代数的整数
平方因子を持たない互いに素な整数 h, k に対し m = hk とし、さらに α = √m とする。このとき体 F = Q(α) の整数環は以下の整数底を持つ。 { 1 , α , α 2 ± k 2 α + k 2 3 k if m ≡ ± 1 mod 9 1 , α , α 2 k otherwise {\displaystyle {\begin{cases}1,~\alpha ,~{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&{\mbox{if}}~m\equiv \pm 1\mod 9\\1,~\alpha ,~{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
ζn を 1 の原始 n 乗根とする。このとき円分体 Q(ζn) の整数環は Z[ζn] に等しい。
α が代数的整数ならば √α もまた代数的整数となる。これは α についての多項式に x を代入すると √α についての多項式が得られるためである。