E進法
ここで,
{ N ′ ( x ) < 0 0 < x < 1 N ′ ( x ) > 0 x > 1 {\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}
より, N ( x ) {\displaystyle N(x)} を最小にする x {\displaystyle x} の値を求めるには, N ( x ) {\displaystyle N(x)} の微分係数が0となるような x {\displaystyle x} の値を求めれば良い.
N ′ ( x ) = ln  I ⋅ ( x ln  x ) ′ = ln  I ⋅ ln  x − 1 ( ln  x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}
ln  x = 1 {\displaystyle \ln x=1} のとき, N ′ ( x ) = 0 {\displaystyle N^{\prime }(x)=0} であるので,
x = e {\displaystyle x=e}
以上より最も高効率な記数法は e {\displaystyle e} 進法である.