楕円曲線のハッセの定理
ハッセ境界の高次種数の代数曲線への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の範囲をもたらす。位数が q の有限体 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 上の種数 g の曲線 C の点の数を # C ( F q ) {\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})} とすると、
| # C ( F q ) − ( q + 1 ) | ≤ 2 g q {\displaystyle |\#C({\mathbb {F}}_{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}}
となる。
この結果は再び、曲線 C の局所ゼータ函数の決定と同値であり、この曲線に付随する函数体についてのリーマン予想の類似である。
ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。
ハッセ・ヴェイユ境界は、元々はアンドレ・ヴェイユ(André Weil)が1949年に提唱したヴェイユ予想の結果である。この予想は1974にピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)より証明された。