ダランベールの式
u ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle u(x,0)=g(x)} より、 F ( x ) + G ( x ) = g ( x ) {\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)} が得られる。 u t ( x , 0 ) = h ( x ) {\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)} より、 c F ′ ( x ) − c G ′ ( x ) = h ( x ) {\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)} が得られる。この二つ目の式を積分すると、次が得られる。
c F ( x ) − c G ( x ) = ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 . {\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}
この系を解くことで、次が得られる。
F ( x ) = − 1 2 c [ − c g ( x ) − ( ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 ) ] , G ( x ) = − 1 2 c [ − c g ( x ) + ( ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 ) ] .
{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {-1}{2c}}\left[-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right],\\G(x)&={\frac {-1}{2c}}\left[-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right].\end{aligned}}}
ここで上述の式 (∗) より、次のダランベールの式が得られる:
u ( x , t ) = 1 2 [ g ( x − c t ) + g ( x + c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t h ( ξ ) d ξ . {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}