シュワルツ超函数
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Vladimirov, V.S. (2001), “Generalized functions, product of”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Generalized_functions,_product_of .
Oberguggenberger, Michael (2001), “Generalized function algebras”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Generalized_function_algebras .
任意の多重指数 α に対して偏導函数の列 (Dφk) は Dφ に一様収斂する。
が満たされることをいう (Gelfand, Shilov & 1966-1968, v. 1, §1.2)。これにより、D(U) は完備局所凸位相線型空間となり、ハイネ・ボレル性が満たされる (Rudin 1991, §6.4-5)。Ui がコンパクトな閉包 Ki = Ui を持つ U の可算個の開集合からなる族で U を尽くすものとすると
D ( U ) = ⋃ i D K i {\displaystyle D(U)=\bigcup _{i}D_{K_{i}}}
である。ここで DKi は Ki を台とする滑らかな函数全体の成す集合である。D(U) の位相は、距離空間の族 DKi の終位相であり、それゆえ D(U) はLF空間を成す。D(U) は第一類の部分集合の合併であるから、ベールの範疇定理により、D(U) の位相は距離化可能ではない (Rudin 1991, §6.9)。