オイラーの五角数定理
証明は偶数個の分割と奇数個の分割を対応させる法則を示すことにより可能となる。下図は20 = 7 + 6 + 4 + 3 の分割を表すフェラーズ図形 である。
ここで m を最下行の要素数とする(この図では m = 3)。また s を「1つ上の行より1少ないという関係が続いている部分」のうち、もっとも右側にあるものの長さとする(この例ではs = 2。図の赤い点で示される)。 このとき m > s ならば、赤い点の部分を最下部に付け加えることで新しい分割を作ることができる。
もし m ≤ s であるなら(この新しい図では m = 2, s = 5 となりこの条件を満たす)、先ほどと逆の操作をすることで、新しい分割を作ることができる。例えば上図にこの操作をすると、はじめの図に戻る。
この操作は後に述べる例外を除き、必ず分割の偶奇性を変える。また同じ操作を二回繰り返すともとに戻る。この結果から、偶数分割と奇数分割のペアを対応させることができ、五角数定理において+1と-1が割当てられている項どうしが相殺される。この例は 7 + 6 + 4 + 3 <-> 6 + 5 + 4 + 3 + 2 という対応を表している。
この対応が成り立たない例外は以下のケースである。