自己認識論理
自己認識論理の意味論は推論の展開に基づくもので、命題論理のそれと類似した役割を持つ。命題論理モデルでは個々の原子項の真偽を指定するが、この拡張においては個々の論理式 ◻ F {\displaystyle \Box F} の真偽を指定する。特に自己認識論理式 T の展開は、 T {\displaystyle T} に含まれる全ての部分論理式 ◻ F {\displaystyle \Box F} についてこの指定をする。 ◻ {\displaystyle \Box } を含む全ての部分論理式は真偽のどちらかなので、この指定は T {\displaystyle T} を命題論理式として扱うことを可能にする。特にこの条件において、 T {\displaystyle T} が F {\displaystyle F} を内含するかどうかは命題論理の規則でチェック可能である。初期の前提が展開であるため、部分論理式 F {\displaystyle F} が内含されるのは、 ◻ F {\displaystyle \Box F} が初期の前提として真とされた場合のみである。
例えば、論理式 T = ◻ x → x {\displaystyle T=\Box x\rightarrow x} において、ボックス部分論理式は ◻ x {\displaystyle \Box x} のひとつだけである。従って、考慮すべき展開は真と偽の2種類だけである。実際には、以下のようになる。
T {\displaystyle T} は x {\displaystyle x} を内含する。従って ◻ x {\displaystyle \Box x} が真であるという当初の前提に含まれる暗黙の前提、すなわち x {\displaystyle x} が真であると知られていることは充足している。結果として、これはもう1つの展開である。
従って論理式 T {\displaystyle T} は2つの展開を持ち、その1つでは x {\displaystyle x} は未知であり、もう1つでは x {\displaystyle x} は既知である。後者の場合、 ◻ x {\displaystyle \Box x} が真であるという初期前提が x {\displaystyle x} が真であることの唯一の裏づけであるため、直観的でない。言い換えれば、これは自立した仮定である。このような自立した信念を扱う論理を not strongly grounded と言い、そうでない論理を strongly grounded と言う。strongly grounded な自己認識論理も存在する。