クロネッカーの定理
N を自然数として、トーラス T を
T = R/Z
と定義すると、トーラス上の点 P により生成される部分群 <P> の閉包は有限群か、あるいは、T の中に含まれるあるトーラス T′ である。元々のクロネッカーの定理 (クロネッカー, 1884) の主張は、
T′ = T,
のための必要条件は、数 xi と 1 が有理数体上で線型独立であることであり、これは同時に十分条件でもあるというものである。ここで、xi と 1 の非ゼロな有理数係数での線型結合 k 0 ⋅ 1 + k 1 x 1 + . . . + k N x N ; ( k 0 , k i ∈ Q ∖ { 0 } ) {\displaystyle k_{0}\cdot 1+k_{1}x_{1}+...+k_{N}x_{N};\ (k_{0},k_{i}\in \mathbb {Q} \setminus \{0\})} が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 T の自明指標(英語版)(trivial character)以外の指標 χ が P 上で値 1 をとることが容易に分かる。
この定理は、ある体 F の元を係数に持つ定数ではない多項式 p(x) ∈ F[x] が、拡大体 E ⊃ F {\displaystyle E\supset F} に根を持つことを主張する。
たとえば、x + 1 = 0 のような実数係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。
クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている。また、この定理によって多くの集合に対する有用な構成(英語版)(construction)が与えられる。