ハーディ＝リトルウッドの極大函数
}
このハーディ=リトルウッドの極大不等式を元に、マルチンケーヴィッチの補間定理の直接的な帰結として、次の「強いタイプ」の評価が得られる:
定理(強いタイプの評価) d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ および f ∈ L(R) に対し、ある定数 Cp,d > 0 が存在して次が成り立つ。
‖ M f ‖ L p ( R d ) ≤ C p , d ‖ f ‖ L p ( R d ) . {\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}
この強いタイプの評価において最良の Cp,d は知られていない。しかし、Elias M. Stein(英語版) は回転のカルデロン=ジグムント法を利用して、次を証明した。
定理(次元独立性) 1 < p ≤ ∞ に対し、d に独立して Cp,d = Cp を取ることが出来る。