関数の微分
ユークリッド空間における関数f : R → R に対し、前述の微分の概念を一般化した関数f の微分を考えることが出来る。
ベクトルx, Δx ∈ R に対し、関数f の増分Δfは
Δ f = f ( x + Δ x ) − f ( x ) . {\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}
ここで、以下の式
Δ f = A Δ x + ‖ Δ x ‖ ε {\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}
においてベクトルΔx → 0 のとき ε → 0 となるm ×n 行列 A が存在するならば、定義より関数f は点 x において微分可能である。この行列A はヤコビ行列とも呼ばれ、そしてΔx ∈ R の線形写像 AΔx ∈ R は、関数f の点xにおける微分df (x) と呼ばれる。これは即ちフレシェ微分であり、任意のバナッハ空間における関数に対しても同様に定式化することが出来る。
{\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}
多変数関数 y = f(x1, ..., xn) について、その全ての変数x1, ..., xn が他の変数t の関数である時、
d y = d y d t d t = ∂ y ∂ x 1 d x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n = ∂ y ∂ x 1 d x 1 d t d t + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n d t d t . {\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}