群のコホモロジー
M = k を体とすると H(G, k) は次数つき k 多元環であり、群の直積のコホモロジーはそれぞれの群のコホモロジーとKünneth公式
H ∗ ( G 1 × G 2 , k ) ≅ H ∗ ( G 1 , k ) ⊗ H ∗ ( G 2 , k ) {\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2},k)\cong H^{*}(G_{1},k)\otimes H^{*}(G_{2},k)}
によって関連づけられる。たとえば G を階数 r の基本アーベル2群、k = F2 とするとKünneth公式は G のコホモロジーが H(G, k) に属する r 個の類によって生成される k 上の多項式環であることを示している。
H ∗ ( G , k ) ≅ k [ x 1 , ... , x r ] . {\displaystyle H^{*}(G,k)\cong k[x_{1},\dotsc ,x_{r}].}
数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー(英: group cohomology)とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 G の G 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。G 加群を G の元が n 単体を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 H(G, M) などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 G や G 加群 M の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。
これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 G の群のコホモロジーは G を基本群とする適当な空間——つまり対応するEilenberg-MacLane空間(英語版)——の特異コホモロジーである。したがって Z のコホモロジーは円 S の特異コホモロジーと思うことができ、同様に Z/2Z のコホモロジーは P(R) の特異コホモロジーと思うことができる。
群のコホモロジーについては非常に多くのこと——低次コホモロジーの解釈・関手性・群の変更——が知られている。群のコホモロジーに関する主題は1920年代に始まり、1940年代後半に発達し、現在でも活発に研究が続いている。