台 (測度論)
空間 X 上のある測度 μ が狭義正であるための必要十分条件は、その台が supp(μ) = X となることである。μ が狭義正で x ∈ X を任意の点とするとき、x の任意の開近傍は開集合であるため正の測度を持つ。したがって x ∈ supp(μ) であり、supp(μ) = X となる。逆に、supp(μ) = X であるなら、すべての空でない開集合は(その内部のある点で台の要素となるようなものの開近傍であることより)正の測度を持つ。したがって、μ は狭義正である。
測度の台は X 内の閉集合である。なぜならば、その補集合は測度 0 であるような開集合の合併だからである。
一般に、非ゼロの測度の台は空集合となることもあり得る(後述の例を参照)。しかし、X がハウスドルフ位相空間で、μ がラドン測度であるなら、台の外側のある可測集合 A の測度はゼロとなる。すなわち、次が成り立つ。
A ⊆ X ∖ s u p p ( μ ) ⟹ μ ( A ) = 0. {\displaystyle A\subseteq X\setminus \mathrm {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}
この逆は一般に成り立たない。例えば、μ({x}) = 0 となるようなある点 x ∈ supp(μ) が存在する場合(ルベーグ測度の場合)には成り立たない。
したがって、「台の外での積分」は必要ないことになる。すなわち、任意の可測函数 f : X → R or C に対して、次が成り立つ。