水素原子
球面座標系において、標準位置での波動関数は
ψ n l m ( r , θ , φ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − l − 1 ) ! 2 n ( n + l ) ! e − ρ / 2 ρ l L n − l − 1 2 l + 1 ( ρ ) Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle \psi _{nlm}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}}}e^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
で与えられる。ここで、
ρ = 2r / na0,
a0 はボーア半径、
L n − l − 1 2 l + 1 ( ρ ) {\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )} は、n - l - 1 次の一般化されたラゲールの陪多項式であり、著者によって様々に定義されるがここではMessiahやMathematicaによる定義に従う。
Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )\,} は、l 次 m 桁の球面調和関数である。
量子数は以下の値を取る:
n = 1 , 2 , 3 , ... , l = 0 , 1 , 2 , .
水素原子のシュレーディンガー方程式の解は、核子によるクーロンポテンシャルは等方的であるという事実を用いる。結果として得られた基底状態の固有関数(軌道)自体は等方的である必要はないものの、それらの角座標への依存はこのポテンシャルの等方性から得られるものである。ハミルトニアンの固有状態(即ちエネルギー固有状態)は、角運動量演算子の同時固有状態として選ぶことができる。これは、核子の周りでの電子の軌道運動において角運動量が保存されるという事実と合致する。従って、エネルギー固有状態は2つの角運動量量子数 l と m (どちらも整数)により分類することができる。角運動量量子数 l (= 0,1,2,...) は角運動量の大きさを決定し、磁気量子数 m (= -l, ..., +l) は任意に選んだz軸への角運動量の射影を決定する。
波動関数の全角運動量と角運動量射影の数学的な表現に加え、波動関数の放射方向依存の表現も見出す必要がある。
1928年、ポール・ディラックは特殊相対性理論と完全に両立できる方程式(ディラック方程式)を発見し、その結果として波動関数を正負のエネルギー(物質と反物質)および両方向のスピンからなる4成分のディラック・スピノルで表した。この方程式の解はシュレーディンガー方程式の解よりも正確な以下の結果を与える。