調和振動子
以上は一次元調和振動子の場合であるが、2次元、3次元も同様に解ける。3次元の場合、エネルギー固有値は次のようになる。
E N = ħ ω ( N + 3 2 ) {\displaystyle E_{N}=\hbar \omega \left(N+{\frac {3}{2}}\right)}
N は三方向の量子数 ( n x {\displaystyle n_{x}} , n y {\displaystyle n_{y}} , n z {\displaystyle n_{z}} ) の和で、また E N {\displaystyle E_{N}} は、(N+2)(N+1)/2 重に縮退している。これは縮退が見られなかった一次元の場合とは明らかに異なる。