特異点解消
高次元の特異点解消問題は、正しくない証明が何度も出版され、証明が公表されることはついになかった解決の宣言が何度もなされたことで有名な、曰く付きの問題である。
4次元アフィン平面を考える。その座標を x, y, z, w とする。多項式 y − x と x + xz − w で定義される部分代数多様体 X を考える。この多項式を生成元とするイデアルの標準的な非特異化では x = y = z = w = 0 で定義される C0 を中心とするブローアップを行うだろう。変換後のイデアルは、x チャートでは x − y と y(y + z − w) で生成される。次のブローアップの中心は x = y = 0 で定義される C1 である。X の強変換 X1 は x − y と y + z − w で定義されるものである。C1 と X1 の交叉は x = y = 0 と z − w = 0 により与えられるが、これは正則ではない。
X の正則部分代数多様体をブローアップの中心とするより強い証明(Bierstone, Milman & 1991-97)では、局所的に W に埋め込んだときのイデアルの位数ではなく、X の局所環のヒルベルト・サミュエル関数が使われる。
曲面の特異点を解消するザリスキーの方法は、曲面の正規化(これは余次元1の特異点を除去する)と点でのブローアップ(これは余次元2の特異点をより良いものにするが、新しい余次元1の特異点が生まれるかもしれない)を交互に繰り返すというものである。これで曲面の特異点を解消できるのであるが、ザリスキーはもっと持って回った方法を使った。彼はまず局所一意化定理(英語版)を証明し、曲面の任意の付値が解消できることを示した。そしてザリスキー・リーマン曲面がコンパクトであることを使って、曲面の有限集合であって各付値の中心がこれらのうちの少なくとも1つの曲面上で単純(simple)であるようなものを見つけることが可能であることを示した。最後に、曲面の間の双有理写像を調べて、この曲面の有限集合を1つの非特異曲面に置き換えれることを示した。
1次元と2次元では最小解消(解消であって全ての解消はこれを介して分解するもの)が存在したが、高次元では常に存在するとは限らない。アティヤ・フロップ(英語版)は最小解消が存在しない3次元での特異点の例である。Y を A における xy = zw の零点とし、V を Y の原点でのブローアップとする。このブローアップの例外軌跡は P×P と同型である。これは、2つの異なるやり方で P にブローダウンすることができ、それぞれ Y の2つの小さい解消(英語版) X1 と X2 を与える。どちらもこれ以上ブローダウンすることはできない。