捩れ (代数学)
M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、(多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって)V は捩れ F[L] 加群である。
R を可換な整域で、M を R-加群と仮定する。また、Q を環 R の分数体とする。すると、M から係数拡大により与えられる Q-加群
M Q = M ⊗ R Q {\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q}
を考えることができる。Q は体であるから、Q 上の加群はベクトル空間である(無限次元かもしれない)。M から MQ へのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 t(M) である。より一般に、S を環 R の積閉部分集合とすると、R 加群 M の局所化
M S = M ⊗ R R S {\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S}}
を考えることができる。これは、局所化 RS 上の加群である。M から MS への標準的な準同型が存在し、その核がちょうど M の S-捩れ部分加群となる。したがって、M の捩れ部分加群は、「局所化したときに消える」元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 S と右 R-加群 M に対して、成り立つ。
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイド問題(英語版)は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。(答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。)
行列式が 1 の 2×2 整数行列の群 SL(2, Z) を中心で割ったモジュラー群 Γ において、任意の非自明な捩れ元は、位数 2 で元 S に共役であるか、あるいは、位数 3 で元 ST に共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、S・ST = T であるが、この位数は無限大である。
mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群(英語版)の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup(英語版)であるときである。
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元 r が存在して、m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環(英語版)であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。