ホッジ理論
∫ M ⟨ d α , β ⟩ k + 1 d V = ∫ M ⟨ α , δ β ⟩ k d V {\displaystyle \int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{k+1}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\,dV}
を満足するものとして定めるのである。このとき、微分形式の空間上のラプラシアンは Δ = dδ + δd と定義され、調和形式の空間
H Δ k ( M ) = { α ∈ Ω k ( M ) ∣ Δ α = 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}}
が定義できるようになる。dΔ=0であることから調和形式は閉形式でありしたがって線形写像 H Δ k ( M ) → H k ( M ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M)} がさだまる。ホッジの定理は、この線形写像が同型であることを主張する。つまり、M 上の各ド・ラームコホモロジー類の代表元として、調和形式が一意的に取れる。
このことから得られるめぼしい帰結は、コンパクト多様体上のド・ラームコホモロジー群が有限次元となることである。これは作用素 Δ が楕円型であり、コンパクト多様体楕円型作用素の核が必ず有限次元ベクトル空間となることから従う。
またド・ラームコホモロジーにおけるポアンカレ双対性もしめすことができる。
ベッチ数の系列は、ホッジ数のホッジダイアモンドと言い、2次元的に広がっている。
この分解は調和形式の理論から来ていて、ホッジラプラス作用素(一般化された調和函数であり、最大値原理によりコンパクト多様体上に局所的定数(英語版)である必要がある)によって選ばれたド・ラームコホモロジーの中の特別な表現である。後日のドルボー(Dolbeault)の仕事により、上記のホッジ分解は正則 p-形式の層 Ω に係数をもつ層コホモロジー群 H q ( V , Ω p ) {\displaystyle H^{q}(V,\Omega ^{p})} をもちいて記述できることがわかる。この場合には、ラプラス作用素なしで、より直接的な代数的解釈をもたらす。
特異点をもつ場合や非コンパクトな多様体の場合は、コホモロジー群は混合ホッジ構造といわれるより複雑な構造をもつ。混合ホッジ構造においては直和分解のかわりに二つのフィルトレーション(英語版)をもち、適切な性質をみたす。例えばモノドロミー問題のように、より広く使われている。