C*-環
コンパクトハウスドルフ空間 Ω 上の複素数値連続関数のなす関数空間 C(Ω) (例えば実閉区間 [0,1] 上の連続関数たち)を考える。このとき、積を点ごとの積: f⋅g(s) = f(s)g(s), 対合を複素共役: f*(s) = f(s), ノルムを一様ノルム: ‖ f ‖ = sup{|f(s)| | s ∈ Ω} で定めると、C(Ω) は定数関数 1 を単位元としてもつ可換な C*-環となる。逆に、単位元をもち可換な C*-環はあるコンパクトハウスドルフ空間 Ω についての C(Ω) と同型になる。このコンパクト空間は環の極大イデアルの空間として実現でき、この同一視の方法はゲルファント表現と呼ばれる。