付値環
付値環のイデアルを値群によって記述することができる。
Γ を全順序アーベル群(英語版)とする。Γ の部分集合 Δ は次のとき線分 (segment) と呼ばれる。空でなく、任意の α ∈ Δ に対し、-α と α の間にある(端点も含む)任意の元もまた Δ の元である。Γ の部分群は segment であり真部分群であるときに孤立部分群(isolated subgroup)と呼ばれる。
D を付値 v と値群 Γ をもった付値環とする。D の任意の部分集合 A に対して、 Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} を v ( A − 0 ) {\displaystyle v(A-0)} と − v ( A − 0 ) {\displaystyle -v(A-0)} の和集合の Γ {\displaystyle \Gamma } における補集合とする。I が真のイデアルであれば、 Γ I {\displaystyle \Gamma _{I}} は Γ {\displaystyle \Gamma } の segment である。実際、写像 I ↦ Γ I {\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}} は D の真のイデアルの集合と Γ {\displaystyle \Gamma } の segment の集合の間の包含関係を逆にする全単射を定義する。この対応のもとで、D の 0 でない素イデアルは Γ の孤立部分群と全単射に対応する。
このセクションの参考文献は Zariski–Samuel である。
体 K の素点(place)は、K の付値環 D から任意の x ∉ D {\displaystyle x\not \in D} に対して p ( 1 / x ) = 0 {\displaystyle p(1/x)=0} であるような体への環準同型 p である。素点の像は p の剰余体(residue field)と呼ばれる体である。例えば、カノニカルな写像 D → D / m D {\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}} は素点である。
例:A をデデキント整域とし p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を素イデアルとする。するとカノニカルな写像 A p → k ( p ) {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})} は素点である。
素点 p の付値環が素点 p' の付値環を含むとき、 p は p' に特殊化する(p specializes to p' )と言い、 p ⇝ p ′ {\displaystyle p\rightsquigarrow p'} と記す。
R は付値環であると主張する。R は極大性によって p R {\displaystyle {\mathfrak {p}}R} を含む極大イデアルをもった局所環である。再び極大性によって整閉でもある。さて、 x ∉ R {\displaystyle x\not \in R} であれば、極大性によって、 p R [ x ] = R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]} でありしたがって次のように書ける。
1 = r 0 + r 1 x + ⋯ + r n x n , r i ∈ p R {\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R} .
1 − r 0 {\displaystyle 1-r_{0}} は単元であるので、このことは x − 1 {\displaystyle x^{-1}} は R 上整であることを示しており、したがって R の元である。このことは R が付値環であることを示している。(構成によって極大イデアルは p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を含むので R は A を支配する。
例:p-進整数環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} は値群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } をもつ付値環である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の零部分群は唯一の極大イデアル ( p ) ⊂ Z p {\displaystyle (p)\subset \mathbb {Z} _{p}} と対応し、群そのものは零イデアルと対応する。極大イデアルは Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の唯一の孤立部分群である。
孤立部分群の集合は包含で全順序付けられている。Γ の高さ(height)あるいはランク(rank) r(Γ) は Γ の孤立部分群の集合の濃度と定義される。0でない素イデアルは全順序付けられており Γ の孤立部分群と対応するので、Γ の高さは Γ に付随する付値環 D のクルル次元と等しい。
最も重要なのは高さ 1 の場合である。これは Γ が実数のなす加法群(あるいは正の実数のなす乗法群)の部分群であることと同値である。高さ 1 の付値をもった付値環は超距離素点を定義する対応する絶対値をもつ。これの特別なケースはさきに言及された離散付値環である。
有理階数(rational rank) rr(Γ) は値群のアーベル群としての階数として定義される。
d i m Q ( Γ ⊗ Z Q ) {\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbf {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} )}
抽象代数学において、付値環(ふちかん、英: valuation ring)とは、整域 D であって、その分数体 F のすべての元 x に対して、x か x の少なくとも一方が D に属するようなものである。
体 F が与えられたとき、D が F の部分環であって、F のすべての 0 でない元 x に対して x か x が D に属しているとき、D を 体 F の付値環(a valuation ring for the field F)または座 (place of F) という。この場合 F は確かに D の分数体であるので、体の付値環は付値環である。体 F の付値環を特徴づける別の方法は、F の付値環 D は F をその分数体としてもち、そのイデアルは包含関係で全順序づけられている、あるいは同じことだが、その単項イデアルが包含関係で全順序付けられていることである。
したがって、 S → S / m S ↪ k {\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k} は g を拡張する。ゆえに S = R。)
体 K の部分環 R が K の付値環 D を含めば、定義 1 を確認することによって、R もまた K の付値環である。とくに、R は局所環であり、その極大イデアルは D のある素イデアルと交わる。 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} としよう。すると R = D p {\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}} である、なぜならば R {\displaystyle R} は D p {\displaystyle D_{\mathfrak {p}}} を支配し、これはイデアルが全順序付けられているから付値環である。この考察は以下に含まれている。全単射な対応 p ↦ D p , Spec  ( D ) → {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to } D を含む K のすべての部分環の集合、が存在する。とくに、D は整閉であり、D のクルル次元は D を含む K の真の部分環たちの濃度である。
実は、整域 A の A の分数体 K における整閉包は A を含む K のすべての付値環の共通部分である。