ヘルダー条件
数学において、d 次元ユークリッド空間上の実あるいは複素数値函数 f がヘルダー条件(ヘルダーじょうけん、英: Hölder condition)を満たす、あるいはヘルダー連続であるとは、f の定義域内のすべての点 x と y に対して次の不等式を満たす非負の実定数 C, α が存在することを言う。
| f ( x ) − f ( y ) | ≤ C ‖ x − y ‖ α . {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }.}
より一般に、この条件は任意の二つの距離空間の間の函数に対して考えることが出来る。このような数 α はヘルダー条件の指数と呼ばれる。α = 1 の場合はリプシッツ条件を意味し、α = 0 の場合は単純に函数が有界であることを意味する。この条件の名は、オットー・ヘルダーにちなむ。
実数直線のコンパクトな部分集合上の函数に対して、0 < α ≤ 1 のときは、次の包含関係が成り立つ。
連続的微分可能 ⊆リプシッツ連続 ⊆ α ヘルダー連続 ⊆ 一様連続 ⊆ 連続