オイラーの四辺形定理
オイラーの四辺形定理(オイラーのしへんけいていり)は、凸四角形における辺と対角線の長さの関係を示す定理である。
この定理は系として中線定理とピタゴラスの定理を含む。
M {\displaystyle M} は A C {\displaystyle AC} の中点である。また N {\displaystyle N} は B D {\displaystyle BD} の中点であり、 A E {\displaystyle AE} と B D {\displaystyle BD} が平行四辺形 A B E D {\displaystyle ABED} の対角線であることから N {\displaystyle N} は A E {\displaystyle AE} の中点でもある。よって中点連結定理から C E {\displaystyle CE} と N M {\displaystyle NM} は平行で | C E | 2 = ( 2 | N M | ) 2 = 4 | N M | 2 {\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}} を満たすことがわかる。最初の式に代入するとこの定理が得られる。
この定理は凸でない四角形や4点が同一平面上にない四辺形にも拡張できる。