八元数環
数学における体 F 上の八元数代数または八元数環(はちげんすうかん、英: octonion algebra)とは、F 上 8-次元の合成代数、すなわち F 上 8-次元の単位的非結合多元環でノルム(ノルム形式)と呼ばれる非退化二次形式 N を備えたものをいう。ノルム N は、条件
N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}
を A の各元 x, y について満たす。
最もよく知られた八元数環は、実数体 R 上の八元数環である古典的なケーリーの八元数全体の成す多元体 O である。分解型八元数の全体もやはり R 上の八元数環を成す。 R-代数の同型の違いを除いて R 上の八元数環はこの二つのみである。
分解型八元数環はその二次形式 N が等方的である(つまり、N(x) = 0 となる非零ベクトルをもつ)ような八元数環をいう。体 F 上の分解型八元数環は F-代数の同型を除いて一意的に存在する。F が代数閉体または有限体のとき、それは F 上の唯一の八元数環である(「通常型」の八元数環は存在しない)。
八元数環は必ず非結合的になるが、より弱い形の結合性条件を満たす交代代数になる。さらに、任意の八元数環はムーファン恒等式を満足するので、その可逆元全体は(ノルムが 1 の元全体と同様に)ムーファン・ループをなす。