中山の補題
X を U の有限部分集合とし、U を生成するという性質をもつもので極小とする。U は0でないので、この集合 X は空でない。X の各元を i ∈ { 1 , ... , n } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}} に対し xi と表記する。X は U を生成するので、
∑ i = 1 n x i R = U {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U}
U J ( R ) = U {\displaystyle UJ(R)=U} と仮定し、矛盾を導く。 ∑ i = 1 n x i ∈ U {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\in U} であるので、
∑ i = 1 n ( x i r i ) j i = ∑ i = 1 n x i , ( r i ∈ R , j i ∈ J ( R ) ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}r_{i})j_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i},\quad (r_{i}\in R,\,j_{i}\in J(R))}
結合律により、
∑ i = 1 n x i ( r i j i ) = ∑ i = 1 n x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(r_{i}j_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
J(R) は R の(両側)イデアルであるので、すべての i に対して r i j i ∈ J ( R ) {\displaystyle r_{i}j_{i}\in J\left(R\right)} であって、それゆえ
中山正『局所類体論』、岩波書店〈岩波講座数学9 別項〉、1935年。NCID BN14766638。
中山正『代数系と微分 : 代数学よりの二三の話題』、河出書房〈数学集書4〉、1948年。NCID BN04295422。
中山正、東屋五郎『環論』、岩波書店〈現代数学5 代数学 2〉、1954年。 NCID BN02068361。
松島与三、秋月康夫、永田雅宜、中山正『リー環論 . 近代代数学 . ホモロジー代数学』、服部昭(編)、共立出版〈現代数学講座[6]〉、1956年。 NCID BN04204212。