一般相対性理論の概説
ジェットでは物質の集束ビームが光速に近い速度で宇宙に投げ出される。
ブラックホールの特性には最も有望な重力波源である理由となるものがいくつかある。理由の1つは、ブラックホールは連星系の一部として互いに周回できる最もコンパクトな天体であることである。結果的にこのような系により放出される重力波は特に強い。もう1つの理由はブラックホール唯一性定理(時間の経過とともにブラックホールは最初の幾何学的形状に関係なく特徴の最小限のセットを保持する(これらの定理は無毛定理として知られる))からなる。例えば、長期的には、仮想的な物質立方体が崩壊しても立方体の形のブラックホールは発生しない。その代わり結果として生じたブラックホールは球状の質量の崩壊により形成したブラックホールと区別することができない。球状への変化では、より複雑な形の崩壊により形成されたブラックホールは重力波を放出する。
この新しい幾何学の基本的な実体は4次元時空である。動く物体の軌道は時空の曲線である。方向を変えずに一定速度で移動する物体の軌道は直線に対応する。
表面については、19世紀初頭にカール・フリードリヒ・ガウスにより平面の幾何学から一般的な曲面の幾何学への一般化が記述されていた。この記述は1850年代にベルンハルト・リーマンにより導入された数学的形式主義における高次元空間に一般化された。アインシュタインはリーマン幾何学の助けを借りて重力の幾何学的記述を定式化した。ここでは曲面が通常の平面の一般化であるようにミンコフスキーの時空が歪んで曲がった時空に置き換えられる。埋め込み図は、教育の文脈で曲がった時空を説明するのに使われる。
アインシュタインはこの幾何学的類推の妥当性に気づいたのち、欠けている理論の礎石、物質が時空の曲率にどのように影響するかを記述する方程式を見つけ出すのに3年を要した。今日アインシュタイン方程式(より正確にはアインシュタインの重力場方程式)として知られているものを定式化したのち、1915年後半にプロイセン科学アカデミーのいくつかのセッションで自身の重力の理論を発表し、1915年11月15日の最終プレゼンで最高潮に達した。
アインシュタイン方程式は一般相対性理論のセンターピースである。これにより、数学の言葉を用いた時空幾何学と物質の性質との関係の正確な定式化が提供される。もっと具体的には空間(もしくは時空)の幾何学的特性が、メトリックと呼ばれる量で記述されるリーマン幾何学の概念を用いて定式化される。メトリックは、曲空間(もしくは時空)における距離と角度の基本的な幾何学的概念を計算するために必要な情報をエンコードする。
地表のような球面は簡単な例である。表面上の任意の点の位置は地理的な緯度と経度の2つの座標で記述される。右図に示すように、平面のデカルト座標とは異なり座標の違いは表面上の距離と同じではない。赤道にいる場合、西への経度30度の移動(マゼンタ色の線)はおよそ3,300キロメートル (2,100 mi)であるのに対し緯度55度にいる場合は西への経度30度の移動(青色の線)はわずか 1,900キロメートル (1,200 mi)である。したがって座標は球面の幾何学、実際にはもっと複雑な空間や時空の幾何学を記述するのに十分な情報を提供してくれない。その情報は正確にメトリックでエンコードされるものであり、このメトリックは表面(もしくは空間、時空)の各点で定義される関数であり、座標の差異を距離の差異に関連付ける。あらゆる与えられた曲線の長さや2つの曲線が交わる角度など、幾何学において重要なほかの全ての量は、このメトリック関数から計算できる。
メトリック関数と点間の変化率を用いてリーマン曲率テンソルと呼ばれる幾何学的な量を定義できる。これは、各点で空間もしくは時空がどのように曲がるかを正確に記述する。