フルヴィッツのゼータ函数
函数等式は、複素平面内でゼータ函数の右辺と左辺の値を関連付ける。整数 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} に対し、
ζ ( 1 − s , m n ) = 2 Γ ( s ) ( 2 π n ) s ∑ k = 1 n [ cos  ( π s 2 − 2 π k m n ) ζ ( s , k n ) ] {\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}
が、s の全ての値に対して成立する。
}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
である。
また、等式
ζ ( s , 2 p − 1 2 q ) = 2 ( 2 q ) s − 1 ∑ k = 1 q [ C s ( k q ) cos  ( ( 2 p − 1 ) π k q ) + S s ( k q ) sin  ( ( 2 p − 1 ) π k q ) ] {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}