リプシッツ連続
より一般に、有界なリプシッツ定数を持つ函数の集合は同程度連続な函数の集合を成す。(fn) が有界なリプシッツ定数を持つ一様有界列ならば収束する部分列を持つことがアルツェラ–アスコリの定理から従う。前段落の結果から、この列の極限函数もまたリプシッツであり、そのリプシッツ定数は同じ定数を上界に持つ。特に、コンパクト距離空間 X 上で定義されたリプシッツ定数 ≤ K を持つ実数値リプシッツ函数全体の成す集合は、連続函数全体の成すバナハ空間 C(X) の局所コンパクト凸部分集合になる。
共通のリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数の族 fα に対し、函数 supα fα および infα fα は、それが少なくとも一点において有限な値をとるならば、また同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数となる。
U は距離空間 M の部分集合で、f: U → R はリプシッツ連続とするとき、f の延長となるリプシッツ連続写像 M → R が必ず存在して、f と同じリプシッツ定数を持つ(Kirszbraunの定理(英語版)も参照)。くだんの延長は、f の U 上でのリプシッツ定数を k として ~f(x) := infu∈U{f(u) + kd(x,u)} で与えられる。