局所連結空間
定理
X を弱局所連結空間とする。すると X は局所連結である。
証明
開集合の成分が開であることを示せば十分である。U を X で開とし C を U の成分とする。x を C の元とする。すると x は U の元なので X の連結部分空間 A が存在して U に含まれ x のある近傍 V を含む。A は連結で x を含むから、A は C の部分集合でなければならない(x を含む成分)。したがって x の近傍 V は C の部分集合である。x は任意であったから、各 x ∈ C は C に含まれる近傍 V を持つことが示せた。これは C は U において開であることを示している。したがって X は局所連結である。
decreasing broom spaces のある無限和はある特定の点において弱局所連結であるがその点において局所連結でない空間の例である。
X を位相空間とし、x を X の点とする。
x を含むすべての開集合 V に対して x ∈ U ⊂ V {\displaystyle x\in U\subset V} なる連結開集合 U が存在するときに X は x において局所連結 (locally connected at x) であると言う。X のすべての x に対して x において局所連結であるときに空間 X を局所連結 (locally connected) と言う。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。
対照的に、x を含むすべての開集合 V に対して x が N の内部にあるような V の連結部分集合 N が存在するときに X は x において弱局所連結 (weakly locally connected at x あるいは connected im kleinen at x) であるという。同値な定義は: x を含む各開集合 V は x のある開近傍 U を含み U の任意の 2 点は V のある連結部分集合にある。