外積代数
V , W をベクトル空間の対とし、f: V → W を線型写像とする。このとき普遍構成により、次数付き代数の準同型
⋀ ( f ) : ⋀ ( V ) → ⋀ ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (f)\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (W)}
であって、その ⋀(V) = V への制限が
⋀ ( f ) | V = f {\displaystyle \textstyle \bigwedge (f)|_{V}=f}
を満たすようなものが唯一つ存在する。特に ⋀(f) は斉次次数 (homogeneous degree) を保つ。⋀(f) の k-次成分は分解可能元の上では
⋀ ( f ) ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = f ( x 1 ) ∧ ⋯ ∧ f ( x k ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k})}
上記の特別の場合として X = K を基礎体とするとき、交代重線型写像
f: V → K
は重線型交代形式と呼ばれる。重線型交代形式の全体の成す集合は、それらの和もスカラー倍も再び交代性を持つから、ベクトル空間を成す。 外冪の普遍性により、V 上の次数 k の交代形式の空間は双対空間 (⋀V) と自然同型である。V が有限次元なら後者は ⋀(V) に自然同型である。特に V から K への反対称写像全体の成す空間の次元は n から k を選ぶ二項係数に等しい。
この同一視の元、楔積は具体的な形で 2 つの反対称写像から別の反対称写像を導く。ω: V → K と η: V → K を 2 つの反対称写像とする。重線型写像のテンソル積の場合と同様に楔積における変数の個数はそれぞれの写像の変数の個数の和になる。楔積は次のように
ω ∧ η = ( k + m ) ! k ! m ! Alt  ( ω ⊗ η ) {\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}
と定義される。ここで重線型写像の交代化作用 "Alt" は変数の置換全体を亘る符号付平均
Alt  ( ω ) ( x 1 , ... , x k ) = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn  ( σ ) ω ( x σ ( 1 ) , ... , x σ ( k ) ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})}
R におけるベクトルに対して、対応する外積代数はベクトルのクロス積およびスカラー三重積と近しい関係にある。標準基底 {e1, e2, e3} を用いて、2 つのベクトル
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3},\quad {\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}
の楔積は 3-次元空間 ⋀(R) の基底 {e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3} に関して
2-重ベクトル α の階数は α のある基底に関する係数の作る行列の階数と同一視できる。つまり、{ei} を V の基底とすると、α は
α = ∑ i , j a i j e i ∧ e j {\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}
と一意的に表示できる(ここで aij = −aji ゆえ、対応する係数行列は歪対称行列である)。そして α の階数は行列 (aij) の階数に一致する。
標数 0 の場合、2-重ベクトル α が階数 p を持つことと
α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p ≠ 0 {\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\not =0}
かつ
α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p + 1 = 0 {\displaystyle {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0}
であることとは同値である。