位相的エントロピー
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。
( X , f ) {\displaystyle (X,f)} をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、 X {\displaystyle X} はコンパクト位相空間であり、 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} は連続写像である。
まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } を X {\displaystyle X} の開被覆とせよ。 このとき、 α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } の共通細分 α ∨ β {\displaystyle \alpha \vee \beta } を
α ∨ β := { A ∩ B ∣ A ∈ α , B ∈ β } {\displaystyle \alpha \vee \beta :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}}
により定義する。 また、
f − 1 ( α ) := { f − 1 ( A ) ∣ A ∈ α } {\displaystyle f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}}
も X {\displaystyle X} の開被覆である。
さて、位相的エントロピーを定義しよう。
α {\displaystyle \alpha } を X {\displaystyle X} の開被覆とせよ。