一意性 (数学)
述語(性質) P を満たす議論領域の対象 x がただ一つ存在するという命題を ∃!x P(x) と書く。これは述語論理の連言 ∧ ・含意 → ・存在記号 ∃ ・全称記号 ∀ などを用いて書かれる
∃ x [ P ( x ) ∧ ∀ y [ P ( y ) → x = y ] ] {\displaystyle \exists x\,[P(x)\land \forall y\,[P(y)\rightarrow x=y]]}
という命題を指す。同値な別の表現(あるいは定義)としては、存在性と一意性を分離した
∃ x P ( x ) ∧ ∀ y ∀ z [ [ P ( y ) ∧ P ( z ) ] → y = z ] {\displaystyle \exists x\,P(x)\land \forall y\forall z\,[[P(y)\land P(z)]\rightarrow y=z]}
や短さに重きをおいた
∃ x ∀ y [ P ( y ) ↔ x = y ] {\displaystyle \exists x\,\forall y\,[P(y)\leftrightarrow x=y]}
などがある。
一意性(いちいせい、英語: uniqueness)とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している(つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意)」という性質である。
これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。
たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。
また、一意的に存在することを記号「∃!」、もしくは「∃=1」のように書くことができ、たとえば
∃ ! n ∈ N ( n − 2 = 4 ) {\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}
は、「 n − 2 = 4 {\displaystyle n-2=4} を満たすような自然数 n {\displaystyle n} がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。