巡回数
一般に、全ての巡回数は、ある単位分数を小数で表したときの循環節になっていることが証明されている。(ただし、循環節の頭に 0 がある場合の扱いは適切に定める。)
巡回数のもととなる単位分数の分母は必ず素数である。しかしその逆は成り立たない。
ある p − 1 桁未満の 9 の列が p で割り切れるときには、素数 p からは巡回数は得られない。
(例) 13は素数であるが 1/13=0.076923076923... からは巡回数は得られない。これは 999999 ÷ 13 = 76923 と割り切れることから判定できる。
素数 p の逆数 1/p の循環節が巡回数になるためには、その循環節が p − 1 桁であることが必要十分である。そのような素数は、小さいものから順に 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109,... である。 (オンライン整数列大辞典の数列 A001913)
やや高度にはなるが、合同算術を用いた言い換えもある。例えば十進法においては、素数 p がこの性質を持つことは、10 が mod p における原始根の一つであることと同値である。