ベータ分布
第1種ベータ分布(英: beta distribution of the first kind)の確率密度関数は以下で定義される。
f ( x ; α , β ) = x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}}
ここで B(α, β) はベータ関数であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ α, β はともに正の実数である。期待値は α/α + β、分散は α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}} である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
f ( x ; η ) = h ( η ) exp  ( η ⋅ u ( x ) ) {\displaystyle f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))}
ただし h ( η ) = 1 B ( α , β ) , u ( x ) = ( log  x , log  ( 1 − x ) ) {\displaystyle h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))} である。