ベッセル関数
ベッセル関数は x {\displaystyle \displaystyle x} の複素数値に対しても適切に定義されており、応用上は x {\displaystyle \displaystyle x} が純虚数の場合が特に重要である。この場合、ベッセルの微分方程式への解は第1種及び第2種の変形ベッセル関数と呼ばれ、以下のように定義される。
I α ( x ) = i − α J α ( i x ) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle \displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}
K α ( x ) = π 2 I − α ( x ) − I α ( x ) sin  ( α π ) = π 2 i α + 1 H α ( 1 ) ( i x ) . {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix).}