ヘンストック＝クルツヴァイル積分
∑ P f = ∑ i = 1 n ( u i − u i − 1 ) f ( t i ) {\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}{-}u_{i-1})f(t_{i})}
を定義することができる。与えられた函数 f に対して、 f のヘンストック=クルツヴァイル積分の値となるべき数 I は、
任意の ε に対して、適当なゲージ δ を選べば、P が δ-細分割である限り必ず | ∑ P f − I | < ε {\displaystyle {\Bigl \vert }\sum _{P}f-I{\Bigr \vert }<\varepsilon } が成り立つ
という条件によって定義することができる。このような I が存在するとき、函数 f は [a, b] においてヘンストック=クルツヴァイル積分可能あるいはゲージ積分可能であるという(紛れの恐れがないときは単に可積分であるという)。
クザンの定理によれば、どのようなゲージ δ に対してもこのような δ-細分割 P は存在する。したがって、この条件は空虚な真理(Vacuous truth、どのようなゲージ δ を選んでも δ-細分割である P が存在しないために上記の条件が真になること)とはなり得ない。リーマン積分はこの文脈で定数ゲージのみを用いた特別の場合として見ることができる。