位相的場の理論
これはボレル-ヴェィユの定理(英語版)もしくはボレル-ヴェィユ-ボットの定理(英語版)の物理解釈となる。これらの理論のラグランジアンは古典作用 (直線束のホロノミー(英語版))である。このようにして、次元が d = 0 の位相的量子場の理論は自然にリー群や対称群の古典的表現論に関係している。
d = 1 の場合は : コンパクトなシンプレクティック多様体 X {\displaystyle X} の中の閉ループによって与えられる周期的な境界条件を考える。(Witten 1982)に従うと、そのようなループの周るホロノミーは、d = 0 のときにラグラジアンとして使ったように、ハミルトニアンを変形することに使われる。閉じた曲面 M {\displaystyle M} に対し、理論の不変量 Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} は、グロモフの意味で(もし X {\displaystyle X} がケーラー多様体であれば、通常の正則写像である)、擬正則写像の数である。もしこの数が無限大となる、つまり「モジュライ」があるとき、 M {\displaystyle M} 上のデータを固定する必要がある。これは、いくつかの点 P i {\displaystyle P_{i}} をとり、 f ( P i ) {\displaystyle f(P_{i})} を決まった超平面に固定する正則写像 f : M → X {\displaystyle f:M\rightarrow X} を考えることで可能となる。
シュワルツタイプ TQFTでは、系の相関函数あるいは分配函数は、計量独立な作用汎関数の経路積分として与えられる。例えば、BFモデル(BF model)では、時空は2次元多様体 M であり、観測量は2-形式 F と補助スカラー場 B とそれらの微分から構成される。(経路積分を決定する)作用は、
S = ∫ M B F {\displaystyle S=\int _{M}BF\,}
である。時空の計量はこの理論には全く現れないので、理論は明らかに位相的な不変である。位相場理論の最初の例はシュワルツによる1977年に提出された例であり、作用汎関数は
∫ M A ∧ d A {\displaystyle \int _{M}A\wedge dA}
である。もうひとつ、さらに有名な例がチャーン・サイモンズ理論であり、この理論は結び目不変量を計算することができる。一般には、分配関数は計量に依存するが、上記の例では計量とは独立であることが示されている。