ラドン＝ニコディムの定理
f ( x ) = { g ( x ) if g ( x ) < ∞ 0 otherwise, {\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}
のように定めれば、 f は目標としていた性質を満たすものとなる。
一意性を示すために、 f, g : X → [0, ∞) を、すべての可測集合 A に対して次を満たす二つの函数とする。
ν ( A ) = ∫ A f d μ = ∫ A g d μ . {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu .}
このとき、g − f は μ-可積分であり、
∫ A ( g − f ) d μ = 0 {\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0}
となる。特に、A = {x ∈ X : f(x) > g(x)} あるいは {x ∈ X : f(x) < g(x)} に対して、次が成り立つ。
∫ X ( g − f ) + d μ = 0 = ∫ X ( g − f ) − d μ . {\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu .}
したがって (g − f ) = 0 が μ に関して至る所で成り立つ。同様のことが (g − f ) に対しても成り立つため、 f = g が μ に関して至る所で成り立ち、一意性は示される。
ラドン=ニコディムの定理では、ν の変化の割合を計算するための測度 μ は σ-有限であると仮定されていた。ここでは、その μ が σ-有限でないときにはラドン=ニコディムの定理が成立しないことを示す。
実数直線上のボレル完全加法族を考える。あるボレル集合 A の数え上げ測度 μ を、A が有限である場合はその元の数、そうでない場合は ∞ で定義する。実際に μ が測度であることは確かめることが出来る。しかし、すべてのボレル集合が有限集合の可算個の合併であるとは限らないので、それは σ-有限ではない。ν をこのボレル加法族上の通常のルベーグ測度とする。このとき、ν は μ に関して絶対連続である。なぜなら、ある集合 A に対して μ(A) = 0 となるのは A が空集合であるときのみであり、そのときは ν(A) もゼロとなるからである。
ラドン=ニコディムの定理が成立するものと仮定する。すなわち、ある可測函数 f に対して
ν ( A ) = ∫ A f d μ {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }
がすべてのボレル集合について成立するものとする。A を単集合 A = {a} とし、上述の等式を使うことで
0 = f ( a ) {\displaystyle 0=f(a)}
がすべての実数 a に対して成り立つ。このことは函数 f およびルベーグ測度 ν がゼロであることを意味し、矛盾である。
μ および ν が σ-有限であるなら、X は μ および ν の下で有限測度を持つような Σ 内の素集合の列 {Bn}n の合併として記述することが出来る。各 n に対し、次を満たすような Σ-可測函数 fn : Bn → [0, ∞) が存在する:
ν ( A ) = ∫ A f n d μ . {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu .}
ただし Bn は A の Σ-可測部分集合である。それらの函数の合併 f が、求める函数となる。
一意性について、各 fn は μ に関してほとんど至る所で一意であるため、 f もそのようになる。
↑ Nikodym, O. (1930). “Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon” (French). Fundamenta Mathematicae 15: 131–179. JFM 56.0922.02. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf 2009年5月11日閲覧。.
↑ Zaanen, Adriaan C. (1996). Introduction to Operator Theory in Riesz spaces. Springer. ISBN 3-540-61989-5