超球面
ただし、ある k に対して x k ≠ 0 {\displaystyle x_{k}\neq 0} であるが x k + 1 , ... , x n {\displaystyle x_{k+1},\ldots ,x_{n}} がすべて 0 であれば、 x k > 0 {\displaystyle x_{k}>0} のとき φ k = 0 {\displaystyle \phi _{k}=0} であり、 x k < 0 {\displaystyle x_{k}<0} のとき φ k = π {\displaystyle \phi _{k}=\pi } ラジアン(180度)である。
逆変換が一意でない特別な場合がある; x k , x k + 1 , ... , x n {\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots ,x_{n}} がすべて 0 であるときにはいつでも、任意の k に対して φ k {\displaystyle \phi _{k}} は ambiguous になる; この場合 φ k {\displaystyle \phi _{k}} は 0 と選ぶことができる。
3 次元ユークリッド空間に対して定義される球面座標系に類する座標系を n 次元ユークリッド空間において定義できる。座標は動径座標 r と n − 1 個の偏角座標 φ 1 , φ 2 , ... , φ n − 1 {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n-1}\,} からなる、ただし φ n − 1 {\displaystyle \phi _{n-1}\,} は [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )\,} ラジアン(あるいは [0, 360) 度)の範囲を動き、他の角度は [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]\,} ラジアン(あるいは [0, 180] 度)の範囲を動く。 x i {\displaystyle \ x_{i}} が直交座標であれば、 x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} を r , φ 1 , ... , φ n − 1 {\displaystyle r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-1}} から次によって計算できる:
数学において、n 次元球面(n-じげんきゅうめん、英: n-sphere, n 球面)は普通の球面の n 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は
S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = r } {\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=r\}}
によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。
特に:
零次元球面は二点、すなわち直線内の(一次元の対象である)線分の零次元の対象である端点の対、
一次元球面は円、すなわち平面内の(二次元の対象である)円板の一次元の対象である円周、