算術級数の素数定理
gcd ( a , d ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,d)=1} である自然数 a, d に対し、 d n + a {\displaystyle dn+a} (n は自然数)と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。
エウクレイデス(ユークリッド)は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4n+3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。レオンハルト・オイラーはフェルマー数 Fkはどの2つも互いに素であること、Fkの素因数は n 2+1 の形をしていることを示したが、これから任意の整数 k に対し、n 2+1の形の素数が無限に多く存在することがわかる。アドリアン=マリ・ルジャンドルは一般の円分多項式の値の性質から、 d n + 1 {\displaystyle dn+1} の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。これらの証明はいずれも初等的であるが、一般の初項に対しては拡張できない。
1837年にペーター・グスタフ・ディリクレがL関数 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} を導入し、 L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} を示す事で初めて gcd ( a , d ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,d)=1} である自然数 a, d に対し、 d n + a {\displaystyle dn+a} の形の素数が無限に多く存在する事、さらに、 x 以下の該当する素数の逆数の和は ∼ ( log  log  x ) / φ ( d ) {\displaystyle \sim (\log \log x)/\varphi (d)} を満たすことを示した。