一様空間
本項ではすでに一様構造の具体例として擬距離から定まる一様構造を見たが、本節ではさらに以下の具体例を見る:
位相群から定まる一様構造
密着一様構造
離散一様構造
位相群から定まる一様構造については、特に重要なのは位相ベクトル空間を加法に関して位相群とみなした場合である。任意の位相群に一様構造が定まるので、特に位相ベクトル空間に対して一様構造が定まる事になる。後述するように一様空間上では完備性のような解析学で必須となる性質が定義できるので、有益である。
残りの2つは位相構造における密着位相、離散位相にそれぞれ対応するもので、これらの一様構造が定める位相はそれぞれ密着位相、離散位相に一致する。
もっと重要な例として(1つの擬距離ではなく)複数の擬距離の集合から定まる一様構造が具体例として挙げられる。後述するように、擬距離の集合から一様構造が定まるだけでなく、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができる。この具体例については節を改めて詳しく調べる。
コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は必ず一様連続になる事が知られているが、この事実は一様空間に一般化できる:
定理 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― X、Yを一様空間とし、Xが(X上の一様構造が定める位相に関して)コンパクトであるとする。このときXからYへの連続写像は必ず一様連続になる
上の定理から以下の重要な帰結が従う:
系 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} をコンパクトな位相空間とするとき、Xの一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} で、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} と一致するものは(もし存在すれば)一意である。
x → ∞のとき、arctan(x)は有限の極限(= 1)を持つので、任意のε > 0に対し、
U ε := { ( x , y ) ∈ Z ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {Z} \mid d(x,y)<\varepsilon \}}
は対角線 Δ = { ( x , x ) ∣ x ∈ Z } {\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in \mathbb {Z} \}} 以外に無限個の元を持つ。よって、
Δ ⊊ U ε {\displaystyle \Delta \subsetneq U_{\varepsilon }}
であるので、dにより定まる一様構造 U d {\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}} は定義より、
Δ ∉ U d {\displaystyle \Delta \notin {\mathcal {U}}_{d}}
であり、 U d {\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}} は離散一様構造ではない。