ツェラーの公式
【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。
h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d ) mod 7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d ) mod 7
ここで、[ ] (ガウス記号)の性質( [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数)を利用すると、
h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d ) mod 7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d ) mod 7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d ) mod 7
ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。
曜日は7日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、
h = ( 365 y + ⌊ y 4 ⌋ − ⌊ y 100 ⌋ + ⌊ y 400 ⌋ + ⌊ 306 ( m + 1 ) 10 ⌋ + d − 428 ) mod 7 {\displaystyle h=\left(365y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor +d-428\right)\mod 7}
・・・ 【I】
である。
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す
(現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日に、この日を金曜日であるとして施行されたがこの日を起点に、遡ってグレゴリオ暦を適用すると、1年1月1日は月曜日となるため h の値が表す曜日がこのような並びになる)
Γ = { − 2 C + ⌊ C 4 ⌋ : Gregorian ( 1582 ⪅ y ) − C + 5 : Julian ( 4 ⪅ y ⪅ 1582 ) {\displaystyle {\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}-2C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\-C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}}
ただし
C = ⌊ y 100 ⌋ {\displaystyle C=\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor }
Y = y mod 100 {\displaystyle Y=y\mod 100} 。
⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } はxを超えない(x以下)の最大の整数(床関数)であり、 x mod n {\displaystyle x\mod n} は x {\displaystyle x} を n {\displaystyle n} で割った剰余である。