多重集合
Wayne Blizard は、“in ancient times, the number n was often represented by a collection of n strokes, tally marks, or units.”(「古代、数 n は n 本の棒、画線、単位の集まりとして表されていた」)なる論法を以って、多重集合の起源はまさに数の起源にまで遡れるとする。これら、あるいは同様の対象の集まりは、棒・画線・単位が各々区別できないもの (indistinguishable) と考えて多重集合になる。これは多重集合の概念が数学に取り入れられる以前から人々に暗に用いられていたことを示している。
そのような理由により多重集合は、この構造が必要とされるたびに何度も再発見され、異なる名称を以って文献に現れることとなる。例えば、Peterson (1981) はこれを bag と呼んでおり、その語は (Cerf et al. 1971) の影響によるものである。
たとえば、二次式 x2 + ax + b に対して、Δ := a2 − 4b とおき、その根の集合
{ x ∣ x 2 + a x + b = 0 } {\displaystyle \lbrace x\mid x^{2}+ax+b=0\rbrace }
を考えると、この集合の濃度(根の個数)は Δ ≠ 0 のとき 2 だが、Δ = 0 のときは退化して 1 になってしまう。これを Δ = 0 のときは 2 つの根がたまたま重なったもの(重根)と考えて重複度 2 を与えることにより、根は Δ = 0 のときも含めて常に 2 個であると考えることができる。この例は一般に、代数方程式論の基本定理の一つの表現「n-次方程式は必ず重複度まで込めてちょうど n 個の根を持つ」として述べることができる。同様の例として、複素解析函数に対する零点や極の位数(重複度)あるいは曲線の接触の位数(接触度)なども挙げられる(重複度 (数学)の項を参照)。
またたとえば、自然数 n の素因数分解
n = 2 m ( 2 ) 3 m ( 3 ) 5 m ( 5 ) ⋯ p m ( p ) ⋯ {\displaystyle n=2^{m(2)}3^{m(3)}5^{m(5)}\cdots p^{m(p)}\cdots }
実数からなる二つの多重集合の元ごとの和の成す多重集合の累積母函数は、各々の多重集合の累積母函数の和に等しい:
g A + B ( t ) = g A ( t ) + g B ( t ) . {\displaystyle g_{A+B}(t)=g_{A}(t)+g_{B}(t).}
元ごとの積の累積母函数
g A ⋅ B ( t ) = log  ( ∑ i ∑ j e t A i B j ) {\displaystyle g_{A\cdot B}(t)=\log \left(\sum _{i}\sum _{j}e^{tA_{i}B_{j}}\right)}
を計算する一般式は存在しないが、その特別の場合として定数倍は
g k ⋅ A ( t ) = g A ( k t ) {\displaystyle g_{k\cdot A}(t)=g_{A}(kt)}
となる。多重集合 2⋅A = {2Ai} は多重集合 2 × A = A + A = {Ai + Aj} とは異なることに注意せよ。例えば、2 ⋅{1, −1} = {2, −2} に対し、2 × {1, −1} = {1, −1} + {1, −1} = {1 + 1, 1 − 1, −1 + 1, −1 −1} = {2, 0, 0, −2} である。k × A の累積母函数は
g k × A ( t ) = k g A ( t ) {\displaystyle g_{k\times A}(t)=k\,g_{A}(t)}
となる。標準正規分布は実数からなる巨大な多重集合の極限
↑ 文脈によっては集合のことを非順序対 (unordered pair) などと呼ぶこともある。特に、x ≠ y のときの {x, y} を非順序対と呼ぶときは、これが集合であると理解しても多重集合であると理解しても論理的には同じである(x = y のときは差異が認められる)。
↑ 中抜き太字の類例だが、重ね打ち(英語版) (double struck) で表すときは間が広いと「集合の集合」と紛らわしい。
↑ このような外延的記法での例を挙げると、集合なのになぜか多重集合のようではないか、不自然だといったようなことを考える向きもあるだろうが、内包的記法が多用される数学の文脈では(それを外延的に書き直すと)このような例は実際に頻繁に遭遇することであり、このように規約を設けることには便宜上も意味のあることである。