確率変数の収束
Xn が X へ確率収束し、Yn が Y へ確率収束するなら、それらの結合ベクトル (Xn, Yn) は (X, Y) へ確率収束する: X n → p X , Y n → p Y ⇒ ( X n , Y n ) → p ( X , Y ) {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ (X,Y)}
Xn が X へ確率収束し、すべての n およびある b に対して P(|Xn| ≤ b) = 1 が成立するなら、Xn はすべての r ≥ 1 に対して X へと r次平均収束する。言い換えると、Xn が X へと確率収束し、すべての Xn がほとんど確実に上下とも有界であるなら、Xn は任意の r について X へ r次平均収束する。
概収束表現:通常、分布収束は概収束を意味するものではない。しかし、X0 へ分布収束するある与えられた列 (Xn) に対しては、新しい確率空間 (Ω, F, P) とその上で定義される確率変数 (Yn, n = 0, 1, ...) で、各 n ≥ 0 に対して Yn は分布として Xn に等しく、また Yn は Y0 へと概収束するようなものを見つけることが常に可能である。
すべての ε > 0 に対して ∑ n P ( | X n − X | > ε ) < ∞ {\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty }
「確率収束」とは、本質的にランダムあるいは予測不可能である事象の列がしばしばあるパターンへと落ち着くことが期待される、という考えを定式化するものである。そのパターンとは、例えば、
ある固定値や、ある確率事象から発生するそれ自身への、古典的な意味での収束
純粋な決定論的な関数から生じる結果への相似性の増加
ある特定の結果への嗜好の増加
ある特定の結果から離れていることに対する反発の増加
などが挙げられる。それより明白ではないが、より理論的なパターンとしては
次の結果を表現する確率分布が、ある分布へとより似るようになること
ある特定の値から離れた結果の期待値を計算することによって形成される列が 0 へと収束すること
次の事象を表現する確率変数の分散がより少なくなっていくこと
などが挙げられる。これらの起こりうる異なるタイプのパターンは、研究されている異なるタイプの確率収束において反映される。
上述の議論は一つの列の一つの極限値への収束と関連しているが、二つの列が互いへと収束する概念も重要である。
確率収束は、分布収束を意味する: X n → p X ⇒ X n → d X {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}
r次平均収束は、確率収束を意味する: X n → L r X ⇒ X n → p X {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}
r次平均収束は、より低次(ただしそれらはいずれも 1 より大きいものとする)の平均収束を意味する: X n → L r X ⇒ X n → L s X , {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {L^{s}}}\ X,} provided r ≥ s ≥ 1.
Xn が定数 c へと分布収束するなら、Xn は c へと確率収束する: X n → d c ⇒ X n → p c , {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ c,} provided c is a constant.