ベッセル関数
第2種ベッセル関数 Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} はベッセルの微分方程式の解であり x = 0 {\displaystyle x=0} において特異性を持つ。ベッセル関数はノイマン関数とも呼ばれ、 N α ( x ) {\displaystyle N_{\alpha }(x)} と表される。
第2種ベッセル関数と第1種ベッセル関数 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} は以下の関係を持つ。 Y α ( x ) = J α ( x ) cos  ( α π ) − J − α ( x ) sin  ( α π ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}
ただし、 α {\displaystyle \alpha } が整数のときは右辺は極限によって定義されるものとする。
非整数の α {\displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)} とが線形独立な2つの解を既に与えているので、 Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} は解の表現としては冗長である。