非整数ブラウン運動
過去の増分と未来の増分との相関関数は次のように計算される。
C Δ B H ( t ) = E [ ( B H ( t ) − B H ( t − Δ t ) ) ( B H ( t + Δ t ) − B H ( t ) ) ] E [ ( B H ( t ) − B H ( t − Δ t ) ) 2 ] = σ 2 ( 2 2 H − 1 − 1 ) | Δ t | 2 H σ 2 | Δ t | 2 H = 2 2 H − 1 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\Delta B_{H}}(t)&={\frac {E[(B_{H}(t)-B_{H}(t-\Delta t))(B_{H}(t+\Delta t)-B_{H}(t))]}{E[(B_{H}(t)-B_{H}(t-\Delta t))^{2}]}}\\&={\frac {\sigma ^{2}(2^{2H-1}-1)|\Delta t|^{2H}}{\sigma ^{2}|\Delta t|^{2H}}}\\&=2^{2H-1}-1\end{aligned}}}
E [ ( B H ( λ t ) ) 2 ] = | λ | 2 H E [ ( B H ( t ) ) 2 ] {\displaystyle E[(B_{H}(\lambda t))^{2}]=|\lambda |^{2H}E[(B_{H}(t))^{2}]\,}