フビニ・スタディ計量
CP の中で同次座標 (Z0,...,Zn) を持つ点に対して、Z0 ≠ 0 であり、特に、zj = Zj/Z0 とすると、一意に n 個の座標の組 (z1,...,zn) が存在し、
[ Z 0 , ... , Z n ] ∼ [ 1 , z 1 , ... , z n ] , {\displaystyle [Z_{0},\dots ,Z_{n}]{\sim }[1,z_{1},\dots ,z_{n}],}
となる。すると、(z1,...,zn) は、座標の貼りあわせ U0 = {Z0 ≠ 0} での CP のアフィン座標系(英語版)(affine coordinate system)を形成する。アフィン座標は、明らかに、代わりに Zi で割ることにより、任意の座標系での貼り合わせでの Ui = {Zi ≠ 0} としてアフィン座標系を得ることができる。n + 1 個の座標は、CP を覆う被覆 Ui を貼り合わせ、Ui 上のアフィン座標 (z1,...,zn) の項として明確に計量を与えることが可能となる。この座標の微分は、CP の正則接バンドルの標構 { ∂ 1 , ... , ∂ n } {\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}} を定義し、フビニ・スタディ計量は、エルミート成分
斉次座標 Z = [Z0,...,Zn] による表現も可能である。表現の意味をうまく解釈すると、
d s 2 = | Z | 2 | d Z | 2 − ( Z ̄ ⋅ d Z ) ( Z ⋅ d Z ̄ ) | Z | 4 = Z α Z ̄ α d Z β d Z ̄ β − Z ̄ α Z β d Z α d Z ̄ β ( Z α Z ̄ α ) 2 = 2 Z [ α d Z β ] Z ̄ [ α d Z ̄ β ] ( Z α Z ̄ α ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}