0の0乗
冪を自然数ではなく実数の範囲で考え、0 を二変数関数 x の x = y = 0 における値だと考えると、次のようになる。
二変数関数 x は、定義域を D = { (x, y) | x > 0 } ∪ { (0, y) | y > 0 }とした場合には、D 全体で連続となる。しかし、原点 (0, 0) を付け加えて、D′= D ∪ {(0, 0)} を定義域とした場合には、原点における値 0 をどのように定義しても、原点において連続とはならない。それは、D' 内で(原点を通らず)原点に近づく経路によってその極限値が異なるからである。例えば、y 軸 (x = 0) に沿って原点に近づくときの極限値は
lim y → + 0 0 y = 0 {\displaystyle \lim _{y\to +0}0^{y}=0}
であるが、x 軸 (y = 0) に沿って原点に近づくときの極限値は
lim x → + 0 x 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{0}=1}
である。画像はこの二変数関数 z(x, y) = x のグラフであり、原点に近づくときの経路によって異なる極限値を持つことが見て取れる。