周期写像
f : X → B を正則埋め込みの射(morphism)とする。B の点 b に対し、b 上の f のファイバを Xb で表すとし、B の点 0 を固定する。エーレスマンの定理(英語版)は 0 の周りの小さな開近傍 U であってそこで f がファイバーバンドルとなるようなものが存在することを保証する。すなわち、f(U) は X0 × U に微分同相である。特に、合成写像
X b ↪ f − 1 ( U ) ≅ X 0 × U ↠ X 0 {\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}}
は微分同相である。この微分同相写像は、写像が自明化の選択に依存しているので、一意には決まらない。(ファイバーバンドルの)自明化は U 内の滑らかな経路から構成され、微分同相のホモトピー類は b から 0 への経路のホモトピー類の選択にのみ依存することを示すことができる。
f が固有で X0 がケーラー多様体であるとする。ケーラー条件は未定であるので、U を縮めた後に、すべての U 内の b に対し、Xb はコンパクトでケーラーである。さらに U を縮めて、X0 が可縮であると仮定してよい。すると、X0 と Xb のコホモロジー群の間に同型がうまく定義できる。これらの同型は、X0 のホッジ構造と Xb のホッジ構造を保存することは、一般にはない。何故ならば、それらは微分同相写像から引き起こされたもので、双正則写像から引き起こされたものではないからである。FH(Xb, C) をホッジフィルトレーションの p番目のステップを表すとすると、Xb のホッジ数は X0 のホッジ数に等しい ので、bp,k = dim FH(Xb, C) の数値(ベッチ数)は b とは独立である。周期写像 は写像
P : U → F = F b 1 , k , ... , b k , k ( H k ( X 0 , C ) ) , {\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}
であり、ここに F はすべての p に対し、次元が bp,k である部分空間の列の旗多様体(flag variety)であり、次の写像が存在する。