チコノフの定理
従って、 P ′(λ) → P (λ) である。
(7) 主張 : 任意の ξ ∈ Λ′λ = { ρ | ρ < λ ∧ ρ ∈ Λ } について P (ξ) が真であれば、P (λ) も真である。
証明 :
(7.1) Λ′λは空でないと仮定する。(4)から ξ ∈ Λ′λ について P ′ (ξ) は真である。従って、ツォルンの補題から (詳細な証明は略) Λ′λ = ⋃ ξ ∈ Λ λ ′ {\displaystyle \bigcup _{\xi \in \Lambda _{\lambda }^{\prime }}} Λ′ξ について次のような x ′ : Λ ′λ → ⋃ ρ ∈ Λ λ ′ {\displaystyle \bigcup _{\rho \in \Lambda _{\lambda }^{\prime }}} Xρ が存在することが言える。全ての ρ ∈ Λ′λ について、x ′ρ ∈ Xρ であり、Xρ の任意の開集合 Uρ が xρ を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ < λ U ρ ) × ( ∏ λ ≤ σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times (\prod _{\lambda \leq \sigma }X_{\sigma })} を被覆するものは存在しない。従って、P ′ (λ) は真であり、(6)から P (λ) も真である。
(7.
これから、 O とそれに含まれる任意の点 x について、ある B ∈ B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が存在して、 x ∈ B ⊂ O となることが言える。
(4) 主張 : (2)、(3) で存在が証明された x0 、y0 の直積は X ×Y の点 (x0 ,y0 ) であるが、この点は W {\displaystyle {\mathcal {W}}} で被覆されない。
証明 : 主張 が正しくないと仮定すれば、 (x0 ,y0 ) を含む W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の要素が少なくとも1つ存在するので、そのうちの一つを W とすれば、補足 から (x0 ,y0 ) ∈ B ⊂ W を満たす B ∈ B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が存在する。一方、(3)の 主張 により、B が(x0 ,y0 ) を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で B を被覆するものは存在しないので矛盾である。従って、主張 が正しいことになる。
(5) 結論 : 以上により 仮定 が成り立てば W {\displaystyle {\mathcal {W}}} は X ×Y を被覆しない。従って、命題 2 が成立するので、X ×Y はコンパクトである。