曲面 (数学)
高次元空間内の代数曲面という概念を定義するには、代数多様体およびその次元(英語版)に対する一般の定義が不可欠である。事実として、代数曲面とは「二次元の代数多様体」のことにほかならないのである。
より詳しく書けば、n-次元空間内の代数曲面とは少なくとも n − 2 本の多項式の共通零点全体の成す集合である。しかし、これら多項式は直ちに検証できるとは限らない更なる条件を満足しなければならない。まず、これら多項式がより高次元の多様体や代数的集合を定めないようにしなければならない(これは典型的には、これら多項式の一つが残りの多項式から生成されるイデアルに含まれる場合に起こる)。一般に、n – 2 本の多項式は次元が 2 以上の代数的集合を定義する。次元が 2 となる場合でも、その代数的集合は複数の既約成分を持ち得る。成分がただ一つとなるとき n – 2 本の多項式はそれらの完全交叉(英語版)として曲面を定めるのである。複数の成分に分かれるときには、特定の成分を選ぶための更なる多項式が必要になる。
多くの文献では、二次元の代数多様体のみを代数曲面として扱うが、文献によっては全ての既約成分が二次元となる代数的集合という意味で代数曲面と呼ぶものもあるので注意する。
三次元空間内の曲面の場合には、任意の曲面が完全交叉であり、曲面は単一の既約多項式から定義される(曲面として既約でない二次元代数的集合も許す場合は既約でなくともよい)。
代数曲面の定義に際しては任意の体に係数をとる多項式を用いることができるが、例えば有理係数の多項式は実あるいは複素数を係数とすると見なすこともできるから、「与えられた多項式の係数体」は一概には決まらない。そこで、この場合の曲面上の「点」の概念は以下に言うような一般化された意味でいうことにする: