立方体グラフ
立方体グラフのハミルトン性については多くの研究結果がある。1980年にP.G. テイトは、すべての立方多面体グラフはハミルトン閉路を持つと予想した。このテイトの予想に対する反例は、ウィリアム・トーマス・トゥッテ(英語版)の 46-頂点タットグラフによって、1946年に挙げられた。そのトゥッテは 1971年、すべての 2部立方体グラフはハミルトンであると予想した。しかし、ジョセフ・ホートンは 96-頂点ホートングラフ(英語版)をこの反例として挙げた。その後、マーク・エリンガムはさらに二つの反例を挙げた:エリンガム-ホートングラフ(英語版)である。未だに解決のなされていない、テイトとトゥッテの予想の組合せであるバーネットの予想(英語版)では、すべての二部立方多面体グラフはハミルトンである、としている。立方体グラフがハミルトンであるとき、LCF表記(英語版)によってそれを正確に表現することが出来る。
すべての n-頂点立方体グラフの中から一様にランダムに(英語版)一つの立方体グラフが選ばれるとき、それはハミルトンであることが非常に多い: n が無限大へと向かう極限において、n-頂点立方体グラフがハミルトンである割合は 1 となる。
デビッド・エプシュタイン(英語版)は、すべての n-頂点立方体グラフは多くとも 2 個(およそ 1.260 個)の異なるハミルトン閉路を含むと予想し、そのような多くの閉路を含む立方体グラフの例を提供した。異なるハミルトン閉路の数について証明された最良の上界は、1.276 である。