固有値問題の数値解法
5次以上の一般の(実数あるいは複素数の)行列において、有限回の代数的操作(四則及び冪根を開く)によって固有値を厳密に表わす計算手順は存在しない。そのため固有値問題の数値解法には必ず反復法を用いることになる。そのことは、もしも有限回の代数的操作で厳密な固有値を求める方法があったとすれば、係数が一般の n {\displaystyle n} 次代数方程式:
x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 {\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0}
の解 λ 1 , ⋯ , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}} がその方程式の多項式に対する同伴行列:
( 0 − a n 1 0 ⋯ ⋯ − a n − 1 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ − a 2 1 − a 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&&&-a_{n}\\1&0&\cdots &\cdots &-a_{n-1}\\&\ddots &\ddots &&\vdots \\&&\ddots &\ddots &-a_{2}\\&&&1&-a_{1}\\\end{pmatrix}}}
の固有値として有限回の代数的操作で求められることになるが、これは代数方程式に関するガロア理論のよく知られた結論とは矛盾するので不可能であることを考えればただちにわかる。 (ただしこのことは有限回の代数的操作で固有値が厳密に表せるような行列もあることまでをも否定するものではない。たとえば対角行列や上三角行列の固有値は直ちにわかる。)