0.999...
実数として "0.999..." と"1"は等しくなることを示すことができる(ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない)。この証明は、実数論の展開・背景にある仮定・歴史的文脈・対象となる聞き手などに応じて、多様な数学的厳密性に基づいた定式化がある。
循環する無限小数一般に言えることだが、0.999... の末尾の ... は省略記号であり、続く桁も 9 であることを示す。省略記号の前の 9 の個数はいくつでもよく、0.99999... のように書いてもよい。あるいは循環節を明確にするために 0..9、0.9、0.(9) などと表記される。
一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999... と 1 は等価性であるから、例えば 8.32 は 8.31999... と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。
乗法を定義すると、"十進数"は正値全順序可換半環をなす。
乗法を定義する際、リッチマンはまた、"cut D" と呼ばれる別の構造を定義する。これは小数の切断の集合である。通常この定義は実数を導くが、彼は小数 d に対して、切断 (−∞, d) と "principal cut" (−∞, d] の両方を許す。その結果、実数たちは小数と「不安定な状態で共存する (living uneasily together with)」ことになる。したがって、再び 0.999... < 1 を得る。"cut D" には正の無限小は存在しないが、"一種の負の無限小" 0 が存在する。0 には小数展開は存在しない。彼は 0.999... = 1 + 0 であると結論したが、一方、方程式 "0.999... + x = 1" は解をもたない。