レイノルズの輸送定理
この式は
D J D t = J d i v v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}=J\,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}}
であることを利用すると、次のように整理される:
∫ κ 0 ( D θ D t J + θ D J D t ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t J + θ J d i v v ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t + θ d i v v ) J d V {\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta J\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V}