特性関数 (確率論)
ヒンチンの判定条件 (Khinchine’s criterion):原点で値が 1 で絶対連続な複素数値関数 φ は、以下のように表現できるときのみ特性関数といえる。
φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ g ( t + θ ) g ( θ ) ̄ d θ {\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t+\theta ){\overline {g(\theta )}}d\theta }
マティアスの定理 (Mathias' theorem):原点で値が 1 で、実数値で偶関数で連続で絶対積分可能な関数 φ は、以下が成り立つ場合のみ特性関数といえる。
( − 1 ) n ∫ − ∞ ∞ φ ( p t ) e − t 2 / 2 H 2 n ( t ) d t ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (pt)e^{-t^{2}/2}H_{2n}(t)dt\geq 0}
ここで n = 0, 1, 2, ... であり、常に p > 0 である。