Club集合
club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。
club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。
x ∈ club  ( κ ) {\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )} ならば、 x {\displaystyle x} を部分集合としてもつ κ {\displaystyle \kappa } の部分集合はやはり club  ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} の元である。 κ {\displaystyle \kappa } -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。
club  ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} が対角線共通部分について閉じていることを確認する。 ⟨ C i | i < κ ⟩ {\displaystyle \langle C_{i}|i<\kappa \rangle } をclub集合の列とする。 C {\displaystyle C} をその対角線共通部分すなわち C = Δ i < κ C i {\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}} とする。 C {\displaystyle C} が閉であることを示す。 S ⊂ C {\displaystyle S\subset C} かつ S ⊂ α < κ {\displaystyle S\subset \alpha <\kappa } かつ ⋃ S = α {\displaystyle \bigcup S=\alpha } とする。
そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして ξ = ⋃ i < ω ξ i > α {\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha } かつ ξ ∈ C {\displaystyle \xi \in C} である。それは、全ての i < ξ {\displaystyle i<\xi } について、その要素が C i {\displaystyle C_{i}} の元だからである。よって、 C {\displaystyle C} は非有界である。
κ {\displaystyle \kappa \,} が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、 κ {\displaystyle \kappa \,} が正則で F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} を κ , {\displaystyle \kappa \,,} 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて { ξ < κ : ξ ≥ α } {\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,} (ただし α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa \,} )の形の集合を全て要素に持つとすると F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} は全てのclub集合を要素に持つ。