不確定性原理
A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} を状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のオブザーバブルとし、 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} が
ψ ∈ D o m ( A ^ ) ∩ D o m ( B ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} 、 B ^ ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle {\hat {B}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} 、 A ^ ψ ∈ D o m ( B ^ ) {\displaystyle {\hat {A}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {B}})}
状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上2つの元ψ、χに対し、ψとχの内積を ⟨ ψ , χ ⟩ {\displaystyle \langle \psi ,\chi \rangle } と書き表し、ノルムを
‖ ψ ‖ := ⟨ ψ , ψ ⟩ {\displaystyle \|\psi \|:={\sqrt {\langle \psi ,\psi \rangle }}}
とする。オブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} と状態ベクトル ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} に対し、
⟨ A ^ ⟩ ψ := ⟨ ψ , A ^ ψ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }:=\langle \psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }
不確定性原理は、物質が根源的に波であり、位置と運動量が共役すなわちフーリエ変換の双対となることに由来する。よって、一般の音声解析等のフーリエ変換にて生じるトレードオフに例えられる。
フーリエ変換では対象となる波に窓関数を乗じて波の一部を切り出し、一度の解析対象領域とするが、この領域を長くとった方が周波数分析としては正確であり、スペクトル空間上の局在的な情報が得られる。例えば波長の値などが正確に得られる。
しかし、領域が長いほど、波の瞬時ピークの高さやその出現時刻といった、時間軸で局在している特徴は曖昧になる。スペクトル空間上の局在性を犠牲にして対象領域を狭めていくことで時間軸上の局在情報すなわち瞬時のピークや波形は、より正確に捉えられる。
これは窓関数の利用に限ったことではなく、波の局在した成分を捉えようとすると、周波数空間での情報は曖昧になり分布が広がる。両方を同時に局在化させることはできない。
※詳細は不確定性原理英語版やフーリエ解析にて図入りで説明されている。
1927年にヴェルナー・ハイゼンベルクは、ある粒子の位置をより正確に決定する程、その運動量を正確に知ることができなくなり、逆もまた同様である、と述べた。(小澤正直によれば、「ハイゼンベルクは、標準偏差の関係(3)と誤差の関係(1)を混同していたのではなく、測定直後の状態が関係(3)をみたすことから、誤差の関係(1)が帰結すると主張したのであるが、その推論は不十分であった」)
位置の標準偏差 σx と運動量の標準偏差 σp を結び付ける不等式は1927年にアール・ヘッセ・ケナードによって、1928年にヘルマン・ワイルによって導出された。