逆函数定理
( 3 ) J G ∘ H ( p ) = J G ( H ( p ) ) ⋅ J H ( p ) {\displaystyle (3)\qquad J_{G\circ H}(p)=J_{G}{\Bigl (}H(p){\Bigr )}\cdot J_{H}(p)}
式(3)の G, H をそれぞれ F, F とおくと、 G ∘ H {\displaystyle G\circ H} が恒等写像となるのでそのヤコビ行列(左辺) J G ∘ H ( p ) {\displaystyle J_{G\circ H}(p)} は単位行列となる。これを J F − 1 ( F ( p ) ) {\displaystyle J_{F^{-1}}{\Bigl (}F(p){\Bigr )}} について解くことで式(2)が導かれる。ここで、逆関数定理が p における F の全微分の存在を示すものであるのに対し、連鎖律は H (= F) の全微分の存在を仮定したものである。逆関数 F が存在することは、x, y をそれぞれ p, F (p) の十分小さな近傍とするとき n 本の連立方程式
( 4 ) { y 1 = F 1 ( x 1 , ⋯ , x n ) ⋮ y n = F n ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (4)\qquad {\begin{cases}y_{1}&=F_{1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\\&\,\vdots \\y_{n}&=F_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})\end{cases}}}
の解 x1, ..., xn が y1, ..., yn によって記述できることと等しい。
C の開集合 U から C への正則関数 F のヤコビ行列(この文脈では行列は複素微分の行列である)が点 p で可逆であれば、F は p の近くで可逆な関数である。これは上の定理から直ちに従う。この逆関数は再び正則関数であることも示すことができる。
ベクトル値関数 F : R → R を次のようにおく。
F ( x , y ) = [ e x cos  y e x sin  y ] {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\end{bmatrix}}}
すると、この F の (x, y) におけるヤコビ行列 J F (x, y) は
J F ( x , y ) = [ e x cos  y − e x sin  y e x sin  y e x cos  y ] {\displaystyle J_{\mathbf {F} }(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\end{bmatrix}}\,\!}
であるから、ヤコビ行列式 det J F (x, y) は次のようになる。