スカラーポテンシャル
1つの例は地表近くの(ほぼ)一様な重力場である。これはポテンシャルエネルギー
U = m g h {\displaystyle U=mgh}
を持つ。Uは重力ポテンシャルエネルギーでhは地表上の距離である。これは等値線図上の重力ポテンシャルエネルギーは高度に比例することを意味する。等値線図においては、高度の2次元負勾配は2次元ベクトル場であり、このベクトルは常に等値線に対して垂直であり重力の方向に対しても垂直である。しかし、等値線図において丘陵地帯となっているところではUの3次元負勾配は常に重力の方向F真下に向いている。しかし、丘を転がる球は丘の表面の垂直力により真下に直接移動することはできず、丘表面に垂直な重力の成分は相殺される。球を動かすために残る重力成分は表面に平行である。
F S = − m g sin  θ {\displaystyle F_{S}=-mg\ \sin \theta }
θは傾きの角度。重力に垂直なFSの成分は
F P = − m g sin  θ cos  θ = − 1 2 m g sin  2 θ .
スカラーポテンシャルは、ある位置から他の位置へと物体が移動するときのポテンシャルエネルギーの変化が位置のみに依存し移動経路に依存しないときのポテンシャルである。このときのポテンシャルは方向に依存しない値、すなわちスカラーである。よく知られた例は重力によるポテンシャルエネルギーである。物理領域では特に静電ポテンシャルを指す場合がある。
スカラーポテンシャルは、ベクトル解析および物理学における基本概念である(ベクトルポテンシャルと混同する可能性がない場合、「スカラー」という言葉はしばしば省略される)。スカラーポテンシャルはスカラー場の一例である。スカラーポテンシャル P により導かれるベクトル場Fは次のように定義される。
F = − ∇ P = − ( ∂ P ∂ x , ∂ P ∂ y , ∂ P ∂ z ) , {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}
∇PはPの勾配であり、方程式の2番目の部分はデカルト座標 x, y, zの関数の勾配のマイナスである。流儀によっては負号なしで定義する場合もある。
違う書き方をすると
Γ ( r ) = 1 4 π 1 ‖ r ‖ {\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}}
はニュートンポテンシャルである。これはラプラス方程式の基本解であり、Γのラプラシアンがディラックのデルタ関数の負の値に等しいことを意味する。
∇ 2 Γ ( r ) + δ ( r ) = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.}
このとき、スカラーポテンシャルはEとΓの畳み込みである。
Φ = div  ( E ∗ Γ ) . {\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).}
実際、非回転ベクトル場と回転不変ポテンシャルの畳み込みも非回転である。非回転ベクトル場Gは次のように表される。
∇ 2 G = ∇ ( ∇ ⋅ G ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).}
ゆえに
∇ div  ( E ∗ Γ ) = ∇ 2 ( E ∗ Γ ) = E ∗ ∇ 2 Γ = − E ∗ δ = − E {\displaystyle \nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E} }