階乗冪
ただし、 [ n k ] {\displaystyle \textstyle \left[{n \atop k}\right]} は第一種スターリング数、 { n k } {\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}} は第二種スターリング数である。
同様に、上昇階乗冪と通常の冪には次の関係がある。
x n ̄ = ∑ k = 0 n [ n k ] x k , {\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},}
x n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k { n k } x k ̄ . {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\overline {k}}.}
上昇(または下降)階乗冪全体の成す多項式列は二項型である。即ち
( a + b ) n _ = ∑ k = 0 n ( n k ) a k _ b n − k _ , {\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{\underline {k}}\,b^{\underline {n-k}},}
( a + b ) n ̄ = ∑ k = 0 n ( n k ) a k ̄ b n − k ̄ {\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{\overline {k}}\,b^{\overline {n-k}}}
あるいはこれらをまとめて
( a + b ) n ± = ∑ k = 0 n ( n j ) ( a ) k ± ( b ) n − k ± {\displaystyle (a+b)_{n}^{\pm }=\sum _{k=0}^{n}{n \choose j}(a)_{k}^{\pm }(b)_{n-k}^{\pm }}
が成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、ヴァンデルモンドの畳み込み(英語版)と呼ばれる。
n, k は自然数とする。n-元の集合から k-部分集合を選び出す k-順列の総数は下降階乗冪 x である。同じく k-組合せの総数は二項係数であったから
( n k ) = n k _ k ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}
なる関係式を得る。これは
( n + k − 1 k ) = n k ̄ k ! {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}}
とも書ける。