ロピタルの定理
以下に示す式はsinc関数と 0/0形の不定形を含む例である。
lim x → 0 sinc  ( x ) = lim x → 0 sin  π x π x = lim y → 0 sin  y y = lim y → 0 cos  y 1 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}\operatorname {sinc} (x)&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {\sin y}{y}}\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {\cos y}{1}}\\&=1.\end{aligned}}}
この極限は丁度、y=0 における sin関数の微分の定義になっていることがわかる。
次の式は0/0を含む、さらに巧妙な例である。ロピタルの定理を一回適用してもまだ不定形である。この場合は本定理を三回適用することにより、極限を求めることができる。
lim t → 1 / 2 sinc  ( t ) cos  π t 1 − ( 2 t ) 2 = sinc  ( 1 / 2 ) lim t → 1 / 2 cos  π t 1 − ( 2 t ) 2 = 2 π lim t → 1 / 2 − π sin  π t − 8 t = 2 π ⋅ π 4 = 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to 1/2}\operatorname {sinc} (t){\frac {\cos \pi t}{1-(2t)^{2}}}&=\operatorname {sinc} (1/2)\lim _{t\to 1/2}{\frac {\cos \pi t}{1-(2t)^{2}}}\\&={\frac {2}{\pi }}\lim _{t\to 1/2}{\frac {-\pi \sin \pi t}{-8t}}\\&={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
次の定理を証明するためにロピタルの定理を使用することができる。もし f ′′ {\displaystyle \scriptstyle f''} が x で連続ならば、
lim h → 0 f ( x + h ) + f ( x − h ) − 2 f ( x ) h 2 = lim h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x − h ) 2 h = f ′′ ( x ) .
| f ( x ) g ( x ) − f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) | = | f ( a ) g ( x ) − g ( a ) g ( x ) ⋅ f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) | = | f ( a ) − g ( a ) L g ( x ) − g ( a ) g ( x ) ( f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) − L ) | < 2 ε / 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\right|&=\left|{\frac {f(a)}{g(x)}}-{\frac {g(a)}{g(x)}}\cdot {\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\right|\\&=\left|{\frac {f(a)-g(a)L}{g(x)}}-{\frac {g(a)}{g(x)}}\left({\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}-L\right)\right|\\&<2\varepsilon /3\end{aligned}}}
が成り立つ。従って x > b {\displaystyle x>b} のとき
| f ( x ) g ( x ) − L | < ε {\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|<\varepsilon }
が成り立つ。