Theorema Egregium
リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。
M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} を R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} のC級部分多様体とし、Mに R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の内積から誘導されるリーマン計量gを入れ、gが定めるレヴィ・チヴィタ接続(共変微分)を∇とし、リーマンの曲率テンソルRを
R ( X , Y ) Z := ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
により定義する。
各点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMのgに関する正規直交基底 e 1 , e 2 {\displaystyle e_{1},e_{2}} を選び、PにおけるMの断面曲率を
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Theorema Egregium(ラテン語。音訳:テオーレーマ・エーグレギウム。直訳:卓越した定理)はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量(リーマン計量)のみで書ける事を主張する。
日本語では
「最も素晴らしい定理」
「驚異の定理」
「Gaussの基本定理」
「抜群の定理」
などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない。英語では「Remarkable Theorem」(注目すべき定理)と意訳する事もある。