調和微分形式
上で見たように、ω と ω* がともに閉形式のときに、1-形式 ω を 調和的 という。このことは ∂A/∂y = ∂B/∂x (ω が閉形式のとき) でかつ ∂B/∂y = −∂A/∂x (ω* が閉形式のとき) であることを意味する。これらは、A − iB のコーシー・リーマンの方程式という。普通、これらは、u(x, y) + iv(x, y) の項で表すと、
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\ \ \ \ {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}}
となる。