剰余体
体 k 上のアフィン直線 A(k) = Spec(k[t]) を考える。k が代数的閉体であれば、素イデアルにはちょうど2つの種類
(t − a), a ∈ k
(0), 零イデアル
が存在する。
剰余体は、
k [ t ] ( t − a ) / ( t − a ) k [ t ] ( t − a ) ≅ k {\displaystyle k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k}
k [ t ] ( 0 ) ≅ k ( t ) , {\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t),} k 上の一変数の関数体
である。
k が代数的閉体でなければ、さらに種類が発生する。例えば、k = R であれば、素イデアル (x + 1) は C と同型な剰余体を持つ。