ボレル・ヴェイユの定理
定理は複素半単純リー群 G とその実形(英語版) K のいずれに対しても述べることができる。G を連結複素半単純リー群とし、B を G のボレル部分群とし、X = G/B を旗多様体とする。この設定において、X は複素多様体であり非特異代数 G 多様体である。旗多様体はコンパクト等質空間 K/T として記述することもできる、ここで T = K ∩ B は K の(コンパクト)カルタン部分群(英語版)である。整ウェイト λ は X 上の G 同変な正則直線束 Lλ を決定し、群 G はその大域切断の空間
Γ ( G / B , L λ ) {\displaystyle \Gamma (G/B,L_{\lambda })}
に作用する。
ボレル・ヴェイユの定理の主張は以下である:λ が優整ウェイトであるならば、この表現は G の最高ウェイト λ の正則既約最高ウェイト表現である。K へのその制限は K の最高ウェイト λ の既約ユニタリ表現であり、逆に K の各既約ユニタリ表現は一意的な λ の値に対してこのようにして得られる。(複素リー群の正則表現は、対応するリー環の表現が複素線型になる表現である。)
数学の表現論の分野において、ボレル・ヴェイユの定理 (Borel–Weil theorem) は、コンパクトリー群の既約表現と複素半単純リー群の既約正則表現に対する具体的なモデルを与える。名称はアルマン・ボレル (Armand Borel) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。これらの表現はその群の旗多様体上の正則直線束の大域切断の空間において実現される。高次コホモロジー空間への一般化はボレル・ヴェイユ・ボットの定理(英語版)と呼ばれる。