級数
行列指数関数:
exp  ( X ) := ∑ k = 0 ∞ 1 k ! X k , X ∈ C n × n {\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
の打切り誤差(剰余項)を評価する手法として、scaling and squaring method が知られている。誤差評価は次のようになる:
T r , s ( X ) := [ ∑ j = 0 r 1 j ! ( X / s ) j ] s , | | exp  ( X ) − T r , s ( X ) | | ≤ | | X | | r + 1 s r ( r + 1 ) ! exp  ( | | X | | ) . {\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad ||\exp(X)-T_{r,s}(X)||\leq {\frac {||X||^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(||X||).}
無限級数の打切り誤差(剰余項)を評価することは数値解析(特に精度保証付き数値計算・計算機援用証明)などでは欠かすことのできない手順である。