ジーゲル円板
S {\displaystyle S} はリーマン面、 f : S → S {\displaystyle f:S\to S} は正則な自己準同型写像とし、U はそのファトゥ集合 F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} の連結成分とする。U が点 z0 の周りでの f のジーゲル円板であるとは、単位円板 D {\displaystyle \mathbb {D} } に対する解析的な位相同型写像 φ : U → D {\displaystyle \phi :U\to \mathbb {D} } で、ある α ∈ R ∖ Q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } に対して φ ( f n ( φ − 1 ( z ) ) ) = e 2 π i α z {\displaystyle \phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha }z} であり、かつ φ ( z 0 ) = 0 {\displaystyle \phi (z_{0})=0} であるようなものが存在することを言う。
ジーゲルの定理では、ある「強無理性条件」(ディオファントス条件)を満たす無理数に対するジーゲル円板の存在が示された。これにより、ファトゥ成分の分類に関してピエール・ファトゥが提唱していた未解決問題が解かれた。
後日、アレクサンドル・ブルーノ(英語版)はこの無理性に関する条件を改善し、ブルーノ数までその条件を弱めた。
これはファトゥ成分の分類による結果の一部である。