概複素構造
滑らかな多様体 M に対し、接バンドル TM 上の自己同型写像 J: TM → TM で
J 2 = − i d T M {\displaystyle J^{2}=-\mathrm {id} _{TM{}}}
を満たすものを、多様体 M の概複素構造(almost complex structure)という。ここで、idTM は TM 上の恒等写像を表す。概複素構造を持つ多様体を概複素多様体と言う。言い換えると、ランク(英語版)が (1, 1) であり、接空間の上でベクトルバンドル同型 J : TM → TM と見なすことができ、J = −1 を満たす滑らかなテンソル場 J のことである。
M が概複素構造を持つと、必然的に M の次元は偶数である。このことは次のように理解できる。M を n-次元とし、J : TM → TM を概複素構造とする。J = −1 であれば、det(J) = (−1) である。