ケプラー三角形
正の実数aおよびbに対し、それらの算術平均、幾何平均、および調和平均が直角三角形の各辺の長さとなることは、直角三角形がケプラー三角形であることに同値である。
ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 φ {\displaystyle \phi } の平方根 φ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は 1 : φ : φ {\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi } 、おおよそ1 :1.272 :1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。
このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー(1571–1630)にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した:
また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。