リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル
これらの積分を簡単にするために、デルタ関数 δ ( t ′ − t r ′ ) {\displaystyle \delta (t'-t_{\mathrm {r} }')} を用いて t r ′ {\displaystyle t_{\mathrm {r} }'} を t ′ {\displaystyle t'} で置き換え、 t ′ {\displaystyle t'} の積分に直せば次のようになる。
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫∫ q δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) | r − r ′ | δ ( t ′ − t r ′ ) d t ′ d 3 r ′ , {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}({\boldsymbol {r'}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t'))}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\delta (t'-t_{\mathrm {r} }')\,dt'\,d^{3}{\boldsymbol {r}}'\,,}
遅滞時刻の定義は以下である。
t r = t r ( r , r s , t ) = t − 1 c | r ( t ) − r s ( t r ) | {\displaystyle t_{\mathrm {r} }=t_{\mathrm {r} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{\mathrm {s} },t)=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r} _{\mathrm {s} }(t_{\mathrm {r} })|}
右辺にも tr が含まれる陰的な式であり、もっぱら反復解法で計算される。