従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n {\displaystyle n} について普通の帰納法によって最初の n {\displaystyle n} 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} は A C {\displaystyle {\mathsf {AC}}} の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
R {\displaystyle R} on X {\displaystyle X} 上の二項関係 R {\displaystyle R} が全域関係であるとは任意の a ∈ X , {\displaystyle a\in X,} に対してある b ∈ X {\displaystyle b\in X} が存在して a R b {\displaystyle a\,R~b} が成り立つことである。
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合 X {\displaystyle X} とその上の全域二項関係 R {\displaystyle R} に対して、列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} を全ての n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} に対して x n R x n + 1 {\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}} であるように取れる。
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる R {\displaystyle R} の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
上での集合 X {\displaystyle X} を実数全体の集合に制限したものを D C R {\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }} で表す。