ピタゴラスの定理
指数の 2 の部分を一般化すると
a + b = c
となる。n = 2 の場合、自明(つまり a, b, c の少なくとも1つが 0)や既知解(原始ピタゴラス数の定数倍)を除いても、整数解は実質無数に存在するが、n ≥ 3 の場合は非自明な整数解は存在しない。
1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した:
(a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。方程式: ( a n ) x + ( b n ) y = ( c n ) z {\displaystyle (an)^{x}+(bn)^{y}=(cn)^{z}}
の自然数解 (x, y, z) は x = y = z = 2 {\displaystyle x=y=z=2}
のみである。
正弦および余弦関数を微分すれば
(1), (2) および微分公式より
( sin 2  θ + cos 2  θ ) ′ = 2 sin  θ cos  θ + 2 cos  θ ( − sin  θ ) = 0 {\displaystyle (\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )'=2\sin \theta \cos \theta +2\cos \theta (-\sin \theta )=0}
したがって
sin 2  θ + cos 2  θ = C {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =C}
ここで C は定数である。θ = 0 を代入すると sin 0 = 0, cos 0 = 1 であるので、C = 1 が得られる。よって
が得られる。
あとは前節と同様にして
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。
である。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると
d d θ ∫ f ( θ ) d θ = f ( θ ) = d d θ ( θ + C ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\int f(\theta )d\theta =f(\theta )={\frac {d}{d\theta }}(\theta +C)=1}
である。したがって
f ( θ ) = sin 2  θ + cos 2  θ = 1. {\displaystyle f(\theta )=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}
ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。