帰納極限
直極限は任意の圏 C において特定の普遍性を満たすものとして定義することができる。⟨Xi, fij⟩ を圏 C における対象と射からなる直系とする(直系の定義は前節と同じ)。この直系の直極限とは、圏 C の対象 X と、C の射の族 φi: Xi → X で φi = φj ∘ fij を満たすものとの組 ⟨X, φi⟩ で以下の普遍性を満たすものである。すなわち、同様の組 ⟨Y, ψi⟩ が任意に与えられたとき、適当な射 u: X → Y が一意的に存在して、図式
が全ての i, j について可換になる。帰納系 ⟨Xi, fij⟩ が既知であるとき、その帰納極限 X はしばしば
X = lim →  X i {\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}
と書かれる。
前節の場合と異なり、任意の圏においては直極限が存在しないこともありうるが、しかし存在するならば強い意味で一意的である。すなわち、直極限 X と別の直極限 X′ が与えられれば、同型射 X′ → X で全ての標準射と可換になるものが一意的に存在する。
圏 C における直系は、函手の言葉で記述することもできる。任意の半順序集合 ⟨I, ≤⟩ は「i → j ⇔ i ≤ j」として定義される射の集合をもつ小さい圏と見なすことができるから、I 上の直系とは共変函手 I → C に他ならない。