正弦定理
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、
sin  a sin  A = sin  b sin  B = sin  c sin  C {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}
が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。
直径 BD を取る。
円に内接する四角形の性質から、
∠ D = π − ∠ A {\displaystyle \angle {\text{D}}=\pi -\angle {\text{A}}}
である。つまり、
sin  A = sin  D {\displaystyle \sin A=\sin D}
となる。 BD は直径だから、
BD = 2 R , ∠ BCD = π 2 {\displaystyle {\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}}
である。よって、正弦の定義より、
sin  A = sin  D = a 2 R {\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}}
である。変形すると
a sin  A = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}=2R}
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
以上より正弦定理が成り立つ。
また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」(円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理)を導くことができる。