類体論
現代的な類体論の定式化では、イデール類群(イデール群を体の乗法群で割ったもの)と呼ばれる K から(おおよそ)内在的に定まる位相群から Gal(K/K) への相互律準同型(reciprocity homomorphism)と呼ばれる準同型が構成される。ガロア対応により有限次アーベル拡大は Gal(K/K) の開部分群と一対一対応し、相互律準同型によりそれはイデール類群の開部分群と一対一対応する。有限次アーベル拡大に対応するイデール類群の開部分群は、その有限次アーベル拡大体のイデール類群のノルム写像による像として特徴づけられる。
{ 有限次アーベル拡大 } ↕ 1:1 { Gal(K/K) の開部分群 } ↕ 1:1 { イデール類群の開部分群 }
代数体に対する類体論は、1910年代から1920年代にかけて、高木貞治やエミール・アルティンらによって証明された。その後、1930年代以降に大域体の完備化である局所体についても同様の理論が確立された。これは局所類体論(英語版)と呼ばれている。局所類体論では局所体 K の乗法群 K を用いてそのアーベル拡大が分類・記述される。また有限体上の一変数代数関数体に対しても同様の理論が確立された。有限体上の一変数代数関数体と代数体はまとめて大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるので、これらに対する類体論は大域類体論と呼ばれる。
代数体についての類体論の元々の証明は、代数体に対して直接類体論を証明するというものだった。その後、局所体類体論を使って証明するという手法が確立された。現代の類体論の教科書ではこの手法による証明を採用しているものが多くある。
Z ^ × → G Q ab = Gal ( Q ( μ ∞ ) / Q ) ; x ↦ ( ζ ↦ ζ x ) {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
Z ^ × → G Q ab = Gal ( Q ( μ ∞ ) / Q ) ; x ↦ ( ζ ↦ ζ − x ) {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。