反傾表現
一般に、 Π {\displaystyle \Pi } がリー群の表現であれば、
π ( X ) = d d t Π ( e t X ) | t = 0 {\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}
によって与えられる π {\displaystyle \pi } はそのリー環の表現である。 Π ∗ {\displaystyle \Pi ^{*}} が Π {\displaystyle \Pi } に双対であれば、その対応するリー環の表現 π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} は、
π ∗ ( X ) = d d t Π ∗ ( e t X ) | t = 0 = d d t Π ( e − t X ) T | t = 0 = − π ( X ) T {\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}
で与えられる。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} がリー環で π {\displaystyle \pi } がベクトル空間 V {\displaystyle V} 上のその表現であれば、反傾表現 π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 上定義される:
すべての X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} に対して π ∗ ( X ) = − π ( X ) T {\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}} である。
いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。
ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現(フランス語版)と等しい。