同値関係
写像 f: X → B が a ~ b ならば f(a) = f(b) を満たすならば、商集合からの写像 g: X/~ → B で f = g ∘ π(π は標準射影)を満たすものが一意に存在する。さらに、f が全射かつ a ~ b ⇔ f(a) = f(b) を満たすとき、g は全単射となる。
また、S の相異なるすべての同値類から代表元を1つずつ集めて作った S の部分集合のことを、集合 S における同値関係 ∼ の(あるいは商集合 S/∼ の)完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。つまり、集合S の部分集合 A が同値関係 ∼ についての完全代表系であるとは、包含写像と標準射影の合成 A ↪ S ↠ S/∼; a ↦ [a] が全単射となることである。