グモウスキー・ミラの写像
適当な初期条件 x0 = (x0, y0) を与え、写像を繰り返し適用することで離散力学系は (x0, x1, x2,...)という軌道を作る。軌道は相平面(x-y平面)上で点列となる。グモウスキー・ミラの写像はあるパラメータ範囲でストレンジアトラクタを持っている。周りの軌道を吸引する部分空間があり、その部分空間上で軌道は非周期で初期値に鋭敏な点列である。一方で、その部分空間自体は不変で一定の形状を有している。このような部分空間をストレンジアトラクタと呼ぶ。
グモウスキー・ミラの写像は多種多様な形状のストレンジアトラクタが現れることで知られる。グモウスキー・ミラの写像は美的な創作にも利用されてきた。特に、f2 と g1 から成る写像における鳥の羽のようなアトラクタは有名で、パラメータ (α, σ, μ) が (0.008, 0.05, −0.496) のときには3枚羽の翼が、 (0.009, 0.05, −0.801) のときには5枚羽の翼が描かれる。ミラはこれらを「神話の鳥 (mythic bird)」と名付けた。
パラメータの値によってはストレンジアトラクタ以外のアトラクタも現れ、安定な周期点のアトラクタも現れる。
アトラクタが存在する場合、軌道は十分な時間経過後にアトラクタに落ち着く。初期条件からアトラクタに引き付けられるまでの軌道を「過渡状態」などという。グモウスキー・ミラの写像の振る舞いの一つとして、過渡状態の軌道がロジスティック写像の分岐図のような軌道を取ることがある。ロジスティック写像は
x n + 1 = a x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})}
という形で与えられる1次元写像である。分岐図(あるいは軌道図)はパラメータとアトラクタの様相を描くもので、ロジスティック写像の分岐図は横軸にパラメータ a を取り、縦軸に十分な時間経過後の軌道の値をプロットして描かれる。相平面上の軌道とはx-y平面上に x0, x1, x2,... という点列を描くもので、分岐図とは別物である。
しかし、グモウスキー・ミラの写像