バーンズリーのシダ
バーンズリーのシダは、理論的にはペンとグラフ用紙を使用して手でプロットできるが、必要な反復回数は数万回に達するので、実際にはコンピューターを使用する必要がある。バーンズリーのシダの多くのさまざまな計算モデルは、現代の数学者に人気がある。バーンズリーの係数行列を使用し、数式が正しくプログラムされている限り、同じ形状をもったシダが生成される。
最初に描画される点は原点( x 0 = 0、 y 0 = 0)にあり、次の4つの座標変換ƒ1, ƒ2, ƒ3, ƒ4のいずれかを設定した発生確率pでランダムに適用することにより、新しい点を反復的に計算する 。すなわち、どの座標変換を使用するか確率に応じた乱数範囲を設定しておき、コンピューターで乱数を発生させ、乱数の値に応じてどの座標変換を使用するのか決め、変換計算を反復的に実行する。これは、1988年にバーンズリーがランダム・アルゴリズムと名付けた初めての例であり、現在ではカオスゲーム、確率論的反復関数系とも呼ばれている。
ƒ1
x n + 1 = 0
y n + 1 = 0.16 y n 。
座標変換ƒ1は1%の確率(p=0.01)で実行される。この変換は、任意の点を、シダの茎基部の最初の線分にマッピングするだけである。フラクタル図のこの部分は、反復の過程で最初に完了する部分である。
ƒ2
x n + 1 = 0.85 x n + 0.04 y n