ソボレフ空間
W(D) のノルムにはいくつかの選択肢があるが、次のふたつ
‖ f ‖ W k , p = { ( ∑ | α | ≤ k ‖ f ( α ) ‖ L p p ) 1 / p ( 1 ≤ p < + ∞ ) ∑ | α | ≤ k ‖ f ( α ) ‖ L ∞ ( p = + ∞ ) {\displaystyle \|f\|_{W^{k,p}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\!\!\!1/p}&(1\leq p<+\infty )\\[24pt]\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{\infty }}&(p=+\infty )\end{cases}}}
および
‖ f ‖ W k , p ′ = { ∑ | α | ≤ k ‖ f ( α ) ‖ L p ( 1 ≤ p < + ∞ ) ∑ | α | ≤ k ‖ f ( α ) ‖ L ∞ ( p = + ∞ ) {\displaystyle \|f\|'_{W^{k,p}}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}&(1\leq p<+\infty )\\[20pt]\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{\infty }}&(p=+\infty )\end{cases}}}
たとえば W が連続函数のみを含むというようなことは、高次元ではもはや正しくない。例えば、1/|x| は W(B) に属す(B は三次元単位球体)。k > n/p に対する空間 W(D) は連続函数のみを含むが、このような k はこの時点で既に p と次元 n の両方に依存する。例えば球面極座標を用いて簡単に確認できることだが、n-次元球体上定義される函数 f: B → R ∪ {+∞}
f ( x ) = 1 | x | α {\displaystyle f(x)={\frac {1}{|x|^{\alpha }}}}
が W(B) に属することと
α < n p − k {\displaystyle \alpha <{\frac {n}{p}}-k}
となることは同値である。直観的にはより高次元における単位球体は「より小さい」ため、f の 0 における爆発は n が大きいとき「無視できる」ということである。