ベル多項式
組合せ数学におけるベル多項式(ベルたこうしき、英: Bell polynomials)とは、エリック・テンプル・ベルの名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。
B n , k ( x 1 , x 2 , ... , x n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
:= ∑ n ! ∏ i = 1 n − k + 1 j i ! ∏ i = 1 n − k + 1 ( x i i ! ) j i {\displaystyle :=\sum {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{n-k+1}j_{i}!}}\prod _{i=1}^{n-k+1}{\left({\frac {x_{i}}{i!}}\right)^{j_{i}}}}
ただしこの和は、
∑ i = 1 n − k + 1 j i = k ∧ ∑ i = 1 n − k + 1 i j i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k+1}j_{i}=k\land \sum _{i=1}^{n-k+1}ij_{i}=n}
を満たすすべての非負整数の列 j1, j2, j3, ..., jn−k+1 について取られている。
任意のスカラー列 a1, a2, a3, ... に対し、次を定める。
p n ( x ) = ∑ k = 1 n B n , k ( a 1 , ... , a n − k + 1 ) x k . {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}
このとき、この多項式列は二項型多項式列である。すなわち、二項等式
p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}
が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。
定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。
今
h ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ! x n {\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}
とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し
h − 1 ( d d x ) p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
が成り立つ。