可除特異点
ガウス平面上の開集合 D と D の一点 a および D ∖ {a} 上で定義される正則函数について、以下の条件は互いに同値である: f は a に正則に延長できる。 f は a に連続的に延長できる。 a の適当な近傍において f は有界。 lim z → a ( z − a ) f ( z ) = 0 {\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0} .
主張の強さが 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 となることは明らか。4 ⇒ 1 を示すのに、まずは点 a における正則性が a における解析性(冪級数表現を持つこと)と同値であったことを想起しよう。函数
h ( z ) = { ( z − a ) 2 f ( z ) z ≠ a , 0 z = a . {\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}
を考えれば明らかに h は D ∖ {a} で正則で、条件 4 から