約数関数
(例 : n = 2, 14, 21, 26, 33, 34, ・・・(オンライン整数列大辞典の数列 A005237)) d(n) = d(n + 1) = d(n + 2) を満たす n は33, 85, 93, 141, 201, 213, 217, 230, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A005238)中央の数の数列はオンライン整数列大辞典の数列 A169834を参照。 d(n) = d(n + 1) = d(n + 2) = d(n + 3) を満たす n は242, 3655, 4503, 5943, 6853, 7256, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A006601) 5連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 11605, 12855, 13782, 19142, 21494, 28374,...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A049051) 6連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 28374, 90181, 157493, 171893, 171894,...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A049052) 7連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 171893, 180965, 647381,...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A049053) 約数の個数が同じ連続整数の最初の数は 1, 2, 33, 242, 11605, 28374, 171893, 1043710445721, 2197379769820 (オンライン整数列大辞典の数列 A006558)、9連続整数まであることが知られている。
σ(n) < 2n を満たす n を不足数、σ(n) = 2n を満たす n を完全数、σ(n) > 2n を満たす n を過剰数という。
6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数 2 − 1 に対して 2(2 − 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。
完全数が 2 × (2 − 1) で表せることからある数 n とその約数の和 σ(n) との積が完全数となる場合がある。この完全数を含む n × σ(n) の数列は 1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A064987)
このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数 σ(n) の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例を挙げる。
σ(n) = 2n − 1 を満たす n を概完全数といい、σ(n) = 2n + 1 を満たす n を準完全数という。概完全数は 2 の累乗(1 も含む)が知られているが、それ以外に存在するかどうか知られていない。準完全数は存在するかどうか未だに分かっていない。準完全数が存在するならば、それは奇数の平方数でなければならないことが知られている。
σ(n) = kn (k:整数) を満たす n を k-倍完全数という。
σ0(n) の値は、小さい順に次のようになる:
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 ...(オンライン整数列大辞典の数列 A000005)
σ1(n) の値は、小さい順に次のようになる:
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 ...(オンライン整数列大辞典の数列 A000203)
σ2(n) の値は、小さい順に次のようになる:
1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 ...(オンライン整数列大辞典の数列 A001157)