一般型曲面
c 1 2 + c 2 ≡ 0 ( mod 12 ) {\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}} (12χ に等しい)
c 1 2 ≥ 0 , c 2 ≥ 0 {\displaystyle c_{1}^{2}\geq 0,c_{2}\geq 0}
c 1 2 ≤ 3 c 2 {\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}} (ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式)
5 c 1 2 − c 2 + 36 ≥ 12 q ≥ 0 {\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geq 12q\geq 0} ここで q は曲面の不正則数である。(ネター不等式)
これらの条件を満たす多くの(全ての、かもしれない)整数のペアは、ある一般型の複素曲面のチャーン数である。一方、概複素曲面に対しては、唯一の拘束条件は、
c 1 2 + c 2 ≡ 0 ( mod 12 ) , {\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}
であり、この条件を満たすようなチャーン数のペアは常に、ある概複素曲面のチャーン数として実現できる。
図の左下の境界にあるこれらの曲面は、詳しく研究されている。これらの曲面では、持ちうる第二チャーン類は、3 から 11 までの任意の整数である。これらの値全てについて、そのチャーン数を持つ曲面が知られている。研究されている多くの例のうちのいくつかを挙げる。
c2 = 3: マンフォード曲面(英語版)(Mumford surface) 第一の例はマンフォード(Mumford)により、p-進幾何学を使い発見され、全部で 50 例ある。マンフォード曲面は射影平面と同じベッチ数を持っているが、基本群が無限群であり、同相ではない。
c2 = 4: ベルヴィル曲面(英語版)(Beauville surface)は、オーナンド・ベルヴィル(Arnaud Beauville)に因んで命名され、基本群が無限群である。
c2 ≥ 4: ベルニア曲面(英語版)(Burniat surface)
c2 = 10: カンペデーリ曲面(英語版)(Campedelli surface) 同じホッジ数を持つ曲面で、数値的カンペデーリ曲面(numerical Campedelli surfaces)と呼ばれている。