ワイエルシュトラスの因数分解定理
この場合、 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} が有限集合の場合と同様に、函数 f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ ( z − a n ) {\displaystyle f(z)=\,\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(z-a_{n})} を考えても、 n {\displaystyle n} が一定値を超えれば、因子 ( z − a n ) {\displaystyle (z-a_{n})} の絶対値は全て 1 を超えるので、この無限積は収束しない。
発想を変えて、函数 f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z a n ) {\displaystyle f(z)=\,\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-{\tfrac {z}{a_{n}}})} とすればどうであろうか( { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は0を含まないものとする)。この無限積は、もし収束するのであれば、数列 { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} の全ての要素を零点として持つ。
次の定理は下記のワイエルシュトラスの因数分解定理を簡略化したものであるが、任意に与えられた可算無限数列の全ての点のみを零点として持つ整函数の存在を保証している。この定理は単にワイエルシュトラスの定理 (Weierstrass theorem) と呼ばれることがある。
定理(簡略版): { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列とする。整数の数列 { p n } {\displaystyle \{p_{n}\}} がすべての r > 0 {\displaystyle r>0} に対して、
∑ n = 1 ∞ 1 p n + 1 ( r | a n | ) p n + 1 < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}+1}}\left({\frac {r}{|a_{n}|}}\right)^{p_{n}+1}<\infty ,}
であるとすると、函数
f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ E p n ( z / a n ) {\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}
は点 a n {\displaystyle a_{n}} にのみ零点を持つ整函数である。
また、因子 ( 1 − z a n ) {\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}})} は n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき 1 に漸近して行くので、収束する可能性はある。なお、無限積の収束の定義は「その対数値が定義域の各点の近傍で一様収束すること」 であり、無限積が z に関係なく恒等的に 0 に収束する場合(この場合は与えられた零点以外でも対数値が負の無限大に発散する)は、収束とはみなされないことに注意する必要がある。
実は、単純にこの形では無限積の収束は保証できないが、各因子 ( 1 − z a n ) {\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}}\,)} にある係数(zの函数)を掛けてから無限積を取ると収束することを示すのが、本定理「ワイエルシュトラスの因数分解定理」である。次に示す、ワイエルシュトラスの基本因子(elementary factors) E p ( z ) {\displaystyle E_{p}(z)} を使えば、 ( 1 − z a n ) {\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}})} と係数を掛けた因子は E p ( z a n ) {\displaystyle E_{p}({\tfrac {z}{a_{n}}})} と表される。