半素環
可換環 R において、真のイデアル A が半素イデアルであるとは A が次の同値な条件の一方を満たすことである。
ある正整数 k と R のある元 x に対して x が A の元であれば x は A の元である。
y が R の元だが A の元でないならば、y のすべての正の整数乗は A の元でない。
補集合が「ベキについて閉じている」という後者の条件は素イデアルの補集合が積について閉じているという事実の類似である。
素イデアルと同様、これは非可換環に"ideal-wise"に延長される。次の条件は環 R のイデアル A が半素であるための同値な定義である。
R の任意のイデアル J について、ある正の整数 k で J⊆A であれば、J⊆A である。
R の任意の右イデアル J について、ある正の整数 k で J⊆A であれば、J⊆A である。
R の任意の左イデアル J について、ある正の整数 k で J⊆A であれば、J⊆A である。
実は B を含む最小の半素イデアルである。上の包含関係は一般には真のものになるかもしれないが、可換環においては等号が成り立つ。
この定義により、イデアル A が半素であることと A = A {\displaystyle {\sqrt {A}}=A} であることは同値である。この時点で、任意の半素イデアルが実は素イデアルの族の共通部分であることも明らかである。さらに、このことは任意の2つの半素イデアルの共通部分がまた半素であることを示している。
定義によって R が半素であることと { 0 } = { 0 } {\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}} であること、つまり、すべての素イデアルの共通部分が0であることは同値である。このイデアル { 0 } {\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}} は N i l ∗ ( R ) {\displaystyle Nil_{*}(R)\,} とも書かれ、R の Baer's lower nilradical または Baer-Mccoy radical または prime radical とも呼ばれる。