分離超平面定理
分離超平面定理 ― A と B をそれぞれ R の互いに素な空でない凸部分集合であるとする。そのような集合について、すべての A の元 x ∈ A と B の元 y ∈ B の組に対して
⟨ x , v ⟩ ≥ c and ⟨ y , v ⟩ ≤ c {\displaystyle \langle x,v\rangle \geq c\,{\text{ and }}\langle y,v\rangle \leq c}
を満たす零でないベクトル v と実数 c が存在する。つまり、v を法線ベクトルとする超平面 〈·, v〉 = c によって A と B を分離できる。
証明は以下の補題に基づく:
補題 ― K を R の空でない閉凸部分集合とする。集合 K について、K 上の最小ノルムを持つベクトルが一意に存在する。