可測関数
数学の、特に測度論の分野における可測関数(かそくかんすう、英: measurable function)とは、(積分論を展開する文脈として自然なものである)可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う(これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている)。
この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には f : ( R , L ) → ( R , B ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している(ここで L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} は R 上のボレル集合族である)。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。