複素多様体
C へ埋め込むことができる複素多様体のことをシュタイン多様体と言い、たとえば微分可能な複素アフィン代数多様体などを含む、非常に特別な多様体のクラスとなる。
複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりも微妙である。例えば、次元が4以外では、与えられた位相多様体は高々有限個の微分可能構造(英語版)を持つのに対して、複素構造を持った位相多様体は非可算個の複素構造を持つことができる場合もよくある。リーマン面は複素構造を持った2次元の多様体のことを言い、種数で分類され、この現象の重要な例となる。与えられた向きづけ可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値を同一視して、モジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成する。この構造は現在、活発に研究されている領域である。
座標変換は双正則であるので、複素多様体は微分可能であり、標準的に向きづけられている(複素多様体であれば、向き付け可能である:C (の部分集合)への双正則写像は、向きづけを保存する。)