ラムゼー理論
ラムゼー理論の結果は二つの主要な特徴がある。第一に、構成的ではない(英語版)ことである。結果は、ある構造が存在することは示しているが、(力まかせ探索を除いて)この構造を見つけるための手段は与えていない。例えば、鳩の巣原理はこの形式に属する。第二に、ラムゼー理論の結果は十分大きな対象がある与えられた構造を必ず持つことを示す一方、この結果の証明にはその大きさが莫大であることがしばしば要求される。その大きさの上界は、指数関数的に、あるいは、アッカーマン関数と同じくらいの速さで増大することさえ珍しくはない。多くの場合このような上界は証明に用いられる人為的なものであり、その上界を十分に改善できるかどうかは知られていない。またある場合にはどのような上界も莫大でなければならず、ときにはどのような原始再帰関数よりさえも大きい。例はパリス–ハーリントンの定理を参照。グラハム数は、正式な数学の証明において使われた最大の数であり、ラムゼー理論に関する問題の上界である。
ラムゼー理論における定理は一般的に2種類に分けられる。多くの定理は、ラムゼーの定理そのものをモデルとしており、大きな構造を持つ対象の任意の分割において、類の1つが必ず大きな構造を持つ部分対象を持つことを主張するが、それがどの類なのかに関する情報は一切与えない。いくつかの場合において、そのようなラムゼー型の結果が成り立つ理由は、最大の分割類がつねに所望の部分構造を含むからである。この種の結果は、density results, あるいはトゥラーンの定理(英語版)に因んで、トゥラーン型の結果と呼ばれる。代表的な例として、ファン・デル・ヴェルデンの定理をそのように強めたものであるセメレディの定理(英語版)や、ヘイルズ-ジュエットの定理の密度版がある。