フォワード測度
以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004)に基づく。
まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。
B ( T ) = exp  ( ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}
更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。
D ( T ) = 1 / B ( T ) = exp  ( − ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}
もし Q ∗ {\displaystyle Q_{*}} がリスク中立測度ならば、フォワード測度 Q T {\displaystyle Q_{T}} はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。
d Q T d Q ∗ = 1 B ( T ) E Q ∗ [ 1 / B ( T ) ] = D ( T ) E Q ∗ [ D ( T ) ] . {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}
上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。
フォワード測度(フォワードそくど、英: forward measure)とは、数理ファイナンスにおいて、リスク中立測度と絶対連続である価格付けの測度である。しかし、ニュメレール(英語版)としてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が T である債券が用いられている(特に満期を明示して T–フォワード測度と言う事も多い)。フォワード測度の利用はファルシド・ジャムシディアン(英語版)により1987年に始められ、債券オプション(英語版)の価格計算の方法として用いられている。
"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下で先渡価格(英語版)がマルチンゲールとなることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、German & (1989) によって最初に見出された。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。
例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。
S ( t ) D ( t ) = E Q ∗ [ D ( T ) S ( T ) | F ( t ) ] . {\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}
先渡価格は F S ( t , T ) = S ( t ) P ( t , T ) {\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}} で与えられる。よって F S ( T , T ) = S ( T ) {\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)} が得られる。