Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数(ランク)を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。
任意の可換環(1 = 0 の自明環は除く)は IBN を満たし、任意の左ネーター環や任意の半局所環も(したがって可除環や半単純環なども)IBN を満たす。特に任意の(可換)体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が well-defined な次元を持つという事実である。
A を可換環とし、A-加群同型 f : A n → A p {\displaystyle f\colon A^{n}\to A^{p}} が存在するとする。 ⟨ e 1 , ... , e n ⟩ {\displaystyle \langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle } を A の標準基底とする、つまり e i ∈ A n {\displaystyle e_{i}\in A^{n}} は i 番目の成分を除いてすべて 0 である。クルルの定理により I を A の極大イデアルとし、 ( i 1 , ... , i n ) ∈ I n ( ⊂ A n ) {\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}(\subset A^{n})} とする。A-加群準同型は
f ( i 1 , ... , i n ) = ∑ k = 1 n i k f ( e k ) {\displaystyle f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})}
環 R が invariant basis number (IBN) を持つとは、どんな正の整数 m と n に対しても、R が R に(左 R-加群として)同型ならば m = n であることをいう。
同じことだが、これは相異なる正整数 m, n であって R が R に同型となるようなものが存在しないということである。
行列の言葉で invariant basis number の定義を言い換えると、A が R 上の m × n 行列で B が R 上の n × m 行列で、AB = I および BA = I であれば、必ず m = n となるということである。この形にすれば定義が左右対称なことがわかり、IBN を左加群で定義しても右加群で定義しても同じになる。
定義の同型は環としての同型ではなく加群としての同型であることに注意する。