グーデルマン関数
地球を真球と見立てたとき、メルカトル図法による投影面上における、赤道からの緯線距離についてのグーデルマン関数の関数値は、子午線弧長、すなわち実際の地球上の緯度に相当する。ガウス・クリューゲル図法による地図投影においては、座標換算の中間変数として用いられる正角緯度の導入時においてもグーデルマン関数が現れる。
また、グーデルマン関数は、倒立振子の非周期解に現れる。
定義は以下のとおりである。
gd  x = ∫ 0 x d t cosh  t = arcsin  ( tanh  x ) = arctan  ( sinh  x ) = 2 arctan  [ tanh  ( 1 2 x ) ] = 2 arctan  ( e x ) − 1 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan \left(\sinh x\right)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}}
グーデルマン関数と関連する公式の中には、定義として全く運用できないものがある。例えば、実数x について、 arccos  sech  x = | gd  x | = arcsec  ( cosh  x ) {\displaystyle \arccos \operatorname {sech} x=\left\vert \operatorname {gd} x\right\vert =\operatorname {arcsec}(\cosh x)} である。