ベータ関数
B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {x+y}{xy}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,\,y)&=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t\\&=-\int _{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}\,{\rm {d}}t\\&=\mathrm {B} (y,\,x).\end{aligned}}}
したがって, B ( x , y ) = B ( y , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x)} が示された.
数学におけるベータ関数(ベータかんすう, 英: beta function)とは, 特殊関数のひとつである. ベータ関数は, 第一種オイラー積分とも呼ばれる(なお, ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は, 第二種オイラー積分と呼ばれる).
一般化された関数として, セルバーグ積分がある.
ベータ関数は次の関係式を満たす.
x B ( x , y + 1 ) = y B ( x + 1 , y ) . {\displaystyle x\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x+1,\,y).}
B ( x , y ) = B ( x + 1 , y ) + B ( x , y + 1 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (x+1,\,y)+\mathrm {B} (x,\,y+1).}
( x + y ) B ( x , y + 1 ) = y B ( x , y ) . {\displaystyle (x+y)\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x,\,y).}
B ( x , x ) = 2 1 − 2 x B ( 1 2 , x ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right).}
B ( x , y ) B ( x + y , z ) = B ( y , z ) B ( y + z , x ) = B ( z , x ) B ( z + x , y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\,\mathrm {B} (x+y,\,z)=\mathrm {B} (y,\,z)\,\mathrm {B} (y+z,\,x)=\mathrm {B} (z,\,x)\,\mathrm {B} (z+x,\,y).}