物理学における時間
T = d t ( 1 − 2 G M r c 2 ) d t 2 − 1 c 2 ( 1 − 2 G M r c 2 ) − 1 d r 2 − r 2 c 2 d θ 2 − r 2 c 2 sin 2  θ d φ 2 {\displaystyle T={\frac {dt}{\sqrt {\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\theta ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}}}}
ここで、
T {\displaystyle T} は距離 r {\displaystyle r} にある物体の重力による時間の遅れ、
d t {\displaystyle dt} は座標時の変化、または座標時の間隔、
G {\displaystyle G} は重力定数、
M {\displaystyle M} は場を生成している質量
( 1 − 2 G M r c 2 ) d t 2 − 1 c 2 ( 1 − 2 G M r c 2 ) − 1 d r 2 − r 2 c 2 d θ 2 − r 2 c 2 sin 2  θ d φ 2 {\displaystyle {\sqrt {\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\theta ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}}} は固有時 d τ {\displaystyle d\tau } の変量、または固有時の間隔である。
量子力学の方程式には時間のパラメータがある。シュレーディンガー方程式は
H ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = i ħ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle }
であり、その解の一つが
| ψ e ( t ) ⟩ = e − i H t / ħ | ψ e ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{e}(t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi _{e}(0)\rangle }
である。ここで、 e − i H t / ħ {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }} は時間発展演算子と呼ばれ、 H はハミルトニアンである。
しかし、上に示したシュレーディンガー描像は、古典力学のポアソン括弧と類似しているハイゼンベルク描像と等価である。ポアソン括弧は非ゼロの交換子(可観測量 A とハミルトニアン H の場合 [H,A])に置き換えられる。
d d t A = ( i ħ ) − 1 [ A , H ] + ( ∂ A ∂ t ) c l a s s i c a l {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A=(i\hbar )^{-1}[A,H]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)_{\mathrm {classical} }}