バナッハの不動点定理
{\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}
このような値 q はすべて T に対するリプシッツ定数と呼ばれる。またそれらの内で最小のものはしばしば T の最良リプシッツ定数(the best Lipschitz constant)と呼ばれる。
注意 2 すべての x ≠ y に対して d(T(x), T(y)) < d(x, y) が成立することは、一般には不動点の存在を保証する上で十分ではない。実際、写像 T : [1, ∞) → [1, ∞), T(x) = x + 1/x には不動点が存在しない。しかし X がコンパクトであるなら、この弱い仮定でも不動点の存在と一意性は保証される。実際その不動点は、コンパクト性により必ず存在する d(x, T(x)) のミニマイザーとして得られる。すると、不動点定理は T の反復からなる任意の列の極限として得られることが容易に分かる。
注意 3 この定理を実際に使うとき、一般に最も難しい点は T(X) ⊆ X を満たす X を適切に定めることである。