ベルヌーイ過程
全ての試行は2つの値のいずれかをとるので、試行の列は実数を二進記数法で表したものと見ることもできる。確率 p が 1/2 なら、全ての2進数列が同じ確率で生成され、ベルヌーイ過程の完全加法族の測度は、単位区間における一様測度と等価である。換言すれば、それら実数は単位区間上に一様に分布する。
シフト作用素 T は、次のように各確率変数の次(の確率変数)を与える。
T X i = X i + 1 {\displaystyle TX_{i}=X_{i+1}}
これは、次のベルヌーイマップ(Bernoulli map)により与えられる。
b ( z ) = 2 z − ⌊ 2 z ⌋ {\displaystyle b(z)=2z-\lfloor 2z\rfloor }
ここで z ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle z\in [0,1]} は測定列を表し、 ⌊ z ⌋ {\displaystyle \lfloor z\rfloor } は床関数(すなわち、z を超えない最大の整数)を表す。ベルヌーイマップは本質的に z を2進数表現と見たときの小数点以下に対応する。
ベルヌーイマップは決定性カオスの正確な可解モデルである。ベルヌーイマップの transfer operator は可解である。その固有値は 1/2 の倍数であり、固有関数はベルヌーイ多項式である。