軌道角運動量
既に述べたようにラプラシアンの極座標表示は、
Δ = 1 r 2 ( Δ r + Δ S ) {\displaystyle \Delta ={1 \over r^{2}}(\Delta _{r}+\Delta _{S})}
と動径方向と球面方向にわけると、
Δ r = ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) {\displaystyle \Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)} 、 Δ S = − 1 ħ 2 L 2 ^ {\displaystyle \Delta _{S}=-{1 \over \hbar ^{2}}{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}}
が成立するので、pを l {\displaystyle \ell } 次の球面調和関数とすると、
L 2 ^ p ( x ) = ħ 2 Δ r p ( x ) − ħ 2 r 2 Δ ħ 2 p ( x ) {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}p({\boldsymbol {x}})=\hbar ^{2}\Delta _{r}p({\boldsymbol {x}})-\hbar ^{2}r^{2}\Delta \hbar ^{2}p({\boldsymbol {x}})} = ħ 2 Δ r p ( x ) {\displaystyle =\hbar ^{2}\Delta _{r}p({\boldsymbol {x}})}
ベクトルxは動径方向
r = | x | {\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}|}
と球面方向
x | x | {\displaystyle {{\boldsymbol {x}} \over |{\boldsymbol {x}}|}}
に分解でき、しかもpは l {\displaystyle \ell } 次の斉次多項式であるので、
Δ r p ( x ) = p ( x | x | ) Δ r r l {\displaystyle \Delta _{r}p({\boldsymbol {x}})=p\left({{\boldsymbol {x}} \over |{\boldsymbol {x}}|}\right)\Delta _{r}r^{\ell }} = p ( x | x | ) ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) r l {\displaystyle =p\left({{\boldsymbol {x}} \over |{\boldsymbol {x}}|}\right){\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)r^{\ell }} = p ( x | x | ) ⋅ l ( l + 1 ) r l {\displaystyle =p\left({{\boldsymbol {x}} \over |{\boldsymbol {x}}|}\right)\cdot \ell (\ell +1)r^{\ell }} = l ( l + 1 ) p ( x ) {\displaystyle =\ell (\ell +1)p({\boldsymbol {x}})}
3次元空間Rにおける多項式pで
Δ p = 0 {\displaystyle \Delta p=0}
を満たすものを調和多項式といい、調和多項式pが l {\displaystyle \ell } 次の斉次多項式であるとき、 を球面
S 2 = { x ∈ R 3 ∣ | x | = 1 } {\displaystyle S^{2}=\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {R} ^{3}\mid |{\boldsymbol {x}}|=1\}}
に制限したものを l {\displaystyle \ell } 次の球面調和関数という。