遅延ポテンシャル
= μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp  ( i ω ( t − | r − s | c ) ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i\omega \left(t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}\right)){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6c)
= μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp  ( i ω t r e t ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i\omega t_{\mathrm {ret} }){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6d)
本節では、特に本編の式(2-4-18) 即ち、以下の式(S4-3-1)を得るために必要な式変形を解説する。ここでは、 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} での挙動についてのみ扱う。 | R | = 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|=0} での挙動を含めた議論は、後述の式(S5-2-5)にて扱う。
Δ [ − 1 4 π | R | ] = δ ( | R | ) {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{4\pi |{\mathfrak {R}}|}}\right]=\delta (|{\mathfrak {R}}|)} (S4-3-1)
R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} を考える。
式(S2-4-2)(以下の式(S4-3-2))及び、式(S4-1-1d) (以下の式(S4-3-3))を考え合わせると、
Δ = ∇ ⋅ ∇ = div grad {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla ={\text{div}}\,{\text{grad}}} (S4-3-2)
= − i 2 k 2 x 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 + i k exp  ( i k r ) 4 π r 2 + − i k x 2 exp  ( i k r ) − 4 π r 3 + 2 i k x 2 exp  ( i k r ) − 4 π r 4 + exp  ( i k r ) ∂ 2 ∂ x 2 [ − 1 4 π r ] {\displaystyle ={\frac {-{i}^{2}{k}^{2}{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {-ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{3}}}+{\frac {2ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{4}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]}
1 2 3 4 5 藤本 淳夫 (著) ベクトル解析 (現代数学レクチャーズ C- 1) 培風館 (1979/01)
1 2 北川 盈雄(著);「アンペールの法則―電流と磁場の計算方法を学ぼう (物理学演習One Point) 」共立出版 (1997/09)
↑ 保坂 淳 (著);「ベクトル解析 ―電磁気学を題材にして― (フロー式 物理演習シリーズ 1) 」共立出版 (2013/1/24)
1 2 3 4 阿部 龍蔵『新・演習電磁気学 (新・演習物理学ライブラリ (3))』サイエンス社、2002年10月、136頁。 (7章例題13)
1 2 橋元 淳一郎; 「単位が取れる橋元流物理数学ノート (単位が取れるシリーズ)」 講談社 (2006/5/11) (特にP157付近)
1 2 3 戸田 盛和『ベクトル解析 (理工系の数学入門コース 3)』岩波書店、1989年3月8日。
1 2 3 戸田 盛和; 渡辺 慎介『ベクトル解析演習』岩波書店、1999年3月26日。
1 2 3 米子高専音響振動工学の講義ノート、(教科書 鈴木昭次、西村正治、雉本信哉、御法川学「機械音響工学」コロナ社 参考書 安田仁彦「機械音響学」コロナ社 他 )
↑ 共変微分による極座標系ラプラシアンの導出 (物理のかぎしっぽ)
↑ 守末 利弥;「数値電磁気学のためのゲージ理論」森北出版 (1996/04)
↑ 栖原 敏明;「量子電子工学」オーム社 (1994/11)
ラプラシアン
Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta ={\nabla }^{2}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}}} (S2-4-1)
は、スカラー作用素なので、スカラー場に作用できるが、 ベクトル場の各成分関数に対して作用すると考えることにより、 ベクトル場にも作用できる。
ラプラシアンが、スカラー場fに作用する際には、以下の等式が成立する
Δ [ f ] = div  [ grad  [ f ] ] {\displaystyle \Delta [f]=\operatorname {div} [\operatorname {grad} [f]]} (S2-4-2)
ラプラシアンが、ベクトル場Xに作用する際には、以下の等式が成立する。
Δ [ X ] = grad  [ div  [ X ] ] − rot  [ rot  [ X ] ] {\displaystyle \Delta [X]=\operatorname {grad} [\operatorname {div} [X]]-\operatorname {rot} [\operatorname {rot} [X]]} (S2-4-3)
上式の詳細な導出過程は、例えば、 を参照のこと。
補題 6 式(2-5-1)、式(2-5-2)の A a d v {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} }} , A r e t {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }} は、 それぞれ、以下を充す。
A a d v ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t a d v ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {adv} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-1)
A r e t ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-2)
微分作用素の座標変換の使用例は例えば、 ,等の文献を参照のこと。