曲線の特異点
上記の展開において b0, b1 がともに 0 だが c0, c1, c2 のうち少なくとも 1 つは 0 でないならば、原点は曲線の二重点 (double point) と呼ばれる。再び y = mx とおいて、f を
f = ( c 0 + 2 m c 1 + c 2 m 2 ) x 2 + ( d 0 + 3 m d 1 + 3 m 2 d 2 + d 3 m 3 ) x 3 + ... . {\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}
と書くことができる。二重点は c0 + 2mc1 + mc2 = 0 の解によって分類することができる。