斉次函数
二つの斉次多項式の比として表される有理函数は、分母の零点の軌跡によって切り取られるアフィン錐上の斉次函数になる。そして、f が斉次次数 m で g の斉次次数が n とすれば、有理函数 f/g の斉次次数は g が 0 となる点を除いて m − n になる。
n-変数の単項式は斉次函数 ƒ: F → F を定める。例えば
f ( x , y , z ) = x 5 y 2 z 3 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}
が次数 10 の斉次函数であることは
f ( α ( x , y , z ) ) = f ( α x , α y , α z ) = ( α x ) 5 ( α y ) 2 ( α z ) 3 = α 10 x 5 y 2 z 3 = α 10 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(\alpha (x,y,z))=f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)}
からわかる。単項式の(斉次)次数は各変数の冪指数の総和に等しい(今の例だと 10=5+2+3)。
斉次多項式は同じ次数の単項式の和として得られるものを言う。例えば
x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}
は 5-次の斉次多項式である。斉次多項式もまた斉次函数を定める。