無限論理
ある理論は言明のあらゆる集合である。モデルにおける言明の真理は再帰によって定義され、両方が定義されるところの有限論理に対する定義と一致する。理論Tが仮定されると、ある言明はTの全てのモデルにおいて真ならば理論Tに対して妥当(恒真)であると言われる。
論理 L α , β {\displaystyle L_{\alpha ,\beta }} は、全てのモデルにおいて妥当な全ての文SについてSの証明が存在するならば完全である。Tにおいて妥当な全ての文Sに関するどんな理論Tについても、TからのSの証明が存在するならば、それは強く完全である。無限論理は強く完全でなくても完全であり得る。
濃度 α {\displaystyle \alpha } の全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理はコンパクトである。全ての理論Tについて、Tの全ての部分集合Sがモデルを持つならばTはモデルを持つとき、論理は強くコンパクトである。 ここで、Sは濃度 < α {\displaystyle <\alpha } を持つ。もし論理が強くコンパクトかつ完全であるなら、強く完全である。
L κ , κ {\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }} がコンパクトであるなら、濃度 κ ≠ ω {\displaystyle \kappa \neq \omega } は弱くコンパクトである。また、 L κ , κ {\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }} が強くコンパクトなら、 κ {\displaystyle \kappa } は強くコンパクトである。
( ( ∧ ε < δ ( A δ ⟹ A ε ) ) ⟹ ( A δ ⟹ ∧ ε < δ A ε ) ) {\displaystyle ((\land _{\epsilon <\delta }{(A_{\delta }\implies A_{\epsilon })})\implies (A_{\delta }\implies \land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }}))} 。
各 γ < δ {\displaystyle \gamma <\delta } について、 ( ( ∧ ε < δ A ε ) ⟹ A γ ) {\displaystyle ((\land _{\epsilon <\delta }{A_{\epsilon }})\implies A_{\gamma })} である。
Changの分配性法則(各 γ {\displaystyle \gamma } について): ( ∨ μ < γ ( ∧ δ < γ A μ , δ ) ) {\displaystyle (\lor _{\mu <\gamma }{(\land _{\delta <\gamma }{A_{\mu ,\delta }})})} 。ここで、 ∀ μ : ∀ δ : ∃ ε < γ : A μ , δ = A ε {\displaystyle \forall \mu :\forall \delta :\exists \epsilon <\gamma :A_{\mu ,\delta }=A_{\epsilon }} and ∀ g ∈ γ γ : ∃ ε < γ : { A ε , ¬ A ε } ⊆ { A μ , g ( μ ) : μ < γ } {\displaystyle \forall g\in \gamma ^{\gamma }:\exists \epsilon <\gamma :\{A_{\epsilon },\neg A_{\epsilon }\}\subseteq \{A_{\mu ,g(\mu )}:\mu <\gamma \}} 。