パデ近似
滑らかな関数 f(x) と非負整数 m, n に対して f(x) の [m/n] 次パデ近似とは有理関数
R ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a m x m 1 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ + b n x n {\displaystyle R(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}}}
であって
f ( k ) ( 0 ) = R ( k ) ( 0 ) ( 0 ≤ k ≤ m + n ) {\displaystyle f^{(k)}(0)=R^{(k)}(0)\qquad (0\leq k\leq m+n)}
を満たすものをいう。(特に n = 0 のときは原点における m 次テイラー多項式に他ならない。)
有理関数 R(x) の原点におけるテイラー級数は先頭の m + n + 1 項が f(x) のそれと相殺され、
f ( x ) = R ( x ) + O ( x m + n + 1 ) {\displaystyle f(x)=R(x)+O(x^{m+n+1})}
となる。
パデ近似は与えられた非負整数 m, n に対して(存在すれば)一意的に決まる——つまり係数 a 0 , a 1 , ...
exp  ( x ) ≈ 1 + ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 9 ) x 2 + ( 1 / 72 ) x 3 + ( 1 / 1008 ) x 4 + ( 1 / 30240 ) x 5 1 − ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 9 ) x 2 − ( 1 / 72 ) x 3 + ( 1 / 1008 ) x 4 − ( 1 / 30240 ) x 5 {\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}
パデ近似を使用すると、関数の臨界点と指数を抽出できる。熱力学では、関数 f(x) が点x = rの近くで f ( x ) ∼ | x − r | p {\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}} のように非解析的にふるまうとき、 x=rを臨界点、 pをfの関連する臨界指数と呼ぶ。fの級数展開の十分な項が分かっている場合、パデ近似 [ n / n + 1 ] g ( x ) {\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)} の極と残差から臨界点と臨界指数をそれぞれ見積もることができる。 ここで、 g = f ′ f {\displaystyle g={\frac {f'}{f}}} である。