アフィン接続
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幾何学的には、アフィン標構は、γ(t) から γ(t + δt) への曲線 C に沿って移動変化であり、次により(近似的、あるいは無限小として)与えられる。
p ( γ ( t + δ t ) ) − p ( γ ( t ) ) = ( θ 1 ( γ ′ ( t ) ) e 1 + ⋯ + θ n ( γ ′ ( t ) ) e n ) δ t , e i ( γ ( t + δ t ) ) − e i ( γ ( t ) ) = ( ω i 1 ( γ ′ ( t ) ) e 1 + ⋯ + ω i n ( γ ′ ( t ) ) e n ) δ t . {\displaystyle {\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&={\bigl (}\theta ^{1}(\gamma '(t)){\mathbf {e}}_{1}+\cdots +\theta ^{n}(\gamma '(t)){\mathbf {e}}_{n}{\bigr )}\mathrm {\delta } t,\\{\mathbf {e}}_{i}(\gamma (t+\delta t))-{\mathbf {e}}_{i}(\gamma (t))&={\bigl (}\omega _{i}^{1}(\gamma '(t)){\mathbf {e}}_{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}(\gamma '(t)){\mathbf {e}}_{n}{\bigr )}\delta t.\end{aligned}}}
非公式には、アフィン空間は、原点を固定された選択を持たないベクトル空間である。アフィン空間は、空間の中の点とベクトルの幾何学である。原点を失った結果、ベクトルを加えるという平行移動を形成する原点の選択を要求すると、アフィン空間の中の点は互いにベクトルを加えることができない。しかし、ベクトル v は点 p でのベクトルの起点を置き換えること、従って、p を終点へ移動することにより点 p へ加えることができる。このようにして、p → p+v により記述される操作は、v に沿った p の移動である。テクニカルな用語では、アフィン n-次元空間は、ベクトル群 R の自由推移的作用を持つ集合 A である。この点の移動の操作を通して、A はベクトル群 R の主等質空間(英語版)となる。
一般線型群 GL(n) は R の変換群であり、T(av+bw) = aT(v) + bT(w) という意味で R の線型構造を保存する。
アフィン接続へのアプローチとその一般化は様々であり、複雑な歴史をもっている。
最も一般的なアプローチは、おそらく、共変微分による定義であろう。一方、ワイルの考え方は、ゲージ理論やゲージ共変微分(英語版)という形であり、物理学者により採用されている。他方、共変微分はジャン・ルイ・コシュル(英語版)(Jean-Louis Koszul)により抽象化され、彼はベクトル束上の(線型、あるいはKoszul)接続を定義した。この言葉を使うと、アフィン接続は単に接束上の共変微分、あるいは、(線型)接続である。
しかしながら、このアプローチは、背後にある幾何学や、その名前の由来を説明しない この用語は実際は、変換によりユークリッド空間での接空間の同一視に起源をもっている。この性質は、n-次元ユークリッド空間はアフィン空間でもあることに起源がある。(言い換えると、ユークリッド空間は、群の作用の下に主等質空間(英語版)である、あるいは、テンソルであると言える。)導入部でも述べたように、この詳細を記述するためのいくつかの方法がある。アフィン接続は、曲線に沿ったベクトル場の平行移動であるという事実を使う。このことは標構バンドル(英語版)の平行移動を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、カルタン接続として、あるいは標構バンドルの主アフィン接続の GL(n) 接続として、アフィン群 Aff(n) の別な表現でもある。