複雑ネットワーク
数学的には、スモールワールド性はグラフの「平均最短距離」(固有パス長もしくは直径ともいう) L が頂点数 n の大きさに比べて小さい値となることで表現される。無方向・重み無しのグラフにおいて、任意の頂点 vi から頂点 vj へ行くまでに通過しなければならない辺の最小の本数を「パス長」(距離ともいう)、パス長の中で最短のものを ij 間の「最短距離」 dij と呼ぶが、dij の平均値がそのグラフの平均最短距離である。グラフにおいて n が増大したときに L が高々 log(n) に比例する程度でゆるやかに増加するとき、そのグラフはスモールワールド性を満たすと定義される。
スモールワールド性を持つグラフを数学モデルで表現することができるだろうか。まず2次元格子を考えると、グラフの端から端まで行くためにはいくつもの頂点を経由せねばならない。すなわち L は√n に比例する。n が増大すると L もかなり増大してしまうので、スモールワールド性を満たさない。一方、ランダムグラフでは頂点がランダムに繋がっているので、格子の場合と違って近道がありそうである。実際、ランダムグラフでは L = log(n) / log(pn) ∝ log(n) となる。この点では、ランダムグラフは現実世界のネットワークに近いといえる。