有界函数
実函数 f: R → R として正弦函数 f (x ) = sin x を定義するならば、これは有界である。一方、この函数をガウス平面全体で定義された複素函数と考えるならば、もはや有界でない。
−1 と 1 を除くすべての実数 x に対して定義される函数 f ( x ) = 1 x 2 − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}} は、非有界である。なぜならば、x が −1 あるいは 1 へと近付くにつれて、この函数の絶対値はいくらでも大きくなるからである。しかし、例えば定義域を [2, ∞) あるいは (−∞, -2] としたときは、この函数は有界となる。
すべての実数 x に対して定義される函数 f ( x ) = 1 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}} は、有界である。
f : [0,1] → R のような連続函数はすべて有界である。これは特殊な例であり、より一般的な次の事実が知られている:コンパクト空間から距離空間への連続関数はすべて有界である。
有理数の x に対しては 0 となり、無理数の x に対しては 1 となるような函数 f は、有界である。したがって、函数が有界であるためには必ずしもそれが「良い」ものでなくてもよい。[0,1] 上で定義されるすべての有界函数の集合は、その区間上で定義されるすべての連続函数の集合よりも、大きい。