調和振動子
光子(電磁場のフーリエ成分)
フォノン(格子振動の基準振動)
で定義される。具体例として n = 0 , 1 , 2 {\displaystyle n=0,1,2} の場合を示すと
H 0 = 1 {\displaystyle H_{0}=1}
H 1 = 2 x {\displaystyle H_{1}=2x}
H 2 = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}=4x^{2}-2}
である。基底状態( n = 0 {\displaystyle n=0} )のエネルギー固有状態はガウス波束であり、 x = 0 {\displaystyle x=0} 付近に局在している。 エネルギー固有値は次のようになる。
E n = ħ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\qquad (n=0,1,2,...)}
つまりエネルギー準位は ħ ω {\displaystyle \hbar \omega } という均等な間隔で並ぶ。 n = 0 {\displaystyle n=0} の状態は零点振動、そのエネルギー固有値 E 0 = ħ ω / 2 {\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2} は零点エネルギーと呼ばれる。