リッチテンソル
ケーラー多様体 X において、リッチ曲率は標準直線束の曲率形式を決定する (Moroianu 2007, Chapter 12) 。標準直線束とは、正則ケーラー微分の束の最高次外羃である。
κ = ∧ n Ω X {\displaystyle \kappa =\wedge ^{n}\Omega _{X}}
X 上の計量に対応するレヴィ=チヴィタ接続は κ 上の接続を与える。この接続の曲率は、次のように定義される。
ρ ( X , Y ) = def Ric  ( J X , Y ) {\displaystyle \rho (X,Y)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\operatorname {Ric} (JX,Y)}
ここで、J はケーラー多様体の構造により決定される接束上のは複素構造写像である。リッチ形式は2-閉形式である。そのコホモロジー類は、実定数因子の違いを除いて標準束の第一チャーン類であり、したがって、これはX の位相幾何にのみ依存し複素構造のホモトピーで類あり、この意味で(X がコンパクトであれば)X の位相幾何学的な不変量である。
逆に、リッチ形式はリッチテンソルにより次のように決定される。
Ric  ( X , Y ) = ρ ( X , J Y ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY)}
局所正則座標 z においては、リッチ形式は次のように与えられる。