ビリアル定理
古典力学系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル
を時間で微分すると、
d G d t = ∑ i d r i d t ⋅ p i + ∑ i r i ⋅ d p i d t = ∑ i p i m i ⋅ p i + ∑ i r i ⋅ F i = 2 K + ∑ i r i ⋅ F i {\displaystyle {{dG} \over {dt}}=\sum _{i}{{d\mathbf {r} _{i}} \over {dt}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot {{d\mathbf {p} _{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\mathbf {p} _{i} \over m_{i}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}=2K+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}}
より以下の関係が得られる。
この式の両辺を 0 から時間 t の範囲で積分して t で割り、t → ∞ の極限をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでビリアル G も有限だから、左辺は 0 に収束する。
したがって、
ビリアル定理(ビリアルていり、英: virial theorem)とは、多粒子系において、粒子が動き得る範囲が有限である場合に、古典力学、量子力学系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。
⟨ K ⟩ = ⟨ ∑ i = 1 N p i 2 2 m i ⟩ = ∑ i = 1 N ⟨ p i 2 2 m i ⟩ = − 1 2 ∑ i = 1 N ⟨ F i ⋅ r i ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left\langle {\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =-{1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle }
N は系の粒子数、K は系全体の運動エネルギー
K = ∑ i = 1 N p i 2 2 m i {\displaystyle K=\sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}}