共動距離と固有距離
共動距離は、現在の宇宙論的時間に定義された経路に沿って測定された2点間の距離である。ハッブル流に沿って移動する物体については、時間的には一定のままであるとみなされる。観測者から遠くの物体 (銀河など) までの共動距離は、次の式(フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を使用して導出)によって計算できる。


χ = ∫ t e t c d t ′ a ( t ′ ) {\displaystyle \chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}}
ここで、a(t')はスケールファクター、t eは観測者によって観測された光子が放出された時間、tは現在時間、cは真空中の光の速度である。
この式は時間の積分だが、時間tに仮想の巻き尺で測定される正しい距離、つまり、スケールファクターの逆数の項1/a(t')をもつ被積分関数を用いて時間依存の光の共動速度を考慮した後の「固有距離」(以下で定義) を与える。「光の共動速度」とは、時間に依存する共動座標を通る光の速度[c/a(t')]を意味する。 これは、局所的には、光粒子のヌル測地線に沿った任意の点で、慣性系内の観測者は特殊相対性理論に従って常に光の速度をcと測定する。導出については、Davis & Lineweaver 2004 の「付録 A: 拡張と地平線の標準一般相対論的定義」を参照のこと。特に、 eqs16-22を参照のこと。[注: この論文ではスケールファクターR(t')は距離の次元を持つ量として定義されるが、動径座標 χ {\displaystyle \chi } は無次元となる。]