ファイバー束
ファイバーと構造群の等しい 2つのファイバー束
ξ1 = (E1, π1, B1, F, G)
ξ2 = (E2, π2, B2, F, G)
に対し、連続写像
ηE: E1 → E2
ηB: B1 → B2
があり、
π2 ∘ ηE = ηB ∘ π1
を満たすとする。x ∈ B1 に対し
y = ηB(x)
と書くことにすると、ηE は、x 上のファイバー Fx を y 上 のファイバー Fy に写す。すなわち、この (ηE, ηB) という写像は、ファイバーという構造を保存する写像である。さらに ηE が同相写像であるとき (ηE, ηB) を束写像 (bundle map) という。
ηB は ηE から条件を満たすように定まる写像と定義して、ηE の事を束写像と呼ぶこともある。さらに底空間も等しい 2つのファイバー束
ξ1 = (E1, π1, B, F, G)
ξ2 = (E2, π2, B, F, G)
で ηB が恒等写像となる束写像 (ηE, ηB) が存在するとき、この 2つのファイバー束は同値であるといい、ξ1 ≡ ξ2 と書く。
gba(x): F → F
gba(x)(f) := φ −1b, x ∘ φa, x(f)
を導く。
ここで、gba(x) ∈ G であり、
gba: Ua ∩ Ub → G
は連続写像であるとし、G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。
このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。
一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。