クルスカル・スゼッケル座標系
これらの座標系の計量は
d s 2 = 32 G 3 M 3 r e − r / 2 G M ( − d T 2 + d R 2 ) + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dR^{2})+r^{2}d\Omega ^{2}}
となる。ここでのr は次の方程式により陰的に定義される。
T 2 − R 2 = ( 1 − r 2 G M ) e r / 2 G M {\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}}
またはランベルトのW関数W を用いて陽的に書き下すと
r 2 G M = 1 + W ( R 2 − T 2 e ) {\displaystyle {\frac {r}{2GM}}=1+W\left({\frac {R^{2}-T^{2}}{e}}\right)}
である。
事象の地平線の位置 (r = 2GM ) でこれらの座標系は次のようになる。
U = T − R {\displaystyle U=T-R} V = T + R , {\displaystyle V=T+R,}
事象の地平線において計量は良い振る舞いをしていて特異点を持たないことが分かる。
シュヴァルツシルト座標系とクルスカル・スゼッケル座標系の変換はr > 0, r ≠ 2GM, かつ −∞ < t < ∞で定義される。その範囲において、シュヴァルツシルト座標系は意味を成す。しかしながら、座標系 (T , R ) は物理的な特異点を除いたすべての値に対して拡張することが可能である。許される値は
− ∞ < R < ∞ {\displaystyle -\infty <R<\infty \,} T 2 − R 2 < 1 {\displaystyle T^{2}-R^{2}<1\,}
である。最大限に拡張された解について、r = 0 の点に確かに二つの特異点がある。一つは正のT でもう一つは負のT である。負のT の特異点は、時間が逆方向へ向かうブラックホールであり、ホワイトホールと呼ばれる。粒子はホワイトホールから逃げることが出来るが決して戻ることはできない。