焦点 (幾何学)
クラス m の曲線 C の焦点 P1, P2, ..., Pm について、P はこれら焦点の接線の方程式の積とし、Q は無限遠円点の接線の方程式の積とする。P = 0 および Q = 0 に対する共通接線はすべて、C に接するから、マックス・ネーターの基本定理(英語版)により、C の接線の方程式は HP + KQ = 0 の形を持つ。C はクラス m だから、H は定数かつ K は次数 m − 2 以下とならなければならない。H = 0 の場合は退化しているものとして除くことができるから、C の接線の方程式は、f を次数 m − 2 の任意の多項式として P + fQ = 0 の形に書ける。
例えば P1 = (1,0), P2 = (−1,0) とする。接線の方程式は X + 1 =0, X − 1 =0 だから、P = X − 1 = 0 である。一方、無限遠円点の接線の方程式は X + iY =0, X − iY = 0 だから Q = X + Y となる。従って、与えられた二点を焦点に持つ円錐曲線の接線の方程式は、X − 1 + c(X + Y) =0 または (1 + c)X + cY = 1 で与えられる。ここで c は任意の定数である。点の座標を用いて書けば
x 2 1 + c + y 2 c = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{1+c}}+{\frac {y^{2}}{c}}=1}
となる。