中点法
中点法はオイラー法
y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}
を改良したものであり、手順も類似している。 オイラー法を導く鍵は近似式
y ( t + h ) ≈ y ( t ) + h f ( t , y ( t ) ) ( 2 ) {\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))\qquad \qquad (2)}
であり、これは傾きの公式
y ′ ( t ) ≈ y ( t + h ) − y ( t ) h ( 3 ) {\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\qquad \qquad (3)}
と y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)} に注意することで得られる。
中点法の場合、(3) をより正確な
y ′ ( t + h 2 ) ≈ y ( t + h ) − y ( t ) h {\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}
で置き換える。すると (2) は次の式に変わる。