有界作用素
作用素 L が有界であるための条件、すなわち、ある定数 M が存在し
‖ L v ‖ ≤ M ‖ v ‖ {\displaystyle \|Lv\|\leq M\|v\|}
がすべての v に対して成り立つという条件は、より正確には L の 0 でのリプシッツ連続性のための条件でもある。
二つの与えられたバナッハ空間の間の有界線形作用素を定義するための手順は、一般的には次のようになる。はじめに、定義されている空間の稠密な部分集合上の線形作用素で、局所有界であるようなものを定める。つづいて、連続性によりその作用素を、定義されている空間全体を定義域とするような連続線形作用素へと拡張する(連続線型拡張を参照されたい)。
に対して ‖ v ‖ = 2 π {\displaystyle \|v\|=2\pi } を得るが、一方で ‖ L ( v ) ‖ = 2 π n → ∞ as n → ∞ {\displaystyle \|L(v)\|=2\pi n\to \infty \ {\text{as }}n\to \infty } となるため、この作用素 L は有界でないことが分かる。
これは特殊な例というわけではなく、むしろ一般的な法則から考え出すことのできる例の内の一つである。有限次元のノルム空間上で定義される線形作用素であればどのようなものでも有界である。しかし、無限次元のノルム空間 X と Y で、さらに Y がゼロ空間でないのであれば、X から Y への線形作用素で不連続であるようなものを見つけることが出来る。
上述のような、微分するだけのような基本的な作用素でも有界でないという例は、研究をより困難なものとする。しかし、もしその定義域と値域を注意して定めれば、それは閉作用素となる場合がある。閉作用素は有界作用素よりも一般的なものである。