古典電磁気学の共変定式
古典電磁気学の共変定式(こてんでんじきがくのきょうへんていしき)は、古典電磁気学の法則(特にマクスウェル方程式とローレンツ力)をローレンツ変換のもとで明白に不変な形で、ユークリッド座標系の慣性系を使った特殊相対論の形式で書く方法を指す。これらの表現はともに古典電磁気学の法則がどの慣性座標系でも同じ形をとるということを証明するのを容易にし、場と力をある基準系から別の基準系へ変換する方法を提供してくれる。曲がった時空の場合や非ユークリッド座標系の場合はここでは対象外とする(曲がった時空の場合は 曲がった時空のマクスウェル方程式(英語版) を参照)。
この記事はテンソルの古典的扱いとアインシュタインの縮約記法をいたるところで使っており、ミンコフスキー計量はdiag (-1, +1, +1, +1)という形式を取る。方程式が真空中で成り立つものと明示されている場合、代わりに(分極電荷や磁化電流を含む)総電荷・総電流に関するマクスウェル方程式の定式化と見てもよい(参照: マクスウェルの方程式#一般の媒質中)。
共変形式での定式化の様々な概念的な意味を含む、古典電磁気学と特殊相対論の間の関係のより一般的な概要については古典電磁気学と特殊相対性理論(英語版)を参照。
電磁場の作用汎関数から運動方程式として
D ν G ν μ ( x ) = − 1 c J μ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\nu }G^{\nu \mu }(x)=-{\frac {1}{c}}J^{\mu }(x)}
が導かれた。 方程式はマクスウェル方程式のうち、ソースとの結合を表すガウスの法則とマクスウェルにより変位電流が追加されたアンペールの法則である。
残りの式は電磁場強度 F の定義式から導かれるビアンキ恒等式
∂ ρ F μ ν + ∂ μ F ν ρ + ∂ ν F ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0}
が成り立つ。 双対テンソルを用いれば
∂ μ F ~ μ ν = 1 2 ε μ ν ρ σ ∂ μ F ρ σ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\mu }F_{\rho \sigma }=0}
と表すことも出来る。磁気に対するガウスの法則とファラデーの電磁誘導の法則である。
自由空間において荷電粒子と相互作用する電磁場の作用汎関数は粒子と電磁場の運動項、および相互作用項の和で
S [ X , A ] = S X [ X ] + S A [ A ] + S int [ X , A ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[X,A]={\mathcal {S}}_{X}[X]+{\mathcal {S}}_{A}[A]+{\mathcal {S}}_{\text{int}}[X,A]}
と書かれる。
相互作用項はどのような粒子であるかによって具体的な形が変わるが、粒子のふるまいを4元電流密度 J で表すことで、電磁場と粒子の相互作用項は
S int [ X , A ] = 1 c ∫ J μ A μ ( x ) − g d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\text{int}}[X,A]={\frac {1}{c}}\int J^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
相対論では、ニュートン論的位置 x と、時間軸上の位置すなわち時刻 t とを合わせた4元ベクトル
x μ = ( c t , x ) = ( c t , x , y , z ) {\displaystyle x^{\mu }=(ct,{\boldsymbol {x}})=(ct,x,y,z)}
で位置を記す。
時空上のスカラー場 ψ に対する勾配は、時間変動と空間勾配と合わせて
∂ μ ψ ( x ) = ∂ ψ ∂ x μ = ( 1 c ∂ ψ ∂ t , ∇ ψ ) {\displaystyle \partial _{\mu }\psi (x)={\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}},\nabla \psi \right)}
とする。
平坦な時空においてダランベール演算子は
∂ μ ∂ μ ψ ( x ) = − 1 c 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 + △ ψ {\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\triangle \psi }
と表される。
媒質の自己相互作用の具体的な形は媒質の性質に依存するが、一様等方的な線形媒質の場合は二次形式だけを残して
L P ( P ) = 1 4 χ P μ ν P μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}(P)={\frac {1}{4\chi }}P^{\mu \nu }P_{\mu \nu }}
となる。理論に微分を含まないので、分極テンソルは力学変数ではなく補助場である。拘束条件として
P μ ν = χ F μ ν {\displaystyle P_{\mu \nu }=\chi F_{\mu \nu }}
が導かれる。