余因子展開
A を n次正方行列とし、i, j ∈ {1, 2, ..., n} を固定する。A の (i, j)小行列 Mi,j の成分を簡単のため ( b s , t ) 1 ≤ s , t ≤ n − 1 {\displaystyle (b_{s,t})_{1\leq s,t\leq n-1}} と書く。ai,j を因子に持つ |A| の展開項を考えると、それは σ(i) = j を満たす適当な置換 σ ∈ Sn により
( sgn  σ ) a 1 , σ ( 1 ) ⋯ a i , j ⋯ a n , σ ( n ) = ( sgn  σ ) a i , j b 1 , τ ( 1 ) ⋯ b n − 1 , τ ( n − 1 ) {\displaystyle (\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{i,j}\cdots a_{n,\sigma (n)}=(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{i,j}\,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n-1,\tau (n-1)}}
と表すことができる。ここで τ ∈ Sn−1 は行列式の展開項が等しくなるように σ から導かれるものであり、対応 τ ↔ σ は Sn−1 と {σ ∈ Sn | σ(i) = j} の間の全単射である。