累積カイ二乗検定
2つの母集団 A, B から抽出して得られる観測値 y {\displaystyle y} により母集団の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある k {\displaystyle k} 個の水準のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を y i j ( i = 1 , 2 j = 1 , 2 , . . . , k ) {\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)} で表し、 y i j {\displaystyle y_{ij}} が水準 k {\displaystyle k} に入る確率を p i j ( i = 1 , 2 j = 1 , 2 , ... , k ) {\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)} とする。この場合の帰無仮説は2つの母集団 A, B の間に差がないということを表すため次の式になる
H 0 : p 1 j = p 2 j ( j = 1 , 2 , ... , k ) {\displaystyle H_{0}:p_{1j}=p_{2j}\ (j=1,2,\ldots ,k)}
上記の帰無仮説 H 0 {\displaystyle H_{0}} は次の H 0 j {\displaystyle H_{0j}} が同時に成り立つことと同じである。
H 0 j : P 1 j = P 2 j ( j = 1 , 2 , ... , k − 1 ) {\displaystyle H_{0j}:P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}
この H 0 {\displaystyle H_{0}} についての自由度 1 のカイ二乗値
χ j 2 = 2 n ( Y 1 j − Y 2 j ) 2 Y ⋅ j ( 2 n − Y ⋅ j ) {\displaystyle {\chi _{j}}^{2}={\frac {2n(Y_{1j}-Y_{2j})^{2}}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}}}
* Y i j = ∑ n = 1 j y i n {\displaystyle Y_{ij}=\sum _{n=1}^{j}y_{in}}
この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量
χ ∗ 2 = ∑ j = 1 k − 1 χ j 2 {\displaystyle \chi ^{\ast 2}=\sum _{j=1}^{k-1}{\chi _{j}}^{2}}
とする。