量化
波括弧上の全称量化子を入れ替えても、同じである。
A': R 上の f の各点連続:
∀ ε > 0 , ∀ x ∈ R , ∃ δ > 0 ⏟ , ∀ h ∈ R , | h | < δ ⟹ | f ( x ) − f ( x + h ) | < ε {\displaystyle \forall \epsilon >0,\ \underbrace {\forall x\in \mathbb {R} ,\exists \delta >0} ,\ \forall h\in \mathbb {R} ,\quad |h|<\delta \implies |f(x)-f(x+h)|<\varepsilon }
これは、A' で波括弧上にある存在量化子と全称量化子を入れ替えた次のものとは異なる。
B: R 上の f の一様連続:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ∈ R ⏟ , ∀ h ∈ R , | h | < δ ⟹ | f ( x ) − f ( x + h ) | < ε {\displaystyle \forall \epsilon >0,\underbrace {\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb {R} } ,\forall h\in \mathbb {R} ,\quad |h|<\delta \implies |f(x)-f(x+h)|<\varepsilon }
それぞれの量化は、1つの特定の変項に関するものであって、その変項の「議論領域」あるいは「量化範囲」に関するものである。量化範囲はその変項がとりうる値の集合を指定する。上の例で言えば、量化の範囲は自然数の集合である。量化の範囲の指定により、ある述語が自然数についてのものであるとか、実数についてのものであるといった違いが表現可能になる。説明的な慣習として、"n" を自然数、"x" を実数を表す変項とすることもあるが、そのような命名規則だけに依存することは推奨できない。
議論領域を制限するより一般的な方法として「ガード付き量化」がある。ガード付き量化とは、次のような文である。
ある自然数 n について、n は偶数で、かつ n は素数である。
次も同じ意味である。
ある偶数 n について、n は素数である。
数学の理論によっては、議論領域を1つに固定することがある。例えば、ツェルメロ=フレンケルの集合論では、変項の範囲は全ての集合である。この場合、ガード付き量化子は、量化の範囲を狭めるときに使われる。すると、上記の例は次のように表される。
任意の自然数 n について、n·2 = n + n
ツェルメロ=フレンケルの集合論では、次のように表される。
任意の n について、n が N に属するとき、n·2 = n + n
ここで、N は全自然数の集合である。
量化(りょうか、英: Quantification)とは、言語や論理学において、論理式が適用される(または満足される)議論領域の個体の「量」を指定すること。