アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー量子化条件
リウヴィル=アーノルドの定理によれば、可積分なハミルトン力学系では、相空間上の軌道は、不変トーラスと呼ばれるトーラス構造上の準周期軌道であり、作用変数-角変数の組 {θm, Im}m=1,...,n で記述される。ここで、作用変数は
I m := ∮ ∂ Ω m ∑ i p i d q i = ∫ Ω m ∑ i d p i ∧ d q i {\displaystyle I_{m}:=\oint _{\partial \Omega _{m}}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}=\int _{\Omega _{m}}\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}}
で定義される。但し、ここで ∂Ωm (m=1,...,n) はトーラス上の独立な閉路である。作用変数に対して
I m = ( n m + α m / 4 ) h ( n m = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle I_{m}=(n_{m}+\alpha _{m}/4)h\quad (n_{m}=1,2,\dots )}
で与えられる量子条件をアインシュタイン=ブリルアン=ケラー量子化条件という。但し、h はプランク定数、αm はマスロフ指数である。
EBK 量子化は不変トーラスによって、可積分な系の量子化条件を与えている。一方、可積分系から離れたカオスが現れる系では、不変トーラスが崩壊し、EBK量子化は破綻する。アイシュタイン自身も、1917年の論文の中で可積分でない系の量子化の問題を指摘していたが、前期量子論以降の本格的な量子力学の形成に伴い、こうした問題は長らく忘れられていた。