ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
番地2-3-2の乗客は232号室に行き、番地4935-198-82217の乗客は008,402,912,391,587号室(先頭のゼロは除ける)に行くことになる。
任意の階層数の無限人の客が来る可能性を想定して、ホテルは何人の客が後に来ても移動する必要がないような部屋を割り当てたいと思うかもしれない。一つの解決策は、各来客者の番地を二進数に変換し、1を各階層の開始地点のセパレータとして使用し、0を並べて階層内の番号(たとえば客の号車番号)を表現することである。たとえば番地2-5-1-3-1(5つの無限の階層)の客は、10010000010100010(十進数で295458)号室に行くことになる。
この手順の追加ステップとして、番号の各節から0を1つ削除することができる。この例では客の部屋は101000011001(十進数で2585)号室となる。これによりすべての部屋が想定される客によって埋まることが保証される。もし無限人の客の集合が来ない場合は、2の冪の番号の部屋のみが使用される。
ヒルベルトのパラドックスは擬似パラドックスである。直観に反するが真であると証明される結論を導く。文(英語版)「すべての部屋に客がいる」と「これ以上客を泊められない」は、部屋が無限にある場合は同値ではない。
最初はこの状態は非直観的に思えるかもしれないが、「無限のものの集まり」と「有限のものの集まり」の性質はまったく異なる。ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスは、カントールの超限数の理論を用いて理解することができる。複数の部屋がある現実の(有限の)ホテルでは、奇数番号の部屋数は部屋の総数より明らかに少ないが、ヒルベルトいうところの無限ホテルでは、奇数番号の部屋数は部屋の総「数」より少なくない。数学用語でいうと、奇数番号の部屋全体を含む部分集合の濃度は、すべての部屋の集合の濃度と等しい。実際、無限集合は等しい濃度の真部分集合をもつ集合として特徴づけられる。可算集合(自然数全体と等しい濃度の集合)の場合、その濃度は א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (アレフ・ゼロ)である。
言い換えれば、任意の可算無限集合Sについて、Sが自然数全体を真部分集合として含んでいたとしても、Sを自然数全体の集合に写像する全単射が存在するということである。たとえば、有理数(整数の分数で表せる数)全体の集合は、真部分集合として自然数全体を含むが、有理数全体は可算なので自然数全体の集合より大きくない(自然数全体から有理数全体への全単射が存在する)。