円分多項式
円分多項式の係数の大きさについて知られている最良の結果は次のものである。
Φ n ( x ) = ∑ m = 0 φ ( n ) a n m x m {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\textstyle \sum \limits _{m=0}^{\varphi (n)}a_{nm}x^{m}}
とおく。このとき、定数 c2 > c1 > 0 が存在して、十分大きい m に対して、
c 1 m 1 / 2 ( log  m ) − 1 / 4 < log  max n | a n m | < c 2 m 1 / 2 ( log  m ) − 1 / 4 {\displaystyle c_{1}m^{1/2}(\log m)^{-1/4}<\log \max _{n}\vert a_{nm}\vert <c_{2}m^{1/2}(\log m)^{-1/4}}
を満たす。また max m | a n m | > exp  log  2 log  n log  log  n {\displaystyle \max _{m}\vert a_{nm}\vert >\exp {\frac {\log 2\log n}{\log \log n}}} となる n が無数に存在する。