磁気流体力学
磁気流体力学の基本的アイデアは、電導性流体の中では流体の運動が磁場の変化をもたらして電流を誘起し、その電流と磁場との相互作用から流体への力を生じ、よって流体の運動自身が変化する、というものである。対象とする物質は主に液体金属(水銀や地球の外核など)とプラズマである。そして基礎方程式として通常の流体力学の基礎方程式(ナビエ-ストークス方程式と連続の式)と電磁場のマクスウェルの方程式とを組み合わせて用いる。
磁気流体力学は1942年に宇宙の諸現象研究の過程でスウェーデンのハンス・アルヴェーンが発表した論文、すなわち今日アルヴェーン波として知られている磁場中電導性流体特有の波の存在を述べた論文から始まった。そしてアルヴェーン自身を含む多くの人々の研究により大きく発展し、今日では宇宙空間物理学研究や熱核融合研究の基礎として広く用いられている。アルヴェーンは「電磁流体力学の基礎研究、プラズマ物理学への応用」により1970年にノーベル物理学賞を受賞した。
磁気流体力学では、使用の実態に即して、近似として通常次の仮定がなされる。
まず、ここで扱うのは電気伝導度の相当よい流体であるから、導体の電気力学に倣って変位電流を無視し、磁場 B と電流 j とはアンペールの法則で結び付けられているとする。すなわち
rot B = μ j {\displaystyle {\mbox{rot}}{\boldsymbol {B}}=\mu {\boldsymbol {j}}} :(1)
ここで μ {\displaystyle \mu } は流体の透磁率で、定数と仮定されている。
ついで流体はほぼ中性とし、電荷を流体が運ぶことで生ずる対流電流は伝導電流と比較して小さいとして無視し、電流は伝導電流のみであるとする。そしてそれはオームの法則により定まるとする。すなわち
j = σ ( E + v × B ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\sigma \left({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right)} :(2)
ここで σ {\displaystyle \sigma } は流体の電気伝導度である。ただし、この仮定は電荷密度 ρ e {\displaystyle \rho _{e}} を 0 とすることではない。
1 μ ( B ⋅ ∇ ) B = ∂ ∂ z ( B 2 2 μ ) b + B 2 μ ∂ ∂ z b {\displaystyle {\frac {1}{\mu }}\left({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {B}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {B^{2}}{2\mu }}\right){\boldsymbol {b}}+{\frac {B^{2}}{\mu }}{\frac {\partial }{\partial z}}{\boldsymbol {b}}} :(5)
となり、第1項は磁場方向の張力で、(4)式第1項の z 成分と打ち消し合う。また第2項は磁力線が湾曲しているとき、
∂ ∂ z b = 1 R e R {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}{\boldsymbol {b}}={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{R}} :(6)