ホッジ予想
.. = zn = 0 となる座標を選択することができる。もし p > k であれば、α はある dzi に含まれねばならない。ここに zi は Z 上の 0 に引き戻す。q > k の場合でも同じことが成り立つ。結局、この積分は、(p, q) ≠ (k, k) であれば、ゼロとなる。
さらに抽象化すると、積分は Z のホモロジー類と α により表されるコホモロジー類のキャップ積として書くことができる。ポアンカレ双対性により、Z のホモロジー類はコホモロジー類 [Z] の双対であり、[Z] と α のカップ積と X の基本類とのキャップ積を取ることにより、(この積分値である)キャップ積を計算することができる。[Z] はコホモロジー類であるので、ホッジ分解を持っている。上記の計算により、これ(基本類)とタイプが (p, q) ≠ (k, k) の任意のクラスとのカップ積を取ると、その結果はゼロとなることが分かる。H(X, C) = H(X) であるので、[Z] は H(X, C) の中にある必要がある。大まかに言うと、ホッジ予想は次のように問うことと言える。
H(X) の中のどのコホモロジー類が、複素部分多様体 Z から来たのであろうか?