レイリーの定理
次に、どちらの集合にも含まれない j を仮定すると、
k r < j < j + 1 ≤ ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1\leq (k+1)r}
m s < j < j + 1 ≤ ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1\leq (m+1)s}
が成立する。j + 1 は非ゼロであり、r と s は無理数であるため、等号は成り立たず、
k r < j < j + 1 < ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1<(k+1)r}
m s < j < j + 1 < ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1<(m+1)s}
である。したがって、
k < j r < j + 1 r < k + 1 {\displaystyle k<{j \over r}<{j+1 \over r}<k+1}
m < j s < j + 1 s < m + 1 {\displaystyle m<{j \over s}<{j+1 \over s}<m+1}
を得る。この2式を加えると、
k + m < j < j + 1 < k + m + 2 {\displaystyle k+m<j<j+1<k+m+2}
となり、矛盾する(そのような k と m は存在しない)。よって、全ての正の整数はどちらかの集合に含まれる。
したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。
レイリーの定理は、1より大きい無理数が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を与える定理である。 得られた集合を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。