局所可積分函数
‖ ⋅ ‖ p , ω k → R + {\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}} , k ∈ N は、次で定義される半ノルムの添え字付きの族である:
‖ u ‖ p , ω k = ∫ ω k | u | p d x ∀ u ∈ L p , l o c ( Ω ) . {\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}
参考文献 (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147)、 (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5)、(Maz'ja 1985, p. 6) および (Maz'ya 2011, p. 2) において、この定理は述べられているが形式的な証明は与えられていない。より一般の結果に対する完全な証明は、(Meise & Vogt 1997, p. 40) に見られる。
定義 3. Ω をユークリッド空間 R 内のある開集合とし、f : Ω → C をあるルベーグ可測函数とする。1 ≤ p ≤ +∞ を満たす与えられた p に対し、f が
∫ K | f | p d x < + ∞ {\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty }
を満たすなら、f は局所 p-可積分あるいは p-局所可積分と呼ばれる。ただしこの条件は、f が Ω 内のすべてのコンパクト部分集合 K に対してLp(K)に属することを意味する。そのようなすべての函数の集合は Lp,loc(Ω) と記述される:
L p , l o c ( Ω ) = { f : Ω → C measurable | f ∈ L p ( K ) , ∀ K ⊂ Ω , K compact } . {\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}
前述の場合と同様に、代替的な定義も与えられ、それらは同値であることが示される。それらは高い一般性を備えるものであるように見えるが、局所 p-可積分函数は 1 < p ≤ +∞ を満たすすべての p に対して局所可積分函数の部分集合を形成する。