多元数
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実数体、複素数体、四元数体を除くすべてのクリフォード代数 Clp,q(R) は、平方が +1 となる非実元を持ち、従って多元体とならない。複素数を拡張する別のアプローチとしてケーリー=ディクソン構成をとることが挙げられる。これにより作り出される数体系は、n = 2, 3, 4, ... に対して 2次元で、その基底 {1, i1, ..., i2−1} の非実基底元 im はすべて互いに反交換し、かつ im = −1 を満足する(虚数単位)。こうして得られる多元環は、八次元以上 (n ≥ 3) で非結合的となり、十六次元以上 (n ≥ 4) で零因子を含む。
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。