確率変数の収束
確率収束の定義を正式に述べる。任意の ε > 0 および任意の δ > 0 を選ぶ。X を中心とする半径 ε の外側に Xn がある確率を Pn とする。このとき、Xn が X へと確率収束するためには、全ての n ≥ Nδ に対して確率 Pn が δ より小さくなる、ある数 Nδ が存在しなければならない。
確率収束は、収束を表す矢印に記号 p を付け加えるか、確率極限作用素 "plim" を使って表される:
X n → p X , X n → P X , plim n → ∞ X n = X . {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.}
であるとき、Xn は X へとほとんど完全に (almost completely) 収束すると言う。Xn が X へほとんど完全に収束するなら、それはまた X へ概収束もする。言い換えると、もし Xn が十分に早く X へ確率収束するなら、Xn は X へ概収束もする。これは、ボレル・カンテリの補題からの直接的な帰結である。
Sn を n 個の実独立な確率変数の和 S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}
としたとき、Sn が概収束することと確率収束することは同値である。
優収束定理は、概収束が L-収束を意味するための十分条件を与える: X n → a . s . X | X n | < Y E ( Y ) < ∞ } ⇒ X n → L 1 X {\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}X_{n}{\xrightarrow {a.s.}}X\\\\|X_{n}|<Y\\\\\mathrm {E} (Y)<\infty \end{array}}\right\}\quad \Rightarrow \quad X_{n}{\xrightarrow {L^{1}}}X}
L 収束のための必要十分条件は、 X n → P X {\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {P}}X} かつ列 (Xn) が一様可積分であることである。