表面重力
↑ ここで対数をとる g は、表面重力を cgs 単位系の単位加速度 1 cm/s で割ったものである。単位付きの量の大きさは、それを表す単位によらず変わらないことに注意。たとえば物差しの長さを 1 m としても 100 cm としても実物の大きさは同じである。
↑ 球対称な物体の質量 m は物体の半径 r の 3 乗に比例し、また平均密度 ρ にも比例するが (m ∝ r × ρ)、平均密度一定の条件下では、物体の質量は単純に半径の 3 乗に比例すると見なせる (m ∝ r)。表面重力 g は天体の質量に比例し、かつ天体の半径の逆 2 乗にも比例するので (g ∝ m × r)、結果的に平均密度一定の条件下では、表面重力は半径に比例することになる (g ∝ r × r = r)。
↑ 地球を基準に取らず、比の値ではなく測定値のみを用いる場合、上記の関係は比例式となる (g = G × m × r ∝ m × r)。比例係数は万有引力定数 G であり、天体の種類に依存しないため、比を取ることによっていつでも等式に書き換えることができる。
となる。m は天体の質量、r は天体の平均半径、G は万有引力定数である。天体の平均密度を ρ = m/V によって表せば、天体の体積 V は球の体積の公式 V = 4π/3r から求まるため、上記の関係は密度 ρ を用いて以下のように書き換えられる。
g = 4 π 3 G ρ r {\displaystyle g={{\frac {4\pi }{3}}G\rho r}}
この関係から、平均密度を一定に保つ場合、表面重力 g は平均半径 r に比例することが分かる。たとえば、主な構成物質の似た天体同士の表面重力をそれらの半径について比較した場合、上記の比例関係が成り立つと期待できる。
重力は距離の 2 乗に反比例するので、地球から 100 km ほど離れた宇宙ステーションにおいても、重力の強さは地球表面の 5 % ほどしか小さくならず、地球の重力は地球表面とほぼ同じように感じられる。宇宙ステーションで地球へ物が落ちない理由はそこに重力がないからではなく、宇宙ステーションが自由落下軌道(英: free-fall orbit)にあるからである。自由落下軌道上の宇宙ステーションから見ると、地球重力を相殺するように慣性力が働くため、見掛け上は重力がなくなったかのように思えるのである。
}
一般座標変換の下では、キリングベクトルは、 k v = A t v k t {\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}} と変換され、ベクトル k a ′ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle k^{a'}=(1,0,0,0)} を k a ′ = ( − 1 + 2 M r , 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle k_{a'}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right)} として与える。
k a ∇ a k b = κ k b {\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}
について b = v 成分を考えると、以下の微分方程式が得られる。
− 1 2 ∂ ∂ r ( − 1 + 2 M r ) = κ . {\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}
従って、質量 M のシュヴァルツシルト解に対する表面重力は、
κ = 1 4 M {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}}
である。
静的なキリング地平面の表面重力 κ は無限遠点における加速度であり、この表面重力には物体をキリング地平面に留める働きがある。k を適当に正規化されたキリングベクトルとすると、表面重力は以下のキリング地平面における方程式により定義される。
k a ∇ a k b = κ k b . {\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}.}
静的で漸近平坦な時空について、r → ∞ で kka → −1 となり、また κ ≥ 0 となるようにキリングベクトルの正規化を行わなければならない。シュヴァルツシルト解については、表面重力は、k を時間推進キリングベクトル
k a ∂ a = ∂ ∂ t {\displaystyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}
にとればよく、より一般的なカー・ニューマン解については、時間推進キリングベクトルと軸対称キリングベクトルの、キリング地平面でヌルとなる線形結合
k a ∂ a = ∂ ∂ t + Ω ∂ ∂ φ {\displaystyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \phi }}}
を選ぶ。ここで Ω は角速度である。