ハウスドルフ次元
ハウスドルフ次元(ハウスドルフじげん、英: Hausdorff dimension)は、フェリックス・ハウスドルフが導入した非負実数値の次元である。フラクタルのような複雑な図形ないし集合の次元を表す道具として用いられる。ハウスドルフ測度を使って定義される次元で、ある集合のハウスドルフ次元は、その集合のハウスドルフ測度が ∞ から 0 へ移る不連続点から定義される。
ハウスドルフの後に、アブラム・ベシコビッチ(英語版)が研究を深めて更に明確化した。そのため、ハウスドルフ・ベシコビッチ次元(ハウスドルフ・ベシコビッチじげん、英: Hausdorff-Besicovitch dimension)とも呼ばれる。フラクタル幾何学や実解析で重要な役割を果たし、特にフラクタル幾何学では最重要概念の一つである。一般的に与えられた集合のハウスドルフ次元を決定するのは困難であるが、自己相似集合などの一部のクラスの集合では求め方が確立している。確定的な定義ではないが、ハウスドルフ次元が位相次元より大きな集合がフラクタルと定義づけられる。
. ∪ [ 3 k − 1 3 k , 1 ] {\displaystyle C_{k}=\left[0,{\frac {1}{3^{k}}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3^{k}}},{\frac {3}{3^{k}}}\right]\cup \ldots \cup \left[{\frac {3^{k}-1}{3^{k}}},1\right]}
であり、カントール集合を C と表すと
C = ⋂ k = 1 ∞ C k {\displaystyle C=\bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}}
と定義される。カントール集合はハウスドルフ次元を正確に決定できる少ない例のうちの一つである。
カントール集合のハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の場合、Ik を C に対する δ 被覆と考えれば、上からの評価が得られる。この被覆について s = log 2/log 3 と仮定すると、 H (C) ≤ 1 および dimH(C) ≤ s であることが得られる。また、少し技巧的な証明を要するが、任意の閉区間による被覆に対して H (C) ≥ 1 および dimH(C) ≥ s であることが得られる。したがって、dimH(C) = log 2/log 3 である。