体上の多元環
体上の多元環 A に対し、その双線型な乗法 A × A → A は A の基底元の間の積を求めれば完全に決まる。逆に、A の基底を選んでおいて、その間の積を任意に定めるならば、それを延長して A 上の双線型な演算が一意的に定まり、それは多元環の積の条件を満足する。
従って、与えられた体 K に対する任意の多元環は、同型を除いて、その次元 n と n-個の構造係数 ci,j,k と呼ばれる特定のスカラーを与えることによって決定される。ここで、構造係数というのは、A 上の乗法を
e i e j = ∑ k = 1 n c i , j , k e k {\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\,e_{k}}
なる規則によって完全に決定するものである。ただし、e1, ..., en は A の基底とする。構造係数に課される条件は、次元 n が無限大であるときには、この和が(状況に応じて適当な意味で)常に収斂することだけである。
体上の多元環にはいくつか種類がある。以下に挙げる多元環の種類はある種の公理、例えば一般の多元環の定義には含まれていない乗法の可換性や結合性など、を追加で要求することで特定される。これらの多元環についての理論は、それぞれの多元環の種類によって、大きく趣を異にするものとなる。