コリオリの力
以下時間での微分を ′ {\displaystyle '} で表す。
f 1 ′ = [ 0 0 0 ] = 0 {\displaystyle f_{1}'={\begin{bmatrix}\ 0\\0\\0\end{bmatrix}}=0}
f 2 ′ = [ − ω cos  ω t − ω sin  ω t 0 ] = − ω f 3 {\displaystyle f_{2}'={\begin{bmatrix}\ -\omega \cos \omega t\\-\omega \sin \omega t\\0\end{bmatrix}}=-\omega f_{3}}
f 3 ′ = [ − ω sin  ω t ω cos  ω t 0 ] = ω f 2 {\displaystyle f_{3}'={\begin{bmatrix}\ -\omega \sin \omega t\\\omega \cos \omega t\\0\end{bmatrix}}=\omega f_{2}}
X ′ = a 1 ′ f 1 + a 2 ′ f 2 + a 3 ′ f 3 + a 1 f 1 ′ + a 2 f 2 ′ + a 3 f 3 ′ + P ′ X ′′ = a 1 ′′ f 1 + a 2 ′′ f 2 + a 3 ′′ f 3 + 2 a 1 ′ f 1 ′ + 2 a 2 ′ f 2 ′ + 2 a 3 ′ f 3 ′ + a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ {\displaystyle {\begin{aligned}X'&=a_{1}'f_{1}+a_{2}'f_{2}+a_{3}'f_{3}+a_{1}f_{1}'+a_{2}f_{2}'+a_{3}f_{3}'+P'\\X''&=a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3}+2a_{1}'f_{1}'+2a_{2}'f_{2}'+2a_{3}'f_{3}'+a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P''\end{aligned}}}
コリオリ効果の最も重要な影響は、海洋と大気の大規模な力学であろう。気象学や海洋学では、地球が静止している回転座標系を仮定するのが便利である。この仮定のもとで、遠心力とコリオリ力が導入される。それらの相対的な重要性は、適用されるロスビー数によって決定される。例えば、竜巻は高いロスビー数を持つため、竜巻に関連する遠心力はかなり大きいが、竜巻に関連するコリオリ力は実用上は無視できる。
表層海流は水面上の風の動きによって引き起こされるため、コリオリの力は海流やサイクロンの動きにも影響を与える。海流の多くは、環流と呼ばれる暖かく高気圧に覆われた海域を循環を形成する。この循環は大気中の循環ほど大きくないが、コリオリ効果によって引き起こされる偏向が、これらの環流の渦巻きパターンを生み出している。渦巻き状の風パターンは、ハリケーンの形成を助ける。コリオリ効果による力が強ければ強いほど、風は速く回転し、さらなるエネルギーを拾い上げ、ハリケーンの強さを増す。
高気圧内の空気は、コリオリの力が半径方向内側に向き、半径方向外側の圧力勾配とほぼ釣り合うような方向に回転する。その結果、空気は北半球では高気圧の周りを時計回りに、南半球では反時計回りに移動する。低気圧の周りの空気は反対方向に回転するため、コリオリの力は半径方向外側に向き、半径方向内側の圧力勾配とほぼ釣り合う。
次に、上記の回転座標系では、北極星の方向、天頂から真南へ角度 α {\displaystyle \alpha } だけ傾けた方向を座標軸とするので不便だから、別の座標系を考える。
P {\displaystyle P} を原点とし、次の3つの単位ベクトル e 1 {\displaystyle e_{1}} 、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 、 e 3 {\displaystyle e_{3}} で張られる座標系とする。
基底変換は行列で表すと、
[ e 1 e 2 e 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos  α 0 sin  α 0 1 0 − sin  α 0 cos  α ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}}
[ f 1 f 2 f 3 ] = [ e 1 e 2 e 3 ] [ cos  α 0 − sin  α 0 1 0 sin  α 0 cos  α ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}}
と表される。
R ( θ ) = [ cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ] {\displaystyle {\boldsymbol {R}}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}
と定義する。すると質点 P {\displaystyle P} の位置ベクトル r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} と回転座標系でみたベクトル r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} の関係は
r = R ( ω t ) r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {r'}}}
と表される。
両辺を時刻 t {\displaystyle t} で微分して
一般にある誤解として、バスタブやトイレなどの水受けは、北半球と南半球で排水方向が逆になることはない。これは、コリオリ力の大きさがこのスケールでは無視できるほど小さいからである。 水の初期状態(排水口の形状、受け皿の形状、水の既存の運動量など)によって決まる力は、通常コリオリの力よりも桁違いに大きく、したがって、水が回転する方向があるとすれば、それらの要因がその方向を決定することになる。例えば、両半球で同じトイレを流した場合、同じ方向に排水されるが、この方向は便器の形状によってほとんど決まる。
現実の条件下では、コリオリの力が水の流れの方向に影響を与えることはない。水が静止しており、地球の実効的な自転速度が容器に対する水の自転速度よりも速い場合、および外部から加えられるトルク(底面の凹凸を流れることによって生じるようなもの)が十分に小さい場合にのみ、コリオリ効果によって渦の方向が実際に決定される可能性がある。このような入念な準備がなければ、コリオリ効果は、水の残留回転や容器の形状などの排水の方向に対する他のさまざまな影響よりもはるかに小さくなる。
e 3 {\displaystyle e_{3}} 方向(天頂方向)の速度 b 3 ′ {\displaystyle b_{3}'} に対し、 − e 2 {\displaystyle -e_{2}} 方向(西方向)に「みかけの力」 2 m ω b 3 ′ cos  α {\displaystyle 2m\omega b_{3}'\cos \alpha } が働く
ことが分かる。
このうち、天頂方向の速度と力を捨象した、
e 1 {\displaystyle e_{1}} 方向(北方向)の速度 b 1 ′ {\displaystyle b_{1}'} に対し、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)に「みかけの力」 2 m ω b 1 ′ sin  α {\displaystyle 2m\omega b_{1}'\sin \alpha } が働く
e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)の速度 b 2 ′ {\displaystyle b_{2}'} に対し、 − e 1 {\displaystyle -e_{1}} 方向(南方向)に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ sin  α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\sin \alpha } が働く
と言える。これがコリオリの力である。接平面内であれば、どの方向の速度ベクトルでも北方向と東方向の速度ベクトルの合成で作れるため、「 2 m ω sin  α {\displaystyle 2m\omega \sin \alpha } ×速度」だけの接平面内の「みかけの力」がかかることが分かる。
}
大気や海洋の力学を考慮する場合、鉛直速度は小さく、コリオリ加速度の鉛直成分 ( v e cos  φ {\displaystyle v_{e}\cos \varphi } ) は重力(g, 地球表面付近で約9.81 m/s (32.2 ft/s))に比べて小さいとして、水平(東と北)成分のみが問題にすれば水平面に対する上記の制限は(vu = 0)である。:
v = ( v e v n ) , {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}v_{e}\\v_{n}\end{pmatrix}}\ ,} a c = ( v n − v e ) f , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{c}={\begin{pmatrix}v_{n}\\-v_{e}\end{pmatrix}}\ f\ ,}
ここで f = 2 ω sin  φ {\displaystyle f=2\omega \sin \varphi \,} はコリオリパラメータという。
vn = 0 としたことで、(正の φ, ωに対して)東への移動は南への加速となることが直ちににわかる。同様に、ve = 0 とすると、北向きに動くと東向きに加速することがわかる。
速度 v {\displaystyle v\,} で移動する空気または水の塊は、コリオリ力のみを受け、慣性円と呼ばれる円形の軌跡を描く。この力は粒子の運動に対して直角に働くので、粒子は等速円運動をし、その半径 R {\displaystyle R} は:
R = v f {\displaystyle R={\frac {v}{f}}}
ここで f {\displaystyle f} は 2 Ω sin  φ {\displaystyle 2\Omega \sin \varphi } で表されるコリオリパラメーターである。(上記参照) ( φ {\displaystyle \varphi } は緯度)したがって、物体が円軌道を1周するのにかかる時間は 2 π / f {\displaystyle 2\pi /f} である。