初期値問題
初期値問題とは、微分方程式
y ′ ( t ) ≡ d y d t = f ( t , y ( t ) ) , {\displaystyle y'(t)\equiv {\frac {dy}{dt}}=f(t,y(t)),}
ただし
f: Ω → R, Ω は R × R の開集合、
に初期条件
( t 0 , y 0 ) ∈ Ω {\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega }
が付帯されたもののことを言う。
初期値問題の解は、上記の微分方程式および
y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,}
を満たすような関数 y のことを言う。
この定義は、関数 y をベクトルとするような高位の問題も含んでいる。二階あるいはより高階の微分を行うために、ベクトル y の要素としての新たな変数が導入される。
より一般的に、未知関数 y はバナッハ空間や超関数の空間などといった無限次元の空間上にも値を取りうる。
広いクラスの初期値問題において、解の存在と一意性は計算機を用いることで示されることもある。
ピカール・リンデレフの定理は、t0 および y0 を含む領域において f が連続であり、変数 y について f がリプシッツ条件を満足する場合に、初期値問題の解が t0 を含むある区間で一意に存在することを保証する。定理の証明は、与えられた初期値問題を同値な積分方程式に変換することにより行われる。その場合、積分はある関数を別の関数へ写す作用素として見なされ、その不動点が求める解となる。バナッハの不動点定理が適用されることにより、初期値問題の解であるような不動点の存在および一意性が示される。
ピカール・リンデレフの定理の古い証明では、上述のような積分方程式に収束する関数列を構築することにより、その極限としての初期値問題の解を求めている。そのような証明手法はピカールの方法あるいは逐次近似法と呼ばれている。
数学の微分方程式の分野における初期値問題(しょきちもんだい、英: Initial value problem)とは、未知関数のある点における値を初期条件として備えた常微分方程式を用いて、その未知変数の任意の点における値を求める問題のことを言う(コーシー問題とも呼ばれる)。物理学あるいは他の自然科学の分野において、あるシステムをモデル化することはある初期値問題を解くことと同義である場合が多い。そのような場合、微分方程式は与えられた初期条件に対してシステムがどのように時間発展するかを特徴付ける発展方程式と見なされる。