L-函数の特殊値
ライプニッツの π の公式
1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 {\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}\!}
は L 函数の特殊値の一例である。左辺はあるディリクレ級数 L(s, χ) の s=1 での値と思えるが、これは類数公式によりガウスの有理数体 Q(i) の類数と関係がつく。そしてこの公式は Q(i) の類数が1であることと関係している。このように、L 函数の特殊値には整数論において重要な不変量が現れる。
同様のことがモチーフの L 函数に対しても成り立つであろうと予想されている。最も一般的で精密な予想は同変玉河数予想(equivariant Tamagawa number conjecture, ETNC)と呼ばれる予想である。
歴史的には、まず楕円曲線の L 函数の特殊値に関するバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想があった。そしてピエール・ドリーニュによってモチーフの L 函数の特殊値に関する予想が提出された。ドリーニュの予想はクリティカル・モチーフというモチーフに対するもので、このモチーフの L 函数の特殊値を有理数倍による違いを除いて予想するものだった。これはライプニッツの π の公式でいうと円周率の部分を予想したことに相当する。この予想はドリーニュ予想と呼ばれている。
次にアレクサンダー・ベイリンソンがクリティカルという仮定を外しドリーニュ予想を一般化した。