交点数 (代数幾何学)
X をリーマン面とすると、X 上の 2つの閉じた曲線の交点数は、積分の項として単純に定義することができる。全ての X 上の閉じた曲線 c 、つまり、滑らかな函数 c : S 1 → X {\displaystyle c:S^{1}\to X} を、微分形式 η c {\displaystyle \eta _{c}} へ、次の式のように X 上の積分で計算可能な c にそった積分として関連付けることができるという適切な性質を持っている。
X 上の任意の閉じた 1-形式 α {\displaystyle \alpha } に対して、 ∫ c α = − ∫ ∫ X α ∧ η c = ( α , ∗ η c ) , {\displaystyle \int _{c}\alpha =-\int \int _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c}),}
ここに、 ∧ {\displaystyle \wedge } は微分形式のウェッジ積で、 ∗ {\displaystyle *} はホッジスターとする。すると、X 上の 2つの閉じた曲線 a と b の交点数は、
a ⋅ b := ∫ ∫ X η a ∧ η b = ( η a , − ∗ η b ) = − ∫ b η a {\displaystyle a\cdot b:=\int \int _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}} .
定義をもっと大きく一般化することもできる。例えば、点の代わりに部分多様体にそった交叉へ拡張する、あるいは任意の完備多様体へ拡張するといったことが可能である。
代数トポロジーでは、カップ積(cup product)のポアンカレ双対として、交点数が現れる。特に、2つの多様体 X と Y が多様体 M で横断的に交わっていると、交点のホモロジー類は、X と Y のポアンカレ双対のカップ積 D M X ⌣ D M Y {\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y} のポアンカレ双対である。
K[x, y] の中の任意の R に対して、 I p ( P + Q R , Q ) = I p ( P , Q ) {\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}
これらの性質は交叉多重度を完全に特徴付けるが、実際にはいくつかの異なった方法で実現される。
交叉多重度のひとつの実現方法は、べき級数環 K''x'',''y'' のある商空間の次元を通しての実現方法がある。必要ならば、変数変換をすることで、p が (0,0) であることを前提としてよい。今、注目している代数曲線を定義する多項式を P(x, y) と Q(x, y) とする。元の方程式が同次であれば、これらは z = 1 とおくことで得られる。I = (P, Q) を P と Q で生成される K''x'',''y'' のイデアルとすると、交叉多重度は K 上のベクトル空間として K''x'', ''y''/I の次元である。あるいは、冪級数環ではなく局所環