ハルナックの不等式
ポアソンの公式より、
f ( x ) = 1 ω n − 1 ∫ | y − x 0 | = R R 2 − r 2 R | x − y | n ⋅ f ( y ) d y {\displaystyle \displaystyle {f(x)={1 \over \omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}{R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\cdot f(y)\,dy}}
が成立する。ただし ωn − 1 は R 内の単位球面の面積であり、r = |x - x0| である。
今
R − r ≤ | x − y | ≤ R + r {\displaystyle \displaystyle {R-r\leq |x-y|\leq R+r}}
であるため、上の被積分函数の中にある核は次の不等式評価を満たす。