複素測度
複素数値可測関数の複素測度に関する積分は、単関数を用いた可測関数の近似による実数値関数の非負測度に関するルベーグ積分と同様に定義出来る。通常の積分の場合と同様に、より一般的なこの積分も、存在しないことや、無限大(複素無限)の値を取ることもあり得る。
また別の定義の仕方として、すでに利用可能な、非負測度に関する実数値関数の積分の概念を用いる方法がある。複素測度 μ の実部 μ1 および虚部 μ2 が有限値符号付測度であることはすぐに確かめられる。ハーン=ジョルダン分解を用いることで、それらを、
μ 1 = μ 1 + − μ 1 − {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}
および
μ 2 = μ 2 + − μ 2 − {\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}
に分けることが出来る。ただし、μ1, μ1, μ2, μ2 は有限値非負測度である(また、とある意味において一意である)。すると、モーメントについて実数値である可測関数 f に対して、次の形で積分を定義することが出来る: