完全加法的集合関数
μ を有限加法族 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上で定義され補完数直線 [−∞, +∞] = R ∪ {±∞} に値を取る関数とする。関数 μ が有限加法的であるとは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 内の任意の互いに素な集合 A と B に対して
μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) {\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}
が成立することを言う(その帰結として、∞ − ∞ が定義されないままにするために、一つの加法的関数は −∞ と +∞ の両方ともを値として取ることはできない)。
数学的帰納法により、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 内の任意の互いに素な集合 A1, A2, ..., AN に対して、加法的関数は
μ ( ⋃ n = 1 N A n ) = ∑ n = 1 N μ ( A n ) {\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}{\Bigr )}=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})}
を満たすことが分かる。これを有限加法性という。