フィボナッチ数
レオナルド・フィボナッチは次の問題を考案した。
1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
兎が死ぬことはない。
この条件の下で、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか?
つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることが分かる。
フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:
F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } = φ n − ( 1 − φ ) n 5 = φ n − ( − φ ) − n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}}
この式は1843年にビネ (Jacques Philippe Marie Binet) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の1730年(ド・モアブル)・1765年(オイラー)にも発表されており、ビネは最初の発見者ではない。
なお、この式に現れる
φ = 1 + 5 2 = 1.618033988749894 ⋯ {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749894\cdots }
は黄金数で、いくつかの数学的特徴がある。黄金数を作る二次方程式 x − x − 1 = 0 の解を α, β (α > β) とすると、上記の一般項は
アブラナやダイコンの花びらは4枚であり、植物学では花式図より3数性、4数性、5数性で分類される。
植物の花や実に現れる螺旋の数もフィボナッチ数であることが多い。 ヒマワリの螺旋の数はフィボナッチ数とされることもあるが、螺旋の数が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ数にならないこともある。
パイナップルの螺旋の数は時計回りは13、反時計回りは8になっている。
葉序(植物の葉の付き方)はフィボナッチ数と関連している。(⇒ 出典ならびに根拠を明示してください。)
らせん葉序におけるシンパー・ブラウンの法則はフィボナッチ数列と関連するが、「近似値を示すにすぎず、またこれにあてはまらない例もある」(岩波生物学辞典)。
ハチやアリなど、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる(父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹...)。
n 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の数は Fn+1 通りある。
●と○を合わせて n 個並べる。●が2個以上続かないように一列に並べる方法は Fn+2 通りある。
為替などのテクニカル分析で、フィボナッチ・リトレースメントという手法がよく使われている。