チャーン類
ch ( V ) = tr ( exp  ( i Ω 2 π ) ) {\displaystyle {\hbox{ch}}(V)={\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)}
である。ここに Ω は接続の曲率である。
チャーン指標は、ある部分では有用である。なぜならば、チャーン指標はテンソル積のチャーン類の計算することに役に立つからである。特に次の恒等式がチャーン指標の定義より結果する。
ch ( V ⊕ W ) = ch ( V ) + ch ( W ) {\displaystyle {\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)}
ch ( V ⊗ W ) = ch ( V ) ch ( W ) . {\displaystyle {\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).}
上に述べたように、チャーン類のグロタンディークの加法公理を使い、これらの恒等式の最初の式は、K-理論 K(X) から X 上の有理コホモロジーへの準同型のアーベル群が ch であるということへ一般化できる。第二の恒等式はこの準同型が K(X) の中の積を定義し、ch が環の準同型であるという事実を確立する。
チャーン指標は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理で使われる。
}}(x_{1}^{m}+...+x_{n}^{m})}
V が線束の和であるとき、V のチャーン類は x i {\displaystyle x_{i}} の基本対称多項式(英語版)(Elementary symmetric polynomial)で c i ( V ) = e i ( x 1 , . . . , x n ) . {\displaystyle c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},...,x_{n}).} と表すことができることに注意する。
特に、一方では、
c ( V ) := ∑ i = 0 n c i ( V ) {\displaystyle c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V)}
であり、他方では、
c ( V ) = c ( L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n ) = ∏ i = 1 n c ( L i ) = ∏ i = 1 n ( 1 + x i ) = ∑ i = 0 n e i ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle c(V)=c(L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}
c ( V ⊕ W ) = c ( V ) ⌣ c ( W ) {\displaystyle c(V\oplus W)=c(V)\smile c(W)}
すなわち、
c k ( V ⊕ W ) = ∑ i = 0 k c i ( V ) ⌣ c k − i ( W ) {\displaystyle c_{k}(V\oplus W)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(V)\smile c_{k-i}(W)}
である。
公理 4. : 正規化(Normalization) CP 上のトートロジカル線束(英語版)(tautological line bundle)の全チャーン類は、1−H であり、ここに H は超平面 C P k − 1 ⊆ C P k {\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k}} のポアンカレ双対とする。