軌道 (力学)
また、ここで 1/r を補助変数u に置き換える。この時、力の動径成分の大きさを、運動する物体の単位質量当り f(r) とすると、運動方程式の動径成分から時間変数が消去され、以下の式を得る。
d 2 u d θ 2 + u = f ( 1 / u ) h 2 u 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {f(1/u)}{h^{2}u^{2}}}} .
今、力が距離の2乗に反比例する場合を考えると、この方程式の右辺は定数となり、(従属変数の原点をずらすと)方程式は調和方程式となる。
これにより、この天体の軌道の方程式は以下のようになる。
r = 1 u = L 1 + e cos  ( θ − φ ) {\displaystyle r={\frac {1}{u}}={\frac {L}{1+e\cos(\theta -\phi )}}} ,
ここで φ と e は積分定数で、L は半直弦 (semi-latus rectum) である。この式は極座標での円錐曲線の方程式と見なせる。
常にある固定点に向かう力の影響の下で運動する物体の運動を解析する場合には、力の中心を原点とする極座標を使うのが便利である。このような座標系では、加速度の動径方向成分と方位角方向成分はそれぞれ以下のようになる。
d 2 r d t 2 − r ( d θ d t ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}} ,
及び
1 r d d t ( r 2 d θ d t ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)} .
ここで物体に働く力は常に動径方向を向いているので、方位角方向の加速度は0であり、以下の式が成り立つ。
d θ d t = h u 2 {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=hu^{2}} ,
ここで h は積分定数である。
そのため、同期軌道をとる衛星が母天体の自転よりも速く公転していると、母天体の膨らみ部分は衛星の公転から少し遅れた場所に位置する。この膨らみが衛星に及ぼす重力ベクトルは母天体と衛星の中心を結ぶ線からわずかにずれているため、衛星の軌道運動方向の成分を持つことになる。衛星に近い側の母天体の膨らみは衛星の公転を減速し、遠い側の膨らみは衛星を加速するが、減速する膨らみの方が距離が近いために加速の効果よりも強い。この結果、衛星の軌道は減衰する。逆に、衛星が母天体の膨らみに及ぼす重力によって母天体はトルクを受けて自転が加速する。人工衛星は母惑星に潮汐効果を及ぼすには小さすぎるが、太陽系にある衛星のいくつかはこのしくみによって軌道減衰を受けている。火星の内側の軌道にある衛星フォボスはこの代表的な例で、この衛星は5,000万年以内に火星表面に落下するか、潮汐破壊されて環を形成すると考えられている。
最後に、天体の軌道は重力波の放出によっても減衰する。このメカニズムはほとんどの天体では極端に弱く、非常に大きな質量の天体が非常に大きな加速度を受けて運動する場合にしか効果は表れない。このような例としては、複数のブラックホールや中性子星が近い軌道を互いに回っているような場合が挙げられる。