アトキンソン・スティグリッツの定理
μ ∂ V 1 ∂ Y 1 − λ 2 ∂ V 2 ∂ Y 1 + λ 1 ∂ V 1 ∂ Y 1 + γ N 1 = 0 , {\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}
∂ V 2 ∂ C 2 j + λ 2 ∂ V 2 ∂ C 2 j − λ 1 ∂ V 1 ∂ C 2 j − γ N 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,}
∂ V 2 ∂ Y 2 + λ 2 ∂ V 2 ∂ Y 2 − λ 1 ∂ V 1 ∂ Y 2 + γ N 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;}
アトキンソン・スティグリッツの定理(En:Atkinson-Stiglitz theorem)は、最適な税制を達成するためには間接税は必要であることを示した定理である。アンソニー・アトキンソンとジョセフ・スティグリッツの名を冠したこの定理は公共経済学における最重要定理の一つである。
ここで λ 1 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=0} and λ 2 > 0 {\displaystyle \lambda _{2}>0} の場合を考えると、
∂ V 2 ∂ C 2 j ∂ V 2 ∂ C 2 n = 1 , ∂ V 2 ∂ C 2 j ∂ V 2 ∂ Y 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;}
となる。そして、
∂ V 1 ∂ C 1 j = ∂ V 2 ∂ C 1 j {\displaystyle {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;}
となるために、以下のような結論を得る。
∂ V 1 ∂ C 1 j ∂ V 1 ∂ C 1 n = 1 {\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;}
すなわちパレート最適な税制を達成するためには、コモディティへの課税が必要であることがわかる。