群の表示
任意の群は生成元と基本関係による表示を持つ
これを見るには与えられた群 G に対し G 上の自由群 FG を作ればよい。実際、自由群の普遍性により、群準同型 φ: FG → G でその G への制限が恒等写像となるものが一意に存在する。この準同型の核を K とすれば K は FG の正規部分群(したがってその正規包は K 自身)であるから、⟨G | K⟩ = FG/K となる。恒等写像は全射ゆえ φ もそうで、ゆえに第一同型定理により ⟨G | K⟩ ≅ im(φ) = G を得る。この表示は、G および K が必要以上に大きいときには極めて非効率なものとなり得ることに注意。
自然数 n に対して X = {s1, ..., sn−1}, R = {(sisi+1) | 1 ≤ i < n − 1} ∪ {(sisj) | |i − j| > 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n-次組み紐群 Bn に同型
素数 p に対して X = {x1, x2, x3, ...}, R = {x1, x2x1, x3x2, ...} とすれば ⟨X | Y⟩ はプリューファー群 Z(p) と同型である。これを ⟨x1, x2, x3, ... | x1 = 1, x2 = x1, x3 = x2, ...⟩ と書くこともある
以下の表は、よく調べられている群に対する表示の例を一覧したものである。各々の場合においてこれとは異なる表示の取り方が複数可能であり、以下に挙げたものも可能な最も効果的な表示とは限らないことに注意すべきである。
有限表示を持たない有限生成群の例として、無限巡回群 Z 同士の輪積 Z ≀ Z が挙げられる。
生成元と関係による群の表示が現れる最初期の例は、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが自身の本 icosian calculus(正二十面体群の解析)において正二十面体群(英語版)(=正十二面体群)の表示を与えたものである。
最初の系統的研究は、フェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォンディック(英語版)が1880年代前半に、組合せ群論(英語版)の基礎付けに基づいて与えた。
任意の有限群は有限表示を持つ
これは与えられた群の元すべてを生成元とし、乗積表を基本関係に置けばよい。