ジョルダン標準形
を満たすものが一意的に存在する。このとき ƒ = ƒs + ƒn のことを(加法的)ジョルダン分解といい、ƒs を ƒ の半単純成分、ƒn を ƒ の冪零成分という。
線形空間 V の基底 { e i , j ∣ i = 1 , ... , k ; j = 1 , ... , n i } {\displaystyle \{\,e_{i,j}\mid i=1,\dotsc ,k;~j=1,\dotsc ,n_{i}\,\}} が線形変換 ƒ のジョルダン基底 であるとは、ei,0 = 0 とおいたとき
f ( e i , j ) = λ i e i , j + e i , j − 1 {\displaystyle f(e_{i,j})=\lambda _{i}e_{i,j}+e_{i,j-1}}
が基底の任意の元 ei,j について成り立つことである。ジョルダン基底に関する ƒ の表現行列がジョルダン標準形である。
φ J ( A ) = φ J ( P J P − 1 ) = P φ J ( J ) P − 1 = O {\displaystyle \varphi _{J}(A)=\varphi _{J}(PJP^{-1})=P\varphi _{J}(J)P^{-1}=O} よって φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{J}(x)} は、多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる
最小多項式はモニックであるため φ A ( x ) = φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)=\varphi _{J}(x)}
(3) 特性多項式が f A ( x ) = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) n k {\displaystyle f_{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{n_{k}}} と因数分解(λk は相異なる)される場合、 dim  ( A ) = ∑ k = 1 m n k {\displaystyle \dim(A)=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{m}n_{k}} であり、J の対角線上には λk が nk個並ぶ。