微分作用素
R を環とする。X1, ..., Xn および D1, ..., Dn を変数とする 2n-変数の非可換多項式環 R⟨X1, ..., Xn; D1, ..., Dn⟩ のイデアル I を
I = ( [ D i , X j ] − δ i , j , [ D i , D j ] , [ X i , X j ] | 1 ≤ i , j ≤ n ) {\displaystyle I=\left({\begin{matrix}[D_{i},X_{j}]-\delta _{i,j},\\[2pt][D_{i},D_{j}],\\[2pt][X_{i},X_{j}]\end{matrix}}{\Bigg |}\;1\leq i,j\leq n\right)}
(ここに δ はクロネッカーのデルタ)とするとき、剰余環 R⟨X1, ..., Xn; D1, ..., Dn⟩/I を n-変数の多項式係数微分作用素環と呼ぶ。この環は非可換な単純環である。任意の元は mod I で
X 1 a 1 ... X n a n D 1 b 1 ... D n b n {\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}
の形の単項式の R-線型結合として一意に書くことができる。