順序数
この例から推測されるように、一般に有限の整列集合 (A, <) に対して ord(A, <) は A の要素の個数に等しい。特に、任意の自然数 n に対して ord(n, <ω) = n が成り立つので、自然数はすべて順序数である。
順序数に関して次が成り立つ:
整列集合 (A, <A) と整列集合 (B, <B) が同型のとき、またそのときに限り ord(A, <A) = ord(B, <B)。
(A, <) が有限整列集合のとき、ord(A, <) は A の要素の個数に等しい。
整列集合 (A, <) の順序数を α とし、∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は (A, <) と同型な整列集合である。
α が順序数であることと、α が ∈ によって整列された推移的集合であることは同値である。
α が順序数のとき、α の要素もすべて順序数である。
自然数全体の集合 ω は ∈ によって整列された推移的な集合であるから、上の事実 4. より ω は順序数である。
ブラリ=フォルティの定理とは、「すべての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。これは次のようにして示すことができる:
すべての順序数からなる集合 ON が存在すると仮定する。すると、順序数の要素はまた順序数であるという性質から ON は推移的な集合である。さらに、ON の空でない部分集合には必ず ∈ に関する最小元が存在するので、ON は ∈ によって整列されている。したがって ON は順序数であるので ON ∈ ON であるが、これは任意の順序数 α に対して α ∉ α であるという事実と矛盾する。よって順序数全体の集合は存在しない。
かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ=フォルティのパラドックスと呼ばれていた。