ビネ・コーシーの恒等式
b n ) , B = ( c 1 d 1 ⋮ ⋮ c n d n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}}
を適用すれば
| ∑ i = 1 n a i c i ∑ i = 1 n a i d i ∑ i = 1 n b i c i ∑ i = 1 n b i d i | = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n | a i a j b i b j | | c i d i c j d j | {\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}{\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}}}
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)