ゼータ函数正規化
発散する可能性を持つ級数 a1 + a2 + .... の和を定義するのに、ゼータ函数正規化と呼ばれる和を取る方法がいくつかある。
一つの方法として、(無限級数の)ゼータ正規化された和を、ζA(−1) が定義できるならばその値で定義する.ここで、ゼータ函数は、Re(s) が大きな数に対して次の和が収束するならばその値で定義し、そうでない(発散する)場合は解析接続することで定義する。
ζ A ( s ) = 1 a 1 s + 1 a 2 s + ⋯ . {\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots .}
an = n の場合には、このゼータ函数は通常のリーマンゼータ函数となり、この方法はオイラーによって級数 1+2+3+4+... の「和」を ζ(−1) = −1/12 として求めることに使われた。他の s の値に対しても、発散する和を ζ(0)=1 + 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 と計算でき、一般的な場合は、Bk をベルヌーイ数(Bernoulli number)として、
ζ ( − s ) = ∑ n = 1 ∞ n s = 1 s + 2 s + 3 s + .