3乗剰余の相互法則
π {\displaystyle \pi } と θ {\displaystyle \theta } が同伴ならば ( α π ) 3 = ( α θ ) 3 {\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}}
合同式 x 3 ≡ α mod π {\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}} に Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} での解があり、かつそのときに限り ( α π ) 3 = 1. {\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.}
a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } が以下の性質を満たすとする。 gcd ( a , b ) = gcd ( b , 3 ) = 1 , {\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,} このとき ( a b ) 3 = 1. {\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.
ω {\displaystyle \omega } を以下のように定める。
ω = − 1 + i 3 2 = e 2 π i 3 , ω 3 = 1. {\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.}
そして、アイゼンシュタイン整数環を考えるものとする:
Z [ ω ] = { a + b ω : a , b ∈ Z } . {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.}
これは、次の式で与えられるノルムを持つユークリッド環である。
N ( a + b ω ) = a 2 − a b + b 2 . {\displaystyle N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}
ノルムは常に0または1(mod 3)に合同であることに注意すること。
Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} の単数群 (可逆元の集合)は、1の6乗根の巡回群となる。
{ ± 1 , ± ω , ± ω 2 } . {\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.}
フェルマーの定理によれば、p ≡ 1 (mod 3) を満たす全ての素数 p は(a と b の符号を除き)p = a + 3b の形に一意的に書ける ことが知られている。ここで m = a + b かつ n = a − b とおけば、これは p = m − mn + n とも書き表せる。したがって、
4 p = ( 2 m − n ) 2 + 3 n 2 = ( 2 n − m ) 2 + 3 m 2 = ( m + n ) 2 + 3 ( m − n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}}
が成り立つことから、少しの計算によって m、n、m − n のうちの丁度1つが3の倍数であることが示される。これにより、(L と M の符号を除いて)一意的に
p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2})}
の形で p を表すことができる。 互いに素な整数 m とn に対し、rational cubic residue symbol [ m ⁄ n ]3 を次のように定義する。