一般化双曲型分布
本節では、以下
ζ u = δ α 2 − ( β + u ) 2 ζ = ζ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{u}&=\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\\zeta &=\zeta _{u=0}\end{aligned}}}
とする。
Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。
μ {\displaystyle \mu } 位置 (location) パラメータ(実数)
λ {\displaystyle \lambda } (実数)
α {\displaystyle \alpha } (実数)
β {\displaystyle \beta } 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ(実数)
δ {\displaystyle \delta } 尺度 (scale) パラメータ(実数)
x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}
λ > 0 のとき、 δ ≥ 0 , | β | < α {\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha }
λ = 0 のとき、 δ > 0 , | β | < α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |<\alpha }
λ < 0 のとき、 δ > 0 , | β | ≤ α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha }
特性関数は以下の式で与えられる。
φ ( u ) = exp  ( i u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + i u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + i u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}