複素数
複素変数の函数の研究は複素函数論と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず応用数学においても広汎な応用がもたれる。実函数論や数論等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって為されることもしばしば起こる(例えば素数定理。あるいは代数学の基本定理のルーシェの定理による証明)。実函数が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、複素函数のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元や三次元グラフ(英語版)に色相(もしくは明度や彩度、輝度)による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。
実解析における収斂級数や連続性などの概念は、いわゆるε-δ論法において実数の絶対値を用いたところを複素数の絶対値で置き換えることにより、複素解析においても自然に考えられる。例えば、複素数列が収束するための必要十分条件は、その実部および虚部の成す実数列がともに収束することである。もう少し抽象的な観点では、C は距離函数
d ( z 1 , z 2 ) = | z 1 − z 2 | ( z 1 , z 2 ∈ C ) {\displaystyle d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|\quad (z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} )}
を備える完備距離空間で、特に三角不等式
| z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}
が成立する。実解析と同様に、収束の概念はいくらかの初等函数の構成において用いられる。
複素数 z = x + yi(x, y は実数)の絶対値は
| z | = x 2 + y 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
で定義される。これは 0 以上の実数である。z が実数(つまり y = 0)のとき |z| は実数の絶対値 |x| = max{x, −x} に一致する。
複素数の絶対値は、ピタゴラスの定理により、複素数平面における原点 O(0) とのユークリッド距離に等しい。そして次が成り立つ。
非退化性:|z| = 0 ⇔ z = 0
三角不等式:|z + w| ≤ |z| + |w|(劣加法性とも)
乗法性:|zw| = |z||w|
逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張した乗法的ノルムとして特徴付けられる。
複素数 z の絶対値 |z| は、z を極形式表示:
z = r(cos θ + i sin θ)
したときの動径 r に等しい。
共役複素数と自身の積は、絶対値の平方に等しい。すなわち複素数 z に対して
| z | 2 = z z ̄ = x 2 + y 2 {\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}
が成り立つ。
複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点 P を、原点 O(0) からの距離と、正の実軸(英語版)と線分 OP の見込む角を反時計回りに測ったものの対(P の極座標)で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。