単位円板
通常の距離以外の距離函数に関する単位円板を考えることもできる。例えばタクシー距離やチェビシェフ距離に関する単位円板は正方形のように見える(しかし、台となる位相はユークリッド距離からはいるものと同一である)。
ユークリッド単位円板の面積は π でありその周長は 2π であったが、それと対照的に、タクシー距離に関する単位円板の周長は 8 である。1932年にゴウォンブ(英語版)は、ノルムから生じる距離であってそれに関する単位円の周長が 6 から 8 の任意の値を取るようにできるものが存在することを証明し、それらの極値(6 および 8)が得られる必要十分条件が、単位円板がそれぞれ正六角形および平行四辺形となることであることを示した。
g ( z ) = i 1 + z 1 − z {\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}
(これはケーリー変換(英語版)の逆変換)である。幾何学的には、実軸を折り曲げて圧縮して、上半平面を単位円板の内部に、実軸をその円周に(一番上の点には「無限遠点」がくるように)したものと考えればよい。また別の等角全単射を二つの立体射影の合成として構成することもできる。初めに、射影の中心としての単位球面の「南極」をとることにより、単位円板は単位上半球面の上へ立体投影される。次にこの上半球面は、接点と反対側にある半球面上の点を射影の中心とすることにより、それに接する垂直半平面の上へ横向きに射影される。
単位円板と上半平面はハーディ空間に対する領域としては置き換えが可能でない。この違いを生む理由として、単位円は(一次元の)「有限」ルベーグ測度を持つが、実数直線はそうでないという事実がある。