円の面積
関数 f ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} を考えたとき、この関数は ( 0 ≤ x ≤ r ) {\displaystyle (0\leq x\leq r)} において連続であるからリーマン和による面積の計算が可能であり、それは上記の定積分と等しくなる。
f ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} において、区間 [ 0 , r ] {\displaystyle [0,r]} を n分割する x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} 、 x n = r {\displaystyle x_{n}=r} 、 x k − 1 < x k ( k = 1 ... n ) {\displaystyle x_{k-1}<x_{k}(k=1\ldots n)} をとり、区間 [ x k − 1 , x k ] {\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]} における任意の点を ξ k {\displaystyle \xi _{k}} とすれば、四分円のリーマン和は、