バーンサイドの定理
G が自明でない正規部分群 H を持てば、位数の最小性より H と商群 G/H はともに可解群になるから、G も可解群となって矛盾する。よって G は単純群である。
G の中心 Z(G) は G の正規部分群だが、G は可換群ではあり得ないので G 自身とは一致せず、よって単位元のみになるしかない。
a または b が0だとすると、G は有限 q-群(または有限 p-群)であり、よって冪零群となり、従って可解群になって矛盾する。