メビウス変換
以下の図は、メビウス変換がリーマン球面の上への立体射影であることを示すものである。球面の上への射影をするとき、不動点が無限遠にある特別の場合には、任意の場所に不動点を持つ場合と何も違わないように見えることに特に注意。
抛物型でない任意のメビウス変換は不動点をふたつ持ち、複素数 k = λ による乗法を通して拡大縮小・回転変換に対応する行列
( λ 0 0 λ − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}
に共軛な行列によって定義される。ここで複素数 λ は 0 でも ± 1 でもなく、メビウス変換の特性定数 (characteristic constant) または乗数あるいは倍率、比例定数 (multiplier) と呼ばれる。
ρ も α も 0 でないときは、その変換は斜航型であるという。斜航型変換では、各点は一方の不動点から他方の不動点へSの字の軌道を描いて動く。
「斜航」(loxodrome=航程線)の原義はギリシア語: λοξος(斜めの)+ ギリシア語: δρόμος(行程)である。一定方角を保つ航行を行うとき、例えば北西に進路を保つとすると、航路は対数螺旋を描いて北極の周りを無限に巻いていくものになる。メルカトール図法ではこの航路は、北極と南極を無限遠に射影するとき、直線になる。この経線に対する内在的な斜航角(つまり傾き、あるいは螺旋の巻きの「緊さ」)は、特性定数 k の偏角である。もちろん、北極と南極だけではなくて、メビウス変換はその二つの不動点をどこにでも設定できるけれども、任意の斜航型変換による各点の動きはこの斜航線に沿って各点が動く変換と必ず共軛になる。
任意の斜航型メビウス変換で生成される一係数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。固定されない点は全て、一方の不動点から出て他方の不動点へ入るようなある曲線族に従って移動する。これが双曲型の場合と異なるのは、その曲線が円弧ではなくて、リーマン球面から平面への立体射影で写すと、一方の不動点を反時計回りに、他方の不動点を時計回りにそれぞれ無限回廻る、ひねられた螺旋となるような曲線になっていることである。一般に、二つの不動点はリーマン球面の相異なる任意の二点がとれる。
この場合も、二つの不動点が 0 と ∞ であるならば物理的解釈が可能である。観測者がある軸に関して角速度一定で回転しつつ同軸上を一定の速度で移動するものとすれば、このときの夜空の様子は 0 と ∞ を不動点とする斜航型変換全体の成す一径数部分群に従って変化する。実数 ρ および α はそれぞれ軸上の移動速度と軸周りの角速度の大きさを定める。
を成分とする表現行列 H = ( a b c d ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}=\left(\scriptstyle {\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)} が得られるが、このようにして得られた H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} の行列式は
( z 1 − z 2 ) ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 3 ) ( w 1 − w 2 ) ( w 1 − w 3 ) ( w 2 − w 3 ) {\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}
に等しく、これはまた zi がどのふたつも一致せず、かつ wi がどのふたつも一致しないならば 0 にはならないから、これによってメビウス変換がきちんと定まる。点 zi または wi の何れかが無限遠点 ∞ であるときは、先によっつの行列式をその変数で割ってからそれを ∞ に飛ばした極限を考えるものとする。