ツェルメロ＝フレンケル集合論
w {\displaystyle w} を何らかの集合として、 S ( w ) {\displaystyle S(w)} を w ∪ { w } {\displaystyle w\cup \{w\}} の省略形とする(対の公理で x = y = w {\displaystyle x=y=w} とすると、集合 z は { w } {\displaystyle \{w\}} となり、 { w } {\displaystyle \{w\}} は有効な集合であるとみなせる)。すると、公理的に定義された空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } を含む集合 X が存在し、集合 y が X の元となるならば S ( y ) {\displaystyle S(y)} も X の元となる。