フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
フォン・ノイマンは自身の公理系に関する入門的な論文を1925年に発行した。1928年、彼は公理系の詳細な説明を与えた。 フォン・ノイマンの公理系は、関数と引数という原始概念(英語版)の 2 領域に基づく。これらの領域は重複する—両方の領域に属するものは引数関数と呼ばれる。関数が NBG におけるクラスに対応し、引数関数が集合に対応する。フォン・ノイマンの原始的演算は、a(x) ではなく [a, x] で表される関数適用である。ここで a は関数、 x は引数を表す。この演算から引数が生成される。フォン・ノイマンはクラスと集合を、A と B の2値の引数関数を使って定義した。また、 [a, x] ≠ A ならば x ∈ a であると定義した。
集合論におけるフォン・ノイマンの仕事はゲオルグ・カントールの論文やエルンスト・ツェルメロの1908年の集合論公理、アドルフ・フレンケルとトアルフ・スコーレムによって独立に発表された1922年のツェルメロ集合論への批評によって広められた。 フレンケルとスコーレムはいずれも、ツェルメロの公理は集合 {Z0, Z1, Z2, ...} の存在を証明できないと指摘していた。ここで、 Z0 は自然数の集合であり、 Zn+1 は Zn の冪集合である。そして彼らはそのような集合の存在を保証する置換公理を導入した。 しかし、彼らはこの公理を適用しようとは思わなかった:フレンケルは「置換公理は『一般集合論』には強すぎる」とする一方、「スコーレムだけは置換公理を『導入できうる』と書いていた」と述べている。
.. (1940年のモノローグの中でゲーデルは)論理学者以外に説明することを試みていた。 ... このアプローチは L を扱う際に、論理の痕跡を残さないというメリットがある。」
チャールズ・パーソンズ (Charles Prsons) はゲーデルの選択に哲学的理由を考えた:「この(「集合の特徴」が集合論の原始概念であるという)見方は、ゲーデルの(モノグラフのように)クラス変数をフレームワークとする理論の選択に反映されているかもしれない。」
ゲーデルの成果と詳細な説明により、その後20年間にわたって NBG が発展した。 1963年、ゲーデルの作り上げたNBGの無矛盾性証明を援用して、ポール・コーエンはZFの独立性を証明した。 その後、 ZFC が NBG よりも一般的になった。これにはいくつかの要因があり、その一つは NBG において強制法を扱うには追加の仕事が必要だったためである。 これに関するコーエンの1966年の強制法の発表では、ZFが用いられた。 他の要因としては、NBG が ZFC の保存拡大であることが証明されたからである。
NBG は論理的に ZFC と等価ではない。なぜなら、NBG の言葉は表現的であるからである。NBG ではクラスに関して表現できる一方、ZFC ではできない。しかし集合に関しては、 NBG も ZFC で同じ内容の表現を含意する。したがって、NBG は ZFC の保存拡大である。 NBG は ZFC が含意しない定理を含意するが、 NBG は保存拡大であるため、これらの定理は真のクラスに関するものでなければならない。例えば、大域選択公理は 真のクラス V は整列可能であり、どの真のクラスも V と一対一対応することを含意するが、これは NBG の定理である。
保存拡大の帰結の一つは、 ZFC と NBG が無矛盾性同値であることである。 この証明には爆発原理(矛盾からは、何でも証明可能である)を用いる。 ZFC か NBG のいずれかが無矛盾でないと仮定する。すると無矛盾でない理論は集合に関する、矛盾 する表現 ∅ = ∅ かつ ∅ ≠ ∅ を含意する。保存拡大の特性から、もう一方の理論もこれらの表現を含意する。したがって、こちらも無矛盾ではない。
∀ A ∃ B 3 ∀ x ∀ y ∀ z [ ( x , y , z ) ∈ B 3 ⟺ ( x , y ) ∈ A ] {\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}
∀ A ∃ B 4 ∀ x ∀ y ∀ z [ ( y , x ) ∈ B 4 ⟺ ( x , y ) ∈ A ] {\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}
証明 —
クラス B 3 {\displaystyle B_{3}} : V {\displaystyle V} の直積公理を A {\displaystyle A} に適用し、 B 3 {\displaystyle B_{3}} を得る。
クラス B 2 {\displaystyle B_{2}} : 転置公理を B 3 {\displaystyle B_{3}} に適用し、 B 2 {\displaystyle B_{2}} を得る。
クラス B 1 {\displaystyle B_{1}} : 巡回置換公理を B 3 {\displaystyle B_{3}} に適用し、 B 1 {\displaystyle B_{1}} を得る。
これらはそれぞれ以下のように表現される: A ∩ B , {\displaystyle A\cap B,} ∁ A , {\displaystyle \complement A,} and D o m ( A ) . {\displaystyle Dom(A).} 一方、帰属公理はクラス E {\displaystyle E} 上の順序対の集合のみを規定するため、外延性の公理は帰属公理におけるクラス E {\displaystyle E} には適用できない。
最初 3 つの公理は空クラスおよびすべての集合のクラスの存在を含意する:帰属公理はクラス E {\displaystyle E} の存在を含意する。共通部分公理および補集合公理は、空クラスである E ∩ ∁ E {\displaystyle E\cap \complement E} の存在を含意する。外延性の公理により、このクラスはただ一つ定まり、これを ∅ {\displaystyle \emptyset } で表す。 ∅ {\displaystyle \emptyset } の補集合はすべての集合のクラス V {\displaystyle V} であり、これも外延性の公理からただ一つ定まる。すると、 ∃ C ( A ∈ C ) {\displaystyle \exists C(A\in C)} を表す集合述語 M ( A ) {\displaystyle M(A)} は、クラスを量化することなく A ∈ V {\displaystyle A\in V} と再定義される。
対に関する公理:
ゲーデルはクラス存在定理を、クラスの関係(例えば Y 1 ⊆ Y 2 {\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}} や単項関係 M ( Y 1 ) {\displaystyle M(Y_{1})} )、特別なクラス(例えば O r d {\displaystyle Ord} )、演算(例えば ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} や x 1 ∩ Y 1 {\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}} )を含む論理式 φ {\displaystyle \phi } に拡張した。 クラス存在定理を拡張するには、関係、特別なクラス、演算を定義する論理式が集合上で量化されていなければならない。すると φ {\displaystyle \phi } はクラス存在定理の仮説を満たす等価な論理式に変換される。
以下の定義は論理式での関係、特別なクラス、演算の定義方法を特定する。
関係 R {\displaystyle R} を以下のように定義する: R ( Z 1 , ... , Z k ) ⟺ ψ R ( Z 1 , ... , Z k ) . {\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}
特別なクラス C {\displaystyle C} を以下のように定義する: u ∈ C ⟺ ψ C ( u ) .
1964年、ウィリアム・B・イーストン (William B. Easton) は強制法を使い、選択公理と NBG の大域選択公理以外のすべての公理を満たすモデルを構築することによって、大域選択公理が選択公理よりも強いことを証明した。 ZFC の選択公理がどの集合も整列可能であることと等価であるのと同様に、大域選択公理はどのクラスも整列可能であることと等価である。
大域選択公理. すべての空でない集合から 1 つずつ元を選択できる関数が存在する。
∃ G [ G is a function ∧ ∀ x ( x ≠ ∅ ⟹ ∃ y ( y ∈ x ∧ ( x , y ) ∈ G ) ) ] . {\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}