ランベルトのW関数
また一つ目の式はこの三つ目の式で z = tan(x)⁄√2 と置くことでも得られる。
分岐切断 (−∞, 1/e] に沿う z を除けば(そのような z では以下の積分が確定しない)、ランベルト W 函数の主枝は、以下の積分
W ( z ) = z 2 π ∫ − π π ( 1 − ν cot  ν ) 2 + ν 2 z + ν csc  ν e − ν cot  ν d ν = z π ∫ 0 π ( 1 − ν cot  ν ) 2 + ν 2 z + ν csc  ν e − ν cot  ν d ν {\displaystyle W(z)={\frac {z}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu ={\frac {z}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu }
によって計算できる。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。