確率密度関数
2つの独立な確率変数 U と V がそれぞれ確率密度関数を持つ時、和 U + V の確率密度関数は両確率密度関数の畳み込みで表される。
f U + V ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f U ( y ) f V ( x − y ) d y = ( f U ∗ f V ) ( x ) {\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}
この関係は、N個の独立な確率変数 U1, ..., UN の和に拡張できる。
f U 1 + ⋯ + U N ( x ) = ( f U 1 ∗ ⋯ ∗ f U N ) ( x ) {\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U_{N}}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}
これは下記に示す独立な確率変数の商の場合と同様に、2通りの変数変換 Y = U + V と Z = V から導かれる。