ケルビン・ストークスの定理
本節では、以下の等式を示す。
∫∫ S ∇ × F d S = ∫∫ D ( ∂ P 2 ∂ u − ∂ P 1 ∂ v ) d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
上式は、主定理の右辺を、グリーンの定理に帰着する過程に他ならない。
まず、 ∂ P 1 ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}} , ∂ P 2 ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}} を内積の微分を考慮して計算する。計算過程は以下に示すとおりである。
以降、 ⊕ は、jointを意味し、記号 ⊖ {\displaystyle \ominus } は、backwards を意味するものとする。
D := [0, 1] × [0, 1] とする。Dへの平面曲線(バウンダリ)を、以下のように定義する。
{ γ 1 : [ 0 , 1 ] → D γ 1 ( t ) := ( t , 0 ) , { γ 2 : [ 0 , 1 ] → D γ 2 ( s ) := ( 1 , s ) { γ 3 : [ 0 , 1 ] → D γ 3 ( t ) := ( − t + 0 + 1 , 1 ) , { γ 4 : [ 0 , 1 ] → D γ 4 ( s ) := ( 0 , 1 − s ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\gamma _{1}:[0,1]\to D\\\gamma _{1}(t):=(t,0)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{2}:[0,1]\to D\\\gamma _{2}(s):=(1,s)\end{cases}}\\{\begin{cases}\gamma _{3}:[0,1]\to D\\\gamma _{3}(t):=(-t+0+1,1)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{4}:[0,1]\to D\\\gamma _{4}(s):=(0,1-s)\end{cases}}\end{aligned}}}
⟨ ( ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) ) | ∂ ψ ∂ u ( u , v ) × ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ⟩ = det [ ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) ) ∂ ψ ∂ u ( u , v ) ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ] {\displaystyle \left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle =\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))&{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\\\end{bmatrix}}}
従って、以下の等式が成り立つ。
∫∫ S ( ∇ × F ) d S = ∫∫ D ( ∂ P 2 ∂ u − ∂ P 1 ∂ v ) d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
さらに、内積の多重線形性を考慮すると、