黄金比
φ = 1.
φ = 1 + 2 cos  2 π 5 = 1 + 2 cos  72 ∘ {\displaystyle \varphi =1+2\cos {\frac {2\pi }{5}}=1+2\cos 72^{\circ }}
φ = 1 2 csc  π 10 = 1 2 csc  18 ∘ {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{2}}\csc 18^{\circ }}
φ − 1 = 2 sin  π 10 = 2 sin  18 ∘ {\displaystyle \varphi ^{-1}=2\sin {\frac {\pi }{10}}=2\sin 18^{\circ }}
φ − 1 = 2 cos  2 π 5 = 2 cos  72 ∘ {\displaystyle \varphi ^{-1}=2\cos {\frac {2\pi }{5}}=2\cos 72^{\circ }}
半径の比が
( φ − φ ) : 1 : ( φ + φ ) {\displaystyle (\varphi -{\sqrt {\varphi }}):1:(\varphi +{\sqrt {\varphi }})}
である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てと外接する大小2つの円を描くことができ、それらを合わせた5つの円の半径の比は
( φ − φ ) 2 : ( φ − φ ) : 1 : ( φ + φ ) : ( φ + φ ) 2 {\displaystyle ({\varphi -{\sqrt {\varphi }}})^{2}:(\varphi -{\sqrt {\varphi }}):1:(\varphi +{\sqrt {\varphi }}):(\varphi +{\sqrt {\varphi }})^{2}}
である。
ここで
φ − φ = 1 φ + φ {\displaystyle \varphi -{\sqrt {\varphi }}={\frac {1}{\varphi +{\sqrt {\varphi }}}}}