分解 (ホモロジー代数)
アーベル圏 A の対象 M の分解の定義は上と同じであるが、Ei と C は A の対象であり、すべての写像は A の射である。
射影加群と単射加群の類似の概念は射影的対象と単射的対象であり、したがって、射影分解と単射分解が定義される。しかしながら、そのような分解は一般のアーベル圏 A において存在するとは限らない。A のすべての対象が射影(resp。 単射)分解をもつとき、A は十分射影的(resp。 十分入射的)であるという。それらが存在するときでさえ、そのような分解はしばしば扱うのが難しい。例えば、上で指摘したように、すべての R 加群は単射分解を持つが、この分解は関手的ではない、すなわち、準同型 M → M′ と単射分解
0 → M → I ∗ , 0 → M ′ → I ∗ ′ {\displaystyle 0\to M\to I_{*},\quad 0\to M'\to I'_{*}}
が与えられたとき、 I ∗ {\displaystyle I_{*}} と I ∗ ′ {\displaystyle I'_{*}} の間の写像を得る関手的方法は一般には存在しない。