カラテオドリの定理 (凸包)
{\displaystyle \alpha :=\min _{1\leq j\leq k}\left\{{\tfrac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}:\mu _{j}>0\right\}={\tfrac {\lambda _{i}}{\mu _{i}}}.}
ここで α>0 であり、1 と k の間のすべての j に対して
λ j − α μ j ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}\geq 0}
であることに注意されたい。特に α の定義から λi − αμi = 0 である。したがって
x = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}}
が成り立つ。但しすべての λ j − α μ j {\displaystyle \lambda _{j}-\alpha \mu _{j}} は非負で、それらの和は 1 で、 λ i − α μ i = 0 {\displaystyle \lambda _{i}-\alpha \mu _{i}=0} である。言い換えると、x は高々 k-1 個の P の点の凸結合として表現される。この過程を x が高々 d + 1 個の P の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。
またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。