5項補題
これから行う証明で使われる手法は一般に図式追跡(英語版) (diagram chasing) と呼ばれる。2つの4項補題を別々に証明することによって5項補題を証明する。
diagram chasing を行うために、ある環上の加群の圏において考える。そうすることで図式にある対象の元について話すことができ、図式の射をそれらの元に作用する関数(実際は準同型)と考えることができる。すると射がモノ射であることと単射であることは同値であり、エピ射であることと全射であることは同値である。同様にして、完全性を扱うために、通常の写像の意味で核と像を考えることができる。ミッチェルの埋め込み定理のおかげで、証明は任意の(小さい)アーベル圏にもなお適用することができる。これは任意の小さいアーベル圏はある環上の加群の圏として表現可能であるという定理である。群の圏に対しては、下記の加法的な表記を乗法的な表記に変えるだけでよい。可換性が全く使われないことに注意せよ。
さて、(1) を証明するために、m と p が全射で q が単射であると仮定する。
c′ を C′ の元とする。
p は全射なので、ある元 d ∈ D が存在して、p(d) = t(c′).
図式の可換性より、u(p(d)) = q(j(d)).
完全性より im t = ker u なので、0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
q は単射なので、j(d) = 0 であり、d は ker j = im h の元である。
したがってある c ∈ C が存在して h(c) = d.