無理回転
θ が無理数であるなら、回転 Tθ の下での [0,1] の元の軌道は [0,1] において稠密である。したがって、無理回転は位相的に推移可能(英語版)である。
θ が無理数であるなら、Tθ は一意的にエルゴード的である。
無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。
無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。
無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。
[a,b] ⊂ [0,1] を仮定する。Tθ はエルゴード的であるため、次が成り立つ。 lim N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N − 1 χ [ a , b ) ( T θ n ( t ) ) = b − a {\displaystyle {\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a} .