グロタンディーク宇宙
(C) によって、|y| < κ となるような強到達不能基数 κ が存在する。u(κ) を前項の宇宙とする。x は型 κ であり、x ∈ {\displaystyle \in } u(κ)。宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 U の元である。U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。
実際、任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。また、κ が零、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(κ) が存在する。さらに、u(|U|) = U かつ |u(κ)| = κ となる。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と V ω {\displaystyle V_{\omega }} 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。