竹内外史
ゲーデルによって、1931年、算術以上の数学的内容をもった形式的体系がもし無矛盾ならば、その無矛盾性の証明はその体系の中で形式化されうるようなしかたによっては証明できない(不完全性定理)ことが示され、ヒルベルト・プログラムの遂行は至難なことがわかった。その後、有限の立場を発展させることによって、1936年ゲンツェンが算術(純粋数論)の無矛盾性を証明した。本質的に算術を超える内容をもつ実数論ないしは解析学となると、不可避的に集合概念を含むためその無矛盾性の証明は極度に困難である。竹内は、1953年にLKを拡張して高階の述語論理をゲンツェン・タイプで形式化(GLCと呼ばれる)し、GLCに対してもゲンツェンの基本定理と同様な定理が成り立つという予想(竹内の基本予想(英語版)と呼ばれる)を立て、基本予想が有限的構成的しかたで証明できれば、解析学の無矛盾性は一挙に解決されることを示した。
その後、基本予想の部分的解決を重ねるとともに、その補助手段として構成的順序数の一種であるordinal diagramなる概念を導入、その理論の発展と整備補強に努め、広範な内容をもつ解析学の部分体系の無矛盾性を証明した。