全有界空間
すなわち、E + ai の代わりに aiE を用いる。また X が右全有界(right-totally bounded)であるための必要十分条件は、それが「右」平行移動について上述の位相アーベル群に対する全有界の定義を満たすことである。すなわち、E + ai の代わりに Eai を用いる(但し、ここでの「大きさ」は単位元の近傍であることは明らかであるが、ある集合が与えられた大きさであるかに関しては二つの概念が存在する。すなわち、左平行移動に基づく概念と、右平行移動に基づく概念である)。
上述の定義の一般化として、ある一様空間 X の部分集合 S が全有界であるための必要十分条件は、X 内の与えられた任意の近縁 E に対して、各デカルト平方が E の部分集合であるような X の部分集合の有限被覆によって S が覆われることである(但し、ここでの「大きさ」は近縁で、部分集合の大きさが E であるとはそのデカルト平方が E の部分集合であることである)。また同値であるが、S が全有界であるための必要十分条件は、上述のように与えられた任意の E に対して、合併が S を含むような X の部分集合の族 A1, A2, ..., An が存在し、さらに X の二つの元 x と y がいずれも同じ集合 Ai に属するなら、(x,y) は E に属することである(したがって x と y は E によって測ると、近くにある)。
以上の定義はさらに、コンパクト性とコーシー完備化の概念を持つ任意の空間の圏へと拡張することも出来る。すなわち、ある空間が全有界であるとは、その完備化がコンパクトであることである。
↑ Sutherland p.139
1 2 Willard, p. 182