対数平均
次の n+1 個の実数の組
S := { α 0 , ... , α n ∣ α 0 + ⋯ + α n = 1 , α 0 ≥ 0 , ... , α n ≥ 0 } {\displaystyle S:=\{\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\mid \alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1,\quad \alpha _{0}\geq 0,\dots ,\alpha _{n}\geq 0\}}
を考える。このとき対数平均は
M I ( x 0 , ... , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n d α {\displaystyle M_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }
と一般化される。これは指数関数の差商 exp[ln x0, ... , ln xn] を用いて簡単に書くことができ、
M I ( x 0 , ... , x n ) = n !
幾何平均 ≤ 対数平均 ≤ 算術平均が成立する。
x y ≤ M lm ( x , y ) ≤ x + y 2 for all x ≥ 0 and y ≥ 0. {\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}
また、以下の関係式も成り立つ。
算術平均: M lm ( x 2 , y 2 ) M lm ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {M_{\text{lm}}\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\text{lm}}(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}