オイラー数
オイラー数は次の漸化式を満たす。 この漸化式によって、すべてのオイラー数が整数であることがわかる。
E 0 = 1 , ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) E 2 k = 0 {\displaystyle E_{0}=1,\quad \sum _{k=0}^{n}{2n \choose 2k}E_{2k}=0}
この漸化式は偶数項のオイラー数しか与えない。 奇数項のオイラー数は上で説明したように、必ずゼロである。 この漸化式を利用すると、下表のオイラー数が算出される。
この表に示すように、 n {\displaystyle n} の上昇に対してオイラー数 E 2 n {\displaystyle E_{2n}} の絶対値は非常に速く増加する。その絶対値は次に示す漸近的な性質にしたがう。
| E 2 n | ≃ 2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n + 1 ( n → ∞ ) {\displaystyle |E_{2n}|\simeq 2\,(2n)!\,\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{\!2n+1}\quad \quad (n\rightarrow \infty )}