分離超平面定理
互いに素な空でない凸集合 A, B が与えられるとして、次のようなミンコフスキー和(英語版)を考える。
K = A + ( − B ) = { x − y ∣ x ∈ A , y ∈ B } . {\displaystyle K=A+(-B)=\{x-y\mid x\in A,y\in B\}.}
B は凸なので −B もまた凸である。A と −Bの(したがって B の)凸性から上記のミンコフスキー和 K は凸である。
K の閉包 K は凸なので、先に示した補題より K について最小ノルムを持つベクトル v が一意に定まる。K の凸性から、任意のベクトル u ∈ K について、線分
v + t ( u − v ) , 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle v+t(u-v),\,0\leq t\leq 1}
上の点はすべて K に含まれるため、閉包 K のベクトルのノルムについて以下の関係が成り立つ。
| v | 2 ≤ | v + t ( u − v ) | 2 = | v | 2 + 2 t ⟨ v , u − v ⟩ + t 2 | u − v | 2 , ( 0 ≤ t ≤ 1 ) . {\displaystyle |v|^{2}\leq |v+t(u-v)|^{2}=|v|^{2}+2t\langle v,u-v\rangle +t^{2}|u-v|^{2},\quad (0\leq t\leq 1).
}
この関係より直ちに次の結果が得られる:
0 ≤ 2 ⟨ v , u ⟩ − 2 | v | 2 + t | u − v | 2 , ( 0 < t ≤ 1 ) . {\displaystyle 0\leq 2\langle v,u\rangle -2|v|^{2}+t|u-v|^{2},\quad (0<t\leq 1).}
更に、t について t → 0 の極限を取れば上記の関係は
⟨ v , u ⟩ ≥ | v | 2 {\displaystyle \langle v,u\rangle \geq |v|^{2}}
と書き換えられる。従って、任意の x ∈ A および y ∈ B について、
⟨ v , x − y ⟩ ≥ | v | 2 {\displaystyle \langle v,x-y\rangle \geq |v|^{2}}
が成り立つ。
ベクトル v が零ベクトルでないならば、この関係より
inf x ∈ A ⟨ x , v ⟩ ≥ | v | 2 + sup y ∈ B ⟨ y , v ⟩ {\displaystyle \inf _{x\in A}\langle x,v\rangle \geq |v|^{2}+\sup _{y\in B}\langle y,v\rangle }
を得て証明を終わる。
K 上のベクトル x のノルムの下限を δ = inf{|x| | x ∈ K} とする。|xj| → δ となるような K 上の数列 xj について、K の凸性より |xi + xj|/2 ∈ K が成り立つ。また、
| x i + x j 2 | ≥ inf { | x | } = δ {\displaystyle \left|{\frac {x_{i}+x_{j}}{2}}\right|\geq \inf\{|x|\}=\delta }
であることから
| x i − x j | 2 = 2 | x i | 2 + 2 | x j | 2 − | x i + x j | 2 ≤ 2 | x i | 2 + 2 | x j | 2 − 4 δ 2 {\displaystyle |x_{i}-x_{j}|^{2}=2|x_{i}|^{2}+2|x_{j}|^{2}-|x_{i}+x_{j}|^{2}\leq 2|x_{i}|^{2}+2|x_{j}|^{2}-4\delta ^{2}}