順序集合
x が A の最小元 (minimum element) であるとは、x は A の元であり、かつ x は A の下界であること。これは存在すれば一意的に決まり、min A で表される。
x が A の極小元 (minimal element) であるとは、x は A の元であり、かつ y < x を満たす y ∈ A が存在しないこと。
上界および上限の定義において、 x が必ずしも A の元であるとは限らない、ことには注意が必要である。左閉右開の半開区間 [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} には最大元は存在しないが上界および上限は存在する(つまり、 b)。
極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず x が A の極大元であるとは、A の元は「x 以下である」か、もしくは「x とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 x が A の最大元であるとは A の元は常に x 以下である事を意味する(このとき x は A の任意の元と比較が可能である)。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない(下の具体例参照)。全順序集合においては必ず極大元は最大元に一致する。
さらに A が P の上方集合(英語版)(resp. 下方集合)であるとは、任意の a ∈ A と x > a (resp. x < a) を満たす任意の P の元に対しx ∈ A となることをいう。
順序集合 P 上の以下の2つの位相は同一である事が簡単に示せる。以下のいずれか一方(したがって両方)の条件を満たす位相を上方位相(英語版)という。
{x ∈ P | x ≤ a} for a ∈ P を全て閉集合とする最弱の位相
任意のa ∈ P に対し、一点集合{a} の閉包が{x ∈ P | x ≤ a} と一致する最弱の位相
下方位相も同様にして定義できる。
について、例えば {1, 2} と {2, 3} を考えれば、これらは比較不能であり({1, 2} ≤ {2, 3} でも {2, 3} ≤ {1, 2} でもない)、全順序ではない。
線形空間の部分空間全体は包含関係で順序付けられた半順序集合である。
半順序集合 P に対し、P の元の(自然数で添え字付けられた)列全体の成す集合は、列 a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N に対し、 a ≤ b ⟺ a n ≤ b n ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle a\leq b\iff a_{n}\leq b_{n}\;(\forall n\in \mathbb {N} )} と定めると半順序集合となる。
集合 X と半順序集合 P に対し、X から P への写像全体の成す写像空間(英語版)は、2つの写像 f, g に対して、f ≤ g を X の任意の元 x に対して f(x) ≤ g(x) となることとして定義すると、半順序集合になる。
有向非巡回グラフの頂点集合は、到達不可能性によって順序付けられる。
半順序集合における順序関係の向きが a < b > c < d ... というように交互に入れ替わる列をフェンス(英語版)と呼ぶ。