スイングバイ
これらを計算すると、惑星の公転半径と公転速度の変化は、宇宙機の得たエネルギー E ( = 1 2 m 3 v 3 o u t 2 − 1 2 m 3 v 3 i n 2 ) {\displaystyle E\left(={\frac {1}{2}}m_{3}v_{\rm {3out}}^{2}-{\frac {1}{2}}m_{3}v_{\rm {3in}}^{2}\right)} を用いて、次のように表されることが分かる。
Δ r 2 = r 2 o u t − r 2 i n ≃ − 2 r 2 i n 2 E G m 1 m 2 {\displaystyle \Delta r_{2}=r_{\rm {2out}}-r_{\rm {2in}}\simeq -2{\frac {r_{\rm {2in}}^{2}E}{Gm_{1}m_{2}}}}
Δ v 2 = v 2 o u t − v 2 i n ≃ E m 2 v 2 i n {\displaystyle \Delta v_{2}=v_{\rm {2out}}-v_{\rm {2in}}\simeq {\frac {E}{m_{2}v_{\rm {2in}}}}}
つまり、スイングバイで宇宙機の運動エネルギーが増える(加速する)場合、惑星の公転半径は小さくなり、惑星の公転速度は速くなる。そうはいっても、非常にわずかな変化であり、ほとんど無視できる量である。
太陽系の惑星で宇宙機がスイングバイをする場合を考える。まずは惑星と宇宙機のみで考えよう。
宇宙機が目標とする惑星に近づくと、惑星の重力により引き寄せられ徐々に加速する。惑星近辺を通りすぎる際に速度が最大になり、宇宙機の軌道は「く」の字型に折れ曲がったものになる。その後、惑星から遠ざかる時には、惑星の重力が引き戻す力として働くために宇宙機は減速する。
このように、宇宙機が惑星に接近し離れていく過程で、宇宙機の速度は時間とともに変化するが、もし、惑星が運動していないならば、宇宙機が惑星の重力圏に進入する時の増速と離脱する時の減速とは相殺することになる。すなわち、スイングバイによって、運動方向は変わるが、速さは変わらない結果となる。
逆に、惑星の公転方向の前方を通る場合、宇宙機は惑星の公転と逆の方向へと向きを変え、公転速度の分が減った速度になる。