多変数微分積分学
多変数微積分学における極限と連続性の研究は、1変数関数による微分積分学では論証されないような様々な非直感的な成果を生み出した。例えば、2変数のスカラー関数であって、定義域に、任意の直線に沿って近づくと特定の極限を与えるが、放物線に沿って近づくと異なる極限を与えるような点を持つものが存在する。例えば、次の関数
f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 {\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}
は原点を通る任意の直線に沿って0(ゼロ)に近づく。しかしながら、放物線 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} に沿って原点に近づく場合、この関数の極限は0.5である。同一の点に向かって異なる経路を選択することで、それぞれの場合に対し異なる極限が得られるので、極限は存在しない。
「各変数に関して連続である」ことは「多変数函数としての連続性」(multivariate continuity) には十分でない。