命題論理
この定義によって式 φ {\displaystyle \phi } が特定の式の集合 S {\displaystyle \mathbb {S} } から従うとはどういうことなのかを定式化できる。格式張らずにいえばこれは、 S {\displaystyle \mathbb {S} } の式が成り立っているようなすべての世界において φ {\displaystyle \phi } が成立していることだ、といえる。これは次のように形式化できる: S {\displaystyle \mathbb {S} } の式をすべて充足するような真理値の割り当てが必ず φ {\displaystyle \phi } を充足するとき、整式 φ {\displaystyle \phi } は S {\displaystyle \mathbb {S} } から意味論的に帰結する(または導かれる)、という。
最後に、統語的な帰結という関係を、 φ {\displaystyle \phi } が上に挙げた推論規則に従って有限の段階で S {\displaystyle \mathbb {S} } の式から導出されるとき、およびそのときに限って φ {\displaystyle \phi } は S {\displaystyle \mathbb {S} } から統語的に帰結する、として定める。これによって推論規則の集合が健全だとか完全だとかいうのはどういうことなのかを定式化できる。
基本:アルファベットの大文字は整式
帰納節 I: もし φ {\displaystyle \phi } が整式なら ¬ φ {\displaystyle \lnot \phi } も整式
帰納節 II: φ {\displaystyle \phi } と ψ {\displaystyle \psi } が整式なら ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} や ( φ ∨ ψ ) {\displaystyle (\phi \lor \psi )} 、 ( φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )} も整式
閉節:これ以外は整式でない
これらを繰り返し適用することでより複雑な整式が作られる。例えば
A {\displaystyle A} は整式
¬ A {\displaystyle \lnot A} は整式
B {\displaystyle B} は整式
( ¬ A ∨ B ) {\displaystyle (\lnot A\lor B)} は整式