調和関数
φ(x) を R 内の領域 U で定義された調和関数とする。このとき、ある点 x ∈ U における値 φ(x) は、点 x を中心として U に含まれる任意の半径 r を持つ (n − 1)-次元球面 ∂B(x,r) 上での φ の平均値に等しい。すなわち、
φ ( x ) = 1 ω ( n ) r n − 1 ∫ ∂ B ( x , r ) φ ( y ) d S ( y ) {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}\!\!\phi (y)dS(y)}
が成り立つ。但し、ω(n)は
ω ( n ) = n π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle \omega (n)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}
で与えられる n − 1 次元単位球面の面積である。
調和関数は2階連続微分可能性のみを仮定しているに関わらず、無限回微分可能である。これは調和関数に球対称な軟化子を作用させたものが、平均値の性質から調和関数自身に一致することから示される。この性質は、より一般的な条件の下でワイルの補題として知られる。さらに、調和関数は解析的である。
以下では i を虚数単位として用いる。