ランチェスターの法則
近代戦では両軍とも戦場の一点に兵力を集中し、戦闘は集団的に行われるので、一次法則と違い、 Δ x {\displaystyle \Delta x} 、 Δ y {\displaystyle \Delta y} は、武器の性能β、αだけではなく、敵軍の人数にも比例するであろう。すなわち
Δ x = − α y Δ t {\displaystyle \Delta x=-\alpha y\Delta t}
Δ y = − β x Δ t {\displaystyle \Delta y=-\beta x\Delta t}
であるので、近似的に微分方程式
d x d t = − α y {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=-\alpha y}
d y d t = − β x {\displaystyle {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}=-\beta x}
が成立する。これを解くことで二次法則を導くことができる。
軍事における弱者とは、兵員数が少ない方の軍のことである。
ビジネスにおける弱者とは、市場シェアが2位以下のことである。
第1法則と第2法則を比較すると、A軍の損害は、第1法則を適用したときのほうが多い。よって、弱者であるB軍は、できるだけA軍を倒せるように第1法則を適用できる戦場で戦うべきである。
すなわち、実際の戦闘で言うならば、狭い谷間のような場所に軍を進め、たとえ銃や大砲を使用しても一人で多数を攻撃不可能な状況にして、接近戦・一対一の戦闘にもっていけば、A軍の損害を増やすことができる。もちろん第1法則においても、多数であるほうが優勢であるのは間違いないので、敵を分散させて各個撃破していくことも大切である。
ランチェスターの研究成果を踏まえた数学的な研究が何人かの研究者によって行なわれている。そのうちの一人は海戦術理論の研究者であるブラッドレー・フィスクである。彼は艦隊の火力を集中することの定量的な有効性を分析することに功績がある。劣勢にある艦隊の戦闘力の減少率は算術級数的ではなく幾何級数的であることを示し、二つの艦隊の戦力の格差が広がる過程を方程式として描き出した。フィスクの研究成果である方程式はランチェスターの第2法則の要素を含みながらも、より操作しやすい異なる方程式を提唱した。
またオシポフはランチェスターと同じ結論にほぼ同時期に到達しており、1915年に一連の論文でオシポフ方程式を提唱した。オシポフはフィスクやランチェスターの理論を参照することができなかったために、各時点において対抗している両軍の戦力の損耗を表現するための累乗の指数を用いた関数を使用することを独自に考案した。さらに、歴史的な事実を統計学の手法を応用して分析することを始めている。
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フォルクスワーゲン社は製品を他社と競争販売を行う場合、自社占拠率が40%を超える地域を1つ獲得することを最初の目標とし、同時に他社占拠率が40%を超える地域は後回しにする40パーセント・コントロール主義と呼ばれる経験則を販売戦略としていた。
この「40%」という数字の根拠をランチェスターの二次法則を応用した数理モデルで説明することができる。具体的には二次法則では考慮されていなかった兵士の補給(フォルクスワーゲンの文脈はセールスマンの補給)という概念を導入し、さらに作戦による自軍の損耗も考慮した連立微分方程式
d x d t = − a x − b y + A {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=-ax-by+A}
d y d t = − c x − d y + B {\displaystyle {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}=-cx-dy+B}
を考える。ここでx、yは兵士の数(フォルクスワーゲンの文脈では、セールスマンや店舗数等の「販売戦力」)、A、Bはそれぞれ単位時間あたりの自軍、敵軍(フォルクスワーゲンの文脈では自社、敵対会社。以下同様)の補給である。さらに両軍とも、全兵力を戦略用、戦術用の2つに分け、
例えば x 0 = 1000 {\displaystyle x_{0}=1000} 、 y 0 = 600 {\displaystyle y_{0}=600} であれば、(E=1とすると)一次法則の場合、
1000 − 600 = 400 {\displaystyle 1000-600=400} (人)
しか生き残らないのに対し、二次法則であれば、
1000 2 − 600 2 = 800 {\displaystyle {\sqrt {1000^{2}-600^{2}}}=800} (人)
と二倍の人数が生き残ることになり、二次法則では一次法則に比べ、人数の多い軍が大幅に有利になることが確かめられる。