作用・角変数
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} を用いるとき変数分離系となる。
H = 1 2 ( p r 2 + 1 r 2 p θ 2 + 1 r 2 sin 2  θ p φ 2 ) − μ r {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)-{\frac {\mu }{r}}}
対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。
S = ∫ ± 2 C + 2 μ r − G 2 r 2 d r + ∫ ± G 2 − G z 2 sin 2  θ d θ + G z φ {\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2C+{\frac {2\mu }{r}}-{\frac {G^{2}}{r^{2}}}}}dr+\int \pm {\sqrt {G^{2}-{\frac {G_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}}}d\theta +G_{z}\phi }
系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 ( J r , J θ , J φ , w r , w θ , w φ ) {\displaystyle (J_{r},J_{\theta },J_{\phi },w_{r},w_{\theta },w_{\phi })} は次のように求められる。
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ( p , q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いると、ハミルトンの特性関数 S ( q , α ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})} を S = S 1 ( q 1 , α ) + S 2 ( q 2 , α ) + ⋯ + S n ( q n , α ) {\displaystyle S=S_{1}(q_{1},\mathbf {\alpha } )+S_{2}(q_{2},{\boldsymbol {\alpha }})+\cdots +S_{n}(q_{n},{\boldsymbol {\alpha }})} という形に書くことができる。積分定数 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} の値が特定されると、各座標 q i {\displaystyle q_{i}} が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。
ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)
このとき、定数 α {\displaystyle \mathbf {\alpha } } により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分
1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。
H = p 2 2 m + 1 2 m ω 0 2 q 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}q^{2}}
この系はエネルギー E {\displaystyle E} が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 S {\displaystyle S} はエネルギーを積分定数とする
S = ∫ ± 2 m E − m 2 ω 0 2 q 2 d q {\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2mE-m^{2}\omega _{0}^{2}q^{2}}}\,dq}
という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は J = E / ω 0 {\displaystyle J=E/\omega _{0}} , θ = arcsin  ( m ω 0 2 J q ) {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\sqrt {\frac {m\omega _{0}}{2J}}}q\right)} と計算できる。
q = 2 J m ω 0 sin  θ , p = 2 m ω 0 J cos  θ {\displaystyle q={\sqrt {\frac {2J}{m\omega _{0}}}}\,\sin \theta ,\ \ p={\sqrt {2m\omega _{0}J}}\,\cos \theta }
H = ω 0 J {\displaystyle H=\omega _{0}J}