松原振動数
n B ( b ) − n B ( − b ) = c o t h β b 2 , {\displaystyle n_{B}(b)-n_{B}(-b)=\mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},}
n F ( b ) − n F ( − b ) = − t a n h β b 2 . {\displaystyle n_{F}(b)-n_{F}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}
n B ′ ′ ( ξ ) = β 2 4 csch 2  β ξ 2 coth  β ξ 2 , {\displaystyle n_{B}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}},}
n F ′ ′ ( ξ ) = β 2 4 sech 2  β ξ 2 tanh  β ξ 2 . {\displaystyle n_{F}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.}
熱場の量子論において松原振動数の和とは、離散的な虚数振動数についての和のこと。松原武生に因んで名付けられた。松原振動数の和は次の形をとる。
S η = 1 β ∑ i ω n g ( i ω n ) {\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}g(i\omega _{n})}
ここで β = ħ / k B T {\displaystyle \beta =\hbar /k_{B}T} は逆温度で、振動数 ω n {\displaystyle \omega _{n}} は次の2種類のどちらかである(ただし n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )。
ボソン振動数: ω n = 2 n π β {\displaystyle \omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }}}
フェルミオン振動数: ω n = ( 2 n + 1 ) π β {\displaystyle \omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }}}
ここでは、よく使われる単一モードのダイアグラムを評価する。 多重モード問題は、スペクトル関数積分によってアプローチできる。
以下の表に、 いくつかの簡単な有理関数g(z)での松原振動数の和をまとめる。
S η = 1 β ∑ i ω g ( i ω ) . {\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega ).}
η = ±1 は統計的記号である。
[1] 和は収束しないため、松原重み関数の選択が異なると結果は定数分だけ異なる。
[2] (1 ↔ 2)は、手前の項のインデックス1と2を置き換えたものを表す。