ラゲールの陪多項式
L n k ( x ) = d k d x k ( e x d n d x n ( x n e − x ) ) = ∑ m = 0 n − k ( − 1 ) m + k ( n ! ) 2 m ! ( m + k ) ! ( n − m − k ) ! x m {\displaystyle {\begin{array}{lcl}L_{n}^{k}(x)&=&{\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}\left(e^{x}{\dfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right)\right)\\&=&\displaystyle {\sum _{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}{\dfrac {(n!)^{2}}{m!(m+k)!(n-m-k)!}}x^{m}}\end{array}}}
母関数は
G ( t , x ) = ( − 1 ) k ( 1 − t ) k + 1 exp  ( − x t 1 − t ) = ∑ n = 0 ∞ L n k ( x ) t n − k n ! {\displaystyle G(t,x)={\dfrac {(-1)^{k}}{(1-t)^{k+1}}}\exp \left({-{\dfrac {xt}{1-t}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}^{k}(x){\dfrac {t^{n-k}}{n!}}}
である。