分配多元環
数学における分配多元環(ぶんぱいたげんかん、英: distributive algebra)または非結合多元環(ひけつごうたげんかん、英: non-associative algebra)は、体(または可換環)K 上の線型空間(あるいは一般に加群)A であって、さらにその上のK-双線型写像 A × A → A が存在して A 上に乗法演算(中置的二項演算)を定めるものを言う。いま、乗法の結合性については全く仮定しないので、乗法を行う順番については丸括弧などを用いて指定することが非常に重要になる。例えば (ab)(cd) や (a(bc))d あるいは a(b(cd)) などは異なる値を取り得る。
ここで、結合性を仮定しないことを以って「非結合的」という言い方をするけれども、それは結合律が成立しないことを意味するものではない。言ってみれば、「非結合的」という修飾辞は「必ずしも結合的でない」という意味であって、これは非可換環が「必ずしも可換でない」という意味で「非可換」を冠しているのとまさに同じである。
三次元のユークリッド空間 R にベクトルの交叉積を入れたものは、反対称かつ非結合的な多元環の例を与える。交叉積はヤコビの等式も満たす。
リー多元環(リー代数)は反対称かつヤコビの等式を満たす多元環である。
(K が実数体 R または複素数体 C のときの)可微分多様体あるいは(K が一般のときの)代数多様体 M の上のベクトル場全体の成す多元環。
ジョルダン多元環(ジョルダン代数)は可換かつジョルダン恒等式を満たす多元環である。
任意の結合多元環は、交換子をリー括弧積としてリー多元環を成す。実は任意のリー多元環はこの方法で得られるか、さもなくばこの方法で得られるリー多元環の部分リー多元環になる。
標数が 2 でない任意の体上の任意の結合多元環は、新しく乗法 "∗" を x ∗ y = (1/2)(xy + yx) で定めると、この乗法に関してジョルダン多元環になる。リー多元環の場合とは対照的に、全てのジョルダン多元環がこの方法で得られるわけではなく、この方法で得られるジョルダン多元環は特殊 (special) であるという。
交代多元環(交代代数)は交代結合性を満たす多元環である。交代多元環のもっとも重要な例は八元数全体の成す実多元環及び別な係数体を考えて得られる八元数環である。任意の結合多元環は交代多元環になる。実有限次元の交代多元体(可除な交代多元環)は、同型を除いて、実数体、複素数体、四元数体、八元数体の何れかである(後述)。
冪結合多元環は冪結合性を満たす多元環である。例えば、任意の結合多元環、任意の交代代数、任意のジョルダン環、あるいは十六元数の全体は、冪結合多元環である。