ルンゲ＝クッタ法
A-安定性という概念は線型自励方程式 y ′ = λ y {\displaystyle y'=\lambda y} を考える結果である。 ダールキスト(英語版)は、数値的方法を使って、とある単調性条件を満たす非線型方程式系に適用するときの安定性を主張した。対応する安定性は、線型多段法の場合に G-安定性 (G-stability)で、ルンゲ=クッタ法の場合に B-安定性 (B-stability) と呼ぶ。 一般的なテスト方程式 y ′ = f ( x , y ) {\displaystyle y'=f(x,y)} と単調性条件 ⟨ f ( x , y ) − f ( x , z ) , y − z ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle f(x,y)-f(x,z),y-z\rangle \leq 0} を満足する f を考える。もしすべての h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} に対し、 不等式 ‖ y n + 1 − z n + 1 ‖ ≤ ‖ y n − z n ‖ {\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|} が成立するとき、そのルンゲ=クッタ法は B-安定 という。 ここで、yn と zn はそれぞれの初期値に対する数値解である。 f ( x , y ) = λ y {\displaystyle f(x,y)=\lambda y} に方法を適用することで、B-安定性はA-安定性より強い条件であることがわかる。
陽的ルンゲ゠クッタ法では a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} ( i ≤ j {\displaystyle i\leq j} ) が満たされるので、ブッチャー配列は以下の形になる。
この時、各勾配 k1, ..., ks を以下のように逐次的に求めることができる。
k 1 = f ( t n , y n ) , k 2 = f ( t n + c 2 h , y n + a 21 h k 1 ) , k 3 = f ( t n + c 3 h , y n + a 31 h k 1 + a 32 h k 2 ) , ⋮ k s = f ( t n + c s h , y n + a s 1 h k 1 + a s 2 h k 2 + ⋯ + a s , s − 1 h k s − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\\&\vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).\end{aligned}}}
もっとも単純な埋め込み型ルンゲ=クッタ法は、ホイン法(2次)とオイラー法(1次)を組み合わせる方法である。以下の拡張ブッチャー配列で与えられる。
そして実践でよく使われているのが5次と4次の陽的方法を組み合わせる ルンゲ=クッタ=フェールベルグ法 である。対応する拡張ブッチャー配列は以下の通りである。
他に使われている方法は、Bogacki–Shampine法(英語版)(次数3と2)、Cash–Karp法(英語版) と ドルマン=プリンス法(両方次数5と4)である。