多項式の因数分解
多項式 f の複素(あるいは p-進)根 α を高精度で計算し、LLL格子基底縮小アルゴリズムを用いて 1, α, α, ... の満たす整係数線型関係式(英語版)(つまり α の満たす整係数多項式関係式)を近似的に求めると、それが(近似でない)真の線型関係式の、したがって f の多項式因子の候補になる。
適切に近似の精度の限界を決めることで、このアルゴリズムが多項式因子か既約性証明の何れかを与えるものであることを保証することができる。この方法は多項式時間であるけれども、格子は高次元のもので、成分数は膨大になり、計算に時間がとられることを考えれば、実用に供されるものではない。
さて、ツァッセンハウスのアルゴリズムの計算量が指数時間となるのは、(f1, ..., fr の中から目的に合う部分集合を選び出すという)組合せ問題から来るものであった。ツァッセンハウスと同じやり方ながら組合せ爆発の問題を回避する芸術的因数分解の実装の状態は、組合せ問題をLLLで解決できる格子問題に翻訳する点にある。このやり方の場合、LLL は因数の係数を計算するのではなくて、{0, 1} に r 個の成分をとるベクトル(真の既約因子を与える f1, ..., fr の部分集合をエンコードするもの)の計算に用いる。