単振動
e をネイピア数、i を虚数単位とすれば、複素指数関数とは αe の形式で表現される関数である。単振動は、次のような複素指数関数の実部または虚部を取ったものに相当する。
x = Re ( A e i ( ω t + φ ) ) = A cos  ( ω t + φ ) {\displaystyle x={\mbox{Re}}(Ae^{i(\omega t+\phi )})=A\cos(\omega t+\phi )}
x = Im ( A e i ( ω t + φ ) ) = A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle x={\mbox{Im}}(Ae^{i(\omega t+\phi )})=A\sin(\omega t+\phi )}
ここで、Re() は括弧内の複素数の実部を取ることを意味し、Im() は括弧内の複素数の虚部を取ることを意味する。複素指数関数と三角関数にはオイラーの公式より、
A e i ( ω t + φ ) = A cos  ( ω t + φ ) + i A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle Ae^{i(\omega t+\phi )}=A\cos(\omega t+\phi )+iA\sin(\omega t+\phi )}
という関係があるため、上記の式が導かれる。
単振動は、物理学全域でさまざまな形で現れる。力学的なものから電磁気学的なものまで、単振動の実例は幅広い。単振動は、振動および波動という現象における最も単純な形であり、なおかつ様々な物理現象を記述する概念として高い重要性を持つ。
単振動が起こる系は調和振動子と呼ばれる。調和振動子の代表例の一つが、質点とばねの系である。重り(質点)がばねで吊り下げられて揺れている系を考える。ばねはフックの法則に従うとする。現実には空気の抵抗などによって振動は次第に止まるが、そのような減衰作用は今は無視する。重りの質量を m、ばねのばね定数を k、吊り下げられた重りが静止している状態からの上下方向変位を δ とする。この重りの運動方程式は
m d 2 δ d t 2 = − k δ {\displaystyle m{\frac {d^{2}\delta }{dt^{2}}}=-k\delta }
となる。さらに、両辺を m で割り、k/m = ωn とおいて
d 2 δ d t 2 = − ω n 2 δ {\displaystyle {\frac {d^{2}\delta }{dt^{2}}}=-\omega _{n}^{2}\delta }
と変形する。この式は定数係数の斉次2階線形常微分方程式であり、δ の一般解は次のような単振動で与えられる。
δ = A sin  ( ω n t + φ ) {\displaystyle \delta =A\sin(\omega _{n}t+\phi )}