ラックス・ペア
上記の性質は逆散乱法のための基礎となる。この方法においては、時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} で u ( t 0 , x ) {\displaystyle u(t_{0},x)} は初期条件として与えられており、 u ( t 0 , x ) {\displaystyle u(t_{0},x)} は | x | → ∞ {\displaystyle |x|\to \infty } で | u ( t 0 , x ) | → 0 {\displaystyle |u(t_{0},x)|\to 0} を満たすものと仮定する (以降、 | u ( t 0 , x ) | {\displaystyle |u(t_{0},x)|} が十分小さい x についての領域を散乱領域と呼ぶことにする)。
この方法は、次のような概略にて進められる:
となって、確かに L(t) の固有値 λ {\displaystyle \lambda } は時刻と共に変動しないことが分かる。
以上をまとめると、あるラックス・ペアにおいて、時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} で L ( t 0 ) {\displaystyle L(t_{0})} 、 A ( t 0 ) {\displaystyle A(t_{0})} についての初期条件が与えられ、その時刻における固有値問題 L ( t 0 ) ψ ( t 0 ) = λ ( t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle L(t_{0})\psi (t_{0})=\lambda (t_{0})\psi (t_{0})} の解が得られれば、任意の時刻 t における固有値問題 L ( t ) ψ ( t ) = λ ( t ) ψ ( t ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=\lambda (t)\psi (t)} の解は、次の式で与えられるということである。
λ ( t ) = λ ( t 0 ) {\displaystyle \lambda (t)=\lambda (t_{0})\ } (固有値またはスペクトルは不変)
ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle \psi (t)=U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ }