エンゲルの定理
によって再帰的に定義される降中心列が最終的に 0 に達することをいう。
定理 (Engel)。有限次元リー環 L が冪零であることと、L のすべての元が ad-nilpotent であることは同値である。
基礎体についての仮定は全く必要ないことに注意しよう。
エンゲルの定理の証明における重要な補題は、次に述べる、それ自身有用な、有限次元ベクトル空間上の線型写像のリー環についての事実である。
L を L(V) の部分Lie環とする。すると L が冪零写像からなることと、V の部分ベクトル空間の列
V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ ⊊ V n {\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\ }
であって V 0 = 0 {\displaystyle V_{0}=0} , V n = V {\displaystyle V_{n}=V} および
L V i + 1 ⊆ V i , ∀ i ≤ n − 1 {\displaystyle \mathbf {L} \,V_{i+1}\subseteq V_{i},\quad \forall i\leq n-1\ }
なるものが存在することは同値である。したがって冪零写像からなるリー環は同時狭義上三角化可能である。