普遍係数定理
0 → Ext R  ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R  ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)\to 0}
が短完全系列となるα、βが存在する。
しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(Mに関して自然だが C ∗ {\displaystyle C_{*}} に関しては自然ではなく)分裂する。
上述の定理においてαは [ φ ] ∈ H n ( C ∗ ; M ) = H n ( Hom R ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))} に対し、 [ c ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ φ ( c ) ∈ M {\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M} という Hom R  ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である。
R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。
すなわち、 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対し、 C o k e r ( f ) = Y / I m ( f ) {\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)} である。
E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
E x t R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をExt関手という。
また E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} に関しても T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、 E x t R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)} が定義できて E x t R ( M , N ) = E x t R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)} であるが、本項では説明を割愛する。
E x t R ( R / ( x ) , N ) ≈ N / ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx N/(x)} 。
E x t R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 E x t R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0}
1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、
0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0}
という分解が可能なので、 E x t ( M , N ) = C o k e r ( ι ∗ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0} である。
4.に関しては、x倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、
である。よって T o r R ( M , N ) = K e r ( x ⋅ ⊗ R 1 N ) = { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}} である。
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、 T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} は T o r R ( R n , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)} と T o r R ( R / ( x i ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)} の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。
Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群 C n {\displaystyle C_{n}} と写像 ∂ n : C n → C n − 1 {\displaystyle \partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}} の組 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で、
∂ n − 1 ∘ ∂ n = 0 {\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0}
となるものR上のチェイン複体といい、
H n ( C ∗ ) := K e r ( ∂ n ) / I m ( ∂ n + 1 ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})}
を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のホモロジー加群という。
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。
有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分 T n {\displaystyle T_{n}} の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる:
命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する:
H n ( C ∗ ; Z ) ≈ H o m ( H n ( C ∗ ) ; Z ) ⊕ Ext R  ( H n − 1 ( C ∗ ) , Z ) ≈ F n ⊕ T n − 1 {\displaystyle H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}}
上記により Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する:
定理 ― Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由で、しかも H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成R-加群であるものとする。