向き付け可能性
物理的な世界で出くわす曲面の大半は、向き付け可能である。例えば、球面や平面、トーラスは向き付け可能である。しかし、メビウスの帯や実射影平面(英語版)(real projective plane)やクラインの壺は向き付け不可能である。それらは3次元に可視化されるように、どれも面を一つしかもたない。実射影平面やクラインの壺は、R へ埋め込むことはできず、ただ、きれいに交叉させてはめ込める(immersed)だけである。
埋め込まれた曲面は局所的には常に2つの面を持っていることに注意すると、面が一つの曲面を這い回っている近眼の蟻は、そこに「もう一つの面」があると考えるだろう。面が一つということの本質は、蟻が曲面上から飛び出したり縁を通ったりせずに、単純に曲面の上をどこまでも這っていくことで、「もう一つの面」へ到達できることである。
一般に、向き付け可能であるという性質は、2つの面を持っているという性質と同値ではないが、しかし、周囲の空間(上記の R のような)が向き付け可能である場合は、このことは同値となる。例えば、 K 2 {\displaystyle K^{2}} をクラインの壺とすると、
K 2 × S 1 {\displaystyle K^{2}\times S^{1}}
にトーラスを埋め込んで、1つの面を持つようにでき、同じ周囲の空間の中のクラインの壺は、2つの面を持つことができてしまう。