平面波
が成り立つ。従って、重ね合わせ(1)を計算する問題は、式(2-2)の2つの式を求める問題に帰着される。ここで、 θj (j = 1, 2, ... , m ) は実定数なので、
( exp  i k θ ) ∗ = exp  ( − i k θ ) {\displaystyle (\exp ik\theta )^{*}=\exp(-ik\theta )}
が成り立つ。 は複素共役を意味する。このことに注意して、a の展開を行うと
a 2 = ∑ j = 1 m a j exp  i θ j ∑ l = 1 m a l exp  ( − i θ j ) = ∑ j , l = 1 m a j a l exp  i ( θ j − θ l ) {\displaystyle a^{2}=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\sum _{l=1}^{m}a_{l}\exp(-i\theta _{j})=\sum _{j,l=1}^{m}a_{j}a_{l}\exp i(\theta _{j}-\theta _{l})} (2-3)
が成立する。式(2-3)と、条件aj ≥ 0 を考え併せると、式(2-2)は、
{ a 2 = ∑ j , l = 1 m a j a l exp  i ( θ j − θ l ) θ = arg  ∑ j = 1 m a j exp  i θ j {\displaystyle {\begin{cases}a^{2}=\sum \limits _{j,l=1}^{m}a_{j}a_{l}\exp i(\theta _{j}-\theta _{l})\\\theta =\arg \sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\end{cases}}} (2-2’)
平面波の周期性について、以下の命題が成り立つ。
命題1 ― 実数または複素数に値を持つ実 d 変数関数 Φ を時間変数を持たない平面波であるとし、K ≠ 0 を Φ の波数ベクトルとするとき、
K ⋅ τ = 0 となる任意の実 d 次元ベクトル τ は、Φ の周期である。
上記の τ に対し、λ を任意実数(つまり整数でなくてもよい)としたとき、λτ もまた、Φ の周期である。
即ち、命題1は、K の直交補空間の点は皆、波数 K の平面波 Φ の周期であることを主張している。
命題2 ― 実数または複素数に値を持つ実 d 変数関数 Φ を時間変数を持たない平面波、K ≠ 0 を Φ の波数ベクトルとするとき、
K ⋅ τ = 2lπ ( l は任意整数)となるような実 d 次元ベクトル τ は Φ の周期である。
d 次元実定数ベクトル a が、K ⋅ a ≠ 0 を満たし、l が整数であるとき、 T = 2 π l a K ⋅ a {\displaystyle T={\frac {2\pi l{\boldsymbol {a}}}{\sqrt {{\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {a}}}}}}