ガロアの逆問題
ここで、有理的とは Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の 純超越 拡大体であること、すなわち 代数的に独立な(英語版) 集合によって Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上生成されているという意味である。この判定法を用いることで、例えば全ての対称群が実現可能であることを示せる。
この問題に関して詳細な研究が多くなされているが一般的には解かれていない。いくつかは射影直線のガロア被覆(英語版)として幾何学的に G を構成する方法に基づいている。代数的な言葉で言えば、不定元 t の 有理関数体 Q ( t ) {\displaystyle \mathbb {Q} (t)} の拡大体をまず考えることに相当する。この拡大体が得られれば、ヒルベルトの既約性定理(英語版) によりガロア群を保つように t を特殊化できる。
次数が16以下の全ての置換群は、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上実現可能であることが知られている。 次数が17の群 PSL(2,16):2 については知られていない。
PSL(2,25) (位数 7800) よりも小さい、全ての13個の非可換単純群については、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上実現可能であることが知られている。