ボーム解釈
ボーム解釈は次の原理に基づく。
粒子はひとつに定まった経路を運動する。 あらゆる時刻において、粒子の位置、運動量はひとつに定まっている。
観測者はその経路を完全に知ることはできない。 観測者による位置および運動量の測定には、常に古典的な不確定性(すなわち測定誤差)がともなう。
粒子の配置状態は、配置空間上で定義される、粒子の運動を先導する場によって決定される。 ド・ブロイはその場をパイロット波と呼び、ボームはψ場と呼んだ。ψ場は粒子の運動を先導し、また「量子ポテンシャル」 Q ( x , t ) {\displaystyle Q({\boldsymbol {x}},t)} もψ場から導かれる。
ψ場はシュレディンガー方程式を満たす。 ψ場は量子力学における波動関数と同等であり、シュレディンガー方程式に従って時間発展する。粒子の位置はψ場に影響を与えない。
粒子の運動量はその位置における波動関数の勾配によって決定される。
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)={\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}e^{iS({\boldsymbol {x}},t)/\hbar }.}
最終的に、
− ∂ ρ ( x , t ) ∂ t = ∇ ⋅ ( ρ ( x , t ) ∇ S ( x , t ) m ) ( 1 ) m d 2 x ( t ) d t 2 = − ∇ ( V ( x ) + Q ( x , t ) ) ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot \left(\rho ({\boldsymbol {x}},t){\frac {\nabla S({\boldsymbol {x}},t)}{m}}\right)\qquad (1)\\m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}(t)}{dt^{2}}}&=-\nabla (V({\boldsymbol {x}})+Q({\boldsymbol {x}},t))\qquad (2)\end{aligned}}}
ただし
Q ( x , t ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 R ( x , t ) R ( x , t ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 ρ ( x , t ) ρ ( x , t ) = − ħ 2 2 m [ ∇ 2 ρ ( x , t ) 2 ρ ( x , t ) − ( ∇ ρ ( x , t ) 2 ρ ( x , t ) ) 2 ] .