基本群
{\displaystyle X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}
重要で特別な場合として、X が弧状連結であれば、いかなる 2つの異なる基点も同型な基本群を与え、同型は与えられた 2つの基点の間の経路を選択することで与えられる。
基本群の関手は、積を群の直積へ、余積を余積へ写像する。すなわち、X と Y が弧状連結であれば、
π 1 ( X × Y ) ≅ π 1 ( X ) × π 1 ( Y ) {\displaystyle \pi _{1}(X\times Y)\cong \pi _{1}(X)\times \pi _{1}(Y)}
と
π 1 ( X ∨ Y ) ≅ π 1 ( X ) ∗ π 1 ( Y ) {\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}
が成り立つ。(後者の公式では、 ∨ {\displaystyle \vee } は位相空間のウェッジ和を表し、* は群の自由積を表す。)双方の公式は任意の積に対して一般化することができる。さらに後者の式は、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理の特別な場合になっている。ここでザイフェルト–ファン・カンペンの定理は、基本群の関手が包含写像に沿った押し出し(英語版)(pushout)を押し出しに写すという定理である。
すべての群は、2 次元(もしくはより高次元)の連結なCW複体として実現することができる。上記で注意したように、自由群でさえ、1-次元のCW複体の基本群として現れる(つまりグラフである)。
すべての有限表示された群は、4 次元(もしくは、それ以上の高次元の)コンパクトな連結微分可能多様体の基本群として実現できる。(一方でコンパクトな位相多様体の基本群は有限表示されることが証明できる。)しかし、低次元の多様体の基本群として実現されるには、厳しい制限がある。例えば、ランク 4 もしくはそれ以上の自由アーベル群は、次元が 3 以下の多様体の基本群としては実現できない。
X を位相空間、x0 を X の点とする。x0 を基点とするループと呼ばれる連続写像
f : [ 0 , 1 ] → X , f ( 0 ) = x 0 = f ( 1 ) {\displaystyle f\colon [0,1]\to X,\quad f(0)=x_{0}=f(1)}
の集合に注目する。基点 x0 を持つ X の基本群は、この集合をホモトピー h で割った集合
{ f : [ 0 , 1 ] → X : f ( 0 ) = x 0 = f ( 1 ) } / h {\displaystyle \{f\colon [0,1]\to X:f(0)=x_{0}=f(1)\}/h}
に、群の乗法を次のように与えたものである。
( f ∗ g ) ( t ) = { f ( 2 t ) 0 ≤ t ≤ 1 2 g ( 2 t − 1 ) 1 2 ≤ t ≤ 1 . {\displaystyle (f\ast g)(t)={\begin{cases}f(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\g(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}.
有限連結単体複体 X の普遍被覆空間は、辺道を用いて単体複体として直接に記述できる。その頂点は X の頂点 w と v から w への辺道の辺同値類 γ との順序対 (w, γ) である。(w, γ) を含む k-単体は自然に w を含む k-単体に対応する。k-単体の別の頂点 u は辺 wu を、従って連接により v から u への新しい道 γu を与える。点 (w, γ) および (u, γu) は、普遍被覆空間へ「送られた」単体の頂点である。辺ループ群は連接により普遍被覆空間に自然に作用して、その作用は普遍被覆空間の単体構造を保ち、かつその作用による普遍被覆空間の商は X にちょうど一致する。
よく知られているように、この方法は任意の位相空間の基本群を計算することにも使われる。このことは疑いなく、エデュアール・チェック(英語版)とジャン・ルレイにより知られていて、明らかには論文 Weil (1960) の中に注意として記載されていて、L. Calabi, W-T. Wu や N. Berikashvili といった多くの著者により証明が与えられている。被覆の中の有限個の開集合の空でない共通部分がいつでも可縮となるような有限な開被覆を持つコンパクト空間 X の最も単純なケースでは、基本群は開被覆の脈体(英語版)(nerve of the covering)に対応する単体複体の辺ループ群と同一視することができる。