ピタゴラスの定理
前節の証明は、三角比を用いると簡単に表記できる:
c 2 = c × c = c × ( AH + BH ) = c × ( b cos  A + a cos  B ) = b × c cos  A + a × c cos  B = b × b + a × a = a 2 + b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=c\times c\\&=c\times ({\text{AH}}+{\text{BH}})\\&=c\times (b\cos A+a\cos B)\\&=b\times c\cos A+a\times c\cos B\\&=b\times b+a\times a\\&=a^{2}+b^{2}.\end{aligned}}}
本証明を一般の三角形に拡張すると、第二余弦定理の証明が得られる。
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。(指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。)まず sin θ + cos θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを(3通りの方法で)示す。
オイラーの公式より
1 = e 0 = e i θ − i θ = e i θ e − i θ = ( cos  θ + i sin  θ ) ( cos  θ − i sin  θ ) = sin 2  θ + cos 2  θ {\displaystyle {\begin{aligned}1&=e^{0}=e^{i\theta -i\theta }=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\&=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{aligned}}}
または
sin 2  θ + cos 2  θ = ( e i θ − e − i θ 2 i ) 2 + ( e i θ + e − i θ 2 ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ − 2 − 4 + e 2 i θ + e − 2 i θ + 2 4 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }-2}{-4}}+{\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }+2}{4}}\\&=1\end{aligned}}}
となる。ここで二項定理より
∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) − ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) = ∑ m = 0 2 n ( − 1 ) m ( 2 n m ) = ( 1 − 1 ) 2 n = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k+1}}&=\sum _{m=0}^{2n}(-1)^{m}{2n \choose m}\\&=(1-1)^{2n}=0\end{aligned}}}
である。したがって
sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
が得られる。
あとはこれまでと同様にして
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。