擬群のアイソトピー
与えられた擬群 L に対して、3-net と呼ばれる 入社幾何(英語版) 学的構造を定義することができる。 逆に、原点と直線クラスの 順序 を固定すると、3-net は擬群を発生させる。 別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標の擬群が発生する可能性もある 。 しかしながら、座標擬群 は常にアイソトピックである。 言い換えると、二つの擬群がアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る。
代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。
擬群のオートトピーの成す群は、3-net の 共線変換(英語版) を保存する 群の方向 に対応
疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応。
擬群が G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない 。
アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が 全単射 である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。
オートトピー (英: autotopy) は、 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群 を部分群とする群を成す 。
主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。 この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る 。