線型汎函数
u ~ = ∑ i = 1 n u i ω ~ i {\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}}
と書くことができるから、汎函数 ũ を基底ベクトル ej に施せば、余ベクトルのスカラー倍に関する線型性と余ベクトルの和に関する点ごとの線型性により、
u ~ ( e j ) = ∑ i = 1 n ( u i ω ~ i ) e j = ∑ i u i ( ω ~ i ( e j ) ) = ∑ i u i δ i j = u j {\displaystyle {\tilde {u}}(e_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i})e_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}(e_{j}))=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}=u_{j}}
を得る。すなわち、線型汎函数の個々の成分はその汎函数を対応する基底ベクトルに施すことによって抽出することができることがわかる。
超函数論において、シュヴァルツ超函数と呼ばれる種類の超函数は試験函数の空間上の線型汎函数として実現される。
有限次元の場合には、線型写像は等位集合の言葉で視覚化できる。例えば三次元の場合、線型汎函数の等位集合は互いに平行な平面の族であり、高次元でも同様に平行な超平面の族になる。このような線型汎函数の視覚化の方法は、一般相対論の教科書でしばしば用いられる(例えば、Misner, Thorne & Wheeler (1973)など)。