分数次フーリエ変換
F α M ( M ) = Q ( − cot  ( 1 − cos 2  α ′ cos 2  α α ) ) × M ( sin  α M sin  α ′ ) F α ′ F α [ | M | − 1 2 f ( u M ) ] = 1 − j cot  α 1 − j M 2 cot  α e j π u 2 cot  ( 1 − cos 2  α ′ cos 2  α α ) × f a ( M u sin  α ′ sin  α ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}}
f ( u / M ) {\displaystyle f(u/M)} の分数次フーリエ変換は f α ( u ) {\displaystyle f_{\alpha }(u)} をスケールしたものにはならないということに注意が必要である。むしろ、 α ≠ α′ のときは f ( u / M ) {\displaystyle f(u/M)} の分数次フーリエ変換は f α ′ ( u ) {\displaystyle f_{\alpha }'(u)} をスケールおよびチャープ変調したものになる。