安定写像
成分が安定である
ということとなる。安定写像の領域が安定曲線を必要としないことは重要である。しかしながら、(その場合でも)不安定成分を(逐次的に)縮小して安定曲線を作り出すことが可能であり、このことを曲線 C {\displaystyle C} の安定化 s t ( C ) {\displaystyle \mathrm {st} (C)} という。
n {\displaystyle n} 個のマークされた点を持ち、種数が g {\displaystyle g} であるリーマン面からの安定写像の全体の集合は、次のモジュライ空間を形成する。
M ̄ g , n J , ν ( X , A ) . {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).}
トポロジーは、次の条件であるときに限り、安定写像の列が収束することとして定義される。
列が、(安定な)領域が曲線のドリーニュ・マンフォードモジュライ空間(英語版) M ̄ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} で収束する
列が、ノード(二重結節点)から離れたコンパクトな成分の上のどのような微分でも統一的に収束する
任意の点に集中するエネルギーが、極限的な写像の点についているバブルツリーのエネルギーに等しい
閉シンプレクティック多様体 X {\displaystyle X} がシンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } を持っているとする。 g {\displaystyle g} と n {\displaystyle n} をそれぞれ自然数(ゼロを含む)とし、 A {\displaystyle A} を X {\displaystyle X} の中の 2-次元のホモロジー類とすると、次の式の擬正則曲線(英語版)(pseudoholomorphic curve)の集合を考えることができる。
( ( C , j ) , f , ( x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}
ここに ( C , j ) {\displaystyle (C,j)} は滑らかで、種数 g {\displaystyle g} で n {\displaystyle n} 個のマークされた点 x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} を持つ閉リーマン面で、
f : C → X {\displaystyle f:C\to X\,}