質点
物体の衝突面でのかすり衝突について記述する。
接触面での摩擦がないとすると、接触面方向には外力も内力もはたらかないために、接触面に平行な成分は速度も運動量も保存される。衝突前の速さと接線のなす角をそれぞれ α , β {\displaystyle \alpha ,\,\beta } 、衝突後の速さと接線のなす角をそれぞれ α ′ , β ′ {\displaystyle \alpha ',\,\beta '} ととると、接線方向の成分は
v A ′ cos  α ′ = v A cos  α {\displaystyle v_{A}'\,\cos \alpha '=v_{A}\,\cos \alpha } v B ′ cos  β ′ = v B cos  β {\displaystyle v_{B}'\,\cos \beta '=v_{B}\,\cos \beta }
接触面に直行する成分(法線成分)は、
質点系の力のモーメントは全質点の外力のモーメントの総和に等しく、内力のモーメントに依存しない。
N → ≡ ∑ i N → i = ∑ i r → i × F → i = ∑ i d l → i d t = d L → d t {\displaystyle {\vec {N}}\equiv \sum _{i}{\vec {N}}_{i}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {l}}_{i}}{dt}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}} ∑ i l → i ≡ L → {\displaystyle \sum _{i}{\vec {l}}_{i}\equiv {\vec {L}}}
M d 2 r → G d t 2 = d P → d t = ∑ i = 1 N F i {\displaystyle M{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{G}}{dt^{2}}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}F_{i}}
ここで、 M {\displaystyle \,M} は質点系内の全質量(重心の質量)、 N {\displaystyle \,N} は質点の個数、 P → {\displaystyle {\vec {P}}} は全運動量(重心の運動量)、 F i {\displaystyle \,F_{i}} はi番目の質点に働く外力である。重心の運動量は内力には依存せず、したがって、外力が働いていない系、または外力の総和が 0 {\displaystyle \,0} の系では全運動量 P → {\displaystyle {\vec {P}}} は保存される。
質点の個数 N {\displaystyle \,N} が無限にあり、連続的に分布している系では、重心座標は次のように表される。
v A ′ sin  α ′ = v A cos  α + m B m A + m B ( v B sin  β − v A sin  α ) ( 1 + e ) {\displaystyle v'_{A}\sin \alpha '=v_{A}\cos \alpha +{\frac {m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}(v_{B}\sin \beta -v_{A}\sin \alpha )(1+e)}
v B ′ sin  β ′ = v B sin  β + m A m A + m B ( v A sin  α − v B sin  β ) ( 1 + e ) {\displaystyle v'_{B}\sin \beta '=v_{B}\sin \beta +{\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}(v_{A}\sin \alpha -v_{B}\sin \beta )(1+e)}
となる。