レーン＝エムデン方程式
レーン=エムデン方程式はn =0,1,5の場合にのみ、解析的に解くことが可能である。その他のn に対する解は数値計算によって求められる。n =0,1,5に対する解は以下のようになる。
ここで、ξ1はθ=0となるときのξである。この値は物理的に重要で、θ=0が成り立つとき、圧力と密度もゼロ(P =0, ρ=0)となるので、この位置を星や流体の表面であると考えれば、ξ1を用いて中心からの半径を求めることができる。
M = 4 π ρ c α 3 ∫ 0 ξ 1 { − 1 ξ 2 d d ξ ( ξ 2 d θ d ξ ) } ξ 2 d ξ = 4 π ρ c α 3 { − ξ 1 2 ( d θ d ξ ) ξ = ξ 1 } {\displaystyle M=4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\int _{0}^{\xi _{1}}\left\{-{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)\right\}\xi ^{2}\ d\xi =4\pi \rho _{c}\alpha ^{3}\left\{-\xi _{1}^{2}\left({\frac {d\theta }{d\xi }}\right)_{\xi =\xi _{1}}\right\}}
となる。さらに、αの定義を用いれば、
M = ( ( n + 1 ) 3 P c 3 4 π G 3 ρ c 4 ) 1 2 { − ξ 1 2 ( d θ d ξ ) ξ = ξ 1 } {\displaystyle M=\left({\frac {(n+1)^{3}P_{c}^{3}}{4\pi G^{3}\rho _{c}^{4}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left\{-\xi _{1}^{2}\left({\frac {d\theta }{d\xi }}\right)_{\xi =\xi _{1}}\right\}}
となる。
この表記から、n =5の場合はξ1→∞となるが、質量自体は有限の値をとることが分かる。