不連続性の分類
1. 函数
f ( x ) = { x 2 for x < 1 0 for x = 1 2 − x for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}
を考えれば、点 x0 = 1 は除去可能な不連続点である。実際、f(x) の x = 1 での値を 1 に変更した函数は連続になる。
2. 函数
f ( x ) = { x 2 for x < 1 0 for x = 1 2 − ( x − 1 ) 2 for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}
連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。
本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。