遮断周波数
k x = n π a , k y = m π b {\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}={\frac {n\pi }{a}},\\k_{y}={\frac {m\pi }{b}}\end{aligned}}}
ここで、n と m は特定の固有モードを表している整数である。最終的な代入を行うと、次の式が得られる。
ω 2 c 2 = ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2}}
これは矩形導波管における分散関係である。遮断周波数 ωc は進行方向の波数 kz を 0 として、この式を周波数について解けばよい。
ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}
波動方程式は遮断周波数以下でも成り立つが、その場合の進行方向の波数は虚数となる。したがって、電磁場は導波管の進行方向に対して指数関数的に減衰する。
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y ) e i ( ω t − k z z ) {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)}}
ここで、kz は進行方向の波数である。結果として次の式が得られる。
( ∇ T 2 − k z 2 + ω 2 c 2 ) ψ ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle \left(\nabla _{\mathrm {T} }^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0}
添え字 T は、進行方向と垂直方向の2次元のラプラシアンであることを意味する。最後の段階は、導波管の形状に依存する。最も単純な形状は矩形である。その場合、次のような式を考える。
ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0 e i ( ω t − k z z − k x x − k y y ) {\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}}
従って、矩形の導波管では、次の式が得られる。
ω 2 c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}
垂直方向の波数は、導波管の縦横の長さを a と b としたとき、次のようになる。