相反多項式
与えられた多項式が自己相反または反自己相反のとき、a がその根であるならば 1/a もそうであり、それらの重複度も等しい。逆もまた成り立つ: 与えられた多項式が、a がその根ならば 1/a もまた重複度の等しい根となるという性質を満たすならば、その多項式は自己相反または反自己相反である。
任意の多項式 q に対し、q + q* は自己相反であり、q − q* は反自己相反である。任意の多項式 q は自己相反多項式と反自己相反多項式との和として書ける。
ふたつの自己相反多項式同士または反自己相反多項式同士の積は自己相反である。
一つの自己相反多項式と人るの反自己相反多項式との積は反自己相反になる。
奇数次の自己相反多項式は x + 1 で割り切れる(つまり –1 を根に持つ)。そのとき x + 1 で割った商は(偶数次の)自己相反多項式になる。
反自己相反多項式は x – 1 で割り切れる(つまり 1 を根に持つ)。そのとき x – 1 で割った商は自己相反である。
偶数次の反自己相反多項式は x – 1 で割り切れ(つまり ±1 を根に持ち)、その商は自己相反である。
自己相反多項式 p(x) の次数が偶数(それを 2d とする)を持つならば、次数 d の多項式 q が存在して p(x) = x⋅q(x + 1/x) と書ける。
奇標数の体 k 上の偶数 2d-次モニック反自己相反多項式 p(x) は、定数項を持たない d-次多項式 Q を用いて p(x) = x (Q(x) − Q(1/x)) と一意的に書ける。
反自己相反多項式 P の次数が偶数 2n であるとき、「中央」係数(つまり n-次の係数)は必ず 0 である(定義により、an = −a2n–n だから)。
多項式 p が自己(共軛)相反的であるとは、p(z) ≡ p(z) を満たすことを言う。単位円上の適当なスケール因子 ω に対して p(z) ≡ ωp を満たすならば自己反転的 (self-inversive) という。
p(z) が |z0| = 1 かつ z0 ≠ 1 なる複素数 z0 の実係数最小多項式ならば p(z) は自己相反である。実際、
p † ( z 0 ) = z 0 n p ( 1 / z ̄ 0 ) ̄ = z 0 n p ( z 0 ) ̄ = z 0 n 0 ̄ = 0 {\displaystyle p^{\dagger }(z_{0})=z_{0}^{n}\,{\overline {p(1/{\bar {z}}_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\bar {0}}=0}
が成り立つから z0 は p(z) の根で、これは n-次だから最小多項式の一意性により適当な定数 c を以って