随伴関手
ここで、 Φ Y , X ( f : F ( Y ) → X ) = G ( f ) ∘ η Y {\displaystyle \Phi _{Y,X}(f:F(Y)\to X)=G(f)\circ \eta _{Y}} とする η {\displaystyle \eta } が自然変換で、Gが関手であることから、全てのCの対象 X 0 {\displaystyle X_{0}} 、 X 1 {\displaystyle X_{1}} とDの対象 Y 0 {\displaystyle Y_{0}} 、 Y 1 {\displaystyle Y_{1}} と全ての射 x : X 0 → X 1 {\displaystyle x:X_{0}\to X_{1}} と y : Y 1 → Y 0 {\displaystyle y:Y_{1}\to Y_{0}} に対して、 Φ Y 1 , X 1 ( x ∘ f ∘ F ( y ) ) = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( F ( y ) ) ∘ η Y 1 = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η Y 0 ∘ y = G ( x ) ∘ Φ Y 0 , X 0 ( f ) ∘ y {\displaystyle \Phi _{Y_{1},X_{1}}(x\circ f\circ F(y))=G(x)\circ G(f)\circ G(F(y))\circ \eta _{Y_{1}}=G(x)\circ G(f)\circ \eta _{Y_{0}}\circ y=G(x)\circ \Phi _{Y_{0},X_{0}}(f)\circ y} であり、Φは両方の引数に関して自然である。
同様の議論により普遍射による左随伴関手の定義からhom集合の随伴を構成することができる。(右随伴を元に構成するほうが普通である。なぜなら、随伴対の右随伴を包含関手や忘却関手により自明なやり方で定めることが多くあるからである。)
この記事のたくさんの例ではよい数学的構造の多くが随伴関手であることを少しだけ紹介する。 このことは、左(右)随伴関手に関する一般的な定理、たとえば色々な定義のしかたの同値性や余極限(極限)を保存するという定理(このことは数学の全ての分野で見つかる)から、多くの役に立つ・非自明な結果を導くことが出来る。
自由群の構成は極めて普通の随伴による構成であり、上記の詳細の分かりやすくて便利な例である。
関手F : Grp ← Setは各集合YにYの要素の生成する自由群を対応させるものとし、関手G : Grp → Setは群Xにその台集合を対応させる忘却関手とする。以下に示すようにFはGの左随伴となる。
「終」普遍射。各群Xについて、群FGXはGXの生成する、すなわちXの元たちが生成する自由群である。群の準同型 ε X : F G X → X {\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X} をFGXの生成元を対応するXの元に写すものとする。これは自由群の普遍性から常に存在する。このとき ( G X , ε X ) {\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})} はFからXへの普遍射である。なぜなら、自由群FZからXへの群の準同型は ε X : F G X → X {\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X} を通して、一意的なZからGXへの写像経由で分解されるからである。これは(F, G)が随伴の対であることを意味する。
「始」普遍射。各集合Yに対して、GFYは単にYの生成する自由群FYの台集合である。写像 η Y : Y → G F Y {\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY} は生成元の包含により与えられる。各 ( F Y , η Y ) {\displaystyle (FY,\eta _{Y})} はYからGへの普遍射である。
( T ⊆ Y ) ↦ f ∗ ( T ) = f − 1 [ T ] {\displaystyle (T\subseteq Y)\;\mapsto \;f^{*}(T)=f^{-1}\lbrack T\rbrack } ( S ⊆ X ) ↦ ∃ f S = { y ∈ Y ∣ ∃ x ∈ f − 1 [ { y } ] , x ∈ S } = f [ S ] {\displaystyle (S\subseteq X)\;\mapsto \;\exists _{f}S=\{\;y\in Y\;\mid \;\exists x\in f^{-1}\lbrack \{y\}\rbrack ,x\in S\;\}=f\lbrack S\rbrack } ( S ⊆ X ) ↦ ∀ f S = { y ∈ Y ∣ ∀ x ∈ f − 1 [ { y } ] , x ∈ S } {\displaystyle (S\subseteq X)\;\mapsto \;\forall _{f}S=\{\;y\in Y\;\mid \;\forall x\in f^{-1}\lbrack \{y\}\rbrack ,x\in S\;\}}
See also powerset for a slightly simplified presentation.