集合の代数学
普遍集合と空集合の補集合の規則: ∅ C = U {\displaystyle \varnothing ^{\mathrm {C} }=U} U C = ∅ {\displaystyle U^{\mathrm {C} }=\varnothing }
二重補集合の規則は自己双対であることに注意。
次の命題も自己双対であり、補集合の規則を満たす集合は補集合しかないことを示している。換言すれば相補性は補集合の規則で特徴付けられる。
命題 5: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。
補集合の普遍性: A ∪ B = U {\displaystyle A\cup B=U} で、かつ A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } なら、 B = A C {\displaystyle B=A^{\mathrm {C} }} が成り立つ。