痩集合
痩集合に関する多くの議論は零集合すなわち、ルベーグ測度 0 の集合にも適用できる。エルデシュ-シェルピンスキー双対定理は連続体仮説を仮定したときに、実数空間上の対合変換であって、零集合の像が痩集合になり、痩集合の像が零集合になるものが存在することを主張する。実のところ、この写像における像が零集合であることは元の集合が痩集合であることと同値になり、像が痩集合であることは元の集合が零集合であることと同値である。
全体を通して X {\displaystyle X} は位相空間とする。
X {\displaystyle X} の部分集合が X {\displaystyle X} において痩せている または X {\displaystyle X} の痩集合 または X {\displaystyle X} において第一類である とは、それが X {\displaystyle X} の疎集合の可算和であることである(ここで、疎集合とはその閉包の内部が空である集合を指す)。" X {\displaystyle X} において" という但し書きは、考えている空間が固定されていて文脈から判断できる場合には省略される。
X {\displaystyle X} の痩集合でない部分集合は X {\displaystyle X} において痩せていないまたは X {\displaystyle X} の非痩集合または X {\displaystyle X} において第二類であるという。
位相空間が痩空間(同様に、非痩空間)であるとは、それが自身の位相において痩せている(同様に、痩せていない)ことを言う。