母関数
G ( n 2 ; x ) = ∑ n = 0 ∞ n 2 x n = x ( x + 1 ) ( 1 − x ) 3 {\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 1 + x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={1 \over 1+x}}
が得られる。x を xのある冪乗で置き換えると、列に規則的なギャップを導入することができる。例えば、1, 0, 1, 0, 1, 0, .... という列の母関数は
∑ n = 0 ∞ x 2 n = 1 1 − x 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={1 \over 1-x^{2}}}
で与えられる。最初の母関数の平方を計算すると、係数列が1, 2, 3, 4, 5, ... という数列を成すことは容易に確認できる。つまり、母関数について言えば
∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n = 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={1 \over (1-x)^{2}}}
が成立する。また立方は係数列として三角数 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... を持ち、n 番目の三角数は二項係数 ( n + 2 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n+2}{2}}} であるから、