汎函数微分
V ( r ) = F [ ρ ] = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}dr'}
と扱う。つまり、各 r に対して、電位 V(r) というのは、ρ(r′) を引数とする汎函数なのである。汎函数微分の定義に照らして、
⟨ δ F [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) , f ( r ′ ) ⟩ = d d ε 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ ) + ε f ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ | ε = 0 = 1 4 π ε 0 ∫ f ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ = ⟨ 1 4 π ε 0 | r − r ′ | , f ( r ′ ) ⟩ .
が得られる。クーロン位置エネルギー汎函数の二階汎函数微分は
δ 2 J [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | = 1 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}={\frac {1}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}}
となる。