ケーラー多様体
エルミート多様体 K {\displaystyle K} は、自然なエルミート形式 h {\displaystyle h} と可積分な概複素構造 J {\displaystyle J} を兼ね備えた複素多様体である。 h {\displaystyle h} が閉であることを仮定すると、標準的シンプレクティック形式を ω = i 2 ( h − h ̄ ) {\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}(h-{\bar {h}})} と定義でき J {\displaystyle J} と整合性を持っているので、第一の定義を満たす。
ケーラー多様体とは、シンプレクティック多様体 ( K , ω ) {\displaystyle (K,\omega )} とそのシンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } と以下の意味で整合性を持つ可積分な概複素構造 J の組である:
g ( u , v ) = ω ( u , J v ) {\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}
で定義される接空間上の2次形式が各点で正定値対称である(つまり,上で定義されるgがリーマン計量になっている)。