対称双線型形式
実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。{e1, ..., en} を直交基底とする。
新たな直交基底 {e′1, ..., e′n} を
e i ′ = { e i if b ( e i , e i ) = 0 e i / + b ( e i , e i ) if b ( e i , e i ) > 0 e i / − b ( e i , e i ) if b ( e i , e i ) < 0 {\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {+b(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})>0\\e_{i}/{\sqrt {-b(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}}
で定義すると、新たな表現行列 B は対角線上に 0, +1, −1 のみを成分に持つ対角行列になる。0 が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。