正規数
このことから、チャンパノウン定数やコープランド-エルデシュ定数が十進正規数であることが従う(素数の列が条件を満たすことは素数定理より直ちにわかる)。
文字列が正規であることは、次のように定義をやや修正した条件を満たすことと同値である。「自然数 k に対して、文字列を k 個ずつのブロックに区切る(無限列 S に対して、最初のブロックは S [1 ... k]、次のブロックは S [k + 1 ... 2 k] のように)。これらのブロックたちにおいて、長さが k の文字列たちが漸近的に同じ頻度で現れる、という性質を任意の k に対して満たす。」この同値性は、本質的には Ziv, Lempel (1978) の仕事であるが、明示的に述べたのは Bourke, Hitchcock, Vinodchandran (2005) である。
このことより直ちに次の事実が従う。r 進正規数であることと、任意の自然数 k に対して基数 r に関する単正規数であることは同値である。
したがって、正規数であることと、全ての基数に関して単正規であることは同値である。
x が r 進正規であることは、数列 (r x)n の小数部分がワイルの意味で一様分布することと同値であり、ワイルの判定法(英語版)により任意の自然数 m に対して次の式を満たすことと同値である 。
lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n − 1 e 2 π i m r k x = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imr^{k}x}=0}