KdV方程式
時間変数 t と空間変数 x をもつ一次元実数値関数 u(x, t) に対して、α, β をゼロではない任意の実定数として
∂ u ∂ t + α u ∂ u ∂ x + β ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha u{\frac {\partial u}{\partial x}}+\beta {\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0}
で与えられる非線形偏微分方程式をKdV方程式という。また、各変数と u に適当なスケール変換(英語版)を施せば、係数を α = 6, β = 1 と取りなおすことができる。このとき、各変数に対する偏微分を右下の添え字として表せば、
u t + 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0}
となる。
KdV方程式は、浅水波などの非線形波動現象を記述する。
KdV方程式の一般的な解法としては、逆散乱法(英語版)や広田の直接法が存在する。