環の局所化
整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。
この構成は以下のようにして得られる。まず、R × S 上の同値関係 ~ を
( r 1 , s 1 ) ∼ ( r 2 , s 2 ) ⟺ ∃ t ∈ S [ t ( r 1 s 2 − r 2 s 1 ) = 0 ] {\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})\iff \exists t\in S\,[t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0]}
で定める。ここで、(r, s) の属する同値類を「分数」r/s の形に表すことにすると、同値類全体の成す集合 SR は(初等的な意味での分数が満たすのと同様の)演算
a / s + b / t := ( a t + b s ) / s t , ( a / s ) ( b / t ) := a b / s t {\displaystyle a/s+b/t:=(at+bs)/st,\quad (a/s)(b/t):=ab/st}
によって環となる。R の各元 r を同値類 (r, 1) に写す写像 j: R → SR は環準同型を定めるが、これは一般には単射でない(R の二つの元が S の零化域に入ることになる零因子の分だけしか違わないなら、それらの j による像は等しい)。
局所化のもつ普遍性とは以下のようなものである。
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象(代数多様体)の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 SR は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる(局所環も参照)。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」(従って、Z[1/n]-代数になる)ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。