アステロイド (曲線)
アステロイドはスーパー楕円あるいはラメ曲線と呼ばれる曲線
| x a | α + | y b | α = 1 {\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{\alpha }+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{\alpha }=1}
の α = 2/3, a = b とした特別な場合であり、また a ≠ b を許した
( x a ) 2 / 3 + ( y b ) 2 / 3 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2/3}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2/3}=1}
で表される曲線はアステロイドを軸の方向に引き伸ばしあるいは押しつぶした形になる。例えば楕円の縮閉線は(二焦点を原点対称となるように x-軸あるいは y-軸上に配置すれば)この形に表すことができる。これのパラメータ表示は
x = a cos 3  θ , y = b sin 3  θ {\displaystyle x=a\cos ^{3}\theta ,\quad y=b\sin ^{3}\theta }
で示され、曲線で囲まれた面積は
S = 3 8 π a b {\displaystyle S={\frac {3}{8}}\pi ab}
であり、曲線の弧長は
l = 4 ( a 2 + a b + b 2 ) a + b {\displaystyle l={\frac {4(a^{2}+ab+b^{2})}{a+b}}}
となる。