最大事後確率
ある並び ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} の独立な確率変数 N ( μ , σ v 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})} があり、 μ {\displaystyle \mu } の事前分布は N ( 0 , σ m 2 ) {\displaystyle N(0,\sigma _{m}^{2})} で与えられるとする。ここで μ {\displaystyle \mu } のMAP推定値を求める。
最大化すべき関数は次のようになる。
π ( μ ) L ( μ ) = 1 2 π σ m exp  ( − 1 2 ( μ σ m ) 2 ) ∏ j = 1 n 1 2 π σ v exp  ( − 1 2 ( x j − μ σ v ) 2 ) {\displaystyle \pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right)}
これの対数を取る。