伊藤の補題
上記の確率過程を含む二回微分の定義(1) を用いる。 第一式は
S = ∑ i = 1 m ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 2 {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{m}(B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}}
と置くと、 S {\displaystyle S} の期待値は
E ( S ) = ∑ i = 1 m E ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 2 ) {\displaystyle E(S)=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})}
である。 ウィーナー過程の性質により、それぞれの B ( t i ) − B ( t i − 1 ) {\displaystyle B(t_{i})-B(t_{i-1})} は独立だから S {\displaystyle S} の分散は
V ( S ) = ∑ i = 1 m V ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 2 ) = ∑ i = 1 m E ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 4 ) − ( E ( ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) 2 ) ) 2 {\displaystyle V(S)=\sum _{i=1}^{m}V((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2})=\sum _{i=1}^{m}E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{4})-(E((B(t_{i})-B(t_{i-1}))^{2}))^{2}}