最小作用の原理
Δ S = ∫ t 0 t 1 + Δ t L ( q ′ , q ̇ ′ , t ) d t − ∫ t 0 t 1 L ( q , q ̇ , t ) d t = p ( t 1 ) [ q ~ ′ ( t 1 ) − q ~ ( t 1 ) ] + L ( q ~ ( t 1 ) , q ~ ̇ ( t 1 ) , t 1 ) Δ t = p ( t 1 ) Δ q − [ p ( t 1 ) q ~ ̇ ( t 1 ) − L ( q ~ ( t 1 ) , q ~ ̇ ( t 1 ) , t 1 ) ] Δ t {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S&=\int _{t_{0}}^{t_{1}+\Delta t}L(q',{\dot {q}}',t)\,dt-\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)\,dt\\&=p(t_{1})[{\tilde {q}}'(t_{1})-{\tilde {q}}(t_{1})]+L({\tilde {q}}(t_{1}),{\dot {\tilde {q}}}(t_{1}),t_{1})\,\Delta t\\&=p(t_{1})\,\Delta q-[p(t_{1})\,{\dot {\tilde {q}}}(t_{1})-L({\tilde {q}}(t_{1}),{\dot {\tilde {q}}}(t_{1}),t_{1})]\Delta t\\\end{aligned}}}
となる。 したがって、作用の偏微分は
∂ S ∂ q 1 = p ( t 1 ) , ∂ S ∂ t 1 = − E ( t 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=p(t_{1}),~{\frac {\partial S}{\partial t_{1}}}=-E(t_{1})}
である。ここで E はエネルギーである。
あるいは
q 0 = q ( t 0 ) , q 1 = q ( t 1 ) {\displaystyle q_{0}=q(t_{0}),~q_{1}=q(t_{1})}
が課される。
力学変数が運動方程式に従うとき、作用は境界条件を与える q0, t0, q1, t1 の関数
S = S ( q 0 , t 0 ; q 1 , t 1 ) {\displaystyle S=S(q_{0},t_{0};q_{1},t_{1})}
として表される。初期条件 q0, t0 は定数として扱い、終端条件 q1, t1 を変数とみなす。 境界条件 q0, t0, q1, t1 の下での運動方程式の解を
q ~ ( t 0 ) = q 0 , q ~ ( t 1 ) = q 1 {\displaystyle {\tilde {q}}(t_{0})=q_{0},~{\tilde {q}}(t_{1})=q_{1}}
とし、境界条件 q0, t0, q1+Δq, t1+Δt の下での解を
q ~ ′ ( t 0 ) = q 0 , q ~ ′ ( t 1 + Δ t ) = q 1 + Δ q {\displaystyle {\tilde {q}}'(t_{0})=q_{0},~{\tilde {q}}'(t_{1}+\Delta t)=q_{1}+\Delta q}
とする。このとき作用の微分は