偏微分
∂ s f ∂ x 1 j 1 ⋯ ∂ x n j n ( a ) h 1 j 1 ⋯ h n j n + r ( a , h ) {\displaystyle f(a+h)=\sum _{s=0}^{k}\,\sum _{j_{1}+\dots +j_{n}=s}{\frac {1}{j_{1}!\cdots j_{n}!}}\,{\frac {\partial ^{s}f}{\partial x_{1}^{j_{1}}\cdots \partial x_{n}^{j_{n}}}}(a)\,h_{1}^{j_{1}}\cdots h_{n}^{j_{n}}+r(a,h)} と近似される。ただし、h = (h1, ..., hn) は |h| → 0 の極限で k-次より高次の無限小、即ち lim | h | → 0 | r ( a , h ) | | h | k = 0 {\displaystyle \lim _{|h|\to 0}{\frac {|r(a,h)|}{|h|^{k}}}=0} を満たす。
通常の微分積分学において実函数の最大値・最小値を求める一変数の極値問題と同様に、多変数函数の極値問題に対しても微分係数の一般化によってその極値を決定することができ、その計算において偏微分が必要となる。
微分幾何学では全微分を決定するのに必要である。
偏微分はベクトル解析においても本質的である。スカラー場やベクトル場の勾配、発散、回転やラプラス作用素の成分は偏微分で与えられる。ヤコビ行列も同様。