ルベーグ積分
ルベーグ積分を定義するためには、測度の概念が必要になる(これは言ってみれば、実数からなる集合 A に対し、集合 A の「大きさ」となる非負の実数 μ(A) を割り当てるものである)。ここでいう「大きさ」というのは、区間や区間の非交和に対してはそれらの通常の意味での「長さ」に一致するべきものである。さて函数 f : R → R + {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}} は非負実数値函数であるものとして、「f の値域を分割する」という哲学のもと、f の積分は y = t と y = dt + t の間にある水平な細い帯状領域が占める基本面積を t に関して加えた総和となるものである。このような基本面積はちょうど
に等しい。ここに
と置けば、f のルベーグ積分は
ルベーグ積分の定式化の一つの方法として、単函数(有限個の指示函数の実係数線型結合)を用いるものがある。単函数は、可測函数の値域を帯状に分割することにより、可測函数を近似することができる。単函数の積分は各帯状領域の測度にその高さを掛けたものに等しい。非負値をとる一般の可測函数の積分はその函数の単函数による近似の上限として定義され、非負と限らない場合には函数を正成分と負成分の二つの非負値函数の差に分解してそれらの積分の差として可測函数の積分を定義する。