多変数多項式
A がネーター環ならば、有限個の変数に関する A-係数多項式環もそうである。
この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えば A[(Xn)n∈N] のイデアル列 (X0, ..., Xn) (n ∈ N) は真に増大するから、この環はネーターでない。
代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は有限型 Z-加群、より強く(英語版)、有限型可換 Z-多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性により Z[X1, ...,Xn] の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として
↑ (Ferrand 2005) は «une propriété universelle, trop souvent négligée»(あまりに無視されがちな、普遍性)によって多項式環を特徴付けるという第二の視点を主張する前に、教育的な選択肢としてモノイド環による定義を喚起する
1 2 (Ferrand 2005) の該当箇所を参照