調和数 (発散列)
調和数の列の母函数は
∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln  ( 1 − z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}}}
で与えられる(ln(z) は自然対数)。また、冪指数型母函数は
∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = − e z ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − z ) k k ! = e z Ein ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}
となる。ここで Ein(z) は整指数積分で、
Ein ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln  z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln  z {\displaystyle {\text{Ein}}(z)={\text{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}
が成り立つものである(ただし、Γ(0, z) は不完全ガンマ函数)。