スカラー場の理論
ファインマン・ダイアグラムにおいてループとして表される高次の輻射補正は、場の量子論の計算で無限大の発散項として現れる。この発散を回避する操作が繰り込みである。このとき、繰り込みによって導入されたエネルギースケールに依存して結合定数や質量が変化する。
結合定数のエネルギースケール依存性はベータ関数によって記述される。結合定数をg、エネルギースケールをμとして、ベータ関数は以下のように定義する。
β ( g ) = μ ∂ g ∂ μ {\displaystyle \beta (g)=\mu \,{\frac {\partial g}{\partial \mu }}}
このようにエネルギースケールに依存する結合定数は有効結合定数、あるいは走る結合定数と呼ばれ、これらの理論は繰り込み群によって記述される。
結合定数が十分小さく扱える領域において、ベータ関数は摂動論のような近似的な方法で計算される。このとき、ベータ関数は結合定数の級数として展開され、高次の項の寄与(高次のループ)は無視される。
φ理論において、1次の摂動におけるベータ関数は以下のように計算される。
β ( g ) = 3 16 π 2 g 2 + O ( g 3 ) {\displaystyle \beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O(g^{3})}
φ理論のラグランジアン密度は離散的な変換
φ → − φ {\displaystyle \phi \rightarrow -\phi }
のもとで対称である。この対称性は位数2の巡回群 Z2として表現されることから、Z2対称性と呼ばれる。
mが正であるとき、結合定数gを正として、このポテンシャル
V ( φ ) = 1 2 m 2 φ 2 + g 4 ! φ 4 {\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}
をφについて4次の実関数として解けば、ただ1つの極小値が得られる。このときの解φ=0は明らかにZ2対称である。一方、mが負であるとき、このポテンシャルは2つの極小値を持つ(φ=0のときは極大値)。このようなポテンシャルは二重井戸型ポテンシャル(double well potential)あるいは二重極小ポテンシャル(double minimum potential)と呼ばれ、最低エネルギー状態(量子論においては真空)がφ=0でなくなったことによりラグランジアン密度のZ2対称性が成り立たなくなる。これは、Z2対称性が自発的に破れていることを表している。