汎函数微分
汎函数微分の定義は、考える函数の空間をもっときちんと定めれば、もっと数学的に明確で厳密に扱うことができる。例えば、考える函数空間がバナッハ空間のとき汎函数微分はフレシェ微分として知られるものになるし、もっと一般の局所凸空間でもガトー微分ができる。よく用いられるヒルベルト空間もバナッハ空間の特別の場合なのであった。このようなより厳密な取扱いをすることにより、通常の微分積分学や解析学における様々な定理が、函数解析学における(函数解析学に特有の新たな定理と並ぶ)相応の定理へと一般化される。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\displaystyle \exp \left(\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx\right)-\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\displaystyle \exp \left(\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx\right)-1}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\exp \left(\varepsilon g(y)\right)-1}{\varepsilon }}\\&=\exp \left(\int \varphi (x)g(x)dx\right)g(y).\end{aligned}}}
となるから、
δ F [ φ ( x ) ] δ φ ( y ) = g ( y ) F [ φ ( x ) ] {\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)]}
を得る。