マハラノビス距離
ある集団内の点が多変数ベクトル ( x 1 , x 2 , x 3 , ... , x p ) ⊺ {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{p})^{\intercal }} で表されるとき、その集団の変数ごとの平均値を縦ベクトルで μ = ( μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... , μ p ) ⊺ {\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\dots ,\mu _{p})^{\intercal }} と表し、集団の共分散行列(各変数間の共分散を配列した行列)を Σ {\displaystyle \Sigma } とすれば、ある点 x = ( x 1 , x 2 , x 3 , ... , x p ) ⊺ {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{p})^{\intercal }} からの集団へのマハラノビス距離は、以下のように定義される:
D M ( x ) = ( x − μ ) ⊺ Σ − 1 ( x − μ ) {\displaystyle D_{M}(x)={\sqrt {(x-\mu )^{\intercal }\Sigma ^{-1}(x-\mu )}}}
平方根の内側は、縦ベクトルの転置と行列と縦ベクトルの積であり、スカラー量(正値二次形式)で正である。