物理数学
G ( r , r ′ ) = 1 4 π 2 | r − r ′ | ∫ 0 ∞ sin  k | r − r ′ | k d k {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin {k}|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}{k}}dk}
ただし、 | k | = k {\displaystyle |\mathbf {k} |=k} とした。積分部は複素積分を用いて計算することができるので次の式を得る。
G ( r , r ′ ) = 1 4 π | r − r ′ | {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )={\dfrac {1}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}
これをはじめの積分方程式に代入するとポアソン方程式の解 φ ( r ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )} を得る。
φ ( r ) = ∫ 1 4 π | r − r ′ | ρ ( r ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\int {\dfrac {1}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\rho (\mathbf {r'} )d^{3}\mathbf {r'} }