微分方程式系の可積分条件
必ずしも 1-形式から生成されるものだけではない微分方程式系の可積分条件には多くの一般化が存在する。これらの中で最も有名なものは、カルタン・ケーラーの定理(英語版)(Cartan-Kähler theorem)である。この定理は、実解析的微分方程式系に対して機能するのみならず、カルタン・倉西の延長定理(英語版)(Cartan–Kuranishi prolongation theorem)でも機能する。詳細は、参考文献を参照。
すべてのパフィアン系がフロベニウスの意味で完全可積分であるわけではない。例えば、R - (0,0,0) 上の次の 1-形式を考えると、
θ = x d y + y d z + z d x . {\displaystyle \theta =x\,dy+y\,dz+z\,dx.}
もし dθ が上記の θ で生成されたイデアルの中にあるとすると、ウェッジ積の歪性(skewness)により
θ ∧ d θ = 0 {\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}
となる。しかし、直接計算すると、
θ ∧ d θ = ( x + y + z ) d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz}
は、R 上の標準体積形式に非零の数をかけたものとなる。従って、2次元の葉は存在せず、系は完全可積分ではない。
他方、
x = t , y = c , z = e − t c , t > 0 {\displaystyle x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-{t \over c}},\quad t>0}
で定義される曲線は、上記の任意の定数 c のパフィアン系の解(すなわち、積分曲線(integral curve))となることが容易にわかる。