フォン・マンゴルト関数
リーマンゼータ関数の零点を渡る総和の実部について考える。
− ∑ i = 1 ∞ n ρ ( i ) {\displaystyle -\sum _{i=1}^{\infty }n^{\rho (i)}}
ここで ρ(i) は i 番目の零点である。素数にピークがあるが、隣のグラフでも確認でき、数値計算によっても検証できる。これは総和を取るとフォン・マンゴルト関数になるわけではない。
フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータ関数の零点の虚数部に等しい座標にスパイクのあるスペクトルを与える。これは、二重性と呼ばれることがある。
ハーディとリトルウッドは級数の極限 y → 0 を調べた
F ( y ) = ∑ n = 2 ∞ ( Λ ( n ) − 1 ) e − n y {\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}
彼らはリーマン予想を仮定すると以下の式が成り立つことを示した。
F ( y ) = O ( 1 y ) and F ( y ) = Ω ± ( 1 y ) {\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}
特にこの関数は、発散を伴って振動する。つまり、0の近傍で以下の不等式を無限に何度も満たす値 K > 0 が存在する。
F ( y ) < − K y , and F ( z ) > K z {\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}
右図は、この挙動が最初は数値的に明らかではないことを示している。y < 10 のときは、級数を1億項以上合計しないと振動ははっきりと見られない。
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}
メビウスの反転公式により、以下の式が得られる。
Λ ( n ) = − ∑ d ∣ n μ ( d ) log  ( d ) {\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)}