1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
2 s n = 2 2 + 2 4 + 2 8 + 2 16 + ⋯ + 2 2 n = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n − 1 = 1 + s n − 1 2 n {\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}}
両辺から sn を減じると次のような式になる。
s n = 1 − 1 2 n {\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}}
よって、 lim n → ∞ 1 2 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0} より、 lim n → ∞ s n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=1}