捩れ部分群
非アーベル群の捩れ部分集合は一般には部分群ではない。例えば 無限二面体群(英語版) は 表示
⟨ x, y | x = y = 1 ⟩
をもち、元 xy は2つの捩れ元の積であるが、位数は無限である。
冪零群の捩れ元は正規部分群をなす。
明らかに、すべての有限アーベル群は捩れ群である。しかしすべての捩れ群が有限であるわけではない。巡回群 C2 の可算個のコピーの直和を考えよ。すべての元の位数は 2 なのでこれは捩れ群である。有限生成でなければ商群 Q/Z の例が示しているように捩れ群の元の位数に上界がある必要もない。
すべての自由アーベル群は torsion-free だが逆は正しくない。反例は有理数全体 Q (加法群)。
A が有限生成でないときでさえも捩れなし部分 (torsion-free part) のサイズは、アーベル群のランクの記事においてより詳しく説明されているように、一意的に定まる。
アーベル群 A が torsion-free であることと Z-加群として平坦であること、つまり C があるアーベル群 B の部分群であるときにはいつでもテンソル積 C ⊗ A から B ⊗ A への自然な写像が単射であることは同値である。
アーベル群 A を Q (あるいは任意の divisible group)でテンソルすると捩れが消える。つまり、T が捩れ群であれば T ⊗ Q = 0 である。捩れ部分群 T をもった一般のアーベル群 A に対しては A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q である。