ボレル総和
ボレル総和にはわずかに異なる(少なくとも)3種類の方法がある。それらは適用できる級数の範囲が異なるものの、一貫性がある。すなわち、同じ級数に対して以下のうちの2種類の方法で総和した場合、収束するならば同じ値を与える。
記事全体を通して、A(z) で形式的べき級数
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}
を表すことにし、A(z) のボレル変換 B(A) を指数型の形式的べき級数
B ( A ) ( t ) : = ∑ k = 0 ∞ a k k ! t k {\displaystyle {\mathcal {B}}(A)(t)\colon =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}
として定義する。
級数 A(z) の収束半径が厳密に正であると仮定すると、A(z) は原点を含む非自明な領域で解析的となる。今、SA を A の特異点集合とすると、P ∈ C が P ∈ SA を満たすということと A が原点 O から P への開線分に沿って解析接続できるということが同値となる。P ∈ SA に対して、LP で P を通り直線 OP に垂直な直線の集合とする。集合 ΠP を
Π P = { z ∈ C : O z ∩ L P = ∅ } {\displaystyle \Pi _{P}=\{z\in \mathbf {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \}}
と定めると、この集合の元は原点と LP が同じ側にあるような点からなる。A のボレルポリゴン ΠA は
Π A = cl  ( ⋂ P ∈ S A Π P ) {\displaystyle \Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right)}
次の級数を考える。
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ k ! ( − 1 ⋅ z ) k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1\cdot z)^{k}}
この級数は z = 0 を除く z ∈ C で収束しない。このボレル変換は |t| < 1 において
B ( A ) ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ⋅ t ) k = 1 1 + t {\displaystyle {\mathcal {B}}(A)(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}
となり、これはすべての t ≥ 0 に対して解析接続できる。したがってボレル和は
∫ 0 ∞ e − t B ( A ) ( t z ) d t = ∫ 0 ∞ e − t 1 + t z d t = e 1 / z z ⋅ Γ ( 0 , 1 z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {e^{1/z}}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}