クラメール・ラオの限界
ここで再び、積分と微分が交換可能であるという条件(正規性の条件の2番目)を使った。
コーシー・シュワルツの不等式から、
Var  ( T ) Var  ( V ) ≥ | Cov  ( V , T ) | = | ψ ′ ( θ ) | {\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (T)\operatorname {Var} (V)}}\geq \left|\operatorname {Cov} (V,T)\right|=\left|\psi ^{\prime }(\theta )\right|}
よって
Var  ( T ) ≥ [ ψ ′ ( θ ) ] 2 Var  ( V ) = [ ψ ′ ( θ ) ] 2 I ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{\operatorname {Var} (V)}}={\frac {[\psi ^{\prime }(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
これが示したかったことである。
平均値ベクトル μ ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }})} 、分散共分散行列 C ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})} が未知母数ベクトル θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} で定まるような、一般的な d 次元正規分布 N d ( μ ( θ ) , C ( θ ) ) {\displaystyle N_{d}\left({\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {\theta }}),{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {\theta }})\right)} の場合、
フィッシャー情報行列の成分は、