次数付き微分代数
次数付き微分環 (differential graded algebra) または短くDG代数とは、次数付き多元環 A とその上の次数 1 または次数 −1 の何れかである写像 d: A → A で以下の性質を持つものとの組 (A, d) を言う。
d ∘ d = 0 {\displaystyle d\circ d=0} .
d ( a ⋅ b ) = ( d a ) ⋅ b + ( − 1 ) deg  ( a ) a ⋅ ( d b ) {\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\operatorname {deg} (a)}a\cdot (db)} , ただし deg は各斉次元の次数を表す。
この定義をより簡潔(だがやや難解)な形で述べれば、次数付き微分環とは鎖複体全体の成すモノイド圏におけるモノイド対象のことである。次数付き微分環の間の次数付き微分準同型 (DG射) とは、微分 d と両立する次数付き多元環の準同型を言う。
次数付き微分添加代数(英語版)(DGA代数、添加DG代数、DGA)とは、係数環へのDG射を備えた次数付き微分代数を言う(この用語法はアンリ・カルタンによるものである)