正則関数
z = x + iy とし、ガウス平面 C を実平面 R と同一視すると、複素関数 f は 2 つの実 2 変数関数 u(x,y), v(x,y) を用いて
f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)
と表すことができる。f(z) = f(x, y) が正則関数であれば、u, v はコーシー・リーマンの方程式と呼ばれる偏微分方程式
{ ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\\\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}
を満たす。
ここから正則関数 f(x,y) の実部 u(x,y), 虚部 v(x,y) は実 2 変数の調和関数であることがわかる。