異時点間CAPM
α − r = σ P M σ M M ( α M − r ) + 1 σ M M ( σ P M σ M Φ − σ M M σ P Φ ) ( σ Φ M σ M Φ − σ M M σ Φ Φ ) − 1 ( σ M M ( α Φ − r ) − σ Φ M ( α M − r ) ) {\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{P\Phi }{\Big )}{\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}} = ( σ P M σ P Φ ) ( σ M M σ M Φ σ Φ M σ Φ Φ ) − 1 ( α M − r α Φ − r ) {\displaystyle =\left({\begin{array}{cc}\sigma _{PM}&\sigma _{P\Phi }\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}\sigma _{MM}&\sigma _{M\Phi }\\\sigma _{\Phi M}&\sigma _{\Phi \Phi }\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{c}\alpha _{M}-r\\\alpha _{\Phi }-r\end{array}}\right)}
となり、マルチファクターモデルとして表現可能である。
u {\displaystyle u} と B {\displaystyle B} はそれぞれ効用関数である。これはマートンのポートフォリオ問題にあたるが、状態変数が最大化問題に含まれるのでハミルトン=ヤコビ=ベルマン方程式は標準的なマートンのポートフォリオ問題とは異なる形状になる。ハミルトン=ヤコビ=ベルマン方程式からこの期待効用最大化問題の解となる最適投資比率は次の連立方程式の解となる。
0 = ( α i − r ) V W k W k + V W W k ( W k ) 2 ∑ j = 1 n σ i , j w j k + W k ∑ s = 1 S g s σ i η s , i V W x s k , i = 1 , ... , n {\displaystyle 0=(\alpha _{i}-r)V_{W}^{k}W^{k}+V_{WW}^{k}(W^{k})^{2}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{i,j}w_{j}^{k}+W^{k}\sum _{s=1}^{S}g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}V_{Wx_{s}}^{k},\quad i=1,\dots ,n}
ただし、 V W k = ∂ V k ∂ W k , V W W k = ∂ 2 V k ∂ ( W k ) 2 , V W x s k = ∂ V k ∂ W k ∂ x s , s = 1 , ...
以下ではMerton & (1973)に基づき、ICAPMの導出を簡略に記す。
ICAPMの下では任意の金融資産 i {\displaystyle i} の(瞬間的な)期待収益率 α i {\displaystyle \alpha _{i}} は次の式により決定する。
α i − r = β i , M ( α M − r ) + H e d g e i {\displaystyle \alpha _{i}-r=\beta _{i,M}(\alpha _{M}-r)+Hedge_{i}}
ここで r {\displaystyle r} は債券金利、つまり安全利子率で、 α M {\displaystyle \alpha _{M}} は市場ポートフォリオの(瞬間的な)期待収益率である。また β i , M {\displaystyle \beta _{i,M}} は各金融資産 i {\displaystyle i} に個別の係数であり、 H e d g e i {\displaystyle Hedge_{i}} も同様に各金融資産 i {\displaystyle i} ごとに異なる項である。
ICAPMの重要な仮定として金融資産の収益率の平均と分散が時間によって変動するということがある。その平均と分散の時間的変動は状態変数と呼ばれる変数の変動により決定される。