選択公理
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素(それ自体が集合である)から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に対して写像 f : A → ⋃ A := ⋃ A ∈ A A {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to \textstyle {\bigcup }{\mathcal {A}}:=\textstyle {\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}}A} であって任意の x ∈ A {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} に対し f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る(ここで存在が要求される写像 f を選択関数(英語版)という)。これは次の命題と同値である。
{Aλ}λ∈Λ をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積も空集合ではない。記号で書けば、
( ∀ λ ∈ Λ ) [ A λ ≠ ∅ ] ⟹ ∏ λ ∈ Λ A λ ≠ ∅ . {\displaystyle \left(\forall \lambda \in \Lambda \right)\left[A_{\lambda }\neq \emptyset \right]\implies \textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \emptyset .}