等時曲線
これに最初の微分方程式を代入すると、x を θ について解くことができる。
d s = − g k 2 cos  θ d θ sec  θ d x = − g k 2 cos  θ d θ d x = − g k 2 cos 2  θ d θ = − g 2 k 2 ( cos  2 θ + 1 ) d θ x = − g 4 k 2 ( sin  2 θ + 2 θ ) + C x {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s&=-{\frac {g}{k^{2}}}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \\\sec \theta \,\mathrm {d} x&=-{\frac {g}{k^{2}}}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} x&=-{\frac {g}{k^{2}}}\cos ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta \\&=-{\frac {g}{2k^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)\,\mathrm {d} \theta \\x&=-{\frac {g}{4k^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}