分解型八元数
分解型八元数の全体は、通常の八元数と同様に非可換かつ非結合的である。またやはり通常の八元数と同様に合成代数を成す(これはノルム N が乗法的、すなわち N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\textstyle N(xy)=N(x)N(y)} を満たすことを意味する)。分解型八元数の全体はムーファング恒等式(英語版)を満足し、それゆえ交代代数を成す。したがって、アルティンの定理(英語版)により、任意の二つの分解型八元数が生成する部分多元環は結合的である。可逆な分解型八元数の全体 {x | N(x) ≠ 0} はムーファングループ(英語版)を成す。