制限 (数学)
写像以外の対象のへの制限の概念の一般化は層の言葉で与えられる。 層論では、位相空間の各開集合 U に対して圏の対象 F(U) が割り当てられ、それらが適当な条件を満足することが要求される。その最も重要な条件が、包含関係にある開集合に対応する対象の任意の対の間の制限射である。即ち、V ⊆ U であるとき、射 resV,U: F(U) → F(V) が存在して、写像の制限と同様に以下の条件を満足する:
X の任意の開集合 U に対し、制限射 resU,U: F(U) → F(U) は F(U) 上の恒等射である。
W ⊆ V ⊆ U なる三つの開集合に対し、制限射の合成は resW,V ∘ resV,U = resW,U を満たす。
(局所性): (Ui) が開集合 U の開被覆のとき、切断s,t ∈ F(U) が s|Ui = t|Ui を各 Ui で満たすならば s = t が成り立つ。
(貼合せ条件): (Ui) が開集合 U の開被覆、各 i に対して切断 si ∈ F(Ui) が与えられ、各対 Ui, Uj に対してその交わりへの si, sj の制限が一致するとき、即ち si|Ui∩Uj = sj|Ui∩Uj が成立するとき、任意の i に対して s|Ui = si を満たす切断 s ∈ F(U) が存在する。
これら条件をすべて満足する対象のあつまりは層を成すという。最初の二つのみを満たすならば前層という。
定義域 E, 終域 F の二項関係 R の、集合 A による定義域反制限 (domain anti-restriction) あるいは定義域減算 (domain subtraction) は、(E ∖ A) ◁ R と定義される。これは、A のすべての元を定義域 E から除くものである。しばしば A ⩤ R とも書かれる。同様に、二項関係 R の集合 B による値域反制限 (range anti-restriction) あるいは値域減算 (range subtraction) は、R ▷ (F ∖ B) で定義される。これは、B のすべての元を終域 F から除くものである。しばしば R ⩥ B と表記される。
数学における写像の制限(せいげん、英: restriction)は、写像のもともとの定義域に対して、写像による対応関係を変えることなくそれよりも小さい集合を定義域に取り直す操作を言う。同様の概念はより一般に二項関係や多項関係などに対しても定義することができる。
写像 f の定義域の部分集合 A への制限として得られる写像を f|A あるいは f ↾ A {\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}} で表す。