ほとんど (数学)
ほとんど全ての(almost all、略して a. a.)という表現は、いくつかの意味で用いられるため、明示的に説明がなければ、どの意味であるかは文脈から判断しなければならない。
第1に、「ほとんど全ての点で」という表現が「ほとんど至るところで」と同じ意味で用いられる。
第2に、「有限個の...を除いて」という意味で用いられる(補有限)。例えば、「自然数 n はほとんど全ての素数と互いに素である」といった場合、それは「n と互いに素ではない素数(すなわち n を割り切る素数)は高々有限個しかない」という意味である。
この意味で「ほとんど全ての」と表現する場合、必ず無限集合が背景にある。先の例では素数全体の集合 P が無限集合であり、n と互いに素である素数の集合を S とした場合、差集合 P − S が有限集合であることを意味したのであった。もしも P が元々有限集合であったならば、「ほとんど全ての」とは表現しない。
第3に、主に整数論で用いられる用法として、その性質を持つ自然数の「割合」が 1 であることを意味する。より正確に述べるならば、x 以下で性質 P を持つ自然数の個数を P(x) で表したとき、
lim x → ∞ P ( x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {P(x)}{x}}=1}
である場合に、「ほとんど全ての自然数は性質 P を持つ」という。例えば素数定理より、(素数は無数に存在するにもかかわらず)ほとんど全ての自然数は合成数である。