パーセバルの定理
まず、A = B の場合、以下の式が得られる。
∑ n = − ∞ ∞ | a n | 2 = 1 2 π ∫ − π π | A ( x ) | 2 d x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|A(x)|^{2}dx}
ここからフーリエ変換のユニタリ性が導き出される。
次に、実数値関数 A と B のフーリエ級数の場合、 a 0 , b 0 {\displaystyle a_{0},b_{0}} は実数で、 a − n = a n ̄ , b − n = b n ̄ {\displaystyle a_{-n}={\overline {a_{n}}},b_{-n}={\overline {b_{n}}}} という特殊ケースになる。この場合、次が成り立つ。
a 0 b 0 + 2 R ∑ n = 1 ∞ a n b n ̄ = 1 2 π ∫ − π π A ( x ) B ( x ) d x {\displaystyle a_{0}b_{0}+2\Re \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x)B(x)dx}
A(x) と B(x) を(ルベーグ測度に関して)閉区間[0,2π]で二乗可積分な R 上の周期 2π の複素数値関数とする。それらのフーリエ級数をそれぞれ
A ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n e i n x , {\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx},}
B ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ b n e i n x {\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}
とする。すると、以下が成り立つ。
∑ n = − ∞ ∞ a n b n ̄ = 1 2 π ∫ − π π A ( x ) B ( x ) ̄ d x . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,dx.}
ここで、i は虚数単位、上付きの横棒は複素共役を表す。
パーセバル自身は実数値関数のみを考えており、定理も自明であるとして証明抜きで提示しただけだった。この定理には様々な重要な特殊ケースがある。