カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理
真性特異点を持つ関数の例として
f ( z ) = e 1 / z {\displaystyle f(z)=e^{1/z}}
を挙げる。任意の v ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} について
z = 1 log  v + 2 π i n , n ≥ 1 2 π δ + 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\log v+2{\pi }in}},\quad {n\geq {\frac {1}{2\pi \delta }}+1}}
とすれば、 | z | < δ {\displaystyle \left|z\right|<\delta } で f ( z ) = v {\displaystyle f(z)=v} となることが確かめられる。カゾラーティの定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。但し、カゾラーティの定理は全ての値について「それに限りなく近い値」を取るとしか主張していない。ピカールの定理は、「それに限りなく近い値」しか取らないという値が高々唯一の例外であることを主張する。
背理法を用いる。
∃ ε > 0 , ∃ v ∈ C , ∀ z ∈ U δ , | f ( z ) − v | ≥ ε {\displaystyle \exists {\epsilon >0},\exists {v\in \mathbb {C} },\forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|\geq \epsilon }
であると仮定し、
F ( z ) = 1 f ( z ) − v {\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)-v}}}
と置けば、
| F ( z ) | = 1 | f ( z ) − v | ≤ 1 ε ( z ∈ U δ ) {\displaystyle \left|F(z)\right|={\frac {1}{\left|f(z)-v\right|}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}\qquad \left(z\in \mathbb {U} _{\delta }\right)}
となるので、 F {\displaystyle F} は U δ {\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }} で正則である。