空間 (数学)
「三角形内角の和」がきちんと定義できるにもかかわらず、それが古典的な幾何学における値(つまり180度)と異なるような幾何学が出現するのである。そのような幾何学としての双曲的非ユークリッド幾何は、1829年にロバチェフスキーが、1832年にボヤイが(また非公表であったけれども、1816年にガウスが)導入した 幾何で、そこでは三角形の内角の和が180度よりも常に小さくなる。1868年にはベルトラミが、1871年にはクラインが、双曲的非ユークリッド幾何のユークリッド的な「模型」を得ることに成功して、これらの幾何学の完全な正当化を果たした。
このような発見から、ユークリッド幾何こそが絶対的な真理であるという主張は放棄せざるを得なくなり、幾何学の公理は「疑いようのない事実」でも「定義の含意」でもない、仮説にすぎないことが明らかとなった。つまり、「経験的実在に対応する幾何学の範囲はどのようなものか」という物理学的に重要な問いは数学にとっては何の重要性ももたないものとなったのである。ただし、「幾何学」が経験的実在と対応しないとしても、幾何学の定理は「数学的な真実」であることに変わりはない。
非ユークリッド幾何のユークリッド模型は、ユークリッド空間に存在する適当な対象とそれらの間の関係で、非ユークリッド幾何の公理を全て(従って定理も全て)満たすようなものを巧みに選び出したものである。これらのユークリッド的対象と関係は、あたかも非ユークリッド幾何にもともと存在する該当の対象や関係として「振舞う」が、ユークリッド模型として選ばれた対象や関係はあくまで非ユークリッド幾何における対象や関係を模倣しているに過ぎない。これによって、対象の間の関係は数学として本質的なものであって、対象が自然に持つ特質ではないことが示される。