置換公理
. , w n , x , y {\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y} 上にあるとする。ただし、 A {\displaystyle A} も B {\displaystyle B} も φ {\displaystyle \phi } の自由変数ではない。すると集まりの公理は以下のようになる。
∀ w 1 , ... , w n [ ( ∀ x ∃ y φ ( x , y , w 1 , ... , w n ) ) ⇒ ∀ A ∃ B ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B φ ( x , y , w 1 , ... , w n ) ] {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}
集まりの公理は上記の述語に関する制限なしで表現されることもあり( B {\displaystyle B} 以外に φ {\displaystyle \phi } に自由変数がない)、 φ {\displaystyle \phi } は以下のようになる: