ヘンゼルの補題
次に示す証明は、 R / I {\displaystyle R/I} または I k / I k + 1 {\displaystyle I^{k}/I^{k+1}} を係数とする多項式だけを使って δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} を計算することによりなされている。 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で I = p Z {\displaystyle I=p\mathbb {Z} } の場合には、これは法 p での剰余類だけを使って計算できることを意味する。
証明: 仮定から α {\displaystyle \alpha } は法 I で可逆である。したがって、ある β ∈ R {\displaystyle \beta \in R} と γ ∈ I R [ X ] {\displaystyle \gamma \in IR[X]} で α β = 1 − γ {\displaystyle \alpha \beta =1-\gamma } を満たすものが存在する。
多項式 δ h ∈ I k R [ X ] {\displaystyle \delta _{h}\in I^{k}R[X]} を、次数が deg  h {\displaystyle \deg h} 未満で
δ h ≡ h − α f g ( mod I k + 1 ) {\displaystyle \delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}}
が成り立つものとする。
は
t ⋅ 6 ≡ − 1 mod 7 {\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}
となり、これは t = 1 {\displaystyle t=1} を意味する。したがって、
r 2 = r 1 + t p 1 = 3 + 1 ⋅ 7 = 10 = 13 7 {\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}}
と計算できた。簡単に確かめられるように、 10 2 ≡ 2 mod 7 2 {\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}} が成り立っている(ニュートン法の反復を直接7進数で使うと、 r 2 = r 1 − f ( r 1 ) / f ′ ( r 1 ) = 3 − 7 / 6 = 11 / 6 {\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6} となる。 11 / 6 ≡ 10 mod 7 2 {\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}} なので整合している)。
次の反復計算を行うと r 3 = 108 = 3 + 7 + 2 ⋅ 7 2 = 213 7 {\displaystyle r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}} となる。この計算を1回繰り返すごとに(つまり k の値が1つ増えていく度に)次の7の冪乗の項が追加され7進数での桁が1つが増えていく。
つまり、同じ条件を満たす組 ( δ f ′ , δ g ′ ) {\displaystyle (\delta '_{f},\delta '_{g})} が他にあったとすると、
δ f ′ ≡ δ f ( mod I n ) and δ g ′ ≡ δ g ( mod I n ) {\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{and}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}}
が成り立つ。
証明: I n {\displaystyle I^{n}} を法とする合同は I n − 1 {\displaystyle I^{n-1}} を法とする合同を意味するので、 数学的帰納法を使って証明する。 n = 0 の場合は明らかである。 n − 1 の場合の一意性は証明されているものと仮定する。つまり、
δ f − δ f ′ ∈ I n − 1 R [ X ] and δ g − δ g ′ ∈ I n − 1 R [ X ] {\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}\in I^{n-1}R[X]\qquad {\text{and}}\qquad \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n-1}R[X]}
と仮定する。仮定により
A をイデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} について完備な可換環とし、 f ( x ) ∈ A [ x ] {\displaystyle f(x)\in A[x]} とする。次の式
f ( a ) ≡ 0 mod f ′ ( a ) 2 m . {\displaystyle f(a)\equiv 0{\bmod {f}}'(a)^{2}{\mathfrak {m}}.}
を満たす a ∈ A のことを f の近似根と呼ぶ。f が近似根を持つなら、a に"近い"本当の根 b ∈ A も持つ。つまり、次の式
f ( b ) = 0 and b ≡ a mod m {\displaystyle f(b)=0\quad {\text{and}}\quad b\equiv a{\bmod {\mathfrak {m}}}}
を満たす b が存在する。さらに、 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} が零因子でないならば、b は一意的である。
このことは多変数の場合に次のように一般化できる。
定理: A を可換環でイデアル m ⊂ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A} について完備なものとする。 f 1 , ... , f n ∈ A [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in A[x_{1},\ldots ,x_{n}]} を A 係数の n 個の n 変数多項式とする。