選点法
c 1 a 11 a 12 ⋯ a 1 n c 2 a 11 a 12 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n a 11 a 12 ⋯ a n n b 1 b 2 ⋯ b n {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\c_{2}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{nn}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{array}}}
この中で、ck は選ばれた点に対応し、bk と akj は以下の公式で与えられる。
b k = ∫ 0 1 q k ( τ ) q k ( c k ) d τ {\displaystyle b_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {q_{k}(\tau )}{q_{k}(c_{k})}}d\tau }
a k j = ∫ 0 c k q j ( τ ) q j ( c j ) d τ {\displaystyle a_{kj}=\int _{0}^{c_{k}}{\frac {q_{j}(\tau )}{q_{j}(c_{j})}}d\tau }
ここで、 q j ( τ ) = ( τ − c j ) − 1 ∏ i = 1 n ( τ − c i ) {\displaystyle q_{j}(\tau )=(\tau -c_{j})^{-1}\prod _{i=1}^{n}(\tau -c_{i})} である。
しかし、陰的ルンゲ=クッタ法がすべて選点法であるわけではない。
{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}\left(f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0}))\right),\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}}
であることがわかる。したがって対応する選点法は次の公式で(陰的に)与えられる。
y 1 = p ( t 0 + h ) = y 0 + 1 2 h ( f ( t 0 + h , y 1 ) + f ( t 0 , y 0 ) ) , {\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0})\right),\,}
ここで、y1 = p(t0 + h) は t = t0 + h での近似解である。
この方法は微分方程式における台形公式として知られている。確かに、方程式を以下のように書き換えって(数値積分における)台形公式で近似することから上記の公式を導出することも可能である。
y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t f ( τ , y ( τ ) ) d τ , {\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,}