ガウス求積
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典型的な重み関数としては、 W ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}} (ガウス–チェビシェフ)や W ( x ) = exp  ( − x 2 ) {\displaystyle W(x)=\exp(-x^{2})} (ガウス–エルミート)がある。この場合の n 個の積分点 xi はルジャンドル多項式と同様に、ある直交多項式のクラスに属する n 次多項式の根である。
重み関数と指定区間に付随するn次の直交多項式を考え、それの区間内にあるn個の零点を分点にとして被積分関数f(x)をHermite補間公式で近似したものを考えると、直交多項式の重み関数に対する直交性から、f(x)に重み関数を掛けて積分したものは、直交関数のn個の零点に於けるf(x)の関数値それぞれに重みをかけたものの和で近似される(結果的にf(x)の各分点における導関数値は積分の近似値には寄与しない)。このようにして重み関数に対応するガウス型の数値積分公式を導くことができて、分点がnであるときには被積分関数が2n−1次以下の任意の多項式に対して正確な積分値を与えるということが示せる.