弾性衝突
v 1 = 2 m 1 m 2 c 2 u 2 Z + 2 m 2 2 c 2 u 2 − ( m 1 2 + m 2 2 ) u 1 u 2 2 + ( m 1 2 − m 2 2 ) c 2 u 1 2 m 1 m 2 c 2 Z − 2 m 2 2 u 1 u 2 − ( m 1 2 − m 2 2 ) u 2 2 + ( m 1 2 + m 2 2 ) c 2 {\displaystyle v_{1}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}
v 2 = 2 m 1 m 2 c 2 u 1 Z + 2 m 1 2 c 2 u 1 − ( m 1 2 + m 2 2 ) u 1 2 u 2 + ( m 2 2 − m 1 2 ) c 2 u 2 2 m 1 m 2 c 2 Z − 2 m 1 2 u 1 u 2 − ( m 2 2 − m 1 2 ) u 1 2 + ( m 1 2 + m 2 2 ) c 2 {\displaystyle v_{2}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}} .
上記の v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} の式を導くために、運動エネルギーと運動量の式を以下のように整理する。
m 1 ( v 1 2 − u 1 2 ) = m 2 ( u 2 2 − v 2 2 ) {\displaystyle m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}
m 1 ( v 1 − u 1 ) = m 2 ( u 2 − v 2 ) {\displaystyle m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}
上の式の各項を下の式の各項で割ると、以下の式となる。
v 1 + u 1 = u 2 + v 2 ⇒ v 1 − v 2 = u 2 − u 1 {\displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}} .