古典電磁気学
電場 E は、静止した電荷について次のように定義される。
F = q 0 E {\displaystyle \mathbf {F} =q_{0}\mathbf {E} }
ここで q0 は試験電荷と呼ばれる。この荷電粒子の大きさは、その存在が電場に影響しない程度に小さければ、あまり重要ではない。この定義から E の単位が N/C(ニュートン毎クーロン)だということが明らかになる。この単位は後述するように V/m(ボルト毎メートル)と同じである。
上の定義はやや循環的だが、電荷が静止した状態ならクーロンの法則が成り立つ。すると、次の式が得られる。
E = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i ( r − r i ) | r − r i | 3 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|^{3}}}}
ここで n は電荷の個数、qi は i-番目の電荷の量、ri は i-番目の電荷の位置、r は求めようとしている電場の位置、ε0 は真空の誘電率という定数である。
電場が電荷の連続分布によって発生する場合、総和の代わりに積分を用いる。
クーロンの法則は単純だが、古典電磁気学の領域で常に成り立つわけではない。問題は、電荷の分布の変化をどこかから観測するのにゼロでない時間がかかるという点である(特殊相対性理論が関わってくる)。電場の変化は光の速度で伝播する。
一般化した電荷分布場について電磁場を求める場合、ポテンシャルの座標変換則をローレンツベクトルにするのがよく、それは座標不変な条件としてローレンツゲージ
1 c ∂ φ ∂ t − ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}-\nabla \cdot {\bf {A}}=0}
を与えることによって達成される。ローレンツゲージの導入によってマクスウェル方程式は
( 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) A μ = j μ {\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)A^{\mu }=j^{\mu }}
となるため、各 μ {\displaystyle \mu } 成分ごとに解けばよく、その解はグリーン関数法によって解こうとするとき、遅延グリーン関数と先進グリーン関数の二つのグリーン関数を得るが、物理的な意味があるのは遅延グリーン関数の方のみである。遅延グリーン関数をグリーン関数として得られるポテンシャルの解を遅延ポテンシャルと呼ぶ。
点電荷についての遅延ポテンシャルを求めることもでき、その場合の方程式をリエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル (en) と呼ぶ。スカラーポテンシャルは次のようになる。