円周群
円周群は数学的に様々な形でその姿を明らかにする。よく知られた形のうちのいくつかを以下に挙げよう。特に知るべきは位相群の同型
T ≅ U ( 1 ) ≅ R / Z ≅ SO  ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {U} (1)\cong \mathbb {R/Z} \cong \operatorname {SO} (2)}
である。斜線 / は剰余群を表している。
1次ユニタリ行列全体の成す集合は円周群に一致する。つまり、円周群は一次のユニタリ群に自然同型である。
純虚指数函数は実数の加法群 R から円周群 T への群準同型 exp: R → T
θ ↦ e i θ = cos  θ + i sin  θ {\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
を与える。最後の等号はオイラーの公式である(あるいは複素指数函数を参照)。この実数 θ は単位円上で正の実軸から反時計回りに測った弧度法による角度に対応するものである。単位複素数同士の乗法は角度の和になるという事実:
e i θ 1 e i θ 2 = e i ( θ 1 + θ 2 ) {\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}