周期 (数体系)
そしてコンツェヴィッチとザギエの予想は「周期が相等しいかどうかということも決定可能である」ことを導くものとして理解できる: 計算可能な実数が相等しくないことは再帰的に枚挙可能であることが知られており、また逆に、二つの積分が一致するならばそのことを確かめるアルゴリズムは、それら積分の一方を他方に変換する可能なすべての方法を試すことによって為される。
ネイピア数 e やオイラー–マスケローニ定数 γ は周期であるとは考えられていない。被積分函数として代数函数を引数とする指数函数と代数函数との積を許せば、周期の概念は指数周期 (exponential period) の概念に拡張される。このように拡張を行えば、e の任意の代数的数乗、有理数引数におけるガンマ函数の特殊値、ベッセル函数の特殊値なども全て指数周期の例に含まれる。コンツェヴィッチとザギエによれば、あとはさらに定数 γ も含むような新たな周期の概念が見つかれば「すべての古典的定数は適当な意味で周期である」と言えるのではないかという。
代数的数以外では、以下の数が周期の例となることが知られている:
任意の代数的数の自然対数
円周率 π
有理数を引数とする楕円積分
任意のゼータ定数(英語版)(整数引数に対するリーマンゼータ函数の特殊値)および任意の多重ゼータ値
代数的数における超幾何函数の特殊値
自然数 p, q に対するガンマ函数の値 Γ(p/q)
周期の全体は可算濃度であるから、周期でない実数は連続体濃度個存在する。周期でない実数の具体例としてはチャイティンの定数 Ωがある。計算可能数であって周期とならない自然な例は今のところ知られていないが、人工的な例はカントールの対角線論法を用いて容易に作れる。ネイピア数 e, 1/π, オイラー–マスケローニ定数 γ などは周期でない数の尤もらしい候補と考えられる。