弱微分
ある開集合 U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} に対する局所可積分関数の空間 L loc 1 ( U ) {\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)} に u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} が属するとし、 α {\displaystyle \alpha } をある多重指数 とする。すべての φ ∈ C c ∞ ( U ) {\displaystyle \varphi \in C_{\text{c}}^{\infty }(U)} 、すなわち、 U {\displaystyle U} にコンパクトな台を持つすべての無限回微分可能関数 φ {\displaystyle \varphi } に対して、
∫ U u D α φ = ( − 1 ) | α | ∫ U v φ {\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }
が成立するとき、 v {\displaystyle v} は u {\displaystyle u} の α {\displaystyle \alpha } -次の弱微分と呼ばれる。 u {\displaystyle u} に弱微分が存在するなら、それは(測度ゼロの集合に関する差異を除いて)一意であるため、 D α u {\displaystyle D^{\alpha }u} としばしば表記される。