確率的割引ファクター
確率的割引ファクターが存在するならば、任意の金融資産 i {\displaystyle i} の時点 t {\displaystyle t} における資産価格 p i , t {\displaystyle p_{i,t}} は次の方程式で決定する。
p i , t = E t [ m t + 1 ( p i , t + 1 + d i , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{i,t}=E_{t}[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})]}
ここで、 E t {\displaystyle E_{t}} は時点 t {\displaystyle t} までの情報による条件付期待値であり、 d i , t + 1 {\displaystyle d_{i,t+1}} は時点 t + 1 {\displaystyle t+1} において金融資産 i {\displaystyle i} を保有していることで得られる利益である。確率変数 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} は全ての金融資産において共通であり、この m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} を確率的割引ファクターと呼ぶ。再帰的代入を繰り返せば適切な条件の下で
p i , t = E t [ ∑ k = 1 ∞ ( ∏ s = 1 k m t + s ) d i , t + k ] {\displaystyle p_{i,t}=E_{t}\left[\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{s=1}^{k}m_{t+s}\right)d_{i,t+k}\right]}
一般に、確率的割引ファクターがファクターと呼ばれる変数 F k , k = 1 , ... , K {\displaystyle F_{k},k=1,\dots ,K} の線形結合として
m = a + b 1 F 1 + ⋯ + b K F K {\displaystyle m=a+b_{1}F_{1}+\dots +b_{K}F_{K}}
と表されるのであれば、金融資産 i {\displaystyle i} のリターン R i {\displaystyle R_{i}} を F k , k = 1 , ... , K {\displaystyle F_{k},k=1,\dots ,K} で回帰した係数を β i , k , k = 1 , ... , K {\displaystyle \beta _{i,k},k=1,\dots ,K} として、
E [ R i ] = γ + β i , 1 λ 1 + ⋯ + β i , K λ K {\displaystyle E[R_{i}]=\gamma +\beta _{i,1}\lambda _{1}+\dots +\beta _{i,K}\lambda _{K}}
が成立する。ここで γ , λ 1 , ... , λ K {\displaystyle \gamma ,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{K}} は全ての金融資産 i {\displaystyle i} に共通の定数である。裁定価格理論や異時点間CAPMなどのマルチファクターモデルはこのような期待リターンの表現を持つ。