パーマネント (数学)
矩形行列に対してパーマネントの定義を一般化することで、いくつかの応用においてはより自然な方法でこれを用いることができるようになる。例えば:
多くの数え上げ問題に 0 と 1 のみを成分とする行列のパーマネントを計算することで答えることができる。
Ω(n,k) は n次 (0, 1)-値の行列で各行各列の成分の和が k に等しいもの全体の成すクラスとする。このクラスに属する任意の行列 A は perm(A) > 0 である。射影平面の接続行列は、適当な整数 n > 1 に対するクラス Ω(n + n + 1, n + 1) に属する。最小の射影平面に対応するパーマネントは計算されており、n = 2, 3, 4 に対してその値はそれぞれ 24, 3852, 18,534,400 となる。n = 2 のときの射影平面(ファノ平面と呼ばれる)の接続行列を Z とすると、特筆すべきことに perm(Z) = 24 = |det(Z)| が成り立っている(右辺は Z の行列式の絶対値の意味である)。これは Z が巡回行列であることと、以下の定理からの帰結である。
perm  ( A + B ) = ∑ s , t perm  ( a i j ) i ∈ s , j ∈ t perm  ( b i j ) i ∈ s ̄ , j ∈ t ̄ {\displaystyle \operatorname {perm} (A+B)=\textstyle \sum \limits _{s,t}\operatorname {perm} (a_{ij})_{i\in s,j\in t}\operatorname {perm} (b_{ij})_{i\in {\bar {s}},j\in {\bar {t}}}}
が成立する。ただし、s, t は {1, 2, ..., n} の同じサイズの部分集合で、s, t はそれぞれの補集合である。
これと対照に、行列式の基本性質である乗法性はパーマネントでは成り立たない。
行列式に対するラプラス展開と同様に、パーマネントを行、列または対角線にそって展開することができる(行列式の場合には各余因子に交代符号が付いたが、パーマネントの場合には符号は付かない)。
Ak は A から k 個の列を取り除いて得られる任意の行列とする。P(Ak) は Ak の行和の総乗とし、Ak として考え得る全ての行列に亙って P(Ak) を加えた和を Σk と書けば、
perm  ( A ) = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k Σ k {\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\Sigma _{k}}
が成り立つ。あるいはこれを行列の成分を陽に出して書けば
perm  ( A ) = ( − 1 ) n ∑ S ⊆ { 1 , ... , n } ( − 1 ) | S | ∏ i = 1 n ∑ j ∈ S a i j {\displaystyle \operatorname {perm} (A)=(-1)^{n}\textstyle \sum \limits _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}(-1)^{|S|}\prod \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j\in S}a_{ij}} と書ける。
となる。
A のパーマネントの定義において、A の行列式のそれと異なる点は、各置換(に対応する項)に対して行列式が置換の符号を考慮するのに対してパーマネントは考慮しないことである。
行列 A のパーマネントは記号で per A, perm A, Per A などと書く(引数をパーレンで括ることもある)。Minc (1984) は A が矩形行列の場合に Per(A), 正方行列には per(A) と使い分けている。Muir (1882) は | + | + {\displaystyle {\overset {+}{|}}\quad {\overset {+}{|}}} で括る記法を用いている。
術語「パーマネント」は元々はコーシーが1812年に “fonctions symétriques permanentes” として関連する函数の一種に対して用いた。より特定した現代的な意味での使用は Muir (1882) による。