トッド類
トッド類 td  ( E ) {\displaystyle \operatorname {td} (E)} を定義するためには、ここでEは位相空間X上の複素ベクトル束であるが、特性類理論の一般的な手法であるチャーン根(別名を、分裂原理(英語版))を使うことによって、通常は直線束のホイットニー和(英語版)の場合にその定義を限定することができる。定義は以下、
Q ( x ) = x 1 − e − x = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i B i i ! x i = 1 + x 2 + x 2 12 − x 4 720 + ⋯ {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }
Q ( x ) n + 1 {\displaystyle Q(x)^{n+1}} 内の x n {\displaystyle x^{n}} の係数が1という性質を持つ形式的冪級数(formal power series)であり、ここで B i {\displaystyle B_{i}} はi番目のベルヌーイ数を表す。総乗内の x j {\displaystyle x^{j}} の係数を考えると
∏ i = 1 m Q ( β i x ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }
任意の m > j {\displaystyle m>j} に対して。