メルカトル図法
メルカトルは、直線を引くことで等角航路が求まる地図を作ろうとしていたようである。 しかしながらメルカトルの時代にはまだ積分法が知られておらず、赤道から各緯度までの地図上の距離を示す定積分
u = ∫ 0 φ sec  θ d θ = ln  tan  ( π 4 + φ 2 ) = tanh − 1  sin  φ = gd − 1  φ {\textstyle u=\int _{0}^{\varphi }\sec \theta {\rm {d}}\theta =\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)=\tanh ^{-1}\sin \varphi =\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }
をメルカトルは級数として近似的に計算したにとどまり、作図に必要な数学的根拠を明らかにしなかったので、メルカトル図法は普及しなかった。