ガウス曲率
曲面の任意の点で、曲面に対して垂直である法線ベクトル(normal vector)を見つけることができる。法線ベクトルを含む平面を法平面(英語版)(normal plane)と呼ぶ。法平面と曲面の交差は、法切断(英語版)(normal section)と呼ばれる曲線を形成し、この曲線の曲率が法曲率(英語版)(normal curvature)である。ほとんどの曲面上のほとんどの点に対し、ことなる切断ごとに異る曲率となる。これらの最大値と最小値を主曲率といい、κ1, κ2 と表す。ガウス曲率(Gaussian curvature)は 2つの主曲率の積 Κ = κ1 κ2 である。
ガウス曲率の符号は、曲面を特徴付けることに使うことができる。
主曲率の双方が同符号 κ1κ2 > 0 であれば、ガウス曲率は正であり、曲面は楕円点を持っているという。そのような点では、曲面はドームのようになっていて、局所的に接平面が曲面の同じ側へ来る。全ての断面曲率が同じ符号となる。
主曲率が異る符号を持つ κ1κ2 < 0 と、ガウス曲率は負であり、曲面は双曲点を持っているという。そのような点では、曲面は鞍点の形をしている。2つの方向に断面曲率が 0 となり、漸近方向(英語版)(asymptotic direction)を与える。
主曲率のうちのひとつが 0、つまり κ1κ2 = 0 であれば、ガウス曲率は 0 であり、曲面は放物点を持っているという。
殆どの曲面は、正のガウス曲率(楕円点)の領域を持ち、負のガウス曲率の領域は放物線と呼ばれるガウス曲率が 0 となる点の曲線により分離される。