ピカール＝リンデレーフの定理
この定理の証明は、微分方程式を変換し、不動点定理を応用することで行われる。両辺を積分すれば、その微分方程式を満たす関数は、積分方程式
y ( t ) − y ( t 0 ) = ∫ t 0 t f ( s , y ( s ) ) d s {\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds}
をも満たすことになる。解の存在と一意性の証明は、ピカールの逐次近似法によって得られる。この方法はピカール反復(Picard iteration)とも呼ばれる。
ここで関数列 φk を
φ 0 ( t ) = y 0 , {\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0},}
φ k + 1 ( t ) = y 0 + ∫ t 0 t f ( s , φ k ( s ) ) d s {\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds}
と定義する。バナッハの不動点定理を用いることで、関数列 φk が一様収束し、その極限関数が初期値問題の解であることを示すことができる。グロンウォールの補題を |φ(t) − ψ(t)| ( φ と ψ は2つの解)に適用すると、 φ(t) = ψ(t) となり、大域的な一意性が証明される(局所的な一意性は、バナッハ不動点の一意性の結果である)。