グラフ (関数)
座標空間内で、各 (x, y) に対して (x, y, x − y) をプロットすると、右の曲面を得る。
R から R への関数だとしても、実際にグラフを描画できるとは限らない。例として、ディリクレの関数、すなわち有理数に対しては 1 を、無理数に対しては 0 を対応させる関数を考える。
f ( x ) = { 1 ( x ∈ Q ) 0 ( x ∈ R ∖ Q ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\end{cases}}}
この関数のグラフは、2本の平行な直線に「見える」であろう。しかし、それぞれの直線には無数に穴が空いているのであり、これを正確に描画することは不可能である。
f を、集合 A から集合 B への関数とする。すなわち、A の各元 x に対し、B の元 f(x) がただ一つ定まるとする。このとき、f のグラフとは、直積集合 A × B の部分集合
{ ( x , f ( x ) ) ∣ x ∈ A } {\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}
である。逆に、A × B の部分集合 G が、「任意の x ∈ A に対して (x, y) ∈ G なる元がただひとつ存在する」という条件を満たすならば、G をグラフとする A から B への関数 f が一意的に定まる。
特に、実数 x に対し、ただ一つの実数 f(x) が定まる関数 f を考えると、これは、A と B がともに実数全体の集合 R の場合である。このとき、グラフは R × R(R と表す)の部分集合である。R は2次元ユークリッド空間、すなわち平面と同一視され、この場合の関数のグラフは平面内の点の集まりとみなすことができる。
また、二つの実数 x, y に対し、ただ一つの実数 f(x, y) が定まる2変数関数 f を考えると、これは、A = R かつ B = R の場合である。このとき、グラフは R × R の部分集合である。R × R の元は ((x, y), z) の形をしているが、これを (x, y, z) と同一視することにより、グラフは3次元ユークリッド空間 R 内の点の集まりとみなすことができる。