ディリクレ級数
例えば、2つのディリクレ級数を
f ( s ) = g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n s {\displaystyle f(s)=g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{s}}}}
とおくと、それぞれ、収束軸は 0 であるが、ディリクレ級数 h ( s ) = f ( s ) g ( s ) {\displaystyle h(s)=f(s)g(s)} の収束軸は 1 である。 従って、 f ( 1 / 2 ) , g ( 1 / 2 ) {\displaystyle \scriptstyle f(1/2),\ g(1/2)} はそれぞれ収束するが、 h ( 1 / 2 ) {\displaystyle h(1/2)} は収束しない。
さらに、 f ( s ) , g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s),\ g(s)} の収束軸が分かっていても、 f ( s ) g ( s ) {\displaystyle f(s)g(s)} の収束軸が不明な場合もある。