素数定理
リーマンは、リーマン関数
R ( x ) = ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) m Li  ( x ) 1 m {\displaystyle R(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\mu (m)}{m}}\operatorname {Li} (x)^{\frac {1}{m}}}
を用いて、π(x) に関する以下の公式を与えた。
π ( x ) = R ( x ) − ∑ ρ R ( x ρ ) {\displaystyle \pi (x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho })}
ただし、和はゼータ関数の複素零点 ρ 全体をわたる。
R(x) の項だけをとっても、これは Li(x) よりかなり良い近似を与える。
R(x) は、以下の級数を用いて計算可能である。
R ( x ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ { 1 n ζ ( n + 1 ) ⋅ ( log  ( x ) ) n n ! } {\displaystyle R(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{{\frac {1}{n\zeta (n+1)}}\cdot {\frac {(\log(x))^{n}}{n!}}\right\}}