2の平方根
1 : 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} (およそ 5 : 7)の比率は用紙サイズ(A3 や A4 など)に採用されている(ISO 216 で標準化されている)他、建物などに使われる。一辺と他辺がこの比となる長方形は、白銀長方形 (silver rectangle)、またはルート長方形と呼ばれる。
この比が用紙サイズとして用いられている理由は、用紙を長手方向に半分にしたときに元と相似の形状となるため、大きな用紙を切るだけで規格に適合した小さな用紙が得られるためである。この融通性は実用上非常に都合が良い(用紙の縦、横の長さの値は 74, 105, 148, 210, 297 など公比を √2 とする等比数列としている)。
また、日本建築におけるモジュールの1つとして 2 の平方根が用いられていると考えられる。例として法隆寺の五重塔を上から見た投影平面図における辺(短辺と長辺)の関係が挙げられる。大工道具の指矩(さしがね)の裏面には裏目として角目と呼ばれる目盛( 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} を掛けたもの)が刻まれているものもある。この利用方法として、丸太から最大の方形角材を製材するときの寸法採りに用いられる。方法として丸太の直径を 1.414 倍目盛にて計測し、求めた値の裏面に当たる値が最大方形の 1 辺の長さとなる(直角二等辺三角形での辺長関係 = 1 : 1 : 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} )。
414215686 {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686}
を与えていることになる。
無理数はピタゴラス教団のメタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスたちはこのような数を「アロゴン(Alogon,口にできない)」とよんで研究対象から除外し,そのことを教団外の人たちには秘密にしていたといわれている。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。