自由境界問題
多くの自由境界問題は、解析を行う目的上、変分不等式(英語版)として見なすことも出来る。この点を表すために、実 n 変数の関数 F の、凸集合 C についての最小化を行う。そのミニマイザー x は条件
∇ F ( x ) ⋅ ( y − x ) ≥ 0 for all y ∈ C {\displaystyle \nabla F(x)\cdot (y-x)\geq 0{\text{ for all }}y\in C\,}
によって特徴付けられている。x が C の内点であるなら、F の勾配はゼロでなければならない。x が C の境界上にあるなら、F の x における勾配は、境界に対して垂直でなければならない。
勾配が変分微分として見なされるような、ヒルベルト空間の凸部分集合上の、微分可能汎関数 F の最小化にも、同様のアイデアが適用される。このアイデアを具体化するために、それを障害問題に適用する。それは、次のように表現される: