ゼータ函数正規化
.. = − B s + 1 s + 1 {\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}}
と表すことができる。
Hawking (1977) は平坦な空間の場合には、その場合はラプラシアンの固有値が知られている場合が多いが、分配函数に対応するゼータ函数が明確に計算できることを示した。温度 T=β の平坦な時空で体積 V を持つ大きな箱の中のスカラー場 φ を考える。分配函数は、箱の端ではゼロとなり、τ について周期 β である、τ=it という変換をして得られるユークリッド空間の上のすべての場 φ を渡る経路積分によって得られる。この状況下では、彼は分配函数から場 φ の輻射のエネルギー、エントロピーと圧力を計算した。平坦な空間の場合は、物理量に現れる固有値が一般には知られているが、一方、曲がった空間ではいつも一般的に知られているとは限らない.従って、漸近的な方法が(問題を解くために)必要である。
別な方法としては、発散する可能性のある無限積 a1a2.... を、 exp  ( − ζ A ′ ( 0 ) ) {\displaystyle \exp(-\zeta '_{A}(0))} として定義する方法がある。
f ( s ) = ∑ n a n e − s | ω n | {\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}
この和は、熱核正規化、もしくは熱核で正規化された和と呼ばれることがあり、名前は ω n {\displaystyle \omega _{n}} が熱核の固有値と考えられることがあることに由来している。数学的には、そのような和は一般化されたディリクレ級数と呼ばれ、平均を取ることにそれを使うことをはアーベル平均 と呼ばれる。これはラプラス=スティルチェス変換と密接に関連していて、次のように表される。
f ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t d α ( t ) {\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}
ここに、 α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} はステップ函数で、このステップとは t = | ω n | {\displaystyle t=|\omega _{n}|} で a n {\displaystyle a_{n}} ジャンプする函数を意味する。