ボックス＝ミュラー法
Φ Z 1 ( ξ ) = 1 2 π ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π exp  ( i ξ r cos  θ − r 2 2 ) r d r d θ {\displaystyle \Phi _{Z_{1}}(\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\exp \left(i\xi r\cos {\theta }-{\frac {r^{2}}{2}}\right)rdrd\theta }
となるが、さらに変数変換
z = r cos  θ , w = r sin  θ , d z d w = | J | d r d θ = r d r d θ {\displaystyle z=r\cos {\theta },\,w=r\sin {\theta },\,dzdw=|J|drd\theta =rdrd\theta }
を行えば、
Φ Z 1 ( ξ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ exp  ( i ξ z − z 2 + w 2 2 ) d z d w = exp  ( − ξ 2 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z_{1}}(\xi )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(i\xi z-{\frac {z^{2}+w^{2}}{2}}\right)dzdw\\&=\exp \left(-{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)\end{aligned}}}
を得る。これは、標準正規分布 N(0, 1) の特性関数にほかならない。