平方因子をもたない整数
数学において、無平方数(むへいほうすう、英: square-free integer)または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち 1 より大きい完全平方で割り切れないような整数(通例として正の整数)をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free, quadratfrei) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 3 で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A005117)
は同値である。この和は ∑ d ∣ m μ ( d ) {\displaystyle \sum _{d\mid m}\mu (d)} に一致するからである。
正整数 n が無平方であることと、位数 n のすべてのアーベル群が同型であることは同値であり、それらがすべて巡回群であることとも同値である。このことは有限生成アーベル群の分類から従う。
正整数 n が無平方であることと、剰余環 Z/nZ (合同算術を参照)が体の積であることは同値である。このことは中国の剰余定理と Z/kZ の形の環が体であることと k が素数であることが同値であることから従う。
すべての正整数 n に対して、n のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねに分配束(英語版)である。それがブール代数であることと n が無平方であることは同値である。
整数の根基(英語版)は常に無平方である。整数が自身の根基に等しければ無平方である。