単純群
2)。 1950年代にはリー型の群についての研究がまだ続いており、シュヴァレーが1955年の論文で古典群と例外的な群についての一様な構成法を与えた。この方法ではある既知の群(射影ユニタリー群)が省略されているが、それについてはシュヴァレーの構成法を「ひねる」 (twisting)ことで得られる。残りのリー型の群はスタインベルク、ティッツ、ヘルツィッヒ(D4(q)とE6(q)を構成した)、および鈴木とRee(鈴木-Ree群(英語版)を構成した)によって得られた。
これらの群(リー型の群、巡回群、交代群、5種類の例外的マシュー群)が完全な一覧であると信じられていたが、マシューの研究から約1世紀経った後、1964年に最初のジャンコ群(英語版)が発見され、そして1965年から1975年の間に残りの20種類の散在群が発見ないし予想され、ついに1981年、ロバート・グリース(英語版)がバーント・フィッシャー(英語版)のモンスター群を構築したと発表した。モンスター群は位数808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000という、最大の散在的単純群である。モンスター群は196,884次元グリース代数(英語版)内の196,883次元の忠実な表現を持つ。つまりモンスター群の元は196,883次正方行列として表現できる。
単純群は少なくとも初期のガロア理論のころから研究されてきた。エヴァリスト・ガロアは5次以上の交代群は非可換群でありさらに単純群である(そしてそれゆえ可解群ではない)という事実に気付き、1831年に証明した(これが5次方程式が一般に解けない理由である)。ガロアはまた有限体上の平面の射影特殊線型群PSL(2, p )を構成し、p が2または3でなければこれらの群は単純群になることに気付いた。これは彼のChevalierへの最後の手紙に含まれており、そしてこれが次の単純群の例である。
次の発見はカミーユ・ジョルダンによって1870年になされた。ジョルダンは素数位数の有限体上の行列で構成される単純群の族を4つ発見した。これらは今では古典群(英語版)として知られている。
同じくらいの時期に、マシュー群(英語版)と呼ばれエミール・レオナール・マシュー(英語版)によって1861年と1873年に最初に述べられた5種類の群からなる族も、また単純群であることが示された。これらの5種類の群は無限に多くの群を構成できるわけではない方法で作られたので、ウィリアム・バーンサイドは彼の1897年の教科書の中でそれらの群を散在群(英語版)と呼んだ。
後に古典群についてジョルダンの得た結果は、ヴィルヘルム・キリング(英語版)による複素単純リー代数の分類に続いて、レオナルド・ディックソンによって任意の有限体へと拡張された。またディックソンはG2型やE6型の例外的群も構成したが、F4型やE7型やE8型のものは構成しなかった(Wilson 2009, p.