テューキーの補題
A = ∪ { X : X ∈ B } {\displaystyle A=\cup \{X:X\in {\mathcal {B}}\}} の任意の有限部分集合 S {\displaystyle S} を考えると、 S {\displaystyle S} の各要素は何らかの X ∈ B {\displaystyle X\in {\mathcal {B}}} に含まれている。 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が包含関係について全順序で、Sの要素は有限であることから、 S {\displaystyle S} の要素を全て含む X ′ ∈ B ⊂ F {\displaystyle X'\in {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {F}}} が存在する。 S {\displaystyle S} は X ′ ∈ F {\displaystyle X'\in {\mathcal {F}}} の有限部分集合であるから、Finite characterより S {\displaystyle S} は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれる。したがって、再びFinite characterより A {\displaystyle A} も F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれる。 A {\displaystyle A} は鎖 B {\displaystyle B} の上界となっているから、ツォルンの補題より F {\displaystyle {\mathcal {F}}} には極大元が存在する。