算術の超準モデル
を考える。これは同値関係となる。各々の同値類は
[ x ] = { x + n | n ∈ Z } {\displaystyle \left[x\right]=\{x+n|n\in \mathbb {Z} \}}
の形をしていることが分かる。商集合 Q = M ′ / E {\displaystyle {\mathcal {Q}}=M'/E} 上の二項関係を
[ x ] ≪ [ y ] ⟺ x < y and y − x ∈ M ′ {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]\iff x<y{\text{ and }}y-x\in M'}
で定めると、これはwell-definedであって、全順序となることが分かる。このとき、 M ′ {\displaystyle M'} の2元 u , v {\displaystyle u,v} について、 u < v {\displaystyle u<v} であることと、次の条件は同値である:
[ u ] = [ v ] {\displaystyle \left[u\right]=\left[v\right]} であって、 u = x + n , v = x + m {\displaystyle u=x+n,v=x+m} と書いたとき n < m {\displaystyle n<m} ;もしくは
[ u ] ≪ [ v ] {\displaystyle \left[u\right]\ll \left[v\right]}
したがって M ′ {\displaystyle M'} の順序は Z × Q {\displaystyle \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} 上の逆辞書式順序となっている。
最後に Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} の順序構造を調べる。任意の x ∈ M ′ {\displaystyle x\in M'} に対して [ x ] ≪ [ 2 x ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[2x\right]} が成り立つ。任意の元は偶数または奇数であることはペアノ算術で証明できる。よって x {\displaystyle x} はある y ∈ M {\displaystyle y\in M} によって x = 2 y , 2 y + 1 {\displaystyle x=2y,2y+1} のいずれかの形に表せる。またこのとき y ∈ M ′ {\displaystyle y\in M'} であり、 [ y ] ≪ [ x ] {\displaystyle \left[y\right]\ll \left[x\right]} が成り立つ。