NP
Pは、決定性チューリングマシンを使って多項式時間で解ける問題のクラスである。定義より明らかに P ⊆ NP {\displaystyle {\textsf {P}}\subseteq {\textsf {NP}}} だが、 P ≠ NP {\displaystyle {\textsf {P}}\neq {\textsf {NP}}} かどうかは未解決問題である(P≠NP予想)。また co-NP は、 NP の補問題のクラスである。つまり、
co-NP = { L ̄ | L ∈ NP } {\displaystyle {\textsf {co-NP}}=\{{\bar {L}}|L\in {\textsf {NP}}\}}
というクラスである。
これらクラスと NP は多項式階層を構成する。 P = Σ 0 P = Π 0 P {\displaystyle {\textsf {P}}=\Sigma _{0}^{\rm {P}}=\Pi _{0}^{\rm {P}}} とし、適切に定義することによって、
Σ 0 P ⊆ Σ 1 P ⊆ ... {\displaystyle \Sigma _{0}^{\rm {P}}\subseteq \Sigma _{1}^{\rm {P}}\subseteq \ldots }
Π 0 P ⊆ Π 1 P ⊆ ... {\displaystyle \Pi _{0}^{\rm {P}}\subseteq \Pi _{1}^{\rm {P}}\subseteq \ldots }
という階層を成し、全クラスの和集合を PH とする。