分割数
ラマヌジャンは 4 または 9 で終わる整数に対する分割数に関して合同式
p ( 5 k + 4 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}
が成立することを発見した。例えば、整数 4 の分割数は 5 であり、整数 9 の分割数は 30、整数 14 の分割数は 135 といった具合である。ラマヌジャンはまた 7 および 11 に関する合同式
p ( 7 k + 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) p ( 11 k + 6 ) ≡ 0 ( mod 11 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}}\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}\end{aligned}}}
も発見している。さて、5, 7, 11 は連続する素数になっているので、次の素数 13 に対する同様の合同式 p(13k + a) ≡ 0 (mod 13) が適当な a の下成立しそうなものだが、実際にはそうはなっていない。さらにいえば、p(bk + a) ≡ 0 (mod b) の形の合同式は 5, 7, 11 以外のどの素数 b に対しても成立しないことが示せる。
1960年代にイリノイ大学シカゴ校のアトキンは、同様のいくつかの小さな素数を法とする合同式を発見している。例えば
分割函数の値を帰納的に求める方法の一つとして、n を k 以上の自然数で分割する場合の数 p(k, n) を補助的な函数として考えるのがある。k を固定したとき、p(k, n) を次の2つで場合分けする。
最小の成分が k である。
最小の成分が k より大きい。
1. の場合の数は p(k, n − k) である。何故なら、整数 n − k を k 以上の整数で分割した場合全体は、それぞれの場合に "+k" とすると、n の、最小の成分が k の分割と1対1に対応するからである。
この補助函数により、分割数の列の一般項を立式できる:
1 + ∑ k = 1 ⌊ 1 2 n ⌋ p ( k , n − k ) = p ( n ) , {\displaystyle 1+\textstyle \sum \limits _{k=1}^{\lfloor {\frac {1}{2}}n\rfloor }p(k,n-k)=p(n),}
ここで ⌊ n ⌋ {\displaystyle \lfloor n\rfloor } は床函数である。
2. の場合の数は p(k + 1, n) である。
もっと一般に、整数 n の適当な集合 A に属する整数への分割数の母函数も、上記の式の項の k を A の元となっているものにとることで得られる。この結果はオイラーによる。
オイラーによるこのような分割数の母函数の定式化は q-ポッホハマー記号の特別な場合であり、また多くのモジュラー形式の積の定式化(特にデテキント・イータ函数の)と近い関係にある。また、この母函数表示をオイラーの五角数定理と合わせれば、次のような漸化式
p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k − 15) − p(k − 22) − ...
を得る。ここで p(0) = 1 および負の整数 k に対して p(k) = 0 とし、和は 1⁄2n(3n − 1) の形(ただし n は正または負の整数全体を走る)の一般五角数全体にわたってとるものとする(順に n = 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4 ..., とすると、値として 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, ... が得られる)。和における符号は交互に +, +, −, − +, +, ... と続く。