ボルツマン方程式
孤立した粒子系を考え、時間の関数 H(t) を
H ( t ) ≡ ∫∫ f ln  ( f ) d v d r {\displaystyle H(t)\equiv \iint f\ln(f)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}
で定義する。ただし、積分は速度に関しては全速度、空間座標に関しては粒子系が占める全領域にわたって行う。すると上記ボルツマン方程式の両辺に ln f を乗じて v', r について積分し、変形することにより
d H d t = − 1 4 ∫∫∫∫ ( ln  ( f ′ f 1 ′ ) − ln  ( f f 1 ) ) ( f ′ f 1 ′ − f f 1 ) g d Ω d v d v 1 d r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{4}}\iiiint (\ln(f'f_{1}')-\ln(ff_{1}))(f'f_{1}'-ff_{1})g\,\mathrm {d} \Omega \,\mathrm {d} \mathbf {v} \,\mathrm {d} \mathbf {v_{1}} \,\mathrm {d} \mathbf {r} }
が得られる。