主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
PID R 上の任意の有限生成加群 M に対して,真のイデアルの減少列 ( d 1 ) ⊇ ( d 2 ) ⊇ ⋯ ⊇ ( d n ) {\displaystyle (d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})} が一意的に存在して,M は巡回加群の直和に同型となる:
M ≅ ⨁ i R / ( d i ) = R / ( d 1 ) ⊕ R / ( d 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ R / ( d n ) . {\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).}
イデアルの生成元 di は単元の積の違いを除いて一意であり,M の単因子 (invariant factor) と呼ばれる.イデアルは真のイデアルだから,これらの因子は可逆であってはならず(これにより直和に自明な因子が現れない),イデアルの包含は可除性 d 1 ∣ d 2 ∣ ⋯ ∣ d n {\displaystyle d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{n}} を意味する.自由部分は因子 di = 0 に対応する分解の部分として見える.