状態数
ある1粒子系を考えたとき、1粒子状態密度 D1(E) はこの系のエネルギー準位の密度分布を表す。この系をn-粒子系に拡張したときにエネルギー準位の密度分布が変化しないとする。この系がフェルミ系であるとき、状態数 N(E) が粒子数 n と等しくなるエネルギー EF はフェルミエネルギーと呼ばれる。
n = N ( E F ) = ∫ − ∞ E F D 1 ( E ) d E {\displaystyle n=N(E_{\text{F}})=\int _{-\infty }^{E_{\text{F}}}D_{1}(E)\,dE}
フェルミ系において、各エネルギー準位には1つの粒子しか入らない。系が基底状態にあるときには粒子はエネルギーが小さい準位から占有していき、フェルミエネルギーに等しい準位までが占有される。
絶対零度において系は基底状態にある。エネルギー準位によって決まる物理量は
A = ∫ − ∞ E F A ( E ) D 1 ( E ) d E {\displaystyle A=\int _{-\infty }^{E_{\text{F}}}{\mathcal {A}}(E)D_{1}(E)\,dE}
系が取り得る全ての状態の集合(標本空間)を Ω とする。系のエネルギーがマクロにみて E であるときに系が取り得る状態の集合を Ω(E) とするとき、状態数 W(E) は
W ( E ) = ∑ ω ∈ Ω χ Ω ( E ) ( ω ) = ∑ ω ∈ Ω ( E ) 1 {\displaystyle W(E)=\sum _{\omega \in \Omega }\chi _{\Omega (E)}(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega (E)}1}
によって定義される。 ここで χ は部分集合 Ω(E) の指示関数で、ω が Ω(E) に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す関数である。
χ Ω ( E ) ( ω ) = { 1 ω ∈ Ω ( E ) 0 ω ∉ Ω ( E ) {\displaystyle \chi _{\Omega (E)}(\omega )={\begin{cases}1&\omega \in \Omega (E)\\0&\omega \notin \Omega (E)\\\end{cases}}}