ベルヌーイ多項式
ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式は、逆にこれらの多項式列の各項を用いて単項式を表すことができる。
具体的には、#積分表示で書いたことから、
x n = 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( n + 1 k ) B k ( x ) {\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}
x n = E n ( x ) + 1 2 ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) E k ( x ) {\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x)}
と分かる。
{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\,}
また、最初のいくつかのnに対するオイラー多項式は以下のようになる。
E 0 ( x ) = 1 {\displaystyle E_{0}(x)=1\,}
E 1 ( x ) = x − 1 2 {\displaystyle E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\,}
E 2 ( x ) = x 2 − x {\displaystyle E_{2}(x)=x^{2}-x\,}
E 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 4 {\displaystyle E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\,}
E 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x {\displaystyle E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x\,}
E 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 2 x 2 − 1 2 {\displaystyle E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\,}
E 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x . {\displaystyle E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\,}
ベルヌーイ多項式のフーリエ級数は、
B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos  ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}}
なる式で与えられるディリクレ級数でもある(単純に n が大きいとき、適当にスケール変換された三角函数に近づくことに注意せよ)。
これはフルヴィッツのゼータ函数に対する同様の表示の特別の場合
B n ( x ) = − Γ ( n + 1 ) ∑ k = 1 ∞ exp  ( 2 π i k x ) + e i π n exp  ( 2 π i k ( 1 − x ) ) ( 2 π i k ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}}