角運動量
の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。
[ L ^ i , L ^ j ] = i ε i j k L ^ k , [ S ^ i , S ^ j ] = i ε i j k S ^ k , [ L ^ i , S ^ j ] = 0 {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k},~[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k},~[{\hat {L}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=0}
軌道角運動量 L ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}} は、 L ^ = r ^ × p ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {r}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}}} のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。
スピン角運動量 S ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {S}}}} は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。
角運動量は、その定義から座標原点の選択に依存する。原点を位置 a へ移動した座標系を考える。新たな座標系における量を ' を付けて表すものとすれば、r' = r − a, p' = p であり
L ′ = r ′ × p ′ = r × p − a × p = L − a × p {\displaystyle {\boldsymbol {L}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {p}}'={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}}
となる.