ペラン数
Binetの公式を用いて、 G(kn) を G(n−1), G(n) , G(n+1) で表すことが出来る。
G ( n − 1 ) = p − 1 p n + q − 1 q n + r − 1 r n G ( n ) = p n + q n + r n G ( n + 1 ) = p p n + q q n + r r n {\displaystyle {\begin{matrix}G(n-1)&=&p^{-1}p^{n}+&q^{-1}q^{n}+&r^{-1}r^{n}\\G(n)&=&p^{n}+&q^{n}+&r^{n}\\G(n+1)&=&pp^{n}+&qq^{n}+&rr^{n}\end{matrix}}}
であるが、これは x 3 − x − 1 {\displaystyle x^{3}-x-1} の分解体上の係数を持つ3つの線型方程式であり、逆行列を求めることで p n , q n , r n {\displaystyle p^{n},q^{n},r^{n}} を計算することが出来る。これらを k 乗し、和を求めればよい。
magmaでのコードの例を以下に示す。
1878年にはエドゥアール・リュカが 、1899年にはR. Perrin が この数列について言及している。1982年にはAdamsとShanksがこの数列について詳しく調べ、ペラン数列と名付けた 。