ゾンマーフェルト展開
温度について二次の項まで展開式を求めたい。ここで、 β − 1 = τ = k B T {\displaystyle \beta ^{-1}=\tau =k_{B}T} を温度とボルツマン定数の積とする。まず、変数変換 τ x = ε − μ {\displaystyle \tau x=\varepsilon -\mu } により次を得る。
I = ∫ − ∞ ∞ H ( ε ) e β ( ε − μ ) + 1 d ε = τ ∫ − ∞ ∞ H ( μ + τ x ) e x + 1 d x , {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\tau \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,,}
積分範囲をわけて I = I 1 + I 2 {\displaystyle I=I_{1}+I_{2}} とし、 I 1 {\displaystyle I_{1}} x → − x {\displaystyle x\rightarrow -x} を施すと次を得る。
I = τ ∫ − ∞ 0 H ( μ + τ x ) e x + 1 d x ⏟ I 1 + τ ∫ 0 ∞ H ( μ + τ x ) e x + 1 d x ⏟ I 2 .