単純リー群
A1, A2, ...
Ar は特殊ユニタリ群 SU(r + 1) と対応する。
不運なことに単純リー群の標準的な定義はただ1つではない。上の定義は以下のように変わることがある:
連結性:通常単純リー群は定義により連結である。これにより離散的単純群(これらは抽象群として単純な 0 次元リー群である)や不連結ば直交群が除外される。
中心:通常単純リー群は離散的な中心を持ってもよい;例えば、SL(2, R)(英語版) は位数 2 の中心を持つが、なお単純リー群としてカウントされる。中心が非自明である(そして群全体でない)ならば単純リー群は抽象群として単純ではない。著者によっては単純リー群の中心が有限である(あるいは自明である)ことを要請する;SL(2, R) の普遍被覆は中心が無限の単純リー群の例である。
R:通常実数全体のなす加法群 R(およびその商群 R/Z)は、連結かつ0でない真のイデアルを持たないリー環を持つにもかかわらず、単純リー群としてはカウントされない。場合によっては著者は R が単純であるように単純リー群を定義することもあるが、これはこの場合を見過ごすことによって起きた事故であることもあるようである。
行列群:著者によっては有限次行列の群として表せるリー群に制限することがある。メタプレクティック群(英語版)はこのように表せない単純リー群の例である。
複素リー環:単純リー環の定義は係数拡大で安定ではない。sl(n, C) のような複素単純リー環の複素化(英語版)は半単純だが単純でない。
最も一般的な定義は上のものである:単純リー群は連結でなくてはならず、非自明な中心(無限でもよい)を持ってもよく、有限次行列によって表せなくてもよく、非可換でなければならない。