連接層
OX が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表現可能な OX 加群の層は連接層である。
O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が準連接層とは、局所表現を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。
O ( I ) | U → O ( J ) | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}^{(I)}|_{U}\to {\mathcal {O}}^{(J)}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}
ここで、最初の 2つの項は、構造層のコピーの(無限個でもよい)直和である。
このファイバーの k(x) ベクトル空間としての次元を x でのファイバー次元とよぶ。関連する事実として、連接層のファイバー次元は上半連続である。 すなわち、各自然数 n にたいし、ファイバー次元が n 以下になる点のなす集合は開集合になり、とくにある開集合の上では定数になり(したがってその開集合上のベクトルバンドルとみなせる)、その補集合の上ではファイバー次元はそれより大きくなる。
(アフィン的、もしくは射影的な)代数多様体 X (もしくはもっと一般的に準コンパクト(quasi-compact)かつ準分離的(quasi-separated)なスキーム)が与えられると、X 上の準連接層の圏はとてもよい性質をもつアーベル圏(グロタンディーク圏(英語版)(Grothendieck category)とよばれる)となる。とくに、準連接層の圏は(連接層の圏とは異なり)充分な単射的対象(英語版)(enough injectives)を持つ。したがって準連接層の圏を考えることによって層のコホモロジーの理論を機能させることができる。スキーム X は同型を除いて、X 上の準連接層のアーベル圏によって、決定される。
連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジー(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になるという性質を持っていることを証明した。
この結果は、ケーラー多様体上の局所自由層の特別な場合に、小平邦彦により以前に証明されていたものの拡張である。GAGA の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な(非常に簡単な)バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、グロタンディーク(Grothendieck)により代数的な場合に証明され、グラウエルト(英語版)(Hans Grauert)とレンマート(英語版)(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。