クローニッヒ・ペニーのモデル
クローニッヒ・ペニーのモデルのポテンシャル V は n を任意の整数として以下のように表される。
V ( x ) = { 0 ( n a ≤ x < ( n + 1 ) a − b ) V 0 ( ( n + 1 ) a − b ≤ x < ( n + 1 ) a ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&(na\leq x<(n+1)a-b)\\V_{0}&((n+1)a-b\leq x<(n+1)a)\end{cases}}}
このポテンシャルは周期 a を持っている。
特に重要なのは b→0 かつ V0→∞ の極限を取ったモデルでこれはディラックのデルタ関数を用いて以下のようなくし型関数(comb関数)で表される。
V ( x ) = ∑ n δ ( x − n a ) {\displaystyle V(x)=\sum _{n}\delta (x-na)}
これは間隔 a で一次元に配列している原子によるポテンシャルを荒く近似したものと考えることができる。
ここでデルタ型の周期ポテンシャルを考える。
V ( x ) = A ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ⋅ a ) . {\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n\cdot a).}
Aはある定数で、aは格子定数(各サイト間の間隔)。 このポテンシャルは周期的であるため、これをフーリエ級数として展開できる。
V ( x ) = ∑ K V ~ ( K ) ⋅ e i ⋅ K ⋅ x , {\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{i\cdot K\cdot x},}
ここで
V ~ ( K ) = 1 a ∫ − a / 2 a / 2 d x V ( x ) e − i K x = 1 a ∫ − a / 2 a / 2 d x ∑ n = − ∞ ∞ A δ ( x − n a ) e − i K x = A a {\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}} .
ポテンシャルが周期的な場合、ブロッホの定理よりシュレーディンガー方程式の固有関数は次を満たさなければならない。
ψ ( x ) = e i k x u ( x ) {\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x)}
ここでu(x)は、u(x + a) = u(x)を満たす周期関数である。数学において k {\displaystyle k} はフロケ指数と呼ばれる。
格子の両端付近では、境界条件が問題となる。ここでボルン=フォン・カルマン境界条件を課す。
ψ ( 0 ) = ψ ( L ) {\displaystyle \psi (0)=\psi (L)}
ただし格子の長さLはL ≫ aであるとする。格子中のイオン(つまりポテンシャル井戸)の数をNとすると、aN = Lである。
ブロッホの定理を適用すると、kが量子化される。