フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
, Γ k , Γ , {\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,} Δ {\displaystyle \Delta } は項を表すものとする。
関係 R ( Z 1 , ... , Z k ) {\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})} を定義論理式 ψ R ( Z 1 , ... , Z k ) {\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k})} で置き換える。
ψ C ( u ) {\displaystyle \psi _{C}(u)} を特別なクラス C {\displaystyle C} の定義論理式とする。 Δ ∈ C {\displaystyle \Delta \in C} を ψ C ( Δ ) {\displaystyle \psi _{C}(\Delta )} で置き換える。 C ∈ Δ {\displaystyle C\in \Delta } を ∃ z i [ z i = C ∧ z i ∈ Δ ] {\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ]} で置き換える
ψ P ( u , Z 1 , ... , Z k ) {\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})} を演算 P ( Z 1 , ...
すると置換公理はクラスを用いる一つの公理で置き換えられる。最後に、ZFCの外延性の公理はクラスを扱う形に修正される:2 つのクラスが同じ元を持つならば、それらのクラスは等しい。ほかのZFCの公理は修正されない。
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理型は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。
この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。 この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。
, x j ) , x j + 1 ) , ⋯ ) , x n ) = ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})} を含むクラス P 3 {\displaystyle P_{3}} が生成される。
Q = P 3 ∩ V n {\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}} とする。外延性の公理から、 Q {\displaystyle Q} が R ( x i , x j ) . {\displaystyle R(x_{i},x_{j}).} を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラスであることが導かれる。
変換後の論理式に対するクラス存在定理 ― φ ( x 1 , ... , x n , Y 1 , ... , Y m ) {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})} を、以下を満たす論理式とする:
x 1 , ... , x n , Y 1 , ... , Y m {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}} 以外に自由変数を持たない。
∈ {\displaystyle \in } 、 ¬ {\displaystyle \neg } 、 ∧ {\displaystyle \land } 、 ∃ {\displaystyle \exists } 、 集合変数、クラス変数 Y k {\displaystyle Y_{k}} のみからなる。
I ↾ B {\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}} による a {\displaystyle a} の像は B {\displaystyle B} であるので、置換公理から B {\displaystyle B} は集合であることが導かれる。 a ⊆ D o m ( I ↾ B ) . {\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).} ではなく D o m ( I ↾ B ) = B ⊆ a {\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a} であるため、この証明は a ⊆ D o m ( F ) {\displaystyle a\subseteq Dom(F)} を用いない像の定義に依存する。
和集合の公理. a {\displaystyle a} が集合であるならば、 ∪ a {\displaystyle \cup a} を含む集合が存在する。
冪集合公理. a {\displaystyle a} が集合であるならば、 P ( a ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a)} を含む集合が存在する。
∀ a ∃ b ∀ x ( x ⊆ a ⟹ x ∈ b ) . {\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}
∀ x ∀ y ∃ p ∀ z [ z ∈ p ⟺ ( z = x ∨ z = y ) ] {\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}
ZFCのように、外延性の公理は集合 p {\displaystyle p} がただ一つであることを含意する。これによって { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} という表記ができる。
順序対は以下のように定義される。
( x , y ) = { { x } , { x , y } } {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}
対は順序対を使って再帰的に定義される:
( x 1 ) = x 1 , {\displaystyle (x_{1})=x_{1},}
For n > 1 : ( x 1 , ... , x n − 1 , x n ) = ( ( x 1 , ... , x n − 1 ) , x n ) . {\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}