フロー (数学)
波動方程式を時間について一階の偏微分方程式に書き換えるために、 H = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) {\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )} 上の次の非有界作用素
A = ( 0 I d Δ D 0 ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}
を導入する。ただし定義域は D ( A ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) × H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )} とする(作用素 Δ D {\displaystyle \Delta _{D}} は前の例で定義されたものと同様である)。
列ベクトル
U = ( u 1 u 2 ) {\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}
F: R→R を(時間独立な)ベクトル場とし、x: R→R を次の初期値問題の解とする:
x ̇ ( t ) = F ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}
このとき φ(x0,t) = x(t) はベクトル場 F のフローである。このフローは、ベクトル場 F: R → R がリプシッツ連続である限り、well-defined な局所フローである。すると、定義されている限り φ: R×R → R もリプシッツ連続となる。一般に、このフロー φ が大域的に定義されていることを示すことは難しいが、そのような簡単な例として、ベクトル場 F がコンパクトな台を持つ場合が挙げられる。