関数方程式
(1) ※の両辺にx=y=0を代入すると、 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0}
(2) ※の両辺をxで偏微分すると、 f ′ ( x + y ) = f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x+y)=f'(x)}
これにx=0を代入すると、 f ′ ( y ) = f ′ ( 0 ) {\displaystyle f'(y)=f'(0)}
この微分方程式を解き、 f ( y ) = f ′ ( 0 ) y {\displaystyle f(y)=f'(0)y}
対称性より、 f ( x ) = f ′ ( 0 ) x {\displaystyle f(x)=f'(0)x}
例2: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 1 + f ( x ) f ( y ) {\displaystyle f(x+y)={\frac {f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}}} ・・・※
(1) ※の両辺にx=y=0を代入すると、 f ( 0 ) = 0 , ± 1 {\displaystyle f(0)=0,\pm 1}
(2) ※の両辺をxで偏微分すると、 f ′ ( x + y ) = f ′ ( x ) ( 1 + f ( x ) f ( y ) ) + f ′ ( x ) f ( y ) ( f ( x ) + f ( y ) ) ( 1 + f ( x ) f ( y ) ) 2 {\displaystyle f'(x+y)={\frac {f'(x)(1+f(x)f(y))+f'(x)f(y)(f(x)+f(y))}{(1+f(x)f(y))^{2}}}}