軌道角運動量
j ! ( l − j ) ! ( l − 2 j − m ) ! t l − 2 j − m {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)={1 \over 2^{\ell }}(1-t^{2})^{m \over 2}\sum _{j=1}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{(-1)^{j}(2\ell -2j)! \over j!(\ell -j)!(\ell -2j-m)!}t^{\ell -2j-m}} ...(B3)
である。すなわち P l m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)} はルジャンドルの陪微分方程式
( 1 − t ) y ′′ ( t ) + − 2 t y ′ ( t ) + ( l ( l + 1 ) − m 2 1 − z 2 ) = 0 {\displaystyle (1-t)y''(t)+-2ty'(t)+\left(\ell (\ell +1)-{m^{2} \over 1-z^{2}}\right)=0}
の解である。なお Y l , m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )} の定義における係数は、後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである。
単位ベクトル n=(x,y,z) に対 し、Rn(s) を n を軸として右手系に s ラジアンだけ回転する行列とすると、以下が成立する:
L ^ n ( ψ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{\boldsymbol {n}}(\psi )} = i ħ d d s λ ( R n ( s ) ) ( ψ ) | s = 0 {\displaystyle =i\hbar \left.{\mathrm {d} \over \mathrm {d} s}\lambda (R_{\boldsymbol {n}}(s))(\psi )\right|_{s=0}}
ここで L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\boldsymbol {n}}} は n を回転軸とする軌道角運動量演算子である。