一次関数
一次式 ax + b を特徴付けるふたつの定数について、a が増減すると対応する直線の「傾き」が急になったり緩やかになったりするので、a はこの直線の傾きと呼ばれる。また b は対応する直線と y-軸との交点の座標であり y-切片 (y-intercept) あるいは単に切片と呼ばれる。また、aは変化の割合であり、変化の割合はyの増加量/xの増加量で求められる。
傾き a が正の場合はグラフは右上がりになり、負の場合は右下がりになる。いずれの場合も、a の絶対値が大きくなるほど傾きが「急」になる。
y-切片 b が増減すると対応する直線は座標平面を上下に平行移動する。
x-切片(直線と x-軸の交点)は ax + b の零点 x = −b/a であたえられる。
一次関数 f が非退化 (a ≠ 0) ならば、非有界、非周期的、かつ単調増大 (a > 0) または単調減少 (a < 0) である。さらに単射かつ全射、従って一対一対応ゆえに可逆(であって、逆関数もまた非退化な一次関数)である。これと対照に、定数関数に退化している (a = 0) ならば、有界、周期的、かつ偶関数であり、非増大かつ非減少の意味では単調であるが、単射でも全射でもなく(したがって一対一対応にならず)逆函数を持たない。退化・非退化の場合によらず b = 0 のとき一次関数は奇関数であり、偶かつ奇となるのは定数関数 x ↦ 0 に限る。
数学、特に初等解析学における(狭義の)一次関数(いちじかんすう、英: linear function)は、(一変数(英語版)の)一次多項式関数(first-degree polynomial function)、つまり次数 1 の多項式が定める関数
x ↦ a x + b {\displaystyle x\mapsto ax+b}
をいう(もしくは y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} と表記される)。ここで、係数 a (≠ 0), b は x に依存しない定数であり、矢印は各値 x に対して ax + b を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。 より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式関数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。
一次関数は線型関数(linear function)やアフィン関数(affine function)とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 (a = 0) も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 (b = 0) で斉一次関数で与えられる。
以下、解析幾何学における実関数としての一次関数について述べる。