ドゥッチ数列
ドゥッチ数列は全ての元が0になるか再帰操作が上記で述べた周期性に入るまでには再帰操作の回数が非常に多くなることもある。例えば(0, 653, 1854, 4063)から再帰操作を始めた場合、全ての元が0になるのに24回の再帰操作を要する。
( 0 , 653 , 1854 , 4063 ) → ( 653 , 1201 , 2209 , 4063 ) → ( 548 , 1008 , 1854 , 3410 ) → {\displaystyle (0,653,1854,4063)\rightarrow (653,1201,2209,4063)\rightarrow (548,1008,1854,3410)\rightarrow } ⋯ → ( 0 , 0 , 128 , 128 ) → ( 0 , 128 , 0 , 128 ) → ( 128 , 128 , 128 , 128 ) → ( 0 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \cdots \rightarrow (0,0,128,128)\rightarrow (0,128,0,128)\rightarrow (128,128,128,128)\rightarrow (0,0,0,0)}
一回以上の上記の再帰操作後の数列について、どの数列の元の整数も0以上か、または(最初のこれらの操作を始める以前の)初期の数列の各元の整数の最小値以上あるいは最大値以下となる。有限個の元からなるドゥッチ数列にこうした条件で再帰操作を繰り返すうちに、既に以前再帰計算中に現れたものと整数の種類とその配列順序が全く同じ数列がいずれ現れる。そのためドゥッチ数列はその再帰操作に周期性を持つ。 またもしnが2のべき乗であれば、有限回の再帰操作でその数列は必ず(0,0,...,0)となる。 逆にもしnが2のべき乗でないのであれば、全ての元が0の数列になるか、全ての元が0と1のみからなるか、あるいは異なる2種類の正の整数からなる数列となる(つまり何度再帰操作を繰り返しても全ての元が0とならない)。 ドゥッチ数列の一般化としては、各元を整数に限定せず、当然ながら実数に範囲を広げることもできる。この場合、先に書いた2のべき乗に関する全ての元が0となる性質は現れない。例えばqが多項式 x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0} の正の無理数の根で、(1, q, q, q)のようなドゥッチ数列は有限回の再帰操作で(0,0,0,0)とはならない(但し無限回再帰操作を繰り返すと(0,0,0,0)に収束する)。