クンマー理論
G を射有限群、A を G-加群とし、π を A からそれ自身への全射準同型とする。また G は π の核 C 上に自明な作用をしていて、1次コホモロジー群 H(G,A) は自明とすると、群コホモロジーの完全系列により、A/π(A) と Hom(G,C) との間に同型が存在することがわかる。
クンマー理論は、A が体 k の分離閉包の乗法的群であり、G がガロア群であり、π が n 乗写像で、C が単元の n 乗根の群である場合である、これの特別な場合である。アルティン・シュライアー理論は、正の標数 p の体 k の分離閉包の加法群で、G をガロア群、π をフロベニウス写像から恒等写像を引いたもの、C を位数 p の有限体とした特別な場合である。A を省略されたヴィットベクトル(英語版)(truncated Witt vector)の環とすれば、exponent が p を割る拡大に対するヴィットによるアルティン・シュライアー理論の一般化が得られる。