フェルミ粒子
とすると成立しない。
入れ替えによる符号逆転を踏まえて
ψ ( x 1 , x 2 ) = φ ( x 1 ) χ ( x 2 ) − φ ( x 2 ) χ ( x 1 ) {\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})=\phi (x_{1})\chi (x_{2})-\phi (x_{2})\chi (x_{1})}
と定義される。
仮に2つのフェルミ粒子双方が同一の波動関数をとるとき
ψ ( x 1 , x 2 ) = φ ( x 1 ) φ ( x 2 ) − φ ( x 2 ) φ ( x 1 ) = 0 {\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})=\phi (x_{1})\phi (x_{2})-\phi (x_{2})\phi (x_{1})=0}
2つのフェルミ粒子が同じ状態に重複する時は、ψ = 0 以外にないという結果となる。結局フェルミ粒子は、1つの系内のひとつの量子状態を複数粒子が重複することはない。すなわち、フェルミ粒子はパウリの排他原理に従う。
この規則から、熱平衡状態にある同種フェルミ粒子群からなる系の従う量子統計が導かれ、これをフェルミ=ディラック統計という。