線型包
X がノルム線型空間で E は X の空でない任意の部分集合とする。
span ̄ ( E ) {\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)} は E を含む X の閉線型部分空間である。
span ̄ ( E ) = span ( E ) ̄ {\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)={\overline {{\text{span}}(E)}}} , すなわち span ̄ ( E ) {\displaystyle {\overline {\text{span}}}(E)} は span ( E ) {\displaystyle {\text{span}}(E)} の閉包である。
E ⊥ = ( span ( E ) ) ⊥ = ( span ( E ) ̄ ) ⊥ . {\displaystyle E^{\perp }=({\text{span}}(E))^{\perp }=({\overline {{\text{span}}(E)}})^{\perp }.}
ゆえに、閉線型包を求める方法として、まず線型包を求めてからその閉包を取るのが普通である。
K [ [ X ] ] = { ∑ k = 0 ∞ α k x k ∣ α k ∈ K } {\displaystyle \mathbb {K} [[X]]=\left\lbrace \,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}x^{k}\mid \alpha _{k}\in \mathbb {K} \,\right\rbrace }
において多項式の集合 A = {x | k ∈ N} を考えるとき、A の線型包 ⟨A⟩ は多項式全体の成す部分空間 K[X] に等しい:
⟨ A ⟩ = { ∑ i = 0 n α i x i ∣ α i ∈ K , n ∈ N } = K [ X ] . {\displaystyle \langle A\rangle =\left\lbrace \,\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {K} ,n\in \mathbb {N} \,\right\rbrace =\mathbb {K} [X].}