相対論的力学
曲がった時空においては時空点に依存する計量 g を導入して
L X ( X , X ̇ , e ) = e 2 [ e − 2 g μ ν ( X ) X ̇ μ X ̇ ν ( λ ) − m 2 c 2 ] {\displaystyle L_{X}(X,{\dot {X}},e)={\frac {e}{2}}\left[e^{-2}g_{\mu \nu }(X){\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-m^{2}c^{2}\right]}
となる。作用は計量を置き換えただけであり、平坦な時空の場合と変わらず拘束条件として質量殻条件が導かれる。
共役運動量は質量殻条件を用いれば
P μ ( λ ) = ∂ L X ∂ X ̇ μ = g μ ν ( X ) p ν ( λ ) {\displaystyle P_{\mu }(\lambda )={\frac {\partial L_{X}}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}=g_{\mu \nu }(X)\,p^{\nu }(\lambda )}
となり、運動方程式は