整礎関係
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう。(関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。)つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S ⊆ X ( S ≠ ∅ → ∃ m ∈ S ∀ s ∈ S ( s , m ) ∉ R ) . {\displaystyle \forall S\subseteq X\;\,(S\neq \varnothing \to \exists m\in S\;\;\forall s\in S\;\,(s,m)\notin R).}
X が集合であるとき、従属選択公理(これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い)を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる。
関係 R が反射律を満たすとは、R の始域の任意の元 a に対して a R a が満たされることである。任意の定値列は(広義の)降鎖であるから、始域が空でない任意の反射関係は無限降鎖をもつ。例えば、自然数の全体に通常の大小関係による順序 ≤ を考えれば 1 ≥ 1 ≥ 1 ≥ ⋯ は無限降鎖になる。反射関係 R を扱う際には、この手の自明な降下列を取り除くために、普通は(しばしば陰伏的に)
a R′ b ⇔ a R b かつ a ≠ b
で定義される関係 R′ を代わりに利用する。先ほどの自然数の例で言えば、反射的順序関係 ≤ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである。文献によっては、整礎関係の定義として、本項におけるものの代わりに、このような規約を設けることによって反射関係をも含めるものもあるので注意を要する。