ベッセルビーム
まず、進行方向に沿って強度が変化しない平面波の複素振幅を考えると、次のようになる。
u ( r ) = f ( x , y ) exp  ( − i β z ) {\displaystyle u({\boldsymbol {r}})=f(x,y)\exp(-i\beta z)}
これをヘルムホルツ方程式に代入すると、
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) f + ( k 2 − β 2 ) f = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f+(k^{2}-\beta ^{2})f=0}
になる。極座標 (r,θ) で変数分離して解くと、以下の式が求まる。
f ( r , θ ) = A m J m ( k t r ) exp  ( i m θ ) {\displaystyle f(r,\theta )=A_{m}J_{m}(k_{t}r)\exp(im\theta )}