T分布
この確率密度関数は、元の正規分布の母数であるμおよびσが既知と仮定しているので、厳密には条件付確率密度関数 f ( t ∣ μ , σ ) {\displaystyle f(t\mid \mu ,\sigma )} と書くべきものである。μおよびσを確率変数と考え、その確率密度関数を適当に仮定し(例えばテーブル状の一様分布関数)、ベイズの定理を適用することによって、標本平均 X ̄ {\displaystyle {\overline {X}}} および不偏標準偏差 S {\displaystyle S} が既知の場合の条件付確率密度関数 f ( t | X ̄ , S ) {\displaystyle f(t|{\overline {X}},S)} を計算することができる(もう少し正確に言えば、まず条件付確率密度関数 f ( X ̄ , S ∣ μ , σ ) {\displaystyle f({\overline {X}},S\mid \mu ,\sigma )} を求め、これにベイズの定理を適用して f ( μ , σ ∣ X ̄ , S ) {\displaystyle f(\mu ,\sigma \mid {\overline {X}},S)} を求め、さらにσについて積分して f ( t ∣ X ̄ , S ) {\displaystyle f(t\mid {\overline {X}},S)} を求める)。実はこの関数は f ( t ∣ μ , σ ) {\displaystyle f(t\mid \mu ,\sigma )} と全く同じ形をしている。つまり、
X1, ..., Xn を平均 μ、分散 σ の正規分布に従う独立な確率変数とする。また標本平均を
X ̄ = X 1 + ⋯ + X n n {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}
とし、不偏分散を
S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ̄ ) 2 {\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}
とする。ここで次の変数
t = X ̄ − μ S / n {\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}
を考えると、これは
f ( t ) = Γ ( ( ν + 1 ) / 2 ) ν π Γ ( ν / 2 ) ( 1 + t 2 / ν ) − ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}
(ただし ν = n − 1, Γ はガンマ関数)という確率密度関数に従うことが、ゴセットによって示された。ここで t の従う分布をt 分布(またはスチューデント分布)と呼ぶ。ν は自由度と呼ばれる。この分布は ν によるが、元の正規分布の母標準偏差σ にはよらないという重要な性質を持っている。