クレブシュ–ゴルダン係数
0 = C + ( j 1 , m 1 − 1 ) ⟨ j 1 m 1 − 1 j 2 m 2 | J J ⟩ + C + ( j 2 , m 2 − 1 ) ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 − 1 | J J ⟩ {\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}{m_{1}-1}j_{2}m_{2}|JJ\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}-1|JJ\rangle }
コンドン-ショートレーの位相則における係数 ⟨ j 1 j 1 j 2 J − j 1 | J J ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{2}J-j_{1}|JJ\rangle } は正の実数である。 最後の方程式では、他のすべてのクレブシュ–ゴルダン係数 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J J ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JJ\rangle } がある。 規格化は 状態 | ( j 1 j 2 ) J J ⟩ {\displaystyle |(j_{1}j_{2})JJ\rangle } のノルムに相当する、二乗の合計が1でなければならないという条件から行われる。
漸化式の C − {\displaystyle C_{-}} は M = J − 1 {\displaystyle M=J-1} の全てのクレブシュ–ゴルダン係数を見つけるために使われる。 この式を繰り返し使うと全ての係数が得られる。 CG係数を得る手続きによって(コンドン–ショートレーの位相則において)CG係数がすべて実数であることがわかる。
Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0201135078
Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). “Ch. 2”. Angular Momentum (3rd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9
Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). “Ch. 3”. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4
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クレブシュ–ゴルダン係数は、より便利な対称関係をもつ3-jm記号と以下のような関係がある。
⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 m 3 ⟩ = ( − 1 ) j 1 − j 2 + m 3 2 j 3 + 1 ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 − m 3 ) {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}}