マッカラーの公式
質量中心を通る軸 O P ̄ {\displaystyle {\overline {OP}}} のまわりの慣性モーメントは、慣性テンソルを表す 3×3行列を対角化することで得られる主慣性モーメント A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} を使って
I = n x 2 A + n y 2 B + n z 2 C {\displaystyle I=n_{x}^{2}A+n_{y}^{2}B+n_{z}^{2}C}
と書くことができる。ここで n x {\displaystyle n_{x}} , n y {\displaystyle n_{y}} , n z {\displaystyle n_{z}} は O P ̄ {\displaystyle {\overline {OP}}} (単位ベクトル)の慣性主軸 Ox, Oy, Oz への方向余弦を表す。
物体が Oz-軸を中心に回転する(Oz について軸対称である)と仮定する。このとき A = B {\displaystyle A=B} である。 φ {\displaystyle \phi } を O P ̄ {\displaystyle {\overline {OP}}} が Oxy-平面となす角とする。このとき n z = sin  φ {\displaystyle n_{z}=\sin \phi } であり、 n x 2 + n y 2 + n z 2 = 1 {\displaystyle n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1} だから方向余弦は
軸対称性があるとき、万有引力ポテンシャルの多重極展開を2次まで行ったものは常に次の一般式で書ける。
V ( P ) = G M r − 1 − J 2 G M a 2 r − 3 P 2 ( cos  θ ) = G M r − 1 − 1 2 J 2 G M a 2 r − 3 ( 1 − 3 sin 2  φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}V(P)&=GMr^{-1}-J_{2}GMa^{2}r^{-3}P_{2}(\cos \theta )\\&=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}J_{2}GMa^{2}r^{-3}(1-3\sin ^{2}\phi )\end{aligned}}}
ここで
P 2 ( cos  θ ) = 3 2 sin 2  φ − 1 2 , ( φ = π 2 − θ ) {\displaystyle P_{2}(\cos \theta )={\frac {3}{2}}\sin ^{2}\phi -{\frac {1}{2}},\quad (\phi ={\frac {\pi }{2}}-\theta )}
は2次のルジャンドル多項式である。地球の場合、2次の帯調和重力係数 J 2 {\displaystyle J_{2}} はしばしば地球の力学的形状係数(facteur de forme géodynamique)と呼ばれる。この式をマッカラーの公式と等しいと置くと、
J 2 = C − A M a 2 {\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}}
この最後の関係式もマッカラーの公式と呼ばれることがある。