ラム波
0次の対称・反対称モードは任意の周波数でレイリー=ラム周波数方程式を満たし、伝搬モードとなる。0次モードの位相速度および群速度は周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において、レイリー波の伝搬速度に一致する。また、1次以上の対称・反対称モードの位相速度および群速度は、周波数fあるいは板厚d(=2h)の無限大の極限において横波の伝搬速度に一致する。
1次以上の対称・反対称モードはある周波数以上でのみレイリー=ラム周波数方程式を満たす。そこでレイリー=ラム周波数方程式を満たす解のうち、波数kのk→0の極限における周波数をカットオフ周波数と呼ぶ。周波数が(おおよそ)このカットオフ周波数を超えるたびにラム波の伝搬モードが増えるため、実用上・解析上重要な周波数である。k→0の極限では対称モード、反対称モードの角周波数ωcutoffはそれぞれ、
ラム波の位相速度cpはcp=ω/kと表される。例えば単一周波数のラム波が薄板中を伝搬しているときに、表面における位相が伝搬方向に対して進む速さはこの位相速度cpに一致する。また、ラム波の角周波数ωを波数kの関数ω(k)とみなすことにより、cg=∂ω/∂kを定義できる。このcgはラム波の群速度と呼ばれ、ラム波の波束が伝搬する速度に対応する。
横軸に周波数を取り、縦軸に位相速度あるいは群速度をとった図は分散曲線と呼ばれ、ラム波の性質を知る上で重要な役割を果たす。図は位相速度に関する分散曲線を示している。横軸、縦軸はそれぞれ角周波数ωと板厚d(=2h)、位相速度cp(図中ではv)を横波速度cT(図中ではvs)で除することにより正規化している。青あるいは赤の線はそれぞれ対称および反対称モードを示している。また実線と点線はポアソン比の異なる2種類の材料の分散曲線を示している。
伝搬方向に対して垂直な方向の長さが無限であることを仮定する。このとき、真空中に置かれた厚さ2h、縦波速度cL、横波速度cTの等方弾性体の板を伝搬するラム波の分散関係(角周波数ωと波数kの関係)は以下のように表される。ここで波数kとは、ラム波の伝搬方向に対する波長をλとするとき、k=λ/(2π)で表される量である。
Ω S ( ω , k ) ≡ ( q 2 − k 2 ) 2 ( sin  ( q h ) q ) cos  ( p h ) + 4 k 2 p sin  ( p h ) cos  ( q h ) = 0 , {\displaystyle \Omega _{\rm {S}}(\omega ,k)\equiv \left(q^{2}-k^{2}\right)^{2}\left({\frac {\sin(qh)}{q}}\right)\cos(ph)+4k^{2}p\sin(ph)\cos(qh)=0,}
Ω A ( ω , k ) ≡ ( q 2 − k 2 ) 2 ( sin  ( p h ) p ) cos  ( q h ) + 4 k 2 q sin  ( q h ) cos  ( p h ) = 0. {\displaystyle \Omega _{\rm {A}}(\omega ,k)\equiv \left(q^{2}-k^{2}\right)^{2}\left({\frac {\sin(ph)}{p}}\right)\cos(qh)+4k^{2}q\sin(qh)\cos(ph)=0.
板の中立面上の一点を原点とし、伝搬方向をx方向、板厚方向をzとするとき、定数A, B, C, Dを用いて、ラム波の変位場は以下の式で表される。
u x = Re  [ { k A cos  ( p z ) + q B cos  ( q z ) + k C sin  ( p z ) + q D sin  ( q z ) } exp  { i ( k x − ω t ) } ] , {\displaystyle u_{x}=\operatorname {Re} \left\lbrack \left\lbrace kA\cos(pz)+qB\cos(qz)+kC\sin(pz)+qD\sin(qz)\right\rbrace \exp \left\lbrace i(kx-\omega t)\right\rbrace \right\rbrack ,}
u z = Re  [ i { p A sin  ( p z ) − k B sin  ( q z ) − p C cos  ( p z ) + k D cos  ( q z ) } exp  { i ( k x − ω t ) } ] , {\displaystyle u_{z}=\operatorname {Re} \left\lbrack i\left\lbrace pA\sin(pz)-kB\sin(qz)-pC\cos(pz)+kD\cos(qz)\right\rbrace \exp \left\lbrace i(kx-\omega t)\right\rbrace \right\rbrack ,}
A,B,C,Dは振幅を表す任意定数であり、