Hom関手
圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば
[ _ , _ ] : C o p × C → C {\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}
と書かれたり、
と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
hom ( _ , _ ) : C op × C → C {\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}
と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏(英語版)と呼ばれる。
閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。
閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、