アラン分散
水晶発振器や原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。
この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散(2-サンプル分散)を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散(2-サンプル分散)の方が望ましいとみなした。
規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。
y ̄ ( t , τ ) = 1 τ ∫ 0 τ y ( t + t v ) d t v , {\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}
ここでτは平均化時間を表す。