馬蹄形写像
連続力学系であれば、ポアンカレ写像によって上記の議論がそのまま当てはまる。
馬蹄形写像の発案者であるスティーブ・スメールは、ホモクリニック点が持つ位相的性質を馬蹄形写像として解明した。以上のような錯綜が起こると、馬蹄が存在するようになる。言い換えれば、写像が横断的ホモクリニック点を持つとき、その力学系は馬蹄形写像を持つ。幾何学的には、以下のような具合である。p と q を含み、W(p) を中心線とするような短冊形領域ABCDを考える。ABCDは写像の反復によって p の周りに正方形状に集まる。この正方形状領域は、さらなる反復によってW(p) に沿って引き伸ばされる。最終的に、適当な k 回の反復によって写る領域 A'B'C'D' = f(ABCD) は馬蹄形となり、ABCD を突き抜けた格好となる。この f は馬蹄形写像である。平面上の微分同相写像を f とし、横断的ホモクリニック点が存在すれば、f のある反復繰り返しに、上記で定義された馬蹄形写像に座標変換して一致する「馬蹄」が存在することが定理としていえる。
馬蹄形写像は幾何学的に定義される写像であったが、馬蹄形写像と類似の操作を持ち尚且つ具体的な代数式が与えられている他の2次元上の離散力学系の例としては、エノン写像がある。不連続変形ではあるが、パイこね変換も馬蹄形写像と類似の操作から成る。連続力学系(常微分方程式系)でポアンカレ断面上に馬蹄が観察できる例としては、周期外力が加わる減衰付のダフィング振動子や電気回路のチュア回路が知られている。