一般化されたストークスの定理
{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\&\to \mathrm {d} (F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z)=(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y})\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z})\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x})\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.\end{aligned}}}
微分積分学の第二基本定理によると、区間 [a, b] にわたる関数 f の積分は、f の不定積分 F を見つけることによって次式で計算できる。
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
一般化されたストークスの定理は、次の意味でこの定理を一般化したものである。
F を選択すると dF/dx = f(x) になる。微分形式の用語では、これは f(x) dx が0形式(つまり関数)F の外微分である、つまり dF = f dx であることを意味する。一般化されたストークスの定理では F は0形式だけでなく、より高い次数の微分形式 ω に適用される。
閉区間 [a, b] は境界を持つ1次元多様体の簡単な例である。その境界は2つの点 a と b の集合である。区間にわたる f の積分はより高次元の多様体上の積分の形式に一般化することができる。ただし2つの技術的条件が必要である:多様体は向き付け可能であることと、形式はコンパクトな台を持ち積分が明確に定義されること。
2つの点 a と b は閉区間の境界を成す。一般化されたストークスの定理は、境界を持つ向き付けられた多様体 M に適用される。M の境界 ∂M はそれ自身も多様体であり、M から自然な向きが誘導される。