指数積分
複素関数 Ein(z) を次のように定める。
Ein  ( z ) = ∫ 0 z 1 − e − t t d t {\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}
これは複素平面全体で正則となり、
Ein  ( z ) − E 1 ( z ) − log  z = ∫ 0 z 1 − e − t t d t − ∫ z ∞ e − t t d t − ∫ 1 z 1 t d  t = ∫ 0 1 1 − e − t t d t − ∫ 1 ∞ e − t t d t = − ∫ 0 ∞ ( log  t ) e − t d t = γ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ein} (z)-E_{1}(z)-\log z&=\int _{0}^{z}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{1}^{z}{\frac {1}{t}}\,\operatorname {d} t\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\\&=-\int _{0}^{\infty }(\log t)e^{-t}\,\operatorname {d} \!t\\&=\gamma \end{aligned}}}