リー代数
g > [ g , g ] > [ [ g , g ] , g ] > [ [ [ g , g ] , g ] , g ] > ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }
が有限回でゼロに達することを言う。エンゲルの定理により、リー代数が冪零であることと、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 u に対し、随伴自己準同型
ad  ( u ) : g → g , ad  ( u ) v = [ u , v ] {\displaystyle \operatorname {ad} (u)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}
が冪零であることは同値である。
さらにより一般的なものとして、リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が可解 (solvable) であるとは、導来列
ベクトル空間 V が与えられたとして、 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} で V の全ての線型自己準同型からなる結合代数から生じるリー代数を表すとする。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の V 上の表現 (representation) とは、リー代数の準同型
π : g → g l ( V ) {\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
である。
表現は、核が自明のときに、忠実 (faithful) であるという。全ての有限次元リー代数はある有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持っている(アドの定理(英語版))。
例えば、 ad  ( x ) ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]} により与えられる
ad : g → g l ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
は、随伴表現と呼ばれる、ベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現である。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} (実は任意の非結合的代数でもよい)の上の微分(英語版)とは、ライプニッツ則、すなわち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のすべての元 x, y に対して
無限次元実リー代数の重要なクラスは、微分トポロジーで生じる。可微分多様体 M 上の滑らかなベクトル場の空間はリー代数をなす。ここでリーブラケットはベクトル場の交換子として定義される。リーブラケットを表現する1つの方法は、リー微分の形式化によるものである。ベクトル場 X を滑らかな関数上に作用する一階の偏微分作用素 LX と次のようにして同一視する、すなわち LX(f) を関数 f の X の方向の方向微分とする。2つのベクトル場のリーブラケット [X, Y] は次の式による関数へのその作用を通じて定義されるベクトル場である:
L [ X , Y ] f = L X ( L Y f ) − L Y ( L X f ) . {\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}
カッツ・ムーディ代数は無限次元リー代数の例である。
モーヤル代数(英語版)は、すべての古典型リー代数(英語版)を部分代数として含む無限次元リー代数である。