ポワンカレ計量
d z ′ = d z ( c z + d ) 2 , d z ′ d z ̄ ′ = d z d z ̄ | c z + d | 4 {\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},\quad dz'd{\bar {z}}'={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{|cz+d|^{4}}}}
で与えられるから、先の計量テンソルが SL(2,R) のもとで不変であることは明らかである。
不変体積要素は
d μ = d x d y y 2 {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}}
で与えられる。また、計量を z1, z2 ∈ H に対して
ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1  | z 1 − z 2 | | z 1 − z ̄ 2 | , {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|}},}
ρ ( z 1 , z 2 ) = log  | z 1 − z ̄ 2 | + | z 1 − z 2 | | z 1 − z ̄ 2 | − | z 1 − z 2 | {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|-|z_{1}-z_{2}|}}}
などと書くことができる。