フィッシャーの方程式
すなわち、この解は平衡状態 u = 0 からもう一つの平衡状態 u = 1 へと移るものである。但し、c < 2 に対してはそのような解は存在しない。与えられた波速度に対し、その波形は一意に定まる。
特別な波速度 c = ± 5 / 6 {\displaystyle c=\pm 5/{\sqrt {6}}} に対して、すべての解は閉形式
v ( z ) = ( 1 + C e x p ( ± z / 6 ) ) − 2 {\displaystyle v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\pm {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}
で記述される。ここで C {\displaystyle C} は任意であり、上述の極限についての条件は C > 0 {\displaystyle C>0} に対して成立する。
フィッシャーの方程式は、ことによると、半線型反応拡散方程式
∂ u ∂ t = Δ u + F ( u ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+F\left(u\right)}
の最も簡単な例かも知れない。ここでその方程式は、 f ( u ) = 0 {\displaystyle f(u)=0} で与えられる平衡状態の間を移る進行波解を見せるものである。そのような方程式は、例えば、生態学、生理学、燃焼、結晶化、プラズマ物理、および一般的な相転移の問題において現れる。
進行波解の存在の証明や、それらの性質の解析は、しばしば位相空間法によって行われる。