有効自由度 (宇宙論)
宇宙膨張が断熱的である限り、宇宙膨張に際して単位共動体積あたりのエントロピー s a 3 {\displaystyle sa^{3}} は保存する ( a {\displaystyle a} はスケール因子)。従って
g ∗ S ( T ) T 3 a 3 = C o n s t . {\displaystyle g_{*S}(T)T^{3}a^{3}=\mathrm {Const.} }
であり、エントロピー有効自由度の温度依存性が特定されれば、宇宙の温度 T {\displaystyle T} がどのように変化するのかを計算することができる。 g ∗ S = C o n s t . {\displaystyle g_{*S}=\mathrm {Const.} } であるときには T ∝ a − 1 {\displaystyle T\propto a^{-1}} となる、つまり宇宙の輻射温度 T {\displaystyle T} はスケール因子 a {\displaystyle a} に反比例して減少する。
s = g ∗ S ( T ) 2 π 2 k B 4 45 ħ 3 c 3 T 3 {\displaystyle s=g_{*S}(T){\frac {2\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{45\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}}
に表示することで、エントロピーに関する有効自由度 g ∗ S ( T ) {\displaystyle g_{*S}(T)} を定義することができる。上と同様の議論により、これは
g ∗ S ( T ) = ∑ a : B E , r e l g a ( T a T ) 3 + 7 8 ∑ a : F D , r e l g a ( T a T ) 3 {\displaystyle g_{*S}(T)=\sum _{a:\mathrm {BE,rel} }g_{a}\left({\frac {T_{a}}{T}}\right)^{3}+{\frac {7}{8}}\sum _{a:\mathrm {FD,rel} }g_{a}\left({\frac {T_{a}}{T}}\right)^{3}}
により計算される。エネルギー有効自由度 g ∗ {\displaystyle g_{*}} とは温度への依存性が異なるため、 T a ≠ T {\displaystyle T_{a}\neq T} であるような輻射成分が存在するとき、 g ∗ {\displaystyle g_{*}} と g ∗ S {\displaystyle g_{*S}} は一致しない。