超越数
(西岡)
相異なる 2 以上の整数 d 1 , ⋯ , d n {\displaystyle \scriptstyle d_{1},\cdots ,\ d_{n}} に対して、 ∑ k = 0 ∞ 1 F 2 k + 1 d 1 , ⋯ , ∑ k = 0 ∞ 1 F 2 k + 1 d n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{F_{2^{k}+1}}^{d_{1}}}},\cdots ,\ \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{F_{2^{k}+1}}^{d_{n}}}}} は、代数的独立である。(西岡)
m 1 , m 2 , m 3 {\displaystyle \scriptstyle m_{1},\ m_{2},\ m_{3}} を少なくとも1つは偶数である正整数としたとき、 ∑ n = 1 ∞ 1 F n 2 m 1 , ∑ n = 1 ∞ 1 F n 2 m 2 , ∑ n = 1 ∞ 1 F n 2 m 3 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{n}}^{2m_{1}}}},\ \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{n}}^{2m_{2}}}},\ \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{n}}^{2m_{3}}}}} は、代数的独立である。
乗法的独立 である、0, 1 ではない代数的数 α , β {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta } に対する、 log  α log  β {\displaystyle {\tfrac {\log {\alpha }}{\log {\beta }}}} 。(ゲルフォント、シュナイダー)
代数的数 α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、 π + log  α {\displaystyle \pi +\log {\alpha }} 。(ベイカー)
(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例
正整数 n {\displaystyle n} に対する、ゼータ関数 ζ ( 2 n ) {\displaystyle \zeta (2n)} 。(リンデマン)
℘ ( z ) {\displaystyle \scriptstyle \wp (z)} を、不変量 g 2 , g 3 {\displaystyle \scriptstyle g_{2},\ g_{3}} が代数的数であるワイエルシュトラスの ℘ {\displaystyle \scriptstyle \wp } 関数としたとき、定義域内の任意の代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する ℘ ( α ) {\displaystyle \scriptstyle \wp (\alpha )} 。(シュナイダー)