フーリエ変換の応用
つまり ξ によってパラメータ化された基本解の組を選び、それらの一般解はパラメータ ξ についての積分の形をした(連続的な)線形結合である。しかしこの積分はフーリエ積分の形ではない。
次のステップでは、これらの積分についての境界条件を表現し、それらを与えられた関数 f と g に等しいとする。しかしこれらの表現は、導関数のフーリエ変換の性質により、フーリエ積分の形にもなる。
最後のステップは、両辺にフーリエ変換することでフーリエ反転を利用し、与えられた境界条件 f と g についての係数関数 a± と b± の表現を得る。
より高い視点から見ると、フーリエの手順はより概念的に再定式化できる。2つの変数が存在するため、空間変数でのみ行ったフーリエの方法よりはむしろ、x と t の両方でのフーリエ変換をしたほうが良い。ˆy は(シュワルツ)超関数の観点で考慮されなければならないことに注意。なぜなら y(x, t) は L にならないためである。波は時間が経過しても持続し、過渡的な現象ではない。しかしそれは拘束され、フーリエ変換は超関数として定義されうる。この方程式のフーリエ変換の演算特性は、2πiξ を掛けるために x について微分し、2πif を掛けるために t について微分する。ここで f は周波数である。こうして波動方程式は ˆy についての代数方程式となる。
ξ 2 y ^ ( ξ , f ) = f 2 y ^ ( ξ , f ) . {\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).