階数因数分解
P {\displaystyle P} を、ブロック区分けの形式で A P = ( C , D ) {\displaystyle AP=(C,D)} が成立するような n × n {\displaystyle n\times n} 置換行列とする。ただし C {\displaystyle C} はその列が A {\displaystyle A} の r {\displaystyle r} 個のピボット列であるものとする。 D {\displaystyle D} の全ての列は C {\displaystyle C} の列の線形結合であり、したがって D = C G {\displaystyle D=CG} が成立するような行列 G {\displaystyle G} が存在する。ただし G {\displaystyle G} の列は、それら各線形結合の係数を含むものである。すると、 r × r {\displaystyle r\times r} 単位行列 I r {\displaystyle I_{r}} によって A P = ( C , C G ) = C ( I r , G ) {\displaystyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)} と書くことが出来る。続いて、 ( I r , G ) = F P {\displaystyle (I_{r},G)=FP} を証明する。
したがって、 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} の列空間は F T {\displaystyle F^{\text{T}}} の列空間に含まれるものであることが分かり、したがって rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) ≤ rank( F T {\displaystyle F^{\text{T}}} ) が成立する。今 F T {\displaystyle F^{\text{T}}} は n {\displaystyle n} × r {\displaystyle r} 行列であるので、 F T {\displaystyle F^{\text{T}}} には r {\displaystyle r} 個の列が存在し、したがって rank( A T {\displaystyle A^{\text{T}}} ) ≤ r {\displaystyle r} = rank( A {\displaystyle A} ) が成立する。これより rank( A T ) {\displaystyle A^{\text{T}})} ≤ rank( A {\displaystyle A} ) が示された。続いて、その逆の不等式が成立することを示すために、 A T {\displaystyle A^{\text{T}}} に対して上述の結果を適用する。