有限階作用素
ヒルベルト空間 H 上の有限階作用素 F(H) の族は、H 上の有界作用素の多元環 L(H) における両側 *-イデアルを形成する。実際、それはそのようなイデアルの間の極小元である。すなわち、L(H) 内の任意の両側 *-イデアル I は有限階作用素を含む必要がある。これを証明するのは難しくない。ゼロでない作用素 T ∈ I を取ると、ある f, g ≠ 0 に対して Tf = g が成り立つ。このとき任意の h, k ∈ H に対して、I に属する h から k への階数 1 の作用素 Sh,k の存在を示せば十分である。h から f への階数 1 の作用素 Sh,f を定義し、また同様に Sg,k を定義する。このとき
が成り立つが、これは Sh,k が I に属することを意味し、主張は示される。
L(H) 内の両側 *-イデアルの例として、トレースクラス、ヒルベルト=シュミット作用素、コンパクト作用素などがある。F(H) はこれらの三つのイデアルのすべてにおいて、各ノルムについて稠密である。
L(H) 内の任意の両側イデアルは F(H) を必ず含むため。多元環 L(H) が単純であるための必要十分条件は、それが有限次元であることである。