経済成長の黄金律
X t ̇ = g X X t {\displaystyle {\dot {X_{t}}}=g_{X}X_{t}} をもちいて、次の式1の時間微分から式2を得て、またその時間微分から式3を得る。
Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}}
g Y Y t = g C C t + g I I t {\displaystyle g_{Y}Y_{t}=g_{C}C_{t}+g_{I}I_{t}}
g Y 2 Y t = g C 2 C t + g I 2 I t {\displaystyle g_{Y}^{2}Y_{t}=g_{C}^{2}C_{t}+g_{I}^{2}I_{t}}
これらを適宜代入して
( g Y − g I ) ( g Y − g C ) Y t = 0 {\displaystyle (g_{Y}-g_{I})(g_{Y}-g_{C})Y_{t}=0}
( g Y − g I ) ( g C − g I ) I t = 0 {\displaystyle (g_{Y}-g_{I})(g_{C}-g_{I})I_{t}=0}
を得る。 Y t > 0 , I t > 0 {\displaystyle Y_{t}>0,I_{t}>0} であるから
g Y = g I {\displaystyle g_{Y}=g_{I}} または g Y = g C {\displaystyle g_{Y}=g_{C}} 、かつ
g Y = g I {\displaystyle g_{Y}=g_{I}} または g C = g I {\displaystyle g_{C}=g_{I}}
c t ̇ = ( r t − ρ − θ a ) θ − 1 c t {\displaystyle {\dot {c_{t}}}=(r_{t}-\rho -\theta a)\theta ^{-1}c_{t}} (オイラー方程式)
r t = f ′ ( k t ) − δ {\displaystyle r_{t}=f'(k_{t})-\delta } (均衡実質利子率)
k t ̇ = f ( k t ) − ( g + δ ) k t − c t {\displaystyle {\dot {k_{t}}}=f(k_{t})-(g+{\delta })k_{t}-c_{t}} (資本蓄積式)
均斉成長における値を添え字なしで表わす。均斉成長では次が成り立つ。
r = ρ + θ a {\displaystyle r=\rho +\theta a}
k = f ′ − 1 ( r + δ ) {\displaystyle k=f'^{-1}(r+\delta )}
c = f ( k ) − ( g + δ ) k {\displaystyle c=f(k)-(g+{\delta })k}
また、均斉成長では成長率が有効労働の成長率 g = a + n {\displaystyle g=a+n} で決定される。そして、先に仮定した「技術進歩を伴う割引の仮定」の不等式 ρ > ( 1 − θ ) a + n {\displaystyle \rho >(1-\theta )a+n} に、 g = a + n {\displaystyle g=a+n} と上記の式1 r = ρ + θ a {\displaystyle r=\rho +\theta a} を代入すると r > g {\displaystyle r>g} を得る。