対称代数
多項式環におけると同様に、対称代数 S(V) の次数付き代数としての直和分解
S ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ S k ( V ) {\displaystyle S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)}
が存在する。ここで各 S(V) は V のベクトルからなる次数 k の単項式の線型結合全体からなる(ただし S(V) = K, S(V)=V とする)。K-線型空間 S(V) を V の k-次対称冪 (symmetric power)と呼ぶ。例えば k = 2 のときは対称平方と呼び、Sym(V) で表す。k-次対称冪は V 上の対称(英語版)複線型作用素に関する普遍性を持つ。
対称代数 S(V) は可換リー環(リー括弧積がつねに 0 であるようなリー環)の普遍包絡環である。
対称代数の構成を一般化して、可換環上の加群 M の対称代数 S(M) を考えることもできる。M が環 R 上の自由加群ならば、ベクトル空間上の対称代数とまったく同じに、その対称代数 S(M) は M の基底を不定元とする R 上の多項式環に同型である。しかし自由ではない加群 M についてはそうではなく、S(M) の構造はもっと複雑になる。
で与えられる。対称テンソル空間のテンソル代数への埋め込みと対称代数への商射影との合成は、k-次成分上で k!-倍する変換になる。したがって標数 0 のとき、対称化作用素は対称テンソル空間から対称代数への次数付き線型空間としての同型であり、この同型を通じて対称テンソルを対称代数の元と同一視することができる。あるいはこの対称化作用素を k! で割って、
v 1 ⋯ v k ↦ 1 k ! ∑ σ ∈ S n v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( k ) {\displaystyle v_{1}\cdots v_{k}\mapsto {\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (k)}}
なる商写像の切断(英語版)にすることもできる。たとえばふたつの対称テンソルの積(対称積)は
v w ↦ 1 2 ( v ⊗ w + w ⊗ v ) {\displaystyle vw\mapsto {\frac {1}{2}}(v\otimes w+w\otimes v)}
なる対応で与えられる。これは対称群の表現論に関係している。標数 0 の代数閉体上の群環は半単純だから、任意の表現は既約表現の直和に分解され、それが T = S ⊕ V の形に書けるならば S を T の部分空間とも商空間 T/V とも看做せるのである。