実数
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。 有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a − b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R が得られる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造を基にした代数構造を考えることができる。この際、コーシー列全体が自然に環をなし、0に収束するコーシー列全体Iが極大イデアルであることが示せる。このIによる剰余環を考えるとこれはRそのもので、環論の一般論からこれが体をなすことがすぐにわかる。こうして代数構造を持つことは実は綺麗に示すことができる。あとは順序構造を定義すれば実数体の出来上がりである。
この完備化による定義の変種として、コーシー列たちの空間のかわりに長さがどんどん小さくなっていくような閉区間の列たちを適当な同値関係によって同一視したものを考えてもやはり実数を得ることができる。この考え方はより一般的で強力な手法であるフィルターの特別な例と見なすことができる。
また、18世紀から19世紀にかけて無理性や超越性についての研究が大きく進展した。代表的な成果に、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによる円周率の無理性の証明(1761年)、パオロ・ルフィニとニールス・アーベルによる五次以上の代数方程式が一般には冪根を用いて解けないこと(1799年、1824年)の証明、ジョゼフ・リウヴィルによる超越数の存在証明、シャルル・エルミートによるネイピア数の超越性の証明、フェルディナント・リンデマンによる円周率の超越性の証明(1882年)などがある。
ゲオルク・カントールはフーリエ級数の収束の問題を研究するうちに実数の部分集合を考察するようになり、整数や有理数などのよく知られていたクラスの数の集合と実数の集合が本質的に異なるサイズのものであることを示した。このような実数の超越性によりレオポルト・クロネッカーなど一部の数学者たちは嫌悪を示した。カントールが提起した「実数集合はどの程度大きいか」という問題は通常採用される数学の枠組み(ZFC 集合論)からは独立であることが後になってわかった。
アンリ・ルベーグはルベーグ積分の理論によって積分論の構造化を達成する過程で「積分可能」な関数のクラスである可測関数の概念と、それらによって指定されるような実数の部分集合である可測集合の概念をえた。この可測集合は具体的に構成できるような実数の集合を尽くしていて、選択公理を仮定しなければ非可測な集合の存在を導くことができない。
ライプニッツの無限小の概念はその曖昧さ故に ε–δ 論法の陰に葬り去られていたが、1960年代に超準解析という枠組みのもとで厳密な定式化が達成された。
エウドクソスの実数(Eudoxus real number)とはシャヌエルによって1984年に発見され(しかし論文は出版しなかった)、また名付けられた構成法である。整数から直接、有理数を経由することなく実数を構成するという特徴を持っている。この構成法は2003年にアカンポ(A'Campo 2003)によって再発見された。
現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは −1.13 や 3.14159... のような(有限とは限らない)小数表示がよく用いられる。
また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。