シュトルツ＝チェザロの定理
この定理、すなわち「数列の差分の比の極限が存在する⇒その数列の比の極限が存在する」の逆は真であるとは限らない。例えば、二つの数列、
{ a n } = { 10 , 10 , 100 , 100 , 1000 , 1000 , ... } , {\displaystyle \{a_{n}\}=\{10,10,100,100,1000,1000,\dots \},}
{ b n } = { 10 , 11 , 100 , 101 , 1000 , 1001 , ... } {\displaystyle \{b_{n}\}=\{10,11,100,101,1000,1001,\dots \}}
に対して、
lim n → ∞ a n b n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1}
であるが、
lim _ n → ∞  a n − a n − 1 b n − b n − 1 = 0 , lim ̄ n → ∞  a n − a n − 1 b n − b n − 1 = 1 {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=0,\quad \varlimsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=1}
となるので、数列
a n − a n − 1 b n − b n − 1 {\displaystyle {\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}
の極限値は存在しない。