中心的単純環
なる同型対応によって分解する。この分解体の存在により、中心的単純環 A に対して被約ノルム (reduced norm) および被約トレース (reduced trace) を定義することができる。A を分解体上の行列環へ写して、その行列環上での行列式およびトレースを考えたもの(行列環上のそれと行列環への同型との合成)がそれぞれ被約ノルムおよび被約トレースである。例えば、四元数環 H を上記のように分解したとき、その元 t + xi + yj + zk は被約ノルム t + x + y + z および被約トレース 2t を持つ。
被約ノルムは乗法的で、被約トレースは加法的である。中心的単純環 A の元 a が可逆となる必要十分条件は、その被約ノルムの値が非零となることである。従って、中心的単純環が多元体となるための必要十分条件は、その非零元の被約ノルムがすべて非零となることである。