リンドハード理論
∑ i q i ∂ f k ∂ k i = − ∑ i q i ∂ f k ∂ μ ∂ ε k ∂ k i = − ∑ i q i k i ħ 2 m ∂ f k ∂ μ {\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}
ここで ε k = ħ 2 k 2 2 m {\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} 、 ∂ ε k ∂ k i = ħ 2 k i m {\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}} を用いた。
よって、
ε ( q , 0 ) = 1 + V q ∑ k , i q i k i ħ 2 m ∂ f k ∂ μ ħ 2 k → ⋅ q → m = 1 + V q ∑ k ∂ f k ∂ μ = 1 + 4 π e 2 ε q 2 ∂ ∂ μ 1 L 3 ∑ k f k = 1 + 4 π e 2 ε q 2 ∂ ∂ μ N L 3 = 1 + 4 π e 2 ε q 2 ∂ n ∂ μ ≡ 1 + κ 2 q 2 .
ここで2次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次式で与えられる。
V s ( q , ω = 0 ) ≡ V q ε ( q , ω = 0 ) = 2 π e 2 ε q L 2 q q + κ = 2 π e 2 ε L 2 1 q + κ {\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}} .
2次元フェルミ気体の化学ポテンシャルは次式で与えられることが知られている。
μ ( n , T ) = 1 β ln  ( e ħ 2 β π n / m − 1 ) {\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}} ,
また ∂ μ ∂ n = ħ 2 π m 1 1 − e − ħ 2 β π n / m {\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}} である。
よって2次元での遮蔽波数は、
これはnに依存しないことに注意。
リンドハード理論(リンドハードりろん)とは、固体中の電子による遮蔽効果を計算する手法である。リンドハード理論は、量子力学(第一原理摂動論)と乱雑位相近似に基づいている。
トーマス-フェルミ遮蔽は、より一般的なリンドハード公式の特別な場合として導出される。具体的に言うと波数ベクトルがフェルミ波数ベクトルよりはるかに小さいときのリンドハード公式、すなわち長距離極限がトーマス-フェルミ遮蔽である。
この記事はCGSガウス単位系を用いることにする。