最大と最小
上界と同様に、最大元は必ずしも存在しない。たとえある集合が上界や上限(英語版)を持っていたとしても、その集合が最大元も持つとは限らない。例えば、実数全体の集合 R において、負の実数全体の集合は無数の上界と上限 0 を持つが、最大元を持たない。最小元と下界と下限とについても同様である。有限全順序集合の空でない部分集合は常に最大元と最小元とを持つ。
最大元を極大元(英語版)と混同してはならない。たとえある集合が極大元を持っていたとしても、その集合が最大元も持つとは限らない。しかしながら、もしも最大元が存在するならば、それは唯一の極大元である。最小元と極小元とについても同様である。
半順序集合 S 自身の最小元と最大元とを、それぞれ bottom と top あるいは zero (0) と unit (1) ということもある。また、その最小元と最大元とを、それぞれ記号 ⊥ と ⊤ とで表すこともある。半順序集合自身の最小元と最大元とが存在する場合、その半順序集合を bounded poset という。半順序集合が可補束であるとき、記号 0 と 1 とが好んで使われる。