S-双対
理論の一つがゲージ群 G {\displaystyle G} を持っていると、双対な理論はゲージ群 L G {\displaystyle {^{L}}G} を持っている。ここに L G {\displaystyle {^{L}}G} は一般には G {\displaystyle G} とは異なるラングランズ双対群を表している。
場の量子論の重要な量は、複素化された結合定数である。これは次の公式により定義される複素数である。
τ = θ 2 π + 4 π i g 2 {\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}
ここに、 θ {\displaystyle \theta } はテータ角(英語版)で、理論を定義するラグラジアンに現れる量であり、 g {\displaystyle g} は結合定数である。例えば、電磁場を記述するヤン=ミルズ理論では、この数値 g {\displaystyle g} は単に陽子に帯びている電荷 e {\displaystyle e} である。 2つの理論のゲージ群の入れ替えに加えて、モントネン・オリーブの双対性は、複素化された結合定数 τ {\displaystyle \tau } を持つ理論を、複素化された結合定数 − 1 / τ {\displaystyle -1/\tau } を持つ理論へ変換する。