基数
数学において基数(きすう、cardinal number または cardinal)とは、集合の濃度(cardinality、大きさ、サイズ)を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カントールによって示された。 基数は、集合論で活発に研究されている。また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の各分野の道具としても使われる。圏論では、基数は集合の圏の骨格(英語版) を形成する。
基数 λ、κ にたいし、λ = κ を満たす μ は存在するとも一意的とも限らない。無限基数 κ にたいし log(κ) := inf{ λ : κ ≤ 2 } を κ の対数という。このとき log(κ) ≤ κ 、κ ≤ 2。
順序数 α {\displaystyle \alpha } にたいし、 ב α {\displaystyle \beth _{\alpha }} を以下のように超限再帰により定義する。
0 : ב 0 = א 0 {\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}
後続順序数 : ב α + 1 := 2 ב α {\displaystyle \beth _{\alpha +1}:=2^{\beth _{\alpha }}} (後述の後続を参照)
極限順序数 : ב γ := s u p { ב α : α < γ } {\displaystyle \beth _{\gamma }:={\rm {{sup}\{\beth _{\alpha }:\alpha <\gamma \}}}} (ただし γ {\displaystyle \gamma } は極限順序数)
列 { ב α } α ∈ O N {\displaystyle \{\beth _{\alpha }\}_{\alpha \in \mathbb {ON} }} ないし列上の基数をベート数(beth number)と呼ぶ。