捩率テンソル
M を接バンドル上に接続 ∇ を持つ多様体とする。捩率テンソル(れいりつテンソル)(torsion tensor)(ときに、カルタン捩れテンソルともいう)は、ベクトル場 X と Y の上に
T ( X , Y ) := ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] {\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
により定義されたベクトルに値をもつ 2-形式(英語版)(vector-valued 2-form)である。ここに、[X, Y] は 2つのベクトル場のリーブラケット(英語版)(Lie bracket)である。ライプニッツの規則により、任意の滑らかな函数 f に対し、T(fX,Y) = T(X,fY) = fT(X,Y) であるので、T は非テンソル的な共変微分(covariant derivative)の項で定義されているにもかかわらず、テンソル的(tensorial)である。共変微分はベクトル場に対しのみ定義される。
∇ ∂ / ∂ t ∂ ∂ x | x = 0 = 0 {\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial t}{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0}
である。
結局、捩率テンソルは、
T ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ t ) | x = 0 = ∇ ∂ ∂ x ∂ ∂ t | x = 0 {\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{x=0}}
により与えられる。
これが 0 でないならば、定規のマークされた点たち(x = 定数曲線)は、測地線に代わり捩れた量(helices)を追いかけることとなる。それらは観測者の周りで回転する傾向を持つことになる。この議論により、 γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} は測地的でないということが重要ではなくなる。任意の曲線で問題ないことが分かる。
捩率テンソルのこの解釈は遠方平行性(英語版)(teleparallelism)の理論で重要であり、アインシュタイン・カルタン理論(英語版)(Einstein-Cartan theory)や相対論のもうひとつの定式化として知られている。
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}
すると、次の等式が成り立つ。
1. ビアンキ第一恒等式:
S ( R ( X , Y ) Z ) = S ( T ( T ( X , Y ) , Z ) + ( ∇ X T ) ( Y , Z ) ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)}
2. ビアンキ第二恒等式
S ( ( ∇ X R ) ( Y , Z ) + R ( T ( X , Y ) , Z ) ) = 0 {\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0}