量子力学
ハイゼンベルクやシュレーディンガーらによって示された量子力学は非相対論的な理論で、相対論的な量子力学の定式化はシュレーディンガーが波動力学を模索するにあたり、非相対論的理論を構築する以前に試みられていたが、既存の結果に一致するものは得られていなかった。相対論的な形式として、1926年にクライン=ゴルドン方程式が示されたが、クライン=ゴルドン方程式はスピン角運動量を含まず、波動関数の確率解釈を適用するには、確率が負になるという困難があった。 1928年の1月にポール・ディラックはクリフォード代数を導入することにより、確率が負にならない相対論的量子力学を構成した。ディラックが導いた方程式はディラック方程式と呼ばれている。
また、ディラックは1939年にブラ-ケット記法を導入した。ディラックに因みブラ-ケット記法はディラック記法(英: Dirac notation)とも呼ばれている。ブラ-ケット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケット(英: ket)、その双対空間上のベクトルをブラ(英: bra)で表す記法のことで、ブラとケットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。
ジョン・フォン・ノイマンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化(基礎)が確立された(『量子力学の数学的基礎』(1932) 他)。
そのため、2回目の測定値は1回目の測定値と必ず一致することが期待される。測定に関する状態の役割はボルンの規則によって規定されるべきであることから、この1回目の測定後の系の量子状態は、測定値に対応する固有状態になっていることが要求される。 このことは、系の状態を波動関数によって表せば、空間に広がっていた波動関数が測定によって、ディラックのデルタ関数のようなある一点に局在した形へと瞬間的に収縮することを示している。この現象は波束の収縮と呼ばれ、波束の収縮を起こすような測定は射影測定と呼ばれる。また上述の測定に関する仮定を射影仮説(しゃえいかせつ、英: projection postulate)と呼ぶ。
演算子形式の量子力学においては、閉じた有限自由度系の純粋状態を扱うにあたって、以下の5つを量子論の基本原理としている。
状態は、ある複素ヒルベルト空間の規格化されたベクトル(状態ベクトル)で表される。
オブザーバブルは、複素ヒルベルト空間上の自己共役作用素で表される。
ボルンの規則
状態ベクトルの時間発展は、シュレーディンガー方程式で表される。
射影仮説(波束の収縮)
ただし、量子力学の基本原理の表し方には、他に経路積分形式などもある。
1925年にヴェルナー・ハイゼンベルクが最初の統一的な量子力学の理論として、それまでの量子論における状態の遷移に関する規則を一般化し、位置のような運動学的な量と、運動量のような力学的な量を結びつけた。このハイゼンベルクの方法は、マックス・ボルンとパスクアル・ヨルダン、ポール・ディラック、そしてハイゼンベルク自身によって発展され、同年の1925年に行列力学として定式化された。ハイゼンベルクらによって、量子力学は非可換代数として認識されるようになった。
ド・ブロイが提案した物質波の概念を発展させる試みから、ピーター・デバイの指摘に促され、シュレーディンガーは1926年にシュレーディンガー方程式に至った。同じく1926年に、シュレーディンガーはハイゼンベルクらによる行列力学と自身の波動力学の対応関係を示し、両者の理論が数学的に等価であることを示した。シュレーディンガーによって、ド・ブロイが描いた物質の波動的描像が明確に示された。しかし、当初ド・ブロイやシュレーディンガーが思い描いたような空間に広まった物質の波動という描像は、波動関数が配位空間(英語版)上を動く波であって実空間上の波動ではないことなどから否定的にも見られている。
1926年のシュレーディンガーの発表を受けて、ボルンは同じ年に波動関数の確率解釈を提示した。