正規直交系
[0, ∞) で一次独立な
e − t / 2 , t e − t / 2 , t 2 e − t / 2 , ... {\displaystyle e^{-t/2},te^{-t/2},t^{2}e^{-t/2},\dots }
を L([0, ∞)) で正規直交化することで、正規直交系
l n ( t ) = 1 n ! e t / 2 d n d t n ( e − t t n ) ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle l_{n}(t)={\frac {1}{n!}}e^{t/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(e^{-t}t^{n})\quad (n=0,1,2,\dots )}
を得る。{ln(t)} はラゲール多項式 Ln(t) に e を乗じた関数系である;
l n ( t ) = e − t / 2 L n ( t ) {\displaystyle l_{n}(t)=e^{-t/2}L_{n}(t)}