ファトゥの補題
g k = inf n ≥ k f n {\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}}
を定義する。このとき関数列 g1, g2, . . . は、すべての k に対して gk ≤ gk+1 が成立するという意味で、増加であり、下極限 f へと各点収束する。
すべての k ≤ n に対して、gk ≤ fn であるため、積分の単調性により
∫ E g k d μ ≤ ∫ E f n d μ {\displaystyle \int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \int _{E}f_{n}\,d\mu }
が得られる。したがって、
∫ E g k d μ ≤ inf n ≥ k ∫ E f n d μ {\displaystyle \int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{E}f_{n}\,d\mu }
が得られる。第一の不等式に対して単調収束定理を用い、第二の不等式および下極限の定理から、
∫ E f d μ = lim k → ∞ ∫ E g k d μ ≤ lim k → ∞ inf n ≥ k ∫ E f n d μ = lim inf n → ∞ ∫ E f n d μ {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{E}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \,}
が従う。
空間 S {\displaystyle S} にボレルσ-代数とルベーグ測度を備える。
確率空間の例: S = [ 0 , 1 ] {\displaystyle S=[0,1]} を単位区間とする。すべての自然数 n {\displaystyle n} に対して
f n ( x ) = { n for x ∈ ( 0 , 1 / n ) , 0 otherwise {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
を定義する。
一様収束の例: S {\displaystyle S} をすべての実数からなる集合とし、
f n ( x ) = { 1 n for x ∈ [ 0 , n ] , 0 otherwise {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
を定義する。
これらの関数列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} は S {\displaystyle S} 上で、ゼロ関数へとそれぞれ各点および一様収束する。その積分の値は 0 であるが、各 f n {\displaystyle f_{n}} の積分の値は 1 である。
X の定義と、その Yk の各点収束としての表現と、条件付き期待値に対する単調収束定理と、上の不等式および下極限の定義によって、ほとんど確実に
E [ lim inf n → ∞ X n | G ] = E [ X | G ] = E [ lim k → ∞ Y k | G ] = lim k → ∞ E [ Y k | G ] ≤ lim k → ∞ inf n ≥ k E [ X n | G ] = lim inf n → ∞ E [ X n | G ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{aligned}}}
が従う。