位相空間
定理 (近傍系による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの元にXの冪集合の冪集合の元を対応させる写像
N : X → P ( P ( X ) ) , x ↦ N x {\displaystyle {\mathcal {N}}\colon X\to {\mathfrak {P}}({\mathfrak {P}}(X)),~x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}}
がハウスドルフの公理系を満たしたとする。このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の各点xの近傍が N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} に一致するものがただ一つ存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は具体的には以下のように書ける:
O = { O ⊂ X ∣ ∀ x ∈ O : O ∈ N x } {\displaystyle {\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid \forall x\in O~:~O\in {\mathcal {N}}_{x}\}}
( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を2つの位相空間とする。
定義 (位相同型) ― ある全単射
f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y}
が存在して、
O ∈ O X ⟺ f ( O ) ∈ O Y {\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{X}\iff f(O)\in {\mathcal {O}}_{Y}}
を満たすとき、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} と ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} は位相同型であるという。
位相空間論とは、位相同型で不変な性質(すなわち、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} がある性質を満たせば、それと位相同型な ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} もその性質を満たすような性質)を議論する分野である。
さらに閉包を次のように定義する:
定理・定義 (閉包、触点) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、A をX の部分集合とする。このとき、
A ∘ ∪ Fr  ( A ) {\displaystyle A^{\circ }\cup \operatorname {Fr} (A)} をA の閉包(へいほう, 英: closure)と呼び、 A ̄ , Cl  ( A ) , A − {\displaystyle {\bar {A}},~\operatorname {Cl} (A),~A^{-}} などと表す。
Aの閉包の元をAの触点という。
定義から明らかに次が成立する:
命題 (内部と閉包の関係) ―
A c ̄ = ( A ∘ ) c {\displaystyle {\overline {A^{c}}}=(A^{\circ })^{c}}
よって内部と閉包は双対的な関係にあり、内部に関する性質にド・モルガンの法則を適用する事で閉包の性質を導く事ができる。
先に進む前に部分有向点族の概念を定義する。この概念は収束概念を定義する上では使わないが、収束概念を使って位相空間上の他の概念を定式化する際に用いる。
定義 (部分有向点族) ― Xを集合とし、X上の有向点族 ( y γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }} 、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、以下の性質を満たすh : Γ→Λが存在するとき、 ( y γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }} は ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の部分有向点族という:
∀ γ ∈ Γ : y γ = x h ( γ ) {\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma ~:~y_{\gamma }=x_{h(\gamma )}}
∀ λ ∈ Λ ∃ γ 0 ∈ Γ ∀ γ ∈ Γ : γ ≥ γ 0 ⇒ h ( γ ) ≥ λ {\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda \exists \gamma _{0}\in \Gamma \forall \gamma \in \Gamma ~:~\gamma \geq \gamma _{0}\Rightarrow h(\gamma )\geq \lambda }
Vが有限次元の場合は次の事実が知られている:
命題 ― 有限次元の(実もしくは複素)ベクトル空間上定義されるノルムは全て同値である。
この事実から、有限次元ベクトル空間の場合は、ノルムのとり方によらず同一の位相構造が定まる事がわかる。この位相を有限次元ベクトル空間上の自然な位相、通常の位相等と呼ぶ。
集合論的位相空間論(英語版)とは、位相空間上の性質がZFCと独立かどうかを主題する分野である。
位相空間X上で定義された関数fの点x∈Xにおける連続性を以下のように定義する。
定義・定理 (一点における連続性) ― ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間とし、f: X → Yを写像とし、xをXの点とする。このとき以下の2条件は同値であり、この2条件の一方(したがって両方)を満たすとき、fはx∈Xで連続(英: continuous)であるという。以下で N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} はxの(開とは限らない)近傍全体を表す:
xに収束する任意の有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} に収束する。
f(x)の近傍のfによる逆像はxの近傍である。すなわち、 ∀ N ∈ N f ( x ) : f − 1 ( N ) ∈ N x {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}~:~f^{-1}(N)\in {\mathcal {N}}_{x}}
集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。
位相空間は、前述のように集合に「位相」という構造を付け加えたもので、この構造により、例えば以下の概念が定義可能となる
部分集合の内部、外部、境界
点の近傍
収束性
開集合、閉集合、閉包
実はこれらの概念はいわば「同値」で、これらの概念のうちいずれか一つを定式化すれば、残りの概念はそこから定義できる事が知られている。したがって集合上の位相構造は、これらのうちいずれか1つを定式化する事により定義できる。そこで学部レベルの多くの教科書では、数学的に扱いやすい開集合の概念をもとに位相構造を定義するものが多い。
その他にも
位相空間から位相空間への写像の連続性
連結性
といった概念も位相構造を用いて定義できる。
上述した概念はいずれも元々距離空間のような幾何学的な対象に対して定義されたものだが、距離が定義されていなくても位相構造さえ定義できれば定式化できる。これにより、位相空間の概念は、幾何学はもちろん解析学や代数学でも応用されており、位相空間論はこうした数学の諸分野の研究の基礎を与える。
と定義する(ただし F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は X {\displaystyle X} の閉集合全体)。このとき { ⟨ U 1 ⋯ U n ⟩ : U i ∈ O ( i = 0 ⋯ n ) } {\displaystyle \{\langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle \ :U_{i}\in {\mathcal {O}}(i=0\cdots n)\}} を開基とする F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の位相をヴィートリス位相(英: Vietoris topology)と呼び、ヴィートリス位相の入った F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 及びその部分空間を冪空間(英: powerspace)または超空間(英: hyperspace)という。
すでに述べたように位相空間では点列の概念を一般化した有向点族の概念を定義した上でその収束を定義する。本節では有向点族の定義を与える。その為にまず有向集合の概念を定義する
定義 (有向集合) ― 空でない集合ΛとΛ上の二項関係「≤ 」の組 (Λ, ≤)が有向集合(ゆうこうしゅうごう、英: directed set)であるとは、「≤ 」が以下の性質を全て満たす事を言う:
(反射律)∀λ∈Λ : λ ≤λ
(推移律)∀λ,μ,ν∈Λ : λ ≤ μ, μ ≤ν ⇒ λ ≤ ν
Λの任意の二元が上界を持つ。すなわち∀λ,μ∈Λ∃ν∈Λ : λ ≤ ν, μ ≤ν
なお、有向集合の二項関係「≤ 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの順序の定義は満たしていない。
定義 (有向点族) ― 集合X上の有向点族とは、X上の族(xλ)λ∈Λで添字集合Λが有向集合であるものを指す。有向点族はネット (英: net)、 Moore-Smith 列(英: Moore-Smith sequence)、generalized sequenceなどとも呼ばれる。
Aの外点全体の集合をの外部(がいぶ, 英: exterior)といい、 A e , Ext  A {\displaystyle A^{e},\ \ \operatorname {Ext} A} などと表す。
境界点全体の集合をAの境界(きょうかい, 英: frontier)とい、 Fr  A , Bd  A , ∂ A {\displaystyle \operatorname {Fr} A,\ \operatorname {Bd} A,\ \partial A} などと表す。
なお、境界を表す記号「 ∂ A {\displaystyle \partial A} 」は多様体の縁(ふち, 英: boundary)を表す記号としても使われるが、両者は似て非なる概念なので注意が必要である。
定義 (位相同型) ― ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間とし、f : X → Y を写像とするとき、f が同相写像であるとは、f が全単射で、しかもf と f が両方とも連続であることをいう。
また、X、Y 間に同相写像が存在するとき、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} は位相同型もしくは同相であるという。
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。