ヤコビの公式
補題1 det' を det の導函数として、det'(I) = tr である。この等式は単位行列によって定まる det の導関数は跡と等しいことを意味している。導関数 det'(I) は n × n 行列を実数へ写す線形演算子である。
証明 方向微分の定義と微分可能な函数の基本的な性質を用いることで、次の式を得る。
det ′ ( I ) ( T ) = ∇ T det ( I ) = lim ε → 0 det ( I + ε T ) − det I ε {\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}
det(I + εT) は n 次元での ε に関する多項式であり、T の固有多項式と密接にかかわる。定数項(ε = 0)は1であり、ε の一次項は trT となる。
補題2 正則行列 A に対して、det'(A)(T) = det A tr(AT) である。
証明 X の函数
det X = det ( A A − 1 X ) = det ( A ) det ( A − 1 X ) {\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=\det(A)\ \det(A^{-1}X)}
を考える。
det X の導函数を計算し、上式の通り補題1を用いて X = A での値を求め、連鎖律を用いることで
となる(右の等号は A(t) が正則な場合にのみ成立する)。
特殊例として、次の式が成り立つ。
∂ det ( A ) ∂ A i j = adj  ( A ) j i {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}}
dA を A の導函数とすると、公式は次のようになる。
d det ( A ) = tr  ( adj  ( A ) d A ) {\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)}
名称は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなむ。
次の補題を先に証明する。
補題 A と B を同次元 n での正方行列の組とする。このとき、次の式が成り立つ。
∑ i ∑ j A i j B i j = tr  ( A T B ) {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B)}
証明 行列の積 AB は次の成分を持つ。
( A B ) j k = ∑ i A j i B i k {\displaystyle (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}}
行列 A を転置行列 A で置き換えることは、成分の添字を並び替えることと等しい。
( A T B ) j k = ∑ i A i j B i k {\displaystyle (A^{\rm {T}}B)_{jk}=\sum _{i}A_{ij}B_{ik}}
結果は両辺の跡を取ることで導かれる。
tr  ( A T B ) = ∑ j ( A T B ) j j = ∑ j ∑ i A i j B i j = ∑ i ∑ j A i j B i j ◻ {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}\ \square }