スレイター行列式
多粒子系の波動関数を近似するための最も単純な方法は、適切に選ばれた個々の粒子の直交波動関数の積を取ることである。空間座標 x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}} および x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}} の2粒子の事例では以下のようになる。
Ψ ( x 1 , x 2 ) = χ 1 ( x 1 ) χ 2 ( x 2 ) {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=\chi _{1}({\boldsymbol {x}}_{1})\chi _{2}({\boldsymbol {x}}_{2})}
この表現は多粒子波動関数に対するアンザッツとしてハートリー近似で用いられており、ハートリー積として知られている。しかしながら、上記の波動関数がフェルミ粒子のもののように反対称ではないため、これはフェルミ粒子に対しては満足のいくものではない。というのも、 そもそも反対称な波動関数は以下の式を満たすはずである:
Ψ ( x 1 , x 2 ) = − Ψ ( x 2 , x 1 ) {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=-\Psi ({\boldsymbol {x}}_{2},{\boldsymbol {x}}_{1})}
ハートリー積はこれを満たさない。この困難は、 ハートリー積の線形結合を取ることで克服することができる:
N個のフェルミ粒子の1粒子波動関数を { χ i ( x ) } ( i = 1 , 2 , ... , N ) {\displaystyle \{\chi _{i}(x)\}(i=1,2,\dotsc ,N)} としたとき、スレイター行列式は以下のように表される。
‖ χ 1 ⋯ χ N ‖ = 1 N ! | χ 1 ( x 1 ) ⋯ χ 1 ( x N ) ⋮ ⋱ ⋮ χ N ( x 1 ) ⋯ χ N ( x N ) | {\displaystyle {\begin{Vmatrix}\chi _{1}\cdots \chi _{N}\end{Vmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\chi _{1}(x_{1})&\cdots &\chi _{1}(x_{N})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\chi _{N}(x_{1})&\cdots &\chi _{N}(x_{N})\end{vmatrix}}}
スレイター行列式は規格化されており、そのノルムは1である。