超球の体積
体積を球座標における体積要素の積分によって計算することができる。球面座標系は動径座標 r と偏角座標 φ1, ..., φn−1 を持つ。ここで φn−1 を除く各 φi の変域は [0, π) であり、φn−1 の変域は [0, 2π) である。球体積要素は
で与えられる。そして求める体積は、r は 0 から R までと、角は取りうるすべての値に亘って取った積分
に等しい。被積分関数の各因子は一変数のみに依存するため、従ってこの逐次積分は積分の積
として書くことができる。動径成分の積分は R/n に等しく、また偏角成分の積分区間を対称性により [0, π/2] と書き換えれば
を得る。残った各々の積分はいまやベータ関数の特定の値で、
となる。ベータ関数はガンマ関数に書き換えることができ、
を得るが、この積は連鎖的に約分して畳み込める。値 Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1 関数等式 zΓ(z) = Γ(z + 1) を組み合わせて
が導かれる。
初等幾何学における球体は決められた点から決められた距離以内にある点の全体が空間において占める領域であった。同様のことを n-次元ユークリッド空間で行って n-次元超球体が定義される。
本項ではn-次元超球体の体積、および超球体の表面に相当する超球面の面積について述べる。
ユークリッド空間 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} における半径 R の n-次元超球面
S n ( R ) = { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n + 1 | x 1 2 + ⋯ + x n + 1 2 = R } {\displaystyle S^{n}(R)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}|x_{1}{}^{2}+\cdots +x_{n+1}{}^{2}=R\}}
の面積An(R)と R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} における半径 R の n-次元超球体
B n + 1 ( R ) = { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n | x 1 2 + ⋯ + x n + 1 2 ≤ R } {\displaystyle B^{n+1}(R)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}{}^{2}+\cdots +x_{n+1}{}^{2}\leq R\}}
の体積Vn+1(R)には