代数的整数論
代数的整数論における古典的な結果の1つは代数体 K のイデアル類群が有限であることである。類群の位数は類数と呼ばれ、しばしば文字 h で書かれる。
実と複素の埋め込みは付値に基づいた観点を採用することで素イデアルとして同じ足場に置くことができる。例えば有理整数を考えよう。通常の絶対値関数 |·|: Q → R に加えて、各素数 p に対して定義される p 進絶対値関数 |·|p: Q → R があり、これは p による可除性を測る。オストロフスキーの定理は(同値の違いを除いて)これらが Q 上のすべての可能な絶対値関数であると述べている。したがって絶対値は Q の実埋め込みと素数をともに記述する共通の言語である。
代数体の素点 (place) は K 上の絶対値(英語版)関数の同値類である。素点には2種類ある。O の各素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進絶対値が存在し、p-進絶対値と同様、それは可除性を測る。これらは有限素点と呼ばれる。