冪零行列
零行列は冪零行列である。
A = [ − 1 1 − 1 1 ] , B = [ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&1\\-1&1\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}} はそれぞれ A = O, B = O となる冪零行列である。
より一般に実数 u, t に対して A = u [ − sin  t 1 + cos  t − 1 + cos  t sin  t ] {\displaystyle A=u{\begin{bmatrix}-\sin t&1+\cos t\\-1+\cos t&\sin t\end{bmatrix}}} は A = O を満たす冪零行列である。
実数 a, b, c に対して、
[ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}}
の形をした行列は冪零行列である。このような冪零行列全体の集合は、交換子積 X Y − Y X {\displaystyle XY-YX} によりリー代数(ハイゼンベルク群のリー代数)になる。