単関数
を定める(固定された n {\displaystyle n} に対して、各集合 I n , k {\displaystyle I_{n,k}} は互いに素であり、実数直線の非負の部分を覆うことに注意されたい)。
今、可測集合
A n , k = f − 1 ( I n , k ) {\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,} for k = 1 , 2 , ... , 2 2 n + 1 {\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1}
を定義する。このとき、単関数の増加列
f n = ∑ k = 1 2 2 n + 1 k − 1 2 n 1 A n , k {\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}
は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } としたとき、 f {\displaystyle f} へと各点収束する。 f {\displaystyle f} が有界であるなら、その収束は一様であることに注意されたい。(簡単に積分可能である)単関数によるこのような f {\displaystyle f} の近似によって、積分 f {\displaystyle f} を定義することが出来る。より詳細な議論は、記事「ルベーグ積分」を参照されたい。