リース＝ソリンの定理
↑ Stein and Weiss (1971) および Grafakos (2010) では単函数上の作用素が用いられ、Muscalu and Schlag (2013) では共通部分 L ∩ L の一般の稠密部分集合上の作用素が用いられている。それらとは対照的に、Duoanddikoetxea (2001)、Tao (2010) および Stein and Shakarchi (2011) では、本節で説明している加法的和集合の式が用いられている。
↑ Riesz (1927) を参照。証明では双線型形式の理論における凸性に関する結果が利用された。このため Stein and Weiss (1971) などの多くの古典的な文献では、この定理のことはリースの凸性定理(Riesz convexity theorem)と呼ばれている。
↑ Thorin (1948)
各 f ∈ L p 0 ∩ L p 1 {\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}} は次を満たす:
‖ f ‖ p θ ≤ ‖ f ‖ p 0 1 − θ ‖ f ‖ p 1 θ . {\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }.}
この結果の名前は、 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 上の写像 p ↦ log  ‖ f ‖ L p {\displaystyle p\mapsto \log \|f\|_{L^{p}}} の凸性に由来するものである。これにより L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ {\displaystyle L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}\subset L^{p_{\theta }}} が分かる。
一方、レイヤーケーキ分解 f = f 1{|f|>1} + f 1{|f|≤1} を考えると、 f 1{|f|>1} ∈ L および f 1{|f|≤1} ∈ L であることが分かり、したがって次の結果が得られる:
命題 L 内の各 f は和 f = g + h として書くことが出来る。ただし g ∈ L および h ∈ L である。
特に上述の結果は、L はすべての可測函数からなる空間内の L + L および Lと L の加法的和集合(英語版) に属することを意味する。