交換演算子
三次元もしくはより高次元において、交換演算子は文字通りの粒子対の位置の交換を、別の粒子は固定したまま断熱過程の粒子運動により表現できる。そのような運動は実際には行われないことが多い。そのかわり、この演算子の作用は「あたかも」パリティ反転もしくは時間反転のように扱われる。 このような粒子交換を二回反復することを考えると、
P ^ 2 | x 1 , x 2 ⟩ = P ^ | x 2 , x 1 ⟩ = | x 1 , x 2 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }
のようになるので、 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} はユニタリなだけでなく 1 の平方根である必要があり、次のような可能性がある。
P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = ± | x 1 , x 2 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }