ガロワ加群
l を素数とする。GK の l-進表現 (l-adic representation) とは連続な群準同型 ρ: GK → Aut(M) である。ここに M は Ql (l-進数体 Ql の代数的閉包)上の有限次元ベクトル空間か、あるいは、有限生成 Zl-加群である。(Zl は Ql における Zl の整閉包である。)最初に現れた例はl-進円分指標(英語版)と K 上のアーベル多様体の l-進テイト加群であった。他の例は、モジュラー形式や保型形式のガロワ表現や、代数多様体の l-進コホモロジー群上のガロワ表現から来る。
アルチィン表現とは異なり、l-進表現は像が無限のこともある。例えば、l-進円分指標による GQ の像は Z l × {\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell }^{\times }} である。像が有限の l-進表現はしばしばアルティン表現と呼ばれる。Ql の C との同型を通して、それらを本来のアルティン表現と同一視することができる。
体 K が与えられたとき、K の分離閉包の乗法群 (K) は絶対ガロワ群のガロワ加群である。その第二コホモロジー群は K のブラウアー群に同型である。(ヒルベルトの定理90によって第一コホモロジー群は 0 である)。
X が体 K 上の滑らかな固有スキームであれば、その幾何学的ファイバー(英語版)の l-進コホモロジー群は K の絶対ガロワ群のガロワ加群である。