上昇と下降
A⊆B を可換環の拡大とする。
上昇定理と下降定理は B の素イデアルの鎖であってその各メンバーが A の素イデアルのより長い鎖のメンバーの上にあるようなものが A の素イデアルの鎖の長さに拡張できるための十分条件を与える。
数学の分野である可換環論において、上昇 (going up) および下降 (going down) は整拡大における素イデアルの鎖のある種の性質を意味する用語である。
フレーズ上昇は鎖を「上向きの包含」によって拡張できるケースをいい、下降は鎖を「下向きの包含」によって拡張できるケースをいう。
主要な結果は Cohen-Seidenberg の定理 (Cohen–Seidenberg theorems) であり、これは Irvin S. Cohen(英語版)と Abraham Seidenberg(英語版)によって証明された。これらは上昇定理 (going-up theorem) と下降定理 (going-down theorem) として知られている。