ヴィラソロ代数
ヴィラソロ代数の最高ウエイト表現上のベクトル χ ≠ v h {\displaystyle \chi \neq v_{h}} が特異ベクトルであるとは
L n χ = 0 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle L_{n}\chi =0\quad (n\geq 1)}
となることである。最高ウエイトが h = h r , s {\displaystyle h=h_{r,s}} のとき、ヴァーマ加群はレベル rs に特異ベクトルを持つ。 特異ベクトルが存在するとそれを最高ウエイトベクトルとする部分加群が存在するので、 元の表現の既約性を判定することができる。 また特異ベクトルはヴィラソロ代数を自由場表示することによって、 長方形ヤング図形に対応したジャック多項式(英語版)に一致することが知られている。
ヴィット環(ヴィラソロ代数から中心拡大を除いたもの)は Cartan (1909) によって発見された。その有限体上の類似物が1930年代にエルンスト・ヴィットによって研究される。ヴィラソロ代数を与えるヴィット環の中心拡大が(正標数の場合に)初めて Block (1966, p. 381) によって発見され、それと独立に Gel'fand & Fuks (1968) によって(標数0の場合が)再発見された。ヴィラソロは1970年、双対共鳴モデルの研究の中でヴィラソロ代数を生成する演算子のいくつかを書き下ろしているが、中心拡大の発見には到っていない。Brower & Thorn (1971, p. 167) によれば、中心拡大がヴィラソロ代数を与えることの物理学における再発見は程なく J. H. Weis によって成されている。