付値
必ずしも可換とは限らない体 K がアルキメデス付値 |•| を持つとする。このとき、K から複素数体(K が可換体であるとき)または四元数体(K が斜体のとき)の中への同型写像 φ と正数 ρ が存在して、 | α | = | φ ( α ) | ∞ ρ ( α ∈ K ) {\displaystyle |\alpha |=|\varphi (\alpha )|_{\infty }^{\rho }\quad (\alpha \in K)} が成立する。ここで |•|∞ は複素数体または四元数体の絶対値である。従って、四元数体の部分体と同型な体はアルキメデス付値を持つ。
体 K 上の2つの加法付値 v, v′ に対して両者の付値環が等しいとき、すなわち
v ( a ) ≥ 0 ⟺ v ′ ( a ) ≥ 0 {\displaystyle v(a)\geq 0\iff v'(a)\geq 0}
が全ての K の元 a に対して成り立つとき v と v′ は同値であるという。
また、乗法付値 v, v′ が同値であるとは、正数 r > 0 が存在して、K の任意の元 a に対して
v ( a ) = v ′ ( a ) r {\displaystyle v(a)=v'(a)^{r}}
が成り立つときにいう。これは
v ( a ) < 1 ⟺ v ′ ( a ) < 1 {\displaystyle v(a)<1\iff v'(a)<1}
が任意の K の元 a に対して成り立つときと言い換えることもできる。従って、v, v′ が非アルキメデス付値であるならば、両者の付値環は一致する。
付値の同値について、以下のことが成立する。
付値の同値は、加法付値もしくは乗法付値の同値関係となる。
自明な(加法)付値は、自明ではない(加法)付値とは同値にはならない。
任意の乗法付値は、三角不等式 |x + y| ≤ |x| + |y| を満たす乗法付値 |•| に同値である。
2つの乗法付値が同値であれば、共にアルキメデス付値であるか、もしくは共に非アルキメデス付値であるかのどちらか一方が成立する