チャーン類
チャーン類の理論は概複素多様体のコボルディズム不変量を引き起こす。
M が概複素多様体であれば、その接束は複素ベクトル束である。従って、M のチャーン類は接束のチャーン類であると定義される。M がコンパクトでもあり、次元 2d を持つとすると、チャーン類の全 2d 次の単項式は、M の基本類と対にすることができ、M のチャーン数と呼ばれる整数を与える。M′が同じ次元の別の概複素多様体であれば、M′が M とコボルダントであることと、M′ のチャーン数と M のチャーン数が一致することとは同値である。
理論を、整合性のある概複素構造を媒介として、実シンプレクティックベクトル束へ拡張することもできる。特に、シンプレクティック多様体は整合性を持つチャーン類を持つ。
チャーン形式のコホモロジー類が、V の接続の選択には依存していないことを示すことができる。
行列の等式 tr(ln(X))=ln(det(X)) と ln(X + I) のマクローリン級数を使うと、このチャーン類の展開は次のようになる。
∑ k c k ( V ) t k = [ I + i t r ( Ω ) 2 π t + t r ( Ω 2 ) − t r ( Ω ) 2 8 π 2 t 2 + i − 2 t r ( Ω 3 ) + 3 t r ( Ω 2 ) t r ( Ω ) − t r ( Ω ) 3 48 π 3 t 3 + ⋯ ] . {\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right]\ .}
事実、これらの性質はチャーン類を一意に特徴付ける。これらは多くの他のことのなかでも、次のことを意味している。
n が V の複素ランクであれば、全ての k > n に対し c k ( V ) = 0 {\displaystyle c_{k}(V)=0} となる。このようにして全チャーン類は終了する。
V のトップチャーン類は(n は V のランクとしたときの c n ( V ) {\displaystyle c_{n}(V)} のことを意味する)、いつでも基礎となっている実ベクトルバンドルのオイラー類に一致する。
⊕ L n {\displaystyle E=L_{1}\oplus ...\oplus L_{n}} が(複素)ラインバンドルの直和であれば、和公式は、
c t ( E ) = ( 1 + a 1 ( E ) t ) ⋯ ( 1 + a n ( E ) t ) {\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}
から従う。ここに a i = c 1 ( L i ) {\displaystyle a_{i}=c_{1}(L_{i})} は第一チャーン類である。根 a i ( E ) {\displaystyle a_{i}(E)} は、E のチャーンの根(Chern roots)と呼ばれ、多項式の係数を決定する。つまり、
c k ( E ) = σ k ( a 1 ( E ) , ⋯ , a n ( E ) ) {\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\cdots ,a_{n}(E))}
である。ここに σk は基本対称多項式(英語版)(elementary symmetric polynomials)である。言い換えると、ai を形式的変数の式と考えると、ck は、σk である。対称多項式の基本的事実は、任意の多項式、たとえば、ti は、 ti の基本対称多項式である。
Ω = 2 d z ∧ d z ̄ ( 1 + | z | 2 ) 2 {\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}}
により与えられることを示すことができる。さらに第一チャーン類の定義により、
c 1 = [ i 2 π t r Ω ] {\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right]}
である。このコホモロジー類がゼロではないことを示す必要がある。このためには、リーマン球面上の積分を計算すればよい。極座標へ変換した後では、
∫ c 1 d z ∧ d z ̄ = i π ∫ d z ∧ d z ̄ ( 1 + | z | 2 ) 2 = 2 {\displaystyle \int c_{1}dz\wedge d{\bar {z}}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}
となる。ストークスの定理により、完全形式は積分すると 0 でなければならないので、コホモロジー類はゼロではあり得ない。
これで TCP が自明ベクトル束ではありえないことが証明された。