トポス (数学)
C を小さな圏とする。C の各対象 X から HomC(-, X) の部分関手の族 J(X) への対応 J で以下の公理を満たすものはC上のグロタンディーク位相といわれ、対 (C, J) は景(site)とよばれる。
HomC(-, X) ∈ J(X)
S ∈ J(X) のとき任意の射 f: Y → X について S の f による引き戻し fS = { g: Z → Y | fg ∈ S(Z) } は J(Y) に入る
S ∈ J(X)、R ⊂ HomC(-, X)で任意の (f: Y → X) ∈ S(Y) について fR ∈ J(Y) ならば R は J(X) に入る
たとえば、C の任意の対象 X について J0(X) = { HomC(-, X) } とおけば、J0は上の条件を満たす。このJ0はC上の自明なグロタンディーク位相とよばれる。
(C, J) を景とするとき、Cから Sets への反変関手のうちで J についての「張り合わせ条件」を満たすものは (C, J) 上の層と呼ばれ、それらのなす圏 Sh(C, J) ( C ~ {\displaystyle {\tilde {C}}} とも書かれる)はトポスになる。