円分多項式
a を整数とし、g を a の p を法とする位数とするとき、p が Φn(a) の素因数であることは n = gp (e ≥ 0) と書けることと同値である。よって、Φn(a) の素因数は n の約数であるか、または n を法として 1 と合同である。このことから、任意の整数 n に対して、n を法として 1 と合同である素数が無限に多く存在することが導かれる。これはディリクレの算術級数定理の特別な場合である。
Φn(a) は少数の例外を除いて必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。実際、
Φ n ( x , y ) = ∑ m = 0 φ ( n ) a n m x m y φ ( n ) − m {\displaystyle \Phi _{n}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{m=0}^{\varphi (n)}a_{nm}x^{m}y^{\varphi (n)-m}}
円分多項式(えんぶんたこうしき、英: cyclotomic polynomial, 独: Kreisteilungspolynom)とは、1の冪根に関連のある多項式である。具体的には次の式で定義される多項式 Φn(x) を指す。
Φ n ( x ) = ∏ 1 ≤ k ≤ n gcd  ( k , n ) = 1 ( x − e 2 π i k n ) . {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\textstyle \prod \limits _{1\leq k\leq n \atop \operatorname {gcd} (k,n)=1}\left(x-e^{\frac {2\pi ik}{n}}\right).}
この定義からは明らかではないが、これは係数が整数の多項式で、さらに有理数体上の既約多項式である。多項式 x − 1 は次のように円分多項式の積として既約分解される。
x n − 1 = ∏ d ∣ n Φ d ( x ) . {\displaystyle x^{n}-1=\textstyle \prod \limits _{d\mid n}\Phi _{d}(x).}
英語の「cyclotomic」という言葉は古代ギリシャ語の「円 (cyclo)」と「分ける (tomos)」に由来する。