トモグラフィー
トモグラフィーの数学的な基礎はラドン変換と、ラドン逆変換である。ラドン変換は、トモグラフィーの基本原理であるばかりでなく、例えば、ハフ変換等にも応用される。応用範囲の広い数学的手法であるが、ここでは、トモグラフィーのモデル化という観点に重きをおいて説明する。
関数 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} のラドン変換は、以下の式で与えられる。
p ( s , θ ) = − ∫ − ∞ ∞ μ ( s cos  θ − t sin  θ , s sin  θ + t cos  θ ) d t {\displaystyle p(s,\theta )=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}
即ち、 「 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} のラドン変換の ( θ , s ) {\displaystyle (\theta ,s)} での値 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} 」は、 「関数 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} の直線 l [ θ , s ] ( t ) {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)} に沿う線積分の値」である。
[ x y ] = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] [ s t ] = [ s cos  θ − t sin  θ s sin  θ + t cos  θ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s\cos \theta -t\sin \theta \\s\sin \theta +t\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。
[ x y ] = t [ − sin  θ cos  θ ] + [ s cos  θ s sin  θ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}}
のように書くと、より直線らしく見えるであろう。
即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下の l [ θ , s ] ( t ) {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)} で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。
である。
さらに、上式を、
d t d s = | J φ θ | d x d y = d x d y {\displaystyle dtds=|J{\varphi }_{\theta }|dxdy=dxdy}
exp  ( i s r ) = exp  ( i r ( x cos  θ − y sin  θ ) ) = exp  ( i < r ( cos  θ , − sin  θ ) | ( x , y ) > ) {\displaystyle \exp(isr)=\exp(ir(x\cos \theta -y\sin \theta ))=\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)}
に注意して積分の変数変換を施すと、
p ~ ( r , θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )}
= ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( ψ θ ( φ θ ) ( x , y ) ) ) exp  ( i < r ( cos  θ , − sin  θ ) | ( x , y ) > ) | J φ θ | d x d y {\displaystyle ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu ({\psi }_{\theta }({\varphi }_{\theta })(x,y)))\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)|J{\varphi }_{\theta }|\,dxdy}
特に医療機器の場合には、図3のような扇形ビームを用いる場合が多い。