ボレル階層
任意の位相空間においてのボレル代数とは、全ての開集合を含んでいて可算和と補集合を取る操作について閉じている最小の集合族である。ボレル代数は可算交叉についても閉じている。
ボレル代数が正しく定義されていることの短い証明は、空間の冪集合全体が補集合と可算和のもとで閉じていること、したがって、ボレル代数は全ての開集合を含んでいてかつこれらで閉じた性質を持つような集合族全ての共通部分であることを示すことによって進行する。 この証明は、集合がボレルであるかどうかを決定する簡単な手続きを与えるものではない。ボレル階層を考える動機は、ボレル集合のより明確な特徴づけを与えることである。
集合 A {\displaystyle A} が Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} ( α > 1 {\displaystyle \alpha >1} )に属することは、ある集合列 A 1 , A 2 , ... {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots } について各 A i {\displaystyle A_{i}} が Π α i 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha _{i}}^{0}} ( α i < α {\displaystyle \alpha _{i}<\alpha } )に属していて A = ⋃ A i {\displaystyle A=\bigcup A_{i}} となることと同値である。
集合が Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} に属することは、 Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} と Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} の両方に属することと同値である。
この階層を考える動機は、ボレル集合が補集合と可算和を用いて開集合から構成される方法に倣うためである。
空間Xにおけるボレル階層または太字のボレル階層は0以上の可算順序数 α {\displaystyle \alpha } についてのクラス Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} , Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} , Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} からなる。
これらのクラスはそれぞれXの部分集合からなり、以下のルールで帰納的に定義される:
集合が Σ 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}} に属することはそれが開集合であることと同値である。
集合が Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に属することは、その補集合が Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} に属することと同値である。