接続 (主束)
M の開集合 U 上で主束 P を自明化することは U 上で P の切断 s を選ぶことと同じである。P に接続形式 ω が与えられているとき、s によって ω を引き戻すことで g に値をとる U 上の1次微分形式 s*ω を定めることができる。この微分形式と自明化写像 U × G → P|U によって、P|U 上での ω を復元することができる。
また、U 上の任意の切断は、U から G への関数 g(x) によって s(x) g(x) と表すことができるが、この新たな切断による ω の引き戻しは
( s g ) ∗ ω = A d g − 1 ( s ∗ ω ) + g − 1 d g {\displaystyle (sg)^{*}\omega ={\rm {Ad}}_{g}^{-1}(s^{*}\omega )+g^{-1}dg}
を満たしている。M の開被覆 (Ui)i 上で P の自明化が与えられていれば、Ui j = Ui ∩ Uj 上での自明化の差 gi j が定めるコサイクルによって P を復元することができる。さなり、このコサイクルに関して上記のような貼り合わせ条件を満たす g-値の1次微分形式の族 (ωi j)i jによって P 上の接続 ω を定めることができる。
滑らかな多様体 M 上に、リー群 G を構造群とする滑らかな主束 π:P→M が与えられたとする。このとき、P 上の主 G-接続 ω とは、G のリー代数 g に値を取る P 上の1次微分形式で、