リウヴィルの定理 (解析学)
f(z) を整関数で、M を定数、任意の z ∈ C に対して |f(z)| ≤ M とする。f を原点を中心にテイラー展開する:
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}
コーシーの積分公式により
a n = f ( n ) ( 0 ) n ! = 1 2 π i ∮ C r f ( ζ ) ζ n + 1 d ζ {\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}={\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{n+1}}}\,d\zeta }
である。ただし、Cr は原点を中心とする半径 r > 0 の円である。仮定により |f(z)| ≤ M であるから
| a n | ≤ 1 2 π ∮ C r | f ( ζ ) | | ζ | n + 1 | d ζ | ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π M r n + 1 r d θ = M r n {\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{n+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {M}{r^{n+1}}}\,r\,d\theta ={\frac {M}{r^{n}}}}
である。r は任意であるから n ≥ 1 のとき r → +∞ として an = 0 を得る。