群同型
によって与えられる。
クラインの四元群 (Klein four-group) は Z 2 = Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } の 2 つのコピーの直積に同型であり(合同算術参照)、したがって Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} と書ける。別の表記は Dih2 である、なぜならばそれは二面体群であるからである。
これを一般化して、すべての奇正数 n に対して、Dih2n は Dihn と Z2 の直積に同型である。
(G, ∗) が無限巡回群であれば、(G, ∗) は整数全体(が加法演算についてなす群)に同型である。代数的な視点からは、これはすべての整数のなす集合が「唯一の」無限巡回群であることを意味する。
選択公理に依存して同型であることが証明できる群もあるが、証明は具体的な同型写像の構成方法を示さない。例:
群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } , +) はすべての複素数が加法についてなす群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } , +) に同型である。
0 でない複素数が乗法を演算としてなす群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } , ·) は上で述べた群 S に同型である。