作用素
ベクトル空間 U, V はともに同じ順序体(例えば実数体 R)上のベクトル空間で、ノルムを備えるものとする。線型作用素 T: U → V が有界とは、適当な定数 C > 0 が存在して、任意の x ∈ D(T) に対して
‖ T x ‖ V ≤ C ‖ x ‖ U {\displaystyle \|Tx\|_{V}\leq C\|x\|_{U}}
が成立することをいう。これは線型作用素が連続であることと同値である。
全空間で定義されている有界線型作用素の全体はベクトル空間を成し、その上に作用素ノルムと呼ばれる U, V のノルムと両立するノルム
‖ T ‖ = inf { C > 0 : ‖ T x ‖ V ≤ C ‖ x ‖ U } {\displaystyle \|T\|=\inf\{\,C>0:\|Tx\|_{V}\leq C\|x\|_{U}\}}
を入れることができる。U = V の場合には
‖ S T ‖ ≤ ‖ S ‖ ⋅ ‖ T ‖ {\displaystyle \|ST\|\leq \|S\|\cdot \|T\|}
が成り立つことが示せる。この性質を持つ任意の単位的ノルム代数 はバナッハ代数と呼ばれる。このような代数の上にもスペクトル論は一般化することが可能である。バナッハ代数にさらに追加の構造を入れたC-環は量子力学において重要な役割を果たす。
バナッハ空間空間上の有界線型作用素の全体は標準作用素ノルムに関してバナッハ代数を成す。バナッハ代数の理論は、固有空間論をエレガントに一般化する非常に一般なスペクトルの概念を発達させた。