モチヴィック・コホモロジー
X が次元 n で k 上滑らか(英語版)であれば、ポアンカレ双対 同型写像
H i ( X , Z ( j ) ) ≅ H 2 n − i ( X , Z ( n − j ) ) {\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} (j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf {Z} (n-j))}
がある。
特に、X が k 上滑らかであれば、余次元 i のサイクルのチャウ群 CH(X) は H(X,Z(i)) と同型である。
k 上の滑らかなスキーム X のモチヴィック・コホモロジー H(X, Z(j)) は X 上の層の複体 Z(j) のザリスキー位相での超コホモロジー(英語版)である。(いくつかの性質の証明に置いてはニスネヴィッチ位相(英語版)を使ったほうが簡単であるが、どちらの位相でも同じモチヴィック・コホモロジー群になる。)例えば、j < 0 に対してZ(j) はゼロであり、Z(0) は定数層 Z であり、Z(1) は X の導来圏において Gm[−1] と同型である 。ここで、Gm は乗法群、すなわち可逆な正則関数のなす層であり、ずらし[−1]によりこの層を次数1の複体と思っている。
4つのモチヴィック・(コ)ホモロジーは任意のアーベル群を係数として定義できる。位相幾何学におけるのと同様に、異なる係数同士の理論は普遍係数定理によって関係がつく。