集合の代数学
次の命題は、和集合と共通部分に関する6つの重要な法則を示している。
命題 3: 普遍集合 U の任意の部分集合 A と B について、以下が成り立つ。
等冪法則(idempotent laws): A ∪ A = A {\displaystyle A\cup A=A} A ∩ A = A {\displaystyle A\cap A=A}
統治法則(domination laws): A ∪ U = U {\displaystyle A\cup U=U} A ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
吸収法則(absorption laws): A ∪ ( A ∩ B ) = A {\displaystyle A\cup (A\cap B)=A} A ∩ ( A ∪ B ) = A {\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}
前述の通り、命題3の各法則は命題1および命題2の基本法則から導出できる。例として、以下に和集合の等冪法則の証明を示す。
証明:
次の証明は、上記の和集合の等冪法則の証明と双対関係にあり、共通部分の等冪法則の証明となっている。
証明: