ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
となるので、各々の i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} に対し、対応するスカラーのナビエ-ストークス方程式
∂ v i ∂ t + ∑ j = 1 3 v j ∂ v i ∂ x j = − ∂ p ∂ x i + ν ∑ j = 1 3 ∂ 2 v i ∂ x j 2 + f i ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t)}
(C) T 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}} でのナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
f ( x , t ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0} とする。上でのべた前提条件を満たす初期条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ–ストークス方程式の解が存在する、つまり、速度ベクトル v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} と圧力 p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} が存在し、上の条件 3 と 4 を満たす。
(D) T 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}} でナビエ–ストークス方程式が解けないこと
上の条件 3 と 4 を満たす解 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} と p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} が存在しないような初期条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} と外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} が存在する。