セルバーグ跡公式
コンパクトな双曲曲面 X {\displaystyle X} を、軌道の空間として、次のように書くことができる。
Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }
ここに、 Γ {\displaystyle \Gamma } は P S L ( 2 , R ) {\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )} の部分群で、 H {\displaystyle \mathbb {H} } は上半平面であり、 H {\displaystyle \mathbb {H} } へは線型分数変換として作用する。
この場合のセルバーグの跡公式は、一般の場合よりも容易である。何故ならば、曲面がコンパクトであるから、連続スペクトルが存在せず、群 Γ は(同一視を除き)放物型かもしくは楕円型となるからである。
すると、X 上のラプラス・ベルトラミ作用素のスペクトルは離散的となり、ラプラス作用素はコンパクトなレゾルベント(resolvent)を持つ自己随伴作用素であるので、スペクトルは実数となる。
0 = μ 0 < μ 1 ≤ μ 2 ≤ ⋯ {\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }
ここに、固有値 μ n {\displaystyle \mu _{n}} はラプラシアンの Γ-不変な固有函数 u ∈ C ∞ ( H ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\mathbb {H} )} である。
跡公式は数論幾何や数論へ応用される。例えば、アイヒラー・志村の定理を使い、モジュラー曲線の{ハッセ・ヴェイユのL-函数を計算する。志村五郎の解析を使う方法は、跡公式を使うことを意味している。アイヒラーコホモロジー(放物コホモロジーとも言う)の発展は、純粋に群コホモロジーの設定に基礎を持つ代数的設定を与えるので、非コンパクトなリーマン面やモジュラ曲線のカスプを考えることができるようになった。
また、跡公式は純粋に微分幾何学への応用も持っている。例えば、ブーサー(Buser)の結果により、リーマン面の長さスペクトル(英語版)(length spectrum)は、本質的には跡公式により、同じスペクトルを持つ不変量である。