完全数
完全数は、小さい順に
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A000396)
である。
各完全数の正の約数の総和は
12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A139256)
隣り合う完全数の差は
22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A139228)
完全数の総和の列は
6, 34, 530, 8658, 33558994, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A092336)
である。
6 と 28 がなぜ「完全」であるかは中世の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間(日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する)、28 は「月の公転周期」とされた。聖アウグスティヌス(? - 604年)はこれとは一線を画し、「6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6 が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている。
偶数の完全数 2(2 − 1) = (Mp+1)Mp/2 は Mp 番目の三角数でもある。
偶数の完全数を N = 2(2 − 1)(2 −1 は素数)とする。
N の正の約数の個数は d(N) = 2p である(d は約数の個数を表す約数関数)。
N の正の約数の調和平均は p、ゆえに N は調和数である。
6 以外の偶数の完全数は、1 から連続する正の奇数の立方和で表せる。式で表すと
N = ∑ k = 1 2 p − 1 2 ( 2 k − 1 ) 3 ( p ≧ 3 ) {\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{\frac {p-1}{2}}}(2k-1)^{3}\quad (p\geqq 3)}
例:
28 = 1 + 3, 496 = 1 + 3 + 5 + 7, 8128 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
1 から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は
1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A002593)
2(2 − 1)(n は自然数)の列は
1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A006516)