シェルピンスキー数
シェルピンスキー数(シェルピンスキーすう、Sierpinski number)とは、全ての自然数 n に対して k × 2 + 1 が合成数(素数ではない 2 以上の整数)となるような正の奇数 k のことである。
言い換えると、k がシェルピンスキー数ならば次の集合の元は全て合成数となる。
{ k × 2 n + 1 : n ∈ N } {\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}
1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキ (Waclaw Sierpinski, 1882–1969) は、全ての n について k × 2 + 1 が決して素数とならない正の奇数 k が無限にあることを証明した。
1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、Sn = 78557 × 2 + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって Sn は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば n が偶数ならば Sn は 3 で割り切れ、n が 4 で割って 1 余る数ならば Sn は 5 で割り切れる。
知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。
78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A076336)