ハーディ＝リトルウッドの不等式
レイヤーケーキ表現より、次が成り立つ
f ( x ) = ∫ 0 ∞ χ f ( x ) > r d r {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr}
g ( x ) = ∫ 0 ∞ χ g ( x ) > s d s {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds} 。
ここで χ f ( x ) > r {\displaystyle \chi _{f(x)>r}} は次の部分集合 E f の指示函数を表す:
E f = { x ∈ X : f ( x ) > r } . {\displaystyle E_{f}=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}.\,}
同様に χ g ( x ) > s {\displaystyle \chi _{g(x)>s}} は次の部分集合 E g の指示函数を表す。
E g = { x ∈ X : g ( x ) > s } . {\displaystyle E_{g}=\left\{x\in X:g(x)>s\right\}.\,}
すると、次が成り立つ。