ミクシンスキーの演算子法
特に、この演算子の体の元としての単位元 δ := l/l は、Y(x)の微分であって、関数ではなく、Diracのデルタ関数である。この関数は在来の微積分では理解できない。また、微分演算子であるべき、そして実際に微分演算子と呼ぶにふさわしい積分演算子の逆元 s = δ/l の存在がある。後者については、このような純代数的な方法によって論理的に保証される。
C ∋ α → [ α ] := s { α } = { α } / l ∈ L {\displaystyle \mathbb {C} \ni \alpha \to [\alpha ]:=s\{\alpha \}=\{\alpha \}/l\in {\mathcal {L}}}
は埋め込みであり、[α] は演算子の体におけるスカラー倍を定める。特にスカラー [1]-倍は [1] =l/l = δ だから(スカラー倍は演算子の体における乗法として実現できて)演算子の体は C-可換多元体となる。紛れの恐れがなければ [α] を単に α と書く。
C ⊂ C ⊂ L . {\displaystyle \mathbb {C} \subset {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {L}}.}
f g := { f ( x ) ∗ g ( x ) } = { ∫ 0 x f ( x − ξ ) g ( ξ ) d ξ } {\displaystyle fg:=\{f(x)*g(x)\}=\left\{\int _{0}^{x}f(x-\xi )g(\xi )d\xi \right\}}
で定めると、単位元を持たない畳み込み代数が定まる。実際、この積は函数の畳み込みと呼ばれるもので、可換律・結合律を満たすが、単位元を持たない。もし単位元 δ が存在するならば、
f = f δ = { ∫ 0 x f ( x − ξ ) δ ( ξ ) d ξ } {\displaystyle f=f\delta =\left\{\int _{0}^{x}f(x-\xi )\delta (\xi )d\xi \right\}}
を満たすはずだが、右辺は x = 0 のとき 0 となるから、f(0) ≠ 0 なる f についてはこれは成立しない。すなわち、畳み込み積の単位元は(もし存在するならば)デルタ函数として振る舞わなければならないが、そのような元は連続函数の成す空間には存在しない。
なお、Cは畳み込み積において可換環となるが、単位元ではない。