球面座標系
スカラー場 f(x) の勾配は
d f = ( g r a d f ) ⋅ d x {\displaystyle df=(\mathrm {grad} \,f)\cdot d{\boldsymbol {x}}}
で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が
d x = e r d r + r e θ d θ + r sin  θ e φ d φ {\displaystyle d{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {e}}_{r}\,dr+r{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,d\theta +r\sin \theta \,{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,d\phi }
であることから、球面座標系でのスカラー場 f の勾配は
g r a d f = e r ∂ f ∂ r + e θ r ∂ f ∂ θ + e φ r sin  θ ∂ f ∂ φ {\displaystyle \mathrm {grad} \,f={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}
によって成分表示される。 ベクトル場の球面座標による微分は
∂ A ∂ r = ∂ A r ∂ r e r + ∂ A θ ∂ r e θ + ∂ A φ ∂ r e φ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}={\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\phi }}
∂ A ∂ θ = ( ∂ A r ∂ θ − A θ ) e r + ( ∂ A θ ∂ θ + A r ) e θ + ∂ A φ ∂ θ e φ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-A_{\theta }\right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{r}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \theta }}{\boldsymbol {e}}_{\phi }}