右連続左極限
アルツェラ–アスコリの定理を応用して、スコロホッド空間 D 上の確率測度の列 (μn)n=1,2,... が緊密であるための必要十分条件は以下の二条件:
lim a → ∞ lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | ‖ f ‖ ≥ a } ) = 0 {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0}
および
lim δ → 0 lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | π f ′ ( δ ) ≥ ε } ) = 0 for all ε > 0 {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0}
を満足することであることが示せる。
E 上の連続関数の空間 C は D の部分空間であり、スコロホッド位相を C に相対化したものは、C 上の一様位相に一致する。
距離空間 (M, d) および E ⊆ R に対して、関数 ƒ: E → M が右連続左極限 (càdlàg) であるとは、任意の t ∈ E において
左極限 ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s) が存在し、
右極限 ƒ(t+) := lims↓t ƒ(s) が存在してかつ ƒ(t) に等しい
ときにいう。つまり、càdlàg 函数 ƒ は右連続かつ左極限を持つ。