ギブズ現象
を計算するのだが、この式は、sinc関数 sinc  ( x ) := sin  ( x ) / x {\displaystyle \operatorname {sinc} (x):=\sin(x)/x} を用いると、次のように表せる。
S N f ( 2 π 2 N ) = 1 2 [ 2 π N sinc  ( π N ) + 2 π N sinc  ( 3 π N ) + ⋯ + 2 π N sinc  ( ( N − 1 ) π N ) ] {\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right]}
右辺の角括弧内の式は、積分 ∫ 0 π sinc  ( t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt} の数値積分近似である(より正確には、間隔 2π/N による中点法則近似である)。
∫ 0 π sin  t t d t = Si  ( π ) = 1.851937052 ⋯ = π 2 + π ⋅ 0.089490 ⋯ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=\operatorname {Si} (\pi )=1.851937052\cdots ={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot 0.089490\cdots }
は、「ウィルブラハム=ギブズ定数」(Wilbraham–Gibbs constant) と呼ばれることもある(Siは正弦積分)。
ギブズ現象は、アルバート・マイケルソンにより、グラフ作成機において最初に発見された。マイケルソンは、1898年に、フーリエ級数を計算・再合成する機械的装置を開発したが、矩形波を装置に入力すると、グラフは、不連続点付近で行ったり来たりしようとするのだった。これは、発生すると、フーリエ係数の個数が無限大に近付いても持続するようだった。
この現象を始めて数学的に説明したのが、ジョシュア・ウィラード・ギブズだった。大まかな表現をするなら、この現象は、不連続関数を連続関数である正弦波関数および余弦波関数からなる級数で近似することに内在する困難の現れである。それは、また、ある関数のフーリエ係数が次数の増大に応じて減衰していく仕方が、その関数の滑らかさに従うという原則に、緊密に関係している。