ベルトラン・ダルブーの定理
H = 1 2 ξ p ξ 2 + η p η 2 ξ + η + U 1 ( ξ ) + U 2 ( η ) ξ + η {\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {\xi p_{\xi }^{2}+\eta p_{\eta }^{2}}{\xi +\eta }}+{\frac {U_{1}(\xi )+U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}}
という形を取り、独立な積分としては
Φ = 1 2 ξ η ( p ξ 2 − p η 2 ) ξ + η + η U 1 ( ξ ) − ξ U 2 ( η ) ξ + η {\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\xi \eta (p_{\xi }^{2}-p_{\eta }^{2})}{\xi +\eta }}+{\frac {\eta U_{1}(\xi )-\xi U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}}
が取れる。このような系の例としては、一様な外力場のもとでのケプラー問題がある(対応する量子系はシュタルク効果により知られている)。
本節では4つの分離座標およびそれぞれの場合に変数分離可能なハミルトニアンとその積分について述べる。