ピカールの定理
とする。 J ( v ) {\displaystyle J(v)} は | v | < 1 {\displaystyle |v|<1} で正則であり、 J ( v ) − w {\displaystyle J(v)-w} が根を持たない | w | < 4 ( 1 − | t | ) G ′ ( t ) {\displaystyle |w|<{\frac {4}{(1-|t|)G'(t)}}} が存在する。 これを微分すると
J ′ ( v ) = ( 1 − | u 1 | ) H ′ ( 1 − | u 1 | 2 v + u 1 ) {\displaystyle J'(v)=(1-|u_{1}|)H'\left({\frac {1-|u_{1}|}{2}}v+u_{1}\right)}
となる。 | J ′ ( 0 ) | = | H 1 ( u 1 ) | = 1 {\displaystyle |J'(0)|=|H_{1}(u_{1})|=1} である。 | J ′ ( v ) | {\displaystyle |J'(v)|} の最大値は、最大値の原理により
sup | v | < 1 | J ′ ( v ) | ≤ sup | u | = 1 + | u 1 | 2 ( 1 − | u | ) | H ′ ( u ) | ≤ ( 1 − | u 1 | ) 2 1 + | u 1 | ≤ 2 {\displaystyle \sup _{|v|<1}|J'(v)|\leq \sup _{|u|={\tfrac {1+|u_{1}|}{2}}}(1-|u|)|H'(u)|\leq (1-|u_{1}|){\frac {2}{1+|u_{1}|}}\leq 2}
F 2 ( t ) ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F_{2}(t)\neq \{0,1\}} であるから F 3 ( t ) {\displaystyle F_{3}(t)} は正則であり、 F 3 ( t ) ≠ { 0 , ± i } {\displaystyle F_{3}(t)\neq \{0,\pm {i}\}} である。故に G ( t ) {\displaystyle G(t)} は正則であり
G ( t ) ≠ w ∈ { sinh − 1  n + i π m | ( n , m ) ∈ Z 2 } {\displaystyle G(t){\neq }w\in \{\sinh ^{-1}{\sqrt {n}}+i\pi {m}|(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\}}
である。従って、任意の a ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {C} } について、 G ( t ) + a − w {\displaystyle G(t)+a-w} が根を持たない | w | < 2 {\displaystyle |w|<2} が存在する。 t {\displaystyle t} を固定して