コホモロジー環
数学では、特に代数トポロジーでは、位相空間 X のコホモロジー環 (cohomology ring) は、X のコホモロジー群から作られる環であり、環の積としてカップ積を持つ。ここに「コホモロジー」とは、通常、特異コホモロジーであるが、しかし、環の構造はド・ラームコホモロジーのような他の理論でも存在する。コホモロジー環は函手的でもあり、空間の連続写像に対しコホモロジー環上の環準同型を得る。この函手は反変的である。
特に、可換環 R(典型的には、R は Zn、Z、Q、R、あるいは C)を係数として持つ X 上のコホモロジー群 H(X; R) に対し、カップ積を定義できる。
H k ( X ; R ) × H l ( X ; R ) → H k + l ( X ; R ) . {\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}
カップ積は次のコホモロジー群の直和の上の積を与える。
H ∙ ( X ; R ) = ⨁ k ∈ N H k ( X ; R ) .