共分散
例として、中学生の数学と国語のテストの点数の共分散を考える。まず、山田さんの偏差の積を計算する。
同様にして、生徒全員について、偏差の積を平均したものが、数学と国語の共分散になる。
数学が平均より高い生徒が、国語も平均より高いテストの点を取っていると、共分散の合計は大きな正の値をとる。逆の関係があれば、大きな負の値をとる。共分散が 0 なら特にそのような関連性はないと考えられる。ちなみにこの関連性は直線的なもの(1次関数)を指している。
共分散は、もとの値の大きさで数値が決まるので、単位が違う変数を複数比較するときなどに解釈が難しい。たとえば市町村単位で、その町ごとの人口と、ラーメン店の売上の共分散を計算しても、数字の意味が分かりにくい。
そこで関係を見る場合には相関係数を使うことが一般的である。共分散の値を、各変数(例なら国語と数学)の標準偏差の積で割ったものが相関係数となる。相関係数は −1 から 1 までの値をとる。1 であれば 2 つの変数の値は完全に同期していることになる。対象によってかなり相関係数の意味は変わってくるが、一例としてはアンケートでは以下の表のような見方もある。
共分散(きょうぶんさん、英: covariance)とは、大きさが同じ2つのデータの間での、平均からの偏差の積の平均値である。2 組の確率変数 X, Y の共分散 Cov[X, Y] は、E で期待値を表すことにして、
Cov  [ X , Y ] = E  [ ( X − E  [ X ] ) ( Y − E  [ Y ] ) ] {\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])]}
で定義する。
Cov  [ X , Y ] = E  [ ( X Y ) ] − E  [ X ] E  [ Y ] {\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(XY)]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]} とも定義できる。
X と Y の共分散は σ X Y {\displaystyle \sigma _{XY}} や σ ( X , Y ) {\displaystyle \sigma (X,Y)} と表記されることもある。