マルチカノニカル法
P ( f ) = 1 f max − f min ∫ Ω δ ( f − F ( r ) ) P ( r ) d r = 1 f max − f min 1 V ρ ( f ) ∫ Ω δ ( f − F ( r ) ) d r = 1 f max − f min = constant {\displaystyle P(f)={\frac {1}{f_{\max }-f_{\min }}}\int _{\Omega }\delta (f-F({\boldsymbol {r}}))P({\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}={\frac {1}{f_{\max }-f_{\min }}}{\frac {1}{V}}\rho (f)\int _{\Omega }\delta (f-F({\boldsymbol {r}}))\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}={\frac {1}{f_{\max }-f_{\min }}}={\text{constant}}}
このため、「フラットヒストグラム」法と呼ばれることもある。つまり、コスト関数のあらゆる値が均一にサンプリングされ、障壁は存在しなくなる。熱浴に接続された系の場合、次のような重要な利点も存在する。すなわち、サンプリングが温度に依存しないため、一回のシミュレーションにより全ての温度について研究することができる。このゆえに、マルチカノニカル(複数の温度)の名がある。
この問題は多次元積分であるから、モンテカルロ積分がよく用いられる。最も単純な表式では、一様分布に従う N 個のランダムな状態 r i ∈ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega } を生成し、推定量
Q ̄ N = 1 N ∑ i = 0 N Q ( r i ) p ( r i ) {\displaystyle {\overline {Q}}_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})p({\boldsymbol {r}}_{i})}
を用いて ⟨ Q ⟩ {\displaystyle \langle Q\rangle } を計算することができる。 Q ̄ N {\displaystyle {\overline {Q}}_{N}} は強い大数の法則により、ほぼ確実に ⟨ Q ⟩ {\displaystyle \langle Q\rangle } に収束する。
lim N → ∞ Q ̄ N = ⟨ Q ⟩ . {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\overline {Q}}_{N}=\langle Q\rangle .}
収束に関するよくある問題のひとつとして、 Q の分散が非常に大きい場合、妥当な結果を得るまでの計算コストが大きくなってしまうという問題がある。
収束を速くするための方法として、メトロポリス・ヘイスティングス法がある。