完全微分
ここでは三次元(三変数函数)で考えるが、同様の定義は任意の次元で容易に考えられる。三次元において
の形の式を微分形式(あるいは微分形)と呼ぶ。この形式が領域 D ⊂ R 上の完全微分とは、D 上で定義されたスカラー函数 Q = Q(x, y, z) が存在して、Q の全微分
に対して D 上で d Q = A d x + B d y + C d z {\textstyle dQ=A{\mathit {dx}}+B{\mathit {dy}}+C{\mathit {dz}}} が成り立つときに言う。これはベクトル場 (A, B, C) が対応するポテンシャル Q に関する保存ベクトル場(英語版)であると言ってもよい。
多変数微分積分学における微分が完全 (exact, perfect) あるいは完全微分(かんぜんびぶん、英: exact differential)とは、それが適当な可微分函数 Q の微分 dQ となるときに言い、そうでないとき不完全微分(英語版)と呼ぶ。
完全微分はしばしば「全微分」('total differential', 'full differential') あるいは微分幾何学において完全形式などとも呼ばれる
左辺の括弧の中を零と置けば ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ z ) y = 1 {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}=1} であり、これを逆数関係 ( ∂ z ∂ x ) y = 1 ( ∂ x ∂ z ) y {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}={\frac {1}{{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}}}} にすることができる。
三つの変数 x, y, z の置換を施して、もう二つ同様の関係式を導くことができる。逆函数の微分法則(英語版)により、逆函数の偏微分がもとの函数の偏微分の逆数に等しいことが示されるから、これらの関係式は満たされる。