接続形式
CR多様体上の正則接バンドル。
一般に、E をファイバー次元が k であるベクトルバンドルとし、G ⊂ GL(k) を R の一般線型群のリー部分群とする。(eα) を E の局所標構とすると、行列に値を持つ函数 (gi): M → G は、eα の上に作用し、新しい標構
e α ′ = ∑ β e β g α β {\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}
を生成する。2つのそのような標構は、G-バンドルの構造を持つ。非公式には、互いに局所的に G に関係している全てのファイバーを持つような標構のクラスを選んだとき、ベクトルバンドル E は G-バンドルの構造を持つという。公式な言い方をすると、E は構造群 G を持つファイバーバンドルであり、構造群の典型的なファイバーは、その上に GL(k) の部分群として自然な G の作用を持つ R である。
として定義される。
FGE 上で、主 G-バンドルを、各々の積 U × G の上の g-に値を持つ 1-形式はオーバーラップする領域の上での同値関係とみなすと定義する。最初に、
π 1 : U × G → U , π 2 : U × G → G {\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}
を射影写像とする。ここで点 (x,g) ∈ U × G に対して、
ω ( x , g ) = A d g − 1 π 1 ∗ ω ( e U ) + π 2 ∗ ω g {\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }}
とおく。このようにして構成された 1-形式 ω は、オーバーラップした集合の間の変換とみなせ、従って、主バンドル FGE 上に大域的に定義された 1-形式を与えるとみなせる。ω は、FGE へ右から作用する G を生成する生成子を再現し、G の随伴表現を持った T(FGE) 上の右からの作用とは同変的に作用するという意味で、主接続である。
歴史的には、接続形式はエリ・カルタン(Élie Cartan)により20世紀の前半に導入された。これは彼の動標構の方法の一部であり、彼の主要な動機であった。接続形式は標構(frame)(座標系)の選択に依存するので、テンソル的な対象ではない。接続形式の様々な一般化や再解釈がカルタンの一連の初期の仕事で定式化された。特に、主バンドル上の接続は、テンソル的な対象として接続形式の自然な再解釈を持っている。他方、接続形式は抽象的な主バンドル上というよりは、むしろ微分可能多様体(differentiable manifold)上に定義された微分形式であるという利点を持っている。従って、テンソル性がないにもかかわらず、それらの計算の実行が比較的容易なため、接続形式は使われ続けている。Griffiths & Harris (1978) Wells (1980) Spivak (1999) また、物理学でも、接続形式はゲージ共変性(英語版)(gauge covariant derivative)を通して、ゲージ理論の脈絡で広く使われている。
接続形式は、微分形式の行列のなすベクトルバンドルの各々の基底に結びついている。接続形式は、基底変換でレヴィ・チヴィタ接続のクリストッフェル記号と同一な方法で、変換写像(transition functions)の外微分である変換をする。接続形式の主なテンソル的な不変量は、接続形式の曲率形式である。接バンドルとベクトルバンドルを同一視する標準 1-形式(英語版)(solder form)があるときは、別の不変量があり、捩率形式と言われる。多くの場合、接続形式は、ベクトルバンドルに構造群がリー群であるファイバーバンドルの構造を付加したものと考えられる。