バナッハの不動点定理
任意の x0 ∈ (X, d) に対して列 {xn} を xn = T(xn−1) によって定義する。バナッハによる元々の証明は、いくつかの補題を示すことで完成される:
補題 1 すべての n ∈ N に対して、d(xn+1, xn) ≤ qd(x1, x0) が成り立つ。
証明 帰納法によって証明される。基本となる n=1 の場合は、
d ( x 1 + 1 , x 1 ) = d ( x 2 , x 1 ) = d ( T ( x 1 ) , T ( x 0 ) ) ≤ q d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(T(x_{1}),T(x_{0}))\leq qd(x_{1},x_{0})}
より従う。ある k ∈ N に対して成立すると仮定すると、次が成り立つ。
d ( x ( k + 1 ) + 1 , x k + 1 ) = d ( x k + 2 , x k + 1 ) = d ( T ( x k + 1 ) , T ( x k ) ) ≤ q d ( x k + 1 , x k ) ≤ q q k d ( x 1 , x 0 ) Induction Hypothesis = q k + 1 d ( x 1 , x 0 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{(k+1)+1},x_{k+1})&=d(x_{k+2},x_{k+1})\\&=d(T(x_{k+1}),T(x_{k}))\\&\leq qd(x_{k+1},x_{k})\\&\leq qq^{k}d(x_{1},x_{0})&{\text{Induction Hypothesis}}\\&=q^{k+1}d(x_{1},x_{0}).\end{aligned}}}