基底 (線型代数学)
二つのベクトル (1,1), (−1,2) を並べてできる行列の行列式を計算すると det ( 1 − 1 1 2 ) = 3 {\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}=3} となり、行列式が 0 ではない(正則である)から、この行列の二つの列ベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。従って R の基底となる。
より一般に、n-次単位行列(対角成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の n×n-行列)の第 i-列ベクトルを ei とするとき、ベクトル族 {e1, e2, ..., en} は線型独立で、R を生成する。故にこれは R の基底を成し、また R の次元は n であると分かる。この基底を R の標準基底という。
V を二つの函数 e および e で生成される実線型空間とすると、これら二つの函数は線型独立であるから V の基底を成す。
次数が高々 2 の多項式全体の成す集合 P2 において、{1, x, x} は標準基底を成す。実数係数多項式全体の成す線型空間を R[x] で表せば、無限系列 (1, x, x, ...) は R[x] の基底を成す。従って、R[x] の次元は、可算濃度 א0 に等しい。
2×2-行列全体の成す集合 M2,2 において、(m,n)-成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の 2×2-行列を Emn と書けば、{E11, E12, E21, E22} は標準基底である。
全域的かつ線型独立なベクトルからなる集合を標準基底から無数に作ることができる。