カップ積
カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、Massey積(英語版)と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次のコホモロジー演算(英語版)であり、部分的にしか定義されない(ある三つ組に対してしか定義されない)。
数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積(英: cup product)は次数 p, q の2つのコサイクル(英語版)から次数 p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的(かつ分配的)な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H(X) となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年にJ. W. Alexander(英語版)、Eduard Čech(英語版)、Hassler Whitney(英語版)の研究によって導入され、1944年に Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。
インフォーマルには、 σ ∘ ι 0 , 1 , . . . , p {\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}} は σ の p 番目の前面であり、 σ ∘ ι p , p + 1 , . . . , p + q {\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}} は q 番目の後面である。
コサイクル c および d のカップ積のコバウンダリは
δ ( c p ⌣ d q ) = δ c p ⌣ d q + ( − 1 ) p ( c p ⌣ δ d q ) {\displaystyle \delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}})}
によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は(どちらの順でも)コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
H p ( X ) × H q ( X ) → H p + q ( X ) {\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}
を誘導する。