射爆理論
円形正規分布型 S 1 = S 2 ≡ S {\displaystyle S_{1}=S_{2}\equiv S} の損傷関数は、以下のように表される。 D ( x 1 , x 2 ) = L 2 π S 2 exp  ( − x 1 2 + x 2 2 2 S 2 ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\frac {L}{{\sqrt {2\pi }}S^{2}}}\exp \left(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2S^{2}}}\right)}
目標撃破の確率論的特性を支配する要因には以下のものがある。
目標:目標位置の不確実性、目標の移動
発射装置・弾薬等:ハードウェアとしての銃砲弾の発射機構・爆弾投下システム・弾薬・薬剤の精度誤差 銃砲弾の発射機構:加工精度、腔内エロージョン、温度による変形誤差 弾薬・薬剤:温度による発射薬と炸薬の燃焼・爆轟速度の変化、弾体・炸薬・推進薬の品質誤差
射撃管制:照準装置・射撃管制装置の精度誤差、操作員の過誤等
環境:自然環境による弾道のずれ、発射基台の動揺 自然環境:風向・風速、空気密度 発射基台の動揺:発射基台となる銃架、車両、艦船の動揺と移動による誤差
目標撃破関数・期待カバレッジ: 目標撃破関数:目標損傷関数とも呼ばれ小目標・大目標の破壊程度を求めるのに使用される 期待カバレッジ:大目標での破壊程度を求めるのに内部の小目標の撃破割合の期待値(期待カバレッジ)を使用する
また、目標発見から弾着までの各段階による誤差分布の視点で以下の5つの要因に分類できる。単純化のため、砲システムでの説明とするが、航空機による爆弾投下やミサイルでの分類も相応に分類できる。
目標誤差:目標位置の観測誤差などの不確実性、目標の移動による差異
武器誤差:砲ごとのばらつき、零点規正の誤差、砲座の堅確性、砲の位置誤差、など射撃システムの展開段階での誤差
照準誤差:照準から砲口を離れるまでの照準システムと操作員に起因する誤差
弾道誤差:空中を飛翔中の砲外弾道学で説明される誤差
破壊確率:弾着後の加害として目標撃破関数・期待カバレッジによる目標破壊に関する確率分布
1は射爆理論では扱わない。 2から5までが射爆理論で扱う範囲である。
致命域L の他に損傷関数のばらつきS も推定できる場合には、正規分布を用いた損傷関数が採用される。 D ( x ) = L 2 π S exp  ( − x 2 2 s 2 ) {\displaystyle D(x)={\frac {L}{{\sqrt {2\pi }}S}}\exp(-{\frac {x^{2}}{2s^{2}}})}
正規分布型損傷関数ではより精密な近似が行える。
射爆理論での最も単純化されたモデルとして、1つの小目標に対して1発の弾による撃破の確率を考察する。小目標はその定義から攻撃を受けても撃破されるか無傷かのいずれかであり、次の4つの要素で決まる。
小目標の抗甚性、または脆弱性
銃砲弾・爆弾の弾種や加害能力
目標中心と弾着点との相対位置
目標撃破の基準
1から3は目標への損傷程度を規定し、損傷程度が4の目標撃破の基準を上回れば撃破となる。
P = a a 2 + σ 2 exp  ( − μ 2 2 ( a 2 + σ 2 ) ) {\displaystyle P={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+\sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2(a^{2}+\sigma ^{2})}}\right)}
a = L 2 π {\displaystyle a={\frac {L}{\sqrt {2\pi }}}}
L :致命域
特に着弾中心μ= 0 の場合には上式の右半分が省かれ以下の式になる。 P = a a 2 + σ 2 {\displaystyle P={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+\sigma ^{2}}}}}
この場合、照準を行う時に本来の正しい照準からはランダムなずれが生まれ、この量は正規分布に従った大きさXA ~ N (μA , σA ) となる。また、発射された弾も空中でランダムなずれが生まれ、その大きさはXB ~N (μB , σB ) となる。この照準誤差と弾道誤差の合計値X = XA + XB が目標に対する弾着点のずれとなる。照準誤差と弾道誤差の2つの誤差は互いに独立したものなので、弾着点のずれの分布はN (μA +μB , σA +σB ) となる。
1発の射撃では照準誤差と弾道誤差を分離する必要はないので、弾着点のずれの分布はN (μ, σ ) で表される。
確率変数X がある値x 以下になる確率Pr(X ≤x ) は、累積分布関数F (x ) と呼ばれ、確率密度関数f (x ) の[-∞, x ] 間の積分で求められる。
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ′ ) d x ′ {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(x')dx'}
標準正規分布N (0, 1) の累積分布関数はΦ(x ) と表記される。
2次元の弾着分布も1次元での分布と同様に、照準誤差と弾道誤差の2つの誤差の合算で求められる。この場合、武器誤差も簡略化のために照準誤差に含めて考える。これらから2次元の弾着分布も正規分布で近似できる。射線方向をx1 とし、射線に対し左右方向をx2 とすると、弾着点は(x1 , x2 ) と表せる。x1 とx2 の誤差が互いに独立の時は、2次元の弾着分布の確率密度関数は以下の式で表される。
f ( x 1 , x 2 ) = 1 2 π σ 1 σ 2 exp ( − ( x 1 − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 − ( x 2 − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 ) {\displaystyle f(x1,x2)={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\exp \!\left(-{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)}
μ1 , μ2 :弾着中心
σ1 , σ2 :分散
弾着分布は射線方向x1 と左右方向x2 のばらつき度合いに応じて楕円形の等高線を描く:
( x 1 − μ 1 ) 2 a 1 2 + ( x 2 − μ 2 ) 2 a 2 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{a_{2}^{2}}}=1}