ポアンカレの補題
同様に、R 全体で定義された3次元のベクトル場 G において、その発散 div が
div  G = 0 {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {G} =0}
を満たすならば、
G = rot  A {\displaystyle \mathbf {G} =\operatorname {rot} \mathbf {A} }
の関係を満たす R 上のベクトルポテンシャル A が存在する。 この場合、G = (G1, G2, G3) は2次微分形式
ω = G 1 d y ∧ d z + G 2 d z ∧ d x + G 3 d x ∧ d y {\displaystyle \omega =G_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+G_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+G_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\,}
に対応し、A = (A1, A2, A3) は1次微分形式
η = A 1 d x + A 2 d y + A 3 d z {\displaystyle \eta =A_{1}\mathrm {d} x+A_{2}\mathrm {d} y+A_{3}\mathrm {d} z\,}
に対応している。また、発散 div の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。