代数方程式
一次方程式 a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} ( a , b {\displaystyle a,b} は実数, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} )の解 x {\displaystyle x} は、 x = − b a {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}} と表せる。
三次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} ( a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} は実数, a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} )の解 x {\displaystyle x} は、 x = { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a ω − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω 2 − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a ω 2 − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a {\displaystyle x={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}-{b \over 3a}\\\omega {\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}-{b \over 3a}\\\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}-{b \over 3a}\end{cases}}} と表せる。
楕円モジュラー関数を用いた解の公式は複雑なため、概略にとどめる。チルンハウス変換(英語版)により、五次方程式は x − x − A = 0 と変形される(五次方程式の一般形)。一方、楕円関数の 5 次の変換により得られるモジュラスの 4 乗根は、モジュラー方程式と呼ばれる六次方程式となる。この方程式は、チルンハウス変換により y + y − B = 0 の形に変形される(B は楕円関数の種数の 4 乗根の代数的表現となる)。すなわち、五次方程式の一般形とモジュラー方程式の係数同士の比較は、四次方程式となる。一方モジュラー方程式の解は、楕円関数の 2 つの周期比の指数関数を用いた無限級数(楕円モジュラー関数)で現されるため、楕円モジュラー関数により 五次方程式の公式が得られる。
超幾何級数を用いた解の公式は、クラインにより示された。概略としては、正二十面体方程式の解が超幾何級数で示されること、および正二十面体方程式がチルンハウス変換により五次方程式の一般形に変形できることにより、導かれる。