捩率テンソル
∇ の曲率テンソルは、ベクトル場 X, Y と Z の上で、
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z . {\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}
により定義される写像 TM × TM → End(TM) である。ある点でのベクトルに対し、この定義はどのようにベクトルが点を離れて拡張されるかとは独立である(このように捩率テンソルに非常によく似たテンソルを定義する)。
ビアンキの恒等式(Bianchi identities)は、曲率と捩率テンソルを次ぎのように関連付ける 。 S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} で X, Y と Z の巡回置換(英語版)(cyclic sum)を表すとする。たとえば、
S ( R ( X , Y ) Z ) := R ( X , Y ) Z + R ( Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y .
このセクションを通して、M は微分可能多様体(differentiable manifold)であるとし、∇ は M の接バンドル上の共変微分(covariant derivative)とする。