子午線弧
ここで楕円積分の関係式及び n {\displaystyle n} の符号反転を考えると、地理緯度 φ {\displaystyle \varphi } で S {\displaystyle S} を表した一般式が得られる。これらの級数の収束性は他に知られている計算式よりも優れている(級数展開に n {\displaystyle n} の奇数次項が現れないなど)。
S ( φ ) = a 1 + n ∫ 0 φ ( 1 − n 2 ) 2 ( 1 + 2 n cos  2 φ + n 2 ) 3 2 d φ = a 1 + n ( ∫ 0 φ 1 + 2 n cos  2 φ + n 2 d φ − 2 n sin  2 φ 1 + 2 n cos  2 φ + n 2 ) = a 1 + n ( c 0 φ + ∑ l = 1 ∞ c l l sin  2 l φ − 2 n sin  2 φ 1 + 2 n cos  2 φ + n 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\left(1-n^{2}\right)^{2}}{\left(1+2n\cos 2\varphi +n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{1+n}}\left(\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\,d\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\end{aligned}}}
( 2 k ) ! ! n k . {\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1-2n\cos 2\beta +n^{2}}}\,d\beta \\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\beta +\sum _{l=1}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\beta \right).\\c_{l}&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,a_{k+l}.\\a_{k}&={\binom {1/2}{k}}n^{k}=(-1)^{k+1}{\frac {\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!}}n^{k}.\end{aligned}}}
ここで、 j ! ! {\displaystyle j!!} は j {\displaystyle j} の二重階乗を表す。ただしこの式は子午線弧長の計算には広くは用いられなかった。なお一般式ではないがベッセルは、求長緯度 μ = π 2 S S ( π / 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {S}{S\!\left(\pi /2\right)}}} で β {\displaystyle \beta } を表す逆関数に当たる級数展開も示している。