シュラム・レヴナー発展
(Loewner differential equation)
D を C と異なる単連結(simply connected)で開いた複素領域とし、γ を D の境界に出発点を持つ D の内部の単純曲線( D の境界で γ(0) であり、γ((0, ∞)) では、D の部分集合となるような連続函数)とする。各々の t ≥ 0 に対し、γ([0, t]) 補集合 Dt は単連結となり、従って、リーマンの写像定理により D と共形同値である。ft が D から Dt への正規化された同型であれば、レヴナーがビーベルバッハの予想の仕事 Loewner (1923, p. 121) で発見していた微分方程式を満たす。Dt から D への共形写像である、ft の逆函数 gt を使う方が便利であるときもある。以下では、レヴナー微分方程式をレヴナー方程式と記すこととする。
レヴナー方程式の z は、領域 D の中で、t ≥ 0 であり、t = 0 の境界での値は f0(z) = z または、g0(z) = z である。この方程式は、D の境界でも値を持つ駆動函数(driving function) ζ(t) に依存している。D が単位単板で、曲線 γ が「容量(capaity)」によりパラメトライズされていると、レヴナー方程式は、
D を上半平面とし、駆動函数 ζ が恒等的に 0 であれば、
f t ( z ) = z 2 − 4 t {\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}
g t ( z ) = z 2 + 4 t {\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}
γ ( t ) = 2 i t {\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}
D t {\displaystyle D_{t}} は 0 から 2 i t {\displaystyle 2i{\sqrt {t}}} までの直線を削除した上半平面である。
)
放射状 SLEκは、領域内部の点と境界上の点を結ぶ曲線と関係している。(単位円板の 1 と 0 をつなぐ曲線であることもある。)
SLEは領域の境界上のブラウン運動の選択に依存し、使うブラウン運動の種類によっていくつかの変形がある。例えば、固定点から出発するかもしれないし、単位円上の一様に分布した点から出発することもありかもしれないし、動くような設定になっているかもしれないような場合もあるし、他にも考えられる。パラメータ κ はブラウン運動の散乱率を制御し、SLEの振る舞いは κ の値に強く依存する。
シュラム・レヴナー発展で共通に使われる 2つの領域は、上半平面と単位円板である。レヴナーの微分方程式はこの 2つの場合で異なっているが、それらは、単位円板と上半平面が共形同値であるので、変数変換により同値となっている。しかしながら、これらの間の共形同値はシュラム・レヴナーの発展を駆動するブラウン運動は保存されない。
4 < κ < 8 に対して、曲線 γ(t) は自分自身に交わり、全ての点がループ上に含まれるが、(確率 1 で)曲線は空間を満たしているわけではない。
κ = 8 は、一様スパニングツリーと双対ツリーを分ける経路に対応している。
κ ≥ 8 に対して、曲線 γ(t) は(確率 1 で)空間を満たす。
SLEがある共形場理論に対応しているとき、パラメータ κ は共形場理論の中心電荷 c に、
c = ( 8 − 3 κ ) ( κ − 6 ) 2 κ {\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}}
として、関係付いている。c < 1 の各々の値は、2つの κ の値に対応していて、一つは、0 から 4 の間のκ であり、もう一つは「双対」の値で 4 より大きな 16/κ という値に対応している。
Beffara (2008) では、(確率 1 で)経路のハウスドルフ次元(Hausdorff dimension)は、min(2, 1 + κ/8) に等しいことが示されている。