平衡点
この線形微分方程式系の初期値を x0 (t = 0) とすると、一般解は行列の指数関数を使って ex0 と表すことができる。このような線形微分方程式系では、A にかかわらず原点 o はつねに平衡点である。
線形微分方程式を解く上で中心的役割を果たすのが固有値と固有ベクトルである。一般に、n 次正方行列 A から導かれる特性方程式
det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}-\lambda I)=0}
を解くことで、重複も含めて n 個の固有値 λ と固有ベクトル v が得られる。A の固有値 λ の値によって、線形微分方程式系の平衡点 o の安定性は次のように判別できる。
全ての固有値の実部が負のとき、平衡点は漸近安定。
実部が正の固有値を少なくとも1つ以上含むとき、平衡点は不安定。
全ての固有値が実部が負の固有値と純虚数(実部が零)の固有値から成るとき、平衡点は中立安定。