図形数
紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法では
1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2 {\displaystyle 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}}
ということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {1}{2}}n(n+1)}
を得る。
このように、図を用いることによって、様々な数の性質が確かめられる。例えば、連続する三角数の和は四角数である。現代的な式では
1 2 n ( n − 1 ) + 1 2 n ( n + 1 ) = n 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n-1)+{\frac {1}{2}}n(n+1)=n^{2}}
と表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、