アフィンリー代数
数学において、アフィン・リー環(英: affine Lie algebra)は、有限次元単純リー環から自然な方法で構成される無限次元のリー環である。アフィン・リー環は一般カルタン行列が半正定値で余階数が 1 のカッツ・ムーディ・リー環である。純粋数学的な視点からは、アフィン・リー環は面白い理由は、その表現論が、有限次元半単純リー環の表現論のように、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりもはるかによく理解されているからである。ヴィクトル・カッツによって発見されたように、アフィン・リー環の表現に対する指標公式から、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式が導かれる。
アフィンリー環はそのつくり方により弦理論や共形場理論において重要な役割を果たす。つくり方は、単純リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} からはじめて、円(閉弦と解釈される)上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 値関数からなる点ごとの交換子によるループ代数 L g {\displaystyle L{\mathfrak {g}}} を考える。
各アフィンリー環のディンキン図形は対応する単純リー環のそれと,虚ルートの追加に対応する追加の1つの頂点からなる.もちろん,勝手な場所に付け加えてよいわけではないが,各単純リー環に対して,リー環の外部自己同型群の濃度と同じだけ可能なつけ方がある.とくに,この群はつねに単位元を持ち,対応するアフィンリー環は untwisted アフィンリー環と呼ばれる.単純リー環が内部自己同型でない自己同型をもつとき,他のディンキン図形を得ることができ,これらは twisted アフィンリー環に対応する.