近傍系
.. , U n ∈ V ( x ) : ⋂ i = 1 n U i ∈ V ( x ) {\displaystyle \forall U_{1},\dotsc ,U_{n}\in {\mathcal {V}}(x):\ \bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {V}}(x)}
∀ U ∈ V ( x ) : x ∈ U {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {V}}(x):\ x\in U}
∀ U ∈ V ( x ) , ∃ V ∈ V ( x ) : ∀ y ∈ V , U ∈ V ( y ) {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {V}}(x),\ \exists V\in {\mathcal {V}}(x):\ \forall y\in V,\ U\in {\mathcal {V}}(y)}
言葉で書くと次のようになる。
V が x の近傍ならば、V⊆U⊆X なる集合 U も x の近傍である。
x の近傍を有限個とると、その共通部分も x の近傍である。
x の近傍は x 自身を元にもつ。
U が x の近傍ならば、 x の別の近傍 V で、任意の y∈V に対し U が y の近傍でもあるようなものが存在する。実はこのような V で最大のものが存在して U の内部 int(U) に等しい。