ボレル集合
実数直線の部分集合でボレル集合にならないものの例として、ルジンによるもの (see Sect. 62, pages 76–78) を述べる。この例は、存在を証明できるけれども構成的でない非可測集合の場合とは対照的である。
任意の無理数は連分数
x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}
として一意的に表すことができる。ここで a0 は何らかの整数、残りの ak は全て正整数である。連分数展開から得られる数列 (a0, a1, ...) が
その無限部分列 ( a k 0 , a k 1 , ... ) {\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )} で各項が後続項の約数となっているようなものがとれる
ボレル集合族は最初に述べた意味で「生成的」に記述することができる。
任意の順序数 α {\displaystyle \alpha } に関する列 B α {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }} を以下のような超限帰納法で定める:
初期条件として、 B 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}^{0}} は X {\displaystyle X} の開集合系とする。
α = β + 1 {\displaystyle \alpha =\beta +1} のときは、 B α := { ⋃ i = 1 ∞ A i ; A i ∈ B β or X ∖ A i ∈ B β } {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }:={\Big \{}\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i};\,A_{i}\in {\mathcal {B}}^{\beta }\,{\text{or}}\,X\setminus A_{i}\in {\mathcal {B}}^{\beta }\,{\Big \}}}
α {\displaystyle \alpha } が極限順序数のときは、 B α := ⋃ β < α B β {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {B}}^{\beta }}