球面座標系
球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は
{ x = r sin  θ cos  φ y = r sin  θ sin  φ z = r cos  θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \,\cos \phi \\y=r\sin \theta \,\sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}}
で与えられる。第二の角度座標を −π < φ ≤ π とする場合は、直交直線座標 (x,y,z) から球面座標 (r,θ,φ) への変換は
{ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos  ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) φ = sgn  ( y ) arccos  ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\phi =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}}
で与えられる。ここで sgn は符号関数
sgn  ( y ) = { 1 ( y ≥ 0 ) − 1 ( y < 0 ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(y)={\begin{cases}1&(y\geq 0)\\-1&(y<0)\\\end{cases}}}
となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として
div  A = 1 r 2 ∂ ( r 2 A r ) ∂ r + 1 r sin  θ ∂ ( A θ sin  θ ) ∂ θ + 1 r sin  θ ∂ A φ ∂ φ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}}