協力ゲーム
単純ゲーム W {\displaystyle W} が「弱い」とは、拒否権プレイヤーが存在することである。すなわち、すべての勝利提携のインターセクション ⋂ W := ⋂ S ∈ W S {\displaystyle \bigcap W:=\bigcap _{S\in W}S} が非空となることである。 単純ゲームにおける「独裁者」とは、そのプレイヤーをふくむ任意の提携が勝利提携となるような拒否権プレイヤーのことである。独裁者が敗北提携に属することはない。
単純ゲーム W {\displaystyle W} の「キャリア」とは、集合 T ⊆ N {\displaystyle T\subseteq N} で、任意の提携 S {\displaystyle S} について、 S ∈ W {\displaystyle S\in W} と S ∩ T ∈ W {\displaystyle S\cap T\in W} とが同値となるものである。キャリアに属さないプレイヤーは無視される。単純ゲームが有限のキャリアを持つとき、(たとえ N {\displaystyle N} が無限でも) その単純ゲームが「有限である」ということもある。
単純ゲームの「中村ナンバー」とは、共通部分が空集合になるような勝利提携の最少数のことである。
協力ゲームは提携に対する報酬を記述する。 プレイヤーは提携に参加した方がしない場合より得をする場合に限り提携に参加する。 したがって、どんな提携が実際に組まれるかを見出すには、異なる提携間の相対的な力関係および各提携内の異なるプレイヤーの強さを評価する必要がある。 報酬を各プレイヤーにどう分配するのかを考えるのが協力ゲームの重要な目的であり、この目的のためにさまざまな解概念が提示されている。
協力ゲームにおいて中心となる仮定は、全体提携 N が形成されるということである。 ここで公平な方法でプレイヤー達に全体提携で得られた v(N) を分配するよう取り組まなくてはならない。 (例え個人の提携や小規模な提携を形成しても、その形成された提携から部分ゲームを求めれば 解の概念を部分ゲームに適用できるので、この仮定は限定的なものではない。)
解の概念は、それぞれのプレイヤー得られる配分を示す x ∈ R N {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}} というベクトルによって与えられる。 様々な公平性の基準によって、複数種の解の概念が提案されている。
安定集合は存在する場合もしない場合もあり、(Lucas 1969) 存在しても典型的には一意ではない。(Lucas 1992). 安定集合を見出すのは普通は難しい。
この事実とその他の困難から、他に多数の解の概念が発展した。
協力ゲームの positive fraction はコアからなる一意な安定集合をもつ。(Owen 1995, p. 240.).
協力ゲームの positive fraction は n − 2 {\displaystyle n-2} 人のプレイヤーを区別する安定集合をもつ。このような安定集合は少くとも n − 3 {\displaystyle n-3} の被差別プレイヤーを排除する。 (Owen 1995, p. 240.)
「単純ゲーム」(シンプルゲーム; 投票ゲーム) とは 1 または 0 の利得 (値) だけを取る協力ゲームであり、利得が 1 となる提携を「勝利提携 (勝ち提携)」、利得が 0 となる提携を「敗北提携 (負け提携)」とよぶ。通常は単純ゲームは提携のあつまり W {\displaystyle W} として定義し、このばあいは W {\displaystyle W} に属する提携を勝利提携,属さないものを敗北提携とみなす。単純ゲームが非空であること、空集合をふくまないことを仮定することも多い。
単純ゲーム W {\displaystyle W} が「単調である」とは、勝利提携をふくむ提携がかならず勝利提携になることをいう。すなわち S ∈ W {\displaystyle S\in W} かつ S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} ならば T ∈ W {\displaystyle T\in W} となることをいう。
単純ゲーム W {\displaystyle W} が「プロパーである」とは、勝利提携の補集合(補提携)がかならず敗北提携になることをいう。 すなわち S ∈ W {\displaystyle S\in W} ならば N ∖ S ∉ W {\displaystyle N\setminus S\notin W} となることをいう。