不連続線型写像
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる(文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが)。通約不能(英語版)な任意の二数は線型独立であることに注意する。例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。即ち、作り方から、f は Q-線型(R-線型ではない)となるが、連続でない。f は可測ですらないことに注意(加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する)。この f の構成法は選択公理に依っている(ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る)。
この例は任意の無限次元ノルム空間上の(終域が自明でない)不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
X, Y がノルム空間で f が X から Y への線型写像とする。X が有限次元のとき、X の単位ベクトルからなる基底 (e1, e2, ..., en) を取ることができて、このとき
f ( x ) = ∑ i = 1 n x i f ( e i ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})}
と表すことができるから、三角不等式により
‖ f ( x ) ‖ = ‖ ∑ i = 1 n x i f ( e i ) ‖ ≤ ∑ i = 1 n | x i | ‖ f ( e i ) ‖ {\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|}
を得る。ここで
M = sup i { ‖ f ( e i ) ‖ } {\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\}}