基本群
空間(例えば、曲面)とその中の点があり、この点を始点と終点とするすべてのループ — この点を始点とし周囲を巡り最終的に始点に戻ってくる道 — を考える。2つのループは明らかな方法でつなげることができる、すなわち第一のループに沿って移動してから、第二のループに沿って移動する。2つのループは、ループを壊すことなく一方から他方へ変形できるときに同値であると考える。すべてのそのようなループの集合にこの方法で合成と同値関係を入れたものがその空間の基本群である。
明らかにわかるように、弧状連結な位相空間である普遍被覆空間 H が、再び、弧状連結な位相群 G である。さらに、被覆写像は G から H の上への連続で開準同型であり、核は Γ で、G の閉じた離散正規部分群である。
1 → Γ → G → H → 1. {\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}
G は連結群で離散群 Γ 上の共役により連続作用を持っているので、自明に作用するはずで、従って、Γ は G の中心の部分群となっているはずである。特に、π1(H) = Γ は可換群で、このことも被覆空間を使うことなしに容易に直接わかる。群 G は H の普遍被覆群と呼ばれる。
普遍被覆群が示唆しているように、位相群の基本群と群の中心とは類似関係にあり、このことは被覆群の束(英語版)に詳しく記載されている。
空間の積の一般化は、ファイブレーション(英語版)により与えられる。
F → E → B . {\displaystyle F\to E\to B.}
ここに全空間 E は、底空間 B とファイバー(fiber) F の「ツイスト(英語版)した積」の一種である。一般に、B, E, F の基本群は、高次ホモトピー群を含むファイブレーションの長完全系列の項である。空間がすべて連結のとき、この系列は次の基本群についての結果をもたらす。
F が単連結であれば、π1(B) と π1(E) は同型である。
E が可縮であれば、πn+1(B) と πn(F) は同型である。
後者の式は、しばしば次のような状況へ応用される。E を B の道 (位相空間論)の空間、F を B のループ空間(英語版)とするか、もしくは、B を 位相群 G の分類空間 BG とし、E を普遍 G-バンドル EG とする。