特性類
であり、 R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ∈ S O ( 2 ) m {\displaystyle R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})\in SO(2)^{m}} であるので、
[ A ] = ( C 1 ε 1 ⋯ C m ε m ) P σ {\displaystyle [A]=(C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}})P_{\sigma }}
が成立する。また | A 1 | ⋅ ⋯ ⋅ | A m | = 1 {\displaystyle |A_{1}|\cdot \cdots \cdot |A_{m}|=1} であった事から | C ε 1 | ⋯ | C ε m | = 1 {\displaystyle |C{}^{\varepsilon _{1}}|\cdots |C{}^{\varepsilon _{m}}|=1} が成立し、したがって
この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。
なお上の定理ではGがFに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、Fが十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、GのFへの作用が連続である必要十分条件は、GのFへ作用のから定まる写像 φ : G → H o m e o ( F ) {\displaystyle \phi ~:~G\to \mathrm {Homeo} (F)} が( H o m e o ( F ) {\displaystyle \mathrm {Homeo} (F)} にコンパクト開位相を入れたとき)連続になる事である。よってGの作用が忠実ではない場合であっても、写像 φ {\displaystyle \phi } のカーネルで割った位相群 G / k e r φ {\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi } はFへ忠実かつ連続に作用するので、F-バンドルの特性類を定義するには主 G / k e r φ {\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi } -バンドルの特性類を定義すれば良い。
以下、Fをファイバーに持つファイバーバンドルの事をF-バンドルと呼ぶこととし、全空間E、底空間Xおよび射影 π : E → X {\displaystyle \pi ~:~E\to X} からなるF-バンドルを ( E , X , π ) {\displaystyle (E,X,\pi )} と表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる:
定義 (特性類) ― Gを位相群とし、FをGが作用する位相空間とし、Aをアーベル群とし、さらにqを非負整数とする。このとき次数qのA係数特異コホモロジー群におけるGに関する特性類とは、CW複体を底空間とし構造群Gを持つF-バンドル ξ = ( E , X , π ) {\displaystyle \xi =(E,X,\pi )} にコホモロジー群 H q ( X ; A ) {\displaystyle H^{q}(X;A)} の元を対応させる「対応関係」
c : ξ = ( E , X , π ) ↦ c ( ξ ) ∈ H q ( X ; A ) {\displaystyle c~:~\xi =(E,X,\pi )\mapsto c(\xi )\in H^{q}(X;A)}
で、任意のCW複体X、Y、構造群Gを持つY上の任意のF-バンドル ξ = ( E , Y , π ) {\displaystyle \xi =(E,Y,\pi )} 、および任意の連続写像
が全単射な事である。ここで f ∗ ( P ) {\displaystyle f^{*}(P)} は f : X → B {\displaystyle f~:~X\to B} によるPのXへの引き戻しである。
なお、上の定理において写像 [ f ] ∈ [ X , B ] ↦ f ∗ ( P ) ∈ P G , F ( X ) {\displaystyle [f]\in [X,B]\mapsto f^{*}(P)\in {\mathcal {P}}_{G,F}(X)} がwell-definedな事は、ホモトープな2つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。
上記の定理から、X上の任意の主G-バンドルξに対し、写像 f : X → B {\displaystyle f~:~X\to B} がホモトピー同値を除いて一意に定まる。このfの事をξの分類写像(英: classifying map)という。
構造群Gを持つファイバーバンドルと主G-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う:
は環同型である。
H ∗ ( S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(SO(n);\Lambda )} が p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} のねじれ元を持たない事を利用して、以下の命題を示せる:
命題 (H(BSO(n),Λ)のワイル群による表現) ― 写像
μ ∗ : H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) → H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) W ⊗ Λ {\displaystyle \mu ^{*}~:~H^{*}(BSO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda }
は環同型である。
上述の命題ではBorelの定理で「 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 」であったところが「Λ」に代わっているが、普遍係数定理を用いる事で「Λ」に代えてよい事が容易に示せる。
命題の証明には普遍係数定理を使うので、まずこの定理を復習する:
定理 (普遍係数定理) ― Xを位相空間とし、Mを Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -加群とする。全てのkに対して H k ( X ; Z ) {\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )} が Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上有限生成であれば、任意のkに対して以下が成立する:
を構成できる。そこで B φ : B G → B H {\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH} を次のように定義する:
記号の定義 ― G、Hを位相群とし、 φ : G → H {\displaystyle \varphi ~:~G\to H} を連続準同型写像とする。 普遍G-バンドル π : P G → B G {\displaystyle \pi ~:~PG\to BG} から主H-バンドル P G × φ H → B G {\displaystyle PG\times _{\varphi }H\to BG} を構成すると、分類定理よりこの主H-バンドルに対応する(ホモトピー同値を除いて一意に定まる)分類写像を
B φ : B G → B H {\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH}
と表記する。
実はこの対応関係は関手になっている:
定理 ― 以下のようにBを定義すると、Bは位相群の圏からCW空間のホモトピー同値類の圏への関手である:
位相群GにBGを対応させる
連続準同型写像 φ : G → H {\displaystyle \varphi ~:~G\to H} に B φ : B G → B H {\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH} を対応させる。
.. , α n + m {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n+m}} をチャーン根とすると、
c i ( n + m ) = σ i ( α 1 , ... , α n + m ) = ∑ k = 0 i σ k ( α 1 , ... , α n ) σ i − k ( α n + 1 , ... , α n + m ) ≈ ∑ k = 0 i c k ( n + m ) ⌣ c i − k ( n + m ) {\displaystyle c_{i}^{(n+m)}=\sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n+m})=\sum _{k=0}^{i}\sigma _{k}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\sigma _{i-k}(\alpha _{n+1},\ldots ,\alpha _{n+m})\approx \sum _{k=0}^{i}c_{k}^{(n+m)}\smile c_{i-k}^{(n+m)}}
が成立する。なお上式の2つ目の等号は、対称多項式に関する簡単な計算により従う。 ホイットニー和の公式は上式を ξ ⊕ η {\displaystyle \xi \oplus \eta } 、ξ、ηに関する分類写像で引き戻す事で従う。
一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。
本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。
実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は2つある:
実ベクトルバンドルの主バンドルの分類空間 H ∗ ( B O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )} は複素ベクトルバンドルの主バンドルの H ∗ ( B U ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n),\mathbb {Z} )} と違い、 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -捩れ部分群を持つ。この捩れ部分群が「悪さ」をするため、 H ∗ ( B O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )} を簡単に記述する事ができない。
実ベクトルバンドルの場合は複素ベクトルバンドルと違い、向き付けの概念がある。このため向き付けのない場合の分類空間 H ∗ ( B O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )} と向き付けのある場合の分類空間 H ∗ ( B S O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} )} の両方を考察しなければならない。