単射
代数系つまり代数的構造をもつ二つの集合 A, B の間の準同型 f の像 f(A) は B の部分系となる。もし、f: A → B が単射ならば、終域の制限によって得られる写像 f: A → f(A) は全単射となるから、その逆写像が定まる。これがやはり準同型であるなら、これは A が B の部分系と同型となることを意味する。この同型を同一視することによって A がもともと B の部分系であるかのように扱うとき、埋め込み (embedding) と呼ぶ。群・環などの準同型は全単射ならば同型であるから、単射準同型を与えることと埋め込みを考えることとは等価である。もっと一般の数学的構造とそれらの間の準同型・射を考えるときには逆写像の準同型性を気にする必要がある。例えば位相空間の間の全単射連続写像は同相写像とは限らない(逆写像が連続とは限らない)。
A から B への埋め込みは一般には一つに定まるとは限らない。例えば、A がはじめから B の部分系であるとき、包含写像はひとつの埋め込みを与えるが、それ以外の写像によって A が B に埋め込まれることもある。
集合 A を定義域、集合 B を値域とする写像 f: A → B が条件
( ∀ a 1 , a 2 ∈ A ) [ a 1 ≠ a 2 ⟹ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) ] {\displaystyle (\forall a_{1},a_{2}\in A)\;{\big [}a_{1}\neq a_{2}\implies f(a_{1})\neq f(a_{2}){\big ]}}
を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は(写像として)単射である (injective) という。対偶をとれば、f が単射である条件は
( ∀ a 1 , a 2 ∈ A ) [ f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⟹ a 1 = a 2 ] {\displaystyle (\forall a_{1},a_{2}\in A)\;{\big [}f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}{\big ]}}
とも表せる。与えられた写像が単射であることを示したり,単射かどうかを議論するときは後者の表現の方が使いやすい.
前者の表現は「違うものは違うところへ写る」,後者の表現は「同じところにくるものは最初から同じ」を意味しており,言っていることはどちらも同じである。