モジュラー曲線
モジュラー群 SL(2, Z) は上半平面上に一次分数変換として作用する。SL(2, Z) の合同部分群 Γ をとは、ある正の整数 N に対し、レベル N の主合同部分群(英語版)(principal congruence subgroup of level N)を含むような部分群のことである。ここで主合同部分群 Γ(N) とは
Γ ( N ) = { ( a b c d ) : a , d ≡ ± 1 mod N and b , c ≡ 0 mod N } {\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a,d\equiv \pm 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}}
なる群をあらわす。
そのような N の最小の値をΓ のレベルという。この群による商 Γ\H に複素構造を定めたものを非コンパクトなモジュラー曲線 Y ( Γ ) := Γ ∖ H {\displaystyle Y\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}} という。これはリーマン面 である。
モジュラー曲線(モジュラーきょくせん)とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。
被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。
X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線(英語版)(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。Γ(N) の定義は次のように言い直すこともできる。Γ(N) は、法 N 還元 SL2(Z) → SL2(Z/NZ) の核である。Γ0(N) は法 N 還元して上三角行列になるもの全体のなす部分群
Γ 0 ( N ) = { ( a b c d ) : c ≡ 0 mod N } {\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\}}
であり、Γ1(N) はこのふたつの中間にある群であり、
Γ 1 ( N ) = { ( a b c d ) : a ≡ 1 mod N , c ≡ 0 mod N } {\displaystyle \Gamma _{1}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}}