場の古典論
経路 l に沿って流れる固定したカレント I は、上記の電場の力とは異なる量の力を近くの帯電した粒子に及ぼす。速度 v で運動する電荷 q を持つ近くの帯電粒子に I の及ぼす力は、
F ( r ) = q v × B ( r ) , {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}
である。ここに B(r) は磁場であり、ビオ・サバールの法則
B ( r ) = μ 0 I 4 π ∫ d l × d r ^ r 2 . {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}
により I より決定される。磁場は一般には保存量の場ではないので、スカラーポテンシャルで書き表すことが普通はできない。しかしながら、磁場のベクトルポテンシャル(英語版)(magnetic vector potential) A(r)を使い、
B ( r ) = ∇ × A ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}
と書き表すことができる。
ニュートン重力が特殊相対論と整合性がないことが判明した後、アルベルト・アインシュタイン(Albert Einstein)は一般相対論と呼ばれる重力の新しい理論を定式化した。この理論は、重力を質量により時空が歪められるという幾何学的現象として扱い、重力場を数学的には計量テンソルと呼ばれるテンソル場により表現している。アインシュタインの場の方程式は、この曲率がどのように生成されるかを記述している。場の方程式はアインシュタイン・ヒルベルト作用を使い導出される。 R = R a b g a b {\displaystyle R\,=R_{ab}g^{ab}} をリッチテンソル R a b {\displaystyle \,R_{ab}} と計量テンソル g a b {\displaystyle \,g_{ab}} の項で書き下したリッチスカラー曲率とすると、ラグラジアン
L = R − g {\displaystyle {\mathcal {L}}=\,R{\sqrt {-g}}} ,
を変分することは、真空の場の方程式
G a b = 0 {\displaystyle G_{ab}\,=0}
を導出することを意味する。ここに、 G a b = R a b − R 2 g a b {\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}} はアインシュタインテンソルである。