閉微分形式
三次元の場合、1-形式 ω ≔ A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、 ( ∂ A ∂ y ) x , z = ( ∂ B ∂ x ) y , z ; ( ∂ A ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ x ) y , z ; ( ∂ B ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ y ) x , z {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}} となるときである。これは Ω ≔ (A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。