正規直交基底
x のノルムは
‖ x ‖ 2 = ∑ b ∈ B | ⟨ x , b ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}}
と書ける。B が非可算の場合であっても、この和に現れる項は可算個の例外を除いて全て 0 となるので、和は意味を持つ。x をこのような和として表したものを x のフーリエ級数展開とも呼び、上記ノルムの表示式は普通パーセヴァルの等式として知られる。一般化されたフーリエ級数(英語版)を参照。
B がヒルベルト空間 H の正規直交基底であるとき、全単射な線型作用素 Φ: H → l(B) で、H の各元 x, y に対して
⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle }
を満たすものが存在する、という意味で H は(狭義のヒルベルト空間)l(B) に「同型」である。