円柱座標変換
M を、 x − y − z {\displaystyle x-y-z} 空間で半径r0 、高さz0のふたと底のある、中身のつまった円柱(以降「ソリッド円柱」と呼ぶ)とする。式で書くと
M = { ( x y z ) | x 2 + y 2 ≤ r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle M=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-1-1)
である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、このM に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、M のみについて考える。
次に、このM を、円柱座標変換Φとr -θ-ζ空間内の直方体(六面体)L を用いてパラメータ付け(パラメトライズ)することを考える。
∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ d r = ∫ M ( ∂ X z ∂ z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left({{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)}}\ \ d\theta dr=\int _{M}{\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)dxdydz}} (5-3-4)
を示せばよいことがわかる。
この節では、後述の説明のために記号を定義する。
円柱座標変換の偏導関数は、
∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) = ( cos  θ sin  θ 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-1)
∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) = ( − r sin  ( θ ) r cos  ( θ ) 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-r\sin(\theta )\\r\cos(\theta )\\0\\\end{matrix}}\right)} (2-1-2)
∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-3)
である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。