随伴作用素
で与えられる(ここで上付き横棒は集合の閉包を表す。直交補空間も参照)。一つ目の式の証明は
A ∗ x = 0 ⟺ ⟨ A ∗ x , y ⟩ = 0 ( ∀ y ∈ H ) ⟺ ⟨ x , A y ⟩ = 0 ( ∀ y ∈ H ) ⟺ x ⊥ im  A {\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad (\forall y\in H)\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad (\forall y\in H)\\&\iff x{\mathrel {\bot }}\operatorname {im} A\end{aligned}}}
で、二つの式は一つ目の式の両辺の直交補空間をとることでわかる。一般に、像は閉とは限らないが連続線型作用素の核は常に閉である。
有界作用素 A: H → H が自己随伴であるとは
A = A ∗ {\displaystyle A=A^{*}}
あるいは同じことだが
⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ ( ∀ x , y ∈ H ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad (\forall x,y\in H)}
を満たすことを言う。
適当な意味において、エルミート作用素は実数(自身とその複素共軛が等しい複素数)の役割を果たし、実ベクトル空間を成す。エルミート作用素は量子力学において観測可能量のモデルを提供する。エルミート作用素に関する詳細は自己随伴作用素の項を参照せよ。