フーリエ変換
L(R) の正規直交基底の重要な一つはエルミート函数系
ψ n ( x ) := 2 4 n ! e − π x 2 H n ( 2 x π ) {\displaystyle {\psi }_{n}(x):={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}\,e^{-\pi x^{2}}H_{n}(2x{\sqrt {\pi }})}
で与えられる。ここで Hn(x) は「確率論者の」エルミート多項式と呼ばれる、 H n ( x ) := ( − 1 ) n e x 2 / 2 D n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}(x):=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}D^{n}e^{-x^{2}/2}} で定義される関数である。この規約の下、フーリエ変換は
R 上の有限ボレル測度 μ のフーリエ変換は
μ ^ ( ξ ) = ∫ R n e − 2 π i x ⋅ ξ d μ {\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,d\mu }
によって与えられる。この変換は絶対可積分函数のフーリエ変換がもつ多くの性質を引き続き満足する。大きな違いの一つに、測度に関してリーマン・ルベーグの補題が成り立たないことが挙げられる。dμ = ƒ(x)dx の場合には上述の定義式を f の通常のフーリエ変換の定義に簡約化することができる。
このフーリエ変換を用いて連続測度の特徴づけを与えることができる。ボホナーの定理(英語版)はそのような函数を測度のフーリエ・スティルチェス変換として得られるものとして特徴付ける。
さらに言えば、ディラックのデルタ函数は函数ではないが有限ボレル測度であり、そのフーリエ変換は定数函数となる(特殊値は用いるフーリエ変換の形に依存する)。
ψ ^ n ( ξ ) = ( − i ) n ψ n ( ξ ) {\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}{\psi }_{n}(\xi )}
で与えられる。言い換えれば、エルミート関数系は L(R) 上のフーリエ変換の固有関数からなる完全正規直交系を成す。しかしながら、この固有関数系の選び方は一意ではなく、フーリエ変換の相異なる固有値は {±1, ±i} の 4 つしかなく、同じ固有値に属する固有関数の任意の線型結合はふたたび固有関数になる。この結果として L(R) を 4 つの空間 H0, H1, H2, H3 で、フーリエ変換が Hk 上で単に i-倍として作用するものの直和に分解することができる。この方法によるフーリエ変換の定義はウィーナーによる。エルミート関数を選ぶのが便利なのは、それらが周波数域と時間域の両方で指数関数的に局在することと、それゆえに時間周波数解析において用いられる非整数次フーリエ変換が得られることにある 。
・ f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} ( c {\displaystyle c} はゼロ以外の定数)については、急減少関数の列である超関数 { c exp  ( − x 2 / n ) } {\displaystyle \{c\exp(-x^{2}/n)\}} を考え( lim n → ∞ c exp  ( − x 2 / n ) = c {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c\exp(-x^{2}/n)=c} のため、任意の急減少関数 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ c exp  ( − x 2 / n ) φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ c φ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n)\phi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }c\phi (x)dx} となり広い意味で同一視可能)、そのフーリエ変換は急減少関数の列である超関数 { ∫ − ∞ ∞ c exp  ( − x 2 / n − 2 π i x ξ ) d x } = { c exp  ( − n π 2 ξ 2 ) ∫ − ∞ ∞ exp  ( − ( x + n π i ξ ) 2 / n ) d x } = { c n π exp  ( − n π 2 ξ 2 ) } {\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n-2\pi ix\xi )dx\}=\{c\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-(x+n\pi i\xi )^{2}/n)dx\}=\{c{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\}} となる。
フーリエ変換の定義として慣習的によく用いられるものが3個ある。しばしば、フーリエ変換を毎秒ラジアンを単位とする角周波数 ω = 2πξ を用いて表す。ξ = ω/(2π) と置き換えれば、上述の定義式はこの規約の下
f ^ ( ω ) = ∫ R n f ( x ) e − i ω ⋅ x d x {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx}
と書くことができ、また同じくこの規約の下で逆変換は
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ R n f ^ ( ω ) e i ω ⋅ x d ω {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega }
となる。本項における定義とは異なり、この規約によって定義されるフーリエ変換はもはや L(R) 上の変換としてユニタリではなく、フーリエ変換と逆変換との間の対称性も失われている。
他によく用いられる流儀は (2π) の因子をフーリエ変換とその逆変換の間で均等に分割するもので、