縦断勾配
鉄道における勾配は、機関車が自重を含めて牽引することができる重量を制限する。1パーセント(100分の1)の勾配では、平坦路線に比べて牽引できる重量は半分以下となる。20 km/h程度で走行する非常に重い列車では、その速度では平坦区間に比べて20倍もの牽引力を必要とすることがある。初期の機関車の牽引力およびそのブレーキ力は非常に弱かったため、初期のイギリスの鉄道では0.05パーセント(2000分の1)程度の非常に緩い勾配で建設された。急勾配は短区間に集中して設けられ、補助機関車を投入したりケーブル牽引を導入したりするのに便利なようになっていた。こうしたケーブル牽引は、ユーストン駅から1.2 kmほどのカムデンタウンまでの区間などで使用されていた。非常に急な勾配ではこうしたケーブル牽引や、ラック式鉄道が必要とされた。
勾配は角度、マイル当たりのフィート、チェーンあたりのフィート、分数表記、パーセント、パーミル、キロメートル当たりのメートルといった表現方法であらわされる。測量者は切りの良い数値を好むので、勾配の表現方法が実際に選択される勾配に影響を与えることがある。
粘着式鉄道として急勾配なのは以下のような区間がある。
13.5 %(7.4分の1) - ポルトガル・リスボン、リスボン市電
11.6 %(8.62分の1) - オーストリア・リンツ、ペストリンク鉄道
11.0 %(9.09分の1) - アメリカ合衆国、キャス・シーニック鉄道
α = arctan  Δ h d . {\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {\Delta h}{d}}.}
正接の値が百分率表示の場合の傾斜角は α = arctan  % slope 100 , {\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {\%\,{\text{slope}}}{100}},}
正接が比率 (1 : n) で与えられている場合は α = arctan  1 n . {\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {1}{n}}.}