バーンサイドの定理
数学におけるバーンサイドの定理(バーンサイドのていり、英: Burnside theorem)は、位数が素数 p , q と非負整数 a , b により
p a q b {\displaystyle p^{a}q^{b}\ }
と書ける有限群 G は必ず可解群になることを主張する群論の定理である。この定理は位数が p と書ける有限群(p 群)は必ず(冪零群であるから)可解群になる、というよく知られた主張の拡張と見做せる。これより、任意の非可換な有限単純群の位数は少なくとも3個以上の素因数を持たねばならない。
バーンサイドの定理は次のフィリップ・ホールによる名高い可解群の特徴づけの特別な場合である。
有限群が可解群であることと、任意の素数 p に関してホール p′-部分群が存在することは同値である。
q と n は互いに素だから、ベズーの補題より有理整数 x , y で
を満たすものが存在する。この左辺は代数的整数の有理整数倍の和だから、代数的整数になる。
この定理はウィリアム・バーンサイドにより有限群の表現論を使って証明された(Burnside 1904)。いくつかの特別な場合は既にバーンサイド、ジョルダン、フロベニウスといった数学者によって証明が与えられていた。ジョン・G・トンプソンは自身のN群の理論によって表現論を使わない証明が得られると指摘し、実際に位数が奇数の場合の証明(Goldschmidt 1970)、位数が偶数の場合の証明(Bender 1972)が与えられた。Matsuyama (1973) は証明を簡単にした。