自己回帰モデル
ユール–ウォーカー方程式は、ウドニー・ユール(英語版)とギルバート・ウォーカーにちなんで名づけられたもので、以下の方程式からなる。
γ m = ∑ k = 1 p φ k γ m − k + σ ε 2 δ m , 0 , {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m,0},}
ここで m = 0, ..., p であり、p + 1 個の方程式からなる。さらに γ m {\displaystyle \gamma _{m}} は Xt の自己共分散関数、 σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} は入力ホワイトノイズの標準偏差、 δ m , 0 {\displaystyle \delta _{m,0}} はクロネッカーのデルタである。
各方程式の最後の部分がゼロとならないのは m = 0 の時に限られるので、この方程式は m > 0 の方程式を行列形式に表すことで解くことが出来る。よって次の方程式が得られる。
[ γ 1 γ 2 γ 3 ⋮ γ p ] = [ γ 0 γ − 1 γ − 2 ... γ 1 γ 0 γ − 1 ... γ 2 γ 1 γ 0 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ γ p − 1 γ p − 2 γ p − 3 ...