レヴィ–プロホロフ計量
( M , d ) {\displaystyle (M,d)} を、ボレル完全加法族 B ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(M)} を備える距離空間とする。可測空間 ( M , B ( M ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))} 上の全ての確率測度の系を P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} で表す。
部分集合 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} に対し、そのε-近傍(英語版)を
A ε := { p ∈ M | ∃ q ∈ A , d ( p , q ) < ε } = ⋃ p ∈ A B ε ( p ) {\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}
で定義する。ここで B ε ( p ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(p)} は p {\displaystyle p} を中心とする半径 ε {\displaystyle \varepsilon } の開球とする。
レヴィ–プロホロフ計量 π : P ( M ) 2 → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )} は、二つの確率測度 μ {\displaystyle \mu } と ν {\displaystyle \nu } の間の距離を
π ( μ , ν ) := inf { ε > 0 | μ ( A ) ≤ ν ( A ε ) + ε and ν ( A ) ≤ μ ( A ε ) + ε for all A ∈ B ( M ) } {\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}}
と定めることによって、定義される。
確率測度に対して π ( μ , ν ) ≤ 1 {\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1} が成り立つことは明らかである。
人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである A {\displaystyle A} のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。