対称群
対称群(たいしょうぐん、symmetric group)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、permutation)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、permutation group)と呼ばれる。置換群が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群の分だけ潰れているが、これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。
置換のうち、特に二つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換 (transposition) という。すなわち、互換とは長さが 2 の巡回置換のことである。任意の置換は互換の積として表される。そのような表し方は一通りとはかぎらないが、表示にあらわれる互換の数が偶数であるか奇数であるかは表し方に依らずに決まる。これを置換の偶奇性 (parity) という(置換の偶奇性を参照)。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 (even permutation) といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 (odd permutation) という。n 次対称群の元のうち特に偶置換のみを集めると、その全体は n 次対称群の正規部分群となる。この群を n 次交代群 An という。n が 5 以上のとき、 n 次交代群はより小さな群の合成としては表せなくなっており、このことから五次以上の方程式に代数的な解の公式が存在しないことが説明される(ガロア理論)。
互換のうち (i (i + 1)) の形で表される互換を基本互換 (fundamental transpositions) あるいは隣接互換 (adjacent transpositions) と呼ぶ。
のように記される。後者の記法は番号の入れ替えとしての σ の表示を与えており、この二つの記法の対応が集合X と集合 In との同一視の仕方(全単射の選び方)に応じた Sym(X) と Sn = Sym(In) との間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。
無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合 X に対する Sym(X) の構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合 Y に対しても Y から Y への全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合 Y に対して、その有限部分集合全体のなす族 F を考え、有限対称群たち Sym(X) (X ∈ F) の直極限
lim → X ∈ F  Sym  ( X ) {\displaystyle \varinjlim _{X\in \mathbf {F} }\operatorname {Sym} (X)}
として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合 N に対して二つ目の方法を適用して得られる群は S∞ と書かれ、無限対称群と呼ばれる。これは Sn たちすべての合併と見なすことができる。