有理多様体
リューローの問題(Lüroth's problem)は、一つの変数 X の有理函数(体)K(X) 体の拡大 L がどのようなときに存在するかという問題で、19世紀にヤコブ・リューロー(英語版)(Jacob Lüroth)が解き、定理となっている。そのような(有理函数体 K(X) の拡大体 L が存在する)体は K に等しいか、または有理的、すなわち、ある体 F に対し L = K(F) である。幾何学のことばでは、定数写像ではない射影直線(projective line)から曲線 C への有理写像(英語版)(rational map)は、C が種数 0 のときにのみ起きる。この事実は、リーマン・フルヴィッツの公式から幾何学的に導くことができる。
リューローの定理は非基本的な結果と考えられることもあるが、長きにわたりいくつかの基本的な短い証明が考えられてきた。これらの簡単な証明は、体の基底と原始多項式のガウスの補題のみを使う。(例えばを参照)
有理曲線
有理曲面
セヴィリ・ブラウアー多様体(英語版)(Severi–Brauer variety)
双有理幾何学