ガウス・ボンネの定理
任意の点における断面曲率が一定値cである2次元リーマン多様体を定曲率cの2次元リーマン多様体という。Aが定曲率の多角形で、しかもAの辺が測地線である場合は以下の系が従う:
系 (定曲率曲面の多角形) ― cを実数とする。さらにAをn個の頂点を持つ(向きづけられた)多角形にリーマン計量を入れたもので、Aが定曲率cを持ち、さらにAの各辺が測地線であるものとする。このとき次が成立する。ここでarea(A)はAの面積である:
c ⋅ a r e a ( A ) + ∑ i = 1 n ε i = 2 π {\displaystyle c\cdot \mathrm {area} (A)+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi }
断面曲率cが0であれば、上記の系は多角形の外角の和が2πになるというユークリッド幾何学の古典的な定理に一致する。c=1、c=-1の場合もそれぞれ球面幾何学(球面三角法)、双曲幾何学でよく知られた多角形の面積公式に一致する。
向き付け可能な縁無しコンパクトリーマン多様体Mに対しても同様に
c ⋅ a r e a ( M ) + ∑ i = 1 n ε i = 2 π χ ( M ) {\displaystyle c\cdot \mathrm {area} (M)+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi \chi (M)}
定理 (多角形に関するガウス・ボンネの定理) ― Aをn個の頂点を持つ(向きづけられた)多角形にリーマン計量を入れたものとする。このとき
∫ A K d V + ∫ ∂ A κ d s + ∑ i = 1 n ε i = 2 π {\displaystyle \int _{A}KdV+\int _{\partial A}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi }
が成立する。ここでKはAの断面曲率であり、dVはAの面積要素であり、∂AはAの辺にAから定まる向きを入れたものであり、κは∂Aの曲率(測地線曲率(英語版))であり、dsは線素であり、εiは多角形Aのi番目の頂点の外角の大きさである。κはAに対して内向きなとき正となるように符号付けする。
上記の定理で断面曲率(英: sectional curvature)は、リーマン計量gとリーマンの曲率テンソルRを用いてAの各点Pに対し、
K P := g P ( R P ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) {\displaystyle K_{P}:=g_{P}(R_{P}(e_{1},e_{2})e_{2},e_{1})}
により定義される量である。ここでe1、e2は点PにおけるTPPの基底である。断面曲率がe1、e2の取り方によらずwell-definedである事は容易に確認できる。