余代数
によって定めると ( M n ( K ) , Δ , ε ) {\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )} は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} を局所有限半順序集合とする。 T = { ( x , y ) ∈ P × P ∣ x ≤ y } {\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}} として V {\displaystyle V} を T {\displaystyle T} の元全体を基底として持つ K {\displaystyle K} -ベクトル空間とする。任意の ( x , y ) ∈ T {\displaystyle (x,y)\in T} に対して余積と余単位を
Δ ( x , y ) = ∑ x ≤ z ≤ y ( x , z ) ⊗ ( z , y ) , ε ( x , y ) = δ x , y {\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}
Δ ( c i ) = ∑ i = 0 n c i ⊗ c n − i , ε ( c i ) = δ 0 , n {\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}
で定めると、 ( H , Δ , ε ) {\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} は k {\displaystyle k} -余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
M n ( K ) {\displaystyle M_{n}(K)} を n 2 {\displaystyle n^{2}} 次元 K {\displaystyle K} -ベクトル空間、 { e i j } 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}} をその基底とする。余積と余単位を
Δ ( e i j ) = ∑ k e i k ⊗ e k j , ε ( e i j ) = δ i , j {\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}