アフィン多様体
アフィン代数多様体を記述する最も具体的な視点は,代数閉体 k に係数を持つ多項式方程式系の k での解の集合と考えるものである.より正確には, m {\displaystyle m} 個の k 係数の多項式を f 1 , ... , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} とすると,それらはアフィン多様体(あるいはアフィン代数的集合)
V ( f 1 , ... , f m ) = { ( a 1 , ... , a n ) ∈ k n ∣ f 1 ( a 1 , ... , a n ) = ⋯ = f m ( a 1 , ... , a n ) = 0 } {\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\mid f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\cdots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}}
を定義する.ヒルベルトの零点定理により,多様体の点は,その座標環すなわち k 代数 R = k [ x 1 , ... , x n ] / ⟨ f 1 , ... , f m ⟩ {\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle } の極大イデアルと,写像 ( a 1 , ... , a n ) ↦ ⟨ x 1 − a 1 ̄ , ...