ハール測度
G を局所コンパクト群、B を G のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値完全加法的集合関数 μ: B → R+ ∪ {∞} で、以下の条件
G のコンパクト集合 K の測度 μ(K) は有限値をとる。
G の開集合 O の測度はコンパクト集合 K ⊂ O で内側から近似される(μ(O) = sup μ(K))。
G の任意の部分集合 S の測度 μ(S) は開集合 O ⊃ S で外側から近似される(μ(S) = inf μ(O))。
G の元 g による左移動作用に関して任意の集合 S の測度は不変である(μ(g(S)) = μ(S))。
を全て満たすものを測度空間 (G, B) 上の左ハール測度と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は正則 (regular) であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、右ハール測度やハール測度が定義される。
局所コンパクト群上に左(あるいは右)ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる(二つの左ハール測度 μ, μ′ があれば μ = c μ′ となる正の定数 c が取れ、また右不変なものに関しても同様である)。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。
アーベル群が必ずユニモジュラーであることは直ちにわかる。
コンパクト群は、連続像がコンパクトであることと正数全体の成す乗法群 R ×+ の有界な部分群が {1} に限ることとの二者からやはり必ずユニモジュラーになる。
局所コンパクト群 G 上の左ハール測度 μ と自己同型 φ があれば、φ(μ) (φ(dμ(x)) := dμ(φ(x))) はやはり左不変測度であり φ(μ) = aμ なる正定数がある。このとき、mod(φ) = a と記して "自己同型 φ の" 母数、モジュールなどと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない(とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる)ことが確かめられる。
左移動作用 Ls のモジュール modG(s) := mod(Ls)はちょうど ΔG(s) の逆数になる。
K が局所コンパクト体ならば、K の左正則表現の作用素、つまり乗法群 Kの元 s による加法群 K への左移動作用
L s : x ↦ s x {\displaystyle L_{s}\colon x\mapsto sx}
は加法群 K 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを modK(s) と記す:
m o d K ( s ) := m o d ( L s ) .