複素解析
歴史的に複素解析、特に等角写像の理論は工学・地図学・物理学に多くの応用があるが、解析的整数論全般にわたっても応用されている。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形(有名な例としてマンデルブロ集合が挙げられる)の研究などによって有名になっている。
他の重要な応用として共形変換に対して作用が不変な場の量子論である共形場理論が挙げられる。また電気工学におけるフェーザ表示、固体力学における応力関数、流体力学における複素速度ポテンシャルなど、工学の様々な分野にも応用されている。
上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、多変数複素解析に関しても豊かな理論が存在し、べき級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で共形性などの一変数正則関数が持つ幾何学的な性質は拡張されず、リーマンの写像定理が示すような複素平面の領域に関する共形関係性などの複素一変数の理論では成立する重要な性質が複素二変数以上の理論ではもはや成立しない。