列空間
A の左零空間とは、xA = 0 を満たすような全てのベクトル x の集合のことを言う。A の転置行列の零空間に等しい。行列 A とベクトル x の積は、ベクトルのドット積を用いて次のように記述することが出来る:
A T x = [ v 1 ⋅ x ⋮ v n ⋅ x ] {\displaystyle A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}}
これはなぜかと言うと、A の行ベクトルは A の列ベクトル vk の転置だからである。したがって、Ax = 0 が成立することと、x が A の各列ベクトルに直交することは、同値である。
左零空間(A の零空間)は、A の列空間の直交補空間である。
行列 A に対し、列空間、行空間、零空間および左零空間は、しばしば四つの基本部分空間と呼ばれる。