対数
1 以外の正の実数であれば底に何を用いてもよいが、分野によって慣例的によく用いられる底があり、底が省略されることも多い。log x のように底が省略されている場合は、前後の文脈や扱われている分野によって底がいくつであるかを判断する。
底を a = 10 とした対数は常用対数(英: common logarithm)あるいはブリッグスの対数(英: Briggsian logarithm)と呼ばれ、実験などの測定値に用いることが多い。ヘンリー・ブリッグスは、1617年に 1000 未満の整数について8桁、1624年には1~2万と9万~10万の整数についての14桁の常用対数表を出版した。他の対数と区別するために、"Log" のように大文字を用いたり、"lg" という記号を用いることがある (ISO 31/XI では "lg" となっている)。 "lg" は二進対数の表記でもしばしば使用される(後述)。
対数(たいすう、英: logarithm)とは、ある数 x を数 b の冪乗 b として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数(英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x)」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x は真数(しんすう、英: antilogarithm)と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。
通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。
実数の対数 logb x は、底 b が 1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0) について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある x と b の組に対してただ一つに定まる。
実数の対数関数 logb x は底 b に対する指数関数 b の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である。
常用対数表を用いて積を求める例を示す。
345 × 4560 = 3.45 × 4.56 × 10 ・・・(1)
対数の性質より
log10(3.45 × 4.56) = log103.45 + log104.56
常用対数表より
log103.45 = 0.5378 , log104.56 = 0.6590
これより
log103.45 + log104.56 = 0.5378 + 0.6590 = 1.1968 = 0.1968 + 1
常用対数表より対数 0.1968 に近い真数を探すと
0.1968 ≒ log101.57
また、1 = log1010 であるから
log10(3.45 × 4.56) = log103.45 + log104.56 ≒ log101.57 + log1010 = log1015.7
これより、3.45 × 4.56 ≒ 15.7 ・・・(2) (2)を(1)に代入して、
345 × 4560 ≒ 15.7 × 10 = 1,570,000
これは 345 × 4560 = 1,573,200 に対して上から3桁までの値が一致している。 (精度が必要な場合は有効数字の大きな対数表を用いる必要がある。一般に対数は無限小数の形で求められ、対数表の値は近似値である。)