カントールの定理
N { 1 ⟷ { 4 , 5 } 2 ⟷ { 1 , 2 , 3 } 3 ⟷ { 4 , 5 , 6 } 4 ⟷ { 1 , 3 , 5 } ⋮ ⋮ ⋮ } P ( N ) . {\displaystyle \mathbb {N} {\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}P(\mathbb {N} ).}
このようなペアが与えられると、自身と同じ数を含む部分集合とペアになる自然数がある。例えば、上の例において数 2 は元として 2 を含む部分集合 {1, 2, 3} とペアになっている。そのような数を利己的と呼ぶことにしよう。他の自然数はそれを含まない部分集合とペアになる。例えば、上の例において数 1 は元として 1 を含まない部分集合 {4, 5} とペアになっている。このような数を非利己的と呼ぶ。同様に、3 と 4 は非利己的である。
この考え方を用いて、自然数のある特別な集合を作ろう。この集合は求めるべき矛盾を導く。D をすべての非利己的な自然数の集合とする。