双曲線
双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。
さらに x に関して平方完成させることにより、
( x + ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f ) 2 − y 2 e 2 − 1 = ( 2 e e 2 − 1 f ) 2 {\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}}
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動: X = x + e 2 + 1 e 2 − 1 f {\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f} , Y=y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。