整関数
最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、任意の区間上で連続かつ解析的である。
上記の凸性からの帰結として、ln Mf(r) は右および左微分を持ち、それらは単調増大である。必ずしも連続でない函数 v(t) が存在して
が成り立つ。 関数fの絶対最大値函数 Mf(r) の r に関しての増大にはいくらでも速いものが存在する。より精確には、任意の単調増大函数 g: [0, +∞) → [0, +∞) に対して、適当な函数 f を選ぶことで、任意の実数 x に対して f(x) が g(|x|) より真に大きい実数となるようにできる。そのためには f として
の形のものを、うまく選んだ整数列 nk に対してとればよい。実際、c ≔ g(2) および n k := 2 ⌈ k ln  g ( k + 2 ) ⌉ ( ∀ k ≥ 1 ) {\textstyle n_{k}:=2\lceil k\ln g(k+2)\rceil \quad (\forall k\geq 1)} と取れる。
実はこれはトルステン・カーレマン(英語版)の一様近似定理「 Q が R 上定義された複素数値連続函数で、E: R → (0, +∞) が連続ならば、整函数 f が存在して、任意の実数 x に対して | f ( x ) − Q ( x ) | < E ( x ) {\textstyle |f(x)-Q(x)|<E(x)} とできる」の特別の場合になっている。
整函数 f が適当な値 λ に対して
複素変数 s の函数 f を級数 f(s) ≔ ∑n fn(s) で定義し、それが絶対収束であると仮定する。R が n を動かすとき fn(s) の引数の変動が π より小さいような複素数平面上の領域とすれば、函数 f はその領域 R の外側でのみ消える。
代数学の基本定理の帰結として次数 n の多項式は複素平面 C においてちょうど n 個の零点を持つから、多項式は零点を多く持つとそれだけ増大度もより速くなる。このことは整函数においても同様であるが、より複雑である。整函数の増大度と零点分布の間の関係として
有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) の函数が、絶対値 r 以下の零点を n(r) 個持つとすれば、不等式 n ( r ) < ( 1 + o ( 1 ) ) ρ e r ρ ( r ) {\displaystyle n(r)<\left(1+o(1)\right)\rho \,e\,r^{\rho (r)}} が成り立つ
は、整函数論の主定理の一つに挙げられる。
イェンゼンの公式は、それを陽に述べなくとも、整函数論の一部を成すものである。それは例えばグリーンの公式から示される。
与えられた函数が ak に零点を持ち、r < ρ の円板上に極を持たないとして、x ≔ re とおくと
が成り立つ。これをポワソン–イェンゼンの公式という。ここからイェンゼンの公式:
整函数 f が任意の実引数において零点を持ち、その導函数もそうであるならば、f の種数は 0 または 1 である
ことを示した。(※校正意見、この定理(Laguerre)の記述は意味が不明である)
増大度 1 かつ型 σf < π の整函数 f は n = 1, 2, ... に対する函数値 f(n) によって完全に決定される。さらに言えば、型が ln 2 よりも真に小さいならば f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z ( z − 1 ) ... ( z − n + 1 ) n ! ( Δ n f ) ( 0 ) {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {z(z-1)\ldots (z-n+1)}{n!}}(\Delta ^{n}f)(0)}} と書ける。
証明にはフラグメン–リンデレーフの指示函数を用いる。
整函数が有界ならば、定数函数である。
この定理はコーシーの不等式を適用して証明できる。すなわち、R が何であっても M(R) が有界であることに注意して、R を無限大に飛ばせば所望の結果を得る。 このリウヴィルの定理から、代数学の基本定理「次数 n の任意の多項式は、重複度を込めて n 個の根を持つ」の簡単な証明が得られる。次のピカールの小定理はリウヴィルの定理の強化版であると考えられる:
ヴァイヤシュトラスは有限増大度 ρ の任意の整函数 f に対し、f が複素数 an ≠ 0 で値が零にならないとすれば、次数が高々 ρ である多項式 P(s) と整数 m ≤ ρ が存在して、
と書けることを示した。ただし、 E ( u , m ) = ( 1 − u ) e u + u 2 / 2 + ⋯ + u m / m {\textstyle E(u,m)=(1-u)e^{u+u^{2}/2+\dotsb +u^{m}/m}} である。因子 s は、函数が原点 0 に位数 p の零点を持つことに対応するものである。
ブートルー–カルタンの定理は整函数の研究において頻繁に用いられる結果を述べる。問題は積 P ( z ) := ∏ k = 1 n ( z − z k ) {\textstyle P(z):=\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})} を零点の近傍の外において評価することである。いま n は既知と仮定する。
函数 f は領域 U 上で定義された解析函数で、a において消えているとする。このとき、f は恒等的に零か、さもなくば a を中心とする円板 D が存在して、a と異なる任意の s ∈ D に対して f(s) ≠ 0 が成り立つ。
これは解析接続の原理からの帰結である。