ラプラス作用素
ラプラス作用素は、合同変換と可換である。すなわち、任意のC級関数φ: R → Rと任意の合同変換Tに対し、
Δ ( φ ( T ( x ) ) ) = T ( Δ ( φ ( x ) ) ) {\displaystyle \Delta (\varphi (T(x)))=T(\Delta (\varphi (x)))}
が成立する。
しかもラプラス作用素は、上記の性質を満たす非自明な微分演算子で最も簡単なものとして特徴づけることができる。これを説明する為、記号を導入する。Rを実数の集合とし、n個の実数からなる組の集合をRとする。x = (x1,..., xn) ∈ Rとn個の非負整数の組α = (α1,..., αn)に対し、
∂ ∂ x α := ∂ n ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}:={\frac {\partial ^{n}}{\partial {x_{1}}^{\alpha _{1}}\dotsm \partial {x_{n}}^{\alpha _{n}}}},}
| α | := α 1 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{n}}