複素幾何学
コンパクトと非コンパクトの双方の複素多様体に対し、消滅定理のいくつかのバージョンがある。しかし、全てボホナーの方法(英語版)(Bochner method)をベースとしている。
{\displaystyle c_{i}(E)=0\ .}
E 1 {\displaystyle E_{1}} を C P 1 {\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}} 上の標準バンドルとすると、 − c 1 ( E 1 ) {\displaystyle -c_{1}(E_{1})} は H 2 ( C P 1 , Z ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1},\mathbb {Z} )} を生成する。
L をラインバンドルとすると、L のチャーン指標は、
ch  ( L ) = e c 1 ( L ) {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=e^{c_{1}(L)}}
で与えられる。さらに一般的には、E をランク r のベクトルバンドルとすると、形式的な分解 ∑ c i ( E ) t i = ∏ 1 r ( 1 + η i t ) {\displaystyle \sum c_{i}(E)t^{i}=\prod _{1}^{r}(1+\eta _{i}t)} 得て、
ch  ( E ) = ∑ e η i {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum e^{\eta _{i}}}
とおくことができる。