閉包 (位相空間論)
数学において、位相空間の部分集合の閉包(へいほう、英: closure)は、その部分集合の触点(部分集合の点とそれらの集積点)を全て集めて得られる集合である。直観的には、部分集合の触点とはその部分集合の「いくらでも近く」にある点と考えられる。閉包の概念は様々な意味で開核の概念の双対になっている。
閉包作用素は、以下のように普遍射を用いるとすっきりと定義することができる。
集合 X の冪集合は半順序集合として、X の部分集合を対象とし、包含写像を射とする圏 P と看做すことができる。さらに X 上の位相 T は P の部分圏であり、包含函手 I: T → P を考えることができる。X の部分集合 A を固定して、A を含む X の閉集合全体のなす集合族をコンマ圏 (A ↓ I) と同一視すれば、この(半順序集合でもある)圏は始対象として Cl(A) を持つ。ゆえに、A から I への普遍射が存在し、それは包含射 A → Cl(A) で与えられる。
同様に、X ∖ A を含む任意の閉集合は A に含まれる開集合と対応するから、コンマ圏 (I ↓ X ∖ A) を A に含まれる開集合全体のなす集合と解釈することができて、A の内部 Int(A) がその終対象を与える。
閉包作用素の持つ性質は全てこの定義(と上記の圏のいくつかの性質)から導くことができる。さらにこの定義が普遍射として述べられていることにより、やはり普遍射として記述される他の種類の閉包(たとえば代数閉包)などと位相的な閉包との間の類似対応が明確になるという利点がある。
A ∩ B ̄ ⊂ A ̄ ∩ B ̄ , ⋂ λ ∈ Λ S λ ̄ ⊂ ⋂ λ ∈ Λ S ̄ λ , A ∪ B ̄ = A ̄ ∪ B ̄ , ⋃ λ ∈ Λ S λ ̄ ⊃ ⋃ λ ∈ Λ S ̄ λ {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cap B}}&\subset {\bar {A}}\cap {\bar {B}},&{\overline {\bigcap _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }}}&\subset \bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\bar {S}}_{\lambda },\\{\overline {A\cup B}}&={\bar {A}}\cup {\bar {B}},&{\overline {\bigcup _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }}}&\supset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\bar {S}}_{\lambda }\end{aligned}}}
などのように表せる。
A を位相空間 X の S を含む部分空間とするとき、S の A における閉包は、S の X における閉包と A との交わりに等しい。すなわち
Cl A ( S ) = A ∩ Cl X ( S ) {\displaystyle {\text{Cl}}_{A}(S)=A\cap {\text{Cl}}_{X}(S)}
が成り立つ。特に S が A において稠密となるための必要十分条件は、A が ClX(S) の部分集合となることである。
これらの例から、与えられた部分集合の閉包というのが、その台となる空間のうえの位相に依存していることが諒解される。後二者の例はもっと一般に
任意の離散空間では、任意の部分集合が(開かつ)閉であるから、任意の部分集合はその閉包に一致する。
任意の密着空間 X では、(開かつ)閉集合は空集合と X 自身のみであるから、空集合の閉包は空集合であり、空でない任意の部分集合 A に対しては cl(A) = X が成り立つ。すなわち、密着空間の任意の空でない部分集合は稠密部分集合である。
という形で述べることができる。
集合の閉包は、どの空間で閉包にとるかによっても変わってくる。例えば、X を有理数全体の成す集合 Q に(ユークリッド空間 R から誘導される部分空間としての)通常の位相を入れたものとし、S = {q ∈ Q : q > 2} とすれば、S は Q において閉であり S の Q における閉包は S 自身に一致するが、S のユークリッド空間 R における閉包は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 以上の実数全体の成す集合になる。