リーマン積分
P(x, t), Q(y, s) がともに区間 I の点付き分割とする。分割 Q(y, s) が分割 P(x, y) の細分 (refinement) とは、0 ≤ i ≤ n なる各整数 i に対して整数 r(i) で xi = yr(i) なるものが存在し、かつ r(i) ≤ j < r(i + 1) なる適当な j に対して ti = sj とできるときにいう。
端的に言えば、点付き分割の細分とは、分割に識別点を追加することであり、細分によってその分割の精度は「改良」("refine") される。
一方が他方の細分となっているとき、前者は後者以上であるとすることにより、点付き分割全体の成す集合に半順序を定義することができる。
任意の ε > 0 に対して適当な δ > 0 を選べば、大きさが δ より小さい任意の点付き分割 (x0, ..., xn; t0, ..., tn−1) に対して | ∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) − s | < ε {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\varepsilon } とすることができる。
を満足することをいう。
区間 I 上で定義された実数値函数 f をとる。函数 f の点付き分割 (x0, ..., xn; t0, ..., ti−1) に関するリーマン和とは
∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}
なる形の和をいう。和の各項は函数の識別点における値と小区間の長さの積であるから、従って各項は高さが f(ti) で幅が xi−1 − xi であるような矩形の面積を表す。すなわち、リーマン和はこのような矩形の全体が占める符号付き面積に等しい。