カタストロフィー理論
V = x 2 y + y 4 + a x 2 + b y 2 + c x + d y {\displaystyle V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy\,}
V = x 3 3 − x y 2 + a ( x 2 + y 2 ) + b x + c y {\displaystyle V={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy\,}
曲線から平面への滑らかな写像はすべて、適当に微小な変形をすることによって、その特異点が折り目とひだ(尖点、カスプ)だけになるような写像にすることができる
特異点理論は、数学の抽象的な分野(微分幾何学、代数幾何学、トポロジー、鏡映群論、可換環論、複素空間論など)と応用数学的分野(力学的運動の安定性理論、平衡点の分岐理論、幾何ー波動光学など)との交差点にちょうど位置する。1970年代はじめにフランスの数学者のルネ・トムは、生物学的な形態形成的過程を数学的に正当化するにあたって、特異点理論を中心とするそれら関連領域の総称としてカタストロフ理論(catastrophe theory)という名称を提案した。
V = x 5 + a x 3 + b x 2 + c x {\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx\,}
この制御パラメータ空間は3次元である。パラメータ空間で設定された分岐は折り目分岐の3つの面で構成されており、それらの面はカスプ分岐の2つの線上で交わり、同様に1つのツバメの尾分岐点で交わっている。
パラメータが折り目分岐の面を通過すると、ポテンシャル関数の1つの最小値と1つの最大値が消える。カスプ分岐では2つの最小値と1つの最大値が1つの最小値にとって代わられ、それらを超え折り目分岐が消える。ツバメの尾点では2つの最小値と2つの最大値はすべてxという単一の値になる。ツバメの尾を超えa>0の場合、b と cの値に応じて最大最小ペアが1つ存在するか全く存在しないかのどちらかとなる。折り目分岐の2つの面とa<0であるために一緒になるカスプ分岐の2本の線はツバメの尾点で消え、残りの折り目分岐の単一表面だけに置き換えられる。サルバドール・ダリの最後の絵画The Swallow's Tailはこのカタストロフを基にしている。