ホップの最大値原理
u = u(x), x = (x1, ..., xn) は、ある開領域 Ω において次の微分不等式を満たす C 函数とする。
L u = ∑ i j a i j ( x ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + ∑ i b i ∂ u ∂ x i ≥ 0 {\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}
ここに対称行列 aij = aij(x) は Ω において局所一様に正定値であり、係数 aij, bi = bi(x) は局所有界である。このとき、u が Ω 内で最大値 M を取るなら、u ≡ M である。
ホップの最大値原理は通常、線型微分作用素 L に対してのみ適用できるものと考えられている。この立場は特に、リヒャルト・クーラントとダフィット・ヒルベルトによる Methoden der mathematischen Physik においても取られている。しかしホップの原著論文の後半の節では、特定の非線型作用素 L も許すより一般の状況が考えられており、いくつかの場合では平均曲率(英語版)やモンジュ=アンペールの方程式(英語版)に対するディリクレ問題における一意性の結果も導かれている。