ラプラス作用素
α が0-形式、すなわち M 上の関数の場合はホッジ・ラプラシアンもボホナー・ラプラシアンもラプラス・ベルトラミ作用素に一致する。しかし α が一般の微分形式の場合はそうではない。α が1-形式の場合は、以下の関係(ヴァイツェンベック・ボホナーの公式(英: Weitzenböck-Bochner formula))を満たす:
Δ H α − Δ B α = Ric  ( α ) {\displaystyle \Delta ^{H}\alpha -\Delta ^{B}\alpha =\operatorname {Ric} (\alpha )}
ここで Ric(α) はリッチ曲率 Ric(X, Y) を使って
Ric  ( α ) ( X ) = Ric  ( X , α ♯ ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (\alpha )(X)=\operatorname {Ric} (X,\alpha ^{\sharp })}
により定義される1-形式であり、「#」は計量 g による余接ベクトル空間から接ベクトル空間への同型写像である。
と表記する。微分演算子
D := ∑ α : | α | ≤ k a α ∂ ∂ x α {\displaystyle D:=\sum _{\alpha \colon |\alpha |\leq k}a_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}
が任意のC級関数φ: R → Rと向きを保つ任意の合同変換Tに対し、
D ( φ ( T ( x ) ) ) = T ( D ( φ ( x ) ) ) {\displaystyle D(\varphi (T(x)))=T(D(\varphi (x)))}
が成立していたとする。このとき、実数係数の1変数多項式 p ( X ) = ∑ m u m X m {\textstyle p(X)=\sum _{m}u_{m}X^{m}} が存在し、
D = p ( Δ ) = ∑ m u m Δ m {\displaystyle D=p(\Delta )=\sum _{m}u_{m}\Delta ^{m}}
が成立する。
よってラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの(=恒等的に0を対応させる微分演算子)を除けば最も簡単なものである。
ラプラス作用素はn 次元ユークリッド空間上の函数 f の勾配 ∇f の発散 ∇· として定義される二階の微分作用素である。つまり、f が二回微分可能実数値函数ならば f のラプラシアンは
Δ f ≡ ∇ 2 f := ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f\equiv \nabla ^{2}f:=\nabla \cdot \nabla f}
で定義される。ただし、あとの記法は形式的に ∇ = (∂⁄∂x1,..., ∂⁄∂xn)と書いたものである。あるいは同じことだが、f のラプラシアンは直交座標系 xi における非混合二階偏導函数の全てにわたる和
Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}
としても書ける。二階の微分作用素として、ラプラス作用素はC 級函数を C 級の函数へ写す (k ≥ 2)。つまり、式 1 (あるいは同値な 2) は作用素 ∆: C(R) → C(R) を定める。あるいはより一般に任意の開集合 Ω に対して作用素 ∆: C(Ω) → C(Ω) を定める。
∇ 2 = ∇ ξ m ⋅ ∇ ξ n ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n + ∇ 2 ξ m ∂ ∂ ξ m , {\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}},}
ここでアインシュタインの和の規約を用いた。