付値体
{ p n | n = 0 , 1 , 2 , ... } {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}^{n}|n=0,1,2,\ldots \}}
は K の 0 に対する基本近傍系となる。また、乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} に対して
U ( n ) = 1 + p n = { x ∈ K × | | 1 − x | < 1 q n − 1 } ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle U^{(n)}=1+p^{n}=\left\{x\in K^{\times }\left|\ |1-x|<{\frac {1}{q^{n-1}}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=0,1,2,\ldots )}
とおくと
O × = U ( 0 ) ⫌ U ( 1 ) ⫌ U ( 2 ) ⫌ ⋯ {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=U^{(0)}\supsetneqq U^{(1)}\supsetneqq U^{(2)}\supsetneqq \cdots }
が成立し、 { U ( n ) | n = 0 , 1 , 2 , ...
| β i − α i | < ε ( i = 1 , 2 , ... , r ) {\displaystyle |\beta _{i}-\alpha _{i}|<\varepsilon \ \ \ (i=1,2,\ldots ,r)}
が成立する。
体 K が同値ではない2つの非アルキメデス付値でヘンゼル体になるのであれば、K は分離閉体である。
逆に K を分離閉体とすると、K の任意の非アルキメデス付値に対して、ヘンゼル体となる。
非アルキメデス付値体 K の付値環、付値イデアルを R , m {\displaystyle R,\ {\mathfrak {m}}} としたとき、K がヘンゼル体である必要十分条件は、
f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ R [ x ] ( a 0 ∈ m , a 1 ∉ m ) {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in R[x]\ \ \ (a_{0}\in {\mathfrak {m}},\ a_{1}\not \in {\mathfrak {m}})}
を満たす任意の多項式に対して、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の元を根として含むことである。