マリアヴァン解析
φ ( t ) = ∫ 0 t h s d s . {\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}
X {\displaystyle X} が ウィーナー過程であるならば、Girsanovの定理により次の不変原理のアナロジーが得られる。
E ( F ( X + ε φ ) ) = E [ F ( X ) exp  ( ε ∫ 0 1 h s d X s − 1 2 ε 2 ∫ 0 1 h s 2 d s ) ] . {\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}
εに関して両側で微分し、ε=0で評価すると、次の部分積分の公式を得る。
E ( ⟨ D F ( X ) , φ ⟩ ) = E [ F ( X ) ∫ 0 1 h s d X s ] . {\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.}
ここで、左辺は、 方向 φ {\displaystyle \varphi } での確率変数 F {\displaystyle F} の マリアヴァン微分であり、右辺に出てくる積分は伊藤積分であると解釈される。