M/M/1 待ち行列
M/M/1-PS 待ち行列では、待機列はなく全てのジョブはサービスキャパシティを等分に受けとる。例えば単一のサーバーの速度が 16 で、システム内のジョブが 4 つあるものとすると、それぞれのジョブは速度 4 で処理されることになる。ジョブがサービスを受けとる速度は新たなジョブが到着したりシステムからジョブが減ったりするたびに変更される。
定常状態にある待ち行列に到着した要求に対する応答時間分布のラプラス変換は1970年に発表され、積分形式が知られている。 サービス量 x の要求に対する待ち時間(応答時間からサービス時間を引いたもの)分布のラプラス変換は以下の通りとなる。
W ∗ ( s | x ) = ( 1 − ρ ) ( 1 − ρ r 2 ) e − [ λ ( 1 − r ) + s ] x ( 1 − ρ r 2 ) − ρ ( 1 − r ) 2 e − ( μ / r − λ r ) x {\displaystyle W^{\ast }(s|x)={\frac {(1-\rho )(1-\rho r^{2})e^{-[\lambda (1-r)+s]x}}{(1-\rho r^{2})-\rho (1-r)^{2}e^{-(\mu /r-\lambda r)x}}}}
ここで、r は次の方程式の根のうち小さい方である。
λ r 2 − ( λ + μ + s ) r + μ = 0. {\displaystyle \lambda r^{2}-(\lambda +\mu +s)r+\mu =0.}
サービス量 x を必要とする要求の平均応答時間は x μ/(μ − λ) と計算される。スペクトル展開法を用いて計算することもでき、同じ結果を得る。