交換子部分群
一般に交換子が積で閉じていないことが次の定義に繋がる。群 G の交換子全体が生成する部分群
[ G , G ] = ⟨ { [ x , y ] ∣ x , y ∈ G } ⟩ {\displaystyle [G,G]={\big \langle }\left\{\,[x,y]\mid x,y\in G\,\right\}{\big \rangle }}
を G の交換子部分群という。これを導来部分群と呼ぶこともある。交換子部分群を表す記号としては他にも
G ′ , G ( 1 ) , γ 2 ( G ) , D ( G ) {\displaystyle G',\quad G^{(1)},\quad \gamma _{2}(G),\quad D(G)}
などが慣習的に用いられることがある。交換子の逆元も交換子なので、交換子部分群 [G, G] の任意の元は有限個の交換子の積
[ x 1 , y 1 ] [ x 2 , y 2 ] ⋯ [ x n , y n ] {\displaystyle [x_{1},y_{1}][x_{2},y_{2}]\cdots [x_{n},y_{n}]}
の形に書くことができる。さらに共役に関しては、
( [ x 1 , y 1 ] ⋯ [ x n , y n ] ) z = [ x 1 z , y 1 z ] ⋯ [ x n z , y n z ] {\displaystyle ([x_{1},y_{1}]\cdots [x_{n},y_{n}])^{z}=[x_{1}^{z},y_{1}^{z}]\cdots [x_{n}^{z},y_{n}^{z}]}
任意のアーベル群 A と群準同型 φ: G → A に対し、群準同型 ψ: G → A で φ = ψ ∘ π を満たすものが一意的に存在する。
を満たす。普遍性からアーベル化 G は自然同型を除いて一意的である。また存在性は具体的な構成 G → G/[G, G] からわかる。このアーベル化函手は、アーベル群の圏から群の圏への包含函手の左随伴である。一方で群の中心はこのような函手性を持たない。
これとは別の、アーベル化 G の重要な解釈は、G の一次の整数係数ホモロジー群 H1(G, Z) と見做すことである。