単項式
数学における単項式(たんこうしき、英: monomial)とは、大ざっぱに言えばただひとつの項しかもたない多項式(整式)のことをいう。単項式は多項式(あるいは形式冪級数)の項として、一般の多項式(形式冪級数)を構成する構成ブロックの役割を果たす。"polynomial"(多項式)という単語は「多数」を意味する接頭辞 "poly-" に(「部分」を意味する)ギリシャ語 "νομός" (nomós) を足したものに由来するので、monomial(単項式)は理論上は "mononomial" と呼ばれるべきであり、"monomial" は "mononomial" の語中音消失 (haplology) である。
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)&={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}\\[5pt]&={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.\end{aligned}}}
後者の形は変数の数を固定して次数を変化させるときに特に役に立つ。これらの式から、固定した n について d-次単項式の総数は、最高次係数が 1/(n−1)! の d を変数とする n − 1 次の多項式であることがわかる。
例えば、三変数 (n = 3) の d-次単項式の数は 1/2(d + 1) = 1/2(d + 1)(d + 2) である。これらの数は三角数の列 1, 3, 6, 10, 15, ... をなす。
ヒルベルト級数は与えられた次数の単項式の数を表現するコンパクトな方法である。n 変数の d 次単項式の数は
1 ( 1 − t ) n {\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}}
の形式的ベキ級数展開の次数 d の係数である。