モース-ケリー集合論
各 β {\displaystyle \beta } に対して、 β {\displaystyle \beta } が集合であり B {\displaystyle B} を満たす場合、かつその場合に限り、 β ∈ { α : A } {\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}} である。
上記の言明において、 α と β をある変数で、 A をある論理式 C で、そして B をある論理式で置き換えたものが主張する公理である。B を置き換える論理式は、論理式 C について、α を置き換えた変数を、β を置き換えた変数で再度置き換えることで得られる。ここで、β を置き換える変数は A の中には出現しない。
構築: ブール集合代数。空クラスと宇宙クラス V の存在。
III. 部分集合: x が集合であるならば、各 z に対して z ⊆ x {\displaystyle z\subseteq x} であるならば z ∈ y {\displaystyle z\in y} であるような集合 y が存在する。
III は、前述の冪集合に対応する。III から冪集合公理が成り立つことの証明の概略は以下の通り: 集合 x の部分クラスである任意の クラス z に対して、クラス z は III で存在を主張する集合 y の要素である。故に z は集合である。
構築: V は集合でない。単集合の存在。分出公理の証明。
IV. 和集合: x と y が両方とも集合であるならば、 x ∪ y {\displaystyle x\cup y} は集合である。
IV は、前述の対に対応する。