ブロックデザイン (数学)
有限集合 X と正整数 k, r, λ が与えられているとする。X の元を点と呼び、k 個の元からなる X の部分集合をブロックと呼ぶ。ブロックの集合 B が次の2条件を満たすとき、組 (X, B) を 2-デザインまたは単にデザインという。
任意の点 x に対し、x を含む B の元はちょうど r 個である。
任意の異なる2点 x, y に対し、x と y を共に含む B の元はちょうど λ 個である。
第2の条件を満たせば自動的に第1の条件を満たすような r が存在するので、第2の条件のみで定義してもよい。
k, r, λ に加え、点の個数 v とブロックの個数 b をデザインのパラメータという。各パラメータの意味を表にまとめると以下の通り。
パラメータ v, b, r, k, λ を持つデザインは、(v, k, λ)-デザインまたは (v, b, r, k, λ)-デザインなどと表記される。
B = { X } とすると、(X, B) は明らかに2-デザインである。これを自明なデザインという。B が X の k 点部分集合全体の集合である場合も、(X, B) は明らかに2-デザインである。これを完全なデザインまたは完備なデザインという。自明でも完全でもない2-デザインを、釣合い型不完備ブロック計画 (balanced incomplete block design) といい、略して BIBD と書く。以下に見るように、BIBD の典型的な例として有限射影平面があり、これは対称的デザインでもある。