リー環の拡大
で定義する.結合性は ω が G 上の 2-コサイクルだから成り立つ.単位元については
( 1 , e ) ( λ , g ) = ( λ ω ( e , g ) , g ) = ( λ , g ) = ( λ , g ) ( 1 , e ) {\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e)}
が成り立ち,逆元は
( λ , g ) − 1 = ( 1 λ ω ( g , g − 1 ) , g − 1 ) {\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right)}
である.集合 (C*, e) は Gex の可換部分群である.これは Gex が半単純でないことを意味する.G の中心 Z(G) = {z ∈ G|zg = gz ∀g ∈ G} はこの部分群を含む.中心はより大きいかもしれない.
リー環のレベルでは,Gex のリー環 gex はベクトル空間としては
g e x = C C ⊕ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}}}
で与えられリーブラケットは
[ μ C + G 1 , ν C + G 2 ] = [ G 1 , G 2 ] + η ( G 1 , G 2 ) C {\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C}
) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as
L n = 1 2 ∑ p ∈ Z α n − p I α p I . {\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}
Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator L0 (for which m + n = 0). L0 is chosen normal ordered,
主な興味の対象は g 上の 2-コサイクルであり,双線型交代関数
φ : g × g → F {\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F}
であって,ヤコビ律に似た 2-コサイクルのヤコビ律と呼ばれる性質
φ ( G 1 , [ G 2 , G 3 ] ) + φ ( G 2 , [ G 3 , G 1 ] ) + φ ( G 3 , [ G 1 , G 2 ] ) = 0 {\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0}
を持つものとして定義される.
g 上のすべての 2-コサイクルの集合は Z(g, F) と書かれる.
リー環の拡大
h ↪ i t ↠ s g , {\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}
が自明とは,部分空間 i であって,t = i ⊕ ker s かつ i は t のイデアルとなるものが存在することをいう.
現在の目的,理論の限られた部分の考察には,リー環のコホモロジーが十分である.定義は最も可能な一般的なものではなく,最もよく使われるものでさえないが,それらの言い及ぶ対象はより一般の定義の真正の例である.