マルチンゲール
離散時間マルチンゲールの例を挙げる。偏りのないコインを投げ続けたときの n 回目の結果を Xn と書くことにする。ただし、コインが表の場合は 1 で裏の場合は -1 と定める。 情報増大系については、この X 以外に情報を与えるものはないとする。すなわち Fn を
F n := σ ( X 1 , X 2 , ... , X n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}
と定める。このとき、まず X 自身がマルチンゲールとなる。さらにその和
S n := ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
もマルチンゲールとなる。この Sn はコインの表に毎回1円を賭け続けたときの n 回目での持ち金を表しているといえる。もう少し複雑な賭けの戦略をとって、次の賭け金を現在の持ち金の関数になるようにしたとする。T0を初期資金として、
T n := T n − 1 + f ( T n − 1 ) X n {\displaystyle T_{n}:=T_{n-1}+f(T_{n-1})X_{n}}
の場合もやはり Tn はマルチンゲールとなる。このように戦略を変更することを、マルチンゲール変換 と呼ぶが、通常実行可能な戦略によるマルチンゲール変換によって得られる確率過程もマルチンゲールになることが知られている。