選点法
偏微分方程式における選点法は、単独の方法より、あるスキームを実装するために必要とされる手法の一つに近い。例えば、放物型偏微分方程式の解を計算する場合、有限差分法より方程式の空間変数を離散化すると時間変数の常微分方程式となるので上述の選点法が適用できる。
現在よく使われているほとんどのスキームに選点法(必ずしも常微分方程式における選点法ではない)が使える。特に重要と見なされるスキームの中には、有限要素法(重み付き残差法も参照)、スペクトル法(選点法に基づいたスペクトル法は時々擬スペクトル法(英語版)として知られている)がある(具体的な方法は、それぞれの記事を参照)。ここでは例として、フーリエ選点法と呼ばれるスペクトル法を簡単に紹介する。
フーリエ選点法は(理想的に)指数的収束速度を持ち、周期的境界条件を持つ方程式に対し特に効果的である。空間領域 [0, 2π] 上の(周期的境界条件付き)移流方程式
u t + a ( x ) u x = 0 , u ( x , 0 ) = f ( t ) {\displaystyle u_{t}+a(x)u_{x}=0,\;u(x,0)=f(t)}
を考える。偶数の N に対し、等距離の点 xj = jh (h = 2π/N)を選点として選ぶ。簡単のために、まず方程の時間変数を(前進)差分法より離散化し、次のようにする。
U n + 1 − U n Δ t = − a ( x ) u x {\displaystyle {\frac {U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t}}=-a(x)u_{x}}