正成分と負成分
↑ 実は函数 f の代わりに単に実数 x を考える場合にも同様のことは成り立っている。実際 x の正成分 x と負成分 x を x + = max ( x , 0 ) = { x ( = | x | ) ( x > 0 ) , 0 ( x < 0 ) ; x − = max ( − x , 0 ) = { 0 ( x > 0 ) , − x ( = | x | ) ( x < 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{+}&=\max(x,0)={\begin{cases}x\;(=|x|)&(x>0),\\0&(x<0);\end{cases}}\\x^{-}&=\max(-x,0)={\begin{cases}0&(x>0),\\-x\;(=|x|)&(x<0)\end{cases}}\end{aligned}}} とすれば、あきらかに x = x − x および |x| = x + x と一意的に書けて、x = (|x| + x)/2 および x = (|x| − x)/2 が成り立つ。記号の濫用で x: x ↦ x と書けば、正成分および負成分は合成写像 f = x ∘ f として得られる。
数学における実または拡大実数値函数の正成分(せいせいぶん、英: positive part)および負成分(ふせいぶん、英: negative part)は、その函数から定まる二つの特定の非負値函数である。
元の函数が正の値を取る場合、その正成分は元の函数と同じ値を取り、元の函数がそれ以外の値を取る場合、正成分は 0 を値とする。 負成分も同様に、元の函数が負の値を取る場合、その負成分は元の函数の値と大きさが等しく符号だけ異なる正の値を取り、元の函数がそれ以外の値を取る場合、負成分は 0 を値とする。
より一般に、全順序群に値をとる任意の函数に対して正成分と負成分の概念は定義できるということに注意せよ。