ベクトル空間
式にすれば
| x n | ∞ = sup ( 2 − n , 0 ) = 2 − n → 0 {\displaystyle |x_{n}|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0}
だが
| x n | 1 = ∑ i = 1 2 n 2 − n = 2 n ⋅ 2 − n = 1 {\displaystyle |x_{n}|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1}
である。
実数列よりも一般の函数 f : Ω → R は、上記の和のところをルベーグ積分に置き換えた
| f | p := ( ∫ Ω | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle |f|_{p}:=\left(\int _{\Omega }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{p}\,dx\right)^{1/p}}
をノルムとして備えている。与えられた領域 Ω(例えば区間)上の |f| < ∞ を満足する可積分函数の空間に、このノルムを入れたものはルベーグ空間 L(Ω) と呼ばれる。
任意の一つの集合 Ω から体 F への函数全体もまた、よくある点ごとの和とスカラー倍によって、ベクトル空間を成す。即ち、二つの函数 f, g の和 (f + g) は
( f + g ) ( w ) = f ( w ) + g ( w ) {\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w)}
で定義される函数であり、スカラー倍も同様である。そのような函数空間は多くの幾何学的状況で生じる。例えば Ω が実数直線 R やその区間あるいは R の他の部分集合などのときである。位相空間論や解析学における多くの概念、例えば連続性、可積分性や可微分性などは、線型性に関してよく振る舞う。即ち、そのような性質を満たす函数の加算やスカラー倍もまた同じ性質を持つ。従って、そのような函数全体の成す集合もまたそれぞれベクトル空間を成す。これら函数空間は、函数解析学の方法を用いてかなり詳しく調べられている(#付加構造を備えたベクトル空間節を参照)。代数学的な制約からもベクトル空間を得ることができる。ベクトル空間 F[x] は多項式函数
f ( x ) = r 0 + r 1 x + ⋯ + r n − 1 x n − 1 + r n x n {\displaystyle f(x)=r_{0}+r_{1}x+\dotsb +r_{n-1}x^{n-1}+r_{n}x^{n}}
(ただし各係数 r0, ..., rn は F の元)の全体によって与えられる。
解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。
歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。
今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない (英: coordinate-free) で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。
ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。