シュール分解
与えられた正方行列 A と B に対し、一般化シュール分解(generalized Schur decomposition)はそれらを A = Q S Z ∗ {\displaystyle A=QSZ^{*}} および B = Q T Z ∗ {\displaystyle B=QTZ^{*}} のように分解するものである。ここで Q と Z はユニタリ行列であり、S と T は上三角行列である。一般化シュール分解はしばしば QZ 分解とも呼ばれる 。
一般化固有値問題 A x = λ B x {\displaystyle Ax=\lambda Bx} ( x {\displaystyle x} はゼロでない未知のベクトル)の解である一般化固有値 λ {\displaystyle \lambda } は、S の対角要素をそれに対応する T の対角要素により割った商として計算される。すなわち、行列の対角要素を下付き添え字を使って表すとき、第 i 番目の固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} は λ i = S i i / T i i {\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}} として得られる。
すべての正方行列にはシュール分解が存在するが、一般にこの分解は一意でない。どの固有値を選ぶかの順序の選択や、ある固有値の固有空間 Vλ の次元が 1 より大きい場合もありうる。そのような場合であっても Vλ に対応する正規直交基底を任意に選んで操作を行えば分解は成立する。
三角行列 U を U = D + N と表す。ただし D は対角行列で、N は狭義の上三角行列(したがって冪零行列)である。対角行列 D は A の固有値を任意の順番で含むものである(したがってそのフロベニウスノルムの二乗は A の固有値の絶対値の二乗の和となる。しかし A のフロベニウスノルムの二乗は A の特異値の二乗の和である)。その冪零の部分 N は一般に一意ではないが、そのフロベニウスノルムは A によって一意に定まる(なぜならば A のフロベニウスノルムは U = D + N のフロベニウスノルムと等しいからである)。
A が正規行列であるなら、そのシュール分解により得られる U は対角行列でなくてはならず、Q の列ベクトルは A の固有ベクトルによって構成される。
したがってシュール分解はスペクトル分解を拡張するものである。特に A が正定値であるなら、そのシュール分解とスペクトル分解および特異値分解は一致する。
ある可換な行列の族 {Ai} は同時に三角化出来る。すなわち、あるユニタリ行列 Q が存在して、その与えられた族の任意の Ai に対して Q Ai Q* が上三角行列となる。このことはすでに示した上述の証明より従う。{Ai} のある元 A を選び、再び固有空間 VA を考える。このとき VA は {Ai} 内のすべての行列に対して不変である。したがって {Ai} 内のすべての行列は VA 内のある固有ベクトルを必ず共有する。あとは帰納的に主張が従う。その系として、正規行列の全ての可換な族は同時対角化可能というものがある。
無限次元の場合、バナッハ空間上のすべての有界作用素に対して不変部分空間が存在するとは限らない。しかし、任意の正方行列に対する上三角化はコンパクト作用素に対しては一般化される。複素バナッハ空間上のすべてのコンパクト作用素は、縮小閉部分空間列(英語版)を持つ。