ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数
ゼータ函数の解析接続は、熱核の式
K ( P , Q , t ) = ∑ n = 1 ∞ f n ( P ) f n ( Q ) e − λ n t {\displaystyle K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-\lambda _{n}t}}
により、メリン変換
Z ( P , Q , s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ K ( P , Q , t ) t s − 1 d t {\displaystyle Z(P,Q,s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt}
として、表現することができる.
熱核の場合には、リーマン多様体 (M,g) が与えられると、固有函数の正規直交基底を取ることができて、分配函数
Z ( s ) = ∑ i = 1 ∞ e − λ i s . {\displaystyle Z(s)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\lambda _{i}s}.}
を得る.
ゼータ函数の極は、t → 0 での熱核の漸近的振る舞いから得ることができる.