線型代数群
代数的閉体 k に関して、k 上の代数多様体 X に関する構造の多くはその k 有理点の集合 X(k) にエンコードされていて、それにより線型代数群を初等的に定義することができる。まず、抽象群 GLn(k) から k への関数が正則 regular であるとは、それが n 次正方行列 A の成分と 1/det(A) の多項式としてかけることをいう。ここで det は行列式である。すると、G が体 k 上の線型代数群 linear algebraic group とは、ある自然数 n に関する抽象群 GLn(k) の部分群 G(k) である。ここで G(k) は適当な正則関数のなす集合の零点として定義される。
任意の体 k に関して、k 上の代数多様体は k 上のスキームの特別な場合として定義される。スキームの言葉では、体 k 上の線型代数群 G とは、ある自然数 n に関する体 k 上の GLn の滑らか(英語版)な閉部分群スキームである。特に G は GLn 上の適当な正則関数のなす集合の零点として定義され、これらの関数は「任意の可換 k 多元環 R に対して G(R) は抽象群 GLn(R) の部分群である」と言う性質を満たさなくてはならない。(したがって、k 上の代数群 G は単に抽象群 G(k) ではなくて、むしろ可換 k 多元環 R に対する群 G(R) の族全体である——これが関手的観点からスキームを記述する哲学である。)
どちらの言葉を用いるにせよ、線型代数群に関する準同型 homomorphism の概念がある。
簡約群は実際問題として現れる古典群(英語版)——GLn, SLn, 直交群 SOn, 斜交群 Sp2n——などの重要な線型代数群の多くを含んでいる。一方で、簡約群の定義は極めて「消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的閉体上の簡約群の完全な分類を与えた:それらはルート・データ(英語版)によって決定される。特に、代数的閉体 k 上の単純群は(有限中心的部分群スキームによる商を除いて)そのディンキン図形によって分類される。特筆すべきことに、この分類は k の標数に依存しない。例えば、例外型リー群 G2, F4, E6, E7, E8 はどんな標数でも(さらに Z 上の群スキームとしてさえも)定義することができる。有限単純群の分類は多くの有限単純群が有限体 k 上の単純代数群かその亜種の k 有理点のなす群として生じると述べている。
体上の簡約群はトーラスとある単純群との直積の有限中心的部分群スキームによる商である。例えば