全商環
環の直和 A ⊕ B の全商環 Q(A ⊕ B) は、それぞれの全商環の直和 Q(A) ⊕ Q(B) に等しい。
ガウス平面上の開集合 D 上の正則函数環の全商環は、D 上の有理型函数の環である。ここで D は必ずしも連結でなくともよい。
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R に等しいから、全商環 Q(R) は (R)R と書けるが、しかしそもそも S = R の元はすべて可逆だったのだから、(R) ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa − 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
↑ a が R の零元と異なる零因子で、a が R の全商環 Q の中で単元となると仮定すると、R の零元でない元 b で ab = 0 を満たすものと、Q の元 c で ca = 1 を満たすものとが存在することになるが、 0 = c(ab) = (ca)b = b となり、b が零元でないことに反する。従って R の零因子を Q の単元にすることはできない。
数学における全商環(ぜんしょうかん、英: total quotient ring)あるいは全分数の環 (total ring of fractions) は、整域に対する商体の構成を、零因子をもつ可換環に対して一般化するものである。この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。零因子を可逆化することはできないので、全商環はもうこれ以上逆元を加えて拡大することはできないものになっている。このことから、全商環は「可能な限り逆元を付け加えた」という意味で最大の環である。