剰余演算
数学的には、剰余演算の結果はユークリッド除法における余りのことである。しかし、別の法則に従って算出されることもある。コンピュータやその他の計算機は数値の保持や処理方法がさまざまなので、剰余演算の定義はプログラミング言語や動作するハードウェアによって、それぞれ規定されている。
ほぼすべてのコンピュータシステムにおいて、a を n で除算した商 q および剰余 r は下記の条件を満たす。
q ∈ Z a = n q + r | r | < | n | {\displaystyle {\begin{aligned}q\,&\in \mathbb {Z} \\a\,&=nq+r\\|r|\,&<|n|\end{aligned}}} (1)
ところが、剰余が0でない場合、その符号は不確定なものとなる。数論上は、余りは常に正の数となるが、プログラミング言語によっては a および n の符号によって剰余の符号が正となるか負となるかが定められる。標準的なPascalおよびAlgol68では、除数が負数であっても正の剰余(または0)を出力する。しかし、C90のようなプログラミング言語では、n または a が負の数の場合にはそうならないことがある。詳細は右表を参照。多くのシステムでは a の 0 での剰余は未定義だが、いくつかは a を出力するように定義されている。