古在メカニズム
太陽系外惑星の中には、恒星に非常に近い軌道を公転する巨大ガス惑星であるホット・ジュピターと呼ばれる天体がある。このような惑星は初めは恒星より遠方で形成された後、古在機構と潮汐摩擦の組み合わせによって現在の軌道にまで移動することで形成されたとする説が提唱されている。
古在機構の最も単純な取り扱いは、内側連星の伴星である天体を試験粒子、すなわち他の主星と遠方の摂動天体の2天体と比べて質量が無視できる理想化された点状天体であると近似して扱うことである。このような近似は例えば、月による摂動を受けながら低軌道で地球を公転する人工衛星の場合、あるいは木星によって摂動を受ける短周期彗星の場合に有効である。この極限でのハミルトニアンは、軌道長半径および離心率を1とする単位系では
H i n t = − G m p e r t a 2 8 a p e r t 3 [ 5 + 3 H 2 L 2 − 6 G 2 L 2 − 15 ( 1 − G 2 L 2 − H 2 G 2 + H 2 L 2 ) sin 2  g ] {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {int} }=-{\frac {{\mathcal {G}}m_{\mathrm {pert} }a^{2}}{8a_{\mathrm {pert} }^{3}}}\left[5+3{\frac {H^{2}}{L^{2}}}-6{\frac {G^{2}}{L^{2}}}-15\left(1-{\frac {G^{2}}{L^{2}}}-{\frac {H^{2}}{G^{2}}}+{\frac {H^{2}}{L^{2}}}\right)\sin ^{2}g\right]}
により与えられる。
これらの近似のもとでは、伴星の軌道平均された運動方程式は保存量を持つ。これは、伴星の角運動量の、主星と摂動天体の角運動量に平行な成分である。この保存量は、伴星の軌道離心率 e と、摂動天体の軌道平面に対する軌道傾斜角 i によって以下のように表される。
この機構は、海王星より遠方の軌道で太陽を公転する仮説上の惑星である惑星Xの探査においても考慮されている。
惑星と古在共鳴に入っていることが知られている衛星は多数存在する。例えば、木星の衛星カルポ、エウポリエ、土星の衛星キビウク、イジラク、天王星の衛星マーガレット、海王星の衛星サオ、ネソが挙げられる。
いくつかの出典では、ソビエトの探査機ルナ3号が古在振動を起こしていることが確認された初の人工衛星であると記述されている。この探査機は1959年に、地球を周回する大きく傾いた離心率の大きい軌道へ打ち上げられ、月の裏側を初めて撮影するミッションであった。探査機は11回の公転を終えた後、地球の大気に突入して消滅した。しかし Gkolias らの研究によると、地球の形状の扁平率の影響によって古在振動は阻害されるため、探査機の軌道の減衰には別の異なる機構が関わっているはずだと考えられる。
ハミルトン力学では、物理系は位相空間における正準座標の関数であるハミルトニアン H {\textstyle {\mathcal {H}}} によって特徴付けられる。正準座標系は、配置空間における一般化座標系 x i {\textstyle x_{i}} と、その共役運動量 p i {\textstyle p_{i}} からなる。ある系を記述するのに必要な ( x i , p i ) {\textstyle (x_{i},p_{i})} の組の数は、その系の自由度の数である。座標系は通常、特定の問題を解くのに必要な計算を簡素化できるように選ばれる。正準座標の組み合わせは、正準変換によって別の正準座標に変換することができる。系の運動方程式はハミルトンの正準方程式を介してハミルトニアンから得られ、これは座標の時間微分を共役運動量に関するハミルトニアンの偏微分に結び付ける。