ヤコビ法
{ b p p = a p p cos 2  θ + a q q sin 2  θ − 2 a p q sin  θ cos  θ , b q q = a p p sin 2  θ + a q q cos 2  θ + 2 a p q sin  θ cos  θ , b p q = b q p = 1 2 ( a p p − a q q ) sin  2 θ + a p q cos  2 θ , b i j = a i j , b p j = a p j cos  θ − a q j sin  θ , b q j = a p j sin  θ + a q j cos  θ , b i p = a i p cos  θ − a i q sin  θ , b i q = a i p sin  θ + a i q cos  θ {\displaystyle {\begin{cases}b_{pp}=a_{pp}\cos ^{2}\theta +a_{qq}\sin ^{2}\theta -2a_{pq}\sin \theta \cos \theta ,\\b_{qq}=a_{pp}\sin ^{2}\theta +a_{qq}\cos ^{2}\theta +2a_{pq}\sin \theta \cos \theta ,\\b_{pq}=b_{qp}={\frac {1}{2}}(a_{pp}-a_{qq})\sin 2\theta +a_{pq}\cos 2\theta ,\\b_{ij}=a_{ij},\\b_{pj}=a_{pj}\cos \theta -a_{qj}\sin \theta ,\\b_{qj}=a_{pj}\sin \theta +a_{qj}\cos \theta ,\\b_{ip}=a_{ip}\cos \theta -a_{iq}\sin \theta ,\\b_{iq}=a_{ip}\sin \theta +a_{iq}\cos \theta \end{cases}}}
この式は以下のように変形できる。
もし、解が収束した場合、その場合は x 1 ( k + 1 ) {\displaystyle x_{1}^{(k+1)}} と x 1 ( k ) {\displaystyle x_{1}^{(k)}} は共通の値 x 1 ( ∗ ) {\displaystyle x_{1}^{(*)}} を持つことになる。このとき、
となり、変形していくと元の連立方程式の形に戻る。 したがって、ヤコビ法で解が収束した場合、その解は連立方程式の解となる。 また、その収束の十分条件は、係数行列の対角要素の絶対値が非対角要素の絶対値よりも相対的に大きい場合、すなわち対角優位な行列である場合に収束する。これはガウス=ザイデル法も同様である。
ヤコビ法の式はベクトル x → {\displaystyle {\vec {x}}} の各成分ごとに次のような式で書くことができ、数値解析ではこの式が用いられる。
ガウス=ザイデル法とヤコビ法を加速する方法としてはSOR法が知られている。