最大事後確率
θ ^ M A P ( x ) = a r g m a x θ  f ( x | θ ) g ( θ ) ∫ Θ f ( x | θ ′ ) g ( θ ′ ) d θ ′ = a r g m a x θ  f ( x | θ ) g ( θ ) {\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }{\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\,g(\theta )\!}
事後分布の分母は θ {\displaystyle \theta } に依存していないので、最適化には何の役割も果たさない。 θ {\displaystyle \theta } のMAP推定で事前分布 g {\displaystyle g} が一様分布の場合の結果は、最尤推定に一致する。MAP推定は、一様損失関数におけるベイズ推定関数である。
MAP推定の計算は解析的に解くか数値的に計算できる。
閉形式で事前分布の最頻値が与えられるとき、解析的に解ける。この場合、共役事前分布を使う。
数値的最適解を得るには 汎用の最適化問題のアルゴリズムを使用する。例えば、勾配法(共役勾配法や準ニュートン法など)がある。勾配法の場合は導関数が必要で、それを解析的または数値的に計算する必要がある。 EMアルゴリズムを変形して用いる。この場合、事後分布の導関数は不要である。 マルコフ連鎖モンテカルロ法などのサンプリング法を使う。