回転数 (数学)
微分幾何学において、パラメトリック方程式は通常微分可能(あるいは少なくとも区分的に微分可能)と仮定される。この場合、極座標 θ は長方形座標 x と y と次の方程式によって関係づけられる:
d θ = 1 r 2 ( x d y − y d x ) where r 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
微分積分学の基本定理によって、θ の総変化量は dθ の積分に等しい。したがって微分可能曲線の回転数を次の線積分として表現できる:
winding number = 1 2 π ∮ C x r 2 d y − y r 2 d x . {\displaystyle {\text{winding number}}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx.}
(原点の補集合上定義された)1-形式 dθ は閉だが完全でなく、それは原点を除いた平面(英語版)の一次ド・ラームコホモロジー群を生成する。とくに、ω が原点の補集合上定義された任意の閉微分可能 1-形式であれば、閉ループに沿った ω の積分は回転数の倍数を与える。