接続 (ファイバー束)
H [ ( p , a ) ] ′ := ( φ a ) ∗ ( H p ) {\displaystyle {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}:=(\varphi _{a})_{*}({\mathcal {H}}_{p})}
により定義し、 { H [ ( p , a ) ] ′ } [ ( p , a ) ] ∈ P × G F {\displaystyle \{{\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}\}_{[(p,a)]\in P\times _{G}F}} を { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} により P × G F → M {\displaystyle P\times _{G}F\to M} に誘導された接続(英: induced connection)、もしくは同伴接続(英: accociated connection)という。
上記の定義において H [ ( p , a ) ] ′ {\displaystyle {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}} は代表元 ( p , a ) {\displaystyle (p,a)} の取り方によらずwell-definedである。
に対し、U内の任意の曲線 u ( t ) {\displaystyle u(t)} に沿った平行移動 E u ( 0 ) → E u ( 1 ) {\displaystyle E_{u(0)}\to E_{u(1)}} がGに属する線形変換である事を言う。
前述のAmbrose-Singerの定理の一般化から以下の定理が従う:
定理 ― 記号を上の定義と同様に取る。 Gを構造群として持つベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} のKoszul接続∇がGと両立するとき、フレームバンドルFG(E)のある接続形式ωが存在し、∇はωからEに誘導される接続の共変微分と一致する。
Koszul接続∇が「Gと両立する」事の定義は上で挙げたものの他に前の節で挙げたものがあるが、この2つは同値である。実際、これら2つのいずれか言えれば∇は主接続から誘導される事を前節の定理と上記の定理から言え、主接続から誘導される接続はこれら2つの「Gと両立する」事の定義を両方満たすので、この2つは同値である。
ベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} においては垂直部分空間と接空間が自然に同一視できるので、その同一視の写像を
φ : V e → ~ T π ( e ) E {\displaystyle \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}T_{\pi (e)}E}
と書く。
本節では一般の接続概念から定義される共変微分を∇とするとき、 φ ∘ ∇ {\displaystyle \phi \circ \nabla } がKoszul接続になる条件を述べる。なお、逆にKoszul接続から一般の接続概念を誘導する方法はすでに述べた。
定理 (Koszul接続の条件) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} のファイバーバンドルとしての接続する。さらに φ : V e → ~ E π ( e ) {\displaystyle \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}E_{\pi (e)}} を垂直部分空間 V e {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}} と E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} の自然な同一視とする。
主接続の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。
定理 (誘導された接続の曲率) ― P → M {\displaystyle P\to M} を接続の定義された主バンドルとし、Ωをその接続とする。さらに P → M {\displaystyle P\to M} の同伴バンドル E := P × G F → M {\displaystyle E:=P\times _{G}F\to M} に P → M {\displaystyle P\to M} から誘導された接続を入れ、その接続をΩ'とする。そして q : P → E {\displaystyle q~:~P\to E} を商写像とする。このとき以下の図式は可換である:
T P × T P → Ω V P q ∗ × q ∗ ↓ ↺ q ∗ ↓ T E × T E → Ω ′ V E {\displaystyle {\begin{array}{ccc}TP\times TP&{\overset {\Omega }{\to }}&{\mathcal {V}}P\\q_{*}\times q_{*}\downarrow &\circlearrowleft &q_{*}\downarrow \\TE\times TE&{\overset {\Omega '}{\to }}&{\mathcal {V}}E\end{array}}}
ここで V P {\displaystyle {\mathcal {V}}P} 、 V E {\displaystyle {\mathcal {V}}E} はそれぞれP、Eの垂直部分空間である。
このとき曲率形式Ωは以下を満たす:
(構造方程式) ζ − 1 ( Ω ) = d ω + 1 2 [ ω , ω ] g ∈ g {\displaystyle \zeta {}^{-1}(\Omega )=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {g}}}
紛れがなければ ζ − 1 ( Ω ) {\displaystyle \zeta {}^{-1}(\Omega )} を単にΩと書き、接続形式ωの曲率形式という。
曲率形式は次を満たす:
定理 (曲率の性質) ― 次が成立する:
任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 Ω p = H p ∗ ( d ω p ) {\displaystyle \Omega _{p}=H_{p}{}^{*}(d\omega _{p})}
任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ( R g ) ∗ Ω p = A d ( g − 1 ) Ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\Omega _{p}=\mathrm {Ad} (g^{-1})\Omega _{p}}
( (第二)ビアンキ恒等式) d Ω = [ Ω , ω ] {\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]}
ここでHpは水平部分空間への射影である。
そこで ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る場合に話を限定する。
定義 (Gと両立するKoszul接続) ― ∇をE上定義されたKoszul接続とし、 ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} をその接続形式とする。∇がGと両立するとは、任意の局所的な基底 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} に対し、
ω ^ e ∈ g {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}\in {\mathfrak {g}}}
が成立する事を言う。
このとき、以下が従う:
定義 (主接続とKoszul接続の関係) ― E上のKoszul接続でGと両立するものは F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の主接続と1 : 1で対応する。
ファイバーバンドルの接続(せつぞく、英: connection)とは、ベクトルバンドルの接続概念(Koszul接続)を任意のファイバーバンドルに拡張したものである。
これにより、原理的には任意のファイバーバンドル上で接続の概念を考えられるようになるが、実際に研究が進んでいるのはベクトルバンドルの場合とそれに対応する主バンドルの場合、具体的に G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} 、 G L n ( C ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} 、回転群 S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} 、ユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} 、シンプレクティック群 S p ( n ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)} 、スピン群 S p i n ( n ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (n)} 等、一般線形群やその閉部分リー群に対する主バンドルの場合である。
フレームバンドルの利点は、主バンドルからベクトルバンドルへの商写像に直観的な意味を与えられることにある。以下で P → M {\displaystyle P\to M} は前節同様 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} に対応するG-主バンドルである。
定理 (フレームバンドルによる成分表示) ― 写像の合成
F G ( E ) × R n ≈ P × R n → q P × G R n ≈ E {\displaystyle F_{G}(E)\times \mathbb {R} ^{n}\approx P\times \mathbb {R} ^{n}{\overset {q}{\to }}P\times _{G}\mathbb {R} ^{n}\approx E}
による ( e , a ) ∈ F G ( E ) × R n {\displaystyle (e,a)\in F_{G}(E)\times \mathbb {R} ^{n}} の像は
a i e i {\displaystyle a^{i}e_{i}}
に一致する(アインシュタインの縮約で記載)。
ここでqは商写像であり、 a = ( a 1 , ... , a n ) {\displaystyle a=(a^{1},\ldots ,a^{n})} であり、 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} である。
本節ではG-主バンドルの接続形式の関係とこの接続がベクトルバンドルEに誘導する接続の関係を述べる。これまで同様Gを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の閉部分リー群とする。また前節で主バンドルがフレームバンドルと自然に同一視できる事を見たので、以下主バンドルとフレームバンドルを区別せずに用いる。
本節では以下特に断りがない限り、Gを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をGを構造群を持つベクトルバンドルとし、 F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} をそのフレームバンドルとする。
主接続とKoszul接続の関係を見るための準備として、以下の概念を導入する:
定義 (接続形式) ― ∇をEのKoszul接続とする。さらに e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} をEの局所的な基底とする。
本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。
そのために g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値1-形式α、βに対し、
[ α , β ] g ( X , Y ) := [ α ( X ) , β ( Y ) ] g − [ α ( Y ) , β ( X ) ] g {\displaystyle [\alpha ,\beta ]_{\mathfrak {g}}(X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]_{\mathfrak {g}}-[\alpha (Y),\beta (X)]_{\mathfrak {g}}}
と定義する。ここで [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上のリー括弧である。さらに前節同様
ζ p : g → ∼ V p {\displaystyle \zeta _{p}~:~{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {V}}_{p}}
を考える。紛れがなければ添字pを省略し単にζと書く。
定理 (主バンドルの接続の曲率) ― Mを多様体、Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、さらに P {\displaystyle P} をM上のG-主バンドルとし、ωをPの主バンドルとしての接続とする。