クロス積
のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分を符号反転した a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 {\displaystyle a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}} は内積になっている。
3次元のクロス積はハミルトンの4元数の概念をもとにして、ウィラード・ギブズとオリヴァー・ヘヴィサイドがそれぞれ独立に、ドット積と対になる数学的概念として考案した。
これを多元数に拡張すると、n + 1 元数の乗算から n 次元でのクロス積を定義できる。つまり、実数(1元数)、複素数(2元数)、4元数、8元数の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる(要素数が多くなるため縦ベクトルで表す)。
標準的な基底を (ei,ej)=δi,j として、ベクトル a の成分 ai=(ei,a) により列ベクトルとの同一視
a ≐ ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\doteq {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}}
を行う。ベクトル a、b のベクトル積 [a,b] は
[ a , b ] 1 = ( e 1 , [ a , b ] ) = | 1 a 1 b 1 0 a 2 b 2 0 a 3 b 3 | = a 2 b 3 − a 3 b 2 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{1}=({\boldsymbol {e}}_{1},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}1&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}