量子グラフ
量子グラフは、 ナフタレンなどの有機分子の自由電子のスペクトルをモデル化するために1930年代に初めて採用された(図を参照)。 最初の近似として、原子は頂点とみなされ、σ電子は結合を形成し、自由電子が閉じ込められている分子の形のフレームを固定している。
量子導波路を検討する際にも同様の問題が発生する。 これらは中間的なメソスコピックな領域であり、ナノメートルのスケールの幅で構築された系である。 量子導波路は、エッジが細いチューブである太ったグラフと考えることができる。 この領域のラプラス演算子のスペクトルは、特定の条件下でグラフのラプラス演算子のスペクトルに収束する。 メソスコピックな系を理解することは、 ナノテクノロジーの分野で重要な役割を果たす。
1997年に KottosとSmilanskyは、古典的なカオスであるシステムの量子力学である量子的カオスを研究するためのモデルとして量子グラフを提案した。 グラフ上の古典的な運動は、確率的マルコフ連鎖として定義できます。 e {\displaystyle e} 縁まで f {\displaystyle f} は、量子遷移振幅の2乗の絶対値で与えられます。 | σ e f | 2 {\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}} 。ほぼすべての有限連結量子グラフについて、確率論的ダイナミクスはエルゴード的で混合的、つまりカオス的ある。