自由代数
可換環 R に対し、n 不定元 {X1, ..., Xn} 上の自由(結合的単位的)代数とは、アルファベット {X1, ..., Xn} 上のすべての語(空な語を含み、これは自由代数の単位元である)からなる基底を持つ自由 R 加群である。この R 加群は積を以下のように定義して R 代数となる:2つの基底元の積は対応する語の結合
( X i 1 X i 2 ⋯ X i m ) ⋅ ( X j 1 X j 2 ⋯ X j n ) = X i 1 X i 2 ⋯ X i m X j 1 X j 2 ⋯ X j n , {\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{n}},}
であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される(なぜならば R 代数における積は R 双線型でなければならないからである)。この R 代数は R⟨X1, ..., Xn⟩ と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 X に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 X = { Xi | i ∈ I} に対して、X 上の自由(結合的単位的)R-代数は
R ⟨ X ⟩ := ⨁ w ∈ X ∗ R w {\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}