ポントリャーギン双対
ハール測度によって群上で定義される(複素数値)ボレル函数に対して不変積分の概念を定義することができる。特に、ハール測度に付随した L-空間が
L μ p ( G ) = { f : G → C | ∫ G | f ( x ) | p d μ ( x ) < ∞ } {\displaystyle L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f\colon G\to \mathbb {C} \ {\bigg |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}}
というように定義される。局所コンパクト可換群の例には以下のようなものが挙げられる。
正の整数 n に対する R にベクトルの加法を群演算と考えたもの。
正の実数全体 R+ に通常の実数の乗法を群演算として考えたもの。この群は明らかに加法群 R に同型である。実際、指数写像がその同型を与えている。
任意の有限アーベル群に離散位相を入れたもの。有限アーベル群の構造定理によれば、このような群は全て巡回群の直積として表すことができる。
整数全体 Z を加法群と見たものに、やはり離散位相を入れたもの。
円周群 T = U(1)。この群は絶対値が 1 の複素数全体に通常の複素数の乗法を入れたものである。T は位相群として剰余群 R/Z に同型である。
p-進数体 Qp を加法に関する群と見て、通常の p-進位相を入れたもの。
双対群函手は LCA から LCA への圏同値である。
反復双対函手は LCA 上の恒等変換に自然同型である。
この同型は、有限次元ベクトル空間(特別な場合として実または複素ベクトル空間)の二重双対と比べることができる。
この双対性は離散群の成す部分圏とコンパクト群の成す部分圏を互いに入れ替える。R を環とし、G を左 R-加群とすると、双対群 G は右 R-加群となる。同様にして離散左 R-加群はポントリャーギン双対によってコンパクト右 R-加群になる。LCA における自己準同型の環 End(G) は双対性によってその(積の順序が逆になる)逆環 に写される。例えば G が無限巡回離散群の場合、G は円周群で、前者については End(G) = Z であるから、後者についても同じく End(G) = Z が成り立つ。