モノイド圏
任意の圏 C に対して、C を含む自由強モノイド圏 Σ(C) が次のように構成される。
Σ(C) の対象は C の対象の有限列 A1, ..., An である。
Σ(C) の対象 A1, ..., Am から B1, ..., Bn への射は、m = n ならば射の列 f1: A1 → B1, ..., fm: Am → Bm として定義され、かつ定義されるのはその場合に限る。
Σ(C) の対象 A1, ..., Am と B1, ..., Bn のテンソル積は列の結合 A1, ..., Am, B1, ..., Bn であり、同様にふたつの射のテンソル積も射の列の結合によって与えられる。
C を Σ(C) に写す作用素 Σ は Cat 上の強 2-モナドまで拡張することができる。
左単位律および右単位律: 成分がそれぞれ λ A : I ⊗ A ≅ A , ρ A : A ⊗ I ≅ A {\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A,\quad \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A} で与えられ、それぞれ左単位子、右単位子 (unitor) と呼ばれるふたつの自然同型 λ, ρ が存在する。
ここで、これらの自然変換に対する整合性条件とは次のようなものである。
C の任意の対象 A, B, C, D に対し、図式 モノイド圏における五角形図式 は可換である。
C の任意の対象 A に対し、図式 モノイド圏における三角形図式 は可換である。
自然変換 α, λ, ρ が恒等変換である(すなわち結合律、単位律が同型でなく等号で成立する)ようなモノイド圏は、強モノイド圏、狭義モノイド圏、厳密モノイド圏 (strict monoidal category) などと呼ぶ。任意のモノイド圏は、ある強モノイド圏にモノイド同値である。