付値体
K 係数の多項式 f ( x ) = a n x n + ⋯ + a 0 {\displaystyle \scriptstyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}} ( a n ≠ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (a_{n}\neq 0)} が既約多項式であるならば、
max ( | a 0 | , ... , | a n | ) = max ( | a 0 | , | a n | ) {\displaystyle \max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|)=\max(|a_{0}|,|a_{n}|)}
である。
任意の素数 p に対して、p進体 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} は 1 の p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根を全て含む。さらに、1 の p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根の全体と 0 を合わせた集合は、p進付値の剰余体の完全代表系をなす。
a を有理整数、p を素数としたとき、 b 2 ≡ a mod p {\displaystyle \scriptstyle b^{2}\equiv a\mod {p}} となる有理整数 b が存在するための必要十分条件は、 X 2 = a {\displaystyle X^{2}=a} が Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 上で解をもつことである。
特に π を素元とし、 π n = π n {\displaystyle \pi _{n}=\pi ^{n}} とすれば
α = ∑ n = r ∞ c n π n ( c n ∈ Γ , c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}\pi ^{n}\ \ \ \ (c_{n}\in \Gamma ,\ c_{r}\neq 0)}
と表される。付値イデアルを p = ( π ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}=(\pi )} としたとき、上記の展開のことを K の p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 進展開という。
例として、p進体 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} の元 α は
α = ∑ n = r ∞ c n p n ( c n = 0 , 1 , ... , p − 1 , c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}p^{n}\ \ \ \ (c_{n}=0,1,\ldots ,p-1,\ c_{r}\neq 0)}
と表現される。これを p進体のp進展開という。
付値体(ふちたい、英: valued field, valuation field)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 K の乗法付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} で付値体になるとき、 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} と表す。
付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} に対して、乗法付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。
付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。
非アルキメデス付値による完備体で得られる結果の多くは、その証明にヘンゼルの補題が使われているが、ヘンゼルの補題は完備体でなくても成立する場合がある。その様な体上では、完備体で得られた多くの結果が成り立つことになる。ヘンゼルの補題が成立する付値体のことをヘンゼル体という。また、与えられた付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の拡大体で、乗法付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の延長でヘンゼル体になるとき、その体のことを、付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に関する体 K のヘンゼル化という。付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} がヘンゼル体であるとき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} をヘンゼル付値、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の付値環をヘンゼル付値環という。任意の非アルキメデス付値体に対する完備化は必ず存在するので、ヘンゼル化も存在する。