経済成長の黄金律
規模に関する収穫一定の仮定の下で f ( k ) ≡ F ( k , 1 ) {\displaystyle f(k)\equiv F(k,1)} と定義すると、上記の微分方程式から A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} を消去できる。
k t ̇ + g k t = f ( k t ) − δ k t − c t {\displaystyle {\dot {k_{t}}}+gk_{t}=f(k_{t})-{\delta }k_{t}-c_{t}}
均斉成長で資本 K t {\displaystyle K_{t}} と消費 C t {\displaystyle C_{t}} は有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} と同率で成長するので、有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} で基準化された資本水準 k t {\displaystyle k_{t}} と消費水準 c t {\displaystyle c_{t}} は均斉成長で一定になる。一定になる資本水準を k {\displaystyle {k}} 、消費水準を c {\displaystyle {c}} と表すと、上記の式で次のようになる。
c = f ( k ) − ( δ + g ) k {\displaystyle c=f(k)-(\delta +g)k}
そして消費水準 c {\displaystyle c} を最大化する黄金律資本 k ∗ {\displaystyle k^{*}} をもとめる。
1961年に黄金律を提唱したフェルプスは、全ての経済変数がそれぞれ一定の成長率で伸びてゆく経済成長を黄金時代とよんだ。
この黄金時代の概念は1956年にジョーン・ロビンソンが定義した。現実には経済が厳密に一定の伸び率で成長しつづけることはないので、黄金時代という言葉には「実現しそうにない神話的な状態」という意味がこめられていた。もともと黄金時代はギリシア神話上の時代区分のひとつであり、最も古く長くつづいた時代であったとされる。フェルプスが黄金律を提唱したときの寓話は、古代ギリシア風の架空の王国を舞台とし、その主人公は古代ギリシア語の「経済」をモジったオイコ・ノモスという名であった。
黄金律が提唱された当時は経済学で黄金時代という言葉がつかわれていた。現在は経済学で黄金時代という言葉をつかうことはほとんどなく、そのかわりに均斉成長という。
黄金律が最適成長モデルでえらばれないという点に関して、フェルプスは、その場合でも黄金律は動学非効率性の境界線として規範的な意義をもつと主張した。動学非効率性というのは、消費を一方的に増やせる機会があるのに、その機会を活かしていないという意味で無駄のある状況をいう。資本が黄金律を超えるほど余分に蓄積され、資本収益率が成長率を下まわるほど低下すると動学非効率におちいる。
現代の経済成長理論において黄金律貯蓄率は、きちんと定義された選好から導かれたものではないので最適性の観点からみると過去の遺物とみなされるが、そうであっても動学効率性の議論で役に立つとされる。動学非効率性の文脈において「蓄積の黄金律は今も最適成長理論で最も基本の命題である」といわれる。
たとえばグレゴリー・マンキューはトマ・ピケティ『21世紀の資本』を批判するペーパーで、動学非効率性の境界線として黄金律に言及している。批判されたピケティも実は『21世紀の資本』の目立たない場所で黄金律が動学非効率性の境界線になることを論じていた。ピケティは歴史データをもとに資本収益率 r が経済成長率 g を平均的に上まわるという不等式 r > g を見いだし、それを根拠にして、現実経済の動学非効率性を否定した。かつてマンキューは、もっと緻密な実証方法で先進国の動学非効率性を否定する結果をえたことがあった。
w t = f ( k t ) − f ′ ( k t ) k t {\displaystyle w_{t}=f(k_{t})-f^{\prime }(k_{t})k_{t}}
次に家計を考える。家計について次のように想定する。
家計は多数存在し、どれも同じ構造をもつ。
各家計の構成人数は伸び率 n {\displaystyle n} で増える。
各人は各時点で労働を1単位供給する。
家計は資本を保有し企業に貸す。初期時点でどの家計も同じだけ資本を保有する。
家計は生涯の効用を最大化するように、所得を消費と貯蓄に分配する
家計の生涯効用は次のように定義される。
U = ∫ 0 ∞ e − ρ t u ( C t N t ) N t H d t {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}u({\frac {C_{t}}{N_{t}}}){\frac {N_{t}}{H}}dt}
C t {\displaystyle C_{t}} は消費の総量、 N t {\displaystyle N_{t}} は総人口、 H {\displaystyle H} は家計の総数であり、したがって C t / N t {\displaystyle C_{t}/N_{t}} は一人あたり消費、 N t / H {\displaystyle N_{t}/H} は各家計の構成人数である。
生産物 Y t {\displaystyle Y_{t}} は消費 C t {\displaystyle C_{t}} にあてられるか投資 I t {\displaystyle I_{t}} にあてられる。
K t ̇ = I t − δ K t {\displaystyle {\dot {K_{t}}}=I_{t}-\delta K_{t}} ...資本 K t {\displaystyle K_{t}} は投資 I t {\displaystyle I_{t}} によって増えるが、一定の減耗率 δ {\displaystyle \delta } で減る。
以上の経済構造のもとで、 X ∈ { Y , K , L , C , I } {\displaystyle X\in \{Y,K,L,C,I\}} について、各変数 X t > 0 {\displaystyle X_{t}>0} は一定の率 g X {\displaystyle g_{X}} で成長する、すなわち X t = X 0 e g X t {\displaystyle X_{t}=X_{0}e^{g_{X}t}} とする。これを時間微分すると X t ̇ = g X X t {\displaystyle {\dot {X_{t}}}=g_{X}X_{t}} である。
均斉成長で生産と資本の成長率が一致することを以下のとおり示す。
まず、 g Y = g I {\displaystyle g_{Y}=g_{I}} を次のように導く。