幾何学的不変式論
これを扱うために、かれは安定性(stability)の考え(実際に三つ)を導入した。このことにより、以前には危険であった領域に彼が足を踏み入れることを可能となった。つまり、多くの数学者、特にフランチェスコ・セヴィリ(英語版)(Francesco Severi)が書いているように、文献の方法は限定的であった。双有理と言う観点は、余次元(英語版) 1 の部分集合について注意せずに前進することができる。スキームとしてモジュライ空間を得ることは、一方では、表現函手(英語版)(representable functor)としてスキームを特徴付ける問題(グロタンディエクスクールがこのことを研究したように)であるが、しかし幾何学的に安定性条件が明らかにしたように、コンパクト化の問題である。非特異多様体への限定は、モジュライ空間のいかなるいかなる意味においてもコンパクト空間を導かない。多様体は特異点を持つところへ退化することが可能だからである。他方では、高次の特異性を持つ多様体に対応する点は良くない性質を持っていて、答えを出しにくい。正しい中間的着地点は、許可される充分安定な点であり、このことがマンフォードの際立った仕事である。この考え方は全く新しいというわけではなく、そのある側面は、ダヴィッド・ヒルベルトが不変式論の分野を離れる以前の最後に考えたアイデアの中にあるからである。
本の序文にも、後日、ウィリアム・ハボウシュ(英語版)(William Haboush)により証明されたマンフォード予想(英語版)(Mumford conjecture)が言明してある。