パーセヴァルの等式
H をヒルベルト空間 L[−π,π] とし、n ∈ Z に対して en = e とすれば、パーセヴァルの等式のフーリエ級数の場合を導くことが出来る。
より一般に、可分ヒルベルト空間だけでなく、任意の内積空間においてパーセヴァルの等式は成立する。したがって H を内積空間と仮定する。B を H の正規直交基底とする。すなわち、B の線型包が H において稠密となるという意味で total な正規直交集合とする。このとき、次が成り立つ。
‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ = ∑ v ∈ B | ⟨ x , v ⟩ | 2 . {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.}
B が total であるという仮定は、等式が成立するために必要である。B が total でないなら、パーセヴァルの等式の等号が by ≥ に変わったベッセルの不等式が成り立つ。このようなパーセヴァルの等式の一般の形は、リース=フィッシャーの定理を利用することで証明できる。