ヒルベルトの第12問題
より重要なのは、楕円モジュラ函数の値がヒルベルト類体を生成するのに対して、より一般のアーベル拡大に対しては楕円函数の値も使う必要がある点である(この問題点は、ヒルベルトがヴァイヤシュトラスの楕円函数 ℘ と楕円モジュラー函数 j をどちらも「楕円函数」と呼んでいたために生じたことかもしれない)。例えば、アーベル拡大 Q ( i , 1 + 2 i 4 ) / Q ( i ) {\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)} は、特異モジュライと 1のべき根だけを用いたのでは生成されない。
絶対アーベル拡大体 K の記述は類体論によって得られる。類体論はダフィット・ヒルベルト自身と、エミル・アルティンと20世紀前半の他の人々により開拓された。特に、高木貞治は、絶対アーベル拡大体が存在することを証明した。高木の存在定理を参照。しかしながら、類体論の中では K の具体的な構成は、まず最初にクンマー理論を使ってより大きな非アーベル拡大を構成して、それからアーベル拡大へ落とし込むことによりなされる。従ってアーベル拡大のより具体的な構成方法を問うているヒルベルトの問題の解にまでは至っていない。