三重積 (ベクトル解析)
すなわち、クロス積は結合則が成り立たないことが導かれる。3番目の公式はヤコビ恒等式 (英: Jacobi Identity) であり、1番目の公式より明らかである。
ベクトル三重積の公式をつかってベクトルラプラシアンを
▽ 2 f = grad  ( div  f ) − rot  ( rot  f ) ∵ ∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\begin{aligned}\bigtriangledown ^{2}{\boldsymbol {f}}&=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\boldsymbol {f}})-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} {\boldsymbol {f}})\\\because \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {f}})&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})-(\nabla \cdot \nabla ){\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}
と展開できる。これは一般化されたラプラス作用素 (ラプラス–ド・ラーム作用素(英語版)) Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d} の具体例の一つである。
代数学的にはスカラー三重積は各ベクトルを並べて作った3 × 3行列の行列式に等しい。
a ⋅ ( b × c ) = det ( a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ) = ∑ i , j , k ε i j k a i b j c k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})&=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}\end{aligned}}}
ここで εi,j,k はエディントンのイプシロンである。これより、a・(b×c) はどの要素の置換に対しても反対称である。
また、以下の性質が成り立つ。