熱的ド・ブロイ波長
物質波の理論では、運動量 p をもつ量子力学粒子はド・ブロイ波長
λ = h p {\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}
をもつ波として、振る舞う。但し、hはプランク定数である。
他方、古典力学的な自由粒子からなる熱平衡状態の理想気体では、粒子の運動量は古典統計力学にしたがって熱的に分布する。相互作用のない自由粒子では、粒子の質量を m とすると、そのエネルギー ε は運動量ベクトル p = (px, py, pz) によって、
ε = p 2 2 m = p x 2 + p y 2 + p z 2 2 m {\displaystyle \epsilon ={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {p_{x}^{\,2}+p_{y}^{\,2}+p_{z}^{\,2}}{2m}}}
で与えられる。 理想気体が温度 T の熱平衡状態にあると、ε の熱平均は古典統計力学のエネルギー等分配則より、
⟨ ε ⟩ = 3 2 k B T {\displaystyle \langle \epsilon \rangle ={\frac {3}{2}}k_{B}T}