グリーンの定理
グリーンの公式の応用の一つとして、平面内の領域Dに対し、その周囲における線積分による面積の求積がある。プラニメータにも応用されている。閉曲線Cで囲まれる領域Dに対し、その面積は
A = ∫∫ D 1 d x d y {\displaystyle A=\iint _{D}1\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
で与えられる。P(x, y)=-y/2、Q(x, y)=x/2とすると、
∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y = 1 {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1}
であるから、グリーンの定理より、面積Aは線積分
A = 1 2 ∮ C ( − y d x + x d y ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{C}(-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y)}
で求まる。
P(x, y)=-y、Q(x, y)=0、もしくはP(x, y)=0、Q(x, y)=xの組からも同様の結果を得ることができ、面積Aを求める線積分の公式として、
A = ∮ C x d y = ∮ C − y d x {\displaystyle A=\oint _{C}x\mathrm {d} y=\oint _{C}-y\mathrm {d} x}
も成り立つ。