最小公倍数
よって公倍数 m = q l {\displaystyle m=ql} であり最小公倍数の倍数となっている.(証明終)
正整数 a , b {\displaystyle a,\ b} に対して、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の最大公約数 g c d ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)} と最小公倍数 l c m ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)} との間には
g c d ( a , b ) ⋅ l c m ( a , b ) = a b {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)\cdot \mathrm {lcm} (a,\ b)=ab}
という関係がある。
しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 a = 2 , b = 6 , c = 15 {\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15} とすると、 g c d ( a , b , c ) = 1 , l c m ( a , b , c ) = 30 {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30} であるが、 a b c = 180 {\displaystyle abc=180} である。
多項式の 0 {\displaystyle 0} でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、 x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} と x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1} の最小公倍数は x ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) {\displaystyle x(x+1)^{2}(x-1)} である。
多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。