クニーズニク・ザモロドチコフ方程式
Tsuchiya & Kanie (1988)により再現された Knizhnik & Zamolodchikov (1984) のもともとの証明は、上の二つを結合した方法を使っている。まず注意することは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 X に対し、
⟨ X ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = ∑ j ⟨ Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( X v j , z j ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ ( z − z j ) − 1 {\displaystyle \left\langle X(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\sum _{j}\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}}
となることである。従って、
一般に、半単純な複素リー群 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とその表現 ( ρ , V i ) {\displaystyle (\rho ,V_{i})} は、KZ方程式のホロノミーとして、ブレイド群の線型表現
θ : B n → V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle \theta :B_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}}
を与える。一方、KZ方程式は、ホロノミーとしてブレイド群の線型表現を与える。
KZ方程式の解析接続による V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \dots \otimes V_{n}} 上の作用を、KZ方程式のモノドロミー表現(monodromy representation of KZ equation)と呼ぶ。特に、すべての V i {\displaystyle V_{i}} がスピン 1/2 表現を持つ場合は、KZ方程式から得られる線型表現は、ジョーンズ(Vaughan Jones)が作用素代数論から構成した表現と一致する。一般の半単純なリー代数を持つKZ方程式のモノドロミー表現は、対応する量子群(quantum group)のR-行列(英語版)(R-matrix)により与えられるブレイド群の線型表現と一致することも示されている。