随伴関手
Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y Φ Y , X − 1 ( g ) = ε X ∘ F ( g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}
が成立する(これはΦを完全に決定する)
二番目の公式のXにFYを代入し、gに η Y = Φ Y , F Y ( 1 F Y ) {\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})} を代入することで、1つ目のcounit-unit恒等式
1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) {\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})} ,
を得る。一番目の公式のYにGXを代入し、fに ε X = Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) {\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})} を代入することで、2つ目のcounit-unit恒等式
1 G X = G ( ε Y ) ∘ η G X {\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{Y})\circ \eta _{GX}}
を得る
Xがチコノフ空間であるとき、またそのときのみ、この写像は埋め込み(つまり、単射な連続開写像)である。
層の順像と逆像。全ての連続写像f : X → YはX上の層(集合の層、アーベル群の層、環の層など)からYの対応する層への関手f ∗を誘導し、順像関手と呼ばれる。さらに、Y上のアーベル群の層からX上のアーベル群の層への関手 f も誘導され、逆像関手と呼ばれる。f は f ∗ の左随伴である。ここで微妙な点は連接層での左随伴は(集合の)層のそれとは異なっていることである。
sober化。ストーン双対性の記事にあるように、位相空間の圏とsober空間の圏は随伴である。特に、この記事はpointless topologyで見つかった、sober空間とspatial localeの間の有名な双対性のための別の随伴も詳細に記述している。
関手 F : C ← D が左随伴関手であるとは、Cの各対象Xに対して、FからXへの普遍射が存在することである。Cの各対象Xに関してDの対象G0XとFからXへの普遍射εX : F(G0X) → Xを決めると、関手G : C → Dで、GX = G0Xと、任意のCの射f : X → XʹについてεXʹ ∘ {\displaystyle \circ } FG(f) = f ∘ {\displaystyle \circ } εXが成り立つものが一意的に存在する。このとき、FはGの左随伴であるという。
関手 G : C → D が右随伴関手であるとは、Dの各対象Yに対して、YからGへの普遍射が存在することである。Dの各対象Yに関してCの対象F0YとYからGへの普遍射ηY : Y → G(F0Y)を決めると、関手F : C ← Dで、FY = F0Yと、任意のDの射g : Y → YʹについてGF(g) ∘ {\displaystyle \circ } ηY = ηYʹ ∘ {\displaystyle \circ } gが成り立つものが一意的に存在する。このとき、GはFの右随伴であるという。
注意
用語から分かるように、FがGの左随伴であることとGがFの右随伴であることが同値であることは正しい。これは下記の対称的な定義では明らかである。普遍射を用いた定義は、与えられた関手が左または右随伴関手であることだけを確かめたいときに、必要な証明が最小限となるため、しばしば有用である。また、普遍射を求めることは最適化問題を解くことと似ているため、直観的でもある。
随伴の理論は基礎付けに「左」と「右」という言葉を用い、また考えるべき二つの圏 C と D の中にはたくさんの構成要素が存在している。そこで、「左」の圏 C からとったのか「右」の圏 D から取ったのかを、この左、右の順で付ける文字がアルファベット順となるようにし、またできうる限りこの順で書き下すようにすると非常に便利である。
この記事では例えば、X、F、f、ε は圏Cから、Y、G、g、η は圏Dから取ってくるものとする。そして、可能な場合は、この順で左から右に使うもとのする(例えば、関手 F:C←D はCから取ってきたものと考える)