超実数
X がチコノフ空間(英語版)(T31⁄2-空間)で C(X) を X 上の実数値連続函数全体の成す多元環とする。M が C(X) の極大イデアルならば、商環 F = C(X)/M は実数体 R を含む全順序体である。F が真に R を含むとき、(Hewwitt (1948) に従い)M を超実イデアル (hyperreal ideal)、F を超実体 (hyperreal field) と呼ぶ。ここでは F の濃度が R の濃度より真に大きいことは仮定していないことに注意せよ(実際に同じ濃度を取り得る)。
特に重要な場合は X の位相が離散位相のときである。この場合、X はその基数 κ に同一視することができ、C(X) は κ から R への函数全体の成す実多元環 R に同一視される。このとき得られる超実体は R の超冪 と呼ばれる。これはモデル論における超冪と同一である。
無限小を含むような論法の健全性に関する歴史は、アルキメデスがそのような証明を取り尽くし法など他の手法によって置き換えた、古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にはロビンソンが、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなければ、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。
超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる。例えば、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することがある。つまり、f (x) の導関数は、
f ′ ( x ) = s t ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) {\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}
になる。 ただし、Δx は無限小超実数で、st(・) とは有限超実数から実数への関数で、「有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数」という標準部関数(英語版)である。積分も同様に、適切な無限和の標準部によって定義される。