積分法
は分点 γ が γ < a, a ≤ γ < b, b ≤ γ のいずれであるかに関わらず成立する。もっと一般に、向き付けられた d-次元多様体 M が与えられたとき、その向きを逆にして得られる多様体を M とし、ω を微分 d-形式とすれば
∫ M ω = − ∫ M op ω {\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M^{\text{op}}}\omega }
が成り立つ。これに対し、ルベーグ積分の文脈では R の有限区間 E = [a, b] 上の積分
∫ E f ( x ) d x = ∫ [ a , b ] f ( x ) d x := ∫ R χ E ( x ) f ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)dx=\int _{[a,b]}f(x)dx:=\int _{\mathbb {R} }\chi _{E}(x)f(x)dx}
とは、E の指示関数 χE における汎関数 dx の値であり、b < a ならば E は空集合で χE が恒等的に 0 となるから積分値は 0 である。
が満たされることは明らかである。とくに、f が有界ならば(分割 Δ のとり方に依らず)各辺の値はいずれも有限値となる。
ダルブーの定理は下ダルブー和 sΔ の Δ に関する上限 s, 上ダルブー和 SΔ の下限 S の存在をいうもので、リーマン和の極限に対して
s ≤ lim | Δ | → 0 ∑ Δ f ( ξ i ) δ x i ≤ S {\displaystyle s\leq \lim _{|\Delta |\to 0}\sum _{\Delta }f(\xi _{i})\delta x_{i}\leq S}
なる評価が得られる。ここに現れた s をダルブー下積分といい、S をダルブー上積分という。しばしば、s = ⨜ba f(x)dx, S = ⨛ba f(x)dx のようにも書かれる。すなわち記号的に、
∫ a _ b f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a ̄ b f ( x ) d x . {\displaystyle {\underline {\int _{a}\!\!\!\!}}^{\ \;b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \,{\bar {\!\int _{a}\;}}^{\!_{\scriptstyle b}}f(x)\,dx.}
これから明らかなように、それらが相等しく s = S となることは、リーマン積分が存在することの必要十分条件であり、上積分・下積分の何れかが存在しないか存在しても一致しないときは "リーマン積分不能" である。
∫ E | f | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\infty }
なるとき、f はルベーグ可積分であるといい、f の積分を
∫ E f d μ = ∫ E f + d μ − ∫ E f − d μ {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }
によって定める。
可測関数が定義される測度空間が局所コンパクトな位相空間(よくあるのは実数全体の成す集合 R)でもあるとき、測度はその位相と適当な意味で両立するもの(ラドン測度: たとえばルベーグ測度などはそう)を考える。そのような測度に関する積分は、コンパクト台付き連続関数の積分からはじめるような別な定義の仕方ができる。もっと具体的に述べれば、コンパクト台付き連続関数の全体はベクトル空間を成し、自然な位相を入れることができて、その空間上の任意の線型汎関数を連続にするような(ラドン)測度を入れることができる。従って、コンパクト台付き函関数における測度の値はその関数の積分によっても定義できる。そこからさらに測度(=積分)をもっと一般の関数へ連続性によって拡張して、指示関数の積分として集合の測度を定めるのである。これは Bourbaki (2004) の取ったやり方であり、また他にも一定数の文献がこのやり方をしている。詳細はラドン測度の項へ譲る。
とおき、任意の非負値可測関数 f については、下から f を近似する単関数 s の上限:
∫ E f d μ = sup ∫ E s d μ {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \int _{E}s\,d\mu }
として f の積分を定義する。さらに一般の可測関数 f に対しては、それを正部分 f と負部分 f
f + ( x ) = { f ( x ) , if f ( x ) > 0 0 , otherwise f − ( x ) = { − f ( x ) , if f ( x ) < 0 0 , otherwise {\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&{}={\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\[5pt]f^{-}(x)&{}={\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}
に分割して、|f| := f + f に対し