微分形式
微分可能多様体 M, N に対し C 級写像
f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N}
と N 上の微分形式 ξ が与えられたとき、 p ∈ M に対し q = f(p) とおくと
f p ∗ : T q ∗ ( N ) → T p ∗ ( M ) f ∗ ( ξ q ) = ξ q ∘ d f p {\displaystyle {\begin{aligned}&f_{p}^{*}\colon \mathrm {T} _{q}^{*}(N)\to \mathrm {T} _{p}^{*}(M)\\&f^{*}(\xi _{q})=\xi _{q}\circ \mathrm {d} f_{p}\end{aligned}}}
という写像によって、q 上の微分形式 ξq に p 上の微分形式 fp(ξp) を対応させることができる。これを M 全体に拡げた f = {fp}p∈M を考えることにより N 上の微分形式 ξ に M の微分形式 f(ξ) を対応させることができる。この f(ξ) を ξ の f による引き戻し(pull back) という。
M と N は次元が異なってもよい。
n 次元微分可能多様体 M の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} の任意の 2 つの座標近傍 (U1, φ1), (U2, φ2) に対し、U1 ∩ U2 が空でないならば座標変換
( φ 1 ∘ φ 2 − 1 ) : φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) {\displaystyle {\bigl (}\phi _{1}\circ {\phi _{2}}^{-1}{\bigr )}\colon \phi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \phi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}
が存在する。
φ 1 = ( x 1 , ... , x n ) φ 2 = ( y 1 , ... , y n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&=(x_{1},\dotsc ,x_{n})\\\phi _{2}&=(y_{1},\dotsc ,y_{n})\end{aligned}}}
であるとき、微分 k 形式の座標変換を上のように定め、U1 上の微分形式と U2 上の微分形式を同一視することにより、各座標近傍の上に定義される微分形式を張り合わせていくことができ、多様体上での微分形式が定義される。
向き付け可能な n 次元微分可能多様体 M に対し、座標近傍 {(Uk,φk)} が全て正の向きの座標系で与えられ、{Uk} が局所有限な開被覆であるとき、これに従属した1の分割 {fk} が存在する。 M 上の微分 n 形式 ξ が、Uk 上で ξk と表現されているとき、
∫ M ξ = ∑ k ∫ U k f k ξ k {\displaystyle \int _{M}\xi =\sum _{k}\int _{U_{k}}f_{k}\xi _{k}}
によって、 M 上の ξ の積分を定義することができる。
多様体が局所的に R と見なせることから、局所的に計算した積分を足し合わせようという定義であり、開被覆で重なっている部分については 1 の分割により、重なっているそれぞれの座標近傍系に積分を割り振って計算しようということである。