自然変換
上記の図式を考慮しない、単なる射の族 {φx: Fx → Gx}x ∈ C0 (C0 は C の対象からなる部分集合) を、F から G への infranatural transformation と呼ぶことがある。このとき、F から G への自然変換とは C の対象すべてをパラメータとする F から G への infranatural transformation {τx: Fx → Gx}x ∈ C であって、任意の f : x → y に対して τ y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ τ x {\textstyle \tau _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \tau _{x}} であるものと言い換えられる。infranatural transformation {φx: Fx → Gx}x ∈ C0 に対して、コンポーネントに {φx: Fx → Gx}x ∈ C0 を含むような自然変換を持つ最大の C の部分圏を nat φ と書いて φ のnaturalizerという。
関手 F, G, H : C → D の間の自然変換 σ : F ⇒ G, τ : G ⇒ H に対して、各コンポーネントの合成 {τx ◦ σx: Fx → Hx}x ∈ C は再び自然変換となる。そこでこれを σ と τ の垂直合成と呼んで、 τ ⋅ σ {\textstyle \tau \cdot \sigma } (Mac Lane, Riehl) や τ ∘ σ {\textstyle \tau \circ \sigma } (Leinster, Awodey) と表記する。
定義から、自然変換の垂直合成は明らかに射の性質を継承して、結合律や単位元律を満たすことになるため、同じ型 C → D を持つ関手とその間の自然変換は圏を構成する。これを関手圏と言い、D あるいは [C, D] のように表す。