フォック状態
量子力学においてフォック状態(フォックじょうたい、英: Fock state)または数状態(すうじょうたい、英: number state)、または粒子数状態(りゅうしすうじょうたい)とは、粒子(または量子)の数が明確に定義されたフォック空間のベクトルである量子状態のこと。ソビエトの物理学者ウラジミール・フォックにちなんで名づけられた。 また多体系や量子場をフォック状態で表すことをフォック表示、占有数表示などと呼ぶ。量子光学では光子数状態あるいは光子数確定状態とも呼ばれる。
フォック状態は量子力学の第二量子化形式において重要な役割を果たす。
粒子表現は、ポール・ディラックがボース粒子について、パスクアル・ヨルダンとユージン・ウィグナーがフェルミ粒子について詳細に扱ったのが最初である。
1つのモードでのフォック状態を合成し、2つ以上のモード(多重モード)でのフォック状態を作る。このフォック状態は、同種粒子の不可弁別性を満たすような形でなければならない。
調和振動子では、数演算子とハミルトニアンは互いに交換する。
H ^ = ħ ω ( N ^ + 1 2 ) {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)}
[ N ^ , H ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {H}}]=0}
よってフォック状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は調和振動子のハミルトニアンの固有状態: | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } でもある(同時固有状態)。
H ^ | n ⟩ = ħ ω ( n + 1 2 ) | n ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle }
つまり状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } における粒子数とエネルギーの測定値には量子的なバラつき(ゆらぎ)は無い。
b ^ † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ , b ^ | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {b}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {b}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle \end{aligned}}}
また固有値0の場合の固有状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } を真空状態と呼び、これに消滅演算子が作用すると次のようになる。
b ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {b}}|0\rangle =0}
数演算子の固有状態は、真空状態から生成演算子をくり返し作用することで作ることができる。これをボース粒子におけるフォック状態と呼ぶ。
| n ⟩ = 1 n ! ( b ^ † ) n | 0 ⟩ {\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {b}}^{\dagger })^{n}|0\rangle }