特殊相対性理論
エネルギーと質量は可換であり、観測者・観測対象の運動状態によって(座標変換によって)双方は相互に変換される。
速度の合成則は非線形接続である。たとえば、観測者に対して光速の0.6倍で動く宇宙船から、(宇宙船からみて)光速の0.6倍で物体を進行方向に射出しても、観測者から見た宇宙船からの射出部隊の速度は光速の1.2倍にはならない。(#速度の合成則)
運動する物体は高速になるほど加速しづらくなり、光速に到達することはない。
次の事柄は、特殊相対性理論の前提あるいは理論展開(#特殊相対性理論の基礎)するところそのものである。特殊相対論によって座標変換に関して対称な簡潔な数式系にまとめられることができたこと、さらに、後に実験事実として得た諸結果が特殊相対性理論によく整合したことから、物理の基本原理として、これらはより支持されるようになった(#特殊相対性理論の実験的検証)。
光の速度は観測者の移動の影響を受けず一定値である。
慣性系相互の座標変換において、物理法則を普遍に保つ変換則はローレンツ変換である。
マクスウェル方程式は修正する必要はない。
本節では以下を示す:時間的もしくは光的な4元ベクトル u→ に沿って原点から u→ の終点まで直線的に動く観測者の固有時間 s は u→ のミンコフスキー・ノルム ‖ u → ‖ = η ( u → , u → ) {\displaystyle \|{\vec {u}}\|={\sqrt {\eta ({\vec {u}},{\vec {u}})}}} に一致する。
なお、u→ が時間的もしくは光的な4元ベクトルであることから η(u→, u→) > 0 であるので、上式の平方根は意味を持つ。
ただしここでいう「時間の長さ」は c 秒を1単位として数えた時間である。秒を単位とした時間の長さは τ = s/c である。
上の事実を示すため、O から u→ に沿って移動する観測者を考えると、この観測者の慣性座標系は、e→0 = u→ / ||u→|| を時間方向の単位(4元)ベクトルとする正規直交基底 (e→0, e→1, e→2, e→3) により表せる。
また、二人の観測者に共通の絶対時間も絶対空間も存在せず不可知である一方で、それぞれの観測者が(何らかの手段で)もう一方の観測者が観測した時刻・位置の値を知ることは一般に妨げられない。
ここで、2つの座標系の間の一般的な変換規則の数学表現として、テイラー展開による座標変換規則をまず考える。(ct, x)あるいは (ct′, x′) という表現から示唆されるように、各慣性系での時刻・空間座標の数値の組は4次元の行ベクトル・列ベクトルとして扱える(時刻(1次元)と空間(3次元)をあわせた4次元。下記では縦ベクトル(列ベクトル)の表記を用いる)。一般に座標変換規則は、何らかの定数ベクトル b→ と行列 Λ (この場合では4行4列の行列)とを用いて、次のように記述できる。
( c t ′ x ′ ) = b → + Λ ( c t x ) + {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\boldsymbol {x}}'\end{pmatrix}}={\vec {b}}+\Lambda {\begin{pmatrix}ct\\{\boldsymbol {x}}\end{pmatrix}}+} (二次以上の項)
特殊相対性理論以前のマックスウェル方程式の解釈には非対称性があった。例えば磁石を固定されたコイルに近づけた場合は電磁誘導により電流が流れると解釈されるが、逆にコイルを固定された磁石に近づけた場合はローレンツ力で電子が動かされることにより電流が流れると解釈された。今日的な視点から見れば、これら2つのケースは単なる慣性系の取り替えに過ぎないにも関わらず、両者の解釈が異なるのは不自然である。事実、流れる電流の量はどちらのケースであっても同一であり、磁石とコイルの相対速度だけで決まる。
このような非対称な解釈になったのは、当時は電場と磁束密度は完全に別概念であったことによる。(E1)式も、今日の目から見ると電場と磁束密度を電磁テンソルという同一のテンソルとしてまとめるべき事を示唆しているように見えるが、当時は(E1)式の第二項はあくまでも「仮想的な」電場や磁束密度の効果であるとみなされた。
上述したような理論の非対称性の解消に関心のあったアインシュタインは、特殊相対性理論によりこの非対称性を解消した。
∇ ⋅ B = 0 ∂ B ∂ t + ∇ × E = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=0\\{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}+\nabla \times {\boldsymbol {E}}&=0\end{aligned}}}
はいずれも
∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α = 0 {\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0} (α, β, γ は相異なる)
と同一の形で表現できる。なお、リッチ計算の記法を用いると、上の式は
∂ [ α F β γ ] = 0 {\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}
とも表記できる。
マクスウェル方程式は微分形式と外微分を用いるとさらに簡潔に表現できる事が知られているが、微分形式に関する予備知識を必要とするので本節では述べない(マクスウェル方程式#微分形式による表現を参照)。