アポロニウスの定理
スチュワートの定理の特殊な場合として、あるいはベクトルを用いて証明することができる。以下の証明は余弦定理を用いたものである。
任意の三角形の三辺の長さを a , b , c {\displaystyle a,b,c} として、 a {\displaystyle a} の中線の長さを d {\displaystyle d} とする。また、中線に二分された線分の長さを m {\displaystyle m} とする( m {\displaystyle m} は a {\displaystyle a} の半分)。
さらに、 a {\displaystyle a} と d {\displaystyle d} による角の大きさを θ {\displaystyle \theta } と θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} とし、 θ {\displaystyle \theta } は b {\displaystyle b} の対角、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は c {\displaystyle c} の対角とする。すなわち、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は θ {\displaystyle \theta } の補角であり、 cos  θ ′ = − cos  θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } となる。
このとき、余弦定理より、
第一式と第三式の辺々を加えると
以上より、定理が証明された。