スペクトル分解 (関数解析学)
ある σ-有限測度空間 (S, Σ, μ) が与えられたとき、バナッハ空間L(μ)を考える。ある関数 h: S → C が本質的に有界であるとは、h が μ に関してほとんど至る所で有界であることを言う。本質的に有界な h は、L(μ) 上の次の有界な乗算作用素 Th を導く:
( T h f ) ( s ) = h ( s ) ⋅ f ( s ) . {\displaystyle (T_{h}f)(s)=h(s)\cdot f(s).}
T の作用素ノルムは h の本質的上限である。h の本質的値域は、次の方法で定義される:ある複素数 λ が h の本質的値域に含まれるとは、すべての ε > 0 に対して開球 Bε(λ) の h の下での原像が、厳密に正の測度を持つときを言う。はじめに σ(Th) が h の本質的値域に一致することを示し、その後その様々な部分について調べる。
λ が h の本質的値域に含まれないなら、h(Bε(λ)) が測度ゼロを持つように ε > 0 を選ぶことが出来る。このとき函数 g(s) = 1/(h(s) − λ) はほとんど至る所で 1/ε によって評価されている。このとき乗算作用素 Tg は Tg · Th − λ = Th − λ · Tg = I を満たす。したがって、λ は Th のスペクトルには含まれない。