ケイリー＝アロンホルトの微分作用素
交換子積を [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} で定めると、 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } 同士の交換子は、
[ D , Δ ] = H , [ H , D ] = 2 D , [ H , Δ ] = − 2 Δ {\displaystyle [{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},\,\,[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},\,\,[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta }
の関係を満たす。
これは二次特殊線形リー環 s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} の基底
H = ( − 1 0 0 1 ) , X = ( 0 0 1 0 ) , Y = ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,X={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,\,Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}