コンパクト空間
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合Xは位相空間として「性質が良く」、例えば以下が成立する事が知られている:
Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず一様連続である
Xから R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} への単射fが連続なら、逆写像 f − 1 : f ( X ) → X {\displaystyle f^{-1}~:~f(X)\to X} も連続である。
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
ただし、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。