楕円有理関数
R n ( ξ , − x ) = R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,} n が偶数の場合
R n ( ξ , − x ) = − R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,} n が奇数の場合
したがって、零点の位置は(m=1,2,...,nとして)次のように与えられる
x n , m = c d ( K ( 1 / ξ ) 2 m − 1 n , 1 ξ ) . {\displaystyle x_{n,m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).}
上述の「逆数関係」により,極の位置は x n , i x n , i ( p ) = ξ {\displaystyle x_{n,i}x_{n,i}^{(p)}=\xi \,} から簡単に計算できる。
一般的には R m {\displaystyle R_{m}} と R n {\displaystyle R_{n}} の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが,それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに)表せるのであれば,上記の入れ子関係を使うことで、 R m n {\displaystyle R_{m\,n}} の零点を代数的に表現できる。 特に、次数 2 i 3 j {\displaystyle 2^{i}3^{j}} の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる (Lutovac 2001, § 12.
x 2 , 2 = − x 2 , 1 {\displaystyle x_{2,2}=-x_{2,1}\,}
x 3 , 1 = x z {\displaystyle x_{3,1}=x_{z}\,}
x 3 , 2 = 0 {\displaystyle x_{3,2}=0\,}
x 3 , 3 = − x 3 , 1 {\displaystyle x_{3,3}=-x_{3,1}\,}
x 4 , 1 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t − t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,1}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}
x 4 , 2 = ξ ( 1 − t ) ( 1 + t + t ( t + 1 ) ) {\displaystyle x_{4,2}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}
x 4 , 3 = − x 4 , 2 {\displaystyle x_{4,3}=-x_{4,2}\,}
x 4 , 4 = − x 4 , 1 {\displaystyle x_{4,4}=-x_{4,1}\,}
「逆数関係」により、対応する極は x n , i ( p ) = ξ / x n , i {\displaystyle x_{n,i}^{(p)}=\xi /x_{n,i}} と表すことができる。
X 2 = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 , X 4 = ( t 2 + 1 ) X 2 2 − 1 ( t 2 − 1 ) X 2 2 + 1 , X 8 = ( t 4 + 1 ) X 4 2 − 1 ( t 4 − 1 ) X 4 2 + 1 . {\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}
最後の3つの式は逆に解くことができ、
x = 1 ± 1 + t ( 1 − X 2 1 + X 2 ) , X 2 = 1 ± 1 + t 2 ( 1 − X 4 1 + X 4 ) , X 4 = 1 ± 1 + t 4 ( 1 − X 8 1 + X 8 ) .