Club集合
これは各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 λ {\displaystyle \lambda \,} 未満の長さであり、この集合の上限は κ {\displaystyle \kappa \,} 未満である。そこで、これを β n + 1 {\displaystyle \beta _{n+1}\,} と定める。この方法により、可算列 β 0 , β 1 , β 2 , ... {\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,} を得る。
この列の極限は β 0 ξ , β 1 ξ , β 2 ξ , ... {\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,} の極限でもある。そして各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} は閉で λ {\displaystyle \lambda \,} が非可算なので、この極限は各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} の元であるべきで、これは β 0 < κ {\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,} より真に大きい ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} の元である。
これで ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} が非有界であることが示された。このことから、 κ {\displaystyle \kappa \,} が正則基数であるとき { S ⊂ κ : ∃ C ⊂ S such that C is club in κ } {\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is club in }}\kappa \}\,} は非自明な κ {\displaystyle \kappa \,} 上の κ {\displaystyle \kappa \,} -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、 club  ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。
これがフィルターであることを見る。
まず、 κ ∈ club  ( κ ) {\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )} である( κ {\displaystyle \kappa } 自身は κ {\displaystyle \kappa } のclub集合である)。