リーマンゼータ関数
それぞれで導いた πz cot πz を比較して、
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n B 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
また n ≥ 1 のとき、
ζ ( − n ) = ( − 1 ) n B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}}
が成り立つ。
ハンケルによるリーマンゼータ関数の積分表示:
ζ ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∮ C ( − z ) s − 1 e z − 1 d z {\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\varGamma (1-s)}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {(-z)^{s-1}}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
から始める。ただし、ここで s は自然数ではない複素数で、積分路 C はハンケルの積分路(英語版)である。ここで n を自然数として s = − n とすると、
ζ ( − n ) = i n ! 2 π ∮ C 1 ( − z ) n + 2 − z e z − 1 d z {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {in!}{2\pi }}\oint _{C}\!{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} のとき、 n {\displaystyle n} を変化させたときの n − s + 1 − s + 1 {\displaystyle {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}} が描く軌跡は原点に収束する螺旋となり、 R e ( s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=1} のとき、原点を中心とする半径 1 I m ( s ) {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Im} (s)}}} の円、 R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1} のとき、原点を中心として外に広がる螺旋となる。このために、級数は R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} で ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} に収束し、それ以外の場合は「 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} を中心として」発散する。
s = 1 + i y {\displaystyle s=1+iy} とし、 y {\displaystyle y} を 0 に近づけると、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の実数部はオイラー・マスケローニ定数に収束し、虚数部は y {\displaystyle y} が正の方向から近づくとき − ∞ {\displaystyle -\infty } 、 y {\displaystyle y} が負の方向から近づくとき ∞ {\displaystyle \infty } となる。
η n = ∑ l = 1 n − 1 ( − 1 ) l − 1 η n − l ( 2 l + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 1 n ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}\,{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}\,{\frac {n}{(2n+1)!}}}
が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。
s {\displaystyle s} = 2 n + 1 , { n ∣ n ∈ Z + } {\displaystyle =2n+1,\{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 、つまり、3以上の正の奇数の場合、積分表示をすれば次の通りである。尚、次の B 2 n + 1 ( x ) {\displaystyle B_{2n+1}(x)} は、ベルヌーイ多項式である。
ζ ( 2 n + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n + 1 2 ⋅ ( 2 n + 1 ) ! ∫ 0 1 B 2 n + 1 ( x ) tan  ( π x ) d x {\displaystyle \zeta (2n+1)={\dfrac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n+1}}{2\cdot (2n+1)!}}\,\int _{0}^{1}{\dfrac {B_{2n+1}(x)}{\tan(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
またラマヌジャンなどは彼が産み出した保型形式により次のような表示式を得ている。
数学におけるリーマンゼータ関数(リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function、独: Riemannsche zeta funktion、中: 黎曼泽塔函数)は、18世紀にバーゼル問題を解決したレオンハルト・オイラーによる(現在リーマンゼータ関数と呼ばれる)関数の特殊値に関する重要な発見から始まり、後世により重要な貢献をしたベルンハルト・リーマンが用いた ζ による表記にちなみ、リーマンゼータ関数またはリーマンのゼータ関数とも呼ばれる。リーマンゼータ関数は、数学の分野のひとつである解析的整数論において素数分布の研究をはじめとした重要な研究対象であり、数論や力学系の研究をはじめ数学や物理学などの様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数の中でも、最も歴史的に古いものである。
リーマンゼータ関数は、s を複素数、n を自然数とするとき、