母関数
数列 {an} の指数型母関数とは、
E G ( a n ; x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n n ! {\displaystyle EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
という級数である。
多重添字をもつ級数に対して、多変数の母関数を定義することができる。これはしばしば超母関数 super generating function) と呼ばれる。特に2変数の場合を2変数母関数 (bivariate generating function) と呼ぶ。
例えば、(1 + x) が固定された n に対する二項係数の通常型母関数であるから、(n をも動かして)任意の k と n に対して二項係数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} を生成する二変数母関数がどうなるのかと考えるのは自然な発想である。これを計算するためには、(1 + x) 自身を n を添字とする数列と考え、それを係数に持ち、y を不定元とする母関数を求めればよい。a の母関数はちょうど 1/(1 − ay) に等しいから、求める二項係数の母関数は
1 1 − ( 1 + x ) y = 1 + ( 1 + x ) y + ( 1 + x ) 2 y 2 + ... {\displaystyle {\frac {1}{1-(1+x)y}}=1+(1+x)y+(1+x)^{2}y^{2}+\dots }
であり、xy の係数が二項係数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} となる。
数列 {an} のランベルト級数は
L G ( a n ; x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n 1 − x n {\displaystyle LG(a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}
で定義される。ランベルト級数では、添字 n は 0 からではなく 1 から始まる点に注意。