クリフォード代数
この場合
v ⊗ v − Q ( v ) 1 ( ∀ v ∈ V ) {\displaystyle v\otimes v-Q(v)1\quad (\forall v\in V)}
の形のすべての元によって生成された T(V) の両側イデアル IQ を取り除くために、Cl(V, Q) を商代数
Cl(V, Q) ≔ T(V) / IQ
として定義する。この商によって継承される環の積はときどきクリフォード積 (Clifford product) と呼ばれ 外積やスカラー積などとは別のものとして区別される。
すると Cl(V, Q) は V を含みかつ上の普遍性質を満たすことが直ちに示せてそのことから Cl は同型を除いて一意に決まる; われわれが "the" Clifford algebra Cl(V, Q) というときはそのような意味である。この構成から i が単射であることも従う。通常は V を Cl(V, Q) の部分線型空間であるように考えて i を書かずに省く。
上記のようなクリフォード代数の普遍的な特徴づけは Cl(V, Q) の構成が事実上関手的であることを示している。すなわち、Cl は二次形式を持ったベクトル空間の圏(射は二次形式を保つ線型写像)から結合代数への関手と考えることができる。普遍性は(二次形式を保つ)ベクトル空間の間の線型写像を結合クリフォード代数の間の代数準同型(英語版)として一意に拡張できることを保証する。
(標数 2 においてこれらは鏡映ではなく「直交移換」(orthogonal transvection) と呼ばれる。)
クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γ と Γ の非交和である、ただし Γ は次数 i の元の部分集合である。部分集合 Γ は Γ において指数 2 の部分群である。
V が正定値(あるいは負定値)二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は(カルタン・デュドネの定理によって)その形式に関して V の直交群に全射し核は体 K の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く
1 → K ∗ → Γ → O V  ( K ) → 1 , {\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma \to \operatorname {O} _{V}(K)\to 1,}
1 → K ∗ → Γ 0 → SO V  ( K ) → 1. {\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma ^{0}\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to 1.}
他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。
C l p + 2 , q ( R ) = M 2 ( R ) ⊗ C l q , p ( R ) {\displaystyle C\ell _{p+2,q}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} )}
C l p + 1 , q + 1 ( R ) = M 2 ( R ) ⊗ C l p , q ( R ) {\displaystyle C\ell _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{p,q}(\mathbf {R} )}
C l p , q + 2 ( R ) = H ⊗ C l q , p ( R ) . {\displaystyle C\ell _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} ).}
これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。クリフォード代数の分類(英語版)を見よ。
とりわけ、クリフォード代数の森田同値類(その表現論: それ上の加群の圏の同値類)は符号 (p − q) mod 8 のみに依っている。これはボットの周期性(英語版)の代数的な形である。