直交行列
n 次正方行列 M の 転置行列 M が Mの逆行列になっているとき、すなわち M = M を満たすとき、M は直交行列であるという。
直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = vw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は
( M v , M w ) = ( M v ) T M w = v T M T M w = v T w = ( v , w ) {\displaystyle (Mv,Mw)=(Mv)^{T}Mw=v^{T}M^{T}Mw=v^{T}w=(v,w)}
となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。
直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。n 次直交行列全体の集合を n 次直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。
2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。
( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}