可換環
重要かついくつかの意味で重大な例は、整数全体 Z が通常の加法と乗法に関して成す環である。整数の乗法は可換な演算だから、これは可換環である。これをふつう Z と書くのはドイツ語で「数」を意味する Zahlen の略からである。
可換体は任意の非零元 a が可逆である、つまり a ⋅ b = 1 を満たす乗法逆元 b を持つような可換環をいう。従って定義により任意の可換体は可換環を成す。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体はそれぞれ体を成す。
二次正方行列全体の成す環は可換でない。行列の乗法が可換でないことは、例えば
[ 1 1 0 1 ] ⋅ [ 1 1 1 0 ] = [ 2 1 1 0 ] [ 1 1 1 0 ] ⋅ [ 1 1 0 1 ] = [ 1 2 1 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\\[10pt]{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}