シェファー列
多項式列 pn を固定する。多項式上の線形作用素 Q を
Q p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
で定める(これだけで、任意の多項式に対する Q の作用が定まっていることに注意する)。この線形作用素 Q がちょうどシフト同変となっているとき、多項式列 pn はシェファー列と呼ばれる。ここで多項式上の線形作用素 Q がシフト同変 (shift-equivariant) であるとは、
「f(x) = g(x + a) = Tag(x) が g(x) の「シフト」ならば必ず (Qf)(x) = (Qg)(x + a) が成り立つ」
ことを言う。すなわち、Q は任意のシフト作用素と可換(TaQ = QTa)である。そのような Q はデルタ作用素である。
e n ( x ) = x n = ∑ k = 0 n δ n , k x k {\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}}
である。この群の二つの重要な部分群として、アペル列(英語版)全体の成す群(これらの上で作用素 Q は単に微分となる)と、二項型多項式列全体の成す群(多項式列が二項型であるとは、等式
p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}
を満たすことである)が挙げられる。
シェファー列 { pn(x) : n = 0, 1, 2, ...... } が二項型となるための必要十分条件は、
p 0 ( x ) = 1 , p n ( 0 ) = 0 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle p_{0}(x)=1,\quad p_{n}(0)=0(n\geq 1)}
を満足することである。
アペル列の群はアーベル群であるが、二項型列の群はそうではない。アペル列の群はシェファー列の群の正規部分群であるが、二項型列の群はそうではない。実はシェファー列の群はアペル列の群と二項型の列の群との半直積である。したがってシェファー列の群をアペル列の群で割った各傍系は、二項型の列をちょうど一つ含む。この剰余類分解において、二つのシェファー列が同一の傍系に属するための必要十分条件は、それらの列の「デルタ作用素」(上で述べた作用素 Q)が線型作用素として一致することである(一般に、デルタ作用素は多項式上のシフト同変な線形作用素で次数を 1 減らすものをいう。