1−1+2−6+24−120+…
= ∫ 0 ∞ [ ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k ] exp  ( − x ) d x {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx}
という式が得られることになるが、右辺の角括弧内の総和は (0 ≤) x < 1 のとき収束して 1/(1 + x) に等しい。さらに仮定を重ねて(1 ≤ x のときも収束性を無視して)角括弧内の総和を 1/(1 + x) に書き換えてよいものとすると、全体の積分が有限値に収束するものになり、ボレルの意味で
∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∫ 0 ∞ exp  ( − x ) 1 + x d x = e E 1 ( 1 ) ≈ 0.596347362323194074341078499369 ... {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots }
と書くことが正当化できる(但し、e は自然対数の底、 E 1 ( z ) {\displaystyle E_{1}(z)} は指数積分である)。