ヘルムホルツ方程式
ヘルムホルツ方程式の近軸(paraxial)における表式は
∇ T 2 A − j 2 k ∂ A ∂ z = 0 {\displaystyle \nabla _{\mathrm {T} }^{2}A-j^{2}k{\frac {\partial A}{\partial z}}=0}
となる。ここで
∇ T 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 {\displaystyle \nabla _{\mathrm {T} }^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}
はラプラシアンの横(transverse)成分である。
この方程式は光学での応用が重要である。光学では、この方程式が放物面波(paraboloidal waves)やガウシアンビームの形の電磁波(光)の伝播についての解を与える。多くのレーザー装置が放射するビームはそのような形になっている。
近軸の近似では、電場の複素強度?(electric field complex magnitude) E は