オルバースのパラドックス
ハレーそのものの議論には言及していないものの、その不備を正しパラドックスを正しく定式化したのはスイスのジャン=フィリップ・ロイス・ド・シェゾーだった。1744年のシェゾーの著作『1743年12月および1744年1月、2月、3月に現れた彗星について』(Traité de la Comète qui a Paru en Décembre 1743 & en Janvier, Février & Mars 1744) の付録のひとつで集団としての星の明るさが定量的に求められ、このときパラドックスがはっきりとその姿を表した。シェゾーは無限の彼方まで均一に恒星が分布するとすれば、ある距離の球殻に含まれる恒星の数が太陽系からの距離とともにその2乗で増えると見積もることができ、距離の2乗に反比例する見かけの表面積と相殺しあうことを正しく認識していた。これにより、星の重なりを考慮すれば、宇宙のどの方向を考えてもほとんど必ずどこかの星の表面に行き当たることになる。
しかし宇宙に現実に存在する物質の量では恒星をそこまで長く輝き続けさせることはできず、このことは、本質的に宇宙に物質が足りていないことを示している。パラドックスが成立するためには現実の宇宙のおよそ10兆倍の密度で星が存在していなければならない。
実際の夜空の暗闇の正体については、1965年に宇宙背景放射が発見され、宇宙論の進展とともに、さらに近代的な解釈が可能となった。それにもとづけば現在我々が見ている宇宙の暗闇とは、何もない無限の空隙でも、見えない星があるのでもなく、137億年前のビッグバン後しばらくたってからの宇宙の姿である。ビッグバン後38万年までは、宇宙は原子核と電子がばらばらに存在して光は自由に動けなかったが、宇宙の拡大とともに3000Kにまで冷えたとき、原子が生成され初めて光が自由に動けるようになった。これは宇宙の晴れ上がりと呼ばれている。この瞬間からもたらされた熱放射は宇宙膨張による赤方偏移によって冷やされ、およそ1000倍の波長、目で捉えられないマイクロ波の電波を主体とする2.7Kの温度にまで長く引き伸ばされている。我々が現在見ている夜空の暗い背景は、実はこうした原初の宇宙の輝きの放射で覆われていることになる。
定常宇宙論の宇宙では、膨張が光速を超える境界(事象の地平面)から外は見えないものの、宇宙は無限の過去から続いており、やはり空を見上げた視線はいずれもやがて遠い過去の星へとたどり着く。しかし、これら遠くの星々の光は赤方偏移によって引き伸ばされることとなるため人の目で見ることはできず、宇宙は暗闇に見えるのだとする。
1950年代、著書の中で「オルバースのパラドックス」の名で夜空の暗闇のパラドックスへ人々の注意を向けさせたのは、まさにこのボンディであった。この著作は広く読まれ、後にビッグバン宇宙論が主流となってからも、このパラドックスそのものとこの解決が広く浸透することとなった。1965年には宇宙背景放射が発見され、宇宙がどの方向にも十分に一様でほとんど黒体放射に近いマイクロ波の放射で覆われていることが明らかとなった。この一様な背景放射は、定常宇宙論が導くような遠い過去の恒星の赤方偏移としてはうまく説明できず、ビッグバンにより始まる有限の年齢の宇宙という宇宙像が受け入れられるようになり、定常宇宙論は支持を失っていった。
このことは、どんな距離を考えても一般に成り立つ。すなわち、n 倍の距離を考えれば、星の見かけの面積は 1/n 倍となる一方で、考えている領域の大きさは n 倍となるので、結局、星全体の見かけの面積は距離に依存しない(右上の模式図を参照)。よって、宇宙が十分大きければ、よほど星が特殊な配置をしていない限り、より遠い距離までの星を考えるとともに空は星の表面によって一定の割合で埋め尽くされていかなければならないことになる。このとき、見かけの面積あたりの明るさは距離によらないので、恒星がどれも太陽と同じ程度に輝いているとすれば、空は太陽表面のようなまばゆい光で覆い尽くされる。この明るさは、我々が太陽表面まで降りていったときの明るさと考えることもできる。結局、宇宙の構造が場所によらない、すなわち宇宙の恒星の分布がほぼ一様で、光度も大きさも平均的に場所によらないという妥当と思われた仮定をおくと、無限もしくは十分に大きな宇宙では、実際の夜空の背景がなぜ暗いのか説明が必要な事柄となる。
この議論はまた、しばしば平坦な森の中でみる木々の幹に例えられる。森は2次元に広がるので、森の中の観測点からある距離にある木々の数は距離に比例して(距離の1乗で)増えるが、その幹の見かけの幅も反比例(逆1乗)で小さくなり、各距離での見かけの幅の合計は距離によらないと期待される。小さな林ならば、木々の幹の隙間から向こう側の風景を望むことができるが、木々が偏りなく分布しているのなら、ある程度大きな森では周囲は様々な距離にある木々の幹で覆いつくされ、森の向こうを見通すことができない。