接続 (微分幾何学)
u ∈ M {\displaystyle u\in M} における接ベクトル v ∈ T u M {\displaystyle v\in T_{u}M} に対し、 e ∈ E u {\displaystyle e\in E_{u}} に v {\displaystyle v} のeでの水平リフトを対応させる
e ∈ E u ↦ L i f t e ( v ) ∈ H e ⊂ T e E {\displaystyle e\in E_{u}\mapsto \mathrm {Lift} _{e}(v)\in {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}E}
をファイバー E u {\displaystyle E_{u}} 上の切断とみなしたものを L i f t ( v u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})} と書く。
2つのベクトル v u , w u ∈ T u M {\displaystyle v_{u},w_{u}\in T_{u}M} に対し、 L i f t ( v u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})} 、 L i f t ( w u ) {\displaystyle \mathrm {Lift} (w_{u})} はいずれも E u {\displaystyle E_{u}} 上のベクトル場なので、曲率形式Ωに対して、
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。後述するようにこちらの定義が自然にベクトルバンドルの接続と対応する。
そのために基本ベクトル場の概念を導入する。Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー代数とし、さらに π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} をG-主バンドルとするとき、リー代数の元 A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} と点 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、
A _ p := d d t ( p ⋅ e x p ( t A ) ) | t = 0 ∈ T p P {\displaystyle {\underline {A}}_{p}:=\left.{\frac {d}{dt}}(p\cdot \mathrm {exp} (tA))\right|_{t=0}\in T_{p}P}
により、P上のベクトル場 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} を定義する。 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} をAに対応するP上の基本ベクトル場(英語版)(英: fundamental vector field on P associated to A)という。
Wiley Classics Library. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Zbl 0175.48504
Freeman, Kamielle (2011). A Historical Overview of Connections in Geometry (MSc). Wichita State University.
Lumiste, Ü. (2001), “Connection”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Connection
Osserman, B. (2004) (PDF), Connections, curvature, and p-curvature, http://math.berkeley.edu/~osserman/math/connections.pdf
Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8 .
佐古彰史『ゲージ理論・一般相対性理論のための 微分幾何入門』森北出版、 2021/9/30。ISBN 978-4627078512。
Gと両立する接続はフレームバンドルの接続に対応している:
定理 ― Gを構造群として持つベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} のKoszul接続∇がGと両立するとき、フレームバンドルFG(E)のある接続形式ωが存在し、∇はωからEに誘導される接続と一致する。
本章の成果をまとめると、以下の結論が得られる:
定義 (主接続とKoszul接続の関係) ― E上のKoszul接続でGと両立するものは F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の主接続と1 : 1で対応する。 さらにGと両立するにKoszul接続∇に対応する主接続の接続形式をωとすると、任意の開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} とU上で定義された F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の任意の局所的な切断 e = ( e 1 , .
Cartan, Élie (1926), “Les groupes d'holonomie des espaces généralisés”, Acta Math. 48: 1–42, doi:10.1007/BF02629755
Christoffel, Elwin B. (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 70: 46–70
Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
Koszul, Jean-Louis (1950), “Homologie et cohomologie des algebres de Lie”, Bulletin de la Société Mathématique 78: 65–127
Levi-Civita, Tulio; Ricci, M. M. G. (1900), “Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications”, Math. Ann.
ベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} の切断sが与えられたとき、 F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上の関数
ψ s : ( e 1 , ... , e n ) ∈ F G ( M ) ↦ ( s 1 , ... , s n ) ∈ R n {\displaystyle \psi _{s}~:~(e_{1},\ldots ,e_{n})\in F_{G}(M)\mapsto (s^{1},\ldots ,s^{n})\in \mathbb {R} ^{n}} , where s = s i e i {\displaystyle s=s^{i}e_{i}}
を定義できる。このとき次が成立する:
定理 ― M上の任意のベクトル場Xに対し、以下が成立する: