熱力学的状態方程式
長さ L の帯状のゴムバンドの一端を固定し、他端をゆっくりと引っ張ってゴムバンドの長さを L + dL に変化させる過程を考える。このとき、ゴムバンドの張力を K とするならこの準静的過程でゴムバンドになされた仕事は KdL である。よって、ゴムバンドの dU は
d U = T d S − P d V + K d L {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+K\mathrm {d} L}
で与えられる。この式から (∂U/∂L)T, V は
( ∂ U ∂ L ) T , V = T ( ∂ S ∂ L ) T , V + K {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial L}}\right)_{T,V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial L}}\right)_{T,V}+K}
C K = ( ∂ U ∂ T ) L + [ ( ∂ U ∂ L ) T − K ] ( ∂ L ∂ T ) K {\displaystyle C_{K}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{L}+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial L}}\right)_{T}-K\right]\left({\frac {\partial L}{\partial T}}\right)_{K}}
で与えられるから、熱力学的状態方程式を使うと
C K = ( ∂ U ∂ T ) L − K ( ∂ L ∂ T ) K = C L + K 2 T ( ∂ L ∂ K ) T {\displaystyle C_{K}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{L}-K\left({\frac {\partial L}{\partial T}}\right)_{K}=C_{L}+{\frac {K^{2}}{T}}\left({\frac {\partial L}{\partial K}}\right)_{T}}
となり、K > 0 であれば CK > CL である。つまりゴムの張力を一定に保ったときの方がゴムの長さを一定に保ったときよりも熱容量が大きくなる。これは、温度を上げるとゴムが縮んで外部に仕事をするためであり、理想気体の熱容量が CP > CV となるのと同じ理由である。