スピン角運動量
により定義すると、 ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} は W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}} 上の内積を保つ線形写像である。明らかに ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} は対称テンソルを対称テンソルに移すので、 ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)} の W u = W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{u}=W_{1/2}{}^{\odot 2u}} への制限写像を、
D u ( U ) = ( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) ( U ) | W u {\displaystyle D^{u}(U)=(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)(U)|_{W_{u}}} ...(N1)
と定義する。
D u ( U ) {\displaystyle D^{u}(U)} は内積を保つので、これは
D u ( U ) ∈ U ( W u ) {\displaystyle D^{u}(U)\in {\mathsf {U}}(W_{u})}
を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である。
..(G1)
ユニタリ群 U ( V ) = { U : V {\displaystyle \mathrm {U} (V)=\{U~:~V} 上の線形写像で、 U U ∗ = I } {\displaystyle UU^{*}=I\}} ...(G2)
特殊ユニタリ群 S U ( V ) = { U : V {\displaystyle \mathrm {SU} (V)=\{U~:~V} 上の線形写像で、 U U ∗ = I , d e t U = 1 } {\displaystyle UU^{*}=I,~\mathrm {det} U=1\}} ...(G3)
ベクトル空間VがCである場合は、U(V)、SU(V)の事をそれぞれU(n)、SU(n)と表記する。
GをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとするとき、集合
g = { d  R ( t ) d  t | t = 0 : R ( t ) {\displaystyle {\mathsf {g}}={\Bigg \{}{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}~:~R(t)} は G 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる } {\displaystyle {\Bigg \}}} ...(G4)
をGのリー環と呼び、 g {\displaystyle {\mathsf {g}}} の元をG上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、 g {\displaystyle {\mathsf {g}}} が行列の交換子積
よって SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。
2つの解決方法の同値性
上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは Spin(3) のユニタリ表現と SO(3) の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、πs(S) をスピン群の元 S の Vs 上のユニタリ表現とし、γ(R) を回転行列 R の Vs 上の射影ユニタリ表現とすると、(適切に同型なものと置き換えれば)以下の図式が可換になる。ここで proj は同値類を取る写像。
S p i n ( 3 ) ⟶ Φ 3 S O ( 3 ) π s ↓ ↺ γ ↓ U ( V s ) ⟶ proj P U ( V s ) {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathrm {Spin} (3)&{\overset {\Phi _{3}}{\longrightarrow }}&\mathrm {SO} (3)\\\pi _{s}{\Big \downarrow }&\circlearrowleft &\gamma {\Big \downarrow }\\\mathrm {U} (V_{s})&{\overset {\text{proj}}{\longrightarrow }}&\mathrm {PU} (V_{s})\end{array}}}
軌道角運動量を定義する際SO(3)の無限小変換の集合so(3)が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはSpin(3) = SU(2) の「無限小変換」全体の集合spin(3)=su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、
s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) = { d  U ( t ) d  t | t = 0 : U ( t ) {\displaystyle {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)={\Bigg \{}{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}~:~U(t)} は Spin(3)=SU(2) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる } {\displaystyle {\Bigg \}}} . = { A ∈ M 2 , 2 ( C ) : A ∗ = − A , t r A = 0 } {\displaystyle =\{A\in M_{2,2}(\mathbf {C} )~:~A^{*}=-A,~\mathrm {tr} A=0\}} ...(L1)
である。su(2) 上に内積
⟨ A , B ⟩ := 2 t r ( A B ∗ ) {\displaystyle \langle A,B\rangle :=2\mathrm {tr} (AB^{*})} ...L2
を定義すると、su(2) は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。
次にsu(2) の基底について述べる。パウリ行列 σ1, σ2, σ3 を
スピン角運動量(スピンかくうんどうりょう、英: spin angular momentum)は、電子をはじめとする量子力学上の素粒子や複合粒子の固有の「角運動量」とされる波動特性である。単にスピンとも呼ばれる。
スピンという呼称こそは古典的な物体のスピンすなわち自転に由来する。量子力学上のスピンには何かが回転しているといった意味は無いが、物体の回転と関わりがあることは否定されていない。単位は古典的スピンと同じ[N m s]や[J s]であり、多くの場合、換算プランク定数 ħ {\displaystyle \hbar } との比である量子数で表す。
なお、粒子の回転運動に由来する角運動量は軌道角運動量と呼ばれる。スピン角運動量と軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。
である。特に
( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s u ( 2 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {su}}(2)} ...(D3)
は同型写像である。
(X4)より、Spin(3)上の曲線U(t)は3次元空間曲線x(t)∈Rを用いて
U ( t ) = exp  ( X x ( t ) ) {\displaystyle U(t)=\exp(X_{\mathbf {x} (t)})}
という形で表記できる。x=(x1,x2,x3)=x(0)とすると、任意のY=v1X1+v2X2+v3X3∈spin(3)=su(2)に対し、
[ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA}
に関して環をなすからである。SO(3)、U(V)、SU(V)のリー環はそれぞれ、
s o ( 3 ) = { F ∈ M n , n ( R ) : t F = − F } {\displaystyle {\mathsf {so}}(3)=\{F\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}F=-F\}} ...(G5)
u ( V ) = { A : A {\displaystyle {\mathsf {u}}(V)=\{A~:~A} はV上の線形写像で、 A ∗ = − A } = { A : A {\displaystyle A^{*}=-A\}=\{A~:~A} はV上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}} ...(G6)
s u ( V ) = { A : {\displaystyle {\mathsf {su}}(V)=\{A~:~} はV上の線形写像で、 A ∗ = − A , t r A = 0 } {\displaystyle A^{*}=-A,~\mathrm {tr} A=0\}} ...(G7)
である。so(3)が上述した形になるのは以下の理由による。R(t)をSO(3) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となるものとすると、SO(3) の定義より、
t R ( t ) R ( t ) = I {\displaystyle {}^{t}R(t)R(t)=I}
なので、その t = 0 での微分は
通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られている
定理2 ― s が整数であっても半整数であっても、SO(3) の Vs 上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。
本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。
射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。
スピン群を用いた解決方法
今一つの解決は、SO(3) の代わりに3次元スピン群 Spin(3) を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。n 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。(このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている):
可微分準同型写像 Φn: Spin(n) → SO(n) で、2:1 の全射となるものが存在する。