結合多元環
上では結合性を A の全称量化された「元」を以って定義したが、元を陽に用いずに結合性を定義することも可能である。多元環を、線型空間 A 上の写像(乗法)
M : A × A → A {\displaystyle M\colon A\times A\to A}
として定義する。このとき結合多元環は、写像 M が
M ∘ ( Id × M ) = M ∘ ( M × Id ) {\displaystyle M\circ ({\text{Id}}\times M)=M\circ (M\times {\text{Id}})}
なる性質を満たすような多元環として定まる。ここで、記号 "∘" は写像の合成、Id: A → A は A 上の恒等写像である。
これが上で与えた定義と同値な定義であることを見るには、上記等式の各辺が三つの引数をとる写像であることを理解するだけで十分である。例えば左辺は