マーラーのコンパクト性定理
で、商位相を伴うものとする。このとき、行列の行列式の絶対値で与えられる well-defined な X 上の函数 Δ が存在する。可逆な整数行列で行列式が 1 あるいは −1 となるものが存在するため、この函数は剰余類の上では定数となる。
マーラーのコンパクト性定理:X のある部分集合 Y が相対コンパクトであるための必要十分条件は、Δ が Y 上有界であり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の {0} のある近傍 N で、Y 内のすべての Λ に対して N に含まれる Λ の唯一つの格子点が 0 であるようなものが存在することである。
このマーラーの定理の主張は、任意の固定された ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} よりもシストール(英語版)が大きいか等しいような R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の単位共容積(unit-covolume)の空間のコンパクト性と同値である。
マーラーのコンパクト性定理は、マンフォードによって半単純リー代数へと一般化された。詳しくはマンフォードのコンパクト性定理を参照されたい。