スピン角運動量
この形はスピン(を表すスピノール σj ) が (x,y,z) とは独立である事がわかりやすい。
スピノール表示
スピンを考慮した波動関数 ψ (B1) に対し、ψ'(x,y,z) を
ψ ′ ( x , y , z ) := ∑ j φ j ( x , y , z ) ⋅ σ j ∈ V s {\displaystyle \psi '(x,y,z):=\sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\cdot \sigma _{j}\in V_{s}}
と定義する。なお上式の「・」はベクトル σj の各成分にスカラー φ j {\displaystyle \phi _{j}} を乗じるいわゆる内積。スピンなし波動関数が1次元複素計量ベクトル空間 C に値を取るのに対し、ψ'(x,y,z) は 2s+1 次元複素計量ベクトル空間 Vs に値を取る。このように Vs に値を取る波動関数とみなす記述はスピノール表示と呼ばれる。
スピノールを成分表示することがある。e−s, e−(s − 1), ..., es − 1, es をVsの基底とするとき、ψ'(x,y,z)は必ず
ψ ′ ( x , y , z ) := ∑ j φ j ′ ( x , y , z ) ⋅ e j ∈ V s {\displaystyle \psi '(x,y,z):=\sum _{j}\phi '_{j}(x,y,z)\cdot e_{j}\in V_{s}}
の形で表記できるので、ψ'(x,y,z)はベクトル
( φ − s ′ ( x , y , z ) ⋮ φ s ′ ( x , y , z ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi '_{-s}(x,y,z)\\\vdots \\\phi '_{s}(x,y,z)\\\end{pmatrix}}}
スピン量子数 s は 1/2を単位として扱われることが常であり、半整数 1/2, 3/2, ... になる粒子はフェルミ粒子(フェルミオン)、整数 0, 1, 2, ... になる粒子はボース粒子(ボゾン)と区別され、両者の物理的性質は著しく異なる(詳細はそれぞれの項目を参照)。
2016年現在知られている範囲において、
素粒子についてはフェルミオンのスピン量子数は全て 1/2 である。
同じくボゾンはヒッグス粒子のみスピン量子数が 0 であり、それ以外は 1 である。
複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子を構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数であるが、ヘリウム原子のスピン量子数は 0 である。
s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。
| s x , + ⟩ = 1 2 ( 1 1 ) , | s x , − ⟩ = 1 2 ( 1 − 1 ) | s y , + ⟩ = 1 2 ( 1 i ) , | s y , − ⟩ = 1 2 ( 1 − i ) | s z , + ⟩ = ( 1 0 ) , | s z , − ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&|s_{x,+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&|s_{x,-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\\&|s_{y,+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&|s_{y,-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\\&|s_{z,+}\rangle =&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&|s_{z,-}\rangle =&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
である。ここでIは常に単位行列Iを返す写像である。
固有状態
スピン1/2のときと同様の議論により、オブザーバブルDは2つの固有値
ħ 2 , − ħ 2 {\displaystyle {\hbar \over 2},-{\hbar \over 2}}
を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれ e n + {\displaystyle e_{\mathbf {n} }^{+}} 、 e n − {\displaystyle e_{\mathbf {n} }^{-}} とし、k = −u, −(u − 1), ..., (u − 1), uに対し、
X1、X2、X3はspin(3) = su(2) 上の正規直交基底である。 ...(L5)
そこで3次元ベクトルx=(x, y, z)∈Rに対し、
X x = x X 1 + y X 2 + z X 3 = − i 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) = 1 2 ( − i z − y − i x y − i x i z ) {\displaystyle X_{\mathbf {x} }=xX_{1}+yX_{2}+zX_{3}=-{i \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3})={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}} ...(L6)
と定義すると、写像
x ∈ R 3 → ∼ X x ∈ s p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{3}{\overset {\sim }{\to }}X_{\mathbf {x} }\in {\mathsf {spin}}(3)}
により R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} と spin(3) = su(2) を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する:
X x × y = [ X x , X y ] {\displaystyle X_{\mathbf {x} \times \mathbf {y} }=[X_{\mathbf {x} },X_{\mathbf {y} }]}
ここで「×」はクロス積であり、[A,B] = AB-BAは交換子積である。
S ^ x = ħ 2 σ x = ħ 2 ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}}
S ^ y = ħ 2 σ y = ħ 2 ( 0 − i i 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}}
S ^ z = ħ 2 σ z = ħ 2 ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}}
S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} はnによらず常に固有値
ħ 2 , − ħ 2 {\displaystyle {\hbar \over 2},-{\hbar \over 2}}
を持つ。
それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。