リー環の拡大
[ U 1 , U 2 ] = d d t U ( g 1 ( t ) ) U ( g 2 ( t ) ) U ( g 1 ( t ) ) − 1 U ( g 2 ( t ) ) − 1 | t = 0 = d d t e i ξ ( g 1 , g 2 ) ξ ( g 1 − 1 , g 2 − 1 ) ξ ( g 1 g 2 , g 1 − 1 g 2 − 1 ) U ( g 1 ( t ) g 2 ( t ) g 1 ( t ) − 1 g 2 ( t ) − 1 ) | t = 0 ≡ d d t Ω ( g 1 , g 2 ) U ( g 1 ( t ) g 2 ( t ) g 1 ( t ) − 1 g 2 ( t ) − 1 ) | t = 0 = d U ( g 1 ( t ) g 2 ( t ) g 1 ( t ) − 1 g 2 ( t ) − 1 ) d t | t = 0 + d Ω ( g 1 , g 2 ) d t | t = 0 I , G 1 = g 1 ′ ( 0 ) , G 2 = g 2 ′ ( 0 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.
この基底は次を満たす:
このリー環は有用な中心拡大,ヴィラソロ代数をもつ.それは su(1, 1) と sl(2, R) に同型な 3 次元部分代数を持つ.各 n ≠ 0 に対し,集合 {d0, d−n, dn} は su(1, 1) ≅ sl(2, R) に同型な部分代数を張る.
m, n ∈ {−1, 0, 1} に対し,
[ d 0 , d − 1 ] = d − 1 , [ d 0 , d 1 ] = − d 1 , [ d 1 , d − 1 ] = 2 d 0 {\displaystyle [d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}}
となる.これらは次の対応で sl(2, R) の交換関係である:
d 0 ↔ H = ( 1 0 0 − 1 ) , d − 1 ↔ X = ( 0 1 0 0 ) , d 1 ↔ Y = ( 0 0 1 0 ) , H , X , Y ∈ s l ( 2 , R ) . {\displaystyle d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).
d d t ( Ψ e t G ( H ) , 0 ) | t = 0 = ( ψ G ( H ) , 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)}
であるから
e = [ H 1 , H 2 ] h + [ G 1 , H 2 ] + [ H 1 , G 2 ] + [ G 1 , G 2 ] g = [ H 1 , H 2 ] h + ψ G 1 ( H 2 ) − ψ G 2 ( H 1 ) + [ G 1 , G 2 ] g {\displaystyle {\begin{aligned}[H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}&=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}\\&=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}\end{aligned}}}
である.
d についての条件は φ の反対称性を保証する.2-コサイクルのヤコビ律は, φ ( [ G 1 , G 2 ] , G 3 ) = L ( d [ G 1 , G 2 ] , G 3 ) = L ( [ d ( G 1 ) , G 2 ] , G 3 ) + L ( [ G 1 , d ( G 2 ) ] , G 3 ) {\displaystyle \varphi ([G1,G_{2}],G_{3})=L(d[G1,G_{2}],G_{3})=L([d(G1),G_{2}],G_{3})+L([G1,d(G_{2})],G_{3})}
からはじめて,形式の対称性とブラケットの反対称性と,再び L のことばでの φ の定義を用いて,従う.
g がリー群 G のリー環で e が g の中心拡大であるとき,リー環が e のリー群 E が存在するかどうかを問うことができる.答えは,リーの第三定理(英語版)により,肯定的である.しかしリー環が e の G の"中心拡大" E は存在するだろうか? この問いへの答えはある機械が必要で,Tuynman & Wiegerinck (1987, Theorem 5.4) に見つけることができる.
リー環 g の可換リー環 a による中心拡大は,g 上のいわゆる(非自明な)2-コサイクル(英語版)(背景)の助けを借りて得ることができる.非自明な 2-コサイクルはリー群の射影表現(英語版)(背景)の文脈で現れる.このことは読み進めばそれとなく言及される.
リー環の拡大
h ↪ i c ↠ s g , {\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {c}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}
が中心拡大とは,ker s が c の中心 Z(c) に含まれることをいう.
[ J a ( z ) , J b ( 0 ) ] = ( ħ L ) 2 ∑ m , n = − ∞ ∞ e 2 π i n z L [ i C a b c T c − m − n + m δ m + n , 0 δ a b C ] = ( ħ L ) 2 ∑ m = − ∞ ∞ e 2 π i ( − m ) z L ∑ l = − ∞ ∞ i e 2 π i ( l ) z L C a b c T c − l + ( ħ L ) 2 ∑ m , n = − ∞ ∞ e 2 π i n z L m δ m + n , 0 δ a b C = ( ħ L ) ∑ m = − ∞ ∞ e 2 π i m z L i C a b c J c ( z ) − ( ħ L ) 2 ∑ n = − ∞ ∞ e 2 π i n z L n δ a b C {\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}
Now employ the Poisson summation formula,