ヘリーの選択定理
数学におけるヘリーの選択定理(ヘリーのせんたくていり、英: Helly's selection theorem)は、局所的に有界変動函数であり、ある点において一様有界であるような函数は収束部分列を持つ、ということを述べた定理である。言い換えると、空間 BVloc に対するコンパクト性定理である。オーストラリアの数学者であるエードゥアルト・ヘリーの名にちなむ。
この定理は解析学において広く応用されている。確率論において、この結果は緊密な測度の族のコンパクト性を意味する。
fnk は f に各点収束する;
fnk は L において局所的に f に収束する(局所可積分函数を参照)。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。
lim k → ∞ ∫ W | f n k ( x ) − f ( x ) | d x = 0 ; {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;}
また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。
‖ d f d t ‖ L 1 ( W ) ≤ lim inf k → ∞ ‖ d f n k d t ‖ L 1 ( W ) . {\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.}