リースの拡張定理
超限帰納法により、dim E/F = 1 の場合のみを考えれば十分である。
ある y ∈ E/F を選ぶ。汎函数
ψ | F = φ , ψ ( y ) = sup { φ ( x ) ∣ x ∈ F , y − x ∈ K } {\displaystyle \psi |_{F}=\phi ,\quad \psi (y)=\sup \left\{\phi (x)\,\mid \,x\in F,\,y-x\in K\right\}}
を定め、線型性によって ψ を E へ拡張する。ψ は K-正であることを示す。
K 内のすべての点 z は、x ∈ F に対し、x + y あるいは x − y のいずれかの正の線型倍である。一つ目の場合、z = a(y + x) となるので、y− (−x) = z/a は K に属するとともに −x は F に属する。したがって
ハーン=バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。
V を線型空間とし、N を V 上の劣線型函数とする。φ は部分空間 U ⊂ V 上の汎函数で N によって支配されるもの、すなわち
φ ( x ) ≤ N ( x ) , x ∈ U {\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U}
が成立するものとする。ハーン=バナッハの定理では、この φ が N によって支配される V 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。
この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 K ⊂ R×V を次のように定める。
K = { ( a , x ) ∣ N ( x ) ≤ a } . {\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}
R×U 上の汎函数 φ1 を次で定める。