広義固有ベクトル
これは A の各広義固有空間の基底となる.広義固有ベクトルの2つの鎖と合わせて5次元列ベクトル全体の空間を張る.
{ x 11 , x 12 } = { [ 0 3 − 9 9 − 3 ] , [ 1 − 15 30 − 1 − 45 ] } , { x 21 , x 22 , x 23 } = { [ 0 0 0 0 9 ] , [ 0 0 0 3 0 ] , [ 0 0 1 − 2 0 ] } {\displaystyle \left\{{\boldsymbol {x}}_{11},{\boldsymbol {x}}_{12}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{bmatrix}},\,{\begin{bmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{bmatrix}}\right\},\;\left\{{\boldsymbol {x}}_{21},{\boldsymbol {x}}_{22},{\boldsymbol {x}}_{23}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{bmatrix}},\,{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{bmatrix}},\,{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{bmatrix}}\right\}}
(通常の)固有ベクトルを定義するいくつかの同値な方法がある.n × n 行列 A の固有値 λ の固有ベクトル x とは,(λI − A)x = 0 なる零でないベクトルである,ただし I は n × n の単位行列であり,0 は n 次元の零ベクトルである.つまり,x は変換 A − λI の核に属する.A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持てば,A は対角行列 D に相似である.つまり,ある可逆行列 M が存在して,A は相似変換 D = MAM により対角化可能である.行列 D は A のスペクトル行列(英語版)と呼ばれる.行列 M は A の モード行列(英語版) と呼ばれる.対角化可能な行列は,その行列関数が容易に計算できるなどの特長がある.
一方,n × n 行列 A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持たないとき,A は対角化可能ではない.