ルジャンドル多項式
ルジャンドル多項式は、多重極展開で自然に現れる
1 1 + η 2 − 2 η x = ∑ k = 0 ∞ η k P k ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)}
なる形の関数(記号を少し変えてあるが、上で述べたものと同じ)の展開においても有用である。等式の左辺はルジャンドル多項式の母関数の閉じた形である。
例として、(球座標系での)電位 Φ(r, θ) が z-軸上の点 z = a にある点電荷によるものとすれば、
Φ ( r , θ ) ∝ 1 R = 1 r 2 + a 2 − 2 a r cos  θ {\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}}