多重集合
また重複度函数の和 mA + mB を重複度函数に持つ多重集合を A と B との結合 (join) あるいは直和(非交和、sum)と呼び
A ⊔ B , A ⊎ B {\displaystyle A\sqcup B,A\uplus B}
などで表す(非交和と呼ぶことがあるにもかかわらず、台集合として A ∩ B = ∅ であることは必要でないことに注意。これは台集合の交わりに属する元であっても、それらはその重複度のために、何れの台集合に由来する元であるかの区別を受けるためである)。すなわち
m A ⊔ B ( x ) = m A ( x ) + m B ( x ) {\displaystyle m_{A\sqcup B}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)}
が成り立つ。特に台集合が交わりを持たないときは
m A ⊔ B ( x ) = max { m A ( x ) , m B ( x ) } = { m A ( x ) ( x ∈ A ) m B ( x ) ( x ∈ B ) {\displaystyle m_{A\sqcup B}(x)=\max\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}={\begin{cases}m_{A}(x)&(x\in A)\\m_{B}(x)&(x\in B)\end{cases}}}
と書ける。
org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093634995.
1 2 3 Blizard, Wayne D. (1991). “The Development of Multiset Theory”. Modern Logic 1 (4): 319–352. http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rml/1204834739.
↑ Peterson, James L. (1981). Petri Net Theory and the Modelling of Systems. Prentice-Hall. http://jklp.org/profession/books/pn/
↑ Cerf, Vint; Fernandez, E.; Gostelow, K.; Volansky, S. (December 1971). Formal Control Flow Properties of a Model of Computation (Report). Computer Science Department, University of California. ENG-7178。 {{cite report}}: 不明な引数|city=は無視されます。(もしかして:|location=) (説明)
1 2 Singh, D.; Ibrahim, A. M.; Yohanna, T.; Singh, J. N. (2007). “An overview of the applications of multisets”. Novi Sad Journal of Mathematics 37 (2): 73–92.
Information Processing Letters 56 (4): 209–214.
↑ Yager, R. R. (1986). “On the Theory of Bags”. International Journal of General Systems 13: 23–37.
↑ Grzymala-Busse, J. (1987). “Learning from examples based on rough multisets”. Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems. pp. 325–332
↑ Blizard, Wayne D. (1989). “Real-valued Multisets and Fuzzy Sets”. Fuzzy Sets and Systems 33: 77–97.
↑ Blizard, Wayne D. (1990). “Negative Membership”. Notre Dame Journal of Formal Logic 31 (1): 346–368.
↑ Loeb, D. (1992). “Sets with a negative numbers of elements”. Advances in Mathematics 91: 64–74.
↑ Miyamoto, S. (2001). “Fuzzy Multisets and their Generalizations”. Multiset Processing 2235: 225–235.
X を全体集合とし、その任意の部分集合 A と X から非負整数全体の集合 N への写像 m: X → N で、supp(m) ⊂ A すなわち A に属さない元 x に対しては恒等的に m(x) = 0 を満たすものの組 (A, m) を、A を台集合とする多重集合といい、台集合 A の各元 a に対してその m による像 m(a) を a の重複度という。紛れのおそれの無い場合、多重集合 (A, m) をその台集合 A で表す。
非負整数値の重複度を持つ多重集合 (A, m) は、項の値に重複のある列の集合として
{ ( a 1 , a 1 , ... , a 1 ⏞ m ( a 1 ) terms ) , ( a 2 , a 2 , ... , a 2 ⏞ m ( a 2 ) terms ) , ... } {\displaystyle \{(\overbrace {a_{1},a_{1},\ldots ,a_{1}} ^{m(a_{1}){\text{ terms}}}),(\overbrace {a_{2},a_{2},\ldots ,a_{2}} ^{m(a_{2}){\text{ terms}}}),\ldots \}}
のようにも記される。