圏同値
大雑把に述べて圏同値は「圏論的な」すべての概念と性質を保つ。たとえば F : C → D が圏同値のとき次が成り立つ。
圏 C の対象 c が始対象(あるいは終対象、零対象)である必要十分条件は圏 D の対象 Fc がそうであることである。
圏 C の射 α が単射(あるいは全射、同型射)である必要十分条件は圏 D の射 Fα がそうであることである。
関手 H : I → C が極限(あるいは余極限) l を持つ必要十分条件は関手 FH : I → D が極限(あるいは余極限) Fl を持つことである。これは等化子、直積、や直和などにも適用できる。核や余核に適用すれば圏同値 F は完全関手であることがわかる。
圏 C がデカルト閉(あるいはトポス)である必要十分条件は圏 D がそうであることである。
双対性はすべての概念を「逆転」させる。始対象は終対象に、単射は全射に、核は余核に、直積は直和になど。
F : C → D を圏同値とし、G1 と G2 を関手 F の逆とすれば、G1 と G2 は自然同型である。
F : C → D を圏同値とし、圏 C が前加法圏(あるいは加法圏、アーベル圏)ならば関手 F が加法的になるようにして圏 D もそうなる。一方、加法的圏の間の圏同値は加法的でなければならない。(最後の主張は前加法圏の間では正しいとは限らない。)
圏 C の自己同値とは圏同値 F : C → C のことである。圏 C の自己同値は自然同型な自己同値を同一視することによって合成に関して群をなす。この群は本質的に圏 C の「対称性」を捉えている。(注意:もし C が小圏でなければ、圏 C の自己同値は集合ではなくクラスをなすかもしれない。)