商位相空間
X を位相空間とし、"~" を X 上の同値関係とする。~ に関する同値類全体の成す商集合 X/~ 上に位相を以下のように定める。つまり、X/~ に属する同値類からなる X/~ の部分集合が開集合であることを、(それら同値類を X の部分集合と見ての)その和集合が X における開集合となることとして定義する。これを商集合 X/~ 上の商位相 (quotient topology) と呼ぶ。
おなじことだが、商集合上の商位相を以下のように特徴付けることもできる。q: X ↠ X/~ を X の各元をそれが属する同値類へ写す標準射影とすれば、商集合 X/~ 上の商位相とは q を連続にする最強の位相(英語版)(最も細かい位相)である。
位相空間 X から集合 Y への全射 f: X ↠ Y が与えられたとき、Y の上に f を連続にする最強の位相(f に関する終位相(英語版))として商位相を定義することができる。これは、Y の部分集合 V が開であることを f による逆像 f(V) が X の開集合となることによって定めるといっても同じである。写像 f は x1 ~ x2 :⇔ f(x1) = f(x2) と置くことによって X 上の同値関係を一意的に誘導するが、このときの商空間 X/~ は Y に(それぞれの商位相を考えれば)同相である。この対応は x の属する同値類 [x] を像 f(x) に写すことで得られる。
一般に、連続な全射 f: X ↠ Y は、Y の位相が f の定める商位相となっているとき、商写像 と呼ばれる。従って、標準射影 q: X ↠ X/~ は商写像である。
X = R を実数全体の成す集合に通常の位相を入れた空間とし、その上の同値関係を "x ~ y :⇔ x − y が整数" と定める。このとき、商空間 X/~ は単位円 S に同相で、その対応は x の属する同値類 [x] を exp(2πix) へ写す写像によって得られる。
上の例はさらに次のように一般化できる。位相群 G が位相空間 X に連続的に作用しているものとすれば、X 上の同値関係をそれらの点が同じ軌道に属するということを以って定義することができる。この同値関係のもとでの商空間は軌道空間 (orbit space) と呼ばれ、X/G で表される。G = Z が X = R に平行移動で作用するとしたものが先ほどの例である。すなわち、軌道空間 R/Z は S に同相である。注意: 商を R/Z という記号で表すのは少々紛らわしい。というのは、Z を加法群 R に(平行移動で)作用する群とみなすとその商(軌道空間)は円周だが、Z を位相空間 R の部分位相空間とみなして得られる商(接着空間)は無限個の円を一点で結んだブーケとなるからである。