上半平面
数学、とくにリーマン幾何学あるいは(局所)コンパクト群の調和解析において上半平面(じょうはんへいめん、英: upper half plane)は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。(開いた)上半平面を慣例的に H や H あるいは H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} と記す(このとき、下半平面は H や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H などと記すこともある)。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
H = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y>0\}}
または