集合
集合は「ものの集まり」である。集合の元(要素)として、集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも(当然、集合でも)構わない。
一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んでよいわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。
例えば、ジョーカーやコマーシャルカードを除いたトランプのスート全体 {♠(スペード), ♦(ダイヤ), ♣(クラブ), ♥(ハート)} やトランプの数字全体 {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} は集合の例である(A,J,Q,Kは数字では無いが、多くのトランプゲームでは数字として解釈される。)。トランプはこれらの組
{(♠,A), ..., (♠,K), (♦,A), ..., (♦,K), (♣,A), ..., (♣,K), (♥,A), ..., (♥,K)}
を符牒とする、4×13=52枚のカードであるが、これもまた集合の一例である。特に、トランプはスートの集合と数字の集合との直積集合と同一視でき、「52」はこの集合の濃度を表している。また、先のスートの集合、数字の集合の濃度はそれぞれ 4, 13 である。
個々の集合を表すには、しばしばラテン文字の大文字 A, B, ..., E, F, ..., M, N, ..., S, T, ..., X, Y, ... などを使う。集合の元はラテン小文字 a, ..., e, ..., m, ..., s, ..., x, ... とすることが多く、特に集合を表す大文字に対応する小文字を使う。
もとの全体集合の中に演算結果を求めるのではなく、むしろ引数となる集合たちをもとに新しい集合を作り出すことを目的とする演算もある。
集合の記法には、おおまかに2通りの方法がある。論理的な概念として「外延と内包」というものがあるが、ほぼそれに相当するもので、その要素をすべて列挙するという方法と、その集合に含まれるのであれば必ず満たされ、含まれないのであれば必ず満たされない条件を明示するという方法である。
「外延」に相当する、すべて列挙する方法では、例えば、1, 3, 5, 7, 9 からなる集合は、
{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } {\displaystyle \{1,3,5,7,9\}}
と表記する。
「内包」に相当する、属するために満たすべき条件を明示する方法では、例えば、10 未満の正の奇数全体の集合を、
{ x | x は 10 未満の正の奇数 }
と表記する。一般に、条件 P(x) があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を、
{ x ∣ P ( x ) } {\displaystyle \{x\mid P(x)\}}
と表記する。ここでは x という変数を用いているが、{ y | P(y) } と書いても { a | P(a) } と書いても構わない。set-builder notation(en:Set-builder notation)やset comprehension、日本語では内包表記などとも言う。