コホモロジー
この事実をコホモロジーとホモロジー群を関連付けるのに以下のように関連付けるのに使うことができる。Ker(δ) のすべての元 φ は ∂n の像を含む核をもつ。なので φ を Ker(∂n−1) に制限することができ、∂n の像による商をとり Hom(Hn, G) の元 h(φ) を得る。φ が δ の像にも含まれていれば、h(φ) は 0 である。なので Ker(δ) による商をとることができ、次の準同型を得る。
h : H n ( C ; G ) → Hom ( H n ( C ) , G ) . {\displaystyle h:H^{n}(C;G)\rightarrow {\text{Hom}}(H_{n}(C),G).}
この写像 h は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。
0 → ker  h → H n ( C ; G ) → h Hom ( H n ( C ) , G ) → 0. {\displaystyle 0\rightarrow \ker h\rightarrow H^{n}(C;G){\stackrel {h}{\rightarrow }}{\text{Hom}}(H_{n}(C),G)\rightarrow 0.}