点と直線の距離
この証明も、直線が軸に水平または垂直でない場合にのみ成り立つ。
点P(x0, y0)からAx + By + C =0で表される直線に垂線を下ろし、垂線の足を点Rとする。また点Pからy軸に平行な直線を引き、それと元の直線の交点を点Sとする。次に、直線上に点Tを任意にとり、直角三角形TVUを描く。但しTUを斜辺とし、残り2辺はそれぞれx軸、y軸に平行とする。さらにx軸に平行な辺TVの長さは|B|となるようにする(図参照)。こうすることで、直線の傾きが −A/B であるからy軸に平行な辺VUの長さは |A| となる。
ここで、∆PRSと∆TVUは相似である。なぜならば両者とも直角三角形であり、さらにPS と UV が平行で同位角が等しいからである。したがって対応する辺の長さの比は等しいので、
| P R ̄ | | P S ̄ | = | T V ̄ | | T U ̄ | . {\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}
また点Sの座標を(x0,m)とすると|PS|=|y0 − m|で、点Pと直線の距離|PR|は、
{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}.}
したがって
( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 , {\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2},}
となり、点(m, n)と点(x0, y0)を結ぶ線分の距離を求めることができた:
d = ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} .