勾配 (ベクトル解析)
二つの実数値関数 f, g が点 a ∈ R において微分可能で、α, β が実定数であるとき、線型結合 αf + βg は a において微分可能であり、さらに ∇(αf + βg)(a) = α∇f(a) + β∇g(a) を満たすという意味で、勾配は線型である。
一つの部屋を、その部屋の温度を与えるスカラー場 T と考えれば、各点 (x, y, z) における温度を T(x, y, z) と書くことができる(ここでは温度は時間変化を起こさないものと仮定する)。部屋の各点において、T の勾配は最も早く温度が上昇する方向を指し、その大きさはその方向でどれほど早く温度が上昇するかを示している。
点 (x, y) における海抜が H(x, y) であるような曲面を考える。ある点における H の勾配は、その点においてもっとも傾き(縦断勾配)が急峻であるような方向を指すベクトルで、その大きさはその点でのもっとも急峻な傾きの値によって与えられる。
勾配からは、内積を取ることにより、最も変化の大きい方向以外の方向でも、そのスカラー場がどれほど変化するかを知ることができる。 丘陵のもっとも急峻な傾きが 40% とすると、その丘陵を真っ直ぐ上る道の最も急峻な傾きも 40% となるが、代わりに適当な角度をつけて丘陵をぐるりと回る道を行けば、傾きはもっと緩やかになるはずである。 例えば、道と真っ直ぐ坂を上がる方向との間の角度が、水平面に投影して 60° になっていれば、その道の最も急峻な傾きは 20%(40% に 60° の余弦を掛けたもの)になるはずである。
この考察を数学的に述べると以下のようになる。丘陵の高さを表す関数 H が微分可能であるものとすれば、H の勾配に単位ベクトルとの内積をとれば、そのベクトルの方向への丘陵の傾きが得られる。もう少し形式的に書くと、H が可微分であるとき、H の勾配と与えられた単位ベクトルとの内積は、その単位ベクトルの方向への H の方向微分に等しい。
直交座標系において、ベクトル f = (f1, f2, f3) の勾配は
∇ f = ∂ f i ∂ x j e i e j {\displaystyle \nabla \mathbf {f} ={\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}{{\mathbf {e} }_{i}}{{\mathbf {e} }_{j}}}
あるいは関数行列
∂ ( f 1 , f 2 , f 3 ) ∂ ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle {\frac {\partial ({{f}_{1}},{{f}_{2}},{{f}_{3}})}{\partial ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})}}}
で定義される。曲面座標系における勾配にはクリストッフェル記号が現れる。