差集合
集合 B から集合 A に属する元を間引いて得られる集合を
B ∖ A , B ∖ A {\displaystyle B\setminus A,\quad B\smallsetminus A}
または B − A と表現し、B から A を引いた差、差集合あるいは B における A の(相対)補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、
x ∈ B ∖ A ⟺ x ∈ B ∧ x ∉ A , {\displaystyle x\in B\setminus A\iff x\in B\land x\notin A,}
すなわち
B ∖ A = { x ∣ x ∈ B ∧ x ∉ A } = { x ∈ B ∣ x ∉ A } {\displaystyle {\begin{aligned}B\setminus A&=\{x\mid x\in B\land x\notin A\}\\&=\{x\in B\mid x\notin A\}\end{aligned}}}
が差集合の定義である。これは A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} とは限らない場合にも定義される。後述の(絶対)補集合の言葉で書けば、 B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} とは、B における A ∩ B の補集合である。なお、一般に集合の差は交換法則を満たさない:
A ∖ B ≠ B ∖ A . {\displaystyle A\setminus B\neq B\setminus A.}
これらが等しくなるのは、A = B のとき、またそのときに限る。