リッチテンソル
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をレヴィ・チヴィタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } を持つ n 次元リーマン多様体とする。 M {\displaystyle M} のリーマン曲率テンソルは、ベクトル場 X, Y, Z 上に次のような ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} テンソルとして定義される。
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
M の点 p における接空間を TpM と書くことにすると、 TpM 上の任意のベクトル対 ξ {\displaystyle \xi } および η {\displaystyle \eta } に対し、リッチテンソル Ric {\displaystyle \operatorname {Ric} } は ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )} において、次の線形写像 TpM → TpM のトレースとして定義される。
ζ ↦ R ( ζ , η ) ξ {\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi }
局所座標系では、アインシュタインの縮約記法を用いて次のように書ける。
(最後の不等式は、一般の下界に一般化することができ、これがグロモフのコンパクト性定理(英語版)の証明の鍵となる。)
チーガー・グロモールの分割定理(英語版)によれば、 Ric ≥ 0 を満たす完備リーマン多様体が「直線」、すなわち d(γ(u), γ(v)) = |u − v| が全ての v , u ∈ R {\displaystyle v,u\in \mathbb {R} } について満たされるような測地線 γ を持つとき、この多様体は直積空間 R × L {\displaystyle \mathbb {R} \times L} に対して等長となる。結果として、正のリッチ曲率を持つ完備多様体は多くとも一つの端しか持たないことがわかる。この定理は、いくつか追加で仮定を置けば、非負のリッチテンソルを持つ完備ローレンツ多様体(計量の符号が (+−−...) となっている多様体)についても成り立つ (Galloway 2000)。
これらの結果は、正のリッチ曲率は強い位相幾何的帰結を持つことを示している。対照的に、曲面の場合を除いて負のリッチ曲率には位相的含意が全く知られていない。Lohkamp (1994) によれば、次元が2より大きな任意の多様体でリーマン計量が負のリッチ曲率を持てることが示されている。(曲面の場合、負のリッチ曲率は断面曲率が負であることを意味する。しかし、重要なのはむしろこれがより高次の場合では全く通用しないことである。)