射影多様体
X ⊂ P N {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}} を射影多様体とする.X の次数をその埋め込みに対して定義する少なくとも2つの同値な方法がある.1つ目の方法はそれを有限集合
# ( X ∩ H 1 ∩ ⋯ ∩ H d ) {\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}
の濃度として定義するものである.ここで d は X の次元で,Hi たちは「一般の位置」にある超平面である.この定義は次数の直観的なアイデアに対応する.実際,X が超曲面のとき,X の次数は X を定義する斉次多項式の次数である.「一般の位置」は,例えば交叉理論によって正確にできる;交叉が proper(英語版) で,既約成分の重複度がすべて 1 であることを課す.
前の節で述べられた他の定義は,X の次数は X のヒルベルト多項式の頭係数掛ける (dim X)! である.幾何学的には,この定義は、X の次数は X 上のアフィン錐の頂点の重複度であることを意味する.
V 1 , ... , V r ⊂ P N {\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}} を proper に交わる純次元の閉部分スキームとする(それらは一般の位置にある).
φ − 1 ( { y i ≠ 0 } ) = { s i ≠ 0 } {\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\}} , ただし y i {\displaystyle y_{i}} は P r {\displaystyle \mathbb {P} ^{r}} の斉次座標.
E と交わらない任意の閉部分スキーム Z ⊂ P n {\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}} に対して,制限 φ : Z → P r {\displaystyle \phi \colon Z\to \mathbb {P} ^{r}}
は有限射である.
射影は,有限射の違いを除いて,射影多様体が埋め込まれている次元を減らすのに使うことができる.射影多様体 X ⊂ P n {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}} から始めよう.n > dim X ならば,X 上にない点からの射影は φ: X → P を与える.さらに,φ はその像への有限射である,したがって,この手続きを繰り返して,有限射
X → P d , d = dim  X {\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\,d=\operatorname {dim} X}
があることが分かる.この結果はネーターの正規化定理の射影類似である.(実は,それは正規化定理の幾何学的証明を与える.)
同じ手続きは以下の僅かにより正確な結果を示すのに使える:完全体上の射影多様体 X が与えられると,X から P d + 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}} 内の超曲面 H への有限双有理射が存在する.特に,X が正規ならば,それは H の正規化である.
X を滑らかな射影多様体ですべての既約成分が n 次元であるものとする.この状況において,標準層 ωX は,top degree のケーラー微分(すなわち代数的 n 形式)の層として定義され,直線束である.
チャウの定理もう一方へ行く顕著な方法を提供する.それは複素射影空間の任意の解析的部分多様体は代数的であると述べている.定理は次のように解釈できる:ある増大条件を満たす正則関数は代数的でなければならない:「射影的」がこの増大条件を与える.定理から以下を結論できる:
複素射影空間上の有理型関数は有理関数である.
代数多様体の間の代数的写像が解析的同型ならば,(代数的)同型である(この部分は複素解析で基本的な事実である).特に,チャウの定理は射影多様体の間の正則 (holomorphic) 写像が代数的であることを意味している(そのような写像のグラフを考えよ).
射影多様体上の任意の正則ベクトル束は一意的な代数的ベクトル束から誘導される.
射影多様体上の任意の正則直線束は因子の直線束である.
チャウの定理はセールの GAGA 原理を用いて示すことができる.その主定理は以下である:
X を C 上の射影スキームとする.このとき,X 上の連接層を対応する複素解析空間 X 上の連接層に割り当てる関手は圏同値である.さらに,自然な写像 H i ( X , F ) → H i ( X an , F ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}
はすべての i と X 上のすべての連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対して同型である.
は任意の多項式に対しては意味をなさず,f は斉次,すなわちすべての単項式(和が f)の全次数が同じでなければならない.この場合,
f ( λ x 0 , ... , λ x n ) = λ deg  f f ( x 0 , ... , x n ) {\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}
が消えることは λ ( ≠ 0 ) {\displaystyle \lambda (\neq 0)} の選択に依らない.
したがって,射影多様体は k [ x 0 , . . . , x n ] {\displaystyle k[x_{0},...,x_{n}]} の斉次素イデアル I から
X = { [ x 0 : ⋯ : x n ] ∈ P n , f ( [ x 0 : ⋯ : x n ] ) = 0 for all f ∈ I } {\displaystyle X=\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbf {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\}}
として生じる.
さらに,射影多様体 X は代数多様体である,すなわち開アフィン部分多様体によって被覆され,分離公理を満たす.したがって,X の局所的な研究(例えば特異点)はアフィン多様体の研究に帰着される.明示的な構造は以下のようである.射影空間 P は標準的な開アフィンチャート