ペル数
行列では以下のように表現される。
( P n + 1 P n P n P n − 1 ) = ( 2 1 1 0 ) n {\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}
ここから以下の恒等式が導かれる。
P n + 1 P n − 1 − P n 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}
この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。
x 2 − 2 y 2 = ± 1 {\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1} の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
P n − 1 + P n P n = 1 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , 41 29 , 99 70 , ...