状態空間 (制御理論)
連続時不変状態空間モデルの伝達関数は、次のように導出できる。
まず、次の式
x ̇ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}
のラプラス変換を求める。
s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}
次に X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} に着目すると次のように変形できる。
( s I − A ) X ( s ) = B U ( s ) {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)} X ( s ) = ( s I − A ) − 1 B U ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)}
これを使って、出力方程式の X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} を置き換える。
従って、状態の可制御性(controllability)条件は、許容範囲内の入力で、ある有限の時間をかければ状態をある初期値から特定の値へと変化させることが可能であることを暗に示している。連続時不変状態空間モデルが制御可能(controllable)であるとは、次が成り立つ場合である。
rank  [ B A B A 2 B . . . A n − 1 B ] = n {\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n}
x ( t ) ∈ R n {\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}} ; y ( t ) ∈ R q {\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}} ; u ( t ) ∈ R p {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}} ; dim  [ A ( ⋅ ) ] = n × n {\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n} , dim  [ B ( ⋅ ) ] = n × p {\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p} , dim  [ C ( ⋅ ) ] = q × n {\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n} , dim  [ D ( ⋅ ) ] = q × p {\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p} , x ̇ ( t ) := d x ( t ) d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}} .
安定性については、外部的な安定に関するBIBO安定性があり、内部的な安定に関するリアプノフ安定性と漸近安定性など平衡状態の安定性もある。非線形システムの平衡状態は唯一ではないが、線形システムの状態行列A(t)が可逆的であるとき平衡状態が 0 {\displaystyle \mathbf {0} } しかない。
BIBO安定性はシステムの零状態応答を着目し、平衡状態の安定性はシステムの零入力応答を着目する。なお、リアプノフ安定性は、力学系の安定性理論の基礎である。安定性の判定には、状態行列Aとの密接な関係がある。