比例ハザードモデル
l ′ ′ ( β ) = − ∑ j ∑ l = 0 m − 1 ( ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i X i ′ − l m ∑ i ∈ H j θ i X i X i ′ φ j , l , m − Z j , l , m Z j , l , m ′ φ j , l , m 2 ) , {\displaystyle \ell ^{\prime \prime }(\beta )=-\sum _{j}\sum _{\ell =0}^{m-1}\left({\frac {\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}X_{i}^{\prime }-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}X_{i}^{\prime }}{\phi _{j,\ell ,m}}}-{\frac {Z_{j,\ell ,m}Z_{j,\ell ,m}^{\prime }}{\phi _{j,\ell ,m}^{2}}}\right),}
であり、ここに
φ j , l , m = ∑ i : Y i ≥ t j θ i − l m ∑ i ∈ H j θ i {\displaystyle \phi _{j,\ell ,m}=\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}} Z j , l , m = ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i − l m ∑ i ∈ H j θ i X i . {\displaystyle Z_{j,\ell ,m}=\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}.}
となる。なお、Hj が空の場合(時刻 tj のすべての観測値が打ち切られる)、これらの式の被加数はゼロとして扱われることに注意すること。
であり、部分対数尤度のヘッセ行列は、
l ′ ′ ( β ) = − ∑ i : C i = 1 ( ∑ j : Y j ≥ Y i θ j X j X j ′ ∑ j : Y j ≥ Y i θ j − [ ∑ j : Y j ≥ Y i θ j X j ] [ ∑ j : Y j ≥ Y i θ j X j ′ ] [ ∑ j : Y j ≥ Y i θ j ] 2 ) {\displaystyle \ell ^{\prime \prime }(\beta )=-\sum _{i:C_{i}=1}\left({\frac {\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}X_{j}X_{j}^{\prime }}{\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}}}-{\frac {\left[\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}X_{j}\right]\left[\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}X_{j}^{\prime }\right]}{\left[\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}\right]^{2}}}\right)}
である。
このスコア関数とヘッセ行列を用いると、ニュートン=ラフソンアルゴリズムを使用して部分尤度を最大化することができる。β の推定量で評価されるヘッセ行列の逆行列は、推定量の近似分散共分散行列として使用でき、回帰係数の近似標準誤差を生成するために使用できる。