ブラック–ショールズ方程式
C ( S t , t ) − P ( S t , t ) = S t − K B ( t , T ) {\displaystyle C(S_{t},t)-P(S_{t},t)=S_{t}-KB(t,T)}
と書ける。このポートフォリオの満期でのペイオフは
C ( S T , T ) − P ( S T , T ) = S T − K {\displaystyle C(S_{T},T)-P(S_{T},T)=S_{T}-K}
となる。このポートフォリオでの満期でのペイオフは同一残存期間の先渡価格 K の先渡契約の満期でのペイオフと同じである。よって満期を T とする t 時点で締結された先渡契約の先渡価格を F ( t, T ) とすると、無裁定条件から
C ( S t , t ; F ( t , T ) ) − P ( S t , t ; F ( t , T ) ) = S t − F ( t , T ) B ( t , T ) {\displaystyle C(S_{t},t;F(t,T))-P(S_{t},t;F(t,T))=S_{t}-F(t,T)B(t,T)}
が成り立つ。ヨーロピアンプットオプションの理論価格についてはブラック-ショールズ方程式を解かずにプットコールパリティから計算した方が簡単である。
at は t 時点で状態が ω の場合の株式の保有量、bt(ω) は同債券の保有量である。このような組 (a, b) を、株式と債券の取引戦略という。区間 [0, T] における取引戦略 (a, b) が自己資本充足的(英: self-financing)であるとは、0 ≤ t ≤ T の各時点 t に対し、次の式が満たされることである。
a t S t + b t B t = a 0 S 0 + b 0 B 0 + ∫ 0 t a s d S s + ∫ 0 t b s d B s {\displaystyle a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}=a_{0}S_{0}+b_{0}B_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}dS_{s}+\int _{0}^{t}b_{s}dB_{s}}
よって
d ( a t S t + b t B t ) = a t d S t + b t d B t {\displaystyle d{\Big (}a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}{\Big )}=a_{t}dS_{t}+b_{t}dB_{t}}
となる。
同方程式において、次のように変数変換する。
C ( S t , t ) = e r ( t − T ) u ( S t , t ) , z = log  ( S t K ) + ( r − σ 2 2 ) ( T − t ) σ , s = T − t {\displaystyle {\begin{aligned}&C(S_{t},t)=e^{r(t-T)}u(S_{t},t),\\&z={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma }},\\&s=T-t\end{aligned}}}
これは、次のような1次元熱伝導方程式(拡散方程式)の初期値問題となる。
∂ u ∂ s = 1 2 ⋅ ∂ 2 u ∂ z 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}}
これを解いて元の変数に戻すと、ブラック–ショールズ方程式の解は次の形で与えられる。
C ( S t , t ) = S t N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) {\displaystyle C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})}
ただし、下記の条件においてである。