電場
原点中心で球殻に電荷qを持つ半径r0の微小球と、中心から無限遠まで延びる円錐を仮定し、この円錐を半径rの球面で切断した面積をS(r)とする。微小球と円錐が交わる微小面の面積をS0、微小球の電荷面密度をσとすると、ガウスの法則より
ε E ( r ) S ( r ) = σ S 0 = c o n s t a n t {\displaystyle \varepsilon E(r)S(r)=\sigma S_{0}=\mathrm {constant} }
である。
ここで、この微小面上の電荷σS0を無限遠からこの微小球上に運ぶのに要する仕事は − σ S 0 ∫ r 0 ∞ E ( r ) d r {\displaystyle -\sigma S_{0}\int _{r_{0}}^{\infty }E(r)\mathrm {d} r} であるが、先の結果より
− σ S 0 ∫ r 0 ∞ E ( r ) d r = − ∫ r 0 ∞ ε { E ( r ) } 2 S ( r ) d r = − ∫ ε { E ( r ) } 2 d V {\displaystyle -\sigma S_{0}\int _{r_{0}}^{\infty }E(r)\mathrm {d} r=-\int _{r_{0}}^{\infty }\varepsilon \{E(r)\}^{2}S(r)\mathrm {d} r=-\int \varepsilon \{E(r)\}^{2}\mathrm {d} V}
空間(自由電子が存在しない空間。絶縁空間)のある点に、正の単位電荷量をもつ電荷(それを試験電荷という)を静止させて置いたとき、その電荷に生じるであろう電磁気的な力を、その点における電場と定義する。
電磁気的な力は電荷量に比例することが実験により知られている。したがって、 位置 r に於いて電荷 q の電荷に働く力を F とすると定義により以下の式が成り立つ。
F = q E ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})}
なお、電磁ポテンシャルを用いて以下のように表される。
E = − grad  φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}
(φ:スカラーポテンシャル、A:ベクトルポテンシャル)
電場の定義に用いる試験電荷は, 周囲の電荷を移動させないと考える。
巨視的な大きさをもち周囲の誘電体を押しのけるような荷電物体が受ける力は、誘電体内の電場ではなく電束密度によって決まる。
電場はベクトル場であり、場の発散と場の回転に分解できる。
電束密度の発散は電荷密度ρに等しい。
div  D = ρ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {D}}=\rho }
これはマクスウェル方程式の一つであるガウスの法則である。
電場Eの回転は磁場Bの変動に相当する。
rot  E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}
これはマクスウェル方程式の一つであるファラデーの法則である。