因子 (代数幾何学)
X を体 k 上固有な代数多様体とする。X 上の(カルティエ)因子 D は、射影空間への埋め込み F : X → P k N {\displaystyle F:X\to \mathbb {P} _{k}^{N}} および射影空間の超平面 H を使って D = F ∗ H {\displaystyle D=F^{*}H} と書かれるとき、非常に豊富 (very ample) であるという。
カルティエ因子 D は
X の任意の2点 p , q に対して、E ∈ | D | であって、p ∈ E かつ q ∉ E となるものが存在する (点の分離)
X の任意の点 p およびその点での 0 でない接ベクトル v(ザリスキ接空間の元)に対して、E ∈ | D | であって p ∈ E であるが E は v と接しない(E のザリスキ接空間が v を含まない)ものが存在する (接ベクトルの分離)
の2条件を満たすとき、非常に豊富である。
ヴェイユ因子(あるいは、Q-ヴェイユ因子)D はその正整数倍 nD が非常に豊富になるとき、豊富 (ample) であるという。非常に豊富なカルティエ因子は、多様体 X の射影空間への埋め込みを考えることと同値で、非常に幾何学的な概念であり、ある因子が非常に豊富であるかどうかを判定する事は一般には難しい。しかし、豊富性はコホモロジー的あるいは、数値的な特徴づけを持つためより扱いやすく、本質的な概念である。
因子が非常に豊富である、あるいは豊富であるという概念は、任意のスキーム S 上固有なスキーム X 上の可逆層 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対して定義できる。すなわち、S 上の射影空間束への埋め込み F : X → P ( V ) {\displaystyle F:X\to \mathbb {P} ({\mathcal {V}})} によって L = F ∗ O P ( V ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=F^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1)} と書かれるとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は S 上非常に豊富であるといい、可逆層の正整数の自己テンソル積 L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}} が S 上非常に豊富になるとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は S 上豊富であるという。セールのコホモロジー的豊富性判定は、コホモロジー群を構造射 f : X → S による高次順像 R i f ∗ ( F ⊗ L ⊗ n ) = 0 {\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n})=0} で置き換えればそのまま成り立つ。