半単純環
詳細な記事:単純加群、半単純加群
A を環、M を A-加群とする。
M が単純加群であるとは、M は {0} でなく、その部分加群が {0} と M に限るときにいう。例えば、体上の加群すなわちベクトル空間が単純であるとは次元が1ということである。
M が 半単純加群 であるとは、M が単純 A-加群の(有限とは限らない)族の直和に同型であるときにいう。これは、すべての部分加群 N に対してある部分加群 P が存在して M は N と P の直和になると言っても同じである。例えば、体上の任意のベクトル空間は半単純である。
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、A を半単純環という。これは、同型の違いを除いて、(可換とは限らない)体上の全行列環の有限個の直積である。
この概念は数学の多くの分野において現れる。例えば、線型代数学、数論、有限群の表現論(英語版)、リー群論、リー環論が挙げられる。これは例えば、フロベニウスの相互法則(フランス語版)の証明に役立つ。
半単純多元環の理論はシューアの補題とアルティン・ウェダーバーンの定理を基盤としている。