有理標準形
正方行列 A, B が互いに相似かどうか調べたいとしよう。考えられる方法のひとつは、それぞれについて自然に作用するベクトル空間を不変部分空間の直和に可能な限り分解し、これらの部分空間上のそれぞれの作用を比較することである。たとえば両者が共に対角化可能であれば、固有空間分解をして、固有値とその重複度を比較することによって相似性は決定可能である。実際これは非常に有力な方法であることが多いが、一般的な方法としては様々な欠点がある。第一に、すべての固有値を(たとえば固有多項式の根として)見つける必要がある。しかし、それらを陽に表示することができるとは限らない。第二に、固有値は拡大体の中にしか存在しないかもしれない。このとき基礎体に関する相似性の証明は得られない。最後に、行列 A, B は、そもそも拡大体においてさえ対角化できないかもしれない。このような場合には広義固有空間への分解や、ジョルダン細胞への分解を代わりに使わなければならない。
しかしながら、上のように精密な分解を得ることは行列の相似性決定には必要ではない。有理標準形は、可能な限り大きな不変部分空間への直和分解に基づいているが、一方でそれぞれの作用を非常に単純な記述できる。これらの部分空間はゼロでないベクトル v と行列の冪による像により生成される。これらは明らかに不変部分空間であり、巡回部分空間と呼ばれる。