離散フーリエ変換 (一般)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f_{k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\alpha ^{j'k}\alpha ^{-jk}\\={}&{\frac {1}{n}}\sum _{j'=0}^{n-1}v_{j'}\sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}.\end{aligned}}}
が得られる。 j ′ ≠ j {\displaystyle j'\neq j} ならば ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=0} であり(式(1)で k = j ′ − j {\displaystyle k=j'-j} と置けばよい)、 j ′ = j {\displaystyle j'=j} ならば ∑ k = 0 n − 1 α ( j ′ − j ) k = n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\alpha ^{(j'-j)k}=n} が成り立つので、上の式は v j {\displaystyle v_{j}} とちょうど一致する。∎
環として有限体 F = G F ( q ) {\displaystyle F=GF(q)} ( q {\displaystyle q} は素数のべき乗)を考えた場合には、 単位元の原始n乗根の存在は自動的に n {\displaystyle n} が q − 1 {\displaystyle q-1} を割り切ることを意味する。 これは、各元の位数は体 F {\displaystyle F} の乗法群のサイズを必ず割り切り、乗法群のサイズは q − 1 {\displaystyle q-1} であることから言える。 これは、特に n = 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ n t i m e s {\displaystyle n=\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n\ {\rm {times}}}} が乗法逆元を持つことを保証し、式(3)における 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} はその逆元である。 G F ( q ) {\displaystyle GF(q)} 上での離散フーリエ変換の応用として、符号理論におけるリード・ソロモン符号やBCH符号の復号がある。これは、円分高速フーリエ変換といった効率の良いアルゴリズムによって実行可能である。