アルティン・リースの補題
次のことを確認する。
b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} が b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。
実際、フィルターが I-安定であれば、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} ははじめの k + 1 {\displaystyle k+1} 個の M 0 , ... , M k {\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}} によって生成され、これらは有限生成であるので、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} も有限生成である。逆に、 b l I M {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}M} が有限生成であれば、 ⨁ j = 0 k M j {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}} として、 n ≥ k {\displaystyle n\geq k} に対して、各 f ∈ Mn は
f = ∑ a i j g i j , a i j ∈ I n − j {\displaystyle f=\sum a_{ij}g_{ij},\quad a_{ij}\in I^{n-j}}
と書ける。ただし g i j {\displaystyle g_{ij}} は M j , j ≤ k {\displaystyle M_{j},j\leq k} の生成元。