クロネッカー積
多変量統計におけるモーメントはクロネッカー積を用いて表すことができる。 x = (X1, X2, ... ) を多変量のベクトルとすれば、
一次のモーメントは、 μ 1 = E [ x ] = ( E [ X 1 ] , E [ X 2 ] , . . . ) {\displaystyle \mu _{1}=E[x]=(E[X_{1}],E[X_{2}],...)}
二次のモーメントは、 μ 2 = E [ x ⊗ x t ] = ( E [ X 1 2 ] , E [ X 2 2 ] , . . . , E [ X 1 X 2 ] , E [ X 1 X 3 ] , . . . ) {\displaystyle \mu _{2}=E[x\otimes x^{t}]=(E[X_{1}^{2}],E[X_{2}^{2}],...,E[X_{1}X_{2}],E[X_{1}X_{3}],...)}
三変数での例
[ a b c ] ⊗ [ a b c ] = [ a ⋅ a a ⋅ b a ⋅ c b ⋅ a b ⋅ b b ⋅ c c ⋅ a c ⋅ b c ⋅ c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}
で共分散行列となる。
同様に、
行列のクロネッカー積は線型写像に対する抽象的なテンソル積に対応する。具体的に、ベクトル空間 V, W, X, Y がそれぞれ基底 {v1, ..., vm}, {w1, ..., wn}, {x1, ..., xd}, {y1, ..., ye} を持つものとすると、行列 A, B がそれぞれ線型写像 S: V → X, T: W → Y を所期の基底に関して表現するならば、クロネッカー積 A ⊗ B は写像のテンソル積 S ⊗ T: V ⊗ W → X ⊗ Y を、V ⊗ W の基底 {v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ..., v2 ⊗ w1, ..., vm ⊗ wn} および X ⊗ Y の同様の基底に関して表現するもので、
A ⊗ B(vi ⊗ wj) = (Avi)⊗(Bwj)
なる性質が満たされる。ただし、i, j は適当な範囲を動く整数とする。
V, W がリー環で、S: V → V, T: W → W がリー環準同型のとき、A と B のクロネッカー積は誘導されたリー環準同型 V ⊗ W → V ⊗ W を表現する。