エルゴード理論
エルゴード仮説とは、長い時間尺度 (time scale) でみると、微小状態からなる位相空間内で同じエネルギーをもった領域に費やされる時間は位相空間でしめる体積に比例するというもの。すなわち、そのようなすべての実現可能な微小状態は長い目で見ると等しい確率で起こるということ。さらに言いかえれば、時間平均と、統計力学でいうアンサンブル(起こりうる微小状態の数だけある系のレプリカの集まり)内での平均は等しくなるということ。
証明されていないため仮説の域は出ないものの、この仮説を採用してシミュレーションを行うと現実を非常にうまく説明できることを疑うものはいない。その意味で特に工学分野において、証明を必要とするという意味のある「仮説」の字を避けエルゴード仮設と書くことがある。
写像 T : ( 0 , 1 ) → ( 0 , 1 ) {\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)} を x {\displaystyle x} を 1 / x {\displaystyle 1/x} の小数部分に写す写像とする。 つまり
T ( x ) = 1 x − ⌊ 1 x ⌋ {\displaystyle T(x)={\frac {1}{x}}-\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor }
と定義する。この写像は連分数変換やGauss写像と呼ばれることがある。ここで ⌊ ⌋ {\displaystyle \lfloor \,\rfloor } は床関数である。
このとき a n ( x ) , n = 1 , 2 , ... {\displaystyle a_{n}(x),n=1,2,\ldots } を a n ( x ) = ⌊ 1 T n − 1 ( x ) ⌋ {\displaystyle a_{n}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{T^{n-1}(x)}}\right\rfloor } と定めると、これは x = [ 0 ; a 1 ( x ) , a 2 ( x ) , ... ] {\displaystyle x=[0;a_{1}(x),a_{2}(x),\ldots ]} と x {\displaystyle x} の連分数表現を与える。