非対角長距離秩序
lim | x − y | → ∞ ρ 1 ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \lim _{|x-y|\to \infty }\rho _{1}(x,y)\neq 0}
を満たすとき、系は非対角長距離秩序(ODLRO)を持つという。こうした性質は1粒子密度演算子の最大固有値が全粒子数のオーダー程度に大きいことを意味する。固体結晶の持つ対角的な長距離秩序とは本質的に異なり、ODLROは量子力学的なコヒーレンスで生じる長距離相関によってもたらされるものである。
1粒子密度行列の振る舞いを具体的に見るために、場の演算子を、
ψ ^ † ( x ) = 1 V ∑ k a ^ k † e − i k x , ψ ^ ( x ) = 1 V ∑ k a ^ k e i k x {\displaystyle {\hat {\psi }}^{\dagger }(x)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }e^{-ikx},\quad {\hat {\psi }}(x)={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{k}{\hat {a}}_{k}e^{ikx}}
と波数 k {\displaystyle k} でフーリエ展開すると、系が空間的に一様で並進対称性を持てば、1粒子密度行列は
が成り立つ。粒子数密度 N / V {\displaystyle N/V} を一定に保ったまま、全粒子数 N {\displaystyle N} と体積 V {\displaystyle V} を無限大とする熱力学的極限で、 ⟨ n ^ 0 ⟩ / V {\displaystyle \langle {\hat {n}}_{0}\rangle /V} が消えずに残り、ODLROが現れるには、構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \langle \hat{n}_0 \rangle が粒子数に比例して増えなくてはならない。フェルミ粒子系の場合、パウリの排他律により、 ⟨ n ^ 0 ⟩ ≤ 1 {\displaystyle \langle {\hat {n}}_{0}\rangle \leq 1} であるから一粒子レベルではODLROを持たない。一方、ボース粒子系の場合、波数 k = 0 {\displaystyle k=0} の状態にボース=アインシュタイン凝縮すると、全粒子数に比例して ⟨ n ^ 0 ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {n}}_{0}\rangle } が増えるため、ODLROが生じることになる。