レヴィ・チヴィタ接続
また、 c ( t 0 ) {\displaystyle c(t_{0})} 上の接ベクトル w 0 ∈ T c ( t 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(t_{0})}M} と c ( t 1 ) {\displaystyle c(t_{1})} 上の接ベクトル w 1 ∈ T c ( t 1 ) M {\displaystyle w_{1}\in T_{c(t_{1})}M} に対し、 v ( t 0 ) = w 0 {\displaystyle v(t_{0})=w_{0}} 、 v ( t 1 ) = w 1 {\displaystyle v(t_{1})=w_{1}} を満たす c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上の平行なベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が存在するとき、 w 1 {\displaystyle w_{1}} は w 0 {\displaystyle w_{0}} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動(英: parallel transportation along c ( t ) {\displaystyle c(t)} )した接ベクトルであるという。
ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー(英語版)(英: holonomy)という。
右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。
であるので、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺は
∂ L ∂ v l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) = ∂ ∂ v l g ( x ̇ , x ̇ ) = 1 g ( x ̇ , x ̇ ) g i l x ̇ i = g i l d x i d s {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={\frac {\partial }{\partial v_{\ell }}}{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}={1 \over {\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}g_{i\ell }{\dot {x}}^{i}=g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}}
より、
d d t ∂ L ∂ v l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) = d s d t d d s ( g i l d x i d s ) = d s d t ( ∂ g i l ∂ x j d x i d s d x j d s + g i l d 2 x i d s 2 ) {\displaystyle {d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={ds \over dt}{d \over ds}\left(g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}\right)={ds \over dt}\left({\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}\right)}
R i c P ( v , w ) := ∑ i g P ( R P ( e i , v ) w , e i ) {\displaystyle \mathrm {Ric} _{P}(v,w):=\sum _{i}g_{P}(R_{P}(e_{i},v)w,e_{i})} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関するリッチ曲率(英: Ricci curvature)という。
S P := ∑ i , j g P ( R P ( e i , e j ) e j , e i ) {\displaystyle S_{P}:=\sum _{i,j}g_{P}(R_{P}(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i})} = ∑ j R i c P ( e j , e j ) {\displaystyle =\sum _{j}\mathrm {Ric} _{P}(e_{j},e_{j})} を点Pにおけるスカラー曲率(英: scalar curvature)という。
なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ 1 n − 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}}} 倍、 1 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n(n-1)}}} 倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。
定理 ― gを多様体M上定義された(正定値でも非退化でもないかもしれない)二次形式の可微分な場とするとき、 L ̄ ( x , v ) := g x ( v , v ) {\displaystyle {\bar {L}}(x,v):=g_{x}(v,v)} の停留曲線は L ̄ {\displaystyle {\bar {L}}} に関するオイラー・ラグランジュ方程式
d d t ( ∂ L ̄ ∂ v l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) ) = ∂ L ̄ ∂ x l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)} for j = 1 , ... , m {\displaystyle j=1,\ldots ,m}
を満たす。
定理 ― 上の定理と同じ条件下、gに対するレヴィ-チヴィタ接続を ∇ {\displaystyle \nabla } とすると、 L ̄ {\displaystyle {\bar {L}}} に関するオイラー・ラグランジュ方程式は変数tに関する測地線方程式
∇ d t d P d t = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}{dP \over dt}=0}
に一致する。
この事実は擬リーマン多様体を基礎に置く一般相対性理論では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。
定理 ― R i j k l := g ( R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x i ) {\displaystyle R_{ijk\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})} とすると、以下が成立する:
R i j k l = 1 2 ( ∂ ∂ x i ∂ ∂ x k g j l + ∂ ∂ x j ∂ ∂ x l g i k − ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k g i l − ∂ ∂ x i ∂ ∂ x l g j k ) {\displaystyle R_{ijk\ell }={1 \over 2}{\Big (}{\partial \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{k}}g_{j\ell }+{\partial \over \partial x^{j}}{\partial \over \partial x^{\ell }}g_{ik}-{\partial \over \partial x^{j}}{\partial \over \partial x^{k}}g_{i\ell }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{\ell }}g_{jk}{\Big )}} = 1 2 ∂ 2 ∧ ◯ g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) {\displaystyle ={1 \over 2}\partial ^{2}{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})}
αが1-形式の場合は2つのラプラシアンは以下の関係(ヴァイツェンベック・ボホナーの公式、英: Weitzenböck–Bochner formula)を満たす:
Δ H α − Δ B α = R i c ( α ) {\displaystyle \Delta ^{H}\alpha -\Delta ^{B}\alpha =\mathrm {Ric} (\alpha )}
ここで R i c ( α ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (\alpha )} はリッチ曲率 R i c ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)} を使って
R i c ( α ) ( X ) = R i c ( X , α ♯ ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (\alpha )(X)=\mathrm {Ric} (X,\alpha ^{\sharp })}
により定義される1-形式であり、「 ♯ {\displaystyle \sharp } 」は計量gによるTMとTMの同型写像である。
P r c ( 0 ) ( d d t v → ( t ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) + v k ( t ) d x j ( t ) d t P r t = 0 ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)} ...(A)
が成立する。よって後は P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\tfrac {\partial ^{2}{\vec {y}}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t))\right)} の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で
を満たす線形写像ρのトレースに一致する。
よって特にリッチ曲率、スカラー曲率の定義は基底 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} の取り方によらない。
実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける:
定理 ― ( V , g ) {\displaystyle (V,g)} を計量ベクトル空間とし、
R , R ′ : V 3 → V {\displaystyle R,R'~:~V^{3}\to V}
を各成分に対して線形な2つの写像とする。このとき、線形独立な任意のベクトル v , w {\displaystyle v,w} に対し、
g ( R ( v , w , w ) , v ) g ( v , v ) g ( w , w ) − g ( v , w ) 2 = g ( R ′ ( v , w , w ) , v ) g ( v , v ) g ( w , w ) − g ( v , w ) 2 {\displaystyle {g(R(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}={g(R'(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}}
であれば、RとR'は同一の写像である。
点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を原点とする正規座標 ( x 1 , . . . , x m ) {\displaystyle (x^{1},...,x^{m})} を使うと曲率は以下のように特徴づけられる:
定理 ― : g k l = δ k l + 1 3 R j k l i x i x j + O ( | x | 3 ) {\displaystyle g_{k\ell }=\delta _{k\ell }+{1 \over 3}R_{jk\ell i}x^{i}x^{j}+O(|x|^{3})}
ここで R i k j l := g ( R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x i ) {\displaystyle R_{ikj\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})} である。
により定義し、Xに ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を対応させる行列値の1-形式 ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を局所的な基底 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関するレヴィ・チヴィタ接続∇の接続形式(英: connection form)という
定義から明らかに
ω i j ( e k ) = Γ i k j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}(e_{k})=\Gamma ^{i}{}_{kj}}
が成立する。
接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 ( e 1 ( t ) , ... , e m ( t ) ) {\displaystyle (e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} をtで微分したものが接続形式 ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))} に一致する。