平面曲線
↑ 媒介変数の取り換えに関して β ′ ( s ) = d t d s ( d φ d t , d ψ d t ) = d t d s α ′ ( t ( s ) ) {\textstyle \beta '(s)={\frac {dt}{ds}}({\frac {d\phi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}})={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))} を見るのは容易
なる関係を満たす。ただし、Fx0, Fy0 はそれぞれ F の x, y による偏微分をそれぞれ x0, y0 において評価した値である。 曲線の正則性は、その曲線の点 t0 における法線も定義可能にし、法線の方程式が
で与えられる。接線の場合と同様に
陽表示: f ′ ( x 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + ( x − x 0 ) = 0 {\textstyle f'(x_{0})\cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0} ;
陰表示: F y 0 ⋅ ( x − x 0 ) + F x 0 ⋅ ( y − y 0 ) = 0 {\textstyle F_{y_{0}}\cdot (x-x_{0})+F_{x_{0}}\cdot (y-y_{0})=0}
の陽にも書ける。
微分の定義により、
は幾何学的には曲線の接線の傾きを表しており、右辺において正弦が引数にとる角 θ は接線が x-軸の正の半直線となす角である。この関係式を
と展開すれば、これにより曲線の接線の方向余弦と呼ばれる量 cos(θ) が得られる。