一次関数
一次関数の傾きは通る二点が分かれば一意的に決定できるので、一次関数はそれが通る二点が決まればただひとつに決まる。一次関数 f(x) = ax + b が二点 (x1, y1), (x2, y2) を通るとき、[y の増分]/[x の増分] =: Δy/Δx は点の取り方に依らず一定で、傾きに等しく
a = Δ y Δ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
が成り立つ。この直線は点 (x1, y1) を通る(あるいは点 (x2, y2) を通る)のだから点・傾き標準形と合わせて考えれば、二点標準形が得られ、この一次関数は
f ( x ) = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) + y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 2 ) + y 2 {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{2})+y_{2}}
と書くことができる。