圏 (数学)
1 2 Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (sep. 1945), “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of The American Mathematical Society 58 (2): 231-294, doi:10.2307/1990284
↑ Barr & Wells 2005, Chapter 1.
↑ Awodey 2006, Definition 1.12.
↑ Weibel 1994, Definition A.1.1.
↑ Borceux 1994, Definition 1.2.1.
(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる:obj(CO) = O とし、p, q ∈ O = obj(CO) について p ≤ q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。