レヴィ・チヴィタ接続
M上の0-形式、すなわちM上の関数 f : M → R {\displaystyle f~:~M\to \mathbb {R} } の共変微分は
∇ X f = X f {\displaystyle \nabla _{X}f=Xf}
である。またαをk-形式とし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} を d c d t ( 0 ) = X c ( 0 ) {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}(0)=X_{c(0)}} を満たす曲線とすると、 ∇ X α {\displaystyle \nabla _{X}\alpha } は通常の微分
( ∇ X α ) ( Y 1 , ... , Y k ) | c ( 0 ) = d d t ( α c ( t ) ( Y 1 | c ( t ) , ... , Y k | c ( t ) ) ) {\displaystyle (\nabla _{X}\alpha )(Y_{1},\ldots ,Y_{k})|_{c(0)}={\frac {d}{dt}}(\alpha _{c(t)}(Y_{1}|_{c(t)},\ldots ,Y_{k}|_{c(t)}))}
にほかならない。
..(2)
ここで v ( t ) = v i ( t ) ∂ ∂ x i {\displaystyle v(t)=v^{i}(t){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} であり、 ( g i l ) i l {\displaystyle (g^{i\ell })_{i\ell }} は ( g l j ) l j {\displaystyle (g_{\ell j})_{\ell j}} の逆行列である。すなわち δ i j {\displaystyle \delta ^{i}{}_{j}} をクロネッカーのデルタとするとき、 g i l g l j = δ i j {\displaystyle g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}} である。
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の元を成分で y → = ( y 1 , ... , y n ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y^{1},\ldots ,y^{n})} と表し、局所座標が ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で表せるMの元の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における成分表示を
y → ( x 1 , ... , x m ) = ( y 1 ( x 1 , ... , x m ) , ... , y n ( x 1 , ...