微分包含式
凸集合でない微分包含式 F(t, x) の解の存在定理は現在、明らかにされていない。
解の一意性を示すには、通常他の条件が必要となる。たとえば関数 F ( t , x ) {\displaystyle F(t,x)} において片側リプシッツ条件
( x 1 − x 2 ) T ( F ( t , x 1 ) − F ( t , x 2 ) ) ≤ C ‖ x 1 − x 2 ‖ 2 {\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(t,x_{1})-F(t,x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}
をすべての x1 and x2 について満たすような C があるとする。このとき、初期値問題
d x d t ( t ) ∈ F ( t , x ( t ) ) , x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}
の解は一意に定まる。
これはミンティ (G. J. Minty) と ブレジス (H. Brezis, en) による maximal monotone operators とも深く関わっている。