ホール部分群
与えられた有限群の任意のシロー部分群はホール部分群である。
位数 12 の交代群 A4 は可解群だが、位数 6 の部分群を(6 が 12 を割り切るにも拘らず)持たない。後述するホールの定理を可解群の位数の任意の約数に対して拡張することはできない。
位数 60 となる唯一の単純群 G ≔ A5 は、15 および 20 が G の位数のホール因子となるにも拘わらず、G はそれら位数の部分群を持たない。
位数 168 の単純群 G には、位数 24 のホール部分群の共軛類が相異なる二種類存在する(ただし、それらは G の外部自己同型で写りあう)。
位数 660 の単純群は、位数 12 の互いに同型でない(したがって共軛でない、外部自己同型でも写りあわない)二つのホール部分群を持つ。位数 4 のシロー 2-部分群の正規化群は位数 12 の交代群 A4 に同型であり、一方で位数 2 または 3 の部分群の正規化群は位数 12 の二面体群になる。
自然数 n のホール因子は、n の約数 d で、d と n/d とが互いに素となるものを言う。
ホール因子を見つけるもっとも簡単な方法は、その数の素因数分解を書き下し、その乗法的項(各素因数に対して冪指数を最大まで取ったもの)の任意の積をとればよい(零項の積として 1 が、すべての項の積としてもとの数が含まれることに注意)。例えば 60 のホール因子を求めるには、素因数分解 2⋅3⋅5 を示して {3, 4, 5} の任意の積を作ればよいから、60 のホール因子は 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 60 とわかる。