ゲルマン行列
λ 7 = [ 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ] λ 8 = 1 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] {\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}
ここで、λ1, λ2, λ3 は部分空間に作用するパウリ行列 σ1, σ2, σ3 を
λ a = [ σ a 0 0 0 ] ( a = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \lambda _{a}={\begin{bmatrix}\sigma _{a}&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad (a=1,2,3)}
の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている。
ゲルマン行列 λa (a=1,...,8) はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。
λ a † = λ a {\displaystyle \lambda _{a}^{\,\dagger }=\lambda _{a}}
Tr  ( λ a ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a})=0}
また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす。
Tr  ( λ a λ b ) = 2 δ a b {\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab}}
但し、δabはクロネッカーのデルタである。