除外変数バイアス
y = [ y 1 ⋮ y n ] , z = [ z 1 ⋮ z n ] , u = [ u 1 ⋮ u n ] ∈ R n × 1 {\displaystyle \mathbf {y} =\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{array}}\right],\quad \mathbf {z} =\left[{\begin{array}{c}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{array}}\right],\quad \mathbf {u} =\left[{\begin{array}{c}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}
独立変数 z が回帰から省略されている場合、他の独立変数の応答係数の推定値は、通常の最小二乗計算によって与えられる。
β ^ = ( X ⊤ X ) − 1 X ⊤ y {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }
ここで、 ⊤ {\displaystyle \top } 記号は行列の転置を意味し、-1の上付き文字は逆行列を表す。
仮定された線形モデルに基づいて y を代入すると、