ベクトル束
ベクトル束には、さらにいろいろな構造が与えられていることも多い。例えば、ベクトル束には計量(英語版)が与えられていることがある。通常は計量が正定値であることを仮定し、これによって E の各ファイバーはユークリッド空間となる。また例えば、複素構造を備えた実ベクトル束は複素ベクトル束に対応する。複素ベクトル束は、実ベクトル束の定義において実ベクトル空間や実線型写像としていたところを代わりに複素ベクトル空間や複素線型写像にとりかえて得られるものである。もっと一般に、ベクトル束に移入された付加構造は、典型的には束の構造群の還元(英語版)によって得られるものとして理解することができる。(実数体や複素数体だけではなく)さらに一般の位相体上のベクトル束というものも用いられる。
また、有限次元ベクトル空間の代わりにバナッハ空間をファイバー F とすることでバナッハ束(英語版)の概念がえられる。特に、各ファイバー上の局所自明化に対する条件は(単に線型同型なだけでなく)バナッハ空間の同型とするのが自然であり、さらに座標変換
g U V : U ∩ V → G L ( F ) {\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to GL(F)}
がバナッハ多様体(英語版)の間の連続写像となるようにすべきである。同様に、C-級ベクトル束の理論では、これらの写像が C-級であることを要請する。
ベクトル束は、ファイバーがベクトル空間でコサイクルがベクトル空間構造を保つような特別なファイバー束であった。もっと一般のファイバー束は、そのファイバーとして他のさまざまな構造をとることができる。たとえば、球面によってファイバー付けられるファイバー束は球面束(英語版)と呼ばれる。
を満たすものである。開近傍 U に同相写像 φ を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化 (local trivialisation) という。局所自明化によって、写像 π が「局所的に見れば」 U × R から U の射影である「かのようにみえる」ということが表されている。
任意の x ∈ X に対し、ファイバー π(x) は有限次元の実ベクトル空間であり、従って実ベクトル空間としての次元 kx を有する。局所自明性により、関数 X → N ; x ↦ k x {\displaystyle X\to \mathbf {N} ;\,x\mapsto k_{x}} は局所定数であり、従って X の各連結成分の上では一定である。任意の x ∈ X に対し、kx が定数 k に等しいとき、k をベクトル束 E の階数(かいすう、rank)といい、E は階数 k のベクトル束であるという。階数 1 のベクトル束は、直線束 (line bundle) と呼ばれる。階数 2 のベクトル束は稀に平面束 (plane bundle) とも呼ばれる。
直積 X × R に自然な射影 X × R → X を考えたものはベクトル束であり、X 上の階数 k の自明束(じめいそく、trivial bundle)という。