付値
どのふたつも互いに同値ではない、体 K の非自明な乗法付値 |•|1, ... , |•|n に対し、K の任意の元 a1, ... , an と正数 ε1, ... , εn に対して、K の元 b が存在して
| b − a i | i < ε i {\displaystyle |b-a_{i}|_{i}<\varepsilon _{i}}
が全ての i に対して成立する。これを乗法付値に対する近似定理という。
上記の乗法付値の組を相異なる素数 p からなる p-進付値とすれば、この定理は、中国剰余定理を表している。
体 K の加法付値 v の値群 v(K) が、辞書式順序で Zと順序同型であるとき離散的であるといい、この様な加法付値を離散的加法付値または離散的一般付値という。 特に、上記 n が 1 である離散的加法付値のことを離散付値という。 さらに、値群が Z となる離散付値を正規離散付値または正規指数付値という。
例えば、先に挙げた加法付値の例の 2., 3., 4., 5., 6. は正規離散付値であり、n ≥ 2 に対して、例8. は離散付値ではない離散的加法付値である。例7. の様に離散付値にならない加法付値も存在する。
体 K の正規離散付値 v に対して、v(π) = 1 を満たす K の元 π を v の 素元という。すると、K の元 α は、素元と K の単元を用いて、α = επ と一意的に表現される。但し、ε は K の単元であり、n は整数である。
離散付値 v に関して、以下のことが成り立つ。但し、付値イデアルを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} とする。