ノルム線型空間
n 個の半ノルム空間 (Xi, qi) が与えられたとき、ノルム空間としての直積空間は、ベクトル空間としては
X := ∏ i = 1 n X i = X 1 × X 2 × ⋯ × X n {\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\times X_{2}\times \dotsb \times X_{n}}
は元ごとの和
( x 1 , ... , x n ) + ( y 1 , ... , y n ) := ( x 1 + y 1 , ... , x n + y n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})}
とスカラー倍
α ( x 1 , ... , x n ) := ( α x 1 , ... , α x n ) {\displaystyle \alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})}
で与えられる直積である。さらにその上に函数
q : X → R {\displaystyle q\colon X\to \mathbb {R} }
数学におけるノルム線型空間(ノルムせんけいくうかん、英: normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間)または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。
各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」(長さ)の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 R に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ:
零ベクトル 0 は大きさ零、そのほかのベクトルは正の大きさを持つ。
ベクトルを正数倍すると、向きはそのままに大きさだけが変化する。
三角不等式を満足する。つまり、ベクトルの大きさを距離と見て、点 A から点 B を経由しての点 C まで行くときの距離は直接 A から C まで行く距離よりも短くなることはない(任意の二点間の最短距離は直線距離である)。
これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間(および半ノルム空間)は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。
を例えば
q : ( x 1 , ... , x n ) ↦ ∑ i = 1 n q i ( x i ) {\displaystyle q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})} .
と定めれば、この q は X 上の半ノルムとなる。これがノルムとなるための必要十分条件は、任意の qi がノルムとなることである。
より一般に、任意の実数 p ≥ 1 に対して半ノルム
q : ( x 1 , ... , x n ) → ( ∑ i = 1 n q i ( x i ) p ) 1 / p {\displaystyle q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\to {\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})^{p}{\Bigr )}^{1/p}}
を得ることができる。どの p についてもこの半ノルムから得られる位相空間は同じである。
初等的な線型代数学の直接的な議論により、自明な半ノルムを備えたノルム空間の直積空間として生じるノルム空間は有限次元半ノルム空間に限ることが示せる。その帰結として、半ノルム空間のより興味深い例や応用の多くは無限次元線型空間に対して起きる。
また、任意のユークリッド空間は完備であるから、任意の有限次元ノルム空間がバナッハであることが帰結できる。ノルム空間 V が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、単位球体 B = {x : ‖ x ‖ ≤ 1} がコンパクトとなることであり、それはまた V が有限次元であることと同値である(これはリースの補題の帰結である)。実はより一般の結果として「位相線型空間が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、それが有限次元となることである」が成り立つ。
半ノルム空間の位相は多くの良い性質を満足する。零ベクトル 0 の近傍系 N(0) は、各点 x の近傍系を
N ( x ) = x + N ( 0 ) := { x + N ∣ N ∈ N ( 0 ) } ( x + N := { x + n ∣ n ∈ N } ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}(0)\}\quad (x+N:=\{x+n\mid n\in N\})}
とおくことにより構成できる。さらに、併呑凸集合からなる 0 の近傍基が存在する。この性質があることは函数解析学において有用であり、ノルム空間を一般化する概念としてこの性質を満足するような位相線型空間を局所凸空間と呼ぶ。