最大値最小値定理
函数 f: [a, b] → (–∞,∞] が下半連続、即ち任意の x ∈ [a, b] について lim infy→x f(y) ≥ f(x) を満たすならば、f は下に有界で、かつその下限に到達する。
後者は −f に前者を適用すればよいから、前者を示せば十分である。任意の x ∈ [a, b] に対して f(x) = –∞ ならば、上限も –∞ で定理は成り立つ。それ以外の場合には、上記の証明を少し修正することで証明が得られる。有界性定理の証明において、f の x における上半連続性からは、部分数列 {f(xnk)} の上極限が f(x) (< ∞) で上から抑えられることしか言えないが、矛盾を得るにはそれで十分である。最大値定理の証明においては、f の d における上半連続性からは部分数列 {f(dnk)} の上極限が有界であること f(d) によって上から抑えられることがわかるが、それで上限 M に対して f(d) = M が成り立つことを言うのには十分である。
実数値函数が上半連続かつ下半連続であることと、それが通常の意味で連続であることとは同値であるから、上記二つの定理から、有界性定理と最大値最小値定理が導かれる。