天体力学
ケプラーの法則は惑星の軌道の最も基本的な性質を述べたものである(これは惑星のまわりを運動する衛星に関しても成立する)。
第1法則: 惑星は太陽をひとつの焦点とする楕円軌道を描く。
第2法則: 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積(面積速度)は一定である。
第3法則: 惑星の公転周期の二乗は軌道長半径の三乗に比例する。
第1法則が主張する楕円軌道の形状は長半径 (英: semi-major axis) a {\displaystyle a} 、離心率 (英: eccentricity) e {\displaystyle e} によって特定される。中心天体との距離が最も小さくなる軌道上の点を近点 (英: pericenter) と呼ぶが、特に太陽のまわりを運動する天体の場合は近日点 (英: perihelion)、地球のまわりを運動する天体の場合は近地点 (英: perigee) などと呼ぶ。中心天体との距離が最も大きくなる軌道上の点が遠点 (英: apocenter) である。中心天体と問題の天体の距離(動径) r {\displaystyle r} は、中心天体と近点を結ぶ線分(これはアプス線(英語版)と呼ばれる)と動径がなす角 f {\displaystyle f} を用いて
国立天文台による月の平均軌道要素(J2000.0の平均春分点および黄道による)。 T {\displaystyle T} はユリウス世紀数で、 J {\displaystyle J} をユリウス日として T = ( J − 2451545 ) / 36525 {\displaystyle T=(J-2451545)/36525} により与えられる。
a = 383397.7725 + 0.0040 T [ k m ] {\displaystyle a=383397.7725+0.0040T\,[\mathrm {km} ]}
e = 0.055545526 − 0.000000016 T {\displaystyle e=0.055545526-0.000000016T}
λ = 218.31664563 ∘ + 1732559343.48470 ′′ T − 6.3910 ′′ T 2 + 0.006588 ′′ T 3 − 0.00003169 ′′ T 4 {\displaystyle \lambda =218.31664563^{\circ }+1732559343.48470''T-6.3910''T^{2}+0.006588''T^{3}-0.00003169''T^{4}}
π = 83.35324312 ∘ + 14643420.
, 6 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{6}[\sigma _{j},\sigma _{k}]{\frac {d\sigma _{k}}{dt}}={\frac {\partial R}{\partial \sigma _{j}}}\ \ (j=1,2,\ldots ,6)}
によって記述される。ここに [ c j , c k ] {\displaystyle [c_{j},c_{k}]} はラグランジュ括弧である。接触軌道要素として σ j = { a , e , i , ε , π , Ω } {\displaystyle \sigma _{j}=\{a,e,i,\epsilon ,\varpi ,\Omega \}} を取るとき、ラグランジュの惑星方程式は次のように書き下される。
d a d t = + 2 n a ∂ R ∂ ε {\displaystyle {\frac {da}{dt}}=+{\frac {2}{na}}{\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}}
d e d t = − 1 − e 2 n a 2 e [ 1 − 1 − e 2 ] ∂ R ∂ ε − 1 − e 2 n a 2 e ∂ R ∂ π {\displaystyle {\frac {de}{dt}}=-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}[1-{\sqrt {1-e^{2}}}]{\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial R}{\partial \varpi }}}