級数
「通常の意味」での和が収束しないような級数に対して、何らかの意味で和と呼ぶにふさわしい極限値を割り当てることができるというような状況はたくさんある。総和法はそのような、古典的な意味での収束の概念を完全に拡張して、発散級数全体の成す集合の特定の部分集合に対して値を割り当てる方法である。総和法の代表的なものとしては、総和可能な発散級数が少ない(実は後へいくほど前者の一般化となる)順にチェザロ総和法、(C, k)-総和法(k-次のチェザロ総和法)、アーベル総和法、ボレル総和(en:Borel summation)などがある。
どのような総和法が可能かということに関して知られる一般的な結果の一種で、シルバーマン-テープリッツの定理は(係数全体の成すベクトルに無限次行列を作用させることによって発散級数を総和する)行列総和法 (英: en) を特徴付けるものである。発散級数に対する最も一般の総和法は、バナッハ極限に関するもので、非構成的 (英: non-constructive) なため計算などには向かない。
任意の添字集合 I に対する和を定義することもできる。通常の級数の概念に対して、大きく二つの異なる一般化の方向性があり、ひとつは添字集合に特定の順序が定められていない場合であり、もうひとつは添字集合が非可算無限集合となる場合である。
以下に重要な級数の例を挙げる。
等比級数(幾何級数)は収束する級数の典型的な例である。
冪級数は各項を単項式とする級数である。 アーベルの定理は、数列級数の収束と、その母関数である正則関数の値の収束値との間の関係を与えている。
ローラン級数は単項式の次数として負の自然数を許した二方向への無限和であり、自然数と異なる添字集合によって項が与えられる例になっている。
テイラー級数は滑らかな関数の、冪級数としての表現を与えている。
フーリエ級数は各項を三角関数とする級数による関数の表示を与えている。
調和級数はよく知られた収束しない級数の例である。調和級数が発散する現象はオイラーによる素数の無限性の証明にも利用されている。
ディリクレ級数は調和級数型の級数を特殊値とするような、各項が特定の指数関数からなる級数である。
超幾何級数、q超幾何級数 (超幾何級数のq類似)、楕円超幾何級数は可積分系・数理物理・特殊関数論などで頻出する。
実用上はさらに関数族が「局所有限」(各 x に対して関数の値が有限個の例外を除く全ての近傍で消えている)などの仮定を置くのが普通である。φi が連続であるとか可微分であるなどの(有限和をとる操作で保たれる)「素性の良い性質」(英: regularity property) は関数族の任意の部分族の和に対して保たれる。
最小の非可算順序数 ω1 を順序位相に関する位相空間とみるとき、f(α) ≡ 1 で定義される定値関数 f: [0, ω1) → [0, ω1] は ∑ α ∈ [ 0 , ω 1 ) f ( α ) = ω 1 {\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}} を満足する(言い換えれば、1 の ω1 個の複写を加えたものは ω1 に等しい)。極限は有限部分和ではなく全ての可算部分和に亘ってとるものに限る。この空間は可分 (英: separable) ではない。