フレドホルムの交代定理
フレドホルム作用素に関する結果は、無限次元ベクトル空間、バナッハ空間に対して前述の結果を一般化するものである。
上記の積分方程式は、作用素の記法では以下のように定式化できる。(少々乱暴な書き方になるが)
T = λ − K {\displaystyle T=\lambda -K}
と書けば、
T ( x , y ) = λ δ ( x − y ) − K ( x , y ) {\displaystyle T(x,y)=\lambda \;\delta (x-y)-K(x,y)}
を意味するものとする。ここで δ(x − y) はシュヴァルツ超函数あるいはもっとほかの超函数として考えたディラックのデルタ函数である。畳み込みにより、T は函数からなるバナッハ空間 V に作用する線型作用素を誘導する。それも同じく T と書くことにすると、線型作用素
T : V → V ; φ ↦ ψ {\displaystyle T\colon V\to V;\;\phi \mapsto \psi }
は