リーマン・ルベーグの補題
すると
lim sup z → ± ∞ | f ^ ( z ) | ≤ lim sup z → ± ∞ | ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) e − i x z d x | + lim sup z → ± ∞ | ∫ g ( x ) e − i x z d x | ≤ ε + 0 = ε {\displaystyle \limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}\,dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}\,dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon }
となり,これは任意の ε > 0 に対して成り立つから,定理が従う.