連続の方程式
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は
j = − κ ∇ ρ {\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho }
と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 L 2 T − 1 {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}} をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
∂ ρ ∂ t = κ ∇ 2 ρ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho }
が得られる。
となる。
ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
∫ Ω { ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j − σ } d V = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0}
となるので、微分形
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }
が得られる。
特に、湧き出しがないときの連続の式
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。