ヤコビの三重積
∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + q 2 m − 1 z ) ( 1 + q 2 m − 1 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n^{2}}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}}
或いは、 q = e π i τ , z = e − π i τ + 2 π i v {\displaystyle q=e^{{\pi }i{\tau }},z=e^{-{\pi }i{\tau }+2{\pi }iv}} と置くことにより
∑ n = − ∞ ∞ q n ( n + 1 ) z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + q 2 m z ) ( 1 + q 2 m − 2 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n(n+1)}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m}z\right)\left(1+q^{2m-2}z^{-1}\right)}}
となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobi (1829)で示した。