ウィルティンガーの微分
d x = 1 2 ( d z + d z ̄ ) , d y = i 2 ( d z ̄ − d z ) {\displaystyle dx={\frac {1}{2}}(dz+d{\bar {z}}),\quad dy={\frac {i}{2}}(d{\bar {z}}-dz)}
であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に
d f = ∂ f ∂ z d z + ∂ f ∂ z ̄ d z ̄ {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}}
と書けば、各係数
∂ f ∂ z := 1 2 ( ∂ f ∂ x − i ∂ f ∂ y ) , ∂ f ∂ z ̄ := 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right),\qquad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}
がヴィルティンガー微分と呼ばれるものである。しばしば ∂f⁄∂z および ∂f⁄∂z をそれぞれ ∂f および ∂f とも書き、また作用素 ∂ はコーシー–リーマン作用素とも呼ばれる。