ハミルトニアン
量子力学においてもハミルトニアンは、系の全エネルギーを表す。ただし量子力学では、正準量子化に従って位置と運動量を演算子で表す。従って、位置と運動量の関数であるハミルトニアンは演算子としての性質を持つ。また、両側を基底関数で挟むことによって無限次元の行列としても表現される。この表現の異なり方をシュレーディンガーの波動方程式とハイゼンベルクの行列力学が争ったが最終的には等価であることが証明された。すなわち解く状況に応じて都合のいいように取ればよいのである。
具体例として時間に依存しない場合のシュレーディンガー方程式を扱う。時間に依存しない場合のシュレーディンガー方程式は固有関数または固有状態を Ψ、エネルギー固有値を E とする固有値問題の形をとる。
H ^ Ψ = E Ψ {\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }
行列 H に対角化を行うと、上記方程式を解くことができる。現実に解く場合は、無限次元行列を有限な行列に変換して解く。固有値 E が実際に観測される量であるためには、H はエルミート(行列)である必要がある。
ハミルトニアンのスペクトルは、系の全エネルギーを測定したときの可能な測定値の組となる。系の時間発展に密接に関連するため、量子論の定式化の多く部分で重要な働きをする。