超階乗
Γ ( n + 1 ) → 2 → 3 {\displaystyle \Gamma (n+1)\rightarrow 2\rightarrow 3}
最初のほうのいくつかを見れば:
0 $ = 0 ! 0 ! = 1 1 = 1 1 $ = 1 ! 1 ! = 1 1 = 1 2 $ = 2 ! 2 ! = 2 2 = 2 2 3 $ = 3 ! 3 ! = 6 6 = 6 6 6 6 6 6 4 $ = 4 ! 4 ! = 24 24 = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 {\displaystyle {\begin{aligned}0\$&={}^{0!}0!={}^{1}1=1\\1\$&={}^{1!}1!={}^{1}1=1\\2\$&={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}\\3\$&={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}\\4\$&={}^{4!}4!={}^{24}24=24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}
このように定義通りの冪記法では表記上も長大な長さの冪指数の塔が現れることになるが、以下これらの値が n の増大に従って急速に巨大数となっていくことを見よう。