ラグランジュ力学
座標の2階微分 ··q について高々1次である次の運動方程式
A i j ( q , q ̇ , t ) q ̈ j + B i ( q , q ̇ , t ) = 0 , ( i , j = 1 , ... , N ) {\displaystyle A_{ij}(q,{\dot {q}},t){\ddot {q}}^{j}+B_{i}(q,{\dot {q}},t)=0,\quad (i,j=1,\dots ,N)}
(ただし q = (q, ..., q))を導くラグランジュ関数が局所的に存在する必要十分条件は以下であることがヘルムホルツにより調べられている:
A i j = A j i , ∂ A j k ∂ q ̇ i = ∂ A k i ∂ q ̇ j , ∂ B i ∂ q ̇ j + ∂ B j ∂ q ̇ i = 2 ( q ̇ k ∂ ∂ q k + ∂ ∂ t ) A i j , 2 ( ∂ B i ∂ q j − ∂ B j ∂ q i ) = ( q ̇ k ∂ ∂ q k + ∂ ∂ t ) ( ∂ B i ∂ q ̇ j − ∂ B j ∂ q ̇ i ) .
拘束条件が課された系にラグランジュ形式を用いる際に、一般座標を適当に選ぶことによって、拘束条件が常に満たされるようにすることができる。上で挙げた振り子の例であれば、座標変数に角度を選ぶことによって長さが一定という拘束条件が常に満たされるようにしている。 これの手法とは別に、ラグランジュの未定乗数法を用いて作用汎関数(ラグランジュ関数)に拘束条件を取り入れる方法がある。
一般化座標 q に対して、拘束条件
Φ ( q , t ) = 0 {\displaystyle \varPhi (q,t)=0}
が課されている場合を考える。 このとき、作用は
S b [ q , β ] = S [ q ] + ∫ t I t F β ( t ) Φ ( q , t ) d t {\displaystyle S_{\text{b}}[q,\beta ]=S[q]+\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}\beta (t)\,\varPhi (q,t)\,dt}
によって拘束条件が取り入れられる。ここで導入された β(t) がラグランジュの未定乗数である。 拘束条件は全ての時間で成り立つので、未定乗数も各々の時間に対して導入される時間の関数である。
相対論的な系では、時間は位置と共に4元ベクトルとなるので、時間は力学変数となり、運動のパラメータではなくなる。パラメータを λ として、力学変数を
X = ( X i μ ( λ ) ) = ( c t i ( λ ) , x i ( λ ) ) {\displaystyle X=(X_{i}^{\mu }(\lambda ))=(ct_{i}(\lambda ),{\boldsymbol {x}}_{i}(\lambda ))}
とする。ここで μ は時空の添え字で、i は粒子を区別する添え字である。 自由粒子系を考えると、作用積分は
S [ X ] = ∫ L ( X , X ̇ , λ ) d λ = − ∫ ∑ i ( m i c − η μ ν X ̇ i μ X ̇ i ν ) d λ {\displaystyle S[X]=\int L(X,{\dot {X}},\lambda )\,d\lambda =-\int \sum _{i}\left(m_{i}c{\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}}\right)\,d\lambda }
である。ここで η は平坦な時空の計量で η = d i a g ( − 1 , 1 , ...
一般相対性理論においては、平坦な時空の計量は曲がった時空の計量 g に置き換えられ、これが力学変数となる。 作用積分は
S [ g , X ] = S X [ g , X ] + S g [ g ] {\displaystyle S[g,X]=S_{X}[g,X]+S_{g}[g]}
と書かれる。 重力場の項は
S g [ g ] = 1 2 κ c ∫ R − g d 4 x {\displaystyle S_{g}[g]={\frac {1}{2\kappa c}}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
である。 ここで R はスカラー曲率である。 アインシュタイン方程式は時空の計量 g の運動方程式として導かれる。