カシュ環
以下の内容は (Faith 1999, p. 109), (Lam 1999, §§8C,19B), (Nicholson & Yousif 2003, p.51) などの文献において見つかる。
R を半準素環とし J をそのジャコブソン根基とする。R が可換であるかまたは R/J が単純環であるならば、R は右カシュ(かつ左カシュ)である。とくに、可換アルティン環は右かつ左カシュである。
可除環 k に対し、k の元を成分とする4次正方行列環のある部分環 R を考える。部分環 R は次の形の行列からなる:
[ a 0 b c 0 a 0 d 0 0 a 0 0 0 0 e ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}}
これは右かつ左アルティン環であり、右カシュであるが、左カシュではない。