エルデシュ＝シュトラウス予想
エルデシュ=シュトラウス予想では、x、y、z のいずれもが正でなければならない。この条件は問題の難易度にとって不可欠なものとなっている。この条件がある場合でも、エルデシュ=シュトラウス予想が困難なのは n が奇数の場合のみであり、もし負の解が認められれば、全ての奇数 n に対して以下の式が解となる。
それゆえ、予想はより一般化された問い(すべての a に対し、分数 a/b の展開に必要な最小の項数はいくつか)の最初の未知な場合である。
短い(ただし最短とは限らない)展開を探す方法として、1202年にフィボナッチが『算盤の書』で発表したエジプト式分数の貪欲法(英語版)が挙げられる。このアルゴリズムは各回の操作ごとに展開の和が対象の数より大きくならないような最大の単位分数を与える。各操作の後、まだ展開されていない分数の分子が小さくなるため、操作の総数は開始時の分子より大きくはなりえないが、小さくなることはある。例えば、3/n に対してこのアルゴリズムを適用すると、n が3を法として2と合同な際に2項を用いる展開を与えるが、実際には n の因数に3を法として2と合同なものが存在するという(より弱い条件下で)2項での展開が必ず存在する。4/n という形式の場合、貪欲法は n が4を法として1と合同な際に4項の展開を与え、それ以外の場合は3項での展開を与える。それゆえ、エルデシュ=シュトラウス予想は 4/n をエジプト式分数で表す際に、貪欲法より少ない項数で表す方法があるのかという問いに言い換えられる。
エルデシュ=シュトラウス予想はポール・エルデシュとエルンスト・G・シュトラウスによって1948年に提唱され、Erdős (1950) で発表された。オブラート・リバールド(ハンガリー語版)もまた、予想に関する初期の研究結果を1948年に執筆し、1950年に発表した論文内で述べている。その中で彼はシュトラウスとHarold N. Shapiroによる既存の計算結果を拡張し、n ≤ 10 の場合において予想内容を検証している。