冪乗
帰納的定義を見れば下のように拡張するのが自然である。
有理数の範囲で2の冪を例に取ると:
2 = 16
2 = 8
2 = 4
2 = 2
2 = 1
2 = 1/2
2 = 1/4
2 = 1/8
2 = 1/16
ただし、底が 0 の場合は「0 で割れない」などの理由から定義しないか、または 0 については 1 と定義するのが一般的である。
正方行列 A に対して A 自身の n 個の積を行列の冪と呼ぶ。また A は単位行列に等しいものと定義され、さらに A が可逆ならば A ≔ (A) と定義する。
行列の冪は離散力学系(英語版)の文脈でしばしば現れる。そこでは行列 A は適当な系の状態ベクトル x を次の状態 Ax へ遷移させることを表す。これは例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈である。これにより、Ax は二段階後の系の状態であり、以下同様に Ax は n 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 A は現在と n 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は固有値と固有ベクトルを用いて計算することができる。
行列を離れてより一般の線型作用素にも冪演算は定められる。例えば微分積分学における微分演算 d / dx は函数 f に作用して別の函数 df / dx = f' を与える線型作用素であり、この作用素の n-乗は n-階微分
しかし主枝を用いた計算で 1 = ( ( − 1 ) ( − 1 ) ) 1 2 ≠ ( − 1 ) 1 2 ( − 1 ) 1 2 = − 1 {\displaystyle 1=((-1)(-1))^{\frac {1}{2}}\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1} および i = ( − 1 ) 1 2 = ( 1 − 1 ) 1 2 ≠ 1 1 2 ( − 1 ) 1 2 = 1 i = − i {\displaystyle i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i} が反例として示される。 他方、x が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。 複素数冪を多価函数として考えれば、((−1)(−1)) の取り得る値は {1, −1} で、等式は成り立つが {1} = {((−1)(−1))} と言うことは間違っている。
等式 (e) = e は x と y が実数であるときには成り立つが、任意の複素数に対して正しいと仮定すると、Clausen et al.
として計算することができる。乗算回数は 8 回で済むので、a を 42 回繰り返し掛け合わせるのに比べて効率が良い。(下図で「→」は乗算を表し、「⇒」は2乗を表す。)
コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。
指数を n とし、2乗していく値 p := a、結果値 v := 1 とする。
n が 0 なら、v を出力して終了する。
n の最下位桁が 1 なら、v := v * p とする。
n := [n/2] とし(端数切捨て)、 p := p * p として、2. に戻る。
整数の内部表現が二進法であるコンピュータなら、4. では除算の代わりにシフト演算を用いることができる。
この方式は a が浮動小数点数である場合や、最終結果がレジスタに収まることがわかっている場合に効率が良い。また乗算にモンゴメリ乗算などを用いて冪剰余を計算する場合も、この方式で充分な効率が得られる。
また(例えばアーベル群のように)乗法演算が可換ならば
( x y ) n = x n y n {\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}}
も満足される。(アーベル群が通常そうであるように)二項演算を加法的に書くならば、「冪演算は累乗(反復乗法)である」という主張は「乗法は累加(反復加法)である」という主張に引き写され、各指数法則は対応する乗法法則に引き写される。
一つの集合上に複数の冪結合的に項演算が定義されるときには、各演算に関して反復による冪演算を考えることができるから、どれに関する冪かを明示するために上付き添字に反復したい演算を表す記号を併置する方法がよく用いられる。つまり演算 ∗ および # が定義されるとき、x と書けば x ∗ ⋯ ∗ x を意味し、x と書けば x # ⋯ # x を意味するという具合である。
上付き添字記法は、特に群論において、共軛変換を表すのにも用いられる(即ち、g, h を適当な群の元として g = hgh)。この共軛変換は指数法則と同様の性質を一部満足するけれども、これはいかなる意味においても反復乗法としての冪演算の例ではない。カンドルはこれら共軛変換の性質が中心的な役割を果たす代数的構造である。