アポロニウスの問題
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ここで、新たな定数 C は簡潔さのために定義されたものであり、下付きの記号は解円の内接・外接を示している。三角関数を用いて整理することで、4つの解を導きだすことができる。
θ = ± 2 a t a n ( 1 − C 1 + C ) . {\displaystyle \theta =\pm 2\ \mathrm {atan} \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).}
この式は、θ の符号の2つの選択と C に対する2つの選択に対応して、4つの解を示している。残りの4つの解は、図 8で示された rs および ds の代入を用いて、上記と同じ方法で得ることができる。すなわち、一般のアポロニウスの問題に対する8つすべての解をこの方法で得ることができる。
初期の交わりを持たない任意の2つの与円は次のように同心円に変えることができる。まず、2つの与円の根軸を作図する。この根軸上の2つの任意の点 P および Q を選ぶことで、この根軸上に P および Q を中心とし、2つの与円に直交する2つの円を描くことができる。これら作図された円はお互いに2点で交わる。そのようなある反転点 F での反転は作図された円を点 F から放射する直線に、2つの与円を同心円に変え、3つめの与円は一般に別の円になる。これは、円の系がアポロニウスの円の集合に等価であることから従い、双極座標系を形成する。
( x s − x 2 ) 2 + ( y s − y 2 ) 2 = ( r s − s 2 r 2 ) 2 {\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}}
( x s − x 3 ) 2 + ( y s − y 3 ) 2 = ( r s − s 3 r 3 ) 2 . {\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.}
上記の右辺の 3 つの数字、s1, s2, s3 は符号 (sign) と呼ばれ、±1 に等しく、求められる解円が対応する与円に内部で接するか (s = 1)、外部で接するか (s = −1) を決定する。例えば、図 1と図 4では、ピンクの解円は右側にある中くらいの大きさの与円に内接しており、左側の一番小さい与円と一番大きい与円には外接している。これらの与円を半径を基準に並べると、この解に対する符号は "− + −" となる。これら 3つの符号は独立に選択されうるため、8つの可能な等式の組み合わせ (2 × 2 × 2 = 8) が存在し、このそれぞれの組み合わせは解円の 8 つのタイプのそれぞれに対応している。
( X 1 − X 2 ∣ X 1 − X 2 ) = 2 ( v 1 − v 2 ) ( w 1 − w 2 ) + ( c 1 − c 2 ) ⋅ ( c 1 − c 2 ) − ( s 1 r 1 − s 2 r 2 ) 2 {\displaystyle (X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2})=2(v_{1}-v_{2})(w_{1}-w_{2})+(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2})\cdot (\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2})-(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2})^{2}}
と書ける。一方、積は加法と減法に対して分配的(より正確にいえば双線形)であるから、
( X 1 − X 2 ∣ X 1 − X 2 ) = ( X 1 ∣ X 1 ) − 2 ( X 1 ∣ X 2 ) + ( X 2 ∣ X 2 ) {\displaystyle (X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2})=(X_{1}\mid X_{1})-2(X_{1}\mid X_{2})+(X_{2}\mid X_{2})}
となる。後者の式において (X1 | X1) = (X2 | X2) = 0 (双方とも二次曲線上にあるから)であり、また前者の式において X1, X2 が円であるものとすれば、円に対しては w1 = w2 = 1 ゆえ、まとめるとリー二次曲線上の任意の(円に対応する)ベクトル X1, X2 に対して
アポロニウスの問題に対する解の完全な集合は、3つの与円に対する、すべての可能な解円の内接・外接の組み合わせを考えることで探すことができる。
Newton (1687) はファン・ルーメンの解法を、解円の中心が、直線と円の交点になるように改良した。ニュートンはアポロニウスの問題を三辺測量(英語版)の問題として再定義した。すなわち、点 Z から3つの与えられた点 A, B, C までの距離の差が既知の値であるときに、これらの3つの点から点 Z の位置を特定する問題である。これらの4つの点(点 Z と点 A, B, C)は、解円の中心(点 Z)と3つの与円の中心(点 A, B, C)に対応している。
上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。しかしながら、距離の比 TZ/TA もまた既知の値であるため、点 Z は既知の円上にも存在する。なぜなら、円が、2つの固定された点に対して所与の距離の比率を持つ点の集合だと定義することができるとアポロニウスが示したためである(この定義は双曲座標(英語版)の基礎となっている)。このため、アポロニウスの問題に対する解は円と直線の交点となるのである。