虚数
虚数単位 i の整数乗 i は、整数 n を 4 で割った余りを n mod 4 で表すことにすると、次のように簡潔に表現できる:
i n = i n mod 4 {\displaystyle i^{\,n}=i^{\ n\,{\bmod {\,}}4}}
すなわち、k を整数として次が成り立つ。
i 4 k = 1 i 4 k + 1 = i i 4 k + 2 = − 1 i 4 k + 3 = − i {\displaystyle {\begin{array}{lcl}i^{\,4k}&=&1\\i^{\,4k+1}&=&i\\i^{\,4k+2}&=&-1\\i^{\,4k+3}&=&-i\end{array}}}
通常は、様々なデータの表現に実数が用いられることが多い。しかし人の数を数えるのには役に立たない分数も石の大きさを比べるのには役立つし、物体の重量を記述するには役に立たない負の数も借金の額を表すのには不可欠である。同様に、信号処理、制御理論、電磁気学、量子力学、地図学等の分野を記述するには虚数が必要となる。
例えば電子工学では、電池の生み出す直流電圧は+12ボルトや−12ボルト等と実数で表すが、家庭用の交流電圧を表すには2つのパラメータが必要となる。1つは、120ボルト等という振幅で、もう1つが位相と呼ばれる角である。このような2次元の値は数学的には平面ベクトルか複素数で表される。ベクトル表現では、直交座標系は通常X成分とY成分で表される。一方、フェーザ表示と呼ばれる複素数表現では、2つの値は実部、虚部となる。例えば実部が 0 で虚部が 120 の純虚数は、位相が90度で120ボルトの電圧を意味する。
いくつかのプログラミング言語は複素数を扱うことができる。例えば、Pythonでは虚数単位に j を用いて次のように記述する(1行目の記号 > は入力であることを示すプロンプトであって、式の一部ではない。また、* は掛け算を表す記号である)。
MATLAB での例: