進化的安定戦略
停留点 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} のある近傍Uが存在し、任意の p ( 0 ) ∈ U {\displaystyle \mathbf {p} (0)\in U} に対し、 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } のとき p ( t ) → p 0 {\displaystyle \mathbf {p} (t)\to \mathbf {p} _{0}} が成立する時、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} はattractingであるという。
停留点 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が安定でかつattractingなとき漸近的に安定(asymptotically stable)もしくはアトラクター(attractor)であるという。
本節では E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の線形性の概念を定義する。
定義G2(個体群戦略に関する線形性) ― 任意の個体戦略 τ {\displaystyle \tau } と任意の個体群戦略 ∑ i = 1 m ε i δ σ i {\displaystyle {\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}}} に対し、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が
E ( τ , ∑ i = 1 m ε i δ σ i ) = ∑ i = 1 m ε i E ( τ , δ σ i ) {\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\tau ,\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}\right)=\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}{\mathcal {E}}(\tau ,\delta _{\sigma _{i}})}
を満たすとき、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は個体群戦略に関して線形である、もしくは右線形であるという。
行列ゲームにおける混合戦略のように、戦略空間上に線形和が定義できる場合には、左線形性も同様に定義できる:
定義G3(個体戦略に関する線形性) ― 任意の自然数m、 任意の個体戦略 τ 1 , ...
以上の準備の元、進化的安定性の概念を一般化する。集合Xを一つ固定し、これを戦略空間と呼び、Xの元を戦略ないし個体戦略と呼ぶ。そして任意の戦略σ1,...σm∈Xに対し、形式和
∑ i = 1 m ε i δ σ i {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}} ( 0 ≤ ε ≤ 1 , ∑ i ε i = 1 ) {\displaystyle (0\leq \varepsilon \leq 1,~~\textstyle \sum _{i}\varepsilon _{i}=1)}
を個体群戦略と呼ぶ。さらに戦略τと個体群戦略 ∑ i = 1 n ε i δ σ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}} の組に利得と呼ばれる実数を対応させる関数
E : ( τ , ∑ i = 1 n ε n δ σ n ) ↦ R {\displaystyle {\mathcal {E}}~:~(\tau ,{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{n}\delta _{\sigma _{n}}})\mapsto \mathbf {R} }
を一つ固定し、この関数を利得関数と呼ぶ。
と書け、しかも E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が多型-単型同値であるとする。 このとき σ ∗ ∈ X {\displaystyle \sigma _{*}\in X} が進化的安定である必要十分条件は以下の性質(局所優位性、local superiority)を満たす事である: ある ε 0 > 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}>0} が存在し、Xの任意の元 σ ≠ σ ∗ {\displaystyle \sigma \neq \sigma _{*}} に対し、
d ( σ ∗ , σ ) < ε 0 ⇒ E ( σ ∗ , σ ) > E ( σ , σ ) {\displaystyle \mathrm {d} (\sigma _{*},\sigma )<\varepsilon _{0}~\Rightarrow ~E(\sigma _{*},\sigma )>E(\sigma ,\sigma )}
ここでdは(2)式により定義される X = Δ n {\displaystyle X=\Delta _{n}} 上の距離であるが、定理2と同様、dと同一の位相を定める距離であれば他のものでもよい。
(Eq-R3)においてm=2であれば、 x = x 1 ( t ) {\displaystyle x=x_{1}(t)} 、 q = q 1 {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} _{1}} 、 q ^ = q 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=\mathbf {q} _{2}} と略記すると、 x 2 = 1 − x {\displaystyle x_{2}=1-x} なので、(Eq-R3)に登場するm=2本の式はいずれも
x ̇ = x ( 1 − x ) { x ( q − q ^ ) T A q + ( 1 − x ) ( q − q ^ ) T A q ^ ) } {\displaystyle {\dot {x}}=x(1-x)\{x(\mathbf {q} -{\hat {\mathbf {q} }})^{T}A\mathbf {q} +(1-x)(\mathbf {q} -{\hat {\mathbf {q} }})^{T}A{\hat {\mathbf {q} }})\}} ...(Eq-R4)
に同値である事が簡単な計算から確かめられる。このとき、次が成立する事が知られている:
定理R8 ― 行列Aに関する行列ゲームにおいて混合戦略 q ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}} が混合戦略 q {\displaystyle \mathbf {q} } に対して進化的安定である必要十分条件は(Eq-R4)が漸近的に安定である事である。
進化的安定性とは、何らかの混合戦略が集団の中で支配的になるための条件である。すなわち、混合戦略 σ が進化的に安定であるとは、直観的には、集団の中に戦略σがすでに広まっている状況下において、 別の混合戦略τ を取る個体が少数侵入してきたとしても、それが排除される事をいう。
より詳しく言うと、たとえσ に近い別の混合戦略 τ を取る個体群が集団に少数侵入してきたとしても、戦略σ を取る個体と戦略τを取る個体が2者間で戦った際、前者の個体の方がより高い利得が期待できるため、戦略τを取る個体は自然選択により、いつしか集団から消えてしまう、という事である。
これまで本稿では、行列ゲームに対する進化的安定性を議論してきたが、行列ゲームは下記のような条件を満たす場合にしか現実世界の生物の闘争をモデル化できない:
ゲームは一度しか行われない
各個体がとれる純粋戦略の個数は有限である
各個体がどの純粋戦略を取るのかはゲーム開始時点にランダムに選ぶ事ができる
ゲームは常に2個体で行われる
全ての個体に対して同一の利得関数が適用される事が前提としている
しかし実際の生物学における応用では、以上の条件を満たさない事も多い:
多くの状況では各個体はその生涯において何度も他の個体と闘争を繰り返すので、ゲームを繰り返し行う形でモデル化した方が自然な場合が多い
「植物が種を飛ばす飛距離」や「動物が行動を起こすまでの時間」のように純粋戦略として連続量を取る事ができるケースでは純粋戦略の個数は無限にある
哺乳類の配偶戦略のように「オスかメスか?」という生まれた段階で決定する戦略は、ゲーム開始時点にランダムに選ぶ事はできない
草むらで種をばらまいて近くにいる他の全ての個体と種のばらまく位置を争うケースのように、複数個体と争うゲームも多い
「オスとメス」、「テリトリーを守る個体とそこに侵入する個体」のように非対称な闘争では、闘争する個体がどちらの立場にいるのかで利得関数が異なるはずである
本章の目標は上で述べたような、行列ゲームの範疇に収まらないより一般的なゲームに対して進化的安定性を定義する事である。
..
を用いて
f i ( x ( t ) ) = ∑ j x j ( t ) E ( q i ( t ) , q j ( t ) ) ) + β = q i ( t ) T A q x ( t ) + β {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} (t))=\sum _{j}x_{j}(t)E(\mathbf {q} _{i}(t),\mathbf {q} _{j}(t)))+\beta =\mathbf {q} _{i}(t)^{T}A\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)+\beta }
と表記できるので、
x i ( t + 1 ) = q i T A q x ( t ) + β q x T A q x ( t ) + β x i ( t ) for i = 1 , ... , m {\displaystyle x_{i}(t+1)={\mathbf {q} _{i}^{T}A\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)+\beta \over \mathbf {q} _{\mathbf {x} }^{T}A\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)+\beta }x_{i}(t)~~~~~~{\text{for }}i=1,\ldots ,m} ...(Eq-R6)
となる。なお(Eq-R6)より明らかに比の等式