次元解析
出力 L ( [ L ] = M L 2 T − 3 {\displaystyle [L]={\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}} )
この場合は物理量は6つ、次元が3種類である。
次元が一致するように各変数のべきを調整すると、(変数が多いので一意ではないが)以下のように関係式を推測できる:
P = A ρ N 2 D 2 ( Q N D 3 ) α {\displaystyle P=A\rho N^{2}D^{2}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\alpha }}
L = B ρ N 3 D 5 ( Q N D 3 ) β {\displaystyle L=B\rho N^{3}D^{5}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\beta }}
ここで、A, B, α, β は次元解析から求めることはできないが、条件で考慮していない流体の粘度や機械の各部寸法バランスなどに依存する無次元量である。
この場合の次元行列は
前提として、与えられた基本単位は有理数体上のベクトル空間(物理次元ベクトル空間と呼ぶ)の基底であり、物理単位の積はベクトルの和で表され、べき乗はスカラー倍を表すとする。有次元の物理変数を必要な基本単位の指数の組で表す(現れない基本単位に対しては指数はゼロとする)。例えば、重力加速度g は L T − 2 {\displaystyle {\mathsf {LT}}^{-2}} (長さ÷時間)の次元を持つ。したがってこれは基底(長さ,時間)に関してベクトル(1, -2)で表される。
物理的単位を物理的関係式の両辺で一致させることは、物理次元ベクトル空間で線形従属性を課すこととみなすことができる。