コーシーの積分定理
コーシーの積分定理は様々な形があるが代表的なのは次であろう。
D を領域とし、f(z) は D 上で正則である複素関数とする。CがD 内のある有界領域の境界であって、互いに交わらない有限個の区分的に滑らかなJordan閉曲線からなるとき
∮ C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z\ =0}
つまり、ある領域を囲む閉曲線で関数 f(z) を積分するとき、その領域内で f(z) が常に正則であれば、その積分の値は必ず 0 となることを主張している。
また、領域内に d F / d z = f {\displaystyle \ \mathrm {d} F/\mathrm {d} z=f} となるような正則関数 F {\displaystyle \ F} が存在する場合、始点と終点を定めれば積分路によらず
∫ a b f ( z ) d z = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(z)\,\mathrm {d} z\ =F(b)-F(a)}
となる。このとき閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が 0 になることは明らかである。すなわちコーシーの積分定理は、単連結な領域上の正則関数には、このような F {\displaystyle \ F} が常に存在することを意味している。