有限体
K を有限体とし、その位数を q とする。K の素体の位数も有限であるから、K はある素数 p に対する有限体 Fp = Z/pZ を素体として含み、素体 Fp の有限次代数拡大である。その拡大次数 [K : Fp] が n ならば、加法群として K は n 次元の Fp-ベクトル空間と同型であるので、K の位数 q は p に一致する。また乗法群 K は位数 q − 1 の巡回群と同型である。
K を含む Fp の代数閉包を (Fp) とする。このとき K は、 (Fp) の元で、重根を持たない方程式 x − x = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。特に位数が p の有限体は同型を除いて唯一つ存在する。この一意性により、位数 q の有限体を Fq または GF(q) などと表すことがある。また、有限体 Fq と自然数 m に対し Fq の m 次拡大体は唯一つ存在し、Fq と同型であるということも分かる。さらに Fq の各元の Fq 上の最小多項式は x − x を割り切るので、有限体の拡大はすべて分離的である。つまり有限体は完全体である。さらに q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像