コンパクト化
コンパクトではない空間の一点コンパクト化 X ∗ {\displaystyle X^{*}} がハウスドルフ空間であれば以下の性質(普遍性)を満たす事が知られている:
なお前述のように、 X ∗ {\displaystyle X^{*}} がハウスドルフになる必要十分条件は X {\displaystyle X} が局所コンパクトなハウスドルフ空間である事である。
チコノフ空間 X {\displaystyle X} には以下の性質を満たすコンパクト化 ( β X , i ) {\displaystyle (\beta X,i)} が存在する事が知られており(具体的な構成方法は後述)、しかもそのようなコンパクト化は同値を除いて1つしかない事も知られている。この性質を満たす ( β X , i ) {\displaystyle (\beta X,i)} を X {\displaystyle X} のストーン・チェックのコンパクト化という