ピカールの逐次近似法
積分作用素 T を
T φ = ξ + ∫ τ t f ( s , φ ( s ) ) d s {\displaystyle T{\boldsymbol {\phi }}={\boldsymbol {\xi }}+\int _{\tau }^{t}{\boldsymbol {f}}(s,{\boldsymbol {\phi }}(s))\,ds}
で定めると、上述の積分方程式の解は、
T φ = φ {\displaystyle T{\boldsymbol {\phi }}={\boldsymbol {\phi }}}
を満たす T の不動点である。ピカールの逐次近似法では、関数列 {φn(t)} は T の反復合成
T φ n = φ n − 1 {\displaystyle T{\boldsymbol {\varphi }}_{n}={\boldsymbol {\varphi }}_{n-1}}
で構成されるが、一定の条件の下では T は縮小写像となり、不動点定理からも解の存在が保証される。 実際、先ほどと同様に、f は有界閉領域 E で連続かつリプシッツ連続であるとする。ここで
0 < L r 0 ′ < 1 , r 0 ′ ≤ r 0 {\displaystyle 0<Lr_{0}'<1,\quad r_{0}'\leq r_{0}}