テンソル
数学的応用に際しては、より抽象的やり方の方が有効なこともある。これは普遍性を通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソルを定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルはベクトル空間のテンソル積の元
T ∈ V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ p copies ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ q copies {\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}}
として定義される。
一般に、vi が V の基底を成し、wj が W の基底を成すとき、テンソル積空間 V ⊗ W は自然な基底 {vi ⊗ wj} を持つ。テンソル T の成分は、V の基底 {ei} とその双対基底 {ε} から得られる基底に関するテンソルの係数
T = T j 1 ... j q i 1 ...