コクセター群
有限コクセター群のいくつかの性質について、表にして一覧する。
一般次元正多胞体の対称変換群 (symmetry group) は必ず有限コクセター群になり、互いに双対な多胞体は同じ対称変換群を持つ。
任意の次元において、三種類の正多面体の系列を考えることができる。正 n-次元単体の対称変換群は対称群 Sn+1 であり、これを An 型のコクセター群という。n-次元超立方体およびその双対である n-次元交叉多胞体の対称変換群は BCn 型のコクセター群であり、超八面体群とも呼ばれる。
二次元、三次元、四次元の例外的正多面体が上記以外のコクセター群に対応する。二次元の場合は、正多角形の対称変換群である二面体群が系列 I2(p) を成す。三次元であれば、正十二面体およびその双対である正二十面体の対称変換群 H3 が全二十面体群 (full icosahedral group) として知られる。四次元のときは、正24胞体・正120胞体・正600胞体という三種の特別な正多胞体が存在する。はじめの一つは F4 を対称変換群としてもち、残りの二つは互いに双対で対称変換群 H4 を共有する。
Dn, E6, E7, E8 型のコクセター群は、ある種の半正多胞体の対称変換群になる。
アフィン・コクセター群 (affine Coxeter groups) もコクセター群の重要なクラスである。アフィン・コクセター群はもはや有限群ではないが、しかしどれもそれを割った商が有限群となるような可換な正規部分群を含む。そしてどの場合でも、得られる剰余群はそれ自身コクセター群となる。アフィン・コクセター群のコクセター図形は対応する剰余群のコクセター図形に余分な頂点をひとつと辺をふたつ加えることによって得られる。例えば n ≥ 2 のとき、 n+1 個の頂点を円形に並べた形の図形が An からこの方法で得られ、対応するコクセター群として An 型のアフィン・ワイル群が得られる。特に n = 2 のとき、これは二等辺三角形による標準的な平面充填の対称変換群として図示することができる。
アフィン・コクセター群の一覧を以下に挙げる。
下付の添字はどの場合も頂点数より 1 だけ少なくなっているが、それはこれらが有限の場合のコクセター図形から頂点をひとつ加えて得られることに由来する。