関数方程式
⇔ f ( 0 ) 2 = f ( 0 ) = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow f(0)^{2}=f(0)=0}
y = − x {\displaystyle y=-x} とすると、
f ( x − x ) 2 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
f ( 0 ) 2 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
0 = f ( x ) 2 + f ( − x ) 2 {\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
よってすべてのxについて f ( x ) 2 = 0 {\displaystyle f(x)^{2}=0} となるので、 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} が唯一の解である。
偏微分・微分方程式と数値代入による解法
関数f(x)について、「連続性や微分可能性といった厳しい条件を設定すると」、関数は一意に定まることが多い。 以下、f(x)についての連続性と微分可能性を仮定する。
例1: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} ・・・※