順列
ここでは S の相異なる k-個の元からなる順序付けられた組を S の k-順列(あるいは k-項順列)と呼ぶ。例えば、文字の集合 {C, E, G, I, N, R} が与えられたとき、文字列 ICE は 3-順列、RING や RICE は 4-順列、NICER や REIGN は 5-順列、CRINGE は 6-順列である(6-順列の例は、与えられた集合の元を使い切っているので、組合せ論的な意味での置換の例でもある)。他方、ENGINE は、文字 E と N をそれぞれ二度用いているので順列ではない。
集合 S の大きさ、つまり選ぶことのできる元の種類を、n とする。k-順列を構成するには、まず列の最初の項として取り得る可能性が n-通り(これはつまり 1-順列の総数)だけある。最初の項が決まれば、選んだ以外の残りの元から第二項を選ぶことができるから、第二項の選び方は (n − 1)-通り、従って 2-順列の総数は n × (n − 1) になる。同様に、この列の後続項ではその選び方の可能性が直前の項のそれより 1 ずつ減っていくから、選び得る k-順列の総数 P(n,k) は結局
P ( n , k ) = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × ⋯ × ( n − k + 1 ) {\displaystyle P(n,k)=n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times (n-k+1)}