部分リーマン多様体の接続と曲率
定義から明らかに次が成立する。
定理 ― 任意の正則行列Bに対し、
P f ( B − 1 A B ) = d e t ( B ) P f ( A ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (B^{-1}AB)=\mathrm {det} (B)\mathrm {Pf} (A)}
が成立する。よって特に任意の直交行列Bに対し、
P f ( B − 1 A B ) = { P f ( A ) if d e t ( B ) = 1 − P f ( A ) if d e t ( B ) = − 1 {\displaystyle \mathrm {Pf} (B^{-1}AB)={\begin{cases}\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=1\\-\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=-1\end{cases}}}
が成立する。
パッフィアンは具体的には以下のように書ける。
定理 (パッフィアンの具体的表記) ― m=2k次の歪対称行列 A = ( a i j ) i j {\displaystyle A=(a^{ij})_{ij}} に対し、以下が成立する:
P f ( A ) = 1 2 k k !
第三に、Ωjは2-形式であるので、上述のウェッジ積はΩjの入れ替えに関して可換である。よって前節で通常の実数係数の行列に対して成立した定理の多くが P f ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\Omega )} に対しても成立する。
特に、 P f ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\Omega )} は正規直交基底の向きを保つ取り方に対して不変であり、したがってオイラー形式はMと同じ向きの正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
したがって、オイラー形式はMの全域で定義可能である。
(正規直交とは限らない)基底 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} とその双対基底を e 1 , ... , e m {\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{m}} を使って曲率テンソルを
R i j k l = g ( R ( e i , e j ) e l , e k ) {\displaystyle R_{ijk\ell }=g(R(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})}
と成分表示すると、オイラー形式を下記のように成分表示できる:
定理 (オイラー形式の成分表示) ― (正規直交とは限らない)基底 e 1 , .
本節ではガウス・ボンネの定理を紹介する。この定理は、偶数次元のリーマン多様体において、オイラー標数をオイラー形式の全空間における積分で記述できるという趣旨の定理である。
元々はMが2次元の場合に対して示されたものであり、一般の偶数次元に対する定理は区別のためチャーン・ガウス・ボンネの定理とも呼ばれる。
定理 (ガウス・ボンネの定理) ― Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトなリーマン多様体とする。このとき、
∫ M e u ( Ω ) = χ ( M ) {\displaystyle \int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )=\chi (M)}
が成立する。ここで e u ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )} はMのオイラー形式であり、 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} はMのオイラー標数である。
定理 ― M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} を向き付け可能かつ余次元1のリーマン多様体とし、GをMが定めるガウス写像とする。
このとき、ガウス写像が接ベクトル空間に誘導する写像
G ∗ : T P M → T G ( P ) S m ≈ T P M {\displaystyle G_{*}~:~T_{P}M\to T_{G(P)}S^{m}\approx T_{P}M}
は、
G ∗ ( v ) = − S η ( v ) {\displaystyle G_{*}(v)=-S_{\eta }(v)}
を満たす。ここで S η ( v ) {\displaystyle S_{\eta }(v)} はワインガルテン写像である。
さらにガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす:
定理 (ガウス写像によるガウス曲率の意味付け) ― 記号を上述の定理と同様に取る。 さらにM、Sの体積要素をそれぞれ d V {\displaystyle dV} 、 d V ′ {\displaystyle dV'} とするとき、ガウス写像が誘導する写像
G ∗ : ⋀ m T G ( P ) ∗ S m → ⋀ m T P ∗ M {\displaystyle G^{*}~:~\bigwedge ^{m}T_{G(P)}^{*}S^{m}\to \bigwedge ^{m}T_{P}^{*}M}
は、
G ∗ ( d V G ( P ) ′ ) = K P d V P {\displaystyle G^{*}(dV'_{G(P)})=K_{P}dV_{P}}
を満たす。ここでKPは点PにおけるMのガウス曲率である。