加群の局所化
同値関係の1つの興味深い特徴づけは、S の元に対して消約律が成り立つような最小の関係(集合と考えて)であるというものである。つまり、すべての s ∈ S に対して rs/us = r/u が成り立つような最小の関係なのである。
1つの場合が特に重要である。S が素イデアル p ⊂ R の補集合(これは素イデアルの定義によって積閉である)であれば、局所化は ( R ∖ p ) − 1 M {\displaystyle (R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M} の代わりに Mp と書かれる。加群 M の台 は Mp ≠ 0 なる素イデアル p 全体の集合である。M を R のスペクトルから R 加群への関数
p ↦ M p {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}}
と見て、この対応は関数の台である。素イデアルにおける加群の局所化は加群の「局所的な性質」を反映してもいる。特に、より一般の状況が局所化された加群についての主張に帰着できる場合が多くある。というのも、R 加群 M が自明であることとそのすべての素イデアルあるいは極大イデアルにおける局所化が自明であることは同値なのである。
↑ Eisenbud 1995, p. 59.
↑ Rotman 2010, p. 889, Proposition 10.28.
↑ 局所化 φ: M → SM の核は ⋃ s ∈ S { m ∈ M ∣ s m = 0 } {\displaystyle \textstyle \bigcup _{s\in S}\{\,m\in M\mid sm=0\,\}} である。
↑ Eisenbud 1995, p. 65, Lemma 2.4.