パルス圧縮
反射された信号が時刻 tr に受信機に戻ってきたとし、減衰因子を K とすると次を得る。
r ( t ) = { K A exp  { 2 i π f 0 ( t − t r ) } + B ( t ) if t r ≤ t < t r + T B ( t ) otherwise {\displaystyle r(t)={\begin{cases}KA\exp\{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})\}+B(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\B(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
送信信号は既知であるから、次を得る。
⟨ s , r ⟩ ( t ) = K A 2 Λ ( t − t r T ) exp  { 2 i π f 0 ( t − t r ) } + B ′ ( t ) {\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=KA^{2}\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)\exp\{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})\}+B'(t)}
ここで、 B′(t) は送信信号とノイズとの相互相関関数である。
解像度を損うことなく十分な SNR を得られるだけの大きなパルスを得るためにはどのようにすればよいだろうか?ここにパルス圧縮が登場する。基本的原理は次のようなものである。
送信信号はエネルギー予算が正しくなよう十分に長く送信する。
この信号は整合フィルタリング後の相互相関信号の幅が標準的な上述した正弦波パルスよりも小さくなるように設計する(このことにパルス圧縮の名前は由来する)。
レーダーやソナーへの応用においては、パルス圧縮には線形チャープが最も一般的に用いられる。パルスは有限の長さを持ち、振幅は矩形関数とする。 もし送信信号の長さが T で時刻 t = 0 に開始し、周波数帯 Δf だけ搬送波周波数 f0 を中心として掃引するものとすると、次のように書ける。
s c ( t ) = { A exp  [ i 2 π { ( f 0 − Δ f 2 ) t + Δ f 2 T t 2 } ] if 0 ≤ t < T 0 otherwise {\displaystyle s_{c}(t)={\begin{cases}A\exp \left[i2\pi \left\{\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right\}\right]&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}