分割数
分割数 p(n) の漸近表示は、
p ( n ) ∼ 1 4 n 3 e π 2 n 3 as n → ∞ . {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}{\mbox{ as }}n\to \infty .}
で与えられる。この漸近公式は、ハーディとラマヌジャンによって1918年に初めて見出され、また、それとは独立にウスペンスキーが1920年に発見している。例えば p(1000) を考えると、漸近公式からだいたい 2.4402 × 10 となることが分かるが、これは真の値とくらべても十分近い値である(真の値よりは 1.415% ほど大きい)。
1937年にラーデマッハーはハーディとラマヌジャンの結果に基づいて次の発散級数表示:
p ( n ) = 1 π 2 ∑ k = 1 ∞ k A k ( n ) d d n ( 1 n − 1 24 sinh  [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) {\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt {k}}\,A_{k}(n)\,{\frac {d}{dn}}\left({\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right]\right)}
( x ) ∞ 4 ( x 7 ) ∞ 3 + 7 x ( x 7 ) ∞ 7 = 1 + 3 x + 2 x 2 + 8 x 3 + ⋯ ; 63 ( x ) ∞ 24 ( x 5 ) ∞ 6 + 5 3 ⋅ 52 x ( x ) ∞ 18 ( x 5 ) ∞ 12 + 5 5 ⋅ 63 x 2 ( x ) ∞ 12 ( x 5 ) ∞ 18 + 5 8 ⋅ 6 x 3 ( x ) ∞ 6 ( x 5 ) ∞ 24 + 5 10 ⋅ x 4 ( x 5 ) ∞ 30 = 63 + 4988 x + 95751 x 2 + 766014 x 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{\infty }^{4}(x^{7})_{\infty }^{3}+7x(x^{7})_{\infty }^{7}&=1+3x+2x^{2}+8x^{3}+\cdots ;\\&\\63(x)_{\infty }^{24}(x^{5})_{\infty }^{6}+5^{3}\cdot 52x(x)_{\infty }^{18}(x^{5})_{\infty }^{12}&+5^{5}\cdot 63x^{2}(x)_{\infty }^{12}(x^{5})_{\infty }^{18}\\+~5^{8}\cdot 6x^{3}(x)_{\infty }^{6}(x^{5})_{\infty }^{24}&+5^{10}\cdot x^{4}(x^{5})_{\infty }^{30}\\&=63+4988x+95751x^{2}+766014x^{3}+\cdots \end{aligned}}}
から得られる。例えば p(149) は
p ( 149 ) = 25 ⋅ | 1 63 − 31 1 4988 434 − 31 1 95751 − 3565 434 − 31 1 766014 18445 − 3565 434 − 31 1 3323665 − 57505 18445 − 3565 434 − 31 8359848 | = 37027355200 {\displaystyle p(149)=25\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~63~\\-31&~1&~&~&~&~4988~\\~434&-31&~1&~&~&~95751~\\-3565&~434&-31&~1&~&~766014~\\~18445&-3565&~434&-31&~1&~3323665~\\-57505&~18445&-3565&~434&-31&~8359848~\\\end{vmatrix}}=37027355200}