チェボタレフの密度定理
L を代数体 K の有限次ガロア拡大とし、G をそのガロア群とする。X を G の部分集合で共役で閉じているものとする。このとき、K の素イデアル v で L で不分岐かつ対応するフロベニウス共役類 Fv が X に含まれているもの全体の集合は密度
# X # G {\displaystyle {\frac {\#X}{\#G}}}
を持つ。密度が自然密度であっても解析密度であってもこのことが成り立つ。
一般化されたリーマン予想から、次のエフェクティブなチェボタレフの密度定理が得られる。L/K を有限次ガロア拡大、そのガロア群を G、C を G のいくつかの共役類の和集合とする。このとき、K の不分岐な素イデアルでノルムが x 以下かつそのフロベニウス共役類が C に含まれるものの個数は
| C | | G | ( l i ( x ) + O ( x ( n log  x + log  | Δ | ) ) ) {\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )}}
と等しい。ここで、ランダウの記号に暗に含まれている定数は絶対定数であり、n は L の Q 上の次数、Δ はその判別式である。
一般化されたリーマン予想を仮定しない場合、エフェクティブなチェボタレフの密度定理ははるかに弱いものとなる。L を Q の次数 d の有限次ガロア拡大とし、そのガロア群を G とする。 ρ {\displaystyle \rho } を次数 n の自明でない G の既約表現とし、 f ( ρ ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}(\rho )} をこの表現のアルティン導手とする。