代数多様体
例えば、実数体上のアフィン平面 A R 2 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}} で、多項式 f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 + 1 {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1} で定義されるアフィン代数的集合 V = V(f) は空集合である。従って、I(V) は多項式環全体となり、座標環は 0-環になってしまう。しかし、方程式を定数 t によって f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 + t {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+t} と変形すると、t が負ならば A(V) = k[x1, x2]/(f) が成り立つので、代数的観点から見て、t が正の時も座標環 A(V) は k[x1, x2]/(f) なるべきである。これは、ヒルベルトの零点定理が成り立たないために起こる現象である。代数的閉でない体上では、「方程式の性質を十分に反映するには点が不足している」のである。
もう一度 k が代数的閉体である状況に戻ってアフィン代数多様体について反省すると、ヒルベルトの零点定理は、多項式の連立方程式系で定まる点集合の幾何学的(集合論的)情報は、その多項式系が生成するイデアルから定まる座標環の環論的情報と等価(圏同値)であることを意味している。
この例で、X の場合は点集合として P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} と自然な1対1の対応があるので、「同じ」代数多様体として見なすべきである。射影代数多様体はその定義からつねに、「入れ物」の射影空間があって初めて定義されるが、多様体そのものの内在的性質を知るには入れ物によらない定義が必要である。これが、一般の代数多様体をアフィン代数多様体の貼り合わせとして定義し、それらの間の(代数的な意味での)正則同型(より一般に正則写像)を考える考え方へと導く。
一方で、Y の場合は、点集合としてさえ P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} と自然な1対1対応ができないので、代数多様体として同一視する事が出来ない。このように一般に代数多様体として同一視できない(正則同型でない)2つの代数多様体が、同型な関数体を持つときがあるが、このとき、2つの代数多様体は双有理同値であるという。高次元代数幾何においてはこの双有理同値の概念は不可避でありまた非常に重要でもある。