アーベル群の圏
数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏(あーべるぐんのけん、英: category of abelian groups)Ab は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型であり、実際に任意の小さいアーベル圏は Ab に埋め込める。
この準同型の加法により、アーベル群の圏 Ab は前加法圏となり、さらにアーベル群の有限直和が双積(英語版)となるから、実際には加法圏を成す。
アーベル群の圏 Ab において、圏論的核は代数学的核に一致する。すなわち、射 f: A → B の圏論的な意味での核とは、K ≔ {x ∈ A : f(x) = 0} で定義される A の部分群 K に包含準同型 i: K → A を合わせて考えたものである。余核についても同様で、f の余核とは、剰余群 C = B/f(A) に自然な射影 p: B → C を合わせて考えたものになる(ここで Ab と Grp のさらなる重大な違いがあることに注意せよ。すなわち、Grp においては f(A) が B の正規部分群とならず、従って剰余群 B/f(A) が得られないことが起こり得る)。このように具体的に核と余核が記述できるから、Ab が実際にアーベル圏となることを見るのは極めて容易である。
アーベル群の圏 Ab における圏論的直積は群の直積で与えられる。群の直積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積で群演算を入れたものである。Ab は核を持つから、Ab が完備圏となることが示せる。Ab の圏論的直和は群の直和で与えられる。Ab は余核を持つから、Ab が余完備(英語版)となることも示せる。