準群
全ての c, x, y ∈ Q について以下の含意が成立するとき、準群 (Q, ∗) は弱全反対称(weakly totally anti-symmetric) であるという。
(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x ⇒ x = y
準群 (Q, ∗) が全反対称(totally anti-symmetric)とよばれるのは、これに加えて、全ての x, y ∈ Q について以下の含意が成立するときである。
x ∗ y = y ∗ x ⇒ x = y
この性質は、例えばDammアルゴリズムにおいて要求される。
可算無限準群 Q に対しても、無限配列を想像することが可能である。 その配列は、すべての行と列が Q のある要素 q に対応し、要素 a ∗ b が a 行 b 列に対応する。 この状況でも、ラテン方格の性質は、すべての可能な値が無限配列の各行と各列にちょうど一回ずつ含まれることを示す。
非可算無限準群(例えば乗法について非零実数がなす群)においても(可算でない実数を列として表すことはできないので上述の無限配列の考え方を拡張した表は構成できず、名称としてはやや不十分であるが)ラテン方格性は保たれる(ただしこれもまた誤解を生じうるもので、整列可能定理を仮定すれば実数を整列することは可能である)。
数学、特に抽象代数学における準群(じゅんぐん、英: quasigroup)あるいは擬群とは、除法が常に可能であるという点で群に似た代数的構造である。ただし、準群は群と異なり結合律と単位元が必須ではない。単位元を持つ準群はループ(英: loop)と呼ばれる。ループについてもこの記事で扱う。
準群の定義はマグマ Q の左右の乗算作用素 Lx, Rx: Q → Q についての条件として扱うことができる。ここで、Lx(y) = xy および Rx(y) = yx とする。準群の定義はこのどちらの写像も Q からそれ自身への全単射であることであることを意味する。マグマ Q が準群であるのは、全ての x ∈ Q についてこれらの作用が全単射であるときである。またこのとき、それぞれの逆写像が左右の除法である。つまり L−1x(y) = x\y および R−1x(y) = y/x である。この記法の下で、#普遍代数学的定義における乗法と除法の間の恒等式は、Q 上の恒等写像を id として以下のように表せる。
L−1xLx = id(x\(xy) = y に対応)
LxL−1x = id(x(x\y) = y に対応)
R−1xRx = id((yx)/x = y に対応)
RxR−1x = id((y/x)x = y に対応)
全ての群はループである。実際、a ∗ x = b ⇔ x = a ∗ b および y ∗ a = b ⇔ y = b ∗ aである。
整数の全体 Z(あるいは 有理数全体 Q や実数全体 R)とその減法(−)は準群をなす。この準群は単位元を持たないためループではない(a − 0 = a なので 0 が右単位元であるが、一般に 0 − a ≠ a であるためこれは左単位元にはならない)。
非零有理数 Q(あるいは非零実数 R)とその除法(÷)は準群をなす。
2でない標数の体上の任意のベクトル空間は、演算 x ∗ y = 1/2 (x + y) のもとで冪等かつ可換な準群をなす。
全てのシュタイナー三重系は冪等かつ可換な準群を定める:a ∗ a = a とし、a ≠ b について a ∗ b を a と b をともに含む唯一の三つ組の残り一つの元とする。この準群は任意の x と y について (x ∗ y) ∗ y = x も満たしており、シュタイナー準群として知られる。
四元数の単元集合 {±1, ±i, ±j, ±k} について ii = jj = kk = 1 とし、残りの積を四元数の通常の乗法で与えると、位数8の非結合的なループをなす。