マッカイグラフ
マッカイグラフ(英: McKay graph)とは、有限群 G と有限次元複素線型表現 V から定まる箙であり、G の表現環(英語版)の構造に関連する情報を表している。箙の各頂点は G の既約指標 χ1, ..., χk に対応し、d 次元表現 V の指標 χ とのテンソル積 χ ⊗ χi が
χ ⊗ χ i = ∑ j n i j χ j {\displaystyle \chi \otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\,\chi _{j}}
と分解されるとき、頂点 χi から χi へ nij 本の矢を描く。 一般線型群 GL(2, C) の有限部分群 H に対して、 H のマッカイグラフとは H の自然表現のマッカイグラフを指す。
表現 V のカルタン行列 C は C = d I − A と定義される。ここで I は k 次単位行列であり、A は隣接行列 (nij) である。g が G の元ならベクトル ((χi(g)) はカルタン行列 C の固有値 d − χ(g) に対応する固有ベクトルである。
ジョン・マッカイ(英語版)(John McKay)に由来するマッカイ対応(McKay correspondence)とは、特殊線型群 SL(2, C) の有限部分群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純リー代数の ADE分類(英語版)に現れる。