関数 (数学)
函数 f が与えられたとき、定義により、f の定義域の各点 x に対して f の x における値 f(x) がただ一つ割り当てられる。x を f(x) に(陰に陽に)関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、(函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに)適当な性質を持つ函数の存在を定理や公理によって保証することもあるが、大抵は函数 f の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。
添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で、函数記法の f (x) は添字記法では fxのように書かれる。
定義域が自然数の場合(つまり、数列の場合)には添字記法を使うのが典型的で、各値 fn は数列の n 番目の項と呼ばれる。
複数の引数を持つ函数において、それら引数が「真の変数」と助変数(パラメータ)に分けられるとき、真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる(実際にはパラメータというものは、一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである)。例えば、先の例でもみた二変数函数の偏函数 x ↦ f(x, t) を添字記法で f t {\displaystyle f_{t}} と書けば、定義式 f t ( x ) := f ( x , t ) ( x , t ∈ X ) {\displaystyle f_{t}(x):=f(x,t)\ (x,t\in X)} によって一変数函数の族 { f t : X → X ; t ∈ X } {\displaystyle \{f_{t}\colon X\to X;\ t\in X\}} が定義される。
解析学あるいはより具体的に函数解析学において、特定の性質を共有するスカラー値またはベクトル値の函数からなり位相線型空間を成すような集合を函数空間と呼ぶ。例えば、コンパクト台付き(つまり、適当なコンパクト集合の外側では常に零となる)滑らかな実函数全体の成す集合は、シュヴァルツ超函数論の基盤となる函数空間を成す。
函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。例えば、常微分方程式や偏微分方程式における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。