ボールの跳ね返り運動
重力は物体に対して鉛直下向きに働き、その大きさは以下の等式で表せる。
F G = m g {\displaystyle F_{\text{G}}=mg}
ここでmはボールの質量、gは重力加速度であり、地球上では9.764 m/sから9.834 m/sの間の大きさとなる。通常、重力以外のボールに働く力は、重力に比べると十分小さいため、重力の影響が支配的であるとする理想的な条件(英語版)の元で解析することがしばしばある。重力だけがボールに作用するとする場合、空中を飛んでいる間は力学的エネルギーが保存される。運動方程式は以下の式で与えられる。
a = − g j v = v 0 + a t r = r 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {j} \\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\end{aligned}}}
ここでa、v、rはそれぞれ、時間tにおけるボールの加速度、速度、位置を表し、v0、r0はそれぞれ、ボールの初速度および初期位置を表す。
ボールのスピンは、マグヌス効果を通じてその弾道に影響を与える。クッタ・ジュコーフスキーの定理によれば、空気を非粘性流体と仮定しその中を回転する球を考えると、マグヌス力は以下のように表せる。
F M = 8 3 π r 3 ρ ω v {\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v}
ここで、rはボールの半径、ωはボールの角速度、ρは空気密度、vは空気に対するボールの速度である。マグヌス力は、運動方向と回転軸のそれぞれに対して垂直な向きに働く(つまり、 ω ^ × v {\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times \mathbf {v} } で表される向き)。一般に、バックスピンがかかっている場合には上向き、トップスピンがかかる場合には下向きになる。 実際の流体はほとんどの場合粘性を持っており、その場合のマグナス力は以下のように表される。
F M = 1 2 ρ C L A v 2 {\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2}}