ベルトラン・ダルブーの定理
可積分かどうかわからないハミルトニアンに対してベルトラン・ダルブーの定理を適用することにより、その系が変数分離可能であれば運動の積分を求めることができる。例えば4次の同次ポテンシャル
V = 1 4 ( x 4 + y 4 ) + ε 2 x 2 y 2 {\displaystyle V={\frac {1}{4}}(x^{4}+y^{4})+{\frac {\epsilon }{2}}x^{2}y^{2}}
の場合、定理の条件2.から ε = 0 , 1 , 3 {\displaystyle \epsilon =0,1,3} のときに限って変数分離可能(従って可積分)であることが示される。なお ε {\displaystyle \epsilon } がそれら以外の値のとき、ベルトラン・ダルブーの定理からは系は変数分離不可能であることが従うが、Ziglin 解析に基づいてその場合の非可積分性が証明できる。また、一般化されたエノン・ハイレス系
H = 1 2 ( p x 2 + p y 2 + ω 1 x 2 + ω 2 y 2 ) + a x 2 y − b 3 y 3 {\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\omega _{1}x^{2}+\omega _{2}y^{2})+ax^{2}y-{\frac {b}{3}}y^{3}}
の b = − 6 a {\displaystyle b=-6a} の場合もまた同様にベルトラン・ダルブーの定理によって変数分離可能性が証明できる 。