ロジスティック写像
コンピューターシミュレーションや情報セキュリティ分野では、計算機で擬似乱数を作成することが重要な技術の一つで、擬似乱数を作る手法の一つとしてカオスの活用が考えられる。カオスからの擬似乱数生成器で十分な性能を持つものはまだ実現されていないが、これまでにいくつかの手法が提案されてきた。ロジスティック写像についても、これまでにカオスに基づく擬似乱数生成器の可能性が複数の研究者たちによって調べられてきている。
ロジスティック写像の擬似乱数生成には、パラメータ a = 4 がよく利用されている。歴史的にも、後述の通り、電子計算機の誕生から間もない1947年にスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンも a = 4 のロジスティック写像を使った擬似乱数生成器の可能性を指摘している。しかし、ロジスティック写像 fa=4 の点の分布は、式 (3-17) で示されるような分布になっており、出てくる数値が 0 と 1 の近くに偏る。そのため、偏りのない一様乱数を得るためには何らかの処理が必要となる。その方法としては、
得られた数値をテント写像 (4-8) との関係を用いて一様分布に変換する方法
得られた数値を上述のコイン投げの比喩のように閾値を使って 0 か 1 に変換し、これを繰り返して一様乱数のビット列を得る方法
などがある。また、ロジスティック写像で得られる数列の xn とxn+1 には強い相関があり、擬似乱数の数列としては問題となる。これを解消する方法の一つは、写像1回適用ごとの数列 x0, x1, x2, ...
上述のように、ロジスティック写像自体は何の変哲もない2次関数であり、軌道の計算自体も中学生でも可能である。力学系的に重要な問題は、パラーメータ a を変化させると軌道の振る舞いがどう変わるのかにある。a の数値によって、ロジスティック写像の軌道の振る舞いは単純にも複雑にも変わる。以下、a を増やしていったときに、ロジスティック写像の振る舞いがどのように変化していくかを順に説明する。
ロジスティック写像は、イギリスの数理生物学者ロバート・メイの研究を発端にして、生物の個体数の変化を考える式として世に広まった。このような生物個体数としてのロジスティック写像では変数 xn は、ある環境中に生息する生き物の個体数(より専門的には個体群サイズ)を意味する。さらに、個体がその環境から出たり、外部の個体が環境に入ってきたりしない場合(あるいは移出入があっても実質的な影響がない場合)を想定しており、このような状況での個体数の増減を考える数理モデルが数理生物学上のロジスティック写像である。
生物の個体数の増殖を考える数理モデルには、差分方程式を使った離散的な時間のモデルと微分方程式を使った連続的な時間のモデルの2種類がある。例えば、卵を産むとすぐに死ぬような種類の昆虫では、その昆虫の個体数は、1世代目の個体数、2世代目個体数...というように各世代ごとに数えられる。このような例は、前者の離散時間モデルに適合する。一方で、各世代が連続的に重なり合っているような場合は、連続時間モデルと親和性がある。ロジスティック写像は、このような離散型あるいは世代分離型の個体群モデルに相当する。
ある環境中の単一種の生物の個体数を N で表すとする。もっとも単純な個体数の増殖の仕方として、個体数に対して常に一定の割合で増え続けるモデルが考えられる。そのような個体数増加モデルはマルサスモデルと呼ばれ、次のような形で表される。
ここで、Nn は n 世代目の個体数を意味しており、α は個体数の増殖率で正の定数である。
分岐構造の自己相似階層は、窓の中にも存在する。窓の中の周期倍化分岐カスケードは、2 周期分岐のカスケードと同じ筋道をたどる。つまり、窓の中で無限回の周期倍化分岐が起き、それを過ぎると振る舞いはまたカオスとなる。例えば周期3の窓では、a3∞ ≈ 3.8495 で安定な周期軌道のカスケードが終わる。a3∞ ≈ 3.8495 を過ぎると、振る舞いは3の倍数のバンドカオスになる。a が a3∞ から増えるにつれて、このバンドカオスも2個ずつ融合していき、窓が終わる最後にはバンドの数は3つになる。このような窓の中にあるバンドの中にも、無数の窓がまたさらに存在している。結局、窓の中には 1 ≤ a ≤ 4 の軌道図全体の縮小版が含まれているような恰好となり、窓の中にも分岐の自己相似階層構造が存在している。
窓が終わると、広範囲のカオスに戻る。周期3の窓であれば、a ≈ 3.857 で最後の3バンドカオスが大きな範囲の1バンドカオスへ変わって窓が終わる。しかし、この変化は非連続的で、3バンドのカオスアトラクタは突然大きさを変化させ、1バンドへ変わる。このようにアトラクタの大きさが非連続的に変わる現象は、クライシスと呼ばれる。窓の終わりで起きるような種類のクライシスは、特に内部クライシスとも呼ばれる。窓の終わりでクライシスが起きるとき、安定な周期軌道が軌道図上では見えない不安定周期点とちょうど接触する。これによって周期軌道が逃げ出せる出口が生まれ、内部クライシスが発生する。内部クライシス直後には、ある時間帯では広域のカオスとして振る舞うが、ある時間帯では元のバンドカオス的振る舞いも起こし、窓の始まりと同じような一種の間欠性が現れる。
パラメータが 2 < a < 3 のときは、初期値 0 と 1 を除いて、1 < a ≤ 2 のときと同様に不動点 xf 2 = 1 − 1/a に収束する。ただし、この場合は単調に収束するわけではない。変数が xf 2 にある程度近づくと、変数は xf 2 よりも大きくなったり小さくなったりを繰り返し、xf 2 の周りで振動しながら収束していくような軌道を示す。
軌道の不動点周りでの振動は、次のような範囲を行き来する。このパラメータ範囲では、xf 2 は区間 (1/2, 1) 内に存在する。写像を一回適用すると xf 2 に写る値を ~xf 2 と表記するとする。すなわち、f (~xf 2) = xf 2 という関係である。変数が区間 (~xf 2, xf 2) に入ったとき、軌道の不動点周りでの振動が起こり出す。(~xf 2, xf 2) は (xf 2, a/4] へ写され、 (xf 2, a/4] は [1/2, xf 2) の中へ写され、...といった具合に振動する。
一般的に、分岐の様子を理解するのには分岐図が役に立つ。この図は不動点(または後述の周期点)x をパラメータ a の関数として表したグラフで、横軸に a の値を取り、縦軸に x の値を取って図示する。 安定な不動点と不安定な不動点を区別するために、前者の曲線は実線で示し、後者の曲線は点線で示したりする。ロジスティック写像の分岐図を書くと、不動点 xf 1 = 0 を表す直線と不動点 xf 2 = 1 − 1/a を表す曲線が a = 1 で交わり、安定性が入れ替わる様子がわかる。
例えば、ある a に対して1点プロットされるときは、それは不動点であり、ある a に対して m 点プロットされるときは、それは m 周期軌道に相当する。ロジスティック写像に対して軌道図を書くと、安定な周期軌道を表す枝が分裂していく様子が見て取れ、これが周期倍化分岐のカスケードを表している。
パラメータがちょうど周期倍化カスケードの集積点 a = a∞ であるとき、変数 xn は永遠に閉じることのない非周期軌道へ引き付けられる。言い換えると、a∞ では無限周期の周期点が存在している。この非周期軌道はファイゲンバウム・アトラクタや臨界2アトラクタと呼ばれる。アトラクタとは、周りの軌道を引き付けるような性質をもった領域を指す用語で、引き込まれて最終的に続く軌道のことである。これまで述べてきた吸引的な不動点や周期点もアトラクタの仲間である。
ファイゲンバウム・アトラクタの構造は、カントール集合というフラクタル図形と同じ構造になっている。ファイゲンバウム・アトラクタを構成する点は、無限個でなおかつその濃度は実数と等しい。一方で、構成する点のどの2つを選んでも、その間に不安定な周期点が必ず存在し、点の分布は連続ではない。また、ファイゲンバウム・アトラクタのフラクタル次元は、ハウスドルフ次元あるいは容量次元でおよそ 0.54 であることが知られている。
1000000001 というきわめて近い2つの初期値でそれぞれの軌道を計算すると、その差は、反復29回を過ぎたころから図上ではっきりわかるほど巨視的な違いに成長する。
以上のような初期値鋭敏性と呼ばれるカオスの性質は、リアプノフ指数によって定量的に表される。1次元写像の場合、リアプノフ指数 λ は次のように計算できる。
ここで、log は自然対数を意味する。この λ は2つの軌道の距離(xn と ˆxn の距離)が指数関数的にどのぐらいの速さで離れていくか意味する指標で、λ の値が正ならば初期値鋭敏性を持つ系であること意味し、零または負ならば初期値鋭敏性のないことを意味する。実際にロジスティック写像の λ を数値的に計算すると、a < a∞ の範囲では λ は零または負の値の範囲に留まっており、a > a∞ の範囲から λ が正の値も取るようになることが確認できる。
複素解析関数で定義された力学系も興味を持たれる対象である。その例が、次の2次関数で定義される力学系である。
ただし、ここでのパラメータ c と変数 z は複素数である。この写像は、ロジスティック写像 (1-2) と基本的には同じものと言える。上記でも述べたとおり、写像 (6-3) は、線形関数によってロジスティック写像 (1-2) と位相共役な関係にある。
パラメータ c を固定し、初期値 z0 を変えながら写像 (6-3) の反復の行く末を計算したとき、n → ∞ でも zn が無限大へ発散しないような z0 の集まりを充填ジュリア集合という。さらに、充填ジュリア集合の境界をジュリア集合という。また、初期値を z0 = 0 に固定し、パラメータ c を変えながら写像 (6-3) の反復を計算したとき、 z が無限大へ発散しないような c の集まりをマンデルブロー集合という。写像 (6-3) のジュリア集合やマンデルブロー集合から、「神秘的に見える」「怪奇を極めている」などと形容されるフラクタル図形が生成される。
特にマンデルブロー集合では、図形の各円板はある周期の漸近安定な周期軌道の領域に相当する。ロジスティック写像の軌道図とマンデルブロー集合の図形を並べると、ロジスティック写像軌道図の漸近安定な不動点、周期倍化分岐、周期3の窓などがマンデルブロー集合図形と実軸上で対応していることが分かる。