カルマンフィルター
Y k | k = Y k | k − 1 + ∑ j = 1 N I k , j {\displaystyle Y_{k|k}=Y_{k|k-1}+\sum _{j=1}^{N}I_{k,j}} y ^ k | k = y ^ k | k − 1 + ∑ j = 1 N i k , j {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}+\sum _{j=1}^{N}{\boldsymbol {i}}_{k,j}}
情報フィルターを予測するために、情報空間予測を用いることができる。
Y ~ k | k − 1 = F k − T Y k − 1 | k − 1 F k − 1 {\displaystyle {\tilde {Y}}_{k|k-1}={F_{k}}^{\mathrm {-T} }Y_{k-1|k-1}F_{k}^{-1}}
A k = ( G k T Y ~ k | k − 1 G k + Q k − 1 ) − 1 G k T Y ~ k | k − 1 {\displaystyle A_{k}=\left(G_{k}^{\textrm {T}}{\tilde {Y}}_{k|k-1}G_{k}+Q_{k}^{-1}\right)^{-1}G_{k}^{\textrm {T}}{\tilde {Y}}_{k|k-1}}
C k = F k − 1 ( I − G k A k ) {\displaystyle C_{k}=F_{k}^{-1}\left(\mathrm {I} -G_{k}A_{k}\right)}
時間を進めるための予測と更新の手続きのうち、更新が終わったあとの共分散行列 Pk|k をまず求める。上の定義式、
P k | k = c o v ( x k − x ^ k | k ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k})}
に、推定値 x ^ k | k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}} の定義を代入。
P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k e k ) ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}{\boldsymbol {e}}_{k}))}
続いて、観測残差 e k {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{k}} を代入。
P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k ( z k − H k x ^ k | k − 1 ) ) ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}({\boldsymbol {z}}_{k}-H_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})))}
固定区間平滑化(fixed-interval smoother)は、平滑化解 x ^ k | n {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|n}} および P k | n {\displaystyle P_{k|n}} ( k = 1 , 2 , ... , n {\displaystyle k=1,\,2,\,\ldots ,\,n} 、 n {\displaystyle n} は固定値とする)を求める。
Rauch–Tung–Striebelの関係式( k ≤ l {\displaystyle k\leq l} ):
t k ≜ x ^ k | l − C k x ^ k + 1 | l {\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{k}\triangleq {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|l}-C_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k+1|l}}
T k ≜ P k | l − C k P k + 1 | l C k T {\displaystyle T_{k}\triangleq P_{k|l}-C_{k}P_{k+1|l}{C_{k}}^{\mathrm {T} }}
C k ≜ P k | k F k + 1 T P k + 1 | k − 1 {\displaystyle C_{k}\triangleq P_{k|k}{F_{k+1}}^{\mathrm {T} }{P_{k+1|k}}^{-1}}
において、 t k {\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{k}} 、 T k {\displaystyle T_{k}} の右式は l {\displaystyle l} に依存しない。