位相群の群環
函数解析学、特に調和解析で用いる目的で、純代数的な群環の構成を位相群 G に対するものへ敷衍することは意味がある。G が局所コンパクトハウスドルフ位相群である場合には、G はハール測度と呼ばれる本質的に一意な左不変可算加法的ボレル測度 μ を持ち、ハール測度を用いて G 上のコンパクト台つき複素数値連続函数全体の成す空間 Cc(G) の上に畳み込み演算を定義することができる。さらに Cc(G) に任意に与えられたノルムによる完備化も群環となり得る。
畳み込み演算は Cc(G) の任意の二元 f, g に対して f ∗ g を、t ∈ G において
[ f ∗ g ] ( t ) = ∫ G f ( s ) g ( s − 1 t ) d μ ( s ) {\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g(s^{-1}t)\,d\mu (s)}
と置くことによって定められる。