レーマーの予想
P ( x ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]} を次数 D {\displaystyle D} の既約モニック多項式とする。スミス は、自己相反多項式でない、つまり、
x D P ( x − 1 ) ≠ P ( x ) {\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}
であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。
ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー(英語版)(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数 C > 1 {\displaystyle C>1} が存在し、 M ( P ( x ) ) = 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1} かまたは、: log  M ( P ( x ) ) ≥ C D log  D {\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}} を満たすことを証明した。