一般化アペル多項式
核 K ( z , w ) {\displaystyle K(z,w)} が g 1 = 1 {\displaystyle g_{1}=1} に対し A ( w ) Ψ ( z g ( w ) ) {\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))} と書くことが出来るための必要十分条件は
∂ K ( z , w ) ∂ w = c ( w ) K ( z , w ) + z b ( w ) w ∂ K ( z , w ) ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}
が成り立つことである。ただし b ( w ) {\displaystyle b(w)} および c ( w ) {\displaystyle c(w)} にはべき級数表現
b ( w ) = w g ( w ) d d w g ( w ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ b n w n {\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}
および