局所体
U ≃ μ ( K ) × Z p N ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p N {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}
である。
また、主単数群 U は、以下の様に分解される。
(1) K の標数が 0 であるとき
U ( 1 ) ≃ μ p a Z ⊕ Z p d {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mu _{p^{a}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}
但し、p は K に含まれる 1 の p ベキ乗根全体のなす群の位数であり、d = [K : Qp] である。
(2) K の標数が 0 でないとき
U ( 1 ) ≃ Z p N {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}
である。
続いて、実数体もしくは複素数体の場合を考察すると
(1) 実数体の場合
単数群 U は {±1} であり
R × ≃ { ± 1 } × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\simeq \{\pm 1\}\times \mathbb {R} }
である。
(2) 複素数体の場合
単数群 U は R/Z と同型であり
C × ≃ R × R / Z {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\simeq \mathbb {R} \times \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
である。
F の標数を p とし、K 上の点 x を
x = ∑ i = r ∞ c i t i ( c i ∈ F , r < 0 ) {\displaystyle x=\sum _{i=r}^{\infty }c_{i}t^{i}\ \ \ \ (c_{i}\in F,\ r<0)}
と表したとき、K 上の正規指標 χ K {\displaystyle \chi _{K}} を
χ K ( x ) = e ( − Tr F / F p  ( c − 1 ∗ ) ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=e(-\operatorname {Tr} _{F/\mathbb {F} _{p}}(c_{-1}^{*}))}
で定める。ここで、 c − 1 ∗ ∈ { 0 , 1 , ... , p − 1 } {\displaystyle \scriptstyle c_{-1}^{*}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}} を c − 1 ≡ c − 1 ∗ {\displaystyle \scriptstyle c_{-1}\equiv c_{-1}^{*}} を満たす様にとる。
K がいずれの場合に対しても、K の任意の元 a を1つ取り固定したとき、
φ a : K → T x ↦ χ K ( x a ) {\displaystyle {\begin{array}{rccc}\varphi _{a}:&K&\to &T\\&x&\mapsto &\chi _{K}(xa)\end{array}}}