分解型複素数
( u , v ) = ( x , y ) ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}
を作ることによって想起される。すると二次形式は uv = (x + y)(x − y) = x − y で得られる。さらに
( cosh  a , sinh  a ) ( 1 1 1 − 1 ) = ( e a , e − a ) {\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(e^{a},e^{-a})}
だから、2つのパラメータ付けられた(英語版)双曲線は互いに他方へ写される。ベルソル e の作用は従って線型変換
( u , v ) ↦ ( r u , v / r ) ( r = e b ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (ru,v/r)\qquad (r=e^{b})}
のもとで縮小写像に対応する。
この対応は A = B = R および C = D = R とし、f を双曲ベルソルの作用、g, h を行列による線型変換、k を縮小写像とするとき可換図式
を満足する。