条件付き独立
厳密に正の確率分布の場合、次式が成立する。
X ⊥ ⊥ Y ∣ Z , W ∧ X ⊥ ⊥ W ∣ Z , Y ⟹ X ⊥ ⊥ W , Y ∣ Z {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z,\,W\quad \land \quad X\perp \!\!\!\perp W\mid Z,\,Y\quad \implies \quad X\perp \!\!\!\perp W,\,Y\mid Z}
ここで F X , Y ∣ Z = z ( x , y ) = Pr ( X ≤ x , Y ≤ y ∣ Z = z ) {\displaystyle F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)} は Z {\displaystyle Z} を条件とした X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の累積分布関数である。
σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下で事象 R {\displaystyle R} と事象 B {\displaystyle B} が条件付き独立とは
Pr ( R , B ∣ Σ ) = Pr ( R ∣ Σ ) Pr ( B ∣ Σ ) {\displaystyle \Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma )}
ここで Pr ( A ∣ Σ ) {\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma )} は、σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下での事象 A {\displaystyle A} の指示関数 χ A {\displaystyle \chi _{A}} の条件付き期待値を示す。
Pr ( A ∣ Σ ) := E  [ χ A ∣ Σ ] {\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ]}