多変数多項式
不定元の添字からなる(任意の)集合 S に、S 上の自由(英語版)可換モノイドを対応付ける。
加法的記法を用いて、考えたい自由可換モノイドは、S から非負整数全体の成す集合 N への、台が有限な写像(つまり、有限個の例外を除く全ての成分が 0 となる非負整数の族 (ks)s∈S)全体の成す集合 N に成分ごとの和を入れたものとして書くことができる。各 s ∈ S に対し、このモノイドの元 es を s において 1, それ以外では 0 となるような S から N への写像と定めれば、(es)s∈S はこの可換モノイドの「基底」となる。それはつまり N の各元が es の形の元の有限和(各 es は何度も重複して用いてよい)として一意に書けるという意味である。具体的に (ks)s∈S は 0 でない非負整数 ks 全て(それは有限個しかない)に対する kses の和である。
モニック単項式全体の成すモノイド MS も同じく S 上の自由可換モノイドであるが、記法は乗法的であり、標準基底は (Xs)s∈S と書かれる。すなわち、任意のモニック単項式は Xs の冪の有限積として一意に表される。
多項式環 A[(Xs)s∈S] は、モノイド MS の A-係数モノイド環 A[MS] として定義される。すなわち、各多項式 P はモニック単項式の A-係数形式線型結合である。これはまた N から A への有限台付き写像とも解釈でき、それは有限個の例外を除く全ての成分が 0 となる各族 (ks)s∈S に対し、P における単項式 ∏s∈S X kss の係数を対応させる写像として表される。
したがって多項式環 A[MS] は MS 上の A-自由加群であり、モノイド MS における乗法を線型に拡張した A-多元環の乗法を一意に備える。