グロモフ・ウィッテン不変量
数学、特にシンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、グロモフ・ウィッテン(GW)不変量(Gromov–Witten (GW) invariant)は、ある状況下では、与えられたシンプレクティック多様体の中で決められた条件にあう擬正則曲線(英語版)(pseudoholomorphic curve)を数える有理数である。GW不変量は、ホモロジーやコホモロジー類として適切な空間の中に実現され、あるいは量子コホモロジーの変形されたカップ積として実現される。これらの不変量は、以前は識別できなかったシンプレクティック多様体を識別することに使われる。GW不変量はまた、閉じたタイプ IIA弦理論で重要な役目を果たす。GW不変量は、ミハイル・グロモフ(Mikhail Leonidovich Gromov)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)の名前にちなんでいる。
数学的に厳密なグロモフ・ウィッテン不変量の定義は、長く難しいので、安定写像という記事と分けて扱う。本記事では、何が不変を意味するか、どのようにして計算するか、なぜグロモフ・ウィッテン不変量が重要なのかのより直感的な説明を試みる。
GW不変量は幾何学の多くの他の考え方と密接に関連している。そこにはシンプレクティックなカテゴリではドナルドソン不変量やサイバーグ・ウィッテン不変量が、代数的なカテゴリではドナルドソン・トーマス理論が含まれている。コンパクトな 4次元シンプレクティック多様体に対し、クリフォード・タウベス(英語版)(Clifford Taubes)は、GW不変量の変形(タウベスのグロモフ不変量(英語版)(Taubes's Gromov invariant)は、サイバーグ・ウィッテン不変量に等しいことを示した。それらは、ドナルドソン・トーマス不変量やゴパクマー・ヴァッファ不変量と同じ情報を持っていることが予想されている。
GW不変量は、代数幾何学のことばを使い定義することもできる。GW不変量は、代数幾何学の古典的な数え上げ不変量と一致することもある。一般にはGW不変量は、数え上げ不変量の中ではひとつの重要な位置を占める。すなわち、どのように曲線が貼り合わされるのかを記述する結合法則の存在である。GW不変量は、X の量子コホモロジー環へ組み込むことができる。量子コホモロジー環は通常のコホモロジーの変形である。GW不変量の結合法則は、変形カップ積の結合関係を形成する。
量子コホモロジー環は、パンツペア積を持つシンプレクティックフレアーホモロジーに同型であることが知られている。