イデアル (環論)
単項生成なイデアル。
後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。イデアル (Ideal) という名称は、理想数に由来する名前である。
現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
A = 2R + (1 + √5i)R,
B = 2R + (1 − √5i)R,
C = 3R + (1 + √5i)R,
D = 3R + (1 − √5i)R
とすれば、
6R = A × B × C × D
であり、
2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5i)R = A × C,
(1 − √5i)R = B × D,
すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5i, 1 − √5i はそもそも R における 6 の素因数ではない。これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。