ローレンツ変換
ローレンツ変換全体のなす集合 L は、行列式と00成分 Λ によって分類される。ローレンツ変換 Λ において、その行列式 det(Λ) は ±1 の値をとる。一方、 00成分は Λ ≥1 または Λ ≤−1 を満たす。ローレンツ変換の全体 L の中で、行列式の値と00成分の符号が等しい2つのローレンツ変換は、連続的に移り変わることができる連結な成分となる。一方、これらが異なる2つのローレンツ変換は連続的に移り変わることができない非連結な成分となる。従って、L は行列式の値並びに00成分の符号によって、次の4つの連結な部分集合に分類される。
L + ↑ := { Λ ∈ L | det Λ = + 1 , Λ 0 0 ≥ + 1 } L − ↑ := { Λ ∈ L | det Λ = − 1 , Λ 0 0 ≥ + 1 } L − ↓ := { Λ ∈ L | det Λ = − 1 , Λ 0 0 ≤ − 1 } L + ↓ := { Λ ∈ L | det Λ = + 1 , Λ 0 0 ≤ − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\uparrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\geq +1\}\\L_{-}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=-1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\\L_{+}^{\downarrow }&:=\{\Lambda \in L|\det {\Lambda }=+1,\Lambda _{\,\,0}^{0}\leq -1\}\end{aligned}}}
d s 2 = g μ ν d x μ d x ν = ( d x 0 ) 2 − ( d x 1 ) 2 − ( d x 3 ) 2 − ( d x 3 ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=(\mathrm {d} x^{0})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{1})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{3})^{\,2}-(\mathrm {d} x^{3})^{\,2}}
はローレンツ変換の下、不変となる。
d s ′ 2 = Λ μ λ g λ ρ Λ ν ρ d x μ d x ν = d s 2 {\displaystyle \mathrm {d} s'^{2}=\Lambda _{\,\,\mu }^{\lambda }g_{\lambda \rho }\Lambda _{\,\,\nu }^{\rho }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\mathrm {d} s^{\,2}}
すなわち、世界間隔は不変に保たれる。