低次元トポロジー
曲面は 2次元の位相多様体である。最も馴染みのある例は、通常の三次元ユークリッド空間 R 内の立体図形の境界として現れるもの、例えば球体の境界面としての球面である。他方、クラインの壷のように、特異点や自己交叉を持つことなしに 3次元ユークリッド空間へ埋め込むことができない曲面もある。
より詳しくは、K が 3次元多様体 M の中の結び目とし(最も良く使われる M は3-球面(英語版)である)、N を K の管状近傍(英語版)とすると、位相的に N はトーラス体(solid torus)である。そうして、結び目補空間とは N の補集合
X K = M − interior ( N ) {\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N)}
をいう。
関連する主題として、組み紐理論がある。組み紐理論は、日常的な意味の組み紐およびそのある種の一般化を研究する抽象幾何学理論である。考え方としては、組み紐を群として体系化することであり、その群演算は「紐の集合上で、紐をひねって組むという操作を、ひねりを加えた順番に従って考える」ことを意味する。そのような群は明白に群の表示により陽に記述することができ、Emil Artin (1947) に示されている。この線での基本的な取り扱いは組み紐群の項を参照。ブレイド群はまた、より深い数学的な解釈(たとえば、配置空間(英語版)の基本群)も持つ。
位相空間 X のすべての点が 3次元ユークリッド空間と同相な近傍を持つとき、X を 3次元多様体と呼ぶ。
位相多様体、区分線型(英語版)多様体(PL多様体)、滑らかな多様体の圏は、すべて 3次元の場合には同値であるので、3次元では、位相多様体と滑らかな多様体の差異はほとんどない。
3次元での現象は、他の次元での現象とは非常に異なっていて、3よりも大きな次元へは一般化できない非常に特別なテクニックが普及している。この特別なテクニックの役割は、他の分野の多様性との密接な関係をもたらした。たとえば、結び目理論, 幾何学的群論、双曲幾何学、数論、タイヒミューラー空間(英語版)、位相的場の理論、ゲージ理論、フレアーホモロジー、や偏微分方程式がある。3次元多様体論は、低次元位相幾何学や幾何学的位相幾何学の一部と考えられる。
1960年代に始まった多くの位相幾何学の発展は、位相幾何学が低次元で重要であることを示した。1961年のスティーヴン・スメイルによる高次元でのポアンカレ予想の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は手術理論(英語版)を計算機的な方法で(低次元へ)還元することができることを意味した。後日、1970年代にウィリアム・サーストンにより定式化された幾何化予想では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンのハーケン多様体についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年のグレゴリー・ペレルマンは、リチャード・S・ハミルトンのリッチフローという幾何解析(英語版)分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。
すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。
閉曲面の分類定理は、すべての連結な閉曲面は、以下の 3つの族のうちのひとつに属する対象に同相であるという定理である。
球面
g ≥ 1 {\displaystyle g\geq 1} に対し、g 個のトーラスの連結和
k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} に対し、k 個の射影平面の連結和
最初の 2つの族の曲面は、向き付け可能である。球面を 0 トーラスの連結和と考え、便宜的に 2つの族の元の連結和として考える。トーラスについての数値 g を曲面の種数と呼ぶ。球面とトーラスはそれぞれオイラー標数 2 と 0 である。一般に 種数 g のトーラスのオイラー標数は 2 − 2g である。
3つ目の曲面の族は、向き付け不能な曲面である。実射影空間のオイラー標数は、1 であり、一般にそれらの k-連結和のオイラー標数は 2 − k である。