複素線積分
留数
コーシーの主値
ポアソン積分
ポッホハマーの積分路(英語版)
路に沿う積分を計算するために積分定理を用いることもしばしばある。これは実数値関数が路に沿う積分の計算と一緒に同時に計算されることを意味する。
コーシーの積分公式や留数定理のような積分定理は以下の手法において一般的に用いられる:
ある特定の閉じた積分路が選ばれる:
積分路は以下のように選ばれる。実数値積分を記述する複素平面の部分を通り、コーシーの積分公式や留数定理が使えるように被積分関数の特異点を囲む。
コーシー・グルサの定理の適用
積分は各極のまわりの小さい円周に沿う積分のみに簡約される。
コーシーの積分公式あるいは留数定理の適用
これらの積分公式を適用することで積分路全体の積分の値が得られる。
実部と虚部に沿う積分路への積分路の分割
積分路の全体は前に選んだように実数値積分を記述する複素平面の部分を通る積分路 R と複素平面をお横断する積分路 Iに分割できる。積分路全体上の積分はこれらの積分路それぞれの上の積分の和である。
複素平面を横断する積分が和に影響しないことの証明
I 上の積分が 0 であることを示すことができるか、あるいは、求める実数値積分が広義積分のときは I 上の積分が 0 に収束することを示せば、R 上の積分は積分路 R + I に沿う積分に収束する。
結論
上記の段階を示すことができれば、R 上の実数値積分を計算することができる。
M, N に沿った積分値を計算するため、M 上では z = − x + i ε {\displaystyle z=-x+i\epsilon } 、N上では z = − x − i ε {\displaystyle z=-x-i\epsilon } (0 < x < ∞) ととると、