ネーターの定理
以下ではラグランジュ形式の解析力学で記述される系を考える。 q = (q1,...,qn) を一般化座標とし、
L ( q , q ̇ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}
を系のラグランジアンとする。 作用積分
S [ q ] = ∫ t I t F d t L ( q , q ̇ , t ) {\displaystyle S[q]=\int _{t_{I}}^{t_{F}}\mathrm {d} t\,L(q,{\dot {q}},t)}
が微小変換
t → t ′ = t + δ t , q i → q ′ i = q i + δ q i {\displaystyle t\to t'=t+\delta t,~q^{i}\to q'^{i}=q^{i}+\delta q^{i}}
に対して対称性を持つとする。 ここで、この変換は幾つかのパラメータの線型結合で書けるとする。
δ t = ε r T r , δ q i = ε r Q r i {\displaystyle \delta t=\epsilon _{r}T_{r},\quad \delta q^{i}=\epsilon _{r}Q_{r}^{i}}
ハミルトン力学においてネーターの定理は次のように表現される。
ハミルトニアンがある微少変換 δ {\displaystyle \delta } について不変であれば δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} は時間不変である。
ここで δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} とは、 δ {\displaystyle \delta } によるベクトル ( q i , p i ) {\displaystyle (q^{i},p^{i})} の増分 δ ( q i , p i ) {\displaystyle \delta (q^{i},p^{i})} が
δ ( q i , p i ) = ( ∂ G δ ∂ p i , − ∂ G δ ∂ q i ) {\displaystyle \delta (q^{i},p^{i})=\left({\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)}
と表すことのできる量である。この定義から、
ある観測量 A ( q i , p i ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})} の δ {\displaystyle \delta } による変化 δ A ( q i , p i ) {\displaystyle \delta A(q^{i},p^{i})} は A {\displaystyle A} と G δ {\displaystyle G_{\delta }} のポアソン括弧により表される。