バーンサイドの補題
バーンサイドの補題(英: Burnside's lemma)、あるいはバーンサイドの数え上げ補題、コーシー・フロベニウスの補題、軌道の数え上げ補題とは、対称性を考慮して数学的な対象を数え上げるときに有用な群論の結果である。
以下では G は有限群で集合 X に作用しているとする。群 G の各元 g に対して X で元 g によって固定されるすべての X の元からなる集合を表す。バーンサイドの補題は軌道の数 |X/G| は次の式で表せることを主張している。
| X / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | X g | {\displaystyle \vert X/G\vert ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\vert X^{g}\vert }
つまり軌道の数(これは自然数あるいは+∞)は群 G の元による固定点の数の平均(これも自然数あるいは+∞)と等しい。もし G が無限群ならば |G| による除法は定義されないが、その場合には次の基数に関する主張が成り立つ。
| G | ⋅ | X / G | = ∑ g ∈ G | X g | {\displaystyle \vert G\vert \cdot \vert X/G\vert =\sum _{g\in G}\vert X^{g}\vert }