超幾何関数
!}{(2n)!!(2n+1)}}z^{2n}=z\cdot {_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};z^{2}\right]\\\tan ^{-1}z&=z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n}=z\cdot {_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-z^{2}\right]\\\end{aligned}}}
完全楕円積分
K ( k ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! !
超幾何関数(ちょうきかかんすう、英: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。
F ( a , b ; c ; z ) := 2 F 1 [ a , b c ; z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n {\displaystyle F(a,b;c;z):={_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}}
ただし、(x)n はポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1、(x)n = x (x+1) (x+2)...(x+n−1) である。