三角形
三角形の五心(重心、内心、傍心、外心、垂心)の位置ベクトル p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} は、頂点の位置ベクトル a , b , c {\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}} を用いて、一般式
p = w A a + w B b + w C c w A + w B + w C {\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\frac {w_{\text{A}}{\boldsymbol {a}}+w_{\text{B}}{\boldsymbol {b}}+w_{\text{C}}{\boldsymbol {c}}}{w_{\text{A}}+w_{\text{B}}+w_{\text{C}}}}}
で表される。ここで w A , w B , w C {\displaystyle w_{\text{A}},w_{\text{B}},w_{\text{C}}} は重みであり、中心ごとに次の表の通りとなる。 S {\displaystyle S} はヘロンの公式でも得られる三角形の面積。
a ≡ BC ̄ = ( BC → , BC → ) , {\displaystyle a\equiv {\overline {\text{BC}}}={\sqrt {({\vec {\text{BC}}},{\vec {\text{BC}}})}},}
三角形の頂点から対辺に下ろした垂線を高さといい、どの辺を底辺とするかによって三角形には高さが 3本ある。3本の高さは 1点で交わり、これらの交点を垂心という。三角形は 1つの垂心を持つが、垂心が三角形の内部にあるとは限らない。鈍角三角形の場合は三角形の外部にあり、直角三角形の場合は直角頂が垂心となる。