二個の平方数の和
ザギエ(Zagier)による一文証明(one-sentence proof)は、一文で完結することもさりながら、平方剰余に関する知識を要求しないということも特筆に値する。
有限集合 S = { ( x , y , z ) ∈ N 3 | x 2 + 4 y z = 4 n + 1 } {\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}|x^{2}+4yz=4n+1\}} 上の対合 ( x , y , z ) ↦ { ( x + 2 z , z , y − x − z ) , if x < y − z ( 2 y − x , y , x − y + z ) , if y − z < x < 2 y ( x − 2 y , x − y + z , y ) , if x > 2 y {\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}
は必ず一個の不動点を持つから、集合 S {\displaystyle S} の元の個数は奇数であり、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}