実解析的アイゼンシュタイン級数
実解析的アイゼンシュタイン級数の上記の性質、つまり、H 上のラプラシアンを使った E(z, s) と E(z, s) の函数等式は、E(z, s) が次のフーリエ展開を持つという事実から示すことができる。 E ( z , s ) = y s + ζ ^ ( 2 s − 1 ) ζ ^ ( 2 s ) y 1 − s + 4 ζ ^ ( 2 s ) ∑ m = 1 ∞ m s − 1 / 2 σ 1 − 2 s ( m ) y K s − 1 / 2 ( 2 π m y ) cos  ( 2 π m x ) , {\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,} ここに、