ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数
漸近展開による熱核の方法をリーマン多様体 (M,g) へ適用すると、次の2つの定理を得る.双方とも逆問題の解であり、作用素のスペクトルから幾何学的性質を得る.
1,ミナクシサンドラム-プレイジェル漸近展開
(M,g) を n-次元リーマン多様体とする.すると次の漸近展開が t → 0+ で成り立つ.
Z ( s ) ∼ ( 4 π s ) − n / 2 ∑ m = 0 ∞ a m s m . {\displaystyle Z(s)\sim (4\pi s)^{-n/2}\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}s^{m}.}
次元が2の場合は、これはスカラー曲率の積分が M のオイラー標数(Euler characteristic)となっていることを意味している.これはガウス-ボネの定理(Gauss-Bonnet Theorem)である.
特に、
a 0 = V o l ( M , g ) , a 1 = 1 6 ∫ M S ( x ) d V {\displaystyle a_{0}=Vol(M,g),\ \ \ \ a_{1}={\frac {1}{6}}\int _{M}S(x)dV}
であり、ここに S(x) は M のスカラー曲率で、リッチ曲率のトレースである.
2,ワイルの漸近公式