ワイル群
ワイル群は、文脈(リー環、リー群、対称空間、など)に応じて、様々な方法で定義でき、特定の実現は選択――リー環ではカルタン部分環の、リー群では極大トーラスの選択――に依存する。リー群のワイル群と、対応するリー環のワイル群は、同型であり、実際極大トーラスの選択がカルタン部分環の選択を与える。
リー環に対して、ワイル群はルートの鏡映によって生成される鏡映群である。ルート系の特定の実現はカルタン部分環(極大可換)の選択に依っている。
ある条件を満たすリー群 G に対して、トーラス T < G(極大とは限らない)が与えられると、そのトーラスに関するワイル群は、トーラスの正規化群 N = N(T) = NG(T) の、トーラスの中心化群 Z = Z(T) = ZG(T) による商として定義される。
W ( T , G ) := N ( T ) / Z ( T ) . {\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }
群 W は有限である――Z は N において指数有限である。