指数関数的減衰
着目している量N (t ) が、離散的な元からなる集合である場合、その集合における元の残っている平均時間を計算することができる。このような量を平均寿命(あるいは単に寿命、しばしば指数関数的時定数とも呼ばれる)と呼び、τと書く。下記でも示されるように、寿命τは崩壊定数λによって決まり、その関係は
τ = 1 λ {\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}
となる。平均寿命はスケーリング時間(scaling time)とみなすことができ、指数関数的減衰の式は平均寿命τを崩壊定数λの代わりに用いて
N ( t ) = N 0 e − t / τ {\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }}
と書くことができる。これは時間がτだけ経過すれば、N は約36.8%(ネイピア数e の逆数)まで減少すると理解できる。
たとえば人口が指数関数的減衰をするとし、時刻t = 0 における初期人口が1000人いたとすれば、平均寿命τだけ時間が経過すれば368人にまで減少しているということである。
ここでT1/2 は全半減期であり、t1 は1番目の半減期、t2 は2番目の半減期である。
全半減期を崩壊定数を用いてあらわせば
T 1 / 2 = ln  2 λ c = ln  2 λ 1 + λ 2 {\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}
のようになる。3つに分岐する場合であっても調和平均の逆数であるから
T 1 / 2 = ln  2 λ c = ln  2 λ 1 + λ 2 + λ 3 = t 1 t 2 t 3 ( t 1 t 2 ) + ( t 1 t 3 ) + ( t 2 t 3 ) {\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}}
となる。
放射性崩壊 - 放射性核種の試料が放射性崩壊を経て異なる状態へと遷移するとき、元の核種の数が十分多い場合に限って残留している核種の量を指数関数的減衰によって論ずることができる。崩壊によって、娘核種が生成される。
伝熱 - ある温度をもつ対象が別の温度をもつ媒体の中にさらされた時の双方の温度変化は指数関数的減衰する(これは温度変化がゆっくりであり、熱伝導率もよく体積中の相対温度差が均一であるとした場合である)。詳細はニュートンの冷却の法則を参照。
化学反応 - 化学反応のある種の速度は、1つまたは他の種類の試薬に依存する。反応の速度は1つの試薬の濃度にのみ依存し(これは1階の反応en:Rate_equation#First-order_reactionsとして知られる)、その結果指数関数的減衰する。一例としては酵素触媒反応がそのようにふるまう。
地球物理学 - 大気圧は高度が高くなるごとに指数関数的に減衰し、1000mごとに12%に減少する。
静電気学 - キャパシタにためられた電荷は指数関数的減衰する(RC回路#時間領域を参照)。
振動 - いくつかの振動現象は指数関数的減衰する。たとえば減衰振動やシンセサイザーでADSRを使った場合に見られる。
薬理学、毒性学 - 投与物質は指数関数的減衰によって代謝されて半減する。たとえばクリアランス (医学)を参照。
物理光学 - X線やガンマ線などの電磁放射線が物質に吸収される際の減衰は指数関数的減衰である。
簡単な言語年代学において、1つの言語が使われていた時代は指数関数的減衰によって計算される(2つの言語からさらに分岐していった場合は仮定を追加せねばならず、しかもその場合は指数関数的減衰には従わない)。
科学史において、正しいと信じられていた知識が徐々に反証されていく過程は指数関数的減衰である(知識の半減期(英語版)も参照)。
着目している集合の元の量N は、時間が経てば減少し究極的にはゼロになるわけであるが、平均寿命τは集合から取り除かれて消えるまでの期待値とも解釈できる。特にもし集合の元の個々の寿命が経過した時間によってある時間を参照して個々の個体が集合から取り除かれていくというのであれば平均寿命とは個々の寿命の算術平均であるといえるであろう。
はじめに人口減少の公式
N = N 0 e − λ t {\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda {t}}}
からはじめよう。われわれはc を正規化因子として確率空間へと変換する
1 = ∫ 0 ∞ c ⋅ N 0 e − λ t d t = c ⋅ N 0 λ {\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot {N_{0}}e^{-\lambda {t}}dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}
式変形により