回転数 (数学)
トポロジーにおいて、回転数は連続写像の写像度の別の用語である。物理では、回転数はしばしば topological quantum number と呼ばれる。両方のケースで、同じ概念が適用する。
点の周りを周る曲線の上記の例は単純な位相的解釈をもつ。平面において点の補集合は円にホモトピー同値であり、円から自身への写像は本当に、考えられる必要のあるすべてなのである。次のことを示せる。各そのような写像は標準写像 S 1 → S 1 : s ↦ s n {\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}} の1つに連続的に変形できる(にホモトピックである)、ただし円における積はそれを複素単位円と同一視することによって定義される。円から位相空間への写像のホモトピー類の集合は群をなし、これはその空間の一次ホモトピー群 (homotopy group) あるいは基本群 (fundamental group) と呼ばれる。円の基本群は整数 Z であり、複素曲線の回転数はちょうどそのホモトピー類である。
3次元球面から自身への写像もまた、また回転数あるいはときどきポントリャーギン指数と呼ばれる整数によって分類されている。