ペンローズ・タイル
ペンローズ・タイルとは、イギリスの物理学者ロジャー・ペンローズが考案し1970年代に研究した平面充填形である。ペンローズ・タイリング、つまりペンローズ・タイルによるタイリング(タイル張り)は非周期タイリングの一例である。ここで、タイリングとは、多角形あるいは別の形状を重ならないように用いて、平面を覆うことであり平面充填ともいう。正多角形を利用したタイリングの場合、周期的なパターンが現れるが、ペンローズ・タイルを利用すると周期的なパターンでタイリングすることができず、非周期的な並べ方が強制される。タイリングが非周期的であるとは、そのタイリングが任意の大きさの周期領域を持たないことを言う。ペンローズ・タイリングは並進対称性を持たないが、鏡映対称性および5回回転対称性を持ちうる。
ペンローズ・タイリングにはいくつかの異なる種類があり、それぞれタイルの形が異なっている。元のペンローズ・タイリングでは4つの異なるタイルの形を用いてたが、その後2つ1組のタイルだけを用いるようになった:それは、2つの異なる菱形の組、あるいは2つの異なる四辺形であるカイト(凧)およびダート(矢)の組である。
平らな表面(「平面」)を、幾何学的形状(「タイル」)のなんらかのパターンで、重なりも隙間もなく覆うことをタイリングと呼ぶ。角と角が接する正方形で床を覆うような最も馴染み深いタイリングは、周期的タイリングの一例である。正方形タイリングを、タイルの一辺に平行にタイル幅だけ移動すると、移動する前と同じタイリングが得られる。このようにタイリングを変更しない移動(正式には並進)を、タイリングの周期と呼ぶ。2つの異なる方向に周期を持つタイリングを周期的であるという。
正方形タイリングのタイルは1種類だけである。そして他のタイリングでもタイルの形状の個数は有限であることがよくある。これらの形状はプロトタイル(prototile, 原型タイル)と呼ばれる。あるプロトタイルの集合だけを使った平面のタイリングが存在するならば、そのプロトタイルの集合は「タイリングを許容する」あるいは「平面をタイル貼りする」と言う。つまり、このタイリングの各タイルはプロトタイルの1つと合同でなければならない。
周期を持たないタイリングを非周期的(non-periodic)であるという。あるプロトタイルの集合を使った全てのタイリングが非周期的であるとき、そのプロトタイルの集合を非周期的(aperiodic)と言い、このプロトタイルによるタイリングを非周期的タイリング(aperiodic tiling)と言う。既知の有限個のプロトタイルによる平面の非周期タイリングの中で、ペンローズ・タイリングは最も単純な例の1つである。