有限差分
前進差分を、函数 f を Δh[f] へ写す差分作用素と考えることができる。この作用素は、歩み h のシフト作用素 Th を用いて
Δ h = T h − I {\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I}
という和に書くことができる。ここに、Th[f ](x) = f(x+h) および I は恒等作用素である。
高階の有限差分は再帰的に Δh ≡ Δh (Δh) と定義することができるが、これと同値な別定義として Δh = [Th −I] とすることもできる。
差分作用素 Δh は線型作用素であり、上で述べた特別なライプニッツ則 Δh(f(x)g(x)) = (Δhf(x)) g(x+h) + f(x) (Δhg(x)) を満足する。後退および中心差分に関しても同様のことが成立する。
h に関するテイラー級数を形式的に適用することで、等式
Δ h = h D + 1 2 h 2 D 2 + 1 3 ! h 3 D 3 + ⋯ = e h D − I {\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dotsb =e^{hD}-I}
が得られる。ここで D は函数 f をその導函数 f' へ写す連続的な微分作用素である。
f ′′ ( x ) ≈ Δ h 2 [ f ] ( x ) h 2 = f ( x + 2 h ) − 2 f ( x + h ) + f ( x ) h 2 . {\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}
なども得られる。より一般にn-階前進、後退、中心差分はそれぞれ