半単純リー環のルート系
{\displaystyle {\begin{aligned}[][H_{\lambda },H_{\mu }]&=0{\text{ for all }}\lambda ,\mu \in \Delta ,\\\left[H_{\lambda },X_{\mu }\right]&=(\lambda ,\mu )X_{\mu },\\\left[H_{\lambda },Y_{\mu }\right]&=-(\lambda ,\mu )Y_{\mu },\\\left[X_{\mu },Y_{\lambda }\right]&=\delta _{\mu \lambda }H_{\mu },\\\mathrm {ad} _{X_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}X_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu ,\\\mathrm {ad} _{Y_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}Y_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu .\end{aligned}}}
(ここで (λ, μ) で表されている係数はカルタン行列の係数で置き換えられなけるべきである.)生成されるリー環は半単純でありそのルート系は与えられた R に同型であることが分かる.
g を複素半単純リー環とする.さらに h を g のカルタン部分環とする.このとき h は g に随伴表現において同時対角化可能な線型写像として作用する.h* の元 λ に対して,部分空間 gλ ⊂ g を
g λ := { X ∈ g : [ H , X ] = λ ( H ) X for all H ∈ h } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\lambda (H)X{\text{ for all }}H\in {\mathfrak {h}}\}}
で定義する.h* の零でない λ がルートであるとは,部分空間 gλ が自明でないことをいう.このとき gλ は λ のルート空間と呼ばれる.カルタン部分環の定義により g0 = h が保証される.各ルート空間 gλ は1次元であることを示すことができる.R をすべてのルートの集合とする.h の元は同時対角化可能であるから,次が成り立つ:
g = h ⊕ ⨁ λ ∈ R g λ . {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in R}{\mathfrak {g}}_{\lambda }.}
カルタン部分環 h は g 上のキリング形式から内積を引き継ぐ.これは h* 上の内積を誘導する.この内積について R は被約抽象ルート系であることを示すことができる.