密度行列
P k = | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | {\displaystyle P_{k}=|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}
と書けるので、上述の定義は前節で述べた定義と実質的に一致する。しかしブラ-ケット記法は文脈により数学的な定式化方法が異なるので、本節では定義を厳密に記述する為、射影作用素Pkを用いて密度行列を定義した。
また上の定義では、 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、...が正規直交系をなしている事を仮定したが、必ずしもこれは必須ではない。しかし正規直交ではない | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、...に対して同様に密度行列を定義したとしても、必ず完全正規直交基底の表現に書き換えられる事が知られている(次節の別定義との同値性から従う)。
| + ⟩ := | R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle |+\rangle :={|R\rangle +|L\rangle \over {\sqrt {2}}}} 、 | − ⟩ := | R ⟩ − | L ⟩ 2 {\displaystyle |-\rangle :={|R\rangle -|L\rangle \over {\sqrt {2}}}}
と定義し、
s ′ = ( ( 1 / 2 , | + ⟩ ) , ( 1 / 2 , | − ⟩ ) ) {\displaystyle s'=((1/2,|+\rangle ),(1/2,|-\rangle ))}
という状態記述を考えると、s'は前述のsと見かけ上全く異なるにもかかわらず、観測によって両者は区別できない。すなわち、どのような物理量Aを持ってきても、sでAを観測したときの観測値の確率分布とs'でAを観測したときの観測値の確率分布は同一となる。
フォン・ノイマンの式は、純粋状態(状態ベクトル)の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式
i ħ ∂ | Ψ k ⟩ ∂ t = H ^ | Ψ k ⟩ , − i ħ ∂ ⟨ Ψ k | ∂ t = ⟨ Ψ k | H ^ , {\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\partial |\Psi _{k}\rangle \over {\partial t}}&={\hat {H}}|\Psi _{k}\rangle ,\\-i\hbar {\partial \langle \Psi _{k}| \over {\partial t}}&=\langle \Psi _{k}|{\hat {H}},\end{aligned}}}
と密度演算子の定義式だけを用いて導出できる。ここでブラ・ベクトル ⟨Ψ| はケット・ベクトル |Ψ⟩ の双対であること ⟨Ψ| = |Ψ⟩ に注意。
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