冪級数
これはすべての解析関数は局所的にテイラー級数によって表されることを意味する。
解析関数の大域的な形はその局所的な振る舞いによって次の意味で完全に決定される: f と g が同じ連結開集合 U 上定義された2つの解析関数で、ある元 c ∈ U が存在してすべての n ≥ 0 に対して f(c) = g(c) が成り立つとき、すべての x ∈ U に対して f(x) = g(x) である。
収束半径 r の冪級数が与えられると、級数の解析接続を考えることができる。つまり { x : |x − c| < r } よりも(一般的には)大きい集合上で定義され、この集合上では与えられた冪級数に一致するような解析関数 f を考えることができる。そのとき収束半径 r は、cを中心として級数の解析接続fが解析的ではない複素数の点xを周上に持つような最小の円板の半径になる。冪級数が収束する範囲の複素円板をその級数の収束円と呼ぶ。(冪級数によってはその収束円がその冪級数の定義する解析関数の自然境界となっていてそれを超えた解析接続がまったく行えないものもある。)
解析関数の逆関数の冪級数展開はラグランジュの反転定理(英語版)を用いて決定することができる。
冪級数の取り扱いには大きく分けて二つある。四則演算などの代数的性質のみに着目する形式冪級数と、関数などの解析的性質に着目する収束冪級数である。
数列 (an)n∈N が有限列であるとき、つまり適当な自然数 m があって、n>mなら必ず an = 0 が成り立つような列であるとき、これを係数列とすることによって得られる形式冪級数
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }
は実質的に有限個の項からなり、多項式である。
多項式に対してはその係数列の有限性から係数が 0 にならない添字の最大値 max{n∈N | an ≠ 0} として次数 deg(f) を考えることができたが、冪級数に対して同じことを考えるとほとんど全部の冪級数の次数は無限大であり、したがって、形式冪級数は形の上では多項式の次数を無限大に飛ばした類似物であると見ることができる一方で、形式冪級数に対して次数を考えてもほとんど何の役にも立たないということになる。
R あるいは C の開集合上定義された関数 f が解析的 (analytic) であるとは、局所的に収束冪級数によって与えられることをいう。つまり、すべての a ∈ U はある開近傍 V ⊆ U を持ち、a を中心に持つ冪級数ですべての x ∈ V に対して f(x) に収束するものが存在することをいう。
収束半径が正のすべての冪級数はその収束域の内部で解析的である。すべての正則関数は複素解析的である。解析関数の和や積は解析的であり、商も分母が非零である限り正則である。
関数が解析的であれば、無限回微分可能であるが、実の場合には逆は一般には正しくない。解析関数に対し、係数 an は
a n = f ( n ) ( c ) n ! {\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}
と計算できる。ここで f ( n ) ( c ) {\displaystyle f^{(n)}(c)} は f の c における n 階微分を表し、 f ( 0 ) ( c ) = f ( c ) {\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)} である。