正規順序積
スピン0の中性ボーズ粒子は実スカラー場φ(x)で記述される。 このとき、φ(x)は3次元運動量空間での積分
φ ( x ) = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 2 k 0 k 0 ( a ( k ) e i k x + a † ( k ) e − i k x ) {\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}k_{0}(a(k)e^{ikx}+a^{\dagger }(k)e^{-ikx})}
で表現できる。但し、
k 0 = k 2 + m 2 , k x = k 0 t − k ⋅ x {\displaystyle k_{0}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}},\,kx=k_{0}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }
である。このとき、
φ ( x ) = φ ( + ) ( x ) + φ ( − ) ( x ) {\displaystyle \phi (x)=\phi ^{(+)}(x)+\phi ^{(-)}(x)}