Montgomery curve
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=Bl^{2}-A-x_{1}-x_{1}={\frac {B(3x_{1}^{2}+2Ax_{1}+1)^{2}}{(2By_{1})^{2}}}-A-x_{1}-x_{1}\\&={\frac {(x_{1}^{2}-1)^{2}}{4By_{1}^{2}}}={\frac {(x_{1}^{2}-1)^{2}}{4x_{1}(x_{1}^{2}+Ax_{1}+1)}}\\[8pt]y_{3}&=(2x_{1}+x_{1}+A)l-Bl^{3}-y_{1}\\&={\frac {(2x_{1}+x_{1}+A)(3{x_{1}}^{2}+2Ax_{1}+1)}{2By_{1}}}-{\frac {B(3{x_{1}}^{2}+2Ax_{1}+1)^{3}}{(2By_{1})^{3}}}-y_{1}.\end{aligned}}}
で求められる。
2)この直線と曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} との交点を求めるために、曲線の方程式の y {\displaystyle y} に y = l x + m {\displaystyle y=lx+m} を代入する。すると次の3次方程式が得られる。
x 3 + ( A − B l 2 ) x 2 + ( 1 − 2 B l m ) x − B m 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+(A-Bl^{2})x^{2}+(1-2Blm)x-Bm^{2}=0}
この方程式には、3つの解があり、それらは P 1 {\displaystyle P_{1}} と P 2 {\displaystyle P_{2}} と P 3 {\displaystyle P_{3}} の x {\displaystyle x} 座標に対応する。したがって、この方程式は次のように書き直すことができるはずである。
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0}
3)上記の2つの同じ方程式の係数、特に2次の項の係数を比較すると、次を得ることができる。
− x 1 − x 2 − x 3 = A − B l 2 {\displaystyle -x_{1}-x_{2}-x_{3}=A-Bl^{2}}
よって、 x 3 {\displaystyle x_{3}} は、 x 1 {\displaystyle x_{1}} , y 1 {\displaystyle y_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , y 2 {\displaystyle y_{2}} によって
は、 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} から M A , B {\displaystyle M_{A,B}} への双有理同値であり、逆写像:
ψ − 1 {\displaystyle \psi ^{-1}} : M A , B → E a , d {\displaystyle M_{A,B}\rightarrow E_{a,d}}
は
( u , v ) ↦ ( x , y ) = ( u v , u − 1 u + 1 ) , a = A + 2 B , d = A − 2 B {\displaystyle (u,v)\mapsto (x,y)=\left({\frac {u}{v}},{\frac {u-1}{u+1}}\right),a={\frac {A+2}{B}},d={\frac {A-2}{B}}}
で与えられる。
2つの曲線間のこの同値性は、任意の場所で有効であるわけではないないことに注意。例えば、写像 ψ {\displaystyle \psi } は、 v = 0 {\displaystyle v=0} や u + 1 = 0 {\displaystyle u+1=0} である M A , B {\displaystyle M_{A,B}} 上の点では定義されていない。