フロベニウスの定理 (微分トポロジー)
最も初等的な形では、この定理は一般的なシステムにおける線型の一階偏微分方程式の、独立解の最大集合を求める問題を扱う。次の集合
{ f k i : R n → R : 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ k ≤ r } {\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}
をr < nを満たす C 級の関数の集合族とし、 行列 ( f ik ) のランクは r である。いま、 C 級関数 u : R → R の偏微分方程式を考えよう。
( 1 ) { L 1 u = d e f ∑ i f 1 i ( x ) ∂ u ∂ x i = 0 L 2 u = d e f ∑ i f 2 i ( x ) ∂ u ∂ x i = 0 ⋯ L r u = d e f ∑ i f r i ( x ) ∂ u ∂ x i = 0 {\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\end{cases}}}