幾何平均
何らかの量の平均成長率を求めるのに幾何平均を使う場合、初期値 a 0 {\displaystyle a_{0}} と最新の値 a n {\displaystyle a_{n}} が既知であれば、途中の値を使わずに最新の成長率の幾何平均を次の式で求められる。
( a n a 0 ) 1 n {\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}
ここで n {\displaystyle n} は初期値から最新状態までのステップ数である。
集合またはデータを a 0 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{0},\cdots ,a_{n}} とし、 a k {\displaystyle a_{k}} と a k + 1 {\displaystyle a_{k+1}} の間の成長率を a k + 1 a k {\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}} とする。すると、成長率の幾何平均は次のようになる。
( a 1 a 0 a 2 a 1 ⋯ a n a n − 1 ) 1 n = ( a n a 0 ) 1 n {\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}
↑ 積が負で n が偶数だとその冪根は虚数になるため。また、数値として0 が含まれていると積が常に0となり幾何平均も 0 になってしまう。
↑ 数値群の複数の要素を算術平均を変化させないように拡散させること
↑ Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," The Mathematical Gazette 88, March 2004, 142-144.
↑ FAQ - HUMAN DEVELOPMENT REPORT
1 2 TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios. The CinemaSource Press. (2001). http://www.cinemasource.com/articles/aspect_ratios.pdf#page=8 2009年10月24日閲覧。.
↑ US 5956091, "Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays", issued 1999-09-21
成長率を表す場合、指数関数的成長(成長率が一定の場合)でもそうでなくても、算術平均より幾何平均の方が適している。ビジネス分野においてはこれを年平均成長率 (CAGR) と呼ぶ。ある期間の成長率の幾何平均は、その期間で一定の割合で成長して同じ成長を達成する場合の成長率である。
あるオレンジの木からある年に100個のオレンジを収穫でき、その後180個、210個、300個と毎年推移したとすると、各年ごとの成長率は順に 80%、16.7%、42.9%となる。成長率の算術平均を求める(80% + 16.7% + 42.9% を3で割る)と、平均成長率は 46.5% となる。しかし、初年に100個のオレンジがとれ、その後毎年 46.5% ずつ成長したとすると、最終年では314個となり、300にはならない。つまり、成長率を単純に算術平均すると平均成長率を大きく見積もってしまう。
その代わりとして幾何平均を使うことができる。成長率 80% は1.80倍を意味する。そこで 1.80、1.167、1.429 の幾何平均をとると 1.80 × 1.167 × 1.429 3 = 1.443 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.167\times 1.429}}=1.443} となり、平均成長率は 44.3% となる。初年を100として、その後毎年 44.3% ずつ成長したとすると、最終年には300となる。
で定義するとき、幾何平均は算術調和平均となり、an, hn はいずれも x, y の幾何平均に収束する。
これは2つの数列が同じ極限に収束するという事実(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)と幾何平均が常に同じという事実から容易に分かる。
a i h i = a i + h i ( a i + h i ) / h i a i = a i + h i 1 / a i + 1 / h i = a i + 1 h i + 1 {\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{(a_{i}+h_{i})/h_{i}a_{i}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{1/a_{i}+1/h_{i}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}