超球面
二次元球面は三次元空間における(三次元の対象である)球体の二次元の対象である表面
である。
次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere) と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は n-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、S と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。
n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n ≥ 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率(英語版)の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、n-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n − 1) 次元球面の懸垂を(帰納的に)作ることによって構成できる。
一様に分布したランダム点を (n − 1) 次元球面(すなわち n 次元球の表面)上に生成するために、Marsaglia (1972) は以下のアルゴリズムを与える。
正規分布に従う n 次元ベクトル x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} を生成する(実は分散の選択は任意であるが N(0, 1) を使うので十分である)。
今この点の「半径」 r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}} を計算する。
ベクトル 1 r x {\displaystyle {\frac {1}{r}}\mathbf {x} } は単位 n 次元球の表面上一様に分布している。
超球面上ランダム分布を生成する別の方法は超球の外にある点を除く単位超球を含む超立方体上の一様分布を作って残りの内点を原点から表面の上に外へ射影することである。これは一様分布を与えるが、外点を除く必要がある。超球の超立方体に対する相対的な体積は非常に急速に次元とともに減少するから、この手続はかなり小さい数の次元に対してのみ高い確率で成功する。
ウェンデルの定理(英語版)は生成される全ての点が超球面の同じ半分にある確率を与える。