ヒルベルト・サミュエル関数
とくに、 M ′ ≃ M {\displaystyle M'\simeq M} であれば、 P I , M ′′ {\displaystyle P_{I,M''}} の次数は P I , M = P I , M ′ {\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}} の次数よりも真に小さい。
証明: 与えられた完全列を R / I n {\displaystyle R/I^{n}} でテンソルして核を計算すると、完全列
0 → ( I n M ∩ M ′ ) / I n M ′ → M ′ / I n M ′ → M / I n M → M ′′ / I n M ′′ → 0 {\displaystyle 0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0}
を得、これから
可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と Pierre Samuel(英語版) にちなんで名づけられているが、写像 χ M I : N → N {\displaystyle \chi _{M}^{I}\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } であってすべての n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対して
χ M I ( n ) = l ( M / I n M ) {\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}