ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件
ボーア=ゾンマーフェルトの量子化条件(ボーア=ゾンマーフェルトのりょうしかじょうけん、英: Bohr–Sommerfeld quantum condition)とは、物理学、特に量子力学において多自由度の周期運動に対する量子条件である。前期量子論において、1913年にデンマークの物理学者ニールス・ボーアが提唱したボーアの量子条件の一般化となっている。ボーアの量子条件は1自由度の周期運動である円軌道の場合に限られていたが、ドイツの物理学者アーノルド・ゾンマーフェルトが1916年に正準形式の解析力学に基づく形で、多自由度の周期運動にまで拡張した。米国のW. ウィルソン(英語版)や日本の石原純も同様な結果を得ており、ゾンマーフェルト=ウィルソンの量子化条件とも呼ばれる。ボーア=ゾンマーフェルトの理論は、ボーアの原子模型では円軌道に限られていた水素原子の電子軌道として、楕円軌道が存在することを示すともに、正常ゼーマン効果、シュタルク効果、微細構造に対する一定の説明を与えることを可能にした。
クーロンポテンシャルの下、質量 me の電子が原子核を中心に3次元運動する水素原子を考える。極座標 (r, θ, φ) をとれば、水素原子のハミルトニアンは
H = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p φ 2 r 2 sin 2  θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle H={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}}
で与えられる。
ここで、系の保存量として、z 軸方向の角運動量 Mz、角運動量の2乗 M、エネルギー E が存在し
M z = p φ M 2 = p θ 2 + p φ 2 sin 2  θ E = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p φ 2 r 2 sin 2  θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=p_{\phi }\\M^{2}&=p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\\E&={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}}