五十四角形
三次方程式は
u 3 − 3 u − α = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-\alpha =0}
三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると
u 1 = 2 cos  ( 1 3 arccos  α 2 ) = − ω 2 3 3 + − ω 3 3 {\displaystyle u_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}
よって
cos  2 π 54 = − ω 2 3 3 + − ω 3 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{54}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}{2}}}