ブラウン運動
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} 上で定義された連続な確率過程 W(t) で次の性質を満たすものをウィーナー過程という。 任意の t1 < t2 < ... < tn に対し、W(t1) − W(0), W(t2) − W(t1), ..., W(tn) − W(tn − 1) は独立。 任意の t ≥ s に対し、W(t) − W(s) は正規分布 N(0, t − s) に従う。
(注意)数学的にはこのような確率過程が存在することは決して自明ではなく、証明が必要である。
ブラウン運動(ブラウンうんどう、英: Brownian motion)とは、液体や気体中に浮遊する微粒子(例:コロイド)が、不規則(ランダム)に運動する現象である。1827年、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見し、論文「植物の花粉に含まれている微粒子について」で発表した。
この現象は長い間原因が不明のままであったが、1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされているという論文が発表された。この論文により当時不確かだった原子および分子の存在が、実験的に証明出来る可能性が示された。後にこれは実験的に検証され、原子や分子が確かに実在することが確認された。同じころ、グラスゴーの物理学者ウィリアム・サザーランド(英語版)が1905年にアインシュタインと同じ式に到達し、ポーランドの物理学者マリアン・スモルコフスキー(英語版)も1906年に彼自身によるブラウン運動の理論を発表した。
数学のモデルとしては、フランス人のルイ・バシュリエは、株価変動の確率モデルとして1900年パリ大学に「投機の理論」と題する博士論文を提出した。今に言う、ランダムウォークのモデルで、ブラウン運動がそうである、という重要な論文であるが、当時のフランスの有力数学者たちに理解されず、出版は大幅に遅れた。
ブラウン運動という言葉はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音(ランジュバン方程式)や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動(気体分子による)などもブラウン運動の範疇として説明される。