回転 (ベクトル解析)
0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0
が出てくる。一次元ファイバーが函数に対応し、三次元ファイバーがベクトル場に対応する(後述)。適当な同一視で割って、外微分から grad, curl, div に対応する三つの非自明な演算が導かれることに注意。
微分形式や微分は任意のユークリッド空間(あるいは実際は任意の多様体)の上でリーマン計量を使わずに定義することができるが、リーマン多様体(あるいはより一般の擬リーマン多様体)の上では、k-形式を k-ベクトル場と同一視することができる(k-形式は k-階共変ベクトルであり、擬リーマン計量がベクトルと共変ベクトルとの間の同型を与える)。また、「向き付けられた」ベクトル空間が非退化形式(ベクトルと共変ベクトルとの間の同型)を持つならば、k-ベクトルと (n − k)-ベクトルとの間に同型対応が存在し、特に向き付けられた擬リーマン多様体(の接空間)の上にそのような対応が入る。従って、向き付けられた擬リーマン多様体上では、k-形式、k-ベクトル場、(n − k)-形式、(n − k)-ベクトル場を互いに入れ替えるような操作が許される(ホッジ双対性と呼ばれる)。具体的に R 上で考えると、
など、混合微分の交換可能性 (interchangeability) が成り立つから、外微分を二度施したものは必ず 0 になる (d = 0)。
従って、k-形式全体の成す空間を Ω(R) と書くと、外微分 d によって系列
0 → d Ω 0 ( R 3 ) → d Ω 1 ( R 3 ) → d Ω 2 ( R 3 ) → d Ω 3 ( R 3 ) → d 0 {\displaystyle 0{\overset {d}{{}\to {}}}\Omega ^{0}(\mathbf {R} ^{3}){\overset {d}{{}\to {}}}\Omega ^{1}(\mathbf {R} ^{3}){\overset {d}{{}\to {}}}\Omega ^{2}(\mathbf {R} ^{3}){\overset {d}{{}\to {}}}\Omega ^{3}(\mathbf {R} ^{3}){\overset {d}{{}\to {}}}0}
が得られる。ここで、空間 Ω(R) は R 上のベクトル束である外積代数 ⋀ k ( R n ) {\textstyle \bigwedge ^{k}(\mathbf {R} ^{n})} の切断全体の成す空間に一致し、この外積代数の次元が二項係数 ( n k ) {\textstyle {\binom {n}{k}}} であるから、k > 3 または k < 0 のとき Ω(R) = 0 に注意して、次元のみ見ればパスカルの三角形の中の一行