平方完成
z を複素数とするとき、
| z | 2 − b ∗ z − b z ∗ + c {\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c}
(b は複素数、c は実数)
(z*, b* はそれぞれ z, b の複素共役)
は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 |u| = uu* を用いて、式を以下のように変形すると分かる:
| z | 2 − b ∗ z − b z ∗ + c = z z ∗ − b ∗ z − b z ∗ + b b ∗ − b b ∗ + c = z ( z ∗ − b ∗ ) − b ( z ∗ − b ∗ ) − | b | 2 + c = ( z − b ) ( z ∗ − b ∗ ) − | b | 2 + c = ( z − b ) ( z − b ) ∗ − | b | 2 + c = | z − b | 2 − | b | 2 + c {\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c&=zz^{*}-b^{*}z-bz^{*}+bb^{*}-bb^{*}+c\\&=z(z^{*}-b^{*})-b(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z-b)^{*}-|b|^{2}+c\\&=|z-b|^{2}-|b|^{2}+c\end{aligned}}}
一般の n 変数二次式は、A を対称行列として
t x A x + t x b + c = t ( x − h ) A ( x − h ) + k ( h = − 1 2 A − 1 b , k = c − 1 4 t b A − 1 b ) {\displaystyle {}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)}
で書ける。
A が対称でないときは h と k の式が
h = − ( A + t A ) − 1 b , k = c − t h A h = c − t b ( A + t A ) − 1 A ( A + t A ) − 1 b {\displaystyle h=-(A+{}^{t}A)^{-1}b,\quad k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b\,(A+{}^{t}A)^{-1}A\,(A+{}^{t}A)^{-1}b}
とやや一般になるが同じ式で書ける。