ローレンツ曲線
ローレンツ曲線(ローレンツきょくせん、英: Lorenz curve)とは、ある分布を持つ事象について、確率変数が取り得る値を変数とし、確率変数の値が与えられた変数の値を超えない範囲における確率変数と対応する確率の積の和(あるいは確率変数と確率密度関数の積の積分)を、その分布に対する確率変数の期待値で割って規格化したものとして与えられる関数の幾何学的な表現のことである。言い換えると、ある集団に含まれる下位集団に対する期待値を全体の期待値で割ったものをその下位集団ごとにプロットしたものとも言える。 あるいは、確率変数の値がある値を下回る集団の割合はそれらがとり得る確率変数の値の上限と一対一に対応付けられるため、全体に対する下位集団の割合を変数とする関数としても表すことができる。
ローレンツ曲線は下位集団の割合を変数 F として、関数 L(F) によって定義される。集団全体の期待値を μ で表せば、連続的な分布に対するローレンツ曲線 L(F) は次のように定義される。
L ( F ) = ∫ 0 F x ( F ′ ) d F ′ μ {\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\mu }}}
この定義から明らかなように、期待値 μ が 0 または ±∞ であるような分布に対しては、ローレンツ曲線を定めることができない。言い換えると、期待値が 0 でない有限の値をとるような集団に対してのみローレンツ曲線が定義される。
ローレンツ曲線は事象の集中度合いを評価するために用いられる。1905年にアメリカの経済学者、マックス・O・ローレンツが発表した。富の集中を論じる際に用いられることが多い。