相対位相
以下、R は実数全体の集合に通常の位相をいれたものとする。
R の部分空間としての自然数全体の成す集合の位相は離散位相である。
R の部分空間としての有理数全体の成す集合の位相は離散位相ではない(例えば、点 0 のみから成る部分集合は Q の開集合ではない)。a, b が有理数ならば、開区間 (a, b) および閉区間 [a, b] はそれぞれ Q の開および閉集合であるが、a, b がともに無理数のとき、a < x < b を満たす有理数 x の全体の成す部分集合は Q の開かつ閉集合となる。
R の部分空間としての閉区間 [0, 1] は開かつ閉である(R の部分集合としては閉でしかないが)。
R の部分空間としての互いに素な区間和 [0, 1] ∪ [2, 3] は二つの互いに素な開集合(もちろん閉集合でもある)の和であり、従ってこれは非連結空間となっている。
R の部分空間としての S = [0, 1) について、[0, 1⁄2) は S の開集合だが R では開でない。同様に [1⁄2, 1) は S において閉だが、R の閉集合でない。S は自身の部分集合として開かつ閉だが、R の部分集合としては開でも閉でもない。