Ext関手
Ext関手を理解するもう一つの非常に有用な方法は以下の通りである: ExtnR(A, B) = 0 の要素を、A の射影分解 P* に対し、写像 f: Pn → B の同値類と考えると、B で終わる長完全系列 Q* を得て、次数 -n の鎖写像 f*: P* → Q* へ、加群 Pm の射影性を使い写像 f を持ち上げる(lift)ことができる。そのような鎖写像のホモトピー類は、正確に上記の Ext関手の定義の同値類に対応することが分かる。
たとえば環 R が体 k や、k-代数(algebra)の上の群環のような、十分に良い条件下では、Ext*R(k, k) に環の構造を入れることができる。積は同値な非常に多くの解釈を持ち、この解釈は Ext*R(k, k) の元の様々な解釈に対応している。
ひとつの解釈として、鎖写像のこれらのホモトピー類の項として解釈がある。従って、2つの元の積は、対応する表現の成分により表現される。すると、k の分解をひとつ選ぶだけで、すべての計算が HomR(P*,P*) の中でできるようになり、これがまさに ExtR(k,k) をコホモロジーとしてもつ微分次数付き環である。
をとると、拡大
0 → B → Y → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0}
が得られる。ここに第一の → は b ↦ [ ( f ( b ) , 0 ) ] = [ ( 0 , f ′ ( b ) ) ] {\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]} で、第二の → は ( e , e ′ ) ↦ g ( e ) = g ′ ( e ′ ) {\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')} であるので、E と E' の拡大のベール和と呼ばれる和が得られる。
拡大による同値類を同一視すると、ベール和は可換であり、自明な拡大を恒等元として持っている。拡大 0 → B → E → A → 0 は、射 g を -g に置き換えること反対の eg であり、真ん中の矢の逆にした拡大と同じである。
拡大の同値類を同一視した集合はアーベル群であり、関手 E x t R 1 ( A , B ) {\displaystyle Ext_{R}^{1}(A,B)} を実現している。