旗多様体
線形代数の基本的な結果によると、体F上のn次元ベクトル空間V内の任意の 2 つの完全な旗は、幾何学的な観点からは互いに違いはありません。つまり、一般線型群は、すべての完全な旗の集合に対して推移的に作用します。
Vの順序付けられた基底を固定し、それをFで識別します。その一般線型群は n × n 可逆行列の群 GL(n,F) です。この基底に関連付けられた標準旗は、i番目の部分空間が基底の最初のi個のベクトルにより張られる旗です。この基準に関連して、標準旗のスタビライザーは非特異下三角行列の群であり、これを Bn で表します。したがって、完全旗多様体は、等質空間として記述できます。GL(n,F) / Bn、これは特にF上の次元n (n−1)/2 を持つことを示しています。
恒等行列の倍数はすべての旗に自明に作用するため、半単純な代数群である行列式 1 を持つ行列の特殊線型群 SL(n,F)に注意を制限できることに注意してください。行列式 1 の下三角行列の集合はボレル部分群です。
体Fが実数または複素数の場合、選択した基底が正規直交になるようにVに内積を導入できます。次に、完全な旗は、直交する補空間を取ることにより、1 次元部分空間の直接和に分割されます。したがって、複素数上の完全旗多様体は等質空間です。
U ( n ) / T n {\displaystyle U(n)/T^{n}}
ここで、U( n ) はユニタリ群で、T nは対角ユニタリ行列のn次トーラスです。U( n ) を直交群 O( n ) に置き換え、T n を対角直交行列 (対角成分 ±1 を持つ ) に置き換えた実数についても同様の説明が可能です