シュレーディンガー場
クライン-ゴルドン場の非相対論的限界 c → ∞ {\displaystyle c\to \infty } は、粒子と反粒子を表す2つのシュレーディンガー場である。 これを明確にするために、この派生ではすべての単位と定数が保ちながら導出を行う。相対論的な場の 運動量空間での 消滅演算子 a ^ p , b ^ p {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }} から、以下のものを定義する。
a ^ ( x ) = ∫ d Ω p a ^ p e − i p ⋅ x , b ^ ( x ) = ∫ d Ω p b ^ p e − i p ⋅ x {\displaystyle {\hat {a}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x},\quad {\hat {b}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x}} 、
ただし φ ^ ( x ) = a ^ ( x ) + b ^ † ( x ) {\displaystyle {\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)} とする。
同種粒子の多体シュレディンガー方程式は、 N個の粒子がそれぞれに指定された位置を持つ状態の確率振幅である多体波動関数ψ(x1, x2...xN)の時間発展を記述する。 ψのシュレディンガー方程式は次のように書ける。
i d d t ψ = ( ∇ 1 2 2 m + ∇ 2 2 2 m + ⋯ + ∇ N 2 2 m + V ( x 1 , x 2 , ... , x N ) ) ψ {\displaystyle i{d \over dt}\psi =\left({\frac {\nabla _{1}^{2}}{2m}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {\nabla _{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})\right)\psi \,}
ただし、ハミルトニアンは以下の通りである。
H = p 1 2 2 m + p 2 2 2 m + ⋯ + p N 2 2 m + V ( x 1 , ... , x N ) . {\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+\cdots +{\frac {p_{N}^{2}}{2m}}+V(x_{1},\dots ,x_{N}).\,}