解析的階層
ベール空間の部分集合は、 ω {\displaystyle \omega } から ω {\displaystyle \omega } への各関数をそのグラフの特徴関数に写す写像の下で、カントール空間上に対応する部分集合をもつ。よって、ベール空間上で集合が Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} , Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} , Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} のクラスに分類されることは、カントール空間上で対応する同じクラスに分類されることと同値である。ベール空間上の解析的階層と同値な定義は二階算術の関数版を用いた式の解析的階層を定義することによって与えられる; それゆえカントール空間上の解析的階層はベール空間上の階層から定義できる。この代替の定義は最初の定義と全く同じ分類を与える。
カントール空間は、それ自身の任意有限個のデカルト直積と同相であるので、ベール空間も同様に自身の任意有限個のデカルト直積と同相である。それらの空間でも解析的階層は同様に適用される。同様の拡張が、カントール空間の可算直積、ベール空間の可算直積でも可能である。
解析的階層は任意の実効ポーランド空間で定義できる。カントール空間とベール空間は通常の二階算術の言語に合うので、定義は特に単純である。カントール空間は0と1からなる全ての無限列の集合であり、ベール空間は自然数からなる全ての無限列の集合である。これらはどちらもポーランド空間である。
二階算術の通常の公理化では、集合量化子がカントール空間上の量化として自然に見ることができる集合ベースの言語を用いる。カントール空間の部分集合は、 Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} 式によって定義可能であれば Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} のクラスが割り当てられる。同様に、 Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} 式で定義可能な集合には Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} という分類が割り当てられる。集合が Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} と Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} の両方である場合、追加のクラス Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} が与えられる。
表記 Σ 0 1 = Π 0 1 = Δ 0 1 {\displaystyle \Sigma _{0}^{1}=\Pi _{0}^{1}=\Delta _{0}^{1}} が示すのは、二階算術の言語の式のクラスであって、数の量化のみをもち集合の量化は持たないもののクラスである。この言語は集合パラメータを含んでいない。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、そのタイプの言語の選択を示している。対応するそれぞれの太字記号は、実数をパラメータとする拡張言語における数式の対応するクラスを示す; 詳細は射影階層を参照。
二階算術の言語の式は、それが ∃ X 1 ⋯ ∃ X k ψ {\displaystyle \exists X_{1}\cdots \exists X_{k}\psi } (ただし ψ {\displaystyle \psi } は Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} 式)の形の論理式と論理的同値であるとき、 Σ n + 1 1 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}} と定義される。同様に、 ∀ X 1 ⋯ ∀ X k ψ {\displaystyle \forall X_{1}\cdots \forall X_{k}\psi } (ただし ψ {\displaystyle \psi } は Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} 式)の形の論理式と論理的同値であるとき、 Π n + 1 1 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}} と定義される。