弱位相
*弱位相における点列(ないしより一般的な有向点族)の収束を*弱収束(英: weak-* convergence)もしくは汎弱収束といい、
α n ⟶ w ∗ α {\displaystyle \alpha _{n}{\overset {{\text{w}}^{*}}{{}\longrightarrow {}}}\alpha }
α n ⇀ ∗ α {\displaystyle \alpha _{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}\alpha }
w ∗ -lim n → ∞ α n = α {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{{\text{w}}^{*}{\text{-lim}}}}\alpha _{n}=\alpha }
等と表記する。
ヒルベルト空間においては弱収束する点列が強収束するための必要十分条件が以下のように与えられる:
定理 ― Xをヒルベルト空間とする。点列xnがxに強収束する必要十分条件は、xnがxに弱収束し、しかも ‖ x n ‖ → ‖ x ‖ {\displaystyle \|x_{n}\|\to \|x\|} が成立する事である。