共形場理論
スケール普遍性は定義より以下の変換(ディラテーション)を示唆する。
1: スケール変換(計量の目盛りの変更)
さらに強く、共形不変性を要求すると
d: d次元時空の特殊共形変換(反転×平行移動×反転)
が加わる。この代数SO(d,2)を共形代数(conformal algebra)と呼ぶ。
場の理論の基本的な可観測量である相関関数(場の演算子の積の真空期待値)は共形代数によって強い制限を受ける。特にユニタリな共形場の理論においては、例えばスカラー演算子の二点関数は ⟨ φ ( x ) φ ( y ) ⟩ = 1 | x − y | Δ φ {\displaystyle \langle \phi (x)\phi (y)\rangle ={\frac {1}{|x-y|^{\Delta _{\phi }}}}} と定まってしまう。ここで、 Δ φ {\displaystyle \Delta _{\phi }} は演算子 φ {\displaystyle \phi } のスケーリング次元と呼ばれる(理論依存の)パラメータである。