体球調和関数
{\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}
z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。
Π l m ( z ) ≡ r l − m d m P l ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( l − m ) / 2 ⌋ γ l k ( m ) r 2 k z l − 2 k − m . {\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}
低次の A m ( x , y ) {\displaystyle A_{m}(x,y)\,} と B m ( x , y ) {\displaystyle B_{m}(x,y)\,} は次の通りである。