接続 (ファイバー束)
∇が定義する共変微分はライプニッツ則により、
∇ X s = X ( s j ) e j + s i ω i j ( X ) e j {\displaystyle \nabla _{X}s=X(s^{j})e_{j}+s^{i}\omega _{i}{}^{j}(X)e_{j}}
とかけるので、接続形式ωが分かれば接続∇が再現でき、ωと∇は1対1対応する。ここで s = s j e j {\displaystyle s=s^{j}e_{j}} はEの切断である。
実はむしろωから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆され、このアイデアを結実したのが主バンドルの接続概念である。
接続形式ωから接続概念を定義したほうが有利な理由は2つある。第一に、リーマン多様体であれば∇から定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば(第二)構造方程式や(第二)ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではωを使わないと記述できない(接続 (ベクトル束)#曲率を参照)。
第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 ( e 1 ( t ) , ...
Rを ∇ {\displaystyle \nabla } に関するEの曲率テンソル(英: curvature tensor)という。
Koszul接続の曲率形式を以下のように定義する:
定義 ― 記号を上の定義と同様に取る。さらにUをMの開集合とし、 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} をUにおけるフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の切断とする。このとき、曲率テンソルを
R ( X , Y ) e j = Ω ^ i j ( X , Y ) e i {\displaystyle R(X,Y)e_{j}={\hat {\Omega }}^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}}
と成分表示し、 Ω ^ e := ( Ω ^ i j ) {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}:=({\hat {\Omega }}^{i}{}_{j})} とすると、Ωeは一般線形群のリー代数 g l n ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )} に値を取る2-形式とみなせる。 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} をeに関するKoszul接続∇の曲率形式(英: curvature form)という。
L i f t e : T π ( e ) M → H e {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}}
を考える事ができる。 L i f t e ( v ) {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(v)} を v ∈ T π ( e ) M {\displaystyle v\in T_{\pi (e)}M} のeへの水平リフト(英: horizontal lift)といい、vに水平リフトを対応させる写像 L i f t e : T π ( e ) M → H e {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}} をクリストッフェル写像(英: Christoffel map)という事もある。この写像とクリストッフェル記号の関係は後述する。
水平リフトの定義から明らかなように、切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が平行である必要十分条件は
定理 ― 上述の記号の元、Ωを π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} 上の接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} の曲率とし、Ω'を引き戻し π ′ : f ∗ E → N {\displaystyle \pi '~:~f^{*}E\to N} 上の引き戻された接続 { V e ′ } e ∈ E {\displaystyle \{V'_{e}\}_{e\in E}} の曲率とする。このとき以下が成立する:
Ω ′ = f ∗ ( Ω ) {\displaystyle \Omega '=f^{*}(\Omega )}
一方、接続に関する他の諸概念、例えば水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞うとは限らない。実際 f : N → M {\displaystyle f~:~N\to M} がNを一点に潰す写像であれば、TNの像は全て0ベクトルであるので、 f ∗ {\displaystyle f_{*}} で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから f ~ ∗ {\displaystyle {\tilde {f}}_{*}} で写像したのでは結果が異なる。
水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う条件は微分がfull rankになる事で、 f ∗ {\displaystyle f_{*}} が点 x ∈ N {\displaystyle x\in N} においてfull rankであれば、TxNの元を f ∗ {\displaystyle f_{*}} で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから f ~ ∗ {\displaystyle {\tilde {f}}_{*}} で写像したのは結果が等しくなる。
M上のベクトル場Xに対し、Eの各点eに L i f t e ( X e ) {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(X_{e})} を対応させるベクトル場を
L i f t ( X ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (X)}
と書くことにすると、以下が成立する事が知られている:
定理 (共変微分とリフトの関係) ― sをMの開集合上で定義された切断とするとき、
∇ X s = s ∗ ( X ) − L i f t ( X ) {\displaystyle \nabla _{X}s=s_{*}(X)-\mathrm {Lift} (X)}
よって特に次が成立する:
定理 ― s ( t ) {\displaystyle s(t)} を曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上の切断とするとき、
T p P × T a F ⟶ V p × i d T p P × T a F ↓ ↻ ↓ T p P × T G T a F ⟶ V ( p , a ) ′ T p P × T G T a F {\displaystyle {\begin{array}{ccc}T_{p}P\times T_{a}F&{\overset {V_{p}\times \mathrm {id} }{\longrightarrow }}&T_{p}P\times T_{a}F\\\downarrow &\circlearrowright &\downarrow \\T_{p}P\times _{TG}T_{a}F&{\overset {V'_{(p,a)}}{\longrightarrow }}&T_{p}P\times _{TG}T_{a}F\end{array}}}
が可換図式になるように垂直射影 V ( p , a ) ′ {\displaystyle V'_{(p,a)}} を定義することで T ( P × G F ) ≈ T P × T G T F {\displaystyle T(P\times _{G}F)\approx TP\times _{TG}TF} に接続を定義できる。
この接続を { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} により P × G F → M {\displaystyle P\times _{G}F\to M} に誘導された接続という。
本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。
本節ではファイバーバンドル上の(一般の)接続が主バンドルの接続から誘導された接続である条件をクリストッフェル形式を用いて記述する。
定理 ― π P : P → M {\displaystyle \pi _{P}~:~P\to M} をG-主バンドルとし、FをGが左から作用する多様体とし、 π E : E → M {\displaystyle \pi _{E}~:~E\to M} を π P : P → M {\displaystyle \pi _{P}~:~P\to M} に同伴するF-バンドルとする。さらに { V p } p ∈ E {\displaystyle \{V_{p}\}_{p\in E}} を π E : E → M {\displaystyle \pi _{E}~:~E\to M} の(一般の)接続とする。Gのリー代数 A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} に(Gの左からの作用により)AがFに定義する基本ベクトル場 A ̄ ∈ X ( F ) {\displaystyle {\overline {A}}\in {\mathfrak {X}}(F)} を対応させる写像 A ∈ g ↦ A ̄ ∈ X ( F ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\overline {A}}\in {\mathfrak {X}}(F)} が単射であるとする。ここで X ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(F)} はF上のベクトル場の集合である。