平均値の定理
∫ E f ( x ) | g ( x ) | d x = μ ∫ E | g ( x ) | d x {\displaystyle \int _{E}f(x)|g(x)|\,dx=\mu \int _{E}|g(x)|\,dx}
を満たすものが存在する。ここで f(x) が連続ならば、E の点 ξ を適当に取れば μ = f(ξ) と書けることが中間値の定理から従う。特に一変数の場合を考えれば、有界な関数 f(x) が区間 [a, b] で連続かつ積分可能ならば
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) {\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )}
を満たす ξ が a < ξ < b の範囲に存在する。この式の左辺は、関数 f(x) が区間 [a, b] で掃く“符号付き”面積 ∫a f(x) dx を区間の全長(図形の横の長さ)b − a で割ったものである。したがってこの等式は、関数 f(x) が区間 [a, b] において掃く図形の平均の“符号付き”高さ(その符号付き面積を持つ図形を一定の符号付き高さに均したときの高さ)を実現する点が区間内に存在することを保証する。
第一平均値定理の系として、開区間 (a,b) において有界変動かつ連続な関数 F(x) と有界な単調関数 φ(x) に対して、φ(x) はルベーグ・スティルチェスの意味で F(x) に関して可積分であって、a < ξ < b で