幾何化予想
3-次元多様体(もしくは、短く 3-多様体)は、局所的に 3次元の写像により記述される、つまり、小さな領域では通常の 3次元ユークリッド空間となるような位相空間のことを言う。しかし、3次元多様体の全体を、3次元空間の部分集合と考えることは一般にはできない。このことは 2次元で考えると明らかである。2次元の球面(英語版)(sphere)(つまり、曲面)は、局所的には 2次元の写像により拡張することができる(通常の地図もそのような平面のひとつである)。しかし、一度に 2次元のユークリッド平面上に、2-球面の全体を表すことはできない。この 2次元の例の 3次元での写像の類似物が(多様体を被覆する各々の開近傍どうしの交わり上の)座標変換であり、3次元多様体全体を決定する。
座標変換が可能(座標変換は連続であったり、微分可能であったり、無限回微分可能であったりする)か否かが、より高次元では問題となるが、次元 3 のときは該当せず、3-次元多様体の特別な性質を持っていると言える。
結局、3つのリー群の構造を持つ他の幾何学モデルが存在する。これらは、
S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} の幾何学の構造、特殊線型群 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} の普遍被覆である。
Nil-幾何学(英語版)(Nilmanifold)
Sol-幾何学(英語版)(Solvmanifold)
これら 3つの全ては、行列群の上の計量で記述され、群全体 S L 2 R {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\mathbb {R} } は行列式の値が 1 である可逆な 2 × 2 行列の群である。Nil-幾何学は、上三角行列で対角要素 3 x 3 が 1 であるべき零な上の幾何学であり(ハイゼンベルク群も参照)、Sol-幾何学は、上三角な 2 × 2 行列の全てからなる群(可解群)である。
リー群のように、これらの群は作用素の下での不変な計量を持っており、従って、等質である。
幾何化予想(geometrization conjecture)は、ウィリアム・サーストン(William Thurston)により、閉(closed) 3-次元多様体の分類のプログラムとして、1980年に提案された。幾何化の目的は、3-次元多様体を基本的なブロックに分解し、一つ一つのブロックでの幾何学的構造を特定できるような分解を見つけるプログラムであり、「常に基本ブロックへの分解が可能であろう」という予想を、サーストンの幾何化予想という。また、幾何化予想は、ポアンカレ予想の一般化となっており、グリゴリー・ペレルマン(Grigory Yakovlevich Perelman)により、リッチフローを使ったポアンカレ予想の証明の際にも使用された。
しかし、以上の分類に加え、3次元の場合の幾何学モデルは他にも存在する。この理由は、スカラーだけでは局所領域での形や平面上の点での曲率を決定できず、曲率がその点での平面通過方向へ依存するからである。すなわち、このことを説明するには、別の 3次元モデル
2-球面と直線との積 S 2 × R {\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }
を考える必要があるからである。
この空間は 3次元ユークリッド空間の中では表現することができないが、次のように想像することは可能である。3次元空間は、玉ねぎのように増加する半径を持つネストした 2-球面である。ここでネストした球面の半径が増加せず、内側や外側へいっても半径が定数 1 であることを想像すると、求める空間が得られる。代わりに、2球面が途切れることなく直線に沿って並んでいると想像することも可能である。