一意化定理
向き付け可能曲面上では、リーマン計量から次のように自然に概複素構造へ導かれる。接ベクトル v に対し、J (v) を v と直交し、(v, J (v)) が正の向き付けをもつような、v と同じ長さのベクトルとする。曲面上では概複素構造は可積分であるので、このことは与えられた曲面をリーマン面とすることを意味する。
このことより、計量の入った曲面は次のように分類される。連結な計量の入った曲面は、次の中のひとつの等長群(英語版)(isometry group)の離散部分群(discrete subgroup)の群作用による商空間である。
球面 (曲率 +1)
ユークリッド平面 (曲率 0)
双曲平面(英語版)(Hyperbolic plane) (曲率 −1).
第一の場合は、正のオイラー標数を持つすべての曲面の場合であり、球面や実射影平面を含んでいる。