不連続性の分類
実軸上の点 x0 の近傍で定義される実変数 x の実数値をとる函数 f が点 x = x0 で不連続という場合を考える。便宜のため、
L − := lim x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 − 0 ) , L + := lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 + 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}L^{-}&:=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}-0),\\L^{+}&:=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}+0)\end{aligned}}}
をそれぞれ x = x0 における f の左または右からの片側極限とする。また、L = L であるときはこの一致する値を単に
L := lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle L:=\lim _{x\to x_{0}^{}}f(x)}
で表す。
可除不連続点: L と L が有限確定(存在して有限)で相等しいが f(x0) ≠ L であるとき、f(x) は x = x0 に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。f(x0) の値を変更して「x = x0 においても連続であるようにする」ことができるという意味でこの不連続性は除きうる。
真性不連続点: 極限 L − {\displaystyle L^{-}} か L + {\displaystyle L^{+}} の少なくとも一方が有限確定でない(存在しないか無限大の)場合、x0 は真性不連続点 (essential discontinuity) または無限不連続点 (infinite discontinuity) である。なお、複素数変数の関数では、これらの用語の意味は異なる。
除去可能不連続点と跳躍不連続点とを総称して第一種不連続点 (discontinuity of the first kind) と呼ぶ(除去可能不連続点は跳びが 0 の跳躍不連続点と思える)。これに対して第二種不連続点 (discontinuity of the second kind) とは、片側極限の一方が存在しない場合(真性不連続点)をいう。
L ≠ f(x0) のとき右不連続、L ≠ f(x0) のとき左不連続ということもある。
「除去可能な不連続性(点)」という言葉が、x0 の左右両側からの極限が有限確定で相等しいが、函数は x0 で定義されないというような場合に誤って用いられることがある。しかし函数の連続性および不連続性の概念は、函数の定義域に属する点に対してのみ定義されるものであるから、このような用法は不適切である。このような不定点は正確には除去可能特異点である。