平面曲線
平面代数曲線は、アフィン平面内の曲線で多項式方程式 f(x, y) = 0 によって定義されるもの、または射影平面内の曲線で斉次多項式方程式 F(x, y, z) = 0 で定義されるものを言う。
任意の平面代数曲線は、その定義多項式の次数をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれが一般の位置(英語版)にある直線と交わるときの交点数に等しい。例えば、方程式 x + y = 1 で与えられる円の次数は 2 である。
次数 2 の非特異平面代数曲線は円錐曲線であり、それらの射影完備化は全て円 x + y = 1 の射影完備化(つまり x + y - z = 0) の定める射影曲線)に同型である。次数 3 の平面代数曲線は平面三次曲線(英語版)といい、それが非特異ならば楕円曲線となる。次数 4 の平面代数曲線は平面四次曲線(英語版)と呼ぶ。