宇宙 (数学)
空集合はフォン・ノイマン順序数 [0] である。さらに元が空集合のみの集合 {[0]} は、S2X に属する。これはフォン・ノイマン順序数 [1] である。同様に、{[1]} は S3X に属し、さらに {[0]} と {[1]} の和集合 {[0], [1]} も属するため、これはフォン・ノイマン順序数 [2] となる。このプロセスを続けていけば、すべての 自然数 はフォン・ノイマン順序数による上部構造の内部において表現される。次に、もし x と y が上部構造に属していれば、{{x}, {x, y}} が順序対 (x, y) を表現することになる。従って、上部構造は要求される様々なデカルト積を含んでいることになる。さらに、関数と関係もデカルト積として表現されるため、これらも上部構造に含まれる。このプロセスは、定義域がフォン・ノイマン順序数 [n] の関数などとして表現されるような n-tuples に対しても与えられる。
そのため、もし開始地点がちょうど X = {} ならば、数学で必要となる多くの集合は {} 上の上部構造の要素として現れる。しかし、S{} の要素のそれぞれは有限集合であろう! 自然数のひとつひとつはそれに属すが、すべての自然数の集合 N は属さない(それは S{} の部分集合であるにもかかわらず)。実際、X 上の上部構造はすべての遺伝的有限集合から成る。このように、それは有限主義者の数学の宇宙と考えられる。時代をさかのぼれば、19世紀の有限主義者レオポルト・クロネッカーはこの宇宙において仕事をしたことが思い出される。彼は、それぞれの自然数は存在するが、集合 N(完全な無限)は存在しないと信じていた。