荷電共役変換
自由な複素スカラー場 φ を記述するラグランジュ関数は
L ( φ ) = ∂ φ ̄ ∂ φ − m 2 φ ̄ φ {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial {\bar {\phi }}\,\partial \phi -m^{2}{\bar {\phi }}\phi }
で与えられる。反粒子は粒子と同じ質量をもつので、複素スカラー場 φ で表される粒子の反粒子は、ともに質量項を作る複素共役場 φ ̄ {\displaystyle {\bar {\phi }}} である。 複素スカラー場の微小な位相変換は
δ φ = i q ε φ {\displaystyle \delta \phi =iq\epsilon \phi }
で表される。ここで ε は変換のパラメータであり、q がスカラー場のチャージである。 このとき複素共役場に対しては
δ φ ̄ = − i q ε φ ̄ {\displaystyle \delta {\bar {\phi }}=-iq\epsilon {\bar {\phi }}}
となり、複素共役場のチャージは −q であり、チャージが反転していることが確認される。 従って、スカラー場の荷電共役変換は
C : ( φ , φ ̄ ) ↦ ( φ ̄ , φ ) {\displaystyle C:(\phi ,{\bar {\phi }})\mapsto ({\bar {\phi }},\phi )}
である。ラグランジュ関数が荷電共役変換によりその形を保つため、自由な複素スカラー場の理論は荷電共役対称性を持つ。