フレドホルムの定理
このとき、フレドホルムの定理は、いかなる λ {\displaystyle \lambda } についても、これらの方程式は自明な解 ψ ( x ) = φ ( x ) = 0 {\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0} を持つか、同数の線形独立な解 φ 1 ( x ) , ⋯ , φ n ( x ) , ψ 1 ( y ) , ⋯ , ψ n ( y ) {\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x),\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)} を持つことをいう。
積分方程式におけるフレドホルムの定理が成り立つための充分条件は、積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} が矩形 [ a , b ] × [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\times [a,b]} の上で自乗可積分なことである。
ここでは、積分を実数軸上の一次元の積分として表しているが、フレドホルム理論の中では、リーマン多様体などを含む多次元空間上の積分作用素へと一般化される。