バーチの定理
定理の証明は形式 f1, . . . ,fk の最大次数についての帰納法による。証明に本質的なのは定理の次の特別な場合であり、これはハーディ・リトルウッドの円周法(英語版) を適用して証明できる: n が十分大きく r が奇数であれば、方程式
c 1 x 1 r + ⋯ + c n x n r = 0 , c i ∈ Z , i = 1 , ... , n {\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,i=1,\ldots ,n}
は「すべてが 0」ではない整数解 x1, . . . ,xn を持つ。
r が奇数という制限は必要である。なぜならば正定値二次形式のように偶数次形式では、原点でしか 0 の値を取らないことがあるからである。