フレドホルム作用素
空間 H を、非負の整数により番号付けられる正規直交基底 {en} を持つヒルベルト空間とする。H 上の(右への)シフト作用素 S は
S ( e n ) = e n + 1 , n ≥ 0 {\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0}
で定義される。この作用素 S は単射(実際には等長)であり、その値域は閉でその余次元は 1 となる。このことから S は、指数 ind(S) = −1 のフレドホルム作用素となる。その冪 S (k ≥ 0)は、指数が −k のフレドホルム作用素となる。その随伴作用素 S は左へのシフト作用素
S ∗ ( e 0 ) = 0 , S ∗ ( e n ) = e n − 1 , n ≥ 1 {\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\quad S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1}
で与えられる。S は指数 1 のフレドホルム作用素となる。
H が複素平面の単位円周 T 上の古典的ハーディ空間 H(T) であるなら、複素指数函数からなる正規直交基底