デュアメルの原理
P ( ∂ t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )} の最高階の項の係数を a m {\displaystyle a_{m}} とする。今、すべての ξ {\displaystyle \xi } に対して、次の方程式の解 G ( t , ξ ) {\displaystyle G(t,\xi )} を考える。
P ( ∂ t , ξ ) G ( t , ξ ) = 0 , ∂ t j G ( 0 , ξ ) = 0 for 0 ≤ j ≤ m − 2 , ∂ t m − 1 G ( 0 , ξ ) = 1 / a m . {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}
H ( t , ξ ) = G ( t , ξ ) χ [ 0 , ∞ ) ( t ) {\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)} を定める。
{\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}
ここで H = G χ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}} 定める。ただし χ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \chi _{[0,\infty )}} は区間 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} に対する指示函数である。このとき、
P ( ∂ t ) H = δ {\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }
が超函数の意味で成立する。したがって
u ( t ) = ( H ∗ F ) ( t ) {\displaystyle u(t)=(H\ast F)(t)}
= ∫ 0 ∞ G ( τ ) F ( t − τ ) d τ {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau }
= ∫ − ∞ t G ( t − τ ) F ( τ ) d τ {\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau }
が、元の常微分方程式の解となる。