ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
ワイエルシュトラスが証明したのは以下のような形の近似定理である。
f を閉区間 [a, b] 上の連続関数とせよ。任意の ε > 0 について多項式 p であって、[a,b] の任意の点 x に対し| ƒ(x) − p(x) | < ε を満たすようなものが存在する。
言い換えると閉区間上の連続関数のなす集合において、多項式からなる部分集合は一様ノルム(の誘導する距離)に関して稠密である。したがって、そのような連続関数に対しては一様収束する多項式列が存在する。証明はバーンスタイン多項式かフェイェールの定理を使ってなされることが多い。ワイエルシュトラスは e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} に代表されるような良い減少性をもつ関数の高階微分によって表される積分作用素によって、与えられた関数 f を近似するような多項式たちの係数を与えた。