コーシーの定理 (群論)
さらに、f の表現における長さ 1 の巡回置換の個数を s、長さ p の巡回置換の個数をtとすると、 | S | = s + p t {\displaystyle |S|=s+pt} である。なお、s は f の不動点の個数でもある。 | S | = | G | p − 1 {\displaystyle |S|=|G|^{p-1}} であるから、|S| は p で割り切れる。ゆえに、s も p で割り切れる。そして、(e, ..., e) は S に属し、 f ( e , . . . , e ) = ( e , . . . , e ) {\displaystyle f(e,...,e)=(e,...,e)} なので、s > 0 であり、p | s より s ≥ p である。ゆえに f は (e, ..., e) 以外にも不動点を持つ。f の定義より f の不動点は ( a , . . . , a ) ( a ∈ G ) {\displaystyle (a,...,a)(a\in G)} という形で表せる。f の (e, ..., e) 以外の不動点の1つ (x, ..., x) をとる。x ≠ e であり、S の定義より x = e となる。Q.E.D.