スカラー場の理論
スカラー場φについて4次の相互作用項を持つ理論はφ理論、あるいはgφ理論、λφ理論などと呼ばれる。質量を持つφ理論は、後述するような多くの特徴的な物理現象を再現するため、典型的な例としてよく用いられる理論である。
φ理論のラグランジアン密度は以下のように定義される。
L = 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − 1 2 m 2 φ 2 − g 4 ! φ 4 {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}}
これから得られる運動方程式は以下のようになる。
∂ μ ∂ μ φ + m 2 φ = − g 3 ! φ 3 {\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi =-{\frac {g}{3!}}\phi ^{3}}
となる。ここで、1粒子のエネルギーーは ω p = | p | 2 + m 2 {\displaystyle \omega _{\boldsymbol {p}}={\sqrt {|{\boldsymbol {p}}|^{2}+m^{2}}}} である。これらが正準交換関係を満たすためには生成消滅演算子に対して以下の交換関係が要請される。
[ a ( p 1 ) , a ( p 2 ) ] = [ a † ( p 1 ) , a † ( p 2 ) ] = 0 , [ a ( p 1 ) , a † ( p 2 ) ] = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p 1 − p 2 ) {\displaystyle [a({\boldsymbol {p}}_{1}),a({\boldsymbol {p}}_{2})]=[a^{\dagger }({\boldsymbol {p}}_{1}),a^{\dagger }({\boldsymbol {p}}_{2})]=0,\ \ \ \ [a({\boldsymbol {p}}_{1}),a^{\dagger }({\boldsymbol {p}}_{2})]=(2\pi )^{3}\delta ^{(3)}({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{2})}
全ての可能な消滅演算子 a を作用させて得られる状態 |0> を真空と定義する。運動量 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} を持つ粒子は、生成演算子 a † ( p ) {\displaystyle a^{\dagger }({\boldsymbol {p}})} を真空に作用させることによって得られる。
mが負であるときのφ理論の運動方程式はソリトン方程式であり、以下のキンク解及び反キンク解を持つことが知られている。
φ ( x → , t ) = ± m g tanh  ( m ( x − a ) 2 ) {\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{\sqrt {g}}}\tanh \left({\frac {m(x-a)}{\sqrt {2}}}\right)}
ここで、aは任意のパラメータである。
キンク解を持つスカラー場の理論として、他にサイン=ゴルドン方程式(英語版)が知られている。