エミー・ネーター
この数学様式は、結果的にほかの(特に抽象代数学という新たな分野の)数学者たちにも受け入れられて行った。
環の例としての整数
整数の全体は可換環をなす。元は整数で、演算は通常の加法と乗法である。任意の2つの整数を足したり掛けたりでき、その結果は整数である。第一の演算、加法は、可換である、すなわち、環の任意の元 a, b に対し、a + b = b + a である。第二の演算、乗法も、可換である。しかしこれは他の環では正しい必要はない、つまり、a に b を掛けたものは b に a を掛けたものと異なるかもしれない。非可換環の例には行列や四元数がある。整数は可除環をなさない、なぜならば第二の演算は必ずしも逆にできないからであり、例えば、3 × a = 1 なる整数 a は存在しない。
整数の全体はすべての可換環では成り立たない性質を持っている。重要な例は算術の基本定理で、任意の正整数は素数の積に一意的に分解できる。一意的な分解は他の環では必ずしも存在しないが、ネーターは多くの環のイデアルに対して、今ではラスカー・ネーターの定理と呼ばれる一意分解の定理を発見した。ネーターの仕事の多くは、どの性質がすべての環に対しても成り立つかを決定し、古い整数の定理の新種の類似を考案し、環がある性質を持つために必要な最小の仮定を決定することにあった。
著名な数学教授のマックス・ネーター(英語版)の娘として、ドイツ帝国のエルランゲンで生まれた。弟のフリッツ・ネーターも後に数学者となる。
ネーターの当初の希望は、英語とフランス語の教師になることだった。しかし、ネーターは、数学者へ進路を変えた。当初は聴講を認められたゲッティンゲン大学の講義を受けていたが、健康を害してエルランゲンに戻った。前後してバイエルンでは、1903年に女性の大学入学が許されるようになり、これによってネーターはエアランゲン大学に入学し、パウル・ゴーダン(英語版)のもとで1907年に学位を所得した。1909年にはドイツ数学会への入会を認められた。
1909年にダフィット・ヒルベルトに招かれて、再びゲッティンゲン大学に移り、ヒルベルトほか、ヘルマン・ミンコフスキー、フェリックス・クラインに学んだ。1915年、ヒルベルトはネーターを教授にすべく活動したが、当時は女性差別の時代であり困難を極めた。
超複素数と群の表現の多くの研究は19世紀と20世紀初頭になされたが、共通点は無かった。ネーターはこれらの結果を統合し、群と多元環の初めての一般的な表現論を与えた。手短に言えば、ネーターは結合多元環の構造論と群の表現論を包摂して、昇鎖条件を満たす環の加群とイデアルの1つの数学的理論にした。ネーターのこの1つの仕事は現代代数学の発展に基本的で重要なものであった。