乗数・加速度モデル
このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。 複素根が存在するとして、これらの複素根を
α + i β , α − i β {\displaystyle \alpha +i\beta ,\alpha -i\beta }
と置く。さらに、特性根の絶対値を ρ = α 2 + β 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}} とすると、
tan  θ = β α {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}}
α = ρ cos  θ {\displaystyle \alpha =\rho \cos \theta }
β = ρ sin  θ {\displaystyle \beta =\rho \sin \theta }
となる。これらの式から、
λ 1 = ρ ( cos  θ + sin  θ ) {\displaystyle \lambda _{1}=\rho (\cos \theta +\sin \theta )}
λ 2 = ρ ( cos  θ − sin  θ ) {\displaystyle \lambda _{2}=\rho (\cos \theta -\sin \theta )}
同次部分の一般解を求めると、
a 1 λ 1 t + a 2 λ 2 t = 2 k ρ t cos  ( t θ + ε ) {\displaystyle a_{1}\lambda _{1}^{t}+a_{2}\lambda _{2}^{t}=2k\rho ^{t}\cos(t\theta +\varepsilon )}
(6)式の特性根の式から、
α = c + v 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{2}}}
β = 4 v − ( c + v ) 2 2 {\displaystyle \beta ={\frac {\sqrt {4v-(c+v)^{2}}}{2}}}
なので、
ρ = v {\displaystyle \rho ={\sqrt {v}}}
となる。このとき、 v < 1 {\displaystyle v<1} ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、 v > 1 {\displaystyle v>1} ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する。
このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した。