ディリクレ固有値
λ 1 = inf u ≠ 0 ∫ Ω | ∇ u | 2 ∫ Ω | u | 2 , {\displaystyle \lambda _{1}=\inf _{u\not =0}{\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}},}
は、Ω において恒等的にゼロとはならないコンパクトな台を持つすべての u に関する下限である。この下限はゼロでない u ∈ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )} に関する下限となる。さらにラックス=ミルグラムの定理と同様の変分法の結果を使うことで、 H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )} 内に最小点が存在することを証明できる。より一般に
λ k = sup inf ∫ Ω | ∇ u | 2 ∫ Ω | u | 2 {\displaystyle \lambda _{k}=\sup \inf {\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}}}
が成り立つ。ここで上限はすべての (k−1)-タプル φ 1 , ... , φ k − 1 ∈ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )} について取られ、下限は φi に直交するすべての u について取られる。