ユークリッド・オイラーの定理
数学の整数論におけるユークリッド・オイラーの定理(ゆーくりっど・おいらーのていり、英: Euclid–Euler theorem)は、偶数の完全数、すなわち「自身を除く約数の総和が再び自身に等しい偶数」に関する特徴づけを述べた定理である。古代ギリシアのエウクレイデスが偶数が完全数になる十分条件を『原論』において与え、それから2000年の時を経てレオンハルト・オイラーがその条件が必要条件でもあること、したがって偶数が完全数であるための必要十分条件であることを証明した。定理の主張は次の通りである。
定理 ― 自然数 n について、メルセンヌ数 2 − 1 が素数であるとき、2(2 − 1) は偶数の完全数である。逆に、全ての偶数の完全数は、ある自然数 n によって 2(2 − 1) と表すことができ、このとき 2 − 1 は(メルセンヌ)素数である。
例えば、偶数 6 は自身を除く約数の和が 1 + 2 + 3 = 6 自身となる完全数である。これは n = 2 として 6 = 2 ⋅ 3 = 2(2 − 1) と表せる。ここで、3 = 2 − 1 は素数である。ユークリッド・オイラーの定理はこのような関係が常に成り立つという定理である。
なお、偶数の完全数が無数にあるかどうか(すなわちメルセンヌ素数が無数に存在するかどうか)は未解決問題である。また、奇数の完全数が存在するかどうかも未解決問題であり、仮に存在するとしても必ず10より大きいことが示されている。