エパクト
1582年に発布され20世紀にかけて世界各国で導入されたグレゴリオ暦では、エパクトは1月1日の月齢に等しくなっている。太陰年の始まりは朔(新月)であるから、1月1日が朔であれば太陽年と太陰年は同時スタートを切り、ずれがないためエパクトは0である。例えばエパクト数値14の年は、1月1日の時点で太陰年が既に14日進んでいる状態、つまり朔から14日目(ほぼ満月)まで進んでしまっている状態である。この「朔から何日目」に相当するのが月齢である。月齢は、朔の瞬間からの経過時間を日の単位で表現したものなので「その年のエパクト数値は1月1日の月齢に等しい」と言うことができる。ただし月齢は小数点まで表すので、エパクトと等しいのは整数部分のみである。
エパクト数値が30を越えるのは、太陽年と太陰年の累積したずれが30日以上ある状態である。太陰太陽暦では、この累積した30日で閏月を作って太陰年に加え、エパクト数値を30減らす。
太陽年の閏日はエパクトの計算には含まない。閏日をその時期の朔望月に付け加えて太陰月を29日から30日または30日から31日に増やすだけである。太陽年と太陰年の日付の差は変わらず、よってエパクトの数値は変わらない。
紀元前433年に数学者メトンは、太陽年の19年分が朔望月235か月分にほぼ等しい(注意:一致はしない)というメトン周期を発見した。周期内の閏日が4日であれば計6939日、5日なら計6940日という19年周期である。
19年ごとに太陽年と太陰年が同時スタートを切るのだから、エパクト数値は19年分を繰り返し続ければいいように思われる。しかし一回のメトン周期で累積するエパクト総数は 11×19=209(1年あたり11日のずれが19年分)。209 mod 30=29で割り切れず29余っている。そこで周期の終わりにエパクトに1を加算し、(209+1) mod 30=0の状態にしてから再び1周期を始めなければならない。この周期最後のエパクト加算をサルトゥス・ルーナエ(Saltus lunae ラテン語で月の跳躍の意)と呼ぶ。
209のエパクト(過剰日)は、30日の閏月6か月と29日の閏月1か月の計7か月に配分される(30×6+29×1=209)。太陽年19年と等しい朔望月が235か月分というのは、太陰年19年分にこの閏月が加えられた数である(12か月×19年+閏月7か月=235か月)。
メトン周期の19年は1から19の通し番号がつけられ、これを黄金数(Golden Number)と呼ぶ。黄金数は、その年のメトン周期内の位置を判別するものでエパクトや復活祭の計算などに使われる。
満月の日付のMは3月、Aは4月。エパクトの*は30または0を示す。
まず第一は、97日の閏日を400年の間に挿入し、実際の太陽年にできるだけ近くするための補正である。ユリウス暦では4年に一度の閏年を入れた太陽年は平均365.25日で、メトン周期の太陽年は365.25日×19年=6939.75日としていた。しかしリリウス達は当時の数学・科学力を駆使して春分点を基点とした太陽年は365.2425日という数値に落ち着いた。(21世紀初頭の計算では、平均回帰年365.24219日、春分回帰年ならば365.2424日とリリウスの計算に非常に近い値が出ている。)グレゴリオ暦の定めた太陽年365.2425日の0.2425日という端数を解消するために、0.2425=97÷400、つまり97日の閏日を400年の間に導入することとなった。こうしてグレゴリオ暦と太陽年の誤差は3000年に1日という精度にまで上がった。単純な4年ごとのルールでは閏年が400年間で100回になってしまうので、「西暦が4で割り切れるが、100で割り切れる年は閏年としない(例 1900年)。ただし100と400両方で割り切れる年は閏年(例 2000年)」という規則にした。
グレゴリオ暦の閏年にならない百の年には、エパクトも1をひいて補正する。これを太陽方程式(Solar equation)と呼ぶ。グレゴリオ暦の本来の目的が3月の春分頃の朔望月を算出することなので、1、2月のエパクトに関しては正確さにこだわっていない。そのため閏日は2月であるが、年始にエパクトを補正して「その年のエパクト数値は1月1日の月齢に等しい」としている。