角谷の不動点定理
集合 X から集合 Y への集合値函数 φ とは、Y 内の一つあるいはそれ以上の点を X の各点に関連付けるある法則である。正式に言うと、それは X から Y の冪集合への通常の函数で、φ: X→2 と表現され、すべての x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して φ(x) は空とならないようなものである。各入力に対して出力を返す函数を表す上で、対応という語が好まれて用いられることもある。したがって、領域の各元は値域の一つあるいはそれ以上の元からなる部分集合と対応する。
f(x) は閉区間 [0, 1] 上で定義される集合値函数で、点 x を閉区間 [1 − x/2, 1 − x/4] に写すものとする。このとき、f(x) は角谷の定理のすべての仮定を満たすため、必ず不動点を持つ。例えば 0.72 ∈ [1 − 0.72/2, 1 − 0.72/4] なので x = 0.72 は不動点である。特にこの場合は無限個の不動点が存在する。
次元が 1 よりも大きい場合、角谷の定理を証明する上で最も簡単な物体は n-単体である。平たく言うと、n-単体とは高次元における三角形である。ある単体上で定義される集合値函数に対して角谷の定理を証明することは、区間に対して証明することと本質的に変わりはない。高次元の場合ならではの証明の難しさは、領域をより細かい部分片に分ける第一段階に現れる。
一次元の場合では区間を中心で分けたが、単体をより小さい部分単体に分ける上では重心細分(英語版)が用いられる。
一次元の場合は、端点が反対方向に動くという方法で初等的に半区間を選ぶことが出来たが、単体の場合はスペルナーの補題(英語版)として知られる組合せ論の結果が、適切な部分単体の存在を保証するために用いられる。
第一段階でこれらの変更が加えられれば、極限点を見つけそれが不動点であることを示す第二、第三段階は、一次元の場合とほとんど変わらずに証明することが出来る。
X と Y は位相ベクトル空間とし、φ: X→2 は集合値函数とする。Y が凸であるとき、φ が角谷写像(Kakutani map)であるとは、すべての x ∈ X に対してそれが上半連続で φ(x) が空でなく、コンパクトかつ凸であることをいう。
このとき、角谷=グリックスバーグ=ファンの定理は次の様なものである:
S をある局所凸位相ベクトル空間の空でないコンパクト凸部分集合とする。φ: S→2 を角谷写像とすると、φ は不動点を持つ。
単価函数に対する対応する結果は、チコノフの不動点定理である。
函数の定義される空間が、局所凸のみならずハウスドルフであるなら、この定理の主張はユークリッド空間における場合と同様のものとなる:
S を、局所凸ハウスドルフ空間の空でないコンパクト凸部分集合とする。φ: S→2 が S 上の集合値函数で、すべての x ∈ S に対して φ(x) が空でない凸集合であるなら、φ の不動点の集合は空でなく、コンパクトである。
集合値函数 φ: X→2 が閉グラフ(closed graph)を持つとは、集合 {(x,y)| y ∈ φ(x)} が積位相において X×Y の閉部分集合であることをいう。すなわち、すべての列 { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} と { y n } n ∈ N {\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} で x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} および y n → y {\displaystyle y_{n}\to y} かつすべての n {\displaystyle n} に対して y n ∈ φ ( x n ) {\displaystyle y_{n}\in \varphi (x_{n})} を満たすようなものに対して、 y ∈ φ ( x ) {\displaystyle y\in \varphi (x)} が成り立つ。