定数変化法
微分方程式
u ′′ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = f ( x ) {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}
を解くにあたって、D を微分演算子として線型微分作用素
L = D 2 + p ( x ) D + q ( x ) {\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}
を定義すると、L および f(x) が既知として、方程式 Lu = f を u に関して解けばよい、ということになる。
定数変化法を用いるために、まずは対応する斉次方程式
u ′′ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = 0 {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}
を解かねばならない。この方程式は二階であるから、線型独立な二つの解 u1, u2 が得られれば、定数変化法を適用することができる。
求める微分方程式の一般解 uG は
u G ( x ) = A ( x ) u 1 ( x ) + B ( x ) u 2 ( x ) {\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)}
の形をしているはずである。ただし、A(x), B(x) は未知で、u1(x), u2(x) は斉次方程式の解である。A(x) と B(x) がともに定数ならば LuG = 0 となるのは明らかである。