理想数
記号は今までと同じとする。クンマーが定義した環準同型 Z[η, η1, ..., ηe − 1] → Fq の核を q とする。これは剰余環が整域(更に強く体)なので素イデアルである。これを延長したイデアル qZ[α] も Z[α] の素イデアルである(後述)。円分整数 f (α) がこの素イデアルに含まれることと「置換 η = ur に属する q の理想素因子を含む」ことは同値である。このことは次のように状況を整理すれば判明する。
代数体 Q(α) は円分体であり、有理数体 Q の λ − 1 次の巡回拡大である。Q(η) は Q(α) の部分体で、Q 上の拡大次数は e である。これは η の共役が ηj 達でこれらが互いに相異なることから分かる。
Q(α) の整数環は Z[α] である。また、Q(η) の整数環は Z[η, η1, ..., ηe − 1] である。さらに強く、η, η1, ..., ηe − 1 は整基底である。
素数 q は λ と異なる素数なので、拡大 Q(α)/Q での q の分岐指数は 1、剰余次数は f である。よってガロア拡大における素イデアルの分解理論から、q は拡大 Q(α)/Q において (λ − 1)/f = e 個の素イデアルに分解する。
また、q の分解体は Q(η) である。