二重指数関数型数値積分公式
積分
I = ∫ − 1 1 f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{-1}^{1}f(x)dx}
の場合、変数変換
x = φ ( t ) = tanh  ( π 2 sinh  t ) {\displaystyle x=\phi (t)=\tanh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {t}\right)}
によって積分は次のような形になる。
I = ∫ − ∞ ∞ f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }f(\phi (t))\phi '(t)dt}
これに、きざみ幅が等間隔 h {\displaystyle h} である台形公式を適用すると、
I h = h ∑ k = − ∞ ∞ f ( φ ( k h ) ) φ ′ ( k h ) {\displaystyle I_{h}=h\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\phi (kh))\phi '(kh)}
を得る。さらに、この和を有限項までで打ち切ると、以下の数値積分公式が得られる: