リースの拡張定理
ψ ( y ) ≥ ψ ( − x ) = − ψ ( x ) {\displaystyle \psi (y)\geq \psi (-x)=-\psi (x)}
となり、ψ(z) ≥ 0 である。二つ目の場合、z = a(x − y) なので、y = x − z/a となる。今、z1 = y − x1 ∈ K および ψ(x1) ≥ ψ(y) − ε を満たすものとして x1 ∈ F を定める。このとき
ψ ( x ) − ψ ( x 1 ) = ψ ( x − x 1 ) = ψ ( z 1 + z / a ) = φ ( z 1 + z / a ) ≥ 0 {\displaystyle \psi (x)-\psi (x_{1})=\psi (x-x_{1})=\psi (z_{1}+z/a)=\phi (z_{1}+z/a)\geq 0}
であり、したがって ψ(z) ≥ −a ε である。これは任意の ε > 0 に対して成立するため、ψ(z) ≥ 0 となる。