群論
群 G が集合 X に作用するとは、G の各元が、X 上定義された全単射で群構造と両立するものを定めることをいう。ただし、X にさらに構造が入っているときは、それに応じて表現の概念に制限を加えるほうが有効である。例えばよくある状況として、群 G のベクトル空間 V における(または V を表現空間とする)表現(線型表現)とは、GL(V) を V 上の正則線型変換全体の成す群として、群準同型
ρ: G → GL(V)
のことをいう。これはつまり、群 G の各元 g に線型自己同型 ρ(g) が割り当てられていて、さらに G の別の任意の元 h に対して ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh)が成り立つということである。
この定義は二つの方向性で捉えることができて、いずれの仕方でも(群コホモロジーや同変 K-理論のような)数学のまったく新たな領域を生じる。ひとつは、群 G について新たな情報をもたらすものである。例えば群 G における演算はしばしば抽象的に与えられるけれども、表現 ρ を通じて(特に表現が忠実のとき)群演算は行列の積という非常に具体的なものに対応付けられることになる。