逆元
上述のマグマに対する定義は群における「単位元に対する逆元」の概念を一般化するものであった。それよりは少し判りづらいが、演算の結合性は仮定する(半群において考える)けれども、「単位元の存在を仮定しない」という形で逆元の概念を一般化するということも可能であり、ここではそのような定義を与える。
半群 S の元 x が(フォン・ノイマン)正則元 ([von Neumann] regular) であるとは、S の元 z で xzx = x を満たすものが存在することを言う。このときしばしば z は x の擬逆元 pseudo-inverse) と呼ばれる。S の元 y が xyx = x かつ y = yxy を満たすとき、y は単に x の逆元 (inverse) であるといわれる。x = xzx が成り立つとき、 y = zxz が x のここでいう意味での逆元となることは直ちに確かめられるから、したがって任意の正則元は少なくともひとつの逆元を持つ。もうひとつすぐに確かめられることは、y が x の逆元ならば e = xy および f = yx は冪等元、つまり ee = e およびff = f が成立すること、したがって互いに他の逆である元の対 (x, y) からふたつの冪等元が得られ、ex = xf = x, ye = fy = y が成立して、 e は左単位元として、一方 f は右単位元として x に作用すること、および左右を入れ替えて y についても同様のことが成り立つということである。
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。M の行列式が 0 ならば M は(左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから)片側逆元を持つことも不可能である(詳細は正則行列を参照)。もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ。
行列 A が m × n 行列で m > n のとき、 ( A ⊺ A ) − 1 A ⊺ ⏟ A left − 1 A = I n {\displaystyle \underbrace {(A^{\intercal }A)^{-1}A^{\intercal }} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}} となり、左逆元(左逆行列)が存在する。
行列 A が m × n 行列で m < n のとき、 A A ⊺ ( A A ⊺ ) − 1 ⏟ A right − 1 = I m {\displaystyle A\underbrace {A^{\intercal }(AA^{\intercal })^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}} となり、右逆元(右逆行列)が存在する。
階数落ち (rank-deficient) 行列は逆元も片側逆元も持たない。