計量経済学
1970年以降は、時系列分析・ミクロ計量経済学が流行である。時系列分析で、2003年のノーベル経済学賞は、単位根、共和分という概念を提唱したロバート・エングルとクライヴ・グレンジャーが受賞した。ミクロ計量経済学で、2000年のノーベル経済学賞は、離散選択(英語版)・Treatment effectの推定方法を提唱したダニエル・マクファデンとジェームズ・ヘックマンが受賞した。
計量経済学は、経済モデルの実証研究を行う学問であり、近代経済学の発展に大いに貢献してきた。現代ではマクロ経済分析にとどまらず、ミクロ経済学の分野である財政学や労働経済学などにおいても必要不可欠な分析手法となっている。特に最近ではマイクロデータの整備が進んできたこともあって、とりわけパネルデータや離散選択等を利用するミクロ計量経済学が盛んである。また、時系列分析は、金融工学という学問体系にまで発達を遂げた。ただ単に経済モデルの検定にとどまらず、工学分野への応用によって更に計量経済学を活かすことのできる可能性が広まっている。
実際の実証分析では、小標本理論よりも漸近理論が重視されており、推定量の一致性を確保することが大前提になっている。かつては、一致性の次には小標本特性や効率性を追求していたが、近年ではそれよりも仮説検定に関する一致性を重視している。今後、データが増えることが予想されるので、漸近理論を適用することの正当性が高まるという観測が、このような流れを生んだ一因と言える。
経済学者のディアドラ・N・マクロスキーは、ほとんどの計量経済学の教科書は統計的有意性と実体的重要性が異なるということを述べていない、有意性検定はそもそも尺度ではない、と指摘している。
ベイジアン計量経済学では、上述のベイズの定理を用いるだけでよい。問題はいかなる事前分布を用いればよいかという点にある。尤度は古典的計量分析における尤度関数と同じであるので、事後分布を導出するためには適切な事前分布を想定しなくてはならない。
事前分布には以下の2つが考えられている。
自然共役事前分布 (natural conjugate prior)
無情報事前分布 (non-informative prior)
しかしながら、以下のような場合は通常のt検定を用いることはできない。
Y i = β 1 + β 2 X 2 t + ε 1 t {\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}+\beta _{2}X_{2t}+\epsilon _{1t}} Y i = γ 1 + γ 2 Z 2 t + ε 2 t {\displaystyle Y_{i}=\gamma _{1}+\gamma _{2}Z_{2t}+\epsilon _{2t}}
この場合、互いに特殊形となっていない。これを非入れ子型という。非入れ子型の検定方法としては、古くはCox (1961)による分布族の比較による検定が提唱され、後にPesaran (1974)によって回帰分析への応用が可能となった。しかし、いずれも計算方法が煩雑であるという問題点があった。
そこでDavidson and MacKinnon (1981) がJ検定と呼ばれる検定統計量を開発し、現在では広く一般的に用いられている。これは通常のt検定を用いることが可能であるが、検定力が低いという欠点を持っている点は注意に値する。
説明変数を2つ以上にする場合を多重回帰または重回帰という。
推定量の導出
重回帰ではスカラー表示だと式が複雑になるので、生産的ではない。行列表示で理解できれば必要十分である。
真のモデルを行列表示で
y = X β + ε {\displaystyle y=X\beta +\varepsilon }
としたとき、OLS推定量は
β ^ = ( X ′ X ) − 1 ( X ′ y ) {\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\prime }X)^{-1}(X^{\prime }y)}
となる。
複数係数の有意性
多重回帰分析によって得られた複数の最小二乗推定量、すなわち係数の複数線形制約の棄却可否は、(分散不均一の場合でも)Wald検定(英語版)・LM検定・尤度比検定によって検定可能である。これら3つの検定統計量は、全て χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} 分布するものであり、漸近的に全く同じものである。分散均一性の仮定が満たされた下では、F分布上におけるF統計量の値によって可否を定めるF検定によって検定可能である。この場合のF統計量は、Wald検定統計量と1対1に対応する。
個別係数の有意性は、単回帰と同様にt検定で見ることができる。
多重共線性
重回帰分析では多重共線性(multi-colinearity)が生じるため、係数の検定ができなくなる。ただし、係数や共分散行列の推定量の一致性を損ねないため、漸近理論を重視する最近の計量では問題視されない。
ポストGMMとして、計量経済学の理論研究者の間で盛んに研究が行われている推定量。