階乗
同様の主張はパイ函数に関しても、函数等式 Π(n) = nΠ(n − 1) に関して述べられる。
そうは言うものの、解析的函数論の意味で恐らくより簡明な、階乗の値を補間する複素函数は存在する。例えばアダマールの「ガンマ」函数はガンマ函数とは異なり整函数になる。
オイラーはまた非整数の階乗に対する近似無限乗積
n ! = Π ( n ) = ∏ k = 1 ∞ ( k + 1 k ) n k n + k = [ ( 2 1 ) n 1 n + 1 ] [ ( 3 2 ) n 2 n + 2 ] [ ( 4 3 ) n 3 n + 3 ] ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}
についても考察している。これは上記のガンマ函数に関する公式と同じものと見做すことができる。しかしこの公式は収束が遅く、実用的な意味でパイ函数やガンマ函数の値を計算することに利用することはできない。
n 個の相異なる対象を1列に並べる方法の総数が n! 通りであるということは、少なくとも12世紀にはインドの学者によって知られていた。ファビアン・ステッドマン(英語版)は1677年にチェンジリンギング(英語版)への応用として階乗を記述した。再帰的な手法による記述の後、Stedman は(独自の言葉を用いて)階乗に関しての記述を与えている:
感嘆符(!)を用いた、この "n!" という表記は1808年にクリスチャン・クランプによって発明された。
"Double Factorial". mathworld.wolfram.com (英語).
↑ Weisstein, Eric W. "Primorial". mathworld.wolfram.com (英語).
↑ Pickover, Clifford A. (1995). Keys to Infinity. New York: John Wiley & Sons. doi:10.2307/2687608. JSTOR 2687608
↑ Sloane, Neil J. A.; Plouffe, Simon (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2. https://oeis.org/book.html
↑ オンライン整数列大辞典の数列 A002109
↑ 巨大数研究 Wiki 指数階乗
↑ Sondow, Jonathan. "Exponential Factorial". mathworld.wolfram.com (英語).
↑ Biggs, pp. 109–136
↑ Stedman 1677, pp. 6–9
↑ Stedman 1677, p. 8.
↑ Higgins, p. 12
n が増えるにつれて、階乗 n ! は n を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する(ただし、二重指数関数よりは遅い)。
n ! の近似式の多くは自然対数
log  n ! = ∑ x = 1 n log  x {\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x}
であることを利用する。もっとも単純に得られる log(n!) の近似値を評価する式は、上記の式と以下の積分:
∫ 1 n log  x d x ≤ ∑ x = 1 n log  x ≤ ∫ 0 n log  ( x + 1 ) d x {\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}
によって与えられる。積分を評価すれば
n log  ( n e ) + 1 ≤ log  n ! ≤ ( n + 1 ) log  ( n + 1 e ) + 1 {\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq \left(n+1\right)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}
を得る。これは、ランダウの記号を用いれば log(n!