二個の平方数の和
p = x 2 + y 2 , q = x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2},q=x'^{2}+y'^{2}} であれば
2 p = 2 ( x 2 + y 2 ) = ( x − y ) 2 + ( x + y ) 2 p q = ( x 2 + y 2 ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) = ( x x ′ − y y ′ ) 2 + ( x y ′ + y x ′ ) 2 r 2 p = r 2 ( x 2 + y 2 ) = ( r x ) 2 + ( r y ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2p=2(x^{2}+y^{2})=(x-y)^{2}+(x+y)^{2}\\&pq=(x^{2}+y^{2})(x'^{2}+y'^{2})=(xx'-yy')^{2}+(xy'+yx')^{2}\\&r^{2}p=r^{2}(x^{2}+y^{2})=(rx)^{2}+(ry)^{2}\\\end{aligned}}}
であるから、十分条件については明らかである。