接束
これらの写像を TM の位相と滑らかな構造を定義するのに使う。TM の部分集合 A が開であることと
φ ~ α ( A ∩ π − 1 ( U α ) ) {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))}
が R において各 α に対して開であることは同値である。するとこれらの写像は TM の開部分集合と R の間の同相写像でありしたがって TM の滑らかな構造のチャートとして仕える。 π − 1 ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} で重なるチャート上の変換関数は伴う座標変換からヤコビ行列から誘導され、したがって R の開部分集合の間の滑らかな写像である。
接束はベクトル束(これはそれ自身ファイバー束の特別な種類である)と呼ばれるより一般的な構造の例である。明示的に書くと、n 次元多様体 M への接束は、変換関数が伴う座標変換のヤコビアンによって与えられる、M 上のランク n のベクトル束として定義できる。