ヤコビの三重積
であるから、 a → ∞ {\displaystyle a\to \infty } の極限を取れば
∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n = ( − q z ; q 2 ) ∞ ( q 2 ; q 2 ) ∞ ( − q / z ; q 2 ) ∞ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=(-qz;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }\left(-q/z;q^{2}\right)_{\infty }}
となり、qポッホハマー記号を展開して
∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + q 2 m − 1 / z ) ( 1 + q 2 m − 1 z ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}/z)(1+q^{2m-1}z)}
を得る。