アインシュタイン方程式
ビアンキの第二恒等式
∇ l R k j i h + ∇ j R l k i h + ∇ k R j l i h = 0 {\displaystyle \nabla _{l}R_{kji}{}^{h}+\nabla _{j}R_{lki}{}^{h}+\nabla _{k}R_{jli}{}^{h}=0}
から、l = h = a とおいて縮約を行うと
∇ a R k j i a + ∇ j R a k i a + ∇ k R j a i a = ∇ a R k j i a + ∇ j R k i − ∇ k R j i = 0 {\displaystyle \nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+\nabla _{j}R_{aki}{}^{a}+\nabla _{k}R_{jai}{}^{a}=\nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+\nabla _{j}R_{ki}-\nabla _{k}R_{ji}=0}
この式に基本計量テンソル g を掛け合わせると、計量条件(またはリッチの補定理) ∇ h g j i = 0 {\displaystyle \nabla _{h}g^{ji}=0} から
つまりアインシュタイン方程式は計量についての連立偏微分方程式の形をしている。
右辺の Tμν はエネルギー・運動量テンソルである。係数 κ はアインシュタインの重力定数と呼ばれ、ニュートンの重力定数 G と κ = 8π/c G の関係にある(π は円周率、c は光速)。
アインシュタイン方程式の両辺は4次元2階対称テンソルであるから、成分毎に分解すれば10本の独立な方程式が得られる。このうち、4本はエネルギー保存則と運動量保存則に対応するものであり、Gμν の空間成分に関係する残りの6本の方程式が時空の運動方程式に相当する。これらは時間微分2階の偏微分方程式6本(あるいは時間微分1階の偏微分方程式12本)であるが、座標の選択の自由度(ゲージの自由度)が4つ、保存則を満たしながら時間発展を行うための拘束条件が4つあると考えれば、たとえ真空中であっても1階の微分方程式4本(2階に直せば2本)の自由度が残る。この自由度は時空の歪みを周囲に波として伝える「重力波」のモードが2つあることを意味している。