限界効用
内点における効用最大化の条件は、1円当たりの限界効用がすべての財で等しいということである。すなわち、すべての i , j = 1 , ... , n {\displaystyle i,j=1,\dots ,n} について、 ∂ u ( x ) / ∂ x i p i = ∂ u ( x ) / ∂ x j p j {\displaystyle {\frac {\partial u(x)/\partial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\partial u(x)/\partial x_{j}}{p_{j}}}} が成り立つということである。ここで、 p i {\displaystyle p_{i}} 、 p j {\displaystyle p_{j}} はそれぞれ、財 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} の価格である。
この点でいえば、たとえ限界効用が逓減しなくても、原点に凸な無差別曲線が描ければ、消費者理論においては問題はない。このことは消費者理論において、限界効用逓減と効用の数値が、つまり、効用の可測性の問題が無意味であることとして受け取られた。
しかしながら、ヒックスの業績がひろまる一方で、フォン・ノイマンとオスカル・モルゲンシュテルンが期待効用仮説をとなえ、経済学にふたたび基数的議論を復活させた。世界の事象が不確実なものであるとき、人々はある種の効用の期待値を最大化するように行動することが公理として提案された。すなわち、確率変数(くじ) X {\displaystyle X} が選択肢であるとするとき、確率変数上で定義される選好関係を表現する効用関数 U {\displaystyle U} は、ある種の関数 u {\displaystyle u} が存在して、 U ( X ) = E ( u ( X ) ) {\displaystyle U(X)=E(u(X))} という形をとる。この関数 u {\displaystyle u} は、確率変数の各実現値の効用を表わすある種の効用関数と見ることができる。この期待効用仮説に従うとき、人々の不確実性への態度は u {\displaystyle u} の曲率に依存する。期待効用仮説では選好に中立的な変換は、増加関数一般ではなく、線形の増加関数についてしか成り立たない。この場合、限界効用が逓減する u {\displaystyle u} と同一の選好は、同じく限界効用が逓減する関数でしか表せない。要するに、 u {\displaystyle u} は基数的である。ただし、確率変数上の選好を表現する効用関数 U {\displaystyle U} は序数的である。