可微分多様体
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これはホイットニー (Whitney)の結果である。実は、すべての C 構造は C 構造に一意的に滑らか化できる。さらに、1つの C アトラスに同値な 2 つの C アトラスは C アトラスとして同値なので、2 つの相異なる C アトラスは衝突しない。詳細は Differential structure: Existence and uniqueness theorems を参照。したがって「可微分多様体」と「滑らかな多様体」という用語を入れ替え可能な同義語として使う。これは異なる k に対して意味のある違いのある C 写像とは非常に対照的である。例えば、ナッシュの埋め込み定理は任意の多様体はユークリッド空間 R に等長埋め込みできると述べている。ここで N は、任意の 1 ≤ k ≤ ∞ に対して十分大きい N が存在するのであるが、N は k に依存する。
一方、複素多様体は著しい制限を受けている。例として、周の定理は任意の射影複素多様体は実は射影代数多様体であると述べている。代数的な構造を持っているのである。
..– B. Riemann
ジェームズ・クラーク・マクスウェル のような物理学者と数学者グレゴリオ・リッチ=クルバストロ (Gregorio Ricci-Curbastro) とトゥーリオ・レヴィ=チヴィタ (Tullio Levi-Civita) の仕事はテンソル解析の発展と内在的な幾何学的性質を座標変換で不変な性質と同一視する共変性(en:general covariance)の概念に導いた。これらのアイデアはアインシュタインの一般相対性理論とその根本にある等価原理に重要な応用を見つけた。2次元多様体の現代的な定義はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) によってリーマン面に関する 1913 年の本において与えられた。アトラスのことばによる多様体の広く受け入れられている一般的な定義はハスラー・ホイットニーによる。
可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。
滑らかな多様体 (smooth manifold) あるいは C 級多様体 (C-manifold) とは、すべての変換関数が滑らかな可微分多様体である。つまり、すべての階数の微分が存在する。なので滑らかな多様体はすべての k に対して C 級多様体である。そのようなアトラスの同値類は滑らかな構造(英語版)と呼ばれる。
解析的多様体 (analytic manifold) あるいは C 級多様体 (C-manifold) とは、各変換関数が解析的という追加の条件を持った滑らかな多様体である。つまり、各変換関数のテイラー展開がある開球上絶対収束しその関数に等しい。
複素多様体 (complex manifold) は複素数体上のユークリッド空間をモデルにしすべての変換関数が正則な位相空間である。
C アトラスの有意義な概念はあるが、C (連続写像: 位相多様体)と C (滑らかな写像: 滑らかな多様体)より他に C 多様体の異なる概念は存在しない、なぜならば k > 0 のすべての C 構造に対して、C 同値な C 構造が一意的に存在する(すべての C 構造は C 構造に一意的に滑らかにできる)からである。