ルート系
2つのルートの間の角度の余弦は整数の平方根の半整数倍に制限される.なぜならば,⟨β, α⟩ と ⟨α, β⟩ はともに仮定により整数で,
⟨ β , α ⟩ ⟨ α , β ⟩ = 2 ( α , β ) ( α , α ) ⋅ 2 ( α , β ) ( β , β ) = 4 ( α , β ) 2 | α | 2 | β | 2 = 4 cos 2  ( θ ) = ( 2 cos  ( θ ) ) 2 ∈ Z {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}
V = R とし,Φ を長さ √2 の V のすべての整数ベクトルと,λ を長さ 1 の整数ベクトルとして 2λ の形のすべてのベクトルからなるとする.ルートの総数は 2n である.単純ルートの1つの選び方は:1 ≤ i ≤ n − 1 に対して αi = ei − ei+1 と(An − 1 に対する単純ルートの上の選び方),長い方のルート αn = 2en である.
鏡映 σn(αn−1) = αn−1 + αn であるが,σn−1(αn) = αn + 2αn−1 である.
Cn ルート格子,つまり Cn ルートによって生成される格子は,成分の和が偶数な整数ベクトル全てからなる.
C2 は √2 によるスケーリングと 45 度の回転によって B2 と同型であり,したがって相異なるルート系ではない.
ルート系 B3, C3, A3 = D3 を立方体と正八面体の中の点として描いたもの
であるからである.
2cosθ ∈ [−2, 2] であるから,cosθ として可能な値は 0, ±1/2, ±√3/2, ±√4/2 = ±1 のみであり,対応する角度は 90°, 60° あるいは 120°, 45° あるいは 135°, 30° あるいは 150°, 0° あるいは 180°, である.条件2により α のスカラー倍でルートになるのは 1 倍と −1 倍だけであり,0° あるいは 180° で,これらの角度は 2α や −2α には対応しない.