ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
主張 T をある非ゼロのヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己共役作用素とし、
m ( T ) := sup { | ⟨ T x , x ⟩ | : x ∈ H , ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}}}
を定めるなら、m(T) あるいは −m(T) は T の固有値である。
m(T) = 0 であるなら、極化恒等式より T = 0 が成立するため、この場合は明らかである。f(x) = <Tx, x> で定義される函数 f: H → R を考える。必要であれば T を −T に置き換えることで、閉単位球 B ⊂ H 上での f の上限が m(T) > 0 に等しいと仮定することが出来る。f がある単位ベクトル y において B 上の m(T) の最大値を達成するなら、行列に対して用いられた議論と同様の議論により、y は T の固有ベクトルで、対応する固有値は λ = < λy, y> = <Ty, y> = f(y) = m(T) であることが分かる。
バナッハ=アラオグルの定理と H の回帰性により、閉単位球 B は弱コンパクトであることが分かる。
K ( y , x ) = K ( x , y ) ̄ , x , y ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle K(y,x)={\overline {K(x,y)}},\quad x,y\in [0,1]}
を満たすと仮定する。このとき TK は H 上のコンパクトな自己共役作用素である。{φn} が固有ベクトルの正規直交基底で、対応する固有ベクトルを {λn} としたとき、次が示される。
∑ λ n 2 < ∞ , K ( x , y ) ∼ ∑ λ n φ n ( x ) φ n ( y ) ̄ . {\displaystyle \sum \lambda _{n}^{2}<\infty ,\ \ K(x,y)\sim \sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}}.}
ここでの函数の級数の和は、[0, 1] 上のルベーグ測度に対する L 収束で解釈される。マーサーの定理(英語版)により、級数が K(x, y) に各点収束するための条件、および [0, 1] 上で一様収束するための条件が得られる。
H = L([0, 1]) とする。このとき
( M f ) ( x ) = x f ( x ) , f ∈ H , x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}
で定義される乗算作用素 M は H 上の有界な自己共役作用素であって固有値を持たない。したがってスペクトル定理により、M はコンパクト作用素であり得ない。
K(x, y) を [0, 1] 上二乗可積分であるとし、H 上の作用素 TK を
( T K f ) ( x ) = ∫ 0 1 K ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}
で定義する。このとき TK は H 上のコンパクトなヒルベルト=シュミット作用素である。
この積分核 K(x, y) がエルミート性の条件