スペクトル系列
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 H 2 ( F ) 0 ⋯ 0 H 2 ( F ) 0 ⋯ ⋯ 0 H 1 ( F ) 0 ⋯ 0 H 1 ( F ) 0 ⋯ ⋯ 0 H 0 ( F ) 0 ⋯ 0 H 0 ( F ) 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}}
と書ける。ゼロではない微分は E n {\displaystyle E^{n}} ページの
d n , q n : E n , q n → E 0 , q + n − 1 n {\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}}
だけであり、これは
d n , q n : H q ( F ) → H q + n − 1 ( F ) {\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)}
であるから、このスペクトル系列は E n + 1 = E ∞ {\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }} で収束する。 E n + 1 {\displaystyle E^{n+1}} を計算して、完全系列
一番はじめに議論した最も簡単な例(鎖複体のスペクトル系列)では、1以上の r に対してスペクトル系列は停止した。このような状況ではシートの列の極限というものを合理的に考えることができる。0番目のシートの後には何も起こらないので、極限のシート E∞ とは E1 と思えば良い。
一般的な状況でも、シートの極限が存在することが多く、そして常に興味深いものになっている。この点が、スペクトル系列が強力な計算手法である理由の1つである。スペクトル系列 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} が E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} に収束する、あるいは近づいていく(abuts to)とは、ある r(p, q) が存在して、全ての r ≥ r(p, q) に対し微分 d r p − r , q + r − 1 {\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r-1}} と d r p , q {\displaystyle d_{r}^{p,q}} が零写像になっていることを言う。このとき、大きな r に対して必然的に E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} は E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} と同型である。このような状況を