普遍係数定理
Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列
0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}
でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして
0 ⟶ H o m R ( M , N ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , N ) ⟶ ι ∗ H o m R ( A ) → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0}
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
E x t R ( M , N ) := C o k e r R ( ι ∗ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})}
と定義する。ここでCokerは余核である。
T o r R ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) ≈ ⊕ λ ∈ Λ T o r R ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR-加群としての直和を表す。
Mが自由R-加群なら T o r R ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0}
T o r R ( R / ( x ) , N ) ≈ { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}} 。
T o r R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 T o r R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0}
しかし適切な条件下ではこれら2つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる:
定理 ― R、Mを前述の定理と同様に取り、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものとする。
このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対して H n ( C ∗ ; R ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)} がR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるα、βが存在する:
0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β T o r R ( H n + 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\mathrm {Tor} _{R}(H^{n+1}(C_{*};R),M)\to 0} .