デデキントゼータ関数
デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。
これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。
K = Q ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} とおき、K 上のデデキントゼータ関数 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を二通りの方法で計算する。
まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。
ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ F n n s ( F n ∈ Z ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )}
とおくと、
F n = 1 4 # { ( a , b ) | a 2 + b 2 = n , a , b ∈ Z } {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{4}}\#\{(a,b)|a^{2}+b^{2}=n,\ a,\ b\in \mathbb {Z} \}}