カーレマン行列
函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のベル行列(Bell matrix)は次のように定義される。
B [ f ] j k = 1 j ! [ d j d x j ( f ( x ) ) k ] x = 0 . {\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}.}
したがって次の方程式が満たされる。
( f ( x ) ) k = ∑ j = 0 ∞ B [ f ] j k x j . {\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}.}
これは上述のカーレマン行列の転置である。
エリ・ジャボチンスキー(Eri Jabotinsky)は 1947 年、多項式の畳み込みを表現する目的で行列の概念を開発した。このため何人かの研究者はベル行列のことをジャボチンスキー行列と呼んでおり、今後この名がより正式なものになる可能性もある。
が成り立つ。
したがって、 M [ f ] {\displaystyle M[f]} と列ベクトル [ 1 , x , x 2 , ... ] ⊤ {\displaystyle [1,x,x^{2},\ldots ]^{\top }} のドット積は、列ベクトル [ 1 , f ( x ) , f ( x ) 2 , ... ] ⊤ {\displaystyle [1,f(x),f(x)^{2},\ldots ]^{\top }} を導く。すなわち、
M [ f ] ⋅ [ 1 , x , x 2 , x 3 , ... ] ⊤ = [ 1 , f ( x ) , ( f ( x ) ) 2 , ( f ( x ) ) 3 , ... ] ⊤ . {\displaystyle M[f]\cdot [1,x,x^{2},x^{3},\ldots ]^{\top }=[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x))^{3},\ldots ]^{\top }.}