K関数
K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、
K ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 G ( n ) {\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}}
のような関連がある。より明確に書けば、
K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 ⋯ n n {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}}
が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。
K ( x + 1 ) = K ( x ) x x {\displaystyle K(x+1)=K(x)x^{x}}
K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。
K ( x ) = Γ 1 , 1 ( x ) e − ζ ′ ( − 1 ) = Γ 2 ( x ) Γ 1 ( x ) x − 1 e − ζ ′ ( − 1 ) {\displaystyle K(x)=\Gamma _{1,1}(x)e^{-\zeta '(-1)}=\Gamma _{2}(x)\Gamma _{1}(x)^{x-1}e^{-\zeta '(-1)}}
K ( z ) = exp  ( ψ ( − 2 ) ( z ) + z 2 − z 2 − z 2 ln  ( 2 π ) ) {\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}
である。また、Balanced polygamma functionを使って、
K ( z ) = A e ψ ( − 2 , z ) + z 2 − z 2 {\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}
とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。
K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。
K ( z + 1 ) = A e − z 2 4 z z ( z + 1 ) 2 + 1 12 ( 1 + 1 720 z 2 − 1433 7257600 z 4 + 1550887 15676416000 z 6 − ⋯ ) {\displaystyle K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)}