フェルミオン・ダブリング
連続的な4次元ユークリッド空間において、ゲージ場と相互作用しているフェルミオンの作用を以下のように定義する。
S = ∫ d 4 x ψ ̄ ( x ) ( γ μ D μ + m ) ψ ( x ) {\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(x)(\gamma _{\mu }D_{\mu }+m)\psi (x)}
ここで、構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \psi,\bar{\psi} はフェルミオン場、γμはガンマ行列、 D μ = ∂ μ + i g A μ {\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }} は共変微分、mはフェルミオンの質量である。
この作用を格子化すると、連続空間における微分演算子は格子上では差分として置き換えられるので、
S = a 4 ∑ n ψ ̄ n [ ∑ μ γ μ U μ ( n ) ψ n + μ ^ − U μ † ( n − μ ^ ) ψ n − μ ^ 2 a + m ψ n ] {\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left[\sum _{\mu }\gamma _{\mu }{\frac {U_{\mu }(n)\psi _{n+{\hat {\mu }}}-U_{\mu }^{\dagger }(n-{\hat {\mu }})\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}\right]}
簡単のために自由場 (Uμ=1 )として、格子フェルミオンの作用を位置表示から運動量表示へ変換すると、
S = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 ψ ̄ ( − p ) [ i γ μ sin  p μ a + M ] ψ ( p ) {\displaystyle S=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(-p)\left[i\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M\right]\psi (p)}
となる。この作用から導出される伝播関数は、
G ( p ) = 1 i ∑ μ γ μ sin  p μ a + M = − i ∑ μ γ μ sin  p μ a + M ∑ μ sin 2  p μ a + M 2 {\displaystyle G(p)={\frac {1}{i\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M}}={\frac {-i\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M}{\sum _{\mu }\sin ^{2}{p_{\mu }a}+M^{2}}}}
である。場の量子論における伝播関数の極は粒子の存在を表すから、上式の分母にあるsinは4次元空間において16個のダブラーが存在することを意味している。すなわち、4成分運動量pμに対して、p=(0,0,0,0)に加えて、p=(π/a,0,0,0)、(0,π/a,0,0)、......、(π/a,π/a,π/a,π/a)という計16個の解が存在する。