オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン
オイラー=ハイゼンベルク・ラグランジアンから記述できる電磁場の非線形現象として最も有名な例は、低エネルギーの光・光散乱(2光子散乱)である。この過程をファインマン・ダイアグラムで表すと、4本の光子の外線が1点で相互作用する図として表され、QEDにおいては、フェルミ粒子のループに4本の光子の外線がつく図に対応している。
この過程のQEDにおける定式化は、1951年にKarplusとNeumanによって為された。この計算では、QEDに基づく有限個の箱型ダイアグラムを足し上げることで、オイラー・Kockel・ハイゼンベルクが導出した結果と一致する結果が得られた。このように、オイラー=ハイゼンベルク・ラグランジアンは第一原理計算を有効ラグランジアンで近似的に再現する有効場の理論の成功例の一つである。
低エネルギー領域( E ≪ m e {\displaystyle E\ll m_{e}} )における光・光散乱の散乱振幅は
A γ γ ∼ α 2 E 4 m e 4 {\displaystyle A_{\gamma \gamma }\sim {\frac {\alpha ^{2}E^{4}}{m_{e}^{4}}}}
と表され、その散乱断面積は
σ γ γ ∼ ( α 2 E 4 m e 4 ) 2 1 E 2 = α 4 E 6 m e 8 {\displaystyle \sigma _{\gamma \gamma }\sim \left({\frac {\alpha ^{2}E^{4}}{m_{e}^{4}}}\right)^{2}{\frac {1}{E^{2}}}={\frac {\alpha ^{4}E^{6}}{m_{e}^{8}}}}
となる。
この論文では、量子的な真空は一種の媒質とみなされ、古典的なマクスウェルの理論についてのラグランジアンに対して、最も主要な量子的補正項が追加された。
L = 1 2 ( E 2 − B 2 ) + 2 α 2 45 m e 4 [ ( E 2 − B 2 ) 2 + 7 ( E ⋅ B ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m_{e}^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]}
この式は、後に導出されるオイラー=ハイゼンベルク・ラグランジアンの低エネルギー極限に対応する。
1936年、ハイゼンベルクとオイラーはオイラー・Kockelの理論を一般化した。一般化されたラグランジアンは、マクスウェルのラグランジアンに対する完全な非線形補正であり、一様な背景電磁場の下での全ての次数の補正を含む非摂動表現である。