平方因子をもたない整数
無平方数を無限積
∏ n = 0 ∞ p n + 1 a n , a n ∈ { 0 , 1 } , and p n is the n th prime . {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ and }}p_{n}{\text{ is the }}n{\text{th prime}}.}
として表現すれば、それらの a n {\displaystyle a_{n}} をとってそれらを二進数のビットとして使うことができる。すなわち
∑ n = 0 ∞ a n ⋅ 2 n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}}
例えば、無平方数 42 は分解 2 × 3 × 7 をもち、無限積として表すと 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · .
Q ( x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x ) = 6 x π 2 + O ( x ) {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)}
(円周率とランダウの記号を参照)が得られる。というのは上記の特徴づけ (*) から
Q ( x ) = ∑ n ≤ x ∑ d 2 ∣ n μ ( d ) = ∑ d μ ( d ) ∑ n ≤ x , d 2 ∣ n 1 = ∑ d μ ( d ) ⌊ x d 2 ⌋ {\displaystyle Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor }
となるが、最後に現れる和の中の項は d > x {\displaystyle d>{\sqrt {x}}} のとき 0 になるから
Q ( x ) = ∑ d ≤ x μ ( d ) ⌊ x d 2 ⌋ = ∑ d ≤ x x μ ( d ) d 2 + O ( ∑ d ≤ x 1 ) = x ∑ d ≤ x μ ( d ) d 2 + O ( x ) = x ∑ d μ ( d ) d 2 + O ( x ∑ d > x 1 d 2 + x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x ) .