約数関数
lim sup n → ∞ σ ( n ) n log  log  n = e γ {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }}
γ はオイラー定数である。
また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。
lim sup n → ∞ log  d ( n ) log  log  n log  n = log  2 {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}
実際、左辺の上極限記号内の分数の値が最大となるのは n = 6983776800 {\displaystyle n=6983776800} のときで、その値は 1.0660186 ... {\displaystyle 1.0660186\ldots } であることが知られている。 特に、任意の ε > 0 に対して、d(n) = o(n) が成り立つ。
σ ( n ) < e γ n log  log  n {\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\,} (n > 5040)
が真であるならリーマン予想も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が 5040 であり、5041 以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさない n は無数に存在する。