ゲルマン行列
3次特殊ユニタリ群SU(3) は行列式が1となる3×3ユニタリ行列から構成される。SU(3) は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 su(3) の元ではなく、ゲルマン行列に i=√-1 を乗じたものが su(3) の元となる。通常、SU(3)の生成子としては、λa の代わりに1/2 を乗じた Ta が用いられる。
T a = λ a 2 {\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}}
コンパクトで連結なリー群SU(3)の任意の元はリー環の指数写像によって
e i ∑ a = 1 8 θ a T a ( θ a ∈ R , a = 1 , ⋯ , 8 ) {\displaystyle e^{i\sum _{a=1}^{8}\theta _{a}T_{a}}\quad (\theta _{a}\in \mathbb {R} ,\,a=1,\cdots ,8)}
の形で与えられる。
ゲルマン行列 λa、 または Ta の線形結合で張られる線形空間は交換子積
[ T a , T b ] = T a T b − T b T a {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}}