係数励振
公園などにある遊具のブランコは係数励振を原理として利用している。このブランコの動きについて、以下のような物理モデルが考えられる。まず、一般的な振り子の運動方程式を角運動量より導くと次のようになる。
d ( m l 2 θ ̇ ) d t = − m g l sin  θ {\displaystyle {{d}(ml^{2}{\dot {\theta }}) \over dt}=-mgl\sin \theta }
ここで、t:時間、m:振り子質量(≒操作者質量)、θ:振り子角度、g:重力加速度である。微小振動を仮定して sin  θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } とすれば、以下のように変形できる。
θ ̈ + 2 l ̇ l θ ̇ + g l θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}+2{\frac {\dot {l}}{l}}{\dot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\theta =0}
ブランコを漕ぐ動作とは、立ち漕ぎの場合は上半身を上下移動させ、座り漕ぎの場合は足を上下させる動作を行う。これらは、漕ぎ手の重心を上下させていることに等しい。これを、ブランコとそれに乗る漕ぎ手を合わせた一体の系として考えると、振り子のロープの長さが短くなったり、長くなったりすることに等しい。振り子腕長さ(ロープの長さ)を l とし、ブランコを漕ぐことによる振り子腕長さの変化を正弦波による周期的変化として以下のように表す。
l = l 0 + a sin  ω t {\displaystyle l=l_{0}+a\sin {\omega t}}
係数励振(けいすうれいしん、英: parametric excitation)とは、系の係数(パラメータ)が周期的に変化することで起こる振動現象である。ばね-質量系の運動方程式でいえば、質量やばね定数、減衰係数などの通常では定数とされる係数が周期的に変化するような場合に発生する。パラメトリック励振、パラメータ励振、パラメトリック発振などとも呼ぶ。多数の応用があり、ごく一例としては、電気回路分野における発振器の原理としての応用がある。
遊具のブランコの一人乗りの揺らし方は、係数励振の例である。係数励振系の運動方程式や回路方程式は、マシュー方程式、ヒル方程式の形式に帰着できる場合が多い。