超準解析
↑ Nonstandard Analysis in Practice. Edited by Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995.
↑ Nonstandard Analysis, Axiomatically. By V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. Springer, 2004.
↑ Nonstandard Analysis for the Working Mathematician. Edited by Peter A. Loeb, Manfred P. H. Wolff. Springer, 2000.
↑ 森毅 『[新装版]指数・対数のはなし』 東京図書、2006年、18頁。ISBN 978-4-489-00726-2
↑ 斎藤正彦 『数のコスモロジー』 筑摩書房〈ちくま学芸文庫Math&Science〉、2007年、105頁、下から6行目
↑ Non-standard Analysis. By Abraham Robinson. Princeton University Press, 1974.
↑ Abraham Robinson and Nonstandard Analysis: History, Philosophy, and Foundations of Mathematics. By Joseph W. Dauben. www.mcps.umn.edu.
1 2 3 Robinson, A.: Non-standard analysis. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1966.
飽和原理はより高次の基数を許すことによって「改良」することができる。モデルが κ {\displaystyle \kappa } -飽和であるとは、 { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} が有限交叉性を持つ内的集合の族(族は外的であってよい)で | I | ≤ κ {\displaystyle |I|\leq \kappa } のときには必ず次が成り立つことをいう:
⋂ i ∈ I A i ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }
添字集合の条件を | I | < κ {\displaystyle |I|<\kappa } とする流儀もある。例えば、最初の流儀で א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -飽和(可算飽和)と呼ばれるものは、後者の流儀では א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -飽和と呼ばれる。以下の記述は最初の流儀に従う。
この原理は有用である。例えば、位相空間 X {\displaystyle X} において、全ての標準的な近傍の共通部分(モナド)が内的な(超準)近傍を含むことを保証するために 2 | X | {\displaystyle 2^{|X|}} -飽和性を用いることができる。
ここで Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } の元 k mod n {\displaystyle k{\mbox{ mod }}n} は Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } の元 k / n mod 1 {\displaystyle k/n{\mbox{ mod }}1} に対応する。その意味で各有限巡回群は Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } の「局所化」と見做しうる。いま M {\displaystyle M} を距離を持つコンパクト連結多様体とする。全ての有限巡回群 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} が M {\displaystyle M} に忠実かつ K {\displaystyle K} -リプシッツに作用しているとしよう。彼らはこのとき有理円周群 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } もまた M {\displaystyle M} に忠実かつ K {\displaystyle K} -リプシッツに作用することを示した。