行列の定値性
任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。
複素行列に対しては、「M が正定値であるとは、任意の非零複素列ベクトル z に対して zMz が必ず正の実数となること」と述べる定義が最も一般的であり、この条件から M がエルミートである(つまり自身の転置が自身の共軛に等しい)ことが導かれる。それを見るために、行列 A = (M+M)/2 および B = (M−M)/(2i) を考えると、M = A+iB かつ zMz = zAz + izBz であり、行列 A および B はエルミートだから zAz および zBz はそれぞれが実数値である。ここで、 zMz が実数となるならば zBz は任意の z に対して零とならねばならず、従て B は零行列であり、M = A がエルミートであることが示される。
(実は C 上の任意の内積が、正定値エルミート行列からこの方法によって得られる)。
M が線型独立なベクトルに対するグラム行列となっていること 内積 ⟨,⟩ を持つ適当な複素線型空間 の線型独立な n 個のベクトル x1, ..., xn に対し、mij := ⟨xi,xj⟩ で定義されるグラム行列 M = (mij)1≤i,j≤n は必ず正定値となることが証明できる。逆に M が正定値ならば、その固有値分解 PDP(P はユニタリで、D = (dij) は対角行列かつその対角成分 dii = λi が正の実数)が取れるから、x1, ..., xn を P の各列ベクトルにそれと対応する固有値 λi の平方根を掛けたものとすれば、これらのベクトルは互いに線型独立であって、C の標準内積(つまり、⟨xi,xj⟩ = x∗ixj)に関してそれらベクトルから得られるグラム行列は M に一致する。
M の首座小行列式が全て正であること 行列 M の k-次首座小行列式とは、その左上から順番にそのまま成分を取ってできる k × k 小行列の行列式を言う。行列が正定値であるための必要十分条件は、全ての首座小行列式が正となることであると示すことができる。この条件はシルベスターの判定法(英語版)と呼ばれ、対称実行列の正定値性の効率的な判定法を与える。具体的には、ピボットの過程で行列式の符号が保たれることに注意して、ガウスの消去法の前半部分と同様に行基本変形を用いて行列を上半三角行列に簡約化すれば、三角行列の k-次首座小行列式は第 k 行までの対角成分の積であるから、シルベスターの判定法は行列の対角成分が全て正であることを確かめることに他ならない。
この定義の下で、正定値実行列 M はエルミート、したがって対称であり、また二次形式 zMz は任意の非零実ベクトル z に対して正となる。しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみでは M が正定値であるとするには十分ではない。たとえば、
M = [ 1 1 − 1 1 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}
とすると、任意の実ベクトル z = (a,b) に対して、zMz = (a−b)a + (a+b)b = a + b は z が零でない限り常に正であるが、しかし複素ベクトル z = (1,i) に対して zMz = 2 + 2i は実数ではないから、従って M は正定値ではない。
他方、対称実行列 M に対してならば、条件「任意の非零実ベクトル z に対してzMz > 0」から複素行列の意味での M の正定値性が導かれる。