チコノフの定理
Λ を任意の濃度の集合とし、{ Xλ }λ ∈ Λ を任意濃度の個数のコンパクト空間の族とすれば、その直積空間 X = ∏ λ ∈ Λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }} Xλ もコンパクトである。
X の任意の開集合 U が (2)の主張 における x0 を含み、 Y の任意の開集合 V が y0 を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で U ×V を被覆するものは存在しない。
証明 : (2)の主張 が正しくないと仮定すれば、Y の全ての点 y について y を含む Y の開集合 Vy と、 x0 を含み y に依存して決まる X の開集合 Uy が存在して、Uy × Vy は W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のある有限部分集合で被覆される。Y はコンパクトであるから、このような Vy の有限個を選んで Y を被覆できる。別の言い方をすれば、 Y のある有限部分集合 F が存在して、 ⋃ y ∈ F {\displaystyle \bigcup _{y\in F}} Vy = Y とできる。 U = ⋂ y ∈ F {\displaystyle \bigcap _{y\in F}} Uy と置けば、 U は x0 を含む X の開集合であり、 F に含まれる各 y について U ⊆ {\displaystyle \subseteq } Uy であるから、U ×Vy ⊆ Uy × Vy であり、U ×Vy も W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のある有限部分集合で被覆される。