中国の剰余定理
整数 m, n を(通常の意味で)互いに素であるとする。拡張されたユークリッドの互除法から mZ + nZ = Z, すなわちイデアルの意味で互いに素であることがわかり、また逆も成立する。従って、 Z/mnZ は Z/mZ × Z/nZ に同型である。
R を単項イデアル整域とする。u1, u2, ..., uk ∈ R がどの二つも互いに素であるとき、u = u1u2...uk とすると、R/uR は R/u1R × R/u2R × ... × R/ukR に同型である。
k を代数的閉体とする。多項式 f(x) ∈ k[x] の相異なる l 個の根を ai, 重複度を ni とすると、
k [ x ] / ( f ( x ) ) ≅ ∏ i = 1 l k [ x ] / ( ( x − a i ) n i ) {\displaystyle k[x]/(f(x))\cong \prod _{i=1}^{l}k[x]/{\big (}(x-a_{i})^{n_{i}}{\big )}}
が成り立つ。
R → ∏ i = 1 k R / I i , x ↦ ( x + I 1 , x + I 2 , ... , x + I k ) {\displaystyle R\to \prod _{i=1}^{k}R/I_{i},\;x\mapsto (x+I_{1},x+I_{2},\dotsc ,x+I_{k})}
は全射であり、準同型定理より環同型
R / I ≅ ∏ i = 1 k R / I i {\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{k}R/I_{i}}
が得られる。これも中国の剰余定理と呼ばれる。さらに R が可換環であるとき、
I 1 I 2 ⋯ I k ⊃ ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle I_{1}I_{2}\dotsm I_{k}\supset \bigcap _{i=1}^{k}I_{i}}
が二つの異なるイデアルが互いに素であることから従う。逆向きの包含は一般に成立するので、
I 1 I 2 ⋯ I k = ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle I_{1}I_{2}\dotsm I_{k}=\bigcap _{i=1}^{k}I_{i}}
が成立する。(R が可換でないときは、「互いに素」という条件を仮定しても上記の等号は一般には成立しない。)