初等幾何学
ユークリッド幾何学的方法とは図形を直接取り扱う方法であり、補助線などを用いて基本的原理である公理系や定義から平面・空間における具体的かつ幾何学的な命題・定理を証明していく方法であって、19世紀には総合幾何学とも呼ばれた。総合幾何学はまた純粋幾何学と呼ばれることもある。
解析幾何学のように座標や代数的式を用いたり、微分幾何学のように解析学を用いたりしないものである。初等幾何学で扱われる対象が経験的かつ直感的であるため、このように命名されたものと考えられているが、数学において初等といえば必ずしもやさしいなどといった意味ではなく、歴史的に最も古い分野の一つである。
総合幾何学は古典的な射影幾何学も包含し、初等幾何学における問題は何らかの定理や命題を証明するもののほかに、定規とコンパスによる作図問題が有名である。作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測ってはならない。