格子振動
ここで解として次を考える。
u n = ∑ k = 1 N U k e i k n d {\displaystyle u_{n}=\sum _{k=1}^{N}U_{k}e^{iknd}}
ここでndは通常の連続変数xを置き換える。 Ukは基準座標として知られている。 これを運動方程式に代入すると、次のように分解される(これには離散フーリエ変換における正規直交性と完全性関係が必要である。
2 C ( cos  k d − 1 ) U k = m d 2 U k d t 2 {\displaystyle 2C(\cos {kd-1})U_{k}=m{\frac {d^{2}U_{k}}{dt^{2}}}}
これは次の解を持つ調和振動子の運動方程式である。
U k = A k e i ω k t ; ω k = 2 C m ( 1 − cos  k d ) {\displaystyle U_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {kd})}}}
それぞれの基準座標Ukは、基準モード(ノーマルモード)として知られる波数kを持つ格子の独立した振動モードを表す。
ωkについての2つ目の式は角周波数と波数の間の分散関係と呼ばれる 。
格子振動(こうししんどう、英語: lattice vibration)は、結晶中の原子が、それぞれの安定な位置(格子点)の周辺で行う微小な振動である。固体における熱の一部は、この格子振動に由来しており、ある固体の温度が高い時、その個体における格子振動の振幅が大きいことを示している。
格子振動は、熱伝導の原因の一つであり、比熱とも関係が深い(→デバイ比熱)、また格子振動によって電子が散乱される(→電気伝導に影響)。
格子振動は、従来型の超伝導と深く関わっている(→BCS理論)。格子振動の量子は、フォノンである。