絶対収束
ノルムつきアーベル群 G に値を持つ級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} と、自然数の置換 σ が与えられたとする。このとき、 ∑ n = 0 ∞ a σ ( n ) {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}} は元の級数の並べ替え (rearrangement) と呼ばれる。任意の並べ替えが(置換の選び方によらず)同じ値に収束するとき、この級数は無条件収束すると言われる。
G が完備なら絶対収束から無条件収束が導かれる。すなわち、ノルムつきアーベル群 G がノルムに関して完備とすると、G上の級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} は絶対収束するなら無条件収束する。次節ではノルムが完備でない場合も含めて証明する。
各項 an が任意の位相アーベル群の要素であるような列に対して、級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} を考えることができる。
アーベル群 G 上で定義された非負実数値関数 x ↦ ‖ x ‖ が次の条件
x が G の単位元 0 であるとき、かつそのときに限り ‖ x ‖ = 0,
全ての x ∈ G について ‖ x ‖ = ‖ −x ‖,
全ての x, y ∈ G について ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖
を満たすとき、‖ x ‖ はノルムと呼ばれる。このとき d(x, y) ≔ ‖ x − y ‖ は G に距離空間の構造(とくに位相)を導く。
これにより、G-値級数は ∑ n = 0 ∞ ‖ a n ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty } であるとき、絶対収束すると定義する。
とくに、実または複素級数の場合には、絶対値 |•| をノルムとして、これらの主張がすべて満たされている。