線積分
上記の如く f, C を定め、C の媒介表示 r を取れば、スカラー場の線積分はリーマン和として構成することができる。区間 [a, b] を長さ ∆t = (b − a)/n の n-個の小区間 [ti−1, ti] に分割し、曲線 C 上に各小区間に対応する標本点 r(ti) をとる。標本点の集合 {r(ti) | 1 ≤ i ≤ n} に対して、標本点 r(ti−1) と r(ti) を結んでできる線分の集まりによって曲線 C を近似することができる。各標本点の間を結ぶ線分の長さを ∆si と書くことにすれば、積 f (r(ti))∆si は、高さと幅が f(r(ti)) と ∆si で与えられる矩形の符号付面積に対応する。それらの総和を取って、分割の各小区間の長さを 0 に近づける極限を
I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) Δ s i {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t_{i}){\bigr )}\Delta s_{i}}
と考えるとき、曲線上の分点間の距離は