ハミルトン–ヤコビ方程式
ただし U μ ( μ ) {\displaystyle U_{\mu }(\mu )} , U ν ( ν ) {\displaystyle U_{\nu }(\nu )} , U z ( z ) {\displaystyle U_{z}(z)} は任意の関数である。完全に分離された解 S = S μ ( μ ) + S ν ( ν ) + S z ( z ) − E t {\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入することにより以下が得られる。
1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) + 1 2 m a 2 ( sinh 2  μ + sin 2  ν ) [ ( d S μ d μ ) 2 + ( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 U ν ( ν ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E}
( ∇ S − e c A ) 2 − 1 c 2 ( ∂ S ∂ t + e φ ) 2 + m 2 c 2 = 0 {\displaystyle \left(\nabla S-{\frac {e}{c}}{\boldsymbol {A}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}+e\phi \right)^{2}+m^{2}c^{2}=0}