算術級数定理
となって発散する。従って、 r < 2 {\displaystyle r<2} である。 | 2 − s 0 | = r {\displaystyle |2-s_{0}|=r} となる特異点 s 0 {\displaystyle s_{0}} があり、
log  λ ( s 0 ) = ∑ k ≥ 2 c k k s 0 {\displaystyle \log \lambda (s_{0})=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s_{0}}}}}
は発散する。仮りに I s 0 ≠ 0 {\displaystyle \Im {s_{0}}\neq 0} であるとすれば、
| ∑ k ≥ 2 c k k s 0 | ≤ | ∑ k ≥ 2 c k k R s 0 | {\displaystyle \left|\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s_{0}}}}\right|\leq \left|\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{\Re {s_{0}}}}}\right|}