磁気単極子
この節ではアインシュタインの縮約記法を断りなく用いる。またミンコフスキー計量をdiag (−1, +1, +1, +1)としている。
まず粒子の運動と電磁場をローレンツ変換に対して不変なテンソルで次のように表す。
電磁場テンソルとそのホッジ双対は交代記号 ε (エディントンのイプシロン) を用いて次のように結ばれる。
F ~ α β = 1 2 ε α β μ ν F μ ν , F ~ α β = − 1 2 ε α β μ ν F μ ν {\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }F_{\mu \nu },\;{\tilde {F}}_{\alpha \beta }=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu }F^{\mu \nu }}
すると電磁場の方程式は次のように表される。
電磁ポテンシャルを用いた表現では次のようになる。