有限集合
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
より一般化すると、集合や有限集合といった非形式的観念は、様々な形式体系の公理的機構と論理的機構によって解釈される。よく知られた公理的集合論としてツェルメロ=フレンケルの公理系 (ZF) 、ZF に選択公理を加えたもの (ZFC)、NBG集合論(ノイマン=ベルナイス=ゲーデル)、非有基的集合論、バートランド・ラッセルの型理論、および各種モデルの理論がある。場合によっては、古典的な一階述語論理、各種高階論理、直観論理などを選択する場合もある。
形式主義の観点では、「集合」の意味は系によって異なる。プラトン主義的には、ある特定の形式体系をその根底にある現実の近似と見る。
自然数の概念が論理的に集合の前に前提としてある場合、集合 S が有限であることを {x | x < n} となる自然数の集まりとの全単射として定義できる。数学では一般に数の概念を集合論に基づいて定義するため、例えば有限の整列集合の順序型によって自然数をモデル化する。その場合、有限性について自然数に基づかない構造的定義が必要となる。
興味深いことに、ZFCにおいて有限集合を集合全般から区別する様々な特性は、より弱い体系であるZFや直観主義的集合論の場合とは論理的に等価ではないことが判っている。よく知られている有限性の定義として、リヒャルト・デーデキントの定義とカジミェシュ・クラトフスキの定義がある。