全順序
推移律:a < b かつ b < c ならば a < c 三分律(英語版):a < b または b < a または a = b の何れか一つのみが成立する。 恒等性を付随する同値関係とする狭義弱順序(英語版)である。
推移的かつ三分的な二項関係 < が最初に与えられたとき、そこから(広義の)全順序 ≤ を定めることも、次の同値な二種類の方法
a ≤ b ⇔ a < b または a = b
a ≤ b ⇔ b < a でない
でできる。
他にも2つ、これらの補関係 ≥ と > を考えることができ、四つ組 {<, >, ≤, ≥} はどれからでも他の3種類を導出することができるから、集合が全順序付けられることをいうのにいずれの関係を用いて定義・記述してもよい(特に広義か狭義かは記号で区別できる)。
二つの全順序集合の直積集合上に三つの順序を入れることができる。強い順に並べると
辞書式順序:(a, b) ≤ (c, d) ⇔ a < c または (a = c かつ b ≤ d)(これはまた全順序を与える)
積順序:(a, b) ≤ (c, d) ⇔ a ≤ c かつ b ≤ d(これは半順序になる)
対応する狭義全順序の直積関係:(a,b) ≤ (c,d) ⇔ (a < c かつ b < d) または (a = c かつ b = d)(これも半順序)
これら三種の順序は二つより多くの直積の場合にも同様に定義することができる。
数ベクトル空間 R にこれらのそれぞれを適用して、順序線型空間(英語版)にすることができる。
R の部分集合上定義される実 n変数の実函数は、その部分集合上に狭義弱順序と対応する全前順序(英語版)を定める。