平方剰余
実際、q > 3の場合、差は常に q の奇数倍になる。対照的に、平方剰余の和から 1, 2, ..., q − 1 の範囲における非剰余の和を引いたものはゼロであり、両方の和が q ( q − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {q(q-1)}{4}}} と等しいことを意味する。
ディリクレは素数 q ≡ 3 (mod 4) の場合も証明した。
L ( 1 ) = π ( 2 − ( 2 q ) ) q ∑ n = 1 q − 1 2 ( n q ) > 0. {\displaystyle L(1)={\frac {\pi }{\left(2-\left({\frac {2}{q}}\right)\right)\!{\sqrt {q}}}}\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\frac {q-1}{2}}\left({\dfrac {n}{q}}\right)>0.}
これは、1, 2, ..., q − 1/2 の範囲で、平方剰余が非剰余よりも多いことを意味する。
たとえば11を法とすると、6未満の剰余は4つ (1, 3, 4, 5) だが、非剰余は1つだけ (2) である。
これらの2つの定理に関する興味深い点は、これまでに知られているすべての証明が解析に基づくということである。どちらの定理についても、単純な証明あるいは直接の証明は発表されていない。