微分ガロア理論
1 変数複素有理関数体 C(x) は、変数 x に関する普通の微分により、微分体になる。 この体の定数体は、複素数体 C である。
上記リウヴィルの定理により、f(z)、g(z) が z に関する有理関数で、f(z) は 0 でなく、g(z) は定数でない場合に、 ∫ f ( z ) e g ( z ) d z {\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz} が初等関数になるためには、ある有理関数 h(z) により、 f ( z ) = h ′ ( z ) + h ( z ) g ′ ( z ) {\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,} と書けることが必要十分であることが示せる。 冒頭に記載した誤差関数や積分正弦(シンク関数の不定積分)が初等関数で表せないことは、この性質から直ちに導かれる。
エアリーの微分方程式 y ′′ − x y = 0 {\displaystyle y''-xy=0\,} の微分ガロア群は、複素数体上のユニモジュラー 2 次行列の全体になる。 これは可解な単位元の成分を持たない。 従って、同方程式の解は、解析学の標準的な関数を含む簡潔な式では表せない。 この方程式の解は、エアリー関数という。