J-不変量
次はリチャード・ボーチャーズによって発見された。
j ( τ ) − j ( τ ′ ) = 1 q ∏ n , m = 1 ∞ ( 1 − q n q ′ m ) c n m {\displaystyle j(\tau )-j(\tau ')={1 \over q}\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-q^{n}{q'}^{m})^{c_{nm}}}
である(ここでc_nはj関数のq展開におけるq^nの係数).
となる。
方法 4: α の 2次式を解く方法。
j ( τ ) = 1728 4 α ( 1 − α ) . {\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}.}
すると、
τ = i 2 F 1 ( 1 6 , 5 6 , 1 , 1 − α ) 2 F 1 ( 1 6 , 5 6 , 1 , α ) {\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,\alpha \right)}}}
となる。
2つの根は τ と -1/τ であるが、j (τ) = j (-1/τ) であるために、どの α を選んでも差異はない。後半 3つの方法は、ラマヌジャンの交代基底についての楕円函数論で発見された。
逆函数は、これらの根の比率が有界でないにもかかわらず、楕円函数の周期の高精度な計算を通して、うまく適用することが可能である。また、関連する帰結として、2 のべきの大きさをもつ虚数軸上の点で j の値が二次の根となることを通して(逆関数を)表すことができる(このようにして、定規とコンパスによる作図が可能となる)。レベルが 2 のモジュラ函数は 3次式であるので、この結果は自明ではない。