差分の差分法
差分の差分法(さぶんのさぶんほう、英: difference in differences)とは計量経済学や社会学における量的調査において用いられる、観測データによって実験的な研究を模倣するための統計手法である。'Difference-in-Differences' や'DID'、'DD' と呼ばれることもある。差分の差分法は成果(つまり、反応変数や被説明変数)における処置(つまり、説明変数や独立変数)の効果を、処置群における成果変数の時間を通じた平均的な変化と対照群における時間を通じた変化と比較することで計算している。この方法は、あるバイアス(平均回帰バイアスなど)を持っているが、選択バイアスの効果をある程度取り除くことができる。同一被験者による処置効果(つまり時間についての変化を測る)の場合と異なる被験者間による処置効果(つまり処置群と対照群の間の変化を測る)の場合とは対照的に、差分の差分法は異なる時点での処置群と対照群の間の差を取り、さらにその異なる時点の差の差を取る。
= [ ( γ 1 + λ 1 + δ D 11 + ε ̄ 11 ) − ( γ 1 + λ 2 + δ D 12 + ε ̄ 12 ) ] − [ ( γ 2 + λ 1 + δ D 21 + ε ̄ 21 ) − ( γ 2 + λ 2 + δ D 22 + ε ̄ 22 ) ] {\displaystyle =\left[(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\epsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\epsilon }}_{12})\right]-\left[(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\epsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\epsilon }}_{22})\right]}
= δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) + ε ̄ 11 − ε ̄ 12 + ε ̄ 22 − ε ̄ 21 {\displaystyle =\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\epsilon }}_{11}-{\overline {\epsilon }}_{12}+{\overline {\epsilon }}_{22}-{\overline {\epsilon }}_{21}}
差分の差分法による研究の最も有名なものの内の一つを考えよう。デビッド・カード(David Card)とアラン・クルーガー(Alan Krueger)によって1994年に出版された、ニュージャージーにおける最低賃金についての論文である。カードとクルーガーは1992年2月と11月のニュージャージーとペンシルベニアにおけるファストフード産業における雇用を比較した。これはニュージャージーの最低賃金が4.25ドルから5.05ドルに1992年4月に上がった後である。処置の前後でのニュージャージーのみの雇用の変化を観測すると、天候やマクロ経済学的要因などの除外変数をコントロールし損なう。ペンシルベニアを差分の差分法におけるコントロールとして含めると、ニュージャージーとペンシルベニアで共通の変数からもたらされるあらゆるバイアスが、たとえそれらの変数が観測できないとしても、コントロールされる。ニュージャージーとペンシルベニアは時間を通じて並行なトレンドを持つと仮定すると、ペンシルベニアでの雇用の変化は最低賃金の上昇がなかった場合のニュージャージーで起こるはずだった雇用の変化として考えることが出来るし、逆もしかりである。実証証拠が示唆することには、ニュージャージーにおける最低賃金の上昇は、標準的な経済理論が示唆するような、失業の増加はもたらさなかった。下の表はカードとクルーガーが推定した雇用の(フルタイム当量 英: full-time equivalentで測った)処置効果を図示している。この発見が仮想的な効果であることを念頭におけば、カードとクルーガーはニュージャージーにおける0.80ドルの最低賃金の上昇が2.75の雇用におけるフルタイム当量の増加をもたらしていると推定した。
β ^ 1 = ( y | T = 1 , S = 0 ) − ( y | T = 0 , S = 0 ) {\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}~=~(y~|~T=1,~S=0)-(y~|~T=0,~S=0)}
β ^ 2 = ( y | T = 0 , S = 1 ) − ( y | T = 0 , S = 0 ) {\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}~=~(y~|~T=0,~S=1)-(y~|~T=0,~S=0)}
β ^ 3 = [ ( y | T = 1 , S = 1 ) − ( y | T = 0 , S = 1 ) ] − [ ( y | T = 1 , S = 0 ) − ( y | T = 0 , S = 0 ) ] {\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~[(y~|~T=1,~S=1)-(y~|~T=0,~S=1)]-[(y~|~T=1,~S=0)-(y~|~T=0,~S=0)]} ,
これは以下に等しい。
β ^ 3 = ( y 11 − y 21 ) − ( y 12 − y 22 ) {\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22})} .
しかしこれは正式な定義と上の表で与えられた処置効果と同じである。