ヴィラソロ代数
(r = 1, 2, 3, ..., m−1; s= 1, 2, 3, ..., r) のいずれかの値をとる場合であり、かつそのときに限る。 このときq=m, p=m+1に対応している。 これらの条件の必要性は Friedan, Qiu & Shenker (1984) によって示され、Goddard, Kent & Olive (1986) がコセット構成(英語版)あるいはGKO構成(英語版)(ヴィラソロ代数のユニタリ表現をアフィンカッツ・ムーディリー環のユニタリ表現のテンソル積と同一視する)を用いて十分性を示した。c < 1 を持つユニタリ既約最高ウェイト表現は、ヴィラソロ代数の離散系列表現と総称される。
離散系列表現の最初のほうは以下のように与えられる。
m = 2: c = 0, h = 0. (自明表現)
m = 3: c = 1/2, h = 0, 1/16, 1/2. (イジング模型に関連する 3 種類の表現)
m = 4: c = 7/10. h = 0, 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2. (三重臨界イジング模型に関連する 6 種類の表現)
m = 5: c = 4/5. (3-状態ポッツ模型に関連する 10 種類の表現)
m = 6: c = 6/7. (三重臨界 3-状態ポッツ模型に関連する 15 種類の表現)
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Kac, V.G. (1978), Highest weight representations of infinite dimensional Lie algebras, Helsinki: Proc. Internat. Congress Mathematicians
Kac, V.G.; Raina, A.K. (1987), Bombay lectures on highest weight representations, World Sci., ISBN 9971503956
Dobrev, V.K. (1986), Multiplet classification of the indecomposable highest weight modules over the Neveu-Schwarz and Ramond superalgebras, Lett. Math. Phys. 11 & correction: ibid. 13 (1987) 260.
Krichever, I.M.; Novikov, S.P. (1987), Algebras of Virasoro type, Riemann surfaces and structures of the theory of solitons, Funkts. Anal. Appl. , 21:2
Dobrev, V.K.
, 2 Funkts. Anal. i Prilozh. , 2 : 4 (1968) pp. 92–93
Goddard, P.; Kent, A.; Olive, D. (1986), Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras, Comm. Math. Phys. 103, no. 1, http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104114626
Kent, A. (12 December 1991), Singular vectors of the Virasoro algebra, Physics Letters B, Volume 273, Issues 1-2,, http://www.sciencedirect.com/science/article/B6TVN-46YKH94-X5/2/bac331f52494e09b55cb8cf2bee52f0c
Victor Kac (2001), “Virasoro algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.