リー代数の表現
とする。これは ρ ̄ {\displaystyle {\bar {\rho }}} を一意に定義する。
V , W {\displaystyle V,W} を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} リー代数とすると、 Hom  ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)} は ( x ⋅ f ) ( v ) = x f ( v ) − f ( x v ) {\displaystyle (x\cdot f)(v)=xf(v)-f(xv)} と置くことにより、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群となる。特に、 Hom g  ( V , W ) = Hom  ( V , W ) g {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}} である。任意の体は自明な作用により g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群となるので、W を基礎体とすると、双対ベクトル空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群となる。
たとえば、 c g ( x ) = g x g − 1 {\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}} とすると、 c g : G → G {\displaystyle c_{g}:G\to G} の恒等元での微分は、 G L ( g ) {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})} の元である。これを Ad  ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)} と表わすと、ベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の G の表現 Ad {\displaystyle \operatorname {Ad} } を得る。先行して適用すると、リー代数の表現 d Ad {\displaystyle d\operatorname {Ad} } を得る。このことから d e Ad = ad {\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} } を示すことができる。
以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元(実、複素)リー代数の表現は、一意に随伴単連結なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。