階乗冪
空積の規約により
x 0 _ = x 0 ̄ = 1 {\displaystyle x^{\underline {0}}=x^{\overline {0}}=1}
と定める。ただし、x が 0 の場合には 0 の 0-乗(これもまた空積である)の扱いに準じる(定義しないとするか、しばしば 1 と定める)。
下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係
x n _ = ( − 1 ) n ( − x ) n ̄ , {\displaystyle x^{\underline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline {n}},}
x n ̄ = ( − 1 ) n ( − x ) n _ {\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}
が成り立つ。
x を底とする下降 n-乗とは x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ∏ k = 1 n ( x − k + 1 ) {\displaystyle x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)}
なる n-項の積を言う。
これらは何れも、底 x を変数と見れば x を不定元とする整数係数多項式となることに注意する。展開の係数はスターリング数で与えられる(後述)。またこれら底 x を変数とする階乗冪は様々な意味で冪函数に相当する。