多元体
さらに後に示された事実として、任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。この事実は、ミシェル・ケルヴェアとジョン・ミルナーによってそれぞれ独立に1958年に証明された。これは代数的位相幾何学、特に K-理論を用いるものである。qq が平方数の和に等しいという等式が成立する次元が 1, 2, 4, 8 に限られることは、アドルフ・フルヴィッツによって、1898年には既に示されていた(ノルム多元環に関するフルヴィッツの定理も参照せよ)。
次元が 2, 4, 8 であるような実多元体で互いに同型でないようなものは無数に存在するが、以下のようにいうことができる。実数体上有限次元の多元体は
それが「単位的かつ可換」(もしくは「結合的かつ可換」)ならば実数体 R または複素数体 C に同型、
それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 H に同型、
それが「非結合的だが交代的」ならば八元数体 O に同型
のいずれかでなければならない。以下、体 K 上の有限次元多元体の次元について知られていることを挙げる。
K が代数閉体ならば必ず dim A= 1 である。
K が実閉体ならば dim A= 1, 2, 4, 8 のいずれかに限られる。
K が代数閉体でも実閉体でもないならば、K 上の多元体が存在する次元は無数に存在する。
最もよく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体(つまり、実数体 R 上の多元環で、R 上のベクトル空間として次元が有限なもの)である。フロベニウスの定理によれば、そのような多元体は同型の違いを除いて三種類、実数体(一次元)・複素数体(二次元)、四元数体(四次元)しかない。
ウェダーバーンの小定理によれば D が位数有限なる多元体ならば、D は実は有限体である。
(例えば複素数体 C のような)代数閉体 K 上には、K それ自身を除けば有限次元の結合多元体は存在しない。
結合的多元体は零因子を持たない。逆に(任意の体上の)有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。
A が体 F 上の単位的結合多元環で、S が A 上の単純加群ならば、S の自己準同型環は F 上の多元体であり、F 上の任意の結合多元体はこの方法で得られる。