剰余類環
これは 12 を法とする剰余類に相当し、このタイプの足し算は「12 を法とする加法(modulo 12 の加法)」と呼ばれる。このとき、12 を加えることは、どの「時間」x についても 12 + x = x となるから、何の変化ももたらさない。これで「12時」の数字が「0時」のところに配置される理由を説明できる。
乗法は加法から得られる。例えば、3 × 4 を計算したければ、これを 3 + 3 + 3 + 3 という和の形に書き直して、12 を引けばよい。4 × 4 なら「16時」は modulo 12 で「4時」なので 4 × 4 = 4 となる。
そういうわけで、「時間」にこのような加法や乗法を考えたものとして剰余類環 (Z/12Z, +, ×) を表すことができる。
本節で 12 としていたところを、任意の自然数 n に置き換えても同じことができる。たとえば Z/4Z = {0, 1, 2, 3} においては 1 = 1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 である。