ウィグナーのD行列
d 2 , 2 2 = 1 4 ( 1 + cos  θ ) 2 d 2 , 1 2 = − 1 2 sin  θ ( 1 + cos  θ ) d 2 , 0 2 = 3 8 sin 2  θ d 2 , − 1 2 = − 1 2 sin  θ ( 1 − cos  θ ) d 2 , − 2 2 = 1 4 ( 1 − cos  θ ) 2 d 1 , 1 2 = 1 2 ( 2 cos 2  θ + cos  θ − 1 ) d 1 , 0 2 = − 3 8 sin  2 θ d 1 , − 1 2 = 1 2 ( − 2 cos 2  θ + cos  θ + 1 ) d 0 , 0 2 = 1 2 ( 3 cos 2  θ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}}
ウィグナーのd行列の下付き添字の交換については、以下の関係式がなりたつ。
d m ′ , m j = ( − 1 ) m − m ′ d m , m ′ j = d − m , − m ′ j {\displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}}
クロネッカー積行列の集合、
D j ( α , β , γ ) ⊗ D j ′ ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
はSO(3)群およびSU(2)群の可約行列表現を与える。既約成分への簡約化は以下の式により行われる。
これらは量子力学的には空間に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。
さらに、次のような演算子を定義する。
P ^ 1 = i ( cos  γ sin  β ∂ ∂ α − sin  γ ∂ ∂ β − cot  β cos  γ ∂ ∂ γ ) P ^ 2 = i ( − sin  γ sin  β ∂ ∂ α − cos  γ ∂ ∂ β + cot  β sin  γ ∂ ∂ γ ) P ^ 3 = − i ∂ ∂ γ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \gamma }\end{aligned}}}
演算子 J i {\displaystyle {\mathcal {J}}_{i}} はD行列の最初の添字(行)に作用する。
J 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m ′ D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ ( J 1 ± i J 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ′ ( m ′ ± 1 ) D m ′ ± 1 , m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\end{aligned}}}
演算子 P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} は行列の2番目の添字(列)に作用する。