超距離空間
上述の定義により、超距離のもつ典型的な性質をいくつか導くことができる。以下、中心 x, 半径 r の(開)球体を
B ( x ; r ) = { y ∈ M ∣ d ( x , y ) < r } {\displaystyle B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}
と書く(距離空間の項目を参照)。また、閉球体は右辺の < を ≤ で置き換えたものである。
例えば、超距離空間 M において以下が成り立つ:
x, y, z ∈ M および r, s ∈ R は任意として、
すべての三角形は鋭二等辺三角形か正三角形である: d ( x , y ) = d ( y , z ) ∨ d ( x , z ) = d ( y , z ) ∨ d ( x , y ) = d ( z , x ) . {\displaystyle d(x,y)=d(y,z)\lor d(x,z)=d(y,z)\lor d(x,y)=d(z,x).}
球体の任意の内点はその球体の中心である: d ( x , y ) < r ⟹ B ( x ; r ) = B ( y ; r ) . {\displaystyle d(x,y)<r\implies B(x;r)=B(y;r).