本質的スペクトル
本質的スペクトルはスペクトル σ の部分集合であり、その補集合は離散スペクトルと呼ばれる。すなわち、
σ d i s c r ( T ) = σ ( T ) ∖ σ e s s ( T ) . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {discr} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).}
が成立する。
ある数 λ が離散スペクトルに含まれるとは、それが重複度有限の孤立固有値であることを言う。それはすなわち、空間
{ ψ ∈ X : T ψ = λ ψ } {\displaystyle \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}
の次元が有限であるが非ゼロであること、および μ ∈ σ(T) かつ |μ−λ| < ε であるならば μ と λ が等しいようなある ε > 0 が存在することを意味する。
一般の場合、X はバナッハ空間で、T は X 上の有界作用素を表すものとする。様々な文献において、本質的スペクトルの異なる定義が与えられており、それらは同値ではない。
第1の本質的スペクトル σess,1(T) は、λI − T が半フレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここである作用素が半フレドホルムであるとは、その値域が閉であり、その核あるいは余核が有限次元であることを言う。
第2の本質的スペクトル σess,2(T) は、λI − T の値域が閉でないか、λI − T の核が無限次元であるような全ての λ の集合として与えられる。
第3の本質的スペクトル σess,3(T) は、λI − T がフレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここである作用素がフレドホルムであるとは、その値域が閉であり、その核および余核が有限次元であることを言う。
第4の本質的スペクトル σess,4(T) は、λI − T が指数ゼロのフレドホルム作用素でないような全ての λ の集合として与えられる。ここでフレドホルム作用素の指数とは、その核の次元と余核の次元の差のことを言う。
r e s s , k ( T ) = max { | λ | : λ ∈ σ e s s , k ( T ) } {\displaystyle r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}}
で定義する。スペクトルは異なる可能性があるが、その半径は全ての k に対して等しい。
k = 1,2,3,4 に対して、本質的スペクトル σess,k(T) はコンパクトな摂動の下で不変であるが、k = 5 に対してはそのような事実は成立しない。k = 4 の場合は、コンパクトな摂動に独立なスペクトルの部分を与えるものである。すなわち、
σ e s s , 4 ( T ) = ⋂ K ∈ K ( X ) σ ( T + K ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in K(X)}\sigma (T+K)}
が成立する。ここで K(X) は X 上の全てのコンパクト作用素の集合を表す。
第2の定義はワイルの条件を一般化したものである。すなわち、σess,2(T) は、特異列が存在しないような全ての λ の集合として与えられる。