環論
ある環は、それが別の環の中に実現されるとき、部分環と呼ばれる。また、環の間の写像であって、環の演算を保つものは、環準同型と呼ばれる。全ての(単位的)環と環準同型を合わせて考えたものは、(単位的)環の圏とよばれる圏を成す。環論において重要な概念であるイデアルは、環準同型の核として得られる特定の種類の部分集合であり、剰余環を定義するのに用いられる。イデアル、準同型および剰余環についての基本的な事実は、準同型定理および中国の剰余定理として述べることができる。
「環が可換」であるというのは、その乗法が可換であるという意味である。可換環は数体系と非常によく似た構造であり、実際多くの定義が整数に対して知られている性質を可換環が持つようにするために考えられたものである。可換環は代数幾何学においても重要な役割を果たす。可換環論においては、「数」の代わりとしてイデアルを考えることがしばしば有効で、例えば素イデアルの定義は素数の本質を捉えようとして考えられたものである。整域は非自明な可換環で、零元と異なるどの二つの元を掛けても零元にならないという性質を満たすものだが、これは整数の性質のひとつを一般化したもので、可除性の研究に対する固有の領域を与えるものになっている。