行列ノルム
線型代数学における行列ノルム(ぎょうれつノルム、英: matrix norm)は、ベクトルのノルムを行列に対し自然に一般化したものである。
有限次元ベクトル空間 K の任意の2つの(ベクトルとしての)ノルム ‖ • ‖α, ‖ • ‖β に対して、適当な定数 r, s > 0 をとれば
r ‖ A ‖ α ≤ ‖ A ‖ β ≤ s ‖ A ‖ α {\displaystyle r\left\|A\right\|_{\alpha }\leq \left\|A\right\|_{\beta }\leq s\left\|A\right\|_{\alpha }}
が任意の行列 A ∈ K に対して成立するようにできる。言い換えれば、このようなノルムはどれも同値 (equivalent) なノルムであり、空間 K に同じ位相を誘導する。
さらに実行列 A ∈ R の場合、任意のノルム ‖ • ‖ に対し一意な正の定数 k が存在して、k‖ A ‖ が(劣乗法的な)行列ノルムになる。
行列ノルム ‖ • ‖p は、他のいかなる行列ノルム ‖ • ‖q も ‖ • ‖q ≤ ‖ • ‖p を満たさないとき、極小(英: minimal)であると呼ばれる。