作用 (数学)
A の元 a の作用素 θ による像は左記法に従って θ(a), θa, a あるいは右記法に従って (a)θ, aθ, a などで表される。
θ : A → A ; a ↦ θ ( a ) . {\displaystyle \theta \colon A\to A;\ a\mapsto \theta (a).} θ : A → A ; a ↦ a θ . {\displaystyle \theta \colon A\to A;\ a\mapsto a^{\theta }.}
作用素の像の記法の左右の区別に倣って、作用域 Ω の代数系 A へ左作用・右作用が定められる。Ω の A への左からの作用 σ が与えられることと、たとえば写像
Ω × A → A ; ( ω , a ) ↦ σ ( ω ) a {\displaystyle \Omega \times A\to A;\ (\omega ,a)\mapsto \sigma (\omega )a}
を与えることとは等価である。σ が右作用の場合は
A × Ω → A ; ( a , ω ) ↦ a σ ( ω ) {\displaystyle A\times \Omega \to A;\ (a,\omega )\mapsto a^{\sigma (\omega )}}
などに等価である。作用域が非可換な積をもつ代数系をなすとき、その構造と表現に関して作用の左右が特に意識的に区別を受けるが、一方で(積の順序をひっくりかえすことによって定まる)逆代数系の概念により左右が包摂され、一般論を論じる際には片方(多くの場合に左作用)のみを扱っていることも少なくない。