球面調和関数
Hk が更に強い性質を満たすことも証明可能である。S 上の自乗可積分函数全体の空間
L(S) = { f: S → C | f は可測かつ ⟨ f | f ⟩S が有限値 }
は Hk を使って直交分解可能である:
定理 ― L 2 ( S n − 1 ) = ⨁ k = 0 ∞ H k {\displaystyle L^{2}(S^{n-1})=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{k}} (ヒルベルト直和)。
これを言い換えると、以下の系が従う:
系 ― 任意の f ∈ L(S) に対し、可積分な関数の族 {Yk}∞k=0 で Yk が k 次球面調和関数となるものが存在し、以下が成立する:
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Y k ( x ) . {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{\infty }Y_{k}(\mathbf {x} ).
野村隆昭:「球面調和函数と群の表現」、ISBN: 978-4535798182、日本評論社 (2018年7月)。
Edmonds, A. R.: "Angular Momentum in Quantum Mechanics", Princeton University Press, ISBN 978-0691025896 (1996). Reprint version.
山内恭彦:「回転群とその表現」、岩波書店、ISBN 978-4000051460 (1988年11月)。
MartinJ. Mohlenkamp: "A FastTransform for Spherical Harmonics", The Journal of Fourier Analysis and Applications 5(2/3), pp.159-184 (1999).
Kendall Atkinson and Weimin Han: "Spherical Harmonics and Approximations on the Unit Sphere: An Introduction", Springer, ISBN 978-3-642-25982-1 (2012).