位相の特徴付け
集合 X とその上の開核作用素の組 (X, int) (開核空間)のすべて。ただし、開核作用素 int: P(X) → P(X) はクラトフスキーの閉包公理の双対化 A ⊇ int(A), 冪等性: int(int(A)) = int(A), 積の保存: int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B), 空積の保存: int(X) = X
を満足するものをいう。
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。
集合 X と近傍写像 N: X → F(X) の組 (X,N) すべて。ただし、近傍系 F(X) は X 上のフィルターで X の各点 x において条件 U ∈ N(x) ならば x ∈ U である U ∈ N(x) ならば V ∈ N(x) で V の各点 y に対して U ∈ N(y) となるものが存在する
を満足するもの全体の成す集合である。
位相空間、つまり集合 X と X の部分集合族 T との組 (X, T) で、T が条件 空集合と X は T に属す、 T に属する集合のどの任意濃度の合併もふたたび T に属す、 T に属する集合のどの有限個の交わりもふたたび T に属す、
を満足するものすべて。T に属する集合は開集合という。