P進閉体
形式的 p-進体 F が、形式的に p-進な真の代数拡大体を持たないならば、F は p-進閉であるという。
例えば、任意の素数 p に対して p-進数体は p-進閉であり、p-進数体における有理数体の代数閉包(つまり代数的 p-進数体)もまた p-進閉となる。
F が p-進閉ならば
F を p-進閉とする F 上の付値 w は一意である(したがって、「対 (F, w) が」ではなく「F が」p-進閉であるという言い回しは正当である);
F はこの有限素点に関してヘンゼル的(すなわち付値環がヘンゼル環)である;
F の付値環はちょうど コッヘン作用素の像に一致する;
F の値群は Z(つまり K の値群)による可除群の拡大に辞書式順序を入れたものである;
が成り立つ。一つ目の主張は、実閉体を順序体とする順序関係がその代数的構造から一意に決定されるという事実に相当する類似の結果である。
上記の定義はより一般の文脈へ引き写すことが可能である。
数学における p-進閉体(pしんへいたい、英: p-adically closed field)は、ちょうど形式的に実な体が実閉であることの p-進的な対応物として、適当な拡大性質で閉じている。この概念は Ax & Kochen (1965) が導入した。