ベズー整域
すべての PID はベズー整域である。
PID でないベズー整域の例には整関数(全複素平面上で正則な関数)の環や代数的整数の環がある。整関数のケースでは、既約元は次数 1 の多項式に同伴な関数のみなので、元が分解をもつのは有限個の零点をもつ場合に限る。代数的整数のケースでは、既約元は全く存在しない、なぜならば任意の代数的整数に対して(例えば)その平方根はまた代数的整数であるからだ。これは両方のケースにおいて環が UFD でなくしたがって PID でないことを示している。
付値環はベズー整域である。任意の非ネーター付値環は非ネーターベズー整域の例である。
以下の一般的な構成は体でない任意のベズー整域 R から、例えば PID から、UFD でないベズー整域 S を生み出す。R = Z の場合が心にとどめておくべき基本的な例である。F を R の分数体とし、S = R + XF[X] とおく。定数項が R に入る F[X] の多項式の部分環である。この環はネーターでない、なぜならば X のような定数項が 0 の元は R の非可逆元、これは S の非可逆元でもある、によって何度でも割ることができる。すべてのこれらの商によって生成されるイデアルは有限生成でない(なので X は S において分解をもたない)。以下のようにして S がベズー整域であることを証明する。
S の元のすべての組 a, b に対して、S のある元 s, t が存在して、as + bt が a と b を両方割り切ることを証明すれば十分である。
a と b が共通約元 d をもてば、これを a/d と b/d に対して証明すれば十分である、なぜならば同じ s, t でうまくいくから。