バラエティ (普遍代数学)
V {\displaystyle V} を自明でない代数のバラエティであるとする、つまり V {\displaystyle V} は単集合でないとする。するといかなる集合 S {\displaystyle S} についてもバラエティ V {\displaystyle V} は自由代数 F S {\displaystyle F_{S}} を含んでいることがわかる。これは次の普遍性を満たす単射 i : S → F S {\displaystyle i:S\to F_{S}} が存在することを意味する: V {\displaystyle V} の代数 A {\displaystyle A} と射 k : S → A {\displaystyle k:S\to A} について f ∘ i = k {\displaystyle f\circ i=k} となる一意な V {\displaystyle V} 準同型が存在する。
これは自由群、自由アーベル群、自由代数、自由加群などの概念を一般化している。これはバラエティ内の任意の代数はある自由代数の準同型像のバラエティという結論を導く。
しかし、アーベル群のクラスはシグネチャに手を加えなくても x y = y x {\displaystyle xy=yx} を満たす群の集合となっているため群の部分バラエティとなっている。有限生成アーベル群は有限生成アーベル群のどのような直積も有限生成とはならないため、バーコフの定理からバラエティでないことがわかる。
バラエティ V {\displaystyle V} とその準同型を圏として見ると、圏 V {\displaystyle V} の部分圏 U {\displaystyle U} はの充満部分圏であり U {\displaystyle U} のどの対象 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} についても準同型 a → b {\displaystyle a\to b} は V {\displaystyle V} と同一のものである。