アフィン接続
アフィン接続は、多様体 M の標構バンドル(英語版) FM や GL(M) 上の主 GL(n) 接続 ω としても定義することができる。さらに詳しくは、ω は、次の 2つの条件を満たす、標構バンドルの接バンドル T(FM) から n×n 行列の空間への滑らかな写像である(それらは、可逆な n×n 行列であるリー群 GL(n) のリー代数 gl(n) である)。
ω は T(FM) や gl(n) 上の作用に関して、同変(英語版)である。
gl(n) の任意の ξ に対して ω(Xξ) = ξ である。ここに Xξ は ξ に対応する FM 上のベクトル場である。
そのような接続 ω は直ちに、接バンドル上のみならず随伴した(英語版)ベクトルバンドル上を、GL(n) の任意の群表現への共変微分の定義を拡張した。これはテンソルやテンソル密度(英語版)(tensor densities)のバンドルを意味している。
接平面が曲面と接触する点は、平行移動の下に曲線とともに常に移動する(すなわち、接平面が曲面上を転がっていきつつ、その接触点も移動していく)。この基本的条件はカルタン接続の特徴である。より現代的アプローチでは、接触点は接平面の原点と見なすことができ(従って接空間はベクトル空間である)、原点の移動は変換により修正され、従って平行移動はアフィンというよりも線型となる。
しかしながら、カルタン接続の観点では、ユークリッド空間のアフィン部分空間は、モデル曲面 - 3次元ユークリッド空間の中の最も単純な曲面であり、平面のアフィン群の下に等質 - であり、すべての滑らかな曲面は各々の点で接する一意にモデル曲面を持つ.これらのモデル曲面は、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味でのクラインの幾何学である。より一般的には、n 次元アフィン空間はアフィン群 Aff(n) のクライン幾何学である。点の安定化因子は一般線型群 GL(n) である。従って、n-次元アフィン多様体は、無限小を考えると n-アフィン空間のように見える多様体である。
アフィン接続は曲線の発展(英語版)(development)の考え方を定義する。直感的には発展は、M の中の xt をとると、x0 でのアフィン接空間は曲線に沿って「回る」という考え方である。そのようにすると、接空間と多様体の間のマークされた接触点は、このアフィン空間の中の曲線 Ct の軌跡、 xt の発展を描く。
定式化すると、τt : TxtM → Tx0M をアフィン接続に伴った線型平行移動写像とすると、発展 Ct は Tx0M の中の 0 を起点とし、xt の接線に平行で、すべての時間 t に対し
C ̇ t = τ t 0 x ̇ t , C 0 = 0 {\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}
となる。
特に、xt が測地線であることと、その発展が Tx0M の中のアフィン的にパラメトライズされた直線であることとは同値である