クニーズニク・ザモロドチコフ方程式
と、局所性、結合性関係式
V ( a , z ) V ( b , w ) = V ( b , w ) V ( a , z ) = V ( V ( a , z − w ) b , w ) . {\displaystyle V(a,z)V(b,w)=V(b,w)V(a,z)=V(V(a,z-w)b,w).}
を満す。
二つのこれらの関係式は、解析接続として理解することができる。三つの表現を満す有限なエネルギーのベクトルとの内積は、領域 |z| < |w|, |z| > |w|, |z – w| < |w| の中で、z, w, (z − w) の同一の多項式を定義する。カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数のすべての構造関係式より、セーガル・菅原構成であるこれらの関係式を再現することができる。
同じレベルでの他のすべての整数表現 Hi は、頂点代数の加群となる。この意味は、各々の a に対して、頂点作用素 Vi(a, z) が Hi 上に存在し、
V i ( a , z ) V i ( b , w ) = V i ( b , w ) V i ( a , z ) = V i ( V ( a , z − w ) b , w ) {\displaystyle V_{i}(a,z)V_{i}(b,w)=V_{i}(b,w)V_{i}(a,z)=V_{i}(V(a,z-w)b,w)}
であるので、
( k + g ) ∂ ∂ z i Φ ( v i , z i ) = lim z → z i [ ∑ s X s ( z ) Φ ( X s v i , z i ) − ( z − z i ) − 1 Φ ( ∑ s X s 2 v i , z i ) ] {\displaystyle (k+g){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Phi (v_{i},z_{i})=\lim _{z\to z_{i}}\left[\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right]}
となる。
結果は、前の等式のこの極限を使うことにより得られる。
ここに X は元となる有限次元の単純複素リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元を渡る。
エネルギー 2 の固有ベクトル L−2Ω が存在し、セーガル・菅原構成(Segal–Sugawara construction)
T ( z ) = ∑ L n z − n − 2 . {\displaystyle T(z)=\sum L_{n}z^{-n-2}.}
により、カッツ・ムーディ代数を持つヴィラソロ代数の生成子 Ln を与える。
a がエネルギー α であれば、対応する頂点作用素は、
V ( a , z ) = ∑ V ( a , n ) z − n − α {\displaystyle V(a,z)=\sum V(a,n)z^{-n-\alpha }}
という形となる。
頂点作用素は、
d d z V ( a , z ) = [ L − 1 , V ( a , z ) ] = V ( L − 1 a , z ) [ L 0 , V ( a , z ) ] = ( z − 1 d d z + α ) V ( a , z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}V(a,z)&=\left[L_{-1},V(a,z)\right]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{aligned}}}