リース＝ソリンの定理
f を固定された可積分函数とし、T を f との畳み込み作用素、すなわち各函数 g に対して Tg = f * g で与えられる作用素とする。
このような T が L から L への有界作用素であることはよく知られており、L から L への有界作用素であることは自明である(いずれの場合も、|| f ||1 によって評価される)。したがって、リース=ソリンの定理より次が成立する。
‖ f ∗ g ‖ p ≤ ‖ f ‖ 1 ‖ g ‖ p . {\displaystyle \|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}
この不等式に対し、作用素と被作用子の役割を変える、すなわち S を g との畳み込み作用素とし、S は L から L への有界作用素である場合を考える。g は L に属すため、ヘルダーの不等式の観点から、S は L から L への有界作用素であることが再び分かる。ただし 1/p + 1/q = 1 である。したがって補間により
‖ f ∗ g ‖ s ≤ ‖ f ‖ r ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}}
が得られる。ただし p、r および s の間の関係は次で与えられる。
1 r + 1 p = 1 + 1 s . {\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.}
数学におけるリース=ソリンの定理(リース=ソリンのていり、英: Riesz-Thorin theorem)とは、「作用素の補間」に関する一結果で、しばしばリース=ソリンの補間定理(Riesz-Thorin interpolation theorem)やリース=ソリンの凸性定理(Riesz-Thorin convexity theorem)と呼ばれる。リース・マルツェルとその指導学生オロフ・ソリン(英語版)の名にちなむ。
この定理は、 L p {\displaystyle L^{p}} の間の線形写像のノルムを評価する。この定理の有用性は、 L p {\displaystyle L^{p}} のいくつかが、その他の空間よりも簡単な構造を備えることに由来する。通常はそのような空間として、ヒルベルト空間である L 2 {\displaystyle L^{2}} や、 L 1 , L ∞ {\displaystyle L^{1},\ L^{\infty }} などが考えられる。したがって、リース=ソリンの定理を使うことで、2つの簡単な場合に成り立つ定理を、より複雑な場合へ拡張することができる。マルチンケーヴィッチの定理は同様の定理であるが、それはある非線形写像のクラスに対しても適用される。