射影空間
H i ( R P n , Z 2 ) = { Z 2 0 ≤ i ≤ n 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} _{2}&0\leq i\leq n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
が得られる。
任意のアーベル群 A に対して、A 係数のコホモロジー群もこのホモロジー複体に HomZ(–, A) を作用させて得られるコホモロジー複体のコホモロジーとして計算できる。特に、全てのコホモロジー群の直和 H ∗ ( K P n , A ) = ⊕ i ≥ 0 H i ( K P n , A ) {\displaystyle H^{*}(KP_{n},A)=\oplus _{i\geq 0}H^{i}(KP_{n},A)} にカップ積で積構造を入れて得られるコホモロジー環の構造は、複素射影空間に対しては
H ∗ ( C P n , Z ) ≅ Z [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle H^{*}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [h]/(h^{n+1})}
で得られる。実射影空間に対しても Z2 係数で考えれば類似の
H ∗ ( R P n , Z 2 ) ≅ Z 2 [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle H^{*}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}[h]/(h^{n+1})}
が得られる。ここで、h は超平面のコホモロジー類である。