波束
量子論においてガウス波束 ψ ( x , 0 ) {\displaystyle \psi (x,0)} は最小不確定状態とも呼ばれる。t = 0 での原点を中心とした3次元ガウス波束を次のように書き直す。
ψ ( r , 0 ) = e − r ⋅ r / 2 a {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a}}
ここで a は正の実数で、波束の幅の2乗である。
a = 2 ⟨ r ⋅ r ⟩ 3 ⟨ 1 ⟩ = 2 ( Δ x ) 2 {\displaystyle a={\frac {2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle }{3\langle 1\rangle }}=2(\Delta x)^{2}}
t = 0 でのフーリエ変換も、波数ベクトル k についてのガウス関数となっている。
ψ ( k , 0 ) = ( 2 π a ) 3 / 2 e − a k ⋅ k / 2 {\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}}
A ( k ) = 1 2 e − ( k − k 0 ) 2 4 {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}}}
と得られるため、このガウス波束の時間変化は分散関係 ω = ck を用いると次のように表される。
ψ ( x , t ) = e − ( x − c t ) 2 + i k 0 ( x − c t ) = e − ( x − c t ) 2 [ cos  ( 2 π x − c t λ ) + i sin  ( 2 π x − c t λ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right]\end{aligned}}}
この虚部は余弦波に垂直偏光する正弦波を表す。最初に示したアニメーションは、この分散を伴わない伝播をする波束の、実部と虚部を表したものである。
量子論では位置 x と運動量 p は非可換であるため、両者に対する同時固有状態が存在しない。この非可換性により不確定性原理 Δx⋅Δp ≥ ħ/2 が成り立つため、各標準偏差を Δx = Δp = 0 とすることはできない。しかし、不確定性原理の許す限り Δx と Δp のどちらも小さい状態が存在し、その波動関数は波束で表される。古典的なスケールでの測定を考えると、波束状態に対する Δx, Δp は非常に小さいため、現実的には測定誤差に埋もれて不確定性は見えなくなる。結果として、測定対象は古典的な粒子のように見える。逆に古典的な粒子のように振る舞う状態は、波束状態だと考えることができる。