アーネシの曲線
y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
変曲点は ( − 2 a 3 , 3 a 2 ) , ( 2 a 3 , 3 a 2 ) {\displaystyle \left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)} である。
曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍(つまり 4 π a 2 {\displaystyle 4\pi a^{2}} )になる。
上の領域の重心は、(0, a/2) である(元の円の重心は (0, a) である)。
曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、 4 π 2 a 3 {\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}} である。
アーネシの曲線(アーネシのきょくせん) (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式
y = c 3 x 2 + c 2 {\displaystyle y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}}
すなわち ( x 2 + c 2 ) y − c 3 = 0 {\displaystyle (x^{2}+c^{2})y-c^{3}=0} によって表される曲線である。
18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ(アーネシ)が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera(縄)の誤訳であって、意味はない。
原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。