層 (数学)
発見的な方法でいうと、層の射は層の間の写像のようなものである。しかし、層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので、層の射は、各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される。
F と G を圏 C に値をもつ X 上の 2つの層とする。射 φ: G → F は、X の各開集合 U に対し、制限と両立するような射 φ(U): G(U) → F(U) からなる。言い換えると、開集合 U のすべての開部分集合 V に対し、次の図式が可換となる:
層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう。このとき、層の射は対応する関手の自然変換である。射のこの概念により、任意の C に対し X 上の C に値を持つ層の圏が存在する。その対象は C に値を持つ層であり、射は層の射である。層の同型射はこの圏における同型射である。
層の同型射は各開集合 U 上の同型射であることを証明できる。言い換えると、φ が同型射であることと、各 U に対し φ(U) が同型射であることが同値である。同じことは単射についても正しいが、全射については正しくない。層係数コホモロジーを参照。
層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう。したがって、上の定義は前層に対しても意味をなす。すると C に値を持つ前層の圏は関手圏、O(X) から C への反変関手の圏である。
位相空間 X 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき層と呼ばれる。正確には X 上の層とは、前層 F = {F(U), ρ VU } であって、X の各開集合 U に対して開被覆
U = ⋃ λ ∈ Λ U λ {\displaystyle U=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }}
が任意に与えられたとき、F(U) の元 s, t が任意の λ に対して
s | U λ = t | U λ {\displaystyle s|_{U_{\lambda }}=t|_{U_{\lambda }}}
を満たすならば常に s = t が成立(既約性条件)し、さらに切断の族 (sλ ∈ Uλ)λ∈Λ が常に
s λ | U λ ∩ U μ = s μ | U λ ∩ U μ {\displaystyle s_{\lambda }|_{U_{\lambda }\cap U_{\mu }}=s_{\mu }|_{U_{\lambda }\cap U_{\mu }}}
を満たすものであるならば常に、F(U) の元 s で
s | U λ = s λ {\displaystyle s|_{U_{\lambda }}=s_{\lambda }}
をすべての λ に対して満たすものが存在する(閉条件)ようなもののことをいう。