銀河の回転曲線問題
アンドロメダ銀河 (M31) が回転していることは1914年にマックス・ヴォルフ およびヴェスト・スライファーによって示された。彼らはアンドロメダ銀河をスリットを用いて分光観測し、スリットが銀河の長軸と平行なときにはそのスペクトル線の場所が位置によって変化していることを示すことによってこの結果を得た。1917年にはフランシス・ピーズがアンドロメダ銀河の中心部(半径 2.5 分角以内)についてその回転角速度がおおよそ一定であることを示した。エドウィン・ハッブルやヤン・オールトらは銀河回転を用いて銀河の質量光度比を推定する初期の試みを行っている。
1930年にクヌート・ルンドマルク(英語版)は M33, M51, M31, NGC4594, M81という5つの銀河について、その距離から推定された絶対光度を分光観測から推定された質量と比較し、その質量光度比が6から100という大きく異なった値を取ると主張した。ルンドマルクによるこの結果は暗黒物質が存在する可能性に当時の天文学者の目を向けさせることとなった。エリック・ホルムバーグ(英語版)は1937年にルンドマルクが得た質量光度比が大きく異なっているのは暗黒物質による光の吸収のためであると主張し、銀河の質量光度比は 6-7 程度の値を取るはずだとした。
ホレス・バブコック(英語版)は1939年に M31 の回転曲線を中心から半径 100 分角 (およそ 20 kpc) の範囲について作成し、遠方ほど回転速度が大きいという結果を得た。この結果は、銀河が平坦な楕円体によって囲まれているとするならば、銀河の外側の領域に大きな質量が存在していること(銀河の外側で質量光度比が大きな値を取ること)を示していることになる。
v c 2 ( R ) = − 4 G ∫ 0 R d ρ ρ R 2 − ρ 2 d d ρ ∫ ρ ∞ d R ′ R ′ Σ ( R ′ ) R ′ 2 − ρ 2 {\displaystyle v_{c}^{2}(R)=-4G\int _{0}^{R}d\rho {\frac {\rho }{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}}{\frac {d}{d\rho }}\int _{\rho }^{\infty }dR'{\frac {R'\Sigma (R')}{\sqrt {R'^{2}-\rho ^{2}}}}}
により求まる.
面密度 Σ {\displaystyle \Sigma } が指数関数的に減少する指数関数銀河円盤モデル
Σ ( R ) = Σ 0 exp  ( − R a ) {\displaystyle \Sigma (R)=\Sigma _{0}\exp \left(-{\frac {R}{a}}\right)}
( Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} , a {\displaystyle a} は定数) では, 上式は解析的に積分ができ, 銀河面 z = 0 {\displaystyle z=0} での重力ポテンシャルは修正ベッセル関数 K n {\displaystyle K_{n}} , I n {\displaystyle I_{n}} を用いて