アスコリ＝アルツェラの定理
で、各 k = 1, 2, 3, ..., に対して部分列 {fnk} が x1, ..., xk において収束するようなものが存在する。今、m 番目の項 fm が m 番目の部分列 {fnm} の m 番目の項であるような対角部分列 {f} を構成する。この構成法より、fm は I のすべての有理点において収束する。
したがって、与えられた任意の ε > 0 と I 内の有理数 xk に対し、ある整数 N = N(ε, xk) が存在して次が成り立つ。
族 F は同程度連続であるため、この固定された ε と I 内のすべての x に対して、x を含むある開区間 Ux が存在し、
がすべての f ∈ F と、s, t ∈ Ux であるような I 内のすべての s, t に対して成立する。
区間 Ux, x ∈ I の集合は I の開被覆を構成する。I はコンパクトなので、この被覆より有限部分被覆 U1, ..., UJ が構成できる。その各開区間 Uj, 1 ≤ j ≤ J が有理数 xk, 1 ≤ k ≤ K を含むような整数 K が存在する。すると、任意の t ∈ I に対し、 t と xk が同じ区間 Uj に属するような j と k が存在する。このように選ばれた k に対して、
が、すべての n, m > N = max{N(ε, x1), ..., N(ε, xK)} に対して成立する。したがって列 {fn} は一様コーシー列であり、主張の通りにある連続函数に収束する。
数学におけるアスコリ=アルツェラの定理(アスコリ=アルツェラのていり、英: Ascoli–Arzelà theorem)は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるピーター=ワイルの定理(英語版)を含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。
同程度連続性の概念は、Ascoli (1883–1884) と Arzelà (1882–1883) によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は Ascoli (1883–1884) によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は Arzelà (1895) によって初めて行われた。その後、定義域がコンパクト距離空間である実数値連続函数の集合への定理の一般化は Fréchet (1906) によって行われた(Dunford & Schwartz 1958, p. 382)。近年におけるこの定理では、定義域はコンパクトなハウスドルフ空間、値域は任意の距離空間にまで拡張されている。より一般的な定理の構成として、コンパクト生成ハウスドルフ空間(英語版)から一様空間への函数の族が、コンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件を与えるものも存在するKelley (1991, page 234)。
例えば、距離空間あるいは(ハウスドルフ)線型位相空間に値を取る函数に対して以下のようにわずかに変化した定理も成り立つ(例えば Kelley & Namioka (1982, §8), Kelley (1991, Chapter 7) を参照):
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、Y を距離空間とする。このとき F ⊂ C(X, Y) がコンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件は、それが同程度連続かつ各点ごとに相対コンパクトで、閉であることである。
ここで各点ごとに相対コンパクトとは、各 x ∈ X に対して集合 Fx = { f (x) : f ∈ F} が Y において相対コンパクトであることをいう。
ここで与えられた証明は、定義域の可分性に依存しない方法で一般化することが出来る。例えば、コンパクトハウスドルフ空間 X 上で、各 ε = 1/n に対してある X の有限部分被覆が存在し、各族に含まれる任意の函数の振動がその被覆に含まれる各開集合上で ε よりも小さくなる。このとき有理数の役割は、この方法で得られた可算個の各被覆における各開集合より選ばれる点の集合によって与えられ、上述と全く同様の手順で主要な部分の証明が行われる。