群 (数学)
集合 {1, 2, ..., n} の上の置換(全単射)全体は、写像の合成を二項演算とし、単位元を恒等写像、逆元を逆写像とすることで群になる。この群を n 次の対称群といい、Sn と表記する。
整数、有理数、実数、複素数は全て加法に関してアーベル群を成す。
また有理数、実数、複素数から 0 を除いたものは乗法に関してアーベル群を成す.
四元数から 0 を除いたものは乗法に関して非可換群を成す。群を成す超複素数系は四元数までであり、結合法則を満たさない八元数は群を成さない。
(実数係数の)n 次正則行列全体の集合はどの行列も逆行列を持つから群になる。この群のことを GLn(R) と表し、n 次の実一般線型群と呼ぶ。さらに行列式が 1 であるという条件を課したものも群を成す。この群を SLn(R) と書き、n 次の実特殊線型群と呼ぶ。
n 次直交行列全体も群を成す。この群を On と書き、直交群と呼ぶ。これは、n 次元ユークリッド空間において、長さを変えないような変換全体の成す群である。直交行列の行列式は ±1 である。行列式が 1 であるような直交行列全体からなる群を SOn と書き、特殊直交群と呼ぶ。
複素数係数の行列に対しても同様な群が定義できる;その時、直交行列の類似物としてユニタリ行列を考える。
群 G のすべての元と可換な G の元の全体を Z(G) や C(G) などと書いて、G の中心という。群 G とその部分集合 S に対し、G の部分集合
C G ( S ) = { g ∈ G ∣ s g = g s ( ∀ s ∈ S ) } {\displaystyle C_{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs\ (\forall s\in S)\}}
は S をその中心に含む G の部分群となる。この群 CG(S) を S の G における中心化群という。S が一元集合 {x} であるとき、CG({x}) を CG(x) と略記する。G の各元 x に対して、その中心化群 CG(x) の G に対する指数 [G : CG(x)] は x の属する共役類の位数に等しい。
群 G の部分集合 S に対して、G の部分集合
N G ( S ) = { g ∈ G ∣ g S g − 1 = S } {\displaystyle N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}}
は(S が部分群でなくとも)G の部分群となる。この NG(S) を S の G における正規化群と呼ぶ。H が群 G の部分群であるときは、その正規化群 NG(H) は H を含む。また H は正規化群 NG(H) の正規部分群である。これを、NG(H) は H を正規化 (normalize) するといい表す。一般に G のふたつの部分群 H1, H2 に対し、H1 が H2 を正規化するとは、
h H 2 h − 1 = H 2 {\displaystyle hH_{2}h^{-1}=H_{2}}
が H1 のどの h についても成立することを言う。