八元数
‖ x y ‖ = ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
を満足する(つまり乗法的である)ことが挙げられる。これにより、八元数の全体は非結合的ノルム多元体となることが従う。ケイリー・ディクソン構成を使って得られるより高次の代数(十六元数など)ではこの性質は成り立たない(それらの代数には零因子が存在する)。
乗法的な絶対値 (modulus) を持つより広い数体系も存在する(例えば 16-次元である錐十六元数全体)が、それらの絶対値はノルムとは別に定義されるもので、その体系は零因子をも含む。
実数体上のノルム多元体が R, C, H および O に限られることが証明できる。これら四種類の多元環は、(同型を除き)実数体上の有限次元交代可除代数に他ならない。
積が結合的ではないから、O の非零元全体は群にはならない。しかしそれはループであり、実際はムーファンループを成す。