正規拡大
L/K の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。K を K の L を含む代数的閉包とする。
K 上恒等写像であるような L の K へのすべての埋め込み は σ(L) = L を満たす。言い換えると、σ は L の K-同型である。
L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。(多項式は L で 分解する (split) と言う。)
L が K の有限次分離拡大(例えば、これは K が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる)であれば、次の性質もまた同値である。
根が K の元とともに L を生成するような既約多項式が存在する。(L はその多項式の分解体であると言う。)
例えば、 Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の正規拡大である。なぜならば、x − 2 の分解体だからである。一方、 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 x − 2 はその中に1つの根(すなわち 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} )をもつが、すべてではない(2 の虚3乗根をもたない)からである。