絶対値
リース空間と呼ばれる順序線型空間(英語版)のベクトル v に対しては、|v| = v ∨ (−v) で絶対値が定義される。例えば集合 X 上の実数値(あるいはより一般に全順序群に値をとる)函数全体の成す集合は、f, g に対して (f ∨ g)(x) ≔ max{f(x), g(x)}, (f ∧ g)(x) ≔ min{f(x), g(x)} と置くことによりリース空間となり、各 f に対して
|f|(x) ≔ max{±f(x)}
が f の絶対値を与える。f ≔ ±f ∨ 0 と置けば、絶対値は |f| = f + f と書ける。
絶対値の基本性質、非負性・非退化性・偶性・劣加法性は、二数の絶対差を考えることにより、ノルム(絶対値ノルム)として距離函数が満たす性質と対応しており、x, y, z を任意の実数として
非負性: |x − y| ≥ 0,
不可識別者同一性: |x − y| = 0 ⇔ x = y,
対称性: |x − y| = |y − x|,
三角不等式: |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|
と書いても同値である。即ち d(x,y) = |x − y| と置けば d は絶対距離と呼ばれる距離函数になる。