ルジャンドル変換
多変数関数に対しては、その一部の変数に関してだけのルジャンドル変換を考えることができる。
2変数関数 f(x, y) を x についてルジャンドル変換した関数を f(p, y) とする。このとき、変換されない変数 y はスペクテータと呼ばれる。スペクテータ y による偏微分はルジャンドル変換の影響を受けない。すなわち次式が成り立つ:
( ∂ f ( x , y ) ∂ y ) x = − ( ∂ f ∗ ( p , y ) ∂ y ) p . {\displaystyle \left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial f^{*}(p,y)}{\partial y}}\right)_{p}\,.}
解析力学では、ラグランジアン L をハミルトニアン H に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を q としたときに正準運動量を p = ∂L/∂·q として、ハミルトニアンは
H = q ̇ p − L {\displaystyle H={\dot {q}}p-L}
と定義される。これによって、L(q, ·q) から H(q, p) になる。 実際これは以下の関係を満たす。
∂ H ∂ q ̇ = p − ∂ L ∂ q ̇ = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial {\dot {q}}}}=p-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0\,.}
このハミルトニアンとオイラー=ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれる。 ハミルトニアンの全微分は、
d H = ∂ H ∂ p d p + ∂ H ∂ q d q + ∂ H ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} H={\frac {\partial H}{\partial p}}\mathrm {d} p+{\frac {\partial H}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t}
と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、