リッチフロー
である。ここに、 Δ = D x 2 + D y 2 {\displaystyle \Delta ={D_{x}}^{2}+{D_{y}}^{2}} は通常のユークリッド平面上のラプラシアンである。読者は、熱方程式はもちろん線型偏微分方程式であるが、リッチフローを定義している偏微分方程式の中では非線型性ではなかったのか?ということに気づくかも知れない。
この疑問への答えは、計量を定義することに使った函数 p にラプラス・ベルトラミ作用素が依存しているので、非線型性となるが答えとなる。しかし、p(x, y) = 0 とすることにより、平坦なユークリッド平面が与えられることに注意する。p の大きさが充分に小さいとき、これを平坦な平面の幾何学からの小さな偏りと定義することができ、指数を計算するとき一次の項のみ分かっていれば、リッチフローはほぼ平坦な 2次元リーマン多様体上の 2次元の熱方程式となる。この計算は、まさに(熱方程式に従い)熱い部分の異常な熱分布は、時間の経過とともにより他と等しくなる傾向を持つので、(リッチフローに従っても)無限の平坦なプレート上で「無限遠点」へ熱を運びさることができるのと同じ方法で、ほぼ平坦なリーマン多様体は熱を平準化する傾向を持っている。一方、熱いプレートは有限の大きさであるので、熱を運び去ることを止める境界を持たない。よって、温度を「等質化する」ことが期待できるが、温度を 0 とすることは期待できない。同様に、リッチフローを歪んだ球体へ適用すると、時間の経過とともに幾何学を平らにする傾向を持つが、平坦なユークリッド幾何学へ変えてしまうようなことはない。
リチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) が1981年にリッチフローを導入した目的は、滑らかな 3次元多様体の位相分類に関連したウィリアム・サーストンの幾何化予想への見方を与えるためであった。ハミルトンのアイデアは、計量の中で滑らかでない特異な性質を持つ傾向にある非線形拡散方程式の一種を定義することにあった。したがって、与えられた多様体 M 上の任意の計量 g を置き換え、リッチフローによって計量を発展させることは、計量がある特別な良い性質を持つ計量に近づかねばならない。この計量は M の標準的な形(英語版) (canonical form) を構成するかも知れない。適当な標準的な形は既にサーストンにより特定されていて、サーストンの幾何学的モデル (Thurston model geometries) と呼ばれている。モデルには、3次元球面 S、3次元ユークリッド空間 E、3次元双曲空間 H という等質的で等長な 3つのモデルと、5つの等質的ではあるが等長性を持たない異種リーマン多様体がある。(これは 3-次元実リー代数の 9つのクラスへの分類であるビアンキ分類と密接に関連しているが同一ではない。