点付き空間
すべての点付き空間のなす類 Top• は基点を保つ連続写像(点付き写像)を射として圏を成す。この圏を得る別の方法として、コンマ圏 (1↓Top) と考えてもよい(ただし、1 = {•} は任意の一点空間で、Top は位相空間の圏である)。これはまた余スライス圏(英語版) 1/Top でもある。この圏の対象は、連続写像 1 → X である(このような射は X から基点を選び出すことと理解できる)。圏 (1↓Top) における射は、Top における射であって、以下の図式
を可換にするものになる。
この図式の可換性が f が基点を保つという条件と同値であることを見るのは容易い。
点付き空間としての 1 = {•} は点付き空間の圏 Top• における零対象であるが、位相空間の圏 Top で考えれば終対象にしかならない。
どの点が基点であるかを「忘れる」ことにより、忘却函手(英語版) Top• → Top が得られる。この函手は左随伴を持ち、それは各位相空間 X に対して X に形式的な基点となるべき一点からなる一点空間 {•} を位相的直和によって付け加える函手になる。