合成代数
( q + Q e ) ( r + R e ) = ( q r − R ′ Q ) + ( R q + Q r ′ ) e {\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e}
で与えられる。ケイリー数の共軛は q' − Qe で与えられ、付随する二次形式 qq′ + QQ′ は互いに共軛な二数の積によって与えられる。この二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれるようになった。
実合成代数で正定値二次形式をノルムに持つ場合は、1923年に合成代数に関するフルヴィッツの定理(英語版)で区切りが付けられた。
1931年にマックス・ツォルンはディクソン構成の乗法規則にパラメタ γ を導入して分解型八元数環を生成した。アドリアン・アルバート(英語版)もまた、1942年に γ を用いて、ディクソンの二重化を任意の体で平方函数をノルムとしたものに適用して、各々の二次形式を持つ(一般)二元数・四元数・八元数環が構成できることを示した。ネイサン・ヤコブソン(英語版)は1958年に合成代数の自己同型について述べている。
R および C 上の古典合成代数は単位的多元環であった。乗法単位元を持たない合成代数は、ハンス・ピーターソン(ピーターソン代数(英語版))、大久保進(大久保代数(英語版))らによって見出された。