実二次正方行列
各 2×2 実行列は三種類の一般化された複素数(つまり、通常の複素数、二重数、分解型複素数)のひとつとして解釈できる。上述のように、二次の実正方行列環は、これら一般化された複素数平面の(同じ実軸を共有する)合併として記述され、各平面 Pm は各々可換部分環として表されるのであった。以下に示すように、任意に与えられた二次正方行列が、どの一般化複素平面に属するのかを決定して、平面を表す一般化複素数の種類を分類することができる。
以下、与えられた二次正方行列
z = [ a b c d ] {\displaystyle z={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
に対して z を含む平面 Pm を決定する。
先に述べたように、行列 z の平方が対角行列となるのは a + d = 0 のときであるから、行列 z は単位行列 I の実数倍と超平面 a + d = 0 に属する行列との和に表されなければならない。z を R のこれら部分空間へ射影したものを考えれば