行列の基本変形
線型方程式系 Ax = b においても、基本変形により解を求めることができる。 A に左基本変形を繰り返し施すことによって単純な形に変形できれば、同じ変形を b にも施すことによって、同値な方程式系
( M 1 M 2 ⋯ M p A ) x = M 1 M 2 ⋯ M p b {\displaystyle (M_{1}M_{2}\cdots M_{p}A)x=M_{1}M_{2}\cdots M_{p}b}
を解くことに帰着できる。左基本変形のみでは、一般には上の標準形 (*) まで変形することはできないが、線型方程式系を解くのには十分簡単な形まで変形することができる。詳しくは、これを実現するアルゴリズムであるガウスの消去法に譲る。
x 2 + 9 2 x 3 + 11 2 x 4 = 1 {\displaystyle x_{2}+{\frac {9}{2}}x_{3}+{\frac {11}{2}}x_{4}=1}
より、
x 2 = 1 − 9 α − 11 β {\displaystyle x_{2}=1-9\alpha -11\beta }
であり、
x 1 − 4 x 3 − 7 x 4 = 1 {\displaystyle x_{1}-4x_{3}-7x_{4}=1}
より
x 1 = 1 + 8 α + 14 β {\displaystyle x_{1}=1+8\alpha +14\beta }
である。よって、
x = [ 1 + 8 α + 14 β 1 − 9 α − 11 β 2 α 2 β ] ( α , β ∈ K ) {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1+8\alpha +14\beta \\1-9\alpha -11\beta \\2\alpha \\2\beta \\\end{bmatrix}}\quad (\alpha ,\beta \in \mathbf {K} )}
と、解を得ることが出来た。