関手
点つき位相空間、すなわち基点を伴った位相空間の圏を考える。その対象は位相空間 X と X の固定した一点 x の組 (X, x) で、(X, x) から (Y, y) への射は f(x) = y となる(基点を基点に写す)連続写像 f: X → Y によって与えられる。
点つき位相空間 (X, x) に対して、基本群 π1(X, x) が x を基点とする X 内のループのホモトピー類のなす群として定義できる。f: (X, x) → (Y, y) が点つき位相空間の射ならば、X 内の x を基点とした全ての閉道は、y を基点とする Y 内の閉道に写される。この操作はホモトピー同値と閉道の合成とに両立するから π(X, x) から π(Y, y) への群の準同型写像を得る。ここから、点つき位相空間の圏から群の圏への関手が得られる。
基点を特に指定しない位相空間の圏では一般のパスについて(端点を固定した)ホモトピー類を考えることができる。こうして位相空間の圏から小さな圏の圏への共変関手である基本亜群 Π が得られるが、これは X のそれぞれの点を基点にして得られる基本群と、パスの合成によって与えられる基点の取り替えを表現していると見なせる。連続写像 f: X → Y に対応する射 Π は函手 ΠX → ΠY になっている。