非圧縮性流れ
非圧縮性流れのための基本的な要件は、密度ρが、速度vで移動する流体の微小体積dV内で一定であることである。数学的にはこの非圧縮性流れの条件は、密度の物質微分(後述)が0にならなければならないことを意味する。この条件を導入する前に、質量保存則から必要な関係式を導く。ある領域(コントロールボリューム)Vの中にある流体の質量mは、密度ρの体積積分によって算出される。
m = ∫∫∫ V ρ d V {\displaystyle m=\iiint _{V}\rho \,dV}
質量保存則より、コントロールボリュームV内の質量の時間変化はその境界面Sを通る質量流束Jに等しくなければならない。この質量流速は数学的には面積分で表される。
∂ m ∂ t = − ∫∫ S ⊂ ⊃ J ⋅ d S {\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=-\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\boldsymbol {J}}\cdot d{\boldsymbol {S}}}
ここで負号は、面積ベクトルdSを外向きに定義していることより、コントロールボリュームから出る流れによってボリューム内の質量は時間的に減少することを意味する。この式の右辺に発散定理を用い、質量流束と密度の時間変化の間の関係が導かれる。