CR多様体
この拡張された形式も,レヴィ形式と呼ばれることもある。
代わりに,レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる.V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると,
H 0 M = V ∗ = ( L ⊕ L ̄ ) ⊥ ⊂ T ∗ M ⊗ C {\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\bar {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes {\mathbb {C} }}
となる.各々の切断 α∈Γ(H0 M ) に対し,
h α ( v , w ) = d α ( v , w ̄ ) = − α ( [ v , w ̄ ] ) , v , w ∈ L ⊕ L ̄ . {\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\bar {w}})=-\alpha ([v,{\bar {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\bar {L}}.}
とする.形式 hα は α を伴う複素数値エルミート形式である.
多様体が超曲面型でない場合も,レヴィ形式の一般化が存在する.ただし,この場合,値は直線束でなく,ベクトル束となる.よって,レヴィ形式ではなく,構造のレヴィ形式の集まりという。
超曲面型の抽象的CR多様体について,レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える.この計量は,正則接ベクトル上で定義されているだけでなく,退化している.