キリングベクトル場
キリングベクトル場は、あるスカラー λ {\displaystyle \lambda } に対して L X g = λ g {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,} で定義さる共形キリングベクトル場へ一般化される。共形写像の一径数族の微分は、共形キリング場である。
キリングテンソル場は、 ∇ T {\displaystyle \nabla T} の対称化のトレースのない部分が 0 となるような対称テンソル場 T である。キリングテンソルを持つ多様体の例としては、回転ブラックホール(英語版)(rotating black hole)やFRW宇宙がある。
キリングベクトル場は、等長な群に代えて多様体上の作用するリー群 G をとると、任意の(計量を持たない多様体でもよい)多様体 M 上に定義することができる。この広い意味でのキリングベクトル場は、群の作用により G 上の右不変ベクトル場のプッシュフォワードである。群作用が有効であれば、キリングベクトル場の空間は G のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と同型である。