置換公理
PはクラスAに関する二項関係であり、すべてのxに対して P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} なるyがただ一つ存在しているとする。これに対して F P ( x ) = y ⟺ P ( x , y ) {\displaystyle F_{P}(x)=y\iff P(x,y)} を満たす構成可能な関数 F P {\displaystyle F_{P}} を考える。ここで、クラス(かもしれない)Bを、 y ∈ B ⟺ ∃ x ∈ A ( F P ( x ) = y ) {\displaystyle y\in B\iff \exists x\in A(F_{P}(x)=y)} として定義する。また B = { F P ( x ) ∣ x ∈ A } {\displaystyle B=\{F_{P}(x)\mid x\in A\}} であり、BはA上の F P {\displaystyle F_{P}} による値域と呼び、 F P [ A ] {\displaystyle F_{P}[A]} と書く。
置換公理の主張は、ここで F P {\displaystyle F_{P}} が定義可能でAが集合ならば、Bもまた集合であることである。
同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。
A n = A n − 1 × A {\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A} として再帰的に定義される組の集合を考える。大きな A {\displaystyle A} に対して、集合 { A n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}} は、冪集合公理と選択公理を含み置換公理を含まない集合論において、その存在を証明できないほど高い階数を持つ。
同様に、ハーベイ・フリードマン(英語版)はボレル集合の決定性(英語版)を示すのに置換公理が必要であることを示した。
集合 Vω·2 を Z のモデルとすると、その存在を ZF で証明できるため、ZF+置換公理で Z の無矛盾性を証明できる。基数 א ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} はその存在を ZF で証明できるが Z で証明できない最小のものである。補足として、これらの理論それぞれが理論自身の無矛盾性を「表現する」文を含むが、理論が無矛盾である限り、理論の無矛盾性を理論自身の中では証明できないことがゲーデルの第二不完全性定理によって示されていることに注意。この結果はしばしば「どの理論も、理論が無矛盾である限り、自身の無矛盾性を証明できない」と大まかに表現される。