接続 (微分幾何学)
接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 ( e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) ) {\displaystyle (e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))} をtで微分したものが接続形式 ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))} に一致する。
よって特に(レヴィ・チヴィタ接続などの)∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} の元なので、その微分である接続形式ωは S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} のリー代数 s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} の元、すなわち歪対称行列である:
定理 ― ∇がE上の計量と両立するとき、 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} をEの局所的な正規直交基底とすると、 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} に関する接続形式ωは s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} の元である。すなわちωは歪対称行列である。
が成立する事を言う。
ここで e 1 ′ , ... , e n ′ {\displaystyle e'_{1},\ldots ,e'_{n}} は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準的な基底であり、 g e i {\displaystyle ge_{i}} は線形変換 g ∈ G ⊂ G L n ( R ) {\displaystyle g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} をeiに作用させたものである。
構造群Gを持つベクトルバンドルの定義から、G-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。
F G ( E ) u {\displaystyle F^{G}(E)_{u}} を u ∈ M {\displaystyle u\in M} 上のG-フレーム全体の集合とすると、
F G ( E ) := ⋃ u ∈ M F G ( E ) u {\displaystyle F^{G}(E):=\bigcup _{u\in M}F^{G}(E)_{u}}
は自然にM上のG-主バンドルをなし、 F G ( E ) {\displaystyle F^{G}(E)} を構造群Gに関するフレームバンドルという。
基本ベクトル場の定義より明らかに各 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、写像
ζ p : A ∈ g ↦ A _ p ∈ V p {\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}}
は全単射であるので、ζpの写像の逆写像を考えることができる。この逆写像を分解 T p P = V p ⊕ H p {\displaystyle T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}} の垂直部分空間への射影 V p : T p P → V p {\displaystyle V_{p}~:~T_{p}P\to {\mathcal {V}}_{p}} と合成する事で、
T p P → V p V p → ∼ ζ p − 1 g {\displaystyle T_{p}P{\underset {V_{p}}{\to }}{\mathcal {V}}_{p}{\underset {\zeta _{p}{}^{-1}}{\overset {\sim }{\to }}}{\mathfrak {g}}}
を作る事ができる。この写像を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る1-形式とみなしたものを
ω p {\displaystyle \omega _{p}}