ポントリャーギン類
などとなる。
ベクトルバンドルのポントリャーギン類やスティーフェル・ホイットニー類が 0 となることは、ベクトルバンドルが自明であることを保証するものではない。たとえば、ベクトルバンドルの同型を同一視すると、一意な非自明なランク 10 のベクトルバンドル E10 が 9-球面上に存在する。(E10 のクランチ函数(英語版)(clutching function)は、安定ホモトピー群(英語版)(stable homotopy group) π8(O(10)) = Z/2Z から来る。)ポントリャーギン類とスティーフェル・ホイットニー類はすべて 0 となる。ポントリャーギン類は次数 9 には存在しないので、E10 のスティーフェル・ホイットニー類 w9 は、ウーの公式 w9 = w1w8 + Sq(w8) により 0 となる。さらに、このベクトルバンドルは安定で非自明、つまり、すべての自明バンドルを持つ E10 のホイットニー和は、非自明のままである(Hatcher 2009, p. 76)。
2k-次元ベクトルバンドル E があたえられると、
p k ( E ) = e ( E ) ⌣ e ( E ) , {\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}
を得る。ここに e(E) は E のオイラー類を表し、 ⌣ {\displaystyle \smile } はコホモロジー類のカップ積(cup product)を表す。