キュムラント母関数
κ 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}K_{X}(t)&=\log(M_{X}(t))\\&=\log(\mathrm {E} (e^{tX}))\\&=\log \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\mu _{n}\right)&=&\log \left(1+t\mu _{1}+{\frac {t^{2}}{2!}}\mu _{2}+\dotsb \right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\kappa _{n}&=&0+t\kappa _{1}+{\frac {t^{2}}{2!}}\kappa _{2}+\dotsb \end{aligned}}}
ここで、
μn は n 次のモーメント。
κn は n 次のキュムラント。
n次キュムラントは次のように与えられる。
κ n = ∂ n ∂ t n K X ( t ) | t = 0 = ∂ n ∂ t n log  ( M X ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}K_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}={\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\log {(M_{X}(t))}{\biggr \vert }_{t=0}}