ヒルベルト–ポワンカレ級数
次数付きベクトル空間の例はベクトル空間のチェイン複体あるいはコチェイン複体 C と関連がある。後者は
0 → C 0 ⟶ d 0 C 1 ⟶ d 1 C 2 ⟶ d 2 ⋯ ⟶ d n − 1 C n → 0 {\displaystyle 0\to C^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}\to 0}
の形をとる。この複体に対する次数付きベクトル空間 ⊕i C のヒルベルト–ポワンカレ級数(しばしばポワンカレ多項式と呼ばれる)は
P C ( t ) = ∑ j = 0 n dim  ( C j ) t j {\displaystyle P_{C}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(C^{j})\,t^{j}}
である。コホモロジーのヒルベルト–ポワンカレ多項式は、コホモロジー空間を H = H(C) として、
P H ( t ) = ∑ j = 0 n dim  ( H j ) t j {\displaystyle P_{H}(t)=\sum _{j=0}^{n}\dim(H^{j})\,t^{j}}
である。この2つの間の有名な関係は、非負係数の多項式 Q(t) が存在して、PC(t) − PH(t) = (1 + t)Q(t) となるということである。