クラメール・ラオの限界
MSE  ( T b ) = ( 2 n ( n + 2 ) 2 + 4 ( n + 2 ) 2 ) ( σ 2 ) 2 = 2 ( σ 4 ) n + 2 {\displaystyle \operatorname {MSE} (T_{b})=\left({\frac {2n}{(n+2)^{2}}}+{\frac {4}{(n+2)^{2}}}\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{4})}{n+2}}}
となる。こちらも不偏推定量のときの
MSE  ( T ) = ( 2 ( σ 2 ) 2 n + 0 ) ( σ 2 ) 2 = 2 ( σ 4 ) n {\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\left({\frac {2(\sigma ^{2})^{2}}{n}}+0\right)(\sigma ^{2})^{2}={\frac {2(\sigma ^{4})}{n}}}
を下回っている。
正規母集団の平均も分散も未知の場合、分散の推定量の平均二乗誤差が最小になるのは、 X ̄ = 1 n ∑ i = 1 n ( X i ) {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i})} を平均の推定量として
T n + 1 = 1 n + 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ̄ ) 2 {\displaystyle T_{n+1}={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}
のときである(分母が n − 1 や n + 2 のときではない)。