Z変換
フーリエ変換のように畳み込み定理が成り立ち、畳み込みはZ変換によって積となる。
Z [ x n ∗ y n ] = Z [ x n ] Z [ y n ] {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n}*y_{n}]={\mathcal {Z}}[x_{n}]{\mathcal {Z}}[y_{n}]}
Z変換の逆変換である逆Z変換(inverse Z-transform)は次のようになる:
x n = Z − 1 [ X ( z ) ] = 1 2 π i ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x_{n}={\mathcal {Z}}^{-1}[X(z)]={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\,dz}
ここでiは虚数単位で積分路CはX(z)の極を全て含むような閉路である。
なおこの式は留数定理を用いて留数の和として計算することができる。しかし、手計算で計算するときは以下の方法がよく使われる:
X(z)が既に級数展開されている場合、zの係数をxkの値とすることで簡単に逆変換ができる。例えば、z+2-3zの逆変換は { ..., 0, x-1=1,x0=2,x1=-3, 0, ...} のように係数をならべるだけで得られる。
X(z)を部分分数分解し、各々の部分分数を変換表を用いて逆変換したものの和として逆変換を得る。
いずれにせよ、定義に示した積分計算そのものを直接計算することは稀である。