トンネル効果
1928年、ジョージ・ガモフと、彼とは独立にロナルド・ガーニー(英語版)とエドワード・コンドン(英語版)により、アルファ崩壊の説明において、トンネル効果が応用された。彼らは、核ポテンシャルをモデル化したシュレーディンガー方程式を解き、粒子の半減期と、放出されるエネルギーとの関係式が、トンネル効果の起こる確率と直接関係していることを導いた。
マックス・ボルンは、ガモフのセミナーに参加した際に、トンネル効果が原子核物理学の範囲内に留まらず、もっと普遍的な現象であることに気付いた。その直後、両グループは、トンネル効果によって粒子が原子核に取り込まれることについて考察した。1957年までに、半導体の研究とトランジスタやダイオードの開発を通じて、電子のトンネル効果が広く認知されるようになった。江崎玲於奈、アイヴァー・ジェーバー、ブライアン・ジョゼフソンは超伝導性クーパー対のトンネル効果を予言し、1973年のノーベル物理学賞を受賞した。2016年、水の量子トンネリング(英語版)が発見された。
このポテンシャルの丘から遠いところでは、粒子は自由に振動する波と類似の振る舞いを示す。ポテンシャルの丘のふもとでは、粒子の振幅は指数関数的に変化する。これらの極限における振る舞いと折り返し点を考慮すると、大域解を得ることができる。
はじめに、古典的折り返し点を x1 とし、 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)} を x1 周りの羃級数で展開する。
2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) = v 1 ( x − x 1 ) + v 2 ( x − x 1 ) 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }
この初項のみを採れば線形性が保証される。
2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) = v 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})}
この近似を用いると、x1 近傍について次の微分方程式を得る。
量子トンネル効果を考慮することにより、分子状水素や水(氷)、および生命の起源として重要なホルムアルデヒドなどの様々な分子が星間雲において宇宙化学的に合成されている理由を説明できる。