特異点解消
マックス・ネーター(英語版)の方法は、平面曲線を取り(特異点と一般の位置にある2つの点により決定される)2次変換を繰り返すというものである。最終的には、これにより(すべての接線が重複度2を持つ)通常多重点のみを特異点とする平面曲線ができあがる。
元々の特異点解消の問題とは、代数多様体 X の関数体に対してその非特異モデル、つまりその関数体を持つ完備非特異代数多様体 X ′ を見つけることであった。しかし応用上は次のように少し違った形で問題を定式化しておいたほうが便利である。代数多様体 X が特異点解消を持つとは、非特異代数多様体 X ′ と X ′ から X への固有な双有理写像を見つけられることをいう。写像が固有という条件は、X ′ として X の非特異点がなす部分代数多様体などの自明な解を除外するためのものである。
もっと一般に、より大きな代数多様体 W に埋め込まれた代数多様体 X の特異点を解消すると便利であることが多い。X から正則な代数多様体 W への閉埋入があったとする。X の強非特異化(strong desingularization)とは、正則な代数多様体 W′ から W への固有双有理射であって次の条件いくつか満たすものを与えることである(条件の選び方は人によって異なる)。
解消の定義を任意のスキームに拡張することは容易である。全てのスキームが特異点の解消を持つわけではない。Grothendieck (1965, section 7.9) は、局所ネーター・スキーム X が X 上の任意の有限整スキームの特異点を解消できるという性質を持つなら、X は準優秀でなければならないことを示した。グロタンディークは逆もまた成り立つのではないか、つまり局所ネーター・スキーム X が被約かつ準優秀なら、その特異点解消が可能ではないかと述べた。X がネーターで標数0の体上定義されているなら、これは広中の定理からしたがう。 X の次元が2以下なら、これはリップマンにより証明されている。
Hauser (2010) で未解決の標数 p における解消問題の研究状況の調査がなされている。