コルモゴロフの二級数定理
( X n ) n = 1 ∞ {\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} を独立な確率変数列とし、期待値、分散を E [ X n ] = μ n , V a r ( X n ) = σ n 2 {\displaystyle \mathrm {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n},\mathrm {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}} としたとき ∑ n = 1 ∞ μ n , ∑ n = 1 ∞ σ n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n},\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}} がいずれも有限値に収束するものとする。
このとき ∑ n = 1 ∞ X n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}} はほとんど確実に有限値に収束する。
ここで2番目の不等号はコルモゴロフの不等式による。
∑ n = 1 ∞ σ n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}} が収束するという仮定より、任意の ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対し、最後の項は m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } で 0 に収束する。よって上極限と下極限の差が正数になる確率は 0 であり、つまり差が 0 になる確率は 1 である。さらに収束先が有限であることも同様の不等式からわかり、定理が示された。