ホッジ双対
0 = ∫ M d ( η ∧ ⋆ ζ ) = ∫ M ( ( d η ∧ ⋆ ζ ) − ( η ∧ ( − 1 ) k + 1 d ⋆ ζ ) ) = ∫ M ( ( d η ∧ ⋆ ζ ) − ( η ∧ ⋆ ( − 1 ) k + 1 ⋆ − 1 d ⋆ ζ ) ) = ⟨ d η , ζ ⟩ − ⟨ η , δ ζ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{M}\mathrm {d} (\eta \wedge \star \zeta )\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge (-1)^{k+1}\mathrm {d} {\star \zeta }){\Bigr )}\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} {\star \zeta }}){\Bigr )}\\&=\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle -\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \end{aligned}}}
となるとき、つまり、M は境界を持たないか、または、η あるいは ⋆ζ が境界値が 0 を持っているときである。 (もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。)
この線形形式に対し、リースの表現定理により一意に (n − k)-ベクトル、 ⋆ λ ∈ ⋀ n − k V {\textstyle \star \lambda \in \bigwedge ^{n-k}V} が存在し、
∀ θ ∈ ⋀ n − k V : f λ ( θ ) = ⟨ θ , ⋆ λ ⟩ {\displaystyle \forall \theta \in \bigwedge ^{n-k}V:\quad f_{\lambda }(\theta )=\langle \theta ,\star \lambda \rangle }
を満たす。言いかえると、この (n − k)-ベクトル ⋆λ は 内積
( ⋀ n − k V ) ∗ ≅ ⋀ n − k V {\displaystyle {\biggl (}\bigwedge ^{n-k}V{\biggr )}^{\!*}\cong \bigwedge ^{n-k}V}
により導かれた同型の下で fλ の像となる。このようにして、
⋆ : ⋀ k V → ⋀ n − k V {\displaystyle \star \colon \bigwedge ^{k}V\to \bigwedge ^{n-k}V}
が得られる。