ガウス整数
ガウスがガウス整数環について研究した動機の一つは、次のような問題である。
整数 n と素数 p に対して合同式 x ≡ n (mod p) が解を持つのはいかなる場合か。
この問題は、有理整数環の世界のみで考えるのではなく、ガウス整数環で考える方が本質的である。今日では4乗剰余の相互法則と呼ばれる公式が、一つの解答を与えている。ガウスは1828年と1832年の二度にわたって、4乗剰余に関する自身の研究をまとめた論文を刊行している。後者の論文において、ガウス整数環における既約分解の一意性を証明し、4乗剰余の相互法則を定式化した。ガウス自身は相互法則の証明を公表しなかったが、ガウスの弟子であるアイゼンシュタインが1844年に証明を公表した。アイゼンシュタインはさらに、3乗剰余の相互法則の定式化と証明を行った。4乗剰余を考える際に、Z に 1 の原始4乗根(虚数単位)を付加した環を考えることが必要であったように、3乗剰余を考えるためには、Z に 1 の原始3乗根を付加した環(今日ではアイゼンシュタイン整数環と呼ばれる)を考えることが必要である。なお、後に公表されたガウスの遺稿によると、ガウスはすでに4乗剰余の相互法則の証明を与え、3乗剰余についても先鞭をつけていたことが分かる。
歴史的にも長い間証明が必要なこととは認識されていなかった。しかし、例えば
Z [ − 5 ] := { a + b − 5 ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]:=\{a+b{\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}
においては
6 = 2 × 3 = (1 + √−5)(1 − √−5)
であるので素因数分解(正確には既約元分解)の一意性が成り立たない。 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} の単数は 1, −1 のみなので、同伴の違いでもない。そもそも、2, 3, 1 + √−5, 1 − √−5 は既約元ではあるが素元ではないので、一意性以前に素元分解ができないのである。なお、素元分解ができれば一意的であることは、素元の定義より直ちに分かる。