微分の記法
ライプニッツの記法は分母において微分すべき変数を明示的に示すことができる。これは偏微分を考える際に特に有用であり、また、連鎖律 (合成関数の微分法)
d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}
も見易く、覚えやすいものになる。
極限による微積分学の定式化においては、記号 du は著者が異なればその意味も様々である(より詳細は微分 (無限小解析)(英語版)を参照)。
いくつかの文献では du それ自体に対して明示的な意味付けを行わず、単に記号 du/dx の一部として扱う。
ほかに dx を独立変数として定義し、加法性 d(x + y) = dx + dy やライプニッツ則 d(x · y) = dx · y + x · dy を微分の公理として用いるものもある。微分環を参照。
超準解析では du は無限小として定義される。
関数 u の 外微分 du としても解釈される。
ゴットフリート・ライプニッツにより採用されたライプニッツの記法は数学分野で広く使用されている。この記法は特に関数 y = f(x) が従属変数 y と独立変数 x の関数関係を表すものとみるときに用いられる。この場合、導関数は
d y d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}
のように書かれ(d はこのように立体にする流儀とイタリックにする流儀とがある)、"d y d x"と読むのが一般的である。この関数の x における値というのは f の導関数の x における値のことであり、従ってそれは
d ( f ( x ) ) d x {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} (f(x))}{\mathrm {d} x}}} または d d x ( f ( x ) ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f(x))} または d f d x ( x ) {\displaystyle \displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}
と書かれる。
d i v A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z {\displaystyle \mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}
= ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} }
= ∇ ⋅ A {\displaystyle =\nabla \cdot \mathbf {A} }
回転 (rotation): ベクトル場 A の回転 r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,} (または c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,} ) は、記号的に ∇ とベクトルの外積で表される。
r o t A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)}