分布定数回路
そして、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} の実部 R 0 {\displaystyle R_{0}} と虚部 X 0 {\displaystyle X_{0}} を求めると以下のようになる。
Z 0 = R + j ω L G + j ω C = R 0 + j X 0 {\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}=R_{0}+jX_{0}}
R 0 = 1 2 ( R 2 + ω 2 L 2 G 2 + ω 2 C 2 + R G + ω 2 L C G 2 + ω 2 C 2 ) {\displaystyle R_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}+{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\right)}}}
X 0 = 1 2 ( R 2 + ω 2 L 2 G 2 + ω 2 C 2 − R G + ω 2 L C G 2 + ω 2 C 2 ) {\displaystyle X_{0}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}}-{\frac {RG+\omega ^{2}LC}{G^{2}+\omega ^{2}C^{2}}}\right)}}}
を得る。これは「電信方程式(Telegrapher's equations, Telegraphers equations)」と呼ばれる。
さらに上式に e j ω t {\displaystyle e^{j\omega t}} なる電源を印加した時の偏微分方程式の定常解(特殊解)は伝播定数 γ {\displaystyle \gamma } 、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} を導入して
V = K 1 e − γ x + K 2 e γ x {\displaystyle V=K_{1}e^{-\gamma x}+K_{2}e^{\gamma x}}
I = 1 Z 0 ( K 1 e − γ x − K 2 e γ x ) {\displaystyle I={\frac {1}{Z_{0}}}(K_{1}e^{-\gamma x}-K_{2}e^{\gamma x})}
となる。 K 1 {\displaystyle K_{1}} と K 2 {\displaystyle K_{2}} は境界条件によって決まる定数である。
伝播定数 γ {\displaystyle \gamma } 、特性インピーダンス Z 0 {\displaystyle Z_{0}} は、
γ = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) {\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}}