リッチフロー
計量テンソル gij を持つリーマン多様体が与えられると、リッチテンソル Rij を計算することができる。リッチテンソルは、一種のリーマン曲率テンソルの「トレース」の断面曲率の平均値を集めたものである。計量テンソルと関連付けられたリッチテンソルを、通常は「時間」と呼ばれる(必ずしも物理的な時間と関係ないこともありうる)変数とすると、リッチフローは、幾何学的発展方程式 (geometric evolution equation)
∂ t g i j = − 2 R i j {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}
として定義することができる。正規化されたリッチフローは、コンパクト多様体に対して意味を持ち、等式
∂ t g i j = − 2 R i j + 2 n R a v g g i j {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}}
このことは一般にリッチフローは全時間連続ではありえず、特異点を生み出す。3-次元多様体に対し、ペレルマン (Perelman) は、リッチフローの手術(英語版)を使い特異点を過去へ連続させる方法を示した。 シガーソリトン解
重要な 2-次元の例が、シガーソリトン解 (cigar soliton solution) である。この解は、ユークリッド平面上の計量 ( d x 2 + d y 2 ) / ( e 4 t + x 2 + y 2 ) {\displaystyle (dx^{2}+dy^{2})/(e^{4t}+x^{2}+y^{2})} で与えられる。この計量はリッチフローの下で収縮するが、その幾何学は不変のまま残る。そのような解を安定リッチソリトンという。3-次元の安定リッチソリトンの例は、「ブライアントソリトン」で、これは回転対称性を持ち、正の曲率をもち、常微分方程式を解くことにより得られる。