等濃
数学において二つの集合 A, B の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応(全単射)が存在すること、すなわち A から B への写像 f: A → B が存在して B の各元 y に対してちょうど一つづつの x ∈ A が f(x) = yを満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数 (equinumerous), 対等もしくは同等 (equipollent) あるいは等濃 (equipotent, equicardinality) であるなどと言う。
「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理(反射律・対称律・推移律)を満足する。記号では二つの集合 A, B が等濃であることを
などで表す。
全単射を用いたこの等濃性の定義は、有限集合にも無限集合にも適用できるから、これにより無限集合の場合であっても「同じ数」かどうかを議論することができることになる。集合論の祖ゲオルク・カントールは1874年に、無限が一種類ではないこと、特に自然数全体の集合と実数全体の集合は(ともに無限でありながらも)濃度が異なることを示した(カントールの最小非可算性の証明(英語版)も参照)。
真クラスを持つようなほかの公理的集合論(例えば、NBGやMK集合論など)ではクラスの間の二項関係も考えることができる。
集合 A の濃度が集合 B の濃度よりも小さい(あるいは以下である)とは A から B への単射(一対一の写像)が存在するときに言い、これを |A| ≤ |B| と表す。このとき A と B が等濃でないならば、A の濃度は B の濃度よりも真に小さい(あるいは未満である)と言い、|A| < |B| と書く。選択公理が真ならば、基数に対する三者択一の法則(英語版)—任意のふたつの集合は互いに等濃であるか、さもなくば一方が他方よりも真に小さい濃度を持つ—を満足する。この基数に対する三者択一の法則は選択公理を導く。
シュレーダー–ベルンシュタインの定理は、二つの集合 A, B は、二つの単射 f: A → B および g: B → A があるとき、互いに等濃であることを述べる: