平行移動 (リーマン幾何学)
多様体が アフィン接続を備えている(あるいは 接バンドル上に共変微分か接続 が定まっている場合)、この接続を使用すると、接続に対する平行性を維持できるように、曲線に沿って、多様体に”生えた”ベクトルを移動できる。したがって、接続が定める平行移動は、ある意味では、「曲線に沿って多様体の局所的なジオメトリを移動する方法」、つまり、近くの点同士のジオメトリを関連付ける(「接続」(connect)する)方法を提供する。
意味を成す「平行移動」の特徴はいろいろとあり得るが、一つの特徴 —つまり、曲線上の点達のgeometries を関連づける(connectingする、接続する)—接続を定めることに相当する。実際、通常の意味での接続の概念は、平行移動の無限小近似である。また逆に、平行移動を定めることは接続の局所的な実現である。
平行移動は、接続の局所的な実現を提供するので、ホロノミーとして知られている曲率の局所的な実現も提供する。 Ambrose–Singer theoremは曲率とホロノミーの間のこの関係を明示的に行う。
接続の他の特徴としては、固有の平行移動システムを備えることである。例えば、 ベクトル束のen:Koszul connectionでは、共変微分の場合と同じ方法で平行移動を定めることができる。 エーレスマン接続やCartan connectionは、多様体から 主束の全空間に対する「曲線の持ち上げ」を定める。このような「曲線の持ち上げ」は、参照フレームの平行移動と考えられることがある。
リーマン幾何学においては、 ある接続が(その接続が定める)平行移動が計量テンソル( en:metric tensor)を保つときに、 en:metric connectionと呼ばれる。
即ち、接続Γ が、任意の接ベクトルX, Y ∈ Tγ(s) に対して以下の条件を満たせば、metric connectionとしての資格がある:
⟨ Γ ( γ ) s t X , Γ ( γ ) s t Y ⟩ γ ( t ) = ⟨ X , Y ⟩ γ ( s ) . {\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}
t=0における微分を行う際に、対応する微分演算子∇ は、計量に対する積の微分法則、即ち
Z ⟨ X , Y ⟩ = ⟨ ∇ Z X , Y ⟩ + ⟨ X , ∇ Z Y ⟩ . {\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}
を満たさねばならない。
幾何学において、平行移動(parallel transport)とは、多様体上の滑らかな曲線に沿って幾何学的なデータを移動する方法である。