有限生成加群
以下の条件は M が有限生成 (f.g.) であることと同値である。
M の部分加群の任意の族 {Ni | i ∈ I} に対して、 ∑ i ∈ I N i = M {\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,} であれば、I のある有限部分集合 F に対して、 ∑ i ∈ F N i = M {\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,} である。
M の部分加群 {Ni | i ∈ I} の任意の鎖に対して、 ⋃ i ∈ I N i = M {\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,} であれば、ある I の元 i に対して Ni = M である。
φ : ⨁ i ∈ I R → M {\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,} が全射であれば、I のある有限部分集合 F に対して制限 φ : ⨁ i ∈ F R → M {\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,} は全射である。
これらの条件から、有限生成であることが森田同値によって保たれる性質であることを見るのは易しい。また、これらの条件は双対概念である有限余生成加群 (finitely cogenerated module) M を定義するのにも便利である。以下の条件は加群が有限余生成 (f.cog.