弱形式
これは双線型形式の対称部分の性質に依存するラックス=ミルグラムの定理(Lax-Milgram theorem)の構成である。最も一般的な形という訳ではない。
V {\displaystyle V} をヒルベルト空間とし、 a ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a(\cdot ,\cdot )} を V {\displaystyle V} 上の双線型形式で、次を満たすものとする:
有界: | a ( u , v ) | ≤ C ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|}
強圧的: a ( u , u ) ≥ c ‖ u ‖ 2 . {\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.}
このとき、任意の f ∈ V ′ {\displaystyle f\in V'} に対して、次の方程式には唯一つの解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} が存在する。
a ( u , v ) = f ( v ) . {\displaystyle a(u,v)=f(v).}
また次が成立する。
‖ u ‖ ≤ 1 c ‖ f ‖ V ′ . {\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}
V {\displaystyle V} をあるバナッハ空間とする。次の方程式の解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけたい。
A u = f {\displaystyle Au=f}
但し A : V → V ′ {\displaystyle A:V\to V'} および f ∈ V ′ {\displaystyle f\in V'} であり、 V ′ {\displaystyle V'} は V {\displaystyle V} の双対である。
定義よりこの問題は全ての v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対して次を満たすような u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけることと同値である:
[ A u ] ( v ) = f ( v ) {\displaystyle [Au](v)=f(v)} .
ここで v {\displaystyle v} をテストベクトルあるいはテスト函数と呼ぶ。
これを弱形式による一般的な形に書き換える。すなわち、次を満たす u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つける:
a ( u , v ) = f ( v ) ∀ v ∈ V {\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}
ただし a {\displaystyle a} は双線型形式
a ( u , v ) := [ A u ] ( v ) {\displaystyle a(u,v):=[Au](v)}
である。以上の説明は非常に抽象的であるため、以下ではいくつかの例を見る。