シルベスター数列
シルベスター数列は n の関数として、二重指数関数的に増加する。具体的には
s n = ⌊ E 2 n + 1 + 1 2 ⌋ {\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }
という形式で書くことができる。ここで E はおよそ 1.2640847353...である (オンライン整数列大辞典の数列 A076393)。
シルベスター数列が二重指数関数的増加を示すことは、フェルマー数列 Fn と比較すると驚くべきことではない。フェルマー数は通常、二重指数関数による表式 F n = 2 2 n + 1 {\textstyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} によって定義されるが、これはシルベスター数列のような総積を使った漸化式によっても定義が可能である:
i < j のとき、定義から sj ≡ 1 (mod si) が成り立つ。従って、任意の2つのシルベスター数は互いに素である。任意の素数に対して、それで割り切れるシルベスター数が高々1つとなるため、これを用いて素数が無限に存在することを証明できる。より強い事実として、シルベスター数の素因数に6を法として5と合同である数 (p = 6k + 5 と表せるような素数) は存在しないこと、12を法として7と合同である素数が無限に存在することがシルベスター数列を用いて証明できる。
シルベスター数の素因数分解については、多くのことが未解決のままである。例えば、全ての数が平方因子をもたない整数であるかどうか不明である (既知の数は全て平方因子を持たないことがわかっている)。
Vardi (1991)が説明しているように、与えられた素数 p で割り切れるシルベスター数がどれかを決定することは簡単である:p を法として0に合同となる数か、周期的な列のいずれかが見つかるまで、法 p の下でのシルベスター数列を計算すればよい。