Theorema Egregium
よって特に以下が従う:
系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率KはMの次元mが偶数ならMに内在的な量である。
一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではないが、いかが成り立つことが知られている:
系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、 M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である
以上の事から、mが偶数の場合には M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率をリーマン曲率で書きあらわす事ができる。 M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} が曲率0の場合は、具体的にはリーマン曲率から定まるオイラー形式がガウス曲率と一致する。
このオイラー形式はガウス・ボンネの定理の高次元化にも役に立ち、オイラー形式を積分したものがオイラー数に一致する、という形で高次元のガウス・ボンネの定理を記述できる。
詳細は部分リーマン多様体の接続と曲率の項目を参照されたい。