臨界点 (数学)
M の点 p の近傍 V と f(p) の近傍 W において、チャートは微分同相 φ: V → R, ψ: W → R である。点 p が f の臨界点であるとは、φ(p) が ψ ∘ f ∘ φ − 1 {\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}} の臨界点であることをいう。この定義はチャートの取り方に依らない、なぜならば変換関数は微分同相だからそれらのヤコビ行列は可逆でありそれらを掛けることは ψ ∘ f ∘ φ − 1 {\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}} のヤコビ行列の階数を変えないからである。M が(有限次元とは限らない)ヒルベルト多様体で f が実数値関数のとき、p が f の臨界点とは f が p において沈め込みで"ない"ことをいう。