自由積
より一般の構成として、同じ圏における押し出し(英語版)に対応する融合積 (free product with amalgamation, amalgamated product) がある。上で述べたと同じく G, H と、さらに任意の群 F からの二つの群準同型
φ : F → G , ψ : F → H {\displaystyle \varphi \colon F\to G,\quad \psi \colon F\to H}
が与えられたとき、自由積 G ∗ H を作り、各 f ∈ F に対して
φ ( f ) ψ ( f ) − 1 = 1 {\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}
なる形の関係式を添加する(暗黙的に G および H をそれらの自由積 G ∗ H に部分群として埋め込んで考えていることに注意)。
数学、とくに群論における自由積(じゆうせき、英: free product)は、2つの群 G, H から新しい群 G ∗ H を構成する操作である。G ∗ H は G と H をともに部分群として含み、G と H の元によって生成され、そして、これらの性質を持つ「最も一般的な」群である。G と H の一方が自明でないかぎり、自由積は必ず無限群である。自由積の構成は自由群(与えられた生成集合から作ることのできる最も一般的な群)の構成と類似している。
自由積は群の圏における余積である。つまり、自由積が群論において果たす役割は、集合論における非交和や加群論における直和のそれと同じである。もとの群が可換であったとしても、一方が自明でない限り、自由積は可換ではない。したがって、自由積はアーベル群の圏における余積ではない。
自由積はファン・カンペンの定理のために代数トポロジーにおいて重要である。この定理はある条件を満たす2つの弧状連結位相空間の和集合の基本群は常にもとの空間の基本群の融合積であるというものである。