エジプト式分数
エジプト中王国では、ホルスの目を用いたそれ以前の不完全な分数体系(1/2 (k = 1, 2, ..., 6) の和で表す)に替わって、エジプト式分数による方法が発達した。エジプト式分数が見られる古い文献としては、エジプト数学革巻き、モスクワ・パピルス、レイズナー・パピルス(英語版)、カフン・パピルス(英語版)、アクミム木刻版(英語版)がある。特に有名なリンド・パピルスは、紀元前1650年頃に書かれたものであり、5 以上 101 以下の奇数 n に対して 2/n を単位分数の和で表している(#リンド・パピルスの展開一覧の節参照)。
古代エジプト人が、いちいちこのように単位分数の和で表した理由については、よく分かっていない。ただ、リンド・パピルスにはパンを分け合う問題がいくつもあって、実際にパンを分け合うにはエジプト式の表示が理に適っている場合がある。例えば、リンド・パピルスの問題3は、6斤のパンを10人で分け合うとき、1人分は 1/2 + 1/10 であることを答とする。6斤のパンをそれぞれ5等分するよりも、5斤を1斤づつ2等分して1片ずつ取り、残りの1斤を10等分する方が簡単である。
ヴァツワフ・シェルピニスキは、2以上の任意の整数 n に対し、
5/n = 1/x + 1/y + 1/z
は正の整数解を持つと予想した。さらに「任意の整数 k に対し、n が十分大きければ、真分数 k/n は3つ以下の単位分数の和で表せる」とも予想した。
分母が奇数である単位分数に限れば、その和も分母が奇数になる。逆に、分母が奇数である分数は、分母が奇数である単位分数展開が可能であることが知られている。しかし、分母を奇数に限った場合に、強欲算法が有限回で終了するかどうかは知られていない。
分母が2つの奇素数の積として pq であるとき、a = p + 1/2 として恒等式 2/pq = 1/aq + 1/apq を用いることができる。例えば、p = 3, q = 7 のとき、a = 2 より 2/21 = 1/14 + 1/42 を得る。この方法で、リンド・パピルスの単位分数展開のうち、分母が半素数であるものの多くは説明が付く。