レトラクト (位相幾何学)
連続写像 r: X → A が変位レトラクションであるとは,それがレトラクションでありかつその包含との合成が X 上の恒等写像にホモトピックであるときにいう.この定式化において,変位レトラクションは X 上の恒等写像とそれ自身の間のホモトピーを伴っている.
変位レトラクションの定義において,さらにすべての t ∈ [0, 1] と a ∈ A に対して
F(a, t) = a
と仮定したとき,F を強変位レトラクション (strong deformation retraction) と呼ぶ.言い換えると,強変位レトラクションは,ホモトピーずっと A の点を固定したままにする.(Hatcher(英語版) のように,これを変位レトラクションの定義にする著者もいる.)
例として,n 次元球面 S は R ∖ {0} の強変位レトラクトである;強変位レトラクションとして次の写像を取れる:
F ( x , t ) = ( ( 1 − t ) + t ‖ x ‖ ) x . {\displaystyle F(x,t)=\left((1-t)+{t \over \|x\|}\right)x.}