共有知識
様相演算子の場合と同じく、関数 E は再帰的に用いることができ、 E 1 ( e ) = E ( e ) , E n + 1 ( e ) = E ( E n ( e ) ) {\displaystyle E^{1}(e)=E(e),E^{n+1}(e)=E(E^{n}(e))} とする。これを使うと共有知識関数を、
C ( e ) = ⋂ n = 1 ∞ E n ( e ) {\displaystyle C(e)=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}(e)}
と定義できる。
上で素描した構文論的なアプローチとの等価性は簡単に確認できる:いま定義したオーマン構造を考えよ.これと対応するクリプキ構造を、
同じ集合 S,
分割 Pi に一致する同値類を定めるアクセス可能関係 Ri,
原子命題 p に対応する、オーマン構造における事象を E とする。これに属する状態 s ∈ E p {\displaystyle s\in E^{p}} のすべてにおいてだけ、原子命題 p に「真」という値を与えるような付値関数、
として定められる。前節で定義した共有知識アクセス可能性関数 RG が、すべての i ∈ G {\displaystyle i\in G} の分割 Pi の finest common coarsening に一致することを確認するのは難しくなく、これはオーマンの 1976 年論文で与えられた共有知識の有限的な特徴づけになっている。