球冠
体積と表面積の式は次の関数
f ( x ) = r 2 − ( x − r ) 2 = 2 r x − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}} ( x ∈ [ 0 , h ] {\displaystyle x\in [0,h]} )
を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。 表面積は
A = 2 π ∫ 0 h f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}
である。 f {\displaystyle f} の導関数は
f ′ ( x ) = r − x 2 r x − x 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}
であるから
1 + f ′ ( x ) 2 = r 2 2 r x − x 2 {\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}
となる。