離散フーリエ変換
デジタル画像処理では2次元変換が画像の周波数成分を解析するのに使われる。
変換は以下のように定義される。
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}}
そして逆変換は次のようになる。
f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{MN}}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}}
但し
f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} は2次元信号(例えば画像)であり、fのx列y行成分のことである。
F ( u , v ) {\displaystyle F(u,v)} は f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} の2次元周波数スペクトラムである。