作用素
幾何学において、ベクトル空間に更なる構造を入れたものがしばしば調べられる。そのような空間からそれ自身への全単射な写像となる作用素は、合成に関して自然に群を成し、その空間を調べるのに非常に有効である。
例えば、ベクトル空間の構造を保つ全単射な作用素は可逆線型作用素であり、その全体は合成に関して一般線型群となる。この群は作用素の(点ごとの)和に関してベクトル空間とはならない(例えば id および −id はともに可逆な作用素だがそれらの和 0 はそうではない)。
また例えば、ユークリッド距離を保つ作用素の全体は等距変換群(英語版)を成し、その原点を保つ作用素全体の成す部分群は直交群として知られる。直交群に属する作用素でベクトルの組の向きを保つものは特殊直交群(または回転群)と呼ばれる群を成す。
( α T ) x := α ( T x ) x ∈ D ( α T ) := D ( T ) {\displaystyle (\alpha T)x:=\alpha (Tx)\qquad x\in D(\alpha T):=D(T)}
( S + T ) x := S x + T x x ∈ D ( S + T ) := D ( S ) ∩ D ( T ) {\displaystyle (S+T)x:=Sx+Tx\qquad x\in D(S+T):=D(S)\cap D(T)}
( S T ) x := S ( T x ) x ∈ D ( S T ) := { y ∈ D ( T ) ∣ T y ∈ D ( S ) } {\displaystyle (ST)x:=S(Tx)\qquad x\in D(ST):=\{\,y\in D(T)\mid Ty\in D(S)\,\}}