固有状態熱化仮説
非対角成分 A α β , ( α ≠ β ) {\displaystyle A_{\alpha \beta },\,(\alpha \neq \beta )} は対角成分に比べて充分小さく、また系のサイズに従って指数関数的に小さくなる
これらの条件は以下のように書ける:
A α β ≃ A ̄ δ α β + A 2 ̄ D R α β , {\displaystyle A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },}
ここで A ̄ {\displaystyle {\overline {A}}} および A 2 ̄ {\displaystyle {\overline {A^{2}}}} はエネルギーを引数とする滑らかな関数、 D = e s V {\displaystyle {\mathcal {D}}=e^{sV}} は多体ヒルベルト空間の次元、 R α β {\displaystyle R_{\alpha \beta }} は平均ゼロかつ単位分散を持つ確率変数である。
逆に、量子多体系が ETH を満たすなら、任意の局所演算子のエネルギー固有状態を基底とする行列表示は上記の仮設に従うと期待される。
与えられた系がエルゴード的であるという主張が正当化できれば、このメカニズムによってなぜ統計力学が良い予測を与えるかを説明できる。例えば、剛体球気体はエルゴード性を持つことが厳密に証明されたモデルの一つである。
この主張は量子系の場合にそのまま拡張できるものではない。それは仮に古典カオス系に類似した系であっても、量子系の時間発展はヒルベルト空間上の与えられたエネルギーに対応する状態ベクトルを一様に標本しないためである。 時刻ゼロにおける状態をエネルギー固有状態を基底に展開すると、
| Ψ ( 0 ) ⟩ = ∑ α c α | E α ⟩ , {\displaystyle |\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,}
物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値は以下のように表される:
⟨ A ^ ⟩ t ≡ ⟨ Ψ ( t ) | A ^ | Ψ ( t ) ⟩ = ∑ α , β c α ∗ c β A α β e − i ( E β − E α ) t / ħ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.
対照的に、ミクロカノニカルアンサンブルでの予測値は、系の平均エネルギーを中心とするある範囲に固有値が含まれる、すべてのエネルギー固有状態について等しい重みで平均をとったものである:
⟨ A ⟩ mc = 1 N ∑ α ′ = 1 N A α ′ α ′ , {\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},}
ここで N {\displaystyle {\mathcal {N}}} は適当なエネルギー範囲に含まれる固有状態の数であり、和の添字に付いたプライムは、添字の動く範囲がこのミクロカノニカルアンサンブルの範囲に限定されることを示している。 ミクロカノニカルアンサンブルからの予測は、対角アンサンブルと異なり、初期状態にまったく依存していない。そのため、ミクロカノニカルアンサンブルがなぜ様々な物理系について観測量の長時間平均の振る舞いを良く説明できるかは明らかではない。
しかし、行列の対角項 A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} が適当なエネルギー範囲上で実質的に定数として振る舞い、充分に小さなゆらぎしか持たないと仮定すると、対角項を定数 A {\displaystyle A} で置き換え、和の外に出すことができる。そうすることで、対角アンサンブルの予測値は単にこの定数に等しくなる:
A ̄ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α ≈ A ∑ α = 1 D | c α | 2 = A .