積分法
これを先ほどの平方根関数 f (x) = x の例に適用すれば、その原始関数 f (x) = 2/3 x に対し、単に両端の値を代入した原始関数の差 F (1) − F (0) を計算すればよい( 0 、1 は区間 [0, 1] の境界である)。従って、定積分(この曲線の下側の面積の「真の値」)は、機械的に
∫ 0 1 x d x = ∫ 0 1 x 1 2 d x = F ( 1 ) − F ( 0 ) = 2 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,{\rm {}}dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,{\rm {d}}x=F(1)-F(0)={\frac {2}{3}}}
と計算することができる。
前述したとおり、短冊に分割した計算の結果は分割数を増やすほどこの値に近づく。
積分の記法
∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}x}
は関数値 f (x) に微分(微小変分)と呼ばれる無限小の刻み幅 dx を掛けたものたちの重み付き和を S を引き伸ばした ∫ {\displaystyle \int } によって表したものと見ることができる(掛け算の記号は省略されるのが一般的である)。
歴史的には、初期の無限小を厳密に解釈する試みが失敗したあと、リーマンが重み付き和の極限として積分を厳密に定義したものであって、それゆえに dx は差(つまり区間の幅)の極限を示唆したものということになる。リーマンの積分法には区間の制限や連続性の要求などからくる欠点があったことを契機として、新たな積分の定義が考え出された。
f ( x ) ≥ 0 for ∀ x ∈ [ a , b ] , [ c , d ] ⊆ [ a , b ] ⇒ ∫ c d f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(x)\geq 0{\mbox{ for }}\forall x\in [a,b],\quad [c,d]\subseteq [a,b]\Rightarrow \int _{c}^{d}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx}
区間以外の積分領域を考えることもできる。一般に写像 f の集合 E 上でとった積分を
∫ E f ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)\,dx}
で表す。このとき、x として必ずしも実数でないほかの適当な量、例えば R のベクトルなどである場合を考えることができる。フビニの定理によれば、そのような積分が逐次積分(累次積分)として書けることが示される。すなわち、重積分は座標ごとに順番に積分して計算することができる。
一変数の正値関数の積分が関数のグラフと x-軸との間の領域の面積を表すのと同様に、二変数の正値関数 f(x, y) の二重積分は関数の定義する曲面 z = f(x, y) と関数の定義域を含む平面との間の領域の体積を表す(同じ体積はこの領域を表す三次元の定数関数 F(x, y, z = f(x, y)) = 1 の三重積分としても求められる)。同じことはさらに変数の数を増やしても成立し、積分は高次元の超体積を表すことになるが、三次元より高次元の場合は視覚化は困難である。
例えば、辺長が 4 × 6 × 5 の直方体の体積は以下の二通りの方法で求めることができる。