サドルノード分岐
標準形に限定されない一般的な力学系において、サドルノード分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場
d x d t = f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} }
が与えられたとする。ベクトル場 f(x, μ) が固定点 x = 0 を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 μc = 0 で f(x, μ) はサドルノード分岐を起こす。
{ ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 0 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\\end{cases}}}
上記の一般的条件は (x = 0, μ = 0) に限定されない。分岐点が任意の値の組 (x = x, μ = μc) でも、(x = x, μ = μc) で条件が満たされればサドルノード分岐が起きる。
別の見方では次のような定理が成立する。
固定点を x で表すとすれば、サドルノード分岐の標準形の固定点は μ > 0 では x = ±√μ の2点である。一方で、μ < 0 では固定点存在しない。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が x 軸と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。
標準形におけるパラメータ μ と固定点 x の変化を整理すると次のようになっている。
μ < 0 では、固定点は存在しない。
μ = 0 では、x = 0 にただ1つの固定点が現れる。
μ > 0 では、1つだった固定点は x = ±√μ という2つの固定点に分かれる。片方の x = √μ が沈点で、もう片方の x = −√μ が源点になる。
パラメータ μ を独立変数とみなし、μ-x 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という。サドルノード分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる。分岐図上の曲線が折れ曲がっているような形をしていることからフォールド分岐(英語: fold bifurcation)とも呼ぶ。