オストヴァルト熟成
彼らはまず溶液中で単一の粒子がどのように成長するかを記述した。この方程式は、小さな収縮する粒子と大きな成長する粒子との間に境界がある場合を記述する。彼らは最後に、粒子の平均半径⟨R⟩が次のように増すことを結論付けた:
⟨ R ⟩ 3 − ⟨ R ⟩ 0 3 = 8 γ c ∞ v 2 D 9 R g T t {\displaystyle \langle R\rangle ^{3}-\langle R\rangle _{0}^{3}={\frac {8\gamma c_{\infty }v^{2}D}{9R_{g}T}}t}
ここで
ただし、量⟨R⟩は⟨R⟩とは違い、平均体積の計算には後者だけが使えること、そして⟨R⟩がtに従うという主張は⟨R⟩0(ゼロである)に依存することに注意。しかし核形成は成長とは別の過程だから、⟨R⟩0は方程式の有効範囲外にあることとなる。⟨R⟩0の実際の値と無関係な文脈では、すべての項の意味を考慮するアプローチは、⟨R⟩0とtを消去するために、方程式の時間微分をとることになる。他のこのようなアプローチとしては、初期時間iが正の値をとるとして⟨R⟩0を⟨R⟩iに変える方法がある。
またリフシッツとSlyozovの解法には、粒径分布関数 f(R, t)の方程式が含まれる。簡単にするために粒子の半径を平均半径で割り、新しい変数ρ = R(⟨R⟩)を導入する。
f ( R , t ) = 4 9 ρ 2 ( 3 3 + ρ ) 7 3 ( 1.