グリーンの恒等式
グリーンの第二恒等式は、二つのスカラー函数の二階微分と一階微分(の発散)との関係を表すものである。微分形式では、
p m Δ q m − q m Δ p m = ∇ ⋅ ( p m ∇ q m − q m ∇ p m ) {\displaystyle p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)}
となる。ここで pm と qm は二つの任意の二階連続的微分可能なスカラー場である。この恒等式は、質量やエネルギーのようなスカラー場に対して連続の方程式が成立する担保となるため、物理学において非常に重要なものとなっている。グリーンの第二恒等式はベクトル解析においてよく示されているが、多くの教科書ではスカラーの場合のみが扱われている。専門書においても、ベクトルの場合を見つけるのは容易ではない。ベクトル回折理論において、そのようなグリーンの第二恒等式の二つの場合が導入されている。一方は、クロス積の発散によるもので、場における回転と回転に関する関係を表している:
P ⋅ ( ∇ × ∇ × Q ) − Q ⋅ ( ∇ × ∇ × P ) = ∇ ⋅ ( Q × ∇ × P − P × ∇ × Q ) .