宇宙の晴れ上がり
6\,\mathrm {eV} } は水素原子の結合エネルギー、 n b 0 {\displaystyle n_{\mathrm {b0} }} は現在の宇宙のバリオン数密度、 Y p = 0.75 {\displaystyle Y_{p}=0.75} はビッグバン元素合成によるヘリウム存在量)。やがて密度が減少し再結合の反応率がハッブル時間を上回るようになると熱平衡が破れる(ガモフの基準)。ピーブルスのモデルでは中性水素の状態として 1s 状態、2s 状態、2p 状態を考え、2s 状態から 1s 状態への2光子遷移、2p 状態から 1s 状態へのライマンα遷移を考慮する。ただし、ライマンα遷移により放射されるライマンα光子が近傍の 1s 水素に吸収されるとそれを 2p 状態へ励起するが、この過程はライマンα光子が赤方偏移を受け 1s 水素の吸収線幅から外れると起こらない。この結果、電離度 x e {\displaystyle x_{e}} は
d x e d T = α B H T Γ 2 s + 3 P Γ 2 p Γ 2 s + 3 P Γ 2 p + β [ ( 1 − Y p ) n b 0 x e 2 − ( m e k B T 2 π ħ 2 ) 2 exp  ( − B 1 k B T ) ( 1 − x e ) ] {\displaystyle {\frac {dx_{e}}{dT}}={\frac {\alpha _{\mathrm {B} }}{HT}}{\frac {\Gamma _{2s}+3P\Gamma _{2p}}{\Gamma _{2s}+3P\Gamma _{2p}+\beta }}\left[(1-Y_{p})n_{\mathrm {b0} }x_{e}^{2}-\left({\frac {m_{e}k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{2}\exp \left(-{\frac {B_{1}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)(1-x_{e})\right]}