ヤング図形
分割 λ に対応する既約表現 πλ の次元は、その表現のヤング図形から得られる異なるヤング盤の数に等しい。この数は、フック長の公式から計算できる。
ヤング図形 λ の中のある箱 x のフック長(英: hook length) hook(x) とは、同一行の右にある箱の数と同一列の下にある箱の数の和に 1 (その箱自身)を加えた数である。フック長の公式によると、既約表現 πλ の次元は、n! を、同表現のヤング図形の全箱のフック長の積で割った数に等しい。
dim  π λ = n ! ∏ x ∈ λ hook  ( x ) {\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod \limits _{x\in \lambda }\operatorname {hook} (x)}}}
右上図では、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形の全箱のフック長を、各箱内に記している。 これにより、
dim  π λ = 10 ! 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 288 {\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot 7}}=288}
である。
数学において、ヤング盤(ヤングばん、英: Young tableau) および ヤング図形(ヤングずけい、英: Young diagram)とは、表現論で使われる組合せ論的図式である。これは、対称群の群表現を記述しその性質を調べるのに便利である。
ヤング盤は、ケンブリッジ大学の英国人牧師・数学者アルフレッド・ヤング (Alfred Young, 1873-1940) により 1900年に導入された。その理論は、アルフレッド・ヤング自身およびアラン・ラスクー (Alain Lascoux)、パーシー・マクマホン (Percy Alexander MacMahon)、ギルバート・ロビンソン (Gilbert de Beauregard Robinson)、ジァン・カルロ・ロータ (Gian-Carlo Rota)、マルセル・ポール・シュッツェンベルジェ(Marcel-Paul Schützenberger)、リチャード・スタンレー(Richard P. Stanley)その他の数学者により、さらに発展した。