スコットのトリック
∼ {\displaystyle \sim } を同値関係とする。 a {\displaystyle a} を集合とし、 [ a ] {\displaystyle [a]} はその ∼ {\displaystyle \sim } についての同値類とする。 V ∩ [ a ] {\displaystyle V\cap [a]} が空でないとき、 [ a ] {\displaystyle [a]} が真クラスであっても、 [ a ] {\displaystyle [a]} の代わりになる集合が定義できる。具体的には、 V α ∩ [ a ] {\displaystyle V_{\alpha }\cap [a]} が空でなくなる最小の順序数 α {\displaystyle \alpha } が存在し、この共通部分は集合なので、これを元々の同値類 [ a ] {\displaystyle [a]} の代わりの代表元の集合と見なす。この構成に正則性は用いていない。
正則性公理は任意の集合 a {\displaystyle a} がフォン・ノイマン累積的階層の中に現れることと同値である。つまり特に、正則性公理のもとでは V ∩ [ a ] {\displaystyle V\cap [a]} は空にはならない、というのも a ∈ V ∩ [ a ] {\displaystyle a\in V\cap [a]} であるからである。つまり、正則性公理が与えられているとき、いかなる同値関係の同値類にも、代表元の集合が得られる。