カッツ・ムーディ代数
また、 x 1 ∈ g λ 1 {\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}} かつ x 2 ∈ g λ 2 {\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}} であれば、ヤコビ恒等式より [ x 1 , x 2 ] ∈ g λ 1 + λ 2 {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} である。
理論の基本的な結果は、任意のカッツ・ムーディ・リー環は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} とルート空間たちの直和に分解できるということ、すなわち、
g = h ⊕ ⨁ λ ∈ Δ g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}
であることと、すべてのルート λ {\displaystyle \lambda } はすべての z i {\displaystyle z_{i}} を同じ符号の整数として
λ = ∑ i = 1 n z i α i {\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}
と書けるということである。