剰余環
直観的には、I で割ることは「強制的に」X + 1 = 0 とすることに相当するから、つまり X = −1 という i を定義する性質を X(の剰余類)が持つことになる。
すぐ上の例と同様、一般に剰余環は体の拡大を構成することにもよく用いられる。K が体で、f が K[X] に属する既約多項式ならば L = K[X]/(f) は K 上の最小多項式が f であるような元による体の拡大とみなせる。また、これは K や x = X + (f) を含む体である。
同様の例として、剰余環は有限体の構成においても重要である。三元体 F3 = Z/3Z の場合、多項式 f(X) = X + 1 は F3 上で既約である(実際、F3 に根を持たない)。剰余環 F3[X]/(f) を構成すれば、これは 3 = 9 個の元を持つ体であり、F9 で表される。他の有限体も同様の方法で構成できる。
代数多様体の座標環は代数幾何学における剰余環の重要な例である。簡単な場合として、実代数多様体 V = {(x,y) | x = y} を実平面 R の部分集合とみる。V 上で定義される実数値多項式函数の全体が成す環は剰余環 R[X,Y]/(X − Y) に同一視されて、これを V の座標環とみなす。