交代式
, x n ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})} によって交代式の値は零となるから、因数定理により xi − xj は f を割り切る。したがって、vn は f を割り切る。
交代多項式と対称多項式との積は交代多項式である。したがって差積と任意の対称多項式との積は交代多項式である。
逆に、ふたつの交代多項式の商は対称式(一般には多項式とは限らない対称有理式)であり、交代多項式は差積で割り切れる(つまり商は多項式)。
といったようなことからの帰結である。シューア多項式は、いま見たような交代多項式を差積で割った多項式として定義される対称函数である。