勾配 (ベクトル解析)
f と g が実数値関数で点 a ∈ R において微分可能ならば、それらの積 (fg)(x) = f(x)g(x) は a において微分可能で、∇(fg)(a) = f(a)∇g(a) + g(a)∇f(a) なる積の法則を満たす。
である。ただし、ei はこの座標系の目地を描く直交単位ベクトルである。 関数が例えば時間のようなパラメータにも依存する場合、その勾配とは単に空間成分の微分のみからなるベクトルを指すことも多い。
三次元デカルト座標系においてこれは、i, j, k を基本単位ベクトルとして
∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }
と書ける。例えば関数 f (x, y, z) = 2x + 3y − sin(z) の勾配は ∇f = 2i + 6yj − cos(z)k となる。
応用に際して、勾配をその直交座標系に関する成分の成す行ベクトルもしくは列ベクトルとして表示することもある。