多重根号
( a + b ) + 2 a b = ( a + b ) 2 = a + b {\displaystyle {\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}}={\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}
と強引に根号が外れる形にする必要がある。他には、
3 + 2 3 = 1 2 ( 12 4 + 108 4 ) {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt[{4}]{108}})}
10 + 7 2 3 = 2 6 + 4 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{10+7{\sqrt {2}}}}={\sqrt[{6}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}
5 + 3 3 3 = 1 2 ( 4 3 + 432 6 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{5+3{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}({\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{6}]{432}})}
特定のクラスの多重根号は初等的な計算に基づいて根号を外すことができる。以下の左辺の形をした二重根号の式が、右辺のように二つの平方根の和に分解できる条件を調べよう。すなわち、以下の等式
a ± b c = d ± e {\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}}
(ただし、 c {\displaystyle c} は平方数でない)が成り立つと仮定する。両辺を自乗した
a ± b c = ( d + e ) ± 2 d e {\displaystyle a\pm b{\sqrt {c}}=(d+e)\pm 2{\sqrt {de}}}
に対し、両辺の係数比較(英語版)(両辺の有理成分同士、無理成分同士がそれぞれを等しいとおく)によって、問題は「和が a {\displaystyle a} に等しく、積が b 2 c 4 {\displaystyle {\frac {b^{2}c}{4}}} に等しい二数 d , e {\displaystyle d,e} を求めること」に帰着される。これは根と係数の関係により、特定の二次方程式を解く問題として解決することができる。
上記の記述より、
d + e = a , d e = b 2 c 4 {\displaystyle d+e=a,de={\frac {b^{2}c}{4}}} の関係式が得られる。