1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
数学において級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... は数学史上初めて無限級数の和が計算されたものの1つの例である。紀元前250年〜200年頃、アルキメデスによって、使われた。これは初項 1/4、公比 1/4 の等比数列なので、その和は以下のようになる。
1 4 1 − 1 4 = 1 3 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}}
アルキメデスは、彼の著書『放物線の求積』(The Quadrature of the Parabola) の中で、この級数について言及している。彼は持久力を要する方法で、放物線の中に領域を見つけていき、三角形に関する級数を得ている。構成の各段階で直前の段階の面積の 1/4 倍の面積が加えられる。彼は全体の面積が、最初の段階の面積の 4/3 になると予想した。これを得るために、彼は放物線を一旦おいて代数的な補題を用意した。
命題23: 面積の列 A, B, C, D, ... , Z が与えられていて、A が最も大きく、各々は次のものの4倍に等しいとすると、
A + B + C + D + ⋯ + Z + 1 3 Z = 4 3 A {\displaystyle A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A}
となる。
アルキメデスはこの命題を次のように証明する。最初に以下のように計算する。
B + C + ⋯ + Z + B 3 + C 3 + ⋯ + Z 3 = 4 B 3 + 4 C 3 + ⋯ + 4 Z 3 = 1 3 ( A + B + ⋯ + Y ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y)\end{array}}}