多重ゼータ値
i = 0, 1 に対し ω i ( t ) = ( − 1 ) i / ( t − i ) {\displaystyle \omega _{i}(t)=(-1)^{i}/(t-i)} とおき、k > 1 と ε 1 , ... , ε k ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}\in \{0,1\}} に対し積分
I ( ε 1 , ... , ε k ) = ∫ 0 < t 1 < ⋯ < t k < 1 ω ε 1 ( t 1 ) d t 1 ⋯ ω ε k ( t k ) d t k {\displaystyle I(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k})=\int _{0<t_{1}<\cdots <t_{k}<1}\omega _{\varepsilon _{1}}(t_{1})dt_{1}\cdots \omega _{\varepsilon _{k}}(t_{k})dt_{k}}
正整数 r に対し、正整数 r 個の組 k = (k1, ... , kr) をインデックス (index) と呼び、最後の成分 kr が 2 以上であるときとくに許容インデックス、あるいは収束インデックス (admissible index) と呼ぶ。また、インデックス k = (k1, ... , kr) の成分の個数 r を k の深さ (depth)、成分の総和 k1 + ... + kr を k の重さ (weight) と呼び、それぞれ dep(k)、wt(k) と書く。このとき上述したように多重ゼータ値 ζ ( k ) {\displaystyle \zeta ({\boldsymbol {k}})} が定義され、k が許容インデックスなら定義の級数は収束する。
2 以上の整数 k に対し、重さが k のインデックスからできる多重ゼータ値が Q 上を張る空間、つまり Z k = s p a n Q { ζ ( k ) ∣ w t ( k ) = k } {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{k}=\mathrm {span} _{\mathbb {Q} }\{\zeta ({\boldsymbol {k}})\mid \mathrm {wt} ({\boldsymbol {k}})=k\}} を考え、これを Z k {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{k}} と書く。また、 Z 0 = Q {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0}=\mathbb {Q} } , Z 1 = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{1}=\{0\}} と考えることにする。