ストークスの定理
多様体における微分形式の理論を用いれば、ストークスの定理を洗練された形式で表現できるともに、背後に存在する一般化された定式化を示唆する。ベクトル場の線積分は1形式の積分、ベクトル場の回転の面積分は2形式の積分で書き表すことができ、ストークスの定理は
∫ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z ∧ d x + ( d Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y = ∫ ∂ S P d x + Q d y + R d z {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{S}{\biggl (}{\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\biggl (}{\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}{\biggr )}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\&=\int _{\partial S}P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z\end{aligned}}}
d ω = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z ∧ d x + ( d Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\biggl (}{\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\biggl (}{\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}{\biggr )}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であり、面積分に現れる2形式に一致する。したがって、ストークスの定理は
∫ S d ω = ∫ ∂ S ω {\displaystyle \int _{S}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial S}\omega }
と表すことができる。
電磁気学におけるストークスの定理の別の応用例として、マクスウェル方程式からのファラデーの電磁誘導の法則の導出がある。空間に固定された閉曲線 ∂S に沿った誘導起電力は
E = ∮ ∂ S E ⋅ d l {\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial S}E\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}
で定義される。∂S を境界とする曲面 S に対し、ストークスの定理を適用すれば、
E = ∫∫ S ( ∇ × E ) ⋅ d S {\displaystyle {\mathcal {E}}=\iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {E}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}
となる。右辺の被積分関数にマクスウェル方程式
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}