ロンスキー行列式
f n ( x ) | = | f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) f 1 ′ ( x ) f 2 ′ ( x ) ⋯ f n ′ ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) ( x ) f 2 ( n − 1 ) ( x ) ⋯ f n ( n − 1 ) ( x ) | , x ∈ I {\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\left|{\boldsymbol {f}}_{1}(x){\boldsymbol {f}}_{2}(x)\dots {\boldsymbol {f}}_{n}(x)\right|={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I}
で定義される I 上の函数を言う。ここで fi(x) ≔ d f/dx (x), また fi = (fi,..., fi) である。つまり、第 1 行は各函数、第 2 行はそれらの 1 階導函数、以下同様に第 (n − 1)-階導函数までを並べてできる行列の行列式である。
考える函数族 fi が線型微分方程式の解であるとき、そのロンスキー行列式はアーベルの恒等式を用いて明示的に求められる。
2 つの函数 f, g のロンスキー行列式は W(f, g) = fg' − gf' で与えられる。より一般に、n 個の実または複素数値函数 f1, ..., fn が区間 I 上で n − 1 階まで微分可能とするとき、それらのロンスキー行列式 W(f1, ..., fn) とは
W ( f 1 , ... , f n ) ( x ) = | f 1 ( x ) f 2 ( x ) ...