アトラクター
系のパラメータ(微分方程式や写像の係数)が変わると、ある臨界値を境に系の定性的な振る舞いが変わることがある。この現象を分岐という。アトラクターやベイスンも分岐によって変化する。点アトラクターが周期アトラクターになったり、周期アトラクターが準周期アトラクターになったりする。あるいは、アトラクター自体が消滅したり、新しいアトラクターが出現したりする。基本的な分岐であるサドルノード分岐では、安定な固定点と不安定な固定点がパラメータの変化に従って接近し、衝突して共に消滅する。逆にパラメータを変化させると、固定点がないところから安定な固定点と不安定な固定点が現れるということになる。他には、安定な固定点が不安定な固定点と安定なリミットサイクルに変わるホップ分岐などがある。また、クライシスと呼ばれる、アトラクターの大きさが不連続的に突然変化したり、アトラクターが不連続的に突然出現・消滅するような現象もある。
特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、カオスへのルート(英語: route to chaos)などと呼ばれる。広く認知されているカオスへのルートには、周期倍分岐ルート、間欠ルート、準周期崩壊ルートの3つがある。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で周期倍分岐を無限回繰り返してカオスに至る。周期倍分岐とは k 周期の安定閉軌道が k 周期の不安定閉軌道と 2k 周期の安定閉軌道と分岐する現象で、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られる。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる。
散逸系とは、数学的には、相空間上に体積要素を取ったときにその要素の体積が時間発展にともなって減少していく系を指す(ここでの体積とは3次元以上2次元以下を含む一般化された体積、特記無い限り以下同じ)。散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域(状態の集まり)へ引き付けられる現象が存在する。このような領域をアトラクターと呼ぶ。一方の保存系では、アトラクターは存在しない。
アトラクターが存在するとき、ある程度の時間経過後に系の状態はそのアトラクターにほとんど引き込まれるため、アトラクター上での振る舞いが実質的に系の長期的な振る舞いを支配しているといえる。また、何かの乱れが系に加わったとしても、乱れがさほど大きくなければ、やはり状態はアトラクターへ引き込まれる。したがって、散逸系の振る舞いを理解するためには、系のアトラクターとアトラクター周辺の性質を調べることが重要となる。力学系において、アトラクターを理解することは重要な鍵となる。特に、後述のストレンジアトラクターが具体的な微分方程式の数値実験で現れることが確認されて以降、力学系理論への注目が高まり、多くの研究が行われるに至った。