ペロン＝フロベニウスの定理
全ての成分が正の実数であるような行列をここでは正行列と呼び、それらが非負の実数であるような行列をここでは非負行列と呼ぶ。A をある実正方行列としたとき、その固有値は複素数で、その行列のスペクトルを形成する。行列ベキ A の k → ∞ としたときの指数関数的成長率は、絶対値が最大であるような A の固有値によって決定される。ペロン=フロベニウスの定理は、A を非負の実正方行列としたときのそのような支配的な固有値と、それに対応する固有ベクトルの性質について述べたものである。初期の結果は Oskar Perron (1907) によるもので、正行列を対象としていた。のちに、その結果のある非負行列のクラスへの拡張を、Georg Frobenius (1912) が発見した。既約非負行列に対するペロン=フロベニウスの定理はAlexandroff-Hopf(1935)とHerstein(1953)によって示された(証明にはブラウワーの不動点定理が使われた)。
ペロン=フロベニウスの定理は、一般的な非負行列に対して直接適用することは出来ない。しかし、任意の可約行列 A は、次のような上三角ブロック行列の形式で記述されうる(この形式は可約行列の標準形として知られる)
PAP = ( B 1 ∗ ∗ ⋯ ∗ 0 B 2 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ ∗ 0 0 0 ⋯ B h ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}
ここで P は置換行列であり、各 Bi は既約かゼロのいずれかであるような正方行列である。もし A が非負であるなら、各 Bi もすべて非負であり、A のスペクトルはそれらのスペクトルの合併で与えられる。したがって、A のスペクトルに関する性質の多くは、既約な Bi に対してペロン=フロベニウスの定理を適用することにより、得ることが出来る。
例えば、上の行列のペロン根は ρ(Bi) の最大値で与えられる。固有ベクトルの成分は依然として非負であるが、それらのどれかは正でない場合が起こり得る。