イェッセンの二十面体
イェッセンの二十面体(英: Jessen's icosahedron。イェッセンの直交二十面体 Jessen's orthogonal icosahedron とも)とは、頂点・辺・面の数が正二十面体と等しい非凸な(英語版)多面体。1967年にこの立体を研究したボルゲ・イェッセン(英語版)にちなんで名づけられた。1971年にはこの立体を含む非凸多面体の族がアドリアン・ドゥアディ(英語版)によって独立に発見され、six-beaked shaddock(→6つの嘴を持つブンタン)と名付けられた。後年の研究者はそれを元にした名を特にイェッセンの二十面体を指して使っている。
面どうしは全て直角に交わっているが、すべての面が直交座標面と平行になるような向きは持たない。無限小剛性を持たないことから shaky polyhedron(→ガタつく多面体)に分類される。各辺に沿って圧縮材と緊張材を配置すればよく知られたテンセグリティ構造となる(6本棒テンセグリティ、テンセグリティ二十面体、展開八面体などと呼ばれる)。
正二十面体の頂点位置を保ったまま、隣り合う正三角形面の組を一部だけ二等辺三角形の面の組で置換すれば(図)、イェッセンの二十面体と似た立体を作成することができる。この形状も誤ってイェッセンの二十面体と呼ばれることがあり、組合せ構造や対称性がイェッセン二十面体と等しく見た目も類似している一方、テンセグリティ構造を構成することはなく、二面角も直角ではない。
イェッセンの二十面体は8枚の面が正三角形で12枚の面が二等辺三角形である二十面体からなる連続な族に属している。この族に含まれる立体は、正八面体の各辺をすべて同じ比率で分割し、分割点を頂点として互いを辺でつなぐことで作られる。正八面体辺の分割比をパラメータとすることができ、この値を変えていくことで、正八面体そのものから正二十面体を経て立方八面体(6対の直角三角形面がそれぞれ同一平面で接して正方形面を成す)までの凸立体が得られる。パラメータがそれを超えると非凸立体の領域となり、イェッセンの二十面体はここに含まれる。この族は1947年にH・S・M・コクセターによって発表された。後にバックミンスター・フラーが、長さが2種類ある辺のうち一方の長さを保つように定義したパラメータを用いてこの族の要素間の変換を構築し、ジッターバグ変換と名付けた。
2018年、V. A. Gor’kavyi と A. D. Milka はイェッセンの二十面体を一般化して剛性を持つが無限小剛性は持たない多面体の無限族を作った。それらの多面体は組合せ的に相異なっており、位数が任意の大きさでキラルな二面体対称群を持つ。ただしイェッセンの二十面体とは異なりすべての面が三角形ではない。