コーシー列
lim n , m → ∞ ‖ x n − x m ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }\|{\boldsymbol {x}}_{n}-{\boldsymbol {x}}_{m}\|=0}
を満たすことを、数列の場合と同じく点列がコーシー的であるなどという。これは、座標の各成分が全てコーシー数列を成すことと等価である。また、やはり数列の場合と同様に、R における点列 (xn) がコーシー性を持つならば、十分大きな番号 n に対応する点 xn は例外なく全て、ある非常に小さな直径を持つ k 次元球体に含まれる。複素数全体の集合 C を座標平面 R と同一視してガウス平面と考えれば、複素数列は平面上の点の列であり、複素空間 C 内のコーシー列も同様に考えることができる。
一般に、任意の収束列はコーシー列であるが、その一方で、コーシー列は必ずしも収束しない。 例えば、ガウス記号 [·] を用いて作った数列 {[n √2]/n}は、有理数の列(Q 内の点列)と見ることも、実数の列(R 内の点列)と見ることもできて、いずれの見方によってもコーシー数列となっているものであるが、R 内の点列と見れば √2 に収束する収束列であるのに対して、√2 は有理数ではないから有理数全体の集合 Q 内で収束することはない。
しかし、実数の重要な性質の一つとして、実数全体の集合 R におけるどのようなコーシー列も必ず R 内に極限値を持つことが挙げられる。実数からなるどんなコーシー数列も収束列であるという事実は、歴史的な事情で「実数の連続性」と呼ばれる。 したがって、実数列あるいは実ユークリッド空間内の点列のみに関して言うならば、それが収束することとコーシー列であることは同値となる。この場合であれば、コーシー列は必ず収束するので、|xn − xm| を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる。また本質的に同じことだが、級数の収束性を和を仮定せずに判定することもできる。このように実数列がコーシー性を持つか否かをその収束性の判定に用いるとき、コーシーの収束判定基準という。収束の定義に基づいて点列 (xn) の収束性を判定する場合、極限値 x を推定した上で |xn − x| を評価する必要がある。つまりこの方法で収束するかどうか調べるためには、その前に極限値が分からなければならないのであるが、コーシーの方法ならば極限値の推定は不要であるという利点がある。
距離空間を一般化した空間である一様空間上でもコーシー列に対応するものを以下のように定義できる。
一様空間 X {\displaystyle X} 上のフィルター F {\displaystyle F} がコーシーフィルターであるとは、任意の近縁 U {\displaystyle \mathbf {U} } に対しある F {\displaystyle F} の元 C {\displaystyle C} が存在して C × C ⊆ U {\displaystyle C\times C\subseteq \mathbf {U} } となることをいう。
一様空間 X {\displaystyle X} 上の有向点列(ネット) { x λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{x_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} がコーシーネットであるとは、任意の近縁 U {\displaystyle \mathbf {U} } に対し ある Λ {\displaystyle \Lambda } の元 λ {\displaystyle \lambda } が存在して、任意の μ , ν ≥ λ {\displaystyle \mu ,\nu \geq \lambda } に対し ( μ , ν ) ∈ U {\displaystyle (\mu ,\nu )\in \mathbf {U} } となることをいう。
コーシーフィルターとコーシーネットは本質的に同じ概念である。