写像の反復
微分可能な写像 f (x) の n 回反復 f (x) の微分係数は、(f )′(x) などのように記される。x ∈ R とする。2回あるいは3回反復の微分は、連鎖律より
( f 2 ) ′ ( x ) = f ′ ( f ( x ) ) ⋅ f ′ ( x ) {\displaystyle (f^{2})'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x)}
( f 3 ) ′ ( x ) = f ′ ( f 2 ( x ) ) ⋅ ( f 2 ) ′ ( x ) = f ′ ( f 2 ( x ) ) ⋅ f ′ ( f ( x ) ) ⋅ f ′ ( x ) {\displaystyle (f^{3})'(x)=f'(f^{2}(x))\cdot (f^{2})'(x)=f'(f^{2}(x))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)}
となる。これを n 回まで拡張すると (f )′(x) は
( f n ) ′ ( x ) = f ′ ( f n − 1 ( x ) ) ⋅ f ′ ( f n − 2 ( x ) ) ⋯ f ′ ( x ) {\displaystyle (f^{n})'(x)=f'(f^{n-1}(x))\cdot f'(f^{n-2}(x))\cdots f'(x)}
で表される。最初の点を x0 として各反復の写る先を (f )′(x0) = x1, (f )′(x0) = x2, ..., (f )′(x0) = xn と表すとすれば、(f )′(x0) は次のようにも表される。
( f n ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( x n − 1 ) ⋅ f ′ ( x n − 2 ) ⋯ f ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f^{n})'(x_{0})=f'(x_{n-1})\cdot f'(x_{n-2})\cdots f'(x_{0})}
点 x0 が周期 m の周期点だとすれば、Perm(f ) の各点の m 回反復の微分係数は次のように互いに等しい。
( f m ) ′ ( x 0 ) = ( f m ) ′ ( x 1 ) = ⋯ = ( f m ) ′ ( x m − 1 ) {\displaystyle (f^{m})'(x_{0})=(f^{m})'(x_{1})=\cdots =(f^{m})'(x_{m-1})}
周期点の微分係数によって、周期点の安定性が判別できる。