線形多自由度系の振動
藤田 勝久、2016、『振動工学 ―振動の基礎から実用解析入門まで』新装版、森北出版 ISBN 978-4-627-66542-2
日本機械学会(編)、2004、『機械力学』第1版、丸善〈機械工学便覧 基礎編 α2〉 ISBN 4-88898-116-7
砂子田 勝昭・伊藤 智博・鄭 萬溶・平元 和彦、2012、『わかりやすい振動工学』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-08185-7
宮本 裕司・永野 正行・藤谷 秀雄・吉村 智昭、宮本 裕司(編)、2014、『建築振動を学ぶ ―地震から免震・制震まで』初版、理工図書 ISBN 978-4-8446-0824-0
平井 一男・水田 洋司、2018、『耐震工学入門』第3版・補訂版、森北出版 ISBN 978-4-627-46454-4
背戸 一登・丸山 晃市、2002、『振動工学 ―解析から設計まで』第1版、森北出版 ISBN 4-627-66451-6
実際の機械や建物などでは、1自由度系のモデルではその特性を説明しきれず、多自由度系としての取り扱いが必要になることも多い。
また、系の構成要素が全て線形であるとき、その系を線形系という。系が線形であれば、出力と入力の間には重ね合わせの原理が成り立ち、出力は入力に単純に比例する。振動系が線形であれば、式1.1のように慣性力、減衰力、復元力が、それぞれ加速度、速度、変位に比例する。比例係数が時間変化する場合を除き、線形系の振動問題については理論的手法がほぼ確立できている。
一方で、線形ではない系を非線形系という。摩擦、がたつき、大変位時の材料特性などが非線形の要因となる。厳密に考えると、実際の機械や構造物はなんらかの非線形特性を持ち、実際の振動現象のほとんどは非線形系といえる。非線形系の厳密解を得ることはほとんどできず、一般的には非線形系の問題に対しては近似解法や数値計算に頼らざるを得ない。しかし、線形系の振動として取り扱うことによって、十分に多くの問題を解決することもできる。非線形系であっても、安定な平衡状態周りの微小変位運動であれば線形の理論が当てはまる。特に線形系であれば、多自由度系であっても後述のように1自由度系の問題に帰着できるという顕著な特性がある。
多自由度系では、質点または剛体から成る系を想定し、剛性、減衰、慣性などの振動特性も局所的に集中して系内で点在しているというモデルを考えていた。一方で、実際の物体は、物体自体が変形する。実際の物体は連続体としての性質を有しており、質量、剛性などは連続的に系内に分布しているモデルとなる。実際の問題では、多自由度系に近似して取り扱っても十分な場合も多いが、振動時の機械・構造物の各部の変形や応力といったものを知るには連続体として取り扱う必要ある。
連続体の振動の運動方程式は時間と空間に関する偏微分方程式で記述され、厳密解が得られることは限られる。実際の複雑な形状の構造物で連続体の振動を扱うには、実用的には有限要素法という手法が用いられる。有限要素法では、対象の連続体を小さな有限要素に分割し、連続体を多自由度系に置き換えて解を計算する。有限要素法においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析が精度良くかつ容易にできるようになる。
強制振動の特解から、周波数応答関数あるいは伝達関数が求められる。周波数応答関数は、振動系への入力が調和振動の形で与えられるときの、出力と入力の振幅比および位相差を周波数の関数として表す。比例減衰系において、角振動数 Ω の調和外力が q 番目の自由度のみに加わるとする。このときの p 番目の自由度の振動応答は
と表される。この場合の周波数応答関数 G(Ω) は[変位]/[力]の単位を持ち、コンプライアンスとも呼ばれる。q 番目加振・p 番目応答の周波数応答関数と p 番目加振・q 番目応答の周波数応答関数は、相反定理によって互いに等しく、Gpq(Ω) = Gqp(Ω) の関係である。不減衰系の場合は、周波数応答関数は次式となる。
これらの周波数応答関数によって、系の周波数特性が把握できる。線形多自由度系の場合は、固有角振動数と固有モードを求めれば、調和外力による強制振動に対する周波数特性も同時に理解することができる。横軸に振動数や強制振動比を取り、縦軸に調和外力に対する振幅比や位相差を図示したものを応答曲線や共振曲線と呼ぶ。
自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルである式2.7において、もし k1l1 = k2l2 であれば、x と θ は互いに独立した運動方程式となる。この条件では運動方程式は
となり、2つの式はそれぞれ単独で解くことができる。すなわち、x の振動と θ の振動が、互いに干渉すること無しに独立して起こる状態になっている。このような状態を非連成という。運動方程式が単独では解けない連立方程式になっているとき、方程式は連成しているといい、式2.7の (k1l1 − k2l2)x と (k1l1 − k2l2)θ は連成項と呼ばれる。k1l1 = k2l2 のときに、これら連成項が 0 になり、x と θ が独立した運動になる。連成状態にある系を連成系、逆に各自由度の運動が完全に独立している系を非連成系と呼ぶ。
一般に、質量行列 M(式2.2)、減衰行列 C(式2.3)、剛性行列 K(式2.4)における非対角成分の存在は、振動が連成していることを示している。もし系が非連成系であれば、これら全ての行列は、非対角成分が全て 0 の対角行列となる。特に、質量行列が非対角成分によって振動が連成していることを動連成や動的連成といい、質量行列の非対角成分を動連成項という。また、剛性行列が非対角行列であれば静連成や静的連成といい、剛性行列の非対角成分を静連成項という。多自由度系の問題は概して複雑で、個々のパラメータが結果に与える影響の見通しを立てることが難しい。多自由度系では一般的に連成が存在し、これが多自由度系の解析を難しいものにしている。動力学的な設計を行う上では、系を非連成化して影響をわかりやすくすることが有効となる。