留数
同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数 z について
π cot  ( π z ) = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( z − n ) − 1 {\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}}
が各点収束の意味で成り立っていることが証明できる(部分分数展開)。
w を整数でない複素数として、f(z) = (w − z) ととる。例3と同様にして
1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot  ( π z ) d z = Res z = w  f ( z ) π cot  ( π z ) + ∑ n = − N N 1 w − n = − π cot  ( π w ) + ∑ n = − N N 1 w − n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz&=\operatorname {Res} \limits _{z=w}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\\&=-\pi \cot(\pi w)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\end{aligned}}}
lim z → i d n d z n ( ( z − i ) n + 1 ( 1 + z 2 ) n + 1 ) = 2 π i n ! d n d z n 1 ( z + i ) n + 1 | z = i = π ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}2\pi i\,\operatorname {Res} \limits _{z=i}\,f(z)&={2\pi i \over n!}\lim _{z\to i}{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}\!\left({\frac {(z-i)^{n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}\right)\\&={2\pi i \over n!}\left.{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}{1 \over (z+i)^{n+1}}\right|_{z=i}={\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}\end{aligned}}}
となる。一方、右辺第二項は R → ∞ のとき 0 に収束するので、結局
π ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 = ∫ − ∞ ∞ d x ( 1 + x 2 ) n + 1 {\displaystyle {\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}}
を得る。