ラングランズ双対
G を分離閉包 K を持つある体 k 上の簡約群とする。K 上 G はルートデータを持っていて、ガロア群 Gal(K/k) の作用がある。L-群の恒等元の連結成分 G は、双対ルートデータに対応する連結複素簡約群であり、ガロア群 Gal(K/k) の作用が誘導される。L-群 G は、ガロア群の連結成分の半直積
L G = L G o × Gal ( K / k ) {\displaystyle {}^{L}G={}^{L}G_{o}\times {\text{Gal}}(K/k)}
である。
L-群の定義には以下のように定義されることもある:
絶対ガロア群 Gal(K/k) に代わり、G が分離するような有限拡大のガロア群を使うこともできる。対応する半直積は、有限個の成分しか持たない複素リー群である。
k を局所体、大域体、有限体とすると、k の絶対ガロア群を使う代わりに、絶対ヴェイユ群を使うこともできる。ヴェイユ群はガロア群への自然な写像を持ち、従ってルートデータ上へも作用する。対応する半直積を L-群のヴェイユ形式と呼ぶ。
有限群上の代数群 G に対し、ドリーニュ (Deligne) とルスティック (Lusztig) は、異なる双対群を導入した。前に述べたように、G は有限体の絶対ガロア群の作用をもつルートデータを与える。従って、双対群 G は、ガロア群の誘導作用を持つ層ついルートデータに付帯する有限体上の簡約代数群である。(この双対群は有限体上に定義され、一方、ラングランズ双対群は複素数上に定義される。)