射影平面
K として実数体 R を取れば、実射影平面 RP が生じる。これは位相幾何学において、向きを持たない実二次元の多様体の基本的な例を与えるものである。
K として複素数体 C を取れば、複素射影平面 CP が生じる。これは複素二次元の閉多様体であり、従って向きを持つ実四次元の多様体である。他の体上の射影平面ともども代数幾何学の基本的な例を与える。
四元射影平面もまた別な意義を持つ対象である。ケーリー平面は八元数環上の射影平面と考えられるが、八元数環が斜体を成さないため、きちんとした構成を十分に記述することはできない。
K として位数 p の有限体を取れば、p + p + 1 個の点を持つ射影平面が得られる。後述するファノ平面は p = 2 とした場合にあたる。
KP の部分集合 L が、射影平面 KP 内の(射影)直線であるとは、K における平面で、それが含む直線全体の成す集合が KP においてちょうど L と一致するものが存在するときにいう。
少し異なる定義の仕方もあって、射影平面というのは集合 K ∖ {(0, 0, 0)} を
x ∼ k x , k ∈ K {\displaystyle x\sim kx,\quad k\in K}
で与えられる同値関係で割ったものである、ということもできる。この場合も射影平面内の直線は先ほどとまったく同じように定義できる。K が位相空間ならば KP にも(直積位相、部分空間の位相、商位相を通じて)内在的な位相が入る。
KP における座標系 (x 0, x 1, x 2) は斉次座標系 (homogeneous coordinates) と呼ばれる。各三つ組 (x 0, x 1, x 2) は KP の点を矛盾無く表すが、三つ組 (0, 0, 0) だけは例外で KP のどの点にも対応しない。K が有限体でない限り KP の各点に対応する三つ組は無数に存在しうる。
いくつか線型代数学的な定義を挙げたが、いずれもより高次元の場合に拡張するのは容易である。d-次元射影空間 KP は、K 内の原点を通る直線全体の成す集合であり、KP 内の直線は K の原点を通る平面に対応する。射影空間の概念はさらにグラスマン空間の概念へ一般化することができる。