アペリーの定理
アペリーとボイカーズは級数表示
ζ ( 2 ) = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ( 2 n n ) {\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}
のおかげで彼らの証明を ζ(2) のために単純化できた。アペリーの手法の成功のおかげで、
ζ ( 5 ) = ξ 5 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 5 ( 2 n n ) {\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}}
という性質を持つ数 ξ5 の研究がなされた。もしそのような ξ5 が見つかれば、アペリーの定理の証明のために使われた手法は ζ(5) が無理数であることの証明に使えると期待される。しかし不幸なことに、コンピュータによる広範な探索はそのような定数を見つけることに失敗しており、実は今では次のことが知られている。