円周率が22/7より小さいことの証明
1 64 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 1 + x 2 d x = π − 741 269 838 109 235 953 517 800 {\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}}
および
1 128 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 d x = 1 2 538 963 567 360 {\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}}}
より
741 269 838 109 235 953 517 800 + 1 2 538 963 567 360 < π < 741 269 838 109 235 953 517 800 + 2 2 538 963 567 360 {\displaystyle {\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}+{\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}}<\pi <{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}+{\frac {2}{2\,538\,963\,567\,360}}}
すなわち 3.141 592 653 589 55... < π < 3.141 592 653 589 95... となり、π の近似値を小数点以下第12位まで得る。