計算可能数
ハーストは計算可能数 aの ε {\displaystyle \epsilon } 近似を生成するチューリングマシンの記述を入力として受け取り、そしてチューリングの意味における a の桁の並びを列挙するようなチューリングマシンを出力として生成するアルゴリズムは存在しないことを示した。 同様に、計算可能実数上の算術操作は、十進数の足し算をするときのように、実効的ではないことを意味している。ある一桁を確定するために、繰上りが無いかどうかを予め分からない桁数分の右側を確認しに行かねばならない場合がある。この一様性の無さが現代的な計算可能数の定義で十進展開よりも ε {\displaystyle \epsilon } 近似を用いる理由の一つである。 しかしながら、計算可能性理論や測度論的観点から 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} と [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} という二つの構造は本質的に同一のものであり、計算可能性理論の分野ではしばしば 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} の元を実数と呼んでいる。また 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} は完全不連結であって、 Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} のクラスやランダムネスの問題に関しては 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} で考える方が考えやすい。