三角関数
sin  ( x ± y ) = sin  x cos  y ± cos  x sin  y cos  ( x ± y ) = cos  x cos  y ∓ sin  x sin  y tan  ( x ± y ) = tan  x ± tan  y 1 ∓ tan  x tan  y {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\\\cos(x\pm y)&=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\\\tan(x\pm y)&={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\end{aligned}}}
実関数 f(x) の二階線型常微分方程式の初期値問題
の解として cosx を定義し、sinx を −d (cosx)/dx として定義できる。 上記の式を 1 階の連立常微分方程式に書き換えると、g(x) = f '(x) として、
および初期条件 f(0) = 1, g(0) = 0 となる。