隣接行列
d次正則グラフについて、dはベクトルv = (1, ..., 1)に対するAの最初の固有値である(これが固有値であり、上界により最大値であることを調べることは簡単である)。この固有値の多重度はGの連結成分の数であり、具体的には連結グラフでは λ 1 > λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}} である。もしGが2部グラフならば、それぞれの固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} について、その反数 − λ i = λ n + 1 − i {\displaystyle -\lambda _{i}=\lambda _{n+1-i}} もAの固有値である。具体的には、-dは2部グラフの固有値である。
差 λ 1 − λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}} はスペクトルギャップと呼ばれ、Gの展開(英語版)と関連している。また、スペクトルギャップは、 λ ( G ) = max | λ i | < d | λ i | {\displaystyle \lambda (G)=\max _{|\lambda _{i}|<d}|\lambda _{i}|} によって示される A {\displaystyle A} のスペクトル半径を導入するためにも有用である。この数は λ ( G ) ≥ 2 d − 1 − o ( 1 ) {\displaystyle \lambda (G)\geq 2{\sqrt {d-1}}-o(1)} で境界がある。この境界はラマヌジャングラフにおいてタイトである。ラマヌジャングラフは多くの分野に応用を持つ。