ダルブー導関数
なぜなら f ∗ {\displaystyle f_{*}} の定義式の中にfそれ自身の情報が「埋め込まれて」おり、接ベクトル v P ∈ T P M {\displaystyle v_{P}\in T_{P}M} の f ∗ {\displaystyle f_{*}} による像 f ∗ ( v P ) {\displaystyle f_{*}(v_{P})} は T f ( P ) N {\displaystyle T_{f(P)}N} の元であるので、 f ∗ ( v P ) {\displaystyle f_{*}(v_{P})} がどの点の接ベクトルなのかを調べる事でPの像 f ( P ) {\displaystyle f(P)} が再現できてしまうからである。
実数体上の関数 f : R → R {\displaystyle f~:~\mathbb {R} \to \mathbb {R} } に対してこの問題が意味を持つのは f ∗ : T M → T N {\displaystyle f_{*}~:~TM\to TN} によるvPの像 f ∗ ( v P ) {\displaystyle f_{*}(v_{P})} を原点 0 ∈ R {\displaystyle 0\in \mathbb {R} } まで移動したものを導関数 f ′ {\displaystyle f'} としているので、fそれ自身の情報が消し去られているからである。
ダルブー導関数は、fの値域がリー群である場合に、実数体の場合と同様 f ∗ {\displaystyle f_{*}} の像を単位元 e ∈ G {\displaystyle e\in G} まで移動する事で、 f ∗ {\displaystyle f_{*}} に埋め込まれているfの情報を消し去った導関数概念である。すなわち、