P進付値
p-進付値 vp が与えられたとき、
| x | p = p − v p ( x ) {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)}}
と定めて、これを x の p-進絶対値 と呼ぶ。p-進絶対値は乗法賦値であり、任意の二つの有理数(あるいは p-進数) x, y に対し、二変数の関数 dp(x, y) を
d p ( x , y ) = | x − y | p {\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}
と定義すると、dp(x, y) は有理数体 Q(あるいは p-進数体 Qp)の上に 距離位相を与える。これを p-進距離とよぶ。p-進距離は超距離(非アルキメデス距離)である。
数列 {p} は(通常の距離 d∞(x, y) = | x - y | に関しては無限大に発散するが)、p-進距離に関して 0 に収束する。つまり、p-進距離の入った空間では p の高い冪を含むほどに小さいと認識されるのである。また、
∑ n = 0 ∞ p n = 1 1 − p {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}={\frac {1}{1-p}}}
が成立する。