コンウェイのチェーン表記
グラハム数 G {\displaystyle G} それ自体を、コンウェイのチェーン表記を用いて簡潔に表す事は出来ない。しかし、仲介させる関数を g ( n ) = 3 → 3 → n = 3 ↑↑ ⋯ ↑ ⏟ 3 n 本 の 矢 印 {\displaystyle g(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n={\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } 3\\{\text{n 本 の 矢 印}}\end{matrix}}} と定義することで G = g 64 ( 4 ) {\displaystyle G=g^{64}(4)} と表記できる。(写像の冪を参照。)又、 3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} である。
g 64 ( 1 ) {\displaystyle g^{64}(1)}
= 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 1 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))} (64組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ")
g は単調増加なので、
g 64 ( 1 ) < g 64 ( 4 ) < g 64 ( 27 ) {\displaystyle g^{64}(1)<g^{64}(4)<g^{64}(27)}
コンウェイのチェーン表記を用いれば上記の数よりも非常に大きい数を表記する事は、とても容易い。次にその例を記す。
3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}
= 3 → 3 → ( 3 → 3 → 27 → 2 ) → 2 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}
= g 3 → 3 → 27 → 2 ( 1 ) {\displaystyle =g^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)}
= g g 27 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle =g^{g^{27}(1)}(1)}