自励振動
x = e ζ ω 0 t [ D 1 cos  ( ω 0 1 − ζ 2 t ) + D 2 sin  ( ω 0 1 − ζ 2 t ) ] {\displaystyle x=e^{\zeta \omega _{0}t}\left[D_{1}\cos(\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t)+D_{2}\sin(\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t)\right]}
ここで、 ω 0 = k / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}} 、 ζ = c 2 m k {\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} 、D1、D2:任意定数、m:質量、c:減衰係数、k:ばね定数である。すなわち、このような系では振動の振幅は指数関数的に成長することになる。
実際の系では振幅が無限にまで成長することはないので、成長の途中で機械や装置などの振動系自体が壊れる結果となるか、振幅がある程度大きくなると減衰力の符号が逆転してある程度以上に成長しないようになる結果となる。後者のような自励振動系の代表例として、以下のような運動方程式で表されるファン・デル・ポール振動子がある。
x ̈ − μ ( 1 − x 2 ) x ̇ + x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0}
ここで、μは定数である。ファン・デル・ポール振動子は安定なリミットサイクルを持つ。