楕円フィルタ
一般に楕円フィルタの特性は、通過帯域のリップル値、除去帯域のリップル値、遮断の急峻度などで表される。それによって使用可能なフィルタ次数の最小値が決定される。また設計時に考慮すべきこととして、電子部品の特性値が利得関数にどの程度影響するかという問題がある。これは伝達関数の極のQ値に反比例する。極のQ値は以下のように定義される。
Q = − | s p m | 2 R e ( s p m ) = − 1 2 cos  ( arg  ( s p m ) ) {\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}
そしてこれは、利得関数上の極の影響度合いを表す。楕円フィルタでは、次数を固定してリップル係数と選択係数を変化させると、伝達関数の全ての極のQ値を同時に最小化する組み合わせが存在する。
ε Q m i n = 1 L n ( ξ ) {\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}
これにより部品の特性のばらつきに最も影響されないフィルタが得られるが、通過帯域と除去帯域のリップルを個別に設定することはできなくなる。このようなフィルタの次数を上げていくと、両帯域のリップルが減少していき、遮断率が高くなる。最小Q値楕円フィルタでリップルも最小化しようとすると、最小Q値でないフィルタよりも次数を高くする必要がある。利得の絶対値を複素周波数平面にプロットすると、前節の図と似たような図が得られるが、極は楕円ではなく真円上に並ぶ。
バターワースフィルタはチェビシェフフィルタの極限形式なので、 ξ → ∞ {\displaystyle \xi \rightarrow \infty } 、 ω 0 → 0 {\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0} 、 ε → 0 {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} の極限で ε R n ( ξ , 1 / ω 0 ) = 1 {\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1} となるようにすると、バターワースフィルタになる。
ξ → ∞ {\displaystyle \xi \rightarrow \infty } 、 ε → 0 {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} 、 ω 0 → 0 {\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0} の極限で ξ ω 0 = 1 {\displaystyle \xi \omega _{0}=1} かつ ε L n = α {\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha } となるようにすれば、第二種チェビシェフフィルタとなり、その利得は
G ( ω ) = 1 1 + 1 α 2 T n 2 ( 1 / ω ) {\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}
となる。