体球調和関数
これらより、次のように定義する。
A m ( x , y ) ≡ 1 2 [ ( x + i y ) m + ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p cos  ( m − p ) π 2 {\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}
B m ( x , y ) ≡ 1 2 i [ ( x + i y ) m − ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p sin  ( m − p ) π 2 . {\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}
加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。
R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)