ケーリー＝ディクソンの構成法
Albert (1942, p. 171) は少し一般化して、対合環 A(つまり (xy) = yx を満たす演算 ∗ を持つ多元環)に対する(ベクトル空間としての直和)B = A ⊕ A の上に積と対合を
( p , q ) ( r , s ) = ( p r − γ s ∗ q , s p + q r ∗ ) {\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,}
( p , q ) ∗ = ( p ∗ , − q ) {\displaystyle (p,q)^{*}=(p^{*},-q)\ }
で定義する構成法を与えている。ここで γ は、乗法 ∗ および、任意の元による左または右からの積と可換な加法的写像である(γ は任意の実数から選んでよいが、得られる代数は −1, 0, 1 のいずれかを選んで得られるものと同値になる)。この構成において、A が対合環というのは、
A は + に関してアーベル群であり、
A は + 上に左および右分配的な積をもち、