ランキン・セルバーグの方法
彼らは、上半平面上に作用するモジュラ群 SL2(Z) の基本領域 D 上の実解析的アイゼンシュタイン級数 E(τ,s) を持ち、ウェイト k である 2つのモジュラ形式 f と g との積を積分した。
∫ D f ( τ ) g ( τ ) ̄ E ( τ , s ) y k − 2 d x d y . {\displaystyle \displaystyle \int _{D}f(\tau ){\overline {g(\tau )}}E(\tau ,s)y^{k-2}dxdy\ .}
2つの形式のうちの一つがカスプ形式のときには、この積分は絶対収束し、そうでないときは、漸近解析を使いリーマンが行ったように、有理型接続を使わねばならない。従って、解析接続や函数等式は、アイゼンシュタイン級数の問題へと帰着された。積分は「展開」と呼ばれるテクニックにより対合 L-函数と同一視され、そこではアイゼンシュタイン級数と積分領域の定義は、より単純なディリクレ級数となり、L-函数の表現へと置き換わった。解析的性質の大域的な制御を互いに展開するという同時結合は、このテクニックを成功裏に導いた。