距離空間
可算個の原点付き距離空間の族 (Xn, dn, bn)n ∈ Nが与えられたとき、直積集合 ∏n ∈ NXn 上に拡張距離関数を
d((xn)n ∈ N, (yn)n ∈ N) ≔ ‖ (dn(xn, yn))n ∈ N ‖p
によって定めることができる(ただし 0 ≤ p ≤ ∞ で ‖ ‖pは数列空間上の l p {\displaystyle \ell ^{p}} ノルム)。特に
{(xn)n ∈ N∈ ∏n∈NXn: d((xn)n ∈ N, (bn)n ∈ N) < ∞}
上では距離関数となっている。更に Dn を Xn の直径としたとき、‖(Dn)n∈N‖p< ∞ ならばこの距離は ∏n∈NXn 全体で有限となり、その位相はそれぞれの Xnを位相空間と見なしたときの ∏n∈NXn 上の直積位相に一致している。
特に、(Xn, dn) を2点集合に離散距離(の (1/2)倍)を入れたものの場合、えられる直積距離空間 ({0, 1}, d) はカントール集合に実数の差の絶対値から定まる距離を与えたものと同一視できる。
別の例としては、グラフ上の距離がある。グラフの2頂点P1、P2の間の距離は P1からP2へ到達するのに最低いくつの辺を通らねばならないかである。この特別な場合として離散群のケイリーグラフとその上の語距離 (word length metric) が挙げられる。これは離散群G上にその生成集合Sによって定まる距離で、Gの元 g, h の間の距離は gh を S の元の積として表すのに必要な項の数の最小数として定められる。有限生成群における、有限集合の範囲での生成集合の取り替えはケイリーグラフ上に互いに同値な距離を与える。
定義 ― Xを集合とし、
d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }
を写像とする。dが以下の3つの条件(距離の公理という)を全て満たすとき、dはX上の距離関数、もしくは単にX上の距離(英: metric)といい、集合XとX上の距離dの組(X,d)の事を距離空間(英: metric space)という。
非退化性
∀ x , y ∈ X : d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y {\displaystyle \forall x,y\in X~:~d(x,y)=0\iff x=y}
対称性
∀ x , y ∈ X : d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle \forall x,y\in X~:~d(x,y)=d(y,x)}
三角不等式
∀ x , y , z ∈ X : d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle \forall x,y,z\in X~:~d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}
紛れがなければ距離空間(X,d)の事を単にXとも表記する。