冪乗
冪演算は可換でない(たとえば 2 = 8 , 3 = 9 , 8≠9.)。また結合的でない(たとえば (2) = 64 , 512 = 2 , 64≠512.)。
括弧を用いずに a と書いたときには、これはふつう a を意味する。すなわち冪演算は右結合的である(これは優先順位(precedence, 演算子の優先順位)ではなく、演算子の結合性(associativity, en:Operator associativity)のことである)。
『冪』の字義は「覆う、覆うもの」であって、『冖』と同音同義である。江戸時代の和算家は「冪」の略字として「巾」を用いていた。
第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降の学習参考書などの出版物では仮名書きで「べき乗」または「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。
「冪集合」、「冪級数」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現はあまり生じていない。
上の方式と同様に、次の性質を使う。
a 2 x = ( a x ) 2 {\displaystyle a^{2x}=(a^{x})^{2}}
これに性質 a x + 1 = a x ⋅ a {\displaystyle a^{x+1}=a^{x}\cdot a} を組み合わせると、次の関係が成り立つ。
a 2 x + 1 = ( a x ) 2 ⋅ a {\displaystyle a^{2x+1}=(a^{x})^{2}\cdot a}
指数が偶数か奇数かによってこれら二つの式を使い分け、指数を順次約1/2にしていくことができる。例えば a 43 {\displaystyle a^{43}} は、
a 43 = a 21 ⋅ 2 + 1 = ( a 21 ) 2 ⋅ a {\displaystyle a^{43}=a^{21\cdot 2+1}=(a^{21})^{2}\cdot a}
である。そして a 21 {\displaystyle a^{21}} も同様に、
a 21 = a 10 ⋅ 2 + 1 = ( a 10 ) 2 ⋅ a {\displaystyle a^{21}=a^{10\cdot 2+1}=(a^{10})^{2}\cdot a}
である。 a 10 {\displaystyle a^{10}} はこうなる。
( d d x ) n f ( x ) = d n d x n f ( x ) = f ( n ) ( x ) {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {d}{dx}}{\Big )}^{\!n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x)}
である。これは線型作用素の離散的な冪の例であるが、作用素の連続的な冪が定義できたほうがよい場面が多く存在する。C0-半群の数学的理論はこのような事情を出発点としている。離散冪指数に対する行列の冪の計算が離散力学系を解くことであったのと同様に、連続冪指数に対する作用素の冪の計算は連続力学系を解くことに等しい。そういった例として熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式あるいはもっとほかの時間発展を含む偏微分方程式を挙げることができる。このような冪演算の特別の場合として、微分演算の非整数乗は分数階微分と呼ばれ、分数階積分とともに、分数階微分積分学の基本演算の一つとなっている。
一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の構造を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、線型代数学において勝手な添字集合上でのベクトル空間の直和を考えることができる。つまり Vi をベクトル空間として
⨁ i ∈ N V i {\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}
を考えるとき、任意の i について Vi = V とすれば得られる直和を冪記法を用いて V あるいは直和の意味であることが明らかならば単に V のように書くことができる。ここで再び集合 N を基数 n で取り替えれば V を得る(濃度 n を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは同型を除いてのみ定義される)。V として実数体 R を(それ自身の上のベクトル空間と見て)とれば、n を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 R を得る。
集合論では基数や順序数の冪演算も定義される。
基数 κ, λ に対して冪 κ は基数 λ の任意の集合から基数 κ の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す。κ, λ がともに有限ならばこれは通常の算術的な(つまり自然数の)冪演算と一致する(たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は 8 = 2 で与えられる)。基数の算術において κ は常に(特に κ が無限基数や 0 であるときでさえ)1 である。
基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は超限帰納法を含む過程の極限として定義される。
を満足する。さらに、考えている演算が両側単位元 1 を持つ:
∃ ! 1 s.t. x 1 = 1 x = x ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle \exists !1{\text{ s.t. }}x1=1x=x\quad (\forall x\in X)}
ならば x は任意の x に対して 1 に等しいものと定義する。
さらにまた演算が両側逆元を持ち、なおかつ結合的
x x − 1 = x − 1 x = 1 , ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}xx^{-1}&=x^{-1}x=1,\\(xy)z&=x(yz)\end{aligned}}}
ならばマグマ X は群を成す。このとき x の逆元を x と書けば、冪演算に関する通常の規則
x − n = ( x − 1 ) n x m − n = x m x − n {\displaystyle {\begin{aligned}x^{-n}&=\left(x^{-1}\right)^{n}\\x^{m-n}&=x^{m}x^{-n}\end{aligned}}}
はすべて満足される。