微分形式
∫∫ f ( y 1 , y 2 ) d y 1 d y 2 = ∫∫ f ( y 1 ( x 1 , x 2 ) , y 2 ( x 1 , x 2 ) ) | ∂ ( y 1 , y 2 ) ∂ ( x 1 , x 2 ) | d x 1 d x 2 {\displaystyle \iint f(y_{1},y_{2})\,\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}=\iint f{\bigl (}y_{1}(x_{1},x_{2}),y_{2}(x_{1},x_{2}){\bigr )}\left|{\frac {\partial (y_{1},y_{2})}{\partial (x_{1},x_{2})}}\right|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}}
に似ている。このように微分形式を用いると、重積分の変数変換の公式を代数的な計算だけで導けるとも考えられる。
一般に R の領域 D で、座標系が {x1, x2, ..., xn} と 、{y1, y2, ..., yn} の 2 通りあり、座標変換が
y m = y m ( x 1 , x 2 , ... , x n ) 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle y_{m}=y_{m}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\quad 1\leq m\leq n}
のように表されるならば、 微分 k 形式は
d y i 1 ∧ ⋯ ∧ d y i k = ∑ j 1 < ⋯ < j k ∂ ( y i 1 , y i 2 , ... , y i k ) ∂ ( x j 1 , x j 2 , ...