ブローアップ (数学)
と書くことができる。こちらの方程式の方が前のものよりも一般化が容易である。
ブローアップを図に描くことは、グラスマン多様体の無限遠点を取り除けば簡単にできる。例えば、w = 1 と置けば3次元空間において y = xz で定義される鞍型曲面という、ありふれたものになる。
また、ブローアップは点の法空間における座標を使って直接的に記述することもできる。この場合もやはりアフィン平面 A で考える。原点での法空間は、原点に対応する極大イデアルを m = (x, y) とすると、ベクトル空間 m/m である。代数的には、このベクトル空間の射影空間化(projectivization)はこれの対称代数のProj(英語版)
X = Proj  ⨁ r = 0 ∞ Sym k [ x , y ] r  m / m 2 {\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}
で与えられる。この例の場合には、これは具体的に
X = Proj  k [ x , y ] [ z , w ] / ( x z − y w ) {\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw)}
と表示することができる。ここで x と y の次数は0で z と w の次数は1としている。
を誘導する。この写像 π を C のブローアップ(blow-up; 英語では blow up, blowup などとも綴られる)と呼ぶ。空間 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} もブローアップと呼ばれることが多い。
例外因子 E は π によるブローアップの中心 Z の逆像として定義される。簡単にわかるように
E = Z × P n − 1 ⊆ C n × P n − 1 {\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}
は射影空間のコピーになっている。これは有効因子である。E の外では、π は C n ~ ∖ E {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E} と C ∖ Z の間の同型写像になっている。したがってこれは C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}} と C の間の双有理写像になっている。
数学のブローアップ(英: blowing up, blowup)とは、空間の部分空間をその部分空間を指し示す向き全体の空間に置き換える、一種の幾何学的変換である。例えば平面の点でのブローアップはその点をその点の接ベクトル空間を射影化したものに置き換える。ブローアップにより、空間の点における関数や写像、微分形式の無限小での振る舞いを大域的な現象に変換できる。この言葉が持つ爆発(explosion)という意味を使ってこの幾何学的変換を暗喩しているというよりは、「写真の一部を大きくするために写真上でズームインする」という意味を使って暗喩している。
ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。弱分解定理(The weak factorization theorem)によれば、射影多様体の間のすべての双有理写像はブローアップとその逆演算の合成としてかける。平面の双有理自己同型のなす群であるクレモナ群(英語版)はブローアップで生成される。
双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。