ゴルディングの不等式
簡単な例として、ラプラス作用素 Δ を考える。より具体的に、f ∈ L(Ω) に対して、次のポアソン方程式を解くことを考える。
{ − Δ u ( x ) = f ( x ) , x ∈ Ω ; u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω ; {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}}
ここに Ω は R 内の有界なリプシッツ領域である。この問題に対応する弱形式は、次を満たす u をソボレフ空間 H0(Ω) 内で見つけることである。
B [ u , v ] = ⟨ f , v ⟩ for all v ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,v]=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
ここに
B [ u , v ] = ∫ Ω ∇ u ( x ) ⋅ ∇ v ( x ) d x , {\displaystyle B[u,v]=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}
⟨ f , v ⟩ = ∫ Ω f ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \langle f,v\rangle =\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x}
である。