ゾンマーフェルト展開
第二項の分子は、 τ {\displaystyle \tau } が十分に小さく H ( ε ) {\displaystyle H(\varepsilon )} が十分に滑らかなとき一次導関数を用いて次のように近似することができる。
Δ H = H ( μ + τ x ) − H ( μ − τ x ) ≈ 2 τ x H ′ ( μ ) + ⋯ , {\displaystyle \Delta H=H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)\approx 2\tau xH'(\mu )+\cdots \,,}
これを代入し、次を得る。
I = ∫ − ∞ μ H ( ε ) d ε + 2 τ 2 H ′ ( μ ) ∫ 0 ∞ x d x e x + 1 {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +2\tau ^{2}H'(\mu )\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}\,}
この定積分の値は次のように得られることが知られている。
∫ 0 ∞ x d x e x + 1 = π 2 12 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}} .
したがって、最終的に次を得る。