密度行列
| Ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ + | ψ 1 ′ ⟩ ⊗ | ψ 2 ′ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle +|\psi '_{1}\rangle \otimes |\psi '_{2}\rangle }
と
| Φ ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ + | ψ 1 ′ ⟩ ⊗ e i θ | ψ 2 ′ ⟩ {\displaystyle |\Phi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle +|\psi '_{1}\rangle \otimes e^{i\theta }|\psi '_{2}\rangle }
は同一の物理状態を表す。しかしθが0でない限り、
| Ψ ⟩ ∼ e i α | Φ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle \sim \mathrm {e} ^{i\alpha }|\Phi \rangle }
を満たすαは存在しない。
すなわち | Φ ⟩ {\displaystyle |\Phi \rangle } と | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } は(位相以外にも差がある)全く別の状態ベクトルであるにもかかわらず、同一の量子状態を表す。
混合状態でいうところの「混合」の確率は、古典的な確率論の確率(ベイズ確率)である。
密度行列 ρ {\displaystyle \rho } で記述される混合状態に対して物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を観測した結果、 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の固有値λを得たとすると、波束の収縮が起こり、密度行列は
P λ ρ P λ t r ( ρ P λ ) {\displaystyle {P_{\lambda }\rho P_{\lambda } \over \mathrm {tr} (\rho P_{\lambda })}}
になる。
量子力学・量子論において、密度行列 (みつどぎょうれつ、英語: density matrix) または密度演算子 (density operator) は、量子状態を表す演算子(またはその行列表示)である。状態ベクトルや波動関数が単独では「純粋状態」しか表現できないのに対し、密度演算子・密度行列は混合状態も表現することができる。
本項ではまず背景として混合状態とは何かについて解説し、その後に密度演算子・密度行列について解説する。