メリン変換
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。 L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle L^{2}(0,\infty )} (Lp空間を参照されたい)の関数に対して、基本帯(fundamental strip)は常に 1 2 + i R {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} } を含む。そのため、線形作用素 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} を
M ~ : L 2 ( 0 , ∞ ) → L 2 ( − ∞ , ∞ ) , { M ~ f } ( s ) := 1 2 π ∫ 0 ∞ x − 1 2 + i s f ( x ) d x {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}
によって定義することが出来る。