ベルトランの仮説
ゴールドバッハの予想を真と仮定すれば、ベルトランの仮説は簡単に示せる。
ゴールドバッハの予想 ― n > 2 に対し 2n と 2n + 2 は2つの素数の和として表せる。n が素数でないとき 2n の場合の2つのうち大きい方は、n より大きく 2n − 2 より小さい。n が素数のとき 2n + 2 の場合の2つのうち大きい方は、n + 1 より大きく 2n より小さい。
この方向で次もいえる。n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在しないような正整数 n が存在する時、2n 以上の偶数は、2つの素数と13個の2の冪の和として表せない(上記から2つの素数の和として表せないのは自明であり、そこから導ける)。そして、2n と 2n + 2 は両方、4つの素数の和として表せない。逆に、2n と 2n + 2 が両方、5つ以上の素数の和としてしか表せないような正整数 n が存在する時、その5つ以上のうちの最大素数は n 以下である。