ヒルベルトの第3問題
角錐の体積を求める公式が
base area × height 3 {\displaystyle {\frac {{\text{base area}}\times {\text{height}}}{3}}}
であることはユークリッドに知られていたが、そのいかなる証明にも、なんらかの極限操作・微積分(とりわけ取り尽くし法)、より現代的な形式ではカヴァリエリの原理が含まれていた。平面幾何での類似の公式はより初等的な手段で行える。ガウスは、クリスチャン・ルートヴィヒ・ゲーリング(英語版)へ宛てた2通の書簡の中でこの欠陥を残念がっていた(ゲーリングは2個の互いに鏡像である四面体が有限個の分割により一方から他方へ組み換えられることを証明した数学者である)。
ガウスの書簡がヒルベルトの動機付けになった。「体積の同一性を、初等的な切断と貼り付けだけで証明できるだろうか?」もしできないのであれば、ユークリッドの角錐の公式の証明も、やはり初等的にはできない。