シルベスター数列
シルベスター数の逆数和が有理数である1に収束することから、数列が二重指数関数的に増加することは、その逆数和による級数が無理数となること、さらに数列が irrationality sequence となることの十分条件ではないことがわかる。
一方で Badea (1993) の結果から、シルベスター数列 (の漸化式) は、二重指数関数的な増加を持ち逆数和が有理数に収束するような数列に対する、ある種の唯一性を持っている。つまり、数列 {an} が不等式
a n ≥ a n − 1 2 − a n − 1 + 1 , {\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1,}
を満たし、逆数和が有理数に収束するならば、十分に大きなすべての n に対して、その漸化式はシルベスター数列と同じ
a n = a n − 1 2 − a n − 1 + 1 {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}
となる。
エルデシュとグラハムは、数列 {an} が
を満たすとき、逆数和が有理数となるならば、十分大きな全ての n に対して a n = a n − 1 2 − a n − 1 + 1 {\textstyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1} が成り立つと予想した。Badea (1995) ではこの予想についていくつかの結果が纏められている。