双安定性
以下は力学系理論で扱われるもっとも単純な双安定系の一つを数学的に表現したものである。
d y d t = y ( 1 − y 2 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y(1-y^{2})}
この系は y 4 4 − y 2 2 {\displaystyle {\frac {y^{4}}{4}}-{\frac {y^{2}}{2}}} の形を持つ曲線上を転がり落ちるボールを表しており、3つの平衡点 y = 1 {\displaystyle y=1} 、 y = 0 {\displaystyle y=0} 、 y = − 1 {\displaystyle y=-1} を持つ。真ん中の平衡点 y = 0 {\displaystyle y=0} は不安定、ほかの二点は安定である。時間とともに y ( t ) {\displaystyle y(t)} がどのように増減するかは初期条件 y ( 0 ) {\displaystyle y(0)} に依存する。初期条件が正の場合( y ( 0 ) > 0 {\displaystyle y(0)>0} )解 y ( t ) {\displaystyle y(t)} は時間とともに1に近づくが、初期条件が負の場合( y ( 0 ) < 0 {\displaystyle y(0)<0} )は−1に近づく。この意味で系のダイナミクスは双安定である。終状態は初期条件によって y = 1 {\displaystyle y=1} か y = − 1 {\displaystyle y=-1} のどちらかになる。