ヤコビの楕円関数
ヤコビによるテータ関数を用いて定義することもできる。 θ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )} を θ {\displaystyle \vartheta } と略記し、 θ 01 ( 0 ; τ ) , θ 10 ( 0 ; τ ) , θ 11 ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )} もそれぞれ、 θ 01 , θ 10 , θ 11 {\displaystyle \vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}} (テータ定数と呼ばれる)と略記する。このとき、母数 k は k = ( θ 10 θ ) 2 {\displaystyle k=\left({\vartheta _{10} \over \vartheta }\right)^{2}} となる。 u = π θ 2 z {\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z} とおくと、
s n ( u ; k ) = − θ θ 11 ( z ; τ ) θ 10 θ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {sn} (u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}}
r = 1 の単位円上で cos  θ , sin  θ {\displaystyle \cos \theta ,\sin \theta } を定義できたのと同様に、ヤコビの楕円関数は、a = 1 の単位楕円上で定義できる。
x 2 + y 2 b 2 = 1 , b > 1 , m = 1 − 1 b 2 , 0 < m < 1 , x = r cos  θ , y = r sin  θ {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta \end{aligned}}}
とすると、
r ( θ , m ) = 1 1 − m sin 2  θ {\displaystyle r(\theta ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}
である。
楕円に沿った弧長 u を計算すると、