ラプラス＝スティルチェス変換
ラプラス=スティルチェス変換は基礎確率論および応用確率論において、しばしば有用である。たとえば、確率分布 F に従う確率変数 X に対して、ラプラス=スティルチェス変換は期待値との関連で説明される。
{ L ∗ F } ( s ) = E [ e − s X ] {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[\mathrm {e} ^{-sX}\right]}
具体的な応用例としては、マルコフ連鎖のような確率過程の初到達時刻(first passage time)や、再生理論などが挙げられる。物理学においては、たとえば場の量子論での和をゼータ関数正則化の手法によって正則化する際に、ラプラス=スティルチェス変換が用いられることがある。
ラプラス=スティルチェス変換は、他の積分変換(たとえばフーリエ変換やラプラス変換)と密接な関係がある。特に以下の点に注意する。
関数 g が導関数 g' を持つとき、gのラプラス=スティルチェス変換は g' のラプラス変換に等しい。 { L ∗ g } ( s ) = { L g ′ } ( s ) {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s)}
関数 g のフーリエ=スティルチェス変換(これは上記と同様、g' のフーリエ変換と一致する)は以下のように与えられる。 { F ∗ g } ( s ) = { L ∗ g } ( i s ) , s ∈ R {\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(\mathrm {i} s),\quad s\in \mathbb {R} }