モーレー・カルタンの微分形式
リー群が与えられたとき、さまざまな多様体への作用が考えられるが、特に積の演算によって自分自身に微分同相で作用しているものを考えることができる。カルタンの時代の大きな問題の一つに、このような主等質空間をどのようにして内在的に特徴付けるか、という問題があった。つまり、多様体のうちで G と微分同相であるが、特定の原点が指定されていないようなものの特徴付けである。このような問題は、部分的には、フェリックス・クラインによるエルランゲン・プログラムからきていると見なすことができる。このパラダイムでは群の作用によって表される空間の対称性が問題になるが、リー群を考えているときに最も基本的となるのは部分群 H に対して定まる等質空間 G/H (に微分同相な空間) で、特に原点 e H に当たる点を指定しないようなものである。
抽象的には、G の主等質空間とは、G の自由かつ推移的な作用をもつ多様体として定めることができる。カルタンによって導入された Maurer–Cartan 形式は Maurer–Cartan 方程式と呼ばれる可積分条件を満たしており、主等質空間の構造の極小的な特徴付けを与えていると見なすことができる。この可積分条件によって、G の作用を局所的に表しているリー環の作用を定めることが可能になる。
Maurer–Cartan 形式は G 上の自明な G-主束の接続として定式化することもできる。すなわち、射影
G × G → G, (g, h) → h
と、G-作用
k.(g, h) = (k g, h)
とによって G-束に対し、T(g, h)G × Gの中の平行な方向を写像 k → (ghk, k) による接空間の像として定める。このとき、上記の自明化に関する接続の表示は Maurer–Cartan 形式となる。