ラグランジュ力学
ラグランジュ形式において、力学系の運動状態を指定する力学変数は一般化座標 q ( t ) = ( q 1 ( t ) , ... ) {\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )} である。力学系の性質は一般化座標とその微分(一般化速度)、および時間を変数とする関数 L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) {\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)} によって記述される。この力学系の性質を記述する関数 L はラグランジュ関数(ラグランジアン)と呼ばれる。
ラグランジュ形式において、作用汎関数はラグランジュ関数の時間積分
S [ q ] = ∫ t I t F L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt}
となり、ラグランジュの運動方程式として
c − g δ S [ φ ] δ φ ( x ) = ∂ L ∂ φ − 1 − g ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) − g ) = 0 {\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[\phi ]}{\delta \phi (x)}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)=0}
が得られる。
一般化座標に共役な一般化運動量は、ラグランジアンの一般化速度による偏微分
p i ≡ ∂ L ∂ q ̇ i {\displaystyle p_{i}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
によって定義される。 これは並進対称性から導かれる保存量である。
一般化運動量を用いると、ラグランジュの運動方程式は
p ̇ i = ∂ L ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}
となる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された力と見ることも出来る。
ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。 一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。
特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである。
力学変数としては場 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} を考える。作用積分はラグランジアン密度 L ( φ , ∂ φ , x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)} により
S [ φ ] = 1 c ∫ L ( φ , ∂ φ , x ) − g d d x {\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x){\sqrt {-g}}\,d^{d}x}
で書かれる。その変分は