伸開線
円の伸開線はアルキメデスの螺旋に似た形をしている。
直交座標系において円の伸開線の媒介変数表示 (x(t), y(t)) は { x = a ( cos  t + t sin  t ) y = a ( sin  t − t cos  t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=a(\cos t+t\sin t)\\y=a(\sin t-t\cos t)\end{cases}}} で与えられる。ただし、a は円の半径、t は媒介変数である。
極座標系 (r, θ) における円の伸開線の媒介変数表示は { r = a sec  α θ = tan  α − α {\displaystyle {\begin{cases}r=a\sec \alpha \\\theta =\tan \alpha -\alpha \end{cases}}} で与えられる。ただし、a は円の半径で、α は媒介変数である。
円の伸開線はしばしば次の形
{ r = a 1 + t 2 θ = arctan  sin  t − t cos  t cos  t + t sin  t {\displaystyle {\begin{cases}r=a{\sqrt {1+t^{2}}}\\\theta =\arctan {\dfrac {\sin t-t\cos t}{\cos t+t\sin t}}\end{cases}}}
に表されることもある。
オイラーは円の伸開線を歯車の歯の形に用いることを提案した。今日も広く用いられているそのようなデザインの歯車はインボリュート歯車と呼ばれる。