カハンの加算アルゴリズム
固定の条件数が与えられると、補正加算の相対誤差は事実上 n とは独立となる。原理的に n よって線型に成長する O(nε) があるが、この項は実質的にゼロと見なせる。というのも最終結果が精度 ε に丸められるので、n がおよそ 1/ε かそれ以上でない限り nε という項はゼロに丸められる。倍精度の場合、その項が無視できなくなる n の値は 10 ぐらいであり、多くの場合それほどの数値の総和を求めるのは現実的でない。したがって、条件数が固定なら補正加算の誤差は事実上 O(ε) となって、n とは独立である。
それに比べ、加算のたびに丸めが発生する単純な総和計算では、相対誤差は O ( ε n ) {\displaystyle O(\varepsilon n)} と条件数をかけた値として成長していく。ただし、この最悪ケースは丸め方向が毎回同じ場合のみ発生するので、実際にはめったに観察されない。実際には丸め方向は毎回無作為に変化し、その平均はゼロに近づくことが多い。その場合の単純な総和の相対誤差は二乗平均平方根となり、 O ( ε n ) {\displaystyle O(\varepsilon {\sqrt {n}})} と条件数をかけた値として成長していく。その場合でも補正加算より誤差が大きくなる。ただし、精度を2倍にすれば ε が ε となるので、単純総和の誤差は O(nε) となって、元の精度での補正加算に匹敵するようになる。