群上の加群
数学において、与えられた群 G 上の加群(かぐん、英: module over G)または G-加群 (G-module) とは、アーベル群 M であって M の群構造と両立する G の作用を持つものをいう。これは G の表現に広く一般に用いることのできる概念である。群コホモロジーは G-加群の一般論の研究において重要な道具をいくつも提供する。
G-加群という用語はもっといっぱんに、G が線型に(つまり R-加群の自己同型からなる群として)作用する R-加群に対しても用いられる。
G を群とする。左 G-加群あるいは G-左加群は、アーベル群 M に左からの群作用 ρ: G × M → M で
g ⋅ ( a + b ) = g ⋅ a + g ⋅ b ( g ⋅ a := ρ ( g , a ) ) {\displaystyle g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b\quad (g\cdot a:=\rho (g,a))}
となるものをあわせて考えたものである。右 G-加群、G-右加群 も右からの作用を考えて同様に定義される。左 G-加群 M が与えられたとき、G の右からの作用を
a ⋅ g := g − 1 ⋅ a {\displaystyle a\cdot g:=g^{-1}\cdot a}
で定義することにより、M を右 G-加群にすることができる。
G-加群 M, N の間の写像 f: M → N が G-加群の準同型あるいは G-線型写像、G-準同型であるとは、f が G-同変な群準同型であるときにいう。
左 G-加群と G-準同型全体のあつまりはアーベル圏 G-Mod を成し、G-Mod は群環 Z[G] 上の左加群の圏と同一視することができる。