五乗数
10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。
また、n が奇数のとき、n5 - n は240で割り切れることが知られている。
五乗数の列の第4階差数列は公差 120 の等差数列であり、第5階差数列は定数列 120である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。
アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式(冪根で表される式)は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。
5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで(もう1つは4乗)、オイラー予想に反例を与える。
具体的には、以下の例がある。
27 + 84 + 110 + 133 = 144 (Lander & Parkin, 1966)