ホモロジー代数学
R を環とし、ModR を R 上の加群の圏とする。B in ModR とし、固定された A in ModR に対し T(B) = HomR(A,B) とおく。これは左完全関手でありしたがって右導来関手 RT をもつ。Ext 関手は
Ext R n  ( A , B ) = ( R n T ) ( B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)}
で定義される。これは任意の移入分解
0 → B → I 0 → I 1 → ... {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \dots }
をとり
0 → Hom R  ( A , I 0 ) → Hom R  ( A , I 1 ) → ... {\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \dots }
を計算することによって計算できる。すると (RT)(B) はこの複体のホモロジーである。HomR(A,B) は複体から除かれていることに注意せよ。
チェイン複体 (chain complex) はホモロジー代数学の中心的な概念である。それはアーベル群と群準同型の列 ( C ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })} であって、任意の2つの連続した写像の合成が 0 になるという性質をもったものである。
C ∙ : ⋯ ⟶ C n + 1 ⟶ d n + 1 C n ⟶ d n C n − 1 ⟶ d n − 1 ⋯ , d n ∘ d n + 1 = 0. {\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}
Cn の元は n-チェイン(n-chain)と呼ばれ、準同型 dn はバウンダリ写像 (boundary map) や微分 (differential) と呼ばれる。チェイン群 (chain group) Cn は余分な構造をもっているかもしれない。例えば、ベクトル空間や、固定された環 R 上の加群かもしれない。
任意のアーベル圏(アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など)において、可換図式

を考える。ただし2つの列は完全で、0 は零対象である。すると a, b, c の核や余核に関連した完全列
ker  a ⟶ ker  b ⟶ ker  c ⟶ d coker  a ⟶ coker  b ⟶ coker  c {\displaystyle \ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c}
が存在する。さらに、射 f がモノ射であれば、射 ker a → ker b もモノ射であり、g' がエピ射であれば、coker b → coker c もエピ射である。