稠密に定義された作用素
が成立するため、D は非有界作用素である。この非有界性は、作用素 D を何らかの連続的な方法で C([0, 1]; R) へと拡張しようとする際に、困難をもたらす。
一方、ペイリー-ウィナー積分(英語版)は稠密に定義された作用素の連続的な拡張の例である。任意の抽象的ウィナー空間(英語版) i : H → E とその共役 j = i : E → H において、j(E) から L(E, γ; R) への自然な連続線形作用素(実際それは包含(inclusion)で等長)が存在し、j(f) ∈ j(E) ⊆ H は L(E, γ; R) における f の同値類 (equivalence class) [f] へと向かう。j(E) が H において稠密であることを示すことは難しくない。上述のような包含は連続であるため、j(E) → L(E, γ; R) の H 全体への連続線型拡張 I : H → L(E, γ; R) が唯一つ存在する。この拡張がペイリー-ウィナー写像である。