ドゥーブのマルチンゲール不等式
P [ S T ≥ C ] ≤ ‖ X T ‖ 1 C {\displaystyle \mathbf {P} \left[S_{T}\geq C\right]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}}
となる。
p = 1 のとき、次の不等式が成り立つ。
‖ S T ‖ 1 ≤ e e − 1 ( 1 + ‖ X T log +  X T ‖ 1 ) {\displaystyle \|S_{T}\|_{1}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{1}\right)}
ここで "log" は自然対数と定数関数0の小さくないほうをとる関数(max(log(x),0) )を表す。
さらに p > 1 に対しては
‖ X T ‖ p ≤ ‖ S T ‖ p ≤ p p − 1 ‖ X T ‖ p {\displaystyle \|X_{T}\|_{p}\leq \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|X_{T}\|_{p}}
が成り立つ。