完備束
完備半束の圏における自由対象を自由完備半束(英: free complete semilattice))という。
言い換えると
集合 X {\displaystyle X} と完備半束 F X {\displaystyle F_{X}} 及びその間の写像 i : X → F X {\displaystyle i\colon X\to F_{X}} について、 F X {\displaystyle F_{X}} が X {\displaystyle X} を生成系とする自由完備半束であるとは次の普遍性を満たすことである。
任意の完備半束 L {\displaystyle L} 及び写像 j : X → L {\displaystyle j\colon X\to L} に対し、完備半束準同型 j ∗ : F X → L {\displaystyle j^{*}\colon F_{X}\to L} が一意的に存在し j = j ∗ ∘ i {\displaystyle j=j^{*}\circ i} となる。
任意の集合に対しそれの生成する自由完備半束を具体的に構成することができる。
即ち、
半順序集合において、任意の部分集合が上限を持つことと任意の部分集合が下限を持つこととは同値であり、これらは完備束であることとも同値である。
なので完備(上)半束(英: complete (upper) semi-lattice)及び完備下半束(英: complete lower semi-lattice)も完備束と同じ対象を表す。 ただし、準同型の定義が異なる(下記の写像の節を参照)。
完備束の間の下限及び上限を保つ写像を完備準同型(完備束準同型)(英: complete homomorphisms(complete lattice homomorphisms))という。
正確に述べると、 完備束 L , M {\displaystyle L,M} の間の写像 f : L → M {\displaystyle f\colon L\to M} が完備準同型であるとは
f ( ⋀ A ) = ⋀ { f ( a ) ∣ a ∈ A } {\displaystyle f(\bigwedge A)=\bigwedge \{f(a)\mid a\in A\}} 及び
f ( ⋁ A ) = ⋁ { f ( a ) ∣ a ∈ A } {\displaystyle f(\bigvee A)=\bigvee \{f(a)\mid a\in A\}}
が L {\displaystyle L} の任意の部分集合 A {\displaystyle A} に対して満たすことをいう。