表現 (数学)
忠実な表現はもちろん重要であるが、一般にはある体系の表現の全体というものを考えることによってもとの体系を「復元」することが興味の対象となる。したがって、表現の分類によってもとの体系を特徴付けることが、表現に関する理論の研究の大きな指針の一つとなる。あるいは表現の仕方に依らずに決まる性質を抽出することによって元の体系の分類を与えるようなことも考えられる。
一般に表現論と呼ばれる分野では、典型的に群や環などといった代数系(一般にはリー群やリー環のような位相を伴う系)の線型空間・射影空間あるいはもっと一般の加群などにおける表現(線型表現・射影表現)が取り扱われる。これはつまり、作用を持つ加群の理論である。そこでは抽象的な群・環を線型写像の成す群・環として、とくに有限次元空間における表現はさらに行列によって、書き表されることになり、古典群と呼ばれる一般線型群の代数的な部分群・商群たちやその上の調和解析が、関数解析学や組合せ論などの言葉を用いて展開される。線型表現などでは特に、空間に係数が考えられるため、係数の取替えによる類似の議論や類似物の構成がしばしば行われるが、標数 0 の場合の通常表現や正標数の場合のモジュラー表現などを比較すると、それらの様子は大きく変わってくる。