自己言及のパラドックス
嘘つきのパラドックスの問題は、真理と虚偽に関する一般通念を適用すると矛盾が導かれる点である。文法や意味論の上では規則を守りつつ、真理値を割り当てられない文を構築することができる。
このパラドックスの最も単純な文は次の通りである。
この文は偽である。(A)
(A) が真だとすると、そこで表明されていることは全て真でなければならない。しかし、(A) はそれ自身が間違っている(偽である)と表明しているので、それは偽のはずである。これを真とする仮説を立てると、それが偽だという矛盾が生じる。同様に偽とする仮説を立てても矛盾を生じる。この文を偽だとすると、そこで言っている内容は真ではないということになる。すると、それは真だということになる。どちらの仮説を採用しても、(A) は真でありかつ偽であるという結論に至る。
しかし、この文を真とすると偽だということになり、偽とすると真だということになることから、「真でも偽でもない」と結論することもある。このようにこのパラドックスに反応することは、真理と虚偽についての一般通念である「全ての文は二値原理に従う」を否定することであり、それは排中律とも関連する概念である。
算術に関する命題についての真偽判定述語が算術的に定義可能だとすると、嘘つきのパラドックスを引き起こす。 このことから真偽判定述語は算術的に定義不可能であることが導かれる(タルスキの定義不能性定理)。
なお、「この命題は偽である」を「この命題は証明不能である」に置き換えるとゲーデルの不完全性定理となる 。