平面波
前述の cn は y を固定するごとに定まるので、cn は y についての関数と考えることが出来る。cn の定義により、cn もまた、y について(1変数の意味で)周期1の周期関数である。
実際、F(x, y) は、周期 E2 を持つため、F(x, y) = F(x, y + 1) である。従って、
c n ( y + 1 ) = ∫ 0 1 F ( x , y + 1 ) exp  ( 2 π i n x ) d x = ∫ 0 1 F ( x , y ) exp  ( 2 π i n x ) d x = c n ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}(y+1)&=\int _{0}^{1}F(x,y+1)\exp(2\pi inx)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}F(x,y)\exp(2\pi inx)\,\mathrm {d} x\\&=c_{n}(y)\end{aligned}}}
正弦平面波は、正弦波の多次元への拡張の1つで、代表的な平面波である。正弦平面波には、実正弦平面波と複素正弦平面波がある。正弦平面波のことを単に平面波ということもあるが、正弦平面波ではない平面波もある。
aj , θj (j = 1, 2, ... , m )を実定数(ただし aj ≥ 0)としたときに、重ね合わせ
∑ j = 1 m a j cos  i θ j {\displaystyle \sum _{j=1}^{m}a_{j}\cos i\theta _{j}}
を計算する問題を考える。
オイラーの公式より、複素数をベクトルのように表記して
a j exp  i θ j = a j ( cos  θ j sin  θ j ) {\displaystyle a_{j}\exp i\theta _{j}=a_{j}{\begin{pmatrix}\cos \theta _{j}\\\sin \theta _{j}\end{pmatrix}}} (2-1)
と見なすことができる。
式(2-1)の右辺に、ベクトルの平行四辺形則を適用すると
{ a = | ∑ j = 1 m a j exp  i θ j | θ = arg  ∑ j = 1 m a j exp  i θ j {\displaystyle {\begin{cases}a=\left|\sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\right|\\\theta =\arg \sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\\\end{cases}}} (2-2)
としたときに、
a cos  θ = ∑ j = 1 m a j cos  i θ j {\displaystyle a\cos \theta =\sum _{j=1}^{m}a_{j}\cos i\theta _{j}}
実数または複素数に値を取る実 d 変数関数 Ψ が時間変数を持たない平面波であるとは、周期 2π の実1変数の周期関数 f と、波数ベクトルと言われる d 次元実定数ベクトル k(但し k ≠ 0)を用いて、
Ψ ( x ) = f ( 2 π k ⋅ x ) {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {x}})=f(2\pi {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}})}
と表されることを意味する。
F を実数値あるいは複素数値の実 d 変数関数とし、τ を d 次元の実定数ベクトルとする。このとき、τ が F の周期であるとは、任意の d 次元実数ベクトル x に対し F(x + τ) = F(x)であることを意味する。
定理1 ― F を実数値あるいは複素数値の実 d 変数関数としたとき、
0 は、F の周期である。
d 次元の実定数ベクトル τ1 と τ2 が F の周期であれば、τ1 + τ2 も F の周期である。
z が整数であり、τ が F の周期であるとき、zτ も F の周期である。
ここで、τ が F の周期であったとしても、√2τ や τ/2 が F の周期であるとは限らない。
定理1から帰納的に以下の定理2が示される。
定理2 ― τ1, τ2, ..., τl が F の周期で、z1, z2, ..., zl が整数であるとき、
z 1 τ 1 + ⋯ + z l τ l {\displaystyle z_{1}\tau _{1}+\cdots +z_{l}\tau _{l}}
もまた、F の周期である。