イェンセンの不等式
そのとき、次が成り立つ。
∫ − ∞ ∞ f ( y ( x ) ) p ( x ) d x ≥ f ( ∫ − ∞ ∞ y ( x ) p ( x ) d x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y(x))p(x)dx\geq f\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx\right)}
ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。
証明は、f の ∫ − ∞ ∞ y ( x ) p ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx} における接線を g とおいて、常に g(x) が f(x) よりも小さいことを使えばよい。
統計学において、式の下限を評価する際に、一定の役割を担っている。例えば、カルバック・ライブラー・ダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。p(x) が確率密度関数の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。
E [ f ( y ) ] ≥ f ( E [ y ] ) {\displaystyle E[f(y)]\geq f(E[y])}
なお、イェンセンの不等式から、相加相乗平均の不等式などを導くこともできる。