分岐群 (数学)
局所体の有限次ガロア拡大 L / K {\displaystyle L/K} のガロア群 G {\displaystyle G} の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。 K {\displaystyle K} の整数環を O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} と置き、 L {\displaystyle L} の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ w , O L , p {\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}} とする。ヘンゼルの補題により、ある α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} を使って O L = O K [ α ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]} と書くことができる(これは原始元定理より強い主張である)。整数 i ≥ − 1 {\displaystyle i\geq -1} に対して、 G i {\displaystyle G_{i}} を次の同値な条件を満たす s ∈ G {\displaystyle s\in G} 全体の集合として定義する。
(i) s {\displaystyle s} は O L / p i + 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}} に自明に作用する
(ii) 全ての x ∈ O L {\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}} について w ( s ( x ) − x ) ≥ i + 1 {\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1} が成り立つ
(K, v) を付値体、L を K の有限次ガロア拡大とする。Sv を v の L への延長の同値類からなる集合とし、G を L の K 上のガロア群とする。このとき、G は Sv に σ[w] = [w ∘ σ] で作用する。つまり、w を同値類 [w] ∈ Sv の代表元としたとき、[w] の行き先を自己同型 σ : L → L と w の合成が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [w] の代表元 w の取り方によらない。この作用は推移的である。
v の L への延長 w を1つとる。w の分解群(decomposition group of w)とは、[w] の固定部分群 Gw(同値類 [w] ∈ Sv を固定する G の元全体からなる部分群)のことを言う。
Rw を w についての付値環、mw をその極大イデアルとする。w の惰性群(inertia group of w)とは、Gw の元 σ で Rw の全ての元 x に対して σx ≡ x (mod mw)が成り立つもの全体からなる部分群 Iw のことである。言い換えると、Iw は分解群の要素で w に関する剰余体に自明に作用するもの全体である。これは Gw の正規部分群である。
被約分岐指数(英語版) e(w/v) は w によらないので、e(v) と表す。同様に、剰余次数(または相対次数、relative degree)f(w/v) も w によらないので、f(v) と表す。