ラマヌジャンの合同式
1944年にフリーマン・ダイソンは分割のランク(英語版)(rank)と呼ばれる量を導入し、5と7を法としたときのラマヌジャンの合同式の組合せ論的解釈に関する予想を提示した。さらにダイソンは分割のクランク(英語版)(crank)と呼ばれる量が存在することを予想し、11を法としたときについても組合せ論的解釈が可能であることを予言した。ダイソンが導入したランクは分割における最大の和因子から和因子の個数(分割の長さ)を引いた差で定義される。正の整数 n のランク m の分割の個数を N(m, n) と表し、t を法としたときにランクが m と合同な分割の個数を N(m, t, n) と表す。ダイソンは
N ( 0 , 5 , 5 n + 4 ) = N ( 1 , 5 , 5 n + 4 ) = N ( 2 , 5 , 5 n + 4 ) = N ( 3 , 5 , 5 n + 4 ) = N ( 4 , 5 , 5 n + 4 ) = p ( 5 n + 4 ) 5 {\displaystyle {\begin{aligned}N(0,5,5n+4)=&N(1,5,5n+4)=N(2,5,5n+4)\\=&N(3,5,5n+4)=N(4,5,5n+4)\\=&{\frac {p(5n+4)}{5}}\end{aligned}}}
マクマホンの表からラマヌジャンはこれらの関係式が成り立っていることに気づき、1919年に1番目と2番目の関係式の証明を与えた。3番目の関係式については、ラマヌジャンの没後、1921年にハーディによってラマヌジャンの証明の論文が出版された
実際に p(5m+4), p(7m+5), p(11m+6)のいくつかを書き下すと次のようになる。
ラマヌジャンの合同式はある素数 l とある整数 β について、
p ( l m + β ) ≡ 0 ( mod l ) , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ {\displaystyle p(lm+\beta )\equiv 0{\pmod {l}},\,m=0,1,2,\cdots }
の形をしている。ラマヌジャン自身はこうした合同式は稀であると考えていたが、スコット・アールグレンとマシュー・ボイランは、この関係式を満たす素数 lと整数 β (0 ≤ β ≤ l-1)の組が (l, β)=(5,4), (7, 5), (11, 6)、すなわち、ラマヌジャンの合同式の場合に限られることを示した。