線型回帰数列
一階の斉次線型漸化式 u n + 1 = q u n {\displaystyle u_{n+1}=q\,u_{n}} の解は幾何数列と呼ばれる。その一般項は u n = u n 0 q n − n 0 {\textstyle u_{n}=u_{n_{0}}q^{n-n_{0}}} で与えられる。
非斉次一階線型漸化式 un+1 = q⋅un + r の解は算術幾何数列である。
r1 と r2 が相異なる二根であるとき、数列 (r n1 )n∈N および (r n2 )n∈N はともに漸化式 (R) を満たすから、漸化式の線型性から同様に、一般項が λr n1 + μr n2 の数列もすべて (R) を満たす。ここから (R) を満足する数列を全て決定するには、そのような数列が初期条件 u0, u1 によって完全に決まることから、λ, μ に関する次の方程式系
{ λ + μ = u 0 λ r 1 + μ r 2 = u 1 {\displaystyle {\begin{cases}\lambda +\mu =u_{0}\\\lambda r_{1}+\mu r_{2}=u_{1}\end{cases}}}
を解けば十分である。しかし、この系の行列式 r2 − r1 は常に 0 ではないから、(R) を満たす数列は常に (r n1 )n∈N および (r n2 )n∈N の線型結合として表される。このような状況は、数列が実数値で Δ > 0 のときや、数列が複素数値で判別式が 0 でないときに起きる。
一般に体 K 上の(函数係数)p-階線型差分方程式 (linear difference equation) あるいは線型漸化式 (linear recurrence relation) とは、数列 (fn)n∈N に関する漸化式で、n ≥ p なるとき
∑ i = 0 p a i ( n ) f n − i = b ( n ) ( ∀ n ∈ K , a p ( n ) ≠ 0 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{p}a_{i}(n)f_{n-i}=b(n)\quad (\forall n\in \mathbb {K} ,a_{p}(n)\neq 0)}
の形に書けるものを言う。ここに、各係数函数 ai および函数 b は、自然数 n を変数とする K-値函数である。すべての ai, b が n に依らない一定の値をとるとき、漸化式は定数係数であるという。
n ≥ p なる全ての n に対して、上記の漸化式を満足する数列 (fn)n∈N をこの差分方程式の解と呼ぶ。