Lp空間
L 空間は、数学およびその応用分野において幅広く用いられている。
の形状を取る任意の距離 d によって定義することが出来る。ただし φ は [0, ∞) 上で有界、連続、凹かつ非減少で、φ(0) = 0 および φ(t) > 0を t > 0 に対して満たす函数である(例として、φ(t) = min(t, 1) が挙げられる)。そのような距離は、L に対するレヴィ距離と呼ばれる。この距離の下で、空間 L は完備である(そしてそれは再び、F-空間である)。一般的には L は局所有界ではなく、局所凸でもない。
R 上の無限ルベーグ測度 λ に対して、基本近傍系の定義は次のように修正することも出来る。
W ε = { f : λ ( { x : | f ( x ) | > ε and | x | < 1 ε } ) < ε } {\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon \ {\text{and}}\ |x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}
結果として得られる空間 L(R, λ) は、任意の正の λ-可積分密度 g に対して、位相ベクトル空間として L(R, g(x) dλ(x)) と一致する。
j p : L p ( μ ) → κ q L q ( μ ) ∗ → ( κ p − 1 ) ∗ L p ( μ ) ∗ ∗ {\displaystyle j_{p}\colon L^{p}(\mu ){\stackrel {\kappa _{q}}{{}\to {}}}L^{q}(\mu )^{*}\;{\xrightarrow {\;(\kappa _{p}^{-1})^{*}\;}}\;L^{p}(\mu )^{**}}
が、κq を κp の逆の転置(あるいは共役)と合成することにより得られるが、これは L(μ) の第二共役への標準埋め込み J と一致する。さらに、写像 jp は二つの全射等長写像の合成として全射であり、このことによって回帰性は示される。
S 上の測度 μ が σ-有限(英語版)であるなら、L(μ) の双対は L(μ) への等長同型(より正確には、p = 1 に対応する写像 κ1 が L(μ) から L(μ) の上への等長写像)である。
L の双対についてはより微妙である。(L(μ)) の元は、μ について絶対連続であるような、S 上の有界な符号付き有限加法的測度と一致する。詳細についてはba空間を参照されたい。選択公理を仮定すれば、この空間はいくつかの自明な場合を除いて L(μ) よりも大きい。しかし、l の双対は l であるような、ツェルメロ=フランケルの集合論の拡張も存在する。これはシェラハによる結果で、エリック・シュヒターの著書 Handbook of Analysis and its Foundations で論じられている。
}
逆方向の不等式については、1-ノルムと 2-ノルムの間に次の関係が成立することも知られている:
‖ x ‖ 1 ≤ n ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}.}
この不等式はベースとするベクトル空間の次元 n に依存する。コーシー=シュワルツの不等式より直接的に従う。一般に p > r > 0 に対して
‖ x ‖ p ≤ ‖ x ‖ r ≤ n ( 1 / r − 1 / p ) ‖ x ‖ p {\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}}
が成り立つ。右側の不等式は、凸関数 t ↦ t p / r {\displaystyle t\mapsto t^{p/r}} についてイェンセンの不等式を用いることで示される。
n > 1 のときの R において、0 < p < 1 に対して上と同じ式
は絶対斉次的だが劣加法的とはならないため、これを用いたのではノルムを定義できない(F-ノルムにもならない)。そこで式を修正して
を定義とすると F-ノルムの意味での「ノルム」が定まる(p-乗ノルム)。この修正によって斉次性は失われるが、これは劣加法的であって、特に
は距離を定める。この距離空間 (R, dp) を通例 l pn で表す: l n p := ( R n , d p ) . {\displaystyle l_{n}^{p}:=(\mathbb {R} ^{n},d_{p}).}
この距離に関して、原点を中心とする p-単位球 B pn は見掛け上「凹」であるが、距離 dp により R 上で定義される位相は、R の通常のベクトル空間の位相と同相になるので、l pn は局所凸位相ベクトル空間である。このような定性的な説明を踏まえて、どのくらい l pn の凸性が落ちているかを定量的に測る量 Cp(n) が、p-単位球を定数倍した C⋅B pn が B pn の凸包(これは B 1n と等しい)を含むような最小の定数 C として与えられる。Cp(n) = n が(固定された p < 1 に対し)n が無限大へ向かうとともに発散するという事実は、以下で定義されるような無限次元数列空間 l がもはや局所凸でない事実を反映している。
シグマ有限であるものも含む多くの測度空間に対して、その空間は実際に可換なフォン・ノイマン環である。L の元は、乗法による任意の L 空間上の有界作用素である。
l 空間(1 ≤ p ≤ ∞)は、S が正の整数の集合 N で測度 μ が N 上の数え上げ測度であるような、L 空間の特別な場合である。より一般的に、数え上げ測度を備える任意の集合 S を考えるとき、L 空間は l(S) と表記される。例えば、空間 l(Z) は整数により添え字付けられた数列の集合であるが、そのような空間上に p-ノルムを定義する場合、そのすべての整数(添字)に渡って和を取ることになる。n 個の元を含む集合を n としたとき、空間 l(n) は上述のように定義された p-ノルムを備える空間 R である。ヒルベルト空間がそうであるように、すべての L は適切な空間 l(I) と線型等長である。ここで集合 I の濃度は、この特定の L の任意のヒルベルト基底の濃度と等しい。