ロジスティック方程式
r(または a)が小さい内は、これらの解はロジスティック方程式と同じように安定な平衡状態に収束する。r が大きくなってくると、個体数は多くなったり少なくなったりを交互に繰り返すようになる。さらに r が大きくなると、カオスと呼ばれる非周期的で極めて複雑な振る舞いを起こすようになる。
また、京都大学の森下正明が発案した次のような差分方程式がある。
N n + 1 = ( 1 + a ) N n 1 + b N n {\displaystyle N_{n+1}={\frac {(1+a)N_{n}}{1+bN_{n}}}}
ここで、Δt を差分時間間隔として、a と b は
a = e r Δ t − 1 {\displaystyle a=e^{r\Delta t}-1}
b = a K {\displaystyle b={\frac {a}{K}}}
である。通常、差分化を行うと元の方程式の解と誤差が生じる。しかしこの方程式では誤差を全く生じさせない。得られる解は離散的だが、その解はロジスティック方程式の解と一致し、解を N-t 平面上に描けば、ロジスティック曲線上に正確にプロットされる。
横軸を t、縦軸を N とした平面上にロジスティック関数のグラフを描くと、曲線が描かれる。この曲線は前述のとおりにロジスティック曲線と呼ばれる。初期個体数が3つの範囲 N0 < 0, 0 < N0 < K, K < N0 のどれに該当するかによって、曲線の形状は大きく異なってくる。ただし、N0 < 0 の範囲は負の個体数というものを意味するので、生物のモデルとしてはあまり意味がない。時間 t = 0 から t → ∞ の極限までのロジスティック曲線の様相は、それぞれの N0 の値ごとに、以下のようになっている。
まず N0 が環境収容力の半分以下(0 < N0 < K/2 )の場合、初期状態の点 (t = 0, N = N0) から始まる曲線は、ゆっくりと右肩上がりに登っていく。t が増加するにつれて、曲線の傾き(個体数増加率)は増加していき、曲線は加速度的に立ち上がっていく。しかし、ある時点で曲線は変曲点を迎え、傾きの増加は止む。その後は、傾きは減少しだし、曲線は横倒しになっていく。そして最終的には、傾きは0になり、曲線は水平な直線となる。結局、曲線は、変曲点前では下に凸の曲線、変曲点後では上に凸の曲線となっており、全体としてアルファベットのSのような形を描く。このため、S字型曲線やシグモイド曲線という名称でも呼ばれる。間にある変曲点は個体数増加率が最大となる点で、前述の dN/dt と N のグラフの頂点に相当する。
ロジスティック方程式では、時間 t を連続な実数として個体数変動をモデル化した。しかし、世代の交代が同期的に起こり、世代の重なりがないようなときには、時間を飛び飛びの時間間隔(離散時間)でモデル化する方が妥当である。ロジスティック方程式型の離散時間モデルにはいくつかの種類があるが、一例として次のような差分方程式がある。
N n + 1 = N n + r N n ( 1 − N n K ) {\displaystyle N_{n+1}=N_{n}+rN_{n}\left(1-{\frac {N_{n}}{K}}\right)}
ここで、n は世代で、n = 1世代, 2世代, 3世代,... といったような飛び飛びの時間間隔を意味している。Nn は、n 世代における個体数 N を意味している。上式と数学的には等価だが、ロジスティック写像と呼ばれる、次の形式での差分方程式もよく知られている。
x n + 1 = a x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})}
これらの差分方程式はロジスティック方程式と一見似ているが、解の様相は全く異なり、個体数の変動はロジスティック方程式よりも遥かに複雑な振る舞いを見せるようになる。
フェルフルスト発表の後、生物の個体群成長に関する実験などで、同じ式が独自にあちこちで使われ始めたが、フェルフルストの名が挙がることはなかった。1908年には生理学者のブレイルスフォード・ロバートソン(英語版)が、動物、植物、人間といった生物の個体成長を同形式の曲線で記述した。ロバートソンはフェルフルストの発表を知らなかったが、同じ曲線を用い、さらに偶然にもケトレーのデータを使用している。この時点で同じ曲線が化学物質における自己触媒反応の過程を表すのに使われていたので、ロバートソンは曲線のことを自己触媒的曲線(autocatalytic curve)と呼んでいた。
1920年、ジョンズ・ホプキンス大学のレイモンド・パールとローウェル・リード(英語版)が、ロジスティック方程式と同形式のモデルを用いてアメリカ合衆国の人口増加について論じた。この研究も、フェルフルストにより先に発表されていたことを知らずに行われた。翌年の1921年には、これがすでに80年近く前にフェルフルストによって発見されたことをパールらも認めた。これによってパールらもロジスティック曲線という名称を使うようになり、やっとフェルフルストの名がこの式に結びつくことになる。これ以降、生物学ではロジスティック曲線という名称が定着した。
パールはショウジョウバエの個体群成長の実験を行い、この式を実証した。