重複度 (数学)
F {\displaystyle F} を体とし p ( x ) {\displaystyle p(x)} を F {\displaystyle F} に係数をもつ一変数多項式とする。元 a ∈ F {\displaystyle a\in F} は次のようなとき p ( x ) {\displaystyle p(x)} の重複度 k {\displaystyle k} の根と呼ばれる。
ある多項式 s ( x ) {\displaystyle s(x)} が存在して s ( a ) ≠ 0 {\displaystyle s(a)\neq 0} かつ p ( x ) = ( x − a ) k s ( x ) {\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}{s(x)}} とするとき、 k = 1 {\displaystyle k=1} であれば、 a {\displaystyle a} は単根(simple root)と呼ばれ、 k ≧ 2 {\displaystyle k\geqq 2} であれば、 a {\displaystyle a} は重根 (multiple root) と呼ばれる。
このアフィン集合の座標環は R = K [ X ] / ⟨ f ⟩ , {\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,} ただし K は f の係数を含む代数閉体。 f ( X ) = ∏ i = 1 k ( X − α i ) m i {\displaystyle f(X)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}} が f の分解であれば、R の素イデアル ⟨ X − α i ⟩ {\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle } における局所環は K [ X ] / ⟨ ( X − α ) m i ⟩ {\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle } である。これは K 上のベクトル空間で、次元として根の重複度 m i {\displaystyle m_{i}} をもつ。
交叉重複度のこの定義は、本質的に Jean-Pierre Serre の本 Local algebra によるが、集合論的な成分(isolated component とも呼ばれる)に対してしかうまくいかず、埋め込まれた成分(英語版)に対してはうまくいかない。埋め込まれたケースを扱うために理論は発達してきている(詳細は交叉理論を見よ)。