四元数
四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数全体にケーリー=ディクソン構成を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対としての構成を一般化したものである。
C を複素数体上の二次元ベクトル空間とし、基底 (1, j) をとる。C に属するベクトルは
( a + b i ) 1 + ( c + d i ) j {\displaystyle (a+bi)1+(c+di)j}
と表される。ここで j = −1 および ij = −ji であるものと定めると、分配律により二つのベクトルの掛け算が定義できる。いま、積 ij を k とおくと、通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数
a + bi + cj + dk
に対応するものである。C の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
( a + b i , c + d i ) ↔ ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d)}
となる。
r ′′ = − k r k {\displaystyle r''=-\mathbf {k} r\mathbf {k} }
とよく似ているが、実はこの二つは同一視できる。それには
k = σ 2 σ 1 , i = σ 3 σ 2 , j = σ 1 σ 3 {\displaystyle \mathbf {k} =\sigma _{2}\sigma _{1},\mathbf {i} =\sigma _{3}\sigma _{2},\mathbf {j} =\sigma _{1}\sigma _{3}}
と同一視して、かつこれがハミルトンの関係式
i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =-1}
を保つことを確認すればよい。この描像において、四元数はベクトルではなく二重ベクトル (bivector) に対応する(これは一次元的な「向き」ではなくて、特定の二次元平面に付随する向きと大きさを持った量である)。また、複素数との関係もより明らかになる。つまり、二次元ではそれぞれ σ1 と σ2 の方向を持つ二つのベクトルに対して、ただ一つの基底二重ベクトル元 σ1σ2 が存在するから、虚数単位は一つだけしかないが、ベクトルの方向が三つある三次元では、三つの二重ベクトル基底 σ1σ2, σ2σ3, σ3σ1 が存在して、三つの虚数単位を持つ。
故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
H における −1 の平方根のこのような同定はハミルトンが与えているが、他の文献では触れられないことがよくある。1971年にサム・パーリスは −1 の平方根の成す球面について、米国数学教師評議会(英語版)出版の「代数学における歴史的話題」(Historical Topics in Algebra p.39) において3ページを割いて触れている。より近くでは、イアン・ポーティアス(英語版)の本「クリフォード代数と古典群」(Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge, 1995, proposition 8.13, p.60) にこの球面についての記述があり、また Conway & Smith (2003) のp.40には「任意の虚数単位を i, それに直交する虚数単位の一つを j, それらの積を k」("any imaginary unit may be called iTemplate:, and perpendicular one j, and their product k") として、この球面についての別な言明がある。
これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。
なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。
現代数学の観点からは、四元数全体からなる集合は、実数体上の4次元結合的ノルム多元体であり、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H(あるいは黒板太文字で H)と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数 Cl0,2(R) ≅ Cl3,0(R) として定義することもできる。
この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 R を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ(もう一つは複素数全体 C)だからである。
従って、単位四元数は三次元球面 S 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin(3) を与える。これは 2次特殊ユニタリ群 SU(2) に同型、あるいはまた SO(3)(英語版)の普遍被覆に同型である。