二項型多項式列
Q = ∑ n = 1 ∞ c n D n {\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}}
の形に書けることが示せる(和の添字が 1 からであることに注意)。各デルタ作用素は「基本多項式」("basic polynomials") の列、即ち
p 0 ( x ) = 1 , {\displaystyle p_{0}(x)=1,}
p n ( 0 ) = 0 ( n ≥ 1 ) , {\displaystyle p_{n}(0)=0\quad (n\geq 1),}
Q p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
を満足する多項式列をただ一つ持つ。Rota, Kahaner & Odlyzko (1973) は多項式列が二項型であるための必要十分条件が、その列が適当なデルタ作用素の基本多項式列となることであることを示した。従って、このやり方で望む限りいくらでも多項式列が作れることになる。
↑ 記法に関して、組合せ論で標準的な記号法に従った。特殊函数論では同じ記号で次に述べる上方階乗の意味に用いる場合があるので注意(ポッホハマー記号の項を参照)
↑ ベルはこれを「冪型多項式列」("exponential polynomials") と呼んだ(ので、それを踏襲する文献もある)。
↑ この多項式列はポワソン分布と著しい関係を持つ。確率変数 X が期待値 λ のポワソン分布に従うならば、E(X) = pn(λ) が成り立つ。特に λ = 1 のとき、期待値 1 のポワソン分布の n-次モーメントは n-番目のベル数(位数 n の集合の分割の総数)に等しいことが確かめられる。この事実を「ドビンスキーの公式」という。