二項係数
等式
は等式 (∗) において x = 1 かつ y = 1 とすれば得られる。これはパスカルの三角形の各行において現れる全ての数を足し合わせれば 2 の整数冪になると言っても同じである。この事実の組合せ論的解釈は二通りに数える論法(英語版) (double counting) で n元-集合 S の位数 i (i = 1, 2, ..., n) の部分集合を数えることである。任意の位数 i に対する部分集合を数えているのだから、その和は S の部分集合の総数に等しく、それが 2 であることはよく知られている。すなわち、等式 (∗∗) は n元-集合の冪集合の位数が 2 であることを述べるものである。より明確に、n-桁のビット列を考えれば、このビット列は 2 個の数を表すことに利用できる。その中で一つも 1 を含まないビット列を考えれば、これは (n0) = 1 通りである。ちょうど一つ 1 を含むビット列は (n1) = n 通りである。このように数えて行けば上記の式を得る。
等式
および
∑ k = 0 n k 2 ( n k ) = ( n + n 2 ) 2 n − 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}k^{2}{\dbinom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}
は等式 (2) を x に関して(後者は2回)微分して x = 1 と置けば得られる。
朱ファンデルモンドの等式(英語版)
は任意の複素数 m, n と任意の非負整数 k に対して成立する。
一般の場合はこれらの線型結合を作ればよい。
n次以下の多項式 P(x) に対して
が成り立つ。ここで an は P(x) の n次係数である。等式 (11) はより一般に、複素数 m, d に対して
∑ j = 0 n ( − 1 ) j ( n j ) P ( m + ( n − j ) d ) = d n n ! a n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(m+(n-j)d)=d^{n}n!a_{n}}
とできる。これは P(x) の代わりに多項式 Q(x) := P(m + d⋅x) とするとき、Q(x) がやはり n次以下の多項式であることと n次係数が d⋅an であることに注意すれば、等式 (11) を適用して直ちに得られる。
級数
k − 1 k ∑ j = 0 ∞ 1 ( j + x k ) = 1 ( x − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\frac {k-1}{k}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{\infty }{\dfrac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\dfrac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}
は k ≥ 2 に対して収束する。この等式はドイツの戦車問題(英語版)を調べるのに利用できる。これを見るには