分出公理
主な公理的集合論の多くにおいて、分出公理(英: axiom schema of specification)、部分集合公理、制限された内包公理とは、公理型の一つである。本質的に、どの集合の定義可能な部分クラスも集合であることを主張する。
分出公理を内包公理(axiom schema of comprehension)と呼ぶ数学者もいるが、後述のように無制限の内包(unrestricted complehension)と呼ぶ者もいる。
制限された内包公理はラッセルのパラドックスを回避できるため、ツェルメロ、フレンケル、ゲーデルといった数学者は、集合論の最重要な公理と考えた。
述語を量化できる型付き言語において、分出公理は簡潔な公理になる。これは前節のNBG公理系で使った、述語をクラスで置き換えてクラスを量化できるようにする手法とまさしく同じものである。
高階の意味論(semantics)を含む二階述語論理や高階述語論理において、分出公理は論理的に妥当であり、理論中に陽的に含まれている必要はない。
ほかのほとんどのツェルメロ-フレンケル公理(外延性の公理、正則性公理、選択公理を除く)は、内包公理を分出公理に置き換えるために失われる一部を補うために必要であった。これらの公理は特定の集合について、存在を主張するとともに、その元が満たすべき述語によって定義する。すなわち、これは内包公理の特別な場合である。
新基礎集合論(後述)の階層化された論理式のみの使用や en:positive set theory の positive 式(論理積、論理和、量化、原子式のみからなる式)のみの使用というように、適用される式を制限することで、無制限の内包公理から矛盾を生じないようにすることもできる。しかし positive formulae は、ほとんどの理論で表現できる特定の事柄を表現できない。例えば、positive set theory には補集合や相対的補集合が存在しない。