ボックス＝ミュラー法
2次元の標準正規分布に従う (Z1, Z2) において、2変数が互いに独立であれば、同時確率密度関数
f ( z 1 , z 2 ) = 1 2 π exp  ( − z 1 2 + z 2 2 2 ) {\displaystyle f(z_{1},z_{2})={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{2}}\right)}
は、円周上で定数値を与えることから、偏角
Θ = arctan  Z 2 Z 1 {\displaystyle \Theta =\arctan {\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}}
は (0, 2π) 上で、一様分布をなす。一方、2次元ベクトル (Z1, Z2) の大きさの2乗
R 2 = Z 1 2 + Z 2 2 {\displaystyle R^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}
ボックス=ミュラー変換が標準正規分布を与えることは、特性関数を調べることで確認できる。実際、Z1 については、その特性関数は、
Φ Z 1 ( ξ ) = ⟨ e i ξ Z 1 ⟩ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 exp  ( i ξ − 2 log  x cos  2 π y ) d x d y {\displaystyle \Phi _{Z_{1}}(\xi )=\langle e^{i\xi Z_{1}}\rangle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\exp(i\xi {\sqrt {-2\log {x}}}\cos {2\pi y})dxdy}
であり、変数変換
x = exp  ( − r 2 2 ) , y = θ 2 π , d x d y = | J | d r d θ = r 2 π exp  ( − r 2 2 ) d r d θ {\displaystyle x=\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right),\,y={\frac {\theta }{2\pi }},\,dxdy=|J|drd\theta ={\frac {r}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right)drd\theta }
によって、