環の局所化
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
R = Z のとき、積閉集合 S = Z − {0} による局所化は SR = Q である。
R = Z で p は素数とする。素イデアル (p) の補集合 S = Z − (p) による局所化 SR は (p) における整数環の局所化 Z(p) = {m/n ∈ Q | m, n ∈ Z, n ∉ (p)} である。
可換環 R が与えられたとき、R の非零因子(すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの)全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 SR は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から SR への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。
整数の剰余環 Z/nZ は、n が合成数のとき整域でない。