散乱振幅
部分波展開では、散乱振幅は、部分波の和として表される。
f ( θ ) = ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) f l ( k ) P l ( cos  ( θ ) ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)f_{l}(k)P_{l}(\cos(\theta ))}
ここで P l ( cos  ( θ ) ) {\displaystyle P_{l}(\cos(\theta ))\ } はルジャンドル多項式、 f l ( k ) {\displaystyle f_{l}(k)\ } は部分振幅と呼ばれる。
部分振幅はS行列要素 S l = e 2 i δ l {\displaystyle S_{l}=e^{2i\delta _{l}}} と散乱による位相のずれ δ l {\displaystyle \delta _{l}\ } を用いて、以下のように表現できる。
f l = S l − 1 2 i k = e 2 i δ l − 1 2 i k = e i δ l sin  δ l k = 1 k cot  δ l − i k {\displaystyle f_{l}={\frac {S_{l}-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{l}}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{l}-ik}}}
散乱過程が定常的であると見なせる場合(弾性散乱など)を考える. 散乱状態の波動関数は、入射平面波と外向き球面波の重ね合わせであると考える。
ψ ( r ) = e i k z + f ( θ ) e i k r r {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}
ここで、 r ≡ { x , y , z } {\displaystyle \mathbf {r} \equiv \{x,y,z\}} はベクトル座標、 r ≡ | r | {\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |} はベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } の長さ、 e i k z {\displaystyle e^{ikz}\ } は z {\displaystyle z\ } 軸方向に入射した波数ベクトル k {\displaystyle k\ } の平面波、 e i k r / r {\displaystyle e^{ikr}/r\ } は外向き球面波、 θ {\displaystyle \theta \ } は散乱角、 f ( θ ) {\displaystyle f(\theta )\ } は散乱振幅である。