確率分布
確率変数の確率分布が与えられると、その変数に関する確率・期待値・分散などが以下のように計算できる。
X は連続型確率変数で確率密度関数は fX であり、累積分布関数は FX とする。Y は離散型確率変数で台は S = {y1, y2, ...} で確率質量関数は fY であるとする。
単に確率分布というときは、d次元ユークリッド空間などのよく使われる可測空間上で定義された確率測度のことをいう。ただの確率測度と違って空間に散らばっている様子がグラフなどの目に見える形で表現できるので「分布」と呼ばれる。
確率論で、確率変数の分布を考えるのは、その変数だけを確率論的な議論の対象にしたい場合である。例えば、確率変数がある値を取る確率や、期待値、分散といった量は変数の分布が分かれば計算できる量である。逆に分布を考えることによって隠れた変数 ω と確率変数との対応関係は失われてしまい、他の確率変数との関連性も不明になる。例えば、確率変数 X と Y の分布がそれぞれ PX と PY のように与えられたとしても、2つの変数の関連性は分からないので、X + Y がある値を取る確率や、積 XY の期待値、X + Y の分散といった量は計算できない。このような量を計算したいときは、X と Y の同時確率分布 PX,Y が必要となる。
よく使われる確率分布にはそれぞれ名前がついており性質がよく研究されている。このような分布をもつ確率変数に対して研究の結果を利用することができる。例えば、確率変数の分布が平均 0、分散 1 の正規分布だった場合、その変数が 2 以上の値を取る確率は数表から 2.28% である。