正則関数
コーシー・リーマンの方程式は f(x,y) が正則となるための必要条件であるが、さらに u(x,y), v(x,y) が、2 変数の関数として全微分可能であるならば、f(x,y) は正則となる。
また、ウィルティンガーの微分を用いれば、コーシー・リーマンの方程式は、ディーバー方程式
∂ ∂ z ̄ f ( z ) := 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z):={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0}
に変換される。
ディーバー方程式を用いれば、たとえば、多項式に z しか現れないとき、コーシー・リーマンの方程式が成り立つのは一目瞭然であるし、
| z | = z z ̄ {\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
のように z を含むものを、z で微分して 0 にならないのであれば、コーシー・リーマンの方程式は満たされないのである。
|z| の場合は、z 微分して 0 にならないこともすぐ分かり、正則ではない。
正則関数とは、複素関数(複素数を変数とし、複素数に値をもつ関数)のうちで、対象とする領域内の全ての点において微分可能な関数である。すべての点で微分可能という性質は「正則性」と呼ばれる。多項式関数や指数関数、三角関数、対数関数、ガンマ関数、ゼータ関数など、複素解析において中心的な役割を演じる多くの関数はこの正則性を備える。
正則な複素関数は、その導関数も正則である。すなわち微分操作を無制限に繰り返してよい。実変数関数のように導関数が微分不可能となり微分回数が制限されることは起きない。微分可能回数について言い及ぶこともない。実数関数と勝手の全く異なる点である。
複素関数の微分可能性の特徴は、その微分の定義に起因する。複素関数の微分は実数軸および虚数軸という2次元平面内の任意の方位に沿って見積もられうるが、これをすべて一意とする。すなわちどの方位をみても同一の値をとるものとして定義されている。
f, g を領域 U 上で定義される正則関数とする。また α, β を複素数の定数とすると
線型性: d ( α f + β g ) d z = α d f d z + β d g d z , {\displaystyle {\frac {d(\alpha f+\beta g)}{dz}}=\alpha {\frac {df}{dz}}+\beta {\frac {dg}{dz}},}
ライプニッツ則: d ( f g ) d z = d f d z g ( z ) + f ( z ) d g d z , {\displaystyle {\frac {d(fg)}{dz}}={\frac {df}{dz}}g(z)+f(z){\frac {dg}{dz}},}
連鎖律: d ( f ∘ g ) d z = d f d g d g d z {\displaystyle {\frac {d(f\circ g)}{dz}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dz}}}
が成り立つ。ゆえに正則関数の和、定数倍(スカラー倍)、積は再び正則である。
正則関数は微分が 0 にならない点において複素平面上の等角写像である。
ガウス平面 C 内の開集合 D と D 上で定義される複素関数 f(z) について、a ∈ D に対し極限
lim z → a f ( z ) − f ( a ) z − a {\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}
が定まるとき、すなわち D 内で z を a に近づけるとき、どのような近づけ方によっても右辺の商がただ一つの値に収束するとき、複素関数 f(z) は点 a で、あるいは z = a で複素微分可能または単に微分可能であるといい、この極限値を
f ′ ( z ) = d f d z = lim z → a f ( z ) − f ( a ) z − a {\displaystyle f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}
と書いて、複素関数 f(z) の点 a あるいは z = a における微分係数と呼ぶ。 複素関数 f(z) が D で複素微分可能である、すなわち D の全ての点で複素微分可能であるとき、複素関数 f(z) は 開集合 D において正則であるといい(集合における正則性)、複素関数 f(z) は D 上の 正則関数であるという。 また、複素関数 f(z) が点 a で複素微分可能なだけでなく、点 a を含む適当な(どんなに小さくてもよい)近傍 U(a) でも複素微分可能である(近傍 U(a) の全ての点で複素微分可能である)とき、複素関数 f(z) は点 a で正則であるという(1点における正則性)。