線形予測法
線形予測法における予測係数 a i {\displaystyle a_{i}} には様々な推定方法が存在する。
最適化においてパラメータ a i {\displaystyle a_{i}} の典型的な選択法は、二乗平均平方根基準であり、これを自己相関基準とも呼ぶ。これは、以下の式で得られる二乗誤差 E[e(n)] の期待値を最小化する手法である。
∑ i = 1 p a i R ( i − j ) = − R ( j ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}R(i-j)=-R(j)}
ここで 1 ≤ j ≤ p であり、R は信号 xn の自己相関であり、次のように定義される。
R ( i ) = E { x ( n ) x ( n − i ) } {\displaystyle \ R(i)=E\{x(n)x(n-i)\}\,}
ここで E は期待値である。多次元の場合、これはL2ノルムを最小化することに対応する。
上の式を正規方程式または Yule-Walker 方程式と呼ぶ。行列形式でこの方程式を表すと、次のようになる。
R a = − r , {\displaystyle Ra=-r,\,}
ここで、自己相関行列 R は対称なテプリッツ行列であり、その要素は ri,j = R(i − j) である。また、ベクトル r は自己相関ベクトル rj = R(j) であり、ベクトル a は係数ベクトルである。
より汎用的な形式として、次を最小化する方式もある。