五次方程式
b = − i 2 ( 1 + κ 2 ) 5 5 4 κ ( 1 − κ 2 ) {\displaystyle b=-{\rm {i}}{\frac {2(1+\kappa ^{2})}{5^{\frac {5}{4}}{\sqrt {\kappa (1-\kappa ^{2})}}}}}
の変換で互いに移り変わる。これより、複素数 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} は、四次方程式を解くことで決定できる。 r i {\displaystyle r_{i}} を決定するには、この他に τ {\displaystyle \tau } そのものの値も必要であるので、残されている手続はパラメータ τ {\displaystyle \tau } の決定である。そして、この部分が超越的操作を含んでいる。 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} と τ {\displaystyle \tau } とは、楕円曲線 C
y 2 = ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) {\displaystyle y^{2}=(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}
上の第1種積分
ξ = d x y = d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) {\displaystyle \xi ={\frac {dx}{y}}={\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}}}
と定義すると、 r i {\displaystyle r_{i}} は K ( 5 ) {\displaystyle \;K({\sqrt {5\,}})\;} 上の方程式
x 5 − 2 4 ⋅ 5 3 κ 2 ( 1 − κ 2 ) 2 x − 2 6 ⋅ 5 5 2 κ 2 ( 1 − κ 2 ) 2 ( 1 + κ 2 ) = 0 {\displaystyle x^{5}-2^{4}\cdot 5^{3}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}x-2^{6}\cdot 5^{\frac {5}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}(1+\kappa ^{2})=0}
の解であることが証明できる。この式とブリング-ジェラードの標準形とを結合することで五次方程式の解が構成できる。具体的には、