オイラーの和公式
数学において、オイラーの和公式(オイラーのわこうしき、オイラー・マクローリンの公式、英: Euler–Maclaurin formula)は1735年頃オイラーとマクローリンにより独立に発見された級数の和を与える公式である。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が多項式であるような場合を除き、 m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。この公式は台形公式による数値積分の誤差を示すものとも考えられる。
∑ j = 0 n − 1 f ( j ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( 0 ) ) + R m {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}}
∑ j = 1 n − 1 f ( j ) + 1 2 ( f ( 0 ) + f ( n ) ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) !