体上有限生成環の理論
A の素イデアル P をとって、剰余環 A / P を考えることで、A を体上有限生成整域として、そのすべての極大イデアルの共通部分が 0 になることを示せば良い。A の 0 でない元 f を取り、M を局所化 A[f] の極大イデアルとし、m = M ∩ A とおく。作り方より m は f を含まない。よって、m が A の極大イデアルであることを示せばよい。いま、A[f] は体上有限生成整域であるから、次元定理(の後半)によって、A[f] / M は k 上代数的な体なので、その部分環 A / m も k 上代数的である。よって、特に A / m は体であるので m は極大イデアルである。
超越次元は、体 k 上、代数的に独立な変数の数であるので、体上有限生成整域の次元をその商体の k 上の超越次元と定義するのは自然である。これが、一般のネーター環に対して定義されるクルル次元と一致するというこの定理は、クルル次元の定義の妥当性を主張している。クルル次元は代数多様体(あるいはネータースキーム)の組み合わせ次元(ネーター次元)に一致しており、代数閉体上の代数多様体の滑らかな点での接空間の次元にも一致する(代数多様体#接空間と滑らかさ参照)。
定理の証明で示されていることは、体上有限生成整域では飽和した素イデアル列の長さが常に一定であることを主張している。このような性質の成り立つ環のことを鎖状環 (catenary ring) と呼ぶ。鎖状環 A ではその素イデアル P に対して dim  A = dim  ( A / P ) + ht P {\displaystyle \dim A=\dim(A/P)+{\mbox{ht }}P} が成り立つ(ここで dim はクルル次元、ht は高さを表す)。重要なネーター環の多くは鎖状環になるが、鎖状環にならないネーター環の例が永田雅宜によって知られている。