代数関数
y n − p ( x ) = 0 {\displaystyle y^{n}-p(x)=0}
を解く代数関数である。驚くべきことに、代数関数の逆関数は代数関数である。各値の x に対して y が方程式
a n ( x ) y n + ⋯ + a 0 ( x ) = 0 {\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0}
の解となると仮定するならば、x は各値の y に対するこの方程式の解である。実際、x と y の役割を入れ替えて x に関して同類項をまとめれば
b m ( y ) x m + b m − 1 ( y ) x m − 1 + ⋯ + b 0 ( y ) = 0 {\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0}
と書きなおすことができるから、x を y の関数として書けば逆関数を得、これはまた代数関数である。
しかしながら、すべての関数が逆を持つわけではない。例えば、y = x は horizontal line test を通過せず、単射でない。逆は代数"関数" x = ± y {\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}} である。これを理解する別の方法は、代数関数を定義する多項式方程式の枝全部の集合は代数曲線のグラフであるということである。
m 変数の代数関数は m + 1 変数の適当な多項式方程式
p ( y , x 1 , x 2 , ... , x m ) = 0 {\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0}
の解となる関数 y として同様に定義される。通常 p は既約多項式と仮定される。すると代数関数の存在は陰関数定理によって保証される。
形式的には、体 K 上の m 変数の代数関数は、有理関数体 K(x1,...,xm) の代数閉包の元である。