テンソル場
より抽象的(でしばしば有用)な M 上のテンソル場を特徴づける別な方法では、実際にテンソル場を純然たるテンソル(つまり、一つの多重線型写像)とすることができるが、型は異なるものとなる(これは実際にはテンソル場なのに「テンソル」と言ってしまうことが多いことの(通常はそういう理由で言うのではないけれども)理由でもある)。初めに M 上の滑らかな (C-級) ベクトル場全体の成す集合 T ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(M)} を一つの空間として捉え、滑らかな函数全体の成す環 C(M) の点ごとのスカラー倍を入れて、加群とする。多重線型性やテンソル積の概念は任意の可換上の加群の場合にも容易に拡張することができる。
動機となる例として、滑らかな余ベクトル場(1-形式)全体の成す空間 T ∗ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)} を考えると、これも滑らかな函数全体の成す環上の加群である。点ごとに評価することにより、余ベクトル場は滑らかなベクトル場に作用して滑らかな函数を導く。つまり、余ベクトル場 ω とベクトル場 X に対して、
( ω ( X ) ) ( p ) = ω ( p ) ( X ( p ) ) {\displaystyle (\omega (X))(p)=\omega (p)(X(p))}
と定義する。点ごとの性質で全てが含決まるから、ω の X への作用は C(M)-線型、つまり、