ラプラシアン行列
が得られる。
この方程式が、行列 −Lがラプラス演算子 ∇ 2 {\textstyle \nabla ^{2}} を置き換えている熱方程式(英語版)と同じ形式であることに気付く。ゆえに、Lは「グラフラプラシアン」と呼ばれる。
この微分方程式の解を探すため、1階の行列微分方程式(英語版)を解くための標準的な技法を適用する。すなわち、Lの固有ベクトル v i {\textstyle \mathbf {v} _{i}} ( L v i = λ i v i {\textstyle L\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}} )の線形結合として φ {\textstyle \phi } を書く。時間に依存する φ = ∑ i c i v i {\textstyle \phi =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}} 。
元の式に代入する(ここで留意すべきは、Lが対称行列であるためにその単位ノルム固有ベクトル v i {\textstyle \mathbf {v} _{i}} は直交であるという事実を用いる点である):