アニュラス
開アニュラスは円柱側面(円筒) S × (0,1) や穴あき平面(英語版) R ∖ {(0, 0)} に同相である。
アニュラスの面積は半径 R の大きい円の面積から半径 r の小さい円の面積を引いたものである:
A = π R 2 − π r 2 = π ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2}).}
アニュラスの面積はアニュラスの中に完全に置ける最長の線分の長さ(添付図の 2d)から得られる。これはピタゴラスの定理によって証明できる。
アニュラスの中に完全に置ける最長の線分は小さい円に接し、その点における半径と直角をなす。
したがって d と r は斜辺 R の直角三角形の残りの辺の長さであり、面積は次で与えられる:
A = π ( R 2 − r 2 ) = π d 2 . {\displaystyle A=\pi (R^{2}-r^{2})=\pi d^{2}.}
面積は微分積分学によっても計算できる。
アニュラスを幅 dρ、面積 2πρdρ の無限個の無限小アニュラスに分割し、ρ = r から ρ = R まで積分する:
A = ∫ r R 2 π ρ d ρ = π ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,d\rho =\pi (R^{2}-r^{2}).}
θ ラジアンに対する "扇形"(円環扇形)の面積は
A = θ 2 ( R 2 − r 2 ) . {\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}(R^{2}-r^{2}).}