0.999...
公理的集合論を用いて、実数の集合を有理数の集合上で組み立てられた(英語版)ある種の構造として明示的に定義する方法はいくつか存在する。まず、自然数とは、ものを数えるときに用いる番号のことであり、0 から始めて 0, 1, 2, ... と、+1 ずつ添加していくことにより得られる。自然数を拡張して整数全体を得るには、各自然数の反数を添加すればよい。さらにそれらの商を添加すると、有理数全体が得られる。これらの数体系には、加減乗除という四則演算が付随しており、さらに、任意の2数を比較しての大小関係(どちらが大きいか、小さいか、等しいか)という順序をも備えている。
有理数から実数への拡張は(自然数から整数や有理数への拡張と比べて)大きな飛躍である。この拡張の方法は、少なくとも2つの手法がよく知られている。ともに1872年に発表された有理数の切断によるものとコーシー列によるものである。これらの実数の構成法により 0.999... = 1 を証明している実解析の教科書は見られない。現代数学では、解析学的に実数を構成し、それが数の公理を満たすかどうかに注意が払われる。公理による解析的手法により 0.999... = 1 を証明することになるからである。しかしながら、実数の構成をより適切に、論理的に行うことにより、0.999... = 1 の証明はもっと直接的になされる (self-contained) と主張する人もいる。
と簡単に問題を解決することができる。この証明は早くて1770年のレオンハルト・オイラーによる Elements of Algebra において(実際には 9.999... = 10 の証明としてだが)見られる。
等比級数の公式自体はオイラー以前の成果であるが、18世紀まではその導出がいずれも項別演算を証明なしで行われていた。1811年になってやっと、Bonnycastle の教科書 An Introduction to Algebra で等比級数に関する議論を行うことで 0.999... に関する項別操作を正当化している。
19世紀には、それまでの自由すぎる無限和の計算に対する反動として、「級数はその部分和の極限として定義される」という、現在の数学でも用いられている定義が生み出された。このころの証明に基づいた微積分学や解析学の入門書においては、関連する定理を証明することによりこの等比級数もはっきりと計算されている。
数列 {xn} において、番号 n を限りなく進ませると距離 |xn − x| が 0 に近づくときに、数列 {xn} の極限が x であると定義される。等式 0.999... = 1 自身は以下のように極限として表すことにより証明される。
0.999 ⋯ = lim n → ∞ 0. 99 ⋯ 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1 {\displaystyle 0.