ベッセルの不等式
を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 e 1 , e 2 , . . . {\displaystyle e_{1},e_{2},...} によって表現される x ′ ∈ H {\displaystyle x'\in H} が存在するものと考えることが出来る。
完全正規直交列(すなわち、基底であるような正規直交列)に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ(したがって x ′ {\displaystyle x'} は x {\displaystyle x} となる)。
ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う:
0 ≤ ‖ x − ∑ k = 1 n ⟨ x , e k ⟩ e k ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 − 2 ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 + ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 = ‖ x ‖ 2 − ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 . {\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}.}