オストログラドスキーの定理
まず、上の系は
L = q ̈ Q − 1 2 Q 2 {\displaystyle L={\ddot {q}}Q-{\frac {1}{2}}Q^{2}}
というラグランジアンと等価である (つまり等価な運動方程式を導く)。そこで新しい変数 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} を
x = q + Q 2 , y = q − Q 2 {\displaystyle x={\frac {q+Q}{\sqrt {2}}},\ \ y={\frac {q-Q}{\sqrt {2}}}}
により定義し、ラグランジアンを座標 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} を用いて書き直すと
L = − 1 2 x ̇ 2 + 1 2 y ̇ 2 − 1 4 ( x − y ) 2 {\displaystyle L=-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{4}}(x-y)^{2}}
となる。このとき、座標 x {\displaystyle x} に関する運動項 − 1 2 x ̇ 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}} は負符号を取り、このためにハミルトニアンが下に非有界となっていることが見て取れる。すなわち力学変数 x {\displaystyle x} が表す自由度がオストログラドスキーゴーストである。
一般相対性理論では重力場は計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} により表現され、アインシュタイン方程式に従う。重力場に加えてスカラー場 φ {\displaystyle \phi } の自由度を持つ修正重力理論 (スカラー・テンソル理論) において、ラグランジアンに高階微分を含むが運動方程式が2階微分方程式となる最も一般的な理論のクラスとしてホルンデスキー理論が知られている。その拡張として運動方程式に高階微分を含む理論を考えようとすると、オストログラドスキー不安定性のために一般にはゴーストが現れるため、健全な理論を構成することは自明ではなくなる。Langlois & Noui は2015年に実際にスカラー・テンソル理論に対してオストログラドスキーの定理を適用し、オストログラドスキーゴーストが存在しないが運動方程式が高階微分であるような理論を構成した。これはオストログラドスキーの定理の仮定である非縮退条件を破る (縮退条件を課す) ことによって実現される。
一般化座標 q {\displaystyle q} により記述される物理系について考える。通常の物理系ではそのラグランジアン L {\displaystyle L} は座標 q {\displaystyle q} と速度 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} の関数 L = L ( q , q ̇ ) {\displaystyle L=L(q,{\dot {q}})} である。 このとき、系の運動方程式はラグランジュ方程式
∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ̇ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0}
であり、従ってこれは座標 q {\displaystyle q} に関する2階微分方程式である、つまりこの系の運動方程式は座標 q {\displaystyle q} の時間による2階微分 (加速度) q ̈ {\displaystyle {\ddot {q}}} を含む。例えばラグランジアン L = 1 2 m q ̇ 2 − V ( q ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}-V(q)} に対応するニュートンの運動方程式
m d 2 q d t 2 = F ( q ) , F ( q ) = − d V d q ( q ) {\displaystyle m{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=F(q),\ \ F(q)=-{\frac {dV}{dq}}(q)}