行列の相似
行列の相似性は係数体の取り方(とくに変換行列 P の成分が属するべき体の選び方)には依らない。すなわち、K の任意の拡大体を L とするとき、A と B が K 上の行列として相似であるのは L 上の行列として相似であるときであり、かつそのときに限る。これはきわめて有用な事実であり、与えられたふたつの行列が互いに相似であるか否かの判定には、それらの係数体 K をその任意拡大体(たとえば代数閉体)に置き換えても結果は同じなので、その大きな体上でジョルダン標準形を計算することにより、元の体 K 上の行列としての相似性を判定できる。たとえばこの方法で、任意の行列はその転置行列と相似であることが示せる。
上述した相似性の定義において、変換行列 P として置換行列がとれるならば、A と B は置換相似 (permutation-similar) であるといい、また P としてユニタリ行列がとれるならば A と B はユニタリ同値 (unitarily equivalent) であるという。スペクトル論によれば、任意の正規行列はある対角行列にユニタリ同値である。シュペヒトの定理(英語版) は、ふたつの行列が互いにユニタリ同値であるための必要十分条件はそれらが特定のトレース等式を満足することである、というものである。