カーマック・マッケンドリック理論
その後の2つの論文で、カーマックとマッケンドリックはその理論を拡張して、出生、移住、死亡、そして不完全な免疫の考慮を可能にした。現代の記法では、このモデルは以下のように表わすことができる。
d S d t = b 0 + b S S + b I I + b R R − λ S − m S S , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S+b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,}
∂ i ∂ t + ∂ i ∂ a = δ ( a ) λ ( S + σ R ) − γ ( a ) i − μ ( a ) i − m i ( a ) i , {\displaystyle {\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,}
I ( t ) = ∫ 0 ∞ i ( a , t ) d a {\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da}