再生核ヒルベルト空間
したがって、この固有値と固有関数を使って、再生核が K {\displaystyle K} であるようなRKHSを構成できる。詳細は以下の通りである。
上記の仮定のもとでは、 T K {\displaystyle T_{K}} はコンパクトで連続で自己随伴で正定値な作用素である。自己随伴な作用素についてのスペクトル定理より、 lim i → ∞ σ i = 0 {\textstyle \lim _{i\to \infty }\sigma _{i}=0} たる減少列 ( σ i ) i ≥ 0 {\displaystyle (\sigma _{i})_{i}\geq 0} が存在して、 L 2 ( X ) {\displaystyle L_{2}(X)} の正規直交基底 { φ i } {\displaystyle \{\varphi _{i}\}} を用いて T K φ i ( x ) = σ i φ i ( x ) {\displaystyle T_{K}\varphi _{i}(x)=\sigma _{i}\varphi _{i}(x)} と表せる。 T K {\displaystyle T_{K}} の正定値性より、任意の i {\displaystyle i} に対して σ i > 0 {\displaystyle \sigma _{i}>0} となる。更に、 T K {\displaystyle T_{K}} は連続関数の空間 C ( X ) {\displaystyle C(X)} へ連続的に写像するから、連続関数を固有ベクトルとできる。
}
すると、再生性(2)を示せる:
⟨ f , K x ⟩ H = ∑ i = 1 ∞ a i ⟨ K x i , K x ⟩ H 0 = ∑ i = 1 ∞ a i K ( x i , x ) = f ( x ) . {\displaystyle \langle f,K_{x}\rangle _{H}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\left\langle K_{x_{i}},K_{x}\right\rangle _{H_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}K(x_{i},x)=f(x).}
一意性を証明するために、 G {\displaystyle G} を、 K {\displaystyle K} が再生核であるような、関数から成るヒルベルト空間とする。 X {\displaystyle X} の任意の x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} について、
⟨ K x , K y ⟩ H = K ( x , y ) = ⟨ K x , K y ⟩ G . {\displaystyle \langle K_{x},K_{y}\rangle _{H}=K(x,y)=\langle K_{x},K_{y}\rangle _{G}.
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\,dx.}
と定義する。フーリエ逆変換から
f ( x ) = 1 2 π ∫ − a a F ( ω ) e i x ω d ω . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-a}^{a}F(\omega )e^{ix\omega }\,d\omega .}
が成り立つ。コーシー=シュワルツの不等式とプランシュレルの定理より、任意の x {\displaystyle x} について以下が成り立つ。
| f ( x ) | ≤ 1 2 π ∫ − a a 2 a | F ( ω ) | 2 d ω = 1 π a 2 ∫ − ∞ ∞ | F ( ω ) | 2 d ω = a π ‖ f ‖ L 2 . {\displaystyle |f(x)|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\int _{-a}^{a}2a|F(\omega )|^{2}\,d\omega }}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|^{2}\,d\omega }}={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}\|f\|_{L^{2}}.