二次体
ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。
K を二次体とし、DK, hK を K の判別式、類数としたとき、 | D K | → ∞ {\displaystyle \scriptstyle |D_{K}|\to \infty } ならば、 h K → ∞ {\displaystyle \scriptstyle h_{K}\to \infty } である。
類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
類数が 1 である虚二次体 Q ( − d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} は、d が以下の場合に限る。
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.
予想 1 について。
予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L.