不思議の環
ホフスタッターは、不思議の環の考え方を説明する例として、バッハの『トノスのカノン』、M・C・エッシャーの『滝』、『描く手』、『上昇と下降』、そして嘘つきのパラドックスを挙げているが、これはゲーデルの不完全性定理の証明で完全に表現されている。
「鶏が先か、卵が先か」のパラドックスは、不思議の環の最もよく知られた例である。
ドラゴンが自分の尻尾を食べる姿を描いた「ウロボロス」は、おそらく反射的ループの概念を最も古く普遍的に象徴的に表現したものの一つであろう。
シェパードトーンは、不思議の環の一つの例である。シェパードトーンとは、アメリカの認知科学者ロジャー・シェパードにちなんで名付けられたもので、オクターブ単位で隔てられた音を重ね合わせた音である。基底の音高を上や下に移動させたものを、シェパード音階という。これにより、音程を連続的に上昇または下降させているのに、上昇も下降もしていないように聞こえる錯聴を作り出すことができる。
不思議の環は、レベルの階層であり、それぞれのレベルは、ある種の関係によって少なくとも1つの他のレベルにリンクされている。不思議の環の階層は「もつれた階層」(ホフスタッターはこれを「ヘテラルキー(英語版)」と呼んでいる)であり、明確に定義された最高または最低のレベルが存在せず、リンクに従って移動して行くと、最終的には出発点、すなわち元のレベルに戻る。ホフスタッターは不思議の環の例として、M・C・エッシャーの絵、バッハの『音楽の捧げもの』の5度のカノン、タンパク質合成とDNA複製を介して行われるDNAと酵素の間の情報の流れのネットワーク、形式体系における自己参照的なゲーデル文を挙げている。
『わたしは不思議の環』の中で、ホフスタッターは不思議の環を次のように定義している。
And yet when I say "strange loop", I have something else in mind — a less concrete, more elusive notion. What I mean by "strange loop" is — here goes a first stab, anyway — not a physical circuit but an abstract loop in which, in the series of stages that constitute the cycling-around, there is a shift from one level of abstraction (or structure) to another, which feels like an upwards movement in an hierarchy, and yet somehow the successive "upward" shifts turn out to give rise to a closed cycle.