商群
H が有限群 G の部分群で、H の位数が G の位数の 1/2 ならば、H は正規部分群であることが保証され、商群 G/H が存在し、C2 に同型である。この結果は「指数 2 の任意の部分群は正規である」と述べることもでき、この形では無限群にも適用できる。さらに、p が有限群 G の位数を割り切る最小の素数であるとき、G/H の位数が p ならば、H は G の正規部分群でなければならない。
G と正規部分群 N が与えられると、G は G/N の N による群拡大である。この拡大が自明あるいは分裂するかどうか問うことができる。言い換えると、G が N と G/N の直積あるいは半直積であるかどうかを問うことができる。これは拡大問題の特別な場合である。拡大が分裂しない例は以下である:G = Z4 = {0, 1, 2, 3} とし、N = {0, 2}とする。N は Z2 に同型である。このとき G/N も Z2 に同型である。しかし Z2 は自明な自己同型しか持たないから、N と G/N の半直積は直積しかない。Z4 は Z2 × Z2 とは異なるから、G は N と G/N の半直積ではない。
商群 G/G は自明群(ただ1つの元を持つ群)に、G/{e} は G に、同型である。
G/N の位数、すなわち元の個数は、|G : N| すなわち N の G における指数に等しい。G が有限ならば、指数は G の位数を N の位数で割ったものにも等しい。G と N がともに無限でも G/N は有限かもしれないことに注意(例えば Z/2Z)。
G の各元 g を g が属する N の剰余類に送る「自然な」全射群準同型 π: G → G/N すなわち π(g) = gN が存在する。写像 π はときに G の G/N の上への自然な射影と呼ばれるその核は N である。
N を含む G の部分群たちと G/N の部分群たちの間には全単射な対応がある;H が G の N を含む部分群ならば、G/N の対応する部分群は π(H) である。この対応は G と G/N の正規部分群たちに対しても成り立ち、対応定理として定式化される。
商群のいくつかの重要な性質は準同型定理と同型定理に含まれている。
G がアーベル、冪零、可解、巡回、あるいは有限生成ならば、G/N もそうである。