固有振動
振動の速さは単位時間に起こる往復運動の回数で表され、この回数を振動数または周波数という。単位はHz(ヘルツ)である。
したがって
y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 3 cos  n π x l C 5 sin  ( ω n t + φ n ) = A n cos  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} ... (4-18)
また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n cos  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (4-19)
− m g θ = m l d 2 θ d t 2 {\displaystyle -mg\theta =ml{d^{2}\theta \over dt^{2}}}
d 2 θ d t 2 = − g l θ {\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}={-{g \over l}\theta }} ... (2-4)
を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は
θ = A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle \theta =A\sin(\omega t+\phi )} ... (2-5)
となる。ただし A , ω , φ {\displaystyle A,\omega ,\phi } は定数で ω = g / l {\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}} である。このときのωが単振り子の固有角振動数である。
.. (4-11)
である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、
T ( t ) = C 5 sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (4-12)
となる。ただし、 C 5 {\displaystyle C_{5}} , ω n {\displaystyle \omega _{n}} , φ n {\displaystyle \phi _{n}} は定数で、 ω n = k v = ( 2 n − 1 ) 2 l π v {\displaystyle \omega _{n}=kv={(2n-1) \over 2l}\pi v} である。したがって
y n ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) = C 4 sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l C 5 sin  ( ω n t + φ n ) = A n sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l sin  ( ω n t + φ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} .
T sin  θ ( x + δ x ) = T sin  θ x + ∂ T sin  θ x ∂ x δ x {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x} ... (3-2)
(3-2)を(3-1)に代入すると、
F y = T sin  θ x + ∂ T sin  θ x ∂ x δ x − T sin  θ x = ∂ T sin  θ x ∂ x δ x {\displaystyle F_{y}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x-T\sin \theta _{x}={\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x}
θ十分に小さいとき sin  θ ≈ tan  θ {\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta } と近似できる。また tan  θ = ∂ y ∂ x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\partial y}{\partial x}}} と置き換えられるから
F y = T ∂ 2 y ∂ x 2 δ x {\displaystyle F_{y}=T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta _{x}} .
.. (3-8)
と書きかえられる。
xについての方程式 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − K X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-KX(x)=0} ... (3-7)を解く。
i)K=0のとき
∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}=0}
となる。この微分方程式の一般解は X ( x ) = a x + b {\displaystyle X(x)=ax+b} である。
ii)K>0のとき
実数の定数k用いて K = k 2 {\displaystyle K=k^{2}} とすると
∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 − k 2 X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}-k^{2}X(x)=0} ... (3-9)
と表される。ここで X ( x ) = e α x {\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}} とおくと、 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = α 2 e α x {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}} なので(3-9)は ( α 2 − k 2 ) X ( x ) = 0 {\displaystyle ({\alpha }^{2}-k^{2})X(x)=0} と書きかえられる。
固有振動(こゆうしんどう、英語: characteristic vibration, normal mode)とは対象とする振動系が自由振動を行う際、その振動系に働く特有の振動のことである。このときの振動数を固有振動数という。