メビウス変換
任意の 2 × 2 複素正則行列
H = ( a b c d ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
に対して、メビウス変換
f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
を対応させる。ad − bc ≠ 0 なる条件は、先の行列の行列式が 0 でない(つまり正則である)という条件と等価である。
ふたつの行列の積が対応するふたつのメビウス変換の合成に対応することは、直接計算で確かめることができる。言葉を変えれば、一般線型群 GL(2, C) からメビウス群への写像
π : G L ( 2 , C ) → Aut ( C ^ ) ; H ↦ f {\displaystyle \pi \colon {\mathit {GL}}(2,\mathbb {C} )\to {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }});\quad {\mathfrak {H}}\mapsto f}
は、群準同型を定めている。ここで注意すべきは H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} を複素数 λ-倍して得られる行列はどれも同じメビウス変換に対応しているということであり、メビウス変換は対応する行列をそのようなスカラー倍の違いを除いて一意に決定するということである。
a = det ( z 1 w 1 w 1 1 z 2 w 2 w 2 1 z 3 w 3 w 3 1 ) {\displaystyle a=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}
b = det ( z 1 w 1 z 1 w 1 z 2 w 2 z 2 w 2 z 3 w 3 z 3 w 3 ) {\displaystyle b=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}}
c = det ( z 1 w 1 1 z 2 w 2 1 z 3 w 3 1 ) {\displaystyle c=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}
d = det ( z 1 w 1 z 1 1 z 2 w 2 z 2 1 z 3 w 3 z 3 1 ) {\displaystyle d=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}}
メビウス変換はもっと単純な変換の列に等価である。実際、
d/c による平行移動 f 1 ( z ) = z + d c , {\displaystyle f_{1}(z)=z+{d \over c},}
反転変換および実軸に関する鏡映変換 f 2 ( z ) = 1 z , {\displaystyle f_{2}(z)={1 \over z},}
拡縮変換(英語版)および回転変換 f 3 ( z ) = ( − ( a d − b c ) c 2 ) ⋅ z , {\displaystyle f_{3}(z)=\left({-(ad-bc) \over c^{2}}\right)\cdot z,}
a/c による平行移動 f 4 ( z ) = z + a c {\displaystyle f_{4}(z)=z+{a \over c}}
とおけば、これらの合成
( a − d ) 2 + 4 c b = ( a − d ) 2 + 4 a d − 4 = ( a + d ) 2 − 4 = ( tr H ) 2 − 4 {\displaystyle (a-d)^{2}+4cb=(a-d)^{2}+4ad-4=(a+d)^{2}-4=({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}-4}
となる。c = 0 の場合は二次方程式は一次方程式に退化してしまうが、これは不動点が無限遠にある状況に対応している。このときさらに a ≠ d ならもう一方の不動点は有限であり、
γ = − b a − d {\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}}
で与えられる。この場合のメビウス変換は、平行移動と回転変換および拡縮変換の合成として
z ↦ α z + β {\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta }
で与えられる単純な変換になる。いっぽう、c = 0 かつ a = d の場合は不動点がふたつとも無限遠にあるときで、メビウス変換が純粋な平行移動として
z ↦ z + β {\displaystyle z\mapsto z+\beta }
なる形に表される状況に対応している。