現代ポートフォリオ理論
無リスク資産(英: risk-free asset)や安全資産やリスクなし資産やリスクフリー資産とは、リスクを負うことなく収益が得られる資産のことである。対義語はリスク資産(英: risky asset)や危険資産やリスクあり資産。無リスク資産の収益率は定数の安全利子率となるので、その分散は0であり、他の資産との相関係数も0である。原理的には完全にリスクが存在しない金融資産は存在しないが、デフォルトする可能性がほぼ無いと言える先進国の短期国債などが代理としてよく使用される。
1-ファンド定理やトービンの分離定理とは以下の定理。
平均分散分析と整合的な期待効用最大化問題を考えると、リスク・リターン平面上における無差別曲線は右上がりの凸状の曲線となる。リスク・リターン平面においてある点Aより右下にある点では期待収益率は点Aより低く、リスク(収益率の標準偏差)は点Aより大きくなるため、平均分散分析を行う経済主体にとっては点Aより効率が悪い投資となる。リスク・リターン平面においてある点Aより左上にある点も同様の議論を用いれば点Aより効率の良い投資となることが分かる。よってリスク・リターン平面上の無差別曲線は右上がりとなる。凸性についてはリスク回避的であることから生じている。
よって平均分散分析を行う経済主体はリスク・リターン平面上でより左上の方にある点を実現するポートフォリオを好むようになる。そう考えると、接点ポートフォリオを通る資本分配線上の点を実現するポートフォリオを必ず選択するようになる。なぜならば、リスク・リターン平面において接点ポートフォリオを通る資本分配線より左上の領域にある点を実現するポートフォリオは存在しないからである。このことは平均分散分析を行う投資家のポートフォリオの違いは接点ポートフォリオと無リスク資産への投資比率だけとなることを意味している。つまりリスク資産のみの投資比率は全ての平均分散分析を行う投資家間で同一で接点ポートフォリオとなる。よって平均分散分析を行う投資家のポートフォリオ選択問題は、(1)接点ポートフォリオを特定する事と(2)自分のリスク態度にあった比率で接点ポートフォリオと無リスク資産への投資比率を決定する事、の二つに分離される。
証券市場線(Security market line, SML)のグラフは縦軸に期待収益率を、横軸にベータ を採る。ベータと期待収益率の関係式は以下の通りである。
S M L : E ( r i ) − r f = ( E ( r M ) − r f ) β i . {\displaystyle \mathrm {SML} :E(r_{i})-r_{f}=(E(r_{M})-r_{f})\beta _{i}.~}
SMLはベータ・リターン平面上において、任意の個別資産の期待収益率 E [ r i ] {\displaystyle E[r_{i}]} がそのベータ β i {\displaystyle \beta _{i}} の線形関数になっていることを述べている。ある資産が、リスクに対して妥当な期待収益を得られるかどうかを確認するには、SMLは有効な道具である。個々の証券はSMLのグラフ上にプロットされる。SMLよりも上の領域にある資産のリスクと収益がプロットされれば割安であり、下の領域ならばその逆である。なぜならば、同じベータでSMLよりも高い収益が出ているならばリスクに見合った以上の収益を得ていることであり、低い収益が出ているならばリスクに見合った収益を得ていないからである。
証券市場線を用いて、市場ポートフォリオと比べて、ある資産が割高か割安の指標を用いることが出来る。
投資家は所与の(目標)期待収益率 μ p {\displaystyle \mu _{p}} を達成するポートフォリオの中で最も収益率の分散が小さくなるものを選択する。つまり、以下の最小化問題を解く。
min σ p 2 {\displaystyle {\mbox{min }}\sigma _{p}^{2}}
subject to ∑ i = 1 n E  ( R i ) w i = μ p , ∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (R_{i})w_{i}=\mu _{p},\quad \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}
この問題は2次計画問題になっている。一般の n {\displaystyle n} 個の金融資産が存在する場合の最小化問題の解析解はロバート・マートンによって与えられていて、リスク資産の収益率の分散共分散行列