エクイティプレミアムパズル
となる。この不等式をハンセン–ジャガナサン境界と呼ぶ。
最左辺は株式のシャープ・レシオの絶対値なので実際のデータから計算可能である。最右辺はCRRA型効用関数を仮定すれば
m t + 1 = β ( c t + 1 c t ) − γ {\displaystyle m_{t+1}=\beta \left({\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right)^{-\gamma }}
なので効用の主観的割引率 β {\displaystyle \beta } と相対的リスク回避度 γ {\displaystyle \gamma } が分かれば、消費のデータから最右辺も計算可能である。しかしながら、妥当な主観的割引率と相対的リスク回避度を仮定した場合、米国の株式インデックスのシャープ・レシオが0.37であるのに比べ、 E t [ m t + 1 ] = 0.96 , V a r t ( m t + 1 ) = 0.002 {\displaystyle E_{t}[m_{t+1}]=0.96,{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}=0.002} となるため、上述の不等式は明らかに満たされないことが分かる。この不等式が成立するためには確率的割引ファクターの分散が非常に大きくなければならない。
ハンセン–ジャガナサン境界はこの例における時間について加法分離的なCRRA型効用関数に限らず一般的な資産価格モデルのほぼすべてに適用可能である。
先に述べたとおり、相対的リスク回避度が50以上となるのは他の経済学の知見とはまったく整合的ではない。以下で簡単な具体例を挙げる。
となる。ここで C o r r t ( m t + 1 , R e , t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})} は m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} と R e , t + 1 {\displaystyle R_{e,t+1}} の相関係数である。すると相関係数が-1以上1以下であることに注意すれば
| E t [ R e , t + 1 ] − R f , t + 1 V a r t ( R e , t + 1 ) | = | C o r r t ( m t + 1 , R e , t + 1 ) | V a r t ( m t + 1 ) E t [ m t + 1 ] ≤ V a r t ( m t + 1 ) E t [ m t + 1 ] {\displaystyle {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]-R_{f,t+1}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{e,t+1})}}}{\Big |}=|\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})|{\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\leq {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}}