ポアンカレの定理
領域 D ⊂ R n {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}} とトーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} の直積 M = D × T n {\displaystyle M=D\times \mathbb {T} ^{n}} を位相空間とする可積分系 H 0 {\displaystyle H_{0}} (その作用・角変数を ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} とする) がツイスト条件(非退化の条件)
d e t ( ∂ 2 H 0 ∂ J i ∂ J j ) ≠ 0 {\displaystyle \mathrm {det} \,\left({\frac {\partial ^{2}H_{0}}{\partial J_{i}\partial J_{j}}}\right)\neq 0}
を満たすと仮定する。パラメータ ε {\displaystyle \epsilon } に解析的に依存する近可積分系
H ( J , θ , ε ) = H 0 ( J ) + ε H 1 ( J , θ ) + ε 2 H 2 ( J , θ ) + ⋯ {\displaystyle H(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }},\epsilon )=H_{0}(\mathbf {J} )+\epsilon H_{1}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})+\epsilon ^{2}H_{2}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})+\cdots }