三次元球面
もう一つ便利な座標系が、S の極点からそれに対応する赤道超平面となる R への立体射影から得られる。例えば、点 (−1, 0, 0, 0) からの射影により、S 上の各点 p は
なる形に書くことができる。ただし、u = (u1, u2, u3) は R のベクトルで ‖ u ‖ = u 21 + u 22 + u 23 である。上記の二つ目の等号は、p を単位四元数と同一視し、また u を純虚四元数 u1i + u2j + u3k と同一視してのものである(四元数の乗法は一般に非可換だが、上記の式における分母分子は可換であることに注意)。この射影の逆写像は S 上の点 p = (x0, x1, x2, x3) を
へ写す。 点 (1, 0, 0, 0) からの射影も同様に考えることができて、この場合は点 p が R の別のベクトル v = (v1, v2, v3) を用いて
の形に与えられる。逆写像は p を
に写す。 u-座標は (−1, 0, 0, 0) を各点で定義され、v-座標は (1, 0, 0, 0) を除く各点で定義されることに注意せよ。これらにより S 上の二つの座標チャート(この二つを合わせると S の全域がカバーできる)からなるアトラスが定まる。これら二つのチャートが重なる部分における局所座標の間の座標変換は
およびこの式の u と v の役割を入れ替えたもので与えられることに注意。