コンビネータ論理
すべてのコンビネータがすべてのラムダ項と外延的に等しくなるようなone-point basesが存在する。そのような基底のもっとも単純な例Xはこうである。
それを確かめるのは難しくない。
{K, S}が基底だから、{X}もまた基底である。プログラミング言語IotaはXをその唯一のコンビネータとして使う。 one-point basisのもう一つの簡単な例は
X' はKとSを生成するのにη変換を必要としない。
カリー=ハワード同型対応によれば、論理式と型が対応し、直観主義論理の含意断片のヒルベルト流の推論図と型付きコンビネータ項が対応する。 コンビネータK、Sは以下の公理型に対応する。
AK: A → (B → A),
AS: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)),
そして、関数適用はモーダスポネンスに対応する。
MP: A と A → B から B を推論できる。
コンビネータ項に直和や直積の為の定数を加え、さらに基本型としてbottom ⊥ {\displaystyle \bot } 、複合型として直積型と直和型を加えたものは、ヒルベルト流の直観主義命題論理と対応する。