素数計数関数
1859年リーマンは、π(x) をゼータ関数の零点を用いて表す式を発見した。
π ( x ) = R ( x ) − ∑ ρ R ( x ρ ) {\displaystyle \pi (x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho })}
ここで R ( x ) {\displaystyle R(x)} は、
R ( x ) = ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) m li  ( x 1 m ) {\displaystyle R(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\mu (m)}{m}}\operatorname {li} (x^{\tfrac {1}{m}})}
と定義され、和の ρ はゼータ関数の全ての零点をわたる。
また、リーマン予想と下の式が正しいことは同値である。
π ( x ) = li  ( x ) + O ( x ln  x ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)}
また、 O {\displaystyle O} は、ランダウの記号である。 また、リーマン予想が正しい場合、以下の式が成り立つことが知られている。
| π ( x ) − li  ( x ) | < 1 8 π x log  x , for all x ≥ 2657. {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.}
π(x), x / ln x および li(x) の3つの関数を10の冪において比較した表は素数定理#定理の内容にある。