ガウシアンビーム
光軸上のビームウェストから距離 z の点におけるピーク放射照度は、半径 r の円を通るパワーを πr で割ったものの極限をロピタルの定理を用いて計算すれば以下のように求めることができる。
I ( 0 , z ) = lim r → 0 P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] π r 2 = P 0 π lim r → 0 [ − ( − 2 ) ( 2 r ) e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] w 2 ( z ) ( 2 r ) = 2 P 0 π w 2 ( z ) {\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}}
よって、放射照度のピーク値は、半径 w(z) の円の面積でパワーの総計値を割って求められる、「平均強度」のちょうど2倍である。
ガウシアンビームのスポットサイズと曲率半径についての情報を次の一つの複素ビームパラメータ q(z) により表わすことができる。
q ( z ) = z + q 0 = z + i z R {\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }}
この逆数 1/q(z) をとると、以下の式のように q(z) と w(z), R(z) との関係が顕わに示される。
1 q ( z ) = 1 z + i z R = z z 2 + z R 2 − i z R z 2 + z R 2 = 1 R ( z ) − i λ π w 2 ( z ) {\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}}
複素ビームパラメータはガウシアンビームの解析において、特に転送行列(英語版)を用いた光共振器の解析において重要である。
潜在的に楕円の、または非点収差をもつビームの振幅 u は次のように二つの関数の積として表わせる。
パラメータ w(z) は z ≫ zR のときには z に比例するものと見なせる。このことは、ビームウェストから離れればビームは円錐形とみなせることを意味する。直線 r = w(z) とビームの中心軸 r = 0 との成す角度は、ビームの「発散角」と呼ばれ、以下のように与えられる。
θ ≃ λ π w 0 {\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}}
ここで、θの単位はラジアンである。
ビームウェストから遠いときのビームの拡がり角は以下のように与えられる。
Θ = 2 θ {\displaystyle \Theta =2\theta }
発散角はビームウェストサイズ w0 に反比例するため、より焦点サイズの小さいガウシアンビームは伝播するにつれてより速く拡がっていくことになる。逆に言えば、レーザービームの平行性を高く保つためには、半径は大きくしなければならない。このビーム幅と発散角との間の関係は回折に起因する。非ガウシアンビームでもこの効果はみられるが、ガウシアンビームはビーム幅と発散角との積が可能な限り小さい特殊例である。
ガウシアンビームモデルは近軸近似に基いているため、波面がおよそ 30°以上傾いた場合には適用できなくなる。