シグモイド関数
ς a ′ ( x ) = a e − a x ( 1 + e − a x ) 2 = a ς a ( x ) { 1 − ς a ( x ) } ς a ′′ ( x ) = a 2 ς a ( x ) { 1 − ς a ( x ) } { 1 − 2 ς a ( x ) } {\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma _{a}'(x)&={\frac {ae^{-ax}}{(1+e^{-ax})^{2}}}=a\varsigma _{a}(x)\{1-\varsigma _{a}(x)\}\\\varsigma _{a}''(x)&=a^{2}\varsigma _{a}(x)\{1-\varsigma _{a}(x)\}\{1-2\varsigma _{a}(x)\}\end{aligned}}}
と、シグモイド関数自身を使って簡潔に表せる。
自然対数と絡んで微分するとこのようになる。
d d x ln  ( ς a ( x ) ) = a ς a ( − x ) = a ( 1 − ς a ( x ) ) d d x ln  ( 1 − ς a ( x ) ) = − a ς a ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln(\varsigma _{a}(x))&=a\varsigma _{a}(-x)=a(1-\varsigma _{a}(x))\\{\frac {d}{dx}}\ln(1-\varsigma _{a}(x))&=-a\varsigma _{a}(x)\end{aligned}}}