スペクトル密度
上述のエネルギースペクトル密度の定義は、信号のフーリエ変換が存在するパルスのような信号に最も適している。たとえば定常物理過程を示す連続信号について、パワースペクトル密度あるいは電力スペクトル密度 (PSD) を定義することは価値があり、信号や時系列のパワーが周波数についてどのように分布しているかを示す。抽象的な信号についても、信号の2乗と定義できる。このとき、信号 f(t) のある一瞬の力は次のように与えられる。
P ( t ) = f ( t ) 2 {\displaystyle P(t)=f(t)^{2}}
平均(あるいは期待値)としての P(t) は、全周波数領域にわたる電力スペクトル密度の積分である。
正規化されたフーリエ変換:
F T ( ω ) = 1 T ∫ 0 T f ( t ) exp  ( − i ω t ) d t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}f(t)\exp(-i\omega t)dt}
を使用して、次のようにパワースペクトル密度を定義できる。
P S D ( ω ) = lim T → ∞ E [ | F T ( ω ) | 2 ] {\displaystyle PSD(\omega )=\lim _{T\rightarrow \infty }\mathbf {E} \left[|{\mathcal {F}}_{T}(\omega )|^{2}\right]}
スペクトル密度推定の目的は、連続した時間サンプルからランダム信号のスペクトル密度を推定(estimate)することである。 信号から何が知られているかに依存するが、推定方法は パラメトリック推定(英語版) と非パラメトリック推定の2つの方法があり、時間領域または周波数領域の分析が基本となる。たとえば、パラメトリック推定(英語版) で共通の技術は自己回帰モデルに観測を適応させることを含んでいる。非パラメトリック推定で共通の技術はピリオドグラム(英語版)である。
スペクトル密度は通常フーリエ変換法を使用して推定されるが、ウェルチ法(英語版)や最大エントロピー法といった他の技術も使用することができる。