自然演繹
ここまで述べてきた論理は、単種(single-sorted)論理であり、一種類のオブジェクトだけを扱った命題からなる論理である。この単純なフレームワークの拡張としては、様々なものが提案されてきた。ここでは、個体(individuals)と項(term)という種を導入する。より正確に言えば、新たな判断 "t is a term"(または "t term")を導入する(t は概略的な表現)。変項(variables)の可算無限集合 V と、関数シンボル(functions symbols)の可算無限集合 F を想定し、項を次のように構築する。
命題を表すため、述語(predicates)の第三の可算無限集合 P を想定し、項群に対する原子述語を次のように定式化する。
さらに、2種類の量化(全称量化 (∀) と存在量化 (∃))を導入する。
このような量化された命題には、次のような導入規則と除去規則がある。
このため、依存型理論を実際に使う場合、任意のプログラムの量化を許さないで、特定の決定可能な領域(整数、文字列、線形プログラムなど)のみを扱うことが多い。
依存型理論では型がプログラムに依存することを許すのだが、そこから自然に生じる疑問として、プログラムが型に依存するとか他の組合せの依存は可能か、というものがある。この疑問には様々な答えがある。一般的な手法はプログラムを型に関して量化するもので、「パラメトリック・ポリモルフィズム」と呼ぶ。これは、型とプログラムを明確に区別する「断定的ポリモルフィズム」と、両者の区別があいまいな「非断定的ポリモルフィズム」に分類される。依存性とポリモルフィズムの組合せは様々なものが考えられ、Henk Barendregt の ラムダ・キューブが有名である。
論理と型理論の境界領域は、研究が盛んな分野である。新たな論理は、論理フレームワークとして型理論的設定で形式化されることが多い。そのような論理フレームワークとして、calculus of constructions や LF は高階依存型理論に基づいており、決定可能性と表現能力のトレードオフを考慮して考案されている。これらの論理フレームワーク自体は常に自然演繹体系に則っており、自然演繹手法の汎用性を示している。