カリー＝ハワード同型対応
547–565, ISBN 90-74795-07-2 .
de Queiroz, Ruy; Gabbay, Dov (1995), “The Functional Interpretation of the Existential Quantifier”, Bulletin of the Interest Group in Pure and Applied Logics, 3(2–3), pp. 243–290 . (Full version of a paper presented at Logic Colloquium '91, Uppsala. Abstract in JSL 58(2):753–754, 1993.)
de Queiroz, Ruy; Gabbay, Dov (1997), “The Functional Interpretation of Modal Necessity”, in de Rijke, Maarten, Advances in Intensional Logic, Applied Logic Series, 7, Springer-Verlag, pp. 61–91, ISBN 978-0-7923-4711-8 .
de Queiroz, Ruy; Gabbay, Dov (1999), “Labelled Natural Deduction”, in Ohlbach, Hans-Juergen; Reyle, Uwe, Logic, Language and Reasoning.
ヨアヒム・ランベックは1970年始めに直観主義命題論理とデカルト閉圏の等式理論と対応するある種の型付きコンビネータとの対応関係の証明を示した。このカリー=ハワード=ランベック対応は直観主義論理、型付きラムダ計算およびデカルト閉圏との間の対応として知られる。ここではオブジェクトは型あるいは命題に、モルフィズムは項あるいは証明に解釈される。この対応は等号レベルに於いて働き、カリー=ハワード対応にあるような構文的・構造的同等性を表現しない:すなわち、デカルト閉圏のモルフィズムの構造と、対応する判定のヒルベルト流あるいは自然演繹の証明の構造と比較することはできない。もちろん構文的に対応するような証明体系を構成することはできる。この区別を明確にするために、デカルト閉圏の構文的な構造を次のように言い換える。すなわちデカルト閉圏を型付きの等式理論として形式化する。
オブジェクト(型)は次のように帰納的に定義される:
⊤ {\displaystyle \top } はオブジェクトである、
α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } がオブジェクトならば、 α × β {\displaystyle \alpha \times \beta } と α → β {\displaystyle \alpha \rightarrow \beta } はオブジェクトである。
モルフィズム(項)は次のように帰納的に定義される:
i d {\displaystyle id} 、 ⋆ {\displaystyle \star } 、 eval {\displaystyle \operatorname {eval} } 、 π 1 {\displaystyle \pi _{1}} と π 2 {\displaystyle \pi _{2}} はモルフィズムである、
Curry, Haskell (1934), “Functionality in Combinatory Logic”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 20, pp. 584–590 .
Curry, Haskell B.; Feys, Robert (1958), Craig, William, ed., Combinatory Logic Vol. I, Amsterdam: North-Holland , with 2 sections by William Craig, see paragraph 9E.
De Bruijn, Nicolaas (1968), Automath, a language for mathematics, Department of Mathematics, Eindhoven University of Technology, TH-report 68-WSK-05.
BHK解釈は直観主義的な証明の含意と全称化を関数として解釈するが、解釈における関数のクラスがどのようなものであるかを指定してはいない。もし関数のクラスとしてラムダ計算を取るならば、BHK解釈は自然演繹とラムダ計算との間の対応と同じことを述べていることになる。