二重指数関数
なお、E ≈ 1.264084735305302 はヴァルディの定数(A076393)である
k-aryブール関数:
2 2 k {\displaystyle 2^{2^{k}}}
素数 2, 11, 1361, ... (A051254)
a ( n ) = ⌊ A 3 n ⌋ {\displaystyle a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }
なお、A ≈ 1.306377883863はミルズの定数である。
アルフレッド・エイホとニール・スローンは、いくつかの重要な整数列で、各項が定数に前の項の2乗を加えたものであることを観察した。それらは、そのような数列が、中間の指数2を持つ二重指数関数の値を最も近い整数に丸めることによって形成できることを示している IonaşcuとStănicăは、数列が二重指数列と定数のフロアになるためのより一般的な十分条件について説明している。
二重指数関数(にじゅうしすうかんすう、英: double exponential function)とは、指数関数の肩に指数関数を持つ関数である。一般形は f ( x ) = a b x = a ( b x ) {\displaystyle f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}} 。 指数関数と同様に、二重指数関数型積分公式など、応用上はネイピア数を底に取ったものがよく使われる。
指数の底が a > 1, b > 1 を満たすなら、二重指数関数は通常の指数関数よりも速く大きくなる。 また二重指数関数は階乗より急速に増大する。階乗は通常の(一重の)指数関数よりも速く増大するため、充分大きい x について以下の関係が成り立つ(e はネイピア数):
e x < x ! < e e x {\displaystyle e^{x}<x!<e^{e^{x}}}
二重指数関数に比べて速く増大する関数として、例えばテトレーションとアッカーマン関数がよく知られている(その他さまざまな関数の増加率については例えばランダウの記号を参照のこと)。
二重指数関数 a b x {\displaystyle a^{b^{x}}} の逆関数は、二重対数 log b  ( log a  x ) {\displaystyle \log _{b}(\log _{a}x)} である。