QR分解
u 1 = a 1 , e 1 = u 1 ‖ u 1 ‖ u 2 = a 2 − proj u 1 a 2 , e 2 = u 2 ‖ u 2 ‖ u 3 = a 3 − proj u 1 a 3 − proj u 2 a 3 , e 3 = u 3 ‖ u 3 ‖ ⋮ ⋮ u k = a k − ∑ j = 1 k − 1 proj u j a k , e k = u k ‖ u k ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&={\boldsymbol {a}}_{1},&{\boldsymbol {e}}_{1}&={{\boldsymbol {u}}_{1} \over \|{\boldsymbol {u}}_{1}\|}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&={\boldsymbol {a}}_{2}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{1}}\,{\boldsymbol {a}}_{2},&{\boldsymbol {e}}_{2}&={{\boldsymbol {u}}_{2} \over \|{\boldsymbol {u}}_{2}\|}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&={\boldsymbol {a}}_{3}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{1}}\,{\boldsymbol {a}}_{3}-\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{2}}\,{\boldsymbol {a}}_{3},&{\boldsymbol {e}}_{3}&={{\boldsymbol {u}}_{3} \over \|{\boldsymbol {u}}_{3}\|}\\&\vdots &&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{k}&={\boldsymbol {a}}_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{{\boldsymbol {u}}_{j}}\,{\boldsymbol {a}}_{k},&{\boldsymbol {e}}_{k}&={{\boldsymbol {u}}_{k} \over \|{\boldsymbol {u}}_{k}\|}\end{aligned}}}
計算すると、この逆問題の解を次のように表すことができる。 x = Q [ ( R 1 T ) − 1 b 0 ] {\displaystyle x=Q{\begin{bmatrix}\left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}b\\0\end{bmatrix}}}
ここで、 R 1 − 1 {\displaystyle R_{1}^{-1}} はガウスの消去法で計算でき、 ( R 1 T ) − 1 b {\displaystyle \left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}b} は前方置換法(英語版)を用いることで直接計算できる。後者の手法の方が数値的精度が高く、計算量も少ないという利点がある。
ノルム ‖ A x ^ − b ‖ {\displaystyle \|A{\hat {x}}-b\|} を最小にするような過決定( m ≥ n {\displaystyle m\geq n} )問題 A x = b {\displaystyle Ax=b} の解 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} を求めるためには、まず A {\displaystyle A} のQR分解 A = Q R {\displaystyle A=QR} を求める。