バーゼル問題
比較判定法による。 1 n 2 < 1 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}<{\frac {1}{n(n-1)}}} 、( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} )であることを利用し、
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 < 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ( n − 1 ) = 1 + ∑ n = 2 ∞ ( 1 n − 1 − 1 n ) = 1 + ( 1 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}&=1+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&=2\\\end{aligned}}}
である。したがってこの級数は収束する。一般にゼータ関数 ζ(s) は Re s > 1 の範囲で収束する。
バーゼル問題(バーゼルもんだい、英: Basel problem)は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。ヤコブ・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどバーゼル出身の数学者がこの問題に取り組んだことからこの名前で呼ばれる。