グレブナー基底
F を n 変数の多項式の集合 {f1, f2, ... , fr} とするとき、多項式イデアル ⟨F⟩ = ⟨f1, f2, ... , fr⟩ とは、
h 1 f 1 + h 2 f 2 + ⋯ + h r f r {\displaystyle h_{1}f_{1}+h_{2}f_{2}+\cdots +h_{r}f_{r}}
の形の多項式全体の集合のことである。ここで hi は任意の多項式を表す。このとき F をイデアル ⟨F⟩ の生成系、あるいは基底と呼ぶ。以下では F から生成されるイデアルを Ideal(F) と表現する。
f 1 = 0 , f 2 = 0 , ... , f r = 0 {\displaystyle f_{1}=0,f_{2}=0,\ldots ,f_{r}=0}
の解はイデアルの要素全ての共通零点と一致し、イデアルは多変数の連立代数方程式を一般化したものと考えることができる。例えば連立方程式の消去法は与えられた方程式 F のイデアル I から変数の個数が少ないものを選び出す方法と見ることができる。