反復積分に関するコーシーの公式
∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\int _{t}^{x}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} \sigma _{1}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
よって、主張は示された。
f を実軸上の連続関数とする。このとき、aを基点とするf のn回繰り返し積分
f ( − n ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n − 1 f ( σ n ) d σ n ⋯ d σ 2 d σ 1 {\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}} ,
は、次の単一の積分にまとめられる。
f ( − n ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t} .
証明は数学的帰納法による。f は連続なので、n=1のときは微分積分学の基本定理より、
フランスの数学者、コーシーの名にちなむ反復積分に関するコーシーの公式(英: Cauchy formula for repeated integration)は、n回の不定積分を一度の積分にまとめる公式である。:
f ( − n ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}