群環
表現の指標と群環は、直交性を考えるとき、互いに相補的な関係にある。G の表現 (V1, ρ), (V2, ρ) に対して、χ, χ をそれぞれ表現 ρ, ρ の指標とするとき、表現 (V1, ρ), (V2, ρ) を G-加群と見て
( χ 1 ∣ χ 2 ) = dim K  ( hom K G  ( V 1 , V 2 ) ) {\displaystyle (\chi _{1}\mid \chi _{2})=\dim _{K}(\hom _{K}^{G}(V_{1},V_{2}))}
が成り立つ。右辺の次元は K 上で考える。
すると、シューアの補題により、既約指標 π1, π2 の間の直交関係
( π 1 ∣ π 2 ) = { 1 π 1 ≃ π 2 0 π 1 ≄ π 2 {\displaystyle (\pi _{1}\mid \pi _{2})={\begin{cases}1&\pi _{1}\simeq \pi _{2}\\0&\pi _{1}\not \simeq \pi _{2}\end{cases}}}
が得られる。