積分判定法
− d d x 1 ε ( ln k  ( x ) ) ε = 1 ( ln k  ( x ) ) 1 + ε d d x ln k  ( x ) = ⋯ = 1 x ln  ( x ) ⋯ ln k − 1  ( x ) ( ln k  ( x ) ) 1 + ε {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}}
だから
∫ N k ∞ d x x ln  ( x ) ⋯ ln k − 1  ( x ) ( ln k  ( x ) ) 1 + ε = − 1 ε ( ln k  ( x ) ) ε | N k ∞ < ∞ {\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }
となり、(1) から級数 (5) は上に有界であることが分かる。