最大公約数
.. , a n ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})} と表す。 gcd ( a 1 , ... , a n ) = 1 {\displaystyle \gcd(a_{1},\dots ,a_{n})=1} が成り立つことを a 1 , ... , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} が互いに素であると言う。
この定義から容易に次のことがわかる。
gcd ( a , b ) = gcd ( b , a ) {\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a)} が成り立つ。
gcd ( gcd ( a , b ) , c ) = gcd ( a , b , c ) {\displaystyle \gcd(\gcd(a,b),c)=\gcd(a,b,c)} が成り立つ。
最大公約数は存在すれば一意である。
n = 0 {\displaystyle n=0} であれば(つまり空集合の)最大公約数は 0 {\displaystyle 0} である。空積が 1 = { ∅ } {\displaystyle 1=\{\varnothing \}} であることと空なる真(英語版)に注意せよ。
n = 1 {\displaystyle n=1} であれば gcd ( a 1 ) = a 1 {\displaystyle \gcd(a_{1})=a_{1}} である。
n = 2 {\displaystyle n=2} とし、 0 {\displaystyle 0} と 0 {\displaystyle 0} の最大公約数は 0 {\displaystyle 0} である。