空間充填曲線
C {\displaystyle {\mathcal {C}}} でカントール空間 2 N {\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }} を表す。
カントール空間 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} から単位区間全体 [0, 1] の上への連続関数 h から始める。(カントール関数のカントール集合への制限はそのような関数の例である。)それから、直積位相空間 C × C {\textstyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} から単位正方形全体 [0, 1] × [0, 1] の上への連続関数 H を
H ( x , y ) = ( h ( x ) , h ( y ) ) {\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y))}
とおくことで得る。
カントール集合は積 C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} に同相であるから、カントール集合から C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} の上への連続全単射 g が存在する。H と g の合成 f はカントール集合を単位正方形全体の上へと写す連続関数である。(あるいは、任意のコンパクト距離空間はカントール集合の連続像であるという定理を用いて関数 f を得ることもできる。)
最後に、f を定義域が単位区間全体 [0, 1] である連続関数 F に拡張できる。これは f の各成分にティーツの拡張定理(英語版)を用いるか、あるいは単純に f を「線型に」拡張する(つまり、カントール集合の構成で取り除かれる各開区間 (a, b) 上、F の拡張部分を単位正方形内で値 f(a) と f(b) 結ぶ線分と定義する)ことによってできる。