数学の問題
われわれの想像力に新たな地平を切り開く目新しい数学的概念のすべてが、現実界と対応するわけではない。すべてが対応するなら、科学は新たな数学を探し求めるものにすぎなくなるだろう。現代数学の見地からは、数学の問題を解くことは、形式的には、チェス(あるいは将棋や碁)のような、一定のルールに制約された記号の操作に還元し得ると考えられている。この意味において、ウィトゲンシュタインは数学をひとつの「言語ゲーム」(独: Sprachspiel)と見なした。したがって、数学者によって現実の問題とは直接関わりを持たない問題も提起され得るし、また解くことも試みられる。また、数学がゲームであるとすれば、数学の研究成果の価値判断における新奇性(英語版)や差異性よりも、数学研究における数学者自身にとっての「面白さ」がより重視されるかもしれない。ポパーは、数学では容認されても他の科学分野ではできない、このような見方を批判した。
数学者が何かをするために必要な彼らの動機の感覚をもつことを、計算機は必要としない。数理科学において形式的な定義と計算機で検証可能な演繹は、絶対に要(かなめ)となる。計算機で検証可能な、記号に基づく方法論の活力は、そのルールなしには由来しない、しかしむしろ私たちの想像力に依存する。