リー群
リー群に対して、その単位元における接空間(を台となるベクトル空間としてそれに積を定義したもの)としてリー環を対応付けることができる。このリー環は、もとのリー群の局所的な構造を完全に反映しており、リー群に付随するリー環と呼ばれる。このリー環の元は、略式的には(ユークリッド空間内にある曲面の古典的な接平面に対するイメージをそのまま反映して)リー群の単位元に無限に近いところにある元であると見ることができるし、リー環の括弧積はそのような無限小の交換子が定めるものと考えることができる。厳密な定義に先立って例を挙げる:
可換リー群 R のリー環はちょうど R に括弧積を、任意の A, B に対して
[A, B] = 0.
とおくことによって与えたものである。一般に、付随するリー環の括弧積が恒等的に 0 となることは対応するリー群が可換群であることに同値である。
一般線型群 GLn(R) のリー環は全行列環 Mn(R) に
[A, B] = AB − BA
なる括弧積を入れたものである。
G が GLn(R) の閉部分群なら、G のリー環は略式的に Mn(R) に属する行列 mであって 1 + εm が G に属すようなもの全体からなるものと見ることができる。ここで ε は正の無限小で、ε = 0 となるもの(もちろん実数ではない)である。例えば直交群 On(R) (AA = 1 となる行列 A の全体)に付随するリー環は
(1 + εm)(1 + εm) = 1
あるいは ε = 0 と考えると同じことだが
m + m = 0
となる行列 m の全体からなる。
上で与えた即物的な定義は安直で使い易いものであるが、いくつか問題がある。
たとえば、この定義を考える前にリー群を行列群として表現できている必要があるが、任意のリー群を考えるときにはそんなことはできないし、また表現の仕方によらず対応するリー環が定まるかどうかということはまったく明らかなことではない。これらの問題はリー群に付随するリー環の一般的な定義を与えることで回避される。定義以下のような考察に従って与えられる:
可微分多様体 M 上のベクトル場は、M 上の滑らかな関数のなす環の微分 X と考えることができる。 また、二つの微分 X, Y に対して、そのリー括弧積 [X, Y] = XY − YX は再び微分となるので、この括弧積のもとでベクトル場の全体をリー環にすることができる。
G が可微分多様体 M に滑らかに作用するリー群とすると、G の作用を関数環へ移行し、さらに微分に移行することで G はベクトル場に対して作用させることができる。この G の作用によって不変なベクトル場全体のなすベクトル空間は、リー括弧積に関して閉じているのでリー環となる。
この構成法をリー群 G に、その台の多様体構造に着目して適用する。つまり、G は G = M に左からの積で作用していると見なすと、G 上の左不変ベクトル場の全体はベクトル場のリー括弧積のもとでリー環となる。
リー群の単位元における接ベクトルはどれも(それを群の左移動作用で各点に移し変えることにより)左不変ベクトル場に拡張することができる。これにより、単位元 e における接空間 Te と左不変ベクトル場全体の作るベクトル空間とを同一視して、接空間をリー環にすることができる。これをリー群 G のリー環(G に付随するリー環、G に対応するリー環)と呼んで、リー群を表すのに使っている文字の対応する小文字(慣習的にドイツ文字を用いることが多い)を充てて表す。
n 次の上三角行列の全体からなる群 B は n(n + 1)/2 次元の可解リー群である。しばしば標準ボレル部分群と呼ばれる。
ローレンツ群およびポワンカレ群は特殊相対性理論において時空の等長性を記述するリー群で、それぞれ 6 および 10 次元である。
ハイゼンベルク群は 3 次元リー群で量子力学に登場する。
n 次ユニタリ群 U(n) はユニタリ行列全体のなす n 次元のコンパクトリー群である。行列式の値が 1 のユニタリ行列全体のなすリー群 SU(n) を部分群として含む。
直積リー群 U(1) × SU(2) × SU(3) は 1 + 3 + 8 = 12 次元のリー群である。これは標準模型のゲージ群で、それぞれの次元は 1 が光子、3 がベクトルボソン、8 がグルーオンに対応している。
メタプレクティック群 Mp は 3 次元のリー群である。SL2(R) の二重被覆群で、モジュラー形式の理論に用いられる。これを有限行列表現することはできない。
G2, F4, E6, E7, E8 型の例外型リー群はそれぞれ 14, 52, 78, 133, 248 次元である。 次元 190 のリー群 E71⁄2 もある。
リー群から新たなリー群を作り出す標準的な方法がいくつか挙げられる。たとえば、