進化的安定戦略
を満たす。すなわち行列ゲームの場合は複数回のゲームの平均利得 E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ,\cdot )} と個体群戦略 Π = ε δ σ + ( 1 − ε ) δ τ {\displaystyle \Pi =\varepsilon \delta _{\sigma }+(1-\varepsilon )\delta _{\tau }} で考えようが、一回の行列ゲームの利得 E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle E(\cdot ,\cdot )} と1個体の混合戦略 ε σ + ( 1 − ε ) τ {\displaystyle \varepsilon \sigma +(1-\varepsilon )\tau } で考えようが実質的な差はない。
しかし行列ゲーム以外のゲームではこのような単純な関係が成立するとは限らず、そもそも「2個体間の一回のゲームの利得」 E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle E(\cdot ,\cdot )} が定義できない場合もある(例えば、2個体間の闘争ではなくΠの全ての個体が闘争する場合)ので、本章で述べる一般的なフレームワークにおいて改めて進化的安定性の概念を定式化する必要がある。
であり、(Eq-R9)の左辺の分母が0である場合の解釈は前節と同様であるものとする。また離散レプリケーター方程式の利得は子供の数を示していたので、
E ( q , q ) , E ( q ^ , q ^ ) ≥ 0 {\displaystyle E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} ),~{\hat {E(\mathbf {q} }},{\hat {\mathbf {q} }})\geq 0}
が成立する事を仮定する。このとき、次が成立する:
定理R9 ― 行列Aによって定義される行列ゲームにおいて混合戦略 q ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}} が進化的安定であり、 q ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}} の q ≠ q ^ {\displaystyle \mathbf {q} \neq {\hat {\mathbf {q} }}} に対する侵入障壁 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} と初期値 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} とが
x ( 0 ) < ε 0 {\displaystyle x(0)<\varepsilon _{0}}
を満たせば、漸化式(Eq-R9)を満たす x ( t ) {\displaystyle x(t)} は t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } のとき0に収束する。
離散レプリケーター方程式と進化的安定性との関係を見るため、(Eq-R7)でm=2であるケースを考え、 x ( t ) = x 1 ( t ) {\displaystyle x(t)=x_{1}(t)} 、 q = q 1 {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} _{1}} 、 q ^ = q 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=\mathbf {q} _{2}} と略記すると、 x 2 ( t ) = 1 − x ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)=1-x(t)} なので
x ( t + 1 ) x ( t ) : 1 − x ( t + 1 ) 1 − x ( t ) = E ( q , q x ( t ) ) : E ( q ^ , q x ( t ) ) {\displaystyle {x(t+1) \over x(t)}~:~{1-x(t+1) \over 1-x(t)}=E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))~:~E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))} ...(Eq-R9)
である。ここでEは(Eq-R7)のように定義されており、
q x ( t ) = x ( t ) q + ( 1 − x ( t ) ) q ^ {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)=x(t)\mathbf {q} +(1-x(t)){\hat {\mathbf {q} }}} ...
..(Eq-RP3) ...
となる事である。 τ t {\displaystyle \tau _{t}} の定義より、(Eq-RP3)式の左辺は
( 1 − x ( t ) ) ( E ( q ^ , q x ( t ) ) − E ( q , q x ( t ) ) ) > 0 {\displaystyle (1-x(t))(E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))-E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)))>0}
に等しい。前述のように 0 ≤ x ( t ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x(t)\leq 1} で、 x ( t ) ≠ 1 {\displaystyle x(t)\neq 1} を仮定していたので、(Eq-RP3)が成立する必要十分条件は
E ( q ^ , q x ( t ) ) − E ( q , q x ( t ) ) > 0 {\displaystyle E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))-E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))>0}
となる事である。再び q x ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)} の定義より、上式が成り立つ必要十分条件は
本章では個体群ゲームというゲームを定義し、このゲームにおける進化的安定性の性質を述べる。
E ( σ ∗ , ( 1 − ε ) σ ∗ + ε σ ) > E ( σ , ( 1 − ε ) σ ∗ + ε σ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},(1-\varepsilon )\sigma _{*}+\varepsilon \sigma )>E(\sigma ,(1-\varepsilon )\sigma _{*}+\varepsilon \sigma )}
が成立する事を言う。
定義1のε0を侵入障壁という。定義1では侵入障壁ε0が混合戦略σに依存する事を許容するバージョンの定義を採用したが、ε0がσに依存しないバージョンの定義も存在し、これを一様な侵入障壁をもつ進化的安定性(ESS with uniform invasion barrier)と呼ぶ。一般には一様なもののほうがそうでないものより強い定義であり、純粋戦略が無限個あるゲームの場合には進化的安定であるにもかかわらず一様な侵入障壁をもつ進化的安定ではない混合戦略が存在する事が知られている。しかし定義1で考えているゲーム(=有限個の純粋戦略を持つ対象な戦略型ゲーム)の範囲では、両者の定義は同値である。
離散レプリケーター方程式を定式化するために、以下のような個体群を考える:
個体群の構成が世代1, 2, ...によって記述でき、各世代にはオーバーラップがない。すなわち世代tに生きた個体はt+1には全て死滅し、世代t+1は世代tに生まれた個体の子供のみから構成される。
個体群内の各個体は有限個の純粋戦略1, ..., nのいずれかを取り、混合戦略は取らない
この個体群は無性生殖によって子孫を残す
この個体群には突然変異が生じないもの
この個体群において世代tで(純粋)戦略iを取る個体の割合を p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} と表記すると、この個体群における戦略の分布
p ( t ) = ( p 1 ( t ) , ... , p n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)=(p_{1}(t),\ldots ,p_{n}(t))}
と記述できる。
この個体群で戦略iを取る各個体の利得を f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} と表記し、 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} に関して以下の仮定を置く:
この個体群で世代tにおいて戦略iを取る個体が残す事ができる子供の数は利得 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} に等しい
進化的安定性を定義する際には、全ての個体に対して同一の利得関数が適用される事が前提となる。したがって純粋戦略i を取る個体P が、純粋戦略 j を取る別の個体Qと戦った時、個体Qが得る利得を
E ′ ( i , j ) {\displaystyle E'(i,j)}
とすると、
E ′ ( i , j ) = E ( j , i ) {\displaystyle E'(i,j)=E(j,i)}
が任意のi、jに対して成立する事が要請される。利得関数がこのような性質を満たすゲームを対称なゲームという。
∂ ∂ ε h σ ∗ , σ ( 0 ) = E ( σ ∗ − σ , σ ∗ − σ ) {\displaystyle {\partial \over \partial \varepsilon }h_{\sigma _{*},\sigma }(0)=E(\sigma _{*}-\sigma ,\sigma _{*}-\sigma )}
である。定理G5の安定条件の仮定 E ( σ ∗ , δ σ ∗ ) = E ( σ , δ σ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma _{*},\delta _{\sigma _{*}})={\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\sigma _{*}})} が成り立つ条件下では
E ( σ ∗ − σ , σ ∗ − σ ) = E ( σ , σ ) − E ( σ ∗ , σ ) {\displaystyle E(\sigma _{*}-\sigma ,\sigma _{*}-\sigma )=E(\sigma ,\sigma )-E(\sigma _{*},\sigma )}
であるので、定理G5の安定条件は定理3のそれと一致する。すなわち定理G5は、 E ( σ ∗ − σ , σ ∗ − σ ) ≠ 0 {\displaystyle E(\sigma _{*}-\sigma ,\sigma _{*}-\sigma )\neq 0} を要求する事以外は定理3と一致している。
進化的安定性を定義するためのゲーム(進化ゲーム)は以下のようなものである。なお、このゲームはゲーム理論の言葉で言えば「対象な2人戦略型ゲーム」に相当する。
進化的安定性を定義するための進化ゲームでは、対戦する2個体A、Bが選択肢として取りうる純粋戦略1、2、...、および利得関数Eが「ゲームのルール」として事前に定まっている。そしてA、Bは以下の手順でゲームを行なう:
A、Bはそれぞれ、与えられた選択肢の中から1つの純粋戦略i、jを秘密裏に選ぶ
A、Bはi、jを同時に公表する
A、Bはそれぞれ利得 E ( i , j ) {\displaystyle E(i,j)} 、 E ( j , i ) {\displaystyle E(j,i)} を得る。
A、Bの目的は、自身の利得を最大化する事である。
前節でも述べたように、進化的安定性の文脈では全ての個体に対して同一の利得関数が適用される事が前提とされるため、上述したゲームにおいてA、Bが得られる利得はそれぞれ E ( i , j ) {\displaystyle E(i,j)} 、 E ( j , i ) {\displaystyle E(j,i)} と対称な形になっている。
上述した進化ゲームは、ゲームに参加する2個体A、B取りうる純粋戦略をそれぞれ行、列としてA、Bの利得を行列の形にまとめた利得表により特徴づけられる。
4に関しては、個体vs.個体だけでなく個体vs.個体群(population)の闘争を考える事で一般化を図る。個体群に属する個体数が有限である場合には数学的解析が難しくなるので、以下本説では個体数が無限であるものと仮定する。より厳密に言うと、戦略空間Xに属する戦略σを取る個体の割合を[0,1]区間に属する実数として定義できるものと仮定する。現実には無限の個体を含む個体群は存在しないが、個体群に属する個体が十分大きい場合には、近似的にこのような仮定を置いて議論を進める事ができる。
個体群の各々の個体は戦略空間Xに属するいずれかの戦略を取る。個体群Πにおいて、「戦略σ1,...σm∈Xを(確率1で)取る個体の割合がそれぞれε1,...εmである」という状態を
ε 1 δ σ 1 + ⋯ + ε 1 δ σ m {\displaystyle \varepsilon _{1}\delta _{\sigma _{1}}+\cdots +\varepsilon _{1}\delta _{\sigma _{m}}}
もしくは
∑ i = 1 m ε i δ σ i {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}}
と表記し、これをΠの個体群戦略(population strategy)と呼ぶ。個体群戦略と区別するため、個々の個体の戦略の事を強調して個体戦略(player strategy)と呼ぶ。
x ( t ) − x ( t + 1 ) = E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) − E ( q , q x ( t ) ) E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) ⋅ x ( t ) {\displaystyle x(t)-x(t+1)={E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))-E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)) \over E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))}\cdot x(t)} ...(Eq-RP2)
を得る。(Eq-RP2)の分母は
E ( q x ( t ) , q x ( t ) ) = x ( t ) 2 E ( q , q ) + x ( t ) ( 1 − x ( t ) ) E ( q , q ^ ) + x ( t ) ( 1 − x ( t ) ) E ( q ^ , q ) + ( 1 − x ( t ) ) 2 E ( q ^ , q ^ ) ≥ 0 {\displaystyle E(\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t),\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))=x(t)^{2}E(\mathbf {q} ,\mathbf {q} )+x(t)(1-x(t))E(\mathbf {q} ,{\hat {\mathbf {q} }})+x(t)(1-x(t))E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )+(1-x(t))^{2}E({\hat {\mathbf {q} }},{\hat {\mathbf {q} }})\geq 0}
連続レプリケーター方程式の「純粋戦略版」である(Eq-R2)から「混合戦略版」の(Eq-R3)を導いたのと同様の方法で、離散レプリケーター方程式の「混合戦略版」を「純粋戦略版」である(Eq-R5)から導くことができる。
すなわち、有限個の混合戦略 q 1 , ... , q m ∈ Δ n {\displaystyle \mathbf {q} _{1},\ldots ,\mathbf {q} _{m}\in \Delta _{n}} を取る個体が世代tにおいてそれぞれ割合 x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) {\displaystyle x_{1}(t),\ldots ,x_{m}(t)} だけ存在する個体群を考え、 x ( t ) = ( x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) ) T {\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{m}(t))^{T}} とするとき、混合戦略 q i {\displaystyle \mathbf {q} _{i}} を取る個体の利得の期待値 f i ( x ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} (t))} は平均混合戦略
q x ( t ) = ∑ j = 1 m x j ( t ) q j {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t)=\textstyle \sum _{j=1}^{m}x_{j}(t)\mathbf {q} _{j}} .