係数環の変更
代数学において,環準同型 f: R → S が与えられると,加群の係数環を変更する3つの方法がある;すなわち,右 R-加群 M と右 S-加群 N に対し,
f ! M = M ⊗ R S {\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S} , 誘導加群.
f ∗ M = Hom R  ( S , M ) {\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)} , 余誘導加群.
f ∗ N = N R {\displaystyle f^{*}N=N_{R}} , 係数の制限.
それらは随伴関手として関係する:
f ! : Mod R ⇆ Mod S : f ∗ , {\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*},}
f ∗ : Mod S ⇆ Mod R : f ∗ . {\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}
これはシャピロの補題(英語版)と関係する.