リーマン球面
あらゆる数学的対象の研究は、自己同型群、つまりその対象から自身への写像であって、同対象の主要な構造を保存するものがなす群を理解することにより促進される。 リーマン球面の場合、自己同型は、リーマン球面から自身への可逆な双正則写像である。 このような写像は、メビウス変換(英: Möbius transformation)とも呼ばれる一次分数変換のみであることが知られている。一次分数変換は
f ( ζ ) = a ζ + b c ζ + d {\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}}}
なる形に書かれる関数である。ここに a, b, c, d は ad − bc ≠ 0 を満たす複素数である。一次分数変換には、伸縮と回転 (ζ → aζ)、平行移動 (ζ → ζ + b)、相似・実軸対称 (ζ → 1/ζ等がある。実際のところ、任意の一次分数変換はこれらの合成により記述できる。
一次分数変換は複素射影曲線上の変換と見るとわかり易い。変換 f は射影座標により
拡張複素数 (extended complex numbers) は複素数 C と ∞ からなる。拡張複素数の集合は C ∪ {∞} と書け、しばしば文字 C に追加の装飾を施して表記される。例えば、Ĉ, C または C∞。
幾何学的には、拡張複素数の集合はリーマン球面 (Riemann sphere) (あるいは拡張複素平面 (extended complex plane))と呼ばれる。