デデキントのイータ関数
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 ε ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} について関数等式
η ( a τ + b c τ + d ) = ε ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 / 2 η ( τ ) {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{1/2}\eta (\tau )}
が成り立つ。 ε ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} は
I τ > 0 {\displaystyle \Im \tau >0} であれば | e 2 π i τ | < 1 {\displaystyle \left|e^{2\pi {i}\tau }\right|<1} であるから、
| log  η ( τ ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ | log  ( 1 − e 2 π i τ m ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ m n | n = | π i τ | 12 + ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ( 1 − | e 2 π i τ n | ) ≤ | π i τ | 12 + 1 1 − | e 2 π i τ | ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ≤ | π i τ | 12 − log  ( 1 − | e 2 π i τ | ) 1 − | e 2 π i τ | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\log \eta (\tau )\right|&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left|\log(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\right|\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {mn}}\right|}{n}}\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|)}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+{\frac {1}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|e^{2\pi {i}\tau {n}}|}{n}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}-{\frac {\log(1-|e^{2\pi {i}\tau }|)}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\\\end{aligned}}}