実効記述集合論
φ {\displaystyle \phi } が ∃ n 1 ∃ n 2 ⋯ ∃ n k ψ {\displaystyle \exists n_{1}\exists n_{2}\cdots \exists n_{k}\psi } (ただし、 ψ {\displaystyle \psi } は Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} 式)の形の式と論理的に同値であるとき、 φ {\displaystyle \phi } には分類 Σ n + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}} を割り当てる。
φ {\displaystyle \phi } が ∀ n 1 ∀ n 2 ⋯ ∀ n k ψ {\displaystyle \forall n_{1}\forall n_{2}\cdots \forall n_{k}\psi } (ただし、 ψ {\displaystyle \psi } は Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 式)の形の式と論理的に同値であるとき、 φ {\displaystyle \phi } には分類 Π n + 1 0 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{0}} を割り当てる。
算術的階層、またはクリーネ-モストフスキ階層は、ある集合を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。
より正式には、算術的階層は一階算術の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数n(0を含む)に対して Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} と Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} と表される。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。
論理式 φ {\displaystyle \phi } が有界量化子のみを持つ論理式に論理的に同値であるとき φ {\displaystyle \phi } は分類 Σ 0 0 {\displaystyle \Sigma _{0}^{0}} と Π 0 0 {\displaystyle \Pi _{0}^{0}} を両方割り当てる。
0より大きい各自然数 n に対する Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} , Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} は次のように帰納的に定義される: