テイラーの定理
f は点 a ∈ R で k 回微分可能であることから a の適当な近傍で k-1 回微分可能である。この近傍の上で
h k ( x ) = { f ( x ) − P k ( x ) ( x − a ) k x ≠ a 0 x = a {\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\dfrac {f(x)-P_{k}(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}
と定める。ただし
P k ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k {\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
ここで j = 0,1,...,k−1 に対し f ( j ) ( a ) − P k ( j ) ( a ) = 0 {\displaystyle f^{(j)}(a)-P_{k}^{(j)}(a)=0} であるから、ロピタルの定理を k−1 回適用すると
lim x → a f ( x ) − P k ( x ) ( x − a ) k = lim x → a ( d / d x ) ( f ( x ) − P k ( x ) ) ( d / d x ) ( x − a ) k = ⋯ = lim x → a ( d / d x ) k − 1 ( f ( x ) − P k ( x ) ) ( d / d x ) k − 1 ( x − a ) k = 1 k !