離散測度
.. {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots } は同じ長さの [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 内の数列で、次のように定義されるディラック測度を考えることが出来る。
δ s i ( X ) = { 1 if s i ∈ X 0 if s i ∉ X {\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}
ここで X {\displaystyle X} は任意のルベーグ可測集合である。このとき、測度
μ = ∑ i a i δ s i {\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}
は離散測度となる。実際、実数直線上の任意の離散測度は、列 s 1 , s 2 , ... {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots } および a 1 , a 2 , ... {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots } を適切に選ぶことによって、このような形状になることを証明出来る。
実数直線に含まれるルベーグ可測集合上で定義され、 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} に値を取るある測度 μ {\displaystyle \mu } が離散的であるとは、(有限である)数列
s 1 , s 2 , ... {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots \,}
で
μ ( R ∖ { s 1 , s 2 , ... } ) = 0 {\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0}
を満たすようなものが存在することを言う。
実数直線上の離散測度の例として最も簡単なものは、ディラックのデルタ関数 δ {\displaystyle \delta } である。実際 δ ( R ∖ { 0 } ) = 0 {\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0} および δ ( { 0 } ) = 1 {\displaystyle \delta (\{0\})=1} が成立している。
より一般に、 s 1 , s 2 , ... {\displaystyle s_{1},s_{2},\dots } が(有限の)実数列であるなら、 a 1 , a 2 , .