テンソル積
集合 {1, 2, ..., n} の置換 σ は、ベクトル空間 V の n-次デカルト冪に対する写像
σ : V n → V n ; ( v 1 , v 2 , ... , v n ) ↦ σ ( v 1 , v 2 , ... , v n ) = ( v σ 1 , v σ 2 , ... , v σ n ) {\displaystyle \sigma \colon V^{n}\to V^{n};\;(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\mapsto \sigma (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma n})}
を誘導する。n-次デカルト冪から n-次テンソル冪への自然な多重線型埋め込み
φ : V n → V ⊗ n {\displaystyle \varphi \colon V^{n}\to V^{\otimes n}}
に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型
τ σ : V ⊗ n → V ⊗ n s.t. φ ∘ σ = τ σ ∘ φ {\displaystyle \tau _{\sigma }\colon V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}{\text{ s.t. }}\varphi \circ \sigma =\tau _{\sigma }\circ \varphi }
が得られる。同型写像 τσ は置換 σ に付随する組み紐写像 (braiding map) または置換作用素と呼ばれる。
K 上のベクトル空間 V と、K の拡大体 L をとれば、L を K-ベクトル空間と見てのテンソル積
V L := V ⊗ K L {\displaystyle V_{L}:=V\otimes _{K}L}
が定義できて、L の作用を
λ ( v ⊗ μ ) := v ⊗ ( λ μ ) ( v ∈ V , λ , μ ∈ L ) {\displaystyle \lambda (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\quad (v\in V,\,\lambda ,\mu \in L)}
で定めると、VL は L 上のベクトル空間になる。ベクトル空間 VL の L 上の次元は V の K 上の次元に等しい。これは V の K 上の基底 B に対して、集合
{ b ⊗ 1 ∣ b ∈ B } {\displaystyle \{b\otimes 1\mid b\in B\}}
が VL の L 上の基底を与えることから分かる。