フェルミの黄金律
摂動が加わって充分時間が経過した後の遷移確率 p f ← i ( t ) = | ⟨ ψ f | ψ ( t ) ⟩ | 2 {\displaystyle p_{\mathrm {f} \gets \mathrm {i} }(t)=\left|\langle \psi _{\mathrm {f} }|\psi (t)\rangle \right|^{2}} は、
p f ← i ( t ) = 4 | ⟨ ψ f | H ′ ^ | ψ i ⟩ | 2 ( E f − E i − ħ ω ) 2 sin 2  ( E f − E i − ħ ω ) t 2 ħ → 2 π t ħ | ⟨ ψ f | H ′ ^ | ψ i ⟩ | 2 δ ( E f − E i − ħ ω ) ( t → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mathrm {f} \gets \mathrm {i} }(t)&=4{\frac {\left|\langle \psi _{\mathrm {f} }|{\hat {H'}}|\psi _{\mathrm {i} }\rangle \right|^{2}}{(E_{\mathrm {f} }-E_{\mathrm {i} }-\hbar \omega )^{2}}}\sin ^{2}{\frac {(E_{\mathrm {f} }-E_{\mathrm {i} }-\hbar \omega )t}{2\hbar }}\\&\to {\frac {2\pi t}{\hbar }}\left|\langle \psi _{\mathrm {f} }|{\hat {H'}}|\psi _{\mathrm {i} }\rangle \right|^{2}\delta (E_{\mathrm {f} }-E_{\mathrm {i} }-\hbar \omega )\quad (t\to \infty )\end{aligned}}}
摂動ハミルトニアンが時間に周期的に依存しているとする。
H ^ = H ^ 0 + H ^ ′ ( t ) , H ^ ′ ( t ) = H ^ ′ e − i ω t {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}'(t),{\hat {H}}'(t)={\hat {H}}'e^{-i\omega t}}
シュレーディンガー表示では時間発展は時間依存シュレーディンガー方程式に従う。
i ħ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = [ H ^ 0 + H ^ ′ ( t ) ] | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left[{\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}'(t)\right]|\psi (t)\rangle }
この式を相互作用表示に書き換える。相互作用表示での状態ベクトルとハミルトニアンは、
| ψ ( t ) I ⟩ = e i H ^ 0 t / ħ | ψ ( t ) ⟩ H ^ I ′ ( t ) = e i H ^ 0 t / ħ H ^ ′ ( t ) e − i H ^ 0 t / ħ {\displaystyle {\begin{aligned}|\psi (t)_{\mathrm {I} }\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle \\{\hat {H}}'_{\mathrm {I} }(t)&=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}'(t)e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\end{aligned}}}