ホッジ双対
⋆ − 1 : ⋀ k → ⋀ n − k ; η ↦ ( − 1 ) k ( n − k ) s ⋆ η {\displaystyle \star ^{-1}\colon \bigwedge ^{k}\to \bigwedge ^{n-k};\eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta }}
で与えられることがわかる。n が奇数であれば、任意の k に対し k(n − k) は偶数であり、n が偶数であれば、k(n − k) と k の偶奇はひとしい。従って、
{ ⋆ − 1 = s ⋆ n is odd ⋆ − 1 = ( − 1 ) k s ⋆ n is even {\displaystyle {\begin{cases}\star ^{-1}=s\star &n{\text{ is odd}}\\\star ^{-1}=(-1)^{k}s\star &n{\text{ is even}}\end{cases}}}
である。ここに k は作用した形式の次数である。
注意すべきは、微分形式は、d = 0を満たすので、余微分は対応する性質 δ 2 = s 2 ⋆ d ⋆ ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ( n − k ) s 3 ⋆ d 2 ⋆ = 0 {\displaystyle \!\delta ^{2}=s^{2}{\star \mathrm {d} {\star {\star \mathrm {d} {\star }}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0} をみたす。
ラプラス・ド・ラーム作用素(en:Laplace–Beltrami_operator)は ∆ = (δ + d) = δd + dδ で与えられ、 ホッジ理論の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち ⟨∆ζ, η⟩ = ⟨ζ, ∆η⟩ であり、 非負 ⟨∆η, η⟩ ≥ 0 である。 ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。ホッジ理論の結果として、ド・ラームコホモロジーは自然に調和 k-形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群
⋆ : H Δ k ( M ) → H Δ n − k ( M ) {\displaystyle \star \colon H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M)}
の同型をもたらす。これは H(M) のポアンカレ双対性と標準的に同一視される。
⋆ ( d t ∧ d x ) = − d y ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆ ( d t ∧ d y ) = d x ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
⋆ ( d t ∧ d z ) = − d x ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
⋆ ( d x ∧ d y ) = d t ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}
⋆ ( d x ∧ d z ) = − d t ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}
⋆ ( d y ∧ d z ) = d t ∧ d x {\displaystyle \star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}
である。