三体問題
The bounded motions B {\displaystyle B} : sup t > 0 { r 1 ( t ) , r 2 ( t ) , r 3 ( t ) } < ∞ {\displaystyle \sup _{t>0}\{r_{1}(t),r_{2}(t),r_{3}(t)\}<\infty } . The oscillatory motions O S {\displaystyle OS} : lim ̄ t → ∞  sup j { r j ( t ) } = ∞ {\displaystyle \varlimsup _{t\to \infty }\sup _{j}\{r_{j}(t)\}=\infty } かつ lim _ t → ∞  sup j { r j ( t ) } < ∞ {\displaystyle \varliminf _{t\to \infty }\sup _{j}\{r_{j}(t)\}<\infty } .
このうち振動運動 (oscillatory motions) については、Chazy は理論的可能性としてこのパターンを指摘したものの、それが実際に三体問題において存在するのかどうかは不明だった。この問題については1960年に Sitnikov が制限三体問題に(現在シトニコフ問題として知られる配位において)振動運動解が存在することを証明し、その後 Alekseev (1968), Saari and Xia (1989) といった研究を経て Xia (1994) が平面三体問題において振動運動解の存在を証明した。
また x ^ {\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}} は x {\displaystyle x} 軸単位ベクトルである。円制限三体問題にはヤコビ積分として知られる保存量
C J = 2 G m 1 | r + a 1 x ^ | + 2 G m 2 | r − a 2 x ^ | + n 2 ( x 2 + y 2 ) − ( x ̇ 2 + y ̇ 2 + z ̇ 2 ) {\displaystyle C_{\mathrm {J} }={\frac {2Gm_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|}}+{\frac {2Gm_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|}}+n^{2}(x^{2}+y^{2})-({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})}
が存在する。
なお、第一体または第二体の近傍には、その天体の重力が支配的な領域が存在し、ヒル圏と呼ばれる。