素数定理
N n = q n n + O ( q n 2 n ) {\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\tfrac {n}{2}}}{n}}\right)}
が成り立つことを証明することができる。
多項式についての命題の証明は、古典的な(数についての)命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる。まとめると、F の次数 n の拡大の全ての元は、n を割る次数 d のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、
q n = ∑ d ∣ n d N d {\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}}
を成立させることができる。ここに和は n の因子 d の全てを渡る。よって、μ(k) をメビウス関数とすると、反転公式は、
N n = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n d ) q d {\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d}}
である。(この公式をガウスは既に知っていた。)主要項は d = n であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な n の n 未満の因子は n/2 よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。