光線行列解析
3×3、4×4、6×6といった高次の行列も光学解析に用いられている。特に、4×4行列は、フェムト秒レーザーのパルス圧縮のためのプリズム列の設計や解析に用いられている。
導波路が安定であるならば、いかなる光線も光軸より遠方へと離れては行かないので、 λ N {\displaystyle \lambda ^{N}} は発散しない。ここで、 g 2 > 1 {\displaystyle g^{2}>1} としよう。このとき、2つの固有値はいずれも実数である。 λ + λ − = 1 {\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1} であるので、一方の固有値は絶対値で1よりも大きくならなくてはならない。これは、この固有ベクトルに対応する光線は収束しないことを表している。ゆえに、安定な導波路においては、 g 2 ≤ 1 {\displaystyle g^{2}\leq 1} であり、また固有値は複素数にて表される。
λ ± = g ± i 1 − g 2 = cos  ( φ ) ± i sin  ( φ ) = e ± i φ {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }}
ただし g = cos  φ {\displaystyle g=\cos {\phi }} と置換した。