確率測度
函数 μ が事象空間上の確率測度であるためには、以下の2つの条件が満たされなければならない。
μ は、単位区間 [0, 1] 上の値を返し、空集合に対しては0を返し全空間では1を返す関数である。 互いに素な高々可算個の可測集合列 {En} に対し、 μ ( ⋃ n ∈ N E n ) = ∑ n ∈ N μ ( E n ) {\displaystyle \mu {\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }E_{n}{\Bigr )}=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\mu (E_{n})} を満たす(完全加法性、英: countable additivity)。
例えば、確率変数 X が 1, 2, 3 を取る確率がそれぞれ 1/4, 1/4, 1/2 であるとすると、X = 1 or 3 である確率は 1/4 + 1/2 である。
事象の共通部分に基づく条件付き確率は以下のように定義される。
P ( B ∣ A ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) . {\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}.}
このような条件付き確率は、P(A) が 0 でない限り、確率測度である。
より一般的なファジー測度(英語版)は確率測度とは異なるものになっている。ファジー測度では、ファジー値を足し上げた時に 1 とはならないかもしれない。そして、加法性は集合の包含関係に基いた順序関係に置き換えられる。
確率論における確率測度(かくりつそくど、英: probability measure)は、標本空間に事象となる完全加法族が与えられたとき、事象の確率を測る測度のことである。一般の測度の公理(完全加法性など)に加えて、標本空間の測度は 1 であることが公理に加わる。
確率測度は、アンドレイ・コルモゴロフが『確率論の基礎概念』(1933年)で確率を公理的確率へと拡張する上で導入された。
確率を「事象の測度」ととらえることにより、確率を公理的立場から決定し、非等確率空間における理論的確率も求められるようになった。
確率測度は物理学からファイナンスや生物学まで様々な分野において応用されている。
Probability and Measure by Patrick Billingsley, 1995 John Wiley ISBN 978-0-471-00710-4
Probability & Measure Theory by Robert B. Ash, Catherine A. Doléans-Dade 1999 Academic Press ISBN 0-12-065202-1