代数曲線
1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。有理数体上定義されたそのような曲線は、ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線(英語版)、フェルマー曲線(英語版) x + y = z (n ≥ 3) などが挙げられる。
例えば、点 (2,√−3) は x + y − 1 = 0 で定義される曲線上の点であり、通常の単位円はこの曲線の実成分である。ここで、「単位円」というのは実点のみならず任意の複素点に関して言う(ふつうは正確な意味は文脈から明らかなはずである)。方程式 x + y + 1 = 0 は実成分が空となるような代数曲線を定義する。
より一般には、平面に含まれない(が、より高次の空間に含まれる)代数曲線というものも考えることができる。平面代数曲線ではない代数曲線は非平面的(英語版)であると言う。もっとも簡単な非平面代数曲線は非平面三次曲線(英語版)(三次撓線)である。射影空間に含まれる代数曲線というものも考えることができるし、もっと言えばどんなアフィン空間や射影空間へ埋め込まれるかというようなこととは独立した形で代数曲線を定義するさえこともできる。そうして代数曲線の最も一般の定義に達する:
「代数幾何学における代数曲線とは、一次元(英語版)の代数多様体のことを言う。」