対合環
行列の転置や随伴に関する多くの性質が一般の ∗-多元環においても満足される:
エルミート元の全体はジョルダン代数(英語版)を成す。
歪エルミート元の全体はリー代数を成す。
係数として考えている ∗-環において 2 が可逆であるとき、対称化作用素 1/2(1 + ∗) および反対称化作用素 1/2(1 − ∗) は互いに直交する冪等作用素であるから、問題の ∗-多元環は対称元(エルミート元)全体の成す加群と反対称元(歪エルミート元)全体の成す加群との直和に分解される。(上記の冪等作用素は線型作用素であって問題の多元環の元として実現されるものではないから)これらの加群は一般には結合多元環とはならない。