ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
元のホテルの客を(n + n)/2(すなわちn番目の三角数)号室に移動する。バスの団体客を[(c + n - 1) + (c + n - 1)]/2 + n(すなわち(c + n - 1)番目の三角数 + n)号室に泊める。これですべての客室が重複なく埋まる。
この対関数は、ホテルを1部屋分の奥行きがある無限に高いピラミッドとして構造化することでイメージできる。ピラミッドの最上段に1号室があり、次の段に2号室と3号室があり、以下同様に続く。右端の客室の集合からなる列が三角数号室に対応する。それらの客室が(元のホテルの客が移動して)埋まると、空になった部屋は元の形と厳密に等しいピラミッドの形になる。よって、この手順を各無限集合(バス)ごとに繰り返すことができる。これを1台ずつ行うには無限のステップ数が必要になるが、事前の計算式を用いることで、手順の中で自分のバスの順番が来た時点で乗客は自分の部屋が何番に「なる」か決定でき、ただちにそこに行くことができるようになる。
無限人の客が有限回入れ子になっている場合は部屋を作れるが、各階層の客が有限人だったとしても無限回入れ子になっている場合は常にそうとは限らない(客が3.271260067...のように無理数でコーディングされる場合その集合は非可算になり得る)。