代数体
Q ( − 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})} の整数環、 Z [ ( − 1 + − 3 ) / 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [(-1+{\sqrt {-3}})/2]} のことである。
代数体 K の基本単数を η 1 , ... , η r {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r}} とし、
l j ( i ) = { log  | η j ( i ) | ( η i ∈ R ) 2 log  | η j ( i ) | ( η i ∉ R ) {\displaystyle l_{j}^{(i)}={\begin{cases}\log |\eta _{j}^{(i)}|&(\eta _{i}\in \mathbb {R} )\\2\log |\eta _{j}^{(i)}|&(\eta _{i}\not \in \mathbb {R} )\end{cases}}}
としたとき
R [ η 1 , ... , η r ] = | l 1 ( 1 ) ⋯ l r ( 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ l 1 ( r ) ⋯ l r ( r ) | {\displaystyle R[\eta _{1},\ldots ,\eta _{r}]={\begin{vmatrix}l_{1}^{(1)}&\cdots &l_{r}^{(1)}\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{1}^{(r)}&\cdots &l_{r}^{(r)}\end{vmatrix}}}
とおくと、先に述べた基本単数系になる条件から、 | R [ η 1 , ... , η r ] | {\displaystyle |R[\eta _{1},\ldots ,\eta _{r}]|} は基本単数系によらず一定の値である。この値を K の単数基準 (regulator) またはレギュレータという。
代数体 K のイデアル類群 C K {\displaystyle C_{K}} は有限群であるが、イデアル類群の位数のことを類数 (class number) という。
K を代数体とし、K の実共役体、虚共役体の数を、それぞれ r 1 , 2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} とし、w を、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。R 、 D K {\displaystyle D_{K}} を、それぞれ K の単数基準、判別式とし、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} をデデキントのゼータ関数としたとき、K の類数 h K {\displaystyle h_{K}} は、以下の式で求められる。
h K = w | D K | 1 / 2 2 r 1 ( 2 π ) r 2 R Res s = 1 ζ K ( s ) {\displaystyle h_{K}={\frac {w|D_{K}|^{1/2}}{2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}R}}{\mbox{Res}}_{s=1}\zeta _{K}(s)} 。
しかし、与えられた代数体の類数を求めることは大変難しい。二次体の類数公式や円分体の類数公式を見れば、類数を求めることがいかに難しいかがわかるであろう。