ポアンカレ・ベンディクソンの定理
独立変数を t ∈ R とし、従属変数を x = (x, y) ∈ M ⊂ R とする。未知関数 x(t) = (x(t), y(t)) に対して次のような一般的な自励的2元連立1階常微分方程式系を考える。
x ̇ = f ( x ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}}(t))}
または
x ̇ = f ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t),\ y(t))}
y ̇ = g ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle {\dot {y}}=g(x(t),\ y(t))}
ここで、R は実数を、上付き ̇ は微分 d/dt を、右肩 は転置を表す。独立変数 t は時間とみなし、時間の経過に連れて x の値も変わるという風に微分方程式の意味をとらえる。従属変数の定義域 M は R の部分開集合で、M を相空間ともいう(M = R 全体としても定理は成立する)。f = (f, g) は C 級関数 f: M → R とする。f は M 上にベクトル場を定める。
t = t0 に対して与えられる x の値 (x(t0), y(t0)) = x0 を初期値という。以下、簡単のために t0 = 0 で固定する。初期値 x0 を満たし、時間 t のときの x の値を返す写像 φ(t, x0): R × M → M を微分方程式の定める流れや連続力学系という。