位相群の群環
G を局所コンパクト群、U をヒルベルト空間 H における G の強連続ユニタリ表現とすると、 π U ( f ) = ∫ G f ( g ) U ( g ) d μ ( g ) {\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)} はノルム代数 Cc(G) の非退化有界 ∗-表現であり、写像 U ↦ π U {\displaystyle U\mapsto \pi _{U}} は G の強連続ユニタリ表現全体の成す集合と Cc(G) の非退化有界 ∗-表現との間の全単射となる。この全単射はユニタリ同値と強束縛に矛盾しない。特に πU が既約であることと、U が既約であることとは同値である。
ここで、ヒルベルト空間 Hπ における Cc(G) の表現 π が非退化であるとは、
{ π ( f ) ξ : f ∈ C c ( G ) , ξ ∈ H π } {\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in C_{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}
が Hπ において稠密であることを言う。