回転行列
3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ次の通りである:
R x ( θ ) = [ 1 0 0 0 cos  θ − sin  θ 0 sin  θ cos  θ ] {\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
R y ( θ ) = [ cos  θ 0 sin  θ 0 1 0 − sin  θ 0 cos  θ ] {\displaystyle R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
R z ( θ ) = [ cos  θ − sin  θ 0 sin  θ cos  θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
ここで回転の方向は、 R x {\displaystyle R_{x}} はy軸をz軸に向ける方向、 R y {\displaystyle R_{y}} はz軸をx軸に向ける方向、 R z {\displaystyle R_{z}} はx軸をy軸に向ける方向である。
2次元ユークリッド空間では、原点中心の θ 回転(反時計回りを正とする)の回転行列は、以下の形で表すことができる。
R ( θ ) = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
なぜならば、原点中心に θ 回転して点 (x, y) が (x ', y ') に写るとすると、図形的考察または三角関数の加法定理より、x ', y ' は以下のように表されることが分かる。
x ′ = x cos  θ − y sin  θ {\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }
y ′ = x sin  θ + y cos  θ {\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }
このことを行列の積で表すと、
[ x ′ y ′ ] = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } , δ {\displaystyle \delta } (ただし β = γ ∗ {\displaystyle \beta =\gamma ^{*}} , δ = α ∗ {\displaystyle \delta =\alpha ^{*}} を満たすものとする)を用いて