アインシュタイン・ヒルベルト作用
が得られる。この最後の等式を示すことに、
g μ ν δ g μ ν = − g μ ν δ g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}
を使用した。この式は、逆行列の変分の規則である
δ g μ ν = − g μ α ( δ g α β ) g β ν . {\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }(\delta g_{\alpha \beta })g^{\beta \nu }\,.}
から得られる。
このようにして
1 − g δ − g δ g μ ν = − 1 2 g μ ν . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.}
を結論付けることができる。