メルテンスの定理
+2\log 2\leq \log n+C_{1}}
となる定数 C 1 {\displaystyle C_{1}} が存在する。一方
∑ p ≤ n log  p p ≥ ∑ p ≤ n log  p p − 1 − C 2 > 1 n log  n ! − C 2 ≥ log  n − C 3 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\geq \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}-C_{2}>{\frac {1}{n}}\log n!-C_{2}\geq \log n-C_{3}}
となる定数 C 2 , C 3 {\displaystyle C_{2},C_{3}} が存在することは
∑ p ≤ n log  p p ( p − 1 ) < ∑ k = 1 ∞ log  k k ( k − 1 ) < ∑ k = 1 ∞ 2 log  k k 2 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p(p-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log k}{k(k-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\log k}{k^{2}}}}
が収束することからわかる。