多様体
ψ1 = f(φ1, ..., φm)
ψ2 = f(φ1, ..., φm)
...
ψn = f(φ1, ..., φm)
のように表現されているとき、 この表示を (Uλ, φλ) と (Vτ, ψτ) に関する f の局所座標表示という。
座標変換を考えるために f(U1) ⊆ (V1) , f(U2) ⊆ (V2) とし、 U1 ∩ U2 が空でないとする。 U1 ∩ U2 に対して、座標近傍 (U1, φ1) と (V1, ψ1) での写像 f の表示
ψ 1 ∘ f ∘ φ 1 − 1 : φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → ψ 1 ( V 1 ∩ V 2 ) {\displaystyle \psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}:\varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{1}(V_{1}\cap V_{2})}
を座標変換を用いて座標近傍 (U2, φ2) と (V2, ψ2) に関する表示に変換すると
( ψ 2 ∘ ψ 1 − 1 ) ∘ ( ψ 1 ∘ f ∘ φ 1 − 1 ) ∘ ( φ 1 ∘ φ 2 − 1 ) : φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → ψ 2 ( V 1 ∩ V 2 ) {\displaystyle (\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1})\circ (\psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}):\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \psi _{2}(V_{1}\cap V_{2})}
である。この U′λ はユークリッド空間の部分集合なので その点である q は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標で表すことができ、この座標を用いて微積分などの計算が可能になる。座標近傍 (Uλ, φλ) においてその座標を用いて具体的に f(x1, x2, ..., xm) のように書かれた関数を (Uλ, φλ) に関する f の局所座標表示という。
ところで、多様体上の計算はなるべく局所座標のとり方に依存しないような計算をしたいという目標があるので U1 ∩ U2 上では、座標近傍 (U1, φ1), (U2, φ2) のそれぞれの計算は座標変換でうつり合う必要がある。 座標近傍 (U1, φ1) での関数の表示
f ∘ φ 1 − 1 : φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → R {\displaystyle f\circ \varphi _{1}^{-1}:\varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to R}
を座標近傍 (U2, φ2) での表示に変換すると