算術幾何平均
である。 d n {\displaystyle d_{n}} を a n {\displaystyle a_{n}} の階差とすれば
d n = a n + 1 − a n = − a n − b n 2 {\displaystyle d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}} | d n + 1 | | d n | = | a n + 2 2 − b n + 2 2 | | a n + 1 2 − b n + 1 2 | < 1 2 {\displaystyle {\frac {\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_{n}\right|}}={\frac {\sqrt {\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}<{\frac {1}{2}}}
である。したがって、級数 ∑ d n {\displaystyle \sum {d_{n}}} は絶対収束する。すなわち、数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は収束し、数列 { b n = 2 a n + 1 − a n } {\displaystyle \{b_{n}=2a_{n+1}-a_{n}\}} は { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 a , b {\displaystyle a,\ b} は正の実数とする。
I ( a , b ) = ∫ 0 π / 2 d θ a 2 cos 2  θ + b 2 sin 2  θ = ∫ 0 π / 2 d θ ( a 2 cos 2  θ + b 2 sin 2  θ ) ( cos 2  θ + sin 2  θ ) = ∫ 0 π / 2 d θ cos 2  θ ( a 2 + b 2 tan 2  θ ) ( 1 + tan 2  θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {(a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta )(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{{\cos ^{2}\theta }{\sqrt {(a^{2}+b^{2}\tan ^{2}\theta )(1+\tan ^{2}\theta )}}}}\\\end{aligned}}}