直線束 (射影幾何学)
付随するベクトル空間 E を持つアフィン空間においても、二次の超平面族として超平面束を定義することができる。超平面 H1, H2 がそれぞれ方程式 f1(M) = 0, f2(M) = 0 で定義されるとき、
( λ f 1 + μ f 2 ) ( M ) = 0 {\displaystyle (\lambda f_{1}+\mu f_{2})(M)=0}
なる形の方程式は、二つの超平面 H1, H2 を基として定まると言う。
広義の直線束(すなわち互いに平行な直線族)の場合は、傾きを表す係数が等しいことを以って一般化することができる。すなわち、H1, H2 が同じ方向ベクトル Ker(φ) (φ は付随するベクトル空間 E 上の線型形式) を持つならば、それらの定める H も同じ向きを持つ。逆に、方向ベクトル Ker(φ) を持つ任意の超平面は (λf1 + μf2)(M) = 0 の形の方程式を満足する。実際、a, b, c ∈ R に対して
f 1 ( M ) = φ ( O M → ) + a , f 2 ( M ) = φ ( O M → ) + b , f ( M ) = φ ( O M → ) + c {\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(M)&=\phi ({\overrightarrow {OM}})+a,\quad f_{2}(M)=\phi ({\overrightarrow {OM}})+b,\\f(M)&=\phi ({\overrightarrow {OM}})+c\end{aligned}}}
広義 (improper) な直線束とは、互いに平行な直線全体からなる族を言う。
通常の場合と同様に、広義の直線束も一つの媒介変数 k を用いて媒介変数表示ができるが、この場合傾きを表す係数が一定である。すなわち、直線束は
y = m x + q ( k ) {\displaystyle y=mx+q(k)}
の形に書くことができる。ただし、垂直線の場合は
x = q ( k ) {\displaystyle x=q(k)}
である。これらはまた
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = k {\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=k}
なる形に書くこともできる。