ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は偏微分方程式を調べる基本的な道具である。即ち、楕円型線型方程式のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える関数のクラスを拡張して弱解と呼ばれる超関数解を考えることができるが、弱解の定式化(弱定式化)の多くはヒルベルト空間を成すソボレフ関数のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つがラックス・ミルグラムの定理である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対するガレルキン法(英語版)(有限要素法の一つ)の基盤をなしている。
典型的な例が、R の有界領域 Ω におけるポアソン方程式 −Δu = g のディリクレ境界問題である。弱定式化は、境界上で消えている Ω 上連続的微分可能な任意の関数 v に対して
∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v = ∫ Ω g v {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv}
を満たすような関数 u を求めることからなる。
ヒルベルト空間 H の二つのベクトル u, v が直交するのは、⟨u, v⟩ = 0 のときである。このとき u ⊥ v と書く。更に一般に、H の部分集合 S に対して u ⊥ S と書けば、これは u が S の各元と直交することを意味する。
u と v とが直交するとき、等式
‖ u + v ‖ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + 2 R e ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 {\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\mathrm {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}}
が成り立つ。これは個数 n に関する帰納法で拡張することができて、任意の互いに直交する n 本のベクトルの族 u1, ..., un に対して
自乗総和可能な複素数列の空間 l とは、各項が複素数の無限数列
( c 1 , c 2 , c 3 , ... ) {\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}
で、条件
| c 1 | 2 + | c 2 | 2 + | c 3 | 2 + ⋯ < ∞ {\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+|c_{3}|^{2}+\cdots <\infty }
を満たすもの全体からなる集合(に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの)である。この空間には標準的な正規直交基底
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , ... ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , ... ) ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\quad \vdots \end{aligned}}}
が存在する。より一般に、任意の集合 B に対して、B 上の自乗総和可能数列の成す空間 l(B) が
l 2 ( B ) = { x : B → C | ∑ b ∈ B | x ( b ) | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x\colon B\to \mathbb {C} \ \left|\quad \sum _{b\in B}|x(b)|^{2}<\infty \right.\right\}}
種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素(典型的なものはラプラス作用素)の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く(英語版)問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる(これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である)。
スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を(ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する)ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトルに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間(「時間領域」)から別なヒルベルト空間(「周波数領域」)への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。
実内積空間も同様に定められ( H {\displaystyle H} が実線型空間であることと、内積が実数値であることとが違うだけである)、この場合の内積は双線型(各引数について線型)になる。
内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } によって定義されるノルム ‖ x ‖ := ⟨ x , x ⟩ 1 / 2 {\displaystyle \|x\|:=\langle x,x\rangle ^{1/2}} は実数値関数であり、このノルムを用いて2点 x , y ∈ H {\displaystyle x,y\in H} の間の距離が d ( x , y ) := ‖ x − y ‖ = ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 / 2 {\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|=\langle x-y,x-y\rangle ^{1/2}} と定められる。これが距離であるというのは、(1)「 x , y {\displaystyle x,y} に関して対称」で、(2)「 x {\displaystyle x} と x {\displaystyle x} 自身との距離は 0 に等しく、かつそれ以外のときは x , y {\displaystyle x,y} の距離は必ず正」で、(3)「三角不等式
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) {\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
を満たす、即ち三角形 xyz の一辺の長さは他の二辺の長さの和を超えない」という三性質を満たすことを意味する。 三つ目の性質は、突き詰めればより基本的なコーシー・シュヴァルツの不等式
直交射影 PV は H のノルム ≤ 1 なる自己随伴作用素で条件 P2V = PV を満足する。さらに任意の自己随伴線型作用素 E で E = E を満たすものは、E の値域を V として PV の形に表される。また H の各元 x に対して、PV(x) は距離 ‖x − v‖ を最小にする V の唯一の元 v になる。
このことから、V の元による x の最適近似であるという PV(x) の幾何学的解釈が得られる。
二つの射影 PU, PV が互いに直交するとは、PUPV = 0 が成り立つときにいう。これは U, V が H の部分空間として直交することと同値である。二つの射影 PU, PV の和が再び射影となるのは U と V とが互いに直交するときに限られる。このとき PU + PV = PU+V が成り立つ。合成 PUPV は一般には射影にならない。事実、合成が射影となる必要十分条件は二つの射影が可換となることであり、その場合 PUPV = PU∩V が成り立つ。
直交射影 PV の終域をヒルベルト空間 V へ制限することにより、射影 π: H → V が生じる。これは包含写像 i: V → H に対して
⟨ i x , y ⟩ H = ⟨ x , π y ⟩ V ( x ∈ V , y ∈ H ) {\displaystyle \langle ix,y\rangle _{H}=\langle x,\pi y\rangle _{V}\quad (x\in V,y\in H)}