二項分布
二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X の r 次モーメント E[X] は
E [ X r ] = ∑ j = 0 r S ( r , j ) n ! ( n − j ) ! p j {\displaystyle E{\bigl [}X^{r}{\bigr ]}=\sum _{j=0}^{r}S(r,j){\frac {n!}{(n-j)!}}p^{j}}
というやや複雑な表示をもつ。ここで S(r, j) は第二種スターリング数。低次から
E [ X 1 ] = n p , E [ X 2 ] = n p + n ( n − 1 ) p 2 , ... {\displaystyle E{\bigl [}X^{1}{\bigr ]}=np,\quad E[X^{2}]=np+n(n-1)p^{2},\dotsc }
となる。一方 X の r 次階乗モーメント(英語版) E[(X)r] は
E [ ( X ) r ] = ( n ) r p r = n ! ( n − r ) ! p r {\displaystyle E{\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=(n)_{r}p^{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}p^{r}}
という単純な表示をもつ。ここで (n)r = n!/(n − r)! はポッホハマー記号。低次から
E [ ( X ) 1 ] = n p , E [ ( X ) 2 ] = n ( n − 1 ) p 2 , ... {\displaystyle E{\bigl [}(X)_{1}{\bigr ]}=np,\quad E{\bigl [}(X)_{2}{\bigr ]}=n(n-1)p^{2},\dotsc }
となる。