代数方程式
環 R を係数の環とするモニック多項式(最高次の係数が 1)の根は R 上で整であるという。R が体ならば整であることと代数的であることとは同値である。
数学において代数方程式 (だいすうほうていしき、英: algebraic equation) とは(一般には多変数の)多項式を等号で結んだ形で表される方程式の総称で、式で表せば
∑ e 1 , ⋯ , e m a e 1 , ⋯ e m x 1 e 1 ⋯ x m e m = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{e_{1},\cdots ,e_{m}}a_{e_{1},\cdots e_{m}}{x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{m}}^{e_{m}}=0}
の形に表されるもののことである。言い換えれば、代数方程式は多項式の零点を記述する数学的対象である。
ここでは、数値計算アルゴリズム(基本的には四則演算の無限回の組み合わせ)による解法について述べる。計算機による解法を想定しているが、現在の計算機が本来できる計算としては整数環での演算と論理演算の有限回操作であるため、厳密な意味で計算機では解く事はできない。しかし、浮動小数点数という擬似的な実数表現や複素数の実行列表現なども可能であることより、複素数体が扱えるものと見なす。また与えられた正の値の誤差範囲に収まるまでの反復回数が有限回という保証があるならば、実質無限回の操作も許されると見なす。そういう意味での、近似的な数値解法である。
数値計算アルゴリズムによる解法は、様々な手法が提案され、現在もその進化を続けている。ここでは、ベーシックな手法をいくつか記す。
ニュートン法による解法は、解の候補となる初期値を与え、その解の候補に接する直線を元の代数方程式の近似とみなし、その一次方程式を解くことにより次の解の候補を求める方法である。