類体論
有限次拡大 L/K に対して [Im : Hm(L/K)] = [L : K] が成り立つとき、L を(高木の意味での)類体(class field)という。アルティン相互法則より、すべてのアーベル拡大は類体である。高木はこれを「アアベル体即ち類体」と言い表した。これを基本定理と呼ぶ。
任意の類体はガロア拡大であり、またそのガロア群はアーベル群なので、類体は基礎の体上のアーベル拡大である。よって、基本定理と合わせると、類体とアーベル拡大とは完全に同義である。こうして、類体論が確立された結果、アーベル拡大と類体は同じものであることが判明したため、類体論の主要な結果に「類体」の語が現れないのである。
アルティン相互法則から Im/Hm(L/K) と Gal(L/K) は同型である。これを同型定理と呼ぶ。再びアルティン相互法則から、素イデアル p のイデアル類群における位数と拡大 L/K におけるこの素イデアルの剰余次数は等しい。これを分解定理と呼ぶ。歴史的には、同型定理と分解定理が(基本定理などと一緒に)まず高木によって証明された後、アルティンによって相互法則が証明された。現代ではこれらの定理はアルティン相互法則の系として証明されるようになった。
Hm(L/K) を高木群(Takagi group)、アルティン写像の核をアルティン群(Artin group)と呼ぶことがある。この言葉を使えば、相互法則の核に対する主張は「アルティン群と高木群は等しい」と言い表すことができる。古くはこのように言い表されていた。Nm(L/K) がアルティン写像の核に入ることは簡単に分かるので、このことの実質的な内容は Pm がアルティン写像の核に入るということである。
主イデールは φK の核に含まれる。つまり φ K ( K × ) = { 1 } {\displaystyle \varphi _{K}(K^{\times })=\{1\}}
が成り立つ。また任意の有限次アーベル拡大 L/K に対して φK から自然に同型 φ L / K : C K / N L / K C L → ≃ G a l ( L / K ) {\displaystyle \varphi _{L/K}:C_{K}/N_{L/K}C_{L}{\stackrel {\simeq }{\to }}\mathrm {Gal} (L/K)}
が誘導される。ここで NL/F はイデール類群のノルム写像である。