特性曲線法
一例として、次の移流方程式が挙げられる(この例ではPDEの記法や基本的なODEの解についてはよく知っているものと仮定する)。
a ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ t = 0 {\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\,}
ここに a {\displaystyle a\,} は定数で、 u {\displaystyle u\,} は x {\displaystyle x\,} と t {\displaystyle t\,} の函数である。この線型一階偏微分方程式を、適切な曲線に沿って常微分方程式に変換することを考える。すなわち、次の形状の常微分方程式を考える。
d d s u ( x ( s ) , t ( s ) ) = F ( u , x ( s ) , t ( s ) ) {\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))} ,
ここに ( x ( s ) , t ( s ) ) {\displaystyle (x(s),t(s))\,} は特性曲線である。はじめに、連鎖律より次が得られる。
d d s u ( x ( s ) , t ( s ) ) = ∂ u ∂ x d x d s + ∂ u ∂ t d t d s {\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}
今、 d x d s = a {\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} and d t d s = 1 {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1} とすると、次が得られる。
a ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ t {\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\,}
これははじめのPDEの左辺である。したがって
d d s u = a ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}
が得られる。したがって、特性曲線 ( x ( s ) , t ( s ) ) {\displaystyle (x(s),t(s))\,} に沿って、元の PDE は ODE u s = F ( u , x ( s ) , t ( s ) ) = 0 {\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0\,} になる。すなわち、特性曲線に沿って解は定数である。すると、 u ( x s , t s ) = u ( x 0 , 0 ) {\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)\,} となる。