自由群
文字の集合 X = {xλ} λ∈Λ に対し、新たに文字の集合 X = {xλ} λ∈Λ をつくり、Ω = X ∪ X とおく。 Ω に含まれる文字からなる長さ有限な文字列を、文字集合 Ω 上の語(ご、word)と呼ぶ。
Ω の二つの語 a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bm) の積 ab を
ab = (a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm)
と定めると Ω の語の全体 W(Ω) は、空の語 () を単位元とするモノイドになる(自由モノイドあるいは空の語を特に考えないものは自由半群)。ある語 a の中に x ∈ X と x ∈ X が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 b を作ることを a を簡約(かんやく、reduce, cancel)して b にするという。簡約できない語は既約(きやく、irreducible)であるという。語 a を簡約して得られる既約な語を a の簡約表示と呼び、ここでは I(a) と表すことにする。 W(Ω) における二項関係 ~ を簡約表示が一致すること、すなわち
a ~ b ⇔ I(a) = I(b)
で定めると、この関係 ~ は同値関係となる。語 a の属する同値類を [a] で表すことにする。