離散空間
このとき、距離空間 (X, ρ) は離散距離空間あるいは孤立点集合と呼ばれる。
距離空間 (X, d) の部分集合 S が X において離散であるとは、S の各点 x に対し、適当な δ > 0 が(x ごとに)存在して、x 以外の S の各点 y に対して d(x, y) > δ とできるときにいう。このような集合は孤立点から成る。また、部分集合 S が距離空間 X において一様離散であるとは、適当な定数 ε > 0 が存在して、S の任意の相異なる二点に対して d(x, y) > ε とできるときにいう。
距離空間 (E, d) が一様離散空間であるとは、適当な定数 r > 0 が存在して、E の任意の二点 x, y について、x = y か d(x, y) > r のいずれかが成立することをいう。距離空間の位相は、距離が一様離散で無い場合でも、離散位相になることがある。例えば、実数全体の成す集合の通常の距離に関して、集合 {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} がそのような空間の例を与える。