Lp空間
‖ u ‖ L p ( S , w d μ ) ≡ ( ∫ S w ( x ) | u ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 p {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,d\mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,d\mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}}
と与えられる。L(S, w dμ) と L(S, dν) は等しいため、L-空間としての重み付けられた空間には特に変わった点は無い。しかし、それらは調和解析におけるいくつかの結果に対する基本的な構成要素である。それらは例えばミュッケンハウプトの定理(英語版)に現れる:1 < p < ∞ に対して、古典的なヒルベルト変換は L(T, λ) 上で定義される。ただし T は単位円板を表し λ はルベーグ測度を表す。(非線型)ハーディ=リトルウッドの極大作用素(英語版)は L(R, λ) 上で有界である。ミュッケンハウプトの定理は、ヒルベルト変換が L(T, w dλ) 上で有界であり、また極大作用素が L(R, w dλ) 上で有界であるような重み w について述べている。
p = 2 の時、空間 l のように、空間 L はそのクラスの内ただ一つのヒルベルト空間となる。複素数の場合 L 上の内積は
⟨ f , g ⟩ = ∫ S f ( x ) g ( x ) ̄ d μ ( x ) {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}
と定義される。この付加的な内積構造はより豊富な理論を提供し、例えばフーリエ解析や量子力学への応用例も存在する。L に属する函数はしばしば自乗可積分函数、二乗可積分函数あるいは二乗総和可能函数などと呼ばれる。しかしこれらの語は、例えばリーマン積分の意味でのような、他の意味で自乗可積分であるような場合にも用いられる。
複素数値函数を扱う場合、空間 L は点別の乗法と共役を備える可換なC*-環である。