非調和性
全ハミルトニアン H {\displaystyle H} が自由状態 H 0 {\displaystyle H_{0}} と非調和相互作用 H ′ {\displaystyle H'} の和で表され、それらが2種類のフェルミ粒子の生成消滅演算子 c k , d k {\displaystyle c_{k},d_{k}} で表される場合を考える。
H = H 0 + H ′ {\displaystyle H=H_{0}+H'}
H 0 = ∑ k ε k ( c k † c k + d k † d k ) {\displaystyle H_{0}=\sum _{k}\epsilon _{k}(c_{k}^{\dagger }c_{k}+d_{k}^{\dagger }d_{k})}
H ′ = ∑ k f k ( c k d − k + d − k † d − k † ) {\displaystyle H'=\sum _{k}f_{k}(c_{k}d_{-k}+d_{-k}^{\dagger }d_{-k}^{\dagger })}
この全ハミルトニアン H {\displaystyle H} は、ボゴリューボフ変換
C k = c k cos  θ k − d − k † sin  θ k {\displaystyle C_{k}=c_{k}\cos \theta _{k}-d_{-k}^{\dagger }\sin \theta _{k}}