行列式
を (i, j)余因子(よいんし、英: cofactor)という。(係数 (−1) を含まない形で定義する場合もある。)
列(あるいは行)に関する線型性から、正方行列の行列式は、ある列(あるいはある行)の変数に関して斉 1 次である。A の行列式は j 列に関して
det ( A ) = Δ 1 j a 1 j + Δ 2 j a 2 j + ⋯ + Δ n j a n j {\displaystyle \det(A)=\Delta _{1j}a_{1j}+\Delta _{2j}a_{2j}+\dotsb +\Delta _{nj}a_{nj}}
と展開される。また同様に i 行に関して
det ( A ) = Δ i 1 a i 1 + Δ i 2 a i 2 + ⋯ + Δ i n a i n {\displaystyle \det(A)=\Delta _{i1}a_{i1}+\Delta _{i2}a_{i2}+\dotsb +\Delta _{in}a_{in}}
と展開される。(余因子の定め方によっては展開の符号が変わる。)
余因子は次数が 1 少ない行列式であるから、展開を繰り返すことで元の行列の行列式を小さなサイズの行列式の計算に帰着させることができる。基本変形に対する行列式の性質をうまく組み合わせると展開の効率を高めることができる。
ある行列の転置行列の行列式の値はもとの行列式の値と変わらない。
n次の正方行列A,Bに関して|AB|=|A||B|が成り立つ。
正方行列 A の特異値を σi(A) (i = 1, ..., n) と置くと、
| det ( A ) | = ∏ k = 1 n σ k ( A ) {\displaystyle {\bigl |}\det(A){\bigr |}=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A)}
となる。このことは、特異値分解を用いて示される。
証明 — | det ( A ) | = | det ( U Σ V ) | = | det ( U ) det ( Σ ) det ( V ) | = | det ( Σ ) | = ∏ k Σ k k = ∏ k σ k ( A ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\det(A){\bigr |}&={\bigl |}\det(U\Sigma V){\bigr |}\\&={\bigl |}\det(U)\det(\Sigma )\det(V){\bigr |}\\&={\bigl |}\det(\Sigma ){\bigr |}\\&=\prod _{k}\Sigma _{kk}\\&=\prod _{k}\sigma _{k}(A)\end{aligned}}} (対角行列Σの対角成分は非負)
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
det ( E ) = 1 {\displaystyle \det(E)=1}
det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}
det ( A − 1 ) = det ( A ) − 1 {\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}
det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)}
det ( A ̄ ) = det ( A ) ̄ {\displaystyle \det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}}
行列式の2つの行(または列)を入れ替えると、行列式の値は符号だけ変わる。