図形の合同
二つの多角形が合同であるためには、それらの辺の数が(従って頂点の数も)等しくなければならない。n-辺形が互いに合同となるための必要十分条件は、それらが持つ n 個の辺と n 個の角を「辺-角-辺-角-...」のように順番に辿る(場合によっては一方を時計回りに、他方を反時計回りに辿ることを許すこともある)とき、それらの数値が数列として一致することである。
多角形の合同は、以下のように視覚的に述べることができる:
二つの図形の対応する頂点を合わせてラベルを付ける。
一方の図形から他方へ向けて、互いの図形の対応する頂点の間に矢印を書き、矢印に従った「平行移動」によって一組の頂点同士を一致させる。
平行移動で一致させた頂点の周りの「回転」によって一組の対応する辺同士を一致させる。
回転で一致させた辺に関する「鏡映」によって図形の残りの部分を一致させる。
この各ステップの何れかの部分で完遂できないことがあるならば、それらの図形は合同でないことになる。
ユークリッドの運動のどの操作も、三角形のそれぞれの辺の長さや角の大きさを変えない。逆に2つの三角形が、互いに等しい長さの辺を持ち、対応する角も全て等しければ、2つは合同であることが分かる。つまり、3つの辺全てが等しく、三つの角も全て等しいということは、合同であるための必要十分条件である。この条件はもう少し簡単にすることができる。それが以下の3つである。