J-不変量
λ をモジュララムダ函数(英語版)(modular lambda function)とし、x = λ(1−λ) と置くと
j ( τ ) = 256 ( 1 − x ) 3 x 2 {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}}
を得る。
λ ( τ ) = θ 2 4 ( 0 , τ ) θ 3 4 ( 0 , τ ) = k 2 ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}
は、ヤコビのテータ函数 θ m {\displaystyle \theta _{m}} の比率であり、楕円モジュラス k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} の二乗である。 λ が次の非調和比(cross-ratio)の 6つの値で入れ替わるときは、j の値は不変である。
{ λ , 1 1 − λ , λ − 1 λ , 1 λ , λ λ − 1 , 1 − λ } . {\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace .}
j の分岐点は {0, 1, ∞} であるので、ベリイ函数(英語版)(Belyi function)である。
2つの変換 τ → τ + 1 と τ → -τ はモジュラ群と呼ばれる群を生成し、この群は射影特殊線型群 PSL(2, Z) と同一視できる。この群に属する適当な変換
τ ↦ a τ + b c τ + d , a d − b c = 1 , {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}
を選択することにより、τ を j の基本領域(英語版)(fundamental region)内にあり j に対して同じ値をとる、ある値に帰着させることができる。基本領域は次の条件を満たす τ から構成されている。
| τ | ≥ 1 − 1 2 < R ( τ ) ≤ 1 2 − 1 2 < R ( τ ) < 0 ⇒ | τ | > 1 .