ラマヌジャン・スコーレムの定理
一般に 与えられた正の整数 D に対して
x 2 + D = 2 n {\displaystyle x^{2}+D=2^{n}}
は有限個の解しかもたない。ロジェ・アペリー は 7 以外の正の整数 D に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したが、Beukersは2つの正の整数解をもつのは
D = 7 , 23 ( ( x , n ) = ( 3 , 5 ) , ( 45 , 11 ) ) , 2 k − 1 ( k ≥ 4 , ( x , n ) = ( 1 , k ) , ( 2 k − 1 − 1 , 2 k − 2 ) ) {\displaystyle D=7,23\;((x,n)=(3,5),(45,11)),\quad 2^{k}-1\;(k\geq 4,\,(x,n)=(1,k),(2^{k-1}-1,2k-2))}
の場合に限ることを示し、さらに n < 435 + 10 log |D| / log 2 (これは D が負の場合にも成り立つ)となることを示した。