複素微分形式
∂ α = ∑ | I | , | J | ∑ l ∂ f I J ∂ z l d z l ∧ d z I ∧ d z ̄ J {\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}
∂ ̄ α = ∑ | I | , | J | ∑ l ∂ f I J ∂ z ̄ l d z ̄ l ∧ d z I ∧ d z ̄ J {\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}
が成り立つ。
次の性質も成り立つことが分かる。
d = ∂ + ∂ ̄ {\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}
∂ 2 = ∂ ̄ 2 = ∂ ∂ ̄ + ∂ ̄ ∂ = 0. {\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}
これらの作用と性質は、ドルボーコホモロジーの基礎とホッジ理論の様々な面を与える。
1-形式の場合からはじめる。最初に、それぞれの j について複素数の座標を実部と虚部 z = x + iy へ分解する。
d z j = d x j + i d y j , d z ̄ j = d x j − i d y j , {\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}
とおくと、複素数係数を持つすべての微分形式は、和
∑ j = 1 n f j d z j + g j d z ̄ j . {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}.}
と書くことができることが分かる。
Ω を d z {\displaystyle dz} のみを含む複素微分形式の空間とし、Ω を d z ̄ {\displaystyle d{\bar {z}}} のみを含む空間とすると、コーシー・リーマンの方程式により空間 Ω と Ω は正則座標変換の下で不変である。言い換えると、異なる正則座標系 wi を選んでも、Ω の元による変換とともに、Ω の元もテンソル的に変換する。このように空間 Ω と Ω は複素多様体上の複素ベクトル場を定義する。