普遍包絡代数
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 i : g → A {\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to A} の組 ( A , i ) {\displaystyle (A,i)} が存在する(A は交換子積によってリー代数とみる)。任意の結合代数 A ′ {\displaystyle A'} とリー代数準同型写像 i ′ : g → A ′ {\displaystyle i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'} に対し、結合代数の準同型写像 f : A → A ′ {\displaystyle f\colon A\to A'} で、 f ∘ i = i ′ {\displaystyle f\circ i=i'} を満たすものが唯一つ存在する。このような ( A , i ) {\displaystyle (A,i)} は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} で表す: