部分リーマン多様体の接続と曲率
第三基本形式は以下のようにも表現可能である:
定理 ― M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の次元をnとし、 η 1 , ... , η n − m {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{n-m}} をMの法ベクトル空間NPMの基底とするとき、第三基本形式は以下を満たす:
I I I ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)} = ∑ j = 1 n − m g ( S η j ( X ) , S η j ( Y ) ) {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-m}g(S_{\eta _{j}}(X),S_{\eta _{j}}(Y))}
よって主曲率、すなわち g ( ∇ d s d P ( t ) d s , η ) {\displaystyle g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP(t)}{ds}},\eta )} の極値は二次形式 I I η {\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }} を回転行列により対角化した際の対角成分 κ 1 , ... , κ n {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}} の事である。
ガウス曲率は主曲率 κ 1 , ... , κ n {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}} の積、平均曲率は主曲率 κ 1 , ... , κ n {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}} の平均値である。
厳密な定義は以下の通りである:
定義 (主曲率) ― M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が余次元1で η ∈ N P M {\displaystyle \eta \in N_{P}M} を点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における(±1倍を除いて)唯一の長さ1の法ベクトルとし、対称二次形式
である事を用いた(超球の体積の項目も参照)。
上記の定理は「Mが R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} に余次元1で埋め込まれている」という強い条件の元でのみ成立しているので、ガウス・ボンネの定理を示すにはこの条件を無くす必要がある。そのために使うのが下記の定理である:
定理 (ナッシュの埋め込み定理) ― Mをコンパクトなm次元リーマン多様体とする。このとき、あるn≧mとあるC級の埋め込み
φ : M ↪ R n {\displaystyle \phi ~:~M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}}
が存在し、M上のリーマン計量gは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の引き戻しと一致する
よってMが R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体だと仮定しても一般性を失わない。しかしMは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} において余次元1とは限らないので、このままでは前述のホップによる定理を適用できない。
そこでMの R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} をεだけ「太らせたもの」(すなわち管状近傍(英語版))をNとすると、εが小さければNはM×Dと位相同型である。ここでmはMの次元である。よって