投資信託定理
2-ファンド分離定理を無リスク資産に投資できない状況で考えるために、行列計算を用いる。 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} をポートフォリオの収益率の分散とする。 μ {\displaystyle \mu } を、分散を最小化するポートフォリオが満たすべき期待収益率の下限とする。 r {\displaystyle r} を投資可能な資産の期待収益率のベクトルとする。 X {\displaystyle X} を投資可能な資産に対して投資される富の量のベクトルとする。 W {\displaystyle W} をポートフォリオに分配される富の総量とする。 1 {\displaystyle 1} を全ての要素が1であるベクトルとする。この時、所与の期待収益率の下で、ポートフォリオの収益率の分散を最小化する問題は次のように表すことができる。
Minimize σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}
subject to
X T r = μ {\displaystyle X^{T}r=\mu }
and
X T 1 = W {\displaystyle X^{T}1=W}
ここで上の添え字 T {\displaystyle ^{T}} は行列の転置を表す。目的関数におけるポートフォリオの収益率の分散は σ 2 = X T V X , {\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,} と書くことができ、 V {\displaystyle V} は個々の資産の収益率の、正値定符号な共分散行列である。
もし資産の収益率が同時楕円分布(英語版)(特別ケースとして同時正規分布を含む)に従い、所与の期待収益率の水準と整合的なその収益率の分散が最小となるポートフォリオを保持する投資家が存在するならば、ポートフォリオは平均分散分析(英語版)の枠組みで分析可能である。平均分散分析の下で、ある特定の期待収益率を所与とした全ての最小分散ポートフォリオ(つまり、全ての効率的なポートフォリオ)は任意の二つのポートフォリオの組み合わせにより作られることを示すことができる。もし投資家の最適ポートフォリオの期待収益率が二つの効率的なベンチマークポートフォリオの間にあるのであれば、この投資家のポートフォリオはこれら二つのベンチマークポートフォリオを正の量だけ保持することで特徴づけることが可能である。