完備距離空間
有理数全体の成す集合に差の絶対値によって定義される標準距離函数を備えた空間 Q は完備でない。例えば
x 1 = 1 , x n + 1 = x n 2 + 1 x n {\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}}
で定義される列を考えると、これは有理コーシー数列だが如何なる有理数にも収束しない。実際、これが何らかの有理数 x に収束するならば、x は x = 2 を満たさねばならないが、これを満たす有理数は存在しない。しかしながら、同じ列を実数列と考えるならば無理数である √2 を極限に持つ。
同様に単位開区間 (0, 1) に絶対値による距離を入れた空間は、やはり完備でない。例えば xn ≔ 1/n で定義される数列はコーシー数列だが極限は元の空間に入らない。一方、単位閉区間 [0, 1] は完備である。先ほどと同じ列はこの空間内に極限を持ち、0 に収束する。
実数全体の成す空間 R や複素数全体の成す空間 C(ともに絶対値による距離を入れる)は完備であり、同様にユークリッド座標空間 R も通常の距離函数に関して完備である。