エタール基本群
代数的位相幾何学では、基点付き位相空間 (X, x) の基本群 π1(X, x) を x を基点とする閉曲線のホモトピー類全体のなす群として定義した。この定義は実多様体や複素多様体のような空間に対してはうまくいくが、ザリスキー位相を備えさせた代数多様体に対しては望ましい結果が得られない。
一方、基本群は普遍被覆空間の被覆変換群と思うこともできたのであった。こちらの特徴づけを使って代数多様体への拡張を考えるとうまくいく。まず被覆空間の代数幾何学での類似物としては有限エタール射が適当なものとして使える。残念なことに、代数多様体 X は X 上有限な「普遍被覆」を滅多に持たない。それゆえ X の有限エタール被覆すべてを考えなければならない。そしてすべての有限エタール被覆の自己同型群の射影極限としてエタール基本群を定義する。