作用・角変数
J i := 1 2 π ∮ p i d q i = 1 2 π ∮ ∂ S i ∂ q i ( q i , α ) d q i {\displaystyle J_{i}:={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}\,dq_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint {\frac {\partial S_{i}}{\partial q_{i}}}(q_{i},{\boldsymbol {\alpha }})dq_{i}}
により作用変数 (action variable) J i = J i ( α ) {\displaystyle J_{i}=J_{i}({\boldsymbol {\alpha }})} が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は S = S ( q , J ) {\displaystyle S=S(\mathbf {q} ,\mathbf {J} )} という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ( p , q ) ↦ ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} により角変数 (angle variable)
θ i := ∂ S ∂ J i {\displaystyle \theta _{i}:={\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}}
が導入される。角変数 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は運動の一周期の間に 2 π {\displaystyle 2\pi } 変化する。
作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を用いるとき、系のハミルトニアンは H = H ( J ) {\displaystyle H=H(\mathbf {J} )} であるため、正準方程式は
d J i d t = − ∂ H ∂ θ i = 0 , d θ i d t = ∂ H ∂ J i =: ω i ( J ) {\displaystyle {\frac {dJ_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta _{i}}}=0,\ \ {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}=:\omega _{i}(\mathbf {J} )}
となる。従ってその解はただちに
J i = C o n s t . , θ i = ω i ( J ) t + β i {\displaystyle J_{i}=\mathrm {Const.} ,\ \ \theta _{i}=\omega _{i}(\mathbf {J} )t+\beta _{i}}