自然変換
圏 C, D, E に対して、関手 F, F' : C → D, G, G' : D → E とその間の自然変換 σ : F ⇒ F', τ : G ⇒ G' について考える。このとき、x ∈ C に対して E の射 τ F ′ x ∘ G σ x = G ′ σ x ∘ τ F x : G F x → G ′ F ′ x {\textstyle \tau _{F'x}\circ G\sigma _{x}=G'\sigma _{x}\circ \tau _{Fx}:GFx\to G'F'x} が取れて、これは GF から G'F' への自然変換をなす。これを σ と τ の水平合成と呼んで、 τ ∘ σ {\textstyle \tau \circ \sigma } (Mac Lane) や τ ∗ σ {\textstyle \tau *\sigma } (Leinster, Riehl) で表す。
自然変換の水平合成に関して、関手に対する恒等変換をその関手の記号で省略することがある。すなわち、上記の例において、自然変換 Gσ : GF ⇒ GF' や τF : GF ⇒ G'F を (Gσ)x = Gσx や (τF)x = τFx で定義できる。従って、自然変換の水平合成に関して、等式 τ ∗ σ = ( τ F ′ ) ∗ ( G σ ) = ( G ′ σ ) ∗ ( τ F ) {\textstyle \tau *\sigma =(\tau F')*(G\sigma )=(G'\sigma )*(\tau F)} が成り立つ。
自然変換の間には代表して垂直合成 (vertical composition) と水平合成 (horizontal composition) という2種類の演算が存在する。2種類の演算について、垂直水平の方向はどの文献でも一致しているが、その記号は文献によって揺れが存在している。