中線定理
O A → , O B → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}}} をそれぞれ a , b {\displaystyle {\boldsymbol {a}},\ {\boldsymbol {b}}} と置くと、辺ABの中点がMなので、 O M → , A M → {\displaystyle {\overrightarrow {OM}},\ {\overrightarrow {AM}}} はそれぞれ 1 2 ( a + b ) , 1 2 ( b − a ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}),\ {\frac {1}{2}}({\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}})} となる。
したがって、
O M 2 = 1 4 ‖ a + b ‖ 2 = 1 4 ( ‖ a ‖ 2 + 2 ⟨ a , b ⟩ + ‖ b ‖ 2 ) , {\displaystyle OM^{2}={\frac {1}{4}}\|{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\|^{2}={\frac {1}{4}}(\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}+2\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle +\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}),}