行列環
もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間#ヒルベルト空間上の線型作用素の作用素を表現するために使うことができる。
行と和が有限な行列環の共通部分もまた環をなし、 R C F M I ( R ) {\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)\,} と表記できる。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2, R) をなす。
R が可換環であれば、行列環は R 上 *-algebra の構造をもつ、ただし Mn(R) 上の対合 (involution) * は行列の転置である。
複素行列多元環 Mn(C) だけが、同型を除いて、複素数体 C 上の単純結合多元環である。n = 2 に対して、行列多元環 M2(C) は 角運動量 の理論で重要な役割を果たす。それは単位行列と3つのパウリ行列によって与えられる代わりの基底をもつ。M2(C) は biquaternion の形式による初期の抽象代数学の舞台であった。
体上の行列環は積のトレース σ(A, B) = tr(AB) で与えられるフロベニウス形式をもったフロベニウス多元環である。