バナッハ＝アラオグルの定理
バナッハ=アラオグルの定理は半径1の閉球に対するものだが、任意の半径の閉球もコンパクトになる事が容易に示せる。また*弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する:
系 ― V*に*弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
なお、Vが回帰的(すなわちV=Vが成立する空間)であればV上の*弱位相と弱位相は同一になるので、下記の系が従う:
系 ― Vが回帰的なノルム空間であれば、Vに弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
1 < p < ∞に対しL空間やl空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えば0に収束する複素数列全体にlノルムを入れた空間c0の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。
注意しなければならないのは、*弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても*弱位相をいれたVが局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
なお、X が実数直線上の有限ラドン測度の空間(したがってリースの表現定理より、 X = C 0 ( R ) {\displaystyle X=C_{0}({\mathbb {R} })} は無限大で消失する連続函数の空間となる)の場合、可分なノルム空間に対するバナッハ=アラオグルの定理はヘリーの選択定理と同値となる。