極限 (圏論)
極限と余極限は重要な普遍構成である。Cを圏とし、Jを小さな添え字圏とする。関手圏Cは形がJであるCの図式全体からなる圏と考えることができる。対角関手
Δ : C → C J {\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}
とはCの対象Nを値がNである定数関手 Δ(N) : J → Cに対応させる関手のことをいう。すなわち、Jの各対象Xにたいして、Δ(N)(X) = Nであり、Jの各射 f にたいして、Δ(N)(f) = idN である。
図式F: J → Cが与えられたとき(Cの対象だと思うことで)、自然変換ψ : Δ(N) → F (これはたんに圏Cの射のことである)はNからFへの錐と同じものである。ψのコンポーネントは射 ψX : N → F(X) である。双対的に、自然変換ψ : F → Δ(N) はFからNへの余錐と同じものである。
極限と余極限の定義は次の形に言い直すことができる。
Fの極限はΔからFへの普遍射である
Fの余極限はFからΔへの普遍射である