ナッシュの埋め込み定理
C 定理は1954年に、C 定理は1956年に出版された。実解析的な定理は最初ナッシュにより1966年に扱われた。彼の議論はGreene & Jacobowitz (1971) により非常に簡素化された。(この結果の局所版は、1920年代にエリ・カルタン (Élie Cartan) とモーリス・ジャネ(英語版) (Maurice Janet) により証明された。)実解析的な場合は、ナッシュの逆関数の議論における smoothing operator(以下を参照)を、コーシーの評価に取り替えることができる。C の場合のナッシュの証明は、後に、h-原理(英語版) (h-principle) やナッシュ・モーザーの陰関数定理(英語版) (Nash–Moser implicit function theorem) へ拡張された。第二のナッシュの埋め込み定理の簡素化された証明は、Günther (1989) により得られた。彼は非線型偏微分方程式系を楕円系に帰着させ、収縮写像定理(英語版)が適用できるようにした。
{\displaystyle |f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon .}
特に、ホイットニーの埋め込み定理(英語版)より、任意の m 次元リーマン多様体は、2m 次元ユークリッド空間の任意に小さい近傍の中への等長な C-埋め込みを持つ。
定理は、元々はジョン・ナッシュにより、n ≥ m+1 ではなく n ≥ m + 2 という条件のもとで証明され、ニコラス・クーパー(英語版)(Nicolaas Kuiper)により、比較的容易なトリックを使い一般化された。
定理から直感に反することが多く出る。たとえば、任意の向き付けられた閉リーマン面は、3次元ユークリッド空間の任意に小さいε-球の中へ等長的に C 級に埋め込むことができる(小さな ε に対し、そのような C 級埋め込みは存在しない。なぜならば、ガウス曲率の公式により、そのような埋め込みの extremal point における曲率は ε 以上となるからである)。また、R の中への双曲平面の C 等長埋め込みが存在する。