凹関数
{\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x].}
ガウス平面 C 上の連続関数が凹であるための必要十分条件は C の任意の元 x, y について以下の不等式が成り立つことである。 f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 . {\displaystyle f\!\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}.}
関数 f が凹であり、f(0) ≥ 0 であるとき、f は劣加法性を持つ。証明は以下の通り。 f が凹であるから、y = 0 とおくと、f(tx) = f(tx + (1 − t) ⋅ 0) ≥ tf(x) + (1 − t)f(0) ≥ tf(x) となる。したがって f ( a ) + f ( b ) = f ( ( a + b ) a a + b ) + f ( ( a + b ) b a + b ) ≥ a a + b f ( a + b ) + b a + b f ( a + b ) = f ( a + b ) . {\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b).}