計量ベクトル空間
本項ではスカラーの体 F は実数体 R または複素数体 C の何れかを意味するものとする。
厳密に言えば、内積空間とは体 F 上のベクトル空間 V であって、内積と呼ばれる写像
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → F {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to F}
で以下の公理を満足するものを備えたものを言う。
共軛対称性: ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ ̄ . {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}
第一引数に対する線型性: ⟨ a x + y , z ⟩ = a ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩ . {\displaystyle \langle ax+y,z\rangle =a\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}
正定値性: ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , [ ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟹ x = 0 ] {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,\quad [\langle x,x\rangle =0\implies x=0]}
F = R のときは共軛対称性(エルミート対称性)は単に対称性に帰着される。