数え上げ測度
∫ N a ( n ) d μ ( n ) = ∑ n ∈ N a n {\displaystyle \int _{\mathbb {N} }a(n)\,d\mu (n)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}
が成り立つことが確認できる。特に
∫ N | a ( n ) | d μ ( n ) = ∑ n ∈ N | a n | {\displaystyle \int _{\mathbb {N} }|a(n)|\,d\mu (n)=\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}
だから、関数 a が μ に関して(ルベーグの意味で)可積分であるとは右辺の級数が絶対収束するということと同じである。さらに、μ に関する自乗可積分関数全体の成す集合 L(N, μ; R) は(狭義の)ヒルベルト空間 l(係数を明示して l(R) などとも書く)とよばれ、内積
( a , b ) = ∫ N a ( n ) b ( n ) d μ ( n ) = ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle (a,b)=\int _{\mathbb {N} }a(n)b(n)\,d\mu (n)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
(a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N ∈ l) の定めるノルムに関して完備なノルム空間(つまり広義のヒルベルト空間)である。