アインシュタイン多様体
アインシュタイン多様体の例を挙げる。
定数断面曲率(英語版)(constant sectional curvature)を持つ任意の多様体は、アインシュタイン多様体である。特に、 ユークリッド空間、この空間は平坦で、リッチ平坦な単純な例である。よってアインシュタイン計量である。 n-球面、S、周囲の計量が k = n − 1 のアインシュタイン計量である。 双曲空間(英語版)(Hyperbolic space)、標準的な計量はアインシュタイン計量で負の値の k をもつ。
複素射影空間、フビニ・スタディ計量をもつ CP.
カラビ・ヤウ多様体は、アインシュタイン定数 k = 0 を持つケーラー多様体でもあり、アインシュタイン計量を持つ。そのような計量は、一意ではないが、族をなす。カラビ・ヤウ計量はすべてのケーラークラスに存在し、複素構造の選択に依存しない。たとえば、K3曲面上のそのような計量は 60個のパラメータを持つ族で、等長や利スケールにより関連付けられないアインシュタイン計量は 57個のパラメータの族である。
閉じた向き付け可能な 4次元多様体がアインシュタイン多様体である必要条件は、ヒッチン・ソープ不等式(英語版)(Hitchin–Thorpe inequality)を満たすことである。