広義固有ベクトル
はじめに,λ1 = 1 に対する(通常の)固有ベクトル x11 を求める.幾何学的重複度は γ1 = 1 なので,残りの一般固有ベクトルは,x11 から逐次的に求められる.具体的には,次のように求めた.
( 1 I − A ) x 11 = [ 0 0 0 0 0 − 3 0 0 0 0 − 6 − 3 − 1 0 0 − 10 − 6 − 3 − 1 0 − 15 − 10 − 6 − 3 − 1 ] [ 0 3 − 9 9 − 3 ] = [ 0 0 0 0 0 ] = 0 , {\displaystyle (1I-A){\boldsymbol {x}}_{11}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\-3&0&0&0&0\\-6&-3&-1&0&0\\-10&-6&-3&-1&0\\-15&-10&-6&-3&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\boldsymbol {0}},}
V を n 次元ベクトル空間とする;φ を V から自身への線型写像全体の集合 End(V) の元とする;A をある基底に関する φ の行列表示とする.次のことを示すことができる.A の特性多項式 f(λ) が一次式に分解して
f ( λ ) = ± ( λ − λ 1 ) μ 1 ( λ − λ 2 ) μ 2 ⋯ ( λ − λ r ) μ r {\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}}
の形,ただし λ 1 , λ 2 , ...