変曲点
変曲点は、その曲線の曲率が符号を変える点である。
微分可能な関数 f が (x, f (x) ) に変曲点をもつための必要十分条件は、1階導関数 f ′ が x において孤立した極値をもつことである(これは f が極値をとるといっているのではないことに注意する)。「孤立した」というのは、x の適当な近傍において、唯一 x だけで f ′ が極大値または極小値をとるようにできることを意味する。f のすべての極値が孤立しているならば、f のグラフ上の点で接線がその点でグラフと交叉している点が変曲点である。
2回微分可能な関数の場合、変曲点はその関数のグラフ上の点で、2階導関数がその点に孤立した零点をもち、かつその点の前後で2階導関数が符号を変えるような点である。
代数曲線に対しては、非特異点が変曲点となる必要十分条件は、接線と曲線との(接点における)交わりの重複度が 2 より大きい奇数となることである。
曲線が媒介変数表示で与えられているときも、変曲点は、曲率がその点の前後で符号を変える点である。
f (x) が適当な点 x の近傍で k-回連続的微分可能(ただし、k ≥ 3 は奇数であるとき、f(x0) = 0 (∀n = 2, ..., k − 1) かつ f(x0) ≠ 0 ならば、f (x) は x0 に変曲点をもつ。
x の適当な近傍において f ′′ (x + ε) と f ′′ (x − ε) との符号が逆になるならば、f は変曲点をもつ。
変曲点をもたずに凸性が変化する関数もある。実際、不連続点や垂直漸近線の前後で凸性は変化しうる。例えば、逆数関数 x ↦ 1⁄x は負の x に対して凹かつ正の x に対して凸となるが、0 は定義域に含まないから変曲点をもたない。