正準変換
電磁ポテンシャルのゲージ変換は、座標qを変化させない正準変換
Q i = q i , {\displaystyle Q_{i}=q_{i},}
P i = p i + e ∂ u ∂ q i {\displaystyle P_{i}=p_{i}+e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}}
に対応する。この正準変換の母関数は
W 1 ( q , P , t ) = ∑ i q i P i − e u ( q , t ) {\displaystyle W_{1}(q,P,t)=\sum _{i}q_{i}P_{i}-eu(q,t)}
であり、新旧の正準変数の間には
Q i = ∂ W 1 ∂ P i = q i , {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial P_{i}}}=q_{i},}
p i = ∂ W 1 ∂ q i = P i − e ∂ u ∂ q i , {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=P_{i}-e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}},}