超階乗
クリフォード・ピックオーバー(英語版)は1995年に著書 Keys to Infinity において、次の超階乗を定義するために新しい表記 n$ を用いた。
n $ = n ! n ! ⋅ ⋅ ⋅ n ! ⏟ n ! 個 の n ! {\displaystyle n\$=\underbrace {{n!}^{{n!}^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,n!}}}}}} _{n!\,{\text{個 の}}\ \,n!}}
ガンマ関数、ハイパー演算子、テトレーション、クヌースの矢印表記、コンウェイのチェーン表記を用いた場合は次のようになる。
n ! [ 4 ] n ! {\displaystyle n![4]n!}
n ! [ 5 ] 2 {\displaystyle n![5]2}
n ! n ! {\displaystyle {{}^{n!}n!}}
n ! ↑↑ n ! {\displaystyle n!\uparrow \uparrow n!}
n ! ↑↑↑ 2 {\displaystyle n!\uparrow \uparrow \uparrow 2}
Γ ( n + 1 ) ↑↑↑ 2 {\displaystyle \Gamma (n+1)\uparrow \uparrow \uparrow 2}
n ! → n ! → 2 {\displaystyle n!\rightarrow n!\rightarrow 2}
n ! → 2 → 3 {\displaystyle n!\rightarrow 2\rightarrow 3}