常微分方程式の数値解法
一方、 t {\displaystyle t} を固定して n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とするとき、大域離散化誤差 (global discretization error)
e ( t ; h n ) = η ( t ; h n ) − y ( t ) , h n = t − t 0 n {\displaystyle e(t;h_{n})=\eta (t;h_{n})-y(t),\ \ h_{n}={\frac {t-t_{0}}{n}}}
が 0 に収束するならば、その積分スキームは収束するという。 p {\displaystyle p} 次精度 ( p > 0 {\displaystyle p>0} ) の1段法を十分に滑らかな関数 f {\displaystyle f} に適用するとき、そのスキームは収束し大域離散化誤差は
e ( t ; h n ) = O ( h n p ) {\displaystyle e(t;h_{n})=O(h_{n}^{p})}
のように振る舞うことが保証されている、すなわち大域離散化誤差のオーダーは局所離散化誤差のオーダーに等しい。
もとの初期値問題の厳密解は y ( t ) = e λ t {\displaystyle y(t)=e^{\lambda t}} であり、これは R e { λ } < 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \{\lambda \}<0} のとき t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } で 0 に収束する。そこである積分スキームの絶対安定領域が左半平面を含むとき、そのスキームはA-安定 (A-stable) であるという。
関数 f ( t , y ) {\displaystyle f(t,y)} が大きな値を取り積分スキームによっては極端に時間刻み幅 h {\displaystyle h} を小さくする必要がある場合、その常微分方程式は硬い方程式と呼ばれる。この場合には十分に安定なスキームを用いる必要が生じる。これはしばしば y i + 1 {\displaystyle y_{i+1}} を陰関数的に y i {\displaystyle y_{i}} 等から定める陰解法によって実現される。
解析対象となる微分方程式が何らかの特別な性質を持つとき、汎用の数値積分法ではなく、その性質を尊重するように構成された数値解法を用いることがあり、そのような手法は構造保存型解法または幾何学的数値解法と呼ばれる。例えば古典力学(ハミルトン力学)において時間発展はシンプレクティック写像であり、エネルギー(ハミルトニアン)等の保存量が存在する。この場合にはシンプレクティック数値積分法というハミルトン系にのみ適用可能な数値解法が存在し、良好な性質を持つことが知られている。