ベルヌーイ多項式
最初のいくつかのnに対するベルヌーイ多項式は以下のようになる。
B 0 ( x ) = 1 {\displaystyle B_{0}(x)=1\,}
B 1 ( x ) = x − 1 2 {\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\,}
B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 {\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\,}
B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x {\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,}
B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 {\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,}
B 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 3 x 3 − 1 6 x {\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,}
B 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 1 42 .
n が大きくなるにつれ、Bn(x) の x = 0 と x = 1 の間での変動量は大きくなる。例えば
B 16 ( x ) = x 16 − 8 x 15 + 20 x 14 − 182 3 x 12 + 572 3 x 10 − 429 x 8 + 1820 3 x 6 − 1382 3 x 4 + 140 x 2 − 3617 510 {\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}}
は x = 0 における値が(x = 1 における値も)−3617/510 ≈ −7.09 である一方、x = 1/2 における値は 118518239/3342336 ≈ +7.09 である。 デリック・ヘンリー・レーマー(英語版)は Bn(x) の 0 と 1 の間での最大値が n が法 4 に関して 2 でない限り