二項係数
固定した n に対して作られる数列 (n0), (n1), (n2), ... の通常母函数は
∑ k = 0 ∞ ( n k ) x k = ( 1 + x ) n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}}
で与えられる。固定した k に対して作られる数列 (0k), (1k), (2k), ... の通常母函数は
∑ n = k ∞ ( n k ) y n = y k ( 1 − y ) k + 1 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=k}^{\infty }{\dbinom {n}{k}}y^{n}={\dfrac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}}
である。一般の非負整数 n, k に対する二項係数の二変数母函数(英語版) は
∑ n , k ( n k ) x k y n = 1 1 − y − x y {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n,k}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\dfrac {1}{1-y-xy}}}
を満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数として
∑ n , k ( n + k k ) x k y n = 1 1 − x − y {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n,k}{\dbinom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}={\dfrac {1}{1-x-y}}}
で与えられる。
二項係数に関する指数型二変数母函数(英語版)は
∑ n , k 1 ( n + k ) ! ( n + k k ) x k y n = e x + y {\displaystyle \sum _{n,k}{\frac {1}{(n+k)!}}{\binom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}=e^{x+y}}
となる。