置換の符号
↑ Jacobson (2009), p.50.
↑ Joyner, David『群論の味わい』共立出版、2010年、50頁。ISBN 978-4-320-01941-6。
↑ Nijenhuis, Albert; Wilf, Herbert S. (1978). Combinatorial Algorithms: For Computers and Calculators (Second ed.). Academic Press. p. 144. ISBN 0-12-519260-6
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Permutation of a set”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Permutation_of_a_set
数学において、少なくとも二元を含む有限集合 X の置換(X から X への全単射)は大きく二つのクラス(偶置換と奇置換)に分けられる。X の任意の全順序を固定して、X の置換 σ の偶奇性(パリティ; 対性)は σ の転倒数、すなわち X の元の対 (x, y) で x < y かつ σ(x) > σ(y) なるものの数、の偶奇性によって定義することができる。
置換 σ の符号 (sign) あるいは符号数 (signature) sgn(σ) は、σ が偶置換ならば +1, 奇置換ならば −1 を割り当てる。置換の符号函数 sgn は対称群 Sn の交代指標と呼ばれる群指標を定義する。置換の符号に対する別の記法として、より一般のレヴィ–チヴィタ記号によって与えられる εσ がある。これは X から X への全単射とは限らない任意の写像に対して定義され、全単射でない写像に対しては 0 を割り当てる。
置換の符号は inv(σ) を σ の転倒数とすれば
sgn(σ) = (−1)
と明示的に書くことができる。(転倒数は置換 σ を積として表すのに必要となる隣接互換の最小数とも一致する。)
あるいは、置換の符号を置換の互換の積への分解によって定義することもできる。すなわち、置換 σ の互換の積への分解に現れる互換の数を m とするとき、
sgn(σ) = (−1)
とおくのである。