高度合成数
高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。
明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。
高度合成数は
2 a 2 3 a 3 5 a 5 ⋯ p ( b ) a p ( b ) {\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}
という形で素因数分解され、
a 2 ≥ a 3 ≥ ⋯ ≥ a p ( b ) {\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}
を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。
また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。
なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap= 1 である。
したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。
高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ(例:時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など)、また工学的な設計によく使われる。
これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。
Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して
(loge x) ≤ Q(x) ≤ (loge x)
が成り立つ。