馬蹄形軌道
以下の説明は、太陽の周りを周回し、かつ地球に影響を受けて地球に対する馬蹄形軌道を取る小惑星を例に挙げたものである。
小惑星は地球とほぼ同じ軌道にあり、太陽をほぼ1年かけて公転しているものとする。
馬蹄形軌道の力学を理解する上で、軌道力学における以下の2つの法則を把握しておく必要がある。
太陽に近い天体は遠方を公転する天体よりも軌道を1周するのに必要な時間が短い。
天体が軌道に沿った方向に加速された場合、その天体の軌道は太陽から遠ざかる。逆に減速された場合は、軌道半径は小さくなる。
馬蹄形軌道は、地球の重力的な影響によって小惑星の楕円軌道の形状が変化させられることによって生まれる現象である。軌道の変化は非常に小さいものであるが、地球に対する小惑星の運動という観点では非常に大きな変化をもたらす。
馬蹄形軌道は、小惑星の運動を太陽と地球に対する相対的な動きとして描写した場合(太陽と地球を基準とした回転座標系)にのみ現れるものである。小惑星は常に太陽の周りを同じ公転方向に運動している。しかし小惑星は地球に追いついて接近した後に後退するというサイクルを経るため、太陽と地球を基準とした回転座標系の上ではその小惑星は馬蹄形の輪郭をなぞるような形を描くことになる。
土星の衛星であるエピメテウスとヤヌスは、互いに対する馬蹄形軌道で公転している。この2つの天体の特徴は、両天体の質量が同程度であるという点である。
地球と地球近傍小惑星の場合は両者の質量差が圧倒的に大きいため、回転座標系では小惑星が地球に対する馬蹄形軌道を取るように見える。厳密には地球と小惑星の間で角運動量がやり取りされているため、馬蹄形の先端で両者が接近する際は地球の角運動量も変化しているが、質量差が大きいため地球の軌道の変化は無視できる。しかしヤヌスとエピメテウスのように質量差が小さい場合は、どちらの天体の軌道変化も無視できなくなる。そのため馬蹄形の先端で「遭遇」した際に、内側の軌道にいた後方の天体は加速され外側の軌道に移り、外側の軌道にいた前方の天体は減速され内側の軌道に移る。この過程は、片方がもう一方の天体に追いついた際にあたかも互いの軌道を交換しているように見える。ヤヌスとエピメテウスの場合、ヤヌスの方が質量が大きいため、回転座標系における馬蹄形軌道の大きさはヤヌスのほうが小さく、エピメテウスの方が大きい。仮に両者の質量が同じであれば、互いの馬蹄形軌道は同じ大きさで対称になる。
このように軌道を交換する関係にある天体の組は、ヤヌスとエピメテウスしか発見されていない。
その後小惑星は点D周辺に到達する。そうすると今度は地球の重力は小惑星の公転方向とは逆向きの、小惑星を減速させようとする方向に働くことになる。そのため小惑星の軌道は内側へと落下し、それによって小惑星の公転角速度や軌道速度は上昇することになる。ここでも、小惑星は後方に「減速」されているものの、軌道が小さくなった結果として速度は大きくなる。この過程は小惑星が点E周辺に到達するまで継続し、小惑星は地球よりも内側の軌道で地球よりも速く公転することになる。そのため今度は小惑星は地球を引き離すように前方へ遠ざかっていくことになる。再び長い期間が経過した後、小惑星は点Aに戻り、馬蹄形軌道の1回のサイクルが終わって次のサイクルが始まる。
より長い期間では、小惑星は馬蹄形軌道と準衛星軌道を遷移する場合がある。準衛星は惑星に重力的に束縛されてはいないものの、惑星と同じ軌道周期で太陽の周りを公転し、惑星から見ると逆行軌道で公転しているように見える天体のことである。2016年までに、地球に対する馬蹄形軌道にある4つの天体と5つの準衛星はいずれも馬蹄形軌道と準衛星軌道を繰り返し行き来していることが、軌道計算から明らかになっている。