スターリングの近似
この公式は最初に次の形でアブラーム・ド・モアブルにより1730年に発見された。
n ! ∼ [ c o n s t a n t ] ⋅ n n + 1 2 e − n {\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}}
スターリングの貢献は定数が 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} であることを示したことである。より正確な形式はジャック・ビネが見出した。
スターリングの近似の「一次」バージョン n ! = n n {\displaystyle n!=n^{n}} は、マックス・プランクが1901年の黒体放射の論文で使用した。これは多量の光子や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論でよく使われ、例えばピーター・デバイとルイ・ド・ブロイも使っている。アルベルト・アインシュタインとサティエンドラ・ボースは違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。
n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } としたとき、省かれた級数はその最初の項とそれ以降が相殺するように漸近していく。これは漸近展開の一例である。
以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。
ln  n ! ∼ n ln  n − n + 1 2 ln  2 π n + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + ⋯ {\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi n+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots }
この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。