ヴァイエルシュトラスの楕円函数
と表すこともよく行われる。
g2 および g3 は Im(τ)>0 において正則で、フーリエ級数は、ノーム q = exp(iπτ) の平方を用いて書くことができて、
g 2 ( τ ) = 4 π 4 3 [ 1 + 240 ∑ k = 1 ∞ σ 3 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}
および
g 3 ( τ ) = 8 π 6 27 [ 1 − 504 ∑ k = 1 ∞ σ 5 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}
となる。ただし、σa(k) は約数函数である。これらの式はランベルト級数を用いて書き直すこともできる。
不変量をヤコビのテータ函数を用いて書くこともできるが、テータ函数の収斂は非常に速く、これは数値計算に非常に有効な方法である。Abramowitz & Stegun (1965) の記法で、ただし原始半周期は ω1, ω2 と書くものとすると、不変量に関して
Λ = { m ω 1 + n ω 2 : m , n ∈ Z } {\displaystyle \Lambda =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}
を考えれば、格子の任意の生成対に対して
℘ ( z ; Λ ) = ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}
は複素変数と格子の函数としてのペー函数を定める。
上半平面に属する複素数 τ に対して、
℘ ( z ; τ ) = ℘ ( z ; 1 , τ ) = 1 z 2 + ∑ n 2 + m 2 ≠ 0 { 1 ( z + m + n τ ) 2 − 1 ( m + n τ ) 2 } {\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}\right\}}
と置く。上記の和は −2-次の斉次和である。このペー函数を用いると、先に述べた周期対に対するペー函数は
℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = ℘ ( z ω 1 ; ω 2 ω 1 ) ω 1 2 {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}}
が i = 1, 2, 3 に対して成り立つ。逆に、函数値がこの多項式の根に等しいならば、導函数は零になる。
g2, g3 がともに実数で Δ > 0 ならば、ei は全て実数であり、ペー函数 ℘ は 0, ω3, ω1 + ω3, and ω1 を四頂点とする矩形の周上で実数値をとる。上で述べたように根を e1 > e2 > e3 と順序付けるならば、第一半周期は実数
ω 1 / 2 = ∫ e 1 ∞ d z 4 z 3 − g 2 z − g 3 {\displaystyle \omega _{1}/2=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
になり、一方第三半周期は純虚数
ω 3 / 2 = i ∫ − e 3 ∞ d z 4 z 3 − g 2 z − g 3 {\displaystyle \omega _{3}/2=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}
になる。