ウィグナー関数
ウィグナー関数は初めて定式化された擬確率分布関数であるが、多くの形式的に等価で相互変換可能な擬確率分布関数が提案されている(時間周波数分析の分布関数間の変換(英語版)を参照)。座標系の場合と同じように、変化する特性を扱う場合それぞれの関数に用途にあわせた様々な利点がある。
グラウバーのP表示(英語版)
伏見のQ表示(英語版)
しかし、ウィグナー関数はこれらの関数のなかでも、ある意味で特別な地位を占めている。ウィグナー関数は上に示したように、期待値の計算にスター積を必要としない唯一の関数である。また、擬確率分布を古典的な分布と比較できる形で可視化することもできる。
P(x, p) は次の鏡映対称性をもつ。 時間対称性: ψ ( x ) → ψ ( x ) ∗ ⇒ P ( x , p ) → P ( x , − p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)} 空間対称性: ψ ( x ) → ψ ( − x ) ⇒ P ( x , p ) → P ( − x , − p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)}
P(x, p) はガリレイ共変(ガリレイ変換に対して不変)である。 ψ ( x ) → ψ ( x + y ) ⇒ P ( x , p ) → P ( x + y , p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)} ローレンツ共変ではない。
位相空間上の各点における運動方程式は力のない古典力学の方程式である。