射影空間
体 K が実数体 R または複素数体 C であるとき、これらの位相から定まる位相(ユークリッド位相・古典位相)に関して、射影空間 KPn はコンパクトなハウスドルフ空間である。K = R のときは、射影空間の定義によって、性質のよい自然な写像 S → RPn があるので、RPn のコンパクト性およびハウスドルフ性は n 次元球面 S のそれから従う。 K = C の時も同様に S ファイバー束 S → CPn (ホップ束; Hopf bundle と呼ばれる)があることから従う。
一般の体 K に関しては射影空間にはザリスキ位相をいれて考えるが、この位相について KPn は基礎体 K 上固有 (proper) になる。代数多様体の固有性はユークリッド位相に関するコンパクト・ハウスドルフ性の概念の対応物である。
ω | w = 0 = − 1 2 ∑ d w i ∧ d w ̄ i {\displaystyle \omega {\big |}_{w=0}={\frac {\sqrt {-1}}{2}}\sum dw_{i}\wedge d{\bar {w}}_{i}}
となるので、ω に対応するエルミート型式 h はこの点で正値である、すなわちエルミート計量である。しかし ω、従ってそれに付随するエルミート型式はユニタリ群 U(n + 1) のC \ {0}への、従ってCPn への推移的な作用で不変であることから、h は CPn 上のエルミート計量を定める。更に ω は定義から明らかに閉型式であるので、h はケーラー計量 (Kähler metric) である。この CPn 上の計量を フビニ・スタディ計量 (Fubini-Study metric) と呼ぶ。また、上の記述から射影空間 CPn はフビニ・スタディ計量に関して正則断面曲率が正の定曲率を持つ多様体である事がわかる。