基底変換
今、V および W 内の基底を変えたときに、T : V → W の行列に何が起きるのかを考える。{α1, ..., αn} および {β1, ..., βm} をそれぞれ V および W に対する順序付けられた基底とし、また第二の基底のペア {α'1, ..., α'n} および {β'1, ..., β'm} が与えられるものとする。φ1 と φ2 を、V に対する第一と第二の基底へと R において通常の基底を取る座標同型とし、ψ1 と ψ2 を W に対する第一と第二の基底へと R において通常の基底を取る座標同型とする。
T1 = ψ1 o T o φ1 および T2 = ψ2 o T o φ2 を定め(いずれの写像も R から R へのものとする)、t1 および t2 をそれらに対応する行列とする。p と q を、それぞれ R 上と R 上の座標自己同型変換 φ2 o φ1 および ψ2 o ψ1 とする。
これら様々な写像同士の関係は、可換図(英語版) を用いて図示することが出来る。
T2 = ψ2 o T o φ2 = (ψ2 o ψ1) o T1 o (φ1 o φ2) であり、また線型写像の合成は行列乗算に対応するため、
t2 = q t1 p
が従う。
基底変換が基底行列およびその逆を持つなら、このオブジェクトは1-co, 1-contra-variantsと呼ばれる。