単体 (数学)
単体は凸な図形であり、一般の位置にある頂点の組を与えれば、その頂点を含む最小の凸図形(凸包)として一意に決定される。また、単体の頂点集合から幾つかの頂点を選ぶならば、選んだ頂点の張る単体はもとの単体に面として含まれる。これらの性質から、単体(一般に複体)は組合せ論的対象となる。特に n 次元単体(n+1個の頂点をもつ)の r 次元面(r+1個の頂点をもつ)の総数は、組合せの数 n+1Cr+1 である。この数はパスカルの三角形の第 n+2 段の r+2 番目の数字に相当する。
V = 1 n ! abs  | x 1 , 1 ⋯ x 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ x n , 1 ⋯ x n , n | {\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\operatorname {abs} {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}}
である。
頂点の位置ベクトルが a0, a1, ..., ar で与えられる r次元単体の容積(volume, r次元体積)は行列式 det を用いて以下のように与えられる。
1 r ! det ( a 0 − a 1 , a 1 − a 2 , ⋯ , a r − 1 − a r ) {\displaystyle {\frac {1}{r!}}\det({\boldsymbol {a}}_{0}-{\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{1}-{\boldsymbol {a}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol {a}}_{r-1}-{\boldsymbol {a}}_{r})}
多くの場合に単位の分割による後者の単体が標準単体 (standard simplex) と呼ばれ、そのような場合に前者の単体は単位単体 (unit simplex) と呼ばれることがある。これらはもちろん無関係ではなく、次の同相写像によって同一視される。いずれを標準単体として採用する場合も、記号としては △ n {\displaystyle \triangle ^{n}} あるいは Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} が用いられることが多い。
D n : R n ∋ ( x 1 , ⋯ , x n ) → ( t 0 , ⋯ , t n ) ∈ H n ⟺ t i = x i + 1 − x i , {\displaystyle D_{n}:\mathbb {R} ^{n}\ni (x_{1},\cdots ,x_{n})\rightarrow (t_{0},\cdots ,t_{n})\in H^{n}\iff t_{i}=x_{i+1}-x_{i},}
ただし、 x 0 = 0 , x n + 1 = 1 {\displaystyle x_{0}=0,x_{n+1}=1} とする。