安定写像
安定写像のモジュライ空間はコンパクトである。つまり、安定写像の任意の列が安定写像へ収束する。このことを示すために、逐次的に写像の列をリスケールする。逐一、新しい極限の領域が存在して、特異点を持ってもよいが、ひとつ前の逐次列よりも低いエネルギーの集中になっている。このステップで、シンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } は決定的な方法で入ってくる。ホモロジー類 B {\displaystyle B} を表す任意の滑らかな写像のエネルギーは、シンプレクティック領域 ω ( B ) {\displaystyle \omega (B)} により下に有界である。
ω ( B ) ≤ 1 2 ∫ | d f | 2 , {\displaystyle \omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},}
この式の等号は、写像が擬正則写像のとき、とのときに限り成立する。このことの意味は、リスケールの各々の逐次段階で現れるエネルギーを有界とするので、高々有限個のリスケールでエネルギーをすべて捉えることに必要とするだけである。結局、新しい極限領域での極限写像は安定となる。
コンパクト化された空間は再び、滑らかで向きづけられたオービフォールドである。非自明な自己同型を持つ写像はオービフォールドの中のイソトロピーを持つ点に対応する。
は、ある ω {\displaystyle \omega } -tame な概複素構造 J {\displaystyle J} と非斉次項 ν {\displaystyle \nu } に対して、次の摂動を持つコーシー・リーマン方程式を満たす函数である。
∂ ̄ j , J f := 1 2 ( d f + J ∘ d f ∘ j ) = ν . {\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .}
典型的には、 C {\displaystyle C} の穴あきオイラー標数 2 − 2 g − n {\displaystyle 2-2g-n} を負とするようなこれら g {\displaystyle g} と n {\displaystyle n} に対してのみ許されるので安定であり、高々有限個の C {\displaystyle C} の正則自己同型が存在して、マークされた点を保存することを意味する。
作用素 ∂ ̄ j , J {\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}} は楕円型であり、従ってフレドホルム型である。
重要な解析的な議論(適切にソボレフノルムで完備化し、陰函数定理とサードの定理(Sard's theorem)をバナッハ多様体に適用し、楕円型正規性(英語版)を使い滑らかにする)の後に、 ω {\displaystyle \omega } -tame J {\displaystyle J} と摂動 ν {\displaystyle \nu } の一般的な選択に対して、クラス A {\displaystyle A} を表す n {\displaystyle n} 個のマークした点を持ち、種数 g {\displaystyle g} の ( j , J , ν ) {\displaystyle (j,J,\nu )} -正則曲線の集合は、滑らかな向きづけ可能なアティヤ=シンガーの指数定理により与えられた次元を持つ次のオービフォールド(英語版)(orbifold)を形成する。
M g , n J , ν ( X , A ) . {\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A).}
d := dim R  M g , n ( X , A ) = 2 c 1 X ( A ) + ( dim R  X − 6 ) ( 1 − g ) + 2 n . {\displaystyle d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.}