クラマース・クローニッヒの関係式
H ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) e i ω t + ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) e i ω t = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) cos  ( ω t ) + i ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) sin  ( ω t ) {\displaystyle {\begin{aligned}H(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)e^{i\omega t}+\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)e^{i\omega t}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)\cos(\omega t)+i\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)\sin(\omega t)\end{aligned}}}
となり、偶関数部he(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の実部、奇関数部ho(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の虚部にあたることが分かる。
それぞれに対して積関数のフーリエ変換が畳み込みになることを使えば、クラマース・クローニッヒの関係式が導かれる。ここで、 sgn ^ ( ω ) {\displaystyle {\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega )} は符号関数のフーリエ変換を表す。