幾何学的不変式論
幾何学的不変式論はマンフォード(Mumford)の1965年に最初に出版された単行本により発見され発展した。この本では、ダヴィッド・ヒルベルトの結果を含む、現代代数幾何学の問題へ19世紀のアイデアを適用した(本は後日出版された第二版では、フォガルティ(Fogarty)とマンフォード(Mumford)により付録が付けられ、カーワン(Kirwan)によりシンプレクティック商の章が追加され、大きく拡張されている)。本はスキーム論と例の中で有効な計算機テクニックの双方を使っている。 本の中で使われた抽象的な設定は、スキーム X 上の群作用という設定である。軌道空間(orbit space)
G ∖ X {\displaystyle G\backslash X}
つまり、群作用による X の商空間という単純な考え方のアイデアで、抽象的な説明が可能なある理由によって代数幾何学の困難さへ挑戦した。実際、何故、同値性が(厳密な)正則函数(regular function)(多項式函数)と相互作用するという理由は何もなく、このことは代数幾何学の心臓部である。考えるべき軌道空間 G ∖ X {\displaystyle G\backslash X} 上の函数は、G の作用の下で不変となる X 上の函数である。直接のアプローチは、函数体の方法(つまり、有理函数)により可能である。その上のG-不変(英語版)(G-invariant)な有理函数を、商多様体(英語版)(quotient variety)の函数体として取ることを考える。不幸にして、双有理幾何学の観点からは、これは求める答えの第一近似のみを与えることができる。マンフォードはこのことを本の序に記載している。
これらの定義は (Mumford 1977) でなされ、マンフォードの本の第一版の定義と同じではない。
多くのモジュライ空間は、ある群作用による射影空間の部分集合の安定点の空間の商として構成することができる。これらの空間は半安定点のある同値クラスを加えることでコンパクト化することができる。異なる安定軌道は商空間の異なる点に対応するが、2つの異なる半安定軌道は、それらの閉包が交叉すると、商空間の中では同じ点に対応するかもしれない。
例: (Deligne & Mumford 1969) 安定曲線(stable curve)とは、種数が ≥2 である被約で連結な曲線であり、その特異点が通常二重点であり全ての非特異有理成分が少なくとも三点からなる別の成分で交叉している曲線を言う。種数 g の安定曲線のモジュライ空間は、ヒルベルト多項式 (6n−1)(g−1) を持つ P の中の曲線のヒルベルトスキームの部分集合を群 PGL5g−5 で割った商空間である。
例: 代数曲線(リーマン面)上のベクトルバンドル W が、安定ベクトルバンドル(英語版)(stable vector bundle)であることと、W の全ての固有な 0 でない部分バンドルに対して、
deg  ( V ) rank ( V ) < deg  ( W ) rank ( W ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\deg(W)}{{\hbox{rank}}(W)}}}
であることとは同値である。また、この条件の < を ≤ と置き換えた時、半安定であることと同値である。