並進演算子 (量子力学)
全ての x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} についての並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} の集合 T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} は、逐次的な並進(すなわち関数の合成)の結果として定義される乗法の演算について、 群のすべての公理を満たす。
閉包: 2回続けて並進した結果は、別の1回の並進となる(上述の「逐次的な並進」を参照)。 単位元の存在: ベクトル0だけの並進は恒等演算子となる。すなわち演算子は何も影響も与えない。これは群の単位元として機能する。 全ての元は逆元をもつ: すでに証明した通り、どんな並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} も、逆並進 T ^ ( − x ) {\displaystyle {\hat {T}}(-{\boldsymbol {x}})} を逆元として持つ。