ソボレフ不等式
この場合、u はヘルダー空間に属する。より正確に言うと、
u ∈ C k − [ n / p ] − 1 , γ ( U ) , {\displaystyle u\in C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U),}
が成り立つ。ここで
γ = { [ n / p ] + 1 − n / p n / p ∉ Z any element in ( 0 , 1 ) n / p ∈ Z {\displaystyle \gamma ={\begin{cases}[n/p]+1-n/p&n/p\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&n/p\in \mathbf {Z} \end{cases}}}
である。さらに次の不等式が成り立つ。
‖ u ‖ C k − [ n / p ] − 1 , γ ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W k , p ( U ) . {\displaystyle \|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}.}
ここで定数 C は k, p, n, γ と U にのみ依存する。