量子群
The very simplest nontrivial example corresponds to two copies of R locally acting on each other and results in a quantum group (given here in an algebraic form) with generators p, K, K, say, and coproduct
[ p , K ] = h K ( K − 1 ) {\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}
Δ p = p ⊗ K + 1 ⊗ p {\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}
Δ K = K ⊗ K {\displaystyle \Delta K=K\otimes K}
where h is the deformation parameter.
カッツ・ムーディ代数やその普遍包絡環に多くの異なるタイプの表現があるのと全く同じように、量子群にも多くの異なるタイプの表現がある。
すべてのホップ代数の場合がそうであるように、Uq(G) は加群として自身の上に随伴表現を持つ。その作用は
A d x ⋅ y = ∑ ( x ) x ( 1 ) y S ( x ( 2 ) ) {\displaystyle {\mathrm {Ad} }_{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)})}
によって与えられる。ただし
Δ ( x ) = ∑ ( x ) x ( 1 ) ⊗ x ( 2 ) {\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}}
である。
数学と理論物理学において、量子群(りょうしぐん、英: quantum group)は付加構造を持った様々な種類の非可換代数を指す。一般に、量子群はある種のホップ代数である。ただ1つの包括的な定義があるわけではなく、広範に類似した対象の族がある。
用語「量子群」は最初量子可積分系の理論において現れた。ウラジーミル・ドリンフェルト (Володи́мир Дрі́нфельд, Vladimir Drinfeld) と神保道夫によってホップ代数のある特定のクラスとして定義されたのだった。同じ用語は古典リー群あるいはリー環を変形したあるいはそれに近い他のホップ代数に対しても用いられる。例えば、ドリンフェルトと神保の仕事の少し後にShahn Majid(英語版)によって導入された、量子群の `bicrossproduct' のクラスである。
ドリンフェルトのアプローチでは、量子群は補助的なパラメーター q あるいは h に依存したホップ代数として生じる。この代数は、q = 1 あるいは h = 0 のとき、ある種のリー環(しばしば半単純あるいはアフィン)の普遍包絡環になる。密接に関係するのはある双対対象であり、これもホップ代数であり量子群と呼ばれる。これは対応する半単純代数群あるいはコンパクトリー群上の関数環を変形したものである。
群がしばしば対称性として現れるのと同じように、量子群は多くの他の数学的対象に作用する。そのような場合に形容詞「量子」(quantum) を導入することが流行となっている。例えば量子平面(英語版)や量子グラスマン多様体(英語版)といったものがある。