極小モデル
そのような射のことをファノファイバー空間という。
小平次元 κ ( X , K X ) {\displaystyle \kappa (X,K_{X})} 少なくとも 0 であれば、 X {\displaystyle X} に双有理な X ′ {\displaystyle X'} を探し、標準クラス K X ′ {\displaystyle K_{X^{\prime }}} がネフ(nef)(数値的正という意味だが、通常使用しているので、本文ではネフという用語を使用する。)となっている。この場合、 X ′ {\displaystyle X'} を X {\displaystyle X} の極小モデル(minimal model)という。
上記の多様体 X ′ {\displaystyle X'} と X {\displaystyle X} の非特異性の問題は重要である。滑らかな X {\displaystyle X} より始めるならば、極小モデルをすべて、あるいは滑らかな多様体のカテゴリの中のファノファイバーをいつでも見つけることができることが、自然に期待できる。しかし、このことは正しくなく、特異点も考えに入れる必要がある。ここに現れる特異点を端末特異点(英語版)(terminal singularities)と呼ばれる。