蛇行動
実際の鉄道車両では、車体-台車-輪軸が相互に連結された構造となっている。そのため、比較的単純なモデルを考えたとしても、車両の運動方程式は10自由度以上となる。なおかつ各要素間は、線形な弾性支持だけでなく、粘性減衰要素や摩擦要素などによる結合となる。そのため、代数的な取扱いで解を求めることは不可能となる。代わりの方法として、コンピュータを用いた数値解析による手法を用いて車体の最適な諸元を求めることができる。具体的には、固有値解析によるものと時刻歴シミュレーションによるものがある。
車両の運動に関わる非線形要素を無視あるいは線形近似を行い、線形の運動方程式が得られる場合は、特性方程式を立てて固有値を求めることで、その系の安定性を判別することができる。自由度が多い場合は解析的に固有値を求めるのが困難になるため、ヤコビ法やQR法のような数値解析により行列の固有値を求める。得られた固有値の実部が安定性を表し、虚部が固有振動数を表す。ある速度を与えたときの固有値の実部が、負であればその速度で安定となる。
また、クリープ力の飽和やフランジ接触、ばね、ダンパの非線形特性、ストッパ接触のような非線形要素を設定して走行安定性を求めたい場合は、それらの要素を含んだ非線形運動方程式を立て、数値積分により時刻歴応答を得る手法が取られる。車体、台車、輪軸の動きを時刻歴に出力することで蛇行動の発生有無を確認できる。
普段の走行ではフランジ遊間と呼ばれる輪軸中立位置でのフランジとレールの隙間以内で走行するが、フランジ遊間を超えてレールに対して車輪が大きく左右変位したときはフランジがレールに接触して車輪を案内する構造となっている。しかし、フランジが接触しながらの走行は、振動・乗り心地の悪化やフランジ・レールの摩耗による交換メンテナンス負荷増大などを招くため望ましくない。また、フランジ接触を起こすような急曲線では、スラックと呼ばれる曲線の円滑通過のための軌間の拡大が行われるが、広げ過ぎると危険となるので大きくは取れない。
以上のような理由から、曲線通過時にフランジ接触を起こさずに円滑な通過を実現するためには、輪軸左右変位 y {\displaystyle y} を小さくしてフランジ遊間以下とするのが望ましい。(17)式によると y {\displaystyle y} を小さくするには「小さな車輪半径」「狭い軌間」「大きな踏面勾配」が望ましいが、(8)式からわかるように、このような条件は同時に蛇行動を増長させる。このように曲線通過性能と蛇行動安定性に対する要求は相反する。実際の車両では、蛇行動の解析と同様に弾性支持や粘性減衰・摺動摩擦による抵抗などの影響もある。車両諸元における相反性をまとめると以下のようになる。
k ψ = k x b 1 2 {\displaystyle k_{\psi }=k_{x}b_{1}^{2}} ... (11)
ここで、 k x {\displaystyle k_{x}} :輪軸に対する前後支持剛性、 b 1 {\displaystyle b_{1}} :輪軸の前後支持点の左右間隔の1/2である。
(9)、(10)式は、解析を簡単にするために輪軸の動きは小さいと前提を置き、以下のように簡略化を行い導出される。
踏面勾配は一定とする。
輪軸のローリング角の影響は無視する
左右車輪の接触角度差の影響は無視する
スピンクリープによる力は無視する
また、(9)、(10)式において、慣性と剛性を無視すれば( m = 0 {\displaystyle m=0} 、 k x = k y = 0 {\displaystyle k_{x}=k_{y}=0} )、(3)、(5)式が得られ、幾何学的蛇行動の運動方程式と一致する。
蛇行動が発生し出す限界の速度である蛇行動限界速度は、(9)、(10)式において縦クリープ係数と横クリープ係数は等しい( κ 11 = κ 22 = κ {\displaystyle \kappa _{11}=\kappa _{22}=\kappa } )とし、その上にさらに近似化をして以下の式が得られる。