ヴィタリの収束定理
( X , F , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )} を正の測度空間とする。もし
μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty }
{ f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} は一様可積分
f n ( x ) → f ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)} a.e. as n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }
| f ( x ) | < ∞ {\displaystyle |f(x)|<\infty } a.e.
が満たされるなら、次が成立する:
f ∈ L 1 ( μ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}
lim n → ∞ ∫ X | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0} .