本質的値域
定理 1
(X, μ) 上で定義されるすべての有界な複素数値函数は、本質的に有界である。
証明:
|f| が有界であるなら、ある a > 0 に対して |f| < a が成立する。したがって g = |f| とすれば、g(a, ∞) は空となり、その測度は 0 である。このことは、集合 S = { x | μ(g((x, ∞))) = 0 } が空でなく、したがって g の本質的上限が有限であることを意味する。よって、f は本質的に有界である。
定理 2
L(μ) に属する測度空間 (X, μ) 上で定義されるある複素数値函数 f の本質的値域は、μ が非負の加法的測度であるなら、コンパクトである。
証明
S をそのような函数の本質的値域とする。ハイネ・ボレルの被覆定理より、S が閉かつ有界であることを示せば十分である。S が閉であることを示すために、S 内のすべての収束列が S 内のある元に収束することを示す。S 内の点からなるある収束列を (wn) とし、その極限を w とする。また V を w のある ε-近傍とする。このとき、f の下での Vε の逆像が正の測度を持つことを示す。初めに、 n > N ≥ wn を満たし、Vε に属すような N を選ぶ。Vε は開集合であり、wN+1 は Vε に属すため、wN+1 に関する δ-近傍 Vδ で Vε に含まれるようなものを選ぶことが出来る。wN+1 は S に属すため、f の下での Vδ の逆像は正の測度を持つ。Vδ は Vε の部分集合であるため、f(Vδ) は f(Vε) の部分集合である。f(Vδ) が正の測度を持つことに注意すれば、f(Vε) も正の測度を持つことが従う。