建物 (数学)
球面型建物は、SLn(Qp) に対するアフィン型建物 X に関連した二種類のきわめて異なる方法から得られる。
アフィン型建物 X の各頂点のリンク(英語版) L は、有限体 F ≔ R/pR = Z/(p) のもとで L/pL の部分加群に対応する。これは SLn(F) の球面型建物に他ならない。
アフィン型建物 X は、SLn(Qp) に対する球面型建物を「無限遠」における境界として加えることにより、コンパクト化することができる。
群 G の建物 X への単体的な作用が、小部屋 C とそれを含むアパート A の対の上に推移的であるとき、そのような対の安定部分群としてBN対あるいはティッツ系と呼ばれるものが定まる。実は、部分群の対
B ≔ GC および N ≔ GA
はBN対の公理を満足し、そのワイル群は N/N∩B と同一視される。逆に、建物はBN対から復元することができるから、任意のBN対は自然に建物を定義する。実は、BN対の用語法を用いて、B の任意の共軛をボレル部分群、ボレル部分群を含むような部分群を抛物型部分群と呼べば、次のことが言える。
建物 X の頂点は極大抛物型部分群に対応する。
k + 1 個の頂点は、対応する抛物型部分群の交わりが再び坊物型となるときは常に、k-次元単体を成す。
アパートは、B を含む極大抛物型部分群の N-共軛によって与えられる頂点全体から成る単体的部分複体と G-共軛である。
同じ建物が、相異なるBN対によって記述されることもしばしば起こる。さらに、必ずしも全ての建物がBN対から得られるものではない。これは階数や次元が低い場合に、分類が上手くいかないことに対応している(後述)。
Ballmann, Werner; Brin, Michael (1995), “Orbihedra of nonpositive curvature”, Publications Mathématiques de l'IHÉS 82: 169–209, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1995__82__169_0
Barré, Sylvain (1995), “Polyèdres finis de dimension 2 à courbure ≤ 0 et de rang 2”, Ann. Inst. Fourier 45: 1037–1059, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AIF_1995__45_4_1037_0
Barré, Sylvain; Pichot, Mikaël (2007), “Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes”, Geom. Dedicata 130: 71–91, doi:10.1007/s10711-007-9206-0, http://web.univ-ubs.fr/lmam/barre/henri.pdf
Bourbaki, Nicolas (1968), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6, Elements of Mathematics, Hermann, ISBN 3-540-42650-7
ティッツは、階数が 2 より大きい任意の既約球面型建物(つまり有限型ワイル群を持つ建物)が単純代数群または古典群に対応することを示した。同様のことが、次元が 2 よりも大きい既約アフィン型建物(これは「無限遠」において階数が 2 よりも大きい球面型建物になる)についても成立する。低階数あるいは低次元においては、このような分類は存在しない。実際、任意の接続構造(英語版)から階数 2 の球面型建物が得られる。また、ボールマンとブリンは、有限射影平面内の旗複体(英語版)に同型な頂点のリンクを持つ任意の二次元単体的複体が、必ずしも古典的でない建物の構造を持つことを示した。多くの二次元アフィン型建物が、双曲的鏡映群(英語版)や他の軌道体(英語版)に関連するより奇妙な構造を用いて構成された。
ティッツは、建物が常に群のティッツ系によって記述されるならば、殆どすべての場合において建物の自己同型は群の自己同型に対応することも示した。