ノルム剰余同型定理
重要な前進は n = 2 で l が任意の場合である。この場合は、(Merkurjev & Suslin 1982) で証明され、メルクリエフ・ススリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)として知られている。後日、メルクリエフ(Merkurjev)とススリン(Suslin)と、それとは独立にロスト(Rost)は、n = 3 と l = 2 の場合に証明した。(Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986)。
名称「ノルム剰余」は、体 k {\displaystyle k} のブラウアー群に値をとるヒルベルト記号 ( a 1 , a 2 ) {\displaystyle (a_{1},a_{2})} に起源を持つ(ただし体は1の l {\displaystyle \ell } -乗根をすべて持つとする)。この命名は通常の局所類体論との類似に基づいており、(発展途上の)「高次」類体論の一部をなすと期待されている。
ノルム剰余同型定理はキレン・リヒテンバウム予想(英語版)を含んでいる。またこれはかつてベイリンソン・リヒテンバウム予想として知られていた定理と等価である。
∂ n : K n M ( k ) → H n ( k , μ l ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}
を経由する。この写像はガロア記号(Galois symbol)、あるいはノルム剰余(norm residue)写像と呼ばれる。mod- l {\displaystyle \ell } ガロアコホモロジーは l {\displaystyle \ell } -捻れ群であるので、この写像はさらに K n M ( k ) / l {\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell } を経由する。
ノルム剰余同型定理(もしくはブロック・加藤の予想)は、体 k {\displaystyle k} と k {\displaystyle k} で可逆な整数 l {\displaystyle \ell } に対し、ミルナーのK-理論から mod- l {\displaystyle \ell } ガロアコホモロジーへのノルム剰余写像
∂ n : K n M ( k ) / l → H n ( k , μ l ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}
は同型であるという定理である。 l = 2 {\displaystyle \ell =2} の場合がミルナー予想であり、 n = 2 {\displaystyle n=2} の場合がメルクリエフ・ススリンの定理 (Merkurjev–Suslin theorem) である。