グロス＝ピタエフスキー方程式
を満たす場合、規格化条件 ∫ d V | Ψ | 2 = N {\displaystyle \int \mathrm {d} V|\Psi |^{2}=N} の下で、全系の波動関数はハミルトニアンの期待値を最小化する。
上記の方程式はボース=アインシュタイン凝縮体の一粒子波動関数に対するモデル方程式となっている。グロス=ピタエフスキー方程式はギンツブルグ=ランダウ方程式と似た形をしており、また非線形シュレーディンガー方程式として言及されることも多い。
ボース=アインシュタイン凝縮体とは、すべてのボソンが同じ量子状態をとり、従ってすべてのボソンが同じ波動関数によって記述されるようなボソン気体である。自由粒子の運動は一粒子のシュレーディンガー方程式によって記述できる。一方で実在気体に関して、粒子間の相互作用は適当な多体のシュレーディンガー方程式を扱う必要がある。気体粒子間の平均距離が散乱長より大きい場合(このような状況を希薄極限 (dilute limit) と呼ぶ)、粒子間の相互作用ポテンシャルを近似することができ、グロス=ピタエフスキー方程式においては擬ポテンシャルで置き換えられる。
グロス=ピタエフスキー方程式の非線形性は粒子間相互作用に起源を持つ。粒子間相互作用とグロス=ピタエフスキー方程式の非線形性との関係は、グロス=ピタエフスキー方程式の相互作用結合定数をゼロへ持って行くことで明らかになる(詳細は次節):結合定数の影響を無視できるなら、グロス=ピタエフスキー方程式はトラップポテンシャルに束縛される粒子の一粒子シュレーディンガー方程式へと回帰する。
ボース=アインシュタイン凝縮体中では、ボソン間の相互作用が引力であるか斥力であるかによって、後述する明るいソリトン (bright soliton) と暗いソリトン (dark soliton) のいずれかの一次元ソリトンが形成され得る。いずれのソリトンも一様な系における局所的な凝縮体の擾乱と理解される。
ボソン間に斥力相互作用が働く、結合定数が正 (g > 0) である場合、グロス=ピタエフスキー方程式の特殊解として次のものが得られる。
ψ ( x ) = ψ 0 tanh  ( x 2 ξ ) . {\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right)\,.}
ここで ψ0 は無限遠での凝縮体の波動関数の値を表し、 ξ = ħ / 2 m n 0 g {\displaystyle \textstyle \xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}} はコヒーレント長を表す。
ボソン気体系の粒子数が非常に大きい場合、ハミルトニアンのボソン間相互作用項の寄与はボソンの運動エネルギー項よりはるかに大きくなる。従って、粒子数が充分大きい場合には運動エネルギー項を無視することができる。(全体に対し寄与の小さい)運動エネルギー項をハミルトニアンから落とす近似をトーマス=フェルミ近似という。トーマス=フェルミ近似の下で、グロス=ピタエフスキー方程式の解は厳密に求めることができ、以下のようになる。
ψ ( x ) = { μ − V ( x ) N g ( μ − V ( x ) g ≥ 0 ) 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}&\left({\frac {\mu -V(x)}{g}}\geq 0\right)\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}