代数曲面
次元が 1 の場合には、(位相的な)種数だけによる双有理な分類ができたが、次元が 2 の場合は、位相的な種数だけでは双有理的な区別ができないので、算術種数 p a {\displaystyle p_{a}} と 幾何種数 p g {\displaystyle p_{g}} の差異が重要なことがわかる。従って、曲面の不正則数が代数多様体の双有理分類のために導入する。結果をまとめると下記のようになる。(詳細の曲面の各々の種類については、各々のリダイレクション先を参照)
代数曲面の例は下記のようになる(κ は小平次元である)。
κ = −∞ : 射影平面(英語版)(projective plane)、P の中の 2次曲面、3次曲面(英語版)(cubic surface)、ベロネーゼ曲面(英語版)(Veronese surface)、デル・ペッゾ曲面(英語版)(del Pezzo surface)、線織曲面(英語版)(ruled surface)
κ = 0 : K3曲面、アーベル曲面、エンリケス曲面、超楕円曲面
κ = 1 : 楕円曲面
κ = 2 : 一般型代数曲面
さらに例があるので、代数曲面のリスト(英語版)を参照。
最初にある 5つの例は、実際、双有理同値である。すなわち、例えば、3次曲面は函数体が複素平面(英語版)(projective plane)の函数体に同型であり、2つの変数の有理函数となっている。2つの曲線のカルテシアン積(直積)もまたこの例となる。