量子力学の数学的定式化
定理 ― L関数のフーリエ変換はL関数であり、しかもフーリエ変換は L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上の内積を保つ。 すなわち、L関数のフーリエ変換は L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上のユニタリ変換である
実はこのような性質を満たすフーリエ変換の拡張は一意である:
定理 ― L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上ユニタリ変換で、 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} への制限が S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} 上のフーリエ変換と一致するものはただ一つである。
i ħ d d t ψ ( t ) = i ħ d d t e x p ( − i t ħ H ) ψ {\displaystyle i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\psi (t)=i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)\psi } = H d d t e x p ( − i t ħ H ) ψ = H ψ ( t ) {\displaystyle =H{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)\psi =H\psi (t)}
となり、シュレディンガー方程式を満たす事になる。詳細は省略するが、この形式的な議論は数学的にも正当化可能である。
しかしHが有界作用素ではない場合はテイラー展開
e x p ( − i t ħ H ) := ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ⋅ ( − i t ħ ) n H n {\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right):=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\cdot (-{it \over \hbar })^{n}H^{n}}
は一般には意味を持たない。
Mackeyはより弱い条件のもとフォン・ノイマンの一意性定理を示している:
定理 (Mackeyの定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を可分とは限らないヒルベルト空間とし、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , ... , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} と H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合Dが以下の4条件をすべて満たしているとする。
Dは A j , B k j , k = 1 , ... , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} で不変である。すなわち A j ( D ) ⊂ D {\displaystyle A_{j}(D)\subset D} 、 B j ( D ) ⊂ D {\displaystyle B_{j}(D)\subset D} ∀ j , k = 1 , ... , d {\displaystyle ~~\forall j,k=1,\ldots ,d} を満たす。
(D上の正準交換関係) ∀ j , k = 1 , .
μ : B ( R d ) → P ( H ) {\displaystyle \mu ~:~{\mathcal {B}}(\mathbf {R} ^{d})\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} をスペクトル測度とするとき、次の事実が成り立つことが知られている。ここで ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の内積である:
定理 ― 定理 ψを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元とする。この時、写像 B ∈ B ( R d ) ↦ ⟨ ψ , μ ( B ) ψ ⟩ {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} ^{d})\mapsto \langle \psi ,\mu (B)\psi \rangle } はR上の複素数値の測度である。
上述のように定義される測度を μ ψ ( B ) = ⟨ ψ , μ ( B ) ψ ⟩ {\displaystyle \mu _{\psi }(B)=\langle \psi ,\mu (B)\psi \rangle } と書くとき、次が成立する事が知られている:
定理・定義 (作用素値積分) ― μψによる(有界とは限らない)可測関数fのルベーグ積分は何らかの非有界線形作用素Ffを用いて、
σP(A)の元λに対し、 ker  ( A − λ I ) {\displaystyle \ker(A-\lambda I)} の0でない元をAのλに対応する固有ベクトルといい、 dim  ker  ( A − λ I ) {\displaystyle \dim \ker(A-\lambda I)} をλの多重度という。
有限次元の場合と違い、A-λIが単射であるにもかかわらず、全射ではない事が起こりうる。よって σ ( A ) ∖ σ P ( A ) {\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{P}(A)} は一般には空集合ではない。 σ ( A ) ∖ σ P ( A ) {\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{P}(A)} の詳細については後述する。
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , ... , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} がヴァイル表現として規約であるとは、 e x p ( i s A j ) , e x p ( i t B k ) j , k = 1 , ... , d , s , t ∈ R {\displaystyle \mathrm {exp} (isA_{j}),\mathrm {exp} (itB_{k})\quad j,k=1,\ldots ,d,~s,t\in \mathbf {R} } の共通の不変真部分閉空間が { 0 } {\displaystyle \{0\}} のみである事をいう。すなわち閉部分空間 K ⊊ H {\displaystyle {\mathcal {K}}\subsetneq {\mathcal {H}}} が
なお、 T ∈ G ′ {\displaystyle T\in {\mathcal {G}}'} なので、ここでいう「一般化固有ベクトル」はブラベクトルであるが、共役線形空間を考えることで、ケットベクトルの空間 G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} 上にも同様に一般化固有ベクトルの概念を考える事ができる。 A = A ′ ∘ ι † {\displaystyle A=A'\circ \iota ^{\dagger }} であったので、Aの通常の意味での固有ベクトルは一般化固有ベクトルでもある。
定義から明らかなように、一般化固有ベクトルの定義は ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に依存している。Aと両立する ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} は複数考えられるので、 ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} の取り方に依存して異なる一般化固有ベクトルの概念が存在する事になる。
したがって P {\displaystyle P} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換
ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }}
は自然に
{ ∫ R e − i λ x / ħ ψ ( x ) d x } λ ∈ R {\displaystyle \left\{\int _{\mathbf {R} }\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x\right\}_{\lambda \in \mathbf {R} }}
と同一視できる。これは ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} をフーリエ変換したものに相当する。これが ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} を一般化フーリエ変換と呼ぶ理由である。
C∞0(Ω)の元の列および S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元の列の収束性を定義する。
定義 ― 以下の2条件を満たす時、C∞0(R)の元の列{φn}はC∞0(Ω)の元φに収束するという:
nに依存しない有界閉集合K⊂Ωで、supp φn⊂Kが任意のnに対して成立するものが存在する。
任意のβ=(β1,...,βn)に対し、 s u p { | ∂ β φ n ( x ) − ∂ β φ ( x ) | : x ∈ K } → 0 {\displaystyle \mathrm {sup} \{|\partial ^{\beta }\phi _{n}(x)-\partial ^{\beta }\phi (x)|~:~x\in K\}\to 0} が成立する。
また以下の性質が満たされているとき、 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元の列{ψn}は S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元ψに収束するという:
任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、 ‖ ψ n − ψ ‖ α , β → 0 {\displaystyle \|\psi _{n}-\psi \|_{\alpha ,\beta }\to 0}