ホイン函数
数学の分野における局所ホイン函数(ホインかんすう、英: Heun function)Hl(a, q; α, β, γ, δ; z) とは、正則かつ特異点 z = 0 において 1 となるような、ホインの微分方程式(Heun's differential equation)の解である(Karl L. W. Heun 1889)。局所ホイン函数は z = 1 でも正則であるならホイン函数と呼ばれ、Hf と表される。また、すべての三つの有限特異点 z = 0, 1, a において正則であるなら、局所ホイン函数はホイン多項式(Heun polynomial)と呼ばれ、Hp と表される。
ホインの方程式は、次の形状の二階線型常微分方程式である。
d 2 w d z 2 + [ γ z + δ z − 1 + ε z − a ] d w d z + α β z − q z ( z − 1 ) ( z − a ) w = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}
条件 ε = α + β − γ − δ + 1 {\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1} は、∞ における正則性を保証するために必要となる。
複素数 q はアクセサリーパラメータ(accessory parameter)と呼ばれる。ホインの方程式には四つの確定特異点(英語版) 0, 1, a および ∞ と、指数 (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ε) および (α, β) が存在する。拡張複素平面上のすべての二階線型常微分方程式で、高々四つの確定特異点を持つもの、たとえばラメ函数や超幾何微分方程式などは、変数変換によってこの方程式に変換することが出来る。