二項定理
アル゠カラジはまた、原始的な形の数学的帰納法を用いて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている。ペルシアの詩人で数学者のウマル・ハイヤームの数学的業績のほとんどは失われてしまったが、彼は恐らく高階の二項定理についてよく知っていた。低次の二項展開は13世紀中国の楊輝や朱世傑の数学的業績にも見られる。楊輝は遥か旧く11世紀の賈憲(英語版)の書の方法に従った(しかし、それらもまた今日では失われてしまった)。
1544年にミハエル・シュティーフェル(ドイツ語版、英語版)は "binomial coefficient"(「二項係数」)の語を導入し、(1 + a) の (1 + a) での表し方を、「パスカルの三角形」により示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形の包括的な研究を論文(英語版)Traité du triangle arithmétique (1653) に著したが、これらの数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。
アイザック・ニュートンは有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている(二項級数を参照)。
式 (2) は x, y が複素数の場合にも一般化することができる。この場合、|x| > |y|に加えて、x を中心とする半径 |x| の開円板上で定義されたlogの正則な枝を用いて x + y および x の冪を定義しなければならない。
式 (2) は x, y がバナッハ環の元であるときも、xy = yx かつ x が可逆で ‖ y/x ‖ < 1 である限り成り立つ。