ケイシーの定理
4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。
円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の同じ側(いずれも内側か、または外側)から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。
円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の異なる側(一方が内側で他方が外側)から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し内側から共通接線を引いたときの(共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの)接点間の距離とする。
ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。
ケイシーの定理およびその逆は、ユークリッド幾何学の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、フォイエルバッハの定理の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものである。