円周率の無理性の証明
正の整数をnとし、cmを整数とするとき
f ( x ) = x n ( 1 − x ) n n ! = 1 n ! ∑ m = n 2 n c m x m {\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{m=n}^{2n}c_{m}x^{m}}
とする。0<x<1において
0 < f ( x ) < 1 n ! {\displaystyle 0<f(x)<{\frac {1}{n!}}}
となる。...(1)
πが有理数であると仮定し、 π 2 = a b {\displaystyle \pi ^{2}={\tfrac {a}{b}}} (a,bは正の整数)とする。
G ( x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( x ) {\displaystyle G(x)=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)}
とする。 m<nまたは2n<mのとき
f ( m ) ( 0 ) = 0 {\displaystyle f^{(m)}(0)=0}
である。 n≦m≦2nのとき
f ( m ) ( 0 ) = m ! c m n ! = m ( m − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( n + 1 ) c m {\displaystyle f^{(m)}(0)={\tfrac {m!
ニーベン・インケリの定理より、s が 0 でない有理数ならば、cos s は無理数である。cos π = −1 は有理数であるから、π ≠ 0 は無理数である(したがって π も無理数である)。
Zhou–Markov は π が無理数であることの別の初等的な証明も与えている。
ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す。
整数 n ≥ 0 に対して
g n ( x ) = ( r 2 x 2 − x 4 ) n n ! {\displaystyle g_{n}(x)={\frac {(r^{2}x^{2}-x^{4})^{n}}{n!}}}
とおき
I n = ∫ 0 r g n ( x ) sin  ( r − x ) d x , J n = ∫ 0 r x g n ( x ) cos  ( r − x ) d x , K n = ∫ 0 r x 2 g n ( x ) sin  ( r − x ) d x , L n = ∫ 0 r x 3 g n ( x ) cos  ( r − x ) d x , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{r}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\J_{n}&=\int _{0}^{r}xg_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\K_{n}&=\int _{0}^{r}x^{2}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\L_{n}&=\int _{0}^{r}x^{3}g_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\\end{aligned}}}
とおく。n = 0 のときの積分をすると