ラグランジュの定理 (群論)
部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h) = ah と定義するとき、φa(h1) = φa(h2) とすると、ah1 = ah2 となるから、左から a を掛けて h1 = h2 となるので、写像 φa は単射になる。写像 φa による部分群 H の像が aH だから写像 φa は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φa の逆写像 φa: aH → H は φa(x) = ax となる。これより、同値類 aH から同値類 bH への写像 f : aH → bH を f (x) = (φb⚬φa)(x) = φb(φa(x)) = bax と定義すると写像 f は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH と bH は同型となり、|aH| = |bH| = |H| となる。