アフィン空間
集合 A と体 K 上の n-次元ベクトル空間 V の組 (A, V) が K 上の n-次元アフィン空間であるとは、次の 3 条件が成り立つときにいう。
任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、 P Q → = a {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}=\mathbf {a} } を満たす Q ∈ A はただ一つ存在する。これを Q = Ta(P) あるいは Q = P + a と記し、a が定める写像 Ta : A → A を a の定める平行移動という。
任意の a, b ∈ V に対し、 T b ∘ T a = T a + b {\displaystyle T_{\mathbf {b} }\circ T_{\mathbf {a} }=T_{\mathbf {a} +\mathbf {b} }} が成り立つ。すなわち、任意の点 P ∈ A に対し、(P + a) + b = P + (a + b) が成り立つ。
.. , xm の任意のアフィン結合について、
a 1 T x 1 + ⋯ + a m T x m = T ( a 1 x 1 + ⋯ + a m x m ) ( 1 = a 1 + ⋯ + a m ) {\displaystyle a_{1}Tx_{1}+\cdots +a_{m}Tx_{m}=T(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})\quad (1=a_{1}+\cdots +a_{m})}
を満たすものとしてアフィン写像を特徴づけることもできる。
実際には、任意のアフィン写像は変換前の原点を変換後の原点に移す平行移動と、各点と原点とのあいだの差のベクトルに関する線形変換との合成によってあたえられる。
アフィン空間内の二つの図形が、可逆なアフィン変換によって互いに移り合うとき、その二つの図形は互いにアフィン合同であるという。ユークリッド空間においてアフィン合同かつ角度を保つということと相似であるということとは同値であり、アフィン合同かつ角度も線分の長さも変えないということは合同であるということである。
を加えるというとき、権兵衛さんは自分の思う a + b を求めるために、P から A へ矢印を引き、P から B へ別の矢印を引いてできる平行四辺形の対角線を考えることになるわけだが、太郎さんはそれが実際には
P + P A → + P B → {\displaystyle \mathrm {P} +{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}
であることを知っている。同様に、a と b(あるいはもっと多くの有限個のベクトルの集合)の任意の線型結合について評価を行ったとき、太郎さんと権兵衛さんは一般には異なる答えを導き出すことになるが、それでも
その線型結合の係数の和が 1 であるような場合には、太郎さんと権兵衛さんの答えは一致する
ということについてはよく注意しなければならない。この話の「落ち」は、権兵衛さんは「アフィン構造」(つまり係数の和が 1 の線型結合として定義されるアフィン結合の値)しか知らないが、太郎さんは「線型構造」と「アフィン構造」の両方を知っているということにある。台集合にアフィン構造を考えたものがアフィン空間なのである。