ジャイロベクトル空間
u ⊕ M v = ( 1 + 2 s 2 u ⋅ v + 1 s 4 | v | 2 ) u + ( 1 − 1 s 2 | u | 2 ) v 1 + 2 s 2 u ⋅ v + 1 s 4 | u | 2 | v | 2 {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}
これは、s=1のポワンカレ球体模型のベクトルの加算を任意のs>0に対してしたものである。
sを正の定数とする。(V,+,.) を実内積空間とし、Vs={v ∈ V :|v|<s}とする。メビウスジャイロベクトル空間(Vs, ⊕ {\displaystyle \oplus } , ⊗ {\displaystyle \otimes } ) は、メビウスジャイロ群(Vs, ⊕ {\displaystyle \oplus } )にスカラー倍 r ⊗ {\displaystyle \otimes } v = s tanh(r tanh(|v|/s))v/|v| (r は任意の実数、v ∈ Vs, v ≠ 0、 r ⊗ {\displaystyle \otimes } 0 = 0) を加えたものである。ここで、 v ⊗ {\displaystyle \otimes } r = r ⊗ {\displaystyle \otimes } vと表記する。
メビウススカラー倍は上述のアインシュタインスカラー倍と一致する。これは、メビウス加算とアインシュタイン加算が平行な2ベクトルに対しては一致することから得られる。