ブラーマグプタの公式
ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから内接四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。
ブラーマグプタの公式(ブラーマグプタのこうしき、英: Brahmagupta's formula)とは、円に内接する四角形の四辺の長さからその四角形の面積を求める公式である。
cos  t = a 2 + b 2 − c 2 − d 2 2 ( a b + c d ) {\displaystyle \cos t={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}}
となるので
(ab + cd)(1 − cost) = 2(s − a)(s − b)
(ab + cd)(1 + cost) = 2(s − c)(s − d)
辺々掛けて、(ab + cd) sint = 4(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
ゆえに (1) より四角形 ABCD の面積は
1 2 ( a b + c d ) sin  t = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin t={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
となる。
なお一般化されたブレートシュナイダーの公式も、同様に余弦定理を用いて証明可能である。