行列の平方根
転置あるいはエルミート共軛を用いれば、より一般に非対称あるいは非エルミートな矩形行列の範疇で「平方根」をとることができる。
K i j 3 , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle K_{ij}^{3},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n} を比較すると、 λ K i j + K i + 1 j = λ K i j + K i j − 1 , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle \lambda K_{ij}+K_{i+1j}=\lambda K_{ij}+K_{ij-1},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n} このため K i + 1 j + 1 = K i j , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 1 ≤ j ≤ n − 1 {\displaystyle K_{i+1j+1}=K_{ij},1\leq i\leq n-1,1\leq j\leq n-1}
このため、 K {\displaystyle K} は上三角行列で、斜めに同じ値が並ばなければならない。 K 2 = J n ( λ ) {\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )} の ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 成分を比較することにより、 K n n 2 = λ , K n n = ± λ {\displaystyle K_{nn}^{2}=\lambda ,K_{nn}=\pm {\sqrt {\lambda }}} が言え、以下 ( j , n ) {\displaystyle (j,n)} 成分 j = n − 1 , n − 2 , ... , 1 {\displaystyle j=n-1,n-2,\dots ,1} を比較することにより、 K {\displaystyle K} の全ての成分が順番に1次方程式で定まるため、平方根が2つしかないことが言える。
正実数の平方根は、主平方根に ±1 を掛けたものですべて与えられた。これに対応するように、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ変換によって関連付けられる:
C J 1 = J 2 C {\displaystyle CJ_{1}=J_{2}C} からも同様に、 C = [ c 1 ⋮ c k ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\\end{bmatrix}}} と置き、第k行に注目すれば c k J 1 = λ k c k {\displaystyle c_{k}J_{1}=\lambda _{k}c_{k}} だが、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないため、 c k = 0 {\displaystyle c_{k}=0} が言え、順次、第k-1行、第k-2行に注目すれば c i = 0 {\displaystyle c_{i}=0} が言え、 C = O {\displaystyle C=O} が言える。このため、上記が言える。
ジョルダン標準形の平方根には、ジョルダン細胞の平方根であるものと、
[ 1 0 0 1 ] = [ 1 − b c b c − 1 − b c ] 2 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\\\end{bmatrix}}^{2}}
のようにジョルダン細胞の平方根ではないもの(同じ固有値のジョルダン細胞が複数あるときに発生する)があるので、注意が必要である。
正方行列 A {\displaystyle A} のジョルダン標準形 を J = P − 1 A P {\displaystyle J=P^{-1}AP} とすると、次が言える。
K {\displaystyle K} を J {\displaystyle J} の平方根 K 2 = J {\displaystyle K^{2}=J} とすると、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} は、 B 2 = ( P K P − 1 ) ( P K P − 1 ) = P K 2 P − 1 = P J P − 1 = A {\displaystyle B^{2}=(PKP^{-1})(PKP^{-1})=PK^{2}P^{-1}=PJP^{-1}=A} より、 A {\displaystyle A} の平方根となる。
逆に B {\displaystyle B} を A {\displaystyle A} の平方根 B 2 = A {\displaystyle B^{2}=A} とすると、 K = P − 1 B P {\displaystyle K=P^{-1}BP} は、 K 2 = ( P − 1 B P ) ( P − 1 B P ) = P − 1 B 2 P = P − 1 A P = J {\displaystyle K^{2}=(P^{-1}BP)(P^{-1}BP)=P^{-1}B^{2}P=P^{-1}AP=J} より、 J {\displaystyle J} の平方根であり、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} である。
ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} とはn次正方行列で、 j < i {\displaystyle j<i} のとき J n ( λ ) i j = 0 {\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ij}=0} 、 J n ( λ ) i i = λ {\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ii}=\lambda } 、 J n ( λ ) i i + 1 = 1 {\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ii+1}=1} 、 j > i + 1 {\displaystyle j>i+1} のとき J n ( λ ) i j = 0 {\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ij}=0} となるものを言う。
λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} の平方根は、下記の行列 K {\displaystyle K} および − K {\displaystyle -K} である。
j < i {\displaystyle j<i} のとき K i j = 0 {\displaystyle K_{ij}=0} 、 K i i = λ {\displaystyle K_{ii}={\sqrt {\lambda }}} 、 j > i {\displaystyle j>i} のとき K i j = ( − 1 ) j − i − 1 ( 2 j − 2 i − 2 ) !