オイラー法
常微分方程式とその初期値問題を次のように定める。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}
時間の刻み幅を h とする。TF 時間後の数値解を求めるために、まずは時間を離散化し、tn = t0 + nh とすると、オイラー法は次の公式で定義される。
y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) , t n ≤ T F . {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\quad t_{n}\leq T_{F}.}
ここで、yn は tn での数値解である。この公式を導出するために、解の存在性と滑らかさはピカール・リンデレフの定理より保証されると想定する(特に、f(t, y) はリプシッツ連続である)。上記の初期値問題の厳密解(ときには解析解)を y にし、y(t + h) のテイラー展開を考える: