BCH符号
BCH符号(BCHふごう、英: BCH code)は、パラメータ化された誤り訂正符号の一種で、最もよく研究されている符号の1つである。1959年 Alexis Hocquenghem(英語版) が、それとは別に1960年には Raj Chandra Bose(英語版) と D. K. Ray-Chaudhuri(英語版) が考案した。BCH とは、この3人のイニシャルである。
BCH符号は、シンドローム復号という簡潔な代数学的手法で容易に復号できる点を特徴とする。そのための電子回路は非常に単純でコンピュータを使う必要もなく、低電力で小型の機器で復号可能である。符号としても非常に柔軟性があり、ブロック長や誤り訂正能力を自由に設定でき、目的に応じてカスタマイズされた符号を設計できる。
BCH符号は、マルチレベル/巡回/誤り訂正/可変長デジタル符号であり、複数の無作為誤りパターンを訂正できる。BCH符号は、レベル数が素数または素数のべき乗であるようなマルチレベルの位相偏移変調でも使われる。11レベルのBCH符号を使って、十進数の10個の数字と符号を表す場合もある。
この行列はヴァンデルモンド行列であり、その行列式は
det ( V ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ d − 1 ( α k j − α k i ) {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq d-1}(\alpha ^{k_{j}}-\alpha ^{k_{i}})}
となって、その値はゼロではない。したがって b 1 , ... , b d − 1 = 0 {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{d-1}=0} となり、 p ( x ) = 0 {\displaystyle p(x)=0} となる。
BCH符号は巡回符号である。長さ n {\displaystyle n} の多項式符号が巡回符号となるのは、生成多項式で x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} を割り切れる場合のみである。 g ( x ) {\displaystyle g(x)} は α c , ... , α c + d − 2 {\displaystyle \alpha ^{c},\ldots ,\alpha ^{c+d-2}} を根とする原始多項式なので、 α c , ... , α c + d − 2 {\displaystyle \alpha ^{c},\ldots ,\alpha ^{c+d-2}} のそれぞれが x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} の根であることを示せばよい。 α {\displaystyle \alpha } は定義上1の n {\displaystyle n} 乗根なので、簡単に証明できる。