三十三角形
Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から
2 cos  2 π 33 + 2 cos  4 π 33 + 2 cos  6 π 33 + 2 cos  8 π 33 + 2 cos  10 π 33 + 2 cos  12 π 33 + 2 cos  14 π 33 + 2 cos  16 π 33 + 2 cos  18 π 33 + 2 cos  20 π 33 + 2 cos  22 π 33 + 2 cos  24 π 33 + 2 cos  26 π 33 + 2 cos  28 π 33 + 2 cos  30 π 33 + 2 cos  32 π 33 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}\\&+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {22\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=-1\end{aligned}}}
正三十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。
α = 2 cos  2 π 33 + 2 cos  16 π 33 + 2 cos  4 π 33 + 2 cos  32 π 33 + 2 cos  8 π 33 β = 2 cos  10 π 33 + 2 cos  14 π 33 + 2 cos  20 π 33 + 2 cos  28 π 33 + 2 cos  26 π 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}\end{aligned}}}
以下の値が求められる。
α + β = 1 ( α − β ) 2 = 33 α − β = 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=33\\&\alpha -\beta ={\sqrt {33}}\\\end{aligned}}}