ゴールドバッハ・オイラーの定理
最後に(1)式から(3)式を引くと求める級数が得られる。
1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + . . . {\displaystyle 1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+...}
ただし調和級数 H ∞ {\displaystyle H_{\infty }} は発散するので、この証明は現代的な観点では厳密なものとはいえない。
厳密な証明を得るには、次のように有限部分和をとる。
H N = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . + 1 N {\displaystyle H_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...+{\frac {1}{N}}\quad }
と定義し、
S N = ∑ P ≤ N + 1 1 P − 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + . . . , {\displaystyle S_{N}=\sum _{P\leq N+1}{\frac {1}{P-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+...,\quad }
T N = ∑ m ≤ N + 1 1 m − 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + .
したがって 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + . . . < 4 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+...<{\frac {4}{3}}} である。 この級数は単調増加なので 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}} 未満の実数に収束する。