幾何ブラウン運動
ブラウン運動 Bt を非整数ブラウン運動 BH,t にまで拡張した時の確率微分方程式は
d S t = μ S t d t + σ S t d B H , t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{H,t}}
となる。ここで、dBH,t はハースト指数 H の非整数ブラウン運動の増分。
解は、
S t = S 0 exp  ( μ t − 1 2 σ 2 t 2 H + σ B H , t ) , {\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2H}+\sigma B_{H,t}\right),}
となる。