ガブリエルのラッパ
ガブリエルのホルンの性質が発見された時代には、xy-平面上の無限に広い図形を x-軸のまわりに回転させて生成された対象の体積が有限であるという事実は逆説的なものに受け取られた。実際には、ガブリエルのホルンは確かにxy-平面における断面積は無限大である一方で、これに平行な他の任意の断面は有限の面積を持つ。従ってその体積も(それは各断面の「重み付き」和に等しいから)有限になる。
恐らくより説得力のあるやり方は、半径が減衰する円板の積み重ねとしてホルンを扱うことである。それらの形状は同一なので、単に半径の和を計算したくなるかもしれないが、そうすると調和級数となって無限大に発散してしまう。より注意深く考察すると、半径の平方和を計算する必要があるとわかる。各円板は半径 r = 1/x と表面積 πr = π/x を持つ。それらの和を考えると 1/x の級数(つまり調和級数)は発散するが、1/x の級数は収束する(より一般に、任意の実数 ε > 0 に対して 1/x の級数は収束する)。
このパラドックスは、トマス・ホッブズ、ジョン・ウォリス、ガリレオ・ガリレイといった、当時の重要な思想家の多くが関わってきた無限の性質について、大きな議論を呼んだ。