コーシー積
整数 α > −1 および β > −1 に対し、数列 (an)n≥0 が A に (C, α)-総和可能、および数列 (bn)n≥0 が B に (C, β)-総和可能であるとすれば、それらのコーシー積は AB に (C, α + β + 1)-総和可能である。
同様にして、メルテンスの定理も対応するものに一般化できる
∑an が A に収束し、∑bn が B に収束するとき、少なくとも一方の級数が絶対収束ならば、それらのコーシー積も収束してその和は AB に等しい。
したがってメルテンスの定理は、定理の条件が満たされるならば一般化された形での分配法則が成り立つことを意味するものでもある。メルテンスの定理のある意味で逆となるものとして以下を挙げることができる:
各級数の添字 i, j を xy-直交座標系の第一象限(境界としての軸上の点を含む)内の格子点 (i, j) と見れば、コーシー積は対角線 x + y = 1 に平行な直線 x + y = k 上の格子点に関してとった和をすべての k に対して一つずつ加えたものであるから、この二重和の各項はすべての格子点に対して一度ずつ現れている。
また、上記の定義式の両辺に現れる三つの級数がそれぞれ収束して、右辺の値が左辺の二つの和の(数値としての)積に一致することは、無限和に対して一般化された意味の分配法則が成り立つことを示すものと考えることができる。(形式的な)分配法則による左辺の形式的な展開は、先と同様の格子点上を亙る和を(対角線でなく)軸に平行な直線族を使ってとった形になるから、これは格子点上の多重無限和の順序交換に関する主張であり、成り立つことも成り立たないことも起こり得る(フビニの定理も参照)。
実数 x, y を適当にとり、an = x/n!, bn = y/n! と置けば、それらのコーシー積は二項定理を用いて c n = ∑ i = 0 n x i i ! y n − i ( n − i ) ! = 1 n ! ∑ i = 0 n ( n i ) x i y n − i = ( x + y ) n n ! {\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}} と計算できる。これで形式冪級数として exp(x) = ∑an および exp(y) = ∑bn から exp(x + y) = ∑cn が示されたことになるが、二つの絶対収束級数のコーシー積の値は各級数の和の積に等しいのであったから、これにより任意の実数 x, y に対する実自然指数函数の指数法則 exp(x + y) = exp(x)exp(y) が示された。
任意の自然数 n に対し an = bn = 1 と置けば、それらの畳み込みは cn = n + 1 (∀n ∈ N) となるから、コーシー積 ∑cn の部分和の列は (1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ...) となって収束しない。