作用素論
複素ヒルベルト空間 H 上の正規作用素は、連続線型作用素 N: H → H であって自身のエルミート共軛 N と可換 (NN = NN) となるものである。
正規作用素はそれに対するスペクトル定理が成り立つという点で重要である。今日では正規作用素のクラスはよく理解されている。正規作用素の例には
ユニタリ作用素: N = N.
エルミート作用素(自己随伴作用素): N = N,
反自己随伴作用素: N = −N.
正作用素(英語版): N = MM(M は適当な有界作用素)
などが挙げられる。また、正規行列は C を有限次元ヒルベルト空間とみるときの正規作用素のことと考えることができる。
スペクトル定理は行列のより一般のクラスに拡張できる。A は有限次元内積空間上の作用素とする。A が正規行列であるとは、AA = AA を満たすことを言う。A が正規であるための必要十分条件が「それがユニタリ行列で対角化可能であること」であることを示すことができる。実際、シューア分解により A = UTU(U はユニタリ、T は上三角)と書くと、A は正規ゆえ TT = TT となり、T は対角行列でなければならない(正規な上三角行列は対角行列である)。逆は明らか。
即ち、A が正規であるための必要十分条件は、ユニタリ行列 U と対角行列 D で
A = U D U ∗ {\displaystyle A=UDU^{*}}
を満たすものが存在することである。このとき D の対角成分には A の固有値が並び、対応するU の列ベクトルには各固有値に付随する A の固有ベクトルが並ぶ。これら列ベクトルは正規直交系を成す。エルミート行列の場合と異なり、D の成分は実数とは限らない。