半周長
四角形の4辺の長さを a, b, c, d とすると、半周長は以下の式で表すことができる。
s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
三角形の面積の公式の一つは円に外接する四辺形にも適用できる。ピトーの定理により、対辺の長さの和は半周長に等しい。そして、内接円の半径 r を用いて以下の式で面積を表すことができる。
S = r s {\displaystyle S=rs}
円に内接する四角形の面積を求めるブラーマグプタの公式は、ヘロンの公式に似た単純な形をしている。
S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}}
ブレートシュナイダーの公式は、この式を一般の凸四角形に拡張したものである。
S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cos 2  ( α + γ 2 ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
ここで、 α {\displaystyle \alpha } と γ {\displaystyle \gamma } は向かい合う角の大きさである。