大津の二値化法
アルゴリズムは、2つのクラスの分散の加重和として定義されるクラス内分散を最小化するしきい値を探す。
σ w 2 ( t ) = ω 0 ( t ) σ 0 2 ( t ) + ω 1 ( t ) σ 1 2 ( t ) {\displaystyle \sigma _{w}^{2}(t)=\omega _{0}(t)\sigma _{0}^{2}(t)+\omega _{1}(t)\sigma _{1}^{2}(t)}
加重 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} と ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} はしきい値 t {\displaystyle t} により分けられた2つのクラスの確率であり、 σ 0 2 {\displaystyle \sigma _{0}^{2}} と σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} はこれら2つのクラスの分散である。
クラスの確率 ω 0 , 1 ( t ) {\displaystyle \omega _{0,1}(t)} はヒストグラムの L {\displaystyle L} 個のビンから計算される。
ω 0 ( t ) = ∑ i = 0 t − 1 p ( i ) ω 1 ( t ) = ∑ i = t L − 1 p ( i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{0}(t)&=\sum _{i=0}^{t-1}p(i)\\[4pt]\omega _{1}(t)&=\sum _{i=t}^{L-1}p(i)\end{aligned}}}
2つのクラスでは、クラス内分散を最小化することはクラス間分散を最大化することと同じである。
σ b 2 ( t ) = σ 2 − σ w 2 ( t ) = ω 0 ( t ) ( μ 0 − μ T ) 2 + ω 1 ( t ) ( μ 1 − μ T ) 2 = ω 0 ( t ) ω 1 ( t ) [ μ 0 ( t ) − μ 1 ( t ) ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{b}^{2}(t)&=\sigma ^{2}-\sigma _{w}^{2}(t)=\omega _{0}(t)(\mu _{0}-\mu _{T})^{2}+\omega _{1}(t)(\mu _{1}-\mu _{T})^{2}\\&=\omega _{0}(t)\omega _{1}(t)\left[\mu _{0}(t)-\mu _{1}(t)\right]^{2}\end{aligned}}}
これはクラス確率 ω {\displaystyle \omega } とクラス平均 μ {\displaystyle \mu } で表され、クラス平均 μ 0 ( t ) {\displaystyle \mu _{0}(t)} 、 μ 1 ( t ) {\displaystyle \mu _{1}(t)} および μ T {\displaystyle \mu _{T}} は、
画像のクラスのグレーレベルは正規分布とみなすことができるが、サイズや分散が等しくない場合、大津のアルゴリズムの仮定は満たされない。Kittler-Illingworthのアルゴリズム(最小エラーしきい値処理とも呼ばれる)はこのような場合を処理するための大津の方法のバリエーションである。このアルゴリズムを数学的に説明する方法はいくつかある。それらの1つは、試験される各しきい値について結果の2値画像の正規分布のパラメータがデータが与えられた最尤推定により推定されたことを考慮することである。
このアルゴリズムは大津の方法よりも優れているように見えることがあるが、推定される新しいパラメータが導入されるためアルゴリズムが過剰パラメータ化されて不安定になる可能性がある。大津の方法からの仮定が少なくとも部分的に有効であると考えられる多くの場合において、オッカムの剃刀に従ってKittler-Illingworthのアルゴリズムよりも大津の方法を優先する方が好ましい場合がある。