ディリクレ固有値
このとき Δ は、ディリクレ境界条件に対して、ラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)となる。
コンパクト自己共役作用素に対するスペクトル定理を用いることで、固有空間が有限次元であり、ディリクレ固有値 λ が実かつ正であり、集積点を持たないことが示される。したがって、それらを大きさの順番に並べることが出来る:
0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ , λ n → ∞ . {\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}
ここで各固有値は、その幾何学的重複度にしたがって数えられる。その固有空間は、自乗可積分函数の空間において直交し、滑らかな函数からなる。実際、ディリクレラプラシアンは、ソボレフ空間 H 0 2 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{2}(\Omega )} から L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} への作用素への連続的な拡張を持つ。この作用素は可逆であり、その逆はコンパクトかつ自己共役であるため、通常のスペクトル定理は Δ の固有空間とその固有値の逆数 1/λ を得るために利用することができる。
ディリクレ固有値の研究における基本的な道具の一つに、次の最大値最小値原理がある:第一固有値 λ1 はディリクレエネルギーを最小化する。すなわち