作用 (物理学)
U.K.: McGraw-Hill. ISBN 0-07-084018-0
Woan, G. (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2
Lanczos, Cornelius (1986). The Variational Principles of Mechanics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7 . この分野でしばしば引用される教科書。
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinenann. ISBN 0-7506-2896-0 . 最小作用の原理から始まる教科書。
Moore, Thomas A. (1996). “Least-Action Principle”. Macmillan Encyclopedia of Physics. 2. Simon & Schuster Macmillan. pp. 840 – 842. ISBN 0-02-897359-3.
An oldie but goodie, with the formalism carefully defined before use in physics and engineering.
Wolfgang Yourgrau and Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979). A nice treatment that does not avoid the philosophical implications of the theory and lauds the Feynman treatment of quantum mechanics that reduces to the principle of least action in the limit of large mass.
Edwin F. Taylor's page
Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
ランダウ, レフ、リフシッツ, エフゲニー『力学』広重, 徹、水戸, 巌(訳)(増補第3版)、東京図書〈理論物理学教程〉、1974年10月1日。ISBN 978-4-489-01160-3。
物理法則は微分方程式として表されることが多い。時間に関する微分方程式は、位置や運動量といった時間に対して連続な物理量がどのように変化するかを記述する。それぞれの状況に対応して、微分方程式に初期条件を含む境界条件が与えられ、与えられた境界条件から得られる微分方程式の解は、それぞれの状況に対する系の振る舞いを決定する。微分方程式の解は、境界条件によって定められる時間領域および空間領域のすべての点に対して、粒子の位置や運動量を決定する関数として得られる。
運動方程式を見つけるための異なるアプローチがある。古典力学では、系が実際に辿る経路はその経路の作用が停留値(大抵は最小値)をとるものに限ると仮定される。つまり、古典力学において作用は最小作用の原理(厳密には「停留作用の原理」と呼ぶべきだろう)を満たす。最小作用の原理は変分原理の一種であり、作用の第一変分が 0 となる経路として古典的経路を定める。
この停留作用の原理は、ラグランジアンが以下のオイラー=ラグランジュ方程式を満たす場合にのみ成り立つ。
作用の変分に関する議論は汎関数微分によって表現することもできる。オイラー=ラグランジュ方程式が成立するなら、作用積分の汎関数微分が恒等的にゼロである:
δ S δ x ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta x(t)}}=0}
オイラー=ラグランジュ方程式に現れる量 ∂L/∂·x は、座標 x の共役運動量 (conjugate momentum) と呼ばれる。オイラー=ラグランジュ方程式に関する重要な結果として、ラグランジアン L が陽に座標 x を含まない場合、すなわち
∂ L ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}
が成り立つ場合、対応する共役運動量は時間によらず一定である。
d d t ∂ L ∂ x ̇ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=0}
この場合の x は巡回的 (cyclic) な座標と呼ばれ、その共役運動量は保存される。