ポワンソーの楕円体
ここで ω k {\displaystyle \omega _{k}\ } は角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} の慣性主軸座標系からみた各成分、 I k {\displaystyle I_{k}\ } は主慣性モーメントである。こうして、運動エネルギー保存則は3次元の角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} に対して拘束を与えている。慣性主軸座標系では、以下で表される楕円面上に留まる。
T = 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2 + 1 2 I 3 ω 3 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}
この楕円体はポワンソーの楕円体または慣性楕円体と呼ばれ、任意の剛体に対してただ一つ決まり、剛体とともに回転する。
楕円体の軸長は主慣性モーメントの半分の長さとなる。角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} はこの楕円面上を運動するが、楕円面上に描く軌跡は ポルホード(ギリシャ語でポールの軌跡の意)と呼ばれ、一般に円形またはタコシェルの淵をなぞった形となる。