半単純成分
M がアルティン加群であれば、soc(M) はそれ自身 M の本質部分加群である。
加群が半単純であることと soc(M) = M であることは同値である。すべての M に対してsoc(M) = M であるような環はちょうど半単純環である。
M が有限余生成加群であることと soc(M) が有限生成かつ soc(M) が M の本質部分加群であることは同値である。
半単純加群の和は半単純であるから、加群の半単純成分は唯一の極大半単純部分加群としても定義できる。
rad(R) の定義から、rad(R) は soc(R) を零化することを確かめるのは易しい。R がアルティン環であり M が R 加群であれば、半単純成分 soc(M) はちょうど R のジャコブソン根基によって零化される元全体からなる。