接続 (ベクトル束)
レヴィ-チヴィタ接続の概念を一般化したものとして、ベクトルバンドルに対する接続の概念がある。接続の概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で重要な役割を果たす。本項では、議論の一般性を確保するために接続の概念を導入するが、あくまでレヴィ-チヴィタ接続やそこから誘導される接続を主軸として話を進める。
本節では接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定義されたベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の曲率をまず天下り的に定義し、その性質を見る。次に曲率の概念をホロノミーを使う事で特徴づける事により、曲率概念に対する空間に内在的な幾何学的解釈を与える。最後に共変外微分の概念を導入して共変外微分を使って曲率概念を特徴づける。
を満たすとき、αは C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形であるという。
定義 ― 任意の開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} および任意の s ∈ Γ ( E 1 ) {\displaystyle s\in \Gamma (E_{1})} に対し、
s | U = 0 ⇒ α ( s ) | U = 0 {\displaystyle s|_{U}=0\Rightarrow \alpha (s)|_{U}=0}
が成立するとき、αは局所演算子(英: local operator)であるという。
また任意の P ∈ M {\displaystyle P\in M} および任意の s ∈ Γ ( E 1 ) {\displaystyle s\in \Gamma (E_{1})} に対し、
s | P = 0 ⇒ α ( s ) | P = 0 {\displaystyle s|_{P}=0\Rightarrow \alpha (s)|_{P}=0}
となるとき、αは点演算子(英: point operator)であるという。
実は次が成立する:
定理 ― 以下の4つは同値である。:
αは C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である
αは点演算子である
本節では、あるベクトルバンドル上定義された接続から別のベクトルバンドル上の接続を定義する方法を述べる。その過程でレヴィ-チヴィタ接続のときにも議論した曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った共変微分に関しても述べる。
次の事実が知られている:
定理 ― リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続の曲率は以下を満たす:
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)}
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g ( R ( Z , W ) X , Y ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)}
レヴィ-チヴィタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } は捩れなしなので、ビアンキの第一および第二恒等式を以下のように書く事ができる:
定理 ― レヴィ-チヴィタ接続は次を満たす:
ビアンキの第一恒等式: R ( X , Y ) Z + R ( Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0 {\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0}
ビアンキの第二恒等式: ( ∇ X R ) ( Y , Z ) + ( ∇ Y R ) ( Z , X ) + ( ∇ Z R ) ( X , Y ) = 0 {\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)=0}
ここで ( ∇ X R ) {\displaystyle (\nabla _{X}R)} はRを T M × T M × T ∗ M {\displaystyle TM\times TM\times T^{*}M} の元とみなしたときの共変微分である。
たとえば R 2 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}} (に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間)において、曲線 c ( t ) = ( 1 − t , 0 ) {\displaystyle c(t)=(1-t,0)} は t < 1 {\displaystyle t<1} までしか延長できない。
測地線の局所的な存在一意性が示されたので、以下の定義をする:
定義 (指数写像) ― 上記の定理で局所的な存在一意性が保証された測地線 P v ( t ) {\displaystyle P_{v}(t)} を
exp P  ( t v ) := P v ( t ) {\displaystyle \exp _{P}(tv):=P_{v}(t)}
と書く。 exp P {\displaystyle \exp _{P}} を ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 上の指数写像(英: exponential map)という。
P v ( k t ) = P k v ( t ) {\displaystyle P_{v}(kt)=P_{kv}(t)} である事を容易に確かめられるので、指数写像はwell-definedである。
曲率の概念を定義するため、モチベーションを述べる。 ベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } の局所座標 U ⊂ M → R m {\displaystyle U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}} と局所的なEの基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} における成分表示
∇ X U s = ( X l ∂ s i ∂ x l + X j s k Γ j k i ) e i {\displaystyle \nabla _{X}^{U}s=\left(X^{\ell }{\partial s^{i} \over \partial x^{\ell }}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)e_{i}}
を考える。
∇ d t s ( t ) = ∇ d t ( s i ( t ) e i ( t ) ) = d s i d t ( t ) e i ( t ) + s i ( t ) ∇ e i d t ( t ) {\displaystyle {\nabla \over dt}s(t)={\nabla \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(t))={ds^{i} \over dt}(t)e_{i}(t)+s^{i}(t){\nabla e_{i} \over dt}(t)}
が成立する。 e i ( t ) {\displaystyle e_{i}(t)} の定義から e i ( t ) {\displaystyle e_{i}(t)} は P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行なので、上式右辺第二項は0である。よって、
∇ s d t ( a ) = d s i d t ( a ) e i ( a ) = d d t ( s i ( t ) e i ( a ) ) | t = a = d d t ( s i ( t ) φ a , t − 1 ( e i ( t ) ) ) | t = a = d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) | t = a {\displaystyle {\nabla s \over dt}(a)={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(a)=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(a))\right|_{t=a}=\left.
リーマン多様体M上の曲線に対し、以下の定義をする。
定義 (曲線の曲率) ― リーマン多様体M上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ
‖ ∇ d s d P d s ‖ {\displaystyle \left\|{\nabla \over ds}{dP \over ds}\right\|}
をMにおける P ( s ) {\displaystyle P(s)} の測地線曲率(英: geodesic curvature)、あるいは単に曲率(英: curvature)という。
ここで ‖ v ‖ := g ( v , v ) {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}} である。
前述の定理から、明らかに次が従う:
定理 ― 曲線が測地線である必要十分条件は、その曲線の曲率が常に0の曲線である事である。
なお、弧長パラメータの定義より ‖ d P d s ‖ = 0 {\displaystyle \left\|{\tfrac {dP}{ds}}\right\|=0} が常に成り立つので、
P v : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle P_{v}~:~(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}
で
P v ( 0 ) = P {\displaystyle P_{v}(0)=P} 、 d P v d t ( 0 ) = v {\displaystyle {dP_{v} \over dt}(0)=v}
となるものが存在する。しかも P v : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle P_{v}~:~(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M} 、 P v ′ : ( − ε ′ , ε ′ ) → M {\displaystyle P'_{v}~:~(-\varepsilon ',\varepsilon ')\to M} がいずれも上記の条件を満たす測地線であれば、 ( − ε , ε ) ∩ ( − ε ′ , ε ′ ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\cap (-\varepsilon ',\varepsilon ')} 上でPvとP'vは一致する。
曲線は大域的に存在するとは限らない。
を満たすように定義し、 d ∇ p {\displaystyle d_{\nabla }^{p}} を共変外微分(英: covariant exterior differentiation)という。
共変外微分がwell-definedである事の証明は省略する。紛れがなければ添字のpを省略し、 d ∇ {\displaystyle d_{\nabla }} と書く。
共変外微分は以下を満たす:
定理 ―
d ∇ 0 = ∇ {\displaystyle d_{\nabla }^{0}=\nabla }
d ∇ ( η ∧ ω ) = d ∇ η ∧ ω + ( − 1 ) p η ∧ d ∇ ω {\displaystyle d_{\nabla }(\eta \wedge \omega )=d_{\nabla }\eta \wedge \omega +(-1)^{p}\eta \wedge d_{\nabla }\omega } for η ∈ A p ( E ) , ω ∈ A q ( E ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}^{p}(E),\omega \in {\mathcal {A}}^{q}(E)}
共変外微分は通常の外微分と違い、
d ∇ d ∇ = 0 {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }=0}
となるとは限らない。しかし