単葉関数
以上から、 f ( z ) = h ( z ) + f ( z 0 ) − α {\displaystyle f(z)=h(z)+f(z_{0})-\alpha } は U で同じ値となる点を複数持つことになり、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が D で単葉であるという仮定に反する。
(2) g ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ) {\displaystyle g(z)=f(z)-f(z_{0})} と置き、(1) と同様にして、 z 0 {\displaystyle z_{0}} の近傍 U を、 U ̄ {\displaystyle {\overline {U}}} がコンパクトで、その上では z 0 {\displaystyle z_{0}} のみが g ( z ) {\displaystyle g(z)} の零点となるように選ぶ。
g ( z 0 ) = 0 {\displaystyle g(z_{0})=0} 、 g ′ ( z 0 ) = f ′ ( z 0 ) ≠ 0 {\displaystyle g'(z_{0})=f'(z_{0})\neq 0} であるから z 0 {\displaystyle z_{0}} は g {\displaystyle g} の1位の零点である。