モースポテンシャル
( − ∂ 2 ∂ x 2 + V ( x ) ) Ψ n ( x ) = ε n Ψ n ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x)}
V ( x ) = λ 2 ( e − 2 ( x − x e ) − 2 e − ( x − x e ) ) {\displaystyle V(x)=\lambda ^{2}\left(e^{-2\left(x-x_{\mathrm {e} }\right)}-2e^{-\left(x-x_{\mathrm {e} }\right)}\right)}
この固有エネルギーおよびエネルギー固有状態は次のように書ける。
ε n = λ 2 − ( λ − n − 1 2 ) 2 = 2 λ ( n + 1 2 ) − ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle \varepsilon _{n}=\lambda ^{2}-\left(\lambda -n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2\lambda \left(n+{\frac {1}{2}}\right)-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}
Ψ n ( z ) = N n z λ − n − 1 / 2 e − z / 2 L n ( 2 λ − 2 n − 1 ) ( z ) {\displaystyle \Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-1/2}e^{-z/2}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z)}