全単射
2つの写像 f: A → B, g: B → C の合成写像 g ∘ f : A → C {\displaystyle g\circ f\colon A\to C} が全単射ならば f は単射で、g は全射である。
2つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。 集合 X 上の全単射全体の成す集合を SX とすると、SX は写像の合成に関して群を成す。これを X 上の置換群あるいは対称群と呼ぶ。
集合全体のつくるクラス(類)において、「2つの集合の間に全単射が存在する」 という関係は同値関係を定める。この同値関係により集合全体の成すクラスを類別して濃度の概念が定義される。すなわち、集合間で全単射が定義可能な場合、それらの集合は基数が等しい。
X, Y が同数の元を持つ有限集合の場合、写像 f: X → Y について、以下は同値である:
f は全単射である。
f は全射である。
f は単射である。