LTIシステム理論
出力が現在と過去の入力のみに依存する場合、システムは「因果的; causal」であるという。「因果性; causality」の必要十分条件は次が成り立つことである。
h [ n ] = 0 ∀ n < 0 {\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0}
ここで h [ n ] {\displaystyle h[n]} はインパルス応答である。Z変換は逆変換が一意に定まらないため、そこから因果性を判断することは通常不可能である。収束領域が示される場合、因果性を判断できる。
以後、信号(系列)と値(スカラ)を書き分けるために x m ≡ x [ n = m ] {\displaystyle x_{m}\equiv x[n=m]} とする。
インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。
x [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ x m δ [ n − m ] {\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{m}\delta [n-m]}
これらを用いて離散時間LTIシステムを記述すると次のようになる。
y [ n ] = H x [ n ] = H ∑ m = − ∞ ∞ x m δ [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ x m H δ [ n − m ] ( ∵ Linearlity ) = ∑ m = − ∞ ∞ x m h [ n − m ] ( ∵ Time-Invariance ) = ( x ∗ h ) [ n ] ( ∵ Conv.
LTI作用素の簡単な例として導関数がある。
d d t ( c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) ) = c 1 x 1 ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)} d d t x ( t − τ ) = x ′ ( t − τ ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}
導関数のラプラス変換をとってみたとき、ラプラス変数 s によって単純な乗算に変形される。
L { d d t x ( t ) } = s X ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {d}{dt}}x(t)\right\}=sX(s)}
導関数がこのような単純なラプラス変換の形式となることは、変換の有効性の証でもある。
別の単純なLTI作用素として、平均化作用素がある。
A { x ( t ) } = ∫ t − a t + a x ( λ ) d λ {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )d\lambda }
これは、積分が線型性をもつため、線型である。
{ ( z 1 , z 2 ) : z 1 = 1 } ∪ { ( z 1 , z 2 ) : z 2 = 1 } {\displaystyle \{(z_{1},z_{2}):z_{1}=1\}\cup \{(z_{1},z_{2}):z_{2}=1\}}
になり、極は
{ ( z 1 , z 2 ) : z 1 − 1 + z 2 − 1 = 2 } {\displaystyle \{(z_{1},z_{2}):z_{1}^{-1}+z_{2}^{-1}=2\}}
になるので、 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} はNSSKになる。NSSKの存在は複雑性の源。
便利のため、まだ以下の区域を定義する:
S c = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | ≥ 1 , | z 2 | ≥ 1 } {\displaystyle S_{c}=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|\geq 1,|z_{2}|\geq 1\}\,\!} S o = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | > 1 , | z 2 | > 1 } {\displaystyle S_{o}=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|>1,|z_{2}|>1\}\,\!} T = { ( z 1 , z 2 ) : | z 1 | = 1 , | z 2 | = 1 } {\displaystyle T=\{(z_{1},z_{2}):|z_{1}|=1,|z_{2}|=1\}\,\!}
ならば、以下の定理が成立する。