環 (数学)
環論の歴史的な動機付けとなった例として整数や代数的整数のなす環があげられる。
有理数全体の成す集合 Q、実数の全体の成す集合 R あるいは複素数の全体の成す集合 C はそれぞれ環をなす。実際、それらは体でもある。
n を正の整数とするとき、n を法とする整数の集合 Z / nZ は環である(この記法については、以下の剰余環を参照)。
閉区間 [a, b] で定義されるすべての実数値連続関数のなす集合 C[a, b] は環(さらに実数体上の多元環 )をなす。演算は関数の各点での値ごとに関する加法と乗法で入れる。すなわち、関数 f(x) および g(x) の和と積は、次のような値をとる関数として定義される。 ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)}
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, · ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による(台となる加法群 (R, +) に関する)剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I)(b + I) = (ab) + I.
という演算を入れたものをいう。ただし、a, b は R の任意の元である。
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
の形に表されることをいう。また主イデアル整域 (PID) とは整域でもある主イデアル環をいう。
環が主イデアル整域であるという条件は、環に対するほかの一般的な条件よりもいくぶん強い制約条件である。例えば、R が一意分解整域 (UFD) ならば R 上の多項式環も UFD となるが、R が主イデアル環の場合同様の主張は一般には正しくない。整数環 Z は主イデアル環の簡単な例だが、Z 上の多項式環は R = Z[X] は PIR でない(実際 I = 2R + XR は単項生成でない)。このような反例があるにもかかわらず、任意の体上の一変数多項式環は主イデアル整域となる(実はさらに強く、ユークリッド整域になる)。より一般に、一変数多項式環が PID となるための必要十分条件は、その多項式環が体上定義されていることである。
PIR 上の多項式環のことに加えて、主イデアル環は、可除性に関して有理整数環との関係を考えても、いろいろと興味深い性質を有することが分かる。