超現実数
前掲の S∗ の任意の部分集合から構成規則によって生成される超現実数全体の成す集合を Sω とする(順序数 ω は任意の自然数より大きい最小の順序数であるから、帰納ステップは前と同じ形に書けるが、そこに現れる合併集合は有限集合の無限合併が許されることになるので、そのような合併操作が展開できる集合論をとらなければならないことに注意する)。Sω は無限に大きい超現実数
をただ一つだけ含む。また、Sω は(二進とは限らない任意の)有理数に同一視することのできる対象を含んでいる。例えば、分数 1/3 の ω-完全 (ω-complete) な形式は 1 3 = { y ∈ S ∗ [ 3 y < 1 ] ∣ y ∈ S ∗ [ 3 y > 1 ] } {\textstyle {\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}[3y<1]\mid y\in S_{*}[3y>1]\}} で与えられる。1/3 の代表元をこの形式とし、3 を表す任意の形式との積をとった形式は、その左集合に 1 より小さい数のみ属し、その右集合に 1 より大きい数のみが属するから、誕生日性質によりこの積は 1 を表す形式であることが従う。それ以外のすべての有理数が Sω において生じるが、それだけではなく有理数でない任意の有限実数もまた同様に生じる。例えば
である。
Sω の元 x = {L | R} が任意に与えられたならば、以下の状況のうち何れかただ一つだけが成り立つ:
L, R がともに空である(x = 0 の場合);
R が空で、L の任意の元よりも大きな整数 n ≥ 0 がある(このとき、x はこの条件を満たす最小の整数 n に等しい);
R が空で、L の任意の元よりも大きな整数 n は存在しない(x = +ω の場合);
L が空で、R の任意の元よりも小さい整数 n ≤ 0 が存在する(このとき、x はこの条件を満たす最大の整数 n に等しい);
L が空で、R の任意の元よりも小さい整数は存在しない(x = −ω の場合);
L, R がともに空でなく、さらに 適当な二進分数 y が L と R の(L の任意の元より大きく、R の任意の元よりも小さいという)「強い意味で間に」("strictly between") 存在する(この場合、x はこの条件を満たすもっとも古い二進分数 y に等しい); L と R の強い意味での間には二進分数 y が存在しないが、(L の任意の元以上かつ R の任意の元以下という)弱い意味で間にある二進分数 y ∈ L は存在する(x = y + ε の場合); L と R の強い意味での間には二進分数 y は存在しないが、L の任意の元以上かつ R の任意の元以下という)弱い意味で間にある二進分数 y ∈ R は存在する(x = y − ε の場合); 任意の二進分数が、R の適当な元より大きく、L の適当な元より小さい(この場合 x は二進分数として表せない何らかの実数に等しい)。
二つの数形式 x, y が同じ数を表す(同じ同値類に属する)ための必要十分条件は x ≤ y および y ≤ x が同時に満たされることである。
順序関係は反対称でなければならない。つまり x ≤ y かつ y ≤ x という意味で x = y であるのは、x と y が同じものであるときに限る。これは超現実数を形式として捉えた場合には正しくないが、その同値類を取って作ったものであれば真となる。
空な形式 { | } の属する同値類を 0 とラベル付ける。すなわち、超現実数の 0 は形式 { | } によって表現される。
集合 S の反数集合 −S を、その元の反数全体の成す集合 −S ≔ {−s : x ∈ S} とすれば、与えられた超現実数の「形式」 x ≔ {XL | XR} に対してその反数は
で与えられる。
この定義式の中には、x の左集合や右集合に現れる超現実「数」の反数も現れるが、これはそれら数の代表元となる形式を選んで形式に対する符号反転をとって得られた形式の属する同値類をとったものという意味である。ただし、この定義が意味を持つためには、結果として得られる数が被演算子となる形式のとりかたに依存しないことを示す必要がある。そのことは、XL, XR に現れる全ての数が、x が初めて現れるよりも前の世代において生じるものであるという事実を用いれば、その特別の場合として −0 = −{ | } ≔ { | } = 0 は確定であることと合わせて帰納的に示される。