篩法
The fundamental lemma of sieve theory;(大雑把に言えば)N 個の数の集合をふるう時、 ε {\displaystyle \epsilon } を十分小として、 N ε {\displaystyle N^{\epsilon }} の反復により篩に残った元を正確に評価できることを述べたもの。この補題は素数をふるい出す際に必要な N 1 / 2 {\displaystyle N^{1/2}} の反復と比べても、かなり劣ってはいるが、それでも概素数に関する結果を導くには十分用いることができる。
The Friedlander–Iwaniec theorem; a 2 + b 4 {\displaystyle a^{2}+b^{4}} の形に表せる素数が無限に存在することを述べた定理。
上のような問題において、篩法はほとんど唯一の攻略法として非常に強力なものとなっているが、parity problem として知られている障害により本質的に有効範囲が制限されていると考えられている。これは篩が、ある数の、素因数を偶数個持つか奇数個持つかを判別するのに重大な困難があるという内容であるが、いまだ解明されてはいない。
篩法は比較的初等的であり、代数的や解析的整数論のような難しい概念がない。篩法はその発展に伴いさらに複雑かつ微妙になり(特に、他理論の方法と組み合わされた場合)、専門書も出版されている。古典的な文献は Halberstam と Richert (1974) によるもの。
上記の篩法は、素因数分解における二次篩法(quadratic sieve)や一般数体篩法といった篩法とはあまり関係がない。これらの方法はエラトステネスの篩のアイデアは用いているが、効率的に素因数分解を行うことを目的としている。