三角数
点を配置する空間の次元を 3 にして、点を正四面体(三角錐)状に配置したとき、その総数を三角錐数(四面体数)という。第 n 三角錐数は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値を N とおくと N = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 {\displaystyle N={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}} と書くことができる。また、同様に三角錐数の総和として、4次元空間での「三角数」(一般的に「単体数」という)五胞体数を定義することができる。以下、一般次元の空間(ここでは r 次元)まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目の単体数 Tr(n) は
T r ( n ) = ∏ k = 1 r ( 1 + n − 1 k ) = n ( n + 1 ) ⋯ ( n + r − 1 ) r !