平方根
a が 0 でない複素数のとき、z = a を満たす複素数 z は2個存在する。a の極形式を
a = r e i θ ( r > 0 , − π < θ ≤ π ) {\displaystyle a=re^{i\theta }\ (r>0,\,-\pi <\theta \leq \pi )}
とすると、z の動径の2乗が r、z の偏角の2倍が θ であるから、
a = r e i θ / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}}
と定義すると、これは a に対して一意に定まり、(√a) = a を満たす。これを a の平方根の主値(しゅち、principal value)という。この主値により定義される平方根函数
C ∋ z ↦ z ∈ C {\displaystyle \mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {z}}\in \mathbb {C} }
は、実軸の負の部分を除くガウス平面 C の全域で至る所正則である。しかし実軸の負の部分上では連続でさえない。これを2枚のガウス平面を実軸の負の部分で張り合わせた平方根函数のリーマン面上で考えるならば、至る所解析的である。
ガウス平面上の平方根函数を色で示したもの。原点の周りを偏角が正の方向(反時計回り)に回って、実軸の負の部分を跨ぐときもう一枚のガウス平面へ跳ぶ(緑→緑)。
もう一枚のガウス平面上の平方根函数。こちらもやはり原点を正の方向に回ると、実軸の負の部分を境に最初のガウス平面に帰る(紫→紫)。
原点付近での平方根函数のリーマン面(2つのガウス平面を張り合わせたときの様子)平方根関数 Re zここで、z は複素数。
(可換)整域の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の可換性により二平方数の差の公式(英語版) u − v = (u − v)(u + v) が成り立つことに注意すれば、u, v が同じ元の平方根であるとき u − v = 0, ゆえに零因子を持たないことから u = v または u + v = 0 であることが従う。後者は、二つの平方根が互いに加法逆元の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は(存在すれば)符号の違いを除いて一意である。特に、整域において零元 0 の平方根は 0 自身のみである。
標数 2 の可換体において、各元の平方根は一つ持つ(各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ)か、全く持たないかの何れかとなる(標数 2 の有限体においては任意の元が一意な平方根を持つ)。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。
奇素数 p と適当な正整数 e に対し q = p と置く。q-元体 Fq の非零元が平方剰余であるとは、その平方根が Fq に属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。この体において (q − 1)/2 個の元が平方剰余であり、(q − 1)/2 個が非剰余である(零元はいずれのクラスにも属さないことに注意)。平方剰余元の全体は乗法に関して群を成す。この性質は代数的整数論において広く用いられる。
数 a に対して、x = a を満たす x を a の平方根という。元の数 a がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。
0 の平方根は 0 のみである。元の数 a が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの絶対値は等しい。そのうち正である方を根号(こんごう、radical symbol) {\displaystyle {\sqrt {\;}}} を用いて
a {\displaystyle {\sqrt {a}}}
と表す。これは a の「正の(あるいは非負の)平方根」(principal square root; 主平方根)である(文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある)。このとき、他方の「負の平方根」は − a {\displaystyle -{\sqrt {a}}} である。また、2つの平方根を併せて ± a {\displaystyle \pm {\sqrt {a}}} と表記することもできる。例えば、9 の平方根は ±3、すなわち +3 と −3 の2つであり、 9 {\displaystyle {\sqrt {9}}} は正である 3 の方を表す。 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。
a<0 のときは、a の平方根は実数にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。
また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある(正定値行列など)。
a が正の整数でも、a の平方根が整数とは限らない。
元の数が平方数でない正の整数だと、その平方根は無理数であることが証明されている。
(例): 10 = 3.162277660168 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660168\cdots }
複素数の平方根は、代数学の基本定理より、0 を除いて2個だけ存在する。
特に実数の範囲では、正の実数の平方根は、互いに反数である2個の実数となる。幾何学的には、正の実数に対する正の平方根は、与えられた正方形の面積に対するその一辺の長さのことである。
二乗根(にじょうこん)、自乗根(じじょうこん)とも呼ばれる。
0 の平方根は 0 のみであり、平方根が一意に定まるのはこのときに限られる。
任意の a に対して、a の正の平方根の長さは、単位長が与えられれば、定規とコンパスだけで作図することができる。