循環小数
自然数の逆数の循環節の長さについて、ある長さとなるような最小の自然数を、循環節の長さを0から小さい順に並べると
1, 3, 11, 27, 101, 41, 7, 239, 73, 81, 451, 21649, 707, 53, 2629, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 511, 21401, 583, 243, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 1919, 2028119, 909090909090909091, ...
である(オンライン整数列大辞典の数列 A003060)。
循環小数の循環節とは、小数部分の周期的な数列の中で最小の長さものである。例えば 1/3 = 0.3333... は、数列 33 や数列 333 が連続して現れる小数と見なせるが、循環節は最小の数列 3 となる。
循環節の末尾は 0 になり得る。例えば、 2/3 = 64/27 = 2.370370... の循環節は 370 となる。
循環節の先頭は小数第二位以降に現れ得る。例えば、十進法の 5/108 = 0.04629629... の循環節は、小数第三位からの 629 となる。
ある数が有限小数で表せるかは基数に依存し、既約分数の分母が基数の冪を割り切れる場合のみ、その数は有限小数として表され得る。したがって、ある既約分数が循環小数で表示されるかもまた基数に依存している。例えば 1/5 は、十進法では有限小数 0.2 で表されるが、二進法では循環小数 0.00110011... で表される。
また有限小数は、末尾の桁の後ろに 0 を無限に並ぶと見なせば、形式的に循環小数と見なせる。同様に、0.999... などの数列を用いて、有限小数を循環小数に書き換えることもできる。