フーリエ変換
超関数とは、急減少関数(シュワルツ空間の元である関数)の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} であって、任意の急減少関数 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx} が存在するものを言い、 2つの急減少関数の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} 、 { g n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} が、任意の急減少関数 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) φ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ g n ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g_{n}(x)\phi (x)dx} が成り立つとき、 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} と { g n ( x ) } {\displaystyle \{g_{n}(x)\}} は同一の超関数を表すものとする。
h(x) = (f ∗ g)(x) ならば h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi )}
が成り立つ。
また、各空間 H k {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}} へのフーリエ変換の作用を特徴付けることができる。ƒ(x) = ƒ0(|x|)P(x) (P(x) ∈ A k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{k}} ) と表される関数のフーリエ変換は
f ^ ( ξ ) = F 0 ( | ξ | ) P ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}
となる。ただし、
F 0 ( r ) = 2 π i − k r − ( n + 2 k − 2 ) / 2 ∫ 0 ∞ f 0 ( s ) J ( n + 2 k − 2 ) / 2 ( 2 π r s ) s ( n + 2 k ) / 2 d s {\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-(n+2k-2)/2}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{(n+2k-2)/2}(2\pi rs)s^{(n+2k)/2}\,ds}
であり、J(n + 2k − 2)/2 は次数 (n + 2k − 2)/2 の第一種ベッセル関数である。k = 0 のとき、これは動径関数のフーリエ変換に対する有用な公式を与える。
ポアソン和公式はフーリエ変換とフーリエ級数の間の関連性を提供する。絶対可積分関数 ƒ ∈ L(R) が与えられたとき、ƒ の周期化が
f ̄ ( x ) = ∑ k ∈ Z n f ( x + k ) {\displaystyle {\bar {f}}(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}f(x+k)}
によって与えられる。このとき、ポアソン和公式は f のフーリエ級数を ƒ のフーリエ変換に結びつけるもので、特に f のフーリエ級数は
f ̄ ( x ) ∼ ∑ k ∈ Z n f ^ ( k ) e 2 π i k ⋅ x {\displaystyle {\bar {f}}(x)\sim \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot x}}
で与えられることを述べるものである。ポアソン和公式を用いて、大きな次元のユークリッド球面における格子点の数に対するランダウの漸近公式を導出することができる。また、絶対可積分函数 f と ˆf がともにコンパクト台を持つならば ƒ = 0 を示すこともできる。
f(x) の複素共役 f(x) について f ̄ ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) ̄ {\displaystyle {\hat {\overline {f}}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}}
が成り立つ。
フーリエ変換の記法として ˆf(ξ) 以外によく用いられるものに
F ( ξ ) , F ( f ) ( ξ ) , ( F f ) ( ξ ) , F ( f ( t ) ) {\displaystyle F(\xi ),\quad {\mathcal {F}}(f)(\xi ),\quad ({\mathcal {F}}f)(\xi ),\quad {\mathcal {F}}(f(t))}
などがある。あるいはもっと他の記号を使うことも在りうる。たとえば、(f(x) と F(ξ) のように)もとの函数を表している文字の対応する大文字を用いてそのフーリエ変換を表すことは自然科学や工学においてとくによく用いられる記法である。
複素函数 ˆf(ξ) は、極座標に関してこれを表示することにより、振幅
A ( ξ ) = | f ^ ( ξ ) | , {\displaystyle A(\xi )=|{\hat {f}}(\xi )|,}
および位相
φ ( ξ ) = arg  ( f ^ ( ξ ) ) {\displaystyle \varphi (\xi )=\arg({\hat {f}}(\xi ))}
と呼ばれるふたつの実函数 A(ξ) および φ(ξ) を用いて
f ^ ( ξ ) = A ( ξ ) e i φ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}
なる形に解釈することができる。
このとき逆変換は ƒ(x) の周波数成分すべての再結合として