対称微分
ディリクレ関数は次のように定義される。
f ( x ) = { 1 , if x ∈ Q , 0 , if x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} ,\\0,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
この関数において、対称微分は任意の有理数 x に対して存在し、任意の無理数 x に対して存在しない。
関数 f ( x ) = 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} は x = 0 {\displaystyle x=0} において、
f s ( 0 ) = lim h → 0 f ( 0 + h ) − f ( 0 − h ) 2 h = lim h → 0 f ( h ) − f ( − h ) 2 h = lim h → 0 1 / h 2 − 1 / ( − h ) 2 2 h = lim h → 0 1 / h 2 − 1 / h 2 2 h = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}\\&=0\end{aligned}}}
h → 0 {\displaystyle h\to 0} であることに注意。この関数は x = 0 {\displaystyle x=0} において, 不連続点に起因して通常の微分が定義できないが、対称微分は存在する。さらに、0においては左微分係数、右微分係数ともに有限値でない、すなわち真性不連続点である。