ランチョス法
{ A u 1 = α 1 u 1 + β 1 u 2 A u 2 = β 1 u 1 + α 2 u 2 + β 2 u 3 ⋯ A u k = β k − 1 u k − 1 + α k u k + β k u k + 1 ⋯ A u n = β n − 1 u n − 1 + α n u n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}A{\boldsymbol {u}}_{1}=\alpha _{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\beta _{1}{\boldsymbol {u}}_{2}\\A{\boldsymbol {u}}_{2}=\beta _{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\alpha _{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\beta _{2}{\boldsymbol {u}}_{3}\\\cdots \\A{\boldsymbol {u}}_{k}=\beta _{k-1}{\boldsymbol {u}}_{k-1}+\alpha _{k}{\boldsymbol {u}}_{k}+\beta _{k}{\boldsymbol {u}}_{k+1}\\\cdots \\A{\boldsymbol {u}}_{n}=\beta _{n-1}{\boldsymbol {u}}_{n-1}+\alpha _{n}{\boldsymbol {u}}_{n}\end{array}}\right.
一方、直交行列 P {\displaystyle P} の第 k {\displaystyle k} 列のベクトルを u k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k}} とすると、 P {\displaystyle P} の直交性から
u i T u j = { 0 ( i ≠ j ) , 1 ( i = j ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{i}{}^{\rm {T}}{\boldsymbol {u}}_{j}=\left\{{\begin{array}{ll}0&(i\neq j),\\1&(i=j)\end{array}}\right.}
が成立する。 また上記の直交変換はつぎのように書くことができる。
A P = P B {\displaystyle AP=PB}
ランチョス法とは、この関係から直接変換行列 P {\displaystyle P} すなわちベクトル u k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k}} を定めながら、それと同時に三重対角化を行っていく方法である。
上の等式で P = [ u 1 , u 2 , ... , u k , ... , u n ] {\displaystyle P=[{\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{k},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{n}]} とおき、 行列 B {\displaystyle B} の成分を代入して両辺の各列を比較すると、次式が得られる。