ファノの不等式
以下の一般化は、Ibragimov and Khasminskii(1979)、Assouad and Birge(1983)によるものである。
F を、任意の θ ≠ θ′ に対して、 r + 1 個の密度 ƒθ のサブクラスを有する密度のクラスとする。
‖ f θ − f θ ′ ‖ L 1 ≥ α , {\displaystyle \|f_{\theta }-f_{\theta '}\|_{L_{1}}\geq \alpha ,}
D K L ( f θ ‖ f θ ′ ) ≤ β . {\displaystyle D_{KL}(f_{\theta }\|f_{\theta '})\leq \beta .}
最悪の場合、推定誤りの期待値は下から拘束され、
sup f ∈ F E ‖ f n − f ‖ L 1 ≥ α 2 ( 1 − n β + log  2 log  r ) {\displaystyle \sup _{f\in \mathbf {F} }E\|f_{n}-f\|_{L_{1}}\geq {\frac {\alpha }{2}}\left(1-{\frac {n\beta +\log 2}{\log r}}\right)}
となる。ここで、ƒn は、サイズ n の標本に基づく任意の密度推定器(英語版)である。