特性類
前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。
ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす:
定理 (チャーン類との関係) ― 実ベクトルバンドル ξ = ( π , E , X ) {\displaystyle \xi =(\pi ,E,X)} に対し、ξの複素化を ξ C {\displaystyle \xi _{\mathbb {C} }} とすると、任意の非負整数 j {\displaystyle j} に対し、以下が成立する:
p j ( ξ ) = ( − 1 ) j c 2 j ( ξ C ) {\displaystyle p_{j}(\xi )=(-1)^{j}c_{2j}(\xi _{\mathbb {C} })} 、 c 2 j + 1 ( ξ C ) = 0 {\displaystyle c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0} in H ∗ ( X ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )}
定理を示すには、包含写像
ι : O ( n ) ⊂ U ( n ) {\displaystyle \iota ~:~O(n)\subset U(n)}
が誘導する写像
ι ∗ : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → H ∗ ( B O ( n ) ; Z ) {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )}
によって
.. , γ m , − γ m ) {\displaystyle \sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m},0)=\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m})} である事が対象多項式の定義から容易に従うので結局nによらず
B ι ∗ ( c k ) = B μ ∗ − 1 ( σ k ( γ 1 , − γ 1 , ... , γ m , − γ m ) ) {\displaystyle B\iota ^{*}(c_{k})=B\mu ^{*}{}^{-1}(\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m}))}
が成立する。
任意の不定元au、bv、Xに対し、
( 1 + a 1 X ) ⋯ ( 1 + a 2 m X ) = ∑ k σ k ( a 1 , ... , a 2 m ) X k {\displaystyle (1+a_{1}X)\cdots (1+a_{2m}X)=\sum _{k}\sigma _{k}(a_{1},\ldots ,a_{2m})X^{k}}
なので、
∑ k = 1 2 m σ k ( b 1 , − b 1 , ...
..(2)
となる非負整数rkが存在する事が言える。
実際、 S O ( 2 ) ≈ U ( 1 ) {\displaystyle SO(2)\approx U(1)} であるので、チャーン類のところで述べた議論から、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} であり、よって特に各kに対し、 H k ( B S O ( 2 ) m ; Z ) {\displaystyle H^{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )} は自由アーベル群であり、したがってその部分群である H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W {\displaystyle H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}} も自由アーベル群であるので(2)がしたがう。
Λ = Z [ 1 / 2 ] {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [1/2]} は単項イデアル整域なので、有限生成加群の基本定理を使って H k ( B S O ( n ) ; Z ) ≈ Λ t k ⊕ S ( k ) {\displaystyle H^{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )\approx \Lambda ^{t_{k}}\oplus S^{(k)}} と自由Λ-加群部分 Λ t k {\displaystyle \Lambda ^{t_{k}}} と捩れ部分群部分 S ( k ) {\displaystyle S^{(k)}} の直和として表すと、(2)式より(1)式は
すでに述べたように π : P S O ( 2 ) → B S O ( 2 ) {\displaystyle \pi ~:~PSO(2)\to BSO(2)} (のモデルの一つ)は、無限次元の正規直交スティーフェル多様体 V 2 O R ∞ {\displaystyle V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }} と向きづけられた無限次元グラスマン多様体 G ~ 2 R ∞ {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }} により、
π : ( e 1 , e 2 ) ∈ P S O ( 2 ) = V 2 O R ∞ → [ e 1 , e 2 ] ∈ B S O ( 2 ) = G ~ 2 R ∞ {\displaystyle \pi ~:~(e_{1},e_{2})\in PSO(2)=V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }\to [e_{1},e_{2}]\in BSO(2)={\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }}
と表現できた。ここで [ e 1 , e 2 ] {\displaystyle [e_{1},e_{2}]} は ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle (e_{1},e_{2})} が張る向きづけられた平面である。
このとき、次数qのA係数コホモロジー群における構造群Gを持つF-バンドルに関する特性類とは、反変関手 b {\displaystyle b} から反変関手
H q ( − , A ) : X ∈ C W ↦ H q ( X , A ) ∈ S e t {\displaystyle H^{q}(-,A)~:~X\in \mathbf {CW} \mapsto H^{q}(X,A)\in \mathbf {Set} }
への自然変換の事である。また構造群Gを持つF-バンドル ξ {\displaystyle \xi } (の同型類)のcによる像 c ( ξ ) {\displaystyle c(\xi )} の事をξの(cに関する)特性類と呼ぶ。
なお、上述の特性類の定義において圏CWの射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる:
定理 (胞体近似定理(英: cellular approximation theorem)) ― X、YをCW複体とすると、 任意の連続写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} は胞体写像(英: cellular map)とホモトープである。
特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な(だが特異コホモロジーと同値である)胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。
ワイル群の元 [ A ] ∈ W {\displaystyle [A]\in W} の具体的な形が定理に書かれた形である事を示す。
そのために相異なる値 κ 1 , ... , κ m ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}\in [0,2\pi )} を選び、 K := R ( κ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( κ m ) {\displaystyle K:=R(\kappa _{1})\oplus \cdots \oplus R(\kappa _{m})} とする。
さらに e 1 , f 1 , e 2 , f 2 , ... , e m , f m {\displaystyle e_{1},f_{1},e_{2},f_{2},\ldots ,e_{m},f_{m}} を R n = ( R 2 ) m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}} の基底とし、 E i {\displaystyle E_{i}} をei、fiが張る ( R 2 ) m {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{m}} の部分ベクトル空間とする。
ワイル群の定義から、 [ A ] ∈ W {\displaystyle [A]\in W} と上記のGに対し、 φ A ( G ) ∈ S O ( 2 ) m {\displaystyle \varphi _{A}(G)\in SO(2)^{m}} なので、ある κ 1 ′ , ... , κ m ′ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \kappa '_{1},\ldots ,\kappa '_{m}\in [0,2\pi )} が存在し、
O ( 2 ) m ↪ μ O ( n ) ↪ ι U ( n ) ρ ↓ ↻ φ U ^ | S O ( n ) ↓ ↻ φ U ^ ↓ U ( 1 ) n ↪ ν U ( n ) = U ( n ) {\displaystyle {\begin{matrix}O(2)^{m}&{\overset {\mu }{\hookrightarrow }}&O(n)&{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}&U(n)\\\rho \downarrow &\circlearrowright &\varphi _{\hat {U}}|_{SO(n)}\downarrow &\circlearrowright &\varphi _{\hat {U}}\downarrow \\U(1)^{n}&{\overset {\nu }{\hookrightarrow }}&U(n)&=&U(n)\end{matrix}}} 、
を考える。ここで ρ {\displaystyle \rho } は
( R ( θ j ) ) j = 1 , ... , m ↦ { ( e i θ j , e − i θ j ) j = 1 , ... , m if n = 2 m ( ( e i θ j , e − i θ j ) j = 1 , ... , m , 1 ) if n = 2 m + 1 {\displaystyle (R(\theta _{j}))_{j=1,\ldots ,m}\mapsto {\begin{cases}(e^{i\theta _{j}},e^{-i\theta _{j}})_{j=1,\ldots ,m}&{\text{if }}n=2m\\((e^{i\theta _{j}},e^{-i\theta _{j}})_{j=1,\ldots ,m},1)&{\text{if }}n=2m+1\end{cases}}}
A ∈ U ( n ) {\displaystyle A\in U(n)} に対し φ A : B ↦ A B A − 1 {\displaystyle \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}} を U ( n ) {\displaystyle U(n)} 上の内部自己同型とすると、上述の命題より、 φ A {\displaystyle \varphi _{A}} がコホモロジー群に誘導する写像
B φ A ∗ : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle B\varphi _{A}{}^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}
は恒等写像である。単射 ι {\displaystyle \iota } により U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} を U ( n ) {\displaystyle U(n)} の部分群とみなし、 U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} の正規化群
N = { A ∈ U ( n ) ∣ φ A ( U ( 1 ) n ) = U ( 1 ) n } {\displaystyle N=\{A\in U(n)\mid \varphi _{A}(U(1)^{n})=U(1)^{n}\}}
を U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} の中心化群