グラハム数
09902)}
G(4) = 3↑↑↑↑3 = 3→3→4 =3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑G(3)(グラハル)
= 3 ↑↑ 3 ↑↑ ⋯ ↑↑ 3 ↑↑ 3 ⏟ G ( 3 ) copies of 3 {\displaystyle =\underbrace {3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3} _{G(3){\text{ copies of }}3}}
G(4) = G(G(4)) = 3↑...(G(4) 本)...↑3 = 3→3→G(4) = 3↑3↑...↑3↑3↑3↑3
G(4) = G(G(4)) = 3↑...(G(4) 本)...↑3 = 3→3→G(4)
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G(4) = G(G(4)) = 3↑...(G(4) 本)...↑3 = 3→3→G(4) = hyper(3, G(4)+2, 3) = 3↑...((G(4)+1) 本)...↑2 = 3→2→(G(4)+1) = hyper(3, G(4)+3, 2) = hyper(3, G(G(4))+2, 3) = hyper(3, G(3→2→5)+2, 3) = 3↑3↑...↑3↑3↑3↑3
G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい(しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい)。
である。これはグラハム数よりは遥かに小さいが、それでもなお非常に大きい数である。
2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 2 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 3 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 4 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 5 ( ⋯ 2 ↑ 6 ( 2 ↑ 5 ( 2 ↑ 4 ( 2 ↑ 3 ( 2 ↑ 2 ( 2 ↑ ( 2 ⋅ ( 2 + ( 2 + 4 ) ) ) ) ) ) ) ) ⋯ ) ) ) ) {\displaystyle 2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-2}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-3}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-4}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-5}\left(\cdots 2\uparrow ^{6}\left(2\uparrow ^{5}\left(2\uparrow ^{4}\left(2\uparrow ^{3}\left(2\uparrow ^{2}\left(2\uparrow \left(2\cdot \left(2+\left(2+4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\cdots \right)\right)\right)\right)} ,
この数は1 < | n | ≤ 16 のときグラハム数や16$Pickoverどころか G(3) と比較しても圧倒的に小さい(G(3) の遥か手前、 3 3 3 3 3 {\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}} が既におよそ 10 10 3.6 × 10 12 {\displaystyle {10}^{{10}^{3.6\times {10}^{12}}}} である)。16進表記ではアルファベットの大文字と小文字を区別しないが、Unicodeでは区別されている。現在Unicodeで使用されている文字の総数は13万7468個であり、未使用領域が全て埋め尽くされると n = 1114112となるが、 n が1億まで拡張されたとしても10 であり、グーゴルプレックス 10 10 100 {\displaystyle {10}^{{10}^{100}}} にも満たない。
これほど極端な例えですら言い表すことができないほど巨大な数がグラハム数である。宇宙論で使われた最大の数(複数の宇宙の全質量を1個のブラックホールに圧縮しそれが蒸発した後に、ポアンカレの回帰定理に従い再びブラックホールができる時間)をaとすると、aですら 10 10 10 10 10 1.1 ≈ 10 10 10 3883775501690 ≈ 10 10 10 10 3 2.3 ≈ 10 10 3 3 3 3 ≈ 3 ↑ 2 6 ∈ [ ( 3 ↑ ) 5 2.89997 , ( 3 ↑ ) 6 1.