三次元球面
単位四元数全体の成す集合と見なすとき、S は重要な構造として、四元数の乗法構造を持つことにる。単位四元数の全体は乗法のもとで閉じている(積閉集合である)から、S 自身に群の構造が入ることになる。さらに言えば、四元数の乗法は連続、さらに滑らかであるから、S は位相群、さらに実リー群となる: S は三次元の非可換(英語版)コンパクトリー群である。リー群としての S はしばしば 斜交群 Sp(1) やユニタリ群 U(1, H) などと書かれる。
このようにリー群の構造を入れることのできる超球面は、単位円 S—単位複素数全体の成す集合と見て—および S—単位四元数の全体として—のみであることがわかる。同様の議論により、たとえば S を単位八元数全体の成す集合と見てリー群とすることができそうにも思われるが、これは八元数の乗法が結合性を持たないために正しい主張とはならない。八元数構造から S に入る重要な性質としては平行化可能性(英語版)があり、平行化可能な超球面は S, S, S に限られる。
四元数の行列表現を用いれば、S も行列表現することができるが、そのような表現の一つにパウリ行列を用いた表現
がある。この写像は、四元数体 H から 2 × 2 行列環 M(2; C) への単射な多元環準同型を与える。この行列表現では四元数 q の絶対値 ‖ q ‖ が q の表現行列の行列式の平方根に等しいという性質がある。したがってこの行列表現から、単位四元数全体の成す集合は行列式 1 の表現行列全体として得ることができるが、それはちょうど特殊ユニタリ群 SU(2) であるから、リー群としての S は SU(2) に同型となることがわかる。ホップ座標系 (η, ξ1, ξ2) を用いるならば、SU(2) の任意の元を
の形に書くことができる。同じ結果は、SU(2) の各元の行列表現をパウリ行列の線型結合として表す方法でも得られる。任意の元 U ∈ SU(2) は U = α 0 I + ∑ i = 1 3 α i J i {\textstyle U=\alpha _{0}I+\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}} の形に書けることがわかるが、U の行列式が +1 という条件は、この式の係数列 (αi) が三次元球面上にあるという制約を含意する。
三次元球面は自然に滑らかな多様体(実は Rへの閉埋蔵多様体(英語版))になる。 R 上のユークリッド距離から三次元球面上の距離が導かれ、三次元球面はリーマン多様体となる。任意の二次元球面がそうであったように、任意の三次元球面も一定の正の断面曲率を持ち、その値は半径を r とすれば 1/r に等しい。
三次元球面の興味深い幾何学的性質には、それが(四元数の乗法によって与えられる)自然なリー群構造を持つという事実に由来するものがたくさんある(後述)。ほかの次元の球面で同様の構造を持つものは、零次元および一次元(円周群)に限られる。
二次元球面の場合と異なり、三次元球面上では至る所消えないベクトル場(接束の切断)を持つ。さらには、至る所消えないベクトル場の線型独立な三つ組さえ存在する(そのようなものとして、三次元球面のリー環の基底となるような左不変ベクトル場の任意の組をとることができる)。このことから、三次元球面は平行化可能(英語版)であることが分かる。したがって三次元球面の接束は自明である。一般次元の球面における線型独立なベクトル場の数に関する一般の議論は球面上のベクトル場(英語版)の項を参照せよ。
三次元球面への円周群 T の興味深い群作用が存在して、S にはホップ束(英語版)と呼ばれる主円束(英語版)の構造が入る。S を C の部分集合と見る観点ならば、この作用は
で与えられる。この作用の軌道空間(英語版)は二次元球面 S に同相である。S は S × S に同相でないから、ホップ束は自明でない。
四次元の直交座標系を用いるならば、中心 (C0, C1, C2, C3) および半径 r を持つ三次元球面とは、四次元の実座標空間 R において
を満たす点 (x0, x1, x2, x3) 全体の成す集合に等しい。原点を中心とする半径 1 の三次元球面を三次元単位球面 (unit 3-sphere) と呼び、ふつう S で表す。式で書けば:
実四次元座標空間 R を複素二次元座標空間 C や一次元の四元数座標空間 H と見なすことはしばしば有用である。それぞれの場合に三次元球面は
あるいは
と書くことができる。
最後の、三次元球面を「ノルム 1」の四元数全体として表す記法では、三次元球面は四元数体におけるベルソル(英語版)(単位四元数)全体の成す集合として同定されている。平面極座標において単位円が重要であるのとまったく同じに、四元数の乗法の構造を入れた四次元空間内の極表示において三次元球面は重要な役割を果たす。
三次元球面をこのように見る立場は、Georges Lemaîtreによる楕円型空間の研究の基礎である。