距離微分
| f ( x ) − f ( y ) | = ∫ 0 1 | χ [ 0 , x ] ( t ) − χ [ 0 , y ] ( t ) | d t = ∫ x y d t = | x − y | {\displaystyle |f(x)-f(y)|=\int _{0}^{1}|\chi _{[0,x]}(t)-\chi _{[0,y]}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}\,dt=|x-y|}
が 0 ≤ x ≤ y≤ 1 に対して成り立つため、この関数はリプシッツ連続(さらに実際、等長)である。しかし、[0,1] 内のどのような x に対しても、limh→0(f(x + h) − f(x))/h は L 関数には収束しないことが確かめられるため、f は至る所で微分不可能である。
しかしラーデマッヘルの定理を、ほとんど全ての点上に着目してどのようにリプシッツ関数が安定化するか、ということについて述べた定理と見なせば、f の線型性の代わりに距離の性質について述べたものとして、そのような定理が存在することが分かる。
関数 f:R → X の微分の代わりに、R 内のある点 z における f の距離微分は、次のような極限として定義される R 上の関数である:
M D ( f , z ) ( x ) = lim r → 0 d X ( f ( z + r x ) , f ( z ) ) | r | {\displaystyle MD(f,z)(x)=\lim _{r\rightarrow 0}{\frac {d_{X}(f(z+rx),f(z))}{|r|}}}
ただしこの極限が存在するときに限る(ここで d X は X 上の距離を表す)。
Bernd Kirchheim の定理 によると、距離微分に関して、ラーデマッヘルの定理は成立することが示されている。R 内のほとんど全ての z に対して、MD(f, z) はセミノルムであり、
d X ( f ( x ) , f ( y ) ) − M D ( f , z ) ( x − y ) = o ( | x − z | + | y − z | ) {\displaystyle d_{X}(f(x),f(y))-MD(f,z)(x-y)=o(|x-z|+|y-z|)\,}
が成立する。ここで小さい o の記号は、z に非常に近い値において、関数 f がセミノルム MD(f, z) について R から距離空間 X への等長写像であることを意味している。