バナッハ＝アラオグルの定理
αがVの元である事を示すため、Vの条件を順に示す。まず α n m {\displaystyle \alpha _{n_{m}}} の線形性より α {\displaystyle \alpha } の線形性が従う。しかも任意のε>0と任意のx ∈ Vに対し、ある m 0 ∈ N {\displaystyle m_{0}\in \mathbb {N} } 以上のmに対して
| α ( x ) | ≤ | α ( x ) − α n m ( x ) | + | α n m ( x ) | ≤ ε + | x | {\displaystyle |\alpha (x)|\leq |\alpha (x)-\alpha _{n_{m}}(x)|+|\alpha _{n_{m}}(x)|\leq \varepsilon +|x|}
が α n m ∈ B ∗ {\displaystyle \alpha _{n_{m}}\in B^{*}} から従うので、ε>0の任意性から | α ( x ) | ≤ | x | {\displaystyle |\alpha (x)|\leq |x|} 、すなわち α ∈ B ∗ ⊂ V ∗ {\displaystyle \alpha \in B^{*}\subset V^{*}} が従う。
αの定義より、 lim m → ∞ | α n m ( x ) − α ( x ) | = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha (x)|=0} が任意のx ∈ Vに対して従い、これは ( α n m ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }} がαに*弱収束する事を意味する。
が従う。よってμ(B)が閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族 ( α λ ) λ ∈ Λ ⊂ B ∗ {\displaystyle (\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset B^{*}} に対し、その極限α∞がα∞ ∈ B*を満たす事を示せばよい。そこでx, y ∈ V、a, b ∈ Kを任意に取ると、
α ∞ ( a x + b y ) = ( lim λ → ∞ α λ ) ( a x + b y ) = (1) μ a x + b y ( lim λ → ∞ α λ ) {\displaystyle \alpha _{\infty }(ax+by)=(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })(ax+by){\underset {\text{(1)}}{=}}\mu _{ax+by}(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })} = (2) lim λ → ∞ μ a x + b y ( α λ ) = (3) a lim λ → ∞ α λ ( x ) + b lim λ → ∞ α λ ( y ) {\displaystyle {\underset {\text{(2)}}{=}}\lim _{\lambda \to \infty }\mu _{ax+by}(\alpha _{\lambda }){\underset {\text{(3)}}{=}}a\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(x)+b\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(y)} = a α ∞ ( x ) + b α ∞ ( y ) {\displaystyle =a\alpha _{\infty }(x)+b\alpha _{\infty }(y)}
各 Dx は複素平面内のコンパクト部分集合であるため、チコノフの定理より積位相において D もまたコンパクトである。
X* 内の閉単位球 B1(X*) は、自然な方法で D の部分集合と見なすことが出来る。すなわち
f ∈ B 1 ( X ∗ ) ↦ ( f ( x ) ) x ∈ X ∈ D {\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D}
である。この写像は単射かつ連続で、B1(X*) は弱 * 位相を持ち、D は積位相である。この値域上で定義される逆写像もまた連続である。
この写像の値域が閉であることが示されれば、定理は証明される。しかしそれは明らかである。D 内の次のネット
( f α ( x ) ) x ∈ X → ( λ x ) x ∈ X {\displaystyle (f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}}
を考えると、次で定義される汎函数
g ( x ) = λ x {\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\,}
は B1(X*) に属する。