エルミート多項式
エルミート多項式(-たこうしき、英: Hermite polynomial)は、常微分方程式
( d 2 d x 2 − 2 x d d x + 2 n ) H n ( x ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0}
を満たす多項式 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} のことを言う。 またこの微分方程式はスツルム=リウヴィル型微分方程式の一つである。
エルミート多項式は重み関数(英語版)を e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} として、次の直交性を持つ。
∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! δ m , n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{m,n}}
ここで δ m , n {\displaystyle \delta _{m,n}} はクロネッカーのデルタである( m = n {\displaystyle m=n} のとき1, それ以外では0)。
ロドリゲスの公式で表すと、
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}