バーンスタイン多項式
バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。
b 0 , 0 ( x ) = 1 b 0 , 1 ( x ) = 1 − x b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) b 2 , 2 ( x ) = x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&b_{0,0}(x)=1&&&&\\&b_{0,1}(x)=1-x&&b_{1,1}(x)=x&&\\&b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}&&b_{1,2}(x)=2x(1-x)&&b_{2,2}(x)=x^{2}\end{aligned}}}
上述のように、バーンスタイン多項式はストーン=ワイエルシュトラスの定理の証明にも用いられる。
また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、
‖ B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ ≤ ( n ) k n k ‖ f ( k ) ‖ ∞ and ‖ f ( k ) − B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ → 0 , {\displaystyle \|B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\leq {(n)_{k} \over n^{k}}\|f^{(k)}\|_{\infty }{\text{ and }}\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\rightarrow 0,}
であることが示せる。ここで ( n ) k n k = ( 1 − 0 n ) ( 1 − 1 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {(n)_{k} \over n^{k}}=\left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right)\cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)} は B n {\displaystyle B_{n}} の固有値である。
バーンスタイン基底関数は以下のような特性を持つ。
b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , if ν < 0 or ν > n
b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} and b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} (ここで δ {\displaystyle \delta } はクロネッカーのデルタ関数)
ν ≠ 0 の時、 b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} は x = 0 に解を持つ
ν ≠ n の時、 b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} は x = 1 に解を持つ
b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} ≥ 0 for x in [0,1]
b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(1-x)=b_{n-\nu ,n}(x)}
導関数は2つの低次な多項式により与えられる
b ν , n ′ ( x ) = n ( b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ) {\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right)}