行列差分方程式
特に非斉次の一階方程式を考え、その定常状態について確認しよう。すなわち、定ベクトル b を持つ方程式
に関して、それが定める系の定常状態 x* とは、それ以降に新たな値を導くことがない状態に到達したベクトル x の値を言う。定義により x* は当該の方程式において x t = x t − 1 = x ∗ {\textstyle x_{t}=x_{t-1}=x^{*}} と置いたものを満足するものでなくてはならず、それを x* に関して解いて x ∗ = ( I − A ) − 1 b {\textstyle x^{*}=(I-A)^{-1}b} を得るが、ここで I − A は可逆であるものと仮定している(ただし、I は n-次単位行列)。 定常状態が存在するとき、上記の非斉次方程式は、
なる形の斉次方程式に書き直すことができる。この斉次方程式が安定である—すなわち、xt が定常状態 x* に漸近収束する—ための必要十分条件は、(実または複素)変換行列 A の固有値が 1 より小さい絶対値を持つことである。