分離拡大
より一般に、既約(非零)多項式 f ∈ F[X] が相異なる根をもたなければ、 F の標数が(零でない)素数 p でなければならないだけでなく、ある既約多項式 g ∈ F[X] に対して f(X)=g(X) である。この性質を繰り返し用いることによって、実はある非負整数 n とある分離既約多項式 g ∈ F[X] に対して f ( X ) = g ( X p n ) {\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})} であるということが従う(ただし F は素数標数 p をもっているとする)。
上の段落に書かれた性質から、f が素数標数 p の体 F に係数をもつ既約(非零)多項式で、相異なる根をもたなければ、f(X)=g(X) と書くことができる。さらに、 g ( X ) = ∑ a i X i {\displaystyle g(X)=\sum a_{i}X^{i}} で F のフロベニウス自己準同型が自己同型であれば、g は g ( X ) = ∑ b i p X i {\displaystyle g(X)=\sum b_{i}^{p}X^{i}} と書くことができ、とくに、 f ( X ) = g ( X p ) = ∑ b i p X p i = ( ∑ b i X i ) p {\displaystyle f(X)=g(X^{p})=\sum b_{i}^{p}X^{pi}=(\sum b_{i}X^{i})^{p}} である。これは f の既約性に矛盾する。
F は k 上分離的な元からなる。
F/k のすべての部分拡大は分離的である。
F/k のすべての有限部分拡大は分離的である。
F/k が有限拡大であれば、以下は同値。
(i) F は k 上分離的。
(ii) F = k ( a 1 , . . . , a r ) {\displaystyle F=k(a_{1},...,a_{r})} ただし a 1 , . . . , a r {\displaystyle a_{1},...,a_{r}} は k 上分離的。
(iii) (ii) において r = 1 ととれる。
(iv) K が k の代数閉包であれば、k を固定する F の K への埋め込みはちょうど [F : k] 個存在する。
(v) K が k の任意の正規拡大で F の K への埋め込みが少なくとも1つ存在すれば、k を固定する F の K への埋め込みはちょうど [F : k] 個存在する。
上記において (iii) は原始元定理として知られている。
代数的閉包 k を固定し、k 上分離的な k のすべての元からなる集合を ks で表記する。すると ks は k 上分離代数的であり k の任意の分離代数拡大は ks に含まれる。それは k の(kにおける)分離閉包 (separable closure) と呼ばれる。このとき k は ks 上純非分離である。別の言い方をすれば、k が完全であることと k = ks は同値である。