三体問題
三体問題の求積可能性は、19世紀末に証明されたブルンスの定理およびポアンカレの定理によって否定的に解決された。
1887年に出版されたブルンスの定理は次のことを主張する。
一般三体問題について、座標 ( r 1 , r 2 , r 3 ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3})} 、運動量 ( p 1 , p 2 , p 3 ) {\displaystyle (\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})} 、時刻 t {\displaystyle t} の代数関数であるような運動の積分でオイラー積分(重心運動、エネルギー、運動量、角運動量)と線型独立であるようなものは存在しない。
この事実は、ただちに三体問題の非可積分性を意味するものではないものの、可能な運動の積分の形について強い制約を課す。1898年にポール・パンルヴェはこの定理を拡張し、運動量に関して代数関数であるような運動の積分はオイラー積分以外に存在しないことを証明した。
アンリ・ポアンカレが1890年の研究報告および1892年の著書で定式化したポアンカレの定理は次のことを主張する。
パラメータ μ {\displaystyle \mu } を持つ近可積分系ハミルトニアン
H = H 0 ( I ) + μ H 1 ( I , θ ) + μ 2 H 2 ( I , θ ) + ⋯ {\displaystyle H=H_{0}(I)+\mu H_{1}(I,\theta )+\mu ^{2}H_{2}(I,\theta )+\cdots }
恒星系力学では三体相互作用を通じて連星を形成するチャンネルが存在し、その効果が系全体の進化に影響を及ぼすため重要視されている。一方、近接連星に関して伴星から主星へのガス降着という問題におけるロッシュモデルは円制限三体問題に基づいて構築されている。