コルモゴロフ–スミルノフ検定
1標本KS検定では、サンプル数nが十分大きいとき、経験分布Fn(x)が帰無仮説に従う(すなわち、経験分布が帰無仮説で提示された分布F(x)と一致する)と仮定した下での場合の検定量の分布は
Prob  ( n D n ≤ x ) = 1 − 2 ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i − 1 e − 2 i 2 x 2 = 2 π x ∑ i = 1 ∞ e − ( 2 i − 1 ) 2 π 2 / ( 8 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {Prob} ({\sqrt {n}}D_{n}\leq x)=1-2\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{-(2i-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}}
で与えられる。したがって、有意水準を α {\displaystyle \alpha } とするとき、検定量Dnが n D n > K α {\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}>K_{\alpha }} (ただし K α {\displaystyle K_{\alpha }} は Prob  ( n D n ≤ K α ) = 1 − α . {\displaystyle \operatorname {Prob} ({\sqrt {n}}D_{n}\leq K_{\alpha })=1-\alpha .\,} を満たす数)を満たすとき、帰無仮説は棄却され、経験分布Fn(x)は帰無仮説で提示された分布F(x)とは異なることが示唆される。