ウィグナー関数
ウィグナー関数により古典極限を記述することで、位相空間上の古典動力学と量子動力学とを対応づけることができる。
近年、ウィグナー関数法は1932年にベルナルド・クープマン(英語版)とフォン・ノイマンによって導入された、古典力学の演算子表式の量子的アナロジーになっていることが示唆されている。ħ → 0 の極限では、ウィグナー関数の時間発展はクープマン・フォンノイマン波動関数の時間発展に漸近する。
⟨ x | G ^ | y ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d p h e i p ( x − y ) / ħ g ( x + y 2 , p ) {\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\mathrm {d} p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right)}
(別の定義のワイル変換も存在することに注意。)
この項で取り扱ってきたウィグナー関数 P(x,p) は、密度行列 ˆρ をウィグナー変換したものと捉えることができる。よって、ある作用素と密度行列をかけたもののトレースは、その作用素をウィグナー変換したもの g(x, p) と、ウィグナー関数との位相空間上の重なり積分と等しい。
シュレーディンガー描像における密度行列の時間発展を記述する、フォン・ノイマン方程式のウィグナー変換は