エルミート行列
しかし複素エルミート行列の全体は実数体 R 上のベクトル空間にはなる。n次複素行列の全体は R 上で 2n次元のベクトル空間であり、その中で複素エルミート行列の全体は n次元の部分空間を成す。その基底は、行列単位 Ej,k((j,k)成分が 1 でそれ以外の成分は全て 0 である n次正方行列)を用いれば、 { E j , j ( 1 ≤ j ≤ n ) E j , k + E k , j , i ( E j , k − E k , j ) ( 1 ≤ j < k ≤ n ) {\displaystyle {\begin{cases}E_{j,j}&(1\leq j\leq n)\\E_{j,k}+E_{k,j},\,i(E_{j,k}-E_{k,j})&(1\leq j<k\leq n)\end{cases}}} で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, n − n/2, n − n/2 個ずつ存在するから、次元は n + n − n/2 + n − n/2 = n であることが分かる。ただし、i は虚数単位である。
エルミート行列 A の n 個の正規直交固有ベクトル u 1 , ...