解析学
しかしながらコーシーですら連続と一様連続、各点収束と一様収束といった概念の区別がつかず、こういった基本概念が基礎付けられその重要性が認識されるにはワイエルシュトラスの登場を待たねばならなかった。
リーマンも1854年、フーリエ級数の研究においてコーシーの積分可能の概念を拡張し、一部の不連続の関数をも積分可能とするリーマン積分を導入したが、これですら不完全であり、実変数関数の完全な積分理論はすでに20世紀に入ってからの、1902年のルベーグ積分の登場によるものである。
収束や積分の研究はもとより、微分に関してもその厳密化が図られることとなった。18世紀以前は関数の微分可能性は当然のこととされたが、コーシーらの連続に関する厳密な概念の導入によってその基礎が揺るがされた。全ての連続関数は本当に微分可能なのかが疑われることとなったのである。19世紀前半までは「全ての連続関数は有限個の点を除き微分可能である」という定理(アンペールの定理)が無条件に成立するであろうという「神話」が信仰されていたのであるが、これが全くの嘘であると認識されるには長い時間が必要であった。これがようやく幻想であると認識されるのはワイエルシュトラスによって、連続であるが微分できない関数という反例が1875年に公表されてからであった。
また、19世紀に入って解析学は本格的に複素数を利用するようになった。複素数変数の関数や微積分などを扱う分野は(複素)関数論、複素解析学などと呼ばれる。コーシーは従来求められていた定積分などが複素変数の関数として扱うことでより簡単に求められることを発見した。さらにその後、ワイエルシュトラスやリーマンによって一変数の複素関数の理論が整えられ、複素関数論は独立した一つの数学として扱われるようになった。また多変数の複素関数の理論は20世紀に入ってから、アンリ・カルタンや岡潔らによって詳細が研究された。
複素解析学は楕円関数や素数定理とも関連し、幅広い応用をもち現代では物理や工学においても必須の概念となっている。