ラックス・ペア
1組のラックス・ペア L(t) 、A(t) は、あるヒルベルト空間 H {\displaystyle \mathbb {H} } に作用する、時刻 t に依存する作用素で、次のラックス方程式を満たすものである。
∂ L ( t ) ∂ t = [ A ( t ) , L ( t ) ] {\displaystyle {\frac {\partial L(t)}{\partial t}}=[A(t),L(t)]\ }
ここで [ A , L ] = A L − L A {\displaystyle [A,L]=AL-LA} は 交換子である。
ラックス方程式を微分方程式の解法に用いる場合、 H {\displaystyle \mathbb {H} } は通常は関数空間である。以後その空間方向の独立変数を x で表すことにする。 x は1次元の場合も、もっと多次元の場合も有り得る。 I {\displaystyle \mathbb {I} } を時刻t の定義域とする場合、 I {\displaystyle \mathbb {I} } から H {\displaystyle \mathbb {H} } への写像を考えて、それを ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} などと表すことにする。個々のt ごとに ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} は H {\displaystyle \mathbb {H} } の元であり、変数x の関数でもある。
一方、ラックス方程式は、実は量子力学におけるハイゼンベルクの運動方程式の特別な場合(観測可能量を表す作用素が時刻t を陽に含まない場合) と全く同じ形式をしている。ハイゼンベルク方程式においては、 系のハミルトニアンを H(t) とすると、A(t) に相当するのは、 − i ħ H ( t ) {\displaystyle -{\frac {i}{\hbar }}H(t)} である。また位置や運動量についてのハイゼンベルク形式の観測可能量(オブザーバブル)が L(t) に相当する。ハイゼンベルク方程式との類推から、ラックス方程式の解は、
L ( t ) = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) U ( t , t 0 ) − 1 {\displaystyle L(t)=U(t,t_{0})L(t_{0})U(t,t_{0})^{-1}\ }
と表される。ここで t、 t 0 {\displaystyle t_{0}} は任意の時刻を表し、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} は次の方程式の解であり、時間推進作用素(time evolution operator)と呼ばれる。
∂ ∂ t U ( t , t 0 ) = A ( t ) U ( t , t 0 ) , U ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})=A(t)U(t,t_{0}),\qquad U(t_{0},t_{0})=I}