ほとんど自由な電子
⟨ k + q | U | k ⟩ ⟨ k | U | k + q ⟩ = | u ( K n ) | 2 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {q}}|U|{\boldsymbol {k}}\rangle \langle {\boldsymbol {k}}|U|{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {q}}\rangle =|u({\boldsymbol {K}}_{n})|^{2}}
である(ポテンシャルの周期性から、q = Kn:Knは逆格子点)。以上から、固有値E(k)は次のように書き直せる。
E ( k ) = ħ 2 k 2 2 m + u ( 0 ) + ∑ K n ≠ 0 | u ( K n ) | 2 E ( 0 ) ( k ) − E ( 0 ) ( k + K n ) {\displaystyle E({\boldsymbol {k}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+u(0)+\sum _{{\boldsymbol {K}}_{n}\neq 0}{\frac {|u({\boldsymbol {K}}_{n})|^{2}}{E^{(0)}({\boldsymbol {k}})-E^{(0)}({\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {K}}_{n})}}}
Eは自由電子での固有値。