ハウスドルフ距離
M を距離空間、X ,Y ⊆ M を部分集合 G ⊆Iso(M ) を M の等長変換(の一部)からなる群とする。このとき
d H , G ( X , Y ) := inf γ ∈ G { d H ( X , γ ( Y ) ) } {\displaystyle d_{{\rm {H}},G}(X,Y):=\inf _{\gamma \in G}\{d_{\rm {H}}(X,\gamma (Y))\}}
は新たな(拡張擬)距離を定める。 空間内で位置や向きを調整してハウスドルフ距離を出来るだけ小さくした場合の極限がこれに当たる。これは下記のグロモフ・ハウスドルフ距離と元のハウスドルフ距離の中間的なものである。
距離空間 (M ,d ) の空でない部分集合全体 P × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}^{\times }(M)} 上の拡張擬距離 d H : P × ( M ) × P × ( M ) → R ≥ 0 ∪ { ∞ } {\displaystyle d_{\rm {H}}:{\mathcal {P}}^{\times }(M)\times {\mathcal {P}}^{\times }(M)\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}} を
d H ( X , Y ) := m a x { sup x ∈ X d ( x , Y ) , sup y ∈ Y d ( y , X ) } {\displaystyle d_{\rm {H}}(X,Y):={\rm {{max}\{\sup _{x\in X}d(x,Y),\sup _{y\in Y}d(y,X)\}}}}
と定義する(ただし、X、Y は距離空間 (M , d )) の任意の空でない部分集合で、 d ( x , Y ) := inf y ∈ Y d ( x , y ) {\displaystyle d(x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)} )。dH をハウスドルフ距離という。
これは次のように表現することも出来る。