超フィルター
L を最小元 0 を持った順序集合、F を L 上の有限交叉族とする。このとき F を含む超フィルターが存在する。 実際 F を L 上の有限交叉族としたとき、(L 上のフィルターが真のフィルターとなる必要十分条件は 0 を含まないことから、)F を含む真のフィルター全体は包含関係で帰納的順序集合となる。この集合族はツォルンの補題から極大元を持つ。この極大元は F を含む超フィルターである。
任意のブール代数上での(勝手な有限交叉族を含む)超フィルターの存在はブールの素イデアル定理(英語版)と呼ばれ、ZF集合論では証明できず、選択公理を弱めた原理であることが知られている。
U ⋅ V = lim x ∈ U ( lim y ∈ V ( x , y ) ) {\textstyle U\cdot V=\lim _{x\in U}(\lim _{y\in V}(x,y))} (ただし収束はストーン・チェックコンパクト化(X × Y ⊆)Ult(X × Y) 上での収束。)
U × V ⊆ U ⋅ V.
U, V が共に超フィルターならば U ⋅ V も超フィルター。
U または V が単項フィルターならば U ⋅ V = U × V.
‖ U × V ‖ = ‖ U ⋅ V ‖ = ‖ U ‖⋅‖ V ‖.
U, V が共に自由な超フィルターで ‖ U ‖ = ‖ V ‖ なら U ⋅ V ≠ r[V ⋅ U] 。
U, V が共に κ-完備ならば U × V, U ⋅ V も κ-完備。
フィルター U に対し、‖ U ‖ ≔ min({|A| : A ∈ U}) をフィルター U のノルムという 。 前小項の記述から超フィルターのノルムは単項フィルターについては1、自由な超フィルターについては無限基数となることが分かる。