バシチェック・モデル
バシチェック・モデル(英: Vasicek model)とは、数理ファイナンスにおいて利子率の時間的変動を記述する数理モデルの一つである。短期利子率を扱う単因子モデルの一つであり、利子率の変動を市場リスクという単一の要因で説明する。 このモデルは、利子率デリバティブの価格評価に使用することができ、さらに信用市場にも適用されたが、これは負の確率を発生することがあり得ることから、信用市場に使用するのは原理的には誤りとされる。 バシチェック・モデルは、金利デリバティブの評価に使用することが可能である。1977年に、チェコの数学者 Oldrich Vasicek により導入された。
バシチェック・モデルは、瞬間利子率が以下の確率微分方程式に従うとする。
drt = a(b − rt)dt + σdWt
ここに a、b、σ は正の定数であり、Wt は、無作為な市場リスク因子をモデル化したウィーナー過程であり、これにより、系に無作為変動の連続的な流入をモデル化している。標準偏差媒介変数 σ は、利子率のボラティリティを決定する。
確率微分方程式を解くと、以下の解が得られる。
r ( t ) = r ( 0 ) e − a t + b ( 1 − e − a t ) + σ e − a t ∫ 0 t e a s d W s {\displaystyle r(t)=r(0)e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}\,\!}
バシチェック・モデルはオルンシュタイン=ウーレンベック確率過程であることから、以下の平均および分散を有することがわかる。
E [ r t ] = r 0 e − a t + b ( 1 − e − a t ) {\displaystyle E[r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})\,\!} V a r [ r t ] = σ 2 2 a ( 1 − e − 2 a t ) {\displaystyle Var[r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at})}
その結果、以下が成り立つ。
lim t → ∞ E [ r t ] = b {\displaystyle \lim _{t\to \infty }E[r_{t}]=b} lim t → ∞ V a r [ r t ] = σ 2 2 a {\displaystyle \lim _{t\to \infty }Var[r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}