ネイマン・ピアソンの補題
ネイマン・ピアソンの補題(ネイマン・ピアソンのほだい)とは、統計学的仮説検定に関する補題。
2つの仮説 H0: θ=θ0 と
H1: θ=θ1
の間で仮説検定を行う際に、H1を支持しH0を排除するような、次に示す尤度比による尤度比検定:
Λ ( x ) = L ( x ∣ θ 0 ) L ( x ∣ θ 1 ) ≤ k {\displaystyle \Lambda (x)={\frac {L(x\mid \theta _{0})}{L(x\mid \theta _{1})}}\leq k}
(ただしここで P r ( Λ ( X ) ≤ k | H 0 ) = α {\displaystyle Pr(\Lambda (X)\leq k|H_{0})=\alpha } とする)が、サイズ(危険率、第一種過誤) α {\displaystyle \alpha } の仮説検定の中で最もパワー(検出力) 1 − β {\displaystyle 1-\beta } が大きい、というものである( β {\displaystyle \beta } は第二種過誤)。 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 、 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} が単純仮説であれば一様最強検出力検定となる。
「αを決めておき、その中で検出力が最も大きい検定法を選択する」という方針をネイマン・ピアソンの基準という。この補題はその方法を具体的に与えるものである。ただしこの尤度比検定法が直接用いられるよりも、近似が用いられることが多い。
P r ( X ∈ R N P ∩ R A c | H 1 ) = ∫ R N P ∩ R A c f ( x ∣ θ 1 ) d x ≥ 1 k ∫ R N P ∩ R A c f ( x ∣ θ 0 ) d x by definition of R N P = 1 k P r ( X ∈ R N P ∩ R A c | H 0 ) ≥ 1 k P r ( X ∈ R N P c ∩ R A | H 0 ) = 1 k ∫ R N P c ∩ R A f ( x ∣ θ 0 ) d x > ∫ R N P c ∩ R A f ( x ∣ θ 1 ) d x by definition of R N P = P r ( X ∈ R N P c ∩ R A | H 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{1})&=\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}f(x\mid \theta _{1})\,dx\\[4pt]&\geq {\frac {1}{k}}\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}f(x\mid \theta _{0})\,dx&&{\text{by definition of }}R_{NP}\\[4pt]&={\frac {1}{k}}Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{0})\\[4pt]&\geq {\frac {1}{k}}Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{0})\\[4pt]&={\frac {1}{k}}\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}f(x\mid \theta _{0})\,dx\\[4pt]&>\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}f(x\mid \theta _{1})\,dx&&{\text{by definition of }}R_{NP}\\[4pt]&=Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{1})\end{aligned}}}