ロトカ・ヴォルテラの方程式
これらの平衡点から x, y の状態点がわずかにずれて与えられるときに、状態点が時間にともなって平衡点に収束するのか、それとも離れていくのかを特徴づける安定性は、次のように判別できる。2次以上の項が無視できるほどズレが小さいとすれば、平衡点 (0, 0) 近傍で系は次のように表すことができる。
d x d t = a x {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax}
d y d t = − d y {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-dy}
これを行列表記すると、
( d x d t d y d t ) = ( a 0 0 − d ) ( x y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {dx}{dt}}\\{\frac {dy}{dt}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&-d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}
となる。
A = ( a 0 0 − d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&-d\end{pmatrix}}}