弱解
弱解の概念を確かめる例として、一階の波動方程式
∂ u ∂ t + ∂ u ∂ x = 0 ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)}
を考える(記号については偏微分を参照)。ここで u = u(t, x) は二つの実変数の関数である。 u はユークリッド空間 R で連続的微分可能であるとする。このとき、コンパクトな台を持つ滑らかな関数 φ {\displaystyle \varphi } を方程式 (1) に掛け、積分をすることによって、次の式が得られる:
∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∂ u ( t , x ) ∂ t φ ( t , x ) d t d x + ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∂ u ( t , x ) ∂ x φ ( t , x ) d t d x = 0.