偏角の原理
{\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}
であり
f ′ ( z ) f ( z ) = − m z − z P + h ′ ( z ) h ( z ) {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}
である。h(zP) ≠ 0 なので h′(z)/h(z) は zP で特異性をもたないことが従い、したがってそれは zP で解析的である。 f′(z)/f(z) の zP における留数は −m であることがわかる。
これらを合わせて、f の重複度 k の各零点 zN は留数 k の f′(z)/f(z) の一位の極を作り、f の位数 m の各極 zP は留数 −m の f′(z)/f(z) の一位の極を作る。さらに、f′(z)/f(z) は他に極をもたずしたがって他の留数をもたないことが示せる。
留数定理によって C についての積分は 2πiと留数の和の積である。また、各零点 zN に対する k たちの和は零点の重複度も数えた零点の個数であり、極も同様で、したがって結果が成り立つ。
偏角の原理は有理型関数の零点と極をコンピューターで効率的に位置を決めるために使うことができる。誤差を丸めたとしても式 1 2 π i ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z {\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz} は整数に近い結果を生み出す。異なる経路 C に対してこれらの整数を決定することによって零点と極の位置についての情報を得ることができる。リーマン予想の数値テストはこのテクニックをクリティカルラインと交わる長方形の内部のリーマンの ξ ( s ) {\displaystyle \xi (s)} 関数の零点の個数の上界を得るために使う。
ルーシェの定理の証明は偏角の原理を使う。
Feedback control theory に関する現代的な本はかなり頻繁に偏角の原理を Nyquist stability criterion(英語版) の理論的基礎として用いる。
偏角の原理のより一般的な定式化の結果は、次のようなものである。同じ仮定の下で、g が Ω の解析的関数であれば、
1 2 π i ∮ C g ( z ) f ′ ( z ) f ( z ) d z = ∑ a n ( C , a ) g ( a ) − ∑ b n ( C , b ) g ( b ) . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).