積の微分法則
さてこのとき、h(x0+Δx) = f(x0+Δx)g(x0+Δx) = (f(x0) + Δf)(g(x0)+Δg) を分配法則に従って展開すれば、
を得る。証明自体には不必要だが、この積を以下のような面積図
を用いて図形的に表すのも理解の一助となるであろう。Δh の値を得るには、先の等式 (∗) から h(x0) = f(x0)g(x0) を引けばよいのだから、面積図で言えば白い矩形の面積を除く残りの三矩形の面積にあたる
Δ h = Δ f g ( x 0 ) + f ( x 0 ) Δ g + Δ f Δ g {\displaystyle \Delta h=\Delta fg(x_{0})+f(x_{0})\Delta g+\Delta f\Delta g}
を得る(右辺の前二項は面積図で言うところの青い矩形の面積に相当し、三番目の項は灰色の矩形の面積に相当する)。
微分係数 h'(x0) を求めるためには
の Δx を 0 に近づけた極限を求めねばならない。極限の基本性質と微分の定義を用いて、一項づつ処理していこう。まずは
lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x g ( x 0 ) ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}g(x_{0})\right)=f'(x_{0})g(x_{0})}
偏導函数に対する積の法則は
∂ n ∂ x 1 ⋯ ∂ x n ( u v ) = ∑ S ∂ | S | u ∏ i ∈ S ∂ x i ⋅ ∂ n − | S | v ∏ i ∉ S ∂ x i {\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
と書ける。ただし、添字 S は集合 {1, ..., n} の 2 個ある部分集合の全てに亙る。例えば n = 3 のときは
スカラー場の勾配の概念に対してもやはり同様の積の法則
∇ ( f ⋅ g ) = ∇ f ⋅ g + f ⋅ ∇ g {\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}
が成立する。
( f → × g → ) ′ = f → ′ × g → + f → × g → ′ {\displaystyle ({\vec {f}}\times {\vec {g}})'={\vec {f}}'\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}'}
(注意すべきこととして、交叉積は交換的ではないから
( f × g ) ′ = f ′ × g + g ′ × f {\displaystyle (f\times g)'=f'\times g+g'\times f}
と書いてしまったら誤りである。しかし交叉積は反交換的であるから、
( f × g ) ′ = f ′ × g − g ′ × f {\displaystyle (f\times g)'=f'\times g-g'\times f}
と書くことはできる)。
多変数の連鎖律の特別な場合として積の法則を捉えることもできる。
d ( a b ) d x = ∂ ( a b ) ∂ a d a d x + ∂ ( a b ) ∂ b d b d x = b d a d x + a d b d x . {\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.}
h ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ h Δ x = lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x g ( x 0 ) ) + lim Δ x → 0 ( f ( x 0 ) Δ g Δ x ) + lim Δ x → 0 ( Δ f Δ g Δ x ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) + 0 = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x_{0})&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}g(x_{0})\right)+\lim _{\Delta x\to 0}\left(f(x_{0}){\frac {\Delta g}{\Delta x}}\right)+\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f\Delta g}{\Delta x}}\right)\\&=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})+0\\&=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})\\\end{aligned}}}
で与えられる。これが所期の結果であった。
であり、同様に
lim Δ x → 0 ( f ( x 0 ) Δ g Δ x ) = f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\left(f(x_{0}){\frac {\Delta g}{\Delta x}}\right)=f(x_{0})g'(x_{0})}
を得る。最後の項については、Δf⋅Δg が「二階の無限小」だから結局は無視できる(極限は 0 になる)のだけれども、これを厳密に言うならば
lim Δ x → 0 Δ f Δ g Δ x = lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x Δ g ) = lim Δ x → 0 Δ f Δ x ⋅ lim Δ x → 0 Δ g = f ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 Δ g {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f\Delta g}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}\Delta g\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta g}=f'(x_{0})\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta g}}