分配関数
熱力学関数どうしがルジャンドル変換で関係づけられていることに対応して、分配関数はラプラス変換を通じて結びついている。状態密度 Ω(E, V, N)、分配関数 Z(β, V, N) および大分配関数 Ξ(β, V, μ) の間には
Z ( β , V , N ) = ∫ 0 ∞ e − β E Ω ( E , V , N ) d E , Ξ ( β , V , μ ) = ∑ N = 0 ∞ e β μ N Z ( T , V , N ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,V,N)&=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}\Omega (E,V,N)\mathrm {d} E,\\\Xi (\beta ,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta \mu N}Z(T,V,N)\end{aligned}}}
の関係がある。
また、等温定圧集団については分配関数 Z(β, V, N) から
Z ( T , P , N ) := ∫ 0 ∞ Z ( T , V , N ) e − P V / k T d V {\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,P,N):=\int _{0}^{\infty }Z(T,V,N)e^{-PV/kT}\mathrm {d} V}
で与えられるT-P分配関数を用いて、
G ( T , P , N ) = − k T ln  Z ( T , P , N ) {\displaystyle G(T,P,N)=-kT\ln {\mathcal {Z}}(T,P,N)}
でギブス自由エネルギーを表すことができる。