N体シミュレーション
N {\displaystyle N} 体シミュレーションはエネルギーが保存するため、時間積分子としてリープ・フロッグ法などのシンプレクティック数値積分法がしばしば採用される。例えば太陽系の高精度シミュレーション、宇宙論的構造形成など。
衝突系では後述する可変時間刻みと相性の良い予測子修正子法やエルミート積分子も用いられる。
衝突系において近距離発散に対処するために可変時間刻み幅を用いる場合、時間ステップが際限なく小さくなり、シミュレーションがほとんど進まなくなってしまう。しかしながら、二体問題における近距離重力に起因する特異性は見かけのものであり、適切な変数変換により除去することができる。この手続きは正則化 (regularization) として知られる。
Burdet-Heggie正則化は、時間座標 t {\displaystyle t} を近接粒子の距離に応じて調整することで特異性を除去するもので、新しい時間座標 τ {\displaystyle \tau } を二体の粒子間距離 r {\displaystyle r} と真の時間 t {\displaystyle t} から
d τ = d t r {\displaystyle d\tau ={\frac {dt}{r}}}
により定義するものである。このとき二体の相対位置ベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } の従う方程式は
d 2 r d τ 2 − 2 E 2 r = − e + r 2 g {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}-2E_{2}\mathbf {r} =-\mathbf {e} +r^{2}\mathbf {g} }
へと帰着される。