変分法における直接解法
変分法における典型的な汎函数は、次の形式の積分である。
J ( u ) = ∫ Ω F ( x , u ( x ) , ∇ u ( x ) ) d x {\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}
ここで Ω {\displaystyle \Omega } は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合であり、 F {\displaystyle F} は Ω × R m × R m n {\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}} 上の実数値函数である。 J {\displaystyle J} の引数は微分可能な函数 u : Ω → R m {\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}} で、そのヤコビアン ∇ u ( x ) {\displaystyle \nabla u(x)} は m n {\displaystyle mn} -ベクトルと結び付けて考えられる。