合成代数
標数 ≥ 2 の体 K 上の単位的合成代数はすべて、K からケーリー=ディクソンの構成法を繰り返し用いることによって構成できる(標数 = 2 の場合は K の代わりに二次元の部分合成代数を考えればよい)。合成代数が取りうる次元は 1, 2, 4, 8 のうちのいずれかに限られる。
K 上一次元の合成代数が存在するのは標数 char(K) ≥ 2 に限る。
K 上一次元または二次元の合成代数は可換かつ結合的である。
K 上二次元の合成代数は、K の二次拡大体か K ⊕ K のいずれかである。
K 上四次元の合成代数は結合的だが非可換であり、K 上の(一般)四元数環と呼ばれる。
K 上八次元の合成代数は非結合的かつ非可換であり、K 上の(一般)八元数環と呼ばれる。
語法を一貫させる場合には、一次元の代数を(一般)一元数環 (unarion algebra) および二次元の代数を(一般)二元数環 (binarion algebra) と呼ぶ。