ルジャンドル変換
関数 f(x) のルジャンドル変換 f(p) に対して再びルジャンドル変換を施した関数を f(x) とする:
f ∗ ∗ ( x ) ≡ sup p ( x p − f ∗ ( p ) ) . {\displaystyle f^{**}(x)\equiv \sup _{p}(xp-f^{*}(p))\,.}
f(x) が下に凸であれば、f(x) はもとの関数 f(x) に等しい:
f ∗ ∗ ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle f^{**}(x)=f(x)\,.}
つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。
簡単な証明として、関数が滑らかな凸関数である場合についてこのことを示す。まず関数 f を 2 回ルジャンドル変換をすると以下のようになる。
f ∗ ∗ ( x ) = x p ∗ ( x ) − f ∗ ( p ∗ ( x ) ) = x p ∗ ( x ) − p ∗ ( x ) x ∗ ( p ∗ ( x ) ) + f ( x ∗ ( p ∗ ( x ) ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xp^{*}(x)-f^{*}(p^{*}(x))\\&=xp^{*}(x)-p^{*}(x)x^{*}(p^{*}(x))+f(x^{*}(p^{*}(x)))\,.\end{aligned}}}