茎 (数学)
層は開集合上で定義されるが,基礎位相空間 X は点からなる.X の固定された一点 x における層の振る舞いを分離しようとすることは合理的である.概念的に言えば,点の小さい近傍を見ることでこれをする.x の十分小さい近傍を見れば,その小さい近傍上での層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の振る舞いはその点での F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の振る舞いと同じはずである.もちろん,1つの近傍だけでは十分小さくはなく,ある種の極限を取らなければならない.
正確な定義は以下のようである: F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の x における茎は,通常 F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} と書かれ,
F x := lim → U ∋ x  F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)}
である.ここで直極限は x を含むすべての開集合で添え字付けられ,順序関係は逆包含から誘導される( U ⊃ V {\displaystyle U\supset V} のとき U < V).直極限の定義(あるいは普遍性)により,茎の元は元 x U ∈ F ( U ) {\displaystyle x_{U}\in {\mathcal {F}}(U)} の同値類である,ただし2つのそのような切断 xU と xV は2つの切断の制限が x のある近傍上で一致するときに同値であると考える.