擬似逆行列
零ベクトルの擬似逆行列は転置された零ベクトルである。零ベクトルでないベクトルの擬似逆行列はそのベクトルの大きさの2乗で割られた、随伴ベクトルである:
x + = { 0 ∗ ( x = 0 ) , ( x ∗ x ) − 1 x ∗ ( x ≠ 0 ) . {\displaystyle x^{+}={\begin{cases}0^{*}&(x=0),\\(x^{*}x)^{-1}x^{*}&(x\neq 0).\end{cases}}}
m × n 行列 A に対し、A の随伴行列(複素共軛かつ転置行列)を A とするとき、以下の4条件を満足する n × m 行列 A はただ一つ定まる:
A と A は互いに広義可逆元である:
A A + A = A , A + A A + = A + . {\displaystyle {\begin{aligned}AA^{+}A&=A,\\A^{+}AA^{+}&=A^{+}.\end{aligned}}}
A A および AA はエルミート行列である:
( A A + ) ∗ = A A + , ( A + A ) ∗ = A + A . {\displaystyle {\begin{aligned}(AA^{+})^{*}&=AA^{+},\\(A^{+}A)^{*}&=A^{+}A.\end{aligned}}}
この行列 A を A の擬似逆行列と呼ぶ。A が正則でなくとも A は定まるが、A が正則ならば逆行列 A はこの条件を満たす。ゆえに擬似逆行列の概念は逆行列の概念の一般化を与えていることがわかる。
A の特異値分解を A = U Σ V ⊺ {\displaystyle A=U\Sigma V^{\intercal }} とすると、 A = U Σ V ⊺ ⟹ A + = V Σ + U ⊺ {\displaystyle A=U\Sigma V^{\intercal }\implies A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{\intercal }}
が成立する。 ( Σ + {\displaystyle \Sigma ^{+}} の成分は σ i i + {\displaystyle \sigma _{ii}^{+}} 、 Σ {\displaystyle \Sigma } の成分は σ i i {\displaystyle \sigma _{ii}} とすると、 σ i i + = 1 / σ i i {\displaystyle \sigma _{ii}^{+}=1/\sigma _{ii}} である。)
m × n {\displaystyle m\times n} 行列 A {\displaystyle A} に対して n 次正方行列 A + A {\displaystyle A^{+}A} は、 A {\displaystyle A} の零空間の直交補空間 ( ker  A ) ⊥ {\displaystyle (\ker A)^{\bot }} への直交射影である。