エネルギー保存の法則
ルネ・デカルトは、1644年に出版した自身の著作『哲学の原理』(Principia Philosophiæ ) で、宇宙においてquantitas motus(運動の量)の総和が保たれている、と主張した。
デカルトが主張した quantitas motus(quantity of motion, 運動の量)という概念は、現代の運動量とある程度似てはいるが、厳密には異なる概念である。デカルトは「質量」という概念を持っていなかったし、デカルトは速度の大きさだけを重視し、向きが変わることについては考慮していなかった。したがって、デカルトの quantitas motus を現代の運動量に対応する量と見なすことはできない。
ゴットフリート・ライプニッツは、運動の量というのを初めて数式で表現してみようと試みたが、デカルトとは異なって mv の総和が保存されている、と主張した。ライプニッツはこの量を vis viva(living force, 活力)と呼んだ。この vis viva という概念は、釣り合いなどの場面で想定される動きとしては見えない vis mortua(dead force, 潜在的な力)と対比しつつ置かれた概念である。
デカルトの考え方を支持する人々と、ライプニッツの考え方を支持する人々で議論が起こるようになった。これを「活力論争 (vis viva controversy)」という。議論は長年に渡って続いた。18世紀半ばになって、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュやジャン・ル・ロン・ダランベールらが、両概念の明確化を試み、それらを区別したことによって、ようやく論争は沈静化した。
ここでシュレーディンガー方程式、
H ^ | ψ ( t ) ⟩ = − ħ i ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}\left\vert \psi (t)\right\rangle =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\vert \psi (t)\right\rangle }
を用い時間微分作用素をハミルトニアンに書き換えた。またハミルトニアンが自己共役であることを用いた。 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} がハミルトニアンであるなら、交換子の項はゼロになる。
[ H ^ , O ^ ] := H ^ O ^ − O ^ H ^ = H ^ H ^ − H ^ H ^ = 0. {\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {O}}\right]:={\hat {H}}{\hat {O}}-{\hat {O}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {H}}=0.}
このとき期待値の時間微分は以下のようになる。