逆三角関数
余角:
arccos  x = π 2 − arcsin  x arccot  x = π 2 − arctan  x arccsc  x = π 2 − arcsec  x {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}}
負角:
arcsin  ( − x ) = − arcsin  x arccos  ( − x ) = π − arccos  x arctan  ( − x ) = − arctan  x arccot  ( − x ) = π − arccot  x arcsec  ( − x ) = π − arcsec  x arccsc  ( − x ) = − arccsc  x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}}
正弦・余弦関数のように、逆三角関数は次のように級数を用いて計算できる:
arcsin  z = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) 4 n ( 2 n + 1 ) z 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! z 2 n + 1 2 n + 1 = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ ; | z | ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{2n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\dfrac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb ;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
実数 x ≥ 1 に対して:
∫ arcsec  x d x = x arcsec  x − log  ( x + x 2 − 1 ) + C ∫ arccsc  x d x = x arccsc  x + log  ( x + x 2 − 1 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
これらはすべて部分積分と上で示された単純な導関数の形を用いて導出できる。
逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、直角三角形の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを 0 ≤ x ≤ 1 にとってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい(表中の図を参照)。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。
arcsin  x = − i log  ( i x + 1 − x 2 ) = arccsc  1 x arccos  x = − i log  ( x − i 1 − x 2 ) = π 2 + i log  ( i x + 1 − x 2 ) = π 2 − arcsin  x = arcsec  1 x arctan  x = 1 2 i { log  ( 1 − i x ) − log  ( 1 + i x ) } = arccot  1 x arccot  x = 1 2 i { log  ( 1 − i x ) − log  ( 1 + i x ) } = arctan  1 x arcsec  x = − i log  ( i 1 − 1 x 2 + 1 x ) = i log  ( 1 − 1 x 2 + i x ) + π 2 = π 2 − arccsc  x = arccos  1 x arccsc  x = − i log  ( 1 − 1 x 2 + i x ) = arcsin  1 x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=-i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})&=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&=-i\log(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&={\frac {1}{2}}i\{\log(1-ix)-\log(1+ix)\}&=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&={\frac {1}{2}}i\left\{\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right\}&=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&=-i\log \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&=-i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
これらの関数は複素対数関数を使って表現することもできる。これらの関数の対数表現は三角関数の指数関数による表示を経由して初等的な証明が与えられ、その定義域を複素平面に自然に拡張する。