角運動量
角運動量は回転運動と深く関係している物理量である。ただし、角運動量自体は回転運動をしていなくとも定義される物理量である。
惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、ケプラーの第2法則の「面積速度一定」と密接な関わりがある。 時刻 t における位置ベクトル r(t) と、微小な時間 dt が経った後の位置ベクトル r(t + dt) が作る微小な三角形の面積は
d S = 1 2 r ( t ) × r ( t + d t ) {\displaystyle d{\boldsymbol {S}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {r}}(t+dt)}
である。 従って、面積速度は
d S d t = 1 2 r ( t ) × v ( t ) = 1 2 m L ( t ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {L}}(t)}
となり、面積速度が一定ならば、角運動量も一定となる。
角運動量は加法的な量であり、系の全角運動量は、部分の角運動量の和であらわされる。質点系の全角運動量 L は、質点 i の角運動量を li とすれば
L = ∑ i l i = ∑ i r i × p i {\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}}
である。質量中心 rg に全質量 M があると考えたときの角運動量は
L g = M r g × d r g d t {\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }=M{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }}{dt}}}
となる。全角運動量と Lg の差は、質量中心からみた相対運動の角運動量とみなすことができる。
L r = L − L g {\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {r} }={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }}
質点 i の角運動量の時間変化は、質点 i に作用する力のモーメント Ni = ri×Fi に等しく