フーリエ級数
a n = ⟨ f ( x ) , cos  n x ⟩ b n = ⟨ f ( x ) , sin  n x ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\langle f(x),\cos nx\rangle \\b_{n}&=\langle f(x),\sin nx\rangle \end{aligned}}}
という計算によって、それぞれ、フーリエ級数の cos nx, sin nx の係数のみを抜き出すことができる。
また、任意の自然数 m について
⟨ f ( x ) , cos  m x ⟩ = 0 ⟨ f ( x ) , sin  m x ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle f(x),\cos mx\rangle &=0\\\langle f(x),\sin mx\rangle &=0\end{aligned}}}
が成り立てば、 f(x) = 0 となるため、この直交関数列は完備関数列でもあり、この内積によって、 L(−π, π) は、ヒルベルト空間になる。
複素型のフーリエ級数の場合も、整数 m, n に対して
⟨ e i m x , e i n x ⟩ = 2 π δ m n {\displaystyle \langle e^{imx},e^{inx}\rangle =2\pi \delta _{mn}}
という直交関係がなりたち、{e} は完備関数列になる。