補空間
V は(有限または無限次元の)完備なノルム空間、すなわちバナッハ空間とし、U をその閉部分空間で補空間 W を持つものとする。すると V と U ⊕ W の代数的な意味での線型同型 U ⊕ W → V; (u, w) ↦ u + w を通じて、位相的な意味での線型同型(つまり、連続かつ逆写像も連続となるような線型同型)が定まる。
バナッハ空間において、閉部分空間は常に補空間を持つが、それは閉補空間を見つけることができるということを意味しない。それはむしろヒルベルト空間の持つ位相線型空間構造を特徴付ける性質である(ジョラム・リンデンシュトラウス(英語版)とLior Tzafririの定理による):