局所凸位相ベクトル空間
包含によって向き付けられ、すべての合併が U に等しいようなコンパクト集合の任意の集まり {Kλ}λ が与えられたとき、C ∞0 (Kλ) は順系を形成し、D(U) はその系の極限として定義される。そのようなフレシェ空間の極限はLF空間として知られている。より具体的に D(U) は、各包含写像 C ∞0 (Kλ) ↪ D(U) を連続にするような終位相(英語版)を伴うすべての C ∞0 (Kλ) の合併である。この空間は局所凸かつ完備である。しかし、距離化可能でないためフレシェ空間ではない。D(R) の双対空間は、R 上の超函数の空間である。
より抽象的に、ある位相空間 X が与えられたとき、X 上の(必ずしも有界でない)連続函数の空間 C(X) には、コンパクト集合上の一様収束の位相を与えることが出来る。この位相は半ノルム φK(f) ≔ max{|f(x)| : x ∈ K} によって定義される(K は X のすべてのコンパクト部分集合の有向集合について変動する)。X が局所コンパクトであるとき(例えば、R 内の開集合であるとき)、ストーン=ワイエルシュトラスの定理が適用される。すなわち、実数値函数の場合、点を分離し、定数函数を含むような C(X) の任意の部分代数(例えば、多項式の部分代数)は、稠密である。
位相ベクトル空間の多くは局所凸である。局所凸性を持たない空間の例には、以下のようなものがある:
0 < p < 1 に対する空間 L([0, 1]) で、次のF-ノルムを備えるもの。
‖ f ‖ p = ∫ 0 1 | f ( x ) | p d x {\displaystyle \|f\|_{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx}
このような空間は、ゼロの唯一つの凸近傍が全空間となるため、局所凸ではない。より一般に、アトムレス(atomless)な有限測度 μ を備える、0 < p < 1 に対する空間 L(μ) は局所凸ではない。
単位区間 [0, 1] 上の可測函数の空間(ほとんど至る所で等しい函数は同一視する)は、平行移動不変な距離によって定義されるベクトル空間位相を持つ。すなわち
d ( f , g ) = ∫ 0 1 | f ( x ) − g ( x ) | 1 + | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx}
(この距離は可測函数の測度収束を導く。確率変数に対して、測度収束は確率収束である)。この空間はしばしば L0 と記述される。
上の例はいずれも、実数への任意の連続線型写像は 0 であるという性質を持つ。特にそれらの双対空間は自明、すなわち、ゼロ汎函数のみを含む。
0 < p < 1 に対する数列空間 l は局所凸ではない。
擬距離が正当な距離であるための必要十分条件は、半ノルムの族が分離であることである。実際そのような場合は、空間がハウスドルフであるときにのみ成り立つからである。さらに空間が完備であるなら、その空間はフレシェ空間と呼ばれる。
任意の位相ベクトル空間と同様に、局所凸空間もまた一様空間である。したがって一様連続性や一様収束、コーシー列について論じることが出来る。
局所凸空間内のコーシーネット(英語版)とは、すべての ε > 0 およびすべての半ノルム pα に対して、λ, μ > κ ならば pα(xλ − xμ) < ε を満たす κ が存在するようなあるネット {xκ}κ のことを言う。言い換えると、そのようなネットはすべての半ノルムについて同時にコーシー的でなければならない。距離化可能なフレシェ空間とは異なり、一般の空間は非可算の擬距離の族によって定義されることもあり得るため、ここでの完備性の定義は、列を使ったより有名なものの代わりにネットを使って行う。定義により、可算であるような列はそのような空間において収束を特徴付ける上で十分ではない。局所凸空間が完備一様空間であるための必要十分条件は、すべてのコーシーネットが収束することである。
半ノルムの族が関係 pα ≤ pβ の下で前順序となるための必要十分条件は、すべての x に対して pα(x) ≤ Mpβ(x) となるようなある M > 0 が存在することである。