力のモーメント
力のモーメントはその定義より基準点 P の取り方に依存する。異なる基準点 Q へ移り変わった際の力のモーメントの変化は、作用点と基準点を結ぶ位置ベクトルの計算によって求められる。
点 P と点 Q を結ぶ線分を位置ベクトル q で表すと、点 Q と各作用点を結ぶ位置ベクトルは r i − q {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}}} と書け、また個別のモーメントは ( r i − q ) × F i {\displaystyle ({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}})\times {\boldsymbol {F}}_{i}} と書ける。ベクトル積について分配法則が成り立つから、点 Q のまわりの力のモーメントは
N Q = N P − q × ∑ i F i {\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{\mathrm {Q} }={\boldsymbol {N}}_{\mathrm {P} }-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}}
となる。右辺の第2項は作用する力のベクトル和が0の場合に消去でき、従って力の和が0(すなわち物体に偶力が働いている)ならモーメントは中心の選び方によらないことが示される。
点 P のまわりの力のモーメント N は以下のように定義される。
N = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}}
ここで F は力、r は点 P と力の及ぼされる点(作用点)を結ぶ位置ベクトルである。記号 × はベクトル積を表す。
作用点を通り力 F と平行な直線を作用線(さようせん、英: line of action)と呼ぶ。一般に力のモーメントは基準点 P の取り方に依存するが、作用点および作用線は点 P とは独立に定義され、従って力のモーメントとは独立に定義される。
幾何学的に力のモーメントは、作用線と基準点 P の距離 d と力の大きさ F := | F | {\displaystyle F:=|{\boldsymbol {F}}|} の積に大きさが等しく(|N| ≔ N = dF)、作用線と点 P を含む平面に対して垂直なベクトルと見なせる。