微分方程式
微分方程式に限らず一般の方程式は必ずしも厳密解が得られるとは限らない。従って多く場合は摂動などの手法を用いて近似的な評価を与えるか、ルンゲ=クッタ法やSOR法、有限要素法のような数値解法によって具体的な解を得ることになる。しかしながらいくつかの基本的な微分方程式については、厳密解が得られたり、形式的に解を書き表せる。
微分方程式の具体的な解法としては代表的なものに、斉次方程式の解を利用して解く定数変化法、グリーン関数を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス変換や逆ラプラス変換を用いた解法などが知られている。
一つの未知関数に対する、一般の一階線型常微分方程式は、既知関数を P(x)、Q(x) として、次のように書かれる。
d y ( x ) d x + P ( x ) y ( x ) = Q ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=Q(x).}
この一階線型常微分方程式は、一般解が求積法で解ける。 まず、斉次方程式
d y ( x ) d x + P ( x ) y ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=0}
の一般解は、積分定数を A ≠ 0 として、