直和
例えば有限個のベクトル空間 W1, ..., Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, ..., Wn の(外部)直和という。これを W ≔ W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn と表す。
またベクトル空間 V の n 個の部分空間 W1, ..., Wn が
W i ∩ ∑ i ≠ j W j = { 0 } {\displaystyle W_{i}\cap \sum _{i\neq j}W_{j}=\{0\}}
を満たすとき、それらの和空間(英語版) W ≔ W1 + ⋯ + Wn を部分空間 W1, ..., Wn の(内部)直和という。直和であることを明示するためにこの場合もしばしば W = W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn と表される。内部直和は外部直和と同型である。
内部直和 W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn のベクトルは W1, ..., Wn のベクトルの和として一意的に表すことができ、その次元はそれぞれの次元の和に等しい。