Q二項定理
左辺を g ( a , z ; q ) {\displaystyle \ g(a,z;q)} として関数方程式を導く。
( 1 − z ) g ( a , z ; q ) = ( 1 − z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − z ) 1 − a z 1 − z ∏ n = 1 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − a z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a q z q n 1 − q z q n = ( 1 − a z ) g ( a , q z ; q ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)g(a,z;q)&=(1-z)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-z){\frac {1-az}{1-z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-az)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aqzq^{n}}{1-qzq^{n}}}\\&=(1-az)g(a,qz;q)\\\end{aligned}}}
これにより、左辺を得る。
f ( a , z ; q ) = 1 − a z 1 − z f ( a , q z ; q ) = lim n → ∞ ( 1 − a z ) n ( 1 − z ) n f ( a , q n z ; q ) = ( 1 − a z ) ∞ ( 1 − z ) ∞ f ( a , 0 ; q ) = ( 1 − a z ) ∞ ( 1 − z ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}f(a,z;q)&={\frac {1-az}{1-z}}f(a,qz;q)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1-az)_{n}}{(1-z)_{n}}}f(a,q^{n}z;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}f(a,0;q)\\&={\frac {(1-az)_{\infty }}{(1-z)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}