指数関数
ある量の変化(増大または減少)率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数関数は生じてくる(指数関数的増大または指数関数的減少)。
そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌイが (Bernoulli 1683) においてこのような複利計算から今日 e と書かれる数(ネイピア数)
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
を導いている。後の1697年にヨハン・ベルヌイが指数関数の解析学を研究している。元本 1 に対して年 x の割合で金利を得る複利を考えると、得られる利息は毎月現在値に x/12 だから、総額は毎月 (1+x/12) 倍となり一年で (1+x/12) となる。あるいは、毎日金利を得るものとすれば (1+x/365) である。さらに間隔を短くして年間に金利を得る回数を限りなく増やした極限として、指数関数の定義
exp  ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}