外微分
をもつ、ただし d x p ∧ {\displaystyle {\overset {\wedge }{\mathrm {d} x^{p}}}} はその元を除くことを意味する。
(例えば、n = 3 つまり三次元空間のとき、2-形式 ωV は局所的に V とのスカラー三重積である。)ωV のある超曲面上の積分は V のその超曲面上の流束である。
この (n − 1)-形式の外微分は n-形式
d ω V = div  ( V ) ( d x 1 ∧ d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ) {\displaystyle \mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}
である。
R 上のベクトル場 V = (v1, v2, ..., vn) は対応する (n − 1)-形式
ω V = v 1 ( d x 2 ∧ d x 3 ∧ ⋯ ∧ d x n ) − v 2 ( d x 1 ∧ d x 3 ∧ ⋯ ∧ d x n ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 v n ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 ) = ∑ p = 1 n ( − 1 ) ( p − 1 ) v p ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p − 1 ∧ d x p ∧ ∧ d x p + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})\\&=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\overset {\wedge }{\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})\end{aligned}}}
1-形式の基底 dx, ..., dx 上 σ = u dx ∧ dx を考えよう。その外微分は: d σ = d ( u ) ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ( ∑ i = 1 n ∂ u ∂ x i d x i ) ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ∑ i = 3 n ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x 1 ∧ d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sigma &=\mathrm {d} (u)\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\right)\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}.\end{aligned}}}
最後の式はウェッジ積の性質から容易に従う。すなわち、dx ∧ dx = 0.