ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす環についても部分環の稠密性を導く同様の定理が知られている。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A をX 上の複素数値連続関数環 C(X,C) の部分環で定数関数をふくむものとする。Aが複素共役について閉じており、X の各点を分離するならば A は C(X,C) の sup-ノルムに関して稠密である。
この定理は実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理と同値になる。実際、上のように A が複素共役について閉じたC(X,C) の部分環であるとき、Aの任意の元の実部は再び A に属するし、C(X, R) の部分環 B がX の各点を分離するならば A = B + i B は上の条件を満たすからである。
ストーン・ワイエルシュトラスの定理の仮定は以下のような場合に満たされている。
T = { z ∈ C : | z | = 1 } とする。A が円周上のローラン多項式 ∑ n ∈ X ⊂⊂ Z a n z n {\displaystyle \sum _{n\in X\subset \subset \mathbb {Z} }a_{n}z^{n}} のなすC(T, C) の部分環のとき。
X と Y とをコンパクトハウスドルフ空間とする。A が、有限個の C(X)の元 f1, f2, ..., fnと同数の C(Y) の元 g1, g2, ..., gn との積の和 ∑figi の形に書かれるような C(X × Y) の元からなる部分環であるとき。
複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理について、複素共役に関する条件が必要なことは以下のような例からわかる。
Aが解析的多項式 ∑ n ∈ X ⊂⊂ N a n z n {\displaystyle \sum _{n\in X\subset \subset \mathbb {N} }a_{n}z^{n}} からなるC(T, C) の部分環のとき、Aは T の各点を分離するが C(T, C) の中で稠密ではない。実際、C(T, C) の元 z ̄ {\displaystyle {\bar {z}}} と、Aの任意の元 f との間に | z ̄ − f | ∞ ≥ 1 {\displaystyle |{\bar {z}}-f|_{\infty }\geq 1} が成り立っている。