ロビン境界条件
一次元で Ω = [ 0 , 1 ] {\displaystyle \Omega =[0,1]} とした場合、例えば次のようなロビン境界条件が考えられる:
a u ( 0 ) − b u ′ ( 0 ) = g ( 0 ) {\displaystyle au(0)-bu'(0)=g(0)\,}
a u ( 1 ) + b u ′ ( 1 ) = g ( 1 ) . {\displaystyle au(1)+bu'(1)=g(1).\,}
ここで二つの式の微分の項の前後で正負の符号が反転していることに注意されたい。これは、点 0 での [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} への法線は負の方向を向いているのに対し、点 1 での [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} への法線は正の方向を向いているためである。
ロビン境界条件は、理学および工学の多くの場面で登場するスツルム=リウヴィル問題を解く際に、広く用いられる。
また、ロビン境界条件は移流拡散方程式に対する断熱境界条件の一般的な形でもある。移流フラックスと拡散フラックスの和がゼロであるような
− D ∂ c ( 0 ) ∂ x + u x ( 0 ) c ( 0 ) = 0 {\displaystyle -D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}+u_{x}(0)\,c(0)=0\,}
という形で、そのような境界条件は記述される。ここで D は拡散定数、u は境界での対流速度、c は濃度を表す。この式の第一項はフィックの法則によるものである。