時間尺度微分積分学
各時間尺度に対して自然な測度 μ Δ ( A ) := λ ( ρ − 1 ( A ) ) {\displaystyle \mu ^{\Delta }(A):=\lambda (\rho ^{-1}(A))} が付随する。ただし、λ はルベーグ測度で、ρ は R 上定義された後方シフト作用素とする。デルタ積分は、この測度に関する通常のルベーグ–スティルチェス積分 ∫ r s f ( t ) Δ t = ∫ [ r , s ) f ( t ) d μ Δ ( t ) {\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)} として理解でき、またデルタ微分はこの測度に関するラドン–ニコディム微分 f Δ ( t ) = d f d μ Δ ( t ) {\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t)} となる。
Anal. Appl. 332 (2007) 1291–1307
↑ Bilateral Laplace Transforms on Time Scales: Convergence, Convolution, and the Characterization of Stationary Stochastic Time Series Archived 2011-07-14 at the Wayback Machine., John M. Davis, Ian A. Gravagne and Robert J. Marks II
↑ Volterra integral equations on time scales: Basic qualitative and quantitative results with applications to initial value problems on unbounded domains Archived 2009-09-13 at the Wayback Machine., Tomasia Kulik and Christopher C. Tisdell, 2007
↑ Bastos, Nuno R. O.; Mozyrska, Dorota; Torres, Delfim F. M.. Fractional Derivatives and Integrals on Time Scales via the Inverse Generalized Laplace Transform. arXiv:1012.1555. Bibcode: 2010arXiv1012.1555B.
デルタ微分に関する反微分(不定積分)としてデルタ積分が定義される。函数 F(t) が連続な導函数 f(t) := F(t) を持つときには
と置けばよい。