三項系
何れの場合にも、V はその双対空間と同一視され、対応する対合が g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 上に入る。これにより
V ⊕ g 0 ⊕ V ∗ {\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}
上に対合が誘導され、 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 上の対合が正定値であった場合には、誘導された対合はカルタン対合となり、対応する対称空間は対称リーマン空間である。この空間は、カルタン対合を g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 上で +1, V および V 上で −1 を取る対合との合成で置き換えることにより、非コンパクト双対が与えられる。この構成の特別の場合として、 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} が V 上の複素構造を保つ場合を考えると、コンパクト型および非コンパクト型の双対エルミート対称空間(後者は有界対象領域(英語版)になる)が得られる。
三重系がリー三重系であるとは、その三重積 [•, •, •] が以下の三つの恒等式
[ u , v , w ] = − [ v , u , w ] , {\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w],}
[ u , v , w ] + [ w , u , v ] + [ v , w , u ] = 0 , {\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0,}
[ u , v , [ w , x , y ] ] = [ [ u , v , w ] , x , y ] + [ w , [ u , v , x ] , y ] + [ w , x , [ u , v , y ] ] {\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]]}
を満足するときに言う。前二者の恒等式は三項交換子が満たす歪対称律とヤコビ律を抽出したもので、一方最後の恒等式は線型写像
L u , v : V → V ; w ↦ L u , v ( w ) := [ u , v , w ] {\displaystyle L_{u,v}\colon V\to V;\;w\mapsto L_{u,v}(w):=[u,v,w]}
が三重積の微分作用素となることを意味するものになっている。また、この恒等式からは、いま定義した線型写像たちで張られる空間
k := span { L u , v : u , v ∈ V } {\displaystyle {\mathfrak {k}}:={\text{span}}\{L_{u,v}:u,v\in V\}}