複素線積分
の場合を図示したものである。まず、
I = 1 4 ∫ 0 2 π 1 1 + sin  ( t ) 2 d t . {\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt.}
と変形して、変数変換をすると
1 4 ∮ | z | = 1 4 i z z 4 − 6 z 2 + 1 d z = ∮ | z | = 1 i z z 4 − 6 z 2 + 1 d z {\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz}
となる。被積分関数の極は 1 ± √2 と −1 ± √2 である。これらのうち 1 + √2 と −1 −√2 は単位円板の外側にあり(赤い点で示した。縮尺は正確ではない)、一方 1 − √2 と −1 + √2 は単位円板の内側にある(青い点で示した)。
対応する留数はいずれも −i√2/16 だから、求める積分値は
I = 2 π i 2 ( − 2 16 i ) = π 2 4 {\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}}
となる。
次の積分を計算したい。
I = ∫ 0 3 x 3 4 ( 3 − x ) 1 4 5 − x d x . {\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}
これには、関数
f ( z ) = z 3 4 ( 3 − z ) 1 4 . {\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}
の精密な分析が必要である。f(z) を、分岐切断が図に赤で示したように [0, 3] となるよう構成する。これをするため、2つの対数関数を、枝がそれぞれ
z 3 4 = exp  ( 3 4 log  ( z ) ) where − π ≤ arg  ( z ) < π {\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log(z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad -\pi \leq \arg(z)<\pi }
( 3 − z ) 1 4 = exp  ( 1 4 log  ( 3 − z ) ) where 0 ≤ arg  ( 3 − z ) < 2 π {\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad 0\leq \arg(3-z)<2\pi }
となるよう選ぶ。
z = −2 と z = −4 は大円が囲む内部にあることに注意する。被積分関数の分母を因数分解すれば、これらが2個の極だとがわかる。分岐点は z = 0 だが、これは原点を迂回したことによって避けられている。
γ を半径 ε の小円、Γ を半径 R の大円とする。このとき積分路は
∫ C = ∫ ε R + ∫ Γ + ∫ R ε + ∫ γ {\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }}
と分解できる。
Γ と γ に沿う積分は、先に行ったのと同様の議論で ε → 0, R → ∞ のときにいずれも 0 に収束することが示せて、積分は2項のみが残る。ここで z = e であり、分岐切断の外側で γ に沿って動くとき、偏角は 2π だけ変わる。よって
∫ R ε z z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 L o g ( z ) z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 ( log  | z | + i arg  z ) z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 log  | z | e ( 1 / 2 ) ( 2 π i ) z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 log  | z | e π i z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε − z z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ ε R z z 2 + 6 z + 8 d z .
r 3 4 exp  ( 0 π i 4 ) ( 3 − r ) 1 4 exp  ( 0 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 − r ) 1 4 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}
となる。これらより
f ( z ) 5 − z {\displaystyle {\frac {f(z)}{5-z}}}
の積分は、線分の上側を通るとき極限では −iI となり、下側を通るとき極限では I となることがわかる。
2個の緑色の円周上の積分が極限では消えることを示せれば、留数定理によって I の値も得られる。緑色の円周の半径を ρ とし、ρ < 1/1000 を満たしつつ ρ → 0 と向かう状況を考える。
ML不等式を左側の円周 CL に適用すると、
| ∫ C L f ( z ) 5 − z d z | ≤ 2 π ρ ρ 3 4 ( 3 + 1 1000 ) 1 4 5 − 1 1000 ∈ O ( ρ 7 4 ) → 0 {\displaystyle \left|\int _{C_{L}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {1}{4}}}{5-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0}
が得られる。同様に、右側の円周 CR に適用すると、