バーンズのG関数
を得る。二次のクラウセン関数は積分表示
Cl 2  ( θ ) = − ∫ 0 θ log  | 2 sin  x 2 | d x {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}
を持つが、0 < θ < 2π なる区間では(積分内の「半正弦函数」の値域は真に正値であるから)被積分函数の絶対値は取り除けて、しかも真に非零である。この定義と、上記の対数正接積分に関する結果とを比較すれば、明らかに
L c ( z ) = z log  ( 2 sin  π z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle Lc(z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\,{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)}
なる関係式が成り立つ。最後に項を並べ替えて、
対数ガンマの媒介変数表示はバーンズ G-函数を用いて
∫ 0 z log  Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log  2 π + z log  Γ ( z ) − log  G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
と評価することができる。
その証明は少々間接的である。まずはガンマ函数と G-函数との対数差分
z log  Γ ( z ) − log  G ( 1 + z ) {\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
を調べる。ここで、
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) e − z / k } {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}}
であり、γ はオイラーの定数である。
バーンズ函数とガンマ函数に関してヴァイヤストラスの乗積形の対数をとることで