ガロア理論の基本定理
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。(中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。)この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。
G = { 1 , f , f 2 , g , g f , g f 2 } . {\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}.}
である。
G の部分群と対応する部分体は次のようになる。
いつものように全体 G は基礎体 Q に対応し、自明な群 {1} は K 全体に対応する。
位数 3 の群、{1, f, f} が唯一、存在する。対応する部分体は Q(ω) であり、これは Q 上、次数 2 であり(ω 最小多項式は x + x + 1 )、G の指数 2 の G の部分群であるという事実に対応している。また、この部分群は正規部分群で、Q 上で正規な体であるという事実に対応している。
位数 2 の部分群が 3個存在し、{1, g}, {1, gf}, {1, gf} で、これらがそれぞれ 3つの部分体 Q(θ), Q(ωθ), Q(ωθ) に対応している。3つの部分体は Q 上、次数 3 の部分体であり、指数 3 をもつ G の部分群に対応している。注意すべきは、部分群が G で正規部分群ではなく、この事実は部分体は Q 上、ガロア的になっていないという事実に対応している。例えば、Q(θ) は多項式 x−2 の根を一つしか持っていないので、Q 上、正規ではありえない。