ヤコビの公式
定理(ヤコビの公式) 実数から n × n 行列への微分可能な任意の写像 A に対して
d det ( A ) = tr  ( adj  ( A ) d A ) {\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)}
が成り立つ。
証明 A の行列式に対する余因子展開は次のように表せられる。
det ( A ) = ∑ j A i j adj T  ( A ) i j {\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}
和は行列の任意の行 i に対して実行されることに注意。
A の行列式は A の要素の函数と見なせる。
det ( A ) = F ( A 11 , A 12 , ... , A 21 , A 22 , ... , A n n ) {\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}
それゆえ、連鎖律より、導函数は
d det ( A ) = ∑ i ∑ j ∂ F ∂ A i j d A i j {\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}}
行列の微分積分学(英語版)において、ヤコビの公式(英語: Jacobi's formula)は行列 A の導函数および余因子を用いて行列式の導函数を表す方法である。
A を実数から n × n 行列への微分可能な写像とすると、tr(X) を行列 X の跡として
d d t det A ( t ) = tr  ( adj  ( A ( t ) ) d A ( t ) d t ) = ( det A ( t ) ) ⋅ tr  ( A ( t ) − 1 ⋅ d A ( t ) d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}