極座標系
3 次元ユークリッド空間 R における極座標系。球面座標系(英: spherical coordinate system)とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる(図を参照)。球面座標系において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。
球座標から直交直線座標への変換は
{ x = r sin  θ cos  φ y = r sin  θ sin  φ z = r cos  θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}}
で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は
{ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos  ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) φ = sgn  ( y ) arccos  ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\phi =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}}
で与えられる。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。