ミンコフスキー空間
ミンコフスキー空間(ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space)とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。
V 2 = η ( m , n ) ( V , V ) = d ( m ) ( V ( m ) , V ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , V ( n ) ) = ( V ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\eta _{(m,n)}(V,V)\\&=d_{(m)}(V_{(m)},V_{(m)})-d_{(n)}(V_{(n)},V_{(n)})\\&=(V_{(m)})^{2}-(V_{(n)})^{2}\end{aligned}}}
となる。特に V = (0, V) ∈ M と選ぶと
V 2 = ( 0 ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 = − ( V ( n ) ) 2 {\displaystyle V^{2}=(\mathbf {0} _{(m)})^{2}-(V_{(n)})^{2}=-(V_{(n)})^{2}}
となり、ユークリッド計量の正定値性から、このノルムは負となる。すなわち、ミンコフスキー計量は不定計量である。
直積空間としての (m,n)-型のミンコフスキー空間 M = E×E におけるミンコフスキー計量 η(m,n) は、ユークリッド空間 E, E におけるユークリッド計量を d(m), d(n) として
η ( m , n ) ( V , W ) = d ( m ) ( V ( m ) , W ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , W ( n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{aligned}}}
で定義される。このときV のノルムは