外測度
距離空間 (X, d) と X 上の外測度 φ に対し、φ は任意の部分集合 E, F に対し条件 d ( E , F ) = inf { d ( x , y ) : x ∈ E , y ∈ F } > 0 ⟹ φ ( E ∪ F ) = φ ( E ) + φ ( F ) {\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0\implies \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)} を満たすとき、計量外測度(英語版)(距離と両立する外測度)であるという。
いま一つの構成法は距離空間上の外測度の構成により適しており、計量外測度が得られる。距離空間 (X, d) において前節の如く X の部分集合族 C は空集合を含み、C 上の非負拡張実数値集合函数 p は空集合において消えているとす。任意の δ > 0 に対し、 C δ := { A ∈ C : diam  ( A ) ≤ δ } {\textstyle C_{\delta }:=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}} および
と置けば、明らかに δ ≤ δ′ のとき φδ ≥ φδ′ が成り立つ(これは δ が小さくなれば、下限をとる集合の範囲も小さくなることによる)。したがって
が存在する(ただし、値が無限大となる場合を許すという意味で言う)。
集合 X を固定する。