ド・ブランジュの定理
f α ( z ) = z ( 1 − α z ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n α n − 1 z n {\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}
であり、α が絶対値が 1 の複素数であるような回転ケーベ函数(英語版)(rotated Koebe function)である。f が単葉函数で、n ≥ 2 に対して、|an| = n であれば、f はケーベ函数という。
ド・ブランジュの定理の条件は、函数の単葉性を示すだけ、すなわち、函数
f ( z ) = z + z 2 = ( z + 1 / 2 ) 2 − 1 / 4 {\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4\;}
を示すことだけでは不十分である。単位円板上で正則で、全ての n に対して、|an| ≤ n を示せても、f(−1/2 + z) = f(−1/2 − z) であるので、単射的ではない。