平面応力状態
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これを上記のフックの法則を用いてφとひずみとの関係式に書き直し、ひずみの適合条件式に代入することで、φの満たすべき条件式が次のように得られる:
∇ 4 φ = ∂ 4 φ ∂ x 4 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 φ ∂ y 4 = ∇ 2 ( σ x + σ y ) = 0. {\displaystyle \nabla ^{4}\phi ={\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial y^{4}}}=\nabla ^{2}(\sigma _{x}+\sigma _{y})=0.}
これはφが重調和関数であり、主応力和(応力テンソルの第1不変量)が調和関数であることを示す。
複素解析の結果を用いると、応力関数は複素関数でも表現できる。この場合の応力関数をウェスターガード(Westergaard)の応力関数と呼ぶ。