多重線型交代写像
前の段落で見たことはこの場合に対しても拡張することができる。同じ引数が二度出てきた場合にはその項は無視できるから、重線型性による展開
において、右辺の和をとる添字集合 J は集合 {1, ..., n} の相異なる元からなる k-組 (i1, ..., ik) 全体の成す集合としてよい。さらに言えば、反対称性により f の引数を並べ替えれば、右辺は
の形の項の線型結合に書けることがわかる。このように並べ替えた k-組の総数は二項係数 ( n k ) {\textstyle {\binom {n}{k}}} であり、k-重線型交代写像はそのような k-組における値で特徴づけられる。よって
定理 ― V が n 次元で k < n のとき、V から W への k-重線型交代写像全体の成すベクトル空間 A k ( V ; W ) {\displaystyle A_{k}(V;W)} は W ( n k ) {\textstyle W^{\binom {n}{k}}} に同型である。
より具体的に、上記の展開公式は行列式の概念を用いて書くことができる:
ここで、各係数はベクトル xi の族の基底 ej に関する表現行列の小行列式である。