ゲルフォントの定数
e はオイラーの公式
e i x = cos  x + i sin  x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
から以下のように変形できる。ここで i は虚数単位である。
e π = ( e i π ) − i = ( cos  π + i sin  π ) − i = ( − 1 ) − i {\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i}=(-1)^{-i}}
ゲルフォント=シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数、b を有理数でない代数的数とすると、a は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1) は超越数である。すなわち e は超越数である。