ラドン測度
可積分関数の空間 L(X, μ) に属する関数の積分を(μ が L(X, μ) の位相に関して連続であることを確かめた後)連続性による拡張と定義する。
集合の指示関数の積分が存在すれば、それをその集合の測度と定める。
このような段階を踏んで得られた理論が、ラドン測度を X 上の各ボレル集合に数を割り当てる関数として定義することから始めて得られる理論と一致することを確認することができる。
R 上のルベーグ測度をこのように関数解析的な構成によって導入する方法がいくつかある。一つは、ダニエル積分やコンパクト台付き連続関数に対するリーマン積分(あるいは初等的な積分の定義に対するどのような積分についても)のような初等的な積分に依拠するものである。それら初等的な積分によって定義される、先ほど述べた意味での測度は、ちょうどルベーグ積分になる。いま一つは、リーマン積分やダニエル積分やそれに類する理論に依ることなしに、ハール測度の一般論をまず展開し、R 上のハール測度 λ で正規化条件 λ([0, 1]) = 1 を満足するものとしてルベーグ測度を定めればよい。