五色定理
このようにして得られるグラフ G ′ {\displaystyle G'} は頂点の数がグラフ G {\displaystyle G} よりも1個だけ少ないので、数学的帰納法により5色で彩色できるとしてよい。頂点 v {\displaystyle v} は他の5個の頂点と隣接しているとする(4個以下であれば、隣接する頂点に使われていない色を塗ることでグラフ G {\displaystyle G} の彩色は終わる)。そこでこれらの v {\displaystyle v} と隣接していた5頂点を(反)時計回りに v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 2 {\displaystyle v_{2}} , v 3 {\displaystyle v_{3}} , v 4 {\displaystyle v_{4}} , v 5 {\displaystyle v_{5}} とする(番号の振り方は G {\displaystyle G} の描き方に依る)。もしこれらが5つの異なる色で塗られていなければ、明らかに頂点 v {\displaystyle v} を使われていない色で塗ることでグラフの彩色が終わる。