カオス理論
カオスの数学的定義として、しばしば引用される、位相的方法による標準的な定義であるロバート・デバニー(Robert L.Devaney)の定義がある。これを例として以下に示す。
次の3つの条件を満たす写像f: V → Vは、Vの上でカオス的であるといえる。
初期条件に鋭敏に依存する。
位相的に推移的である。
周期点はVにおいて稠密である。
ここで、条件1は次の条件を満たすことである。
fの反復合成写像をfとしたとき、あるδ > 0が存在し、任意のx ∈ Vと、xの任意の近傍Nに対して、 | f n ( x ) − f n ( y ) | > δ {\displaystyle \left|f^{n}(x)-f^{n}(y)\right\vert >\delta } を満たすような、y ∈ N、n > 0が存在する。
条件2は次の条件を満たすことである。
任意の開集合の対U, J ⊂ Vに対して、f(U) ∩ J ≠ ∅を満たすような、k > 0が存在する。
条件3は次の条件を満たすことである。
周期点の集合Yの閉包cl(Y)が、cl(Y) = Vである。
彼は、この場合に軌道が複雑となることを示唆している。ただし、この時点では、その実態は認識されていなかった。
実在の系でカオス運動を観察したと考えられる例としては、1927年のファン・デル・ポール(en:Balthasar van der Pol)とファン・デル・マークによる実験報告が挙げられる。彼らは1927年の論文において非線形電気回路の実験における周波数非増加(Frequency demultiplication)と呼ぶ現象を報告した。これは彼らが構成した非線形な電気回路において、コンデンサの容量Cをパラメータ的に増加させていくと、回路の発振周波数ωがω/2, ω/3, ω/4,...という風に非連続的に移り変わっていく現象である。特に、ファン・デル・ポールらは、このような発振周波数の非連続的な遷移の前に不規則な雑音(irregular noise)が発生することを報告している。小室元政らは、実在の系によるカオス現象の報告はこの実験が最初だろうと推測している。しかし、ファン・デル・ポールらは、この現象を副次的な現象(subsidiary phenomenon)と見なして、それ以上の研究は続けなかった。
1940年代、アンドレイ・コルモゴロフ、V.B.チリコフ等により、このハミルトン力学系(例えば、多体問題といった散逸項の無いエネルギーが保存される系)のカオス研究が進められた。大自由度ハミルトニアン系カオスは、統計力学の根源に結びつくものでもあるが、その定義すら困難であり今後の研究が期待される。