無理回転
円周の回転に関する歪積(Skew product)について:1969年にウィリアム・ヴィーチ(William Veech)は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した:「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が 0 となるような長さ 2πα の区分 J を反時計回りに取る。θ を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点 p を始点とする。軌道が J に到達するまで、2πθ によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、J に到着するまで 2πθ によって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、θ が無理数であるなら、システムは極小であるがルベーグ測度が一意にエルゴード的でないような無理数 α が存在することを示した」。