波動関数
P ( p 1 ) = | ψ ( p 1 ) | 2 {\displaystyle P(p_{1})=|\psi (p_{1})|^{2}\ }
に収束する。
他にも、波動関数 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \left.\Psi (x,t)\right.} の絶対値二乗は、位置の測定を行った場合の測定値の確率分布を与える。 より正確には、位置 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の固有値が離散的である場合、「状態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } において時刻 t {\displaystyle t\ } で位置 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の理想測定をしたとき、測定値のバラつきを表す確率分布が P ( x , t ) = | Ψ ( x , t ) | 2 {\displaystyle P(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}\ } である」。 しかし、そのためには、全空間のどこかで観測される確率は1 (100%) であることから、
∑ i P ( x i , t ) = 1 {\displaystyle \sum _{i}P(x_{i},t)=1}
のように規格化される。 位置の観測量が連続的に与えられている場合は、「測定値がある一点 x {\displaystyle x} である確率 P ( x , t ) {\displaystyle P(x,t)} 」は意味を成さない。
そのような場合、 P ( x , t ) {\displaystyle P(x,t)} は、確率ではなく、「小区間 [ x , x + δ x ] {\displaystyle [x,x+\delta x]} の中に観測される確率密度」として扱われ、規格化条件も和から積分へ変わる。
∫ V P ( x , t ) d x = 1 {\displaystyle \int _{V}P(x,t)dx=1}
積分変数が位置 x {\displaystyle x} になっていて、長さの次元を持つことからも分かる通り、物理量の固有値が連続的に存在する場合(連続スペクトル)、対応する確率分布の次元は、無次元ではなく、物理量の逆の次元、この場合は「 L − 1 {\displaystyle L^{-1}} (長さの逆数)」になる。このとき、 P ( x , t ) {\displaystyle P(x,t)} は「単位長さ当たりの確率」、すなわち確率密度として解釈される。
なお、波動関数の絶対値二乗が「存在確率」と言われることもあるが、正確ではない。確率解釈では、ボルンの規則は「理想測定を行った場合の測定結果の確率分布」であって、測定を行っていない場合の「存在」や「確率」について何かを言っているわけではない。
離散スペクトルと連続スペクトルの規格化条件を見比べてみると、それぞれの波動関数の次元は異なることがわかる。
離散固有値の固有関数で表示した波動関数は、常に無次元量である。
連続固有値の固有関数で表示した波動関数は、状況によって様々な規格化条件があるので、波動関数の次元は状況によって異なる。