平坦加群
環 R 上の加群 M に対し、各 R-加群 Fi が平坦加群であるような次の完全列
⋯ → F n + 1 → F n → ⋯ → F 1 → F 0 → M → 0 {\displaystyle \cdots \to F_{n+1}\to F_{n}\to \cdots \to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0}
を M の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての i > n に対し Fi = 0 であるような平坦分解を長さ n の平坦分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は ∞ という。平坦次元は fd(M) と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。
fd(M) ≤ n.
任意の右 R-加群 X に対して、 Tor n + 1 R  ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(X,M)=\{0\}.}
任意の i ≥ n + 1 と任意の右 R-加群 X に対して、 Tor i R  ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(X,M)=\{0\}.}