ラグランジアン (場の理論)
ある一つのスカラー場 φ に対し、ラグランジアン密度は
L ( φ , ∇ φ , ∂ φ ∂ t , x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,\nabla \phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},\mathbf {x} ,t\right)}
の形を取る。複数のスカラー場に対しては、
L ( φ 1 , ∇ φ 1 , ∂ φ 1 ∂ t , ... , φ 2 , ∇ φ 2 , ∂ φ 2 ∂ t , ... , x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi _{1},\nabla \phi _{1},{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t}},\dots ,\phi _{2},\nabla \phi _{2},{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t}},\dots ,\mathbf {x} ,t\right)}
と表す。
エネルギー・運動量テンソルは対角和が消える、つまり、
T = g μ ν T μ ν = 0 {\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}
を示すことができる。アインシュタイン場の方程式で両辺の対角和を取ると、
R = − 8 π G c 4 T {\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}
を得る。エネルギー・運動量テンソルの対角和が 0 であることから、電磁場のスカラー曲率が 0 になる。従って、アインシュタイン方程式は、
R μ ν = 8 π G c 4 1 μ 0 ( F λ μ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}
となる。また、マクスウェル方程式は、