接ベクトル空間
1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 C 級多様体 M と、その中の C 級曲線
φ : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle \phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}
と M 上の任意の C 級関数
f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbf {R} }
を与えたとき、 t0 ∈ (− ε, ε) に対して
v φ : f ↦ d d t ( f ∘ φ ) ( t ) | t = t 0 {\displaystyle v_{\phi }\colon f\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(t)\right|_{t=t_{0}}}
という対応 vφ を曲線 φ の t = t0 における方向微分 (directional derivative) という。
この定義には局所座標系などは全く出てこないので方向微分は座標系に依存しない。
φ(t0) = p ∈ M とする。 p の近傍で定義された任意の C 級関数 f, g 及び任意の実数 a, b に対し
vφ(af + bg) = avφ(f) + bvφ(g)
vφ(fg) = vφ(f) g(p) + f(p) vφ(g)
が成り立つ。この左辺の変数になっている fg は q ∈ M に対して
fg: q ↦ f(q) g(q)
のように関数の値の(普通の意味での)積とする。
このことから、方向微分 vφ は線型性を持ち、ライプニッツ則(積の微分法則)に従う作用素であることが分かる。
が求まる。 この速度ベクトルの成分は、座標近傍の局所座標系の表し方に依存する表示になっている。多様体の性質を調べる際には、局所座標系の取り方に依存しない性質を扱いたいという要請があるので、この速度ベクトルは多様体の性質を調べるのには不向きである。そこで M 上で定義された C 級関数
f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbf {R} }
を利用することを考える。 f は 座標近傍 (U; x1, ..., xm) においては、 m 変数の関数 f (x1, ..., xm) として書かれている。この f を曲線 φ 上で調べる。 f(φ(t)) は局所座標系に寄らない関数
( f ∘ φ ) : ( − ε , ε ) → R {\displaystyle (f\circ \phi )\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbf {R} }
であり、これを t で微分した
d d t ( f ∘ φ ) ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(t)}
もまた局所座標系に依存しない。
ところで f(x1(t), ..., xm(t)) という表示にして t で微分してみれば、多変数関数の合成関数の微分 として連鎖律の公式から