シュニレルマン密度
σ A = 0 {\displaystyle \sigma A=0} ならば 上の不等式の右辺は σ B {\displaystyle \sigma B} に等しいから σ A > 0 {\displaystyle \sigma A>0} (よって a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} である)の場合を考える。 b ∈ B {\displaystyle b\in B} かつ 1 ≤ b ≤ a i + 1 − a i − 1 {\displaystyle 1\leq b\leq a_{i+1}-a_{i}-1} ならば、 a i + b {\displaystyle a_{i}+b} は C の元であるが A の元ではない。 B が 0 を含んでいることより C は A の元を含んでいるから、 r = A ( x ) {\displaystyle r=A(x)} とおくと、
C ( x ) ≥ r + ∑ i = 1 r − 1 B ( a i + 1 − a i − 1 ) + B ( x − a r ) , {\displaystyle C(x)\geq r+\sum _{i=1}^{r-1}B(a_{i+1}-a_{i}-1)+B(x-a_{r}),}
ここで σ B ≤ B ( x ) / x {\displaystyle \sigma B\leq B(x)/x} が常に成り立つことから