等時曲線
x = ∫ 1 − 4 u 2 d u {\displaystyle x=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\,\mathrm {d} u}
ここで、 u = y {\displaystyle u={\sqrt {y}}} と置いた。この積分は円よりも下の面積であり、三角形と扇形に切り分けられる。
x = 1 2 u 1 − 4 u 2 + 1 4 arcsin  2 u {\displaystyle x={\frac {1}{2}}u{\sqrt {1-4u^{2}}}+{\frac {1}{4}}\arcsin 2u}
y = u 2 {\displaystyle y=u^{2}}
これが見慣れない媒介変数表示のサイクロイドであることを示すため、θ = arcsin 2u と置いて代数的に整理すると以下を得る。
8 x = 2 sin  θ cos  θ + 2 θ = sin  2 θ + 2 θ {\displaystyle 8x=2\sin \theta \cos \theta +2\theta =\sin 2\theta +2\theta }
8 y = 2 sin 2  θ = 1 − cos  2 θ {\displaystyle 8y=2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta }
これは、係数を除いてサイクロイド曲線の通常の媒介変数表示となっている。