平行線公準
彼はユークリッドの第5公準を仮定しないことで次の3つの可能性が生じると考えた。すなわち、一本の直線に対する2本の垂線を考え、これらが別の直線と交わっているとする。2番目の直線をうまく選べば、2本組の垂線によってできる内角を等しくすることができる(その場合、1番目の直線と平行になる)。この等しい内角が直角であれば、ユークリッドの第5公準を得るが、もし直角でなければ、それは鋭角もしくは鈍角となる。彼は鋭角や鈍角となる場合は自身の命題を使うことにより矛盾が生じることを示したが、しかし現在、彼の命題は第5公準と同値であることがわかっている。
ナスィールッディーン・トゥースィー (1201-1274) は彼の著書Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya(平行線に関する疑惑を取り除く議論、1250年)において、平行線公準や、1世紀前のハイヤームの完成しなかった証明について詳細に述べている。ナスィールッディーンは平行線公準の否定から証明を導こうとした。彼はまた現在でいう楕円幾何学や双曲幾何学についても考察をしていたが、しかし彼自身はそれらを無視している。
ナスィールッディーンの息子のサドルッディーン("Pseudo-Tusi"としても知られる、日本語では偽トゥースィーの意)は1298年、父親の考えを基本とした書籍を著し、これは非ユークリッド的な、平行線公準と同値な仮説についての最も初期の議論を引き起こすこととなった。