確率変数
日本産業規格では、確率変数(かくりつへんすう、random variable)を
と規定している。
確率変数は、
これから行う試行の結果
既に行った試行の結果が未だ不確かである場合(実験結果が出揃っていない場合や測定結果が不確実である場合など)の結果
に割り当てられている値である。
確率論においては、確率変数は確率分布を記述する上で事実上必要な概念である。
確率変数は離散型確率変数(有限個または可算個)と連続型確率変数に分けられる。離散型確率変数の場合の確率は確率質量関数および離散確率分布を参照。連続型確率変数の場合の確率は確率密度関数を参照。
本項では、確率変数を標本空間に定義された可測関数から得られた数値として考える。確率論での数学的な取り扱いは#測度論的定義を参照のこと。
実数のボレル可測関数 g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } を実数値確率変数 X に適用すると、新たな確率変数 Y を定義することができる。Y の分布関数は、
F Y ( y ) = P  ( g ( X ) ≤ y ) {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}
である。
関数 g に逆関数 g が定義可能であり、かつそれが増加関数かまたは減少関数である場合には、 上記の関係は以下のように展開できる。
さらに、同じく g の可逆性に加えて微分可能性も仮定すると、両辺を y で微分することにより、確率密度関数の関係を下記のように記述できる。
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d g − 1 ( y ) d y | {\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|}