イデアル類群
R が整域であるとき,R の非零分数イデアルに関係 ∼ を次のように定義する:I ∼ J であるとは,R の零でない元 a と b が存在して,(a)I = (b)J となることとする.(ここで (a) は a の倍数全体からなる R の単項イデアルを意味する.)この関係が同値関係であることは容易に示される.その同値類は R のイデアル類 (ideal class) と呼ばれる.
イデアル類は掛けることができる:[I] でイデアル I の同値類を書けば,積 [I][J] = [IJ] は well-defined かつ可換である.すべての単項イデアルを集めた集合はこの積に対して単位元となるイデアル類 [R] になる.したがって類 [I] が逆元 [J] をもつことと IJ が単項イデアルとなるようなイデアル J が存在することは同値である.一般には,そのような J が存在するとは限らず,したがって R のイデアル類の全体はモノイドでしかない.
しかしながら,R が代数体の代数的整数の環であったり,より一般にデデキント環であれば,上で定義された積により分数イデアル類の全体はアーベル群になり,これが R のイデアル類群 (ideal class group) である.群の性質である逆元の存在は,次の事実から容易に従う:デデキント環において,(R を除く)すべての非零イデアルは素イデアルの積である.