向き付け可能性
ユークリッド空間 R 内の曲面 S は、二次元の図形(例えば、)が曲面上を動き回ってスタート地点へ戻った時に、鏡像()になるようにできない場合に、向き付け可能であるという。そうでない場合を向き付け不可能であるという。抽象的な曲面(つまり二次元多様体)が向き付け可能とは、連続的に動かすことで整合性をもって曲面上に時計回りの回転を定義できる場合をいう。いわば、曲面上のある向きのループを、(自己交叉することなく)反対向きのループへ連続変形できない場合、向き付け可能と言う。このことは、曲面がメビウスの帯に同相な部分集合を含まないかどうかという問いと同値であることが分かる。したがって曲面については、メビウスの帯は向き付け不可能さのすべての根源だと考えることができよう。
向き付け可能曲面において、「時計回り」(反時計回りと相反するもの)を整合性を持って選んだものを向きと言い、その曲面は向き付けられたと言う。ユークリッド空間内に埋め込まれた曲面に対し、全ての点で連続的に変化する曲面に対する法線 n の選択により、向きが特定される。法線ベクトルが全て存在するときは常に、2つの方法 n もしくは −n を選択できる。より一般には、向き付け可能曲面はちょうど2通りの向き付けが可能であり、向き付けられた曲面と向き付け可能な曲面の差異は、微妙で曖昧かもしれない。向き付け可能な曲面は、向きを入れることができる曲面を意味するのに対し、向き付けられた曲面は、向き付け可能な上に、2つの可能な向きのうちの一つが選択されたデータを持っている曲面のことを言う。