円周率
日本で唯一「円周を内接・外接多角形で挟み込んで円周率の上限と下限を示す」ことに成功したのは鎌田俊清(1678-1747年)が享保七年(1722年)に著した『宅間流円理』である。その値は以下の通りである。
内周:3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3665 8
外周:3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 4166 7
鎌田は円周率の小数点以下24桁まで正しいと確信しうる円周率の値を算出することに成功していた。しかし、鎌田の方法は後継者を持たず、当時の識者に知られることがなかった。
逆三角関数は主値を取るものとすると
π = 2 arccos  0 = 2 arcsin  1 = 4 arctan  1 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\arccos 0\\&=2\arcsin 1\\&=4\arctan 1\end{aligned}}}
逆三角関数(逆正弦関数)の公式より
π = 2 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! ! {\displaystyle \pi =2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}}
逆三角関数(逆正接関数)の公式より 逆正接関数のテイラー展開による: π = 4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\end{aligned}}} オイラーによる: π = 2 ∑ n = 0 ∞ n ! ( 2 n + 1 ) ! ! = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\end{aligned}}}