固有多項式
固有多項式 pA(t) は、A の重複を込めた全ての固有値を根にもつ最小次数のモニックな(すなわち最高次係数が 1 の)n次多項式である。
つまり A の重複を込めた固有値を λ1, ..., λk とし、mi を各固有値の重複度とすると p A ( t ) = ( t − λ 1 ) m 1 ⋯ ( t − λ k ) m k {\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})^{m_{1}}\dotsb (t-\lambda _{k})^{m_{k}}}
が成り立つ。
固有多項式の定数項 pA(0) は、(−1) det(A) となる。また、t の係数は −tr(A) である。
例えば、2次正方行列 A の固有多項式は t 2 − tr  ( A ) t + det ( A ) {\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A)}
と簡単に表すことができる。
また、3次正方行列の固有多項式は t 3 − tr ( A ) t 2 + c 2 t − det ( A ) {\displaystyle t^{3}-{\operatorname {tr} }(A)t^{2}+c_{2}t-\det(A)}
線型代数学において、固有多項式(こゆうたこうしき、characteristic polynomial)あるいは特性多項式(とくせいたこうしき)とは、有限次元線形空間での線形変換に対してその固有値を求めるために得られる多項式のことである。特に正方行列に対して定義される。
固有多項式は、その線形変換(正方行列)の行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。
またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。