セール双対性
代数曲線の場合は既にリーマン・ロッホの定理に含まれている.曲線 C に対して coherent 群 H は i > 1 に対して消える;しかし H は一般には非自明である.実際,定理の基本関係式は l(D) と l(K − D) に関わり,ここで D は因子であり K は標準類の因子である.セール以降我々は l(K − D) を H(D) の次元と認識している,ただし今 D は因子 D によって決定される直線束を意味する.つまり,この場合のセール双対性は群 H(D) と H(KD) を関係づけ,次元の関係が分かる(表記:K は標準直線束,D* は双対直線束,並置は直線束のテンソル積).
この定式化において,リーマン・ロッホの定理は層のオイラー標数(英語版)
h(D) − h(D),
を曲線の種数
h(C,OC),
と D の次数のことばで計算したものと見ることができる.高次元に一般化できるのはこの形である.
したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが,興味深い観点を持っている.例えば,リーマン面の理論において,複素構造の変形理論(英語版)は古典的に quadratic differential(英語版)(すなわち L(K) の切断)を用いて研究される.小平邦彦と D. C. Spencer(英語版) の変形理論は H(T) を通した変形を同一視する,ここで T は接束層 K* である.双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す.