非線形シュレディンガー方程式
∂ ∂ t x ( s , t ) = κ ( s , t ) b ( s , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {x}}(s,t)=\kappa (s,t){\boldsymbol {b}}(s,t)}
とすることができる。
ここで、曲率κ及び捩率τから
ψ ( s , t ) = κ ( s , t ) exp  ( − i ∫ 0 s τ ( s , t ) d s ) {\displaystyle \psi (s,t)=\kappa (s,t)\exp {\bigl (}-i\int _{0}^{s}\tau (s,t)ds{\bigr )}}
という量を導入すると、これは次の非線形シュレディンガー方程式を満たす。
i ψ t + ψ x x + 1 2 ( | ψ | 2 + A ( t ) ) ψ = 0 {\displaystyle i\psi _{t}+\psi _{xx}+{\frac {1}{2}}(|\psi |^{2}+A(t))\psi =0}
ここで、A (t )は任意関数である。A (t )の項は、ψの中に、
φ = ψ exp  ( − i 2 ∫ 0 t A ( t ) d t ) {\displaystyle \phi =\psi \exp {\bigl (}-{\frac {i}{2}}\int _{0}^{t}A(t)dt{\bigr )}}
という位相の形で取り込めば、消去することができる。
A = i p ( 1 0 0 1 ) ∂ 2 ∂ x 2 + ( | u | 2 1 + p i u x ∗ − i u x − | u | 2 1 − p ) {\displaystyle A=ip{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\begin{pmatrix}{\frac {|u|^{2}}{1+p}}&iu_{x}^{\,\ast }\\-iu_{x}&-{\frac {|u|^{2}}{1-p}}\end{pmatrix}}}
κ = 2 1 − p 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {2}{1-p^{2}}}}
を与え、
L ψ = λ ψ {\displaystyle L\psi =\lambda \psi }
に対する散乱の逆問題を解くことでN-ソリトン解を構成した。