環上の射影直線
埋め込み a ↦ U(a, 1) によって P(A) は A のコピーを含むから、射影直線 P(A) を環 A の拡張と看做すことができる。反転写像 u ↦ 1/u(通常は A の単元群 U に制限される)は P(A) 上の射影変換
U ( a , 1 ) ( 0 1 1 0 ) = U ( 1 , a ) ∼ U ( a − 1 , 1 ) . {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U(1,a)\thicksim U(a^{-1},1).}
で表される。さらに言えば、u,v ∈ U
( v 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) ( u 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) = ( v 0 0 u ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}}
以上から、三つ組 (p,q,r) はこの変換で三つ組 (0,1,∞) にすることができる。三つ組を (0,1,∞) へ写す生成元の不動点を軸に考えれば、このような射影変換は明らかに一意的である。
s および t が二つの十分に分離された三つ組とすれば、対応する射影変換 g および h がそれぞれ s および t を (0,1,∞) へ写す写像として定まるから、射影変換 h ∘ g は s を t に写す。
p,q,r によって決まる上記の射影変換 f による x の像を f(x) := (x,p,q,r) で表すとき、この函数 f(x) を p, q, r ∈ A によって定まる複比 (cross-ratio) と言う。この函数の一意性により、三つ組 (p, q, r) を一つの射影変換 g ∈ G(A) によって別の三つ組 (g(p), g(q), g(r)) に取り換えるとき、新しい三つ組に関する複比函数 h は f ∘ g に一致しなければならない。つまり h ∘ g = f, 故に複比に関して
(g(x), g(p), g(q), g(r) ) = (x, p, q, r)
なる不変性が成立することがわかる。
複素数体上の例における射影変換群はふつうメビウス群と呼ばれる。
二重数上の射影直線は Grünwald (1906) に記述されている。二重数環は nn = 0 を満たす非零冪零元 n を持つ。二重数の成す平面 {x + yn | x,y ∈ R} は U(1, xn) (x ∈ R) なる形の無限遠点の成す直線を含む射影直線を持つ。イサーク・ヤグロム(英語版)は「反転付きガリレイ平面」("inversive Galilean plane") について記述した。この平面に無限遠直線を加えたものは円柱の位相を持つ。同様に、A が局所環ならば、P(A) は A の極大イデアルの元全体に対応する点を加えることで得られる。
分解型複素数環 M 上の射影直線は、無限遠直線 {U(1,x(1 + j)) | x ∈ R} および {U(1,x(1 − j)) | x ∈ R} を与える。立体射影により、分解型複素数平面にこれら無限遠直線を加えたものは一葉双曲面にコンパクト化(英語版)される。M 上の射影直線は、それを射影変換による双曲面の振舞いによって特徴づけるとき、ミンコフスキー平面(英語版)とも呼ばれる。
9)で四元数逆数変換を考えた。1947年には、反転四元数幾何のいくつかの要素をゴルムレイが論文(Gormley 1947)で記述している。1968年にはイザーク・ヤグロムのロシア語で書かれた本が『幾何学における複素数』(Complex Numbers in Geometry) として英訳されて、P(D) がユークリッド平面における直線幾何を、分解型複素数上の射影直線 P(M) がロバチェフスキー平面を、それぞれ記述するのに用いられている。またヤグロムの教科書『ある単純な非ユークリッド幾何』(A Simple Non-Euclidean Geometry) も1979年に英訳されている。その174ページから200ページにかけて、ミンコフスキー幾何が展開され、P(M) が「反転ミンコフスキー平面」("inversive Minkowski plane") として記述されている。ヤグロムの教科書のロシア語原版が出版されたのは1969年であり、英訳版が出るまでの間に出版された Bentz (1973) では分解型複素数の環 M に値を取る斉次座標の概念が含まれている。