時間順序積
ここで、時間順序積の表現を導入すれば、この級数は
U ^ ( t , t 0 ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − i ħ ) n ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t d t 2 ⋯ ∫ t 0 t d t n T { H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) ⋯ H ^ ( t n ) } = T { exp  ( − i ħ ∫ t 0 t d s H ^ ( s ) ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\dotsb \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}T\{{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2})\dotsb {\hat {H}}(t_{n})\}\\&=T\{\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}ds{\hat {H}}(s)\right)\}\end{aligned}}}
と簡明にまとめることができる。
( − i ħ ) n ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t d t 2 ⋯ ∫ t 0 t d t n T { V ^ I ( t 1 ) V ^ I ( t 2 ) ⋯ V ^ I ( t n ) } = T { exp  ( − i ħ ∫ t 0 t d s V ^ I ( s ) ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}_{\mathrm {I} }(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\dotsb \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}T\{{\hat {V}}_{\mathrm {I} }(t_{1}){\hat {V}}_{\mathrm {I} }(t_{2})\dotsb {\hat {V}}_{\mathrm {I} }(t_{n})\}\\&=T\{\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}ds{\hat {V}}_{\mathrm {I} }(s)\right)\}\end{aligned}}}
と表現することができる。但し、VI(t )はV の相互作用表示である。
歴史的には物理学者フリーマン・ダイソンが、場の理論のS行列S=UI(+∞, − ∞)の計算において、この表式を最初に導いており、時間順序積によるこの級数表示をダイソン級数(Dyson's series)と呼ぶ。