球充填
いずれの配置も1つの球は12個の球に囲まれており、平均密度は
π 18 ≈ 0.74048 ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {18}}}\approx 0.74048\cdots } (A093825)
である。
ガウスは1831年にこれらの配置が正規配置の中で最も高密度であることを証明した。
1611年、ヨハネス・ケプラーは、これが正規配置と非正規配置全てについて最高密度の配置であると予想した。この命題はケプラー予想と呼ばれる。1998年、トーマス・C・ヘイルズ(英語版)は1953年にフェイェシュ=トートが示唆した手法を使って、ケプラー予想を証明したと発表した。ヘイルズの証明は、コンピュータを使ってあらゆる個々のケースを調べつくすという方法であった。審査員はヘイルズの証明の正しさを99%としており、ケプラー予想は「ほぼ」証明された状態と言える。後の2014 年、Halesの率いるチームは自動証明検証ツールを用いて形式的証明を完了したと発表し、疑念を晴らした。。