リー代数
しかしながら、リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が有限次元のときは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数としてもつ単連結リー群が存在する。より正確には、リー代数の関手 L は、有限次元(実)リー代数からリー群への左随伴関手 Γ を持っていて、単連結リー群の充満部分圏を通して分解する。言い換えると、双関手の自然同型
H o m ( Γ ( g ) , H ) ≅ H o m ( g , L ( H ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {L} (H))}
が存在する。随伴 g → L ( Γ ( g ) ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {L} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))} ( Γ ( g ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})} 上の単位元に対応させる)は同型射であり、他の随伴 Γ ( L ( H ) ) → H {\displaystyle \Gamma (\mathrm {L} (H))\rightarrow H} は、H の単位元成分の普遍被覆群から H への射影準同型である。このことから直ちに次のことが従う。
F {\displaystyle \,\mathbb {F} } の全ての元(スカラー)a, b と g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x, y, z に対して、 [ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] . {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]\ .}
カルタンの判定条件(英語版)は、リー代数がべき零、可解、あるいは半単純であるための判定条件を与える。この判定条件は、キリング形式の考え方を基礎としている。キリング形式とは、
K ( u , v ) = tr  ( ad  ( u ) ad  ( v ) ) {\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))}
で定義された、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の対称双線型形式である。ここで tr は線型写像のトレースを表す。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純であることと、キリング形式が非退化であることは同値である。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が可解であることと、 K ( g , [ g , g ] ) = 0 {\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0} であることとは同値である。
導来部分群のことばで定義される、可換群、冪零群、可解群と同様に、可換、冪零、可解リー代数を定義することができる。
リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が可換 (abelian) であるとは、リーブラケットが消えていること、すなわち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x と y' に対して [x, y] = 0 となることをいう。可換リー代数は、ベクトル空間 K n {\displaystyle K^{n}} やトーラス T n {\displaystyle T^{n}} のような、可換連結リー群に対応していて、すべて k n {\displaystyle {\mathfrak {k}}^{n}} の形である、つまり自明なリーブラケットをもつ n 次元ベクトル空間である。
リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さのすべての交換子が消えることによって定義される。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が、冪零 (nilpotent) とは、降中心列(英語版)
群 S L n ( C ) {\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )} のリー代数 s l n ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )} は、トレースが 0 である複素 n×n 行列の代数である。
群 O  ( n ) {\displaystyle \operatorname {O} (n)} のリー代数 o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)} と、群 SO  ( n ) {\displaystyle \operatorname {SO} (n)} のリー代数 s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} は、いずれも実反対称 n×n 行列の代数である。(議論は交代行列#無限小回転を参照。)
群 U  ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} のリー代数 u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} は、歪エルミート複素 n×n 行列の代数であり、他方、 SU  ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} のリー代数 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} は、トレースが 0 の歪エルミート複素 n×n 行列の代数である。