アトラクター
Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos (Second ed.). Elsevier
金子 邦彦、2009、『生命とは何か ―複雑系生命科学へ』第2版、東京大学出版会 ISBN 978-4-13-062310-0
郡 宏・森田 善久、2011、『生物リズムと力学系』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11000-7
合原 一幸、1993、『カオス ―まったく新しい創造の波』、講談社 ISBN 4-06-206287-9
E. Atlee Jackson、田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真(訳)、1994、『非線形力学の展望I ―カオスとゆらぎ』初版、共立出版 ISBN 4-320-03325-6 [原著]Edwin Atlee Jackson (1991). Perspectives of Nonlinear Dynamics 1. Cambridge University Press
K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012a、『カオス 第1巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4
K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012b、『カオス 第2巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06279-1
K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.
z ̇ = λ + α z − z 3 3 − ( x 2 + y 2 ) ( 1 + ρ z ) + ε z x 3 {\displaystyle {\dot {z}}=\lambda +\alpha z-{\frac {z^{3}}{3}}-(x^{2}+y^{2})(1+\rho z)+\epsilon zx^{3}}
パラメータが (α, β, λ, ω, ρ, ε) = (1, 0.7, 0.6, 3.5, 0.25, 0) のとき、近傍の軌道がドーナツの形をした2次元トーラスに収束し、その上を閉じることなく回り続けることが観察できる。
離散力学系の準周期軌道は、閉包を取ると円に同相で、なおかつその閉包上で写像が単調である軌道として定義される。離散力学系の準周期アトラクターの例として、エノン写像に式はよく似ているが振る舞いは異なる次の写像がある。
x n + 1 = 1 − a y n 2 n + x n {\displaystyle x_{n+1}=1-ay_{n}^{2}n+x_{n}}
y n + 1 = b x n {\displaystyle y_{n+1}=bx_{n}}
この写像は、第1式右辺の x と y がエノン写像とちょうど逆になっている。この系もカオスへの分岐を研究するために提案されたもので、例えばパラメータ (a, b) = (1, 0.17) で準周期アトラクターが現れる。
何かの状態の時間発展が、規則にしたがって決定論的に一意的に決まっている系を力学系という。一般に、力学系の振る舞いは「保存的」か「散逸的」かに分類できる。物理的な系としてばねや振り子の系を考えると、系に摩擦が無いときは力学的エネルギーが保存され続けるのに対して、系が摩擦があるときは力学的エネルギーは熱に変わって系から失われる。前者のような系を保存系と呼び、後者のような系を散逸系と呼ぶ。日常的に観測される実存の系の多くは散逸系といえる。物理的な観点から言えば、散逸系はエネルギー的に開放されているのが特徴で、非平衡開放系とも呼ばれる。摩擦がある振り子は、時間が十分経つと静止する。しかし散逸系であっても、エネルギーが流出すると同時に流入してバランスすると、最終的な運動が静止状態になるとは限らず、安定な振動状態を取ることもある。
力学系の考え方では、対象とする状態を変数の組として表し、それを空間上の1点とみなす。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は軌道と呼ばれ、状態の時間変化を表している。状態の集まりである空間は相空間や状態空間と呼ばれる。