埋め込み (数学)
圏論において、すべての圏において適用可能な埋め込みの満足のいきかつ一般的に受け入れられている定義は存在しない。すべての同型射と埋め込みのすべての合成は埋め込みであることと、すべての埋め込みはモノ射であることは期待されるだろう。他の典型的な要求は: 任意のextremal monomorphism(英語版)は埋め込みであり、埋め込みは引き戻しのもとで安定である。
リーマン幾何学において: (M, g) と (N, h) をリーマン多様体とする。等長埋め込み (isometric embedding) とは、滑らかな埋め込み f: M → N であって計量を保つもの、つまり g は h の f による引き戻し(英語版)に等しい、すなわち g = f*h であるようなもののことである。明示的には、任意の2つの接ベクトル
v , w ∈ T x ( M ) {\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}
に対し、
g ( v , w ) = h ( d f ( v ) , d f ( w ) ) {\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w))\,}
が成り立つ。