正規直交系
内積で定まるノルムについて完備であるヒルベルト空間を論ずる際において、正規直交系は重要な役割を果たす。ヒルベルト空間において、正規直交系 {en} が完全系である、すなわち
⟨ x , e n ⟩ = 0 ∀ n ⟹ x = 0 {\displaystyle \langle x,e_{n}\rangle =0\quad \forall n\Longrightarrow x=0}
を満たすとき、{en} は完全正規直交系、または正規直交基底であるという。完全正規直交系においては、任意のベクトルx に対し、
x = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ e n {\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}}
という展開が可能となる。但し、無限列についてはノルムに関する収束を表すものとする。
任意のヒルベルト空間において、完全正規直交系は存在するが、特に可分なヒルベルト空間であれば、高々可算個からなる完全正規直交系が存在する。