ウィグナーのD行列
もしくは
D m ′ m j ( α , β , γ ) = ( − 1 ) m ′ − m D − m ′ , − m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}
ここで、Tが反ユニタリ演算子(英語版)であること(したがってTをケットからブラに移す際に複素共役が出る)、 T | j m ⟩ = ( − 1 ) j − m | j , − m ⟩ {\displaystyle T|jm\rangle =(-1)^{j-m}|j,-m\rangle } 、 ( − 1 ) 2 j − m ′ − m = ( − 1 ) m ′ − m {\displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}} を用いた。
さらに、対称性から以下がいえる。
( − 1 ) m ′ − m D m m ′ j ( α , β , γ ) = D m ′ m j ( γ , β , α ) {\displaystyle (-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=D_{m'm}^{j}(\gamma ,\beta ,\alpha )}