代数的サイクル
代数的サイクルの群の共変な函手が存在する。f : X → X' を多様体の射とする。
f がある定数の相対次元(つまり、全てのファイバーが同じ次元を持っている)で平坦(flat)であれば、任意の部分多様体 Y' ⊂ X' に対し、
f ∗ ( [ Y ′ ] ) = [ f − 1 ( Y ′ ) ] {\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}
となる(平坦引き戻し(flat pullback))。上の式は、仮定より、Y′ の同じ余次元を持つ。
逆に、f が固有(proper)であれば、X の部分多様体 Y に対し、固有押し出し(proper pushforward)は、
f ∗ ( [ Y ] ) = n [ f ( Y ) ] {\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}
と定義される。ここに n は函数体 [k(Y) : k(f(Y))] の次数とする。ただし、f の Y への制限が有限(finite)の場合であり、f が有限でない場合は n = 0 とする。
線型性により、これらの定義はアーベル群の準同型へ拡張でされる。
f ∗ : Z k ( X ′ ) → Z k ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)} と f ∗ : Z k ( X ) → Z k ( X ′ ) {\displaystyle f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}
はアーベル群の準同型である(これは記法のおかげ)。環構造に関連する函手の議論については、周環(英語版)(Chow ring)を参照。