ウェイト (表現論)
各優ウェイト λ ∈ h* に対し,最高ウェイト λ を持つ単純最高ウェイト g 加群が(同型を除いて)一意に存在し,L(λ) と書かれる.
最高ウェイト λ をもつ各最高ウェイト加群はヴァーマ加群(英語版) M(λ) の商であることを示すことができる.これは単にヴァーマ加群の定義における普遍性を述べ直したものである.
最高ウェイト加群はウェイト加群である.最高ウェイト加群におけるウェイト空間はつねに有限次元である.
χ: A → F, χ(ab) = χ(a)χ(b) (a, b ∈ A)
に置き換えることによって,拡張できる.代数 A が F 上のベクトル空間 V 上に任意の同時固有空間に作用しているとき,これは A から F への A の各元をその固有値に送る代数準同型に対応する.
A がリー環(一般には結合代数ではない)であるとき,指標の乗法性を要求する代わりに,リーブラケットを対応する交換子に送ることを要求する;しかし F は可換であるからこれは単にこの写像がリーブラケットで消えること:χ([a, b]) = 0 を意味する.体 F 上のリー環 g のウェイトは,線型写像 λ: g → F であってすべての x, y ∈ g に対して λ([x, y]) = 0 となるものである.リー環 g 上の任意のウェイトは導来環 [g, g] 上消えるから可換リー環 g/[g, g] 上のウェイトを誘導する.したがってウェイトは主に可換リー環に対して興味が持たれる,その場合可換な線型変換たちの空間に対する一般固有値の単純な概念に帰着する.
G がリー群か代数群のとき,乗法的指標 θ: G → F は微分によってそのリー環上のウェイト χ = dθ: g → F を誘導する.(リー群に対して,これは G の単位元における微分であり,代数群の場合は導分の概念を用いた抽象化である.)
g の表現 V が最高ウェイト加群であるとは,g のすべての正ルートの空間の作用で零化されるウェイトベクトル v ∈ V によって生成されることをいう.半単純リー環 g のすべての有限次元既約表現は最高ウェイト加群であり,表現はその最高ウェイトによって分類できる ("theorem of the highest weight").
これは最高ウェイトを持つ g 加群よりいくぶん特別である.
同様にリー群の表現に対して最高ウェイト加群を定義できる.