レヴナー微分方程式
ft(z) をレヴナーチェーンとすると、
f s ( z ) = f t ( φ s , t ( z ) ) {\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=f_{t}(\varphi _{s,t}(z))}}
であり、原点 0 を固定する円板上の単葉写像 φ s , t ( z ) {\displaystyle \varphi _{s,t}(z)} が一意に存在する s < t に対して、
f s ( D ) ⊊ f t ( D ) {\displaystyle \displaystyle {f_{s}(D)\subsetneq f_{t}(D)}}
が成り立つ。
一意性により、写像 φ s , t ( z ) {\displaystyle \varphi _{s,t}(z)} は次のような半群の性質を持つ。s ≤ t ≤ r に対して、
φ s , t ∘ φ t , r = φ s , r {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}\circ \varphi _{t,r}=\varphi _{s,r}}}
となる。
これにより、レヴナーの半群(Loewner semigroup)が確立する。
自己写像は連続的に s と t に依存し、
φ t , t ( z ) = z . {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{t,t}(z)=z.}}
を満たす。
の形をしている。特に、
f 0 ( z ) = f ( z ) {\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=f(z)}}
である。
s ≤ t に対して、連続な an を持つ
φ s , t ( z ) = f t − 1 ∘ f s ( z ) = e s − t ( z + a 2 ( s , t ) z 2 + a 3 ( s , t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}}
としよう。
これはレヴナーチェーンとレヴナーの半群を与え、
p t ( z ) = 1 + κ ( t ) z 1 − κ ( t ) z {\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}}
となっている。ここに κ は [0,∞) から単位円への連続写像である。