擬環
もちろん、任意の単位的環は必ずしも単位的でない環の特別の場合である。単位的環にならないという意味での非単位的環の簡単な例としては、偶整数の全体に整数の通常の加法と乗法を入れたものを考えればよい。あるいは、一番下の行ベクトルが零ベクトルであるような 3-次実正方行列全体の成す環なども例となる。両者ともに、擬環の任意のイデアルが擬環になるという一般に成り立つ事実を利用した例になっている。
任意のアーベル群 A において、群演算をそのまま加法 "+" とし、新たに乗法として自明な演算すなわち任意の二元 a, b に対して ab = 0 を満たすようなものを与えれば、A は擬環になる。一般に、擬環 (R, +, ∗) は、R の任意の二元の積が加法単位元 0 に等しいとき、零環(零擬環)と呼ばれる。零環が単位元を持つ(単位的零環)ならば必ず自明環であり、故に零環の概念が特に意味を持つのは単位的環でないときである。
無限次元ベクトル空間上の線型作用素を扱う函数解析学では、単位的でない環の概念がしばしば登場する。
任意の非単位的環 R に「単位元の添加」を行って単位的環 R^ にすることができる。これを実現するもっとも一般的な方法は、R に形式的な単位元 1 を追加して、1 と R の元との整係数線型結合の全体を R^ とすることである。つまり、R^ の元は適当な整数 n と R の元 r に対する
n·1 + r
の形をしている。乗法は線型に
(n1 + r1)·(n2 + r2) = n1n2 + n1r2 + n2r1 + r1r2
で定める。
より厳密を期すならば、台集合 R^ として直積集合 Z × R を取り、加法と乗法を
(n1, r1) + (n2, r2) = (n1 + n2, r1 + r2),
(n1, r1)·(n2, r2) = (n1n2, n1r2 + n2r1 + r1r2)
で定める。このとき R^ の乗法単位元は (1, 0) で与えられる。また j(r) = (0, r) で定義される自然な単射擬環準同型 j: R → R^ が存在して、以下の普遍性を示す。
「任意の単位的環 S と任意の擬環準同型 f: R → S が与えられたとき、単位的環準同型 g: R^ → S で f = g ∘ j を満たすものがただ一つ存在する」
この写像 g は g(n, r) = n·1S + f(r) とおけば得られる。
擬環を扱う文脈において、単位元を持つという条件よりは弱いが同等程度に一般な性質というのがいくつか存在する。例えば、
擬環 R が「局所単位元 (local unit) を持つ」とは、R の如何なる有限集合 r1, r2, ..., rt に対しても、e = e を満たす R の元 e が存在して、各 i に対して eri = ri = rie となるときに言う。