層係数コホモロジー
層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のオイラー標数 χ ( F ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})} は、
χ ( F ) := ∑ i ∈ Z 0 + ( − 1 ) i r a n k ( H i ( X , F ) ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}):=\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}(-1)^{i}\,{\rm {rank}}\,(H^{i}(X,{\mathcal {F}}))}
により定義される。
この表現はベッチ数の交代和としてのオイラー標数の一般化であるが、この表現が意味をなすためには、2つの条件が満たされねばならない。
結局、(ゴドマン(英語版)(Godement)の書籍のような)さらにテクニカルな拡張と応用の分野がある。例えば、層は変換群へ適用され、ボレル・ムーアホモロジー(英語版)(Borel-Moore homology)の形のホモロジー論や、ボレル・ボット・ヴェイユの定理(英語版)(Borel-Bott-Weil theorem)の表現論に、代数幾何学や複素多様体の標準的となっていることと同様に、影響を与えた。
エタール・コホモロジーからの特別な要求は、コホモロジー以上に層や層コホモロジーの再解釈があり、函手的なアプローチを適用して与えられる。平坦コホモロジー(英語版)(Flat cohomology)、クリスタリン・コホモロジー(crystalline cohomology)も基本モデルの適用として成功している。