分数階微積分学
( J f ) ( x ) = d − 1 d x − 1 f ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle (Jf)(x)={d^{-1} \over dx^{-1}}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt} .
ができるものと仮定する。これを繰り返して
( J 2 f ) ( x ) = d − 2 d x − 2 f ( x ) = ∫ 0 x ( J f ) ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( s ) d s ) d t {\displaystyle (J^{2}f)(x)={d^{-2} \over dx^{-2}}f(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\;dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)dt}
や任意の自然数冪 Jf に拡張することができるが、反復積分に関するコーシーの公式によれば
( J n f ) ( x ) = d − n d x − n f ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{n}f)(x)={d^{-n} \over dx^{-n}}f(x)={1 \over (n-1)!}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt}