重調和方程式
数学における重調和方程式(英: biharmonic equation)とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である:
∇ 4 φ = ∇ 2 ∇ 2 φ = Δ 2 φ = 0. {\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =\Delta ^{2}\varphi =0.}
ここで ∇ は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。
例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。
∂ 4 φ ∂ x 4 + ∂ 4 φ ∂ y 4 + ∂ 4 φ ∂ z 4 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ y 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ y 2 ∂ z 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ z 2 = 0.
n 次元ユークリッド空間において、
∇ 4 ( 1 r ) = 3 ( 15 − 8 n + n 2 ) r 5 {\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}
ただし
r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}
は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。