可測関数
応用の場面で現れる実数値関数は、可測関数であることが多い。しかしながら、非可測関数を見つけることは難しいことではない。
距離空間に非可測集合が存在している限り、その空間上の非可測関数が存在する。 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} を可測空間とし、 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} が非可測集合(英語版)、すなわち、 A ∉ Σ {\displaystyle A\not \in \Sigma } であるなら、指示関数 1 A : ( X , Σ ) → R {\displaystyle 1_{A}:(X,\Sigma )\rightarrow \mathbb {R} } は、可測集合 { 1 } {\displaystyle \{1\}} の原像が非可測集合 A {\displaystyle A} であることから、非可測である。ここで、 R {\displaystyle \mathbb {R} } は通常どおりボレル代数を備えるものであり、 1 A {\displaystyle 1_{A}} は