クリストッフェル記号
となる。これを測地線の微分方程式と呼ぶ。なお、ここで
{ h j i } = ∑ a 1 2 g h a ( ∂ g i a ∂ x j + ∂ g j a ∂ x i − ∂ g j i ∂ x a ) {\displaystyle \left\{{{h} \atop {j\;i}}\right\}=\sum _{a}{\frac {1}{2}}g^{ha}\left({\frac {\partial g_{ia}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ji}}{\partial x^{a}}}\right)}
であり、これを(第二種)クリストッフェル記号(Christoffel symbol (of the second kind))と呼ぶ。
クリストッフェル記号は、計量テンソルから導かれたレヴィ・チヴィタ接続に対する、座標空間での表示式である。
一階共変テンソルを wi とするとき、その共変微分は
∇ j w i = ∂ w i ∂ x j − { a j i } w a {\displaystyle \nabla _{j}w_{i}={\frac {\partial w_{i}}{\partial x^{j}}}-\left\{{{a} \atop {j\;i}}\right\}w_{a}}
で定義される。座標系 (x) を測地座標系 (u) へ座標変換すると、その原点において { i h l ̄ } 0 = 0 {\displaystyle \left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0} となる。
したがって、wi の共変微分は u = 0 において、
( ∇ j w i ) 0 = ( ∂ w i ∂ u j ) 0 {\displaystyle \left(\nabla _{j}w_{i}\right)_{0}=\left({\frac {\partial w_{i}}{\partial u^{j}}}\right)_{0}}
と、共変微分と通常の微分が一致する。