対数微分
実の対数の多くの性質は、関数が正の実数に値を取らないときでさえ、対数導関数にも適用する。例えば、積の対数は因子の対数の和であるから、
( log  u v ) ′ = ( log  u + log  v ) ′ = ( log  u ) ′ + ( log  v ) ′ {\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'\!}
が成り立つ。そのため正の実数値関数に対して、積の対数微分は因子の対数微分の和である。しかし積の微分に対してはライプニッツの法則を使うこともでき、次を得る
( u v ) ′ u v = u ′ v + u v ′ u v = u ′ u + v ′ v . {\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}
したがって、任意の関数に対して次のことが正しい。積の対数微分は因子の対数微分の和である(定義されているときは)。
これの系は関数の逆数の対数微分は関数の対数微分のマイナス1倍である:
( 1 / u ) ′ 1 / u = − u ′ / u 2 1 / u = − u ′ u , {\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}