クルル次元
整域が体である必要十分条件は、0次元となることである。
ネーター環がアルティン環である必要十分条件は、0次元となることである。
体 k 上の n 変数多項式環 k[X1, ..., Xn] は n 次元である。スキーム論の言葉で言えば、体上の多項式環はアフィン空間に対応するから、この結果は基本的と考えることができる。一般に、環 R が n 次元のネーター環ならば多項式環 R[X] は n + 1 次元である。ネーター性を仮定しないならば R[X] の次元は n + 1 以上 2n + 1 以下の任意の値を取りうる。
ネーター局所環は有限次元である。