ハールウェーブレット
ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。
φ ( t ) = φ ( 2 t ) + φ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)}
ψ ( t ) = φ ( 2 t ) − φ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)}
解像度を指定した場合は以下の通り。
φ n , k ( t ) = φ n + 1 , 2 k ( t ) + φ n + 1 , 2 k + 1 ( t ) 2 {\displaystyle \phi _{n,k}(t)={\frac {\phi _{n+1,2k}(t)+\phi _{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt {2}}}}
ψ n , k ( t ) = φ n + 1 , 2 k ( t ) − φ n + 1 , 2 k + 1 ( t ) 2 {\displaystyle \psi _{n,k}(t)={\frac {\phi _{n+1,2k}(t)-\phi _{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt {2}}}}
ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。
ウェーブレット関数の定義は以下の通り。
ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 2 , − 1 1 2 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
対応するスケーリング関数は以下の通り。
φ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}