ガウス整数
ガウス素数 π が n 個のガウス整数の積 α1α2...αn を割るならば、π はどれかの αi を割る。
ステップ4(任意のガウス整数がガウス素数の積に一意に表せること)
(証明)まず、任意のガウス整数 α がガウス素数の積に分解できることを説明する。α が単数もしくはガウス素数ならば、するべきことは何もない。そうでなければ、自明でない約数を持つので、2つのガウス整数の積に分解される。このとき、それぞれのノルムは α のノルムよりも小さいので、分解を繰り返せば、各要素のノルムはどんどん小さくなっていき、いつかはそれ以上分解できなくなる。それが求めるガウス素数への分解である。正確に示すためには数学的帰納法を用いればよい。
最後に分解が一意的であることを示す。仮に2通りのガウス素数への分解
α1α2...αn = β1β2...βm
が等しいとすると、ステップ3 よりガウス素数 β1 はどれかの αi を割る。順序を入れ替えることにより、α1 を割るとしてよい。両辺をそれで割ることにより
α2...αn = β2...βm ×単数
を得る。これを繰り返すことにより、実は2つの分解は同等であることが分かる。(証明終)
通常の割り算を考えれば、有理整数環も絶対値に関してユークリッド整域であるので、同様にして素元分解整域であることが示される。一般に、ユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域であることの証明は、有理整数環やガウス整数環における証明をプロトタイプとしてほぼ同様に行える。ただし、最後のステップにおいて、有限個の既約元の積に分解されることを示すのにノルムを用いたが、一般には単項イデアル整域の性質のみで同様のことが示せる。
単数は、4個の単数を約数に持ち、それ以外の任意のガウス整数は、4個の単数および自身と同伴なもの4個の計8個を約数に持つ。これを自明な約数という。
例:
2 = 1 × 2 = (1 + i)(1 − i) より、2 の約数は ±1, ±2, ±i, ±2i, ±(1 + i), ±(1 − i).
同伴による違いを除くと、2 の約数は 1, 1 + i, 2.
3 = 1 × 3 より、3 の約数は ±1, ±3.
同伴による違いを除くと、3 の約数は 1, 3.
5 = 1 × 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) = (2 − i)(2 + i) より、5 の約数は ±1, ±5, ±i, ±5i, ±(1 + 2i), ±(1 − 2i), ±(2 + i), ±(2 − i).
同伴による違いを除くと、5 の約数は 1, 1 + 2i, 1 − 2i, 5.
α が β の約数で、ε が単数であるとき、εα も β の約数になる。
単数の約数は4個 (±1, ±i) である。
単数でないガウス整数 α は、自明な約数を8個 (±1, ±α, ±i, ±iα) もつ。