パラコンパクト空間
ハウスドルフ空間 X がパラコンパクトであることとすべての開被覆が従属な 1 の分割を持つことは同値である。右から左の方向は直截である。今左から右を示すのは、いくつかの段階に分けて行う。
補題 1 ― O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} が局所有限開被覆であれば、各 U ∈ O {\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,} に対して開集合 W U {\displaystyle W_{U}\,} が存在して各 W U ̄ ⊆ U {\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,} と { W U : U ∈ O } {\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,} は局所有限細分である。
補題 2 ― O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} が局所有限開被覆であれば、連続関数 f U : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,} が存在して supp  f U ⊆ U {\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,} および f := ∑ U ∈ O f U {\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,} は常に非零で有限な連続関数である。
定理 ― パラコンパクトハウスドルフ空間 X {\displaystyle X\,} において、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} が開被覆であれば、それに従属な 1 の分割が存在する。
集合 X の被覆は X の部分集合の集まりであってその和集合が X を含むようなものである。記号で書けば、U = {Uα : α in A} が X の部分集合の添え字づけられた族であれば、U が X の被覆であるとは、
X ⊆ ⋃ α ∈ A U α . {\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}
のことである。
位相空間 X の被覆が開であるとは、すべてのその元が開集合であるということである。
空間 X の被覆の細分とは同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の部分集合であるようなものである。記号で書けば、被覆 V = {Vβ : β in B} が被覆 U = {Uα : α in A} の細分であることと V の任意の Vβ に対して U のある Uα が存在して Vβ が Uα に含まれることが同値である。
空間 X の開被覆が局所有限であるとは、空間の全ての点が被覆の有限個の集合としか交わらない近傍を持つということである。記号で書けば、U = {Uα : α in A} が局所有限であることと、任意の x ∈ X に対して x のある近傍 V(x) が存在して集合
{ α ∈ A : U α ∩ V ( x ) ≠ ∅ } {\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V(x)\neq \varnothing \right\}}
が有限であることが同値である。それで位相空間 X はすべての開被覆が局所有限な開細分を持つときにパラコンパクトであると言われる。