ビール予想
C n = ( A n − 1 x y ) ( B n − 1 x y ) ( C n − 1 x y + 1 ) {\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})}
である。
ビール予想を解くには、必ず3つの項が含まれ、その全てが3-多冪数、すなわち、全ての素因数の指数が少なくとも3である数となることが必要となる。このような互いに素となる3-多冪数を含む和は無限にあることが知られているが、それは稀である。最小の例は次の2つである。
271 3 + 2 3 3 5 73 3 = 919 3 = 776,151,559 3 4 29 3 89 3 + 7 3 11 3 167 3 = 2 7 5 4 353 3 = 3,518,958,160,000 {\displaystyle {\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}
ビール予想の特徴は、3つの項がそれぞれ1つの冪乗で表現できることを要求していることである。
この予想を立てた銀行家のアンドリュー・ビールは、発表された証明または反例に対して懸賞金を提供している。懸賞金の額は、1997年の創設時は5千米ドルで、10年かけて5万米ドルまで引き上げた後、100万米ドルまで引き上げられた。
この懸賞金は、アメリカ数学会が信託し、AMS会長が任命するビール賞委員会(BPC)が監督している。