ヤコビの四平方定理
ヤコビの四平方定理(英: Jacobi's four square theorem)は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は
r 4 ( N ) = 8 ∑ 4 ∤ d ∣ N d {\displaystyle r_{4}(N)=8\sum _{4{\nmid }d{\mid }N}d}
で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。 N ≧ 1 {\displaystyle N\geqq 1} ならば r 4 ( N ) ≧ 8 {\displaystyle r_{4}(N)\geqq 8} であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。
ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である。