交代群
交代群 A4 は、ラグランジュの定理の逆が一般には成立しないことを示す最小の群である。すなわち、有限群 G と、 |G| の約数 d が存在するときでも、G には位数 d の部分群が必ず存在するとは限らない。G = A4 とすると、位数は12になるが、位数6の部分群は存在しない。A4 の中で、3個だけの元の交代(3個だけの元の巡回置換)からなる元の集合は部分群をなすが、それに任意の元を付け加えて生成する群は A4 全体になる。