ワイエルシュトラス関数
ワイエルシュトラス関数(ワイエルシュトラスかんすう、英: Weierstrass function)は、1872年にカール・ワイエルシュトラスにより提示された実数関数で、連続関数であるにもかかわらず至るところ微分不可能な関数である。病的な関数(英語版)の例として取り上げられることがある。
「孤立点を除くと連続関数は微分可能である」という認識を変えた出版された初めての例として、ワイエルシュトラス関数は歴史的に重要である。
ハウスドルフ次元は D と考えられているが厳密な証明はなされていない。
W ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 − e i γ n t ) e i φ n γ ( 2 − D ) n {\displaystyle W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(1-e^{i\gamma ^{n}t})e^{i\phi _{n}}}{\gamma ^{(2-D)n}}}} ,
ここで、 1 < D < 2, γ > 1 である。
これは、φ = 0として実部をとるとワイエルシュトラス関数となる。
Re  W ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 − cos  ( γ n t ) γ ( 2 − D ) n {\displaystyle \operatorname {Re} W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}t)}{\gamma ^{(2-D)n}}}}