方法 (アルキメデスの著書)
球の表面積を求めるために、アルキメデスは円の面積が円周を回る無限に多くの無限小の直角三角形と考えられるように(円周の測定参照)、球の体積は表面積を底面とし半径に等しい高さを持つ多くの円錐に分割されていると考えることができる。円錐の高さはすべて同じであるため、体積は表面積に高さと1/3をかけたものになる。
アルキメデスは球の総体積は底面の面積が球の表面積と等しく、高さが半径である円錐の体積に等しいと言っている。議論の詳細は述べられていないが、明らかな理由は円錐は底面の面積を分割することで無限小の円錐に分割することができ、それぞれの円錐は球と同じように底面積に応じて寄与しているからである。
球の表面積を Sとすると、底面積がSで高さがrの円錐の体積は S r / 3 {\displaystyle \scriptstyle Sr/3} となり、球の体積 4 π r 3 / 3 {\displaystyle \scriptstyle 4\pi r^{3}/3} と等しくなければならない。ゆえに球の表面積は 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} 、「最大の円の4倍」でなければならない。アルキメデスはこのことを『球と円柱について』で厳密に証明している。