順序型
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ をみたすように取り、A × B 上の関係 <A ⊗ <B を、
<x1, y1> (<A ⊗ <B) <x2, y2> ⇔ y1 <B y2 または (y1 = y2 かつ x1 <A x2)
によって定義すれば、(A × B, <A ⊗ <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A × B, <A ⊗ <B) を ρ と σ の積といい、これを ρ · σ で表す。
順序型の和と積について次が成り立つ:
(ρ + σ) + τ = ρ + (σ + τ) 。
(ρ · σ) · τ = ρ · (σ · τ) 。
ρ + 0 = 0 + ρ = ρ 。
ρ · 1 = 1 · ρ = ρ 。
ρ · 0 = 0 · ρ = 0 。
ρ · (σ + τ) = (ρ · σ) + (ρ · τ) 。
任意の順序数 α , β に対して、α + β = α + β かつ α · β = α · β 。 したがって整列順序型同士の和、積は整列順序型である。
二つの全順序集合 (A, <A), (B, <B) が同型のとき、(A, <A) と (B, <B) は全く同じ "形" をしていると言える。そこで、全順序集合 (A, <A) の "形" を type(A, <A) で表すことにすれば、任意の全順序集合 (A, <A), (B, <B) に対して
type ( A , < A ) = type ( B , < B ) ⟺ ( A , < A ) ≅ ( B , < B ) {\displaystyle {\mbox{type}}(A,<_{A})={\mbox{type}}(B,<_{B})\iff (A,<_{A})\cong (B,<_{B})} ・・・・・・(※)
が成り立つ。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼ぶ。