ムーア・ペンローズ逆行列
A {\displaystyle A} が列フルランク( ( I n − A + A ) {\displaystyle (I_{n}-A^{+}A)} が零行列)でない限り、これは無数の最小解を与える。 最小ユークリッドノルムの解は z {\displaystyle z} である。
ユークリッドノルムをフロベニウスノルムに置き換えると、複数右辺ベクトルを持つ連立方程式に簡単に拡張できる。 B ∈ k m × p {\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times p}} とすると、次のようになる。
任意の X ∈ k n × p {\displaystyle X\in \mathbb {k} ^{n\times p}} について、 ‖ A X − B ‖ F ≥ ‖ A Z − B ‖ F {\displaystyle \|AX-B\|_{\mathrm {F} }\geq \|AZ-B\|_{\mathrm {F} }} となる。ここで Z = A + B {\displaystyle Z=A^{+}B} であり、 ‖ ⋅ ‖ F {\displaystyle \|\cdot \|_{\mathrm {F} }} はフロベニウスノルムを表す。
他に、再帰を用いて擬似逆行列を計算する方法(ドラジン逆行列(英語版)を参照)がある。
これは、超べき列(hyper-power sequence)と呼ばれることもある。この再帰は、適切な A 0 {\displaystyle A_{0}} から始まり、 A 0 A = ( A 0 A ) ∗ {\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}} を満足する場合、 A {\displaystyle A} の擬似逆行列に2次的に収束する列を生成する。 A 0 = α A ∗ {\displaystyle A_{0}=\alpha A^{*}} という選び方(ここで 0 < α < 2 / σ 1 2 ( A ) {\displaystyle 0<\alpha <2/\sigma _{1}^{2}(A)} であり、 σ 1 ( A ) {\displaystyle \sigma _{1}(A)} は A {\displaystyle A} の最大の特異値を示す)は、上記のSVDを使用する方法と競合しないと主張されている。
k = R {\displaystyle \mathbb {k} =\mathbb {R} } のときは、 A ∗ = A ⊺ {\displaystyle A^{*}=A^{\intercal }} である。
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} に対して、 ran  A {\displaystyle \operatorname {ran} A} (「値域(range)」の略)は、 A {\displaystyle A} の列空間(像)( A {\displaystyle A} の列ベクトルが張る空間)を表し、 ker  A {\displaystyle \ker A} は A {\displaystyle A} の核(零空間)を表す。
最後に、任意の正の整数 n {\displaystyle n} に対して I n ∈ k n × n {\displaystyle I_{n}\in \mathbb {k} ^{n\times n}} は n × n {\displaystyle n\times n} 単位行列を表す。