確率論
P を可測空間 ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} 上の確率測度とする。すなわち、写像 P : F → [ 0 , 1 ] {\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]} であって、以下の性質を持つものとする:
(完全加法性): A n ∈ F , n = 1 , 2 , ... {\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}},n=1,2,\ldots } で A i ∩ A j = ∅ ( ∀ i ≠ j ) {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \ (\forall i\neq j)} を満たすものに対し、 P ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ P ( A n ) . {\displaystyle P{\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }P(A_{n}).}
(正規性):P(Ω) = 1.
このときの三つ組 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} を確率空間 (probability space) と呼び、可測集合 A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} を事象 (event) と呼ぶ。
確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさの記述。
起こりうる結果全体の集合。確率論においては、空集合でない。Ω と書く。Ω の元 ω それぞれには起こりやすさの割合が備わっていることを仮定する。
( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} を可測空間とする。すなわち Ω は標本空間と呼ばれる空でない集合であり、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は ω 上の完全加法族である。
完全加法族 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} とは、2 を Ω の部分集合の全体(冪集合)としたとき、 F ⊂ 2 Ω {\displaystyle {\mathcal {F}}\subset 2^{\Omega }} であって以下の性質を持つものである:
Ω ∈ F , {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}},}
A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} に対して A c = Ω ∖ A ∈ F , {\displaystyle A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {F}},}
( A n ) n ∈ N ⊂ F {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {F}}} に対して ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ F . {\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.}
時間とともに変化する確率変数。