オイラー積分
第一種オイラー積分(Euler integral of the first kind)はベータ関数とも呼ばれ、 R ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , R ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} を満たす x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対して、
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
で定義される。
第二種オイラー積分(Euler integral of the second kind)はガンマ関数とも呼ばれ、 R ( z ) > 0 {\displaystyle \Re (z)>0} を満たす z {\displaystyle z} に対して、