密着空間
位相の定義により、空集合と空間全体は常に開集合であるから、密着位相は開集合の数が可能な限り最小であるような位相(最粗位相)になっている。そのような簡素さにもかかわらず、二点以上を含む密着空間 X は、位相空間として重要なよい性質をいくつも欠いている。例えば、そのような空間は T0-空間にすらならない。
そのほか密着空間 X が持つ(ほとんどは極めて普通でない)性質を挙げる。
密着空間 X の閉集合は空集合 ∅ と X のみである。
密着空間 X の開基となり得るのは {X} のみである。
密着空間 X が二点以上を持つならば、それは T0 ではないから、それよりも高度なほかのどの分離公理も満足しない。特に、X はハウスドルフ空間ではない。ハウスドルフでない X は、従って順序位相も距離化可能位相も持たない。
それでも密着空間 X は正則であり、完全正則であり、正規であり、完全正規である。これらはどれも、閉集合が ∅ か X しかないことから、非常に自明な条件のもとで成り立つ。
密着空間 X はコンパクトであり、従ってパラコンパクトであり、リンデレーフであり、また局所コンパクトである。