楕円曲線
有限体上の楕円曲線は、整数の素因数分解への応用と同じように、暗号理論への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られているアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。
楕円曲線暗号
楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有
楕円曲線DSA
エドワーズ曲線デジタル署名アルゴリズム
双対_EC_DRBG(英語版)
レンストラ楕円曲線分解(英語版)
素数性証明楕円曲線(英語版)
例えば、曲線 y 2 − ′′ y ′′ = x 3 − x {\displaystyle y^{2}-''y''=x^{3}-x} のモジュラーパラメータ化は により与えられた。
x ( z ) = q − 2 + 2 q − 1 + 5 + 9 q + 18 q 2 + 29 q 3 + 51 q 4 + ... y ( z ) = q − 3 + 3 q − 2 + 9 q − 1 + 21 + 46 q + 92 q 2 + 180 q 3 + ... {\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\ldots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\ldots \end{aligned}}}
ここでは、上記のように q = exp(2πiz) とする。関数 x(z) と y(z) はウェイト 0 でレベル 37 のモジュラー関数で、言い換えると、それらは上半平面 Im(z) > 0 で定義された有理型で、関数等式
x ( a z + b c z + d ) = x ( z ) {\displaystyle x\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}
を満たす。また同じことが、ad − bc = 1 かつ 37|c となる全ての整数 a, b, c, d と y(z) について成り立つ。
代数体 K 上の楕円曲線上の点に対し、高さが定まる。一般に、次数 d の代数体 K 上の射影空間 P n ( K ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K)} 上の点 P = [ x 0 : x 1 : ... : x n ] ∈ E ( K ) {\displaystyle P=[x_{0}:x_{1}:\ldots :x_{n}]\in E(K)} の絶対的高さ (absolute height)を
H ( P ) = ( ∏ v max i { ‖ x i ‖ v } ) 1 / d {\displaystyle H(P)=(\prod _{v}\max _{i}\{\lVert x_{i}\rVert _{v}\})^{1/d}}
により定める(P を含む K の取り方は一意ではないが、K の取り方によらずに定まる)。ここで ‖ ⋅ ‖ v {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{v}} は K 上の正規化された絶対値をあらわす。また
h ( P ) = log  H ( P ) {\displaystyle h(P)=\log H(P)}
を対数的高さ (logarithmic height) と呼ぶ。
f を代数体 K 上の楕円曲線 E 上定義された有理関数とする。 h f ( P ) = h ( [ f ( P ) : 1 ] ) {\displaystyle h_{f}(P)=h([f(P):1])} (ただし P が特異点のときは、 h f ( P ) = h ( [ 1 : 0 ] ) {\displaystyle h_{f}(P)=h([1:0])} とする)を f に対する高さと呼ぶ。
K = Fq を q 個の元を持つ有限体として、E を K 上に定義された楕円曲線とする。K 上の楕円曲線 E の有理点の数(英語版)を正確に数えることは、一般には難しいが、楕円曲線のハッセの定理は、無限遠点を含めると、この数を、
| card  E ( K ) − ( q + 1 ) | ≤ 2 q {\displaystyle |\operatorname {card} E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}
と評価できることを教えている。
言い換えると、曲線の点の数は、大まかには、体の元の数の増加具合と同じ増加具合を示している。この事実は一般的な理論の助けを借りて理解し証明することができる。局所ゼータ関数やエタールコホモロジーを参照。
点の集合 E(Fq) は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは二つの巡回群の積となる。例えば、 では、
y 2 = x 3 − x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}
で F71 上に定義される楕円曲線は72個の点をもち((0, 0) を含む 71 個のアフィン点と無限遠点をひとつ持っている)、その群構造は、Z/2Z × Z/36Z で与えられる。具体的な曲線の点の数は、シューフのアルゴリズム(英語版)により計算することができる。
Fq の拡大体上の曲線の研究は、Fq 上の E の局所ゼータ関数を導入することにより促進された。局所ゼータ関数は、上記のように一般化された級数
Z ( E ( K ) , T ) ≡ exp  ( ∑ n = 1 ∞ card  [ E ( K n ) ] T n n ) {\displaystyle Z(E(K),T)\equiv \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {card} \left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}
により定義される。ここに体 Kn は体 K = Fq の n 次拡大、つまり Fq である。ゼータ関数は T の有理関数である。ある整数 a が存在し、
Z ( E ( K ) , T ) = 1 − a T + q T 2 ( 1 − q T ) ( 1 − T ) {\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}
となる。
さらに、絶対値が √q である複素数 α, β とすると、
Z ( E ( K ) , 1 q T ) = Z ( E ( K ) , T ) ( 1 − a T + q T 2 ) = ( 1 − α T ) ( 1 − β T ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)&=Z(E(K),T)\\\left(1-aT+qT^{2}\right)&=(1-\alpha T)(1-\beta T)\end{aligned}}}
が成り立つ。この結果はヴェイユ予想 の特別な場合である。例えば、 では、体 F2 上の E のゼータ関数である y + y = x は、
であることが分かり、このモジュラー判別式は
Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = λ 2 ( λ − 1 ) 2 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}
である。
ここに λ はモジュラーラムダ関数(英語版)と呼ばれることもある。
注意すべきは、一意化定理は、種数 1 の全てのコンパクトなリーマン面は、トーラスとして実現することができることを意味していることである。
このことは、楕円曲線上の捩れ点を容易に理解することができる。格子 Λ が基本周期 ω1, ω2 ではられると、n-ねじれ点は、0 から n − 1 までの整数 a と b に対し、次の形の(同型類の)点である。
a n ω 1 + b n ω 2 . {\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}.}
複素数上に、どの楕円曲線も九個の変曲点を持っている。これらの点のうちの二つを通るどの直線も、三つ目の変曲点を通る。九つの点と12の直線はこのようにしてヘッセ配置(英語版)を成す。