多変数の微分
但し、 l [ a , p ] {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,{\mathbf {p} }]}}} は、(1-9)同様、
l [ a , p ] ( s ) = s a + p {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}(s)=s\mathbf {a} +\mathbf {p} } (6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、sについて(一変数関数の意味で)積分すると、
∫ s = 0 s = 1 ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)ds}} = [ h ( s a + p ) ] s = 0 s = 1 {\displaystyle \left[h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right]_{s=0}^{s=1}} (6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。
= ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + g ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))} + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle +{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} (3-10)
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に、標準座標系 ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } が定まっているとし、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に、標準座標系 ⟨ y 1 , ⋯ , y m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle } が定まっているとする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の開集合とし、
f ( x 1 , ...