二重階乗
また同様に、α の倍数より 1 大きい z における値が z ! ( α ) = z ( z − α ) ⋯ ( α + 1 ) = k ( z − 1 ) / α ( z α ) ( z − α α ) ⋯ ( α + 1 α ) = k ( z − 1 ) / α Γ ( z α + 1 ) Γ ( 1 α + 1 ) {\displaystyle z!^{(\alpha )}=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)=k^{(z-1)/\alpha }\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)=k^{(z-1)/\alpha }{\frac {\Gamma ({\frac {z}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}} となることに着目してほとんどの実数および複素数に対して定義域を延長できる。
二重階乗は数え上げ組合せ論などの状況において頻繁に生じるという事実に動機づけられる。例えば奇階乗 n!! が現れる例としては:
奇数 n に対する完全グラフ Kn+1 の完全マッチング。そのようなグラフの任意の一つの頂点 v がマッチすることのできる頂点の選び方が n 通りで、選んだ残りは頂点数が 2 少ない完全グラフの完全マッチング問題に帰着される。例えば 4 = 3 + 1 頂点 a, b, c, d の完全グラフの完全マッチングは (ab, cd), (ac, bd), (ad, bc) で確かに 3!! = 3 通りであることが確認できる。
スターリング順列(英語版): 同じ数が二つずつの多重集合 1, 1, 2, 2, ..., k, k の置換(重複度まで込めてすべての元を一回ずつ用いる順列)で同じ数の各類はそれより大きい数によってのみ分けられるようにしたもの。で、k = n + 1/2 と置く。最も大きい k は二つとも隣り合うしかなく、それを取り除けば k − 1 を最大元とする順列が残るが、そのできた順列において隣り合う k が入れるのは n 通りの位置が考えられる。