直交群
2次元空間で、O(2) は原点周りのすべての回転および、原点を通る直線によるすべての鏡映変換からなる群である。一方、SO(2) は原点周りのすべての回転からなる群である。
これらの群は密接に関連していて、SO(2) は O(2) の部分群である。なぜなら、二つの鏡映変換の合成は回転変換を与えるからである。
一般の次元で考えると、偶数回の鏡映変換は回転変換を与え、回転の後鏡映する操作、およびその逆は、一つの鏡映変換を与える。よって、回転操作は O(2) の部分空間となるが、鏡映変換のみの部分集合は部分群をなさないことがわかる。
「原点を中心とした鏡映変換」は、それぞれの座標軸に対して、一回ずつ鏡映することによって生成できる。この「原点中心の鏡映」は偶数次元においては通常の意味での鏡映ではなく、むしろ回転である。2次元では、2回適用すると恒等変換になるような唯一の非自明な回転である。一般次元において、この変換は逆変換が自分自身と一致する。4次元においてこれはisoclinic(等斜同型)であり、この分類が一般次元に拡張されるとしたら、すべての偶数次元においてそれは isoclinic であるといえる。
実数体 R 上の直交群 O(n, R) および特殊直交群 SO(n, R) は特に誤解の恐れのない場合、O(n) や SO(n) と書かれる。これらは n(n − 1)/2 次元の実コンパクトリー群である。O(n, R) は二つの連結成分をもち、SO(n, R) が単位元成分、すなわち単位行列を含む連結成分である。
低次元の実(特殊)直交群は良く知られた位相空間と同相である。
O(1) = S, 2点からなる離散空間
SO(1) = {1}
SO(2) は S
SO(3) は RP
SO(4) は SU(2) × SU(2) = S × S に二重被覆される