直観主義論理
この代数系において、 ∧ {\displaystyle \wedge } と ∨ {\displaystyle \vee } は集合の交わりと結びである。また A → B {\displaystyle A\to B} は i n t ( A c ∪ B ) {\displaystyle \mathrm {int} (A^{c}\cup B)} すなわち A {\displaystyle A} の補集合と B {\displaystyle B} との和集合の内部である。(これは古典論理における含意の演算の結果を開集合になるように調整したものである。様相論理の観点から見るとこれは必然性を外側に付けているのと同じことになる。) ⊥ {\displaystyle \bot } は空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } であり、 ⊤ {\displaystyle \top } は全体集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } である。否定 ¬ A {\displaystyle \neg A} は A → ⊥ {\displaystyle A\to \bot } と定義されるが、これは A {\displaystyle A} の補集合の開核すなわち外部と一致する。この対応付けによって直観主義的に妥当な論理式はちょうど空間全体が割り当てられるものと一致する。
クルト・ゲーデルは1932年に直観主義論理が多値論理ではないことを証明した。(#ハイティング代数意味論は直観主義論理の"無限多値論理"としての解釈の一種と見られる。)
直観主義論理の論理式の構文は古典命題論理や古典述語論理と類似である。しかしながら、直観主義的な論理結合子は、古典論理におけるように、他の論理結合子を用いて定義することはできない。(そのため { → , ⊥ } {\displaystyle \{\to ,\bot \}} , { ∧ , ¬ } {\displaystyle \{\wedge ,\neg \}} , { ∨ , ¬ } {\displaystyle \{\vee ,\neg \}} などの論理結合子だけを用いて定式化することはできない。)直観主義命題論理では習慣的に → , ∧ , ∨ , ⊥ {\displaystyle \to ,\wedge ,\vee ,\bot } を基本的な結合子として採用する。ここで ¬ A {\displaystyle \neg A} は A → ⊥ {\displaystyle A\to \bot } の省略形として扱う。直観主義述語論理ではこれに量化記号 ∃ , ∀ {\displaystyle \exists ,\forall } を加える。
多くの古典論理の恒真式は直観主義的には証明できない。