アデール環
である(AZ が開いた環となるような位相を入れる)。
さらに一般的な任意の代数体 F のアデールの環 AF はテンソル積
A F = F ⊗ Z A Z {\displaystyle \mathbb {A} _{F}=F\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }}
である(AQ の deg  ( F ) {\displaystyle \deg(F)} 個のコピーの積として位相を入れる)。
(有理)アデール環は、全てのp-進完備化 Qp と実数(もしくは、言い換えると、有理数の全ての完備化)の制限直積(英語版)(restricted product)
A Q = R × ∏ p ′ Q p {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times {\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}
として定義することができる。この場合、制限直積とは、アデール (a∞, a2, a3, a5, ...) について、有限個を除いて ap がp-進整数となっていることを言う。
有限体の函数体のアデールは、同じような方法で定義することができ、全ての完備化の制限直積として定義される。