4元ベクトル
座標変換に対して、上に定義した4元位置ベクトルと同様にふるまうベクトルを4元ベクトルと呼ぶ。座標変換に対するふるまいかたには反変性と共変性の二通りがあるが(後述)、両方を4元ベクトルと呼ぶ。いくつかの具体例についても後述する。
座標変換 x μ → x ′ μ {\displaystyle x^{\mu }\to {x'}^{\mu }} に対して、
A μ → A ′ μ = ∂ x ′ μ ∂ x ν A ν {\displaystyle A^{\mu }\to {A'}^{\mu }={\frac {\partial {x'}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}A^{\nu }}
のように変換されるベクトル A を反変ベクトル (contravariant vector ) という。反変ベクトルであることを明示するために、添え字は右肩につける。反変ベクトルの例として、位置ベクトルや速度ベクトルがある。
同じ座標変換に対して、
B μ → B ′ μ = ∂ x ν ∂ x ′ μ B ν {\displaystyle B_{\mu }\to {B'}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial {x'}^{\mu }}}B_{\nu }}
のように変換されるベクトル B を共変ベクトル (covariant vector ) という。共変ベクトルの添え字は右下につけると約束されている。例えば静電ポテンシャルの空間微分として定義される電場は共変ベクトルである。
反変ベクトルと共変ベクトルは、計量テンソル g μν を用いて互いに変換することができる。
x μ = g μ ν x ν , {\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }\,,}
x μ = g μ ν x ν . {\displaystyle x^{\mu }=g^{\mu \nu }x_{\nu }\,.}