対称式
2 変数の多項式
f(x,y) = x + x y + y
において、x と y を入れ替えた式
f(y,x) = y + y x + x = x + x y + y
は、元の f(x,y) とは全く変わらない多項式である。このように、変数を入れ替えても変わらない多項式のことを対称式という。
似たようなものに交代式がある。交代式は
g(x,y) = x − y
のように、変数を入れ替えると、もとの式と符号が変わる
g(y,x) = y − x = − g(x,y)
という性質を持つ式である。符号が変わるだけなので、偶数個の交代式の積や、交代式を 2 乗した式などは対称式となる。例えば
g(x,y) = (x − y)
は対称式である。
任意の対称式は、基本対称式
s1 = x + y
s2 = x y
の多項式で書ける。例えば
f(x,y) = x + x y + y = (x+y) − x y = s1 − s2
である。
こういった対称式の概念は、 2 変数に留まらず、3 変数以上の多項式にも拡張される。例えば
であるとき、有理式 f は対称的であるという。
対称多項式や対称有理式は、Sn という群の作用によって不変な式であるため、Sn 不変式ともいう。
有理式として対称的でも、分母や分子に現れる g や h は、対称式でないこともある。この場合 g の変数を置換して現れる異なる多項式 g1, g2, ..., gm を分母分子にかけて
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = h g 1 g 2 ⋯ g m g g 1 g 2 ⋯ g m {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={hg_{1}g_{2}\cdots g_{m} \over gg_{1}g_{2}\cdots g_{m}}}
という有理式にすることで、分母分子ともに対称式となるような表示が得られる。
ここで分母に行ったような、対称式とは限らない一般の多項式に対して、置換を作用して得られる、多項式の組から、対称式を作る手法は、しばしば有用である。例えば、対称式とは限らない 2 変数の多項式 f(x1,x2) と、その変数を置換して得られる多項式 f(x2,x1) の和や積
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n ) x 1 k {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{n-1}h_{k}(\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n})\ x_{1}^{k}}
の形に整理することができる。左辺は対称式なので、x1 と任意の xp を入れ替えても変わらないので、任意の p, q ∈ {1,2,...,n} について
∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n ) x p k = ∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n ) x q k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}h_{k}(\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n})\ x_{p}^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}h_{k}(\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n})\ x_{q}^{k}}
が成り立つことから、 1 ≤ k ≤ n-1 のとき hk ≡ 0 となり
f(x1,x2,...,xn) = h0(σ1,σ2,...,σn)
と表され、n 変数の対称式は、基本対称式の多項式で表せることがわかる。n = 1 の時は対称式の基本定理は明らかに成り立つので、数学的帰納法により、n 変数の対称式について基本定理が成り立つ。
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の根であるから、これらを変数とする多項式は、次数下げなどにより、どの xm (1 ≤ m ≤ n) に関しても n−1 次以下となるような多項式にすることができる。
対称式 f(x1,x2,...,xn) を x1 について整理し、x1 の係数が gk(x2,...,xn, σ1, σ2, ..., σn) 、すなわち
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ k = 0 n − 1 g k ( x 2 , x 3 , ⋯ , x n , σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n ) x 1 k {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{n-1}g_{k}(x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n},\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n})\ x_{1}^{k}}
であるとすると gk は、x2,...,xn に関しての対称式になる。
n−1 変数の対称式は、基本対称式の多項式で表せるということを仮定すると、 gk は、τ1, τ2,...,τn−1 の多項式で書くことができる。すなわち、どの gk も、x1 と σ1, ..., σk の多項式で表される。x1 の次数を下げつつ