局所可積分函数
実際、次の補題が成立する。
補題 1. 与えられた函数 f : Ω → C が定義 1 の意味で局所可積分であることと、定義 2 の意味で局所可積分であることは同値である。すなわち、次が成り立つ。
∫ K | f | d x < + ∞ ∀ K ⊂ Ω , K compact ⟺ ∫ Ω | f φ | d x < + ∞ ∀ φ ∈ C c ∞ ( Ω ) . {\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}
数学において局所可積分函数(きょくしょかせきぶんかんすう、英: Locally integrable function)とは、その定義域に含まれる任意のコンパクト部分集合上で可積分(したがって積分が有限)であるような函数のことを言う。しばしば局所総和可能函数(locally summable function)とも呼ばれる。そのような函数は、Lp空間と似ているがその元の無限大での振舞いについて制限を要さないような函数空間に属するという点において、重要となる。言い換えると、局所可積分函数は、無限大において任意に早く増大することも許されるが、通常の可積分函数とある意味似た方法によって依然として扱うことが出来るものとなっている。