レヴナー微分方程式
Loewner (1923) でレヴナーは、スリット写像の微分方程式を使い、単葉函数
f ( z ) = z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + ⋯ {\displaystyle \displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }}
の第三番目の係数に対してのビーベルバッハ予想
| a 3 | ≤ 3 {\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|\leq 3}}
を証明した。
この場合、必要により回転させることとし、a3 は非負であることを前提としている。
すると、連続な an を持つ
φ 0 , t ( z ) = e − t ( z + a 2 ( t ) z 2 + a 3 ( t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}
を得て、これらが
a n ( 0 ) = 0 , a n ( ∞ ) = a n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}}}
を満たす。
α ( t ) = e − t κ ( t ) {\displaystyle \displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t)}}
レヴナーの微分方程式(Loewner differential equation)は、レヴナーの半群からもレブナーチェーンからも導くことができる。
半群からは、
w s ( z ) = ∂ t φ s , t ( z ) | t = s {\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}}
とすると、|z| < 1 に対して、
R p s ( z ) > 0 {\displaystyle \displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}}
となので、
w s ( z ) = − z p s ( z ) {\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}}
となる。すると、 w ( t ) = φ s , t ( z ) {\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)} は、初期条件 w(s) = z である常微分方程式
d w d t = − w p t ( w ) {\displaystyle \displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}}
を満たす。
レヴナーチェーンの満たす微分方程式 ft(z) を得るためには、