三角関数の無限乗積展開
を考える。余接関数の部分分数展開
π cot  π z = 1 z + ∑ n = 1 ∞ 2 z z 2 − n 2 {\displaystyle \pi \cot {{\pi }z}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}}
を用いて d d z log  f ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}=0} となるから f ( z ) {\displaystyle f(z)} は定数であり、 f ( z ) = f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(z)=f(0)=1} が得られる。
数学において、三角関数と双曲線関数について無限乗積を用いた以下の恒等式が成立する。
sin  ( π z ) = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin {({\pi }z)}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
cos  ( π z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cos {({\pi }z)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}}
sinh  ( π z ) = sin  ( π i z ) i = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh {({\pi }z)}={\frac {\sin({\pi }iz)}{i}}={\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
cosh  ( π z ) = cos  ( π i z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cosh {({\pi }z)}=\cos({\pi }iz)=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}}
ワイエルシュトラスのM判定法より上式は α ∈ ( 0 , z ) {\displaystyle \alpha \in (0,z)} において一様収束する。よって上式は区間 [ 0 , z ] {\displaystyle [0,z]} において積分できる。
ln  sin  π z π z = ∑ n = 1 ∞ ln  ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \ln {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
これより sin  π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} が得られる。