スペクトル系列
}
が成り立つ。同じ理由で E ∞ 1 , 0 = E 2 1 , 0 {\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}} であり、また F 2 H 1 = 0 {\displaystyle F^{2}H^{1}=0} であるから、
0 → E 2 1 , 0 → H 1 → E ∞ 0 , 1 → 0 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0}
となる。 F 3 H 2 = 0 {\displaystyle F^{3}H^{2}=0} であるから、 E ∞ 2 , 0 ⊂ H 2 {\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}} である。列をつなげて、いわゆる5項完全系列(英語版)
0 → E 2 1 , 0 → H 1 → E 2 0 , 1 → d E 2 2 , 0 → H 2 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}}
を得る。
R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。テンソル積の導来関手を Tor と表していたことを思い出そう。これは最初の引数の射影分解を使って定義されていたが、実は Tor i  ( M , N ) = Tor i  ( N , M ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)} が成り立つ。スペクトル系列を使わずにこのことを確かめることもできるが、スペクトル系列を使うと非常に簡単に確かめられる。
M と N の射影分解を一つとり、それぞれ P ∙ {\displaystyle P_{\bullet }} と Q ∙ {\displaystyle Q_{\bullet }} と表す。これらを負の次数で消えている複体と捉え、微分はそれぞれ d と e とする。2重複体を、項は C i , j = P i ⊗ Q j {\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}} 、微分は d ⊗ 1 {\displaystyle d\otimes 1} と ( − 1 ) i ( 1 ⊗ e ) {\displaystyle (-1)^{i}(1\otimes e)} と定義して作る。(−1 の項は微分を反可換にするため。
コホモロジー群にはカップ積により環の構造が入り、コホモロジー環となる。したがって、スペクトル系列を同様に環の構造つきで考えることは自然なことである。 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} をコホモロジー的なスペクトル系列とする。これが乗法構造を持つとは、(i) E r {\displaystyle E_{r}} が(2重次数つきの)次数付き微分代数であって、(ii) E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} での乗法は E r {\displaystyle E_{r}} での乗法からコホモロジーを通じて誘導されている ことを言う。
典型的な例は、係数群が環 R であるときのファイブレーション F → E → B {\displaystyle F\to E\to B} に対するコホモロジー的なセール・スペクトル系列(英語版)である。これは E 2 {\displaystyle E_{2}} ページにおけるファイバーと底(空間)のカップ積から誘導された乗法構造を持つ。しかし、一般には極限の項 E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} は次数つき多元環として H(E; R) と同型にはならない。乗法構造はスペクトル系列における微分の計算に非常に役に立つ。
A を補助的なデータとして使い、E0 項が C であるようなスペクトル系列を作ろう。
スペクトル系列の次のシートに行くために、導来対(derived couple)をまず作る。次の記号を準備する:
d = g o h
A' = f(A)
C' = Ker d / Im d
f' = f|A'、f の A' への制限
h' : C' → A'、h から誘導されるもの。h がこのような写像を誘導することは簡単に分かる。
g' : A' → C' は次のように定義する。A' の元 a に対して、A の元 b が存在して a は f(b) と書ける。g'(a) を、C' における g(b) の像として定義する。一般の状況では、g' はアーベル圏に対する埋込み定理の一つを使って作られる。
定義からすぐに (A', C', f', g', h') が完全対となることが分かる。C' をスペクトル系列の E1 項とする。この操作を繰り返して完全対の列 (A, C, f, g, h) が得られ、C を En 項とし、dn を g o h と置くことで、求めるスペクトル系列になる。
混合ホッジ構造の構築に使うことができる
フィルターつき複体についての収束先(abutment)を使うと、
H p I ( H q I I ( C ∙ , ∙ ) ) ⇒ p H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}
H q I I ( H p I ( C ∙ , ∙ ) ) ⇒ q H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}
が分かる。一般には、H(T(C•,•)) 上の2つの次数付けは異なる。にもかかわらず、この2つのスペクトル系列から有益な情報を得ることが可能である。
)射影加群は平坦なので、射影加群をテンソルする操作とホモロジーを取る操作は交換可能である。したがって、
H p I ( H q I I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H p I ( P ∙ ⊗ H q I I ( Q ∙ ) ) {\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))}
H q I I ( H p I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H q I I ( H p I ( P ∙ ) ⊗ Q ∙ ) {\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })}
が成り立つ。2つの複体は分解になっているので、そのホモロジーは次数0部分を除き消える。次数0部分には
H p I ( P ∙ ⊗ N ) = Tor p  ( M , N ) {\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}