コヒーレント状態
ロイ・グラウバーは古典的電磁場 E cos  ω t {\displaystyle \mathbf {E} \cos \omega t} や H sin  ω t {\displaystyle \mathbf {H} \sin \omega t} に最も近い量子力学的状態(コヒーレント状態)の確率分布を、電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } と磁場 H {\displaystyle \mathbf {H} } の間に存在する不確定性関係
| Δ E | | Δ H | ≳ c ħ ω / 2 π V {\displaystyle |\Delta \mathbf {E} ||\Delta \mathbf {H} |\gtrsim c\hbar \omega /2\pi V}
(Vは電磁場の平均値を求める際の体積)において等号が成立する条件から求めた。
コヒーレント状態において正準座標
Q ^ = ħ 2 ω ε 0 ( a ^ + a ^ † ) {\displaystyle {\hat {Q}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega \epsilon _{0}}}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger })}
P ^ = i ħ ω ε 0 2 ( a ^ † − a ^ ) {\displaystyle {\hat {P}}=i{\sqrt {\frac {\hbar \omega \epsilon _{0}}{2}}}({\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}})}
を測定したとき、その標準偏差 Δ Q {\displaystyle \Delta Q} 、 Δ P {\displaystyle \Delta P} は以下の関係を満たしている。
Δ Q Δ P = ħ 2 {\displaystyle \Delta Q\Delta P={\frac {\hbar }{2}}}
よってコヒーレント状態は最小不確定状態である。相空間では、コヒーレント状態は局在している。
一方で光子数と位相の不確定性については、コヒーレント状態は | α | {\displaystyle |\alpha |} が小さいときは最小不確定状態にはなっていない。しかし | α | {\displaystyle |\alpha |} が大きいとき、つまり光子数が多い場合は光子数と位相の最小不確定状態に近づき、古典的な光に対応するようになる。