軟化子
単位球 B 1 = { x : | x | < 1 } {\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}} の指示函数と、( ε = 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2} として (3) で定義される)滑らかな函数 φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} との畳み込みによって、函数
χ B 1 , 1 / 2 ( x ) = χ B 1 ∗ φ 1 / 2 ( x ) = ∫ R n χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y = ∫ B 1 / 2 χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y ( ∵ s u p p ( φ 1 / 2 ) = B 1 / 2 ) {\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})}