昇降演算子
α と β の値を求めるために、J+と J− のエルミート共役( J ± = J ∓ † {\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }} )の関係から、それぞれの演算子のノルムを考えると、
⟨ j , m | J + † J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J − J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m + 1 | α ∗ α | j , m + 1 ⟩ = | α | 2 , ⟨ j , m | J − † J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J + J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m − 1 | β ∗ β | j , m − 1 ⟩ = | β | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle j,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{-}J_{+}|j,m\rangle =\langle j,m+1|\alpha ^{*}\alpha |j,m+1\rangle =|\alpha |^{2},\\\langle j,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{+}J_{-}|j,m\rangle =\langle j,m-1|\beta ^{*}\beta |j,m-1\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}
昇降演算子の積は J とJzの交換関係で表される。