単サイト近似
D ( E ) − D 0 ( E ) = 2 N π I m T r d d E { x ln  T A + y ln  T B } = − 2 N π I m T r { x T A d d E ( τ A − 1 − B ) + y T B d d E ( τ B − 1 − B ) } = − 2 N π I m T r ∑ n [ x ⟨ T n n ⟩ n = A d τ A − 1 d E + y ⟨ T n n ⟩ n = B d τ B − 1 d E − ∑ n 1 ⟨ T n n 1 ⟩ d d E B n 1 n ] {\displaystyle {\begin{aligned}D(E)-D_{0}(E)&={2 \over {N\pi }}\mathrm {ImTr} {d \over {dE}}\{x\ln T_{A}+y\ln T_{B}\}\\&=-{2 \over {N\pi }}\mathrm {ImTr} \{xT_{A}{d \over {dE}}(\tau _{A}^{-1}-B)+yT_{B}{d \over {dE}}(\tau _{B}^{-1}-B)\}\\&=-{2 \over {N\pi }}\mathrm {ImTr} \sum _{n}[x\left\langle T_{nn}\right\rangle _{n=A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\left\langle T_{nn}\right\rangle _{n=B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}-\sum _{n_{1}}\left\langle T_{nn_{1}}\right\rangle {d \over {dE}}B_{{n_{1}}n}]\end{aligned}}}
となる。係数2はスピンの縮重度。Imは虚数部分、Trはトレース(跡)を取ることを意味する。更に平均操作は添え字nに対して独立なので、n=0(を原点として)で代表させる(N倍する必要あり。N:全サイト数)。また< Tnn >はフーリエ変換により、