ロジスティック写像
井庭 崇・福原 義久、1998、『複雑系入門 ―知のフロンティアへの冒険』初版、NTT出版 ISBN 4-87188-560-7
瀬野 裕美、2016、『数理生物学講義 : 【基礎編】 数理モデル解析の初歩』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-05781-4
池口 徹・山田 泰司・小室 元政、合原 一幸(編)、2000、『カオス時系列解析の基礎と応用』初版、産業図書 ISBN 978-4-7828-1010-1
Kenneth Falconer、服部 久美子・村井 浄信(訳)、2006、『フラクタル幾何学』、共立出版〈新しい解析学の流れ〉 ISBN 4-320-01801-X
フランコ・ヴィヴァルディ、ニ-ナ・ホ-ル(編)、宮崎 忠(訳)、1994、「数学的実験によるカオスの証明」、『カオスの素顔』、講談社〈ブルーバックス B-1029〉 ISBN 4-06-257029-7
金子 邦彦・津田 一郎、1996、『複雑系のカオス的シナリオ』初版、朝倉書店〈複雑系双書1〉 ISBN 4-254-10514-2
ジェイムズ・グリック、上田 睆亮(監修)、大貫 昌子(訳)、1991、『カオス ―新しい科学をつくる』、新潮社〈新潮文庫 ク-18-1〉 ISBN 4-10-236101-4
Robert M. May (1976). “Simple mathematical models with very complicated dynamics”. Nature 261: 459–467. doi:10.1038/261459a0.
このようなカオス軌道はバンドカオスや周期的カオスと呼ばれ、k 個のバンドから成るカオスは k バンドカオスなどと呼ばれる。2バンドカオスであれば、およそ 3.590 < a < 3.675 の範囲内に存在している。
2バンドカオスの左端 a = 3.590 からさらに値を小さくしていくと、周期倍加分岐のときと同じようにバンドの数が2倍ずつ増えていく。p−1 バンドカオスが分裂して p バンドカオスになる分岐点、あるいは p バンドカオスが融合して p−1 バンドカオスになる分岐点を ep (ただし p = 1, 2, 4, ..., 2, ...)で表すとする。すると、周期倍加分岐と同じように p → ∞ で ep はある値に集積する。この集積点 e∞ でバンドの数は無限となり、e∞ の値は a∞ の値と一致する。
a∞ より前に現れた周期倍化分岐カスケードの分岐点についても、同じように、p 安定周期軌道が分岐して p+1 安定周期軌道になる分岐点を ap(ただし p = 1, 2, 4, ..., 2, ...)で表すとする。このとき、a2 から e2 までの軌道図に着目すると、a1 から e1 までの全体軌道図の縮小版が a2 から e2 までの軌道図の中に2つ存在している。同様に、a4 から e4 までの軌道図に着目すると、a1 から e1 までの全体軌道図の縮小版が a4 から e4 までの軌道図の中に4つ存在している。以下同様に ap から ep までの軌道図には全体軌道図の縮小版が p 個存在しており、ロジスティック写像の分岐構造は無限の自己相似階層を備えている。
写像の反復が力学系と関連する意味を持つ以前の時代、数学者のガストン・ジュリアとピエール・ファトゥが複素関数の反復について研究していた。ジュリアとファトゥの研究は解析関数を中心とした広範なものだったが、とくに式 (6-3) でも示した以下の複素2次関数の振る舞いが1920年代に彼らによって研究された。
ジュリアとファトゥもジュリア集合の中にカオス的振る舞いを理解していたが、当時はコンピュータ・グラフィックスなども無かったこともあって、彼らに続く人物が現れず研究は止まってしまった。その後1970年代後半まで複素力学系の研究は下火が続き、複素平面上の写像が示す豊かな力学系的振る舞いが着目されるのはベノワ・マンデルブロなどの登場を待つことになる。
1947年、数学者のスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンは “On combination of stochastic and deterministic processes”(参考訳:確率論的過程と決定論的過程の結合に関して)と題した短いレポートで、
という2次関数の反復合成によって疑似乱数を生成できることを指摘している。この式は、現在的な視点では a = 4 のロジスティック写像に相当する。
パラメータ a が 4 を超えると、ロジスティック写像のグラフの頂点 a/4 は 1 を超える。グラフが 1 を突き抜けている範囲から、軌道は [0, 1] を抜け出せるようになる。その結果、[0, 1] のほとんどの全ての点から出発する軌道はどこかの時点で [0, 1] を抜け出し、最終的にマイナス無限大へ発散してしまう。
この a = 4 で起こる分岐もクライシスの一種で、とくに境界クライシスと呼ばれる。この場合の境界クライシスでは、[0, 1] にあったアトラクタが不安定化・崩壊し、なおかつ外側にアトラクタも存在しないため、軌道が無限遠へと発散してしまう。
一方で、a > 4 の条件下でも [0, 1] の中に留まり続ける軌道がある。分かりやすい例は [0, 1] 内の不動点や周期点で、これらは [0, 1] の中に留まり続ける。しかし、[0, 1] の中に留まり続ける軌道には、不動点や周期点以外の軌道も存在している。