ポワンカレの上半平面モデル
射影特殊線型群 PSL(2, R) の H への群作用は
( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d = ( a c | z | 2 + b d + ( a d + b c ) R ( z ) ) + i I ( z ) | c z + d | 2 {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}}
で定義される。この作用が推移的、つまり H の元 z1, z2 が任意に与えられるとき常に PSL(2, R) の適当な元 g を選んで gz1 = z2 とすることができること、およびこの作用が忠実、つまり H のいかなる元 z に対しても gz = z を満たすならば g = e であることに注意。
この作用に関する H の元 z の安定部分群あるいは等方部分群 とは z を不動にする、すなわち gz = z を満たすような PSL(2, R) の元 g 全体のなす集合を言う。