ウィグナー分布
入力信号がチャープ信号の場合、その瞬間周波数は線形関数になる。つまり、時間周波数分布は直線となる。たとえば、
x ( t ) = e i 2 π k t 2 {\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}
の場合、瞬間周波数は次のようになり、
1 2 π d ( 2 π k t 2 ) d t = 2 k t , {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}
そのウィグナー分布は
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ e i 2 π k ( t + τ 2 ) 2 e − i 2 π k ( t − τ 2 ) 2 e − i 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ e i 4 π k t τ e − i 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ e − i 2 π τ ( f − 2 k t ) d τ = δ ( f − 2 k t ) .
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ C x ( t + τ 2 , t − τ 2 ) e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}
よって、 single (mean-zero) time series に対しては、ウィグナー分布は次のように単純に与えられる。
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ 2 ) x ( t − τ 2 ) ∗ e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}
ウィグナー分布を用いる動機は、定常過程についてはそれが全ての時間 t {\displaystyle t} に対してスペクトル密度関数に帰着し、非定常過程については自己相関関数と完全に一致することである。そのため、ウィグナー分布により、スペクトル密度が時間の経過につれてどのように変化するかを(おおよそ)知ることができる。
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}