周期点
一般に、力学系 f の周期点全体の集合 Per(f) は不変集合で、なおかつ極限集合でも非遊走集合でもある。周期点 x から出発する軌道 O (x) は O (x) = ω lim(x) で、f が同相写像であればさらに O (x) = α lim(x) である。
コンパクトな多様体 M 上の可微分同相写像 f : M → M の非遊走集合 Σ(f) が有限個の双曲型周期点から成り、なおかつ任意の2つの周期点の安定多様体と不安定多様体が横断的に交わるとき、f をモース・スメール系という。モース・スメール系であれば、系は構造安定であることが知られている。円周 S 上の力学系では、可微分同相写像全体に対してモース・スメール系が稠密に存在する。
実数直線 R 上の写像に限れば、連続写像であることを仮定するだけでシャルコフスキーの定理によって周期点についての強い結論が得られる。この定理では、シャルコフスキー順序と呼ばれる次のような自然数の順序を考える。
3 ▹ 5 ▹ 7 ▹ ... ▹ 2n+1 ▹ ...
▹ 3×2 ▹ 5×2 ▹ 7×2 ▹ ... ▹ (2n+1)×2 ▹ ...
▹ 3×4 ▹ 5×4 ▹ 7×4 ▹ ... ▹ (2n+1)×4 ▹ ... ⁝
▹ ...
▹ 2 ▹ ... ▹ 8 ▹ 4 ▹ 2 ▹ 1
I を R 上の閉区間とする。このとき、連続写像 f : R → R または f : I → I に k 周期点が存在すれば、シャルコフスキー順序の中における自然数 k の右辺にある自然数全てについての周期点も存在する。 定理の帰結として、3周期点が存在すれば、全ての周期の周期点が存在することが保証される。
パラメータ λ を持つ写像族 fλ では、λ がある値を通過するときに相空間上の軌道の幾何学的構造が変化することがある。このような現象を分岐という。この一種として周期倍分岐があり、吸引的な不動点が存在する場合、あるパラメータ λ0 で反発的な不動点に変わり、代わりに吸引的な2周期点が発生する。一般化すると、周期倍分岐が起こると、吸引的な k 周期点が消えて、反発的な k 周期点と吸引的な 2k 周期点が現れる。
複素数 C 上で定義された写像の反復では、無限遠点に収束しない初期値の集合の境界としてジュリア集合が定義される。2次以上の複素係数多項式 f : C → C のジュリア集合 J (f) は、f の反発周期点の全体の閉包と合致することが知られる。この事実自体をジュリア集合の定義とする場合もある。