整列集合
任意の整列集合は順序位相を与えて位相空間にすることができる。順序位相に関して、この位相空間の元は次の二種類に分けることができる。
孤立点: 最小元や直前の元を持つ元などはこちらの種類の点になる。
集積点: 有限整列集合ではこの種類の元は存在できない。また、無限整列集合は集積点を持つことも持たないこともある。集積点を持たない無限整列集合(たとえば N)は順序型 ω を持つ。
また、この位相空間の部分集合については以下のように区別できる。
最大元を持つ部分集合(つまり、それ自身で有界な集合)。このような部分集合の最大元は、全体集合の孤立点となる場合も集積点となる場合もある。後者の場合に、それがその部分集合の集積点であるかどうかは場合による。
それ自身は有界ではないが、全体集合の中では有界な部分集合。このような部分集合は最大元を持たないが、部分集合に属さない上限を持つ。この部分集合が空でないならば、この上限はこの部分集合の集積点であり、したがって全体集合の集積点でもある。一方、空集合の場合は上限は全体集合における最小元である。
全体集合においても有界でない部分集合。
部分集合が共終 (cofinal) であるための必要十分条件は、それが全体集合の中で有界でないか、それが全体集合の中でも最大元となるような最大元をもつことである。
位相空間としての整列集合が、第一可算空間となるための必要十分条件は、それが ω1 以下の順序数を順序型に持つことである。これはつまり、その集合が可算であるか、または最小の非可算順序型を持つということを言っている。