核 (群論)
で定義すると、π2i−1 = p′ および π2i = p と取ることにより昇 p-列が形成される。降 p-列も存在する。有限群が p-冪零 (p-nilpotent) であるとは、それが自身の p′,p-核に等しいことをいう。また、有限群が p-可解 (p-soluble) であるとは、それが自身の昇 p-列のいずれかの項と一致することをいう。なお、群 G の昇 p-列の長さを、G の p-長さ (p-length) と呼ぶ。さらに、素数 p に対して、有限群 G が p-束縛 (p-constrained) であるとは、
C G ( O p ′ , p ( G ) / O p ′ ( G ) ) ⊆ O p ′ , p ( G ) {\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}
が成り立つことを言う。
任意の冪零群は p-冪零であり、任意の p-冪零群は p-可解である。任意の可解群は p-可解であり、任意の p-可解群は p-束縛である。群が p-冪零であるための必要十分条件は、それが正規 p-成分 (normal p-complement) でちょうど p′-核に一致するものを持つことである。
本節で G は有限群とするが、いくつかの点においては局所有限群や副有限群に一般化される。