チェビシェフ多項式
次の母関数により定義される:
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}} ∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}}
次の常微分方程式(チェビシェフの微分方程式)を満たす:
( 1 − x 2 ) y ′′ − x y ′ + n 2 y = 0 for y = T n ( x ) {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\quad {\text{ for }}y=T_{n}(x)} ( 1 − x 2 ) y ′′ − 3 x y ′ + n ( n + 2 ) y = 0 for y = U n ( x ) {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)}