上昇と下降
環の拡大 A⊆B が下降性質 (going-down property) を満たすとは、
p 1 ⊇ p 2 ⊇ ⋯ ⊇ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}
が A の素イデアルの鎖で
q 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯ ⊇ q m {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}
(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対して q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} が p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対して q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} が p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} の上にあるような鎖
まず、いくつか用語を固定する。 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} と q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} がそれぞれ A と B の素イデアルであって
q ∩ A = p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}
であれば( q ∩ A {\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A} は自動的に A の素イデアルであることに注意せよ)、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} の下にある ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} lies under q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} ) と言い q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} は p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の上にある ( q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} lies over p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} ) という。
一般に、可換環の環拡大 A⊆B が lying over property を満たすとは、A のすべての素イデアル P が B の素イデアル Q の下にあることをいう。
拡大 A⊆B が incomparability property を満たすとは、Q と Q' が A の素イデアル P の上にある B の相異なる素イデアルであるときにはいつでも Q⊈Q' かつ Q' ⊈Q であることをいう。