三角錐数
三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=140) の3つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A003556)
三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。
三角錐数のうち三角数でもある数は1, 10, 120, 1540, 7140 の5つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A027568)
2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。
三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1+3+5、56=2+4+6)
奇数の時 ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) 2 = ( 2 n − 1 ) ⋅ 2 n ⋅ ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}}}
偶数の時 ∑ k = 1 n ( 2 k ) 2 = 2 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k)^{2}={\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{6}}}
三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
(奇数...オンライン整数列大辞典の数列 A015219、偶数...オンライン整数列大辞典の数列 A015220)
パスカルの三角形における数列は左上(または右上)にある列から順に