平行移動 (リーマン幾何学)
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ガウスの補題 (リーマン幾何学)(英語版)に従えば、 もし、A が γ ̇ ( t ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)} のノルムであれば、曲線γ上の充分に近い2点、たとえばγ(t1) と、 γ(t2)との間の、「計量によって誘導される距離」は、以下によって与えられる:
dist ( γ ( t 1 ) , γ ( t 2 ) ) = A | t 1 − t 2 | . {\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}
上記の式は、測地距離が多様体の周囲 (球体など) を一周してしまう可能性があるため、2点が充分に近くなければ当てはまらないこともある。
これまではベクトル束上に定義された接続を扱ってきたが、それに限らず、他のタイプの接続に対してもより一般化された意味で平行移動という概念を定義できる。一つの一般化として主束 への拡張がある(Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, Chapter II)。 P → Mは、「多様体M上で定まり構造群Gを持つ主束」であり、Pにはprincipal connection ωが定まっているものとする。ここで構造群Gはリー群である。ωはM上の曲線γそれぞれに対して、以下の写像を定義する。
Γ ( γ ) s t : P γ ( s ) → P γ ( t ) {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}