作用 (物理学)
作用・角変数座標系(英語版)の正準変数 Jk は、一般化運動量の相空間の閉経路上の積分を積分として定義される。
J k = ∮ p k d q k {\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}}
正準変数 Jk は回転や振動の運動に対応している。
変数 Jk を一般化座標 qk の作用変数 (action) と呼び、正準変数 Jk の共役 wk をその作用変数に対する角変数 (angle) と呼ぶ。作用変数を決定する積分に含まれるのは一般化座標の一成分 qk だけであり、簡約された作用の中の被積分関数のドット積とは異なる。作用変数 Jk は、qk が閉経路の上を動く場合の Sk(qk) の変化量に等しい。大抵の系において、Jk は一定ないし変化が非常に緩やかであるため、作用変数 Jk は摂動計算や断熱不変量の決定によく用いられる。
摂動された時間発展 xper を真の時間発展と摂動項の和 xtrue + ε に置き換えれば、摂動項は無限小量と見なせることを仮定しているため、ラグランジアンを摂動項に関する一次展開に書き直すことができる。したがって作用積分の変分は
δ S = ∫ t i t f [ L ( x t r u e + ε , x ̇ t r u e + ε ̇ , t ) − L ( x t r u e , x ̇ t r u e , t ) ] d t = ∫ t i t f ( ε ∂ L ∂ x + ε ̇ ∂ L ∂ x ̇ ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left[L(x_{\mathrm {true} }+\varepsilon ,{\dot {x}}_{\mathrm {true} }+{\dot {\varepsilon }},t)-L(x_{\mathrm {true} },{\dot {x}}_{\mathrm {true} },t)\right]\mathrm {d} t\\&=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}+{\dot {\varepsilon }}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
OCLC 35269891
Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Begins with the principle of least action, uses modern mathematical notation, and checks the clarity and consistency of procedures by programming them in computer language.
Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0, A 350 page comprehensive "outline" of the subject.
Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2.
簡約された作用(かんやくされたさよう、英: abbreviated action)は、一般に S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}} と表される汎関数である。簡約された作用は、ラグランジアン(およびハミルトニアン)が時間に陽に依存しない作用に対して、作用の時間に関する項を除いたものとして定義される。
例えば、惑星の軌道は楕円であり、一様な重力場の中の物体の経路は放物線である。どちらの場合も、経路の形は物体が通過する速さには依存しない。簡約された作用 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}} は、一般化座標系の中の経路に沿った一般化運動量の積分として定義される。
S 0 = ∫ p ⋅ d q = ∫ p i d q i {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int {\boldsymbol {p}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {q}}=\int p_{i}\,\mathrm {d} q_{i}}
モーペルテュイの原理に従うと、実現される経路は、簡約された作用 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}} が停留となる経路である。
↑ トラジェクトリとか軌道とも呼ばれる。
相対論効果が重要なとき、固有時間によりパラメトライズされる世界線を動く質量が m の点粒子の作用は、
S = − m c 2 ∫ C d τ {\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,\mathrm {d} \tau }
で表される。
替わって、粒子の座標時刻 t によりパラメトライズされていて、座標時刻が t1 から t2 の幅を持っていると、作用は、
∫ t 1 t 2 L d t {\displaystyle \int _{t1}^{t2}L\,\mathrm {d} t}
となる。ここにラグランジアンは、
L = − m c 2 1 − v 2 c 2 {\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
である。