ケイリー・ハミルトンの定理
ただしこれは環準同型にならない(積の右評価写像の値は右評価写像の積とは一般には異なる)から、行列係数多項式の乗法が t を係数環に属する未知数と見ての乗法を雛形としたものでないことが確認できる(積 Mt⋅Nt = (MN)t は変数 t は常に N と可換と仮定することで定義できるが、これは t を行列 A で置き換えるときには常には期待できない。ただし、手近な特定の状況を想定する場合にはこの問題をうまく回避できることもある(たとえば、上記の右評価写像は行列 A が係数環の中心に属している場合には(どの多項式でもすべての係数と A は可換になるから)環準同型になる)。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明では M を行列環全体と考えるならば A は必ずしも中心に属するわけではないけれども、M としてより小さい環(証明に現れるすべての多項式の係数すべてを含んでいるようなもの)に取り換えて、その中の元すべてが A と可換になるようにするという手段をとることはできる。明らかに、A と可換な行列全体として与えられる部分環(すなわち A の中心化環)Z はそのような部分環の候補になる(定義により、A は Z の中心元である)。この中心化環が In および A を含んでいることは明らかだが、tIn − A の余因子行列の転置 (adjugate matrix) B に現れる t の係数 Bi を含むことも示せる。実際、余因子行列の転置の基本関係として
B ( t I n − A ) = ( t I n − A ) B {\displaystyle B(tI_{n}-A)=(tI_{n}-A)B}
λ に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を λ に関して微分することで、一般の n に対する固有多項式の一般係数を m次行列式
c n − m = ( − 1 ) m m ! | tr  A m − 1 0 ⋯ tr  A 2 tr  A m − 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ tr  A m − 1 tr  A m − 2 ⋯ ⋯ 1 tr  A m tr  A m − 1 ⋯ ⋯ tr  A | {\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}} として求めることができる。
上記除算の剰余を r ( x ) := c 0 + c 1 x + ⋯ + c n − 1 x n − 1 {\displaystyle r(x):=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}} と書けば、A の固有値 λ において評価するとき p(λ) = 0 となるから、各固有値に関して等式
f ( λ i ) = r ( λ i ) = c 0 + c 1 λ i + ⋯ + c n − 1 λ i n − 1 ( ∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}\qquad (\forall i=1,2,\cdots ,n)}
を作ることができる。これは n個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 ci を決定することができて、
f ( A ) = ∑ k = 0 n − 1 c k A k {\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}}
が決まる。