グロンウォールの不等式
ゼロを含む任意の自然数 n および、区間 I に含まれる任意の s < t に対し
μ ⊗ n ( A n ( s , t ) ) ≤ ( μ ( I s , t ) ) n n ! {\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}}
が成立する。ここで等号は、関数 t → μ([a, t]) が区間 I に含まれる t について連続である場合に成立する。
v(a) = 0 であるため、この不等式を a から t まで積分することにより
v ( t ) ≤ ∫ a t α ( s ) β ( s ) exp  ( − ∫ a s β ( r ) d r ) d s {\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s}
を得る。この不等式と、指数関数の関数方程式および関数 v(t) の定義を用いることにより
∫ a t β ( s ) u ( s ) d s = exp  ( ∫ a t β ( r ) d r ) v ( t ) ≤ ∫ a t α ( s ) β ( s ) exp  ( ∫ a t β ( r ) d r − ∫ a s β ( r ) d r ⏟ = ∫ s t β ( r ) d r ) d s {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}