ナブラ
∇をベクトル場に施して、結果がテンソルとなることもある。ベクトル場 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} のテンソル微分は9つの成分を持つ二階テンソルだが、これを二項積 ⊗ を用いて、簡単に
∇ ⊗ v {\displaystyle \nabla \otimes {\boldsymbol {v}}}
と書くことができる。この量は空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しい。
微小変位 δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {r}}} に対して、ベクトル場の変位は
δ v = ( ∇ ⊗ v ) ⋅ δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {v}}=(\nabla \otimes {\boldsymbol {v}})\cdot \delta {\boldsymbol {r}}}
で与えられる。
発散はベクトル場の指す方向にそれがどれくらい増加するかを大まかに測るものであるが、より精確には場がその点から発散するか、あるいはその点に向かって収束するかの傾向を測るものである。
∇記法の威力はやはり積の規則
∇ ⋅ ( f v ) = f ( ∇ ⋅ v ) + v ⋅ ( ∇ f ) {\displaystyle \nabla \cdot (f{\boldsymbol {v}})=f(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {v}}\cdot (\nabla f)}
によって示される。しかし可換でないベクトル積に対しては少し直観から外れて
∇ ⋅ ( u × v ) = v ⋅ ( ∇ × u ) − u ⋅ ( ∇ × v ) {\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {v}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\boldsymbol {u}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {v}})}
とせねばならない。