発散 (ベクトル解析)
( div  F ) p := lim Ω → { p } 1 vol  ( Ω ) ∮ bd  ( Ω ) ( F ⋅ n ) d S {\displaystyle (\operatorname {div} {\boldsymbol {F}})_{p}:=\lim _{\Omega \to \{p\}}{\frac {1}{\operatorname {vol} (\Omega )}}\oint _{\operatorname {bd} (\Omega )}({\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {n}})\,dS}
となる。積分は境界面に直交する外向きの単位法ベクトル場 n を伴う面積分である。各点において div F が得られて、これは点 p の函数である。定義から明らかなように、div F が F の流束の流出密度(発散密度)であることが分かる。
物理的な解釈から見れば、あらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場は非圧縮性 (incompressible) あるいは管状 (solenoidal) であるといい、この場合任意の閉曲面に対してそれと交わる正味の流れは存在しない。
直感的に、全ての湧出量の和から全ての排出量の和を引けば領域から流れ出る正味の流れがわかるだろうと想像できる。これを精緻化したものが発散定理である。
以下の性質は、通常の微分積分学における常微分の微分法則から導かれる。最も重要なことは、発散作用素が線型作用素となること、つまり、
div  ( a F + b G ) = a div  ( F ) + b div  ( G ) {\displaystyle \operatorname {div} (a{\boldsymbol {F}}+b{\boldsymbol {G}})=a\operatorname {div} ({\boldsymbol {F}})+b\operatorname {div} ({\boldsymbol {G}})}
が任意のベクトル場 F, G と任意の実数 a, b に対して成立することである。
積の微分法則は以下の形で成立する。φ はスカラー場、F はベクトル場として、
div  ( φ F ) = ( grad  φ ) ⋅ F + φ ( div  F ) {\displaystyle \operatorname {div} (\varphi {\boldsymbol {F}})=(\operatorname {grad} \varphi )\cdot {\boldsymbol {F}}+\varphi (\operatorname {div} {\boldsymbol {F}})}
∇ を用いた記法であれば、
∇ ⋅ ( φ F ) = ( ∇ φ ) ⋅ F + φ ( ∇ ⋅ F ) {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi {\boldsymbol {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\boldsymbol {F}}+\varphi (\nabla \cdot {\boldsymbol {F}})}
div  ( X ) = ∇ ⋅ X = X a a {\displaystyle \operatorname {div} (X)=\nabla \cdot X={X^{a}}_{a}}
が成り立つ。真ん中は 1-形式値のベクトル場 ∇X とそれ自身との縮約であり、一番右は物理学者が使う従来の座標表示である(アインシュタインの和の規約)。
発散をテンソルに対しても一般化することができる。アインシュタインの和の規約に従って、反変ベクトル F の発散は、
∇ ⋅ F = ∇ μ F μ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {F}}=\nabla _{\mu }F^{\mu }}
で与えられる。ここで ∇μ は共変微分である。同じことだが、文献によっては任意の混合テンソルの発散を、添字を上げる同型 “♯” を用いて
T が (p, q)-テンソル(p-階反変かつ q-階共変)ならば、T の発散は ( div  T ) ( Y 1 , ... , Y q − 1 ) = trace  ( X ↦ ♯ ( ∇ T ) ( X , ⋅ , Y 1 , ... , Y q − 1 ) ) {\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\dotsc ,Y_{q-1})=\operatorname {trace} {\bigl (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\dotsc ,Y_{q-1}){\bigr )}} を満たす (p, q − 1)-テンソル、即ち最初の二つの共変添字上の共変微分のトレースである。
と定めるものもある。
R 内の少なくとも二回連続的微分可能な定常流束 v(r) が十分遠く (r → ∞) で消えているならば、v(r) は無回転成分 (irrotational part) E(r) と無発散成分 (source-free part) B(r) に分解される。さらに、 これらの成分は「湧出密度」(上述)と「循環密度」(回転の項を参照)から明示的に決定される。即ち、無回転成分は
E = − ∇ Φ ( r ) , Φ ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ div  v ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \Phi ({\boldsymbol {r}}),\quad \Phi ({\boldsymbol {r}})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'\,{\frac {\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}