部分積分
パラメーター t によって ( x , y ) = ( f ( t ) , g ( t ) ) {\textstyle (x,y)=(f(t),g(t))} で表された曲線を定義する。この曲線が局所的に一対一対応であると仮定すると、
x ( y ) = f ( g − 1 ( y ) ) {\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))}
y ( x ) = g ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}
青色の領域の面積は、
A 1 = ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y {\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy}
同様に赤色の領域の面積は、
A 2 = ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x {\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx}
にそれぞれ対応する。
A 1 {\textstyle A_{1}} と A 2 {\textstyle A_{2}} を足し合わせた領域全体は、大きい方の長方形の面積 x 2 y 2 {\textstyle x_{2}y_{2}} から小さい方の長方形の面積 x 1 y 1 {\textstyle x_{1}y_{1}} を除いたものに等しい。
調和解析、特にフーリエ解析における部分積分の応用例を挙げる。よく知られた例として、関数のフーリエ変換の収束が、関数の滑らかさに依存していることを示すものである。
ln  ( x ) {\textstyle \ln(x)} を微分すると 1 / x {\textstyle 1/x} であることから、 ln  ( x ) {\textstyle \ln(x)} を u {\textstyle u} の部分として選択し、また 1 / x 2 {\textstyle 1/x^{2}} の不定積分が − 1 / x {\textstyle -1/x} であることから、 1 / x 2 {\textstyle 1/x^{2}} を v {\textstyle v} の部分として選択する。すると公式により、
∫ ln  x x 2 d x = − ∫ ln  x d ( 1 x ) = − ln  x x + ∫ 1 x ⋅ 1 x d x = − ln  x x − 1 x + C {\displaystyle \int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=-\int \ln x\,d\left({\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {\ln x}{x}}+\int {\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=-{\frac {\ln x}{x}}-{\frac {1}{x}}+C\!}
− 1 / x 2 {\textstyle -1/x^{2}} の不定積分は 1 / x {\textstyle 1/x} となる。
別の例として、 u ′ ( ∫ v d x ) {\textstyle u'(\int vdx)} の積が約分により簡単な形になるように u {\textstyle u} と v {\textstyle v} を選択することもある。
更によく知られた例を挙げる。被積分関数を1とそれ自身の積と考えて部分積分を行う方法である。これは、被積分関数の導関数が分かっていて、更にその導関数に xを乗じた関数の積分が計算可能な場合に有効である。
最初の例として ∫ ln  x d x {\textstyle \int \ln x\,dx} を考える。これを以下のように1と自身の積として考えて、
I = ∫ ln  x ⋅ 1 d x . {\displaystyle I=\int \ln x\cdot 1\,dx.\!}
次のようにおくと、
u = ln  x ⇒ d u = d x x {\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}
d v = d x ⇒ v = x {\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\ }
以下のように計算出来る。
∫ ln  x d x = x ln  x − ∫ x x d x = x ln  x − ∫ 1 d x = x ln  x − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}
であるから、
[ u ( x ) v ( x ) ] a b = ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx+\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx}
即ち以下の部分積分の公式を得る。
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx}
不定積分の場合も同様に導出出来る。
ここで左辺の ∫ u v ′ d x {\textstyle \int uv'dx} は v ′ {\textstyle v'} ( v {\textstyle v} の 導関数) を含んでいるから、まず v {\textstyle v} ( v ′ {\textstyle v'} の 原始関数)を見つける必要があり、次いで部分積分の公式を適用し、積分 ∫ v u ′ d x {\textstyle \int vu'dx} を計算する。
(具体的な計算例は後述)