平方剰余の相互法則
奇素数 p と、p と互いに素な整数 a に対して、記号
( a p ) := { 1 if ∃ x ∈ Z [ x 2 ≡ a ( mod p ) ] − 1 if ∀ x ∈ Z [ x 2 ≢ a ( mod p ) ] {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}\exists x\in \mathbb {Z} [x^{2}\equiv a{\pmod {p}}]\\-1&{\text{if }}\forall x\in \mathbb {Z} [x^{2}\not \equiv a{\pmod {p}}]\end{cases}}}
を定める。
奇素数 p で割り切れるような整数 a に対しても
( a p ) := 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right):=0}
と定めておくことがある。
記号 ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} を、平方剰余記号、またはアドリアン=マリ・ルジャンドルにちなんでルジャンドル記号と呼ぶ。
整数 a と p とが互いに素であるとする。合同式
x 2 ≡ a ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}
が解を持つとき、a は p を法として平方剰余であるといい、そうでないとき平方非剰余であるという。