アルキメデスの牛の問題
最初の7つの条件は、連立一次方程式に過ぎないため、簡単に一般解が求まる。8つの未知数に対し、7つの独立した一次式があるから、解は1つのパラメータ k を用いて表すことができ、
W = 10366482 k B = 7460514 k Y = 4149387 k D = 7358060 k w = 7206360 k b = 4893246 k y = 5439213 k d = 3515820 k {\displaystyle {\begin{aligned}W&=10366482k\\B&=7460514k\\Y&=4149387k\\D&=7358060k\\w&=7206360k\\b&=4893246k\\y&=5439213k\\d&=3515820k\end{aligned}}}
となる。それぞれは牛の頭数を表しているから、k は正整数である。次に、第8の条件より、
2 2 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 29 ⋅ 4657 k = p 2 {\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 11\cdot 29\cdot 4657k=p^{2}}
であるから、ある正整数 y が存在して
k = 3 ⋅ 11 ⋅ 29 ⋅ 4657 y 2 {\displaystyle k=3\cdot 11\cdot 29\cdot 4657y^{2}}