5項補題
5項補題はしばしば長完全列に適用される。与えられた対称のホモロジーやコホモロジーを計算するとき、大体はホモロジー/コホモロジーのわかっているより単純な部分対象を使って、もとの対象の、わかっていないホモロジー群を含む長完全列を得る。これだけではわかっていないホモロジー群を決定するには十分でないが、もとの対象と部分対象を射を通じてよくわかっている対象と比べれば、それぞれの長完全列の間の射が誘導され、したがって5項補題をわかっていないホモロジー群を決定するのに使うことができる。