多重線型代数
K –加群 E の外積代数 ∧E とは、可換とは限らない K –代数であって E からの K –線型写像を持ち、次の条件を満たすもののことである:(可換とは限らない)K –代数への線型写像で、任意の x ∈ E について、
φ ( x ) 2 = 0 {\displaystyle {\phi (x)}^{2}~=~0}
となっているものが与えられたときに、図式
E → A ↓ ↓ ⋀ E → A {\displaystyle {\begin{array}{ccc}E&\to &A\\\downarrow &&\downarrow \\{\boldsymbol {\bigwedge }}E&\to &A\end{array}}}
が可換になるような K –代数の準同型が存在して一意に定まる。この条件によって対 (∧E , E → TE ) は同型を除き一意に定まる。
加群の直和 E ⊕ F に対して、次数付き加群としての自然な同一視 S (E ⊕ F ) ≡ SE ⊗ SF や ∧(E ⊕ F ) ≡ ∧E ⊗ ∧F がある。つまり、各自然数 k について
S k ( E ⊕ F ) ≡ ⨁ k = m + n S m E ⊗ S n F , ⋀ k ( E ⊕ F ) ≡ ⨁ k = m + n ⋀ m E ⊗ ⋀ n F {\displaystyle \mathrm {S} ^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}\mathrm {S} ^{m}E\otimes \mathrm {S} ^{n}F,~{\boldsymbol {\bigwedge }}^{k}(E\oplus F)\equiv {\boldsymbol {\bigoplus }}_{k=m+n}{\boldsymbol {\bigwedge }}^{m}E\otimes {\boldsymbol {\bigwedge }}^{n}F}