カルタン形式 (物理学)
M をn-次元可微分多様体、自然数 p および q が
p + q = n
を満たすものとする。さらに M 上の SO(p, q)(英語版) 主束 B と、それに付随する SO(p, q)-ベクトル束 V が SO(p, q) の自然な n-次元表現として与えられたものとする。等価な表現として、V は符号数 (p, q) の計量 η (非縮退二次形式)を備えた M 上のランク-n 実ベクトル束であるとも言える。
カルタン形式の基礎的な要素は、M 上のベクトル束から M の接束 TM への可逆線形写像 e: V → TM である。可逆という条件は課されない場合もある。特に、B が自明な束である場合は、(局所的には常に仮定できるが)V は直交断面 f a = f 1 ... f n {\displaystyle f_{a}=f_{1}\ldots f_{n}} を基底に持つ。すなわち、この基底に対し η a b = η ( f a , f b ) = d i a g ( 1 , ... 1 , − 1 , ... , − 1 ) {\displaystyle \eta _{ab}=\eta (f_{a},f_{b})={\rm {diag}}(1,\ldots 1,-1,\ldots ,-1)} は定数行列である。M 上の局所座標 x μ = x − 1 , ...
ここで、関係式 | e | = − g {\displaystyle |e|={\sqrt {-g}}} および R μ ν λ σ = e a λ e b σ R μ ν a b {\displaystyle R_{\mu \nu }^{\lambda \sigma }=e_{a}^{\lambda }e_{b}^{\sigma }R_{\mu \nu }^{ab}} を使えば、上記の微分形式で書かれた作用が通常のアインシュタイン・ヒルベルト作用と等価であることがわかるだろう。導出途中ではプランク質量単位を用いて ħ = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} としてあるが、最後の項はSI単位の因子を全て含んでいることに注意されたい。
スピノル場が存在する場合、パラティーニ作用は d ω {\displaystyle \mathrm {d} \omega } が非零であることを意味する。したがって捩率テンソルが非零、すなわち ω ^ μ a b = ω μ a b + K μ a b {\displaystyle {\hat {\omega }}_{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}+K_{\mu }^{ab}} となる。アインシュタイン・カルタン理論(英語版)も参照されたい。
一般相対性理論における時空の幾何学を、普通使われている計量テンソル場の代わりに四つ組場を用いて記述することができる。計量テンソル gαβ は、接空間における内積を次のように直接定義する。
⟨ x , y ⟩ = g α β x α y β {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle =g_{\alpha \beta }\,x^{\alpha }\,y^{\beta }}
四つ組 eiα は、接空間からミンコフスキー空間への、内積を保存する(線形)写像と見なすことができる。 よって、問題となる接空間上の二つのベクトルをミンコフスキー空間へと写像したうえで内積をとればよいことになる。