GNS表現
C*-代数 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} において、 φ : A → C {\displaystyle \varphi :{\mathfrak {A}}\rightarrow \mathbb {C} } を状態(state)、すなわち、以下の性質を満たす、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} から複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } への規格化された正値線形汎関数とする。
(1) 線形性 φ ( λ A + μ B ) = λ φ ( A ) + μ φ ( B ) ∀ A , B ∈ A , ∀ λ , μ ∈ C {\displaystyle \varphi (\lambda A+\mu B)=\lambda \varphi (A)+\mu \varphi (B)\quad {}^{\forall }A,B\in {\mathfrak {A}},\,{}^{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb {C} }
(2) 正値性 φ ( A ∗ A ) ≥ 0 ∀ A ∈ A {\displaystyle \varphi (A^{\ast }A)\geq 0\quad {}^{\forall }A\in {\mathfrak {A}}}