フレドホルム作用素
空間 X から空間 Y への全てのフレドホルム作用素から成る集合は、全ての有界線型作用素が作用素ノルムをノルムとして成すバナッハ空間 L(X, Y) において開集合となる。より正確に述べれば、作用素 T0 が X から Y へのフレドホルム作用素であるならば、 ‖T − T0‖ < ε をみたすすべての L(X, Y) の元 T が T0 と同じ指数を持つフレドホルム作用素となるような正の数 ε > 0 が存在する。
T が X から Y へのフレドホルム作用素であり、U が Y から Z へのフレドホルム作用素であるとき、その合成 U ∘ T は X から Z へのフレドホルム作用素となり
i n d ( U ∘ T ) = i n d ( U ) + i n d ( T ) {\displaystyle \mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T)}
が成立する。
T が X から Y へのフレドホルム作用素であるとき、その転置または随伴作用素 T ′ は Y ′ から X ′ へのフレドホルム作用素となり、ind(T ′) = −ind(T) が成立する。