公約数
単項イデアル整域 R {\displaystyle R} (例えば整数の全体 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } や実数係数多項式の全体 R [ x ] {\displaystyle R[x]} はそうである)において、その2つの元 a , b {\displaystyle a,\ b} に対し、集合
a R + b R = { a x + b y | x , y ∈ R } {\displaystyle aR+bR=\{ax+by|x,\ y\in R\}}
に含まれるイデアルの生成元を a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の公約元という。特に
a R + b R = c R {\displaystyle aR+bR=cR}
を満たす c ∈ R {\displaystyle c\in R} を a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の最大公約元という。
公約数の内最大のものを最大公約数という。公約数は、全て最大公約数の約数であるので、最大公約数を求めれば全ての公約数を求めることができる。前述の例で言えば、 36 {\displaystyle 36} と 48 {\displaystyle 48} と 108 {\displaystyle 108} との最大公約数は 12 {\displaystyle 12} であるので、 12 {\displaystyle 12} の約数をすべて求めればそれが3つの数の全ての公約数になる。 1 {\displaystyle 1} は全ての自然数の公約数である。
また、2つ以上の多項式について、それぞれを因数分解したときに共通に現れる因数(因子、factor)も公約数(あるいは公約元、共通因子、common factor など)と呼ぶ。例えば、 ( x + 1 ) 2 {\displaystyle (x+1)^{2}} と x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} について、 x + 1 {\displaystyle x+1} は公約数である。
最大公約数が 1 {\displaystyle 1} であるような2つの整数の組は、互いに素であるという。