ロトカ・ヴォルテラの方程式
ロトカ・ヴォルテラの方程式は力学系における保存系に該当し、保存量と呼ばれる量を持つ。式から微分 dx/dy を求めると、
d x d y = d x / d t d y / d t = a x − b x y c x y − d y {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {{dx}/{dt}}{{dy}/{dt}}}={\frac {ax-bxy}{cxy-dy}}}
となる。この変数分離形は
c x − d x d x = a − b y y d y {\displaystyle {\frac {cx-d}{x}}dx={\frac {a-by}{y}}dy}
となり、両辺を積分して
H = c x + b y − d log  x − a log  y {\displaystyle H=cx+by-d\log x-a\log y}
が得られる。
x と y を変数とする平面(相平面)上で、dx/dt = 0 または dy/dt = 0 を満たす直線に注目することで、個体数がどのような振る舞いを起こしているかの概略を知ることができる。このような手法をアイソクライン法や等傾斜線法と呼ぶ。
相平面で横軸を x、縦軸を y とする。現実の生物では個体数は正の値であるので、x と y の値が正である相平面の第一象限が興味の対象となる。相平面上では、dx/dt = 0 を満たす直線とは y = a/b と x = 0 の直線であり、dy/dt = 0 を満たす直線とは x = d/c と y = 0 の直線である。このような dx/dt = 0 または dy/dt = 0 を満たす直線を アイソクラインや等傾斜線と呼ぶ。前者の直線上では dx/dt = 0 であるから、解曲線がこの直線を通るとき、x の値は変化せず、y の値のみが変化する。よって、解曲線は直線を上下方向(y軸方向)にだけ通過する。そのため、この直線を傾き無限大のアイソクラインと呼ぶ。一方、後者の直線上では dy/dt = 0 であるから、同じ理屈から解曲線はこの直線を左右方向(x軸方向)にだけ通過する。