リアプノフ関数
なぜならば、この値が負になるためには、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 内に V ( x ) < 0 {\displaystyle V(x)<0\ } となる点 x {\displaystyle x\ } が存在しなければ不可能だからである。一方、 V ( x ) = | x | 2 {\displaystyle V(x)=|x|^{2}\ } とおけば確かに V ( x ) {\displaystyle V\ (x)} は原点において局所的に正値関数であるが、 lim x → 0 V ( x ) | x | = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {V(x)}{|x|}}=0} となるので、上式の値が 0 {\displaystyle 0} の場合もあり得ることが分かる。
また、
x ̇ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}
を原点に平衡点を持つ自励系とし、 V {\displaystyle V\ } をその自励系の原点についてのリアプノフ候補関数とすると、自励系の任意の解 x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } に沿って(以降、パラメーター t {\displaystyle t\ } を時刻と見なすこととする) V ( x ( t ) ) {\displaystyle V(x(t))\ } の時間微分は次のようになる。