ムーアグラフ
またMačajとŠiráňによれば、そのようなムーアグラフの自己同型群の位数は高々375である。
ムーアグラフの定義を内周が偶数も許容するように一般化すると、偶数内周のムーアグラフは一般化多角形の縮退したインシデントグラフに相当する。例えば、内周4の偶数サイクル C 2 n {\displaystyle C_{2n}} , 完全二部グラフ K n , n {\displaystyle K_{n,n}} や 次数3, 内周6のヒーウッドグラフ、次数3, 内周8のTutte–Coxeter graphがある。より一般に前出の例以外のムーアグラフの内周は5, 6, 8あるいは12でなくてはならない(Bannai & Ito 1973)(Damerell 1973) 。内周8のケージは一般n角形の存在定理であるFeit-Higmanの定理より従う。
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ムーアグラフのこの下限に頂点数が一致する。幅優先探索木においてある階層の異なる2頂点が下の階層で共通の近傍を持つとすると、内周の制約を破る短いサイクルが発生するため、任意のムーアグラフは内周は2k+1となる。よってムーアグラフは次数d、内周2k+1のグラフのうち頂点数が最小のもの、すなわちケージとなる。
偶数の内周2kについては、任意の一辺から幅優先探索木を構成することで同様の式を得る。最小次数がdでこの内周を満たすグラフの頂点数の下限は次式で与えられる。
2 ∑ i = 0 k − 1 ( d − 1 ) i = 1 + ( d − 1 ) k − 1 + d ∑ i = 0 k − 2 ( d − 1 ) i . {\displaystyle 2\sum _{i=0}^{k-1}(d-1)^{i}=1+(d-1)^{k-1}+d\sum _{i=0}^{k-2}(d-1)^{i}.}
ムーアグラフの定義を拡張して偶数内周を許した場合にも、そのようなグラフはケージとなる。