微分法
c, d およびより高階の係数についてもそれら係数は f の高階微分係数によって決定される。c は常に f"(x0)/2 であるはずだし、d は常に f'"(x0)/3! となるはずである。これら係数を用いて f のテイラー多項式が得られる。次数 d のテイラー多項式は f の最適近似となる d-次多項式であり、その係数は上記の式を一般化したものによって求められる。テイラーの定理はそれがどの程度よい近似であるのかの詳しい評価を与える。f が次数 d 以下の多項式ならば次数 d のテイラー多項式は f 自身に一致する。
テイラー多項式の極限はテイラー級数と呼ばれる無限級数である。テイラー級数はしばしばもとの函数の非常に良い近似を与える。自身のテイラー級数と一致するような函数は解析函数と呼ばれる。不連続だったり尖ったりしている函数は解析的になることはできない。そして滑らかだが解析的でない函数が存在する。
数学における微分法(びぶんほう、英: differential calculus; 微分学)は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。
微分法における第一の研究対象は函数の微分(微分商、微分係数)、および無限小などの関連概念やその応用である。函数の選択された入力における微分商は入力値の近傍での函数の変化率を記述するものである。微分商を求める過程もまた、微分 (differentiation) と呼ばれる。幾何学的にはグラフ上の一点における微分係数は、それが存在してその点において定義されるならば、その点における函数のグラフの接線の傾きである。一変数の実数値函数に対しては、一点における函数の微分は一般にその点における函数の最適線型近似を定める。
微分法と積分法を繋ぐのが微分積分学の基本定理であり、これは積分が微分の逆を行う過程であることを述べるものである。
f の定義域の各点 a において微分商が存在するならば、各点 a を f の a における微分商へ写す函数(導函数)が存在する。例えば、f(x) = x とすれば導函数は f'(x) = dy/dx = 2x である。
これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点 (a, f(a)) を原点として、各軸に平行な座標軸 dx, dy を持つ局所座標系を考えるとき、この座標系において原点を通り傾き dy/dx|x=a の直線(すなわち、もとの座標系でみれば f の a における接線)は dy = dy/dx|x=a dx で表される。これは x = a における増分 Δy = Δy/Δx|x=a Δx の線型化、線型主要部であり、dy は f の a における微分と呼ばれる。
x および y が実変数のときは f の x における微分商は f のグラフの x における接線の傾きであり、f の始域と終域は一次元であるから、f の微分商は実数として与えられるが、x および y がベクトル変数のとき、f のグラフの最適線型近似は f が一度に複数の方向へどれほど変化するかに依存する。一つの方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数(通常、∂y/∂x と書かれる)を決定する。一度にすべての方向への f の線型化は全微分 df という。
別なやり方として、一階微分判定法(英語版)は臨界点の前後における f' の符号の変化を見る。
微分して臨界点に関して解くことは、最適化において有効な極値を求めるための簡単な方法としてよく用いられる。極値定理により、閉区間上定義される連続函数は区間内で少なくとも一つの最小値および最大値に到達しなければならない。さらに函数が微分可能ならば、極小および極大は臨界点または端点でのみ達成できる。
これはまたグラフを描くのにも応用を持つ。可微分函数の極小値および極大値がわかったならば、グラフの概形は臨界点の間で増大するか減少するかを見ることで分かる。
高次元において、スカラー値函数の臨界点はその勾配が零になる点である。二階微分判定法は、臨界点における函数の二階偏微分係数からなるヘッセ行列の固有値を考えることで、やはり臨界点を調べるのに利用できる。全ての固有値が正ならば臨界点で極小であり、全て負ならば極大であり、いくつかは正で残りが負ならば臨界点は鞍点である。その何れの場合でもない(つまり、いくつかの固有値が零である)ならばこの判定法では結論は出ない。