ルジャンドル記号
p と q を別々の奇素数とする。ルジャンドル記号を使用すると、平方剰余の法則を次のように簡潔に表すことができる。
( q p ) ( p q ) = ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}\cdot {\tfrac {q-1}{2}}}.}
多くの平方剰余の証明(en:proofs of quadratic reciprocity)はルジャンドルの式に基づく。
( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}
さらに、平方剰余の法則の様々な証明を作るために、ルジャンドル記号の代わりとなる表現がいくつか考案された。
ガウスはen:quadratic Gauss sumを導入し、自身の4番目および6番目の平方剰余の証明に下式を用いた。
∑ k = 0 p − 1 ζ a k 2 = ( a p ) ∑ k = 0 p − 1 ζ k 2 , ζ = e 2 π i p {\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{ak^{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{k^{2}},\qquad \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}}