線型代数群
B3
GL3
{ [ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ] } {\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}
{ [ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ] } {\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}
である。対応する等質射影多様体(英語版) projective homogeneous varieties GL3/P は、それぞれ
線型空間の鎖 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ A k 3 ( dim  V i = i ) {\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \mathbf {A} _{k}^{3}\quad (\dim V_{i}=i)} すべてから成る旗多様体
点
A に含まれる直線(一次元部分空間)の射影空間 P
A に含まれる平面の双対射影空間 P
である。
ボレル部分群 Borel subgroups は線型代数群の構造論において重要である。代数的閉体 k 上の線型代数群 G に対して、G のボレル部分群とは滑らかで可解な連結(閉)部分群のなかで極大なものを指す。k 上の線型代数群 G は必ずボレル部分群を持つ。例えば、GLn の上三角行列からなる部分群 Bn はボレル部分群である。
理論における基本的な結果のひとつは、代数的閉体 k 上の連結群 G に含まれるどんなボレル部分群も適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである。(標準的な証明はボレルの不動点定理——連結可解群 G が代数的閉体 k 上の空でない完備多様体 X に正則に作用するならば、G の作用で固定される X の k 有理点が存在する——を使う。)GLn におけるボレル部分群の共役は、リー=コルチンの定理(英語版)に達する:GLn に含まれる滑らかな連結可解部分群は上三角行列群の部分群と GLn において共役である。
代数的閉体上の連結線型代数群 G が半単純 semisimple であるとは、G のどんな滑らかで連結な可解正規部分群も自明であることを指す。より一般に、代数的閉体上の連結線型代数群 G が簡約 reductive であるとは、G のどんな滑らかで連結なべき単正規部分群も自明であることを指す。(簡約群に連結性を要請しない著者もいる。)半単純群は簡約群である。任意の体 k 上の群 G が半単純あるいは簡約であるとは、 G k ̄ {\displaystyle G_{\bar {k}}} が半単純あるいは簡約であることを指す。例えば、適当な体 k 上の行列式 1 の n 次行列からなる群 SLn は半単純である一方、非自明なトーラスは簡約であるが半単純ではない。同様に、GLn も簡約であるが半単純でない(なぜならば中心 Gm が非自明で滑らかな連結可解正規部分群だから)。
任意のコンパクト連結リー群は複素化(英語版)と呼ばれる複素簡約代数群を持つ。その上、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の同型類に対して一対一対応を与える。