ド・モアブルの定理
証明 — オイラーの公式
e i θ = cos  θ + i sin  θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } (θ は複素数)
ならびに複素指数関数の指数法則を用いても証明できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば
( cos  θ + i sin  θ ) n = ( e i θ ) n = e i n θ = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}}
したがって
( cos  θ + i sin  θ ) n = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}}
が得られる。 (Q.E.D.)