ローレンツ群
制限ローレンツ群 SO(1, 3) はメビウス群 PSL(2, C) と同型であるため、その共役類も五つに分けられる。
楕円型変換
双曲型変換
斜航型 (Loxodromic) 変換
放物型変換
自明な恒等変換
メビウス変換の項では、メビウス変換をリーマン球面上に作用させたときの不動点を考えることにより、この分類がどのように生じるかを説明しているが、この不動点はここでは制限ローレンツ変換をミンコフスキー時空に作用させたときのヌル固有空間に相当する。
各分類型の例を、それが生成する1パラメータ部分群(英語版)の影響(たとえば夜空の見かけ)とともに下の節に挙げる。
メビウス変換はリーマン球面(もしくは天球)上の共形変換である。ここで、 SL(2, C) の任意の要素と共役させることにより後述の、楕円型、双曲型、斜航型、放物型ローレンツ変換の任意の要素がそれぞれ得られる。対応する1パラメータ部分群の フロー線 (flow lines) への影響は、共形変換の例に見ることができる。たとえば、楕円型ローレンツ変換は天球状の二つの任意の不動点をもつことができるが、片方の不動点からもう片方の不動点へと弧状のフローを持つ。他の型でも同様である。
− 1 + ξ 2 2 ∂ ξ {\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }}
ξ = u + i v {\displaystyle \xi =u+iv} と書くことにすると、これは R 上のベクトル場となる。
− 1 + u 2 − v 2 2 ∂ u − u v ∂ v {\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}
SL(2, C) の要素に戻り、作用 X ↦ P X P ∗ {\displaystyle X\mapsto PXP^{*}} を書き出して項を集めると、スピノル写像の像は次の SO(1, 3) の要素であることがわかる。
[ 1 0 0 0 0 cos  ( θ ) 0 sin  ( θ ) 0 0 1 0 0 − sin  ( θ ) 0 cos  ( θ ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]}
θ で微分して θ=0 を代入すると、対応する R 上のベクトル場が得られる。
z ∂ x − x ∂ z {\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}}
これは明らかに y 軸まわりの反時計回り回転である。
この同型性の帰結として、リーマン球面上のメビウス変換は、「静止した星々」に対して相対論的速度で運動している観測者から見るであろうように、ローレンツ変換により夜空の見かけが変わる様を表現しているということができる。
「静止した星々」がミンコフスキー時空上にあり、天球上の点によりモデル化されるものとする。すると、天球上のある点はリーマン球面上の点に対応する複素数 ξ = u + iv と対応づけることができ、ミンコフスキー時空上のヌルベクトル(光的ベクトル)は次のように表される。
[ u 2 + v 2 + 1 2 u − 2 v u 2 + v 2 − 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{matrix}}\right]}
または、エルミート行列の形で次のように表される。
N = 2 [ u 2 + v 2 u + i v u − i v 1 ] {\displaystyle N=2\left[{\begin{matrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{matrix}}\right]}
このヌルベクトルの実数倍の集合はある時刻にある点にいる観測者の(ミンコフスキー時空の任意の世界点を原点とすることができる)星のような離れた適当な物体への「視線」と呼ぶことができる。ここで、天球上の点(同等に、視線)をあるエルミート行列により指定することができる。
ローレンツ群の概念は任意の次元の時空に対して自然に一般化することができる。数学的には、n+1-次元ミンコフスキー時空のローレンツ群は R 上の線形変換のうち、次の二次形式を普遍に保つ変換の成す O(n, 1)(もしくは O(1, n))である。
( x 1 , x 2 , ... , x n , x n + 1 ) ↦ x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 − x n + 1 2 {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}
四次元ローレンツ群 (n = 3) の性質の多くが直ちに任意の n へ拡張できる。たとえば、ローレンツ群 O(n, 1) は四つの連結成分を持ち、n+1-次元ミンコフスキー時空上に (n−1)-次元天球上の共形変換として作用する。単位元成分 SO(n, 1) は n-次元双曲空間 H 上の SO(n)-束である。
n = 1 や n = 2 の低次元のものは、物理的な n = 3 の場合の「トイモデル」としてしばしば有用である。対して、より高次元のものは弦理論などの隠された次元の存在を仮定する物理理論においてもちいられる。ローレンツ群 O(n, 1) は等質空間 O(n, 1)/O(n−1, 1) として実現される n-次元ド・ジッター空間 dSn の等長群でもある。特に、O(4, 1) は宇宙モデルのひとつド・ジッター宇宙 dS4 の等長群である。