井戸型ポテンシャル
まず,ポテンシャルが無限に深い場合,即ちV'(x)=∞であるような系を考える。この場合のシュレディンガー方程式は厳密に解くことができる。また、ポテンシャルには定数分の不定性があるため、V0=0とおく。この時に問題を整理すると、
V ( x ) = { 0 ( x ∈ [ 0 , L ] ) ∞ ( x ∉ [ 0 , L ] ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&(x\in [0,L])\\\infty &(x\not \in [0,L])\end{cases}}}
となる。
現実的には、ポテンシャルは無限大にはなり得ないので、粗い近似ではあるが、量子論の基礎を理解する上で大きな影響はない。
結果はほとんど無限の深さのときと同等である(V1→∞とした時の極限が無限の場合であるからこの結果は当然である)。
ここで特に注意すべきは、L<xの条件の下ではE<Vである(つまり古典的には運動エネルギーが負となり、粒子は存在できない)にもかかわらず、波動関数が0ではない、つまり粒子が存在する可能性があるということである。このような現象が量子力学では一般に生じるが、これは波動関数の浸み出しとよばれ、トンネル効果の根拠となっている。