多変量正規分布
上記の定義で用いた条件は、以下のいずれの条件とも同値である。ベクトル値確率変数 X = ( X 1 , ... , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}} はこれらのいずれかが成り立つとき、多変量正規分布に従うと言う。
任意の線型結合 Y = a 1 X 1 + ⋯ + a k X k {\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}} ( a ∈ R k {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{k}} を定ベクトルとして Y = a T X {\displaystyle Y=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} } )が(1変量)正規分布に従う。ただし分散が 0 の正規分布とは、その平均の位置に確率 1 の確率質量を持つような確率分布を意味することとする。
一般に、2個の確率変数が無相関であっても独立であるとは限らない。しかし、確率変数ベクトルが多変量正規分布に従っている場合、その2個以上の成分が互いに無相関であれば、それらは独立である。特に、これらが組ごとに独立(英語版)であれば、独立である。
しかしながら、すぐ上で指摘した例からわかるように、2個の確率変数が正規分布に従い、かつ無相関であるからといって、それらが独立であるとは限らない(X と Y の相関係数が 0 となるよう定数 c を選べばよい)。
X = [X1, X2, X3] が多変量正規分布に従うとし、平均ベクトルを μ = [μ1, μ2, μ3]、分散共分散行列を Σ とする。 このとき X′ = [X1, X3] の周辺分布は再び多変量正規分布であり、その平均ベクトルは μ′ = [μ1, μ3]、分散共分散行列は
Σ ′ = [ Σ 11 Σ 13 Σ 31 Σ 33 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}'={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{13}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{31}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{33}\end{bmatrix}}}
である。
2個の確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} がいずれも正規分布に従っているとしても、それらの対 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} は必ずしも2変量正規分布には従わない。次のように簡単な例(反例)が構成できる。
X は標準正規分布(平均 0、分散 1)に従う。
ある定数 c > 0 {\displaystyle c>0} があって、 | X | > c {\displaystyle |X|>c} ならば Y = X {\displaystyle Y=X} 、 | X | < c {\displaystyle |X|<c} ならば Y = − X {\displaystyle Y=-X}
3変数以上の場合も同様に反例が構成できる。一般に、こうした確率変数の和によって混合分布モデル(英語版)が作られる。