ノルム剰余同型定理
それらが必要な性質を満たすことの証明は、2006年にアンドレイ・ススリン(英語版)(Andrei Suslin)とセヴァ・ジョウコヴィツキー(英語版)(Seva Joukhovitski)により完成された。
上記の(C)を示すには、モチーフ的ホモトピー論での新しいテクニックの開発が必要であった。目標となったのは、極限や余極限と交換するとは限らないある函手が、ある種の対象の間の弱同値を保存することの証明であった。主要な困難のひとつは、弱同値を調べるための標準的なアプローチであるバウスフィールド・キレンの分解系とモデル圏 (model category) の構造が不十分であることであった。別の方法が開発される必要があり、この仕事はヴォエヴォツキーにより2008年に完成された。
これらのテクニックを開発する過程で、ヴォエヴォツキーの2003年のプレプリントに証明なしで使われている1つめのステートメントが誤りであることが判明した。証明は修正されたステートメントに合わせてわずかに変更される必要があった。ヴォエヴォツキーがモチーフ的アイレンバーグ・マックレーン空間(英語版)(Eilenberg-MacLane space) に関する主定理の証明の細部を詰めている間に、チャールズ・ワイベル(英語版)(Charles Weibel) は証明の変更すべき箇所を修正するアプローチを考案した。ワイベルは2009年に、ヴォエヴォツキーの構成の要約と彼の開発した修正を含んだ論文も出版している。
数学において、ノルム剰余同型定理 (norm residue isomorphism theorem)またはブロック・加藤予想 (Bloch-Kato conjecture) は、ミルナーのK-理論とガロアコホモロジーを結びつける、長らく予想されていた定理である。ジョン・ミルナー (John Milnor)はこの定理が l = 2 {\displaystyle \ell =2} の場合に正しいと予想し、これはミルナー予想として知られるようになった。一般の場合はスペンサー・ブロック(英語版)と加藤和也により予想され、ブロック・加藤予想 (Bloch–Kato conjecture) 、もしくは(L-函数の特殊値におけるブロック・加藤の予想と区別するために)モチーフ的ブロック・加藤予想 (motivic Bloch–Kato conjecture) として知られるようになった。ノルム剰余同型定理はウラジミール・ヴォエヴォツキー (Vladimir Voevodsky) により、マーカス・ロスト(英語版)(Markus Rost)の数々の斬新な結果を用いて証明された。