カーダー・パリージ・ザン方程式
KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、
x → → b x → , t → b z t , v → → b α − 1 v → ( h → b α h ) , {\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow b{\vec {x}},\quad t\rightarrow b^{z}t,\quad {\vec {v}}\rightarrow b^{\alpha -1}{\vec {v}}\quad \left(h\rightarrow b^{\alpha }h\right),}
ノイズ η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} について、 ⟨ η ( x → , t ) η ( x → ′ , t ′ ) ⟩ = 2 D δ d ( x → − x → ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \textstyle \left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle =2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)} の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、
}
ここで λ = 1 {\displaystyle \textstyle \lambda =1} と置けば、これは v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}} を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは λ v → ( x → , t ) = − λ ∇ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\lambda \nabla h\left({\vec {x}},t\right)} を改めて v → ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)} に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。