半線型写像
以下、体 K に対してその素体を k で表す。例えば、K が複素数体 C のとき、その素体 k は有理数体 Q であり、また K が素冪位数 q = p の有限体 Fq のとき、素体 k は素数位数 p の有限体 Fp = Z/pZ である。
体 K 上の体自己同型(素体 k を固定する環自己同型)θ が与えられたとき、K 上のベクトル空間 V, W の間の写像 f: V → W が θ-半線型あるいは単に半線型であるとは、任意の x, y ∈ V および任意の l ∈ K が条件
加法性: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
θ-斉次性: f ( l x ) = l θ f ( x ) {\displaystyle f(lx)=l^{\theta }f(x)}
を満足するときに言う。ただし、l はスカラー l の θ による像である。
ここで、単に加法的な写像 f が与えられたとき、f が加法性を保ったまま、θ-斉次性の条件を満足するようにしようと思えば、θ は体の同型でなければならないことに注意すべきである。実際、θ が素体 k の元を動かさないものでなければならないことは、(k は K の単位元で生成される部分体であるから)加法性により
n θ f ( x ) = f ( n x ) = f ( x + ⋯ + x ) = n f ( x ) {\displaystyle n^{\theta }f(x)=f(nx)=f(x+\dotsb +x)=nf(x)}