代数曲面
この定理は、中井の判定条件と曲面のリーマン・ロッホの定理を使い、証明することができる。全ての { H } ⊥ {\displaystyle \{H\}^{\perp }} の中の因子に対して、この定理は成り立つ。この定理は、曲面の研究のツールを提供するのみならず、全ての代数的閉体の上で成り立つので、ドリーニュ(Deligne)によるヴェイユ予想の証明に用いられた。
代数曲面上の基本的な結果として、ホッジ指数定理(英語版)(Hodge index theorem)がある。また、エンリケス・小平の分類と呼ばれる双有理同値分類の 5つのグループへの分割がある。一般型のタイプのクラスは小平次元が 2 で、(次数が)非常に大きい(例えば、次数 5 もしくはそれ以上の次数の P の中の非特異曲線である)。
本質的には、曲面には 3つの不変量であるホッジ数がある。それらの中の h は古典的には不正則数と呼ばれ、q で表され、h は幾何種数 pg と呼ばれた。三番目の h は、双有理不変ではない。なぜならば、ブローアップ(英語版)(blowing up)により H を持つ曲線全体を加えることができるからである。ホッジサイクル(英語版)(Hodge cycle)は代数的であり、代数的同値(英語版)(algebraic equivalence)は、ホモロジー同値と一致することが知られているので、h は、ネロン・セヴィリ群のランク ρ の上界である。算術種数 pa は次の式のような差である。
算術種数 = 幾何種数 − 不正則数
実際、これが、なぜ「エラー項」という意味の不正則数という名前がついたかの理由である。