多重劣調和函数
f {\displaystyle f} が(微分可能性の)クラス C 2 {\displaystyle C^{2}} に属するとき、 f {\displaystyle f} が多重劣調和的であるための必要十分条件は、成分が
λ i j = ∂ 2 f ∂ z i ∂ z ̄ j {\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}
で与えられる、 f {\displaystyle f} のレヴィ行列としてよく知られている半正定値なエルミート行列である。同値ではあるが、 C 2 {\displaystyle C^{2}} -函数 f が多重劣調和的であるための必要十分条件は、 − 1 ∂ ∂ ̄ f {\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f} が正 (1,1)-形式であることである。
多重劣調和函数の集合は、半連続函数のベクトル空間において凸錐を形成する。すなわち、次が成立する。 f {\displaystyle f} が多重劣調和函数で c > 0 {\displaystyle c>0} が正の実数であるなら、函数 c ⋅ f {\displaystyle c\cdot f} も多重劣調和的。 f 1 {\displaystyle f_{1}} と f 2 {\displaystyle f_{2}} が多重劣調和函数であるなら、和 f 1 + f 2 {\displaystyle f_{1}+f_{2}} も多重劣調和的。
多重劣調和性は、局所的性質である。すなわち、函数が多重劣調和的であるとは、それが各点の近傍において多重列調和的であることと同値である。
f {\displaystyle f} が多重劣調和的であり、 φ : R → R {\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } が単調増加な凸函数であるなら、 φ ∘ f {\displaystyle \phi \circ f} は多重劣調和的である。
f 1 {\displaystyle f_{1}} と f 2 {\displaystyle f_{2}} が多重劣調和函数であるなら、函数 f ( x ) := max ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ) {\displaystyle f(x):=\max(f_{1}(x),f_{2}(x))} も多重劣調和的である。