カラビ・ヤウ多様体
ここに ω {\displaystyle \omega } はケーラー計量 g {\displaystyle g} に付随するケーラー形式である(Gang Tian;Shing-Tung Yau 1990, 1991)。
カラビ・ヤウ多様体の基本群に対して、それが有限群あるいは自明群というような制約条件を課すこともある。任意のカラビ・ヤウ多様体は、トーラスと単連結カラビ・ヤウ多様体の積となるような有限被覆を持つ。
定義の中には、ホロノミーをSU(n)の部分群ではなくSU(n)そのものとするものもあり、これはホッジ数 h i , 0 {\displaystyle h^{i,0}} が 0 < i < dim(M) に対してゼロとなることを意味する。アーベル曲面は、ホロノミーが SU(2) よりも( SU(2) 自体は含まない)小さいホロノミーであるリッチ計量を持つ(実際に、自明)ので、厳密に SU(2) にホロノミーが一致するという定義の下ではカラビ・ヤウ多様体にはならない。
カラビ・ヤウ多様体の大半の定義はリーマン計量を持っていることを前提としているが、計量のない複素多様体を扱っている定義もある。
大半の定義は多様体が非特異であることを前提としているが、マイルドな特異点を許容することもある。特異点を持つカラビ・ヤウ多様体ではチャーン類をうまく定義できないが、特異点がすべてゴレンシュタイン(英語版)特異点であれば標準バンドルと標準類を定義することはでき、滑らかなカラビ・ヤウ多様体での定義を、特異点を持つカラビ・ヤウ多様体へと拡張することが可能である。
大きな余剰次元(英語版)として良く知られているモデルは、ブレーンワールドモデルで、カラビ・ヤウ多様体は大きいが、Dブレーンを横切り交叉する部分の上に、私たちが閉じ込められていることを意味している。
F-理論(英語版)の様々なカラビ・ヤウ4次元多様体でのコンパクト化は、いわゆる弦理論ランドスケープ(英語版)の中で、様々な古典解を見つけ出す方法を物理学者に提供する。
低エネルギーの弦の振動パターンは、カラビ・ヤウ空間の各々の穴に関係している。弦理論では我々の慣れ親しんでいる基本粒子が低エネルギーの弦の振動に対応しているので、多重化した穴の存在は、弦のパターンを多重なグループや世代に振り分けることになる。次のステートメントは単純化されているが、理論のロジックを含んでいる。「カラビ・ヤウ空間が 3つの穴を持っていると、3つの振動パターンの世代ができ、粒子の 3世代は実験的に観察されるであろう。」
論理的には、弦の振動はすべての次元を通して巻き付く数を変化させるので、それらの振動数や、従って観察される基本粒子の性質に影響を与えるであろう。例えば、アンドリュー・ストロミンジャーとエドワード・ウィッテンは、粒子の質量がカラビ・ヤウ空間の中の様々な穴の交叉のしかたに依存していることを示した。言い換えると、穴のたがいの相対位置とカラビ・ヤウ空間の物質との相対的位置は、ストロミンジャーとウィッテンによって発見され、ある方法によって粒子の質量に影響する。もちろん、これはすべての粒子について正しい。