射影平面
線型代数学的には、射影平面は「三次元空間内の原点を通る直線全体の成す集合」として与えられる。射影平面上の直線は三次元空間内の原点を通る平面から生じる。きちんと述べれば、以下のようになる。
K を任意の可除環(斜体)とし、 K を K の元の三つ組 x = (x 0, x 1, x 2) 全体の成す集合(直積集合)とする。K の零ベクトルでない任意の点 x に対し、原点と x を通る K 内の「直線」とは、 K の部分集合
{ k x : k ∈ K } {\displaystyle \{kx:k\in K\}}
のことである。同様に K の線型独立な点 x, y (つまり kx + ly = 0 ならば必ず k = l = 0)に対し、原点と x, y を通る「平面」とは、 K の部分集合
{ k x + l y : k , l ∈ K } {\displaystyle \{kx+ly:k,l\in K\}}
のことであり、この平面は無数の直線を含む。
可除環 K 上の射影平面 KP とは、K の原点を通る直線全体の成す集合をいう。
射影平面においては、それが含む直線の数と点の数とが同じであることを示すことができる(有限でも無限でも)。有限射影平面は
N + N + 1 個の点と、
N + N + 1 本の直線を持ち、
各直線上に N + 1 個の点が載っていて、
各点を N + 1 本の直線が通る。
ここで、N ≥ 2 は射影平面の位数 (order) と呼ばれる整数である(有限幾何学も参照)。
前節に述べたような線型代数学的定義から生じる射影平面はどれも、本節に言う組合せ論的な定義に基づく射影平面として記述することができる。従って、位数 p の有限体から、位数 N = p の射影平面を与えることができる。
ファノ平面は二元体から生じる射影平面である。これは最小の射影平面で、わずか七つの点と七つの直線から成る。右図では、七つの「点」を小さな黒丸で表し、七つの「直線」は六本の線分と一つの円で表したものだが、射影平面の双対性により(点と直線とを互いに入れ替えたものもやはり射影平面となるから)、黒丸を「直線」、線分と円を「点」と思うこともできる。この七つの点に対して置換を施すと、共線点(同一直線上にある点)を共線点へ移す変換を引き起こす。このことを以って、ファノ平面は「対称」であるという。
退化平面とは、上述の定義における条件3を満足しない場合である。退化平面には二つの系列がある。
任意個数の点 P1, ..., Pn および直線 L1, ..., Lm が以下を満たすもの。 L1 = { P1, P2, ..., Pn} L2 = { P1 } L3 = { P1 } ... Lm = { P1 }
任意個数の点 P1, ..., Pn および直線 L1, ..., Ln が以下を満たすもの(点の数と直線の数は同数である)。 L1 = { P2, P3, ..., Pn } L2 = { P1, P2 } L3 = { P1, P3 } ... Ln = { P1, Pn }