形式的冪級数
および
( ∑ α c α X α ) × ( ∑ α d α X α ) := ∑ α , β c α d β X α + β {\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}
一変数の場合と同様に、A[XI] ⊂ A[[XI]] である。
Λ ≔ {1, 2, ..., n} の場合には、A[[XΛ]] = A[[X1, X2, ..., Xn]] とも書かれる。A[[X1, ..., Xn]] = A[[X1, ..., Xn-1]] [[Xn]] である。
f = ∑ n = 0 ∞ a n X n {\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}} に対し、 f ′ := ∑ n = 1 ∞ n ⋅ a n X n − 1 {\textstyle f':=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}X^{n-1}} を f の形式微分という。a, b ∈ A, f, g ∈ A[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。
これは(複素あるいは実の)収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。