合同ゼータ関数
このことは、ゼータ関数が t の有理関数であることを示している。
Z(X, t) の無限積公式は、
Z ( X , t ) = ∏ ( 1 − t deg  ( x ) ) − 1 {\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}}
である。ここに、積は X の閉点 x 全てを渡り、deg(x) は x の次数である。局所ゼータ関数 Z(X, t) は q の変数変換を通して、複素数変数 s の関数と見ることができる。
上で議論した X が多様体 V の場合は、閉点は V ̄ {\displaystyle {\overline {V}}} 上の点 P の同値類 x = [P] のこととなり、2つの点の同値とは F 上で共役なこととなる。x の次数は P の座標により生成される F の拡大次数である。無限積 Z(X, t) の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、
N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots }
である。