モノイド
実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって x = x とすることができるが、これは消約律により x = e(e はモノイドの単位元)となり、x が x の逆元となる。
巡回モノイドの位数が有限な n であるとき、0 ≤ k ≤ n − 1 をみたす適当な k に対して f = f が成り立つ。実は、そのような k を定めるごとに位数 n の相異なるモノイドが得られ、逆に任意の巡回モノイドはそれらのモノイドのうちの何れか一つに同型となる。特に k = 0 の場合は、全ての f が逆元を持ち、(ただひとつの位数 n の)巡回群を定める。このとき f は巡回置換として
と表すことができ、モノイドの積と置換の積が対応する。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す(単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない)。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
a = a • a • a かつ a = a • a • a
となる M の元 a をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。