コホモロジー
を得る。するとG に係数をもつ n 次コホモロジー群 (the n cohomology group with coefficients in G) が Ker(δ)/Im(δ) で定義され、H(C; G) と表記される。C*n の元は G に係数をもつ特異 n-コチェイン (singular n-cochain) と呼ばれ、δ はコバウンダリ作用素 (coboundary operator) と呼ばれる。Ker(δ), Im(δ) の元はそれぞれ コサイクル (cocycle)、コバウンダリ (coboundary) と呼ばれる。
上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体のみならず一般のチェイン複体に対しても適用することができることに注意しよう。一般コホモロジー群の研究はホモロジー代数学の発達の主要なモチベーションであった。そして、広く様々な設定における応用がそれ以来見つかってきた(下記参照)。
C*n-1 の元 φ が与えられると、転置の性質から C*n の元として δ n ( φ ) = φ ∘ ∂ n {\displaystyle \delta ^{n}(\varphi )=\varphi \circ \partial _{n}} であることが従う。