アレクサンダー多項式
また r > s のときはアレクサンダーイデアルは零イデアルであるものとする。アレクサンダーイデアルが主イデアルであれば、ただ一つの生成元が取れて、各元がその生成元の多項式として書ける(これを結び目のアレクサンダー多項式と呼ぶ)。この時の生成元はローラン単項式 ±t を掛ける違いを除いて一意であるから、特定の形を決めて一通りに表せるようにすることも多い。特にアレクサンダーは多項式の定数項が正の値になるようにアレクサンダー多項式の正規形を定めた。
アレクサンダーはアレクサンダーイデアルが零イデアルでないことおよび常に主イデアルとなることを示した。故に結び目 K のアレクサンダー多項式 ΔK(t) は常に存在し、かつ明らかに結び目不変量となる。しかし、1本の紐からなる結び目のときアレクサンダー多項式 ΔK(t) は、t の多項式となり、鏡像に対しも同じ多項式となる。つまり、アレクサンダー多項式は、鏡像関係にある 2つの結び目を識別できない。
アレクサンダーはアレキサンダー多項式がスケイン関係式を満たすことを証明した。のちにコンウェイが別の形の関係式としてこれを再発見し、スケイン関係式と自明な結び目における値とを考えればアレクサンダー多項式を決定するのに十分であることを示した。コンウェイ版のアレクサンダー多項式は z を変数とする整数係数多項式 ∇(z) で、アレクサンダー・コンウェイ多項式(あるいはコンウェイ多項式、コンウェイ・アレクサンダー多項式など)と呼ばれる。
向きを持つ絡み目の射影図が与えられたとき、L+, L−, L0 は与えられた図の特定の交叉点の近くの領域で、以下の図
スケイン関係式
の指し示すとおり交叉を取り替えたり円滑化したりして得られる絡み目の射影図を表すものである。
コンウェイによるスケイン関係式は以下のようなものである。
∇ ( O ) = 1 {\displaystyle \nabla (O)=1} (ただし O は自明な結び目の任意の射影図)