倒立振子
x ^ B = cos  θ x ^ I + sin  θ y ^ I {\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}
ベクトル表記で書いた振り子の運動方程式は ∑ F → = m a → P / I {\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}} のようになる。この両辺と ˆxB とのドット積を取ると、求める運動方程式の左辺は次のようになる(転置をとってかけるとドット積になることに注意)。
( x ^ B ) T ∑ F → = ( x ^ B ) T ( R x x ^ I + R y y ^ I − m g y ^ I ) = ( x ^ B ) T ( R p y ^ B − m g y ^ I ) = − m g sin  θ {\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }
上の式展開においては反力の物体系成分と慣性系成分との関係式が用いられている。
ラグランジュ方程式の代わりに、ニュートンの第二法則を用いる方が利点が多いことが多い。ニュートン方程式を用いれば、振り子と台車の間の結節点における反力が得られる。すると、それぞれの物体について x 方向と y 方向のあわせて二つの方程式が得られる。台車の運動方程式は次のようになる。ただし、左辺は合力、右辺は加速度を表わす。
F − R x = M x ̈ {\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}
F N − R y − M g = 0 {\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}
ここで、Rx および Ry は結節点における反力を表わす。FN は台車にかかる垂直抗力である。二つ目の方程式は鉛直方向の反力にしか依存しないので、垂直抗力を解くのに用いることができる。一つ目の方程式は水平方向の反力を解くのに用いることができる。この運動方程式系を完成させるには、振り子に固定された質点の加速度を計算する必要がある。慣性座標系における質点の位置は次のように表わすことができる。
r → P = ( x − l sin  θ ) x ^ I + l cos  θ y ^ I {\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}
二階微分をとることにより慣性系における加速度ベクトルを得る。