スマッシュ積
適切な「便利な」圏(例えばコンパクト生成空間(英語版)の圏)において,任意の基点付き空間 X, Y, Z に対して,自然な(基点を保つ)同相
X ∧ Y ≅ Y ∧ X , ( X ∧ Y ) ∧ Z ≅ X ∧ ( Y ∧ Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z)\end{aligned}}}
が存在する.しかしながら,基点付き空間の圏を素朴に考えると,これは誤りである.MathOverflow での議論を参照.
これらの同型は適切な基点付き空間の圏を,スマッシュ積をモノイド積として持ち基点付き0次元球面(離散二点空間)を単位対象として持つ,対称モノイド圏に変える.したがってスマッシュ積を基点付き空間の適切な圏におけるテンソル積のようなものと考えることができる.
随伴関手はテンソル積とスマッシュ積との類似をより正確にする.可換環 R 上の加群の圏において,テンソル関手 (– ⊗R A) は内部Hom関手 Hom(A,–) の左随伴である,つまり
Hom  ( X ⊗ A , Y ) ≅ Hom  ( X , Hom  ( A , Y ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \operatorname {Hom} (X,\operatorname {Hom} (A,Y)).}
基点付き空間の圏において,スマッシュ積はテンソル積の役割を果たす.特に,A が局所コンパクトハウスドルフならば,随伴
Hom  ( X ∧ A , Y ) ≅ Hom  ( X , Hom  ( A , Y ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X\wedge A,Y)\cong \operatorname {Hom} (X,\operatorname {Hom} (A,Y))}
がある,ただし Hom(A, Y) は基点を保つ連続写像の空間にコンパクト開位相を入れたものである.
特に,A として単位円 S を取ると,懸垂関手 Σ はループ空間(英語版)関手 Ω の左随伴であることが分かる:
Hom  ( Σ X , Y ) ≅ Hom  ( X , Ω Y ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} (\Sigma X,Y)\cong \operatorname {Hom} (X,\Omega Y).}