抽象代数学
二十世紀初頭の揺籃期には現代代数ともよばれ、数学における厳密さへの指向のもととなった。はじめは数学全体と自然科学の多くが依存している古典的な代数の論理的前提が記号論理学による公理の形で書き下され、それをもとに群論や環論などの理論が純粋数学として具現化するという形で理論が発展した。現在では抽象代数学という言葉はそういった諸分野の総体を、実数、複素数や未知数からなる代数的な数式や方程式の変形のやり方をあつかう初等代数学(高校までの代数)から区別するために用いられている。この初等代数学は可換環論への導入的な部分とみなすこともできる。
一つの二項内算法からなる代数的構造の最も簡単なものはマグマであり、それに付加的な条件を課すことで準群、モノイド、半群などの、そして最も重要な数学的構造に数えられる群の概念がえられる。 より複雑な例として、
二つの内算法を考える環や体
外算法を考える加群やベクトル空間
さらにこれらの構造をあわせた、体上の線型環
結合的代数とリー環
より記号論理学的な束やブール代数
などがあげられる。これらの対象は、準同型(それぞれの構造を保つ写像)とあわせて圏をなし、圏論によって異なった種類の代数的構造の比較や翻訳の枠組みが与えられる。
代数学の系統的な研究によって、異なった見かけの概念に対し共通の論理的説明が与えられるようになった。例えば、一方では正方行列の和や積を考えることができ、もう一方ではベクトル空間の上の線型写像の和や写像の合成が考えられる。