有界型空間
体 K 上のベクトル空間 X に対し、X 上の線型界相 (vector bornology) とは、X 上の有界集合系 B であってベクトルの加法およびスカラー乗法について閉じており、さらに均衡包が定式化できる(即ち、二つの有界集合の合併がまた有界である、など)ときにいう。さらに加えて B が凸包の定式化で閉じている(即ち、有界集合の凸包がふたたび有界である)とき、B は凸線型界相 (convex vector bornology) であるという。また、X の有界部分空間が自明な部分空間(即ち 0 のみからなる部分空間)であるとき、界相は分離している (separated) という。有界集合系 B の部分集合 A が界呑有界型的 (bornivorous) であるとは、それが任意の有界集合を併呑するときに言う。線型界相の場合、 A が界呑であるのは任意の有界均衡集合を併呑するときであり、凸線型界相の場合には任意の有界円板を併呑するとき A は界呑である。
X が位相線型空間のとき、X の部分集合 D が円板であるとは、それが凸かつ均衡であることを言う。円板 D はその線型包 span(D) を併呑し、ゆえにそのミンコフスキー汎函数がこの空間上の半ノルムを成す (これを μD または pD と書く)。空間 span(D) にこの半ノルムの誘導する位相を入れて得られる位相空間を XD とかく。この空間の零ベクトル 0 の近傍基は、r が任意の正の実数を亙るときの rD の形に書ける集合の全体からなる。
この空間は今の場合必ずしもハウスドルフではない(例えば、X = R で D を x-軸とするとき)。しかし、D が有界円板で X がハウスドルフならば、半ノルム μD はノルムになり、XD はノルム空間になる。D が有界で点列完備な円板で X がハウスドルフならば、空間 XD は実はバナハ空間になる。また、XD がバナハ空間になるような X の有界円板はバナハ円板 (Banach disk), 劣完備 (infracomplete), 有界完備 (bounded completant) などと呼ばれる。
局所凸ハウスドルフ空間 X と X の有界円板 D に対し、
D が X において完備かつ T が X の樽型集合ならば、適当な数 r > 0 を選んで B ⊂ rT とすることができる。