ガウス＝マルコフの定理
β ~ {\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}} は線形推定量なので ( p + 1 ) {\displaystyle (p+1)} 行 n {\displaystyle n} 列の行列 C {\displaystyle \mathbf {C} } を用いて β ~ = C Y {\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}=\mathbf {C} \mathbf {Y} } とかける。 β ~ {\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}} が不偏性を持つための条件を求めると E [ β ~ ] = C X β = β {\displaystyle E[{\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}]=\mathbf {C} \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}} が恒等的に成立することから C X = I {\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {X} =\mathbf {I} } である。
次に β ~ {\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\beta }}}} の分散共分散行列を整理すると