シュタイナー・レームスの定理
( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) ) 2 − b 2 c 2 + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( ( a + b ) ( a + c ) − b c ) + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( a 2 + a ( b + c ) + b c − b c ) + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( a 2 + a ( b + c ) ) + b c ( a + b + c ) 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2}\\&=((a+b)(a+c))^{2}-b^{2}c^{2}+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)((a+b)(a+c)-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c)+bc-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c))+bc(a+b+c)^{2}\\&\neq 0\end{aligned}}}
である。これは示されるべきことであった。