エルゴード定理
ジョージ・バーコフは個々のx ∈ Ωについて時間平均の存在を示した 個別エルゴード定理(individual ergodic theorem)を証明した。
Ωにおいて可積分な複素数値関数ρ (x ) ∈ L(Ω)において、ほとんどすべての出発点a.e. x =x0 ∈ Ωに対して、有限値の時間平均
ρ ∗ ( x ) := lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n ρ ( x i ) {\displaystyle \rho ^{\ast }(x):=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (x_{i})}
が存在し、この時間平均と空間平均が次の形で一致する;
∫ Ω ρ ∗ ( x ) d x = ∫ Ω ρ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\Omega }\rho ^{\ast }(x)\,dx=\int _{\Omega }\rho (x)\,dx}
またρ (x )は初期値x のとり方に関して不変、すなわちa.e. x ∈ Ωに対して
∫ Ω ρ ∗ ( x k ) d x = ∫ Ω ρ ( x ) d x ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ... ) {\displaystyle \int _{\Omega }\rho ^{\ast }(x_{k})\,dx=\int _{\Omega }\rho (x)\,dx\qquad (k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )}
が成り立つ。
を満たすρ(x) ∈ L(Ω)が存在する。 このとき、時間平均と空間平均が次の形で一致する;
∫ Ω ρ ∗ ( x ) d x = ∫ Ω ρ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\Omega }\rho ^{\ast }(x)\,dx=\int _{\Omega }\rho (x)\,dx}
またρ(x)は初期値x のとり方に関して不変、すなわちa.e. x ∈ Ωに対して
∫ Ω ρ ∗ ( x k ) d x = ∫ Ω ρ ( x ) d x ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ... ) {\displaystyle \int _{\Omega }\rho ^{\ast }(x_{k})\,dx=\int _{\Omega }\rho (x)\,dx\qquad (k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )}
が成り立つ。