ヘリーの定理
xj ∈ A1 であるなら、xj ∉ A2 であり、したがって Xj ⊃ A2 である。Xj は凸であるため、A2 の凸包を含み、したがって p ∈ Xj となる。同様に、xj ∉ A1 であるなら、Xj ⊃ A1 であり、したがって同様の理由で p ∈ Xj となる。p はすべての Xj に含まれるため、それらの共通部分に含まれるということになる。
上の例では、点 x1, ..., xn はすべて異なるものとして考えられていた。そうでない場合、すなわちある i ≠ k に対して xi = xk であるような場合、xi はすべての集合 Xj に含まれることとなり、再び共通部分は空でないと結論付けられる。以上で n = d+2 の場合は証明された。
帰納的な手順 n > d+1 とし、n−1 に対して定理の内容は成立しているものとする。上述の議論より、d+2 個の集合の任意の部分的な集まりは空でない共通部分を持つ。すると二つの集合 Xn−1 および Xn を単一の集合 Xn−1 ∩ Xn に置き換えた集合の集まりを考えることが出来る。そのような新たな集まりに対して、d+1 個の集合のすべての部分的な集まりは空でない共通部分を持つ。したがって帰納的な仮定を適用することが出来、そのような新たな集まりは空でない共通部分を持つことが示される。同様の手法を元の集まりに適用することで、証明は完成される。