ホモトピー群
現代数学においては圏を、その各対象に、問題の対象についての十分な量の情報が残っているより単純な対象を割り当てることによって研究するのが一般的である。ホモトピー群は群を位相空間に割り当てるそのような方法である。
トポロジーと群の間のつながりによって数学者は群論の見識をトポロジーに適用することができる。例えば、2つの位相的な対象が異なるホモトピー群を持てば、それらは同じ位相的構造を持っていない(このことは位相的な手法のみを用いて証明することは難しいかもしれない)。例えば、トーラスは球面とは異なる。トーラスには「穴」があるが球面にはないからである。しかしながら、連続性(トポロジーの基本的な概念)は局所的な構造しか扱わないから、明らかな大域的な差異をフォーマルに定義することは難しくあり得る。しかしながら、ホモトピー群は、大域的な構造についての情報を持っているのである。
例えば、トーラス T の1次ホモトピー群は
π1(T) = Z
である、なぜならばトーラスの普遍被覆は複素平面 C で、トーラス T ≅ C / Z に写るからである。ここで商は群や環の圏ではなく位相空間の圏におけるものである。一方で球面 S は
π1(S) = 0
を満たす、なぜならばすべてのループは定値写像に収縮できるからである(このことおよびより複雑なホモトピー群の例は球面のホモトピー群(英語版)を参照)。
したがってトーラスは球面と同相ではない。