関数 (数学)
この他、「干数」案もあった。学習指導要領に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した。
「函数」の中国語における発音は(拼音: hánshù) であり、志賀浩二や小松勇作によればこれはfunctionの音訳であるという。一方、『代微積拾級』には「凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數」とあり、これは変数を包む、含む式という意味で定義されていると解釈できる。また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。片野善一郎によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ、従属変数(の表現)に独立変数が容れられているという意味であるという。
なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数をブラックボックスのたとえで説明することがある。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもあるが、「函数」の語の初出は1859年なのに対し、「ブラックボックス」の語の初出は1945年ごろとされることに注意を要する。
函数 f の定義域 X と終域 Y を明示する目的では、矢印記法 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} や X → f Y {\displaystyle X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y} (「f は X から Y への函数」「f は X の元を Y の元に写す」)が用いられる。これに重ねて、元の間の関係を示すため「f が x を f (x) に写す」ことを意味する x ↦ f (x) をしばしば書き加える。
例えば、積の定義された集合 X 上で各元を平方する函数 sqr を紛れなく定義するには
のように書けばよい。元の対応は x ↦ x と書いても良い。
しばしば函数記号や定義域および終域については省略される。そのような記法は、函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので、その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である。例えば、二変数の函数 f : X × X → Y ; ( x , t ) ↦ f ( x , t ) {\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)} が与えられていて、第二引数を値 t0 に固定して得られる偏函数(英語版) X → Y {\displaystyle X\to Y} に言及したいとき、この函数に新たに名前を付けなくても、 x ↦ f ( x , t 0 ) {\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})} という元の対応を表す矢印記法を用いれば扱うことができる。
複数の変数によって値が決定される関数を多変数関数という。これは複数の数の集合たちの直積集合から数の集合への写像であると解釈される。ベクトルの集合を定義域とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。n 個の変数で決まる関数であれば、n 変数関数とも呼ばれ
y = f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
のように書かれる。例えば
y = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
は二変数関数である。
一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を関数の仲間として捉えるとき多価関数 (multi-valued function) という。常に n 個の出力を得る関数は n 価であるといい、その n を多価関数の価数と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は一価関数といわれる。
多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それをベクトル値関数という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。
「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた。この他、「干数」案もあった。学習指導要領に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した。