5の累乗数
十進法では、下n桁(n ≧ 1)が 5 の倍数であれば、その数は 5 の倍数である。
下n桁が 5 の倍数で、下 n+1 桁が 5 の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5 である。
例 1853070540093840001956842537745897243375
下3桁(375)が 5 (= 125) の倍数で、下4桁(3375)が 5 (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 5 である。
また、階乗 n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5 である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。
例 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 5 である。
階乗 n!
1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。
例えば、十進法の位取り(十進数)では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には2の累乗数が現れる。
1 ÷ 5 = 0.2 (2)
1 ÷ 25 = 0.04 (2)
1 ÷ 125 = 0.008 (2)
1 ÷ 625 = 0.0016 (2)
1 ÷ 3125 = 0.00032 (2)
1 ÷ 15625 = 0.000064 (2)
1 ÷ 78125 = 0.0000128 (2)
1 ÷ 390625 = 0.00000256 (2)
1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (2)
1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (2)
これらは
2 − n × 5 − n = 10 − n {\displaystyle 2^{-n}\times 5^{-n}=10^{-n}}
より
5 − n = 2 n × 10 − n {\displaystyle 5^{-n}=2^{n}\times 10^{-n}}
であることから導かれる。
1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。
5(m ≧ n, n ≧ 2)の下 n 桁は次のようになる。
m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5 の下 n 桁は 2 通りある。