随伴作用素
有界作用素のエルミート随伴は以下の性質を満たす:
対合性: A = A
A が可逆ならば A も可逆であり、かつ (A) = (A)
加法性: (A + B) = A + B
半斉次性: (λA) = λA, ただし λ は複素数 λ の複素共軛
逆転性: (AB) = BA
加法性と半斉次性を合わせて反線型性(英語版)、逆転性と対合性は合わせて *-環としての対合性を表す。
A の作用素ノルムを
‖ A ‖ o p := sup { ‖ A x ‖ : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \|A\|_{\mathrm {op} }:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}
で定義するならば、
‖ A ∗ ‖ o p = ‖ A ‖ o p {\displaystyle \|A^{*}\|_{\mathrm {op} }=\|A\|_{\mathrm {op} }}
および、さらに
‖ A ∗ A ‖ o p = ‖ A ‖ o p 2 {\displaystyle \|A^{*}A\|_{\mathrm {op} }=\|A\|_{\mathrm {op} }^{2}}
が成り立つ。この性質を満足するノルムは、自己随伴作用素の場合からの類推で、「最大値」のように振る舞うということができる。
ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素全体の成す集合は、随伴をとる操作と作用素ノルムに関して C 環の原型的な例である。