多項式の因数分解
↑ おなじことは、Z および Q を、(U)FD R およびその商体 K に置き換えてより一般に考察できる
体 K が代数体(Q の有限次拡大体)であるときの多項式 p(x) ∈ K[x] も因数分解することができる。無平方分解して、多項式は無平方であると仮定してよい。Q 上の線型環として L ≔ K[x]/(p(x)) と陽に書いて、無作為に α ∈ L をとれば、原始元定理により、高確率で α は L を Q 上生成する。生成することが確認できたならば、α の Q 上の最小多項式 q(y) ∈ Q[y] を計算して、それを Q[y] 上で
と因数分解することで、
と決定できて(p は無平方であるから、L が被約環となることに注意)、α は右辺の元 (y, ..., y)(全ての成分が y)に対応する。これが体の直積としての L の唯一の分解であることに注意する。したがってこの分解は
と同じものである(ここに p = ∏mi=1 pi は p の K[x] における既約分解とする)。x ∈ L および K の生成元を α の多項式として書けば、x および K の Q[y]/(qi(y)) = K[x]/(pi(x)) の直積因子の中への埋め込みが決定できる。この環における x の最小多項式を求めることにより、pi が計算できて、したがって p が K 上で既約分解される。
本節では手計算に便利な教科書的方法について述べる。それらは多項式の分解よりも極めて複雑な一面を持つ自然数の因数分解も利用しているから、計算機に載せるようなものではない。