球面調和関数
Y mk (θ, φ) は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られる。k 次の斉次多項式 p に対し、変数分離形
p(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)
でラプラス方程式 Δp = 0 を解くと、変数分離形の解は必ず
p ( r , θ , φ ) = r k ( A Y k m ( θ , φ ) + B Y k − m ( θ , φ ) ) , {\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),} m は整数で k ≤ |m|
と書ける事を証明できる。
Y mk (θ, φ) は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られるものである。このことを見るために3次元空間 R を球面座標 (r, θ, φ) でラプラス作用素を表記すると、
Δ = 1 r 2 ( Δ r + Δ s ) {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}(\Delta _{r}+\Delta _{s})}
となる。ここで、
Δ r = ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) , {\displaystyle \Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right),}