コンパクト化
このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手であることを示している。 この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。
実応用上、こうした「付け加えた点」(すなわち K ∖ i ( X ) {\displaystyle K\setminus i(X)} の点)は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、 K ∖ i ( X ) {\displaystyle K\setminus i(X)} をコンパクト化 ( K , i ) {\displaystyle (K,i)} の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。
X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。したがって実用上はX の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある(例えばX が多様体であるときにコンパクト化K として多様体になるものを選ぶ等)。
位相空間 X {\displaystyle X} のコンパクト化 ( K 0 , i 0 ) {\displaystyle (K_{0},i_{0})} 、 ( K 1 , i 1 ) {\displaystyle (K_{1},i_{1})} に対し、同相写像 j : K 0 → K 1 {\displaystyle j:K_{0}\to K_{1}} が存在し、 i 1 = j ∘ i 0 {\displaystyle i_{1}=j\circ i_{0}} となるとき ( K 0 , i 0 ) {\displaystyle (K_{0},i_{0})} と ( K 1 , i 1 ) {\displaystyle (K_{1},i_{1})} は同値であるという。