オイラー＝ラグランジュ方程式
3次元デカルト座標 x = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)} の場合を考える。 このとき時間微分 x ̇ = v = ( v x , v y , v z ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})} は速度である。 また、ポテンシャルは速度には依らないものとする。
ラグランジアン L は『運動エネルギー - ポテンシャル』の形をしており、
L ( x , v , t ) = m 2 ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) − V ( x ) {\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},t)={\frac {m}{2}}({v_{x}}^{2}+{v_{y}}^{2}+{v_{z}}^{2})-V({\boldsymbol {x}})}
である。
このとき、ラグランジュの運動方程式は
m v ̇ = − ∇ V ( x ) {\displaystyle m{\dot {\boldsymbol {v}}}=-\nabla V({\boldsymbol {x}})}
となり、ニュートンの運動方程式に一致する。
ニュートン力学においては、関数 u i {\displaystyle u_{i}} は一般化座標 q i {\displaystyle q_{i}} であり、その変数は時間 t である。一般化座標の次元 f を系の(力学的な)自由度という。
関数 F はラグランジアン L がその役割を果たす。 オイラー=ラグランジュ方程式は
∂ L ∂ q i ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) − d d t ( ∂ L ∂ q ̇ i ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\right)=0}
となる。なお、ドットは時間による微分を表す。この式を特にラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。
一般化運動量は