楕円
x = a cos  t , y = b sin  t {\displaystyle x=a\,\cos t,\,y=b\,\sin t}
が用いられる。この場合、t = 0 では、点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} をとり、 t = π / 2 {\displaystyle \pi /2} では点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} をとるので、tはx軸の正の部分を基準線とする反時計方向の角度になっている。
一方、媒介変数表示は
x = a sin  t , y = b cos  t {\displaystyle x=a\,\sin t,\,y=b\,\cos t}
とする事もでき、この場合、t = 0 では、点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} をとり、 t = π / 2 {\displaystyle \pi /2} では点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} をとるので、tはy軸の正の部分を基準線とする時計方向の角度になっている。
第二種不完全楕円積分を
E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2  φ d φ {\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}~d\phi \end{aligned}}}
0 ≤ φ ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2}
と表記する。
近似式としては、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによる次の二式がある。簡便なものとしては、
C ≈ π [ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ] = π [ 3 ( a + b ) − 10 a b + 3 ( a 2 + b 2 ) ] {\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}~\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}~\right]}
があり、さらに良い近似として、次式がある。
C ≈ π ( a + b ) [ 1 + 3 ( a − b a + b ) 2 10 + 4 − 3 ( a − b a + b ) 2 ] {\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]}
より一般的には、対応する角度の関数としての、周長の一部である楕円弧長は、第二種不完全楕円積分で表される。