二体問題
F 21 ( x 1 , x 2 ) = m 2 x ̈ 2 ( Equation 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}\quad \quad \quad ({\text{Equation 2}})}
と書ける。ここで、
F 12 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}} は質量1が質量2から受ける力であり、
F 21 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}} は質量2が質量1から受ける力である。
この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル r ≡ x 1 − x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}} の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 x 1 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)} と x 2 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)} が記述できる。
x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}} と x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}} を2つの物体の位置、 m 1 {\displaystyle m_{1}} 、 m 2 {\displaystyle m_{2}} を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間 t {\displaystyle t} に対して軌跡 x 1 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)} 及び x 2 ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)} を確定させることである。
最初の位置を
x 1 ( t = 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t=0)} と x 2 ( t = 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t=0)} 、
最初の速さを
v 1 ( t = 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}(t=0)} と v 2 ( t = 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}(t=0)}
と置くと、運動の第2法則により
F 12 ( x 1 , x 2 ) = m 1 x ̈ 1 ( Equation 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}\quad \quad \quad ({\text{Equation 1}})}