テンソルの縮約
可換環 R とその上の有限階自由加群 M に対し、M 上の全(混合)テンソル代数上に、体上のベクトル空間の場合にやったのとまったく同じ仕方で縮約演算を定義できる(鍵となる事実は、自然な内積がこの場合も完全対となることである)。
より一般に、位相空間 X 上の可換環の層 OX(例えば、複素多様体、解析空間(英語版)、概型などの構造層)に対し、OX 上の局所自由層 M が有限階ならば、M の双対もまたよく振舞い、この文脈においても縮約は意味を成す。
体 k 上のベクトル空間 V に対して、縮約の要となる最も単純な場合は、V とその双対 V との自然な内積 (pairing) を考えることである。自然な内積は、f ∈ V, v ∈ V に対して ⟨f, v⟩ = f(v) と置いて得られる双線型写像に対応する、テンソル積からの線型写像
C : V ∗ ⊗ V → k {\displaystyle C\colon V^{*}\otimes V\to k}
として理解できる。この写像 C が V ⊗ V の元としての (1,1)-型テンソルに対する縮約演算を定義する。得られるのが k の元であるスカラーであることに注意せよ。V ⊗ V と V から V への線型写像全体の成す空間 L(V, V) との間の自然な同型 を用いれば、跡の基底を用いない定義が得られる。
一般に、m ≥1, n ≥ 1 を整数として、(m, n)-型テンソル、すなわちベクトル空間
V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}
(V が m 個、V が n 個)の元 に対して、V の部分の k-番目の因子と V の部分の l-番目の因子に対して自然な内積を適用(し、ほかの因子には恒等写像を適用)することで (k, l)-縮約演算が定義され、それは (m − 1, n − 1)-型テンソルを返す線型写像となる。(1, 1)-型の場合からの流用で、この一般の縮約演算のことも跡と呼ぶことがある。
多重線型代数学におけるテンソルの縮約(テンソルのしゅくやく、英: tensor contraction)は、有限次元のベクトル空間とその双対空間の間の自然な内積から生じる、一つ以上のテンソルに対する演算である。座標を取って考えれば、一つの式に現れる各々の仮添字 (dummy index) の対に対して和の規約を適用することによって生じる、スカラー成分の積和として縮約は表される。特に一つの混合テンソル(英語版)の縮約は、そのテンソルに現れる見かけの添字の対(一方は上付き、他方は下付き)が同じ文字であるとき、それらに関して和をとることで生じる。アインシュタインの縮約記法とは、このような和を織り込み済みとする記法である。縮約を取って得られるテンソルは階数 (order) が 2 だけ減る 。
テンソルの縮約をトレースの一般化として捉えることもできる。