ウォリス積分
はさみうちの原理より
lim m → ∞ m I m = π 2 . {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}
m = 2n を代入すると先述の I 2 n {\displaystyle I_{2n}} の求値より
lim n → ∞ n ⋅ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}