エラトステネスの篩
S ( A , P ) = ∑ d ∣ P ( z ) μ ( d ) | A d | {\displaystyle S(A,P)=\sum _{d\mid P(z)}\!\mu (d)\left|A_{d\,}\right|}
と表すことができる。ここで A d {\displaystyle A_{d}} は A の元で d で割り切れるもの全体の集合を表す。この定式化はルジャンドルの篩ともよばれる。
再び先の素数の個数の評価について述べれば、 z ≤ n {\displaystyle z\leq {\sqrt {n}}} のとき、不等式
π ( n ) − π ( z ) + 1 ≤ ∑ d ∣ P ( z ) μ ( d ) [ n d ] {\displaystyle \pi (n)-\pi (z)+1\leq \sum _{d\mid P(z)}\!\mu (d)\left[{\frac {\,n\,}{d}}\right]}
が成り立つから、不等式 | [ n d ] − n d | ≤ 1 {\displaystyle \left|\left[{\frac {\,n\,}{d}}\right]-{\frac {\,n\,}{d}}\right|\leq 1} を用いて