平坦射
C [ x , y , s , t ] x t − y s ⊗ C [ x , y ] C [ x , y ] ( x − a , y − b ) ≅ C {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} }
ということであるが、これは
M ⊗ R R I ≅ M I M {\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}}
からしたがう。しかし原点 a = b = 0 {\displaystyle a=b=0} に対しては同型
C [ x , y , s , t ] x t − y s ⊗ C [ x , y ] C [ x , y ] ( x , y ) ≅ C [ s , t ] {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t]}
が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。
このことは可換環論における一般自由性の帰結である。
平坦射ではファイバーの等次元性が成り立つ。また、ある仮定のもとではファイバーが等次元であれば平坦である(#奇跡的平坦性)。このことから、平坦性とはすなわちファイバーが等次元であることと思える。この点に特に着目し、ファイバーに等次元性の条件を課したいときに平坦性を仮定することがある。また、平坦射は等次元のファイバーの族であることを強調したいとき、平坦射を平坦族ということも多い。例えば、双有理幾何学での代数曲面のブローダウンという操作では、ある特定の1点でのファイバー(英語版)の次元は1であるが、他の点での次元はすべて0なので、平坦ではない。
平坦射は色々な種類の平坦トポス(英語版)や平坦コホモロジー(英語版)の定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。