射影多様体
e., an open immersion followed by a closed immersion)
i : X → P S n {\displaystyle i\colon X\to \mathbf {P} _{S}^{n}}
for some n so that O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} pullbacks to L {\displaystyle {\mathcal {L}}} ときにいう.このとき S-スキーム X が射影的であることと, それが is proper and there exists a very ample sheaf on X relative to S であることは同値である.実際,X が proper ならば,非常に豊富な直線束に対応する immersion は閉でなければならない.逆に,X が射影的ならば,X の射影空間への closed immersion による O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} のプルバックは非常に豊富である.「射影」ならば「固有」は,より難しい:除去理論(英語版)の主定理である.
基本的な小平の消滅定理の主張は以下のようである.標数 0 の体上の滑らかな射影多様体 X 上の豊富な直線束 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対して,
H i ( X , L ⊗ ω X ) = 0 {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}
が i > 0 に対して成り立つ,あるいはセール双対性によって同じことだが,
H i ( X , L − 1 ) = 0 {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}
が i < n に対して成り立つ.この定理の最初の証明はケーラー幾何学の解析的な手法を用いたが,純代数的な証明が後に発見された.小平の消滅定理は正標数の滑らかな射影多様体に対しては一般には成り立たない.小平の定理は様々な消滅定理の1つで,高次層コホモロジーが消える判定法を与える.層のオイラー標数(上記参照)はしばしば個々のコホモロジー群よりも扱いやすいから,これはしばしば射影多様体の幾何について重要な結果を持つ.