モース理論
モースホモロジー(英語版)(Morse homology)は、滑らかな多様体(smooth manifold)のホモロジーを理解するためのとくに容易な方法である。モースホモロジーは、モース函数とリーマン計量を選択することにより定義する。基本定理は、結果として出てくるホモロジーは多様体の不変量である(つまり、函数と計量とは独立)という定理で、多様体の特異ホモロジーと同型となる。この定理はモースホモロジーと特異ベッチ数が一致することを意味し、モース不等式の証明となっている。モースホモロジーの無限次元の類似はフレアーホモロジーである。
エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、1982年に調和函数を使い、モース理論へのアプローチする別の方法を開発した。
{\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}+-\cdots -(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)+-\cdots -(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}
を得る。
とくに、任意の
γ ∈ { 0 , ... , n = dim  M } {\displaystyle \gamma \in \{0,\dots ,n=\dim M\}}
に対し、
C γ ≥ b γ ( M ) {\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M)}
を得る。
このことは、多様体のトポロジーを研究するための力強いツールとなる。閉じた多様体上に、ちょうど k 個の臨界点を持つモース函数 f : M → R が存在するとしてみよう。どのようにして、M へ制限した函数 f の存在を示すのであろうか? k = 2 の場合は1952年にレーブ(Reeb)により研究された。レーブの球定理(英語版)(Reeb sphere theorem)は M は球 S n {\displaystyle S^{n}} に同相であることを言っている。k = 3 の場合は、おそらく、低次元の小さな数の多様体のみが可能となり、M はイールス・クーパー多様体(英語版)(Eells–Kuiper manifold)と同相となる。