ジョン・ウォリス
1687年の著書 Institutio logicae は広く読まれた。また、Grammatica linguae Anglicanae は英文法についての著作で、18世紀にも出版されている。神学関係の著書もある。
彼は明らかに、y = ax という曲線についても同じことが成り立つと見なしていた(a は任意の定数、m は任意の正または負の数)。しかし、彼が論じたのは m = 2 の場合と m = −1 の場合だけで、後者についての彼の解釈は間違っている。そしてウォリスは次の形式の任意の曲線に同様の結果が得られる可能性があるとした。
y = ∑ m a x m . {\displaystyle y=\sum _{m}ax^{m}.}
したがって、曲線のy座標が x の様々なべき乗に展開できれば、それも同様に扱えると考えた。つまり例えば、ある曲線の式が y = x + x + x + ... と表される場合、その面積は x + x/2 + x/3 + ... になるとした。次に y = (x − x), y = (x − x), y = (x − x) といった曲線の数値積分にこれを適用し、x = 0 から x = 1 までの部分を計算し、それぞれ 1, 1/6, 1/30, 1/140 などと求めている。次に y = x という曲線を検討し、この曲線と x = 0 と x = 1 で囲まれた部分の面積が同じ底辺と高さの三角形の面積と m : m + 1 の比率だという定理を導いた。これは次の計算と等価である。
∫ 0 1 x 1 / m d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{1/m}\,dx.}
彼は m = 2 の場合について放物線を使って詳述している。続いて y = x という形の曲線を論じているが、証明はしていない。
ウォリスは上述の曲線の方程式を一般化するに当たって、かなりの巧妙さを見せている。