行列指数関数
行列 X に対してその最小多項式が一次式の積に分解されるとき、行列 X は
X = A + N {\displaystyle X=A+N} A:対角化可能 N:冪零 A と N は可換 (AN = NA)
なる形に書くことができる(ジョルダン分解)。このとき X乗の計算は
e X = e A + N = e A e N {\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}}
により、先の対角化可能行列および冪零行列の計算に帰着される。後の等号で A と N との可換性が必要であることに注意せよ。
同様の方法は、代数閉体上の行列に対してジョルダン標準形を取ることで与えられる。即ち J が X のジョルダン標準形で X = PJP と書くとき、
e X = P e J P − 1 {\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}}
である。ジョルダン細胞の直和として
J = J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) , {\displaystyle J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),}
と書けば、