対称群
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合は写像の合成を積として群になることがわかる。これは n-次の対称群と呼ばれ、
S n , Σ n , S n , Sym  ( n ) {\displaystyle S_{n},\quad \Sigma _{n},\quad {\mathfrak {S}}_{n},\quad \operatorname {Sym} (n)}
などで表される。Sn の元は n 次の置換と呼ばれる。 n-次対称群の位数は n の階乗 n! である。
X を有限集合とするとき、In の場合と同様にして X から X への全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。このとき、Sym(X) は X の対称群と呼ばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
特に、X の位数(含まれる元の個数、濃度)が n のとき、X と集合 In とのあいだに全単射が存在するので両者を同一視することにより、Sym(X) と Sn とは群として同型になる。この(全単射の取り方に依存する)群の同一視は次のように理解できる。In からXへの全単射は In による X の元の番号付けによって、または X の元を数え上げる列 (x1, x2, ..., xn) によって表される。
多項式のガロア群とは、多項式の根の全体からなる集合上の置換群のことをいう。n-次対称群 Sn は有理数体 Q 上の n-次の一般多項式(係数の間に何らの代数的な関係式も成立しないような多項式)
a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ + a n X n ∈ Q ( a 0 , a 1 , . . . , a n ) [ X ] {\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in \mathbb {Q} (a_{0},a_{1},...,a_{n})[X]}
のガロア群であることが示される。Sn の可解性(これはもちろん交体群 An の可解性と等価であるが)が、n-次一般多項式に対する代数的な根の公式の存在性に言及できるのはこのためである。
群 G が与えられたとき、G の元 g の左・右・両側からの積
γ g : G → G ; x ↦ g x δ g : G → G ; x ↦ x g − 1 σ g : G → G ; x ↦ g x g − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto gx\\\delta _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto xg^{-1}\\\sigma _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto gxg^{-1}\end{aligned}}}
は G 上の全単射を与える。群 G から対称群 Sym(G) への写像
対称群の表現論は有限群の表現論の特別な場合であり、具体的かつ詳細な理論が展開される。その応用は広く、対称函数の理論から、同種粒子に対する量子力学まで利用される。
対称群 Sn の位数は n! である。共軛類は n の分割でラベル付けられるから、有限群の表現論に従えば、複素数体上の互いに同値でない既約表現の総数は n の分割の総数に等しい。有限群の一般的な状況とは異なり、実は共軛類をパラメータ付けするのと同じ集合(つまり n の分割やサイズが n のヤング図形)で既約表現をパラメータ付けする自然な方法が対称群の場合には存在する。
そのような既約表現はどれも整数全体の集合上で実現することができる(任意の置換が成分が整数の行列として作用する)。これはヤング図形によって形の与えられるヤング盤の全体で生成される空間へのヤング対称化子(英語版)を計算することによって明示的に構成できる。
複素数体をもっとほかの体に変更すれば、状況はもっと複雑になる。