ハウスドルフ距離
以下距離空間 M を固定。
p ∈M 、X , Y ⊆M のとき d (p, Y ) ≤ d (p, X ) + dH(X ,Y )。
X , Y ⊆M のとき dia(Y ) ≤ dia(X ) + 2·dH(X ,Y ) (ただし、dia(X ) は X の直径)。
X , Y ⊆M について X ∩Y の内部は空でないとする。このとき Z ⊆ M と X のハウスドルフ距離が十分小さければ、Z ∩Y ≠ ∅。
X , Y , Z ⊆M、dH(X ,Z ) ≤ a , dH(Z ,Y ) ≤ b とする。このとき Z ⊆ (⋂r > a Nr (X ))∩(⋂r > b Nr (Y )) であり、(⋂r > a Nr (X ))∩(⋂r > b Nr (Y )) は dH(X ,W ) ≤ a , dH(W ,Y ) ≤ b を満たす最大のW。
d H ( X , Y ) = inf { ε > 0 : X ⊆ N ε ( Y ) , Y ⊆ N ε ( X ) } {\displaystyle d_{\rm {H}}(X,Y)=\inf\{\epsilon >0:X\subseteq N_{\epsilon }(Y),Y\subseteq N_{\epsilon }(X)\}}
ただし、Nε(X ) := {p ∈M : d(p,X) < ε}
dH(X ,Y ) = 0 ⇔ clM(X ) = clM(Y ) (ただし、clM(X ) は X の閉包 )なので、空でない閉集合全体は擬距離 dH に関する同値類の完全代表系をなす。 更に、X、Y が有界集合なら明らかに dH(X ,Y ) は有限である。以上から dH は M 上の空でない有界閉集合全体 B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} 上の距離となる。
自然な埋め込み ι : ( M , d ) → ( B × ( M ) , d H ) {\displaystyle \iota :(M,d)\rightarrow ({\mathcal {B}}^{\times }(M),d_{\rm {H}})} を ι(x) := {x} と定義すると、ι は等長埋め込みになっていて、その像は閉集合。
ハウスドルフ距離は一様構造や粗構造といった距離構造の一般化にも自然に拡張できる。