自乗
複素数の自乗は、絶対値も自乗になり、偏角は2倍になる。 | z 2 | = | z | 2 , arg  z 2 = 2 arg  z {\displaystyle |z^{2}|=|z|^{2},\quad \arg z^{2}=2\arg z} 導出: { a ( cos  θ + i sin  θ ) } 2 = ( a e i θ ) 2 = a 2 e i ⋅ 2 θ = a 2 ( cos  2 θ + i sin  2 θ ) {\displaystyle \left\{a(\cos \theta +i\sin \theta )\right\}^{2}=\left(ae^{i\theta }\right)^{2}=a^{2}e^{i\cdot 2\theta }=a^{2}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\,}
0のみが自乗して0となる。 x 2 = 0 ⇔ x = 0 {\displaystyle x^{2}=0\Leftrightarrow x=0}
反数の自乗は元の数の自乗に等しい。つまり、関数としての自乗(二次関数)は偶関数である。 ( − x ) 2 = x 2 {\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}\,}
実数の自乗は非負の実数である。また、0 のみが自乗が 0 となるので、0以外の実数の自乗は正の実数である。 x 2 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}\geq 0} (等号は x = 0 {\displaystyle x=0\,} の場合のみ)
平方根の定義より、平方根の自乗は元の数である。ただし、自乗の平方根は(非 0 の平方根は 2 つあるため)元の数とは限らない。 ( x ) 2 = x {\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)^{2}=x}
単位関数を積分すると自乗の半分となる。 ∫ x d x = x 2 2 {\displaystyle \int xdx={\frac {x^{2}}{2}}}