メビウスの反転公式
ディリクレの畳み込み(英語版)を用いて、最初の式を
g = f ∗ 1 {\displaystyle g=f*1}
と書くことができる。ここに * はディリクレの畳み込みを表し、1 は定数関数 1 ( n ) = 1 {\displaystyle 1(n)=1} である。すると二番目の式は
f = μ ∗ g {\displaystyle f=\mu *g}
と書ける。多くの具体例は乗法的関数の記事で与えられている。
定理は * が(可換かつ)結合的であり、1 * μ = ε であることから従う、ただし ε はディリクレの畳み込みに対する単位元であり、ε(1) = 1 および n > 1 に対して ε(n) = 0 という値を取る。したがって μ ∗ g = μ ∗ ( 1 ∗ f ) = ( μ ∗ 1 ) ∗ f = ε ∗ f = f {\displaystyle \mu *g=\mu *(1*f)=(\mu *1)*f=\varepsilon *f=f} となる。
a n = ∑ d ∣ n b d {\displaystyle a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}}
とすると、変換は
b n = ∑ d ∣ n μ ( n d ) a d {\displaystyle b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d}}
である。変換は級数によって関連付けられる。ランベルト級数(英語版)
∑ n = 1 ∞ a n x n = ∑ n = 1 ∞ b n x n 1 − x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}
やディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s = ζ ( s ) ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}
である。ここで ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} はリーマンのゼータ関数である。