超準解析
例えば、もし n {\displaystyle n} が自然数でない超自然数、つまり、 ∗ N ∖ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} } の元であるならば、 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} は無限小である。超実数 r {\displaystyle r} が限定(limited)または有限(finite)とは、その絶対値がある標準自然数で抑えられる(より小さい)ことである。有限超実数の全体は、全ての実数を含むような、 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } の部分環を成す。この環において、無限小超実数の全体はイデアルを成す。
有限超実数の成す集合や無限小超実数の成す集合は V ( ∗ R ) {\displaystyle V({}^{\ast }\mathbb {R} )} の外的な部分集合である。これの意味するところは(実際的な場面においては)内的集合に限定された有界量化は、これらの集合を亙ることはできないということである。
例:超実平面 ∗ R × ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} \times {}^{\ast }\mathbb {R} } は内的であり、平面ユークリッド幾何のモデルである。他方、各座標を有限値に限定したもの(デーン平面の類似)は外的であり、平行線公準を破る。例えば ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} を通り無限小の傾きを持つどんな直線も x {\displaystyle x} 軸と平行である。
↑ VieriBenci, MauroDi Nasso. Alpha-theory: An elementary axiomatics for nonstandard analysis, Expositiones Mathematicae 21(4), 355-386 (2003)
↑ Mauro Di Nasso, Isaac Goldbring, Martino Lupini. Nonstandard Methods in Ramsey Theory and Combinatorial Number Theory, Springer, 2019
↑ Terence Tao, A nonstandard analysis proof of Szemeredi’s theorem, .
↑ Capinski M., Cutland N. J. Nonstandard Methods for Stochastic Fluid Mechanics. Singapore etc., World Scientific Publishers (1995)
↑ Cutland, N. Loeb Measures in Practice: Recent Advances. Berlin etc.: Springer (2001)
↑ Gordon E. I., Kutateladze, S. S., and Kusraev, A. G. Infinitesimal Analysis Dordrecht, Kluwer Academic Publishers (2002)