デーン平面
デーンは自らの幾何を構成する為に非アルキメデス的に順序付けられたピタゴラス的体 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} を用いた。これは実係数1変数有理式(関数)の成す体 R ( t ) {\displaystyle \mathbb {R} (t)} のピタゴラス閉包、すなわち実定数関数と不定元 t を意味する恒等関数(実数をそれ自身に写す関数)を含み、演算 ω ↦ ( 1 + ω 2 ) {\displaystyle \omega \mapsto {\sqrt {(1+\omega ^{2})}}} で閉じた最小の関数体である。この Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} は次のように順序付けられる: x > y {\displaystyle x>y} であるのは、十分大きな任意の実数 t {\displaystyle t} に対して x ( t ) > y ( t ) {\displaystyle x(t)>y(t)} が成り立つときである。 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} の元 x {\displaystyle x} が有限と呼ばれるのは、ある整数 m , n {\displaystyle m,n} に対して m < x < n {\displaystyle m<x<n} となるときである。有限でない元は無限大と呼ばれる。