線型リー環
代数学において,線型リー環(せんけいリーかん,英: linear Lie algebra)とは,ベクトル空間 V の自己準同型全体からなるリー環 g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} の部分リー環である.言い換えると,線型リー環はリー環の表現の像である.
任意のリー環は,その忠実表現が必ず存在するという意味で,線型リー環である.(実は,リー環自身が有限次元であるときには,アドの定理(英語版)によって,有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ.)
V を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} の部分環とする.このとき V が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の加群として半単純であることと,(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり,(ii) 中心の元が(ある拡大体上)対角化可能であることと同値である.