函数の全微分
が成り立つ。
局所的には常にこの逆が成り立つ:
1-形式 A が dA = 0 を満足するならば、その点の適当な近傍において A の原始函数、すなわち可微分函数 f で A = df を満足するものが存在する。
ゆえに dA = 0 を可積分条件と呼ぶことがある。これは具体的には任意の i, j に対して
∂ a j ∂ x i = ∂ a i ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}} ,
あるいは
∂ a j ∂ x i − ∂ a i ∂ x j ≡ 0 {\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}\equiv 0}
が成り立つことである。
多くの場合には、さらに大域的な原始函数が存在して A はその全微分になる。これは例えば、微分形式がR の領域、より一般には星型あるいは単連結領域上で定義される場合などである。
多様体 M 上の任意の 1-形式が可積分条件を満たす(つまり、原始函数を持ちその全微分となる)という主張は、一次のド・ラムコホモロジー群(ドイツ語版) H1dR(M) が自明であることと同値である。