余接定理
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
cot  ( α 2 ) = s − a r {\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,} (*1)
ここで、
s − a = c + b − a 2 {\displaystyle s-a={\frac {c+b-a}{2}}}
三角形の成立条件より c + b − a > 0 {\displaystyle c+b-a>0} だから s − a > 0 {\displaystyle s-a>0}
∴ cot  ( α 2 ) s − a = 1 r {\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,} (1)
他の角においても同様に示される。
また、式(2)については、以下の式を適用する。