ホッジ構造
すべての HZ のウェイト n のホッジ構造の集合はあまりに大きすぎるが、リーマン双線型写像を使い、それを最終的には小さくし扱いやすくすることができる。この場合の双線型写像をホッジ・リーマンの双線型写像という。ウェイト n の偏極ホッジ構造はホッジ構造 (HZ, H) と HZ 上の非退化整数双線型形式 Q の2つからなる(偏極)。偏極とは H の線型性での拡張であり、次の3つの条件を満たすものを言う。
Q ( φ , ψ ) = ( − 1 ) n Q ( ψ , φ ) ; Q ( φ , ψ ) = 0 for φ ∈ H p , q , ψ ∈ H p ′ , q ′ , p ≠ q ′ ; i p − q Q ( φ , φ ̄ ) > 0 for φ ∈ H p , q , φ ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}
数学では、ウィリアム・バーランス・ダグラス・ホッジ(William Vallance Douglas Hodge)の名前に因んで付けられたホッジ構造(英: Hodge structure)とは、滑らかでコンパクトなケーラー多様体のコホモロジー群にホッジ理論が与えた代数構造と同様の、線形代数のレベルの代数構造である。混合ホッジ構造(英: mixed Hodge structure)は、ホッジ構造のすべての複素多様体(たとえ特異点を持ったり、非完備多様体(英語版)であったとしても)への一般化で、1970年にピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)により定義され、ホッジ構造の変形(英: variations of Hodge structure)とは、多様体によってパラメトライズされたホッジ構造の族であり、最初にフィリップ・グリフィス(P. A. Griffiths)により1968年に研究された。これらのすべての概念は、さらに1989年に斎藤盛彦により複素多様体の上の混合ホッジ加群(英: mixed Hodge module)へと一般化された。