パイこね変換
散逸系の場合のパイこね変換は次のように与えられる。
( x n + 1 , y n + 1 ) = { ( 2 x n , a y n ) 0 ≤ x n ≤ 1 / 2 ( 2 x n − 1 , a y n + 1 / 2 ) 1 / 2 < x n ≤ 1 {\displaystyle (x_{n+1},\ y_{n+1})={\begin{cases}(2x_{n},\ ay_{n})&0\leq x_{n}\leq 1/2\\(2x_{n}-1,\ ay_{n}+1/2)&1/2<x_{n}\leq 1\end{cases}}}
ここで、a は系のパラメータで、0 < a < 1/2 の範囲の任意定数である。a = 1/2 も含めて a を定義すれば、上記の保存系パイこね変換も含んだ系となる。
これは、保存系の場合と同様に「引き延ばし」と「折り畳み」を行う変換である。同じように変換を文章で説明すると次のようになる。
与えられた単位正方形の領域を横方向(x 方向)に2倍に伸ばし、縦方向(y 方向)に a 倍に押しつぶす。
押し伸ばされた領域の内、単位正方形からはみ出た右半分の領域(1 < x ≤ 2 )を切り取り、平行移動させて、はみ出てない左半分の領域(0 < x ≤ 1 )の上に乗せる。ただしこのとき、保存系の場合と違って、0.5 − a の隙間を設けて乗せることになる。
パイこね変換(パイこねへんかん、英語: baker's transformation)とは、2次元の離散力学系の一種で、カオスを生み出す典型的な仕組みを抜き出した基礎的な系として知られる。名称は料理におけるパイの生地を引き延ばして折り畳む操作に因む。パイこね写像(パイこねしゃぞう、英語: baker's map)とも呼ばれる場合もある。
パイこね変換の原案は、エーベルハルト・ホップ(英語版)により1937年に考案された。ホップによると、元々の英語名称の"baker's transformation"は、1949年のジョン・フォン・ノイマンとの会話の中でノイマンが命名したものである。日本語への直訳では「パン屋変換」や「パン屋写像」となるが、「パン屋」や「パンこね」ではなく「パイこね」が日本語名称として慣習的に用いられている。
与えられた単位正方形の領域を横方向(x 方向)に2倍に伸ばし、縦方向(y 方向)に1/2に押しつぶす。
押し伸ばされた領域の内、単位正方形からはみ出た右半分の領域(1 < x ≤ 2 )を切り取り、平行移動させて、はみ出ていない左半分の領域(0 < x ≤ 1 )の上に乗せる。
これら一連の操作の繰り返しにより、初期領域はかき混ぜられ、後述のカオスが生み出される。特に、1番目の操作は「引き延ばし」、2番目の操作は「折り畳み」と呼ばれ、これらはカオスを発生させる基本的な仕掛けとなる。
上記の2の操作のときに、平行移動ではなく折り返す(180°回転させる)ようなパイこね変換も存在する。カオスを生み出す機構としては本質的にどちらでも変わらない。折り返す場合の保存系のパイこね変換は次のように示される。
( x n + 1 , y n + 1 ) = { ( 2 x n , y n / 2 ) 0 ≤ x n ≤ 1 / 2 ( 2 − 2 x n , y n / 2 + 1 / 2 ) 1 / 2 < x n ≤ 1 {\displaystyle (x_{n+1},\ y_{n+1})={\begin{cases}(2x_{n},\ y_{n}/2)&0\leq x_{n}\leq 1/2\\(2-2x_{n},\ y_{n}/2+1/2)&1/2<x_{n}\leq 1\end{cases}}}