ディンキン図形
ディンキン図形は有限コクセター群のコクセター図形と密接に関係し、しばしば同じ用語を使う。
ディンキン図形は有限群のコクセター図形と2つの重要な点において異なる:
図形の自己同型は追加のリー群やリー型の群(英語版)を生じ、これは有限単純群の分類において中心的に重要な群である。
ディンキン図形のことばでのリー群のシュバレー群(英語版)構成は古典群のいくつか、すなわちユニタリ群と非分裂直交群(英語版)を生み出さない。Steinberg 群(英語版)はユニタリ群 An を構成し、他の直交群は Dn として構成される、ただしどちらの場合においてもこれは図形自己同型を体自己同型と組み合わせることが必要である。これはまた追加の exotic リー群 E6 と D4 も生じ、後者は位数 3 の自己同型を持つ体上でしか定義されない。
正標数における追加の図形自己同型は鈴木・リ群(英語版) B2, F4, G2 を生じる。
ディンキン図形は慣習的にはリストに重複が無いように番号づけられる:An に対しては n ≥ 1, Bn に対しては n ≥ 2, Cn に対しては n ≥ 3, Dn に対しては n ≥ 4, そして En は n = 6 から始まる。しかしながら族は小さい n に対しても定義でき、図形の例外同型(英語版)を、そしてリー環と付随するリー群の対応する例外同型を生じる。
明らかに、族を n = 0 あるいは n = 1 から始めることができ、空の図形と頂点が1つの図形はそれぞれ1つずつしかないから、それらはすべて同型である。連結ディンキン図形の他の同型は:
A 1 ≅ B 1 ≅ C 1 {\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}
B 2 ≅ C 2 {\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}
D 2 ≅ A 1 × A 1 {\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}
D 3 ≅ A 3 {\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}
E 3 ≅ A 1 × A 2 {\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}
E 4 ≅ A 4 {\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}
E 5 ≅ D 5 {\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}
これらの同型は単純・半単純リー環の同型に対応し、リー群の同型にも対応する。それらは En 族(英語版)に文脈を与えもする。
ディンキン図形は「複素」半単純リー環を分類する。実半単純リー環は複素半単純リー環の実形(英語版)として分類でき、これらは佐武図形(英語版)によって分類され、これらはディンキン図形から、あるルールに従って、いくつかの頂点を黒でラベル付け、いくつかの他の頂点を対で矢印で結ぶことによって、得られる。