代数的K理論
キレンは、A が代数体 F (有理数の有限拡大)の代数的整数の環であれば、A の代数的 K-群は有限生成であることを証明した。アルマン・ボレル(Armand Borel)はこのことを使い、Ki(A) と Ki(F) modulo torsion を計算した。整数 Z に対し、ボレルは (modulo torsion として)
k を正としたときに i=4k+1 とならない正の整数 i に対し、Ki (Z)/tors.=0 であり
正の k に対し、K4k+1 (Z)/tors.= Z
であることを証明した。
K2i+1(Z) の捩れ部分群と有限群 K4k+2(Z) の位数は、最近、決定することができたが、後者の群が巡回群であるかどうか、群 K4k(Z) が 0 となるかどうかが、円分整数の類群についてのヴァンディヴァー予想(英語版)(Vandiver's conjecture)に依存している。さらに詳しくはキレン・リヒテンバウム予想(英語版)(Quillen–Lichtenbaum conjecture)を参照。