多変数微分積分学
例えば、二つの実変数を持つ実数値関数 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} の場合、y を固定して x に関して f が連続であり、かつ x を固定して y に関して f が連続となることは、f の連続性を意味しない。そのような例として
f ( x , y ) = { y x − y if 1 ≥ x > y ≥ 0 x y − x if 1 ≥ y > x ≥ 0 1 − x if x = y > 0 0 else . {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}}
を考えることができる。 f y ( x ) := f ( x , y ) {\displaystyle f_{y}(x):=f(x,y)} によって与えられる(一実変数の)すべての実数値関数は、 x {\displaystyle x} において、(任意の固定された y {\displaystyle y} に対して)連続であることを確認するのは容易である。