量子ウォーク
量子ウォーク
通常、高々有限個の場所で他と異なる左右への推移確率を持つコインによって定まるランダムウォークは、全ての場所で等しい左右への推移確率を持つコインによって定まるランダムウォークと同じ拡散的な( n {\displaystyle {\sqrt {n}}} のオーダーの)拡がりのままである 。ところが、量子ウォークでは、ただ一か所だけ他と異なった量子コインを投入する場合でも、上述の線型的( n {\displaystyle n} のオーダーの)拡がりだけでなく、長時間極限において出発点付近の各点の存在確率が正の値を持つ、局在化と呼ばれる性質も共存するようになる 。より具体的には、 x ∈ Z {\displaystyle x\in \mathbb {Z} } で局在化が起こるとは、
lim sup n → ∞ μ n ( x ) > 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\mu _{n}(x)>0}
が成り立つことであると、ここでは定義する 。但し、他にも量子ウォークの局在化の定義が存在する 。このような場合、下記の2段階の極限定理によって、線型的拡がりと局在化の共存が特徴づけられることが、多くの量子ウォークモデルにおいて知られている。