有限群
対称群 S N {\displaystyle S_{N}} は、N個の文字の置換全ての集合を表す。 この様な置換はN!個存在するので、N!が対称群の位数である。ケーリーの定理(英語版)によれば、任意の有限群は適当なNについて対称群 S N {\displaystyle S_{N}} の部分群として表現できる。交代群は、偶置換のみを集めた部分群であり、 A N {\displaystyle A_{N}} と表記される。