中山の補題
中山の補題の標準的な証明はAtiyah & MacDonald (1969)による次のテクニックを用いる。
M を n 元で生成された R-加群とし、φ : M → M を R-線型写像とする。φ(M) ⊂ IM であるような R のイデアル I が存在すれば、pk ∈ I であるような単多項式
p ( x ) = x n + p 1 x n − 1 + ⋯ + p n {\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}}
が存在して、M の自己準同型として p ( φ ) = 0 {\displaystyle p(\varphi )=0}
である。
この主張はちょうどケイリー・ハミルトンの定理を一般化したものであり、同様に証明できる。M の生成元 xi について、
φ ( x i ) = ∑ j = 1 n a i j x j {\displaystyle \varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}
の形の関係がある。ただし aij ∈ I である。したがって