引き戻し (圏論)
写像による集合の逆像は以下のように引き戻しとして記述できる.
f: A → B, B0 ⊆ B とする.g を包含写像 B0 ↪ B とする.このとき,(Set における)f と g の引き戻しは,原像 f[B0] と原像の A への包含
f[B0] ↪ A
と f の f[B0] への制限
f[B0] → B0
によって与えられる.
この例のため,一般の圏において射 f と単射 g の引き戻しは,g によって特定される部分対象の f による「原像」と思うことができる.同様に,2つの単射の引き戻しは2つの部分対象の「共通部分」と思うことができる.
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &K&\to &P&\to &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &K&\to &X&\to &Z.\end{array}}}
自然な同型 (A×CB)×B D ≅ A×CD が存在する.明示的には,これが意味するのは: 射 f: A → C, g: B → C, h: D → B が与えられ, f と g の引き戻しが r: P → A と s: P → B によって与えられ, s と h の引き戻しが t: Q → P と u: Q → D によって与えられるならば, f と gh の引き戻しは rt: Q → A と u: Q → D によって与えられる.
図式的には,これが意味するのは,2つの引き戻し正方形を,1つの射を共有するように隣に並べると,真ん中の共有された射を無視して,大きい引き戻し正方形が得られる.
引き戻しと積を持つ任意の圏はイコライザを持つ.