ラプラス変換
ラプラス変換は、関数 f (t) にいったん eθ(t) を乗じてからフーリエ変換する操作であると考えることができる(ここで θ(t) はステップ関数である)。
F ( s ) := F ( σ , ω ) = ∫ − ∞ ∞ θ ( t ) f ( t ) e − σ t e − i ω t d t = = s = σ + i ω ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F(s):=F(\sigma ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\theta (t)f(t)\mathrm {e} ^{-\sigma t}\mathrm {e} ^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t{\overset {s=\sigma +i\omega }{=\!=}}\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t}