二重平方数
四乗数 n は (n) と変形されるため全て平方数である。
一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
日本語で用いられる一万、一億、一兆などの数詞が指す数は 10 = (10) より全て四乗数である。
四乗数の下2桁は、十進法では 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。一般の記数法については後述する。
n番目までの四乗数の総和は Sn = ∑ k = 1 n k 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {1}{30}}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)} である。
四乗数の逆数の総和は ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
である。
四乗数の列の第3階差数列は公差 24 の等差数列であり、第4階差数列は定数列 24である。したがって四乗数の列は4階等差数列である。
全ての自然数は高々19個の四乗数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の四乗数の和として表すことができる。
四乗数の末位は0, 1, 5, 6の4通りに限られる。下2桁は次の12通りに限られる。下3桁は52通り。
末位が0 ⇒ 下2桁は 00(とくに下4桁は 0000)
末位が1 ⇒ 下2桁は 01, 21, 41, 61, 81
末位が5 ⇒ 下2桁は 25(とくに下4桁は 0625)
末位が6 ⇒ 下2桁は 16, 36, 56, 76, 96