非有界作用素
作用素 T が作用素 S の拡張であるとは、 Γ (S) ⊆ Γ (T)が成立することを言う。同値な定義として、S の定義域内のすべての x は T の定義域に属し、 Sx = Tx が成立する、ということが挙げられる。
すべての作用素に対して、至る所で定義された拡張が存在することに注意されたい。これは、代数的なベクトル空間としての基底の存在により説明され、選択公理に基づく純粋代数的な事実である。もし与えられた作用素が有界でないなら、その拡張は不連続線型写像となる。これは、与えられた作用素の重要な性質を保つことはなく(下記を参照)、一般的に一意ではないため、あまり有用性が無い。
作用素 T は、次の同値な条件のいずれかを満たすとき、可閉と呼ばれる:
T に閉拡張が存在する;
T のグラフの閉包が、ある作用素のグラフである;
T の定義域内の点列 (xn) で、xn が 0 に収束し、また Txn がある y に収束するようなすべてのものに対して、
y = 0 が成立する。
すべての作用素が可閉という訳ではない。
可閉な作用素 T は、最小の閉拡張 T ̄ {\displaystyle {\overline {T}}} を持ち、それは T の閉包と呼ばれる。T のグラフの閉包は、 T ̄ {\displaystyle {\overline {T}}} のグラフに等しい。他の、最小ではない閉拡張も存在することがある。
稠密に定義された作用素 T が可閉であるための必要十分条件は、T が稠密に定義されていることである。
すると、 J ( Γ ( T ) ) ⊥ {\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }} がある作用素 S のグラフであることの必要十分条件は、 T {\displaystyle T} が稠密に定義されていること、であることが分かる。簡単な計算により、この作用素 S は ⟨ T x ∣ y ⟩ 2 = ⟨ x ∣ S y ⟩ 1 {\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1}} を、T の定義域内のすべての x に対して満たすことが分かる。したがって、S は T の共役である。
上の定義により、共役 T は閉であることがただちに分かる。特に、自己共役作用素(すなわち、T = T)は閉である。ある作用素 T が稠密に定義された閉作用素であるための必要十分条件は、Tが存在してT = T が成立することである。
有界作用素に対してよく知られているいくつかの性質は、稠密に定義された閉作用素に対して一般化される。閉作用素の核は閉である。さらに、稠密に定義された閉作用素 T : H1 → H2 の核は、その共役の値域の直交補空間と一致する。すなわち、
ker  ( T ) = ran  ( T ∗ ) ⊥ {\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }}
が成立する。
フォンノイマンの定理(英語版)によれば、TT および TT は自己共役であり、I + TT と I + TT はともに有界な逆を持つことが分かる。
例えば、[0,1] 上の関数 fn を f n ( t ) = sin  2 π n t {\displaystyle f_{n}(t)=\sin 2\pi nt\;} で定めると、 ‖ f n ‖ H = 1 / 2 {\displaystyle \|f_{n}\|_{H}=1/{\sqrt {2}}} であるが ‖ T f n ‖ H = 2 π n / 2 → ∞ {\displaystyle \|Tf_{n}\|_{H}=2\pi n/{\sqrt {2}}\to \infty } となる。
この作用素は稠密に定義されているが、折れ線をグラフとするような区分線型関数とその微分の対などがグラフの閉包に含まれるため、閉作用素ではない。
C級関数の空間をふくむ様々なバナッハ空間B1と連続関数の空間を含むバナッハ空間B2 に対して、上記のように微分を非有界作用素 B1 → B2と考えることができる。さらに、ノルムの選び方によってはこの構成から有界作用素が得られる。たとえば、定義域ではCノルム自身 ‖ f ‖ C 1 = ‖ f ‖ ∞ + ‖ f ′ ‖ ∞ {\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }} を考え、値域ではsupノルムを考えれば、微分は連続写像になる。