アインシュタイン・ヒルベルト作用
理論の全作用を、アインシュタイン・ヒルベルト項に理論の中に現れる物質場を記述する項 L M {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }} を加えることで与えられるとする。
S = ∫ [ 1 2 κ R + L M ] − g d 4 x . {\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\,R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.}
すると、作用原理は計量の逆数に関してこの作用の変分がゼロであることを言っているので、
0 = δ S = ∫ [ 1 2 κ δ ( − g R ) δ g μ ν + δ ( − g L M ) δ g μ ν ] δ g μ ν d 4 x = ∫ [ 1 2 κ ( δ R δ g μ ν + R − g δ − g δ g μ ν ) + 1 − g δ ( − g L M ) δ g μ ν ] δ g μ ν − g d 4 x .