ポアソン分布
}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\right)\left({\frac {n-1}{n}}\right)\left({\frac {n-2}{n}}\right)\dotsm \left({\frac {n-k+1}{n}}\right)} \underbrace {\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)} \underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} \underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} .\end{aligned}}}
n を無限大に近づけると、4つの下波括弧のうち、最初の下波括弧の部分は 1 に近づく。2番目の下波括弧の部分には n が出現しないので、そのままである。3番目の下波括弧の部分は e に近づく。最後の下波括弧の部分は 1 に近づく。
したがって極限は存在し、
λ k e − λ k ! {\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}
となる。