凸集合
ユークリッド空間内の凸性の概念は、定義の一部を修正またはほかのものに取り換えて一般化することができる。「一般化された凸性」という語は、得られる対象が凸集合たちの持つある種の性質を保っていることを示唆して用いられる。
一般化凸性の例として、直交凸性がある。
ユークリッド空間内の集合 S が直交凸であるとは、S の二点を結ぶ任意の座標軸に平行な任意の線分全体が、S の中に含まれる場合を言う。直交凸性を持つ集合の交叉が直交凸であることを証明することは容易である。凸集合の持つ他の性質も成立する。
ユークリッド空間における物体が凸(とつ、英: convex)であるとは、その物体に含まれる任意の二点に対し、それら二点を結ぶ線分上の任意の点がまたその物体に含まれることを言う。例えば中身のつまった立方体は凸であるが、例えば三日月形のように窪みや凹みのあるものは何れも凸でない。凸曲線(英語版)は凸集合の境界を成す。
凸集合の概念は後で述べるとおり他の空間へも一般化することができる。