数列
言わば漸化式の “基底解” となっているわけである。一般項は漸化式の線形性のおかげでこれら 2 組の“基底解”の線形結合で表すことができ、2 つの未定係数は任意の 2 項(初項と第二項である必要はないのはもちろん、隣接している必要すらない)の情報から決定することができる。
フィボナッチ数列はこのタイプの漸化式を持つので、手順にしたがって一般項 an が
a n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}}
なる明示式として得られる。
数列の最初の項をその数列の初項(しょこう、英: first term)といい、最後の項を数列の末項(まっこう、英: last term)と呼ぶ。 数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列(むげんすうれつ、英: infinite sequence)と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列(ゆうげんすうれつ、英: finite sequence)と呼ばれる。
初項を表す添字は自由に与えることができ、議論や計算を簡単にするように選ばれるが、慣習的に 0 または 1 が与えられることも多い。たとえば有限数列の初項の添字を 1 から始めた場合、末項は項数に等しい添字 n が与えられるため、記述が簡単になる。
特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいはフィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列である。
任意の自然数 n に対して、隣り合う 2 項 an と an+1 の比が一定のものを等比数列または幾何数列という。また、その任意の 2 項間で一定となる比を公比という。
1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (初項 1、公比 2)
5, 15, 45, 135, 405, ... (初項 5、公比 3)
1, −1, 1, −1, 1, −1, ... (初項 1、公比 −1)
など
数列の和はしばしば級数(きゅうすう、英: series)と呼ばれる。はじめの n 項までの和を第 n 部分和(ぶぶんわ、英: patial sum)と呼び、何らかの自然数 n に対して第 n 部分和となるようなものを有限級数と総称する。