第二基本形式
一般的な媒介変数表示された曲面 S の第二基本形式は、次のように定義される。
r = r(u,u) を R の曲面の正則な媒介変数表示とする。ここで、r は2変数の滑らかなベクトル値関数である。r の u に関する偏導関数を rα (α = 1, 2)と表示するのが普通である。媒介変数表示の正則性(regularity)は、r1 と r2 が r の定義域内の任意の (u,u) に対して線形独立であることを意味する。したがって、r1 と r2 が各点で S の接平面を張る(span)ことを意味する。同様に、外積 r1 × r2 は曲面に垂直な非ゼロのベクトルとなる。媒介変数表示は、したがって、単位法線ベクトル n の場を次のように定義する。
n = r 1 × r 2 | r 1 × r 2 | . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.}