双有理幾何学
代数多様体は、それらがどれくらい多くの双有理自己同型を持っているかに大きな幅がある。一般型のすべての多様体は、双有理自己同型群は有限群であるという意味で、極度に剛性を持っている。反対の例は、体 k 上の射影空間 P の自己同型群は、クレモナ群(英語版) Crn(k) として知られているが、n ≥ 2 に対しては大きい(ある意味では無限次元である)。n = 2 に対しては、少なくとも複素クレモナ群 Cr2(C) は、 P の自己同型である群 PGL(3,C) とともに、次の「二次変換」により生成される。
[x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]
このことはマックス・ネター(英語版)(Max Noether)とグイド・カステルヌオボー(英語版)(Guido_Castelnuovo)により指摘された。対照的に、次元 n ≥ 3 のときのクレモナ群は非常にミステリアスで、明らかな生成しか知られていない。
Iskovskikh-Manin (1971)は、滑らかな4次3次元多様体の双有理自己同型群が、有限である自己同型群に等しいことを示した。この意味で、4次3次元多様体は有理多様体とは遠い存在である。なぜならば、有理多様体の双有理自己同型群は巨大であるからだ。この「双有理剛性」とでもいうべき現象は、多くのファノファイバー空間の多くに発見されている。
全ての代数多様体は射影多様体に双有理であるので、双有理分類の目的のためには、射影多様体のみに専念すれば良く、このことは普通は最も便利な設定である。
広中平祐の1964年の特異点解消定理は非常に深く、(複素数のような)標数が 0 の体の上の全ての多様体は、滑らかな射影多様体に双有理的である。このことが与えられると、滑らかな射影多様体を双有理同値を除外して分類することに集中することができる。
次元 1 では、2つの滑らかな射影曲線が双有理であれば、それらは同型である。しかし少なくとも次元が 2 でこのことはブローアップ(en:blowing up)の構成により成立しない。ブローアップにより、少なくとも次元 2 の全ての滑らかな射影多様体は、例えば、より大きなベッチ数を持つ、無限に多くの「より大きな」多様体に双有理同値である。
このことは、極小モデルの考え方を導く。