クリフォード代数
この節ではベクトル空間 V の次元は有限であり Q の双線型形式は非特異であると仮定する。K 上の中心単純代数は中心が K の(有限次元)可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。
V の次元が偶数であれば Cl(V, Q) は K 上の中心単純代数である。
V の次元が偶数であれば Cl(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
V の次元が奇数であれば Cl(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
V の次元が奇数であれば Cl(V, Q) は K 上の中心単純代数である。
以下の結果を用いるとクリフォード代数の構造は明示的に解明される。U の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、V は二次形式を持つ別の空間とする。U + V のクリフォード代数は U と (−1)dV のクリフォード代数のテンソル積に同型であり、後者はその二次形式に (−1)d を掛けた空間 V である。これは実数体上では特に次のことを意味する
と
ε i = ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 e 4 e 2 e 3 = e 2 e 3 ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) = i ε . {\displaystyle \varepsilon i=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})=i\varepsilon .\!}
e1 と e4 の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 ε が四元数基底元 i, j, k と交換することを示す。
C l p , q 0 = { x ∈ C l p , q ∣ α ( x ) = x } {\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}=\{x\in C\ell _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}}
とする。(これらは Clp,q においてちょうど偶数次の元である。)するとスピン群は Cl 0p,q の中にある。
Clp,q の既約表現はピン群の表現を与えるために制限する。逆に、ピン群は単位ベクトルで生成されるから、その既約表現のすべてはこのようにして誘導される。したがって 2 つの表現は一致する。同じ理由のため、スピンの既約表現は Cl p,q0 の既約表現と一致する。
ピン表現を分類するためには、クリフォード代数の分類(英語版)にアピールするだけでよい。(偶部分代数の表現である)スピン表現を見つけるためには、まず次の同型のいずれかを利用できる(上記参照)
Cl 0p,q ≈ Clp,q−1 (for q > 0);
Cl 0p,q ≈ Clq,p−1 (for p > 0).
そして符号 (p, q − 1) あるいは (q, p − 1) におけるピン表現として符号 (p, q) におけるスピン表現を実現できる。