シュトルツ＝チェザロの定理
数列 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})\!} は非有界に狭義単調増加(減少)するので、この右辺の第1項は 0 に収束する。また第2項は l {\displaystyle \ell } に収束する。第3項が0に収束することは以下の関係により示せる。
| ∑ k = N + 1 n b k − b k − 1 b n η k | ≤ ∑ k = N + 1 n b k − b k − 1 b n | η k | {\displaystyle \left|\sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,\eta _{k}\right|\leq \sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,|\eta _{k}|} < 1 b n ∑ k = N + 1 n ( b k − b k − 1 ) ε < ( 1 − b N b n ) ε ≤ ε {\displaystyle <{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N+1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})\,\varepsilon <\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\varepsilon \leq \varepsilon }
したがって、(2)式、すなわち数列の比は l {\displaystyle \ell } に収束する。