バナッハ空間
同じ基礎体 K 上のバナッハ空間 V, W に対し、連続 K-線型写像 A: V → W 全体の成す空間を L(V, W) で表す。無限次元空間の場合には任意の線型写像が自動的に連続となるわけではない。一般にノルム空間上の線型写像が連続となることと、それが単位閉球体上の有界となることとは同値である。従て、線型空間 L(V, W) に作用素ノルム
‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ W ∣ x ∈ V , ‖ x ‖ V ≤ 1 } {\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|_{W}\mid x\in V,\ \|x\|_{V}\leq 1\}}
を入れることができて、このノルムに関して L(V,W) はバナッハ空間を成す。このことは仮定を V がノルム空間である場合に緩めても成り立つ。
V = W である場合、空間 End(V) = L(V) := L(V, V) は写像の合成を積として単位的バナッハ環を成す。
V がバナッハ空間で K をその基礎体(つまり実数体 R もしくは複素数体 Cの何れか)とすると、K は(その絶対値をノルムとして)それ自身バナッハであり、V から K への連続線型函数の空間 L(V, K) として、V の双対空間(連続的双対、位相的双対)V′ を定義することができる。V′ もまた(作用素ノルムに関して)バナッハ空間になる。双対空間を介して V に新たな位相(弱位相)を定義することができる。
ここで写像の連続性は本質的であることに注意せよ。
以下はすべて実数体 R 上のバナッハ空間の例であるが、すべての例においてそれぞれ対応する複素数体上のバナッハ空間を考えることができる。
n 次元ユークリッド空間 R は、x = (x1, ..., xn) ∈ R に対して次で定義されるどのノルムについてもバナッハ空間である: ‖ x ‖ = | x 1 | 2 + ⋯ + | x n | 2 {\displaystyle \lVert x\rVert ={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}} . ‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p {\displaystyle \lVert x\rVert _{p}=(|x_{1}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})^{1/p}} (p は 1 以上の実数)。上のノルムは p = 2 の場合である。 ‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , ... , | x n | } {\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }=\max\{|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\}} .