ゴムロープの上のアリ
φ ′ ( t ) = α c + v t {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}}
∴ φ ( t ) = ∫ 0 t α c + v s d s = α v ln  ( c + v t c ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+vs}}\,ds={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}
アリが時刻 t = T {\displaystyle t=T} で目標地点に到達するとすれば φ ( T ) = 1 {\displaystyle \phi (T)=1} だから、
α v ln  ( c + v T c ) = 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1}
∴ T = c v ( e v / α − 1 ) {\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)}
(単純なケース v = 0 {\displaystyle v=0} に対しても、極限 lim v → 0 T ( v ) {\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)} をとれば解 T = c α {\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}} が得られる)。