対称行列
ジョルダン標準形を用いると、任意の実正方行列が二つの実対称行列の積として書けることや任意の複素正方行列が二つの複素対称行列の積に書けることが証明できる。
任意の実正則行列は、直交行列と対称正定値行列の積として一意に分解することができ、極分解(英語版)と呼ばれる。特異行列も同様の分解を持つが一意ではない。
コレスキー分解は任意の実正定値対称行列 A が下半三角行列 L とその転置である上半三角行列との積 A = LL に書けることを述べる。行列が不定符号でも(ピボット成分(英語版)から生じる)置換行列 P を用いて PAP = LTL なる形に分解することができる(ただし、T は対称三重対角行列である)。
任意の複素対称行列 A は対角化可能、さらに言えば固有分解が、ユニタリ行列 Q を用いた簡単な形
A = Q Λ Q ⊤ {\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\top }}
二つの対称行列の和と差はやはり対称となるが、積は必ずしもそうではない。対称行列 A, B の積 AB が対称となるのは A と B とが可換 (AB = BA) となるときであり、かつそのときに限る。故に任意の整数 n に対し冪 A は A が対称のとき対称である。A, B が可換な n 次実対称行列ならば A, B 双方の固有ベクトルとなるようなベクトルからなる R の基底が存在する。
逆行列 A が存在するとき、それが対称となることと、A が対称であることとは同値である。