総和
総和は、加法が定義された集合 M の元の列 x1, x2, ..., xn に対する n 項演算(n は順序数)である。それは、再帰的に次のように定義される。
s1 = x1,
si = si−1 + xi (i =1, 2, ..., n)
こうして得られる si は i 番目の部分和 (partial sum) と呼ばれる。n が有限であれば、この操作は有限回で終了し、x1, x2, ..., xn の総和は部分和 sn に等しい。これを
s n = ∑ i = 1 n x i {\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
と記す。記号 Σ はギリシア文字のシグマの大文字であり、レオンハルト・オイラーが初めて使用した。これは、Sum(和)を意味するラテン語 Summa の頭文字 S の翻字である。また、Σ の上下の添字は、添え字 i の値を 1 より始めて n まで順に動かすことを表す。総和は、線型性を持つ演算である。
∑ i = a b ( x i + y i ) = ( ∑ i = a b x i ) + ( ∑ i = a b y i ) {\displaystyle \sum _{i=a}^{b}\left(x_{i}+y_{i}\right)=\left(\sum _{i=a}^{b}x_{i}\right)+\left(\sum _{i=a}^{b}y_{i}\right)}