ポリア予想
ポリア予想は C. Brian Haselgrove によって1958年に否定的に解決された。彼は予想には反例があることを示し、n をおよそ 1.845 × 10 と見積もった。
明示的な反例 n = 906,180,359 は R. Sherman Lehman が1960年に与えた。最小の反例は n = 906,150,257 であり、田中穣が1980年に与えた。
ポリア予想は、906,150,257 ≤ n ≤ 906,488,079 の範囲のほとんどの n について成り立たない。この範囲でリウヴィル関数の和は n = 906,316,571 のとき最大値 829 をとる。