三次方程式
代数的解法は重要であるものの、歴史的にはそれよりも先に、作図による三次方程式の幾何学的解法が模索されていた。このような解法は、古代ギリシアのメナイクモスに始まり、セルジューク朝期ペルシャのウマル・ハイヤームによって一般化された。
xy 平面上の 2 つの放物線を表す式
x 2 = p y ( p > 0 ) {\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
y 2 = q x ( q > 0 ) {\displaystyle y^{2}\,=qx(q>0)}
において y を消去すると、
x 4 = p 2 q x {\displaystyle x^{4}\,=p^{2}\,qx}
となり、この 2 つの放物線の交点の x 座標は、
x = 0 , p 2 q 3 {\displaystyle x=0,{\sqrt[{3}]{p^{2}q}}}
となり、x = 0 でない方の交点の位置によって
x 3 = p 2 q {\displaystyle x^{3}\,=p^{2}\,q}
という形の三次方程式の解が得られることになる。特に q = 2p ととれば、立方体倍積問題と同値な三次方程式
x 3 = 2 p 3 {\displaystyle x^{3}\,=2p^{3}\,}
の実数解を、線分の長さとして得たことになる。
また、放物線と円を表す式
x 2 = p y ( p > 0 ) {\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
デル・フェロの解いた三次方程式は
x + a1 x = a0 (a1 および a0 は正)
という形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数を正に限った形をしている。
この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。
デル・フェロは、この解法を公開せず、何人かの弟子に託して1526年に死んだ。そのうちの一人、アントニオ・マリア・デル・フィオーレ(イタリア語版) (Antonio Maria del Fiore) は、この方法を、当時盛んに行われていた、金銭を賭けた計算勝負に使い、勝ち続けた。
三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリアは、独力かどうかは分からないが
x + a2 x = a0 (a2 および a0 は正)
の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた。タルタリアが三次方程式を解いたとの噂を聞いたフィオーレは噂を信用せずタルタリアに計算勝負を挑み、打ち負かして名声を上げようとしたものの、デル・フェロの三次方程式の解法しか知らなかったため、計算勝負に負けた。
この解のことをビエトの解という。
この三次方程式が相異なる 3個の実数解を持つ時、(1) の判別式
D = − { 4 ( − 3 ) 3 + 27 ( − b a ) 2 } = 27 { 4 − ( b a ) 2 } > 0 {\displaystyle D=-\left\{4(-3)^{3}+27\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}\right\}=27\left\{4-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}\right\}>0}
∴ | b 2 a | < 1 {\displaystyle \therefore \ \left|{\frac {b}{2a}}\right|<1}
したがって (2) は 0 < 3α < π、つまり 0 < α < π/3 に解を 1 つ持つ。この解を α1 とすれば、他の解は α2 = α1 + 2π/3, α3 = α1 + 4π/3 と表せ、これに対応して 3個の実数解が定まる。
この時は実数の計算だけで解を得ることができた。ただし、逆三角関数や三角関数の計算を含むため厳密な値を得るのは大変である。
三次方程式 x = px + q が相異なる 3個の実数解を持つならば、p > 0, | x | < 2 p 3 {\displaystyle |x|<2{\sqrt {\frac {p}{3}}}}