同時分布
各々の確率変数がすべて離散型確率変数であるとき、同時分布は同時確率質量関数で表される。
例えば、1円硬貨と5円硬貨を同時に投げるという試行をし、それぞれ表を1点、裏を0点とする。X を1円硬貨の点数、Y を2つの値のうち大きいほうの点数とする。Y は X より小さくなることはない。1円硬貨が表(1点)で5円硬貨が裏(0点)なら、(X, Y) は (1, 1) となる。同じく1円硬貨が表(1点)で5円硬貨が表(1点)なら、(X, Y) は (1, 1) となる。この2変数のすべての組み合わせを考えると、(0, 0) が1、(0, 1) が1、(1, 1) が2で総計4となる。
このような2確率変数の同時確率質量関数を表にまとめると、表1のようになる。可能な事象は3つなので、2×2の表では (1, 0) の確率は0である。表の最終列と最終行は各々 X と Y の分布である。これを同時確率質量関数の周辺確率質量関数または周辺分布と呼び、行和や列和を計算して求めることができる。この周辺分布より、E (X) = 1/2, V (X) = 1/4, E (Y) = 3/4, V (Y) = 3/16 などが求められる。同時確率質量関数からは X と Y の積の期待値や共分散などが計算できる。計算方法は1変数の期待値と同様で、E (XY) = ((X × Y) × (X × Y) が起きる確率) の総和と定義される。上記の例では 1/2 となる。