公理
以下にいくつかの公理の例を示す。
命題 P が成立するなら、命題「PまたはQ」も成立する。
2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる(ユークリッド幾何学)。
平行でない二つの異なる直線はただ一点で交わる(ユークリッド幾何学)。
a=b なら、a+c = b+cである(ユークリッド原論を参照)。
どんな自然数に対しても、その数の「次の」自然数が存在する(ペアノの公理)。
どんなものも含まないような集合(空集合)が存在する(公理的集合論)。
集合 S と条件式 P が与えられたとき、S の元のうち、条件 P(x) を満たすような x だけからなる集合を作ることができる(公理的集合論)。
すべての集合 x に対して、x ∈ U のようなグロタンディーク宇宙 U が存在する(グロタンディーク宇宙)。
公理にもとづいて証明される命題は定理という。以下に定理の例を示す。
2本の平行な線とそれに平行でない一本の直線が成す錯角は等しい(ユークリッド幾何学)。
三角形の内角の和は180度である(ユークリッド幾何学)。
円周角の定理(ユークリッド幾何学)。