陰函数定理
ふたたび単位円の例に戻ろう。すなわち、定理において n = m = 1 および f(x, y) = x + y − 1 と置いた場合であり、ヤコビ行列は 1×2-行列
D f ( a , b ) = ( ∂ f ∂ x ( a , b ) ∂ f ∂ y ( a , b ) ) = ( 2 a 2 b ) {\displaystyle Df(a,b)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2a&2b\end{pmatrix}}}
で与えられる。したがって定理に言う Y はここでは単に数 2b で、それが定める線型写像が正則であるための必要十分条件は b ≠ 0 である。
D f ( a , b ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ) = ( X ∣ Y ) {\displaystyle Df(a,b)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a,b)&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(a,b)\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a,b)&{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(a,b)&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(a,b)\end{array}}\right)=(X\mid Y)}
で与えられる。右辺において、X は変数 xi たちに関する偏微分からなる行列、Y は変数 yj に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列 Y が正則ならば、所期の通りの U, V, g が存在することである。