再帰理論
ここでいう支配とは、g に依存する定数 c が存在し、全ての x > c についてg(x) < f(x)が成り立つことを指す
random degrees:アルゴリズム的ランダムな無限列が該当
1-generic degrees:1-generic集合の次数
極限再帰(英語版)集合の停止問題より下の次数
任意のチューリング次数(帰納的可算とは限らない)の研究では、チューリングジャンプの研究が関係してくる。ある集合 A のチューリングジャンプとは、オラクル集合 A を持つ神託機械の停止問題を符号化した自然数の集合である。任意の集合のチューリングジャンプは、元の集合よりチューリング次数が常に高く、Friedberg の定理によって、停止問題を計算する任意の集合は別の集合のチューリングジャンプとなることが示されている。ポストの定理は、チューリングジャンプと算術的階層(算術における定義可能性に基づいて自然数の部分集合を分類したもの)との密接な関係を示している。
チューリング次数に関する近年の研究は、チューリング次数の集合の全体構造と、帰納的可算集合のチューリング次数の集合に注目してきた。Shore と Slaman (1999)の深い定理によれば、次数 x をそのチューリングジャンプの次数に変換するような関数は、チューリング次数のなす半順序の中で定義できる。Ambos-Spies and Fejer (2006) にそのような研究の歴史が概観されている。
A が B に真理値表還元可能であるとは、どんなオラクルに対しても全域関数を計算するような神託機械によってA が B にチューリング還元可能である場合を指す。神託の使用回数を制限したり、神託機械に条件を課すことで、様々な変種が得られる。それらも研究されている。
強い還元可能性に関する主要な研究においては、帰納的可算集合のクラスに対する理論と自然数からなる集合のクラスに対する理論との比較が行われてきた。さらに、各種還元可能性間の関係も研究されている。例えば、チューリング次数は真理値表次数であるか、または無限個の真理値表次数の和集合のどちらかであることが知られている。
チューリング還元可能性よりも弱い還元可能性(つまり、チューリング還元可能性を内包する還元可能性)も研究されている。よく知られている例として、算術的還元可能性と超算術的還元可能性がある。これらの還元可能性は、算術の標準モデルにおける定義可能性と密接に関連している。