代数幾何学用語一覧
ネータースキーム X 上の準連接層とは、OX 加群の層で局所的に加群で与えられるもののこと。
1. ゴレンシュタイン・スキーム(英語版)とは、局所ネータースキームであってその局所環がゴレンシュタイン環であるもの。
2. 正規多様体が Q-ゴレンシュタインとは、標準因子が Q-カルティエであること(コーエン・マコーレイである必要はない)。
3. 標準因子がカルティエのときに正規多様体をゴレンシュタインと呼ぶ人もいる。これは 1. とは不整合な使い方。
「p 可除群(英語版)」参照。アーベル多様体の捩じれ点のようなもの。
射 f : Y → X が準コンパクトとは、ある(全て、と言っても同じこと) X のアフィン開被覆 Ui = Spec Bi が存在して、原像 f(Ui) が準コンパクトになること。
スタックは自己同型を持つ点の集合をパラメトライズする。
1. X を射影スキーム、 O X ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)} をセールのねじり層(英語版)、F を O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群とする。 F ( n ) = F ⊗ O X O X ( n ) {\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n)} と定義する。
2. X を任意のスキーム、D をその上のカルティエ因子、F を O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群とする。 F ( D ) = F ⊗ O X O X ( D ) {\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D)} と定義する。D がヴェイユ因子で F が反射的なら、F(D) をその反射的包(reflexive hull)で置き換える。これも F(D) と表記される。
旗多様体はベクトル空間の旗(英語版)をパラメトライズするもの。
被約かつ既約なスキームは整と呼ばれる。局所ネータースキームに対しては、整であることと整域のスペクトルで被覆できる連結スキームであることは同値である。(厳密に言えば、2つの整スキームの非交和は整ではないので、これは局所的性質ではない。しかし、既約なスキームについては、これは局所的性質である。)例:スキーム Spec k[t]/f は f が既約多項式なら整。Spec A×B は(A, B ≠ 0 なら)整ではない。
多様体 X 上の直線束 L が非常に豊富とは、ある X の射影空間への埋め込みが存在して、L は射影空間上のセールのねじり層 O(1) の制限になっていること。
1. 特殊ファイバーのこと。
射 f : Y → X が準分離的(英語版)( Y は X 上準分離的ともいう)とは、対角射 Y → Y ×XY が準コンパクトであること。スキーム Y が準分離的とは、Y が Spec(Z) 上準分離的であること。
代数的閉体 k 上の正規完備代数多様体 X 上のヴェイユ因子 D の完備線形系(英語版)。つまり、 | D | = P ( Γ ( X , O X ( D ) ) ) {\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))} のこと。|D| の k 有理点の集合と、D と線形同値な X 上の有効ヴェイユ因子の集合は1対1に対応する。D が k 上の完備多様体上のカルティエ因子の場合も同じように定義する。
体上の射影スキーム X のヒルベルト多項式とは、オイラー標数 χ ( O X ( s ) ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))} のこと。
局所環が一意分解環であること。
スキームの射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} が与えられたとき、y 上の f のファイバーとは、集合としての原像 f − 1 ( y ) = { x ∈ X | f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}} のこと。ファイバー積 X × Y { y } {\displaystyle X\times _{Y}\{y\}} として y の剰余体上のスキームとして自然な構造を持つ。ここで、y の剰余体の Spec である { y } {\displaystyle \{y\}} は、自然に Y 上のスキームとしての構造を持っている。
例えば「永田のコンパクト化定理(英語版)」参照。
区分的に線形な代数幾何学の一種。「トロピカル幾何学」参照。