カルマンフィルター
P k − 1 | k − 1 a = [ P k − 1 | k − 1 0 0 Q k ] {\displaystyle P_{k-1|k-1}^{a}={\begin{bmatrix}&P_{k-1|k-1}&&0&\\&0&&Q_{k}&\end{bmatrix}}}
シグマ点 2L+1 個は、付け加えた項から計算される。ここに L は付け加えた状態項の次元である。
シグマ点は関数 f で時間発展する。
χ k | k − 1 i = f ( χ k − 1 | k − 1 i ) i = 0..2 L {\displaystyle \chi _{k|k-1}^{i}=f(\chi _{k-1|k-1}^{i})\quad i=0..2L}
予測値と共分散は重み付き平均で求められる。
x ^ k | k − 1 = ∑ i = 0 2 L W s i χ k | k − 1 i {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}=\sum _{i=0}^{2L}W_{s}^{i}\chi _{k|k-1}^{i}}
P k | k − 1 = ∑ i = 0 2 L W c i [ χ k | k − 1 i − x ^ k | k − 1 ] [ χ k | k − 1 i − x ^ k | k − 1 ] T {\displaystyle P_{k|k-1}=\sum _{i=0}^{2L}W_{c}^{i}\ [\chi _{k|k-1}^{i}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}][\chi _{k|k-1}^{i}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}]^{\textrm {T}}}
もし、モデルが正確で初期条件 x ^ 0 | 0 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{0|0}} と P 0 | 0 {\displaystyle P_{0|0}} が正確ならば、全ての推定量は不偏である。
E ( x k − x ^ k | k ) = E ( x k − x ^ k | k − 1 ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k})=\mathrm {E} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})=0}
E ( e k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} ({\boldsymbol {e}}_{k})=0}