テイラーの定理
このとき、コンパクト集合 B における k + 1 階偏導関数の連続性によって、ただちに次の一様評価を得る。
| R β ( x ) | ≤ 1 β ! max | α | = | β | max y ∈ B | D α f ( y ) | , x ∈ B . {\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}
によって与えられる。
次のような多重指数表記を導入する。α ∈ N と x ∈ R に対して、
| α | = α 1 + ⋯ + α n , α ! = α 1 ! ⋯ α n ! , x α = x 1 α 1 ⋯ x n α n . {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}
f: R → R のすべての k 階偏導関数が a ∈ R において連続ならば、クレローの定理より、a における混合微分の順序を入れ替えることができ、したがって高階偏導関数に対する表記
D α f = ∂ | α | f ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n , | α | ≤ k {\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}
がこの状況において正当化される。f のすべての (k − 1) 階偏導関数が a のある近傍において存在し a において微分可能であれば、同じことが正しい。このとき f は点 a において k 回微分可能であるという。