超現実数
超現実数の無限大および無限小の「度合」(order) の分類(アルキメデス類とも呼ばれる)のために、コンウェイは各 x に対して超現実数
を対応させた。ただし、r, s は何れも正の実数すべてに亙るものとする。x < y ならば ω は(どのような r に対する r⋅ω よりも大きいという意味で)ω よりも「無限に大きい」。この「ω の冪」は以下の指数法則
ω⋅ω = ω,
ω = 1⁄ω
を満足するから、これは冪として期待される性質のもとで振る舞っていると言ってよい。
ω の個々の冪は、そのアルキメデス類における「もっとも単純な」超現実数となるべきものとしての補完性質も持つ。逆に、各アルキメデス類は超現実数の中にもっとも単純な数を一意に含む。すなわち、任意の正超現実数 x に対し、常に適当な正実数 r と超現実数 y が存在して、x − r⋅ω が x よりも「無限に小さい」ようにすることができる。このときの冪指数 y は「x の ω を底とする対数 logω(x)」であり、この対数函数は正の超現実数全体で定義される。
さてこれらの四則は以下に述べる意味で「うまく行っている」(consistent):
加法および符号反転は、それぞれの帰納法において「より単純な」帰納ステップの加法および符号反転から再帰的に定義されているから、誕生日が n である数に対する演算は、結局は誕生日が n より小さい数に対する同じ演算によって全く言い表される。
乗法は、加法・符号反転と「より単純な」乗法のステップから再帰的に定義されているから、誕生日が n である数に対する演算は結局誕生日が n より小さな数から成す積の和や差として全く書き表されている。
被演算子が矛盾なく定義された超現実数形式(左集合の各元が右集合の各元より小さい)である限り、これら演算の結果はふたたび矛盾なく定義された数形式になる。
形式に対するこれら演算を超現実数(形式の同値類)に「拡張」できる。すなわち、超現実数 x を符号反転したり、超現実数の対 x, y を足したり掛けたりした結果は、x や y を表す形式の選び方とは無関係に、同じ超現実数を与える。
surreal number という名称は Conway (1972) が初めて用いたものだが、それ以前あるいは以後にもいくつか異なる構成法が生み出されている。
δ(x,y) ⊂ dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = −1;
δ(x,y) ⊂ dom(x) ∧ δ(x,y) ⊂ dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = −1 ∧ y(δ(x,y)) = +1.
超現実数 x, y に対し、x ≤ y とは x < y ∨ x = y となることと定める。また x > y は y < x であること、および x ≥ y は y ≤ x が成り立つことを意味するものとする。
この関係 < は推移的であり、任意の超現実数 x, y に対して x < y, x = y, x > y のうちただ一つのみが成り立つ(三分律(三択律)(英語版))。これは < が(真のクラスを成すことを除いて)全順序であることを意味する。
超現実数の集合 L, R が ∀x ∈ L, ∀y ∈ R[x < y] を満たすとき、超現実数 z が一意に存在して
∀x ∈ L[x < z] ∧ ∀y ∈ R[z < y] かつ
超現実数 w が ∀x ∈ L[x < w] ∧ ∀y ∈ R[w < y] を満たすならば必ず w = z または z は w より単純
とできる。さらに言えば、z は L, R から超限帰納法によって構成可能である。z は L と R の間にあるもっとも単純な超現実数となる。この唯一の数 z を σ(L, R) で表す。
超現実数 x に対し、その左集合 L(x) および右集合 R(x) を
L(x) ≔ {x|α : α ∈ dom(x) ∧ x(α) = +1},
R(x) ≔ {x|α : α ∈ dom(x) ∧ x(α) = −1}
これら演算は、加法単位元 0 = { | } および乗法単位元 1 = {0 | } を伴って、体の定義における可換律・結合律・反数律および分配律の各公理に従う。
これらの規則を用いれば、最初のほうのいくつかの世代に対して、それが完全にラベル付けできているかどうかの確認ができる。構成規則を繰り返せば、超現実数の更なる世代についても同様である。
S0 = {0}.
S1 = {−1 < 0 < 1}.
S2 = {−2 < −1 < −1⁄2 < 0 < 1⁄2 < 1 < 2}.
S3 = {−3 < −2 < −3⁄2 < −1 < −3⁄4 < −1⁄2 < −1⁄4 < 0 < 1⁄4 < 1⁄2 < 3⁄4 < 1 < 3⁄2 < 2 < 3}.
S4 = {−4 < −3 < ⋯ < −1⁄8 < 0 < 1⁄8 < 1⁄4 < 3⁄8 < 1⁄2 < 5⁄8 < 3⁄4 < 7⁄8 < 1 < 5⁄4 < 3⁄2 < 7⁄4 < 2 < 5⁄2 < 3 < 4}.
Q が超現実数の算術演算の繰り返しの各々で閉じていることを示すことにより、それが体を成していることが示せる。また Q の各元が S∗ から(乗法に関する反転を含む四則演算)の有限回(実際には二回以上は必要ない)の繰り返しで到達できることを示すことにより、Sω の部分集合として、Q が実数全体 R より真に小さいことがわかる。
集合 Sω は実数全体 R と同じ濃度を持つ。このことは、Sω から R の単位閉区間 I への全射およびその逆向きの全射を実際に示すことで証明できる。Sω から I の上への写像は大したことは必要なく、−ω を含めた ε 以下の数を 0 に写し、1 − ε 以上の数は 1 に写し、ε と 1 − ε の間の数は I における同値の数に写す(二進分数 y の無限小近傍は y 自身がそうであるのと同じく y へ写す)ことで与えられる。I から Sω の上への写像は、I の真ん中三分の一の開区間 (1/3, 2/3) を { | } = 0 へ写し、右三分の一区間のさらに真ん中三分の一開区間 (7/9, 8/9) を {0 | } = 1 に写し、以下同様に繰り返すと、これは I の空でない開区間を S∗ の各元へ単調に写す。I の残りの部分はカントール集合 2 で、その各点は中心三分の一区間を左集合 L および右集合 R に分割することによって一意に同定でき、それがちょうど Sω における形式 {L | R} に対応する。これによってカントール集合は、誕生日が ω となる超現実数全体の成す集合に一対一対応するものと位置づけられる。
超現実数変数の指数函数を定めるための帰納ステップは、実指数函数の場合の級数展開 exp(x) = ∑n≥0x⁄n! に基づく。より具体的には、展開を途中で切った部分和が(基本的な代数学的操作のみで)残りの項の和よりも小さい正の値となることが示せる事実を利用する。正の x については [x]n と書いて全ての部分和を含める。x が負の有限値のときは [x]2n+1 が初期値を実数成分が正の級数(常に存在する)としたときの奇数番目の部分和を表すものとする。負の無限大 x については、奇数番目の部分和だけ見れば狭義単調減少で [x]2n+1 は空集合となるが、これはこの帰納法においてこれらの元が必要ないということに対応するので問題ない。
利用する関係式は、x < y なる実数に対して exp(x)⋅[y − x]n < exp(y) および exp(y)⋅[x − y]2n+1 < exp(x) が成り立つこと、またこれは
なる定義のもとで超現実数を引数とするものへ延長することができる。これは任意の超現実数引数に対して矛盾なく定義される(つまり、この右辺の値は超現実数として存在して、その値は zL, zR の選び方に依らない)。
同様に略式的には {0 | 1} および {−1 | 0} はそれぞれ "0 と 1 の中間の数" および "−1 と 0 の中間の数" と解釈できるので、それら同値類には 1⁄2 および −1⁄2 とラベルを付ける。これらのラベルも後で述べる超現実数の加法および乗法に関する規則で正当化される。
帰納法の各第 n-世代における同値類は、その左集合と右集合に直前の世代の元を可能な限り多く含む n-完全形式 (n-complete forms) によって特徴付けることができる。これら完全形式は、直前世代のすべての数をその左集合または右集合のいずれか一方だけにもつ(例えば第一世代はこのような数だけが生じる)か、さもなくば直前世代の数をただ一つを除いて全て含む(この場合、その完全形式は、この除かれたただ一つの数を表す新たな形式を与えていることになる)。さて、前世代の数には既に与えたラベルをそのままつけるものとして、新たにつけたラベルとともに大小関係に従って並べれば、第二世代は
となる。
三番目の観察は、有限な左集合および右集合を持つ任意の超現実数に対して拡張できる(無限集合は極小元や極大元をもたないかもしれないから、左集合または右集合が無限集合である場合には修正が必要である)。だから例えば、形式 {1, 2 | 5, 8} の表す超現実数は {2 | 5} が表すものと同じである。第三世代における形式に関して同様のことを見るには、帰納規則の系として得られる「誕生日性質」(birthday property) が利用できる: