調和関数
これは調和関数の平均値の性質 (mean value property)、あるいはガウスの平均値定理 (Gauss' mean value theorem)、または単に調和関数に関する平均値定理 (mean value theorem for harmonic functions) と呼ばれる。この結果から調和関数 φ(x)は点 x を中心として U に含まれる任意の半径 r を持つ n-次元球体 B(x,r) での平均にも一致する。すなわち、
φ ( x ) = 1 α ( n ) r n ∫ B ( x , r ) φ ( y ) d y {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}\!\!\phi (y)dy}
が成り立つ。但し、α(n)は
α ( n ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle \alpha (n)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}
で与えられる n-次元単位球の体積である。
逆にφ ∈ C(U)は、φ(x)がU内の任意の球面∂ B(x,r)上の平均と一致するならば、φは調和関数となる。
ラプラス方程式の代わりに、Δf ≥ 0 を満足する C-級函数は劣調和であると言う。この条件のもとでも最大値原理は保証されるが、調和函数が持つ他の性質は満たされるとは限らない。より一般に、劣調和函数となるための必要十分条件は、定義域内の任意の球体の内部においてその函数のグラフがその球体の境界値を補間する調和函数のグラフの下にあることである。