射影被覆
p : P → M が射影被覆であるとする。もし Q が射影加群で、全射 q : Q → M があれば、 Q = P ⊕ R となる ker q の部分加群 R が存在して、制限 q|P : P → M は射影被覆である。
R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。
加群 N の部分加群 K が N の余剰部分加群(superfluous submodule, small submodule)であるとは、すべての N の部分加群 L に対して
K + L = N ⟹ L = N {\displaystyle K+L=N\implies L=N}
が成り立つことをいう。また全射 π : N → M の核 ker π が N の余剰部分加群であるとき、π は余剰全射(superfluous epimorphism)であるという。 射影加群 P と加群 M への全射
π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}
の組 (P, π) が 射影被覆 であるとは、π が余剰全射であることをいう。このことを P が射影被覆であるといったり、 π : P → M が射影被覆であるといったりすることもある。
一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない。(けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する。) もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。
pi: Pi → Mi (1 ≤ i ≤ n) が射影被覆ならば、 (⊕pi): ⊕Pi → ⊕Mi も射影被覆である。