分配函数 (数学)
別な話題として、分配函数は、情報理論への自然な情報幾何学的アプローチを可能とする。そこの分野では、フィッシャー情報計量(英語版)(Fisher information metric) を分配函数から導出された相関函数であると理解できる。情報幾何学では、リーマン多様体を定義するということが起きる。
確率論では、多くの問題の中に分配函数が発生する。自然な対称性を持つ状況下では、状況に付帯する確率測度であるギッブス測度(英語版)(Gibbs measure) はマルコフ性を持つ。このことは、分配函数が遷移的な対称性を持つ場合にのみ発生することを意味している。しかし、そのような変化する状況下では、神経ネットワーク(ホップフィールド・ネットワーク (Hopfield network))やゲノミクス、コーパス言語学や人工知能などの分野への応用があり、マルコフネットワーク(英語版)(Markov network) やマルコフ論理ネットワーク(英語版)(Markov logic network) という考え方がある。ギッブス測度は、固定されたエネルギー期待値のエントロピーを最大とする性質を持つ唯一の測度でもある。最大エントロピー原理や、これから得られたアルゴリズムの中に分配函数が現れることが、これらの背景となっている。
exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , ... ) ) {\displaystyle \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}
の値は、系の中で値 ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} を取る特定の構成空間 (configuration space) の近傍と解釈することができる。従って、特定の構成 ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} が与えられると、
P ( x 1 , x 2 , ... ) = 1 Z ( β ) exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , ... ) ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}
は、系で発生する構成 ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} の確率密度函数であり、ここで 0 ≤ P ( x 1 , x 2 , ...
ポテンシャル函数自身は、普通は次の和の形を取る。
H ( x 1 , x 2 , ... ) = ∑ s V ( s ) {\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )=\sum _{s}V(s)}
ここに s 上の和は、集合 X = { x 1 , x 2 , ... } {\displaystyle X=\lbrace x_{1},x_{2},\dots \rbrace } のべき集合 P(X) の部分集合を渡る和を取る。例えば、イジングモデルのような統計力学では、和は最も近くのペアを渡る和を取る。マルコフネットワーク(英語版)(Markov networks)のような確率論では、和はグラフのクリーク (cliques) を渡る和をとることになる。従って、イジングモデルや他の格子モデル(英語版)(lattice model)では、最大クリークとして辺 (edges) を取ることとなる。
ここに、 P ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )} を P ( x ) {\displaystyle P(x)} と記すことして、和は確率変数 X k {\displaystyle X_{k}} のすべてを渡るものとする。もちろん、連続した値をとる確率変数に対して、和は積分に置き換わる。
奇妙なことに、フィッシャー情報計量ついての主要な記事に記載されているように、適当に変数変換した後ではフィッシャー情報計量(英語版)は、平坦なユークリッド計量として理解することもできる。 β {\displaystyle \beta } が複素数であるときには、結果として現れる計量はフビニ・スタディ計量である。純粋状態に代って、混合状態で書くときは、ビュレス計量(英語版)として知られている。