三角関数の公式の一覧
いくつかの数学記号は中等教育の課程(中学校の課程・高等学校の課程・中等教育学校の課程など)で紹介されていないため、詳しくは数学記号の表#代数学の記号など参照のこと。
総和記号: ∑ {\displaystyle \textstyle \sum }
総乗記号: ∏ {\displaystyle \textstyle \prod }
sin  0 = sin  0 ∘ = 0 / 2 = cos  90 ∘ = cos  ( π 2 ) sin  ( π 6 ) = sin  30 ∘ = 1 / 2 = cos  60 ∘ = cos  ( π 3 ) sin  ( π 4 ) = sin  45 ∘ = 2 / 2 = cos  45 ∘ = cos  ( π 4 ) sin  ( π 3 ) = sin  60 ∘ = 3 / 2 = cos  30 ∘ = cos  ( π 6 ) sin  ( π 2 ) = sin  90 ∘ = 4 / 2 = cos  0 ∘ = cos  0 {\displaystyle {\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}}
この記事内で、角は原則として α, β, γ, θ といったギリシャ文字か、x を使用する。
角度の単位としては原則としてラジアン (rad, 通常単位は省略) を用いるが、度 (°) を用いる場合もある。
1周 = 360度 = 2πラジアン
主な角度の度とラジアンの値は以下のようになる:
記事内では主にラジアンを使用し、度の場合には別記するか度を示す記号(°)を付記する。
以下の式は「加法定理」として知られる。これらの式は、10世紀のペルシャの数学者アブル・ワファーによって最初に示された。これらの式はオイラーの公式を用いて示すことが可能である。
上記の表において複号は同順とする。
ek (k ∈ {0, ..., n}) を k次の基本対称式とする。
x i = tan  θ i {\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}\,}
のとき i ∈ {0, ..., n} に対して以下のようになる。
e 0 = 1 e 1 = ∑ 1 ≤ i ≤ n x i = ∑ 1 ≤ i ≤ n tan  θ i e 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n tan  θ i tan  θ j e 3 = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n x i x j x k = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n tan  θ i tan  θ j tan  θ k ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}&&=\sum _{1\leq i\leq n}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}&&=\sum _{1\leq i<j\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
最も基本的な関数は正弦関数(サイン、sine)と余弦関数(コサイン、cosine)である。これらは sin(θ), cos(θ) または括弧を略して sin θ, cos θ と記述される(θ は対象となる角の大きさ)。
正弦関数と余弦関数の比を正接関数(タンジェント、tangent)と言い、具体的には以下の式で表される:
tan  θ = sin  θ cos  θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
上記3関数の逆数関数を余割関数(コセカント、cosecant)・正割関数(セカント、secant)・余接関数(コタンジェント、cotangent)と言う。余割関数の略称には cosec と csc の2種類があり、この記事では csc を使用する。
sec  θ = 1 cos  θ , csc  θ = 1 sin  θ , cot  θ = 1 tan  θ = cos  θ sin  θ . {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}
以下の式が成り立つ。
cos  ( θ 2 ) ⋅ cos  ( θ 4 ) ⋅ cos  ( θ 8 ) ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos  ( θ 2 n ) = sin  ( θ ) θ = sinc θ . {\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .}
最後のsincは、正弦関数を角の大きさで割ったものである。
sinc  x := sin  x x . {\displaystyle \operatorname {sinc} x:={\frac {\sin x}{x}}.}