フォン・ノイマン環
可分なヒルベルト空間上の可換フォン・ノイマン環とは L 関数環だと見なせるが、一方でL 関数環からは(零測度集合を無視するかぎり)元の空間の可測集合が「復元」できる。さらにσ-弱連続な線型形式たちはL関数(あるいはもとの測度に対して絶対連続な複素測度)を表していると考えられる。したがって一般のフォン・ノイマン環は測度空間のある種の変形を表していると考えることができる。実際、エゴロフの定理、ルジンの定理など測度論の諸定理が可換とは限らないフォン・ノイマン環について有効な言明に置き換え証明できる。また、葉層など「歪んだ」空間上の測度論も非可換なフォン・ノイマン環によって表現できる。
フォン ノイマンの再交換団定理 (bicommutant theorem) によって、ヒルベルト空間 H 上のフォン・ノイマン環について次の二種類の特徴づけができる。
作用素の強収束位相(H 上のノルム位相から導かれる各点収束位相)について閉じていて、恒等作用素を含むような B(H) の部分 *-環
B(H) の任意の部分集合 X に対してその交換団(commutant) {y ∈ B(H) | ∀x ∈ X : xy = yx} を X′ と書くことにするとき、M = M′′ かつ対合について閉じているもの
W*-環は、C*-環のうちバナッハ空間の双対になっているようなものとして特徴づけられる。このバナッハ空間は各W*-環に対して一意に決まる(後述のpredual)。