一般カッツ・ムーディ代数
, [ f i , f j ] ] ] = 0 {\displaystyle [e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]=0} (ei や fi は 1 − 2 c i j / c i i {\displaystyle 1-2c_{ij}/c_{ii}} 個;
cij = 0 のとき [ e i , e j ] = [ f i , f j ] = 0. {\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[f_{i},f_{j}]=0.}
これらは(対称化可能)カッツ・ムーディ代数の関係式とは主にカルタン行列に非正の対角成分を許していることによって異なる.言い換えると,単純ルートが虚ルートであってもよい(カッツ・ムーディ代数では単純ルートは常に実ルートである).
一般カッツ・ムーディ代数は普遍なものから,カルタン行列を変えることによって,中心の何かを殺すか中心拡大を取るか外部微分を加える操作によって,得られる.
著者によってはカルタン行列が対称であるという条件を外してより一般的な定義を与える.これらの対称化可能でない一般カッツ・ムーディ代数についてはあまり多くは知られておらず,面白い例はないようである.
定義を超代数に拡張することもできる.