準群
準群が半対称(semi-symmetric)と呼ばれるのは以下の互いに同値な恒等式のいずれかが成立するときである。
x / y = y ∗ x
y \ x = x ∗ y
x = (y ∗ x) ∗ y
x = y ∗ (x ∗ y)
このクラスは特別であるように見えるかもしれないが、どの準群 Q も以下の演算によって直積 Q 上に半対称準群 QΔ を誘導する。
(x1, x2, x3) ⋅ (y1, y2, y3) = (y3 / x2, y1 \ x3, x1 ∗ y2) = (x2 // y3, x3 \\ y1, x1 ∗ y2)
ここで、// と \\ は y // x = x / y と y \\ x = x \ y で与えられる共役除法である。
あるいは ( x y ) ρ = y ρ x ρ {\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }} が成り立つことと言っても同値。
ループが 弱可逆性 (英: weak inverse property) を持つとは、 ( x y ) z = e ⇔ x ( y z ) = e {\displaystyle (xy)z=e\Leftrightarrow x(yz)=e} の時である。 これは、逆元を使って書き表すと ( x y ) λ x = y λ {\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }} あるいは x ( y x ) ρ = y ρ {\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }} である。
ループにおいて、左可逆性と右可逆性の両方がある場合、そのループは可逆性を持つ。可逆ループは反自己同型可逆性および弱可逆性も持つ。 実際、上記のムーファン恒等式の四つの内のいずれか二つを満たすループは、可逆性を持ち、従って四つすべてを満たす。 。
左可逆性、右可逆性、反自己同型可逆性 のいずれかを満たすループは、自動的に (両側) 可逆性を持つ。