ハミルトン–ヤコビ方程式
H = H ( q 1 , ... , q k − 1 , q k + 1 , ... , q N ; p 1 , ... , p k − 1 , p k + 1 , ... , p N ; ψ ; t ) {\displaystyle H=H(q_{1},\dots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t)}
この場合、関数 S {\displaystyle S} は二つの関数に分離でき、片方は q k {\displaystyle q_{k}} だけに依存して、他方は残りの一般化座標に依存する。
S = S k ( q k ) + S r e m ( q 1 , ... , q k − 1 , q k + 1 , ... , q N ; t ) {\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{rem}(q_{1},\dots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};t)}
この形でハミルトン–ヤコビ方程式を置き換えると、関数 ψ {\displaystyle \psi } は定数(以下 Γ k {\displaystyle \Gamma _{k}} )となる事が示され、 S k ( q k ) {\displaystyle S_{k}(q_{k})} に関する一階の常微分方程式 が得られる。
ψ ( q k , d S k d q k ) = Γ k {\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}}
これはシュレーディンガー方程式の非線形な変種である。
逆に、シュレーディンガー方程式と ψ {\displaystyle \psi } に関する仮設からスタートすると以下のようになる。
1 2 m ( ∇ S ) 2 + U + ∂ S ∂ t = i ħ 2 m ∇ 2 S {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S}
上のシュレーディンガー方程式の古典極限 ( ħ → 0 ) {\displaystyle (\hbar \rightarrow 0)} が、以下のようなハミルトン–ヤコビ方程式の変種と等しいことが分かった。
1 2 m ( ∇ S ) 2 + U + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
関数 S ( q ; t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ;t)} の、三次元空間上の等値面(英語版)は、すべての時間 t {\displaystyle t} について定められる。ある S {\displaystyle S} の等値面の、時間の関数としての運動は、等値面上のある点 q {\displaystyle \mathbf {q} } から始まる粒子の運動により定義される。そのような等値面の運動は q {\displaystyle \mathbf {q} } 空間を運動する波動と考えることができるが、その運動は完全に波動方程式に従うわけではない。これを示すため、 S {\displaystyle S} で波の位相を表すようにすると
ψ = ψ 0 e i S / ħ {\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}
ここで ħ {\displaystyle \hbar } は指数関数の引数を無次元化するために導入した定数である。波の振幅は S {\displaystyle S} を複素数にすることによって表現する。そうしてハミルトン–ヤコビ方程式を書き直すと
ħ 2 2 m ψ ( ∇ ψ ) 2 − U ψ = ħ i ∂ ψ ∂ t {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m\psi }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\psi \right)^{2}-U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}