楕円型偏微分方程式
数学の分野における楕円型偏微分方程式(だえんがたへんびぶんほうていしき、英: elliptic partial differential equation)とは、一般的な二階の偏微分方程式
A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F = 0 {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\,}
で次の条件を満たすもののことを言う:
B 2 − A C < 0. {\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }
(ここで、暗に u x y = u y x {\displaystyle u_{xy}=u_{yx}} を意味している)。
円錐断面や二次形式を分類する際に判別式 B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC} を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は B 2 − A C {\displaystyle B^{2}-AC} となる(詳細については「二階の方程式(英語版)」を参照されたい)。