分類空間
無限巡回である G の例は、X として円の例がある。G が離散群(discrete group)のとき、X に付く条件を特定する方法は、X の普遍被覆 Y が可縮であることである。この場合、射影写像
π : Y ⟶ X {\displaystyle \pi :Y\longrightarrow X\ }
は、構造群 G を持つファイバーバンドルとなり、実際、G の主バンドルである。実際、ホモトピー圏(英語版)(homotopy category)では分類空間の概念への興味は、ファイバーバンドルの場合には、Y が主 G-バンドルに関して普遍的性質を持つという事実から発生した。このことは、高次のホモトピー群が 0 となること以上に基本的なことである。基本的考え方は、G が与えられると、G がその上に自由に作用するような可縮な空間 Y を探すことである。(ホモトピー論の弱同値(英語版)(weak equivalence)の概念は、2つのバージョンを関連付ける。)円の例の場合、無限巡回群 C が実直線に自由に作用するという事実に注意する必要があり、これは可縮である。X を商空間として、3次元から平面への射影となることを考えるように、円は R = Y から X への幾何学のことばでいう射影 π と見なすことができる。この主張は、π は主 C-バンドルの中でも普遍的な性質を持っていることである。任意の主 C-バンドルは有限の方法で π から有限の方法で得られる。
この例は、分類空間が込み入ったものとなるかも知れないことを示している。
微分幾何学(チャーン・ヴェイユ理論)やグラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)の理論との関係では、分類空間の理論へのより難しいアプローチが、最も興味が持たれているユニタリ群のような場合に可能である。トム複体(英語版)(Thom complex) MG の構成は、空間 BG がコボルディズム理論(英語版)(cobordism theory)の中にむくまれていて、それらは代数トポロジーの中に登場する幾何学的な考え方で中心的な役割を果たす。群コホモロジー(group cohomology)は、(多くの場合に)分類空間を使い定義することができるので、ホモロジー代数で基本的であると見なすことができる。
分類空間の一般化は、分類葉層(foliation)や直観主義論理(intuitionistic logic)での計算予測の理論での分類トポス(英語版)(classifying topos)であり、それらは「モデルの空間」という位置を占める。