箱の中の気体
質量のない粒子では、前述した質量のない粒子についてのエネルギー分布関数を用いなければならない。 この関数を振動数分布関数に変換すると便利である。
P ν d ν = h 3 N ( V f Λ 3 ) 1 2 β 3 ν 2 e ( h ν − μ ) / k T − 1 d ν {\displaystyle P_{\nu }~d\nu ={\frac {h^{3}}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}\nu ^{2}}{e^{(h\nu -\mu )/kT}-1}}~d\nu }
ここでΛは質量のない粒子の熱的波長である。 このときエネルギースペクトル密度(単位体積あたり単位振動数あたりのエネルギー)は、
U ν d ν = ( N h ν V ) P ν d ν = 4 π f h ν 3 c 3 1 e ( h ν − μ ) / k T − 1 d ν {\displaystyle U_{\nu }~d\nu =\left({\frac {N\,h\nu }{V}}\right)P_{\nu }~d\nu ={\frac {4\pi fh\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{(h\nu -\mu )/kT}-1}}~d\nu }