アベル・プラナの和公式
∫ C 1 ( 1 − i cot  π z ) f ( z ) d z = ∫ b + i ∞ b ( 1 − i cot  π z ) f ( z ) d z + ∫ a a + i ∞ ( 1 − i cot  π z ) f ( z ) d z = − ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot  ( π z + π b ) ) f ( b + z ) d z + ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot  ( π z + π a ) ) f ( a + z ) d z ( z → b + z , a + z ) = − ∫ 0 ∞ ( i + cot  ( π i y + π b ) ) f ( b + i y ) d y + ∫ 0 ∞ ( i + cot  ( π i y + π a ) ) f ( a + i y ) d y ( z → i y ) ∫ C 2 ( 1 + i cot  π z ) f ( z ) d z = ∫ a a − i ∞ ( 1 + i cot  π z ) f ( z ) d z + ∫ b − i ∞ b ( 1 + i cot  π z ) f ( z ) d z = − ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot  ( π z − π a ) ) f ( a − z ) d z + ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot  ( π z − π b ) ) f ( b − z ) d z ( z → a − z , b − z ) = − ∫ 0 ∞ ( i + cot  ( π i y − π a ) ) f ( a − i y ) d z + ∫ 0 ∞ ( i + cot  ( π i y − π b ) ) f ( b − i y ) d z ( z → i y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{b+i\infty }^{b}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{a}^{a+i\infty }\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }b}\right)\right)f(b+z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }a}\right)\right)f(a+z)dz\qquad (z\rightarrow {b+z,a+z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }b}\right)\right)f(b+iy)dy+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }a}\right)\right)f(a+iy)dy\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{a}^{a-i\infty }\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{b-i\infty }^{b}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }a}\right)\right)f(a-z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }b}\right)\right)f(b-z)dz\qquad (z\rightarrow {a-z,b-z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }a}\right)\right)f(a-iy)dz+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }b}\right)\right)f(b-iy)dz\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}
∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ( f ( a + i y ) e 2 π y e − 2 π i a − 1 − f ( a − i y ) e 2 π y e 2 π i a − 1 − f ( b + i y ) e 2 π y e − 2 π i b − 1 + f ( b − i y ) e 2 π y e 2 π i b − 1 ) d y , ( a , b ∉ Z ) {\displaystyle \sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )}
を得る。また、 a , b {\displaystyle a,b} が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y , ( a , b ∈ Z ) {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )}
となる。
となるが、最後の積分は
∫ 0 ∞ y 2 k − 1 e 2 π y − 1 d y = ∫ 0 ∞ e − 2 π y y 2 k − 1 1 − e − 2 π y d y = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ e − 2 π n y y 2 k − 1 d y = 1 ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k ∫ 0 ∞ e − t t 2 k − 1 d t ( t = 2 π n y ) = ( 2 k − 1 ) ! ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k = ( − 1 ) k − 1 B 2 k 4 k {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2{\pi }y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi }y}}}dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }ny}y^{2k-1}dy\\&={\frac {1}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad (t=2{\pi }ny)\\&={\frac {(2k-1)!
また、
i + cot  z = i + i e i z + e − i z e i z − e − i z = 2 i e i z e i z − e − i z = − 2 i e − 2 i z − 1 {\displaystyle i+\cot {z}=i+i{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}={\frac {2ie^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}=-{\frac {2i}{e^{-2iz}-1}}}
であるから、以上を綜合して