リップマン–シュウィンガー方程式
解くべき式は(2)であり、その中の E {\displaystyle E} は(1)を満たすような値でなければならない。解の候補として以下が考えられる。
| ψ ⟩ = | φ ⟩ + 1 E − H 0 ^ V ^ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}}}{\hat {V}}|\psi \rangle \,}
これは両辺に E − H ^ 0 {\displaystyle E-{\hat {H}}_{0}} を作用させると、(1)を満たすならばたしかに(2)が満たしていることがわかる。
しかし E {\displaystyle E} は H 0 ^ {\displaystyle {\hat {H_{0}}}} の固有値であるために、演算子 ( E − H ^ 0 ) {\displaystyle (E-{\hat {H}}_{0})} は特異性がある。この特異性は分母をわずかに複素数にすることで解消される。
| ψ ( ± ) ⟩ = | φ ⟩ + 1 E − H 0 ^ ± i ε V ^ | ψ ( ± ) ⟩ {\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}\pm i\epsilon }}{\hat {V}}|\psi ^{(\pm )}\rangle \,}
時間依存シュレディンガー方程式は次のように与えられる。
( i ħ ∂ ∂ t − H ^ 0 ) | ψ ( t ) ⟩ = V | ψ ( t ) ⟩ ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)|\psi (t)\rangle =V|\psi (t)\rangle \quad \cdots (1)}
この方程式のグリーン関数が満たすべき式は次のように表される。
( i ħ ∂ ∂ t − H ^ 0 ) G + ( t , t ′ ) = δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)G^{+}(t,t')=\delta (t-t')}
これを t < t ′ {\displaystyle t<t'} のとき G + ( t , t ′ ) = 0 {\displaystyle G^{+}(t,t')=0} となるとして解くと、次のような遅延グリーン関数が得られる。