位置エネルギー
地表付近において、質量が m の物体が基準面から h だけ高い位置にあるとする。その物体が持つ位置エネルギーは、重力加速度を定数 -g とおくと
{ f = − m g } ⟶ U ( h ) = − ∫ 0 h ( − m g ) d r = m g h {\displaystyle \left\lbrace f=-mg\right\rbrace \longrightarrow U(h)=-\int _{0}^{h}(-mg)dr=mgh}
で表される。
上式は万有引力による位置エネルギーの地表付近での近似である。 万有引力の位置エネルギーUは、地球の質量を M、万有引力定数を G とすると、地球の中心から距離 r 離れた質量 m の物体について
{ f ( r ) = − G M m r 2 } ⟶ U ( r ) = − ∫ ( − G M m r 2 ) d r = − G M m r + C . {\displaystyle \left\lbrace f(r)=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\right\rbrace \longrightarrow U(r)=-\int \left(-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\right)\,dr=-G{\frac {Mm}{r}}+C.}
ただし、位置エネルギーの基準点は(積分定数Cとして)任意に決められるが、通常は万有引力が零となる無限遠を基準とする。
今、地表から h だけ高い質量 m の物体の位置エネルギーを考える。
流体の位置エネルギーを水柱の高さに置き換えたものを位置水頭という。水の位置エネルギーはベルヌーイの定理により、水力として利用される。