第一基本形式
曲面のガウス曲率は次の式で与えられる。
ここで、 L 、 M 、およびNは、第二基本形式の係数である。
ガウスのTheorema Egregiumは、曲面のガウス曲率は第一基本形式とその微分を用いるだけで表すことができるということを主張しており、したがって、ガウス曲率 K は、事実として、曲面の内在的な不変量であるということを主張している。第一基本形式に関するガウス曲率の明示的な表現は、 Brioschiの式によって与えられる。
X(u, v)を媒介変数表示された曲面(parametric surface)とする。このとき、2つの接線ベクトルの内積は次のようになる。
ここで、 E 、 F 、およびGは、第一基本形式の係数(coefficients of the first fundamental form)である。 第一基本形式は対称行列として表現することもできる。