エネルギー・運動量テンソル
電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。時空の計量 g を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は
L A ( g , F ) = − c 4 Z 0 g μ ν g ρ σ F μ ρ F ν σ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(g,F)=-{\frac {c}{4Z_{0}}}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }(x)}
である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは
T μ ν ( x ) = c Z 0 [ F μ ρ F ν ρ − 1 4 g μ ν F ρ σ F ρ σ ] {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {c}{Z_{0}}}\left[F^{\mu \rho }F^{\nu }{}_{\rho }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }\right]}
となる。 T は電磁場のエネルギー密度、T はポインティング・ベクトル、T はマクスウェルの応力テンソルである。
δ S [ g , φ ] δ g μ ν ( x ) = 1 c ∂ L ∂ g μ ν − g + 1 c L ∂ − g ∂ g μ ν = 1 c [ ∂ L ∂ g μ ν + 1 2 g μ ν L ] − g = 1 2 c T μ ν ( x ) − g {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[g,\phi ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}&={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}{\sqrt {-g}}+{\frac {1}{c}}{\mathcal {L}}\,{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial g_{\mu \nu }}}\\&={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\right]{\sqrt {-g}}\\&={\frac {1}{2c}}T^{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\\\end{aligned}}}
である。従って、エネルギー運動量テンソルは
T μ ν ( x ) = 2 ∂ L ∂ g μ ν + g μ ν L {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)=2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}}
で与えられる。
この定義には任意性があり、 h μ ν ρ = − h μ ρ ν {\displaystyle h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu }} により
T μ ν → T μ ν + ∂ ρ h μ ν ρ {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }\to T_{\mu }^{\nu }+\partial _{\rho }h_{\mu }{}^{\nu \rho }}
で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。
別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。 一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が
S [ g , φ ] = 1 c ∫ L ( g , φ , ∂ φ ) − g d 4 x {\displaystyle S[g,\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(g,\phi ,\partial \phi ){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}
で書かれているとき、計量 g による作用の汎関数微分は