応力
ここで座標軸間の角度θを用いて上式を書き直した場合は以下の通りである。
σ 11 ′ = σ 11 cos 2  θ + σ 22 sin 2  θ + 2 σ 12 cos  θ sin  θ {\displaystyle \sigma _{11}'=\sigma _{11}\cos ^{2}\theta +\sigma _{22}\sin ^{2}\theta +2\sigma _{12}\cos \theta \sin \theta }
σ 22 ′ = σ 11 sin 2  θ + σ 22 cos 2  θ − 2 σ 12 cos  θ sin  θ {\displaystyle \sigma _{22}'=\sigma _{11}\sin ^{2}\theta +\sigma _{22}\cos ^{2}\theta -2\sigma _{12}\cos \theta \sin \theta }
σ 12 ′ = ( σ 11 − σ 22 ) cos  θ sin  θ + σ 12 ( cos 2  θ − sin 2  θ ) {\displaystyle \sigma _{12}'=(\sigma _{11}-\sigma _{22})\cos \theta \sin \theta +\sigma _{12}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}
この変換を図示する方法として、モールの応力円が知られている。
応力を定義している物体内でモーメントのつりあい条件(角運動量保存則)を満たすものと仮定すると、応力テンソル(真応力テンソル)は対称テンソルとなる。すなわち、
σ = σ T {\displaystyle \sigma =\sigma ^{\mathrm {T} }}
が成り立つ。例えば、上に示した3次元デカルト座標系での成分については、
σ x y = σ y x , σ y z = σ z y , σ z x = σ x z {\displaystyle \sigma _{xy}=\sigma _{yx},\;\sigma _{yz}=\sigma _{zy},\;\sigma _{zx}=\sigma _{xz}}
が成り立ち、応力テンソルσの独立な成分は6成分となることがわかる。
この性質のため、固体物性やCAEなどの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。
あらゆる座標系の中で最大となるせん断応力を主せん断応力または最大せん断応力と呼ぶ。主せん断応力が働く面は、主軸に対して45°あるいは135°傾いた面となる。主せん断応力τ1、τ2、τ3 は、主応力σ1、σ2、σ3 より次式で求まる。
τ 1 = | σ 2 − σ 3 | 2 , τ 2 = | σ 3 − σ 1 | 2 , τ 3 = | σ 1 − σ 2 | 2 {\displaystyle \tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}}\quad ,\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}}\quad ,\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}}
一般的に、主応力とは異なり、主せん断応力が働く面にはせん断応力だけでなく垂直応力も働く。
( t x t y t z ) = ( σ x x n x + σ y x n y + σ z x n z σ x y n x + σ y y n y + σ z y n z σ x z n x + σ y z n y + σ z z n z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}n_{x}+\sigma _{yx}n_{y}+\sigma _{zx}n_{z}\\\sigma _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y}+\sigma _{zy}n_{z}\\\sigma _{xz}n_{x}+\sigma _{yz}n_{y}+\sigma _{zz}n_{z}\end{pmatrix}}}
応力(おうりょく、ストレス、英: stress)とは、物体の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる(混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間を参照)。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、SIではPa (N/m)、重力単位系ではkgf/mmで、圧力と同じである。