マイヤーの関係式
実在気体のモデルとしてファン・デル・ワールス気体を考える。ファンデルワールスの状態方程式
p = R T V m − b − a V m 2 {\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\text{m}}-b}}-{\frac {a}{{V_{\text{m}}}^{2}}}}
から偏微分が
( ∂ p ∂ T ) V = R V m − b {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {R}{V_{\text{m}}-b}}}
( ∂ V ∂ T ) p = V m − b T / [ 1 − 2 a R T V m ⋅ ( 1 − b V m ) 2 ] {\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {V_{\text{m}}-b}{T}}{\bigg /}\left[1-{\frac {2a}{RTV_{\text{m}}}}\cdot \left(1-{\frac {b}{V_{\text{m}}}}\right)^{2}\right]}
と得られるので、ファン・デル・ワールス気体では熱容量の差に対して
圧力 p を一定に保ったまま、温度が ΔT 上昇するまでゆっくりと加熱したとき、この理想気体の得た熱量は Q = CpΔT と表される。このとき理想気体のした仕事は、状態方程式 pV = nRT を用いると W = pΔV = nRΔT と表される。したがってこの過程では Q − W = C p Δ T − n R Δ T {\displaystyle Q-W=C_{p}\Delta T-nR\Delta T}
である。
マイヤーの関係式(マイヤーのかんけいしき、英語: Mayer's relation)とは、理想気体の2つの熱容量の関係を与える式である。ドイツ人物理学者ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤーが、1842年に熱の仕事当量を初めて発表した際に用いた。 マイヤーの関係式は理想気体の状態方程式から導かれる関係式であり、理想気体や半理想気体では厳密に成り立つが、実在気体では近似的にのみ成り立つ。
マイヤーの関係式によると、気体の定積熱容量 CV と定圧熱容量 Cp の間には
C p = C V + n R {\displaystyle C_{p}=C_{V}+nR}
の関係が成立する。ここで n は気体の物質量であり、R はモル気体定数である。この式の両辺を n で割ると、気体の定積モル熱容量 CV,m と定圧モル熱容量 Cp,m の間の関係式
C p , m = C V , m + R {\displaystyle C_{p,{\text{m}}}=C_{V,{\text{m}}}+R}
が得られる。この式の両辺をさらに気体のモル質量 M で割ると、気体の定積比熱 cv と定圧比熱 cp の間の関係式
c p = c v + R s {\displaystyle c_{p}=c_{v}+R_{\text{s}}}
が得られる。ここで Rs は比気体定数である。