一般相対性理論の数学
a r c ... b s + ⋯ + ( ∇ b s X c ) T a 1 ... a r b 1 ... b s − 1 c {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=&X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\cdots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}
である。
X {\displaystyle \scriptstyle X} を点とし、 A → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}} を X {\displaystyle \scriptstyle X} に置かれたベクトル、 B → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}} をベクトル場とする。 A → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}} に沿った点 X {\displaystyle \scriptstyle X} で B → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}} を微分するという考えは、アフィン接続と、パラメータ表示された滑らかな曲線 γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \gamma \,(t)} を選んで、 X = γ ( 0 ) {\displaystyle \scriptstyle X\;=\;\gamma (0)} かつ A → = d d t γ ( 0 ) {\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}\;=\;{d \over dt}\gamma (0)} であるようにすることにより物理的に意味を持つ。
そのため、それを解くために用いられる多くの戦略がある。たとえば、戦略のひとつに、最終的な計量の仮説 (ansatz)(もしくは教育的な推測)から始め、解くことができる未知数をもつ連立微分方程式を得るくらいにはまだ一般的だが、座標系を持つのに充分に具体的になるまで精密化していく方法がある。物理的に合理性をもつエネルギー・運動量テンソルの分布に対して正確に解が求まる場合、その結果となる計量テンソルは、完全可解系と呼ばれる。重要な完全可解系の例としては、シュヴァルツシルトの解やフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量がある。
EIH (Einstein–Infeld–Hoffman) 近似や他のことに関しては、Geroch and Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 Issue 1) を参照。
これにより、平行移動の考え方はベクトル場の場合と同様に定義することができる。この定義では、スカラー場の共変微分は場の通常の微分に等しい。
共変微分を記述する方法は文献によって異なるが、よく使われる方法には次の 3つがある。
D a T d ... e b ... c = ∇ a T d ... e b ... c = T d ... e ; a b ... c {\displaystyle D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}}
通常の偏微分が持つ性質の多くは、共変微分へも適用される。