ヒルベルト・ポリア予想
マイケル・ベリーとジョナサン・キーティング(Jonathan Keating)は、ハミルトニアン H が実際に何らかの古典的ハミルトニアン xp の量子化であると推測した。ここに p は x についての正準運動量である 。xp に対応する最も単純なハミルトニアン作用素は、
H = 1 2 ( x p + p x ) = − i ( x d d x + 1 2 ) . {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}(xp+px)=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).}
である。
このヒルベルト・ポリア予想の精密化は、ベリー予想、あるいはベリー・キーティングの予想として知られている。2008年の時点では、いまだ極めて不正確である。正しい力学を与えるにはどのような空間上でこの作用素が作用するべきか、期待される対数補正を得るにはどのようにこれを正規化するか、ということが明らかではないからである。ベリーとキーティングは、この作用素はスケール変換(dilations)の下に不変であるから、整数 n に対しての境界条件 f(nx) = f(x) が、十分大きな n に対し有効である漸近補正
1 2 + i 2 π n log  n {\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}}
を得ることのヒントとなるのではないかと予想した。
この方程式は、エネルギー E n {\displaystyle \scriptstyle E_{n}} を持つ第一種フレドホルム積分方程式として扱うことができる。このような積分方程式は、レゾルベント核の方法で解くことができ、ポテンシャルは次のように書けることになる。
V ( x ) = A ∫ − ∞ ∞ ( g ( k ) + g ( k ) ̄ − E k 0 ) R ( x , k ) d k {\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0})\,R(x,k)\,dk}
ここに、 R ( x , k ) {\displaystyle \scriptstyle R(x,k)} はレゾルベント核で、 A {\displaystyle \scriptstyle A} は実定数であり、
g ( k ) = i ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 − ρ n ) δ ( k − n ) {\displaystyle g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)}
である。ここに δ ( k − n ) {\displaystyle \scriptstyle \delta (k-n)} はディラックのデルタ函数で、 ρ n {\displaystyle \scriptstyle \rho _{n}} はゼータ函数 ζ ( ρ n ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle \zeta (\rho _{n})=0} の『非自明な』零点である。