反応速度式
A A 0 ≡ A n A 0 = ( e − k Δ t p ) n = ( f R P ) n = ( 1 − f B P ) n {\displaystyle {\frac {A}{A_{0}}}\equiv {\frac {A_{n}}{A_{0}}}=\left(e^{-k\Delta t_{p}}\right)^{n}=\left(f_{RP}\right)^{n}=\left(1-f_{BP}\right)^{n}}
となる。ここで、 f B P {\displaystyle f_{BP}} はそれぞれの区切りの中で反応する反応物の割合である。この方程式は反応物の全物質量に対して各区間ごとに反応する物質の割合は、初期濃度とは関係がないことを示している。半減期( Δ t p = ln  ( 2 ) / k {\displaystyle \Delta t_{p}=\ln(2)/k} )に等しい時刻では、反応した物質量は初期濃度のちょうど1/2である。
各区間ごとの平均反応速度nは次式で与えられる。
r a v g , n = − Δ A Δ t p = A n − 1 − A n Δ t p {\displaystyle r_{\mathrm {avg} ,n}=-{\frac {\Delta A}{\Delta t_{p}}}={\frac {A_{n-1}-A_{n}}{\Delta t_{p}}}}
ゆえに、区間の終わりに残っている反応物の濃度は次の区間での平均反応速度や区間の始まりでの反応物の濃度に関わってくる。
j {\displaystyle j} は1から R {\displaystyle R} までの反応の番号。
X i {\displaystyle {\ce {X}}_{i}} は i {\displaystyle i} 番目の化学種。
k j {\displaystyle k_{j}} は j {\displaystyle j} 番目の反応の速度定数
s i j {\displaystyle s_{ij}} と r i j {\displaystyle r_{ij}} は反応式における反応物および生成物の係数
この反応の反応速度は化学平衡の法則(英語版)から推測される。
f j ( [ X → ] ) = k j ∏ z = 1 N [ X z ] s z j {\displaystyle f_{j}([{\vec {\ce {X}}}])=k_{j}\prod _{z=1}^{N}[{\ce {X}}_{z}]^{s_{zj}}}
これは単位時間・単位体積あたりの物質の変化量で表される。ここで、 [ X → ] = ( [ X 1 ] , [ X 2 ] , ⋅ ⋅ ⋅ , [ X N ] ) {\displaystyle {\ce {[{\vec {X}}]=([X1],[X2],...,[X_{\mathit {N}}])}}} は濃度のベクトルである。ここで、この式が定義される反応は素反応である事に注意する。
正反応と逆反応が対になっている反応を平衡反応ということがある。例えば、AとBが反応してXとYに変わる反応と、XとYが変化してAとBに変わる反応が同時に起こる場合、反応式は次のように表される。(s、t、u、vは係数)
s A + t B ↽ − − ⇀ u X + v Y {\displaystyle {\ce {{{\mathit {s}}A}+{\mathit {t}}B<=>{{\mathit {u}}X}+{{\mathit {v}}Y}}}}
仮にそれぞれの反応が素反応だったとすると、反応速度は以下の式で表される。
r = k 1 [ A ] s [ B ] t − k 2 [ X ] u [ Y ] v {\displaystyle r={k_{1}[{\ce {A}}]^{s}[{\ce {B}}]^{t}}-{k_{2}[{\ce {X}}]^{u}[{\ce {Y}}]^{v}}\,}
反応 A ⟶ B ⟶ C {\displaystyle {\ce {A -> B -> C}}} についてそれぞれの反応の速度定数が k 1 {\displaystyle k_{1}} と k 2 {\displaystyle k_{2}} であるとき、それぞれの物質の時間当たりの変化量は以下のようになる。
反応物A: d [ A ] d t = − k 1 [ A ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=-k_{1}[{\ce {A}}]}
反応物B: d [ B ] d t = k 1 [ A ] − k 2 [ B ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]-k_{2}[{\ce {B}}]}
反応物C: d [ C ] d t = k 2 [ B ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {B}}]}
それぞれの濃度が反応物全体の物質量で測られる場合、これらのような線形微分方程式はマスター方程式として計算される。その微分方程式は解析的に解くことができ、解は以下のようになる。
[ B ] = k 1 k 1 + k 2 [ A ] 0 ( 1 − e − ( k 1 + k 2 ) t ) {\displaystyle [{\ce {B}}]={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t})}
[ C ] = k 2 k 1 + k 2 [ A ] 0 ( 1 − e − ( k 1 + k 2 ) t ) {\displaystyle [{\ce {C}}]={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t})}
と表される。
この場合、 [ B ] [ C ] = k 1 k 2 {\displaystyle {\frac {{\ce {[B]}}}{{\ce {[C]}}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}} が重要な関係式となる。
これは2分子による反応と、擬一次反応とみなせる加水分解が同時に起こっている場合に適用できる。並行反応によって反応物が一部消費されるため、加水分解の反応速度を調べるのは難しい。例えば、AとRが反応してCが生成するが、同時に加水分解が進行してAがBに変わると言った場合である。