データ同化
データ同化の適用においては、確率分布を十分配慮して解析と予測がなされる。解析の段階はひとつのベイズの定理の応用であり、同化の全般にわたる手続きは再帰的なベイズ評価(英語版)の一例である。しかしながら確率的な解析は計算機でできるような形に通常単純化される。確率分布の進行はFokker-Plank方程式に従う一般的な場合には徐々に正確には行われなくなるだろう。しかし最初は果たせてもそれは現実的でない期待である。そうなので確率分布の単純化された表現に基づいた様々な近似の操作が代わりに用いられる。確率分布が正規の場合、Kalmanフィルターにでてくるように与えるものである、それらは平均と分散によって表現できる。しかしながら状態での自由度の大きな状態数によって、それは分散を満足しない恐れがある、そうなので代わりの近似が用いられる。
代わりに平均と幾つかの共分散に帰するのみによって確率分布を多くの方法が表現する。基本的な形では、このような解析の段階は最適な統計的補間法として知られる。解析の時間での直接の状態の変化の代わりの、数理モデルの初期値の調節は、3DVARと4DVARの、変分的方法の本質である。Newton緩和法としても知られる、擦り寄せ法(英:Nudging)もしくは4DDAは、再び単純化された共分散に帰して、離散的な解析サイクル(Kalman-Bucyフィルター(英語版))でよりもむしろ連続的な時間での進行として同じように本質的である。
アンサンブルKalmanフィルターはシミュレーションの総体によって確率分布を表し、共分散は標本分散によって近似される。