多様体
1826年『平行線公準の厳密な証明』(ロバチェフスキー)
1827年『曲面の研究』(ガウス)
1829年『幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論』(ロバチェフスキー)
1854年6月10日『幾何学の基礎に関する仮説について』(リーマン)
1872年エルランゲン目録(クライン)
1895年『位置解析』(アンリ・ポアンカレ)
1916年一般相対性理論(アルベルト・アインシュタイン)
1936年『微分可能多様体』(ハスラー・ホイットニー)
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか?ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
ψ ∘ φ − 1 : φ ( U ∩ V ) → ψ ( U ∩ V ) {\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)}
は、m 次元ユークリッド空間の開集合から開集合への同相写像になる。この写像を (U, φ) から (V, ψ) への座標変換 (coordinate transformation) という。座標変換を用いれば、同じ開集合 U ∩ V に定義された異なる局所座標 φ と ψ を同じものとして扱うことができる。
座標変換はまず φ で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
M = ⋃ λ ∈ Λ U λ . {\displaystyle M=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }.}
このとき、S を座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) あるいはアトラス (atlas) という。アトラスというのは地図帳のことで、局所的な地図であるチャートをいくつも集めて作った地図帳という意味である。