ビオ・サバールの法則
静磁場で、ベクトルポテンシャルが
B = rot  A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}}
と定義出来るとき、
r − r ′ | r − r ′ | 3 = − grad  1 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}=-\operatorname {grad} {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}
であるので、ベクトルの恒等式、
rot  j 0 ( r ′ ) | r − r ′ | = − j 0 ( r ′ ) × grad  1 | r − r ′ | {\displaystyle \operatorname {rot} {\frac {\boldsymbol {j_{0}({\boldsymbol {r}}')}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}=-{\boldsymbol {j}}_{0}({\boldsymbol {r}}')\times \operatorname {grad} {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}
ビオ・サバールの法則の両辺の回転を取る。
rot  H = 1 4 π ∫ V rot  ( j × r r 3 ) d 3 r ′ {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
ここで、ベクトル解析の恒等式より
rot  ( j × r r 3 ) = ( div  r r 3 ) j − ( div  j ) r r 3 {\displaystyle \operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)=\left(\operatorname {div} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right){\boldsymbol {j}}-(\operatorname {div} {\boldsymbol {j}}){\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}}
また、ビオ・サバールの法則は静電場におけるクーロンの法則に対応するものであるが、同様に電場のスカラーポテンシャル φ
E = − grad  φ {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi \,\!}
によって静電場におけるクーロンの法則、あるいはガウスの法則を書き換えると
φ = 1 4 π ε 0 ∫ V ρ 0 ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi \,\!={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\rho _{0}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
となり対称性を見ることができる。ここで ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} は真空の誘電率、 ρ 0 = ρ + ρ P {\displaystyle \rho _{0}=\rho +\rho _{\boldsymbol {P}}} は電荷密度+分極電荷密度である。
また、
div  r r 3 = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}=4\pi \delta (r)}
なので、
rot  H = 1 4 π ∫ V 4 π δ ( r ) ⋅ j d 3 r ′ = j {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}4\pi \delta (r)\cdot {\boldsymbol {j}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'\\&={\boldsymbol {j}}\end{aligned}}}
が得られる。これはアンペールの法則そのものである。
ただし、この書き換えは静磁場でのみ有効であることに留意しなければならない。