スターリング数
第2種スターリング数もベルヌーイ数との関係を示すことができる。
B k − 1 = ∑ m = 1 k ( − 1 ) k + m ( m − 1 ) ! m { k m } , B k = ∑ m = 0 k ( − 1 ) m m ! m + 1 { k m } {\displaystyle {\begin{aligned}&B_{k-1}=\sum _{m=1}^{k}(-1)^{k+m}{\frac {(m-1)!}{m}}\left\{{k \atop m}\right\},\\&B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}\left\{{k \atop m}\right\}\end{aligned}}}
第1の関係式は、第1種スターリング数とベルヌーイ数の関係式から導出できる。第2の関係式は、第1の関係式に第2種スターリング数の漸化式を適用すれば導出できる。さらに、第2種スターリング数は公式:
{ n k } = 1 k ! ∑ m = 1 k ( − 1 ) k − m ( k m ) m n {\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{m=1}^{k}(-1)^{k-m}\left({k \atop m}\right)m^{n}}
によって一般項が計算できる。しかし、この公式も総和記号を含んでいるため、漸化式よりも便利な公式とは言いがたいが、この公式をベルヌーイ数との関係式(第2の関係式)に代入すればベルヌーイ数の一般項を得ることができる。