アティヤ＝シンガーの指数定理
上の記号の下で、Dの主表象σ(D) はK(T*M) の元を与えているが、これをチャーン指標 ch を通じてコホモロジー群の元 ch(σ(D)) ∈ H*c(T*M) として表示できる。さらに、コホモロジーにおけるトム同型 φ: H*c(T*M) → H*(M) によって M のコホモロジー類 φ ch(σ(D)) が得られる。D の位相的指数は、M のトッド類 Td(M) と φ ch(σ(D)) とのカップ積を基本類とペアリングさせることによってえられる
Ind t ( D ) = ( φ ch ( σ ( D ) ) ∪ T d ( M ) , [ M ] ) {\displaystyle {\mbox{Ind}}_{t}(D)=(\phi {\mbox{ch}}(\sigma (D))\cup Td(M),[M])}
として定められる。