スペクトル分解 (関数解析学)
が成立する。したがって (T* - λ)φ = 0 ∈ X* であり、λ は T* の固有値となる。逆に、λ が T* の固有値とする。このとき、 (T* - λ)φ = 0, φ ≠ 0 なる φ ∈ X* が存在する。すべての x ∈ X に対して、
⟨ x , ( T ∗ − λ ) φ ⟩ = ⟨ ( T − λ ) x , φ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,(T^{*}-\lambda )\varphi \rangle =\langle (T-\lambda )x,\varphi \rangle =0}
が成立する。Ran(T − λ) が稠密であるなら、φ はゼロ汎函数でなければならず、これは矛盾である。以上より、主張は示される。
特に、X が回帰的バナッハ空間であるときは、σr(T*) ⊂ σp(T**) = σp(T) が成立する。