正規部分群
単位元のみからなる群 {e} と、群 G それ自身は、常に G の正規部分群となる。{e} を特に「自明な部分群」と言う。群 G は、自明な部分群と自身以外に正規部分群を持たないとき、単純群であると言う。
群の中心は正規部分群になる。
交換子部分群は正規部分群になる。
より一般的に、特性部分群は正規部分群である。共役写像は自己同型であるためである。
アーベル群 G の任意の部分群 N は正規部分群になる。式 gN = Ng が常に成立するためである。一方、非アーベル群だが、任意の部分群が正規部分群である群が存在し、ハミルトン群(英語版)という。
任意次元の並進群(平行移動の集合のなす群)は、ユークリッド群(平行移動、回転、鏡像などのなす群)の正規部分群である。たとえば、「三次元の回転、平行移動、逆方向への回転」の結果は、単なる平行移動と見なせる。「鏡映、平行移動、反対への鏡映」も、単なる平行移動になる。
ルービックキューブ群(英語版)においては、角のピースのみを変更する操作の群が正規部分群となる。