リーマン＝スティルチェス積分
積分函数 g を確率変数 X のルベーグ測度に関する確率密度函数を持つ累積分布函数とし、f が期待値 E(|f(X)|) が有限となる任意の函数とするとき、X の確率密度函数は g の導函数で、
E ( f ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} (f(X))=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,dx}
が成立する。しかし、この公式は X がルベーグ測度に関する確率密度函数を持たないときには意味を成さない。特に X が離散分布(確率が点質量によって割り当てられる)のときには適用できない。また、たとえ累積分布函数が連続でも、g が絶対連続でない場合にはうまくいかない(この場合もカントール函数を考えると反例になる)。しかし、スティルチェス積分を用いれば、等式
E ( f ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ f d g {\displaystyle \mathbb {E} (f(X))=\int _{-\infty }^{\infty }f\,dg}
は、実数直線上の「任意の」累積分布函数 g に対して病的な振る舞い (ill-behaved) もなく成立する。特に、確率変数 X の累積分布函数 g に対して、モーメント E(X) が存在するならば、
E ( X n ) = ∫ − ∞ ∞ x n d g ( x ) {\displaystyle \mathbb {E} (X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,dg(x)}
なる等式が問題なく成立する。
数学の微分積分学周辺分野におけるリーマン=スティルチェス積分(リーマンスティルチェスせきぶん、英: Riemann–Stieltjes integral)は、ベルンハルト・リーマンとトーマス・スティルチェスに名を因む、リーマン積分の一般化である。
U ( P , f , g ) − L ( P , f , g ) < ε {\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon }
とできること、すなわち f が g に関してダルブー=スティルチェス可積分となることである。さらに言えば、g が [a, b] 上非減少かつ f が g に関してダルブー=スティルチェス可積分ならば、f は g に関して(古典的な意味で)リーマン=スティルチェス可積分である(十分条件、Graves (1946, Chap. XII, §3)を参照)。
このようにダルブー=スティルチェス積分とリーマン=スティルチェス積分は双方がともに定義されるとき一致するので、ダルブー=スティルチェス積分によって(すなわち過剰和と不足和が一致するときのダルブー=スティルチェス和として)リーマン=スティルチェス積分を定義することがある。
f が有界、g が非減少のとき、f, g が不連続点を共有しないならば、f の g に関するふたつのスティルチェス積分は存在して一致する。そうでないとき、一般にリーマン=スティルチェス可積分ならばダルブー=スティルチェス可積分だが、ダルブー=スティスチェス積分が存在しても必ずしもリーマン=スティルチェス可積分であるとは限らない。