代数多様体の函数体
代数幾何学では、代数多様体 V の函数体(function field)は、V 上の有理函数と解釈される対象から構成される。古典的な代数幾何学では、函数体は多項式の比であり、複素代数幾何学(英語版)(complex algebraic geometry)では、函数体は有理型函数とその高次元類似である。現代の代数幾何学では、函数体は環の商体の元である。
複素代数幾何学では、研究対象は複素解析多様体(英語版)(analytic varieties)であり、その上の局所概念は複素解析で、複素解析を通して有理型函数を定義することもある。従って、代数多様体の函数体は、代数多様体の上のすべての有理型函数の集合である。(すべての有理型函数のように、これらは C∪{∞} に値を持つ。)函数の加法と乗法の操作とともに、函数体は代数の意味で体である。
複素数 P 上の多様体であるリーマン面に対し、大域的有理型函数はまさに有理函数である(つまり、複素多項式の比である)。