レギオモンタヌスの問題
現在、この問題は多くの初年度向けの解析の教科書(例えばステュアート)に演習問題として載っていることから広く知られている。
a = 絵画の下端の高さ
b = 絵画の上端の高さ
x = 壁からの距離
α = 鑑賞者から見た絵画の下端の仰角
β = 鑑賞者から見た絵画の上端の仰角
とする。最大化したい角度は β − α である。この角度の増減はその正接の増減と一致するから、
tan  ( β − α ) = tan  β − tan  α 1 + tan  β tan  α = b x − a x 1 + b x ⋅ a x = ( b − a ) x x 2 + a b {\displaystyle \tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}}
x x 2 + a b {\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}} の最大化を考えるところまでは同じで、これはその逆数
x 2 + a b x = x + a b x {\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}}
を最小化することと同じである。この式は平方完成によって
x + a b x = ( x 2 − 2 x a b x + a b x 2 ) ⏟ a perfect square + 2 x a b x = ( x − a b x ) 2 + 2 a b {\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=\underbrace {\left({\sqrt {x}}^{2}-2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}+{\sqrt {\frac {ab}{x}}}^{2}\right)} _{\text{a perfect square}}+2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\\&=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}\end{aligned}}}
と変形できる。これは平方式の項が0になるとき、つまり x = √ab のとき最小になる(もしくは相加相乗平均の不等式を利用してもよい)。