アポロニウスのギャスケット
互いに接する3つの円をそれぞれ C1、C2、C3 とする。アポロニウスは C1、C2、C3 の全てと接する、互いに交差しない2つの円 C4、C5 が存在することを発見した(デカルトの円定理を参照)。C4、C5 は C1、C2、C3 に対するアポロニウスの円と呼ばれる。元の3つの円にアポロニウスの円を加えることで5つの円を得る。
アポロニウスの円のうちの1つ(仮に C4 とする)をとると、この円は元の3つの円のうち2つ(仮に C1、C2 とする)と接しているから、新たに C4、C1、C2 に対する2つのアポロニウスの円を考えることができる。一方は C3 であり、他方が新たな円 C6 である。
同様に (C4, C2, C3) や (C4, C3, C1)、また (C5, C1, C2) や (C5, C2, C3)、(C5, C3, C1) のそれぞれに対するアポロニウスの円を考えると、それぞれについて1つの新たな円が得られ、円の数は合計で11になる。
互いに接する3つの円についてこの手続きを繰り返すとn回目の繰り返しで 2·3 個の円が新たに加えられ、円の総数は 3+2 個となる。この極限における円の集合として定義されるのがアポロニウスのギャスケットである。
アポロニウスのギャスケットのハウスドルフ次元はおよそ 1.3057 である。