極化恒等式
0 ≥ ⟨ α x , − y ⟩ − α ⟨ x , − y ⟩ = ⟨ − α x , y ⟩ − α ⟨ − x , y ⟩ = − ( ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&\geq \langle \alpha x,-y\rangle -\alpha \langle x,-y\rangle \\[4pt]&=\langle -\alpha x,y\rangle -\alpha \langle -x,y\rangle \\[4pt]&=-\left(\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \right)\\[4pt]\end{aligned}}}
したがって ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \geq 0} となる。 0より大きいと同時に小さいので、 ⟨ α x , y ⟩ − α ⟨ x , y ⟩ = 0 ⇒ ⟨ α x , y ⟩ = α ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle =0\Rightarrow \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle } が成り立つ。
α < 0 {\displaystyle \alpha <0} の場合も、 β = − α {\displaystyle \beta =-\alpha } ( β > 0 {\displaystyle \beta >0} )と置くことで、以下のように式の成立を確認できる。