反ド・ジッター空間
上述のアナロジーは、一般相対性理論における重力による2次元空間の曲率を、特殊相対性理論のミンコフスキー空間のように平坦な3次元の埋め込み空間で記述するものである。平坦な5次元の空間にド・ジッター空間と反ド・ジッター空間を埋め込むことで、埋め込まれた空間の特性を決定することができる。埋め込み空間内の距離や角度は、5次元の平面空間の単純な性質から直接決定することができる。
反ド・ジッター空間は、観測された宇宙定数をもつ一般相対性理論における重力には対応しないが、量子力学における他の力(電磁気学、弱い核力、強い核力など)には対応すると考えられている。これをAdS/CFT対応と呼ぶ。
最大の対称性を持つローレンツ多様体とは、どんな時間・空間上の一点も他の点と区別できない(特別な点を持たない)様な時空間である。(ローレンツのように)方向(または、時空間の一点での経路の接線)を区別する唯一の方法は、それが空間的であるか、光的であるか、時間的であるかである。特殊相対性理論の空間(ミンコフスキー空間)が1つの事例である。
定スカラー曲率とは、一般相対性理論の重力のような時空の歪みであり、時空に物質やエネルギーが存在していない場合、どこでも同じである様な1つの数字で記述される曲率を持っている時空間を表す。
負の曲率とは、双曲的に、すなわち鞍の表面やガブリエルのラッパの表面のように曲がっていることを意味し、トランペットのベルの表面とも似ている。正の曲率を持っている球面とはある意味「反対」とも言える。
{\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}
これら2つは G = H ⊕ Q {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}} を満たす。陽的な行列計算によって [ H , Q ] ⊆ Q {\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}} と [ Q , Q ] ⊆ H {\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}} がわかる。このように、反ド・ジッター空間はen:reductive homogeneous spaceであり、非リーマン対称空間(英語版)である。