周期進行波
周期進行波は、1970年代に初めて研究された。キーとなる早期の研究論文は Nancy Kopell と Lou Howard によるもので、反応拡散方程式における周期進行波に関するいくつかの基本的な結果が証明された。この論文は、1970年代から1980年代早期に行われた意義のある研究活動の先駆けとなった。その後、しばらく活動が停滞したのち、周期進行波の生成に関する数学的な研究や、生態学における周期個体群に関する時空間的なデータセットにそれら周期進行波が発見されたことに伴って、研究の興味は刷新された。2000年代中盤より、周期進行波に関する研究は、それらの安定性や絶対安定性を調べるための新たな計算法によって発展されている。
周期進行波の原型であり、その数学的な理解と理論の発展の基盤となっている二つの数学的な系が存在する。それらは、「ラムダ-オメガ」クラスの反応拡散方程式
∂ u ∂ t = ∂ 2 u ∂ x 2 + λ ( r ) u − ω ( r ) v ∂ v ∂ t = ∂ 2 v ∂ x 2 + ω ( r ) u + λ ( r ) v ( ∵ r = u 2 + v 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\lambda (r)u-\omega (r)v\\&{\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\omega (r)u+\lambda (r)v\\&\left(\because r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\right)\end{aligned}}}
および、複素ギンツブルグ-ランダウ方程式
∂ A ∂ t = A + ( 1 + i b ) ∂ 2 A ∂ x 2 − ( 1 + i c ) | A | 2 A {\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A}
周期進行波の存在は、通常、数学的な方程式の中の媒介変数の値に左右される。周期進行波解が存在するなら、波のスピードが異なるそのような解の族が通常存在する。偏微分方程式において、周期進行波は通常、波のスピードの連続的な領域に対して生じる。
周期進行波の数値的な解析を行うための、フリーのオープンソースソフトウェアとして、Wavetrainが挙げられる。数値接続を利用することで、Wavetrain では偏微分方程式の周期進行波解の形状と安定性、および波が安定に存在するような媒介変数空間の領域を計算することが出来る。
媒介変数における空間的なノイズの結果として、周期進行波の連続的な帯を生成することが出来る。このことは、周期進行波の二次元への一般化であるターゲットパターンや渦巻波を不純物が生成するような、振動化学反応への応用において重要となる。この過程は、1970年代および1980年代初期における、周期進行波に関する研究の大きな動機となった。また生態学においては、景観異質性が周期進行波の原因の一つとして提唱されてきた。