ヘヴィサイドの展開定理
分母が単根のみを持つ有理関数
F ( s ) = P ( s ) Q ( s ) = P ( s ) ( s − a 1 ) ⋯ ( s − a r ) {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {P(s)}{(s-a_{1})\cdots (s-a_{r})}}}
の原像は
L − 1 [ F ( s ) ] = ∑ i = 1 r P ( a i ) Q ′ ( a i ) exp  ( a i t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\sum _{i=1}^{r}{\frac {P(a_{i})}{Q'(a_{i})}}\exp(a_{i}t)}
で与えられる。Q′(ai) は、より具体的には
Q ′ ( a i ) = ∏ j ≠ i ( a i − a j ) {\displaystyle Q'(a_{i})=\prod _{j\neq i}(a_{i}-a_{j})}
として計算できる。
分母がn重根 a を持つ有理関数
F ( s ) = P ( s ) Q ( s ) = φ ( s ) ( s − a ) n = ∑ j = 1 n A j ( s − a ) j + R ( s ) {\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {\phi (s)}{(s-a)^{n}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {A_{j}}{(s-a)^{j}}}+R(s)}
に対しては、
A j = 1 ( n − j ) ! lim s → a d n − j d s n − j ( ( s − a ) n F ( s ) ) {\displaystyle A_{j}={\frac {1}{(n-j)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-j}}{ds^{n-j}}}((s-a)^{n}F(s))}
であるから、
t n − 1 exp  ( a t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {A}{(s-a)^{n}}}\right]={\frac {A}{(n-1)!}}t^{n-1}\exp(at)}
で与えられるので、F(s) の原像が求まる。
以上より、有理関数のラプラス逆変換は理論的には求まるが、計算しやすい公式の形で与えられたものを「展開定理」と称することが多い。その式の形は文献によって多少の差異があるが、本質的には同じものである。
Q(s) が虚根を持つ場合、一旦は虚数が現れるが、オイラーの公式を用いて三角関数に変形すれば、実関数の範囲で原像が求まる。計算上は、複素数の範囲で一次式に分解するのではなく、実数の範囲で高々二次式にまで分解しておき、
L − 1 [ ω ( s − a ) 2 + ω 2 ] = exp  ( a t ) sin  ( ω t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\sin(\omega t)}
L − 1 [ s − a ( s − a ) 2 + ω 2 ] = exp  ( a t ) cos  ( ω t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\cos(\omega t)}
などを用いる方が実践的である場合もある。