ランベルトのW関数
W0 の整数乗もまた 0 において単純なテイラー級数(あるいはローラン級数)展開を持つ。例えば
W 0 ( x ) 2 = ∑ n = 2 ∞ − 2 ( − n ) n − 3 ( n − 2 ) ! x n = x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 25 3 x 5 + 18 x 6 − ⋯ . {\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}
より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、r ∈ Z に対して
W 0 ( x ) r = ∑ n = r ∞ − r ( − n ) n − r − 1 ( n − r ) !