ボレル総和
次の形式的べき級数
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}}}
は |z| < 1 で収束する(たとえば、幾何級数との比較判定法による)。しかし、ある非負整数 nに対して z = 1 を満たすような任意の z ∈ C に対しては収束しないことが示される。このような z は単位円上で稠密に存在するため、A(z) を B(0, 1) ⊂ C の外部へ解析接続することはできない。従って、A(z) を解析接続できる最大の星型領域は S = B(0, 1) であり、ここからボレルポリゴン ΠA は ΠA = B(0, 1) となる。特に、ボレルポリゴンは必ずしも多角形とはならないことが判る。
カーレマンの定理は、扇状領域内における有限次近似の近似誤差が急速に増大しない限り、関数は漸近級数によって一意的に定まることを示す。より正確には以下の通りである。
f が扇状領域 |z| < C、Re(z) > 0 の内部で解析的である。
この領域内においてすべての非負整数 n に対して |f (z)| < |bnz| が成り立つ。
このとき、逆数和 1/b0 + 1/b1 + ... が発散するならば f ≡ 0 が成立する、ということを主張する。
カーレマンの定理は、各項がそれほど急速に増加しないような漸近級数に対する総和法を与え、その和は適切な扇状領域が存在する場合には漸近級数から一意的に定まる関数の値として求められる。ボレル総和法はカーレマンの定理において bn = cn(c はある定数)としたものより弱い。より一般的には、数列 bn を bn = c′n log n log log n(c′ はある定数)などとすることにより、ボレル総和法よりもわずかに強い総和法を定義できる。しかし、この方法が適用できるようなボレル総和できない自然な例がほとんど無いため、この一般化はあまり有用ではない。
次の例は(Hardy 1992)での例を拡張したものである。次の級数
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ l = 0 ∞ ( − 1 ) l ( 2 l + 2 ) k ( 2 l + 1 ) ! ) z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}}
を考える。和の順序を変更することで、ボレル変換は
B ( A ) ( t ) = ∑ l = 0 ∞ ( ∑ k = 0 ∞ ( ( 2 l + 2 ) t ) k k ! ) ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = ∑ l = 0 ∞ e ( 2 l + 2 ) t ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = e t ∑ l = 0 ∞ ( − 1 ) l ( e t ) 2 l + 1 ( 2 l + 1 ) ! = e t sin  ( e t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}(A)(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\bigl (}(2l+2)t{\bigr )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t})\end{aligned}}}