分離多元環
体の拡大 L/K において、L が K 上の結合多元環として分離的である必要十分条件は、体 K の拡大として分離的であることである。L/K が原始元 a を持ち、その最小多項式を L 上で p(x) = (x − a) ∑n−1i=0 bi x と書けば、その分離べき等元は ∑n−1i=0 a ⊗ bi/p′(a) で与えられる。このテンソル積の因子は跡写像に対する双対基底である。すなわち、σ1, ..., σn を L から K の代数閉包の中への相異なる K-単準同型の全体とすれば、L から K の中への跡写像 Tr は Tr(x) ≔ ∑ni=1 σi(x) で定義される。この跡写像とその双対基底は、L を陽に K 上のフロベニウス多元環にする。