双対ベクトル空間
この線型準同型が同型となるのは W が有限次元のときであり、かつそのときに限る。V = W の場合には、先の線型写像の空間は実際は写像の合成に関して多元環を成し、先の対応は多元環の逆転準同型(英語版)、即ち (fg)* = g* f* を満たす線型同型となる。圏論の言葉で言えば、ベクトル空間の双対と線型写像の転置をとる操作は、F 上のベクトル空間の圏 F-Vect からそれ自身への反変函手である。このとき、転置の転置 (f*)* が二重双対空間への自然な単射によって f と同一視されていることに注意。
線型写像 f を V および W の基底に関して行列 A で表すとき、f* は W* および V* の双対基底に関して転置行列 A によって表され、転置写像の名の由来となっている。あるいはまた f を A が左から列ベクトルに作用すると見るとき、f* は同じ行列によって右から行ベクトルに作用するものと表現することができる。これらの観点は R 上の標準内積をもちいて関係づけることができ、行ベクトルの空間は列ベクトルの空間の双対と同一視される。