広義積分
以下の二つの極限の違いについて考えよう:
lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ a 1 d x x ) = 0 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0}
lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ 2 a 1 d x x ) = − ln  2 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2}
前者はコーシーの主値である。似て非なる次式がよく定義されていないことに注意しよう:
∫ − 1 1 d x x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}} (これは−∞+∞になる)
同様に、