水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
本節では式(W5)をさらに式変形することで、(W5)をラゲールの陪方程式(詳細後述)で書き表せる事を示す。ラゲールの陪方程式の解は特殊関数で書けることが知られているので、これにより式(W5)が解けることになる。この目標に達するため、以下の3ステップを踏む。
ρが十分小さいという条件下(W5)の近似解を求める。
ρが十分大きいという条件下(W5)の近似解を求める。
上記2ステップの結論を参考にして、(W5)の厳密解を変数変換し、(W5)をラゲールの陪方程式に(近似なしで)変形する。
ρ 2 d 2  R d  ρ 2 = d d  ρ { ρ l u ( ρ ) e − ρ 2 } = l ρ l − 1 u ( ρ ) e − ρ 2 + ρ l ρ ′ e − ρ 2 − 1 2 ρ l u ( ρ ) e − ρ 2 ρ d  R d  ρ = d 2 d  ρ 2 { ρ l u ( ρ ) e − ρ 2 } = l ( l − 1 ) ρ l − 2 u ( ρ ) e − ρ 2 + ρ l ρ ′′ e − ρ 2 + 1 4 ρ l u ( ρ ) e − ρ 2 + 2 { l ρ l − 1 ρ ′ e − ρ 2 − 1 2 ρ l ρ ′ e − ρ 2 − 1 2 l ρ l − 1 u ( ρ ) e − ρ 2 } {\displaystyle {\begin{array}{lccl}\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{\operatorname {d} \rho ^{2}}}&=&{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \rho }}\left\{\rho ^{\ell }u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}\right\}&=&\ell \rho ^{\ell -1}u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}+\rho ^{\ell }\rho '\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}-{\frac {1}{2}}\rho ^{\ell }u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}\\\displaystyle \rho {\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} \rho }}&=&{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} \rho ^{2}}}\left\{\rho ^{\ell }u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}\right\}&=&\displaystyle \ell (\ell -1)\rho ^{\ell -2}u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}+\rho ^{\ell }\rho ''\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}+{\frac {1}{4}}\rho ^{\ell }u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}\\&&&+&\displaystyle 2\left\{\ell \rho ^{\ell -1}\rho '\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}-{\frac {1}{2}}\rho ^{\ell }\rho '\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}-{\frac {1}{2}}\ell \rho ^{\ell -1}u(\rho )\mathrm {e} ^{-{\frac {\rho }{2}}}\right\}\end{array}}}
ψ n , l , m ( r , θ , φ ) = R n , l ( r ) Y l m ( θ , φ ) = exp  ( − ρ n ) ρ n l L n + l 2 l + 1 ( 2 ρ n ) P l | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R_{n,\ell }(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )=\exp(-\rho _{n})\rho _{n}{}^{\ell }L_{n+\ell }^{2\ell +1}(2\rho _{n})P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }} ×(規格化定数) ...(B5)
を持つ。ここで
P l m ( z ) = 1 2 l l ! ( 1 − z 2 ) m 2 d m + l d  z m + l ( z 2 − 1 ) l {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(z)={1 \over 2^{\ell }\ell !}(1-z^{2})^{m \over 2}{\operatorname {d} ^{m+\ell } \over \operatorname {d} z^{m+\ell }}(z^{2}-1)^{\ell }} 、
L k m ( ρ ) = d m d  ρ m e ρ d k d  ρ k ( e − ρ ρ k ) {\displaystyle L_{k}^{m}(\rho )={\frac {\operatorname {d} ^{m}}{\operatorname {d} \rho ^{m}}}e^{\rho }{\frac {\operatorname {d} ^{k}}{\operatorname {d} \rho ^{k}}}(e^{-\rho }\rho ^{k})}