フェルマーの最終定理
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論(後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる)を導入する。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である(もしくは正則素数で割り切れる)全ての場合については証明がなされた。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数(37, 59, 67 の 3 個しかない)についてはそれぞれ個別に研究して解決した。その結果、100 までの全ての奇素数 n について(当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても)フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。
1857年、フランス科学アカデミーは、1816年に続き1850年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金(金メダルと3000フラン)を(最終的解決でないことを承知の上で)クンマーに与えた。1874年、クンマーは 101 から 163 までの指数について計算を実行し、新たに 101, 103, 131, 149, 157 の 5 個が非正則素数であることを示した。
その後、クンマーの理想数を発展させた代数的整数論による判定法をコンピューターで計算させることにより、1994年の初めには
1998年のアニメ『ザ・シンプソンズ』シーズン10第2話「発明は反省のパパ」にて、ホーマー・シンプソンが次の反例であるように見える等式を書く場面がある; (注:もちろんこれは指数nが4の倍数である時点で、フェルマー自身が証明したように解ではありえない)。
3987 12 + 4365 12 = 4472 12 {\displaystyle 3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}} (a=3987,b=4365,c=4472,n=12)
しかし、この等式は偽であり、厳密に計算すると以下のようになる。
3987 = 16134474609751291283496491970515151715346481
4365 = 47842181739947321332739738982639336181640625
3987 + 4365 = 63976656349698612616236230953154487896987106 (約6.4×10)
一方、
4472 = 63976656348486725806862358322168575784124416 (約6.4×10)
最初の10桁までが同じ数字列である。その差は、
3987 + 4365 - 4472 = 1211886809373872630985912112862690
これは約1.212×10ほどの差である。
また、
(3987 + 4365) = 4472.000000007059290738213529241449409・・・
4472.000000007059290738213529241449409/ 4472 = 1.000000000001578553
これは1.58×10ほどの差である。
フェルマー自身の証明は、ディオファントスの『算術』に記された45番目の書き込みに含まれている。フェルマーは以下の手法、法則、定理を使い証明した。
指数法則に従って x + y = z を (x) + (y) = (z) に変換し、ピタゴラス数の性質を利用する。
x, y, z は互いに素であるとする。
定理「互いに素である2つの数の積が平方数であるならば、2つの数もそれぞれ平方数である。」
x を偶数、z, y を奇数とする。
偶数と奇数の性質
無限降下法
フェルマーによる証明は後にレオンハルト・オイラーによって簡潔な形で直される。
n = 4 の場合がフェルマーによって証明された後は、残りの証明は n が奇素数の場合のみを考えればよいことになる。なぜなら、n が奇数の場合は、n = pq...r のように奇素数の積で表すことができて、奇素数 p のときに成り立てば、(x) + (y) = (z) より n = pq...r のときも成り立つことが示される。さらに、n が偶数の場合は、4で割った余りが0または2となるので、余りが0すなわち n = 4m の場合は (x) + (y) = (z) より成り立ち、余りが2すなわち n = 4m+2 の場合は n = 2(2m+1) より n が奇数の因数 2m+1 を持つことになり 2m+1 を素因数分解したときの奇素数について成り立つからである。
n が具体的な値を取るいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。
サイモン・シン『フェルマーの最終定理 ピュタゴラスに始まり、ワイルズが証明するまで』青木薫 訳、新潮社、2000年1月。ISBN 4-10-539301-4。 サイモン・シン『フェルマーの最終定理』青木薫 訳、新潮社〈新潮文庫〉、2006年6月。ISBN 4-10-215971-1。
富永裕久『フェルマーの最終定理に挑戦 天才ガウスも断念』ナツメ社、1996年2月。ISBN 4-8163-1933-6。
富永裕久『図解雑学 フェルマーの最終定理』ナツメ社、1999年10月。ISBN 4-8163-2697-9。
Paulo Ribenboim『フェルマーの最終定理13講』吾郷博顕 訳、共立出版、1983年7月。ISBN 4-320-01087-6。 Paulo Ribenboim『フェルマーの最終定理13講』吾郷博顕 訳(第2版)、共立出版、1989年2月。ISBN 4-320-01415-4。
山口周『フェルマーの最終定理 証明への道具立てと発見的推理』東宛社、1997年4月。ISBN 4-924694-32-0。