シンプレクティック幾何学
逆に、ハミルトニアン H {\displaystyle H} とポアソン可換な関数 G {\displaystyle G} が存在して、 G {\displaystyle G} が H {\displaystyle H} と関数的に独立であるとすると、 G {\displaystyle G} が定めるハミルトンベクトル場のフローは、ハミルトニアン H {\displaystyle H} を不変にする。つまり、第一積分(保存量)からハミルトン系の対称性が得られたことになる。この意味で、系の対称性と第一積分の存在は等価である。しかし、ある保存量に対する対称性が目に見える形で現れるとは限らない。自明ではない対称性を隠れた対称性という。
さて、ハミルトン系が十分多くの第一積分を持てば、それらにより方程式は求積できる。 n {\displaystyle n} を系の自由度とする。ハミルトン系が完全可積分であるとは、 H = G 1 {\displaystyle H=G_{1}} とポアソン可換な関数 G 1 , ⋯ , G n {\displaystyle G_{1},\cdots ,G_{n}} が存在して、それら n {\displaystyle n} 個の関数が関数的に独立であることをいう。完全可積分であることを、単に可積分であるともいう。
代表的な可積分系には次のようなものが挙げられる。
ケプラー問題
二体問題
調和振動子
戸田格子
ラグランジュのコマ
コワレフスカヤのコマ
対称ゴマ
また、可積分系における重要な結果として、アーノルド・ヨストの定理(リウヴィル・アーノルドの定理)やKAM理論が挙げられる。ここで、KAM理論のKAMとは、Kolmogorov-Arnold-Moser (コルモゴロフ・アーノルド・モーザー)の頭文字である。
しかし、 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} のときは状況が違う。このとき、 B 2 ( r ) {\displaystyle \,B^{2}(r)\,} から Z 2 ( R ) {\displaystyle \,Z^{2}(R)\,} への体積を保つ埋め込みは、 r , R {\displaystyle r,R} の大小関係に関わらずいくらでも存在する。それにもかかわらず、シンプレクティック構造を保つという条件を加えるだけで、その埋め込みが存在するかは r , R {\displaystyle r,R} の大小関係に依る。この意味で、グロモフが示したこの非圧縮定理 (non-squeezing theorem) は非自明である。グロモフによるこの定理の証明には、概正則曲線が用いられている。ここで、概正則曲線の定義を述べる。 Σ {\displaystyle \Sigma } をリーマン面、 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、それぞれの概複素構造を i 及び J としよう。このとき、滑らかな写像 u : Σ → M {\displaystyle \,u:\Sigma \to M\,} が概正則曲線(概正則写像、 J {\displaystyle J} -正則曲線)であるとは、 J ∘ d u = d u ∘ i {\displaystyle \,J\circ du=du\circ i\,} を満足することをいう。
シンプレクティック幾何学(シンプレクティックきかがく、英: symplectic geometry)とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。
しかし、正準量子化はユークリッド空間ではうまくいくが、一般の多様体上では簡単にそれを行うことはできない。なぜなら、多様体において座標は局所的なものであり、それを大域的に用いることはできないからである。また、正準量子化の方法をシンプレクティック多様体の上に一般化することも困難である。なぜなら、ユークリッド空間上での正準量子化は T ∗ R n ≅ R n × R n {\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}} 上の量子化であると考えられ、位置と運動量の区別が自然と付く。しかし、一般のシンプレクティック多様体の場合(例えばコンパクト多様体を考えよ) 、位置と運動量の区別は付かない。そのため、運動量を微分演算子で置き換えるという、正準量子化の方法が幾何学的にどのような意味を持つかはこの時点でははっきりしないのである。この疑問に対して、ディラックは幾何学的量子化の問題を提起した。
( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 { ∙ , ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}} をシンプレクティック形式から定まるポアソン構造とする。ディラックの提起した幾何学的量子化の問題とは次のように述べられる。
d γ d t = X H , γ ( t ) = ( q 1 ( t ) , ⋯ q n ( t ) , p 1 ( t ) , ⋯ , p n ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}=X_{H},\,\,\,\gamma (t)=(q_{1}(t),\cdots q_{n}(t),p_{1}(t),\cdots ,p_{n}(t))}
と表される。ここで X H {\displaystyle X_{H}} はハミルトニアン H {\displaystyle H} から定まるハミルトンベクトル場である。
解析力学の相空間上のシンプレクティック形式 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} による定式化は、さらに一般のシンプレクティック多様体上へと拡張される。 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 H {\displaystyle H} を M {\displaystyle M} 上の滑らかな関数とする。このとき、ハミルトンの正準方程式がやはり上と同じ形式で、
d γ d t = X H {\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}=X_{H}}
と定義される。ただし、シンプレクティック多様体まで拡張してしまうと、ハミルトン形式に対応するラグランジュ形式は一般には見付けられない。