冪零元
可換環 R {\displaystyle R} のベキ零元全体はイデアル N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} をなす。これは二項定理の結果である。このイデアルは環の冪零根基である。可換環のすべての冪零元 x {\displaystyle x} はその環のすべての素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に含まれる、なぜならば x n = 0 ∈ p {\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}} だからだ。したがって N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} はすべての素イデアルの共通部分に含まれる。
x {\displaystyle x} が冪零でなければ、 x {\displaystyle x} の冪によって局所化することができる。つまり、 S = { 1 , x , x 2 , . . . } {\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}} によって局所化して零でない環 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} を得る。