ヴィタリの収束定理
三角不等式により ∫ E C | f n | d μ ≤ ∫ E C | f p | d μ + 1 = M {\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M} を得る。
これらの上界に関する不等式を、初めのファトウの補題による不等式の右辺に適用することにより、定理の1は示される。
定理の2のために、不等式 ∫ X | f − f n | d μ ≤ ∫ E | f | d μ + ∫ E | f n | d μ + ∫ E C | f − f n | d μ {\displaystyle \int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu } を用いる。ここで E ∈ X {\displaystyle E\in X} であり μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu (E)<\delta } である。
この右辺の項はそれぞれ、上の定理の1と f n {\displaystyle f_{n}} の一様可積分性、すべての n > N {\displaystyle n>N} に対するエゴロフの定理を用いることにより、任意に小さく出来ることが分かる。