判別式
より一般に、実数係数の n次代数方程式に対して、
Δ > 0: 0 ≤ k ≤ n 4 {\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n}{4}}} なるある整数 k に対して、2k対の共役虚数解と (n − 4k)個の実数解があり、全て異なる;
Δ < 0: 0 ≤ k ≤ n − 2 4 {\displaystyle 0\leq k\leq {\frac {n-2}{4}}} なるある整数 k に対して、(2k + 1)対の共役虚数解と (n − 4k − 2)個の実数解があり、全て異なる;
Δ = 0:少なくとも 1個の重解が存在する。実数係数であっても、重根は実数であるとは限らず、虚数の場合もある。
二元二次方程式
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
で表される平面幾何における円錐曲線に対して、判別式は
B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC}
に等しく、円錐曲線の形(英語版)を決定する。判別式が 0 よりも小さければ、楕円か円の方程式である。判別式が 0 に等しければ、放物線の方程式である。判別式が 0 よりも大きければ、双曲線の方程式である。この公式は退化の場合(多項式が分解するとき)働かない。