カジュダン–ルスティック多項式
このとき、C′w は、ヘッケ環の Z[q, q]-加群としての基底を与える。この基底をカジュダン・ルスティック基底と呼ぶ。
カジュダン・ルスティック多項式の存在を証明するために、彼らは Ry, w(q) という、より基本的な多項式を用いて、Py, w(q) を簡単な帰納法で計算する方法を与えた。その多項式 Ry, w(q) は
T y − 1 − 1 = ∑ x D ( R x , y ) q − l ( x ) T x {\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}}
で定義され、帰納的に
R x , y = { 0 , if x > y , 1 , if x = y , R s x , s y , if s x < x and s y < y , R x s , y s , if x s < x and y s < y , ( q − 1 ) R s x , y + q R s x , s y , if s x > x and s y < y {\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\text{if }}x>y,\\1,&{\text{if }}x=y,\\R_{sx,sy},&{\text{if }}sx<x{\text{ and }}sy<y,\\R_{xs,ys},&{\text{if }}xs<x{\text{ and }}ys<y,\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\text{if }}sx>x{\text{ and }}sy<y\end{cases}}}
G をワイル群 W をもつ代数群とし、B をそのボレル部分群とする。ブリュア分解によると、商空間 G/B は W の元 w でパラメトライズされたアフィン空間 Xw に分割される。Xw の閉包をシューベルト多様体と呼ぶ。ドリーニュの示唆のもとカジュダン・ルスティックは、カジュダン・ルスティック多項式がシューベルト多様体の交叉コホモロジー群を用いてどのように記述されるかを示した。
より正確に述べると、カジュダン・ルスティック多項式 Py, w(q) は
P y , w ( q ) = ∑ i q i dim  I H X y 2 i ( X w ̄ ) {\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})}
と表される。右辺の意味は次の通りである。まず w に対応するシューベルト多様体 X w ̄ {\displaystyle {\overline {X_{w}}}} の交叉コホモロジーを超コホモロジーに持つような層の複体 IC を取る。この複体の 2i 次のコホモロジー層を取り、Xy の任意の点における茎 I H X y 2 i ( X w ̄ ) {\displaystyle IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})} を取る。それらの次元を q 倍したものの和が右辺である。奇数次元のコホモロジー群は消えているので和の中には現れない。
これは有限ワイル群に対するカジュダン・ルスティック多項式のすべての係数が非負であることの最初の証明を与えるものであった。
カジュダン・ルスティック多項式やその一般化の持つ組合せ論的な性質は現在も活発に研究されている。
表現論や代数幾何におけるカジュダン・ルスティック多項式の重要性に鑑み、カジュダン・ルスティック多項式の理論を純組合せ論的に、すなわち旗多様体の幾何学的考察を用いることはあっても、交叉コホモロジーなどの高級な道具を用いることなしに理解するいくつかの試みがなされている。この試みは、代数的組合せ論において、シューベルト多様体の特異性を組合せ論的に記述し、カジュダン・ルスティック多項式の係数に関する評価を与える pattern-avoidance phenomenon のような興味深い発展を導いた。Björner & Brenti (2005) や Billey & Lakshmibai (2000) を参照。
2005年現在、カジュダン・ルスティック多項式の係数すべてを(何らかの自然な集合の濃度の形で)組合せ論的に解釈する方法は、対称群の場合においてさえ知られていない。しかし、多くの特殊な場合において係数に対する具体的な公式は知られている。