松原振動数
松原振動数の和を評価する上手なやり方は、 z = i ω {\displaystyle z=i\omega } に極を持つ松原重み関数hη(z)を使う方法である。 ボソンの場合η = +1とフェルミオンの場合η = −1で重み関数は異なる。 重み関数の選択について後述する。 和は、重み関数を使って複素平面での閉曲線積分に置き換えることができる。
S η = 1 β ∑ i ω g ( i ω ) = 1 2 π i β ∮ g ( z ) h η ( z ) d z {\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )={\frac {1}{2\pi i\beta }}\oint g(z)h_{\eta }(z)\,dz}
Fig. 1において、重み関数は虚数軸上に極(赤バツ印)を作る。 閉曲線積分はこれらの極の留数をピックアップし、これは和に等しい。 閉曲線をg(z)の極(Fig. 2、緑バツ印)を囲むように変形すると、和はg(z)hη(z)の留数の全ての極g(z)についての和によって形式的に遂行される。
S η = − 1 β ∑ z 0 ∈ g ( z ) poles Res  g ( z 0 ) h η ( z 0 ) {\displaystyle S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{z_{0}\in g(z){\text{ poles}}}\operatorname {Res} g(z_{0})h_{\eta }(z_{0})}
ここで閉曲線が極を時計回りの方向で囲むように変形し、負の留数を生むため、マイナスがつくことに注意。
Π ( i ω n ) = 1 β ∑ i ω m 1 i ω m + i ω n − ε 1 i ω m − ε ′ = − n F ( ε ) − n F ( ε ′ ) i ω n − ε + ε ′ . {\displaystyle \Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}=-{\frac {n_{F}(\varepsilon )-n_{F}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.}