リーマン積分
点付き分割 (x0, ..., xn; t0, ..., tn−1) を選んでそのリーマン和と s との差が ε より小さいことを示さなければならない。
これを見るのに、小区間 [xi, xi+1] を選ぶ。この小区間が適当な小区間 [yj, yj+1] に含まれるならば ƒ(ti) の値は [yj, yj+1] における f の下限 mj と上限 Mj の間にある。全ての小区間がこの性質を持つならば、リーマン和の各項はダルブー和の対応する項で抑えられ、ダルブー和の値を s に近づけることができるから、これで証明は完結する。これは m = 1 の場合であり、証明は終わっているから、以下 m > 1 と仮定する。この場合、ある [xi, xi+1] がどの [yj, yj+1] にも含まれないかもしれない。それどころか、分割 y0, ..., ym の二つの小区間に亘って交わりを持つ可能性もある(δ がどの小区間の長さよりも小さいと仮定したから、三つ以上の小区間に亘ることはない)。つまり、記号で書けば、
y j < x i < y j + 1 < x i + 1 < y j + 2 {\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}}
なることが起こり得るということである(ここで全ての不等号は真の不等号であると仮定してよい。
R 上のリーマン積分を定義する為、いくつかの概念を定義する。
R の部分集合 I で、
I = [ a 1 , b 1 ] × ⋯ × [ a n , b n ] {\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}
の形で書けるものを(有界閉)区間といい、I の直径 diam(I) と(n 次元)体積 v(I) を以下のように定義する:
diam  ( I ) = max i = 1 , ... , n ( b i − a i ) , v ( I ) = ∏ i = 1 n ( b i − a i ) . {\displaystyle \operatorname {diam} (I)=\max _{i=1,\ldots ,n}(b_{i}-a_{i}),\quad v(I)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}
I を区間とするとき、区間の集合 D で以下の性質を満たすものを I の分割という: