連続体濃度
二進展開が一意でないような実数は可算無限個しかない。
濃度算術におけるいくつかの法則を用いて、n が 2 以上の有限濃度のとき
c א 0 = א 0 א 0 = n א 0 = c n = א 0 c = n c = c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}
が成り立つことがわかる。また
c c = ( 2 א 0 ) c = 2 c × א 0 = 2 c , {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}},}
が成り立つことも示せる。ただし、
2 c = | P ( R ) | , 2 c > c {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=|{\mathfrak {P}}(\mathbb {R} )|,\quad 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}
である。
連続体濃度よりも大きな濃度を持つ集合の例を挙げる。
P(R): R の部分集合全体からなる集合(冪集合)。
R: 実変数実数値の函数 R → R の全体の成す集合
M R {\displaystyle {\mathfrak {M}}_{\mathbb {R} }} : R 上のルベーグ集合族、すなわちR のルベーグ可測集合全体の成す集合。
N, Q, R: それぞれのストーン=チェック・コンパクト化。
Aut( C {\displaystyle \mathbb {C} } ):複素数体Cの自己同型群。
以上は全て 2 c = ב 2 {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}} の濃度を持つ。
ベート数は
ב 0 = א 0 , ב k + 1 = 2 ב k {\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},\quad \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}
として再帰的に定められる列に属する濃度の総称である。連続体濃度は二番目のベート数
ב 1 = c {\displaystyle \beth _{1}={\mathfrak {c}}}
となる。その次のベート数は R の冪集合(すなわち、実数直線の部分集合全体の成す集合)の濃度
ב 2 = 2 c {\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}
である。