多変数の微分
ここで、
lim t → 0 ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) {\displaystyle \,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)} (2-6)
は、(2-2) に x = p + t a {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a} } を代入したに過ぎないため(従って (2-2) の特別な場合に過ぎない)、(2-5) の両辺の t → 0 {\displaystyle t\to 0} 極限は 0 となる。従って、
式 (2-8) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} において R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} , b {\displaystyle {\textbf {b}}} と、任意の実数 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } に対して、
∂ [ λ a + μ b ] f | [ x ] = λ ( ∂ [ a ] f | [ x ] ) + μ ( ∂ [ b ] f | [ x ] ) {\displaystyle {\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)} (3-1)
多変数の微分(たへんすうのびぶん)は、多変数関数を、局所的に線形写像(ヤコビ行列)で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。
次に、合成写像の微分について説明する。 E {\displaystyle {\textbf {E}}} を R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} の開集合とし、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} は、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の値域を含む(つまり、 f ( D ) ⊂ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}} 、特に f ( p ) ∈ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}} とする)とする。多変数ベクトル値関数 g ( y ) = ( g 1 ( y ) ⋮ g m ( y ) ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)} (3-6)
は、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} で定義され、 R l {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}} に値をとるとする。