余積
ij: Xj → X および kj: Xj → Y がともに族 {Xj} の余積ならば、(余積の定義によって)一意的な同型 f: X → Y が存在して各 j ∈ J に対して f ∘ ij = kj となる。
任意の普遍性がそうであるように、余積は普遍射として理解できる。Δ: C → C × C を各対象 X に順序対 (X, X) を、各射 f: X → Y に対し (f, f) を割り当てる対角関手とする。すると C において余積 X + Y は C × C の対象 (X, Y) から関手 Δ への普遍射によって与えられる。
空集合によって添字付けられた余積(つまり空余積 (empty coproduct))は C の始対象と同じである。
C における U から V への射全体の成す集合(つまり C における Hom-集合(英語版))を HomC(U, V) と書けば、自然同型
Hom C ( ∐ j ∈ J X j , Y ) ≅ ∏ j ∈ J Hom C  ( X j , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\!{\Big (}\coprod _{j\in J}X_{j},Y{\Bigr )}\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}
が存在する。右辺の積は集合の圏 Set における圏論的積、すなわち集合の直積(デカルト積)であることに注意する。
X ⊕ ( Y ⊕ Z ) ≅ ( X ⊕ Y ) ⊕ Z ≅ X ⊕ Y ⊕ Z , X ⊕ 0 ≅ 0 ⊕ X ≅ X , X ⊕ Y ≅ Y ⊕ X {\displaystyle {\begin{aligned}&X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z,\\&X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X,\\&X\oplus Y\cong Y\oplus X\end{aligned}}}
の存在が言える。これらの性質は形式的に(同型を等号で置き換えれば)可換モノイドの性質と同様である。すなわち、有限余積を持った圏は対称モノイド圏の例になっている(デカルト圏の項も参照)。
圏が零対象 Z を持てば、一意的な射 X → Z が存在し(Z が終対象であることによる)、したがって射 X ⊕ Y → Z ⊕ Y が作れる。Z は始対象でもあるから、前の段落で述べた通り自然な同型 Z ⊕ Y ≅ Y がある。したがって射 X ⊕ Y → X および X ⊕ Y → Y を得るから、これによって自然な射 X ⊕ Y → X × Y が推論され、これを帰納法によって任意の有限余積から対応する有限積への自然な射に拡張できる。この射は一般には同型とは限らない: 実際、群の圏 Grp においてそれは真のエピ射となり、基点付き集合の圏 Set∗ においてそれは真のモノ射となる。しかし、任意の前加法圏においてこの射は同型射であり、対応する対象は双積(英語版)と呼ばれる。すべての有限双積をもつ圏は加法圏と呼ばれる。
任意の対象 Y および射の組 f1: X1 → Y および f2: X2 → Y が与えられたとき、射 f: X1 ∐ X2 → Y が一意に存在して f1 = f ∘ i1 および f2 = f ∘ i2 を満たす。すなわち以下の図式 余積の普遍性を表す可換図式 が可換となる。
この図式を可換にする一意的な射 f は f1 ∐ f2, f1 ⊕ f2, f1 + f2, [f1, f2] などとも書かれる。 射 i1, i2 は標準入射と呼ばれる(が一般には単射でもモノですらもなるとは限らない)。