ヤングの定理
シュワルツの超関数の理論は対称性の解析的問題を除去する。任意の可積分関数の導関数は超関数として定義でき、この意味で、混偏導関数の対称性は常に成り立つ。超関数の微分は形式的な部分積分によって定義され、偏導関数の対称性の問題はテスト関数の対称性に帰着するが、テスト関数は滑らかであり確かにこの対称性を満たす。より詳細には、f をテスト関数上の作用素として書かれた超関数、φ をテスト関数として、
( D 1 D 2 f ) [ φ ] = − ( D 2 f ) [ D 1 φ ] = f [ D 2 D 1 φ ] = f [ D 1 D 2 φ ] = − ( D 1 f ) [ D 2 φ ] = ( D 2 D 1 f ) [ φ ] . {\displaystyle (D_{1}D_{2}f)[\phi ]=-(D_{2}f)[D_{1}\phi ]=f[D_{2}D_{1}\phi ]=f[D_{1}D_{2}\phi ]=-(D_{1}f)[D_{2}\phi ]=(D_{2}D_{1}f)[\phi ].}
別のアプローチとして、関数のフーリエ変換を定義する方法がある。そのような変換の下では、偏微分は乗算作用素になり、それらは明らかに交換する。