回転 (数学)
直交行列であるということは、その行ベクトルが互いに直交する単位ベクトルの集合(つまり正規直交基底)となることを意味する(列ベクトルについても同じことが言える)から、このことを使えば、行列が回転行列であるかの検討を付けたり確かめたりすることは容易である。回転行列の行列式の値は 1 でなければならず、ほかに直交行列が取れる行列式の値は -1 だけであって、この場合に得られる直交変換は鏡映、回映または点に関する反転であって回転ではない。
行列は、それが線型写像を直截に表現するものであるのと同様、特に多数の点を同時に変換する際の変換を表すものとしてもよく用いられるものである。様々な方法で表された回転は、それを行列表示に直すこともよく行われる。斉次座標系を用いれば回転も変換も同時に表すように拡張して扱うことができる。斉次座標系を備えたこの空間における変換は 4 × 4 行列で表され、これ自体は回転行列ではないけれども、その左上の 3 行 3 列は回転行列になっている。
行列を用いることの不利な点は主に、計算量が多くなることと、計算に持ち込むのが面倒であることである。行列に関しては数値的不安定性が増加しやすい傾向があるので、計算には直交性を確保することが要となるが、それも行列にとっては計算量の負担となるので頻繁に行っておく必要がある。
二次元の回転角を一般化するもう一つの方法として、その周りで回転を行う軸と軸との角度とを特定するやり方がある。これは蝶番と心棒によって制約を受ける運動をモデル化するのに用いることができ、従って視覚化が(恐らくオイラー角よりも)容易である。軸角度表現には
二つの角度と軸方向の単位ベクトルの組として表す方法、
回転ベクトルと呼ばれる、単位ベクトルに回転角を掛け合わせたもので表す方法
の二種類の表し方がある。普通は角度と軸の対を合わせて扱う方が容易であり、一方の回転ベクトルは、オイラー角同様に三つの数値が与えられればよいから、より簡潔に表せる。しかし、オイラー角同様に、先に述べたような他の表現に直して扱うことの方が普通である。
点を複素数を使って回転させることもできる。複素数全体の成す集合は幾何学的には二次元の平面を成し、複素平面と呼ばれる。平面上の点 (x, y) は複素数
z = x + i y {\displaystyle z=x+iy}
で表現され、これを角 θ だけ回転させるには e を掛ける。その積をオイラーの公式を使って展開すれば
e i θ z = ( cos  θ + i sin  θ ) ( x + i y ) = ( x cos  θ + i y cos  θ + i x sin  θ − y sin  θ ) = ( x cos  θ − y sin  θ ) + i ( x sin  θ + y cos  θ ) = x ′ + i y ′ {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy'\end{aligned}}}
となるが、これはすでに前節で得た結果と同じものである。
複素数の積がそうであるように、二次元における回転の任意の合成は可換で、これはより高次の場合にはないものである。二次元の回転の自由度は 1 しかなく、回転はその回転角によって完全に決定されてしまう。
四次元における一般の回転は、回転の中心となる一点のみを固定し、回転軸を持たない代わりに互いに直交する二つの回転不変面(回転によって、その平面上の各点が回転の後もその平面内に留まるという意味で、固定される面)を持つ。故に四次元での回転は、各回転面においてその上の点の平面回転として定まる、二つの回転角を持つ。その回転角を ω1 および ω2 とすれば、これら回転面上にない任意の点は ω1 と ω2 の間の角を通じて回転する。
ω1 = ω2 となる場合、回転は二重回転となり、全ての点は同一の回転角を持つ。故に任意の直交二平面を回転面として取ることができる。また、ω1 と ω2 のいずれか一方が零であるときは、一方の回転面は各点が不動となり、回転は単回転になる。ω1 と ω2 がともに零であるような回転は、恒等回転である。
四次元の回転は、回転行列の一般化としての、4-次の直交行列で表される。四元数もまた四次元へ一般化された概念であり、四次元幾何代数に属する多重ベクトルともなる。第三のアプローチとして、これは四次元でしか意味を成さないけれども、単位四元数の対(英語版)を用いる方法がある。
四次元における回転の自由度は 6 であり、このことを見るには二つの単位四元数を用いるのが最も容易である(三次元球面上の点として各単位四元数の自由度は 3, 二つで 2 × 3 = 6 の自由度になる)。