ローレンツ群
前節では、スピノル写像と呼ばれる準同型写像 SL(2, C) → SO(1, 3) を構築した。SL(2, C) は単連結であるから、これは制限ローレンツ群 SO(1, 3) の被覆群である。 制限により、準同型写像 SU(2) → SO(3) が得られる。ここで、特殊ユニタリ群 SU(2) は単位ノルム四元数の成す群と同型であるから、これもまた単連結であり、回転群 SO(3) の被覆群である。これらの被覆写像はそれぞれ、被覆群のちょうど二つの要素が商群の各要素に対応するという意味で二重写像である。制限ローレンツ群と回転群とは二重連結であるということが多い。これは、各群の基本群が二要素巡回群 Z2 と同型であることを意味する。
(量子力学への応用においては、特殊線形群 SL(2, C) のことがローレンツ群とよばれていることもある。)
二重被覆はスピン群の特徴である。実際、二重被覆
Spin(1, 3) = SL(2, C) → SO(1, 3)
Spin(3) = SU(2) → SO(3)
に加えて次の二重被覆も存在する。
Pin(1, 3) → O(1, 3)
Spin(1, 3) → SO(1, 3)
Spin(1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)
これらスピノル二重被覆はクリフォード代数と密接に関連している。
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したがって、エルミート行列の張る空間(実ベクトル空間としては四次元空間)を、行列式をミンコフスキー時空上の距離の自乗と考えることによって、ミンコフスキー時空と同一視することができる。SL(2, C) はエルミート行列に対して以下のように作用する。
X ↦ P X P ∗ . {\displaystyle X\mapsto PXP^{*}.}
ここで P ∗ {\displaystyle P^{*}} は P {\displaystyle P} のエルミート転置であり、この作用は行列式を保存する。したがって、SL(2, C) はミンコフスキー時空に(線形)等長に作用する。これにより、 SL(2, C) からローレンツ群 SO(1, 3) への写像を定義することができ、この写像は明らかに準同型写像である。これがスピノル写像である。
スピノル写像の核は二元 ±I からなる部分群であり、この写像は全射である。第一同型定理により、商群 PSL(2, C) = SL(2, C) / {±I} は SO(1, 3) と同型である。
ローレンツ変換はミンコフスキー時空上の原点を不動点とする等長変換であり、ローレンツ群は、等長変換全体が成すポアンカレ群の部分群であるといえる。したがって、ローレンツ群はミンコフスキー時空上の等長変換群の等方的部分群である。この理由から、ローレンツ群は同次ローレンツ群 (homogeneous Lorentz group)と呼ばれることがあり、対してポアンカレ群は非同次ローレンツ群 (inhomogeneous Lorentz group) と呼ばれることがある。ローレンツ変換は線形変換あるのに対して、ミンコフスキー時空上の一般の等長変換はアフィン変換である。
数学的には、ローレンツ群は一般化直交群(英語版) O(1, 3)、すなわち R 上の二次形式
( t , x , y , z ) ↦ t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
群 G が空間 V に作用するとき、曲面 S ⊂ V が推移曲面 (surface of transitivity) であるとは、S が G の下で不変、つまり gs ∈ S が任意の g ∈ G と s ∈ S に対して成り立ち、かつ任意の二点 s1, s2 ∈ S に対してある g ∈ G が存在して gs1 = s2 が成り立つことをいう。ローレンツ群は定義により二次形式
Q ( x ) = x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 {\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}
を保つ。順時ローレンツ群 O(1, 3) の時空上の推移曲面 Q(x) = const. には次の場合がある。
Q(x) > 0, x0 > 0 の場合、二葉双曲面の上側部分。
Q(x) > 0, x0 < 0 の場合、二葉双曲面の下側部分。
Q(x) = 0, x0 > 0 の場合、光円錐の上側部分。
Q(x) = 0, x0 < 0 の場合、光円錐の下側部分。
Q(x) < 0 の場合、一葉双曲面。
原点 x0 = x1 = x2 = x3 = 0。
二重被覆
SU(2) → SO(3)
の左辺と右辺の群はそれぞれ次の二重被覆の左辺と右辺の群の変位レトラクトである。
SL(2, C) → SO(1, 3)
ここで、等質空間 SO(1, 3)/SO(3) は三次元双曲空間(英語版) H と位相同型であるから、制限ローレンツ群はファイバー SO(3) および底 H を持つ主ファイバー束であることが示されたことになる。 後者は R と位相同型であるから、SO(3) が三次元実射影空間(英語版) RP と同型であるのに対して、制限ローレンツ群は RP と R の積に「局所的に」同型であるといえる。この底空間は可縮であるから、これは大域位相同型に拡張可能である。