超冪根
ブリング標準形の方程式 x 5 + x + a = 0 {\textstyle x^{5}+x+a=0} は x 5 + x = − a {\displaystyle x^{5}+x=-a} の形に書くとして、 f ( x ) := x 5 + x {\textstyle f(x):=x^{5}+x} と置けば所期の根は x := f − 1 ( − a ) {\textstyle x:=f^{-1}(-a)} ということになる。
よって f − 1 {\textstyle f^{-1}} のテイラー級数は f(x) のテイラー級数を逆に解く(英語版)ことで得られる。f のテイラー級数は単純に x + x であるから、実際に計算すれば
となることがわかる(この級数の係数列は、各項の絶対値をとったものが オンライン整数列大辞典の数列 A2294 にある)。級数の
形を見れば(奇数次の項しか出てこないから)
となり f が奇函数であることが確認できる。またこの級数の収束半径は 4 / ( 5 ⋅ 5 4 ) ( ≈ 0.53499 ... ) {\textstyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})(\approx 0.53499\dotsc )} である。

超幾何函数を用いれば、ブリング根は
と書ける。
ちなみに、ラグランジュの反転定理を経由せずともニュートンの二項定理を使えば簡単に上記の級数表示(ブリング根 │a│<1)を取り出すことが出来る。simpler delivation of bring radical で検索