相愛数
が成立する実例として、
2 1 + 8 1 + 15 1 + 9 1 = 3 1 + 5 1 + 14 1 + 12 1 {\displaystyle 2^{1}+8^{1}+15^{1}+9^{1}=3^{1}+5^{1}+14^{1}+12^{1}}
2 2 + 8 2 + 15 2 + 9 2 = 3 2 + 5 2 + 14 2 + 12 2 {\displaystyle 2^{2}+8^{2}+15^{2}+9^{2}=3^{2}+5^{2}+14^{2}+12^{2}}
2 3 + 8 3 + 15 3 + 9 3 = 3 3 + 5 3 + 14 3 + 12 3 {\displaystyle 2^{3}+8^{3}+15^{3}+9^{3}=3^{3}+5^{3}+14^{3}+12^{3}}
において、
2 ⋅ 8 + 8 ⋅ 15 + 15 ⋅ 9 + 9 ⋅ 2 = 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 14 + 14 ⋅ 12 + 12 ⋅ 3 {\displaystyle 2\cdot 8+8\cdot 15+15\cdot 9+9\cdot 2=3\cdot 5+5\cdot 14+14\cdot 12+12\cdot 3}
890 3 + 962 3 + 1066 3 + 1210 3 + 1314 3 + 1386 3 = 906 3 + 930 3 + 1114 3 + 1162 3 + 1346 3 + 1370 3 {\displaystyle 890^{3}+962^{3}+1066^{3}+1210^{3}+1314^{3}+1386^{3}=906^{3}+930^{3}+1114^{3}+1162^{3}+1346^{3}+1370^{3}}
890 4 + 962 4 + 1066 4 + 1210 4 + 1314 4 + 1386 4 = 906 4 + 930 4 + 1114 4 + 1162 4 + 1346 4 + 1370 4 {\displaystyle 890^{4}+962^{4}+1066^{4}+1210^{4}+1314^{4}+1386^{4}=906^{4}+930^{4}+1114^{4}+1162^{4}+1346^{4}+1370^{4}}
890 5 + 962 5 + 1066 5 + 1210 5 + 1314 5 + 1386 5 = 906 5 + 930 5 + 1114 5 + 1162 5 + 1346 5 + 1370 5 {\displaystyle 890^{5}+962^{5}+1066^{5}+1210^{5}+1314^{5}+1386^{5}=906^{5}+930^{5}+1114^{5}+1162^{5}+1346^{5}+1370^{5}}
n-n相愛数の中には上述した累乗共鳴以外にもサイクリックに連続した数の積をとり、それらの総和をとると、二つの組の間で一致するものが見出される。
4-4相愛数(❤︎❤︎❤︎)
a 1 + b 1 + c 1 + d 1 = e 1 + f 1 + g 1 + h 1 {\displaystyle a^{1}+b^{1}+c^{1}+d^{1}=e^{1}+f^{1}+g^{1}+h^{1}}
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + g 2 + h 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}}
a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = e 3 + f 3 + g 3 + h 3 {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=e^{3}+f^{3}+g^{3}+h^{3}}
において、
a b + b c + c d + d a = e f + f g + g h + h e {\displaystyle ab+bc+cd+da=ef+fg+gh+he}
a b c + b c d + c d a + d a b = e f g + f g h + g h e + h e f {\displaystyle abc+bcd+cda+dab=efg+fgh+ghe+hef}