調和平均
物理学では、ある状況において、特に率や比を含む多くの状況において、調和平均は最も適切な平均を提供する。
例えば、乗り物がある距離を速度 x(例えば時速 60 km)で走りそれから同じ距離を速度 y(例えば時速 40 km)で走ると、平均速度は全距離を総走行時間を割ったものになるが、これは x と y の調和平均となる(時速 48 km)。調和平均が適切でない場合もあり、例としては、乗り物がある時間速度 x で走りそれから同じ時間速度 y で走る場合が考えられ、その平均速度は x と y の算術平均となる(同じ例では、時速 50 km)。3つ以上の異なる速度で走った場合でも同様となる。
異なる例として、2つの電気抵抗を接続することを考える。抵抗 x(例えば 60 Ω)と抵抗 y(例えば 40 Ω)とを並列に接続すると、その効果は x と y の調和平均 (48 Ω) に等しい同じ2つの抵抗を並列に接続した場合と同じである(合成抵抗の逆数が x の逆数と y の逆数との和に等しくなる)。また、この抵抗を直列に接続すると今度は x と y の算術平均 (50 Ω) に等しい抵抗を直列に接続したものと同じ効果となる(合成抵抗は x と y の和に等しい)。
このほかに調和平均を用いるのが適切な例としては、コンデンサを直列に接続する場合などが挙げられる。
なお、率や比を扱う場合でも重み付き平均を考えることが適切になることがあり、速度の例では複数の速度で異なる時間・異なる距離を走った場合が該当する。
情報学分野においては、主に情報検索および機械学習に用いられるアルゴリズムやシステムを評価する際に、適合率と再現率の調和平均であるF値が用いられる。
代数学においては典型的な共同作業問題において調和平均が登場する。例えば、1つのプールから2本のパイプ A, B を用いて水を汲み出す問題が考えられる。このとき各々のパイプのみを用いた場合にはそれぞれ4時間、6時間を要するものとすると、2本のパイプを両方用いたときには (6 ⋅ 4)/(6 + 4), すなわち 2.4 時間を要するが、これは 6 と 4 の調和平均である 4.8 の半分である。
幾何学では調和平均が現れることがあり、以下のような例が挙げられる。 任意の三角形において、内接円の半径は高さの調和平均の 1/3 である。 正三角形 ABC の外接円の劣弧 BC 上の任意の点に対して、B と C からの距離をそれぞれ q と t として、PA と BC の交点が点 P から距離 y にあるとして、y は q と t の調和平均の 1/2 である。 直角三角形において、脚を a, b, 直角に対する斜辺からの高さを h とすると、h は a と b の調和平均の 1/2 である。
H ( x 1 , ⋯ , x n ) = ( G ( x 1 , ⋯ , x n ) ) n A ( x 2 x 3 ⋯ x n , x 1 x 3 ⋯ x n , ⋯ , x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) = ( G ( x 1 , ⋯ , x n ) ) n A ( ∏ i = 1 n x i x 1 , ∏ i = 1 n x i x 2 , ⋯ , ∏ i = 1 n x i x n ) . {\displaystyle H(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {(G(x_{1},\cdots ,x_{n}))^{n}}{A(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\cdots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})}}={\frac {(G(x_{1},\cdots ,x_{n}))^{n}}{A\left({\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{1}}},{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{2}}},\cdots ,{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{n}}}\right)}}.