多重線型写像
↑ 上記の関係式では ~f の値は単純テンソル上でしか与えられていないが、単純テンソルの全体はテンソル積空間全体を生成するから、線型写像 ~f はこれだけで一意に決定されることに注意する。
↑ より具体的に、交代形式の分解公式は行列式の代わりに小行列式を用いて f ( x 1 , ... , x k ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k − 1 < i k ≤ n | X i 1 ; 1 X i 1 ; 2 ... X i 1 ; k X i 2 ; 1 X i 2 ; 2 ... X i 2 ; k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ X i k ; 1 X i k ; 2 ... X i k ; k | f ( e i 1 , ... , e i k ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n}{\begin{vmatrix}X_{i_{1};1}&X_{i_{1};2}&\dots &X_{i_{1};k}\\X_{i_{2};1}&X_{i_{2};2}&\dots &X_{i_{2};k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{i_{k};1}&X_{i_{k};2}&\dots &X_{i_{k};k}\end{vmatrix}}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})} と与えられる。
多重線型写像の値は引数のうち1つでも0であれば0である。