レイリー・ジーンズの法則
プランクの公式では、エネルギー密度は
u ( ν , T ) = 8 π h ν 3 c 3 1 e h ν / k T − 1 {\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}}
で与えられる。プランクの公式は高温、または低振動度数で hν<<kT が満たされる場合については、
u ( ν , T ) ∼ 8 π ν 2 k T c 3 ( h ν k T << 1 ) {\displaystyle u(\nu ,T)\sim {\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}\quad {\biggl (}{\frac {h\nu }{kT}}<<1{\biggr )}}
とレイリー・ジーンズの公式で近似される。また、プランクの公式では、u(ν,T) を全振動数の領域に亘って積分した全エネルギー密度は
U V = ∫ 0 ∞ u ( ν , T ) d ν = 8 π 5 15 ( k T ) 4 ( h c ) 3 ∝ T 4 {\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u(\nu ,T)d\nu ={\frac {8\pi ^{5}}{15}}{\frac {(kT)^{4}}{(hc)^{3}}}\varpropto T^{4}}
と有限の値をとる。
この式は
輻射場は空洞炉の壁の物質と熱平衡にある電磁波(光)であり、波として振る舞う
電磁波の全てのモードに対してエネルギー等配分の法則が成り立つ
という2つの古典物理学的な仮定から導出される。しかし、上式は振動数が低い(波長が長い)領域では実験と良く一致するが、振動数が高く(波長が短く)なればなるほど実験結果とズレが大きくなる。また、放射の全エネルギー密度
∫ 0 ∞ u ( ν , T ) d ν ( = ∫ 0 ∞ u ( λ , T ) d λ ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }u(\nu ,T)d\nu \left(=\int _{0}^{\infty }u(\lambda ,T)d\lambda \right)}
を計算しようとすると発散して無限大になってしまう。このことは、黒体放射の問題に対して古典物理学が破綻することを端的に示している。