ハーディ空間
すなわち、(f ∗ Pr)(e) は、単位円上で
e i φ → P r ( θ − φ ) {\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi )}
と定義される C-函数についての f の作用の結果である。0 < p < ∞ に対し、実ハーディ空間 H(T) は M f が L(T) に属するような超函数 f より構成される。
単位円上で F(re) = (f ∗ Pr)(e) で定義される函数 F は調和的であり、M f は F の半径極大函数(radial maximal function)である。M f が L(T) に属し、p ≥ 1 であるとき、超函数 f は L(T) の函数、すなわち、F の境界値である。p ≥ 1 に対し、実ハーディ空間 H(T) は L(T) の部分空間である。
0 < p ≤ ∞ に対し、H 内の全ての非ゼロ函数 f は、以下で定義される外函数(outer function)G と内函数(inner function)h の積 f = Gh で表すことが出来る (Rudin 1987, Thm 17.17)。このバーリング(英語版)因数分解は、ハーディ空間を内函数と外函数の空間によって完全に特徴付けることを許す。
G(z) は次の形状を取るとき、外函数と呼ばれる。
G ( z ) = c exp  ( 1 2 π ∫ − π π e i θ + z e i θ − z log ( φ ( e i θ ) ) d θ ) . {\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right).}
ただし c は |c| = 1 であるような複素数で、φ は log(φ) が単位円上で可積分であるような正の可測函数である。特に φ も単位円上で可積分であるなら、上式がポアソン核の形状を取るため、G は H に含まれる。このことは、ほとんど全ての θ に対して