安定性理論
最も簡単な種類の軌道は、不動点(fixed point)あるいは平衡点(equilibrium)と呼ばれるものである。力学系が安定平衡状態にあるなら、わずかな摂動に対して得られる結果は局所的な挙動にとどまる。例えば、振り子の小さな振動などを考えられたい。減衰系においては、安定平衡状態はさらに漸近安定ですらある。一方、丘の頂点に置かれたボールのように、不安定平衡点に対してわずかな摂動を加えることは、元の状態に収束するかも知れないししないかも知れないような大きな振幅を伴う挙動を招く結果となる。線型系に対しては安定性を判別する有用な方法がある。非線型系の安定性は、その線型化に対する安定性を判別することで分かる。
非線型系の不動点の漸近安定性は、ハートマン=グロブマンの定理を用いることでしばしば証明される。
v を、点 p で消失する(すなわち、v(p)=0)、R 内の C-ベクトル場とする。このとき、対応する自励系
x ′ = v ( x ) {\displaystyle x'=v(x)}
には、定数解
x ( t ) = p {\displaystyle x(t)=p}
が存在する。ベクトル場 v の点 p における n×n ヤコビ行列を、J = Jp(v) と表す。J のすべての固有値の実部が厳密に負であるなら、その定数解は漸近安定である。この条件は、ラウス=フルビッツの判定法を用いることで確かめることが出来る。