マグマ (数学)
マグマは集合 M と、M のどの二元 a, b に対しても μ(a, b) で表される別の元を対応させる二項演算 μ を対として考える。集合と演算の対 (M,μ) がマグマと呼ばれるためには、マグマの公理として知られる条件
演算について閉じていること: M の任意の元 a, b に対して、その二項演算 μ の演算結果 μ(a, b) が再び M に属する。
を満足しなければならない。演算が明らかで紛れの虞の無いときは演算の記号を落として台集合の記号のみによってマグマ M などという。しばしば二項演算 μ はマグマ M における乗法とも呼ばれ、このときの演算結果 μ(a, b) はa と b との積という。また、誤解の虞が無いならば積 μ(a, b) は演算記号を省略してしばしば ab と書かれる。演算記号が省略されている場合に、マグマが台集合と演算の対であることを明示するにはプレースホルダを用いて (M, ·) のように書かれる。
演算 μ が偏演算(局所演算、部分演算)ならば、(M, μ) を局所マグマ(偏マグマ)という。
一般の非結合的な場合のマグマ演算を繰り返し反復適用することを考え、演算を適用する対を表すのに括弧を用いる。演算を繰り返して得られた文字列は、マグマの元を表す記号と開閉の対応のとれた括弧からなるものとなる。対応のとれた括弧からなる可能な限りの文字列全体の成す集合はダイク言語と呼ばれる。マグマ演算を n-回適用して得られる相異なる文字列の総数はカタラン数 Cn で与えられる。したがって例えば、C2 = 2 であることから、マグマの三つの元に二回演算を適用するときの組合せは
(ab)c または a(bc)
のふた通りしかないことがわかる。
表記の簡略化のためしばしば括弧の数を減らすことが行われる。これは演算を適用する場所でだけ文字を併置することで実現される。たとえば、マグマ演算を中置記法で ∗ とすると、xy ∗ z が (x ∗ y)∗ z の簡略表示である。さらなる簡略化は空白の挿入・抜取によるもので、例えば、xy∗z ∗ wv によって ((x ∗ y) ∗ z) ∗ (w ∗ v) が表せる。もちろん、もっと複雑な式に対しては、括弧の使用は不可避のものとなる。括弧の使用を完全に避ける方法としては、演算を中置記法で記すのではなく、前置記法や後置記法によればよい。