アーベル圏
以下の4条件を満たす圏 C を加法圏(英語版)という。
C は零対象を持つ。
X1, X2 ∈ C に対して直積 X1 × X2 と直和 X1 ⊔ X2 が存在する。
X1, X2 ∈ C、入射 ik: Xk → X1 ⊔ X2 と射影 pj: X1 × X2 → Xj に対して
p j ∘ r ∘ i k = { id X k j = k 0 j ≠ k {\displaystyle p_{j}\circ r\circ i_{k}={\begin{cases}\operatorname {id} _{X_{k}}&j=k\\0&j\neq k\end{cases}}}
で定まる射 r: X1 ⊔ X2 → X1 × X2 が同型である。
X ∈ C に対して合成
X ⟶ X × X ⟶ ( a , id X ) X × X ⟵ r X ⊔ X ⟶ X {\displaystyle X\longrightarrow X\times X{\stackrel {(a,\operatorname {id} _{X})}{\longrightarrow }}X\times X{\stackrel {r}{\longleftarrow }}X\sqcup X\longrightarrow X}
アーベル圏(アーベルけん、英語: Abelian category)とはアレクサンドル・グロタンディークによって考案された、ホモロジー代数が展開できるよういくつかの公理を満たす圏である。元来、層係数のコホモロジー理論(層コホモロジー)と定数係数のコホモロジー理論は、定義および構成方法がまったくといっていいほど異なるにもかかわらず、理論の構造は酷似していた。そのため両者を統一的な観点から記述するために考案された。しかしながら知られているすべてのコホモロジー理論がアーベル圏上で展開できるわけではない。