ヒルベルト変換
↑ Schwartz (1950) による。
ヒルベルト変換はフーリエ乗算作用素(英語版)(すなわち、フーリエ変換のもと定数を乗じる操作として働く作用素)である。その乗率は、符号函数 sgn を用いて σH(ω) ≔ −i sgn(ω) で与えられる。すなわち、フーリエ変換を F と書くとき
が成り立つ。フーリエ変換 F は、—適当な定数を掛けるだけの違いだが— 異なる定義がよくもちいられるものでも三種類あるが、符号函数は引数を正数倍しても変わらず sgn(x) = sgn(2πx) が成り立つから、上記の結果はどの定義のフーリエ変換でも変わらず適用できる。 オイラーの公式を適用すれば、
と書けるから、したがって H(u)(t) は u(t) の負の周波数(英語版)成分に +90° (π/2 rad) および正の周波数成分に −90° の位相ずらし (phase shft) を引き起こす。また i⋅H(u)(t) は正の周波数成分をそのままに、負の周波数成分をさらに +90°(計 +180° のずれ、つまり符号反転)を引き起こす。 ヒルベルト変換を二回反復適用するとき、u の負および正の周波数成分は、それぞれ +180° および −180° ずれて、これらのずれは一致する。よって、信号自体は符号が反転する: H(H(u)) = −u。これは
による。