芽 (数学)
同様に、集合 S の x における芽は [S]x と書かれる。したがって、
[ f ] x = { g : X → Y ∣ g ∼ x f } {\displaystyle [f]_{x}=\{g\colon X\to Y\mid g\sim _{x}f\}}
である。
X の点 x と Y の点 y に写す X の x における写像の芽は
f : ( X , x ) → ( Y , y ) {\displaystyle f\colon (X,x)\to (Y,y)}
と表記される。この表記を用いるとき、f は任意の代表写像と同じ文字 f を使って写像の同値類全体として意図されている。
2つの集合が x おいて芽同値であることと、それらの特性関数が x において芽同値であることは同値である
S ∼ x T ⟺ 1 S ∼ x 1 T {\displaystyle S\sim _{x}T\;\Longleftrightarrow \;\mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}}
ことに注意する。
芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 X 上のアーベル群の前層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はアーベル群 F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} を X の各開集合 U に割り当てる。アーベル群の典型的な例は: U 上の実数値関数、U 上の微分形式、U 上のベクトル場、U 上の正則函数(X が複素平面のとき)、U 上の定数関数、U 上の微分作用素。
V ⊂ U であれば、ある種の協調性条件を満たす制限写像 r e s V U : F ( U ) → F ( V ) {\displaystyle \mathrm {res} _{VU}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)} が存在する。固定された x に対して、元 f ∈ F ( U ) {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)} と g ∈ F ( V ) {\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)} が x において同値であるとは、x の近傍 W ⊂ U ∩ V が存在して resWU(f) = resWV(g) (どちらも F ( W ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(W)} の元)ということである。同値類は前層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の x における茎(英語版) F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} をなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。