ツェルメロ＝フレンケル集合論
∃ X [ ∃ e ( ∀ z ¬ ( z ∈ e ) ) ∧ e ∈ X ∧ ∀ y ( y ∈ X ⇒ S ( y ) ∈ X ) ] . {\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e))\land e\in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}
平たく言えば、無限に多くの元を持つ集合 X が存在する。 (ただし、同じ元が複数あると、元の列が集合内の有限な長さでループするため、元がすべて異なることを確認する必要がある。正則性公理によってすべての元が異なることが保証される。 )無限公理を満たす最小の集合 X は、自然数の集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } とみなすこともできるフォン・ノイマン順序数 ω である。
次に分出公理を使用して、 y {\displaystyle y} の部分集合であって x {\displaystyle x} のすべての部分集合のみを含む集合としてべき集合 P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} を定義する:
P ( x ) = { z ∈ y : z ⊆ x } . {\displaystyle P(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}
公理1〜8でZFを定義できる。これらの公理の異なる形もしばしば見かけるが、いくつかはJech (2003)に列挙されている。一部のZF公理系には、空集合の存在を主張する公理が含まれている。対、和集合、置換、およびべき集合の公理は、存在を主張する集合 x {\displaystyle x} の元(対の集合、和集合、置換集合、べき集合)を集合 x {\displaystyle x} が含むという形で表現される。
集合論において、ツェルメロ=フレンケル集合論 (英: Zermelo-Fraenkel set theory) とは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理系である。名前は数学者のツェルメロとフレンケルにちなむ。歴史的に議論を呼んだ選択公理 (AC) を含むツェルメロ=フレンケル集合論は公理的集合論の標準形式であり、今日では最も一般的な数学の基礎となっている。選択公理を含むツェルメロ=フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択 (Choice) 公理を 、 ZFは選択公理を除いたツェルメロ (Zermelo)=フレンケル (Fraenkel) 集合論の公理を表す。
ほかには集合の元の属性を説明する公理もある。公理の目標は、フォン・ノイマン宇宙(累積階層とも呼ばれる)におけるすべての集合の集まりに関する命題とみなしたときに、各公理が真であることである。厳密には、ZFCは一階述語論理における1ソート理論である。シグネチャとして、等号と、単一の原始的な二項関係である元の帰属関係がある(通常 ∈ {\displaystyle \in } で表される)。式 a ∈ b {\displaystyle a\in b} は集合 a {\displaystyle a} が集合 b {\displaystyle b} の元である(「 a {\displaystyle a} が b {\displaystyle b} に含まれる」と表現することもある)ことを意味する。
ツェルメロ=フレンケル集合論の超数学は広く研究されてきた。この分野で確立された画期的な結果は、選択公理とZF公理の論理的独立性およびZFCと連続体仮説の独立性が示されたことである。ゲーデルの第二不完全性定理が示すように、ZFCなどの理論の無矛盾性はその理論自体の中で証明することはできない。