非調和性
ここで ⟨ n | λ x 4 | n ⟩ {\displaystyle \langle n|\lambda x^{4}|n\rangle } に x = ħ 2 m ω ( a + a † ) {\displaystyle x={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })} を代入すると、生成消滅演算子についての16個の項が得られる。生成消滅演算子の昇降性により、ゼロでない期待値を与えるのは2個の a {\displaystyle a} と2個の a † {\displaystyle a^{\dagger }} を含む項のみである。よってこの項のみを計算すると、次のようになる。よって調和振動子のように等間隔なエネルギー準位ではないことがわかる。
E n ≈ ħ ω ( n + 1 2 ) + 3 λ ( ħ 2 m ω ) 2 ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) {\displaystyle E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+3\lambda \left({\frac {\hbar }{2m\omega }}\right)^{2}(2n^{2}+2n+1)}