交項級数
を満たすとき、部分和
s N := ∑ k = 0 N a k {\displaystyle s_{N}:=\sum _{k=0}^{N}a_{k}}
の列 {sN} はコーシー列を成すことが確認できる。特に部分和の二つの部分列 {s2n}, {s2m−1} は有界な単調列ゆえにそれぞれ有限な値に収束するが
lim n → ∞ s 2 n − lim m → ∞ s 2 m − 1 = lim n → ∞ ( s 2 n − s 2 n − 1 ) = lim n → ∞ a 2 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{2n}-\lim _{m\to \infty }s_{2m-1}=\lim _{n\to \infty }(s_{2n}-s_{2n-1})=\lim _{n\to \infty }a_{2n}=0}
となり共通の極限値 S をもつので、それが求める和である。またこのとき、部分和 sN と級数の和 S との誤差は
| S − s N | = | a N + 1 − ( a N + 2 − a N + 3 ) − ( a N + 4 − a N + 5 ) − ⋯ | ≤ | a N + 1 | {\displaystyle |S-s_{N}|=|a_{N+1}-(a_{N+2}-a_{N+3})-(a_{N+4}-a_{N+5})-\cdots |\leq |a_{N+1}|}
と評価することができる。