根軸
初等幾何学における2つの円の根軸(こんじく)とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。
根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい、すなわち以下の式が成り立つ。
R 2 = d 1 2 − r 1 2 = d 2 2 − r 2 2 {\displaystyle R^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}}
ここで r1 と r2 は2つの円の半径、d1 と d2 は P と2つの円の中心との距離であり、R は P を中心として2円に直交する円の半径である。
一般的に、2つの離れた円は双極座標系の基底となる。このとき根軸は y軸である。2つの焦点を通る円はy軸上に中心を持ち2つの円に直交するため、その半径は接線の長さに等しいことからy軸が根軸であることがわかる。根軸を共有する円群はアポロニウスの円束と呼ばれる。