シュワルツ超函数
R 上の二つの超函数 S と T との畳み込みも、いずれか一方がコンパクト台を持てば定義することができる。ざっと述べるに、畳み込み S ∗ T を定義するため、ここでは T がコンパクト台を持つものとして、結合律
S ∗ ( T ∗ φ ) = ( S ∗ T ) ∗ φ {\displaystyle S*(T*\varphi )=(S*T)*\varphi }
が任意のテスト函数 φ に対しても引き続き成り立つように、畳み込み '∗' の定義を超函数上の線型演算まで拡張することを考える。Hörmander (1983, §IV.2) はこのような拡張の一意性を証明している。
超函数同士の畳み込みのより明示的な特徴付けを与えることもできる (Trèves 1967, Chapter 27)。T はコンパクト台を持つものとして、任意のテスト函数 φ ∈ D(R) に対し、函数
ψ ( x ) = ⟨ T , τ − x φ ⟩ {\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\varphi \rangle }
シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。