ノルム多元体
ノルム多元体は合成代数の特別の場合である。合成代数とは、乗法的二次形式を備えた単位的多元環である。一般の合成代数は必ずしも可除ではなく、零因子を持ち得る。実数体上であれば、ノルム多元体を成すもの以外に三種類、分解型複素数環、分解型四元数環、分解型八元数環が加わる。
実多元体の分類はフロベニウスに始まり、フルヴィッツが続いて、一般の形はツォルンによって完成された。この辺りの簡潔な歴史的概要は Badger (2006) に見つかる。
完全な証明は Kantor & Solodovnikov (1989) および Shapiro (2000)にある。 基本的な考え方としては、多元環 A が 1 に比例するならばそれは実数体に同型であり、さもなくば 1 に比例する部分多元環に同型な部分多元環をケーリー=ディクソン構成を用いて拡張して、1 に直交するベクトル e を導入すれば、得られる部分多元環は複素数体に同型になる。それでも A 全体を尽くさないならば再びケーリー=ディクソン構成を適用して全複素数と直交するベクトルをとれば、四元数体に同型な部分多元環を得る。それでも全体を尽くさないならば、三度ケーリー=ディクソン構成によってケーリー数(八元数)体と同型な部分多元環を得るが、このとき A の 1 を含む A でない任意の部分多元環が結合的であることが定理としてわかっているので、結合的でない八元数体は従って A と一致しなければならない、という具合である。