回転 (数学)
二次元における回転を特定するには、回転角と呼ばれる角度を一つ決めさえすればよい。回転を記述するために、行列や複素数を利用することができる。何れの場合も、回転は原点を中心に反時計回りに角 θ だけ物体を回すものとして作用する。
行列を用いて回転を記述するには、回転させられる点 (x, y) をベクトルとして書いて、角 θ の回転を与えるように計算された行列を掛け合わせることによって
[ x ′ y ′ ] = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
なる記述を得る。ここで (x′, y′) は回転後の点の座標であり、この等式を書き下せば、x′ および y′ に関する式
x ′ = x cos  θ − y sin  θ y ′ = x sin  θ + y cos  θ {\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \end{aligned}}}
を得ることができる。二つのベクトル
[ x y ] , [ x ′ y ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}
は同じ大きさを持ち、予期された通りの角 θ を成す。