レリッヒ＝コンドラショフの定理
埋め込みがコンパクトであるための必要十分条件は、包含(恒等)作用素がコンパクト作用素であることなので、レリッヒ=コンドラショフの定理は、W(Ω; R) 内の任意の一様有界列が L(Ω; R) における収束部分列を持つことを意味する。この形式で述べられる場合、この定理はしばしばレリッヒ=コンドラショフの選出定理として知られる(収束部分列を「選出」するため)。
レリッヒ=コンドラショフの定理は、ポアンカレ不等式を証明するために利用することも出来る。ここでポアンカレ不等式とは、u ∈ W(Ω; R) に対し(Ω は上記のものと同じ仮定を満たすとする)に対し
‖ u − u Ω ‖ L p ( Ω ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ L p ( Ω ) {\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}
を満たすある定数 C が、p と Ω の形状にのみ依存して存在することを意味する。ここで
u Ω := 1 m e a s ( Ω ) ∫ Ω u ( x ) d x {\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{\mathrm {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x}
は u の Ω 全体での平均値を表す。