ビアンキ分類
唯一のリー代数は、可換リー代数 R で非零の実数からなる群で外部自己同型群を持っている。
VII0型: 可解でユニモジュラ。R と R の半直積。そこでは行列 M は零ではない虚数の固有値を持つ。これは平面の等長群のリー代数である。単連結群は、中心 Z と非零な実数と位数 2 の群の外部自己同型群を持つ。
VIII型: 半単純で、ユニモジュラ。トレースをもたない 2 × 2 の行列のリー代数 sl2(R)。単連結な群は中心 Z と位数 2 の外部自己同型群を持つ。
IX型: 半単純でユニモジュラ。直交群 O3(R) のリー代数。単連結群は位数 2 の中心と自明な外部自己同型群をもち、スピン群である。
3-次元複素リー代数の分類は、VIII型を除き同様であり、IX型は同型となり、VI型と VII型は双方ともリー代数の単純な族の部分となる。
連結な 3-次元リー群は、次のように分類することができる。中心の離散部分群で割った単連結リー群の商である。従って、上の表から読み取ることができる。
このグループ分けは、サーストン(Thurston)の幾何化予想の 8つの幾何学に関連している。さらに詳しくは、8つの幾何学の内の 7つは、単連結群上の左不変計量として実現することができる(もうひとつの方法も、ときには関連することがある。)サーストンの型が S×R の幾何学はこの方法では実現することができない。
2つのリー代数が存在する。
可換リー代数 R で、外部自己同型群 GL2(R) を持っている。
2 × 2 の上半三角行列でトレースが 0 である可解リー代数である。単純連結群は、自明な中心と位数 2 の外部自己同型群を持っている。