弱作用素位相
すなわち、WOT において {Tα} が T へと収束するということは、Tr(TαF) = ∑ λi vi*(Tαui) が ∑ λi vi*(T ui) = Tr(TF) へと収束することを意味する。
わずかに拡張することで、弱作用素位相と σ-弱位相は B(H) 内のノルム有界集合上で一致するということを示すことが出来る: すべてのトレース級作用素は S = ∑ λi uivi* という形で表される。ここで正の数からなる級数 ∑λi は収束するものとする。supα ||Tα|| = k < ∞ および、WOT において Tα は T へと収束することを仮定する。すべてのトレース級 S に対して、Tr (TαS) = ∑λi vi*(Tαui) は∑ λi vi*(T ui) = Tr(TS) へと収束することが、例えば優収束定理が用いられることで、示される。
以上から、バナッハ-アラオグルの定理によって、すべてのノルム有界集合は WOT においてコンパクトであることが分かる。