バーンズのG関数
z log  Γ ( z ) − log  G ( 1 + z ) = − z log  ( 1 Γ ( z ) ) − log  G ( 1 + z ) = − z [ log  z + γ z + ∑ k = 1 ∞ { log  ( 1 + z k ) − z k } ] − [ z 2 log  2 π − z 2 − z 2 2 − z 2 γ 2 + ∑ k = 1 ∞ { k log  ( 1 + z k ) + z 2 2 k − z } ] {\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\=&-z\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\&\qquad -\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}
テイラーの定理とバーンズのG関数の対数微分により以下の級数展開が分かる。
log  G ( 1 + z ) = z 2 log  2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}
これは 0 < z < 1 {\displaystyle \,0<z<1\,} において有効であり、ここで ζ ( x ) {\displaystyle \,\zeta (x)\,} はリーマンゼータ関数
ζ ( x ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k x {\displaystyle \zeta (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{x}}}}
である。級数の両辺を指数関数に代入すると、