時不変系
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義(系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である)を利用する。
系 A:
遅延のある入力 x d ( t ) = x ( t + δ ) {\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )} を与えると、次のようになる。 y 1 ( t ) = t x d ( t ) = t x ( t + δ ) {\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}
ここで出力を δ {\displaystyle \delta } のぶんだけ遅延させる。 y ( t ) = t x ( t ) {\displaystyle y(t)=t\,x(t)} y 2 ( t ) = y ( t + δ ) = ( t + δ ) x ( t + δ ) {\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}
y 1 ( t ) ≠ y 2 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)} であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。