正二十面体
一辺の長さをaとすると、
正二十面体の回転対称群(英語版)は5文字の交代群 A 5 {\displaystyle A_{5}} に同型である。位数は60。この非可換単純群は5文字の対称群 S 5 {\displaystyle S_{5}} の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性(英語版)の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質(英語版)を見よ。
(鏡映を含めた)正二十面体の完全 (full) な対称群は完全正二十面体群(英語版)として知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 C 2 {\displaystyle C_{2}} との直積 A 5 × C 2 {\displaystyle A_{5}\times C_{2}} に同型である。
また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称変換の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。