積の微分法則
この証明では積の法則より深い結果である連鎖律と自然対数の性質が使われており(とは言っても、対数の微分に関する情報は、c を定数として cx の任意の底に対する対数を x = 1 で微分してから c を一般化することによって知ることができるから、先の証明は証明の一形態として十分に意味を成しうる)、ある意味では分の悪い証明ということになる。一方、この証明では単純明快な代数的操作しかせずに済むので、定義から直接証明するよりも恐らく理解は容易であろう。
同様の、しかし(対数の微分ができなくても証明できるという意味で)確実にさらに容易な方法として、自乗差乗算(英語版)(四分の一平方乗算)を用いるものがある。これには、やはり連鎖律と、それから四分平方函数 q (即ち、q(x) := x/4) の性質
f = q ( u + v ) − q ( u − v ) {\displaystyle f=q(u+v)-q(u-v)}
が用いられる。この等式の両辺を微分すれば、
ベクトル値函数のスカラー乗法、点乗積、交叉積についても積の微分法則は拡張できる。
積の法則はある抽象的な図形(可微分多様体)の抽象接空間の定義にも用いられる。この定義は考えている図形の周りにある全空間を使えない若しくは使いたくない場合に利用できる(そもそも全空間というものが存在しないことだってあり得る)。それには図形上の実数値函数の専ら一点 p のみにおいて微分係数と積の法則が定義という事実を利用する。実はこのような微分係数全体の成す集合が、接空間と見るにふさわしいベクトル空間を成すのである。
ƒ(x) = x sin(x) を微分したい場合、積の法則を用いて ƒ'(x) = 2x sin(x) + xcos(x) が得られる(x の導函数は 2x で sin(x) の導函数は cos(x) であった)。
任意の定数は微分すると 0 になることから、積の法則の特別な場合として「定数倍の法則」:c が実定数で ƒ(x) が可微分函数のとき、定数倍 cƒ(x) もやはり微分可能で、その導函数は (cƒ)'(x) = c × ƒ′(x) で与えられる。が得られる。これと和の微分法則を合わせれば、函数を微分することが線型変換であることがわかる。
部分積分の公式は積の法則から導かれる。同様に(弱い意味での)商の法則も積の公式の帰結である(ここで「弱い意味で」というのは、商の微分可能性は保証せず、商が微分可能である場合に「限って」その導函数がどのような形になるかを述べるということ)。