ボレル・カンテリの補題
確率論におけるボレル・カンテリの補題(ボレル・カンテリのほだい、英: Borel–Cantelli lemma)は、事象の列に関する命題である。一般的に見れば測度論の結果の一つ。名称は20世紀初頭にこの補題の記述を行ったエミール・ボレルとフランチェスコ・パオロ・カンテリ(英語版)にちなむ。これと関連した、ボレル・カンテリの第二補題と呼ばれることもある命題は、(完全に対称的ではないが)ボレル・カンテリの補題(第一補題)と帰結が反対になる。これらの補題はある種の条件下で事象の確率が0か1かのどちらかであることを述べており、0-1法則として知られる一連の定理の中で最も著名なものとなっている。0-1法則にはこの他にコルモゴロフの0-1法則やヒューイット・サヴェッジの0-1法則(英語版)がある。
Pr ( lim sup n → ∞ E n ) = Pr ( infinitely many of the E n occur ) = Pr ( ⋂ N = 1 ∞ ⋃ n = N ∞ E n ) = inf N ≥ 1 Pr ( ⋃ n = N ∞ E n ) ≤ inf N ≥ 1 ∑ n = N ∞ Pr ( E n ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)&=\Pr({\text{infinitely many of the }}E_{n}{\text{ occur}})\\[6pt]&=\Pr \left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)=\inf _{N\geq 1}\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\\&\leq \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})=0\end{aligned}}}
となり示された。