スターリングの近似
スターリングの公式は鞍点法の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体(負の実数を除く)で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは z {\displaystyle z} を正の実数に限定する。ガンマ関数は t = z ( 1 + u ) {\displaystyle t=z(1+u)} の置換により
Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t = ∫ − 1 ∞ z z ( 1 + u ) z e − z − z u z d u = z z + 1 e − z ∫ − 1 ∞ e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u = z z + 1 e − z ( ∫ − 1 − ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u + ∫ − ε ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u + ∫ ε ∞ e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u ) ( ε ≪ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt\\&=\int _{-1}^{\infty }z^{z}(1+u)^{z}e^{-z-zu}zdu\\&=z^{z+1}e^{-z}\int _{-1}^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\\&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }{e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du}+\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right)\qquad (\varepsilon \ll 1)\\\end{aligned}}}
右辺の定数を集めて
C = 1 − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) n 2 m + 1 {\displaystyle C=1-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}}}
とすれば
log  Γ ( z ) = C − z + ( z − 1 2 ) log  z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 − ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 {\displaystyle \log \Gamma (z)=C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}-\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}}
となり、この主要部をガンマ関数の相補公式に代入して z → i ∞ {\displaystyle z\to i\infty } とすれば
が成り立ち、従って任意の n に対して比 n!/(ne) は √2π = 2.5066... と e = 2.71828... の間にある。
スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つであるガンマ関数 Γ(z)(正の整数 n に対し Γ(n) = (n − 1)! が成り立つ;ボーア・モレルップの定理も参照)に拡張することができ、
Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z ( | arg  z | ≤ π − ε , | z | → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (\vert \arg z\vert \leq \pi -\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )}
が成り立つ(ただし ε > 0)。|arg z | → π のときは収束が遅くなるため、応用上は相補公式などを用いて |arg z | ≤ π/2 程度に制限することが多い。