擬微分作用素
表象 P(ξ) が ξ ∈ R の至る所 0 でないとき、偏微分方程式 P ( D ) u = f {\displaystyle P(D)u=f}
を解くには、両辺にフーリエ変換を(形式的に)適用して得られる「代数方程式」 P ( ξ ) u ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) {\displaystyle P(\xi ){\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )}
の両辺を P(ξ) で割って u ^ ( ξ ) = 1 P ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}
とできるから反転公式により、解
u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e i x ξ 1 P ( ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi }
解析学における擬微分作用素(ぎびぶんさようそ、英: pseudo-differential operator)は、微分作用素を一般化するものである。1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・ディリクレ形式(英語版)・ポテンシャル理論との関わりも深い。物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。
m {\displaystyle m} 次微分作用素
p ( x , D x ) = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) D x α ( a α ∈ B ( R n ) ) {\displaystyle p(x,D_{x})=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D_{x}^{\alpha }\ (a_{\alpha }\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}
に対し、 m {\displaystyle m} 次微分多項式
p ( x , ξ ) = ∑ | α | ≤ m a α ( x ) ξ α {\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}
は S 1 , 0 m {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1,0}^{m}} に属する。即ち、 m {\displaystyle m} 次微分作用素は m {\displaystyle m} 次微分多項式を表象に持つ擬微分作用素である。