ライプニッツの公式
d θ d x = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ⋯ ( | x | < 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots \qquad (|x|<1)}
が得られる。この両辺を x について項別積分すれば
θ = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + x 9 9 − ⋯ ( | x | < 1 ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle \theta =x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots \qquad (|x|<1)\quad \cdots (3)}
となる(この時、左辺をarctan xと表すとグレゴリー級数のかたちとなる)。(x = 0のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。)tan θ = x としたので θ = π/4 のとき x = 1 である。これを利用して(3)式に θ = π/4 と x = 1 を代入すると
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots }
という式が現れる。ただし x = 1 は |x| < 1 の条件に反するので(3)式に x = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている(アーベルの連続性定理)。