斉次座標環
その射影埋め込みにおける多様体 V は R が整閉であるときに射影的に正規 (projectively normal) である。この条件は V が正規多様体(英語版) (normal variety) であることを意味するが、逆は正しくない。射影正規性の性質は、3次元における有理四次曲線の例によって示されるように、射影埋め込みに依存する。別の同値な条件は自明直線束(英語版) (tautological line bundle) L によって射影空間上切りだされる V の因子の線型系(英語版)と d = 1, 2, 3, ... に対してその d 乗の言葉による。V が非特異なとき、それが射影的に正規であることと各そのような線型系が完備線型系(英語版) (complete linear system) であることは同値である。より幾何学的な方法で射影空間上セールの捩り層(英語版) (Serre twist sheaf) O(1) として L を考え、任意の k に対して構造層 OV を k 回捩るのに使うことができる。すると V は与えられた k に対して O(k) の大域断面が OV(k) の大域断面に全射で写すときに k-正規 (k-normal) と呼ばれる。V が 1-正規なら線型正規 (linearly normal) と呼ばれ、射影正規性は V がすべての k ≥ 1 に対して k-正規であるという条件である。