主曲率
M を第二基本形式(second fundamental form) I I ( X , Y ) {\displaystyle I\!I(X,Y)} を持つユークリッド空間内の曲面とし、点 p∈M と p での接ベクトルの正規直交基底(orthonormal basis) X1 と X2 と固定すると、主曲率は対称行列
[ I I i j ] = [ I I ( X 1 , X 1 ) I I ( X 1 , X 2 ) I I ( X 2 , X 1 ) I I ( X 2 , X 2 ) ] {\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}}
の固有値である。
X1 と X2 を行列 [ I I i j ] {\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]} が対角行列となるように選ぶと、選び方を主方向(principal directions)と呼ぶ。曲面が向き付け可能であれば、与えられた向きに関して正の向きであるようにペア (X1, X2) を取る。
特別な直交基底を参照することなしに、主曲率はシェイプ作用素(英語版)(shape operator)の固有値であり、主方向は固有ベクトルである。