P≠NP予想
更に、P≠NPだと仮定して、何らかのNP完全問題の入力nビットについての既知の最良の計算量がO(k・poly(n,))であるようなときに、せめて基底のkを改善しよう(例えばk=2を1.9や1.8等に)という試みでさえ、ある程度進展した後に行き詰ることが経験的に知られている。これらの観察がP≠NP予想の重要な根拠の一つとなっている。
一方、P=NPと予想する研究者も皆無ではない。ドナルド・クヌースはその一人であり、次のような論拠を挙げている。
P≠NPを証明する試みはことごとく失敗している(後述の#歴史参照)
NP問題をnステップで解くアルゴリズムがあるとする。このMは例えば10↑↑↑↑3のような有限ながらも巨大な値を取れる。するとnビットの入力についてn個の論理演算や加算演算、シフト演算などを実施する途轍もない種類のアルゴリズムが考えられる訳で、これが全て失敗するとは信じ難い
但し彼は同時に次のようにも述べている。
彼は存在が証明されているが実装は現実的に不可能と考えられているアルゴリズムを例として複数列挙している。
P≠NP予想の面白さと難しさは、複雑性クラスを分離するために利用・考案されてきた様々な証明手法が、証明手法自体の本質的な限界によりP≠NPを証明できないという、不可能性の証明がこれまで幾度も得られてきた点にある。つまり、時代が進めば進むほど証明の可能性が原理的に狭められてきた。だからと言ってP=NPの方が確からしいと傾いた訳でもなく、新たな証明手法が必要だと考えられてきた点がまた特徴的である。以下にあらましを簡単に述べる