フーリエ変換の応用
量子力学では、2つの方法でフーリエ変換が用いられている。
1つ目に、量子力学の基本概念の構造は、ハイゼンベルクの不確定性原理でつながっている2つの相補的な変数の組の存在を仮定している。たとえば1次元では、いわゆる粒子の空間変数 q は、量子力学的な「位置演算子」によって測定されるのみで、その代わりに粒子の運動量 p についての情報を失う。よって粒子の物理的状態は q について、または p についての「波動関数」と呼ばれる関数によって記述されるが、両方の変数の関数としては記述されない。変数 p は、q の共役変数と呼ばれる。古典力学での粒子の状態は、(簡単のため1次元で考えると)p と q の確定値を同時に割り当てることで与えられる。このように全ての可能な物理状態の組は、相空間と呼ばれる p 軸と q 軸を持つ2次元の実ベクトル空間である。
それとは対照的に、量子力学は1/2次元の部分空間を取り出すという意味で、この空間の分極を選ぶ。例えば点のみを考える代わりに q 軸だけはこの軸におけるすべての複素数値「波動関数」の組を考える。にもかかわらず p 軸を選ぶことは同等に妥当な分極で、フーリエ変換による最初の表現に関連する粒子の可能な物理状態の組の異なる表現を生み出す。
φ ( p ) = ∫ ψ ( q ) e 2 π i p q h d q . {\displaystyle \phi (p)=\int \psi (q)e^{2\pi i{\frac {pq}{h}}}\,dq.}
物理的に実現可能な状態は L であり、プランシュレルの定理により、これらのフーリエ変換もまた L である。