静磁場
静磁場(せいじば、英語: static magnetic field)とは、時間的に変動しない磁場のことである 。
本記事では、静磁気学(Magnetostatics)の視点から、静磁場について述べる。
であることが判る。ここで、 < | > {\displaystyle <\ |\ >} は、内積を表す。
(2)従って、"(1)"を平行移動すれば、位置 s ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}} に置かれた磁気モーメントmが、空間上の位置r に作り出す磁束密度が、
∂ ∂ s i [ 1 | r − s | ] = ∂ ∂ s i [ 1 ( ( r i − s i ) 2 + const. ) 1 / 2 ] = ∂ ∂ s i [ ( ( r i − s i ) 2 + const. ) − ( 1 / 2 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {s} _{i}}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&={\frac {\partial }{\partial {s}_{i}}}\left[{\frac {1}{{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+{\text{const.}})}^{1/2}}}\right]\\&={\frac {\partial }{\partial {s}_{i}}}\left[{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+{\text{const.}})}^{-(1/2)}\right]\end{aligned}}}
空間内の領域 Ω {\displaystyle \Omega } に物質が置かれ、前記物質が、定常な(つまり時刻tに依存しない)磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} を帯びているとする。このとき、磁化ベクトルは、「単位体積当たりの磁気モーメントの密度」を表すものであるため、磁化の定義より、
物質内の各点 s ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {s} \in \Omega } それぞれに、それぞれ M ( s ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} } (2-1-1)
で与えられる磁気モーメントが配置されている
と考えることができる。
まず、時間的に定常な磁化が作り出す磁気ベクトルポテンシャルについて考えよう。
(1)原点に置かれた磁気モーメントmは、空間上の位置rに作り出す磁気ベクトルポテンシャルは、
a 0 ( r ) = μ 0 4 π ( m × r | r | ) {\displaystyle \mathbf {a} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right)} (2-1-2) である。
rot  [ H tot ] = i f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{\text{tot}}]={\boldsymbol {i}}_{fc}} (3-3-7)
を出発点とし、全系の磁気ベクトルポテンシャル A tot {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}} が充たす微分方程式を導出する。
まず、磁束保存の式 (3-3-6c)は、強制電流に起因する成分 (3-3-6a)、磁化に起因する成分 (3-3-6b) それぞれについて成り立つため、(ポアンカレの補助定理より)それぞれがベクトルポテンシャルを持ち、
rot  [ A f c ] = B f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{fc}]=\mathbf {B} _{fc}} (3-3-8a)
rot  [ A M ] = B M {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{M}]=\mathbf {B} _{M}} (3-3-8b)
をみたすようなベクトル場 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} と、 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} が存在する。 このようなベクトル場 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} と、 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} は、ゲージ不定性を除き一意に定まるが、 本記事では、強制電流に起因する成分 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} は、式(1-1)のものを採用し、 と、磁化に起因する成分 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} 式(2-1-5)を採用することにする。
b s ( r ) = rot r  [ μ 0 4 π ( m × ( r − s ) | r − s | ) ] = μ 0 4 π grad r  [ ⟨ m | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] + μ 0 4 π div r  [ r − s | r − s | ] m {\displaystyle \mathbf {b} _{s}(\mathbf {r} )=\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\right]={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\ \operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {m} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\ \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {m} } (2-2-3)
であることが判る。
従って、上記の磁気モーメント M ( s ) d s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} } それぞれは、磁束密度
となる。
B i = rot  [ A i ] {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}=\operatorname {rot} [\mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}]} を考え併せると、 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} が直接的に作り出す磁束密度 B i {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}} は、
B i ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} } (1-2)