超幾何分布
超幾何分布とは K 個の成功状態をもつ N 個の要素よりなる母集団から n 個の要素を非復元抽出したときに k 個の成功状態が含まれている確率を与える離散確率分布の一種である。超幾何分布に従う確率変数 X の確率質量関数 fX は次で与えられる。
P  ( X = k ) = f X ( k ; N , K , n ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) = ( n k ) ( N − n K − k ) ( N K ) {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=f_{X}(k;N,K,n)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}={\frac {{\binom {n}{k}}{\binom {N-n}{K-k}}}{\binom {N}{K}}}}
確率質量関数は max{0, n + K − N} ≤ k ≤ min{K, n} のとき正となる。
超幾何分布は N が大きくなると、二項分布に近づく。また K/N が小さく、抽出数 n が大きいとき、ポアソン分布に近づく。
また、成功/失敗を検討してはいるが、ビー玉を取り出す毎に壺の中に残されたビー玉の個数は次々に変化し、各試行での成功確率は同じではないため、この問題は二項分布では正確にモデル化できない。
四分割表に対する独立性の検定との対比を取るために、この問題を四分割表で表現することを考える。N,m,nが固定されれば周辺度数(marginal frequency:第3列および第3行の値)は全て固定され、下表のようになる。さらに、O11を確定すれば、残りのO12,O21,O12は確定する。今、ここで、さらに、O11=X=kとすると、下表のように、四分割表の値が全て確定する。
例えば、上記の問題において、N=50, K=5、n=10の場合を考える。即ち、壺の中には、元々5個の緑玉と45個の赤玉が入っていたものとする。この壺から(目をつぶって)10個のビー玉を非復元的に取り出すことを考える。
このとき、例えば, k=4であれば、四分割表とP(X=4)は以下のようになる。
P ( X = 4 ) = f ( 4 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5 4 ) ( 45 6 ) ( 50 10 ) = 5 ⋅ 8145060 10272278170 = 0.
超幾何分布(ちょうきかぶんぷ、英: hypergeometric distribution)とは、成功状態をもつ母集団から非復元抽出したときに成功状態がいくつあるかという確率を与える離散確率分布の一種である。男女・合否などのように2種の排他的属性に分割できる有限母集団からの非復元抽出に適用される。超幾何分布と対照的な確率分布には二項分布がある。