面積分
曲面 S 上の微分 2-形式
f = f z d x ∧ d y + f x d y ∧ d z + f y d z ∧ d x {\displaystyle f=f_{z}\,dx\wedge dy+f_{x}\,dy\wedge dz+f_{y}\,dz\wedge dx}
が与えられ、(s, t) が領域 D を動くとき
x ( s , t ) = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}
が S の向きを保つ媒介表示とすると、f の S 上の面積分は
∫∫ D [ f z ( x ( s , t ) ) ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) + f x ( x ( s , t ) ) ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) + f y ( x ( s , t ) ) ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) ] d s d t {\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]ds\,dt}
面積分が、曲面 S の媒介変数表示を用いて定義されることに留意すべきである。与えられた曲面に対して、その媒介変数表示はいくつも考えうる。たとえば、球面上で北極と南極の位置を動かせば、球面上の各点の経度や緯度もそれに伴って変わる。故に、面積分の定義が媒介変数表示の取り方に依存するかどうかと考えるのは自然な疑問である。スカラー場の積分に関しては答えは単純で、どのような媒介変数表示を取っても面積分の値は同一である。
ベクトル場の面積分に対しては、法ベクトルが絡む所為で事態は少し複雑になるが、同じ曲面の二つの媒介変数表示が曲面の各点で同じ向きの法ベクトルを持つならば、いずれの媒介変数表示に関する面積分も同じ値を持つことが証明できる。ところが、それらの法ベクトルが互いに逆の向きを持つならば、一方の媒介変数表示に関して得られる面積分の値は他方に関するものの反数になる。このことから、曲面が与えられたときにはその一意的な媒介変数表示はどれも区別する必要はないが、ベクトル場を積分するときにはより進んで、各点の法線方向を決め、媒介変数表示は一貫した法線方向を持つものを選ばなければならないことがわかる。
もう一つの問題は、曲面全体を覆うことのできる媒介変数表示を持たない曲面が存在することである。
であるから、代入して整理すれば
A = ∫∫ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle A=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{\!\!2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{\!\!2}+1}}\ dx\,dy}
を得る。これが一般の函数で与えられた曲面の曲面積に対するよく知られた公式である。式中で偏微分のクロス積として得られるベクトル
( − ∂ f ∂ x , − ∂ f ∂ y , 1 ) {\displaystyle \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}},-{\frac {\partial f}{\partial y}},1\right)}
は、この曲面の法線ベクトルとして理解することができる。
上記の公式にはクロス積が現れているから、この公式は曲線が三次元空間に埋め込まれているときのみ有効であることに注意。