誤差関数
相補誤差関数(および誤差関数)の大きな x {\displaystyle x} についての漸近展開は次のようになる。
e r f c ( x ) = e − x 2 x π [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) ( 2 x 2 ) n ] = e − x 2 x π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! ( 2 x ) 2 n {\displaystyle \mathrm {erfc} \left(x\right)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}\,}
この級数は有限な x {\displaystyle x} については発散する。しかし、最初の方の幾つかの項だけで erfc  ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)} のよい近似が得られ、テイラー展開よりも収束が早い。
誤差関数は整関数である。(無限大以外で)特異点を持たず、テイラー展開は常に収束する。
定義にある積分は初等関数を使った閉形式では評価できないが、被積分関数 exp − z 2 {\displaystyle \exp ^{-z^{2}}} を対応するテイラー級数に展開して、項単位で積分すると、誤差関数のテイラー級数が以下のように得られる。
erf  ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) = 2 π ( z − z 3 3 + z 5 10 − z 7 42 + z 9 216 − ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
これは全ての複素数 z {\displaystyle z} について成り立つ。
これを反復的に計算するには、以下のように定式化するのが扱い易い。
誤差関数はミッタク=レフラー関数の特殊ケースであり、合流型超幾何微分方程式としても以下のように表現できる。
e r f ( x ) = 2 x π 1 F 1 ( 1 2 , 3 2 , − x 2 ) {\displaystyle \mathrm {erf} \left(x\right)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}
フレネル積分を使った単純な表現法もある。正規化ガンマ関数 P {\displaystyle P} と不完全ガンマ関数を使うと、次のように表せる。
erf  ( x ) = sgn  ( x ) P ( 1 2 , x 2 ) = sgn  ( x ) π γ ( 1 2 , x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=\operatorname {sgn} \left(x\right)P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} \left(x\right) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}
sgn  ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn} \left(x\right)\ } は符号関数である。