レヴィ分布
μ = 0 の場合、レヴィ分布の n 次モーメントは以下の式で定義される。
m n = d e f c 2 π ∫ 0 ∞ e − c / 2 x x n x 3 / 2 d x {\displaystyle m_{n}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}
この式は、すべての n > 0 に関して発散するので、レヴィ分布のモーメントは存在しない。
モーメント母関数 は次の式で定義される。
M ( t ; c ) = d e f c 2 π ∫ 0 ∞ e − c / 2 x + t x x 3 / 2 d x {\displaystyle M(t;c)\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}
この式は、t > 0 の場合発散するので 0 近傍では定義されない。したがって、モーメント母関数は定義されない。