接続形式
{\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}
と分解できる。従って、捩れの成分は、
Θ i ( e ) = d θ i ( e ) + ∑ j ω j i ( e ) ∧ θ j ( e ) {\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} )}
である。曲率に非常に似ていて、標構の変換の下にΘ が共変テンソル(contravariant tensor)として振舞うことを示せる。
Θ i ( e g ) = ∑ j g j i Θ j ( e ) . {\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}
標構独立な捩れは標構から記述し直すこともできる。
Θ = ∑ i e i Θ i ( e ) . {\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}
今まで紹介したように、接続形式は標構の特定の選択に依存する。第一の定義の中では、標構は単に切断の局所的な基底である。各々の標構に対する接続形式は、一つの標構から別の標構へ移行する変換法則によって与えられる。第二の定義の中では、標構自体がリー群によって与えられる付加的な構造をもっていて、標構の変換はこの(付加的な構造の中に)値を取らねばならないという制約を受ける。チャールズ・エーレスマン(英語版)(Charles Ehresmann)により1940年代に開拓された主バンドルのことばで、これらの多くの接続形式と、単一の本質的な形式へ接続形式を単一の変換規則により変換する方法を提供した。しかしこのアプローチの欠点は、形式がもはや多様体の上では定義することができず、より大きな主バンドルの上でしか定義できないことである。
E のファイバーの次元 k が多様体 M の次元に等しいとする。この場合、ベクトルバンドル E は、標準 1-形式(英語版)(solder form)と呼ばれる接続の傍らに別なデータを持っていることがある。標準一次形式とは、大域的にベクトルに値を持つ 1-形式(英語版)(vector-valued one-form) θ ∈ Γ(Ω(M,E)) が定義され、写像
θ x : T x M → E x {\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}
が全ての x ∈ M について線型同値となっていることを言う。標準 1-形式が与えられると、(外積接続のことばで、)接続の捩れを
Θ = D θ . {\displaystyle \Theta =D\theta .\,}
として定義することができる。捩れ Θ は M 上の E に値を持つ 2-形式である。
標準 1-形式(solder form)とこれに付帯する捩れは両方とも、E の局所標構のことばで記述することができる。θ が標準 1-形式(solder form)であれば、標構の成分として
θ = ∑ i θ i ( e ) e i .
E の接続形式の曲率 2-形式(curvature two-form)は、
Ω ( e ) = d ω ( e ) + ω ( e ) ∧ ω ( e ) . {\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}
により定義される。接続形式とは異なり、曲率は標構の変換に対しテンソル的に振舞うことが、ポアンカレの補題を使うことにより確認することができる。特に、e → eg が標構の変更である場合、曲率 2-形式は、
Ω ( e g ) = g − 1 Ω ( e ) g {\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g}
により変換される。この変換法則は次のようにも解釈される。e を標構 e の双対基底とすると、2-形式
Ω = e Ω ( e ) e ∗ {\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}
は、標構の選択とは独立である。特に、Ω は自己準同型環に値を持つ M 上のベクトル値 2-形式である。