特異ホモロジー
そうすれば f がホモトピー同値ならば f* は同型であることがわかる。
F : X × [0, 1] → Y を f から g へのホモトピーとする。チェインのレベルで、幾何学的に言えば、基底元 σ: Δ → X of Cn(X) を 「プリズム」 P(σ): Δ × I → Y にうつす準同型
P : C n ( X ) → C n + 1 ( Y ) {\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}
を定義する。P(σ) の境界は次のように表現できる。
∂ P ( σ ) = f ♯ ( σ ) − g ♯ ( σ ) + P ( ∂ σ ) . {\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )+P(\partial \sigma ).}
よって α ∈ Cn(X) が n-サイクルであれば、f#(α ) と g#(α) は境界だけ異なる。
f ♯ ( α ) − g ♯ ( α ) = ∂ P ( α ) , {\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}
すなわちそれらは homologous である。これで主張が証明された。
位相空間を X ↦ ( C ∙ ( X ) , ∂ ∙ ) {\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })} として写し、連続関数を f ↦ f ∗ {\displaystyle f\mapsto f_{*}} として写す。すると、ここで、 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} は特異チェイン関手と理解され、これは位相空間をチェイン複体の圏 Comp (or Kom) に写す。チェイン複体の圏は対象としてチェイン複体をもち射としてチェイン写像をもつ。
次に、代数的な部分はホモロジー関手
H n : C o m p → A b {\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }
でこれは
C ∙ ↦ H n ( C ∙ ) = Z n ( C ∙ ) / B n ( C ∙ ) {\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}
で写しチェイン写像をアーベル群の写像に写す。公理的に定義されるのはこのホモロジー関手であり、それはそれ自身にチェイン複体の圏上の関手として基づいている。
ホモトピー写像はホモトピー同値なチェイン写像を定義することによって再び絵に入る。したがって、商圏(英語版) hComp あるいは K、チェイン複体のホモトピー圏(英語版)、を定義できる。