幾何化予想
2次元では、そのような幾何学的モデルは、3つのモデルへと分類される。一つは、ユークリッド平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (コンパクトな商空間としては、2-トーラスである)。第二番目は、2次元球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} であり、2次元球面はコンパクトである。双曲平面 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} が、第三番目の幾何学的モデルである。全ての種数 g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} の曲面は、双曲曲面のコンパクトな商空間として表すことができる。
ところで、これらの空間はどこでも同じように見えるとすると、全ての点で等しく曲がっている必要がある。2次元では、曲率(つまりスカラー曲率、もしくはガウス曲率)が一つしかないので、(スケーリングを除き)定数スカラー曲率により分類すると、2次元のモデルの幾何学は、 0, 1, -1 の 3つ以外には存在しないことがわかる。
詳しくは、数学的には各々の3-次元位相多様体(topological 3-manifold)の上には、一つの微分可能構造を持つ 3-次元多様体でしかあり得ないということ言うことができる。また、3-次元多様体の研究で、トポロジーの方法と微分幾何学の方法は組み合わせることができる。これを扱う分野は、(統一されて)3-次元幾何学、3-次元トポロジーと呼ばれる。
3-次元幾何学とトポロジーの目的は、閉じた(つまり、境界のない)3-次元多様体全体の分類し理解することである。2-次元多様体の場合と比較して、閉 3-次元多様体の数は非常に多いので、この問題は難しい。
ウィリアム・サーストンによる幾何化予想(幾何化プログラム)の提案は、3-次元多様体をうまく分解して、各々の部分が固有な幾何学を持ち、固有の幾何学はこの各々の部分のトポロジカルな構造を特徴付けることにより、上記の分類を導くという提案である。