微分法
f は実数直線 R(またはその開区間)上で定義された可微分函数で、x は f の極大値または極小値を与える点とするとき、f の導函数の x における値は零に等しい。f'(x) = 0 なる点は臨界点または停留点(英語版)と呼ばれ、また f の x における値は臨界値(英語版)と呼ばれる(臨界点の定義は、微分係数が存在しない点まで含めるように拡張することがある)。逆に、f の臨界点 x を f の x における二階導関数を考えることで調べることができる:
二階微分係数が正ならば x で極小であり、
二階微分係数が負ならば x で極大であり、
二階微分係数が零ならば x で極小かもしれないし極大かもしれないし何れでもないかもしれない。例えば、f(x) = x は x = 0 に臨界点を持つがそこでは極小でも極大でもない。他方 f(x) = ± x は x = 0 に臨界点を持ち、そこでそれぞれ極小値および極大値をとる。
これは二階微分判定法(英語版)と呼ばれる。
平均値の定理は微分係数の値と元の函数の値との関係を記述する。f(x) が実数値函数で a, b は a < b を満たす数とするとき、平均値の定理は、緩やかな仮定の下で二点 (a, f(a)) および (b, f(b)) 間の傾きが a と b の間にある適当な点 c における接線の傾きに等しいことを主張する。記号で書けば f'(c) = f(b) − f(a)/b − a が成り立つ。
実用上は、平均値の定理がやっていることは、導函数によって函数自身を制御することである。例えば、f が各点において零に等しい導函数を持つとすると、これはその接線が至る所水平であることを意味するから、函数自身も水平でなければならない。平均値の定理はこれが実際に正しいことを証明する。f グラフ上の任意の二点間の傾きは f の接線の一つの傾きに等しくなければならず、それは全て零なのであるから、グラフ上の一点から別の任意の点へ引いた任意の直線も傾き零でなければならない。そしてそのような函数は上昇も下降もできないのだから水平線に他ならない。
導函数に対してより複雑な条件を与えれば、正確性は落ちるがより有効なもとの函数に関する情報が得られる。