逐次積分
逐次積分
∫ ( ∫ ( x + y ) d x ) d y {\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)dy}
の計算については、内側の x に関する積分が y を定数とみて
∫ ( x + y ) d x = x 2 2 + y x {\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}
と計算できるから、これを y に関して積分して
∫ ( x 2 2 + y x ) d y = y x 2 2 + x y 2 2 {\displaystyle \int {\Bigl (}{\frac {x^{2}}{2}}+yx{\Bigr )}dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}
を得る。ただし、この計算の過程で現れるはずの積分定数については省略した。注意すべきは、最初に内側の積分を行ったときに現れる積分定数とは、x に関して言う限りにおいて「定数」なのであって、これは厳密に言えば y を含む函数となることである。これは、積分函数を x に関して(偏)微分するならば、もともとの被積分函数が何であるかとは無関係に y のみを含む項はすべて消えることに起因する。同様に、二度目の積分では y に関する積分をするから、「積分定数」として x の函数が加えられる。このような事情から、多変数函数に対する不定積分というものはそれほど明確な意味を持つものとはならない。一変数函数の原始函数が高々定数の違いしか持たないのに対して、多変数函数の原始函数に変数を含む未知項が現れることは函数の振る舞いを劇的に変えてしまうのである。