空間群
空間群Gは、次のように並進群Tを法として剰余類に分解することができる。並進群は空間群の正規部分群(不変部分群)であり、右剰余類と左剰余類は一致する。
G = ( ε | 0 ) T + ( α | u α ) T + ( β | u β ) T + ⋯ {\displaystyle G=(\varepsilon |0)T+(\alpha |u_{\alpha })T+(\beta |u_{\beta })T+\cdots }
このε、α、β...は結晶点群になる。これを空間群Gの点群と呼ぶ。あるTが与えられたとき、そのTをもつ空間群の点群は、そのTの晶系に属する点群に限られる。
ブリルアンゾーンの対称性の良い点kでは、k≅αk(ただし≅は逆格子ベクトルだけの違いは許すことを表す)となる回転操作αが存在する。このような回転操作αは点群を形成する(数学的には小群や固定部分群などと呼ばれる)。この点群Pkをk点群と呼ぶ。