コーエン・マコーレー環
R がさらに局所環であるとする。有限生成 R-加群 M ≠ 0 が dimM = depthM を満たすとき、M はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに dimM = dimR が成り立つとき、M は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 R がコーエン・マコーレー加群のとき、R はコーエン・マコーレー環であるという。
以下の環は Cohen–Macaulay である。
正則局所環(例えば体や K[[x]])
アルティン環
1次元ネーター被約環
2次元正規環
Gorenstein 環。とくに、完交環(英語版)
R {\displaystyle R} が標数 0 の体上の Cohen–Macaulay 多元環で G が有限群(より一般に reductive algebraic group)のとき、不変式環 R G {\displaystyle R^{G}} 。これはHochster–Roberts の定理(英語版)である。
環 K[x]/(x2) は局所アルティン環なので Cohen–Macaulay だが、正則でない。
K[[t, t]]、ただし t は不定元、は正則でないが Gorenstein でありしたがって Cohen–Macaulay な1次元局所環の例である。
K[[t, t, t]]、ただし t は不定元、は Gorenstein でないが Cohen–Macaulay である1次元局所環の例である。
有理特異性(英語版)は Cohen–Macaulay だが Gorenstein とは限らない。
R-加群 M はすべての極大イデアル m ∈ SuppM に対して局所化 Mm がコーエン・マコーレー加群のとき、M はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに極大イデアル m ∈ SuppM に対して Mm が極大コーエン・マコーレー加群のとき、M は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 R がコーエン・マコーレー加群のとき、R はコーエン・マコーレー環であるという。