ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズの論文は100ページを超えるもので、群論、代数幾何、可換環論、ガロア理論の専門的な記号や表記がよく使われている。ワイルズの基礎作りに貢献した数学者たちは、しばしば新しい専門的な概念や技術的な専門用語を生み出している。
紹介されたものの中には、Ribetが1993年に送ったメールもある; Hesselinkのトップレベルの問題のクイックレビューでは、初等代数だけを与え、抽象代数を避けている;あるいは、DaneyのWebページでは、彼自身のノートとこのテーマで入手できる最新の書籍のリストを提供している。Westonは科目間の関係のいくつかの便利な地図を提供しようと試みている。 F. Q. Gouvêaの必修項目のいくつかを見直した、1994年の論文「A Marvelous Proof」はLester R. Ford賞を獲得した。 Faltingsのこの問題に関する5ページの技術速報は、非専門家向けに証明について素早く技術的にレビューしているものです。 市販のガイド本を探している人には、抽象代数に詳しい人はHellegouarchを読んで、次にコーネルの本 は「整数論の大学院生」にも理解できるとされている。コーネル社の本はワイルズの証明の全てを網羅しているわけではない。
Wilesの証明の構成は以下の通り。 1995年に発表された108ページの論文で、ワイルズは主題を以下の章に分割してい留(ここではページ番号で先行)。
はじめに 443
第1章 455 1.ガロア表現の変形 472 2.コホモロジー群のいくつかの計算 475 3.GL2(k)の部分群に関するいくつかの結果
第2章 479 1.ゴレンシュタインの性質 489 2.ヘッケ環間の合同性 503 3.主な予想
第3章 517 セルマー群の推定値。
第4章 525 1.通常のCMの場合 533 2.ηの計算
第5章 541楕円曲線への応用
付録 545 ゴレンシュタイン環と局所的完全交点について
その後、ゲルト・ファルティングスは1995年の証明にいくつかの簡略化を施し、主に幾何学的な構成からより単純な代数的なものに切り替えた。 コーネル会議の本には、元の証明に対する簡略化も含まれていた。
l = 3 and n= 1の場合、 Langlands-Tunnell theorem の結果、 Q 上の任意の楕円曲線の ( m o d , 3 ) {\displaystyle (\mathrm {mod} ,3)} representation は、あるモジュラー形式から来ることがわかる。 基本的な戦略は、l = 3 と任意の n に対してこれが正しいこと、つまりすべての n に対して有効な単一のモジュラー形式が存在することを n の帰納法を用いて示すことである。 そのためには、 ( m o d l n ) {\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n})} をlift できる方法の数を比較する、計数論的な議論を用いる。\のGalois表現を ( m o d l n + 1 ) {\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n+1})} にできる数と、 ( m o d l n ) {\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n})} モジュラー形式を持ち上げられる数とを比較する。
重要な点は、ガロア表現に十分な条件を課すことである。さもなければ、リフトが多すぎて、ほとんどがモジュラー形式にはならない。 この条件は、モジュラー形式から来る表現と楕円曲線から来る表現で満たされる必要がある。