ホッジ予想
ホッジ予想を述べるには別の方法、代数的サイクルのアイデアを使う方法もある。X 上の代数的サイクルとは X の部分多様体の形式的な結合のこと、つまり、次式の形のものをいう。
∑ i c i Z i . {\displaystyle \sum \nolimits _{i}c_{i}Z_{i}.}
普通は、係数を整数もしくは有理数を取る。代数的サイクルのコホモロジー類を各構成成分の和として定義する。これはド・ラームコホモロジーのサイクル類の写像の例である。ヴェイユコホモロジーを参照。例えば、上記のサイクルのコホモロジー類は次のようになる。
∑ i c i [ Z i ] . {\displaystyle \sum \nolimits _{i}c_{i}[Z_{i}].}
このようなコホモロジー類を代数的と呼ぶこととする。この用語を使うと、ホッジ予想は次のようになる。
X を複素射影多様体とすると、すべての X 上のホッジ類は代数的である。
この、X が代数的(複素射影多様体)であるというホッジ予想の条件は弱めることができない。1977年に、ズーカー(S. Zucker)は、ホッジ予想の反例を、射影代数的でない解析的なタイプ (p, p) の有理数係数のコホモロジーを持つ複素トーラスとして構成することができることを示した。(Zucker (1977)のappendix Bを参照のこと)