上極限と下極限
無限に多くのnに対して、Anが起きるという事象。サイコロの場合は、無限回サイコロを投げたら、1の目が無限回でるという事象である。
数列 (an) の上極限は
または
で定義される。同様に下極限は
または
で定義される。
数学において、数列(以下この記事においては、単に数列と言ったら実数列のことを指すものとする) (an)n∈N の上極限(じょうきょくげん、英語: limit superior)および下極限(かきょくげん、英語: limit inferior)とは、nを無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に(ある意味で)なりうる値を上と下からおさえるために使われる。
数列 (an) の上極限を表す記号には
lim ̄ n → ∞  a n , lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }a_{n},\quad \limsup _{n\to \infty }a_{n}}
の二種類がある。同様に下極限は
lim _ n → ∞  a n , lim inf n → ∞ a n {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }a_{n},\quad \liminf _{n\to \infty }a_{n}}
と書く。