体積要素
例として、半径 r の中心を原点とする R 上の球を考える。この球は球面座標系を用いて次の写像で表現される。
φ ( u 1 , u 2 ) = ( r cos  u 1 sin  u 2 , r sin  u 1 sin  u 2 , r cos  u 2 ) {\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2})}
したがって、
g = ( r 2 sin 2  u 2 0 0 r 2 ) {\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}}}
となり、面積要素は次のように得られる。
ω = det g d u 1 d u 2 = r 2 sin  u 2 d u 1 d u 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}}