平均自由行程
P c a p t u r e = S c a p t u r e S a l l = n L 2 σ d x L 2 = n σ d x {\displaystyle P_{\mathrm {capture} }={{S_{\mathrm {capture} }} \over {S_{\mathrm {all} }}}={{nL^{2}\sigma dx} \over {L^{2}}}=n\sigma dx}
この確率から、粒子の個数 I {\displaystyle I} の減少量 d I {\displaystyle dI} は、厚さ d x {\displaystyle dx} に対して、次の式で表される。
d I = − I n σ d x {\displaystyle dI=-In\sigma dx}
この微分方程式の解と、最初の粒子の入射数を I 0 {\displaystyle I_{0}} とすれば、
I = I 0 exp  ( − n σ x ) {\displaystyle I=I_{0}\exp(-n\sigma x)}
となる。これが粒子の走行距離とその比率であるため、この平均が平均自由行程となる。したがって、平均自由行程 l {\displaystyle \ell } は、次の式で表される。
l = ( n σ ) − 1 {\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}