デデキントの補題
準同型の個数に関する数学的帰納法を用いる。
n = 1 {\displaystyle n=1} の場合、 k 1 ∈ K {\displaystyle k_{1}\in K} で k 1 σ 1 = 0 ∈ A b b ( H , K ) {\displaystyle k_{1}\sigma _{1}=0\in \mathrm {Abb} (H,K)} であるとする。
このとき k 1 σ 1 ( x ) = 0 ( ∀ x ∈ H ) {\displaystyle k_{1}\sigma _{1}(x)=0\;\;(\forall x\in H)} だが、 H ≠ ∅ {\displaystyle H\neq \emptyset } だから k 1 σ 1 ( x 0 ) = 0 {\displaystyle k_{1}\sigma _{1}(x_{0})=0} となる x 0 ∈ H {\displaystyle x_{0}\in H} がとれる。 σ 1 ( x 0 ) ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle \sigma _{1}(x_{0})\in K\setminus \{0\}} および K {\displaystyle K} が零因子を持たないことから、 k 1 = 0 {\displaystyle k_{1}=0} である。
次に n > 1 {\displaystyle n>1} とし、 n − 1 {\displaystyle n-1} 個以下の準同型に対しては命題が成り立っているものとする。