冪零イデアル
数学の環論において、環 R {\displaystyle R} のイデアル I {\displaystyle I} が冪零イデアル (べきれいイデアル、英:nilpotent ideal) であるとは、ある自然数 k {\displaystyle k} が存在して I k = 0 {\displaystyle I^{k}=0} が成り立つことである 。ただし I k {\displaystyle I^{k}} は I {\displaystyle I} の k {\displaystyle k} 個の元の積のすべてからなる集合で生成される加法群としての R {\displaystyle R} の部分群であり 、 0 {\displaystyle 0} は零環を意味する。ゆえに、イデアル I {\displaystyle I} が冪零であることと、ある自然数 k {\displaystyle k} が存在して I {\displaystyle I} の任意の k {\displaystyle k} 個の元の積が 0 {\displaystyle 0} であることは同値である。
環の多くのクラスの中で冪零イデアルの概念は冪零元イデアル(英語版)の概念よりもはるかに強いが、レヴィツキの定理(英語版)により2つの概念が一致する例も存在する。
冪零イデアルの概念は可換環の場合でも有用だが、特に非可換環の場合で有用である。