リー群
同様に複素数全体が成す可換リー環 C が非零な複素数全体が乗法に関して成すリー群 C のリー環であることから、指数写像は複素数に対する指数関数の一般化にもなっている。もちろん、正方行列全体 Mn(R) が通常の交換子をリー括弧積として成すリー環が、リー群 GLn(R) のリー環であることから指数写像は行列の指数関数の一般化でもある。
指数写像がリー群 G の単位元 e の適当な近傍 N の上への写像であるので、付随するリー環の元は G 上の無限小生成作用素 (infinitesimal generator) と呼ばれる。N の生成する G の部分群は G の単位成分である。
指数写像とリー環は連結リー群の局所群構造を決定する。実際、リー環 g の零元の適当な近傍 U で、u, v が U の元ならば
exp(u) exp(v) = exp(u + v + (1/2) [u, v] + (1/12) [[u, v], v] − (1/12) [[u, v], u] − ⋯)
が成り立つ(ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版))。ここで、省略した項は判っていて、4 つ以上の元のリー括弧積が関係するものである。u と v が可換なときはこれは簡約されて、見慣れた指数法則の式 exp(u) exp(v) = exp(u + v) となる。
リー環からリー群への指数写像は必ずしも全射とはならない。群が連結であってもそれは同じである(連結群がさらにコンパクトか可解であるならば全射になる)。 例えば、SL2(R) の指数写像は全射にはならない。
可解リー群の分類は、ごくちいさい次元での場合を除けば、非常に厄介なものである。
単連結冪零リー群は、ある階数の対角成分がすべて 1 の可逆上三角行列のなす群の閉部分群に同型である。よってその有限次元既約表現は全て 1 次元である。冪零リー群の分類もやはりごく小さい次元での場合を除いて非常に困難である。
単純リー群という概念は、単に抽象群として単純であることを以ってその定義とする場合もあれば、単純リー環に対応する連結リー群として定義する場合もある。SL2(R) は第二の定義であれば単純であるが、第一の定義では単純でない。いずれの定義に従った場合も、単純リー群すべての分類は完全に解決済みである。
半単純リー群は、その付随するリー環が半単純(単純リー環の直積)となる連結群のことである。これは単純リー群の直積の中心拡大として得られる。
連結可換リー群はすべて、ユークリッド空間を加法に関する群と見たものとトーラス群との直積に同型である。