デデキントの補題
k 1 , ... , k n {\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}} が、 A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} の等式
(a) ∑ j = 1 n k j σ j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}}=0}
を満たすならば
(b) k 1 = ... = k n = 0 {\displaystyle k_{1}=\ldots =k_{n}=0}
であることを示せばよい。
まず、 σ 1 ≠ σ n {\displaystyle \sigma _{1}\neq \sigma _{n}} であるから σ 1 ( h 0 ) ≠ σ n ( h 0 ) {\displaystyle \sigma _{1}(h_{0})\neq \sigma _{n}(h_{0})} となる h 0 ∈ H {\displaystyle h_{0}\in H} が存在する。この h 0 ∈ H {\displaystyle h_{0}\in H} を固定しておく。
(a) から
(c) 0 = ∑ j = 1 n k j σ j ( x ) ∈ K ( ∀ x ∈ H ) {\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}{k_{j}\sigma _{j}(x)}\in K\;\;(\forall x\in H)}
が成り立つ。