扁平率
また第三扁平率 f ′ ′ {\displaystyle f^{\prime \prime }} も用いられ、 n {\displaystyle n} と表記されることもある。古くはフリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが子午線弧長の計算に用いていることが認められる。
f ′′ = a − b a + b = f 2 − f {\displaystyle f''={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}}
n = 1 − 1 − e 2 1 + 1 − e 2 = 1 4 e 2 + 1 8 e 4 + ⋯ e 2 = 4 n ( 1 + n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {1}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}+\cdots \\e^{2}&={\frac {4n}{\left(1+n\right)^{2}}}\end{aligned}}}
扁平率(へんぺいりつ、扁率、扁平度とも、flattening, oblateness)とは、楕円もしくは回転楕円体が、円もしくは球に比べてどれくらい扁平か(つぶれているか)を表す値である。円もしくは球では値が 0 である。つぶれるに従って値は 1 に近づく。
楕円または回転楕円体の長半径を a、短半径を b とすると、扁平率 f {\displaystyle f} は
f = a − b a = 1 − b a {\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}}
で定義される。 (a - b) : a のように比の形で表すこともある。楕円率 ε を使えば
f = 1 - ε
とも書ける。
自転する天体の場合、遠心力によって赤道半径が極半径に比べて大きい扁球となる。したがって a が赤道半径、b が極半径となる。地球楕円体の扁平率としては、GRS80(測地系)のパラメータ値が用いられることが多い。
↑ 地球の場合、表面に凹凸があって完全な回転楕円体ではないため、計測の仕方によってこの値は若干変わりうる。しかし測量の基準としては唯一の数値を定めておかなければならない。
↑ 扁平率は、0.003 352 810 681 182 318 935 434(近似値)となる、 また、離心率の2乗 e^2 = f(2-f)であるから、e^2 = 0.006 694 380 022 900 788(近似値)、 離心率 e は、0.081 819 191 042 815 790(近似値)、アスペクト比(Aspect ratio)は、 = b / a = {\displaystyle =b/a=} 0.996 647 189 318 817 705(近似値)となる。
↑ WGS84もGRS80を基にしたものではあるが、数値の導出過程が異なっているために、扁平率が微妙に異なってしまった。すなわち、扁平率を決定するに当たって、正規化された2次の帯調和重力係数から計算により導出した際に、基となるGRS80の力学的形状係数J2の有効数字を8桁で打ち切ったために、9桁目以降から差が発生したのである。
↑ 水路業務法施行令第2条による扁平率 f は、0.003 352 810 664 747 481(近似値)となる。なお、WGS84の扁平率の値(及びそこから派生する量の値)は有効数字の観点からはその9桁目以降は意味を持たないのであるが、法令によって(12桁の)数値が定義されている以上、有効数字の議論を超えて「法令上は」意味があることに留意しなければならない。
楕円の離心率 e {\displaystyle e} との関係は、
e ≜ 1 − b 2 a 2 = f ( 2 − f ) {\displaystyle e\triangleq {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\sqrt {f(2-f)}}}
となる。
例えば、扁平率が 0.1 の楕円の離心率はおよそ 0.43 である。離心率も扁平率と同様に、真円で 0 となり、つぶれるに従って 1 に近づくが、こちらは一般の円錐曲線に対する概念である。