オイラーの公式
}
上記式において nθ = x とおくと
cos  x + i sin  x = ( cos  x n + i sin  x n ) n . {\displaystyle \cos x+i\sin x=\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}.}
ここで、n → ∞ の極限をとったとき
cos  x n + i sin  x n = 1 + i x n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}=1+{\frac {ix}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
であるから
lim n → ∞ ( cos  x n + i sin  x n ) n = lim n → ∞ ( 1 + i x n ) n = e i x . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}=e^{ix}.}
よって
e i x = cos  x + i sin  x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
が得られる。
証明 — 関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f (x) を形式的に微分すると以下のようになる。
f ′ ( x ) = ( cos  x − i sin  x ) ′ ⋅ e i x + ( cos  x − i sin  x ) ⋅ ( e i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin  x − i cos  x ) ⋅ e i x + ( cos  x − i sin  x ) ⋅ i e i x = { ( − sin  x − i cos  x ) + ( i cos  x + sin  x ) } ⋅ e i x ( i 2 = − 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix}\\&=\left\{(-\sin x-i\cos x)+(i\cos x+\sin x)\right\}\cdot e^{ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0\end{aligned}}}
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x) が定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、
となる。(2) を (1) に代入すると次のようになる。