二十七角形
正二十七角形においては、中心角と外角は13.333...°で、内角は166.666...°となる。一辺の長さが a の正二十七角形の面積 S は
S = 27 4 a 2 cot  π 27 ≃ 57.74994 a 2 {\displaystyle S={\frac {27}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{27}}\simeq 57.74994a^{2}}
cos  ( 2 π / 27 ) {\displaystyle \cos(2\pi /27)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。 すると
cos  2 π 27 = cos  2 π 3 ⋅ 9 = ω 3 3 + ω 2 3 3 2 = − 1 + 3 i 2 3 3 + − 1 − 3 i 2 3 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{27}}=\cos {\frac {2\pi }{3\cdot 9}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\omega }}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\omega ^{2}}}}}{2}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}}}{2}}}