マーラー測度
ボイドは上の定理よりも一般的なステートメントを提示していて、現在も完全に証明されてはいない。彼は次のことを指摘した。すべての根を単位円板の中にあるような整数係数のモニック多項式を特徴付ける古典的なクロネッカーの定理は、マーラー測度がちょうど 1 であるような一変数多項式を特徴づけていると見なすことができ、この結果は多変数の多項式にも適用できる。
Theorem (Boyd) : F ( z 1 , ... , z n ) {\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})} を整数係数の多項式とすると、 M ( F ) = 1 {\displaystyle M(F)=1} であることと、 F {\displaystyle F} が K n {\displaystyle K_{n}} の元であることとは同値である。この K n {\displaystyle K_{n}} の元は「拡張された円分多項式」と呼ばれ、次の形で定義される。
Ψ ( z ) = z 1 b 1 ... z n b n Φ ( z 1 v 1 , ... , z n b n ) . {\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi (z_{1}^{v_{1}},\dots ,z_{n}^{b_{n}})\ .