可分空間
位相空間が、それ自身有限または可算無限集合となるようなものは、全体集合がそれ自体可算稠密集合となるから、全て可分である。非可算な可分空間の重要な例として、実数直線が挙げられる(この場合、有理数全体の成す部分集合が可算稠密部部分集合を与える)。同様に、R の全ての成分が有理数であるようなベクトル (r1, ..., rn) 全体の成す集合は Rn の可算稠密部分集合となるから、任意の n に対する n-次元ユークリッド空間は可分である。
可分でない空間の単純な例は、非可算濃度を持つ離散空間である。
より複雑な例は後述する。
任意の第二可算空間は可分である。すなわち、{Un} を可算基とするとき、各 n について xn ∈ Un を選べば可算稠密集合が与えられる。逆に、距離付け可能空間が可分であるための必要十分条件は、それが第二可算公理を満足することである(このとき、それはリンデレーフ空間となることと同値である)。
可分性と第二可算性とをさらに比較すると、以下のようなことが言える。
第二可算空間の任意の部分空間はふたたび第二可算となるが、可分空間の部分空間は必ずしも可分でない(後述)。
可分空間の任意の連続像はふたたび可分となる (Willard 1970, Th. 16.4a) が、第二可算空間の場合は商空間ですら必ずしも第二可算でない。
可算空間の高々連続体濃度の積空間は可分であり、第二可算空間の可算個の積空間は第二可算となるが、第二可算空間の非可算個の積は第一可算にさえならない。