加群の層
M を環 A 上の加群とする.X = Spec A とおく.任意の対 D ( f ) ⊂ D ( g ) {\displaystyle D(f)\subset D(g)} に対して,局所化の普遍性により, ρ g , f = ρ g , h ∘ ρ h , f {\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}} なる性質を持つ自然な写像
ρ g , f : M [ g − 1 ] → M [ f − 1 ] {\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}
が存在する.すると
D ( f ) ↦ M [ f − 1 ] {\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}
は対象が集合 D(f) で射が集合の包含である圏からアーベル群の圏への反変関手である.それは実は B-層(英語版)(すなわち貼り合わせの公理を満たす)であり,したがって M に付随する層と呼ばれる X 上の層 M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を定義することを示すことができる.
最も基本的な例は X 上の構造層,すなわち O X = A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}} である.
は F の双対加群と呼ばれ, F ˇ {\displaystyle {\check {F}}} と表記される.注意:任意の O 加群 E, F に対し,自然な準同型
E ˇ ⊗ F → H o m O ( E , F ) {\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}
が存在し,E が階数有限の局所自由層であるとき,これは同型である.とくに,L が階数 1 の局所自由であるとき(そのような L は可逆層あるいは直線束と呼ばれる),これは
L ˇ ⊗ L ≃ O {\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O}
となり,したがって可逆層の同型類たちは群をなす.この群は X のピカール群と呼ばれ,一次コホモロジー群 H 1  ( X , O ∗ ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})} と(チェックコホモロジー(英語版)による標準的な議論によって)カノニカルに同一視される.
E が階数有限の局所自由層であれば,ペアリングによって与えられる O 線型写像 E ˇ ⊗ E ≃ End O  ( E ) → O {\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O} がある;それは E の跡写像(英語版)と呼ばれる.