幾何学的トポロジー
グルックのツイスト(英語版)(Gluck twist)を参照。
この差異の理由は、次元 5 とそれ以上の次元では手術理論(英語版)が働くので(実際、手術理論は次元 4 ではトポロジカルには働くが、その証明は非常に複雑である)、従って、5次元、あるいはそれ以上の次元での多様体の振る舞いは、手術理論により代数的に制御される。4次元とそれ以下の次元(位相的には 3次元とそれ以下の次元)では、手術理論は働かず、別の現象が発生する。実際、低次元多様体を議論するひとつのアプローチは、「手術理論が正しいと予想できるものが、働くであろうか?」と問い、そして、それからの差として低次元の現象を理解することである。
次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理(英語版)(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。より正確には、はめ込みの自己交叉を削除できる。このことは円板のホモトピーを通して行われる。