台 (測度論)
∫ X f ( x ) d μ ( x ) = ∫ s u p p ( μ ) f ( x ) d μ ( x ) . {\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\mathrm {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}
ある測度の「台」の概念と、あるヒルベルト空間上の自己共役作用素のスペクトルの概念は密接に関連している。実際、 μ {\displaystyle \mu } が直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の正則ボレル測度であるとき、乗算作用素 ( A f ) ( x ) = x f ( x ) {\displaystyle (Af)(x)=xf(x)} はその自然な定義域
D ( A ) = { f ∈ L 2 ( R , d μ ) ∣ x f ( x ) ∈ L 2 ( R , d μ ) } {\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}
上の自己共役作用素であり、そのスペクトルは恒等函数 x ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} の本質的値域と一致する。この集合はまさしく μ {\displaystyle \mu } の台である。