リーマン多様体
(M, g) をリーマン多様体、N ⊂ M を M の部分多様体とすると、g の N に接するベクトルへの制限は、N 上のリーマン計量を定義する。
より一般的に、f: M→N をはめ込み(immersion)とする。N がリーマン計量を持っていれば、f は引き戻し(英語版)(pullback)を通して、M 上のリーマン計量を誘導する。
g p M : T p M × T p M ⟶ R , {\displaystyle g_{p}^{M}\colon T_{p}M\times T_{p}M\longrightarrow \mathbf {R} ,} ( u , v ) ⟼ g p M ( u , v ) := g f ( p ) N ( T p f ( u ) , T p f ( v ) ) . {\displaystyle (u,v)\longmapsto g_{p}^{M}(u,v):=g_{f(p)}^{N}(T_{p}f(u),T_{p}f(v)).}
すると、これは計量である。正定値性は、はめ込みの微分の単射性から従う。
(M, g) をリーマン多様体、h:M→N を微分可能写像、q∈N を h の正則値(微分 dh(p) がすべての p∈h(q) に対して全射)とする。すると、h(q)⊂M は M の n 次元部分多様体である。したがって、h(q) は包含から引き起こされるリーマン計量を持っている。