一般ディリクレ級数
一般ディリクレ級数を
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
として、s を変数とする関数とみなすと、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の一様収束性が問題となる。
一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} および絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} が有限の値であるならば、 このとき、
σ c ≤ σ u ≤ σ a {\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}
を満たす実数 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} が存在して、 Re  s > σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束するが、 Re  s < σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束しない。
一般の級数のときと同じく、
∑ n = 1 ∞ | a n | e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}}
が収束するとき、一般ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
は絶対収束するという。
絶対収束する複素数 s に対する、 Re  s {\displaystyle \operatorname {Re} \ s} の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に絶対収束しない場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。
ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
例えば
一般ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
は、 Re  s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で収束するならば、 Re  s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で正則である。さらに、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の微分は
f ( k ) ( s ) = ( − 1 ) k ∑ n = 1 ∞ λ n k a n e − λ n s {\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{k}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
で与えられる。