リーマンゼータ関数の特殊値
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n B 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
この公式により、正の偶数に対する特殊値を容易く計算することができる。しかるに n = 1 から小さい順に n = 10 まで計算してみると、
ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
ζ ( 4 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
ζ ( 6 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 945 {\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}}
ζ ( 8 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 8 = π 8 9450 {\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}
である。ただし、ここで γ はオイラーの定数である。
また、正の偶数に対する特殊値はベルヌーイ数を用いる形で一般化されたが、正の奇数に対する特殊値は簡潔な形で表すことができないことが知られている。例えば、ゼータ関数に s = 3 を代入した実数 ζ (3) はアペリーの定数として知られ、様々な積分表示や級数表示が発見されているものの、簡単な形で表すことができない。また ζ (3) は無理数であることがわかっている。この主張をアペリーの定理という。また、正の偶数に対する特殊値が常に無理数となることはその一般化された公式を見れば一目瞭然である一方、正の奇数に対する特殊値がすべて無理数であるかどうかは現在もまだわかっていないが、すべて無理数ではないかと予想されている。以下の表にその近似値を示す。
アペリーの定数をはじめとした正の奇数に対する特殊値には様々な積分表示や級数表示が与えられており、それらを計算する場合はゼータ関数の定義式を利用するのではなく、別の収束速度の速い公式を利用することが多い。
ゼータ関数の定義式は、
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
であったが、このままでは負の整数に対する特殊値の計算を実行することができない。しかしながらゼータ関数には、
ζ ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∮ C ( − z ) s − 1 e z − 1 d z {\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\varGamma (1-s)}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {(-z)^{s-1}}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
なる複素平面全体で定義された関数が存在する。この積分を利用することで、任意の自然数 n に対して、
ζ ( − n ) = ( − 1 ) n B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}}{n+1}}}
が成り立つことがわかる。
負の整数に対するリーマンゼータ値の証明 — ハンケルによるリーマンゼータ関数の積分表示: