多重線型写像
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交代的 (alternating) であるとは、2つのベクトルが同じであるとき結果が 0 になることをいう: [ ∃ i ≠ j , x i = x j ] ⟹ f ( x 1 , ... , x k ) = 0. {\displaystyle [\exists i\neq j,x_{i}=x_{j}]\implies f(x_{1},\dots ,x_{k})=0.}
明らかに、交代多重線型写像は反対称である。逆に、反対称多重線型写像は標数 2 でないとき交代、標数 2 のときは対称になる。反対称性のことを交代性と呼ぶこともしばしばある。 より一般に、文字 {1, ..., k} の置換の成す対称群 S k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}} の Lk(E; F) への作用を
S k × L k ( E ; F ) → L k ( E ; F ) : ( σ , f ) ↦ σ f ( x 1 , ... , x k ) = ( x σ ( 1 ) , ... , x σ ( k ) ) , {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}\times L_{k}(E;F)\to L_{k}(E;F)\colon (\sigma ,f)\mapsto \sigma f(x_{1},\ldots ,x_{k})=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}),}
ここでは E が有限 n-次元であるとし、n-重線型交代形式(上の設定で k = n, F = K の場合)を考える。このとき、行列式の特徴づけ(ライプニッツの明示公式とは別の定義)を与えることができる。
E の基底を e1, ..., en とし、各ベクトルを vj ≔ ∑ni=1Xi,jei と分解すれば、上で見たことから
と書けるが、f の交代性(したがって反対称性)により置換 σ ≔ (i1, ..., in) および置換の符号 ε(σ) によって f ( e i 1 , ... , e i n ) = ε ( σ ) f ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})=\varepsilon (\sigma )f(e_{1},\dotsc ,e_{n})} と書き直せるから
空間 L(E1, ..., Ek; F) は、k = 1 のとき E = E1 から F への線型写像の空間 L(E; F) にほかならないが、k > 1 のときには多重線型写像の空間 L(E1, ..., Ek; F) と直積ベクトル空間(フランス語版) E1 × ⋯ × Ek 上の線型写像の空間とを混同してはならない。
例えば、K × K から K への写像の場合、乗法 ( x 1 , x 2 ) ↦ x 1 x 2 {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}x_{2}} は双線型だが線型でなく、対して射影 ( x 1 , x 2 ) ↦ x 1 {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}} は線型だが双線型でない。
しかしテンソル積空間 E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek 上の線型写像の空間 L(E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek; F) は(テンソル積の普遍性により)多重線型写像の空間 L(E1, ..., Ek; F) と対応する(後述)。