カントールの対角線論法
もし x {\displaystyle x} が Y {\displaystyle Y} の元であれば x ∈ Y = ψ ( x ) {\displaystyle x\in Y=\psi (x)} である。しかし Y {\displaystyle Y} の定義より、 Y {\displaystyle Y} は x ∉ ψ ( x ) {\displaystyle x\notin \psi (x)} を満たす x {\displaystyle x} の集合であるので、 x ∉ ψ ( x ) {\displaystyle x\notin \psi (x)} でなければならず、矛盾する。反対にもし x {\displaystyle x} が Y {\displaystyle Y} の元でなければ x ∉ Y = ψ ( x ) {\displaystyle x\notin Y=\psi (x)} であるが、 Y {\displaystyle Y} の定義により、 x ∉ ψ ( x ) {\displaystyle x\notin \psi (x)} である x {\displaystyle x} は Y {\displaystyle Y} の元でなければならず、やはり矛盾する。
カントールの定理とは次のようなものである。