エルゴード理論
エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。 物理のみならず数論など数学の他分野への応用も多い。 上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。
任意の f ∈ L μ 2 {\displaystyle f\in L_{\mu }^{2}} に対して、 f ∘ T = f {\displaystyle f\circ T=f} が成り立つならば、 f {\displaystyle f} は( L μ 2 {\displaystyle L_{\mu }^{2}} の意味で)定数関数である。
任意の A , B ∈ B {\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}} に対して lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n − 1 μ ( T − k A ∩ B ) = μ ( A ) μ ( B ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\mu (T^{-k}A\cap B)=\mu (A)\mu (B)} が成り立つ。
1.は、測度論の視点から見れば空間 X の自明でないT-不変な部分空間を持たないということを意味している。 3.で A = B {\displaystyle A=B} の場合はポアンカレの回帰定理である。 5.は混合性と呼ばれる性質の一つである。
このような力学系をエルゴード的と呼ぶ結縁は各種エルゴード定理にある。 エルゴード性は重要な概念であるが、エルゴード理論で扱う力学系はエルゴード的な物に限られるわけではない。
確率空間 ( X , B , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )} を考える。即ち、X をある集合、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} を X 上の完全加法族、そしてμを確率測度とする。 さらに T : X → X {\displaystyle T:X\rightarrow X} を B {\displaystyle {\mathcal {B}}} -可測な写像とする。 全ての A ∈ B {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}} に対して μ ( T − 1 A ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A)} を満たすとき、μは(T-)不変測度であるという。 このとき、 ( X , B , μ , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)} を可測力学系と呼ぶ。 ここでの興味の対象は、任意の始点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} からの軌道 { T n ( x ) } n ∈ N 0 {\displaystyle \{T^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}} の振舞いである。
最も代表的なのは以下の定理である。
バーコフのエルゴード定理: ( X , B , μ , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)} を可測力学系とする。 任意の f ∈ L μ 1 {\displaystyle f\in L_{\mu }^{1}} に対して、ある f ∗ ∘ T = f ∗ {\displaystyle f^{\ast }\circ T=f^{\ast }} を満たす f ∗ ∈ L μ 1 {\displaystyle f^{\ast }\in L_{\mu }^{1}} が存在し
lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n − 1 f ( T k ( x ) ) = f ∗ ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}(x))=f^{\ast }(x)}
がμ-殆ど全ての x ∈ X {\displaystyle x\in X} で成り立つ。
さらに、μがエルゴード的なら右辺を f ∗ ( x ) = ∫ f d μ {\displaystyle f^{\ast }(x)=\int fd\mu } と定数関数にとれる。
「エルゴード仮説は統計力学の基礎としては的を外している」という主張も、専門家である田崎晴明によってなされている。