べき乗法
簡単のため、 n × n {\displaystyle n\times n} 行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有値 λ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle \lambda _{i}(i=1,2,\cdots ,n)} がすべて互いに異なり
∣ λ 1 ∣>∣ λ 2 ∣> ⋯ >∣ λ n ∣ {\displaystyle \mid \lambda _{1}\mid >\mid \lambda _{2}\mid >\cdots >\mid \lambda _{n}\mid }
であるとする。ここで、 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} に属する A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有ベクトルを u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} とすると、 u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} は
A u i = λ i u i {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}}
をみたす。また、 u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} は互いに1次独立なので、初期ベクトル x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}} はこれらの1次結合により
x ( k − 1 ) = c 1 λ 1 k − 1 { u 1 + c 2 c 1 ( λ 2 λ 1 ) k − 1 u 2 + ⋯ + c n c 1 ( λ n λ 1 ) k − 1 u n } {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k-1)}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k-1}{\biggl \{}\mathbf {u} _{1}+{\dfrac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k-1}\mathbf {u} _{2}+\cdots +{\dfrac {c_{n}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{n}}{\lambda _{1}}}\right)^{k-1}\mathbf {u} _{n}{\biggr \}}}
より、
lim k → ∞ x ( k ) T x ( k ) x ( k ) T x ( k − 1 ) = λ 1 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k)}}{\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k-1)}}}=\lambda _{1}}
となることを利用する。
行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。