平方剰余の相互法則
( 3 q ) = { 1 if q ≡ ± 1 ( mod 12 ) − 1 if q ≡ ± 5 ( mod 12 ) {\displaystyle \left({\frac {3}{q}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}q\equiv \pm 1{\pmod {12}}\\-1&{\text{if }}q\equiv \pm 5{\pmod {12}}\end{cases}}}
と求められる。今 q は 3 とも −1 とも互いに素であり、このことと第1補充法則より
( − 3 q ) = ( − 1 q ) ( 3 q ) = ( − 1 ) q − 1 2 ⋅ 2 ( q 3 ) = ( q 3 ) = { 1 if q ≡ 1 ( mod 6 ) − 1 if q ≡ 5 ( mod 6 ) {\displaystyle \left({\frac {-3}{q}}\right)=\left({\frac {-1}{q}}\right)\left({\frac {3}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}\cdot 2}{\biggl (}{\frac {q}{3}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {q}{3}}{\biggr )}={\begin{cases}1&{\text{if }}q\equiv 1{\pmod {6}}\\-1&{\text{if }}q\equiv 5{\pmod {6}}\end{cases}}}
と求められる。即ち、3 と異なる奇素数 q に対して、q が x + 3 を割り切るような整数 x が存在することと、q が 6 を法として 1 に合同であることは同値である。