正準変換
ハミルトン力学では、一般化座標qi (i=1,..,n)と対応する一般化運動量pi (i=1,..,n)の組からなる、正準変数(q, p) = (q1,..., qn ; p1,..., pn) が独立な変数となる。
相空間上の運動は、正準変数と時間tの関数であるハミルトニアンH(q, p, t)を用いて、ハミルトンの運動方程式
q i ̇ = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
p i ̇ = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}
によって記述される。但し、ドット記号は時間微分を表す。
ここで、正準変数と時間の関数である新たな変数
Q i = Q i ( q , p , t ) {\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q,p,t)}
P i = α i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=\alpha _{i}\quad (i=1,\cdots ,n)}
このような正準変換を生む母関数として、タイプ2の母関数S=W2(q, P, t)を選べば、母関数S(q, P, t)と元のハミルトニアンH(q, p, t)の間には、
H ( q , ∂ S ∂ q , t ) + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
という関係式が成り立つ。但し、K(Q, P, t)≡0とpi=∂ S/∂ qiであることを用いている。この1階の偏微分方程式をハミルトン-ヤコビ方程式という。
任意の系において、一般化座標と一般化運動量の符号を込めた交換
Q i = p i {\displaystyle Q_{i}=p_{i}}
P i = − q i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=-q_{i}\quad (i=1,\cdots ,n)}
は正準変換である。この場合、新たなハミルトニアンはK(Q, P, t)=H(q, p, t)=H(-P, Q, t)と不変である。
この正準変換の母関数は
W 1 ( q , Q ) = ∑ i = 1 n q i Q i {\displaystyle W_{1}(q,Q)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}Q_{i}}
であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p i = ∂ W 1 ∂ q i = Q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}
P i = − ∂ W 1 ∂ Q i = − q i {\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}}=-q_{i}}
の関係が満たされている。