ダニエル積分
基本函数として選んだ函数族 H をもとに、より大きな函数のクラス L を定める。これは積分 Ihn 全体の成す集合が有界となるような、殆ど至る所非増大な基本函数の列 (hn) の極限として得られる函数全体の成す族である。L に属する函数 f の積分 If を、
I f = lim n → ∞ I h n {\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}
で定めるとき、この積分が矛盾無く定義されていることが示せる。すなわち、これは f に収斂する基本函数列 (hn) の取り方に依らない。
しかし、函数のクラス L は一般に、点ごとの減法と負の数によるスカラー乗法に関して閉じていないので、これをさらに広い函数のクラス L へ拡張する。これは、L の適当な函数 f, g に対して適当な全測度集合上で差 φ = f − g として表されるような函数 φ 全体の成す族である。L における函数 φ の積分 Iφ を
I φ = I f − I g {\displaystyle I\varphi =If-Ig}
で定めると、やはりこれも矛盾無く定義される。すなわち Iφ は φ の f, g への分解の仕方に依らない。これでダニエル積分が洩れなく構成された。