積に対するヤングの不等式
特別の場合として冪指数を p = q = 2 ととった a b ≤ a 2 2 + b 2 2 {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}} はより初等的な証明が可能である。またここから、いわゆる ε 付きのヤングの不等式(ε > 0 は任意) a b ≤ a 2 2 ε + ε b 2 2 {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}} も生じる。
位数 n の任意の複素行列の対 A, B に対し、ユニタリ行列 U が一意に存在して、 U ∗ | A B ∗ | U ⪯ 1 p | A | p + 1 q | B | q {\displaystyle U^{*}|AB^{*}|U\preceq {\frac {1}{p}}|A|^{p}+{\frac {1}{q}}|B|^{q}} とできる。ここに * は行列の随伴で、 | A | := A ∗ A {\displaystyle |A|:={\sqrt {A^{*}A}}} とする。