除法
高木貞治『新式算術講義』高瀬正仁 解説、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 タ27-1 Math & Science〉、2008年5月20日(原著1904年6月28日)。ISBN 978-4-480-09146-8。http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091468/。 - 1904年(明治37年)に博文館から発行された旧著の復刊。
高木貞治『数の概念』(改版)岩波書店、1970年(原著1949年8月20日)。ISBN 978-4-00-005153-8。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0051530.html。
エトムント・ランダウ『数の体系 解析の基礎』蟹江幸博、丸善出版〈数学クラシックス 28〉、2014年1月30日。ISBN 978-4-621-08713-8。https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621087138.html。
割算天下一を名乗った毛利重能の著書「割算書」によれば、割算の起源は以下のように記されている。
−|n|/2 ≤ r < |n|/2
22 = 6 × 4 − 2:商 6, 剰余 −2
22 = (−6) × (−4) − 2:商 −6, 剰余 −2
−22 = (−5) × 4 − 2:商 −5, 剰余 −2
−22 = 5 × (−4) − 2:商 5, 剰余 −2
いずれの方法であっても、除数 n が0の場合、剰余 r は0でなければならず、被除数 m がどんな数であっても商qを一意に定めることはできない。 絶対的最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献にまとめられている。
2つの有理数 a, b をそれぞれ整数 p, q, r, s を用いて分数表記する。
a = p q , b = r s {\displaystyle a={\frac {p}{q}},\quad b={\frac {r}{s}}}
すると、それらの除算は次のように計算することができる。
p q ÷ r s = p q × s r = p × s q × r = p s q r {\displaystyle {\frac {p}{q}}\div {\frac {r}{s}}={\frac {p}{q}}\times {\frac {s}{r}}={\frac {p\times s}{q\times r}}={\frac {ps}{qr}}}
この表示から明らかなように、有理数を有理数で割った商はまた有理数である。次のように計算してもよい。
p q ÷ r s = p ÷ r q ÷ s = p r q s {\displaystyle {\frac {p}{q}}\div {\frac {r}{s}}={\frac {p\div r}{q\div s}}={\frac {\frac {p}{r}}{\frac {q}{s}}}}
このような意味で、四則演算が自由に行える集合の抽象化として体の概念が現れる。すなわち、有理数の全体が作る集合 Q は体である。