ユニタリ表現
G を位相群とする。ヒルベルト空間 H 上の G の強連続ユニタリ表現 (strongly continuous unitary representation) とは、G から H のユニタリ群への群準同型
π : G → U  ( H ) {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow \operatorname {U} (H)}
であって、g ↦ π(g)ξ がすべての ξ ∈ H に対してノルム連続関数であるようなものである。
G がリー群であれば、ヒルベルト空間もまた滑らかな構造や解析的な構造を持つことに注意しよう。ベクトル ξ ∈ H が滑らか (smooth) あるいは解析的 (analytic) であるとは、写像 g ↦ π(g)ξ が(H のノルムあるいは弱位相に関して)滑らかあるいは解析的であることをいう。滑らかなベクトルは、Lars Garding(英語版) の古典的な議論によって H において稠密である、なぜならばコンパクト台を持つ滑らかな関数による対合は滑らかなベクトルを生み出すからである。