粒子フィルタ
Sampling importance resampling (SIR) アルゴリズムは、モンテカルロフィルタ(北川源四郎 1993)やブートストラップフィルタ(Gordon et al. 1993)による本来の粒子フィルタであるが、よく使われる粒子フィルタアルゴリズムである。ここではフィルタリング確率分布 p ( x k | y 0 , ... , y k ) {\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\ldots ,y_{k})} を P {\displaystyle P} 個の重みつき粒子によって近似する。
{ ( w k ( L ) , x k ( L ) ) : L = 1 , ... , P } {\displaystyle \{(w_{k}^{(L)},x_{k}^{(L)})~:~L=1,\ldots ,P\}} .
重み w k ( L ) {\displaystyle w_{k}^{(L)}} は以後の ∑ L = 1 P w k ( L ) = 1 {\displaystyle \sum _{L=1}^{P}w_{k}^{(L)}=1} である粒子の相対事後分布(密度)の近似となっており、 ∑ L = 1 P w k ( L ) = 1 {\displaystyle \sum _{L=1}^{P}w_{k}^{(L)}=1} を満たす。
SIRは重点サンプリング の逐次版 (つまり、再帰的) と言える。
粒子法は他のサンプルリング法と同様に、フィルタリング確率分布 p ( x k | y 0 , ... , y k ) {\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})} を近似する点列を生成する。したがって P {\displaystyle P} 個のサンプル点があれば、フィルタリング確率分布による期待値は
∫ f ( x k ) p ( x k | y 0 , ... , y k ) d x k ≈ 1 P ∑ L = 1 P f ( x k ( L ) ) {\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})dx_{k}\approx {\frac {1}{P}}\sum _{L=1}^{P}f(x_{k}^{(L)})}
によって近似される。そして通常のモンテカルロ法と同様に f ( ⋅ ) {\displaystyle f(\cdot )} を適切に調整することで, 近似の程度に応じた次数までの モーメント を得ることができる。