中点法
{\displaystyle n=0,1,2,\dots } 、 h {\displaystyle h} はステップ幅(step size)と呼ばれる微小量、 t n = t 0 + n h {\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh} 、また y n {\displaystyle y_{n}} は算出された y ( t n ) {\displaystyle y(t_{n})} の近似値。陽的中点法は修正オイラー法(modified Euler method)としても知られる。陰的中点法は最も単純な選点法であり、ハミルトン力学におけるシンプレクティック積分法に応用される。
この手法の名称は、上掲の公式において傾きを与える関数 f {\displaystyle f} の値が、 y ( t ) {\displaystyle y(t)} が既知の点 t n {\displaystyle t_{n}} と未知の(これから算出したい)点 t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} との中点 t = t n + h / 2 = t n + t n + 1 2 {\displaystyle t=t_{n}+h/2={\frac {t_{n}+t_{n+1}}{2}}} において計算されることに由来する。
幾何学的に解釈することで直感的な理解がしやすくなるかもしれない(上掲の図を参照)。基本的なオイラー法では、曲線の ( t n , y n ) {\displaystyle (t_{n},y_{n})} での接線を f ( t n , y n ) {\displaystyle f(t_{n},y_{n})} から計算し、次の値 y n + 1 {\displaystyle y_{n+1}} を接線と垂線 t = t n + 1 {\displaystyle t=t_{n+1}} との交点から求める。