1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
一番上に記載した、アルキメデス自身が描写した図形は、左の図形とは少し異なっていて、以下の方程式の方が近い。
3 4 + 3 4 2 + 3 4 3 + 3 4 4 + ⋯ = 1 {\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1}
アルキメデスの解釈の詳細については以下を見られたい。
同じ幾何学的戦略は、右側の図にあるように、三角形に対してもうまくいく。大きい三角形の面積が 1 であれば、最も大きい黒い三角形の面積は 1/4 で、あとは同様。図は全体として、大きい三角形とその上部の三角形の間で自己相似である。角の部分の3つすべてに対して同様のことをして構成すると、シェルピンスキーのギャスケットになる。