ルンゲ＝クッタ法のリスト
これらの方法はガウス求積法に基づいた方法であり、高い次数を持つ(s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は 2s である)。
4次の方法は以下のブッチャー配列で与えられる。
1 2 − 3 6 1 4 1 4 − 3 6 1 2 + 3 6 1 4 + 3 6 1 4 1 2 1 2 1 2 + 1 2 3 1 2 − 1 2 3 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}
さらに6次の方法に対応する配列は以下で与えられる。
ここで、a Ai,j はLobatto IIIA法に対するルンゲ=クッタ行列である。
αA = 2、αB = 2、αC = -1 のとき、対応する方法はLobatto IIID法であり、Lobatto IIINW法とも呼ばれる。
2次の方法は以下の配列であたえられる。
0 1 / 2 1 / 2 1 − 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
さらに4次の方法は以下の配列であたえられる。
0 1 / 6 0 − 1 / 6 1 / 2 1 / 12 5 / 12 0 1 1 / 2 1 / 3 1 / 6 1 / 6 2 / 3 1 / 6 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
これらの方法もすべてL-安定であり、さらに代数的安定(よってB-安定)である。
フェールベルグ法は3段で、次数2と1の方法を用いる。
0 1 / 2 1 / 2 1 1 / 256 255 / 256 1 / 512 255 / 256 1 / 512 1 / 256 255 / 256 0 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&\\1/2&1/2\\1&1/256&255/256\\\hline &1/512&255/256&1/512\\&1/256&255/256&0\end{array}}}
0 x x 1 − 1 2 x 1 2 x {\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&&\\x&x&\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}
Ralston法 は2段2次の方法のうちで局所誤差の上界が最小のものである。
0 2 / 3 2 / 3 1 / 4 3 / 4 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&&\\2/3&2/3&\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}