結び目理論
位相幾何学では、連続写像を用いて連続的に変形して互いに一致させることができる図形は同相といって、一般に同じものであると考える。結び目理論も位相幾何学の理論であるから、同様な同一視を行うのであるが、しかしいかなる結び目も円周 S と同相であるので、同相であるかどうかを見るだけではどんな結び目も区別することはできない。そこで、与えられた結び目が、ある結び目を切ったり貼ったりすることなく連続的に変形していったものと一致するなら、もともと 2 つの結び目は同じであったと考える。これは、結び目のみならずその周辺の空間(英語版)まで含めて連続的に変形できるかどうかということであって、以下のように定式化される。
2 つの結び目 K, K′ に対し、S × [0, 1] 上の自己同相写像(ホモトピー)H と自己同相 h: S → S の組で次の条件
h(K) = K′,
H|S×{i} (∀i ∈ [0, 1]) は S × {i} 上の同相写像,