P-群
位数 p の巡回群の輪冪は p-群の非常に重要な例を与える。位数 p の巡回群をここでは W(1) と書くことにし、W(n) と W(1) との輪積を W(n + 1) として帰納的に定義すれば、W(n) は対称群 Sym(p) のシロー p-群になる。一般線型群 GL(n, Q) の極大 p-部分群は適当な W(n) の直積の形に分解される。W(n) の位数は k = (p − 1)/(p − 1) のときの p で与えられる。またその冪零度は p であり、その降中心列、昇中心列および降冪-p 中心列、昇冪-p 中心列はすべて一致する。W(n) は位数 p の元で生成されるが、その冪数は p である。二番目の群 W(2) はさらに冪零度最大の p-群にもなる。このことはその位数が p であり冪零度が p となることから従う。しかし W(2) は正則 p-群にはならない。位数 p の群は常に正則となるから、W(2) は正則でない p-群の最小の例にもなっている。
p-群の自己同型群は十分に研究されている。有限p-群は自明でない中心を持つことから、内部自己同型群は自己同型群の真の商群となり、したがって自明でない外部自己同型群を持つ。G のフラッティーニ部分群を Φ(G) と書けば、G の任意の自己同型は G/Φ(G) 上の自己同型を誘導するが、商群G/Φ(G)は基本アーベル群となり、その自己同型群は一般線型群であるので、非常によく分かっている。 G の自己同型群からこの一般線型群への写像はバーンサイドによって研究されており、その核は p-群であることが分かっている。
有限 p -群の構造について、以下のような多くの事実が知られている。
同様の一般化として他に基本的な例に一般線型群のシロー部分群がある。n-次元ベクトル空間 V に基底 {e1, e2, ..., en} を取り、1 ≤ i ≤ n の各 i について {ei, ei+1, ..., en} の張る部分空間を Vi とする。また i > n のとき Vi = 0 と定める。各 1 ≤ m ≤ n に対して V の正則線型変換で各 Vi を Vi+m へ写すもの全体の成す集合 Um は Aut(V) の部分群を成す。V の係数体が Z/pZ ならば U1 は Aut(V) = GL(n, p) のシロー p-部分群であり、降中心列の各項はちょうど Um で与えられる。行列の言葉で書き下せば、 Um は対角線に全て 1 が並び、その一つとなりが上から m − 1 個まで 0 が並ぶような上三角行列の全体である。群 U1 は位数 p かつ冪零度 n で、その冪数は p となる。ただし、k は n の底 p に対する対数を下回らない最小の整数である。