ラプラスの方法
ラプラスの方法はスターリングの公式
n ! ∼ n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}
の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から
n ! = Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t n d t {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt}
が得られる。変数変換 t = nx を考えると dt = ndx ゆえ
n ! = ∫ 0 ∞ e − n x ( n x ) n n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x x n d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e − n x e n ln  x d x = n n + 1 ∫ 0 ∞ e n ( ln  x − x ) d x .