シューアの分割定理
「和因子が5を法として±1に合同である分割」と「和因子が2-差的な分割」は同数
が成り立つ。 これらの結果から一見して、一般に正の整数 d について、
「和因子がd+3を法として±1に合同である分割」と「和因子がd-差的な分割」は同数
が期待されるが、これは成り立たない。 実際、d=3の版であるシューアの分割定理は、
「和因子が6を法として±1に合同である分割」と「和因子が3-差的で、連続する3の倍数を含まない分割」は同数
を主張しており、3-差的であることに加えて、連続する3の倍数を含まないという条件が必要となる。 一般の場合には条件を弱めたアルダーの予想
「和因子がd-差的な分割」の個数は「和因子がd+3を法として±1に合同である分割」の個数以上
が予想されている。7は例外の可能性があるが、d が2-1 の形の整数である場合、この予想が正しいことが知られている。但し、それ以外の場合については、この予想は未解決である。
整数分割において、シューアの分割定理(シューアのぶんかつていり、英: Schur's partition theorem)は分割の恒等式に関する定理。シューアの分割恒等式とも呼ばれる。1926年にドイツの数学者イサイ・シューアによって、導かれた。
( − q ; q 3 ) ∞ ( − q 2 ; q 3 ) ∞ = ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ ( q ; q 3 ) ∞ ( q 2 ; q 3 ) ∞ = ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ ( q ; q 6 ) ∞ ( q 2 ; q 6 ) ∞ ( q 5 ; q 6 ) ∞ ( q 4 ; q 6 ) ∞ = 1 ( q ; q 6 ) ∞ ( q 5 ; q 6 ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}(-q;q^{3})_{\infty }(-q^{2};q^{3})_{\infty }&={\frac {(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}{(q;q^{3})_{\infty }(q^{2};q^{3})_{\infty }}}\\&={\frac {(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}{(q;q^{6})_{\infty }(q^{2};q^{6})_{\infty }(q^{5};q^{6})_{\infty }(q^{4};q^{6})_{\infty }}}\\&={\frac {1}{(q;q^{6})_{\infty }(q^{5};q^{6})_{\infty }}}\end{aligned}}}
であるから、
∑ n = 0 ∞ B ( n ) q n = ∑ n = 0 ∞ A ( n ) q n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B(n)q^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }A(n)q^{n}}
が成り立つ。