アルキメデス・パリンプセスト
彼は、平面図形を後の不可分の方法のように無限に多い線からできているものとみなし、1つの図形の線(もしくは部分)と、もう1つの図形の対応する部分をてこで平衡をとっていた。ここで重要なのは2つの図形の向きが異なるため、対応する部分が支点から異なる距離にあるというであり、部分が平衡であるという条件は図形が等しいという条件とは異なるということである。
1つの図形の各部分が他の図形の各部分と平衡であることを示すと、2つの図形は互いに平衡であると結論付けられる。しかし、1つの図形の質量中心は分かっているため、その中心に総質量を置くことができ、そうしても平衡を保つことができる。2つ目の図形の質量は分からないが、その質量中心の位置は対称性により、幾何学的議論による支点から一定の距離にあるように制限されるかもしれない。2つの図形が平衡をとるという条件は、もう1つの図形の総質量を計算することを可能にした。彼はこの方法を有用なヒューリスティクスと考えていたが、この方法は上下限を提供していなかったため、見つけた結果を必ず取り尽くし法を用いて証明するようにしていた。
アルキメデスはこの方法を用いて、現在積分法(17世紀にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツにより現在の形式が与えられた)で処理されているいくつかの問題を解くことができた。これらの問題の中には、固体半球の重心、円形放物面の錐台の重心、放物線と割線の1つにより囲まれた領域の面積を計算する問題が含まれていた。
アルキメデスは定理を厳密に証明するために、今日リーマン和と呼ばれるものをよく使っていた。『球と円柱について』の中で、球を幅の等しい断面に切断することにより、球の表面積の上限と下限を与えている。