プラトー・レイリー不安定性
レイリーによって導かれた、表面張力による円形噴流の不安定性を以下に示す。ここでは、半径 R0、密度 ρ、表面張力係数 σ の無限に長い円柱を流れる非粘性流体を考え、重力の影響は無視する。圧力 p0 は円柱内で一定であり、境界における表面張力による法線応力のバランスによって
p 0 = σ ∇ ⋅ n = σ R 0 {\displaystyle p_{0}=\sigma \nabla \cdot {\bf {{n}={\frac {\sigma }{R_{0}}}}}}
と計算できる。ここで、界面において微小な節状の摂動の発達を考える。これにより、支配方程式の線形化ができる。攪乱を加えた柱状表面は以下の形で書ける。
R ~ = R 0 + ε e ω t + i k z {\displaystyle {\tilde {R}}=R_{0}+\varepsilon e^{\omega t+ikz}}
ここで、攪乱の振幅は ε ≪ R0 であり、ω は不安定成長率、k は z 方向の攪乱の波数である。節状の摂動の対応する波長は 2π/k である。速度の摂動の動径方向成分を ~ur、軸方向成分を ~uz、圧力の摂動を ~p で表す。これらの摂動場をナビエ・ストークス方程式に代入し、ε のオーダーの項のみを残すと
プラトー・レイリー不安定性は液体が分裂して液滴となる現象であり、わかりやすい身近な例として尿を対象として紹介されている。2015年9月2日、NHK「ためしてガッテン」の「科学で尿ハネをコントロール特集」で、アメリカのランディ・ハード研究員とテッド・トラスコット准教授の尿ハネに関する研究が紹介された。そこでは 15 cm 程度で便器に尿をぶつければ、プラトー・レイリー不安定性により液滴化する前に便器に達することができ飛沫が抑えられると紹介された。