モーメント (数学)
数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。
実変数 x に関する関数 f(x) の n 次モーメント μ n ( 0 ) {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}} は、
μ n ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ x n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx}
で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。 μ = μ 1 ( 0 ) / μ 0 ( 0 ) {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/\mu _{0}^{(0)}} は f を密度関数とする測度の重心を表している。
関数 f(x) の c 周りの n 次モーメント μ n ( c ) {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}} は、
μ n ( c ) = ∫ − ∞ ∞ ( x − c ) n f ( x ) d x {\displaystyle \mu _{n}^{(c)}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}f(x)\,dx}
で表される。
重心周りのモーメント μn = μn を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。