被覆空間
任意の被覆 p : C → X は局所同相である、つまり、すべての c ∈ C に対し、c の近傍 U ⊆ C と p(c) の近傍 V ⊆ X が存在し、U への p の制限が U から V への同相となっている。このことは、C と X がすべての局所的性質を共有していることを意味する。X が単連結で C が連結であれば、このことは大域的にも同じく成立して、被覆 p は同相である。
p : E → B と p' : E' → B' が被覆写像であれば、(p × p')(e, e') = (p(e), p'(e')) により与えられる写像 p × p' : E × E' → B × B' も被覆写像である。
再び、p : C → X を被覆写像とし、C (と、従って X も)連結で局所弧状連結であるとする。x が X の点で c が x 上のファイバーに属し(つまり、p(c) = x)、γ : [0, 1] → X が γ(0) = γ(1) = x である経路とすると、この経路は出発点を c にもつ C の一意の経路へ持ち上げることができる。この持ち上げられた経路の終点は、c である必要はないが、x 上のファイバーの中に属す必要がある。この終点は基本群 π1(X, x) の中の γ のクラスにのみ依存することが判明している。この形で、x 上のファイバーに π1(X, x) の右からの群作用を得る。これはモノドロミー作用(monodromy action)として知られている。
ファイバー上には 2つの作用が存在し、x : Aut(p) は左側より作用し、π1(X, x) は右側より作用する。これらの 2つの作用は次の意味で整合性を持っている。