モンストラス・ムーンシャイン
2007年、エドワード・ウィッテンは、AdS/CFT対応から、 (2+1)-次元反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界正則CFTの間の双対性が導かれることを示唆した。(2+1)-次元の純粋重力は局所自由度を持たないが、宇宙定数が負のときはBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Höhn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場(Virasoro primary fields)を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。
ウィッテンの提案に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷 c = 24 {\displaystyle c=24} でCFTの分配函数がちょうど j − 744 {\displaystyle j-744} 、すなわちムーンシャイン加群の次数付き指標(character)となる正則CFTのAdS/CFT双対である。
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が、有質量状態(英語版)の重複度がマチュー群 M24(英語版)(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えるような、 N=(4,4) 超共形代数(英語版)の指標へ分解できることを発見した。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないため、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことはいまだに謎のままである。
マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M.