コーシー・リーマンの方程式
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ここで極限が原点で取られたときに d z ̄ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} が取りうる値を考える。実直線に沿った z に関して、 z ̄ = z {\displaystyle {\bar {z}}=z} なので、 d z ̄ / d z = 1 {\displaystyle d{\bar {z}}/dz=1} 。同様に、純虚数の z に関して d z ̄ / d z = − 1 {\displaystyle d{\bar {z}}/dz=-1} なので、 d z ̄ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} は原点においてwell-definedではない。 d z ̄ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} がどんな複素数 z に関してもwell-definedでないことは容易に確認できるので、 z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} で ( ∂ f / ∂ z ̄ ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})=0} を必要十分条件として f は z0 で 複素微分可能である。これはまさにコーシー・リーマン方程式であり、 f は z0 で z0 でのコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として微分可能である。