遅延ポテンシャル
φ r e t ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( s , t r e t ) | r − s | d s {\displaystyle \varphi _{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (1-1-1b)
ここで、ds は、微小体積要素を表す。また、tretは、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。
t r e t := t − | r − s | c {\displaystyle t_{\mathrm {ret} }:=t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}} (1-1-2)
電磁場は、光速 c {\displaystyle c} で伝播する。光速は有限な速度である。従って、過去に発生した原因(電流、電荷分布)と、それに起因して未来に起こる結果(電磁波の観測)との間には、時間遅れが生じる。遅滞時間は、この時間遅れを表現している。
R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} r = ( x r , y r , z r ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({x}_{\boldsymbol {r}},{y}_{\boldsymbol {r}},{z}_{\boldsymbol {r}})} , s = ( x s , y s , z s ) {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=({x}_{\boldsymbol {s}},{y}_{\boldsymbol {s}},{z}_{\boldsymbol {s}})} を考える。
| R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、
∂ ∂ x r [ 1 | R | 2 ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-1}}\right]}
A a d v ( t , r ) := 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ A ^ a d v ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} }(t,{\boldsymbol {r}}):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-5-3)
A r e t ( t , r ) := 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ A ^ r e t ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }(t,{\boldsymbol {r}}):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-5-4)
このとき、以下の(1),(2)が成り立つ。
(1) a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} であれば、以下の式(2-5-5)は、式(2-1-3)のヘルムホルツ方程式の解である。
電磁気学における遅延ポテンシャル(ちえんぽてんしゃる、英: retarded potentials)は、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式(英語版)の解の一つで、与えられた電荷分布と電流分布によって作られる電磁場を表す。
↑ ダランベール演算子中の∇は、ラプラシアン、即ち、 ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle {\nabla }^{2}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}}} のことであり、∇のことをΔとも書く。 (つまり、Δ=∇である)
1 2 通常の教科書では、「電位スカラーポテンシャル」について導出し、「磁気ベクトルポテンシャル」については、「同様に」で済ます傾向がある。本当にまったく同様なのだが、敢えて、「磁気ベクトルポテンシャル」について詳細な導出過程を示すこととした。
1 2 フーリエ変換とは言っても、所詮は一変数tについてのフーリエ変換に過ぎない(多変数のフーリエ変換ではないこと)に注意。詳細は、本記事の補足欄を参照のこと。
↑ 下記のフーリエ変換は、定義通りに計算しただけであり、A (t,x,y,z), i (t,x,y,z)が、ポテンシャル形式のマックスウェルの方程式の解であろうがなかろうが成り立つことに注意されたい。
であり、これを全sにわたって積分したものが、位置でrにおけるベクトルポテンシャルで あると解されよう。
式(2-7-2),式(2-7-4)いずれの場合にも電流素片の影響が、電流素片の置かれた場所s と、位置(観測点sとの間の距離に逆比例して球対称に広がっていることが判り、非常にもっともらしい。
遅延ポテンシャルにおいては式(2-7-4)のように、観測点の、時刻tにおけるベクトルポテンシャルに 影響を与える電流素片が、観測点の時刻よりも前の時刻のものであるしかも、影響が光速で伝播するとしたときに非常につじつまの合う時間遅れが生じていてさらにもっともらしい。
一方で、式(2-7-2)では、観測点の、時刻tにおけるベクトルポテンシャルに 影響を与える電流素片が、観測点の時刻よりも後(未来)の時刻のものである ことになり、非常に振る舞いが悪い。
大げさに言えば、先進ポテンシャルの影響があるとすると、 観測点rの観測者は、 未来の情報を観測(予測ではなく)出来るということを意味する。 このようなことは、非現実的で、時空因果律の観点からも おかしい。したがって、先進ポテンシャルは棄却すべきである。
以上から、式(2-6-2) のAretのみが生き残るべきであると結論される。
何となれば、 ∂ ∂ x [ 1 | R | 3 ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 / 2 ] = 2 x ∗ ( − 3 / 2 ) ∗ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 5 / 2 = − 3 x | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-3/2}\right]=2x*(-3/2)*({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-5/2}={\frac {-3x}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-6)
同様に、
∂ ∂ y [ y | R | 3 ] = 1 | R | 3 − 3 y 2 | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}}}\left[{\frac {y}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{y}^{2}}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-5b)
前節で導出した、式(2-3-3)の常微分方程式を解く。
補題 4 (球対称グリーン関数) x-y-z空間上のスカラー値関数 G ( x , y , z ) {\displaystyle G(x,y,z)} が、式(2-3-1)の解となる必要充分条件は、 G {\displaystyle G} が、以下の式(2-4-2)の形で表されることである。
G = a G a d v + b G r e t {\displaystyle G=aG_{\mathrm {adv} }+bG_{\mathrm {ret} }} (2-4-2)
但しa,bは、
a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} (2-4-3)
を充す実定数であり、Gadv,Gretは、以下の式(2-4-4)、(2-4-5) で定まる関数である。
G a d v ( x , y , z , ω ) := exp  ( i k r ) − 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {adv} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-4)
G r e t ( x , y , z , ω ) := exp  ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {ret} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-5)
また、kは、式(2-3-4)で与えられ、rは、式(2-4-6)に定めるとおりである。