群の中心
群 G から G の自己同型群 Aut(G) への写像 f: G → Aut(G) を f(g) = φg で定める。ここで φg は
φ g ( h ) = g h g − 1 {\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}
で与えられる G の自己同型とする。写像 f は群準同型を与え、その核はちょうど G の中心 Z(G) である。また、f の像は G の内部自己同型群と呼ばれ、Inn(G) と書かれる。第一同型定理により
G / Z ( G ) ≅ Inn  ( G ) {\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}
なる同型を得る。写像 f の余核 Aut(G)/Inn(G) は外部自己同型群とよばれる群 Out(G) で、これらの群は完全列
1 → Z ( G ) → G → Aut  ( G ) → Out  ( G ) → 1 {\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}
を成す。
代数学における群 G の核心または中心(ちゅうしん、center)Z(G) は G の全ての元と可換となるような元全体の成す集合
Z ( G ) = { z ∈ G ∣ z g = g z ( ∀ g ∈ G ) } {\displaystyle Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\;(\forall g\in G)\}}
である。G の中心は G の部分群であり、定義からアーベル群(可換群)である。部分群としては、常に正規であり、特性的であるが必ずしも完全特性的 (fully characteristic) ではない。剰余群 G/Z(G) は G の内部自己同型群に同型である。
群 G がアーベル群となることと Z(G) = G となることとは同値である。これと正反対に、Z(G) が自明(つまり単位元のみからなる)ならば群 G は中心を持たない (centerless) という。
中心に属する元はしばしば中心的 (central) であるといわれる。