第一基本形式
第一基本形式は、曲面の計量的な性質を完全に記述する。したがって、第一基本形式によって曲面上の曲線の長さや曲面上の領域の面積の計算ができるようになる。線素(line element)ds は、第一基本形式の係数を用いて次のように表すことができる。
古典的な面積要素 dA = |Xu × Xv| du dv は、ラグランジュの恒等式(Lagrange's identity)を補助的に使って、第一基本形式を用いて表すことができる。
微分幾何学における第一基本形式(英: first fundamental form)とは、 Rの標準内積から標準的に誘導される3次元ユークリッド空間中の曲面の接空間上の内積を言う。これにより全体空間(ambient space)と一致する方法で曲面の曲率や例えば長さと面積などの曲面の計量的性質を計算することができるようになる。第一基本形式は、ローマ数字の I で表示される。