量子力学の数学的定式化
以上の議論を踏まえ、より一般に位相の定義されたベクトル空間 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} からヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} への連続な単射
ι : G ↪ H {\displaystyle \iota ~:~{\mathcal {G}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}}
があるとき、 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} の双対空間 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} を
G ′ := { T : G → C {\displaystyle {\mathcal {G}}':=\{T~:~{\mathcal {G}}\to \mathbf {C} } 、連続かつ線形 } {\displaystyle \}}
と定義すると、シュワルツ空間 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} のときと同様の方法により、反線形写像
の厳密な定義を述べ、その性質を調べ、そして最後に位置作用素と運動量作用素が(換算プランク定数を除いて)フーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
フーリエ変換とその逆変換を定義する上で問題になるのは、fやgがどのようなクラスに属すればこれらの変換が定義でき、変換によってできあがる関数 F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} 、 F ∗ ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}(g)} がどのようなクラスに属するか、という事である。本節ではまずシュワルツ空間という関数空間のクラスを定義し、フーリエ変換がシュワルツ空間上の全単射になっている事を示す。次に本節では、シュワルツ空間上の線型汎函数である「緩増加超関数」に対してもフーリエ変換が定義可能なことを見る。そして最後にフーリエ変換がL空間上の全単射になっている事を見る。
ここで a ̄ {\displaystyle {\bar {a}}} はaの複素共役である。 ( H , + , × , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} を ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} の共役ベクトル空間(英語版)という。
定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の共役ベクトル空間を H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} と表記する。また ψ {\displaystyle \psi } が H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の元である事が文脈から明らかな場合は、 a × ψ {\displaystyle a\times \psi } を略記して単に a ψ {\displaystyle a\psi } と表記する。
ι † ( ψ ) : S ( R d ) → C , {\displaystyle \iota ^{\dagger }(\psi )~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} ,~~} φ ↦ ⟨ ψ , ι ( φ ) ⟩ {\displaystyle \varphi \mapsto \langle \psi ,\iota (\varphi )\rangle }
と定義すると、
ι † ( ψ ) ∈ S ′ ( R d ) {\displaystyle \iota ^{\dagger }(\psi )\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})}
なので、写像
ι † : H ↪ S ′ ( R d ) , {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d}),~~} ψ ↦ ι † ( ψ ) {\displaystyle \psi \mapsto \iota ^{\dagger }(\psi )}
を定義する事ができ、ιは反線形写像となる。
スペクトル分解とは、有限次元ベクトル空間における線形作用素の固有値分解を無限次元に拡張したものであるが、単純に有限次元の固有値分解を無限次元に拡張することはできない。これは無限次元の場合、有限次元と違って連続スペクトルが存在し、連続スペクトルには点スペクトル(=固有値)と違い、対応する固有ベクトルが存在しないことに起因する。
本稿では自己共役作用素をスペクトル分解する方法として、以下の3種類を紹介する:
直積分によるスペクトル分解
スペクトル測度によるスペクトル分解
ゲルファントの3つ組によるスペクトル分解
これら3つのスペクトル分解のうちで、量子力学において通常用いられるスペクトル分解の定式化、すなわちデルタ関数を用いたスペクトル分解に最も近いのは最後にあげたゲルファントの三つ組によるものである。しかしこのゲルファントの三つ組によるスペクトル分解は、すべての自己共役作用素に対して適応できるわけではないという欠点を持つ上、この手法でスペクトル分解するには数学的な準備が必要となる。そこでこの手法によるスペクトル分解は後の節にまわし、本節では残り2つのスペクトル分解を紹介し、これらをもとに、量子状態の観測の概念を数学的に定式化する。
‖ ψ ‖ α , β := sup x ∈ R d | x α ∂ β ψ ( x ) | {\displaystyle \|\psi \|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{d}}\left|x{}^{\alpha }\partial ^{\beta }\psi (x)\right|} 、ここで x α := x 1 α 1 ⋯ x 1 α d {\displaystyle x^{\alpha }:=x_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots x_{1}{}^{\alpha _{d}}}
と定義する。C級関数ψ : R → Cが
任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、 ‖ ψ ‖ α , β < ∞ {\displaystyle \|\psi \|_{\alpha ,\beta }<\infty }
という性質を満たすとき、ψを急減少関数といい、R上の急減少関数全体の集合 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} と書き、 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} をシュワルツ空間という。
直積分の概念を定式化するため、「切断」の概念を導入する:
定義 (ヒルベルト空間の族の切断) ― X⊂Rを可測な集合とし、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} を(有限次元または無限次元の可分な)ヒルベルト空間の族とし、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 上の内積を ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ λ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\lambda }} と書き表す。さらにμをσ-有限(英語版)なX上の測度とする。 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} で
∀ λ ∈ X : s ( λ ) ∈ H λ {\displaystyle \forall \lambda \in X~:~s(\lambda )\in {\mathcal {H}}_{\lambda }}
を満たすもので、「可測」(詳細後述)なものを ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} の切断(section)と呼ぶ。
定義・定理 (C∞0(R)の L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} における稠密性) ― H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合C∞0(R)を
C 0 ∞ ( R d ) = { ψ ( x ) : R d → C , {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})=\{\psi (x):\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {C} ~,} C級関数 s.t. ある有界閉集合Kが存在し、ψはR\K上で恒等的に0である } {\displaystyle \}}
と定義すると次が成立する:
C∞0(R)は H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の稠密部分集合である
微分作用素DはC∞0(R)上で明らかに定義可能であり、しかもC∞0(R)の元をL(R)に写すので、以下の系が従う:
系 ― 微分作用素Dを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。
定義 (C∞0(Ω)と S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} ) ― Rの領域Ω⊂Rに対し、
C 0 ∞ ( Ω ) = { ψ ( x ) : Ω → C , {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )=\{\psi (x):\Omega \to \mathbf {C} ~,} C級関数 s.t. ある有界閉集合K⊂Ωが存在し、ψはΩ\K上で恒等的に0である } {\displaystyle \}}
とする。 さらにα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、及びC級関数ψ : R → Cに対し、
が単射になる時、Aは ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に関して一般化固有ベクトルの完全系を持つという。
なお、Aが運動量作用素である場合は、上述した写像 ψ ↦ ψ ^ {\textstyle \psi \mapsto {\hat {\psi }}} は、フーリエ変換と自然に同一視できる事が知られている(詳細後述)。そこで上述した写像のことを一般化フーリエ変換という。
完全形の概念はweak-*位相の言葉を用いても定式化できることが知られている:
定理 ―
Aが ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に関して一般化固有ベクトルの完全系を持つ必要十分条件は、 S p a n ( ⋃ λ ∈ R E ( λ ) ) {\textstyle \mathrm {Span} \left(\bigcup _{\lambda \in \mathbf {R} }E(\lambda )\right)} がweak-*位相に関して G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} で稠密である事である
T λ = c e − i λ x j / ħ {\displaystyle T_{\lambda }=c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{j}/\hbar }} for some c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbf {C} }
という形のものは全て解となる。ここで上式右辺は c e − i λ x j / ħ {\displaystyle c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{j}/\hbar }} を乗じて積分する超関数を表す。またこれ以外に解がない事も知られている。
以上の議論から P {\displaystyle P} の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
E ( λ ) = { c e − i λ x / ħ ∣ c ∈ C } {\displaystyle E(\lambda )=\{c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\mid c\in \mathbf {C} \}}
である。これは一次元空間なので、 E ( λ ) ≃ C {\displaystyle E(\lambda )\simeq \mathbf {C} } である。したがって ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、
ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で使われている足し算「+」、(スカラーとの)掛け算「・」、および内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } を明示して、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} と書くことにする。
定義 (共役ベクトル空間) ― ヒルベルト空間 ( H , + , ⋅ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} の元 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} と定数 a∈C、に対し、
a × ψ := a ̄ ψ {\displaystyle a\times \psi :={\bar {a}}\psi }
と定義すると、 ( H , + , × , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} もヒルベルト空間になる。
さらに2つの切断 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} 、 t = ( t ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle t=(t(\lambda ))_{\lambda \in X}} に対し、sとtの内積を
⟨ s , t ⟩ := ∫ X ⟨ s ( λ ) , t ( λ ) ⟩ d μ {\displaystyle \langle s,t\rangle :=\int _{X}\langle s(\lambda ),t(\lambda )\rangle \mathrm {d} \mu }
により定義することができる。
定義 (直積分) ― 自分自身との内積 ⟨ s , s ⟩ {\displaystyle \langle s,s\rangle } が有限になる切断全体のなすベクトル空間を考え、このベクトル空間を測度μに関してほとんど至る所等しい切断を同一視する事で得られるベクトル空間を
∫ X ⊕ H λ d μ {\displaystyle \int _{X}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu }
と表記し、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} のμによる直積分(英語版)と呼ぶ。
直積分は前述した内積に関して完備であることが知られており、よって直積分はヒルベルト空間になる。
ここでC∞0(Ω)上の線形汎関数Tが連続であるとは、C∞0(Ω)の元の列 { φ n } n ∈ N {\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} がC∞0(Ω)の元 φ {\displaystyle \phi } に収束するときは常に
lim n → ∞ T ( φ n ) = T ( φ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }T(\phi _{n})=T(\phi )}
が成立する事を言う。 超関数全体の集合を D ′ ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )} と表記する。
2つの超関数に対してその線形和を自然に定義できるため、超関数全体の集合はベクトル空間をなす。同様に緩増加超関数を以下のように定義する:
定義 (緩増加超関数) ― 線型汎関数
T : S ( R d ) → C {\displaystyle T~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} }
で、 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元の列{ψn}が S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元ψに収束するなら
∀ { g n } n ∈ N ⊂ G ∀ g ∈ g : {\displaystyle \forall \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }\subset G~\forall g\in g~:~} lim n → ∞ g n = g ⇒ lim n → ∞ ‖ Π ( g n ) − Π ( g ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\|\Pi (g_{n})-\Pi (g)\|=0}
とを満たすものをGの H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ表現という。なおここで「強」連続と呼ぶのは、弱位相における連続性と区別するためである。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー環とし、Xを g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元とする時、
V s := Π ( e x p ( s X ) ) {\displaystyle V_{s}:=\Pi (\mathrm {exp} (sX))}
とすると(上式のexpはリー環の元にリー群の元を対応させる写像である)、 { V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} は強連続1パラメータユニタリ変換群になるので、ストーンの定理より、
Π ( e x p ( s X ) ) = e x p ( i t A X ) {\displaystyle \Pi (\mathrm {exp} (sX))=\mathrm {exp} (itA_{X})}
Aを何らかの物理量を表す自己共役作用素とし、μをAのスペクトル測度とする。量子力学では以下を仮定する:
仮定 (物理量の観測確率に関する仮定) ― ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} を単位ベクトルとするとき、状態ψにある系でAを観測した観測値λがボレル集合 B ⊂ R {\displaystyle B\subset \mathbf {R} } に属している確率は ‖ μ ( B ) ψ ‖ 2 {\displaystyle \|\mu (B)\psi \|^{2}} である。
直積分を使うと、上の仮定をより直観的に表現できる。状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をAのスペクトルでスペクトル分解して
H ≃ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle {\mathcal {H}}\simeq \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}}
L関数ψのフーリエ変換は
1 ( 2 π ) d / 2 ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ) e − i x ξ d x {\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\ e^{-ix\xi }\,\mathrm {d} x}
という形式で書くことがでるとは限らない。なぜならψがL関数の場合は上述の積分は一般には定義できるとは限らないからである。しかし
F R ( ψ ) := 1 ( 2 π ) d / 2 ∫ | x | ≤ R ψ ( x ) e − i x ξ d x {\displaystyle F_{R}(\psi ):={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{|x|\leq R}\psi (x)\ e^{-ix\xi }\,\mathrm {d} x}
は定義でき、L関数のフーリエ変換は以下を満たすことが知られている:
定理 ―
R→∞のとき、 ∫ R d | F R ( ψ ) − F ( ψ ) | 2 d x → 0 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}|F_{R}(\psi )-{\mathcal {F}}(\psi )|^{2}\mathrm {d} x\to 0}
すなわちFR(ψ)は F ( ψ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\psi )} にL収束する。
L関数ψに緩増加超関数
T ψ ( χ ) := ∫ R d ψ ( x ) χ ( x ) d x {\displaystyle T_{\psi }(\chi ):=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\psi (x)\chi (x)\mathrm {d} x}
を自然に対応させることで、L空間を S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合とみなせる。よって S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} 上でフーリエ変換の定義域をL空間に制限する事でL空間にもフーリエ変換が定義できる。次の事実が成り立つことが知られている: