エルミート作用素
エルミート行列、すなわち行列 A = (aij)ij で、A = A を満たすもの。ただし "*" は転置複素共役をとる対合であり、 A ∗ = ( a ̄ j i ) i j {\displaystyle A^{*}=({\bar {a}}_{ji})_{ij}} は通常のエルミート内積に関する A の共役作用素である。
A : Hermitian ⟺ a i j = a ̄ j i for all i , j . {\displaystyle A{\mbox{: Hermitian}}\iff a_{ij}={\bar {a}}_{ji}{\mbox{ for all }}i,j.}
実直線 R 上の L 空間 L(R, dx) の稠密な部分空間
D = { f ∈ L 2 ( R , d x ) : d f d x ∈ L 2 ( R , d x ) } {\displaystyle D=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,dx):{\frac {df}{dx}}\in L^{2}(\mathbb {R} ,dx)\}}
上で定義された非有界な作用素
f ↦ i d f d x {\displaystyle f\mapsto i{\frac {df}{dx}}}
は自己共役である。