超球の体積
超球体の体積を漸化式で表すと、下記のとおりである:
V n ( R ) = { 1 if n = 0 , 2 R if n = 1 , 2 π n R 2 × V n − 2 ( R ) otherwise . {\displaystyle V_{n}(R)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\[0.5ex]2R&{\text{if }}n=1,\\[0.5ex]{\dfrac {2\pi }{n}}R^{2}\times V_{n-2}(R)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
上述の漸化式はVn(R)をVn-2(R)と関係づけるが、Vn(R)をVn-1(R)を関係づけると下記のようになる:
V n ( R ) = R π ( n − 1 2 ) ! ( n 2 ) ! V n − 1 ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {({\frac {n-1}{2}})!}{({\tfrac {n}{2}})!}}V_{n-1}(R)} = a n R ( n − 1 ) ! ! n ! ! V n − 1 ( R ) {\displaystyle =a_{n}R{(n-1)!! \over n!!}V_{n-1}(R)}
ここで、