ベールの範疇定理
空でない完備距離空間、あるいは内点を持つその部分集合は疎(英: nowhere dense)な閉集合の可算和にはならない。
これは BCT1 と同値だがこちらの定式化のほうが応用上しばしば有用である。これから、「空でない完備距離空間が閉部分集合の可算和に書けるならば、その閉集合のうちの少なくとも一つは内部が空でない」ということも言える。
二つの主張 BCT1 と BCT2 を任意の完備距離空間に対して証明するには、適当な形の選択公理を用いる必要がある。実は BCT1 は ZF のもとで従属選択公理と呼ばれる弱い形の選択公理と同値である。
完備距離空間がさらに可分であることを仮定する制限された形のベールの範疇定理であれば、何らの選択公理を付け加えることなく ZF において証明することができる。この弱い形の範疇定理は特に実数直線、ベール空間 ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} 、およびカントール空間 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} に適用できる。