昇降演算子
これらの定義から、上記の内積を展開できる。
I ( 1 ) ⋅ J ( 1 ) = ∑ n = − 1 + 1 ( − 1 ) n I n ( 1 ) J − n ( 1 ) = I 0 ( 1 ) J 0 ( 1 ) − I − 1 ( 1 ) J + 1 ( 1 ) − I + 1 ( 1 ) J − 1 ( 1 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {I}}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {J}}^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)},}
この展開は、状態が mi = ±1 とmj = ∓1 だけ量子数が異なる項と結合している状態を表している