パラコンパクト空間
コンパクト性とパラコンパクト性の定義には類似がある: パラコンパクト性に対して、"部分被覆"は"開細分"で置き換えられ、"有限"は"局所有限"で置き換えられる。これらの変化は両方とも重要である:もしパラコンパクトの定義を取り"開細分"を"部分被覆"に、あるいは"局所有限"を"有限"に戻したら、どちらの場合にも結局コンパクト空間になる。
パラコンパクト性はコンパクト性の概念とほとんど関係がないが、位相空間の構成要素を扱いやすいピースに解体することにむしろもっと関係がある。
パラコンパクトハウスドルフ空間の最も重要な性質は正規であり任意の開被覆に従属な1の分割を持つことである。これは次を意味する: X がある与えられた開被覆を持つパラコンパクトハウスドルフ空間であれば、次を満たす単位区間 [0, 1] に値を持つ X 上の連続関数の集まりが存在する:
集まりからのすべての関数 f: X → R に対して、被覆のある開集合 U が存在して f の台は U に含まれる;
すべての点 x ∈ X に対して、x のある近傍 V が存在して、集まりの関数の有限個を除くすべては V において恒等的に 0 であり 0 でない関数の和は V において恒等的に 1 である。
実は、T1 空間がハウスドルフかつパラコンパクトであることと任意の開被覆に従属な 1 の分割を持つことは同値である(下記参照)。この性質は(少なくともハウスドルフの場合において)パラコンパクト空間を定義するのに使われることがある。
1 の分割は有用である、なぜならばそれによってしばしば局所構造を全空間に拡張できるからである。例えば、パラコンパクト多様体上の微分形式の積分はまず(多様体がユークリッド空間のように見え積分が良く知られている)局所的に定義され、そしてこの定義が 1 の分割を経由して全空間に拡張される。