資産価格付けの基本定理
つまり P ~ ( X T ≥ 0 ) = 1 {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}(X_{T}\geq 0)=1} である。ここで、 E ~ [ X T ] = 0 {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {E} }}[X_{T}]=0} より、 P ~ ( X T > 0 ) = 0 {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}(X_{T}>0)=0} であることも言える。そうでなければ、 E ~ [ X T ] > 0 {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {E} }}[X_{T}]>0} となるからである。したがって再び確率測度の同値性を用いれば、 P ~ ( X T > 0 ) = 0 {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}(X_{T}>0)=0} から P ( X T > 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}>0)=0} が言える。これは最初に仮定した X {\displaystyle X} が裁定取引であること、つまり P ( X T > 0 ) > 0 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}>0)>0} であることと矛盾するので、このようなポートフォリオは存在しない。
すると、リスク中立測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} が存在するので、 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} の下での期待値を E ~ {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {E} }}} とすれば、リスク中立測度の下で全ての割引ポートフォリオの価値はマルチンゲールとなるので E ~ [ X T ] = X 0 = 0 {\displaystyle {\widetilde {\operatorname {E} }}[X_{T}]=X_{0}=0}
が成り立つ。ここでリスク中立測度は実際の確率測度と同値であるので、 P ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} (A)=0} である事象 A {\displaystyle A} について P ~ ( A ) = 0 {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}(A)=0} が成り立ち、また逆も成立する。よって P ( X T ≥ 0 ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}\geq 0)=1} なので、 P ( X T < 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}<0)=0} であり、したがって P ~ ( X T < 0 ) = 0 {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}(X_{T}<0)=0} である。