ウェーブレット
大まかに、離散ウェーブレット変換はデータ圧縮に使われる一方で、連続ウェーブレット変換は信号解析に使われる。その結果として、離散ウェーブレット変換は工学と計算機科学において一般的に使われ、連続ウェーブレット変換は科学研究においてもっともよく使われている。ウェーブレット変換は、現在非常に多くの様々な用途に、しばしば従来のフーリエ変換を置き換えて使用されている。分子動力学、第一原理計算、宇宙物理学、密度行列局在、地震地球物理学、光学、乱流そして量子力学を含む、物理学の多くの分野でこのパラダイムシフトが起こった。この変化が起こった他の分野は画像処理、血圧、心拍やECGの解析、DNA解析、タンパク質解析、気候学、一般的な信号処理、音声認識、コンピュータグラフィックスそしてマルチフラクタル解析(英語版)である。コンピュータビジョンや画像処理において、尺度空間(英語版)表現やガウス微分オペレータの概念は正規化された多重解像度表現の一つであると考えられている。
ウェーブレット(およびウェーブレット族)の定義の仕方には様々な方法がある。
bは任意の実数でありシフトを決定する。(a,b)のペアは、 R + × R {\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} } の上半面において定義される。
関数xをスケールaの部分空間へ投影すると、以下の式で示される。
x a ( t ) = ∫ R W T φ { x } ( a , b ) ⋅ ψ a , b ( t ) d b {\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\phi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}
但し、WTはウェーブレット係数である。
W T φ { x } ( a , b ) = ⟨ x , ψ a , b ⟩ = ∫ R x ( t ) ψ a , b ( t ) ̄ d t {\displaystyle WT_{\phi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\overline {\psi _{a,b}(t)}}\,dt} .
信号xの解析のためには、ウェーブレット係数をスケーログラム(英語版)にする。