凸共役性
x = ∇ f ⋆ ( ∇ f ( x ) ) , {\displaystyle x=\nabla f^{\star }(\nabla f(x)),}
x ⋆ = ∇ f ( ∇ f ⋆ ( x ⋆ ) ) , {\displaystyle x^{\star }=\nabla f(\nabla f^{\star }(x^{\star })),}
であり、さらに次が成立する。
f ′ ′ ( x ) ⋅ f ⋆ ′ ′ ( x ⋆ ( x ) ) = 1 , {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{\star \prime \prime }(x^{\star }(x))=1,}
f ⋆ ′ ′ ( x ⋆ ) ⋅ f ′ ′ ( x ( x ⋆ ) ) = 1. {\displaystyle f^{\star \prime \prime }(x^{\star })\cdot f^{\prime \prime }(x(x^{\star }))=1.}
f ⋆ ( x ∗ ) := sup { ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) ∣ x ∈ X } . {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\langle x^{*},x\rangle -f(x)\mid x\in X\right\}.}
あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。
f ⋆ ( x ∗ ) := − inf { f ( x ) − ⟨ x ∗ , x ⟩ ∣ x ∈ X } . {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\langle x^{*},x\rangle \mid x\in X\right\}.}
この定義は、函数のエピグラフの凸包の、支持超平面(英語版)に関する符合化と解釈することが出来る 。