三角関数の部分分数展開
| x | ≤ 1 2 < | y | {\displaystyle |x|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}<|y|} を仮定すれば
初めに余接関数の部分分数展開について示す。 そのために、
f ( z ) = π cot  π z − ( 1 z + ∑ n = 1 ∞ 2 z z 2 − n 2 ) {\displaystyle f(z)=\pi \cot {{\pi }z}-\left({\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}\right)}
として、恒等的に f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} であることを確かめる。 z → 0 {\displaystyle z\to 0} の極限において
π cot  π z = π cos  π z sin  π z = π 1 + O ( z 2 ) π z + O ( z 3 ) = 1 z + O ( z ) {\displaystyle \pi \cot {{\pi }z}=\pi {\frac {\cos {{\pi }z}}{\sin {{\pi }z}}}=\pi {\frac {1+{\mathcal {O}}(z^{2})}{{\pi }z+{\mathcal {O}}(z^{3})}}={\frac {1}{z}}+{\mathcal {O}}(z)}
であるから f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} の極は除去され、 f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)} であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。