リーマンゼータ関数の特殊値
この記事では、これらの公式を値の表とともに列挙し、その微分と整数引数でのゼータ関数からなる級数も記述する。
ゼータ関数は、s = 1 における一位の極を除き解析接続によって複素平面全体に拡張される。しかしながら、上の定義式は解析接続された s に対しては無効であり、直に計算を試みると対応する和が発散する。例えば、ゼータ関数において s = −1 のとき、
ζ ( − 1 ) = − 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}
となるが、これを上の定義式で計算すると、
ζ ( − 1 ) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N n = lim N → ∞ N ( N + 1 ) 2 = ∞ {\displaystyle \zeta (-1)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}n=\lim _{N\to \infty }{\frac {N\,(N+1)}{2}}=\infty }
となって発散級数となる。以下に列挙するゼータ関数の特殊値は負の偶数に対する特殊値も含み、これは恒等的に ζ (s) = 0 であり、いわゆる自明な零点となる。
ζ ( 5 ) = π 5 294 − 72 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 n π − 1 ) − 2 35 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 n π + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)={\frac {\pi ^{5}}{294}}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}
ζ ( 5 ) = 12 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 sinh  n π − 39 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 n π − 1 ) + 1 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 n π + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh n\pi }}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}