無限公理
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B := { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , ⋯ } {\displaystyle B:=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\cdots \}} とおくと、 B {\displaystyle B} は A {\displaystyle A} の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B {\displaystyle B} は有限集合であり、 A ≠ B {\displaystyle A\neq B} である。なぜならば定義により B ∪ { B } ∈ A {\displaystyle B\cup \{B\}\in A} であるが、 B ∪ { B } ∉ B {\displaystyle B\cup \{B\}\notin B} となるからである。一方 A {\displaystyle A} が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B {\displaystyle B} が A {\displaystyle A} よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って A {\displaystyle A} は有限集合ではない(すなわち無限集合である)ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。(可算集合)