剰余類
加法巡回群 Z4 = {0, 1, 2, 3} = G は、部分群 H = {0, 2} (Z2 に同型)を持つ。G における H を法とする左剰余類は
0 + H = { 0 , 2 } = H {\displaystyle 0+H=\{0,2\}=H}
1 + H = { 1 , 3 } {\displaystyle 1+H=\{1,3\}}
2 + H = { 2 , 0 } = H {\displaystyle 2+H=\{2,0\}=H}
3 + H = { 3 , 1 } {\displaystyle 3+H=\{3,1\}}
で全てである。したがって、相異なる剰余類は H および 1 + H = 3 + H のふたつである。注目すべきは、G の任意の元は H か 1 + H のどちらか一方のみに属し、H ∪ (1 + H) = G が成立することである。すなわち、G における H を法とする相異なる剰余類の全体は G を分解(類別)する。
H を法とするすべての左剰余類および右剰余類は、同じ位数(元の数。H が無限集合の場合は濃度)を持ち、それは(H 自身が剰余類であるから)部分群 H の位数に等しい。さらに、左剰余類の個数は右剰余類の個数と等しく、この数を G における H の指数 (index) と言い、記号 [G : H] で表す。G と H が有限群ならばラグランジュの定理により、指数は公式
| G | = [ G : H ] ⋅ | H | {\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|}
から計算できる。この式は無限群の場合にも成立するが、しかしその場合の解釈には注意が必要である。