マイヤー・ヴィートリス完全系列
α(x) = (x, −x), β(x, y) = x + y および Cn(A + B) は A の鎖と B の鎖の和からなるものとして、鎖群(鎖複体を構成する群)の成す短完全列
に付随する長完全列を考える。事実として、X の特異 n-単体で像が A か B の何れかに含まれるようなもの全体はホモロジー群 Hn(X) を生成する。即ち、Hn(A + B) は Hn(X) に同型である。この事実が特異ホモロジーに対するマイヤー・ヴィートリス完全系列を与えるのである。 同じ計算を微分形式の成すベクトル空間の短完全列
に適用すれば、ド・ラームコホモロジーに対するマイヤー・ヴィートリス完全系列が得られる。
形式的な観点で言えば、マイヤー・ヴィートリス完全系列は、ホモロジー論に対するアイレンバーグ・スティーンロッド公理系(英語版)からホモロジーの長完全列を用いて導出できる。
位相空間 X を二つの空間 K および L の一点和 (wedge sum) とし、さらにそれらの同一視された基点は U ⊂ K および V ⊂ L なる開近傍の変位レトラクトであるものとする。 このとき A := K ∪ V および B = U ∪ L とおけば A ∪ B = X かつ A ∩ B = U ∪ V で、後者は作り方から可縮である。簡約版のマイヤー・ヴィートリス完全系列から(その完全性により)各次元 n に対して
H ~ n ( K ∨ L ) ≅ H ~ n ( K ) ⊕ H ~ n ( L ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}
が導かれる。図に示すように X が二つの二次元球面 K と L の和であるような場合、上掲の結果を代入して
H ~ n ( S 2 ∨ S 2 ) ≅ δ 2 n ( Z ⊕ Z ) = { Z ⊕ Z if n = 2 0 if n ≠ 2 {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(S^{2}\vee S^{2})\cong \delta _{2n}(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\text{if }}n=2\\0&{\text{if }}n\neq 2\end{cases}}}
と計算できる。
一般には、マイヤー・ヴィートリス完全系列で空間の(コ)ホモロジー群が完全に計算できるようになるわけではないのだけれども、しかし位相幾何学に現れる重要な空間の多くは、位相多様体や単体的複体あるいはCW複体のような、非常に簡単な素片の貼合せとして構成されるものになっているので、マイヤーとヴィートリスが示したような定理は潜在的に広く深い応用の可能性を持っているということができる。
マイヤーは、1926年と1927年のウィーン地方大学における講演会の際に、同僚ヴィートリスから位相幾何学を紹介され、ベッチ数に対する問題の予想される結果とその解法を伝えられて、1929年にその問題を解いている。マイヤーはその結果を、二つの円筒の和として見たときのトーラスに適用した。その後の1930年に、ヴィートリスはトーラスのホモロジー群についての完全な結果を示しているが、それは完全列として表されたものではなかった。完全系列の概念が出版物に現れるのは、1952年にアイレンバーグとスティーンロッドが著した書籍 Foundations of Algebraic Topology(「代数的位相幾何学の基礎」)においてであり、それにはマイヤーとビートリスの結果が現代的な形で記されている。
係数群 G を持つ特異コホモロジーに対するマイヤー・ヴィートリスの長完全系列は、ホモロジー版の双対であり、
で与えられる。ここで、次元を保つ写像は包含写像から誘導された制限写像であり、(双対)境界写像はホモロジー版のときと同様にして定義される。さらにこの相対版の定式化も同様にできる。 重要な意味を持つ特別な場合としては、係数群 G が実数全体の成す加法群 R で、考える位相空間がさらに可微分多様体の構造を持つような場合であって、このときド・ラームコホモロジーに対するマイヤー・ヴィートリス完全系列は
と書ける。ただし {U, V} は X の開被覆、ρ は制限写像、Δ は差であり、また双対境界写像 d は上で述べた境界写像 ∂∗ と同様に定められる。この完全系列は以下のように簡潔に述べることもできる。例えば交わり U ∩ V における閉微分形式 ω で表されるコホモロジー類 [ω] に対して、開被覆 {U, V} に従う 1 の分割を通じて ω を ωU - ωV の形の差に表せば、外微分 dωU および dωV は U ∩ V 上で一致し、それ故ともに X 上の或る (n + 1)-形式 σ を定めるが、このとき d([ω]) = [σ] が成り立つ。