部分積分
であるから、以下の部分積分公式が得られる。
∫ Ω ∇ u ⋅ v d Ω = ∫ Γ u ( v ⋅ n ) d Γ − ∫ Ω u ∇ ⋅ v d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,d\Omega =\int _{\Gamma }u(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\,d\Gamma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,d\Omega }
また、 v = ∇ v {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla v} , v ∈ C 2 ( Ω ̄ ) {\displaystyle v\in C^{2}({\bar {\Omega }})} なる v {\displaystyle v} で表される時、