記述集合論
実効記述集合論の領域は記述集合論の手法と一般再帰理論の手法(とりわけ超算術的階層)とを結合させる。とくに古典記述集合論の階層の細字版(実効版)に焦点が当てられる。したがって超算術的階層はボレル階層の、また解析的階層は射影階層のエフェクティブ版として研究される。これらの研究はクリプキ-プラテク集合論や二階算術などの弱い集合論に関係する。
集合 A {\displaystyle A} が Σ δ 0 ( δ > 1 ) {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}\ (\delta >1)} であるのは、可算列 A i {\displaystyle A_{i}} で各 A i {\displaystyle A_{i}} が Π λ i 0 ( λ i < δ ) {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda _{i}}^{0}\ (\lambda _{i}<\delta )} であり A = ⋃ i ∈ N A i {\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}} となるものが存在するとき、かつそのときに限る。
集合が Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} であるのは、それが Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} かつ Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} であるとき、かつそのときに限る。
これに関する定理は任意の Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} または Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} 集合は Δ α + 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}} であることを示し、また任意の Δ β 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}} 集合は Δ α 0 ( α > β ) {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}(\alpha >\beta )} であることを示す。