非可算集合
非可算集合のさらに抽象的な例としては、可算順序数全体からなる集合 ω1 あるいは Ω がある。ω1 の濃度を א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} (aleph-one) で表す。選択公理を用いることによって、 א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} が最小の非可算基数であることが証明できる。このことから、実数全体の集合の濃度 ב 1 {\displaystyle \beth _{1}} は、 א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} に等しいか真に大きい。ゲオルク・カントールは「等しいのか大きいのか、本当はどちらなのか」を問うた最初の研究者である。1900年、ダフィット・ヒルベルトによりこの問題はヒルベルトの23の問題の第1問題とされた。 א 1 = ב 1 {\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}} という主張は今では連続体仮説と呼ばれ、集合論のZFCからは独立であることが証明されている。