シュレーダーの方程式
カオス的でない場合、h(x) = 2x(1−x) によって
Ψ ( x ) = − 1 2 ln  ( 1 − 2 x ) , {\displaystyle \Psi (x)=-{\frac {1}{2}}\ln(1-2x),} したがって h t ( x ) = − 1 2 ( ( 1 − 2 x ) 2 t − 1 ) {\displaystyle h_{t}(x)=-{\frac {1}{2}}\left((1-2x)^{2^{t}}-1\right)}
であることもまた示されていた。
同様に、ベバートン=ホルトモデル(英語版) h(x)=x/(2−x) に対し、Ψ(x) = x/(1−x) であり、したがって
h t ( x ) = Ψ − 1 ( 2 − t Ψ ( x ) ) = x 2 t + x ( 1 − 2 t ) . {\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}(2^{-t}\,\Psi (x))={\frac {x}{2^{t}+x(1-2^{t})}}~.}
であることがすでに知られている。
変数変換 α(x)=log(Ψ(x))/log(s)(アーベル函数)によってさらに、シュレーダーの方程式はよる古いアーベル方程式 α(h(x)) = α(x)+1 へ変換される。同様に、変数変換 Ψ(x) = log(φ(x)) によってシュレーダーの方程式はボッチャーの方程式に変換される。さらに、速度 β(x) = Ψ/Ψ ' に対し、ジュリアの方程式 β(f(x)) = f ' (x) β(x) が成立する。
シュレーダーの方程式の n 次のべきは、固有値が s であるようなシュレーダーの方程式の解を与える。同じようなやり方で、シュレーダーの方程式の可逆な解 Ψ(x) に対し、(非可逆な)函数 Ψ(x) k(logΨ(x)) もまた周期が log(s) の任意の周期函数 k(x) に対して解になる。シュレーダーの方程式のすべての解は、このような方法で関連付けられる。
数学におけるシュレーダーの方程式(シュレーダーのほうていしき、英: Schröder's equation)は、エルンスト・シュレーダー(英語版)の名にちなむ、一つの独立変数を持つある函数方程式のことを言う。すなわち、与えられた函数 h(x) に対し、次を満たす函数 Ψ(x) を見つける問題を考える:
Ψ ( h ( x ) ) = s Ψ ( x ) . {\displaystyle \Psi (h(x))=s\Psi (x).}
シュレーダーの方程式は、ある函数 f(x) を f(h(x)) に送る合成作用素に対する固有値方程式である。
a が、h(a) = a を満たす意味で h(x) の不動点であるなら、Ψ(a) = 0(あるいは ∞)か s = 1 のいずれかが成り立つ。したがって、Ψ(a) が有限で Ψ' (a) が消失も発散もしないのであれば、固有値 s は s = h' (a) で与えられる。