ヴィノグラードフの定理
N が奇数であれば、G(N) はおよそ 1 であり、したがって十分大きな N に対して N 2 ≪ r ( N ) {\displaystyle N^{2}\ll r(N)} である。ある特定の素数による r(N) への寄与は O ( N 3 2 log 2  N ) {\displaystyle O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)} であることを示すことにより、
N 2 log − 3  N ≪ {\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll } ( N の3つの素数の和による表し方の数)
であることが分かる。特にこれは十分大きな任意の奇数は3つの素数の和により表されることを意味し、有限個の例外を除いて弱いゴルドバッハ予想が成立することを意味している。