離散フーリエ変換 (一般)
( 2 ) {\displaystyle f_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}v_{j}\alpha ^{jk}.\qquad (2)}
慣例により、 ( v 0 , ... , v n − 1 ) {\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n-1})} は時間領域にあると言い、添え字 j {\displaystyle j} を時刻と呼ぶ。また、 ( f 0 , ... , f n − 1 ) {\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{n-1})} は周波数領域にあると言い、 k {\displaystyle k} を周波数と呼ぶ。また、 ( f 0 , ... , f n − 1 ) {\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{n-1})} は ( v 0 , ... , v n − 1 ) {\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n-1})} の周波数スペクトルとも呼ばれる。この用語は、フーリエ変換の信号処理への応用からきている。
もし環 R {\displaystyle R} が整域(体の場合を含む)であるとき、 α {\displaystyle \alpha } は単位元の原始n乗根であれば十分であり、条件式(1)は、以下で置き換えることができる。
α k ≠ 1 {\displaystyle \alpha ^{k}\neq 1} for 1 ≤ k < n {\displaystyle 1\leq k<n}
2 1 = 2 ( mod 5 ) 2 2 = 4 ( mod 5 ) 2 3 = 3 ( mod 5 ) 2 4 = 1 ( mod 5 ) {\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=2{\pmod {5}}\\2^{2}&=4{\pmod {5}}\\2^{3}&=3{\pmod {5}}\\2^{4}&=1{\pmod {5}}\end{aligned}}}
[ F ( 0 ) F ( 1 ) F ( 2 ) F ( 3 ) ] = [ 1 1 1 1 1 2 4 3 1 4 1 4 1 3 4 2 ] [ f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F(0)\\F(1)\\F(2)\\F(3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&2&4&3\\1&4&1&4\\1&3&4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0)\\f(1)\\f(2)\\f(3)\end{bmatrix}}}
数論変換は、法mが素数でない場合の環 Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } においても、位数がnである主要根が存在するならば、意味がある。ショーンハーゲ・ストラッセン法で用いられるフェルマー数変換(m = 2+1)や、メルセンヌ数変換(m = 2 − 1)のような特殊な数論変換は、法として合成数を用いている。