シュレーディンガー方程式
古典力学では、粒子は常に定まった位置と運動量の組を持つ。これらの値はニュートン力学や一般相対論に従って、決定論的に変化する。しかし量子力学では、粒子は定まった物理量を持たず、観測するたびにある確率分布に従ってランダムに測定結果が決まる。シュレーディンガー方程式はその確率分布を予測するが、本質的に個々の観測の正確な結果を予想することは出来ない。不確定性原理は量子力学が本来的に持つ不確実性の有名な例である。それは、より正確に粒子の位置を確認すると運動量が曖昧になり、その逆も同様となることを主張している。シュレーディンガー方程式は、粒子の波動関数の決定論的な時間発展を説明する。しかし波動関数が厳密に分かったとしても、その波動関数に対して行われる具体的な観測の結果を決める事はできない。
{ − i ħ ∇ Ψ ( r , t ) = p Ψ ( r , t ) ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − i E ħ Ψ ( r , t ) → { − ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) = 1 2 m p ⋅ p Ψ ( r , t ) i ħ ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = E Ψ ( r , t ) {\displaystyle {\begin{cases}-i\hbar \nabla \Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {p}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\\{\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\end{cases}}\rightarrow \quad {\begin{cases}-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\\i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=E\Psi ({\boldsymbol {r}},t)\end{cases}}}
もう一つの量子力学の仮定は、すべてのオブザーバブルは波動関数に作用する自己共役な線型演算子で表され、その演算子の固有値はオブザーバブルの取り得る値になる。前の導関数は、時間微分に対応するエネルギー演算子と
E ^ = i ħ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}
空間微分(ナブラ)に対応する運動量演算子を導く。
p ^ = − i ħ ∇ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla }
ハット (^) は、観測量が演算子であることを示す。