本質的上限と本質的下限
f ( x ) = { x 3 , if x ∈ Q arctan  x , if x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}}
を考える。ここで Q は有理数の集合を表す。この函数は上下ともに非有界であるため、その上限と下限はそれぞれ ∞ と −∞ になる。しかし、ルベーグ測度の観点からすると、有理数の集合は測度 0 である。したがって、本当に重要なのはその集合の補集合上で起こっていることである。そこでの値は arctan x となっているため、この函数の本質的上限は π / 2 であり、本質的下限は −π / 2 である。
最後に、すべての実数 x に対して定義される函数 f(x) = x を考える。その本質的上限は ∞ であり、本質的下限は −∞ である。