アスコリ＝アルツェラの定理
1 < p ≤ ∞ に対し、[0, 1] 上で p-可積分であるすべての函数 g に対し、[0, 1] 上で定義される次の函数 G を関連付けることが出来る。
G ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t . {\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}
F を、空間 L([0, 1]) の単位球における函数 g に対応する函数 G の集合とする。q を、p に対して 1/p + 1/q = 1 を満たすもので定義されるヘルダー共役とすると、ヘルダーの不等式より、F に含まれるすべての函数は α = 1/q と定数 M = 1 に対してヘルダー条件を満たすことが分かる。
F は C([0, 1]) においてコンパクトである。これより、対応 g → G がバナッハ空間 L([0, 1]) と C([0, 1]) の間のコンパクト線型作用素 T を定義する。C([0, 1]) から L([0, 1]) への単射を構成することで、T は L([0, 1]) からそれ自身へのコンパクト作用素であることが分かる。p = 2 の場合は、ソボレフ空間 H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )} から L(Ω) への単射は、R 内の有界開集合 Ω に対してコンパクトであるという事実を示す簡単な一例である。