コラッツの問題
コラッツ写像は、次の式で定義される滑らかな関数を整数に制限したものと見なせる:
f ( x ) = 1 2 x cos 2  ( π 2 x ) + 3 x + 1 2 sin 2  ( π 2 x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}x\right)+{\frac {3x+1}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}x\right)}
実直線上でのこの写像の反復については、マーク・チェンバーランド (Marc Chamberland) の研究によると、この関数は実直線上に無限に多くの不動点を持ち、また反復合成について単調に無限大に発散する軌道も持つ。
f(x) の正の不動点を小さい方から 0 < μ1 < μ2 < μ3 < ... とおく。このとき、[μ1, μ3] の範囲には周期アトラクターがちょうど2つ存在して、1つは {1, 2}、もう1つは {1.192531907..., 2.138656335...} である。
Letherman, Schleicher および Wood はこの関数の研究を複素平面へと拡張した。ほとんどの複素平面上の点は無限遠へと発散するが、境界となるジュリア集合はフラクタル図形を描く。
『数学100の問題』 日本評論社 ISBN 978-4535606142 「角谷の問題」として取り上げられている。
『数学の魔法の宝箱』 イアン・スチュアート (数学者) ソフトバンク クリエイティブ ISBN 978-4-7973-5982-4:「コラッツ=シラキュース=ウラム問題」として紹介されている。
31 ) = { 0 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , 1 , 4 , 1 , 3 , 2 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 3 , 1 , 1 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle c\left(0\dots 31\right)=\left\{0,3,2,2,2,2,2,4,1,4,1,3,2,2,3,4,1,2,3,3,1,1,3,3,2,3,2,4,3,3,4,5\right\}}
d ( 0 ... 31 ) = { 0 , 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 20 , 1 , 26 , 1 , 10 , 4 , 4 , 13 , 40 , 2 , 5 , 17 , 17 , 2 , 2 , 20 , 20 , 8 , 22 , 8 , 71 , 26 , 26 , 80 , 242 } {\displaystyle d\left(0\dots 31\right)=\left\{0,2,1,1,2,2,2,20,1,26,1,10,4,4,13,40,2,5,17,17,2,2,20,20,8,22,8,71,26,26,80,242\right\}}
これは、2 個の事前計算とストレージが要求される。これにより計算速度が k 倍高速化出来るが、時間と空間のトレードオフである。
最初の1000個の数字の数列を示す有向グラフ。
x軸は初期値を表し、y軸は、1に至るまでの間での最大値を示す。このプロットでは、y軸の範囲を制限している:いくつかのxでは、途中の最大値が2.7×10にもなる。(x = 9663の場合)
20ステップ未満のすべてのツリー。
上記の パリティシーケンス により、コラッツ数列の計算の高速化が可能である。
(パリティシーケンス節の f 関数を使ったとして)k ステップ先にジャンプするために、まず現在の数値を2つに分割する: b(2進数表記で下位 k ビット)と、a(残りの上位ビット)。k ステップをジャンプした結果は以下になる:
f k ( a 2 k + b ) = a 3 c ( b ) + d ( b ) {\displaystyle {f^{k}}\left(a\ {2^{k}}+b\right)=a\ {3^{c\left(b\right)}}+d\left(b\right)} .
c (もしくは 3)と d 配列は、k ビットの数すべてについて事前計算しておく。d(b) は b に f 関数を k 回行った数で、c(b) はその間に登場した奇数の数である。例えば k = 5 なら5ステップのジャンプが可能で、そのために下位5ビットを分割して、下記配列を使う:
c ( 0 ...
関数 f の定義を少し変えることにより、コラッツの問題の類似を考えることができる。