後退微分法
常微分方程式とその初期値問題を次のように定める。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}
一般的に、BDFは次の形で表される。
∑ k = 0 s a k y n + k = h β f ( t n + s , y n + s ) . {\displaystyle \sum _{k=0}^{s}a_{k}y_{n+k}=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}).}
ここで、h は時間の刻み幅で、 t n = t 0 + n h {\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh} は離散化した時間であり、係数 a k {\displaystyle a_{k}} と β {\displaystyle \beta } は方法の次数を最大化するために選択される。s段法の場合、最大次数は s である。
BDF方法はすべて陰公式のため、一時刻ごとに(一般的な)非線形方程式系を解く必要がある。陰公式を解くためにはニュートン法のような反復法がよく用いられる。