極限
I ⊂ R , f n , f : I → R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} ,\;f_{n},f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } とする。
{fn} が f に I 上各点収束するとは、
∀ ε > 0 , ∀ x ∈ I , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n ≥ n 0 ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}}
が成り立つことである。これは、
各 x ∈ I {\displaystyle x\in I} に対して、 | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )}
と同値である。これを各点収束の定義とすることもある。
{fn} が f に I 上一様収束するとは、次が成り立つことである: