局所環
( R , m ) , ( S , n ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})} を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} -進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。
位相環として見た場合に、 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。
もし ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} が可換ネーター的局所環であるならば、
⋂ i = 1 ∞ m i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{i}=\{0\}}
が成り立つ(クルルの交叉定理)。したがって、R は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相に関してハウスドルフ空間になる。