レフシェッツ超平面定理
X を CP 内の n 次元複素射影代数多様体とし、Y を U = X ∖ Y が滑らかなであるような X の超平面切断とする。 レフシェッツの定理は、次のステートメントがどれも成り立つという定理である。
特異ホモロジーの自然な写像
Hk(Y, Z) → Hk(X, Z) は、 k < n − 1 に対しては同型であり、 k = n − 1 に対しては全射である。
特異コホモロジーの自然な写像
H(X, Z) → H(Y, Z) は、 k < n − 1 に対しては同型であり、 k = n − 1 に対しては単射である。
自然な写像
πk(Y, Z) → πk(X, Z) は、 k < n − 1 に対しては同型であり、 k = n − 1 に対しては全射である。
長完全系列を用い、これらのステートメントの各々がある相対不変量の消滅定理に同値であることを示すことができる。このための消滅定理は順に以下である。
相対特異ホモロジー群
Hk(X, Y, Z) は、 k ≤ n − 1 {\displaystyle k\leq n-1} に対して 0 である。
相対特異コホモロジー群
H(X, Y, Z) は、 k ≤ n − 1 {\displaystyle k\leq n-1} に対して 0 である。
相対ホモトピー群
πk(X, Y) は、 k ≤ n − 1 {\displaystyle k\leq n-1} に対して 0 である。