連続的双対空間
しかし V がハウスドルフかつ局所凸ならば写像 Ψ は V からその連続的双対の代数的双対 V′ への単射となることが、ふたたびハーンバナッハの定理の帰結として得られる。
いま一つは、局所凸となる場合であっても、連続的双対 V′ の上に自然なベクトル空間の位相が複数存在しえて、それ故に連続的二重双対 V′′ を集合として一意に定義することができないことである。つまり、Ψ が V を V′′ に写すとか、あるいは Ψ(x) が任意の x ∈ V に対して連続であるなどと言うために、V′ の位相に関する合理的な最低限の要求として、評価写像
φ ∈ V ′ ↦ φ ( x ) , ( x ∈ V ) {\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad (x\in V)}
が連続となる V′ 上の位相を選ばなければならない。さらに言えば、V′′ 上の位相を選んで Ψ が連続となったとしても、その連続性は位相の選び方に依存する。そういった結果として、この枠組みにおける回帰性は、ノルム空間の場合におけるよりも重要なものとなる。