イデアル商
イデアル商は代数幾何において差集合と関係がある。正確に言うと、
W がアフィン多様体で V がその(多様体とは限らない)部分集合であれば、
I ( V ) : I ( W ) = I ( V ∖ W ) {\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)}
ただし I ( ∙ ) {\displaystyle I(\bullet )} は部分集合から定まるイデアルをとることを表す。
I と J が k[x1, ..., xn] のイデアル、ただし k は代数的閉体で I は根基イデアルであれば、
Z ( I : J ) = c l ( Z ( I ) ∖ Z ( J ) ) {\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}
ただし c l ( ∙ ) {\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )} はザリスキ閉包を表し Z ( ∙ ) {\displaystyle Z(\bullet )} はイデアルによって定まる多様体をとることを表す。 I が根基でなければ、イデアル J を saturate すれば同じ性質が成り立つ。
Z ( I : J ∞ ) = c l ( Z ( I ) ∖ Z ( J ) ) {\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}
ただし J ∞ = J + J 2 + ⋯ + J n + ⋯ {\displaystyle J^{\infty }=J+J^{2}+\cdots +J^{n}+\cdots } .