円周
全ての円は互いに相似であるので、周長の等しい2つの円の面積 S は等しい。
S は c を用いて、次のように表すことができる。
S = rc/2
なお、重積分で考えると、ヤコビアンを R とおいて積分すれば良いから、
S = ∫ 0 r d R ∫ 0 2 π R d θ = 2 π ∫ 0 r R d R = 2 π [ R 2 2 ] 0 r = 2 π r 2 2 = π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{r}dR\int _{0}^{2\pi }Rd\theta \\&=2\pi \int _{0}^{r}RdR\\&=2\pi \left[{\frac {R^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&=2\pi {\frac {r^{2}}{2}}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}
となる。ヤコビアンの概念を上記のような場合に限って大雑把に捉えたならば、円周を円の半径 r について、区間 [0, r] で積分すればその面積が求まることになる。逆に、面積を微分すれば円周が求まることになる。さらに円周を微分すれば、ラジアンの定義より、周角(全角)が求まることになる。