コーシーの主値
コーシーの主値は,特異点の種類によって以下のいずれかで定義される.
i) 有限の積分範囲のとき
a < x < c で定義される関数 f (x) に対して、a < b < c なる b について
lim u → b − 0 ∫ a u f ( x ) d x = ± ∞ {\displaystyle \lim _{u\rightarrow b-0}\int _{a}^{u}f(x)\,dx=\pm \infty }
lim v → b + 0 ∫ v c f ( x ) d x = ∓ ∞ {\displaystyle \lim _{v\rightarrow b+0}\int _{v}^{c}f(x)\,dx=\mp \infty }
である場合に(複号同順)
lim ε → 0 + ( ∫ a b − ε f ( x ) d x + ∫ b + ε c f ( x ) d x ) {\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left(\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,dx\right)}
で定められる値をコーシーの主値という。
次の式は、一つ目はコーシーの主値を計算しているが、二つ目は積分区間が少し違うために結果も異なる。
lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ a 1 d x x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}
lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ 2 a 1 d x x ) = − log e  2. {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\log _{e}2.}
このように少しの違いで値が異なってしまうため注意が必要である。 広義積分の仕方によっては