斜交群
斜交群 Sp(n) は、GL(n, H) (可逆四元行列全体)の部分群であって、H 上の標準エルミート形式
⟨ x , y ⟩ = x ̄ 1 y 1 + ⋯ + x ̄ n y n {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}
を保存するものである。 つまり、Sp(n) は単なる四元ユニタリ群 U(n, H) だということである。 実際、時として超ユニタリ群(英: hyperunitary group)と呼ばれることもある。 また、Sp(1) は、単位長を有する四元数全体の集合、つまり 3 次元超球面 S である。 Sp(n) は前節の意味で斜交群ではないことに注意されたい。というのも、H 上の反対称形式を保存しないからである(実際のところ、この様な形式は存在しない)。 この群を「斜交」群と呼ぶ理由については、次節で説明する。
Sp(n) は、n(2n + 1) 次元の実リー群である。 これはコンパクト、連結かつ単連結である。 Sp(n) のリー環は、
A + A = 0
を満たす n×n 四元行列の集合である。ここで、A は、A の随伴行列である(共軛は、四元共軛を取る)。 リー括弧積は、可換子により与えられる。