マチンの公式
a 、b を実数とし、a > 0 、i を虚数単位とする。
複素数 z = a + bi の偏角は、
arg  z = arctan  b a {\displaystyle \arg z=\arctan {\frac {b}{a}}}
である。
複素数の偏角の範囲は arctan の主値と同じ範囲に取るものとする。
n を整数とする。ド・モアブルの定理によると z = (a + bi) の偏角は、
arg  z n = n arctan  b a {\displaystyle \arg z^{n}=n\arctan {\frac {b}{a}}}
である。この式を利用すると、マチンの公式の左辺は
( 5 + i ) 4 ( 239 + i ) − 1 = ( 5 + i ) 4 239 + i = 2 + 2 i {\displaystyle (5+i)^{4}\,(239+i)^{-1}={\frac {(5+i)^{4}}{239+i}}=2+2i}
の左辺の式の偏角に等しいと分かる。この式の右辺の偏角は π / 4 であるためマチンの公式が示される。
マチンの公式を
π = 16 arctan  1 5 − 4 arctan  1 239 {\displaystyle \pi =16\arctan {\frac {1}{5}}-4\arctan {\frac {1}{239}}}
の形にし、arctan x をグレゴリー級数に直して、それぞれ最初の方の項だけを計算して差
d ( m ) = 16 ∑ n = 0 3 m + 2 ( − 1 ) n 2 n + 1 ( 1 5 ) 2 n + 1 − 4 ∑ n = 0 m ( − 1 ) n 2 n + 1 ( 1 239 ) 2 n + 1 {\displaystyle d(m)=16\sum _{n=0}^{3m+2}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{5}}\right)^{2n+1}-4\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{239}}\right)^{2n+1}}
を取る。
和を取る項数がそれぞれ 3m + 3 項と m + 1 項であり異なっている。これは、1/5 と 1/239 の値が大きく異なるので、計算する項の値の大きさを近付けるために項数を補正しているのである。m が 1 増えるたびに、計算すべき項数は 4 増える。
m = 1 から m = 10 まで計算すると次表のようになる。