普遍性
U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 (universal morphism) は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性(universal property)を満たす。
Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。
H o m D ( A , Y ) ≅ H o m C ( X , U ( Y ) ) {\displaystyle Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))}
また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。U から X への普遍射は、Dの対象A とCの射 φ : U(A) → X の対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。
Y が Dの対象で f : U(Y) → X がCの射であるような場合、常に D の射g : Y → A が一意に存在して、次の図を可換にする。
ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射(co-universal property)と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。