ミラー対称性 (弦理論)
シンプレクティックパラメータ ρ {\displaystyle \rho } を積 i R 1 R 2 {\displaystyle iR_{1}R_{2}} と定義する。
2つの円のカルテシアン積としてトーラスを考えることができることに注意する。このことは、トーラス(ピンクで表示されている)の赤道の各々の点に、経線の円(赤で表示されている)がある。
さて、トーラスは物理的理論での「時空」を表現することを想像すると、この理論の基本的な対象は、量子力学の規則に従い時空の中を伝搬する弦 (物理学)(英語版)である。弦理論の双対性(英語版)の一つに T-双対性がある。このことは、すべての一方での観測可能量は双対な記述での量と同一視されるという意味で、半径 R {\displaystyle R} の円の周りを伝搬する弦は、半径 1 / R {\displaystyle 1/R} の円の周りを伝搬する弦に等価となる 。例えば、弦のある方向への運動量は離散的な値をとり、弦が双対方向の円の周りへ何周り巻き付いているかを表す。 T-双対をトーラスの経線方向の円へ適用すると、別のトーラスにより表現される時空の中にある等価な記述が存在することがわかる。T-双対性は R 1 {\displaystyle R_{1}} を 1 / R 1 {\displaystyle 1/R_{1}} へと変換し、この変換は τ ↔ ρ {\displaystyle \tau \leftrightarrow \rho } と複素パラメータとシンプレクティックパラメータとを入れ替える。
物理学では、弦理論は、その中では素粒子を点状の粒子とは考えずに、弦(英語版)と呼ばれる 1次元の対象で置き換えた理論的フレームワーク(英語版)(theoretical framework)である。これらの弦は通常の弦のループや小さな区分のように見える。弦理論は、どのように弦が空間の中を伝搬するか、互いに相互作用するかを記述する。弦のスケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子のように見え、質量や電荷を持ち、弦の振動状態によりきめられる他の性質を持っている。弦が分裂したり結合したりすることには、粒子の輻射や吸収が対応し、粒子の間の相互作用を惹き起す。
弦理論の記述する世界と日常の世界の間には、確かに差異がある。日常生活では、3つの空間次元(上下、左右、前後)と、1つの時間次元(以後以前)が存在する。このように、現代物理の言葉では、時空は4次元である。 弦理論の特別な有様の一つに、数学的な整合性のために時空の余剰次元(extra dimensions)を要求される。超弦理論である超対称性と呼ばれる理論上の考え方と両立する理論のバージョンでは、毎日の体験の中で慣れ親しんでいる4次元に加えて、6次元の時空の余剰次元がある。
弦理論の現在の研究の目標のひとつは、高エネルギー物理実験で観察される粒子を、弦が再現するようなモデルを構成することである。
この発展につづき、多くの物理学者たちは、弦理論に基礎を持つ素粒子物理の現実に合うモデルを構成できるのではないかと期待し、カラビ・ヤウコンパクト化の研究を始めた。そのような物理的なモデルが与えるには、対応するカラビ・ヤウ多様体が一意に再構成することができないことには注意する必要があった。代わりに、同一の物理から発生する 2つのカラビ・ヤウ多様体が存在することを発見した。
カラビ・ヤウ多様体とある共形場理論の間の関係の研究により、ブライアン・グリーン(Brian Greene)とローネン・プレッサー(Ronen Plesser)は、非自明なミラー関係にあることを発見した。さらにこの関係の証拠は、プリップ・キャンデラス(Philip Candelas)とモニカ・リンカー(Monika Lynker)とロルフ・シームリック(Rolf Schimmrigk)の仕事からで結論されていて、彼らは計算機により多くの数のカラビ・ヤウ多様体を研究する中から、それらの中にミラーペアが現れることを発見した。