操作変数法
Greene, William H. (2008). Econometric Analysis (Sixth ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. pp. 314–353. ISBN 978-0-13-600383-0
Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). Basic Econometrics (Fifth ed.). New York: McGraw-Hill Irwin. pp. 711–736. ISBN 978-0-07-337577-9
Wooldridge, Jeffrey M. (2013). Introductory Econometrics: A Modern Approach (Fifth international ed.). Mason, OH: South-Western. pp. 490–528. ISBN 978-1-111-53439-4
構造方程式の形式が未知の時、操作変数 Z {\displaystyle Z} は以下の方程式を通して依然として定義可能である。
x = g ( z , u ) {\displaystyle x=g(z,u)\,}
y = f ( x , u ) {\displaystyle y=f(x,u)\,}
ここで f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は2つの任意な関数で Z {\displaystyle Z} は U {\displaystyle U} からは独立である。線形モデルと異なり、 Z , X {\displaystyle Z,X} と Y {\displaystyle Y} の測定は X {\displaystyle X} の Y {\displaystyle Y} に対する平均因果効果(英: average causal effect, ACE)の識別を可能としない。
ACE = Pr ( y ∣ do ( x ) ) = E u  [ f ( x , u ) ] . {\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}