パウリ行列
それぞれのパウリ行列は、固有値 +1 と −1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
| σ 1 , + ⟩ = 1 2 [ 1 1 ] , | σ 1 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − 1 ] | σ 2 , + ⟩ = 1 2 [ 1 i ] , | σ 2 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − i ] | σ 3 , + ⟩ = [ 1 0 ] , | σ 3 , − ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}
である。
複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の複素2次行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) の線形結合として、次の形で書ける。
A = s 0 I + s 1 σ 1 + s 2 σ 2 + s 3 σ 3 = ∑ μ = 0 3 s μ σ μ {\displaystyle A=s_{0}I+s_{1}\sigma _{1}+s_{2}\sigma _{2}+s_{3}\sigma _{3}=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}s_{\mu }\sigma _{\mu }}
ここで複素係数 sμ は
s μ = 1 2 Tr  ( A σ μ ) ( μ = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle s_{\mu }={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (A\sigma _{\mu })\quad (\mu =0,1,2,3)}
で与えられる。
また、任意の2次エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 sμ は実数になる。
部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトル(英語版)と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I {\displaystyle {\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I}
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
σ 1 σ 2 = − σ 2 σ 1 = i σ 3 , σ 2 σ 3 = − σ 3 σ 2 = i σ 1 , σ 3 σ 1 = − σ 1 σ 3 = i σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}}
すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について