シューア補行列
対称行列 X は
で与えられるものとする。このとき、X の A および C に関するシューア補行列は
と書ける。
X が正定値となるための必要十分条件は、A および X/A がともに正定値となることである: X ≻ 0 ⟺ A ≻ 0 ∧ X / A ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\iff A\succ 0\land X/A\succ 0.}
X が正定値となるための必要十分条件は C および X/C がともに正定値となることである: X ≻ 0 ⟺ C ≻ 0 , X / C ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\iff C\succ 0,X/C\succ 0.}
A が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/A が半正定値となることである。
C が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/C が半正定値となることである。
1. および 3. は u を止めて v の函数とみた量
の最小化を考えることで導出できる。さらに、
である(半正定値でも同様のことが言える)から、1. および 3. からそれぞれ 2. および 4. が直ちに得られる。 同じように、一般化シューア補行列を用いても X の半正定値性を判定する必要十分条件を述べることができる。つまり、A を A の一般化逆行列とすれば
および
が成り立つ。