単純環
単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という。(さらにネーター的でもある。)単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。
より詳しくは、次が成り立つ。単純環 R について以下は同値:
R は左アルティン的
R は半単純
R は極小左イデアルを持つ
R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型
R を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル I に対し、D を自己準同型環 End(RI) (右から作用すると考える)とすると、R と End(ID) は自然に同型である(後者は左からの作用を考える)。