リッチテンソル
ここに、正のリッチ曲率を持つ多様体に関する大域的な結果の短い一覧を示す。リーマン幾何学の古典定理も参照されたい。簡潔に言うと、リーマン多様体の正のリッチ曲率は強い位相幾何的帰結を持つのに対して、(三次元以上では)負のリッチ曲率は何らの位相幾何的含意も持たない。(リッチ曲率は、リッチ曲率関数 Ric(ξ, ξ) が非零接ベクトル ξ の集合に対して正であるときに正であるという。)いくつかの結果は擬リーマン多様体についても知られている。
マイヤーズの定理(英語版)によれば、完備リーマン多様体においてリッチ曲率が下界 (n − 1)k > 0 を持つならば、多様体の直径は ≤ π/√k を満し、等号は多様体が定数曲率 k の球と等長のときだけに成り立つ。被覆空間にまつわる議論から、正のリッチ曲率を持つ任意のコンパクト多様体は有限基本群を持たなければならないことが導かれる。
ビショップ・グロモフの不等式(英語版)は、完備 m-次元リーマン多様体が非負のリッチ曲率を持つならば、球の体積は半径を共通にする m-次元ユークリッド空間上の球以下となる。さらには、 vp(R) を多様体上の p を中心とする半径 R の球の体積であるとし、V(R) = cmR を m-次元ユークリッド空間上の半径 R の球の体積とするなら、関数 vp(R)/V(R) は非増加関数である。
ρ = − i ∂ ∂ ̄ log  det ( g α β ̄ ) {\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det(g_{\alpha {\overline {\beta }}})}
ここで、 ∂ {\displaystyle \partial } はドルボー作用素であり、
g α β ̄ = g ( ∂ ∂ z α , ∂ ∂ z ̄ β ) {\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}{}^{\beta }}}\right)}
である。リッチテンソルが零であるならば、標準束は平坦であり、構造群(英語版)は局所的に特殊線形群 SL(n, C) の部分群に縮約できる。しかし、ケーラー多様体は既に U(n) にホロノミー(英語版)を持っており、よってリッチ平坦なケーラー多様体の(制限)ホロノミーは SU(n) に含まれる。逆にいえば、2n-次元リーマン多様体の(制限)ホロノミーが SU(n) その多様体はリッチ平坦なケーラー多様体である (Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)。
リーマン多様体 (M, g) 上の任意の点 p に対して、その近傍に測地法線座標系(英語版)と呼ばれる好ましい局所座標を定義することができる。この座標系の計量は、点 p からの測地距離が原点からのユークリッド距離と対応するような形で、点 p を通る測地線が原点を通る直線に対応するように調整されている。この座標系においては、計量テンソルは次の式が成り立つという意味でユークリッド計量による良い近似が成り立つ。
g i j = δ i j + O ( | x | 2 ) {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2})}
実際、ヤコビ場(英語版)に対して法線座標系における動径測地線に沿って計量テンソルのテイラー展開を行うと、次を得る。
g i j = δ i j − 1 3 R i k j l x k x l + O ( | x | 3 ) {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikj\ell }x^{k}x^{\ell }+O(|x|^{3})}
この座標系では、計量の体積要素は p において次のように展開される。
d μ g = [ 1 − 1 6 R j k x j x k + O ( | x | 3 ) ] d μ E u c l i d e a n {\displaystyle \mathrm {d} \mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}\mathrm {d} \mu _{\rm {Euclidean}}}