シーケンスペア
しかしながら、スライス構造は垂直線分または水平線分にて再帰的に分割した構造なので、畳の四畳半のような構造を表すことができない。つまり、n個のモジュール配置の準最適解をスライス構造を用いて焼きなまし法で探索した場合、そもそも四畳半構造を表すことができないので、nが4以上では探索範囲が必然的に限定されてしまうことになる。
これは、もしn個のモジュール配置の準最適解の殆どが四畳半構造を含んでいた場合、スライス構造を用いて探索する限り、これらの解を得ることが不可能なことを意味している。それゆえ、研究の方向は一般構造の表現、すなわちスライス構造だけでなく、四畳半を含んだ構造も表現可能な方法の開発に進んでいく。
シーケンスペアが示唆する上下左右制約を守って各矩形をできるだけ左下詰めにした配置は、水平/垂直制約グラフを用いた次の手順により求めることができる。
水平制約グラフの作り方は次の通り。
各矩形が点に対応し、その矩形の横幅を点の重みとする。
左右制約関係にある全ての矩形対について、左側の矩形に対応する点から右側の矩形に対応する点に有向枝を張る。
このグラフに、大ソース点と大シンク点を付加する。
このグラフにおける大ソース点から各点までの最長パス長が、対応する矩形の左下角x座標となる。 また垂直制約グラフの作るには、水平制約グラフの作り方にならって、点重みが矩形の高さとなり、枝を全ての矩形対の上下制約関係により張り、これに大ソース点と大シンク点を付加すればよい。垂直制約グラフの大ソース点から各点までの最長パス長は、対応する矩形の左下角y座標になる。以上の方法を用いると、矩形数がnのシーケンスペアを O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} 時間で求めることができる。
シーケンスペアは順列の対なので、n個の矩形配置を表すシーケンスペアの全バリエーションは ( n ! ) 2 {\displaystyle (n!)^{2}} 通り存在する。これを全て列挙するということは、従来不可能であった配置の全列挙が可能であることを意味し、これは大変に意義深い。しかしながら、シーケンスペアは冗長な表現を含んでいるため、 ( n ! ) 2 {\displaystyle (n!)^{2}} がn個の矩形配置の全バリエーションとは等価ではないことに注意されたい。
ちなみに、nが8の時のシーケンスペアの全バリエーションは16億2570万2400であり、仮に1個の解の評価に0.01秒を要すると、全ての解の評価に約1600万秒を必要とする。これは約188日分に相当し、たった8個の矩形配置の全探索に半年を要する計算になる。nが9個になると約188日の81倍となり、これはおよそ42年に相当する。