ラグランジアン (場の理論)
M を n 次元多様体をとし、T を対象多様体とする。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を M から T への滑らかな函数がなす配位空間とする。
場の理論において、M は時空多様体であり、対象空間は場が任意の点で値として取ることのできる値域を示す集合である。例えば、m 個の実数値のスカラー場 φ 1 , ... , φ m {\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}} があるとすると、対象多様体は、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} である。場が実ベクトル場であれば、対象多様体は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} と同相である。M 上の接バンドルを使うもっと洗練された方法もあるが、ここではこの方法を使うことにする。
汎函数
S : C ⟶ R {\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\longrightarrow \mathbb {R} }
を考える。これは作用と呼ぶ。 作用は局所的であることから、作用としての要件を追加する。 φ ∈ C {\displaystyle \varphi \ \in {\mathcal {C}}} のとき、 S [ φ ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]} は、 φ {\displaystyle \varphi } 、その導関数および位置の関数であるラグランジアン L ( φ , ∂ φ , ∂ ∂ φ , ...