不確定性原理
しかし
ψ 0 ( x ) := 1 2 e x p ( i π x ) {\displaystyle \psi _{0}(x):={1 \over {\sqrt {2}}}\mathrm {exp} (i\pi x)}
とすると、ロバートソンの不等式の左辺が0になる事を示すことができる。
なぜなら、
‖ ψ 0 ‖ 2 = 1 2 ∫ [ − 1 , 1 ] e x p ( i π x ) ̄ e x p ( i π x ) d x = 1 2 ∫ [ − 1 , 1 ] d x = 1 {\displaystyle \|\psi _{0}\|^{2}={\frac {1}{2}}\int _{[-1,1]}{\overline {\mathrm {exp} (i\pi x)}}\mathrm {exp} (i\pi x)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{[-1,1]}\mathrm {d} x=1}
P ^ ′ ψ 0 ( x ) := − i ħ d d x e x p ( i π x ) = ħ π ψ 0 ( x ) {\displaystyle {\hat {P}}'\psi _{0}(x):=-i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\mathrm {exp} (i\pi x)=\hbar \pi \psi _{0}(x)}
↑ Quantum Mechanics Non-Relativistic Theory, Third Edition: Volume 3. Landau, Lifshitz
↑ Furuta, Aya (2012), “One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead”, Scientific American, http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead
1 2 3 Ozawa, Masanao (2003), “Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement”, Physical Review A 67 (4), arXiv:quant-ph/0207121, Bibcode: 2003PhRvA..67d2105O, doi:10.1103/PhysRevA.67.042105
↑ Werner Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory, p. 20
ψが可微分であれば、
P ^ ′ Q ^ ′ ψ = − i ħ d d x ( x ψ ( x ) ) = − i ħ ψ ( x ) − i ħ x d d x ( ψ ( x ) ) Q ^ ′ P ^ ′ ψ = − i ħ x d d x ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}'{\hat {Q}}'\psi &=-i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(x\psi (x))=-i\hbar \psi (x)-i\hbar x{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(\psi (x))\\{\hat {Q}}'{\hat {P}}'\psi &=-i\hbar x{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi (x)\end{aligned}}}
より、
[ Q ^ ′ , P ^ ′ ] ψ = − i ħ ψ {\displaystyle [{\hat {Q}}',{\hat {P}}']\psi =-i\hbar \psi }
が成立する。したがって特に、ロバートソンの不等式の定義域に関する条件を満たしている場合には、上式が成立する。
位置と運動量の測定の関係を小澤の不等式に当てはめると、
ε P η Q + ε P σ Q + σ P η Q ≥ ħ 2 {\displaystyle \epsilon _{P}\eta _{Q}+\epsilon _{P}\sigma _{Q}+\sigma _{P}\eta _{Q}\geq {\frac {\hbar }{2}}}
となる。この改良された不等式から見ると、1927年に発表されたハイゼンベルクの不確定性原理は上式の第1項についてのみ述べていたということになる。
小澤の不等式が示す測定誤差(左辺の第1項)の下限は、ハイゼンベルクの不等式が示していた測定誤差下限よりも第2項、第3項の分だけ小さい。このことは、ハイゼンベルクの不等式が示した限界よりも精度の良い測定ができる可能性を示唆しており、実際にそのような小澤の不等式を実証する実験結果が2012年に発表された。この実験では原子炉から出る中性子のスピン角度を2台の装置によってはかり、ハイゼンベルクの不等式の限界を超えて精度よく測定することに成功したと発表された。