ガンマ分布
ガンマ分布は、確率密度関数が形状母数(英語版) k > 0, 尺度母数(英語版) θ > 0 を用いて
f ( x ) = 1 Γ ( k ) θ k x k − 1 e − x / θ f o r x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}
で定義される分布である。ここで、Γ(k) はガンマ関数である。
等価な定義として、パラメータ λ = 1/θ を用いて次のように表されることもある。
f ( x ) = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x f o r x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}
このとき、ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。
F ( x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u = γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) = γ ( k , λ x ) Γ ( k ) {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}
ここで γ は不完全ガンマ関数である。