自由アーベル群
同じ自由アーベル群のすべての2つの基底は同じ濃度をもつので、基底の濃度はその群の不変量であり、ランク、階数 (rank) と呼ばれる。とくに、自由アーベル群が有限生成であることとランクが有限な数 n であることは同値であり、このとき群は Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} に同型である。
ランクのこの概念を自由アーベル群から自由とは限らないアーベル群に一般化することができる。アーベル群 G のランクは商群 G/F が捩れ群であるような G の自由アーベル部分群 F のランクとして定義される。同値だが、それは自由部分群を生成する G の極大部分集合の濃度である。再び、これは群の不変量である。すなわち部分群の取り方によらない。
| d k {\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}} (つまり、各整数は次の整数を割り切る)が存在して ( d 1 e 1 , ... , d k e k ) {\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})} は G {\displaystyle G} の基底である。さらに、列 d 1 , d 2 , ... , d k {\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}} は F {\displaystyle F} と G {\displaystyle G} のみに依り問題を解く特定の基底 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} に依らない。
定理の存在の部分の構成的証明(英語版)は整数行列のスミス標準形を計算する任意のアルゴリズムによって提供される。一意性は次の事実から従う。任意の r ≤ k に対して、行列のランク r の小行列式の最大公約数は Smith normal form の計算の間に変わらず、計算の最後における積 d 1 ⋯ d r {\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}} である。
F {\displaystyle F} を自由アーベル群とし G ⊂ F {\displaystyle G\subset F} を部分群とする。このとき G {\displaystyle G} は自由アーベル群である。
証明には選択公理が必要である。Zorn の補題(選択公理と同値なたくさんの命題のひとつ)を用いた証明が Serge Lang の Algebra で見つけられる。Solomon Lefschetz と Irving Kaplansky は Zorn の補題の代わりに整列原理(英語版)を使うことでより直感的な証明ができることを主張した。
有限生成自由群の場合、証明はより容易で、より正確な結果が得られる。
G {\displaystyle G} を有限生成自由アーベル群 F {\displaystyle F} の部分群とする。このとき G {\displaystyle G} は自由であり F {\displaystyle F} のある基底 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} と正の整数 d 1 | d 2 | ...
基底 B を持つ自由アーベル群は、B の元全体を生成元の集合とし、B の元の任意の対の交換子の全体を基本関係子の集合とする表示を持つ。
ここに二元 x, y の交換子とは積 xyxy のことであり、この積が単位元に等しいということは xy = yx, つまり x と y は可換であることを意味する(さらに言えば、生成元がどの二つも可換となるならば、生成元の積として得られる元はどの二つも可換になる)から、上記の表示によって生成される群は確かにアーベルであり、しかもこの表示の関係子集合は生成される群がアーベルであることを保証するに必要最小限のものになっている。
生成元集合が有限集合のとき、表示もまた有限型である。この事実と自由アーベル群の任意の部分群が自由アーベルとなる(後述)という事実を合わせれば、任意の有限生成アーベル群が有限表示であることが示せる。というのも、アーベル群 G が集合 B によって有限生成されるならば、G は B 上の自由アーベル群をその適当な自由アーベル部分群(この部分群は G の表示の基本関係子によって生成される部分群である)で割った商であるが、この部分群もそれ自体自由アーベルゆえ有限生成であり、その基底(と B 上の交換子全体を合わせたもの)は G の表示における基本関係子の成す有限集合を与えるからである。
2つの自由アーベル群の直積はそれ自身自由アーベル群であり、2つの群の基底の(集合としての)直和が基底になる。より一般に自由アーベル群の任意有限個の直積は自由アーベル群である。例えば d-次元整数格子は整数の加法群 Z の d 個のコピーの直積に同型である。
自明群 {0} もまた空集合を基底とする自由アーベル群と考えられる。これは Z の 0 個のコピーの直積と解釈できる。
自由アーベル群の無限族に対しては、その直積(各群から一つずつ元をとってきて作られる組全体の成す族に点ごとの加法を入れたもの)は自由アーベル群とは限らない。例えばベーア–スペッカー群(英語版) Z N {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }} ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の可算個のコピーの直積として構成される不可算群)は1937年にラインホルト・ベーア(英語版)によって自由アーベル群でないことが証明された。