弱コンパクト基数
数学において、弱コンパクト基数(じゃくコンパクトきすう、英: weakly compact cardinal)は基数の一種でErdős & Tarski (1961)によって提唱された概念である。 弱コンパクト基数は巨大基数であり,すなわち集合論の標準的な公理系からはその存在性が証明できない基数である。
形式的には、基数 κ が弱コンパクトであるとは、それが非可算な基数であって、かつ、任意の関数 f: [κ] → {0, 1} についてある濃度 κ の集合が存在して、f に対してhomogeneous(英語版)であるときのことをいう。ここで言う [κ] は κ の2要素部分集合全体による集合を表し、κ の部分集合 S がf に対して homogeneous であるとは、[S] の要素が f で全て 0 に移るか、全て 1 に移ることを言う。
「弱コンパクト」という名前は、ある基数が弱コンパクトならある関連する無限言語がコンパクト性定理の一種を満たすという事実を反映している(後述)。
弱コンパクト基数はマーロ基数であり、与えられた弱コンパクト基数より小さいマーロ基数の集合は定常集合である。
著者によっては弱コンパクト基数の定義としてもう少し弱いものを使っている場合がある。例えば下記の中で条件から到達不能性を省いているものなどが該当する。