真性半導体
温度 T のとき、電子がエネルギー E の状態を占有する確率はフェルミ分布関数 fF(E, T) で与えられる。それに対して、正孔がエネルギー E の状態を占有する確率は、電子がその状態を占有しない確率に等しい。よって、伝導帯の電子の分布関数 fe(E, T) と価電子帯の正孔の分布関数 fh(E, T) はそれぞれ
となる。Ef はフェルミ準位である。電子の分布関数において、 E − E f ≫ k B T {\displaystyle E-E_{f}\gg k_{B}T} であれば、フェルミ分布関数はボルツマン分布に近似できる。正孔の分布関数においても同様であり、その近似条件は E f − E ≫ k B T {\displaystyle E_{f}-E\gg k_{B}T} である。
真性半導体におけるキャリア密度を導出するために、価電子帯と伝導帯のエネルギー分散を単純化する。価電子帯も伝導帯も1つのバンドから成り、それぞれの有効質量に異方性がないものとする。つまり、放物線近似を適用したエネルギー分散を考える。
伝導帯:
価電子帯:
ここで Ec は伝導帯の底のエネルギー、Ev は価電子帯の頂上のエネルギー、me は伝導帯における電子の有効質量、mh は価電子帯における正孔の有効質量である。