数論
18世紀の終わりにルジャンドルの『数の理論に関する試作』(Essai sur la Théorie des Nombres、1798年)が出版される。19世紀に入って出版されたガウスの『算術研究』(Disquisitiones Arithmeticae、1801年)は、近代数論の扉を開いたとされている。
合同についての理論はガウスの著作『算術研究』が始まりである。彼は次のような記法を導入した。
a ≡ b ( mod c ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {c}}}
そして、合同算術について広く考察している。1847年にチェビシェフはロシア語で合同算術についての著作を出版し、フランスではジョゼフ・アルフレッド・セレがそれを広めた。
ルジャンドルはそれまでの成果をまとめただけでなく、平方剰余の相互法則についても記している。この法則はオイラーが数値計算に基づき帰納的に発見し発表したもので、ルジャンドルが自著『数の理論に関する試作』(1798年)で証明を試みた。オイラーやルジャンドルとは別にガウスも1795年にこの法則を独力で発見し、1796年4月8日に最初の完全な証明を完成させた。他にその発展に貢献した数学者として、コーシー、数論の古典とされている『整数論講義』で知られるディリクレとデーデキント、ヤコビ記号を導入したヤコビ、リウヴィル、アイゼンシュタイン、クンマー、クロネッカーらがいる。この理論はさらに3次剰余の相互法則、4次剰余の相互法則へと発展した。アイゼンシュタインは最初に3次剰余の相互法則の証明を発表した。
ガウスは数を二元二次形式で表現する理論の創始者でもある。
この時代には、アクサル・トゥエがディオファントス方程式の研究に重要な貢献をした。また、ダフィット・ヒルベルトは代数的整数論で貢献し、ウェアリングの問題の証明も行った。ヘルマン・ミンコフスキーは幾何学的数論を創始した。他にも、アドルフ・フルヴィッツ、ヴァツワフ・シェルピニスキといった数学者が数論の発展に貢献している。
13世紀、レオナルド・フィボナッチは著書の1つとして『平方の書』 (Liber Quadratorum) を書いた。その中でピタゴラス数を扱っている。彼は平方数が奇数の和として記述できると記している。彼は合同数の概念を定義し、ab(a + b)(a - b) という形で表される数は a + b が偶数ならば合同数であり、a + b が奇数ならばそれを4倍したものが合同数だとした。フィボナッチは x 2 + C {\displaystyle x^{2}+C} と x 2 − C {\displaystyle x^{2}-C} が共に平方数ならば C が合同数であることを示した。また、平方数は合同数となりえないことも証明した。フィボナッチの数論への貢献は大きく、「『平方の書』だけでフィボナッチはディオファントスと17世紀のフランス人数学者ピエール・ド・フェルマーの間で最大の貢献者に位置づけられる」とされている。