群作用
によって定める。これは G の部分群だが、大抵は正規部分群でない。G の X への作用が自由であるための必要十分条件は、任意の固定部分群が自明であることである。群準同型 G → Sym(X) の核 N は、X の全ての元 x に関する固定部分群 Gx の交わりによって与えられる。
軌道と固定部分群は近い関係にある。X の元 x を一つ固定して、写像
G → X ; g ↦ g x {\displaystyle G\to X;\quad g\mapsto gx}
を考える。この写像の像は x の属する軌道であり、余像は Gx の左剰余類全体の成す集合である。集合論における標準商定理により、 G /Gx と Gx との間には自然な全単射が存在する。具体的にはこの全単射は hGx と hx との対応によって与えられる。このことは、軌道・固定群定理 (orbit-stabilizer theorem) として知られる。
G と X が共に有限ならば、軌道・固定群定理とラグランジュの定理から
| G x | = [ G : G x ] = | G | / | G x | {\displaystyle |Gx|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|}
が得られる。この結果はそれぞれの対象を数えることができるという点で特に有用である。
二つの元 x および y が同じ軌道に属すならば、それらの固定部分群 Gx および Gy は互いに共軛であり、特に同型であることに注意。
これは g ≠ e なる G の各元に対して x ∈ X で gx ≠ x となるものが存在するといっても同じことである。これは直観的には、G の異なる元が X の異なる置換を引き起こすということを言っている。
自由 (free) あるいは半正則 (semiregular) であるとは、X の任意の元 x に対して「 gx = hx となるのは g = h であるときに限る」が成立することをいう。これは X の任意の元 x に対して「 gx = x ならば g は単位元である」が成り立つと言い換えてもよい。
正則 (regular) あるいは単純推移的 (simply transitive) であるとは、自由かつ推移的であるときにいう。すなわち、X の任意の二元 x, y に対し、g ∈ G がちょうど一つ存在して gx = y とできるということである。このとき、X は G の主等質空間(英語版)あるいは G-トーサーと呼ばれる。
局所自由 (locally free) であるとは、G が位相群で、G の単位元 e の適当な近傍 U が存在して、作用の U への制限が自由、すなわち X の適当な元 x と U の適当な元 g に対して gx = x となるならば g = e であることをいう。