半連続
解析学における半連続性(英: semi-continuity)とは、拡大実数値関数(値として ±∞ を取り得る)に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。概略的に言うと、拡大実数値関数 f が点 x0 で上(下)半連続であるとは、x0 の十分近くで函数の値が f(x0) に近いかもしくは f(x0) よりも小さい(大きい)ことを言う。
x < 0 において f(x) = –1、x ≥ 0 において f(x) = 1 と区分的に定義された関数fを考える。この関数はx0 = 0において上半連続であるが、下半連続ではない。
閉集合の指示関数が上半連続である一方、開集合の指示関数は下半連続である。与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数 f ( x ) := ⌊ x ⌋ {\displaystyle f(x):=\lfloor x\rfloor } は、全ての点において上半連続である。同様に、天井関数 f ( x ) := ⌈ x ⌉ {\displaystyle f(x):=\lceil x\rceil } は下半連続である。
関数は、左連続と右連続のいずれでもなくても、上または下半連続でありうる。例えば、関数
f ( x ) := { 1 , x < 1 , 2 , x = 1 , 1 / 2 , x > 1 {\displaystyle f(x):={\begin{cases}1,&x<1,\\2,&x=1,\\1/2,&x>1\end{cases}}}
はx = 1では左連続でも右連続でもないが、上半連続である。左からの極限は1、右からの極限は1/2であり、いずれも関数値の2とは異っている。同様に、関数
f ( x ) := { sin  ( 1 / x ) , x ≠ 0 , 1 , x = 0 {\displaystyle f(x):={\begin{cases}\sin(1/x),&x\neq 0,\\1,&x=0\end{cases}}}
はx = 0において、左右からの極限値は存在すらしていないが、上半連続である。