ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
このことを理解する為に、まず π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} を計算しなければならない。これは π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} (S から一点を除いたもの)を基本多角形の辺へと変形レトラクトすることができるから容易である。この辺は
A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}}
とラベル付けられているとしよう。この(変形レトラクトされた後の)空間は 2n 個の円周の楔和(円を束ねたブーケとも呼ばれる)であることが知られており、これはさらに 2n 個の生成元を持つ自由群と同型な基本群を持つことが知られている。この場合、それらの生成元は(上でラベル付けしたところの)辺たちによって表現できる: { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } {\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}} 。
後述の通り、この定理はロナルド・ブラウンによって、基点集合 A {\displaystyle A} 上の基本亜群 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} を用いることで、不連結な場合へと一般化された。任意の被覆に対する(ただし A {\displaystyle A} はその被覆に含まれる任意の3つの集合の共通部分と交わるという制限のもとでの)この定理はブラウンとアブドゥル・ラザク・サラーの論文で与えられている。