数学基礎論
したがって、直観主義の立場では「自然数の狭義減少数列は、かならずある項で最小値をとる」とはいえず、「自然数の狭義減少数列は、かならずある項で最小値をとることがないとはいえない」と二重否定の形で述べざるを得ないことになる。排中律を制限した非古典論理としての直観主義論理に基づく数学は、通常の排中律を認める古典論理に基づく数学とは異なる形のものとなる。
形式主義は、数学を公理と推論法則によるゲームとみなし、有限の立場により数学の無矛盾性を証明するによるヒルベルト・プログラムによって、数学の基礎付けを行う立場で、ダフィット・ヒルベルトが提唱した。ヒルベルト・プログラムは、「数学の証明を研究する数学」としての超数学である証明論を生み出した。一方、ゲーデルの不完全性定理によって「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が無矛盾であれば、それ自身の無矛盾性証明が存在しない」ことが示され、ヒルベルト・プログラムは一応の決着をみた。ゲーデルの仕事により、数学の形式体系の構文論(証明論)のみならず、意味論(モデル理論)や、計算可能性に関する再帰理論の研究が進むことになり、数学基礎論から数理論理学へと進化していった。
(以上、岩波数学辞典第4版の記載に基づく。ただし、直観主義の説明中の例は、照井一成「コンピュータは数学者になれるのか?」(青土社)の例から拝借した。)
日本では、数学基礎論は、歴史的経緯により、本来の数学の基礎付けの意味だけでなく、それに用いられる超数学および数理論理学の意味でも用いられる。