微分同相写像
任意の多様体は局所的にパラメトライズできるから、R から R へのいくつかの明示的な写像を考えることができる。
f ( x , y ) = ( x 2 + y 3 , x 2 − y 3 ) {\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3})}
とする。ヤコビ行列を計算できる: J f = ( 2 x 3 y 2 2 x − 3 y 2 ) . {\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}
ヤコビ行列の行列式が 0 であることと xy = 0 は同値である。f は x-軸と y-軸から離れて微分同相写像であることがわかる。
g ( x , y ) = ( a 0 + a 1 , 0 x + a 0 , 1 y + ⋯ , b 0 + b 1 , 0 x + b 0 , 1 y + ⋯ ) {\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}
とする、ただし a i , j {\displaystyle a_{i,j}} と b i , j {\displaystyle b_{i,j}} は任意の実数で、省かれた項は x と y において少なくとも次数 2 である。0 におけるヤコビ行列を計算できる: J g ( 0 , 0 ) = ( a 1 , 0 a 0 , 1 b 1 , 0 b 0 , 1 ) .