巡回群
巡回群の任意の部分群および剰余群は、それ自身が巡回群である。特に整数全体の成す加法群 Z の任意の部分群は、適当な整数 m ≥ 0 によって mZ の形で書ける。これらの部分群は m が異なれば全て互いに異なり、一方(m = 0 のとき自明群となることを除けば)全て Z に同型である。Z の部分群束(英語版)は整除関係を順序とする自然数全体の成す束の双対に同型である。Z の任意の剰余群は、自明な例外 Z/{0} = Z/0Z を除いて全て有限群である。また n の任意の正の約数 d に対して、剰余群 Z/nZ は位数 d の部分群をちょうど一つ持ち、それは n/d の属する剰余類によって生成される。Z/nZ の部分群は必ずこのようにして得られるので、部分群の束は n の約数全体の成す集合に整除関係で順序を入れたものに同型となる。特に、巡回群が単純群となるための必要十分条件は、その位数(元の個数)が素数となることである。
位数 n の(加法的に書かれた)巡回群を加法群 Z の剰余群として定式化するならば Z/nZ がそれを表す標準的な記法ということになる。