静磁場
μ 0 4 π grad r  [ ⟨ M ( s ) d 3 s | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] + μ 0 δ ( r − s ) M ( s ) d 3 s {\displaystyle {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\mu }_{0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} } (2-2-7)
と書けることが判る。従って、
B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω grad r  [ ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] d 3 s + μ 0 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}+\mu _{0}\mathbf {M} (\mathbf {r} )} (2-2-8)
全系のベクトルポテンシャルを、
A tot := A M + A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}:=\mathbf {A} _{M}+\mathbf {A} _{fc}} (3-3-9)
と定めると、
rot  [ A tot ] = B tot {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{\text{tot}}]=\mathbf {B} _{\text{tot}}} (3-3-8c)
が成り立つ。これは、(3-3-6c)の、磁束保存の式をベクトルポテンシャルを用いて書いたものに他ならない。
さらに、式(3-3-8c)に、式 (3-3-2)と、アンペールの法則(3-3-7)を考え併せると、
rot  [ ν rot  [ A ] ] − i f c = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [{\nu }\operatorname {rot} [\mathbf {A} ]]-{\boldsymbol {i}}_{fc}=0} (3-3-10)
が得られ、未知のベクトル場BやHが消え、未知のベクトル場はAのみとなる。これを 「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」(静磁場の支配方程式)という。
この積分において、 n ∂ Ω {\displaystyle \mathbf {n} _{\partial \Omega }} は、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の法線ベクトルを意味する。
実際、スカラー倍の回転微分の公式より、
rot s  [ M ( s ) | r − s | ] = ( grad s  [ M ( s ) | r − s | ] ) × M ( s ) + rot s  [ M ( s ) ] | r − s | = ( r − s ) × M ( s ) | r − s | 3 + rot s  [ M ( s ) ] | r − s | (2-4-2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&=\left(\operatorname {grad} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\right)\times \mathbf {M} (\mathbf {s} )+{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\times \mathbf {M} (\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}+{\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\qquad {\text{(2-4-2)}}\end{aligned}}}
一般のn変数関数(関数はベクトル値関数であってよい)fの定義域をΩとしたとき、
f ( r ) = ∫ s ∈ Ω f ( s ) δ n ( r − s ) d n s = f ∗ δ n {\displaystyle f(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }f(\mathbf {s} ){\delta }^{n}(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ {d}^{n}s\ =f*{\delta }^{n}}
であることが知られている。ここで、上式の"*"は、合成積(乗算ではない)である。また、δは、n変数のδ関数である。
上式の右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのスカラー値関数 ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle }
を、区間I上で重積分したものを意味する。今、Sの単位法線ベクトル n S {\displaystyle {\mathbf {n} }_{S}} を、 n S := 1 | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) {\displaystyle {\mathbf {n} }_{S}:={\frac {1}{\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)}
となる。これは、すなわち、ビオ・サバールの法則である。
上記の B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} に対し、 新たな場 H i {\displaystyle {\mathbf {H} }_{\boldsymbol {i}}} を、
H i ( r ) := 1 μ 0 B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} (1-3)
と定義する。この場のことを、「電流密度iが作り出す磁場」と呼ぶ。ここでμ0は、真空の透磁率である。 尚、定義の上では、「電流密度iが作り出す磁場」 H i {\displaystyle {\mathbf {H} }_{\boldsymbol {i}}} は、 透磁率がμの場所でも、: H i ( r ) := 1 μ 0 B i ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}\mathbf {B} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} であることに特に注意されたい。