土圧
P p = γ t H 2 c o s ( θ ) s i n ( θ + φ ) 2 s i n θ c o s ( θ + φ ) {\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta +\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。 ∂ P p ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、 θ {\displaystyle \theta \,\!} は次のように得られる。 θ = π 4 − φ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の受働土圧は次のように得られる。 P p = 1 2 γ t K p H 2 {\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!} K p = t a n 2 ( π 4 + φ 2 ) {\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
ランキン土圧とクーロン土圧は一見違う理論のように見えるが、実は同じである。ただし、適用できる対象がやや異なるので下に表にしてまとめた。
水平応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧