コーシーの凝集判定法
ここで f ∘ m {\displaystyle f^{\circ m}} は関数 f {\displaystyle f} の m 回の反復合成写像
f ∘ m ( x ) := { f ( f ∘ ( m − 1 ) ( x ) ) , m = 1 , 2 , 3 , ... ; x , m = 0. {\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots ;\\x,&m=0.\end{cases}}}
を表す記法である。添字の下限 N {\displaystyle N} は、級数の全ての項が正数となるよう選ぶ。注目すべきことに、こうした級数によって任意の遅さで収束または発散する無限和を作ることができる。例えば、 k = 2 {\displaystyle k=2} で α = 1 {\displaystyle \alpha =1} の場合、部分和は 10 10 100 {\displaystyle 10^{10^{100}}} 項(1グーゴルプレックス項)足し合わせてようやく 10 を超えるが、それでもなお級数は発散する。