ルート系
ルート系 Φ が与えられると,必ず,正ルート(positive root)の集合を(何通りも)取ることができる.これは Φ の部分集合 Φ であって,以下を満たすものである:
各ルート α ∈ Φ に対して,ルート α と −α のうちちょうど1つが Φ に含まれる.
任意の2つの相異なる α, β ∈ Φ であって α + β がルートであるものに対して,α + β ∈ Φ である.
正ルートの集合 Φ が選ばれると, −Φ の元は負ルート(negative root)と呼ばれる.
Φ の元が単純ルート(simple root)であるとは,Φ の2つの元の和で書けないことをいう.単純ルート全体の集合 Δ は V の基底であって,Φ の任意のベクトルが係数がすべて非負かすべて非正の Δ の元の線型結合であるという性質を持つ.正ルートの各選択に対して,対応する単純ルートの集合は次のような一意的なルートの集合 Δ である:正ルート全体はちょうど,非負係数の Δ の元の線型結合として表せるもの全体であり,これらの線型結合は一意である.