リアプノフ指数
軌道がカオス的振る舞いをみせるストレンジアトラクターは、フラクタル構造を持つことが多い。このようなアトラクターのフラクタル次元とリアプノフスペクトラムの間には関係が存在する。アトラクターのリアプノフスペクトラムが得られたとして、その各リアプノフ指数 λi がそれらの値の大きさで降順に並べられているとしたとき、次のようなフラクタル次元の一種 DL が定義される。
D L = j + ξ j | λ j + 1 | ( j < k ) {\displaystyle D_{L}=j+{\frac {\xi _{j}}{|\lambda _{j+1}|}}\quad (j<k)}
ここで、 ξj は、
ξ j = ∑ i = 1 j λ i {\displaystyle \xi _{j}=\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}}
であり、j は ξj が負にならない最大値、すなわち、リアプノフ指数を λ1 + λ2 + λ3 ...と順に足していったときに、その総和が負となる直前における、足し合わせたリアプノフ指数の個数である。ξj ≥ 0 を満たす j が存在しないときは、DL = 0、系の次元数 k と j が一致する場合は、DL = k とする。
このように定義されたフラクタル次元 DL は、リアプノフ次元 (英: Lyapunov dimension)と呼ばれる。