ガブリエルのラッパ
ガブリエルのラッパとは逆の現象、つまり有限の表面積と無限の体積をあわせ持つ回転面は、存在しえない。
f: [1,∞) → [0,∞) は連続的微分可能とし、y = f (x) を x-軸の周りに回転させた回転体を S と書く。S の表面積が有限ならば体積もそうである。
証明 — 側面積 A が有限であるから、上極限
lim t → ∞ sup x ≥ t f ( x ) 2 − f ( 1 ) 2 = lim sup t → ∞ ∫ 1 t ( f ( x ) 2 ) ′ d x ⩽ ∫ 1 ∞ | ( f ( x ) 2 ) ′ | d x = ∫ 1 ∞ 2 f ( x ) | f ′ ( x ) | d x ⩽ ∫ 1 ∞ 2 f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x = A π < ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}(f(x)^{2})'{\mathit {dx}}\\[5pt]&\leqslant \int _{1}^{\infty }|(f(x)^{2})'|{\mathit {dx}}=\int _{1}^{\infty }2f(x)|f'(x)|{\mathit {dx}}\\[5pt]&\leqslant \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,{\mathit {dx}}\\[5pt]&={A \over \pi }<\infty .\end{aligned}}}