伊藤の補題
V ( S ) = 2 ∑ i ( t i − t i − 1 ) 2 ≤ 2 max ( t i − t i − 1 ) ∑ i ( t i − t i − 1 ) = 2 max ( t i − t i − 1 ) t → 0 {\displaystyle V(S)=2\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq 2\max(t_{i}-t_{i-1})\sum _{i}(t_{i}-t_{i-1})=2\max(t_{i}-t_{i-1})t\to 0} となる。
チェビシェフの不等式を用いれば、 S {\displaystyle S} は E ( S ) = t {\displaystyle E(S)=t} に(確率の意味で)収束することが示される。
第二式は
∑ i = 1 m ( t i − t i − 1 ) ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) ≤ t max ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))\leq t\max(B(t_{i})-B(t_{i-1}))}
と評価されて、 B ( t ) {\displaystyle B(t)} は連続であるから分割を細かくすると右辺が 0 に収束する。
第三式は
∑ i = 1 m ( t i − t i − 1 ) 2 ≤ m t 2 m 2 → 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(t_{i}-t_{i-1})^{2}\leq m{\frac {t^{2}}{m^{2}}}\to 0}
と評価される。