ビュフォンの針
t < l {\displaystyle t<l} の場合、針と線が交差する確率は
∫ θ = 0 π 2 ∫ x = 0 m ( θ ) 4 t π d x d θ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta }
となる。ここで m ( θ ) {\displaystyle m(\theta )} は ( l / 2 ) sin  θ {\displaystyle (l/2)\sin \theta } と t / 2 {\displaystyle t/2} の最小値である。
上の積分を行うと t < l {\displaystyle t<l} のとき、針と線が交差する確率は、