余因子行列
1次正方行列 A = (a) の余因子行列は、A が零行列でないときは、1次単位行列
I = [ 1 ] {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}
である。 adj  ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {adj} (0)} は慣習上 0 とする。
a ~ i , j = ( − 1 ) i + j M i , j {\displaystyle {\widetilde {a}}_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}}
adj  ( A ) = ( b i , j ) , b i , j = ( a ~ j , i ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=({\widetilde {a}}_{j,i})}
A を余因子展開は、A の余因子行列 ~A により、次のように表せる:
A A ~ = A ~ A = ( det ( A ) ) I {\displaystyle A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I}
ここで I は単位行列である。
A が特に正則行列のとき、A の逆行列は余因子行列 ~A で表せる:
A − 1 = 1 det ( A ) A ~ {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}}
数学の線形代数学において、n次正方行列 A の余因子行列(よいんしぎょうれつ、英: adjugate matrix)あるいは古典随伴行列(こてんずいはんぎょうれつ、英: classical adjoint matrix)とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のことであり、記号で adj  ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)} , Cof  ( A ) {\displaystyle \operatorname {Cof} (A)} , A ~ {\displaystyle {\widetilde {A}}} などで表す。これはn次正方行列になる。
単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列(転置をしない)を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。
余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。