フリードリヒの不等式
Ω はユークリッド空間 R の有界部分集合で、その径は d とする。u : Ω → R はソボレフ空間 W 0 k , p ( Ω ) {\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )} に属するものとする(すなわち、u は W(Ω) に属し、そのトレースはゼロ)。このとき、次が成り立つ。
‖ u ‖ L p ( Ω ) ≤ d k ( ∑ | α | = k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) p ) 1 / p . {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}
この評価式において
‖ ⋅ ‖ L p ( Ω ) {\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}} はL ノルムを表す;
α = (α1, ..., αn) は多重指数で、そのノルムは |α| = α1 + ... + αn である;
Du は次の混合偏導函数である。
D α u = ∂ | α | u ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n . {\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}