垂直接線
関数 ƒ が点 x = a において垂直接線を持つための十分条件は、その導関数を得る際に用いる差分商が無限大の極限を持つことである:
lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = + ∞ or lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = − ∞ . {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=+\infty \quad {\text{or}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=-\infty .}
上の第一式は、傾きが上向きの垂直接線に対応し、第二式は下向きの垂直接線に対応する。非公式的な言い方をすれば、ƒ のグラフの x = a において垂直接線が存在するための十分条件は、その点における ƒ の導関数が正か負の無限大であることである。
連続関数に対し、導関数の極限を取ることにより、垂直接線を見つけることがしばしば可能となる。もし
lim x → a f ′ ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=+\infty }
であるなら、ƒ は x = a において傾きが上向きの垂直接線を必ず持つ。同様に、もし
lim x → a f ′ ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=-\infty }
であるなら、ƒ は x = a において傾きが下向きの垂直接線を必ず持つ。それらいずれの状況においても、ƒ の垂直接線はその導関数のグラフの垂直漸近線として得られる。