単位球面
最初に、単位球面の古典的な式が半径1でx軸、y軸、z軸で違いがない楕円面の式となることは重要である。
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}
n次元ユークリッド空間の単位球の体積と単位球面の面積は、解析学の様々な重要な方程式に出てくる。n 次元の単位球体の体積 Vn はガンマ関数を用いて書くことができる。
V n = π n / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) = { π n / 2 / ( n / 2 ) ! if n ≥ 0 is even, π ⌊ n / 2 ⌋ 2 ⌈ n / 2 ⌉ / n ! ! if n ≥ 0 is odd, {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is even,}}\\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&{\text{if}}\;\;n\geq 0\;\;{\text{is odd,}}\end{cases}}}