ブリルアン関数とランジュバン関数
特に、物質の微小磁気モーメントの全角運動量量子数Jと外部磁場 H {\displaystyle H} に対する磁化 M {\displaystyle M} の依存性を説明する。磁化は以下で与えられる。
M = N g μ B J ⋅ B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J\cdot B_{J}(x)}
ここで
N {\displaystyle N} は単位体積あたりの原子数,
g {\displaystyle g} はg因子,
μ B {\displaystyle \mu _{\rm {B}}} はボーア磁子,
熱エネルギー k B T {\displaystyle k_{\rm {B}}T} に対する、外部磁場中の磁気モーメントのゼーマンエネルギーの比
x = g μ B J H k B T {\displaystyle x={\frac {g\mu _{\rm {B}}JH}{k_{\rm {B}}T}}}
k B {\displaystyle k_{\rm {B}}} はボルツマン定数
T {\displaystyle T} は温度。
ブリルアン関数 (―関数、Brillouin function、ブリュアン関数、ブリユアン関数とも)は以下で定義される特殊関数である。
B J ( x ) = 2 J + 1 2 J coth  ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J coth  ( 1 2 J x ) {\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}
ブリルアン関数は通常、 x {\displaystyle x} は実数の変数、 J {\displaystyle J} は正の整数/半整数である(下記を参照)。この場合では関数の値の範囲は-1から1となり、 x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } で+1に、 x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } で-1に漸近する。
この関数は、理想的な常磁性体の磁化を計算する際に現れることでよく知られている。