変数分離
n 変数関数
F ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
についての偏微分方程式を解くにあたって、その解の形を
F = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) ⋯ F n ( x n ) {\displaystyle F=F_{1}(x_{1})\,F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}
あるいは
F = f 1 ( x 1 ) + f 2 ( x 2 ) + ⋯ + f n ( x n ) {\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}
のように仮定すると、偏微分方程式がいくつかの常微分方程式になる場合がある。多くの場合、個々の変数に対して、微分方程式からは決定できない分離定数が現れることになる。
X ′′ ( x ) X ( x ) + Y ′′ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}+{\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=0}
すると X'' (x )/X (x ) は x のみの関数で、もう一つの項は y のみの関数だから、分離定数を用いて
X ′′ ( x ) X ( x ) = − Y ′′ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) = k {\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}=-{\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=k}
と書ける。これによって2つの常微分方程式
X ′′ ( x ) X ( x ) = k , X ′′ ( x ) = k X ( x ) {\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}=k,\quad X''(x)=kX(x)}
および
Y ′′ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) = − k , Y ′′ ( y ) + ( λ + k ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle {\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=-k,\quad Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}
が得られ、それぞれ解くことができる。もとの問題が境界値問題であるなら、その境界条件を用いて解を定めることができる。