冪零リー環
数学において、冪零リー環(べきれいリーかん、英: nilpotent Lie algebra)とはリー環のクラスの1つである。この記事では、線型空間やリー環は全て体 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上有限次元のものとする。
.. , p − 1 {\displaystyle i=0,\dots ,p-1} に対して [ g , g i ] ⊂ g i + 1 {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}} かつ dim  g i / g i + 1 = 1 {\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}=1} となるものが存在する。
十分大きな p {\displaystyle p} に対して、任意の X 0 , ... , X p − 1 ∈ g {\displaystyle X_{0},\dots ,X_{p-1}\in {\mathfrak {g}}} が ( ad  X 0 ) ∘ ⋯ ∘ ( ad  X p − 1 ) = 0 {\displaystyle (\operatorname {ad} X_{0})\circ \dots \circ (\operatorname {ad} X_{p-1})=0} を満たす。
任意の X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} に対して ad  X : g → g {\displaystyle \operatorname {ad} X\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} は冪零である。
最後の条件が他の条件から従うことは冪零表現に関するエンゲルの定理の系である。