三個の平方数の和
全ての自然数は n ≥ 0 , k ≥ 0 , a ∈ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6,7\}} として 4 k ( 8 n + a ) {\displaystyle 4^{k}(8n+a)} で表される。その中で a ≠ 7 {\displaystyle a\neq 7} のものは高々三個の平方数の和で表され、 a = 7 {\displaystyle a=7} のものは 4 k ( 8 n + 6 ) + ( 2 k ) 2 {\displaystyle 4^{k}(8n+6)+(2^{k})^{2}} として高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明(→多角数定理)が知られている。