ヤコビ多様体
と考えてもよい。ただし、 γ {\displaystyle \gamma } は X {\displaystyle X} 上のパスである。また、 H 1 ( X , Z ) {\displaystyle H_{1}\left(X,\mathbb {Z} \right)} の要素は
Z ∫ A 1 ⊕ Z ∫ A 2 ⊕ ⋯ ⊕ Z ∫ A g ⊕ Z ∫ B 1 ⊕ ⋯ ⊕ Z ∫ B g , {\displaystyle \mathbb {Z} \int _{A_{1}}\oplus \mathbb {Z} \int _{A_{2}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \int _{A_{g}}\oplus \mathbb {Z} \int _{B_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \int _{B_{g}},}
で与えられる。 このような定義は、リーマン面 X {\displaystyle X} 上の積分が、途中に任意のループ上の積分を含んでも結果が不変であることを要求することで自然に現れる。
任意の体上の曲線のヤコビ多様体は、Weil (1948)により、有限体上の曲線のリーマン予想の証明の一部として構成された。
アーベル・ヤコビの定理は、このように作られた複素トーラスが次数 0 の直線束のモジュライ空間であるピカール多様体 Pic(X) と同型である、という定理である。またヤコビ多様体は単に複素トーラスであるというだけではなく、代数多様体の構造も入ることが知られている。