リー代数の表現
キレンの補題(英語版)(Quillen's lemma) - シューアの補題の類似で、体 k 上の有限次元リー代数の包絡環上の単純加群の自己準同型は k 上代数的であることを言っているのが、キレン(Quillen)の補題である。
ヴァルマ加群(英語版)(Verma module)
幾何学的量子化(英語版)(Geometric quantization)
カジュダン-ルスティック予想
超リー代数の表現(英語版)(Representation of a Lie superalgebra)
ホワイトヘッドの補題(英語版)(Whitehead's lemma)
L を超代数とすると、L の代数上の表現は、(結合的である必要はない)Z2 次数付き代数 A である。A はZ2 次数付きベクトル空間(graded vector space)上の L の表現であり、加えて、L の元は A 上に 微分(英語版)(derivation)/反微分(英語版)(antiderivation) として作用する。
さらに、特に H が L の純粋元であり、x と y が A の純粋元であれば、
H [ [ x y ] = ( H [ x ] ) y + ( − 1 ) x H x ( H [ y ] ) {\displaystyle H[[xy]=(H[x])y+(-1)^{xH}x(H[y])}
である。また、A が単位的であれば、
H [ 1 ] = 0 {\displaystyle H[1]=0}
である。
ところで、リー代数の表現に対し、単純に次数を (−1) を同じべきの因子へ写し、なくすることができる。
(超)リー代数はリー代数であり、それ自身の随伴表現を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。(反)微分の性質は、超(英語版)(super)ヤコビ恒等式である。
ベクトル空間が双方とも結合代数であり、リー代数であり、リー代数自身の上への随伴表現が代数上の表現(つまり結合代数上の微分が作用していると)であれば、このリー代数はポアソン代数(英語版)(Poisson algebra)である。超リー代数での類似の事実が、ポアソン超代数(英語版)(Poisson superalgebra)の考えをもたらす。