サンクトペテルブルクのパラドックス
このパラドックスは、ダニエル・ベルヌーイの提示以降、繰り返し議論の的となっている。
ガブリエル・クラメールがニコラウス・ベルヌーイ(英語版)へ出した手紙の内容が、ダニエル・ベルヌーイの論文に紹介されている。クラメルは、金額の価値はその額面には比例しないと考え、二通りのモデルを提示した。1つ目は、2(約1600万)より大きな金額は皆等しいとするモデルであり、その場合の期待値は
1 2 ⋅ 1 + 1 2 2 ⋅ 2 + ⋯ + 1 2 25 ⋅ 2 24 + 1 2 26 ⋅ 2 24 + 1 2 27 ⋅ 2 24 + ⋯ = 13 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{2^{2}}}\cdot 2+\cdots +{\frac {1}{2^{25}}}\cdot 2^{24}+{\frac {1}{2^{26}}}\cdot 2^{24}+{\frac {1}{2^{27}}}\cdot 2^{24}+\cdots =13}
で 13 となる。もう1つは、金額の価値はその額面の平方根に比例するとするモデルであり、その場合の「価値の」期待値は
1 2 ⋅ 1 + 1 2 2 ⋅ 2 + 1 2 3 ⋅ 2 2 + ⋯ = 1 2 − 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {1}}+{\frac {1}{2^{2}}}\cdot {\sqrt {2}}+{\frac {1}{2^{3}}}\cdot {\sqrt {2^{2}}}+\cdots ={\frac {1}{2-{\sqrt {2}}}}}