シローの定理
系(コーシーの定理) ― 有限群 G と G の位数を割り切る素数 p が与えられると、G には位数 p の元(したがって位数 p の部分群)が存在する。
シローの定理2 ― 有限群 G と素数 p が与えられると、G のすべてのシロー p-部分群は互いに共役である、つまり、H と K が G のシロー p-部分群であれば、gHg = K なる G の元 g が存在する。
シローの定理3 ― p を有限群 G の位数の素因数で重複度を n とする。よって G の位数は pm と書ける、ただし n > 0 であり p は m を割らない。np を G のシロー p-部分群の個数とする。すると次が成り立つ:
np は G のシロー p 部分群の指数である m を割り切る。
np ≡ 1 (mod p).
np = |G : NG(P)|, ここで P は G の任意のシロー p-部分群であり NG は正規化群を表す。