ニュートン補間
ラグランジュ補間多項式 L は次数高々 k の多項式全体の成すベクトル空間に属し、上で定義した「ニュートン基底」 n := ( n 0 , ... , n k ) {\displaystyle n:=(n_{0},\dots ,n_{k})} が実際にその基底を成す。ニュートン補間定理により、n に関する L の座標 ( a 0 , ... , a k ) {\textstyle (a_{0},\dots ,a_{k})} は各 ai が差商で与えられる。素朴に L の n に関する座標を直接計算することは、線型方程式系 ∑ j = 0 i a j n j ( x i ) = y i ( i = 0 , ... , k ) {\textstyle \sum _{j=0}^{i}a_{j}n_{j}(x_{i})=y_{i}\qquad (i=0,\dots ,k)} すなわち
を解くことに他ならない。この方程式系は階段形かつ下三角行列であるから、a0 が決まれば a1 が決まり、以下順番に ak まで求めることができる。