リッカチの微分方程式
リッカチの微分方程式の一般解を初等関数によって代数的に求積法で解く事は一般にできないことが、リウヴィルによって証明されている。 しかし、何らかの方法で特解を求めることができた場合は、一般解を以下のようにして 構成できる。今、特解を y 1 {\displaystyle y_{1}} としたとき、 y =: y 1 + z {\displaystyle y=:y_{1}+z} によって新たな従属変数 z ( x ) {\displaystyle z(x)} を導入すると、 z ( x ) {\displaystyle z(x)} は次の方程式に従う。
z ′ + ( X 1 + 2 X y 1 ) z + X z 2 = 0. {\displaystyle z'+(X_{1}+2Xy_{1})z+Xz^{2}=0.}
これはベルヌーイの微分方程式であるので、常法に従って u := 1 / z {\displaystyle u:=1/z} と変数変換すると u {\displaystyle u} に関する 1階の線形微分方程式
u ′ − ( X 1 + 2 X y 1 ) u − X = 0 , {\displaystyle u'-(X_{1}+2Xy_{1})u-X=0,}