局所コンパクト空間
有理数の空間 Q の一点コンパクト化(英語版)はコンパクトゆえ、各点が(閉)近傍を持つという意味では局所コンパクトだが、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。
任意の無限集合に特定点位相(英語版)を入れたものは、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味では局所コンパクトだが、特定点を含む空でない閉コンパクト部分空間は存在しないから各点が閉近傍を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。同じことは実数直線に上方位相(英語版)を入れたものについても言える。