モジュラー形式
Γ の重さ k のモジュラー形式とは、H 上の函数であり、H 上と Γ の全てのカスプで正則であり Γ の全ての行列について函数方程式を満たすものを言う。繰り返しになるが、全てのカスプでゼロとなるモジュラー形式を Γ のカスプ形式という(尖点形式ともいう)。ウェイト k のモジュラー形式とカスプ形式 C-ベクトル空間をそれぞれ、Mk(Γ) と Sk(Γ) で表す。同様に、 Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash H} の上の有理型函数を Γ のモジュラー函数と呼ぶ。Γ = Γ0(N) の場合は、モジュラー/カスプ形式とも呼ばれるし、またレベル N の函数とも呼ばれる。Γ = Γ(1) = SL2(Z) のときには、前に述べたモジュラー形式の定義に一致する。
リーマン面の理論を Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash H} へ適用すると、さらにモジュラー形式とモジュラー函数についての深い情報が得られる。例えば、空間 Mk(Γ) と Sk(Γ) は有限次元であり、これらの次元はリーマン・ロッホの定理のおかげで、H へ作用する Γ-作用の幾何学のことばで、次のように計算することができる。
dim C  M k ( S L ( 2 , Z ) ) = { ⌊ k / 12 ⌋ k ≡ 2 ( mod 12 ) ⌊ k / 12 ⌋ + 1 else {\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}(SL(2,\mathbf {Z} ))=\left\{{\begin{array}{ll}\lfloor k/12\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\lfloor k/12\rfloor +1&{\text{else}}\end{array}}\right.}
ここに、 ⌊ − ⌋ {\displaystyle \lfloor -\rfloor } は、床函数を表す。
モジュラー函数全体は、リーマン面の函数体を構成するので、(C 上の)超越次数 1 の体を構成する。モジュラー函数 f が恒等的にゼロでないとすると、f のゼロ点の数は、基本領域(英語版)(fundamental region) HΓ の閉包の中の f の極の数に等しい。レベル N (N ≥ 1) のモジュラー函数の体は、函数 j (z) と j (Nz) により生成されることを示すことができる。