シンプレクティック数値積分法
4次のシンプレクティック積分子は、2次の積分子を異なる時間ステップで三度適用することにより得られる。
S 4 t h ( h ) = S 2 n d ( x 1 h ) S 2 n d ( x 0 h ) S 2 n d ( x 1 h ) {\displaystyle S_{\mathrm {4th} }(h)=S_{\mathrm {2nd} }(x_{1}h)\,S_{\mathrm {2nd} }(x_{0}h)\,S_{\mathrm {2nd} }(x_{1}h)}
x 1 = 1 2 − 2 3 , x 0 = 1 − 2 x 1 {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\ \ x_{0}=1-2x_{1}}
これは Forest & Ruth (1990) によって導かれた 後、Yoshida (1990) によって2次のシンプレクティック積分を三度適用したものに等しいことが指摘された。
なお、より高次のシンプレクティック積分子の系統的な構成方法は Suzuki (1990) および Yoshida (1990)によって与えられている。Yoshida (1990) はベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)を適用することにより高次の 2 n {\displaystyle 2n} 次シンプレクティック積分子を解析的に構成しているが, 次数が増大すると必要なステップ数 ( S 2 n d {\displaystyle S_{\mathrm {2nd} }} の数) が指数関数的に増大し効率が悪化することも指摘し、より効率的なシンプレクティック積分子をいくつか数値的に求めてもいる。