実射影直線
群 PGL(2, R) は実射影直線上三重推移的、つまり相異なる点の三つ組が二つ与えられたとき、必ず一方の三つ組を他方の三つ組に写す自己同型写像がただ一つ存在する。任意の一点の(特に「無限遠点」の)一点固定群は、直線のアフィン群になる。
PGL(2, R) は、ローレンツ群の部分群である擬直交群 SOo(1,2) に同型であるから、実射影直線上の自己同型はローレンツ変換として表すことができる。例えばローレンツブースト
f ( x ) = x + v / c x v / c + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x+v/c}{xv/c+1}}}
f(1) = 1, f(–1) = –1, f(0) = v/c なる性質を持つ
Z ⊂ R ⊂ C であるから、射影変換群 PGL(2, R) はモジュラー群 PGL(2, Z) とメビウス群 PGL(2, C) の中間にある。