位相群
位相群とリー群との間の関係について、いくつか強力な結果が存在する。まず、リー群の間の任意の連続準同型 G → H は滑らかになる。これにより、位相群がリー群の構造を持つならば、その構造は一意に決まる。また、カルタンの定理(英語版)は、リー群の任意の閉部分群がリー部分群、特に滑らかな部分多様体となることを述べる。
ヒルベルトの第五問題(英語版)は、位相多様体の構造を持つ位相群 G がリー群となるか(つまり、滑らかな多様体の構造が入り、群演算が滑らかであるようにできるか)を問うものである。この問題はGleason, Montgomery, Zippinらによって肯定的に解決された。実は G は実解析的構造(英語版)を持つ。この可微分構造を用いて、G のリー環を定義することができる(これは被覆空間の違いを除いて連結群 G を決定する線型代数学的な対象である)。
位相群 G の反転演算は G 上の自己同相である。同様に、各元 a ∈ G の左乗および右乗は G の自己同相を与える。
任意の位相空間は、二通りの仕方で、一様空間と見ることができる。左一様性は各元の左乗を一様連続写像とする一様構造を言い、右一様性は右乗を一様連続写像とする一様構造を言う。G が非アーベルならば、これら二つが一致する必要はない。この一様構造により、完備性(英語版)や一様連続性あるいは一様収束性を位相群上で述べることができる。
一様空間として、任意の位相群は完全正則(英語版)である。これにより、単位元(のみからなる一点集合)が G において閉(これは T0(コルモゴロフ)条件)ならば、G は T2(ハウスドルフ)、さらに T31⁄2(チホノフ(英語版))にさえなる。G がハウスドルフでないときには、単位元の閉包 K による剰余群 G/H によってハウスドルフ位相群を得ることができる。これは G のコルモゴロフ商をとることと同値である。 定理 (Birkhoff–Kakutani)以下の三つは同値 単位元 1 が G において閉であり、G において 1 の可算基本近傍系が存在する。