フェルマー数
フェルマー数 Fn (n ≥ 2) の素因数は k · 2 + 1 (k ≥ 3) の形をしている(エドゥアール・リュカにより証明)。フェルマー数はどの2つも互いに素なので、任意の n に対して k · 2 + 1 (k = 1, 2, ...) の形の素数が無数に存在することが導かれる。また実際に 3 · 2 + 1 が Fn を割り切る例が存在する。
フェルマー数 Fn の最大素因数を P(Fn) とすると
P(Fn) ≥ 2(4n + 9) + 1
が成り立つ (Grytczuk, Luca and Wojtowicz, 2001)。
全てのフェルマー数の素因数全体の集合を S とする。Golomb (1955) は S の元の逆数和が収束するか否かという問題を提出したが、Krizek, Luca, Somer (2002) は S の元で x より小さいものの個数は
O(xlog x)
となることを示し、この問題を肯定的に解決した。