積分微分方程式
一般的な一階線型の積分微分方程式は、次のような形状を持つ。
d d x u ( x ) + ∫ x 0 x f ( t , u ( t ) ) d t = g ( x , u ( x ) ) , u ( x 0 ) = u 0 , x 0 ≥ 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\quad u(x_{0})=u_{0},\quad x_{0}\geq 0.}
微分方程式についてよく知られているように、積分微分方程式に対しても閉形式解を求めることはしばしば困難となる。解が見つかるような比較的まれなケースでは、ある種の積分変換が用いられることで、問題が初めに代数的な形状へと変換されることがしばしばある。そのような状況では、問題の解はそのような代数的方程式の解に対して逆変換を適用することで得られる。