ゼルニケ多項式
OSA / ANSI標準ゼルニケ多項式は、以下のように定義される。
j = n ( n + 2 ) + m 2 {\displaystyle j={\frac {n(n+2)+m}{2}}}
初めの20項を下表に示す。
R n m ( ρ ) = ( n n + m 2 ) ρ n 2 F 1 ( − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 ) = ( − 1 ) n − m 2 ( n + m 2 m ) ρ m 2 F 1 ( 1 + n + m 2 , − n − m 2 ; 1 + m ; ρ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}
動径多項式 R n m ( ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} に含まれる項 ρ n − 2 k {\displaystyle \rho ^{n-2k}} は、バーンスタイン基底関数を用いて展開できる。 n が偶数の場合は b s , n / 2 ( ρ 2 ) {\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})} 、奇数の場合は b s , ( n − 1 ) / 2 ( ρ 2 ) {\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})} と ρ {\displaystyle \rho } の積で展開される。