球函数に対するプランシュレルの定理
がわかる。同様にして
Φ λ = M 1 φ λ {\displaystyle \Phi _{\lambda }=M_{1}\phi _{\lambda }}
が得られる。 H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} 上の SO(2)-不変函数の球変換が
f ~ ( λ ) = ∫ f φ − λ d A {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int f\varphi _{-\lambda }\,dA}
で定義されるならば、
( M 1 ∗ F ) ∼ ( λ ) = F ~ ( λ ) {\displaystyle {(M_{1}^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(\lambda )}
が成り立つ。f = M1F と取れば、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに、 H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}} 上の SO(2)-不変函数に対する球反転公式
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ φ λ ( x ) f ~ ( λ ) λ π 2 tanh  ( π λ 2 ) d λ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda )\,{\lambda \pi \over 2}\tanh({\pi \lambda \over 2})\,d\lambda }
従って G0 上の両側 K0-不変函数は、G 上の左 K-不変かつ右 U-不変函数ともども、A+ 上の函数と同一視することができる。 C c ∞ ( K 0 ∖ G 0 / K 0 ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})} に属する函数 f に対し C c ∞ ( U ∖ G / U ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)} の元 Mf を
M f ( a ) = ∫ U f ( u a 2 ) d u {\displaystyle Mf(a)=\int _{U}f(ua^{2})\,du}
で定義する。ここで、第三のカルタン分解 G = UAU は U\G/U を A+ と同一視するのに用いられた。
Δ を G0/K0 上のラプラス作用素、Δc を G/U のラプラス作用素とすると、
4 M Δ = Δ c M {\displaystyle 4M\Delta =\Delta _{c}M}
が成り立つ。 C c ∞ ( U ∖ G / U ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(U\backslash G/U)} の元 F に対し、 C c ∞ ( K 0 ∖ G 0 / K 0 ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{0}\backslash G_{0}/K_{0})} に属する函数 MF を
を使った球変換および球反転公式
f ~ ( λ ) = ∫ f Φ − λ d V , and f ( x ) = ∫ f ~ ( λ ) Φ λ ( x ) λ 2 d λ {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int f\Phi _{-\lambda }\,dV,\quad {\text{and}}\quad f(x)=\int {\tilde {f}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(x)\lambda ^{2}\,d\lambda }
によって表すことができる。
fi ∈ Cc(G/K) として f = f 2 ∗ ⋆ f 1 {\displaystyle f=f_{2}^{*}\star f_{1}} および f ∗ ( g ) = f ( g − 1 ) ̄ {\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}}} と置き、i での値を評価することにより、プランシュレルの公式
∫ G f 1 f 2 ̄ d g = ∫ f ~ 1 ( λ ) f ~ 2 ( λ ) ̄ λ 2 d λ {\displaystyle \int _{G}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dg=\int {\tilde {f}}_{1}(\lambda ){\overline {{\tilde {f}}_{2}(\lambda )}}\,\lambda ^{2}\,d\lambda }
が導かれる。これを両側不変函数に対して用いれば、
G = KAK ゆえ、G/K 上の K-不変函数は A 上の函数と同一視することができて、従ってワイル群 W の作用で不変な a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の函数と同一視することができる。特に、G/K 上のラプラス作用素 Δ は G の作用と可換であるから、Δ は a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変な二階微分作用素 L を定める。この作用素 L はラプラス作用素の球対称成分 (radial part) と呼ばれる。一般に、X が a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元ならば、
X f ( y ) = d d t f ( y + t X ) | t = 0 {\displaystyle Xf(y)={d \over dt}f(y+tX)|_{t=0}}
により、一般微分作用素(あるいはベクトル場)を定める。これらの作用素を用いて L は
L = Δ a − ∑ α > 0 m α coth  α A α {\displaystyle L=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,\coth \alpha \,A_{\alpha }}
という式に表すことができる。ただし、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元 Aα は
( A α , X ) = α ( X ) {\displaystyle (A_{\alpha },X)=\alpha (X)}