カントール集合
スケール変換と自己相似性の背景に、ある種の保存則が支配していることがわかる。カントール集合の場合、それは構成過程の各段階において取り残されるすべての小区間に関する df 次モーメント(ただし df はカントール集合のフラクタル次元)が、常に等しく、カントール集合の df 次モーメントに一致するという事実に見ることができる
。構成の n 段目における系には長さ 1/3 の小区間が 2 個存在するから、それら小区間に x 1 , x 2 , ... , x 2 n {\textstyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{2^{n}}} とラベルを付ければ、df-次モーメントは
を満たす。
カントール集合の別の構成方法としては、次のような離散力学系の写像 f: I → Aによるものがある。
f ( x ) = { 3 x x < 1 2 3 ( 1 − x ) 1 2 ≤ x {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}3x&x<{\frac {1}{2}}\\\\3(1-x)&{\frac {1}{2}}\leq x\end{matrix}}\right.}
任意な初期点を x0 ∈ I とし、fのn回の反復合成を f としたとき、 lim n → ∞ f n ( x 0 ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{n}(x_{0})=-\infty } とならない x0 を元とする集合がカントール集合となる。
この力学系は傾き 3 としたテント写像ともいえる。通常のテント写像の傾きは [0, 2] の範囲で想定され、この傾きの範囲ならば x0 ∈ I である限り値域 A も最大で I であり、x が発散することはない。しかし傾きが 2 を超えると、ほとんどの初期点は有限の n 回反復後に I の外に出てしまい、Iの中に二度と戻らなくなる。傾き3でもほとんどの点で発散するが、カントール集合Cに属する x0 のみが発散しない。よって、カントール集合は以下のようになる。
C = { x 0 : lim n → ∞ f n ( x 0 ) ≠ − ∞ } {\displaystyle C=\left\{x_{0}:\lim _{n\to \infty }f^{n}(x_{0})\neq -\infty \right\}}