ワイルの指標公式
である(ここでc_nはj関数のq展開におけるq^nの係数).
Peterson は対称化可能(一般)カッツ・ムーディ代数のルート β の重複度 mult(β) の再帰公式を与え,これはワイル・カッツの分母公式と同値であるが,計算に用いるのが容易である:
( β , β − 2 ρ ) c β = ∑ γ + δ = β ( γ , δ ) c γ c δ {\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}
ただし和は正ルート γ, δ を渡り,
c β = ∑ n ≥ 1 mult  ( β / n ) n {\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}}
である.
で与えられる,ただし ξα は極大トーラス T のリー環 t 0 {\displaystyle {\mathfrak {t}}_{0}} 上の微分 α の T 上の指標である.
ρ が T の指標の微分であるとき,たとえば G が単連結であるとき,これは次のように書き直せる:
ch  ( V ) = ∑ w ∈ W ε ( w ) ξ w ( λ + ρ ) ξ ρ ∏ α ∈ Δ + ( 1 − ξ − α ) = ∑ w ∈ W ε ( w ) ξ w ( λ + ρ ) ∑ w ∈ W ε ( w ) ξ w ( ρ ) . {\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)\xi _{w(\lambda +\rho )}}{\xi _{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-\xi _{-\alpha })}}={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)\xi _{w(\lambda +\rho )}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)\xi _{w(\rho )}}}.}