シュニレルマン密度
このようにすると上記の定理は、任意の正のシュニレルマン密度を持つ集合は、加法的な基であるということになる。この用語を使うと、平方数の集合 G 2 = { k 2 } k = 1 ∞ {\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }} の加法的な基の次数は 4 であることになる。全ての平方数の集合を G 2 = { k 2 } k = 1 ∞ {\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }} とすると、ラグランジュの四平方定理は σ ( G 2 ⊕ G 2 ⊕ G 2 ⊕ G 2 ) = 1 {\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1} と書きなおすことができる。(ここに、記号 A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} は、 A ∪ { 0 } {\displaystyle A\cup \{0\}} と B ∪ { 0 } {\displaystyle B\cup \{0\}} との sumset とする。
k {\displaystyle k} と N {\displaystyle N} を自然数とする。 G k = { i k } i = 1 ∞ {\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }} とする。 r N k ( n ) {\displaystyle r_{N}^{k}(n)} を x i {\displaystyle x_{i}} の方程式
x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k = n {\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n\,}
の非負の整数解の数とし、 R N k ( n ) {\displaystyle R_{N}^{k}(n)} を x i {\displaystyle x_{i}} の不等式
0 ≤ x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k ≤ n , {\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}
の非負の整数解の数とする。すると、 R N k ( n ) = ∑ i = 0 n r N k ( i ) {\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)} となり、次の 2つを得る。
を示した。
この加法により密度が増える性質を持つ数列は、ヒンチンにより必須な構成要素(essential components)と名付けられた。ユーリ・リンニク(英語版)(Yuri Linnik)は、 x より小さな x 個の元を持つ必須な構成要素を構成することで、必須な構成要素が必ずしも加法的な基である必要はないことを示した。さらに詳しくは、数列がある C < 1 に対し x よりも小さな元を
e ( log  x ) C {\displaystyle e^{(\log x)^{C}}\,}
個持っていることを、彼は示した。この結果は、E. ワーシング(E. Wirsing)により、
e log  x log  log  x {\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}}
まで改善された。
暫くの間、どのくらい多くの要素を必須な構成要素が持たねばならないかについては未解決問題であった。最終的には、イムレ・ルッツァ(英語版)(Imre Z. Ruzsa)は、必須な構成要素はある x に対しては少なくとも
( log  x ) C {\displaystyle (\log {x})^{C}}
個の元を持ち、全ての C > 1 に対して x に対して必須な構成要素は高々 (log x) 個の元しか持たないことを結論付けた。