分岐点 (数学)
↑ Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, "Complex Variables: Introduction and Applications", 2nd ed., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53429-1, 2003.
↑ Ahlfors 1979.
↑ E.D. Solomentsev, Branch point, In Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 (2001).
↑ A. I. Markushevich , Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, Prentice-Hall Inc., N.J., MathSciNet ID:0171899, 1965.
Ω をガウス平面 C の連結開集合とし、ƒ: Ω → C は正則関数とする。ƒ が定数でなければ、ƒ の臨界点(つまり、導関数 ƒ′(z) の零点)の集合は Ω 内に集積点を持たない。つまり ƒ の各臨界点 z0 は、その閉包内に ƒ の他の臨界点を含まないある円板 B(z0,r) の中心にあることになる。
B(z0,r) の境界を γ とし、その向きを正に取る。点 ƒ(z0) における ƒ(γ) の巻き数は正の整数になる。これを z0 の被覆指数または分岐指数 (ramification index) と呼ぶ。分岐指数が 1 よりも大きい場合、z0 は ƒ の分岐点 (ramification point) と呼ばれ、その点の臨界値(英語版) ƒ(z0) を (代数的) 分岐値 (branch point) と呼ぶ。すなわち、1 より大きな正の整数 k が存在して、z0 の適当な近傍で、ƒ(z) = φ(z)(z − z0) となるような正則関数 φ が 定義されるとき、z0 を分岐点と呼ぶ。
典型的には ƒ そのものでなく、その逆関数に着目する。