3乗剰余の相互法則
} よって、次のように書くことができる。
α N ( π ) − 1 3 ≡ ω k mod π , {\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},}
ω k {\displaystyle \omega ^{k}} は単数で、 この値は α {\displaystyle \alpha } の π {\displaystyle \pi } を法とした3乗剰余記号と呼ばれ、以下のように書かれる。
( α π ) 3 = ω k ≡ α N ( π ) − 1 3 mod π . {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}{\bmod {\pi }}.}
レーマーの定理。 qとpを素数とし、 p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right)} このとき [ q p ] 3 = 1 ⟺ q ∣ L M or L ≡ ± 9 r 2 u + 1 M mod q , {\displaystyle \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},}
ただし u ≢ 0 , 1 , − 1 2 , − 1 3 mod q and 3 u + 1 ≡ r 2 ( 3 u − 3 ) mod q . {\displaystyle u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.}
最初の条件は、LまたはMを割り切る任意の数が3乗剰余(mod p )であることを意味することに注意すること。