ニュートンの恒等式
ニュートンの恒等式は、初等代数で簡単に確認できる。
明示的にはこの係数は 1 / N {\displaystyle 1/N} と表される。ここで
N = ∏ i = 1 l ( m i ! i m i ) {\displaystyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})}
である。このN は、対応する巡回の種類と可換な置換の数を表す。
これは、次の帰納的ステップを検討することで証明できる。
m f ( m ; m 1 , ... , m n ) = f ( m − 1 ; m 1 − 1 , ... , m n ) + ⋯ + f ( m − n ; m 1 , ... , m n − 1 ) m 1 ∏ i = 1 n 1 i m i m i ! + ⋯ + n m n ∏ i = 1 n 1 i m i m i ! = m ∏ i = 1 n 1 i m i m i ! {\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}}