写像の合成
が成り立つが、これは負の実数も含めた実数全体では成り立たない。集合 X 上の変換写像 φ: X → X が逆写像 φ: X → X を持つならば、これらは常に可換であり
φ ∘ φ − 1 = φ − 1 ∘ φ = i d X {\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}=\varphi ^{-1}\circ \varphi =\mathrm {id} _{X}}
が成り立つ。ここに、idX は集合 X 上の恒等写像である。
写像を関係の特別な場合(つまり一意対応あるいは函数関係)と考える場合にも、関係の合成 g ∘ f ⊂ X × Z {\displaystyle g\circ f\subset X\times Z} が、 f ⊂ X × Y {\displaystyle f\subset X\times Y} と g ⊂ Y × Z {\displaystyle g\subset Y\times Z} を用いた式として、同様に定義される。
可微分写像同士の合成写像の微分は連鎖律を用いることによって求められる。またその高階微分はファア・ディ・ブルーノの公式(英語版)で与えられる。
写像の合成によって与えられる構造は公理化され、圏論において一般化される。