バーンサイドの補題
以下ではこの補題を使って立方体の面を3色で塗り分ける数を決定する。ただし回転させて一致するものは同一視する。
X をある特定の向きの立方体の面を塗り分ける3通りの彩色からなる集合とし、立方体の回転群 G (≅ S4) は自然に X に作用しているとする。このとき集合 X の2元が同じ軌道に属するのは一方がもう一方の回転であるとき、かつそのときに限る。したがって塗り分ける数は軌道の数と一致し、それは群 G の24元がそれぞれ固定する集合の大きさを数えることで計算できる。
3個の元(回転軸の通る2面と側面の2対面の彩色分)を固定する