無限
その小数表示が有限の桁ではない数。
自然数全体の集合 N の濃度は א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} である。整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q の濃度も א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} であり、この無限を可算無限と呼ぶ。 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} の濃度を持つ集合としては実数全体の集合 R がある。
カントールは、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より濃度が大きく 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} より濃度が小さい無限は存在しない、つまり、 2 א 0 = א 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} が成り立つという仮説(連続体仮説)を立てたが、これを証明することはできなかった。連続体仮説は、現在では通常の数学の体系からは「証明も反証もできない」ことが証明されている。
ある集合が自身と対等な(すなわち同じ濃度を持つ)真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。デデキント無限でない集合はデデキント有限であるという。デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。無限集合が、デデキント無限集合であるということと、可算無限部分集合を持つことは同値である。
(0を除く)いかなる数よりも(その絶対値が)小さな数ととられることもある記号あるいは拡張された数。無限大と同じく、これは1つの数を表すものではなく、限りなく小さくなりうる変数と考える。微分積分学における dx などの記号は、これが無限小であるとする考え方は、19世紀を通じて否定されるようになったが、20世紀後半からは、超準解析の立場から見直されるようになった。

感覚的には分かり易いと思われる直観的な無限大・無限小の概念ではあるが、現代的な実数論には直接的には存在しない(いわゆる ε-δ 論法によって量的に扱われる)。一方で、超準解析などにおいては数学的に定式化され、その存在を肯定される。