コンパクト空間
コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像である。
コンパクト空間から実数体への連続関数は一様連続である。(ここから連続関数がリーマン可積分であることが言える)
コンパクトハウスドルフなら正規
位相空間が点列コンパクトとは、一般の有向集合ではなく点列に対してのみボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が保証される事を意味する:
定義 ― 位相空間 X が点列コンパクトであるとは、X 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち X 上の任意の点列 { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} に対し適当な部分列 { x n i } i ∈ N {\displaystyle \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} }} を取れば { x n i } i ∈ N {\displaystyle \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} }} は X 上のいずれかの点に収束する事を指す。
点列コンパクト性の事を点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性とも言う。
コンパクトと点列コンパクトの同値性は擬距離空間でも成立するが、無条件には成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。
を満たしえず、したがって ( e n ) n ∈ N ⊂ B {\displaystyle (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B} は収束部分列を持たない為点列コンパクトではなく、よってコンパクトでもない。
l空間の閉単位球Bがコンパクトにならない原因は、Bは有界であっても全有界ではないからである。実際、 ‖ e n − e m ‖ = 2 {\displaystyle \|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}} for n≠mであるので、 ε < 2 / 2 {\displaystyle \varepsilon <{\sqrt {2}}/2} を満たす正数εに対しては、各 e 1 , e 2 , ... {\displaystyle \mathbb {e} _{1},\mathbb {e} _{2},\ldots } を覆うために一つずつε-球を用いる必要があるので、可算無限個のε-球が必要となり、全有界ではない。
ハイネ・ボレル性による定義における「開集合」の補集合を取って「閉集合」とし、さらに対偶を取る事で、コンパクト性の以下の特徴づけが得られる:
定義 ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、Xの閉集合の任意の集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が以下の性質を満たすとき、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は有限交差性を満たすという:
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の任意の有限部分集合 F ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'} が、 ∩ F ∈ F ′ F ≠ ∅ {\displaystyle \cap _{F\in {\mathcal {F}}'}F\neq \emptyset } を満たす。
定理 (有限交差性によるコンパクトの特徴づけ) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がコンパクトである必要十分条件は以下の性質が成立する事である:
Xの閉集合の任意の集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が有限交差性を満たせば ∩ F ∈ F F ≠ ∅ {\displaystyle \cap _{F\in {\mathcal {F}}}F\neq \emptyset } が成立する。
この条件は区間縮小法の一般化になっているとみなすことができ、位相空間における存在証明に重要な役割を果たす。
定義 ― 距離空間 X が完備であるとは X 上のコーシー列は必ず収束する事を指す。
詳細は完備距離空間の項目を参照されたい。