ムーア・ペンローズ逆行列
同様に、 A + A = ( 1 0 0 0 ) , {\displaystyle A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},} であり、したがって A + A A + = ( 1 2 1 2 0 0 ) = A + {\displaystyle A^{+}A\,A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+}} である。
A = ( 1 0 − 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}} について、 A + = ( 1 2 − 1 2 0 0 ) {\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}} 。
A = ( 1 0 2 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}}} について、 A + = ( 1 5 2 5 0 0 ) {\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}} 。
擬似逆行列は存在し、一意に定まる:任意の行列 A に対して、定義の4つの条件を満たす行列 A + {\displaystyle A^{+}} が唯一つ存在する。
定義の最初の条件 AAA = A を満たす行列 A は、 行列 A の一般逆行列(generalized inverse)として知られている。定義の二条件 AAA = A と AAA = A を満たす行列 A は、行列 A の反射形一般逆行列(reflexive generalized inverse)と呼ばれる。一般逆行列は常に存在するが、一般に一意に定まらない。一意性は、最後の2つの条件から導かれる。
r ≤ min ( m , n ) {\displaystyle r\leq \min(m,n)} で A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} の ランクを表すとする。すると A {\displaystyle A} は A = B C {\displaystyle A=BC} として(ランク)分解することができる。ここで、 B ∈ k m × r , C ∈ k r × n {\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times r},C\in \mathbb {k} ^{r\times n}} のランクは r {\displaystyle r} である。このとき
A + = C + B + = C ∗ ( C C ∗ ) − 1 ( B ∗ B ) − 1 B ∗ {\displaystyle A^{+}=C^{+}B^{+}=C^{*}\left(CC^{*}\right)^{-1}\left(B^{*}B\right)^{-1}B^{*}}
となる。
C {\displaystyle C} が巡回行列の場合、フーリエ変換で特異値分解ができる。つまり、特異値はフーリエ係数となる。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を離散フーリエ変換(DFT)行列とすると、
以下の説明では、次の表記規約に従うものとする。
R {\displaystyle \mathbb {R} } と C {\displaystyle \mathbb {C} } はそれぞれ実数体または複素数体を表し、 k {\displaystyle \mathbb {k} } はこれらのいずれかを表すものとする。 k {\displaystyle \mathbb {k} } 上の m × n {\displaystyle m\times n} 行列のベクトル空間を k m × n {\displaystyle \mathbb {k} ^{m\times n}} で表す。
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} に対して、 A ⊺ {\displaystyle A^{\intercal }} と A ∗ {\displaystyle A^{*}} はそれぞれ、転置行列とエルミート転置行列(随伴行列とも呼ばれる)を表す。
A ∈ k m × n , B ∈ k n × p {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n},B\in \mathbb {k} ^{n\times p}} とする。すると、以下は同値になる。
( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}
A + A B B ∗ A ∗ = B B ∗ A ∗ , B B + A ∗ A B = A ∗ A B . {\textstyle {\begin{aligned}A^{+}ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{+}A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}
( A + A B B ∗ ) ∗ = A + A B B ∗ , ( A ∗ A B B + ) ∗ = A ∗ A B B + . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{+}ABB^{*}\right)^{*}&=A^{+}ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{+}\right)^{*}&=A^{*}ABB^{+}.\end{aligned}}}
A + A B B ∗ A ∗ A B B + = B B ∗ A ∗ A {\displaystyle A^{+}ABB^{*}A^{*}ABB^{+}=BB^{*}A^{*}A}
A + A B = B ( A B ) + A B , B B + A ∗ = A ∗ A B ( A B ) + . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{+}AB&=B(AB)^{+}AB,\\BB^{+}A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{+}.\end{aligned}}}