虚数
虚数(きょすう、英: imaginary number)とは、実数ではない複素数のことである。すなわち、虚数単位 i = √−1 を用いて表すと、
z = a + bi(a, b は実数、b ≠ 0)
と表される数のことである。
実数直線上にはないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数の対、実二次正方行列、多項式環の剰余環の元として実現できる(複素数#形式的構成を参照)。
複素数平面上では、虚数全体は複素数平面から実軸を除いた部分である。
実係数の三次方程式を解の公式により解くと、相異なる3個の実数解をもつ場合、虚数の立方根が現れ、係数の加減乗除と冪根だけでは表せない(還元不能)。虚数はこの過程で認識されるようになった。ルネ・デカルトは1637年に、複素数の虚部を 仏: "nombre imaginaire"(「想像上の数」)と名付けた。
「虚数」と訳したのは、1873年の中国数学書『代数術』(John Fryer(zh:傅兰雅), 華蘅芳著)である。
日本では、東京数学物理学会が1885年に記事で "Impossible or Imaginary Quantity" を「虚数」と訳している。
ただし、「虚数」と訳されている英語の "imaginary number" は、しばしば「2乗した値が 0 以下の実数になる複素数」を意味する場合がある。
虚数に通常の大小関係を入れることはできない。つまり、複素数体 C は順序体でない。
(証明)
背理法で示す。
虚数単位 i と実数の間に、+, × と両立する全順序があると仮定する。
i = −1 より、i ≠ 0
∴ i > 0 or i < 0
i > 0 ならば、両辺に i を掛けると、−1 > 0 となり矛盾。
i < 0 ならば、両辺に i を掛けると、−1 > 0 となり矛盾。
故に i と実数の間に通常の大小関係はない。
故に、虚数にも通常の大小関係はない。(証明終)
辞書式順序は全順序であるが、複素数に入れると +, × と両立しない。