接続 (ベクトル束)
よって前述の定理からRは各点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、
R P ∈ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E {\displaystyle R_{P}\in T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E^{*}\otimes E}
を対応させるテンソル場とみなせる。
Rを ∇ {\displaystyle \nabla } に関する曲率(英: curvature)もしくは曲率テンソル(英: curvature tensor)といい、RPを ∇ {\displaystyle \nabla } に関する点Pにおける曲率(英: curvature)もしくは曲率テンソル(英: curvature tensor)という。
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} がリーマン多様体の場合は、gのレヴィ・チヴィタ接続の曲率の事を「Mの曲率」、「gの曲率」等と呼ぶことにする。
接続の概念を定義するため、ベクトルバンドル関連の概念をいくつか定義する。
定義 (接続) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を可微分多様体M上の可微分なベクトルバンドルとする。可微分な写像 s : M → E {\displaystyle s~:~M\to E} で
π ( s ( x ) ) = x {\displaystyle \pi (s(x))=x} for ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M}
を満たすものをEの切断(英: section)という。Eの切断全体の集合を Γ ( M , E ) {\displaystyle \Gamma (M,E)} あるいは単に Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} と表記する。
定義から分かるように、接バンドルTMの切断の概念は、Mのベクトル場の概念に一致する。よってM上のベクトル場全体の集合 X ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)} は Γ ( T M ) {\displaystyle \Gamma (TM)} に一致する。
可微分多様体M上の可微分な2つのベクトルバンドル π 1 : E 1 → M {\displaystyle \pi _{1}~:~E_{1}\to M} 、 π 2 : E 2 → M {\displaystyle \pi _{2}~:~E_{2}\to M} に対し、写像
とする。
このとき次が成立する事が知られている:
定理 (同一の測地線を定める条件) ― 以下の2つは同値である:
∇ {\displaystyle \nabla } と ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} は同一の測地線を定める
D ( X , X ) = 0 {\displaystyle D(X,X)=0} が任意のベクトル場Xに対して成り立つ。
S ( X , X ) = 0 {\displaystyle S(X,X)=0} が任意のベクトル場Xに対して成り立つ。
簡単な計算により
A ( X , Y ) = T ∇ ( X , Y ) − T ∇ ′ ( X , Y ) {\displaystyle A(X,Y)=T_{\nabla }(X,Y)-T_{\nabla '}(X,Y)}
である事がわかるので、次の系が従う:
系 ― ∇ = ∇ ′ {\displaystyle \nabla =\nabla '} である必要十分条件は、 ∇ {\displaystyle \nabla } と ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} は同一の測地線を定め、しかも ∇ {\displaystyle \nabla } と ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} の捩率テンソルが同一な事である 。
ビアンキの第二恒等式: ∑ i ∈ Z 3 ( ∇ X i R ) ( X i + 1 , X i + 2 ) + R ( T ( X i , X i + 1 ) , X i + 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}(\nabla _{X_{i}}R)(X_{i+1},X_{i+2})+R(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})=0}
ここで添字は「mod 3」で考える。すなわち「 ∑ i ∈ Z 3 {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}} 」は巡回和である。
さらに次が成立する:
定理 ― リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上のアフィン接続∇がgと両立すれば、以下を満たす:
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)}
これまで同様 ∇ {\displaystyle \nabla } をM上の可微分なベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続とし、さらに f : N → M {\displaystyle f~:N\to M} を可微分多様体NからMへの可微分な写像とすると、fによるEの引き戻し(pullback bundle)
π ′ : f ∗ ( E ) → N {\displaystyle \pi '~:f^{*}(E)\to N}
を考える事ができる。
N、Mの局所座標 y : V ⊂ N → R u {\displaystyle y~:~V\subset N\to \mathbb {R} ^{u}} 、 x : U ⊂ M → R m {\displaystyle x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}} で、 V ⊂ f − 1 ( U ) {\displaystyle V\subset f^{-1}(U)} となるものを選び、さらにU上のEの基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} を選んで接続 ∇ {\displaystyle \nabla } を接続形式を使って
∇ U s = ( d s i + s j ω i j ) ⊗ e i {\displaystyle \nabla ^{U}s=(ds^{i}+s^{j}\omega ^{i}{}_{j})\otimes e_{i}}
と成分表示する。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を可微分多様体M上の可微分な実ベクトルバンドルとし(E、Mのいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない)、 Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} をEの切断全体の集合とし、 X ( M ) := Γ ( T M ) {\displaystyle {\mathcal {X}}(M):=\Gamma (TM)} をM上のベクトル場全体の集合とする。
接続は前述したレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5つの性質のうち3つを使って定義される:
定義 (接続) ― 汎関数
∇ : ( X , s ) ∈ X ( M ) × Γ ( E ) ↦ ∇ X s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \nabla ~:~(X,s)\in {\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\mapsto \nabla _{X}s\in \Gamma (E)}
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続(英: Koszul connection)あるいは単に接続(英: connection)といい、 ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} を接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定めるsのX方向の共変微分という:
∇ X s = ∇ X ′ s + A ( X , s ) {\displaystyle \nabla _{X}s=\nabla '_{X}s+A(X,s)}
もE上の接続である。
U ∈ M {\displaystyle U\in M} を取り、EのU上の局所的な基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} を固定し、切断sを s = s k e k {\displaystyle s=s^{k}e_{k}} と成分表示すると、
∇ X ′ s := ( X s j ) e j {\displaystyle \nabla '_{X}s:=(Xs^{j})e_{j}}
により局所的に接続を定義できるが、
A ( X , s ) := ∇ X s − ∇ X ′ s {\displaystyle A(X,s):=\nabla _{X}s-\nabla '_{X}s}
の成分表示は
A ( ∂ ∂ x j , e k ) := X j s k Γ i j k e i {\displaystyle A({\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},e_{k}):=X^{j}s^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}e_{i}}
とクリストッフェル記号を用いて書ける。
この事からクリストッフェル記号は ∇ X ′ s := ( X s j ) e j {\displaystyle \nabla '_{X}s:=(Xs^{j})e_{j}} とのズレを表す量であると解釈できる。