痩集合
しかし、それ自身の中では痩せていない。というのも、完備距離空間になっているからである。
集合 ( [ 0 , 1 ] ∩ Q ) ∪ { 2 } {\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}} は R {\displaystyle \mathbb {R} } において疎ではないが痩せている。そしてそれ自身の中では痩せていない(というのも、 2 {\displaystyle 2} が孤立点であり、相対位相における内点であるから)。
直線 R × { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}} は平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の中で痩せている。しかし、それ自身の中では痩せていない。
空間 ( Q × Q ) ∪ ( R × { 0 } ) {\displaystyle (\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})} ( R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} からの相対位相で考える) は部分空間として痩せている(前述の例と異なり、 R × { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}} の周りに有理点があることが影響している)。その痩部分集合 R × { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}} は前述の例と同様に自身の中では痩せていない。
痩集合を用いることでバナッハ・マズール・ゲームにおける概念の有用な代用的特徴づけが行える。 Y {\displaystyle Y} を位相空間とし、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} を Y {\displaystyle Y} の部分集合の族であって、その構成要素はいずれも空でない内部をもち、 Y {\displaystyle Y} のいかなる空でない部分集合も W {\displaystyle {\mathcal {W}}} に属するような部分集合を持つものとする。そして X {\displaystyle X} は何か Y {\displaystyle Y} の部分集合とする。このとき、バナッハ・マズール・ゲーム M Z ( X , Y , W ) {\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}})} を考えることができる。
[ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} がベール空間なので、補痩集合は非痩でもあることが分かる。
R {\displaystyle \mathbb {R} } の測度 0 {\displaystyle 0} の非痩集合の他の例としては次のものもある:
⋂ m = 1 ∞ ⋃ n = 1 ∞ ( r n − ( 1 2 ) n + m , r n + ( 1 2 ) n + m ) {\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}
ここで、 ( r n ) n = 1 ∞ {\displaystyle \left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} は有理数の全体を番号付けした列である。