ヘヴィサイドの階段関数
c の値は必要に応じて都合のよい値を選ぶことができるが、c = 0, 1/2, 1 などがしばしば用いられ、それぞれ
である。また、
H 1 ( x ) = 1 − U ( − x ) = lim t → x − 0 U ( t ) {\displaystyle H_{1}(x)=1-U(-x)=\lim _{t\to x-0}U(t)} H 0 ( x ) = U ( x ) {\displaystyle H_{0}(x)=U(x)} H c ( x ) = c H 1 ( x ) + ( 1 − c ) H 0 ( x ) {\displaystyle H_{c}(x)=cH_{1}(x)+(1-c)H_{0}(x)} H 1 / 2 ( x ) = 1 + sgn  ( x ) 2 {\displaystyle H_{1/2}(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}}
と表すことができる。関数 sgn は符号関数である。
階段関数は、x < 0 または x > 0 の範囲で連続であるが, x = 0 で値 c をとるものとして階段関数
H c ( x ) = { 0 ( x < 0 ) c ( x = 0 ) 1 ( x > 0 ) = { c ( x = 0 ) x + | x | 2 | x | ( x ≠ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{c}(x)&={\begin{cases}0&(x<0)\\c&(x=0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}c&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}}
を実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の関数 H c : R → R {\displaystyle H_{c}\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} } と考えるならば、c をどのように定めても原点 x = 0 で不連続である。