ラウスの定理
同様に S B P A = y x y + y + 1 {\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}} 、 S C Q B = z y z + z + 1 {\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}} が得られる。
以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。
S P Q R = S A B C − S A R C − S B P A − S C Q B {\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}
= 1 − x z x + x + 1 − y x y + y + 1 − z y z + z + 1 {\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}
= ( x y z − 1 ) 2 ( x z + x + 1 ) ( y x + y + 1 ) ( z y + z + 1 ) . {\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}