実数空間
実 n-変数の任意の函数 f(x1, x2, ... , xn) は R 上の写像と看做すことができる(つまり、 R を定義域と考える)。複数の変数を個別に考える代わりに実 n-次元数空間を考えることで、記法が簡素になり合理的な定義などが示唆される。例えば n = 2 として、連続函数 g1 および g2 に対して
F ( t ) = f ( g 1 ( t ) , g 2 ( t ) ) {\displaystyle F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t))}
なる形の写像の合成を考えるとき、
∀x1 ∈ R : f(x1, •) が(x2 に関して)連続、
∀x2 ∈ R : f(•, x2) が(x1 に関して)連続
と仮定しても F は必ずしも連続とならない。連続性はより強い条件であり、多変数の連続性と呼ばれる R の自然な位相に関する f の連続性は、合成函数 F が連続となるための十分条件になる。