連続体力学
(単位時間にVに流出する運動量の総和) = ∫∂V(微小面積dSを通って流入した粒子の総質量)・(dSの法線方向の粒子の速さ)dS = ∫ ∂ V ( ρ v ) ⋅ ( v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}(\rho {\boldsymbol {v}})\cdot ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ ∂ V t ( ρ v 1 v ⋅ n , ρ v 2 v ⋅ n , ρ v 3 v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}(\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}},\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ ( ρ v 1 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 2 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 3 v ) ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot (\rho v_{1}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{2}{\boldsymbol {v}}),\nabla \cdot (\rho v_{3}{\boldsymbol {v}}))\mathrm {d} V}
である。最後の等式はガウスの発散定理による。ここでv=(v1,v2,v3)である。 体積力をK=(K1,K2,K3)とすると、
(単位時間にVに働く体積力による力積) = ∫ V ρ K d V {\displaystyle \int _{V}\rho {\boldsymbol {K}}\mathrm {d} V}
であり、さらに σ i = ( σ i , 1 , σ i , 2 , σ i , 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}=(\sigma _{i,1},\sigma _{i,2},\sigma _{i,3})} とすると、
− ∂ i p + ∂ i ( ζ ∇ ⋅ v ) + ∑ j ∂ j ( η ∂ j v i ) + ∂ j ( η ∂ i v j ) {\displaystyle -\partial _{i}p+\partial _{i}(\zeta \nabla \cdot {\boldsymbol {v}})+\sum _{j}\partial _{j}(\eta \partial _{j}v_{i})+\partial _{j}(\eta \partial _{i}v_{j})} = − ∂ i p + ( ζ + η ) ∂ i ∇ ⋅ v + η Δ v j {\displaystyle =-\partial _{i}p+(\zeta +\eta )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\eta \Delta v_{j}}
となる。ここでΔはラプラシアンである。 よって(F5)よりナビエ・ストークス方程式
が従う。