一般化されたリーマン予想
K を代数体(有理数体 Q の有限次元拡大体)で、整数環 OK (この環は整数環 Z の K における整閉包である)を持っているとする。a をゼロ以外の OK のイデアルとして、そのノルムを Na により表すとする。K のデデキントゼータ函数は、実部 > 1 である全ての複素数 s に対して次のように定義される。
ζ K ( s ) = ∑ a 1 ( N a ) s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}
ここの和は、OK のゼロでないイデアル a の全てを渡るものとする。
デデキントのゼータ函数は函数等式を満たし、全複素平面へ解析接続することができる。結果として得られる函数は、数体 K の重要な情報を有している。拡張されたリーマン予想は、全ての数体 K と ζK(s) = 0 である全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあるならば、実際は 1/2 であろうという予想である。