劣調和函数
函数が調和的であるための必要十分条件は、それが劣調和的かつ優調和的であることである。
φ が R 内のある開集合上で C-級(二回連続的微分可能)であるとき、φ が劣調和的であるための必要十分条件は、Δφ ≥ 0 が G 上で成り立つことである。ここで Δ はラプラシアンである。
定数でない劣調和函数の最大値は、その定義域の内部では到達されない。これがいわゆる最大値原理である。しかし劣調和函数の最小値には、その定義域の内部で到達することがある。
劣調和函数の全体は凸錐を成す。すなわち、劣調和函数の正係数線型結合はまた、劣調和的である。
二つの劣調和函数の各点毎の最大値は、劣調和的である。
劣調和函数の減少列の極限は劣調和的(あるいは恒等的に − ∞ {\displaystyle -\infty } )である。