多様体の射
代数幾何学においてアフィン多様体の間の写像が正則写像(せいそくしゃぞう、英: regular map)であるとは、それが多項式によって与えられることを言う。陽に書けば、X, Y がそれぞれアフィン多様体 A, A の部分代数多様体(英語版)(あるいは代数的集合)であるとき、X から Y への正則写像 f は、各 fi が座標環 k[x1, ..., xn]/I(I は X を定義するイデアル)に属するものとして、
f = ( f 1 , ... , f m ) {\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m})}
なる形に書ける。ゆえに像 f(X) は Y に含まれる(つまり、Y の定義方程式を満たす)。
より一般に、抽象代数多様体間の写像 ƒ: X → Y が一点 x において正則 (regular at a point x)とは、x の近傍 U と f(x) の近傍 V が存在して、制限写像 ƒ: U → V が U と V との座標パッチ(英語版) 上の写像として正則となることを言う。さらに ƒ が X の任意の点において正則であるとき、ƒ は正則 (regular) であるという。
代数多様体間の射は、その始域と終域にザリスキー位相を入れたとき連続でなければならない。より厳密に、抽象代数多様体をある種の局所環付き空間として定義するとき(例えば射影多様体に対する「環付き構造」は射影多様体の項を参照せよ)、この定義のもとでの代数多様体間の射とは台とする局所環付き空間の間の射のことを言う(故にたとえばこの射は定義により連続になる)。