離散時間フーリエ変換
実数または複素数の離散集合 x [ n ] , n ∈ Z {\displaystyle x[n],\;n\in \mathbb {Z} } (整数)が与えられたとき、 x [ n ] {\displaystyle x[n]\,} の離散時間フーリエ変換(DTFT)は次にように表される。
X ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − i ω n {\displaystyle X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}}
離散時間フーリエ変換(りさんじかんフーリエへんかん、英: Discrete-time Fourier transform、DTFT)はフーリエ変換の一種。したがって、通常時間領域の関数を周波数領域に変換する。ただし、DTFTでは元の関数は離散的でなければならない。そのような入力は連続関数の標本化によって生成される。
DTFTの周波数領域の表現は常に周期的関数である。したがって1つの周期に必要な情報が全て含まれるため、DTFTを「有限な」周波数領域への変換であるということもある。
基本的にDTFTはフーリエ級数の逆であり、後者は継続的だが、周期的入力と離散スペクトルを持っている。これら2つの変換の応用は全く異なる。
DFT と DTFT は、標準の連続フーリエ変換を離散的データに適用しようとして自然に生まれたと見ることもできる。そういった観点では、単に入力形式が異なるだけで、変換そのものは同じである。
入力が離散的なら、フーリエ変換は DTFT となる。
入力が周期的なら、フーリエ変換はフーリエ級数となる。
入力が離散的かつ周期的なら、フーリエ変換は DFT となる。
下表は典型的な変換を示したものである。
n {\displaystyle n\!} は離散時間領域(標本)を表現する整数である。
ω {\displaystyle \omega \!} は ( − π , π ) {\displaystyle (-\pi ,\ \pi )} の範囲内の実数であり、連続角周波数(標本当たりのラジアン)を表す。 それ以外 ( | ω | > π ) {\displaystyle (|\omega |>\pi \,)} の変換は、 X ( ω + 2 π k ) = X ( ω ) {\displaystyle X(\omega +2\pi k)=X(\omega )\,} で定義される。
u [ n ] {\displaystyle u[n]\!} は離散時間単位ステップ関数である。
sinc  ( t ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (t)\!} は正規化Sinc関数である。
δ ( ω ) {\displaystyle \delta (\omega )\!} はディラックのデルタ関数である。
δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]\!} はクロネッカーのデルタ δ n , 0 {\displaystyle \delta _{n,0}\!} である。