相似次元
この操作を l 回繰り返したとすると、復元に必要な個数は N(1/r) = (r) となるが、このとき
log  ( N ( 1 / r l ) ) / log  ( r l ) = D {\displaystyle \log(N(1/r^{l}))/\log(r^{l})=D}
となる。小図形を別なスケールに縮小しても同様であり、この次元の定義はスケール変換や分割の個数に関して整合的である。
D s = lim r → ∞ log  ( N ( 1 / r ) ) / log  ( r ) {\displaystyle D_{s}=\lim _{r\to \infty }\log(N(1/r))/\log(r)}
カントール集合の場合、元の図形を3分の1に縮小したものを2つ集めると元の図形に復元できる。そのため、
2 = N ( 1 3 ) = ( 1 3 ) − D s {\displaystyle 2=N\left({\frac {1}{3}}\right)=\left({\frac {1}{3}}\right)^{-D_{s}}}
から、相似次元は
D s = log 3  2 = 0.6309 ⋯ {\displaystyle D_{s}=\log _{3}2=0.6309\cdots }
と、非整数になる。
コッホ曲線の場合、元の図形を3分の1に縮小したものを4つ集めると元の図形に復元できるので、相似次元は
D s = log 3  4 = 1.2618 ⋯ {\displaystyle D_{s}=\log _{3}4=1.2618\cdots }
である。