LTIシステム理論
多くの場合、離散時間 (DT) システムはより大きな連続時間 (CT) システムの一部となっている。例えば、デジタル録音システムはアナログの音響を入力とし、それをデジタイズして、必要に応じてデジタル信号を処理し、最終的に再生して人間が聴くためにアナログに戻してやる。
形式的には、研究されているDT信号のほとんどは、CT信号を一定間隔で標本化したものである。CT信号を x ( t ) {\displaystyle x(t)} としたとき、アナログ-デジタル変換回路によってそれがDT信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} に次のように変換される。
x [ n ] = x ( n T ) {\displaystyle x[n]=x(nT)}
ここで T はサンプリング間隔である。DT信号が元の信号を正確に表現するには、入力信号の周波数の範囲を制限することが非常に重要である。標本化定理によれば、DT信号は 1 / ( 2 T ) {\displaystyle 1/(2T)} までの範囲の周波数しか扱えない。さもなくば、高周波成分がその範囲に折り返し雑音として出てくる。
離散時間入力信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} に対して離散時間出力信号 y [ n ] {\displaystyle y[n]} を返す離散時間LTIシステム H {\displaystyle {\mathcal {H}}} について、連続時間LTIシステムに関するほとんどあらゆる事柄が対応している。
また、時不変でもある。
A { x [ n − m ] } {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}} = ∑ k = n − a n + a x [ k − m ] {\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]} = ∑ k ′ = ( n − m ) − a ( n − m ) + a x [ k ′ ] {\displaystyle =\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']} = A { x } [ n − m ] {\displaystyle ={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m]} .