球函数に対するプランシュレルの定理
非可換調和解析においてハリッシュ=チャンドラの c-函数が果たすことになる多くの役割は Helgason (2000) にまとめられている。もともとは、前節に述べたとおりハリッシュ=チャンドラが球函数の漸近展開を行うために導入したものであったけれども、すぐに誘導表現の間の経絡作用素(表現の準同型)とも緊密な関係にあることが理解されるようになった。そのような意味でこれを研究するのは Bruhat (1957) が最初である。ここでいう経絡作用素は、ワイル群の元 s に対して πλ と πsλ とがユニタリ同値であることを示すもので、そのような作用素にc-函数 cs(λ) を割り当てることができる。具体的には、経絡作用素を定数函数 1 である ξ0 ∈ L(K/M) に施したものの 1 における値である。あるいは同じことだが、ξ0 はスカラー倍を除いて K の固定する唯一のベクトルであるから、これは経絡作用素の固有値 cs(λ) に属する固有ベクトルである。これらの経絡作用素は全て同じ空間 L(K/M) に作用し、この空間は MAN 上の λ が定める一次元表現からの誘導表現と同一視することができる。A を一つ決めたならば、コンパクト部分群 M は A の K における中心化群として一意的に決定されるが、冪零部分群 N は a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} におけるワイルの小部屋の選び方に依存し、その選び方はワイル群 W = M′/ M による置換の分だけある。
H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} の各点は k ∈ SO(2) を用いて k(ei) の形に書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。ラプラス作用素は SO(2)-不変函数の上で
Δ = − ∂ t 2 − coth  t ∂ t {\displaystyle \Delta =-\partial _{t}^{2}-\coth t\partial _{t}}
の形に書くことができて、実径数 t の函数と見ることができる。SO(2)-不変函数の積分は
∫ f d A = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) | sinh  t | d t {\displaystyle \int f\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)|\sinh t|dt}
で与えられる。この常微分方程式に対して、対応する固有函数展開を導出する方法はいくつかあるが、例えば:
古典的な常微分方程式のスペクトル論を超幾何方程式に適用する (Mehler, Weyl, Fock);
アダマールの降下法の一種で、二次元の双曲空間を、三次元の双曲空間の SL(2,C) の一径数部分群による自由作用で割った商として実現する;
セルバーグとゴドマンに従って、アーベルの積分方程式;
軌道積分 (Harish-Chandra, Gelfand & Naimark).
二つ目と三つ目の手法は後述する。降下法については二種類の異なるものを記述する。アダマールによる古典的な降下法は、双曲空間上の熱方程式および波動方程式の取り扱いに適している。また、フレンステッド-イェンゼンの降下法は双曲面 (hyperboloid) 上のものである。
f(x,r) が H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} 上の函数で
M 1 f ( x , y , r ) = r 1 / 2 ⋅ f ( x , r ) {\displaystyle M_{1}f(x,y,r)=r^{1/2}\cdot f(x,r)}
とすれば、 H n {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}} 上のラプラス作用素 Δn に関して
Δ 3 M 1 f = M 1 ( Δ 2 + 3 4 ) f {\displaystyle \Delta _{3}M_{1}f=M_{1}(\Delta _{2}+{3 \over 4})f}
が成立する。SL(2,C) の作用は Δ3 と可換であるから、SO(2)-不変函数上の作用素 M0 が SU(2) の作用による M1f の平均化として得られて、
Δ 3 M 0 = M 0 ( Δ 2 + 3 4 ) {\displaystyle \Delta _{3}M_{0}=M_{0}(\Delta _{2}+{3 \over 4})}
を満足する。また、随伴作用素 M1 が
M 1 ∗ F ( x , r ) = r 1 / 2 ∫ − ∞ ∞ F ( x , y , r ) d y {\displaystyle M_{1}^{*}F(x,r)=r^{1/2}\int _{-\infty }^{\infty }F(x,y,r)\,dy}
で定義されて
c s 1 s 2 ( λ ) = c s 1 ( s 2 λ ) c s 2 ( λ ) {\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}
が l ( s 1 s 2 ) = l ( s 1 ) + l ( s 2 ) {\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2})} なる仮定のもとで得られる。
この性質は cs の計算を s = sα, 即ち単純ルート α に関する鏡映の場合に帰着させる。いわゆる Gindikin & Karpelevič (1962) の「階数 1 還元」である。 実は積分は Σ0 に載るような α に対する g ± α {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }} が生成する部分リー環に対応する閉連結部分群 G のみが関係する 。そうして、G は実階数 1, 即ち dim A = 1 の実半単純リー群であり、cs はちょうど G のハリッシュ=チャンドラ c-函数になる。この場合 c-函数は様々な意味で直接的に計算することができる:
φλ が(超幾何方程式の接続係数に対するガウスの古典的な公式から)漸近展開の知られている超幾何函数を使って表せることに注意することによって。
直截に積分(これは二変数の積分として、従って二つのベータ函数の積として、表すことができる)を計算することによって。
それによって公式
注意すべきは、対角部分群 U に対して対称空間 G/U はコンパクト双対としてコンパクト対称空間 U &rimes; U ⁄ U を持つことである。後者の空間(これを U 自身と同一視することができる)に対する球函数は、 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} の内部に含まれる格子点で添字付けられた、正規化された指標 χλ/d(λ) で、A の役割を T が果たす。U 上の類函数 f の球変換は
f ~ ( λ ) = ∫ U f ( u ) χ λ ( u ) ̄ d ( λ ) d u {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{U}f(u){{\overline {\chi _{\lambda }(u)}} \over d(\lambda )}\,du}
で与えられ。今の場合、球反転公式は、T 上のフーリエ級数論から
f ( u ) = ∑ λ f ~ ( λ ) χ λ ( u ) d ( λ ) d ( λ ) 2 {\displaystyle f(u)=\sum _{\lambda }{\tilde {f}}(\lambda ){\chi _{\lambda }(u) \over d(\lambda )}d(\lambda )^{2}}
となることがわかる。これらの公式と非コンパクト双対における同等の公式の間には明白な双対性が存在する。