ケルビン・ストークスの定理
である。従って、
Γ 2 ( s ) {\displaystyle \Gamma _{2}(s)} と Γ 4 ( s ) {\displaystyle \Gamma _{4}(s)} が互いに相殺しあう
ことになる。
以上から、以下が判る。
∮ Γ 1 F d Γ + ∮ Γ 3 F d Γ = 0 {\displaystyle \oint _{{\Gamma }_{1}}\mathbf {F} d\Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} d\Gamma =0}
これに、以下の事実を考え合わせることで、本定理の証明ができた。
c 1 ( t ) = H ( t , 0 ) = H ( γ 1 ( t ) ) = Γ 1 ( t ) {\displaystyle c_{1}(t)=H(t,0)=H({\gamma }_{1}(t))={\Gamma }_{1}(t)}
c 2 ( t ) = H ( t , 1 ) = H ( ⊖ γ 3 ( t ) ) = ⊖ Γ 3 ( t ) {\displaystyle c_{2}(t)=H(t,1)=H(\ominus {\gamma }_{3}(t))=\ominus {\Gamma }_{3}(t)}
∂ P 1 ∂ v − ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ − ⟨ ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ − ⟨ ∂ ψ ∂ u | t ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( J F ) ψ ( u , v ) − t ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( ( J F ) ψ ( u , v ) − t ( J F ) ψ ( u , v ) ) ⋅ ∂ ψ ∂ v ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}}
Definition 2-1 (層状ベクトル場). 滑らかなベクトル場Fが 開集合 U ⊆ R上で定義されているものとする。 F'が、さらに以下の性質を満たすとき、これを層状ベクトル場という。
∇ × F = 0.
層状ベクトル場は、力学では「保存力場」と呼ばれ。流体力学では、 「渦なしベクトル場」と呼ばれる。すなわち、上記の3用語はまったく同じ意味である。