群論
群に新たな構造を付け加えることにより、群の概念が発展することになった。新たな構造とは、特に、位相空間、可微分多様体、代数多様体などである。群演算(乗法 m と反転 i)
m : G × G → G , ( g , h ) ↦ g h , i : G → G , g ↦ g − 1 {\displaystyle m\colon G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i\colon G\to G,g\mapsto g^{-1}}
が、上記の構造と両立可能であるとき、つまりこれらが連続、滑らか、(代数幾何学的な意味で)正則な写像となっているとすると、群 G はそれぞれ位相群、リー群、代数群と呼ばれるものになる。 群に別種の構造を付け加えることによって、これらの種類の群と、数学の別の分野が関連づけられる。そして、違う手法を研究に適用することが可能になる。