モノイド
いくつかの元については可換だが、必ずしもすべての元が可換でないようなモノイドはトレースモノイドという。トレースモノイドは並列計算の理論によく現れる。
モノイド (M, •) を固定して、M の冪集合 P(M) を考える。P(M) の 部分集合 S , T {\displaystyle S,T} の間の二項演算 "∗" を
S ∗ T := { s ∙ t ∣ s ∈ S , t ∈ T } {\displaystyle S*T:=\{s\bullet t\mid s\in S,t\in T\}}
で定めれば、P(M) は自明モノイド {e} を単位元とするモノイドとなる。同じ方法で、群 G の冪集合は群の部分集合の積(英語版)に関するモノイドとなる。
任意の半群 S は、S に属さない新たな元 e を(新たな)単位元として添加してモノイドにすることができる。すなわち、S ≔ S ∪ {e} とし、S の任意の元 s に対して e • s = s = s • e と定めるとき S はモノイドである。
S 上の左零半群(英語版)に単位元 e を添加したものは(find-first としても知られる)冪等モノイドであり、S 上の右零半群に単位元 e を添加したものは(find-last とも呼ばれる)反モノイドとなる。 二つの元 {<, >} を持つ左零半群に単位元 "=" を添加して得られる冪等モノイド {<, =, >} は順序の与えられた集合の元の列に対する辞書式順序のモデルを与える。