ガウスの連分数
1 F 1 ( a + 1 ; b + 1 ; z ) b 1 F 1 ( a ; b ; z ) = 1 b + ( a − b ) z ( b + 1 ) + ( a + 1 ) z ( b + 2 ) + ( a − b − 1 ) z ( b + 3 ) + ( a + 2 ) z ( b + 4 ) + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
同様に
1 F 1 ( a ; b + 1 ; z ) 1 F 1 ( a ; b ; z ) = 1 1 + a b ( b + 1 ) z 1 + a − b − 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) z 1 + a + 1 ( b + 2 ) ( b + 3 ) z 1 + a − b − 2 ( b + 3 ) ( b + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
または
...とおく。これより恒等式群 f i − 1 − f i = k i z f i + 1 {\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}} (ここで k 1 = ( a − c ) b c ( c + 1 ) , k 2 = ( b − c − 1 ) ( a + 1 ) ( c + 1 ) ( c + 2 ) , k 3 = ( a − c − 1 ) ( b + 1 ) ( c + 2 ) ( c + 3 ) , k 4 = ( b − c − 2 ) ( a + 2 ) ( c + 3 ) ( c + 4 ) {\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}} , ...)が定まって次の展開が得られる。
複素解析におけるガウスの連分数(ガウスのれんぶんすう、英: Gauss's continued fraction)は、超幾何関数から導出される特別なクラスの一般化連分数(英語版)である。これは数学史上最も早く見出された解析的な連分数の一つであり、いくつかの重要な初等関数およびより複雑な超越関数の表現に用いることができる。