次元論 (代数学)
すなわち、後者のイデアルは m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} -準素である。したがって、 m + n ≥ dim  B {\displaystyle m+n\geq \dim B} である。等号については going-down property から直ちに従う。
R がネーター局所環であれば、
dim  R [ x ] = dim  R + 1 {\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1} .
証明: p 0 ⊊ p 1 ⊊ ⋯ ⊊ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}} が R の素イデアルの鎖であれば、 p i R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]} は R [ x ] {\displaystyle R[x]} の素イデアルの鎖であるが、 p n R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]} は極大イデアルではない。したがって、 dim  R + 1 ≤ dim  R [ x ] {\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]} である。
R の深さが次元に等しいとき、R はコーエン・マコーレー環と呼ばれる。
命題 ― depth  M = sup { n | Ext R i  ( k , M ) = 0 , i < n . } {\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n|\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n.\}}
Auslander–Buchsbaum formula は深さと射影次元を関係づける。
定理 ― M をネーター局所環 R 上有限加群であるとする。 pd R  M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty } であれば、
pd R  M + depth  M = depth  R . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} R.}
Tor 1 R  ( M , R 1 ) → P 1 ⊗ R 1 → P 0 ⊗ R 1 → M ⊗ R 1 → 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0} .
しかし、 0 → R → f R → R 1 → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {f}{\to }}R\to R_{1}\to 0} を M でテンソルすることで、最初の項が消えることがわかる。それゆえ、 pd R  ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})} は高々 1 である。
セールの定理 ― R が正則 ⇔ g l . d i m  R < ∞ ⇔ g l . d i m  R = dim  R . {\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.}
証明: R が正則であれば、 k = R / ( f 1 , ... , f n ) {\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})} と書ける、ただし f i {\displaystyle f_{i}} はパラメータの正則系である。