ガウスの連分数
f 0 , f 1 , f 2 , ... {\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots } を解析関数の列で、任意の i > 0 {\displaystyle i>0} に対し
f i − 1 − f i = k i z f i + 1 {\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}
を満たすものとする。ここで各 k i {\displaystyle k_{i}} は定数である。
このとき
f i − 1 f i = 1 + k i z f i + 1 f i , and so f i f i − 1 = 1 1 + k i z f i + 1 f i {\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}
g i = f i / f i − 1 {\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1}} とおくと
g i = 1 1 + k i z g i + 1 {\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}}}
より、
g 1 = f 1 f 0 = 1 1 + k 1 z g 2 = 1 1 + k 1 z 1 + k 2 z g 3 = 1 1 + k 1 z 1 + k 2 z 1 + k 3 z g 4 = ⋯ .