位置
変位ベクトルは、与えられた距離にわたって所与の方向に空間点を一様に平行移動させる「動作」として定義することができる。従って、変位ベクトルの加算は、これらの変位動作の構成およびスカラー乗算を、距離の尺度として表現する。これを念頭に置いて、空間内の点の位置ベクトルを、ある点をその点に写像する変位ベクトルとして定義することができる。従って、位置ベクトルは空間の原点の選択に依存し、変位ベクトルは初期点の選択に依存することに留意されたい。
線形代数では、n 次元の位置ベクトルの抽象化が可能である。位置ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として表すことができる。
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}}
全ての位置ベクトルの集合は、位置空間(要素が位置ベクトルであるベクトル空間)を形成する。空間内の別の位置ベクトルを得るために、位置を加算(ベクトル加算)し、長さを計測(スカラー乗算(英語版))することができる。それぞれの xi (i = 1, 2, ..., n) は任意の値であり、値の集合は空間内の点を定義するので、「空間」の概念は直感的である。
位置空間の次元は n である(dim(R) = n とも示される)。基底ベクトル ei に対するベクトル r の座標は xi である。座標のベクトルは、座標ベクトルまたは n-タプル (x1, x2, ..., xn)を形成する。
各座標 xi は、媒介変数 t でパラメータ化することができる。1つのパラメータ xi(t) は湾曲1次元経路を記述し、2つのパラメータ xi(t1, t2) は湾曲2次元表面を表し、3つのパラメータ xi(t1, t2, t3) は3次元空間を表す。
基底集合 B = {e1, e2, ..., en} の線型包は、span(B) = R と表される位置空間 R に等しい。