線型近似
例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。
f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ∂ x ( a , b ) ( x − a ) + ∂ f ∂ y ( a , b ) ( y − b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}
右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。
さらに一般に、バナッハ空間においては
f ( x ) ≈ f ( a ) + D f ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}
と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。