代数関数
によって定義される関数がそのような例である。
代数関数を定義する多項式方程式の係数多項式として、有理数体 Q 上の多項式を考え、「Q 上代数的な関数」について述べることがかなり多い。そのような代数的関数を有理点において評価した値は代数的数を与える。
代数的でない関数は超越関数と呼ばれる。例えば、指数関数 exp  x {\displaystyle \exp x} 、正接関数 tan  x {\displaystyle \tan x} 、対数関数 log  x {\displaystyle \log x} 、ガンマ関数 Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} などが該当する。超越関数の合成が代数関数になることがある。例えば、 cos  ( arcsin  x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}} である。
代数関数のインフォーマルな定義は代数関数の性質について多くの手掛かりを与えてくれる。直感的な理解を得るために、代数関数を、通常の代数的演算(英語版)、すなわち和、積、商、n 乗根を取ることによって書くことのできる関数と見ることは、助けになるであろう。もちろん、これは簡略化し過ぎである。というのも、還元不能の場合 (casus irreducibilis)(英語版) によって(そしてより一般にガロワ理論の基本定理によって)、代数関数は冪根によって書けるとは限らないからである。
まず、任意の多項式関数 y = p ( x ) {\displaystyle y=p(x)} が代数関数であることに注意する。これは単純に方程式
y − p ( x ) = 0 {\displaystyle y-p(x)=0}
の解 y として書けることによる。より一般に、任意の有理関数 y = p ( x ) q ( x ) {\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}} は方程式
q ( x ) y − p ( x ) = 0 {\displaystyle q(x)y-p(x)=0}
の解として代数関数になる。さらに、任意の多項式の n 乗根 y = p ( x ) n {\displaystyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}} は方程式
代数関数に関係するアイデアは少なくともルネ・デカルトまでさかのぼる。代数関数の最初の議論はエドワード・ウェアリングの 1794 年の An Essay on the Principles of Human Knowledge にあるものだと思われる。そこで彼は次のように書いている。
“let a quantity denoting the ordinate, be an algebraic function of the abscissa x, by the common methods of division and extraction of roots, reduce it into an infinite series ascending or descending according to the dimensions of x, and then find the integral of each of the resulting terms.”