一階述語論理
常に等号が含まれることを仮定した一階述語論理を等号付き一階述語論理と呼ぶ。
定数記号はアリティ 0 の関数記号と呼ぶこともある。
上の定義では述語は 1 以上のアリティを持つとされているが、アリティ 0 の述語も考えることができ、それらは「真」や「偽」を意味するものと考えることができる。しかし「真」は ∀ x ( x = x ) {\displaystyle \forall x(x=x)} などと別の方法で表せるので、アリティ 0 の述語を導入することに大きな意味はない。
括弧の使い方の流儀は様々である。ある人は ∀ x {\displaystyle \forall x} を ( ∀ x ) {\displaystyle (\forall x)} と書く。括弧の代わりにコロンや終止符を使う場合もある。もちろんその場合には、言語にコロンや終止符を含めておく必要がある。括弧を全く使わない表記法にポーランド記法(Polish notation)と呼ぶものがある。これは、 ∧ {\displaystyle \land } ; や ∨ {\displaystyle \lor } ; を先頭に書いて ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} の代わりに ∧ φ ψ {\displaystyle \land \phi \psi } のように書く方法である。ポーランド記法はコンパクトで数学的に取り扱いやすいという利点があり、可読性が低いという欠点がある。
次に、「構造 M が個体の割り当て関数 s によって論理式 φ を充足する」と言うことを定義する。M が s によって φ を充足するとは、各変数 x は s(x) を表すとし、各非論理記号は M によって与えられた意味を表すとしたとき、φ が正しい命題になっているということである。
M が一階の言語に対する構造であるとき、各論理式 φ と M の個体の割り当て関数 s に対して、M(φ, s) ∈ { 0, 1 } を次のように再帰的に定義する: M(t1 = t2 , s) = 1 ⇔ t1(s) = t2(s) 。 P がアリティ n の非論理述語記号ならば、 M(P t1 ... tn , s) = 1 ⇔ (t1(s), ..., tn(s)) ∈ P 。 M((¬ φ), s) = 1 ⇔ M(φ, s) = 0 。 M((φ ∧ ψ), s) = 1 ⇔ M(φ, s) = 1 かつ M(ψ, s) = 1 。 M((φ ∨ ψ), s) = 1 ⇔ M(φ, s) = 1 または M(ψ, s) = 1 。 M((φ → ψ), s) = 1 ⇔ M(φ, s) = 0 または M(ψ, s) = 1 。 M((φ ↔ ψ), s) = 1 ⇔ M(φ, s) = M(ψ, s) 。