楕円曲線
Q ∈ E ( K ̄ ) {\displaystyle Q\in E({\bar {K}})} を決めれば、定数 C Q {\displaystyle C_{Q}} が定まり、
h f ( P + Q ) ≤ 2 h f ( P ) + C Q {\displaystyle h_{f}(P+Q)\leq 2h_{f}(P)+C_{Q}}
が任意の P ∈ E ( K ̄ ) {\displaystyle P\in E({\bar {K}})} に対して成り立つ。さらに整数 m を定めれば、任意の P ∈ E ( K ̄ ) {\displaystyle P\in E({\bar {K}})} に対して
h f ( m P ) = m 2 h f ( P ) + O ( 1 ) {\displaystyle h_{f}(mP)=m^{2}h_{f}(P)+O(1)}
が成り立つ。ここで右辺の O ( 1 ) {\displaystyle O(1)} は E , f , m {\displaystyle E,f,m} のみに依存し、 P には依存しない。つまり h(mP) はおよそ m の二乗に比例して増加する。 E が
y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
の形であらわされているときは P の x-座標を与える関数 x は偶関数である。
さらに、偶関数 f に対し
h ^ ( P ) = 1 deg  f lim n → ∞ h f ( 2 n P ) 4 n {\displaystyle {\hat {h}}(P)={\frac {1}{\deg f}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {h_{f}(2^{n}P)}{4^{n}}}}
BSD予想は、クレイ研究所のミレニアム懸賞問題の一つである。予想は、問題を楕円曲線により定義される解析的で数論的な対象に依拠して記述している。
解析側での重要な側面は、複素変数関数である K 上の E のハッセ・ヴェイユのゼータ関数 L E / K {\displaystyle L_{E/K}} である。この関数はリーマンゼータ関数やディリクレのL-関数の変形である。有理数体上の楕円曲線の場合、L は全ての素数 p について一つの要素を持つオイラー積として定義される。
整数係数 ai で、
y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}
の最小多項式与えられる Q 上の曲線 E に対する法 p での還元は、有限体 Fp 上の楕円曲線を定義する(有限個の例外を除く素数 p で還元された曲線は特異点を持ち、従って楕円曲線にならない。そのような場合を p では E は悪い還元(英語版)(bad reduction)であるという。)
有限体 Fp 上の楕円曲線のゼータ関数は、ある意味で、有限な体の拡大 Fp の中の E の点の数の情報を集める母関数 Fp である。この母関数は、
別な定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラー形式に関連するガロア表現の比較に依拠している。モジュラー形式に関係付けられた定式化は予想の証明に使用された。形式のレベルを扱うこと(と曲線の導手との関係)は特に微妙である。
予想の最も重要な応用はフェルマーの最終定理(FLT)の証明である。素数 p > 5 に対して、フェルマー方程式
a p + b p = c p {\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}
は、零ではない整数解を持つとする、つまり、フェルマーの最終定理の反例であるとすると、判別式
Δ = 1 256 ( a b c ) 2 p {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}
の楕円曲線
y 2 = x ( x − a p ) ( x + b p ) {\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}
は、モジュラーではありえない。従って、楕円曲線のこの族(ヘレゴーチ・フライ曲線(Hellegouarch–Frey curves)と呼ぶ)の谷山志村予想の証明は、フェルマーの最終定理を意味する。2つのステートメントを結び付ける証明は、ゲルハルト・フライの1985年のアイデアを基礎にしていて、難しくテクニカルである。1987年にケン・リベットにより出版された。
この写像は、リーマン面にも同型であり、従って、位相的には、楕円曲線が与えられるとトーラスのように見える。格子 Λ が、非零な複素数 c による掛け算により、格子 cΛ へ写されると、対応する曲線は同型となる。楕円曲線の同型類はj-不変量により特定される。
同型類は同じ方法で理解することができる。定数 g2 と g3 は、j-不変量と呼ばれ、トーラスの構造である格子により一意に決定される。しかしながら、複素数の全体は、実係数多項式の分解体を成し、楕円曲線は
y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) {\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
と書くことができる。
以上のことから、
g 2 = 4 1 / 3 3 ( λ 2 − λ + 1 ) {\displaystyle g_{2}={\frac {4^{1/3}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)}
であり、
g 3 = 1 27 ( λ + 1 ) ( 2 λ 2 − 5 λ + 2 ) {\displaystyle g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)}
と定義される。ここに、E が p で良い還元を持つ場合は、ε(p) = 1 であり、そうでない場合は 0 である(良い還元を持たない場合は、ap が上記とは異なる定義となる)。
この積は Re(s) > 3/2 でのみ絶対収束する。ハッセの予想はこの L-関数は全複素平面へ解析接続され、任意の s に対して、L(E, s) を L(E, 2 − s) へ関連付ける関数等式を満たすのではないかと言う予想であった。1999年、この予想は、谷山志村予想の証明の結果であることがしめされた。谷山志村予想は、Q 上の全ての楕円曲線はモジュラーであるいう予想であり、このことは、楕円曲線の L-関数は解析接続が知られているモジュラー形式のL-関数であることを意味する。
このことにより、任意の複素数 s での L(E, s) の値についていうことができる。BSD予想は s = 1 での曲線の L-関数の振る舞いへ曲線の数論を関連付ける。さらに詳しくは、s = 1 での L-関数の位数は、E のランクに等しく、楕円曲線に関連するいくつかの量を表すこの点での L(E, s) ローラン級数の主要項であることを予想している。
リーマン予想と良く似ていて、この予想は次の 2つを含む多くの結果を持っている。
n を奇数の非平方である整数とする。
楕円曲線の複素射影平面(英語版)の中のトーラスの埋め込みとしての定式化は、ヴァイエルシュトラスの楕円関数の不思議な性質から自然に導かれる。これらの関数と関数の一階微分は、公式
℘ ′ ( z ) 2 = 4 ℘ ( z ) 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}
により関係付けられている。
ここに、g2 と g3 は定数であり、℘(z) はΛを周期とするヴァイエルシュトラスの楕円関数で、℘'(z) はその微分である。(複素数上の)楕円関数の形の中でこの公式は明らかであろう。ヴァイエルシュトラスの楕円関数は二重周期関数である。つまり、周期の基本対(英語版)の観点から周期的であり、本質的には、ヴァイエルシュトラス関数は、自然に、トーラス T = C/Λ の上で定義される。このトーラスは、写像
z ↦ [ 1 : ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) ] {\displaystyle z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)]}
により、複素射影平面の中に埋め込まれる。
この写像は群同型であり、トーラスの自然な群構造を射影平面へ写す。