フレドホルム核
核作用素の概念は、フレシェ空間にも適用される。核空間(英語版)とは、その空間から任意のバナッハ空間へのすべての有界写像が核作用素であるようなフレシェ空間のことを言う。
である。関係式
det ( 1 − z L ) = exp  Tr log  ( 1 − z L ) {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}
も同様に成立する。最後に、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} がある複素数値パラメータ w によって関連付けらなら、すなわち、 L = L w {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}} であり、そのパラメータ付けがある領域上で正則であるなら、
L = L w {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}
も同じ領域上で正則となる。
が成立している。
そのような核に対応するものは、正準表現
L X f = ∑ { i } λ i e i ∗ ( f ) ⊗ e i {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)\otimes e_{i}\,}
の存在する線型作用素
L X : B → B {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}
である。
すべてのフレドホルム核に対応するものは、
tr X = ∑ { i } λ i e i ∗ ( e i ) {\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i})\,}
で定義される、トレースである。