半単純リー代数
代数閉体上の有限次元ベクトル空間の任意の自己準同型 x に対し、対角化可能部分 s と冪零部分 n が唯一つ存在し s と n は可換かつ
x = s + n {\displaystyle x=s+n\ }
となる。 より強く s と n は x の多項式となる。これはジョルダン分解から従う。
x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} に対し x の随伴写像での像のジョルダン分解は
ad  ( x ) = ad  ( s ) + ad  ( n ) {\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (s)+\operatorname {ad} (n)}
で与えられる。 s と n は、 n が冪零、 s が半単純、n と s が可換、 x = s + n {\displaystyle x=s+n} となる唯一の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元である。この抽象的なジョルダン分解は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の任意の表現 ρ に対してもジョルダン分解を与える。つまり
ρ ( x ) = ρ ( s ) + ρ ( n ) {\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}
は表現の自己同型環における ρ(x) のジョルダン分解を与えている。
以下の半単純リー代数の例は、ディンキン図形の分類に由来する記法を用いて表されている。
A n : {\displaystyle A_{n}:} s l n + 1 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}} 、特殊線形リー代数
B n : {\displaystyle B_{n}:} s o 2 n + 1 {\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}} 、奇数次元特殊直交リー代数
C n : {\displaystyle C_{n}:} s p 2 n {\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}} 、斜交リー代数
D n : {\displaystyle D_{n}:} s o 2 n {\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}} 、偶数次元特殊直交リー代数
これらのリー代数は n がランクとなるように番号付けられている。低次元での例外を除き、これらの大部分は単純リー代数である。これら4つの族と5つの例外型 (E6、E7、E8、F4、G2)で複素数体上の単純リー代数は尽くされている。