斜体 (数学)
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の左イデアルIl・右イデアルIr・両側イデアルI は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえIl、Ir、 I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアル(もしくは右イデアル)が零か全体にかぎるような単位的(結合)環は斜体となる。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。(例:斜体上の行列環)
斜体 D の中心
C ( D ) := { x ∈ D ∣ x y = y x for all y ∈ D } {\displaystyle C(D):=\{x\in D\mid xy=yx{\mbox{ for all }}y\in D\}}
は可換体を成し、D は中心 C(D) 上の多元環となる。多元環に対すると同様、D の中心に可換体 F が含まれるとき、D は F 上定義されている、あるいは D は F 上の斜体であるという。逆に可換体 F が与えられたとき、F を中心とするその上の斜体はどれくらい存在するのかとの問には F のブラウアー群が答えをあたえる。