ウェアリングの問題
↑ デショワラー(Deshouillers)、ヘネカール(Hennecart)、ランドルー(Landreau)は2000年に13793 から 10 の間のすべての数は多くとも 16 個の和が必要であることを示した(Deshouillers 2000)。また、カワダ(Kawada)、ウーレイ(Wooley)、デショワラー(Deshouillers)はダベンポートの1939年の結果を拡張し、10 以上の数は 16 個以上の和が必要ないことを示した。
↑ ハーディとリトルウッドは g(k)を改良する中で、むしろ「十分大きな全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」を満足する s の最小値 G(k) のほうが本質的であると考えた。彼らは円周法(英語版)と呼ばれる新しい方法を使い、 G ( k ) ≤ ( k − 2 ) 2 k − 1 + 5 {\displaystyle G(k)\leq (k-2)2^{k-1}+5} を証明し、この問題に限らず解析的整数論全体に劇的な進歩をもたらした。また、ハーディとリトルウッドは一般化されたリーマン予想を前提としていたが、ヴィノグラードフはこの前提を必要としない方法とした。
G(3) は少なくとも 4 である(立方数は 0, 1, −1 (mod 9) であるため)。1.3×10 未満の数に対し 1290740 は 6 個の立方数が必要な最大の整数であるほか、G(3)=4 であると認めるのに十分な速度で N を増加させると、5 個の立方数が必要な N と 2N の間の数の個数を減らすことができる。4 個の立方数の和で表すことのできない既知の最大の数は 7373170279850 であり、著者らはこれが最大の数とする妥当な議論を与えている。G(3) の上界 G(3) ≤ 7 はユーリ・リンニク(Yuri Vladimirovich Linnik)による。
13792 は 17 個の 4 乗数が必要な最大の数である。16 個の 4 乗数の和は常に 31·16 の形の数である必要がある。
617597724 は 10 個の 5 乗数が必要な 1.3×10 未満の最大の数であり、51033617 は 11 個必要な 1.3×10 未満の最大の数である。
表の k=5,...,20 の上界はボブ・ヴォーン(英語版)(R. C. Vaughan)とトレヴォール・ウーレイ(英語版)(Trevor Wooley)による。
イワン・ヴィノグラードフ(英語版)(Ivan Matveyevich Vinogradov)は、改善したハーディ・リトルウッドの円周法(英語版)(Hardy-Littlewood method)を使い、多くの精密化を行った。1947年に次の評価式を導出した。
G ( k ) ≤ k ( 3 log  k + 11 ) {\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}