電磁ポテンシャル
上述した自由度の特徴づけを証明する。
前半は簡単な計算から従うので、後半のみを示す。ポテンシャルの満たすべき条件式(M0)を満たす2つの組 ( φ 1 , A 1 ) {\displaystyle (\phi _{1},{\boldsymbol {A}}_{1})} 、 ( φ 2 , A 2 ) {\displaystyle (\phi _{2},{\boldsymbol {A}}_{2})} を考える。
まず A 1 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{1}} 、 A 2 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{2}} がいずれも(M0-b)式を満たす事から
∇ × ( A 2 − A 1 ) = ∇ × A 2 − ∇ × A 1 = B − B = 0 {\displaystyle \nabla \times ({\boldsymbol {A}}_{2}-{\boldsymbol {A}}_{1})=\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{2}-\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{1}={\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {B}}=\mathbf {0} }
であり、(P2)を適用すれば、
A 2 = A 1 + ∇ g {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{2}={\boldsymbol {A}}_{1}+\nabla g} ...(1)
となるスカラー値関数 g が存在する事がわかる。
(M2'-b) : ∇ ( 1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A ) + ( 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) A = μ 0 j {\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}\right)+\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\boldsymbol {A}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}
が得られる。したがって電磁ポテンシャルを基本的な量として電磁気的現象を記述する場合には式(M2')が場の運動を決定する方程式となる。
マクスウェル自身の原著論文『電磁場の動力学的理論』や原著教科書『電気磁気論』はここでの議論と同じくスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルから始めて、式(M0)により電磁場を定義している。
その後、電磁ポテンシャル自体の実在性が疑わしいといった理由により、ヘルツらによって電磁ポテンシャルによる記述は排され、式(M1)を電磁場の拘束条件とするようになった。
静磁場の場合にかぎり、静電ポテンシャルは電位とも称される。このときの電場 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} は、
E ( x , y , z ) = − g r a d φ ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{(x,y,z)}=-\mathrm {grad} ~\phi (x,y,z)} ....(a)
により電位 φ(x,y,z) の勾配として導かれる。ここで(x,y,z)は空間上の任意の点である。無限遠方の電荷を(x,y,z)の位置まで静的に持ち込むときの仕事に相当にする。このとき φ(x,y,z)は、原理上は E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} の線積分として計算できる。
静磁場という条件がない時は、磁場が電場を誘導する関係上、式(a)を満たすφ(x,y,z)は存在せず、電位を定義できない。仮に E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} の線積分から電位 φ(x,y,z) の値を得ようとすると、積分経路に依存して異なった結果となる。この誘導電場すなわち静電場からのずれが式(M0-a)の第2項である。
静電ポテンシャルは静電場源すなわち電荷によるポテンシャルの総和でもある。よって電荷分布から算出できる。