オンシェルとオフシェル
{\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...} に対しても成立せねばならないので、 α μ {\displaystyle \alpha ^{\mu }} により次のように書き換えることができる。
∂ μ L = ∂ L ∂ φ ∂ μ φ + ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) ∂ μ ∂ ν φ . {\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi \ .}
この式は運動方程式(この場合は、オイラー=ラグランジェ方程式)であるか否かにかかわらず、任意の場に対して成り立つので、オフシェルでも成り立つ方程式の例である。しかし、単にオイラー=ラグランジェ方程式へ代入することによりオンシェルの方程式を導出することができる。
∂ μ L = ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) ∂ μ φ + ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) ∂ μ ∂ ν φ .