冪等元
環が半単純である必要十分条件はすべての右(またはすべての左)イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。
環がフォン・ノイマン正則である必要十分条件はすべての有限生成右(またはすべての有限生成左)イデアルがひとつの冪等元によって生成されることである。
環 R ≠ 0 が直既約(英語版)である必要十分条件は中心的冪等元が自明な冪等元のみであることである。
環が半完全環である必要十分条件は単位元が直交する局所冪等元の(有限)和へ分解できることである。
環が右直和成分に関して昇鎖条件を満たすことと左直和成分に関して降鎖条件を満たすこととどの2つも直交するような冪等元からなる各集合が有限であることは同値である。
すべての元が冪等元であるような環はブール環と呼ばれる。ブール環は可換で標数2である。
すべての部分集合 S の右零化イデアル r.