ラーモア反磁性
= − ⟨ g | μ B ( l z + g s z ) H | g ⟩ + e 2 H 2 8 m c 2 ⟨ g | x 2 + y 2 | g ⟩ − ∑ e ≠ g | ⟨ e | μ B ( l z + g s z ) H | g ⟩ | 2 E e − E g {\displaystyle =-\langle g|\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H|g\rangle +{\frac {e^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}\langle g|x^{2}+y^{2}|g\rangle -\sum _{e\neq g}{\frac {{\bigl |}\langle e|\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H|g\rangle {\bigr |}^{2}}{E_{e}-E_{g}}}}
一項目は軌道角運動量とスピン演算子による磁気モーメント、三項目は軌道角運動量によるヴァン・ヴレック常磁性の項であり、二項目がラーモア反磁性の項である。希ガスやイオン芯などの閉殻では l = s = 0 {\displaystyle \mathbf {l} =\mathbf {s} =0} であるため、二項目のラーモア反磁性の項だけが残る。
ラーモアの定理による角周波数(ラーモア周波数)は以下である。
ω L = e B 2 m {\displaystyle \omega _{\mathrm {L} }={\frac {eB}{2m}}}
ここで e {\displaystyle e} は電子のもつ電荷、 B {\displaystyle B} は磁場、 m {\displaystyle m} は電子の質量である。
電子 Z {\displaystyle Z} 個がラーモア運動をすると、以下の円電流が流れているとみなせる。
I = − Z e ω L 2 π = − Z e 2 B 4 π m {\displaystyle I=-Ze{\frac {\omega _{\mathrm {L} }}{2\pi }}=-{\frac {Ze^{2}B}{4\pi m}}}
よって球対象な電荷分布の原子を考えると、原子番号 Z {\displaystyle Z} の原子(=電子 Z {\displaystyle Z} 個)が生み出す磁気モーメントは以下となる。
μ = I S = − Z e 2 B 4 π m π ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \mu =IS=-{\frac {Ze^{2}B}{4\pi m}}\pi \langle \rho ^{2}\rangle }
ここで ⟨ ρ 2 ⟩ = ⟨ x 2 ⟩ + ⟨ y 2 ⟩ {\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle } は B {\displaystyle B} に平行な原子核を貫く軸からの電子の円運動の平均二乗半径である。
磁化率を求めるにはまず二項目について、電子数 Z {\displaystyle Z} 個と電子の球対称性、原子の数 N {\displaystyle N} を用いて
E l a r m o r = N Z e 2 H 2 8 m c 2 ⟨ g | x 2 + y 2 | g ⟩ = N Z e 2 H 2 8 m c 2 2 3 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle E_{\rm {larmor}}={\frac {NZe^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}\langle g|x^{2}+y^{2}|g\rangle ={\frac {NZe^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}{2 \over 3}\langle r^{2}\rangle }
とし、このエネルギーを二階微分して
χ = − ∂ M ∂ H = − ∂ 2 E l a r m o r ∂ H 2 = − N Z e 2 6 m c 2 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \chi =-{\frac {\partial M}{\partial H}}=-{\frac {\partial ^{2}E_{\rm {larmor}}}{\partial H^{2}}}=-{\frac {NZe^{2}}{6mc^{2}}}\langle r^{2}\rangle }
となる。なお、 μ 0 = 1 / c 2 {\displaystyle \mu _{0}=1/c^{2}} である。