弾性エネルギー
一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 k のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが x のとき、ばねが物体に及ぼす力は F = −kx である。 ばねの伸びが Δx だけ変化するとき、ばねに接続された物体は Δx だけ移動する。 ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は
W = F Δ x = − k x Δ x {\displaystyle W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x}
である。 一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば
W = − Δ U {\displaystyle W=-\Delta U}
である。
これら二つの式から
Δ U = k x Δ x {\displaystyle \Delta U=kx\,\Delta x}
が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が
d U d x = k x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=kx}
となる。これを積分すれば
U = 1 2 k x 2 + U 0 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}+U_{0}}
が導かれる。ここで U0 は積分定数であり、これは伸びが x = 0、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U0 = 0 と定める。