多重解像度解析
この分解は、近似係数を再び分解することによって繰り返され、これを多重解像度解析と呼ぶ。これは、異なる時間周波数の局在性を持った部分空間を枝とする二分木によって表すことが出来る。これはフィルタバンクとして知られているものである。
各々のレベルにおいて、低周波と高周波に分解される。 2 n {\displaystyle 2^{n}} の長さの入力信号は、ハールウェーブレットの場合は n {\displaystyle n} のレベルに分解される。他のウェーブレットの場合も、おおよそ n {\displaystyle n} になるが、多少ずれる。
ハールウェーブレットの場合での、32サンプルの信号を例にとる。周波数レンジは0から f n {\displaystyle f_{n}} であり、3レベルまで分解するとすると、以下の表のようになる。
さらに定数 C 2 ≥ C 1 > 0 {\displaystyle C_{2}\geq C_{1}>0} が存在して、任意の { a k : k ∈ Z } ∈ l 2 {\displaystyle \left\{a_{k}:k\in \mathbf {Z} \right\}\in l^{2}} に対して不等式 C 1 ‖ a ‖ 2 ≤ ‖ ∑ j a j φ ( x − j ) ‖ ≤ C 2 ‖ a ‖ 2 {\displaystyle C_{1}\|a\|_{2}\leq \|\sum _{j}a_{j}\phi (x-j)\|\leq C_{2}\|a\|_{2}} が成立する。
最後の条件はより厳しい条件として、
5'. φ ( x ) ∈ V 0 {\displaystyle \phi (x)\in V_{0}} が存在して、 { φ ( x − k ) : k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\phi (x-k):k\in \mathbf {Z} \right\}} が V 0 {\displaystyle V_{0}} の正規直交基底となる。
が用いられる事も多い。ここではこの条件5'を用いる。
条件1は空間が入れ子になっていることを意味する。条件2は P j {\displaystyle P_{j}} を空間 V j {\displaystyle V_{j}} への直交射影作用素とすると、全ての f ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )} に対して lim j → ∞ P j f = f {\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }P_{j}f=f} であることを意味する。
y h i g h [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] h [ 2 n − k ] {\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}
次に、半分にダウンサンプリングを行う。この分解によって、時間解像度は元の信号の半分になり、周波数解像度は2倍となる。これは、ハイゼンベルクの不確定性原理を満たしている。
ダウンサンプリングのオペレータとして ↓ {\displaystyle \downarrow } を使う。
( y ↓ k ) [ n ] = y [ k ⋅ n ] {\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[k\cdot n]}
以上の式をまとめると以下のようになる。
y l o w = ( x ∗ g ) ↓ 2 {\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2}
y h i g h = ( x ∗ h ) ↓ 2 {\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2}
しかしながら、 x ∗ g {\displaystyle x*g} の計算の後にダウンサンプリングがあるため、計算に無駄がある。リフティングスキームは、この点を改善している。