非線型シグマモデル
対象多様体 T はリーマン計量 g を持つ。Σ はミンコフスキー空間 M から T への微分可能写像である。
このとき、現代のカイラル形式におけるラグランジアン密度は、
L = 1 2 g ( ∂ μ Σ , ∂ μ Σ ) − V ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}
で与えられる。ここに + − − − の計量符号を使い、偏微分 ∂Σ は T×M のジェット束(英語版)の切断により与えられ、V はポテンシャルである。
n を T の次元とすると、座標 Σ (a = 1, ..., n) での表記では、
L = 1 2 g a b ( Σ ) ( ∂ μ Σ a ) ( ∂ μ Σ b ) − V ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma )}
である。
2次元以上では、非線型シグマモデルはその次元と同じ結合定数を持つので、摂動的には繰り込み可能ではない。
しかしながら、非線型シグマモデルは、格子による定式化においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ。また、ケネス・ウィルソンにより元々の提案がなされている二重展開においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ。
どちらのアプローチにおいても、O(n)-対称モデルの中の非自明な繰り込み群の固定点を見つけることができ、次元が 2より大きな場合は、秩序相と非秩序相を分離する臨界点を記述することができる。加えて、O(n) モデルは物理的にはハイゼンベルク強磁性(英語版)(Heisenberg ferromagnet)や関連するモデルを記述するので、改良された格子理論や量子場理論の予想は臨界現象(英語版)(critical phenomena)についての実験と比較することができる。O(n) モデルはハイゼンベルク強磁性と関連する物理系を記述ので、臨界現象の実験と比較することが可能である。従って、この系は 2次元にある O(n)-対称モデルの物理的振舞いを正確に記述するナイーブな摂動論が失敗し、格子定式化のようなより複雑な非摂動的な方法を必要としていることを示している。
このことは、有効場の理論としてのみ発生させることができることを意味する。