複比
複比は射影直線の射影変換によって保持されるという意味で射影不変量である。
特に、4つの点がRの直線L上にある場合、それらの複比は、原点を選択や線上のスケールを選択に関わらず同じ値になるため well-defined な量である。
さらに {Li | 1 ≤ i ≤ 4} は、同じ点Qを通る平面上の4本の異なる直線である。次に、Qを通過しない任意の線Lは、4つの異なる点Piでこれらの線と交差する (LがLiに平行である場合、対応する交点は「無限遠」にある)。これらの点の(固定された順序で与えられる)複比は、線Lの選択に依存しないことがわかる。したがって、4本の線の組 {Li} の不変量である。
これは、LとL′がQを通過しない2つの線である場合、Qを中心とするLからL′への透視変換は、L上の4つの点の組 {Pi} からL′上の4つの点の組 {Pi′} 射影変換となることから理解できる。
したがって、直線の射影的自己同型の下での複比の不変性は、4つの直線 {Li} 上の4つの共線点 {Pi} の複比が、その線の選択から独立していることを意味する(実際には等価)。
共線上の4点 A, B, C, D の複比は、次のように記述できる。
( A , B ; C , D ) = A C C B : A D D B {\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}}
ここで A C C B {\displaystyle {\frac {AC}{CB}}} は点Cが線分 A B {\displaystyle AB} を分割する比率を表し、 A D D B {\displaystyle {\frac {AD}{DB}}} は点Dが同じ線分を分割する比率を表す。次に、複比は比の比として現れ、2 つの点 C, D が線分 A B {\displaystyle AB} に対してどのように位置しているかを表す。点 A, B, C, D が異なる限り、複比 (A, B; C, D) はゼロ以外の実数となる。それは次のように簡単に推測できる。
(A, B; C, D) < 0 は、点 C, D の一方が点 A, B の間にあり、他方が点 A, B の間にない場合に限る。
(A, B; C, D) = 1 / (A, B; D, C)
(A, B; C, D) = (C, D; A, B)
(A, B; C, D) ≠ (A, B; C, E) ↔ D ≠ E