KdV方程式
KdV方程式の第二項 uux を波の立上りの効果を表す非線形項、第三項 uxxx を波の広がりの効果を表す分散項という。KdV方程式は非線形項と分散項が釣り合うため、波が形を崩すことなく伝播する。
可積分系であるKdV方程式は、時間に対して不変となる無限個の独立な保存量を持つという著しい性質を持つ。1968年、日系人数学者ロバート・ミウラ(英語版)らによって、この性質は見出された。KdV方程式
u t + u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0}
については、
u ( x , t ) = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log  det A ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {\det {A(x,t)}}}
A ( x , t ) = ( 1 + 1 2 k 1 e − 2 κ 1 ( x − c 1 t + δ 1 ) 1 k 1 + k 2 e κ 1 ( x − c 1 t + δ 1 ) + κ 2 ( x − c 2 t + δ 2 ) 1 k 2 + k 1 e κ 2 ( x − c 2 t + δ 2 ) + κ 1 ( x − c 1 t + δ 1 ) 1 + 1 2 k 2 e − 2 κ 2 ( x − c 2 t + δ 2 ) ) {\displaystyle A(x,t)={\begin{pmatrix}1+{\frac {1}{2k_{1}}}e^{-2\kappa _{1}(x-c_{1}t+\delta _{1})}&{\frac {1}{k_{1}+k_{2}}}e^{\kappa _{1}(x-c_{1}t+\delta _{1})+\kappa _{2}(x-c_{2}t+\delta _{2})}\\{\frac {1}{k_{2}+k_{1}}}e^{\kappa _{2}(x-c_{2}t+\delta _{2})+\kappa _{1}(x-c_{1}t+\delta _{1})}&1+{\frac {1}{2k_{2}}}e^{-2\kappa _{2}(x-c_{2}t+\delta _{2})}\end{pmatrix}}}