リンドハード理論
ここで E k = ħ ε k {\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}} 、 V q = 2 π e 2 ε q L 2 {\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}} 、 ω p l 2 ( q ) = 2 π e 2 n q ε m {\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}} を用いた。
次に静止極限( ω + i δ → 0 {\displaystyle \omega +i\delta \to 0} )を考える。 リンドハード公式は次のようになる。
ε ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k f k − q − f k E k − q − E k {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}} .
分母と分子に上記の式を代入すると、
ε ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k , i − q i ∂ f ∂ k i − ħ 2 k → ⋅ q → m = 1 − V q ∑ k , i q i ∂ f ∂ k i ħ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}
熱平衡におけるフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、
まず長波長極限( q → 0 {\displaystyle q\to 0} )を考える。 リンドハード公式の分母について、
E k − q − E k = ħ 2 2 m ( k 2 − 2 k → ⋅ q → + q 2 ) − ħ 2 k 2 2 m ≃ − ħ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}} ,
また分子について、
f k − q − f k = f k − q → ⋅ ∇ k f k + ⋯ − f k ≃ − q → ⋅ ∇ k f k {\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}} .
これらをリンドハード公式に代入し、極限 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} をとると、