フォノン
固体ヘリウムのような量子固体では、原子間相互作用のポテンシャルエネルギーが極小値よりかなり大きい。よってポテンシャルの極小点のまわりに小さな振動をしているという調和近似の考えが適用することができない。しかし一方で、中性子非弾性散乱の実験を行うと、フォノンのピークが観測される。よって調和近似の枠を超えて、フォノンの概念を基礎づける必要がある。
自己無撞着フォノン法は、このような量子固体や非調和性の大きい古典的固体に対して有効な方法である。ポテンシャルを V ( x ) {\displaystyle V(x)} 、格子点を x = 0 {\displaystyle x=0} とすると、調和近似では力の定数はポテンシャルの二回微分 V ′′ ( 0 ) {\displaystyle V''(0)} で与えられる。一方で自己無撞着フォノン法において力の定数は、(力の定数をパラメータとして含む)調和振動の状態関数 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に関する V ′′ ( x ) {\displaystyle V''(x)} の期待値で与えられる。