リーマンの素数公式
を得る。ここに μ(m) はメビウス関数であり、2つの目の等式は上述の注意による。
リーマンは同論文でゼータ関数 ζ(s)を複素変数に拡張し、解析接続を行った上で次の等式、
1 s log  ζ ( s ) = ∫ 0 ∞ Π ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{s}}\log \zeta (s)=\int _{0}^{\infty }\Pi (x)x^{-s-1}\,dx}
を示し、この式にメリン変換の反転公式を適用することで
Π ( x ) = l i ( x ) − ∑ ρ l i ( x ρ ) − log  2 + ∫ x ∞ d t t ( t 2 − 1 ) log  t {\displaystyle \Pi (x)={\rm {li}}(x)-\sum _{\rho }{\rm {li}}(x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}
が成り立つことを示した。ただし、第2項の和は ρ が ζ(s) の非自明な零点(実軸上にない零点)全体をわたり、実軸に近い順番に足していく、つまり
∑ ρ = lim T → ∞ ∑ | I ρ | ≦ T {\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{T\to \infty }\sum _{|\Im \rho |\leqq T}}