ハーディ空間
R 上で定義される「実ハーディ空間」(後述)の研究と主に関連する実変数の手法もまた、単位円に関するより簡単な枠組みにおいて用いられる。その手法は、それら「実」空間における複素函数(あるいは超函数)に対する実践的なものである。以下の定義では、実数および複素数の場合を区別しない。
Pr を単位円 T 上のポアソン核とする。単位円上の超函数 f に対して、次を定める。
( M f ) ( e i θ ) = sup 0 < r < 1 | ( f ∗ P r ) ( e i θ ) | . {\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|.}
ここで「スター」の記号は、単位円上での超函数 f と函数 e → Pr(θ) の畳み込みを表す。
前節で定義されたハーディ空間は、単位円上の複素 L 空間の閉線型部分空間と見なすことも出来る。この関係は、以下の定理によって示される(Katznelson 1976, Thm 3.8):p ≥ 0 に対し f ∈ H が与えられるとき、半径に関する極限
f ~ ( e i θ ) = lim r → 1 f ( r e i θ ) {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}
はほとんど全ての θ に対して存在する。この関数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は単位円に対する L 空間に属し、次が成立する。
‖ f ~ ‖ L p = ‖ f ‖ H p . {\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}
単位円を T と表し、全ての極限函数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} からなる L(T) の線型部分空間を H(T) と表す。f が H 内で変化するとき、p ≥ 1 に対して次が成り立つ (Katznelson 1976)。
g ∈ H p ( T ) if and only if g ∈ L p ( T ) and g ^ ( n ) = 0 for all n < 0.