導来圏
双対鎖複体 X が下に有界とは、n << 0 に対し X = 0 であることで、上に有界とは、n >> 0 に対し X = 0 であることで、単に有界とは、|n| >> 0 に対し X = 0 のことである。 (以下に見るように)なんらかの目的のため、有界ではない双対鎖複体の代わりとして、下に有界、上に有界、あるいは有界な双対鎖複体を使う。対応する導来圏は、通常、それぞれに対し、 D + ( A ) , D − ( A ) , D b ( A ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),\ D^{-}({\mathcal {A}}),\ D^{b}({\mathcal {A}})} と記す。
(クラスの考え方ではなく)ある対象から別の対象への射の集合が存在するという圏の古典的観点を適用するとき、導来圏に変更することを証明するには、議論を追加する必要がある。
アーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が小さい場合、つまり、対象の集合しか持たない場合は、何も問題がない。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} がグロタンディークアーベル圏(英語版)であったとしても、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はホモトピー圏 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} の充満部分圏に同値であるので、ある対象から他への射の集合を持つのみである。
導来圏は導来函手の研究と定義の自然なフレームワークである。以下では、 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} をアーベル圏の函手とする。2つの双対な考えがある。
右導来函手は、左完全函手からきて、単射分解を通して計算される。
左導来函手は、右完全函手からきて、射影分解を通して計算される。
以下では右導来函手について述べるので、F を左完全とする。典型例は、ある固定した対象 A に対し、 X ↦ Hom  ( X , A ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (X,A)} あるいは、 X ↦ Hom  ( A , X ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (A,X)} により与えられる F : A → A b {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {Ab}}} や層の上の大域切断函手や順像函手である。これらの右導来函手は、それぞれ、Ext函手( Ext n  ( , A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(\ \ ,A)} )、層コホモロジー( H n ( X , F ) {\displaystyle H^{n}(X,F)} )、高次順像函手 (Rf*(F)) である。