アルキメデスの性質
順序体は有理数体を素体として、順序構造も込めた形で含む。このことを用いると順序体 K のアルキメデス性を以下のような命題のそれぞれによっても特徴づけることができる。
自然数の集合はKの中で共終である。 — つまり、Kの任意の元はある自然数よりも小さい。したがってアルキメデス的順序体とは自然数が非有界であるような体のことになる。
集合{1/2, 1/3, 1/4, ...} は0をKにおける下限として持つ。 — Kに無限小の正の元があれば0よりも大きい{1/2, 1/3, 1/4, ...}の下界があることになる。)
Kにおける正の有理数と負の有理数の間にある数の集合は閉じている。 — これがなりたつ場合、その集合は0一点からなる。非零の正の無限小の数があったとするとそれらには上限がないし、同様に非零の負の無限小の数は下限を持たない。
Kの任意の元xについて、xより大きな整数の集合は最小元を持つ — xが負の無限大ならばすべての整数がxよりおおきくなるため。
Kにおける任意の開区間は有理数を含む。 — xが正の無限小ならば開区間 (x, 2x) は有理数を含まないため。
有理数の集合はsupおよびinfに関してKの中で稠密である。つまり、Kの任意の元 x に対して有理数の部分集合 A があってxはAの上限になっており、infについても同様のことが成り立つ。 — したがってアルキメデス的順序体は有理数を稠密な部分集合とする拡大順序体になっている。