アーベル多様体
種数 g ≥ 1 のすべての代数曲線 C は、次元 g のアーベル多様体 J が存在して、C から J への解析的写像によって関係付けることができる。トーラスの場合、J が可換な群構造を持ち、C の像は J を生成し群をなす。また、J の任意の点は C の g 個の点からなる組により作られる C により被覆される。C 上の微分形式の研究は、同時に始まったアーベル積分(英語版)の研究を促し、より単純な見方に変えても変わることのない J 上の微分形式の理論から導くことができる。アーベル多様体 J を複素数体上の任意の非特異曲線 C の ヤコビ多様体という。双有理幾何学の観点からは、函数体は、C の函数体の上に作用する g 個の点についての対称群の固定的な体である。
体 k 上のアーベル多様体 A へ(同じ体の上の)双対アーベル多様体 A を対応させることができる。双対アーベル多様体は次のモジュライ問題の解を与える。k-多様体 T によりパラメトライズされた次数 0 の直線束の族は、A×T 上の直線束を L として、次の性質を持つように定義される。
すべての T 上の t に対し、L の A×{t} への制限は次数 0 の直線束である。
L の {0}×T への制限は自明な直線束(ここに 0 は A の同一視とする)である。
すると、多様体 A と次数 0 の直線束 P の族に対し、T 上の族 L が射 1A×f: A×T → A×A に沿った P の引き戻し(英語版)(pullback)に L が同型となるような一意的な射 f: T → A に付随しているようパラメトライズされたポアンカレバンドルとなる。これを T が一点の時に適用すると、A の点が A 上の次数 0 の直線束に対応することが分かる。