子供のデッサン
地図にベールイ関数 f が対応しているなら、その双対地図(線分 [1, ∞] の逆像で作られるデッサン)に対応するベールイ関数は逆数 1/f である。
整ではないデッサンは、全ての点を黒く塗り直し辺の中央に白点を追加することにより同じ曲面上の整デッサンに変換できる。この変換に対応するベールイ対の変換は、ベールイ関数 β を 純ベールイ関数 γ = 4β(1 − β) に置き換える変換である。γ の臨界点は次の公式で直接計算できる:
γ(0) = β(0) ∪ β(1)
γ(∞) = β(∞)
γ(1) = β(1/2)
こうして、γ(1) はβ による線分 [0,1] の中点の逆像になり、γ から作られるデッサンの辺はβ から作られるデッサンの辺の細分(subdivide)(英語版)になる。
整デッサンが地図に対応するとするならば、一般のデッサンに対応するものは超地図(hypermap)である。ハイパーグラフの頂点が黒点に対応し、ハイパーエッジ(hyperedge)が白点に対応する。
最も簡単な2部グラフは木である。曲面に埋め込まれた木の面の数は1なので、これがデッサンならば、オイラーの公式からこの曲面は球面でなければならない。対応するベールイ対は、リーマン球面からリーマン球面への写像であり、その写像の極を ∞ で持つようにすることにより、この写像を多項式とできる。逆に、0と1を有限な臨界値として持つ任意の多項式は、臨界値 ∞ に対応する臨界点が1点(∞)のみのリーマン球面からそれ自身へのベールイ関数となり、対応する子供のデッサンは木である。多項式の次数は対応する木の辺の数に等しい。このような多項式ベールイ関数は、ジョージ・シャバットにちなんでシャバット多項式(Shabat polynomial)と呼ばれる。
例として、p を単項式 p(x) = x とする。0がこれの唯一の有限な臨界点であり、その臨界値は0である。1は p の臨界値ではないが、全ての臨界値は {0,1,∞} に含まれているので、p はリーマン球面からそれ自身へのベールイ関数となっている。対応する子供のデッサンは、中心に1つの黒い頂点があり、d 個の白い葉とつながっている星の形(完全2部グラフ K1,d)をしている。
次の多項式
p ( x ) = x 3 ( x 2 − 2 x + a ) 2 {\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}
に
a = 34 ± 6 21 7 {\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}}
を代入するとシャバット多項式になる。a の符号の選択肢に応じて2つのベールイ関数 f1 と f2 が得られる。この2つの関数は密接な関係にあるが、図に示しているように対応する木が同型ではなく、同値ではない。
しかし、これらの多項式は代数体 Q(√21) 上定義されているので、有理数体の 絶対ガロア群 Γ の作用で移り合う。√21 を −√21 に変換する Γ の元は、f1 と f2 を交換するので、図の2つの木に交換で作用していると考えることができる。一般に、任意のベールイ関数の臨界値は純粋な有理数(0、1、∞)なので、絶対ガロア群の作用で不変であることから、ベールイ対を他のベールイ対に移す絶対ガロア群の作用を定義できる。デッサンとベールイ対の対応を使って、この作用からデッサン全体のなす集合への Γ の作用を定義できる。この作用は、例えば図の2つの木の集合に置換群として作用する。
ベールイの定理により、デッサンの全体へのこの Γ の作用は忠実である。。すなわち、Γ の異なる2つの元はデッサンの全体の上に異なる置換を定義する。このことから、デッサンの研究は Γ について非常に多くのことを教えてくれる可能性がある。この観点からは、Γ の作用でどのデッサンが互いに変換され合い、どれがそうでないのか理解することは、非常に興味深い問題である。