階乗
大きな値に対する階乗の値の近似をディガンマ函数の積分を通じて連分数表示を用いて記述できる。この方法はスティルチェスによるもので、z! = exp(P(z)) と書けば P(z) は
P ( z ) = p ( z ) + log  ( 2 π ) / 2 − z + ( z + 1 2 ) log  ( z ) {\displaystyle P(z)=p(z)+\log(2\pi )/2-z+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\log(z)}
で、スティルチェスはこの第一項 p(z) の連分数展開
p ( z ) = a 0 z + a 1 z + a 2 z + a 3 z + ⋱ {\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}
階乗は数論にも多くの応用を持つ。特に n ! は n 以下の全ての素数で整除されねばならない。このことの帰結として、n ≥ 5 が合成数となる必要十分条件は
( n − 1 ) ! ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}
が満たされることである。より強い結果としてウィルソンの定理は
( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}
が p が素数であるための必要十分条件であることを述べる。
ルジャンドルの公式は n ! の素因数分解に現れる p の重複度が
∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }
であることを示す。これは
n − s p ( n ) p − 1 {\displaystyle {\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}
と書いてもよい。ただし、sp(n) は n の p 進展開の係数の和である。
n ! が素数となる n は 2 のみである。n! ± 1 の形の素数は階乗素数と呼ばれる。
1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(2 と 5 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ(英語版)。
となる。この数は、超越数であり、リウヴィル数である。
また、高次 exponential factorial が定義される。例として、二次 exponential factorial は、
n ! ! = n ! 2 = ( n ! ) ( n − 1 ) ! 2 = ( n ! ) ( ( n − 1 ) ! ) ( ( n − 2 ) ! ) . . . ( 3 ! ) ( 2 ! ) 1 ! = n ! ↑ ( n − 1 ) ! ↑ ( n − 2 ) ! ↑ ⋯ ⋯ ↑ 3 ! ↑ 2 ! ↑ 1 ! {\displaystyle {\begin{aligned}n^{!!}=n^{{!}^{2}}=\left(n^{!}\right)^{(n-1)^{!^{2}}}&=\left(n^{!}\right)^{\left((n-1)^{!}\right)^{\left((n-2)^{!}\right){.^{.^{.^{\left(3^{!}\right)^{\left(2^{!}\right)^{1^{!}}}}}}}}}\\&=n^{!}\uparrow (n-1)^{!}\uparrow (n-2)^{!}\uparrow \cdots \cdots \uparrow 3^{!}\uparrow 2^{!}\uparrow 1^{!}\end{aligned}}}
代数学に現れる階乗にはいくつも理由があるが、既述の如く二項展開の係数として現れたり、ある種の演算の対称化(英語版) において置換による平均化を行うなど、組合せ論的な理由で現れるものもある。
微分積分学においても階乗は例えばテイラー級数の分母として現れるが、これは冪函数 x の n 階導函数が n ! であることを補正する定数である。確率論でも階乗は用いられる。
階乗は数式操作にも有効である。例えば n の k-順列の総数を
n k _ = n ! ( n − k ) ! {\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}
と書けば、(この数値を計算することを考えれば効率が悪くなるが)二項係数の対称性
( n k ) = n k _ k ! = n ! ( n − k ) ! k ! = n n − k _ ( n − k ) ! = ( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}
を見るには都合がよい。
G ( z + 1 ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
自然数に対しては、以下が成り立っている。
G ( n + 2 ) = s f ( n ) = { 0 if n = − 1 , − 2 , ... ∏ i = 0 n i ! if n = 0 , 1 , 2 , ... {\displaystyle G(n+2)=\mathrm {sf} (n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n}i!&{\text{if }}n=0,1,2,\dots \end{cases}}}