P進周期環
) ) = lim m → ∞ a ~ ( 0 , m ) p m + p a ~ ( 1 , m ) p m − 1 + p 2 a ~ ( 2 , m ) p m − 2 + ⋯ + p m a ~ ( m , m ) {\displaystyle \theta ((a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ))=\lim _{m\to \infty }{\tilde {a}}_{(0,m)}^{p^{m}}+p{\tilde {a}}_{(1,m)}^{p^{m-1}}+p^{2}{\tilde {a}}_{(2,m)}^{p^{m-2}}+\cdots +p^{m}{\tilde {a}}_{(m,m)}}
で定義する。ここで、~an, m ∈ OK は、W(R) の元 (a0, a1, a2, ...) に対しその第 n 成分 an = (an, 0, an, 1, an, 2, ...) の第 m 成分 an, m ∈ OK / pOK を OK に持ち上げたものである。θ は全射の環準同型である。また、その核は単項イデアルである。
R は自然に k 代数になるので W(R) は自然に W ≔ W(k) 代数になる。θ を K 線型に延長した写像 K⊗WW(R) → CK を θK とし、B+dR を
B d R + = lim ← m  ( K ⊗ W W ( R ) ) / K e r ( θ K ) m {\displaystyle B_{\mathrm {dR} }^{+}=\varprojlim _{m}(K\otimes _{W}W(R))/\mathrm {Ker} (\theta _{K})^{m}}
で定義する。その商体を BdR とする。