減衰振動
ζ = 1のとき
x ( t ) = x 0 e − ω 0 t { ( σ + 1 ) ω 0 t + 1 } {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-\omega _{0}t}\left\{\left(\sigma +1\right)\omega _{0}t+1\right\}}
このような条件を臨界減衰(critical damping)と呼ぶ。
ζ = 0のとき
x ( t ) = C cos  ( ω 0 t − α ) {\displaystyle x(t)=C\cos \left(\omega _{0}t-\alpha \right)}
ただし
C = x 0 1 + σ 2 {\displaystyle C=x_{0}{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}
α = tan − 1  ( − σ ) {\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-\sigma \right)}
0 < ζ < 1のとき
x ( t ) = C e − ζ ω 0 t cos  ( ω 0 1 − ζ 2 t − α ) {\displaystyle x(t)=Ce^{-\zeta \omega _{0}t}\cos \left(\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t-\alpha \right)}
ただし
C = x 0 1 + ( σ + ζ 1 − ζ 2 ) 2 {\displaystyle C=x_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {\sigma +\zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)^{2}}}}
α = − tan − 1  ( − σ + ζ 1 − ζ 2 ) {\displaystyle \alpha =-\tan ^{-1}\left(-{\frac {\sigma +\zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}
減衰振動の運動方程式のエネルギー積分を考えると、系の力学的エネルギーがダンパの減衰力によって小さくなっていくことを見ることができる。エネルギーW を
W ( x ̇ , x ) ≡ 1 2 m x ̇ 2 + 1 2 k x 2 {\displaystyle W({\dot {x}},x)\equiv {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}
とすると、その時間変化は
d W d t = ∂ W ∂ x ̇ d x ̇ d t + ∂ W ∂ x d x d t = − c x ̇ 2 ≤ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dW}{dt}}&={\frac {\partial W}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}+{\frac {\partial W}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}\\&=-c{\dot {x}}^{2}\leq 0\end{aligned}}}
となり、減衰係数cに比例した大きさで減少することが分かる。
Q値は
Q = 1 2 ζ {\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}}
となる。