線型結合
また、S が無限個のベクトルからなる V の部分集合であるとき、S の生成する部分空間とは
span  ( S ) := { k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k r v r ∣ k i ∈ K , v j ∈ S , ∃ r ∈ N } , {\displaystyle \operatorname {span} (S):=\{k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+\cdots +k_{r}v_{r}\mid k_{i}\in K,\,v_{j}\in S,\,\exists r\in \mathbb {N} \},}
すなわち、S の有限個のベクトルの線型結合として表されるベクトル全体の成す V の部分集合となる。
V = span(S) となる部分集合 S のうち極小なものを V の基底という。基底の濃度は常に一定であり、基底の濃度としてベクトル空間の次元が定義される。たとえば、S = {v1, v2, ..., vr} が線型独立なベクトルからなるならば、S はそれによって張られるベクトル空間 span(S) の基底をなし、span(S) の次元は r となる。