リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル
電磁ポテンシャルからは、対応する電場と磁場が導かれる。
E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t , {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\,,}
B = ∇ × A . {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}\,.}
上式により、リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルに対しては、次の共変でない電磁場の表式が得られる。
E ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ( q ( n − β ) γ 2 ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | 2 + q n × ( ( n − β ) × β ̇ ) c ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | ) t r , {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|^{2}}}+{\frac {q{\boldsymbol {n}}\times {\big (}({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}{\big )}}{c(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\right)_{t_{\mathrm {r} }}\,,}
ここで δ 3 {\displaystyle \delta ^{3}} は 3 次元のディラックのデルタ関数であり、 v s ( t ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t')} は点電荷の速度である。
電荷密度と電流密度を具体的な形に書き直せば、以下の電磁ポテンシャルが与えられる。
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ q δ 3 ( r ′ − r s ( t r ′ ) ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}({\boldsymbol {r'}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t_{\mathrm {r} }'))}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'}
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ q v s ( t r ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t r ′ ) ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t_{\mathrm {r} }')\delta ^{3}({\boldsymbol {r'}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t_{r}'))}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'}