数学の哲学
数学的記号法や数学的文化をよく理解して、旧来の形而上学的観念を上記の学派の特殊な形而上学的観念と結びつけることができるまでになる哲学者は多くない。ややもすればこのことは数学者と哲学者の断絶を生んでしまう。この断絶ゆえに、数学者たちの中には信用に値しない哲学をいつまでも公言し続ける者もいる。そうした方が、おのれの仕事を活性化してくれる世界観があるはずだと信じる彼ら数学者たちの不断の信念に適うからであろう。
社会理論や準経験論、中でも生得理論は、現場の数学者の営みが包含している特有の認識の仕方にもっと目を向けようと試みたのであったが、実際のところ、この認識論を日常的な人間の知覚や日々行われる知識習得と関連づけるまでは行かなかった。
我々の物理的世界と完全に分離され、数学的実体によって占有された世界があるのか? どうすれば我々はその分離された世界に接近でき、数学的実体についての真理を発見できるのか? 一つの答えは数学的宇宙仮説(究極集合)の理論であろう。この理論に従えば、数学的に存在するすべての構造は、それ固有の世界において物理的にも存在するものとされる。
ゲーデルのプラトニズムは、我々を数学的対象の直接的な知覚へと導く、特別な種類の数学的直観を前提にしている。この考えかたは、フッサールが数学について語った多くのことと類似しており、数学的知識は総合的かつアプリオリであるとするカントの考えを支持している。フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは共著『数学的経験』The Mathematical Experienceにおいて、多くの数学者は日頃はまるでプラトニストであるかのように振舞っているのに、慎重にその立場を表明せざるをえないときには形式主義(後述)に後退することがある、と指摘した。
数学者の中には、さらに微妙に異なるバージョンのプラトニズムに帰着する見解を抱く者もいる。こういう考え方は、ネオ・プラトニズムと呼ばれることもある。