ローレンツ力
ローレンツ力のする仕事は
d W = F ⋅ d r = q ( E + v × B ) ⋅ d r {\displaystyle \mathrm {d} W={\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}
である。 ここで、磁場による力の項は、
d W m = q ( v × B ) ⋅ d r = q ( v × B ) ⋅ v d t = 0 {\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {m} }=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=0}
ローレンツ力を相対論的に記述すると
p ̇ μ = − q X ̇ ν F ν μ ( X ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}
となる。 ここで X = (ct, r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c, p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に
( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( − E 1 / c , − E 2 / c , − E 3 / c ) , ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})}
と表される。
位置の微分は非相対論的な速度 v によって
X ̇ μ = ( c t ̇ , t ̇ v ) {\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})}