時間依存ハートリー＝フォック方程式
スレイター行列式は、多体系の状態を既知の 1 粒子波動関数の情報から構築する、最も単純な方法の 1 つであるが、そのようにして作られた多体波動関数が本当に、可能な多体系の状態全てを含んでいるかの保証は全くなく(それどころか疑わしい)、そのためにそのスレイター行列式と直交しない状態を求める必要がある。そのための1つの定理がデイヴィッド・J・サウレスによるサウレスの定理(Thouless Theorem)である。
| Φ 0 ⟩ {\displaystyle |\Phi _{0}\rangle } をハートレー・フォック型波動関数、すなわちスレイター行列式とする。
| Φ 0 ⟩ = ∏ i = 1 A c i † | 0 ⟩ {\displaystyle |\Phi _{0}\rangle =\prod _{i=1}^{A}c_{i}^{\dagger }|0\rangle } : c i † {\displaystyle c_{i}^{\dagger }} は真空 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に対するフェルミオン生成演算子。A は粒子数。
∂ ∂ g μ i ⟨ Ψ ( t ) | i ħ ∂ ∂ t − H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{\mu i}}}\left\langle \Psi (t)\left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}\right|\Psi (t)\right\rangle }
ここで
Ψ ( t ) = exp  ( − i E 0 t / ħ ) | Φ ⟩ {\displaystyle \Psi (t)=\exp(-iE_{0}t/\hbar )|\Phi \rangle } : E 0 = ⟨ Φ 0 | H ^ | Φ 0 ⟩ {\displaystyle E_{0}=\langle \Phi _{0}|{\hat {H}}|\Phi _{0}\rangle }