次元論 (代数学)
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証明: x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} が m A {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}} -準素イデアルを生成するとし、 y 1 , ... , y m {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}} をそれらの像が m B / m A B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B} -準素イデアルを生成するようなものとする。するとある s について m B s ⊂ ( y 1 , ... , y m ) + m A B {\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B} である。両辺を何乗かすることにより、 m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} のあるベキが ( y 1 , ... , y m , x 1 , ... , x n ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})} に含まれることがわかる。
R をネーター環とする。有限 R-加群 M の射影次元は R の射影分解の最短の長さ(無限でもよい)であり、 pd R  M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M} と表記される。 g l . d i m  R = sup { pd R  M ∣ M is a finite module } {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid M{\text{ is a finite module}}\}} とおく。これは R の大域次元と呼ばれる。
R は局所環で、その剰余体を k とする。
補題 ― pd R  k = g l . d i m  R {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R} (無限でもよい).
証明: 次のことを主張する。任意の有限 R-加群 M に対して、
pd R  M ≤ n ⇔ Tor n + 1 R  ( M , k ) = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0} .
dimension shifting (cf. 下記のセールの定理の証明)によって、 n = 0 {\displaystyle n=0} に対してこれを証明すれば十分である。