モチーフ (数学)
(予想されている)モチヴィックガロア群を動機とすると、ある固定した体を k とし次の函手を考える。
k の有限分離拡大 K → k の絶対ガロア群の(連続)推移的作用をもつ有限集合
この函手は K を k の代数的閉包の中への K の埋め込みの(有限)集合へ写す。ガロア理論では、この函手は圏同値であることが示される。体は 0 次元であることに注意すると、この種類のモチーフはアルティンモチーフ(Artin motives)と呼ばれる。アルティンモチーフを Q-線型化することは、別な方法でモチーフを表すこととなり、アルティンモチーフはガロア群作用を持つ有限 Q-ベクトル空間と同値となる。
モチーヴィックガロア群(motivic Galois group)の対象は、上記の同値関係を高次元多様体へと拡張することである。このことを行うためには、淡中圏の理論がテクニカルな機構として使われる(淡中・クライン双対(英語版)(Tannaka–Krein duality)まで戻るが、純粋な代数的な理論)。この目的は、際立った代数的サイクルの問題であるホッジ予想とテイト予想の双方へ光を当てることである。