斜交ベクトル空間
数学において、斜交ベクトル空間(しゃこうべくとるくうかん、英: symplectic vector space)(シンプレクティックベクトル空間ともいう)とは、斜交形式(しゃこうけいしき、英: symplectic form シンプレクティック形式とも)と呼ばれる非退化反対称双線型形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。
斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 ω : V × V → R である。
反対称性: u, v ∈ V ; ω(u, v) = −ω(v, u)
非退化性: {v ∈ V ; ω(u, v) = 0} ⇒ u = 0
V が有限次元の場合は、その次元は偶数でなければならない。というのも、奇数次の反対称行列は行列式が零となり、すなわち非退化条件を満たさないからである。
基底を固定して考えると、ω は行列で表現することができる。上記の 2 条件は、この行列が反対称かつ非特異でなければならないことを言っている。これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。非退化反対称双線形形式は、例えばユークリッド空間の内積の様な非退化「対称」双線形形式とはかなり異なった振る舞いをする。ユークリッド内積 g は任意の非零ベクトル v に対し g(v, v) > 0 を満たす一方、斜交形式 ω はその反対称性より ω(v, v) = 0 を満たす。