ピアポント素数
第2種ピアポント素数(英: Pierpont prime of the second kind)は 23 − 1 という形の素数である。これらは以下の値である。
2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A005105)
経験的には、ピアポント素数は特に珍しかったりまばらに分布しているわけではないようである。10 未満には42個あり、10 までに65個、10 までに157個、10 までに795個存在する。
ピアポント素数において代数的な因数分解からの制限はほとんどないため、指数が素数でなくてはならないというメルセンヌ素数の条件のような要求はない。したがって、 2 u 3 v + 1 {\displaystyle 2^{u}3^{v}+1} の形をした n 桁の整数の中で素数であるものが占める割合は、全ての n 桁の整数の中で素数が占める割合と同様、1/n に比例するはずだと期待される。この範囲にこの形の数は Θ(n) 個あるため、Θ(n) 個のピアポント素数があるはずである。
Andrew M. Gleason はこの推論を明示的なものにし、無限に多くのピアポント素数が存在すると予想し、もっと具体的には 10 までに約 9n 個のピアポント素数が存在するはずだとした。Gleason の予想によれば、N 未満には Θ(log N) 個のピアポント素数が存在することになる。これは同じ範囲においてメルセンヌ素数がわずか O(log log N) 個と予想されていることとは対照的である。