加群の直和
重要な点は α(i) が有限個を除くすべての i に対して 0 でありしたがって和が有限であるから τ の定義は意味をなすということである。 とくに、ベクトル空間の直和の双対ベクトル空間はそれらの空間の双対の直積に同型である。
加群の有限直和は双積(英語版)である: p k : A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n → A k {\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}} が自然な射影写像であり i k : A k ↦ A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}} が包含写像であれば、 i 1 ∘ p 1 + ⋯ + i n ∘ p n {\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}} は A1 ⊕ ··· ⊕ An の恒等射に等しく、 p k ∘ i l {\displaystyle p_{k}\circ i_{l}} は l=k のとき Ak の恒等射でありそれ以外では零写像である。