正規作用素
正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには
準正規作用素
部分正規作用素(英語版)
劣正規作用素
パラ正規作用素
擬正規作用素(英語版)
などがある(上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある)。
となるから、ここでトレースと直交射影の性質に従って計算すれば
tr  ( X X ∗ ) = tr  ( P V T T ∗ P V − P V T P V T ∗ P V ) = tr  ( P V T T ∗ P V ) − tr  ( P V T P V T ∗ P V ) = tr  ( P V 2 T T ∗ ) − tr  ( P V 2 T P V T ∗ ) = tr  ( P V T T ∗ ) − tr  ( P V T P V T ∗ ) = tr  ( P V T T ∗ ) − tr  ( T P V T ∗ ) = tr  ( P V T T ∗ ) − tr  ( P V T ∗ T ) = tr  ( P V ( T T ∗ − T ∗ T ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))=0\end{aligned}}}