線形多自由度系の振動
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下記のように、同じ次数の固有モード同士の内積が 1 となるように定める。 u ̄ r ⊤ u ̄ r = 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}=1} (3.18)
固有モードの成分の内、絶対値が最大のものを 1 とおいて定める。
1番目の自由度に対応する固有モード成分 (u1r) を 1 とおいて定める。
以上のように固有モードの大きさを一意に定めることを正規化と呼び、正規化された固有モード ūr を正規固有モードや正規化モードと呼ぶ。1番目の手法による正規固有モードは、特に質量正規固有モードやM-正規固有モードという名で呼ばれる。式3.17を満たすようにしておくと利点が多く、質量正規固有モードはよく使われる。正規固有モード ūr を並べて作る下記のような行列を、正規モード行列という。
質量正規固有モードを採用すると、式3.17に対して剛性行列は固有角振動数と
という関係を持つ。
振動の問題を分類すると、あるいは振動現象を模した動力学モデルを分類すると、いくつかの視点が存在する。
物体の運動を表すのに必要な座標あるいは変位の数を、自由度という。自由度が1の系を1自由度系という。ある1つの質点がばねとダッシュポットを介して地面に固定され、質点が上下方向のみ動く例を考える。三角関数で表現される励振力がこの質点に加わるとき、この質点の運動方程式は次のような形で与えられる。
ここで、m は質量、c は粘性減衰係数、k はばね定数、f0 は外力の振幅、ω は外力の角振動数、t は時間である。x は静的釣り合い位置からの変位で、上部の " ̇" は時間微分 (d/dt) を示す。式1.1は、振動問題を考える際の最も基礎的な式となる。1自由度系の振動の問題は、振動現象を理解する上で不可欠な様々な概念を内包しており、1自由度系のモデルが振動問題を扱う基本モデルといえる。
一方、自由度が2以上の系は多自由度系と呼ばれる。振動問題をモデル化する際には1自由度や2自由度にモデル化すれば解析が容易であり、モデル化時の自由度はできるだけ最小限とするのが大切である。しかし、現実の構造物は複雑で、すべてを1自由度系として扱うことができない。
質量行列 M(式2.2)、減衰行列 C(式2.3)、あるいは剛性行列 K (式2.4)が正定値の条件を満たさない場合、すなわち実対称行列ではなく、非対称行列であるとき、その系では不安定振動が起こることがある。このような条件では、式4.6で表される特性方程式の固有値 λ に、実部が正の固有値が含まれることがありえる。固有値に実部を正とする複素数が含まれるとき、時間とともに振幅が大きくなっていく振動が起こる。このようなメカニズムは、自励振動が起こりえる系で平衡点から振動が成長するか否かを考察する上で基礎となる。自励振動は1自由度系でも起きる現象だが、係数行列が非対称であることによって引きこされる種類の自励振動は、多自由度系特有のものである。
例として、次のような2自由度不減衰系を考える。
ただし、k12 ≠ k21 で、剛性行列は非対称行列である。さらに、k12 と k21 のどちらかが正でどちらかが負であるような異符号の関係にあるとき、固有値は
という形の複素数となる。λr とλi は
で与えられ、ここで、ωtr = k11/m1 + k22/m2, ωdiff = k11/m1 − k22/m2, ωsk = (k12/m1)(k21/m2) である。λr は発散率と呼ばれ、自励振動の強さを表す。
このような係数行列の非対称性によって起きる自励振動の事例は機械振動の中で多く見られ、クーロン摩擦による摩擦振動や滑り軸受で起こるオイルホイップなどがある。
刺激係数は、地震のように構造物の基礎が揺れている場合に、その励振が各モードに対してどのぐらい強く寄与するのかを表す。構造物を多質点系でモデル化して、基礎の変位を y として、各質点の基礎からの相対変位を x とする。各質点は ẍi + ÿ の加速度を受けるため、運動方程式は
となる。ここで 1 は成分が全て 1 の縦ベクトルである。式5.18において、C をレイリー減衰で表し、さらに x をモード座標に置き換え、左から転置したモード行列を掛けて整理すれば、下記のような各モード座標についての式になる。
さらに、上式の ÿ の係数を次のように変形する。
この βr を r 次の刺激係数と呼び、r 次モードの運動方程式は次のようになる。
つまり、βr は励振加速度が各モードに対してどのぐらい寄与しているか、あるいは各モードは基礎励振に対してどのぐらい影響を受けやすいかを表している。さらに、r 次の刺激係数と固有モードの積を r 次の刺激関数と呼び、刺激関数の総和は次のように 1 に等しい。
すなわち、対称の振動系に 1 という外力ベクトルが加わったときに各モードが受ける度合いを、刺激関数は表している。