シュワルツシルト解
座標を適切に変更すれば(例えばルメートル座標、エディントン・フィンケルシュタイン座標、クルスカル・セケレシュ座標、ノビコフ座標、グルストランド・パンルヴェ座標など)、計量は r = rs において正則となり外部の座標パッチと内部の座標パッチを繋ぐことができる。したがって、座標変換を用いれば外部と内部を関連付けることが可能となる。
しかし、r = 0 の場合は話が異る。r がどんな値でも成り立つような解を求めようとすると必ず重力の特異点と呼ばれる真の物理的特異点が原点に生じる。この特異点が真の特異点であることを理解するためには座標の選択によらない量を調べる必要がある。そのような量のうち重要なものとして、下に示すクレッチマン不変量(英語版)が挙げられる。
R α β γ δ R α β γ δ = 12 r s 2 r 6 = 48 G 2 M 2 c 4 r 6 {\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12{r_{\mathrm {s} }}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}}
r = 0 において曲率は無限大になり、すなわち特異点の存在を示す。
シュワルツシルト解の名は、アインシュタインが一般相対性理論を発表してから一ヶ月そこそこでこの厳密解を1915年に初めて見出し、1916年に発表したカール・シュヴァルツシルトを称えて命名された。これは自明な平坦空間解を除けば初めて見付かったアインシュタイン方程式の厳密解である。シュヴァルツシルトはこの論文が発表されてすぐ、第一次世界大戦にドイツ兵として参戦中に病のため亡くなった。
1916年、ヨハネス・ドロステは独立に、より直接的な導出方法を用いてシュワルツシルト解を導いた。
一般相対性理論の黎明期にはシュワルツシルト解を初めとするアインシュタイン方程式の解に現われる特異点をめぐって多くの混乱が見られた。シュヴァルツシルトの原論文では、現在では事象の地平面と呼ばれている面を座標の原点としていた。同論文では、シュワルツシルト動径座標(上式の r)は補助変数として用いられていた。シュヴァルツシルトの方程式においては、シュワルツシルト半径においてゼロとなる別の動径座標が用いられていた。
より完全な特異点構造の解析は後年、ダフィット・ヒルベルトにより与えられ、r = 0 と r = rs の両方が特異点であるとされた。
符号 (1, −1, −1, −1) のシュワルツシルト座標(英語版)を用いると、シュワルツシルト計量の線素(英語版)は以下のような式で書き下される。
c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ) c 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2  θ d φ 2 ) {\displaystyle c^{2}{\mathrm {d} \tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right)}
ここで、以下のような変数および定数を用いた。
τ は固有時間(試験粒子のたどる世界線に沿って動く時計で測った時間)
c は光速
t は座標時(質量から無限に遠い静的な時計で測った時間)
r は動径座標