ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。
R の任意の無限列 (xn) は単調な部分列を持つ。
数学、特に実解析におけるボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理(ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスのていり、英: Bolzano–Weierstrass theorem)は、ベルナルト・ボルツァーノおよびカール・ヴァイヤシュトラスに名を因む、有限次元ユークリッド空間 R における収束に関する基本的な結果である。定理は「R 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する。これと同値な定式化として、「R の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである」という形で述べることができる。この定理をしばしば (R の) 点列コンパクト性定理とも言う。
いま正の整数 n がこの列の「頂点」(peak) であるとは、「n < m ならば xn > xm となる」—すなわち、xn がその列に属する他のどの xm よりも大きい—ときに言う。まず、数列が無限個の頂点を持つと仮定して、それを番号順に n1 < n2 < ⋯ < nj < ⋯ とする。このとき、これら頂点に対応する部分列 (xnj) は単調減少である。次に、頂点が有限個しかないと仮定した場合を示そう。頂点のうち最大のものを N として、n1 ≔ N + 1 とする。N < n1 だから n1 は頂点でなく、したがって番号 n2 を n1 < n2 かつ xn1 ≤ xn2 を満たすようにとれる。やはり n2 > N は頂点でないから、したがって番号 n3 を n2 < n3 かつ xn2 ≤ xn3 を満たすようにとれる。以下同様に繰り返せば、非減少無限列 xn1 ≤ xn2 ≤ xn3 ≤ ⋯ が作れる。
数列が有界でない場合も含めて、上記の補題により単調部分列は取れるが、そもそも Rの有界数列に対して補題を適用したとすれば、単調収束定理により、この単調部分列は収束しなければならない。
最後に、一般の場合が n = 1 に帰着できることを見よう。R の有界点列が与えられたとき、その第一座標成分からなる列は、有界実数列であるから収束する部分列を持つ。その部分数列に対応する部分点列に対し、さらに第二座標成分からなる「部分」部分列を取って収束する部分数列をとり、以下同様に続ける。