パデ近似
多くの場合、パデ近似は、 テイラー級数を有限項で切り捨てるより良い近似を与えるが、テイラー級数が収束しない場合でも機能する。 これらの理由から、パデ近似はコンピューター計算で広く使用されている。 また、パデ近似は ディオファントス近似および超越数論において補助関数(英語版)として使用されるが、より正確な評価のためにはパデ近似を応用したアドホックな手法を使うことが一般的である。
また、有理関数であるがために近似として人工的な特異点が発生するおそれがあるが、これはボレル・パデ解析によって回避することができる。
パデ近似がマクローリン展開より良い近似になりやすい理由は、多点総和法の観点から見れば明らかである。それは無限遠での漸近展開が0や定数になる例が多いため、「不完全な2点パデ近似」として、通常のパデ近似がマクローリン展開を改良しているものと解釈出来るからである。
u 0 = 1 , v 0 = 0 , u 1 = 0 , v 1 = 1 , u k + 1 = u k − 1 − q k u k , v k + 1 = v k − 1 − q k v k {\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}
を同時に計算する。これによって、各ステップでベズー恒等式
r k ( x ) = u k ( x ) p ( x ) + v k ( x ) q ( x ) . {\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}
を得る。
[m/n]近似の場合、次の拡張ユークリッドアルゴリズムを実行する。
r 0 = x m + n + 1 , r 1 = T m + n ( x ) {\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}
そして v k {\displaystyle v_{k}} の次数がn以下である最後の段階にそれを停止する。
次に、多項式 P = r k , Q = v k {\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}} [ m / n ]パデ近似を与える。拡張最大公約数計算のすべてのステップを計算すると、 パデ表の対角線が得られる。