複素幾何学
複素解析的多様体 M の解析的部分集合(analytic subset)は、局所的には M 上の正則函数の族の零点の軌跡である。解析的部分集合がザリスキー位相で既約のときに、解析的部分多様体という。
X を微分可能多様体とする。複素ベクトルバンドル π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} の基本不変量はバンドルのチャーン類である。定義により、チャーン類は、 c i ( E ) {\displaystyle c_{i}(E)} が H 2 i ( X , Z ) {\displaystyle H^{2i}(X,\mathbb {Z} )} の元であり、次の公理をみたすような数列 c 1 , c 2 , ... {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots } ことである。
任意の微分可能写像 f : Z → X {\displaystyle f:Z\to X} に対し、 c i ( f ∗ ( E ) ) = f ∗ ( c i ( E ) ) . {\displaystyle c_{i}(f^{*}(E))=f^{*}(c_{i}(E))\ .}
c ( E ⊕ F ) = c ( E ) ∪ c ( F ) {\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\cup c(F)} ここに、F は E と異なるバンドルで c = 1 + c 1 + c 2 + ... {\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\dots } とする。
i > rk  E {\displaystyle i>\operatorname {rk} E} に対し、 c i ( E ) = 0 .