ガンマ行列
となる。行列の添え字は a, b = 1, ..., 2(d が偶数の場合は k = d/2、奇数の場合は k = (d + 1)/2 の範囲を動く。また、重複して現れる添え字についてはアインシュタインの規約に従い、和をとるものとする。
時空の添え字の上げ下げは、計量によって行われる。
γ μ = g μ ν γ ν , γ μ = g μ ν γ ν {\displaystyle \gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu },~\gamma ^{\mu }=g^{\mu \nu }\gamma _{\nu }}
γ 0 = γ 0 , γ j = − γ j {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma ^{0},~\gamma _{j}=-\gamma ^{j}}
ここで j = 1, ..., d − 1 は空間成分である。(以下同じ)
γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}} は固有値 ±1 であり、 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} は固有値 ±i である。従ってエルミート共役に対して、
( γ 0 ) † = γ 0 , ( γ j ) † = − γ j {\displaystyle (\gamma ^{0})^{\dagger }=\gamma ^{0},~(\gamma ^{j})^{\dagger }=-\gamma ^{j}}
が成り立つような行列で表示することができる。つまり、 γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}} はエルミート行列、 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} は反エルミート行列になるように表示することができる。このような表示をしたとき、まとめて
( γ μ ) † = γ 0 γ μ γ 0 {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}}
と表すことができる。一般にエルミート性は持たないことに注意されたい。