ベルヌーイの定理
非粘性流体の運動はオイラー方程式で記述される。
D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}}
ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 p {\displaystyle p} は圧力、 f {\displaystyle {\boldsymbol {f}}} は外力である。
バロトロピック性 ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} と外力が保存力であることを仮定すると、
D v D t = − ∇ { ∫ d p ρ + Ω } {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-\nabla \left\{\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}}
と書き換えられる。ただし、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャルである。
左辺は速度の物質微分、すなわち、加速度であるが、加速度の回転形表示を使うと、
ただし、 v {\displaystyle v} は流体の速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度を表す。
や
一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れに対して
1 2 v 2 + p ρ + g z = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+{p \over \rho }+gz=\mathrm {constant} }
が流線上で成り立つ。ただし、 v {\displaystyle v} は速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度の大きさ、 z {\displaystyle z} は鉛直方向の座標を表す。
は(I)のタイプに属する。
(II)を「一般化されたベルヌーイの定理」と呼ぶこともある。
と変形できる。ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度ベクトル、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャル f = − ∇ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {f}}=-\nabla \Omega } である。
なお、
B = v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω {\displaystyle B={v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}}
をベルヌーイ関数と呼ぶ。更に、右辺第2項を圧力関数と呼ぶ。