ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズは楕円曲線をモジュラー形式の可算集合にマッチングさせることを試みた.彼はこの直接的なアプローチがうまくいかないことを発見し、代わりに楕円曲線のガロア表現をモジュラー形式にマッチングさせることで問題を変換した。ワイルズはこのマッチング(または写像)を、より具体的には環準同型と表現している。
R n → T n . {\displaystyle R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.}
R {\displaystyle R} は変形環であり、 T {\displaystyle \mathbf {T} } はHecke ring(局所的にコンパクトな群のヘッケ代数)である。
ワイルズは多くの場合、この環の準同型が環の同型になりうるという洞察を得た(1995年の論文の第2章§3の予想2.16)。彼は R {\displaystyle R} と T {\displaystyle \mathbf {T} } 間の写像が、理論に現れる二つのアーベル群が有限で同じ濃度を持っている場合にのみ同型性であることに気がついた。これは「数的基準」と呼ばれることもある。この結果、フェルマーの最終定理は、2つの群が同じ位数を持つという記述に還元される。この証明の文章の多くは、環論や並べ換え理論に関連する話題や定理へとつながっている。