写像の微分
可微分多様体間の可微分写像 φ: M → N を考えるとき、適当な点 x ∈ M が与えられれば、x における φ の微分 (differential) は M の x における接空間から N の φ(x) における接空間への線型写像 dφx: TxM → Tφ(x)N として与えられる。微分 dφx を接ベクトル X に作用させることは、φ による X の押し出し (pushforward) とも呼ばれる。
微分あるいは押し出しの、正確な定義は接ベクトルの定義の仕方に依存する(接ベクトルの様々な定義の仕方は接空間の項を参照)。
接ベクトルを、x を通る曲線の同値類として定義した場合には、上記の微分は dφx(γ′(0)) ≔ (φ ∘ γ)′(0) によって与えられる。ここに γ は γ(0) = x を満たす M 内の曲線である。言い換えれば、曲線 γ の 0 における接ベクトルの押し出しは、曲線 φ ∘ γ の 0 における接ベクトルによって与えられる。
同じことだが、接ベクトルを実数値可微分函数の空間に作用する導分(英語版)として定義した場合には、微分は dφx(X)(f) ≔ X(f ∘ φ) によって与えられる。ここに、X ∈ TxM は M 上定義された導分で、f は N 上の実数値可微分函数である。定義により、各点 x ∈ M における X の押し出しは Tφ(x)N に属し、それ自体ひとつの導分となる。
さて x および φ(x) の周りのチャートを選べば、φ は局所的に R の開集合 U から R の開集合 V への可微分函数 ˆφ: U → V によって決定され、x における微分 dφx は