一般相対性理論の数学
すべての物理学の理論において運動方程式、または場の方程式の導出における核心は、多くの研究者により強調すべきものであると見なされている。これらの導出を行う全く普遍的な方法は変分法を使うことであり、ここで使われる主要な対象はラグランジアンである。
このアプローチは理論を構成するエレガントな方法であると見なされるのが普通だが、単に理論を表現している方法にすぎないと見なされることもある(通常、ラグラジアンの構成は理論が発展した後で行われる)。
一般共変性原理 (principle of general covariance) は、物理学の法則はすべての座標系(reference frame)で同一の数学的形式を取るべきであることを言っており、一般相対性理論の中で中心的な原理のひとつである。一般共変性という用語は初期の一般相対性理論の定式化で使用されたが、現在、微分同相共変性 (diffeomorphism covariance) が多く使われる。微分同相共変性は一般相対性理論の決定的な特徴ではなく、議論は現在も残っている。その原理の中で結論される物理法則の不変性は、理論が本質的に(非ユークリッド幾何学的な)幾何学性質であるという事実と相まったものであるということは、一般相対性理論がテンソルの言語を用いて定式化されることを示唆している。以下でさらに議論する。
と表現することができる。括弧の中は「(接続に関する) X {\displaystyle \scriptstyle X} の共変微分」と呼ばれ、 ∇ X → {\displaystyle \scriptstyle \nabla {\vec {X}}} と書かれるが、これには次式を使うことがより一般的である。
∇ X → = X a ; b ∂ ∂ x a ⊗ d x b = ( X a , b + Γ b c a X c ) ∂ ∂ x a ⊗ d x b . {\displaystyle \nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}\ .}
このようにして X {\displaystyle \scriptstyle X} の共変微分は、ベクトル場に作用してタイプ (1, 1) の(共変の添字を 1つ増やした)テンソルへ写像する 微分作用素とみなすことができ、さらにタイプ (r, s) テンソルからタイプ (r, s + 1)のテンソル場への写像として一般化することができる。
計量を得るために一旦アインシュタイン場の方程式が解かれたならば、慣性をもつ物体の時空内の運動を決定することが残された問題となる。一般相対性理論では、固有時間によりパラメータ表示される時間的または光的測地線に沿って慣性運動が発生することを仮定する。測地線は、測地線自身の接ベクトル U → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {U}}} つまり ∇ U → U → = 0 {\displaystyle \scriptstyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}\;=\;0} に沿って平行移動する曲線である。この条件(測地線方程式(英語版)、英: geodesic equation)は、接ベクトル U a = d x a / d τ {\displaystyle \scriptstyle U^{a}={dx^{a}}/{d\tau }} を持つ座標系を用いて書くことができる。
x ̈ a + Γ a b c x ̇ b x ̇ c = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}
ここに ·x は x の 曲線に沿った固有時間 τ による微分 dx/dτ を表す。この等式によりクリストッフェル記号の意義が明確となる。
一般相対性理論の主たる特徴は、粒子の経路や重力場の輻射を決定することにある。これは測地線方程式を解く(英語版)(solving the geodesic equations) ことにより達成される。
アインシュタイン場の方程式は、全物質(エネルギー)の分布と時空の曲率と関連付ける。その非線型性により、結果として現れる時空の中の物質の正確な運動を決定するときに問題が起こる。例えば、恒星の周りを回る惑星から成る系において、惑星の運動は惑星と恒星の運動の和であるエネルギー・運動量テンソルについての場の方程式を解くことにより決定される。惑星の重力場は全体の時空の幾何学に影響を与える、従って、対象の運動に影響を与えることになる。それ故、場の方程式は測地線を導出することに使うことができるという主張は合理的である。
系のエネルギー・運動量テンソルが完全流体であるとき、エネルギー運動量テンソルの局所保存法則を使うことで、測地線の運動方程式が完全に満たされることを示すことができる。
接続 Π {\displaystyle \scriptstyle \,\Pi } に伴うベクトル場 A → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}} に沿った B → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}} の共変微分の公式
∇ A → B → ( X ) = lim ε → 0 1 ε [ Π ( ε , 0 , γ ) B → ( γ ( ε ) ) − B → ( X ) ] {\displaystyle \nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left[\Pi _{(\epsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma (\epsilon ))-{\vec {B}}(X)\right]}
は曲線に独立であることを示すことができ、共変微分の「物理的定義」として使うことができる。
これは接続係数を使い、
∇ Y → X → = X a ; b Y b ∂ ∂ x a = ( X a , b + Γ b c a X c ) Y b ∂ ∂ x a {\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}