ド・ジッター空間
d s d S , α , n − 1 2 = − d t 2 + α 2 sinh 2  ( t / α ) d H n − 2 2 {\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}}
は開いたスライシングにおける α {\displaystyle \alpha } の曲率半径を持つ n − 1 {\displaystyle n-1} 次元ド・ジッター空間の計量である。双曲計量は、
d H n − 2 2 = d ξ 2 + sinh 2  ξ d Ω n − 3 2 {\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}}
により与えられる。
これは、座標 ( t , ξ , θ , φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ n − 3 ) → ( i χ , ξ , i t , θ , φ 1 , ⋯ , φ n − 4 ) {\displaystyle (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})} のもとでの開いたスライシングの解析接続であり、時間的と空間的な性質が交換されるので、 x 0 {\displaystyle x_{0}} と x 2 {\displaystyle x_{2}} も交換される。
ド・ジッター空間に対して静的座標(英語版)(static coordinates) ( t , r , ... ) {\displaystyle (t,r,\ldots )} を次のように導入することができる。
x 0 = α 2 − r 2 sinh  ( t / α ) {\displaystyle x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )}
x 1 = α 2 − r 2 cosh  ( t / α ) {\displaystyle x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )}
x i = r z i 2 ≤ i ≤ n . {\displaystyle x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.
標準計量 ∑ i d z i 2 = d Ω n − 2 2 {\displaystyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}} を持つ S n − 2 {\displaystyle S^{n-2}} を形成する ∑ i z i 2 = 1 {\displaystyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1} を考え、
x 0 = α sinh  ( t / α ) cosh  ξ , {\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}
x 1 = α cosh  ( t / α ) , {\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),}
ド・ジッター空間の等長変換群(英語版)(isometry group)は、ローレンツ群 O(1,n) である。従って、計量は n(n+1)/2 個の独立なキリングベクトルを持ち、最大対称である。すべての最大対称空間は定曲率を持つ。ド・ジッター空間のリーマン曲率テンソルは、
R ρ σ μ ν = 1 α 2 ( g ρ μ g σ ν − g ρ ν g σ μ ) {\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })}
により与えられる。
リッチテンソルは計量に比例する
R μ ν = n − 1 α 2 g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}