虚数乗法
楕円曲線の自己準同型環の構造は次の三通りで尽くされる。ひとつは整数環 Z で、もうひとつは虚二次体の整環(英語版) (order)、残るひとつが Q 上の定値四元数環の整環である。
楕円曲線が有限体上定義されている場合には、つねにフロベニウス写像と呼ばれる非自明な自己準同型が存在する。従って、虚数乗法がある場合が典型となる(この場合には、多くの場合に虚数乗法という用語は適用されない)。一方で楕円曲線が代数体上定義されている場合、虚数乗法をもつのはむしろ例外的である。一般に、虚数乗法がある場合には、ホッジ予想を解くことが極めて難しいことが知られている。