ブラ-ケット記法
ブラ ⟨φ| はケット |ψ⟩ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数(線型作用素)を O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} で表し、ケットに対する適用を O ^ | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle } と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。
{ ⟨ φ | O ^ } | ψ ⟩ = ⟨ φ | { O ^ | ψ ⟩ } {\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}
通常、上記の内積は括弧を外して ⟨ φ | O ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle } と表される。 また特に任意のケット |ψ⟩ に作用してケット |η⟩⟨ξ|ψ⟩ を与える作用素は |η⟩⟨ξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |η⟩⟨ξ| と表される。