BerengerのPML吸収境界条件
後の定式化がより一般的となったがそれは単純かつ効率がよいためでその定式化はuniaxial PMLまたはUPMLと呼ばれている。これはPMLが人工異方性吸収材とみなされる。
Berengerの定式化とUPMLは一様な媒質からの入射平面波がPML境界で反射しない条件を手動で構成することにより最初は導出された。どちらの形式もより洗練された一般的な手法のstretched-coordinate PMLと同等であることが後に示された。
特に、PMLは1つ(またはそれ以上)の座標が複素数に写される座標変換と対応することが示された。より専門的に言えば、これは実際には波動方程式の複素座標への解析接続であり、伝播する(振動する)波を指数関数的に減衰する波に置き換える。 この見方はPMLが導波管などの不均一媒質、他の座標系の波動方程式でも導出可能であることを示している。
つまり、x方向へ伝搬する波を吸収するために設計されたPMLは、波動方程式に次の変換をする。 波動方程式に現れるすべてのx方向の微分 ∂ / ∂ x {\displaystyle \partial /\partial x} は次のように置き換える。
∂ ∂ x → 1 1 + i σ ( x ) ω ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}}
ここで ω {\displaystyle \omega } は角振動数、 σ {\displaystyle \sigma } はxの関数である。どこであれ σ {\displaystyle \sigma } が正であるならば伝搬波は減衰する。
e i ( k x − ω t ) → e i ( k x − ω t ) − k ω ∫ x σ ( x ′ ) d x ′ , {\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},}