直交関数列
{ 1 , cos  ( x ) , cos  ( 2 x ) , cos  ( 3 x ) , ... , sin  ( x ) , sin  ( 2 x ) , sin  ( 3 x ) , ... } {\displaystyle \{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots ,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots \}} (三角関数列)
関係式
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )}
で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、
∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )}
を満たす。
関係式
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( x n e − x ) ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\quad (n=0,1,2,\dots )}
で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e の直交関数系を成し、
∫ 0 ∞ e − x L m ( x ) L n ( x ) d x = δ m n ( m , n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}L_{m}(x)L_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )}
を満たす。