水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
ハミルトニアン(Y2)の固有関数(B5)に登場する2つの変数は以下のように呼ばれる:
nは主量子数と呼ばれ、ˆHxのエネルギー固有値の大きさを司っている。
lは軌道角運動量量子数(方位量子数)と呼ばれ、ˆLの固有値の大きさを司っている。
mは磁気量子数(軌道磁気量子数)と呼ばれ、ˆLzの固有値の大きさを司っている。
なお、n−l−1は、動径方向の波動関数の節の数を表している。
..(M2)
‖ R ‖ r := ∫ 0 ∞ | R ( r ) | 2 r 2 d  r {\displaystyle \|R\|_{r}{}:={\sqrt {\int _{0}^{\infty }|R(r)|^{2}r^{2}\operatorname {d} r}}} ...(M3)
(M2)のノルムを1にする規格化定数の値は「軌道角運動量」の項目に書いてあり、
( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 l + 1 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! {\displaystyle (-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{4\pi }}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}\,}}}
である。
(M3)のノルムを1にする規格化定数の値の計算は後述するが、結論から言えば規格化定数は
( 2 n ) 3 / 2 ( n − l − 1 ) ! 2 n ( n + l ) ! {\displaystyle \left({2 \over n}\right)^{3/2}{\sqrt {\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}} ...(M5)
である。
適切な値a0と定数Eaを選び、長さとエネルギーをそれぞれa0、Eaが1となるように座標変換
( x ′ , y ′ , z ′ ) = ( x / a 0 , y / a 0 , z / a 0 ) {\displaystyle (x',y',z')=(x/a_{0},y/a_{0},z/a_{0})}
E ′ = E / E a {\displaystyle E'=E/E_{a}}
してやると、(Y2)のハミルトニアンに関する時間非依存なシュレディンガー方程式は

と無次元化される
簡単な計算によりa0、Eaの具体的な値は
a 0 = ħ 2 μ Q {\displaystyle a_{0}={\hbar ^{2} \over \mu Q}} 、 E a = μ Q 2 ħ 2 {\displaystyle E_{a}={\mu Q^{2} \over \hbar ^{2}}} ...(A2)
である事が分かる。
ˆLとˆLzの同時固有関数の求め方は「軌道角運動量」の項目に書いてあるので、結論だけを言えば、l = 0, 1, 2, ..., m = 0, ±1, ±2, ... ±lに対し、
L 2 ^ ψ = ħ 2 l ( l + 1 ) ψ {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}\psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi }
L ^ z ψ = m ħ ψ {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\psi =m\hbar \psi }
を満たす固有関数ψが存在し、ψは極座標で
ψ ( r ′ , θ , φ ) = R ( r ′ ) P l | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle \psi (r',\theta ,\varphi )=R(r')P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }} ×(規格化定数) ...(B1)
という形で書ける。ここでR(r')は任意の自乗可積分関数であり、Pl(z)はルジャンドルの陪多項式
P l m ( z ) = 1 2 l l ! ( 1 − z 2 ) m 2 d m + l d  z m + l ( z 2 − 1 ) l {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(z)={1 \over 2^{\ell }\ell !}(1-z^{2})^{m \over 2}{\operatorname {d} ^{m+\ell } \over \operatorname {d} z^{m+\ell }}(z^{2}-1)^{\ell }}
である。
}}}
これが(D1)の左辺である1と等しいことから、規格化定数C′について解く事で
C ′ = ( 2 n ) 3 / 2 ( n − l − 1 ) ! 2 n [ ( n + l ) ! ] 3 {\displaystyle C'=\left({2 \over n}\right)^{3/2}{\sqrt {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}}} ...(D2)
が得られる。
なお、無次元化する前のハミルトニアン(Y2)に対する規格化定数は、変数変換
∫ 0 ∞ | R ( r ) | 2 r 2 d  r = 1 a 0 3 ∫ 0 ∞ | R ( r ′ ) | 2 r ′ 2 d  r ′ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|R(r)|^{2}r^{2}\operatorname {d} r={1 \over a_{0}}^{3}\int _{0}^{\infty }|R(r')|^{2}r'^{2}\operatorname {d} r'}
の分だけ(D2)のものとはずれるので、(Y2)に対する規格化定数は、
C = ( 2 n a 0 ) 3 / 2 ( n − l − 1 ) ! 2 n [ ( n + l ) ! ] 3 {\displaystyle C=\left({2 \over na_{0}}\right)^{3/2}{\sqrt {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}}} ...(D3)
となる。