エネルギー保存の法則
ルネ・デカルトやゴットフリート・ライプニッツが、それぞれの仕方でこれを主張し、それぞれの支持者によって議論が長年に渡り行われた。
19世紀の中ごろ、ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤー、ジェームズ・プレスコット・ジュール、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツらによって、「力学的・熱・化学・電気・光などのエネルギーは、それぞれの形態に移り変わるが、エネルギーの総和は変化しない(保存される)」と主張された。
20世紀にアルベルト・アインシュタインによって、質量とエネルギーの等価性という考え方が提唱され、別の形での保存が主張されたが、その有効性や有効範囲については、疑問視されることも多かった。
現在ではエネルギー保存の法則は、しばしば「最も基本的な物理法則の一つ」と考えられている。多くの物理学者が、自然はこの法則にしたがっているはずだ、と信じているのである。
という公式が成り立つので、
W ( t 1 , t 2 ) = m ∫ t 1 t 2 d 2 d t 2 r ( t ) ⋅ d r ( t ) d t d t = m ∫ t 1 t 2 { d d t ( d r ( t ) d t ⋅ d r ( t ) d t ) − d r ( t ) d t ⋅ d 2 r ( t ) d t 2 } d t = 1 2 m ∫ t 1 t 2 d d t ( d r ( t ) d t ⋅ d r ( t ) d t ) d t = 1 2 m | d r ( t 2 ) d t | 2 − 1 2 m | d r ( t 1 ) d t | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}dt\\&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right)-{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}(t)}{dt^{2}}}\right\}dt\\&={\frac {1}{2}}m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right)dt\\&={\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}-{\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}\end{aligned}}}