標準基底
ある種の無限次元ベクトル空間に対しても、標準基底を考えることができる。例えば、ある体上 n-個の不定元をもつ多項式環において、単項式全体の成す集合は標準基底を与える。
ここまでの例は全て、適当な集合 I(無限集合でもよい)に添字を持つ族
( e i ) i ∈ I = ( ( δ i j ) j ∈ I ) i ∈ I {\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}={({(\delta _{ij})}_{j\in I})}_{i\in I}}
の特別の場合になっている。ここで δ はクロネッカーのデルタ (i = j ならば 1, i ≠ j ならば 0) である。このような族は、集合 I から環 R への写像
f = ( f i ) {\displaystyle f=(f_{i})}
で有限個の例外を除く全ての添字に対して値が 0 (R の零元 0R) であるようなもの全体のなす族としての自由 R-加群
R ( I ) {\displaystyle R^{(I)}}
の標準基底になる(ただし 1 は R の単位元 1R と解釈する)。
二次形式 Q: V → R を伴う幾何代数の文脈での標準基底は、ベクトル空間 V を生成する直交基底 {ei} で、その各元が Q(ei) ∈ {−1, 0, +1}を満たすという意味で正規化されているものを言う。