0の0乗
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Lipkin, Leonard J. (2003). “On the Indeterminate Form 0”. The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 34 (1): 55–56.
0 の 0 乗(れいのれいじょう)は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論などの文脈では通常 1 と定義される一方で、解析学の文脈では二変数関数 x が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合もある。
非負整数の指数のみを扱っている場合には、0の0乗は 1 と定義されることが多い。その理由としては、以下のようなものが挙げられる。
実数 x を数直線上の線型変換とみなす場合、非負整数 n に対する実数 x の n 乗は x に対応する線型変換を n 回繰り返し作用させる線型変換に対応するから、0 の 0 乗には、自明な線型変換を 0 回作用させる線型変換である恒等変換(実数 1 に対応する)が対応すると考えたい。
上述のように、x ≠ 0 のとき x = 1 であるから、関数 x の連続性を担保する為に、x = 0 のときにも同じ式の成立を要請する(空積も参照)。
0 = 1 と定義しておくと、種々の公式や証明で記述が煩雑になったり余計な場合分けをすることを防ぐことができる。
例えば、計算機科学者のドナルド・クヌースは、0 は 1 でなければならないと強く主張している。彼によると「0 という関数は数学的意義に乏しいのに対し、x は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という。例えば、二項定理の公式