シルベスター方程式
数学、制御理論におけるシルベスター方程式(シルベスターほうていしき、英: Sylvester equation)とは、次の形式の行列方程式である。
A X + X B = C {\displaystyle AX+XB=C}
ここで行列 A,B,C は与えられており、等式を満たすような行列 X が求めるべき解である。全ての行列の成分は複素数であるとする。方程式が意味を持つために、行列は適当なサイズでなければならない。例えば、全ての行列が同一サイズの正方行列である等である。より一般には、A と B がそれぞれサイズ n , m の正方行列であれば、X と C はいずれも n 行 m 列の行列でなければいけない。
シルベスター方程式が一意的な解 X を持つのは、行列 A と −B が共通する固有値を持たないとき、またそのときに限る。
より一般的には、方程式 AX + XB = C は(次元が有限とは限らない)バナッハ空間上の有界作用素間の等式であるとして考察されてきた。この場合も解についての条件はほとんど同じである:方程式が一意的な解 X を持つのは、A と −B のスペクトルが交わりを持たないとき、またそのときに限る。
行列 C {\displaystyle C} を C v = w ̄ {\displaystyle Cv={\overline {w}}} となるよう選ぶ。右辺は w {\displaystyle w} の複素共役である。
このとき A X + X B = C {\displaystyle AX+XB=C} には解 X {\displaystyle X} が存在しない。なぜなら、複素数体上の双線型形式(半双線型形式ではない)を ⟨ c 1 , c 2 ⟩ := ∑ i = 1 n c 1 , i c 2 , i {\displaystyle \langle c_{1},c_{2}\rangle :=\sum _{i=1}^{n}c_{1,i}c_{2,i}} と定めて ⟨ ( A X + X B ) v , w ⟩ = ⟨ C v , w ⟩ = ⟨ w ̄ , w ⟩ > 0 {\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle {\overline {w}},w\rangle >0} を考えると、この最左辺は
⟨ X v , A T w ⟩ + ⟨ X B v , w ⟩ = ⟨ X v , s w ⟩ + ⟨ − s v , w ⟩ = 0 {\displaystyle \langle Xv,A^{T}w\rangle +\langle XBv,w\rangle =\langle Xv,sw\rangle +\langle -sv,w\rangle =0}
となって矛盾するからである。