変形
平面変形、または平面ひずみは、基準配置において単一平面に限定された変形の一つである。変形が単位ベクトル e1 、e2 によって描写される平面に限定される場合、変形勾配は以下の式で記述される。
F = ∂ x ∂ X = F 11 e 1 ⊗ e 1 + F 12 e 1 ⊗ e 2 + F 21 e 2 ⊗ e 1 + F 22 e 2 ⊗ e 2 + e 3 ⊗ e 3 {\displaystyle F={\cfrac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}=F_{11}{\boldsymbol {e}}_{1}\otimes {\boldsymbol {e}}_{1}+F_{12}{\boldsymbol {e}}_{1}\otimes {\boldsymbol {e}}_{2}+F_{21}{\boldsymbol {e}}_{2}\otimes {\boldsymbol {e}}_{1}+F_{22}{\boldsymbol {e}}_{2}\otimes {\boldsymbol {e}}_{2}+{\boldsymbol {e}}_{3}\otimes {\boldsymbol {e}}_{3}}
変形(へんけい、英: deformation)とは、
連続体力学における物体の初期状態から最終状態への変換である。本項で詳述する。
単に形状が変化する、させること、本稿で限定して詳述する物を含め、生物の成長過程、応力による破壊による変形、折りたたみ椅子や変形玩具の変形、問題解決を容易にするために数式の意味合いを変えずに見た目を変えることなど。
一般に変形とは形状の変化を意味するが、連続体力学では形状の変化が生じない剛体運動を含む ( footnote 4, p. 48)。変形は外力、 物体力(重力や電磁力など)、物体内の温度変化によって生じる。
また、ひずみは物体内の物質点の相対変位による変形の尺度である。
応力とひずみの関係は、線形弾性材料におけるフックの法則のような構成式によって記述される。応力が除荷された後、完全に初期状態へ戻る変形を弾性変形と呼ぶ。一方、応力が除荷された後でも残る変形を塑性変形と呼ぶ。塑性変形は応力が降伏応力に達した後に物体内で発生し、すべりや原子レベルでの転位によって進行する。
変形が等積的(体積保存)の場合、 det F = 1 となり、以下の式を得る。
F 11 F 22 − F 12 F 21 = 1 {\displaystyle \ F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}
または、
λ 1 λ 2 = 1 {\displaystyle \ \lambda _{1}\lambda _{2}=1}