始対象と終対象
始対象や終対象は与えられた圏において存在するとは限らない。しかしながら、存在すればそれらは本質的に一意である。具体的には、I1 と I2 が2つの異なる始対象であれば、それらの間に唯一の同型が存在する。さらに、I が始対象であれば、I に同型な任意の対象はまた始対象である。同様のことは終対象に対しても正しい。
完備圏に対しては始対象の存在定理が存在する。具体的には、(局所的に小さい完備圏 C が始対象をもつことと、集合 I(真クラスでない)と I で添え字づけられた C の対象の族 (Ki) が存在して、C の任意の対象 X に対して少なくとも1つの射 Ki → X がある i ∈ I に対して存在することは同値である。
圏 C における終対象は唯一の空図式 ∅ → C の極限として定義することもできる。空圏は自明に離散圏なので、終対象は空積と考えることができる(積は実際一般に離散図式 {X_i} の極限である)。双対的に、始対象は空図式 ∅ → C の余極限であり空余積あるいは圏論的和と考えることができる。
極限を保つ任意の関手は終対象を終対象に写すことと、余極限を保つ任意の関手は始対象を始対象に写すことが、従う。例えば、自由対象(英語版)をもった任意の具体圏(英語版)における始対象は空集合で生成された自由対象になる。(なぜならば自由関手(英語版)は Set への忘却関手(英語版)への左随伴であり、余極限を保つからである。)
始対象と終対象は普遍性と随伴関手の言葉で特徴づけることもできる。1 をただ1つの対象(• と表記する)からなる離散圏とし、U: C → 1 を 1 への唯一の(定値)関手とする。すると
C の始対象 I は • から U への普遍射である。 • を I に送る関手は U に左随伴である。
C の終対象 T は U から • への普遍射である。 • を T に送る関手は U に右随伴である。