組成列
アーベル圏において対象 X の組成列は部分対象の列
X = X n ⊋ ⋯ ⊋ X 0 = 0 {\displaystyle X=X_{n}\supsetneq \dots \supsetneq X_{0}=0}
であって、(1 ≤ i ≤ n に対して)各商対象 Xi /Xi−1 が単純対象(英語版)であるようなものである。X が組成列をもてば、整数 n は X のみに依存し、X の長さ(英語版)と呼ばれる。
一般に、G を位数が素数のべき乗 p (p は素数、r は2以上の自然数) である巡回群とすれば、G の自明でない部分群 (G 自身および単位群 1 以外の部分群) の位数は p (s は 1 ≤ s < r である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数が p の元 (G の生成元) を含むような群にはならない。したがって、G はこれ以上直積分解できないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。
群 G が直積分解可能であるか否かにかかわらず、組成列が存在すれば、組成因子は順序と同型の違いを除いて一意的である。つまり、
G = H s ▹ ⋯ ▹ H 0 = 1 {\displaystyle G=H_{s}\triangleright \cdots \triangleright H_{0}=1}
G = K t ▹ ⋯ ▹ K 0 = 1 {\displaystyle G=K_{t}\triangleright \cdots \triangleright K_{0}=1}
をそれぞれ G の組成列とすれば、s = t であり、剰余群 (Hi−1/Hi)1 ≤i≤s と (Kj−1/Kj)1 ≤j≤t は、適当な s 次の置換 σ によって Hi/Hi−1 ≅ Kσ(i)/Kσ(i)−1 とすることができる (ジョルダン・ヘルダーの定理)。