ハムサンドイッチの定理
したがって、球面 S の表面上の各点 p に対して、原点から p へのベクトルと直交し、かつ An を2等分するような超平面 π(p) を得ることができる。
その (n − 1)-球面から (n − 1)-次元ユークリッド空間 R への関数 f を、次のように定める:
f(p) = (π(p) の正の方向に含まれる A1 の体積, π(p) の正の方向に含まれる A2 の体積, ..., π(p) の正の方向に含まれる An−1 の体積).
この関数 f は連続である。したがって、ボルサック・ウラムの定理(英語版)により、f(p) = f(q) であるような球面 S 上の対蹠点 p と q が存在する。そのような対蹠点 p と q は、正とする方向が正反対であることを除いて等しいような超平面 π(p) と π(q) に対応する。したがって、f(p) = f(q) は、各 i = 1, 2, ..., n − 1 に対して、超平面 π(p) (あるいは π(q))の正の方向と負の方向に含まれる Ai の体積が等しいことを意味する。以上のことから、π(p) (あるいは π(q))が、A1, A2, ..., An の体積を同時に2等分するような、求めるハムサンドイッチカットであることが分かる。
測度論において、Stone & Tukey (1942) は1種類の、より一般的な形式のハムサンドイッチの定理を証明した。それらはいずれも、共通とする集合 X に含まれる n 個の部分集合 X1, X2, ..., Xn の2等分に関するものであった。ここで X はカラテオドリ外測度を持ち、各 Xi は有限外測度を持つとされる。
一つ目の一般的な形式化は、次のようなものである: 適切に制限された任意の実関数 f : S n × X → R {\displaystyle f:S^{n}\times X\to \mathbb {R} } に対して、n-球面 S に含まれるある点 p が存在し、X を f(s,x) < 0 と f(s,x) > 0 に分割するようなその表面が、 X1, X2, ..., Xn の各外測度を同時に2等分する。この証明には、再びボルサック・ウラムの定理が用いられる。