ユークリッド環
整域 R とその上のユークリッド函数 f について:
R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ∖ {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される。ここから R が一意分解環かつネーター環でもあることが帰結される。一般の主イデアル整域に比べ、分解の存在性(つまり R が分解整域(英語版)であること)は、ユークリッド環の場合には特に容易に示せる。ユークリッド函数 f を (EF2) を満たすように取り、x は f(x) 個よりも多くの非単元因子に分解できないものとして、x から繰り返し既約因子に分解していけば、必ず既約元への分解が得られる。
f がそこで大域的な最小値を取るような R の点は必ず R の可逆元である。f が (EF2) を満たすように選ばれているならば、逆も成り立ち、しかも f は R の可逆元においてのみ最小値を取る。
ユークリッド性はアルゴリズム的である。すなわち、与えられた a, b(≠ 0) から「a = bq + r かつ [r = 0 または f(r) < f(b)]」を満たす商 q と剰余 r を得る割り算アルゴリズムが存在するならば、この除法に関する意味での拡張ユークリッド互除法(英語版)が定義できる。