資産価格付けの基本定理
連続時間の場合は定理のステートメント自体が変化し、その証明はセミマルチンゲール(英語版)の理論を駆使した非常に高度なものとなる。リスク中立確率の存在から裁定取引の非存在を示す方法は離散時間の場合とほぼ同様に証明できるが、逆の証明を行うためには裁定機会が存在しないという条件だけでは足らず、更に追加的な条件が必要となる。よく知られている Freddy Delbaen と Walter Schachermayer の第1基本定理では裁定機会の非存在を No Free Lunch with Vanishing Risk(英語版) (NFLVR) という条件に置き換えている。
(連続時間における)資産価格付けの第1基本定理
金融市場において全ての資産の価格が局所有界(英語版)なセミマルチンゲール確率過程であるとする。この時、No Free Lunch with Vanishing Riskが成立する必要十分条件は少なくとも1つ以上の、全てのポートフォリオの割引価値を局所マルチンゲール(英語版)とする同値な確率測度が存在することである。
局所マルチンゲールとはマルチンゲールの一般化の一つであり、全てのマルチンゲールである確率過程は局所マルチンゲールである。よって上述の定理における全てのポートフォリオの割引価値を局所マルチンゲールにする同値な確率測度はリスク中立確率測度も含む広い概念になっている。もし全ての資産価格が局所有界ではなく、有界であると言えるならば、上述の連続時間の資産価格付けの第1基本定理における確率測度はリスク中立確率測度であると限定することが出来る。
第2基本定理は市場の完備性とリスク中立確率の一意性が同値であることを述べている。つまり、市場が完備ならば、リスク中立価格付けによる価格は一意に定まることを意味している。市場が完備であるということは、モデル内で想定されるあらゆる不確実性を金融資産のポートフォリオでヘッジ出来る(複製ポートフォリオを組むことが出来る)ということである。完備市場モデルにはブラック=ショールズモデルなどの基本的なモデルが多く含まれている。以下で簡単な証明を示す。
市場の完備性からリスク中立確率の一意性
ここで二つのリスク中立測度 P B {\displaystyle \mathbb {P} _{B}} と P C {\displaystyle \mathbb {P} _{C}} が存在したとする。ここで将来時点 T {\displaystyle T} で起こったかどうかが分かるような任意の事象 A {\displaystyle A} を考え、事象 A {\displaystyle A} が起こった時に1円と時点 T {\displaystyle T} までの利子を支払い、起こらなかった時には何も支払わないようなオプションを考える。このオプションの割引ペイオフを H {\displaystyle H} とする。
第1基本定理は裁定機会の非存在とリスク中立確率の存在が同値であることを述べている。この定理を用いることで、裁定機会の非存在という経済学的に妥当な仮定を課すだけでリスク中立確率を用いた価格付けが可能になる。