ランデン変換
sin  β = ( 1 + k ) sin  α 1 + k sin 2  α {\displaystyle \sin \beta ={\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }}}
のときに
u = F ( α , k ) = 1 1 + k F ( β , 2 k 1 + k ) {\displaystyle u=F\left(\alpha ,k\right)={\tfrac {1}{1+k}}F\left(\beta ,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)} sn  ( u , k ) = sin  α {\displaystyle \operatorname {sn} \left(u,k\right)=\sin \alpha } sn  ( ( 1 + k ) u , 2 k 1 + k ) = sin  β {\displaystyle \operatorname {sn} \left((1+k)u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)=\sin \beta }
であるから
の置換により導かれる。