久保公式
時間依存しないハミルトニアン H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} で記述される量子系を考える。物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値は次のように表される。
⟨ A ^ ⟩ = 1 Z 0 Tr  [ ρ 0 ^ A ^ ] = 1 Z 0 ∑ n ⟨ n | A ^ | n ⟩ e − β E n ρ 0 ^ = e − β H ^ 0 = ∑ n | n ⟩ ⟨ n | e − β E n {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho _{0}}}&=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}}
ここで Z 0 = T r [ ρ 0 ] {\displaystyle Z_{0}=Tr[\rho _{0}]} は分配関数である。 平衡状態にあった系に、時刻 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン H ^ ( t ) = H ^ 0 + V ^ ( t ) θ ( t − t 0 ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0})} で記述される。