不定積分
∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x . {\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.}
∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx.}
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.} (部分積分法)
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) d x d t d t . {\displaystyle \int f(x)dx=\int f(g(t)){\frac {dx}{dt}}\,dt.} (置換積分法)
∫ f − 1 ( x ) d x = x f − 1 ( x ) − ∫ f ( f − 1 ( x ) ) d f − 1 ( x ) . {\displaystyle \int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-\int f(f^{-1}(x))df^{-1}(x).}
∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = log  | f ( x ) | + C . {\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log |f(x)|+C.}
連続関数 f(x) の「 a {\displaystyle a} を基点とする不定積分」 ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt} は、基点 a {\displaystyle a} を定義域内で任意に移動させることで「不定積分」の部分集合を与える。ただし、この対応は一般には全射にも単射にもならない。例えば f ( x ) := x {\displaystyle f(x):=x} という連続関数を考えた場合、その「不定積分」は ∫ x d x = 1 2 x 2 + C {\displaystyle \int x\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}+C} であるが「 a {\displaystyle a} を基点とする不定積分」 ∫ a x t d t = 1 2 x 2 − 1 2 a 2 {\displaystyle \int _{a}^{x}\,t\,dt={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}} からは C ≤ 0 {\displaystyle C\leq 0} の場合しか得られず、同じ C < 0 {\displaystyle C<0} を与える a {\displaystyle a} の値が二つ存在する。