三重積 (ベクトル解析)
外積代数あるいは幾何代数(英語版)において、2つのベクトルの外積は2-ベクトル(英語版)であり、3つのベクトルの外積は3-ベクトル(英語版)である。通常のベクトルである1-ベクトルが向き付けられた線分 (線要素) であるように、2-ベクトルは向き付けられた面積要素(面要素)であり、3-ベクトルは向き付けられた体積要素 (立体要素) である。
ベクトル a, b, c に対して定義された積
a ∧ b ∧ c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\wedge {\boldsymbol {b}}\wedge {\boldsymbol {c}}}
はそのホッジ双対がスカラー三重積に等しい3-ベクトルである。 幾何学的には3-ベクトル a ∧ b ∧ c は a, b, c で張られた平行六面体に対応し、2-ベクトル a ∧ b, b ∧ c, a ∧ c は平行六面体の各面をなす平行四辺形に対応する。
幾何学的にはスカラー三重積は三つのベクトル a, b, c によって定義される平行六面体の有向体積 (符号のついた体積) を表す。
スカラー三重積が0でないなら、三つのベクトルは線形独立である。スカラー三重積が0なら三つのベクトルは線形従属であり、共面 (一つの平面に含まれる) となる。なぜなら、体積が0とは平行六面体が潰れていることを意味するからである。
y 成分、z 成分も同様なので、これより証明された。
( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}}
を証明する。
a と b が平行の場合、等式が成り立つのは自明。 以下、a と b が平行でないとする。
スカラー三重積の反対称性より
a ⋅ ( a × b ) = 0 , b ⋅ ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0,\,{\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0}
( a × ( b × c ) ) i = ∑ j , k ε i j k a j ( b × c ) k = ∑ j , k ε i j k a j ( ∑ l , m ε k l m b l c m ) = ∑ j , l , m ( δ i l δ j m − δ i m δ j l ) a j b l c m ( ∵ ∑ k ε i j k ε k l m = δ i l δ j m − δ i m δ j l ) = ( a ⋅ c ) b i − ( a ⋅ b ) c i {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))_{i}&=\sum _{j,k}\varepsilon _{ijk}a_{j}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{k}\\&=\sum _{j,k}\varepsilon _{ijk}a_{j}\left(\sum _{\ell ,m}\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m}\right)\\&=\sum _{j,\ell ,m}(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })a_{j}b_{\ell }c_{m}\qquad (\because ~\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{i}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{i}\end{aligned}}}
[ a , b , c ] [ x , y , z ] = det ( a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z ) ( ∵ det A det B = det ( A B T ) ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}][{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}}]=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{pmatrix}}\qquad (\because \det A\det B=\det(AB^{T}))}
1番目の等式により順番だけが重要なので、スカラー三重積を [a, b, c] と表すのが便利である。
ベクトル三重積(英: vector triple product)は三つのベクトルからベクトル値を返す三項演算、すなわち、2つのベクトルのクロス積から作られる擬ベクトルと残りのベクトルとのクロス積
a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}
であり、以下の性質が成り立つ:
a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}}
( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}}