エンリケス・小平の分類
任意の曲面は非特異曲面と双有理同値であり、従って、目的の大半に対し、非特異曲面の分類で充分である。
曲面上の与えられた点に対し、この点でのブローアップ(blowing up)により新しい曲面を構成できる。ブローアップの大まかな意味は、この点を一本の射影直線のコピーと置き換えることである。非特異曲面は、一点でのブローアップを繰り返すことで他の非特異曲面へ至ることができないとき、極小(minimal)と呼ばれる。このことは、−1-曲線(自己交点数が −1 である有理曲線)を持たないことと同値である。全ての曲面 X は極小非特異曲面と双有理であり、この極小非特異曲面は X が少なくとも小平次元が 0 であれば、あるいは代数的でないならば、一意に決まる。小平次元 −∞ の代数曲面は、1 以上の極小曲面に双有理同値となりうるが、これらの極小曲面どうしの関係を記述することは容易である。例えば、P×P を一点でブローアップすると P を 2回ブローアップした曲面と同型である。従って、全てのコンパクト複素曲面を双有理同値で分類することは、極小非特異曲面を分類することで充分である。
有理曲面とは、複素射影平面(英語版)(complex projective plane) P に双有理同値な曲面である。これらはみな代数的である。極小有理曲面は P 自身で、ヒルツェブルフ曲面は n = 0 もしくは、n ≥ 2 に対して、Σn である。ヒルツェブルフ曲面 Σn は層 O(0)+O(n) に付随する P 上の P バンドルである。曲面 Σ0 は P×P に同型で、Σ1 は P を一点でブローアップした曲面であるので、極小ではない。
不変量: 多重種数はみな 0 であり、基本群は自明である。
ホッジダイアモンド:
例: P, P×P = Σ0 ヒルツェブルフ曲面 Σn、二次曲面、三次曲面(英語版)(cubic surface)、デルペッゾ曲面(英語版)(del Pezzo surface)、ヴェロネーゼ曲面(英語版)(Veronese surface)がある。これらの多くの例は極小ではない。
これらの曲面は決して代数的やケーラー的ではない。b2=0 である極小な VII型曲面の極小モデルは、ボゴモロフ(Bogomolov)により分類されていて、ホップ曲面(英語版)(Hopf surface)かもしくは、井上曲面(英語版)(Inoue surface)である。正の第二ベッチ数を持つ例は、井上・ヒルツェブルフ曲面(英語版)(Inoue-Hirzebruch surface)、榎木曲面(英語版)(Enoki surface)とさらに一般の加藤曲面(英語版)(Kato surface)を含んでいる。大域球状シェル予想(global spherical shell conjecture)は、正の第二ベッチ数を持つ極小な VII型のクラスは加藤曲面であることを意味していて、このことは VII型の曲面の完全な分類を意味していると言っても良い。
不変量: q=1, h = 0 であり、多重種数はみな 0 である。
ホッジダイアモンド: