概複素構造
(M, ω) をシンプレクティック多様体とする。このとき、次の条件を満たす概複素構造 J: TM → TM と M のリーマン計量 g が存在する:
g x ( X , Y ) = ω x ( X , J Y ) , X , Y ∈ T x M , {\displaystyle g_{x}(X,Y)=\omega _{x}(X,JY),\quad X,Y\in T_{x}M,}
g x ( J X , J Y ) = g x ( X , Y ) , X , Y ∈ T x M . {\displaystyle g_{x}(JX,JY)=g_{x}(X,Y),\quad X,Y\in T_{x}M.}
このとき、J と g をそれぞれシンプレクティック形式 ω と両立する概複素構造、計量という。ただし、ω と両立する概複素構造は一意には決まらない。
いま、ω と両立する概複素構造全体のなす集合を J(M, ω) と表すことにする。集合 J(M, ω) は空集合ではなく、可縮である。すなわち、J(M, ω) 内の連続曲線は 1点に連続変形可能である。これより、第一チャーン類 c1(TM, J) ∈ H(M, Z) が概複素構造 J ∈ J(M, ω) の取り方によらず定まる。ここで、H(M, Z) は M の整数係数の2次のホモロジー類(homology class)を表す。
すべての整数 n に対して、平坦空間 R は概複素構造を持つ。そのような概複素構造の例は (1 ≤ i, j ≤ 2n) の範囲で、奇数の i に対して J i j = − δ i , j − 1 {\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}} 、偶数の i に対して J i j = δ i , j + 1 {\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}} が例である。
球面で概複素構造を持つことのできる場合は S と S だけである。S の場合は、概複素構造はリーマン面の上のリーマン面に付帯する(honest)複素構造から作られる。6-球面(sphere) S は、単位ノルムを持つ虚数八元数の集合として考えると、八元数の積から導出される概複素構造を持つ。特に、S は概複素構造を持つことができない(エーレスマンとホップ(Eresmann and Hopf))。