ワトソンの五重積
五重積公式のADE一般化—場の理論の視点から—河合俊哉 (PDF) , 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所,平成29年7月31日~8月3日開催)
On Jacobi forms which connect infinite products and infinite sums, 青木宏樹, 京都大学数理解析研究所講究録 第1965巻 2015年 30-44. (五重積公式について解説がある)
A remark on Borcherds construction of Jacobi forms (PDF) (五重積公式について解説がある)
Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27.
Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.
ヤコビの三重積により
∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − q 2 m z ) ( 1 − q 2 m − 2 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})}
∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n 2 z 2 n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) ( 1 − q 4 m − 2 z 2 ) ( 1 − q 4 m − 2 z − 2 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n^{2}}z^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})}
オイラーの五角数定理により
∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 2 n ( 3 n − 1 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 4 m ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})}
これらを用いて五重積の公式を書き直せば