多重根号
多重根号の式の中には、一重根号の式に書き直すことができるものもある。例えば
3 + 2 2 = 1 + 2 , {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}},}
2 3 − 1 3 = 1 − 2 3 + 4 3 9 3 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}.}
このような書き直しは一重化 (denesting; 脱多重化) という(外側の根号が消えるので「多重根号を外す」というような言い方もする)。一重化の過程は一般には難しい問題と考えられる。
ラマヌジャンは、雑誌『Journal of Indian Mathematical Society』にこの問題を提示した。
? = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ . {\displaystyle ?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}
これはより一般的な公式を記述することにより、解くことができる。
? = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) ⋯ {\displaystyle ?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}}
これをF(x)と設定し、両項を2乗すると以下の式が得られる。
F ( x ) 2 = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) ⋯ {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}
これは、以下のように簡略化できる。