サイクロイド
定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド(ない-)という(→生成アニメーション)。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線(ないはいせん)とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。
定円の半径を rc、動円の半径を rm、回転角を θ、ただし rc > rm > 0 とすると、内サイクロイドの媒介変数表示は
{ x = ( r c − r m ) cos  θ + r m cos  ( r c − r m r m θ ) , y = ( r c − r m ) sin  θ − r m sin  ( r c − r m r m θ ) . {\displaystyle {\begin{cases}x=(r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} })\cos \theta +r_{\mathrm {m} }\cos \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right),\\[2ex]y=(r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} })\sin \theta -r_{\mathrm {m} }\sin \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right).\end{cases}}}
定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径、3:1のときデルトイド、4:1 のときアステロイドとなる。