位相空間
よって V a {\displaystyle {\mathcal {V}}_{a}} を添え字に取るX上の任意の族 ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} はこの二項関係に関して有向点族である。
上の例で特に
x U ∈ U {\displaystyle x_{U}\in U}
を満たす有向点族 ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} を考えれば、Uが小さくなればなるほど x U ∈ U {\displaystyle x_{U}\in U} がaに「近づく」ので、この有向点族が収束概念を考える際に重要な役割を果たす事が了解されるであろう。
また開近傍系は開集合の集まりなので、この有向点族 ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} は、これまで開集合の概念を通して定義してきた位相空間の概念と有向点族の収束性の概念との、いわば架け橋として機能し、開集合の概念から収束を定式化したり、逆に収束の概念から開集合を逆に定式化したりする際に役に立つ。
なお上では開近傍系を添字集合とする有向点族について記したが、(開とは限らない)近傍系を添字集合とする有向点族も同様に定義できる。
x ∈ XがAの境界点 ⇔ ∀ N ∈ B x : A ∪ N ≠ ∅ {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cup N\neq \emptyset } かつ A c ∪ N ≠ ∅ {\displaystyle A^{c}\cup N\neq \emptyset }
x ∈ XがAの触点 ⇔ ∀ N ∈ B x : A ∩ N ≠ ∅ {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cap N\neq \emptyset }
x ∈ XがAの集積点 ⇔ ∀ N ∈ B x : {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~} Nはx以外にAの元を含む。
距離空間においては点xのε-近傍全体が基本近傍系をなすので、上記の定理より、距離空間においては内点、外点といった概念はε-近傍を用いて定義可能である。教科書によっては、このε-近傍を用いた定義を距離空間における内点、外点等の定義として採用しているものもある。
位相空間X において可算公理は、X の位相的な対象(近傍系、開集合)が可算なものから生成されることを意味し、可算公理が成立する空間では、非可算特有の難しさを回避できる場合がある。 可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。
厳密な定義は以下の通りである
Xが距離空間の場合はxのε-近傍 B ε ( x ) = { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} がxの基本近傍系をなしていたので、 { B ε ( x ) ∣ x ∈ X , ε > 0 } {\displaystyle \{B_{\varepsilon }(x)\mid x\in X,\varepsilon >0\}} は開基をなす。
最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる:
定理 (開基による位相の特徴づけ) ― Xを集合とする。このとき、 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} が何らかの位相の開集合系の開基である必要十分条件は、以下の条件を満たすことである:
∀ B 1 , B 2 ∈ B , ∀ x ∈ B 1 ∩ B 2 ∃ B ∈ B : x ∈ B ⊂ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle \forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}},\forall x\in B_{1}\cap B_{2}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\subset B_{1}\cap B_{2}}
は直積位相に関して
∏ i ∈ N R i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}}
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて...」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間には ∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}} をも開集合とする位相も定義可能である:
定義 ― 位相空間の族 ( X λ , O λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、
{ ∏ λ ∈ Λ O λ ∣ ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle \{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}}
を開基とする ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} の位相を箱型積位相(英語版)という。
箱型積位相は直積位相より強い(弱くない)位相である。
以上の準備のもと、有向点族の収束の概念を定義する。
定義 (有向点族の収束) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。X上の有向点族 x = ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がa∈Xに収束するとは、
∀U (a の近傍) ∃ λ 0 ∈ Λ ∀ λ > λ 0 : x λ ∈ U {\displaystyle \exists \lambda _{0}\in \Lambda \forall \lambda >\lambda _{0}~~:~~x_{\lambda }\in U}
が成立する事をいう。 x = ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の収束先aが一意であれば、