積 (圏論)
任意の圏において、必ずしも積が存在するとは限らない。例えば、空積(すなわち添字集合 I が空集合)は終対象と同じであり、無限群の圏のようないくつかの圏は終対象を持たない: 任意の無限群 G に対し、射 Z → G は無限個存在するので、G が終対象となることはありえない。
添字集合 I に対し、I で添字付けられる任意の族が圏 C において積を持つならば、積をとる演算を取り纏めて関手 C → C として扱うことができる。この関手が対象をどのように写すかは明らかだが、射の対応は微妙である(定義節で与えられた「射の積」とは少々異なる)。二項の積(積函手は双関手(英語版))の場合を考えると、必要となるのは f1: X1 → Y1, f2: X2 → Y2 に対して適当な X1 × X2 → Y1 × Y2 なる射を作ることで、それには積 ⟨f1 ∘ π1, f2 ∘ π2⟩ を取ればよい。射に対するこの演算を射の直積あるいはデカルト積 (cartesian product of morphisms) と呼ぶ。一般の場合の積関手も同様に、族 {Xi}i∈I, {Yi}i∈I の間の射の族 fi: Xi → Yi (i ∈ I) に対して ∏i∈I Xi → ∏i∈I Yi なる射として、射の族 {fi ∘ πi} の積 ⟨fi ∘ πi : i ∈ I⟩ が対応する。
任意の対象 Y と射の族 fi: Y → Xi (i ∈ I) が与えられたとき、一意的な射 f: Y → X が存在して、次の図式 積の普遍性 が任意の i に対して可換となる。
この積 X をしばしば ∏i∈I Xi で表す。I = {1, ..., n} の場合は特に X1 × ⋯ × Xn のように書き、射の積も ⟨f1, ..., fn⟩ のように書く。
積は極限の特別な場合である。これを見るには、極限の定義で必要となる図式において離散圏(恒等射以外の射をもたない対象からなる族)を用いればよい(各離散対象は成分と射影の添字を与え、図式を関手とみれば(離散圏とみた)添字集合 I からの関手である)。このとき実際に積の定義が極限の定義と一致することがみてとれる。{fi}i∈I が錐(英語版)、射影が極限(極限錐)である。