折り紙公理
2点p1, p22本の直線l1, l2が与えられたとき、p1をl1上に重ね、かつp2をl2上に重ねる折り方がある。

この公理は2つの抛物線の共通接線を求めることに等しく、3次方程式を解くことに等しいと見なせる。2つの抛物線はそれぞれp1とp2に焦点をもち、またl1とl2を準線とする。
2点p1, p2が与えられたとき、p1をp2に重ねるただ1つの折り方がある。

この折り方は線分p1p2の垂直二等分線を求めていることに等しい。これは以下の4工程で折ることができる。
公理1を用い、2点p1, p2を通る直線を求める。この直線は P ( s ) = p 1 + s ( p 2 − p 1 ) {\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})} と表される。
P(s)の中点pmidを求める。
P(s)に垂直なベクトルvを求める。
よって媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表せる。
F ( s ) = p m i d + s ⋅ v p e r p {\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot {\boldsymbol {v}}^{\mathrm {perp} }}
判別式b - 4ac < 0の場合、解はない。このとき円は線と交差したり接することがない。判別式が0に等しい場合、1つの解があり、このとき直線は円の接線となる。判別式が0より大きいとき、2つの解があり、このとき解は円と線の2つの交点として表される。解がある場合、この解をd1, d2とすると、以下の0, 1, 2本の線分を得る。
m 1 = p 1 d 1 ̄ {\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}}
m 2 = p 1 d 2 ̄ {\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}}
折り線F1(s)はm1の垂直二等分線で、p1を直線上のd1に重ねる。同様に、折り線F2(s)はm2の垂直二等分線で、p2を直線上のd2に重ねる。この折り方は公理2を応用することで容易に得ることができる。媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表せる。
F 1 ( s ) = p 1 + 1 2 ( d 1 − p 1 ) + s ( d 1 − p 1 ) ⊥ {\displaystyle F_{1}(s)=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})^{\perp }}
F 2 ( s ) = p 1 + 1 2 ( d 2 − p 1 ) + s ( d 2 − p 1 ) ⊥ {\displaystyle F_{2}(s)=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})^{\perp }}