漸近展開
| x 0 | < ∞ {\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty } とし、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近展開を
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
とする。定積分
Φ n ( x ) = ∫ x 0 x φ n ( t ) d t {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}
が各 n に対して存在するならば、
F ( x ) = ∫ x 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}
が存在して、
F ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k Φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}