円分体
素数 p は、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の類数を割り切らない。
正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
クンマーの補題
素数 p が正則素数であれば、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε を、 ε ≡ a ( mod  ( 1 − ζ p ) p ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})} となる有理整数 a が存在するようにとると、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε 0 {\displaystyle \textstyle \varepsilon _{0}} が存在して、 ε = ε 0 p {\displaystyle \textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}} と表される。
正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
但し、 γ ( p ) = p ( p + 3 ) / 4 / ( 2 ( p − 3 ) / 2 π ( p − 1 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle \gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi ^{(p-1)/2})} 。
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
lim p → ∞ log  ( h 1 ( p ) / γ ( p ) ) log  p = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {\log(h_{1}(p)/\gamma (p))}{\log p}}=0} 。
第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
q を素数とし、 n > 1 {\displaystyle n>1} とする。 p = ( 2 q m ) 2 + 1 {\displaystyle p=(2qm)^{2}+1} が素数であるならば、 h 2 ( p ) > 2 {\displaystyle h_{2}(p)>2} である。
ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
この Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} を、最大実部分体または実円分体という。
一意分解整域となる円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} )は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} は一意分解整域でない。
類数が 2 である円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} ) は、m = 39, 56 だけである。
円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} に含まれる代数的整数の集合は、 Z [ ζ m ] {\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} [\zeta _{m}]} である。
円分体の類数を求めるには、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} より、第1因子と第2因子を求めればよい。
第1因子 h 1 ( m ) = δ ( 2 m ) 1 2 φ ( m ) − 1 ∏ χ ∈ S ∑ n = 1 m − 1 χ ( n ) n {\displaystyle h_{1}(m)={\frac {\delta }{(2m)^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n} 。
ここで、 δ = { 1 ( m ≢ 0 ( mod 4 ) ) , 1 2 ( m ≡ 0 ( mod 4 ) ) , {\displaystyle \delta ={\begin{cases}1&(m\not \equiv 0{\pmod {4}}),\\{\frac {1}{2}}&(m\equiv 0{\pmod {4}}),\end{cases}}} S は、 χ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \chi (-1)=-1} を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | ∏ χ ∈ S ∑ k = 1 p − 1 χ ( k ) k | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}\left|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k\right|} 。
ここで、R は、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の単数基準、T は、 χ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (-1)=1} を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R ∏ k = 1 ( p − 3 ) / 2 | ∑ j = 0 ( p − 3 ) / 2 η 2 k j log  | 1 − ζ p g j | | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}\eta ^{2k^{j}}\log |1-\zeta _{p}^{g^{j}}|\right|} 。 ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
m が素数のとき、以下の様な式がある。 k = 2 , 3 , ... , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle \textstyle k=2,3,\ldots ,(p-1)/2} に対して、 δ k = ( 1 − ζ p k ) ( 1 − ζ p − k ) ( 1 − ζ ) ( 1 − ζ − 1 ) {\displaystyle \delta _{k}={\sqrt {\textstyle {\frac {(1-\zeta _{p}^{k})(1-\zeta _{p}^{-k})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}}} とおく。