パラメトリック方程式
このように曲線を表現することは実用的であり、効率的である。例えば、そのような曲線を項ごとに積分・微分できる。したがって、媒介変数表示された経路を通る粒子があるとき、その速度は次のように表せる。
v ( t ) = r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) = ( − a sin  ( t ) , a cos  ( t ) , b ) {\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,}
さらに加速度は次のようになる。
a ( t ) = r ′′ ( t ) = ( x ′′ ( t ) , y ′′ ( t ) , z ′′ ( t ) ) = ( − a cos  ( t ) , − a sin  ( t ) , 0 ) {\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,}
一般にパラメトリック曲線は(通常 t で表される)1つの独立媒介変数の関数である。2つ(以上)の独立媒介変数に対応した同様の概念はパラメトリック曲面と呼ぶ。