線スペクトル対
, N ( 1 − 2 cos  ω i z − 1 + z − 2 ) {\displaystyle Q(z)=\left(1-z^{-1}\right)\prod _{i=2,4,...,N}\left(1-2\cos \omega _{i}z^{-1}+z^{-2}\right)}
この式の根を求めることで線スペクトル対 ωi が計算できる。
もう少し具体的には以下のようになる 。
(1) 線形予測係数 a i {\displaystyle a_{i}} から P(z)、Q(z) の各係数を計算
P(z)、Q(z) の定義を用い以下の式で計算。多項式の係数を p i , q i {\displaystyle p_{i},q_{i}} とすると、 p 0 = p N + 1 = 1 {\displaystyle p_{0}=p_{N+1}=1\,} p i = p N − i + 1 = a i + a N − i + 1 {\displaystyle p_{i}=p_{N-i+1}=a_{i}+a_{N-i+1}\,} q 0 = − q N + 1 = 1 {\displaystyle q_{0}=-q_{N+1}=1\,} q i = − q N − i + 1 = a i − a N − i + 1 {\displaystyle q_{i}=-q_{N-i+1}=a_{i}-a_{N-i+1}\,}
(2) P(z)、Q(z) それぞれを ( 1 + z − 1 ) {\displaystyle (1+z^{-1})} 、 ( 1 − z − 1 ) {\displaystyle (1-z^{-1})} で割る
ここで P(z) は声門が完全に閉じたとき(反射係数 -1)に対応し、Q(z) は声門が完全に開いたとき(反射係数 1)に対応する。この式が LSP 多項式である。 線スペクトル対の値はこの多項式の根で表される。
元の多項式 A(z) は以下の式から容易に復元できる。
A ( z ) = 1 2 ( P ( z ) + Q ( z ) ) {\displaystyle A(z)={\frac {1}{2}}\left(P(z)+Q(z)\right)}
多項式 A(z) の全ての根がz平面上の | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の単位円の内部にある時、P(z) = 0 の根と Q(z) = 0 の根はどちらもすべて単位円周上にあることが示せて、これを利用して根の実部cos ωと対応する線スペクトル対の各周波数 ωi を求める。
P(z) と Q(z) の根にそれぞれ対応するωは必ず交互に相手のものを間に挟むので,以下のように並べることができる。
0 < ω 1 < ω 2 < ω 3 < ⋯ < ω p < π {\displaystyle 0<\omega _{1}<\omega _{2}<\omega _{3}<\cdots <\omega _{p}<\pi }
また、この条件は線スペクトル対を使った合成フィルターが安定であるための必要十分条件でもあることが示されている。