シンプレクティック幾何学
この定理は n = 1 {\displaystyle n=1} のときは自明である。n=1のとき、 Z 2 ( R ) {\displaystyle \,Z^{2}(R)\,} は2次元円盤 B 2 ( R ) {\displaystyle \,B^{2}(R)\,} であり、シンプレクティック埋め込みは面積を保つから、 B 2 ( r ) {\displaystyle \,B^{2}(r)\,} が Z 2 ( R ) = B 2 ( R ) {\displaystyle \,Z^{2}(R)=B^{2}(R)\,} に埋め込めるためには、 B 2 ( r ) {\displaystyle \,B^{2}(r)\,} の面積が Z 2 ( R ) = B 2 ( R ) {\displaystyle \,Z^{2}(R)=B^{2}(R)\,} の面積よりも小さくないといけない。つまり、 r ≤ R {\displaystyle r\leq R} でなくてはならない。この説明を見れば分かるように、 n = 1 {\displaystyle n=1} のとき (空間の次元は2次元) はシンプレクティック埋め込みが面積を保つということがポイントであり、シンプレクティック構造を保つということは直接は使われない。
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鎖複体の次数付けはコンリー・ツェンダー指数 (Conley-Zehnder index) μ H : C r ( A H ) → Z {\displaystyle \mu _{H}:\mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})\to \mathbb {Z} } と呼ばれているもので与えられているとする。境界作用素は、
δ ⟨ x ⟩ = ∑ μ H ( x ) − μ H ( y ) = 1 # M ( x , y ) ⟨ y ⟩ mod 2 {\displaystyle \delta \langle x\rangle =\sum _{\mu _{H}(x)-\mu _{H}(y)=1}\#{\mathcal {M}}(x,y)\langle y\rangle \mod 2}
で定義される。ここで、 M ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(x,y)} は臨界点 x {\displaystyle x} から y {\displaystyle y} へと向かう(負の)勾配曲線のモジュライ空間を表す。
このモジュライ空間についてもう少し詳しく述べよう。 M {\displaystyle M} 上の概複素構造 J {\displaystyle J} で、シンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } と両立するものが存在する。つまり、 ( M , J , ω ) {\displaystyle (M,J,\omega )} は概ケーラー多様体となる。