円周率が22/7より小さいことの証明
である。ここに、第一の等式が成り立つのは j = 1, ..., 3n − 1 の項が打ち消しあって消えるためであり、第二の等式では、第一の和において j = j0 + 1 とおいて j0 を改めて j としている。
これらの結果を用いて
x 4 n ( 1 − x ) 4 n 2 2 n − 2 ( 1 + x 2 ) = ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 1 ) j 2 2 n − j − 2 x 4 n + j ( 1 − x ) 4 n − 2 j − 2 − 4 ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j + ( − 1 ) 3 n 4 1 + x 2 ( ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}&=\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\&\qquad {}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}\qquad (*)\end{aligned}}}
証明の概略は非常に簡潔に述べられる。
0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x = 22 7 − π {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={\frac {22}{7}}-\pi }
より、π は 22/7 よりも小さい。
この積分の計算は、1968年のウィリアム・ローウェル・パトナム数学競技会(英語版)の最初の問題として出題された。 パトナムの競技会の他のほとんどの問題は、この問題よりも難しい。しかし、この競技会は、直接にはあまり知られていなくとも、実は非常によく知られたことに言及していると判明する問題を、しばしば呼び物にしている。この積分は、インド工科大学の入試問題に用いられたこともある。