ペロン＝フロベニウスの定理
A を既約な非負行列とする。このとき、以下が成立する:
(I+A) は正行列である(Meyer claim 8.3.5 p. 672を参照)。
ヴィーランドの定理:行列 B の各要素をその絶対値で置き換えた行列を |B| と表すときに、|B|<A ならば、ρ(B)≤ρ(A) である。等号が成立する(すなわち、μ=ρ(A)e が B の固有値である)なら、ある対角ユニタリ行列 D に対して B = e D AD が成立する(すなわち、D の対角成分は e に等しく、非対角成分はゼロである)。
行列のベキ A が既約であるなら、それは完全既約である。すなわち、ある置換行列 P が存在し、次が成立する:
P A P − 1 = ( A 1 0 0 ... 0 0 A 2 0 ... 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ... A d ) {\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}&0&0&\dots &0\\0&A_{2}&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\dots &A_{d}\\\end{pmatrix}}} ここで Ai は同じ最大固有値を持つ既約行列である。