二重否定の除去
論理学、特に命題論理において、二重否定の除去(にじゅうひていのじょきょ、英: double negation elimination)および二重否定の導入(にじゅうひていのどうにゅう、英: double negation introduction)は、いずれも推論の種類の一つである。形式的には、いわゆる二重否定に相当する「連続した2つの否定作用素」を追加(二重否定の導入)したり削除(二重否定の除去)したりする操作を論理式に施すことである。古典論理においてはいずれも妥当な推論であるが、直観主義論理において二重否定を除去できない場合があるように、他の論理体系の下では妥当とは限らない。
例えば、
「雨が降っている」
「雨が降っていないのではない」
という2つの命題について、前者から後者を推論するのが二重否定の導入、後者から前者を推論するのが二重否定の除去である。
二重否定の除去を自然演繹の形式で表すと次のようになる。
¬ ¬ A A {\displaystyle {\dfrac {\neg \neg A}{A}}}
二重否定の導入を自然演繹の形式で表すと次のようになる。
A ¬ ¬ A {\displaystyle {\dfrac {A}{\neg \neg A}}}
これらの規則はシークエントの記法を使うと次のようにも表せる。
¬ ¬ A ⊢ A {\displaystyle \neg \neg A\vdash A} ,
A ⊢ ¬ ¬ A {\displaystyle A\vdash \neg \neg A} .