ウンルー効果
1976年にウィリアム・ウンルーが導出したウンルー温度(ウンルーおんど Unruh temperature)は、真空場内を一様加速する検知器が経験するであろう有効温度であり、次のように計算される。
T = ħ a 2 π c k B , {\displaystyle T={\frac {\hbar a}{2\pi ck_{\mathrm {B} }}},}
ここで a は局所加速度、kB はボルツマン定数、ħ は換算プランク定数、c は光速である。したがって、例えば 2.5×10 m s の固有加速度がおよそ 1 K の温度に対応する。
ウンルー温度は、スティーヴン・ホーキングにより同時期に独立して導出された、ブラックホールに対して定義されるホーキング温度 TH = ħg/2πckB と同じ形式を持っている。したがって、ホーキング・ウンルー温度と呼ばれることもある。
特殊相対性理論によれば、ミンコフスキー時空上を一様な固有加速度(英語版) a をもって運動する観測者はリンドラー座標系を用いて記述するのが便利である。リンドラー座標系における線素(英語版)は以下のように書ける。
d s 2 = − ρ 2 d σ 2 + d ρ 2 , {\displaystyle ds^{2}=-\rho ^{2}\,d\sigma ^{2}+d\rho ^{2},}
ここで、 ρ = 1/a であり、σ は観測者の固有時間 τ と σ = aτ で関連付けられる量である(c = 1 とおいた)。リンドラー座標系は標準的な(デカルト)ミンコフスキー座標系との関係式は以下とおりである。
x = ρ cosh  σ t = ρ sinh  σ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cosh \sigma \\t&=\rho \sinh \sigma .\end{aligned}}}
ρ を一定に保って運動する観測者はミンコフスキー空間上における双曲線を描く。
ρ を一定に保つような経路に沿って運動する、一様な加速度を受けている観測者は、 σ の関数としてある一定の定常な周波数を持つ場のモード群とカップリングしている。これらのモードは通常のミンコフスキー時間に対して検知器の加速につれてどんどん周波数がシフトしていく。
σ 方向への並進操作はミンコフスキー空間上における対称操作、原点まわりのローレンツブーストである。
σ に対して一定の周波数をもつモードとカップリングした検知器にとっては、ブースト演算子はハミルトニアンとなる。ユークリッド場理論においては、ブーストは回転と解析的に連続であり、回転は 2π をもって閉じている。したがって、以下が成り立つ。
このハミルトニアンの経路積分は周期 2π で閉じており、これにより H のモードが温度 1/2π で熱的に占有されることが保証される。ここで H は無次元量であるから、ここでいう温度は実際の温度ではない。これは無次元量である時間的極角度 σ と共役な量である。長さ次元を復元するためには、位置 ρ において σ に対しての固定周波数 f をもつモードは ρ における計量(の絶対値)の自乗根を赤方偏移因子として決まる周波数を持つことに注意が必要である。上に示した線素の方程式から、これが単に ρ であることは容易に見てとれる。この位置における実際の逆温度は以下のようになる。
β = 2 π ρ . {\displaystyle \beta =2\pi \rho .}
ρ を一定に保つようなトラジェクトリにおける加速度は 1/a に等しいから、実際の逆温度は次のように書ける。
β = 2 π a . {\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{a}}.}
単位を付ければ、以下のようになる。
k B T = ħ a 2 π c . {\displaystyle k_{\text{B}}T={\frac {\hbar a}{2\pi c}}.