バーンバウム＝オルリッチ空間
μ は集合 X 上の σ-有限測度(英語版)とし、Φ : [0, ∞) → [0, ∞) はヤング函数、すなわち次を満たす凸函数とする:
Φ ( x ) x → ∞ , a s x → ∞ , {\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to \infty ,\quad \mathrm {as\ \ } x\to \infty ,}
Φ ( x ) x → 0 , a s x → 0. {\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{x}}\to 0,\quad \mathrm {as\ \ } x\to 0.}
L Φ † {\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }} を、積分
∫ X Φ ( | f | ) d μ {\displaystyle \int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu }
が有限であるような可測函数 f : X → R の集合とする。ここで、通常どおり、ほとんど至る所で一致する函数は同一のものと見なされる。
この空間はベクトル空間でない可能性もある(スカラー倍について閉じないことがありうる)。 L Φ † {\displaystyle L_{\Phi }^{\dagger }} によって張られる函数のベクトル空間がバーンバウム=オルリッチ空間であり、 L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} と表記される。
L Φ {\displaystyle L_{\Phi }} 上のノルムを定義するために、Ψ を Φ のヤング補函数(Young complement)とする。
同様に、確率変数のオルリッチノルムは空間を次のように特徴づける:
‖ X ‖ Ψ ≜ inf { k ∈ ( 0 , ∞ ) ∣ E [ Ψ ( | X | / k ) ] ≤ 1 } . {\displaystyle \|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid E[\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.}
このノルムは同次であり、この集合が空でない場合のみ定義される。
Ψ ( x ) = x p {\displaystyle \Psi (x)=x^{p}} のとき、このノルムは確率変数の p 次モーメントと一致する。指数函数の族におけるその他の特別な場合は、函数 Ψ q ( x ) = exp  ( x q ) − 1 {\displaystyle \Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1} ( q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} )に対して考えられる。 Ψ 2 {\displaystyle \Psi _{2}} ノルムが有限であるような確率変数は劣ガウス(英語版)と呼ばれ、 Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムが有限であるような確率変数は劣指数的(sub-exponential)と呼ばれる。実際、 Ψ p {\displaystyle \Psi _{p}} ノルムの有界性は次の確率密度函数の極限における挙動を特徴づける: