ラマヌジャン・ピーターソン予想
1937年、エーリッヒ・ヘッケはヘッケ作用素を導入し、モーデルがラマヌジャン予想の最初の 2つの命題を証明した際の技法をSL(2,R) の離散部分群 Γ の保型形式のL-函数へと一般化した。任意のモジュラー形式
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n q n ( q = e 2 π i z ) {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\quad (q=e^{2\pi iz})}
について、ディリクレ級数
φ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n − s {\displaystyle \varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}
を書ける。離散部分群 Γ の重さ k ≥ 2 のモジュラー形式 f(z) に対して、 an=O(n) であるため、φ(s) は Re(s) > k の領域では絶対収束する。f は重さ k のモジュラー形式なので、(s-k)φ(s) は整関数であり、R(s)=(2π)Γ(s)φ(s) は次の函数等式を満たす。
R ( k − s ) = ( − 1 ) k / 2 R ( s ) .
数体の場合の一般ラマヌジャン予想の最良の境界を与える問題は、多くの数学者の関心を呼んできた。一つ一つの改善が現代数論の里程標と考えられている。GL(n) のラマヌジャン境界を理解するために、ユニタリなカスプ保型表現 π = ⊗' πv を考える。ベルンシュタイン=ゼレヴィンスキー分類(英語版)によれば、表現 τ 1 , v ⊗ ⋯ ⊗ τ d , v {\displaystyle \tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}} からユニタリな放物型誘導により個々のp-進群の表現 π v {\displaystyle \pi _{v}} を得ることができる。ここで個々の τ i , v {\displaystyle \tau _{i,v}} は素点(place) v におけるGL(ni)の表現であり、 緩増加な τ i 0 , v {\displaystyle \tau _{i_{0},v}} により τ i 0 , v ⊗ | det | v σ i , v {\displaystyle \tau _{i_{0},v}\otimes |\det |_{v}^{\sigma _{i,v}}} の形で表わせる。n ≥ 2 とすると、ラマヌジャン境界は max i | σ i , v | ≤ δ {\displaystyle \max _{i}|\sigma _{i,v}|\leq \delta } となるような数値 δ ≥ 0 である。