エネルギー演算子
相対論的な質量とエネルギーの関係式(英語版)を考える:
E 2 = ( p c ) 2 + ( m c 2 ) 2 {\displaystyle E^{2}=({\boldsymbol {p}}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}
ここで E は全エネルギー、p は粒子の全3次元運動量、m は不変質量、c は光速度である。この式から、シュレーディンガー方程式の場合と同様にして、クライン-ゴルドン方程式を得ることができる:
E ^ 2 Ψ = c 2 p ^ 2 Ψ + ( m c 2 ) 2 Ψ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}}
ここで ˆp は運動量演算子である。これは次のように書き直せる:
∂ 2 Ψ ∂ ( c t ) 2 = ∇ 2 Ψ − ( m c ħ ) 2 Ψ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial (ct)^{2}}}=\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\Psi }
更に、ダランベルシアン □ を用いると次のように書きなおせる。
[ ◻ − ( m c ħ ) 2 ] Ψ = 0 {\displaystyle \left[\Box -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\Psi =0}
エネルギー演算子は系の全エネルギーに対応している。シュレーディンガー方程式は量子系のゆっくり変化する(非相対論的な)波動関数の空間・時間依存性を記述する。結合系に対するこの方程式の解は離散的(エネルギー準位で各々特徴づけられる、許容状態の集合)であり、このことが量子という概念をもたらす。