ホールの定理
同様に、uと接続するすべてのX の頂点の集合(u 自身も含む)をW とする。 u を始点とするM-交互道の終点が、Yに属する点となること(つまり、M-増大道となること)はない。 (もしそのようなことがあれば、M より真に大きなマッチングが構成でき、M の最大性に矛盾する。) ここで、T に属する全ての頂点は、MによりW の頂点とマッチングされており、 逆に全ての頂点 v ∈ W \ {u} はMによりT の頂点とマッチングされているので、 M は W \ {u} と T の間の全単射を与える。よって、 |W | = |T | + 1であり、NG(W) ⊇ T が成立する。 他方、v ∈ Y をw ∈ W に接続される頂点としたとき、辺 (w,v ) が Mに属していれば、v ∈ T。 そうでなければ、辺 (w,v ) を通るM-交互道を構成できるので、v ∈ Tとなり、NG(W) ⊆ Tが成立。 したがって、 |NG(W)| = |T | = |W | − 1 となり、矛盾。
有限2部グラフ G:= (X + Y, E) で X と Y は同じ大きさでなくともよい。ここで、G の最大マッチングの端点がXをすべて覆うことと、X の全ての部分集合 W について次が成り立つことは同値である。
| W | ≤ | N G ( W ) | {\displaystyle |W|\leq |N_{G}(W)|}