {\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{s} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}}
cs は固体中の音速である。3次元では以下の式となる。
E n 2 = E n x 2 + E n y 2 + E n z 2 = ( h c s 2 L ) 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle E_{n}^{2}=E_{nx}^{2}+E_{ny}^{2}+E_{nz}^{2}=\left({hc_{s} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)}
実際には、デバイは上記の式を違ったやり方で、より単純に導いた。デバイは連続媒体の固体力学を用いて、ある値よりも小さい周波数の振動状態の数は
n ∼ 1 3 ν 3 V F {\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF}
へと漸近することに気づいた。ここで V は体積であり、 F は弾性率と密度からデバイが計算した因子である。これらを温度 T の調和振動子で期待されるエネルギーと結びつけ(アインシュタインがアインシュタイン模型ついても用いた手法である)、以下エネルギーを得る。
U = ∫ 0 ∞ h ν 3 V F e h ν / k T − 1 d ν {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu }
振動周波数の上限が無限まで伸びているなら、この形式は低温で正しい T 的な振る舞いを与える。しかしデバイは N 個の原子では 3N 個以上の振動状態はありえないと確信した。そして原子固体において、振動状態の周波数スペクトルの最大値は νm であり、全状態の数は 3N だと仮定した。
デバイはこの仮定が本当は正しくないことを知っていた(高周波数は仮定よりも間隔が狭い)。
U ≈ ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 E ( n ) N ̄ ( E ( n ) ) d n x d n y d n z {\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}}
ここまでの計算で、 N(E) (=エネルギー E をもつフォノンの数)には言及しなかった。フォノンはボース=アインシュタイン統計に従う。その分布は有名な以下のボース=アインシュタインの公式で与えられる。
⟨ N ⟩ B E = 1 e E / k T − 1 {\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}}
フォノンは3つ(1つの縦波と(フォノンのエネルギーにほとんど影響しない)2つの横波)の偏光状態をとることができる。そのため上の公式を3倍する必要があり、ここでの分布は以下となる。
N ̄ ( E ) = 3 e E / k T − 1 {\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}}
(実際には、「有効音速」cs := ceff を使うこともある。例えば、デバイ温度 TD(以下を参照)は単純にいうと ceff に比例し、より正確には縦波と横波の速度を区別(それぞれ1/3と2/3の寄与)して T D − 3 ∝ c e f f − 3 := ( 1 / 3 ) c l o n g − 3 + ( 2 / 3 ) c t r a n s − 3 {\displaystyle T_{D}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:=(1/3)c_{\rm {long}}^{-3}+(2/3)c_{\rm {trans}}^{-3}} と表される。