分子対称性
対称操作は様々な方法で表現できる。便利な表現は行列によるものである。直交座標系における点を表現するいずれのベクトルにおいても、左からかけると対称操作によって変換された点の新しい位置を与える。操作の構成は行列の乗算と対応する。例えば、C2vでは以下のようになる。
[ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] ⏟ C 2 × [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] ⏟ σ v = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⏟ σ v ′ {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} _{C_{2}}\times \underbrace {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} _{\sigma _{v}}=\underbrace {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} _{\sigma '_{v}}}
無数のこういった表現が存在するが、群の既約表現が一般的に使用され、その他全ての群の表現は既約表現の線形結合で表わすことができる。
対称面は直交座標系における方向(例えば (xz) あるいは (yz) など)でも分類することができる。
対称中心あるいは反転中心: iと略される。ある中心から正反対の等しい距離に同一の原子が存在する時、分子は対称中心を持つ。中心は原子の場合もあるしそうでない場合もある。例えば四フッ化キセノンはXe原子が反転中心であり、ベンゼン (C6H6) は環の中心が反転中心である。
回映軸: 360 ∘ n {\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}} 周りを回転させた後に軸に対して垂直な面での鏡映によって分子が変化しない軸。n回回映軸とも呼ばれ、Snと略される。例えば、正四面体型の四フッ化ケイ素は3つのS4軸を持ち、エタンのねじれ型配座は1つのS6軸を持つ。
恒等: 単一性を意味するドイツ語EinheitからEと略される。この対称要素は単に無変化からなり、全ての分子がこの要素を持つ。この要素は物理的に取るに足りないものに見えるが、その考慮は群論機構が適切に働くために必須である。
分子の対称性は5種類の対称要素(英語版)によって表すことができる。
対称軸: 360 ∘ n {\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}} 周りを回転させると元の分子と区別が付かない分子を生じる軸。n-回回転軸とも呼ばれ、Cnと略される。例えば、水はC2、アンモニアはC3である。分子は一つ以上の対称軸を持つことができる、最も高いnを持つ軸は主軸と呼ばれ、慣習的に直交座標系におけるz軸に割り当てられる。
対称面: 鏡映で与えられる鏡像が元の分子と同一となる面。鏡面とも呼ばれ、σと略される。水には対称面が2つある。1つは分子平面それ自身であり、もう一つは分子平面に対して垂直な面である。主軸に対して平行な(主軸を含む)対称面はvertical(σv)、主軸に対して垂直な対称面はhorizonal(σh)と呼ばれる。対称面にはもう一種類存在する。もし、vertical対称面が主軸に対して垂直な2本の2回回転軸の間でさらに角を二等分する場合、この面はdihedral(σd)と呼ばれる。