古典電磁気学の共変定式
電磁場の作用汎関数の運動項は
S A [ A ] = − 1 4 Z 0 ∫ F μ ν F μ ν ( x ) − g d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}_{A}[A]=-{\frac {1}{4Z_{0}}}\int F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
であり、ラグランジュ関数は
L A ( F ) = − 1 4 Z 0 F μ ν F μ ν ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(F)=-{\frac {1}{4Z_{0}}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x)}
である。電磁場の運動項は多くの力学系の運動項と同様に一般化速度の二次形式で書かれる。 ラグランジュ関数の微分は
∂ L A ∂ F ν μ = − 1 2 Z 0 F ν μ ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{A}}{\partial F_{\nu \mu }}}=-{\frac {1}{2Z_{0}}}F^{\nu \mu }(x)}
となるので、運動項の汎関数微分は
δ S A [ A ] δ A μ ( x ) = 1 Z 0 D ν F ν μ ( x ) − g {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}_{A}[A]}{\delta A_{\mu }(x)}}={\frac {1}{Z_{0}}}{\mathcal {D}}_{\nu }F^{\nu \mu }(x){\sqrt {-g}}}
となる。