数え上げ幾何学
数学では数え上げ幾何学(enumerative geometry)は代数幾何学の一分野であり、主に交叉理論により、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに関連している。
数え上げ幾何学は、19世紀の終わりにヘルマン・シューベルト(英語版)(Hermann Schubert)により、大きな進展がみられた。 このために彼は、シューベルトの計算(英語版)と呼ばれる方法を導入した。この計算で、彼は広い領域に基本的な幾何学的、トポロジー的な値を導入した。(当時は、)数え上げ幾何学に特別に必要なものは注目されなかったが、代数幾何学が全体で一般的な前提として、1960年代、1970年代になるとそれらが深い注目を集めるようになった。(例えば、スティーブン・クライマン(英語版)(Steven Kleiman)が指摘している)。アンドレ・ヴェイユにより交点数が厳密に定義されたが、これは、1942–6年にヴェイユの基本的なプログラムの一部として厳密に定義がされ、さらにその後、確立されたものである。しかし、これは、数え上げ問題の固有な領域のすべてを解決するものではなかった。
1984年、H. クレメンスは、クインティックスリーフォールド X ⊂ P 4 {\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{4}} の上の有理曲線の数を数え上げる問題を考察する中から、次の予想に到達した。
X ⊂ P 4 {\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{4}} を一般の5次超曲面とし、d を正の整数とすると、このとき X {\displaystyle X} 上には d 次有理曲線は有限個しか存在しない。
この予想は一般的には未解決である。しかし現在は、 d ≤ 9 {\displaystyle d\leq 9} の場合は証明されている。
1991年に弦理論のミラー対称性の論文 で、物理的な観点から一気に一般の d についての有理曲線の数を与えることができるという予想が提出された。当時、代数幾何学では d ≤ 5 {\displaystyle d\leq 5} の場合が有理曲線の数を求められる最大の次数であったので、大変な驚きを持って迎えられた。