モジュラー表現論
この理論は初めにブラウアーが展開したもので、通常表現論とモジュラー表現論との繋がりは、剰余体 K の標数が p である完備離散賦値環 R に係数を取る群 G の群環 R[G] と標数 0 の商体とを考えることで最も体現される。群環 R[G] の構造は、群環 K[G] の構造とも半単純群環 F[G] の構造とも近しい関係を持ち、これた三つの多元環上の加群の理論の間には多くの相互作用が存在する。
各 R[G]-加群は自然に F[G]-加群を生じ、また俗に法 p に関する還元と呼ばれる方法で K[G]-加群を生じる。一方、R は主イデアル整域ゆえ、各有限次元 F[G]-加群は或る R[G]-加群から係数拡大によって得られる。しかし一般に、任意の K[G]-加群は必ずしも R[G]-加群の剰余還元として得られるわけではなく、そのようにして得られる加群は持ち上げ可能 (liftable) であると言う。
体 K と有限群 G が与えられたとき、G の元を K 上の基底とする K-線型空間に G の乗法を線型に拡張して得られる環の乗法を入れて得られる、群環 K[G] はアルティン環を成す。
群 G の位数が体 K の標数を整除するとき、群環 K[G] は半単純でなく、従って零でないジャコブソン根基を持つ。この場合、群環上の有限次元加群で射影的でないものが存在する。対照的に、標数 0 の場合には、任意の既約表現が正則表現の直和因子となり、従って射影的になる。
直既約射影加群の組成因子は以下のように計算することができる。特定の有限群の既約通常指標と既約ブラウアー指標が与えられたとき、既約通常指標は既約ブラウアー指標の非負整係数線型結合に分解できるが、これらの係数として表れる整数を、既約通常指標側を行に既約ブラウアー指標側を列に充てて行列の形に並べることができる。これを、分解行列 D と呼ぶ。分解行列の第 1 行と第 1 列はそれぞれ自明通常指標と自明ブラウアー指標を充てるものとする。D の転置行列と D 自身との積はふつう、カルタン行列 C と呼ばれ、その第 j-列の各成分は j-番目の直既約射影加群の組成因子としての単純加群の重複度であるような対称行列になる。カルタン行列は正則であり、実はその行列式の値は K の標数の冪になる。
与えられたブロックに属する直既約射影加群はその組成因子全てが同じブロックに属するから、各ブロックはそれぞれ独自のカルタン行列を持つ。