アルティン・ウェダーバーンの定理
R を実数体とし、C を複素数体とし、H を四元数体とする。
R 上のすべての有限次元単純代数は R, C, あるいは H 上の行列環でなければならない。R 上のすべての中心的単純代数は R あるいは H 上の行列環でなければならない。これらの結果はフロベニウスの定理から従う。
C 上のすべての有限次元単純代数は C 上の行列環でなければならない。したがって C 上のすべての中心的単純代数は C 上の行列環でなければならない。
有限体上のすべての有限次元中心的単純代数はその体上の行列環でなければならない。
すべての可換半単純環は体の有限個の直積でなければならない。
アルティン・ウェダーバーンの定理によると体 k {\displaystyle k} 上の半単純代数は有限積 ∏ M n i ( D i ) {\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})} に同型である、ただし n i {\displaystyle n_{i}} は自然数で D i {\displaystyle D_{i}} は k {\displaystyle k} 上の有限次元可除代数で、 M n i ( D i ) {\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})} は D i {\displaystyle D_{i}} 上の n i × n i {\displaystyle n_{i}\times n_{i}} 行列の代数である。再び、この積は因子の置換を除いて一意的である。