四次方程式
4次方程式
a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 4 ≠ 0 ) {\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{4}\neq 0)}
の解の公式は以下の通りである:
四次方程式(よじほうていしき、quartic equation)とは、次数が 4 である代数方程式のことである。この項目では主に一変数の四次方程式を扱う。
四次方程式は、代数学の基本定理より、高々4個の複素数解を持つ。
四次方程式 ax + bx + cx + dx + e = 0 の判別式は
Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
によって与えられ、係数によって定まる以下の4個の定数によってさらに詳細な情報が得られる。