アックス–グロタンディークの定理
有限型の射(英語版)についての定理を有限体に帰着する別の例を EGA IV において見つけることができる。そこでは、S 上有限型のスキーム X の radicial な(英語版) S-自己準同型が全単射であること (10.4.11) と、X/S が有限表示であり、自己準同型が単射であれば、自己同型であること (17.9.6) が示されている。
アックス–グロタンディークの定理はエデンの園定理の証明に使うこともできる。これはアックス–グロタンディークの定理のように単射性を全射性と関係付ける結果であるが、代数的な分野よりというはむしろセル・オートマトンにおけるものである。この定理の直接的な証明は知られているが、アックス–グロタンディークの定理を使った証明の方が従順群(英語版)に作用するオートマトンにより広く拡張する。
次に挙げるのはアックス–グロタンディークの定理の部分的な逆のいくつかである。
Z あるいは (Z/pZ)[t] の有限生成拡大上の n 次元アフィン空間の生成点で全射な多項式写像は全単射であり多項式の逆関数は同じ環上有理的である(それゆえ代数的閉包のアフィン空間上全単射である)。
ヒルベルト体上の n 次元アフィン空間の生成点で全射な有理写像は生成点で全単射であり逆写像は同じ体上で定義されている。(「ヒルベルト体」(Hilbertian field) はここではヒルベルトの既約性定理が成り立つような体として定義されている。例えば有理数体や関数体。)