直交曲線座標
これらの演算は応用上共通なので、本節ではすべてのベクトル成分を正規化基底を用いて以下のように示す。 F i = F ⋅ e ^ i {\displaystyle F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} .
上記の式は、レヴィ=チヴィタ記号を用いてより簡潔に書くことができる。 ε i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} とヤコビ行列式 J = h 1 h 2 h 3 > 0 {\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}>0} で、繰り返し添字に対する和を考える。
また、スカラー場の勾配は正準偏導関数を含むヤコビ行列式 J で表現できることに注意。
J = [ ∂ φ ∂ q 1 , ∂ φ ∂ q 2 , ∂ φ ∂ q 3 ] {\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}
さらに展開すれば、 ( e 1 , e 2 , e 3 ) {\displaystyle ({\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2},{\mathbf {e} }_{3})} が右手系であるという仮定の下で
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) h 2 h 3 h 1 e 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) h 1 h 3 h 2 e 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) h 1 h 2 h 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}
直交しない座標や高次元への一般化を単純化するために、外積の簡潔な表記がレビ・チビタテンソルで可能であるが、スケールファクターがすべて1に等しくない場合、0と1以外の成分を持つことになる。
デカルト座標では、基底ベクトルは固定(一定)である。より一般的な曲線座標(英語版)では、座標によって空間の点が指定され、そのような点ごとに基底ベクトルの集合が束ねられるが、それは一般に一定ではない。直交曲線座標の特徴は、基底ベクトルが変化しても、互いに対して常に直交していることである。言い換えれば
e i ⋅ e j = 0 if i ≠ j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}
これらの基底ベクトル「ある座標を変化させ、他の座標を固定して得られる曲線の接ベクトル」として定義される。即ち、
e i = ∂ r ∂ q i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}
ここで 'r は何らかの点を表し、q は基底ベクトルを抽出した座標である。つまり、1つの座標以外を固定して曲線を得、固定しない座標をパラメトリック曲線のように変化させ、パラメータ(変化する座標)に対する曲線の微分を、その座標の基底ベクトルとする。
なお、ベクトルは必ずしも等しい長さとは限らない。座標のスケールファクターとして知られる便利な関数は、単に基底ベクトル e i {\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}} の長さ h i {\displaystyle h_{i}} (下表参照) である。
ある点からの無限小の変位を見てみると、明らかに以下が成り立つ。
d r = ∑ i ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i e i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
定義によれば、関数の勾配は以下を満たさなければならない(この定義はƒが任意のテンソルであっても真である)。
d f = ∇ f ⋅ d r ⇒ d f = ∇ f ⋅ ∑ i e i d q i {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
従って、ナブラ演算子は必ず、以下を満たさねばならないことになる。
∇ = ∑ i e i ∂ ∂ q i {\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
これは、これは直交曲線座標に限らない一般的な曲線座標の場合にも当てはまる。勾配やラプラシアンのような演算子は、この演算子を適切に適用することで得られるものである。