モナド (圏論)
F T ( x ) = x {\displaystyle F_{T}(x)=x} , F T ( f ) = η y ∘ f {\displaystyle F_{T}(f)=\eta _{y}\circ f}
U T ( x ) = T x {\displaystyle U_{T}(x)=Tx} , U T ( f ) = μ y ∘ T f {\displaystyle U_{T}(f)=\mu _{y}\circ Tf}
定義から U T ∘ F T = T {\displaystyle U_{T}\circ F_{T}=T} であり、従って T {\displaystyle T} は F T {\displaystyle F_{T}} と U T {\displaystyle U_{T}} に伴うモナドである。
クライスリ圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 F ⊣ G : C ⇀ D {\displaystyle F\dashv G:\mathbb {C} \rightharpoonup \mathbb {D} } に対して K ∘ F T = F {\textstyle K\circ F_{T}=F} と G ∘ K = U T {\textstyle G\circ K=U_{T}} を満たす関手 K : C T → D {\displaystyle K:\mathbb {C} _{T}\to \mathbb {D} } がただ1つ存在するという性質を持つ。