正則関数の解析性
冪級数は項別微分できるから、上の議論を逆向きに適用し、
1 ( w − z ) n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}
の冪級数表現を考えると、 f ( n ) ( a ) = n ! 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w {\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw}
を得る。これは導関数に対するコーシーの積分公式である。したがって上で得られた冪級数は f のテイラー級数である。
z が f の任意の特異点よりも中心 a に近い任意の点である場合、この議論は成り立つ。よって、テイラー級数の収束半径は a から最も近い特異点への距離よりも小さくはなれない(また大きくもなれない、なぜならば冪級数は収束円の内側に特異点を持たないからである)。
一致の定理の特別な場合は前述の注意から従う。2つの正則関数が(かなり小さくてもよい)a の開近傍 U 上一致するならば、それらは開円板 Bd(a) 上一致する、ただし d は a から最も近い特異点までの距離である。
コーシーが最初に与えた議論はコーシーの積分公式と
1 w − z {\displaystyle {\frac {1}{w-z}}}
の冪級数展開を用いる。D を a を中心とする開円板とし、f は D の閉包を含むある開近傍のいたるところで微分可能であるとする。C を D の境界である正の向き(すなわち反時計回り)の円とし、z を D 内の点とする。コーシーの積分公式から、次が成り立つ:
f ( z ) = 1 2 π i ∫ C f ( w ) w − z d w = 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) − ( z − a ) d w = 1 2 π i ∫ C 1 w − a ⋅ 1 1 − z − a w − a f ( w ) d w = 1 2 π i ∫ C 1 w − a ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( z − a w − a ) n f ( w ) d w = ∑ n = 0 ∞ 1 2 π i ∫ C ( z − a ) n ( w − a ) n + 1 f ( w ) d w .