LF空間
LF-空間とは、局所凸空間 E であって、以下の性質を持つフレシェ空間の列 (En) を持つものを言う。
En は単調増大: 任意の n ∈ N について En ⊂ En+1 が成り立つ。
各 n ∈ N に対して、En の位相は En+1 からの部分空間の位相である。
E は En すべての合併に等しい。
E の位相は、任意の包含写像 En ⊂ E を連続にする最も細かい局所凸位相である。
このような性質を満たすフレシェ空間列 (En) を LF-空間 E の定義列と呼ぶ。特に定義列の各項がバナハ空間である場合の LF-空間を LB-空間とも呼ぶ。
(Tα)α∈I を局所凸空間の間の連続線型作用素 E → F の族で、E は LF-空間かつ集合 {Tα(x); α ∈ I} が各 x ∈ E に対して有界とすると、(Tα)α∈I は同程度連続、即ち各近傍 V ⊂ F に対して適当な近傍 U ⊂ E を選んで、Tα(U) ⊂ V が全ての α ∈ I に対して成り立つようにできる。
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega)}
を連続とする最も細かい局所凸位相を持つから、 D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} は LF-空間である。定義フレシェ空間列は、Ω 内のコンパクト集合列 (Kn) で、各 Kn が Kn+1 の内部に含まれ、かつ Kn 全ての合併が Ω を被覆するものに対する (C(Kn)) で与えられる。ここで、 D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} の位相が、コンパクト集合列の取り方に依らないことに注意。