イブン・シャーティル
イブン・シャーティルは、「マラーガ学派」の成果と問題意識を引き継いだが、さらに離心円(地球を中心としない円)も許容されないとした。例えば、彼の外惑星と金星の黄経のモデルは、ウルディーとほぼ同じで、ただしウルディーが離心円を用いていたのを、『アルマゲスト』III.1の議論定理を用いて、周転円を一つ追加することで回避している。その結果、プトレマイオスは円を二つ、ウルディーが三つ使ったのに対し、イブン・シャーティルは四つ用いることになった。彼の理論では、不動の地球Tを中心にして等速円運動する点Clを考え、さらにClを中心としてを中心にして等速円運動する点Ciを、Ci中心に等速円運動するCeを措定する(右図)。(右図には書かれていないが)惑星はCeを中心に、周転円に沿って等速回転する。なお、水星の運行の説明には従円と周転円をあわせて、プトレマイオスが3つの円を用いている一方、イブン・シャーティルは6つを要している。このように円の数は増えるが、外惑星と金星の場合、付け加わる円の半径や回転周期は、離心率や従円の回転周期と連動しており、モデルの指定に必要なパラメータの数は、プトレマイオスの理論と変わらない。
惑星の黄緯の理論については、『アルマゲスト』では円の傾きを上下に振動させて説明していたが、彼は各々の円を一定の角度で傾けて、外惑星については、ほぼプトレマイオスの理論と同様の結果を再現した。
これらの成果では、『アルマゲスト』理論の物理的な不自然さは軽減したが、一方、理論を書き直しただけとも言えた。
↑ 一方、ウルディーの理論の場合は、点Ciが、地球からずれた点Cd'を中心に等速回転する点として与えられ、Clを中心に回転する円は用いられない。プトレマイオスの理論では、惑星はCe’に近い点Ceを中心に等速回転し、Ceは点Cdを中心とする円(従円)に沿って、ただし点E(エカント)周りに等速回転する。Saliba, 1996
↑ Roberts, 1987
↑ Saliba, 1987
↑ Saliba, George (1999年). “Whose Science is Arabic Science in Renaissance Europe?”. 2018年10月2日閲覧。
↑ Jenner, Greg (2016). Neues von vorgestern: Die ganze Geschichte der alltäglichen Dinge. BASTEI LÜBBE. ISBN 9783732523238. https://books.google.com/books?id=c-3kCgAAQBAJ&pg=PAPT20 p.20
↑ King, David A. (1983). “The Astronomy of the Mamluks”. Isis 74 (4): 531–555 [545–546]. doi:10.1086/353360.