クリロフ＝ボゴリューボフの定理
定理(クリロフ=ボゴリュボフ). (X, T) をあるコンパクト距離化可能位相空間とし、F : X → X をある連続写像とする。このとき、F はある不変なボレル確率測度を許すものである。
すなわち、X の開部分集合の集まり T によって生成されるボレル σ-代数を Borel(X) と表すとき、任意の部分集合 A ∈ Borel(X) に対して
μ ( F − 1 ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A)}
を満たすようなある確率測度 μ : Borel(X) → [0, 1] が存在する。押し出し測度(英語版)について言えば、このことは
F ∗ ( μ ) = μ {\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu \ }
を意味する。