アインシュタイン係数
ここでnは励起・非励起の原子種の総数密度、kはボルツマン定数、Tは温度、 g i {\displaystyle g_{i}} は状態iの縮退(多重度とも)、Zは分配関数である。温度Tにおける黒体放射のプランクの法則より、周波数νのスペクトルエネルギー密度について
ρ ν ( ν , T ) = F ( ν ) 1 e h ν / k T − 1 , {\displaystyle \rho _{\nu }(\nu ,T)=F(\nu ){\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},}
ここで
F ( ν ) = 8 h π ν 3 c 3 , {\displaystyle F(\nu )={\frac {8h\pi \nu ^{3}}{c^{3}}},}
ここで c {\displaystyle c} は光速、 h {\displaystyle h} はプランク定数
これらの式を詳細釣り合いの方程式に代入し、E2 − E1 = hνであることを思い出すと、
A 21 g 2 e − h ν / k T + B 21 g 2 e − h ν / k T F ( ν ) e h ν / k T − 1 = B 12 g 1 F ( ν ) e h ν / k T − 1 , {\displaystyle A_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}+B_{21}g_{2}e^{-h\nu /kT}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}}=B_{12}g_{1}{\frac {F(\nu )}{e^{h\nu /kT}-1}},}