ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式
− ∂ V ( x , t ) ∂ t − max u min u { A u , v V ( x , t ) + C ( t , x , u , v ) } = 0 , {\displaystyle -{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}-\max _{u}\min _{u}\left\{{\mathcal {A}}^{u,v}V(x,t)+C(t,x,u,v)\right\}=0,}
ここで、 A u , v {\displaystyle {\mathcal {A}}^{u,v}} は無限小生成作用素で以下のように表される。
A u , v V ( x , t ) := μ ( t , x , u , v ) ∂ V ( x , t ) ∂ x + 1 2 ( σ ( t , x , u , v ) ) 2 ∂ 2 V ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}^{u,v}V(x,t):=\mu (t,x,u,v){\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\Big (}\sigma (t,x,u,v){\Big )}^{2}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}}
終端条件は次式である。
V ( x , T ) = D ( x ) . {\displaystyle V(x,T)=D(x)\,\!.}
HJBI方程式に含まれる u , v {\displaystyle u,v} についての最大化問題と最小化問題の解がこのゲームの(マルコフ)ナッシュ均衡となる。