複素対数函数
実自然対数函数 ln(x) は積分公式 ln(x) = ∫x1 du/u によって定義することができる。あるいは積分の下の限界を 1 から a に取り換えて、定義式を ln(x) = ln(a) + ∫xa du/u とすることもできる。
同じことを「複素」対数に対しても議論するならば、さらなる複雑さが生じる。複素積分を定めるには積分路を決めなければならないが、今の場合はたまたま被積分函数が正則であるから、積分値は積分路を(端点を固定して)連続的に変形しても変わらず、また単連結領域 U(「穴のない」領域)では a から z へ行く U 内のどの道も連続的な変形で互いに移りあう。ゆえに以下のように言うことができる:
逆函数を持つためには、函数は一対一(単射)でなければならないが、複素指数函数は単射でない(実際、任意の w とすべての整数nに対して e = e が成り立つことが、w に iθ を加える操作が e を反時計回りに θ ラジアン回転させることから言える)し、さらに悪いことに垂直線上に等間隔に並ぶ無限個の複素数の列
がすべて、指数函数によって同一の複素数へ写されるのである。したがって、複素指数函数は通常の意味での逆函数は持たない。
この問題の解決法として、二通り考えられる:
一つは、指数函数の定義域をどの二つの数も 2πi の整数倍の差を持たないような領域に制限することである。この方法では、自然に log z の枝(定義域に属する各数の対数を一つずつ切り出して得られる函数)を定義することになる。これは例えば、逆正弦函数 arcsin x の [−1, 1] 上定義された枝を、正弦函数 sin θ の区間 [−π/2, π/2] への制限の逆函数として定めるのと同様である(上記範囲内の x に対し sin θ = x を満たす実数 θ は無限個存在するが、それでも(いくぶん作為的ながら)[−π/2, π/2] に入るものを考えれば、それは一つしかないのであった)。
もう一つは、対数函数をガウス平面上の函数でなく、穴あき (つまり原点を除く) ガウス平面を無限個貼り合わせた被覆空間としてのリーマン面上で定義された函数と見ることによって、対数の不定性を解決することである。
枝をとる方法は、一つの複素数に対して値が評価できる点で優位性がある。他方、リーマン面上の函数と見る方法は、log z の全ての枝をひとまとめに扱えて、定義に任意性のある選択を含めなくてよいという点において筋が良い。