行列式
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ⋀E は A 上階数1の自由加群である。E 上の K-線型写像 φ について、⋀E 上に引き起こされる K-準同型
⋀ n φ : e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ↦ φ ( e 1 ) ∧ ⋯ ∧ φ ( e n ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{n}}\phi \colon e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n}\mapsto \phi (e_{1})\wedge \dotsb \wedge \phi (e_{n})}
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している(同じ年にビネも独立に証明をあたえていた)。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。
n次正方行列 A ≔ (aij) に対して、i 行または i 列を除いてできる小行列式に (−1) を乗じた
Δ i j = ( − 1 ) i + j | a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle \Delta _{ij}=(-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}