重ね板ばね
ここで、I0 は固定端位置での断面二次モーメントで、KT は次のように表される係数である。
K T = 3 ( 1 − β ) 3 [ 1 2 − 2 β + ( 3 2 − ln  β ) ] {\displaystyle K_{T}={\frac {3}{(1-\beta )^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}-2\beta +\left({\frac {3}{2}}-\ln \beta \right)\right]}
β = B 1 B {\displaystyle \beta ={\frac {B_{1}}{B}}}
一般的なマルチリーフスプリングを長手方向に2等分して、等分されたリーフを両側に振り分けて同一平面上に配置すると、近似的な台形が仮想的に構成できる。展開法の仮定に立つと、この仮想的な台形のはりの変形は上記の一体化した台形はりの変形と同じと見なせ、上記のたわみと荷重の関係式をそのまま使うことができる。
両端支持はりでは、両端に荷重を P が加わるときは、中心では荷重 2P が加わるので、重ね板ばねではこれを基準にばね定数を考える。重ね板ばねのリーフの幅を b とし、リーフの総枚数を n とし、全長リーフの枚数を nf とし、リーフの断面二次モーメントを I とする。
断面厚み t は一定とし、断面幅 b を可変とする。
断面幅 b は一定とし、断面厚み t を可変とする。
という2つの手法があり得る。手法1を実現するには、次式で表されるような、はり固定端での幅は B0 でそこから直線的に幅が狭まっていき先端で幅 0 になる三角形のはりにすればよい。
b = B 0 L − x L {\displaystyle b=B_{0}{\frac {L-x}{L}}}
手法2を実現するには、次式で表されるような、はり固定端での厚みは T0 でそこから放物線状に厚みが狭まっていき先端で厚み 0 になる放物線形のはりにすればよい。
t = T 0 L − x L {\displaystyle t=T_{0}{\sqrt {\frac {L-x}{L}}}}
このように、はり上の曲げ応力を一定とする基本な考え方としつつ、上式2つの断面形状を現実的に実現可能な形に修正したのが重ね板ばねである。一定断面の板ばねを重ね板ばねにすることによって、エネルギー貯蔵も高効率化する。ばねに蓄えられる弾性エネルギーを U とし、ばねの体積を V とする。ばねが変位するときに発生する最大応力を σ とし、材質の縦弾性係数を E とする。一定の長方形断面の板ばねだと E は次式のようになる。
U = σ 2 18 E V {\displaystyle U={\frac {\sigma ^{2}}{18E}}V}
これを上記のような理想的な三角形はりにすると、弾性エネルギーは
U = σ 2 6 E V {\displaystyle U={\frac {\sigma ^{2}}{6E}}V}
となり、エネルギー貯蔵効率も向上する。