六角数
六角数(ろっかくすう、hexagonal number)とは多角数の一種で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に加えた数と定義してもよい。
例:6 = 1 + 5 、15 = 1 + 5 + 9 、120 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29
n番目の六角数を Hn とすると上図より
H1 = 1 , Hn+1 = Hn + 4n + 1
が導かれる。よって六角数の式は
H n = H 1 + ∑ k = 1 n − 1 ( 4 k + 1 ) = n ( 2 n − 1 ) ( n ≧ 2 ) {\displaystyle H_{n}=H_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)=n(2n-1)\quad (n\geqq 2)}
これは n = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A384)
となる。
n 番目の六角数は 2n − 1 番目(すなわち奇数番目)の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。
また偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。