ヤコビの虚数変換式
θ i ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{i}(z,\tau )} の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、 θ i j ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{ij}(z,\tau )} の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。
θ 0 ( z , τ ) := θ 01 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( z + 1 2 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e π i τ n 2 cos  2 n π z , θ 1 ( z , τ ) := − θ 11 ( z , τ ) := − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( z + 1 2 ) = 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n e π i τ ( n + 1 2 ) 2 sin  ( 2 n + 1 ) π z , θ 2 ( z , τ ) := θ 10 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) z = 2 ∑ n = 0 ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 cos  ( 2 n + 1 ) π z , θ 3 ( z , τ ) := θ 00 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n z = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ e π i τ n 2 cos  2 n π z .