ハウスドルフ次元
フラクタルの中でも、ハウスドルフ次元を正確かつ簡単に決定できるクラスの集合がある。写像 f : R → R が、ある定数 ci < 1 が存在して、
| f ( x ) − f ( y ) | ≤ c i | x − y | {\displaystyle \left\vert f(x)-f(y)\right\vert \leq c_{i}\left\vert x-y\right\vert }
が任意の x, y ∈ R について成り立つとき、f を縮小写像という。m ≥ 2 個の縮小写像の組 f1, f2, ..., fm : R → R が与えられたとき、
U ⋃ i = 1 m f i {\displaystyle U\bigcup _{i=1}^{m}f_{i}}
を満たすコンパクト集合 U ⊂ R を自己相似集合という。自己相似集合 U が
⋃ i = 1 m f i ⊂ U {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}f_{i}\subset U}
かつ任意の i と j ≠ i について
f i ( U ) ∩ f j ( U ) = ∅ {\displaystyle f_{i}(U)\cap f_{j}(U)=\emptyset }
を満たすとき、U は開集合条件を満たすという。
さらに、m ≤ 2 個の縮小写像の組における各写像 fi について、ある定数 ci < 1 が存在し、
| f i ( x ) − f i ( y ) | = c i | x − y | {\displaystyle \left\vert f_{i}(x)-f_{i}(y)\right\vert =c_{i}\left\vert x-y\right\vert }
が任意の x, y ∈ R について成り立つとき、fi は相似縮小変換などと呼ばれる。定数 c は縮小率と呼ばれる。すなわち、fi は縮小、回転、平衡移動、反転などの変換を組み合わせて、R 上の部分集合を幾何学的に相似な集合に写す線形変換である。
以上のように、縮小写像が相似縮小変換でなおかつ開集合条件を満たすとき、その縮小写像の組から定まる自己相似集合 U のハウスドルフ次元は
∑ i = 1 m ( c i ) s = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}(c_{i})^{s}=1}
を満たす s と等しいことが定理として成り立つ。この定理より、多くの自己相似フラクタルのハウスドルフ次元が求まる。カントールの3進集合は m = 2, c1 = 1/3, c2 = 1/3 という開集合条件を満たす相似縮小変換で構成できるため、上記の定理からハウスドルフ次元 log 2/log 3 を求めることもできる。