非可算集合
集合の非可算性には多くの同値な言い換えが存在する。集合 X が非可算であることは以下の各条件とそれぞれ同値である:
X から自然数全体への集合への単射が存在しない。
X が空でなく、X の要素からなる ω-列をどのようにとっても、その列に入りそこねる X の元が出てくる。すなわち、X が空でなく、自然数集合から X への全射が存在しない。
X の濃度が有限でも自然数全体の集合の濃度 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} でもない。
X の濃度が א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より真に大きい。
最初の3つの条件はZFのもとで同値である。しかし、3番目と4番目の条件の同値性はなんらかの選択原理をZFに付け加えない限り証明できない。
非可算集合 X が Y の部分集合なら Y も非可算集合である。