重み付き残差法
が得られる。これは平均的な意味で残差を零にすることを表している。ここで、<・,・>は内積であり、関数 φ i , φ j {\displaystyle \phi _{i},\phi _{j}} に対して次式で定義される。
⟨ φ i , φ j ⟩ = ∫ Ω φ i ( x ) φ j ( x ) d x {\displaystyle \langle \phi _{i},\phi _{j}\rangle =\int _{\Omega }\phi _{i}(x)\phi _{j}(x)dx}
重み付き残差の式は、
∑ k = 1 N ⟨ χ i , L ( ψ k ) ⟩ α k = ⟨ χ i , f ⟩ , i = 1 , 2 , ... , N {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\langle \chi _{i},L(\psi _{k})\rangle \alpha _{k}=\langle \chi _{i},f\rangle ,\quad i=1,2,\dots ,N}
であるので、未知数 u ( x ) {\displaystyle u(x)} に関する微分方程式は未知パラメータ α k {\displaystyle \alpha _{k}} に関する代数方程式となる。これを解くことによって近似解 U ( x ) {\displaystyle U(x)} を求めることができる。