フルヴィッツのゼータ函数
フルヴィッツの公式とは、
ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s [ e − i π s / 2 β ( x ; s ) + e i π s / 2 β ( 1 − x ; s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}
という定理である。ここに、
β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp  ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}
は、 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} と s > 1 {\displaystyle s>1} に対して、ゼータ函数の有効な表現である。また、ここの Li s ( z ) {\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)} は多重対数関数である。