中身の詰まったトーラス
ソリッドトーラスの体積は、函数行列式(ヤコビ行列の行列式)上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:
J f = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( a , t , p ) = ( ∂ a x ∂ p x ∂ t x ∂ a y ∂ p y ∂ t y ∂ a z ∂ p z ∂ t z ) = ( cos  t cos  p − R sin  t − a sin  t cos  p a cos  t sin  p sin  t cos  p R cos  t + a cos  t cos  p a sin  t sin  p sin  p 0 − a cos  p ) , {\displaystyle J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},}