対称式
対称式(たいしょうしき、symmetric polynomial)あるいは対称多項式(たいしょうたこうしき)とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことである。
f(x,y,z) = x + y + z
f(x,y,z,w) = 2 x + 2 y + 2 z + 2 w + 3 y z w + 3 z w x + 3 w x y + 3 x y z
は、それぞれ、3 変数と 4 変数の対称式であり、どの 2 つの変数を入れ替えても、元の多項式と変わらない式である。
アルベール・ジラール(フランス語版、英語版)は、1629年に「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algèbre) おいて、n 次の代数方程式の根と係数の関係を発見した。代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれるというこの関係は、一般の次数の代数方程式の構造を調べるための重要な足掛かりの一つとなった。さらに、ジラールは、これらの関係を用いて虚数の有用性を説いた。
18世紀の後半になると、任意の対称式は基本対称式によって書くことができる事が、ウェアリングやヴァンデルモンド(フランス語版、英語版)らによって示され、ラグランジュによる、代数方程式の根の置換の研究へとつながっていった。
2 変数 x1, x2 の基本対称式は
σ1 = x1 + x2
σ2 = x1 x2
である。
f(x1, x2) = x1 x2 + x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2
は対称式であり、それぞれの項の次数は順に (3,1), (1,3), (2,0), (1,1), (0,2) であるから、 deg(f) = (3,1) で、x1 x2 の係数は 1 である。したがって
h1 = f − σ1 σ2 = f − σ1 σ2 = − 2 x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2
となり、 deg( h1 ) = (2,2) である。 h1 の x1 x2 の係数は − 2 であるから
h2 = h1 − ( − 2 σ1 σ2 ) = h1 + 2 σ2 = x1 + x1 x2 + x2
さらに deg( h2 ) = (2,0) より
h3 = h2 − ( σ1 σ2 ) = h2 − σ1 = − x1 x2 = − σ2
であるから
f = σ1 σ2 + h1 = σ1 σ2 − 2 σ2 + h2 = σ1 σ2 − 2 σ2 + σ1 − σ2
が得られる。
σ1 = x1 + x2 + x3
σ2 = x3 x1 + x1 x2 + x2 x3
σ3 = x1 x2 x3
を用いて、三次方程式の判別式
D = { (x3 − x1)(x1 − x2)(x2 − x3)}
を基本対称式の多項式で表す。
D は 6 次の斉次対称式なので、σ1,σ2,σ3 の多項式で書くと、重さが 6 の斉重多項式
D = c1 σ1 + c2 σ1 σ2 + c3 σ1 σ3 + c3 σ1 σ2 + c4 σ1 σ2 σ3 + c5 σ2 + c6 σ3
になる。 D は、 x1 に関して 4 次なので、右辺もそうなるように、 c1 = c2 = 0 でなければならない。
x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 という特別な値を入れても、この等式は成り立つはずで、 σ1 = σ3 = 0, σ2 = −1 だから、 c5 = −4 とわかる。以下、特殊な値を入れたり、係数を比較したりすることにより、
D = −4σ1 σ3 + σ1 σ2 + 18σ1σ2σ3 −4σ2 + 27 σ3
が得られる。