二項積
幾らかの文献において、二項積 (dyadic) を一般化して三項積 (triadic), 四項積 (tetradic), ..., 多項積 (polyadic) などを同様の方法で定めるものがある。
( a × I ) ⋅ ( b × I ) = a b − ( a ⋅ b ) I , {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {I} )\cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {I} )=\mathbf {ab} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {I} ,}
I ⋅ ×  a b = b × a , {\displaystyle \mathbf {I} \mathop {_{\textstyle \cdot }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {ab} =\mathbf {b} \times \mathbf {a} ,}
I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
は単位行列になる。
これは(併置記法が何を意味するのかという論理的な文脈で)より注意深く基礎付けることができる。有限次元ベクトル空間 V と V 上の二項積テンソルは、V とその双対空間に関するテンソル積の基本テンソルである。
V とその双対空間 V とのテンソル積が V から V への線型写像の空間に線型同型であることに基づけば、二項積 vf は w ∈ V を f(w)v へ写す線型写像と看做すことができる。V が n-次元ユークリッド空間のときは、内積を用いて V はその双対空間と同一視できるから、二項積はユークリッド空間の二つのベクトルの基本テンソル積になる。
この意味で、基本二項積 ij は a1i + a2j + a3k を a2i に写す三次元空間からそれ自身への写像であり、同様に jj は同じ和を a2j に写す。そうすると、ii + jj + kk は恒等写像(単位元)であるということにはっきりと意味ができて、これは a1i + a2j + a3k をそれ自身に写す。