硬い方程式
この集合はすなわち、与えられた方法による近似解が期待通りの振舞いを持つすべての hλ (からなる集合)である。特に、ルンゲ=クッタ法に対する線型安定性領域は以下の形で与えられる。
D = { z ∈ C ∣ | r ( z ) | < 1 } ( z = h λ ) . {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid |r(z)|<1\}\quad (z=h\lambda ).}
ここで、r(z) は等式 yn = (r(z)) を成立させる関数であり、時々方法に対する 安定性関数 という。例えば、オイラー法に対応する関数は r(z) = 1 + z である。
一般的に、方法に対する安定性領域(の面積)が大きいほど、その方法はより安定である。よってもっとも安定な方法に対する安定性領域は左複素数平面すべてを含めるべきである。そのような方法を A-安定 (A-stable) という。A-安定な方法は(すくなくとも線型)硬い方程式の場合でも、刻み幅 h を精度のみの考慮で選択することができ、よって硬い方程式を解くために適切な方法だと考えられる。しかし、優れる安定性を持つ方法を実装するには通常高い計算コストが所要される。そのため、実践では常にA-安定な方法を使うわけではなく、方程式の性質、精度の要件や計算コストの制限などの条件を共に考えてから適切な方法を選ぶのが必要となる。
方程式にルンゲ=クッタ法を適用するときに、異なる初期値 y0 と ˆy0 に対し不等式
‖ y 1 − y ^ 1 ‖ ≤ ‖ y 0 − y ^ 0 ‖ {\displaystyle \lVert y_{1}-{\hat {y}}_{1}\rVert \leq \lVert y_{0}-{\hat {y}}_{0}\rVert }
が成立すれば、その方法をB-安定と呼ぶ。ここで、y1 と ˆy1 は時刻 t1 でのそれぞれの近似解である。B-安定な方法は必ずA-安定である。
さらに、ルンゲ=クッタ法の係数が bi ≥ 0 かつ行列
M = ( b i a i j − b j a j i − b i b j ) i j {\displaystyle M=(b_{i}a_{ij}-b_{j}a_{ji}-b_{i}b_{j})_{ij}}
が半正定値であるという条件を満足するとき、その方法を 代数的安定 (algebraically stable) という。代数的安定な方法は必ずB-安定である。
線型多段法の安定性は G-安定性 (G-stability) という。G-安定性は、B-安定性と同じアイディアを持つが、上述通り標準内積が通用しないので同じように定義することができない。
k 段線型多段法の一般形式は次の公式で与えられる。
∑ i = 0 k α i y n − i = h ∑ i = 0 k β i f ( t n − i , y n − i ) .
one-leg法に対し、行列
M = α β T + β α T − [ G 0 0 0 ] + [ 0 0 0 G ] {\displaystyle M=\alpha \beta ^{\mathrm {T} }+\beta \alpha ^{\mathrm {T} }-{\begin{bmatrix}G&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&G\end{bmatrix}}}
を半正定値にする G が存在するとき、その方法をG-安定という。この定義は初見でルンゲ=クッタ法の安定性とは全く違うものと思われるかもしれないが、本質的には同じものである。なぜならば、上記の定義を以て、不等式
‖ y 1 − y ^ 1 ‖ G ≤ ‖ y 0 − y ^ 0 ‖ G {\displaystyle \lVert y_{1}-{\hat {y}}_{1}\rVert _{G}\leq \lVert y_{0}-{\hat {y}}_{0}\rVert _{G}}
を証明できるからである。
また、G-安定性もB-安定性のようにA-安定性より強い条件に見えるかもしれないが、実際にA-安定性とは同値である。すなわち、線型多段法がA-安定であることは対応するone-leg法がG-安定であることの必要十分条件となる。