冪零群
したがって、帰納法の仮定により、G/Z(G) の部分群で H/Z(G) の正規化群であるものが存在し、H/Z(G) はその真の部分群となる。それにより、その部分群を G の部分群に引き戻せば、それは H を正規化する。
G の任意のシロー部分群を P とし、N = NG(P) と置く。P は N の正規部分群であるから、P は N の特性部分群 char N である。P = char N かつ N は NG(N) の正規部分群であるから、P は NG(N) の正規部分群となる。これは NG(N) が N の部分群であることを意味するから、NG(N) = N であり、(b) により N = G でなければならず、それは (c) ということである。
G の位数を割り切る相異なる素数を p1, p2, ..., ps とし、部分群 Pi はそれぞれシロー pi-部分群に含まれるとする。任意の t に対し、帰納的に P1⋅P2 ⋯ Pt が P1 × P2 × ⋯ × Pt に同型であることが示せる。実際、まず各 Pi が G の正規部分群であるという仮定に注意すれば、積集合 P1⋅P2 ⋯ Pt は G の部分群である。