コンパクト作用素のスペクトル理論
行列の場合と同様に、上述のスペクトル性より X をコンパクト作用素 C の不変部分空間に分解することが可能となる。λ ≠ 0 を C の固有値とする。したがって λ は σ(C) の孤立点である。正則汎函数計算を用いることで、リース射影(Riesz projection)E(λ) を次で定義できる。
E ( λ ) = 1 2 π i ∫ γ ( ξ − C ) − 1 d ξ . {\displaystyle E(\lambda )={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }(\xi -C)^{-1}d\xi .}
ここで γ は σ(C) の中で λ のみを囲むジョルダン曲線である。Y を部分空間 Y = E(λ)X とする。Y に制限される C は、スペクトル {λ} を持つコンパクトな可逆作用素である。したがって Y は有限次元である。ν を、Ker(λ − C) = Ker(λ − C) を満たすものとする。ジョルダン形式を調べることで、(λ − C) = 0 であるが (λ − C) ≠ 0 であることが分かる。
i) 一般性を失うことなく λ = 1 と仮定出来る。λ ∈ σ(C) が固有値でないということは、(I − C) が単射であるが全射でないことを意味する。補題2より、Y1 = Ran(I − C) は X の閉真部分空間である。(I − C) は単射なので、Y2 = (I − C)Y1 は再び Y1 の閉真部分空間となる。Yn = Ran(I − C) を定義し、次の部分空間の減少列を考える。
Y 1 ⊃ ⋯ ⊃ Y n ⋯ ⊃ Y m ⋯ {\displaystyle Y_{1}\supset \cdots \supset Y_{n}\cdots \supset Y_{m}\cdots }
ここですべての包含は厳密な包含である。補題1より、d(yn, Yn+1) > 1⁄2 であるような単位ベクトル yn ∈ Yn を選ぶことが出来る。C のコンパクト性より、{C yn} は必ずノルム収束する部分列を含む。しかし、n < m に対して
‖ C y n − C y m ‖ = ‖ ( C − I ) y n + y n − ( C − I ) y m − y m ‖ {\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\right\|}
となり、