2状態系
となり、パウリ行列そのものになる。任意の演算子
A ^ = A 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + A 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + A 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + A 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | ( A α β = ⟨ α | A ^ | β ⟩ ) {\displaystyle {\hat {A}}=A_{11}|1\rangle \langle 1|+A_{12}|1\rangle \langle 2|+A_{21}|2\rangle \langle 1|+A_{22}|2\rangle \langle 2|\quad (A_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {A}}|\beta \rangle )}
は恒等演算子 ˆI と ˆσk (k = 1, 2, 3) により、
A ^ = a 0 I ^ + a 1 σ ^ 1 + a 2 σ ^ 2 + a 3 σ ^ 3 = a 0 I ^ + a → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}&=a_{0}{\hat {I}}+a_{1}{\hat {\sigma }}_{1}+a_{2}{\hat {\sigma }}_{2}+a_{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=a_{0}{\hat {I}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}}
と展開できる。但し、展開係数は
a 0 = 1 2 Tr  ( A ^ ) = 1 2 ( A 11 + A 22 ) {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}+A_{22})}
a 1 = 1 2 Tr  ( σ ^ 1 A ^ ) = 1 2 ( A 21 + A 12 ) {\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{21}+A_{12})}
a 2 = 1 2 Tr  ( σ ^ 2 A ^ ) = i 2 ( A 12 − A 21 ) {\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {A}})={\frac {i}{2}}(A_{12}-A_{21})}
a 3 = 1 2 Tr  ( σ ^ 3 A ^ ) = 1 2 ( A 11 − A 22 ) {\displaystyle a_{3}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}-A_{22})}
で与えられる。特に ˆA がエルミート演算子である場合、これらの展開係数は実数となる。
2状態系では正規直交化された2つの状態ベクトル |1⟩, |2⟩ で任意の量子状態を表すことができる。|1⟩, |2⟩ の取り方は自由であるが、通常、実験的に準備でき、かつ物理的な意味づけが明確なものが用いられる。例えば、スピン 1/2 の系での固有状態、外場を印加しない状態での原子の2準位がそうした例である。
2つの状態ベクトル |1⟩, |2⟩ は正規直交性
⟨ α | β ⟩ = δ α β ( α , β = 1 , 2 ) {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha \beta }\quad (\alpha ,\beta =1,2)}
と完全性の条件
| 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | = I ^ {\displaystyle |1\rangle \langle 1|+|2\rangle \langle 2|={\hat {I}}}
を満たすものとする。但し、δαβ はクロネッカーのデルタであり、ˆI は恒等演算子である。