ウィルティンガーの微分
これは一変数と多変数とで異なる:n > 1 に対して完全な一般性でチェインルールを表現するには2つの領域 Ω ′ ⊆ C m {\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}} および Ω ′′ ⊆ C p {\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}} と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数 g : Ω ′ → Ω {\displaystyle g:\Omega '\to \Omega } および f : Ω → Ω ′′ {\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''} を考える必要がある。
補題2. f , g ∈ C 1 ( Ω ) {\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )} であれば、 i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} に対して、積の微分法則が成り立つ
∂ ∂ z i ( f ⋅ g ) = ∂ f ∂ z i ⋅ g + f ⋅ ∂ g ∂ z i , ∂ ∂ z ̄ i ( f ⋅ g ) = ∂ f ∂ z ̄ i ⋅ g + f ⋅ ∂ g ∂ z ̄ i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\cdot g\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}}
この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学的視点の微分であることに注意。