一般化されたストークスの定理
これにより、ド・ラームコホモロジーから特異ホモロジーへの準同型が得られる。 微分形式のレベルでは、これは
閉形式、つまり dω = 0 は境界にわたる積分、つまり多様体にわたる ∂∑cMc、でゼロとなる
完全形式、つまり ω = dσ は、サイクル全体にわたる積分、つまり境界の合計が空集合になる場合:∑cMc = ∅、でゼロとなる
を意味する。
ド・ラームの定理は、この準同型が実際には同型であることを示している。したがって、上記の1と2の逆が成り立つ。言い換えると、{ci} が k 番目のホモロジー群を生成するサイクルである場合、対応する実数 {ai} に対して閉形式 ω が存在し
∮ c i ω = a i {\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega ={a_{i}}}
となる。この形式は一意で完全形式である。 滑らかな多様体上の一般化されたストークスの定理は、滑らかな多様体の鎖上のストークスの定理から導き出すことができ、その逆も可能である。正式に述べると、後者は次のように述べている。
定理 (鎖に対するストークスの定理) ― c を滑らかな多様体 M の滑らかな k 鎖、ω を M 上の滑らかな (k-1) 形式であるとする。この時次が成り立つ:
∫ ∂ c ω = ∫ c d ω . {\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \omega .}
一般化されたストークスの定理は次のようになる。
定理 (ストークス・カルタン) ― ω を、滑らかな境界付き n 次元多様体 Ω上の、コンパクトな台を持つ滑らかな (n-1) 形式であるとする。∂Ω を Ω から誘導された向きを持つ Ω の境界とする。 i : ∂ Ω ↪ Ω {\displaystyle i:\partial \Omega \hookrightarrow \Omega } は包含写像とする。このとき、
∫ Ω d ω = ∫ ∂ Ω i ∗ ω . {\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }i^{*}\omega .}
包含写像による微分形式の引き戻しは単純にその領域への制限: i ∗ ω = ω | ∂ Ω {\displaystyle i^{*}\omega =\omega |_{\partial \Omega }} であるため、通常 ∫ ∂ Ω i ∗ ω {\textstyle \int _{\partial \Omega }i^{*}\omega } は ∫ ∂ Ω ω {\textstyle \int _{\partial \Omega }\omega } と省略される。
一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける。
一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 Ω の境界 ∂Ω 上の微分形式 ω の積分は Ω 全体にわたるその外微分 dω の積分に等しい。すなわち
∫ ∂ Ω ω = ∫ Ω d ω {\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }
が成り立つ。
シンボリックに、この積分を積分領域と微分形式の内積 (·, ·) のように考えると、
( ω , ∂ Ω ) = ( d ω , Ω ) {\displaystyle (\omega ,\partial \Omega )=(\mathrm {d} \omega ,\Omega )}
と書ける。
たとえば、区間の自然な向きは2つの境界点の向きを与える。 直感的には、a と b は区間の反対側の両端にあるため、a は b とは反対の方向が誘導される。したがって、2つの境界点 a, b で F を「積分」すると、差 F(b) − F(a) となる。
さらに簡単に言えば、点を曲線の境界と、つまり1次元多様体の0次元境界と見なすことができる。したがって、0次元境界 {a, b} での不定積分 F を考慮することにより1次元多様体 [a, b] 上の積分の値 (f dx = dF) を求めることができるのと同じように、いくつかの注意事項のもとで微分積分学の基本定理を一般化でき、n 次元多様体 Ω の (n - 1) 次元境界 ∂Ω での不定積分 ω を考慮することでΩ 上の積分 dω の値を与えることができる。
したがって、基本的な定理は次のように読み替えることができる:
∫ [ a , b ] f ( x ) d x = ∫ [ a , b ] d F = ∫ { a } − ∪ { b } + F = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\mathrm {d} x=\int _{[a,b]}\mathrm {d} F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).}