単位の換算
なお時間のSI単位は秒 (s) であり角度のSI単位はラジアン (rad) である。
しかしひとつの量の表記に複数の単位を同時に使う場合でもSI方式に従えば、通常の数式の演算規則に従って変形してゆくだけで換算ができる。
例1. ヤードポンド法での表記からメートル法での表記への換算 50 y d 2 f t 3 i n = 50 ( 3 f t ) + 2 f t + 3 ( 1 / 12 f t ) = 152.25 f t = 152.25 ⋅ ( 0.3048 m ) = 46.4058 m {\displaystyle {\begin{aligned}50\,\mathrm {yd} \ 2\,\mathrm {ft} \ 3\,\mathrm {in} &=50(3\,\mathrm {ft} )+2\,\mathrm {ft} +3(1/12\,\mathrm {ft} )\\&=152.25\,\mathrm {ft} \\&=152.25\cdot (0.3048\,\mathrm {m} )\\&=46.4058\,\mathrm {m} \end{aligned}}}
この例のように伝統的な多くの単位系を含む異なる単位系の間の換算係数は、一般には整数値ではなく、正確な小数値として定められていないことさえ多い。このような異なる単位系の間の換算では、まず一方の単位系でひとつの単位のみの表記に変換し、次に他方の単位系でのひとつの単位に変換すると、桁数の多い換算係数を使う回数が少なくて済み、誤差も小さくできると考えられる。
例2.
この表記は、SI規則に沿ったイタリック体の量記号を中括弧で囲むことで、量の値ではなく数値を表していることを明示し、下付添え字で単位を示している。
また式(1-4)の表記はその使用法にも一貫性がないとの指摘がある。実際、日本の初等中等教育の教科書では、括弧で囲んだ単位記号をSIにおける単位記号と同様に扱うかのような、以下の(1-5)のような表記も使われており、誤解の余地が生じやすい面がある。
5 [ m ] , 5 ( m ) {\displaystyle \mathrm {5\ [m],\quad 5\ (m)} } (1-5)
ただし、式(1-4)の記法を、(1-4)'にあるような、L(m) のような記法と均等と解釈した場合には、最近のPhysical Review Letters上の論文(例えば ) でも頻繁に使用されていて、式(1-2)や式(1-3)のような記法は、(本来正式のはずだが) 原著論文上ではほとんど見かけられないものであるので、現状最も「無難」であろう。 (尚、(1-5)のような記法は、殆どみられない)
式(1-3)や式(1-4)の単位記号は量記号と一体となってひとつの数値変数を表しているのであり、単位記号だけを独立して移項したりできるものではない。式(1-4)の表記では量記号と単位記号の大きさが同等なので、式(1-3)に比べて両者が一体であることを失念する可能性が高いかも知れない。
物理量の測定とは、異なる物理量の値を2つとり、そのどちらか片方を基準とした時に、もう片方が基準としたほうの何倍になるかを決める行為である。このとき基準とした方の物理量を単位と呼ぶ 。 国際単位系(SI)の考え方では量の値(the value of a quantity)は数値(numerical value)と単位(unit)の積と捉えられ、そのように表現される。そして単位記号、量記号、数値記号はすべて通常の数式の演算規則に従う。
Q = q u {\displaystyle Q=\mathrm {q} \,\mathrm {u} } (1-1) 例 L = 5 m {\displaystyle L=5\,\mathrm {m} } (1-1a)
ただし、ひとつの量の値(量の大きさ)を表す数値記号と単位記号との間には空白(space)が置かれ、この空白が積を表す記号になる。また、ひとつの組立単位の表現のなかでの単位記号同士の積は空白または中点(half-height dot)で表す。なお、単位記号には、その周囲の文書の様式に関係なく立体を用いると定められている。また量記号は一般に、イタリック体(斜体)の単独の活字で表される。
式(1-1)は各項が物理量を表す量方程式であるが、数値方程式として数値を表す表記方法には次のようなものが知られている。
次の方法は、英語圏の大学初年級の教科書によく載っている。例えば、
この手順はミスが少なく複雑な場合にも計算が複雑になりにくいとされ、機械的でミスが少ないので実務家向けには良い方法とされている。なお、この方法でもSI方式と同様に、単位記号はすべて物理量(の大きさ)を表していて、単位記号と数値記号はすべて通常の数式の演算規則に従う。
単位 u1 と単位 u2 が同じ物理量を表す単位であり換算係数が k であることは次式で表せる。
u 1 = k u 2 {\displaystyle \mathrm {u} _{1}=\mathrm {k\ u} _{2}}
変形すると、次の式が得られる。
1 = k u 2 u 1 = u 1 k u 2 {\displaystyle 1={\frac {\mathrm {k\ u} _{2}}{\mathrm {u} _{1}}}={\frac {\mathrm {u} _{1}}{\mathrm {k\ u} _{2}}}}
この関係を使い、変換元の単位や量に1を次々と掛ける形式で計算する。ここで掛ける分数の形の係数を変換率または変換比と呼ぶ。
389 m / s {\displaystyle {\begin{aligned}5\,\mathrm {km/h} &=5\cdot ((\mathrm {km} )/(\mathrm {h} ))\\&=5\cdot (1000\,\mathrm {m} )/(3600\,\mathrm {s} )\\&=5\cdot (1000/3600)\cdot (\mathrm {m} )/(\mathrm {s} )\\&\approx 1.389\,\mathrm {m/s} \end{aligned}}}
例4. 密度の単位の lb⋅ft(ポンド毎立方フィート)から g⋅cm(グラム毎立方センチメートル)への変換 見やすくするために換算係数を次の記号で表しておく。 1 f t = k f t m {\displaystyle 1\,\mathrm {ft} =\mathrm {k_{ft}\ m} } ここで、 k f t = 0.3048 {\displaystyle \mathrm {k_{ft}} =0.3048} 1 l b = k l b k g {\displaystyle 1\,\mathrm {lb} =\mathrm {k_{lb}\ kg} } ここで、 k l b = 0.45359237 {\displaystyle \mathrm {k_{lb}} =0.