零点
孤立零点の原理から、以下のような原理が導かれる。
複素函数 f の零点 a が孤立するとは、それが f の零点集合の孤立点となる(すなわち、a を中心とする十分小さな円板をとれば、その中に含まれる f の零点が a のみであるようにすることができる)ときに言う。
上記の級数展開において、以下の二者択一が考えられる:
任意の整数 k > 0 に対して αk = 0、すなわち f は D(a; r) 上恒等的に消えている。この場合、零点 a は孤立しない。
さもなくば、零でない係数を持つ最小の項の添字、すなわち αn ≠ 0 かつ αk = 0 (k < n) を満たす n > 1 が存在して、上記の級数を f ( z ) = ∑ k = n ∞ α k ( z − a ) k = ( z − a ) n g ( z ) , ( g ( z ) = ∑ l = 0 ∞ α l + n ( z − a ) l ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=n}^{\infty }\alpha _{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{n}g(z),\quad (g(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\alpha _{\ell +n}(z-a)^{\ell })} の形に書くことができる。