回帰的空間
X を、R あるいは C のノルム線型空間とする。その連続双対、すなわち X から基礎体(base field)へのすべての連続線形写像からなる空間を、X ′ と表す。双対空間の記事において説明されるように、X ′ はバナッハ空間である。二重双対(double dual)X ′′ を、X ′ の連続双対で定義する。このとき、自然な連続線形変換
J : X → X ′′
を
J(x)(φ) = φ(x)
として、X 内のすべての x および X ′ 内のすべての φ に対して定義することが出来る。すなわち、J は x を、x において評価されるような X ′ 上の汎関数へと写す。ハーン-バナッハの定理に従い、J はノルム保存(すなわち、||J(x)|| = ||x||)であるため、単射である。J が全単射であるとき、空間 X は回帰的であると言われる(これはすなわち、回帰的なノルム空間はバナッハ空間であることを意味する。なぜならば X は完備空間 X ′′ と等長であるからである)。空間 X が(位数 d で)準回帰的であるとは、X ′′/J(X) の次元 d が有限であることを言う。
もしバナッハ空間 Y が、回帰的なバナッハ空間 X と同型であるなら、Y も回帰的である。
回帰的な空間のすべての閉部分空間は、回帰的である。回帰的空間の双対は、回帰的である。回帰的な空間のすべての商は、回帰的である。
回帰的なバナッハ空間の幾何的な性質は次のようなものである:C を、回帰的空間 X の空でない閉凸部分集合とするなら、X に含まれるすべての x に対して、C に含まれるある c が存在し、||x − c|| が x と C の点との距離を最小のものとする(ここで、x と C の間の最小距離は x によって一意に定まるが、c はそうならないことに注意されたい。X が一様凸であるなら、最も近い点 c は一意である)。
X をバナッハ空間とする。以下は同値である。
空間 X は回帰的である。
X の双対は回帰的である。
X の閉単位球は、弱位相においてコンパクトである(これは角谷の定理として知られる)。
X に含まれるすべての有界列は、弱収束部分列を持つ。
X 上のすべての連続線形汎関数は、X 内の閉単位球上で最大値を取る(ジェームズの定理(英語版))。
回帰的なバナッハ空間が可分であることと、その双対が可分であることは同値である。このことは、すべてのノルム空間 Y に対して、その双対 Y ′ の可分性は Y の可分性を意味する、という事実によりしたがう。