三角形の内接円と傍接円
座標平面における内心の座標は、3頂点の重み付き平均の値として求めることができる。
3頂点の座標を (xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)、3辺の長さを a, b, c としたとき、
( a x a + b x b + c x c a + b + c , a y a + b y b + c y c a + b + c ) = a a + b + c ( x a , y a ) + b a + b + c ( x b , y b ) + c a + b + c ( x c , y c ) {\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a}{a+b+c}}(x_{a},y_{a})+{\frac {b}{a+b+c}}(x_{b},y_{b})+{\frac {c}{a+b+c}}(x_{c},y_{c})} .
となる。
三線座標で表すと 1 : 1 : 1 絶対三線座標では r : r : r
重心座標で表すと a : b : c
となる。
頂点を A, B, C とし、内接円が各辺と接する点を TA, TB, TC とする(TA は A の対辺上にあるとする)。⊿TATBTC をジェルゴンヌ三角形という。元の三角形の内接円はこの三角形の外接円になる。3直線 ATA, BTB, CTC は1点で交わる。この点をジェルゴンヌ点という。
ATA, BTB, CTC が1点で交わることから、⊿ABC が不等辺三角形のとき「AB と TATB の交点」「CA と TCTA の交点」「BC と TBTC の交点」は同一直線上にある。この線をジェルゴンヌ線という。⊿ABC が二等辺三角形のときは上記の辺の組のうち1つが平行になるが、残りの2点を結ぶことで直線が定義できる。⊿ABC が正三角形の場合はこの直線は定義できない。