指示関数
χ : 2 E → X ( E ) ; A ↦ χ A {\displaystyle \chi \colon 2^{E}\to \mathrm {X} (E);\ A\mapsto \chi _{A}}
なる全単射が存在する。この意味で部分集合 A は指示関数 χA によって特徴付けられるので、χA を部分集合 A の特性関数ともよぶ。また、χA によって部分集合 A が定められるという意味で部分集合 A の 定義関数ともいう。
A の指示関数をあらわすための記号として
χ A ( x ) , Ch A  ( x ) , I A ( x ) , 1 A ( x ) , 1 1 A ( x ) , 1 A ( x ) {\displaystyle \chi _{A}(x),\operatorname {Ch} _{A}(x),I_{A}(x),{\boldsymbol {1}}_{A}(x),1\!\!1_{A}(x),1_{A}(x)}
などがしばしば用いられる。
↑ 確率論においては、累積分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。
↑ "Dummy variable" が束縛変数のことを指す場合もある。
集合 E とその部分集合 A に対して、E の元 x が A に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す二値関数
χ A : E → { 1 , 0 } ; x ↦ χ A ( x ) := { 1 if x ∈ A , 0 if x ∉ A {\displaystyle \chi _{A}\colon E\to \{1,0\};\ x\mapsto \chi _{A}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A,\\0&{\text{ if }}x\notin A\end{cases}}}
を集合 E における部分集合 A の指示関数と呼ぶ。ある集合 E について、その部分集合 A を与えることと、A の指示関数を与えることとは等価である。すなわち、E の冪集合 2 と、E 上の指示関数全体のなす集合 Χ(E) との間に