曖昧さ回避 (経済学)
E ( f ) − λ 2 Var  ( f ) − θ 2 Var μ  ( E π ( f ) ) {\displaystyle \mathbb {E} (f)-{\frac {\lambda }{2}}\operatorname {Var} (f)-{\frac {\theta }{2}}\operatorname {Var} _{\mu }(\mathbb {E} _{\pi }(f))}
ここで添え字がついていない E , Var {\displaystyle \mathbb {E} ,\;\operatorname {Var} } はそれぞれ無条件の期待値、分散のオペレーターであり、 Var μ {\displaystyle \operatorname {Var} _{\mu }} は確率測度 μ {\displaystyle \mu } の下での分散オペレーター、 E π {\displaystyle \mathbb {E} _{\pi }} は確率測度 π {\displaystyle \pi } の下での期待値オペレーターである。 λ {\displaystyle \lambda } はリスク回避度と同じく意思決定者がリスクを嫌う程度を表し、大きいほどリスクを嫌う。 θ {\displaystyle \theta } は曖昧さを嫌う程度を表し、大きいほど曖昧さを嫌う。
数理ファイナンスにおけるリスク尺度(英語版)(英: risk measure)、またはリスク測度の最小化問題と曖昧さ回避的な効用関数であるマクシミン期待効用関数の最大化問題は、リスク尺度がコヒーレントリスク尺度(英語版)(英: coherent risk measure)であるならば、数学的な構造が等しいために関係づけることが出来る。リスク尺度とはバリュー・アット・リスクや期待ショートフォールなどの投資などにおけるリスクの尺度のことである。
あるリスク尺度 π {\displaystyle \pi } がコヒーレントであるとは以下の条件を満たす時を言う。
単調性(英: monotonicity):確率変数 X , Y {\displaystyle X,Y} が X ≥ Y {\displaystyle X\geq Y} を満たすならば、 π ( X ) ≤ π ( Y ) {\displaystyle \pi (X)\leq \pi (Y)} を満たす。
平行移動に対する不変性(英: translation invariance):確率変数 X {\displaystyle X} と定数 a {\displaystyle a} について、 π ( X + a ) = π ( X ) − a {\displaystyle \pi (X+a)=\pi (X)-a} を満たす。
π {\displaystyle \pi } がコヒーレントリスク尺度であり、Fatou property を満たすならば、ある閉凸集合である確率測度の集合 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} が存在して
π ( X ) = sup P ∈ P E P  [ − X ] {\displaystyle \pi (X)=\sup _{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}}\operatorname {E} ^{\mathbb {P} }[-X]}
が成り立つ。ただし、 E P {\displaystyle \operatorname {E} ^{\mathbb {P} }} は確率測度 P {\displaystyle \mathbb {P} } の下での期待値を表す。
Fatou property と呼ばれる性質は下連続性とも呼ばれ、ファトゥの補題とよく似た性質である。表現定理を用いることでコヒーレントリスク尺度を最小化する問題は次のように変形できる。
Peter Klibanoff, Massimo Marinacci, Sujoy Mukerjiによって提案されたsmooth ambiguity modelでは次の目的関数を最大化するように意思決定者は行動する。
J ( f ) = E μ [ φ ( E π [ u ( f ) ] ) ] {\displaystyle J(f)=\mathbb {E} _{\mu }{\Big [}\phi {\Big (}\mathbb {E} _{\pi }[u(f)]{\Big )}{\Big ]}}
ここで u {\displaystyle u} は効用関数、 f {\displaystyle f} は意思決定者の選択肢、 π {\displaystyle \pi } は意思決定者が考えている意思決定者の所与の主観的な情報と関連した確率測度、 μ {\displaystyle \mu } は確率測度 π {\displaystyle \pi } の集合 Π {\displaystyle \Pi } における確率測度であり、 φ {\displaystyle \phi } は単調増加な変換を表す。
min X π ( X ) = − max X ( − π ( X ) ) = − max X ( − sup P ∈ P E P  [ − X ] ) = − max X inf P ∈ P E P  [ X ] {\displaystyle \min _{X}\pi (X)=-\max _{X}{\Big (}-\pi (X){\Big )}=-\max _{X}{\Big (}-\sup _{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}}\operatorname {E} ^{\mathbb {P} }[-X]{\Big )}=-\max _{X}\inf _{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}}\operatorname {E} ^{\mathbb {P} }[X]}
最右辺はマクシミン期待効用関数最大化問題にマイナスを掛けたものとなるので、コヒーレントリスク尺度最小化問題は一種の曖昧さ回避的な選好の最大化問題として解釈することが出来る。コヒーレントリスク尺度についての研究で、マクシミン期待効用関数最大化問題との関連を意識した研究もある。