ハル・ホワイト・モデル
σ は、市場で容易に取引可能なキャプレット(キャップやフロアを構成する各利払のオプション要素のこと)(金利キャップ・フロア)やスワップションの集合へのカリブレーション(市場データからモデルの媒介変数を推定する意)を通じて決定する。
α、θ 、σ が定数であれば、伊藤の補題により、下式が証明できる。
r ( t ) = e − α t r ( 0 ) + θ α ( 1 − e − α t ) + σ e − α t ∫ 0 t e α u d W ( u ) {\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u)}
この確率分布は、下式のとおりである。
r ( t ) ∼ N ( e − α t r ( 0 ) + θ α ( 1 − e − α t ) , σ 2 2 α ( 1 − e − 2 α t ) ) {\displaystyle r(t)\sim N\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right)}
たとえば、債券プット・オプションの場合、
V ( S ) = { K − P ( S , T ) } + {\displaystyle V(S)=\left\{K-P(S,T)\right\}^{+}}
である。 P(S,T) は対数正規分布に従うことから、ブラック・ショールズの手法で使用する一般的な計算により、
E S [ { K − P ( S , T ) } + ] = K N ( − d 2 ) − F ( t , S , T ) N ( d 1 ) {\displaystyle {E}_{S}[\left\{K-P(S,T)\right\}^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(d_{1})}
ここで、
d 1 = log  F K + σ P 2 S 2 {\displaystyle d_{1}=\log {\frac {F}{K}}+{\frac {\sigma _{P}^{2}S}{2}}}
および
d 2 = d 1 − σ P S {\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}}
である。 従って、(P(0,S) を掛け戻した後の)現在の価値は、
P ( 0 , S ) K N ( − d 2 ) − P ( 0 , T ) N ( − d 1 ) {\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1})}