余弦定理
第二余弦定理は、第一余弦定理の 3式だけから導くことができる。三平方の定理や正弦定理といった初等幾何の主要な定理は用いず、実質上は三角形の相似だけで導いている。
a 2 = a × a = a × ( b cos  γ + c cos  β ) = b × a cos  γ + c × a cos  β = b ( b − c cos  α ) + c ( c − b cos  α ) ( first cosine theorem ) = b 2 + c 2 − 2 b c cos  α . {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=a\times a\\&=a\times (b\cos \gamma +c\cos \beta )\\&=b\times a\cos \gamma +c\times a\cos \beta \\&=b(b-c\cos \alpha )+c(c-b\cos \alpha )\\&({\text{first cosine theorem}})\\&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .\end{aligned}}}
なお、特に α = π/2 の場合を考えると、三平方の定理の三角比による証明が得られる。