ヤコビ記号
n ≤ 59, k ≤ 30で n が奇数のときのヤコビ記号 (k/n) の値の表
以下の事実は、ヤコビ記号の定義とルジャンドル記号の対応する性質からの直接的推論である。
ヤコビ記号は上の引数(「分子」)が整数で下の引数(「分母」)が正の奇整数である場合にのみ定義される。
1. n が(奇数の)素数の場合、ヤコビ記号 (a/n) は対応するルジャンドル記号と等しい(そして同じように書かれる)。
2. a ≡ b (mod n)のとき、 ( a n ) = ( b n ) = ( a ± m ⋅ n n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)=\left({\frac {a\pm m\cdot n}{n}}\right)}
3. ( a n ) = { 0 if gcd ( a , n ) ≠ 1 , ± 1 if gcd ( a , n ) = 1. {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1,\\\pm 1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1.\end{cases}}}
上または下の引数のいずれかが固定の場合、ヤコビ記号はもう一方の引数において完全乗法的関数になる。
4. ( a b n ) = ( a n ) ( b n ) , so ( a 2 n ) = ( a n ) 2 = 1 or 0.
{\displaystyle \left({\frac {2a}{n}}\right)=\left({\frac {2}{n}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {a}{n}}\right)&{\text{if }}n\equiv 1,7{\pmod {8}},\\-\left({\frac {a}{n}}\right)&{\text{if }}n\equiv 3,5{\pmod {8}}.\end{cases}}}
となる。ルジャンドル記号と同様に、
(a/n) = −1 の場合、a はnを法として平方非剰余である。
a がnを法として平方剰余であり、gcd(a,n) = 1 の場合、(a/n) = 1である。
但し、ルジャンドル記号と異なり、
(a/n) = 1 である場合、a は n を法として平方剰余であるかもしれないし、ないかもしれない。
これは、a が n を法とする平方剰余であるためには、n の全ての素因数を法とする平方剰余でなければならないためである。ただし、例えば a が n の素因数のちょうど2つを法とする非剰余である場合、ヤコビ記号は1に等しくなる。
ヤコビ記号は、平方と非平方の観点から一律に解釈することはできないが、ゾロタレフの補題(en:Zolotarev's lemma)による順列の符号として一律に解釈することはできる。
ヤコビ記号(a/n)は、法nに対するディリクレ指標である。