メルゲルヤンの定理
メルゲルヤンの定理(Mergelyan's theorem)は、複素解析の有名な結果で、アルメニアの数学者、セルゲイ・メルゲルヤン(英語版)(Sergei Nikitovich Mergelyan)により1951年に証明された。メルゲルヤンの定理は、次のような定理である。
K を複素平面のコンパクト部分集合であって C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \setminus K} が連結であるようなものとする。このとき、連続函数 f: K → C であって K の内部 int(K) への f の制限が正則となるものはすべて、K 上で多項式により一様に近似することができる。
メルゲルヤンの定理は、ヴァイエルシュトラスの近似定理やルンゲの定理を突き詰めた一般化であり、多項式近似の古典的な問題の完全な解答を与える。
C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \setminus K} が連結ではない場合は、最初の近似問題において多項式を有理函数で置き換えなければならない。