フロベニウス自己準同型
であれば、数論的フロベニウスは準同型
∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i ↦ ∑ i ∑ α a i α b i p X α {\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }}
である。R を
R ( p ) = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 ( p ) , ... , f m ( p ) ) {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right)}
のように置きなおすと、この準同型は
∑ a α X α ↦ ∑ a α p X α {\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }}
となる。
X を標数 p > 0 のスキームとする。 X のアフィン開集合 U = Spec A を選ぶ。環 A は Fp-代数であるので、フロベニウス自己準同型を持つ。V を U のアフィン開集合とすると、フロベニウスの自然性により、V上へ制限したときの U 上のフロベニウス写像は V 上のフロベニウス写像である。結局、フロベニウス写像を貼り合わせることは、X の自己準同型を与える。この準同型のことを絶対フロベニウス写像と言う。定義により絶対フロベニウス写像は、X から自分自身への準同型である。絶対フロベニウス写像は、 Fp-スキーム上の恒等函手からそれ自身への自然な変換である。
X が S-スキームで、S のフロベニウス写像が恒等写像であれば、絶対フロベニウス写像は S-スキームの射(morphism)である。しかし、一般には、そうとは言えない。例えば、環 A = F p 2 {\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}} を考える。X と S とを、双方とも、恒等射となる構造射 X → S をもつ Spec A とする。A 上のフロベニウス写像は、a を a へ写す。 この写像は F p 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}} -代数の写像ではない。