等方二次形式
1 2 Milnor & Husemoller 1973, p. 57.
↑ Milnor & Husemoller 1973, pp. 12–13.
↑ Milnor & Husemoller 1973, p. 56.
二次形式の分類の観点からは、非等方空間は任意の次元の二次空間を作るための基本構成要素である。一般の体 F に対して非等方二次形式を分類することは自明な問題ではない。対照的に、等方二次形式はより扱いが簡単であるのが普通である。ヴィットの分解定理(英語版)によれば、与えられた体上の任意の内積空間は一つの分解型空間と一つの非等方空間との直交直和に分解できる。
具体的に、q を体 F 上のベクトル空間 V で定義された二次形式とする。非零ベクトル v ∈ V が(q に関して)等方的あるいは等方ベクトルであるとは、q(v) = 0 なるときに言う(零ベクトルも自明な等方ベクトルと見なすこともある)。二次形式 q が等方的なるための必要十分条件は、q に関する等方ベクトルが少なくとも一つ存在することである。
二次空間 (V, q) とその部分線型空間 W に対して、W が V の等方部分空間 (isotropic subspace) とは W に属するあるベクトルが(q に関して)等方的となるときに言い、完全等方部分空間 (totally isotropic subspace) とは W に属する任意のベクトルが等方的となるときに言う。また、非等方部分空間 (anisotropic subspace) は(非零な)等方ベクトルをまったく含まないときに言う。二次空間の等方性指数 (isotropy index) は、その完全等方部分群の次元の最大値である。
有限次元ベクトル空間 V 上の二次形式 q が非等方的となるための必要十分条件は、q が定符号二次形式、つまり
正定値性: q(v) > 0 (∀v(≠ 0) ∈ V),
負定値性: q(v) < 0 (∀v(≠ 0) ∈ V)
の何れかを満たすことである。より一般に、二次形式 q が非退化かつ符号数 (a, b) を持つならば、その等方性指数は min(a, b) に等しい。