ベータ関数 (物理学)
より一般化したゲージ理論としてSU(N)ヤン=ミルズ理論のベータ関数が計算されている。このとき、QCDはN=3の場合として扱われる。
最低次(1ループ)の結果は1973年にデイビッド・グロスとフランク・ウィルチェック及び、H. デビッド・ポリツァーによって導出された。3人は、この功績(漸近的自由性の発見)により2004年のノーベル物理学賞を受賞した。 また、同時期にヘーラルト・トホーフトも同じ結果を導出していたが、これは論文として出版されていない。
高次項については1974年に2ループ、1980年に3ループ、1997年に4ループの計算が為されている。
3ループまでのベータ関数の計算結果を以下に示す。ただし、繰り込み点μにおける結合定数α(μ)についてのベータ関数βと各項の係数β0,β1,β2は
β ( α ) = μ 2 ∂ ∂ μ 2 α ( μ 2 ) 4 π = − [ β 0 ( α 4 π ) 2 + β 1 ( α 4 π ) 3 + β 2 ( α 4 π ) 4 + ⋯ ] {\displaystyle \beta (\alpha )=\mu ^{2}{\frac {\partial }{\partial \mu ^{2}}}{\frac {\alpha (\mu ^{2})}{4\pi }}=-\left[\beta _{0}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{2}+\beta _{1}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{3}+\beta _{2}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{4}+\cdots \right]}