特異ホモロジー
理論がしっかりした基礎におかれるためには、一般にチェインは有限個だけの単体の和であることが要求される。
境界 ∂ {\displaystyle \partial } はただちに特異 n-チェインに作用するように拡張される。この拡張は、バウンダリ作用素と呼ばれ、
∂ n : C n → C n − 1 , {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}
と書かれ、群の準同型である。バウンダリ作用素は、 C n {\displaystyle C_{n}} とともに、アーベル群のチェイン複体をなし、特異複体 (singular complex) と呼ばれる。しばしば ( C ∙ ( X ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })} やよりシンプルに C ∙ ( X ) {\displaystyle C_{\bullet }(X)} と表記される。
バウンダリ作用素の核は Z n ( X ) = ker  ( ∂ n ) {\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})} であり特異 n-サイクルの群 (group of singular n-cycles) と呼ばれる。