リュカ–レーマー–リーゼル・テスト
リュカ–レーマー–リーゼル・テストは群論的素数判定法の一種である。すなわち、ある数 N が素数であることを、群の位数が N であり、その群の元の位数も N となるような群を見出すことにより示す。
整数 N に対するリュカ・テストに対しては、N を法とする2次拡大の乗法群が適用できる。すなわち、もし N が素数であるなら、その乗法群の位数は N − 1 であり、これは位数 N + 1の部分群を持つので、その部分群の生成元を見出せばよい。
さて、数列 {ui} の閉じた式(英語版)を求める。リュカ–レーマー・テストに従い、ui = a + a と置くと、帰納法によって数列 {ui} が満たすべき漸化式 ui+1 = ui − 2 が成り立つことが示される。続いて、数列 wi = a + a の 2 番目の値について考えると、これはリュカ数列であって、a はある二次方程式の根となり、さらに wi+2 = α⋅wi+1 + β⋅wi という形の漸化式を満たす。実のところ、考慮すべきは k⋅2 番目の値であるが、リュカ数列の k 番目ごとの値からなる部分列は再びリュカ数列になるため、係数 k を扱うためには異なる初期値を選択すればよい。