コーシー列
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。特に、X は (0, 0, 0, ...) を零元、(1, 1, 1, ...) を単位元とする環である。ここで、(xn) − (ym) が 0 に収束するという関係 ∼ は同値関係になる。この同値関係 ∼ で割った商環 X/∼ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/∼ を R と書き、実数体とよぶ。
X の元 (xn) に対して、その極限を標準射影によって
lim n → ∞ x n := [ ( x n ) n ∈ N ] ∈ X / ∼ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}:=[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]\in X/\sim }
と定める。もし、(xn) が通常の意味で有理数値の極限 r を持つならば、有理数列 (xn − r) は 0 に収束するので、ここで定義した極限は通常の意味の極限と両立している。