ベルグマン計量
G ⊂ C n {\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}} を領域とし、 K ( z , w ) {\displaystyle K(z,w)} を G 上のベルグマン核とする。接束 T z C n {\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}} 上のエルミート計量を、z ∈ G に対し
g i j ( z ) := ∂ 2 ∂ z i ∂ z ̄ j log  K ( z , z ) {\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z)}
と定義する。すると接ベクトル ξ ∈ T z C n {\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}} の長さは
| ξ | B , z := ∑ i , j = 1 n g i j ( z ) ξ i ξ ̄ j {\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}}
によって与えられる。この計量が G 上のベルグマン計量と呼ばれる。
(区分)C 曲線 γ : [ 0 , 1 ] → C n {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}} の長さは