ライプニッツの積分法則
以下の様に積分が定義された場合、
∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t , {\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,} − ∞ < a ( x ) , b ( x ) < ∞ {\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty } .
この積分の導関数は次のようにして得られる。
d d x ( ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t ) = f ( x , b ( x ) ) ⋅ d d x b ( x ) − f ( x , a ( x ) ) ⋅ d d x a ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\qquad (1)}