加群の直和
考えている加群が付加的な構造(例えばノルムや内積)をもっていれば、加群の直和もしばしばこの付加的な構造をもつようにできる。この場合、付加的な構造をもっているすべての対象の適切な圏における余積を得る。2つの顕著な例はバナッハ空間とヒルベルト空間に対して起こる。
古典的なテクストには、さらに体上の多元環の直和の概念を導入するものもある。しかしながらその構成は、多元環の圏における余積ではなくて直積を与えるものになる(次の節の注意を参照、あるいは自明でない単位的環の無限族に加法群としての直和をとり成分ごとの積を入れたものは単位元を持たないことを想起せよ)。
2つのベクトル空間の直和と2つのアーベル群の直和の定義の間の明らかな同様性に気付くべきである。実際、それぞれは2つの加群の直和の構成の特別な場合である。さらに、定義を修正することによって加群の無限族の直和に適用することもできる。正確な定義は以下のようである (Bourbaki 1989, §II.1.6)。
R を環とし {Mi : i ∈ I} を集合 I で添え字づけられた左 R-加群の族とする。すると {Mi} の直和 (direct sum) はすべての列 ( α i ) {\displaystyle (\alpha _{i})} の集合、ただし α i ∈ M i {\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}} であり有限個を除くすべての添え字 i にたいして α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}=0} 、と定義される。(直積(英語版) (direct product) は類似だが添え字は有限個を除くすべてで消える必要はない。)
それはまた次のようにも定義できる。I から加群 Mi の非交和への関数 α であって、すべての i ∈ I に対して α(i) ∈ Mi であり有限個を除くすべての添え字 i に対して α(i) = 0 であるようなもの。これらの関数は i ∈ I {\displaystyle i\in I} 上のファイバーを M i {\displaystyle M_{i}} として添え字集合 I 上のファイバー束の有限台断面として同値に見なすことができる。
直和はまた(同型を除いて)可換であり結合的である、つまりどんな順番で直和を作ろうが関係ない。
直和からある左 R-加群 L への R-線型準同型の群は自然に Mi から L への R-線型準同型の群の直積に同型である: Hom R ( ⨁ i ∈ I M i , L ) ≅ ∏ i ∈ I Hom R  ( M i , L ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}\!{\bigg (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}(M_{i},L).} 実際、明らかに左辺から右辺への準同型 τ が存在する、ただし τ(θ)(i) は(Mi の直和への自然な包含を使って) x∈Mi を θ(x) に送る R-線型準同型である。準同型 τ の逆は加群 Mi の直和の任意の α に対して τ − 1 ( β ) ( α ) = ∑ i ∈ I β ( i ) ( α ( i ) ) {\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))} で定義される。
V と W を体 K 上のベクトル空間とする。カルテジアン積 V × W に K 上のベクトル空間の構造を成分ごとに演算を定義することによって与えることができる (Halmos 1974, §18): v, v1, v2 ∈ V, w, w1, w2 ∈ W, α ∈ K に対して、
(v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2)
α (v, w) = (α v, α w)
得られるベクトル空間は V と W の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される:
V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W}
順序付けられた和の元を順序対 (v, w) ではなく和 v + w として書くのが慣習である。
V ⊕ W の部分空間 V × {0} は V に同型でありしばしば V と同一視される。{0} × W と W に対しても同様。(以下の内部直和を見よ。)この同一視をして、V ⊕ W のすべての元は1つ、そしてただ1つの方法で V の元と W の元の和として書くことができる。V ⊕ W の次元は V と W の次元の和に等しい。
この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。