正規行列
A が σ1(A) ≥ ... ≥ σn(A) なる特異値 σi と |λ1(A)| ≥ ... ≥ |λn(A)| なる固有値 λi を持つとき、各 i = 1, ..., n に対して σi(A) = |λi(A)|が成り立つ。
上記の全てではないがいくつかは無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても一般化される。例えば、上記の極分解に関する条件を満足する有界作用素は準正規作用素であることまでしか言えない。
正規行列 N の作用素ノルムは N の数域半径(英語版)およびスペクトル半径に等しい(この事実は正規作用素に対して一般化できる)。これを明示的に書けば、
sup ‖ x ‖ = 1 ‖ N x ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 | ⟨ N x , x ⟩ | = max { | λ | : λ ∈ σ ( N ) } {\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Nx\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Nx,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (N)\}}
が成り立つということである。
A が正規の場合には、先に述べたように正規な上半三角行列は対角行列ゆえ、B は対角行列でなければならない。
スペクトル定理により、正規行列をそのスペクトルによって分類するということができる。例えば、正規行列がユニタリであるための必要十分条件は、そのスペクトルがガウス平面上の単位円に含まれることである。あるいは、正規行列が自己随伴であるための必要十分条件は、そのスペクトルが実数直線上にあることである。
一般に二つの正規行列の和や積は必ずしも正規でないが、A および B が正規で AB = BA を満たす特別の場合には AB も A + B も正規である。さらに言えば、この二つの行列は同時対角化可能(英語版)、すなわち A と B は同じユニタリ行列 U によって UAU および UBU がともに対角行列となるようにすることができる。この特別の場合において、U の列ベクトルは A と B に共通の固有ベクトルで C の正規直交基底をなすものからなる。このことは、代数閉体上で交換可能(英語版)な行列が同時三角化可能(英語版)であることと、正規行列が対角化可能なことを組み合わせれば従う。