部分群の指数
交代群 A n {\displaystyle A_{n}} は対称群 S n {\displaystyle S_{n}} において指数 2 をもちしたがって正規である。
特殊直交群 SO(n) は直交群 (orthogonal group) O(n) において指数 2 をもちしたがって正規である。
自由アーベル群 Z ⊕ Z は指数 2 の 3 つの部分群をもつ、すなわち
{ ( x , y ) ∣ x is even } , { ( x , y ) ∣ y is even } , and { ( x , y ) ∣ x + y is even } {\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}} .
より一般に、p が素数であれば、Z は (p − 1) / (p − 1) 個の指数 p の部分群を p − 1 個の非自明な準同型 Z → Z/pZ に対応してもつ。
同様に、自由群 Fn は p − 1 個の指数 p の部分群をもつ。
無限二面体群(英語版)は指数 2 の巡回部分群をもち、これは必ず正規である。
H が G において無限個の剰余類をもてば、H の G における指数は無限であるという。この場合、指数 |G : H| は実は基数である。例えば、H の G における指数は H が G において可算個の剰余類をもつかどうかに応じて可算あるいは非可算かもしれない。H の指数は高々 G の位数でありこれは自明な部分群に対して、実は G の濃度よりも小さい無限濃度の任意の部分群 H に対して実現されることに注意しよう。