キャッソン不変量
K が三葉結び目(trefoil)であれば、
λ ( Σ + 1 n + 1 ⋅ K ) − λ ( Σ + 1 n ⋅ K ) = ± 1 {\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\pm 1} .
ポアンカレホモロジー球面(英語版)(Poincaré homology sphere)のキャッソン不変量は 1 (あるいは、−1)である。
M の向き付けを逆にすると、キャッソン不変量は符号を変える。
M のロホリン不変量は、キャッソン不変量 mod 2 に等しい。
キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の連結和に関して、加法的である。
キャッソン不変量は、フレアーホモロジーのオイラー特性類の一種である。
任意の整数 n に対し、
λ ( M + 1 n + 1 ⋅ K ) − λ ( M + 1 n ⋅ K ) = φ 1 ( K ) , {\displaystyle \lambda \left(M+{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(M+{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\phi _{1}(K),}
ここに φ 1 ( K ) {\displaystyle \phi _{1}(K)} は、アレクサンダー・コンウェイ多項式 ∇ K ( z ) {\displaystyle \nabla _{K}(z)} の z 2 {\displaystyle z^{2}} の係数であり、K のArf不変量(英語版)(Arf invariant)に合同 (mod 2) である。
キャッソン不変量はLMO不変量(英語版)(LMO invariant)の次数 1 の部分である。
ザイフェルト多様体(英語版)(Seifert manifold) Σ ( p , q , r ) {\displaystyle \Sigma (p,q,r)} のキャッソン不変量は、次の公式により与えられる。
λ ( Σ ( p , q , r ) ) = − 1 8 [ 1 − 1 3 p q r ( 1 − p 2 q 2 r 2 + p 2 q 2 + q 2 r 2 + p 2 r 2 ) − d ( p , q r ) − d ( q , p r ) − d ( r , p q ) ] {\displaystyle \lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left[1-{\frac {1}{3pqr}}\left(1-p^{2}q^{2}r^{2}+p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+p^{2}r^{2}\right)-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]}
ここに d ( a , b ) = − 1 a ∑ k = 1 a − 1 cot  ( π k a ) cot  ( π b k a ) {\displaystyle d(a,b)=-{\frac {1}{a}}\sum _{k=1}^{a-1}\cot \left({\frac {\pi k}{a}}\right)\cot \left({\frac {\pi bk}{a}}\right)}
である。