被覆空間
すべての位相空間は恒等写像によって自明に自分自身を被覆する。
複素平面上の単位円を S と書く。すると、
p(z) = z
により、写像 p : S → S は n 重被覆となる。
R {\displaystyle \mathbb {R} } は、単位円 S の普遍被覆である。指数写像
p(t) = exp(2πit)
により、写像 p : R → S は被覆で、S の各点は無限回被覆される。
位相空間 X が普遍被覆を持つことは、連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結であることと同値である。
スピン群 Spin(n) は特殊直交群の二重被覆であり、n > 2 のときは普遍被覆である。従って、リー群の例外同型(英語版)(exceptional isomorphism)は、低次元のスピン群と古典リー群の間の同型を与える。
ユニタリ群 U(n) は普遍被覆 SU(n) × R を持つ。
n-次元球面 S は、実射影空間の二重被覆であり、n > 1 の場合は普遍被覆である。
すべての x ∈ X に対し、x 上のファイバーは C の離散部分集合である。X 上の連結成分上で、ファイバーは準同型である。
X 連結であれば、離散空間 F が存在し、すべての x ∈ X に対し、x 上のファイバーは F に準同型であり、さらにすべての x ∈ X に対し、x の近傍 U が存在し、その逆像 p(U) は U × F と同相である。特に、x 上のファイバーの濃度(点の数)は、F の濃度に等しく、被覆写像 p : C → X の次数と呼ぶ。このように、すべてのファイバーが n 個の元を持つと、n-重の被覆と呼ぶ(n = 1 のときは自明な被覆といい、n = 2 のときは二重被覆といい、n = 3 のときは三重被覆と言う)。