対数螺旋
本節では、対数螺旋の式は
r ( θ ) = ( a e b θ cos  θ , a e b θ sin  θ ) {\displaystyle \mathbf {r} (\theta )=(ae^{b\theta }\cos \theta ,\,ae^{b\theta }\sin \theta )}
で与えられているとする。
対数螺旋は自己相似である。すなわち、任意の倍率で拡大または縮小したものは、適当な回転によって元の螺旋と一致する。例えば、e 倍に拡大したものは、回転することなしに元の螺旋と一致する。対数螺旋は、拡大・縮小以外にも様々な変換に対する不変性を持つ。例えば、伸開線および縮閉線は自分自身に一致する。
中心から伸ばした半直線と螺旋は無限回交わるが、隣り合う交点について、原点との距離の比は一定で e である。対して、距離の差が一定であるような螺旋がアルキメデスの螺旋である。
中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定である。等角螺旋の名はこの性質に由来する。実際、その角 α は
α = arccos  ⟨ r ( θ ) , r ′ ( θ ) ⟩ ‖ r ( θ ) ‖ ‖ r ′ ( θ ) ‖ = arccos  b b 2 + 1 = arccot  b {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arccos {\frac {b}{\sqrt {b^{2}+1}}}=\operatorname {arccot} b}
アルキメデスの螺旋ほどではないが、デカルトやベルヌーイが数学的に解析するよりも前から、自然界に現れる対数螺旋は人々に認識されており、美術作品や建造物に用いられたといわれる。例えば、古代ギリシアの建築様式のひとつ、イオニア式の柱頭の特徴は、組になった渦巻の飾りであり、対数螺旋に近いものもある。また、ジュゼッペ・モーモの設計したバチカン美術館の二重螺旋階段は、真上から見ると対数螺旋である。
自由渦が対数螺旋を描くこと、非粘性流体の軌跡は対数螺旋を描くため、水力発電におけるフランシス水車などの水車原動機や渦巻きポンプのディフューザーおよびケーシングの設計には古くから対数螺旋曲線が用いられている。比較的低圧のシロッコファンの羽根およびケーシングも対数螺旋であるがコストアップになるため超小型ファンではケーシングを代数螺旋や円筒で代用したものも少なくなかった。しかしながら家庭用ゲーム機の熱容量向上に伴いあえてコスト高となる対数螺旋ケーシングの採用に踏み切る例が出てきた。
中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定であることを「はさみ」に応用した製品も上市された。文房具メーカーのPLUSから刃の開き角度を常に30°を保つよう片方の刃を対数螺旋曲線刃にしたはさみが発売されたことがある。