ミンコフスキーの定理
b ≡ t a ( mod p ) {\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}}
であるから
a 2 + b 2 ≡ a 2 ( 1 + t 2 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}
である。一方 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} は原点ではなく、かつ原点からの距離は 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} より小さいから
0 < a 2 + b 2 < 2 p {\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p}
である。よって
p = a 2 + b 2 {\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}
が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。 実際 p を 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} の形の素数とすると
t 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
となる t がとれる(p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい)。
y ≡ t x ( mod p ) {\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}}
となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 全体は ( 1 , t ) , ( 0 , p ) {\displaystyle (1,t),(0,p)} を基底とする格子 L と一致し、 d ( L ) = p {\displaystyle d(L)=p} が成り立つ。 原点を中心とする半径 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} の開円盤は面積 2 π p > 4 p {\displaystyle 2\pi p>4p} の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} を含む。
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。
ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の(つまり s 対の共役対からなる)複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが
( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}
を超えない(整)イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。