ミクシンスキーの演算子法
この代数の元は連続函数だが、積が畳み込みで定義されていることにより、積分作用素を含むと考えることができる。実際、定数函数 l = {1} は
l f = { ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ } {\displaystyle lf=\left\{\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \right\}}
を満たすから、この代数における左からの積を作用
C ↷ C : C × C → C ; ( φ , f ) ↦ φ f {\displaystyle {\mathcal {C}}\curvearrowright {\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}};\;(\varphi ,f)\mapsto \varphi f}
と考えるときの、作用素 φ として l は積分演算子である。このときさらに、積分演算子 l の逆元として微分演算子を考えたいとしても、畳み込みに関する単位元が存在しないため、このままではうまくいかない。なお、ここでのlは、x≧0で、1;x<0では0なので、不連続関数であり、ヘビサイド関数Y(x)と書かれることもある。
実数直線内の半開区間 [0,∞) 上で定義された複素数値連続函数全体の成すベクトル空間
C = C ( [ 0 , ∞ ) ; C ) ; {\displaystyle {\mathcal {C}}=C([0,\infty );\mathbb {C} );} f + g := { f ( x ) + g ( x ) } , α f := { α f ( x ) } , ( f , g ∈ C , α ∈ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}f+g&:=\{f(x)+g(x)\},\\\alpha f&:=\left\{\alpha f(x)\right\},\end{aligned}}\quad (f,g\in {\mathcal {C}},\alpha \in \mathbb {C} )}
がミクシンスキーの演算子法の基盤である。ここではミクシンスキーに従って、この空間の元としての函数を {f(x)} または f と書くことにし、f の x における値 f(x) とは区別して考える(変数を省略する記法を使った場合は、本項では一般に x を変数とするものと約束する)。この空間に積を