幾何学的トポロジー
結び目理論は、結び目を研究する。靴やロープの結び紐で日常生活の現れる結び目に動機を持っていることと異なり、数学射の結び目は結び目を識別するという目的をもっている。数学の用語を使うと、結び目は円の 3次元ユークリッド空間 R への埋め込み(embedding)である(トポロジーを使い、円は古典的な幾何学概念の境界にあるわけではないが、同相という考え方のすべをもっている)。R の変形により一方の結び目から他方へ変換することができれば、2つの結び目は同値である(アンビエントアイソトピー(英語版)(ambient isotopy)として知られている)。これらの変換は、結び目をなす弦をそれ自身と交叉させたり、切断したりすることをせず運動することに対応している。
さらに詳しくは、数学者はこの結び目の考え方をいくつかの方法で一般化していて、結び目は3次元空間(英語版)(three-dimensional spaces)と考えることができ、円以外の対象も考えることができる。結び目理論を参照。高次元結び目は m 次元ユークリッド空間の中の n-次元球面と考えられる。