楕円曲線暗号
また、 ⟨ G ⟩ {\displaystyle \langle G\rangle } から無作為に選ばれた二つの点 X = a G , Y = b G {\displaystyle X=aG,Y=bG} を与えられ、 a b G {\displaystyle abG} を求めよという問題を、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン問題 と呼ぶ。
最もポピュラーな離散対数問題は、 p , g {\displaystyle p,g} と y = g x mod p {\displaystyle y=g^{x}{\bmod {p}}} から x {\displaystyle x} を求めよ、という問題であり、 g ∈ Z p ∗ ( = Z / p Z ) × {\displaystyle g\in Z_{p}^{*}(=Z/pZ)^{\times }} から生成される乗法群の上で定義されている。これに対して、楕円曲線は加法群であるため、 Y = a P {\displaystyle Y=aP} を満たす a {\displaystyle a} を離散対数と呼ぶ。
巡回群の位数 n {\displaystyle n} が小さければ、離散対数問題やディフィー・ヘルマン問題が容易に解けてしまうため、位数が巨大な素数になるようなベースポイント(と楕円曲線)が使用される。