半環
半環は、以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法(和)"+" と乗法(積)"·" とを備えた集合 R を言う:
(R, +) は単位元 0 を持つ可換モノイドを成す: (a + b) + c = a + (b + c), 0 + a = a + 0 = a, a + b = b + a.
(R, ·) は単位元 1 を持つモノイドを成す: (a · b)· c = a ·(b · c), 1 · a = a · 1 = a.
乗法は加法の上に分配的である: a ·(b + c) = (a · b) + (a · c), (a + b)· c = (a · c) + (b · c).
0-倍は R を零化する: 0 · a = a · 0 = 0.
上記の最後の公理は環の場合には他の公理から導かれるので不要だが、一般の半環では成り立つとは限らないので明示的に要求する必要がある。半環が環と異なる点は、加法が単に可換モノイドを成せばよく、可換群を成すとは限らないことである。