ファトゥの補題
f1, f2, . . . を、測度空間 (S,Σ,μ) 上で定義される拡張実数値可測関数の列とする。すべての n に対して fn ≥ −g が成立するような S 上の非負可積分関数 g が存在するなら、
∫ S lim inf n → ∞ f n d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ {\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \ }
が成立する。
ファトゥの補題についての上述の議論では、すべて積分は単一の固定された測度 μ に対して実行されていた。ここでは μn を、可測空間 (S,Σ) 上の測度の列で、
μ n ( E ) → μ ( E ) , ∀ E ∈ Σ . {\displaystyle \mu _{n}(E)\to \mu (E),~\forall E\in \Sigma .}
を満たすようなものとする(測度の収束(英語版)を参照)。このとき、非負の可積分関数 fn の列およびその各点毎の下極限 f に対して、
∫ S f d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ n {\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}}
が成立する。
f がほとんど至る所で fn の下極限と一致しなければならないこと、および測度ゼロの集合上での被積分関数の値は積分の値へと影響を与えないことより。