時間依存ハートリー＝フォック方程式
すると、 | Φ 0 ⟩ {\displaystyle |\Phi _{0}\rangle } と直交しない任意のスレイター行列式 | Φ ⟩ {\displaystyle |\Phi \rangle } は、 | Φ 0 ⟩ {\displaystyle |\Phi _{0}\rangle } に対する粒子の生成演算子 a μ † {\displaystyle a_{\mu }^{\dagger }} 、空孔(ホール)の生成演算子 b i † {\displaystyle b_{i}^{\dagger }} を用いて次のように表せる。
| Φ ⟩ = exp  ( i G ) | Φ 0 ⟩ {\displaystyle |\Phi \rangle =\exp(iG)|\Phi _{0}\rangle }
G = ∑ μ i ( g μ i a μ † b i † − g μ i ∗ b i a μ ) {\displaystyle G=\sum _{\mu i}(g_{\mu i}a_{\mu }^{\dagger }b_{i}^{\dagger }-g_{\mu i}^{*}b_{i}a_{\mu })}
W ( r ) = 3 4 t 0 ρ ( r ) + 3 16 t 3 ρ 2 ( r ) + W 0 ∫ ρ ( r ′ ) exp  ( − μ | r − r ′ | ) μ | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle W(\mathbf {r} )={\frac {3}{4}}t_{0}\rho (\mathbf {r} )+{\frac {3}{16}}t_{3}\rho ^{2}(\mathbf {r} )+W_{0}\int \rho (\mathbf {r} '){\frac {\exp(-\mu |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}{\mu |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {r} '}
有効核力である湯川相互作用を加えたもの。W0 は核力の強さ、μ は核力の有効距離の逆数を表すパラメーター。
これを用いて TDHF の基礎方程式は
δ ⟨ Ψ 0 | e − i G ^ ( K ) { i ħ ∂ ∂ t − H ^ } e i G ^ ( K ) | Ψ 0 ⟩ {\displaystyle \delta \left\langle \Psi _{0}\left|e^{-i{\hat {G}}(K)}\left\{i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}\right\}e^{i{\hat {G}}(K)}\right|\Psi _{0}\right\rangle }
そして新しい正準変数の組 C μ i , C μ i ∗ {\displaystyle C_{\mu i},C_{\mu i}^{*}} が次のように定義される。
C μ i = { sin  η η + η η + η } μ i {\displaystyle C_{\mu i}=\left\{{\frac {\sin {\sqrt {\eta \eta ^{+}}}}{\sqrt {\eta \eta ^{+}}}}\eta \right\}_{\mu i}} 、 C μ i ∗ = { η + sin  η η + η η + } i μ {\displaystyle C_{\mu i}^{*}=\left\{\eta ^{+}{\frac {\sin {\sqrt {\eta \eta ^{+}}}}{\sqrt {\eta \eta ^{+}}}}\right\}_{i\mu }}