ザリスキー位相
可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての(既約)代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合(スペクトル)上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。
古典的な代数幾何学(つまりスキーム(1960年頃グロタンディークによって導入された)を用いない代数幾何学)において、ザリスキ位相は代数多様体上に定義される。ザリスキ位相は、多様体の点全体の上に定義されるのであるが、閉集合の全体が多様体の代数的集合全体であるような位相である。最も初等的な代数多様体はアファイン多様体と射影多様体であるから、この両者の場合に定義をより明示的にしておくと有用である。以下では固定された代数閉体 k 上で考える。(古典的な幾何学では k はほとんどいつも複素数体である。)