公倍数
最小公倍数
公約数
m Z ∩ n Z {\displaystyle m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} } はある整数 c {\displaystyle c} を用いて c Z = { c k | k {\displaystyle c\mathbb {Z} =\{ck|k} は整数全体を動く } {\displaystyle \}} の形に表すことができる。このような c {\displaystyle c} は正と負の2つが存在し、正の方を m {\displaystyle m} と n {\displaystyle n} の最小公倍数という。これらの概念は m , n {\displaystyle m,\ n} が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。
この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。
公倍数(こうばいすう)とは、2つ以上の整数に共通な倍数。例えば、 2 {\displaystyle 2} と 3 {\displaystyle 3} の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に 0 {\displaystyle 0} を含めないので、公倍数にも 0 {\displaystyle 0} を含めない。
公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、 2 {\displaystyle 2} と 3 {\displaystyle 3} の最小公倍数は 6 {\displaystyle 6} である。
与えられた2つ(以上)の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、 4 {\displaystyle 4} と 6 {\displaystyle 6} の最小公倍数は 12 {\displaystyle 12} であるが、 4 ⋅ 6 = 24 {\displaystyle 4\cdot 6=24} である。
ある2つ以上の整数の公倍数は無限に存在する。例えば、 3 {\displaystyle 3} と 5 {\displaystyle 5} の公倍数は-30,-15,0,15,30となり、15の倍数になっていることがわかる。(ある与えられた数の倍数は無限に存在する。)