プロパゲーター
K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = ∫ exp  [ i ħ ∫ t t ′ L ( q ̇ , q , t ) d t ] D [ q ( t ) ] {\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]}
ここに経路積分の境界条件は、 q(t)=x, q(t')=x' を意味している。さらに L は系のラグランジアン (en:Lagrangian) を表している。この足し上げられた経路は時間によってのみ進む。
非相対論的量子力学では、プロパゲーターは初期状態と時間区間を与えられた系の状態を示している。新しい状態は、
ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ′ , t ′ ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) d x ′ {\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'}
で表される。
K(x,t;x',t') が距離の差異 x−x' のみに依存するとすれば、この初期状態とプロパゲーターの畳み込みを表している。
ここに Û(t,t' ) は時刻 t での状態を時刻 t' の状態とする系のユニタリな時間発展作用素である。
非相対論的な量子力学では、プロパゲーターは与えられた初期状態と時間の区間の系の終了状態を求める。新しい状態は次の方程式で与えられる。
ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ′ , t ′ ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) d x ′ . {\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}
K ( x , t ; x ′ , t ′ ) {\displaystyle K(x,t;x',t')} が差異 x − x ′ {\displaystyle x-x'} にのみ依存しているならば、この式は初期状態とプロパゲーターの畳み込みになる。
量子力学のプロパゲーターはまた、経路積分の定式化を使うことにより見つけ出すこともできる。
G ~ a d v ( p ) = 1 ( p 0 − i ε ) 2 − p → 2 − m 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{\mathrm {adv} }(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}
G ~ F ( p ) = 1 p 2 − m 2 + i ε . {\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}
ファインマンダイアグラムの計算の目的には、普通は、これらに − i {\displaystyle -i} のファクタをかけてこれらを表すと便利である(記法の変更)。