リーマン予想
オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、ζ(s) がこの領域において零点を持たないことを示している。
リーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数を解析接続して、すべての複素数 s に対して有効な定義を与える必要がある。これは以下のようにディリクレのエータ関数(英語版)の言葉でゼータ関数を表すことによってできる。s の実部が 1 よりも大きければ、ゼータ関数は
( 1 − 2 2 s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s = 1 1 s − 1 2 s + 1 3 s − ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots }
を満たす。しかしながら、右辺の級数は s の実部が 1 より大きいときだけでなく、より広く s の実部が正のときにいつでも収束する。したがって、この代わりの級数はゼータ関数を Re s > 1 からより大きい領域 Re s > 0 に、1 − 2/2 の零点を除いて、拡張する(en:ディリクレのエータ関数を参照)。
e γ ≤ lim sup t → + ∞ | ζ ( 1 + i t ) | log  ( log  t ) ≤ 2 e γ {\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log(\log t)}}\leq 2e^{\gamma }}
6 π 2 e γ ≤ lim sup t → + ∞ 1 log  ( log  t ) ⋅ | ζ ( 1 + i t ) | ≤ 12 π 2 e γ {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{\log(\log t)\cdot |\zeta (1+it)|}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}
を与えるので、ζ(1 + it) とその逆数の増大率は2倍の違いを除いて分かることになる。