不定和分
部分積分法の離散版として、以下のように部分和分の公式が成り立つ。
周期函数 f(x) の周期が T に対し、
∑ x f ( T x ) = x f ( T x ) + C {\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}
が成り立つ。また T が函数 f(x) の反周期、即ち f(x + T) = −f(x) のとき、
∑ x f ( T x ) = − 1 2 f ( T x ) + C {\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}
が成り立つ。
∑ x f ( x ) = − ∑ k = 1 ∞ Δ k − 1 f ( x ) k ! ( − x ) k + C {\displaystyle \sum _{x}f(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}(-x)_{k}+C}
ただし
( x ) k = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − k + 1 ) {\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}
は下降階乗冪である。