方程式
微分方程式や差分方程式の解は、一般解と特異解とに分類されることがある。
方程式の最も典型的な形は未知数 (unknown) と呼ばれる項を含んだ等式である。方程式における未知数はしばしば x などの特定の慣習的な文字によって表され、「様々に値を変える数である」という観点から変数 (variable) と呼ばれたり、あるいは「特定の値を持つわけではない」という観点から不定元 (indeterminate, indeterminant) と呼ばれることもある。
方程式に含まれる変数に対して、変域と呼ばれるある特定の範囲の値で変数を置き換える操作を考えることができるが、これは代入と呼ばれる。各変数に代入されるべきものは、数値・関数・式など様々であり、それぞれの変数がどのような変域を持つかは文脈に依存している。
未知数に値の代入が行われて初めて、方程式が等式として成立するか否かの評価が行われる。そして、与えられた方程式を等式として成立させるような未知数の値を方程式の解と呼び、方程式の解を全て求めることを方程式を解くと言う。ふつう方程式の解は変域のとりうる任意の値ではなく、何らかの特定の値に制限を受け、時には存在しない場合すらありうる。
数の等式ではなく関数の等式で与えられる方程式を関数方程式と呼ぶ。
F ( x , y , z , ... ; f 1 ( x , y , z , ... ) , f 2 ( x , y , z , ... ) , ... ) = 0 {\displaystyle F\!\left(x,y,z,\dots ;f_{1}(x,y,z,\dots ),f_{2}(x,y,z,\dots ),\dots \right)=0}
関数方程式によって決定される関数を未知関数 (unknown function) と呼び、方程式中のそれ以外の関数は既知関数 (known function) として区別される。特に関数とその導関数に対して関係式を与えることで得られる微分方程式は、物理学の研究から興味深い実例を与えられ、逆にその研究成果が物理学に寄与するなど、物理学との関連が深い。一方純粋数学的には層の理論などと結びついて興味深い結果が得られている。